diff --git a/.github/badges/rules-count.json b/.github/badges/rules-count.json
new file mode 100644
index 00000000..c7bb5e66
--- /dev/null
+++ b/.github/badges/rules-count.json
@@ -0,0 +1,6 @@
+{
+  "schemaVersion": 1,
+  "label": "Total rules",
+  "message": "3399",
+  "color": "blue"
+}
diff --git a/.github/dependabot.yml b/.github/dependabot.yml
new file mode 100644
index 00000000..700707ce
--- /dev/null
+++ b/.github/dependabot.yml
@@ -0,0 +1,7 @@
+# https://docs.github.com/github/administering-a-repository/configuration-options-for-dependency-updates
+version: 2
+updates:
+  - package-ecosystem: "github-actions"
+    directory: "/" # Location of package manifests
+    schedule:
+      interval: "weekly"
diff --git a/.github/workflows/ci.yml b/.github/workflows/ci.yml
index ac50ad12..29af3577 100644
--- a/.github/workflows/ci.yml
+++ b/.github/workflows/ci.yml
@@ -23,6 +23,7 @@ jobs:
         version:
           - '1.10'
           - '1'
+          - 'pre'
         os:
           - ubuntu-latest
           - macos-latest
@@ -37,7 +38,53 @@ jobs:
           arch: ${{ matrix.arch }}
       - uses: julia-actions/cache@v2
       - uses: julia-actions/julia-buildpkg@v1
-      - uses: julia-actions/julia-runtest@v1
+      - name: Run tests julia 1.11 ubuntu-latest and count rules
+        if: matrix.version == '1' && matrix.os == 'ubuntu-latest'
+        run: |
+          julia --project=. -e "
+            using SymbolicIntegration
+            using Pkg
+            
+            rules_count = length(SymbolicIntegration.RULES)
+            println(\"Total rules: \$rules_count\")
+            
+            # Create directory if it doesn't exist
+            mkpath(\".github/badges\")
+            
+            # Write the JSON file manually
+            open(\".github/badges/rules-count.json\", \"w\") do f
+                println(f, \"{\")
+                println(f, \"  \\\"schemaVersion\\\": 1,\")
+                println(f, \"  \\\"label\\\": \\\"Total rules\\\",\")
+                println(f, \"  \\\"message\\\": \\\"\$rules_count\\\",\")
+                println(f, \"  \\\"color\\\": \\\"blue\\\"\")
+                println(f, \"}\")
+            end
+            
+            println(\"Badge data written to .github/badges/rules-count.json\")
+
+            Pkg.test()
+          "
+        id: count_rules
+          
+      - name: Commit badge data
+        if: matrix.version == '1' && matrix.os == 'ubuntu-latest' && github.ref == 'refs/heads/main'
+        env:
+          GITHUB_TOKEN: ${{ secrets.GITHUB_TOKEN }}
+        run: |
+          git config --local user.email "41898282+github-actions[bot]@users.noreply.github.com"
+          git config --local user.name "github-actions[bot]"
+          git add .github/badges/rules-count.json
+          if git diff --staged --quiet; then
+            echo "No changes to commit"
+          else
+            git commit -m "Update rules count badge [skip ci]"
+            git push
+          fi
+          
+      - name: Run tests (other configurations)  
+        if: ${{ !(matrix.version == '1' && matrix.os == 'ubuntu-latest') }}
+        uses: julia-actions/julia-runtest@v1
       - uses: julia-actions/julia-processcoverage@v1
       - uses: codecov/codecov-action@v5
         with:
diff --git a/.github/workflows/spellcheck.yml b/.github/workflows/spellcheck.yml
new file mode 100644
index 00000000..58d5c570
--- /dev/null
+++ b/.github/workflows/spellcheck.yml
@@ -0,0 +1,13 @@
+name: Spell Check
+
+on: [push, pull_request]
+
+jobs:
+  typos-check:
+    name: Spell Check with Typos
+    runs-on: ubuntu-latest
+    steps:
+      - name: Checkout Actions Repository
+        uses: actions/checkout@v4
+      - name: Check spelling
+        uses: crate-ci/typos@v1.16.23
diff --git a/LICENSE b/LICENSE
index 42ad84a3..35a3ffb8 100644
--- a/LICENSE
+++ b/LICENSE
@@ -1,6 +1,6 @@
 SymbolicIntegration.jl is licensed under the MIT License:
 
-Copyright (c) 2022 Harald Hofstätter
+Copyright (c) 2022 Harald Hofstätter, Mattia Micheletta Merlin, Chris Rackauckas, and other contributors
 
 Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy
 of this software and associated documentation files (the "Software"), to deal
diff --git a/Project.toml b/Project.toml
index 0a04b2d8..76c07a2d 100644
--- a/Project.toml
+++ b/Project.toml
@@ -1,28 +1,40 @@
 name = "SymbolicIntegration"
 uuid = "315ce56f-eed0-411d-ab8a-2fbdf9327b51"
-authors = ["HaraldHofstaetter <hofi@harald-hofstaetter.at>", "Chris Rackauckas <accounts@chrisrackauckas.com>", "JuliaSymbolics contributors"]
-version = "2.0.0"
+keywords = ["symbolic", "integration", "mathematics", "computer-algebra"]
+license = "MIT"
+authors = ["HaraldHofstaetter <hofi@harald-hofstaetter.at>", "Mattia Micheletta Merlin <micheletta.mattia@gmail.com>", "Chris Rackauckas <accounts@chrisrackauckas.com>", "JuliaSymbolics contributors"]
 description = "Symbolic integration algorithms for Julia"
 repository = "https://github.com/JuliaSymbolics/SymbolicIntegration.jl"
-license = "MIT"
-keywords = ["symbolic", "integration", "mathematics", "computer-algebra"]
+version = "2.0.0"
 
 [deps]
 AbstractAlgebra = "c3fe647b-3220-5bb0-a1ea-a7954cac585d"
+Combinatorics = "861a8166-3701-5b0c-9a16-15d98fcdc6aa"
+Elliptic = "b305315f-e792-5b7a-8f41-49f472929428"
+FresnelIntegrals = "88497964-e39a-11e9-0fb5-b1bf0ffe80fe"
+HypergeometricFunctions = "34004b35-14d8-5ef3-9330-4cdb6864b03a"
 Logging = "56ddb016-857b-54e1-b83d-db4d58db5568"
 Nemo = "2edaba10-b0f1-5616-af89-8c11ac63239a"
+PolyLog = "85e3b03c-9856-11eb-0374-4dc1f8670e7f"
 SymbolicUtils = "d1185830-fcd6-423d-90d6-eec64667417b"
 Symbolics = "0c5d862f-8b57-4792-8d23-62f2024744c7"
 
 [compat]
 AbstractAlgebra = "0.46"
+Combinatorics = "1.0.2"
+Elliptic = "1.0.1"
+FresnelIntegrals = "0.2.0"
+HypergeometricFunctions = "0.3.28"
 Nemo = "0.51"
+PolyLog = "2.6.0"
 SymbolicUtils = "3"
 Symbolics = "6"
 julia = "1.10"
 
 [extras]
+Dates = "ade2ca70-3891-5945-98fb-dc099432e06a"
+Pkg = "44cfe95a-1eb2-52ea-b672-e2afdf69b78f"
 Test = "8dfed614-e22c-5e08-85e1-65c5234f0b40"
 
 [targets]
-test = ["Test"]
+test = ["Test", "Pkg", "Dates"]
diff --git a/README.md b/README.md
index 3865d54c..5138f8a2 100644
--- a/README.md
+++ b/README.md
@@ -1,119 +1,105 @@
 # SymbolicIntegration.jl
 
-*A unified interface for symbolic integration methods in Julia*
+[![Build Status](https://github.com/JuliaSymbolics/SymbolicIntegration.jl/actions/workflows/CI.yml/badge.svg?branch=main)](https://github.com/JuliaSymbolics/SymbolicIntegration.jl/actions/workflows/CI.yml?query=branch%3Amain)
+[![Spell Check](https://github.com/JuliaSymbolics/SymbolicIntegration.jl/actions/workflows/spellcheck.yml/badge.svg?branch=main)](https://github.com/JuliaSymbolics/SymbolicIntegration.jl/actions/workflows/spellcheck.yml)
+[![Rules](https://img.shields.io/badge/dynamic/json?url=https://raw.githubusercontent.com/JuliaSymbolics/SymbolicIntegration.jl/main/.github/badges/rules-count.json&query=$.message&label=Total%20rules&color=blue)](https://github.com/JuliaSymbolics/SymbolicIntegration.jl)
 
-SymbolicIntegration.jl provides a flexible, extensible framework for symbolic integration with multiple algorithm choices. The package uses method dispatch to allow users to select the most appropriate integration algorithm for their specific needs.
 
-## Key Features
+SymbolicIntegration.jl solves indefinite integrals using one of the implemented algorithms: Risch method and Rule based method
 
-- 🎯 **Multiple Integration Methods**: Extensible method dispatch system
-- ⚡ **Exact Symbolic Results**: Guaranteed correct symbolic integration  
-- 🔢 **Complex Root Handling**: Produces exact arctangent terms
-- ⚙️ **Configurable Algorithms**: Method-specific options and behavior
-- 🏗️ **Professional Interface**: SciML-style method selection
 
-## Integration Methods
-
-### RischMethod (Default)
-Complete symbolic integration using the Risch algorithm from Manuel Bronstein's "Symbolic Integration I: Transcendental Functions".
-
-**Capabilities:**
-- ✅ **Rational functions**: Complete integration with Rothstein-Trager method
-- ✅ **Transcendental functions**: Exponential, logarithmic using differential field towers
-- ✅ **Complex roots**: Exact arctangent terms for complex polynomial roots
-- ✅ **Integration by parts**: Logarithmic function integration
-- ✅ **Trigonometric functions**: Via transformation to exponential form
-
-**Function Classes:**
-- Polynomial functions: `∫x^n dx`, `∫(ax^2 + bx + c) dx`
-- Rational functions: `∫P(x)/Q(x) dx` → logarithmic and arctangent terms
-- Exponential functions: `∫exp(f(x)) dx`, `∫x*exp(x) dx`
-- Logarithmic functions: `∫log(x) dx`, `∫1/(x*log(x)) dx`
-- Trigonometric functions: `∫sin(x) dx`, `∫cos(x) dx`, `∫tan(x) dx`
-
-The framework is designed to support additional integration methods as they are developed.
-
-
-
-## Installation
+# Usage
 ```julia
-julia> using Pkg; Pkg.add("SymbolicIntegration")
-```
+julia> using Pkg; Pkg.add("SymbolicIntegration") # installation
 
-## Usage
+julia> using SymbolicIntegration, Symbolics
 
-### Basic Integration
+julia> @variables x
+1-element Vector{Num}:
+ x
 
-```julia
-using SymbolicIntegration, Symbolics
-@variables x
-
-# Default method (RischMethod) - most cases
-integrate(x^2, x)                    # (1//3)*(x^3)
-integrate(1/x, x)                    # log(x)
-integrate(exp(x), x)                 # exp(x)
-integrate(1/(x^2 + 1), x)           # atan(x)
+julia> integrate(exp(2x) + 2x^2 + sin(x))
+(1//2)*exp(2x) + (2//3)*(x^3) - cos(x)
 ```
+The first argument is the expression to integrate, second argument is the variable of integration. If the variable is not specified, it will be guessed from the expression. The +c is omitted :)
 
 ### Method Selection
 
+You can explicitly choose a integration method like this:
 ```julia
-# Explicit method choice
-integrate(f, x, RischMethod())
-
-# Method with configuration
 risch = RischMethod(use_algebraic_closure=true, catch_errors=false)
 integrate(f, x, risch)
 ```
+or like this:
+```julia
+rbm = RuleBasedMethod(verbose=true, use_gamma=false)
+integrate(f, x, rbm)
+```
+
+If no method is specified, first RischMethod will be tried, then RuleBasedMethod:
+```julia
+julia> integrate(sqrt(x))
+┌ Warning: NotImplementedError: integrand contains unsupported expression sqrt(x)
+└ @ SymbolicIntegration ~/.julia/dev/SymbolicIntegration.jl_official/src/methods/risch/frontend.jl:826
 
-### Complex Examples
+ > RischMethod failed returning ∫(sqrt(x), x) 
+ > Trying with RuleBasedMethod...
 
+(2//3)*(x^(3//2))
+```
 ```julia
-# Rational function with complex roots
-f = (x^3 + x^2 + x + 2)/(x^4 + 3*x^2 + 2)
-integrate(f, x)  # (1//2)*log(2 + x^2) + atan(x)
+julia> integrate(abs(x))
+┌ Warning: NotImplementedError: integrand contains unsupported expression abs(x)
+└ @ SymbolicIntegration ~/.julia/dev/SymbolicIntegration.jl_official/src/methods/risch/frontend.jl:826
+
+ > RischMethod failed returning ∫(abs(x), x) 
+ > Trying with RuleBasedMethod...
 
-# Integration by parts
-integrate(log(x), x)  # -x + x*log(x)
+No rule found for ∫(abs(x), x)
+
+ > RuleBasedMethod failed returning ∫(abs(x), x) 
+ > Sorry we cannot integrate this expression :(
 
-# Nested transcendental functions
-integrate(1/(x*log(x)), x)  # log(log(x))
 ```
 
-## Method Framework
 
-SymbolicIntegration.jl uses a modern method dispatch system similar to other SciML packages:
+# Integration Methods
+Currently two algorithms are implemented: **Risch algorithm** and **Rule based integration**.
 
-### Current Methods
-- **RischMethod**: Complete symbolic integration (default)
+feature | Risch | Rule based
+--------|-------|-----------
+rational functions | ✅ | ✅
+non integers powers | ❌ | ✅
+exponential functions | ✅ | ✅
+logarithms  | ✅ | ✅
+trigonometric functions | ? | sometimes
+hyperbolic functions  | ✅ | sometimes
+Nonelementary integrals | ❌ | most of them
+Special functions | ❌ | ❌
+more than one symbolic<br> variable in the expression  | ❌ | ✅
 
-### Method Configuration
-```julia
-# Research configuration (strict, complete)
-RischMethod(use_algebraic_closure=true, catch_errors=false)
+More info about them in the [methods documentation](methods/overview.md)
 
-# Production configuration (robust, graceful)  
-RischMethod(use_algebraic_closure=true, catch_errors=true)
+### Risch Method
+Complete symbolic integration using the Risch algorithm from Manuel Bronstein's "Symbolic Integration I: Transcendental Functions".
 
-# Performance configuration (faster, simpler)
-RischMethod(use_algebraic_closure=false, catch_errors=true)
-```
+### RuleBasedMethod
 
-### Extensibility
-The framework is designed for easy extension with additional integration methods. The abstract type `AbstractIntegrationMethod` provides the foundation for implementing new algorithms.
+This method uses a large number of integration rules that specify how to integrate various mathematical expressions. There are now more than 3400 rules impelmented.
 
-## Documentation
+# Documentation
 
 Complete documentation with method selection guidance, algorithm details, and examples is available at:
 **[https://symbolicintegration.juliasymbolics.org](https://symbolicintegration.juliasymbolics.org)**
 
-## Citation
+
+# Citation
 
 If you use SymbolicIntegration.jl in your research, please cite:
 
 ```bibtex
 @software{SymbolicIntegration.jl,
-  author = {Harald Hofstätter and contributors},
+  author = {Harald Hofstätter and Mattia Micheletta Merlin and Chris Rackauckas},
   title = {SymbolicIntegration.jl: Symbolic Integration for Julia},
   url = {https://github.com/JuliaSymbolics/SymbolicIntegration.jl},
   year = {2023-2025}
diff --git a/docs/src/index.md b/docs/src/index.md
index c4624e93..75b4b241 100644
--- a/docs/src/index.md
+++ b/docs/src/index.md
@@ -4,27 +4,7 @@
 CurrentModule = SymbolicIntegration
 ```
 
-SymbolicIntegration.jl provides Julia implementations of symbolic integration algorithms.
-
-The front-end (i.e., the user interface) uses [Symbolics.jl](https://docs.sciml.ai/Symbolics/stable/).
-The actual integration algorithms are implemented in a generic way using [AbstractAlgebra.jl](https://nemocas.github.io/AbstractAlgebra.jl/dev/).
-Some algorithms require [Nemo.jl](https://nemocas.github.io/Nemo.jl/dev/) for calculations with algebraic numbers.
-
-SymbolicIntegration.jl is based on the algorithms from the book
-
-> Manuel Bronstein, [Symbolic Integration I: Transcentental Functions](https://link.springer.com/book/10.1007/b138171), 2nd ed, Springer 2005,
-
-for which a pretty complete set of reference implementations is provided.
-
-Currently, SymbolicIntegration.jl can integrate:
-- Rational functions
-- Integrands involving transcendental elementary functions like `exp`, `log`, `sin`, etc.
-
-As in the book, integrands involving algebraic functions like `sqrt` and non-integer powers are not treated.
-
-!!! note
-    SymbolicIntegration.jl is still in an early stage of development and should not be expected to run stably in all situations.
-    It comes with absolutely no warranty whatsoever.
+SymbolicIntegration.jl lets you solve indefinite integrals (finds primitives) in Julia [Symbolics.jl](https://docs.sciml.ai/Symbolics/stable/). It does so using two symbolic integration algorithms: Risch algorithm and Rule based algorithm.
 
 ## Installation
 
@@ -37,12 +17,13 @@ julia> using Pkg; Pkg.add("SymbolicIntegration")
 ```julia
 using SymbolicIntegration, Symbolics
 
-@variables x
+@variables x a
 
-# Basic polynomial integration (uses default RischMethod)
+# Basic polynomial integration
 integrate(x^2, x)  # Returns (1//3)*(x^3)
 
-# Rational function integration with complex roots
+# Rational function integration
+integrate(1/(x^2 + 1), x)  # Returns atan(x)
 f = (x^3 + x^2 + x + 2)/(x^4 + 3*x^2 + 2)
 integrate(f, x)  # Returns (1//2)*log(2 + x^2) + atan(x)
 
@@ -50,9 +31,6 @@ integrate(f, x)  # Returns (1//2)*log(2 + x^2) + atan(x)
 integrate(exp(x), x)    # Returns exp(x)
 integrate(log(x), x)    # Returns -x + x*log(x)
 
-# Complex root integration (arctangent cases)
-integrate(1/(x^2 + 1), x)  # Returns atan(x)
-
 # Method selection and configuration
 integrate(f, x, RischMethod())  # Explicit method choice
 integrate(f, x, RischMethod(use_algebraic_closure=true))  # With options
@@ -61,51 +39,51 @@ integrate(f, x, RischMethod(use_algebraic_closure=true))  # With options
 
 ## Integration Methods
 
-SymbolicIntegration.jl provides multiple integration algorithms through a flexible method dispatch system:
+SymbolicIntegration.jl provides two integration algorithms: Rule based and Risch method. Here is a quick table to see what they can integrate:
 
-### RischMethod (Default)
-The complete Risch algorithm for elementary function integration:
-- **Exact results**: Guaranteed correct symbolic integration
-- **Complex roots**: Produces exact arctangent terms  
-- **Complete coverage**: Rational and transcendental functions
-- **Configurable**: Options for performance vs completeness
+feature | Risch | Rule based
+--------|-------|-----------
+rational functions | ✅ | ✅
+non integers powers | ❌ | ✅
+exponential functions | ✅ | ✅
+logarithms  | ✅ | ✅
+trigonometric functions | ? | sometimes
+hyperbolic functions  | ✅ | sometimes
+Nonelementary integrals | ❌ | most of them
+Special functions | ❌ | ❌
+more than one symbolic<br> variable in the expression  | ❌ | ✅
 
-```julia
-# Default method
-integrate(f, x)  
+[→ See complete methods documentation](methods/overview.md)
 
-# Explicit method with options
-integrate(f, x, RischMethod(use_algebraic_closure=true))
-```
+### RischMethod
+This method is based on the algorithms from the book:
 
-### Future Methods
-The framework supports additional integration algorithms:
-- **HeuristicMethod**: Fast pattern-matching integration
-- **NumericalMethod**: Numerical integration fallbacks
-- **SymPyMethod**: SymPy backend compatibility
+> Manuel Bronstein, [Symbolic Integration I: Transcentental Functions](https://link.springer.com/book/10.1007/b138171), 2nd ed, Springer 2005,
 
-[→ See complete methods documentation](methods/overview.md)
+for which a pretty complete set of reference implementations is provided. As in the book, integrands involving algebraic functions like `sqrt` and non-integer powers are not treated.
 
-## Algorithm Coverage
+```julia
+integrate(x^2 + 1, x, RischMethod(use_algebraic_closure=false, catch_errors=true))
+```
+- `use_algebraic_closure` does what?
+- `catch_errors` does what?
 
-The **RischMethod** implements the complete suite of algorithms from Bronstein's book:
+[→ See detailed Risch documentation](risch.md)
 
-- **Rational Function Integration** (Chapter 2)
-  - Hermite reduction
-  - Rothstein-Trager method for logarithmic parts
-  - Complexification and real form conversion
+### RuleBased
+This method uses a large number of integration rules that specify how to integrate various mathematical expressions.
 
-- **Transcendental Function Integration** (Chapters 5-6)  
-  - Risch algorithm for elementary functions
-  - Differential field towers
-  - Primitive and hyperexponential cases
+```julia
+integrate(x^2 + 1, x, RuleBasedMethod(verbose=true, use_gamma=false))
+```
+- `verbose` specifies whether to print or not the integration rules applied (default true)
+- `use_gamma` specifies whether to use rules with the gamma function in the result, or not (default false)
 
-- **Algebraic Function Integration** (Future work)
-  - Currently not implemented
+[→ See detailed Rule based documentation](methods/rulebased.md)
 
 ## Contributing
 
-We welcome contributions! Please see the [Symbolics.jl contributing guidelines](https://docs.sciml.ai/Symbolics/stable/contributing/).
+We welcome contributions! Please see the [contributing](manual/contributing.md) page and the [Symbolics.jl contributing guidelines](https://docs.sciml.ai/Symbolics/stable/contributing/).
 
 ## Citation
 
@@ -113,7 +91,7 @@ If you use SymbolicIntegration.jl in your research, please cite:
 
 ```bibtex
 @software{SymbolicIntegration.jl,
-  author = {Harald Hofstätter and contributors},
+  author = {Harald Hofstätter and Mattia Micheletta Merlin and Chris Rackauckas},,
   title = {SymbolicIntegration.jl: Symbolic Integration for Julia},
   url = {https://github.com/JuliaSymbolics/SymbolicIntegration.jl},
   year = {2023-2025}
@@ -131,4 +109,5 @@ Pages = [
     "api.md"
 ]
 Depth = 2
-```
\ No newline at end of file
+```
+
diff --git a/docs/src/manual/basic_usage.md b/docs/src/manual/basic_usage.md
deleted file mode 100644
index 749cb604..00000000
--- a/docs/src/manual/basic_usage.md
+++ /dev/null
@@ -1,125 +0,0 @@
-# Basic Usage
-
-## Creating Symbolic Variables
-
-Before integrating, you need to create symbolic variables using Symbolics.jl:
-
-```julia
-using SymbolicIntegration, Symbolics
-
-@variables x y z
-```
-
-## The `integrate` Function
-
-The main function for symbolic integration uses method dispatch to choose algorithms:
-
-```julia
-# Default method (RischMethod)
-integrate(expr, var)
-
-# Explicit method selection
-integrate(expr, var, method)
-```
-
-```julia
-# Basic polynomial integration
-integrate(x, x)      # (1//2)*(x^2)
-integrate(x^2, x)    # (1//3)*(x^3)  
-integrate(x^3, x)    # (1//4)*(x^4)
-
-# Rational functions
-integrate(1/x, x)    # log(x)
-integrate(1/(1+x), x) # log(1 + x)
-```
-
-## Supported Function Types
-
-### Polynomials
-```julia
-integrate(3*x^2 + 2*x + 1, x)  # x^3 + x^2 + x
-```
-
-### Rational Functions
-```julia
-integrate((2*x + 1)/(x^2 + x + 1), x)  # log(1 + x + x^2)
-integrate(1/(1 + x^2), x)              # atan(x)
-```
-
-### Exponential Functions
-```julia
-integrate(exp(x), x)      # exp(x)
-integrate(x*exp(x), x)    # -exp(x) + x*exp(x)
-```
-
-### Logarithmic Functions  
-```julia
-integrate(log(x), x)      # -x + x*log(x)
-integrate(1/(x*log(x)), x) # log(log(x))
-```
-
-### Trigonometric Functions
-```julia
-integrate(sin(x), x)   # -cos(x)
-integrate(cos(x), x)   # sin(x)  
-integrate(tan(x), x)   # -log(cos(x))
-```
-
-## Method Selection
-
-SymbolicIntegration.jl supports multiple integration methods through method dispatch:
-
-### Default Method (RischMethod)
-```julia
-# These are equivalent
-integrate(f, x)
-integrate(f, x, RischMethod())
-```
-
-### Method Configuration
-```julia
-# Configure method behavior
-risch_exact = RischMethod(use_algebraic_closure=true, catch_errors=false)
-integrate(1/(x^2 + 1), x, risch_exact)  # atan(x) with strict error handling
-
-risch_robust = RischMethod(use_algebraic_closure=true, catch_errors=true)  
-integrate(difficult_function, x, risch_robust)  # Graceful error handling
-```
-
-### Method Comparison
-```julia
-# For exact results with full complex root handling
-integrate(f, x, RischMethod(use_algebraic_closure=true))
-
-# For faster computation (may miss some arctangent terms)
-integrate(f, x, RischMethod(use_algebraic_closure=false))
-```
-
-See the [Integration Methods](../methods/overview.md) section for complete details on available methods and their capabilities.
-
-## Error Handling
-
-SymbolicIntegration.jl will throw appropriate errors for unsupported cases:
-
-```julia
-using SymbolicIntegration, Symbolics
-@variables x
-
-# This will throw NotImplementedError for algebraic functions
-integrate(sqrt(x), x)  # Error: algebraic functions not supported
-
-# This will throw AlgorithmFailedError if no elementary form exists  
-integrate(exp(x^2), x)  # Error: no elementary antiderivative
-```
-
-## Options
-
-The `integrate` function accepts several optional parameters:
-
-```julia
-integrate(expr, var; 
-    useQQBar=false,                    # Use algebraic closure for roots
-    catchNotImplementedError=true,     # Catch implementation errors
-    catchAlgorithmFailedError=true     # Catch algorithm failures
-)
-```
\ No newline at end of file
diff --git a/docs/src/manual/contributing.md b/docs/src/manual/contributing.md
new file mode 100644
index 00000000..de9d2c28
--- /dev/null
+++ b/docs/src/manual/contributing.md
@@ -0,0 +1,173 @@
+- [Contributing to improving RuleBasedMethod](#contributing-to-improving-rulebasedmethod)
+  - [Common problems when translating rules](#common-problems-when-translating-rules)
+    - [function not translated](#function-not-translated)
+    - [Sum function translation](#sum-function-translation)
+    - [Module syntax translation](#module-syntax-translation)
+    - [\* not present or present as \[Star\]](#-not-present-or-present-as-star)
+  - [Description of the script `src/translator_of_rules.jl`](#description-of-the-script-srctranslator_of_rulesjl)
+    - [How to use it](#how-to-use-it)
+    - [How it works internally (useful to know if you have to debug it)](#how-it-works-internally-useful-to-know-if-you-have-to-debug-it)
+      - [With syntax](#with-syntax)
+      - [replace and smart\_replace applications](#replace-and-smart_replace-applications)
+      - [Pretty indentation](#pretty-indentation)
+      - [end](#end)
+  - [Adding Testsuites](#adding-testsuites)
+
+# Contributing to improving RuleBasedMethod
+
+In this repo there is also some software that serves the sole purpose of helping with the translation of rules from Mathematica syntax, and not for the actual package working. The important ones are:
+- translator_of_rules.jl is a script that with regex and other string manipulations translates from Mathematica syntax to julia syntax
+- translator_of_testset.jl is a script that translates the testsets into julia syntax (much simpler than translator_of_rules.jl)
+- `reload_rules` function in rules_loader.jl. When developing the package using Revise is not enough because rules are defined with a macro. So this function reloads rules from a specific .jl file or from all files if called without arguments.
+
+my typical workflow is:
+- translate a rule file with translator_of_rules.jl. In the resulting file there could be some problems:
+- - maybe a Mathematica function that i never encountered before and therefore not included in the translation script (and in rules_utility_functions.jl)
+- - maybe a Mathematica syntax that I never encountered before and not included in the translation script
+- - others, see [Common problems when translating rules](#common-problems-when-translating-rules)
+- If the problem is quite common in other rules: implement in the translation script and translate the rule again, otherwise fix it manually in the .jl file
+
+The rules not yet translated are mainly those from sections 4 to 8
+
+## Common problems when translating rules
+### function not translated
+If you encounter a normal function that is not translated by the script, it will stay untranslated, with square brackets, like this:
+```
+sqrt(Sign[(~b)]*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt(Sign[(~b)]*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+```
+a trick to find them fast is to search the regex pattern `(?<=^[^#]).*\[` in all the file. If you find them and they are already presen in julia or you implement them in rules_utility_functions.jl, you can simply add the to the smart_replace list in the translator and translate the script again.
+
+### Sum function translation
+the `Sum[...]` function gets translated with this regex:
+```
+(r"Sum\[(.*?),\s*\{(.*?),(.*?),(.*?)\}\]", s"sum([\1 for \2 in (\3):(\4)])"), 
+```
+its quite common that the \1 is a <=2 letter variable, and so will get translated from the translator into a slot variable, appending ~.
+
+For example
+```
+Sum[Int[1/(1 - Sin[e + f*x]^2/((-1)^(4*k/n)*Rt[-a/b, n/2])), x], {k, 1, n/2}]
+```
+gets translated to 
+```
+sum([∫(1⨸(1 - sin((~e) + (~f)*(~x))^2⨸((-1)^(4*(~k)⨸(~n))*rt(-(~a)⨸(~b), (~n)⨸2))), (~x)) for (~k) in ( 1):( (~n)⨸2)]
+```
+while it should be
+```
+sum([∫(1⨸(1 - sin((~e) + (~f)*(~x))^2⨸((-1)^(4*k⨸(~n))*rt(-(~a)⨸(~b), (~n)⨸2))), (~x)) for k in ( 1):( (~n)⨸2)]),
+```
+so what I usually do is to change the "index of the summation" variable to a >2 letters name in the Mathematica file, like this
+```
+Sum[Int[1/(1 - Sin[e + f*x]^2/((-1)^(4*iii/n)*Rt[-a/b, n/2])), x], {iii, 1, n/2}]
+```
+so that will not be translated into slot variable.
+```
+sum([∫(1⨸(1 - sin((~e) + (~f)*(~x))^2⨸((-1)^(4*iii⨸(~n))*rt(-(~a)⨸(~b), (~n)⨸2))), (~x)) for iii in ( 1):( (~n)⨸2)]),
+```
+### Module syntax translation
+The `Module` Syntax is similar to the `With` syntax, but a bit different and for now is not handled by the script
+
+### * not present or present as \[Star]
+in Mathematica if you write `a b` or `a \[Star] b` is interpreted as `a*b`. So sometimes in the rules is written like that. When it happens i usually add the * in the mathematica file,  and then i translate it
+
+## Description of the script `src/translator_of_rules.jl`
+This script is used to translate integration rules from Mathematica syntax
+to julia Syntax.
+
+### How to use it
+``` bash
+julia src/translator_of_rules.jl "src/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.8 trig^m (a+b cos^p+c sin^q)^n.m"
+```
+and will produce the julia file at the path `src/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.8 trig^m (a+b cos^p+c sin^q)^n.jl`
+
+### How it works internally (useful to know if you have to debug it)
+It processes line per line, so the integration rule must be all on only one 
+line. Let's say we translate this (fictional) rule:
+```
+Int[x_^m_./(a_ + b_. + c_.*x_^4), x_Symbol] := With[{q = Rt[a/c, 2], r = Rt[2*q - b/c, 2]}, 1/(2*c*r)*Int[x^(m - 3), x] - 1/(2*c*r) /; OddQ[r]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && (NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] || (GeQ[m, 3] && LtQ[m, 4])) && NegQ[b^2 - 4*a*c]
+```
+#### With syntax
+for each line it first check if there is the With syntax, a syntax in Mathematica
+that enables to define variables in a local scope. If yes it can do two things:
+In the new method translates the block using the let syntax, like this:
+```julia
+@rule ∫((~x)^(~!m)/((~a) + (~!b) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    (
+        !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ||
+        (
+            ge((~m), 3) &&
+            lt((~m), 4)
+        )
+    ) &&
+    neg((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) ?
+let
+    q = rt((~a)⨸(~c), 2)
+    r = rt(2*q - (~b)⨸(~c), 2)
+    
+    ext_isodd(r) ?
+    1⨸(2*(~c)*r)*∫((~x)^((~m) - 3), (~x)) - 1⨸(2*(~c)*r) : nothing
+end : nothing
+```
+The old method was to finds the defined variables and substitute them with their
+definition. Also there could be conditions inside the With block (OddQ in the example),
+that were bought outside.
+```
+1/(2*c*Rt[2*q - b/c, 2])*Int[x^(m - 3), x] - 1/(2*c*Rt[2*q - b/c, 2])/;  FreeQ[{a, b, c}, x] && (NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] || (GeQ[m, 3] && LtQ[m, 4])) && NegQ[b^2 - 4*a*c] &&  OddQ[Rt[2*q - b/c, 2]]
+```
+#### replace and smart_replace applications
+Then the line is split into integral, result, and conditions:
+```
+Int[x_^m_./(a_ + b_. + c_.*x_^4), x_Symbol]
+```
+```
+1/(2*c*Rt[2*q - b/c, 2])*Int[x^(m - 3), x] - 1/(2*c*Rt[2*q - b/c, 2])
+```
+```
+FreeQ[{a, b, c}, x] && (NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] || (GeQ[m, 3] && LtQ[m, 4])) && NegQ[b^2 - 4*a*c] &&  OddQ[Rt[2*q - b/c, 2]]
+```
+
+Each one of them is translated using the appropriate function, but the three
+all work the same. They first apply a number of times the smart_replace function,
+that replaces functions names without messing the nested brackets (like normal regex do)
+```
+smart_replace("ArcTan[Rt[b, 2]*x/Rt[a, 2]] + Log[x]", "ArcTan", "atan")
+# output
+"atan(Rt[b, 2]*x/Rt[a, 2]) + Log[x]"
+```
+Then also the normal replace function is applied a number of times, for more
+complex patterns. For example, every two letter word, optionally followed by 
+numbers, that is not a function call (so not followed by open parenthesis), and
+that is not the "in" word, is prefixed with a tilde `~`. This is because in
+Mathematica you can reference the slot variables without any prefix, and in
+julia you need ~.
+
+#### Pretty indentation
+Then they are all put together following the julia rules syntax
+@rule integrand => conditions ? result : nothing
+```
+@rule ∫((~x)^(~!m)/((~a) + (~!b) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) => !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) && (!eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) || (ge((~m), 3) && lt((~m), 4))) && neg((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) && ext_isodd(rt(2*(~q) - (~b)/(~c), 2)) ? 1⨸(2*(~c)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2))*∫((~x)^((~m) - 3), (~x)) - 1⨸(2*(~c)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2)) : nothing
+```
+Usually the conditions are a lot of && and ||, so a pretty indentation is 
+applied automatically that rewrites the rule like this:
+```
+@rule ∫((~x)^(~!m)/((~a) + (~!b) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    (
+        !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ||
+        (
+            ge((~m), 3) &&
+            lt((~m), 4)
+        )
+    ) &&
+    neg((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) &&
+    ext_isodd(rt(2*(~q) - (~b)/(~c), 2)) ?
+1⨸(2*(~c)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2))*∫((~x)^((~m) - 3), (~x)) - 1⨸(2*(~c)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2)) : nothing
+```
+
+#### end
+finally the rule is placed in a tuple (index, rule), and all the
+tuples are put into a array, ready to be included by load_rules
+
+## Adding Testsuites
+There is a test suite of 27585 solved integrals taken from the RUBI package, in the folders `test/test_files/0 Independent test suites` (1796 tests) and `test/test_files/1 Algebraic functions` (25798 tests). But more test can be translated from the [RUBI testsuite](https://rulebasedintegration.org/testProblems.html). In [this](https://github.com/Bumblebee00/SymbolicIntegration.jl?tab=readme-ov-file#testing) repo there are the tests still in Mathematica syntax and a script to translate them to julia.
\ No newline at end of file
diff --git a/docs/src/manual/getting_started.md b/docs/src/manual/getting_started.md
deleted file mode 100644
index 10835bf1..00000000
--- a/docs/src/manual/getting_started.md
+++ /dev/null
@@ -1,43 +0,0 @@
-# Getting Started
-
-## Installation
-
-SymbolicIntegration.jl can be installed using the Julia package manager:
-
-```julia
-julia> using Pkg
-julia> Pkg.add("SymbolicIntegration")
-```
-
-Or in package mode (press `]` in the Julia REPL):
-
-```julia
-pkg> add SymbolicIntegration
-```
-
-## Basic Usage
-
-After installation, load the package along with Symbolics.jl for symbolic variable creation:
-
-```julia
-using SymbolicIntegration, Symbolics
-
-# Create symbolic variables
-@variables x
-
-# Integrate a simple polynomial
-integrate(x^2, x)  # Returns (1//3)*(x^3)
-```
-
-## Dependencies
-
-SymbolicIntegration.jl builds on several key packages in the Julia ecosystem:
-
-- **[Symbolics.jl](https://docs.sciml.ai/Symbolics/stable/)**: Provides the symbolic expression system and user interface
-- **[AbstractAlgebra.jl](https://nemocas.github.io/AbstractAlgebra.jl/dev/)**: Generic computer algebra algorithms  
-- **[Nemo.jl](https://nemocas.github.io/Nemo.jl/dev/)**: Fast calculations with algebraic numbers
-
-## System Requirements
-
-- Julia 1.10 or later
-- Compatible with Linux, macOS, and Windows
\ No newline at end of file
diff --git a/docs/src/methods/overview.md b/docs/src/methods/overview.md
index 76ccbfc1..cc8b924d 100644
--- a/docs/src/methods/overview.md
+++ b/docs/src/methods/overview.md
@@ -1,31 +1,16 @@
 # Integration Methods Overview
 
-SymbolicIntegration.jl uses a flexible method dispatch system that allows you to choose different integration algorithms based on your needs.
+SymbolicIntegration.jl uses a flexible method dispatch system that allows you to choose different integration algorithms. Two methods are implemented, [Rule based method](rulebased.md) and [Risch method](risch.md).
 
-## Available Methods
 
-### RischMethod (Default)
+## RischMethod
 
 The **Risch method** is the complete algorithm for symbolic integration of elementary functions, based on Manuel Bronstein's algorithms.
 
-```julia
-# Default usage
-integrate(f, x)  # Automatically uses RischMethod
-
-# Explicit usage  
-integrate(f, x, RischMethod())
-
-# With configuration
-integrate(f, x, RischMethod(use_algebraic_closure=true, catch_errors=false))
-```
+[→ See detailed Risch documentation](risch.md)
 
-**Capabilities:**
-- ✅ Rational functions with exact arctangent terms
-- ✅ Exponential and logarithmic functions  
-- ✅ Trigonometric functions (via transformation)
-- ✅ Complex root handling
-- ✅ Integration by parts
+## Rule based method
 
-**Best for:** Complete symbolic integration with guaranteed correctness
+This method uses a large number of integration rules that specify how to integrate a vast class of mathematical expressions.
 
-[→ See detailed Risch documentation](risch.md)
+[→ See detailed Rule based documentation](rulebased.md)
\ No newline at end of file
diff --git a/docs/src/methods/risch.md b/docs/src/methods/risch.md
index 62b4bfea..e51fe01e 100644
--- a/docs/src/methods/risch.md
+++ b/docs/src/methods/risch.md
@@ -1,6 +1,35 @@
+- [Risch Method](#risch-method)
+  - [Overview](#overview)
+  - [Usage](#usage)
+  - [Configuration Options](#configuration-options)
+    - [Constructor](#constructor)
+    - [Options](#options)
+      - [`use_algebraic_closure::Bool` (default: `true`)](#use_algebraic_closurebool-default-true)
+      - [`catch_errors::Bool` (default: `true`)](#catch_errorsbool-default-true)
+  - [Algorithm Components](#algorithm-components)
+    - [Rational Function Integration (Chapter 2)](#rational-function-integration-chapter-2)
+    - [Transcendental Function Integration (Chapters 5-6)](#transcendental-function-integration-chapters-5-6)
+    - [Supporting Algorithms](#supporting-algorithms)
+  - [Function Classes Supported](#function-classes-supported)
+    - [Polynomial Functions](#polynomial-functions)
+    - [Rational Functions](#rational-functions)
+    - [Exponential Functions](#exponential-functions)
+    - [Logarithmic Functions](#logarithmic-functions)
+    - [Trigonometric Functions](#trigonometric-functions)
+  - [Limitations](#limitations)
+  - [Performance Considerations](#performance-considerations)
+    - [When to Use Different Options](#when-to-use-different-options)
+    - [Complexity](#complexity)
+  - [Examples](#examples)
+    - [Basic Usage](#basic-usage)
+    - [Advanced Cases](#advanced-cases)
+    - [Method Configuration](#method-configuration)
+  - [Algorithm References](#algorithm-references)
+
 # Risch Method
 
 The Risch method is a complete algorithm for symbolic integration of elementary functions. It implements the algorithms from Manuel Bronstein's "Symbolic Integration I: Transcendental Functions".
+Is implemented using [AbstractAlgebra.jl](https://nemocas.github.io/AbstractAlgebra.jl/dev/) and [Nemo.jl](https://nemocas.github.io/Nemo.jl/dev/).
 
 ## Overview
 
@@ -18,9 +47,6 @@ The Risch method is currently the primary integration method in SymbolicIntegrat
 using SymbolicIntegration, Symbolics
 @variables x
 
-# Default method (uses RischMethod automatically)
-integrate(x^2, x)  # (1//3)*(x^3)
-
 # Explicit Risch method
 integrate(1/(x^2 + 1), x, RischMethod())  # atan(x)
 
diff --git a/docs/src/manual/rational_functions.md b/docs/src/methods/risch_rational_functions.md
similarity index 100%
rename from docs/src/manual/rational_functions.md
rename to docs/src/methods/risch_rational_functions.md
diff --git a/docs/src/manual/transcendental_functions.md b/docs/src/methods/risch_transcendental_functions.md
similarity index 100%
rename from docs/src/manual/transcendental_functions.md
rename to docs/src/methods/risch_transcendental_functions.md
diff --git a/docs/src/methods/rulebased.md b/docs/src/methods/rulebased.md
new file mode 100644
index 00000000..9b6ff5bd
--- /dev/null
+++ b/docs/src/methods/rulebased.md
@@ -0,0 +1,205 @@
+
+[![Rules](https://img.shields.io/badge/dynamic/json?url=https://raw.githubusercontent.com/Bumblebee00/SymbolicIntegration.jl/main/.github/badges/rules-count.json&query=$.message&label=Total%20rules&color=blue)](https://github.com/Bumblebee00/SymbolicIntegration.jl)
+
+
+- [Usage](#usage)
+  - [Configuration options](#configuration-options)
+- [How it works internally](#how-it-works-internally)
+- [Problems](#problems)
+  - [Serious](#serious)
+  - [Mild](#mild)
+  - [Minor](#minor)
+
+This method uses a large number of integration rules that specify how to integrate various mathematical expressions. The rules were originally taken from the Mathematica package [RUBI](https://rulebasedintegration.org/) but later translated into julia.
+
+# Usage
+```
+julia> integrate(sqrt(4 - 12*x + 9*x^2)+sqrt(1+x), x, RuleBasedMethod())
+┌-------Applied rule 0_1_0 on ∫(sqrt(1 + x) + sqrt(4 - 12x + 9(x^2)), x)
+| ∫( a + b + ..., x) => ∫(a,x) + ∫(b,x) + ...
+└-------with result: ∫(sqrt(4 - 12x + 9(x^2)), x) + ∫(sqrt(1 + x), x)
+┌-------Applied rule 1_1_1_1_4 on ∫(sqrt(1 + x), x)
+| ∫((a + b * x) ^ m, x) => if 
+|       !(contains_var(a, b, m, x)) &&
+|       m !== -1
+| (a + b * x) ^ (m + 1) / (b * (m + 1))
+└-------with result: (2//3)*((1 + x)^(3//2))
+┌-------Applied rule 1_2_1_1_3 on ∫(sqrt(4 - 12x + 9(x^2)), x)
+| ∫((a + b * x + c * x ^ 2) ^ p, x) => if 
+|       !(contains_var(a, b, c, p, x)) &&
+|       (
+|             b ^ 2 - 4 * a * c == 0 &&
+|             p !== -1 / 2
+|       )
+| ((b + 2 * c * x) * (a + b * x + c * x ^ 2) ^ p) / (2 * c * (2 * p + 1))
+└-------with result: (1//36)*(-12 + 18x)*((4 - 12x + 9(x^2))^(1//2))
+(2//3)*((1 + x)^(3//2)) + (1//36)*(-12 + 18x)*sqrt(4 - 12x + 9(x^2))
+```
+## Configuration options
+- `verbose` specifies whether to print or not the integration rules applied (default true)
+- `use_gamma` specifies whether to use rules with the gamma function in the result, or not (default false)
+
+# How it works internally
+The rules are defined using the SymbolicUtils [rule macro](https://symbolicutils.juliasymbolics.org/rewrite/#rule-based_rewriting) and are of this form:
+```julia
+# rule 1_1_1_1_2
+@rule ∫((~x)^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~x)) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+(~x)^((~m) + 1)⨸((~m) + 1) : nothing
+```
+The rule left hand side pattern is the symbolic function `∫(var1, var2)` where first variable is the integrand and second is the integration variable. After the => there are some conditions to determine if the rules are applicable, and after the ? there is the transformation. Note that this may still contain a integral, so a walk in pre order of the tree representing the symbolic expression is done, applying rules to each node containing the integral.
+
+The infix operator `⨸` is used to represent a custom division function, if called on integers returns a rational and if called on floats returns a float. This is done because // operator does not support floats. This specific character was chosen because it resembles the division symbol and because it has the same precedence as /.
+
+# Problems
+Here are the problems holding back the most number of expressions to be integrated
+## Serious
+Serious problems are problems that strongly impact the correct functioning of the rule based symbolic integrator and are difficult to fix. Here are the ones i encountered so far:
+
+- **general rules for trigonometric functions**: when integrating some expressions with trigonometric functions in Mathematica I see that strange rules are applied. Instead of the rule number "General" is showed, and they are strange because involve a level of pattern matching that is out of this world. For example integrating `sin(x^2)` the applied rule is `F(tan(a + bx)` where F gets automatically matched to `exp(x^2/(1 + x^2)`. I mean is correct but how on earth could pattern matching know that...
+
+### neim problem
+neim stands for negative exponents in multiplications
+
+If I define a rule with this pattern `@rule ((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)~))` it can correctly match something like `(1+2x)^2 * (3+4x)^3`. But when one of the two exponents is negative, let's say -3, this expression is represented in julia as `(1+2x)^2 / (3+4x)^3)`. Or when both are negative, the expression is represented as `1 / ( (1+2x)^2 * (3+4x)^3 )`. The matcher inside the rule instead, searches for a * as first operation, and thus doesn't recognize the expression. For this reason `(1 + 3x)^2 / (1 + 2x))`, `(x^6) / (1 + 2(x^6))` and many other expressions dont get integrated. For more info you can read [the issue](https://github.com/JuliaSymbolics/SymbolicUtils.jl/issues/777) or see this [WIP pr](https://github.com/JuliaSymbolics/SymbolicUtils.jl/pull/778) in which i try to implement a solution.
+
+A workaround I implemented is this:
+```
+julia> ins(expr) = SymbolicUtils.Term{Number}(^,[expr,-1])
+ins (generic function with 1 method)
+
+julia> r = @rule (~n)/*(~d) => ~n*ins(~d)
+~n / (*)(~(~d)) => ~n * prod([ins(el) for el = ~(~d)])
+
+julia> r(a*b/(c*x))
+a*b*(c^-1)*(x^-1)
+```
+creating a power with negative exponent, with `Term` and not with `^`, doesnt autosimplify it to a division with positive exponent. So the rule can be applied. But is not good enough. here is a list of expressions not integrating due to this problem
+- log(x) / (x*sqrt(1 + log(x))) rule 3_1_5_36 
+- 1 / (x*sqrt(1 - (x^2))
+- log(1 - t) / (1 - t)
+- (1 + x^2) / x
+
+
+## Mild
+Mild problems are problems that impact the correct functioning of the rule based symbolic integrator and are medium difficulty to fix. Here are the ones I encountered so far:
+
+- **ExpandIntegrand function**: In the Mathematica package is defined the `ExpandIntegrand` function that expands a lot of mathematical expression (is defined in more than 360 rules of code) in strange ways. Some cases are been adderssed for now in the function `ext_expand`, but not all
+
+- **Maybe erorred tests**: when testing, one checks that the integral is correct with `isequal(simplify(computed_result  - real_result;expand=true), 0)` but this doesnt always work. For example:
+```
+[fail]∫( (x^2)*sqrt(1 + x) )dx = 
+  (2//3)*((1 + x)^(3//2)) - (4//5)*((1 + x)^(5//2)) + (2//7)*((1 + x)^(7//2)) but got:
+  -(4//7)*(-(2//3)*((1 + x)^(3//2)) + (2//5)*((1 + x)^(5//2))) + (2//7)*((1 + x)^(3//2))*(x^2)
+[fail]∫( (2^sqrt(x)) / sqrt(x) )dx = 1.4426950408889634(2^(1 + sqrt(x))) but got:
+      2.8853900817779268(2^(x^(1//2))) (0.2489s)
+```
+even tough the two are mathematically equivalent
+
+- **strange behaviour with - sign**:
+```
+julia> r = @rule (~a) + (~!b)*x => ~
+~a + ~(!b) * x => (~)
+
+julia> r(1+c*x)
+Base.ImmutableDict{Symbol, Any} with 4 entries:
+  :MATCH => 1 + c*x
+  :b     => c
+  :a     => 1
+  :____  => nothing
+
+julia> r(1-c*x)
+
+```
+because -c*x is represented as a three factor moltiplication between -1, c and x
+
+- integrals with complex numbers dont work very well
+
+### mild problem: oooomm
+oooomm stands for only one out of multiple matches.
+
+one rule can have more than one match. for example `@rule ((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)~))` can match `(1+2x)^2 * (3+4x)^3` with both m=2, n=3, ... or m=3, n=2, ... . Only one match of the possible ones is returned. but a usual rule form rubi is @rule pattern => if (conditions...) result else nothing. So first the pattern is found, but then if it doesnt match the conditions the rule returns nothing. But maybe one of the other possible matches matched the condition and the rule would have been applied. For more detail read [the issue](https://github.com/JuliaSymbolics/SymbolicUtils.jl/issues/776) and see this [WIP pr](https://github.com/JuliaSymbolics/SymbolicUtils.jl/pull/772) in which i try to implement a solution.
+
+#### Example in intgeration
+For example the problem presents itself in the following case. The rule is
+```julia
+("1_1_1_1_5",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~u))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !eq((~u), (~x)) ?
+1⨸Symbolics.coeff((~u), (~x)^ 1)*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~m),  (~x), (~x), (~u), "1_1_1_1_5") : nothing)
+```
+and this works:
+```
+julia> integrate((1+a*(1+x))^2,x)
+((1 + a*(1 + x))^3) / (3a)
+```
+but doing this (now integration variable is a) doesnt:
+```
+julia> integrate((1+x*(1+a))^2,a)
+No rule found for ∫((1 + (1 + a)*x)^2, a)
+```
+This is because in this new expression the matches are
+- ~u matches x
+- ~!b matches 1+a
+so the rule returns but then the condition `linear(x, a)` fails
+
+#### another example
+`1/(sqrt(1+200x)*sqrt(2-x))` should integrate with the rule
+```
+("1_1_1_2_23",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    gt((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    gt((~b), 0) ?
+2⨸sqrt((~b))* int_and_subst(1⨸sqrt((~b)*(~c) - (~a)*(~d) + (~d)*(~x)^2), (~x), (~x), sqrt((~a) + (~b)*(~x)), "1_1_1_2_23") : nothing)
+```
+but the second condition is true only for `200*2 - 1*(-1) = 401 > 0` and not for `(-1)*1 - 2*200 = -401 not > 0`
+
+## Minor
+- in runtests, exp(x) is not recognized as ℯ^x. This is because integration produces a ℯ^x that doesnt get automatically translated into exp(x) like happens in the REPL
+- roots of numbers are not treated simbolically but immediately calculated. So instead of the beautiful `integrate(1/(sqrt(1+2x)*sqrt(3+4x))) = asinh(sqrt(2)*sqrt(1+2x))/sqrt(2)`, i have ` = 0.7071067811865475asinh(1.414213562373095sqrt(1 + 2x))`. Or instead of `integrate(2^x) = 2^x / log(2)`, i have `integrate(2^x) = 1.4426950408889634*2^x`. Or instead of `integrate((2/sqrt(π))*exp(-x^2)) = SpecialFunctions.erf(x)` I have  `integrate((2/sqrt(π))*exp(-x^2)) = 0.9999999999999999SpecialFunctions.erf(x)`
+- the variable USE_GAMMA is used to choose if gamma function is used in the results or not. But right now is not configurable by the user, and if changed doesnt change the behaviour of th eintegration but a reload_rules() is needed, i dont know why.
+- why here the coefficient is Inf ?
+```
+julia> integrate((3 + 4*x)^2.2/(1 + 2*x))
+No rule found for ∫(((3 + 4x)^2.2) / (1 + 2x), x)
+integration of ∫(((3 + 4x)^2.2) / (1 + 2x), x) failed, trying with this mathematically equivalent integrand:
+∫(((1 + 2x)^-1)*((3 + 4x)^2.2), x)
+┌-------Applied rule 1_1_1_2_37 on ∫(((1 + 2x)^-1)*((3 + 4x)^2.2), x)
+| ∫((a + b * x) ^ (m::!ext_isinteger) * (c + d * x) ^ (n::ext_isinteger), x) => if 
+|       !(contains_var(a, b, c, d, m, x)) &&
+|       !(eq(b * c - a * d, 0))
+| (((b * c - a * d) ^ n * (a + b * x) ^ (m + 1)) / (b ^ (n + 1) * (m + 1))) * hypergeometric2f1(-n, m + 1, m + 2, (-d * (a + b * x)) / (b * c - a * d))
+└-------with result: Inf*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-2.2, 0, 1, (-2//1)*(1 + 2x))
+Inf*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-2.2, 0, 1, (-2//1)*(1 + 2x))
+
+```
+
+# Testing
+
+There is a test suite of 27585 solved integrals taken from the RUBI package, in the folders `test/test_files/0 Independent test suites` (1796 tests) and `test/test_files/1 Algebraic functions` (25798 tests). They can be used to test the package running
+```
+julia --project=. test/runtests.jl
+```
+or in a Repl:
+```
+(@v1.11) pkg> activate .
+  Activating project at `~/.julia/dev/SymbolicIntegration.jl`
+
+julia> using Symbolics, SymbolicIntegration
+
+julia> include("test/runtests.jl")
+
+```
+This will create a .out file with the test results. You can select which testests to test in the script `test/runtests.jl`.
+
+To count how many tests are there you can use this command:
+```bash
+find "test/test_files/0 Independent test suites" -type f -exec grep -c '^(' {} \; | awk '{sum += $1} END {print "Total matches:", sum}' 
+```
+
+# Contributing
+see this [docs page]()
\ No newline at end of file
diff --git a/src/SymbolicIntegration.jl b/src/SymbolicIntegration.jl
index ed4d55aa..41ed319a 100644
--- a/src/SymbolicIntegration.jl
+++ b/src/SymbolicIntegration.jl
@@ -2,6 +2,9 @@ __precompile__()
 
 module SymbolicIntegration
 
+using Symbolics
+using SymbolicUtils # TODO is this import really needed?
+
 # Include Risch method algorithm components
 include("methods/risch/general.jl")
 include("methods/risch/rational_functions.jl")
@@ -14,10 +17,16 @@ include("methods/risch/coupled_differential_systems.jl")
 include("methods/risch/algebraic_functions.jl")
 include("methods/risch/frontend.jl")
 
+# include rule based method
+include("methods/rule_based/general.jl")
+include("methods/rule_based/frontend.jl")
+include("methods/rule_based/rules_utility_functions.jl")
+include("methods/rule_based/rules_loader.jl")
+
 # Add method dispatch system
 include("methods.jl")
 
-# Export method interface
-export AbstractIntegrationMethod, RischMethod
+# Export method interface and integrate function
+export AbstractIntegrationMethod, RischMethod, RuleBasedMethod, integrate, reload_rules
 
 end # module
diff --git a/src/methods.jl b/src/methods.jl
index 5bc8a149..d74e77dd 100644
--- a/src/methods.jl
+++ b/src/methods.jl
@@ -20,16 +20,114 @@ struct RischMethod <: AbstractIntegrationMethod
     use_algebraic_closure::Bool
     catch_errors::Bool
     
-    function RischMethod(; use_algebraic_closure::Bool=true, catch_errors::Bool=true)
+    function RischMethod(; use_algebraic_closure::Bool=false, catch_errors::Bool=true)
         new(use_algebraic_closure, catch_errors)
     end
 end
 
+"""
+    RuleBasedMethod <: AbstractIntegrationMethod
+
+- `use_gamma::Bool`: Whether to catch and handle algorithm errors gracefully (default: true)
+- `verbose::Bool`: Whether to print or not integration rules applied (default: true)
+"""
+struct RuleBasedMethod <: AbstractIntegrationMethod
+    use_gamma::Bool
+    verbose::Bool
+    
+    function RuleBasedMethod(; use_gamma::Bool=false, verbose::Bool=true)
+        new(use_gamma, verbose)
+    end
+end
+
+"""
+    integrate(f, x)
+    
+Compute the symbolic integral of expression `f` with respect to variable `x`
+using all available methods.
+
+# Arguments
+- `f`: Symbolic expression to integrate (Symbolics.Num)
+- `x`: Integration variable (Symbolics.Num)  
+
+# Examples
+```julia
+julia> using SymbolicIntegration, Symbolics
+julia> @variables x
+julia> integrate(2x)
+x^2
+
+julia> integrate(sqrt(x))
+┌ Warning: NotImplementedError: integrand contains unsupported expression sqrt(x)
+└ @ SymbolicIntegration ~/.julia/dev/SymbolicIntegration.jl_official/src/methods/risch/frontend.jl:826
+
+ > RischMethod failed returning ∫(sqrt(x), x) 
+ > Trying with RuleBasedMethod...
+
+┌-------Applied rule 1_1_1_1_2 on ∫(sqrt(x), x)
+| ∫(x ^ m, x) => if 
+|       !(contains_var(m, x)) &&
+|       !(eq(m, -1))
+| x ^ (m + 1) / (m + 1)
+└-------with result: (2//3)*(x^(3//2))
+(2//3)*(x^(3//2))
+
+julia> integrate(abs(x))
+┌ Warning: NotImplementedError: integrand contains unsupported expression abs(x)
+└ @ SymbolicIntegration ~/.julia/dev/SymbolicIntegration.jl_official/src/methods/risch/frontend.jl:826
+
+ > RischMethod failed returning ∫(abs(x), x) 
+ > Trying with RuleBasedMethod...
+
+No rule found for ∫(abs(x), x)
+
+ > RuleBasedMethod failed returning ∫(abs(x), x) 
+ > Sorry we cannot integrate this expression :(
+
+```
+"""
+function integrate(f::Symbolics.Num, x::Symbolics.Num; kwargs...)
+    result = integrate_risch(f.val, x.val; kwargs...)
+    !contains_int(result) && return result
+    
+    # TODO make them verbose?
+    printstyled("\n > RischMethod(use_algebraic_closure=false, catch_errors=true) failed, returning $result \n";color=:red)
+    printstyled(" > Trying with RuleBasedMethod(use_gamma=false, verbose=true)...\n\n"; color=:red)
+    result = integrate_rule_based(f, x; kwargs...)
+    !contains_int(result) && return result
+
+    printstyled(" > RuleBasedMethod(use_gamma=false, verbose=true) failed, returning $result \n";color=:red)
+    printstyled(" > Sorry we cannot integrate this expression :(\n";color=:red)
+end
+
+"""
+    integrate(f, method)
+
+If f contains only one symbolic variable, computes the integral of f with
+respect to that variable, with the specified method, or tries all available
+methods if not specified.
+"""
+function integrate(f::Symbolics.Num, method=nothing; kwargs...)
+    vars = Symbolics.get_variables(f)
+    if length(vars) > 1
+        @warn "Multiple symbolic variables detect. Please pass the integration variable to the `integrate` function as second argument."
+        return nothing
+    elseif length(vars) == 1
+        integration_variable = vars[1]
+    else
+        @warn "No integration variable provided"
+        return nothing
+    end
+
+    method===nothing && return integrate(f, Num(integration_variable); kwargs...)
+    return integrate(f, Num(integration_variable), method; kwargs...)
+end
+
 """
     integrate(f, x, method::AbstractIntegrationMethod=RischMethod(); kwargs...)
 
 Compute the symbolic integral of expression `f` with respect to variable `x` 
-using the specified integration method.
+using Risch integration method.
 
 # Arguments
 - `f`: Symbolic expression to integrate (Symbolics.Num)
@@ -44,12 +142,6 @@ using the specified integration method.
 
 # Examples
 ```julia
-using SymbolicIntegration, Symbolics
-@variables x
-
-# Using default Risch method
-integrate(x^2, x)  # (1//3)*(x^3)
-
 # Explicit method with options
 integrate(1/(x^2 + 1), x, RischMethod(use_algebraic_closure=true))  # atan(x)
 
@@ -67,23 +159,65 @@ function integrate(f::Symbolics.Num, x::Symbolics.Num, method::RischMethod; kwar
         kwargs...)
 end
 
-# Main integrate function - dispatches to RischMethod by default
-function integrate(f::Symbolics.Num, x::Symbolics.Num; kwargs...)
-    return integrate_risch(f, x; kwargs...)
+"""
+    integrate(f, x, method::AbstractIntegrationMethod=RuleBasedMethod(); kwargs...)
+
+Compute the symbolic integral of expression `f` with respect to variable `x`
+using rule based method.
+
+# Arguments
+- `f`: Symbolic expression to integrate (Symbolics.Num)
+- `x`: Integration variable (Symbolics.Num)  
+- `method`: Integration method to use
+
+# Returns
+- Symbolic expression representing the antiderivative (Symbolics.Num) (the +c is omitted)
+
+# Examples
+```julia
+julia> integrate(1/sqrt(1 + x), x, RuleBasedMethod())
+┌-------Applied rule 1_1_2_1_33 (change of variables):
+| ∫((a + b * v ^ n) ^ p, x) => if 
+|       !(contains_var(a, b, n, p, x)) &&
+|       (
+|             linear(v, x) &&
+|             v !== x
+|       )
+| (1 / ext_coeff(v, x, 1)) * substitute(∫{(a + b * x ^ n) ^ p}dx, x => v)
+└-------with result: ∫1 / (u^(1//2)) du where u = 1 + x
+┌-------Applied rule 1_1_1_1_2 on ∫(1 / (x^(1//2)), x)
+| ∫(x ^ m, x) => if 
+|       !(contains_var(m, x)) &&
+|       m !== -1
+| x ^ (m + 1) / (m + 1)
+└-------with result: (2//1)*(x^(1//2))
+(2//1)*sqrt(1 + x)
+
+julia> rbm = RuleBasedMethod(verbose=false)
+julia> integrate(1/sqrt(1 + x), x, rbm)
+
+(2//1)*sqrt(1 + x)
+```
+"""
+function integrate(f::Symbolics.Num, x::Symbolics.Num, method::RuleBasedMethod; kwargs...)
+    return integrate_rule_based(f, x;
+        verbose=method.verbose, use_gamma=method.use_gamma, kwargs...)
 end
 
 """
     method_supports_rational(method::RischMethod)
 
 Check if the integration method supports rational function integration.
-Returns `true` for RischMethod.
+Returns `true` for RischMethod and RuleBasedMethod.
 """
 method_supports_rational(method::RischMethod) = true
+method_supports_rational(method::RuleBasedMethod) = true
 
 """
     method_supports_transcendental(method::RischMethod)
 
 Check if the integration method supports transcendental function integration.
-Returns `true` for RischMethod.
+Returns `true` for RischMethod and RuleBasedMethod.
 """
-method_supports_transcendental(method::RischMethod) = true
\ No newline at end of file
+method_supports_transcendental(method::RischMethod) = true
+method_supports_transcendental(method::RuleBasedMethod) = true
\ No newline at end of file
diff --git a/src/methods/risch/frontend.jl b/src/methods/risch/frontend.jl
index 15940db4..3a890d01 100644
--- a/src/methods/risch/frontend.jl
+++ b/src/methods/risch/frontend.jl
@@ -1,9 +1,5 @@
-using Symbolics
-using SymbolicUtils
 using Logging
 
-export integrate
-
 """
     TowerOfDifferentialFields(Hs) -> K, gs, D
 
@@ -18,7 +14,7 @@ of `D`, `D` is `d/dx` on `C(x)`, and `D` is iteratively extended from `C(x)(t₁
 such that `tᵢ` is monomial over `C(x)(t₁)...(tᵢ₋₁)` with `D(tᵢ)=Hᵢ=Hᵢ(x, t₁,....,tᵢ)`.
 The generators `x` of C(x) over C and `tᵢ` of `C(x)(t₁)...(tᵢ)` over `C(x)(t₁)...(tᵢ₋₁)` are returned
 as `gs=[x, t₁,...,tₙ]`. (Note that these generators, although here denoted by the same symbols for simplicity, are isomorphic but not identical to 
-the generators `x, t₁,...,tₙ` of `C(x,t₁,...,tₙ)` given implicitely as the variables of the rational functions `Hᵢ`.)
+the generators `x, t₁,...,tₙ` of `C(x,t₁,...,tₙ)` given implicitly as the variables of the rational functions `Hᵢ`.)
 
 # Example  
 ```julia
@@ -26,7 +22,7 @@ R, (x, t1, t2) = polynomial_ring(QQ, [:x, :t1, :t2])
 Z = zero(R)//1 # zero element of the fraction field of R
 K, gs, D = TowerOfDifferentialFields([t1//x, (t2^2+1)*x*t1 + Z])
 ```
-(Note: by adding `Z` to a polynomial we explicitely transform it to an element of the fraction field.)
+(Note: by adding `Z` to a polynomial we explicitly transform it to an element of the fraction field.)
 """
 function TowerOfDifferentialFields(Hs::Vector{F})  where 
     {T<:FieldElement, P<:MPolyRingElem{T}, F<:FracElem{P}}
@@ -166,8 +162,8 @@ end
 
 function tan2sincos(f::K, arg::SymbolicUtils.Symbolic, vars::Vector, h::Int=0) where 
     {T<:FieldElement, P<:PolyRingElem{T}, K<:FracElem{P}}
-    # This function transforms a Nemo/AbstractAlgebra rational funktion with
-    # varibale t representing tan(arg) to a SymbolicUtils expression which is
+    # This function transforms a Nemo/AbstractAlgebra rational function with
+    # variable t representing tan(arg) to a SymbolicUtils expression which is
     # a quotient in which both numerator and denominator are linear combinations
     # of expressions of the form cos(2*j*arg) or sin(2*j*arg) where j is an integer >=0.
     k = base_ring(base_ring(parent(f)))
diff --git a/src/methods/risch/parametric_problems.jl b/src/methods/risch/parametric_problems.jl
index 831d3955..a12ac570 100644
--- a/src/methods/risch/parametric_problems.jl
+++ b/src/methods/risch/parametric_problems.jl
@@ -983,7 +983,7 @@ function LimitedIntegrateReduce(f::F, ws::Vector{F}, D::Derivation) where
     # Note: LimitedIntegrateReduce seems to be the only algorithm in Bronstein's book,
     # where he messed something up. Already in equation (7.32) of Corollary 7.2.1 (p.247)
     # the coefficient of D(p) contains a factor hs too many. This then reproduces in the
-    # algoritm.
+    # algorithm.
     iscompatible(f, D) && all(iscompatible(w, D) for w in ws) || 
         error("rational functions f and w_i must be in the domain of derivation D")
     dn, ds = SplitFactor(denominator(f), D)
diff --git a/src/methods/risch/transcendental_functions.jl b/src/methods/risch/transcendental_functions.jl
index f69c1f9b..68026f05 100644
--- a/src/methods/risch/transcendental_functions.jl
+++ b/src/methods/risch/transcendental_functions.jl
@@ -175,8 +175,8 @@ function ConstantPart(ss::Vector{P}, Ss::Vector{PP}, D::Derivation) where  {P<:P
                         var = string(symbols(parent(Ss[i]))[1])
                         F = base_ring(ss[i])
                         if !iszero(u)
-                            # Ignore log terms with contstant arguments. In some cases the denominator of the constant argument
-                            # might be zero after substitutiong (u,v). So this avoids divison by zero in these cases.
+                            # Ignore log terms with constant arguments. In some cases the denominator of the constant argument
+                            # might be zero after substitutiong (u,v). So this avoids division by zero in these cases.
                             if degree(RT.LT.arg)>0 || (!isconstant(numerator(constant_coefficient(RT.LT.arg))(u,v), BaseDerivation(D)) &&
                                                        !isconstant(denominator(constant_coefficient(RT.LT.arg))(u,v), BaseDerivation(D)))
                                 # TODO: Think about avoiding division by zero like below for atan term.
@@ -187,12 +187,12 @@ function ConstantPart(ss::Vector{P}, Ss::Vector{PP}, D::Derivation) where  {P<:P
                             end
                         end
                         for AT in RT.ATs    
-                            # Ignore atan terms with contstant arguments. In some cases the denominator of the constant argument
-                            # might be zero after substitutiong (u,v). So this avoids divison by zero in these cases.
+                            # Ignore atan terms with constant arguments. In some cases the denominator of the constant argument
+                            # might be zero after substitutiong (u,v). So this avoids division by zero in these cases.
                             if degree(AT.arg)>0 || (!isconstant(numerator(constant_coefficient(AT.arg))(u,v), BaseDerivation(D)) &&
                                                     !isconstant(denominator(constant_coefficient(AT.arg))(u,v), BaseDerivation(D)))
                                 if all([!iszero(denominator(c)(u, v)) for c in coefficients(AT.arg)])
-                                    # Ignore atan term if substitution of (u,v) in argument would cause divion by zero. 
+                                    # Ignore atan term if substitution of (u,v) in argument would cause division by zero. 
                                     # This requires more thought, but it seems to work...
                                     g = polynomial(F, [numerator(c)(u, v)//denominator(c)(u, v) for c in coefficients(AT.arg)], var)
                                     push!(gs, FunctionTerm(atan, AT.coeff*v, g))
@@ -503,7 +503,7 @@ function InFieldDerivative(f::F, D::Derivation) where
             a0 = p1 - D(q2)
         else
             H = MonomialDerivative(D)
-            throw(NotImplementedError("InFieldDerivative: monomial deivative =$H\n@ $(@__FILE__):$(@__LINE__)"))
+            throw(NotImplementedError("InFieldDerivative: monomial derivative =$H\n@ $(@__FILE__):$(@__LINE__)"))
         end
         @assert isone(denominator(a0)) && degree(numerator(a0))<=0 # p-D(q) ∈ k
         a = constant_coefficient(numerator(a0))
@@ -681,7 +681,7 @@ function InFieldLogarithmicDerivativeOfRadical(f::F, D::Derivation; expect_one::
             U = v^div(N, m)*(u+Z)^div(N, n)*(t^2+1+Z)^div(e*N, n)
             return N, U, 1
         elseif iszero(real(a)) 
-            # Note: This case is not treated in 5.12 of Bronsteins's book, altough it seems
+            # Note: This case is not treated in 5.12 of Bronsteins's book, although it seems
             # to be the one relevant for checking the condition of Theorem 5.10.1.
             # I did not prove that in the case of Theorem 5.12 real(a)=0 always holds true.
             ai = imag(a)
@@ -690,7 +690,7 @@ function InFieldLogarithmicDerivativeOfRadical(f::F, D::Derivation; expect_one::
             if !isrational(c1) || !isrational(c2)
                 return no_solution
             end
-            # implicitely set u = 1 => D(u)//u = 0            
+            # implicitly set u = 1 => D(u)//u = 0            
             c1 = rationalize_over_Int(c1)
             c2 = rationalize_over_Int(c2)
             n = lcm(denominator(c1), denominator(c2))
diff --git a/src/methods/rule_based/frontend.jl b/src/methods/rule_based/frontend.jl
new file mode 100644
index 00000000..8b23e89c
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/frontend.jl
@@ -0,0 +1,117 @@
+include("string_manipulation_helpers.jl")
+
+"""
+Applies iteratively rules from the RULES array until a result is found.
+returns a tuple:
+if found a rule to apply, (solution, true)
+if not, (original problem, false)
+"""
+function apply_rule(problem)
+    result = nothing
+    for (i, rule) in enumerate(RULES)
+        result = rule(problem)
+        if result !== nothing
+            if result===problem
+                VERBOSE && println("Infinite cycle created by rule $(IDENTIFIERS[i]) applied on ", problem)
+                continue
+            end
+            if VERBOSE && !in(IDENTIFIERS[i], SILENCE)
+                s = pretty_print_rule(rule, IDENTIFIERS[i])
+                printstyled("┌-------Applied rule $(IDENTIFIERS[i]) on ";);
+                printstyled(problem; color = :light_red)
+                for ss in split(s, '\n')
+                    printstyled("\n| ";); printstyled(ss;bold=true)
+                end
+                printstyled("\n└-------with result: ";)
+                printstyled(result, "\n"; color = :light_blue)
+            end
+            in(IDENTIFIERS[i], SILENCE) && pop!(SILENCE)
+            return (result, true)
+        end
+    end
+
+    VERBOSE && println("No rule found for ", problem)
+    return (problem, false)
+end
+
+"""
+ins = inverse not simplified
+
+This function creates a term with negative power that doesnt simplify
+automatically to a division, like would happen with the ^ function
+```
+julia> SymbolicIntegration.ins(Symbolics.unwrap(x))
+x^-1
+
+julia> SymbolicIntegration.ins(Symbolics.unwrap(x^3))
+x^-3
+```
+"""
+function ins(expr)
+    t = (@rule (~u)^(~m) => ~)(expr)
+    t!==nothing && return SymbolicUtils.Term{Number}(^,[t[:u],-t[:m]])
+    return SymbolicUtils.Term{Number}(^,[expr,-1])
+end
+
+# TODO add threaded for speed?
+function repeated_prewalk(expr)
+    !iscall(expr) && return expr
+    
+    if operation(expr)===∫
+        (new_expr,success) = apply_rule(expr)
+        # r1 and r2 are needed bc of neim problem
+        if !success
+            r2 = @rule ∫((~n)/*(~~d),~x) => ∫(~n*prod([ins(el) for el in ~~d]),~x)
+            r2r = r2(expr)
+            if r2r!==nothing
+                VERBOSE && println("integration of ", expr, " failed, trying with this mathematically equivalent integrand:\n$r2r")
+                (new_expr,success) = apply_rule(r2r)
+                if success && new_expr===expr
+                    success=false
+                end
+            end
+        end
+        if !success
+            r1 = @rule ∫((~n)/(~d),~x) => ∫(~n*ins(~d),~x)
+            r1r = r1(expr)
+            if r1r!==nothing
+                VERBOSE && println("integration of ", expr, " failed, trying with this mathematically equivalent integrand:\n$r1r")
+                (new_expr,success) = apply_rule(r1r)
+                # if success we know r1r!=new_expr
+                # but clud be new_expr==expr
+                if success && new_expr===expr
+                    success=false
+                end
+            end
+        end
+        if !success
+            # TODO Can this be a bad idea sometimes?
+            simplified_expr = simplify(expr, expand=true)
+            if simplified_expr !== expr
+                VERBOSE && println("integration of ", expr, " failed, trying with the expanded version:\n", simplified_expr)
+                (new_expr,success) = apply_rule(simplified_expr)
+            end
+        end
+        
+        success && return repeated_prewalk(new_expr)
+
+    end
+
+    expr = SymbolicUtils.maketerm(
+        typeof(expr), 
+        operation(expr), 
+        map(repeated_prewalk, arguments(expr)), 
+        SymbolicUtils.metadata(expr)
+    )
+
+    return expr
+end
+
+function integrate_rule_based(integrand::Symbolics.Num, int_var::Symbolics.Num; use_gamma::Bool=false, verbose::Bool=true, kwargs...)
+    global VERBOSE
+    VERBOSE = verbose
+    return simplify(repeated_prewalk(∫(integrand,int_var)))
+end
+
+integrate_rule_based(integrand::SymbolicUtils.BasicSymbolic{Real}, int_var::SymbolicUtils.BasicSymbolic{Real}; kwargs...) =
+    integrate_rule_based(Num(integrand), Num(int_var); kwargs...)
diff --git a/src/methods/rule_based/general.jl b/src/methods/rule_based/general.jl
new file mode 100644
index 00000000..eaea3122
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/general.jl
@@ -0,0 +1,225 @@
+# ===== Special functions from a lot of packages
+# TODO extension to Symbolics?
+
+# function from SpecialFunctions.jl that are not yet registered
+@register_symbolic SymbolicUtils.expinti(x)
+@register_symbolic SymbolicUtils.expint(nu, z)
+@register_symbolic SymbolicUtils.gamma(x, y)
+@register_symbolic SymbolicUtils.sinint(x)
+@register_symbolic SymbolicUtils.cosint(x)
+# other from SpecialFunctions.jl used:
+# SymbolicUtils.gamma(x)
+# SymbolicUtils.loggamma
+# SymbolicUtils.erfi
+# SymbolicUtils.erf
+
+using Elliptic 
+@register_symbolic Elliptic.F(phi, m) # incomplete first kind
+@register_symbolic Elliptic.E(phi, m) # incomplete second kind
+@register_symbolic Elliptic.E(m) false # complete second kind
+@register_symbolic Elliptic.Pi(nu, phi, m) # incomplete third kind
+
+# changing name bc the . does no good in translation script
+elliptic_f(phi, m) = Elliptic.F(phi, m)
+elliptic_e(m) = Elliptic.E(m)
+elliptic_e(phi, m) = Elliptic.E(phi, m)
+elliptic_pi(nu, phi, m) = Elliptic.Pi(nu, phi, m)
+elliptic_pi(nu, m) = Elliptic.Pi(nu, π/2, m)
+
+using HypergeometricFunctions
+hypergeometric2f1(a, b, c, z) = HypergeometricFunctions._₂F₁(Complex(a), Complex(b), Complex(c), Complex(z))
+@register_symbolic hypergeometric2f1(a, b, c, z)
+
+hypergeometricpFq(a, b, z) = HypergeometricFunctions.pFq(a, b, Complex(z))
+@register_symbolic hypergeometricpFq(a::Vector, b::Vector, z)
+
+appell_f1(a, b, c, d, e, z) = println("AppellF1 function is not implemented yet")
+@register_symbolic appell_f1(a, b, c, d, e, z)
+
+using PolyLog
+@register_symbolic PolyLog.reli(n, z)
+
+using FresnelIntegrals
+@register_symbolic FresnelIntegrals.fresnelc(z)
+@register_symbolic FresnelIntegrals.fresnels(z)
+
+sinhintegral(x::Any) = println("hyperbolic sine integral Shi(z) function (https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_integral#Hyperbolic_sine_integral) is not implemented yet")
+@register_symbolic sinhintegral(x)
+coshintegral(x::Any) = println("hyperbolic cosine integral Chi(z) function (https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_integral#Hyperbolic_cosine_integral) is not implemented yet")
+@register_symbolic coshintegral(x)
+
+
+# ===== Global variables
+# symbolic functions
+# ∫(intgerand, intgeration variable)
+# subst is just for when integral inside the real subst function is not solved
+@syms ∫(var1,var2) subst(var1, var2, var3)
+
+# very big arrays containing rules and their identifiers
+const RULES = SymbolicUtils.Rule[]
+const IDENTIFIERS = String[]
+
+# to use or not the gamma function in integration results
+USE_GAMMA = false # TODO make it work with revise and not just with reloading rules
+
+# to print or not the integration steps
+VERBOSE = false
+# global array of rules identifiers to not print the corresponding rule
+# It's needed otherwise rules with subst_and_int would be printed twice
+const SILENCE = String[]
+
+all_rules_paths = [
+"9 Miscellaneous/0.1 Integrand simplification rules.jl"
+
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.1 (a+b x)^m.jl"
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.2 (a+b x)^m (c+d x)^n.jl"
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.3 (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p.jl"
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.4 (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q.jl"
+
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.1 (a+b x^2)^p.jl"
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.2 (c x)^m (a+b x^2)^p.jl"
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.3 (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q.jl"
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.4 (e x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q.jl"
+# 5, 6, 7, 8, 9
+
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.1 (a+b x^n)^p.jl"
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.2 (c x)^m (a+b x^n)^p.jl"
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.3 (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q.jl"
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.4 (e x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q.jl"
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.5 (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q (e+f x^n)^r.jl"
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.6 (g x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q (e+f x^n)^r.jl"
+
+"1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.1 (a+b x+c x^2)^p.jl"
+"1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.2 (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p.jl"
+"1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.3 (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p.jl" # not most updated version?
+"1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.4 (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p.jl" # not most updated version?
+# 1.2.1.5
+
+"1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.1 (a+b x^2+c x^4)^p.jl"
+"1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.2 (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p.jl"
+"1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.3 (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl"
+# 1.2.2.4
+
+"1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.1 (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl"
+# 1.2.3.2, 1.2.3.3, 1.2.3.4
+
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.1 (a x^j+b x^n)^p.jl"
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.2 (c x)^m (a x^j+b x^n)^p.jl"
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.3 (e x)^m (a x^j+b x^k)^p (c+d x^n)^q.jl"
+
+# 1.2.4.1, 1.2.4.2, 1.2.4.3, 1.2.4.4
+
+# 1.4.1, 1.4.2
+
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.7 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q.jl"
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.6 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p.jl"
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.5 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n.jl"
+
+"1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.5 P(x) (a+b x^2+c x^4)^p.jl"
+"1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl"
+
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.7 P(x) (a+b x^n)^p.jl"
+"1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.8 P(x) (c x)^m (a+b x^n)^p.jl"
+
+# TODO 1.3.4 quale?
+
+
+
+"2 Exponentials/2.1 (c+d x)^m (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p.jl"
+"2 Exponentials/2.2 (c+d x)^m (F^(g (e+f x)))^n (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p.jl"
+"2 Exponentials/2.3 Miscellaneous exponentials.jl"
+
+
+
+
+
+
+"3 Logarithms/3.1/3.1.1 (a+b log(c x^n))^p.jl"
+"3 Logarithms/3.1/3.1.2 (d x)^m (a+b log(c x^n))^p.jl"
+"3 Logarithms/3.1/3.1.3 (d+e x^r)^q (a+b log(c x^n))^p.jl"
+"3 Logarithms/3.1/3.1.4 (f x)^m (d+e x^r)^q (a+b log(c x^n))^p.jl"
+"3 Logarithms/3.1/3.1.5 u (a+b log(c x^n))^p.jl"
+"3 Logarithms/3.2/3.2.1 (f+g x)^m (A+B log(e ((a+b x) over (c+d x))^n))^p.jl"
+"3 Logarithms/3.2/3.2.2 (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B log(e ((a+b x) over (c+d x))^n))^p.jl"
+"3 Logarithms/3.2/3.2.3 u log(e (f (a+b x)^p (c+d x)^q)^r)^s.jl"
+"3 Logarithms/3.3 u (a+b log(c (d+e x)^n))^p.jl"
+"3 Logarithms/3.4 u (a+b log(c (d+e x^m)^n))^p.jl"
+"3 Logarithms/3.5 Miscellaneous logarithms.jl"
+
+
+
+
+
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.0/4.1.0.1 (a sin)^m (b trg)^n.jl"
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.0/4.1.0.2 (a trg)^m (b tan)^n.jl"
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.0/4.1.0.3 (a csc)^m (b sec)^n.jl"
+
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1/4.1.1.1 (a+b sin)^n.jl"
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1/4.1.1.2 (g cos)^p (a+b sin)^m.jl"
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1/4.1.1.3 (g tan)^p (a+b sin)^m.jl"
+
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.2/4.1.2.1 (a+b sin)^m (c+d sin)^n.jl"
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.2/4.1.2.2 (g cos)^p (a+b sin)^m (c+d sin)^n.jl"
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.2/4.1.2.3 (g sin)^p (a+b sin)^m (c+d sin)^n.jl"
+
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.3 (a+b sin)^m (c+d sin)^n (A+B sin).jl"
+
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.4/4.1.4.1 (a+b sin)^m (A+B sin+C sin^2).jl"
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.4/4.1.4.2 (a+b sin)^m (c+d sin)^n (A+B sin+C sin^2).jl"
+
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.5 trig^m (a cos+b sin)^n.jl"
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.6 (a+b cos+c sin)^n.jl"
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.7 (d trig)^m (a+b (c sin)^n)^p.jl"
+# 4.1.8
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.9 trig^m (a+b sin^n+c sin^(2 n))^p.jl"
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.10 (c+d x)^m (a+b sin)^n.jl"
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.11 (e x)^m (a+b x^n)^p sin.jl"
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.12 (e x)^m (a+b sin(c+d x^n))^p.jl"
+"4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.13 (d+e x)^m sin(a+b x+c x^2)^n.jl"
+
+"4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.1.1 (a+b tan)^n.jl"
+"4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.1.2 (d sec)^m (a+b tan)^n.jl"
+"4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.1.3 (d sin)^m (a+b tan)^n.jl"
+
+"4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.1 (a+b sec)^n.jl"
+"4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.2 (d sec)^n (a+b sec)^m.jl"
+"4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.3 (d sin)^n (a+b sec)^m.jl"
+"4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.4 (d tan)^n (a+b sec)^m.jl"
+"4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.7 (d trig)^m (a+b (c sec)^n)^p.jl"
+
+"4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.4 (c trig)^m (d trig)^n.jl"
+"4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.7 F^(c (a+b x)) trig(d+e x)^n.jl"
+
+
+
+
+"5 Inverse trig functions/5.1 Inverse sine/5.1.1 (a+b arcsin(c x))^n.jl"
+"5 Inverse trig functions/5.1 Inverse sine/5.1.2 (d x)^m (a+b arcsin(c x))^n.jl"
+
+"5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.1 (a+b arctan(c x^n))^p.jl"
+"5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.2 (d x)^m (a+b arctan(c x^n))^p.jl"
+
+
+
+
+
+
+
+"7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.1 (a+b arcsinh(c x))^n.jl"
+"7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.2 (d x)^m (a+b arcsinh(c x))^n.jl"
+"7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.3 (d+e x^2)^p (a+b arcsinh(c x))^n.jl"
+"7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arcsinh(c x))^n.jl"
+"7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.5 u (a+b arcsinh(c x))^n.jl"
+"7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.6 Miscellaneous inverse hyperbolic sine.jl"
+
+"7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.1 (a+b arccosh(c x))^n.jl"
+"7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.2 (d x)^m (a+b arccosh(c x))^n.jl"
+"7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.3 (d+e x^2)^p (a+b arccosh(c x))^n.jl"
+"7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arccosh(c x))^n.jl"
+"7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.5 u (a+b arccosh(c x))^n.jl"
+"7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.6 Miscellaneous inverse hyperbolic cosine.jl"
+
+"7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.1 (a+b arctanh(c x^n))^p.jl"
+"7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.2 (d x)^m (a+b arctanh(c x^n))^p.jl"
+"7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.3 (d+e x)^m (a+b arctanh(c x^n))^p.jl"
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.1 (a+b x)^m.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.1 (a+b x)^m.jl
new file mode 100644
index 00000000..a6accb4a
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.1 (a+b x)^m.jl	
@@ -0,0 +1,31 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.1.1.1 (a+b x)^m *)
+("1_1_1_1_1",
+@rule ∫(1/(~x),(~x)) =>
+log((~x)))
+
+("1_1_1_1_2",
+@rule ∫((~x)^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~x)) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+(~x)^((~m) + 1)⨸((~m) + 1) : nothing)
+
+("1_1_1_1_3",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+log((~a) + (~b)*(~x))⨸(~b) : nothing)
+
+("1_1_1_1_4",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~b)*((~m) + 1)) : nothing)
+
+("1_1_1_1_5",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~u))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !eq((~u), (~x)) ?
+1⨸ext_coeff.((~u), (~x)^ 1)*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~m),  (~x), (~x), (~u), "1_1_1_1_5") : nothing)
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.2 (a+b x)^m (c+d x)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.2 (a+b x)^m (c+d x)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..3eb4deda
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.2 (a+b x)^m (c+d x)^n.jl	
@@ -0,0 +1,396 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.1.1.2 (a+b x)^m (c+d x)^n *)
+("1_1_1_2_1",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)*(~d) - (~b)*(~c)*((~m) + 2), 0) ?
+(~d)*(~x)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~b)*((~m) + 2)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_2",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x))*((~c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) ?
+∫(1⨸((~a)*(~c) + (~b)*(~d)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_3",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(1⨸((~a) + (~b)*(~x)), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(1⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_4",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~m) + (~n) + 2, 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)⨸(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + 1)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_5",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~m) + 1/2, 0) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~m)⨸(2*(~m) + 1) + 2*(~a)*(~c)*(~m)⨸(2*(~m) + 1)*∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_6",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x))^(3//2)*((~c) + (~!d)*(~x))^(3//2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) ?
+(~x)⨸((~a)*(~c)*sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x))) : nothing)
+
+("1_1_1_2_7",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    ilt((~m) + 3/2, 0) ?
+-(~x)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)⨸(2*(~a)*(~c)*((~m) + 1)) + (2*(~m) + 3)⨸(2*(~a)*(~c)*((~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_8",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~a), 0) &&
+        gt((~c), 0)
+    ) ?
+∫(((~a)*(~c) + (~b)*(~d)*(~x)^2)^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_9",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~m))) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^ fracpart((~m))*((~c) + (~d)*(~x))^fracpart((~m))⨸((~a)*(~c) + (~b)*(~d)*(~x)^2)^fracpart((~m))* ∫(((~a)*(~c) + (~b)*(~d)*(~x)^2)^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_10",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ilt((~m), -1) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    gt((~n), 0) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)⨸((~b)*((~m) + 1)) - (~d)*(~n)⨸((~b)*((~m) + 1))*∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_11",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ilt((~m), -1) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    lt((~n), 0) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)⨸(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + 1)) - (~d)*((~m) + (~n) + 2)⨸(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_12",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    (
+        !(ext_isinteger((~n))) ||
+        eq((~c), 0) &&
+        le(7*(~m) + 4*(~n) + 4, 0) ||
+        lt(9*(~m) + 5*((~n) + 1), 0) ||
+        gt((~m) + (~n) + 2, 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_13",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ilt((~m), 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    !(
+        igt((~n), 0) &&
+        lt((~m) + (~n) + 2, 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_14",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ilt(simplify((~m) + (~n) + 2), 0) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    !(
+        lt((~m), -1) &&
+        lt((~n), -1) &&
+        (
+            eq((~a), 0) ||
+            !eq((~c), 0) &&
+            lt((~m) - (~n), 0) &&
+            ext_isinteger((~n))
+        )
+    ) &&
+    (
+        sumsimpler((~m), 1) ||
+        !(sumsimpler((~n), 1))
+    ) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)⨸(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + 1)) - (~d)*simplify((~m) + (~n) + 2)⨸(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^simplify((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_15",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x))^(9//4)*((~c) + (~!d)*(~x))^(1//4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    neg((~a)^2*(~b)^2) ?
+-4⨸(5*(~b)*((~a) + (~b)*(~x))^(5⨸4)*((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸4)) - (~d)⨸(5*(~b))*∫(1⨸(((~a) + (~b)*(~x))^(5⨸4)*((~c) + (~d)*(~x))^(5⨸4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_16",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~n)) &&
+        !(ext_isinteger((~m)))
+    ) &&
+    !(
+        ile((~m) + (~n) + 2, 0) &&
+        (
+            isfraction((~m)) ||
+            ge(2*(~n) + (~m) + 1, 0)
+        )
+    ) &&
+    int_linear((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)⨸((~b)*((~m) + 1)) - (~d)*(~n)⨸((~b)*((~m) + 1))*∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_17",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x))^(5//4)*((~c) + (~!d)*(~x))^(1//4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    neg((~a)^2*(~b)^2) ?
+-2⨸((~b)*((~a) + (~b)*(~x))^(1⨸4)*((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸4)) + (~c)*∫(1⨸(((~a) + (~b)*(~x))^(5⨸4)*((~c) + (~d)*(~x))^(5⨸4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_18",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~m) + 1/2, 0) &&
+    igt((~n) + 1/2, 0) &&
+    lt((~m), (~n)) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)⨸((~b)*((~m) + (~n) + 1)) + 2*(~c)*(~n)⨸((~m) + (~n) + 1)*∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_19",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 1, 0) &&
+    !(
+        igt((~m), 0) &&
+        (
+            !(ext_isinteger((~n))) ||
+            gt((~m), 0) &&
+            lt((~m) - (~n), 0)
+        )
+    ) &&
+    !(ilt((~m) + (~n) + 2, 0)) &&
+    int_linear((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)⨸((~b)*((~m) + (~n) + 1)) + (~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~b)*((~m) + (~n) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_20",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !(
+        lt((~n), -1) &&
+        (
+            eq((~a), 0) ||
+            !eq((~c), 0) &&
+            lt((~m) - (~n), 0) &&
+            ext_isinteger((~n))
+        )
+    ) &&
+    int_linear((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)⨸(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + 1)) - (~d)*((~m) + (~n) + 2)⨸(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_21",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~a) + (~c), 0) &&
+    eq((~b) - (~d), 0) &&
+    gt((~a), 0) ?
+acosh((~b)*(~x)⨸(~a))⨸(~b) : nothing)
+
+("1_1_1_2_22",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b) + (~d), 0) &&
+    gt((~a) + (~c), 0) ?
+∫(1⨸sqrt((~a)*(~c) - (~b)*((~a) - (~c))*(~x) - (~b)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_23",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    gt((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    gt((~b), 0) ?
+2⨸sqrt((~b))* int_and_subst(1⨸sqrt((~b)*(~c) - (~a)*(~d) + (~d)*(~x)^2),  (~x), (~x), sqrt((~a) + (~b)*(~x)), "1_1_1_2_23") : nothing)
+
+("1_1_1_2_24",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!c) + (~!d)*(~x))^(1//3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    pos(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))/(~b)) ?
+let
+    q = rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b), 3)
+    -log((~a) + (~b)*(~x))⨸(2*(~b)*q) - 3⨸(2*(~b)*q)*int_and_subst(1⨸(rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b),  3) - (~x)), (~x), (~x), ((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸3), "1_1_1_2_24") + 3⨸(2*(~b))* int_and_subst(1⨸(rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b),  3)^2 + q*(~x) + (~x)^2), (~x), (~x), ((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸3), "1_1_1_2_24")
+end : nothing)
+
+("1_1_1_2_25",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!c) + (~!d)*(~x))^(1//3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    neg(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))/(~b)) ?
+log((~a) + (~b)*(~x))⨸(2*(~b)*rt(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b), 3)) - 3⨸(2*(~b)*rt(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b), 3))*int_and_subst(1⨸(rt(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b),  3) + (~x)), (~x), (~x), ((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸3), "1_1_1_2_25") + 3⨸(2*(~b))* int_and_subst(1⨸(rt(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b),  3)^2 - rt(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b), 3)*(~x) + (~x)^2), (~x), (~x), ((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸3), "1_1_1_2_25") : nothing)
+
+("1_1_1_2_26",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!c) + (~!d)*(~x))^(2//3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    pos(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))/(~b)) ?
+-log((~a) + (~b)*(~x))⨸(2*(~b)*rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b), 3)^2) - 3⨸(2*(~b)*rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b), 3)^2)*int_and_subst(1⨸(rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b),  3) - (~x)), (~x), (~x), ((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸3), "1_1_1_2_26") - 3⨸(2*(~b)*rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b), 3))* int_and_subst(1⨸(rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b),  3)^2 + rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b), 3)*(~x) + (~x)^2), (~x), (~x), ((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸3), "1_1_1_2_26") : nothing)
+
+("1_1_1_2_27",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!c) + (~!d)*(~x))^(2//3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    neg(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))/(~b)) ?
+-log((~a) + (~b)*(~x))⨸(2*(~b)*rt(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b), 3)^2) + 3⨸(2*(~b)*rt(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b), 3)^2)*int_and_subst(1⨸(rt(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b),  3) + (~x)), (~x), (~x), ((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸3), "1_1_1_2_27") + 3⨸(2*(~b)*rt(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b), 3))* int_and_subst(1⨸(rt(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b),  3)^2 - rt(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b), 3)*(~x) + (~x)^2), (~x), (~x), ((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸3), "1_1_1_2_27") : nothing)
+
+("1_1_1_2_28",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*(~x))^(1//3)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(2//3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    pos((~d)/(~b)) ?
+-sqrt(3)*rt((~d)⨸(~b), 3)⨸(~d)* atan(2*rt((~d)⨸(~b), 3)*((~a) + (~b)*(~x))^(1⨸3)⨸(sqrt(3)*((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸3)) + 1⨸sqrt(3)) - rt((~d)⨸(~b), 3)⨸(2*(~d))*log((~c) + (~d)*(~x)) - 3*rt((~d)⨸(~b), 3)⨸(2*(~d))*log(rt((~d)⨸(~b), 3)*((~a) + (~b)*(~x))^(1⨸3)⨸((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸3) - 1) : nothing)
+
+("1_1_1_2_29",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*(~x))^(1//3)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(2//3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    neg((~d)/(~b)) ?
+sqrt(3)*rt(-(~d)⨸(~b), 3)⨸(~d)* atan(1⨸sqrt(3) - 2*rt(-(~d)⨸(~b), 3)*((~a) + (~b)*(~x))^(1⨸3)⨸(sqrt(3)*((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸3))) + rt(-(~d)⨸(~b), 3)⨸(2*(~d))*log((~c) + (~d)*(~x)) + 3*rt(-(~d)⨸(~b), 3)⨸(2*(~d))*log(rt(-(~d)⨸(~b), 3)*((~a) + (~b)*(~x))^(1⨸3)⨸((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸3) + 1) : nothing)
+
+("1_1_1_2_30",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    lt(-1, (~m), 0) &&
+    le(3, ext_den((~m)), 4) &&
+    atom((~b)*(~c) + (~a)*(~d)) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~m)⨸((~a)*(~c) + ((~b)*(~c) + (~a)*(~d))*(~x) + (~b)*(~d)*(~x)^2)^(~m)* ∫(((~a)*(~c) + ((~b)*(~c) + (~a)*(~d))*(~x) + (~b)*(~d)*(~x)^2)^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_31",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    lt(-1, (~m), 0) &&
+    le(3, ext_den((~m)), 4) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~m)⨸(((~a) + (~b)*(~x))*((~c) + (~d)*(~x)))^(~m)* ∫(((~a)*(~c) + ((~b)*(~c) + (~a)*(~d))*(~x) + (~b)*(~d)*(~x)^2)^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_32",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    lt(-1, (~m), 0) &&
+    le(-1, (~n), 0) &&
+    le(ext_den((~n)), ext_den((~m))) &&
+    int_linear((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) ?
+ext_den((~m))⨸(~b)* int_and_subst((~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)*((~c) - (~a)*(~d)⨸(~b) + (~d)*(~x)^ext_den((~m))⨸(~b))^(~n),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "1_1_1_2_32") : nothing)
+
+("1_1_1_2_33",
+@rule ∫(((~!b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    (
+        ext_isinteger((~n)) ||
+        gt((~c), 0) &&
+        !(
+            eq((~n), -1/2) &&
+            eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+            gt(-(~d)/((~b)*(~c)), 0)
+        )
+    ) ?
+(~c)^(~n)*((~b)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~b)*((~m) + 1))* hypergeometric2f1(-(~n), (~m) + 1, (~m) + 2, -(~d)*(~x)⨸(~c)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_34",
+@rule ∫(((~!b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt(-(~d)/((~b)*(~c)), 0)
+    ) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)⨸((~d)*((~n) + 1)*(-(~d)⨸((~b)*(~c)))^(~m))* hypergeometric2f1(-(~m), (~n) + 1, (~n) + 2, 1 + (~d)*(~x)⨸(~c)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_35",
+@rule ∫(((~!b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    !(gt((~c), 0)) &&
+    !(gt(-(~d)/((~b)*(~c)), 0)) &&
+    (
+        isrational((~m)) &&
+        !(
+            eq((~n), -1/2) &&
+            eq((~c)^2 - (~d)^2, 0)
+        ) ||
+        !(isrational((~n)))
+    ) ?
+(~c)^intpart((~n))*((~c) + (~d)*(~x))^fracpart((~n))⨸(1 + (~d)*(~x)⨸(~c))^fracpart((~n))* ∫(((~b)*(~x))^(~m)*(1 + (~d)*(~x)⨸(~c))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_36",
+@rule ∫(((~!b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    !(gt((~c), 0)) &&
+    !(gt(-(~d)/((~b)*(~c)), 0)) ?
+(-(~b)*(~c)⨸(~d))^intpart((~m))*((~b)*(~x))^fracpart((~m))⨸(-(~d)*(~x)⨸(~c))^fracpart((~m))* ∫((-(~d)*(~x)⨸(~c))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_37",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x))^(~m::(!ext_isinteger))*((~c) + (~!d)*(~x))^(~n::ext_isinteger),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^(~n)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~b)^((~n) + 1)*((~m) + 1))* hypergeometric2f1(-(~n), (~m) + 1, (~m) + 2, -(~d)*((~a) + (~b)*(~x))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))) : nothing)
+
+("1_1_1_2_38",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    gt((~b)/((~b)*(~c) - (~a)*(~d)), 0) &&
+    (
+        isrational((~m)) ||
+        !(
+            isrational((~n)) &&
+            gt(-(~d)/((~b)*(~c) - (~a)*(~d)), 0)
+        )
+    ) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~b)*((~m) + 1)*((~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))^(~n))* hypergeometric2f1(-(~n), (~m) + 1, (~m) + 2, -(~d)*((~a) + (~b)*(~x))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))) : nothing)
+
+("1_1_1_2_39",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    (
+        isrational((~m)) ||
+        !(simpler((~n) + 1, (~m) + 1))
+    ) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^ fracpart( (~n))⨸(((~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))^intpart((~n))*((~b)*((~c) + (~d)*(~x))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))^ fracpart((~n)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*simp((~b)*(~c)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)) + (~b)*(~d)*(~x)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)), (~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_2_40",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~u))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~u))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !eq(ext_coeff((~u), (~x), 0), 0) ?
+1⨸ext_coeff((~u), (~x), 1)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n),  (~x), (~x), (~u), "1_1_1_2_40") : nothing)
+
+#(* IntLinearQ[a,b,c,d,m,n,x] returns True iff (a+b*x)^m*(c+d*x)^n is  integrable wrt x in terms of non-hypergeometric functions. *) IntLinearQ[a_, b_, c_, d_, m_, n_, x_] := IGtQ[m, 0] || IGtQ[n, 0] || IntegersQ[3*m, 3*n] || IntegersQ[4*m, 4*n] || IntegersQ[2*m, 6*n] || IntegersQ[6*m, 2*n] || ILtQ[m + n, -1] || IntegerQ[m + n] && RationalQ[m]
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.3 (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.3 (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..347bf2cf
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.3 (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p.jl	
@@ -0,0 +1,750 @@
+file_rules = [
+# (* ::Subsection::Closed:: *) 
+# (* 1.1.1.3 (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p *) 
+("1_1_1_3_1",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~n), (~m)) &&
+    ext_isinteger( (~m)) &&
+    (
+        !eq((~m), -1) ||
+        eq((~e), 0) &&
+        (
+            eq((~p), 1) ||
+            !(ext_isinteger((~p)))
+        )
+    ) ?
+∫(((~a)*(~c) + (~b)*(~d)*(~x)^2)^(~m)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_2",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~n) + (~p) + 2, 0) &&
+    eq((~a)*(~d)*(~f)*((~n) + (~p) + 2) - (~b)*((~d)*(~e)*((~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~p) + 1)), 0) ?
+(~b)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~n) + (~p) + 2)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_3",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x))*((~!d)*(~x))^(~!n)*((~e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    eq((~b)*(~e) + (~a)*(~f), 0) &&
+    !(
+        ilt((~n) + (~p) + 2, 0) &&
+        gt((~n) + 2*(~p), 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x))*((~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_4",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x))*((~!d)*(~x))^(~!n)*((~e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        !eq((~n), -1) ||
+        eq((~p), 1)
+    ) &&
+    !eq((~b)*(~e) + (~a)*(~f), 0) &&
+    (
+        !(ext_isinteger((~n))) ||
+        lt(9*(~p) + 5*(~n), 0) ||
+        ge((~n) + (~p) + 1, 0) ||
+        ge((~n) + (~p) + 2, 0) &&
+        isrational((~a), (~b), (~d), (~e), (~f))
+    ) &&
+    (
+        !eq((~n) + (~p) + 3, 0) ||
+        eq((~p), 1)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x))*((~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_5",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))*((~c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    (
+        ilt((~n), 0) &&
+        ilt((~p), 0) ||
+        eq((~p), 1) ||
+        igt((~p), 0) &&
+        (
+            !(ext_isinteger((~n))) ||
+            le(9*(~p) + 5*((~n) + 2), 0) ||
+            ge((~n) + (~p) + 1, 0) ||
+            ge((~n) + (~p) + 2, 0) &&
+            isrational((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f))
+        )
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x))*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_6",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    (
+        !(lt((~n), -1)) ||
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        !(
+            ext_isinteger((~n)) ||
+            !(
+                eq((~e), 0) ||
+                !(
+                    eq((~c), 0) ||
+                    lt((~p), (~n))
+                )
+            )
+        )
+    ) ?
+-((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸((~f)*((~p) + 1)*((~c)*(~f) - (~d)*(~e))) - ((~a)*(~d)*(~f)*((~n) + (~p) + 2) - (~b)*((~d)*(~e)*((~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~p) + 1)))⨸((~f)*((~p) + 1)*((~c)*(~f) - (~d)*(~e)))* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_7",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(isrational((~p))) &&
+    sumsimpler((~p), 1) ?
+-((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸((~f)*((~p) + 1)*((~c)*(~f) - (~d)*(~e))) - ((~a)*(~d)*(~f)*((~n) + (~p) + 2) - (~b)*((~d)*(~e)*((~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~p) + 1)))⨸((~f)*((~p) + 1)*((~c)*(~f) - (~d)*(~e)))* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^simplify((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_8",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~n) + (~p) + 2, 0) ?
+(~b)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~n) + (~p) + 2)) + ((~a)*(~d)*(~f)*((~n) + (~p) + 2) - (~b)*((~d)*(~e)*((~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~p) + 1)))⨸((~d)* (~f)*((~n) + (~p) + 2))*∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_9",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^2*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~n) + (~p) + 2, 0) &&
+    !eq((~n) + (~p) + 3, 0) &&
+    eq( (~d)*(~f)*((~n) + (~p) + 2)*((~a)^2*(~d)*(~f)*((~n) + (~p) + 3) - (~b)*((~b)*(~c)*(~e) + (~a)*((~d)*(~e)*((~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~p) + 1)))) - (~b)*((~d)*(~e)*((~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~p) + 1))*((~a)*(~d)*(~f)*((~n) + (~p) + 4) - (~b)*((~d)*(~e)*((~n) + 2) + (~c)*(~f)*((~p) + 2))), 0) ?
+(~b)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)*(2*(~a)*(~d)*(~f)*((~n) + (~p) + 3) - (~b)*((~d)*(~e)*((~n) + 2) + (~c)*(~f)*((~p) + 2)) + (~b)*(~d)*(~f)*((~n) + (~p) + 2)*(~x))⨸((~d)^2* (~f)^2*((~n) + (~p) + 2)*((~n) + (~p) + 3)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_10",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~m) - (~n) - 1, 0) &&
+    !(isrational((~p))) &&
+    !(igt((~m), 0)) &&
+    !eq((~m) + (~n) + (~p) + 2, 0) ?
+(~a)*∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~f)*(~x))^(~p), (~x)) + (~b)⨸(~f)*∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~f)*(~x))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_11",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p)/(((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+∫(ext_expand(((~e) + (~f)*(~x))^(~p)⨸(((~a) + (~b)*(~x))*((~c) + (~d)*(~x))), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_12",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)/(((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    lt(0, (~p), 1) ?
+((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(((~e) + (~f)*(~x))^((~p) - 1)⨸((~a) + (~b)*(~x)), (~x)) - ((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(((~e) + (~f)*(~x))^((~p) - 1)⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_13",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)/(((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~p), 1) ?
+(~f)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) - 1)⨸((~b)*(~d)*((~p) - 1)) + 1⨸((~b)*(~d))* ∫(((~b)*(~d)*(~e)^2 - (~a)*(~c)*(~f)^2 + (~f)*(2*(~b)*(~d)*(~e) - (~b)*(~c)*(~f) - (~a)*(~d)*(~f))* (~x))*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) - 2)⨸(((~a) + (~b)*(~x))*((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_14",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)/(((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) ?
+(~f)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸(((~p) + 1)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~d)*(~e) - (~c)*(~f))) + 1⨸(((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~d)*(~e) - (~c)*(~f)))* ∫(((~b)*(~d)*(~e) - (~b)*(~c)*(~f) - (~a)*(~d)*(~f) - (~b)*(~d)*(~f)*(~x))*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸(((~a) + (~b)*(~x))*((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_15",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)/(((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(((~e) + (~f)*(~x))^(~p)⨸((~a) + (~b)*(~x)), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(((~e) + (~f)*(~x))^(~p)⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_16",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)/((~!a) + (~!b)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    isfraction((~p)) ?
+∫(ext_expand(((~e) + (~f)*(~x))^ fracpart((~p)), ((~c) + (~d)*(~x))^ (~n)*((~e) + (~f)*(~x))^intpart((~p))⨸((~a) + (~b)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_17",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m), (~n)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~m), 0) &&
+        ge((~n), -1)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_18",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^2*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    (
+        lt((~n), -1) ||
+        eq((~n) + (~p) + 3, 0) &&
+        !eq((~n), -1) &&
+        (
+            sumsimpler((~n), 1) ||
+            !(sumsimpler((~p), 1))
+        )
+    ) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸((~d)^2*((~d)*(~e) - (~c)*(~f))*((~n) + 1)) - 1⨸((~d)^2*((~d)*(~e) - (~c)*(~f))*((~n) + 1))*∫(((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* simplify((~a)^2*(~d)^2*(~f)*((~n) + (~p) + 2) + (~b)^2*(~c)*((~d)*(~e)*((~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~p) + 1)) - 2*(~a)*(~b)*(~d)*((~d)*(~e)*((~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~p) + 1)) - (~b)^2*(~d)*((~d)*(~e) - (~c)*(~f))*((~n) + 1)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_19",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^2*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~n) + (~p) + 3, 0) ?
+(~b)*((~a) + (~b)*(~x))*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~n) + (~p) + 3)) + 1⨸((~d)*(~f)*((~n) + (~p) + 3))*∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* simplify((~a)^2*(~d)*(~f)*((~n) + (~p) + 3) - (~b)*((~b)*(~c)*(~e) + (~a)*((~d)*(~e)*((~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~p) + 1))) + (~b)*((~a)*(~d)*(~f)*((~n) + (~p) + 4) - (~b)*((~d)*(~e)*((~n) + 2) + (~c)*(~f)*((~p) + 2)))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_20",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*(~x))^(1//3)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(2//3)*((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) ?
+-sqrt(3)*rt(((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f)), 3)* atan(1⨸sqrt(3) + 2*rt(((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f)), 3)*((~a) + (~b)*(~x))^(1⨸3)⨸(sqrt(3)*((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸3)))⨸((~d)*(~e) - (~c)*(~f)) + rt(((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f)), 3)*log((~e) + (~f)*(~x))⨸(2*((~d)*(~e) - (~c)*(~f))) - 3*rt(((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f)), 3)*log(rt(((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f)), 3)*((~a) + (~b)*(~x))^(1⨸3) - ((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸3))⨸(2*((~d)*(~e) - (~c)*(~f))) : nothing)
+
+("1_1_1_3_21",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq(2*(~b)*(~d)*(~e) - (~f)*((~b)*(~c) + (~a)*(~d)), 0) ?
+(~b)*(~f)*int_and_subst(1⨸((~d)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))^2 + (~b)*(~f)^2*(~x)^2), (~x), (~x), sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x)), "1_1_1_3_21") : nothing)
+
+("1_1_1_3_22",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)/((~!e) + (~!f)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n) + 1, 0) &&
+    isrational((~n)) &&
+    lt(-1, (~m), 0) &&
+    simpler((~a) + (~b)*(~x), (~c) + (~d)*(~x)) ?
+ext_den((~m))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f) - ((~d)*(~e) - (~c)*(~f))*(~x)^ext_den((~m))), (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))^(1⨸ext_den((~m)))⨸((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "1_1_1_3_22") : nothing)
+
+("1_1_1_3_23",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n) + (~p) + 2, 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    (
+        sumsimpler((~m), 1) ||
+        !(sumsimpler((~p), 1))
+    ) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^ (~n)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))) - (~n)*((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_24",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq(simplify((~m) + (~n) + (~p) + 3), 0) &&
+    eq((~a)*(~d)*(~f)*((~m) + 1) + (~b)*(~c)*(~f)*((~n) + 1) + (~b)*(~d)*(~e)*((~p) + 1), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+(~b)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))) : nothing)
+
+("1_1_1_3_25",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq(simplify((~m) + (~n) + (~p) + 3), 0) &&
+    (
+        lt((~m), -1) ||
+        sumsimpler((~m), 1)
+    ) ?
+(~b)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))) + ((~a)*(~d)*(~f)*((~m) + 1) + (~b)*(~c)*(~f)*((~n) + 1) + (~b)*(~d)*(~e)*((~p) + 1))⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_26",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ||
+        ext_isinteger((~m), (~n) + (~p)) ||
+        ext_isinteger((~p), (~m) + (~n))
+    ) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)⨸((~b)*((~m) + 1)) - 1⨸((~b)*((~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) - 1)* simplify((~d)*(~e)*(~n) + (~c)*(~f)*(~p) + (~d)*(~f)*((~n) + (~p))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_27",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ||
+        ext_isinteger((~m), (~n) + (~p)) ||
+        ext_isinteger((~p), (~m) + (~n))
+    ) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸((~b)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + 1)) + 1⨸((~b)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 2)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* simplify((~a)*(~d)*((~d)*(~e)*((~n) - 1) + (~c)*(~f)*((~p) + 1)) + (~b)*(~c)*((~d)*(~e)*((~m) - (~n) + 2) - (~c)*(~f)*((~m) + (~p) + 2)) + (~d)*((~a)*(~d)*(~f)*((~n) + (~p)) + (~b)*((~d)*(~e)*((~m) + 1) - (~c)*(~f)*((~m) + (~n) + (~p) + 1)))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_28",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ||
+        ext_isinteger((~m), (~n) + (~p)) ||
+        ext_isinteger((~p), (~m) + (~n))
+    ) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^ (~n)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))) - 1⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* simplify((~d)*(~e)*(~n) + (~c)*(~f)*((~m) + (~p) + 2) + (~d)*(~f)*((~m) + (~n) + (~p) + 2)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_29",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) + (~n) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+(~b)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸((~d)* (~f)*((~m) + (~n) + (~p) + 1)) + 1⨸((~d)*(~f)*((~m) + (~n) + (~p) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 2)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* simplify((~a)^2*(~d)*(~f)*((~m) + (~n) + (~p) + 1) - (~b)*((~b)*(~c)*(~e)*((~m) - 1) + (~a)*((~d)*(~e)*((~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~p) + 1))) + (~b)*((~a)*(~d)*(~f)*(2*(~m) + (~n) + (~p)) - (~b)*((~d)*(~e)*((~m) + (~n)) + (~c)*(~f)*((~m) + (~p))))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_30",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n) + (~p) + 1, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ||
+        (
+            ext_isinteger((~m), (~n) + (~p)) ||
+            ext_isinteger((~p), (~m) + (~n))
+        )
+    ) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸((~f)*((~m) + (~n) + (~p) + 1)) - 1⨸((~f)*((~m) + (~n) + (~p) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* simplify((~c)*(~m)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)) + (~a)*(~n)*((~d)*(~e) - (~c)*(~f)) + ((~d)*(~m)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)) + (~b)*(~n)*((~d)*(~e) - (~c)*(~f)))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_31",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) + (~n) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+(~b)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸((~d)* (~f)*((~m) + (~n) + (~p) + 1)) + 1⨸((~d)*(~f)*((~m) + (~n) + (~p) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 2)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* simplify((~a)^2*(~d)*(~f)*((~m) + (~n) + (~p) + 1) - (~b)*((~b)*(~c)*(~e)*((~m) - 1) + (~a)*((~d)*(~e)*((~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~p) + 1))) + (~b)*((~a)*(~d)*(~f)*(2*(~m) + (~n) + (~p)) - (~b)*((~d)*(~e)*((~m) + (~n)) + (~c)*(~f)*((~m) + (~p))))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_32",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ilt((~m), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger((~n)) ||
+        ext_isinteger(2*(~n), 2*(~p)) ||
+        ilt((~m) + (~n) + (~p) + 3, 0)
+    ) ?
+(~b)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))) + 1⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* simplify((~a)*(~d)*(~f)*((~m) + 1) - (~b)*((~d)*(~e)*((~m) + (~n) + 2) + (~c)*(~f)*((~m) + (~p) + 2)) - (~b)*(~d)*(~f)*((~m) + (~n) + (~p) + 3)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_33",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p))  ?
+(~b)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))) + 1⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* simplify((~a)*(~d)*(~f)*((~m) + 1) - (~b)*((~d)*(~e)*((~m) + (~n) + 2) + (~c)*(~f)*((~m) + (~p) + 2)) - (~b)*(~d)*(~f)*((~m) + (~n) + (~p) + 3)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_34",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*((~!e) + (~!f)*(~x))^(1//4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt(-(~f)/((~d)*(~e) - (~c)*(~f)), 0) ?
+-4*int_and_subst((~x)^2⨸(((~b)*(~e) - (~a)*(~f) - (~b)*(~x)^4)*sqrt((~c) - (~d)*(~e)⨸(~f) + (~d)*(~x)^4⨸(~f))), (~x), (~x), ((~e) + (~f)*(~x))^(1⨸4), "1_1_1_3_34") : nothing)
+
+("1_1_1_3_35",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*((~!e) + (~!f)*(~x))^(1//4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !(gt(-(~f)/((~d)*(~e) - (~c)*(~f)), 0)) ?
+sqrt(-(~f)*((~c) + (~d)*(~x))⨸((~d)*(~e) - (~c)*(~f)))⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x))* ∫(1⨸(((~a) + (~b)*(~x))* sqrt(-(~c)*(~f)⨸((~d)*(~e) - (~c)*(~f)) - (~d)*(~f)*(~x)⨸((~d)*(~e) - (~c)*(~f)))*((~e) + (~f)*(~x))^(1⨸4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_36",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*((~!e) + (~!f)*(~x))^(3//4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt(-(~f)/((~d)*(~e) - (~c)*(~f)), 0) ?
+-4*int_and_subst(1⨸(((~b)*(~e) - (~a)*(~f) - (~b)*(~x)^4)*sqrt((~c) - (~d)*(~e)⨸(~f) + (~d)*(~x)^4⨸(~f))), (~x), (~x), ((~e) + (~f)*(~x))^(1⨸4), "1_1_1_3_36") : nothing)
+
+("1_1_1_3_37",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*((~!e) + (~!f)*(~x))^(3//4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !(gt(-(~f)/((~d)*(~e) - (~c)*(~f)), 0)) ?
+sqrt(-(~f)*((~c) + (~d)*(~x))⨸((~d)*(~e) - (~c)*(~f)))⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x))* ∫(1⨸(((~a) + (~b)*(~x))* sqrt(-(~c)*(~f)⨸((~d)*(~e) - (~c)*(~f)) - (~d)*(~f)*(~x)⨸((~d)*(~e) - (~c)*(~f)))*((~e) + (~f)*(~x))^(3⨸4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_38",
+@rule ∫(sqrt((~e) + (~!f)*(~x))/(sqrt((~!b)*(~x))*sqrt((~c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) &&
+    gt((~c), 0) &&
+    gt((~e), 0) &&
+    !(lt(-(~b)/(~d), 0)) ?
+2*sqrt((~e))⨸(~b)*rt(-(~b)⨸(~d), 2)* elliptic_e(asin(sqrt((~b)*(~x))⨸(sqrt((~c))*rt(-(~b)⨸(~d), 2))), (~c)*(~f)⨸((~d)*(~e))) : nothing)
+
+("1_1_1_3_39",
+@rule ∫(sqrt((~e) + (~!f)*(~x))/(sqrt((~!b)*(~x))*sqrt((~c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) &&
+    gt((~c), 0) &&
+    gt((~e), 0) &&
+    lt(-(~b)/(~d), 0) ?
+sqrt(-(~b)*(~x))⨸sqrt((~b)*(~x))* ∫(sqrt((~e) + (~f)*(~x))⨸(sqrt(-(~b)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_40",
+@rule ∫(sqrt((~e) + (~!f)*(~x))/(sqrt((~!b)*(~x))*sqrt((~c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) &&
+    !(
+        gt((~c), 0) &&
+        gt((~e), 0)
+    ) ?
+sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt(1 + (~d)*(~x)⨸(~c))⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt(1 + (~f)*(~x)⨸(~e)))* ∫(sqrt(1 + (~f)*(~x)⨸(~e))⨸(sqrt((~b)*(~x))*sqrt(1 + (~d)*(~x)⨸(~c))), (~x)) : nothing)
+
+# (* Int[Sqrt[e_.+f_.*x_]/(Sqrt[a_+b_.*x_]*Sqrt[c_+d_.*x_]),x_Symbol] := f/b*Int[Sqrt[a+b*x]/(Sqrt[c+d*x]*Sqrt[e+f*x]),x] - f/b*Int[1/(Sqrt[a+b*x]*Sqrt[c+d*x]*Sqrt[e+f*x]),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f},x] && EqQ[b*e-f*(a-1),0] *) 
+# (* Int[Sqrt[e_.+f_.*x_]/(Sqrt[a_+b_.*x_]*Sqrt[c_+d_.*x_]),x_Symbol] := 2/b*Rt[-(b*c-a*d)/d,2]*Sqrt[(b*e-a*f)/(b*c-a*d)]* EllipticE[ArcSin[Sqrt[a+b*x]/Rt[-(b*c-a*d)/d,2]],f*(b*c-a*d)/(d*( b*e-a*f))] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f},x] && GtQ[b/(b*c-a*d),0] && GtQ[b/(b*e-a*f),0] &&  Not[LtQ[-(b*c-a*d)/d,0]] && Not[SimplerQ[c+d*x,a+b*x] && GtQ[-d/(b*c-a*d),0] &&  GtQ[d/(d*e-c*f),0] && Not[LtQ[(b*c-a*d)/b,0]]] *) 
+("1_1_1_3_41",
+@rule ∫(sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~b)/((~b)*(~c) - (~a)*(~d)), 0) &&
+    gt((~b)/((~b)*(~e) - (~a)*(~f)), 0) &&
+    !(lt(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))/(~d), 0)) &&
+    !(
+        simpler((~c) + (~d)*(~x), (~a) + (~b)*(~x)) &&
+        gt(-(~d)/((~b)*(~c) - (~a)*(~d)), 0) &&
+        gt((~d)/((~d)*(~e) - (~c)*(~f)), 0) &&
+        !(lt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))/(~b), 0))
+    ) ?
+2⨸(~b)*rt(-((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸(~d), 2)* elliptic_e(asin(sqrt((~a) + (~b)*(~x))⨸rt(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~d), 2)), (~f)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~d)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))) : nothing)
+
+("1_1_1_3_42",
+@rule ∫(sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !(
+        gt((~b)/((~b)*(~c) - (~a)*(~d)), 0) &&
+        gt((~b)/((~b)*(~e) - (~a)*(~f)), 0)
+    ) &&
+    !(lt(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))/(~d), 0)) ?
+sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~b)*((~c) + (~d)*(~x))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))* sqrt((~b)*((~e) + (~f)*(~x))⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f))))* ∫( sqrt((~b)*(~e)⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f)) + (~b)*(~f)*(~x)⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x))* sqrt((~b)*(~c)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)) + (~b)*(~d)*(~x)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_43",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!b)*(~x))*sqrt((~c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~c), 0) &&
+    gt((~e), 0) &&
+    (
+        gt(-(~b)/(~d), 0) ||
+        lt(-(~b)/(~f), 0)
+    ) ?
+2⨸((~b)*sqrt((~e)))*rt(-(~b)⨸(~d), 2)* elliptic_f(asin(sqrt((~b)*(~x))⨸(sqrt((~c))*rt(-(~b)⨸(~d), 2))), (~c)*(~f)⨸((~d)*(~e))) : nothing)
+
+("1_1_1_3_44",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!b)*(~x))*sqrt((~c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~c), 0) &&
+    gt((~e), 0) &&
+    (
+        pos(-(~b)/(~d)) ||
+        neg(-(~b)/(~f))
+    ) ?
+2⨸((~b)*sqrt((~e)))*rt(-(~b)⨸(~d), 2)* elliptic_f(asin(sqrt((~b)*(~x))⨸(sqrt((~c))*rt(-(~b)⨸(~d), 2))), (~c)*(~f)⨸((~d)*(~e))) : nothing)
+
+("1_1_1_3_45",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!b)*(~x))*sqrt((~c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !(
+        gt((~c), 0) &&
+        gt((~e), 0)
+    ) ?
+sqrt(1 + (~d)*(~x)⨸(~c))*sqrt(1 + (~f)*(~x)⨸(~e))⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(1⨸(sqrt((~b)*(~x))*sqrt(1 + (~d)*(~x)⨸(~c))*sqrt(1 + (~f)*(~x)⨸(~e))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_46",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~d)/(~b), 0) &&
+    gt((~f)/(~b), 0) &&
+    le((~c), (~a)*(~d)/(~b)) &&
+    le((~e), (~a)*(~f)/(~b)) ?
+-2*sqrt((~d)⨸(~f))⨸((~d)*rt(-((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸(~f), 2))* elliptic_f(asin(rt(-((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸(~f), 2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x))), (~f)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~d)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))) : nothing)
+
+# (* Int[1/(Sqrt[a_+b_.*x_]*Sqrt[c_+d_.*x_]*Sqrt[e_+f_.*x_]),x_Symbol] := -2*Sqrt[c+d*x]*Sqrt[b*(e+f*x)/(f*(a+b*x))]/(d*Rt[-(b*e-a*f)/f,2]* Sqrt[e+f*x]*Sqrt[b*(c+d*x)/(d*(a+b*x))])* EllipticF[ArcSin[Rt[-(b*e-a*f)/f,2]/Sqrt[a+b*x]],f*(b*c-a*d)/(d*( b*e-a*f))] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f},x] && PosQ[-(b*e-a*f)/f] && (*  (LtQ[-a/b,-c/d,-e/f] || GtQ[-a/b,-c/d,-e/f]) *) Not[SimplerQ[c+d*x,a+b*x] && (PosQ[(-d*e+c*f)/f] ||  PosQ[(b*e-a*f)/b])] && Not[SimplerQ[e+f*x,a+b*x] && (PosQ[(b*e-a*f)/b] ||  PosQ[(b*c-a*d)/b])] *) 
+("1_1_1_3_47",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))/(~b), 0) &&
+    gt(((~b)*(~e) - (~a)*(~f))/(~b), 0) &&
+    pos(-(~b)/(~d)) &&
+    !(
+        simpler((~c) + (~d)*(~x), (~a) + (~b)*(~x)) &&
+        gt(((~d)*(~e) - (~c)*(~f))/(~d), 0) &&
+        gt(-(~d)/(~b), 0)
+    ) &&
+    !(
+        simpler((~c) + (~d)*(~x), (~a) + (~b)*(~x)) &&
+        gt((-(~b)*(~e) + (~a)*(~f))/(~f), 0) &&
+        gt(-(~f)/(~b), 0)
+    ) &&
+    !(
+        simpler((~e) + (~f)*(~x), (~a) + (~b)*(~x)) &&
+        gt((-(~d)*(~e) + (~c)*(~f))/(~f), 0) &&
+        gt((-(~b)*(~e) + (~a)*(~f))/(~f), 0) &&
+        (
+            pos(-(~f)/(~d)) ||
+            pos(-(~f)/(~b))
+        )
+    ) ?
+2*rt(-(~b)⨸(~d), 2)⨸((~b)*sqrt(((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸(~b)))* elliptic_f(asin(sqrt((~a) + (~b)*(~x))⨸(rt(-(~b)⨸(~d), 2)*sqrt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b)))), (~f)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~d)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))) : nothing)
+
+("1_1_1_3_48",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~b)/((~b)*(~c) - (~a)*(~d)), 0) &&
+    gt((~b)/((~b)*(~e) - (~a)*(~f)), 0) &&
+    simpler((~a) + (~b)*(~x), (~c) + (~d)*(~x)) &&
+    simpler((~a) + (~b)*(~x), (~e) + (~f)*(~x)) &&
+    (
+        pos(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))/(~d)) ||
+        neg(-((~b)*(~e) - (~a)*(~f))/(~f))
+    ) ?
+2*rt(-(~b)⨸(~d), 2)⨸((~b)*sqrt(((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸(~b)))* elliptic_f(asin(sqrt((~a) + (~b)*(~x))⨸(rt(-(~b)⨸(~d), 2)*sqrt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b)))), (~f)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~d)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))) : nothing)
+
+# (* && PosQ[-b/d] add to the end of previous rule *) 
+("1_1_1_3_49",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !(gt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))/(~b), 0)) &&
+    simpler((~a) + (~b)*(~x), (~c) + (~d)*(~x)) &&
+    simpler((~a) + (~b)*(~x), (~e) + (~f)*(~x)) ?
+sqrt((~b)*((~c) + (~d)*(~x))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x))* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~b)*(~c)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)) + (~b)*(~d)*(~x)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))* sqrt((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_50",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !(gt(((~b)*(~e) - (~a)*(~f))/(~b), 0)) ?
+sqrt((~b)*((~e) + (~f)*(~x))⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))⨸sqrt((~e) + (~f)*(~x))* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x))* sqrt((~b)*(~e)⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f)) + (~b)*(~f)*(~x)⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_51",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!c) + (~!d)*(~x))^(1//3)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(1//3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq(2*(~b)*(~d)*(~e) - (~b)*(~c)*(~f) - (~a)*(~d)*(~f), 0) ?
+-log((~a) + (~b)*(~x))⨸(2*rt((~b)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2, 3)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))) - sqrt(3)* atan(1⨸sqrt(3) + 2*rt((~b)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2, 3)*((~c) + (~d)*(~x))^(2⨸3)⨸(sqrt(3)*((~e) + (~f)*(~x))^(1⨸3)))⨸(2* rt((~b)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2, 3)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))) + 3*log(rt((~b)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2, 3)*((~c) + (~d)*(~x))^(2⨸3) - ((~e) + (~f)*(~x))^(1⨸3))⨸(4*rt((~b)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2, 3)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))) : nothing)
+
+("1_1_1_3_52",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)/(((~!c) + (~!d)*(~x))^(1//3)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(1//3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq(2*(~b)*(~d)*(~e) - (~b)*(~c)*(~f) - (~a)*(~d)*(~f), 0) &&
+    ilt((~m), -1) ?
+(~b)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(2⨸ 3)*((~e) + (~f)*(~x))^(2⨸3)⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))) + (~f)⨸(6*((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~a)*(~d)*(3*(~m) + 1) - 3*(~b)*(~c)*(3*(~m) + 5) - 2*(~b)*(~d)*(3*(~m) + 7)*(~x))⨸(((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸3)*((~e) + (~f)*(~x))^(1⨸3)), (~x)) : nothing)
+
+# (* Int[(a_.+b_.*x_)^m_.*(c_.+d_.*x_)^n_.*(f_.*x_)^p_.,x_Symbol] := Simp[(a+b*x)^m*(c+d*x)^m/(a*c+b*d*x^2)^m]*Int[(a*c+b*d*x^2)^m*(f*x)^ p,x] /; FreeQ[{a,b,c,d,f,m,n,p},x] && EqQ[b*c+a*d,0] && EqQ[n,m] *) 
+("1_1_1_3_53",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~n), (~m)) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    gt((~c), 0) ?
+∫(((~a)*(~c) + (~b)*(~d)*(~x)^2)^(~m)*((~f)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_54",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~n), (~m)) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^ fracpart((~m))*((~c) + (~d)*(~x))^fracpart((~m))⨸((~a)*(~c) + (~b)*(~d)*(~x)^2)^fracpart((~m))* ∫(((~a)*(~c) + (~b)*(~d)*(~x)^2)^(~m)*((~f)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_55",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    (
+        igt((~m), 0) ||
+        ilt((~m), 0) &&
+        ilt((~n), 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_56",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~p)*((~a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    isfraction((~p)) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+ext_den((~p))⨸(~e)* int_and_subst((~x)^(ext_den((~p))*((~p) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^ext_den((~p))⨸(~e))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x)^ext_den((~p))⨸(~e))^(~n), (~x), (~x), ((~e)*(~x))^(1⨸ext_den((~p))), "1_1_1_3_56") : nothing)
+
+("1_1_1_3_57",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)/((~!e) + (~!f)*(~x))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~m) + (~n), 0) &&
+    eq(2*(~b)*(~d)*(~e) - (~f)*((~b)*(~c) + (~a)*(~d)), 0) ?
+(~b)*(~d)⨸(~f)^2*∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1), (~x)) + ((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸(~f)^2* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1)⨸((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_58",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n) + (~p), 0) &&
+    ilt((~p), 0) &&
+    (
+        lt((~m), 0) ||
+        sumsimpler((~m), 1) ||
+        !(
+            lt((~n), 0) ||
+            sumsimpler((~n), 1)
+        )
+    ) ?
+(~f)^((~p) - 1)⨸(~d)^(~p)* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~d)*(~e)*(~p) - (~c)*(~f)*((~p) - 1) + (~d)*(~f)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1), (~x)) + (~f)^((~p) - 1)*∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)⨸((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)* expand_to_sum( (~f)^(-(~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(-(~p) + 1) - ((~d)*(~e)*(~p) - (~c)*(~f)*((~p) - 1) + (~d)*(~f)*(~x))⨸((~d)^(~p)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_59",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n) + (~p) + 1, 0) &&
+    ilt((~p), 0) &&
+    (
+        gt((~m), 0) ||
+        sumsimpler((~m), -1) ||
+        !(
+            gt((~n), 0) ||
+            sumsimpler((~n), -1)
+        )
+    ) ?
+(~b)*(~d)^((~m) + (~n))*(~f)^(~p)*∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1)⨸((~c) + (~d)*(~x))^(~m), (~x)) + ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)⨸((~c) + (~d)*(~x))^(~m)* expand_to_sum(((~a) + (~b)*(~x))*((~c) + (~d)*(~x))^(-(~p) - 1) - ((~b)*(~d)^(-(~p) - 1)* (~f)^(~p))⨸((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_60",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n) + (~p) + 2, 0) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    (
+        sumsimpler((~m), 1) ||
+        !(sumsimpler((~p), 1))
+    ) &&
+    !(ilt((~m), 0)) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^ (~n)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~m) + 1))* hypergeometric2f1((~m) + 1, -(~n), (~m) + 2, -((~d)*(~e) - (~c)*(~f))*((~a) + (~b)*(~x))⨸(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~e) + (~f)*(~x)))) : nothing)
+
+("1_1_1_3_61",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n) + (~p) + 2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^ (~n)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸(((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + 1))*(((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~c) + (~d)*(~x))⨸(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~e) + (~f)*(~x))))^(-(~n))* hypergeometric2f1((~m) + 1, -(~n), (~m) + 2, -((~d)*(~e) - (~c)*(~f))*((~a) + (~b)*(~x))⨸(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~e) + (~f)*(~x)))) : nothing)
+
+("1_1_1_3_62",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)/((~!e) + (~!f)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~m) + (~n) + 1, 0) &&
+    (
+        lt((~m), 0) ||
+        sumsimpler((~m), 1) ||
+        !(
+            lt((~n), 0) ||
+            sumsimpler((~n), 1)
+        )
+    ) ?
+((~c)*(~f) - (~d)*(~e))^((~m) + (~n) + 1)⨸(~f)^((~m) + (~n) + 1)* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)⨸(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + 1⨸(~f)^((~m) + (~n) + 1)* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)⨸((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)* expand_to_sum(((~f)^((~m) + (~n) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + (~n) + 1) - ((~c)*(~f) - (~d)*(~e))^((~m) + (~n) + 1))⨸((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_63",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ilt((~m) + (~n) + (~p) + 2, 0) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    (
+        sumsimpler((~m), 1) ||
+        !(sumsimpler((~n), 1)) &&
+        !(sumsimpler((~p), 1))
+    ) ?
+(~b)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))) + 1⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* simplify((~a)*(~d)*(~f)*((~m) + 1) - (~b)*((~d)*(~e)*((~m) + (~n) + 2) + (~c)*(~f)*((~m) + (~p) + 2)) - (~b)*(~d)*(~f)*((~m) + (~n) + (~p) + 3)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_64",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~m) - (~n), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n) + (~p) + 2, 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~f)*(~x))^ (~p), ((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - (~n)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_65",
+@rule ∫(((~!b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~!f)*(~x))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    gt((~c), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~e), 0)
+    ) ?
+(~c)^(~n)*(~e)^(~p)*((~b)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~b)*((~m) + 1))* appell_f1((~m) + 1, -(~n), -(~p), (~m) + 2, -(~d)*(~x)⨸(~c), -(~f)*(~x)⨸(~e)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_66",
+@rule ∫(((~!b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~!f)*(~x))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    gt(-(~d)/((~b)*(~c)), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~d)/((~d)*(~e) - (~c)*(~f)), 0)
+    ) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)⨸((~d)*((~n) + 1)*(-(~d)⨸((~b)*(~c)))^(~m)*((~d)⨸((~d)*(~e) - (~c)*(~f)))^(~p))* appell_f1((~n) + 1, -(~m), -(~p), (~n) + 2, 1 + (~d)*(~x)⨸(~c), -(~f)*((~c) + (~d)*(~x))⨸((~d)*(~e) - (~c)*(~f))) : nothing)
+
+("1_1_1_3_67",
+@rule ∫(((~!b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~!f)*(~x))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    !(gt((~c), 0)) ?
+(~c)^intpart((~n))*((~c) + (~d)*(~x))^fracpart((~n))⨸(1 + (~d)*(~x)⨸(~c))^fracpart((~n))* ∫(((~b)*(~x))^(~m)*(1 + (~d)*(~x)⨸(~c))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_68",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    gt((~b)/((~b)*(~c) - (~a)*(~d)), 0) &&
+    !(
+        gt((~d)/((~d)*(~a) - (~c)*(~b)), 0) &&
+        simpler((~c) + (~d)*(~x), (~a) + (~b)*(~x))
+    ) ?
+((~b)*(~e) - (~a)*(~f))^ (~p)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~b)^((~p) + 1)*((~m) + 1)*((~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))^(~n))* appell_f1((~m) + 1, -(~n), -(~p), (~m) + 2, -(~d)*((~a) + (~b)*(~x))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)), -(~f)*((~a) + (~b)*(~x))⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f))) : nothing)
+
+("1_1_1_3_69",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    !(gt((~b)/((~b)*(~c) - (~a)*(~d)), 0)) &&
+    !(simpler((~c) + (~d)*(~x), (~a) + (~b)*(~x))) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^ fracpart( (~n))⨸(((~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))^intpart((~n))*((~b)*((~c) + (~d)*(~x))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))^ fracpart((~n)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~b)*(~c)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)) + (~b)*(~d)*(~x)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))^ (~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_70",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~b)/((~b)*(~c) - (~a)*(~d)), 0) &&
+    gt((~b)/((~b)*(~e) - (~a)*(~f)), 0) &&
+    !(
+        gt((~d)/((~d)*(~a) - (~c)*(~b)), 0) &&
+        gt((~d)/((~d)*(~e) - (~c)*(~f)), 0) &&
+        simpler((~c) + (~d)*(~x), (~a) + (~b)*(~x))
+    ) &&
+    !(
+        gt((~f)/((~f)*(~a) - (~e)*(~b)), 0) &&
+        gt((~f)/((~f)*(~c) - (~e)*(~d)), 0) &&
+        simpler((~e) + (~f)*(~x), (~a) + (~b)*(~x))
+    ) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~b)*((~m) + 1)*((~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))^(~n)*((~b)⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))^(~p))* appell_f1((~m) + 1, -(~n), -(~p), (~m) + 2, -(~d)*((~a) + (~b)*(~x))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)), -(~f)*((~a) + (~b)*(~x))⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f))) : nothing)
+
+("1_1_1_3_71",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~b)/((~b)*(~c) - (~a)*(~d)), 0) &&
+    !(gt((~b)/((~b)*(~e) - (~a)*(~f)), 0)) ?
+((~e) + (~f)*(~x))^ fracpart( (~p))⨸(((~b)⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))^intpart((~p))*((~b)*((~e) + (~f)*(~x))⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))^ fracpart((~p)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^ (~n)*((~b)*(~e)⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f)) + (~b)*(~f)*(~x)⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_72",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !(gt((~b)/((~b)*(~c) - (~a)*(~d)), 0)) &&
+    !(simpler((~c) + (~d)*(~x), (~a) + (~b)*(~x))) &&
+    !(simpler((~e) + (~f)*(~x), (~a) + (~b)*(~x))) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^ fracpart( (~n))⨸(((~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))^intpart((~n))*((~b)*((~c) + (~d)*(~x))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))^ fracpart((~n)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~b)*(~c)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)) + (~b)*(~d)*(~x)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))^ (~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_3_73",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~u))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~u))^(~!n)*((~e) + (~!f)*(~u))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !eq((~u), (~x)) ?
+1⨸Symbolics.coeff((~u), (~x) ^ 1)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x), (~x), (~u), "1_1_1_3_73") : nothing)
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.4 (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.4 (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q.jl
new file mode 100644
index 00000000..9a45a672
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.4 (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q.jl	
@@ -0,0 +1,358 @@
+file_rules = [
+# (* ::Subsection::Closed:: *) 
+# (* 1.1.1.4 (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q *) 
+("1_1_1_4_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!n)*((~e) + (~!f)*(~x))*((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) &&
+    (
+        igt((~m), 0) ||
+        ext_isinteger((~m), (~n))
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))*((~g) + (~h)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_2",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~e) + (~!f)*(~x))*((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n) + 2, 0) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    (
+        sumsimpler((~m), 1) ||
+        !(sumsimpler((~n), 1))
+    ) ?
+((~b)^2*(~d)*(~e)*(~g) - (~a)^2*(~d)*(~f)*(~h)*(~m) - (~a)*(~b)*((~d)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h)) - (~c)*(~f)*(~h)*((~m) + 1)) + (~b)*(~f)*(~h)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + 1)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)⨸ ((~b)^2*(~d)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + 1)) + ((~a)*(~d)*(~f)*(~h)*(~m) + (~b)*((~d)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h)) - (~c)*(~f)*(~h)*((~m) + 2)))⨸((~b)^2*(~d))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_3",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~!f)*(~x))*((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    lt((~n), -1) ?
+((~b)^2*(~c)*(~d)*(~e)*(~g)*((~n) + 1) + (~a)^2*(~c)*(~d)*(~f)*(~h)*((~n) + 1) + (~a)*(~b)*((~d)^2*(~e)*(~g)*((~m) + 1) + (~c)^2*(~f)*(~h)*((~m) + 1) - (~c)*(~d)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))*((~m) + (~n) + 2)) + ((~a)^2*(~d)^2*(~f)*(~h)*((~n) + 1) - (~a)*(~b)*(~d)^2*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))*((~n) + 1) + (~b)^2*((~c)^2*(~f)*(~h)*((~m) + 1) - (~c)*(~d)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))*((~m) + 1) + (~d)^2*(~e)*(~g)*((~m) + (~n) + 2)))*(~x))⨸ ((~b)*(~d)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2*((~m) + 1)*((~n) + 1))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1) - ((~a)^2*(~d)^2*(~f)*(~h)*(2 + 3*(~n) + (~n)^2) + (~a)*(~b)*(~d)*((~n) + 1)*(2*(~c)*(~f)*(~h)*((~m) + 1) - (~d)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))*((~m) + (~n) + 3)) + (~b)^2*((~c)^2*(~f)*(~h)*(2 + 3*(~m) + (~m)^2) - (~c)*(~d)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))*((~m) + 1)*((~m) + (~n) + 3) + (~d)^2*(~e)*(~g)*(6 + (~m)^2 + 5*(~n) + (~n)^2 + (~m)*(2*(~n) + 5))))⨸ ((~b)*(~d)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2*((~m) + 1)*((~n) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_4",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~e) + (~!f)*(~x))*((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~x)) &&
+    (
+        lt((~m), -2) ||
+        eq((~m) + (~n) + 3, 0) &&
+        !(lt((~n), -2))
+    ) ?
+((~b)^3*(~c)*(~e)*(~g)*((~m) + 2) - (~a)^3*(~d)*(~f)*(~h)*((~n) + 2) - (~a)^2*(~b)*((~c)*(~f)*(~h)*(~m) - (~d)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))*((~m) + (~n) + 3)) - (~a)*(~b)^2*((~c)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h)) + (~d)*(~e)*(~g)*(2*(~m) + (~n) + 4)) + (~b)*((~a)^2*(~d)*(~f)*(~h)*((~m) - (~n)) - (~a)*(~b)*(2*(~c)*(~f)*(~h)*((~m) + 1) - (~d)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))*((~n) + 1)) + (~b)^2*((~c)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))*((~m) + 1) - (~d)*(~e)*(~g)*((~m) + (~n) + 2)))*(~x))⨸ ((~b)^2*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2*((~m) + 1)*((~m) + 2))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1) + ((~f)*(~h)⨸ (~b)^2 - ((~d)*((~m) + (~n) + 3)*((~a)^2*(~d)*(~f)*(~h)*((~m) - (~n)) - (~a)*(~b)*(2*(~c)*(~f)*(~h)*((~m) + 1) - (~d)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))*((~n) + 1)) + (~b)^2*((~c)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))*((~m) + 1) - (~d)*(~e)*(~g)*((~m) + (~n) + 2))))⨸ ((~b)^2*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2*((~m) + 1)*((~m) + 2)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 2)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_5",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~e) + (~!f)*(~x))*((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~x)) &&
+    (
+        ge((~m), -2) &&
+        lt((~m), -1) ||
+        sumsimpler((~m), 1)
+    ) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 3, 0) ?
+((~a)^2*(~d)*(~f)*(~h)*((~n) + 2) + (~b)^2*(~d)*(~e)*(~g)*((~m) + (~n) + 3) + (~a)*(~b)*((~c)*(~f)*(~h)*((~m) + 1) - (~d)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))*((~m) + (~n) + 3)) + (~b)*(~f)*(~h)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + 1)*(~x))⨸ ((~b)^2*(~d)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + 1)*((~m) + (~n) + 3))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1) - ((~a)^2*(~d)^2*(~f)*(~h)*((~n) + 1)*((~n) + 2) + (~a)*(~b)*(~d)*((~n) + 1)*(2*(~c)*(~f)*(~h)*((~m) + 1) - (~d)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))*((~m) + (~n) + 3)) + (~b)^2*((~c)^2*(~f)*(~h)*((~m) + 1)*((~m) + 2) - (~c)*(~d)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))*((~m) + 1)*((~m) + (~n) + 3) + (~d)^2*(~e)*(~g)*((~m) + (~n) + 2)*((~m) + (~n) + 3)))⨸ ((~b)^2*(~d)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + 1)*((~m) + (~n) + 3))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_6",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!n)*((~e) + (~!f)*(~x))*((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 2, 0) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 3, 0) ?
+-((~a)*(~d)*(~f)*(~h)*((~n) + 2) + (~b)*(~c)*(~f)*(~h)*((~m) + 2) - (~b)*(~d)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))*((~m) + (~n) + 3) - (~b)*(~d)*(~f)*(~h)*((~m) + (~n) + 2)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)⨸ ((~b)^2*(~d)^2*((~m) + (~n) + 2)*((~m) + (~n) + 3)) + ((~a)^2*(~d)^2*(~f)*(~h)*((~n) + 1)*((~n) + 2) + (~a)*(~b)*(~d)*((~n) + 1)*(2*(~c)*(~f)*(~h)*((~m) + 1) - (~d)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))*((~m) + (~n) + 3)) + (~b)^2*((~c)^2*(~f)*(~h)*((~m) + 1)*((~m) + 2) - (~c)*(~d)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))*((~m) + 1)*((~m) + (~n) + 3) + (~d)^2*(~e)*(~g)*((~m) + (~n) + 2)*((~m) + (~n) + 3)))⨸ ((~b)^2*(~d)^2*((~m) + (~n) + 2)*((~m) + (~n) + 3))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_7",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^ (~p)*((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~x)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m), (~n), (~p)) ||
+        igt((~n), 0) &&
+        igt((~p), 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~g) + (~h)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_8",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^ (~p)*((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~p), (~x)) &&
+    ilt((~m), -1) &&
+    gt((~n), 0) ?
+((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^ (~n)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸((~b)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + 1)) - 1⨸((~b)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* simplify((~b)*(~c)*((~f)*(~g) - (~e)*(~h))*((~m) + 1) + ((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*((~d)*(~e)*(~n) + (~c)*(~f)*((~p) + 1)) + (~d)*((~b)*((~f)*(~g) - (~e)*(~h))*((~m) + 1) + (~f)*((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*((~n) + (~p) + 1))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_9",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^ (~p)*((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~p), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^ (~n)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸((~b)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + 1)) - 1⨸((~b)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* simplify((~b)*(~c)*((~f)*(~g) - (~e)*(~h))*((~m) + 1) + ((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*((~d)*(~e)*(~n) + (~c)*(~f)*((~p) + 1)) + (~d)*((~b)*((~f)*(~g) - (~e)*(~h))*((~m) + 1) + (~f)*((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*((~n) + (~p) + 1))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_10",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^ (~p)*((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ilt((~m), -1) ?
+((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))) + 1⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* simplify(((~a)*(~d)*(~f)*(~g) - (~b)*((~d)*(~e) + (~c)*(~f))*(~g) + (~b)*(~c)*(~e)*(~h))*((~m) + 1) - ((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*((~d)*(~e)*((~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~p) + 1)) - (~d)*(~f)*((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*((~m) + (~n) + (~p) + 3)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_11",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^ (~p)*((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~n), (~p), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))) + 1⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* simplify(((~a)*(~d)*(~f)*(~g) - (~b)*((~d)*(~e) + (~c)*(~f))*(~g) + (~b)*(~c)*(~e)*(~h))*((~m) + 1) - ((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*((~d)*(~e)*((~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~p) + 1)) - (~d)*(~f)*((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*((~m) + (~n) + (~p) + 3)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_12",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^ (~p)*((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~n), (~p), (~x)) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n) + (~p) + 2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+(~h)*((~a) + (~b)*(~x))^ (~m)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~m) + (~n) + (~p) + 2)) + 1⨸((~d)*(~f)*((~m) + (~n) + (~p) + 2))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* simplify((~a)*(~d)*(~f)*(~g)*((~m) + (~n) + (~p) + 2) - (~h)*((~b)*(~c)*(~e)*(~m) + (~a)*((~d)*(~e)*((~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~p) + 1))) + ((~b)*(~d)*(~f)*(~g)*((~m) + (~n) + (~p) + 2) + (~h)*((~a)*(~d)*(~f)*(~m) - (~b)*((~d)*(~e)*((~m) + (~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~m) + (~p) + 1))))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_13",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^ (~p)*((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~n), (~p), (~x)) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n) + (~p) + 2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+(~h)*((~a) + (~b)*(~x))^ (~m)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~m) + (~n) + (~p) + 2)) + 1⨸((~d)*(~f)*((~m) + (~n) + (~p) + 2))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* simplify((~a)*(~d)*(~f)*(~g)*((~m) + (~n) + (~p) + 2) - (~h)*((~b)*(~c)*(~e)*(~m) + (~a)*((~d)*(~e)*((~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~p) + 1))) + ((~b)*(~d)*(~f)*(~g)*((~m) + (~n) + (~p) + 2) + (~h)*((~a)*(~d)*(~f)*(~m) - (~b)*((~d)*(~e)*((~m) + (~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~m) + (~p) + 1))))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_14",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^ (~p)*((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ilt((~m) + (~n) + (~p) + 2, 0) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    (
+        sumsimpler((~m), 1) ||
+        !(
+            !eq((~n), -1) &&
+            sumsimpler((~n), 1)
+        ) &&
+        !(
+            !eq((~p), -1) &&
+            sumsimpler((~p), 1)
+        )
+    ) ?
+((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))) + 1⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* simplify(((~a)*(~d)*(~f)*(~g) - (~b)*((~d)*(~e) + (~c)*(~f))*(~g) + (~b)*(~c)*(~e)*(~h))*((~m) + 1) - ((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*((~d)*(~e)*((~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~p) + 1)) - (~d)*(~f)*((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*((~m) + (~n) + (~p) + 3)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_15",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!g) + (~!h)*(~x))/((~!e) + (~!f)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) &&
+    igt((~m) + (~n) + 1, 0) &&
+    (
+        lt((~m), 0) ||
+        sumsimpler((~m), 1) ||
+        !(sumsimpler((~n), 1))
+    ) ?
+((~f)*(~g) - (~e)*(~h))*((~c)*(~f) - (~d)*(~e))^((~m) + (~n) + 1)⨸(~f)^((~m) + (~n) + 2)* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)⨸(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + 1⨸(~f)^((~m) + (~n) + 2)*∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)⨸((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)* expand_to_sum(((~f)^((~m) + (~n) + 2)*((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + (~n) + 1)*((~g) + (~h)*(~x)) - ((~f)*(~g) - (~e)*(~h))*((~c)*(~f) - (~d)*(~e))^((~m) + (~n) + 1))⨸((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_16",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~!g) + (~!h)*(~x))/(((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) ?
+((~b)*(~g) - (~a)*(~h))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(((~e) + (~f)*(~x))^(~p)⨸((~a) + (~b)*(~x)), (~x)) - ((~d)*(~g) - (~c)*(~h))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(((~e) + (~f)*(~x))^(~p)⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_17",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~!g) + (~!h)*(~x))/((~!a) + (~!b)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~n), (~p), (~x)) ?
+(~h)⨸(~b)*∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)) + ((~b)*(~g) - (~a)*(~h))⨸(~b)* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)⨸((~a) + (~b)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_18",
+@rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))/(sqrt((~!a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~c) + (~!d)*(~x))* sqrt((~e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) &&
+    simpler((~a) + (~b)*(~x), (~e) + (~f)*(~x)) &&
+    simpler((~c) + (~d)*(~x), (~e) + (~f)*(~x)) ?
+(~h)⨸(~f)*∫(sqrt((~e) + (~f)*(~x))⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) + ((~f)*(~g) - (~e)*(~h))⨸(~f)* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_19",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^ (~p)*((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    (
+        sumsimpler((~m), 1) ||
+        !(sumsimpler((~n), 1)) &&
+        !(sumsimpler((~p), 1))
+    ) ?
+(~h)⨸(~b)*∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)) + ((~b)*(~g) - (~a)*(~h))⨸(~b)*∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_20",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸((~b)*((~m) + 1)) - 1⨸(2*(~b)*((~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x)))* simplify((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(~f)*(~g) + (~c)*(~e)*(~h) + 2*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h))*(~x) + 3*(~d)*(~f)*(~h)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_21",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    !(lt((~m), -1)) ?
+2*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸((~b)*(2*(~m) + 5)) + 1⨸((~b)*(2*(~m) + 5))* ∫((((~a) + (~b)*(~x))^(~m))⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x)))* simplify(3*(~b)*(~c)*(~e)*(~g) - (~a)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(~f)*(~g) + (~c)*(~e)*(~h)) + 2*((~b)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(~f)*(~g) + (~c)*(~e)*(~h)) - (~a)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h)))* (~x) - (3*(~a)*(~d)*(~f)*(~h) - (~b)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h)))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_22",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))/sqrt((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    gt((~m), 0) ?
+2*((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸((~d)*(2*(~m) + 3)) - 1⨸((~d)*(2*(~m) + 3))* ∫((((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1)⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))))* simplify(2*(~b)*(~c)*(~e)*(~g)*(~m) + (~a)*((~c)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h)) - 2*(~d)*(~e)*(~g)*((~m) + 1)) - ((~b)*(2*(~d)*(~e)*(~g) - (~c)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))*(2*(~m) + 1)) - (~a)*(2*(~c)*(~f)*(~h) - (~d)*(2*(~m) + 1)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))))*(~x) - (2*(~a)*(~d)*(~f)*(~h)*(~m) + (~b)*((~d)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h)) - 2*(~c)*(~f)*(~h)*((~m) + 1)))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_23",
+@rule ∫(sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))/(((~!a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) ?
+((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~b)*(~g) - (~a)*(~h))⨸(~b)^2* ∫(1⨸(((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) + 1⨸(~b)^2* ∫(simplify((~b)*(~f)*(~g) + (~b)*(~e)*(~h) - (~a)*(~f)*(~h) + (~b)*(~f)*(~h)*(~x), (~x))⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_24",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))/sqrt((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))) - 1⨸(2*((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))* ∫((((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))))* simplify((~c)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h)) + (~d)*(~e)*(~g)*(2*(~m) + 3) + 2*((~c)*(~f)*(~h) + (~d)*((~m) + 2)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h)))*(~x) + (~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 5)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_25",
+@rule ∫(sqrt( (~!a) + (~!b)*(~x))/(sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) ?
+2*((~a) + (~b)*(~x))*sqrt(((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*((~c) + (~d)*(~x))⨸(((~d)*(~g) - (~c)*(~h))*((~a) + (~b)*(~x))))* sqrt(((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*((~e) + (~f)*(~x))⨸(((~f)*(~g) - (~e)*(~h))*((~a) + (~b)*(~x))))⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))* sqrt((~e) + (~f)*(~x)))* int_and_subst(1⨸(((~h) - (~b)*(~x)^2)*sqrt(1 + ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(~x)^2⨸((~d)*(~g) - (~c)*(~h)))* sqrt(1 + ((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*(~x)^2⨸((~f)*(~g) - (~e)*(~h)))), (~x), (~x), sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)), "1_1_1_4_25") : nothing)
+
+("1_1_1_4_26",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(3//2)/(sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) ?
+(~b)⨸(~d)*∫(sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x))⨸(sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~d)* ∫(sqrt((~a) + (~b)*(~x))⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_27",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^ (~m)/(sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))*sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    ge((~m), 2) ?
+2*(~b)^2*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸((~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) - 1)) - 1⨸((~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) - 1))* ∫((((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 3)⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))))* simplify((~a)*(~b)^2*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(~f)*(~g) + (~c)*(~e)*(~h)) + 2*(~b)^3*(~c)*(~e)*(~g)*((~m) - 2) - (~a)^3*(~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) - 1) + (~b)*(2*(~a)*(~b)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h)) + (~b)^2*(2*(~m) - 3)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(~f)*(~g) + (~c)*(~e)*(~h)) - 3*(~a)^2*(~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) - 1))*(~x) - 2*(~b)^2*((~m) - 1)*(3*(~a)*(~d)*(~f)*(~h) - (~b)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h)))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_28",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) &&
+    gt(((~d)*(~e) - (~c)*(~f))/(~d), 0) ?
+-2*int_and_subst(1⨸(simplify((~b)*(~c) - (~a)*(~d) - (~b)*(~x)^2, (~x))* sqrt(simplify(((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸(~d) + (~f)*(~x)^2⨸(~d), (~x)))* sqrt(simplify(((~d)*(~g) - (~c)*(~h))⨸(~d) + (~h)*(~x)^2⨸(~d), (~x)))), (~x), (~x), sqrt((~c) + (~d)*(~x)), "1_1_1_4_28") : nothing)
+
+("1_1_1_4_29",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) &&
+    !(simpler((~e) + (~f)*(~x), (~c) + (~d)*(~x))) &&
+    !(simpler((~g) + (~h)*(~x), (~c) + (~d)*(~x))) ?
+-2*int_and_subst(1⨸(simplify((~b)*(~c) - (~a)*(~d) - (~b)*(~x)^2, (~x))* sqrt(simplify(((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸(~d) + (~f)*(~x)^2⨸(~d), (~x)))* sqrt(simplify(((~d)*(~g) - (~c)*(~h))⨸(~d) + (~h)*(~x)^2⨸(~d), (~x)))), (~x), (~x), sqrt((~c) + (~d)*(~x)), "1_1_1_4_29") : nothing)
+
+# (* Int[1/(Sqrt[a_.+b_.*x_]*Sqrt[c_.+d_.*x_]*Sqrt[e_.+f_.*x_]*Sqrt[g_.+ h_.*x_]),x_Symbol] := -2*(a+b*x)*Sqrt[(b*g-a*h)*(c+d*x)/((d*g-c*h)*(a+b*x))]*Sqrt[(b*g-a* h)*(e+f*x)/((f*g-e*h)*(a+b*x))]/ ((b*g-a*h)*Sqrt[c+d*x]*Sqrt[e+f*x])* Subst[Int[1/(Sqrt[1+(b*c-a*d)*x^2/(d*g-c*h)]*Sqrt[1+(b*e-a*f)*x^2/ (f*g-e*h)]),x],x,Sqrt[g+h*x]/Sqrt[a+b*x]] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,g,h},x] *) 
+("1_1_1_4_30",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) ?
+2*sqrt((~g) + (~h)*(~x))*sqrt(((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~c) + (~d)*(~x))⨸(((~d)*(~e) - (~c)*(~f))*((~a) + (~b)*(~x))))⨸ (((~f)*(~g) - (~e)*(~h))*sqrt((~c) + (~d)*(~x))* sqrt(-((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~g) + (~h)*(~x))⨸(((~f)*(~g) - (~e)*(~h))*((~a) + (~b)*(~x)))))* int_and_subst(1⨸(sqrt(1 + ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(~x)^2⨸((~d)*(~e) - (~c)*(~f)))* sqrt(1 - ((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*(~x)^2⨸((~f)*(~g) - (~e)*(~h)))), (~x), (~x), sqrt((~e) + (~f)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)), "1_1_1_4_30") : nothing)
+
+("1_1_1_4_31",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*(~x))^(3//2)*sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) ?
+-(~d)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) + (~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(sqrt((~c) + (~d)*(~x))⨸(((~a) + (~b)*(~x))^(3⨸2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_32",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^ (~m)/(sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))*sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    le((~m), -2) ?
+(~b)^2*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~b)*(~g) - (~a)*(~h))) - 1⨸(2*((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~b)*(~g) - (~a)*(~h)))* ∫((((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))))* simplify(2*(~a)^2*(~d)*(~f)*(~h)*((~m) + 1) - 2*(~a)*(~b)*((~m) + 1)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h)) + (~b)^2*(2*(~m) + 3)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(~f)*(~g) + (~c)*(~e)*(~h)) - 2*(~b)*((~a)*(~d)*(~f)*(~h)*((~m) + 1) - (~b)*((~m) + 2)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h)))*(~x) + (~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 5)*(~b)^2*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_33",
+@rule ∫(sqrt((~!a) + (~!b)*(~x))* sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))/(sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))*sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) ?
+sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸((~h)*sqrt((~e) + (~f)*(~x))) + ((~d)*(~e) - (~c)*(~f))*((~b)*(~f)*(~g) + (~b)*(~e)*(~h) - 2*(~a)*(~f)*(~h))⨸(2*(~f)^2*(~h))* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) + ((~a)*(~d)*(~f)*(~h) - (~b)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) - (~c)*(~f)*(~h)))⨸(2*(~f)^2*(~h))* ∫(sqrt((~e) + (~f)*(~x))⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) - ((~d)*(~e) - (~c)*(~f))*((~f)*(~g) - (~e)*(~h))⨸(2*(~f)*(~h))* ∫(sqrt((~a) + (~b)*(~x))⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*((~e) + (~f)*(~x))^(3⨸2)*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_34",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)* sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))/(sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))*sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    gt((~m), 1) ?
+2*(~b)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1)*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸((~f)*(~h)*(2*(~m) + 1)) - 1⨸((~f)*(~h)*(2*(~m) + 1))* ∫((((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 2)⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))))* simplify((~a)*(~b)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))) + 2*(~b)^2*(~c)*(~e)*(~g)*((~m) - 1) - (~a)^2*(~c)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 1) + ((~b)^2*(2*(~m) - 1)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))) - (~a)^2*(~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 1) + 2*(~a)*(~b)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) - 2*(~c)*(~f)*(~h)*(~m)))* (~x) - (~b)*((~a)*(~d)*(~f)*(~h)*(4*(~m) - 1) + (~b)*((~c)*(~f)*(~h) - 2*(~d)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))*(~m)))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_35",
+@rule ∫(sqrt( (~!c) + (~!d)*(~x))/(((~!a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) ?
+(~d)⨸(~b)*∫(1⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) + ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b)* ∫(1⨸(((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+# (* Int[Sqrt[c_.+d_.*x_]/((a_.+b_.*x_)^(3/2)*Sqrt[e_.+f_.*x_]*Sqrt[g_.+ h_.*x_]),x_Symbol] := -2*Sqrt[c+d*x]*Sqrt[(b*g-a*h)*(e+f*x)/((f*g-e*h)*(a+b*x))]/ ((b*g-a*h)*Sqrt[e+f*x]*Sqrt[(b*g-a*h)*(c+d*x)/((d*g-c*h)*(a+b*x))] )* Subst[Int[Sqrt[1+(b*c-a*d)*x^2/(d*g-c*h)]/Sqrt[1+(b*e-a*f)*x^2/(f* g-e*h)],x],x,Sqrt[g+h*x]/Sqrt[a+b*x]] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,g,h},x] *) 
+("1_1_1_4_36",
+@rule ∫(sqrt( (~!c) + (~!d)*(~x))/(((~!a) + (~!b)*(~x))^(3//2)*sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) ?
+-2*sqrt((~c) + (~d)*(~x))* sqrt(-((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~g) + (~h)*(~x))⨸(((~f)*(~g) - (~e)*(~h))*((~a) + (~b)*(~x))))⨸ (((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))* sqrt(((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~c) + (~d)*(~x))⨸(((~d)*(~e) - (~c)*(~f))*((~a) + (~b)*(~x)))))* int_and_subst(sqrt(1 + ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(~x)^2⨸((~d)*(~e) - (~c)*(~f)))⨸ sqrt(1 - ((~b)*(~g) - (~a)*(~h))*(~x)^2⨸((~f)*(~g) - (~e)*(~h))), (~x), (~x), sqrt((~e) + (~f)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)), "1_1_1_4_36") : nothing)
+
+("1_1_1_4_37",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)* sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))/(sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))*sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    le((~m), -2) ?
+(~b)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~b)*(~g) - (~a)*(~h))) + 1⨸(2*((~m) + 1)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~b)*(~g) - (~a)*(~h)))* ∫((((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))))* simplify(2*(~a)*(~c)*(~f)*(~h)*((~m) + 1) - (~b)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(2*(~m) + 3)*((~f)*(~g) + (~e)*(~h))) + 2*((~a)*(~d)*(~f)*(~h)*((~m) + 1) - (~b)*((~m) + 2)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h)))*(~x) - (~b)*(~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 5)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_38",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^ (~p)*((~!g) + (~!h)*(~x))^(~q)/(((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~q), (~x)) &&
+    lt(0, (~p), 1) ?
+((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(((~e) + (~f)*(~x))^((~p) - 1)*((~g) + (~h)*(~x))^(~q)⨸((~a) + (~b)*(~x)), (~x)) - ((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(((~e) + (~f)*(~x))^((~p) - 1)*((~g) + (~h)*(~x))^(~q)⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_39",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^ (~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)/(sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))*sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    ext_isinteger((~n) + 1/2) ?
+∫(ext_expand( 1⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), ((~a) + (~b)*(~x))^ (~m)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_40",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^ (~p)*((~!g) + (~!h)*(~x))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p), (~q)) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~g) + (~h)*(~x))^ (~q), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_41",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^ (~p)*((~!g) + (~!h)*(~x))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    igt((~q), 0) &&
+    (
+        sumsimpler((~m), 1) ||
+        !(sumsimpler((~n), 1)) &&
+        !(sumsimpler((~p), 1))
+    ) ?
+(~h)⨸(~b)*∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^ (~p)*((~g) + (~h)*(~x))^((~q) - 1), (~x)) + ((~b)*(~g) - (~a)*(~h))⨸(~b)* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~g) + (~h)*(~x))^((~q) - 1), (~x)) : nothing)
+
+# instead of producing the same integral with a function cannot integrate, if i
+# remove this rule it will not be applied and the expressions will remain with the ∫ sign
+# ("1_1_1_4_42",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^ (~!p)*((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+# CannotIntegrate[((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~g) + (~h)*(~x))^(~q), (~x)] : nothing)
+
+("1_1_1_4_43",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~u))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~u))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~u))^ (~!p)*((~!g) + (~!h)*(~u))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !eq((~u), (~x)) ?
+1⨸Symbolics.coeff((~u), (~x), 1)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~g) + (~h)*(~x))^(~q), (~x), (~x), (~u), "1_1_1_4_43") : nothing)
+
+("1_1_1_4_44",
+@rule ∫(((~!i)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^ (~p)*((~!g) + (~!h)*(~x))^(~q))^(~r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) ?
+((~i)*((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~g) + (~h)*(~x))^(~q))^ (~r)⨸(((~a) + (~b)*(~x))^((~m)*(~r))*((~c) + (~d)*(~x))^((~n)*(~r))*((~e) + (~f)*(~x))^((~p)*(~r))*((~g) + (~h)*(~x))^((~q)* (~r)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m)*(~r))*((~c) + (~d)*(~x))^((~n)*(~r))*((~e) + (~f)*(~x))^((~p)*(~r))*((~g) + (~h)*(~x))^((~q)*(~r)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_45",
+@rule ∫((~u)^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_46",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*(~v)^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~n), (~x)) &&
+    linear((~u), (~v), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~v), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~m)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_47",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*(~v)^(~!n)*(~w)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~v), (~w), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~v), (~w), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~m)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~n)*expand_to_sum((~w), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_4_48",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*(~v)^(~!n)*(~w)^(~!p)*(~z)^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    linear((~u), (~v), (~w), (~z), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~v), (~w), (~z), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~m)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~n)*expand_to_sum((~w), (~x))^(~p)* expand_to_sum((~z), (~x))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.5 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.5 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..94cafd2a
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.5 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n.jl	
@@ -0,0 +1,73 @@
+file_rules = [
+# (* ::Subsection::Closed:: *) 
+# (* 1.1.1.5 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n *) 
+("1_1_1_5_1",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~m), (~n)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~a), 0) &&
+        gt((~c), 0)
+    ) ?
+∫((~Px)*((~a)*(~c) + (~b)*(~d)*(~x)^2)^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_5_2",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~m), (~n)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^ fracpart((~m))*((~c) + (~d)*(~x))^fracpart((~m))⨸((~a)*(~c) + (~b)*(~d)*(~x)^2)^fracpart((~m))* ∫((~Px)*((~a)*(~c) + (~b)*(~d)*(~x)^2)^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_5_3",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    eq(poly_remainder((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x)), 0) ?
+∫(poly_quotient((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^ (~n), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_5_4",
+@rule ∫((~Px)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)/((~!a) + (~!b)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    ilt((~n) + 1/2, 0) &&
+    gt(exponent_of((~Px), (~x)), 2) ?
+∫(ext_expand(1⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x)), (~Px)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1⨸2)⨸((~a) + (~b)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_5_5",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m), (~n)) ||
+        igt((~m), -2)
+    ) &&
+    gt(exponent_of((~Px), (~x)), 2) ?
+∫(ext_expand((~Px)*((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("1_1_1_5_6",
+# @rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+#     poly((~Px), (~x)) &&
+#     ilt((~m), -1) &&
+#     gt(exponent_of((~Px), (~x)), 2) ?
+# (~R)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))) + 1⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)* expand_to_sum(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*poly_quotient((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x)), (~R) = poly_remainder((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x)) - (~d)*(~R)*((~m) + (~n) + 2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("1_1_1_5_7",
+# @rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+#     poly((~Px), (~x)) &&
+#     lt((~m), -1) &&
+#     gt(exponent_of((~Px), (~x)), 2) ?
+# (~R)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))) + 1⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)* expand_to_sum(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*poly_quotient((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x)), (~R) = poly_remainder((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x)) - (~d)*(~R)*((~m) + (~n) + 2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("1_1_1_5_8",
+# @rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+#     !eq((~m) + (~n) + (~q) + 1, 0)] ?
+# (~k)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + exponent_of((~Px), (~x)), (~k) = Coeff[(~Px), (~x), exponent_of((~Px), (~x))])*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~b)^exponent_of((~Px), (~x)), (~k) = Coeff[(~Px), (~x), exponent_of((~Px), (~x))]*((~m) + (~n) + exponent_of((~Px), (~x)), (~k) = Coeff[(~Px), (~x), exponent_of((~Px), (~x))] + 1)) + 1⨸((~d)*(~b)^exponent_of((~Px), (~x)), (~k) = Coeff[(~Px), (~x), exponent_of((~Px), (~x))]*((~m) + (~n) + exponent_of((~Px), (~x)), (~k) = Coeff[(~Px), (~x), exponent_of((~Px), (~x))] + 1))*∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)* expand_to_sum( (~d)*(~b)^exponent_of((~Px), (~x)), (~k) = Coeff[(~Px), (~x), exponent_of((~Px), (~x)))*((~m) + (~n) + exponent_of((~Px), (~x)), (~k) = Coeff[(~Px), (~x), exponent_of((~Px), (~x))] + 1)*(~Px) - (~d)*(~k)*((~m) + (~n) + exponent_of((~Px), (~x)), (~k) = Coeff[(~Px), (~x), exponent_of((~Px), (~x))] + 1)*((~a) + (~b)*(~x))^exponent_of((~Px), (~x)), (~k) = Coeff[(~Px), (~x), exponent_of((~Px), (~x))] - (~k)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + exponent_of((~Px), (~x)), (~k) = Coeff[(~Px), (~x), exponent_of((~Px), (~x))])*((~a) + (~b)*(~x))^(exponent_of((~Px), (~x)), (~k) = Coeff[(~Px), (~x), exponent_of((~Px), (~x))] - 1), (~x)), (~x) : nothing)
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.6 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.6 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..73de324d
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.6 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p.jl	
@@ -0,0 +1,63 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.1.1.6 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p *)
+("1_1_1_6_1",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~m), (~n)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~a), 0) &&
+        gt((~c), 0)
+    ) ?
+∫((~Px)*((~a)*(~c) + (~b)*(~d)*(~x)^2)^(~m)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_6_2",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~m), (~n)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^ fracpart((~m))*((~c) + (~d)*(~x))^fracpart((~m))⨸((~a)*(~c) + (~b)*(~d)*(~x)^2)^fracpart((~m))* ∫((~Px)*((~a)*(~c) + (~b)*(~d)*(~x)^2)^(~m)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_6_3",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    eq(poly_remainder((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x)), 0) ?
+∫(poly_quotient((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^ (~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_6_4",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m), (~n)) ?
+∫(ext_expand((~Px)*((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_6_5",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    ilt((~m), -1) ?
+(~b)*poly_remainder((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))) + 1⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* expand_to_sum(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*poly_quotient((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x)) + (~a)*(~d)*(~f)*poly_remainder((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x))*((~m) + 1) - (~b)*poly_remainder((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x))*((~d)*(~e)*((~m) + (~n) + 2) + (~c)*(~f)*((~m) + (~p) + 2)) - (~b)*(~d)*(~f)*poly_remainder((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x))*((~m) + (~n) + (~p) + 3)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_6_6",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+(~b)*poly_remainder((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))) + 1⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* expand_to_sum(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*poly_quotient((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x)) + (~a)*(~d)*(~f)*poly_remainder((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x))*((~m) + 1) - (~b)*poly_remainder((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x))*((~d)*(~e)*((~m) + (~n) + 2) + (~c)*(~f)*((~m) + (~p) + 2)) - (~b)*(~d)*(~f)*poly_remainder((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x))*((~m) + (~n) + (~p) + 3)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_6_7",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    !eq((~m) + (~n) + (~p) + exponent_of((~Px), (~x)) + 1, 0) ?
+ext_coeff((~Px), (~x), exponent_of((~Px), (~x)))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + exponent_of((~Px), (~x)) - 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1)*((~e) + (~f)*(~x))^((~p) + 1)⨸((~d)*(~f)* (~b)^(exponent_of((~Px), (~x)) - 1)*((~m) + (~n) + (~p) + exponent_of((~Px), (~x)) + 1)) + 1⨸((~d)*(~f)*(~b)^exponent_of((~Px), (~x))*((~m) + (~n) + (~p) + exponent_of((~Px), (~x)) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)* expand_to_sum( (~d)*(~f)*(~b)^exponent_of((~Px), (~x))*((~m) + (~n) + (~p) + exponent_of((~Px), (~x)) + 1)*(~Px) - (~d)*(~f)*ext_coeff((~Px), (~x), exponent_of((~Px), (~x)))*((~m) + (~n) + (~p) + exponent_of((~Px), (~x)) + 1)*((~a) + (~b)*(~x))^exponent_of((~Px), (~x)) + ext_coeff((~Px), (~x), exponent_of((~Px), (~x)))*((~a) + (~b)*(~x))^(exponent_of((~Px), (~x)) - 2)*((~a)^2*(~d)*(~f)*((~m) + (~n) + (~p) + exponent_of((~Px), (~x)) + 1) - (~b)*((~b)*(~c)*(~e)*((~m) + exponent_of((~Px), (~x)) - 1) + (~a)*((~d)*(~e)*((~n) + 1) + (~c)*(~f)*((~p) + 1))) + (~b)*((~a)*(~d)*(~f)*(2*((~m) + exponent_of((~Px), (~x))) + (~n) + (~p)) - (~b)*((~d)*(~e)*((~m) + exponent_of((~Px), (~x)) + (~n)) + (~c)*(~f)*((~m) + exponent_of((~Px), (~x)) + (~p))))*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.7 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.7 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q.jl
new file mode 100644
index 00000000..8ecd66b0
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.7 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q.jl	
@@ -0,0 +1,200 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.1.1.7 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q *)
+# ("1_1_1_7_1",
+# @rule ∫((~Px)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+# ext_coeff((~Px), (~x), (~n) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) + ∫(((~Px) - ext_coeff((~Px), (~x), (~n) - 1)*(~x)^((~n) - 1))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) ⨸; FreeQ[{(~a), (~b)}, (~x)] && PolyQ[(~Px), (~x)] && IGtQ[(~p), 1] && IGtQ[(~n), 1] && NeQ[ext_coeff((~Px), (~x), (~n) - 1), 0] && NeQ[(~Px), ext_coeff((~Px), (~x), (~n) - 1)*(~x)^((~n) - 1)] && Not[MatchQ[(~Px), Qx_.*(c_ + d_.*(~x)^m_)^q_ ⨸; FreeQ[{(~c), (~d)}, (~x)] && PolyQ[(~Qx), (~x)] && IGtQ[(~q), 1] && IGtQ[(~m), 1] && NeQ[ext_coeff((~Qx)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x), (~m) - 1), 0] && GtQ[(~m)*(~q), (~n)*(~p)]]])
+
+("1_1_1_7_2",
+@rule ∫((~Px)*(~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    igt((~n) - (~m), 0) &&
+    !eq(ext_coeff((~Px), (~x), (~n) - (~m) - 1), 0) ?
+ext_coeff((~Px), (~x), (~n) - (~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) + ∫(((~Px) - ext_coeff((~Px), (~x), (~n) - (~m) - 1)*(~x)^((~n) - (~m) - 1))* (~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_7_3",
+@rule ∫((~!u)*(~x)^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!p) + (~!b)*(~x)^(~!q))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    pos((~q) - (~p)) ?
+∫((~u)*(~x)^((~m) + (~n)*(~p))*((~a) + (~b)*(~x)^((~q) - (~p)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_7_4",
+@rule ∫((~!u)*(~x)^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!p) + (~!b)*(~x)^(~!q) + (~!c)*(~x)^(~!r))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    pos((~q) - (~p)) &&
+    pos((~r) - (~p)) ?
+∫((~u)*(~x)^((~m) + (~n)*(~p))*((~a) + (~b)*(~x)^((~q) - (~p)) + (~c)*(~x)^((~r) - (~p)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_7_5",
+@rule ∫((~!u)*(~Px)^(~!p)*(~Qx)^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~q), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    poly((~Qx), (~x)) &&
+    eq(poly_remainder((~Px), (~Qx), (~x)), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    lt((~p)*(~q), 0) ?
+∫((~u)*poly_quotient((~Px), (~Qx), (~x))^(~p)*(~Qx)^((~p) + (~q)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_7_6",
+@rule ∫((~Pp)/(~Qq),(~x)) =>
+    poly((~Pp), (~x)) &&
+    poly((~Qq), (~x)) &&
+    eq(exponent_of((~Pp), (~x)), exponent_of((~Qq), (~x)) - 1) &&
+    eq((~Pp), simplify( ext_coeff((~Pp), (~x), exponent_of((~Pp), (~x)))/(exponent_of((~Qq), (~x))*ext_coeff((~Qq), (~x), exponent_of((~Qq), (~x))))*Symbolics.derivative((~Qq), (~x)))) ?
+ext_coeff((~Pp), (~x), exponent_of((~Pp), (~x)))*log((~Qq))⨸(exponent_of((~Qq), (~x))*ext_coeff((~Qq), (~x), exponent_of((~Qq), (~x)))) : nothing)
+
+("1_1_1_7_7",
+@rule ∫((~Pp)*(~Qq)^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~x)) &&
+    poly((~Pp), (~x)) &&
+    poly((~Qq), (~x)) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    !eq(exponent_of((~Pp), (~x)) + (~m)*exponent_of((~Qq), (~x)) + 1, 0) &&
+    eq((exponent_of((~Pp), (~x)) + (~m)*exponent_of((~Qq), (~x)) + 1)*ext_coeff((~Qq), (~x), exponent_of((~Qq), (~x)))*(~Pp), ext_coeff((~Pp), (~x), exponent_of((~Pp), (~x)))* (~x)^(exponent_of((~Pp), (~x)) - exponent_of((~Qq), (~x)))*((exponent_of((~Pp), (~x)) - exponent_of((~Qq), (~x)) + 1)*(~Qq) + ((~m) + 1)*(~x)*Symbolics.derivative((~Qq), (~x)))) ?
+ext_coeff((~Pp), (~x), exponent_of((~Pp), (~x)))*(~x)^(exponent_of((~Pp), (~x)) - exponent_of((~Qq), (~x)) + 1)* (~Qq)^((~m) + 1)⨸((exponent_of((~Pp), (~x)) + (~m)*exponent_of((~Qq), (~x)) + 1)*ext_coeff((~Qq), (~x), exponent_of((~Qq), (~x)))) : nothing)
+
+("1_1_1_7_8",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    eq((~m) - 2*(~n) + 1, 0) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸(2*(~b1)*(~b2)*(~n)*((~p) + 1)) : nothing)
+
+("1_1_1_7_9",
+@rule ∫((~Pp)*(~Qq)^(~!m)*(~Rr)^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Pp), (~x)) &&
+    poly((~Qq), (~x)) &&
+    poly((~Rr), (~x)) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    !eq((~n), -1) &&
+    !eq(exponent_of((~Pp), (~x)) + (~m)*exponent_of((~Qq), (~x)) + (~n)*exponent_of((~Rr), (~x)) + 1, 0) &&
+    eq((exponent_of((~Pp), (~x)) + (~m)*exponent_of((~Qq), (~x)) + (~n)*exponent_of((~Rr), (~x)) + 1)*ext_coeff((~Qq), (~x), exponent_of((~Qq), (~x)))*ext_coeff((~Rr), (~x), exponent_of((~Rr), (~x)))*(~Pp), ext_coeff((~Pp), (~x), exponent_of((~Pp), (~x)))* (~x)^(exponent_of((~Pp), (~x)) - exponent_of((~Qq), (~x)) - exponent_of((~Rr), (~x)))*((exponent_of((~Pp), (~x)) - exponent_of((~Qq), (~x)) - exponent_of((~Rr), (~x)) + 1)*(~Qq)*(~Rr) + ((~m) + 1)*(~x)*(~Rr)* Symbolics.derivative((~Qq), (~x)) + ((~n) + 1)*(~x)*(~Qq)*Symbolics.derivative((~Rr), (~x)))) ?
+ext_coeff((~Pp), (~x), exponent_of((~Pp), (~x)))*(~x)^(exponent_of((~Pp), (~x)) - exponent_of((~Qq), (~x)) - exponent_of((~Rr), (~x)) + 1)*(~Qq)^((~m) + 1)* (~Rr)^((~n) + 1)⨸((exponent_of((~Pp), (~x)) + (~m)*exponent_of((~Qq), (~x)) + (~n)*exponent_of((~Rr), (~x)) + 1)*ext_coeff((~Qq), (~x), exponent_of((~Qq), (~x)))* ext_coeff((~Rr), (~x), exponent_of((~Rr), (~x)))) : nothing)
+
+("1_1_1_7_10",
+@rule ∫((~Qr)*((~!a) + (~!b)*(~Pq)^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~n), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    poly((~Qr), (~x)) &&
+    eq(exponent_of((~Qr), (~x)), exponent_of((~Pq), (~x)) - 1) &&
+    eq(ext_coeff((~Qr), (~x), exponent_of((~Qr), (~x)))*Symbolics.derivative((~Pq), (~x)), exponent_of((~Pq), (~x))*ext_coeff((~Pq), (~x), exponent_of((~Pq), (~x)))*(~Qr)) ?
+ext_coeff((~Qr), (~x), exponent_of((~Qr), (~x)))⨸(exponent_of((~Pq), (~x))*ext_coeff((~Pq), (~x), exponent_of((~Pq), (~x))))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p),  (~x), (~x), (~Pq), "1_1_1_7_10") : nothing)
+
+# ("1_1_1_7_11",
+# @rule ∫((~Qr)*((~!a) + (~!b)*(~Pq)^(~!n) + (~!c)*(~Pq)^(~!n2))^(~!p),(~x)) =>
+# Module[{(~q) = exponent_of((~Pq), (~x)), (~r) = exponent_of((~Qr), (~x))}, ext_coeff((~Qr), (~x), (~r))⨸((~q)*ext_coeff((~Pq), (~x), (~q)))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(~n) + (~c)*(~x)^(2*(~n)))^(~p),  (~x), (~x), (~Pq), "1_1_1_7_11") ⨸; EqQ[(~r), (~q) - 1] && EqQ[ext_coeff((~Qr), (~x), (~r))*Symbolics.derivative((~Pq), (~x)), (~q)*ext_coeff((~Pq), (~x), (~q))*(~Qr)]] ⨸; FreeQ[{(~a), (~b), (~c), (~n), (~p)}, (~x)] && EqQ[(~n2), 2*(~n)] && PolyQ[(~Pq), (~x)] && PolyQ[(~Qr), (~x)])
+
+("1_1_1_7_12",
+@rule ∫((~!u)*((~!a)*(~x)^(~!p) + (~!b)*(~x)^(~!q))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~q), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    pos((~q) - (~p)) ?
+∫((~u)*(~x)^((~n)*(~p))*((~a) + (~b)*(~x)^((~q) - (~p)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_7_13",
+@rule ∫((~!u)*((~!a)*(~x)^(~!p) + (~!b)*(~x)^(~!q) + (~!c)*(~x)^(~!r))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    pos((~q) - (~p)) &&
+    pos((~r) - (~p)) ?
+∫((~u)*(~x)^((~n)*(~p))*((~a) + (~b)*(~x)^((~q) - (~p)) + (~c)*(~x)^((~r) - (~p)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[Sqrt[a_.+b_.*x_]*(A_.+B_.*x_)/(Sqrt[c_.+d_.*x_]*Sqrt[e_.+f_.*x_ ]*Sqrt[g_.+h_.*x_]),x_Symbol] := B*Sqrt[a+b*x]*Sqrt[e+f*x]*Sqrt[g+h*x]/(f*h*Sqrt[c+d*x]) - B*(b*g-a*h)/(2*f*h)*Int[Sqrt[e+f*x]/(Sqrt[a+b*x]*Sqrt[c+d*x]*Sqrt[g+ h*x]),x] + B*(d*e-c*f)*(d*g-c*h)/(2*d*f*h)*Int[Sqrt[a+b*x]/((c+d*x)^(3/2)*Sqrt[ e+f*x]*Sqrt[g+h*x]),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,g,h,A,B},x] && EqQ[2*A*d*f-B*(d*e+c*f),0] *)
+("1_1_1_7_14",
+@rule ∫(sqrt( (~!a) + (~!b)*(~x))*((~!A) + (~!B)*(~x))/(sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))* sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))*sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~A), (~B), (~x)) &&
+    eq(2*(~A)*(~d)*(~f) - (~B)*((~d)*(~e) + (~c)*(~f)), 0) ?
+(~b)*(~B)*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸((~d)*(~f)*(~h)*sqrt((~a) + (~b)*(~x))) - (~B)*((~b)*(~g) - (~a)*(~h))⨸(2*(~f)*(~h))* ∫(sqrt((~e) + (~f)*(~x))⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) + (~B)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~b)*(~g) - (~a)*(~h))⨸(2*(~d)*(~f)*(~h))* ∫(sqrt((~c) + (~d)*(~x))⨸(((~a) + (~b)*(~x))^(3⨸2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[Sqrt[a_.+b_.*x_]*(A_.+B_.*x_)/(Sqrt[c_.+d_.*x_]*Sqrt[e_.+f_.*x_ ]*Sqrt[g_.+h_.*x_]),x_Symbol] := (2*A*d*f-B*(d*e+c*f))/(2*d*f)*Int[Sqrt[a+b*x]/(Sqrt[c+d*x]*Sqrt[e+f* x]*Sqrt[g+h*x]),x] + B/(2*d*f)*Int[(Sqrt[a+b*x]*(d*e+c*f+2*d*f*x))/(Sqrt[c+d*x]*Sqrt[e+f* x]*Sqrt[g+h*x]),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,g,h,A,B},x] && NeQ[2*A*d*f-B*(d*e+c*f),0] *)
+("1_1_1_7_15",
+@rule ∫(sqrt( (~!a) + (~!b)*(~x))*((~!A) + (~!B)*(~x))/(sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))* sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))*sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq(2*(~A)*(~d)*(~f) - (~B)*((~d)*(~e) + (~c)*(~f)), 0) ?
+(~B)*sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸((~f)*(~h)*sqrt((~c) + (~d)*(~x))) + (~B)*((~d)*(~e) - (~c)*(~f))*((~d)*(~g) - (~c)*(~h))⨸(2*(~d)*(~f)*(~h))* ∫(sqrt((~a) + (~b)*(~x))⨸(((~c) + (~d)*(~x))^(3⨸2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) - (~B)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~b)*(~g) - (~a)*(~h))⨸(2*(~b)*(~f)*(~h))* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) + (2*(~A)*(~b)*(~d)*(~f)*(~h) + (~B)*((~a)*(~d)*(~f)*(~h) - (~b)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h))))⨸(2*(~b)*(~d)*(~f)* (~h))*∫(sqrt( (~a) + (~b)*(~x))⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_7_16",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*(~x))/(sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~A), (~B), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    gt((~m), 0) ?
+1⨸((~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 3))* ∫((((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1)⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))))* simp((~a)*(~A)*(~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 3) + ((~A)*(~b) + (~a)*(~B))*(~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 3)*(~x) + (~b)*(~B)*(~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 3)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_7_17",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*(~x))/(sqrt((~!a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))* sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))*sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~A), (~B), (~x)) ?
+((~A)*(~b) - (~a)*(~B))⨸(~b)* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) + (~B)⨸(~b)* ∫(sqrt((~a) + (~b)*(~x))⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_7_18",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^ (~m)*((~!A) + (~!B)*(~x))/(sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~A), (~B), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~A)*(~b)^2 - (~a)*(~b)*(~B))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~b)*(~g) - (~a)*(~h))) - 1⨸(2*((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~b)*(~g) - (~a)*(~h)))* ∫((((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))))* simp((~A)*(2*(~a)^2*(~d)*(~f)*(~h)*((~m) + 1) - 2*(~a)*(~b)*((~m) + 1)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h)) + (~b)^2*(2*(~m) + 3)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(~f)*(~g) + (~c)*(~e)*(~h))) - (~b)*(~B)*((~a)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(~f)*(~g) + (~c)*(~e)*(~h)) + 2*(~b)*(~c)*(~e)*(~g)*((~m) + 1)) - 2*(((~A)*(~b) - (~a)*(~B))*((~a)*(~d)*(~f)*(~h)*((~m) + 1) - (~b)*((~m) + 2)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h))))*(~x) + (~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 5)*((~A)*(~b)^2 - (~a)*(~b)*(~B))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_7_19",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*(~x) + (~!C)*(~x)^2)/(sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))* sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))*sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    gt((~m), 0) ?
+2*(~C)*((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸((~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 3)) + 1⨸((~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 3))* ∫((((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1)⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))))* simp((~a)*(~A)*(~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 3) - (~C)*((~a)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(~f)*(~g) + (~c)*(~e)*(~h)) + 2*(~b)*(~c)*(~e)*(~g)*(~m)) + (((~A)*(~b) + (~a)*(~B))*(~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 3) - (~C)*(2*(~a)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h)) + (~b)*(2*(~m) + 1)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(~f)*(~g) + (~c)*(~e)*(~h))))*(~x) + ((~b)*(~B)*(~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 3) + 2*(~C)*((~a)*(~d)*(~f)*(~h)*(~m) - (~b)*((~m) + 1)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h))))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_7_20",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^ (~!m)*((~!A) + (~!C)*(~x)^2)/(sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~A), (~C), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    gt((~m), 0) ?
+2*(~C)*((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸((~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 3)) + 1⨸((~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 3))* ∫((((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1)⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))))* simp((~a)*(~A)*(~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 3) - (~C)*((~a)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(~f)*(~g) + (~c)*(~e)*(~h)) + 2*(~b)*(~c)*(~e)*(~g)*(~m)) + ((~A)*(~b)*(~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 3) - (~C)*(2*(~a)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h)) + (~b)*(2*(~m) + 1)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(~f)*(~g) + (~c)*(~e)*(~h))))*(~x) + 2*(~C)*((~a)*(~d)*(~f)*(~h)*(~m) - (~b)*((~m) + 1)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h)))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_7_21",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*(~x) + (~!C)*(~x)^2)/(sqrt((~!a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))* sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))*sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~A), (~B), (~C), (~x)) ?
+(~C)*sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸((~b)*(~f)*(~h)*sqrt((~c) + (~d)*(~x))) + (~C)*((~d)*(~e) - (~c)*(~f))*((~d)*(~g) - (~c)*(~h))⨸(2*(~b)*(~d)*(~f)*(~h))* ∫(sqrt((~a) + (~b)*(~x))⨸(((~c) + (~d)*(~x))^(3⨸2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) + 1⨸(2*(~b)*(~d)*(~f)*(~h))* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x)))* simp(2*(~A)*(~b)*(~d)*(~f)*(~h) - (~C)*((~b)*(~d)*(~e)*(~g) + (~a)*(~c)*(~f)*(~h)) + (2*(~b)*(~B)*(~d)*(~f)*(~h) - (~C)*((~a)*(~d)*(~f)*(~h) + (~b)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h))))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_7_22",
+@rule ∫(((~!A) + (~!C)*(~x)^2)/(sqrt((~!a) + (~!b)*(~x))*sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))* sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))*sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~A), (~C), (~x)) ?
+(~C)*sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸((~b)*(~f)*(~h)*sqrt((~c) + (~d)*(~x))) + (~C)*((~d)*(~e) - (~c)*(~f))*((~d)*(~g) - (~c)*(~h))⨸(2*(~b)*(~d)*(~f)*(~h))* ∫(sqrt((~a) + (~b)*(~x))⨸(((~c) + (~d)*(~x))^(3⨸2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) + 1⨸(2*(~b)*(~d)*(~f)*(~h))* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~g) + (~h)*(~x)))* simp(2*(~A)*(~b)*(~d)*(~f)*(~h) - (~C)*((~b)*(~d)*(~e)*(~g) + (~a)*(~c)*(~f)*(~h)) - (~C)*((~a)*(~d)*(~f)*(~h) + (~b)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h)))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_7_23",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^ (~m)*((~!A) + (~!B)*(~x) + (~!C)*(~x)^2)/(sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))* sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))*sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~A)*(~b)^2 - (~a)*(~b)*(~B) + (~a)^2*(~C))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~c) + (~d)*(~x))* sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~b)*(~g) - (~a)*(~h))) - 1⨸(2*((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~b)*(~g) - (~a)*(~h)))* ∫((((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))))* simp((~A)*(2*(~a)^2*(~d)*(~f)*(~h)*((~m) + 1) - 2*(~a)*(~b)*((~m) + 1)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h)) + (~b)^2*(2*(~m) + 3)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(~f)*(~g) + (~c)*(~e)*(~h))) - ((~b)*(~B) - (~a)*(~C))*((~a)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(~f)*(~g) + (~c)*(~e)*(~h)) + 2*(~b)*(~c)*(~e)*(~g)*((~m) + 1)) - 2*(((~A)*(~b) - (~a)*(~B))*((~a)*(~d)*(~f)*(~h)*((~m) + 1) - (~b)*((~m) + 2)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h))) - (~C)*((~a)^2*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h)) - (~b)^2*(~c)*(~e)*(~g)*((~m) + 1) + (~a)*(~b)*((~m) + 1)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(~f)*(~g) + (~c)*(~e)*(~h))))*(~x) + (~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 5)*((~A)*(~b)^2 - (~a)*(~b)*(~B) + (~a)^2*(~C))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_7_24",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^ (~m)*((~!A) + (~!C)*(~x)^2)/(sqrt((~!c) + (~!d)*(~x))*sqrt((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~A), (~C), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~A)*(~b)^2 + (~a)^2*(~C))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~b)*(~g) - (~a)*(~h))) - 1⨸(2*((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~b)*(~g) - (~a)*(~h)))* ∫((((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x))*sqrt((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~g) + (~h)*(~x))))* simp((~A)*(2*(~a)^2*(~d)*(~f)*(~h)*((~m) + 1) - 2*(~a)*(~b)*((~m) + 1)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h)) + (~b)^2*(2*(~m) + 3)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(~f)*(~g) + (~c)*(~e)*(~h))) + (~a)*(~C)*((~a)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(~f)*(~g) + (~c)*(~e)*(~h)) + 2*(~b)*(~c)*(~e)*(~g)*((~m) + 1)) - 2*((~A)*(~b)*((~a)*(~d)*(~f)*(~h)*((~m) + 1) - (~b)*((~m) + 2)*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h))) - (~C)*((~a)^2*((~d)*(~f)*(~g) + (~d)*(~e)*(~h) + (~c)*(~f)*(~h)) - (~b)^2*(~c)*(~e)*(~g)*((~m) + 1) + (~a)*(~b)*((~m) + 1)*((~d)*(~e)*(~g) + (~c)*(~f)*(~g) + (~c)*(~e)*(~h))))*(~x) + (~d)*(~f)*(~h)*(2*(~m) + 5)*((~A)*(~b)^2 + (~a)^2*(~C))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_7_25",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^ (~!p)*((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m), (~n)) ?
+∫(ext_expand( (~Px)*((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~g) + (~h)*(~x))^(~q), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_7_26",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^ (~!p)*((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    eq((~m), -1) ?
+poly_remainder((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~g) + (~h)*(~x))^(~q), (~x)) + ∫( poly_quotient((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^ (~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~g) + (~h)*(~x))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_1_7_27",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!n)*((~!e) + (~!f)*(~x))^ (~!p)*((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) ?
+poly_remainder((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~g) + (~h)*(~x))^(~q), (~x)) + ∫( poly_quotient((~Px), (~a) + (~b)*(~x), (~x))*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^ (~n)*((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~g) + (~h)*(~x))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.1 (a+b x^2)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.1 (a+b x^2)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..38d1375e
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.1 (a+b x^2)^p.jl	
@@ -0,0 +1,229 @@
+file_rules = [
+("1_1_2_1_1",
+@rule ∫(((~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~p), (~x)) ?
+(~b)^intpart((~p))*((~b)*(~x)^2)^fracpart((~p))⨸(~x)^(2*fracpart((~p))) * ∫((~x)^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_2",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+(~x)⨸((~a)*sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_3",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    ilt((~p)+3/2, 0) ?
+-(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸(2*(~a)*((~p)+1)) + (2*(~p)+3)⨸(2*(~a)*((~p)+1)) * ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_4",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_5",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger(4*(~p)) ||
+        ext_isinteger(6*(~p))
+    ) ?
+(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)⨸(2*(~p)+1) + 2*(~a)*(~p)⨸(2*(~p)+1) * ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)-1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_6",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(5//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+2⨸((~a)^(5⨸4)*rt((~b)⨸(~a), 2))*elliptic_e(1⨸2*atan(rt((~b)⨸(~a), 2)*(~x)), 2) : nothing)
+
+("1_1_2_1_7",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(5//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~a)) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+(1+(~b)*(~x)^2⨸(~a))^(1⨸4)⨸((~a)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4)) * ∫(1⨸(1+(~b)*(~x)^2⨸(~a))^(5⨸4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_8",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(7//6),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+1⨸(((~a) +(~b)*(~x)^2)^(2⨸3)*((~a)⨸((~a)+(~b)*(~x)^2))^(2⨸3)) * int_and_subst(1⨸(1-(~b)*(~x)^2)^(1⨸3),  (~x), (~x), (~x)⨸sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2), "1_1_2_1_8") : nothing)
+
+("1_1_2_1_9",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger(4*(~p)) ||
+        ext_isinteger(6*(~p))
+    ) ?
+-(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸(2*(~a)*((~p)+1)) + (2*(~p)+3)⨸(2*(~a)*((~p)+1)) * ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_10",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~a)/(~b)) &&
+    (
+        gt((~a), 0) ||
+        gt((~b), 0)
+    ) ?
+1⨸(rt((~a), 2)*rt((~b), 2))*atan(rt((~b), 2)*(~x)⨸rt((~a), 2)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_11",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~a)/(~b)) &&
+    (
+        lt((~a), 0) ||
+        lt((~b), 0)
+    ) ?
+-1⨸(rt(-(~a), 2)*rt(-(~b), 2))*atan(rt(-(~b), 2)*(~x)⨸rt(-(~a), 2)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_12",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~a)/(~b)) ?
+rt((~a)⨸(~b), 2)⨸(~a)*atan((~x)⨸rt((~a)⨸(~b), 2)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_13",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    neg((~a)/(~b)) &&
+    (
+        gt((~a), 0) ||
+        lt((~b), 0)
+    ) ?
+1⨸(rt((~a), 2)*rt(-(~b), 2))*atanh(rt(-(~b), 2)*(~x)⨸rt((~a), 2)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_14",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    neg((~a)/(~b)) &&
+    (
+        lt((~a), 0) ||
+        gt((~b), 0)
+    ) ?
+-1⨸(rt(-(~a), 2)*rt((~b), 2))*atanh(rt((~b), 2)*(~x)⨸rt(-(~a), 2)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_15",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    neg((~a)/(~b)) ?
+rt(-(~a)⨸(~b), 2)⨸(~a)*atanh((~x)⨸rt(-(~a)⨸(~b), 2)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_16",
+@rule ∫(1/sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    pos((~b)) ?
+asinh(rt((~b), 2)*(~x)⨸sqrt((~a)))⨸rt((~b), 2) : nothing)
+
+("1_1_2_1_17",
+@rule ∫(1/sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    neg((~b)) ?
+asin(rt(-(~b), 2)*(~x)⨸sqrt((~a)))⨸rt(-(~b), 2) : nothing)
+
+("1_1_2_1_18",
+@rule ∫(1/sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+int_and_subst(1⨸(1-(~b)*(~x)^2),  (~x), (~x), (~x)⨸sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2), "1_1_2_1_18") : nothing)
+
+("1_1_2_1_19",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+2*(~x)⨸((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4) - (~a) * ∫(1⨸((~a)+(~b)*(~x)^2)^(5⨸4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_20",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    neg((~b)/(~a)) ?
+2⨸((~a)^(1⨸4)*rt(-(~b)⨸(~a), 2))*elliptic_e(1⨸2*asin(rt(-(~b)⨸(~a), 2)*(~x)), 2) : nothing)
+
+("1_1_2_1_21",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~a)) ?
+(1+(~b)*(~x)^2⨸(~a))^(1⨸4)⨸((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4) * ∫(1⨸(1+(~b)*(~x)^2⨸(~a))^(1⨸4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_22",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    neg((~a)) ?
+2*sqrt(-(~b)*(~x)^2⨸(~a))⨸((~b)*(~x)) * int_and_subst((~x)^2⨸sqrt(1-(~x)^4⨸(~a)),  (~x), (~x), ((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4), "1_1_2_1_22") : nothing)
+
+("1_1_2_1_23",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(3//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+2⨸((~a)^(3⨸4)*rt((~b)⨸(~a), 2))*elliptic_f(1⨸2*atan(rt((~b)⨸(~a), 2)*(~x)), 2) : nothing)
+
+("1_1_2_1_24",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(3//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    neg((~b)/(~a)) ?
+2⨸((~a)^(3⨸4)*rt(-(~b)⨸(~a), 2))*elliptic_f(1⨸2*asin(rt(-(~b)⨸(~a), 2)*(~x)), 2) : nothing)
+
+("1_1_2_1_25",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(3//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~a)) ?
+(1+(~b)*(~x)^2⨸(~a))^(3⨸4)⨸((~a)+(~b)*(~x)^2)^(3⨸4) * ∫(1⨸(1+(~b)*(~x)^2⨸(~a))^(3⨸4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_26",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(3//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    neg((~a)) ?
+2*sqrt(-(~b)*(~x)^2⨸(~a))⨸((~b)*(~x)) * int_and_subst(1⨸sqrt(1-(~x)^4⨸(~a)),  (~x), (~x), ((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4), "1_1_2_1_26") : nothing)
+
+("1_1_2_1_27",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+3*sqrt((~b)*(~x)^2)⨸(2*(~b)*(~x)) * int_and_subst((~x)⨸sqrt(-(~a)+(~x)^3),  (~x), (~x), ((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸3), "1_1_2_1_27") : nothing)
+
+("1_1_2_1_28",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(2//3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+3*sqrt((~b)*(~x)^2)⨸(2*(~b)*(~x)) * int_and_subst(1⨸sqrt(-(~a)+(~x)^3),  (~x), (~x), ((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸3), "1_1_2_1_28") : nothing)
+
+("1_1_2_1_29",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//6),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+3*(~x)⨸(2*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸6)) - (~a)⨸2 * ∫(1⨸((~a)+(~b)*(~x)^2)^(7⨸6), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_30",
+@rule ∫(1/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(5//6),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+1⨸(((~a)⨸((~a)+(~b)*(~x)^2))^(1⨸3)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸3)) * int_and_subst(1⨸(1-(~b)*(~x)^2)^(2⨸3),  (~x), (~x), (~x)⨸sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2), "1_1_2_1_30") : nothing)
+
+("1_1_2_1_31",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~p))) &&
+    gt((~a), 0) ?
+(~a)^(~p)*(~x)*hypergeometric2f1(-(~p), 1⨸2, 1⨸2+1, -(~b)*(~x)^2⨸(~a)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_32",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~p))) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+(~a)^intpart((~p))*((~a)+(~b)*(~x)^2)^fracpart((~p))⨸(1+(~b)*(~x)^2⨸(~a))^fracpart((~p)) * ∫((1+(~b)*(~x)^2⨸(~a))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_1_33",
+@rule ∫(((~!a)+(~!b)*(~v)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear((~v), (~x)) &&
+    !eq((~v), (~x)) ?
+1⨸ext_coeff((~v), (~x), 1) * int_and_subst(((~a)+(~b)*(~x)^(~n))^(~p),  (~x), (~x), (~v), "1_1_2_1_33") : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.2 (c x)^m (a+b x^2)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.2 (c x)^m (a+b x^2)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..3fc4d196
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.2 (c x)^m (a+b x^2)^p.jl	
@@ -0,0 +1,297 @@
+file_rules = [
+# (* ::Package:: *)(* ::Code:: *)
+ 
+("1_1_2_2_1",
+@rule ∫((~x)/((~a)+(~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b), (~x)) ?
+ log((~a)+(~b)*(~x)^2)⨸(2*(~b))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_2",
+@rule ∫((~x)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~p), (~x)) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+ ((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸(2*(~b)*((~p)+1))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_3",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~m),(~p), (~x)) &&
+    eq((~m)+2*(~p)+3, 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+ ((~c)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~a)*(~c)*((~m)+1))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_4",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~m),(~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m)-1)/2) ?
+ 1⨸2 * int_and_subst((~x)^(((~m)-1)⨸2)*((~a)+(~b)*(~x))^(~p), (~x), (~x), (~x)^2, "1_1_2_2_4")  : nothing)
+
+("1_1_2_2_5",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~m), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+ ∫(ext_expand(((~c)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_6",
+@rule ∫((~x)^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~m),(~p), (~x)) &&
+    ilt(simplify(((~m)+1)/2+(~p)+1), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+ (~x)^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~a)*((~m)+1)) -   (~b)*((~m)+2*((~p)+1)+1)⨸((~a)*((~m)+1)) * ∫((~x)^((~m)+2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_7",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~m),(~p), (~x)) &&
+    ilt(simplify(((~m)+1)/2+(~p)+1), 0) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+ -((~c)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~a)*(~c)*2*((~p)+1)) +  ((~m)+2*(~p)+3)⨸((~a)*2*((~p)+1)) * ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1), (~x))  : nothing)
+
+#  # TODO IntBinomialQ is what exactly?
+# ("1_1_2_2_8",
+# @rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c), (~x)) &&
+#     gt((~p), 0) &&
+#     lt((~m), -1) &&
+#     !(ilt(((~m)+2*(~p)+3)/2, 0)) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),2,(~m),(~p),(~x)] ?
+#  ((~c)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)⨸((~c)*((~m)+1)) -   2*(~b)*(~p)⨸((~c)^2*((~m)+1)) * ∫(((~c)*(~x))^((~m)+2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)-1), (~x))  : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_2_9",
+# @rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~m), (~x)) &&
+#     gt((~p), 0) &&
+#     !eq((~m)+2*(~p)+1, 0) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),2,(~m),(~p),(~x)] ?
+#  ((~c)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)⨸((~c)*((~m)+2*(~p)+1)) +  2*(~a)*(~p)⨸((~m)+2*(~p)+1) * ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)-1), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_10",
+@rule ∫(sqrt((~!c)*(~x))/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(5//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c), (~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+ sqrt((~c)*(~x))*(1+(~a)⨸((~b)*(~x)^2))^(1⨸4)⨸((~b)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4)) * ∫(1⨸((~x)^2*(1+(~a)⨸((~b)*(~x)^2))^(5⨸4)), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_11",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(5//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c), (~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    gt((~m), 3/2)  ?
+ 2*(~c)*((~c)*(~x))^((~m)-1)⨸((~b)*(2*(~m)-3)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4)) - 2*(~a)*(~c)^2*((~m)-1)⨸((~b)*(2*(~m)-3)) * ∫(((~c)*(~x))^((~m)-2)⨸((~a)+(~b)*(~x)^2)^(5⨸4), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_12",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(5//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c), (~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    lt((~m), -1) ?
+ ((~c)*(~x))^((~m)+1)⨸((~a)*(~c)*((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4)) - (~b)*(2*(~m)+1)⨸(2*(~a)*(~c)^2*((~m)+1)) * ∫(((~c)*(~x))^((~m)+2)⨸((~a)+(~b)*(~x)^2)^(5⨸4), (~x))  : nothing)
+
+# ("1_1_2_2_13",
+# @rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c), (~x)) &&
+#     lt((~p), -1) &&
+#     gt((~m), 1) &&
+#     !(ilt(((~m)+2*(~p)+3)/2, 0)) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),2,(~m),(~p),(~x)] ?
+#  (~c)*((~c)*(~x))^((~m)-1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸(2*(~b)*((~p)+1)) -  (~c)^2*((~m)-1)⨸(2*(~b)*((~p)+1)) * ∫(((~c)*(~x))^((~m)-2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1), (~x))  : nothing)
+
+# ("1_1_2_2_14",
+# @rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~m), (~x)) &&
+#     lt((~p), -1) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),2,(~m),(~p),(~x)] ?
+#  -((~c)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸(2*(~a)*(~c)*((~p)+1)) +  ((~m)+2*(~p)+3)⨸(2*(~a)*((~p)+1)) * ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_15",
+@rule ∫((~x)^(~m)/((~a)+(~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b), (~x)) &&
+    igt((~m), 3) ?
+ ∫(polynomial_divide((~x)^(~m), ((~a)+(~b)*(~x)^2), (~x)), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_16",
+@rule ∫(sqrt((~c)*(~x))/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c), (~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+ (~x)*sqrt((~c)*(~x))⨸((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4) - (~a)⨸2 * ∫(sqrt((~c)*(~x))⨸((~a)+(~b)*(~x)^2)^(5⨸4), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_17",
+@rule ∫(sqrt((~c)*(~x))/((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c), (~x)) &&
+    neg((~b)/(~a)) ?
+ (~c)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(3⨸4)⨸((~b)*sqrt((~c)*(~x))) + (~a)*(~c)^2⨸(2*(~b)) * ∫(1⨸(((~c)*(~x))^(3⨸2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4)), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_18",
+@rule ∫(1/(((~!c)*(~x))^(3//2)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c), (~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+ -2⨸((~c)*sqrt((~c)*(~x))*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4)) - (~b)⨸(~c)^2 * ∫(sqrt((~c)*(~x))⨸((~a)+(~b)*(~x)^2)^(5⨸4), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_19",
+@rule ∫(1/(((~!c)*(~x))^(3//2)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c), (~x)) &&
+    neg((~b)/(~a)) ?
+ sqrt((~c)*(~x))*(1+(~a)⨸((~b)*(~x)^2))^(1⨸4)⨸((~c)^2*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4)) * ∫(1⨸((~x)^2*(1+(~a)⨸((~b)*(~x)^2))^(1⨸4)), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_20",
+@rule ∫(sqrt((~x))/sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b), (~x)) &&
+    gt(-(~b)/(~a), 0) &&
+    gt((~a), 0) ?
+ -2⨸(sqrt((~a))*(-(~b)⨸(~a))^(3⨸4)) * int_and_subst(sqrt(1-2*(~x)^2)⨸sqrt(1-(~x)^2), (~x), (~x), sqrt(1-sqrt(-(~b)⨸(~a))*(~x))⨸sqrt(2), "1_1_2_2_20")  : nothing)
+
+("1_1_2_2_21",
+@rule ∫(sqrt((~x))/sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b), (~x)) &&
+    gt(-(~b)/(~a), 0) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+ sqrt(1+(~b)*(~x)^2⨸(~a))⨸sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2) * ∫(sqrt((~x))⨸sqrt(1+(~b)*(~x)^2⨸(~a)), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_22",
+@rule ∫(sqrt((~c)*(~x))/sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c), (~x)) &&
+    gt(-(~b)/(~a), 0) ?
+ sqrt((~c)*(~x))⨸sqrt((~x)) * ∫(sqrt((~x))⨸sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2), (~x))  : nothing)
+
+# ("1_1_2_2_23",
+# @rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~p), (~x)) &&
+#     gt((~m), 2-1) &&
+#     !eq((~m)+2*(~p)+1, 0) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),2,(~m),(~p),(~x)] ?
+#  (~c)*((~c)*(~x))^((~m)-1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~b)*((~m)+2*(~p)+1)) -  (~a)*(~c)^2*((~m)-1)⨸((~b)*((~m)+2*(~p)+1)) * ∫(((~c)*(~x))^((~m)-2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_24",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~m),(~p), (~x)) &&
+    sumsimpler((~m), -2) &&
+    !eq((~m)+2*(~p)+1, 0) &&
+    ilt(simplify(((~m)+1)/2+(~p)), 0) ?
+ (~c)*((~c)*(~x))^((~m)-1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~b)*((~m)+2*(~p)+1)) -  (~a)*(~c)^2*((~m)-1)⨸((~b)*((~m)+2*(~p)+1)) * ∫(((~c)*(~x))^((~m)-2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p), (~x))  : nothing)
+
+# ("1_1_2_2_25",
+# @rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~p), (~x)) &&
+#     lt((~m), -1) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),2,(~m),(~p),(~x)] ?
+#  ((~c)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~a)*(~c)*((~m)+1)) -  (~b)*((~m)+2*(~p)+3)⨸((~a)*(~c)^2*((~m)+1)) * ∫(((~c)*(~x))^((~m)+2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_26",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~m),(~p), (~x)) &&
+    sumsimpler((~m), 2) &&
+    ilt(simplify(((~m)+1)/2+(~p)), 0) ?
+ ((~c)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~a)*(~c)*((~m)+1)) -  (~b)*((~m)+2*(~p)+3)⨸((~a)*(~c)^2*((~m)+1)) * ∫(((~c)*(~x))^((~m)+2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p), (~x))  : nothing)
+
+# ("1_1_2_2_27",
+# @rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~p), (~x)) &&
+#     isfraction((~m)) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),2,(~m),(~p),(~x)] ?
+# ext_den((~m))⨸(~c) * int_and_subst((~x)^(ext_den((~m))*((~m)+1)-1)*((~a)+(~b)*(~x)^(2*ext_den((~m)))⨸(~c)^2)^(~p), (~x), (~x), ((~c)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "1_1_2_2_27") : nothing)
+
+("1_1_2_2_28",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b), (~x)) &&
+    lt(-1, (~p),0) &&
+    !eq((~p), -1/2) &&
+    ext_isinteger((~m),(~p)+((~m)+1)/2) ?
+ (~a)^((~p)+((~m)+1)⨸2) * int_and_subst((~x)^(~m)⨸(1-(~b)*(~x)^2)^((~p)+((~m)+1)⨸2+1), (~x), (~x), (~x)⨸((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸2), "1_1_2_2_28")  : nothing)
+
+("1_1_2_2_29",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b), (~x)) &&
+    lt(-1, (~p),0) &&
+    !eq((~p), -1/2) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    lt(ext_den((~p)+((~m)+1)/2), ext_den((~p))) ?
+ ((~a)⨸((~a)+(~b)*(~x)^2))^((~p)+((~m)+1)⨸2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+((~m)+1)⨸2) * int_and_subst((~x)^(~m)⨸(1-(~b)*(~x)^2)^((~p)+((~m)+1)⨸2+1), (~x), (~x), (~x)⨸((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸2), "1_1_2_2_29")  : nothing)
+
+("1_1_2_2_30",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~m), (~x)) &&
+    eq(((~m)+1)/2+(~p), 0) &&
+    gt((~p), 0) ?
+ (~x)^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)⨸((~m)+1) -   2*(~b)*(~p)⨸((~m)+1) * ∫((~x)^((~m)+2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)-1), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_31",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~m), (~x)) &&
+    eq(((~m)+1)/2+(~p), 0) &&
+    gt((~p), 0) ?
+ (~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m)) * ∫((~x)^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_32",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)+simplify(((~m)+1)/2)) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !eq((~m)+2*(~p)+1, 0) ?
+ ((~c)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)⨸((~c)*((~m)+2*(~p)+1)) +  2*(~a)*(~p)⨸((~m)+2*(~p)+1) * ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)-1), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_33",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~m),(~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)+simplify(((~m)+1)/2)) &&
+    lt(-1,(~p),0) ?
+ext_den((~p))*(~a)^((~p)+simplify(((~m)+1)⨸2))⨸2 * int_and_subst((~x)^(ext_den((~p))*simplify(((~m)+1)⨸2)-1)⨸(1-(~b)*(~x)^ext_den((~p)))^((~p)+simplify(((~m)+1)⨸2)+1), (~x), (~x), (~x)^(2⨸ext_den((~p)))⨸((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸ext_den((~p))), "1_1_2_2_33") : nothing)
+
+("1_1_2_2_34",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)+simplify(((~m)+1)/2)) &&
+    lt(-1, (~p),0) ?
+ (~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m)) * ∫((~x)^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_35",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)+simplify(((~m)+1)/2)) &&
+    lt((~p), -1) ?
+ -((~c)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~a)*(~c)*2*((~p)+1)) +  ((~m)+2*((~p)+1)+1)⨸((~a)*2*((~p)+1)) * ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_36",
+@rule ∫((~x)^(~!m)/((~a)+(~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~m), (~x)) &&
+    isfraction(((~m)+1)/2) &&
+    sumsimpler((~m), -2) ?
+ (~x)^((~m)-1)⨸((~b)*((~m)-1)) -  (~a)⨸(~b) * ∫((~x)^((~m)-2)⨸((~a)+(~b)*(~x)^2), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_37",
+@rule ∫((~x)^(~m)/((~a)+(~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~m), (~x)) &&
+    isfraction(((~m)+1)/2) &&
+    sumsimpler((~m), 2) ?
+ (~x)^((~m)+1)⨸((~a)*((~m)+1)) -  (~b)⨸(~a) * ∫((~x)^simplify((~m)+2)⨸((~a)+(~b)*(~x)^2), (~x))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_38",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~m)/((~a)+(~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~m), (~x)) &&
+    isfraction(((~m)+1)/2) &&
+    (
+        sumsimpler((~m), 2) ||
+        sumsimpler((~m), -2)
+    ) ?
+ (~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m)) * ∫((~x)^(~m)⨸((~a)+(~b)*(~x)^2), (~x))  : nothing)
+
+# this is commented because otherwise triggers on x^2*(1/(1+x^2))^2
+# while rule 1_1_3_2_19 is more appropriate
+# ("1_1_2_2_39",
+# @rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~m),(~p), (~x)) &&
+#     !(igt((~p), 0)) &&
+#     (
+#         ilt((~p), 0) ||
+#         gt((~a), 0)
+#     ) ?
+#  (~a)^(~p)*((~c)*(~x))^((~m)+1)⨸((~c)*((~m)+1))*hypergeometric2f1(-(~p), ((~m)+1)⨸2, ((~m)+1)⨸2+1, -(~b)*(~x)^2⨸(~a))  : nothing)
+
+("1_1_2_2_40",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~m),(~p), (~x)) &&
+    !(igt((~p), 0)) &&
+    !(
+        ilt((~p), 0) ||
+        gt((~a), 0)
+    ) ?
+ (~a)^intpart((~p))*((~a)+(~b)*(~x)^2)^fracpart((~p))⨸(1+(~b)*(~x)^2⨸(~a))^fracpart((~p)) * ∫(((~c)*(~x))^(~m)*(1+(~b)*(~x)^2⨸(~a))^(~p), (~x))  : nothing)
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.3 (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.3 (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q.jl
new file mode 100644
index 00000000..b764bd36
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.3 (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q.jl	
@@ -0,0 +1,471 @@
+file_rules = [
+# (* ::Package:: *)
+ 
+("1_1_2_3_1",
+@rule ∫((~!u)*((~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~b),(~d),(~n),(~p),(~q),(~x)) ?
+(~b)^intpart((~p))*(~d)^intpart((~q))*((~b)*(~x)^(~n))^fracpart((~p))*((~d)*(~x)^(~n))^fracpart((~q))⨸(~x)^((~n)*(fracpart((~p))+fracpart((~q)))) * ∫((~u)*(~x)^((~n)*((~p)+(~q))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_2",
+@rule ∫((~!u)*((~a)+(~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c)+(~!d)*(~x)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~n),(~p),(~q),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~q)) &&
+        simpler((~a)+(~b)*(~x)^(~n),(~c)+(~d)*(~x)^(~n))
+    ) ?
+((~b)⨸(~d))^(~p) * ∫((~u)*((~c)+(~d)*(~x)^(~n))^((~p)+(~q)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_3",
+@rule ∫((~!u)*((~a)+(~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~n),(~p),(~q),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    gt((~b)/(~d),0) &&
+    !(simpler((~a)+(~b)*(~x)^(~n),(~c)+(~d)*(~x)^(~n))) ?
+((~b)⨸(~d))^(~p) * ∫((~u)*((~c)+(~d)*(~x)^(~n))^((~p)+(~q)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_4",
+@rule ∫((~!u)*((~a)+(~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~n),(~p),(~q),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    !(simpler((~a)+(~b)*(~x)^(~n),(~c)+(~d)*(~x)^(~n))) ?
+((~a)+(~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~c)+(~d)*(~x)^(~n))^(~p) * ∫((~u)*((~c)+(~d)*(~x)^(~n))^((~p)+(~q)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_5",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~!p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~p),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)+(~a)*(~d),0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a),0) &&
+        gt((~c),0)
+    ) ?
+∫(((~a)*(~c)+(~b)*(~d)*(~x)^4)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_6",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)+(~a)*(~d),0) &&
+    gt((~p),0) ?
+(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~p)⨸(4*(~p)+1) +   4*(~a)*(~c)*(~p)⨸(4*(~p)+1) * ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)-1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~p)-1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_7",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)+(~a)*(~d),0) &&
+    lt((~p),-1) ?
+-(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸(4*(~a)*(~c)*((~p)+1)) +   (4*(~p)+5)⨸(4*(~a)*(~c)*((~p)+1)) * ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~p)+1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_8",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)+(~a)*(~d),0) &&
+    gt((~a),0) &&
+    gt((~d),0) ?
+1⨸sqrt(2*(~a)*(~d))*elliptic_f(asin(sqrt(2*(~d))*(~x)⨸sqrt((~c)+(~d)*(~x)^2)),1⨸2) : nothing)
+
+("1_1_2_3_9",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~p),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)+(~a)*(~d),0) &&
+    gt((~a),0) &&
+    lt((~c),0) ?
+((~c)+(~d)*(~x)^2)^fracpart((~p))⨸((-1)^intpart((~p))*(-(~c)-(~d)*(~x)^2)^fracpart((~p))) * ∫((-(~a)*(~c)-(~b)*(~d)*(~x)^4)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_10",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~p),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)+(~a)*(~d),0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a)+(~b)*(~x)^2)^fracpart((~p))*((~c)+(~d)*(~x)^2)^fracpart((~p))⨸((~a)*(~c)+(~b)*(~d)*(~x)^4)^fracpart((~p)) * ∫(((~a)*(~c)+(~b)*(~d)*(~x)^4)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_11",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~!p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    igt((~p),0) &&
+    igt((~q),0) ?
+∫(ext_expand(((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q), (~x)),(~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_12",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) ?
+int_and_subst(1⨸((~c)-((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*(~x)^2), (~x), (~x), (~x)⨸sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2), "1_1_2_3_12") : nothing)
+
+("1_1_2_3_13",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~p),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    eq(2*((~p)+(~q)+1)+1,0) &&
+    gt((~q),0) &&
+    !eq((~p),-1) ?
+-(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)⨸(2*(~a)*((~p)+1)) -   (~c)*(~q)⨸((~a)*((~p)+1)) * ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_14",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~q),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    eq(2*((~p)+(~q)+1)+1,0) &&
+    ilt((~p),0) ?
+(~a)^(~p)*(~x)⨸((~c)^((~p)+1)*sqrt((~c)+(~d)*(~x)^2))*hypergeometric2f1(1⨸2,-(~p),3⨸2,-((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*(~x)^2⨸((~a)*((~c)+(~d)*(~x)^2))) : nothing)
+
+("1_1_2_3_15",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~p),(~q),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    eq(2*((~p)+(~q)+1)+1,0) ?
+(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)⨸((~c)*((~c)*((~a)+(~b)*(~x)^2)⨸((~a)*((~c)+(~d)*(~x)^2)))^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(1⨸2+(~p)))*    hypergeometric2f1(1⨸2,-(~p),3⨸2,-((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*(~x)^2⨸((~a)*((~c)+(~d)*(~x)^2))) : nothing)
+
+("1_1_2_3_16",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~p),(~q),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    eq(2*((~p)+(~q)+2)+1,0) &&
+    eq((~a)*(~d)*((~p)+1)+(~b)*(~c)*((~q)+1),0) ?
+(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)+1)⨸((~a)*(~c)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_17",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~q),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    eq(2*((~p)+(~q)+2)+1,0) &&
+    (
+        lt((~p),-1) ||
+        !(lt((~q),-1))
+    ) &&
+    !eq((~p),-1) ?
+-(~b)*(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)+1)⨸(2*(~a)*((~p)+1)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))) +   ((~b)*(~c)+2*((~p)+1)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d)))⨸(2*(~a)*((~p)+1)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))) * ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_18",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~!p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~p),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    eq((~a)*(~d)-(~b)*(~c)*(2*(~p)+3),0) ?
+(~c)*(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸(~a) : nothing)
+
+("1_1_2_3_19",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~p),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    (
+        lt((~p),-1) ||
+        ilt(1/2+(~p),0)
+    ) ?
+-((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸(2*(~a)*(~b)*((~p)+1)) -   ((~a)*(~d)-(~b)*(~c)*(2*(~p)+3))⨸(2*(~a)*(~b)*((~p)+1)) * ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_20",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    !eq(2*(~p)+3,0) ?
+(~d)*(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~b)*(2*(~p)+3)) -   ((~a)*(~d)-(~b)*(~c)*(2*(~p)+3))⨸((~b)*(2*(~p)+3)) * ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_21",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    igt((~p),0) &&
+    ilt((~q),0) &&
+    ge((~p),-(~q)) ?
+∫(polynomial_divide(((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p),((~c)+(~d)*(~x)^2)^(-(~q)),(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_22",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~!p)/((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    gt((~p),0) &&
+    (
+        eq((~p),1/2) ||
+        eq(ext_den((~p)),4) ||
+        eq((~p),2/3) &&
+        eq((~b)*(~c)+3*(~a)*(~d),0)
+    ) ?
+(~b)⨸(~d) * ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)-1), (~x)) - ((~b)*(~c)-(~a)*(~d))⨸(~d) * ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)-1)⨸((~c)+(~d)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_23",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)/((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    lt((~p),-1) &&
+    eq(ext_den((~p)),4) &&
+    (
+        eq((~p),-5/4) ||
+        eq((~p),-7/4)
+    ) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c)-(~a)*(~d)) * ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c)-(~a)*(~d)) * ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~c)+(~d)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_24",
+@rule ∫(1/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c)-(~a)*(~d)) * ∫(1⨸((~a)+(~b)*(~x)^2), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c)-(~a)*(~d)) * ∫(1⨸((~c)+(~d)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_25",
+@rule ∫(1/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//3)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    eq((~b)*(~c)+3*(~a)*(~d),0) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+rt((~b)⨸(~a),2)*atanh(sqrt(3)⨸(rt((~b)⨸(~a),2)*(~x)))⨸(2*2^(2⨸3)*sqrt(3)*(~a)^(1⨸3)*(~d)) +   rt((~b)⨸(~a),2)*atanh(sqrt(3)*((~a)^(1⨸3)-2^(1⨸3)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸3))⨸((~a)^(1⨸3)*rt((~b)⨸(~a),2)*(~x)))⨸(2*2^(2⨸3)*sqrt(3)*(~a)^(1⨸3)*(~d)) +   rt((~b)⨸(~a),2)*atan(rt((~b)⨸(~a),2)*(~x))⨸(6*2^(2⨸3)*(~a)^(1⨸3)*(~d)) -   rt((~b)⨸(~a),2)*atan(((~a)^(1⨸3)*rt((~b)⨸(~a),2)*(~x))⨸((~a)^(1⨸3)+2^(1⨸3)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸3)))⨸(2*2^(2⨸3)*(~a)^(1⨸3)*(~d)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_26",
+@rule ∫(1/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//3)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    eq((~b)*(~c)+3*(~a)*(~d),0) &&
+    neg((~b)/(~a)) ?
+rt(-(~b)⨸(~a),2)*atan(sqrt(3)⨸(rt(-(~b)⨸(~a),2)*(~x)))⨸(2*2^(2⨸3)*sqrt(3)*(~a)^(1⨸3)*(~d)) +   rt(-(~b)⨸(~a),2)*atan(sqrt(3)*((~a)^(1⨸3)-2^(1⨸3)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸3))⨸((~a)^(1⨸3)*rt(-(~b)⨸(~a),2)*(~x)))⨸(2*2^(2⨸3)*sqrt(3)*(~a)^(1⨸3)*(~d)) -   rt(-(~b)⨸(~a),2)*atanh(rt(-(~b)⨸(~a),2)*(~x))⨸(6*2^(2⨸3)*(~a)^(1⨸3)*(~d)) +   rt(-(~b)⨸(~a),2)*atanh(((~a)^(1⨸3)*rt(-(~b)⨸(~a),2)*(~x))⨸((~a)^(1⨸3)+2^(1⨸3)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸3)))⨸(2*2^(2⨸3)*(~a)^(1⨸3)*(~d)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_27",
+@rule ∫(1/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//3)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    eq((~b)*(~c)-9*(~a)*(~d),0) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+rt((~b)⨸(~a),2)*atan(rt((~b)⨸(~a),2)*(~x)⨸3)⨸(12*rt((~a),3)*(~d)) +    rt((~b)⨸(~a),2)*atan((rt((~a),3)-((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸3))^2⨸(3*rt((~a),3)^2*rt((~b)⨸(~a),2)*(~x)))⨸(12*rt((~a),3)*(~d)) -   rt((~b)⨸(~a),2)*atanh((sqrt(3)*(rt((~a),3)-((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸3)))⨸(rt((~a),3)*rt((~b)⨸(~a),2)*(~x)))⨸(4*sqrt(3)*rt((~a),3)*(~d)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_28",
+@rule ∫(1/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//3)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    eq((~b)*(~c)-9*(~a)*(~d),0) &&
+    neg((~b)/(~a)) ?
+-rt(-(~b)⨸(~a),2)*atanh(rt(-(~b)⨸(~a),2)*(~x)⨸3)⨸(12*rt((~a),3)*(~d)) +    rt(-(~b)⨸(~a),2)*atanh((rt((~a),3)-((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸3))^2⨸(3*rt((~a),3)^2*rt(-(~b)⨸(~a),2)*(~x)))⨸(12*rt((~a),3)*(~d)) -   rt(-(~b)⨸(~a),2)*atan((sqrt(3)*(rt((~a),3)-((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸3)))⨸(rt((~a),3)*rt(-(~b)⨸(~a),2)*(~x)))⨸(4*sqrt(3)*rt((~a),3)*(~d)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_29",
+@rule ∫(1/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//4)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)-2*(~a)*(~d),0) &&
+    pos((~b)^2/(~a)) ?
+-(~b)⨸(2*(~a)*(~d)*rt((~b)^2⨸(~a),4))*atan(((~b)+rt((~b)^2⨸(~a),4)^2*sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2))⨸(rt((~b)^2⨸(~a),4)^3*(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) -   (~b)⨸(2*(~a)*(~d)*rt((~b)^2⨸(~a),4))*atanh(((~b)-rt((~b)^2⨸(~a),4)^2*sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2))⨸(rt((~b)^2⨸(~a),4)^3*(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) : nothing)
+
+("1_1_2_3_30",
+@rule ∫(1/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//4)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)-2*(~a)*(~d),0) &&
+    neg((~b)^2/(~a)) ?
+(~b)⨸(2*sqrt(2)*(~a)*(~d)*rt(-(~b)^2⨸(~a),4))*atan(rt(-(~b)^2⨸(~a),4)*(~x)⨸(sqrt(2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) +   (~b)⨸(2*sqrt(2)*(~a)*(~d)*rt(-(~b)^2⨸(~a),4))*atanh(rt(-(~b)^2⨸(~a),4)*(~x)⨸(sqrt(2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) : nothing)
+
+# (* Int[1/((a_+b_.*x_^2)^(1/4)*(c_+d_.*x_^2)),x_Symbol] :=  With[{q=Rt[-b^2/a,4]},  b/(2*Sqrt[2]*a*d*q)*ArcTan[q*x/(Sqrt[2]*(a+b*x^2)^(1/4))] +   b/(4*Sqrt[2]*a*d*q)*Log[(Sqrt[2]*q*x+2*(a+b*x^2)^(1/4))/(Sqrt[2]*q*x-2*(a+b*x^2)^(1/4))]] /;FreeQ[{a,b,c,d},x] && EqQ[b*c-2*a*d,0] && NegQ[b^2/a] *)
+ 
+("1_1_2_3_31",
+@rule ∫(1/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//4)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) ?
+2*sqrt(-(~b)*(~x)^2⨸(~a))⨸(~x) * int_and_subst((~x)^2⨸(sqrt(1-(~x)^4⨸(~a))*((~b)*(~c)-(~a)*(~d)+(~d)*(~x)^4)), (~x), (~x), ((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4), "1_1_2_3_31") : nothing)
+
+("1_1_2_3_32",
+@rule ∫(1/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(3//4)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)-2*(~a)*(~d),0) ?
+1⨸(~c) * ∫(1⨸((~a)+(~b)*(~x)^2)^(3⨸4), (~x)) - (~d)⨸(~c) * ∫((~x)^2⨸(((~a)+(~b)*(~x)^2)^(3⨸4)*((~c)+(~d)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_33",
+@rule ∫(1/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(3//4)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) ?
+sqrt(-(~b)*(~x)^2⨸(~a))⨸(2*(~x)) * int_and_subst(1⨸(sqrt(-(~b)*(~x)⨸(~a))*((~a)+(~b)*(~x))^(3⨸4)*((~c)+(~d)*(~x))), (~x), (~x), (~x)^2, "1_1_2_3_33") : nothing)
+
+("1_1_2_3_34",
+@rule ∫(sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2)/((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) &&
+    pos((~d)/(~c)) ?
+sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2)⨸((~c)*rt((~d)⨸(~c),2)*sqrt((~c)+(~d)*(~x)^2)*sqrt((~c)*((~a)+(~b)*(~x)^2)⨸((~a)*((~c)+(~d)*(~x)^2))))*elliptic_e(atan(rt((~d)⨸(~c),2)*(~x)),1-(~b)*(~c)⨸((~a)*(~d))) : nothing)
+
+# (* Int[Sqrt[a_+b_.*x_^2]/(c_+d_.*x_^2)^(3/2),x_Symbol] :=  a*Sqrt[c+d*x^2]*Sqrt[(c*(a+b*x^2))/(a*(c+d*x^2))]/(c^2*Rt[d/c,2]*Sqrt[a+b*x^2])*EllipticE[ArcTan[Rt[d/c,2]*x],1-b*c/(a*d)] /;FreeQ[{a,b,c,d},x] && PosQ[b/a] && PosQ[d/c] *)
+ 
+# ("1_1_2_3_35",
+# @rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     lt((~p),-1) &&
+#     lt(0,(~q),1) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# -(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)⨸(2*(~a)*((~p)+1)) +   1⨸(2*(~a)*((~p)+1)) * ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-1)*simplify((~c)*(2*(~p)+3)+(~d)*(2*((~p)+(~q)+1)+1)*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("1_1_2_3_36",
+# @rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     lt((~p),-1) &&
+#     gt((~q),1) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# ((~a)*(~d)-(~c)*(~b))*(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-1)⨸(2*(~a)*(~b)*((~p)+1)) -   1⨸(2*(~a)*(~b)*((~p)+1)) *     ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-2)*simplify((~c)*((~a)*(~d)-(~c)*(~b)*(2*(~p)+3))+(~d)*((~a)*(~d)*(2*((~q)-1)+1)-(~b)*(~c)*(2*((~p)+(~q))+1))*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("1_1_2_3_37",
+# @rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~q),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     lt((~p),-1) &&
+#     !(
+#         !(ext_isinteger((~p))) &&
+#         ext_isinteger((~q)) &&
+#         lt((~q),-1)
+#     ) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# -(~b)*(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)+1)⨸(2*(~a)*((~p)+1)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))) +   1⨸(2*(~a)*((~p)+1)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))) *     ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)*simplify((~b)*(~c)+2*((~p)+1)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))+(~d)*(~b)*(2*((~p)+(~q)+2)+1)*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_38",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    ext_isinteger((~p),(~q)) &&
+    gt((~p)+(~q),0) ?
+∫(ext_expand(((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q), (~x)),(~x)) : nothing)
+
+# ("1_1_2_3_39",
+# @rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~p),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     gt((~q),1) &&
+#     !eq(2*((~p)+(~q))+1,0) &&
+#     !(igt((~p),1)) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# (~d)*(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-1)⨸((~b)*(2*((~p)+(~q))+1)) +   1⨸((~b)*(2*((~p)+(~q))+1)) *     ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-2)*simplify((~c)*((~b)*(~c)*(2*((~p)+(~q))+1)-(~a)*(~d))+(~d)*((~b)*(~c)*(2*((~p)+2*(~q)-1)+1)-(~a)*(~d)*(2*((~q)-1)+1))*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_3_40",
+# @rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     gt((~q),0) &&
+#     gt((~p),0) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# (~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)⨸(2*((~p)+(~q))+1) +   2⨸(2*((~p)+(~q))+1) * ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)-1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-1)*simplify((~a)*(~c)*((~p)+(~q))+((~q)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))+(~a)*(~d)*((~p)+(~q)))*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_41",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    pos((~d)/(~c)) &&
+    pos((~b)/(~a)) &&
+    !(simpler(rt((~b)/(~a),2),rt((~d)/(~c),2))) ?
+sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2)⨸((~a)*rt((~d)⨸(~c),2)*sqrt((~c)+(~d)*(~x)^2)*sqrt((~c)*((~a)+(~b)*(~x)^2)⨸((~a)*((~c)+(~d)*(~x)^2))))*elliptic_f(atan(rt((~d)⨸(~c),2)*(~x)),1-(~b)*(~c)⨸((~a)*(~d))) : nothing)
+
+# (* Int[1/(Sqrt[a_+b_.*x_^2]*Sqrt[c_+d_.*x_^2]),x_Symbol] :=  Sqrt[c+d*x^2]*Sqrt[c*(a+b*x^2)/(a*(c+d*x^2))]/(c*Rt[d/c,2]*Sqrt[a+b*x^2])*EllipticF[ArcTan[Rt[d/c,2]*x],1-b*c/(a*d)] /;FreeQ[{a,b,c,d},x] && PosQ[d/c] && PosQ[b/a] && Not[SimplerSqrtQ[b/a,d/c]] *)
+ 
+("1_1_2_3_42",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    neg((~d)/(~c)) &&
+    gt((~c),0) &&
+    gt((~a),0) &&
+    !(
+        neg((~b)/(~a)) &&
+        simpler(rt(-(~b)/(~a),2),rt(-(~d)/(~c),2))
+    ) ?
+1⨸(sqrt((~a))*sqrt((~c))*rt(-(~d)⨸(~c),2))*elliptic_f(asin(rt(-(~d)⨸(~c),2)*(~x)),(~b)*(~c)⨸((~a)*(~d))) : nothing)
+
+("1_1_2_3_43",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    neg((~d)/(~c)) &&
+    gt((~c),0) &&
+    gt((~a)-(~b)*(~c)/(~d),0) ?
+-1⨸(sqrt((~c))*rt(-(~d)⨸(~c),2)*sqrt((~a)-(~b)*(~c)⨸(~d)))*elliptic_f(acos(rt(-(~d)⨸(~c),2)*(~x)),(~b)*(~c)⨸((~b)*(~c)-(~a)*(~d))) : nothing)
+
+("1_1_2_3_44",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !(gt((~c),0)) ?
+sqrt(1+(~d)⨸(~c)*(~x)^2)⨸sqrt((~c)+(~d)*(~x)^2) * ∫(1⨸(sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2)*sqrt(1+(~d)⨸(~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_45",
+@rule ∫(sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2)/sqrt((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    pos((~d)/(~c)) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+(~a) * ∫(1⨸(sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2)*sqrt((~c)+(~d)*(~x)^2)), (~x)) + (~b) * ∫((~x)^2⨸(sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2)*sqrt((~c)+(~d)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_46",
+@rule ∫(sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2)/sqrt((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    pos((~d)/(~c)) &&
+    eq((~b)*(~c)+(~a)*(~d),0) &&
+    lt((~a),0) &&
+    gt((~c),0) ?
+(~x)*sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2)⨸sqrt((~c)+(~d)*(~x)^2) + sqrt(-2*(~a))*(~x)⨸sqrt((~d)*(~x)^2)*elliptic_e(asin(sqrt(2*(~c))⨸sqrt((~c)+(~d)*(~x)^2)),1⨸2) : nothing)
+
+("1_1_2_3_47",
+@rule ∫(sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2)/sqrt((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    pos((~d)/(~c)) &&
+    neg((~b)/(~a)) ?
+(~b)⨸(~d) * ∫(sqrt((~c)+(~d)*(~x)^2)⨸sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2), (~x)) - ((~b)*(~c)-(~a)*(~d))⨸(~d) * ∫(1⨸(sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2)*sqrt((~c)+(~d)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_48",
+@rule ∫(sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2)/sqrt((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    neg((~d)/(~c)) &&
+    gt((~c),0) &&
+    gt((~a),0) ?
+sqrt((~a))⨸(sqrt((~c))*rt(-(~d)⨸(~c),2))*elliptic_e(asin(rt(-(~d)⨸(~c),2)*(~x)),(~b)*(~c)⨸((~a)*(~d))) : nothing)
+
+("1_1_2_3_49",
+@rule ∫(sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2)/sqrt((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    neg((~d)/(~c)) &&
+    gt((~c),0) &&
+    gt((~a)-(~b)*(~c)/(~d),0) ?
+-sqrt((~a)-(~b)*(~c)⨸(~d))⨸(sqrt((~c))*rt(-(~d)⨸(~c),2))*elliptic_e(acos(rt(-(~d)⨸(~c),2)*(~x)),(~b)*(~c)⨸((~b)*(~c)-(~a)*(~d))) : nothing)
+
+("1_1_2_3_50",
+@rule ∫(sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2)/sqrt((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)+(~a)*(~d),0) &&
+    !(
+        lt((~a)*(~c),0) &&
+        gt((~a)*(~b),0)
+    ) ?
+(~a)*sqrt(1-(~b)^2*(~x)^4⨸(~a)^2)⨸(sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2)*sqrt((~c)+(~d)*(~x)^2)) * ∫(sqrt(1+(~b)*(~x)^2⨸(~a))⨸sqrt(1-(~b)*(~x)^2⨸(~a)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_51",
+@rule ∫(sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2)/sqrt((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    neg((~d)/(~c)) &&
+    gt((~c),0) &&
+    !(gt((~a),0)) ?
+sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2)⨸sqrt(1+(~b)⨸(~a)*(~x)^2) * ∫(sqrt(1+(~b)⨸(~a)*(~x)^2)⨸sqrt((~c)+(~d)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_52",
+@rule ∫(sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2)/sqrt((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    neg((~d)/(~c)) &&
+    !(gt((~c),0)) ?
+sqrt(1+(~d)⨸(~c)*(~x)^2)⨸sqrt((~c)+(~d)*(~x)^2) * ∫(sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2)⨸sqrt(1+(~d)⨸(~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_53",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~!p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~q),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    igt((~p),0) ?
+∫(ext_expand(((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q), (~x)),(~x)) : nothing)
+
+# (* Int[(a_+b_.*x_^2)^p_.*(c_+d_.*x_^2)^q_.,x_Symbol] :=  Sqrt[x^2]/(2*x) * Subst[Int[(a+b*x)^p*(c+d*x)^q/Sqrt[x],x],x,x^2] /;FreeQ[{a,b,c,d,p,q},x] && NeQ[b*c-a*d,0] *)
+ 
+("1_1_2_3_54",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~p),(~q),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a),0)
+    ) &&
+    (
+        ext_isinteger((~q)) ||
+        gt((~c),0)
+    ) ?
+(~a)^(~p)*(~c)^(~q)*(~x)*appell_f1(1⨸2,-(~p),-(~q),3⨸2,-(~b)*(~x)^2⨸(~a),-(~d)*(~x)^2⨸(~c)) : nothing)
+
+("1_1_2_3_55",
+@rule ∫(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~p),(~q),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a),0)
+    ) ?
+(~a)^intpart((~p))*((~a)+(~b)*(~x)^2)^fracpart((~p))⨸(1+(~b)*(~x)^2⨸(~a))^fracpart((~p)) * ∫((1+(~b)*(~x)^2⨸(~a))^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q), (~x)) : nothing)
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.4 (e x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.4 (e x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q.jl
new file mode 100644
index 00000000..71967227
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.4 (e x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q.jl	
@@ -0,0 +1,578 @@
+file_rules = [
+# (* ::Package:: *)
+ 
+("1_1_2_4_1",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~!p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~p),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)+(~a)*(~d),0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a),0) &&
+        gt((~c),0)
+    ) ?
+∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)*(~c)+(~b)*(~d)*(~x)^4)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_2",
+@rule ∫((~x)^3*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~p),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)+(~a)*(~d),0) ?
+((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸(4*(~b)*(~d)*((~p)+1)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_3",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~p),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)+(~a)*(~d),0) &&
+    eq((~m)+4*(~p)+5,0) ?
+-((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸(4*(~a)*(~c)*(~e)*((~p)+1)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_4",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~p),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)+(~a)*(~d),0) &&
+    ext_isinteger(((~m)-1)/2) ?
+1⨸2 * int_and_subst((~x)^(((~m)-1)⨸2)*((~a)+(~b)*(~x))^(~p)*((~c)+(~d)*(~x))^(~p), (~x), (~x), (~x)^2, "1_1_2_4_4") : nothing)
+
+("1_1_2_4_5",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)+(~a)*(~d),0) &&
+    gt((~p),0) &&
+    lt((~m),-1) ?
+((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~p)⨸((~e)*((~m)+1)) -   4*(~b)*(~d)*(~p)⨸((~e)^4*((~m)+1)) * ∫(((~e)*(~x))^((~m)+4)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)-1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~p)-1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_6",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)+(~a)*(~d),0) &&
+    gt((~p),0) &&
+    !eq((~m)+4*(~p)+1,0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~p)⨸((~e)*((~m)+4*(~p)+1)) +   4*(~a)*(~c)*(~p)⨸((~m)+4*(~p)+1) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)-1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~p)-1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_7",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)+(~a)*(~d),0) &&
+    lt((~p),-1) &&
+    gt((~m),3) ?
+(~e)^3*((~e)*(~x))^((~m)-3)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸(4*(~b)*(~d)*((~p)+1)) -   (~e)^4*((~m)-3)⨸(4*(~b)*(~d)*((~p)+1)) * ∫(((~e)*(~x))^((~m)-4)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~p)+1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_8",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)+(~a)*(~d),0) &&
+    lt((~p),-1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+-((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸(4*(~a)*(~c)*(~e)*((~p)+1)) +   ((~m)+4*(~p)+5)⨸(4*(~a)*(~c)*((~p)+1)) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~p)+1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_9",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~p),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)+(~a)*(~d),0) &&
+    lt((~m),-1) ?
+((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~a)*(~c)*(~e)*((~m)+1)) -   (~b)*(~d)*((~m)+4*(~p)+5)⨸((~a)*(~c)*(~e)^4*((~m)+1)) * ∫(((~e)*(~x))^((~m)+4)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_10",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~p),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)+(~a)*(~d),0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a)+(~b)*(~x)^2)^fracpart((~p))*((~c)+(~d)*(~x)^2)^fracpart((~p))⨸((~a)*(~c)+(~b)*(~d)*(~x)^4)^fracpart((~p)) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)*(~c)+(~b)*(~d)*(~x)^4)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_11",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~b),(~c),(~d),(~m),(~p),(~q),(~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m)-1)/2) ?
+1⨸(2*(~b)^(((~m)-1)⨸2)) * int_and_subst(((~b)*(~x))^((~p)+((~m)-1)⨸2)*((~c)+(~d)*(~x))^(~q), (~x), (~x), (~x)^2, "1_1_2_4_11") : nothing)
+
+("1_1_2_4_12",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!b)*(~x)^2.)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~p),(~q),(~x)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~e),0)
+    ) ?
+(~e)^(~m)*(~b)^intpart((~p))*((~b)*(~x)^2)^fracpart((~p))⨸(~x)^(2*fracpart((~p))) * ∫((~x)^((~m)+2*(~p))*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_13",
+@rule ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~!b)*(~x)^2.)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~p),(~q),(~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+(~e)^intpart((~m))*((~e)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m)) * ∫((~x)^(~m)*((~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_14",
+@rule ∫((~x)/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//4)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)-2*(~a)*(~d),0) &&
+    pos((~a)) ?
+-1⨸(sqrt(2)*rt((~a),4)*(~d))*atan((rt((~a),4)^2-sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2))⨸(sqrt(2)*rt((~a),4)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) -   1⨸(sqrt(2)*rt((~a),4)*(~d))*atanh((rt((~a),4)^2+sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2))⨸(sqrt(2)*rt((~a),4)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) : nothing)
+
+("1_1_2_4_15",
+@rule ∫((~x)^(~m)/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(1//4)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)-2*(~a)*(~d),0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    (
+        pos((~a)) ||
+        ext_isinteger((~m)/2)
+    ) ?
+∫(ext_expand((~x)^(~m)⨸(((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4)*((~c)+(~d)*(~x)^2)), (~x)),(~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_16",
+@rule ∫((~x)^2/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(3//4)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)-2*(~a)*(~d),0) &&
+    pos((~b)^2/(~a)) ?
+-(~b)⨸((~a)*(~d)*rt((~b)^2⨸(~a),4)^3)*atan(((~b)+rt((~b)^2⨸(~a),4)^2*sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2))⨸(rt((~b)^2⨸(~a),4)^3*(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) +   (~b)⨸((~a)*(~d)*rt((~b)^2⨸(~a),4)^3)*atanh(((~b)-rt((~b)^2⨸(~a),4)^2*sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2))⨸(rt((~b)^2⨸(~a),4)^3*(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) : nothing)
+
+("1_1_2_4_17",
+@rule ∫((~x)^2/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(3//4)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)-2*(~a)*(~d),0) &&
+    neg((~b)^2/(~a)) ?
+-(~b)⨸(sqrt(2)*(~a)*(~d)*rt(-(~b)^2⨸(~a),4)^3)*atan((rt(-(~b)^2⨸(~a),4)*(~x))⨸(sqrt(2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) +   (~b)⨸(sqrt(2)*(~a)*(~d)*rt(-(~b)^2⨸(~a),4)^3)*atanh((rt(-(~b)^2⨸(~a),4)*(~x))⨸(sqrt(2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) : nothing)
+
+("1_1_2_4_18",
+@rule ∫((~x)^(~m)/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(3//4)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)-2*(~a)*(~d),0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    (
+        pos((~a)) ||
+        ext_isinteger((~m)/2)
+    ) ?
+∫(ext_expand((~x)^(~m)⨸(((~a)+(~b)*(~x)^2)^(3⨸4)*((~c)+(~d)*(~x)^2)), (~x)),(~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_19",
+@rule ∫((~x)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~!p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~p),(~q),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) ?
+1⨸2 * int_and_subst(((~a)+(~b)*(~x))^(~p)*((~c)+(~d)*(~x))^(~q), (~x), (~x), (~x)^2, "1_1_2_4_19") : nothing)
+
+("1_1_2_4_20",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~!p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~p),(~q),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    ext_isinteger(((~m)-1)/2) ?
+1⨸2 * int_and_subst((~x)^(((~m)-1)⨸2)*((~a)+(~b)*(~x))^(~p)*((~c)+(~d)*(~x))^(~q), (~x), (~x), (~x)^2, "1_1_2_4_20") : nothing)
+
+("1_1_2_4_21",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~!p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    igt((~p),0) &&
+    igt((~q),0) ?
+∫(ext_expand(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q), (~x)),(~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_22",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~!p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~p),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    eq((~a)*(~d)*((~m)+1)-(~b)*(~c)*((~m)+2*(~p)+3),0) &&
+    !eq((~m),-1) ?
+(~c)*((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~a)*(~e)*((~m)+1)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_23",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    eq((~m)+2*(~p)+3,0) &&
+    lt((~p),-1) ?
+((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~a)*(~b)*(~e)*((~m)+1)) + (~d)⨸(~b) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_24",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~!p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~p),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    eq(simplify((~m)+2*(~p)+3),0) &&
+    !eq((~m),-1) ?
+(~c)*((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~a)*(~e)*((~m)+1)) + (~d)⨸(~e)^2 * ∫(((~e)*(~x))^((~m)+2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_25",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~!p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~p),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    lt((~m),-1) &&
+    !(ilt((~p),-1)) ?
+(~c)*((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~a)*(~e)*((~m)+1)) +   ((~a)*(~d)*((~m)+1)-(~b)*(~c)*((~m)+2*(~p)+3))⨸((~a)*(~e)^2*((~m)+1)) * ∫(((~e)*(~x))^((~m)+2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_26",
+@rule ∫((~x)^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    lt((~p),-1) &&
+    igt((~m)/2,0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        eq((~m)+2*(~p)+1,0)
+    ) ?
+(-(~a))^((~m)⨸2-1)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸(2*(~b)^((~m)⨸2+1)*((~p)+1)) +   1⨸(2*(~b)^((~m)⨸2+1)*((~p)+1)) * ∫(((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*    expand_to_sum(2*(~b)*((~p)+1)*(~x)^2*together(((~b)^((~m)⨸2)*(~x)^((~m)-2)*((~c)+(~d)*(~x)^2)-(-(~a))^((~m)⨸2-1)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d)))⨸((~a)+(~b)*(~x)^2))-(-(~a))^((~m)⨸2-1)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d)), (~x)),(~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_27",
+@rule ∫((~x)^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    lt((~p),-1) &&
+    ilt((~m)/2,0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        eq((~m)+2*(~p)+1,0)
+    ) ?
+(-(~a))^((~m)⨸2-1)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*(~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸(2*(~b)^((~m)⨸2+1)*((~p)+1)) +   1⨸(2*(~b)^((~m)⨸2+1)*((~p)+1)) * ∫((~x)^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*    expand_to_sum(2*(~b)*((~p)+1)*together(((~b)^((~m)⨸2)*((~c)+(~d)*(~x)^2)-(-(~a))^((~m)⨸2-1)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*(~x)^(-(~m)+2))⨸((~a)+(~b)*(~x)^2))-      (-(~a))^((~m)⨸2-1)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*(~x)^(-(~m)), (~x)),(~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_28",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~!p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    lt((~p),-1) &&
+    (
+        !(ext_isinteger((~p)+1/2)) &&
+        !eq((~p),-5/4) ||
+        !(isrational((~m))) ||
+        ilt((~p)+1/2,0) &&
+        le(-1,(~m),-2*((~p)+1))
+    ) ?
+-((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸(2*(~a)*(~b)*(~e)*((~p)+1)) -   ((~a)*(~d)*((~m)+1)-(~b)*(~c)*((~m)+2*(~p)+3))⨸(2*(~a)*(~b)*((~p)+1)) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_29",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~!p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~p),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    !eq((~m)+2*(~p)+3,0) ?
+(~d)*((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~b)*(~e)*((~m)+2*(~p)+3)) -   ((~a)*(~d)*((~m)+1)-(~b)*(~c)*((~m)+2*(~p)+3))⨸((~b)*((~m)+2*(~p)+3)) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_30",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)/((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    igt((~p),0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        igt(2*((~m)+1),0) ||
+        !(isrational((~m)))
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)⨸((~c)+(~d)*(~x)^2), (~x)),(~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_31",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~p),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    lt((~m),-1) ?
+(~c)^2*((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~a)*(~e)*((~m)+1)) -   1⨸((~a)*(~e)^2*((~m)+1)) * ∫(((~e)*(~x))^((~m)+2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*simplify(2*(~b)*(~c)^2*((~p)+1)+(~c)*((~b)*(~c)-2*(~a)*(~d))*((~m)+1)-(~a)*(~d)^2*((~m)+1)*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_32",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    lt((~p),-1) ?
+-((~b)*(~c)-(~a)*(~d))^2*((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸(2*(~a)*(~b)^2*(~e)*((~p)+1)) +   1⨸(2*(~a)*(~b)^2*((~p)+1)) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*simplify(((~b)*(~c)-(~a)*(~d))^2*((~m)+1)+2*(~b)^2*(~c)^2*((~p)+1)+2*(~a)*(~b)*(~d)^2*((~p)+1)*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_33",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~p),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    !eq((~m)+2*(~p)+5,0) ?
+(~d)^2*((~e)*(~x))^((~m)+3)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~b)*(~e)^3*((~m)+2*(~p)+5)) +   1⨸((~b)*((~m)+2*(~p)+5)) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*simplify((~b)*(~c)^2*((~m)+2*(~p)+5)-(~d)*((~a)*(~d)*((~m)+3)-2*(~b)*(~c)*((~m)+2*(~p)+5))*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_34",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~p),(~q),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    isfraction((~m)) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+ext_den((~m))⨸(~e) * int_and_subst((~x)^(ext_den((~m))*((~m)+1)-1)*((~a)+(~b)*(~x)^(ext_den((~m))*2)⨸(~e)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^(ext_den((~m))*2)⨸(~e)^2)^(~q), (~x), (~x), ((~e)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "1_1_2_4_34") : nothing)
+
+# ("1_1_2_4_35",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     lt((~p),-1) &&
+#     gt((~q),0) &&
+#     gt((~m),1) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# (~e)*((~e)*(~x))^((~m)-1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)⨸(2*(~b)*((~p)+1)) -   (~e)^2⨸(2*(~b)*((~p)+1)) * ∫(((~e)*(~x))^((~m)-2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-1)*simplify((~c)*((~m)-1)+(~d)*((~m)+2*(~q)-1)*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_36",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     lt((~p),-1) &&
+#     gt((~q),1) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# -((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-1)⨸(2*(~a)*(~b)*(~e)*((~p)+1)) +   1⨸(2*(~a)*(~b)*((~p)+1)) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-2)*    simplify((~c)*(2*(~b)*(~c)*((~p)+1)+((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~m)+1))+(~d)*(2*(~b)*(~c)*((~p)+1)+((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~m)+2*(~q)-1))*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_37",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     lt((~p),-1) &&
+#     lt(0,(~q),1) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# -((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)⨸(2*(~a)*(~e)*((~p)+1)) +   1⨸(2*(~a)*((~p)+1)) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-1)*simplify((~c)*((~m)+2*(~p)+3)+(~d)*((~m)+2*(~p)+2*(~q)+3)*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_38",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~q),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     lt((~p),-1) &&
+#     gt((~m),3) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# -(~a)*(~e)^3*((~e)*(~x))^((~m)-3)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)+1)⨸(2*(~b)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~p)+1)) +   (~e)^4⨸(2*(~b)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~p)+1)) * ∫(((~e)*(~x))^((~m)-4)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)*    simplify((~a)*(~c)*((~m)-3)+((~a)*(~d)*((~m)+2*(~q)-1)+2*(~b)*(~c)*((~p)+1))*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_39",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~q),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     lt((~p),-1) &&
+#     gt((~m),1) &&
+#     le((~m),3) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# (~e)*((~e)*(~x))^((~m)-1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)+1)⨸(2*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~p)+1)) -   (~e)^2⨸(2*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~p)+1)) * ∫(((~e)*(~x))^((~m)-2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)*simplify((~c)*((~m)-1)+(~d)*((~m)+2*(~p)+2*(~q)+3)*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_40",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~q),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     lt((~p),-1) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# -(~b)*((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)+1)⨸(2*(~a)*(~e)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~p)+1)) +   1⨸(2*(~a)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~p)+1)) *     ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)*simplify((~b)*(~c)*((~m)+1)+2*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~p)+1)+(~b)*(~d)*((~m)+2*(~p)+2*(~q)+5)*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_41",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     gt((~q),0) &&
+#     lt((~m),-1) &&
+#     gt((~p),0) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# ((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)⨸((~e)*((~m)+1)) -   2⨸((~e)^2*((~m)+1)) * ∫(((~e)*(~x))^((~m)+2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)-1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-1)*simplify((~b)*(~c)*(~p)+(~a)*(~d)*(~q)+(~b)*(~d)*((~p)+(~q))*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_42",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~p),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     gt((~q),1) &&
+#     lt((~m),-1) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# (~c)*((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-1)⨸((~a)*(~e)*((~m)+1)) -   1⨸((~a)*(~e)^2*((~m)+1)) * ∫(((~e)*(~x))^((~m)+2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-2)*    simplify((~c)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~m)+1)+2*(~c)*((~b)*(~c)*((~p)+1)+(~a)*(~d)*((~q)-1))+(~d)*(((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~m)+1)+2*(~b)*(~c)*((~p)+(~q)))*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_43",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~p),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     lt(0,(~q),1) &&
+#     lt((~m),-1) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# ((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)⨸((~a)*(~e)*((~m)+1)) -   1⨸((~a)*(~e)^2*((~m)+1)) * ∫(((~e)*(~x))^((~m)+2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-1)*    simplify((~b)*(~c)*((~m)+1)+2*((~b)*(~c)*((~p)+1)+(~a)*(~d)*(~q))+(~d)*((~b)*((~m)+1)+2*(~b)*((~p)+(~q)+1))*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_44",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     gt((~q),0) &&
+#     gt((~p),0) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# ((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)⨸((~e)*((~m)+2*((~p)+(~q))+1)) +   2⨸((~m)+2*((~p)+(~q))+1) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)-1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-1)*simplify((~a)*(~c)*((~p)+(~q))+((~q)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))+(~a)*(~d)*((~p)+(~q)))*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_45",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~p),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     gt((~q),1) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# (~d)*((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-1)⨸((~b)*(~e)*((~m)+2*((~p)+(~q))+1)) +   1⨸((~b)*((~m)+2*((~p)+(~q))+1)) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-2)*    simplify((~c)*(((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~m)+1)+2*(~b)*(~c)*((~p)+(~q)))+((~d)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~m)+1)+2*(~d)*((~q)-1)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))+2*(~b)*(~c)*(~d)*((~p)+(~q)))*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_46",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~p),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     gt((~q),0) &&
+#     gt((~m),1) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# (~e)*((~e)*(~x))^((~m)-1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)⨸((~b)*((~m)+2*((~p)+(~q))+1)) -   (~e)^2⨸((~b)*((~m)+2*((~p)+(~q))+1)) *     ∫(((~e)*(~x))^((~m)-2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-1)*simplify((~a)*(~c)*((~m)-1)+((~a)*(~d)*((~m)-1)-2*(~q)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d)))*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_47",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~p),(~q),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     gt((~m),3) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# (~e)^3*((~e)*(~x))^((~m)-3)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)+1)⨸((~b)*(~d)*((~m)+2*((~p)+(~q))+1)) -   (~e)^4⨸((~b)*(~d)*((~m)+2*((~p)+(~q))+1)) *     ∫(((~e)*(~x))^((~m)-4)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)*simplify((~a)*(~c)*((~m)-3)+((~a)*(~d)*((~m)+2*(~q)-1)+(~b)*(~c)*((~m)+2*(~p)-1))*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_48",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~p),(~q),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     lt((~m),-1) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# ((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)+1)⨸((~a)*(~c)*(~e)*((~m)+1)) -   1⨸((~a)*(~c)*(~e)^2*((~m)+1)) *     ∫(((~e)*(~x))^((~m)+2)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)*simplify(((~b)*(~c)+(~a)*(~d))*((~m)+3)+2*((~b)*(~c)*(~p)+(~a)*(~d)*(~q))+(~b)*(~d)*((~m)+2*(~p)+2*(~q)+5)*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_49",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    le(2,(~m),3) ?
+-(~a)*(~e)^2⨸((~b)*(~c)-(~a)*(~d)) * ∫(((~e)*(~x))^((~m)-2)⨸((~a)+(~b)*(~x)^2), (~x)) + (~c)*(~e)^2⨸((~b)*(~c)-(~a)*(~d)) * ∫(((~e)*(~x))^((~m)-2)⨸((~c)+(~d)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_50",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c)-(~a)*(~d)) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)⨸((~a)+(~b)*(~x)^2), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c)-(~a)*(~d)) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)⨸((~c)+(~d)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+# ("1_1_2_4_51",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~!q)/((~a)+(~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~q),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     le(2,(~m),3) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,-1,(~q),(~x)] ?
+# (~e)^2⨸(~b) * ∫(((~e)*(~x))^((~m)-2)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q), (~x)) - (~a)*(~e)^2⨸(~b) * ∫(((~e)*(~x))^((~m)-2)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)⨸((~a)+(~b)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_52",
+# @rule ∫((~x)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)/((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     gt((~p),0) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),1,1,2,(~p),-1,(~x)] ?
+# (~b)⨸(~d) * ∫((~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)-1), (~x)) - ((~b)*(~c)-(~a)*(~d))⨸(~d) * ∫((~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)-1)⨸((~c)+(~d)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_53",
+# @rule ∫((~x)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)/((~c)+(~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     lt((~p),-1) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),1,1,2,(~p),-1,(~x)] ?
+# (~b)⨸((~b)*(~c)-(~a)*(~d)) * ∫((~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)-1), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c)-(~a)*(~d)) * ∫((~x)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)⨸((~c)+(~d)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_54",
+@rule ∫((~x)^2/(sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    pos((~b)/(~a)) &&
+    pos((~d)/(~c)) &&
+    !(simpler(rt((~b)/(~a),2),rt((~d)/(~c),2))) ?
+(~x)*sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2)⨸((~b)*sqrt((~c)+(~d)*(~x)^2)) - (~c)⨸(~b) * ∫(sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2)⨸((~c)+(~d)*(~x)^2)^(3⨸2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_55",
+@rule ∫((~x)^2/(sqrt((~a)+(~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    !(simpler(rt(-(~b)/(~a),2),rt(-(~d)/(~c),2))) ?
+1⨸(~b) * ∫(sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2)⨸sqrt((~c)+(~d)*(~x)^2), (~x)) - (~a)⨸(~b) * ∫(1⨸(sqrt((~a)+(~b)*(~x)^2)*sqrt((~c)+(~d)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_56",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~x)) &&
+    isrational((~m),(~p)) &&
+    ext_isinteger((~p)+((~m)+1)/2,(~q)) &&
+    lt(-1,(~p),0) ?
+ext_den((~p))*(~a)^((~p)+((~m)+1)⨸2)⨸2 *     int_and_subst((~x)^(ext_den((~p))*((~m)+1)⨸2-1)*((~c)-((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*(~x)^ext_den((~p)))^(~q)⨸(1-(~b)*(~x)^ext_den((~p)))^((~p)+(~q)+((~m)+1)⨸2+1), (~x), (~x), (~x)^(2⨸ext_den((~p)))⨸((~a)+(~b)*(~x)^2)^(1⨸ext_den((~p))), "1_1_2_4_56") : nothing)
+
+# ("1_1_2_4_57",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     lt((~p),-1) &&
+#     gt((~q),1) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# -((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-1)⨸((~a)*(~b)*(~e)*2*((~p)+1)) +   1⨸((~a)*(~b)*2*((~p)+1)) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-2)*    simplify((~c)*((~b)*(~c)*2*((~p)+1)+((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~m)+1))+(~d)*((~b)*(~c)*2*((~p)+1)+((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~m)+2*((~q)-1)+1))*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_58",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     lt((~p),-1) &&
+#     lt(0,(~q),1) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# -((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)⨸((~a)*(~e)*2*((~p)+1)) +   1⨸((~a)*2*((~p)+1)) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-1)*simplify((~c)*((~m)+2*((~p)+1)+1)+(~d)*((~m)+2*((~p)+(~q)+1)+1)*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_59",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~q),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     lt((~p),-1) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# -(~b)*((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)+1)⨸((~a)*(~e)*2*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~p)+1)) +   1⨸((~a)*2*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~p)+1)) *     ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)*simplify((~b)*(~c)*((~m)+1)+2*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~p)+1)+(~d)*(~b)*((~m)+2*((~p)+(~q)+2)+1)*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_60",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     gt((~q),0) &&
+#     gt((~p),0) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# ((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q)⨸((~e)*((~m)+2*((~p)+(~q))+1)) +   2⨸((~m)+2*((~p)+(~q))+1) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)-1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-1)*simplify((~a)*(~c)*((~p)+(~q))+((~q)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))+(~a)*(~d)*((~p)+(~q)))*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_2_4_61",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~p),(~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+#     gt((~q),1) &&
+#     IntBinomialQ[(~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),2,(~p),(~q),(~x)] ?
+# (~d)*((~e)*(~x))^((~m)+1)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^((~p)+1)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-1)⨸((~b)*(~e)*((~m)+2*((~p)+(~q))+1)) +   1⨸((~b)*((~m)+2*((~p)+(~q))+1)) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^((~q)-2)*    simplify((~c)*(((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~m)+1)+(~b)*(~c)*2*((~p)+(~q)))+((~d)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))*((~m)+1)+(~d)*2*((~q)-1)*((~b)*(~c)-(~a)*(~d))+(~b)*(~c)*(~d)*2*((~p)+(~q)))*(~x)^2,(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_62",
+@rule ∫((~x)^(~m)/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~m),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    (
+        eq((~m),2) ||
+        eq((~m),3)
+    ) ?
+-(~a)⨸((~b)*(~c)-(~a)*(~d)) * ∫((~x)^((~m)-2)⨸((~a)+(~b)*(~x)^2), (~x)) + (~c)⨸((~b)*(~c)-(~a)*(~d)) * ∫((~x)^((~m)-2)⨸((~c)+(~d)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_63",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)/(((~a)+(~!b)*(~x)^2)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c)-(~a)*(~d)) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)⨸((~a)+(~b)*(~x)^2), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c)-(~a)*(~d)) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)⨸((~c)+(~d)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_64",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    igt((~p),-2) &&
+    (
+        igt((~q),-2) ||
+        eq((~q),-3) &&
+        ext_isinteger(((~m)-1)/2)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)+(~b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q), (~x)),(~x)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_65",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~!p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~p),(~q),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    ext_isinteger(simplify((~m)+2*(~p))) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~e)*(~x))^(~m)⨸(2*(~x)*((~x)^2)^(simplify(((~m)+1)⨸2)-1)) * int_and_subst((~x)^(simplify(((~m)+1)⨸2)-1)*((~a)+(~b)*(~x))^(~p)*((~c)+(~d)*(~x))^(~q), (~x), (~x), (~x)^2, "1_1_2_4_65") : nothing)
+
+("1_1_2_4_66",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~p),(~q),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    !eq((~m),-1) &&
+    !eq((~m),1) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a),0)
+    ) &&
+    (
+        ext_isinteger((~q)) ||
+        gt((~c),0)
+    ) ?
+(~a)^(~p)*(~c)^(~q)*((~e)*(~x))^((~m)+1)⨸((~e)*((~m)+1))*appell_f1(((~m)+1)⨸2,-(~p),-(~q),1+((~m)+1)⨸2,-(~b)*(~x)^2⨸(~a),-(~d)*(~x)^2⨸(~c)) : nothing)
+
+("1_1_2_4_67",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a)+(~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c)+(~!d)*(~x)^2)^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~c),(~d),(~e),(~m),(~p),(~q),(~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)-(~a)*(~d),0) &&
+    !eq((~m),-1) &&
+    !eq((~m),1) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a),0)
+    ) ?
+(~a)^intpart((~p))*((~a)+(~b)*(~x)^2)^fracpart((~p))⨸(1+(~b)*(~x)^2⨸(~a))^fracpart((~p)) * ∫(((~e)*(~x))^(~m)*(1+(~b)*(~x)^2⨸(~a))^(~p)*((~c)+(~d)*(~x)^2)^(~q), (~x)) : nothing)
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.1 (a+b x^n)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.1 (a+b x^n)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..ec6ae3df
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.1 (a+b x^n)^p.jl	
@@ -0,0 +1,528 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.1.3.1 (a+b x^n)^p *)
+("1_1_3_1_1",
+@rule ∫(((~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~n), (~p), (~x)) ?
+(~b)^intpart((~p))*((~b)*(~x)^(~n))^fracpart((~p))⨸(~x)^((~n)*fracpart((~p)))* ∫((~x)^((~n)*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_2",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) &&
+    ext_isinteger(1/(~n)) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(1⨸(~n) - 1)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "1_1_3_1_2") : nothing)
+
+("1_1_3_1_3",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq(1/(~n) + (~p) + 1, 0) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸(~a) : nothing)
+
+("1_1_3_1_4",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ilt(simplify(1/(~n) + (~p) + 1), 0) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+-(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1)) + ((~n)*((~p) + 1) + 1)⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1))*∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_5",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    lt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+∫((~x)^((~n)*(~p))*((~b) + (~a)*(~x)^(-(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_6",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_7",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~p)) ||
+        eq((~n), 2) &&
+        ext_isinteger(4*(~p)) ||
+        eq((~n), 2) &&
+        ext_isinteger(3*(~p)) ||
+        lt(ext_den((~p) + 1/(~n)), ext_den((~p)))
+    ) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~n)*(~p) + 1) + (~a)*(~n)*(~p)⨸((~n)*(~p) + 1)*∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_8",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(5//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+2⨸((~a)^(5⨸4)*rt((~b)⨸(~a), 2))*elliptic_e(1⨸2*atan(rt((~b)⨸(~a), 2)*(~x)), 2) : nothing)
+
+("1_1_3_1_9",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(5//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~a)) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+(1 + (~b)*(~x)^2⨸(~a))^(1⨸4)⨸((~a)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4))* ∫(1⨸(1 + (~b)*(~x)^2⨸(~a))^(5⨸4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_10",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(7//6),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+1⨸(((~a) + (~b)*(~x)^2)^(2⨸3)*((~a)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2))^(2⨸3))* int_and_subst(1⨸(1 - (~b)*(~x)^2)^(1⨸3),  (~x), (~x), (~x)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2), "1_1_3_1_10") : nothing)
+
+("1_1_3_1_11",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~p)) ||
+        (~n) == 2 &&
+        ext_isinteger(4*(~p)) ||
+        (~n) == 2 &&
+        ext_isinteger(3*(~p)) ||
+        ext_den((~p) + 1/(~n)) < ext_den((~p))
+    ) ?
+-(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1)) + ((~n)*((~p) + 1) + 1)⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1))*∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_12",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+1⨸(3*rt((~a), 3)^2)*∫(1⨸(rt((~a), 3) + rt((~b), 3)*(~x)), (~x)) + 1⨸(3*rt((~a), 3)^2)* ∫((2*rt((~a), 3) - rt((~b), 3)*(~x))⨸(rt((~a), 3)^2 - rt((~a), 3)*rt((~b), 3)*(~x) + rt((~b), 3)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[1/(a_+b_.*x_^5),x_Symbol] := With[{r=Numerator[Rt[a/b,5]], s=Denominator[Rt[a/b,5]]}, r/(5*a)*Int[1/(r+s*x),x] + 2*r/(5*a)*Int[(r-1/4*(1-Sqrt[5])*s*x)/(r^2-1/2*(1-Sqrt[5])*r*s*x+s^ 2*x^2),x] + 2*r/(5*a)*Int[(r-1/4*(1+Sqrt[5])*s*x)/(r^2-1/2*(1+Sqrt[5])*r*s*x+s^ 2*x^2),x]] /; FreeQ[{a,b},x] && PosQ[a/b] *)
+#(* Int[1/(a_+b_.*x_^5),x_Symbol] := With[{r=Numerator[Rt[-a/b,5]], s=Denominator[Rt[-a/b,5]]}, r/(5*a)*Int[1/(r-s*x),x] + 2*r/(5*a)*Int[(r+1/4*(1-Sqrt[5])*s*x)/(r^2+1/2*(1-Sqrt[5])*r*s*x+s^ 2*x^2),x] + 2*r/(5*a)*Int[(r+1/4*(1+Sqrt[5])*s*x)/(r^2+1/2*(1+Sqrt[5])*r*s*x+s^ 2*x^2),x]] /; FreeQ[{a,b},x] && NegQ[a/b] *)
+# ("1_1_3_1_13",
+# @rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+#     igt(((~n) - 3)/2, 0) &&
+#     pos((~a)/(~b)) ?
+# Module[{(~r) = ext_num(rt((~a)⨸(~b), (~n))), (~s) = ext_den(rt((~a)⨸(~b), (~n))), (~k), (~u)}, (~u) = ∫(((~r) - (~s)*cos((2*(~k) - 1)*π⨸(~n))*(~x))⨸((~r)^2 - 2*(~r)*(~s)*cos((2*(~k) - 1)*π⨸(~n))*(~x) + (~s)^2*(~x)^2), (~x)); (~r)⨸((~a)*(~n))*∫(1⨸((~r) + (~s)*(~x)), (~x)) + dist(2*(~r)⨸((~a)*(~n)), Sum[(~u), {(~k), 1, ((~n) - 1)⨸2}], (~x))] : nothing)
+# 
+# ("1_1_3_1_14",
+# @rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+#     igt(((~n) - 3)/2, 0) &&
+#     neg((~a)/(~b)) ?
+# Module[{(~r) = ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), (~n))), (~s) = ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), (~n))), (~k), (~u)}, (~u) = ∫(((~r) + (~s)*cos((2*(~k) - 1)*π⨸(~n))*(~x))⨸((~r)^2 + 2*(~r)*(~s)*cos((2*(~k) - 1)*π⨸(~n))*(~x) + (~s)^2*(~x)^2), (~x)); (~r)⨸((~a)*(~n))*∫(1⨸((~r) - (~s)*(~x)), (~x)) + dist(2*(~r)⨸((~a)*(~n)), Sum[(~u), {(~k), 1, ((~n) - 1)⨸2}], (~x))] : nothing)
+
+("1_1_3_1_15",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~a)/(~b)) &&
+    (
+        gt((~a), 0) ||
+        gt((~b), 0)
+    ) ?
+1⨸(rt((~a), 2)*rt((~b), 2))*atan(rt((~b), 2)*(~x)⨸rt((~a), 2)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_16",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~a)/(~b)) &&
+    (
+        lt((~a), 0) ||
+        lt((~b), 0)
+    ) ?
+-1⨸(rt(-(~a), 2)*rt(-(~b), 2))*atan(rt(-(~b), 2)*(~x)⨸rt(-(~a), 2)) : nothing)
+
+#(* this had a comment Int[1/(a_ + b_.*x_^2), x_Symbol] := (*Rt[b/a,2]/b*ArcTan[Rt[b/a,2]*x] /; *) Rt[a/b, 2]/a*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b]*)
+("1_1_3_1_17",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~a)/(~b)) ?
+rt((~a)⨸(~b), 2)⨸(~a)*atan((~x)⨸rt((~a)⨸(~b), 2)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_18",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    neg((~a)/(~b)) &&
+    (
+        gt((~a), 0) ||
+        lt((~b), 0)
+    ) ?
+1⨸(rt((~a), 2)*rt(-(~b), 2))*atanh(rt(-(~b), 2)*(~x)⨸rt((~a), 2)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_19",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    neg((~a)/(~b)) &&
+    (
+        lt((~a), 0) ||
+        gt((~b), 0)
+    ) ?
+-1⨸(rt(-(~a), 2)*rt((~b), 2))*atanh(rt((~b), 2)*(~x)⨸rt(-(~a), 2)) : nothing)
+
+#(* this had a comment Int[1/(a_ + b_.*x_^2), x_Symbol] := (*-Rt[-b/a,2]/b*ArcTanh[Rt[-b/a,2]*x] /; *) Rt[-a/b, 2]/a*ArcTanh[x/Rt[-a/b, 2]] /; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b]*)
+("1_1_3_1_20",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    neg((~a)/(~b)) ?
+rt(-(~a)⨸(~b), 2)⨸(~a)*atanh((~x)⨸rt(-(~a)⨸(~b), 2)) : nothing)
+
+# ("1_1_3_1_21",
+# @rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+#     igt(((~n) - 2)/4, 0) &&
+#     pos((~a)/(~b)) ?
+# Module[{(~r) = ext_num(rt((~a)⨸(~b), (~n))), (~s) = ext_den(rt((~a)⨸(~b), (~n))), (~k), (~u), (~v)}, (~u) = ∫(((~r) - (~s)*cos((2*(~k) - 1)*π⨸(~n))*(~x))⨸((~r)^2 - 2*(~r)*(~s)*cos((2*(~k) - 1)*π⨸(~n))*(~x) + (~s)^2*(~x)^2), (~x)) + ∫(((~r) + (~s)*cos((2*(~k) - 1)*π⨸(~n))*(~x))⨸((~r)^2 + 2*(~r)*(~s)*cos((2*(~k) - 1)*π⨸(~n))*(~x) + (~s)^2*(~x)^2), (~x)); 2*(~r)^2⨸((~a)*(~n))*∫(1⨸((~r)^2 + (~s)^2*(~x)^2), (~x)) + dist(2*(~r)⨸((~a)*(~n)), Sum[(~u), {(~k), 1, ((~n) - 2)⨸4}], (~x))] : nothing)
+# 
+# ("1_1_3_1_22",
+# @rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+#     igt(((~n) - 2)/4, 0) &&
+#     neg((~a)/(~b)) ?
+# Module[{(~r) = ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), (~n))), (~s) = ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), (~n))), (~k), (~u)}, (~u) = ∫(((~r) - (~s)*cos((2*(~k)*π)⨸(~n))*(~x))⨸((~r)^2 - 2*(~r)*(~s)*cos((2*(~k)*π)⨸(~n))*(~x) + (~s)^2*(~x)^2), (~x)) + ∫(((~r) + (~s)*cos((2*(~k)*π)⨸(~n))*(~x))⨸((~r)^2 + 2*(~r)*(~s)*cos((2*(~k)*π)⨸(~n))*(~x) + (~s)^2*(~x)^2), (~x)); 2*(~r)^2⨸((~a)*(~n))*∫(1⨸((~r)^2 - (~s)^2*(~x)^2), (~x)) + dist(2*(~r)⨸((~a)*(~n)), Sum[(~u), {(~k), 1, ((~n) - 2)⨸4}], (~x))] : nothing)
+
+("1_1_3_1_23",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    (
+        gt((~a)/(~b), 0) ||
+        pos((~a)/(~b))
+        # atom(SplitProduct[SumBaseQ, (~a))] &&
+        # atom(SplitProduct[SumBaseQ, (~b))]
+    ) ?
+1⨸(2*ext_num(rt((~a)⨸(~b), 2)))*∫((ext_num(rt((~a)⨸(~b), 2)) - ext_den(rt((~a)⨸(~b), 2))*(~x)^2)⨸((~a) + (~b)*(~x)^4), (~x)) + 1⨸(2*ext_num(rt((~a)⨸(~b), 2)))*∫((ext_num(rt((~a)⨸(~b), 2)) + ext_den(rt((~a)⨸(~b), 2))*(~x)^2)⨸((~a) + (~b)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_24",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    !(gt((~a)/(~b), 0)) ?
+ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 2))⨸(2*(~a))*∫(1⨸(ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 2)) - ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 2))*(~x)^2), (~x)) + ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 2))⨸(2*(~a))*∫(1⨸(ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 2)) + ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 2))*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_25",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    igt((~n)/4, 1) &&
+    gt((~a)/(~b), 0) ?
+ext_num(rt((~a)⨸(~b), 4))⨸(2*sqrt(2)*(~a))* ∫((sqrt(2)*ext_num(rt((~a)⨸(~b), 4)) - ext_den(rt((~a)⨸(~b), 4))*(~x)^((~n)⨸4))⨸(ext_num(rt((~a)⨸(~b), 4))^2 - sqrt(2)*ext_num(rt((~a)⨸(~b), 4))*ext_den(rt((~a)⨸(~b), 4))*(~x)^((~n)⨸4) + ext_den(rt((~a)⨸(~b), 4))^2*(~x)^((~n)⨸2)), (~x)) + ext_num(rt((~a)⨸(~b), 4))⨸(2*sqrt(2)*(~a))* ∫((sqrt(2)*ext_num(rt((~a)⨸(~b), 4)) + ext_den(rt((~a)⨸(~b), 4))*(~x)^((~n)⨸4))⨸(ext_num(rt((~a)⨸(~b), 4))^2 + sqrt(2)*ext_num(rt((~a)⨸(~b), 4))*ext_den(rt((~a)⨸(~b), 4))*(~x)^((~n)⨸4) + ext_den(rt((~a)⨸(~b), 4))^2*(~x)^((~n)⨸2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_26",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    igt((~n)/4, 1) &&
+    !(gt((~a)/(~b), 0)) ?
+ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 2))⨸(2*(~a))*∫(1⨸(ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 2)) - ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 2))*(~x)^((~n)⨸2)), (~x)) + ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 2))⨸(2*(~a))*∫(1⨸(ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 2)) + ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 2))*(~x)^((~n)⨸2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_27",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    pos((~b)) ?
+asinh(rt((~b), 2)*(~x)⨸sqrt((~a)))⨸rt((~b), 2) : nothing)
+
+("1_1_3_1_28",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    neg((~b)) ?
+asin(rt(-(~b), 2)*(~x)⨸sqrt((~a)))⨸rt(-(~b), 2) : nothing)
+
+("1_1_3_1_29",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+int_and_subst(1⨸(1 - (~b)*(~x)^2),  (~x), (~x), (~x)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2), "1_1_3_1_29") : nothing)
+
+#(* Int[1/Sqrt[a_+b_.*x_^3],x_Symbol] := With[{q=Rt[b/a,3]}, -Sqrt[2]*(1+Sqrt[3])*(1+Sqrt[3]+q*x)^2*Sqrt[(1+q^3*x^3)/(1+Sqrt[3]+ q*x)^4]/(3^(1/4)*q*Sqrt[a+b*x^3])* EllipticF[ArcSin[(-1+Sqrt[3]-q*x)/(1+Sqrt[3]+q*x)],-7-4*Sqrt[3]]]  /; FreeQ[{a,b},x] && PosQ[a] *)
+#(* Int[1/Sqrt[a_+b_.*x_^3],x_Symbol] := With[{q=Rt[a/b,3]}, 2*Sqrt[2+Sqrt[3]]*(q+x)*Sqrt[(q^2-q*x+x^2)/((1+Sqrt[3])*q+x)^2]/ (3^(1/4)*Sqrt[a+b*x^3]*Sqrt[q*(q+x)/((1+Sqrt[3])*q+x)^2])* EllipticF[ArcSin[((1-Sqrt[3])*q+x)/((1+Sqrt[3])*q+x)],-7-4*Sqrt[3] ]] /; FreeQ[{a,b},x] && PosQ[a] && EqQ[b^2,1] *)
+#(* Int[1/Sqrt[a_+b_.*x_^3],x_Symbol] := With[{q=Rt[b/a,3]}, -2*Sqrt[2+Sqrt[3]]*(1+q*x)*Sqrt[(1-q*x+q^2*x^2)/(1+Sqrt[3]+q*x)^2]/ (3^(1/4)*q*Sqrt[a+b*x^3]*Sqrt[(1+q*x)/(1+Sqrt[3]+q*x)^2])* EllipticF[ArcSin[(-1+Sqrt[3]-q*x)/(1+Sqrt[3]+q*x)],-7-4*Sqrt[3]]]  /; FreeQ[{a,b},x] && PosQ[a] *)
+("1_1_3_1_30",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~a)) ?
+2*sqrt(2 + sqrt(3))*(ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x))* sqrt((ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3))^2 - ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x) + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))^2*(~x)^2)⨸((1 + sqrt(3))*ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x))^2)⨸ (3^(1⨸4)*ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3)* sqrt(ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3))*(ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x))⨸((1 + sqrt(3))*ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x))^2))* elliptic_f( asin(((1 - sqrt(3))*ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x))⨸((1 + sqrt(3))*ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x))), -7 - 4*sqrt(3)) : nothing)
+
+#(* Int[1/Sqrt[a_+b_.*x_^3],x_Symbol] := With[{q=Rt[a/b,3]}, 2*Sqrt[2-Sqrt[3]]*(q+x)*Sqrt[(q^2-q*x+x^2)/((1-Sqrt[3])*q+x)^2]/ (3^(1/4)*Sqrt[a+b*x^3]*Sqrt[-q*(q+x)/((1-Sqrt[3])*q+x)^2])* EllipticF[ArcSin[((1+Sqrt[3])*q+x)/((1-Sqrt[3])*q+x)],-7+4*Sqrt[3] ]] /; FreeQ[{a,b},x] && NegQ[a] && EqQ[b^2,1] *)
+#(* Int[1/Sqrt[a_+b_.*x_^3],x_Symbol] := With[{q=Rt[b/a,3]}, -2*Sqrt[2-Sqrt[3]]*(1+q*x)*Sqrt[(1-q*x+q^2*x^2)/(1-Sqrt[3]+q*x)^2]/ (3^(1/4)*q*Sqrt[a+b*x^3]*Sqrt[-(1+q*x)/(1-Sqrt[3]+q*x)^2])* EllipticF[ArcSin[(1+Sqrt[3]+q*x)/(-1+Sqrt[3]-q*x)],-7+4*Sqrt[3]]]  /; FreeQ[{a,b},x] && NegQ[a] *)
+("1_1_3_1_31",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    neg((~a)) ?
+2*sqrt(2 - sqrt(3))*(ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x))* sqrt((ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3))^2 - ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x) + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))^2*(~x)^2)⨸((1 - sqrt(3))*ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x))^2)⨸ (3^(1⨸4)*ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3)* sqrt(-ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3))*(ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x))⨸((1 - sqrt(3))*ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x))^2))* elliptic_f( asin(((1 + sqrt(3))*ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x))⨸((1 - sqrt(3))*ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x))), -7 + 4*sqrt(3)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_32",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+(1 + rt((~b)⨸(~a), 4)^2*(~x)^2)* sqrt(((~a) + (~b)*(~x)^4)⨸((~a)*(1 + rt((~b)⨸(~a), 4)^2*(~x)^2)^2))⨸(2*rt((~b)⨸(~a), 4)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4))* elliptic_f(2*atan(rt((~b)⨸(~a), 4)*(~x)), 1⨸2) : nothing)
+
+("1_1_3_1_33",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    neg((~b)/(~a)) &&
+    gt((~a), 0) ?
+elliptic_f(asin(rt(-(~b), 4)*(~x)⨸rt((~a), 4)), -1)⨸(rt((~a), 4)*rt(-(~b), 4)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_34",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    lt((~a), 0) &&
+    gt((~b), 0) &&
+    ext_isinteger(rt(-(~a)*(~b), 2)) ?
+sqrt(-(~a) + rt(-(~a)*(~b), 2)*(~x)^2)* sqrt(((~a) + rt(-(~a)*(~b), 2)*(~x)^2)⨸rt(-(~a)*(~b), 2))⨸(sqrt(2)*sqrt(-(~a))*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4))* elliptic_f(asin((~x)⨸sqrt(((~a) + rt(-(~a)*(~b), 2)*(~x)^2)⨸(2*rt(-(~a)*(~b), 2)))), 1⨸2) : nothing)
+
+("1_1_3_1_35",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    lt((~a), 0) &&
+    gt((~b), 0) ?
+sqrt(((~a) - rt(-(~a)*(~b), 2)*(~x)^2)⨸((~a) + rt(-(~a)*(~b), 2)*(~x)^2))* sqrt(((~a) + rt(-(~a)*(~b), 2)*(~x)^2)⨸rt(-(~a)*(~b), 2))⨸(sqrt(2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4)* sqrt((~a)⨸((~a) + rt(-(~a)*(~b), 2)*(~x)^2)))* elliptic_f(asin((~x)⨸sqrt(((~a) + rt(-(~a)*(~b), 2)*(~x)^2)⨸(2*rt(-(~a)*(~b), 2)))), 1⨸2) : nothing)
+
+("1_1_3_1_36",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    neg((~b)/(~a)) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+sqrt(1 + (~b)*(~x)^4⨸(~a))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4)*∫(1⨸sqrt(1 + (~b)*(~x)^4⨸(~a)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_37",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^6),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+(~x)*(ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x)^2)* sqrt((ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3))^2 - ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x)^2 + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))^2*(~x)^4)⨸(ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + (1 + sqrt(3))*ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x)^2)^2)⨸ (2*3^(1⨸4)*ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3))*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^6)* sqrt(ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x)^2*(ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x)^2)⨸(ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + (1 + sqrt(3))*ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x)^2)^2))* elliptic_f( acos((ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + (1 - sqrt(3))*ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x)^2)⨸(ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + (1 + sqrt(3))*ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x)^2)), (2 + sqrt(3))⨸4) : nothing)
+
+("1_1_3_1_38",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^8),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+1⨸2*∫((1 - rt((~b)⨸(~a), 4)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^8), (~x)) + 1⨸2*∫((1 + rt((~b)⨸(~a), 4)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^8), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_39",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+2*(~x)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4) - (~a)*∫(1⨸((~a) + (~b)*(~x)^2)^(5⨸4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_40",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    neg((~b)/(~a)) ?
+2⨸((~a)^(1⨸4)*rt(-(~b)⨸(~a), 2))*elliptic_e(1⨸2*asin(rt(-(~b)⨸(~a), 2)*(~x)), 2) : nothing)
+
+("1_1_3_1_41",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~a)) ?
+(1 + (~b)*(~x)^2⨸(~a))^(1⨸4)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4)* ∫(1⨸(1 + (~b)*(~x)^2⨸(~a))^(1⨸4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_42",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    neg((~a)) ?
+2*sqrt(-(~b)*(~x)^2⨸(~a))⨸((~b)*(~x))* int_and_subst((~x)^2⨸sqrt(1 - (~x)^4⨸(~a)),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4), "1_1_3_1_42") : nothing)
+
+("1_1_3_1_43",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(3//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+2⨸((~a)^(3⨸4)*rt((~b)⨸(~a), 2))*elliptic_f(1⨸2*atan(rt((~b)⨸(~a), 2)*(~x)), 2) : nothing)
+
+("1_1_3_1_44",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(3//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    neg((~b)/(~a)) ?
+2⨸((~a)^(3⨸4)*rt(-(~b)⨸(~a), 2))*elliptic_f(1⨸2*asin(rt(-(~b)⨸(~a), 2)*(~x)), 2) : nothing)
+
+("1_1_3_1_45",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(3//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~a)) ?
+(1 + (~b)*(~x)^2⨸(~a))^(3⨸4)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2)^(3⨸4)* ∫(1⨸(1 + (~b)*(~x)^2⨸(~a))^(3⨸4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_46",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(3//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    neg((~a)) ?
+2*sqrt(-(~b)*(~x)^2⨸(~a))⨸((~b)*(~x))* int_and_subst(1⨸sqrt(1 - (~x)^4⨸(~a)),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4), "1_1_3_1_46") : nothing)
+
+("1_1_3_1_47",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+3*sqrt((~b)*(~x)^2)⨸(2*(~b)*(~x))* int_and_subst((~x)⨸sqrt(-(~a) + (~x)^3),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸3), "1_1_3_1_47") : nothing)
+
+("1_1_3_1_48",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(2//3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+3*sqrt((~b)*(~x)^2)⨸(2*(~b)*(~x))* int_and_subst(1⨸sqrt(-(~a) + (~x)^3),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸3), "1_1_3_1_48") : nothing)
+
+("1_1_3_1_49",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^4)^(3//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+(~x)^3*(1 + (~a)⨸((~b)*(~x)^4))^(3⨸4)⨸((~a) + (~b)*(~x)^4)^(3⨸4)* ∫(1⨸((~x)^3*(1 + (~a)⨸((~b)*(~x)^4))^(3⨸4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_50",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//6),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+3*(~x)⨸(2*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸6)) - (~a)⨸2*∫(1⨸((~a) + (~b)*(~x)^2)^(7⨸6), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_51",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^3)^(1//3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+atan((1 + 2*rt((~b), 3)*(~x)⨸((~a) + (~b)*(~x)^3)^(1⨸3))⨸sqrt(3))⨸(sqrt(3)* rt((~b), 3)) - log(((~a) + (~b)*(~x)^3)^(1⨸3) - rt((~b), 3)*(~x))⨸(2*rt((~b), 3)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_52",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt(-1, (~p), 0) &&
+    !eq((~p), -1/2) &&
+    ext_isinteger((~p) + 1/(~n)) ?
+(~a)^((~p) + 1⨸(~n))* int_and_subst(1⨸(1 - (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1⨸(~n) + 1),  (~x), (~x), (~x)⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(1⨸(~n)), "1_1_3_1_52") : nothing)
+
+("1_1_3_1_53",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt(-1, (~p), 0) &&
+    !eq((~p), -1/2) &&
+    lt(ext_den((~p) + 1/(~n)), ext_den((~p))) ?
+((~a)⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n)))^((~p) + 1⨸(~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1⨸(~n))* int_and_subst(1⨸(1 - (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1⨸(~n) + 1),  (~x), (~x), (~x)⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(1⨸(~n)), "1_1_3_1_53") : nothing)
+
+("1_1_3_1_54",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~x)) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+-int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(-(~n)))^(~p)⨸(~x)^2,  (~x), (~x), 1⨸(~x), "1_1_3_1_54") : nothing)
+
+("1_1_3_1_55",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n)) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "1_1_3_1_55") : nothing)
+
+("1_1_3_1_56",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_57",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(igt((~p), 0)) &&
+    !(ext_isinteger(1/(~n))) &&
+    !(ilt(simplify(1/(~n) + (~p)), 0)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a), 0)
+    ) ?
+(~a)^(~p)*(~x)*hypergeometric2f1(-(~p), 1⨸(~n), 1⨸(~n) + 1, -(~b)*(~x)^(~n)⨸(~a)) : nothing)
+
+#(* Int[(a_+b_.*x_^n_)^p_,x_Symbol] := x*(a+b*x^n)^(p+1)/a*Hypergeometric2F1[1,1/n+p+1,1/n+1,-b*x^n/a] /; FreeQ[{a,b,n,p},x] && Not[IGtQ[p,0]] && Not[IntegerQ[1/n]] &&  Not[ILtQ[Simplify[1/n+p],0]] && Not[IntegerQ[p] || GtQ[a,0]] *)
+("1_1_3_1_58",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(igt((~p), 0)) &&
+    !(ext_isinteger(1/(~n))) &&
+    !(ilt(simplify(1/(~n) + (~p)), 0)) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a), 0)
+    ) ?
+(~a)^intpart((~p))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^fracpart((~p))⨸(1 + (~b)*(~x)^(~n)⨸(~a))^fracpart((~p))* ∫((1 + (~b)*(~x)^(~n)⨸(~a))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_59",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~v)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear((~v), (~x)) &&
+    !eq((~v), (~x)) ?
+1⨸ext_coeff((~v), (~x), 1)*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p),  (~x), (~x), (~v), "1_1_3_1_59") : nothing)
+
+("1_1_3_1_60",
+@rule ∫(((~!a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~!a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a1), 0) &&
+        gt((~a2), 0)
+    ) ?
+∫(((~a1)*(~a2) + (~b1)*(~b2)*(~x)^(2*(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_61",
+@rule ∫(((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!n))^(~!p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    igt(2*(~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~p)) ||
+        ext_den((~p) + 1/(~n)) < ext_den((~p))
+    ) ?
+(~x)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^(~p)⨸(2*(~n)*(~p) + 1) + 2*(~a1)*(~a2)*(~n)*(~p)⨸(2*(~n)*(~p) + 1)* ∫(((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_62",
+@rule ∫(((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    igt(2*(~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~p)) ||
+        ext_den((~p) + 1/(~n)) < ext_den((~p))
+    ) ?
+-(~x)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸(2*(~a1)*(~a2)* (~n)*((~p) + 1)) + (2*(~n)*((~p) + 1) + 1)⨸(2*(~a1)*(~a2)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_63",
+@rule ∫(((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    ilt(2*(~n), 0) ?
+-int_and_subst(((~a1) + (~b1)*(~x)^(-(~n)))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(-(~n)))^(~p)⨸(~x)^2,  (~x), (~x), 1⨸(~x), "1_1_3_1_63") : nothing)
+
+("1_1_3_1_64",
+@rule ∫(((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    isfraction(2*(~n)) ?
+ext_den(2*(~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den(2*(~n)) - 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(ext_den(2*(~n))*(~n)))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(ext_den(2*(~n))*(~n)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den(2*(~n))), "1_1_3_1_64") : nothing)
+
+("1_1_3_1_65",
+@rule ∫(((~!a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~!a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^ fracpart((~p))*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^fracpart((~p))⨸((~a1)*(~a2) + (~b1)*(~b2)*(~x)^(2*(~n)))^ fracpart((~p))*∫(((~a1)*(~a2) + (~b1)*(~b2)*(~x)^(2*(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_1_66",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*((~!c)*(~x)^(~!q))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)*(~q)) &&
+    !eq((~x), ((~c)*(~x)^(~q))^(1/(~q))) ?
+(~x)⨸((~c)*(~x)^(~q))^(1⨸(~q))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^((~n)*(~q)))^(~p),  (~x), (~x), ((~c)*(~x)^(~q))^(1⨸(~q)), "1_1_3_1_66") : nothing)
+
+("1_1_3_1_67",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*((~!c)*(~x)^(~!q))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+int_and_subst(((~a) + (~b)*(~c)^(~n)*(~x)^((~n)*(~q)))^(~p),  (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), ((~c)*(~x)^(~q))^(1⨸ext_den((~n)))⨸((~c)^(1⨸ext_den((~n)))*((~x)^(1⨸ext_den((~n))))^((~q) - 1)), "1_1_3_1_67") : nothing)
+
+("1_1_3_1_68",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*((~!c)*(~x)^(~!q))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !(isrational((~n))) ?
+int_and_subst(((~a) + (~b)*(~c)^(~n)*(~x)^((~n)*(~q)))^(~p),  (~x), (~x)^((~n)*(~q)), ((~c)*(~x)^(~q))^(~n)⨸(~c)^(~n), "1_1_3_1_68") : nothing)
+
+("1_1_3_1_69",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*((~!d)*(~x)^(~!q))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ilt((~q), 0) ?
+-int_and_subst(((~a) + (~b)*((~d)*(~x)^(-(~q)))^(~n))^(~p)⨸(~x)^2,  (~x), (~x), 1⨸(~x), "1_1_3_1_69") : nothing)
+
+("1_1_3_1_70",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*((~!d)*(~x)^(~!q))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~n), (~p), (~x)) &&
+    isfraction((~q)) ?
+ext_den((~q))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~q)) - 1)*((~a) + (~b)*((~d)*(~x)^((~q)*ext_den((~q))))^(~n))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~q))), "1_1_3_1_70") : nothing)
+
+#(* Int[(a_+b_.*(d_.*x_^q_.)^n_)^p_.,x_Symbol] := Subst[Int[(a+b*x^(n*q))^p,x],x^(n*q),(d*x^q)^n] /; FreeQ[{a,b,d,n,p,q},x] && Not[IntegerQ[n*q]] &&  NeQ[x^(n*q),(d*x^q)^n] *)
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.2 (c x)^m (a+b x^n)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.2 (c x)^m (a+b x^n)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..e5429f78
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.2 (c x)^m (a+b x^n)^p.jl	
@@ -0,0 +1,902 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.1.3.2 (c x)^m (a+b x^n)^p *)
+("1_1_3_2_1",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a1), 0) &&
+        gt((~a2), 0)
+    ) ?
+∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a1)*(~a2) + (~b1)*(~b2)*(~x)^(2*(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_2",
+@rule ∫((~x)^(~!m)/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m), (~n) - 1) ?
+log((~a) + (~b)*(~x)^(~n))⨸((~b)*(~n)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_3",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~m), (~n) - 1) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_4",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    eq((~m), 2*(~n) - 1) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸(2*(~b1)*(~b2)*(~n)*((~p) + 1)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_5",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    neg((~n)) ?
+∫((~x)^((~m) + (~n)*(~p))*((~b) + (~a)*(~x)^(-(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_6",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq(((~m) + 1)/(~n) + (~p) + 1, 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~c)*((~m) + 1)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_7",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    eq(((~m) + 1)/(2*(~n)) + (~p) + 1, 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a1)*(~a2)* (~c)*((~m) + 1)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_8",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "1_1_3_2_8") : nothing)
+
+("1_1_3_2_9",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(2*(~n)))) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~a1) + (~b1)*(~x))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "1_1_3_2_9") : nothing)
+
+("1_1_3_2_10",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_11",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(2*(~n)))) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_12",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(((~c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_13",
+@rule ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ilt(simplify(((~m) + 1)/(~n) + (~p) + 1), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+(~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*((~m) + 1)) - (~b)*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1)⨸((~a)*((~m) + 1))* ∫((~x)^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_14",
+@rule ∫((~x)^(~m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    ilt(simplify(((~m) + 1)/(2*(~n)) + (~p) + 1), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+(~x)^((~m) + 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a1)* (~a2)*((~m) + 1)) - (~b1)*(~b2)*((~m) + 2*(~n)*((~p) + 1) + 1)⨸((~a1)*(~a2)*((~m) + 1))* ∫((~x)^((~m) + 2*(~n))*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_15",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ilt(simplify(((~m) + 1)/(~n) + (~p) + 1), 0) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+-((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~c)*(~n)*((~p) + 1)) + ((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1)⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_16",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    ilt(simplify(((~m) + 1)/(2*(~n)) + (~p) + 1), 0) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+-((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸(2*(~a1)* (~a2)*(~c)*(~n)*((~p) + 1)) + ((~m) + 2*(~n)*((~p) + 1) + 1)⨸(2*(~a1)*(~a2)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_17",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    !(eq(gcd((~m) + 1, (~n)),1)) ?
+1⨸gcd((~m) + 1, (~n))*int_and_subst((~x)^(((~m) + 1)⨸gcd((~m) + 1,  (~n)) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^((~n)⨸gcd((~m) + 1, (~n))))^(~p), (~x), (~x), (~x)^gcd((~m) + 1, (~n)), "1_1_3_2_17") : nothing)
+
+("1_1_3_2_18",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    igt(2*(~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m))&&
+    !(eq(gcd((~m) + 1, (~n)),1)) ?
+1⨸gcd((~m) + 1, 2*(~n))* int_and_subst( (~x)^(((~m) + 1)⨸gcd((~m) + 1,  2*(~n)) - 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^((~n)⨸gcd((~m) + 1, 2*(~n))))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^((~n)⨸gcd((~m) + 1, 2*(~n))))^(~p), (~x), (~x), (~x)^gcd((~m) + 1, 2*(~n)), "1_1_3_2_18") : nothing)
+
+("1_1_3_2_19",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !(ilt(((~m) + (~n)*(~p) + (~n) + 1)/(~n), 0)) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~n), (~m), (~p), (~x)) ?
+((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~c)*((~m) + 1)) - (~b)*(~n)*(~p)⨸((~c)^(~n)*((~m) + 1))*∫(((~c)*(~x))^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_20",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    igt(2*(~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !eq((~m) + 2*(~n)*(~p) + 1, 0) &&
+    int_binomial((~a1)*(~a2), (~b1)*(~b2), (~c), 2*(~n), (~m), (~p), (~x)) ?
+((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~c)*((~m) + 1)) - 2*(~b1)*(~b2)*(~n)*(~p)⨸((~c)^(2*(~n))*((~m) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) + 2*(~n))*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_21",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n)*(~p) + 1, 0) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~n), (~m), (~p), (~x)) ?
+((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~c)*((~m) + (~n)*(~p) + 1)) + (~a)*(~n)*(~p)⨸((~m) + (~n)*(~p) + 1)*∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_22",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    igt(2*(~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~n)*(~p) + 1, 0) &&
+    int_binomial((~a1)*(~a2), (~b1)*(~b2), (~c), 2*(~n), (~m), (~p), (~x)) ?
+((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~c)*((~m) + 2*(~n)*(~p) + 1)) + 2*(~a1)*(~a2)*(~n)*(~p)⨸((~m) + 2*(~n)*(~p) + 1)* ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_23",
+@rule ∫((~x)^2/((~a) + (~!b)*(~x)^4)^(5//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+(~x)*(1 + (~a)⨸((~b)*(~x)^4))^(1⨸4)⨸((~b)*((~a) + (~b)*(~x)^4)^(1⨸4))* ∫(1⨸((~x)^3*(1 + (~a)⨸((~b)*(~x)^4))^(5⨸4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_24",
+@rule ∫((~x)^(~m)/((~a) + (~!b)*(~x)^4)^(5//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) &&
+    igt(((~m) - 2)/4, 0) ?
+(~x)^((~m) - 3)⨸((~b)*((~m) - 4)*((~a) + (~b)*(~x)^4)^(1⨸4)) - (~a)*((~m) - 3)⨸((~b)*((~m) - 4))*∫((~x)^((~m) - 4)⨸((~a) + (~b)*(~x)^4)^(5⨸4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_25",
+@rule ∫((~x)^(~m)/((~a) + (~!b)*(~x)^4)^(5//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) &&
+    ilt(((~m) - 2)/4, 0) ?
+(~x)^((~m) + 1)⨸((~a)*((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^4)^(1⨸4)) - (~b)*(~m)⨸((~a)*((~m) + 1))*∫((~x)^((~m) + 4)⨸((~a) + (~b)*(~x)^4)^(5⨸4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_26",
+@rule ∫(sqrt((~!c)*(~x))/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(5//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+sqrt((~c)*(~x))*(1 + (~a)⨸((~b)*(~x)^2))^(1⨸4)⨸((~b)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4))* ∫(1⨸((~x)^2*(1 + (~a)⨸((~b)*(~x)^2))^(5⨸4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_27",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(5//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    gt((~m), 3/2) ?
+2*(~c)*((~c)*(~x))^((~m) - 1)⨸((~b)*(2*(~m) - 3)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4)) - 2*(~a)*(~c)^2*((~m) - 1)⨸((~b)*(2*(~m) - 3))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) - 2)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2)^(5⨸4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_28",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(5//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~c)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~a)*(~c)*((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4)) - (~b)*(2*(~m) + 1)⨸(2*(~a)*(~c)^2*((~m) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) + 2)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2)^(5⨸4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_29",
+@rule ∫((~x)^2/((~a) + (~!b)*(~x)^4)^(5//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    neg((~b)/(~a)) ?
+-1⨸((~b)*(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^4)^(1⨸4)) - 1⨸(~b)*∫(1⨸((~x)^2*((~a) + (~b)*(~x)^4)^(1⨸4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_30",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m) + 1, (~n)) &&
+    !(ilt(((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1)/(~n), 0)) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~n), (~m), (~p), (~x)) ?
+(~c)^((~n) - 1)*((~c)*(~x))^((~m) - (~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) - (~c)^(~n)*((~m) - (~n) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) - (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(c_.*x_)^m_.*u_^p_*v_^p_,x_Symbol] := With[{a=BinomialParts[u,x][[1]],b=BinomialParts[u,x][[2]],n= BinomialParts[u,x][[3]]}, c^(n-1)*(c*x)^(m-n+1)*u^(p+1)*v^(p+1)/(b*n*(p+1)) - c^n*(m-n+1)/(b*n*(p+1))*Int[(c*x)^(m-n)*u^(p+1)*v^(p+1),x] /; IGtQ[n,0] && m+1>n && Not[ILtQ[(m+n*(p+1)+1)/n,0]] && IntBinomialQ[a,b,c,n,m,p,x]] /; FreeQ[c,x] && BinomialQ[u*v,x] && LtQ[p,-1] *)
+("1_1_3_2_31",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    igt(2*(~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    (~m) + 1 > 2*(~n) &&
+    !(ilt(((~m) + 2*(~n)*((~p) + 1) + 1)/(2*(~n)), 0)) &&
+    int_binomial((~a1)*(~a2), (~b1)*(~b2), (~c), 2*(~n), (~m), (~p), (~x)) ?
+(~c)^(2*(~n) - 1)*((~c)*(~x))^((~m) - 2*(~n) + 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸(2*(~b1)*(~b2)*(~n)*((~p) + 1)) - (~c)^(2*(~n))*((~m) - 2*(~n) + 1)⨸(2*(~b1)*(~b2)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) - 2*(~n))*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_32",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~n), (~m), (~p), (~x)) ?
+-((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~c)*(~n)*((~p) + 1)) + ((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1)⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_33",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    igt(2*(~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    int_binomial((~a1)*(~a2), (~b1)*(~b2), (~c), 2*(~n), (~m), (~p), (~x)) ?
+-((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸(2*(~a1)* (~a2)*(~c)*(~n)*((~p) + 1)) + ((~m) + 2*(~n)*((~p) + 1) + 1)⨸(2*(~a1)*(~a2)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_34",
+@rule ∫((~x)/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+-1⨸(3*rt((~a), 3)*rt((~b), 3))*∫(1⨸(rt((~a), 3) + rt((~b), 3)*(~x)), (~x)) + 1⨸(3*rt((~a), 3)*rt((~b), 3))* ∫((rt((~a), 3) + rt((~b), 3)*(~x))⨸(rt((~a), 3)^2 - rt((~a), 3)*rt((~b), 3)*(~x) + rt((~b), 3)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_35",
+@rule ∫((~x)^(~!m)/((~a)+(~!b)*(~x)^5),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~x)) &&
+    igt((~m),0) &&
+    lt((~m),4) &&
+    pos((~a)/(~b)) ?
+(-1)^(~m)*ext_num(rt((~a)⨸(~b),5))^((~m)+1)⨸(5*(~a)*ext_den(rt((~a)⨸(~b),5))^(~m))*∫(1⨸(ext_num(rt((~a)⨸(~b),5))+ext_den(rt((~a)⨸(~b),5))*(~x)),(~x)) + 2*ext_num(rt((~a)⨸(~b),5))^((~m)+1)⨸(5*(~a)*ext_den(rt((~a)⨸(~b),5))^(~m))*∫((ext_num(rt((~a)⨸(~b),5))*cos((~m)*π⨸5)-ext_den(rt((~a)⨸(~b),5))*cos(((~m)+1)*π⨸5)*(~x))⨸(ext_num(rt((~a)⨸(~b),5))^2-1⨸ 2*(1+sqrt(5))*ext_num(rt((~a)⨸(~b),5))*ext_den(rt((~a)⨸(~b),5))*(~x)+ext_den(rt((~a)⨸(~b),5))^2*(~x)^2),(~x)) + 2*ext_num(rt((~a)⨸(~b),5))^((~m)+1)⨸(5*(~a)*ext_den(rt((~a)⨸(~b),5))^(~m))*∫((ext_num(rt((~a)⨸(~b),5))*cos(3*(~m)*π⨸5)-ext_den(rt((~a)⨸(~b),5))*cos(3*((~m)+1)*π⨸5)*(~x))⨸(ext_num(rt((~a)⨸(~b),5))^ 2-1⨸2*(1-sqrt(5))*ext_num(rt((~a)⨸(~b),5))*ext_den(rt((~a)⨸(~b),5))*(~x)+ext_den(rt((~a)⨸(~b),5))^2*(~x)^2),(~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_36",
+@rule ∫((~x)^(~!m)/((~a)+(~!b)*(~x)^5),(~x)) =>
+    !contains_var((~a),(~b),(~x)) &&
+    igt((~m),0) &&
+    lt((~m),4) &&
+    neg((~a)/(~b)) ?
+(ext_num(rt(-(~a)⨸(~b),5))^((~m)+1)⨸(5*(~a)*ext_den(rt(-(~a)⨸(~b),5))^(~m)))*∫(1⨸(ext_num(rt(-(~a)⨸(~b),5))-ext_den(rt(-(~a)⨸(~b),5))*(~x)),(~x)) + 2*(-1)^(~m)*ext_num(rt(-(~a)⨸(~b),5))^((~m)+1)⨸(5*(~a)*ext_den(rt(-(~a)⨸(~b),5))^(~m))*∫((ext_num(rt(-(~a)⨸(~b),5))*cos((~m)*π⨸5)+ext_den(rt(-(~a)⨸(~b),5))*cos(((~m)+1)*π⨸5)*(~x))⨸( ext_num(rt(-(~a)⨸(~b),5))^2+1⨸2*(1+sqrt(5))*ext_num(rt(-(~a)⨸(~b),5))*ext_den(rt(-(~a)⨸(~b),5))*(~x)+ext_den(rt(-(~a)⨸(~b),5))^2*(~x)^2),(~x)) + 2*(-1)^(~m)*ext_num(rt(-(~a)⨸(~b),5))^((~m)+1)⨸(5*(~a)*ext_den(rt(-(~a)⨸(~b),5))^(~m))*∫((ext_num(rt(-(~a)⨸(~b),5))*cos(3*(~m)*π⨸5)+ext_den(rt(-(~a)⨸(~b),5))*cos(3*((~m)+1)*π⨸5)* (~x))⨸(ext_num(rt(-(~a)⨸(~b),5))^2+1⨸2*(1-sqrt(5))*ext_num(rt(-(~a)⨸(~b),5))*ext_den(rt(-(~a)⨸(~b),5))*(~x)+ext_den(rt(-(~a)⨸(~b),5))^2*(~x)^2),(~x)) : nothing)
+
+# ("1_1_3_2_37",
+# @rule ∫((~x)^(~!m)/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+#     igt(((~n) - 1)/2, 0) &&
+#     igt((~m), 0) &&
+#     lt((~m), (~n) - 1) &&
+#     pos((~a)/(~b)) ?
+# Module[{(~r) = ext_num(rt((~a)⨸(~b), (~n))), (~s) = ext_den(rt((~a)⨸(~b), (~n))), (~k), (~u)}, (~u) = ∫(((~r)*cos((2*(~k) - 1)*(~m)*π⨸(~n)) - (~s)*cos((2*(~k) - 1)*((~m) + 1)*π⨸(~n))*(~x))⨸((~r)^2 - 2*(~r)*(~s)*cos((2*(~k) - 1)*π⨸(~n))*(~x) + (~s)^2*(~x)^2), (~x)); -(-(~r))^((~m) + 1)⨸((~a)*(~n)*(~s)^(~m))*∫(1⨸((~r) + (~s)*(~x)), (~x)) + dist(2*(~r)^((~m) + 1)⨸((~a)*(~n)*(~s)^(~m)), sum([(~u) for (~k) in ( 1):( ((~n) - 1)⨸2)]), (~x))] : nothing)
+# 
+# ("1_1_3_2_38",
+# @rule ∫((~x)^(~!m)/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+#     igt(((~n) - 1)/2, 0) &&
+#     igt((~m), 0) &&
+#     lt((~m), (~n) - 1) &&
+#     neg((~a)/(~b)) ?
+# Module[{(~r) = ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), (~n))), (~s) = ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), (~n))), (~k), (~u)}, (~u) = ∫(((~r)*cos((2*(~k) - 1)*(~m)*π⨸(~n)) + (~s)*cos((2*(~k) - 1)*((~m) + 1)*π⨸(~n))*(~x))⨸((~r)^2 + 2*(~r)*(~s)*cos((2*(~k) - 1)*π⨸(~n))*(~x) + (~s)^2*(~x)^2), (~x)); (~r)^((~m) + 1)⨸((~a)*(~n)*(~s)^(~m))*∫(1⨸((~r) - (~s)*(~x)), (~x)) - dist(2*(-(~r))^((~m) + 1)⨸((~a)*(~n)*(~s)^(~m)), sum([(~u) for (~k) in ( 1):( ((~n) - 1)⨸2)]), (~x))] : nothing)
+# 
+# ("1_1_3_2_39",
+# @rule ∫((~x)^(~!m)/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+#     igt(((~n) - 2)/4, 0) &&
+#     igt((~m), 0) &&
+#     lt((~m), (~n) - 1) &&
+#     pos((~a)/(~b)) ?
+# Module[{(~r) = ext_num(rt((~a)⨸(~b), (~n))), (~s) = ext_den(rt((~a)⨸(~b), (~n))), (~k), (~u)}, (~u) = ∫(((~r)*cos((2*(~k) - 1)*(~m)*π⨸(~n)) - (~s)*cos((2*(~k) - 1)*((~m) + 1)*π⨸(~n))*(~x))⨸((~r)^2 - 2*(~r)*(~s)*cos((2*(~k) - 1)*π⨸(~n))*(~x) + (~s)^2*(~x)^2), (~x)) + ∫(((~r)*cos((2*(~k) - 1)*(~m)*π⨸(~n)) + (~s)*cos((2*(~k) - 1)*((~m) + 1)*π⨸(~n))*(~x))⨸((~r)^2 + 2*(~r)*(~s)*cos((2*(~k) - 1)*π⨸(~n))*(~x) + (~s)^2*(~x)^2), (~x)); 2*(-1)^((~m)⨸2)*(~r)^((~m) + 2)⨸((~a)*(~n)*(~s)^(~m))*∫(1⨸((~r)^2 + (~s)^2*(~x)^2), (~x)) + dist(2*(~r)^((~m) + 1)⨸((~a)*(~n)*(~s)^(~m)), sum([(~u) for (~k) in ( 1):( ((~n) - 2)⨸4)]), (~x))] : nothing)
+# 
+# ("1_1_3_2_40",
+# @rule ∫((~x)^(~!m)/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+#     igt(((~n) - 2)/4, 0) &&
+#     igt((~m), 0) &&
+#     lt((~m), (~n) - 1) &&
+#     neg((~a)/(~b)) ?
+# Module[{(~r) = ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), (~n))), (~s) = ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), (~n))), (~k), (~u)}, (~u) = ∫(((~r)*cos(2*(~k)*(~m)*π⨸(~n)) - (~s)*cos(2*(~k)*((~m) + 1)*π⨸(~n))*(~x))⨸((~r)^2 - 2*(~r)*(~s)*cos(2*(~k)*π⨸(~n))*(~x) + (~s)^2*(~x)^2), (~x)) + ∫(((~r)*cos(2*(~k)*(~m)*π⨸(~n)) + (~s)*cos(2*(~k)*((~m) + 1)*π⨸(~n))*(~x))⨸((~r)^2 + 2*(~r)*(~s)*cos(2*(~k)*π⨸(~n))*(~x) + (~s)^2*(~x)^2), (~x)); 2*(~r)^((~m) + 2)⨸((~a)*(~n)*(~s)^(~m))*∫(1⨸((~r)^2 - (~s)^2*(~x)^2), (~x)) + dist(2*(~r)^((~m) + 1)⨸((~a)*(~n)*(~s)^(~m)), sum([(~u) for (~k) in ( 1):( ((~n) - 2)⨸4)]), (~x))] : nothing)
+# 
+# ("1_1_3_2_41",
+# @rule ∫((~x)^2/((~a) + (~!b)*(~x)^4),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+#     (
+#         gt((~a)/(~b), 0) ||
+#         pos((~a)/(~b)) &&
+#         atom(SplitProduct[SumBaseQ, (~a))] &&
+#         atom(SplitProduct[SumBaseQ, (~b))]
+#     ) ?
+# 1⨸(2*ext_den(rt((~a)⨸(~b), 2)))*∫((ext_num(rt((~a)⨸(~b), 2)) + ext_den(rt((~a)⨸(~b), 2))*(~x)^2)⨸((~a) + (~b)*(~x)^4), (~x)) - 1⨸(2*ext_den(rt((~a)⨸(~b), 2)))*∫((ext_num(rt((~a)⨸(~b), 2)) - ext_den(rt((~a)⨸(~b), 2))*(~x)^2)⨸((~a) + (~b)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_42",
+@rule ∫((~x)^2/((~a) + (~!b)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    !(gt((~a)/(~b), 0)) ?
+ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 2))⨸(2*(~b))*∫(1⨸(ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 2)) + ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 2))*(~x)^2), (~x)) - ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 2))⨸(2*(~b))*∫(1⨸(ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 2)) - ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 2))*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_43",
+@rule ∫((~x)^(~!m)/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    igt((~n)/4, 0) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    lt((~m), (~n) - 1) &&
+    gt((~a)/(~b), 0) ?
+ext_den(rt((~a)⨸(~b), 4))^3⨸(2*sqrt(2)*(~b)*ext_num(rt((~a)⨸(~b), 4)))* ∫((~x)^((~m) - (~n)⨸4)⨸(ext_num(rt((~a)⨸(~b), 4))^2 - sqrt(2)*ext_num(rt((~a)⨸(~b), 4))*ext_den(rt((~a)⨸(~b), 4))*(~x)^((~n)⨸4) + ext_den(rt((~a)⨸(~b), 4))^2*(~x)^((~n)⨸2)), (~x)) - ext_den(rt((~a)⨸(~b), 4))^3⨸(2*sqrt(2)*(~b)*ext_num(rt((~a)⨸(~b), 4)))* ∫((~x)^((~m) - (~n)⨸4)⨸(ext_num(rt((~a)⨸(~b), 4))^2 + sqrt(2)*ext_num(rt((~a)⨸(~b), 4))*ext_den(rt((~a)⨸(~b), 4))*(~x)^((~n)⨸4) + ext_den(rt((~a)⨸(~b), 4))^2*(~x)^((~n)⨸2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_44",
+@rule ∫((~x)^(~m)/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    igt((~n)/4, 0) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    lt((~m), (~n)/2) &&
+    !(gt((~a)/(~b), 0)) ?
+ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 2))⨸(2*(~a))*∫((~x)^(~m)⨸(ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 2)) + ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 2))*(~x)^((~n)⨸2)), (~x)) + ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 2))⨸(2*(~a))*∫((~x)^(~m)⨸(ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 2)) - ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 2))*(~x)^((~n)⨸2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_45",
+@rule ∫((~x)^(~m)/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    igt((~n)/4, 0) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    le((~n)/2, (~m)) &&
+    lt((~m), (~n)) &&
+    !(gt((~a)/(~b), 0)) ?
+ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 2))⨸(2*(~b))*∫((~x)^((~m) - (~n)⨸2)⨸(ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 2)) + ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 2))*(~x)^((~n)⨸2)), (~x)) - ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 2))⨸(2*(~b))*∫((~x)^((~m) - (~n)⨸2)⨸(ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 2)) - ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 2))*(~x)^((~n)⨸2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_46",
+@rule ∫((~x)^(~m)/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    gt((~m), 2*(~n) - 1) ?
+∫(polynomial_divide((~x)^(~m), ((~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_47",
+@rule ∫((~x)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~a)) ?
+-(1 - sqrt(3))*ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3))⨸ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3), (~x)) + 1⨸ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*∫(((1 - sqrt(3))*ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_48",
+@rule ∫((~x)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    neg((~a)) ?
+-(1 + sqrt(3))*ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3))⨸ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3), (~x)) + 1⨸ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*∫(((1 + sqrt(3))*ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3)) + ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_49",
+@rule ∫((~x)^2/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+1⨸rt((~b)⨸(~a), 2)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4), (~x)) - 1⨸rt((~b)⨸(~a), 2)*∫((1 - rt((~b)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_50",
+@rule ∫((~x)^2/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    lt((~a), 0) &&
+    gt((~b), 0) ?
+1⨸rt(-(~b)⨸(~a), 2)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4), (~x)) - 1⨸rt(-(~b)⨸(~a), 2)*∫((1 - rt(-(~b)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_51",
+@rule ∫((~x)^2/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    neg((~b)/(~a)) ?
+-1⨸rt(-(~b)⨸(~a), 2)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4), (~x)) + 1⨸rt(-(~b)⨸(~a), 2)*∫((1 + rt(-(~b)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_52",
+@rule ∫((~x)^4/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^6),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+(sqrt(3) - 1)*ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3))^2⨸(2*ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))^2)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^6), (~x)) - 1⨸(2*ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))^2)* ∫(((sqrt(3) - 1)*ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3))^2 - 2*ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))^2*(~x)^4)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^6), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[x_^4/Sqrt[a_+b_.*x_^6],x_Symbol] := With[{r=Numer[Rt[b/a,3]], s=Denom[Rt[b/a,3]]}, (1+Sqrt[3])*r*x*Sqrt[a+b*x^6]/(2*b*(s+(1+Sqrt[3])*r*x^2)) - 3^(1/4)*s*x*(s+r*x^2)*Sqrt[(s^2-r*s*x^2+r^2*x^4)/(s+(1+Sqrt[3])*r*x^ 2)^2]/ (2*r^2*Sqrt[a+b*x^6]*Sqrt[r*x^2*(s+r*x^2)/(s+(1+Sqrt[3])*r*x^2)^2] )* EllipticE[ArcCos[(s+(1-Sqrt[3])*r*x^2)/(s+(1+Sqrt[3])*r*x^2)],(2+ Sqrt[3])/4] - (1-Sqrt[3])*s*x*(s+r*x^2)*Sqrt[(s^2-r*s*x^2+r^2*x^4)/(s+(1+Sqrt[3])* r*x^2)^2]/ (4*3^(1/4)*r^2*Sqrt[a+b*x^6]*Sqrt[r*x^2*(s+r*x^2)/(s+(1+Sqrt[3])* r*x^2)^2])* EllipticF[ArcCos[(s+(1-Sqrt[3])*r*x^2)/(s+(1+Sqrt[3])*r*x^2)],(2+ Sqrt[3])/4]] /; FreeQ[{a,b},x] *)
+("1_1_3_2_53",
+@rule ∫((~x)^2/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^8),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+1⨸(2*rt((~b)⨸(~a), 4))*∫((1 + rt((~b)⨸(~a), 4)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^8), (~x)) - 1⨸(2*rt((~b)⨸(~a), 4))*∫((1 - rt((~b)⨸(~a), 4)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^8), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_54",
+@rule ∫((~x)^2/((~a) + (~!b)*(~x)^4)^(1//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+(~x)^3⨸(2*((~a) + (~b)*(~x)^4)^(1⨸4)) - (~a)⨸2*∫((~x)^2⨸((~a) + (~b)*(~x)^4)^(5⨸4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_55",
+@rule ∫((~x)^2/((~a) + (~!b)*(~x)^4)^(1//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    neg((~b)/(~a)) ?
+((~a) + (~b)*(~x)^4)^(3⨸4)⨸(2*(~b)*(~x)) + (~a)⨸(2*(~b))*∫(1⨸((~x)^2*((~a) + (~b)*(~x)^4)^(1⨸4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_56",
+@rule ∫(1/((~x)^2*((~a) + (~!b)*(~x)^4)^(1//4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+-1⨸((~x)*((~a) + (~b)*(~x)^4)^(1⨸4)) - (~b)*∫((~x)^2⨸((~a) + (~b)*(~x)^4)^(5⨸4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_57",
+@rule ∫(1/((~x)^2*((~a) + (~!b)*(~x)^4)^(1//4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    neg((~b)/(~a)) ?
+(~x)*(1 + (~a)⨸((~b)*(~x)^4))^(1⨸4)⨸((~a) + (~b)*(~x)^4)^(1⨸4)* ∫(1⨸((~x)^3*(1 + (~a)⨸((~b)*(~x)^4))^(1⨸4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_58",
+@rule ∫(sqrt((~c)*(~x))/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+(~x)*sqrt((~c)*(~x))⨸((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4) - (~a)⨸2*∫(sqrt((~c)*(~x))⨸((~a) + (~b)*(~x)^2)^(5⨸4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_59",
+@rule ∫(sqrt((~c)*(~x))/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    neg((~b)/(~a)) ?
+(~c)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(3⨸4)⨸((~b)*sqrt((~c)*(~x))) + (~a)*(~c)^2⨸(2*(~b))*∫(1⨸(((~c)*(~x))^(3⨸2)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_60",
+@rule ∫(1/(((~!c)*(~x))^(3//2)*((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) ?
+-2⨸((~c)*sqrt((~c)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4)) - (~b)⨸(~c)^2*∫(sqrt((~c)*(~x))⨸((~a) + (~b)*(~x)^2)^(5⨸4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_61",
+@rule ∫(1/(((~!c)*(~x))^(3//2)*((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    neg((~b)/(~a)) ?
+sqrt((~c)*(~x))*(1 + (~a)⨸((~b)*(~x)^2))^(1⨸4)⨸((~c)^2*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4))* ∫(1⨸((~x)^2*(1 + (~a)⨸((~b)*(~x)^2))^(1⨸4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_62",
+@rule ∫(sqrt((~x))/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt(-(~b)/(~a), 0) &&
+    gt((~a), 0) ?
+-2⨸(sqrt((~a))*(-(~b)⨸(~a))^(3⨸4))* int_and_subst(sqrt(1 - 2*(~x)^2)⨸sqrt(1 - (~x)^2),  (~x), (~x), sqrt(1 - sqrt(-(~b)⨸(~a))*(~x))⨸sqrt(2), "1_1_3_2_62") : nothing)
+
+("1_1_3_2_63",
+@rule ∫(sqrt((~x))/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt(-(~b)/(~a), 0) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+sqrt(1 + (~b)*(~x)^2⨸(~a))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)* ∫(sqrt((~x))⨸sqrt(1 + (~b)*(~x)^2⨸(~a)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_64",
+@rule ∫(sqrt((~c)*(~x))/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt(-(~b)/(~a), 0) ?
+sqrt((~c)*(~x))⨸sqrt((~x))*∫(sqrt((~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_65",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    gt((~m), (~n) - 1) &&
+    !eq((~m) + (~n)*(~p) + 1, 0) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~n), (~m), (~p), (~x)) ?
+(~c)^((~n) - 1)*((~c)*(~x))^((~m) - (~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*((~m) + (~n)*(~p) + 1)) - (~a)*(~c)^(~n)*((~m) - (~n) + 1)⨸((~b)*((~m) + (~n)*(~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) - (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_66",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~p), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    sumsimpler((~m), -(~n)) &&
+    !eq((~m) + (~n)*(~p) + 1, 0) &&
+    ilt(simplify(((~m) + 1)/(~n) + (~p)), 0) ?
+(~c)^((~n) - 1)*((~c)*(~x))^((~m) - (~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*((~m) + (~n)*(~p) + 1)) - (~a)*(~c)^(~n)*((~m) - (~n) + 1)⨸((~b)*((~m) + (~n)*(~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) - (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_67",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    igt(2*(~n), 0) &&
+    gt((~m), 2*(~n) - 1) &&
+    !eq((~m) + 2*(~n)*(~p) + 1, 0) &&
+    int_binomial((~a1)*(~a2), (~b1)*(~b2), (~c), 2*(~n), (~m), (~p), (~x)) ?
+(~c)^(2*(~n) - 1)*((~c)*(~x))^((~m) - 2*(~n) + 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b1)*(~b2)*((~m) + 2*(~n)*(~p) + 1)) - (~a1)*(~a2)*(~c)^(2*(~n))*((~m) - 2*(~n) + 1)⨸((~b1)*(~b2)*((~m) + 2*(~n)*(~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) - 2*(~n))*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_68",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    igt(2*(~n), 0) &&
+    sumsimpler((~m), -2*(~n)) &&
+    !eq((~m) + 2*(~n)*(~p) + 1, 0) &&
+    ilt(simplify(((~m) + 1)/(2*(~n)) + (~p)), 0) ?
+(~c)^(2*(~n) - 1)*((~c)*(~x))^((~m) - 2*(~n) + 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b1)*(~b2)*((~m) + 2*(~n)*(~p) + 1)) - (~a1)*(~a2)*(~c)^(2*(~n))*((~m) - 2*(~n) + 1)⨸((~b1)*(~b2)*((~m) + 2*(~n)*(~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) - 2*(~n))*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_69",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~n), (~m), (~p), (~x)) ?
+((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~c)*((~m) + 1)) - (~b)*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1)⨸((~a)*(~c)^(~n)*((~m) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_70",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~p), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    sumsimpler((~m), (~n)) &&
+    ilt(simplify(((~m) + 1)/(~n) + (~p)), 0) ?
+((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~c)*((~m) + 1)) - (~b)*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1)⨸((~a)*(~c)^(~n)*((~m) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_71",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    igt(2*(~n), 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    int_binomial((~a1)*(~a2), (~b1)*(~b2), (~c), 2*(~n), (~m), (~p), (~x)) ?
+((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a1)*(~a2)* (~c)*((~m) + 1)) - (~b1)*(~b2)*((~m) + 2*(~n)*((~p) + 1) + 1)⨸((~a1)*(~a2)*(~c)^(2*(~n))*((~m) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) + 2*(~n))*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_72",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    igt(2*(~n), 0) &&
+    sumsimpler((~m), 2*(~n)) &&
+    ilt(simplify(((~m) + 1)/(2*(~n)) + (~p)), 0) ?
+((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a1)*(~a2)* (~c)*((~m) + 1)) - (~b1)*(~b2)*((~m) + 2*(~n)*((~p) + 1) + 1)⨸((~a1)*(~a2)*(~c)^(2*(~n))*((~m) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) + 2*(~n))*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_73",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    isfraction((~m)) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~n), (~m), (~p), (~x)) ?
+ext_den((~m))⨸(~c)* int_and_subst((~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(ext_den((~m))*(~n))⨸(~c)^(~n))^(~p),  (~x), (~x), ((~c)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "1_1_3_2_73") : nothing)
+
+("1_1_3_2_74",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    igt(2*(~n), 0) &&
+    isfraction((~m)) &&
+    int_binomial((~a1)*(~a2), (~b1)*(~b2), (~c), 2*(~n), (~m), (~p), (~x)) ?
+ext_den((~m))⨸(~c)* int_and_subst( (~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(ext_den((~m))*(~n))⨸(~c)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(ext_den((~m))*(~n))⨸(~c)^(~n))^ (~p),  (~x), (~x), ((~c)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "1_1_3_2_74") : nothing)
+
+("1_1_3_2_75",
+@rule ∫((~x)/((~a) + (~!b)*(~x)^3)^(2//3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) ?
+-atan((1 + 2*rt((~b), 3)*(~x)⨸((~a) + (~b)*(~x)^3)^(1⨸3))⨸sqrt(3))⨸(sqrt(3)*rt((~b), 3)^2) - log(rt((~b), 3)*(~x) - ((~a) + (~b)*(~x)^3)^(1⨸3))⨸(2*rt((~b), 3)^2) : nothing)
+
+("1_1_3_2_76",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt(-1, (~p), 0) &&
+    !eq((~p), -1/2) &&
+    ext_isinteger((~m), (~p) + ((~m) + 1)/(~n)) ?
+(~a)^((~p) + ((~m) + 1)⨸(~n))* int_and_subst((~x)^(~m)⨸(1 - (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + ((~m) + 1)⨸(~n) + 1),  (~x), (~x), (~x)⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(1⨸(~n)), "1_1_3_2_76") : nothing)
+
+("1_1_3_2_77",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    igt(2*(~n), 0) &&
+    lt(-1, (~p), 0) &&
+    !eq((~p), -1/2) &&
+    ext_isinteger((~m), (~p) + ((~m) + 1)/(2*(~n))) ?
+((~a1)*(~a2))^((~p) + ((~m) + 1)⨸(2*(~n)))* int_and_subst((~x)^(~m)⨸((1 - (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + ((~m) + 1)⨸(2*(~n)) + 1)*(1 - (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + ((~m) + 1)⨸(2*(~n)) + 1)),  (~x), (~x), (~x)⨸(((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^(1⨸(2*(~n)))*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^(1⨸(2*(~n)))), "1_1_3_2_77") : nothing)
+
+("1_1_3_2_78",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt(-1, (~p), 0) &&
+    !eq((~p), -1/2) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    lt(ext_den((~p) + ((~m) + 1)/(~n)), ext_den((~p))) ?
+((~a)⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n)))^((~p) + ((~m) + 1)⨸(~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + ((~m) + 1)⨸(~n))* int_and_subst((~x)^(~m)⨸(1 - (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + ((~m) + 1)⨸(~n) + 1),  (~x), (~x), (~x)⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(1⨸(~n)), "1_1_3_2_78") : nothing)
+
+("1_1_3_2_79",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    igt(2*(~n), 0) &&
+    lt(-1, (~p), 0) &&
+    !eq((~p), -1/2) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    lt(ext_den((~p) + ((~m) + 1)/(2*(~n))), ext_den((~p))) ?
+((~a1)⨸((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n)))^((~p) + ((~m) + 1)⨸(2*(~n)))*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + ((~m) + 1)⨸(2*(~n)))*((~a2)⨸((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n)))^((~p) + ((~m) + 1)⨸(2*(~n)))*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + ((~m) + 1)⨸(2*(~n)))* int_and_subst((~x)^(~m)⨸((1 - (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + ((~m) + 1)⨸(2*(~n)) + 1)*(1 - (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + ((~m) + 1)⨸(2*(~n)) + 1)),  (~x), (~x), (~x)⨸(((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^(1⨸(2*(~n)))*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^(1⨸(2*(~n)))), "1_1_3_2_79") : nothing)
+
+("1_1_3_2_80",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~x)) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+-int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(-(~n)))^(~p)⨸(~x)^((~m) + 2),  (~x), (~x), 1⨸(~x), "1_1_3_2_80") : nothing)
+
+("1_1_3_2_81",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    ilt(2*(~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+-int_and_subst(((~a1) + (~b1)*(~x)^(-(~n)))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(-(~n)))^(~p)⨸(~x)^((~m) + 2),  (~x), (~x), 1⨸(~x), "1_1_3_2_81") : nothing)
+
+("1_1_3_2_82",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    isfraction((~m)) ?
+-ext_den((~m))⨸(~c)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~c)^(-(~n))*(~x)^(-ext_den((~m))*(~n)))^(~p)⨸(~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) + 1),  (~x), (~x), 1⨸((~c)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "1_1_3_2_82") : nothing)
+
+("1_1_3_2_83",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    ilt(2*(~n), 0) &&
+    isfraction((~m)) ?
+-ext_den((~m))⨸(~c)* int_and_subst(((~a1) + (~b1)*(~c)^(-(~n))*(~x)^(-ext_den((~m))*(~n)))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~c)^(-(~n))*(~x)^(-ext_den((~m))*(~n)))^(~p)⨸ (~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) + 1),  (~x), (~x), 1⨸((~c)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "1_1_3_2_83") : nothing)
+
+("1_1_3_2_84",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~p), (~x)) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    !(isrational((~m))) ?
+-1⨸(~c)*((~c)*(~x))^((~m) + 1)*(1⨸(~x))^((~m) + 1)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(-(~n)))^(~p)⨸(~x)^((~m) + 2),  (~x), (~x), 1⨸(~x), "1_1_3_2_84") : nothing)
+
+("1_1_3_2_85",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    ilt(2*(~n), 0) &&
+    !(isrational((~m))) ?
+-1⨸(~c)*((~c)*(~x))^((~m) + 1)*(1⨸(~x))^((~m) + 1)* int_and_subst(((~a1) + (~b1)*(~x)^(-(~n)))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(-(~n)))^(~p)⨸(~x)^((~m) + 2),  (~x), (~x), 1⨸(~x), "1_1_3_2_85") : nothing)
+
+("1_1_3_2_86",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~p), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n))*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "1_1_3_2_86") : nothing)
+
+("1_1_3_2_87",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    isfraction(2*(~n)) ?
+ext_den(2*(~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den(2*(~n))*((~m) + 1) - 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(ext_den(2*(~n))*(~n)))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(ext_den(2*(~n))*(~n)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den(2*(~n))), "1_1_3_2_87") : nothing)
+
+("1_1_3_2_88",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~p), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_89",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    isfraction(2*(~n)) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_90",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(simplify((~n)/((~m) + 1))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+1⨸((~m) + 1)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^simplify((~n)⨸((~m) + 1)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^((~m) + 1), "1_1_3_2_90") : nothing)
+
+("1_1_3_2_91",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    ext_isinteger(simplify(2*(~n)/((~m) + 1))) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~n))) ?
+1⨸((~m) + 1)* int_and_subst(((~a1) + (~b1)*(~x)^simplify((~n)⨸((~m) + 1)))^ (~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^simplify((~n)⨸((~m) + 1)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^((~m) + 1), "1_1_3_2_91") : nothing)
+
+("1_1_3_2_92",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(simplify((~n)/((~m) + 1))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_93",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    ext_isinteger(simplify(2*(~n)/((~m) + 1))) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~n))) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_94",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq(((~m) + 1)/(~n) + (~p), 0) &&
+    gt((~p), 0) ?
+(~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~m) + 1) - (~b)*(~n)*(~p)⨸((~m) + 1)*∫((~x)^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_95",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    eq(((~m) + 1)/(2*(~n)) + (~p), 0) &&
+    gt((~p), 0) ?
+(~x)^((~m) + 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~m) + 1) - 2*(~b1)*(~b2)*(~n)*(~p)⨸((~m) + 1)* ∫((~x)^((~m) + 2*(~n))*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_96",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq(((~m) + 1)/(~n) + (~p), 0) &&
+    gt((~p), 0) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_97",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    eq(((~m) + 1)/(2*(~n)) + (~p), 0) &&
+    gt((~p), 0) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_98",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p) + simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n)*(~p) + 1, 0) ?
+((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~c)*((~m) + (~n)*(~p) + 1)) + (~a)*(~n)*(~p)⨸((~m) + (~n)*(~p) + 1)*∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_99",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    ext_isinteger((~p) + simplify(((~m) + 1)/(2*(~n)))) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~n)*(~p) + 1, 0) ?
+((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^ (~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~c)*((~m) + 2*(~n)*(~p) + 1)) + 2*(~a1)*(~a2)*(~n)*(~p)⨸((~m) + 2*(~n)*(~p) + 1)* ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_100",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p) + simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    lt(-1, (~p), 0) ?
+ext_den((~p))*(~a)^((~p) + simplify(((~m) + 1)⨸(~n)))⨸(~n)* int_and_subst((~x)^(ext_den((~p))*simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)⨸(1 - (~b)*(~x)^ext_den((~p)))^((~p) + simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) + 1),  (~x), (~x), (~x)^((~n)⨸ext_den((~p)))⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(1⨸ext_den((~p))), "1_1_3_2_100") : nothing)
+
+("1_1_3_2_101",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    ext_isinteger((~p) + simplify(((~m) + 1)/(2*(~n)))) &&
+    lt(-1, (~p), 0) ?
+ext_den((~p))*((~a1)*(~a2))^((~p) + simplify(((~m) + 1)⨸(2*(~n))))⨸(2*(~n))* int_and_subst((~x)^(ext_den((~p))*simplify(((~m) + 1)⨸(2*(~n))) - 1)⨸(1 - (~b1)*(~b2)*(~x)^ext_den((~p)))^((~p) + simplify(((~m) + 1)⨸(2*(~n))) + 1),  (~x), (~x), (~x)^(2*(~n)⨸ext_den((~p)))⨸(((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^(1⨸ext_den((~p)))*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^(1⨸ext_den((~p)))), "1_1_3_2_101") : nothing)
+
+("1_1_3_2_102",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p) + simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    lt(-1, (~p), 0) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_103",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    ext_isinteger((~p) + simplify(((~m) + 1)/(2*(~n)))) &&
+    lt(-1, (~p), 0) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_104",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p) + simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    lt((~p), -1) ?
+-((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~c)*(~n)*((~p) + 1)) + ((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1)⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_105",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    ext_isinteger((~p) + simplify(((~m) + 1)/(2*(~n)))) &&
+    lt((~p), -1) ?
+-((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸(2*(~a1)* (~a2)*(~c)*(~n)*((~p) + 1)) + ((~m) + 2*(~n)*((~p) + 1) + 1)⨸(2*(~a1)*(~a2)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_106",
+@rule ∫((~x)^(~!m)/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) &&
+    isfraction(simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    sumsimpler((~m), -(~n)) ?
+(~x)^(simplify((~m) - (~n)) + 1)⨸((~b)*(simplify((~m) - (~n)) + 1)) - (~a)⨸(~b)*∫((~x)^simplify((~m) - (~n))⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_107",
+@rule ∫((~x)^(~m)/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) &&
+    isfraction(simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    sumsimpler((~m), (~n)) ?
+(~x)^((~m) + 1)⨸((~a)*((~m) + 1)) - (~b)⨸(~a)*∫((~x)^simplify((~m) + (~n))⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_108",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~m)/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    isfraction( simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    (
+        sumsimpler((~m), (~n)) ||
+        sumsimpler((~m), -(~n))
+    ) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_109",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(igt((~p), 0)) &&
+    (
+        ilt((~p), 0) ||
+        gt((~a), 0)
+    ) ?
+(~a)^(~p)*((~c)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~c)*((~m) + 1))* hypergeometric2f1(-(~p), ((~m) + 1)⨸(~n), ((~m) + 1)⨸(~n) + 1, -(~b)*(~x)^(~n)⨸(~a)) : nothing)
+
+#(* Int[(c_.*x_)^m_.*(a_+b_.*x_^n_)^p_,x_Symbol] := (c*x)^(m+1)*(a+b*x^n)^(p+1)/(a*c*(m+1))*Hypergeometric2F1[1,(m+1)/n+ p+1,(m+1)/n+1,-b*x^n/a] /; FreeQ[{a,b,c,m,n,p},x] && Not[IGtQ[p,0]] && Not[ILtQ[p,0] ||  GtQ[a,0]] *)
+("1_1_3_2_110",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(igt((~p), 0)) &&
+    !(
+        ilt((~p), 0) ||
+        gt((~a), 0)
+    ) ?
+(~a)^intpart((~p))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^fracpart((~p))⨸(1 + (~b)*(~x)^(~n)⨸(~a))^fracpart((~p))* ∫(((~c)*(~x))^(~m)*(1 + (~b)*(~x)^(~n)⨸(~a))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_111",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~n))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^ fracpart((~p))*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^fracpart((~p))⨸((~a1)*(~a2) + (~b1)*(~b2)*(~x)^(2*(~n)))^ fracpart((~p))*∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a1)*(~a2) + (~b1)*(~b2)*(~x)^(2*(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_2_112",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~c)*(~x))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+1⨸(~c)*int_and_subst(((~d)*(~x)⨸(~c))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p),  (~x), (~x), (~c)*(~x), "1_1_3_2_112") : nothing)
+
+("1_1_3_2_113",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*(~x)^(~q))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)*(~q)) &&
+    !eq((~x), ((~c)*(~x)^(~q))^(1/(~q))) ?
+((~d)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~d)*(((~c)*(~x)^(~q))^(1⨸(~q)))^((~m) + 1))* int_and_subst((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^((~n)*(~q)))^(~p),  (~x), (~x), ((~c)*(~x)^(~q))^(1⨸(~q)), "1_1_3_2_113") : nothing)
+
+("1_1_3_2_114",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*(~x)^(~q))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+int_and_subst(((~d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~c)^(~n)*(~x)^((~n)*(~q)))^(~p),  (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), ((~c)*(~x)^(~q))^(1⨸ext_den((~n)))⨸((~c)^(1⨸ext_den((~n)))*((~x)^(1⨸ext_den((~n))))^((~q) - 1)), "1_1_3_2_114") : nothing)
+
+("1_1_3_2_115",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*(~x)^(~q))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !(isrational((~n))) ?
+int_and_subst(((~d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~c)^(~n)*(~x)^((~n)*(~q)))^(~p),  (~x), (~x)^((~n)*(~q)), ((~c)*(~x)^(~q))^(~n)⨸(~c)^(~n), "1_1_3_2_115") : nothing)
+
+("1_1_3_2_116",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~v)^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear((~v), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    !eq(ext_coeff((~v), (~x), 0), 0) ?
+1⨸ext_coeff((~v), (~x), 1)^((~m) + 1)* int_and_subst(ext_simplify(((~x) - ext_coeff((~v),  (~x), 0))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)), (~x), (~x), (~v), "1_1_3_2_116") : nothing)
+
+("1_1_3_2_117",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~v)^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear_pair((~u), (~v), (~x)) ?
+(~u)^(~m)⨸(ext_coeff((~v), (~x), 1)*(~v)^(~m))* int_and_subst((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p),  (~x), (~x), (~v), "1_1_3_2_117") : nothing)
+
+
+]
\ No newline at end of file
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.3 (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.3 (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q.jl
new file mode 100644
index 00000000..32714594
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.3 (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q.jl	
@@ -0,0 +1,553 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.1.3.3 (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q *)
+("1_1_3_3_1",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    igt((~q), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_2",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger((~p), (~q)) &&
+    neg((~n)) ?
+∫((~x)^((~n)*((~p) + (~q)))*((~b) + (~a)*(~x)^(-(~n)))^(~p)*((~d) + (~c)*(~x)^(-(~n)))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_3",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+-int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(-(~n)))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n)))^(~q)⨸(~x)^2,  (~x), (~x), 1⨸(~x), "1_1_3_3_3") : nothing)
+
+("1_1_3_3_4",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n)) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n)))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n)))^(~q),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "1_1_3_3_4") : nothing)
+
+("1_1_3_3_5",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x)^3)^(1//3)*((~c) + (~!d)*(~x)^3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+atan((1 + (2*rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~c), 3)*(~x))⨸((~a) + (~b)*(~x)^3)^(1⨸3))⨸sqrt(3))⨸(sqrt(3)*(~c)*rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~c), 3)) + log((~c) + (~d)*(~x)^3)⨸(6*(~c)*rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~c), 3)) - log(rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~c), 3)*(~x) - ((~a) + (~b)*(~x)^3)^(1⨸3))⨸(2*(~c)*rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~c), 3)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_6",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)/((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~n)*(~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+int_and_subst(1⨸((~c) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(~x)^(~n)),  (~x), (~x), (~x)⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(1⨸(~n)), "1_1_3_3_6") : nothing)
+
+("1_1_3_3_7",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~n)*((~p) + (~q) + 1) + 1, 0) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+-(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1)) - (~c)*(~q)⨸((~a)*((~p) + 1))*∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_8",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~n)*((~p) + (~q) + 1) + 1, 0) &&
+    ilt((~p), 0) ?
+(~a)^(~p)*(~x)⨸((~c)^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(1⨸(~n)))* hypergeometric2f1(1⨸(~n), -(~p), 1 + 1⨸(~n), -((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(~x)^(~n)⨸((~a)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))) : nothing)
+
+("1_1_3_3_9",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~n)*((~p) + (~q) + 1) + 1, 0) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^ (~p)⨸((~c)*((~c)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))⨸((~a)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(1⨸(~n) + (~p)))* hypergeometric2f1(1⨸(~n), -(~p), 1 + 1⨸(~n), -((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(~x)^(~n)⨸((~a)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))) : nothing)
+
+("1_1_3_3_10",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~n)*((~p) + (~q) + 2) + 1, 0) &&
+    eq((~a)*(~d)*((~p) + 1) + (~b)*(~c)*((~q) + 1), 0) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) + 1)⨸((~a)*(~c)) : nothing)
+
+#(* Int[(a1_+b1_.*x_^n2_.)^p_*(a2_+b2_.*x_^n2_.)^p_*(c_+d_.*x_^n_)^q_, x_Symbol] := x*(a1+b1*x^(n/2))^(p+1)*(a2+b2*x^(n/2))^(p+1)*(c+d*x^n)^(q+1)/(a1* a2*c) /; FreeQ[{a1,b1,a2,b2,c,d,n,p,q},x] && EqQ[n2,n/2] && EqQ[a2*b1+a1*b2,0]  && EqQ[n*(p+q+2)+1,0] && EqQ[a1*a2*d*(p+1)+b1*b2*c*(q+1),0] *)
+("1_1_3_3_11",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~n)*((~p) + (~q) + 2) + 1, 0) &&
+    (
+        lt((~p), -1) ||
+        !(lt((~q), -1))
+    ) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+-(~b)*(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) + 1)⨸((~a)* (~n)*((~p) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))) + ((~b)*(~c) + (~n)*((~p) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_12",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)*(~d) - (~b)*(~c)*((~n)*((~p) + 1) + 1), 0) ?
+(~c)*(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸(~a) : nothing)
+
+("1_1_3_3_13",
+@rule ∫(((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!n2))^(~!p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!n2))^ (~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~d), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), (~n)⨸2) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    eq((~a1)*(~a2)*(~d) - (~b1)*(~b2)*(~c)*((~n)*((~p) + 1) + 1), 0) ?
+(~c)*(~x)*((~a1) + (~b1)*(~x)^((~n)⨸2))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^((~n)⨸2))^((~p) + 1)⨸((~a1)*(~a2)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_14",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    (
+        lt((~p), -1) ||
+        ilt(1⨸(~n) + (~p), 0)
+    ) ?
+-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~b)*(~n)*((~p) + 1)) - ((~a)*(~d) - (~b)*(~c)*((~n)*((~p) + 1) + 1))⨸((~a)*(~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_15",
+@rule ∫(((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!n2))^(~!p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!n2))^ (~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n2), (~n)⨸2) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    (
+        lt((~p), -1) ||
+        ilt(1⨸(~n) + (~p), 0)
+    ) ?
+-((~b1)*(~b2)*(~c) - (~a1)*(~a2)*(~d))* (~x)*((~a1) + (~b1)*(~x)^((~n)⨸2))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^((~n)⨸2))^((~p) + 1)⨸((~a1)*(~a2)*(~b1)* (~b2)*(~n)*((~p) + 1)) - ((~a1)*(~a2)*(~d) - (~b1)*(~b2)*(~c)*((~n)*((~p) + 1) + 1))⨸((~a1)*(~a2)*(~b1)*(~b2)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~a1) + (~b1)*(~x)^((~n)⨸2))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^((~n)⨸2))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_16",
+@rule ∫(((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    lt((~n), 0) ?
+(~c)*(~x)⨸(~a) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~a)*∫(1⨸((~b) + (~a)*(~x)^(-(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_17",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~n)*((~p) + 1) + 1, 0) ?
+(~d)*(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*((~n)*((~p) + 1) + 1)) - ((~a)*(~d) - (~b)*(~c)*((~n)*((~p) + 1) + 1))⨸((~b)*((~n)*((~p) + 1) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_18",
+@rule ∫(((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!n2))^(~!p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!n2))^ (~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~d), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), (~n)⨸2) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    !eq((~n)*((~p) + 1) + 1, 0) ?
+(~d)*(~x)*((~a1) + (~b1)*(~x)^((~n)⨸2))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^((~n)⨸2))^((~p) + 1)⨸((~b1)* (~b2)*((~n)*((~p) + 1) + 1)) - ((~a1)*(~a2)*(~d) - (~b1)*(~b2)*(~c)*((~n)*((~p) + 1) + 1))⨸((~b1)*(~b2)*((~n)*((~p) + 1) + 1))* ∫(((~a1) + (~b1)*(~x)^((~n)⨸2))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^((~n)⨸2))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_19",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~q), 0) &&
+    ge((~p), -(~q)) ?
+∫(polynomial_divide(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), ((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(-(~q)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_20",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)/((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~n)*((~p) - 1) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+(~b)⨸(~d)*∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1), (~x)) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~d)* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_21",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(1⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(1⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+# same as 1_1_2_3_25 wtf
+# ("1_1_3_3_22",
+# @rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//3)*((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+#     eq((~b)*(~c) + 3*(~a)*(~d), 0) &&
+#     pos((~b)⨸(~a)) ?
+# rt((~b)⨸(~a), 2)*atanh(sqrt(3)⨸(rt((~b)⨸(~a), 2)*(~x)))⨸(2*2^(2⨸3)*sqrt(3)*(~a)^(1⨸3)*(~d)) + rt((~b)⨸(~a), 2)*atanh( sqrt(3)*((~a)^(1⨸3) - 2^(1⨸3)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸3))⨸((~a)^(1⨸3)*rt((~b)⨸(~a), 2)* (~x)))⨸(2*2^(2⨸3)*sqrt(3)*(~a)^(1⨸3)*(~d)) + rt((~b)⨸(~a), 2)*atan(rt((~b)⨸(~a), 2)*(~x))⨸(6*2^(2⨸3)*(~a)^(1⨸3)*(~d)) - rt((~b)⨸(~a), 2)*atan(((~a)^(1⨸3)*rt((~b)⨸(~a), 2)*(~x))⨸((~a)^(1⨸3) + 2^(1⨸3)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸3)))⨸(2*2^(2⨸3)*(~a)^(1⨸3)*(~d)) : nothing)
+
+# same as 1_1_2_3_26 wtf
+# ("1_1_3_3_23",
+# @rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//3)*((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+#     eq((~b)*(~c) + 3*(~a)*(~d), 0) &&
+#     neg((~b)⨸(~a)) ?
+# rt(-(~b)⨸(~a), 2)*atan(sqrt(3)⨸(rt(-(~b)⨸(~a), 2)*(~x)))⨸(2*2^(2⨸3)*sqrt(3)*(~a)^(1⨸3)*(~d)) + rt(-(~b)⨸(~a), 2)*atan( sqrt(3)*((~a)^(1⨸3) - 2^(1⨸3)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸3))⨸((~a)^(1⨸3)*rt(-(~b)⨸(~a), 2)* (~x)))⨸(2*2^(2⨸3)*sqrt(3)*(~a)^(1⨸3)*(~d)) - rt(-(~b)⨸(~a), 2)*atanh(rt(-(~b)⨸(~a), 2)*(~x))⨸(6*2^(2⨸3)*(~a)^(1⨸3)*(~d)) + rt(-(~b)⨸(~a), 2)*atanh(((~a)^(1⨸3)*rt(-(~b)⨸(~a), 2)*(~x))⨸((~a)^(1⨸3) + 2^(1⨸3)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸3)))⨸(2*2^(2⨸3)*(~a)^(1⨸3)*(~d)) : nothing)
+
+# same as 1_1_2_3_27 wtf
+# ("1_1_3_3_24",
+# @rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//3)*((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+#     eq((~b)*(~c) - 9*(~a)*(~d), 0) &&
+#     pos((~b)⨸(~a)) ?
+# rt((~b)⨸(~a), 2)*atan(rt((~b)⨸(~a), 2)*(~x)⨸3)⨸(12*rt((~a), 3)*(~d)) + rt((~b)⨸(~a), 2)*atan((rt((~a), 3) - ((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸3))^2⨸(3*rt((~a), 3)^2*rt((~b)⨸(~a), 2)* (~x)))⨸(12*rt((~a), 3)*(~d)) - rt((~b)⨸(~a), 2)*atanh((sqrt(3)*(rt((~a), 3) - ((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸3)))⨸(rt((~a), 3)*rt((~b)⨸(~a), 2)* (~x)))⨸(4*sqrt(3)*rt((~a), 3)*(~d)) : nothing)
+
+# same as 1_1_2_3_28 wtf
+# ("1_1_3_3_25",
+# @rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//3)*((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+#     eq((~b)*(~c) - 9*(~a)*(~d), 0) &&
+#     neg((~b)⨸(~a)) ?
+# -rt(-(~b)⨸(~a), 2)*atanh(rt(-(~b)⨸(~a), 2)*(~x)⨸3)⨸(12*rt((~a), 3)*(~d)) + rt(-(~b)⨸(~a), 2)*atanh((rt((~a), 3) - ((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸3))^2⨸(3*rt((~a), 3)^2*rt(-(~b)⨸(~a), 2)* (~x)))⨸(12*rt((~a), 3)*(~d)) - rt(-(~b)⨸(~a), 2)*atan((sqrt(3)*(rt((~a), 3) - ((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸3)))⨸(rt((~a), 3)*rt(-(~b)⨸(~a), 2)* (~x)))⨸(4*sqrt(3)*rt((~a), 3)*(~d)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_26",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(2//3)/((~c) + (~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~b)*(~c) + 3*(~a)*(~d), 0) ?
+(~b)⨸(~d)*∫(1⨸((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸3), (~x)) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~d)* ∫(1⨸(((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸3)*((~c) + (~d)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_27",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//4)*((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - 2*(~a)*(~d), 0) &&
+    pos((~b)^2⨸(~a)) ?
+-(~b)⨸(2*(~a)*(~d)*rt((~b)^2⨸(~a), 4))* atan(((~b) + rt((~b)^2⨸(~a), 4)^2*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2))⨸(rt((~b)^2⨸(~a), 4)^3*(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) - (~b)⨸(2*(~a)*(~d)*rt((~b)^2⨸(~a), 4))* atanh(((~b) - rt((~b)^2⨸(~a), 4)^2*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2))⨸(rt((~b)^2⨸(~a), 4)^3*(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) : nothing)
+
+("1_1_3_3_28",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//4)*((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - 2*(~a)*(~d), 0) &&
+    neg((~b)^2⨸(~a)) ?
+(~b)⨸(2*sqrt(2)*(~a)*(~d)*rt(-(~b)^2⨸(~a), 4))*atan(rt(-(~b)^2⨸(~a), 4)*(~x)⨸(sqrt(2)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) + (~b)⨸(2*sqrt(2)*(~a)*(~d)*rt(-(~b)^2⨸(~a), 4))*atanh(rt(-(~b)^2⨸(~a), 4)*(~x)⨸(sqrt(2)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) : nothing)
+
+#(* Int[1/((a_+b_.*x_^2)^(1/4)*(c_+d_.*x_^2)),x_Symbol] := With[{q=Rt[-b^2/a,4]}, b/(2*Sqrt[2]*a*d*q)*ArcTan[q*x/(Sqrt[2]*(a+b*x^2)^(1/4))] + b/(4*Sqrt[2]*a*d*q)*Log[(Sqrt[2]*q*x+2*(a+b*x^2)^(1/4))/(Sqrt[2]*q* x-2*(a+b*x^2)^(1/4))]] /; FreeQ[{a,b,c,d},x] && EqQ[b*c-2*a*d,0] && NegQ[b^2/a] *)
+("1_1_3_3_29",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//4)*((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+2*sqrt(-(~b)*(~x)^2⨸(~a))⨸(~x)* int_and_subst((~x)^2⨸(sqrt(1 - (~x)^4⨸(~a))*((~b)*(~c) - (~a)*(~d) + (~d)*(~x)^4)),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4), "1_1_3_3_29") : nothing)
+
+("1_1_3_3_30",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(3//4)*((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - 2*(~a)*(~d), 0) ?
+1⨸(~c)*∫(1⨸((~a) + (~b)*(~x)^2)^(3⨸4), (~x)) - (~d)⨸(~c)*∫((~x)^2⨸(((~a) + (~b)*(~x)^2)^(3⨸4)*((~c) + (~d)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_31",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(3//4)*((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+sqrt(-(~b)*(~x)^2⨸(~a))⨸(2*(~x))* int_and_subst(1⨸(sqrt(-(~b)*(~x)⨸(~a))*((~a) + (~b)*(~x))^(3⨸4)*((~c) + (~d)*(~x))),  (~x), (~x), (~x)^2, "1_1_3_3_31") : nothing)
+
+("1_1_3_3_32",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(~!p)/((~c) + (~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    (
+        eq((~p), 1⨸2) ||
+        eq(ext_den((~p)), 4)
+    ) ?
+(~b)⨸(~d)*∫(((~a) + (~b)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~d)* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^2)^((~p) - 1)⨸((~c) + (~d)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_33",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(~p)/((~c) + (~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    eq(ext_den((~p)), 4) &&
+    (
+        eq((~p), -5⨸4) ||
+        eq((~p), -7⨸4)
+    ) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(((~a) + (~b)*(~x)^2)^(~p), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(((~a) + (~b)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c) + (~d)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_34",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^4)/((~c) + (~!d)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    pos((~a)*(~b)) ?
+(~a)⨸(~c)*int_and_subst(1⨸(1 - 4*(~a)*(~b)*(~x)^4),  (~x), (~x), (~x)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4), "1_1_3_3_34") : nothing)
+
+("1_1_3_3_35",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^4)/((~c) + (~!d)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    neg((~a)*(~b)) ?
+(~a)⨸(2*(~c)*rt(-(~a)*(~b), 4))*atan(rt(-(~a)*(~b), 4)*(~x)*((~a) + rt(-(~a)*(~b), 4)^2*(~x)^2)⨸((~a)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4))) + (~a)⨸(2*(~c)*rt(-(~a)*(~b), 4))*atanh(rt(-(~a)*(~b), 4)*(~x)*((~a) - rt(-(~a)*(~b), 4)^2*(~x)^2)⨸((~a)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4))) : nothing)
+
+("1_1_3_3_36",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^4)/((~c) + (~!d)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+(~b)⨸(~d)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4), (~x)) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~d)* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4)*((~c) + (~d)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_37",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^4)^(1//4)/((~c) + (~!d)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4)*sqrt((~a)⨸((~a) + (~b)*(~x)^4))* int_and_subst(1⨸(sqrt(1 - (~b)*(~x)^4)*((~c) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(~x)^4)),  (~x), (~x), (~x)⨸((~a) + (~b)*(~x)^4)^(1⨸4), "1_1_3_3_37") : nothing)
+
+("1_1_3_3_38",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^4)^(5//4)/((~c) + (~!d)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+(~b)⨸(~d)*∫(((~a) + (~b)*(~x)^4)^(1⨸4), (~x)) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~d)* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^4)^(1⨸4)⨸((~c) + (~d)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_39",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^4)*((~c) + (~!d)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+1⨸(2*(~c))*∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4)*(1 - rt(-(~d)⨸(~c), 2)*(~x)^2)), (~x)) + 1⨸(2*(~c))*∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4)*(1 + rt(-(~d)⨸(~c), 2)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_40",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x)^4)^(3//4)*((~c) + (~!d)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(1⨸((~a) + (~b)*(~x)^4)^(3⨸4), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(((~a) + (~b)*(~x)^4)^(1⨸4)⨸((~c) + (~d)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_41",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^3)^(1//3)/((~c) + (~!d)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) ?
+9*(~a)⨸((~c)*rt((~b)⨸(~a), 3))* int_and_subst((~x)⨸((4 - (~a)*(~x)^3)*(1 + 2*(~a)*(~x)^3)),  (~x), (~x), (1 + rt((~b)⨸(~a), 3)*(~x))⨸((~a) + (~b)*(~x)^3)^(1⨸3), "1_1_3_3_41") : nothing)
+
+("1_1_3_3_42",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x)^3)^(2//3)*((~c) + (~!d)*(~x)^3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(1⨸((~a) + (~b)*(~x)^3)^(2⨸3), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(((~a) + (~b)*(~x)^3)^(1⨸3)⨸((~c) + (~d)*(~x)^3), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_43",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2)/((~c) + (~!d)*(~x)^2)^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    pos((~b)⨸(~a)) &&
+    pos((~d)⨸(~c)) ?
+sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)⨸((~c)*rt((~d)⨸(~c), 2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)* sqrt((~c)*((~a) + (~b)*(~x)^2)⨸((~a)*((~c) + (~d)*(~x)^2))))* elliptic_e(atan(rt((~d)⨸(~c), 2)*(~x)), 1 - (~b)*(~c)⨸((~a)*(~d))) : nothing)
+
+#(* Int[Sqrt[a_+b_.*x_^2]/(c_+d_.*x_^2)^(3/2),x_Symbol] := a*Sqrt[c+d*x^2]*Sqrt[(c*(a+b*x^2))/(a*(c+d*x^2))]/(c^2*Rt[d/c,2]* Sqrt[a+b*x^2])*EllipticE[ArcTan[Rt[d/c,2]*x],1-b*c/(a*d)] /; FreeQ[{a,b,c,d},x] && PosQ[b/a] && PosQ[d/c] *)
+("1_1_3_3_44",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    lt(0, (~q), 1) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+-(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1)) + 1⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)* simp((~c)*((~n)*((~p) + 1) + 1) + (~d)*((~n)*((~p) + (~q) + 1) + 1)*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_45",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~q), 1) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+((~a)*(~d) - (~c)*(~b))* (~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)⨸((~a)*(~b)*(~n)*((~p) + 1)) - 1⨸((~a)*(~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 2)* simp((~c)*((~a)*(~d) - (~c)*(~b)*((~n)*((~p) + 1) + 1)) + (~d)*((~a)*(~d)*((~n)*((~q) - 1) + 1) - (~b)*(~c)*((~n)*((~p) + (~q)) + 1))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_46",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !(
+        !(ext_isinteger((~p))) &&
+        ext_isinteger((~q)) &&
+        lt((~q), -1)
+    ) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+-(~b)*(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) + 1)⨸((~a)* (~n)*((~p) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))) + 1⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)* simp((~b)*(~c) + (~n)*((~p) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)) + (~d)*(~b)*((~n)*((~p) + (~q) + 2) + 1)*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_47",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~p), (~q)) &&
+    gt((~p) + (~q), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_48",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    gt((~q), 1) &&
+    !eq((~n)*((~p) + (~q)) + 1, 0) &&
+    !(igt((~p), 1)) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+(~d)*(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)⨸((~b)*((~n)*((~p) + (~q)) + 1)) + 1⨸((~b)*((~n)*((~p) + (~q)) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 2)* simp((~c)*((~b)*(~c)*((~n)*((~p) + (~q)) + 1) - (~a)*(~d)) + (~d)*((~b)*(~c)*((~n)*((~p) + 2*(~q) - 1) + 1) - (~a)*(~d)*((~n)*((~q) - 1) + 1))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_49",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)⨸((~n)*((~p) + (~q)) + 1) + (~n)⨸((~n)*((~p) + (~q)) + 1)* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)* simp((~a)*(~c)*((~p) + (~q)) + ((~q)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)) + (~a)*(~d)*((~p) + (~q)))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_50",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    pos((~d)⨸(~c)) &&
+    pos((~b)⨸(~a)) &&
+    !(simpler(rt((~b)⨸(~a),2),rt( (~d)⨸(~c),2))) ?
+sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)⨸((~a)*rt((~d)⨸(~c), 2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)* sqrt((~c)*((~a) + (~b)*(~x)^2)⨸((~a)*((~c) + (~d)*(~x)^2))))* elliptic_f(atan(rt((~d)⨸(~c), 2)*(~x)), 1 - (~b)*(~c)⨸((~a)*(~d))) : nothing)
+
+#(* Int[1/(Sqrt[a_+b_.*x_^2]*Sqrt[c_+d_.*x_^2]),x_Symbol] := Sqrt[c+d*x^2]*Sqrt[c*(a+b*x^2)/(a*(c+d*x^2))]/(c*Rt[d/c,2]*Sqrt[a+b* x^2])*EllipticF[ArcTan[Rt[d/c,2]*x],1-b*c/(a*d)] /; FreeQ[{a,b,c,d},x] && PosQ[d/c] && PosQ[b/a] &&  Not[SimplerSqrtQ[b/a,d/c]] *)
+("1_1_3_3_51",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    neg((~d)⨸(~c)) &&
+    gt((~c), 0) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    !(
+        neg((~b)⨸(~a)) &&
+        simpler(rt(-(~b)⨸(~a),2),rt( -(~d)⨸(~c),2))
+    ) ?
+1⨸(sqrt((~a))*sqrt((~c))*rt(-(~d)⨸(~c), 2))* elliptic_f(asin(rt(-(~d)⨸(~c), 2)*(~x)), (~b)*(~c)⨸((~a)*(~d))) : nothing)
+
+("1_1_3_3_52",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    neg((~d)⨸(~c)) &&
+    gt((~c), 0) &&
+    gt((~a) - (~b)*(~c)⨸(~d), 0) ?
+-1⨸(sqrt((~c))*rt(-(~d)⨸(~c), 2)*sqrt((~a) - (~b)*(~c)⨸(~d)))* elliptic_f(acos(rt(-(~d)⨸(~c), 2)*(~x)), (~b)*(~c)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))) : nothing)
+
+("1_1_3_3_53",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !(gt((~c), 0)) ?
+sqrt(1 + (~d)⨸(~c)*(~x)^2)⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt(1 + (~d)⨸(~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_54",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2)/sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    pos((~d)⨸(~c)) &&
+    pos((~b)⨸(~a)) ?
+(~a)*∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)), (~x)) + (~b)*∫((~x)^2⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_55",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2)/sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    pos((~d)⨸(~c)) &&
+    neg((~b)⨸(~a)) ?
+(~b)⨸(~d)*∫(sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2), (~x)) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~d)* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_56",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2)/sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    neg((~d)⨸(~c)) &&
+    gt((~c), 0) &&
+    gt((~a), 0) ?
+sqrt((~a))⨸(sqrt((~c))*rt(-(~d)⨸(~c), 2))* elliptic_e(asin(rt(-(~d)⨸(~c), 2)*(~x)), (~b)*(~c)⨸((~a)*(~d))) : nothing)
+
+("1_1_3_3_57",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2)/sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    neg((~d)⨸(~c)) &&
+    gt((~c), 0) &&
+    gt((~a) - (~b)*(~c)⨸(~d), 0) ?
+-sqrt((~a) - (~b)*(~c)⨸(~d))⨸(sqrt((~c))*rt(-(~d)⨸(~c), 2))* elliptic_e(acos(rt(-(~d)⨸(~c), 2)*(~x)), (~b)*(~c)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))) : nothing)
+
+("1_1_3_3_58",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2)/sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    neg((~d)⨸(~c)) &&
+    gt((~c), 0) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)⨸sqrt(1 + (~b)⨸(~a)*(~x)^2)* ∫(sqrt(1 + (~b)⨸(~a)*(~x)^2)⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_59",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2)/sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    neg((~d)⨸(~c)) &&
+    !(gt((~c), 0)) ?
+sqrt(1 + (~d)⨸(~c)*(~x)^2)⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)* ∫(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)⨸sqrt(1 + (~d)⨸(~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_60",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_61",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~n), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a), 0)
+    ) &&
+    (
+        ext_isinteger((~q)) ||
+        gt((~c), 0)
+    ) ?
+(~a)^(~p)*(~c)^(~q)*(~x)*appell_f1(1⨸(~n), -(~p), -(~q), 1 + 1⨸(~n), -(~b)*(~x)^(~n)⨸(~a), -(~d)*(~x)^(~n)⨸(~c)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_62",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~n), -1) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a), 0)
+    ) ?
+(~a)^intpart((~p))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^fracpart((~p))⨸(1 + (~b)*(~x)^(~n)⨸(~a))^fracpart((~p))* ∫((1 + (~b)*(~x)^(~n)⨸(~a))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_63",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~u)^(~n))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*(~u)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !eq((~u), (~x)) ?
+1⨸ext_coeff((~u), (~x), 1)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q),  (~x), (~x), (~u), "1_1_3_3_63") : nothing)
+
+# ("1_1_3_3_64",
+# @rule ∫((~u)^(~!p)*(~v)^(~!q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~p), (~q), (~x)) &&
+#     PseudoBinomialPairQ[(~u), (~v), (~x)] ?
+# ∫(NormalizePseudoBinomial[(~u), (~x)]^(~p)* NormalizePseudoBinomial[(~v), (~x)]^(~q), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("1_1_3_3_65",
+# @rule ∫((~x)^(~!m)*(~u)^(~!p)*(~v)^(~!q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~p), (~q), (~x)) &&
+#     ext_isinteger((~p), (~m)⨸(~p)) &&
+#     PseudoBinomialPairQ[(~x)^((~m)⨸(~p))*(~u), (~v), (~x)] ?
+# ∫(NormalizePseudoBinomial[(~x)^((~m)⨸(~p))*(~u), (~x)]^(~p)* NormalizePseudoBinomial[(~v), (~x)]^(~q), (~x)) : nothing)
+
+#(* IntBinomialQ[a,b,c,d,n,p,q,x] returns True iff  (a+b*x^n)^p*(c+d*x^n)^q is integrable wrt x in terms of non-Appell  functions. *) IntBinomialQ[a_, b_, c_, d_, n_, p_, q_, x_Symbol] := IntegersQ[p, q] || IGtQ[p, 0] || IGtQ[q, 0] || (EqQ[n, 2] || EqQ[n, 4]) && (IntegersQ[p, 4*q] || IntegersQ[4*p, q]) || EqQ[n, 2] && (IntegersQ[2*p, 2*q] || IntegersQ[3*p, q] && EqQ[b*c + 3*a*d, 0] || IntegersQ[p, 3*q] && EqQ[3*b*c + a*d, 0]) || EqQ[n, 3] && (IntegersQ[p + 1/3, q] || IntegersQ[q + 1/3, p]) || EqQ[n, 3] && (IntegersQ[p + 2/3, q] || IntegersQ[q + 2/3, p]) && EqQ[b*c + a*d, 0]
+("1_1_3_3_66",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!mn))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~mn), -(~n)) &&
+    ext_isinteger((~q)) &&
+    (
+        pos((~n)) ||
+        !(ext_isinteger((~p)))
+    ) ?
+∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~d) + (~c)*(~x)^(~n))^(~q)⨸(~x)^((~n)*(~q)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_3_67",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!mn))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~mn), -(~n)) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+(~x)^((~n)*fracpart((~q)))*((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n)))^fracpart((~q))⨸((~d) + (~c)*(~x)^(~n))^ fracpart((~q))*∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~d) + (~c)*(~x)^(~n))^(~q)⨸(~x)^((~n)*(~q)), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.4 (e x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.4 (e x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q.jl
new file mode 100644
index 00000000..40e6a240
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.4 (e x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q.jl	
@@ -0,0 +1,828 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.1.3.4 (e x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q *)
+("1_1_3_4_1",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~e), 0)
+    ) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) ?
+(~e)^(~m)⨸((~n)*(~b)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1))* int_and_subst(((~b)*(~x))^((~p) + simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "1_1_3_4_1") : nothing)
+
+("1_1_3_4_2",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!b)*(~x)^(~!n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~e), 0)
+    ) &&
+    !(ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n)))) ?
+(~e)^(~m)*(~b)^intpart((~p))*((~b)*(~x)^(~n))^fracpart((~p))⨸(~x)^((~n)*fracpart((~p)))* ∫((~x)^((~m) + (~n)*(~p))*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_3",
+@rule ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~!b)*(~x)^(~!n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+(~e)^intpart((~m))*((~e)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_4",
+@rule ∫((~x)/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//4)*((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - 2*(~a)*(~d), 0) &&
+    pos((~a)) ?
+-1⨸(sqrt(2)*rt((~a), 4)*(~d))* atan((rt((~a), 4)^2 - sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2))⨸(sqrt(2)* rt((~a), 4)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) - 1⨸(sqrt(2)*rt((~a), 4)*(~d))* atanh((rt((~a), 4)^2 + sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2))⨸(sqrt(2)* rt((~a), 4)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) : nothing)
+
+("1_1_3_4_5",
+@rule ∫((~x)^(~m)/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(1//4)*((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - 2*(~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    (
+        pos((~a)) ||
+        ext_isinteger((~m)/2)
+    ) ?
+∫(ext_expand((~x)^(~m)⨸(((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4)*((~c) + (~d)*(~x)^2)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_6",
+@rule ∫((~x)^2/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(3//4)*((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - 2*(~a)*(~d), 0) &&
+    pos((~b)^2/(~a)) ?
+-(~b)⨸((~a)*(~d)*rt((~b)^2⨸(~a), 4)^3)* atan(((~b) + rt((~b)^2⨸(~a), 4)^2*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2))⨸(rt((~b)^2⨸(~a), 4)^3* (~x)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) + (~b)⨸((~a)*(~d)*rt((~b)^2⨸(~a), 4)^3)* atanh(((~b) - rt((~b)^2⨸(~a), 4)^2*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2))⨸(rt((~b)^2⨸(~a), 4)^3* (~x)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) : nothing)
+
+("1_1_3_4_7",
+@rule ∫((~x)^2/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(3//4)*((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - 2*(~a)*(~d), 0) &&
+    neg((~b)^2/(~a)) ?
+-(~b)⨸(sqrt(2)*(~a)*(~d)*rt(-(~b)^2⨸(~a), 4)^3)* atan((rt(-(~b)^2⨸(~a), 4)*(~x))⨸(sqrt(2)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) + (~b)⨸(sqrt(2)*(~a)*(~d)*rt(-(~b)^2⨸(~a), 4)^3)* atanh((rt(-(~b)^2⨸(~a), 4)*(~x))⨸(sqrt(2)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^(1⨸4))) : nothing)
+
+("1_1_3_4_8",
+@rule ∫((~x)^(~m)/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(3//4)*((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - 2*(~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    (
+        pos((~a)) ||
+        ext_isinteger((~m)/2)
+    ) ?
+∫(ext_expand((~x)^(~m)⨸(((~a) + (~b)*(~x)^2)^(3⨸4)*((~c) + (~d)*(~x)^2)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_9",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~m) - (~n) + 1, 0) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "1_1_3_4_9") : nothing)
+
+("1_1_3_4_10",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger((~p), (~q)) &&
+    neg((~n)) ?
+∫((~x)^((~m) + (~n)*((~p) + (~q)))*((~b) + (~a)*(~x)^(-(~n)))^(~p)*((~d) + (~c)*(~x)^(-(~n)))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_11",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "1_1_3_4_11") : nothing)
+
+("1_1_3_4_12",
+@rule ∫(((~e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) ?
+(~e)^intpart((~m))*((~e)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_13",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    igt((~q), 0) ?
+∫(ext_expand(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_14",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)*(~d)*((~m) + 1) - (~b)*(~c)*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+(~c)*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~e)*((~m) + 1)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_15",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!N2))^(~!p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!N2))^ (~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~N2), (~n)/2) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    eq((~a1)*(~a2)*(~d)*((~m) + 1) - (~b1)*(~b2)*(~c)*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+(~c)*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^((~n)⨸2))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^((~n)⨸2))^((~p) + 1)⨸((~a1)*(~a2)*(~e)*((~m) + 1)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_16",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~n)) ||
+        gt((~e), 0)
+    ) &&
+    (
+        gt((~n), 0) &&
+        lt((~m), -1) ||
+        lt((~n), 0) &&
+        gt((~m) + (~n), -1)
+    ) ?
+(~c)*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~e)*((~m) + 1)) + (~d)⨸(~e)^(~n)*∫(((~e)*(~x))^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_17",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1, 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~b)*(~e)*((~m) + 1)) + (~d)⨸(~b)*∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_18",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~n)) ||
+        gt((~e), 0)
+    ) &&
+    (
+        gt((~n), 0) &&
+        lt((~m), -1) ||
+        lt((~n), 0) &&
+        gt((~m) + (~n), -1)
+    ) &&
+    !(ilt((~p), -1)) ?
+(~c)*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~e)*((~m) + 1)) + ((~a)*(~d)*((~m) + 1) - (~b)*(~c)*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1))⨸((~a)*(~e)^(~n)*((~m) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_19",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!N2))^(~!p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!N2))^ (~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    eq((~N2), (~n)/2) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~n)) ||
+        gt((~e), 0)
+    ) &&
+    (
+        gt((~n), 0) &&
+        lt((~m), -1) ||
+        lt((~n), 0) &&
+        gt((~m) + (~n), -1)
+    ) &&
+    !(ilt((~p), -1)) ?
+(~c)*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^((~n)⨸2))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^((~n)⨸2))^((~p) + 1)⨸((~a1)*(~a2)*(~e)*((~m) + 1)) + ((~a1)*(~a2)*(~d)*((~m) + 1) - (~b1)*(~b2)*(~c)*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1))⨸((~a1)*(~a2)* (~e)^(~n)*((~m) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^((~m) + (~n))*((~a1) + (~b1)*(~x)^((~n)⨸2))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^((~n)⨸2))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_20",
+@rule ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    igt((~m)/2, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0)
+    ) ?
+(-(~a))^((~m)⨸2 - 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* (~x)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~b)^((~m)⨸2 + 1)*((~p) + 1)) + 1⨸(2*(~b)^((~m)⨸2 + 1)*((~p) + 1))*∫(((~a) + (~b)*(~x)^2)^((~p) + 1)* expand_to_sum( 2*(~b)*((~p) + 1)*(~x)^2* together(((~b)^((~m)⨸2)* (~x)^((~m) - 2)*((~c) + (~d)*(~x)^2) - (-(~a))^((~m)⨸2 - 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))⨸((~a) + (~b)*(~x)^2)) - (-(~a))^((~m)⨸2 - 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_21",
+@rule ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    ilt((~m)/2, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0)
+    ) ?
+(-(~a))^((~m)⨸2 - 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* (~x)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~b)^((~m)⨸2 + 1)*((~p) + 1)) + 1⨸(2*(~b)^((~m)⨸2 + 1)*((~p) + 1))*∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^2)^((~p) + 1)* expand_to_sum( 2*(~b)*((~p) + 1)* together(((~b)^((~m)⨸2)*((~c) + (~d)*(~x)^2) - (-(~a))^((~m)⨸2 - 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* (~x)^(-(~m) + 2))⨸((~a) + (~b)*(~x)^2)) - (-(~a))^((~m)⨸2 - 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(~x)^(-(~m)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_22",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    (
+        !(ext_isinteger((~p) + 1/2)) &&
+        !eq((~p), -5/4) ||
+        !(isrational((~m))) ||
+        igt((~n), 0) &&
+        ilt((~p) + 1/2, 0) &&
+        le(-1, (~m), -(~n)*((~p) + 1))
+    ) ?
+-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~b)*(~e)* (~n)*((~p) + 1)) - ((~a)*(~d)*((~m) + 1) - (~b)*(~c)*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1))⨸((~a)*(~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_23",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!N2))^(~!p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!N2))^ (~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~N2), (~n)/2) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    (
+        !(ext_isinteger((~p) + 1/2)) &&
+        !eq((~p), -5/4) ||
+        !(isrational((~m))) ||
+        igt((~n), 0) &&
+        ilt((~p) + 1/2, 0) &&
+        le(-1, (~m), -(~n)*((~p) + 1))
+    ) ?
+-((~b1)*(~b2)*(~c) - (~a1)*(~a2)*(~d))*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^((~n)⨸2))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^((~n)⨸2))^((~p) + 1)⨸((~a1)*(~a2)*(~b1)*(~b2)*(~e)*(~n)*((~p) + 1)) - ((~a1)*(~a2)*(~d)*((~m) + 1) - (~b1)*(~b2)*(~c)*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1))⨸((~a1)*(~a2)*(~b1)*(~b2)* (~n)*((~p) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~b1)*(~x)^((~n)⨸2))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^((~n)⨸2))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_24",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1, 0) ?
+(~d)*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~e)*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1)) - ((~a)*(~d)*((~m) + 1) - (~b)*(~c)*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1))⨸((~b)*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_25",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!N2))^(~!p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!N2))^ (~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~N2), (~n)/2) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1, 0) ?
+(~d)*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a1) + (~b1)*(~x)^((~n)⨸2))^((~p) + 1)*((~a2) + (~b2)*(~x)^((~n)⨸2))^((~p) + 1)⨸((~b1)*(~b2)*(~e)*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1)) - ((~a1)*(~a2)*(~d)*((~m) + 1) - (~b1)*(~b2)*(~c)*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1))⨸((~b1)* (~b2)*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a1) + (~b1)*(~x)^((~n)⨸2))^(~p)*((~a2) + (~b2)*(~x)^((~n)⨸2))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_26",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)/((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        igt(2*((~m) + 1), 0) ||
+        !(isrational((~m)))
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_27",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~c)^2*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~e)*((~m) + 1)) - 1⨸((~a)*(~e)^(~n)*((~m) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)* simp((~b)*(~c)^2*(~n)*((~p) + 1) + (~c)*((~b)*(~c) - 2*(~a)*(~d))*((~m) + 1) - (~a)*((~m) + 1)*(~d)^2*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_28",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) ?
+-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~b)^2*(~e)* (~n)*((~p) + 1)) + 1⨸((~a)*(~b)^2*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)* simp(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2*((~m) + 1) + (~b)^2*(~c)^2*(~n)*((~p) + 1) + (~a)*(~b)*(~d)^2*(~n)*((~p) + 1)*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_29",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n)*((~p) + 2) + 1, 0) ?
+(~d)^2*((~e)*(~x))^((~m) + (~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)* (~e)^((~n) + 1)*((~m) + (~n)*((~p) + 2) + 1)) + 1⨸((~b)*((~m) + (~n)*((~p) + 2) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)* simp((~b)*(~c)^2*((~m) + (~n)*((~p) + 2) + 1) + (~d)*((2*(~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + (~n) + 1) + 2*(~b)*(~c)*(~n)*((~p) + 1))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_30",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    gcd((~m) + 1, (~n)) != 1 ?
+1⨸gcd((~m) + 1, (~n))* int_and_subst((~x)^(((~m) + 1)⨸gcd((~m) + 1,  (~n)) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^((~n)⨸gcd((~m) + 1, (~n))))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^((~n)⨸gcd((~m) + 1, (~n))))^(~q), (~x), (~x), (~x)^gcd((~m) + 1, (~n)), "1_1_3_4_30") : nothing)
+
+("1_1_3_4_31",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    isfraction((~m)) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+ext_den((~m))⨸(~e)* int_and_subst( (~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(ext_den((~m))*(~n))⨸(~e)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(ext_den((~m))*(~n))⨸(~e)^(~n))^(~q),  (~x), (~x), ((~e)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "1_1_3_4_31") : nothing)
+
+("1_1_3_4_32",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    gt((~m) - (~n) + 1, 0) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+(~e)^((~n) - 1)*((~e)*(~x))^((~m) - (~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^ (~q)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) - (~e)^(~n)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^((~m) - (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)* simp((~c)*((~m) - (~n) + 1) + (~d)*((~m) + (~n)*((~q) - 1) + 1)*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_33",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~q), 1) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+-((~c)*(~b) - (~a)*(~d))*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)⨸((~a)*(~b)*(~e)*(~n)*((~p) + 1)) + 1⨸((~a)*(~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 2)* simp((~c)*((~c)*(~b)*(~n)*((~p) + 1) + ((~c)*(~b) - (~a)*(~d))*((~m) + 1)) + (~d)*((~c)*(~b)*(~n)*((~p) + 1) + ((~c)*(~b) - (~a)*(~d))*((~m) + (~n)*((~q) - 1) + 1))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_34",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    lt(0, (~q), 1) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+-((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^ (~q)⨸((~a)*(~e)*(~n)*((~p) + 1)) + 1⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)* simp((~c)*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1) + (~d)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q) + 1) + 1)*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_35",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m) - (~n) + 1, (~n)) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+-(~a)*(~e)^(2*(~n) - 1)*((~e)*(~x))^((~m) - 2*(~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1)) + (~e)^(2*(~n))⨸((~b)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^((~m) - 2*(~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)* simp((~a)*(~c)*((~m) - 2*(~n) + 1) + ((~a)*(~d)*((~m) - (~n) + (~n)*(~q) + 1) + (~b)*(~c)*(~n)*((~p) + 1))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_36",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    ge((~n), (~m) - (~n) + 1) &&
+    gt((~m) - (~n) + 1, 0) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+(~e)^((~n) - 1)*((~e)*(~x))^((~m) - (~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) + 1)⨸((~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1)) - (~e)^(~n)⨸((~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^((~m) - (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)* simp((~c)*((~m) - (~n) + 1) + (~d)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q) + 1) + 1)*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_37",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+-(~b)*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) + 1)⨸((~a)*(~e)* (~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1)) + 1⨸((~a)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)* simp((~c)*(~b)*((~m) + 1) + (~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1) + (~d)*(~b)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q) + 2) + 1)*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_38",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)⨸((~e)*((~m) + 1)) - (~n)⨸((~e)^(~n)*((~m) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)* simp((~b)*(~c)*(~p) + (~a)*(~d)*(~q) + (~b)*(~d)*((~p) + (~q))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_39",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    gt((~q), 1) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+(~c)*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)⨸((~a)* (~e)*((~m) + 1)) - 1⨸((~a)*(~e)^(~n)*((~m) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 2)* simp((~c)*((~c)*(~b) - (~a)*(~d))*((~m) + 1) + (~c)*(~n)*((~b)*(~c)*((~p) + 1) + (~a)*(~d)*((~q) - 1)) + (~d)*(((~c)*(~b) - (~a)*(~d))*((~m) + 1) + (~c)*(~b)*(~n)*((~p) + (~q)))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_40",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt(0, (~q), 1) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)⨸((~a)*(~e)*((~m) + 1)) - 1⨸((~a)*(~e)^(~n)*((~m) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)* simp((~c)*(~b)*((~m) + 1) + (~n)*((~b)*(~c)*((~p) + 1) + (~a)*(~d)*(~q)) + (~d)*((~b)*((~m) + 1) + (~b)*(~n)*((~p) + (~q) + 1))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_41",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)⨸((~e)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q)) + 1)) + (~n)⨸((~m) + (~n)*((~p) + (~q)) + 1)* ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)* simp((~a)*(~c)*((~p) + (~q)) + ((~q)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)) + (~a)*(~d)*((~p) + (~q)))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_42",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    gt((~q), 1) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+(~d)*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)⨸((~b)* (~e)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q)) + 1)) + 1⨸((~b)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q)) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 2)* simp((~c)*(((~c)*(~b) - (~a)*(~d))*((~m) + 1) + (~c)*(~b)*(~n)*((~p) + (~q))) + ((~d)*((~c)*(~b) - (~a)*(~d))*((~m) + 1) + (~d)*(~n)*((~q) - 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)) + (~c)*(~b)*(~d)*(~n)*((~p) + (~q)))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_43",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    gt((~m) - (~n) + 1, 0) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+(~e)^((~n) - 1)*((~e)*(~x))^((~m) - (~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^ (~q)⨸((~b)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q)) + 1)) - (~e)^(~n)⨸((~b)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q)) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^((~m) - (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)* simp((~a)*(~c)*((~m) - (~n) + 1) + ((~a)*(~d)*((~m) - (~n) + 1) - (~n)*(~q)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_44",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    gt((~m) - (~n) + 1, (~n)) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+(~e)^(2*(~n) - 1)*((~e)*(~x))^((~m) - 2*(~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) + 1)⨸((~b)*(~d)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q)) + 1)) - (~e)^(2*(~n))⨸((~b)*(~d)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q)) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^((~m) - 2*(~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)* simp((~a)*(~c)*((~m) - 2*(~n) + 1) + ((~a)*(~d)*((~m) + (~n)*((~q) - 1) + 1) + (~b)*(~c)*((~m) + (~n)*((~p) - 1) + 1))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_45",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) + 1)⨸((~a)*(~c)* (~e)*((~m) + 1)) - 1⨸((~a)*(~c)*(~e)^(~n)*((~m) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)* simp(((~b)*(~c) + (~a)*(~d))*((~m) + (~n) + 1) + (~n)*((~b)*(~c)*(~p) + (~a)*(~d)*(~q)) + (~b)*(~d)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q) + 2) + 1)*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_46",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)/(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    le((~n), (~m), 2*(~n) - 1) ?
+-(~a)*(~e)^(~n)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(((~e)*(~x))^((~m) - (~n))⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)) + (~c)*(~e)^(~n)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(((~e)*(~x))^((~m) - (~n))⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_47",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)/(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(((~e)*(~x))^(~m)⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(((~e)*(~x))^(~m)⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_48",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q)/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    le((~n), (~m), 2*(~n) - 1) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), -1, (~q), (~x)) ?
+(~e)^(~n)⨸(~b)*∫(((~e)*(~x))^((~m) - (~n))*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) - (~a)*(~e)^(~n)⨸(~b)*∫(((~e)*(~x))^((~m) - (~n))*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_49",
+@rule ∫((~x)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)/((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), 1, 1, (~n), (~p), -1, (~x)) ?
+(~b)⨸(~d)*∫((~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1), (~x)) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~d)* ∫((~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_50",
+@rule ∫((~x)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)/((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), 1, 1, (~n), (~p), -1, (~x)) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫((~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫((~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_51",
+@rule ∫((~x)/(((~a) + (~!b)*(~x)^3)*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq(4*(~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    pos((~c)) ?
+rt((~d)⨸(~c), 3)*atanh(sqrt((~c) + (~d)*(~x)^3)⨸rt((~c), 2))⨸(9*2^(2⨸3)*(~b)*rt((~c), 2)) + rt((~d)⨸(~c), 3)*atan( sqrt((~c) + (~d)*(~x)^3)⨸(sqrt(3)*rt((~c), 2)))⨸(3*2^(2⨸3)*sqrt(3)*(~b)* rt((~c), 2)) - rt((~d)⨸(~c), 3)*atan( sqrt(3)*rt((~c), 2)*(1 + 2^(1⨸3)*rt((~d)⨸(~c), 3)*(~x))⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x)^3))⨸(3*2^(2⨸3)* sqrt(3)*(~b)*rt((~c), 2)) - rt((~d)⨸(~c), 3)*atanh( rt((~c), 2)*(1 - 2^(1⨸3)*rt((~d)⨸(~c), 3)*(~x))⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x)^3))⨸(3*2^(2⨸3)*(~b)* rt((~c), 2)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_52",
+@rule ∫((~x)/(((~a) + (~!b)*(~x)^3)*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq(4*(~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    neg((~c)) ?
+-rt((~d)⨸(~c), 3)*atan(sqrt((~c) + (~d)*(~x)^3)⨸rt(-(~c), 2))⨸(9*2^(2⨸3)*(~b)*rt(-(~c), 2)) - rt((~d)⨸(~c), 3)*atanh( sqrt((~c) + (~d)*(~x)^3)⨸(sqrt(3)*rt(-(~c), 2)))⨸(3*2^(2⨸3)*sqrt(3)*(~b)* rt(-(~c), 2)) - rt((~d)⨸(~c), 3)*atanh( sqrt(3)*rt(-(~c), 2)*(1 + 2^(1⨸3)*rt((~d)⨸(~c), 3)*(~x))⨸ sqrt((~c) + (~d)*(~x)^3))⨸(3*2^(2⨸3)*sqrt(3)*(~b)*rt(-(~c), 2)) - rt((~d)⨸(~c), 3)*atan( rt(-(~c), 2)*(1 - 2^(1⨸3)*rt((~d)⨸(~c), 3)*(~x))⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x)^3))⨸(3*2^(2⨸3)*(~b)* rt(-(~c), 2)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_53",
+@rule ∫((~x)/(((~a) + (~!b)*(~x)^3)*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq(8*(~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) ?
+(~d)*rt((~d)⨸(~c), 3)⨸(4*(~b))*∫((~x)^2⨸((8*(~c) - (~d)*(~x)^3)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^3)), (~x)) - rt((~d)⨸(~c), 3)^2⨸(12*(~b))*∫((1 + rt((~d)⨸(~c), 3)*(~x))⨸((2 - rt((~d)⨸(~c), 3)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^3)), (~x)) + 1⨸(12*(~b)*(~c))* ∫((2*(~c)*rt((~d)⨸(~c), 3)^2 - 2*(~d)*(~x) - (~d)*rt((~d)⨸(~c), 3)*(~x)^2)⨸((4 + 2*rt((~d)⨸(~c), 3)*(~x) + rt((~d)⨸(~c), 3)^2*(~x)^2)* sqrt((~c) + (~d)*(~x)^3)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_54",
+@rule ∫((~x)/(((~c) + (~!d)*(~x)^3)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~b)^2*(~c)^2 - 20*(~a)*(~b)*(~c)*(~d) - 8*(~a)^2*(~d)^2, 0) &&
+    pos((~a)) ?
+-rt((~b)⨸(~a), 3)*(2 - simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))* atan((1 - simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3)⨸(sqrt(2)*rt((~a), 2)*simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d)))^(3⨸2)))⨸(3* sqrt(2)*rt((~a), 2)*(~d)*simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d)))^(3⨸2)) - rt((~b)⨸(~a), 3)*(2 - simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))* atan(rt((~a), 2)* sqrt(simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))*(1 + simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))*(1 + rt((~b)⨸(~a), 3)*(~x))⨸(sqrt(2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3)))⨸(2* sqrt(2)*rt((~a), 2)*(~d)*simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d)))^(3⨸2)) - rt((~b)⨸(~a), 3)*(2 - simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))* atanh(rt((~a), 2)*(1 - simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))* sqrt(simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))*(1 + rt((~b)⨸(~a), 3)*(~x))⨸(sqrt(2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3)))⨸(6*sqrt(2)* rt((~a), 2)*(~d)*sqrt(simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))) - rt((~b)⨸(~a), 3)*(2 - simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))* atanh(rt((~a), 2)* sqrt(simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))*(1 + simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))) - 2*rt((~b)⨸(~a), 3)*(~x))⨸(sqrt(2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3)))⨸(3*sqrt(2)* rt((~a), 2)*(~d)*sqrt(simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))) : nothing)
+
+("1_1_3_4_55",
+@rule ∫((~x)/(((~c) + (~!d)*(~x)^3)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~b)^2*(~c)^2 - 20*(~a)*(~b)*(~c)*(~d) - 8*(~a)^2*(~d)^2, 0) &&
+    neg((~a)) ?
+rt((~b)⨸(~a), 3)*(2 - simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))* atanh((1 - simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3)⨸(sqrt(2)*rt(-(~a), 2)*simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d)))^(3⨸2)))⨸(3* sqrt(2)*rt(-(~a), 2)*(~d)*simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d)))^(3⨸2)) - rt((~b)⨸(~a), 3)*(2 - simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))* atanh(rt(-(~a), 2)* sqrt(simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))*(1 + simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))*(1 + rt((~b)⨸(~a), 3)*(~x))⨸(sqrt(2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3)))⨸(2* sqrt(2)*rt(-(~a), 2)*(~d)*simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d)))^(3⨸2)) - rt((~b)⨸(~a), 3)*(2 - simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))* atan(rt(-(~a), 2)*(1 - simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))* sqrt(simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))*(1 + rt((~b)⨸(~a), 3)*(~x))⨸(sqrt(2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3)))⨸(6*sqrt(2)* rt(-(~a), 2)*(~d)*sqrt(simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))) - rt((~b)⨸(~a), 3)*(2 - simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))* atan(rt(-(~a), 2)* sqrt(simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))*(1 + simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))) - 2*rt((~b)⨸(~a), 3)*(~x))⨸(sqrt(2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3)))⨸(3*sqrt(2)* rt(-(~a), 2)*(~d)*sqrt(simplify(((~b)*(~c) - 10*(~a)*(~d))⨸(6*(~a)*(~d))))) : nothing)
+
+("1_1_3_4_56",
+@rule ∫((~x)/(((~a) + (~!b)*(~x)^3)^(1//3)*((~c) + (~!d)*(~x)^3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) ?
+-rt((~b)⨸(~a), 3)^2⨸(3*(~d))*∫(1⨸((1 - rt((~b)⨸(~a), 3)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x)^3)^(1⨸3)), (~x)) + rt((~b)⨸(~a), 3)⨸(~d)* int_and_subst(1⨸(1 + 2*(~a)*(~x)^3),  (~x), (~x), (1 + rt((~b)⨸(~a), 3)*(~x))⨸((~a) + (~b)*(~x)^3)^(1⨸3), "1_1_3_4_56") : nothing)
+
+("1_1_3_4_57",
+@rule ∫((~x)/(((~a) + (~!b)*(~x)^3)^(2//3)*((~c) + (~!d)*(~x)^3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+-atan((1 + (2*rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~c), 3)*(~x))⨸((~a) + (~b)*(~x)^3)^(1⨸3))⨸sqrt(3))⨸(sqrt(3)*(~c)* rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~c), 3)^2) + log((~c) + (~d)*(~x)^3)⨸(6*(~c)*rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~c), 3)^2) - log(rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~c), 3)*(~x) - ((~a) + (~b)*(~x)^3)^(1⨸3))⨸(2*(~c)*rt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~c), 3)^2) : nothing)
+
+("1_1_3_4_58",
+@rule ∫((~x)^2/(((~a) + (~!b)*(~x)^4)*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 2))⨸(2*(~b))*∫(1⨸((ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 2)) + ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 2))*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^4)), (~x)) - ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 2))⨸(2*(~b))*∫(1⨸((ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 2)) - ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 2))*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_59",
+@rule ∫((~x)^2*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^4)/((~a) + (~!b)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+(~d)⨸(~b)*∫((~x)^2⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x)^4), (~x)) + ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b)* ∫((~x)^2⨸(((~a) + (~b)*(~x)^4)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_60",
+@rule ∫((~x)^2/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    pos((~b)/(~a)) &&
+    pos((~d)/(~c)) &&
+    !(simpler(rt((~b)/(~a),2),rt( (~d)/(~c),2))) ?
+(~x)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)⨸((~b)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)) - (~c)⨸(~b)*∫(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)⨸((~c) + (~d)*(~x)^2)^(3⨸2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_61",
+@rule ∫((~x)^(~n)/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    (
+        eq((~n), 2) ||
+        eq((~n), 4)
+    ) &&
+    !(
+        eq((~n), 2) &&
+        simpler(rt(-(~b)/(~a),2),rt( -(~d)/(~c),2))
+    ) ?
+1⨸(~b)*∫(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^(~n))⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)) - (~a)⨸(~b)*∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^(~n))*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_62",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    isrational((~m), (~p)) &&
+    ext_isinteger((~p) + ((~m) + 1)/(~n), (~q)) &&
+    lt(-1, (~p), 0) ?
+ext_den((~p))*(~a)^((~p) + ((~m) + 1)⨸(~n))⨸(~n)* int_and_subst((~x)^(ext_den((~p))*((~m) + 1)⨸(~n) - 1)*((~c) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(~x)^ext_den((~p)))^ (~q)⨸(1 - (~b)*(~x)^ext_den((~p)))^((~p) + (~q) + ((~m) + 1)⨸(~n) + 1),  (~x), (~x), (~x)^((~n)⨸ext_den((~p)))⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(1⨸ext_den((~p))), "1_1_3_4_62") : nothing)
+
+("1_1_3_4_63",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+-int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(-(~n)))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n)))^(~q)⨸(~x)^((~m) + 2),  (~x), (~x), 1⨸(~x), "1_1_3_4_63") : nothing)
+
+("1_1_3_4_64",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    isfraction((~m)) ?
+-ext_den((~m))⨸(~e)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~e)^(-(~n))*(~x)^(-ext_den((~m))*(~n)))^(~p)*((~c) + (~d)*(~e)^(-(~n))*(~x)^(-ext_den((~m))*(~n)))^(~q)⨸ (~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) + 1),  (~x), (~x), 1⨸((~e)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "1_1_3_4_64") : nothing)
+
+("1_1_3_4_65",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    !(isrational((~m))) ?
+-((~e)*(~x))^(~m)*((~x)^(-1))^(~m)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(-(~n)))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n)))^(~q)⨸(~x)^((~m) + 2),  (~x), (~x), 1⨸(~x), "1_1_3_4_65") : nothing)
+
+("1_1_3_4_66",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n))*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n)))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n)))^(~q),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "1_1_3_4_66") : nothing)
+
+("1_1_3_4_67",
+@rule ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    isfraction((~n)) ?
+(~e)^intpart((~m))*((~e)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[x_^m_.*(a_+b_.*x_^n_)^p_*(c_+d_.*x_^n_)^q_,x_Symbol] := -1/(m+1)*Subst[Int[(a+b*x^Simplify[-n/(m+1)])^p*(c+d*x^Simplify[-n/( m+1)])^q/x^2,x],x,x^(-(m+1))] /; FreeQ[{a,b,c,d,m,n},x] && NeQ[b*c-a*d,0] && NeQ[m,-1] &&  ILtQ[Simplify[n/(m+1)+1],0] && GeQ[p,-1] && LtQ[p,0] && GeQ[q,-1] && LtQ[q,0] && Not[IntegerQ[n]] *)
+("1_1_3_4_68",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger(simplify((~n)/((~m) + 1))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+1⨸((~m) + 1)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^simplify((~n)⨸((~m) + 1)))^ (~p)*((~c) + (~d)*(~x)^simplify((~n)⨸((~m) + 1)))^(~q),  (~x), (~x), (~x)^((~m) + 1), "1_1_3_4_68") : nothing)
+
+("1_1_3_4_69",
+@rule ∫(((~e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger(simplify((~n)/((~m) + 1))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+(~e)^intpart((~m))*((~e)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_70",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~q), 1) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+-((~c)*(~b) - (~a)*(~d))*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)⨸((~a)*(~b)*(~e)*(~n)*((~p) + 1)) + 1⨸((~a)*(~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 2)* simp((~c)*((~c)*(~b)*(~n)*((~p) + 1) + ((~c)*(~b) - (~a)*(~d))*((~m) + 1)) + (~d)*((~c)*(~b)*(~n)*((~p) + 1) + ((~c)*(~b) - (~a)*(~d))*((~m) + (~n)*((~q) - 1) + 1))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_71",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    lt(0, (~q), 1) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+-((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^ (~q)⨸((~a)*(~e)*(~n)*((~p) + 1)) + 1⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)* simp((~c)*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1) + (~d)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q) + 1) + 1)*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_72",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+-(~b)*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) + 1)⨸((~a)*(~e)* (~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1)) + 1⨸((~a)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)* simp((~c)*(~b)*((~m) + 1) + (~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1) + (~d)*(~b)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q) + 2) + 1)*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_73",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)⨸((~e)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q)) + 1)) + (~n)⨸((~m) + (~n)*((~p) + (~q)) + 1)* ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)* simp((~a)*(~c)*((~p) + (~q)) + ((~q)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)) + (~a)*(~d)*((~p) + (~q)))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_74",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    gt((~q), 1) &&
+    int_binomial((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+(~d)*((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)⨸((~b)* (~e)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q)) + 1)) + 1⨸((~b)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q)) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 2)* simp((~c)*(((~c)*(~b) - (~a)*(~d))*((~m) + 1) + (~c)*(~b)*(~n)*((~p) + (~q))) + ((~d)*((~c)*(~b) - (~a)*(~d))*((~m) + 1) + (~d)*(~n)*((~q) - 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)) + (~c)*(~b)*(~d)*(~n)*((~p) + (~q)))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_75",
+@rule ∫((~x)^(~m)/(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    (
+        eq((~m), (~n)) ||
+        eq((~m), 2*(~n) - 1)
+    ) ?
+-(~a)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫((~x)^((~m) - (~n))⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)) + (~c)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫((~x)^((~m) - (~n))⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_76",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)/(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(((~e)*(~x))^(~m)⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(((~e)*(~x))^(~m)⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_77",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~p), -2) &&
+    (
+        igt((~q), -2) ||
+        eq((~q), -3) &&
+        ext_isinteger(((~m) - 1)/2)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_78",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    !eq((~m), (~n) - 1) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a), 0)
+    ) &&
+    (
+        ext_isinteger((~q)) ||
+        gt((~c), 0)
+    ) ?
+(~a)^(~p)*(~c)^(~q)*((~e)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~e)*((~m) + 1))* appell_f1(((~m) + 1)⨸(~n), -(~p), -(~q), 1 + ((~m) + 1)⨸(~n), -(~b)*(~x)^(~n)⨸(~a), -(~d)*(~x)^(~n)⨸(~c)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_79",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    !eq((~m), (~n) - 1) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a), 0)
+    ) ?
+(~a)^intpart((~p))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^fracpart((~p))⨸(1 + (~b)*(~x)^(~n)⨸(~a))^fracpart((~p))* ∫(((~e)*(~x))^(~m)*(1 + (~b)*(~x)^(~n)⨸(~a))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_80",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*(~v)^(~n))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*(~v)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    linear((~v), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    !eq((~v), (~x)) ?
+1⨸ext_coeff((~v), (~x), 1)^((~m) + 1)* int_and_subst( ext_simplify(((~x) - ext_coeff((~v),  (~x), 0))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^ (~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)), (~x), (~x), (~v), "1_1_3_4_80") : nothing)
+
+("1_1_3_4_81",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*(~v)^(~n))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*(~v)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    linear_pair((~u), (~v), (~x)) ?
+(~u)^(~m)⨸(ext_coeff((~v), (~x), 1)*(~v)^(~m))* int_and_subst((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q),  (~x), (~x), (~v), "1_1_3_4_81") : nothing)
+
+("1_1_3_4_82",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!mn))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~mn), -(~n)) &&
+    ext_isinteger((~q)) &&
+    (
+        pos((~n)) ||
+        !(ext_isinteger((~p)))
+    ) ?
+∫((~x)^((~m) - (~n)*(~q))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~d) + (~c)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_83",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!mn))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~mn), -(~n)) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+(~x)^((~n)*fracpart((~q)))*((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n)))^fracpart((~q))⨸((~d) + (~c)*(~x)^(~n))^ fracpart((~q))*∫((~x)^((~m) - (~n)*(~q))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~d) + (~c)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_84",
+@rule ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!mn))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~mn), -(~n)) ?
+(~e)^intpart((~m))*((~e)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n)))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+#(* IntBinomialQ[a,b,c,d,e,m,n,p,q,x] returns True iff  (e*x)^m*(a+b*x^n)^p*(c+d*x^n)^q is integrable wrt x in terms of  non-Appell functions. *) IntBinomialQ[a_, b_, c_, d_, e_, m_, n_, p_, q_, x_Symbol] := IntegersQ[p, q] || IGtQ[p, 0] || IGtQ[q, 0] || EqQ[n, 2] && (IntegersQ[m, 2*p, 2*q] || IntegersQ[2*m, p, 2*q] || IntegersQ[2*m, 2*p, q]) || EqQ[n, 4] && (IntegersQ[m, p, 2*q] || IntegersQ[m, 2*p, q]) || EqQ[n, 2] && IntegersQ[m/2, p + 1/3, q] && (EqQ[b*c + 3*a*d, 0] || EqQ[b*c - 9*a*d, 0]) || EqQ[n, 2] && IntegersQ[m/2, q + 1/3, p] && (EqQ[a*d + 3*b*c, 0] || EqQ[a*d - 9*b*c, 0]) || EqQ[n, 3] && IntegersQ[(m - 1)/3, q, p - 1/2] && (EqQ[b*c - 4*a*d, 0] || EqQ[b*c + 8*a*d, 0] || EqQ[b^2*c^2 - 20*a*b*c*d - 8*a^2*d^2, 0]) || EqQ[n, 3] && IntegersQ[(m - 1)/3, p, q - 1/2] && (EqQ[4*b*c - a*d, 0] || EqQ[8*b*c + a*d, 0] || EqQ[8*b^2*c^2 + 20*a*b*c*d - a^2*d^2, 0]) || EqQ[n, 3] && (IntegersQ[m, q, 3*p] || IntegersQ[m, p, 3*q]) && EqQ[b*c + a*d, 0] || EqQ[n, 3] && (IntegersQ[(m + 2)/3, p + 2/3, q] || IntegersQ[(m + 2)/3, q + 2/3, p]) || EqQ[n, 3] && (IntegersQ[m/3, p + 1/3, q] || IntegersQ[m/3, q + 1/3, p])
+("1_1_3_4_85",
+@rule ∫((~!u)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!N2))^(~!p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!N2))^ (~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~d), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~N2), (~n)/2) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a1), 0) &&
+        gt((~a2), 0)
+    ) ?
+∫((~u)*((~a1)*(~a2) + (~b1)*(~b2)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_86",
+@rule ∫((~!u)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!N2))^(~!p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!N2))^ (~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n) + (~!e)*(~x)^(~!n2))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~N2), (~n)/2) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a1), 0) &&
+        gt((~a2), 0)
+    ) ?
+∫((~u)*((~a1)*(~a2) + (~b1)*(~b2)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n) + (~e)*(~x)^(2*(~n)))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_87",
+@rule ∫((~!u)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!N2))^(~p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!N2))^ (~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~d), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~N2), (~n)/2) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    !(
+        eq((~n), 2) &&
+        igt((~q), 0)
+    ) ?
+((~a1) + (~b1)*(~x)^((~n)⨸2))^ fracpart((~p))*((~a2) + (~b2)*(~x)^((~n)⨸2))^fracpart((~p))⨸((~a1)*(~a2) + (~b1)*(~b2)*(~x)^(~n))^ fracpart((~p))* ∫((~u)*((~a1)*(~a2) + (~b1)*(~b2)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_4_88",
+@rule ∫((~!u)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!N2))^(~!p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!N2))^ (~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n) + (~!e)*(~x)^(~!n2))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~N2), (~n)/2) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) ?
+((~a1) + (~b1)*(~x)^((~n)⨸2))^ fracpart((~p))*((~a2) + (~b2)*(~x)^((~n)⨸2))^fracpart((~p))⨸((~a1)*(~a2) + (~b1)*(~b2)*(~x)^(~n))^ fracpart((~p))* ∫((~u)*((~a1)*(~a2) + (~b1)*(~b2)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n) + (~e)*(~x)^(2*(~n)))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.5 (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q (e+f x^n)^r.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.5 (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q (e+f x^n)^r.jl
new file mode 100644
index 00000000..c074b771
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.5 (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q (e+f x^n)^r.jl	
@@ -0,0 +1,320 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.1.3.5 (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q (e+f x^n)^r *)
+("1_1_3_5_1",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    igt((~q), 0) &&
+    igt((~r), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_2",
+@rule ∫(((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))/(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) ?
+((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(1⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)) - ((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(1⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_3",
+@rule ∫(((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))/(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) ?
+(~f)⨸(~b)*∫(1⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)) + ((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸(~b)*∫(1⨸(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_4",
+@rule ∫(((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !(
+        eq((~n), 2) &&
+        (
+            pos((~b)/(~a)) &&
+            pos((~d)/(~c)) ||
+            neg((~b)/(~a)) &&
+            (
+                pos((~d)/(~c)) ||
+                gt((~a), 0) &&
+                (
+                    !(gt((~c), 0)) ||
+                    simpler(rt(-(~b)/(~a),2),rt( -(~d)/(~c),2))
+                )
+            )
+        )
+    ) ?
+(~f)⨸(~b)*∫(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^(~n))⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)) + ((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸(~b)*∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^(~n))*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_5",
+@rule ∫(((~e) + (~!f)*(~x)^2)/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2)*((~c) + (~!d)*(~x)^2)^(3//2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    pos((~b)/(~a)) &&
+    pos((~d)/(~c)) ?
+((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)), (~x)) - ((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)⨸((~c) + (~d)*(~x)^2)^(3⨸2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_6",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~q), 0) ?
+-((~b)*(~e) - (~a)*(~f))* (~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)⨸((~a)*(~b)*(~n)*((~p) + 1)) + 1⨸((~a)*(~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)* simp((~c)*((~b)*(~e)*(~n)*((~p) + 1) + (~b)*(~e) - (~a)*(~f)) + (~d)*((~b)*(~e)*(~n)*((~p) + 1) + ((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~n)*(~q) + 1))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_7",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~q), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) ?
+-((~b)*(~e) - (~a)*(~f))* (~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) + 1)⨸((~a)* (~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1)) + 1⨸((~a)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)* simp((~c)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)) + (~e)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1) + (~d)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~n)*((~p) + (~q) + 2) + 1)*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_8",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    !eq((~n)*((~p) + (~q) + 1) + 1, 0) ?
+(~f)*(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)⨸((~b)*((~n)*((~p) + (~q) + 1) + 1)) + 1⨸((~b)*((~n)*((~p) + (~q) + 1) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)* simp((~c)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f) + (~b)*(~e)*(~n)*((~p) + (~q) + 1)) + ((~d)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)) + (~f)*(~n)*(~q)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)) + (~b)*(~d)*(~e)*(~n)*((~p) + (~q) + 1))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_9",
+@rule ∫(((~e) + (~!f)*(~x)^4)/(((~a) + (~!b)*(~x)^4)^(3//4)*((~c) + (~!d)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) ?
+((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(1⨸((~a) + (~b)*(~x)^4)^(3⨸4), (~x)) - ((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^4)^(1⨸4)⨸((~c) + (~d)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_10",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))/((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~n), (~x)) ?
+(~f)⨸(~d)*∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) + ((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸(~d)* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_11",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+(~e)*∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) + (~f)*∫((~x)^(~n)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_12",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)*((~c) + (~!d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~!f)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(1⨸(((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(1⨸(((~c) + (~d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_13",
+@rule ∫(1/((~x)^2*((~c) + (~!d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~!f)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) ?
+1⨸(~c)*∫(1⨸((~x)^2*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)), (~x)) - (~d)⨸(~c)*∫(1⨸(((~c) + (~d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_14",
+@rule ∫(sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~!f)*(~x)^2)/((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~d)/(~c), 0) &&
+    gt((~f)/(~e), 0) &&
+    !(simpler(rt((~d)/(~c),2),rt( (~f)/(~e),2))) ?
+(~d)⨸(~b)*∫(sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2), (~x)) + ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b)* ∫(sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸(((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_15",
+@rule ∫(sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~!f)*(~x)^2)/((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !(simpler(rt(-(~f)/(~e),2),rt( -(~d)/(~c),2))) ?
+(~d)⨸(~b)*∫(sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2), (~x)) + ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b)* ∫(sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸(((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_16",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~!f)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~d)/(~c), 0) &&
+    gt((~f)/(~e), 0) &&
+    !(simpler(rt((~d)/(~c),2),rt( (~f)/(~e),2))) ?
+-(~f)⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*∫(1⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)), (~x)) + (~b)⨸((~b)*(~e) - (~a)*(~f))* ∫(sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸(((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_17",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~!f)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !(gt((~d)/(~c), 0)) &&
+    gt((~c), 0) &&
+    gt((~e), 0) &&
+    !(
+        !(gt((~f)/(~e), 0)) &&
+        simpler(rt(-(~f)/(~e),2),rt( -(~d)/(~c),2))
+    ) ?
+1⨸((~a)*sqrt((~c))*sqrt((~e))*rt(-(~d)⨸(~c), 2))* elliptic_pi((~b)*(~c)⨸((~a)*(~d)), asin(rt(-(~d)⨸(~c), 2)*(~x)), (~c)*(~f)⨸((~d)*(~e))) : nothing)
+
+("1_1_3_5_18",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~!f)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !(gt((~c), 0)) ?
+sqrt(1 + (~d)⨸(~c)*(~x)^2)⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)* ∫(1⨸(((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt(1 + (~d)⨸(~c)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_19",
+@rule ∫(sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~!f)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    pos((~d)/(~c)) ?
+(~c)*sqrt( (~e) + (~f)*(~x)^2)⨸((~a)*(~e)*rt((~d)⨸(~c), 2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)* sqrt((~c)*((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸((~e)*((~c) + (~d)*(~x)^2))))* elliptic_pi(1 - (~b)*(~c)⨸((~a)*(~d)), atan(rt((~d)⨸(~c), 2)*(~x)), 1 - (~c)*(~f)⨸((~d)*(~e))) : nothing)
+
+#(* Int[Sqrt[c_+d_.*x_^2]/((a_+b_.*x_^2)*Sqrt[e_+f_.*x_^2]),x_Symbol] := Sqrt[c+d*x^2]*Sqrt[c*(e+f*x^2)/(e*(c+d*x^2))]/(a*Rt[d/c,2]*Sqrt[e+f* x^2])* EllipticPi[1-b*c/(a*d),ArcTan[Rt[d/c,2]*x],1-c*f/(d*e)] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f},x] && PosQ[d/c] *)
+("1_1_3_5_20",
+@rule ∫(sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~!f)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    neg((~d)/(~c)) ?
+(~d)⨸(~b)*∫(1⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)), (~x)) + ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b)* ∫(1⨸(((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_21",
+@rule ∫(sqrt((~e) + (~!f)*(~x)^2)/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)*((~c) + (~!d)*(~x)^2)^(3//2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    pos((~d)/(~c)) &&
+    pos((~f)/(~e)) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸(((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸((~c) + (~d)*(~x)^2)^(3⨸2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_22",
+@rule ∫(((~e) + (~!f)*(~x)^2)^(3//2)/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)*((~c) + (~!d)*(~x)^2)^(3//2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    pos((~d)/(~c)) &&
+    pos((~f)/(~e)) ?
+((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸(((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)), (~x)) - ((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸((~c) + (~d)*(~x)^2)^(3⨸2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_23",
+@rule ∫(((~c) + (~!d)*(~x)^2)^(3//2)*sqrt((~e) + (~!f)*(~x)^2)/((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    pos((~d)/(~c)) &&
+    pos((~f)/(~e)) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2⨸(~b)^2* ∫(sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸(((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)), (~x)) + (~d)⨸(~b)^2* ∫((2*(~b)*(~c) - (~a)*(~d) + (~b)*(~d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_24",
+@rule ∫(((~c) + (~!d)*(~x)^2)^(~q)*((~e) + (~!f)*(~x)^2)^(~r)/((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    lt((~q), -1) &&
+    gt((~r), 1) ?
+(~b)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2* ∫(((~c) + (~d)*(~x)^2)^((~q) + 2)*((~e) + (~f)*(~x)^2)^((~r) - 1)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2), (~x)) - 1⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2* ∫(((~c) + (~d)*(~x)^2)^ (~q)*((~e) + (~f)*(~x)^2)^((~r) - 1)*(2*(~b)*(~c)*(~d)*(~e) - (~a)*(~d)^2*(~e) - (~b)*(~c)^2*(~f) + (~d)^2*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_25",
+@rule ∫(((~c) + (~!d)*(~x)^2)^(~q)*((~e) + (~!f)*(~x)^2)^(~r)/((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~r), (~x)) &&
+    gt((~q), 1) ?
+(~d)⨸(~b)*∫(((~c) + (~d)*(~x)^2)^((~q) - 1)*((~e) + (~f)*(~x)^2)^(~r), (~x)) + ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b)* ∫(((~c) + (~d)*(~x)^2)^((~q) - 1)*((~e) + (~f)*(~x)^2)^(~r)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_26",
+@rule ∫(((~c) + (~!d)*(~x)^2)^(~q)*((~e) + (~!f)*(~x)^2)^(~r)/((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~r), (~x)) &&
+    lt((~q), -1) ?
+(~b)^2⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2* ∫(((~c) + (~d)*(~x)^2)^((~q) + 2)*((~e) + (~f)*(~x)^2)^(~r)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2* ∫(((~c) + (~d)*(~x)^2)^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^2)^(~r)*(2*(~b)*(~c) - (~a)*(~d) + (~b)*(~d)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_27",
+@rule ∫(((~c) + (~!d)*(~x)^2)^(~q)*((~e) + (~!f)*(~x)^2)^(~r)/((~a) + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~r), (~x)) &&
+    le((~q), -1) ?
+-(~d)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(((~c) + (~d)*(~x)^2)^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^2)^(~r), (~x)) + (~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(((~c) + (~d)*(~x)^2)^((~q) + 1)*((~e) + (~f)*(~x)^2)^(~r)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_28",
+@rule ∫(sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~!f)*(~x)^2)/((~a) + (~!b)*(~x)^2)^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) ?
+(~x)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸(2*(~a)*((~a) + (~b)*(~x)^2)) + (~d)*(~f)⨸(2*(~a)*(~b)^2)* ∫(((~a) - (~b)*(~x)^2)⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)), (~x)) + ((~b)^2*(~c)*(~e) - (~a)^2*(~d)*(~f))⨸(2*(~a)*(~b)^2)* ∫(1⨸(((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_29",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^2*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~!f)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) ?
+(~b)^2*(~x)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)* sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸(2*(~a)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~a) + (~b)*(~x)^2)) - (~d)*(~f)⨸(2*(~a)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^2)⨸(sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)), (~x)) + ((~b)^2*(~c)*(~e) + 3*(~a)^2*(~d)*(~f) - 2*(~a)*(~b)*((~d)*(~e) + (~c)*(~f)))⨸(2* (~a)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~b)*(~e) - (~a)*(~f)))* ∫(1⨸(((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_30",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^(~r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~r), (~x)) &&
+    ilt((~p), 0) &&
+    gt((~q), 0) ?
+(~d)⨸(~b)*∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)) + ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b)* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_31",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^(~r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~q), (~x)) &&
+    ilt((~p), 0) &&
+    le((~q), -1) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) + 1)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_32",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~!f)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) ?
+sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)* sqrt((~a)*((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸((~e)*((~a) + (~b)*(~x)^2)))⨸((~c)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)* sqrt((~a)*((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸((~c)*((~a) + (~b)*(~x)^2))))* int_and_subst(1⨸(sqrt(1 - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(~x)^2⨸(~c))*sqrt(1 - ((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*(~x)^2⨸(~e))),  (~x), (~x), (~x)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2), "1_1_3_5_32") : nothing)
+
+("1_1_3_5_33",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2)/(sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~!f)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) ?
+(~a)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)* sqrt((~a)*((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸((~e)*((~a) + (~b)*(~x)^2)))⨸((~c)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)* sqrt((~a)*((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸((~c)*((~a) + (~b)*(~x)^2))))* int_and_subst(1⨸((1 - (~b)*(~x)^2)*sqrt(1 - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(~x)^2⨸(~c))* sqrt(1 - ((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*(~x)^2⨸(~e))),  (~x), (~x), (~x)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2), "1_1_3_5_33") : nothing)
+
+("1_1_3_5_34",
+@rule ∫(sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)/(((~a) + (~!b)*(~x)^2)^(3//2)*sqrt((~e) + (~!f)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) ?
+sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)* sqrt((~a)*((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸((~e)*((~a) + (~b)*(~x)^2)))⨸((~a)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)* sqrt((~a)*((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸((~c)*((~a) + (~b)*(~x)^2))))* int_and_subst(sqrt(1 - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(~x)^2⨸(~c))⨸sqrt(1 - ((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*(~x)^2⨸(~e)),  (~x), (~x), (~x)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2), "1_1_3_5_34") : nothing)
+
+("1_1_3_5_35",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)/sqrt((~e) + (~!f)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    pos(((~d)*(~e) - (~c)*(~f))/(~c)) ?
+(~d)*(~x)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸(2*(~f)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)) - (~c)*((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸(2*(~f))* ∫(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)⨸(((~c) + (~d)*(~x)^2)^(3⨸2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)), (~x)) + (~b)*(~c)*((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸(2*(~d)*(~f))* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)), (~x)) - ((~b)*(~d)*(~e) - (~b)*(~c)*(~f) - (~a)*(~d)*(~f))⨸(2*(~d)*(~f))* ∫(sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_36",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)/sqrt((~e) + (~!f)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    neg(((~d)*(~e) - (~c)*(~f))/(~c)) ?
+(~x)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸(2*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)) + (~e)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸(2*(~f))* ∫(sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)*((~e) + (~f)*(~x)^2)^(3⨸2)), (~x)) + ((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~d)*(~e) - 2*(~c)*(~f))⨸(2*(~f)^2)* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)), (~x)) - ((~b)*(~d)*(~e) - (~b)*(~c)*(~f) - (~a)*(~d)*(~f))⨸(2*(~f)^2)* ∫(sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_37",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~!d)*(~x)^2)/((~e) + (~!f)*(~x)^2)^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) ?
+(~b)⨸(~f)*∫(sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)*sqrt((~e) + (~f)*(~x)^2)), (~x)) - ((~b)*(~e) - (~a)*(~f))⨸(~f)* ∫(sqrt((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸(sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2)*((~e) + (~f)*(~x)^2)^(3⨸2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_38",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^(~r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    issum(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r), (~x))) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_39",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^(~r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+-int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(-(~n)))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n)))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(-(~n)))^(~r)⨸(~x)^2,  (~x), (~x), 1⨸(~x), "1_1_3_5_39") : nothing)
+
+# ("1_1_3_5_40",
+# @rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^(~!r),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)] : nothing)
+
+("1_1_3_5_41",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~u)^(~n))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*(~v)^(~n))^(~!q)*((~!e) + (~!f)*(~w)^(~n))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~u), (~v)) &&
+    eq((~u), (~w)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !eq((~u), (~x)) ?
+1⨸ext_coeff((~u), (~x), 1)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r),  (~x), (~x), (~u), "1_1_3_5_41") : nothing)
+
+("1_1_3_5_42",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!mn))^(~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!n))^ (~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~r), (~x)) &&
+    eq((~mn), -(~n)) &&
+    ext_isinteger((~q)) ?
+∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~d) + (~c)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r)⨸(~x)^((~n)*(~q)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_43",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!mn))^(~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!n))^ (~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~q), (~x)) &&
+    eq((~mn), -(~n)) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    ext_isinteger((~r)) ?
+∫((~x)^((~n)*((~p) + (~r)))*((~b) + (~a)*(~x)^(-(~n)))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n)))^(~q)*((~f) + (~e)*(~x)^(-(~n)))^ (~r), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_44",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!mn))^(~q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!n))^ (~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~mn), -(~n)) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) ?
+(~x)^((~n)*fracpart((~q)))*((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n)))^fracpart((~q))⨸((~d) + (~c)*(~x)^(~n))^ fracpart((~q))* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~d) + (~c)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r)⨸(~x)^((~n)*(~q)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_45",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q)*((~e1) + (~!f1)*(~x)^(~!n2))^ (~!r)*((~e2) + (~!f2)*(~x)^(~!n2))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e1), (~f1), (~e2), (~f2), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~n2), (~n)/2) &&
+    eq((~e2)*(~f1) + (~e1)*(~f2), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~r)) ||
+        gt((~e1), 0) &&
+        gt((~e2), 0)
+    ) ?
+∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e1)*(~e2) + (~f1)*(~f2)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_5_46",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q)*((~e1) + (~!f1)*(~x)^(~!n2))^ (~!r)*((~e2) + (~!f2)*(~x)^(~!n2))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e1), (~f1), (~e2), (~f2), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~n2), (~n)/2) &&
+    eq((~e2)*(~f1) + (~e1)*(~f2), 0) ?
+((~e1) + (~f1)*(~x)^((~n)⨸2))^ fracpart((~r))*((~e2) + (~f2)*(~x)^((~n)⨸2))^fracpart((~r))⨸((~e1)*(~e2) + (~f1)*(~f2)*(~x)^(~n))^ fracpart((~r))* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e1)*(~e2) + (~f1)*(~f2)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.6 (g x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q (e+f x^n)^r.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.6 (g x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q (e+f x^n)^r.jl
new file mode 100644
index 00000000..ebf18b75
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.6 (g x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q (e+f x^n)^r.jl	
@@ -0,0 +1,302 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.1.3.6 (g x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q (e+f x^n)^r *)
+("1_1_3_6_1",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^ (~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~g), 0)
+    ) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) ?
+(~g)^(~m)⨸((~n)*(~b)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1))* int_and_subst(((~b)*(~x))^((~p) + simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~c) + (~d)*(~x))^ (~q)*((~e) + (~f)*(~x))^(~r),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "1_1_3_6_1") : nothing)
+
+("1_1_3_6_2",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~!b)*(~x)^(~!n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~g), 0)
+    ) &&
+    !(ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n)))) ?
+(~g)^(~m)*(~b)^intpart((~p))*((~b)*(~x)^(~n))^fracpart((~p))⨸(~x)^((~n)*fracpart((~p)))* ∫((~x)^((~m) + (~n)*(~p))*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_3",
+@rule ∫(((~g)*(~x))^(~m)*((~!b)*(~x)^(~!n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^ (~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+(~g)^intpart((~m))*((~g)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_4",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), -2) &&
+    igt((~q), 0) &&
+    igt((~r), 0) ?
+∫(ext_expand(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^ (~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_5",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^ (~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~m) - (~n) + 1, 0) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x))^(~r),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "1_1_3_6_5") : nothing)
+
+("1_1_3_6_6",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^ (~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p), (~q), (~r)) &&
+    neg((~n)) ?
+∫((~x)^((~m) + (~n)*((~p) + (~q) + (~r)))*((~b) + (~a)*(~x)^(-(~n)))^(~p)*((~d) + (~c)*(~x)^(-(~n)))^ (~q)*((~f) + (~e)*(~x)^(-(~n)))^(~r), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_7",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^ (~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x))^ (~r),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "1_1_3_6_7") : nothing)
+
+("1_1_3_6_8",
+@rule ∫(((~g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) ?
+(~g)^intpart((~m))*((~g)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_9",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^ (~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    gcd((~m) + 1, (~n)) != 1 ?
+1⨸gcd((~m) + 1, (~n))* int_and_subst( (~x)^(((~m) + 1)⨸gcd((~m) + 1,  (~n)) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^((~n)⨸gcd((~m) + 1, (~n))))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^((~n)⨸gcd((~m) + 1, (~n))))^ (~q)*((~e) + (~f)*(~x)^((~n)⨸gcd((~m) + 1, (~n))))^(~r), (~x), (~x), (~x)^gcd((~m) + 1, (~n)), "1_1_3_6_9") : nothing)
+
+("1_1_3_6_10",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^(~r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    isfraction((~m)) ?
+ext_den((~m))⨸(~g)* int_and_subst( (~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(ext_den((~m))*(~n))⨸(~g)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(ext_den((~m))*(~n))⨸(~g)^(~n))^ (~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(ext_den((~m))*(~n))⨸(~g)^(~n))^(~r),  (~x), (~x), ((~g)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "1_1_3_6_10") : nothing)
+
+("1_1_3_6_11",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    !(
+        eq((~q), 1) &&
+        simpler((~b)*(~c) - (~a)*(~d), (~b)*(~e) - (~a)*(~f))
+    ) ?
+-((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~g)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^ (~q)⨸((~a)*(~b)*(~g)*(~n)*((~p) + 1)) + 1⨸((~a)*(~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)* simp((~c)*((~b)*(~e)*(~n)*((~p) + 1) + ((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + 1)) + (~d)*((~b)*(~e)*(~n)*((~p) + 1) + ((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + (~n)*(~q) + 1))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_12",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~q), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m) - (~n) + 1, 0) ?
+(~g)^((~n) - 1)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~g)*(~x))^((~m) - (~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1)) - (~g)^(~n)⨸((~b)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1))* ∫(((~g)*(~x))^((~m) - (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)* simp((~c)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) - (~n) + 1) + ((~d)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + (~n)*(~q) + 1) - (~b)*(~n)*((~c)*(~f) - (~d)*(~e))*((~p) + 1))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_13",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~q), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) ?
+-((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~g)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) + 1)⨸((~a)*(~g)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1)) + 1⨸((~a)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1))* ∫(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)* simp((~c)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + 1) + (~e)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1) + (~d)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + (~n)*((~p) + (~q) + 2) + 1)*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_14",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !(
+        eq((~q), 1) &&
+        simpler((~e) + (~f)*(~x)^(~n), (~c) + (~d)*(~x)^(~n))
+    ) ?
+(~e)*((~g)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)⨸((~a)*(~g)*((~m) + 1)) - 1⨸((~a)*(~g)^(~n)*((~m) + 1))* ∫(((~g)*(~x))^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)* simp((~c)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + 1) + (~e)*(~n)*((~b)*(~c)*((~p) + 1) + (~a)*(~d)*(~q)) + (~d)*(((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + 1) + (~b)*(~e)*(~n)*((~p) + (~q) + 1))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_15",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    !(
+        eq((~q), 1) &&
+        simpler((~e) + (~f)*(~x)^(~n), (~c) + (~d)*(~x)^(~n))
+    ) ?
+(~f)*((~g)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^ (~q)⨸((~b)*(~g)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q) + 1) + 1)) + 1⨸((~b)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q) + 1) + 1))* ∫(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)* simp((~c)*(((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + 1) + (~b)*(~e)*(~n)*((~p) + (~q) + 1)) + ((~d)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + 1) + (~f)*(~n)*(~q)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)) + (~b)*(~e)*(~d)*(~n)*((~p) + (~q) + 1))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_16",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~q), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    gt((~m), (~n) - 1) ?
+(~f)*(~g)^((~n) - 1)*((~g)*(~x))^((~m) - (~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) + 1)⨸((~b)*(~d)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q) + 1) + 1)) - (~g)^(~n)⨸((~b)*(~d)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q) + 1) + 1))* ∫(((~g)*(~x))^((~m) - (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)* simp((~a)*(~f)* (~c)*((~m) - (~n) + 1) + ((~a)*(~f)*(~d)*((~m) + (~n)*(~q) + 1) + (~b)*((~f)*(~c)*((~m) + (~n)*(~p) + 1) - (~e)*(~d)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q) + 1) + 1)))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_17",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~q), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+(~e)*((~g)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) + 1)⨸((~a)*(~c)* (~g)*((~m) + 1)) + 1⨸((~a)*(~c)*(~g)^(~n)*((~m) + 1))*∫(((~g)*(~x))^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)* simp((~a)*(~f)*(~c)*((~m) + 1) - (~e)*((~b)*(~c) + (~a)*(~d))*((~m) + (~n) + 1) - (~e)*(~n)*((~b)*(~c)*(~p) + (~a)*(~d)*(~q)) - (~b)*(~e)*(~d)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q) + 2) + 1)*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_18",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^ (~p)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))/((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_19",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+(~e)*∫(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) + (~f)⨸(~e)^(~n)*∫(((~g)*(~x))^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_20",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    igt((~r), 0) ?
+(~e)*∫(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^((~r) - 1), (~x)) + (~f)⨸(~e)^(~n)* ∫(((~g)*(~x))^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^((~r) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_21",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^ (~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+-int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(-(~n)))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n)))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(-(~n)))^(~r)⨸(~x)^((~m) + 2),  (~x), (~x), 1⨸(~x), "1_1_3_6_21") : nothing)
+
+("1_1_3_6_22",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    isfraction((~m)) ?
+-ext_den((~m))⨸(~g)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~g)^(-(~n))*(~x)^(-ext_den((~m))*(~n)))^(~p)*((~c) + (~d)*(~g)^(-(~n))*(~x)^(-ext_den((~m))*(~n)))^ (~q)*((~e) + (~f)*(~g)^(-(~n))*(~x)^(-ext_den((~m))*(~n)))^(~r)⨸(~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) + 1),  (~x), (~x), 1⨸((~g)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "1_1_3_6_22") : nothing)
+
+("1_1_3_6_23",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    !(isrational((~m))) ?
+-((~g)*(~x))^(~m)*((~x)^(-1))^(~m)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(-(~n)))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n)))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(-(~n)))^(~r)⨸ (~x)^((~m) + 2),  (~x), (~x), 1⨸(~x), "1_1_3_6_23") : nothing)
+
+("1_1_3_6_24",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^ (~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n))*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n)))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n)))^ (~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n)))^(~r),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "1_1_3_6_24") : nothing)
+
+("1_1_3_6_25",
+@rule ∫(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+(~g)^intpart((~m))*((~g)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_26",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^ (~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger(simplify((~n)/((~m) + 1))) ?
+1⨸((~m) + 1)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^simplify((~n)⨸((~m) + 1)))^ (~p)*((~c) + (~d)*(~x)^simplify((~n)⨸((~m) + 1)))^ (~q)*((~e) + (~f)*(~x)^simplify((~n)⨸((~m) + 1)))^(~r),  (~x), (~x), (~x)^((~m) + 1), "1_1_3_6_26") : nothing)
+
+("1_1_3_6_27",
+@rule ∫(((~g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger(simplify((~n)/((~m) + 1))) ?
+(~g)^intpart((~m))*((~g)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_28",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    !(
+        eq((~q), 1) &&
+        simpler((~b)*(~c) - (~a)*(~d), (~b)*(~e) - (~a)*(~f))
+    ) ?
+-((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~g)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^ (~q)⨸((~a)*(~b)*(~g)*(~n)*((~p) + 1)) + 1⨸((~a)*(~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)* simp((~c)*((~b)*(~e)*(~n)*((~p) + 1) + ((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + 1)) + (~d)*((~b)*(~e)*(~n)*((~p) + 1) + ((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + (~n)*(~q) + 1))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_29",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~q), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) ?
+-((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~g)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) + 1)⨸((~a)*(~g)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1)) + 1⨸((~a)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1))* ∫(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)* simp((~c)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + 1) + (~e)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~p) + 1) + (~d)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + (~n)*((~p) + (~q) + 2) + 1)*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_30",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    !(
+        eq((~q), 1) &&
+        simpler((~e) + (~f)*(~x)^(~n), (~c) + (~d)*(~x)^(~n))
+    ) ?
+(~f)*((~g)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^ (~q)⨸((~b)*(~g)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q) + 1) + 1)) + 1⨸((~b)*((~m) + (~n)*((~p) + (~q) + 1) + 1))* ∫(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q) - 1)* simp((~c)*(((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + 1) + (~b)*(~e)*(~n)*((~p) + (~q) + 1)) + ((~d)*((~b)*(~e) - (~a)*(~f))*((~m) + 1) + (~f)*(~n)*(~q)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)) + (~b)*(~e)*(~d)*(~n)*((~p) + (~q) + 1))*(~x)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_31",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^ (~p)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))/((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+∫(ext_expand(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_32",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+(~e)*∫(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) + (~f)*((~g)*(~x))^(~m)⨸(~x)^(~m)*∫((~x)^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_33",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!mn))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!n))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~r), (~x)) &&
+    eq((~mn), -(~n)) &&
+    ext_isinteger((~q)) ?
+∫((~x)^((~m) - (~n)*(~q))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~d) + (~c)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_34",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!mn))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!n))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~q), (~x)) &&
+    eq((~mn), -(~n)) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    ext_isinteger((~r)) ?
+∫((~x)^((~m) + (~n)*((~p) + (~r)))*((~b) + (~a)*(~x)^(-(~n)))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n)))^ (~q)*((~f) + (~e)*(~x)^(-(~n)))^(~r), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_35",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!mn))^ (~q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!n))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~mn), -(~n)) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) ?
+(~x)^((~n)*fracpart((~q)))*((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n)))^fracpart((~q))⨸((~d) + (~c)*(~x)^(~n))^ fracpart((~q))* ∫((~x)^((~m) - (~n)*(~q))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~d) + (~c)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_36",
+@rule ∫(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!mn))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!n))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~mn), -(~n)) ?
+(~g)^intpart((~m))*((~g)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n)))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)) : nothing)
+
+# ("1_1_3_6_37",
+# @rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~n))^(~!r),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)] : nothing)
+
+("1_1_3_6_38",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*(~v)^(~n))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*(~v)^(~n))^ (~!q)*((~e) + (~!f)*(~v)^(~n))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    linear_pair((~u), (~v), (~x)) ?
+(~u)^(~m)⨸(ext_coeff((~v), (~x), 1)*(~v)^(~m))* int_and_subst((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e) + (~f)*(~x)^(~n))^(~r),  (~x), (~x), (~v), "1_1_3_6_38") : nothing)
+
+("1_1_3_6_39",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e1) + (~!f1)*(~x)^(~!n2))^(~!r)*((~e2) + (~!f2)*(~x)^(~!n2))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e1), (~f1), (~e2), (~f2), (~g), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~n2), (~n)/2) &&
+    eq((~e2)*(~f1) + (~e1)*(~f2), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~r)) ||
+        gt((~e1), 0) &&
+        gt((~e2), 0)
+    ) ?
+∫(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e1)*(~e2) + (~f1)*(~f2)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_6_40",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^ (~!q)*((~e1) + (~!f1)*(~x)^(~!n2))^(~!r)*((~e2) + (~!f2)*(~x)^(~!n2))^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e1), (~f1), (~e2), (~f2), (~g), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~n2), (~n)/2) &&
+    eq((~e2)*(~f1) + (~e1)*(~f2), 0) ?
+((~e1) + (~f1)*(~x)^((~n)⨸2))^ fracpart((~r))*((~e2) + (~f2)*(~x)^((~n)⨸2))^fracpart((~r))⨸((~e1)*(~e2) + (~f1)*(~f2)*(~x)^(~n))^ fracpart((~r))* ∫(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q)*((~e1)*(~e2) + (~f1)*(~f2)*(~x)^(~n))^(~r), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.7 P(x) (a+b x^n)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.7 P(x) (a+b x^n)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..7820e67f
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.7 P(x) (a+b x^n)^p.jl	
@@ -0,0 +1,585 @@
+f11372(pq, x) = (@rule (~u)*x^(~m::ext_isinteger) => 1)(pq)!==nothing
+
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.1.3.7 P(x) (a+b x^n)^p *)
+#(* Int[Pq_*(a_+b_.*x_)^p_,x_Symbol] := With[{n=Denominator[p]}, n/b*Subst[Int[x^(n*p+n-1)*ReplaceAll[Pq,x->-a/b+x^n/b],x],x,(a+b*x)^( 1/n)]] /; FreeQ[{a,b},x] && PolyQ[Pq,x] && FractionQ[p] *)
+("1_1_3_7_1",
+@rule ∫((~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    (
+        igt((~p), 0) ||
+        eq((~n), 1)
+    ) ?
+∫(ext_expand((~Pq)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+
+("1_1_3_7_2",
+@rule ∫((~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~n), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    eq(ext_coeff((~Pq), (~x), 0), 0) &&
+    !(f11372(~Pq, ~x)) ?
+∫((~x)*poly_quotient((~Pq), (~x), (~x))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+
+("1_1_3_7_3",
+@rule ∫((~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ge(exponent_of((~Pq), (~x)), (~n)) &&
+    eq(poly_remainder((~Pq), (~a) + (~b)*(~x)^(~n), (~x)), 0) ?
+∫(poly_quotient((~Pq), (~a) + (~b)*(~x)^(~n), (~x))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+
+# Rule skipped because of "Module"
+# Int[Pq_*(a_ + b_.*x_^n_.)^p_, x_Symbol] := Module[{q = Expon[Pq, x], i}, (a + b*x^n)^p* Sum[Coeff[Pq, x, i]*x^(i + 1)/(n*p + i + 1), {i, 0, q}] + a*n*p* Int[(a + b*x^n)^(p - 1)* Sum[Coeff[Pq, x, i]*x^i/(n*p + i + 1), {i, 0, q}], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[(n - 1)/2, 0] && GtQ[p, 0]
+
+# Rule skipped because of "Module"
+# Int[Pq_*(a_ + b_.*x_^n_)^p_, x_Symbol] := Module[{q = Expon[Pq, x], i}, (a*Coeff[Pq, x, q] - b*x*ExpandToSum[Pq - Coeff[Pq, x, q]*x^q, x])*(a + b*x^n)^(p + 1)/(a*b*n*(p + 1)) + 1/(a*n*(p + 1))* Int[Sum[(n*(p + 1) + i + 1)*Coeff[Pq, x, i]*x^i, {i, 0, q - 1}]*(a + b*x^n)^(p + 1), x] /; q == n - 1] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1]
+
+("1_1_3_7_6",
+@rule ∫((~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    lt(exponent_of((~Pq), (~x)), (~n) - 1) ?
+-(~x)*(~Pq)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1)) + 1⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(expand_to_sum((~n)*((~p) + 1)*(~Pq) + Symbolics.derivative((~x)*(~Pq), (~x)), (~x))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+
+("1_1_3_7_7",
+@rule ∫((~P4)/((~a) + (~!b)*(~x)^4)^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~P4), (~x), 4) &&
+    eq(ext_coeff((~P4), (~x), 2), 0) ?
+let
+    d = ext_coeff((~P4), (~x), 0)
+    e = ext_coeff((~P4), (~x), 1)
+    f = ext_coeff((~P4), (~x), 3)
+    g = ext_coeff((~P4), (~x), 4)
+    
+    eq((~b)*d + (~a)*g, 0) ?
+    -((~a)*f + 2*(~a)*g*(~x) - (~b)*e*(~x)^2)⨸(2*(~a)*(~b)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4)) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_8",
+@rule ∫((~P6)/((~a) + (~!b)*(~x)^4)^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~P6), (~x), 6) &&
+    eq(ext_coeff((~P6), (~x), 1), 0) &&
+    eq(ext_coeff((~P6), (~x), 5), 0) ?
+let
+    d = ext_coeff((~P6), (~x), 0)
+    e = ext_coeff((~P6), (~x), 2)
+    f = ext_coeff((~P6), (~x), 3)
+    g = ext_coeff((~P6), (~x), 4)
+    h = ext_coeff((~P6), (~x), 6)
+    
+    eq((~b)*e - 3*(~a)*h, 0) &&
+    eq((~b)*d + (~a)*g, 0) ?
+    -((~a)*f - 2*(~b)*d*(~x) - 2*(~a)*h*(~x)^3)⨸(2*(~a)*(~b)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4)) : nothing
+end : nothing)
+
+# Rule skipped because of "Module"
+# Int[Pq_*(a_ + b_.*x_^n_.)^p_, x_Symbol] := With[{q = Expon[Pq, x]}, Module[{Q = PolynomialQuotient[b^(Floor[(q - 1)/n] + 1)*Pq, a + b*x^n, x], R = PolynomialRemainder[b^(Floor[(q - 1)/n] + 1)*Pq, a + b*x^n, x]}, -x* R*(a + b*x^n)^(p + 1)/(a*n*(p + 1)* b^(Floor[(q - 1)/n] + 1)) + 1/(a*n*(p + 1)*b^(Floor[(q - 1)/n] + 1))* Int[(a + b*x^n)^(p + 1)* ExpandToSum[a*n*(p + 1)*Q + n*(p + 1)*R + D[x*R, x], x], x]] /; GeQ[q, n]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1]
+("1_1_3_7_10",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*(~x))/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~A), (~B), (~x)) &&
+    eq((~a)*(~B)^3 - (~b)*(~A)^3, 0) ?
+(~B)^3⨸(~b)*∫(1⨸((~A)^2 - (~A)*(~B)*(~x) + (~B)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+
+("1_1_3_7_11",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*(~x))/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~a)*(~B)^3 - (~b)*(~A)^3, 0) &&
+    pos((~a)/(~b)) ?
+let
+    r = ext_num(rt((~a)⨸(~b), 3))
+    s = ext_den(rt((~a)⨸(~b), 3))
+    
+    -r*((~B)*r - (~A)*s)⨸(3*(~a)*s)*∫(1⨸(r + s*(~x)), (~x)) + r⨸(3*(~a)*s)* ∫((r*((~B)*r + 2*(~A)*s) + s*((~B)*r - (~A)*s)*(~x))⨸(r^2 - r*s*(~x) + s^2*(~x)^2), (~x))
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_12",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*(~x))/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~a)*(~B)^3 - (~b)*(~A)^3, 0) &&
+    neg((~a)/(~b)) ?
+let
+    r = ext_num(rt(-(~a)⨸(~b), 3))
+    s = ext_den(rt(-(~a)⨸(~b), 3))
+    
+    r*((~B)*r + (~A)*s)⨸(3*(~a)*s)*∫(1⨸(r - s*(~x)), (~x)) - r⨸(3*(~a)*s)* ∫((r*((~B)*r - 2*(~A)*s) - s*((~B)*r + (~A)*s)*(~x))⨸(r^2 + r*s*(~x) + s^2*(~x)^2), (~x))
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_13",
+@rule ∫((~P2)/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~P2), (~x), 2) ?
+let
+    A = ext_coeff((~P2), (~x), 0)
+    B = ext_coeff((~P2), (~x), 1)
+    C = ext_coeff((~P2), (~x), 2)
+    
+    eq(B^2 - A*C, 0) &&
+    eq((~b)*B^3 + (~a)*C^3, 0) ?
+    -C^2⨸(~b)*∫(1⨸(B - C*(~x)), (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_14",
+@rule ∫((~P2)/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~P2), (~x), 2) ?
+let
+    A = ext_coeff((~P2), (~x), 0)
+    B = ext_coeff((~P2), (~x), 1)
+    C = ext_coeff((~P2), (~x), 2)
+    q = (~a)⟰(1⨸3)⨸(~b)⟰(1⨸3)
+    
+    eq(A*(~b)⟰(2/3) - (~a)⟰(1/3)*(~b)⟰(1/3)*B - 2*(~a)⟰(2/3)*C, 0) ?
+    C⨸(~b)*∫(1⨸(q + (~x)), (~x)) + (B + C*q)⨸(~b)* ∫(1⨸(q^2 - q*(~x) + (~x)^2), (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_15",
+@rule ∫((~P2)/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~P2), (~x), 2) ?
+let
+    A = ext_coeff((~P2), (~x), 0)
+    B = ext_coeff((~P2), (~x), 1)
+    C = ext_coeff((~P2), (~x), 2)
+    q = (-(~a))⟰(1⨸3)⨸(-(~b))⟰(1⨸3)
+    
+    eq(A*(-(~b))⟰(2/3) - (-(~a))⟰(1/3)*(-(~b))⟰(1/3)*B - 2*(-(~a))⟰(2/3)*C, 0) ?
+    C⨸(~b)*∫(1⨸(q + (~x)), (~x)) + (B + C*q)⨸(~b)* ∫(1⨸(q^2 - q*(~x) + (~x)^2), (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_16",
+@rule ∫((~P2)/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~P2), (~x), 2) ?
+let
+    A = ext_coeff((~P2), (~x), 0)
+    B = ext_coeff((~P2), (~x), 1)
+    C = ext_coeff((~P2), (~x), 2)
+    q = (-(~a))⟰(1⨸3)⨸(~b)⟰(1⨸3)
+    
+    eq(A*(~b)⟰(2/3) + (-(~a))⟰(1/3)*(~b)⟰(1/3)*B - 2*(-(~a))⟰(2/3)*C, 0) ?
+    -C⨸(~b)* ∫(1⨸(q - (~x)), (~x)) + (B - C*q)⨸(~b)*∫(1⨸(q^2 + q*(~x) + (~x)^2), (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_17",
+@rule ∫((~P2)/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~P2), (~x), 2) ?
+let
+    A = ext_coeff((~P2), (~x), 0)
+    B = ext_coeff((~P2), (~x), 1)
+    C = ext_coeff((~P2), (~x), 2)
+    q = (~a)⟰(1⨸3)⨸(-(~b))⟰(1⨸3)
+    
+    eq(A*(-(~b))⟰(2/3) + (~a)⟰(1/3)*(-(~b))⟰(1/3)*B - 2*(~a)⟰(2/3)*C, 0) ?
+    -C⨸(~b)* ∫(1⨸(q - (~x)), (~x)) + (B - C*q)⨸(~b)*∫(1⨸(q^2 + q*(~x) + (~x)^2), (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_18",
+@rule ∫((~P2)/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~P2), (~x), 2) ?
+let
+    A = ext_coeff((~P2), (~x), 0)
+    B = ext_coeff((~P2), (~x), 1)
+    C = ext_coeff((~P2), (~x), 2)
+    q = ((~a)⨸(~b))⟰(1⨸3)
+    
+    eq(A - ((~a)/(~b))⟰(1/3)*B - 2*((~a)/(~b))⟰(2/3)*C, 0) ?
+    C⨸(~b)*∫(1⨸(q + (~x)), (~x)) + (B + C*q)⨸(~b)* ∫(1⨸(q^2 - q*(~x) + (~x)^2), (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_19",
+@rule ∫((~P2)/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~P2), (~x), 2) ?
+let
+    A = ext_coeff((~P2), (~x), 0)
+    B = ext_coeff((~P2), (~x), 1)
+    C = ext_coeff((~P2), (~x), 2)
+    q = rt((~a)⨸(~b), 3)
+    
+    eq(A - rt((~a)/(~b), 3)*B - 2*rt((~a)/(~b), 3)^2*C, 0) ?
+    C⨸(~b)*∫(1⨸(q + (~x)), (~x)) + (B + C*q)⨸(~b)* ∫(1⨸(q^2 - q*(~x) + (~x)^2), (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_20",
+@rule ∫((~P2)/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~P2), (~x), 2) ?
+let
+    A = ext_coeff((~P2), (~x), 0)
+    B = ext_coeff((~P2), (~x), 1)
+    C = ext_coeff((~P2), (~x), 2)
+    q = (-(~a)⨸(~b))⟰(1⨸3)
+    
+    eq(A + (-(~a)/(~b))⟰(1/3)*B - 2*(-(~a)/(~b))⟰(2/3)*C, 0) ?
+    -C⨸(~b)*∫(1⨸(q - (~x)), (~x)) + (B - C*q)⨸(~b)* ∫(1⨸(q^2 + q*(~x) + (~x)^2), (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_21",
+@rule ∫((~P2)/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~P2), (~x), 2) ?
+let
+    A = ext_coeff((~P2), (~x), 0)
+    B = ext_coeff((~P2), (~x), 1)
+    C = ext_coeff((~P2), (~x), 2)
+    q = rt(-(~a)⨸(~b), 3)
+    
+    eq(A + rt(-(~a)/(~b), 3)*B - 2*rt(-(~a)/(~b), 3)^2*C, 0) ?
+    -C⨸(~b)*∫(1⨸(q - (~x)), (~x)) + (B - C*q)⨸(~b)* ∫(1⨸(q^2 + q*(~x) + (~x)^2), (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_22",
+@rule ∫((~P2)/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~P2), (~x), 2) ?
+let
+    A = ext_coeff((~P2), (~x), 0)
+    B = ext_coeff((~P2), (~x), 1)
+    C = ext_coeff((~P2), (~x), 2)
+    
+    eq((~a)*B^3 - (~b)*A^3, 0) ||
+    !(isrational((~a)/(~b))) ?
+    ∫((A + B*(~x))⨸((~a) + (~b)*(~x)^3), (~x)) + C*∫((~x)^2⨸((~a) + (~b)*(~x)^3), (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_23",
+@rule ∫((~P2)/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~P2), (~x), 2) ?
+let
+    A = ext_coeff((~P2), (~x), 0)
+    B = ext_coeff((~P2), (~x), 1)
+    C = ext_coeff((~P2), (~x), 2)
+    q = ((~a)⨸(~b))⟰(1⨸3)
+    
+    eq(A - B*((~a)/(~b))⟰(1/3) + C*((~a)/(~b))⟰(2/3), 0) ?
+    q^2⨸(~a)*∫((A + C*q*(~x))⨸(q^2 - q*(~x) + (~x)^2), (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_24",
+@rule ∫((~P2)/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~P2), (~x), 2) ?
+let
+    A = ext_coeff((~P2), (~x), 0)
+    B = ext_coeff((~P2), (~x), 1)
+    C = ext_coeff((~P2), (~x), 2)
+    q = (-(~a)⨸(~b))⟰(1⨸3)
+    
+    eq(A + B*(-(~a)/(~b))⟰(1/3) + C*(-(~a)/(~b))⟰(2/3), 0) ?
+    q⨸(~a)*∫((A*q + (A + B*q)*(~x))⨸(q^2 + q*(~x) + (~x)^2), (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_25",
+@rule ∫((~P2)/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~P2), (~x), 2) &&
+    gt((~a)/(~b), 0) ?
+let
+    A = ext_coeff((~P2), (~x), 0)
+    B = ext_coeff((~P2), (~x), 1)
+    C = ext_coeff((~P2), (~x), 2)
+    q = ((~a)⨸(~b))⟰(1⨸3)
+    
+    !eq((~a)*B^3 - (~b)*A^3, 0) &&
+    !eq(A - B*q + C*q^2, 0) ?
+    q*(A - B*q + C*q^2)⨸(3*(~a))*∫(1⨸(q + (~x)), (~x)) + q⨸(3*(~a))*∫((q*(2*A + B*q - C*q^2) - (A - B*q - 2*C*q^2)* (~x))⨸(q^2 - q*(~x) + (~x)^2), (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_26",
+@rule ∫((~P2)/((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~P2), (~x), 2) &&
+    lt((~a)/(~b), 0) ?
+let
+    A = ext_coeff((~P2), (~x), 0)
+    B = ext_coeff((~P2), (~x), 1)
+    C = ext_coeff((~P2), (~x), 2)
+    q = (-(~a)⨸(~b))⟰(1⨸3)
+    
+    !eq((~a)*B^3 - (~b)*A^3, 0) &&
+    !eq(A + B*q + C*q^2, 0) ?
+    q*(A + B*q + C*q^2)⨸(3*(~a))*∫(1⨸(q - (~x)), (~x)) + q⨸(3*(~a))*∫((q*(2*A - B*q - C*q^2) + (A + B*q - 2*C*q^2)* (~x))⨸(q^2 + q*(~x) + (~x)^2), (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_27",
+@rule ∫((~Pq)/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    igt((~n)/2, 0) &&
+    exponent_of((~Pq), (~x)) < (~n) ?
+let
+    v = sum([(~x)^iii*(ext_coeff((~Pq), (~x), iii) + ext_coeff((~Pq), (~x), (~n)⨸2 + iii)*(~x)^((~n)⨸2))⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n)) for iii in ( 0):( (~n)⨸2 - 1)])
+    
+    issum(v) ?
+    ∫(v, (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_28",
+@rule ∫(((~c) + (~!d)*(~x))/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    pos((~a)) &&
+    eq((~b)*(~c)^3 - 2*(5 - 3*sqrt(3))*(~a)*(~d)^3, 0) ?
+let
+    r = ext_num(simplify((1 - sqrt(3))*(~d)⨸(~c)))
+    s = ext_den(simplify((1 - sqrt(3))*(~d)⨸(~c)))
+    
+    2*(~d)*s^3*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3)⨸((~a)*r^2*((1 + sqrt(3))*s + r*(~x))) - 3^(1⨸4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(~d)*s*(s + r*(~x))* sqrt((s^2 - r*s*(~x) + r^2*(~x)^2)⨸((1 + sqrt(3))*s + r*(~x))^2)⨸ (r^2*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3)* sqrt(s*(s + r*(~x))⨸((1 + sqrt(3))*s + r*(~x))^2))* elliptic_e( asin(((1 - sqrt(3))*s + r*(~x))⨸((1 + sqrt(3))*s + r*(~x))), -7 - 4*sqrt(3))
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_29",
+@rule ∫(((~c) + (~!d)*(~x))/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    pos((~a)) &&
+    !eq((~b)*(~c)^3 - 2*(5 - 3*sqrt(3))*(~a)*(~d)^3, 0) ?
+let
+    r = ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))
+    s = ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3))
+    
+    ((~c)*r - (1 - sqrt(3))*(~d)*s)⨸r*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3), (~x)) + (~d)⨸r*∫(((1 - sqrt(3))*s + r*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3), (~x))
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_30",
+@rule ∫(((~c) + (~!d)*(~x))/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    neg((~a)) &&
+    eq((~b)*(~c)^3 - 2*(5 + 3*sqrt(3))*(~a)*(~d)^3, 0) ?
+let
+    r = ext_num(simplify((1 + sqrt(3))*(~d)⨸(~c)))
+    s = ext_den(simplify((1 + sqrt(3))*(~d)⨸(~c)))
+    
+    2*(~d)*s^3*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3)⨸((~a)*r^2*((1 - sqrt(3))*s + r*(~x))) + 3^(1⨸4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(~d)*s*(s + r*(~x))* sqrt((s^2 - r*s*(~x) + r^2*(~x)^2)⨸((1 - sqrt(3))*s + r*(~x))^2)⨸ (r^2*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3)* sqrt(-s*(s + r*(~x))⨸((1 - sqrt(3))*s + r*(~x))^2))* elliptic_e( asin(((1 + sqrt(3))*s + r*(~x))⨸((1 - sqrt(3))*s + r*(~x))), -7 + 4*sqrt(3))
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_31",
+@rule ∫(((~c) + (~!d)*(~x))/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^3),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    neg((~a)) &&
+    !eq((~b)*(~c)^3 - 2*(5 + 3*sqrt(3))*(~a)*(~d)^3, 0) ?
+let
+    r = ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))
+    s = ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3))
+    
+    ((~c)*r - (1 + sqrt(3))*(~d)*s)⨸r*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3), (~x)) + (~d)⨸r*∫(((1 + sqrt(3))*s + r*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^3), (~x))
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_32",
+@rule ∫(((~c) + (~!d)*(~x)^4)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^6),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq(2*rt((~b)/(~a), 3)^2*(~c) - (1 - sqrt(3))*(~d), 0) ?
+let
+    r = ext_num(rt((~b)⨸(~a), 3))
+    s = ext_den(rt((~b)⨸(~a), 3))
+    
+    (1 + sqrt(3))*(~d)*s^3*(~x)* sqrt((~a) + (~b)*(~x)^6)⨸(2*(~a)*r^2*(s + (1 + sqrt(3))*r*(~x)^2)) - 3^(1⨸4)*(~d)*s*(~x)*(s + r*(~x)^2)* sqrt((s^2 - r*s*(~x)^2 + r^2*(~x)^4)⨸(s + (1 + sqrt(3))*r*(~x)^2)^2)⨸ (2*r^2* sqrt((r*(~x)^2*(s + r*(~x)^2))⨸(s + (1 + sqrt(3))*r*(~x)^2)^2)* sqrt((~a) + (~b)*(~x)^6))* elliptic_e( acos((s + (1 - sqrt(3))*r*(~x)^2)⨸(s + (1 + sqrt(3))*r* (~x)^2)), (2 + sqrt(3))⨸4)
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_33",
+@rule ∫(((~c) + (~!d)*(~x)^4)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^6),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq(2*rt((~b)/(~a), 3)^2*(~c) - (1 - sqrt(3))*(~d), 0) ?
+let
+    q = rt((~b)⨸(~a), 3)
+    
+    (2*(~c)*q^2 - (1 - sqrt(3))*(~d))⨸(2*q^2)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^6), (~x)) + (~d)⨸(2*q^2)*∫((1 - sqrt(3) + 2*q^2*(~x)^4)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^6), (~x))
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_34",
+@rule ∫(((~c) + (~!d)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^8),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c)^4 - (~a)*(~d)^4, 0) ?
+-(~c)*(~d)*(~x)^3*sqrt(-((~c) - (~d)*(~x)^2)^2⨸((~c)*(~d)*(~x)^2))* sqrt(-(~d)^2*((~a) + (~b)*(~x)^8)⨸((~b)*(~c)^2*(~x)^4))⨸(sqrt(2 + sqrt(2))*((~c) - (~d)*(~x)^2)* sqrt((~a) + (~b)*(~x)^8))* elliptic_f( asin(1⨸2* sqrt((sqrt(2)*(~c)^2 + 2*(~c)*(~d)*(~x)^2 + sqrt(2)*(~d)^2*(~x)^4)⨸((~c)*(~d)* (~x)^2))), -2*(1 - sqrt(2))) : nothing)
+
+
+("1_1_3_7_35",
+@rule ∫(((~c) + (~!d)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^8),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c)^4 - (~a)*(~d)^4, 0) ?
+((~d) + rt((~b)⨸(~a), 4)*(~c))⨸(2*rt((~b)⨸(~a), 4))* ∫((1 + rt((~b)⨸(~a), 4)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^8), (~x)) - ((~d) - rt((~b)⨸(~a), 4)*(~c))⨸(2*rt((~b)⨸(~a), 4))* ∫((1 - rt((~b)⨸(~a), 4)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^8), (~x)) : nothing)
+
+
+("1_1_3_7_36",
+@rule ∫((~Pq)/((~x)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq(ext_coeff((~Pq), (~x), 0), 0) ?
+ext_coeff((~Pq), (~x), 0)*∫(1⨸((~x)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^(~n))), (~x)) + ∫(expand_to_sum(((~Pq) - ext_coeff((~Pq), (~x), 0))⨸(~x), (~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+
+# Rule skipped because of "Module"
+# Int[Pq_*(a_ + b_.*x_^n_)^p_, x_Symbol] := Module[{q = Expon[Pq, x], j, k}, Int[ Sum[x^j*Sum[ Coeff[Pq, x, j + k*n/2]*x^(k*n/2), {k, 0, 2*(q - j)/n + 1}]*(a + b*x^n)^p, {j, 0, n/2 - 1}], x]] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[n/2, 0] && Not[PolyQ[Pq, x^(n/2)]]
+("1_1_3_7_38",
+@rule ∫((~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    exponent_of((~Pq), (~x)) == (~n) - 1 ?
+ext_coeff((~Pq), (~x), (~n) - 1)*∫((~x)^((~n) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) + ∫( expand_to_sum((~Pq) - ext_coeff((~Pq), (~x), (~n) - 1)*(~x)^((~n) - 1), (~x))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+
+("1_1_3_7_39",
+@rule ∫((~Pq)/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+∫(ext_expand((~Pq)⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+
+("1_1_3_7_40",
+@rule ∫((~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+let
+    q = exponent_of((~Pq), (~x))
+    PQ = ext_coeff((~Pq), (~x), q)
+    
+    !eq(q + (~n)*(~p) + 1, 0) &&
+    q - (~n) >= 0 &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~p)) ||
+        ext_isinteger((~p) + (q + 1)/(2*(~n)))
+    ) ?
+    PQ*(~x)^(q - (~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*(q + (~n)*(~p) + 1)) + 1⨸((~b)*(q + (~n)*(~p) + 1))* ∫(expand_to_sum( (~b)*(q + (~n)*(~p) + 1)*((~Pq) - PQ*(~x)^q) - (~a)*PQ*(q - (~n) + 1)*(~x)^(q - (~n)), (~x))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_41",
+@rule ∫((~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+let
+    q = exponent_of((~Pq), (~x))
+    
+    -int_and_subst(expand_to_sum((~x)^q*substitute((~Pq), Dict(  (~x)  =>  (~x)^(-1))), (~x))*((~a) + (~b)*(~x)^(-(~n)))^(~p)⨸(~x)^(q + 2), (~x), (~x), 1⨸(~x), "1_1_3_7_41")
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_42",
+@rule ∫((~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+let
+    g = ext_den((~n))
+    
+    g*int_and_subst((~x)^(g - 1)*substitute((~Pq), Dict(  (~x)  =>  (~x)^g))*((~a) + (~b)*(~x)^(g*(~n)))^(~p), (~x), (~x), (~x)^(1⨸g), "1_1_3_7_42")
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_43",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*(~x)^(~!m))*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~A), (~B), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~m) - (~n) + 1, 0) ?
+(~A)*∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) + (~B)*∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+
+("1_1_3_7_44",
+@rule ∫((~P3)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~n), (~x)) &&
+    poly((~P3), (~x)^((~n)/2), 3) &&
+    ilt((~p), -1) ?
+let
+    A = ext_coeff((~P3), (~x)^((~n)⨸2), 0)
+    B = ext_coeff((~P3), (~x)^((~n)⨸2), 1)
+    C = ext_coeff((~P3), (~x)^((~n)⨸2), 2)
+    D = ext_coeff((~P3), (~x)^((~n)⨸2), 3)
+    
+    -((~x)*((~b)*A - (~a)*C + ((~b)*B - (~a)*D)*(~x)^((~n)⨸2))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1))⨸((~a)*(~b)* (~n)*((~p) + 1)) - 1⨸(2*(~a)*(~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)* simp(2*(~a)*C - 2*(~b)*A*((~n)*((~p) + 1) + 1) + ((~a)*D*((~n) + 2) - (~b)*B*((~n)*(2*(~p) + 3) + 2))*(~x)^((~n)⨸2), (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+("1_1_3_7_45",
+@rule ∫((~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~n), (~p), (~x)) &&
+    (
+        poly((~Pq), (~x)) ||
+        poly((~Pq), (~x)^(~n))
+    ) ?
+∫(ext_expand((~Pq)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+
+("1_1_3_7_46",
+@rule ∫((~Pq)*((~a) + (~!b)*(~v)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear((~v), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~v)^(~n)) ?
+1⨸ext_coeff((~v), (~x), 1)* int_and_subst(substitute((~v), Dict(  (~Pq) =>  (~x)))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x), (~x), (~v), "prova_1") : nothing)
+
+("1_1_3_7_47",
+@rule ∫((~Pq)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!n))^(~!p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~n), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a1), 0) &&
+        gt((~a2), 0)
+    ) ?
+∫((~Pq)*((~a1)*(~a2) + (~b1)*(~b2)*(~x)^(2*(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+
+("1_1_3_7_48",
+@rule ∫((~Pq)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!n))^(~!p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~n), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    !(
+        eq((~n), 1) &&
+        linear((~Pq), (~x))
+    ) ?
+((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^ fracpart((~p))*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^fracpart((~p))⨸((~a1)*(~a2) + (~b1)*(~b2)*(~x)^(2*(~n)))^ fracpart((~p))* ∫((~Pq)*((~a1)*(~a2) + (~b1)*(~b2)*(~x)^(2*(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+
+("1_1_3_7_49",
+@rule ∫(((~e) + (~!f)*(~x)^(~!n) + (~!g)*(~x)^(~!n2))*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^ (~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    eq((~a)*(~c)*(~f) - (~e)*((~b)*(~c) + (~a)*(~d))*((~n)*((~p) + 1) + 1), 0) &&
+    eq((~a)*(~c)*(~g) - (~b)*(~d)*(~e)*(2*(~n)*((~p) + 1) + 1), 0) ?
+(~e)*(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~c)) : nothing)
+
+
+("1_1_3_7_50",
+@rule ∫(((~e) + (~!g)*(~x)^(~!n2))*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    eq((~n)*((~p) + 1) + 1, 0) &&
+    eq((~a)*(~c)*(~g) - (~b)*(~d)*(~e)*(2*(~n)*((~p) + 1) + 1), 0) ?
+(~e)*(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~c)) : nothing)
+
+
+("1_1_3_7_51",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*(~x)^(~!m))*((~!a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~A), (~B), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~m) - (~n) + 1, 0) ?
+(~A)*∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) + (~B)*∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+
+("1_1_3_7_52",
+@rule ∫((~Px)^(~!q)*((~!a) + (~!b)*((~c) + (~!d)*(~x))^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~q)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+let
+    k = ext_den((~n))
+    
+    k⨸(~d)* int_and_subst( ext_simplify( (~x)^(k - 1)*substitute((~Px), Dict(  (~x)  =>  (~x)^k⨸(~d) - (~c)⨸(~d)))^(~q)*((~a) + (~b)*(~x)^(k*(~n)))^(~p), (~x)), (~x), (~x), ((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸k), "1_1_3_7_52")
+end : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.8 P(x) (c x)^m (a+b x^n)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.8 P(x) (c x)^m (a+b x^n)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..81d8c2c2
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.8 P(x) (c x)^m (a+b x^n)^p.jl	
@@ -0,0 +1,299 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.1.3.8 P(x) (c x)^m (a+b x^n)^p *)
+("1_1_3_8_1",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!q) + (~!g)*(~x)^(~!r) + (~!h)*(~x)^(~!n))/((~a) + (~!c)*(~x)^(~!n))^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~q), (~n)/4) &&
+    eq((~r), 3*(~n)/4) &&
+    eq(4*(~m) - (~n) + 4, 0) &&
+    eq((~c)*(~e) + (~a)*(~h), 0) ?
+-(2*(~a)*(~g) + 4*(~a)*(~h)*(~x)^((~n)⨸4) - 2*(~c)*(~f)*(~x)^((~n)⨸2))⨸((~a)*(~c)*(~n)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^(~n))) : nothing)
+
+("1_1_3_8_2",
+@rule ∫(((~d)*(~x))^ (~!m)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!q) + (~!g)*(~x)^(~!r) + (~!h)*(~x)^(~!n))/((~a) + (~!c)*(~x)^(~!n))^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq(4*(~m) - (~n) + 4, 0) &&
+    eq((~q), (~n)/4) &&
+    eq((~r), 3*(~n)/4) &&
+    eq((~c)*(~e) + (~a)*(~h), 0) ?
+((~d)*(~x))^(~m)⨸(~x)^(~m)* ∫((~x)^(~m)*((~e) + (~f)*(~x)^((~n)⨸4) + (~g)*(~x)^((3*(~n))⨸4) + (~h)*(~x)^(~n))⨸((~a) + (~c)*(~x)^(~n))^(3⨸2), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_8_3",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    isfraction((~p)) &&
+    ilt((~m), -1) ?
+ext_den((~p))⨸(~b)* int_and_subst( (~x)^(ext_den((~p))*(~p) + ext_den((~p)) - 1)*(-(~a)*(~c)⨸(~b) + (~c)*(~x)^ext_den((~p))⨸(~b))^(~m)* substitute((~Pq), Dict(  (~x)  =>  -(~a)⨸(~b) + (~x)^ext_den((~p))⨸(~b))), (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))^(1⨸ext_den((~p))), "1_1_3_8_3") : nothing)
+
+# ("1_1_3_8_4",
+# @rule ∫((~x)^(~!m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     !eq((~m), -1) &&
+#     igt(simplify((~n)/((~m) + 1)), 0) &&
+#     poly((~Pq), (~x)^((~m) + 1)) ?
+# 1⨸((~m) + 1)* int_and_subst( SubstFor[(~x)^((~m) + 1),  (~Pq), (~x)]*((~a) + (~b)*(~x)^simplify((~n)⨸((~m) + 1)))^(~p), (~x), (~x), (~x)^((~m) + 1), "1_1_3_8_4") : nothing)
+
+("1_1_3_8_5",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    (
+        igt((~p), 0) ||
+        eq((~n), 1)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~c)*(~x))^(~m)*(~Pq)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("1_1_3_8_6",
+# @rule ∫((~x)^(~!m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     poly((~Pq), (~x)^(~n)) &&
+#     ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) ?
+# 1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*SubstFor[(~x)^(~n),  (~Pq), (~x)]*((~a) + (~b)*(~x))^(~p), (~x), (~x), (~x)^(~n), "1_1_3_8_6") : nothing)
+
+("1_1_3_8_7",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~!m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)^(~n)) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*(~Pq)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_8_8",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    eq((~m) - (~n) + 1, 0) &&
+    lt((~p), -1) ?
+(~Pq)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) - 1⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))*∫(Symbolics.derivative((~Pq), (~x))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_8_9",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    eq(ext_coeff((~Pq), (~x), 0), 0) ?
+1⨸(~d)*∫(((~d)*(~x))^((~m) + 1)*poly_quotient((~Pq), (~x), (~x))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+# ("1_1_3_8_10",
+# @rule ∫((~x)^(~!m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+#     poly((~Pq), (~x)) &&
+#     igt((~n), 0) &&
+#     gt((~p), 0) &&
+#     lt((~m) + exponent_of((~Pq), (~x)) + 1, 0) ?
+# Module[{(~u) = ∫((~x)^(~m)*(~Pq), (~x))}, (~u)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p) - (~b)*(~n)*(~p)*∫( (~x)^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)*expand_to_sum((~u)⨸(~x)^((~m) + 1), (~x)), (~x))] : nothing)
+# 
+# ("1_1_3_8_11",
+# @rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~x)) &&
+#     poly((~Pq), (~x)) &&
+#     igt(((~n) - 1)/2, 0) &&
+#     gt((~p), 0) ?
+# Module[{(~q) = exponent_of((~Pq), (~x)), (~i)}, ((~c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)* sum([ext_coeff((~Pq), (~x), (~i))*(~x)^((~i) + 1)⨸((~m) + (~n)*(~p) + (~i) + 1) for (~i) in ( 0):( (~q))]) + (~a)*(~n)*(~p)* ∫(((~c)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)* sum([ext_coeff((~Pq), (~x), (~i))*(~x)^(~i)⨸((~m) + (~n)*(~p) + (~i) + 1) for (~i) in ( 0):( (~q))]), (~x))] : nothing)
+
+("1_1_3_8_12",
+@rule ∫((~x)^2*(~P4)/((~a) + (~!b)*(~x)^4)^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~P4), (~x), 4) &&
+    eq(ext_coeff((~P4), (~x), 2), 0) &&
+    eq(ext_coeff((~P4), (~x), 3), 0) &&
+    eq((~b)*ext_coeff((~P4), (~x), 0) - 3*(~a)*ext_coeff((~P4), (~x), 4), 0) ?
+-(ext_coeff((~P4), (~x), 1) - 2*ext_coeff((~P4), (~x), 4)*(~x)^3)⨸(2*(~b)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^4)) : nothing)
+
+# ("1_1_3_8_13",
+# @rule ∫((~x)^(~!m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+#     poly((~Pq), (~x)) &&
+#     igt((~n), 0) &&
+#     lt((~p), -1) &&
+#     igt((~m), 0) &&
+#     ge((~m) + exponent_of((~Pq), (~x))], (~n)) ?
+# -(~x)* (~R)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1)* (~b)^(Floor[((~m) + exponent_of((~Pq), (~x))} - 1)⨸(~n)] + 1)) + 1⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1)*(~b)^(Floor[((~m) + exponent_of((~Pq), (~x))} - 1)⨸(~n)] + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)* expand_to_sum((~a)*(~n)*((~p) + 1)*(~Q) + (~n)*((~p) + 1)*(~R) + Symbolics.derivative((~x)*(~R), (~x)), (~x)), (~x))] : nothing)
+# 
+# ("1_1_3_8_14",
+# @rule ∫((~x)^(~m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+#     poly((~Pq), (~x)) &&
+#     igt((~n), 0) &&
+#     lt((~p), -1) &&
+#     ilt((~m), 0) ?
+# -(~x)* (~R)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)^2*(~n)*((~p) + 1)* (~b)^(Floor[(exponent_of((~Pq), (~x))} - 1)⨸(~n)] + 1)) + 1⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1)*(~b)^(Floor[(exponent_of((~Pq), (~x))} - 1)⨸(~n)] + 1))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)* expand_to_sum( (~n)*((~p) + 1)*(~x)^(-(~m))*(~Q) + sum([((~n)*((~p) + 1) + (~i) + 1)⨸(~a)*ext_coeff((~R), (~x), (~i))*(~x)^((~i) - (~m)) for (~i) in ( 0):( (~n) - 1)]), (~x)), (~x))] : nothing)
+
+("1_1_3_8_15",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)^(~n)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    gcd((~m) + 1, (~n)) != 1 ?
+1⨸gcd((~m) + 1, (~n))* int_and_subst( (~x)^(((~m) + 1)⨸gcd((~m) + 1,  (~n)) - 1)* substitute((~Pq), Dict( (~x)  =>  (~x)^(1⨸gcd((~m) + 1, (~n)))))*((~a) + (~b)*(~x)^((~n)⨸gcd((~m) + 1, (~n))))^(~p), (~x), (~x), (~x)^gcd((~m) + 1, (~n)), "1_1_3_8_15") : nothing)
+
+("1_1_3_8_16",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*(~Pq)/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    igt((~n)/2, 0) &&
+    exponent_of((~Pq), (~x)) < (~n) ?
+∫(sum([((~c)*(~x))^((~m) + iii)*(ext_coeff((~Pq), (~x), iii) + ext_coeff((~Pq), (~x), (~n)⨸2 + iii)*(~x)^((~n)⨸2))⨸((~c)^iii*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))) for iii in ( 0):( (~n)⨸2 - 1)]), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_8_17",
+@rule ∫((~Pq)/((~x)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq(ext_coeff((~Pq), (~x), 0), 0) ?
+ext_coeff((~Pq), (~x), 0)*∫(1⨸((~x)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^(~n))), (~x)) + ∫(expand_to_sum(((~Pq) - ext_coeff((~Pq), (~x), 0))⨸(~x), (~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+# ("1_1_3_8_18",
+# @rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~p), (~x)) &&
+#     poly((~Pq), (~x)) &&
+#     igt((~n)/2, 0) &&
+#     !(poly((~Pq), (~x)^((~n)/2))) ?
+# Module[{(~q) = exponent_of((~Pq), (~x)), (~j), (~k)}, ∫( sum([((~c)*(~x))^((~m) + (~j))⨸(~c)^(~j)* Sum[ext_coeff((~Pq), (~x), (~j) + (~k)*(~n)⨸2)*(~x)^((~k)*(~n)⨸2) for (~k) in ( 0):( 2*((~q) - (~j))⨸(~n) + 1)])*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), {(~j), 0, (~n)⨸2 - 1}], (~x))] : nothing)
+
+("1_1_3_8_19",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*(~Pq)/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    !(igt((~m), 0)) ?
+∫(ext_expand(((~c)*(~x))^(~m)*(~Pq)⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_8_20",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    le((~n) - 1, exponent_of((~Pq), (~x))) &&
+    !eq(ext_coeff((~Pq), (~x), 0), 0) ?
+ext_coeff((~Pq), (~x), 0)*((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~c)*((~m) + 1)) + 1⨸(2*(~a)*(~c)*((~m) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) + 1)* expand_to_sum( 2*(~a)*((~m) + 1)*((~Pq) - ext_coeff((~Pq), (~x), 0))⨸(~x) - 2*(~b)*ext_coeff((~Pq), (~x), 0)*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1)*(~x)^((~n) - 1), (~x))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_8_21",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq((~m) + exponent_of((~Pq), (~x)) + (~n)*(~p) + 1, 0) &&
+    exponent_of((~Pq), (~x)) - (~n) >= 0 &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~p)) ||
+        ext_isinteger((~p) + (exponent_of((~Pq), (~x)) + 1)/(2*(~n)))
+    ) ?
+ext_coeff((~Pq), (~x), exponent_of((~Pq), (~x)))*((~c)*(~x))^((~m) + exponent_of((~Pq), (~x)) - (~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)* (~c)^(exponent_of((~Pq), (~x)) - (~n) + 1)*((~m) + exponent_of((~Pq), (~x)) + (~n)*(~p) + 1)) + 1⨸((~b)*((~m) + exponent_of((~Pq), (~x)) + (~n)*(~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^(~m)* expand_to_sum( (~b)*((~m) + exponent_of((~Pq), (~x)) + (~n)*(~p) + 1)*((~Pq) - ext_coeff((~Pq), (~x), exponent_of((~Pq), (~x)))*(~x)^exponent_of((~Pq), (~x))) - (~a)*ext_coeff((~Pq), (~x), exponent_of((~Pq), (~x)))*((~m) + exponent_of((~Pq), (~x)) - (~n) + 1)*(~x)^(exponent_of((~Pq), (~x)) - (~n)), (~x))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_8_22",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+-int_and_subst(expand_to_sum((~x)^exponent_of((~Pq),  (~x))*substitute((~Pq), Dict( (~x)  =>  (~x)^(-1))), (~x))*((~a) + (~b)*(~x)^(-(~n)))^(~p)⨸(~x)^((~m) + exponent_of((~Pq), (~x)) + 2), (~x), (~x), 1⨸(~x), "1_1_3_8_22") : nothing)
+
+("1_1_3_8_23",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    isfraction((~m)) ?
+-ext_den((~m))⨸(~c)* int_and_subst( expand_to_sum((~x)^(ext_den((~m))*exponent_of((~Pq),  (~x)))*substitute((~Pq), Dict( (~x)  =>  (~c)^(-1)*(~x)^(-ext_den((~m))))), (~x))* ((~a) + (~b)*(~c)^(-(~n))*(~x)^(-ext_den((~m))*(~n)))^(~p)⨸(~x)^(ext_den((~m))*((~m) + exponent_of((~Pq), (~x)) + 1) + 1), (~x), (~x), 1⨸((~c)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "1_1_3_8_23") : nothing)
+
+("1_1_3_8_24",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    !(isrational((~m))) ?
+-((~c)*(~x))^(~m)*((~x)^(-1))^(~m)* int_and_subst( expand_to_sum((~x)^exponent_of((~Pq),  (~x))*substitute((~Pq), Dict( (~x)  =>  (~x)^(-1))), (~x))*((~a) + (~b)*(~x)^(-(~n)))^(~p)⨸ (~x)^((~m) + exponent_of((~Pq), (~x)) + 2), (~x), (~x), 1⨸(~x), "1_1_3_8_24") : nothing)
+
+("1_1_3_8_25",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n))*((~m) + 1) - 1)*substitute((~Pq), Dict(  (~x)  =>  (~x)^ext_den((~n))))*((~a) + (~b)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n)))^(~p), (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "1_1_3_8_25") : nothing)
+
+("1_1_3_8_26",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*(~Pq)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+# ("1_1_3_8_27",
+# @rule ∫((~x)^(~!m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     poly((~Pq), (~x)^(~n)) &&
+#     ext_isinteger(simplify((~n)/((~m) + 1))) &&
+#     !(ext_isinteger((~n))) ?
+# 1⨸((~m) + 1)* int_and_subst( substitute(SubstFor[(~x)^(~n), Dict(  (~Pq), (~x)], (~x)  =>  (~x)^simplify((~n)⨸((~m) + 1))))*((~a) + (~b)*(~x)^simplify((~n)⨸((~m) + 1)))^(~p), (~x), (~x), (~x)^((~m) + 1), "1_1_3_8_27") : nothing)
+
+("1_1_3_8_28",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)^(~n)) &&
+    ext_isinteger(simplify((~n)/((~m) + 1))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*(~Pq)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_8_29",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    (
+        poly((~Pq), (~x)) ||
+        poly((~Pq), (~x)^(~n))
+    ) &&
+    !(igt((~m), 0)) ?
+∫(ext_expand(((~c)*(~x))^(~m)*(~Pq)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("1_1_3_8_30",
+# @rule ∫((~u)^(~!m)*(~Pq)*((~a) + (~!b)*(~v)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     linear_pair((~u), (~v), (~x)) &&
+#     poly((~Pq), (~v)^(~n)) ?
+# (~u)^(~m)⨸(ext_coeff((~v), (~x), 1)*(~v)^(~m))* int_and_subst((~x)^(~m)*SubstFor[(~v),  (~Pq), (~x)]*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x), (~x), (~v), "1_1_3_8_30") : nothing)
+
+("1_1_3_8_31",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*(~Pq)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!n))^(~!p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a1), 0) &&
+        gt((~a2), 0)
+    ) ?
+∫(((~c)*(~x))^(~m)*(~Pq)*((~a1)*(~a2) + (~b1)*(~b2)*(~x)^(2*(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_8_32",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*(~Pq)*((~a1) + (~!b1)*(~x)^(~!n))^(~!p)*((~a2) + (~!b2)*(~x)^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a1), (~b1), (~a2), (~b2), (~c), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    eq((~a2)*(~b1) + (~a1)*(~b2), 0) &&
+    !(
+        eq((~n), 1) &&
+        linear((~Pq), (~x))
+    ) ?
+((~a1) + (~b1)*(~x)^(~n))^ fracpart((~p))*((~a2) + (~b2)*(~x)^(~n))^fracpart((~p))⨸((~a1)*(~a2) + (~b1)*(~b2)*(~x)^(2*(~n)))^ fracpart((~p))* ∫(((~c)*(~x))^(~m)*(~Pq)*((~a1)*(~a2) + (~b1)*(~b2)*(~x)^(2*(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_3_8_33",
+@rule ∫(((~!h)*(~x))^(~!m)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!n) + (~!g)*(~x)^(~!n2))*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^ (~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    eq((~a)*(~c)*(~f)*((~m) + 1) - (~e)*((~b)*(~c) + (~a)*(~d))*((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1), 0) &&
+    eq((~a)*(~c)*(~g)*((~m) + 1) - (~b)*(~d)*(~e)*((~m) + 2*(~n)*((~p) + 1) + 1), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+(~e)*((~h)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~c)* (~h)*((~m) + 1)) : nothing)
+
+("1_1_3_8_34",
+@rule ∫(((~!h)*(~x))^(~!m)*((~e) + (~!g)*(~x)^(~!n2))*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^ (~!p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~g), (~h), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    eq((~m) + (~n)*((~p) + 1) + 1, 0) &&
+    eq((~a)*(~c)*(~g)*((~m) + 1) - (~b)*(~d)*(~e)*((~m) + 2*(~n)*((~p) + 1) + 1), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+(~e)*((~h)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~c)* (~h)*((~m) + 1)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.1 (a x^j+b x^n)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.1 (a x^j+b x^n)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..67fcb4fa
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.1 (a x^j+b x^n)^p.jl	
@@ -0,0 +1,114 @@
+# rules 1_1_4 mostly dont work due to oom problem, there are a lot of lt(0,j,n) statements
+
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.1.4.1 (a x^j+b x^n)^p *)
+("1_1_4_1_1",
+@rule ∫(((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~j), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    eq((~j)*(~p) - (~n) + (~j) + 1, 0) ?
+((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*((~n) - (~j))*((~p) + 1)*(~x)^((~n) - 1)) : nothing)
+
+("1_1_4_1_2",
+@rule ∫(((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~j), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    ilt(simplify(((~n)*(~p) + (~n) - (~j) + 1)/((~n) - (~j))), 0) &&
+    lt((~p), -1) ?
+-((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*((~n) - (~j))*((~p) + 1)*(~x)^((~j) - 1)) + ((~n)*(~p) + (~n) - (~j) + 1)⨸((~a)*((~n) - (~j))*((~p) + 1))* ∫(((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸(~x)^(~j), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_1_3",
+@rule ∫(((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~j), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    ilt(simplify(((~n)*(~p) + (~n) - (~j) + 1)/((~n) - (~j))), 0) &&
+    !eq((~j)*(~p) + 1, 0) ?
+((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*((~j)*(~p) + 1)*(~x)^((~j) - 1)) - (~b)*((~n)*(~p) + (~n) - (~j) + 1)⨸((~a)*((~j)*(~p) + 1))* ∫((~x)^((~n) - (~j))*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+# 1.1.4.1.4 until 1.1.4.1.7 manually translated for oooomm problem
+("1_1_4_1_4",
+@rule ∫(((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt(0, ~j) && lt(0, ~n) && 
+    gt((~p), 0) &&
+    lt(min(~j,~n)*(~p) + 1, 0) ?
+(~x)*((~a)*(~x)^min(~j,~n)+ (~b)*(~x)^max(~j,~n))^(~p)⨸(min(~j,~n)*(~p) + 1) - (~b)*(max(~j,~n) - min(~j,~n))*(~p)⨸(min(~j,~n)*(~p) + 1)*∫((~x)^max(~j,~n)*((~a)*(~x)^min(~j,~n)+ (~b)*(~x)^max(~j,~n))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_1_5",
+@rule ∫(((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt(0, ~j) && lt(0, ~n) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !eq(max(~j,~n)*(~p) + 1, 0) ?
+(~x)*((~a)*(~x)^min(~j,~n)+ (~b)*(~x)^max(~j,~n))^(~p)⨸(max(~j,~n)*(~p) + 1) + (~a)*(max(~j,~n) - min(~j,~n))*(~p)⨸(max(~j,~n)*(~p) + 1)*∫((~x)^min(~j,~n)*((~a)*(~x)^min(~j,~n)+ (~b)*(~x)^max(~j,~n))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_1_6",
+@rule ∫(((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt(0, ~j) && lt(0, ~n) && 
+    lt((~p), -1) &&
+    gt(min(~j,~n)*(~p) + 1, max(~j,~n) - min(~j,~n)) ?
+((~a)*(~x)^min(~j,~n)+ (~b)*(~x)^max(~j,~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*(max(~j,~n) - min(~j,~n))*((~p) + 1)*(~x)^(max(~j,~n) - 1)) - (min(~j,~n)*(~p) - max(~j,~n) + min(~j,~n)+ 1)⨸((~b)*(max(~j,~n) - min(~j,~n))*((~p) + 1))* ∫(((~a)*(~x)^min(~j,~n)+ (~b)*(~x)^max(~j,~n))^((~p) + 1)⨸(~x)^max(~j,~n), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_1_7",
+@rule ∫(((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt(0, ~j) && lt(0, ~n) && 
+    lt((~p), -1) ?
+-((~a)*(~x)^min(~j,~n)+ (~b)*(~x)^max(~j,~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*(max(~j,~n) - min(~j,~n))*((~p) + 1)*(~x)^(min(~j,~n)- 1)) + (max(~j,~n)*(~p) + max(~j,~n) - min(~j,~n)+ 1)⨸((~a)*(max(~j,~n) - min(~j,~n))*((~p) + 1))* ∫(((~a)*(~x)^min(~j,~n)+ (~b)*(~x)^max(~j,~n))^((~p) + 1)⨸(~x)^min(~j,~n), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_1_8",
+@rule ∫(((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~j), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p) + 1/2, 0) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    eq(simplify((~j)*(~p) + 1), 0) ?
+(~x)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~p)*((~n) - (~j))) + (~a)*∫((~x)^(~j)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_1_9",
+@rule ∫(1/sqrt((~!a)*(~x)^2 + (~!b)*(~x)^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~n), 2) ?
+2⨸(2 - (~n))*int_and_subst(1⨸(1 - (~a)*(~x)^2),  (~x), (~x), (~x)⨸sqrt((~a)*(~x)^2 + (~b)*(~x)^(~n)), "1_1_4_1_9") : nothing)
+
+("1_1_4_1_10",
+@rule ∫(((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~j), (~n), (~x)) &&
+    ilt((~p) + 1/2, 0) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    eq(simplify((~j)*(~p) + 1), 0) ?
+-((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*((~n) - (~j))*((~p) + 1)*(~x)^((~j) - 1)) + ((~n)*(~p) + (~n) - (~j) + 1)⨸((~a)*((~n) - (~j))*((~p) + 1))* ∫(((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸(~x)^(~j), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_1_11",
+@rule ∫(1/sqrt((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    lt(2*((~n) - 1), (~j), (~n)) ?
+-2*sqrt((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))⨸((~b)*((~n) - 2)*(~x)^((~n) - 1)) - (~a)*(2*(~n) - (~j) - 2)⨸((~b)*((~n) - 2))* ∫(1⨸((~x)^((~n) - (~j))*sqrt((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(a_.*x_^j_.+b_.*x_^n_.)^p_,x_Symbol] := x*(a*x^j+b*x^n)^p/(p*(n-j)*((a*x^j+b*x^n)/(b*x^n))^p)* Hypergeometric2F1[-p,-p,1-p,-a/(b*x^(n-j))] /; FreeQ[{a,b,j,n,p},x] && Not[IntegerQ[p]] && NeQ[n,j] && EqQ[j*p+1,0] *)
+#(* Int[(a_.*x_^j_.+b_.*x_^n_.)^p_,x_Symbol] := x*(a*x^j+b*x^n)^p/((j*p+1)*((a*x^j+b*x^n)/(a*x^j))^p)* Hypergeometric2F1[-p,(j*p+1)/(n-j),(j*p+1)/(n-j)+1,-b*x^(n-j)/a] /; FreeQ[{a,b,j,n,p},x] && Not[IntegerQ[p]] && NeQ[n,j] && NeQ[j*p+1,0] *)
+("1_1_4_1_12",
+@rule ∫(((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~j), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    pos((~n) - (~j)) ?
+((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^ fracpart((~p))⨸((~x)^((~j)*fracpart((~p)))*((~a) + (~b)*(~x)^((~n) - (~j)))^fracpart((~p)))* ∫((~x)^((~j)*(~p))*((~a) + (~b)*(~x)^((~n) - (~j)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_1_13",
+@rule ∫(((~!a)*(~u)^(~!j) + (~!b)*(~u)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~j), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !eq((~u), (~x)) ?
+1⨸ext_coeff((~u), (~x), 1)*int_and_subst(((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p),  (~x), (~x), (~u), "1_1_4_1_13") : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.2 (c x)^m (a x^j+b x^n)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.2 (c x)^m (a x^j+b x^n)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..d7f054f3
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.2 (c x)^m (a x^j+b x^n)^p.jl	
@@ -0,0 +1,234 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.1.4.2 (c x)^m (a x^j+b x^n)^p *)
+("1_1_4_2_1",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~j), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    ext_isinteger(simplify((~j)/(~n))) &&
+    eq(simplify((~m) - (~n) + 1), 0) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst(((~a)*(~x)^simplify((~j)⨸(~n)) + (~b)*(~x))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "1_1_4_2_1") : nothing)
+
+("1_1_4_2_2",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~j), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    eq((~m) + (~n)*(~p) + (~n) - (~j) + 1, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~j)) ||
+        gt((~c), 0)
+    ) ?
+-(~c)^((~j) - 1)*((~c)*(~x))^((~m) - (~j) + 1)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*((~n) - (~j))*((~p) + 1)) : nothing)
+
+("1_1_4_2_3",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~j), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    ilt(simplify(((~m) + (~n)*(~p) + (~n) - (~j) + 1)/((~n) - (~j))), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger((~j)) ||
+        gt((~c), 0)
+    ) ?
+-(~c)^((~j) - 1)*((~c)*(~x))^((~m) - (~j) + 1)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*((~n) - (~j))*((~p) + 1)) + (~c)^(~j)*((~m) + (~n)*(~p) + (~n) - (~j) + 1)⨸((~a)*((~n) - (~j))*((~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) - (~j))*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_2_4",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~j), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    ilt(simplify(((~m) + (~n)*(~p) + (~n) - (~j) + 1)/((~n) - (~j))), 0) &&
+    !eq((~m) + (~j)*(~p) + 1, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~j), (~n)) ||
+        gt((~c), 0)
+    ) ?
+(~c)^((~j) - 1)*((~c)*(~x))^((~m) - (~j) + 1)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*((~m) + (~j)*(~p) + 1)) - (~b)*((~m) + (~n)*(~p) + (~n) - (~j) + 1)⨸((~a)*(~c)^((~n) - (~j))*((~m) + (~j)*(~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) + (~n) - (~j))*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_2_5",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~j), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    ilt(simplify(((~m) + (~n)*(~p) + (~n) - (~j) + 1)/((~n) - (~j))), 0) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_2_6",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~j), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    ext_isinteger(simplify((~j)/(~n))) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    !eq((~n)^2, 1) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~a)*(~x)^simplify((~j)⨸(~n)) + (~b)*(~x))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "1_1_4_2_6") : nothing)
+
+("1_1_4_2_7",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~j), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    ext_isinteger(simplify((~j)/(~n))) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    !eq((~n)^2, 1) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_2_8",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt(0, (~j), (~n)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~j), (~n)) ||
+        gt((~c), 0)
+    ) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~m) + (~j)*(~p) + 1, 0) ?
+((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~c)*((~m) + (~j)*(~p) + 1)) - (~b)*(~p)*((~n) - (~j))⨸((~c)^(~n)*((~m) + (~j)*(~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) + (~n))*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_2_9",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt(0, (~j), (~n)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~j), (~n)) ||
+        gt((~c), 0)
+    ) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n)*(~p) + 1, 0) ?
+((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~c)*((~m) + (~n)*(~p) + 1)) + (~a)*((~n) - (~j))*(~p)⨸((~c)^(~j)*((~m) + (~n)*(~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) + (~j))*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_2_10",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt(0, (~j), (~n)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~j), (~n)) ||
+        gt((~c), 0)
+    ) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m) + (~j)*(~p) + 1, (~n) - (~j)) ?
+(~c)^((~n) - 1)*((~c)*(~x))^((~m) - (~n) + 1)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*((~n) - (~j))*((~p) + 1)) - (~c)^(~n)*((~m) + (~j)*(~p) - (~n) + (~j) + 1)⨸((~b)*((~n) - (~j))*((~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) - (~n))*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_2_11",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt(0, (~j), (~n)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~j), (~n)) ||
+        gt((~c), 0)
+    ) &&
+    lt((~p), -1) ?
+-(~c)^((~j) - 1)*((~c)*(~x))^((~m) - (~j) + 1)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*((~n) - (~j))*((~p) + 1)) + (~c)^(~j)*((~m) + (~n)*(~p) + (~n) - (~j) + 1)⨸((~a)*((~n) - (~j))*((~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) - (~j))*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_2_12",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt(0, (~j), (~n)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~j), (~n)) ||
+        gt((~c), 0)
+    ) &&
+    gt((~m) + (~j)*(~p) + 1 - (~n) + (~j), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n)*(~p) + 1, 0) ?
+(~c)^((~n) - 1)*((~c)*(~x))^((~m) - (~n) + 1)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*((~m) + (~n)*(~p) + 1)) - (~a)*(~c)^((~n) - (~j))*((~m) + (~j)*(~p) - (~n) + (~j) + 1)⨸((~b)*((~m) + (~n)*(~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) - ((~n) - (~j)))*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_2_13",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt(0, (~j), (~n)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~j), (~n)) ||
+        gt((~c), 0)
+    ) &&
+    lt((~m) + (~j)*(~p) + 1, 0) ?
+(~c)^((~j) - 1)*((~c)*(~x))^((~m) - (~j) + 1)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*((~m) + (~j)*(~p) + 1)) - (~b)*((~m) + (~n)*(~p) + (~n) - (~j) + 1)⨸((~a)*(~c)^((~n) - (~j))*((~m) + (~j)*(~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) + (~n) - (~j))*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_2_14",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~j), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    ext_isinteger(simplify((~j)/(~n))) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(simplify((~n)/((~m) + 1))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+1⨸((~m) + 1)* int_and_subst(((~a)*(~x)^simplify((~j)⨸((~m) + 1)) + (~b)*(~x)^simplify((~n)⨸((~m) + 1)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^((~m) + 1), "1_1_4_2_14") : nothing)
+
+("1_1_4_2_15",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~j), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    ext_isinteger(simplify((~j)/(~n))) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(simplify((~n)/((~m) + 1))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_2_16",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~j), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p) + 1/2, 0) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    eq(simplify((~m) + (~j)*(~p) + 1), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~j)) ||
+        gt((~c), 0)
+    ) ?
+((~c)*(~x))^((~m) + 1)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~c)*(~p)*((~n) - (~j))) + (~a)⨸(~c)^(~j)*∫(((~c)*(~x))^((~m) + (~j))*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_2_17",
+@rule ∫((~x)^(~!m)/sqrt((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~j), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m), (~j)/2 - 1) &&
+    !eq((~n), (~j)) ?
+-2⨸((~n) - (~j))* int_and_subst(1⨸(1 - (~a)*(~x)^2),  (~x), (~x), (~x)^((~j)⨸2)⨸sqrt((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n)), "1_1_4_2_17") : nothing)
+
+("1_1_4_2_18",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~j), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ilt((~p) + 1/2, 0) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    eq(simplify((~m) + (~j)*(~p) + 1), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~j)) ||
+        gt((~c), 0)
+    ) ?
+-(~c)^((~j) - 1)*((~c)*(~x))^((~m) - (~j) + 1)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~a)*((~n) - (~j))*((~p) + 1)) + (~c)^(~j)*((~m) + (~n)*(~p) + (~n) - (~j) + 1)⨸((~a)*((~n) - (~j))*((~p) + 1))* ∫(((~c)*(~x))^((~m) - (~j))*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_2_19",
+@rule ∫(((~c)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~j), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p) + 1/2) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    eq(simplify((~m) + (~j)*(~p) + 1), 0) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[x_^m_.*(a_.*x_^j_.+b_.*x_^n_.)^p_,x_Symbol] := (a*x^j+b*x^n)^(p+1)/(b*p*(n-j)*x^(n+j*p))*Hypergeometric2F1[1,1,1-p, -a/(b*x^(n-j))] /; FreeQ[{a,b,j,m,n,p},x] && NeQ[n,j] && EqQ[m+j*p+1,0] *)
+#(* Int[x_^m_.*(a_.*x_^j_.+b_.*x_^n_.)^p_,x_Symbol] := (a*x^j+b*x^n)^(p+1)/(b*(p-1)*(n-j)*x^(2*n+j*(p-1)))* Hypergeometric2F1[1,2,2-p,-a/(b*x^(n-j))] /; FreeQ[{a,b,j,m,n,p},x] && NeQ[n,j] && EqQ[m+n+(p-1)*j+1,0] *)
+#(* Int[x_^m_.*(a_.*x_^j_.+b_.*x_^n_.)^p_,x_Symbol] := (x^(m-j+1)*(a*x^j+b*x^n)^(p+1))/(a*(m+j*p+1))*Hypergeometric2F1[1,( m+n*p+1)/(n-j)+1,(m+j*p+1)/(n-j)+1,-b*x^(n-j)/a] /; FreeQ[{a,b,j,m,n,p},x] && NeQ[n,j] && NeQ[m+j*p+1,0] &&  NeQ[m+n+(p-1)*j+1,0] *)
+("1_1_4_2_20",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~j), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~n), (~j)) &&
+    pos((~n) - (~j)) ?
+(~c)^intpart((~m))*((~c)*(~x))^fracpart((~m))*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^fracpart((~p))⨸ ((~x)^(fracpart((~m)) + (~j)*fracpart((~p)))*((~a) + (~b)*(~x)^((~n) - (~j)))^ fracpart((~p)))* ∫((~x)^((~m) + (~j)*(~p))*((~a) + (~b)*(~x)^((~n) - (~j)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_2_21",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*((~!a)*(~v)^(~!j) + (~!b)*(~v)^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~j), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear_pair((~u), (~v), (~x)) ?
+(~u)^(~m)⨸(ext_coeff((~v), (~x), 1)*(~v)^(~m))* int_and_subst((~x)^(~m)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p),  (~x), (~x), (~v), "1_1_4_2_21") : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.3 (e x)^m (a x^j+b x^k)^p (c+d x^n)^q.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.3 (e x)^m (a x^j+b x^k)^p (c+d x^n)^q.jl
new file mode 100644
index 00000000..af9a5eea
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.3 (e x)^m (a x^j+b x^k)^p (c+d x^n)^q.jl	
@@ -0,0 +1,126 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.1.4.3 (e x)^m (a x^j+b x^k)^p (c+d x^n)^q *)
+("1_1_4_3_1",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~j) + (~!b)*(~x)^(~!k))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~j), (~k), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~k), (~j)) &&
+    ext_isinteger(simplify((~j)/(~n))) &&
+    ext_isinteger(simplify((~k)/(~n))) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    !eq((~n)^2, 1) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~a)*(~x)^simplify((~j)⨸(~n)) + (~b)*(~x)^simplify((~k)⨸(~n)))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "1_1_4_3_1") : nothing)
+
+("1_1_4_3_2",
+@rule ∫(((~e)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~j) + (~!b)*(~x)^(~!k))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~j), (~k), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~k), (~j)) &&
+    ext_isinteger(simplify((~j)/(~n))) &&
+    ext_isinteger(simplify((~k)/(~n))) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    !eq((~n)^2, 1) ?
+(~e)^intpart((~m))*((~e)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~k))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_3_3",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!jn))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~j), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~jn), (~j) + (~n)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)*(~d)*((~m) + (~j)*(~p) + 1) - (~b)*(~c)*((~m) + (~n) + (~p)*((~j) + (~n)) + 1), 0) &&
+    (
+        gt((~e), 0) ||
+        ext_isinteger((~j))
+    ) &&
+    !eq((~m) + (~j)*(~p) + 1, 0) ?
+(~c)*(~e)^((~j) - 1)*((~e)*(~x))^((~m) - (~j) + 1)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^((~j) + (~n)))^((~p) + 1)⨸((~a)*((~m) + (~j)*(~p) + 1)) : nothing)
+
+("1_1_4_3_4",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!jn))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~j), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~jn), (~j) + (~n)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~j), 0) &&
+    le((~j), (~m)) &&
+    (
+        gt((~e), 0) ||
+        ext_isinteger((~j))
+    ) ?
+-(~e)^((~j) - 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~e)*(~x))^((~m) - (~j) + 1)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^((~j) + (~n)))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~b)* (~n)*((~p) + 1)) - (~e)^(~j)*((~a)*(~d)*((~m) + (~j)*(~p) + 1) - (~b)*(~c)*((~m) + (~n) + (~p)*((~j) + (~n)) + 1))⨸((~a)*(~b)* (~n)*((~p) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^((~m) - (~j))*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^((~j) + (~n)))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_3_5",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!jn))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~j), (~p), (~x)) &&
+    eq((~jn), (~j) + (~n)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    (
+        lt((~m) + (~j)*(~p), -1) ||
+        ext_isinteger((~m) - 1/2, (~p) - 1/2) &&
+        lt((~p), 0) &&
+        lt((~m), -(~n)*(~p) - 1)
+    ) &&
+    (
+        gt((~e), 0) ||
+        ext_isinteger((~j), (~n))
+    ) &&
+    !eq((~m) + (~j)*(~p) + 1, 0) &&
+    !eq((~m) - (~n) + (~j)*(~p) + 1, 0) ?
+(~c)*(~e)^((~j) - 1)*((~e)*(~x))^((~m) - (~j) + 1)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^((~j) + (~n)))^((~p) + 1)⨸((~a)*((~m) + (~j)*(~p) + 1)) + ((~a)*(~d)*((~m) + (~j)*(~p) + 1) - (~b)*(~c)*((~m) + (~n) + (~p)*((~j) + (~n)) + 1))⨸((~a)* (~e)^(~n)*((~m) + (~j)*(~p) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^((~m) + (~n))*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^((~j) + (~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_3_6",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!jn))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~j), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~jn), (~j) + (~n)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n) + (~p)*((~j) + (~n)) + 1, 0) &&
+    (
+        gt((~e), 0) ||
+        ext_isinteger((~j))
+    ) ?
+(~d)*(~e)^((~j) - 1)*((~e)*(~x))^((~m) - (~j) + 1)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^((~j) + (~n)))^((~p) + 1)⨸((~b)*((~m) + (~n) + (~p)*((~j) + (~n)) + 1)) - ((~a)*(~d)*((~m) + (~j)*(~p) + 1) - (~b)*(~c)*((~m) + (~n) + (~p)*((~j) + (~n)) + 1))⨸((~b)*((~m) + (~n) + (~p)*((~j) + (~n)) + 1))* ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^((~j) + (~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_3_7",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~j) + (~!b)*(~x)^(~!k))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~j), (~k), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~k), (~j)) &&
+    ext_isinteger(simplify((~j)/(~n))) &&
+    ext_isinteger(simplify((~k)/(~n))) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(simplify((~n)/((~m) + 1))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+1⨸((~m) + 1)* int_and_subst(((~a)*(~x)^simplify((~j)⨸((~m) + 1)) + (~b)*(~x)^simplify((~k)⨸((~m) + 1)))^ (~p)*((~c) + (~d)*(~x)^simplify((~n)⨸((~m) + 1)))^(~q),  (~x), (~x), (~x)^((~m) + 1), "1_1_4_3_7") : nothing)
+
+("1_1_4_3_8",
+@rule ∫(((~e)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~j) + (~!b)*(~x)^(~!k))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~j), (~k), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~k), (~j)) &&
+    ext_isinteger(simplify((~j)/(~n))) &&
+    ext_isinteger(simplify((~k)/(~n))) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(simplify((~n)/((~m) + 1))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+(~e)^intpart((~m))*((~e)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^(~k))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_1_4_3_9",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a)*(~x)^(~!j) + (~!b)*(~x)^(~!jn))^(~p)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~j), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~jn), (~j) + (~n)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !(
+        eq((~n), 1) &&
+        eq((~j), 1)
+    ) ?
+(~e)^intpart((~m))*((~e)*(~x))^fracpart((~m))*((~a)*(~x)^(~j) + (~b)*(~x)^((~j) + (~n)))^fracpart((~p))⨸ ((~x)^(fracpart((~m)) + (~j)*fracpart((~p)))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^fracpart((~p)))* ∫((~x)^((~m) + (~j)*(~p))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.1 (a+b x+c x^2)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.1 (a+b x+c x^2)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..6906e61d
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.1 (a+b x+c x^2)^p.jl	
@@ -0,0 +1,145 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.2.1.1 (a+b x+c x^2)^p *)
+("1_2_1_1_1",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~p), -1) ?
+2*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((2*(~p) + 1)*((~b) + 2*(~c)*(~x))) : nothing)
+
+("1_2_1_1_2",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+((~b)⨸2 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)*∫(1⨸((~b)⨸2 + (~c)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_1_3",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~p), -1/2) ?
+((~b) + 2*(~c)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸(2*(~c)*(2*(~p) + 1)) : nothing)
+
+("1_2_1_1_4",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    perfect_square((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) ?
+1⨸(~c)^(~p)* ∫(simp((~b)⨸2 - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x), (~x))^(~p)*simp((~b)⨸2 + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_1_5",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        eq((~a), 0) ||
+        !(perfect_square((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_1_6",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    ext_isinteger(4*(~p)) ?
+((~b) + 2*(~c)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸(2*(~c)*(2*(~p) + 1)) - (~p)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))⨸(2*(~c)*(2*(~p) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_1_7",
+@rule ∫(1/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+-2*((~b) + 2*(~c)*(~x))⨸(((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)) : nothing)
+
+("1_2_1_1_8",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~p), -3/2) &&
+    ext_isinteger(4*(~p)) ?
+((~b) + 2*(~c)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) - 2*(~c)*(2*(~p) + 3)⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_1_9",
+@rule ∫(1/((~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~x)) ?
+log((~x))⨸(~b) - log((~b) + (~c)*(~x))⨸(~b) : nothing)
+
+("1_2_1_1_10",
+@rule ∫(1/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    pos((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) &&
+    perfect_square((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) ?
+(~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(1⨸simp((~b)⨸2 - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x), (~x)), (~x)) - (~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(1⨸simp((~b)⨸2 + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_1_11",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    isrational(1 - 4*simplify((~a)*(~c)/(~b)^2)) &&
+    (
+        eq(1 - 4*simplify((~a)*(~c)/(~b)^2)^2, 1) ||
+        !(isrational((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))
+    ) ?
+-2⨸(~b)*int_and_subst(1⨸(1 - 4*simplify((~a)*(~c)⨸(~b)^2) - (~x)^2),  (~x), (~x), 1 + 2*(~c)*(~x)⨸(~b), "1_2_1_1_11") : nothing)
+
+("1_2_1_1_12",
+@rule ∫(1/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+-2*int_and_subst(1⨸simp((~b)^2 - 4*(~a)*(~c) - (~x)^2,  (~x)), (~x), (~x), (~b) + 2*(~c)*(~x), "1_2_1_1_12") : nothing)
+# -2*substitute(integrate(1⨸simp((~b)^2 - 4*(~a)*(~c) - (~x)^2,  (~x)), (~x)), (~x)=>(~b) + 2*(~c)*(~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_1_13",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    gt(4*(~a) - (~b)^2/(~c), 0) ?
+1⨸(2*(~c)*(-4*(~c)⨸((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))^(~p))* int_and_subst(simp(1 - (~x)^2⨸((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)),  (~x))^(~p), (~x), (~x), (~b) + 2*(~c)*(~x), "1_2_1_1_13") : nothing)
+
+("1_2_1_1_14",
+@rule ∫(1/sqrt((~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~x)) ?
+2*int_and_subst(1⨸(1 - (~c)*(~x)^2),  (~x), (~x), (~x)⨸sqrt((~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), "1_2_1_1_14") : nothing)
+
+("1_2_1_1_15",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+2*int_and_subst(1⨸(4*(~c) - (~x)^2),  (~x), (~x), ((~b) + 2*(~c)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), "1_2_1_1_15") : nothing)
+
+("1_2_1_1_16",
+@rule ∫(((~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~x)) &&
+    isrational((~p)) &&
+    3 <= ext_den((~p)) <= 4 ?
+((~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸(-(~c)*((~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸((~b)^2))^(~p)* ∫((-(~c)*(~x)⨸(~b) - (~c)^2*(~x)^2⨸(~b)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(a_.+b_.*x_+c_.*x_^2)^p_,x_Symbol] := (a+b*x+c*x^2)^p/(-c*(a+b*x+c*x^2)/(b^2-4*a*c))^p*Int[(-a*c/(b^2-4*a* c)-b*c*x/(b^2-4*a*c)-c^2*x^2/(b^2-4*a*c))^p,x] /; FreeQ[{a,b,c},x] && NeQ[b^2-4*a*c,0] && RationalQ[p] &&  3<=Denominator[p]<=4 *)
+("1_2_1_1_17",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    isrational((~p)) &&
+    3 <= ext_den((~p)) <= 4 ?
+ext_den((~p))*sqrt(((~b) + 2*(~c)*(~x))^2)⨸((~b) + 2*(~c)*(~x))* int_and_subst((~x)^(ext_den((~p))*((~p) + 1) - 1)⨸sqrt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c) + 4*(~c)*(~x)^ext_den((~p))),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(1⨸ext_den((~p))), "1_2_1_1_17") : nothing)
+
+("1_2_1_1_18",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger(4*(~p))) ?
+-((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*((~p) + 1)*((rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) - (~b) - 2*(~c)*(~x))⨸(2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))^((~p) + 1))* hypergeometric2f1(-(~p), (~p) + 1, (~p) + 2, ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))⨸(2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))) : nothing)
+
+("1_2_1_1_19",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~u) + (~!c)*(~u)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !eq((~u), (~x)) ?
+1⨸ext_coeff((~u), (~x), 1)*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p),  (~x), (~x), (~u), "1_2_1_1_19") : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.2 (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.2 (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..976ce877
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.2 (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p.jl	
@@ -0,0 +1,1309 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.2.1.2 (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p *)
+#(* Int[(d_.+e_.*x_)^m_.*(a_+b_.*x_+c_.*x_^2)^p_.,x_Symbol] := 1/c^p*Int[(d+e*x)^m*(b/2+c*x)^(2*p),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,m},x] && EqQ[b^2-4*a*c,0] && IntegerQ[p] *)
+("1_2_1_2_1",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + (~p))*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_2",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a), 0) &&
+        gt((~d), 0) &&
+        ext_isinteger((~m) + (~p))
+    ) ?
+∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + (~p))*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_3",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) ?
+(~d)*log((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸(~b) : nothing)
+
+("1_2_1_2_4",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+(~d)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~b)*((~p) + 1)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_5",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~p) + 1)*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_6",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    (
+        gt((~p), 0) ||
+        eq((~a), 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_7",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))/((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    nice_sqrt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) ?
+((~c)*(~d) - (~e)*((~b)⨸2 - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2))⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)* ∫(1⨸((~b)⨸2 - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x)), (~x)) - ((~c)*(~d) - (~e)*((~b)⨸2 + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2))⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)* ∫(1⨸((~b)⨸2 + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_8",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))/((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    nice_sqrt(-(~a)*(~c)) ?
+((~e)⨸2 + (~c)*(~d)⨸(2*rt(-(~a)*(~c), 2)))*∫(1⨸(-rt(-(~a)*(~c), 2) + (~c)*(~x)), (~x)) + ((~e)⨸2 - (~c)*(~d)⨸(2*rt(-(~a)*(~c), 2)))* ∫(1⨸(rt(-(~a)*(~c), 2) + (~c)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+#(* original line: Int[(d_. + e_.*x_)/(a_ + b_.*x_ + c_.*x_^2), x_Symbol] := (* (d-b*e/(2*c))*Int[1/(a+b*x+c*x^2),x] + *) (2*c*d - b*e)/(2*c)*Int[1/(a + b*x + c*x^2), x] + e/(2*c)*Int[(b + 2*c*x)/(a + b*x + c*x^2), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[2*c*d - b*e, 0] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && Not[NiceSqrtQ[b^2 - 4*a*c]] *)
+("1_2_1_2_9",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))/((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(nice_sqrt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) ?
+(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))⨸(2*(~c))*∫(1⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) + (~e)⨸(2*(~c))*∫(((~b) + 2*(~c)*(~x))⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_10",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))/((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !(nice_sqrt(-(~a)*(~c))) ?
+(~d)*∫(1⨸((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)) + (~e)*∫((~x)⨸((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_11",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+-2*((~b)*(~d) - 2*(~a)*(~e) + (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*(~x))⨸(((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))* sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_12",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))/((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) ?
+(-(~a)*(~e) + (~c)*(~d)*(~x))⨸((~a)*(~c)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_13",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~p), -3/2) ?
+((~b)*(~d) - 2*(~a)*(~e) + (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*(~x))⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1) - (2*(~p) + 3)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_14",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~p), -3/2) ?
+((~a)*(~e) - (~c)*(~d)*(~x))⨸(2*(~a)*(~c)*((~p) + 1))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1) + (~d)*(2*(~p) + 3)⨸(2*(~a)*((~p) + 1))*∫(((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_15",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+(~e)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~c)*((~p) + 1)) + (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))⨸(2*(~c))* ∫(((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_16",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+(~e)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~c)*((~p) + 1)) + (~d)*∫(((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_17",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) ?
+(~e)^(~m)⨸(~c)^((~m)⨸2)*∫(((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + (~m)⨸2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_18",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) ?
+(~e)^((~m) - 1)⨸(~c)^(((~m) - 1)⨸2)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + ((~m) - 1)⨸2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_19",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~p))*∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_20",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    eq((~m) - 2*(~p) + 1, 0) ?
+((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^ fracpart((~p))⨸((~c)^intpart((~p))*((~b)⨸2 + (~c)*(~x))^(2*fracpart((~p))))* ∫( expand_linear_product(((~b)⨸2 + (~c)*(~x))^(2*(~p)), ((~d) + (~e)*(~x))^(~m), (~b)⨸2, (~c), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_21",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) ?
+((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^ fracpart((~p))⨸((~c)^intpart((~p))*((~b)⨸2 + (~c)*(~x))^(2*fracpart((~p))))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~b)⨸2 + (~c)*(~x))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_22",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~e), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+1⨸(~e)^(~p)*∫(((~e)*(~x))^((~m) + (~p))*((~b) + (~c)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_23",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p), 0) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~p) + 1)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_24",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p), 0) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~p) + 1)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_25",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~p) + 1)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))) : nothing)
+
+("1_2_1_2_26",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~c)*(~d)*((~p) + 1)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_27",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^2*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt((~p), -1) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~p) + 1)) - (~e)^2*((~p) + 2)⨸((~c)*((~p) + 1))*∫(((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_28",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^2*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt((~p), -1) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~p) + 1)) - (~e)^2*((~p) + 2)⨸((~c)*((~p) + 1))*∫(((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_29",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    isrational((~p)) &&
+    (
+        lt(0, -(~m), (~p)) ||
+        lt((~p), -(~m), 0)
+    ) &&
+    !eq((~m), 2) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+∫(((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~m) + (~p))⨸((~a)⨸(~d) + (~c)*(~x)⨸(~e))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_30",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    isrational((~p)) &&
+    (
+        lt(0, -(~m), (~p)) ||
+        lt((~p), -(~m), 0)
+    ) &&
+    !eq((~m), 2) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+(~d)^(2*(~m))⨸(~a)^(~m)*∫(((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~m) + (~p))⨸((~d) - (~e)*(~x))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_31",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    igt(simplify((~m) + (~p)), 0) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 1)) + simplify((~m) + (~p))*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_32",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    igt(simplify((~m) + (~p)), 0) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 1)) + 2*(~c)*(~d)*simplify((~m) + (~p))⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_33",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ilt(simplify((~m) + 2*(~p) + 2), 0) ?
+-(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^ (~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~m) + (~p) + 1)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))) + (~c)*simplify((~m) + 2*(~p) + 2)⨸(((~m) + (~p) + 1)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_34",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ilt(simplify((~m) + 2*(~p) + 2), 0) ?
+-(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~c)*(~d)*((~m) + (~p) + 1)) + simplify((~m) + 2*(~p) + 2)⨸(2*(~d)*((~m) + (~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_35",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!d) + (~!e)*(~x))*sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+2*(~e)*int_and_subst(1⨸(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e) + (~e)^2*(~x)^2),  (~x), (~x), sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)), "1_2_1_2_35") : nothing)
+
+("1_2_1_2_36",
+@rule ∫(1/(sqrt((~d) + (~!e)*(~x))*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+2*(~e)*int_and_subst(1⨸(2*(~c)*(~d) + (~e)^2*(~x)^2),  (~x), (~x), sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)), "1_2_1_2_36") : nothing)
+
+("1_2_1_2_37",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    (
+        lt((~m), -2) ||
+        eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0)
+    ) &&
+    !eq((~m) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸((~e)*((~m) + (~p) + 1)) - (~c)*(~p)⨸((~e)^2*((~m) + (~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_38",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    (
+        lt((~m), -2) ||
+        eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0)
+    ) &&
+    !eq((~m) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸((~e)*((~m) + (~p) + 1)) - (~c)*(~p)⨸((~e)^2*((~m) + (~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_39",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    (
+        le(-2, (~m), 0) ||
+        eq((~m) + (~p) + 1, 0)
+    ) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸((~e)*((~m) + 2*(~p) + 1)) - (~p)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))⨸((~e)^2*((~m) + 2*(~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_40",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    (
+        le(-2, (~m), 0) ||
+        eq((~m) + (~p) + 1, 0)
+    ) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸((~e)*((~m) + 2*(~p) + 1)) - 2*(~c)*(~d)*(~p)⨸((~e)^2*((~m) + 2*(~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_41",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    lt(0, (~m), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*((~d) + (~e)*(~x))^ (~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~e)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) - (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*((~m) + 2*(~p) + 2)⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_42",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    lt(0, (~m), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+-(~d)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~a)*(~e)*((~p) + 1)) + (~d)*((~m) + 2*(~p) + 2)⨸(2*(~a)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_43",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~p) + 1)) - (~e)^2*((~m) + (~p))⨸((~c)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_44",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~p) + 1)) - (~e)^2*((~m) + (~p))⨸((~c)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_45",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 1)) + ((~m) + (~p))*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_46",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 1)) + 2*(~c)*(~d)*((~m) + (~p))⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_47",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~m), 0) &&
+    !eq((~m) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+-(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^ (~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~m) + (~p) + 1)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))) + (~c)*((~m) + 2*(~p) + 2)⨸(((~m) + (~p) + 1)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_48",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~m), 0) &&
+    !eq((~m) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+-(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~c)*(~d)*((~m) + (~p) + 1)) + ((~m) + 2*(~p) + 2)⨸(2*(~d)*((~m) + (~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_49",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~e)*(~x))^(~m)*((~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸((~x)^((~m) + (~p))*((~b) + (~c)*(~x))^(~p))* ∫((~x)^((~m) + (~p))*((~b) + (~c)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_50",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    gt((~d), 0) &&
+    !(igt((~m), 0)) ?
+∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + (~p))*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_51",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~d), 0)
+    ) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    !(
+        igt((~m), 0) &&
+        (
+            ext_isinteger(3*(~p)) ||
+            ext_isinteger(4*(~p))
+        )
+    ) ?
+(~a)^((~p) + 1)*(~d)^((~m) - 1)*(((~d) - (~e)*(~x))⨸(~d))^((~p) + 1)⨸((~a)⨸(~d) + (~c)*(~x)⨸(~e))^((~p) + 1)* ∫((1 + (~e)*(~x)⨸(~d))^((~m) + (~p))*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_52",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~d), 0)
+    ) &&
+    !(
+        igt((~m), 0) &&
+        (
+            ext_isinteger(3*(~p)) ||
+            ext_isinteger(4*(~p))
+        )
+    ) ?
+(~d)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^ fracpart( (~p))⨸((1 + (~e)*(~x)⨸(~d))^fracpart((~p))*((~a)⨸(~d) + ((~c)*(~x))⨸(~e))^fracpart((~p)))* ∫((1 + (~e)*(~x)⨸(~d))^((~m) + (~p))*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_53",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~d), 0)
+    ) &&
+    !(
+        igt((~m), 0) &&
+        (
+            ext_isinteger(3*(~p)) ||
+            ext_isinteger(4*(~p))
+        )
+    ) ?
+(~d)^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((1 + (~e)*(~x)⨸(~d))^((~p) + 1)*((~a)⨸(~d) + ((~c)*(~x))⨸(~e))^((~p) + 1))* ∫((1 + (~e)*(~x)⨸(~d))^((~m) + (~p))*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_54",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~d), 0)
+    ) ?
+(~d)^intpart((~m))*((~d) + (~e)*(~x))^fracpart((~m))⨸(1 + (~e)*(~x)⨸(~d))^fracpart((~m))* ∫((1 + (~e)*(~x)⨸(~d))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_55",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~d), 0)
+    ) ?
+(~d)^intpart((~m))*((~d) + (~e)*(~x))^fracpart((~m))⨸(1 + (~e)*(~x)⨸(~d))^fracpart((~m))* ∫((1 + (~e)*(~x)⨸(~d))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_56",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) ?
+-4*(~b)*(~c)⨸((~d)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))*∫(1⨸((~b) + 2*(~c)*(~x)), (~x)) + (~b)^2⨸((~d)^2*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))*∫(((~d) + (~e)*(~x))⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_57",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 3, 0) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~e)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) : nothing)
+
+("1_2_1_2_58",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    !(
+        eq((~m), 3) &&
+        !eq((~p), 1)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_59",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 3, 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~m)/2) &&
+        lt((~m) + 2*(~p) + 3, 0)
+    ) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸((~e)*((~m) + 1)) - (~b)*(~p)⨸((~d)*(~e)*((~m) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_60",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 3, 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !(lt((~m), -1)) &&
+    !(
+        igt(((~m) - 1)/2, 0) &&
+        (
+            !(ext_isinteger((~p))) ||
+            lt((~m), 2*(~p))
+        )
+    ) &&
+    isrational((~m)) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸((~e)*((~m) + 2*(~p) + 1)) - (~d)*(~p)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))⨸((~b)*(~e)*((~m) + 2*(~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_61",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 3, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+(~d)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~b)*((~p) + 1)) - (~d)*(~e)*((~m) - 1)⨸((~b)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_62",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 3, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !(gt((~m), 1)) &&
+    isrational((~m)) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~e)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) - 2*(~c)*(~e)*((~m) + 2*(~p) + 3)⨸((~e)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_63",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x))*sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) ?
+4*(~c)*int_and_subst(1⨸((~b)^2*(~e) - 4*(~a)*(~c)*(~e) + 4*(~c)*(~e)*(~x)^2),  (~x), (~x), sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), "1_2_1_2_63") : nothing)
+
+("1_2_1_2_64",
+@rule ∫(1/(sqrt((~d) + (~!e)*(~x))*sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    lt((~c)/((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)), 0) ?
+4⨸(~e)*sqrt(-(~c)⨸((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* int_and_subst(1⨸sqrt(simp(1 - (~b)^2*(~x)^4⨸((~d)^2*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))),  (~x))), (~x), (~x), sqrt((~d) + (~e)*(~x)), "1_2_1_2_64") : nothing)
+
+("1_2_1_2_65",
+@rule ∫(sqrt((~d) + (~!e)*(~x))/sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    lt((~c)/((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)), 0) ?
+4⨸(~e)*sqrt(-(~c)⨸((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* int_and_subst((~x)^2⨸sqrt(simp(1 - (~b)^2*(~x)^4⨸((~d)^2*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))),  (~x))), (~x), (~x), sqrt((~d) + (~e)*(~x)), "1_2_1_2_65") : nothing)
+
+("1_2_1_2_66",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)/sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    eq((~m)^2, 1/4) ?
+sqrt(-(~c)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)⨸ sqrt(-(~a)*(~c)⨸((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) - (~b)*(~c)*(~x)⨸((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) - (~c)^2*(~x)^2⨸((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_67",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 3, 0) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~p)) ||
+        ext_isinteger((~m)) &&
+        isrational((~p)) ||
+        ext_isodd((~m))
+    ) ?
+2*(~d)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~b)*((~m) + 2*(~p) + 1)) + (~d)^2*((~m) - 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))⨸((~b)^2*((~m) + 2*(~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_68",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 3, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~p)) ||
+        ext_isinteger((~m)) &&
+        isrational((~p)) ||
+        ext_isinteger(((~m) + 2*(~p) + 3)/2)
+    ) ?
+-2*(~b)*(~d)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~d)^2*((~m) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) + (~b)^2*((~m) + 2*(~p) + 3)⨸((~d)^2*((~m) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_69",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) ?
+1⨸(~e)*int_and_subst((~x)^(~m)*((~a) - (~b)^2⨸(4*(~c)) + ((~c)*(~x)^2)⨸(~e)^2)^(~p),  (~x), (~x), (~d) + (~e)*(~x), "1_2_1_2_69") : nothing)
+
+("1_2_1_2_70",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x))*((~!a) + (~!c)*(~x)^2)^(1//4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + 2*(~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~a), 0) ?
+1⨸(2*(-(~a))^(1⨸4)*(~e))* atan((-1 - (~c)*(~x)^2⨸(~a))^(1⨸4)⨸(1 - (~c)*(~d)*(~x)⨸(2*(~a)*(~e)) - sqrt(-1 - (~c)*(~x)^2⨸(~a)))) + 1⨸(4*(-(~a))^(1⨸4)*(~e))* log((1 - (~c)*(~d)*(~x)⨸(2*(~a)*(~e)) + sqrt(-1 - (~c)*(~x)^2⨸(~a)) - (-1 - (~c)*(~x)^2⨸(~a))^(1⨸4))⨸ (1 - (~c)*(~d)*(~x)⨸(2*(~a)*(~e)) + sqrt(-1 - (~c)*(~x)^2⨸(~a)) + (-1 - (~c)*(~x)^2⨸(~a))^(1⨸4))) : nothing)
+
+("1_2_1_2_71",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    le((~m), (~p)) ?
+(~e)*(~m)*(~d)^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~c)*((~p) + 1)) + ∫((((~d) + (~e)*(~x))^(~m) - (~e)*(~m)*(~d)^((~m) - 1)*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_72",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_73",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    (
+        gt((~p), 0) ||
+        eq((~a), 0) &&
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[Sqrt[d_.+e_.*x_]/(a_.+b_.*x_+c_.*x_^2),x_Symbol] := With[{q=Rt[(c*d^2-b*d*e+a*e^2)/c,2]}, 1/2*Int[(d+q+e*x)/(Sqrt[d+e*x]*(a+b*x+c*x^2)),x] + 1/2*Int[(d-q+e*x)/(Sqrt[d+e*x]*(a+b*x+c*x^2)),x]] /; FreeQ[{a,b,c,d,e},x] && NeQ[b^2-4*a*c,0] && NeQ[c*d^2-b*d*e+a*e^2,0] &&  NeQ[2*c*d-b*e,0] && LtQ[b^2-4*a*c,0] *)
+#(* Int[Sqrt[d_+e_.*x_]/(a_+c_.*x_^2),x_Symbol] := With[{q=Rt[(c*d^2+a*e^2)/c,2]}, 1/2*Int[(d+q+e*x)/(Sqrt[d+e*x]*(a+c*x^2)),x] + 1/2*Int[(d-q+e*x)/(Sqrt[d+e*x]*(a+c*x^2)),x]] /; FreeQ[{a,c,d,e},x] && NeQ[c*d^2+a*e^2,0] && LtQ[-a*c,0] *)
+#(* Int[Sqrt[d_.+e_.*x_]/(a_.+b_.*x_+c_.*x_^2),x_Symbol] := With[{q=Rt[b^2-4*a*c,2]}, (2*c*d-b*e+e*q)/q*Int[1/(Sqrt[d+e*x]*(b-q+2*c*x)),x] - (2*c*d-b*e-e*q)/q*Int[1/(Sqrt[d+e*x]*(b+q+2*c*x)),x]] /; FreeQ[{a,b,c,d,e},x] && NeQ[b^2-4*a*c,0] && NeQ[c*d^2-b*d*e+a*e^2,0] &&  NeQ[2*c*d-b*e,0] (* && Not[LtQ[b^2-4*a*c,0]] *) *)
+#(* Int[Sqrt[d_+e_.*x_]/(a_+c_.*x_^2),x_Symbol] := With[{q=Rt[-a*c,2]}, (c*d+e*q)/(2*q)*Int[1/(Sqrt[d+e*x]*(-q+c*x)),x] - (c*d-e*q)/(2*q)*Int[1/(Sqrt[d+e*x]*(+q+c*x)),x]] /; FreeQ[{a,c,d,e},x] && NeQ[c*d^2+a*e^2,0] (* && Not[LtQ[-a*c,0]] *) *)
+("1_2_1_2_74",
+@rule ∫(sqrt((~!d) + (~!e)*(~x))/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) ?
+2*(~e)*int_and_subst((~x)^2⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2 - (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4),  (~x), (~x), sqrt((~d) + (~e)*(~x)), "1_2_1_2_74") : nothing)
+
+("1_2_1_2_75",
+@rule ∫(sqrt((~d) + (~!e)*(~x))/((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+2*(~e)*int_and_subst((~x)^2⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2 - 2*(~c)*(~d)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4),  (~x), (~x), sqrt((~d) + (~e)*(~x)), "1_2_1_2_75") : nothing)
+
+("1_2_1_2_76",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    igt((~m), 1) &&
+    (
+        !eq((~d), 0) ||
+        gt((~m), 2)
+    ) ?
+∫(polynomial_divide(((~d) + (~e)*(~x))^(~m), (~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_77",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)/((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~m), 1) &&
+    (
+        !eq((~d), 0) ||
+        gt((~m), 2)
+    ) ?
+∫(polynomial_divide(((~d) + (~e)*(~x))^(~m), (~a) + (~c)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_78",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    gt((~m), 1) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)⨸((~c)*((~m) - 1)) + 1⨸(~c)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)* simp((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2 + (~e)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*(~x), (~x))⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_79",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)/((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~m), 1) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)⨸((~c)*((~m) - 1)) + 1⨸(~c)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)* simp((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2 + 2*(~c)*(~d)*(~e)*(~x), (~x))⨸((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_80",
+@rule ∫(1/(((~!d) + (~!e)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) ?
+(~e)^2⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)*∫(1⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) + 1⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~c)*(~d) - (~b)*(~e) - (~c)*(~e)*(~x))⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_81",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+(~e)^2⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)*∫(1⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) + 1⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)*∫(((~c)*(~d) - (~c)*(~e)*(~x))⨸((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[1/(Sqrt[d_.+e_.*x_]*(a_.+b_.*x_+c_.*x_^2)),x_Symbol] := With[{q=Rt[(c*d^2-b*d*e+a*e^2)/c,2]}, 1/(2*q)*Int[(d+q+e*x)/(Sqrt[d+e*x]*(a+b*x+c*x^2)),x] - 1/(2*q)*Int[(d-q+e*x)/(Sqrt[d+e*x]*(a+b*x+c*x^2)),x]] /; FreeQ[{a,b,c,d,e},x] && NeQ[b^2-4*a*c,0] && NeQ[c*d^2-b*d*e+a*e^2,0] &&  NeQ[2*c*d-b*e,0] && LtQ[b^2-4*a*c,0] *)
+#(* Int[1/(Sqrt[d_+e_.*x_]*(a_+c_.*x_^2)),x_Symbol] := With[{q=Rt[(c*d^2+a*e^2)/c,2]}, 1/(2*q)*Int[(d+q+e*x)/(Sqrt[d+e*x]*(a+c*x^2)),x] - 1/(2*q)*Int[(d-q+e*x)/(Sqrt[d+e*x]*(a+c*x^2)),x]] /; FreeQ[{a,c,d,e},x] && NeQ[c*d^2+a*e^2,0] && LtQ[-a*c,0] *)
+#(* Int[1/(Sqrt[d_.+e_.*x_]*(a_.+b_.*x_+c_.*x_^2)),x_Symbol] := With[{q=Rt[b^2-4*a*c,2]}, 2*c/q*Int[1/(Sqrt[d+e*x]*(b-q+2*c*x)),x] - 2*c/q*Int[1/(Sqrt[d+e*x]*(b+q+2*c*x)),x]] /; FreeQ[{a,b,c,d,e},x] && NeQ[b^2-4*a*c,0] && NeQ[c*d^2-b*d*e+a*e^2,0] &&  NeQ[2*c*d-b*e,0] (* && Not[LtQ[b^2-4*a*c,0]] *) *)
+#(* Int[1/(Sqrt[d_+e_.*x_]*(a_+c_.*x_^2)),x_Symbol] := With[{q=Rt[-a*c,2]}, c/(2*q)*Int[1/(Sqrt[d+e*x]*(-q+c*x)),x] - c/(2*q)*Int[1/(Sqrt[d+e*x]*(q+c*x)),x]] /; FreeQ[{a,c,d,e},x] && NeQ[c*d^2+a*e^2,0] (* && Not[LtQ[-a*c,0]] *) *)
+("1_2_1_2_82",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!d) + (~!e)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) ?
+2*(~e)*int_and_subst(1⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2 - (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4),  (~x), (~x), sqrt((~d) + (~e)*(~x)), "1_2_1_2_82") : nothing)
+
+("1_2_1_2_83",
+@rule ∫(1/(sqrt((~d) + (~!e)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+2*(~e)*int_and_subst(1⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2 - 2*(~c)*(~d)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4),  (~x), (~x), sqrt((~d) + (~e)*(~x)), "1_2_1_2_83") : nothing)
+
+("1_2_1_2_84",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)) + 1⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)* simp((~c)*(~d) - (~b)*(~e) - (~c)*(~e)*(~x), (~x))⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_85",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)/((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)) + (~c)⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) - (~e)*(~x))⨸((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_86",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m), 1⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_87",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)/((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m), 1⨸((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_88",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~d) + (~a)*(~e), 0) &&
+    eq((~c)*(~d) + (~b)*(~e), 0) &&
+    igt((~m) - (~p) + 1, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^ fracpart((~p))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^fracpart((~p))⨸((~a)*(~d) + (~c)*(~e)*(~x)^3)^ fracpart((~p))*∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - (~p))*((~a)*(~d) + (~c)*(~e)*(~x)^3)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_89",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)/sqrt((~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    eq((~m)^2, 1/4) &&
+    lt((~c), 0) &&
+    isrational((~b)) ?
+∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)⨸(sqrt((~b)*(~x))*sqrt(1 + (~c)⨸(~b)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_90",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)/sqrt((~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    eq((~m)^2, 1/4) ?
+sqrt((~x))*sqrt((~b) + (~c)*(~x))⨸sqrt((~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)⨸(sqrt((~x))*sqrt((~b) + (~c)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_91",
+@rule ∫((~x)^(~m)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~m)^2, 1/4) ?
+2*int_and_subst((~x)^(2*(~m) + 1)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4),  (~x), (~x), sqrt((~x)), "1_2_1_2_91") : nothing)
+
+("1_2_1_2_92",
+@rule ∫(((~e)*(~x))^(~m)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~m)^2, 1/4) ?
+((~e)*(~x))^(~m)⨸(~x)^(~m)*∫((~x)^(~m)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_93",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)/sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    eq((~m)^2, 1/4) ?
+2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)* sqrt(-(~c)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))⨸ ((~c)* sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)*(2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e) - (~e)*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))^(~m))* int_and_subst((1 + 2*(~e)*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c),  2)* (~x)^2⨸(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e) - (~e)*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))^(~m)⨸sqrt(1 - (~x)^2), (~x), (~x), sqrt(((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))⨸(2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))), "1_2_1_2_93") : nothing)
+
+("1_2_1_2_94",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)/sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    eq((~m)^2, 1/4) ?
+2*(~a)*rt(-(~c)⨸(~a), 2)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)* sqrt(1 + (~c)*(~x)^2⨸(~a))⨸((~c)* sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)*((~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸((~c)*(~d) - (~a)*(~e)*rt(-(~c)⨸(~a), 2)))^(~m))* int_and_subst((1 + 2*(~a)*(~e)*rt(-(~c)⨸(~a),  2)*(~x)^2⨸((~c)*(~d) - (~a)*(~e)*rt(-(~c)⨸(~a), 2)))^(~m)⨸ sqrt(1 - (~x)^2), (~x), (~x), sqrt((1 - rt(-(~c)⨸(~a), 2)*(~x))⨸2), "1_2_1_2_94") : nothing)
+
+("1_2_1_2_95",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    gt((~p), 0) ?
+-((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~d)*(~b) - 2*(~a)*(~e) + (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^ (~p)⨸(2*((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)) + (~p)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))⨸(2*((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_96",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    gt((~p), 0) ?
+-((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*(-2*(~a)*(~e) + (2*(~c)*(~d))*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^ (~p)⨸(2*((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)) - 4*(~a)*(~c)*(~p)⨸(2*((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_97",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    lt((~p), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~d)*(~b) - 2*(~a)*(~e) + (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))* (~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) - 2*(2*(~p) + 3)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_98",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    lt((~p), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a)*(~e) - (~c)*(~d)*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~a)*(~c)*((~p) + 1)) + (2*(~p) + 3)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)⨸(2*(~a)*(~c)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_99",
+@rule ∫(1/(((~!d) + (~!e)*(~x))*sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) ?
+-2*int_and_subst(1⨸(4*(~c)*(~d)^2 - 4*(~b)*(~d)*(~e) + 4*(~a)*(~e)^2 - (~x)^2),  (~x), (~x), (2*(~a)*(~e) - (~b)*(~d) - (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), "1_2_1_2_99") : nothing)
+
+("1_2_1_2_100",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x))*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) ?
+-int_and_subst(1⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2 - (~x)^2),  (~x), (~x), ((~a)*(~e) - (~c)*(~d)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2), "1_2_1_2_100") : nothing)
+
+("1_2_1_2_101",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) ?
+-((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸ (((~m) + 1)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e) + (~e)*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))* ((2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e) + (~e)*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))⨸((2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e) - (~e)*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))))^(~p))* hypergeometric2f1((~m) + 1, -(~p), (~m) + 2, -4*(~c)* rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*((~d) + (~e)* (~x))⨸((2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e) - (~e)*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)))) : nothing)
+
+("1_2_1_2_102",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) ?
+(rt(-(~a)*(~c), 2) - (~c)*(~x))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸ (((~m) + 1)*((~c)*(~d) + (~e)*rt(-(~a)*(~c), 2))*(((~c)*(~d) + (~e)*rt(-(~a)*(~c), 2))*(rt(-(~a)*(~c), 2) + (~c)*(~x))⨸(((~c)*(~d) - (~e)*rt(-(~a)*(~c), 2))*(-rt(-(~a)*(~c), 2) + (~c)*(~x))))^(~p))* hypergeometric2f1((~m) + 1, -(~p), (~m) + 2, 2*(~c)*rt(-(~a)*(~c), 2)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) - (~e)*rt(-(~a)*(~c), 2))*(rt(-(~a)*(~c), 2) - (~c)*(~x)))) : nothing)
+
+("1_2_1_2_103",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 3, 0) &&
+    lt((~p), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^ (~m)*((~b) + 2*(~c)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) + (~m)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_104",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 3, 0) &&
+    lt((~p), -1) ?
+-((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*(2*(~c)*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(4*(~a)*(~c)*((~p) + 1)) - (~m)*(2*(~c)*(~d))⨸(4*(~a)*(~c)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_105",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 3, 0) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)) + (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))⨸(2*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_106",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 3, 0) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)) + (~c)*(~d)⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)*∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_107",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        lt((~m), -1)
+    ) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    !(ilt((~m) + 2*(~p) + 1, 0)) &&
+    int_quadratic((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸((~e)*((~m) + 1)) - (~p)⨸((~e)*((~m) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~b) + 2*(~c)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_108",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        lt((~m), -1)
+    ) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    !(ilt((~m) + 2*(~p) + 1, 0)) &&
+    int_quadratic((~a), 0, (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸((~e)*((~m) + 1)) - 2*(~c)*(~p)⨸((~e)*((~m) + 1))* ∫((~x)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_109",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0) &&
+    (
+        !(isrational((~m))) ||
+        lt((~m), 1)
+    ) &&
+    !(ilt((~m) + 2*(~p), 0)) &&
+    int_quadratic((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸((~e)*((~m) + 2*(~p) + 1)) - (~p)⨸((~e)*((~m) + 2*(~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)* simp((~b)*(~d) - 2*(~a)*(~e) + (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*(~x), (~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_110",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0) &&
+    (
+        !(isrational((~m))) ||
+        lt((~m), 1)
+    ) &&
+    !(ilt((~m) + 2*(~p), 0)) &&
+    int_quadratic((~a), 0, (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸((~e)*((~m) + 2*(~p) + 1)) + 2*(~p)⨸((~e)*((~m) + 2*(~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*simp((~a)*(~e) - (~c)*(~d)*(~x), (~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_111",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    (
+        lt((~m), 1) ||
+        ilt((~m) + 2*(~p) + 3, 0) &&
+        !eq((~m), 2)
+    ) &&
+    int_quadratic((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^ (~m)*((~b) + 2*(~c)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) - 1⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~b)*(~e)*(~m) + 2*(~c)*(~d)*(2*(~p) + 3) + 2*(~c)*(~e)*((~m) + 2*(~p) + 3)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_112",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    (
+        lt((~m), 1) ||
+        ilt((~m) + 2*(~p) + 3, 0) &&
+        !eq((~m), 2)
+    ) &&
+    int_quadratic((~a), 0, (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) ?
+-(~x)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~a)*((~p) + 1)) + 1⨸(2*(~a)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~d)*(2*(~p) + 3) + (~e)*((~m) + 2*(~p) + 3)*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_113",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    int_quadratic((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~d)*(~b) - 2*(~a)*(~e) + (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))* (~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) + 1⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)* simp((~e)*(2*(~a)*(~e)*((~m) - 1) + (~b)*(~d)*(2*(~p) - (~m) + 4)) - 2*(~c)*(~d)^2*(2*(~p) + 3) + (~e)*((~b)*(~e) - 2*(~d)*(~c))*((~m) + 2*(~p) + 2)*(~x), (~x))* ((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_114",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    int_quadratic((~a), 0, (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a)*(~e) - (~c)*(~d)*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~a)*(~c)*((~p) + 1)) + 1⨸(((~p) + 1)*(-2*(~a)*(~c)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)* simp((~a)*(~e)^2*((~m) - 1) - (~c)*(~d)^2*(2*(~p) + 3) - (~d)*(~c)*(~e)*((~m) + 2*(~p) + 2)*(~x), (~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_115",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    int_quadratic((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~b)*(~c)*(~d) - (~b)^2*(~e) + 2*(~a)*(~c)*(~e) + (~c)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))* (~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)) + 1⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)* simp((~b)*(~c)*(~d)*(~e)*(2*(~p) - (~m) + 2) + (~b)^2*(~e)^2*((~m) + (~p) + 2) - 2*(~c)^2*(~d)^2*(2*(~p) + 3) - 2*(~a)*(~c)*(~e)^2*((~m) + 2*(~p) + 3) - (~c)*(~e)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*((~m) + 2*(~p) + 4)*(~x), (~x))* ((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_116",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    int_quadratic((~a), 0, (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) ?
+-((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a)*(~e) + (~c)*(~d)*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~a)*((~p) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)) + 1⨸(2*(~a)*((~p) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)* simp((~c)*(~d)^2*(2*(~p) + 3) + (~a)*(~e)^2*((~m) + 2*(~p) + 3) + (~c)*(~e)*(~d)*((~m) + 2*(~p) + 4)*(~x), (~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_117",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    ifelse(isrational((~m)), gt((~m), 1), sumsimpler((~m), -2)) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0) &&
+    int_quadratic((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 1)) + 1⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)* simp((~c)*(~d)^2*((~m) + 2*(~p) + 1) - (~e)*((~a)*(~e)*((~m) - 1) + (~b)*(~d)*((~p) + 1)) + (~e)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*((~m) + (~p))*(~x), (~x))* ((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_118",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ifelse(isrational((~m)), gt((~m), 1), sumsimpler((~m), -2)) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0) &&
+    int_quadratic((~a), 0, (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 1)) + 1⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)* simp((~c)*(~d)^2*((~m) + 2*(~p) + 1) - (~a)*(~e)^2*((~m) - 1) + 2*(~c)*(~d)*(~e)*((~m) + (~p))*(~x), (~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_119",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    (
+        lt((~m), -1) &&
+        int_quadratic((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) ||
+        sumsimpler((~m), 1) &&
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ilt(simplify((~m) + 2*(~p) + 3), 0)
+    ) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)) + 1⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)* simp((~c)*(~d)*((~m) + 1) - (~b)*(~e)*((~m) + (~p) + 2) - (~c)*(~e)*((~m) + 2*(~p) + 3)*(~x), (~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_120",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    (
+        lt((~m), -1) &&
+        int_quadratic((~a), 0, (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) ||
+        sumsimpler((~m), 1) &&
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ilt(simplify((~m) + 2*(~p) + 3), 0)
+    ) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)) + (~c)⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)* simp((~d)*((~m) + 1) - (~e)*((~m) + 2*(~p) + 3)*(~x), (~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_121",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(1//4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+(~d)*∫(1⨸(((~d)^2 - (~e)^2*(~x)^2)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(1⨸4)), (~x)) - (~e)*∫((~x)⨸(((~d)^2 - (~e)^2*(~x)^2)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(1⨸4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_122",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(3//4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+(~d)*∫(1⨸(((~d)^2 - (~e)^2*(~x)^2)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(3⨸4)), (~x)) - (~e)*∫((~x)⨸(((~d)^2 - (~e)^2*(~x)^2)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(3⨸4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_123",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p)/((~!d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    gt(4*(~a) - (~b)^2/(~c), 0) &&
+    ext_isinteger(4*(~p)) ?
+1⨸(-4*(~c)⨸((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))^(~p)* int_and_subst( simp(1 - (~x)^2⨸((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)),  (~x))^(~p)⨸simp(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e) + (~e)*(~x), (~x)), (~x), (~x), (~b) + 2*(~c)*(~x), "1_2_1_2_123") : nothing)
+
+("1_2_1_2_124",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p)/((~!d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !(gt(4*(~a) - (~b)^2/(~c), 0)) &&
+    ext_isinteger(4*(~p)) ?
+((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸(-(~c)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))^(~p)* ∫((-(~a)*(~c)⨸((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) - (~b)*(~c)*(~x)⨸((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) - (~c)^2*(~x)^2⨸((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))^(~p)⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_125",
+@rule ∫(1/(((~!d) + (~!e)*(~x))*((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(1//3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    eq((~c)^2*(~d)^2 - (~b)*(~c)*(~d)*(~e) + (~b)^2*(~e)^2 - 3*(~a)*(~c)*(~e)^2, 0) &&
+    pos((~c)*(~e)^2*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))) ?
+-sqrt(3)*(~c)*(~e)* atan(1⨸sqrt(3) + 2*((~c)*(~d) - (~b)*(~e) - (~c)*(~e)*(~x))⨸(sqrt(3)*rt(3*(~c)*(~e)^2*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)), 3)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(1⨸3)))⨸ rt(3*(~c)*(~e)^2*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)), 3)^2 - 3*(~c)*(~e)*log((~d) + (~e)*(~x))⨸(2*rt(3*(~c)*(~e)^2*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)), 3)^2) + 3*(~c)*(~e)* log((~c)*(~d) - (~b)*(~e) - (~c)*(~e)*(~x) - rt(3*(~c)*(~e)^2*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)), 3)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(1⨸3))⨸(2*rt(3*(~c)*(~e)^2*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)), 3)^2) : nothing)
+
+("1_2_1_2_126",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(1//3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - 3*(~a)*(~e)^2, 0) ?
+-sqrt(3)*(~c)*(~e)* atan(1⨸sqrt(3) + 2*(~c)*((~d) - (~e)*(~x))⨸(sqrt(3)*(~d)*rt(6*(~c)^2*(~e)^2⨸(~d)^2, 3)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(1⨸3)))⨸((~d)^2*rt(6*(~c)^2*(~e)^2⨸(~d)^2, 3)^2) - 3*(~c)*(~e)*log((~d) + (~e)*(~x))⨸(2*(~d)^2*rt(6*(~c)^2*(~e)^2⨸(~d)^2, 3)^2) + 3*(~c)*(~e)*log((~c)*(~d) - (~c)*(~e)*(~x) - (~d)*rt(6*(~c)^2*(~e)^2⨸(~d)^2, 3)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(1⨸3))⨸(2*(~d)^2*rt(6*(~c)^2*(~e)^2⨸(~d)^2, 3)^2) : nothing)
+
+("1_2_1_2_127",
+@rule ∫(1/(((~!d) + (~!e)*(~x))*((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(1//3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    eq((~c)^2*(~d)^2 - (~b)*(~c)*(~d)*(~e) + (~b)^2*(~e)^2 - 3*(~a)*(~c)*(~e)^2, 0) &&
+    neg((~c)*(~e)^2*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))) ?
+-sqrt(3)*(~c)*(~e)* atan(1⨸sqrt(3) - 2*((~c)*(~d) - (~b)*(~e) - (~c)*(~e)*(~x))⨸(sqrt(3)*rt(-3*(~c)*(~e)^2*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)), 3)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(1⨸3)))⨸ rt(-3*(~c)*(~e)^2*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)), 3)^2 - 3*(~c)*(~e)*log((~d) + (~e)*(~x))⨸(2*rt(-3*(~c)*(~e)^2*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)), 3)^2) + 3*(~c)*(~e)* log((~c)*(~d) - (~b)*(~e) - (~c)*(~e)*(~x) + rt(-3*(~c)*(~e)^2*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)), 3)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(1⨸3))⨸(2*rt(-3*(~c)*(~e)^2*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)), 3)^2) : nothing)
+
+#(* Int[1/((d_+e_.*x_)*(a_+c_.*x_^2)^(1/3)),x_Symbol] := With[{q=Rt[-6*c^2*d*e^2,3]}, -Sqrt[3]*c*e*ArcTan[1/Sqrt[3]-2*(c*d-c*e*x)/(Sqrt[3]*q*(a+c*x^2)^(1/ 3))]/q^2 - 3*c*e*Log[d+e*x]/(2*q^2) + 3*c*e*Log[c*d-c*e*x+q*(a+c*x^2)^(1/3)]/(2*q^2)] /; FreeQ[{a,c,d,e},x] && EqQ[c*d^2-3*a*e^2,0] && NegQ[c^2*d*e^2] *)
+("1_2_1_2_128",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(1//3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + 9*(~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~a), 0) ?
+(~a)^(1⨸3)* ∫(1⨸(((~d) + (~e)*(~x))*(1 - 3*(~e)*(~x)⨸(~d))^(1⨸3)*(1 + 3*(~e)*(~x)⨸(~d))^(1⨸3)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_129",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(1//3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + 9*(~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+(1 + (~c)*(~x)^2⨸(~a))^(1⨸3)⨸((~a) + (~c)*(~x)^2)^(1⨸3)* ∫(1⨸(((~d) + (~e)*(~x))*(1 + (~c)*(~x)^2⨸(~a))^(1⨸3)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_130",
+@rule ∫(1/(((~!d) + (~!e)*(~x))*((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(1//3)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)^2*(~d)^2 - (~b)*(~c)*(~d)*(~e) - 2*(~b)^2*(~e)^2 + 9*(~a)*(~c)*(~e)^2, 0) ?
+((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))^(1⨸ 3)*((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))^(1⨸3)⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(1⨸3)* ∫(1⨸(((~d) + (~e)*(~x))*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))^(1⨸3)*((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))^(1⨸3)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_131",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    lt((~c), 0) ?
+∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*(rt((~a), 2) + rt(-(~c), 2)*(~x))^ (~p)*(rt((~a), 2) - rt(-(~c), 2)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_132",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ilt((~m), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~c)*(~x)^2)^ (~p), ((~d)⨸((~d)^2 - (~e)^2*(~x)^2) - (~e)*(~x)⨸((~d)^2 - (~e)^2*(~x)^2))^(-(~m)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_2_133",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ilt((~m), 0) ?
+-(1⨸((~d) + (~e)*(~x)))^(2*(~p))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^ (~p)⨸((~e)*((~e)*((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))⨸(2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))))^ (~p)*((~e)*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))⨸(2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))))^(~p))* int_and_subst((~x)^(-(~m) - 2*((~p) + 1))*simp(1 - ((~d) - (~e)*((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c),  2))⨸(2*(~c)))*(~x), (~x))^(~p)* simp(1 - ((~d) - (~e)*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~c)))*(~x), (~x))^(~p), (~x), (~x), 1⨸((~d) + (~e)*(~x)), "1_2_1_2_133") : nothing)
+
+("1_2_1_2_134",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^ (~p)⨸((~e)*(1 - ((~d) + (~e)*(~x))⨸((~d) - (~e)*((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~c))))^ (~p)*(1 - ((~d) + (~e)*(~x))⨸((~d) - (~e)*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~c))))^(~p))* int_and_subst((~x)^(~m)*simp(1 - (~x)⨸((~d) - (~e)*((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c),  2))⨸(2*(~c))), (~x))^(~p)* simp(1 - (~x)⨸((~d) - (~e)*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~c))), (~x))^(~p), (~x), (~x), (~d) + (~e)*(~x), "1_2_1_2_134") : nothing)
+
+("1_2_1_2_135",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~c)*(~x)^2)^ (~p)⨸((~e)*(1 - ((~d) + (~e)*(~x))⨸((~d) + (~e)*rt(-(~a)*(~c), 2)⨸(~c)))^(~p)*(1 - ((~d) + (~e)*(~x))⨸((~d) - (~e)*rt(-(~a)*(~c), 2)⨸(~c)))^ (~p))* int_and_subst((~x)^(~m)*simp(1 - (~x)⨸((~d) + (~e)*rt(-(~a)*(~c),  2)⨸(~c)), (~x))^(~p)* simp(1 - (~x)⨸((~d) - (~e)*rt(-(~a)*(~c), 2)⨸(~c)), (~x))^(~p), (~x), (~x), (~d) + (~e)*(~x), "1_2_1_2_135") : nothing)
+
+("1_2_1_2_136",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~u))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~u) + (~!c)*(~u)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !eq((~u), (~x)) ?
+1⨸ext_coeff((~u), (~x), 1)* int_and_subst(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p),  (~x), (~x), (~u), "1_2_1_2_136") : nothing)
+
+("1_2_1_2_137",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~u))^(~!m)*((~a) + (~!c)*(~u)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !eq((~u), (~x)) ?
+1⨸ext_coeff((~u), (~x), 1)* int_and_subst(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p),  (~x), (~x), (~u), "1_2_1_2_137") : nothing)
+
+#(* IntQuadraticQ[a,b,c,d,e,m,p,x] returns True iff  (d+e*x)^m*(a+b*x+c*x^2)^p is integrable wrt x in terms of non-Appell  functions. *) IntQuadraticQ[a_, b_, c_, d_, e_, m_, p_, x_] := IntegerQ[p] || IGtQ[m, 0] || IntegersQ[2*m, 2*p] || IntegersQ[m, 4*p] || IntegersQ[m, p + 1/3] && (EqQ[c^2*d^2 - b*c*d*e + b^2*e^2 - 3*a*c*e^2, 0] || EqQ[c^2*d^2 - b*c*d*e - 2*b^2*e^2 + 9*a*c*e^2, 0])
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.3 (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.3 (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..cd2b9ac7
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.3 (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p.jl	
@@ -0,0 +1,783 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.2.1.3 (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p *)
+("1_2_1_3_1",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~f) + (~!g)*(~x))*((~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~g)*((~m) + (~p) + 1) - (~c)*(~f)*((~m) + 2*(~p) + 2), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) ?
+(~g)*((~e)*(~x))^(~m)*((~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 2)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_2",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~p))) ?
+(~f)*∫((~x)^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) + (~g)*∫((~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_3",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    (
+        gt((~p), 0) ||
+        eq((~a), 0) &&
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_4",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(((~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_5",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 3, 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~f) - (~b)*(~g), 0) ?
+-(~f)*(~g)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~b)*((~p) + 1)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))) : nothing)
+
+("1_2_1_3_6",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq(2*(~c)*(~f) - (~b)*(~g), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 0) ?
+(~g)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~c)*((~p) + 1)) - (~e)*(~g)*(~m)⨸(2*(~c)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_7",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 3, 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~f) - (~b)*(~g), 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) ?
+-2*(~c)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~p) + 1)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))^2) + (2*(~c)*(~f) - (~b)*(~g))⨸(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_8",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^ fracpart((~p))⨸((~c)^intpart((~p))*((~b)⨸2 + (~c)*(~x))^(2*fracpart((~p))))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))*((~b)⨸2 + (~c)*(~x))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_9",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    (
+        gt((~p), 0) ||
+        eq((~a), 0) &&
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_10",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_11",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))*((~f) + (~!g)*(~x))/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+(~e)*(~g)*(~x)⨸(~c) + 1⨸(~c)*∫(((~c)*(~d)*(~f) - (~a)*(~e)*(~g) + ((~c)*(~e)*(~f) + (~c)*(~d)*(~g) - (~b)*(~e)*(~g))*(~x))⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_12",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))*((~f) + (~!g)*(~x))/((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) ?
+(~e)*(~g)*(~x)⨸(~c) + 1⨸(~c)*∫(((~c)*(~d)*(~f) - (~a)*(~e)*(~g) + (~c)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g))*(~x))⨸((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_13",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~b)^2*(~e)*(~g)*((~p) + 2) - 2*(~a)*(~c)*(~e)*(~g) + (~c)*(2*(~c)*(~d)*(~f) - (~b)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)))*(2*(~p) + 3), 0) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+-((~b)*(~e)*(~g)*((~p) + 2) - (~c)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g))*(2*(~p) + 3) - 2*(~c)*(~e)*(~g)*((~p) + 1)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2* (~c)^2*((~p) + 1)*(2*(~p) + 3)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_14",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)*(~e)*(~g) - (~c)*(~d)*(~f)*(2*(~p) + 3), 0) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+(((~e)*(~f) + (~d)*(~g))*(2*(~p) + 3) + 2*(~e)*(~g)*((~p) + 1)*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~c)*((~p) + 1)*(2*(~p) + 3)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_15",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~p), -1) ?
+-(2*(~a)*(~c)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)) - (~b)*((~c)*(~d)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g)) - ((~b)^2*(~e)*(~g) - (~b)*(~c)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)) + 2*(~c)*((~c)*(~d)*(~f) - (~a)*(~e)*(~g)))*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) - ((~b)^2*(~e)*(~g)*((~p) + 2) - 2*(~a)*(~c)*(~e)*(~g) + (~c)*(2*(~c)*(~d)*(~f) - (~b)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)))*(2*(~p) + 3))⨸((~c)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))*∫(((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_16",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) ?
+((~a)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)) - ((~c)*(~d)*(~f) - (~a)*(~e)*(~g))*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~a)* (~c)*((~p) + 1)) - ((~a)*(~e)*(~g) - (~c)*(~d)*(~f)*(2*(~p) + 3))⨸(2*(~a)*(~c)*((~p) + 1))* ∫(((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_17",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(le((~p), -1)) ?
+-((~b)*(~e)*(~g)*((~p) + 2) - (~c)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g))*(2*(~p) + 3) - 2*(~c)*(~e)*(~g)*((~p) + 1)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2* (~c)^2*((~p) + 1)*(2*(~p) + 3)) + ((~b)^2*(~e)*(~g)*((~p) + 2) - 2*(~a)*(~c)*(~e)*(~g) + (~c)*(2*(~c)*(~d)*(~f) - (~b)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)))*(2*(~p) + 3))⨸(2*(~c)^2*(2*(~p) + 3))* ∫(((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_18",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !(le((~p), -1)) ?
+(((~e)*(~f) + (~d)*(~g))*(2*(~p) + 3) + 2*(~e)*(~g)*((~p) + 1)*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~c)*((~p) + 1)*(2*(~p) + 3)) - ((~a)*(~e)*(~g) - (~c)*(~d)*(~f)*(2*(~p) + 3))⨸((~c)*(2*(~p) + 3))*∫(((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_19",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+1⨸(~e)^(~p)*∫(((~e)*(~x))^((~m) + (~p))*((~f) + (~g)*(~x))*((~b) + (~c)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_20",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + (~p))*((~f) + (~g)*(~x))*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_21",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a), 0) &&
+        gt((~d), 0) &&
+        eq((~m) + (~p), 0)
+    ) ?
+∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + (~p))*((~f) + (~g)*(~x))*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_22",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~p))) &&
+    ilt((~m), 0) ?
+(~d)^(~m)*(~e)^(~m)* ∫(((~f) + (~g)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~m) + (~p))⨸((~a)*(~e) + (~c)*(~d)*(~x))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_23",
+@rule ∫((~x)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ilt((~m), 0) &&
+    eq((~m), -1) &&
+    !(ilt((~p) - 1/2, 0)) ?
+(~d)^(~m)*(~e)^(~m)*∫((~x)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~m) + (~p))⨸((~a)*(~e) + (~c)*(~d)*(~x))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_24",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    eq((~m)*((~g)*((~c)*(~d) - (~b)*(~e)) + (~c)*(~e)*(~f)) + (~e)*((~p) + 1)*(2*(~c)*(~f) - (~b)*(~g)), 0) ?
+(~g)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 2)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_25",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    eq((~m)*((~d)*(~g) + (~e)*(~f)) + 2*(~e)*(~f)*((~p) + 1), 0) ?
+(~g)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 2)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_26",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 0) ?
+((~g)*((~c)*(~d) - (~b)*(~e)) + (~c)*(~e)*(~f))*((~d) + (~e)*(~x))^ (~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~p) + 1)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))) - (~e)*((~m)*((~g)*((~c)*(~d) - (~b)*(~e)) + (~c)*(~e)*(~f)) + (~e)*((~p) + 1)*(2*(~c)*(~f) - (~b)*(~g)))⨸((~c)*((~p) + 1)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_27",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 0) ?
+((~d)*(~g) + (~e)*(~f))*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~c)*(~d)*((~p) + 1)) - (~e)*((~m)*((~d)*(~g) + (~e)*(~f)) + 2*(~e)*(~f)*((~p) + 1))⨸(2*(~c)*(~d)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_28",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    sumsimpler((~p), 1) &&
+    sumsimpler((~m), -1) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+((~g)*((~c)*(~d) - (~b)*(~e)) + (~c)*(~e)*(~f))*((~d) + (~e)*(~x))^ (~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~p) + 1)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))) - (~e)*((~m)*((~g)*((~c)*(~d) - (~b)*(~e)) + (~c)*(~e)*(~f)) + (~e)*((~p) + 1)*(2*(~c)*(~f) - (~b)*(~g)))⨸((~c)*((~p) + 1)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^simplify((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^ simplify((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_29",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    sumsimpler((~p), 1) &&
+    sumsimpler((~m), -1) &&
+    !eq((~p), -1) &&
+    !(igt((~m), 0)) ?
+((~d)*(~g) + (~e)*(~f))*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~c)*(~d)*((~p) + 1)) - (~e)*((~m)*((~d)*(~g) + (~e)*(~f)) + 2*(~e)*(~f)*((~p) + 1))⨸(2*(~c)*(~d)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^simplify((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^simplify((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_30",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    (
+        lt((~m), -1) &&
+        !(igt((~m) + (~p) + 1, 0)) ||
+        lt((~m), 0) &&
+        lt((~p), -1) ||
+        eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0)
+    ) &&
+    !eq((~m) + (~p) + 1, 0) ?
+((~d)*(~g) - (~e)*(~f))*((~d) + (~e)*(~x))^ (~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*((~m) + (~p) + 1)) + ((~m)*((~g)*((~c)*(~d) - (~b)*(~e)) + (~c)*(~e)*(~f)) + (~e)*((~p) + 1)*(2*(~c)*(~f) - (~b)*(~g)))⨸((~e)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*((~m) + (~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_31",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    (
+        lt((~m), -1) &&
+        !(igt((~m) + (~p) + 1, 0)) ||
+        lt((~m), 0) &&
+        lt((~p), -1) ||
+        eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0)
+    ) &&
+    !eq((~m) + (~p) + 1, 0) ?
+((~d)*(~g) - (~e)*(~f))*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~c)*(~d)*((~m) + (~p) + 1)) + ((~m)*((~g)*(~c)*(~d) + (~c)*(~e)*(~f)) + 2*(~e)*(~c)*(~f)*((~p) + 1))⨸((~e)*(2*(~c)*(~d))*((~m) + (~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_32",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    (
+        !eq((~m), 2) ||
+        eq((~d), 0)
+    ) ?
+(~g)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 2)) + ((~m)*((~g)*((~c)*(~d) - (~b)*(~e)) + (~c)*(~e)*(~f)) + (~e)*((~p) + 1)*(2*(~c)*(~f) - (~b)*(~g)))⨸((~c)* (~e)*((~m) + 2*(~p) + 2))*∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_33",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    !eq((~m), 2) ?
+(~g)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 2)) + ((~m)*((~d)*(~g) + (~e)*(~f)) + 2*(~e)*(~f)*((~p) + 1))⨸((~e)*((~m) + 2*(~p) + 2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_34",
+@rule ∫((~x)^2*((~f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~a)*(~g)^2 + (~f)^2*(~c), 0) &&
+    lt((~p), -2) ?
+(~x)^2*((~a)*(~g) - (~c)*(~f)*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~a)*(~c)*((~p) + 1)) - 1⨸(2*(~a)*(~c)*((~p) + 1))* ∫((~x)*simp(2*(~a)*(~g) - (~c)*(~f)*(2*(~p) + 5)*(~x), (~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_35",
+@rule ∫((~x)^2*((~f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)*(~g)^2 + (~f)^2*(~c), 0) ?
+1⨸(~c)*∫(((~f) + (~g)*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) - (~a)⨸(~c)*∫(((~f) + (~g)*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_36",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~f)^2 - (~b)*(~f)*(~g) + (~a)*(~g)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^((~p) + 1)*((~a)⨸(~f) + (~c)⨸(~g)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_37",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~f)^2 + (~a)*(~g)^2, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a), 0) &&
+        gt((~f), 0) &&
+        eq((~p), -1)
+    ) ?
+∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^((~p) + 1)*((~a)⨸(~f) + (~c)⨸(~g)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_38",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_39",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))/((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))⨸((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_40",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    eq(simplify((~m) + 2*(~p) + 3), 0) &&
+    eq((~b)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)) - 2*((~c)*(~d)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g)), 0) ?
+-((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*((~p) + 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_41",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    eq(simplify((~m) + 2*(~p) + 3), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g), 0) ?
+-((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*((~p) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_42",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    eq(simplify((~m) + 2*(~p) + 3), 0) &&
+    lt((~p), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^ (~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~b)*(~f) - 2*(~a)*(~g) + (2*(~c)*(~f) - (~b)*(~g))*(~x))⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) - (~m)*((~b)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)) - 2*((~c)*(~d)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g)))⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_43",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    eq(simplify((~m) + 2*(~p) + 3), 0) &&
+    lt((~p), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a)*(~g) - (~c)*(~f)*(~x))⨸(2*(~a)*(~c)*((~p) + 1)) - (~m)*((~c)*(~d)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g))⨸(2*(~a)*(~c)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_44",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    eq(simplify((~m) + 2*(~p) + 3), 0) ?
+-((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*((~p) + 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)) - ((~b)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)) - 2*((~c)*(~d)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g)))⨸(2*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_45",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    eq(simplify((~m) + 2*(~p) + 3), 0) ?
+-((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*((~p) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)) + ((~c)*(~d)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g))⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_46",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !(isrational((~m))) &&
+    !(igt((~p), 0)) ?
+(~f)*∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) + (~g)⨸(~e)*∫(((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_47",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~m), (~p)) &&
+    eq((~b)*(~d) + (~a)*(~e), 0) &&
+    eq((~c)*(~d) + (~b)*(~e), 0) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^ fracpart((~p))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^fracpart((~p))⨸((~a)*(~d) + (~c)*(~e)*(~x)^3)^ fracpart((~p))*∫(((~f) + (~g)*(~x))*((~a)*(~d) + (~c)*(~e)*(~x)^3)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_48",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~m), -2) &&
+    lt((~m) + 2*(~p), 0) &&
+    !(ilt((~m) + 2*(~p) + 3, 0)) ?
+-((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^ (~p)⨸((~e)^2*((~m) + 1)*((~m) + 2)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2))* (((~d)*(~g) - (~e)*(~f)*((~m) + 2))*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2) - (~d)*(~p)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)) - (~e)*((~g)*((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2) + (~p)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))*(~x)) - (~p)⨸((~e)^2*((~m) + 1)*((~m) + 2)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1)* simp(2*(~a)*(~c)*(~e)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~m) + 2) + (~b)^2*(~e)*((~d)*(~g)*((~p) + 1) - (~e)*(~f)*((~m) + (~p) + 2)) + (~b)*((~a)*(~e)^2*(~g)*((~m) + 1) - (~c)*(~d)*((~d)*(~g)*(2*(~p) + 1) - (~e)*(~f)*((~m) + 2*(~p) + 2))) - (~c)*(2*(~c)*(~d)*((~d)*(~g)*(2*(~p) + 1) - (~e)*(~f)*((~m) + 2*(~p) + 2)) - (~e)*(2*(~a)*(~e)*(~g)*((~m) + 1) - (~b)*((~d)*(~g)*((~m) - 2*(~p)) + (~e)*(~f)*((~m) + 2*(~p) + 2))))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_49",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~m), -2) &&
+    lt((~m) + 2*(~p), 0) &&
+    !(ilt((~m) + 2*(~p) + 3, 0)) ?
+-((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^ (~p)⨸((~e)^2*((~m) + 1)*((~m) + 2)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2))* (((~d)*(~g) - (~e)*(~f)*((~m) + 2))*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2) - 2*(~c)*(~d)^2*(~p)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)) - (~e)*((~g)*((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2) + 2*(~c)*(~d)*(~p)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))*(~x)) - (~p)⨸((~e)^2*((~m) + 1)*((~m) + 2)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1)* simp(2*(~a)*(~c)*(~e)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~m) + 2) - (~c)*(2*(~c)*(~d)*((~d)*(~g)*(2*(~p) + 1) - (~e)*(~f)*((~m) + 2*(~p) + 2)) - 2*(~a)*(~e)^2*(~g)*((~m) + 1))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_50",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    isrational((~p)) &&
+    (~p) > 0 &&
+    (
+        lt((~m), -1) ||
+        eq((~p), 1) ||
+        ext_isinteger((~p)) &&
+        !(isrational((~m)))
+    ) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    !(ilt((~m) + 2*(~p) + 1, 0)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p))
+    ) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~e)*(~f)*((~m) + 2*(~p) + 2) - (~d)*(~g)*(2*(~p) + 1) + (~e)*(~g)*((~m) + 1)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸((~e)^2*((~m) + 1)*((~m) + 2*(~p) + 2)) + (~p)⨸((~e)^2*((~m) + 1)*((~m) + 2*(~p) + 2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1)* simp((~g)*((~b)*(~d) + 2*(~a)*(~e) + 2*(~a)*(~e)*(~m) + 2*(~b)*(~d)*(~p)) - (~f)*(~b)*(~e)*((~m) + 2*(~p) + 2) + ((~g)*(2*(~c)*(~d) + (~b)*(~e) + (~b)*(~e)*(~m) + 4*(~c)*(~d)*(~p)) - 2*(~c)*(~e)*(~f)*((~m) + 2*(~p) + 2))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_51",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    isrational((~p)) &&
+    (~p) > 0 &&
+    (
+        lt((~m), -1) ||
+        eq((~p), 1) ||
+        ext_isinteger((~p)) &&
+        !(isrational((~m)))
+    ) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    !(ilt((~m) + 2*(~p) + 1, 0)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p))
+    ) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~e)*(~f)*((~m) + 2*(~p) + 2) - (~d)*(~g)*(2*(~p) + 1) + (~e)*(~g)*((~m) + 1)*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸((~e)^2*((~m) + 1)*((~m) + 2*(~p) + 2)) + (~p)⨸((~e)^2*((~m) + 1)*((~m) + 2*(~p) + 2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1)* simp((~g)*(2*(~a)*(~e) + 2*(~a)*(~e)*(~m)) + ((~g)*(2*(~c)*(~d) + 4*(~c)*(~d)*(~p)) - 2*(~c)*(~e)*(~f)*((~m) + 2*(~p) + 2))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_52",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        !(isrational((~m))) ||
+        ge((~m), -1) &&
+        lt((~m), 0)
+    ) &&
+    !(ilt((~m) + 2*(~p), 0)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p))
+    ) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~c)*(~e)*(~f)*((~m) + 2*(~p) + 2) - (~g)*((~c)*(~d) + 2*(~c)*(~d)*(~p) - (~b)*(~e)*(~p)) + (~g)*(~c)*(~e)*((~m) + 2*(~p) + 1)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸ ((~c)*(~e)^2*((~m) + 2*(~p) + 1)*((~m) + 2*(~p) + 2)) - (~p)⨸((~c)*(~e)^2*((~m) + 2*(~p) + 1)*((~m) + 2*(~p) + 2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1)* simp((~c)*(~e)*(~f)*((~b)*(~d) - 2*(~a)*(~e))*((~m) + 2*(~p) + 2) + (~g)*((~a)*(~e)*((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d)*(~m) + (~b)*(~e)*(~m)) + (~b)*(~d)*((~b)*(~e)*(~p) - (~c)*(~d) - 2*(~c)*(~d)*(~p))) + ((~c)*(~e)*(~f)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*((~m) + 2*(~p) + 2) + (~g)*((~b)^2*(~e)^2*((~p) + (~m) + 1) - 2*(~c)^2*(~d)^2*(1 + 2*(~p)) - (~c)*(~e)*((~b)*(~d)*((~m) - 2*(~p)) + 2*(~a)*(~e)*((~m) + 2*(~p) + 1))))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_53",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        !(isrational((~m))) ||
+        ge((~m), -1) &&
+        lt((~m), 0)
+    ) &&
+    !(ilt((~m) + 2*(~p), 0)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p))
+    ) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~c)*(~e)*(~f)*((~m) + 2*(~p) + 2) - (~g)*(~c)*(~d)*(2*(~p) + 1) + (~g)*(~c)*(~e)*((~m) + 2*(~p) + 1)*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸ ((~c)*(~e)^2*((~m) + 2*(~p) + 1)*((~m) + 2*(~p) + 2)) + 2*(~p)⨸((~c)*(~e)^2*((~m) + 2*(~p) + 1)*((~m) + 2*(~p) + 2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1)* simp((~f)*(~a)*(~c)*(~e)^2*((~m) + 2*(~p) + 2) + (~a)*(~c)*(~d)*(~e)*(~g)* (~m) - ((~c)^2*(~f)*(~d)*(~e)*((~m) + 2*(~p) + 2) - (~g)*((~c)^2*(~d)^2*(2*(~p) + 1) + (~a)*(~c)*(~e)^2*((~m) + 2*(~p) + 1)))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_54",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ilt((~p), -1) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    isrational((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g)) ?
+∫(((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)*ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_55",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ilt((~p), -1) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    isrational((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g)) ?
+∫(((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p)*ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_56",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    (
+        eq((~m), 2) &&
+        eq((~p), -3) &&
+        isrational((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g)) ||
+        !(ilt((~m) + 2*(~p) + 3, 0))
+    ) ?
+-((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)*(2*(~a)*(~c)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)) - (~b)*((~c)*(~d)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g)) - (2*(~c)^2*(~d)*(~f) + (~b)^2*(~e)*(~g) - (~c)*((~b)*(~e)*(~f) + (~b)*(~d)*(~g) + 2*(~a)*(~e)*(~g)))*(~x))⨸ ((~c)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) - 1⨸((~c)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)* simp(2*(~c)^2*(~d)^2*(~f)*(2*(~p) + 3) + (~b)*(~e)*(~g)*((~a)*(~e)*((~m) - 1) + (~b)*(~d)*((~p) + 2)) - (~c)*(2*(~a)*(~e)*((~e)*(~f)*((~m) - 1) + (~d)*(~g)*(~m)) + (~b)*(~d)*((~d)*(~g)*(2*(~p) + 3) - (~e)*(~f)*((~m) - 2*(~p) - 4))) + (~e)*((~b)^2*(~e)*(~g)*((~m) + (~p) + 1) + 2*(~c)^2*(~d)*(~f)*((~m) + 2*(~p) + 2) - (~c)*(2*(~a)*(~e)*(~g)*(~m) + (~b)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g))*((~m) + 2*(~p) + 2)))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_57",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    (
+        eq((~d), 0) ||
+        eq((~m), 2) &&
+        eq((~p), -3) &&
+        isrational((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g)) ||
+        !(ilt((~m) + 2*(~p) + 3, 0))
+    ) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)) - ((~c)*(~d)*(~f) - (~a)*(~e)*(~g))*(~x))⨸(2*(~a)*(~c)*((~p) + 1)) - 1⨸(2*(~a)*(~c)*((~p) + 1))*∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)* simp((~a)*(~e)*((~e)*(~f)*((~m) - 1) + (~d)*(~g)*(~m)) - (~c)*(~d)^2*(~f)*(2*(~p) + 3) + (~e)*((~a)*(~e)*(~g)*(~m) - (~c)*(~d)*(~f)*((~m) + 2*(~p) + 2))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_58",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p))
+    ) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^ (~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~f)*(~b) - 2*(~a)*(~g) + (2*(~c)*(~f) - (~b)*(~g))*(~x))⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) + 1⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)* simp((~g)*(2*(~a)*(~e)*(~m) + (~b)*(~d)*(2*(~p) + 3)) - (~f)*((~b)*(~e)*(~m) + 2*(~c)*(~d)*(2*(~p) + 3)) - (~e)*(2*(~c)*(~f) - (~b)*(~g))*((~m) + 2*(~p) + 3)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_59",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p))
+    ) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a)*(~g) - (~c)*(~f)*(~x))⨸(2*(~a)*(~c)*((~p) + 1)) - 1⨸(2*(~a)*(~c)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)* simp((~a)*(~e)*(~g)*(~m) - (~c)*(~d)*(~f)*(2*(~p) + 3) - (~c)*(~e)*(~f)*((~m) + 2*(~p) + 3)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_60",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p))
+    ) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~f)*((~b)*(~c)*(~d) - (~b)^2*(~e) + 2*(~a)*(~c)*(~e)) - (~a)*(~g)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)) + (~c)*((~f)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)) - (~g)*((~b)*(~d) - 2*(~a)*(~e)))* (~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸ (((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)) + 1⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)* simp((~f)*((~b)*(~c)*(~d)*(~e)*(2*(~p) - (~m) + 2) + (~b)^2*(~e)^2*((~p) + (~m) + 2) - 2*(~c)^2*(~d)^2*(2*(~p) + 3) - 2*(~a)*(~c)*(~e)^2*((~m) + 2*(~p) + 3)) - (~g)*((~a)*(~e)*((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d)*(~m) + (~b)*(~e)*(~m)) - (~b)*(~d)*(3*(~c)*(~d) - (~b)*(~e) + 2*(~c)*(~d)*(~p) - (~b)*(~e)*(~p))) + (~c)*(~e)*((~g)*((~b)*(~d) - 2*(~a)*(~e)) - (~f)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)))*((~m) + 2*(~p) + 4)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_61",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p))
+    ) ?
+-((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~f)*(~a)*(~c)*(~e) - (~a)*(~g)*(~c)*(~d) + (~c)*((~c)*(~d)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g))*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~a)* (~c)*((~p) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)) + 1⨸(2*(~a)*(~c)*((~p) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)* simp((~f)*((~c)^2*(~d)^2*(2*(~p) + 3) + (~a)*(~c)*(~e)^2*((~m) + 2*(~p) + 3)) - (~a)*(~c)*(~d)*(~e)*(~g)*(~m) + (~c)*(~e)*((~c)*(~d)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g))*((~m) + 2*(~p) + 4)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_62",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    isfraction((~m)) &&
+    gt((~m), 0) ?
+(~g)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)⨸((~c)*(~m)) + 1⨸(~c)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)* simp((~c)*(~d)*(~f) - (~a)*(~e)*(~g) + ((~g)*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)*(~g) + (~c)*(~e)*(~f))*(~x), (~x))⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_63",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))/((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    isfraction((~m)) &&
+    gt((~m), 0) ?
+(~g)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)⨸((~c)*(~m)) + 1⨸(~c)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)* simp((~c)*(~d)*(~f) - (~a)*(~e)*(~g) + ((~g)*(~c)*(~d) + (~c)*(~e)*(~f))*(~x), (~x))⨸((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_64",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))/(sqrt((~!d) + (~!e)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+2*int_and_subst(((~e)*(~f) - (~d)*(~g) + (~g)*(~x)^2)⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2 - (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4),  (~x), (~x), sqrt((~d) + (~e)*(~x)), "1_2_1_3_64") : nothing)
+
+("1_2_1_3_65",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))/(sqrt((~!d) + (~!e)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+2*int_and_subst(((~e)*(~f) - (~d)*(~g) + (~g)*(~x)^2)⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2 - 2*(~c)*(~d)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4),  (~x), (~x), sqrt((~d) + (~e)*(~x)), "1_2_1_3_65") : nothing)
+
+("1_2_1_3_66",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    isfraction((~m)) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)) + 1⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)* simp((~c)*(~d)*(~f) - (~f)*(~b)*(~e) + (~a)*(~e)*(~g) - (~c)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*(~x), (~x))⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_67",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))/((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    isfraction((~m)) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)) + 1⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)* simp((~c)*(~d)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g) - (~c)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*(~x), (~x))⨸((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_68",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(isrational((~m))) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m), ((~f) + (~g)*(~x))⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_69",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))/((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(isrational((~m))) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m), ((~f) + (~g)*(~x))⨸((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_70",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p))
+    ) &&
+    !(
+        igt((~m), 0) &&
+        eq((~f), 0)
+    ) ?
+(~g)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 2)) + 1⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 2))*∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)* simp((~m)*((~c)*(~d)*(~f) - (~a)*(~e)*(~g)) + (~d)*(2*(~c)*(~f) - (~b)*(~g))*((~p) + 1) + ((~m)*((~c)*(~e)*(~f) + (~c)*(~d)*(~g) - (~b)*(~e)*(~g)) + (~e)*((~p) + 1)*(2*(~c)*(~f) - (~b)*(~g)))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_71",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p))
+    ) &&
+    !(
+        igt((~m), 0) &&
+        eq((~f), 0)
+    ) ?
+(~g)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 2)) + 1⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 2))*∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p)* simp((~c)*(~d)*(~f)*((~m) + 2*(~p) + 2) - (~a)*(~e)*(~g)*(~m) + (~c)*((~e)*(~f)*((~m) + 2*(~p) + 2) + (~d)*(~g)*(~m))*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_72",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p))
+    ) ?
+((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)) + 1⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)* simp(((~c)*(~d)*(~f) - (~f)*(~b)*(~e) + (~a)*(~e)*(~g))*((~m) + 1) + (~b)*((~d)*(~g) - (~e)*(~f))*((~p) + 1) - (~c)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~m) + 2*(~p) + 3)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_73",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p))
+    ) ?
+((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)) + 1⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p)* simp(((~c)*(~d)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g))*((~m) + 1) - (~c)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~m) + 2*(~p) + 3)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_74",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ilt(simplify((~m) + 2*(~p) + 3), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)) + 1⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)* simp(((~c)*(~d)*(~f) - (~f)*(~b)*(~e) + (~a)*(~e)*(~g))*((~m) + 1) + (~b)*((~d)*(~g) - (~e)*(~f))*((~p) + 1) - (~c)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~m) + 2*(~p) + 3)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_75",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ilt(simplify((~m) + 2*(~p) + 3), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)) + 1⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p)* simp(((~c)*(~d)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g))*((~m) + 1) - (~c)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~m) + 2*(~p) + 3)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_76",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))/(((~!d) + (~!e)*(~x))*sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq(4*(~c)*((~a) - (~d)) - ((~b) - (~e))^2, 0) &&
+    eq((~e)*(~f)*((~b) - (~e)) - 2*(~g)*((~b)*(~d) - (~a)*(~e)), 0) &&
+    !eq((~b)*(~d) - (~a)*(~e), 0) ?
+4*(~f)*((~a) - (~d))⨸((~b)*(~d) - (~a)*(~e))* int_and_subst(1⨸(4*((~a) - (~d)) - (~x)^2),  (~x), (~x), (2*((~a) - (~d)) + ((~b) - (~e))*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), "1_2_1_3_76") : nothing)
+
+("1_2_1_3_77",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))/(sqrt((~x))*sqrt((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+2*int_and_subst(((~f) + (~g)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4),  (~x), (~x), sqrt((~x)), "1_2_1_3_77") : nothing)
+
+("1_2_1_3_78",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))/(sqrt((~x))*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~f), (~g), (~x)) ?
+2*int_and_subst(((~f) + (~g)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4),  (~x), (~x), sqrt((~x)), "1_2_1_3_78") : nothing)
+
+("1_2_1_3_79",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))/(sqrt((~e)*(~x))*sqrt((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+sqrt((~x))⨸sqrt((~e)*(~x))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))⨸(sqrt((~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_80",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))/(sqrt((~e)*(~x))*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~e), (~f), (~g), (~x)) ?
+sqrt((~x))⨸sqrt((~e)*(~x))*∫(((~f) + (~g)*(~x))⨸(sqrt((~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_81",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(igt((~m), 0)) ?
+(~g)⨸(~e)*∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) + ((~e)*(~f) - (~d)*(~g))⨸(~e)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_3_82",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(igt((~m), 0)) ?
+(~g)⨸(~e)*∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) + ((~e)*(~f) - (~d)*(~g))⨸(~e)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.4 (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.4 (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..0d599d16
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.4 (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p.jl	
@@ -0,0 +1,1292 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.2.1.4 (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p *)
+("1_2_1_4_1",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~f) + (~!g)*(~x))^(~!n)*((~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~f), (~g), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~f)*((~m) + 2) - (~b)*(~g)*((~m) + (~n) + 3), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 3, 0) ?
+(~c)*(~x)^((~m) + 2)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)⨸((~g)*((~m) + (~n) + 3)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_2",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^ fracpart((~p))⨸((~c)^intpart((~p))*((~b)⨸2 + (~c)*(~x))^(2*fracpart((~p))))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~b)⨸2 + (~c)*(~x))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_3",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    !(igt((~n), 0)) ?
+∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + (~p))*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_4",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        gt((~a), 0) &&
+        gt((~d), 0) &&
+        eq((~m) + (~p), 0)
+    ) ?
+∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + (~p))*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_5",
+@rule ∫((~x)^(~!n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p)/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    (
+        !(ext_isinteger((~n))) ||
+        !(ext_isinteger(2*(~p))) ||
+        igt((~n), 2) ||
+        gt((~p), 0) &&
+        !eq((~n), 2)
+    ) ?
+∫((~x)^(~n)*((~a)⨸(~d) + (~c)*(~x)⨸(~e))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_6",
+@rule ∫((~x)^(~!n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p)/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    (
+        !(ext_isinteger((~n))) ||
+        !(ext_isinteger(2*(~p))) ||
+        igt((~n), 2) ||
+        gt((~p), 0) &&
+        !eq((~n), 2)
+    ) ?
+∫((~x)^(~n)*((~a)⨸(~d) + (~c)*(~x)⨸(~e))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_7",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ilt((~m), 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    (
+        lt((~n), 0) ||
+        gt((~p), 0)
+    ) ?
+∫(((~a)⨸(~d) + (~c)*(~x)⨸(~e))^(-(~m))*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~m) + (~p)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_8",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~f), 0) &&
+    ilt((~m), -1) &&
+    !(
+        igt((~n), 0) &&
+        ilt((~m) + (~n), 0) &&
+        !(gt((~p), 1))
+    ) ?
+(~d)^(2*(~m))⨸(~a)^(~m)*∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~m) + (~p))⨸((~d) - (~e)*(~x))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_9",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ilt((~m), 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+(~d)^(2*(~m))⨸(~a)^(~m)*∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~m) + (~p))⨸((~d) - (~e)*(~x))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_10",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p)/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ilt((~n) + 2*(~p), 0) ?
+-(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*((~f) + (~g)*(~x))^ (~n)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~e)*(~p)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))*((~d) + (~e)*(~x))) - 1⨸((~d)*(~e)*(~p)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))*∫(((~f) + (~g)*(~x))^((~n) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)* simp((~b)*((~a)*(~e)*(~g)*(~n) - (~c)*(~d)*(~f)*(2*(~p) + 1)) - 2*(~a)*(~c)*((~d)*(~g)*(~n) - (~e)*(~f)*(2*(~p) + 1)) - (~c)*(~g)*((~b)*(~d) - 2*(~a)*(~e))*((~n) + 2*(~p) + 1)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_11",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p)/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ilt((~n) + 2*(~p), 0) ?
+(~d)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~a)*(~e)*(~p)*((~d) + (~e)*(~x))) - 1⨸(2*(~d)*(~e)*(~p))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^((~n) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p)* simp((~d)*(~g)*(~n) - (~e)*(~f)*(2*(~p) + 1) - (~e)*(~g)*((~n) + 2*(~p) + 1)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_12",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p)/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    ilt((~n) + 2*(~p), 0) &&
+    !(igt((~n), 0)) ?
+((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^ (~p)*((~c)*(~d) - (~b)*(~e) - (~c)*(~e)*(~x))⨸((~p)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))) + 1⨸((~p)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^ (~p)*((~b)*(~e)*(~g)*((~n) + (~p) + 1) + (~c)*(~e)*(~f)*(2*(~p) + 1) - (~c)*(~d)*(~g)*((~n) + 2*(~p) + 1) + (~c)*(~e)*(~g)*((~n) + 2*(~p) + 2)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_13",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p)/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    ilt((~n) + 2*(~p), 0) &&
+    !(igt((~n), 0)) ?
+(~d)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~a)* (~p)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~d) + (~e)*(~x))) + 1⨸((~p)*(2*(~c)*(~d))*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^ (~p)*((~c)*(~e)*(~f)*(2*(~p) + 1) - (~c)*(~d)*(~g)*((~n) + 2*(~p) + 1) + (~c)*(~e)*(~g)*((~n) + 2*(~p) + 2)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_14",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p), 0) &&
+    eq((~c)*(~e)*(~f) + (~c)*(~d)*(~g) - (~b)*(~e)*(~g), 0) &&
+    !eq((~m) - (~n) - 1, 0) ?
+-(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^ (~n)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) - (~n) - 1)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_15",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p), 0) &&
+    eq((~e)*(~f) + (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~m) - (~n) - 1, 0) ?
+-(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^ (~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) - (~n) - 1)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_16",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p), 0) &&
+    eq((~m) - (~n) - 2, 0) ?
+-(~e)^2*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~n) + 1)*((~c)*(~e)*(~f) + (~c)*(~d)*(~g) - (~b)*(~e)*(~g))) : nothing)
+
+("1_2_1_4_17",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p), 0) &&
+    eq((~m) - (~n) - 2, 0) ?
+-(~e)^2*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~n) + 1)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g))) : nothing)
+
+("1_2_1_4_18",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~n) + (~p)) &&
+        le((~n) + (~p) + 2, 0)
+    ) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸((~g)*((~n) + 1)) + (~c)*(~m)⨸((~e)*(~g)*((~n) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_19",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~n) + (~p)) &&
+        le((~n) + (~p) + 2, 0)
+    ) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸((~g)*((~n) + 1)) + (~c)*(~m)⨸((~e)*(~g)*((~n) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_20",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !eq((~m) - (~n) - 1, 0) &&
+    !(igt((~n), 0)) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~n) + (~p)) &&
+        lt((~n) + (~p) + 2, 0)
+    ) &&
+    isrational((~n)) ?
+-((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^ (~p)⨸((~g)*((~m) - (~n) - 1)) - (~m)*((~c)*(~e)*(~f) + (~c)*(~d)*(~g) - (~b)*(~e)*(~g))⨸((~e)^2*(~g)*((~m) - (~n) - 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_21",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !eq((~m) - (~n) - 1, 0) &&
+    !(igt((~n), 0)) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~n) + (~p)) &&
+        lt((~n) + (~p) + 2, 0)
+    ) &&
+    isrational((~n)) ?
+-((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸((~g)*((~m) - (~n) - 1)) - (~c)*(~m)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g))⨸((~e)^2*(~g)*((~m) - (~n) - 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_22",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^ (~n)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~p) + 1)) - (~e)*(~g)*(~n)⨸((~c)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_23",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~p) + 1)) - (~e)*(~g)*(~n)⨸((~c)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_24",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    isrational((~n)) ?
+(~e)^2*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~p) + 1)*((~c)*(~e)*(~f) + (~c)*(~d)*(~g) - (~b)*(~e)*(~g))) + (~e)^2*(~g)*((~m) - (~n) - 2)⨸(((~p) + 1)*((~c)*(~e)*(~f) + (~c)*(~d)*(~g) - (~b)*(~e)*(~g)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_25",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    isrational((~n)) ?
+(~e)^2*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~p) + 1)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g))) + (~e)^2*(~g)*((~m) - (~n) - 2)⨸((~c)*((~p) + 1)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_26",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p), 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    !eq((~m) - (~n) - 1, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~p)) ||
+        ext_isinteger((~n))
+    ) ?
+-(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^ (~n)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) - (~n) - 1)) - (~n)*((~c)*(~e)*(~f) + (~c)*(~d)*(~g) - (~b)*(~e)*(~g))⨸((~c)*(~e)*((~m) - (~n) - 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_27",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p), 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    !eq((~m) - (~n) - 1, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~p)) ||
+        ext_isinteger((~n))
+    ) ?
+-(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^ (~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) - (~n) - 1)) - (~n)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g))⨸((~e)*((~m) - (~n) - 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_28",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p), 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+-(~e)^2*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~n) + 1)*((~c)*(~e)*(~f) + (~c)*(~d)*(~g) - (~b)*(~e)*(~g))) - (~c)*(~e)*((~m) - (~n) - 2)⨸(((~n) + 1)*((~c)*(~e)*(~f) + (~c)*(~d)*(~g) - (~b)*(~e)*(~g)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_29",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p), 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+-(~e)^2*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(((~n) + 1)*((~c)*(~e)*(~f) + (~c)*(~d)*(~g))) - (~e)*((~m) - (~n) - 2)⨸(((~n) + 1)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_30",
+@rule ∫(sqrt((~d) + (~!e)*(~x))/(((~!f) + (~!g)*(~x))*sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+2*(~e)^2* int_and_subst(1⨸((~c)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)) - (~b)*(~e)*(~g) + (~e)^2*(~g)*(~x)^2),  (~x), (~x), sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)), "1_2_1_4_30") : nothing)
+
+("1_2_1_4_31",
+@rule ∫(sqrt((~d) + (~!e)*(~x))/(((~!f) + (~!g)*(~x))*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+2*(~e)^2* int_and_subst(1⨸((~c)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)) + (~e)^2*(~g)*(~x)^2),  (~x), (~x), sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)), "1_2_1_4_31") : nothing)
+
+("1_2_1_4_32",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p) - 1, 0) &&
+    eq((~b)*(~e)*(~g)*((~n) + 1) + (~c)*(~e)*(~f)*((~p) + 1) - (~c)*(~d)*(~g)*(2*(~n) + (~p) + 3), 0) &&
+    !eq((~n) + (~p) + 2, 0) ?
+(~e)^2*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*(~g)*((~n) + (~p) + 2)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_33",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p) - 1, 0) &&
+    eq((~e)*(~f)*((~p) + 1) - (~d)*(~g)*(2*(~n) + (~p) + 3), 0) &&
+    !eq((~n) + (~p) + 2, 0) ?
+(~e)^2*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)* (~g)*((~n) + (~p) + 2)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_34",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p) - 1, 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+(~e)^2*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~g)*((~n) + 1)*((~c)*(~e)*(~f) + (~c)*(~d)*(~g) - (~b)*(~e)*(~g))) - (~e)*((~b)*(~e)*(~g)*((~n) + 1) + (~c)*(~e)*(~f)*((~p) + 1) - (~c)*(~d)*(~g)*(2*(~n) + (~p) + 3))⨸((~g)*((~n) + 1)*((~c)*(~e)*(~f) + (~c)*(~d)*(~g) - (~b)*(~e)*(~g)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_35",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p) - 1, 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+(~e)^2*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)* (~g)*((~n) + 1)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g))) - (~e)*((~e)*(~f)*((~p) + 1) - (~d)*(~g)*(2*(~n) + (~p) + 3))⨸((~g)*((~n) + 1)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_36",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p) - 1, 0) &&
+    !(lt((~n), -1)) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+(~e)^2*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*(~g)*((~n) + (~p) + 2)) - ((~b)*(~e)*(~g)*((~n) + 1) + (~c)*(~e)*(~f)*((~p) + 1) - (~c)*(~d)*(~g)*(2*(~n) + (~p) + 3))⨸((~c)* (~g)*((~n) + (~p) + 2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_37",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p) - 1, 0) &&
+    !(lt((~n), -1)) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+(~e)^2*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)* (~g)*((~n) + (~p) + 2)) - ((~e)*(~f)*((~p) + 1) - (~d)*(~g)*(2*(~n) + (~p) + 3))⨸((~g)*((~n) + (~p) + 2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_38",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ilt((~m), 0) &&
+    (
+        ilt((~n), 0) ||
+        igt((~n), 0) &&
+        ilt((~p) + 1/2, 0)
+    ) &&
+    !(igt((~n), 0)) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_39",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) &&
+    ilt((~m), 0) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    !(igt((~n), 0)) ?
+∫(ext_expand( 1⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2), ((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_40",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ilt((~m), 0) &&
+    (
+        ilt((~n), 0) ||
+        igt((~n), 0) &&
+        ilt((~p) + 1/2, 0)
+    ) &&
+    !(igt((~n), 0)) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_41",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ilt((~p) + 1/2, 0) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !(igt((~n), 0)) ?
+poly_remainder(((~f) + (~g)*(~x))^(~n), (~a)*(~e) + (~c)*(~d)*(~x), (~x))*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*((~d) + (~e)*(~x))^ (~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~e)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) + 1⨸(((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)* expand_to_sum( (~d)*(~e)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))*poly_quotient(((~f) + (~g)*(~x))^(~n), (~a)*(~e) + (~c)*(~d)*(~x), (~x)) - poly_remainder(((~f) + (~g)*(~x))^(~n), (~a)*(~e) + (~c)*(~d)*(~x), (~x))*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*((~m) + 2*(~p) + 2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_42",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ilt((~p) + 1/2, 0) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !(igt((~n), 0)) ?
+-(~d)*poly_remainder(((~f) + (~g)*(~x))^(~n), (~a)*(~e) + (~c)*(~d)*(~x), (~x))*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~a)*(~e)*((~p) + 1)) + (~d)⨸(2*(~a)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)* expand_to_sum(2*(~a)*(~e)*((~p) + 1)*poly_quotient(((~f) + (~g)*(~x))^(~n), (~a)*(~e) + (~c)*(~d)*(~x), (~x)) + poly_remainder(((~f) + (~g)*(~x))^(~n), (~a)*(~e) + (~c)*(~d)*(~x), (~x))*((~m) + 2*(~p) + 2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_43",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~n) + 2*(~p) + 1, 0) &&
+    ilt((~m), 0) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), ((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_44",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~n) + 2*(~p) + 1, 0) &&
+    ilt((~m), 0) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), ((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(d_.+e_.*x_)^m_.*(f_.+g_.*x_)^n_*(a_.+b_.*x_+c_.*x_^2)^p_,x_ Symbol] := g^n*(d+e*x)^(m+n-1)*(a+b*x+c*x^2)^(p+1)/(c*e^(n-1)*(m+n+2*p+1)) + 1/(c*e^n*(m+n+2*p+1))*Int[(d+e*x)^m*(a+b*x+c*x^2)^p* ExpandToSum[c*e^n*(m+n+2*p+1)*(f+g*x)^n-c*g^n*(m+n+2*p+1)*(d+e*x)^ n+e*g^n*(m+p+n)*(d+e*x)^(n-2)*(b*d-2*a*e+(2*c*d-b*e)*x),x],x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,g,m,p},x] && NeQ[e*f-d*g,0] && NeQ[b^2-4*a*c,0] &&  EqQ[c*d^2-b*d*e+a*e^2,0] && Not[IntegerQ[p]] && NeQ[m+n+2*p+1,0] && IGtQ[n,0] *)
+#(* Int[(d_.+e_.*x_)^m_.*(f_.+g_.*x_)^n_*(a_+c_.*x_^2)^p_,x_Symbol] := g^n*(d+e*x)^(m+n-1)*(a+c*x^2)^(p+1)/(c*e^(n-1)*(m+n+2*p+1)) + 1/(c*e^n*(m+n+2*p+1))*Int[(d+e*x)^m*(a+c*x^2)^p* ExpandToSum[c*e^n*(m+n+2*p+1)*(f+g*x)^n-c*g^n*(m+n+2*p+1)*(d+e*x)^ n-2*e*g^n*(m+p+n)*(d+e*x)^(n-2)*(a*e-c*d*x),x],x] /; FreeQ[{a,c,d,e,f,g,m,p},x] && NeQ[e*f-d*g,0] && EqQ[c*d^2+a*e^2,0] &&  Not[IntegerQ[p]] && NeQ[m+n+2*p+1,0] && IGtQ[n,0] *)
+("1_2_1_4_45",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !(igt((~n), 0)) ?
+((~e)*(~x))^(~m)*((~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p)⨸((~x)^((~m) + (~p))*((~b) + (~c)*(~x))^(~p))* ∫((~x)^((~m) + (~p))*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~b) + (~c)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_46",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    gt((~d), 0) &&
+    !(igt((~m), 0)) &&
+    !(igt((~n), 0)) ?
+∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + (~p))*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+#(* original line: Int[(d_ + e_.*x_)^m_*(f_. + g_.*x_)^n_*(a_. + b_.*x_ + c_.*x_^2)^p_, x_Symbol] := (*(a+b*x+c*x^2)^p/((d+e*x)^p*(a*e+c*d*x)^p)*Int[(d+e*x)^(m+p)*(f+g*x) ^n*(a*e+c*d*x)^p,x] /; *) (a + b*x + c*x^2)^ FracPart[p]/((d + e*x)^FracPart[p]*(a/d + (c*x)/e)^FracPart[p])* Int[(d + e*x)^(m + p)*(f + g*x)^n*(a/d + c/e*x)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n}, x] && NeQ[e*f - d*g, 0] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && Not[IntegerQ[p]] && Not[IGtQ[m, 0]] && Not[IGtQ[n, 0]] *)
+("1_2_1_4_47",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !(igt((~m), 0)) &&
+    !(igt((~n), 0)) ?
+((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^ fracpart((~p))⨸(((~d) + (~e)*(~x))^fracpart((~p))*((~a)⨸(~d) + ((~c)*(~x))⨸(~e))^fracpart((~p)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + (~p))*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_48",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !(igt((~m), 0)) &&
+    !(igt((~n), 0)) ?
+((~a) + (~c)*(~x)^2)^ fracpart((~p))⨸(((~d) + (~e)*(~x))^fracpart((~p))*((~a)⨸(~d) + ((~c)*(~x))⨸(~e))^fracpart((~p)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + (~p))*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_49",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    (
+        eq((~p), 1) &&
+        ext_isinteger((~m), (~n)) ||
+        ilt((~m), 0) &&
+        ilt((~n), 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_50",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    (
+        eq((~p), 1) &&
+        ext_isinteger((~m), (~n)) ||
+        ilt((~m), 0) &&
+        ilt((~n), 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_51",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p)/(((~!d) + (~!e)*(~x))*((~!f) + (~!g)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    isfraction((~p)) &&
+    gt((~p), 0) ?
+((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)⨸((~e)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))* ∫(((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) - 1⨸((~e)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))* ∫(simp((~c)*(~d)*(~f) - (~b)*(~e)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g) - (~c)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*(~x), (~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1)⨸((~f) + (~g)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_52",
+@rule ∫(((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p)/(((~!d) + (~!e)*(~x))*((~!f) + (~!g)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    isfraction((~p)) &&
+    gt((~p), 0) ?
+((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)⨸((~e)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))* ∫(((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) - 1⨸((~e)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))* ∫(simp((~c)*(~d)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g) - (~c)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*(~x), (~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1)⨸((~f) + (~g)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_53",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~n), (~p)) &&
+    isfraction((~m)) ?
+ext_den((~m))⨸(~e)*int_and_subst((~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)*(((~e)*(~f) - (~d)*(~g))⨸(~e) + (~g)*(~x)^ext_den((~m))⨸(~e))^(~n)* (((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)⨸(~e)^2 - (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*(~x)^ext_den((~m))⨸(~e)^2 + (~c)*(~x)^(2*ext_den((~m)))⨸(~e)^2)^(~p),  (~x), (~x), ((~d) + (~e)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "1_2_1_4_53") : nothing)
+
+("1_2_1_4_54",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~n), (~p)) &&
+    isfraction((~m)) ?
+ext_den((~m))⨸(~e)* int_and_subst( (~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)*(((~e)*(~f) - (~d)*(~g))⨸(~e) + (~g)*(~x)^ext_den((~m))⨸(~e))^ (~n)*(((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)⨸(~e)^2 - 2*(~c)*(~d)*(~x)^ext_den((~m))⨸(~e)^2 + (~c)*(~x)^(2*ext_den((~m)))⨸(~e)^2)^(~p),  (~x), (~x), ((~d) + (~e)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "1_2_1_4_54") : nothing)
+
+("1_2_1_4_55",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~m) - (~n), 0) &&
+    eq((~e)*(~f) + (~d)*(~g), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~d), 0) &&
+        gt((~f), 0)
+    ) ?
+∫(((~d)*(~f) + (~e)*(~g)*(~x)^2)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_56",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~m) - (~n), 0) &&
+    eq((~e)*(~f) + (~d)*(~g), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~d), 0) &&
+        gt((~f), 0)
+    ) ?
+∫(((~d)*(~f) + (~e)*(~g)*(~x)^2)^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_57",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~m) - (~n), 0) &&
+    eq((~e)*(~f) + (~d)*(~g), 0) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^ fracpart((~m))*((~f) + (~g)*(~x))^fracpart((~m))⨸((~d)*(~f) + (~e)*(~g)*(~x)^2)^fracpart((~m))* ∫(((~d)*(~f) + (~e)*(~g)*(~x)^2)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_58",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~m) - (~n), 0) &&
+    eq((~e)*(~f) + (~d)*(~g), 0) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^ fracpart((~m))*((~f) + (~g)*(~x))^fracpart((~m))⨸((~d)*(~f) + (~e)*(~g)*(~x)^2)^fracpart((~m))* ∫(((~d)*(~f) + (~e)*(~g)*(~x)^2)^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_59",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    gt((~n), 1) ?
+(~g)⨸(~c)^2* ∫(simp(2*(~c)*(~e)*(~f) + (~c)*(~d)*(~g) - (~b)*(~e)*(~g) + (~c)*(~e)*(~g)*(~x), (~x))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) - 2), (~x)) + 1⨸(~c)^2* ∫(simp( (~c)^2*(~d)*(~f)^2 - 2*(~a)*(~c)*(~e)*(~f)*(~g) - (~a)*(~c)*(~d)*(~g)^2 + (~a)*(~b)*(~e)*(~g)^2 + ((~c)^2*(~e)*(~f)^2 + 2*(~c)^2*(~d)*(~f)*(~g) - 2*(~b)*(~c)*(~e)*(~f)*(~g) - (~b)*(~c)*(~d)*(~g)^2 + (~b)^2*(~e)*(~g)^2 - (~a)*(~c)*(~e)*(~g)^2)*(~x), (~x))* ((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) - 2)⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_60",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)/((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    gt((~n), 1) ?
+(~g)⨸(~c)*∫( simp(2*(~e)*(~f) + (~d)*(~g) + (~e)*(~g)*(~x), (~x))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) - 2), (~x)) + 1⨸(~c)* ∫(simp( (~c)*(~d)*(~f)^2 - 2*(~a)*(~e)*(~f)*(~g) - (~a)*(~d)*(~g)^2 + ((~c)*(~e)*(~f)^2 + 2*(~c)*(~d)*(~f)*(~g) - (~a)*(~e)*(~g)^2)*(~x), (~x))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) - 2)⨸((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_61",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~e)*(~g)⨸(~c)*∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) - 1), (~x)) + 1⨸(~c)* ∫(simp((~c)*(~d)*(~f) - (~a)*(~e)*(~g) + ((~c)*(~e)*(~f) + (~c)*(~d)*(~g) - (~b)*(~e)*(~g))*(~x), (~x))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) - 1)⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_62",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)/((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~e)*(~g)⨸(~c)*∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) - 1), (~x)) + 1⨸(~c)* ∫(simp((~c)*(~d)*(~f) - (~a)*(~e)*(~g) + ((~c)*(~e)*(~f) + (~c)*(~d)*(~g))*(~x), (~x))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) - 1)⨸((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_63",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+-(~g)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))⨸((~c)*(~f)^2 - (~b)*(~f)*(~g) + (~a)*(~g)^2)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n), (~x)) + 1⨸((~c)*(~f)^2 - (~b)*(~f)*(~g) + (~a)*(~g)^2)* ∫( simp((~c)*(~d)*(~f) - (~b)*(~d)*(~g) + (~a)*(~e)*(~g) + (~c)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*(~x), (~x))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_64",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)/((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+-(~g)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))⨸((~c)*(~f)^2 + (~a)*(~g)^2)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n), (~x)) + 1⨸((~c)*(~f)^2 + (~a)*(~g)^2)* ∫( simp((~c)*(~d)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g) + (~c)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*(~x), (~x))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)⨸((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_65",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)/(sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~m) + 1/2, 0) ?
+∫(ext_expand( 1⨸(sqrt((~d) + (~e)*(~x))*sqrt((~f) + (~g)*(~x))), ((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1⨸2)⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_66",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)/(sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))*((~!a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~m) + 1/2, 0) ?
+∫(ext_expand( 1⨸(sqrt((~d) + (~e)*(~x))*sqrt((~f) + (~g)*(~x))), ((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1⨸2)⨸((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_67",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n), 1⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_68",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)/((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n), 1⨸((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_69",
+@rule ∫((~x)^2*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~e)*((~m) + (~p) + 2) + 2*(~c)*(~d)*((~p) + 1), 0) &&
+    eq((~b)*(~d)*((~p) + 1) + (~a)*(~e)*((~m) + 1), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 3, 0) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*(~e)*((~m) + 2*(~p) + 3)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_70",
+@rule ∫((~x)^2*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~d)*((~p) + 1), 0) &&
+    eq((~a)*((~m) + 1), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 3, 0) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~c)*(~e)*((~m) + 2*(~p) + 3)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_71",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~n)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~m) - (~p), 0) &&
+    eq((~b)*(~d) + (~a)*(~e), 0) &&
+    eq((~c)*(~d) + (~b)*(~e), 0) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^ fracpart((~p))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^fracpart((~p))⨸((~a)*(~d) + (~c)*(~e)*(~x)^3)^ fracpart((~p))*∫(((~g)*(~x))^(~n)*((~a)*(~d) + (~c)*(~e)*(~x)^3)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_72",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))* sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸((~e)*((~m) + 1)) - 1⨸(2*(~e)*((~m) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2))* simp((~b)*(~f) + (~a)*(~g) + 2*((~c)*(~f) + (~b)*(~g))*(~x) + 3*(~c)*(~g)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_73",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)⨸((~e)*((~m) + 1)) - 1⨸(2*(~e)*((~m) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2))* simp((~a)*(~g) + 2*(~c)*(~f)*(~x) + 3*(~c)*(~g)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_74",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))* sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    !(lt((~m), -1)) ?
+2*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~f) + (~g)*(~x))* sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸((~e)*(2*(~m) + 5)) - 1⨸((~e)*(2*(~m) + 5))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2))* simp((~b)*(~d)*(~f) - 3*(~a)*(~e)*(~f) + (~a)*(~d)*(~g) + 2*((~c)*(~d)*(~f) - (~b)*(~e)*(~f) + (~b)*(~d)*(~g) - (~a)*(~e)*(~g))* (~x) - ((~c)*(~e)*(~f) - 3*(~c)*(~d)*(~g) + (~b)*(~e)*(~g))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_75",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    !(lt((~m), -1)) ?
+2*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)⨸((~e)*(2*(~m) + 5)) + 1⨸((~e)*(2*(~m) + 5))*∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2))* simp(3*(~a)*(~e)*(~f) - (~a)*(~d)*(~g) - 2*((~c)*(~d)*(~f) - (~a)*(~e)*(~g))*(~x) + ((~c)*(~e)*(~f) - 3*(~c)*(~d)*(~g))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_76",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)* sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)/sqrt((~!f) + (~!g)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    gt((~m), 0) ?
+2*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸((~g)*(2*(~m) + 3)) - 1⨸((~g)*(2*(~m) + 3))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2))* simp((~b)*(~d)*(~f) + 2*(~a)*((~e)*(~f)*(~m) - (~d)*(~g)*((~m) + 1)) + (2*(~c)*(~d)*(~f) - 2*(~a)*(~e)*(~g) + (~b)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*(2*(~m) + 1))* (~x) - ((~b)*(~e)*(~g) + 2*(~c)*((~d)*(~g)*(~m) - (~e)*(~f)*((~m) + 1)))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_77",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2)/sqrt((~!f) + (~!g)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    gt((~m), 0) ?
+2*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)⨸((~g)*(2*(~m) + 3)) - 1⨸((~g)*(2*(~m) + 3))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2))* simp(2*(~a)*((~e)*(~f)*(~m) - (~d)*(~g)*((~m) + 1)) + (2*(~c)*(~d)*(~f) - 2*(~a)*(~e)*(~g))* (~x) - (2*(~c)*((~d)*(~g)*(~m) - (~e)*(~f)*((~m) + 1)))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_78",
+@rule ∫(sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)/(((~!d) + (~!e)*(~x))*sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)⨸(~e)^2* ∫(1⨸(((~d) + (~e)*(~x))*sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) - 1⨸(~e)^2* ∫(((~c)*(~d) - (~b)*(~e) - (~c)*(~e)*(~x))⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_79",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2)/(((~!d) + (~!e)*(~x))*sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)⨸(~e)^2* ∫(1⨸(((~d) + (~e)*(~x))*sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) - 1⨸(~e)^2*∫(((~c)*(~d) - (~c)*(~e)*(~x))⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_80",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)* sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)/sqrt((~!f) + (~!g)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~f) + (~g)*(~x))* sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸(((~m) + 1)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))) - 1⨸(2*((~m) + 1)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2))* simp((~b)*(~f) + (~a)*(~g)*(2*(~m) + 3) + 2*((~c)*(~f) + (~b)*(~g)*((~m) + 2))*(~x) + (~c)*(~g)*(2*(~m) + 5)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_81",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2)/sqrt((~!f) + (~!g)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~f) + (~g)*(~x))* sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)⨸(((~m) + 1)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))) - 1⨸(2*((~m) + 1)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2))* simp((~a)*(~g)*(2*(~m) + 3) + 2*((~c)*(~f))*(~x) + (~c)*(~g)*(2*(~m) + 5)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_82",
+@rule ∫(sqrt( (~!d) + (~!e)*(~x))/(sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))*sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+sqrt(2)*sqrt(2*(~c)*(~f) - (~g)*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))*sqrt((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))*((~d) + (~e)*(~x))* sqrt(((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))⨸((2*(~c)*(~f) - (~g)*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))*((~d) + (~e)*(~x))))* sqrt(((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*(2*(~a) + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x))⨸(((~b)*(~f) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*(~f) - 2*(~a)*(~g))*((~d) + (~e)*(~x))))⨸ ((~g)*sqrt(2*(~c)*(~d) - (~e)*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))*sqrt(2*(~a)*(~c)⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)) + (~c)*(~x))* sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2))* elliptic_pi((~e)*(2*(~c)*(~f) - (~g)*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))⨸((~g)*(2*(~c)*(~d) - (~e)*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))), asin(sqrt(2*(~c)*(~d) - (~e)*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))* sqrt((~f) + (~g)*(~x))⨸(sqrt(2*(~c)*(~f) - (~g)*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))*sqrt((~d) + (~e)*(~x)))), ((~b)*(~d) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*(~d) - 2*(~a)*(~e))*(2*(~c)*(~f) - (~g)*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))⨸(((~b)*(~f) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*(~f) - 2*(~a)*(~g))*(2*(~c)*(~d) - (~e)*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))))) : nothing)
+
+("1_2_1_4_83",
+@rule ∫(sqrt((~!d) + (~!e)*(~x))/(sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+sqrt(2)*sqrt(2*(~c)*(~f) - (~g)*rt(-4*(~a)*(~c), 2))*sqrt(-rt(-4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))*((~d) + (~e)*(~x))* sqrt(((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*(rt(-4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))⨸((2*(~c)*(~f) - (~g)*rt(-4*(~a)*(~c), 2))*((~d) + (~e)*(~x))))* sqrt(((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*(2*(~a) + rt(-4*(~a)*(~c), 2)*(~x))⨸((rt(-4*(~a)*(~c), 2)*(~f) - 2*(~a)*(~g))*((~d) + (~e)*(~x))))⨸ ((~g)*sqrt(2*(~c)*(~d) - (~e)*rt(-4*(~a)*(~c), 2))*sqrt(2*(~a)*(~c)⨸rt(-4*(~a)*(~c), 2) + (~c)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2))* elliptic_pi((~e)*(2*(~c)*(~f) - (~g)*rt(-4*(~a)*(~c), 2))⨸((~g)*(2*(~c)*(~d) - (~e)*rt(-4*(~a)*(~c), 2))), asin(sqrt(2*(~c)*(~d) - (~e)*rt(-4*(~a)*(~c), 2))* sqrt((~f) + (~g)*(~x))⨸(sqrt(2*(~c)*(~f) - (~g)*rt(-4*(~a)*(~c), 2))*sqrt((~d) + (~e)*(~x)))), (rt(-4*(~a)*(~c), 2)*(~d) - 2*(~a)*(~e))*(2*(~c)*(~f) - (~g)*rt(-4*(~a)*(~c), 2))⨸((rt(-4*(~a)*(~c), 2)*(~f) - 2*(~a)*(~g))*(2*(~c)*(~d) - (~e)*rt(-4*(~a)*(~c), 2)))) : nothing)
+
+("1_2_1_4_84",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(3//2)/(sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))* sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+(~e)⨸(~g)*∫(sqrt((~d) + (~e)*(~x))*sqrt((~f) + (~g)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) - ((~e)*(~f) - (~d)*(~g))⨸(~g)* ∫(sqrt((~d) + (~e)*(~x))⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_85",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(3//2)/(sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+(~e)⨸(~g)*∫(sqrt((~d) + (~e)*(~x))*sqrt((~f) + (~g)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)) - ((~e)*(~f) - (~d)*(~g))⨸(~g)* ∫(sqrt((~d) + (~e)*(~x))⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_86",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~m)/(sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))*sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    ge((~m), 2) ?
+2*(~e)^2*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*sqrt((~f) + (~g)*(~x))* sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸((~c)*(~g)*(2*(~m) - 1)) - 1⨸((~c)*(~g)*(2*(~m) - 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 3)⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2))* simp((~b)*(~d)*(~e)^2*(~f) + (~a)*(~e)^2*((~d)*(~g) + 2*(~e)*(~f)*((~m) - 2)) - (~c)*(~d)^3*(~g)*(2*(~m) - 1) + (~e)*((~e)*(2*(~b)*(~d)*(~g) + (~e)*((~b)*(~f) + (~a)*(~g))*(2*(~m) - 3)) + (~c)*(~d)*(2*(~e)*(~f) - 3*(~d)*(~g)*(2*(~m) - 1)))*(~x) + 2*(~e)^2*((~c)*(~e)*(~f) - 3*(~c)*(~d)*(~g) + (~b)*(~e)*(~g))*((~m) - 1)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_87",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)/(sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    ge((~m), 2) ?
+2*(~e)^2*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*sqrt((~f) + (~g)*(~x))* sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)⨸((~c)*(~g)*(2*(~m) - 1)) - 1⨸((~c)*(~g)*(2*(~m) - 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 3)⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2))* simp((~a)*(~e)^2*((~d)*(~g) + 2*(~e)*(~f)*((~m) - 2)) - (~c)*(~d)^3*(~g)*(2*(~m) - 1) + (~e)*((~e)*((~a)*(~e)*(~g)*(2*(~m) - 3)) + (~c)*(~d)*(2*(~e)*(~f) - 3*(~d)*(~g)*(2*(~m) - 1)))*(~x) + 2*(~e)^2*((~c)*(~e)*(~f) - 3*(~c)*(~d)*(~g))*((~m) - 1)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_88",
+@rule ∫(1/(((~!d) + (~!e)*(~x))*sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~a), 0) ?
+1⨸sqrt((~a))* ∫(1⨸(((~d) + (~e)*(~x))*sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt(1 - rt(-(~c)⨸(~a), 2)*(~x))*sqrt(1 + rt(-(~c)⨸(~a), 2)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_89",
+@rule ∫(1/(((~!d) + (~!e)*(~x))*sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+sqrt(1 + (~c)*(~x)^2⨸(~a))⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)* ∫(1⨸(((~d) + (~e)*(~x))*sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt(1 - rt(-(~c)⨸(~a), 2)*(~x))*sqrt(1 + rt(-(~c)⨸(~a), 2)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_90",
+@rule ∫(1/(((~!d) + (~!e)*(~x))*sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))* sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+sqrt((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))*sqrt((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)* ∫(1⨸(((~d) + (~e)*(~x))*sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))* sqrt((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_91",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!d) + (~!e)*(~x))*sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))* sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+-2*((~d) + (~e)*(~x))* sqrt(((~e)*(~f) - (~d)*(~g))^2*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸(((~c)*(~f)^2 - (~b)*(~f)*(~g) + (~a)*(~g)^2)*((~d) + (~e)*(~x))^2))⨸(((~e)*(~f) - (~d)*(~g))* sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2))* int_and_subst( 1⨸sqrt(1 - (2*(~c)*(~d)*(~f) - (~b)*(~e)*(~f) - (~b)*(~d)*(~g) + 2*(~a)*(~e)*(~g))* (~x)^2⨸((~c)*(~f)^2 - (~b)*(~f)*(~g) + (~a)*(~g)^2) + ((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)* (~x)^4⨸((~c)*(~f)^2 - (~b)*(~f)*(~g) + (~a)*(~g)^2)),  (~x), (~x), sqrt((~f) + (~g)*(~x))⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)), "1_2_1_4_91") : nothing)
+
+("1_2_1_4_92",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!d) + (~!e)*(~x))*sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+-2*((~d) + (~e)*(~x))* sqrt(((~e)*(~f) - (~d)*(~g))^2*((~a) + (~c)*(~x)^2)⨸(((~c)*(~f)^2 + (~a)*(~g)^2)*((~d) + (~e)*(~x))^2))⨸(((~e)* (~f) - (~d)*(~g))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2))* int_and_subst( 1⨸sqrt(1 - (2*(~c)*(~d)*(~f) + 2*(~a)*(~e)*(~g))* (~x)^2⨸((~c)*(~f)^2 + (~a)*(~g)^2) + ((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)*(~x)^4⨸((~c)*(~f)^2 + (~a)*(~g)^2)),  (~x), (~x), sqrt((~f) + (~g)*(~x))⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)), "1_2_1_4_92") : nothing)
+
+("1_2_1_4_93",
+@rule ∫(1/(((~!d) + (~!e)*(~x))^(3//2)*sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))* sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+-(~g)⨸((~e)*(~f) - (~d)*(~g))* ∫(1⨸(sqrt((~d) + (~e)*(~x))*sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) + (~e)⨸((~e)*(~f) - (~d)*(~g))* ∫(sqrt((~f) + (~g)*(~x))⨸(((~d) + (~e)*(~x))^(3⨸2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_94",
+@rule ∫(1/(((~!d) + (~!e)*(~x))^(3//2)*sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+-(~g)⨸((~e)*(~f) - (~d)*(~g))* ∫(1⨸(sqrt((~d) + (~e)*(~x))*sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) + (~e)⨸((~e)*(~f) - (~d)*(~g))* ∫(sqrt((~f) + (~g)*(~x))⨸(((~d) + (~e)*(~x))^(3⨸2)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_95",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~m)/(sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))*sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    le((~m), -2) ?
+(~e)^2*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~f) + (~g)*(~x))* sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸(((~m) + 1)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)) + 1⨸(2*((~m) + 1)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2))* simp(2*(~d)*((~c)*(~e)*(~f) - (~c)*(~d)*(~g) + (~b)*(~e)*(~g))*((~m) + 1) - (~e)^2*((~b)*(~f) + (~a)*(~g))*(2*(~m) + 3) + 2*(~e)*((~c)*(~d)*(~g)*((~m) + 1) - (~e)*((~c)*(~f) + (~b)*(~g))*((~m) + 2))*(~x) - (~c)*(~e)^2*(~g)*(2*(~m) + 5)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_96",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)/(sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    le((~m), -2) ?
+(~e)^2*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~f) + (~g)*(~x))* sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)⨸(((~m) + 1)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)) + 1⨸(2*((~m) + 1)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2))* simp(2*(~d)*((~c)*(~e)*(~f) - (~c)*(~d)*(~g))*((~m) + 1) - (~a)*(~e)^2*(~g)*(2*(~m) + 3) + 2*(~e)*((~c)*(~d)*(~g)*((~m) + 1) - (~c)*(~e)*(~f)*((~m) + 2))*(~x) - (~c)*(~e)^2*(~g)*(2*(~m) + 5)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[Sqrt[d_.+e_.*x_]*Sqrt[f_.+g_.*x_]/Sqrt[a_.+b_.*x_+c_.*x_^2],x_ Symbol] := 0 /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,g},x] && NeQ[e*f-d*g,0] && NeQ[b^2-4*a*c,0] &&  NeQ[c*d^2-b*d*e+a*e^2,0] *)
+("1_2_1_4_97",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)* sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))/sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    gt((~m), 1) ?
+2*(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*sqrt((~f) + (~g)*(~x))* sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸((~c)*(2*(~m) + 1)) - 1⨸((~c)*(2*(~m) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2))* simp((~e)*((~b)*(~d)*(~f) + (~a)*((~d)*(~g) + 2*(~e)*(~f)*((~m) - 1))) - (~c)*(~d)^2*(~f)*(2*(~m) + 1) + ((~a)*(~e)^2*(~g)*(2*(~m) - 1) - (~c)*(~d)*(4*(~e)*(~f)*(~m) + (~d)*(~g)*(2*(~m) + 1)) + (~b)*(~e)*(2*(~d)*(~g) + (~e)*(~f)*(2*(~m) - 1)))*(~x) + (~e)*(2*(~b)*(~e)*(~g)*(~m) - (~c)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)*(4*(~m) - 1)))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_98",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))/sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    gt((~m), 1) ?
+2*(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)⨸((~c)*(2*(~m) + 1)) - 1⨸((~c)*(2*(~m) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2))* simp((~a)*(~e)*((~d)*(~g) + 2*(~e)*(~f)*((~m) - 1)) - (~c)*(~d)^2*(~f)*(2*(~m) + 1) + ((~a)*(~e)^2*(~g)*(2*(~m) - 1) - (~c)*(~d)*(4*(~e)*(~f)*(~m) + (~d)*(~g)*(2*(~m) + 1)))*(~x) - (~c)*(~e)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)*(4*(~m) - 1))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_99",
+@rule ∫(sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))/(((~!d) + (~!e)*(~x))*sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+(~g)⨸(~e)*∫(1⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) + ((~e)*(~f) - (~d)*(~g))⨸(~e)* ∫(1⨸(((~d) + (~e)*(~x))*sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_100",
+@rule ∫(sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))/(((~!d) + (~!e)*(~x))*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+(~g)⨸(~e)*∫(1⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) + ((~e)*(~f) - (~d)*(~g))⨸(~e)* ∫(1⨸(((~d) + (~e)*(~x))*sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_101",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)* sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))/sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    le((~m), -2) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~f) + (~g)*(~x))* sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)) + 1⨸(2*((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2))* simp(2*(~c)*(~d)*(~f)*((~m) + 1) - (~e)*((~a)*(~g) + (~b)*(~f)*(2*(~m) + 3)) - 2*((~b)*(~e)*(~g)*(2 + (~m)) - (~c)*((~d)*(~g)*((~m) + 1) - (~e)*(~f)*((~m) + 2)))*(~x) - (~c)*(~e)*(~g)*(2*(~m) + 5)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_102",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))/sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    le((~m), -2) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~f) + (~g)*(~x))* sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)⨸(((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)) + 1⨸(2*((~m) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2))* simp(2*(~c)*(~d)*(~f)*((~m) + 1) - (~e)*((~a)*(~g)) + 2*(~c)*((~d)*(~g)*((~m) + 1) - (~e)*(~f)*((~m) + 2))*(~x) - (~c)*(~e)*(~g)*(2*(~m) + 5)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_103",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        igt((~m), 0) ||
+        eq((~m), -2) &&
+        eq((~p), 1) &&
+        eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_104",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        igt((~m), 0) ||
+        eq((~m), -2) &&
+        eq((~p), 1) &&
+        eq((~d), 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_105",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+poly_remainder(((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~d) + (~e)*(~x), (~x))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))) + 1⨸(((~m) + 1)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)* expand_to_sum(((~m) + 1)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*poly_quotient(((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~d) + (~e)*(~x), (~x)) - (~g)*poly_remainder(((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~d) + (~e)*(~x), (~x))*((~m) + (~n) + 2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_106",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+poly_remainder(((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~d) + (~e)*(~x), (~x))*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)⨸(((~m) + 1)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))) + 1⨸(((~m) + 1)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)* expand_to_sum(((~m) + 1)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*poly_quotient(((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~d) + (~e)*(~x), (~x)) - (~g)*poly_remainder(((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~d) + (~e)*(~x), (~x))*((~m) + (~n) + 2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_107",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 2*(~p) + 1, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~n)) ||
+        !(ext_isinteger((~m)))
+    ) ?
+(~c)^(~p)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2*(~p))*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)⨸((~g)* (~e)^(2*(~p))*((~m) + (~n) + 2*(~p) + 1)) + 1⨸((~g)*(~e)^(2*(~p))*((~m) + (~n) + 2*(~p) + 1))*∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)* expand_to_sum( (~g)*((~m) + (~n) + 2*(~p) + 1)*((~e)^(2*(~p))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p) - (~c)^(~p)*((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~p))) - (~c)^(~p)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~m) + 2*(~p))*((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~p) - 1), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_108",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 2*(~p) + 1, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~n)) ||
+        !(ext_isinteger((~m)))
+    ) ?
+(~c)^(~p)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2*(~p))*((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)⨸((~g)* (~e)^(2*(~p))*((~m) + (~n) + 2*(~p) + 1)) + 1⨸((~g)*(~e)^(2*(~p))*((~m) + (~n) + 2*(~p) + 1))*∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)* expand_to_sum( (~g)*((~m) + (~n) + 2*(~p) + 1)*((~e)^(2*(~p))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p) - (~c)^(~p)*((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~p))) - (~c)^(~p)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~m) + 2*(~p))*((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~p) - 1), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_109",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p)/((~!d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)⨸((~e)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) - 1⨸((~e)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^ (~n)*((~c)*(~d)*(~f) - (~b)*(~e)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g) - (~c)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_110",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p)/((~!d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)⨸((~e)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) - 1⨸((~e)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^ (~n)*((~c)*(~d)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g) - (~c)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_111",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p)/((~!d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~e)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^((~n) - 1)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) + 1⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^((~n) - 1)*((~c)*(~d)*(~f) - (~b)*(~e)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g) - (~c)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*(~x))*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_112",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p)/((~!d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~e)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^((~n) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) + 1⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^((~n) - 1)*((~c)*(~d)*(~f) + (~a)*(~e)*(~g) - (~c)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*(~x))*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_113",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)/(((~!d) + (~!e)*(~x))*sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~n) + 1/2) ?
+∫(ext_expand( 1⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)), ((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1⨸2)⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_114",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)/(((~!d) + (~!e)*(~x))*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~n) + 1/2) ?
+∫(ext_expand( 1⨸(sqrt((~f) + (~g)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)), ((~f) + (~g)*(~x))^((~n) + 1⨸2)⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_115",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p)/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !(ext_isinteger((~n), 2*(~p))) ?
+(~d)*((~g)*(~x))^(~n)⨸(~x)^(~n)*∫(((~x)^(~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p))⨸((~d)^2 - (~e)^2*(~x)^2), (~x)) - (~e)*((~g)*(~x))^(~n)⨸(~x)^(~n)*∫(((~x)^((~n) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p))⨸((~d)^2 - (~e)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_116",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ilt((~m), 0) &&
+        ilt((~n), 0)
+    ) &&
+    !(
+        igt((~m), 0) ||
+        igt((~n), 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_117",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ilt((~m), 0) &&
+        ilt((~n), 0)
+    ) &&
+    !(
+        igt((~m), 0) ||
+        igt((~n), 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_1_4_118",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!n)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ilt((~m), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+((~g)*(~x))^(~n)⨸(~x)^(~n)* ∫(ext_expand( (~x)^(~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^ (~p), ((~d)⨸((~d)^2 - (~e)^2*(~x)^2) - (~e)*(~x)⨸((~d)^2 - (~e)^2*(~x)^2))^(-(~m)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("1_2_1_4_119",
+# @rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     !(
+#         igt((~m), 0) ||
+#         igt((~n), 0)
+#     ) ?
+# Unintegrable[((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)] : nothing)
+
+# ("1_2_1_4_120",
+# @rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!c)*(~x)^2)^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     !(
+#         igt((~m), 0) ||
+#         igt((~n), 0)
+#     ) ?
+# Unintegrable[((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("1_2_1_4_121",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~u))^(~!m)*((~!f) + (~!g)*(~u))^(~!n)*((~a) + (~!b)*(~u) + (~!c)*(~u)^2)^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !eq((~u), (~x)) ?
+1⨸ext_coeff((~u), (~x), 1)* int_and_subst(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p),  (~x), (~x), (~u), "1_2_1_4_121") : nothing)
+
+("1_2_1_4_122",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~u))^(~!m)*((~!f) + (~!g)*(~u))^(~!n)*((~a) + (~!c)*(~u)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !eq((~u), (~x)) ?
+1⨸ext_coeff((~u), (~x), 1)* int_and_subst(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p),  (~x), (~x), (~u), "1_2_1_4_122") : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.1 (a+b x^2+c x^4)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.1 (a+b x^2+c x^4)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..bad054b0
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.1 (a+b x^2+c x^4)^p.jl	
@@ -0,0 +1,156 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.2.2.1 (a+b x^2+c x^4)^p *)
+#(* Int[(a_+b_.*x_^2+c_.*x_^4)^p_,x_Symbol] := 1/c^p*Int[(b/2+c*x^2)^(2*p),x] /; FreeQ[{a,b,c,p},x] && EqQ[b^2-4*a*c,0] && IntegerQ[p] *)
+#(* Int[1/(a_+b_.*x_^2+c_.*x_^4)^(5/4),x_Symbol] := 2*x/(3*a*(a+b*x^2+c*x^4)^(1/4)) +  x*(2*a+b*x^2)/(6*a*(a+b*x^2+c*x^4)^(5/4)) /; FreeQ[{a,b,c},x] && EqQ[b^2-4*a*c,0] *)
+("1_2_2_1_1",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) ?
+((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p)⨸((~b) + 2*(~c)*(~x)^2)^(2*(~p))* ∫(((~b) + 2*(~c)*(~x)^2)^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_1_2",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~p))) ?
+(~a)^intpart((~p))*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^ fracpart((~p))⨸(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸(~b))^(2*fracpart((~p)))* ∫((1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸(~b))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_1_3",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_1_4",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p)⨸(4*(~p) + 1) + 2*(~p)⨸(4*(~p) + 1)*∫((2*(~a) + (~b)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_1_5",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+-(~x)*((~b)^2 - 2*(~a)*(~c) + (~b)*(~c)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸(2* (~a)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) + 1⨸(2*(~a)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~b)^2 - 2*(~a)*(~c) + 2*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) + (~b)*(~c)*(4*(~p) + 7)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_1_6",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    pos((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) ?
+(~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(1⨸((~b)⨸2 - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x)^2), (~x)) - (~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(1⨸((~b)⨸2 + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_1_7",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    neg((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) ?
+1⨸(2*(~c)*rt((~a)⨸(~c), 2)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2))*∫((rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2) - (~x))⨸(rt((~a)⨸(~c), 2) - rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2)*(~x) + (~x)^2), (~x)) + 1⨸(2*(~c)*rt((~a)⨸(~c), 2)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2))*∫((rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2) + (~x))⨸(rt((~a)⨸(~c), 2) + rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2)*(~x) + (~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_1_8",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~c), 0) ?
+2*sqrt(-(~c))* ∫(1⨸(sqrt((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)^2)*sqrt(-(~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) - 2*(~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_1_9",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    gt((~c)/(~a), 0) &&
+    lt((~b)/(~a), 0) ?
+(1 + rt((~c)⨸(~a), 4)^2*(~x)^2)* sqrt(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)⨸((~a)*(1 + rt((~c)⨸(~a), 4)^2*(~x)^2)^2))⨸(2*rt((~c)⨸(~a), 4)* sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* elliptic_f(2*atan(rt((~c)⨸(~a), 4)*(~x)), 1⨸2 - (~b)*rt((~c)⨸(~a), 4)^2⨸(4*(~c))) : nothing)
+
+("1_2_2_1_10",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~a), 0) &&
+    gt((~c), 0) &&
+    ext_isinteger(rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)) ?
+sqrt(-2*(~a) - ((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)* sqrt((2*(~a) + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*sqrt(-(~a))* sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* elliptic_f( asin((~x)⨸sqrt((2*(~a) + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)⨸(2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))), ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))) : nothing)
+
+("1_2_2_1_11",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~a), 0) &&
+    gt((~c), 0) ?
+sqrt((2*(~a) + ((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)⨸(2*(~a) + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2))* sqrt((2*(~a) + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)* sqrt((~a)⨸(2*(~a) + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)))* elliptic_f( asin((~x)⨸sqrt((2*(~a) + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)⨸(2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))), ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))) : nothing)
+
+("1_2_2_1_12",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    pos(((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(~a)) &&
+    !(
+        pos(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(~a)) &&
+        simpler(rt(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c),2),rt( 2))/(2*(~a)), ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(2*(~a)),2))
+    ) ?
+(2*(~a) + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)* sqrt((2*(~a) + ((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)⨸(2*(~a) + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2))⨸(2*(~a)* rt(((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~a)), 2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* elliptic_f(atan(rt(((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~a)), 2)*(~x)), 2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))) : nothing)
+
+("1_2_2_1_13",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    pos(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(~a)) ?
+(2*(~a) + ((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)* sqrt((2*(~a) + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)⨸(2*(~a) + ((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2))⨸(2*(~a)* rt(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~a)), 2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* elliptic_f(atan(rt(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~a)), 2)*(~x)), -2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))) : nothing)
+
+("1_2_2_1_14",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    neg(((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(~a)) &&
+    !(
+        neg(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(~a)) &&
+        simpler(rt(-((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c),2),rt( 2))/(2*(~a)), -((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(2*(~a)),2))
+    ) ?
+sqrt(1 + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2⨸(2*(~a)))* sqrt(1 + ((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2⨸(2*(~a)))⨸(rt(-((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~a)), 2)* sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* elliptic_f(asin(rt(-((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~a)), 2)*(~x)), ((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))) : nothing)
+
+("1_2_2_1_15",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    neg(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(~a)) ?
+sqrt(1 + ((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2⨸(2*(~a)))* sqrt(1 + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2⨸(2*(~a)))⨸(rt(-((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~a)), 2)* sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* elliptic_f(asin(rt(-((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~a)), 2)*(~x)), ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))) : nothing)
+
+("1_2_2_1_16",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    pos((~c)/(~a)) ?
+(1 + rt((~c)⨸(~a), 4)^2*(~x)^2)* sqrt(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)⨸((~a)*(1 + rt((~c)⨸(~a), 4)^2*(~x)^2)^2))⨸(2*rt((~c)⨸(~a), 4)* sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* elliptic_f(2*atan(rt((~c)⨸(~a), 4)*(~x)), 1⨸2 - (~b)*rt((~c)⨸(~a), 4)^2⨸(4*(~c))) : nothing)
+
+("1_2_2_1_17",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    neg((~c)/(~a)) ?
+sqrt(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))* sqrt(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)* ∫(1⨸(sqrt(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))*sqrt(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_1_18",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+(~a)^intpart((~p))*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^ fracpart( (~p))⨸((1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))^fracpart((~p))*(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))^ fracpart((~p)))* ∫((1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))^(~p)*(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_1_19",
+@rule ∫((~P4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~p), (~x)) &&
+    poly((~P4), (~x), 4) &&
+    !eq((~p), 2) &&
+    !eq((~p), 3) &&
+    eq(ext_coeff((~P4), (~x), 3)^3 - 4*ext_coeff((~P4), (~x), 2)*ext_coeff((~P4), (~x), 3)*ext_coeff((~P4), (~x), 4) + 8*ext_coeff((~P4), (~x), 1)*ext_coeff((~P4), (~x), 4)^2, 0) &&
+    !eq(ext_coeff((~P4), (~x), 3), 0) ?
+int_and_subst(ext_simplify((ext_coeff((~P4),  (~x), 0) + ext_coeff((~P4), (~x), 3)^4⨸(256*ext_coeff((~P4), (~x), 4)^3) - ext_coeff((~P4), (~x), 1)*ext_coeff((~P4), (~x), 3)⨸(8*ext_coeff((~P4), (~x), 4)) + (ext_coeff((~P4), (~x), 2) - 3*ext_coeff((~P4), (~x), 3)^2⨸(8*ext_coeff((~P4), (~x), 4)))*(~x)^2 + ext_coeff((~P4), (~x), 4)*(~x)^4)^(~p), (~x)), (~x), (~x), ext_coeff((~P4), (~x), 3)⨸(4*ext_coeff((~P4), (~x), 4)) + (~x), "1_2_2_1_19") : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.2 (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.2 (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..d09cc932
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.2 (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p.jl	
@@ -0,0 +1,325 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.2.2.2 (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p *)
+#(* Int[(d_.*x_)^m_.*(b_.*x_^2+c_.*x_^4)^p_.,x_Symbol] := 1/d^(2*p)*Int[(d*x)^(m+2*p)*(b+c*x^2)^p,x] /; FreeQ[{b,c,d,m},x] && IntegerQ[p] *)
+#(* Int[(d_.*x_)^m_.*(b_.*x_^2+c_.*x_^4)^p_,x_Symbol] := (b*x^2+c*x^4)^p/((d*x)^(2*p)*(b+c*x^2)^p)*Int[(d*x)^(m+2*p)*(b+c*x^ 2)^p,x] /; FreeQ[{b,c,d,m,p},x] && Not[IntegerQ[p]] *)
+("1_2_2_2_1",
+@rule ∫((~x)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) ?
+1⨸2*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p),  (~x), (~x), (~x)^2, "1_2_2_2_1") : nothing)
+
+("1_2_2_2_2",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    !(ext_isinteger(((~m) + 1)/2)) ?
+∫(ext_expand(((~d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(d_.*x_)^m_.*(a_+b_.*x_^2+c_.*x_^4)^p_.,x_Symbol] := 1/c^p*Int[(d*x)^m*(b/2+c*x^2)^(2*p),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,m,p},x] && EqQ[b^2-4*a*c,0] && IntegerQ[p] *)
+("1_2_2_2_3",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + 4*(~p) + 5, 0) &&
+    lt((~p), -1) ?
+2*((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸((~d)*((~m) + 3)*(2*(~a) + (~b)*(~x)^2)) - ((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸(2*(~a)* (~d)*((~m) + 3)*((~p) + 1)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_4",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + 4*(~p) + 5, 0) &&
+    !eq((~p), -1/2) ?
+((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸(4*(~a)* (~d)*((~p) + 1)*(2*(~p) + 1)) - ((~d)*(~x))^((~m) + 1)*(2*(~a) + (~b)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^ (~p)⨸(4*(~a)*(~d)*(2*(~p) + 1)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_5",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+    (
+        gt((~m), 0) ||
+        lt(0, 4*(~p), -(~m) - 1)
+    ) ?
+1⨸2*int_and_subst((~x)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p),  (~x), (~x), (~x)^2, "1_2_2_2_5") : nothing)
+
+#(* Int[(d_.*x_)^m_.*(a_+b_.*x_^2+c_.*x_^4)^p_,x_Symbol] := c*(a+b*x^2+c*x^4)^(p+1)/(b/2+c*x^2)^(2*(p+1))*Int[(d*x)^m*(b/2+c*x^ 2)^(2*p),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,m,p},x] && EqQ[b^2-4*a*c,0] && IntegerQ[p-1/2] &&  IGeQ[m,2*p] *)
+("1_2_2_2_6",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) ?
+((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^ fracpart((~p))⨸((~c)^intpart((~p))*((~b)⨸2 + (~c)*(~x)^2)^(2*fracpart((~p))))* ∫(((~d)*(~x))^(~m)*((~b)⨸2 + (~c)*(~x)^2)^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_7",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~p))) ?
+(~a)^intpart((~p))*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^ fracpart((~p))⨸(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸(~b))^(2*fracpart((~p)))* ∫(((~d)*(~x))^(~m)*(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸(~b))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_8",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) ?
+1⨸2*int_and_subst((~x)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p),  (~x), (~x), (~x)^2, "1_2_2_2_8") : nothing)
+
+("1_2_2_2_9",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    isfraction((~m)) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+ext_den((~m))⨸(~d)* int_and_subst((~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(2*ext_den((~m)))⨸(~d)^2 + (~c)*(~x)^(4*ext_den((~m)))⨸(~d)^4)^(~p),  (~x), (~x), ((~d)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "1_2_2_2_9") : nothing)
+
+("1_2_2_2_10",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+(~d)*((~d)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^ (~p)*(2*(~b)*(~p) + (~c)*((~m) + 4*(~p) - 1)*(~x)^2)⨸((~c)*((~m) + 4*(~p) + 1)*((~m) + 4*(~p) - 1)) - 2*(~p)*(~d)^2⨸((~c)*((~m) + 4*(~p) + 1)*((~m) + 4*(~p) - 1))* ∫(((~d)*(~x))^((~m) - 2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1)* simp((~a)*(~b)*((~m) - 1) - (2*(~a)*(~c)*((~m) + 4*(~p) - 1) - (~b)^2*((~m) + 2*(~p) - 1))* (~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_11",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p)⨸((~d)*((~m) + 1)) - 2*(~p)⨸((~d)^2*((~m) + 1))* ∫(((~d)*(~x))^((~m) + 2)*((~b) + 2*(~c)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_12",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !eq((~m) + 4*(~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p)⨸((~d)*((~m) + 4*(~p) + 1)) + 2*(~p)⨸((~m) + 4*(~p) + 1)* ∫(((~d)*(~x))^(~m)*(2*(~a) + (~b)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_13",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    le((~m), 3) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+(~d)*((~d)*(~x))^((~m) - 1)*((~b) + 2*(~c)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸(2*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) - (~d)^2⨸(2*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~d)*(~x))^((~m) - 2)*((~b)*((~m) - 1) + 2*(~c)*((~m) + 4*(~p) + 5)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_14",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 3) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+-(~d)^3*((~d)*(~x))^((~m) - 3)*(2*(~a) + (~b)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸(2*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) + (~d)^4⨸(2*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~d)*(~x))^((~m) - 4)*(2*(~a)*((~m) - 3) + (~b)*((~m) + 4*(~p) + 3)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_15",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+-((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~b)^2 - 2*(~a)*(~c) + (~b)*(~c)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸(2*(~a)* (~d)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) + 1⨸(2*(~a)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)* simp((~b)^2*((~m) + 2*(~p) + 3) - 2*(~a)*(~c)*((~m) + 4*(~p) + 5) + (~b)*(~c)*((~m) + 4*(~p) + 7)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_16",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    gt((~m), 3) &&
+    !eq((~m) + 4*(~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+(~d)^3*((~d)*(~x))^((~m) - 3)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) + 4*(~p) + 1)) - (~d)^4⨸((~c)*((~m) + 4*(~p) + 1))* ∫(((~d)*(~x))^((~m) - 4)* simp((~a)*((~m) - 3) + (~b)*((~m) + 2*(~p) - 1)*(~x)^2, (~x))*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_17",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸((~a)*(~d)*((~m) + 1)) - 1⨸((~a)*(~d)^2*((~m) + 1))* ∫(((~d)*(~x))^((~m) + 2)*((~b)*((~m) + 2*(~p) + 3) + (~c)*((~m) + 4*(~p) + 5)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_18",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~m)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~d)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~a)*(~d)*((~m) + 1)) - 1⨸((~a)*(~d)^2)*∫(((~d)*(~x))^((~m) + 2)*((~b) + (~c)*(~x)^2)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_19",
+@rule ∫((~x)^(~m)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    igt((~m), 5) ?
+∫(polynomial_divide((~x)^(~m), ((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_20",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~m)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    gt((~m), 3) ?
+(~d)^3*((~d)*(~x))^((~m) - 3)⨸((~c)*((~m) - 3)) - (~d)^4⨸(~c)*∫(((~d)*(~x))^((~m) - 4)*((~a) + (~b)*(~x)^2)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_21",
+@rule ∫((~x)^2/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    lt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    pos((~a)*(~c)) ?
+1⨸2*∫((rt((~a)⨸(~c), 2) + (~x)^2)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) - 1⨸2*∫((rt((~a)⨸(~c), 2) - (~x)^2)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_22",
+@rule ∫((~x)^(~!m)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ge((~m), 3) &&
+    lt((~m), 4) &&
+    neg((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) ?
+1⨸(2*(~c)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2))*∫((~x)^((~m) - 3)*(rt((~a)⨸(~c), 2) + rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2)*(~x))⨸(rt((~a)⨸(~c), 2) + rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2)*(~x) + (~x)^2), (~x)) - 1⨸(2*(~c)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2))*∫((~x)^((~m) - 3)*(rt((~a)⨸(~c), 2) - rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2)*(~x))⨸(rt((~a)⨸(~c), 2) - rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2)*(~x) + (~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_23",
+@rule ∫((~x)^(~!m)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ge((~m), 1) &&
+    lt((~m), 3) &&
+    neg((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) ?
+1⨸(2*(~c)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2))*∫((~x)^((~m) - 1)⨸(rt((~a)⨸(~c), 2) - rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2)*(~x) + (~x)^2), (~x)) - 1⨸(2*(~c)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2))*∫((~x)^((~m) - 1)⨸(rt((~a)⨸(~c), 2) + rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2)*(~x) + (~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_24",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~m)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ge((~m), 2) ?
+(~d)^2⨸2*((~b)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 1)*∫(((~d)*(~x))^((~m) - 2)⨸((~b)⨸2 + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x)^2), (~x)) - (~d)^2⨸2*((~b)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) - 1)*∫(((~d)*(~x))^((~m) - 2)⨸((~b)⨸2 - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_25",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+(~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(((~d)*(~x))^(~m)⨸((~b)⨸2 - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x)^2), (~x)) - (~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(((~d)*(~x))^(~m)⨸((~b)⨸2 + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_26",
+@rule ∫((~x)^2/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~c), 0) ?
+2*sqrt(-(~c))* ∫((~x)^2⨸(sqrt((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)^2)*sqrt(-(~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) - 2*(~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_27",
+@rule ∫((~x)^2/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    gt((~c)/(~a), 0) &&
+    lt((~b)/(~a), 0) ?
+1⨸rt((~c)⨸(~a), 2)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) - 1⨸rt((~c)⨸(~a), 2)*∫((1 - rt((~c)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_28",
+@rule ∫((~x)^2/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~a), 0) &&
+    gt((~c), 0) ?
+-((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~c))*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) + 1⨸(2*(~c))*∫(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_29",
+@rule ∫((~x)^2/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    pos(((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(~a)) &&
+    !(
+        pos(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(~a)) &&
+        simpler(rt(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c),2),rt( 2))/(2*(~a)), ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(2*(~a)),2))
+    ) ?
+(~x)*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)^2)⨸(2*(~c)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)) - rt(((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~a)), 2)*(2*(~a) + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)* sqrt((2*(~a) + ((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)⨸(2*(~a) + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2))⨸(2*(~c)* sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* elliptic_e(atan(rt(((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~a)), 2)*(~x)), 2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))) : nothing)
+
+("1_2_2_2_30",
+@rule ∫((~x)^2/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    pos(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(~a)) ?
+(~x)*((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)^2)⨸(2*(~c)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)) - rt(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~a)), 2)*(2*(~a) + ((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)* sqrt((2*(~a) + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)⨸(2*(~a) + ((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2))⨸(2*(~c)* sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* elliptic_e(atan(rt(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~a)), 2)*(~x)), -2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))) : nothing)
+
+("1_2_2_2_31",
+@rule ∫((~x)^2/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    neg(((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(~a)) &&
+    !(
+        neg(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(~a)) &&
+        simpler(rt(-((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c),2),rt( 2))/(2*(~a)), -((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(2*(~a)),2))
+    ) ?
+-((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~c))*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) + 1⨸(2*(~c))*∫(((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_32",
+@rule ∫((~x)^2/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    neg(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(~a)) ?
+-((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~c))*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) + 1⨸(2*(~c))*∫(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_33",
+@rule ∫((~x)^2/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    pos((~c)/(~a)) ?
+1⨸rt((~c)⨸(~a), 2)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) - 1⨸rt((~c)⨸(~a), 2)*∫((1 - rt((~c)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_34",
+@rule ∫((~x)^2/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    neg((~c)/(~a)) ?
+sqrt(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))* sqrt(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)* ∫((~x)^2⨸(sqrt(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))*sqrt(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_35",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~p), (~x)) ?
+(~a)^intpart((~p))*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^fracpart((~p))⨸ ((1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))^ fracpart((~p))*(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))^fracpart((~p)))* ∫(((~d)*(~x))^(~m)*(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) + sqrt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))))^ (~p)*(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) - sqrt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_2_36",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*(~v)^2 + (~!c)*(~v)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~p), (~x)) &&
+    linear_pair((~u), (~v), (~x)) ?
+(~u)^(~m)⨸(ext_coeff((~v), (~x), 1)*(~v)^(~m))* int_and_subst((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^(2*2))^(~p),  (~x), (~x), (~v), "1_2_2_2_36") : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.3 (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.3 (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..197e584f
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.3 (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl	
@@ -0,0 +1,793 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.2.2.3 (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p *)
+("1_2_2_3_1",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/((~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(3//4),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) ?
+-2*((~c)*(~d) - (~b)*(~e))*((~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(1⨸4)⨸((~b)*(~c)*(~x)) + (~e)⨸(~c)*∫(((~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(1⨸4)⨸(~x)^2, (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_2",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq(4*(~p) + 3, 0) &&
+    eq((~b)*(~e)*(2*(~p) + 1) - (~c)*(~d)*(4*(~p) + 3), 0) ?
+(~e)*((~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸((~c)*(4*(~p) + 3)*(~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_3",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !eq(4*(~p) + 3, 0) &&
+    !eq((~b)*(~e)*(2*(~p) + 1) - (~c)*(~d)*(4*(~p) + 3), 0) ?
+(~e)*((~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸((~c)*(4*(~p) + 3)* (~x)) - (((~b)*(~e)*(2*(~p) + 1) - (~c)*(~d)*(4*(~p) + 3))⨸((~c)*(4*(~p) + 3)))* ∫(((~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_4",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^ fracpart((~p))⨸((~x)^(2*fracpart((~p)))*((~b) + (~c)*(~x)^2)^fracpart((~p)))* ∫((~x)^(2*(~p))*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)*((~b) + (~c)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(d_+e_.*x_^2)^q_.*(a_+b_.*x_^2+c_.*x_^4)^p_.,x_Symbol] := 1/c^p*Int[(d+e*x^2)^q*(b/2+c*x^2)^(2*p),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,p,q},x] && EqQ[b^2-4*a*c,0] && IntegerQ[p] *)
+("1_2_2_3_5",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) ?
+((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p)⨸((~d) + (~e)*(~x)^2)^(2*(~p))* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_6",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^ fracpart((~p))⨸((~c)^intpart((~p))*((~b)⨸2 + (~c)*(~x)^2)^(2*fracpart((~p))))* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)*((~b)⨸2 + (~c)*(~x)^2)^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_7",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + (~q))*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_8",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~q), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + (~q))*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_9",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^ fracpart( (~p))⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)^fracpart((~p))*((~a)⨸(~d) + (~c)*(~x)^2⨸(~e))^fracpart((~p)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + (~q))*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_10",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~c)*(~x)^4)^ fracpart( (~p))⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)^fracpart((~p))*((~a)⨸(~d) + (~c)*(~x)^2⨸(~e))^fracpart((~p)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + (~q))*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_11",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    igt((~q), -2) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_12",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    igt((~q), -2) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_13",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~q) + 1/2, 0) &&
+    lt(4*(~p) + 2*(~q) + 1, 0) ?
+(~a)^(~p)*(~x)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)⨸(~d) + 1⨸(~d)* ∫((~x)^2*((~d) + (~e)*(~x)^2)^ (~q)*((~d)*poly_quotient(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p) - (~a)^(~p), (~x)^2, (~x)) - (~e)*(~a)^(~p)*(2*(~q) + 3)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_14",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~q) + 1/2, 0) &&
+    lt(4*(~p) + 2*(~q) + 1, 0) ?
+(~a)^(~p)*(~x)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)⨸(~d) + 1⨸(~d)* ∫((~x)^2*((~d) + (~e)*(~x)^2)^ (~q)*((~d)*poly_quotient(((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p) - (~a)^(~p), (~x)^2, (~x)) - (~e)*(~a)^(~p)*(2*(~q) + 3)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_15",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    lt((~q), -1) ?
+-ext_coeff( poly_remainder(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~d) + (~e)*(~x)^2, (~x)), (~x), 0)*(~x)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)⨸(2*(~d)*((~q) + 1)) + 1⨸(2*(~d)*((~q) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)* expand_to_sum(2*(~d)*((~q) + 1)*poly_quotient(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~d) + (~e)*(~x)^2, (~x)) + ext_coeff( poly_remainder(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~d) + (~e)*(~x)^2, (~x)), (~x), 0)*(2*(~q) + 3), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_16",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    lt((~q), -1) ?
+-ext_coeff(poly_remainder(((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~d) + (~e)*(~x)^2, (~x)), (~x), 0)*(~x)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)⨸(2*(~d)*((~q) + 1)) + 1⨸(2*(~d)*((~q) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)* expand_to_sum(2*(~d)*((~q) + 1)*poly_quotient(((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~d) + (~e)*(~x)^2, (~x)) + ext_coeff(poly_remainder(((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~d) + (~e)*(~x)^2, (~x)), (~x), 0)*(2*(~q) + 3), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_17",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    !(lt((~q), -1)) ?
+(~c)^(~p)*(~x)^(4*(~p) - 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)⨸((~e)*(4*(~p) + 2*(~q) + 1)) + 1⨸((~e)*(4*(~p) + 2*(~q) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)* expand_to_sum( (~e)*(4*(~p) + 2*(~q) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p) - (~d)*(~c)^(~p)*(4*(~p) - 1)*(~x)^(4*(~p) - 2) - (~e)*(~c)^(~p)*(4*(~p) + 2*(~q) + 1)*(~x)^(4*(~p)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_18",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    !(lt((~q), -1)) ?
+(~c)^(~p)*(~x)^(4*(~p) - 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)⨸((~e)*(4*(~p) + 2*(~q) + 1)) + 1⨸((~e)*(4*(~p) + 2*(~q) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)* expand_to_sum( (~e)*(4*(~p) + 2*(~q) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p) - (~d)*(~c)^(~p)*(4*(~p) - 1)*(~x)^(4*(~p) - 2) - (~e)*(~c)^(~p)*(4*(~p) + 2*(~q) + 1)*(~x)^(4*(~p)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_19",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    (
+        gt(2*(~d)/(~e) - (~b)/(~c), 0) ||
+        !(lt(2*(~d)/(~e) - (~b)/(~c), 0)) &&
+        eq((~d) - (~e)*rt((~a)/(~c), 2), 0)
+    ) ?
+(~e)⨸(2*(~c))*∫(1⨸simp((~d)⨸(~e) + rt(2*(~d)⨸(~e) - (~b)⨸(~c), 2)*(~x) + (~x)^2, (~x)), (~x)) + (~e)⨸(2*(~c))*∫(1⨸simp((~d)⨸(~e) - rt(2*(~d)⨸(~e) - (~b)⨸(~c), 2)*(~x) + (~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_20",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    pos((~d)*(~e)) ?
+(~e)⨸(2*(~c))*∫(1⨸simp((~d)⨸(~e) + rt(2*(~d)⨸(~e), 2)*(~x) + (~x)^2, (~x)), (~x)) + (~e)⨸(2*(~c))*∫(1⨸simp((~d)⨸(~e) - rt(2*(~d)⨸(~e), 2)*(~x) + (~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_21",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+((~e)⨸2 + (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))⨸(2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))* ∫(1⨸((~b)⨸2 - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x)^2), (~x)) + ((~e)⨸2 - (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))⨸(2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))* ∫(1⨸((~b)⨸2 + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_22",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0)) ?
+(~e)⨸(2*(~c)*rt(-2*(~d)⨸(~e) - (~b)⨸(~c), 2))*∫((rt(-2*(~d)⨸(~e) - (~b)⨸(~c), 2) - 2*(~x))⨸simp((~d)⨸(~e) + rt(-2*(~d)⨸(~e) - (~b)⨸(~c), 2)*(~x) - (~x)^2, (~x)), (~x)) + (~e)⨸(2*(~c)*rt(-2*(~d)⨸(~e) - (~b)⨸(~c), 2))*∫((rt(-2*(~d)⨸(~e) - (~b)⨸(~c), 2) + 2*(~x))⨸simp((~d)⨸(~e) - rt(-2*(~d)⨸(~e) - (~b)⨸(~c), 2)*(~x) - (~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_23",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    neg((~d)*(~e)) ?
+(~e)⨸(2*(~c)*rt(-2*(~d)⨸(~e), 2))*∫((rt(-2*(~d)⨸(~e), 2) - 2*(~x))⨸simp((~d)⨸(~e) + rt(-2*(~d)⨸(~e), 2)*(~x) - (~x)^2, (~x)), (~x)) + (~e)⨸(2*(~c)*rt(-2*(~d)⨸(~e), 2))*∫((rt(-2*(~d)⨸(~e), 2) + 2*(~x))⨸simp((~d)⨸(~e) - rt(-2*(~d)⨸(~e), 2)*(~x) - (~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_24",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    pos((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) ?
+((~e)⨸2 + (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))⨸(2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))* ∫(1⨸((~b)⨸2 - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x)^2), (~x)) + ((~e)⨸2 - (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))⨸(2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))* ∫(1⨸((~b)⨸2 + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_25",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    pos(-(~a)*(~c)) ?
+((~e)⨸2 + (~c)*(~d)⨸(2*rt(-(~a)*(~c), 2)))*∫(1⨸(-rt(-(~a)*(~c), 2) + (~c)*(~x)^2), (~x)) + ((~e)⨸2 - (~c)*(~d)⨸(2*rt(-(~a)*(~c), 2)))* ∫(1⨸(rt(-(~a)*(~c), 2) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_26",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    neg(-(~a)*(~c)) ?
+((~d)*rt((~a)*(~c), 2) + (~a)*(~e))⨸(2*(~a)*(~c))* ∫((rt((~a)*(~c), 2) + (~c)*(~x)^2)⨸((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) + ((~d)*rt((~a)*(~c), 2) - (~a)*(~e))⨸(2*(~a)*(~c))* ∫((rt((~a)*(~c), 2) - (~c)*(~x)^2)⨸((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_27",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    neg((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) ?
+1⨸(2*(~c)*rt((~a)⨸(~c), 2)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2))*∫(((~d)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2) - ((~d) - (~e)*rt((~a)⨸(~c), 2))*(~x))⨸(rt((~a)⨸(~c), 2) - rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2)*(~x) + (~x)^2), (~x)) + 1⨸(2*(~c)*rt((~a)⨸(~c), 2)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2))*∫(((~d)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2) + ((~d) - (~e)*rt((~a)⨸(~c), 2))*(~x))⨸(rt((~a)⨸(~c), 2) + rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2)*(~x) + (~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_28",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~q)) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_29",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~q)) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)⨸((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_30",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    lt((~q), -1) ?
+(~e)^2⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)*∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~x)) + 1⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)*((~c)*(~d) - (~b)*(~e) - (~c)*(~e)*(~x)^2)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_31",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    lt((~q), -1) ?
+(~e)^2⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)*∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~x)) + (~c)⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)*((~d) - (~e)*(~x)^2)⨸((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_32",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) ?
+2*(~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)^2), (~x)) - 2*(~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_33",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) ?
+-(~c)⨸(2*rt(-(~a)*(~c), 2))*∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)⨸(rt(-(~a)*(~c), 2) - (~c)*(~x)^2), (~x)) - (~c)⨸(2*rt(-(~a)*(~c), 2))*∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)⨸(rt(-(~a)*(~c), 2) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_34",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    isfraction((~p)) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+(~x)*(2*(~b)*(~e)*(~p) + (~c)*(~d)*(4*(~p) + 3) + (~c)*(~e)*(4*(~p) + 1)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^ (~p)⨸((~c)*(4*(~p) + 1)*(4*(~p) + 3)) + 2*(~p)⨸((~c)*(4*(~p) + 1)*(4*(~p) + 3))* ∫(simp( 2*(~a)*(~c)*(~d)*(4*(~p) + 3) - (~a)*(~b)*(~e) + (2*(~a)*(~c)*(~e)*(4*(~p) + 1) + (~b)*(~c)*(~d)*(4*(~p) + 3) - (~b)^2*(~e)*(2*(~p) + 1))*(~x)^2, (~x))* ((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_35",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    isfraction((~p)) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+(~x)*((~d)*(4*(~p) + 3) + (~e)*(4*(~p) + 1)*(~x)^2)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^ (~p)⨸((4*(~p) + 1)*(4*(~p) + 3)) + 2*(~p)⨸((4*(~p) + 1)*(4*(~p) + 3))* ∫(simp(2*(~a)*(~d)*(4*(~p) + 3) + (2*(~a)*(~e)*(4*(~p) + 1))*(~x)^2, (~x))*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_36",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+(~x)*((~a)*(~b)*(~e) - (~d)*((~b)^2 - 2*(~a)*(~c)) - (~c)*((~b)*(~d) - 2*(~a)*(~e))*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸(2* (~a)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) + 1⨸(2*(~a)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(simp((2*(~p) + 3)*(~d)*(~b)^2 - (~a)*(~b)*(~e) - 2*(~a)*(~c)*(~d)*(4*(~p) + 5) + (4*(~p) + 7)*((~d)*(~b) - 2*(~a)*(~e))*(~c)*(~x)^2, (~x))* ((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_37",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+-(~x)*((~d) + (~e)*(~x)^2)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸(4*(~a)*((~p) + 1)) + 1⨸(4*(~a)*((~p) + 1))* ∫(simp((~d)*(4*(~p) + 5) + (~e)*(4*(~p) + 7)*(~x)^2, (~x))*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_38",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~c), 0) ?
+2*sqrt(-(~c))* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸(sqrt((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)^2)*sqrt(-(~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) - 2*(~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_39",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    lt((~c), 0) ?
+sqrt(-(~c))*∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸(sqrt(rt(-(~a)*(~c), 2) + (~c)*(~x)^2)*sqrt(rt(-(~a)*(~c), 2) - (~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_40",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    gt((~c)/(~a), 0) &&
+    lt((~b)/(~a), 0) &&
+    eq((~e) + (~d)*rt((~c)/(~a), 4)^2, 0) ?
+-(~d)*(~x)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)⨸((~a)*(1 + rt((~c)⨸(~a), 4)^2*(~x)^2)) + (~d)*(1 + rt((~c)⨸(~a), 4)^2*(~x)^2)* sqrt(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)⨸((~a)*(1 + rt((~c)⨸(~a), 4)^2*(~x)^2)^2))⨸(rt((~c)⨸(~a), 4)* sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* elliptic_e(2*atan(rt((~c)⨸(~a), 4)*(~x)), 1⨸2 - (~b)*rt((~c)⨸(~a), 4)^2⨸(4*(~c))) : nothing)
+
+("1_2_2_3_41",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    gt((~c)/(~a), 0) &&
+    lt((~b)/(~a), 0) &&
+    !eq((~e) + (~d)*rt((~c)/(~a), 2), 0) ?
+((~e) + (~d)*rt((~c)⨸(~a), 2))⨸rt((~c)⨸(~a), 2)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) - (~e)⨸rt((~c)⨸(~a), 2)*∫((1 - rt((~c)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_42",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~a), 0) &&
+    gt((~c), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~e)*((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)), 0) ?
+(~e)*(~x)*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)^2)⨸(2*(~c)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)) - (~e)*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*sqrt((2*(~a) + ((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)⨸(2*(~a) + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2))* sqrt((2*(~a) + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~c)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)* sqrt((~a)⨸(2*(~a) + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)))* elliptic_e( asin((~x)⨸sqrt((2*(~a) + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2)⨸(2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))), ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))) : nothing)
+
+("1_2_2_3_43",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    lt((~a), 0) &&
+    gt((~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d) + (~e)*rt(-(~a)*(~c), 2), 0) &&
+    ext_isinteger(rt(-(~a)*(~c), 2)) ?
+(~e)*(~x)*(rt(-(~a)*(~c), 2) + (~c)*(~x)^2)⨸((~c)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)) - sqrt(2)*(~e)*rt(-(~a)*(~c), 2)*sqrt(-(~a) + rt(-(~a)*(~c), 2)*(~x)^2)* sqrt(((~a) + rt(-(~a)*(~c), 2)*(~x)^2)⨸rt(-(~a)*(~c), 2))⨸(sqrt(-(~a))*(~c)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4))* elliptic_e(asin((~x)⨸sqrt(((~a) + rt(-(~a)*(~c), 2)*(~x)^2)⨸(2*rt(-(~a)*(~c), 2)))), 1⨸2) : nothing)
+
+("1_2_2_3_44",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    lt((~a), 0) &&
+    gt((~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d) + (~e)*rt(-(~a)*(~c), 2), 0) ?
+(~e)*(~x)*(rt(-(~a)*(~c), 2) + (~c)*(~x)^2)⨸((~c)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)) - sqrt(2)*(~e)*rt(-(~a)*(~c), 2)*sqrt(((~a) - rt(-(~a)*(~c), 2)*(~x)^2)⨸((~a) + rt(-(~a)*(~c), 2)*(~x)^2))* sqrt(((~a) + rt(-(~a)*(~c), 2)*(~x)^2)⨸rt(-(~a)*(~c), 2))⨸((~c)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)*sqrt((~a)⨸((~a) + rt(-(~a)*(~c), 2)*(~x)^2)))* elliptic_e(asin((~x)⨸sqrt(((~a) + rt(-(~a)*(~c), 2)*(~x)^2)⨸(2*rt(-(~a)*(~c), 2)))), 1⨸2) : nothing)
+
+("1_2_2_3_45",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~a), 0) &&
+    gt((~c), 0) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~e)*((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)), 0) ?
+(2*(~c)*(~d) - (~e)*((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))⨸(2*(~c))*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) + (~e)⨸(2*(~c))*∫(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_46",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    lt((~a), 0) &&
+    gt((~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d) + (~e)*rt(-(~a)*(~c), 2), 0) ?
+((~c)*(~d) + (~e)*rt(-(~a)*(~c), 2))⨸(~c)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) - (~e)⨸(~c)*∫((rt(-(~a)*(~c), 2) - (~c)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_47",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    pos(((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(~a)) ||
+    pos(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(~a)) ?
+(~d)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) + (~e)*∫((~x)^2⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_48",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt(-(~a)*(~c), 0) ?
+(~d)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) + (~e)*∫((~x)^2⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_49",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    neg(((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(~a)) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~e)*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)), 0) &&
+    !(simpler(rt(-((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c),2),rt( 2))/(2*(~a)), -((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(2*(~a)),2))) ?
+-(~a)*(~e)*rt(-((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~a)), 2)*sqrt(1 + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2⨸(2*(~a)))* sqrt(1 + ((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2⨸(2*(~a)))⨸((~c)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* elliptic_e(asin(rt(-((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~a)), 2)*(~x)), ((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))) : nothing)
+
+("1_2_2_3_50",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    neg(((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(~a)) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~e)*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)), 0) &&
+    !(simpler(rt(-((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c),2),rt( 2))/(2*(~a)), -((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(2*(~a)),2))) ?
+(2*(~c)*(~d) - (~e)*((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))⨸(2*(~c))*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) + (~e)⨸(2*(~c))*∫(((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_51",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    neg(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(~a)) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~e)*((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)), 0) ?
+-(~a)*(~e)*rt(-((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~a)), 2)*sqrt(1 + ((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2⨸(2*(~a)))* sqrt(1 + ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*(~x)^2⨸(2*(~a)))⨸((~c)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* elliptic_e(asin(rt(-((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸(2*(~a)), 2)*(~x)), ((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))) : nothing)
+
+("1_2_2_3_52",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    neg(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))/(~a)) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~e)*((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)), 0) ?
+(2*(~c)*(~d) - (~e)*((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))⨸(2*(~c))*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) + (~e)⨸(2*(~c))*∫(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_53",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    pos((~c)/(~a)) &&
+    eq((~e) + (~d)*rt((~c)/(~a), 4)^2, 0) ?
+-(~d)*(~x)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)⨸((~a)*(1 + rt((~c)⨸(~a), 4)^2*(~x)^2)) + (~d)*(1 + rt((~c)⨸(~a), 4)^2*(~x)^2)* sqrt(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)⨸((~a)*(1 + rt((~c)⨸(~a), 4)^2*(~x)^2)^2))⨸(rt((~c)⨸(~a), 4)* sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* elliptic_e(2*atan(rt((~c)⨸(~a), 4)*(~x)), 1⨸2 - (~b)*rt((~c)⨸(~a), 4)^2⨸(4*(~c))) : nothing)
+
+("1_2_2_3_54",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    pos((~c)/(~a)) &&
+    eq((~e) + (~d)*rt((~c)/(~a), 4)^2, 0) ?
+-(~d)*(~x)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)⨸((~a)*(1 + rt((~c)⨸(~a), 4)^2*(~x)^2)) + (~d)*(1 + rt((~c)⨸(~a), 4)^2*(~x)^2)* sqrt(((~a) + (~c)*(~x)^4)⨸((~a)*(1 + rt((~c)⨸(~a), 4)^2*(~x)^2)^2))⨸(rt((~c)⨸(~a), 4)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4))* elliptic_e(2*atan(rt((~c)⨸(~a), 4)*(~x)), 1⨸2) : nothing)
+
+("1_2_2_3_55",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    pos((~c)/(~a)) &&
+    !eq((~e) + (~d)*rt((~c)/(~a), 2), 0) ?
+((~e) + (~d)*rt((~c)⨸(~a), 2))⨸rt((~c)⨸(~a), 2)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) - (~e)⨸rt((~c)⨸(~a), 2)*∫((1 - rt((~c)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_56",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    pos((~c)/(~a)) &&
+    !eq((~e) + (~d)*rt((~c)/(~a), 2), 0) ?
+((~e) + (~d)*rt((~c)⨸(~a), 2))⨸rt((~c)⨸(~a), 2)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) - (~e)⨸rt((~c)⨸(~a), 2)*∫((1 - rt((~c)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_57",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    neg((~c)/(~a)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~a), 0) ?
+(~d)⨸sqrt((~a))*∫(sqrt(1 + (~e)*(~x)^2⨸(~d))⨸sqrt(1 - (~e)*(~x)^2⨸(~d)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_58",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    neg((~c)/(~a)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+sqrt(1 + (~c)*(~x)^4⨸(~a))⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸sqrt(1 + (~c)*(~x)^4⨸(~a)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_59",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    neg((~c)/(~a)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+((~d)*rt(-(~c)⨸(~a), 2) - (~e))⨸rt(-(~c)⨸(~a), 2)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) + (~e)⨸rt(-(~c)⨸(~a), 2)*∫((1 + rt(-(~c)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_60",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    neg((~c)/(~a)) ?
+sqrt(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))* sqrt(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸(sqrt(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))* sqrt(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_61",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_62",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x)^2)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(d_+e_.*x_^2)^2/Sqrt[a_+b_.*x_^2+c_.*x_^4],x_Symbol] := e^2*x*Sqrt[a+b*x^2+c*x^4]/(3*c) + 2*(3*c*d-b*e)/(3*c)*Int[(d+e*x^2)/Sqrt[a+b*x^2+c*x^4],x] - (3*c*d^2-2*b*d*e+a*e^2)/(3*c)*Int[1/Sqrt[a+b*x^2+c*x^4],x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e},x] && NeQ[b^2-4*a*c,0] && NeQ[c*d^2-b*d*e+a*e^2,0] *)
+#(* Int[(d_+e_.*x_^2)^2/Sqrt[a_+c_.*x_^4],x_Symbol] := e^2*x*Sqrt[a+c*x^4]/(3*c) + 2*d*Int[(d+e*x^2)/Sqrt[a+c*x^4],x] - (3*c*d^2+a*e^2)/(3*c)*Int[1/Sqrt[a+c*x^4],x] /; FreeQ[{a,c,d,e},x] && NeQ[c*d^2+a*e^2,0] *)
+#(* Int[(d_+e_.*x_^2)^q_/Sqrt[a_+b_.*x_^2+c_.*x_^4],x_Symbol] := e^2*x*(d+e*x^2)^(q-2)*Sqrt[a+b*x^2+c*x^4]/(c*(2*q-1)) + 2*(q-1)*(3*c*d-b*e)/(c*(2*q-1))*Int[(d+e*x^2)^(q-1)/Sqrt[a+b*x^2+c* x^4],x] - (2*q-3)*(3*c*d^2-2*b*d*e+a*e^2)/(c*(2*q-1))*Int[(d+e*x^2)^(q-2)/ Sqrt[a+b*x^2+c*x^4],x] + 2*d*(q-2)*(c*d^2-b*d*e+a*e^2)/(c*(2*q-1))*Int[(d+e*x^2)^(q-3)/Sqrt[ a+b*x^2+c*x^4],x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e},x] && NeQ[b^2-4*a*c,0] && IGtQ[q,2] *)
+#(* Int[(d_+e_.*x_^2)^q_/Sqrt[a_+c_.*x_^4],x_Symbol] := e^2*x*(d+e*x^2)^(q-2)*Sqrt[a+c*x^4]/(c*(2*q-1)) + 6*d*(q-1)/(2*q-1)*Int[(d+e*x^2)^(q-1)/Sqrt[a+c*x^4],x] - (2*q-3)*(3*c*d^2+a*e^2)/(c*(2*q-1))*Int[(d+e*x^2)^(q-2)/Sqrt[a+c*x^ 4],x] + 2*d*(q-2)*(c*d^2+a*e^2)/(c*(2*q-1))*Int[(d+e*x^2)^(q-3)/Sqrt[a+c*x^ 4],x] /; FreeQ[{a,c,d,e},x] && IGtQ[q,2] *)
+("1_2_2_3_63",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~q), 1) &&
+    lt((~p), -1) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)*((~a)*(~b)*ext_coeff( poly_remainder(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 2) - ext_coeff(poly_remainder(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 0)*((~b)^2 - 2*(~a)*(~c)) - (~c)*((~b)*ext_coeff(poly_remainder(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 0) - 2*(~a)*ext_coeff( poly_remainder(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 2))*(~x)^2)⨸(2*(~a)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) + 1⨸(2*(~a)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))*∫(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)* expand_to_sum( 2*(~a)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))* poly_quotient(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)) + (~b)^2*ext_coeff(poly_remainder(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 0)*(2*(~p) + 3) - 2*(~a)*(~c)*ext_coeff(poly_remainder(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 0)*(4*(~p) + 5) - (~a)*(~b)*ext_coeff( poly_remainder(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 2) + (~c)*(4*(~p) + 7)*((~b)*ext_coeff(poly_remainder(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 0) - 2*(~a)*ext_coeff( poly_remainder(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 2))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_64",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~q), 1) ?
+(~e)^(~q)*(~x)^(2*(~q) - 3)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸((~c)*(4*(~p) + 2*(~q) + 1)) + 1⨸((~c)*(4*(~p) + 2*(~q) + 1))*∫(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p)* expand_to_sum( (~c)*(4*(~p) + 2*(~q) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q) - (~a)*(2*(~q) - 3)*(~e)^(~q)*(~x)^(2*(~q) - 4) - (~b)*(2*(~p) + 2*(~q) - 1)*(~e)^(~q)*(~x)^(2*(~q) - 2) - (~c)*(4*(~p) + 2*(~q) + 1)*(~e)^(~q)*(~x)^(2*(~q)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_65",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~q), 1) ?
+(~e)^(~q)*(~x)^(2*(~q) - 3)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸((~c)*(4*(~p) + 2*(~q) + 1)) + 1⨸((~c)*(4*(~p) + 2*(~q) + 1))*∫(((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p)* expand_to_sum( (~c)*(4*(~p) + 2*(~q) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q) - (~a)*(2*(~q) - 3)*(~e)^(~q)*(~x)^(2*(~q) - 4) - (~c)*(4*(~p) + 2*(~q) + 1)*(~e)^(~q)*(~x)^(2*(~q)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_66",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p)/((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~p) + 1/2, 0) ?
+-1⨸(~e)^2* ∫(((~c)*(~d) - (~b)*(~e) - (~c)*(~e)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1), (~x)) + ((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)⨸(~e)^2* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_67",
+@rule ∫(((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~p)/((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    igt((~p) + 1/2, 0) ?
+-1⨸(~e)^2*∫(((~c)*(~d) - (~c)*(~e)*(~x)^2)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1), (~x)) + ((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)⨸(~e)^2*∫(((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_68",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) ?
+1⨸(2*(~d))*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) + 1⨸(2*(~d))*∫(((~d) - (~e)*(~x)^2)⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_69",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) ?
+1⨸(2*(~d))*∫(1⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) + 1⨸(2*(~d))*∫(((~d) - (~e)*(~x)^2)⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_70",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~c), 0) ?
+2*sqrt(-(~c))* ∫(1⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)^2)*sqrt(-(~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) - 2*(~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_71",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    lt((~c), 0) ?
+sqrt(-(~c))* ∫(1⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt(rt(-(~a)*(~c), 2) + (~c)*(~x)^2)*sqrt(rt(-(~a)*(~c), 2) - (~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_72",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(lt((~c), 0)) ?
+2*(~c)⨸(2*(~c)*(~d) - (~e)*((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) - (~e)⨸(2*(~c)*(~d) - (~e)*((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))* ∫(((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)^2)⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_73",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt(-(~a)*(~c), 0) &&
+    !(lt((~c), 0)) ?
+(~c)⨸((~c)*(~d) + (~e)*rt(-(~a)*(~c), 2))*∫(1⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) + (~e)⨸((~c)*(~d) + (~e)*rt(-(~a)*(~c), 2))*∫((rt(-(~a)*(~c), 2) - (~c)*(~x)^2)⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_74",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    pos((~c)/(~a)) ?
+((~c)*(~d) + (~a)*(~e)*rt((~c)⨸(~a), 2))⨸((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) - ((~a)*(~e)*((~e) + (~d)*rt((~c)⨸(~a), 2)))⨸((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2)* ∫((1 + rt((~c)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_75",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    pos((~c)/(~a)) ?
+((~c)*(~d) + (~a)*(~e)*rt((~c)⨸(~a), 2))⨸((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) - ((~a)*(~e)*((~e) + (~d)*rt((~c)⨸(~a), 2)))⨸((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2)* ∫((1 + rt((~c)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_76",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    neg((~c)/(~a)) &&
+    gt((~a), 0) ?
+1⨸((~d)*sqrt((~a))*rt(-(~c)⨸(~a), 4))*elliptic_pi(-(~e)⨸((~d)*rt(-(~c)⨸(~a), 4)^2), asin(rt(-(~c)⨸(~a), 4)*(~x)), -1) : nothing)
+
+("1_2_2_3_77",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    neg((~c)/(~a)) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+sqrt(1 + (~c)*(~x)^4⨸(~a))⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)* ∫(1⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt(1 + (~c)*(~x)^4⨸(~a))), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_78",
+@rule ∫(1/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    neg((~c)/(~a)) ?
+sqrt(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))* sqrt(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)* ∫( 1⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))* sqrt(1 + 2*(~c)*(~x)^2⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_79",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p)/((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ilt((~p) + 1/2, 0) ?
+1⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~c)*(~d) - (~b)*(~e) - (~c)*(~e)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)) + (~e)^2⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_80",
+@rule ∫(((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~p)/((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ilt((~p) + 1/2, 0) ?
+1⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)*∫(((~c)*(~d) - (~c)*(~e)*(~x)^2)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)) + (~e)^2⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)*∫(((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_81",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ilt((~q), -1) ?
+-(~e)^2*(~x)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)* sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)⨸(2*(~d)*((~q) + 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)) + 1⨸(2*(~d)*((~q) + 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)* simp((~a)*(~e)^2*(2*(~q) + 3) + 2*(~d)*((~c)*(~d) - (~b)*(~e))*((~q) + 1) - 2*(~e)*((~c)*(~d)*((~q) + 1) - (~b)*(~e)*((~q) + 2))*(~x)^2 + (~c)*(~e)^2*(2*(~q) + 5)*(~x)^4, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_82",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    ilt((~q), -1) ?
+-(~e)^2*(~x)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)* sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)⨸(2*(~d)*((~q) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)) + 1⨸(2*(~d)*((~q) + 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2))* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)* simp((~a)*(~e)^2*(2*(~q) + 3) + 2*(~c)*(~d)^2*((~q) + 1) - 2*(~e)*(~c)*(~d)*((~q) + 1)*(~x)^2 + (~c)*(~e)^2*(2*(~q) + 5)*(~x)^4, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_83",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)/((~d) + (~!e)*(~x)^2)^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    pos((~e)/(~d)) ?
+(~c)*((~d) + (~e)*(~x)^2)* sqrt(((~e)^2*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))⨸((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^2))⨸(2*(~d)*(~e)^2*rt((~e)⨸(~d), 2)* sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* elliptic_e(2*atan(rt((~e)⨸(~d), 2)*(~x)), (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))⨸(4*(~c)*(~d))) : nothing)
+
+("1_2_2_3_84",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)/((~d) + (~!e)*(~x)^2)^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+(~x)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)⨸(2*(~d)*((~d) + (~e)*(~x)^2)) + (~c)⨸(2*(~d)*(~e)^2)*∫(((~d) - (~e)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) - ((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2)⨸(2*(~d)*(~e)^2)* ∫(1⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_85",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4)/((~d) + (~!e)*(~x)^2)^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+(~x)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)⨸(2*(~d)*((~d) + (~e)*(~x)^2)) + (~c)⨸(2*(~d)*(~e)^2)*∫(((~d) - (~e)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) - ((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2)⨸(2*(~d)*(~e)^2)* ∫(1⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+# ("1_2_2_3_86",
+# @rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+#     !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+#     !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+#     ilt((~q), 0) &&
+#     ext_isinteger((~p) + 1/2) ?
+# Module[{(~aa), (~bb), (~cc)}, ∫( ReplaceAll[ ext_expand( 1⨸sqrt((~aa) + (~bb)*(~x)^2 + (~cc)*(~x)^4), ((~d) + (~e)*(~x)^2)^ (~q)*((~aa) + (~bb)*(~x)^2 + (~cc)*(~x)^4)^((~p) + 1⨸2), (~x)), {(~aa) -> (~a), (~bb) -> (~b), (~cc) -> (~c)}], (~x))] : nothing)
+# 
+# ("1_2_2_3_87",
+# @rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+#     !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+#     ilt((~q), 0) &&
+#     ext_isinteger((~p) + 1/2) ?
+# Module[{(~aa), (~cc)}, ∫( ReplaceAll[ ext_expand( 1⨸sqrt((~aa) + (~cc)*(~x)^4), ((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)*((~aa) + (~cc)*(~x)^4)^((~p) + 1⨸2), (~x)), {(~aa) -> (~a), (~cc) -> (~c)}], (~x))] : nothing)
+
+("1_2_2_3_88",
+@rule ∫(1/(sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    gt((~d), 0) ?
+1⨸(2*sqrt((~a))*sqrt((~d))*rt(-(~e)⨸(~d), 2))* elliptic_f(2*asin(rt(-(~e)⨸(~d), 2)*(~x)), (~b)*(~d)⨸(4*(~a)*(~e))) : nothing)
+
+("1_2_2_3_89",
+@rule ∫(1/(sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !(
+        gt((~a), 0) &&
+        gt((~d), 0)
+    ) ?
+sqrt(((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸(~d))* sqrt(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)⨸(~a))⨸(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)* sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* ∫(1⨸(sqrt(1 + (~e)⨸(~d)*(~x)^2)*sqrt(1 + (~b)⨸(~a)*(~x)^2 + (~c)⨸(~a)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_90",
+@rule ∫(1/(sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+(~x)^3*sqrt((~e) + (~d)⨸(~x)^2)* sqrt((~c) + (~b)⨸(~x)^2 + (~a)⨸(~x)^4)⨸(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* ∫(1⨸((~x)^3*sqrt((~e) + (~d)⨸(~x)^2)*sqrt((~c) + (~b)⨸(~x)^2 + (~a)⨸(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_91",
+@rule ∫(1/(sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+(~x)^3*sqrt((~e) + (~d)⨸(~x)^2)* sqrt((~c) + (~a)⨸(~x)^4)⨸(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4))* ∫(1⨸((~x)^3*sqrt((~e) + (~d)⨸(~x)^2)*sqrt((~c) + (~a)⨸(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_92",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)/sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    gt((~d), 0) ?
+sqrt((~a))⨸(2*sqrt((~d))*rt(-(~e)⨸(~d), 2))* elliptic_e(2*asin(rt(-(~e)⨸(~d), 2)*(~x)), (~b)*(~d)⨸(4*(~a)*(~e))) : nothing)
+
+("1_2_2_3_93",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)/sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    !(
+        gt((~a), 0) &&
+        gt((~d), 0)
+    ) ?
+sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)* sqrt(((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸(~d))⨸(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)⨸(~a)))* ∫(sqrt(1 + (~b)⨸(~a)*(~x)^2 + (~c)⨸(~a)*(~x)^4)⨸sqrt(1 + (~e)⨸(~d)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_94",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)/sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+sqrt((~e) + (~d)⨸(~x)^2)* sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)⨸((~x)*sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~b)⨸(~x)^2 + (~a)⨸(~x)^4))* ∫(((~x)*sqrt((~c) + (~b)⨸(~x)^2 + (~a)⨸(~x)^4))⨸sqrt((~e) + (~d)⨸(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_95",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4)/sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) ?
+sqrt((~e) + (~d)⨸(~x)^2)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)⨸((~x)*sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~c) + (~a)⨸(~x)^4))* ∫(((~x)*sqrt((~c) + (~a)⨸(~x)^4))⨸sqrt((~e) + (~d)⨸(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_96",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) &&
+        ext_isinteger((~q)) ||
+        igt((~p), 0) ||
+        igt((~q), 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_97",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) &&
+        ext_isinteger((~q)) ||
+        igt((~p), 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_3_98",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ilt((~q), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~c)*(~x)^4)^ (~p), ((~d)⨸((~d)^2 - (~e)^2*(~x)^4) - (~e)*(~x)^2⨸((~d)^2 - (~e)^2*(~x)^4))^(-(~q)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("1_2_2_3_99",
+# @rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)] : nothing)
+
+# ("1_2_2_3_100",
+# @rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..9ea6a4e0
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl	
@@ -0,0 +1,801 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.2.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p *)
+#(* Int[(f_.*x_)^m_.*(e_.*x_^2)^q_.*(a_+b_.*x_^2+c_.*x_^4)^p_.,x_ Symbol] := e^q/f^(2*q)*Int[(f*x)^(m+2*q)*(a+b*x^2+c*x^4)^p,x] /; FreeQ[{a,b,c,e,f,m,p},x] && IntegerQ[q] *)
+#(* Int[(f_.*x_)^m_.*(e_.*x_^2)^q_.*(a_+c_.*x_^4)^p_.,x_Symbol] := e^q/f^(2*q)*Int[(f*x)^(m+2*q)*(a+c*x^4)^p,x] /; FreeQ[{a,c,e,f,m,p},x] && IntegerQ[q] *)
+("1_2_2_4_1",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~e), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) ?
+1⨸(2*(~e)^(((~m) - 1)⨸2))* int_and_subst(((~e)*(~x))^((~q) + ((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p),  (~x), (~x), (~x)^2, "1_2_2_4_1") : nothing)
+
+("1_2_2_4_2",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~e), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) ?
+1⨸(2*(~e)^(((~m) - 1)⨸2))* int_and_subst(((~e)*(~x))^((~q) + ((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p),  (~x), (~x), (~x)^2, "1_2_2_4_2") : nothing)
+
+("1_2_2_4_3",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~e), (~f), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) ?
+(~e)^intpart((~q))*((~e)*(~x)^2)^ fracpart((~q))⨸((~f)^(2*intpart((~q)))*((~f)*(~x))^(2*fracpart((~q))))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2*(~q))*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_4",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~e), (~f), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) ?
+(~e)^intpart((~q))*((~e)*(~x)^2)^ fracpart((~q))⨸((~f)^(2*intpart((~q)))*((~f)*(~x))^(2*fracpart((~q))))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2*(~q))*((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_5",
+@rule ∫((~x)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) ?
+1⨸2*int_and_subst(((~d) + (~e)*(~x))^(~q)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p),  (~x), (~x), (~x)^2, "1_2_2_4_5") : nothing)
+
+("1_2_2_4_6",
+@rule ∫((~x)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) ?
+1⨸2*int_and_subst(((~d) + (~e)*(~x))^(~q)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p),  (~x), (~x), (~x)^2, "1_2_2_4_6") : nothing)
+
+#(* Int[(f_.*x_)^m_.*(d_+e_.*x_^2)^q_.*(a_+b_.*x_^2+c_.*x_^4)^p_.,x_ Symbol] := 1/c^p*Int[(f*x)^m*(d+e*x^2)^q*(b/2+c*x^2)^(2*p),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,m,p,q},x] && EqQ[b^2-4*a*c,0] && IntegerQ[p] *)
+("1_2_2_4_7",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    igt(((~m) + 1)/2, 0) ?
+1⨸2*int_and_subst((~x)^(((~m) - 1)⨸2)*((~d) + (~e)*(~x))^(~q)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p),  (~x), (~x), (~x)^2, "1_2_2_4_7") : nothing)
+
+("1_2_2_4_8",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^ fracpart((~p))⨸((~c)^intpart((~p))*((~b)⨸2 + (~c)*(~x)^2)^(2*fracpart((~p))))* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)*((~b)⨸2 + (~c)*(~x)^2)^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_9",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) ?
+1⨸2*int_and_subst((~x)^(((~m) - 1)⨸2)*((~d) + (~e)*(~x))^(~q)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~p),  (~x), (~x), (~x)^2, "1_2_2_4_9") : nothing)
+
+("1_2_2_4_10",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) + 1)/2) ?
+1⨸2*int_and_subst((~x)^(((~m) - 1)⨸2)*((~d) + (~e)*(~x))^(~q)*((~a) + (~c)*(~x)^2)^(~p),  (~x), (~x), (~x)^2, "1_2_2_4_10") : nothing)
+
+("1_2_2_4_11",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + (~p))*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_12",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~q), (~m), (~q), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + (~p))*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_13",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^ fracpart( (~p))⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)^fracpart((~p))*((~a)⨸(~d) + ((~c)*(~x)^2)⨸(~e))^fracpart((~p)))* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + (~p))*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_14",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~c)*(~x)^4)^ fracpart( (~p))⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)^fracpart((~p))*((~a)⨸(~d) + ((~c)*(~x)^2)⨸(~e))^fracpart((~p)))* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + (~p))*((~a)⨸(~d) + (~c)⨸(~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_15",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~q), -1) &&
+    igt((~m)/2, 0) ?
+(-(~d))^((~m)⨸2 - 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)^(~p)* (~x)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)⨸(2*(~e)^(2*(~p) + (~m)⨸2)*((~q) + 1)) + 1⨸(2*(~e)^(2*(~p) + (~m)⨸2)*((~q) + 1))*∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)* expand_to_sum( together( 1⨸((~d) + (~e)*(~x)^2)*(2*(~e)^(2*(~p) + (~m)⨸2)*((~q) + 1)* (~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p) - (-(~d))^((~m)⨸2 - 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)^ (~p)*((~d) + (~e)*(2*(~q) + 3)*(~x)^2))), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_16",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~q), -1) &&
+    igt((~m)/2, 0) ?
+(-(~d))^((~m)⨸2 - 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)^(~p)* (~x)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)⨸(2*(~e)^(2*(~p) + (~m)⨸2)*((~q) + 1)) + 1⨸(2*(~e)^(2*(~p) + (~m)⨸2)*((~q) + 1))*∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)* expand_to_sum( together( 1⨸((~d) + (~e)*(~x)^2)*(2*(~e)^(2*(~p) + (~m)⨸2)*((~q) + 1)*(~x)^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p) - (-(~d))^((~m)⨸2 - 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)^ (~p)*((~d) + (~e)*(2*(~q) + 3)*(~x)^2))), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_17",
+@rule ∫((~x)^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~q), -1) &&
+    ilt((~m)/2, 0) ?
+(-(~d))^((~m)⨸2 - 1)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)^(~p)* (~x)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)⨸(2*(~e)^(2*(~p) + (~m)⨸2)*((~q) + 1)) + (-(~d))^((~m)⨸2 - 1)⨸(2*(~e)^(2*(~p))*((~q) + 1))*∫((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)* expand_to_sum( together( 1⨸((~d) + (~e)*(~x)^2)*(2*(-(~d))^(-(~m)⨸2 + 1)* (~e)^(2*(~p))*((~q) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p) - ((~e)^(-(~m)⨸2)*((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)^(~p)*(~x)^(-(~m)))*((~d) + (~e)*(2*(~q) + 3)*(~x)^2))), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_18",
+@rule ∫((~x)^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~q), -1) &&
+    ilt((~m)/2, 0) ?
+(-(~d))^((~m)⨸2 - 1)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)^(~p)* (~x)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)⨸(2*(~e)^(2*(~p) + (~m)⨸2)*((~q) + 1)) + (-(~d))^((~m)⨸2 - 1)⨸(2*(~e)^(2*(~p))*((~q) + 1))*∫((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)* expand_to_sum( together( 1⨸((~d) + (~e)*(~x)^2)*(2*(-(~d))^(-(~m)⨸2 + 1)* (~e)^(2*(~p))*((~q) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p) - ((~e)^(-(~m)⨸2)*((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)^(~p)*(~x)^(-(~m)))*((~d) + (~e)*(2*(~q) + 3)*(~x)^2))), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_19",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    igt((~q), -2) ?
+∫(ext_expand(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_20",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~q), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    igt((~q), -2) ?
+∫(ext_expand(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_21",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    lt((~q), -1) &&
+    gt((~m), 0) ?
+-ext_coeff( poly_remainder(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~d) + (~e)*(~x)^2, (~x)), (~x), 0)*((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)⨸(2*(~d)*(~f)*((~q) + 1)) + (~f)⨸(2*(~d)*((~q) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)* expand_to_sum(2*(~d)*((~q) + 1)*(~x)*poly_quotient(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~d) + (~e)*(~x)^2, (~x)) + ext_coeff( poly_remainder(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~d) + (~e)*(~x)^2, (~x)), (~x), 0)*((~m) + 2*(~q) + 3)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_22",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    lt((~q), -1) &&
+    gt((~m), 0) ?
+-ext_coeff(poly_remainder(((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~d) + (~e)*(~x)^2, (~x)), (~x), 0)*((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)⨸(2*(~d)*(~f)*((~q) + 1)) + (~f)⨸(2*(~d)*((~q) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)* expand_to_sum(2*(~d)*((~q) + 1)*(~x)*poly_quotient(((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~d) + (~e)*(~x)^2, (~x)) + ext_coeff(poly_remainder(((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~d) + (~e)*(~x)^2, (~x)), (~x), 0)*((~m) + 2*(~q) + 3)*(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_23",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+poly_remainder(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~f)*(~x), (~x))*((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~m) + 1)) + 1⨸((~d)*(~f)^2*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)* expand_to_sum((~d)*(~f)*((~m) + 1)*poly_quotient(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~f)*(~x), (~x))⨸(~x) - (~e)*poly_remainder(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~f)*(~x), (~x))*((~m) + 2*(~q) + 3), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_24",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~q), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+poly_remainder(((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~f)*(~x), (~x))*((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~m) + 1)) + 1⨸((~d)*(~f)^2*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)* expand_to_sum((~d)*(~f)*((~m) + 1)*poly_quotient(((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~f)*(~x), (~x))⨸(~x) - (~e)*poly_remainder(((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~f)*(~x), (~x))*((~m) + 2*(~q) + 3), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_25",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    !eq((~m) + 4*(~p) + 2*(~q) + 1, 0) ?
+(~c)^(~p)*((~f)*(~x))^((~m) + 4*(~p) - 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)⨸((~e)* (~f)^(4*(~p) - 1)*((~m) + 4*(~p) + 2*(~q) + 1)) + 1⨸((~e)*((~m) + 4*(~p) + 2*(~q) + 1))*∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)* expand_to_sum( (~e)*((~m) + 4*(~p) + 2*(~q) + 1)*(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p) - (~c)^(~p)*(~x)^(4*(~p))) - (~d)*(~c)^(~p)*((~m) + 4*(~p) - 1)*(~x)^(4*(~p) - 2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_26",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~q), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    !eq((~m) + 4*(~p) + 2*(~q) + 1, 0) ?
+(~c)^(~p)*((~f)*(~x))^((~m) + 4*(~p) - 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)⨸((~e)* (~f)^(4*(~p) - 1)*((~m) + 4*(~p) + 2*(~q) + 1)) + 1⨸((~e)*((~m) + 4*(~p) + 2*(~q) + 1))*∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)* expand_to_sum( (~e)*((~m) + 4*(~p) + 2*(~q) + 1)*(((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p) - (~c)^(~p)*(~x)^(4*(~p))) - (~d)*(~c)^(~p)*((~m) + 4*(~p) - 1)*(~x)^(4*(~p) - 2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_27",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    isfraction((~m)) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+ext_den((~m))⨸(~f)* int_and_subst( (~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)*((~d) + (~e)*(~x)^(2*ext_den((~m)))⨸(~f)^2)^ (~q)*((~a) + (~b)*(~x)^(2*ext_den((~m)))⨸(~f)^ext_den((~m)) + (~c)*(~x)^(4*ext_den((~m)))⨸(~f)^4)^(~p),  (~x), (~x), ((~f)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "1_2_2_4_27") : nothing)
+
+("1_2_2_4_28",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isfraction((~m)) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+ext_den((~m))⨸(~f)* int_and_subst( (~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)*((~d) + (~e)*(~x)^(2*ext_den((~m)))⨸(~f))^(~q)*((~a) + (~c)*(~x)^(4*ext_den((~m)))⨸(~f))^(~p),  (~x), (~x), ((~f)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "1_2_2_4_28") : nothing)
+
+("1_2_2_4_29",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    (~m) + 4*(~p) + 3 != 0 &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^ (~p)*((~d)*((~m) + 4*(~p) + 3) + (~e)*((~m) + 1)*(~x)^2)⨸((~f)*((~m) + 1)*((~m) + 4*(~p) + 3)) + 2*(~p)⨸((~f)^2*((~m) + 1)*((~m) + 4*(~p) + 3))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1)* simp(2*(~a)*(~e)*((~m) + 1) - (~b)*(~d)*((~m) + 4*(~p) + 3) + ((~b)*(~e)*((~m) + 1) - 2*(~c)*(~d)*((~m) + 4*(~p) + 3))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_30",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    (~m) + 4*(~p) + 3 != 0 &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^ (~p)*((~d)*((~m) + 4*(~p) + 3) + (~e)*((~m) + 1)*(~x)^2)⨸((~f)*((~m) + 1)*((~m) + 4*(~p) + 3)) + 4*(~p)⨸((~f)^2*((~m) + 1)*((~m) + 4*(~p) + 3))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1)*((~a)*(~e)*((~m) + 1) - (~c)*(~d)*((~m) + 4*(~p) + 3)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_31",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !eq(4*(~p) + (~m) + 1, 0) &&
+    !eq((~m) + 4*(~p) + 3, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^ (~p)*((~b)*(~e)*2*(~p) + (~c)*(~d)*((~m) + 4*(~p) + 3) + (~c)*(~e)*(4*(~p) + (~m) + 1)*(~x)^2)⨸ ((~c)*(~f)*(4*(~p) + (~m) + 1)*((~m) + 4*(~p) + 3)) + 2*(~p)⨸((~c)*(4*(~p) + (~m) + 1)*((~m) + 4*(~p) + 3))* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1)* simp(2*(~a)*(~c)*(~d)*((~m) + 4*(~p) + 3) - (~a)*(~b)*(~e)*((~m) + 1) + (2*(~a)*(~c)*(~e)*(4*(~p) + (~m) + 1) + (~b)*(~c)*(~d)*((~m) + 4*(~p) + 3) - (~b)^2*(~e)*((~m) + 2*(~p) + 1))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_32",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !eq(4*(~p) + (~m) + 1, 0) &&
+    !eq((~m) + 4*(~p) + 3, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^ (~p)*((~c)*(~d)*((~m) + 4*(~p) + 3) + (~c)*(~e)*(4*(~p) + (~m) + 1)*(~x)^2)⨸((~c)* (~f)*(4*(~p) + (~m) + 1)*((~m) + 4*(~p) + 3)) + 4*(~a)*(~p)⨸((4*(~p) + (~m) + 1)*((~m) + 4*(~p) + 3))* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1)* simp((~d)*((~m) + 4*(~p) + 3) + (~e)*(4*(~p) + (~m) + 1)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_33",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+(~f)*((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)*((~b)*(~d) - 2*(~a)*(~e) - ((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d))*(~x)^2)⨸(2*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) - (~f)^2⨸(2*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)* simp(((~m) - 1)*((~b)*(~d) - 2*(~a)*(~e)) - (4*(~p) + 4 + (~m) + 1)*((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d))* (~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_34",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+(~f)*((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)*((~a)*(~e) - (~c)*(~d)*(~x)^2)⨸(4*(~a)* (~c)*((~p) + 1)) - (~f)^2⨸(4*(~a)*(~c)*((~p) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)*((~a)*(~e)*((~m) - 1) - (~c)*(~d)*(4*(~p) + 4 + (~m) + 1)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_35",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+-((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)*((~d)*((~b)^2 - 2*(~a)*(~c)) - (~a)*(~b)*(~e) + ((~b)*(~d) - 2*(~a)*(~e))*(~c)*(~x)^2)⨸(2*(~a)*(~f)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) + 1⨸(2*(~a)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)* simp((~d)*((~b)^2*((~m) + 2*((~p) + 1) + 1) - 2*(~a)*(~c)*((~m) + 4*((~p) + 1) + 1)) - (~a)*(~b)*(~e)*((~m) + 1) + (~c)*((~m) + 2*(2*(~p) + 3) + 1)*((~b)*(~d) - 2*(~a)*(~e))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_36",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+-((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸(4*(~a)*(~f)*((~p) + 1)) + 1⨸(4*(~a)*((~p) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)* simp((~d)*((~m) + 4*((~p) + 1) + 1) + (~e)*((~m) + 2*(2*(~p) + 3) + 1)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_37",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) + 4*(~p) + 3, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+(~e)*(~f)*((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) + 4*(~p) + 3)) - (~f)^2⨸((~c)*((~m) + 4*(~p) + 3))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p)* simp((~a)*(~e)*((~m) - 1) + ((~b)*(~e)*((~m) + 2*(~p) + 1) - (~c)*(~d)*((~m) + 4*(~p) + 3))*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_38",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) + 4*(~p) + 3, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+(~e)*(~f)*((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸((~c)*((~m) + 4*(~p) + 3)) - (~f)^2⨸((~c)*((~m) + 4*(~p) + 3))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^ (~p)*((~a)*(~e)*((~m) - 1) - (~c)*(~d)*((~m) + 4*(~p) + 3)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_39",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+(~d)*((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸((~a)*(~f)*((~m) + 1)) + 1⨸((~a)*(~f)^2*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p)* simp((~a)*(~e)*((~m) + 1) - (~b)*(~d)*((~m) + 2*(~p) + 3) - (~c)*(~d)*((~m) + 4*(~p) + 5)*(~x)^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_40",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+(~d)*((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸((~a)*(~f)*((~m) + 1)) + 1⨸((~a)*(~f)^2*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^ (~p)*((~a)*(~e)*((~m) + 1) - (~c)*(~d)*((~m) + 4*(~p) + 5)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_41",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~d)/(~e), 0) &&
+    pos((~c)/(~e)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))) ?
+(~e)⨸2*∫(((~f)*(~x))^(~m)⨸((~c)*(~d)⨸(~e) - rt((~c)⨸(~e)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)), 2)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) + (~e)⨸2*∫(((~f)*(~x))^(~m)⨸((~c)*(~d)⨸(~e) + rt((~c)⨸(~e)*(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e)), 2)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_42",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    gt((~d)/(~e), 0) ?
+(~e)⨸2*∫(((~f)*(~x))^(~m)⨸((~c)*(~d)⨸(~e) - rt(2*(~c)^2*(~d)⨸(~e), 2)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) + (~e)⨸2*∫(((~f)*(~x))^(~m)⨸((~c)*(~d)⨸(~e) + rt(2*(~c)^2*(~d)⨸(~e), 2)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_43",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+((~e)⨸2 + (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))⨸(2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))* ∫(((~f)*(~x))^(~m)⨸((~b)⨸2 - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x)^2), (~x)) + ((~e)⨸2 - (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))⨸(2*rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))* ∫(((~f)*(~x))^(~m)⨸((~b)⨸2 + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_44",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) ?
+-((~e)⨸2 + (~c)*(~d)⨸(2*rt(-(~a)*(~c), 2)))* ∫(((~f)*(~x))^(~m)⨸(rt(-(~a)*(~c), 2) - (~c)*(~x)^2), (~x)) + ((~e)⨸2 - (~c)*(~d)⨸(2*rt(-(~a)*(~c), 2)))* ∫(((~f)*(~x))^(~m)⨸(rt(-(~a)*(~c), 2) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_45",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~q)) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_46",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~q)) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)⨸((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_47",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~q)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+∫(ext_expand(((~f)*(~x))^(~m), ((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_48",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~q)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+∫(ext_expand(((~f)*(~x))^(~m), ((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)⨸((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_49",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    gt((~m), 3) ?
+(~f)^4⨸(~c)^2* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 4)*((~c)*(~d) - (~b)*(~e) + (~c)*(~e)*(~x)^2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) - 1), (~x)) - (~f)^4⨸(~c)^2* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 4)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) - 1)* simp((~a)*((~c)*(~d) - (~b)*(~e)) + ((~b)*(~c)*(~d) - (~b)^2*(~e) + (~a)*(~c)*(~e))*(~x)^2, (~x))⨸((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_50",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~q), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    gt((~m), 3) ?
+(~f)^4⨸(~c)*∫(((~f)*(~x))^((~m) - 4)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~x)) - (~a)*(~f)^4⨸(~c)*∫(((~f)*(~x))^((~m) - 4)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)⨸((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_51",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    le((~m), 3) ?
+(~e)*(~f)^2⨸(~c)*∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) - 1), (~x)) - (~f)^2⨸(~c)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) - 1)* simp((~a)*(~e) - ((~c)*(~d) - (~b)*(~e))*(~x)^2, (~x))⨸((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_52",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    le((~m), 3) ?
+(~e)*(~f)^2⨸(~c)*∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) - 1), (~x)) - (~f)^2⨸(~c)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) - 1)* simp((~a)*(~e) - (~c)*(~d)*(~x)^2, (~x))⨸((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_53",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~!d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    lt((~m), 0) ?
+(~d)⨸(~a)*∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) - 1), (~x)) - 1⨸((~a)*(~f)^2)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) - 1)* simp((~b)*(~d) - (~a)*(~e) + (~c)*(~d)*(~x)^2, (~x))⨸((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_54",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~!d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    lt((~m), 0) ?
+(~d)⨸(~a)*∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) - 1), (~x)) + 1⨸((~a)*(~f)^2)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) - 1)* simp((~a)*(~e) - (~c)*(~d)*(~x)^2, (~x))⨸((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_55",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    lt((~q), -1) &&
+    gt((~m), 3) ?
+(~d)^2*(~f)^4⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 4)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~x)) - (~f)^4⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 4)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)* simp((~a)*(~d) + ((~b)*(~d) - (~a)*(~e))*(~x)^2, (~x))⨸((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_56",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    lt((~q), -1) &&
+    gt((~m), 3) ?
+(~d)^2*(~f)^4⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)*∫(((~f)*(~x))^((~m) - 4)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~x)) - (~a)*(~f)^4⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 4)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)*((~d) - (~e)*(~x)^2)⨸((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_57",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    lt((~q), -1) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    le((~m), 3) ?
+-(~d)*(~e)*(~f)^2⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~x)) + (~f)^2⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)* simp((~a)*(~e) + (~c)*(~d)*(~x)^2, (~x))⨸((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_58",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    lt((~q), -1) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    le((~m), 3) ?
+-(~d)*(~e)*(~f)^2⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)*∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~x)) + (~f)^2⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)* simp((~a)*(~e) + (~c)*(~d)*(~x)^2, (~x))⨸((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_59",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    lt((~q), -1) ?
+(~e)^2⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)*∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~x)) + 1⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)* simp((~c)*(~d) - (~b)*(~e) - (~c)*(~e)*(~x)^2, (~x))⨸((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_60",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    lt((~q), -1) ?
+(~e)^2⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)*∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~x)) + (~c)⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)*((~d) - (~e)*(~x)^2)⨸((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_61",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), ((~f)*(~x))^(~m)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_62",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~q), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), ((~f)*(~x))^(~m)⨸((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_63",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+∫(ext_expand(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), 1⨸((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_64",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~q), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+∫(ext_expand(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), 1⨸((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_65",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+2*(~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)^2), (~x)) - 2*(~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_66",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)/((~a) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~q), (~x)) ?
+-(~c)⨸(2*rt(-(~a)*(~c), 2))*∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)⨸(rt(-(~a)*(~c), 2) - (~c)*(~x)^2), (~x)) - (~c)⨸(2*rt(-(~a)*(~c), 2))*∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)⨸(rt(-(~a)*(~c), 2) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_67",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p)/((~!d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~m), -2) ?
+1⨸(~d)^2* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~a)*(~d) + ((~b)*(~d) - (~a)*(~e))*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1), (~x)) + ((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)⨸((~d)^2*(~f)^4)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 4)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_68",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p)/((~!d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~m), -2) ?
+(~a)⨸(~d)^2*∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) - (~e)*(~x)^2)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1), (~x)) + ((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)⨸((~d)^2*(~f)^4)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 4)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_69",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p)/((~!d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~m), 0) ?
+1⨸((~d)*(~e))* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~a)*(~e) + (~c)*(~d)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1), (~x)) - ((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)⨸((~d)*(~e)*(~f)^2)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_70",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p)/((~!d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~m), 0) ?
+1⨸((~d)*(~e))*∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~a)*(~e) + (~c)*(~d)*(~x)^2)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1), (~x)) - ((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)⨸((~d)*(~e)*(~f)^2)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_71",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p)/((~!d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 2) ?
+-(~f)^4⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 4)*((~a)*(~d) + ((~b)*(~d) - (~a)*(~e))*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)) + (~d)^2*(~f)^4⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 4)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_72",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~p)/((~!d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 2) ?
+-(~a)*(~f)^4⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 4)*((~d) - (~e)*(~x)^2)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)) + (~d)^2*(~f)^4⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 4)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_73",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p)/((~!d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 0) ?
+(~f)^2⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~a)*(~e) + (~c)*(~d)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)) - (~d)*(~e)*(~f)^2⨸((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_74",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~p)/((~!d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~m), 0) ?
+(~f)^2⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~a)*(~e) + (~c)*(~d)*(~x)^2)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)) - (~d)*(~e)*(~f)^2⨸((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2)* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_75",
+@rule ∫((~x)^2/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    pos((~c)/(~a)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) ?
+(~d)⨸(2*(~d)*(~e))*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) - (~d)⨸(2*(~d)*(~e))* ∫(((~d) - (~e)*(~x)^2)⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_76",
+@rule ∫((~x)^2/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    pos((~c)/(~a)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) ?
+(~d)⨸(2*(~d)*(~e))*∫(1⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) - (~d)⨸(2*(~d)*(~e))*∫(((~d) - (~e)*(~x)^2)⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_77",
+@rule ∫((~x)^2/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~b)*(~d)*(~e) + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    pos((~c)/(~a)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) ?
+-(~a)*((~e) + (~d)*rt((~c)⨸(~a), 2))⨸((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2)* ∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) + (~a)*(~d)*((~e) + (~d)*rt((~c)⨸(~a), 2))⨸((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2)* ∫((1 + rt((~c)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_78",
+@rule ∫((~x)^2/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 + (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    pos((~c)/(~a)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) ?
+-(~a)*((~e) + (~d)*rt((~c)⨸(~a), 2))⨸((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) + (~a)*(~d)*((~e) + (~d)*rt((~c)⨸(~a), 2))⨸((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2)* ∫((1 + rt((~c)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_79",
+@rule ∫((~x)^4/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    pos((~c)/(~a)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) ?
+-1⨸(~e)^2*∫(((~d) - (~e)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) + (~d)^2⨸(~e)^2*∫(1⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_80",
+@rule ∫((~x)^4/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    pos((~c)/(~a)) &&
+    eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) ?
+-1⨸(~e)^2*∫(((~d) - (~e)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) + (~d)^2⨸(~e)^2*∫(1⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_81",
+@rule ∫((~x)^4/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    pos((~c)/(~a)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~a)*(~e)*rt((~c)/(~a), 2), 0) ?
+-1⨸((~e)*rt((~c)⨸(~a), 2))*∫((1 - rt((~c)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) + (~d)^2⨸((~e)*((~e) - (~d)*rt((~c)⨸(~a), 2)))* ∫((1 + rt((~c)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_82",
+@rule ∫((~x)^4/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    pos((~c)/(~a)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~a)*(~e)*rt((~c)/(~a), 2), 0) ?
+-1⨸((~e)*rt((~c)⨸(~a), 2))*∫((1 - rt((~c)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) + (~d)^2⨸((~e)*((~e) - (~d)*rt((~c)⨸(~a), 2)))* ∫((1 + rt((~c)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_83",
+@rule ∫((~x)^4/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    pos((~c)/(~a)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) ?
+-(2*(~c)*(~d) - (~a)*(~e)*rt((~c)⨸(~a), 2))⨸((~c)*(~e)*((~e) - (~d)*rt((~c)⨸(~a), 2)))* ∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) - 1⨸((~e)*rt((~c)⨸(~a), 2))*∫((1 - rt((~c)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)) + (~d)^2⨸((~e)*((~e) - (~d)*rt((~c)⨸(~a), 2)))* ∫((1 + rt((~c)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_84",
+@rule ∫((~x)^4/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    pos((~c)/(~a)) &&
+    !eq((~c)*(~d)^2 - (~a)*(~e)^2, 0) ?
+-(2*(~c)*(~d) - (~a)*(~e)*rt((~c)⨸(~a), 2))⨸((~c)*(~e)*((~e) - (~d)*rt((~c)⨸(~a), 2)))*∫(1⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) - 1⨸((~e)*rt((~c)⨸(~a), 2))*∫((1 - rt((~c)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4), (~x)) + (~d)^2⨸((~e)*((~e) - (~d)*rt((~c)⨸(~a), 2)))* ∫((1 + rt((~c)⨸(~a), 2)*(~x)^2)⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_85",
+@rule ∫((~x)^(~m)/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    igt((~m)/2, 2) ?
+(~x)^((~m) - 5)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)⨸((~c)*(~e)*((~m) - 3)) - 1⨸((~c)*(~e)*((~m) - 3))* ∫((~x)^((~m) - 6)⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* simp((~a)*(~d)*((~m) - 5) + ((~a)*(~e)*((~m) - 5) + (~b)*(~d)*((~m) - 4))* (~x)^2 + ((~b)*(~e)*((~m) - 4) + (~c)*(~d)*((~m) - 3))*(~x)^4, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_86",
+@rule ∫((~x)^(~m)/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    igt((~m)/2, 2) ?
+(~x)^((~m) - 5)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)⨸((~c)*(~e)*((~m) - 3)) - 1⨸((~c)*(~e)*((~m) - 3))* ∫((~x)^((~m) - 6)⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4))* simp((~a)*(~d)*((~m) - 5) + (~a)*(~e)*((~m) - 5)*(~x)^2 + (~c)*(~d)*((~m) - 3)*(~x)^4, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_87",
+@rule ∫((~x)^(~m)/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ilt((~m)/2, 0) ?
+(~x)^((~m) + 1)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)⨸((~a)*(~d)*((~m) + 1)) - 1⨸((~a)*(~d)*((~m) + 1))* ∫((~x)^((~m) + 2)⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* simp((~a)*(~e)*((~m) + 1) + (~b)*(~d)*((~m) + 2) + ((~b)*(~e)*((~m) + 2) + (~c)*(~d)*((~m) + 3))*(~x)^2 + (~c)*(~e)*((~m) + 3)*(~x)^4, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_88",
+@rule ∫((~x)^(~m)/(((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    ilt((~m)/2, 0) ?
+(~x)^((~m) + 1)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4)⨸((~a)*(~d)*((~m) + 1)) - 1⨸((~a)*(~d)*((~m) + 1))* ∫((~x)^((~m) + 2)⨸(((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4))* simp((~a)*(~e)*((~m) + 1) + (~c)*(~d)*((~m) + 3)*(~x)^2 + (~c)*(~e)*((~m) + 3)*(~x)^4, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_89",
+@rule ∫((~x)^(~m)/(sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) ?
+(~x)^3*sqrt((~e) + (~d)⨸(~x)^2)* sqrt((~c) + (~b)⨸(~x)^2 + (~a)⨸(~x)^4)⨸(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4))* ∫((~x)^((~m) - 3)⨸(sqrt((~e) + (~d)⨸(~x)^2)*sqrt((~c) + (~b)⨸(~x)^2 + (~a)⨸(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_90",
+@rule ∫((~x)^(~m)/(sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~!c)*(~x)^4)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) ?
+(~x)^3*sqrt((~e) + (~d)⨸(~x)^2)* sqrt((~c) + (~a)⨸(~x)^4)⨸(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^4))* ∫((~x)^((~m) - 3)⨸(sqrt((~e) + (~d)⨸(~x)^2)*sqrt((~c) + (~a)⨸(~x)^4)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_91",
+@rule ∫((~x)^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    igt((~q), 1) &&
+    igt((~m)/2, 0) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)*((~a)*(~b)*ext_coeff( poly_remainder((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 2) - ext_coeff(poly_remainder((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 0)*((~b)^2 - 2*(~a)*(~c)) - (~c)*((~b)*ext_coeff(poly_remainder((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 0) - 2*(~a)*ext_coeff( poly_remainder((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 2))*(~x)^2)⨸(2*(~a)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) + 1⨸(2*(~a)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))*∫(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)* simp(expand_to_sum( 2*(~a)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))* poly_quotient((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)) + (~b)^2*ext_coeff(poly_remainder((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 0)*(2*(~p) + 3) - 2*(~a)*(~c)*ext_coeff(poly_remainder((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 0)*(4*(~p) + 5) - (~a)*(~b)*ext_coeff( poly_remainder((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 2) + (~c)*(4*(~p) + 7)*((~b)*ext_coeff(poly_remainder((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 0) - 2*(~a)*ext_coeff( poly_remainder((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 2))*(~x)^2, (~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_92",
+@rule ∫((~x)^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    igt((~q), 1) &&
+    ilt((~m)/2, 0) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)*((~a)*(~b)*ext_coeff( poly_remainder((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 2) - ext_coeff(poly_remainder((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 0)*((~b)^2 - 2*(~a)*(~c)) - (~c)*((~b)*ext_coeff(poly_remainder((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 0) - 2*(~a)*ext_coeff( poly_remainder((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 2))*(~x)^2)⨸(2*(~a)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) + 1⨸(2*(~a)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)* simp(expand_to_sum( 2*(~a)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))*(~x)^(-(~m))* poly_quotient((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)) + ((~b)^2*ext_coeff(poly_remainder((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 0)*(2*(~p) + 3) - 2*(~a)*(~c)*ext_coeff(poly_remainder((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 0)*(4*(~p) + 5) - (~a)*(~b)*ext_coeff( poly_remainder((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 2))*(~x)^(-(~m)) + (~c)*(4*(~p) + 7)*((~b)*ext_coeff(poly_remainder((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 0) - 2*(~a)*ext_coeff( poly_remainder((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 2))*(~x)^(2 - (~m)), (~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_93",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    (
+        igt((~p), 0) ||
+        igt((~q), 0) ||
+        ext_isinteger((~m), (~q))
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_94",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    (
+        igt((~p), 0) ||
+        igt((~q), 0) ||
+        ext_isinteger((~m), (~q))
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_4_95",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ilt((~q), 0) ?
+((~f)*(~x))^(~m)⨸(~x)^(~m)* ∫(ext_expand( (~x)^(~m)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^ (~p), ((~d)⨸((~d)^2 - (~e)^2*(~x)^4) - (~e)*(~x)^2⨸((~d)^2 - (~e)^2*(~x)^4))^(-(~q)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("1_2_2_4_96",
+# @rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~q), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)] : nothing)
+
+# ("1_2_2_4_97",
+# @rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~a) + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~q), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.5 P(x) (a+b x^2+c x^4)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.5 P(x) (a+b x^2+c x^4)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..5f2f68e9
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.5 P(x) (a+b x^2+c x^4)^p.jl	
@@ -0,0 +1,122 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.2.2.5 P(x) (a+b x^2+c x^4)^p *)
+("1_2_2_5_1",
+@rule ∫((~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand((~Pq)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_5_2",
+@rule ∫((~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    eq(ext_coeff((~Pq), (~x), 0), 0) ?
+∫((~x)*poly_quotient((~Pq), (~x), (~x))*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_5_3",
+@rule ∫((~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    !(poly((~Pq), (~x)^2)) ?
+let
+    q = exponent_of((~Pq), (~x))
+    
+    ∫( sum([ext_coeff((~Pq), (~x), 2*iii)*(~x)^(2*iii) for iii in ( 0):( q⨸2)])*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^ (~p), (~x)) + ∫( (~x)*sum([ext_coeff((~Pq), (~x), 2*iii + 1)*(~x)^(2*iii) for iii in ( 0):( (q - 1)⨸2)])*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p), (~x))
+end : nothing)
+
+("1_2_2_5_4",
+@rule ∫((~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)^2) &&
+    eq(exponent_of((~Pq), (~x)), 4) ?
+let
+    d = ext_coeff((~Pq), (~x), 0)
+    e = ext_coeff((~Pq), (~x), 2)
+    f = ext_coeff((~Pq), (~x), 4)
+    
+    eq((~a)*e - (~b)*d*(2*(~p) + 3), 0) &&
+    eq((~a)*f - (~c)*d*(4*(~p) + 5), 0) ?
+    d*(~x)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸(~a) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_2_2_5_5",
+@rule ∫((~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)^2) &&
+    eq(exponent_of((~Pq), (~x)), 6) ?
+let
+    d = ext_coeff((~Pq), (~x), 0)
+    e = ext_coeff((~Pq), (~x), 2)
+    f = ext_coeff((~Pq), (~x), 4)
+    g = ext_coeff((~Pq), (~x), 6)
+    
+    eq(3*(~a)^2*g - (~c)*(4*(~p) + 7)*((~a)*e - (~b)*d*(2*(~p) + 3)), 0) &&
+    eq(3*(~a)^2*f - 3*(~a)*(~c)*d*(4*(~p) + 5) - (~b)*(2*(~p) + 5)*((~a)*e - (~b)*d*(2*(~p) + 3)), 0) ?
+    (~x)*(3*(~a)*d + ((~a)*e - (~b)*d*(2*(~p) + 3))* (~x)^2)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸(3*(~a)^2) : nothing
+end : nothing)
+
+("1_2_2_5_6",
+@rule ∫((~Pq)/((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)^2) &&
+    exponent_of((~Pq), (~x)^2) > 1 ?
+∫(ext_expand((~Pq)⨸((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_5_7",
+@rule ∫((~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)^2) &&
+    exponent_of((~Pq), (~x)^2) > 1 &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^ fracpart((~p))⨸((4*(~c))^intpart((~p))*((~b) + 2*(~c)*(~x)^2)^(2*fracpart((~p))))* ∫((~Pq)*((~b) + 2*(~c)*(~x)^2)^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_2_5_8",
+@rule ∫((~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)^2) &&
+    exponent_of((~Pq), (~x)^2) > 1 &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    lt((~p), -1) ?
+let
+    d = ext_coeff(poly_remainder((~Pq), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 0)
+    e = ext_coeff(poly_remainder((~Pq), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)), (~x), 2)
+    
+    (~x)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)*((~a)*(~b)*e - d*((~b)^2 - 2*(~a)*(~c)) - (~c)*((~b)*d - 2*(~a)*e)*(~x)^2)⨸(2*(~a)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) + 1⨸(2*(~a)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))*∫(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)* expand_to_sum( 2*(~a)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))* poly_quotient((~Pq), (~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4, (~x)) + (~b)^2*d*(2*(~p) + 3) - 2*(~a)*(~c)*d*(4*(~p) + 5) - (~a)*(~b)*e + (~c)*(4*(~p) + 7)*((~b)*d - 2*(~a)*e)*(~x)^2, (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+("1_2_2_5_9",
+@rule ∫((~Pq)*((~a) + (~!b)*(~x)^2 + (~!c)*(~x)^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)^2) &&
+    exponent_of((~Pq), (~x)^2) > 1 &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(lt((~p), -1)) ?
+let
+    q = exponent_of((~Pq), (~x)^2)
+    e = ext_coeff((~Pq), (~x)^2, exponent_of((~Pq), (~x)^2))
+    
+    e*(~x)^(2*q - 3)*((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^((~p) + 1)⨸((~c)*(2*q + 4*(~p) + 1)) + 1⨸((~c)*(2*q + 4*(~p) + 1))*∫(((~a) + (~b)*(~x)^2 + (~c)*(~x)^4)^(~p)* expand_to_sum( (~c)*(2*q + 4*(~p) + 1)*(~Pq) - (~a)*e*(2*q - 3)*(~x)^(2*q - 4) - (~b)*e*(2*q + 2*(~p) - 1)*(~x)^(2*q - 2) - (~c)*e*(2*q + 4*(~p) + 1)*(~x)^(2*q), (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+("1_2_2_5_10",
+@rule ∫((~Pq)*(~Q4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    poly((~Q4), (~x), 4) &&
+    !(igt((~p), 0)) ?
+let
+    a = ext_coeff((~Q4), (~x), 0)
+    b = ext_coeff((~Q4), (~x), 1)
+    c = ext_coeff((~Q4), (~x), 2)
+    d = ext_coeff((~Q4), (~x), 3)
+    e = ext_coeff((~Q4), (~x), 4)
+    
+    eq(d^3 - 4*c*d*e + 8*b*e^2, 0) &&
+    !eq(d, 0) ?
+    int_and_subst(ext_simplify( substitute((~Pq), Dict(  (~x)  =>  -d⨸(4*e) + (~x)))*(a + d^4⨸(256*e^3) - b*d⨸(8*e) + (c - 3*d^2⨸(8*e))*(~x)^2 + e*(~x)^4)^(~p), (~x)), (~x), (~x), d⨸(4*e) + (~x), "1_2_2_5_10") : nothing
+end : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.1 (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.1 (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..1828bc55
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.1 (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,98 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.2.3.1 (a+b x^n+c x^(2 n))^p *)
+("1_2_3_1_1",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n) + (~!c)*(~x)^(~!n2))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    lt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+∫((~x)^(2*(~n)*(~p))*((~c) + (~b)*(~x)^(-(~n)) + (~a)*(~x)^(-2*(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_3_1_2",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n) + (~!c)*(~x)^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n)) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n)) + (~c)*(~x)^(2*ext_den((~n))*(~n)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "1_2_3_1_2") : nothing)
+
+("1_2_3_1_3",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n) + (~!c)*(~x)^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+-int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(-(~n)) + (~c)*(~x)^(-2*(~n)))^(~p)⨸(~x)^2,  (~x), (~x), 1⨸(~x), "1_2_3_1_3") : nothing)
+
+("1_2_3_1_4",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n) + (~!c)*(~x)^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+((~a) + (~b)*(~x)^(~n) + (~c)*(~x)^(2*(~n)))^(~p)⨸((~b) + 2*(~c)*(~x)^(~n))^(2*(~p))* ∫(((~b) + 2*(~c)*(~x)^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_3_1_5",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n) + (~!c)*(~x)^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*(~x)^(~n) + (~c)*(~x)^(2*(~n)))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_3_1_6",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n) + (~!c)*(~x)^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ilt((~p), -1) ?
+-(~x)*((~b)^2 - 2*(~a)*(~c) + (~b)*(~c)*(~x)^(~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n) + (~c)*(~x)^(2*(~n)))^((~p) + 1)⨸((~a)* (~n)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))) + 1⨸((~a)*(~n)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)))* ∫(((~b)^2 - 2*(~a)*(~c) + (~n)*((~p) + 1)*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) + (~b)*(~c)*((~n)*(2*(~p) + 3) + 1)*(~x)^(~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n) + (~c)*(~x)^(2*(~n)))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_3_1_7",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n) + (~!c)*(~x)^(~n2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    igt((~n)/2, 0) &&
+    neg((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) ?
+1⨸(2*(~c)*rt((~a)⨸(~c), 2)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2))*∫((rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2) - (~x)^((~n)⨸2))⨸(rt((~a)⨸(~c), 2) - rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2)*(~x)^((~n)⨸2) + (~x)^(~n)), (~x)) + 1⨸(2*(~c)*rt((~a)⨸(~c), 2)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2))*∫((rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2) + (~x)^((~n)⨸2))⨸(rt((~a)⨸(~c), 2) + rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2)*(~x)^((~n)⨸2) + (~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_3_1_8",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*(~x)^(~n) + (~!c)*(~x)^(~n2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+(~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(1⨸((~b)⨸2 - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x)^(~n)), (~x)) - (~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(1⨸((~b)⨸2 + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)⨸2 + (~c)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_3_1_9",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n) + (~!c)*(~x)^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+(~a)^intpart((~p))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n) + (~c)*(~x)^(2*(~n)))^fracpart((~p))⨸ ((1 + 2*(~c)*(~x)^(~n)⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))^ fracpart((~p))*(1 + 2*(~c)*(~x)^(~n)⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)))^fracpart((~p)))* ∫((1 + 2*(~c)*(~x)^(~n)⨸((~b) + sqrt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))))^ (~p)*(1 + 2*(~c)*(~x)^(~n)⨸((~b) - sqrt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_3_1_10",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~u)^(~n) + (~!c)*(~u)^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !eq((~u), (~x)) ?
+1⨸ext_coeff((~u), (~x), 1)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(~n) + (~c)*(~x)^(2*(~n)))^(~p),  (~x), (~x), (~u), "1_2_3_1_10") : nothing)
+
+("1_2_3_1_11",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~mn) + (~!c)*(~x)^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    eq((~mn), -(~n)) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    pos((~n)) ?
+∫(((~b) + (~a)*(~x)^(~n) + (~c)*(~x)^(2*(~n)))^(~p)⨸(~x)^((~n)*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("1_2_3_1_12",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~mn) + (~!c)*(~x)^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~mn), -(~n)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    pos((~n)) ?
+(~x)^((~n)*fracpart((~p)))*((~a) + (~b)*(~x)^(-(~n)) + (~c)*(~x)^(~n))^ fracpart((~p))⨸((~b) + (~a)*(~x)^(~n) + (~c)*(~x)^(2*(~n)))^fracpart((~p))* ∫(((~b) + (~a)*(~x)^(~n) + (~c)*(~x)^(2*(~n)))^(~p)⨸(~x)^((~n)*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.3 Miscellaneous/1.3.4 Normalizing algebraic functions.jl b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.3 Miscellaneous/1.3.4 Normalizing algebraic functions.jl
new file mode 100644
index 00000000..e44f5c60
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/1 Algebraic functions/1.3 Miscellaneous/1.3.4 Normalizing algebraic functions.jl	
@@ -0,0 +1,468 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 1.3.4 Normalizing algebraic functions *)
+("1_3_4_1",
+@rule ∫((~!u)*((~!c)*((~d)*((~!a) + (~!b)* (~x)))^(~q))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~q), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~c)*((~d)*((~a) + (~b)*(~x)))^(~q))^(~p)⨸((~a) + (~b)*(~x))^((~p)*(~q))*∫((~u)*((~a) + (~b)*(~x))^((~p)*(~q)), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_2",
+@rule ∫((~!u)*((~!c)*((~!d)*((~!a) + (~!b)* (~x))^(~n))^(~q))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~q), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~q))) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~c)*((~d)*((~a) + (~b)*(~x))^(~n))^(~q))^(~p)⨸((~a) + (~b)*(~x))^((~n)*(~p)*(~q))* ∫((~u)*((~a) + (~b)*(~x))^((~n)*(~p)*(~q)), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_3",
+@rule ∫((~!u)*((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~q))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    ge((~a), 0) ?
+simp(((~c)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~q))^(~p)⨸((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p)*(~q)))* ∫((~u)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p)*(~q)), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_4",
+@rule ∫((~!u)*((~!c)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~q))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !(ge((~a), 0)) ?
+simp(((~c)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~q))^(~p)⨸(1 + (~b)*(~x)^(~n)⨸(~a))^((~p)*(~q)))* ∫((~u)*(1 + (~b)*(~x)^(~n)⨸(~a))^((~p)*(~q)), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_5",
+@rule ∫((~!u)*((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!q)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n))^(~!q))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~q)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+∫((~u)*((~e)*((~d)⨸(~b))^(~q)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(2*(~q)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_6",
+@rule ∫((~!u)*((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~q)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n))^(~q))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~q)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) ?
+∫((~u)*((~e)*(-(~a)^2*(~d)⨸(~b) + (~b)*(~d)*(~x)^(2*(~n)))^(~q))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[u_.*((a_.+b_.*x_^n_.)*(c_+d_.*x_^n_.))^p_,x_Symbol] := Int[u*(a+b*x^n)^p*(c+d*x^n)^p,x] /; FreeQ[{a,b,c,d,n,p},x] && EqQ[b+d,0] && GtQ[a,0] && GtQ[c,0] *)
+("1_3_4_7",
+@rule ∫((~!u)*((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) ?
+∫((~u)*((~a)*(~c)*(~e) + ((~b)*(~c) + (~a)*(~d))*(~e)*(~x)^(~n) + (~b)*(~d)*(~e)*(~x)^(2*(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_8",
+@rule ∫((~!u)*((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))/((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+((~b)*(~e)⨸(~d))^(~p)*∫((~u), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_9",
+@rule ∫((~!u)*((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))/((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) &&
+    gt((~b)*(~d)*(~e), 0) &&
+    gt((~c) - (~a)*(~d)/(~b), 0) ?
+∫((~u)*((~a)*(~e) + (~b)*(~e)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[u_.*(e_.*(a_.+b_.*x_^n_.)/(c_+d_.*x_^n_.))^p_,x_Symbol] := Int[u*(a*e+b*e*x^n)^p/(c+d*x^n)^p,x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,n,p},x] && EqQ[b*c+a*d,0] && GtQ[b*e/d,0] &&  GtQ[c,0] *)
+#(* Int[u_.*(e_.*(a_.+b_.*x_^n_.)/(c_+d_.*x_^n_.))^p_,x_Symbol] := Int[u*(-a*e-b*e*x^n)^p/(-c-d*x^n)^p,x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,n,p},x] && EqQ[b*c+a*d,0] && GtQ[b*e/d,0] &&  LtQ[c,0] *)
+("1_3_4_10",
+@rule ∫(((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))/((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    isfraction((~p)) &&
+    ext_isinteger(1/(~n)) ?
+ext_den((~p))*(~e)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(ext_den((~p))*((~p) + 1) - 1)*(-(~a)*(~e) + (~c)*(~x)^ext_den((~p)))^(1⨸(~n) - 1)⨸((~b)*(~e) - (~d)*(~x)^ext_den((~p)))^(1⨸(~n) + 1),  (~x), (~x), ((~e)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(1⨸ext_den((~p))), "1_3_4_10") : nothing)
+
+("1_3_4_11",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))/((~c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    isfraction((~p)) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+ext_den((~p))*(~e)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* int_and_subst( (~x)^(ext_den((~p))*((~p) + 1) - 1)*(-(~a)*(~e) + (~c)*(~x)^ext_den((~p)))^(~m)⨸((~b)*(~e) - (~d)*(~x)^ext_den((~p)))^((~m) + 2),  (~x), (~x), ((~e)*((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))^(1⨸ext_den((~p))), "1_3_4_11") : nothing)
+
+("1_3_4_12",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))/((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~e)*((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "1_3_4_12") : nothing)
+
+("1_3_4_13",
+@rule ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))/((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) ?
+simp(((~c)*(~x))^(~m)⨸(~x)^(~m))*∫((~x)^(~m)*((~e)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_14",
+@rule ∫((~u)^(~!r)*((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))/((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    poly((~u), (~x)) &&
+    isfraction((~p)) &&
+    ext_isinteger(1/(~n)) &&
+    ext_isinteger((~r)) ?
+ext_den((~p))*(~e)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~n)* int_and_subst( ext_simplify( (~x)^(ext_den((~p))*((~p) + 1) - 1)*(-(~a)*(~e) + (~c)*(~x)^ext_den((~p)))^(1⨸(~n) - 1)⨸((~b)*(~e) - (~d)*(~x)^ext_den((~p)))^(1⨸(~n) + 1)* substitute((~u), Dict(  (~x)  =>  (-(~a)*(~e) + (~c)*(~x)^ext_den((~p)))^(1⨸(~n))⨸((~b)*(~e) - (~d)*(~x)^ext_den((~p)))^(1⨸(~n))))^(~r), (~x)), (~x), (~x), ((~e)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(1⨸ext_den((~p))), "1_3_4_14") : nothing)
+
+("1_3_4_15",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*(~u)^(~!r)*((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))/((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    poly((~u), (~x)) &&
+    isfraction((~p)) &&
+    ext_isinteger(1/(~n)) &&
+    ext_isinteger((~m), (~r)) ?
+ext_den((~p))*(~e)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~n)* int_and_subst( ext_simplify( (~x)^(ext_den((~p))*((~p) + 1) - 1)*(-(~a)*(~e) + (~c)*(~x)^ext_den((~p)))^(((~m) + 1)⨸(~n) - 1)⨸((~b)*(~e) - (~d)*(~x)^ext_den((~p)))^(((~m) + 1)⨸(~n) + 1)* substitute((~u), Dict(  (~x)  =>  (-(~a)*(~e) + (~c)*(~x)^ext_den((~p)))^(1⨸(~n))⨸((~b)*(~e) - (~d)*(~x)^ext_den((~p)))^(1⨸(~n))))^(~r), (~x)), (~x), (~x), ((~e)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(1⨸ext_den((~p))), "1_3_4_15") : nothing)
+
+("1_3_4_16",
+@rule ∫((~!u)*((~a) + (~b)/((~c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~x)) ?
+∫((~u)*(((~b) + (~a)*(~c) + (~a)*(~d)*(~x)^(~n))⨸((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_17",
+@rule ∫((~!u)*((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!q)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))^(~!r))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) ?
+simp(((~e)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~q)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~r))^ (~p)⨸(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p)*(~q))*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~p)*(~r))))* ∫((~u)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p)*(~q))*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~p)*(~r)), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_18",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*((~c)/(~x))^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~x)) ?
+-(~c)*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸(~x)^2,  (~x), (~x), (~c)⨸(~x), "1_3_4_18") : nothing)
+
+("1_3_4_19",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*((~c)/(~x))^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+-(~c)^((~m) + 1)*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸(~x)^((~m) + 2),  (~x), (~x), (~c)⨸(~x), "1_3_4_19") : nothing)
+
+("1_3_4_20",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*((~c)/(~x))^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+-(~c)*((~d)*(~x))^(~m)*((~c)⨸(~x))^(~m)*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸(~x)^((~m) + 2),  (~x), (~x), (~c)⨸(~x), "1_3_4_20") : nothing)
+
+("1_3_4_21",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*((~d)/(~x))^(~n) + (~!c)*((~d)/(~x))^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) ?
+-(~d)*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(~n) + (~c)*(~x)^(2*(~n)))^(~p)⨸(~x)^2,  (~x), (~x), (~d)⨸(~x), "1_3_4_21") : nothing)
+
+("1_3_4_22",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~d)/(~x))^(~n) + (~!c)*((~d)/(~x))^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+-(~d)^((~m) + 1)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(~n) + (~c)*(~x)^(2*(~n)))^(~p)⨸(~x)^((~m) + 2),  (~x), (~x), (~d)⨸(~x), "1_3_4_22") : nothing)
+
+("1_3_4_23",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*((~d)/(~x))^(~n) + (~!c)*((~d)/(~x))^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+-(~d)*((~e)*(~x))^(~m)*((~d)⨸(~x))^(~m)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(~n) + (~c)*(~x)^(2*(~n)))^(~p)⨸(~x)^((~m) + 2),  (~x), (~x), (~d)⨸(~x), "1_3_4_23") : nothing)
+
+("1_3_4_24",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*((~d)/(~x))^(~n) + (~!c)*(~x)^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), -2*(~n)) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+-(~d)*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(~n) + (~c)⨸(~d)^(2*(~n))*(~x)^(2*(~n)))^(~p)⨸(~x)^2,  (~x), (~x), (~d)⨸(~x), "1_3_4_24") : nothing)
+
+("1_3_4_25",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~d)/(~x))^(~n) + (~!c)*(~x)^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), -2*(~n)) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+-(~d)^((~m) + 1)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(~n) + (~c)⨸(~d)^(2*(~n))*(~x)^(2*(~n)))^(~p)⨸(~x)^((~m) + 2),  (~x), (~x), (~d)⨸(~x), "1_3_4_25") : nothing)
+
+("1_3_4_26",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*((~d)/(~x))^(~n) + (~!c)*(~x)^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), -2*(~n)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+-(~d)*((~e)*(~x))^(~m)*((~d)⨸(~x))^(~m)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x)^(~n) + (~c)⨸(~d)^(2*(~n))*(~x)^(2*(~n)))^(~p)⨸(~x)^((~m) + 2),  (~x), (~x), (~d)⨸(~x), "1_3_4_26") : nothing)
+
+("1_3_4_27",
+@rule ∫((~!u)*((~!e)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!r))^(~p)*((~!f)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!n))^(~s))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~q), (~r), (~s), (~x)) ?
+((~e)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~r))^ (~p)*((~f)*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^(~s))^(~q)⨸(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p)*(~r))*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q)*(~s)))* ∫((~u)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p)*(~r))*((~c) + (~d)*(~x)^(~n))^((~q)*(~s)), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_28",
+@rule ∫((~u)^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_29",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*(~v)^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~n), (~x)) &&
+    linear((~u), (~v), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~v), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~m)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_30",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*(~v)^(~!n)*(~w)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~v), (~w), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~v), (~w), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~m)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~n)*expand_to_sum((~w), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_31",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*(~v)^(~!n)*(~w)^(~!p)*(~z)^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    linear((~u), (~v), (~w), (~z), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~v), (~w), (~z), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~m)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~n)*expand_to_sum((~w), (~x))^(~p)* expand_to_sum((~z), (~x))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_32",
+@rule ∫((~u)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~p), (~x)) &&
+    isbinomial((~u), (~x)) &&
+    !(binomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_33",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*(~u)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~m), (~p), (~x)) &&
+    isbinomial((~u), (~x)) &&
+    !(binomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(((~c)*(~x))^(~m)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_34",
+@rule ∫((~u)^(~!p)*(~v)^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~p), (~q), (~x)) &&
+    isbinomial([(~u), (~v)], (~x)) &&
+    eq(binomial_degree((~u), (~x)) - binomial_degree((~v), (~x)), 0) &&
+    !(binomial_without_simplify([(~u), (~v)], (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~p)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_35",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*(~u)^(~!p)*(~v)^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~e), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isbinomial([(~u), (~v)], (~x)) &&
+    eq(binomial_degree((~u), (~x)) - binomial_degree((~v), (~x)), 0) &&
+    !(binomial_without_simplify([(~u), (~v)], (~x))) ?
+∫(((~e)*(~x))^(~m)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~p)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_36",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*(~v)^(~!p)*(~w)^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isbinomial([(~u), (~v), (~w)], (~x)) &&
+    eq(binomial_degree((~u), (~x)) - binomial_degree((~v), (~x)), 0) &&
+    eq(binomial_degree((~u), (~x)) - binomial_degree((~w), (~x)), 0) &&
+    !(binomial_without_simplify([(~u), (~v), (~w)], (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~m)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~p)*expand_to_sum((~w), (~x))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_37",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*(~u)^(~!p)*(~v)^(~!q)*(~z)^(~!r),(~x)) =>
+    !contains_var((~g), (~m), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    isbinomial([(~u), (~v), (~z)], (~x)) &&
+    eq(binomial_degree((~u), (~x)) - binomial_degree((~v), (~x)), 0) &&
+    eq(binomial_degree((~u), (~x)) - binomial_degree((~z), (~x)), 0) &&
+    !(binomial_without_simplify([(~u), (~v), (~z)], (~x))) ?
+∫(((~g)*(~x))^(~m)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~p)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~q)* expand_to_sum((~z), (~x))^(~r), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_38",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*(~Pq)*(~u)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~m), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    isbinomial((~u), (~x)) &&
+    !(binomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(((~c)*(~x))^(~m)*(~Pq)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_39",
+@rule ∫((~u)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~p), (~x)) &&
+    generalized_binomial((~u), (~x)) &&
+    !(generalized_binomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_40",
+@rule ∫(((~!c)*(~x))^(~!m)*(~u)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~m), (~p), (~x)) &&
+    generalized_binomial((~u), (~x)) &&
+    !(generalized_binomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(((~c)*(~x))^(~m)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_41",
+@rule ∫((~u)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~p), (~x)) &&
+    quadratic((~u), (~x)) &&
+    !(quadratic_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_42",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*(~v)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    quadratic((~v), (~x)) &&
+    !(
+        linear_without_simplify((~u), (~x)) &&
+        quadratic_without_simplify((~v), (~x))
+    ) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~m)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_43",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*(~v)^(~!n)*(~w)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~v), (~x)) &&
+    quadratic((~w), (~x)) &&
+    !(
+        linear_without_simplify((~u), (~v), (~x)) &&
+        quadratic_without_simplify((~w), (~x))
+    ) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~m)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~n)*expand_to_sum((~w), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_44",
+@rule ∫((~u)^(~!p)*(~v)^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~p), (~q), (~x)) &&
+    quadratic((~u), (~x)) &&
+    quadratic((~v), (~x))&&
+    !(
+        quadratic_without_simplify((~u), (~x)) &&
+        quadratic_without_simplify((~v), (~x))
+    ) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~p)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_45",
+@rule ∫((~z)^(~!m)*(~u)^(~!p)*(~v)^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    linear((~z), (~x)) &&
+    quadratic((~u), (~x)) &&
+    quadratic((~v), (~x))&&
+    !(
+        linear_without_simplify((~z), (~x)) &&
+        quadratic_without_simplify((~u), (~x)) &&
+        quadratic_without_simplify((~v), (~x))
+    ) ?
+∫(expand_to_sum((~z), (~x))^(~m)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~p)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_46",
+@rule ∫((~Pq)*(~u)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    quadratic((~u), (~x)) &&
+    !(quadratic_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫((~Pq)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_47",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*(~Pq)*(~v)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    quadratic((~v), (~x)) &&
+    !(
+        linear_without_simplify((~u), (~x)) &&
+        quadratic_without_simplify((~v), (~x))
+    ) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~m)*(~Pq)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_48",
+@rule ∫((~u)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~p), (~x)) &&
+    trinomial((~u), (~x)) &&
+    !(trinomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_49",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*(~u)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~d), (~m), (~p), (~x)) &&
+    trinomial((~u), (~x)) &&
+    !(trinomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(((~d)*(~x))^(~m)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_50",
+@rule ∫((~u)^(~!q)*(~v)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~p), (~q), (~x)) &&
+    isbinomial((~u), (~x)) &&
+    trinomial((~v), (~x)) &&
+    !(
+        binomial_without_simplify((~u), (~x)) &&
+        trinomial_without_simplify((~v), (~x))
+    ) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~q)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_51",
+@rule ∫((~u)^(~!q)*(~v)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~p), (~q), (~x)) &&
+    isbinomial((~u), (~x)) &&
+    isbinomial((~v), (~x)) &&
+    !(
+        binomial_without_simplify((~u), (~x)) &&
+        binomial_without_simplify((~v), (~x))
+    ) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~q)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_52",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*(~z)^(~!q)*(~u)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~f), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isbinomial((~z), (~x)) &&
+    trinomial((~u), (~x)) &&
+    !(
+        binomial_without_simplify((~z), (~x)) &&
+        trinomial_without_simplify((~u), (~x))
+    ) ?
+∫(((~f)*(~x))^(~m)*expand_to_sum((~z), (~x))^(~q)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_53",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*(~z)^(~!q)*(~u)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~f), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isbinomial((~z), (~x)) &&
+    isbinomial((~u), (~x)) &&
+    !(
+        binomial_without_simplify((~z), (~x)) &&
+        binomial_without_simplify((~u), (~x))
+    ) ?
+∫(((~f)*(~x))^(~m)*expand_to_sum((~z), (~x))^(~q)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_54",
+@rule ∫((~Pq)*(~u)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    trinomial((~u), (~x)) &&
+    !(trinomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫((~Pq)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_55",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*(~Pq)*(~u)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~d), (~m), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Pq), (~x)) &&
+    trinomial((~u), (~x)) &&
+    !(trinomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(((~d)*(~x))^(~m)*(~Pq)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_56",
+@rule ∫((~u)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~p), (~x)) &&
+    generalized_trinomial((~u), (~x)) &&
+    !(generalized_trinomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_57",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*(~u)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~d), (~m), (~p), (~x)) &&
+    generalized_trinomial((~u), (~x)) &&
+    !(generalized_trinomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(((~d)*(~x))^(~m)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_58",
+@rule ∫((~z)*(~u)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~p), (~x)) &&
+    isbinomial((~z), (~x)) &&
+    generalized_trinomial((~u), (~x)) &&
+    eq(binomial_degree((~z), (~x)) - generalized_trinomial_degree((~u), (~x)), 0) &&
+    !(
+        binomial_without_simplify((~z), (~x)) &&
+        generalized_trinomial_without_simplify((~u), (~x))
+    ) ?
+∫(expand_to_sum((~z), (~x))*expand_to_sum((~u), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("1_3_4_59",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*(~z)*(~u)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    isbinomial((~z), (~x)) &&
+    generalized_trinomial((~u), (~x)) &&
+    eq(binomial_degree((~z), (~x)) - generalized_trinomial_degree((~u), (~x)), 0) &&
+    !(
+        binomial_without_simplify((~z), (~x)) &&
+        generalized_trinomial_without_simplify((~u), (~x))
+    ) ?
+∫(((~f)*(~x))^(~m)*expand_to_sum((~z), (~x))*expand_to_sum((~u), (~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/2 Exponentials/2.1 (c+d x)^m (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/2 Exponentials/2.1 (c+d x)^m (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..cb1533d0
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/2 Exponentials/2.1 (c+d x)^m (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p.jl	
@@ -0,0 +1,106 @@
+file_rules = [
+# (* ::Subsection::Closed:: *) 
+# (* 2.1 (c+d x)^m (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p *) 
+("2_1_1",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~!b)*(~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x))))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    !(USE_GAMMA) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~b)*(~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n)⨸((~f)*(~g)*(~n)*log((~F))) - (~d)*(~m)⨸((~f)*(~g)*(~n)*log((~F)))* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1)*((~b)*(~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("2_1_2",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~m)*((~!b)*(~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x))))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    !(USE_GAMMA) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~b)*(~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n)⨸((~d)*((~m) + 1)) - (~f)*(~g)*(~n)*log((~F))⨸((~d)*((~m) + 1))* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~b)*(~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("2_1_3",
+@rule ∫((~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x)))/((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !(USE_GAMMA) ?
+(~F)^((~g)*((~e) - (~c)*(~f)⨸(~d)))⨸(~d)*SymbolicUtils.expinti((~f)*(~g)*((~c) + (~d)*(~x))*log((~F))⨸(~d)) : nothing)
+
+("2_1_4",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*(~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+(-(~d))^(~m)*(~F)^((~g)*((~e) - (~c)*(~f)⨸(~d)))⨸((~f)^((~m) + 1)*(~g)^((~m) + 1)*log((~F))^((~m) + 1))* SymbolicUtils.gamma((~m) + 1, -(~f)*(~g)*log((~F))⨸(~d)*((~c) + (~d)*(~x))) : nothing)
+
+("2_1_5",
+@rule ∫((~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x)))/sqrt((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !(USE_GAMMA) ?
+2⨸(~d)*int_and_subst((~F)^((~g)*((~e) - (~c)*(~f)⨸(~d)) + (~f)*(~g)*(~x)^2⨸(~d)),  (~x), (~x), sqrt((~c) + (~d)*(~x)), "2_1_5") : nothing)
+
+("2_1_6",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~m)*(~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+-(~F)^((~g)*((~e) - (~c)*(~f)⨸(~d)))*((~c) + (~d)*(~x))^ fracpart( (~m))⨸((~d)*(-(~f)*(~g)*log((~F))⨸(~d))^(intpart((~m)) + 1)*(-(~f)*(~g)* log((~F))*((~c) + (~d)*(~x))⨸(~d))^fracpart((~m)))* SymbolicUtils.gamma((~m) + 1, (-(~f)*(~g)*log((~F))⨸(~d))*((~c) + (~d)*(~x))) : nothing)
+
+("2_1_7",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~!b)*(~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x))))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~x)) ?
+((~b)*(~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n)⨸(~F)^((~g)*(~n)*((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*(~F)^((~g)*(~n)*((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("2_1_8",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x))))^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(((~c) + (~d)*(~x))^(~m), ((~a) + (~b)*((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("2_1_9",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)/((~a) + (~!b)*((~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x))))^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~a)*(~d)*((~m) + 1)) - (~b)⨸(~a)*∫(((~c) + (~d)*(~x))^ (~m)*((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n)⨸((~a) + (~b)*((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+# (* Int[(c_.+d_.*x_)^m_./(a_+b_.*(F_^(g_.*(e_.+f_.*x_)))^n_.),x_Symbol]  := -(c+d*x)^m/(a*f*g*n*Log[F])*Log[1+a/(b*(F^(g*(e+f*x)))^n)] + d*m/(a*f*g*n*Log[F])*Int[(c+d*x)^(m-1)*Log[1+a/(b*(F^(g*(e+f*x)))^n) ],x] /; FreeQ[{F,a,b,c,d,e,f,g,n},x] && IGtQ[m,0] *) 
+("2_1_10",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x))))^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    ilt((~p), 0) &&
+    igt((~m), 0) ?
+1⨸(~a)*∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n))^((~p) + 1), (~x)) - (~b)⨸(~a)* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n)*((~a) + (~b)*((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+# TODO find definition of Dist and NormalizePowerOfLinear functinos.... where are they!!!!!??????
+# ("2_1_11",
+# @rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x))))^(~!n))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+#     igt((~m), 0) &&
+#     lt((~p), -1) ?
+# Dist[((~c) + (~d)*(~x))^(~m), IntHide[((~a) + (~b)*((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n))^(~p), (~x)], (~x)] - (~d)*(~m)*∫(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1)*IntHide[((~a) + (~b)*((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n))^(~p), (~x)), (~x)] : nothing)
+
+# ("2_1_12",
+# @rule ∫((~u)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*((~F)^((~!g)*(~v)))^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~F), (~a), (~b), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     linear((~v), (~x)) &&
+#     PowerOflinear((~u), (~x)) &&
+#     !(
+#         linear_without_simplify((~v), (~x)) &&
+#         PowerOflinear_without_simplify((~u), (~x))
+#     ) &&
+#     ext_isinteger((~m)) ?
+# ∫(NormalizePowerOfLinear[(~u), (~x))^ (~m)*((~a) + (~b)*((~F)^((~g)*expand_to_sum((~v), (~x)]))^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("2_1_13",
+# @rule ∫((~u)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*((~F)^((~!g)*(~v)))^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~F), (~a), (~b), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     linear((~v), (~x)) &&
+#     PowerOflinear((~u), (~x)) &&
+#     !(
+#         linear_without_simplify((~v), (~x)) &&
+#         PowerOflinear_without_simplify((~u), (~x))
+#     ) &&
+#     !(ext_isinteger((~m))) ?
+# Module[{(~uu) = NormalizePowerOfLinear[(~u), (~x)], (~z)}, (~z) = (~If)[PowerQ[(~uu)] && FreeQ[(~uu)[[2]], (~x)], (~uu)[[1]]^((~m)*(~uu)[[2]]), (~uu)^(~m)]; (~uu)^(~m)⨸(~z)*∫((~z)*((~a) + (~b)*((~F)^((~g)*expand_to_sum((~v), (~x))))^(~n))^(~p), (~x))] : nothing)
+# 
+# ("2_1_14",
+# @rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x))))^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/2 Exponentials/2.2 (c+d x)^m (F^(g (e+f x)))^n (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/2 Exponentials/2.2 (c+d x)^m (F^(g (e+f x)))^n (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..3bb6413e
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/2 Exponentials/2.2 (c+d x)^m (F^(g (e+f x)))^n (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p.jl	
@@ -0,0 +1,28 @@
+file_rules = [
+# (* ::Subsection::Closed:: *) 
+# (* 2.2 (c+d x)^m (F^(g (e+f x)))^n (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p *) 
+("2_2_1",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!m)*((~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x))))^ (~!n)/((~a) + (~!b)*((~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x))))^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^(~m)⨸((~b)*(~f)*(~g)*(~n)*log((~F)))*log(1 + (~b)*((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n)⨸(~a)) - (~d)*(~m)⨸((~b)*(~f)*(~g)*(~n)*log((~F)))* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1)*log(1 + (~b)*((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n)⨸(~a)), (~x)) : nothing)
+
+("2_2_2",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x))))^ (~!n)*((~!a) + (~!b)*((~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x))))^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^ (~m)*((~a) + (~b)*((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~f)*(~g)*(~n)*((~p) + 1)* log((~F))) - (~d)*(~m)⨸((~b)*(~f)*(~g)*(~n)*((~p) + 1)*log((~F)))* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+# ("2_2_3",
+# @rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x))))^ (~!n)*((~!a) + (~!b)*((~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x))))^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^ (~n)*((~a) + (~b)*((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("2_2_4",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~!k)*(~G)^((~!j)*((~!h) + (~!i)*(~x))))^ (~!q)*((~!a) + (~!b)*((~F)^((~!g)*((~!e) + (~!f)*(~x))))^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~j), (~k), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~f)*(~g)*(~n)*log((~F)) - (~i)*(~j)*(~q)*log((~G)), 0) &&
+    !eq(((~k)*(~G)^((~j)*((~h) + (~i)*(~x))))^(~q) - ((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n), 0) ?
+((~k)*(~G)^((~j)*((~h) + (~i)*(~x))))^(~q)⨸((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n)* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n)*((~a) + (~b)*((~F)^((~g)*((~e) + (~f)*(~x))))^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/2 Exponentials/2.3 Miscellaneous exponentials.jl b/src/methods/rule_based/rules/2 Exponentials/2.3 Miscellaneous exponentials.jl
new file mode 100644
index 00000000..74d41203
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/2 Exponentials/2.3 Miscellaneous exponentials.jl	
@@ -0,0 +1,772 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 2.3 Miscellaneous exponentials *)
+("2_3_1",
+@rule ∫(((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x))))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) ?
+((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x))))^(~n)⨸((~b)*(~c)*(~n)*log((~F))) : nothing)
+
+("2_3_2",
+@rule ∫((~u)*(~F)^((~!c)*(~v)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~c), (~x)) &&
+    poly((~u), (~x)) &&
+    linear((~v), (~x)) &&
+    USE_GAMMA ?
+∫(ext_expand((~u)*(~F)^((~c)*expand_to_sum((~v), (~x))), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_3",
+@rule ∫((~u)*(~F)^((~!c)*(~v)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~c), (~x)) &&
+    poly((~u), (~x)) &&
+    linear((~v), (~x)) &&
+    !(USE_GAMMA) ?
+∫(ext_expand((~F)^((~c)*expand_to_sum((~v), (~x))), (~u), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_4",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*(~F)^((~!c)*(~v))*(~w),(~x)) =>
+    eq(ext_coeff((~u), (~x))*ext_coeff((~w), (~x))*((~m) + 1) - ext_coeff((~v), (~x))*(~c)*(ext_coeff((~u), (~x))*ext_coeff((~w), 1) - ext_coeff((~u), 1)*ext_coeff((~w), (~x)))*log((~F)), 0) &&
+    !contains_var((~F), (~c), (~m), (~x)) &&
+    linear((~u), (~v), (~w), (~x)) ?
+ext_coeff((~w), (~x))*(~u)^((~m) + 1)*(~F)^((~c)*(~v))⨸(ext_coeff((~v), (~x))*(~c)*ext_coeff((~u), (~x))*log((~F))) : nothing)
+
+# ("2_3_5",
+# @rule ∫((~w)*(~u)^(~!m)*(~F)^((~!c)*(~v)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~F), (~c), (~x)) &&
+#     poly((~w), (~x)) &&
+#     linear((~v), (~x)) &&
+#     PowerOflinear((~u), (~x)) &&
+#     ext_isinteger((~m)) &&
+#     USE_GAMMA ?
+# ∫(ext_expand( (~w)*NormalizePowerOfLinear[(~u), (~x)]^(~m)*(~F)^((~c)*expand_to_sum((~v), (~x))), (~x)), (~x)) : nothing)
+# 
+# ("2_3_6",
+# @rule ∫((~w)*(~u)^(~!m)*(~F)^((~!c)*(~v)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~F), (~c), (~x)) &&
+#     poly((~w), (~x)) &&
+#     linear((~v), (~x)) &&
+#     PowerOflinear((~u), (~x)) &&
+#     ext_isinteger((~m)) &&
+#     !(USE_GAMMA) ?
+# ∫(ext_expand((~F)^((~c)*expand_to_sum((~v), (~x))), (~w)*NormalizePowerOfLinear[(~u), (~x)]^(~m), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("2_3_7",
+# @rule ∫((~w)*(~u)^(~!m)*(~F)^((~!c)*(~v)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~F), (~c), (~m), (~x)) &&
+#     poly((~w), (~x)) &&
+#     linear((~v), (~x)) &&
+#     PowerOflinear((~u), (~x)) &&
+#     !(ext_isinteger((~m))) ?
+# Module[{(~uu) = NormalizePowerOfLinear[(~u), (~x)], (~z)}, (~z) = (~If)[PowerQ[(~uu)] && FreeQ[(~uu)[[2]], (~x)], (~uu)[[1]]^((~m)*(~uu)[[2]]), (~uu)^(~m)]; (~uu)^(~m)⨸(~z)*∫(ext_expand((~w)*(~z)*(~F)^((~c)*expand_to_sum((~v), (~x))), (~x)), (~x))] : nothing)
+
+("2_3_8",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))* log((~!d)*(~x))^(~!n)*((~e) + (~!h)*((~!f) + (~!g)*(~x))*log((~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e) - (~f)*(~h)*((~n) + 1), 0) &&
+    eq((~g)*(~h)*((~n) + 1) - (~b)*(~c)*(~e)*log((~F)), 0) &&
+    !eq((~n), -1) ?
+(~e)*(~x)*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*log((~d)*(~x))^((~n) + 1)⨸((~n) + 1) : nothing)
+
+("2_3_9",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*(~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))* log((~!d)*(~x))^(~!n)*((~e) + (~!h)*((~!f) + (~!g)*(~x))*log((~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e)*((~m) + 1) - (~f)*(~h)*((~n) + 1), 0) &&
+    eq((~g)*(~h)*((~n) + 1) - (~b)*(~c)*(~e)*log((~F)), 0) &&
+    !eq((~n), -1) ?
+(~e)*(~x)^((~m) + 1)*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*log((~d)*(~x))^((~n) + 1)⨸((~n) + 1) : nothing)
+
+("2_3_10",
+@rule ∫((~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) ?
+(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~b)*(~d)*log((~F))) : nothing)
+
+("2_3_11",
+@rule ∫((~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    pos((~b)) ?
+(~F)^(~a)*sqrt(π)* SymbolicUtils.erfi(((~c) + (~d)*(~x))*rt((~b)*log((~F)), 2))⨸(2*(~d)*rt((~b)*log((~F)), 2)) : nothing)
+
+("2_3_12",
+@rule ∫((~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    neg((~b)) ?
+(~F)^(~a)*sqrt(π)* SymbolicUtils.erf(((~c) + (~d)*(~x))*rt(-(~b)*log((~F)), 2))⨸(2*(~d)*rt(-(~b)*log((~F)), 2)) : nothing)
+
+("2_3_13",
+@rule ∫((~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2/(~n)) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+((~c) + (~d)*(~x))*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n))⨸(~d) - (~b)*(~n)*log((~F))*∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_14",
+@rule ∫((~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2/(~n)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+ext_den((~n))⨸(~d)* int_and_subst((~x)^(ext_den((~n)) - 1)*(~F)^((~a) + (~b)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n))),  (~x), (~x), ((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸ext_den((~n))), "2_3_14") : nothing)
+
+("2_3_15",
+@rule ∫((~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger(2/(~n))) ?
+-(~F)^(~a)*((~c) + (~d)*(~x))* SymbolicUtils.gamma(1⨸(~n), -(~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*log((~F)))⨸((~d)* (~n)*(-(~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*log((~F)))^(1⨸(~n))) : nothing)
+
+("2_3_16",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*(~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m), (~n) - 1) &&
+    eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) ?
+((~e) + (~f)*(~x))^(~n)*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n))⨸((~b)*(~f)*(~n)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*log((~F))) : nothing)
+
+("2_3_17",
+@rule ∫((~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n))/((~!e) + (~!f)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) ?
+(~F)^(~a)*SymbolicUtils.expinti((~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*log((~F)))⨸((~f)*(~n)) : nothing)
+
+("2_3_18",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*(~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n), 2*((~m) + 1)) ?
+1⨸((~d)*((~m) + 1))*int_and_subst((~F)^((~a) + (~b)*(~x)^2),  (~x), (~x), ((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1), "2_3_18") : nothing)
+
+("2_3_19",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*(~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*((~m) + 1)/(~n)) &&
+    lt(0, ((~m) + 1)/(~n), 5) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    (
+        lt(0, (~n), (~m) + 1) ||
+        lt((~m), (~n), 0)
+    ) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - (~n) + 1)*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n))⨸((~b)*(~d)*(~n)*log((~F))) - ((~m) - (~n) + 1)⨸((~b)*(~n)*log((~F)))* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - (~n))*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_20",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*(~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    lt(0, simplify(((~m) + 1)/(~n)), 5) &&
+    !(isrational((~m))) &&
+    sumsimpler((~m), -(~n)) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - (~n) + 1)*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n))⨸((~b)*(~d)*(~n)*log((~F))) - ((~m) - (~n) + 1)⨸((~b)*(~n)*log((~F)))* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^simplify((~m) - (~n))*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_21",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*(~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*((~m) + 1)/(~n)) &&
+    lt(-4, ((~m) + 1)/(~n), 5) &&
+    ext_isinteger( (~n)) &&
+    (
+        gt((~n), 0) &&
+        lt((~m), -1) ||
+        gt(-(~n), 0) &&
+        le(-(~n), (~m) + 1)
+    ) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n))⨸((~d)*((~m) + 1)) - (~b)*(~n)*log((~F))⨸((~m) + 1)* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + (~n))*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_22",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*(~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    lt(-4, simplify(((~m) + 1)/(~n)), 5) &&
+    !(isrational((~m))) &&
+    sumsimpler((~m), (~n)) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n))⨸((~d)*((~m) + 1)) - (~b)*(~n)*log((~F))⨸((~m) + 1)* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^simplify((~m) + (~n))*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_23",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*(~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*((~m) + 1)/(~n)) &&
+    lt(0, ((~m) + 1)/(~n), 5) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+ext_den((~n))⨸(~d)* int_and_subst((~x)^(ext_den((~n))*((~m) + 1) - 1)*(~F)^((~a) + (~b)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n))),  (~x), (~x), ((~c) + (~d)*(~x))^(1⨸ext_den((~n))), "2_3_23") : nothing)
+
+("2_3_24",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*(~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) &&
+    ext_isinteger(2*simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !eq((~f), (~d)) &&
+    !eq((~c)*(~e), 0) ?
+((~e) + (~f)*(~x))^(~m)⨸((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+# ("2_3_25",
+# @rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*(~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+#     igt(simplify(((~m) + 1)/(~n)), 0) &&
+#     !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+#     eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) &&
+#     !(USE_GAMMA) ?
+# -(~F)^(~a)*((~f)⨸(~d))^(~m)⨸((~d)*(~n)*(-(~b)*log((~F)))^simplify(((~m) + 1)⨸(~n)))* simplify(FunctionExpand[SymbolicUtils.gamma(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)), -(~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*log((~F)))]) : nothing)
+
+("2_3_26",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*(~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) ?
+-(~F)^(~a)*((~e) + (~f)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~f)*(~n)*(-(~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*log((~F)))^(((~m) + 1)⨸(~n)))* SymbolicUtils.gamma(((~m) + 1)⨸(~n), -(~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*log((~F))) : nothing)
+
+#(* above integral : -F^a*(e+f*x)^(m+1)/(f*n)*ExpIntegralE[1-(m+1)/n,-b*(c+d*x)^n*Log[F] ] *)
+("2_3_27",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*(~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) &&
+    isfraction((~m)) &&
+    gt((~m), 1) ?
+(~f)*((~e) + (~f)*(~x))^((~m) - 1)*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^2)⨸(2*(~b)*(~d)^2*log((~F))) + ((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸(~d)*∫(((~e) + (~f)*(~x))^((~m) - 1)*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^2), (~x)) - ((~m) - 1)*(~f)^2⨸(2*(~b)*(~d)^2*log((~F)))* ∫(((~e) + (~f)*(~x))^((~m) - 2)*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_28",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*(~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+(~f)*((~e) + (~f)*(~x))^((~m) + 1)*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^2)⨸(((~m) + 1)*(~f)^2) + 2*(~b)*(~d)*((~d)*(~e) - (~c)*(~f))*log((~F))⨸((~f)^2*((~m) + 1))* ∫(((~e) + (~f)*(~x))^((~m) + 1)*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^2), (~x)) - 2*(~b)*(~d)^2*log((~F))⨸((~f)^2*((~m) + 1))* ∫(((~e) + (~f)*(~x))^((~m) + 2)*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_29",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*(~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) &&
+    igt((~n), 2) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~e) + (~f)*(~x))^((~m) + 1)*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n))⨸((~f)*((~m) + 1)) - (~b)*(~d)*(~n)*log((~F))⨸((~f)*((~m) + 1))* ∫(((~e) + (~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1)*(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_30",
+@rule ∫((~F)^((~!a) + (~b)/((~!c) + (~!d)*(~x)))/((~!e) + (~!f)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) ?
+(~d)⨸(~f)*∫((~F)^((~a) + (~b)⨸((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) - ((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸(~f)*∫((~F)^((~a) + (~b)⨸((~c) + (~d)*(~x)))⨸(((~c) + (~d)*(~x))*((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_31",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*(~F)^((~!a) + (~b)/((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) &&
+    ilt((~m), -1) ?
+((~e) + (~f)*(~x))^((~m) + 1)*(~F)^((~a) + (~b)⨸((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~f)*((~m) + 1)) + (~b)*(~d)*log((~F))⨸((~f)*((~m) + 1))* ∫(((~e) + (~f)*(~x))^((~m) + 1)*(~F)^((~a) + (~b)⨸((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~c) + (~d)*(~x))^2, (~x)) : nothing)
+
+# ("2_3_32",
+# @rule ∫((~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n))/((~!e) + (~!f)*(~x)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+#     !eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) ?
+# Unintegrable[(~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n))⨸((~e) + (~f)*(~x)), (~x)] : nothing)
+
+("2_3_33",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*(~F)^(~v),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~m), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    isbinomial((~v), (~x)) &&
+    !(
+        linear_without_simplify((~u), (~x)) &&
+        binomial_without_simplify((~v), (~x))
+    ) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~m)*(~F)^expand_to_sum((~v), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_34",
+@rule ∫((~u)*(~F)^((~!a) + (~!b)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    poly((~u), (~x)) ?
+∫(expand_linear_product((~F)^((~a) + (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)), (~u), (~c), (~d), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("2_3_35",
+# @rule ∫((~!u)*(~F)^((~!a) + (~!b)*(~v)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~F), (~a), (~b), (~x)) &&
+#     poly((~u), (~x)) &&
+#     PowerOflinear((~v), (~x)) &&
+#     !(PowerOflinear_without_simplify((~v), (~x))) ?
+# ∫((~u)*(~F)^((~a) + (~b)*NormalizePowerOfLinear[(~v), (~x)]), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[u_.*F_^(a_.+b_.*v_^n_),x_Symbol] := Int[u*F^(a+b*ExpandToSum[v,x]^n),x] /; FreeQ[{F,a,b,n},x] && PolynomialQ[u,x] && LinearQ[v,x] &&  Not[LinearMatchQ[v,x]] *)
+#(* Int[u_.*F_^u_,x_Symbol] := Int[u*F^ExpandToSum[u,x],x] /; FreeQ[F,x] && PolynomialQ[u,x] && BinomialQ[u,x] &&  Not[BinomialMatchQ[u,x]] *)
+("2_3_36",
+@rule ∫((~F)^((~!a) + (~b)/((~!c) + (~!d)*(~x)))/(((~!e) + (~!f)*(~x))*((~!g) + (~!h)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) ?
+-(~d)⨸((~f)*((~d)*(~g) - (~c)*(~h)))* int_and_subst((~F)^((~a) - (~b)*(~h)⨸((~d)*(~g) - (~c)*(~h)) + (~d)*(~b)*(~x)⨸((~d)*(~g) - (~c)*(~h)))⨸(~x),  (~x), (~x), ((~g) + (~h)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), "2_3_36") : nothing)
+
+("2_3_37",
+@rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)*(~F)^((~!e) + (~!f)*((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+(~F)^((~e) + (~f)*(~b)⨸(~d))*∫(((~g) + (~h)*(~x))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_38",
+@rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)*(~F)^((~!e) + (~!f)*((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)*(~g) - (~c)*(~h), 0) ?
+∫(((~g) + (~h)*(~x))^(~m)*(~F)^(((~d)*(~e) + (~b)*(~f))⨸(~d) - (~f)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~d)*((~c) + (~d)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_39",
+@rule ∫((~F)^((~!e) + (~!f)*((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))/((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~d)*(~g) - (~c)*(~h), 0) ?
+(~d)⨸(~h)*∫((~F)^((~e) + (~f)*((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) - ((~d)*(~g) - (~c)*(~h))⨸(~h)* ∫((~F)^((~e) + (~f)*((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))⨸(((~c) + (~d)*(~x))*((~g) + (~h)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_40",
+@rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~m)*(~F)^((~!e) + (~!f)*((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~d)*(~g) - (~c)*(~h), 0) &&
+    ilt((~m), -1) ?
+((~g) + (~h)*(~x))^((~m) + 1)*(~F)^((~e) + (~f)*((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~h)*((~m) + 1)) - (~f)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*log((~F))⨸((~h)*((~m) + 1))* ∫(((~g) + (~h)*(~x))^((~m) + 1)*(~F)^((~e) + (~f)*((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~c) + (~d)*(~x))^2, (~x)) : nothing)
+
+("2_3_41",
+@rule ∫((~F)^((~!e) + (~!f)*((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))/(((~!g) + (~!h)*(~x))*((~!i) + (~!j)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) &&
+    eq((~d)*(~g) - (~c)*(~h), 0) ?
+-(~d)⨸((~h)*((~d)*(~i) - (~c)*(~j)))* int_and_subst( (~F)^((~e) + (~f)*((~b)*(~i) - (~a)*(~j))⨸((~d)*(~i) - (~c)*(~j)) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(~f)*(~x)⨸((~d)*(~i) - (~c)*(~j)))⨸ (~x),  (~x), (~x), ((~i) + (~j)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), "2_3_41") : nothing)
+
+("2_3_42",
+@rule ∫((~F)^((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~x)) ?
+(~F)^((~a) - (~b)^2⨸(4*(~c)))*∫((~F)^(((~b) + 2*(~c)*(~x))^2⨸(4*(~c))), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_43",
+@rule ∫((~F)^(~v),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~x)) &&
+    quadratic((~v), (~x)) &&
+    !(quadratic_without_simplify((~v), (~x))) ?
+∫((~F)^expand_to_sum((~v), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_44",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))*(~F)^((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d), 0) ?
+(~e)*(~F)^((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸(2*(~c)*log((~F))) : nothing)
+
+("2_3_45",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*(~F)^((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d), 0) &&
+    gt((~m), 1) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*(~F)^((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸(2*(~c)*log((~F))) - ((~m) - 1)*(~e)^2⨸(2*(~c)*log((~F)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*(~F)^((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_46",
+@rule ∫((~F)^((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)/((~!d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d), 0) ?
+1⨸(2*(~e))*(~F)^((~a) - (~b)^2⨸(4*(~c)))* SymbolicUtils.expinti(((~b) + 2*(~c)*(~x))^2*log((~F))⨸(4*(~c))) : nothing)
+
+("2_3_47",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*(~F)^((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*(~F)^((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸((~e)*((~m) + 1)) - 2*(~c)*log((~F))⨸((~e)^2*((~m) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2)*(~F)^((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_48",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))*(~F)^((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d), 0) ?
+(~e)*(~F)^((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸(2*(~c)*log((~F))) - ((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d))⨸(2*(~c))*∫((~F)^((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_49",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*(~F)^((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d), 0) &&
+    gt((~m), 1) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*(~F)^((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸(2*(~c)*log((~F))) - ((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d))⨸(2*(~c))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*(~F)^((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) - ((~m) - 1)*(~e)^2⨸(2*(~c)*log((~F)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*(~F)^((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_50",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*(~F)^((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*(~F)^((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸((~e)*((~m) + 1)) - ((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d))*log((~F))⨸((~e)^2*((~m) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*(~F)^((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) - 2*(~c)*log((~F))⨸((~e)^2*((~m) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2)*(~F)^((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+# ("2_3_51",
+# @rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*(~F)^((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+#     !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*(~F)^((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)] : nothing)
+
+("2_3_52",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*(~F)^(~v),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~m), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    quadratic((~v), (~x)) &&
+    !(
+        linear_without_simplify((~u), (~x)) &&
+        quadratic_without_simplify((~v), (~x))
+    ) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~m)*(~F)^expand_to_sum((~v), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_53",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*(~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x)))*((~!a) + (~!b)*(~F)^(~v))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~v), 2*(~e)*((~c) + (~d)*(~x))) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    ilt((~p), 0) ?
+dist((~x)^(~m), ∫((~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x)))*((~a) + (~b)*(~F)^(~v))^(~p), (~x)), (~x)) - (~m)*∫((~x)^((~m) - 1)*∫((~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x)))*((~a) + (~b)*(~F)^(~v))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_54",
+@rule ∫(((~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x))))^ (~!n)*((~a) + (~!b)*((~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x))))^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) ?
+1⨸((~d)*(~e)*(~n)*log((~F)))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~p),  (~x), (~x), ((~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^(~n), "2_3_54") : nothing)
+
+("2_3_55",
+@rule ∫(((~G)^((~!h)*((~!f) + (~!g)*(~x))))^ (~!m)*((~a) + (~!b)*((~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x))))^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~G), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~d)*(~e)*(~n)*log((~F)), (~g)*(~h)*(~m)*log((~G))) ?
+((~G)^((~h)*((~f) + (~g)*(~x))))^(~m)⨸((~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^(~n)* ∫(((~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^(~n)*((~a) + (~b)*((~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_56",
+@rule ∫((~G)^((~!h)*((~!f) + (~!g)*(~x)))*((~a) + (~!b)*(~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x))))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~G), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~p), (~x)) &&
+    le(simplify((~g)*(~h)*log((~G))/((~d)*(~e)*log((~F)))), -1) ||
+    ge(simplify((~g)*(~h)*log((~G))/((~d)*(~e)*log((~F)))), 1) ?
+ext_den(simplify((~g)*(~h)*log((~G))⨸((~d)*(~e)*log((~F)))))*(~G)^((~f)*(~h) - (~c)*(~g)*(~h)⨸(~d))⨸((~d)*(~e)*log((~F)))* int_and_subst((~x)^(ext_num(simplify((~g)*(~h)*log((~G))⨸((~d)*(~e)*log((~F))))) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^ext_den(simplify((~g)*(~h)*log((~G))⨸((~d)*(~e)*log((~F))))))^(~p),  (~x), (~x), (~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))⨸ext_den(simplify((~g)*(~h)*log((~G))⨸((~d)*(~e)*log((~F)))))), "2_3_56") : nothing)
+
+("2_3_57",
+@rule ∫((~G)^((~!h)*((~!f) + (~!g)*(~x)))*((~a) + (~!b)*(~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x))))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~G), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~p), (~x)) &&
+    lt(simplify((~d)*(~e)*log((~F))/((~g)*(~h)*log((~G)))), -1) ||
+    gt(simplify((~d)*(~e)*log((~F))/((~g)*(~h)*log((~G)))), 1) ?
+ext_den(simplify((~d)*(~e)*log((~F))⨸((~g)*(~h)*log((~G)))))⨸((~g)*(~h)*log((~G)))* int_and_subst( (~x)^(ext_den(simplify((~d)*(~e)*log((~F))⨸((~g)*(~h)*log((~G))))) - 1)*((~a) + (~b)*(~F)^((~c)*(~e) - (~d)*(~e)*(~f)⨸(~g))*(~x)^ext_num(simplify((~d)*(~e)*log((~F))⨸((~g)*(~h)*log((~G))))))^(~p),  (~x), (~x), (~G)^((~h)*((~f) + (~g)*(~x))⨸ext_den(simplify((~d)*(~e)*log((~F))⨸((~g)*(~h)*log((~G)))))), "2_3_57") : nothing)
+
+("2_3_58",
+@rule ∫((~G)^((~!h)*((~!f) + (~!g)*(~x)))*((~a) + (~!b)*(~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x))))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~G), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand((~G)^((~h)*((~f) + (~g)*(~x)))*((~a) + (~b)*(~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_59",
+@rule ∫((~G)^((~!h)*((~!f) + (~!g)*(~x)))*((~a) + (~!b)*(~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x))))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~G), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~p), (~x)) &&
+    (
+        ilt((~p), 0) ||
+        gt((~a), 0)
+    ) ?
+(~a)^(~p)*(~G)^((~h)*((~f) + (~g)*(~x)))⨸((~g)*(~h)*log((~G)))* hypergeometric2f1(-(~p), (~g)*(~h)*log((~G))⨸((~d)*(~e)*log((~F))), (~g)*(~h)*log((~G))⨸((~d)*(~e)*log((~F))) + 1, simplify(-(~b)⨸(~a)*(~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))) : nothing)
+
+("2_3_60",
+@rule ∫((~G)^((~!h)*((~!f) + (~!g)*(~x)))*((~a) + (~!b)*(~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x))))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~G), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~p), (~x)) &&
+    !(
+        ilt((~p), 0) ||
+        gt((~a), 0)
+    ) ?
+((~a) + (~b)*(~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^(~p)⨸(1 + ((~b)⨸(~a))*(~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^(~p)* ∫((~G)^((~h)*((~f) + (~g)*(~x)))*(1 + (~b)⨸(~a)*(~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_61",
+@rule ∫((~G)^((~!h)*(~u))*((~a) + (~!b)*(~F)^((~!e)*(~v)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~G), (~a), (~b), (~e), (~h), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~v), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~v), (~x))) ?
+∫((~G)^((~h)*expand_to_sum((~u), (~x)))*((~a) + (~b)*(~F)^((~e)*expand_to_sum((~v), (~x))))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(c_.+d_.*x_)^m_.*F_^(g_.*(e_.+f_.*x_))/(a_+b_.*F_^(h_.*(e_.+f_. *x_))),x_Symbol] := 1/b*Int[(c+d*x)^m*F^((g-h)*(e+f*x)),x] - a/b*Int[(c+d*x)^m*F^((g-h)*(e+f*x))/(a+b*F^(h*(e+f*x))),x] /; FreeQ[{F,a,b,c,d,e,f,g,h,m},x] && LeQ[0,g/h-1,g/h] *)
+#(* Int[(c_.+d_.*x_)^m_.*F_^(g_.*(e_.+f_.*x_))/(a_+b_.*F_^(h_.*(e_.+f_. *x_))),x_Symbol] := 1/a*Int[(c+d*x)^m*F^(g*(e+f*x)),x] - b/a*Int[(c+d*x)^m*F^((g+h)*(e+f*x))/(a+b*F^(h*(e+f*x))),x] /; FreeQ[{F,a,b,c,d,e,f,g,h,m},x] && LeQ[g/h,g/h+1,0] *)
+("2_3_62",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*(~F)^(~u))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*(~F)^(~v))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p), (~q)) &&
+    linear((~u), (~v), (~x)) &&
+    isrational(simplify((~u)/(~v))) &&
+    issum(ext_expand(((~e) + (~f)*(~x))^(~m), ((~a) + (~b)*(~F)^(~u))^(~p)*((~c) + (~d)*(~F)^(~v))^(~q), (~x))) ?
+∫(ext_expand(((~e) + (~f)*(~x))^(~m), ((~a) + (~b)*(~F)^(~u))^(~p)*((~c) + (~d)*(~F)^(~v))^(~q), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_63",
+@rule ∫((~G)^((~!h)*((~!f) + (~!g)*(~x)))* (~H)^((~!t)*((~!r) + (~!s)*(~x)))*((~a) + (~!b)*(~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x))))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~G), (~H), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~r), (~s), (~t), (~p), (~x)) &&
+    isrational(simplify(((~g)*(~h)*log((~G)) + (~s)*(~t)*log((~H)))/((~d)*(~e)*log((~F))))) ?
+ext_den(simplify(((~g)*(~h)*log((~G)) + (~s)*(~t)*log((~H)))⨸((~d)*(~e)*log((~F)))))*(~G)^((~f)*(~h) - (~c)*(~g)*(~h)⨸(~d))*(~H)^((~r)*(~t) - (~c)*(~s)*(~t)⨸(~d))⨸((~d)*(~e)*log((~F)))* int_and_subst((~x)^(ext_num(simplify(((~g)*(~h)*log((~G)) + (~s)*(~t)*log((~H)))⨸((~d)*(~e)*log((~F))))) - 1)*((~a) + (~b)*(~x)^ext_den(simplify(((~g)*(~h)*log((~G)) + (~s)*(~t)*log((~H)))⨸((~d)*(~e)*log((~F))))))^(~p),  (~x), (~x), (~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))⨸ext_den(simplify(((~g)*(~h)*log((~G)) + (~s)*(~t)*log((~H)))⨸((~d)*(~e)*log((~F)))))), "2_3_63") : nothing)
+
+("2_3_64",
+@rule ∫((~G)^((~!h)*((~!f) + (~!g)*(~x)))* (~H)^((~!t)*((~!r) + (~!s)*(~x)))*((~a) + (~!b)*(~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x))))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~G), (~H), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~r), (~s), (~t), (~x)) &&
+    eq((~d)*(~e)*(~p)*log((~F)) + (~g)*(~h)*log((~G)), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+(~G)^(((~f) - (~c)*(~g)⨸(~d))*(~h))* ∫((~H)^((~t)*((~r) + (~s)*(~x)))*((~b) + (~a)*(~F)^(-(~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_65",
+@rule ∫((~G)^((~!h)*((~!f) + (~!g)*(~x)))* (~H)^((~!t)*((~!r) + (~!s)*(~x)))*((~a) + (~!b)*(~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x))))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~G), (~H), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~r), (~s), (~t), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand( (~G)^((~h)*((~f) + (~g)*(~x)))*(~H)^((~t)*((~r) + (~s)*(~x)))*((~a) + (~b)*(~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_66",
+@rule ∫((~G)^((~!h)*((~!f) + (~!g)*(~x)))* (~H)^((~!t)*((~!r) + (~!s)*(~x)))*((~a) + (~!b)*(~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x))))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~G), (~H), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~r), (~s), (~t), (~x)) &&
+    ilt((~p), 0) ?
+(~a)^(~p)*(~G)^((~h)*((~f) + (~g)*(~x)))*(~H)^((~t)*((~r) + (~s)*(~x)))⨸((~g)*(~h)*log((~G)) + (~s)*(~t)*log((~H)))* hypergeometric2f1(-(~p), ((~g)*(~h)*log((~G)) + (~s)*(~t)*log((~H)))⨸((~d)*(~e)* log((~F))), ((~g)*(~h)*log((~G)) + (~s)*(~t)*log((~H)))⨸((~d)*(~e)*log((~F))) + 1, simplify(-(~b)⨸(~a)*(~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))) : nothing)
+
+("2_3_67",
+@rule ∫((~G)^((~!h)*((~!f) + (~!g)*(~x)))* (~H)^((~!t)*((~!r) + (~!s)*(~x)))*((~a) + (~!b)*(~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x))))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~G), (~H), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~r), (~s), (~t), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+(~G)^((~h)*((~f) + (~g)*(~x)))* (~H)^((~t)*((~r) + (~s)*(~x)))*((~a) + (~b)*(~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^ (~p)⨸(((~g)*(~h)*log((~G)) + (~s)*(~t)*log((~H)))*(((~a) + (~b)*(~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))⨸(~a))^(~p))* hypergeometric2f1(-(~p), ((~g)*(~h)*log((~G)) + (~s)*(~t)*log((~H)))⨸((~d)*(~e)* log((~F))), ((~g)*(~h)*log((~G)) + (~s)*(~t)*log((~H)))⨸((~d)*(~e)*log((~F))) + 1, simplify(-(~b)⨸(~a)*(~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))) : nothing)
+
+("2_3_68",
+@rule ∫((~G)^((~!h)*(~u))*(~H)^((~!t)*(~w))*((~a) + (~!b)*(~F)^((~!e)*(~v)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~G), (~H), (~a), (~b), (~e), (~h), (~t), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~v), (~w), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~v), (~w), (~x))) ?
+∫((~G)^((~h)*expand_to_sum((~u), (~x)))* (~H)^((~t)*expand_to_sum((~w), (~x)))*((~a) + (~b)*(~F)^((~e)*expand_to_sum((~v), (~x))))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_69",
+@rule ∫((~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x)))*((~!a)*(~x)^(~!n) + (~!b)*(~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x))))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+((~a)*(~x)^(~n) + (~b)*(~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~d)*(~e)*((~p) + 1)*log((~F))) - (~a)*(~n)⨸((~b)*(~d)*(~e)*log((~F)))* ∫((~x)^((~n) - 1)*((~a)*(~x)^(~n) + (~b)*(~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_70",
+@rule ∫((~x)^(~!m)* (~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x)))*((~!a)*(~x)^(~!n) + (~!b)*(~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x))))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+(~x)^(~m)*((~a)*(~x)^(~n) + (~b)*(~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~d)*(~e)*((~p) + 1)*log((~F))) - (~a)*(~n)⨸((~b)*(~d)*(~e)*log((~F)))* ∫((~x)^((~m) + (~n) - 1)*((~a)*(~x)^(~n) + (~b)*(~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^(~p), (~x)) - (~m)⨸((~b)*(~d)*(~e)*((~p) + 1)*log((~F)))* ∫((~x)^((~m) - 1)*((~a)*(~x)^(~n) + (~b)*(~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_71",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m)/((~!a) + (~!b)*(~F)^(~u) + (~!c)*(~F)^(~v)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~v), 2*(~u)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    igt((~m), 0) ?
+2*(~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~m)⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~F)^(~u)), (~x)) - 2*(~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~m)⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~F)^(~u)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_72",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*(~F)^(~u)/((~!a) + (~!b)*(~F)^(~u) + (~!c)*(~F)^(~v)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~v), 2*(~u)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    igt((~m), 0) ?
+2*(~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*(~F)^(~u)⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~F)^(~u)), (~x)) - 2*(~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*(~F)^(~u)⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~F)^(~u)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_73",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~h) + (~!i)*(~F)^(~u))/((~!a) + (~!b)*(~F)^(~u) + (~!c)*(~F)^(~v)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~f), (~g), (~h), (~i), (~x)) &&
+    eq((~v), 2*(~u)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    igt((~m), 0) ?
+(simplify((2*(~c)*(~h) - (~b)*(~i))⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)) + (~i))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~m)⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~F)^(~u)), (~x)) - (simplify((2*(~c)*(~h) - (~b)*(~i))⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)) - (~i))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~m)⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*(~F)^(~u)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_74",
+@rule ∫((~x)^(~!m)/((~!a)*(~F)^((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*(~F)^(~v)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~v), -((~c) + (~d)*(~x))) &&
+    gt((~m), 0) ?
+(~x)^(~m)*∫(1⨸((~a)*(~F)^((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*(~F)^(~v)), (~x)) - (~m)*∫((~x)^((~m) - 1)*∫(1⨸((~a)*(~F)^((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*(~F)^(~v)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_75",
+@rule ∫((~u)/((~a) + (~!b)*(~F)^(~v) + (~!c)*(~F)^(~w)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    eq((~w), -(~v)) &&
+    linear((~v), (~x)) &&
+    ifelse(isrational(ext_coeff((~v), (~x), 1)), gt(ext_coeff((~v), (~x), 1), 0), lt(SymbolicUtils.node_count((~v)), SymbolicUtils.node_count((~w)))) ?
+∫((~u)*(~F)^(~v)⨸((~c) + (~a)*(~F)^(~v) + (~b)*(~F)^(2*(~v))), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_76",
+@rule ∫((~F)^((~!g)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n))/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~g), (~n), (~x)) ?
+∫(ext_expand((~F)^((~g)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)), 1⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_77",
+@rule ∫((~F)^((~!g)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n))/((~a) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~c), (~d), (~e), (~g), (~n), (~x)) ?
+∫(ext_expand((~F)^((~g)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)), 1⨸((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_78",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*(~F)^((~!g)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n))/((~!a) + (~!b)*(~x) + (~c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~g), (~n), (~x)) &&
+    poly((~u), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand((~F)^((~g)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)), (~u)^(~m)⨸((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_79",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*(~F)^((~!g)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n))/((~a) + (~c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~c), (~d), (~e), (~g), (~n), (~x)) &&
+    poly((~u), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand((~F)^((~g)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)), (~u)^(~m)⨸((~a) + (~c)*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_80",
+@rule ∫((~F)^(((~!a) + (~!b)*(~x)^4)/(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~x)) ?
+sqrt(π)*exp(2*sqrt(-(~a)*log((~F)))*sqrt(-(~b)*log((~F))))* SymbolicUtils.erf((sqrt(-(~a)*log((~F))) + sqrt(-(~b)*log((~F)))*(~x)^2)⨸(~x))⨸ (4*sqrt(-(~b)*log((~F)))) - sqrt(π)*exp(-2*sqrt(-(~a)*log((~F)))*sqrt(-(~b)*log((~F))))* SymbolicUtils.erf((sqrt(-(~a)*log((~F))) - sqrt(-(~b)*log((~F)))*(~x)^2)⨸(~x))⨸ (4*sqrt(-(~b)*log((~F)))) : nothing)
+
+("2_3_81",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*(E^(~x) + (~x)^(~!m))^(~n),(~x)) =>
+    isrational((~m), (~n)) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    lt((~n), 0) &&
+    !eq((~n), -1) ?
+-(ℯ^(~x) + (~x)^(~m))^((~n) + 1)⨸((~n) + 1) + ∫((ℯ^(~x) + (~x)^(~m))^((~n) + 1), (~x)) + (~m)*∫((~x)^((~m) - 1)*(ℯ^(~x) + (~x)^(~m))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_82",
+@rule ∫((~!u)*(~F)^((~!a)*((~!v) + (~!b)*log((~z)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~x)) ?
+∫((~u)*(~F)^((~a)*(~v))*(~z)^((~a)*(~b)*log((~F))), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_83",
+@rule ∫((~F)^((~!f)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n))^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) ?
+((~d) + (~e)*(~x))⨸((~e)*(~n)*((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(1⨸(~n)))* int_and_subst(ℯ^((~a)*(~f)*log((~F)) + (~x)⨸(~n) + (~b)*(~f)*log((~F))*(~x)^2),  (~x), (~x), log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)), "2_3_83") : nothing)
+
+("2_3_84",
+@rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)* (~F)^((~!f)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n))^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e)*(~g) - (~d)*(~h), 0) ?
+((~g) + (~h)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~h)*(~n)*((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(((~m) + 1)⨸(~n)))* int_and_subst(ℯ^((~a)*(~f)*log((~F)) + (((~m) + 1)*(~x))⨸(~n) + (~b)*(~f)*log((~F))*(~x)^2),  (~x), (~x), log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)), "2_3_84") : nothing)
+
+("2_3_85",
+@rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)* (~F)^((~!f)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n))^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~n), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) ?
+1⨸(~e)^((~m) + 1)* int_and_subst( ext_expand((~F)^((~f)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))^2)),  ((~e)*(~g) - (~d)*(~h) + (~h)*(~x))^(~m), (~x)), (~x), (~x), (~d) + (~e)*(~x), "2_3_85") : nothing)
+
+# ("2_3_86",
+# @rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)* (~F)^((~!f)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n))^2)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~g) + (~h)*(~x))^(~m)*(~F)^((~f)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^2)), (~x)] : nothing)
+
+("2_3_87",
+@rule ∫((~F)^((~!f)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~a)*(~b)*(~f)*log((~F))) ?
+(~c)^(2*(~a)*(~b)*(~f)*log((~F)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~a)*(~b)*(~f)*(~n)*log((~F)))* (~F)^((~a)^2*(~f) + (~b)^2*(~f)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^2), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_88",
+@rule ∫((~F)^((~!f)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~a)*(~b)*(~f)*log((~F)))) ?
+((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~a)*(~b)*(~f)*log((~F)))⨸((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~a)*(~b)*(~f)*(~n)*log((~F)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~a)*(~b)*(~f)*(~n)*log((~F)))* (~F)^((~a)^2*(~f) + (~b)^2*(~f)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^2), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_89",
+@rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)* (~F)^((~!f)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e)*(~g) - (~d)*(~h), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~a)*(~b)*(~f)*log((~F))) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        eq((~h), (~e))
+    ) ?
+(~h)^(~m)*(~c)^(2*(~a)*(~b)*(~f)*log((~F)))⨸(~e)^(~m)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2*(~a)*(~b)*(~f)*(~n)*log((~F)))* (~F)^((~a)^2*(~f) + (~b)^2*(~f)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^2), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_90",
+@rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)* (~F)^((~!f)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e)*(~g) - (~d)*(~h), 0) ?
+((~g) + (~h)*(~x))^ (~m)*((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~a)*(~b)*(~f)*log((~F)))⨸((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2*(~a)*(~b)*(~f)*(~n)*log((~F)))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2*(~a)*(~b)*(~f)*(~n)*log((~F)))* (~F)^((~a)^2*(~f) + (~b)^2*(~f)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^2), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_91",
+@rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)* (~F)^((~!f)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~n), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) ?
+1⨸(~e)^((~m) + 1)* int_and_subst( ext_expand((~F)^((~f)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^2),  ((~e)*(~g) - (~d)*(~h) + (~h)*(~x))^(~m), (~x)), (~x), (~x), (~d) + (~e)*(~x), "2_3_91") : nothing)
+
+# ("2_3_92",
+# @rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)* (~F)^((~!f)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^2),(~x)) =>
+#     !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~g) + (~h)*(~x))^(~m)*(~F)^((~f)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^2), (~x)] : nothing)
+
+("2_3_93",
+@rule ∫(log((~a) + (~!b)*((~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x))))^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) ?
+1⨸((~d)*(~e)*(~n)*log((~F)))* int_and_subst(log((~a) + (~b)*(~x))⨸(~x),  (~x), (~x), ((~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^(~n), "2_3_93") : nothing)
+
+("2_3_94",
+@rule ∫(log((~a) + (~!b)*((~F)^((~!e)*((~!c) + (~!d)*(~x))))^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+(~x)*log((~a) + (~b)*((~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^(~n)) - (~b)*(~d)*(~e)*(~n)*log((~F))* ∫((~x)*((~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^(~n)⨸((~a) + (~b)*((~F)^((~e)*((~c) + (~d)*(~x))))^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[u_.*(a_.*F_^v_)^n_,x_Symbol] := a^n*Int[u*F^(n*v),x] /; FreeQ[{F,a},x] && IntegerQ[n] *)
+("2_3_95",
+@rule ∫((~!u)*((~!a)*(~F)^(~v))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+((~a)*(~F)^(~v))^(~n)⨸(~F)^((~n)*(~v))*∫((~u)*(~F)^((~n)*(~v)), (~x)) : nothing)
+
+# ("2_3_96",
+# @rule ∫((~u),(~x)) =>
+# FunctionOfExponential[(~u), (~x)]⨸Symbolics.derivative(FunctionOfExponential[(~u), (~x)], (~x))* int_and_subst(FunctionOfExponentialFunction[(~u),  (~x)]⨸(~x), (~x), (~x), FunctionOfExponential[(~u), (~x)], "2_3_96")]⨸;  FreeQ[{(~a), (~b), (~c)}, (~x)] && InverseFunctionQ[(~F)[(~x)]]]] &&  FunctionOfExponentialQ[(~u), (~x)] && Not[ MatchQ[(~u), w_*(a_.*v_^n_)^m_ ⨸; FreeQ[{(~a), (~m), (~n)}, (~x)] && IntegerQ[(~m)*(~n)]]] && Not[ MatchQ[(~u), ℯ^(c_.*(a_. + b_.*(~x)))*F_[v_)
+
+("2_3_97",
+@rule ∫((~!u)*((~!a)*(~F)^(~v) + (~!b)*(~F)^(~w))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~n), (~x)) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    linear((~v), (~w), (~x)) ?
+∫((~u)*(~F)^((~n)*(~v))*((~a) + (~b)*(~F)^expand_to_sum((~w) - (~v), (~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_98",
+@rule ∫((~!u)*((~!a)*(~F)^(~v) + (~!b)*(~G)^(~w))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~G), (~a), (~b), (~n), (~x)) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    linear((~v), (~w), (~x)) ?
+∫((~u)*(~F)^((~n)*(~v))*((~a) + (~b)*ℯ^expand_to_sum(log((~G))*(~w) - log((~F))*(~v), (~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_99",
+@rule ∫((~!u)*((~!a)*(~F)^(~v) + (~!b)*(~F)^(~w))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    linear((~v), (~w), (~x)) ?
+((~a)*(~F)^(~v) + (~b)*(~F)^(~w))^(~n)⨸((~F)^((~n)*(~v))*((~a) + (~b)*(~F)^expand_to_sum((~w) - (~v), (~x)))^(~n))* ∫((~u)*(~F)^((~n)*(~v))*((~a) + (~b)*(~F)^expand_to_sum((~w) - (~v), (~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("2_3_100",
+@rule ∫((~!u)*((~!a)*(~F)^(~v) + (~!b)*(~G)^(~w))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~G), (~a), (~b), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    linear((~v), (~w), (~x)) ?
+((~a)*(~F)^(~v) + (~b)*(~G)^(~w))^ (~n)⨸((~F)^((~n)*(~v))*((~a) + (~b)*ℯ^expand_to_sum(log((~G))*(~w) - log((~F))*(~v), (~x)))^(~n))* ∫((~u)*(~F)^((~n)*(~v))*((~a) + (~b)*ℯ^expand_to_sum(log((~G))*(~w) - log((~F))*(~v), (~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+# ("2_3_101",
+# @rule ∫((~!u)*(~F)^(~v)*(~G)^(~w),(~x)) =>
+#     !contains_var((~F), (~G), (~x)) &&
+#     isbinomial((~v)*log((~F)) + (~w)*log((~G)), (~x)) ||
+#     poly((~v)*log((~F)) + (~w)*log((~G)), (~x)) &&
+#     le(Exponent[(~v)*log((~F)) + (~w)*log((~G)), (~x)], 2) ?
+# ∫((~u)*NormalizeIntegrand[ℯ^(~v)*log((~F)) + (~w)*log((~G)), (~x)], (~x)) : nothing)
+
+("2_3_102",
+@rule ∫((~F)^(~u)*((~v) + (~w))*(~!y),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~x)) &&
+    eq(Symbolics.derivative((~v)*(~y)/(log((~F))*Symbolics.derivative((~u), (~x))), (~x)), (~w)*(~y)) ?
+(~F)^(~u)*(~v)*(~y)⨸(log((~F))*Symbolics.derivative((~u), (~x))) : nothing)
+
+# ("2_3_103",
+# @rule ∫((~F)^(~u)*(~v)^(~!n)*(~w),(~x)) =>
+#     !contains_var((~F), (~n), (~x)) &&
+#     poly((~u), (~x)) &&
+#     poly((~v), (~x)) &&
+#     poly((~w), (~x)) &&
+#     eq(Exponent[(~w), (~x)], Exponent[log((~F))*(~v)*Symbolics.derivative((~u), (~x)) + ((~n) + 1)*Symbolics.derivative((~v), (~x)), (~x)]) &&
+#     eq((~w)*ext_coeff(log((~F))*(~v)*Symbolics.derivative((~u), (~x)) + ((~n) + 1)*Symbolics.derivative((~v), (~x)), (~x), Exponent[log((~F))*(~v)*Symbolics.derivative((~u), (~x)) + ((~n) + 1)*Symbolics.derivative((~v), (~x)), (~x)]), log((~F))*(~v)*Symbolics.derivative((~u), (~x)) + ((~n) + 1)*Symbolics.derivative((~v), (~x))*ext_coeff((~w), (~x), Exponent[(~w), (~x)])) ?
+# ext_coeff((~w), (~x), Exponent[(~w), (~x)])⨸ ext_coeff(log((~F))*(~v)*Symbolics.derivative((~u), (~x)) + ((~n) + 1)*Symbolics.derivative((~v), (~x)), (~x), Exponent[log((~F))*(~v)*Symbolics.derivative((~u), (~x)) + ((~n) + 1)*Symbolics.derivative((~v), (~x)), (~x)])*(~F)^(~u)*(~v)^((~n) + 1) : nothing)
+
+("2_3_104",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~F)^((~!c)*sqrt((~!d) + (~!e)*(~x))/sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))))^ (~!n)/((~!A) + (~!B)*(~x) + (~!C)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~C), (~F), (~x)) &&
+    eq((~C)*(~d)*(~f) - (~A)*(~e)*(~g), 0) &&
+    eq((~B)*(~e)*(~g) - (~C)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+2*(~e)*(~g)⨸((~C)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~F)^((~c)*(~x)))^(~n)⨸(~x),  (~x), (~x), sqrt((~d) + (~e)*(~x))⨸sqrt((~f) + (~g)*(~x)), "2_3_104") : nothing)
+
+("2_3_105",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~F)^((~!c)*sqrt((~!d) + (~!e)*(~x))/sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))))^ (~!n)/((~A) + (~!C)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~C), (~F), (~x)) &&
+    eq((~C)*(~d)*(~f) - (~A)*(~e)*(~g), 0) &&
+    eq((~e)*(~f) + (~d)*(~g), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+2*(~e)*(~g)⨸((~C)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~F)^((~c)*(~x)))^(~n)⨸(~x),  (~x), (~x), sqrt((~d) + (~e)*(~x))⨸sqrt((~f) + (~g)*(~x)), "2_3_105") : nothing)
+
+# ("2_3_106",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~F)^((~!c)*sqrt((~!d) + (~!e)*(~x))/sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))))^ (~n)/((~!A) + (~!B)*(~x) + (~!C)*(~x)^2),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~C), (~F), (~n), (~x)) &&
+#     eq((~C)*(~d)*(~f) - (~A)*(~e)*(~g), 0) &&
+#     eq((~B)*(~e)*(~g) - (~C)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)), 0) &&
+#     !(igt((~n), 0)) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*(~F)^((~c)*sqrt((~d) + (~e)*(~x))⨸sqrt((~f) + (~g)*(~x))))^ (~n)⨸((~A) + (~B)*(~x) + (~C)*(~x)^2), (~x)] : nothing)
+
+# ("2_3_107",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~F)^((~!c)*sqrt((~!d) + (~!e)*(~x))/sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))))^ (~n)/((~A) + (~!C)*(~x)^2),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~C), (~F), (~n), (~x)) &&
+#     eq((~C)*(~d)*(~f) - (~A)*(~e)*(~g), 0) &&
+#     eq((~e)*(~f) + (~d)*(~g), 0) &&
+#     !(igt((~n), 0)) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*(~F)^((~c)*sqrt((~d) + (~e)*(~x))⨸sqrt((~f) + (~g)*(~x))))^ (~n)⨸((~A) + (~C)*(~x)^2), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.1/3.1.1 (a+b log(c x^n))^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.1/3.1.1 (a+b log(c x^n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..e0bbf1c1
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.1/3.1.1 (a+b log(c x^n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,40 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 3.1.1 (a+b log(c x^n))^p *)
+("3_1_1_1",
+@rule ∫(log((~!c)*(~x)^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~n), (~x)) ?
+(~x)*log((~c)*(~x)^(~n)) - (~n)*(~x) : nothing)
+
+("3_1_1_2",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p) - (~b)*(~n)*(~p)*∫(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_1_3",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) - 1⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))*∫(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_1_4",
+@rule ∫(1/log((~!c)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~x)) ?
+SymbolicUtils.expinti(log((~c)*(~x)))⨸(~c) : nothing)
+
+("3_1_1_5",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(1/(~n)) ?
+1⨸((~n)*(~c)^(1⨸(~n)))*int_and_subst(ℯ^((~x)⨸(~n))*((~a) + (~b)*(~x))^(~p),  (~x), (~x), log((~c)*(~x)^(~n)), "3_1_1_5") : nothing)
+
+("3_1_1_6",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~x)) ?
+(~x)⨸((~n)*((~c)*(~x)^(~n))^(1⨸(~n)))* int_and_subst(ℯ^((~x)⨸(~n))*((~a) + (~b)*(~x))^(~p),  (~x), (~x), log((~c)*(~x)^(~n)), "3_1_1_6") : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.1/3.1.2 (d x)^m (a+b log(c x^n))^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.1/3.1.2 (d x)^m (a+b log(c x^n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..1781e579
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.1/3.1.2 (d x)^m (a+b log(c x^n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,74 @@
+file_rules = [
+# (* ::Subsection::Closed:: *) 
+# (* 3.1.2 (d x)^m (a+b log(c x^n))^p *) 
+("3_1_2_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) ?
+((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^2⨸(2*(~b)*(~n)) : nothing)
+
+("3_1_2_2",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~x)) ?
+1⨸((~b)*(~n))*int_and_subst((~x)^(~p),  (~x), (~x), (~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)), "3_1_2_2") : nothing)
+
+("3_1_2_3",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    eq((~a)*((~m) + 1) - (~b)*(~n), 0) ?
+(~b)*((~d)*(~x))^((~m) + 1)*log((~c)*(~x)^(~n))⨸((~d)*((~m) + 1)) : nothing)
+
+("3_1_2_4",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))⨸((~d)*((~m) + 1)) - (~b)*(~n)*((~d)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~d)*((~m) + 1)^2) : nothing)
+
+("3_1_2_5",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    gt((~p), 0) ?
+((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~d)*((~m) + 1)) - (~b)*(~n)*(~p)⨸((~m) + 1)*∫(((~d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_2_6",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    lt((~p), -1) ?
+((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~d)*(~n)*((~p) + 1)) - ((~m) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))*∫(((~d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_2_7",
+@rule ∫((~x)^(~!m)/log((~!c)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m), (~n) - 1) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst(1⨸log((~c)*(~x)),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "3_1_2_7") : nothing)
+
+("3_1_2_8",
+@rule ∫(((~d)*(~x))^(~!m)/log((~!c)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m), (~n) - 1) ?
+((~d)*(~x))^(~m)⨸(~x)^(~m)*∫((~x)^(~m)⨸log((~c)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_2_9",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+1⨸(~c)^((~m) + 1)*int_and_subst(ℯ^(((~m) + 1)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x))^(~p),  (~x), (~x), log((~c)*(~x)), "3_1_2_9") : nothing)
+
+("3_1_2_10",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+((~d)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~d)*(~n)*((~c)*(~x)^(~n))^(((~m) + 1)⨸(~n)))* int_and_subst(ℯ^(((~m) + 1)⨸(~n)*(~x))*((~a) + (~b)*(~x))^(~p),  (~x), (~x), log((~c)*(~x)^(~n)), "3_1_2_10") : nothing)
+
+("3_1_2_11",
+@rule ∫(((~!d)*(~x)^(~q))^(~m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+((~d)*(~x)^(~q))^(~m)⨸(~x)^((~m)*(~q))*∫((~x)^((~m)*(~q))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_2_12",
+@rule ∫(((~!d1)*(~x)^(~q1))^(~m1)*((~!d2)*(~x)^(~q2))^(~m2)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~d2), (~m1), (~m2), (~n), (~p), (~q1), (~q2), (~x)) ?
+((~d1)*(~x)^(~q1))^(~m1)*((~d2)*(~x)^(~q2))^(~m2)⨸(~x)^((~m1)*(~q1) + (~m2)*(~q2))* ∫((~x)^((~m1)*(~q1) + (~m2)*(~q2))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.1/3.1.3 (d+e x^r)^q (a+b log(c x^n))^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.1/3.1.3 (d+e x^r)^q (a+b log(c x^n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..460f9728
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.1/3.1.3 (d+e x^r)^q (a+b log(c x^n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,154 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 3.1.3 (d+e x^r)^q (a+b log(c x^n))^p *)
+("3_1_3_1",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~r), (~x)) &&
+    igt((~q), 0) ?
+∫(((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q), (~x))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))) - (~b)*(~n)*∫(simplify(∫(((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q), (~x))⨸(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_3_2",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~r), (~x)) &&
+    igt((~q), 0) ?
+dist(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))), ∫(((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q), (~x))) - (~b)*(~n)*∫(simplify(∫(((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q), (~x))⨸(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_3_3",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~r)*((~q) + 1) + 1, 0) ?
+(~x)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))⨸(~d) - (~b)*(~n)⨸(~d)*∫(((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^((~q) + 1), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(a_.+b_.*Log[c_.*x_^n_.])^p_./(d_+e_.*x_^r_.),x_Symbol] := 1/e*Int[(a+b*Log[c*x^n])^p/x^r,x] - d/e*Int[(a+b*Log[c*x^n])^p/(x^r*(d+e*x^r)),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,n,r},x] && IGtQ[p,0] && IGtQ[r,0] *)
+("3_1_3_4",
+@rule ∫(log((~!c)*(~x))/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~e) + (~c)*(~d), 0) ?
+-1⨸(~e)*PolyLog.reli(2, 1 - (~c)*(~x)) : nothing)
+
+("3_1_3_5",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)))/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt(-(~c)*(~d)/(~e), 0) ?
+((~a) + (~b)*log(-(~c)*(~d)⨸(~e)))*log((~d) + (~e)*(~x))⨸(~e) + (~b)*∫(log(-(~e)*(~x)⨸(~d))⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_3_6",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+log(1 + (~e)*(~x)⨸(~d))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸(~e) - (~b)*(~n)*(~p)⨸(~e)*∫(log(1 + (~e)*(~x)⨸(~d))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_3_7",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/((~d) + (~!e)*(~x))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) &&
+    gt((~p), 0) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~d)*((~d) + (~e)*(~x))) - (~b)*(~n)*(~p)⨸(~d)*∫(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_3_8",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !eq((~q), -1) &&
+    (
+        eq((~p), 1) ||
+        ext_isinteger(2*(~p), 2*(~q)) &&
+        !(igt((~q), 0)) ||
+        eq((~p), 2) &&
+        !eq((~q), 1)
+    ) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~e)*((~q) + 1)) - (~b)*(~n)*(~p)⨸((~e)*((~q) + 1))* ∫((((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1))⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_3_9",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~q), 0) ?
+(~x)*((~d) + (~e)*(~x))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) + (~d)*(~q)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~q) - 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) + 1), (~x)) - ((~q) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_3_10",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    gt((~q), 0) ?
+(~x)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))⨸(2*(~q) + 1) - (~b)*(~n)⨸(2*(~q) + 1)*∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~q), (~x)) + 2*(~d)*(~q)⨸(2*(~q) + 1)*∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) - 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_3_11",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))/((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))⨸((~d)*sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)) - (~b)*(~n)⨸(~d)*∫(1⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_3_12",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    lt((~q), -1) ?
+-(~x)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))⨸(2*(~d)*((~q) + 1)) + (~b)*(~n)⨸(2*(~d)*((~q) + 1))*∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1), (~x)) + (2*(~q) + 3)⨸(2*(~d)*((~q) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_3_13",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))/((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) ?
+∫(1⨸((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))) - (~b)*(~n)*∫(∫(1⨸((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x))⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_3_14",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))/sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    gt((~d), 0) &&
+    pos((~e)) ?
+asinh(rt((~e), 2)*(~x)⨸sqrt((~d)))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))⨸rt((~e), 2) - (~b)*(~n)⨸rt((~e), 2)*∫(asinh(rt((~e), 2)*(~x)⨸sqrt((~d)))⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_3_15",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))/sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    gt((~d), 0) &&
+    neg((~e)) ?
+asin(rt(-(~e), 2)*(~x)⨸sqrt((~d)))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))⨸rt(-(~e), 2) - (~b)*(~n)⨸rt(-(~e), 2)*∫(asin(rt(-(~e), 2)*(~x)⨸sqrt((~d)))⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_3_16",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))/sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    !(gt((~d), 0)) ?
+sqrt(1 + (~e)⨸(~d)*(~x)^2)⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)* ∫(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))⨸sqrt(1 + (~e)⨸(~d)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_3_17",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))/(sqrt((~d1) + (~!e1)*(~x))* sqrt((~d2) + (~!e2)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~n), (~x)) &&
+    eq((~d2)*(~e1) + (~d1)*(~e2), 0) ?
+sqrt(1 + (~e1)*(~e2)⨸((~d1)*(~d2))*(~x)^2)⨸(sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))*sqrt((~d2) + (~e2)*(~x)))* ∫(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))⨸sqrt(1 + (~e1)*(~e2)⨸((~d1)*(~d2))*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_3_18",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~q)) &&
+    ext_isinteger((~r)) &&
+    eq((~r), 1) &&
+    ext_isinteger((~q) - 1/2) ||
+    eq((~r), 2) &&
+    eq((~q), -1) ||
+    !contains_inverse_function((~u), (~x)) ?
+dist(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))), ∫(((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q), (~x)), (~x)) - (~b)*(~n)*∫(simplify(∫(((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q), (~x))⨸(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_3_19",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~q)) &&
+    (
+        gt((~q), 0) ||
+        igt((~p), 0) &&
+        ext_isinteger((~r))
+    ) &&
+    issum(ext_expand(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x))) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), ((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("3_1_3_20",
+# @rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+# 
+# 
+("3_1_3_21",
+@rule ∫((~u)^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isbinomial((~u), (~x)) &&
+    !(binomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.1/3.1.4 (f x)^m (d+e x^r)^q (a+b log(c x^n))^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.1/3.1.4 (f x)^m (d+e x^r)^q (a+b log(c x^n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..682fa576
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.1/3.1.4 (f x)^m (d+e x^r)^q (a+b log(c x^n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,237 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 3.1.4 (f x)^m (d+e x^r)^q (a+b log(c x^n))^p *)
+("3_1_4_1",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d) + (~e)/(~x))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~m), (~q)) &&
+    ext_isinteger((~q)) ?
+∫(((~e) + (~d)*(~x))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_2",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~r), (~x)) &&
+    igt((~q), 0) &&
+    igt((~m), 0) ?
+∫((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q), (~x))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))) - (~b)*(~n)*∫(ext_simplify(∫((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q), (~x))⨸(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_3",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~r), (~x)) &&
+    igt((~q), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    !(
+        eq((~q), 1) &&
+        eq((~m), -1)
+    ) ?
+dist(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))), ∫((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q), (~x))) - (~b)*(~n)*∫(ext_simplify(∫((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q), (~x))⨸(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_4",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~r)*((~q) + 1) + 1, 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))⨸((~d)* (~f)*((~m) + 1)) - (~b)*(~n)⨸((~d)*((~m) + 1))*∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^((~q) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_5",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~m), (~r) - 1) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~f), 0)
+    ) &&
+    eq((~r), (~n)) ?
+(~f)^(~m)⨸(~n)*int_and_subst(((~d) + (~e)*(~x))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "3_1_4_5") : nothing)
+
+("3_1_4_6",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/((~d) + (~!e)*(~x)^(~r)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~r), (~x)) &&
+    eq((~m), (~r) - 1) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~f), 0)
+    ) &&
+    !eq((~r), (~n)) ?
+(~f)^(~m)*log(1 + (~e)*(~x)^(~r)⨸(~d))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~e)*(~r)) - (~b)*(~f)^(~m)*(~n)*(~p)⨸((~e)*(~r))* ∫(log(1 + (~e)*(~x)^(~r)⨸(~d))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_7",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~m), (~r) - 1) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~f), 0)
+    ) &&
+    !eq((~r), (~n)) &&
+    !eq((~q), -1) ?
+(~f)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~e)*(~r)*((~q) + 1)) - (~b)*(~f)^(~m)*(~n)*(~p)⨸((~e)*(~r)*((~q) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_8",
+@rule ∫(((~f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~m), (~r) - 1) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    !(
+        (ext_isinteger((~m)) ||
+            gt((~f), 0))
+    ) ?
+((~f)*(~x))^(~m)⨸(~x)^(~m)*∫((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[x_^m_.*(a_.+b_.*Log[c_.*x_^n_.])^p_./(d_+e_.*x_^r_.),x_Symbol]  := 1/e*Int[x^(m-r)*(a+b*Log[c*x^n])^p,x] - d/e*Int[(x^(m-r)*(a+b*Log[c*x^n])^p)/(d+e*x^r),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,m,n,r},x] && IGtQ[p,0] && IGtQ[r,0] && IGeQ[m-r,0] *)
+("3_1_4_9",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~n)))/((~x)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~r)/(~n)) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)))⨸((~x)*((~d) + (~e)*(~x)^((~r)⨸(~n)))),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "3_1_4_9") : nothing)
+
+#(* Int[(a_.+b_.*Log[c_.*x_^n_.])^p_./(x_*(d_+e_.*x_)),x_Symbol] := 1/d*Int[(a+b*Log[c*x^n])^p/x,x] -  e/d*Int[(a+b*Log[c*x^n])^p/(d+e*x),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,n},x] && IGtQ[p,0] *)
+#(* Int[(a_.+b_.*Log[c_.*x_^n_.])^p_./(x_*(d_+e_.*x_^r_.)),x_Symbol] := (r*Log[x]-Log[1+(e*x^r)/d])*(a+b*Log[c*x^n])^p/(d*r) - b*n*p/d*Int[Log[x]*(a+b*Log[c*x^n])^(p-1)/x,x] + b*n*p/(d*r)*Int[Log[1+(e*x^r)/d]*(a+b*Log[c*x^n])^(p-1)/x,x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,n,r},x] && IGtQ[p,0] *)
+("3_1_4_10",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/((~x)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~r), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+-log(1 + (~d)⨸((~e)*(~x)^(~r)))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~d)*(~r)) + (~b)*(~n)*(~p)⨸((~d)*(~r))* ∫(log(1 + (~d)⨸((~e)*(~x)^(~r)))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_11",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~r), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    igt((~r), 0) &&
+    ilt((~m), -1) ?
+1⨸(~d)*∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) - (~e)⨸(~d)*∫(((~x)^((~m) + (~r))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p))⨸((~d) + (~e)*(~x)^(~r)), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_12",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~q), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~q) + 2, 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    lt((~q), -1) ?
+-((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^ (~p)⨸((~d)*(~f)*((~q) + 1)) + (~b)*(~n)*(~p)⨸((~d)*((~q) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_13",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    ilt((~m) + (~q) + 2, 0) &&
+    igt((~m), 0) ?
+dist(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))), ∫((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x))^(~q), (~x)), (~x)) - (~b)*(~n)*∫(ext_simplify(∫((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x))^(~q), (~x))⨸(~x), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_14",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    ilt((~m) + (~q) + 2, 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    lt((~q), -1) &&
+    gt((~m), 0) ?
+-((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^ (~p)⨸((~d)*(~f)*((~q) + 1)) + ((~m) + (~q) + 2)⨸((~d)*((~q) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) + (~b)*(~n)*(~p)⨸((~d)*((~q) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_15",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ilt((~q), -1) &&
+    gt((~m), 0) ?
+((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))⨸((~e)*((~q) + 1)) - (~f)⨸((~e)*((~q) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a)*(~m) + (~b)*(~n) + (~b)*(~m)*log((~c)*(~x)^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_16",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ilt((~q), -1) &&
+    ilt((~m), 0) ?
+-((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))⨸(2*(~d)* (~f)*((~q) + 1)) + 1⨸(2*(~d)*((~q) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^ (~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)*((~a)*((~m) + 2*(~q) + 3) + (~b)*(~n) + (~b)*((~m) + 2*(~q) + 3)*log((~c)*(~x)^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_17",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    ext_isinteger((~q) - 1/2) &&
+    !(
+        lt((~m) + 2*(~q), -2) ||
+        gt((~d), 0)
+    ) ?
+(~d)^intpart((~q))*((~d) + (~e)*(~x)^2)^fracpart((~q))⨸(1 + (~e)⨸(~d)*(~x)^2)^fracpart((~q))* ∫((~x)^(~m)*(1 + (~e)⨸(~d)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_18",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~q)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~n), (~x)) &&
+    eq((~d2)*(~e1) + (~d1)*(~e2), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    ext_isinteger((~q) - 1/2) ?
+((~d1) + (~e1)*(~x))^(~q)*((~d2) + (~e2)*(~x))^(~q)⨸(1 + (~e1)*(~e2)⨸((~d1)*(~d2))*(~x)^2)^(~q)* ∫((~x)^(~m)*(1 + (~e1)*(~e2)⨸((~d1)*(~d2))*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_19",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~q)) ?
+(~d)*∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~q) - 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸(~x), (~x)) + (~e)*∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~q) - 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_20",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    lt((~q), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~q)) ?
+1⨸(~d)*∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸(~x), (~x)) - (~e)⨸(~d)*∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_21",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~q) - 1/2) ?
+∫(((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q)⨸(~x), (~x))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))) - (~b)*(~n)*∫(dist(1⨸(~x), ∫(((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q)⨸(~x), (~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_22",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~r), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~q), -1) ?
+1⨸(~d)*∫(((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸(~x), (~x)) - (~e)⨸(~d)*∫((~x)^((~r) - 1)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+# Nested conditions found, not translating rule:
+#Int[(f_.*x_)^m_.*(d_ + e_.*x_^r_.)^q_.*(a_. + b_.*Log[c_.*x_^n_.]), x_Symbol] := With[{u = IntHide[(f*x)^m*(d + e*x^r)^q, x]}, Dist[(a + b*Log[c*x^n]), u, x] - b*n*Int[SimplifyIntegrand[u/x, x], x] /; (EqQ[r, 1] || EqQ[r, 2]) && IntegerQ[m] && IntegerQ[q - 1/2] || InverseFunctionFreeQ[u, x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, q, r}, x] && IntegerQ[2*q] && (IntegerQ[m] && IntegerQ[r] || IGtQ[q, 0])
+
+# Nested conditions found, not translating rule:
+#Int[(f_.*x_)^m_.*(d_ + e_.*x_^r_.)^q_.*(a_. + b_.*Log[c_.*x_^n_.]), x_Symbol] := With[{u = ExpandIntegrand[(a + b*Log[c*x^n]), (f*x)^m*(d + e*x^r)^q, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, q, r}, x] && IntegerQ[q] && (GtQ[q, 0] || IntegerQ[m] && IntegerQ[r])
+
+("3_1_4_25",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~q)) &&
+    ext_isinteger((~r)/(~n)) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    (
+        gt(((~m) + 1)/(~n), 0) ||
+        igt((~p), 0)
+    ) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~d) + (~e)*(~x)^((~r)⨸(~n)))^ (~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "3_1_4_25") : nothing)
+
+# Nested conditions found, not translating rule:
+#Int[(f_.*x_)^m_.*(d_ + e_.*x_^r_.)^q_.*(a_. + b_.*Log[c_.*x_^n_.])^ p_., x_Symbol] := With[{u = ExpandIntegrand[(a + b*Log[c*x^n])^p, (f*x)^m*(d + e*x^r)^q, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p, q, r}, x] && IntegerQ[ q] && (GtQ[q, 0] || IGtQ[p, 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[r])
+
+# ("3_1_4_27",
+# @rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+# 
+# 
+("3_1_4_28",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*(~u)^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~f), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isbinomial((~u), (~x)) &&
+    !(binomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(((~f)*(~x))^(~m)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_4_29",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~m) + (~q) + 2, 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    lt((~q), -1) ?
+((~f) + (~g)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^ (~p)⨸(((~q) + 1)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))) - (~b)*(~n)*(~p)⨸(((~q) + 1)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.1/3.1.5 u (a+b log(c x^n))^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.1/3.1.5 u (a+b log(c x^n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..77a399e3
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.1/3.1.5 u (a+b log(c x^n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,555 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 3.1.5 u (a+b log(c x^n))^p *)
+("3_1_5_1",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*log((~!c)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))/ sqrt((~a) + (~!b)*log((~!c)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~n), (~x)) ?
+(~B)*((~d) + (~e)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))⨸((~b)*(~e)) + (2*(~A)*(~b) - (~B)*(2*(~a) + (~b)*(~n)))⨸(2*(~b))* ∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_2",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d) + (~e)/(~x))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~m), (~q)) &&
+    ext_isinteger((~q)) ?
+∫(((~e) + (~d)*(~x))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_3",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~!q)*log((~!c)*(~x)^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~n), (~r), (~x)) &&
+    igt((~q), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    !(
+        eq((~q), 1) &&
+        eq((~m), -1)
+    ) ?
+let
+    u = ∫((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q), (~x))
+    
+    dist(log((~c)*(~x)^(~n)), u, (~x)) - (~n)*∫(ext_simplify(u⨸(~x), (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+("3_1_5_4",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~!q)*((~a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~r), (~x)) &&
+    igt((~q), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    !(
+        eq((~q), 1) &&
+        eq((~m), -1)
+    ) ?
+let
+    u = ∫((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q), (~x))
+    
+    u*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))) - (~b)*(~n)*∫(ext_simplify(u⨸(~x), (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+("3_1_5_5",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~r)*((~q) + 1) + 1, 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))⨸((~d)* (~f)*((~m) + 1)) - (~b)*(~n)⨸((~d)*((~m) + 1))*∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^((~q) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_6",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~m), (~r) - 1) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~f), 0)
+    ) &&
+    eq((~r), (~n)) ?
+(~f)^(~m)⨸(~n)*int_and_subst(((~d) + (~e)*(~x))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "3_1_5_6") : nothing)
+
+("3_1_5_7",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/((~d) + (~!e)*(~x)^(~r)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~r), (~x)) &&
+    eq((~m), (~r) - 1) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~f), 0)
+    ) &&
+    !eq((~r), (~n)) ?
+(~f)^(~m)*log(1 + (~e)*(~x)^(~r)⨸(~d))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~e)*(~r)) - (~b)*(~f)^(~m)*(~n)*(~p)⨸((~e)*(~r))* ∫(log(1 + (~e)*(~x)^(~r)⨸(~d))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_8",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~m), (~r) - 1) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        gt((~f), 0)
+    ) &&
+    !eq((~r), (~n)) &&
+    !eq((~q), -1) ?
+(~f)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~e)*(~r)*((~q) + 1)) - (~b)*(~f)^(~m)*(~n)*(~p)⨸((~e)*(~r)*((~q) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_9",
+@rule ∫(((~f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~m), (~r) - 1) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    !(
+        (ext_isinteger((~m)) ||
+            gt((~f), 0))
+    ) ?
+((~f)*(~x))^(~m)⨸(~x)^(~m)*∫((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_10",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ilt((~q), -1) &&
+    gt((~m), 0) ?
+((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))⨸((~e)*((~q) + 1)) - (~f)⨸((~e)*((~q) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a)*(~m) + (~b)*(~n) + (~b)*(~m)*log((~c)*(~x)^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_11",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ilt((~q), -1) &&
+    ilt((~m), 0) ?
+-((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))⨸(2*(~d)* (~f)*((~q) + 1)) + 1⨸(2*(~d)*((~q) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^ (~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~q) + 1)*((~a)*((~m) + 2*(~q) + 3) + (~b)*(~n) + (~b)*((~m) + 2*(~q) + 3)*log((~c)*(~x)^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_12",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    ext_isinteger((~q) - 1/2) &&
+    !(
+        lt((~m) + 2*(~q), -2) ||
+        gt((~d), 0)
+    ) ?
+(~d)^intpart((~q))*((~d) + (~e)*(~x)^2)^fracpart((~q))⨸(1 + (~e)⨸(~d)*(~x)^2)^fracpart((~q))* ∫((~x)^(~m)*(1 + (~e)⨸(~d)*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_13",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~q)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~n), (~x)) &&
+    eq((~d2)*(~e1) + (~d1)*(~e2), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    ext_isinteger((~q) - 1/2) ?
+((~d1) + (~e1)*(~x))^(~q)*((~d2) + (~e2)*(~x))^(~q)⨸(1 + (~e1)*(~e2)⨸((~d1)*(~d2))*(~x)^2)^(~q)* ∫((~x)^(~m)*(1 + (~e1)*(~e2)⨸((~d1)*(~d2))*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_14",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~n)))/((~x)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~r)/(~n)) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)))⨸((~x)*((~d) + (~e)*(~x)^((~r)⨸(~n)))),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "3_1_5_14") : nothing)
+
+("3_1_5_15",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/((~x)*((~d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+1⨸(~d)*∫(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸(~x), (~x)) - (~e)⨸(~d)*∫(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(a_.+b_.*Log[c_.*x_^n_.])^p_./(x_*(d_+e_.*x_^r_.)),x_Symbol] := (r*Log[x]-Log[1+(e*x^r)/d])*(a+b*Log[c*x^n])^p/(d*r) - b*n*p/d*Int[Log[x]*(a+b*Log[c*x^n])^(p-1)/x,x] + b*n*p/(d*r)*Int[Log[1+(e*x^r)/d]*(a+b*Log[c*x^n])^(p-1)/x,x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,n,r},x] && IGtQ[p,0] *)
+("3_1_5_16",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/((~x)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~r), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+-log(1 + (~d)⨸((~e)*(~x)^(~r)))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~d)*(~r)) + (~b)*(~n)*(~p)⨸((~d)*(~r))* ∫(log(1 + (~d)⨸((~e)*(~x)^(~r)))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_17",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    gt((~q), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~q)) ?
+(~d)*∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~q) - 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸(~x), (~x)) + (~e)*∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~q) - 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_18",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    lt((~q), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~q)) ?
+1⨸(~d)*∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸(~x), (~x)) - (~e)⨸(~d)*∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_19",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~q) - 1/2) ?
+let
+    u = ∫(((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q)⨸(~x), (~x))
+    
+    u*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))) - (~b)*(~n)*∫(dist(1⨸(~x), u, (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+("3_1_5_20",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~r), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~q), -1) ?
+1⨸(~d)*∫(((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸(~x), (~x)) - (~e)⨸(~d)*∫((~x)^((~r) - 1)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_21",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~q)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) &&
+        ext_isinteger((~r)) ||
+        igt((~q), 0)
+    ) ?
+let
+    u = ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q), (~x))
+    
+(eq((~r), 1) ||
+    eq((~r), 2)) &&
+ext_isinteger((~m)) &&
+ext_isinteger((~q) - 1/2) ||
+!contains_inverse_function(u, (~x)) ?
+    dist(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))), u, (~x)) - (~b)*(~n)*∫(ext_simplify(u⨸(~x), (~x)), (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("3_1_5_22",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~q)) &&
+    (
+        gt((~q), 0) ||
+        ext_isinteger((~m)) &&
+        ext_isinteger((~r))
+    ) ?
+let
+    u = ext_expand(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))), ((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q), (~x))
+    
+    issum(u) ?
+    ∫(u, (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("3_1_5_23",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~q)) &&
+    ext_isinteger((~r)/(~n)) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    (
+        gt(((~m) + 1)/(~n), 0) ||
+        igt((~p), 0)
+    ) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~d) + (~e)*(~x)^((~r)⨸(~n)))^ (~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "3_1_5_23") : nothing)
+
+("3_1_5_24",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger( (~q)) &&
+    (
+        gt((~q), 0) ||
+        igt((~p), 0) &&
+        ext_isinteger((~m)) &&
+        ext_isinteger((~r))
+    ) ?
+let
+    u = ext_expand(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), ((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q), (~x))
+    
+    issum(u) ?
+    ∫(u, (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+# ("3_1_5_25",
+# @rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^(~r))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("3_1_5_26",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*(~u)^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~f), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isbinomial((~u), (~x)) &&
+    !(binomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(((~f)*(~x))^(~m)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_27",
+@rule ∫((~P)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~x)) &&
+    poly((~P), (~x)) ?
+∫(ext_expand((~P)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_28",
+@rule ∫((~RF)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    rational_function((~RF), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+let
+    u = ext_expand(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~RF), (~x))
+    
+    issum(u) ?
+    ∫(u, (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("3_1_5_29",
+@rule ∫((~RF)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    rational_function((~RF), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+let
+    u = ext_expand((~RF)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x))
+    
+    issum(u) ?
+    ∫(u, (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+# ("3_1_5_30",
+# @rule ∫((~AF)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     algebraic_function((~AF), (~x), True) ?
+# Unintegrable[(~AF)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("3_1_5_31",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)*((~d) + (~!e)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    ext_isinteger((~q)) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)*((~d) + (~e)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~q), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_32",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)*((~!d) + (~!e)*log((~!f)*(~x)^(~!r))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~r), (~x)) ?
+let
+    u = ∫(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x))
+    
+    dist((~d) + (~e)*log((~f)*(~x)^(~r)), u, (~x)) - (~e)*(~r)*∫(ext_simplify(u⨸(~x), (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+("3_1_5_33",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)*((~!d) + (~!e)*log((~!f)*(~x)^(~!r)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~r), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    igt((~q), 0) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)*((~d) + (~e)*log((~f)*(~x)^(~r)))^(~q) - (~e)*(~q)*(~r)*∫(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)*((~d) + (~e)*log((~f)*(~x)^(~r)))^((~q) - 1), (~x)) - (~b)*(~n)*(~p)*∫(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)*((~d) + (~e)*log((~f)*(~x)^(~r)))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+# ("3_1_5_34",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)*((~!d) + (~!e)*log((~!f)*(~x)^(~!r)))^(~!q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)*((~d) + (~e)*log((~f)*(~x)^(~r)))^(~q), (~x)] : nothing)
+
+("3_1_5_35",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~v)))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*log((~v)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~p), (~q), (~x)) &&
+    linear((~v), (~x)) &&
+    !eq(ext_coeff((~v), (~x), 0), 0) ?
+1⨸ext_coeff((~v), (~x), 1)* int_and_subst(((~a) + (~b)*log((~x)))^(~p)*((~c) + (~d)*log((~x)))^(~q),  (~x), (~x), (~v), "3_1_5_35") : nothing)
+
+("3_1_5_36",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)*((~!d) + (~!e)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!q)/ (~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~d) + (~e)*(~x))^(~q),  (~x), (~x), log((~c)*(~x)^(~n)), "3_1_5_36") : nothing)
+
+("3_1_5_37",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^ (~!p)*((~!d) + (~!e)*log((~!f)*(~x)^(~!r))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~r), (~x)) &&
+    !(
+        eq((~p), 1) &&
+        eq((~a), 0) &&
+        !eq((~d), 0)
+    ) ?
+let
+    u = ∫(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x))
+    
+    dist(((~d) + (~e)*log((~f)*(~x)^(~r))), u, (~x)) - (~e)*(~r)*∫(ext_simplify(u⨸(~x), (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+("3_1_5_38",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^ (~!p)*((~!d) + (~!e)*log((~!f)*(~x)^(~!r)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~r), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    igt((~q), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~g)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^ (~p)*((~d) + (~e)*log((~f)*(~x)^(~r)))^(~q)⨸((~g)*((~m) + 1)) - (~e)*(~q)*(~r)⨸((~m) + 1)* ∫(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)*((~d) + (~e)*log((~f)*(~x)^(~r)))^((~q) - 1), (~x)) - (~b)*(~n)*(~p)⨸((~m) + 1)* ∫(((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)*((~d) + (~e)*log((~f)*(~x)^(~r)))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+# ("3_1_5_39",
+# @rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^ (~!p)*((~!d) + (~!e)*log((~!f)*(~x)^(~!r)))^(~!q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)*((~d) + (~e)*log((~f)*(~x)^(~r)))^(~q), (~x)] : nothing)
+
+("3_1_5_40",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~v)))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*log((~v)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    linear((~u), (~v), (~x)) ?
+let
+    e = ext_coeff((~u), (~x), 0)
+    f = ext_coeff((~u), (~x), 1)
+    g = ext_coeff((~v), (~x), 0)
+    h = ext_coeff((~v), (~x), 1)
+    
+    eq(f*g - e*h, 0) &&
+    !eq(g, 0) ?
+    1⨸h* int_and_subst((f*(~x)⨸h)^(~m)*((~a) + (~b)*log((~x)))^(~p)*((~c) + (~d)*log((~x)))^(~q),  (~x), (~x), (~v), "3_1_5_40") : nothing
+end : nothing)
+
+("3_1_5_41",
+@rule ∫(log((~!d)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!m))^(~!r))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~r), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    isrational( (~m)) &&
+    (
+        eq((~p), 1) ||
+        isfraction((~m)) &&
+        ext_isinteger(1/(~m)) ||
+        eq((~r), 1) &&
+        eq((~m), 1) &&
+        eq((~d)*(~e), 1)
+    ) ?
+let
+    u = ∫(log((~d)*((~e) + (~f)*(~x)^(~m))^(~r)), (~x))
+    
+    dist(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), u, (~x)) - (~b)*(~n)*(~p)*∫(dist(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(~x), u, (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+("3_1_5_42",
+@rule ∫(log((~!d)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!m))^(~!r))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~r), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+let
+    u = ∫(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x))
+    
+    dist(log((~d)*((~e) + (~f)*(~x)^(~m))^(~r)), u, (~x)) - (~f)*(~m)*(~r)*∫(dist((~x)^((~m) - 1)⨸((~e) + (~f)*(~x)^(~m)), u, (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+# ("3_1_5_43",
+# @rule ∫(log((~!d)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!m))^(~!r))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~r), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[log((~d)*((~e) + (~f)*(~x)^(~m))^(~r))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("3_1_5_44",
+@rule ∫(log((~!d)*(~u)^(~!r))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~r), (~n), (~p), (~x)) &&
+    isbinomial((~u), (~x)) &&
+    !(binomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(log((~d)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~r))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_45",
+@rule ∫(log((~!d)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!m)))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    eq((~d)*(~e), 1) ?
+-PolyLog.reli(2, -(~d)*(~f)*(~x)^(~m))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸(~m) + (~b)*(~n)*(~p)⨸(~m)* ∫(PolyLog.reli(2, -(~d)*(~f)*(~x)^(~m))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_46",
+@rule ∫(log((~!d)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!m))^(~!r))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~r), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    !eq((~d)*(~e), 1) ?
+log((~d)*((~e) + (~f)*(~x)^(~m))^(~r))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) - (~f)*(~m)*(~r)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫((~x)^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) + 1)⨸((~e) + (~f)*(~x)^(~m)), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_47",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!q)* log((~!d)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!m))^(~!r))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~r), (~m), (~n), (~q), (~x)) &&
+    (
+        ext_isinteger(((~q) + 1)/(~m)) ||
+        isrational((~m)) &&
+        isrational((~q))
+    ) &&
+    !eq((~q), -1) ?
+let
+    u = ∫(((~g)*(~x))^(~q)*log((~d)*((~e) + (~f)*(~x)^(~m))^(~r)), (~x))
+    
+    dist(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))), u, (~x)) - (~b)*(~n)*∫(dist(1⨸(~x), u, (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+("3_1_5_48",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!q)* log((~!d)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!m)))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~q), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    isrational((~m)) &&
+    isrational((~q)) &&
+    !eq((~q), -1) &&
+    (
+        eq((~p), 1) ||
+        isfraction((~m)) &&
+        ext_isinteger(((~q) + 1)/(~m)) ||
+        igt((~q), 0) &&
+        ext_isinteger(((~q) + 1)/(~m)) &&
+        eq((~d)*(~e), 1)
+    ) ?
+let
+    u = ∫(((~g)*(~x))^(~q)*log((~d)*((~e) + (~f)*(~x)^(~m))), (~x))
+    
+    dist(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), u, (~x)) - (~b)*(~n)*(~p)*∫(dist(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(~x), u, (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+("3_1_5_49",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!q)* log((~!d)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!m))^(~!r))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~r), (~m), (~n), (~q), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    isrational((~m)) &&
+    isrational((~q)) ?
+let
+    u = ∫(((~g)*(~x))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x))
+    
+    dist(log((~d)*((~e) + (~f)*(~x)^(~m))^(~r)), u, (~x)) - (~f)*(~m)*(~r)*∫(dist((~x)^((~m) - 1)⨸((~e) + (~f)*(~x)^(~m)), u, (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+# ("3_1_5_50",
+# @rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!q)* log((~!d)*((~e) + (~!f)*(~x)^(~!m))^(~!r))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~r), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~g)*(~x))^(~q)*log((~d)*((~e) + (~f)*(~x)^(~m))^(~r))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("3_1_5_51",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!q)*log((~!d)*(~u)^(~!r))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~g), (~r), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isbinomial((~u), (~x)) &&
+    !(binomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(((~g)*(~x))^(~q)*log((~d)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~r))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_52",
+@rule ∫(PolyLog.reli((~k), (~!e)*(~x)^(~!q))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~e), (~n), (~q), (~x)) &&
+    igt((~k), 0) ?
+-(~b)*(~n)*(~x)*PolyLog.reli((~k), (~e)*(~x)^(~q)) + (~x)*PolyLog.reli((~k), (~e)*(~x)^(~q))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))) + (~b)*(~n)*(~q)*∫(PolyLog.reli((~k) - 1, (~e)*(~x)^(~q)), (~x)) - (~q)*∫(PolyLog.reli((~k) - 1, (~e)*(~x)^(~q))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+# ("3_1_5_53",
+# @rule ∫(PolyLog.reli((~k), (~!e)*(~x)^(~!q))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~e), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+# Unintegrable[PolyLog.reli((~k), (~e)*(~x)^(~q))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("3_1_5_54",
+@rule ∫(PolyLog.reli((~k), (~!e)*(~x)^(~!q))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~e), (~k), (~n), (~q), (~x)) &&
+    gt((~p), 0) ?
+PolyLog.reli((~k) + 1, (~e)*(~x)^(~q))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸(~q) - (~b)*(~n)*(~p)⨸(~q)*∫(PolyLog.reli((~k) + 1, (~e)*(~x)^(~q))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_55",
+@rule ∫(PolyLog.reli((~k), (~!e)*(~x)^(~!q))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~e), (~k), (~n), (~q), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) ?
+PolyLog.reli((~k), (~e)*(~x)^(~q))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) - (~q)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(PolyLog.reli((~k) - 1, (~e)*(~x)^(~q))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) + 1)⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_1_5_56",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*PolyLog.reli((~k), (~!e)*(~x)^(~!q))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~q), (~x)) &&
+    igt((~k), 0) ?
+-(~b)*(~n)*((~d)*(~x))^((~m) + 1)*PolyLog.reli((~k), (~e)*(~x)^(~q))⨸((~d)*((~m) + 1)^2) + ((~d)*(~x))^((~m) + 1)* PolyLog.reli((~k), (~e)*(~x)^(~q))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))⨸((~d)*((~m) + 1)) + (~b)*(~n)*(~q)⨸((~m) + 1)^2*∫(((~d)*(~x))^(~m)*PolyLog.reli((~k) - 1, (~e)*(~x)^(~q)), (~x)) - (~q)⨸((~m) + 1)* ∫(((~d)*(~x))^(~m)*PolyLog.reli((~k) - 1, (~e)*(~x)^(~q))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+# ("3_1_5_57",
+# @rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)* PolyLog.reli((~k), (~!e)*(~x)^(~!q))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d)*(~x))^(~m)*PolyLog.reli((~k), (~e)*(~x)^(~q))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("3_1_5_58",
+@rule ∫((~!Px)*(~F)((~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    in( (~F), [asin, acos, asinh, acosh]) ?
+let
+    u = ∫((~Px)*(~F)((~d)*((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x))
+    
+    dist(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))), u, (~x)) - (~b)*(~n)*∫(dist(1⨸(~x), u, (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+("3_1_5_59",
+@rule ∫((~!Px)*(~F)((~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    in( (~F), [atan, acot, atanh, acoth]) ?
+let
+    u = ∫((~Px)*(~F)((~d)*((~e) + (~f)*(~x))), (~x))
+    
+    dist(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))), u, (~x)) - (~b)*(~n)*∫(dist(1⨸(~x), u, (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.2/3.2.1 (f+g x)^m (A+B log(e ((a+b x) over (c+d x))^n))^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.2/3.2.1 (f+g x)^m (A+B log(e ((a+b x) over (c+d x))^n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..2b98ab14
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.2/3.2.1 (f+g x)^m (A+B log(e ((a+b x) over (c+d x))^n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,209 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 3.2.1 (f+g x)^m (A+B log(e ((a+b x) over (c+d x))^n))^p *)
+("3_2_1_1",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~p), 0) ?
+((~a) + (~b)*(~x))*((~A) + (~B)*log((~e)*(((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)))^(~p)⨸(~b) - (~B)*(~n)*(~p)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b)* ∫(((~A) + (~B)*log((~e)*(((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)))^((~p) - 1)⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_1_2",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~mn)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~p), 0) ?
+((~a) + (~b)*(~x))*((~A) + (~B)*log((~e)*((~a) + (~b)*(~x))^(~n)⨸((~c) + (~d)*(~x))^(~n)))^(~p)⨸(~b) - (~B)*(~n)*(~p)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b)* ∫(((~A) + (~B)*log((~e)*((~a) + (~b)*(~x))^(~n)⨸((~c) + (~d)*(~x))^(~n)))^((~p) - 1)⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(A_.+B_.*Log[e_.*((a_.+b_.*x_)^n1_.*(c_.+d_.*x_)^n2_)^n_.])^p_. ,x_Symbol] := (a+b*x)*(A+B*Log[e*((a+b*x)^n1/(c+d*x)^n1)^n])^p/b - B*n*p*(b*c-a*d)/b*Int[(A+B*Log[e*((a+b*x)^n1/(c+d*x)^n1)^n])^(p-1)/( c+d*x),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,A,B,n},x] && EqQ[n1+n2,0] && GtQ[n1,0] && (EqQ[n1,1]  || EqQ[n,1]) && NeQ[b*c-a*d,0] && IGtQ[p,0] *)
+# ("3_2_1_3",
+# @rule ∫(((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~A) + (~B)*log((~e)*(((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+# ("3_2_1_4",
+# @rule ∫(((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~mn)))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     eq((~n) + (~mn), 0) ?
+# Unintegrable[((~A) + (~B)*log((~e)*((~a) + (~b)*(~x))^(~n)⨸((~c) + (~d)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("3_2_1_5",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~u)/(~v))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~e), (~A), (~B), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~v), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~v), (~x))) ?
+∫(((~A) + (~B)*log((~e)*(expand_to_sum((~u), (~x))⨸expand_to_sum((~v), (~x)))^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_1_6",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(~u)^(~!n)*(~v)^(~mn)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~e), (~A), (~B), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    linear((~u), (~v), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~v), (~x))) ?
+∫(((~A) + (~B)*log((~e)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~n)⨸expand_to_sum((~v), (~x))^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_1_7",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n)))/((~!f) + (~!g)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~b)*(~f) - (~a)*(~g), 0) ?
+-log(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~d)*((~a) + (~b)*(~x))))*((~A) + (~B)*log((~e)*(((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)))⨸(~g) + (~B)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~g)* ∫(log(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~d)*((~a) + (~b)*(~x))))⨸(((~a) + (~b)*(~x))*((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_1_8",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~mn)))/((~!f) + (~!g)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~b)*(~f) - (~a)*(~g), 0) ?
+-log(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~d)*((~a) + (~b)*(~x))))*((~A) + (~B)*log((~e)*((~a) + (~b)*(~x))^(~n)⨸((~c) + (~d)*(~x))^(~n)))⨸(~g) + (~B)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~g)* ∫(log(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~d)*((~a) + (~b)*(~x))))⨸(((~a) + (~b)*(~x))*((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_1_9",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n)))/((~!f) + (~!g)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)*(~f) - (~c)*(~g), 0) ?
+-log(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~b)*((~c) + (~d)*(~x))))*((~A) + (~B)*log((~e)*(((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)))⨸(~g) + (~B)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~g)* ∫(log(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~b)*((~c) + (~d)*(~x))))⨸(((~a) + (~b)*(~x))*((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_1_10",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~mn)))/((~!f) + (~!g)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)*(~f) - (~c)*(~g), 0) ?
+-log(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~b)*((~c) + (~d)*(~x))))*((~A) + (~B)*log((~e)*((~a) + (~b)*(~x))^(~n)⨸((~c) + (~d)*(~x))^(~n)))⨸(~g) + (~B)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~g)* ∫(log(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~b)*((~c) + (~d)*(~x))))⨸(((~a) + (~b)*(~x))*((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_1_11",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n)))/((~!f) + (~!g)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+log((~f) + (~g)*(~x))*((~A) + (~B)*log((~e)*(((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)))⨸(~g) - (~b)*(~B)*(~n)⨸(~g)*∫(log((~f) + (~g)*(~x))⨸((~a) + (~b)*(~x)), (~x)) + (~B)*(~d)*(~n)⨸(~g)*∫(log((~f) + (~g)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_1_12",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~mn)))/((~!f) + (~!g)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+log((~f) + (~g)*(~x))*((~A) + (~B)*log((~e)*((~a) + (~b)*(~x))^(~n)⨸((~c) + (~d)*(~x))^(~n)))⨸(~g) - (~b)*(~B)*(~n)⨸(~g)*∫(log((~f) + (~g)*(~x))⨸((~a) + (~b)*(~x)), (~x)) + (~B)*(~d)*(~n)⨸(~g)*∫(log((~f) + (~g)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_1_13",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    !eq((~m), -2) ?
+((~f) + (~g)*(~x))^((~m) + 1)*((~A) + (~B)*log((~e)*(((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)))⨸((~g)*((~m) + 1)) - (~B)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~g)*((~m) + 1))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^((~m) + 1)⨸(((~a) + (~b)*(~x))*((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_1_14",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~mn))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    !(
+        eq((~m), -2) &&
+        ext_isinteger((~n))
+    ) ?
+((~f) + (~g)*(~x))^((~m) + 1)*((~A) + (~B)*log((~e)*((~a) + (~b)*(~x))^(~n)⨸((~c) + (~d)*(~x))^(~n)))⨸((~g)*((~m) + 1)) - (~B)*(~n)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~g)*((~m) + 1))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^((~m) + 1)⨸(((~a) + (~b)*(~x))*((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_1_15",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~p)) &&
+    eq((~b)*(~f) - (~a)*(~g), 0) &&
+    (
+        gt((~p), 0) ||
+        lt((~m), -1)
+    ) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^((~m) + 1)*((~g)⨸(~b))^(~m)* int_and_subst((~x)^(~m)*((~A) + (~B)*log((~e)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~b) - (~d)*(~x))^((~m) + 2),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), "3_2_1_15") : nothing)
+
+("3_2_1_16",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~mn)))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~p)) &&
+    eq((~b)*(~f) - (~a)*(~g), 0) &&
+    (
+        gt((~p), 0) ||
+        lt((~m), -1)
+    ) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^((~m) + 1)*((~g)⨸(~b))^(~m)* int_and_subst((~x)^(~m)*((~A) + (~B)*log((~e)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~b) - (~d)*(~x))^((~m) + 2),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), "3_2_1_16") : nothing)
+
+("3_2_1_17",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~p)) &&
+    eq((~d)*(~f) - (~c)*(~g), 0) &&
+    (
+        gt((~p), 0) ||
+        lt((~m), -1)
+    ) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^((~m) + 1)*((~g)⨸(~d))^(~m)* int_and_subst(((~A) + (~B)*log((~e)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~b) - (~d)*(~x))^((~m) + 2),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), "3_2_1_17") : nothing)
+
+("3_2_1_18",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~mn)))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~p)) &&
+    eq((~d)*(~f) - (~c)*(~g), 0) &&
+    (
+        gt((~p), 0) ||
+        lt((~m), -1)
+    ) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^((~m) + 1)*((~g)⨸(~d))^(~m)* int_and_subst(((~A) + (~B)*log((~e)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~b) - (~d)*(~x))^((~m) + 2),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), "3_2_1_18") : nothing)
+
+("3_2_1_19",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* int_and_subst(((~b)*(~f) - (~a)*(~g) - ((~d)*(~f) - (~c)*(~g))*(~x))^ (~m)*((~A) + (~B)*log((~e)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~b) - (~d)*(~x))^((~m) + 2),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), "3_2_1_19") : nothing)
+
+("3_2_1_20",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~mn)))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* int_and_subst(((~b)*(~f) - (~a)*(~g) - ((~d)*(~f) - (~c)*(~g))*(~x))^ (~m)*((~A) + (~B)*log((~e)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~b) - (~d)*(~x))^((~m) + 2),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), "3_2_1_20") : nothing)
+
+# ("3_2_1_21",
+# @rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*((~A) + (~B)*log((~e)*(((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+# ("3_2_1_22",
+# @rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~mn)))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     eq((~n) + (~mn), 0) &&
+#     ext_isinteger((~n)) ?
+# Unintegrable[((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*((~A) + (~B)*log((~e)*((~a) + (~b)*(~x))^(~n)⨸((~c) + (~d)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("3_2_1_23",
+@rule ∫((~w)^(~!m)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~u)/(~v))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~e), (~A), (~B), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~v), (~w), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~v), (~w), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~w), (~x))^ (~m)*((~A) + (~B)*log((~e)*(expand_to_sum((~u), (~x))⨸expand_to_sum((~v), (~x)))^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_1_24",
+@rule ∫((~w)^(~!m)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(~u)^(~!n)*(~v)^(~mn)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~e), (~A), (~B), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    linear((~u), (~v), (~w), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~v), (~w), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~w), (~x))^ (~m)*((~A) + (~B)*log((~e)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~n)⨸expand_to_sum((~v), (~x))^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.2/3.2.2 (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B log(e ((a+b x) over (c+d x))^n))^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.2/3.2.2 (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B log(e ((a+b x) over (c+d x))^n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..a489ee09
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.2/3.2.2 (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B log(e ((a+b x) over (c+d x))^n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,179 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 3.2.2 (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B log(e ((a+b x) over (c+d x))^n))^p *)
+("3_2_2_1",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^ (~!m)*((~!h) + (~!i)*(~x))*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~A), (~B), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~b)*(~f) - (~a)*(~g), 0) &&
+    eq((~d)*(~h) - (~c)*(~i), 0) &&
+    igt((~m), -2) ?
+((~f) + (~g)*(~x))^((~m) + 1)*((~h) + (~i)*(~x))*((~A) + (~B)*log((~e)*(((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)))⨸((~g)*((~m) + 2)) + (~i)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~b)*(~d)*((~m) + 2))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*((~A) - (~B)*(~n) + (~B)*log((~e)*(((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_2_2",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^ (~!m)*((~!h) + (~!i)*(~x))*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~mn))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~A), (~B), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~b)*(~f) - (~a)*(~g), 0) &&
+    eq((~d)*(~h) - (~c)*(~i), 0) &&
+    igt((~m), -2) ?
+((~f) + (~g)*(~x))^((~m) + 1)*((~h) + (~i)*(~x))*((~A) + (~B)*log((~e)*((~a) + (~b)*(~x))^(~n)⨸((~c) + (~d)*(~x))^(~n)))⨸((~g)*((~m) + 2)) + (~i)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~b)*(~d)*((~m) + 2))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*((~A) - (~B)*(~n) + (~B)*log((~e)*((~a) + (~b)*(~x))^(~n)⨸((~c) + (~d)*(~x))^(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_2_3",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~!h) + (~!i)*(~x))^ (~!q)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~A), (~B), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~b)*(~f) - (~a)*(~g), 0) &&
+    eq((~d)*(~h) - (~c)*(~i), 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~q)) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^((~m) + (~q) + 1)*((~g)⨸(~b))^(~m)*((~i)⨸(~d))^(~q)* int_and_subst((~x)^(~m)*((~A) + (~B)*log((~e)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~b) - (~d)*(~x))^((~m) + (~q) + 2),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), "3_2_2_3") : nothing)
+
+("3_2_2_4",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~!h) + (~!i)*(~x))^ (~!q)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~mn)))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~A), (~B), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~b)*(~f) - (~a)*(~g), 0) &&
+    eq((~d)*(~h) - (~c)*(~i), 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~q)) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^((~m) + (~q) + 1)*((~g)⨸(~b))^(~m)*((~i)⨸(~d))^(~q)* int_and_subst((~x)^(~m)*((~A) + (~B)*log((~e)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~b) - (~d)*(~x))^((~m) + (~q) + 2),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), "3_2_2_4") : nothing)
+
+("3_2_2_5",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~!h) + (~!i)*(~x))^ (~!q)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~A), (~B), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~b)*(~f) - (~a)*(~g), 0) &&
+    eq((~d)*(~h) - (~c)*(~i), 0) &&
+    eq((~m) + (~q) + 2, 0) ?
+(~d)^2*((~g)*((~a) + (~b)*(~x))⨸(~b))^ (~m)⨸((~i)^2*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~i)*((~c) + (~d)*(~x))⨸(~d))^(~m)*(((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))^(~m))* int_and_subst((~x)^(~m)*((~A) + (~B)*log((~e)*(~x)^(~n)))^(~p),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), "3_2_2_5") : nothing)
+
+("3_2_2_6",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~!h) + (~!i)*(~x))^ (~!q)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~mn)))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~A), (~B), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~b)*(~f) - (~a)*(~g), 0) &&
+    eq((~d)*(~h) - (~c)*(~i), 0) &&
+    eq((~m) + (~q) + 2, 0) ?
+(~d)^2*((~g)*((~a) + (~b)*(~x))⨸(~b))^ (~m)⨸((~i)^2*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~i)*((~c) + (~d)*(~x))⨸(~d))^(~m)*(((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))^(~m))* int_and_subst((~x)^(~m)*((~A) + (~B)*log((~e)*(~x)^(~n)))^(~p),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), "3_2_2_6") : nothing)
+
+#(* Int[(f_.+g_.*x_)^m_.*(h_.+i_.*x_)^q_.*(A_.+B_.*Log[e_.*(a_.+b_.*x_) ^n_.*(c_.+d_.*x_)^mn_])^p_.,x_Symbol] := b*d*(f+g*x)^(m+1)/(g*i*(b*c-a*d)*(h+i*x)^(m+1)*((a+b*x)/(c+d*x))^(m+ 1))* Subst[Int[x^m*(A+B*Log[e*x^n])^p,x],x,(a+b*x)/(c+d*x)] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,g,h,i,A,B,m,n,p,q},x] && EqQ[n+mn,0] &&  NeQ[b*c-a*d,0] && EqQ[b*f-a*g,0] && EqQ[d*h-c*i,0] && EqQ[m+q+2,0] *)
+("3_2_2_7",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~!h) + (~!i)*(~x))^ (~!q)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~q)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    eq((~d)*(~h) - (~c)*(~i), 0) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^((~q) + 1)*((~i)⨸(~d))^(~q)* int_and_subst(((~b)*(~f) - (~a)*(~g) - ((~d)*(~f) - (~c)*(~g))*(~x))^ (~m)*((~A) + (~B)*log((~e)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~b) - (~d)*(~x))^((~m) + (~q) + 2),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), "3_2_2_7") : nothing)
+
+("3_2_2_8",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~!h) + (~!i)*(~x))^ (~!q)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~mn)))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~q)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    eq((~d)*(~h) - (~c)*(~i), 0) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^((~q) + 1)*((~i)⨸(~d))^(~q)* int_and_subst(((~b)*(~f) - (~a)*(~g) - ((~d)*(~f) - (~c)*(~g))*(~x))^ (~m)*((~A) + (~B)*log((~e)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~b) - (~d)*(~x))^((~m) + (~q) + 2),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), "3_2_2_8") : nothing)
+
+("3_2_2_9",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~!h) + (~!i)*(~x))^ (~!q)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~q)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* int_and_subst(((~b)*(~f) - (~a)*(~g) - ((~d)*(~f) - (~c)*(~g))*(~x))^ (~m)*((~b)*(~h) - (~a)*(~i) - ((~d)*(~h) - (~c)*(~i))*(~x))^ (~q)*((~A) + (~B)*log((~e)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~b) - (~d)*(~x))^((~m) + (~q) + 2),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), "3_2_2_9") : nothing)
+
+("3_2_2_10",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~!h) + (~!i)*(~x))^ (~!q)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~mn)))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~q)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* int_and_subst(((~b)*(~f) - (~a)*(~g) - ((~d)*(~f) - (~c)*(~g))*(~x))^ (~m)*((~b)*(~h) - (~a)*(~i) - ((~d)*(~h) - (~c)*(~i))*(~x))^ (~q)*((~A) + (~B)*log((~e)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~b) - (~d)*(~x))^((~m) + (~q) + 2),  (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), "3_2_2_10") : nothing)
+
+# ("3_2_2_11",
+# @rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~!h) + (~!i)*(~x))^ (~!q)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~A), (~B), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*((~h) + (~i)*(~x))^ (~q)*((~A) + (~B)*log((~e)*(((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+# ("3_2_2_12",
+# @rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~!h) + (~!i)*(~x))^ (~!q)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~mn)))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~A), (~B), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+#     eq((~n) + (~mn), 0) &&
+#     ext_isinteger((~n)) ?
+# Unintegrable[((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*((~h) + (~i)*(~x))^ (~q)*((~A) + (~B)*log((~e)*((~a) + (~b)*(~x))^(~n)⨸((~c) + (~d)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("3_2_2_13",
+@rule ∫((~w)^(~!m)*(~y)^(~!q)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~u)/(~v))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~e), (~A), (~B), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    linear((~u), (~v), (~w), (~y), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~v), (~w), (~y), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~w), (~x))^(~m)* expand_to_sum((~y), (~x))^ (~q)*((~A) + (~B)*log((~e)*(expand_to_sum((~u), (~x))⨸expand_to_sum((~v), (~x)))^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_2_14",
+@rule ∫((~w)^(~!m)*(~y)^(~!q)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(~u)^(~!n)*(~v)^(~mn)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~e), (~A), (~B), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    linear((~u), (~v), (~w), (~y), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~v), (~w), (~y), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~w), (~x))^(~m)* expand_to_sum((~y), (~x))^ (~q)*((~A) + (~B)*log((~e)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~n)⨸expand_to_sum((~v), (~x))^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_2_15",
+@rule ∫((~!w)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(~u)^(~!n)*(~v)^(~mn)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~e), (~A), (~B), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    linear((~u), (~v), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+int_and_subst((~w)*((~A) + (~B)*log((~e)*((~u)⨸(~v))^(~n)))^(~p),  (~x), (~e)*((~u)⨸(~v))^(~n), (~e)*(~u)^(~n)⨸(~v)^(~n), "3_2_2_15") : nothing)
+
+#(* Int[w_.*(A_.+B_.*Log[e_.*(f_.*u_^q_.*v_^mq_)^n_.])^p_.,x_Symbol] := Subst[Int[w*(A+B*Log[e*f^n*(u/v)^(n*q)])^p,x],e*f^n*(u/v)^(n*q),e*( f*(u^q/v^q))^n] /; FreeQ[{e,f,A,B,n,p,q},x] && EqQ[q+mq,0] && LinearQ[{u,v},x] &&  Not[IntegerQ[n]] *)
+("3_2_2_16",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x) + (~!h)*(~x)^2)^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~A), (~B), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~d)*(~f) - (~a)*(~c)*(~h), 0) &&
+    eq((~b)*(~d)*(~g) - (~h)*((~b)*(~c) + (~a)*(~d)), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+(~h)^(~m)⨸((~b)^(~m)*(~d)^(~m))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~A) + (~B)*log((~e)*(((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)))^ (~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_2_17",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x) + (~!h)*(~x)^2)^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~mn)))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~A), (~B), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    eq((~b)*(~d)*(~f) - (~a)*(~c)*(~h), 0) &&
+    eq((~b)*(~d)*(~g) - (~h)*((~b)*(~c) + (~a)*(~d)), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+(~h)^(~m)⨸((~b)^(~m)*(~d)^(~m))* ∫(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~A) + (~B)*log((~e)*((~a) + (~b)*(~x))^(~n)⨸((~c) + (~d)*(~x))^(~n)))^ (~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_2_18",
+@rule ∫((~Px)^(~!m)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*(((~!a) + (~!b)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n)))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x), 2) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* int_and_subst(((~b)^2*ext_coeff((~Px),  (~x), 0) - (~a)*(~b)*ext_coeff((~Px), (~x), 1) + (~a)^2*ext_coeff((~Px), (~x), 2) - (2*(~b)*(~d)*ext_coeff((~Px), (~x), 0) - (~b)*(~c)*ext_coeff((~Px), (~x), 1) - (~a)*(~d)*ext_coeff((~Px), (~x), 1) + 2*(~a)*(~c)*ext_coeff((~Px), (~x), 2))* (~x) + ((~d)^2*ext_coeff((~Px), (~x), 0) - (~c)*(~d)*ext_coeff((~Px), (~x), 1) + (~c)^2*ext_coeff((~Px), (~x), 2))*(~x)^2)^(~m)*((~A) + (~B)*log((~e)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸ ((~b) - (~d)*(~x))^(2*((~m) + 1)), (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), "3_2_2_18") : nothing)
+
+("3_2_2_19",
+@rule ∫((~Px)^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*log((~!e)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~mn)))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x), 2) &&
+    eq((~n) + (~mn), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* int_and_subst(((~b)^2*ext_coeff((~Px),  (~x), 0) - (~a)*(~b)*ext_coeff((~Px), (~x), 1) + (~a)^2*ext_coeff((~Px), (~x), 2) - (2*(~b)*(~d)*ext_coeff((~Px), (~x), 0) - (~b)*(~c)*ext_coeff((~Px), (~x), 1) - (~a)*(~d)*ext_coeff((~Px), (~x), 1) + 2*(~a)*(~c)*ext_coeff((~Px), (~x), 2))* (~x) + ((~d)^2*ext_coeff((~Px), (~x), 0) - (~c)*(~d)*ext_coeff((~Px), (~x), 1) + (~c)^2*ext_coeff((~Px), (~x), 2))*(~x)^2)^(~m)*((~A) + (~B)*log((~e)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸ ((~b) - (~d)*(~x))^(2*((~m) + 1)), (~x), (~x), ((~a) + (~b)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), "3_2_2_19") : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.2/3.2.3 u log(e (f (a+b x)^p (c+d x)^q)^r)^s.jl b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.2/3.2.3 u log(e (f (a+b x)^p (c+d x)^q)^r)^s.jl
new file mode 100644
index 00000000..21851765
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.2/3.2.3 u log(e (f (a+b x)^p (c+d x)^q)^r)^s.jl	
@@ -0,0 +1,132 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 3.2.3 u log(e (f (a+b x)^p (c+d x)^q)^r)^s *)
+("3_2_3_1",
+@rule ∫((~!u)*log((~!e)*((~!f)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!q))^(~!r))^(~!s),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~q), (~r), (~s), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+∫((~u)*log((~e)*((~b)^(~p)*(~f)⨸(~d)^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^((~p) + (~q)))^(~r))^(~s), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_3_2",
+@rule ∫(log((~!e)*((~!f)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!q))^(~!r))^(~!s),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~q), (~r), (~s), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~p) + (~q), 0) &&
+    igt((~s), 0) &&
+    lt((~s), 4) ?
+((~a) + (~b)*(~x))*log((~e)*((~f)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q))^(~r))^(~s)⨸(~b) - (~r)*(~s)*((~p) + (~q))* ∫(log((~e)*((~f)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q))^(~r))^((~s) - 1), (~x)) + (~q)*(~r)*(~s)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b)* ∫(log((~e)*((~f)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q))^(~r))^((~s) - 1)⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_3_3",
+@rule ∫(log((~!e)*((~!f)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!q))^(~!r))/((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+log((~g) + (~h)*(~x))*log((~e)*((~f)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q))^(~r))⨸(~h) - (~b)*(~p)*(~r)⨸(~h)*∫(log((~g) + (~h)*(~x))⨸((~a) + (~b)*(~x)), (~x)) - (~d)*(~q)*(~r)⨸(~h)*∫(log((~g) + (~h)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_3_4",
+@rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)* log((~!e)*((~!f)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!q))^(~!r)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~g) + (~h)*(~x))^((~m) + 1)* log((~e)*((~f)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q))^(~r))⨸((~h)*((~m) + 1)) - (~b)*(~p)*(~r)⨸((~h)*((~m) + 1))*∫(((~g) + (~h)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~a) + (~b)*(~x)), (~x)) - (~d)*(~q)*(~r)⨸((~h)*((~m) + 1))*∫(((~g) + (~h)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_3_5",
+@rule ∫(log((~!e)*((~!f)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!q))^(~!r))^2/((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~b)*(~g) - (~a)*(~h), 0) ?
+∫((log(((~a) + (~b)*(~x))^((~p)*(~r))) + log(((~c) + (~d)*(~x))^((~q)*(~r))))^2⨸((~g) + (~h)*(~x)), (~x)) + (log((~e)*((~f)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q))^(~r)) - log(((~a) + (~b)*(~x))^((~p)*(~r))) - log(((~c) + (~d)*(~x))^((~q)*(~r))))* (2*∫(log(((~c) + (~d)*(~x))^((~q)*(~r)))⨸((~g) + (~h)*(~x)), (~x)) + ∫((log(((~a) + (~b)*(~x))^((~p)*(~r))) - log(((~c) + (~d)*(~x))^((~q)*(~r))) + log((~e)*((~f)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q))^(~r)))⨸((~g) + (~h)*(~x)), (~x))) : nothing)
+
+#(* Int[Log[e_.*(f_.*(a_.+b_.*x_)^p_.*(c_.+d_.*x_)^q_.)^r_.]^2/(g_.+h_. *x_),x_Symbol] := Int[(Log[(a+b*x)^(p*r)]+Log[(c+d*x)^(q*r)])^2/(g+h*x),x] + (Log[e*(f*(a+b*x)^p*(c+d*x)^q)^r]-Log[(a+b*x)^(p*r)]-Log[(c+d*x)^(q* r)])* Int[(Log[(a+b*x)^(p*r)]+Log[(c+d*x)^(q*r)]+Log[e*(f*(a+b*x)^p*(c+ d*x)^q)^r])/(g+h*x),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,g,h,p,q,r},x] && NeQ[b*c-a*d,0] && EqQ[b*g-a*h,0] *)
+("3_2_3_6",
+@rule ∫(log((~!e)*((~!f)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!q))^(~!r))^2/((~!g) + (~!h)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+log((~g) + (~h)*(~x))*log((~e)*((~f)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q))^(~r))^2⨸(~h) - 2*(~b)*(~p)*(~r)⨸(~h)* ∫(log((~g) + (~h)*(~x))*log((~e)*((~f)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q))^(~r))⨸((~a) + (~b)*(~x)), (~x)) - 2*(~d)*(~q)*(~r)⨸(~h)* ∫(log((~g) + (~h)*(~x))*log((~e)*((~f)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q))^(~r))⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_3_7",
+@rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)* log((~!e)*((~!f)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!q))^(~!r))^(~s),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~p), (~q), (~r), (~s), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~s), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~g) + (~h)*(~x))^((~m) + 1)* log((~e)*((~f)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q))^(~r))^(~s)⨸((~h)*((~m) + 1)) - (~b)*(~p)*(~r)*(~s)⨸((~h)*((~m) + 1))* ∫(((~g) + (~h)*(~x))^((~m) + 1)* log((~e)*((~f)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q))^(~r))^((~s) - 1)⨸((~a) + (~b)*(~x)), (~x)) - (~d)*(~q)*(~r)*(~s)⨸((~h)*((~m) + 1))* ∫(((~g) + (~h)*(~x))^((~m) + 1)* log((~e)*((~f)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q))^(~r))^((~s) - 1)⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_3_8",
+@rule ∫(((~!s) + (~!t)*log((~!i)*((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!n)))^(~!m)* log((~!e)*((~!f)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!q))^(~!r))/((~!j) + (~!k)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~j), (~k), (~s), (~t), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~h)*(~j) - (~g)*(~k), 0) &&
+    igt((~m), 0) ?
+((~s) + (~t)*log((~i)*((~g) + (~h)*(~x))^(~n)))^((~m) + 1)* log((~e)*((~f)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q))^(~r))⨸((~k)*(~n)*(~t)*((~m) + 1)) - (~b)*(~p)*(~r)⨸((~k)*(~n)*(~t)*((~m) + 1))* ∫(((~s) + (~t)*log((~i)*((~g) + (~h)*(~x))^(~n)))^((~m) + 1)⨸((~a) + (~b)*(~x)), (~x)) - (~d)*(~q)*(~r)⨸((~k)*(~n)*(~t)*((~m) + 1))* ∫(((~s) + (~t)*log((~i)*((~g) + (~h)*(~x))^(~n)))^((~m) + 1)⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_3_9",
+@rule ∫(((~!s) + (~!t)*log((~!i)*((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!n)))* log((~!e)*((~!f)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!q))^(~!r))/((~!j) + (~!k)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~j), (~k), (~s), (~t), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+(log((~e)*((~f)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q))^(~r)) - log(((~a) + (~b)*(~x))^((~p)*(~r))) - log(((~c) + (~d)*(~x))^((~q)*(~r))))* ∫(((~s) + (~t)*log((~i)*((~g) + (~h)*(~x))^(~n)))⨸((~j) + (~k)*(~x)), (~x)) + ∫((log(((~a) + (~b)*(~x))^((~p)*(~r)))*((~s) + (~t)*log((~i)*((~g) + (~h)*(~x))^(~n))))⨸((~j) + (~k)*(~x)), (~x)) + ∫((log(((~c) + (~d)*(~x))^((~q)*(~r)))*((~s) + (~t)*log((~i)*((~g) + (~h)*(~x))^(~n))))⨸((~j) + (~k)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("3_2_3_10",
+# @rule ∫(((~!s) + (~!t)*log((~!i)*((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!n)))^(~!m)* log((~!e)*((~!f)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!q))^(~!r))^ (~!u)/((~!j) + (~!k)*(~x)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~j), (~k), (~s), (~t), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~u), (~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+# Unintegrable[((~s) + (~t)*log((~i)*((~g) + (~h)*(~x))^(~n)))^(~m)* log((~e)*((~f)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q))^(~r))^(~u)⨸((~j) + (~k)*(~x)), (~x)] : nothing)
+
+# Nested conditions found, not translating rule:
+#Int[u_*Log[v_]* Log[e_.*(f_.*(a_. + b_.*x_)^p_.*(c_. + d_.*x_)^q_.)^r_.]^s_., x_Symbol] := With[{g = Simplify[(v - 1)*(c + d*x)/(a + b*x)], h = Simplify[u*(a + b*x)*(c + d*x)]}, -h*PolyLog[2, 1 - v]* Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^s/(b*c - a*d) + h*p*r*s* Int[PolyLog[2, 1 - v]* Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^(s - 1)/((a + b*x)*(c + d*x)), x] /; FreeQ[{g, h}, x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q, r, s}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[s, 0] && EqQ[p + q, 0]
+
+# Nested conditions found, not translating rule:
+#Int[v_*Log[i_.*(j_.*(g_. + h_.*x_)^t_.)^u_.]* Log[e_.*(f_.*(a_. + b_.*x_)^p_.*(c_. + d_.*x_)^q_.)^r_.]^s_., x_Symbol] := With[{k = Simplify[v*(a + b*x)*(c + d*x)]}, k*Log[i*(j*(g + h*x)^t)^u]* Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^(s + 1)/(p* r*(s + 1)*(b*c - a*d)) - k*h*t*u/(p*r*(s + 1)*(b*c - a*d))* Int[Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^(s + 1)/(g + h*x), x] /; FreeQ[k, x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, p, q, r, s, t, u}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[p + q, 0] && NeQ[s, -1]
+
+# Nested conditions found, not translating rule:
+#Int[u_*PolyLog[n_, v_]* Log[e_.*(f_.*(a_. + b_.*x_)^p_.*(c_. + d_.*x_)^q_.)^r_.]^s_., x_Symbol] := With[{g = Simplify[v*(c + d*x)/(a + b*x)], h = Simplify[u*(a + b*x)*(c + d*x)]}, h*PolyLog[n + 1, v]* Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^s/(b*c - a*d) - h*p*r*s* Int[PolyLog[n + 1, v]* Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^(s - 1)/((a + b*x)*(c + d*x)), x] /; FreeQ[{g, h}, x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p, q, r, s}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[s, 0] && EqQ[p + q, 0]
+
+("3_2_3_14",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*sqrt((~!d) + (~!e)*(~x))/sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))))^ (~!n)/((~!A) + (~!B)*(~x) + (~!C)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~B), (~C), (~n), (~x)) &&
+    eq((~C)*(~d)*(~f) - (~A)*(~e)*(~g), 0) &&
+    eq((~B)*(~e)*(~g) - (~C)*((~e)*(~f) + (~d)*(~g)), 0) ?
+2*(~e)*(~g)⨸((~C)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))* int_and_subst(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)))^(~n)⨸(~x),  (~x), (~x), sqrt((~d) + (~e)*(~x))⨸sqrt((~f) + (~g)*(~x)), "3_2_3_14") : nothing)
+
+("3_2_3_15",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*sqrt((~!d) + (~!e)*(~x))/sqrt((~!f) + (~!g)*(~x))))^ (~!n)/((~!A) + (~!C)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~A), (~C), (~n), (~x)) &&
+    eq((~C)*(~d)*(~f) - (~A)*(~e)*(~g), 0) &&
+    eq((~e)*(~f) + (~d)*(~g), 0) ?
+(~g)⨸((~C)*(~f))* int_and_subst(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)))^(~n)⨸(~x),  (~x), (~x), sqrt((~d) + (~e)*(~x))⨸sqrt((~f) + (~g)*(~x)), "3_2_3_15") : nothing)
+
+# Nested conditions found, not translating rule:
+#Int[RFx_.*Log[e_.*(f_.*(a_. + b_.*x_)^p_.*(c_. + d_.*x_)^q_.)^r_.], x_Symbol] := p*r*Int[RFx*Log[a + b*x], x] + q*r*Int[RFx*Log[c + d*x], x] - (p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])*Int[RFx, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q, r}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && Not[ MatchQ[RFx, u_.*(a + b*x)^m_.*(c + d*x)^n_. /; IntegersQ[m, n]]]
+
+#(* Int[RFx_*Log[e_.*(f_.*(a_.+b_.*x_)^p_.*(c_.+d_.*x_)^q_.)^r_.],x_ Symbol] := With[{u=IntHide[RFx,x]}, u*Log[e*(f*(a+b*x)^p*(c+d*x)^q)^r] - b*p*r*Int[u/(a+b*x),x] -  d*q*r*Int[u/(c+d*x),x] /; NonsumQ[u]] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,p,q,r},x] && RationalFunctionQ[RFx,x] &&  NeQ[b*c-a*d,0] *)
+# Nested conditions found, not translating rule:
+#Int[RFx_*Log[e_.*(f_.*(a_. + b_.*x_)^p_.*(c_. + d_.*x_)^q_.)^r_.]^s_., x_Symbol] := With[{u = ExpandIntegrand[Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^s, RFx, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q, r, s}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && IGtQ[s, 0]
+
+# ("3_2_3_18",
+# @rule ∫(RFx_*log((~!e)*((~!f)*((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!p)*((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!q))^(~!r))^(~!s),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~q), (~r), (~s), (~x)) &&
+#     RationalFunctionQ[RFx, (~x)] ?
+# Unintegrable[RFx*log((~e)*((~f)*((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~c) + (~d)*(~x))^(~q))^(~r))^(~s), (~x)] : nothing)
+
+("3_2_3_19",
+@rule ∫((~!u)*log((~!e)*((~!f)*(~v)^(~!p)*(~w)^(~!q))^(~!r))^(~!s),(~x)) =>
+    !contains_var((~e), (~f), (~p), (~q), (~r), (~s), (~x)) &&
+    linear((~v), (~w), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~v), (~w), (~x))) &&
+    algebraic_function((~u), (~x)) ?
+∫((~u)*log((~e)*((~f)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~p)*expand_to_sum((~w), (~x))^(~q))^(~r))^(~s), (~x)) : nothing)
+
+("3_2_3_20",
+@rule ∫((~!u)*log((~!e)*((~!f)*((~g) + (~v)/(~w)))^(~!r))^(~!s),(~x)) =>
+    !contains_var((~e), (~f), (~g), (~r), (~s), (~x)) &&
+    linear((~w), (~x)) &&
+    (
+        !contains_var((~v), (~x)) ||
+        linear((~v), (~x))
+    ) &&
+    algebraic_function((~u), (~x)) ?
+∫((~u)*log((~e)*((~f)*expand_to_sum((~v) + (~g)*(~w), (~x))⨸expand_to_sum((~w), (~x)))^(~r))^(~s), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[Log[g_.*(h_.*(a_.+b_.*x_)^p_.)^q_.]*Log[i_.*(j_.*(c_.+d_.*x_)^ r_.)^s_.]/(e_+f_.*x_),x_Symbol] := 1/f*Subst[Int[Log[g*(h*Simp[-(b*e-a*f)/f+b*x/f,x]^p)^q]*Log[i*(j* Simp[-(d*e-c*f)/f+d*x/f,x]^r)^s]/x,x],x,e+f*x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,p,q,r,s},x] *)
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.3 u (a+b log(c (d+e x)^n))^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.3 u (a+b log(c (d+e x)^n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..7fd86b64
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.3 u (a+b log(c (d+e x)^n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,468 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 3.3 u (a+b log(c (d+e x)^n))^p *)
+("3_3_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) ?
+1⨸(~e)*int_and_subst(((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p),  (~x), (~x), (~d) + (~e)*(~x), "3_3_1") : nothing)
+
+("3_3_2",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) ?
+1⨸(~e)*int_and_subst(((~f)*(~x)⨸(~d))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p),  (~x), (~x), (~d) + (~e)*(~x), "3_3_2") : nothing)
+
+("3_3_3",
+@rule ∫(log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!n)))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    eq((~c)*(~d), 1) ?
+-PolyLog.reli(2, -(~c)*(~e)*(~x)^(~n))⨸(~n) : nothing)
+
+("3_3_4",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt((~c)*(~d), 0) ?
+((~a) + (~b)*log((~c)*(~d)))*log((~x)) + (~b)*∫(log(1 + (~e)*(~x)⨸(~d))⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_5",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))))/((~!f) + (~!g)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~g) + (~c)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g)), 0) ?
+1⨸(~g)*int_and_subst(((~a) + (~b)*log(1 + (~c)*(~e)*(~x)⨸(~g)))⨸(~x),  (~x), (~x), (~f) + (~g)*(~x), "3_3_5") : nothing)
+
+("3_3_6",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))/((~!f) + (~!g)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) ?
+log((~e)*((~f) + (~g)*(~x))⨸((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))⨸(~g) - (~b)*(~e)*(~n)⨸(~g)*∫(log(((~e)*((~f) + (~g)*(~x)))⨸((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_7",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    !eq((~q), -1) ?
+((~f) + (~g)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))⨸((~g)*((~q) + 1)) - (~b)*(~e)*(~n)⨸((~g)*((~q) + 1))*∫(((~f) + (~g)*(~x))^((~q) + 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_8",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~p)/((~!f) + (~!g)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    igt((~p), 1) ?
+log((~e)*((~f) + (~g)*(~x))⨸((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p)⨸(~g) - (~b)*(~e)*(~n)*(~p)⨸(~g)* ∫(log(((~e)*((~f) + (~g)*(~x)))⨸((~e)*(~f) - (~d)*(~g)))*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^((~p) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_9",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~p)/((~!f) + (~!g)*(~x))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    gt((~p), 0) ?
+((~d) + (~e)*(~x))*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p)⨸(((~e)*(~f) - (~d)*(~g))*((~f) + (~g)*(~x))) - (~b)*(~e)*(~n)*(~p)⨸((~e)*(~f) - (~d)*(~g))* ∫(((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^((~p) - 1)⨸((~f) + (~g)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_10",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !eq((~q), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p), 2*(~q)) &&
+    (
+        !(igt((~q), 0)) ||
+        eq((~p), 2) &&
+        !eq((~q), 1)
+    ) ?
+((~f) + (~g)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p)⨸((~g)*((~q) + 1)) - (~b)*(~e)*(~n)*(~p)⨸((~g)*((~q) + 1))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^((~p) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_11",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!q)/((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    igt((~q), 0) ?
+∫(ext_expand(((~f) + (~g)*(~x))^(~q)⨸((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_12",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~q), 0) ?
+((~d) + (~e)*(~x))*((~f) + (~g)*(~x))^ (~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~e)*(~n)*((~p) + 1)) + (~q)*((~e)*(~f) - (~d)*(~g))⨸((~b)*(~e)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^((~q) - 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^((~p) + 1), (~x)) - ((~q) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_13",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    igt((~q), 0) ?
+∫(ext_expand(((~f) + (~g)*(~x))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_14",
+@rule ∫(log((~c)/((~d) + (~!e)*(~x)))/((~f) + (~!g)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~c), 2*(~d)) &&
+    eq((~e)^2*(~f) + (~d)^2*(~g), 0) ?
+-(~e)⨸(~g)*int_and_subst(log(2*(~d)*(~x))⨸(1 - 2*(~d)*(~x)),  (~x), (~x), 1⨸((~d) + (~e)*(~x)), "3_3_14") : nothing)
+
+("3_3_15",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~c)/((~d) + (~!e)*(~x))))/((~f) + (~!g)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~e)^2*(~f) + (~d)^2*(~g), 0) &&
+    gt((~c)/(2*(~d)), 0) ?
+((~a) + (~b)*log((~c)⨸(2*(~d))))*∫(1⨸((~f) + (~g)*(~x)^2), (~x)) + (~b)*∫(log(2*(~d)⨸((~d) + (~e)*(~x)))⨸((~f) + (~g)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_16",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))/sqrt((~f) + (~!g)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    gt((~f), 0) ?
+let
+    u = ∫(1⨸sqrt((~f) + (~g)*(~x)^2), (~x))
+    
+    u*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))) - (~b)*(~e)*(~n)*∫(ext_simplify(u⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+("3_3_17",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))/(sqrt((~f1) + (~!g1)*(~x))* sqrt((~f2) + (~!g2)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f1), (~g1), (~f2), (~g2), (~n), (~x)) &&
+    eq((~f2)*(~g1) + (~f1)*(~g2), 0) &&
+    gt((~f1), 0) &&
+    gt((~f2), 0) ?
+let
+    u = ∫(1⨸sqrt((~f1)*(~f2) + (~g1)*(~g2)*(~x)^2), (~x))
+    
+    u*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))) - (~b)*(~e)*(~n)*∫(ext_simplify(u⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+("3_3_18",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))/sqrt((~f) + (~!g)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    !(gt((~f), 0)) ?
+sqrt(1 + (~g)⨸(~f)*(~x)^2)⨸sqrt((~f) + (~g)*(~x)^2)* ∫(((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))⨸sqrt(1 + (~g)⨸(~f)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_19",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))/(sqrt((~f1) + (~!g1)*(~x))* sqrt((~f2) + (~!g2)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f1), (~g1), (~f2), (~g2), (~n), (~x)) &&
+    eq((~f2)*(~g1) + (~f1)*(~g2), 0) ?
+sqrt(1 + (~g1)*(~g2)⨸((~f1)*(~f2))*(~x)^2)⨸(sqrt((~f1) + (~g1)*(~x))*sqrt((~f2) + (~g2)*(~x)))* ∫(((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))⨸sqrt(1 + (~g1)*(~g2)⨸((~f1)*(~f2))*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_20",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x)^(~r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isfraction((~r)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+let
+    k = ext_den((~r))
+    
+    k*int_and_subst((~x)^(k - 1)*((~f) + (~g)*(~x)^(k*(~r)))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^k)^(~n)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸k), "3_3_20")
+end : nothing)
+
+("3_3_21",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x)^(~r))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~r), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ext_isinteger((~q)) &&
+    (
+        gt((~q), 0) ||
+        ext_isinteger((~r)) &&
+        !eq((~r), 1)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p), ((~f) + (~g)*(~x)^(~r))^(~q), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_22",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)))/((~f) + (~!g)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)*(~d), 1) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand(log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))), (~x)^(~m)⨸((~f) + (~g)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_23",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!q)*((~!h) + (~!i)*(~x))^ (~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    (
+        igt((~p), 0) ||
+        igt((~r), 0)
+    ) &&
+    ext_isinteger(2*(~r)) ?
+1⨸(~e)*int_and_subst(((~g)*(~x)⨸(~e))^(~q)*(((~e)*(~h) - (~d)*(~i))⨸(~e) + (~i)*(~x)⨸(~e))^(~r)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p),  (~x), (~x), (~d) + (~e)*(~x), "3_3_23") : nothing)
+
+("3_3_24",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~f) + (~g)/(~x))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    eq((~m), (~q)) &&
+    ext_isinteger((~q)) ?
+∫(((~g) + (~f)*(~x))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_25",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!f) + (~!g)*(~x)^(~!r))^ (~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~m), (~r) - 1) &&
+    !eq((~q), -1) &&
+    igt((~p), 0) ?
+((~f) + (~g)*(~x)^(~r))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p)⨸((~g)*(~r)*((~q) + 1)) - (~b)*(~e)*(~n)*(~p)⨸((~g)*(~r)*((~q) + 1))* ∫(((~f) + (~g)*(~x)^(~r))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^((~p) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_26",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~f) + (~!g)*(~x)^(~!r))^ (~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    ext_isinteger((~q)) &&
+    ext_isinteger((~r)) ?
+let
+    u = ∫((~x)^(~m)*((~f) + (~g)*(~x)^(~r))^(~q), (~x))
+    
+    !contains_inverse_function(u, (~x)) ?
+    dist(((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))), u, (~x)) - (~b)*(~e)*(~n)*∫(ext_simplify(u⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("3_3_27",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!f) + (~!g)*(~x)^(~r))^ (~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isfraction((~r)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+let
+    k = ext_den((~r))
+    
+    k*int_and_subst((~x)^(k*((~m) + 1) - 1)*((~f) + (~g)*(~x)^(k*(~r)))^ (~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^k)^(~n)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸k), "3_3_27")
+end : nothing)
+
+("3_3_28",
+@rule ∫(((~!h)*(~x))^(~!m)*((~f) + (~!g)*(~x)^(~!r))^ (~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    ext_isinteger((~q)) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^ (~p), ((~h)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x)^(~r))^(~q), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_29",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) ?
+∫(ext_expand((~Px)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_30",
+@rule ∫((~RF)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    rational_function((~RF), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+let
+    u = ext_expand(((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p), (~RF), (~x))
+    
+    issum(u) ?
+    ∫(u, (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+("3_3_31",
+@rule ∫((~RF)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    rational_function((~RF), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+let
+    u = ext_expand((~RF)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x))
+    
+    issum(u) ?
+    ∫(u, (~x)) : nothing
+end : nothing)
+
+# ("3_3_32",
+# @rule ∫((~AF)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     algebraic_function((~AF), (~x), True) ?
+# Unintegrable[(~AF)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("3_3_33",
+@rule ∫((~u)^(~!q)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~v)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isbinomial((~u), (~x)) &&
+    linear((~v), (~x)) &&
+    !(
+        binomial_without_simplify((~u), (~x)) &&
+        linear_without_simplify((~v), (~x))
+    ) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_34",
+@rule ∫(log((~!f)*(~x)^(~!m))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) ?
+-(~x)*((~m) - log((~f)*(~x)^(~m)))*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))) + (~b)*(~e)*(~m)*(~n)*∫((~x)⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) - (~b)*(~e)*(~n)*∫(((~x)*log((~f)*(~x)^(~m)))⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_35",
+@rule ∫(log((~!f)*(~x)^(~!m))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) ?
+let
+    u = ∫(((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x))
+    
+    dist(log((~f)*(~x)^(~m)), u, (~x)) - (~m)*∫(dist(1⨸(~x), u, (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+# ("3_3_36",
+# @rule ∫(log((~!f)*(~x)^(~!m))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[log((~f)*(~x)^(~m))*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("3_3_37",
+@rule ∫(log((~!f)*(~x)^(~!m))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) ?
+log((~f)*(~x)^(~m))^2*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))⨸(2*(~m)) - (~b)*(~e)*(~n)⨸(2*(~m))*∫(log((~f)*(~x)^(~m))^2⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_38",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!q)* log((~!f)*(~x)^(~!m))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~q), -1) ?
+-1⨸((~g)*((~q) + 1))*((~m)*((~g)*(~x))^((~q) + 1)⨸((~q) + 1) - ((~g)*(~x))^((~q) + 1)* log((~f)*(~x)^(~m)))*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))) + (~b)*(~e)*(~m)*(~n)⨸((~g)*((~q) + 1)^2)*∫(((~g)*(~x))^((~q) + 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) - (~b)*(~e)*(~n)⨸((~g)*((~q) + 1))*∫(((~g)*(~x))^((~q) + 1)*log((~f)*(~x)^(~m))⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_39",
+@rule ∫(log((~!f)*(~x)^(~!m))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+log((~f)*(~x)^(~m))^2*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p)⨸(2*(~m)) - (~b)*(~e)*(~n)*(~p)⨸(2*(~m))* ∫(log((~f)*(~x)^(~m))^2*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^((~p) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_40",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!q)* log((~!f)*(~x)^(~!m))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~q), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    igt((~q), 0) ?
+let
+    u = ∫(((~g)*(~x))^(~q)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x))
+    
+    dist(log((~f)*(~x)^(~m)), u, (~x)) - (~m)*∫(dist(1⨸(~x), u, (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+#(* Int[(g_.*x_)^q_.*Log[f_.*x_^m_.]*(a_.+b_.*Log[c_.*(d_+e_.*x_)^n_.]) ^p_,x_Symbol] := With[{u=IntHide[(a+b*Log[c*(d+e*x)^n])^p,x]}, Dist[(g*x)^q*Log[f*x^m],u,x] - g*m*Int[Dist[(g*x)^(q-1),u,x],x] -  g*q*Int[Dist[(g*x)^(q-1)*Log[f*x^m],u,x],x]] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,g,m,n,q},x] && IGtQ[p,1] *)
+# ("3_3_41",
+# @rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!q)* log((~!f)*(~x)^(~!m))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~g)*(~x))^(~q)*log((~f)*(~x)^(~m))*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("3_3_42",
+@rule ∫(log((~!f)*((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) ?
+1⨸(~e)*int_and_subst(log((~f)*((~g)*(~x)⨸(~d))^(~m))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p),  (~x), (~x), (~d) + (~e)*(~x), "3_3_42") : nothing)
+
+("3_3_43",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))*((~!f) + (~!g)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))*((~f) + (~g)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))) - (~e)*(~n)* ∫(((~x)*((~b)*(~f) + (~a)*(~g) + 2*(~b)*(~g)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))))⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_44",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^ (~!p)*((~!f) + (~!g)*log((~!h)*((~!i) + (~!j)*(~x))^(~!m))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~j), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p)*((~f) + (~g)*log((~h)*((~i) + (~j)*(~x))^(~m))) - (~g)*(~j)*(~m)*∫((~x)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p)⨸((~i) + (~j)*(~x)), (~x)) - (~b)*(~e)*(~n)*(~p)* ∫((~x)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^((~p) - 1)*((~f) + (~g)*log((~h)*((~i) + (~j)*(~x))^(~m)))⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("3_3_45",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^ (~!p)*((~!f) + (~!g)*log((~!h)*((~!i) + (~!j)*(~x))^(~!m)))^(~!q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~j), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^ (~p)*((~f) + (~g)*log((~h)*((~i) + (~j)*(~x))^(~m)))^(~q), (~x)] : nothing)
+
+("3_3_46",
+@rule ∫(((~!k) + (~!l)*(~x))^(~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^ (~!p)*((~!f) + (~!g)*log((~!h)*((~!i) + (~!j)*(~x))^(~!m))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~j), (~k), (~l), (~n), (~p), (~r), (~x)) &&
+    eq((~e)*(~k) - (~d)*(~l), 0) ?
+1⨸(~e)*int_and_subst(((~k)*(~x)⨸(~d))^(~r)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^ (~p)*((~f) + (~g)*log((~h)*(((~e)*(~i) - (~d)*(~j))⨸(~e) + (~j)*(~x)⨸(~e))^(~m))),  (~x), (~x), (~d) + (~e)*(~x), "3_3_46") : nothing)
+
+("3_3_47",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))*((~!f) + (~!g)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) ?
+log((~x))*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))*((~f) + (~g)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))) - (~e)*(~n)* ∫((log((~x))*((~b)*(~f) + (~a)*(~g) + 2*(~b)*(~g)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))))⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_48",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))*((~!f) + (~!g)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+(~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))*((~f) + (~g)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))⨸((~m) + 1) - (~e)*(~n)⨸((~m) + 1)* ∫(((~x)^((~m) + 1)*((~b)*(~f) + (~a)*(~g) + 2*(~b)*(~g)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))))⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_49",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))*((~!f) + (~!g)*log((~!h)*((~!i) + (~!j)*(~x))^(~!m)))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~j), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e)*(~i) - (~d)*(~j), 0) ?
+log((~x))*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))*((~f) + (~g)*log((~h)*((~i) + (~j)*(~x))^(~m))) - (~e)*(~g)*(~m)*∫(log((~x))*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) - (~b)*(~j)*(~n)*∫(log((~x))*((~f) + (~g)*log((~h)*((~i) + (~j)*(~x))^(~m)))⨸((~i) + (~j)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_50",
+@rule ∫(log((~a) + (~!b)*(~x))*log((~c) + (~!d)*(~x))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+log(-(~b)*(~x)⨸(~a))*log((~a) + (~b)*(~x))*log((~c) + (~d)*(~x)) - 1⨸2*(log(-(~b)*(~x)⨸(~a)) - log(-(~d)*(~x)⨸(~c)))*(log((~a) + (~b)*(~x)) + log((~a)*((~c) + (~d)*(~x))⨸((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))))^2 + 1⨸2*(log(-(~b)*(~x)⨸(~a)) - log(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(~x)⨸((~a)*((~c) + (~d)*(~x)))) + log(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~b)*((~c) + (~d)*(~x)))))* log((~a)*((~c) + (~d)*(~x))⨸((~c)*((~a) + (~b)*(~x))))^2 + (log((~c) + (~d)*(~x)) - log((~a)*((~c) + (~d)*(~x))⨸((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))))* PolyLog.reli(2, 1 + (~b)*(~x)⨸(~a)) + (log((~a) + (~b)*(~x)) + log((~a)*((~c) + (~d)*(~x))⨸((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))))* PolyLog.reli(2, 1 + (~d)*(~x)⨸(~c)) - log((~a)*((~c) + (~d)*(~x))⨸((~c)*((~a) + (~b)*(~x))))* PolyLog.reli(2, (~d)*((~a) + (~b)*(~x))⨸((~b)*((~c) + (~d)*(~x)))) + log((~a)*((~c) + (~d)*(~x))⨸((~c)*((~a) + (~b)*(~x))))* PolyLog.reli(2, (~c)*((~a) + (~b)*(~x))⨸((~a)*((~c) + (~d)*(~x)))) - PolyLog.reli(3, 1 + (~b)*(~x)⨸(~a)) - PolyLog.reli(3, 1 + (~d)*(~x)⨸(~c)) - PolyLog.reli(3, (~d)*((~a) + (~b)*(~x))⨸((~b)*((~c) + (~d)*(~x)))) + PolyLog.reli(3, (~c)*((~a) + (~b)*(~x))⨸((~a)*((~c) + (~d)*(~x)))) : nothing)
+
+("3_3_51",
+@rule ∫(log((~v))*log((~w))/(~x),(~x)) =>
+    linear((~v), (~w), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~v), (~w), (~x))) ?
+∫(log(expand_to_sum((~v), (~x)))*log(expand_to_sum((~w), (~x)))⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_52",
+@rule ∫(log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n))*log((~!h)*((~!i) + (~!j)*(~x))^(~!m))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~h), (~i), (~j), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~i) - (~d)*(~j), 0) &&
+    !eq((~i) + (~j)*(~x), (~h)*((~i) + (~j)*(~x))^(~m)) ?
+(~m)*∫(log((~i) + (~j)*(~x))*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))⨸(~x), (~x)) - ((~m)*log((~i) + (~j)*(~x)) - log((~h)*((~i) + (~j)*(~x))^(~m)))* ∫(log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_53",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))*((~f) + (~!g)*log((~!h)*((~!i) + (~!j)*(~x))^(~!m)))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~j), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~e)*(~i) - (~d)*(~j), 0) ?
+(~f)*∫(((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))⨸(~x), (~x)) + (~g)*∫(log((~h)*((~i) + (~j)*(~x))^(~m))*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_54",
+@rule ∫((~x)^(~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^ (~!p)*((~!f) + (~!g)*log((~!h)*((~!i) + (~!j)*(~x))^(~!m))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~j), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ext_isinteger((~r)) &&
+    (
+        eq((~p), 1) ||
+        gt((~r), 0)
+    ) &&
+    !eq((~r), -1) ?
+(~x)^((~r) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^ (~p)*((~f) + (~g)*log((~h)*((~i) + (~j)*(~x))^(~m)))⨸((~r) + 1) - (~g)*(~j)*(~m)⨸((~r) + 1)* ∫((~x)^((~r) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^(~p)⨸((~i) + (~j)*(~x)), (~x)) - (~b)*(~e)*(~n)*(~p)⨸((~r) + 1)* ∫((~x)^((~r) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^((~p) - 1)*((~f) + (~g)*log((~h)*((~i) + (~j)*(~x))^(~m)))⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_3_55",
+@rule ∫(((~k) + (~!l)*(~x))^ (~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))*((~!f) + (~!g)*log((~!h)*((~!i) + (~!j)*(~x))^(~!m))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~j), (~k), (~l), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~r)) ?
+1⨸(~l)*int_and_subst((~x)^(~r)*((~a) + (~b)*log((~c)*(-((~e)*(~k) - (~d)*(~l))⨸(~l) + (~e)*(~x)⨸(~l))^(~n)))*((~f) + (~g)*log((~h)*(-((~j)*(~k) - (~i)*(~l))⨸(~l) + (~j)*(~x)⨸(~l))^(~m))),  (~x), (~x), (~k) + (~l)*(~x), "3_3_55") : nothing)
+
+# ("3_3_56",
+# @rule ∫(((~!k) + (~!l)*(~x))^(~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^ (~!p)*((~!f) + (~!g)*log((~!h)*((~!i) + (~!j)*(~x))^(~!m)))^(~!q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~j), (~k), (~l), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~k) + (~l)*(~x))^(~r)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n)))^ (~p)*((~f) + (~g)*log((~h)*((~i) + (~j)*(~x))^(~m)))^(~q), (~x)] : nothing)
+
+("3_3_57",
+@rule ∫(PolyLog.reli((~k), (~h) + (~!i)*(~x))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n)))^ (~!p)/((~f) + (~!g)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~k), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e)*(~f) - (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~g)*(~h) - (~f)*(~i), 0) &&
+    igt((~p), 0) ?
+1⨸(~g)*int_and_subst(PolyLog.reli((~k),  (~h)*(~x)⨸(~d))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸(~x), (~x), (~x), (~d) + (~e)*(~x), "3_3_57") : nothing)
+
+("3_3_58",
+@rule ∫((~!Px)* (~F)((~!f)*((~!g) + (~!h)*(~x)))*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    in( (~F), [asin, acos, atan, acot, asinh, acosh, atanh, acoth]) ?
+let
+    u = ∫((~Px)*(~F)((~f)*((~g) + (~h)*(~x))), (~x))
+    
+    dist(((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~n))), u, (~x)) - (~b)*(~e)*(~n)*∫(ext_simplify(u⨸((~d) + (~e)*(~x)), (~x)), (~x))
+end : nothing)
+
+# Error in translation of the line:
+# Int[u_.*(a_. + b_.*Log[c_.*v_^n_.])^p_., x_Symbol] := Int[u*(a + b*Log[c*ExpandToSum[v, x]^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] && LinearQ[v, x] && Not[LinearMatchQ[v, x]] && Not[EqQ[n, 1] && MatchQ[c*v, e_.*(f_ + g_.*x) /; FreeQ[{e, f, g}, x]]]
+
+# ("3_3_60",
+# @rule ∫((~!u)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m))^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     !(ext_isinteger((~n))) &&
+#     !(
+#         eq((~d), 1) &&
+#         eq((~m), 1)
+#     ) &&
+#     contains_int(IntHide[(~u)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~d)^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^((~m)*(~n))))^(~p), (~x)]) ?
+# int_and_subst((~u)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~d)^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^((~m)*(~n))))^(~p),  (~x), (~c)*(~d)^(~n)*((~e) + (~f)*(~x))^((~m)*(~n)), (~c)*((~d)*((~e) + (~f)*(~x))^(~m))^(~n), "3_3_60") : nothing)
+
+# ("3_3_61",
+# @rule ∫((~AF)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m))^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     algebraic_function((~AF), (~x), True) ?
+# Unintegrable[(~AF)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d)*((~e) + (~f)*(~x))^(~m))^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.4 u (a+b log(c (d+e x^m)^n))^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.4 u (a+b log(c (d+e x^m)^n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..5b5d7203
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.4 u (a+b log(c (d+e x^m)^n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,307 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 3.4 u (a+b log(c (d+e x^m)^n))^p *)
+# ("3_4_1",
+# @rule ∫((~Pq)^(~!m)*log((~u)),(~x)) =>
+#     ext_isinteger((~m)) &&
+#     poly((~Pq), (~x)) &&
+#     rational_function((~u), (~x)) &&
+#     le(RationalFunctionExponents[(~u), (~x))[[2]], exponent_of((~Pq), (~x))] &&
+#     !contains_var(Fullsimplify((~Pq)^(~m)*(1 - (~u))/(~D)[(~u), (~x))), (~x)] ?
+# FullSimplify[(~Pq)^(~m)*(1 - (~u))⨸Symbolics.derivative((~u), (~x))]*PolyLog.reli(2, 1 - (~u)) : nothing)
+
+("3_4_2",
+@rule ∫(log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) ?
+(~x)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)) - (~e)*(~n)*(~p)*∫((~x)^(~n)⨸((~d) + (~e)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("3_4_3",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~e)/(~x))^(~!p)))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    igt((~q), 0) ?
+((~e) + (~d)*(~x))*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)⨸(~x))^(~p)))^(~q)⨸(~d) + (~b)*(~e)*(~p)*(~q)⨸(~d)*∫(((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)⨸(~x))^(~p)))^((~q) - 1)⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("3_4_4",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) &&
+    igt((~q), 0) &&
+    (
+        eq((~q), 1) ||
+        ext_isinteger((~n))
+    ) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))^(~q) - (~b)*(~e)*(~n)*(~p)*(~q)* ∫((~x)^(~n)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))^((~q) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(a_.+b_.*Log[c_.*(d_+e_.*x_^n_)^p_.])^q_,x_Symbol] := With[{k=Denominator[n]}, k*Subst[Int[x^(k-1)*(a+b*Log[c*(d+e*x^(k*n))^p])^q,x],x,x^(1/k)]] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,p,q},x] && LtQ[-1,n,1] && (GtQ[n,0] || IGtQ[q,0]) *)
+("3_4_5",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n)) - 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n)))^(~p)))^(~q),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "3_4_5") : nothing)
+
+# ("3_4_6",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^(~q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))^(~q), (~x)] : nothing)
+
+("3_4_7",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~v)^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isbinomial((~v), (~x)) &&
+    !(binomial_without_simplify((~v), (~x))) ?
+∫(((~a) + (~b)*log((~c)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~p)))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("3_4_8",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    ext_isinteger( simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    (
+        gt(((~m) + 1)/(~n), 0) ||
+        igt((~q), 0)
+    ) &&
+    !(
+        eq((~q), 1) &&
+        ilt((~n), 0) &&
+        igt((~m), 0)
+    ) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~p)))^(~q),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "3_4_8") : nothing)
+
+("3_4_9",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))⨸((~f)*((~m) + 1)) - (~b)*(~e)*(~n)*(~p)⨸((~f)*((~m) + 1))*∫((~x)^((~n) - 1)*((~f)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("3_4_10",
+@rule ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    (
+        gt(((~m) + 1)/(~n), 0) ||
+        igt((~q), 0)
+    ) ?
+((~f)*(~x))^(~m)⨸(~x)^(~m)*∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("3_4_11",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    igt((~q), 1) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))^(~q)⨸((~f)*((~m) + 1)) - (~b)*(~e)*(~n)*(~p)*(~q)⨸((~f)^(~n)*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))^((~q) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("3_4_12",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^(~q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n))*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n)))^(~p)))^(~q),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "3_4_12") : nothing)
+
+("3_4_13",
+@rule ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+((~f)*(~x))^(~m)⨸(~x)^(~m)*∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+# ("3_4_14",
+# @rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))^(~q), (~x)] : nothing)
+
+("3_4_15",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~v)^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~f), (~m), (~p), (~q), (~x)) &&
+    isbinomial((~v), (~x)) &&
+    !(binomial_without_simplify((~v), (~x))) ?
+∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*log((~c)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~p)))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("3_4_16",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))/((~!f) + (~!g)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    isrational((~n)) ?
+log((~f) + (~g)*(~x))*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))⨸(~g) - (~b)*(~e)*(~n)*(~p)⨸(~g)*∫((~x)^((~n) - 1)*log((~f) + (~g)*(~x))⨸((~d) + (~e)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("3_4_17",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~r), (~x)) &&
+    (
+        igt((~r), 0) ||
+        isrational((~n))
+    ) &&
+    !eq((~r), -1) ?
+((~f) + (~g)*(~x))^((~r) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))⨸((~g)*((~r) + 1)) - (~b)*(~e)*(~n)*(~p)⨸((~g)*((~r) + 1))* ∫((~x)^((~n) - 1)*((~f) + (~g)*(~x))^((~r) + 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+# ("3_4_18",
+# @rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~f) + (~g)*(~x))^(~r)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))^(~q), (~x)] : nothing)
+
+("3_4_19",
+@rule ∫((~u)^(~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~v)^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    isbinomial((~v), (~x)) &&
+    !(
+        linear_without_simplify((~u), (~x)) &&
+        binomial_without_simplify((~v), (~x))
+    ) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~r)*((~a) + (~b)*log((~c)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~p)))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("3_4_20",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^ (~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    ext_isinteger((~r)) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))^(~q), (~x)^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~r), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_4_21",
+@rule ∫(((~!h)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^ (~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!n))^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~p), (~r), (~x)) &&
+    isfraction((~m)) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    ext_isinteger((~r)) ?
+ext_den((~m))⨸(~h)* int_and_subst( (~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)*((~f) + (~g)*(~x)^ext_den((~m))⨸(~h))^ (~r)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(ext_den((~m))*(~n))⨸(~h)^(~n))^(~p)))^(~q),  (~x), (~x), ((~h)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "3_4_21") : nothing)
+
+# ("3_4_22",
+# @rule ∫(((~!h)*(~x))^(~!m)*((~!f) + (~!g)*(~x))^ (~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~h)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~r)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))^(~q), (~x)] : nothing)
+
+("3_4_23",
+@rule ∫(((~!h)*(~x))^(~!m)*(~u)^(~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~v)^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~h), (~m), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    isbinomial((~v), (~x)) &&
+    !(
+        linear_without_simplify((~u), (~x)) &&
+        binomial_without_simplify((~v), (~x))
+    ) ?
+∫(((~h)*(~x))^(~m)* expand_to_sum((~u), (~x))^(~r)*((~a) + (~b)*log((~c)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~p)))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("3_4_24",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))/((~f) + (~!g)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+∫(1⨸((~f) + (~g)*(~x)^2), (~x))*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p))) - (~b)*(~e)*(~n)*(~p)*∫(∫(1⨸((~f) + (~g)*(~x)^2), (~x))*(~x)^((~n) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("3_4_25",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x)^(~s))^(~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^ (~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~q), (~r), (~s), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    igt((~q), 0) &&
+    ext_isinteger((~r)) &&
+    ext_isinteger((~s)) &&
+    (
+        eq((~q), 1) ||
+        gt((~r), 0) &&
+        gt((~s), 1) ||
+        lt((~s), 0) &&
+        lt((~r), 0)
+    ) &&
+    issum(ext_expand(((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))^(~q), ((~f) + (~g)*(~x)^(~s))^(~r), (~x))) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))^(~q), ((~f) + (~g)*(~x)^(~s))^(~r), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_4_26",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x)^(~s))^(~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^ (~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~q), (~r), (~s), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) &&
+    ext_isinteger(ext_den((~n))*(~s)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n)) - 1)*((~f) + (~g)*(~x)^(ext_den((~n))*(~s)))^ (~r)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n)))^(~p)))^(~q),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "3_4_26") : nothing)
+
+# ("3_4_27",
+# @rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x)^(~s))^(~!r) ((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^ (~!q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~q), (~r), (~s), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~f) + (~g)*(~x)^(~s))^(~r)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))^(~q), (~x)] : nothing)
+
+("3_4_28",
+@rule ∫((~u)^(~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~v)^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    isbinomial([(~u), (~v)], (~x)) &&
+    !(binomial_without_simplify([(~u), (~v)], (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~r)*((~a) + (~b)*log((~c)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~p)))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("3_4_29",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~f) + (~!g)*(~x)^(~s))^ (~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~s), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~r)) &&
+    ext_isinteger((~s)/(~n)) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    (
+        gt(((~m) + 1)/(~n), 0) ||
+        igt((~q), 0)
+    ) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~f) + (~g)*(~x)^((~s)⨸(~n)))^ (~r)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~p)))^(~q),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "3_4_29") : nothing)
+
+("3_4_30",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~f) + (~!g)*(~x)^(~s))^ (~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~s), (~x)) &&
+    igt((~q), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    ext_isinteger((~r)) &&
+    ext_isinteger((~s)) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))^(~q), (~x)^(~m)*((~f) + (~g)*(~x)^(~s))^(~r), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_4_31",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x)^(~s))^(~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^ (~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~q), (~r), (~s), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) &&
+    ext_isinteger(ext_den((~n))*(~s)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n)) - 1)*((~f) + (~g)*(~x)^(ext_den((~n))*(~s)))^ (~r)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n)))^(~p)))^(~q),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "3_4_31") : nothing)
+
+("3_4_32",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~f) + (~!g)*(~x)^(~s))^ (~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~s), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) &&
+    ext_isinteger(1/(~n)) &&
+    ext_isinteger((~s)/(~n)) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^((~m) + 1⨸(~n) - 1)*((~f) + (~g)*(~x)^((~s)⨸(~n)))^(~r)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x))^(~p)))^ (~q),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "3_4_32") : nothing)
+
+("3_4_33",
+@rule ∫(((~!h)*(~x))^(~m)*((~!f) + (~!g)*(~x)^(~!s))^ (~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~!n))^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~p), (~r), (~x)) &&
+    isfraction((~m)) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    ext_isinteger((~s)) ?
+ext_den((~m))⨸(~h)* int_and_subst( (~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)*((~f) + (~g)*(~x)^(ext_den((~m))*(~s))⨸(~h)^(~s))^ (~r)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(ext_den((~m))*(~n))⨸(~h)^(~n))^(~p)))^(~q),  (~x), (~x), ((~h)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "3_4_33") : nothing)
+
+# ("3_4_34",
+# @rule ∫(((~!h)*(~x))^(~!m)*((~f) + (~!g)*(~x)^(~s))^ (~!r) ((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~s), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~h)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x)^(~s))^(~r)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))^(~q), (~x)] : nothing)
+
+("3_4_35",
+@rule ∫(((~!h)*(~x))^(~!m)*(~u)^(~!r)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~v)^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~h), (~m), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    isbinomial([(~u), (~v)], (~x)) &&
+    !(binomial_without_simplify([(~u), (~v)], (~x))) ?
+∫(((~h)*(~x))^(~m)* expand_to_sum((~u), (~x))^(~r)*((~a) + (~b)*log((~c)*expand_to_sum((~v), (~x))^(~p)))^(~q), (~x)) : nothing)
+
+("3_4_36",
+@rule ∫(log((~!f)*(~x)^(~!q))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p)))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+log((~f)*(~x)^(~q))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))⨸((~q)*((~m) + 1)) - (~b)*(~e)*(~n)*(~p)⨸((~q)*((~m) + 1))* ∫((~x)^((~n) - 1)*log((~f)*(~x)^(~q))^((~m) + 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("3_4_37",
+@rule ∫((~F)((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*(~x)^(~n))^(~!p))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    in( (~F), [asin, acos, asinh, acosh]) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    igt((~n), 1) ?
+dist((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)), ∫((~F)((~f)*(~x))^(~m), (~x)), (~x)) - (~b)*(~e)*(~n)*(~p)*∫(ext_simplify(∫((~F)((~f)*(~x))^(~m), (~x))*(~x)^((~n) - 1)⨸((~d) + (~e)*(~x)^(~n)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_4_38",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n))^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    igt((~q), 0) &&
+    (
+        eq((~q), 1) ||
+        ext_isinteger((~n))
+    ) ?
+1⨸(~g)*int_and_subst(((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*(~x)^(~n))^(~p)))^(~q),  (~x), (~x), (~f) + (~g)*(~x), "3_4_38") : nothing)
+
+# ("3_4_39",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*((~d) + (~!e)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~n))^(~!p)))^(~!q),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~q), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*log((~c)*((~d) + (~e)*((~f) + (~g)*(~x))^(~n))^(~p)))^(~q), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.5 Miscellaneous logarithms.jl b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.5 Miscellaneous logarithms.jl
new file mode 100644
index 00000000..b364fcfc
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/3 Logarithms/3.5 Miscellaneous logarithms.jl	
@@ -0,0 +1,299 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 3.5 Miscellaneous logarithms *)
+# ("3_5_1",
+# @rule ∫((~u)*log((~v)),(~x)) =>
+#     !(FalseQ[(~w)])] ?
+# With[{(~w) = DerivativeDivides[(~v), (~u)*(1 - (~v)), (~x)]}, (~w)*PolyLog.reli(2, 1 - (~v)) : nothing)
+# 
+# ("3_5_2",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~u)))*log((~v))*(~w),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+#     !contains_inverse_function((~u), (~x)) &&
+#     !(FalseQ[DerivativeDivides[(~v), (~w)*(1 - (~v)), (~x)]]) ?
+# DerivativeDivides[(~v), (~w)*(1 - (~v)), (~x)]*((~a) + (~b)*log((~u)))*PolyLog.reli(2, 1 - (~v)) - (~b)*∫(ext_simplify(DerivativeDivides[(~v), (~w)*(1 - (~v)), (~x)]*PolyLog.reli(2, 1 - (~v))*(~D)[(~u), (~x)]⨸(~u), (~x)), (~x)) ] : nothing)
+
+("3_5_3",
+@rule ∫(log((~!c)*log((~!d)*(~x)^(~!n))^(~!p)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~n), (~p), (~x)) ?
+(~x)*log((~c)*log((~d)*(~x)^(~n))^(~p)) - (~n)*(~p)*∫(1⨸log((~d)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_4",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*log((~!d)*(~x)^(~!n))^(~!p)))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~x)) ?
+log((~d)*(~x)^(~n))*((~a) + (~b)*log((~c)*log((~d)*(~x)^(~n))^(~p)))⨸(~n) - (~b)*(~p)*log((~x)) : nothing)
+
+("3_5_5",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*log((~!d)*(~x)^(~!n))^(~!p))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*log((~d)*(~x)^(~n))^(~p)))⨸((~e)*((~m) + 1)) - (~b)*(~n)*(~p)⨸((~m) + 1)*∫(((~e)*(~x))^(~m)⨸log((~d)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_6",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~Rx)^(~!p)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    rational_function((~Rx), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~Rx)^(~p)))^(~n) - (~b)*(~n)*(~p)* ∫(ext_simplify( (~x)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~Rx)^(~p)))^((~n) - 1)*Symbolics.derivative((~Rx), (~x))⨸(~Rx), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_7",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~Rx)^(~!p)))^(~!n)/((~!d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    rational_function((~Rx), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+log((~d) + (~e)*(~x))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~Rx)^(~p)))^(~n)⨸(~e) - (~b)*(~n)*(~p)⨸(~e)* ∫(log((~d) + (~e)*(~x))*((~a) + (~b)*log((~c)*(~Rx)^(~p)))^((~n) - 1)*Symbolics.derivative((~Rx), (~x))⨸(~Rx), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_8",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~Rx)^(~!p)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    rational_function((~Rx), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    (
+        eq((~n), 1) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~Rx)^(~p)))^(~n)⨸((~e)*((~m) + 1)) - (~b)*(~n)*(~p)⨸((~e)*((~m) + 1))* ∫(ext_simplify(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~Rx)^(~p)))^((~n) - 1)*Symbolics.derivative((~Rx), (~x))⨸(~Rx), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_9",
+@rule ∫(log((~!c)*(~Rx)^(~!n))/((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    rational_function((~Rx), (~x)) &&
+    !(poly((~Rx), (~x))) ?
+∫(1⨸((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x))*log((~c)*(~Rx)^(~n)) - (~n)*∫(ext_simplify(∫(1⨸((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x))*Symbolics.derivative((~Rx), (~x))⨸(~Rx), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_10",
+@rule ∫(log((~!c)*(~Px)^(~!n))/(~Qx),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~n), (~x)) &&
+    quadratic((~Qx), (~x)) &&
+    quadratic((~Px), (~x)) &&
+    eq((~D)[(~Px)/(~Qx), (~x)], 0) ?
+∫(1⨸(~Qx), (~x))*log((~c)*(~Px)^(~n)) - (~n)*∫(ext_simplify(∫(1⨸(~Qx), (~x))*Symbolics.derivative((~Px), (~x))⨸(~Px), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_11",
+@rule ∫((~Gx)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~Rx)^(~!p)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    rational_function((~Rx), (~x)) &&
+    rational_function((~Gx), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    issum(ext_expand(((~a) + (~b)*log((~c)*(~Rx)^(~p)))^(~n), (~Gx), (~x))) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*log((~c)*(~Rx)^(~p)))^(~n), (~Gx), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_12",
+@rule ∫((~Gx)*((~!a) + (~!b)*log((~!c)*(~Rx)^(~!p)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~p), (~x)) &&
+    rational_function((~Rx), (~x)) &&
+    rational_function((~Gx), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    issum(ext_expand((~Gx)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~Rx)^(~p)))^(~n), (~x))) ?
+∫(ext_expand((~Gx)*((~a) + (~b)*log((~c)*(~Rx)^(~p)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("3_5_13",
+# @rule ∫((~Rx)*((~!a) + (~!b)*log((~u))),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+#     rational_function((~Rx), (~x)) &&
+#     !(FalseQ[lst]) ?
+# lst[[2]]*lst[[4]]* int_and_subst(lst[[1]],  (~x), (~x), lst[[3]]^(1⨸lst[[2]]), "3_5_13") : nothing)
+
+("3_5_14",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*log(1 + (~!e)*((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x))))^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    gt((~m), 0) ?
+-((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*PolyLog.reli(2, -(~e)*((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x))))^(~n))⨸((~b)*(~c)*(~n)*log((~F))) + (~g)*(~m)⨸((~b)*(~c)*(~n)*log((~F)))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^((~m) - 1)*PolyLog.reli(2, -(~e)*((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x))))^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_15",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*log((~d) + (~!e)*((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x))))^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    !eq((~d), 1) ?
+((~f) + (~g)*(~x))^((~m) + 1)*log((~d) + (~e)*((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x))))^(~n))⨸((~g)*((~m) + 1)) - ((~f) + (~g)*(~x))^((~m) + 1)* log(1 + (~e)⨸(~d)*((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x))))^(~n))⨸((~g)*((~m) + 1)) + ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*log(1 + (~e)⨸(~d)*((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x))))^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_16",
+@rule ∫(log((~!d) + (~!e)*(~x) + (~!f)*sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~e)^2 - (~c)*(~f)^2, 0) ?
+(~x)*log((~d) + (~e)*(~x) + (~f)*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)) + (~f)^2*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))⨸2* ∫((~x)⨸((2*(~d)*(~e) - (~b)*(~f)^2)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2) - (~f)*((~b)*(~d) - 2*(~a)*(~e) + (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_17",
+@rule ∫(log((~!d) + (~!e)*(~x) + (~!f)*sqrt((~!a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~e)^2 - (~c)*(~f)^2, 0) ?
+(~x)*log((~d) + (~e)*(~x) + (~f)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)) - (~a)*(~c)*(~f)^2* ∫((~x)⨸((~d)*(~e)*((~a) + (~c)*(~x)^2) + (~f)*((~a)*(~e) - (~c)*(~d)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_18",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)* log((~!d) + (~!e)*(~x) + (~!f)*sqrt((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    eq((~e)^2 - (~c)*(~f)^2, 0) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+((~g)*(~x))^((~m) + 1)* log((~d) + (~e)*(~x) + (~f)*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2))⨸((~g)*((~m) + 1)) + (~f)^2*((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))⨸(2*(~g)*((~m) + 1))* ∫(((~g)*(~x))^((~m) + 1)⨸((2*(~d)*(~e) - (~b)*(~f)^2)*((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2) - (~f)*((~b)*(~d) - 2*(~a)*(~e) + (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_19",
+@rule ∫(((~!g)*(~x))^(~!m)*log((~!d) + (~!e)*(~x) + (~!f)*sqrt((~!a) + (~!c)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    eq((~e)^2 - (~c)*(~f)^2, 0) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+((~g)*(~x))^((~m) + 1)*log((~d) + (~e)*(~x) + (~f)*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2))⨸((~g)*((~m) + 1)) - (~a)*(~c)*(~f)^2⨸((~g)*((~m) + 1))* ∫(((~g)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~d)*(~e)*((~a) + (~c)*(~x)^2) + (~f)*((~a)*(~e) - (~c)*(~d)*(~x))*sqrt((~a) + (~c)*(~x)^2)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[v_.*Log[d_. + e_.*x_ + f_.*Sqrt[u_]], x_Symbol] := Int[v*Log[d + e*x + f*Sqrt[ExpandToSum[u, x]]], x] /; FreeQ[{d, e, f}, x] && QuadraticQ[u, x] && Not[QuadraticMatchQ[u, x]] && (EqQ[v, 1] || MatchQ[v, (g_.*x)^m_. /; FreeQ[{g, m}, x]]) *)
+("3_5_20",
+@rule ∫(log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~!r)/((~x)*((~!a)*(~x)^(~!m) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~q))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~r), (~q) - 1) ?
+log((~a)*(~x)^(~m) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))^(~q))⨸((~b)*(~n)*(~q)) - (~a)*(~m)⨸((~b)*(~n)*(~q))*∫((~x)^((~m) - 1)⨸((~a)*(~x)^(~m) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))^(~q)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_21",
+@rule ∫(log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~!r)*((~!a)*(~x)^(~!m) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~q))^(~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~r), (~q) - 1) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(log((~c)*(~x)^(~n))^(~r)⨸(~x), ((~a)*(~x)^(~m) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))^(~q))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_22",
+@rule ∫(log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~!r)*((~!a)*(~x)^(~!m) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~q))^(~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~r), (~q) - 1) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+((~a)*(~x)^(~m) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))^(~q))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*(~q)*((~p) + 1)) - (~a)*(~m)⨸((~b)*(~n)*(~q))*∫((~x)^((~m) - 1)*((~a)*(~x)^(~m) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))^(~q))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_23",
+@rule ∫(((~!d)*(~x)^(~!m) + (~!e)*log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~!r))/((~x)*((~!a)*(~x)^(~!m) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~q))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~r), (~q) - 1) &&
+    eq((~a)*(~e)*(~m) - (~b)*(~d)*(~n)*(~q), 0) ?
+(~e)*log((~a)*(~x)^(~m) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))^(~q))⨸((~b)*(~n)*(~q)) : nothing)
+
+("3_5_24",
+@rule ∫(((~u) + (~!d)*(~x)^(~!m) + (~!e)*log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~!r))/((~x)*((~!a)*(~x)^(~!m) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~q))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~r), (~q) - 1) &&
+    eq((~a)*(~e)*(~m) - (~b)*(~d)*(~n)*(~q), 0) ?
+(~e)*log((~a)*(~x)^(~m) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))^(~q))⨸((~b)*(~n)*(~q)) + ∫((~u)⨸((~x)*((~a)*(~x)^(~m) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))^(~q))), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_25",
+@rule ∫(((~!d)*(~x)^(~!m) + (~!e)*log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~!r))/((~x)*((~!a)*(~x)^(~!m) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~q))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~r), (~q) - 1) &&
+    !eq((~a)*(~e)*(~m) - (~b)*(~d)*(~n)*(~q), 0) ?
+(~e)*log((~a)*(~x)^(~m) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))^(~q))⨸((~b)*(~n)*(~q)) - ((~a)*(~e)*(~m) - (~b)*(~d)*(~n)*(~q))⨸((~b)*(~n)*(~q))* ∫((~x)^((~m) - 1)⨸((~a)*(~x)^(~m) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))^(~q)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_26",
+@rule ∫(((~!d)*(~x)^(~!m) + (~!e)*log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~!r))*((~!a)*(~x)^(~!m) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~q))^ (~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~r), (~q) - 1) &&
+    !eq((~p), -1) &&
+    eq((~a)*(~e)*(~m) - (~b)*(~d)*(~n)*(~q), 0) ?
+(~e)*((~a)*(~x)^(~m) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))^(~q))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*(~q)*((~p) + 1)) : nothing)
+
+("3_5_27",
+@rule ∫(((~!d)*(~x)^(~!m) + (~!e)*log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~!r))*((~!a)*(~x)^(~!m) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~q))^ (~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    eq((~r), (~q) - 1) &&
+    !eq((~p), -1) &&
+    !eq((~a)*(~e)*(~m) - (~b)*(~d)*(~n)*(~q), 0) ?
+(~e)*((~a)*(~x)^(~m) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))^(~q))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*(~q)*((~p) + 1)) - ((~a)*(~e)*(~m) - (~b)*(~d)*(~n)*(~q))⨸((~b)*(~n)*(~q))* ∫((~x)^((~m) - 1)*((~a)*(~x)^(~m) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))^(~q))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_28",
+@rule ∫(((~!d)*(~x)^(~!m) + (~!e)*(~x)^(~!m)*log((~!c)*(~x)^(~!n)) + (~!f)*log((~!c)*(~x)^(~!n))^ (~!q))/((~x)*((~!a)*(~x)^(~!m) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~q))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~q), (~x)) &&
+    eq((~e)*(~n) + (~d)*(~m), 0) &&
+    eq((~a)*(~f) + (~b)*(~d)*((~q) - 1), 0) ?
+(~d)*log((~c)*(~x)^(~n))⨸((~a)*(~n)*((~a)*(~x)^(~m) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))^(~q))) : nothing)
+
+("3_5_29",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*log((~!c)*(~x)^(~!n)))/((~!a)*(~x) + (~!b)*log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~q))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~q), (~x)) &&
+    eq((~d) + (~e)*(~n)*(~q), 0) ?
+-(~e)*log((~c)*(~x)^(~n))⨸((~a)*((~a)*(~x) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))^(~q))) + ((~d) + (~e)*(~n))⨸(~a)* ∫(1⨸((~x)*((~a)*(~x) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))^(~q))), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_30",
+@rule ∫(log((~u)),(~x)) =>
+    !contains_inverse_function((~u), (~x)) ?
+(~x)*log((~u)) - ∫(ext_simplify((~x)*Symbolics.derivative((~u), (~x))⨸(~u), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_31",
+@rule ∫(log((~u)),(~x)) =>
+    isprod((~u)) ?
+(~x)*log((~u)) - ∫(ext_simplify((~x)*simplify(Symbolics.derivative((~u), (~x))⨸(~u)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("3_5_32",
+# @rule ∫(log((~u))/((~!a) + (~!b)*(~x)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+#     rational_function((~D)[(~u), (~x)]/(~u), (~x)) &&
+#     (
+#         !eq((~a), 0) ||
+#         !(
+#             isbinomial((~u), (~x)) &&
+#             eq(BinomialDegree[(~u), (~x)]^2, 1)
+#         )
+#     ) ?
+# log((~a) + (~b)*(~x))*log((~u))⨸(~b) - 1⨸(~b)*∫(ext_simplify(log((~a) + (~b)*(~x))*Symbolics.derivative((~u), (~x))⨸(~u), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_33",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!m)*log((~u)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~x)) &&
+    !contains_inverse_function((~u), (~x)) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*log((~u))⨸((~b)*((~m) + 1)) - 1⨸((~b)*((~m) + 1))* ∫(ext_simplify(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + 1)*Symbolics.derivative((~u), (~x))⨸(~u), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_34",
+@rule ∫(log((~u))/(~Qx),(~x)) =>
+    quadratic((~Qx), (~x)) &&
+    !contains_inverse_function((~u), (~x)) ?
+∫(1⨸(~Qx), (~x))*log((~u)) - ∫(ext_simplify(∫(1⨸(~Qx), (~x))*Symbolics.derivative((~u), (~x))⨸(~u), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("3_5_35",
+@rule ∫((~u)^((~!a)*(~x))*log((~u)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~x)) &&
+    !contains_inverse_function((~u), (~x)) ?
+(~u)^((~a)*(~x))⨸(~a) - ∫(ext_simplify((~x)*(~u)^((~a)*(~x) - 1)*Symbolics.derivative((~u), (~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("3_5_36",
+# @rule ∫((~v)*log((~u)),(~x)) =>
+#     !contains_inverse_function((~u), (~x)) &&
+#     !contains_inverse_function(IntHide[(~v), (~x)], (~x)) ?
+# dist(log((~u)), ∫((~v), (~x)), (~x)) - ∫(ext_simplify(∫((~v), (~x))*(~D)[(~u), (~x)]⨸(~u), (~x)), (~x)) ] : nothing)
+# 
+# ("3_5_37",
+# @rule ∫((~v)*log((~u)),(~x)) =>
+#     ProductQ[(~u)] &&
+#     !contains_inverse_function(IntHide[(~v), (~x)], (~x)) ?
+# dist(log((~u)), ∫((~v), (~x)), (~x)) - ∫(ext_simplify(∫((~v), (~x))*simplify((~D)[(~u), (~x)]⨸(~u)), (~x)), (~x)) ] : nothing)
+
+("3_5_38",
+@rule ∫(log((~v))*log((~w)),(~x)) =>
+    !contains_inverse_function((~v), (~x)) &&
+    !contains_inverse_function((~w), (~x)) ?
+(~x)*log((~v))*log((~w)) - ∫(ext_simplify((~x)*log((~w))*Symbolics.derivative((~v), (~x))⨸(~v), (~x)), (~x)) - ∫(ext_simplify((~x)*log((~v))*Symbolics.derivative((~w), (~x))⨸(~w), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("3_5_39",
+# @rule ∫((~u)*log((~v))*log((~w)),(~x)) =>
+#     !contains_inverse_function((~v), (~x)) &&
+#     !contains_inverse_function((~w), (~x)) &&
+#     !contains_inverse_function(IntHide[(~u), (~x)], (~x)) ?
+# dist(log((~v))*log((~w)), ∫((~u), (~x)), (~x)) - ∫(ext_simplify(∫((~u), (~x))*log((~w))*(~D)[(~v), (~x)]⨸(~v), (~x)), (~x)) - ∫(ext_simplify(∫((~u), (~x))*log((~v))*(~D)[(~w), (~x)]⨸(~w), (~x)), (~x)) ] : nothing)
+
+("3_5_40",
+@rule ∫((~f)^((~!a)*log((~u))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~f), (~x)) ?
+∫((~u)^((~a)*log((~f))), (~x)) : nothing)
+
+#(* If[TrueQ[oLoadShowSteps], Int[u_/x_,x_Symbol] := With[{lst=FunctionOfLog[u,x]}, ShowStep["","Int[F[Log[a*x^n]]/x,x]","Subst[Int[F[x],x],x,Log[a*x^n] ]/n",Hold[ 1/lst[[3]]*Subst[Int[lst[[1]],x],x,Log[lst[[2]]]]]] /; Not[FalseQ[lst]]] /; SimplifyFlag && NonsumQ[u], Int[u_/x_,x_Symbol] := With[{lst=FunctionOfLog[u,x]}, 1/lst[[3]]*Subst[Int[lst[[1]],x],x,Log[lst[[2]]]] /; Not[FalseQ[lst]]] /; NonsumQ[u]] *)
+("3_5_41",
+@rule ∫((~F)(log(~a*(~x)^~n))/~x, ~x) =>
+int_and_subst((~F)(~x)/~n, ~x, ~x, log(~a*(~x)^~n), "3_5_41")
+)
+
+("3_5_42",
+@rule ∫((~!u)*log(SymbolicUtils.gamma((~v))),(~x)) =>
+(log(SymbolicUtils.gamma((~v))) - SymbolicUtils.loggamma((~v)))*∫((~u), (~x)) + ∫((~u)*SymbolicUtils.loggamma((~v)), (~x)))
+
+("3_5_43",
+@rule ∫((~!u)*((~!a)*(~x)^(~!m) + (~!b)*(~x)^(~!r)*log((~!c)*(~x)^(~!n))^(~!q))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~p), (~q), (~r), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+∫((~u)*(~x)^((~p)*(~r))*((~a)*(~x)^((~m) - (~r)) + (~b)*log((~c)*(~x)^(~n))^(~q))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.0/4.1.0.1 (a sin)^m (b trg)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.0/4.1.0.1 (a sin)^m (b trg)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..922aadb1
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.0/4.1.0.1 (a sin)^m (b trg)^n.jl	
@@ -0,0 +1,207 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.0.1 (a sin)^m (b trg)^n *)
+("4_1_0_1_1",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!b)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n) + 2, 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~a)*(~b)*(~f)*((~m) + 1)) : nothing)
+
+("4_1_0_1_2",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~n) - 1)/2) &&
+    !(
+        ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+        lt(0, (~m), (~n))
+    ) ?
+1⨸((~a)*(~f))* int_and_subst((~x)^(~m)*(1 - (~x)^2⨸(~a)^2)^(((~n) - 1)⨸2),  (~x), (~x), (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_0_1_2") : nothing)
+
+("4_1_0_1_3",
+@rule ∫(((~!a)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~n) - 1)/2) &&
+    !(
+        ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+        gt((~m), 0) &&
+        le((~m), (~n))
+    ) ?
+-1⨸((~a)*(~f))* int_and_subst((~x)^(~m)*(1 - (~x)^2⨸(~a)^2)^(((~n) - 1)⨸2),  (~x), (~x), (~a)*cos((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_0_1_3") : nothing)
+
+("4_1_0_1_4",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ||
+        eq((~m) + (~n), 0)
+    ) ?
+-(~a)*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)* (~f)*((~n) + 1)) + (~a)^2*((~m) - 1)⨸((~b)^2*((~n) + 1))* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_1_5",
+@rule ∫(((~!a)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ||
+        eq((~m) + (~n), 0)
+    ) ?
+(~a)*((~a)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~n) + 1)) + (~a)^2*((~m) - 1)⨸((~b)^2*((~n) + 1))* ∫(((~a)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_1_6",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) + (~n), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+-(~a)*((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)⨸((~b)* (~f)*((~m) + (~n))) + (~a)^2*((~m) - 1)⨸((~m) + (~n))* ∫(((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_1_7",
+@rule ∫(((~!a)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) + (~n), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~a)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)*((~a)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)⨸((~b)*(~f)*((~m) + (~n))) + (~a)^2*((~m) - 1)⨸((~m) + (~n))* ∫(((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~a)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_1_8",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~a)*(~b)*(~f)*((~m) + 1)) + ((~m) + (~n) + 2)⨸((~a)^2*((~m) + 1))* ∫(((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_1_9",
+@rule ∫(((~!a)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+-((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)*((~a)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~a)*(~b)* (~f)*((~m) + 1)) + ((~m) + (~n) + 2)⨸((~a)^2*((~m) + 1))* ∫(((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~a)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_1_10",
+@rule ∫(sqrt((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*sqrt((~!b)*cos((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) ?
+sqrt((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt(sin(2*(~e) + 2*(~f)*(~x)))* ∫(sqrt(sin(2*(~e) + 2*(~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_1_11",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*sqrt((~!b)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) ?
+sqrt(sin(2*(~e) + 2*(~f)*(~x)))⨸(sqrt((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))))* ∫(1⨸sqrt(sin(2*(~e) + 2*(~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(a_.*sin[e_.+f_.*x_])^m_*(b_.*cos[e_.+f_.*x_])^n_,x_Symbol] := (a*Sin[e+f*x])^m*(b*Cos[e+f*x])^n/(a*Tan[e+f*x])^m*Int[(a*Tan[e+f*x] )^m,x] /; FreeQ[{a,b,e,f,m,n},x] && EqQ[m+n,0] *)
+("4_1_0_1_12",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    lt((~m), 1) ?
+ext_den((~m))*(~a)*(~b)⨸(~f)* int_and_subst((~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)⨸((~a)^2 + (~b)^2*(~x)^(2*ext_den((~m)))),  (~x), (~x), ((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(1⨸ext_den((~m)))⨸((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(1⨸ext_den((~m))), "4_1_0_1_12") : nothing)
+
+("4_1_0_1_13",
+@rule ∫(((~!a)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    lt((~m), 1) ?
+-ext_den((~m))*(~a)*(~b)⨸(~f)* int_and_subst((~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)⨸((~a)^2 + (~b)^2*(~x)^(2*ext_den((~m)))),  (~x), (~x), ((~a)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(1⨸ext_den((~m)))⨸((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(1⨸ext_den((~m))), "4_1_0_1_13") : nothing)
+
+#(* Int[(a_.*sin[e_.+f_.*x_])^m_*(b_.*cos[e_.+f_.*x_])^n_,x_Symbol] := b^(2*IntPart[(n-1)/2]+1)*(b*Cos[e+f*x])^(2*FracPart[(n-1)/2])/(a*f*( Cos[e+f*x]^2)^FracPart[(n-1)/2])* Subst[Int[x^m*(1-x^2/a^2)^((n-1)/2),x],x,a*Sin[e+f*x]] /; FreeQ[{a,b,e,f,m,n},x] && (RationalQ[n] || Not[RationalQ[m]] &&  (EqQ[b,1] || NeQ[a,1])) *)
+#(* Int[(a_.*cos[e_.+f_.*x_])^m_*(b_.*sin[e_.+f_.*x_])^n_,x_Symbol] := -b^(2*IntPart[(n-1)/2]+1)*(b*Sin[e+f*x])^(2*FracPart[(n-1)/2])/(a*f* (Sin[e+f*x]^2)^FracPart[(n-1)/2])* Subst[Int[x^m*(1-x^2/a^2)^((n-1)/2),x],x,a*Cos[e+f*x]] /; FreeQ[{a,b,e,f,m,n},x] *)
+("4_1_0_1_14",
+@rule ∫(((~!a)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    simpler((~n), (~m)) ?
+-(~b)^(2*intpart(((~n) - 1)⨸2) + 1)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(2* fracpart(((~n) - 1)⨸2))*((~a)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~a)* (~f)*((~m) + 1)*(sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^fracpart(((~n) - 1)⨸2))* hypergeometric2f1((1 + (~m))⨸2, (1 - (~n))⨸2, (3 + (~m))⨸2, cos((~e) + (~f)*(~x))^2) : nothing)
+
+("4_1_0_1_15",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) ?
+(~b)^(2*intpart(((~n) - 1)⨸2) + 1)*((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(2* fracpart(((~n) - 1)⨸2))*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~a)* (~f)*((~m) + 1)*(cos((~e) + (~f)*(~x))^2)^fracpart(((~n) - 1)⨸2))* hypergeometric2f1((1 + (~m))⨸2, (1 - (~n))⨸2, (3 + (~m))⨸2, sin((~e) + (~f)*(~x))^2) : nothing)
+
+("4_1_0_1_16",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m) - (~n) + 2, 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+(~b)*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~a)*(~f)*((~m) + 1)) : nothing)
+
+("4_1_0_1_17",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~a)*(~b)*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*((~n) - 1)) - (~a)^2*(~b)^2*((~m) - 1)⨸((~n) - 1)* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_1_18",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~a)*(~b)*(~f)*((~m) - (~n))) - ((~n) + 1)⨸((~b)^2*((~m) - (~n)))* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_1_19",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~a)*(~b)*(~f)*((~m) + 1)) - ((~n) + 1)⨸((~a)^2*(~b)^2*((~m) + 1))* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_1_20",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq((~m) - (~n), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~a)*(~b)*(~f)*((~m) - (~n))) - ((~n) + 1)⨸((~b)^2*((~m) - (~n)))* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_1_21",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) - (~n), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+-(~a)*(~b)*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*((~m) - (~n))) + (~a)^2*((~m) - 1)⨸((~m) - (~n))* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_1_22",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~b)*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~a)*(~f)*((~m) + 1)) + ((~m) - (~n) + 2)⨸((~a)^2*((~m) + 1))* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_1_23",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m) - 1/2) &&
+    ext_isinteger((~n) - 1/2) ?
+((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_1_24",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    lt((~n), 1) ?
+1⨸(~b)^2*((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_1_25",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+(~b)^2*((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_1_26",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+((~a)*(~b))^intpart((~n))*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~n))*((~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ fracpart((~n))*∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - (~n)), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.0/4.1.0.2 (a trg)^m (b tan)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.0/4.1.0.2 (a trg)^m (b tan)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..2408e4fe
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.0/4.1.0.2 (a trg)^m (b tan)^n.jl	
@@ -0,0 +1,255 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.0.2 (a trg)^m (b tan)^n *)
+("4_1_0_2_1",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n) - 1, 0) ?
+-(~b)*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*(~m)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_2",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*tan((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m), (~n), ((~m) + (~n) - 1)/2) ?
+-1⨸(~f)*int_and_subst((1 - (~x)^2)^(((~m) + (~n) - 1)⨸2)⨸(~x)^(~n),  (~x), (~x), cos((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_0_2_2") : nothing)
+
+("4_1_0_2_3",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) ?
+(~b)*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(~f)* int_and_subst((free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))*(~x))^((~m) + (~n))⨸((~b)^2 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^((~m)⨸2 + 1), (~x), (~x), (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_0_2_3") : nothing)
+
+("4_1_0_2_4",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*tan((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~n) + 1)/2) ?
+free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(~f)* int_and_subst((free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))*(~x))^((~m) + (~n))⨸((~a)^2 - free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(((~n) + 1)⨸2), (~x), (~x), (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_0_2_4") : nothing)
+
+("4_1_0_2_5",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    (
+        lt((~m), -1) ||
+        eq((~m), -1) &&
+        eq((~n), 3/2)
+    ) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~b)*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~a)^2* (~f)*((~n) - 1)) - (~b)^2*((~m) + 2)⨸((~a)^2*((~n) - 1))* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_6",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) &&
+    !(
+        gt((~m), 1) &&
+        !(ext_isinteger(((~m) - 1)/2))
+    ) ?
+(~b)*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*((~n) - 1)) - (~b)^2*((~m) + (~n) - 1)⨸((~n) - 1)* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_7",
+@rule ∫(sqrt((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) ?
+2*sqrt((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~b)*(~f)*sqrt((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))) + (~a)^2⨸(~b)^2*∫(sqrt((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_8",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~f)*(~m)) - (~a)^2*((~n) + 1)⨸((~b)^2*(~m))* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_9",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) &&
+    !(
+        eq((~n), -3/2) &&
+        eq((~m), 1)
+    ) ?
+((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~m) + (~n) + 1)) - ((~n) + 1)⨸((~b)^2*((~m) + (~n) + 1))* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_10",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    (
+        gt((~m), 1) ||
+        eq((~m), 1) &&
+        eq((~n), 1/2)
+    ) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+-(~b)*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*(~m)) + (~a)^2*((~m) + (~n) - 1)⨸(~m)* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_11",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~b)*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~a)^2* (~f)*((~m) + (~n) + 1)) + ((~m) + 2)⨸((~a)^2*((~m) + (~n) + 1))* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_12",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*tan((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+1⨸(~a)^(~n)*∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + (~n))⨸cos((~e) + (~f)*(~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_13",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    (
+        ilt((~m), 0) ||
+        eq((~m), 1) &&
+        eq((~n), -1/2) ||
+        ext_isinteger((~m) - 1/2, (~n) - 1/2)
+    ) ?
+cos((~e) + (~f)*(~x))^(~n)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + (~n))⨸cos((~e) + (~f)*(~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_14",
+@rule ∫(((~!a)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+(~a)*cos( (~e) + (~f)*(~x))^((~n) + 1)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1))* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + (~n))⨸cos((~e) + (~f)*(~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_15",
+@rule ∫(((~!a)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+((~a)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~m))*(sec((~e) + (~f)*(~x))⨸(~a))^fracpart((~m))* ∫(((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸(sec((~e) + (~f)*(~x))⨸(~a))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_16",
+@rule ∫(((~!a)*cot((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+((~a)*cot((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)* ∫(((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - (~m)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_17",
+@rule ∫(((~!a)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n) + 1, 0) ?
+-((~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~f)*(~m)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_18",
+@rule ∫(((~!a)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~n) - 1)/2) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~m)/2) &&
+        lt(0, (~m), (~n) + 1)
+    ) ?
+(~a)⨸(~f)*int_and_subst(((~a)*(~x))^((~m) - 1)*(-1 + (~x)^2)^(((~n) - 1)⨸2),  (~x), (~x), sec((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_0_2_18") : nothing)
+
+("4_1_0_2_19",
+@rule ∫(sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    !(
+        ext_isinteger(((~n) - 1)/2) &&
+        lt(0, (~n), (~m) - 1)
+    ) ?
+1⨸(~f)*int_and_subst(((~b)*(~x))^(~n)*(1 + (~x)^2)^((~m)⨸2 - 1),  (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_0_2_19") : nothing)
+
+("4_1_0_2_20",
+@rule ∫(((~!a)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    (
+        gt((~m), 1) ||
+        eq((~m), 1) &&
+        eq((~n), -3/2)
+    ) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~a)^2*((~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)* (~f)*((~n) + 1)) - (~a)^2*((~m) - 2)⨸((~b)^2*((~n) + 1))* ∫(((~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_21",
+@rule ∫(((~!a)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+((~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~n) + 1)) - ((~m) + (~n) + 1)⨸((~b)^2*((~n) + 1))* ∫(((~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_22",
+@rule ∫(((~!a)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    (
+        lt((~m), -1) ||
+        eq((~m), -1) &&
+        eq((~n), 3/2)
+    ) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~b)*((~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*(~m)) - (~b)^2*((~n) - 1)⨸((~a)^2*(~m))* ∫(((~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_23",
+@rule ∫(((~!a)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    !eq((~m) + (~n) - 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~b)*((~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*((~m) + (~n) - 1)) - (~b)^2*((~n) - 1)⨸((~m) + (~n) - 1)* ∫(((~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_24",
+@rule ∫(((~!a)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    (
+        lt((~m), -1) ||
+        eq((~m), -1) &&
+        eq((~n), -1/2)
+    ) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+-((~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~f)*(~m)) + ((~m) + (~n) + 1)⨸((~a)^2*(~m))* ∫(((~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_25",
+@rule ∫(((~!a)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    (
+        gt((~m), 1) ||
+        eq((~m), 1) &&
+        eq((~n), 1/2)
+    ) &&
+    !eq((~m) + (~n) - 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~a)^2*((~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)* (~f)*((~m) + (~n) - 1)) + (~a)^2*((~m) - 2)⨸((~m) + (~n) - 1)* ∫(((~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_26",
+@rule ∫(sec((~!e) + (~!f)*(~x))/sqrt((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~e), (~f), (~x)) ?
+sqrt(sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sqrt(cos((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x))))* ∫(1⨸(sqrt(cos((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt(sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_27",
+@rule ∫(sqrt((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))/sec((~!e) + (~!f)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~e), (~f), (~x)) ?
+sqrt(cos((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt(sin((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(sqrt(cos((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt(sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_2_28",
+@rule ∫(((~!a)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n) + 1/2) &&
+    ext_isinteger((~m) + 1/2) ?
+(~a)^((~m) + (~n))*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸(((~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))* ∫(((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸cos((~e) + (~f)*(~x))^((~m) + (~n)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(a_.*sec[e_.+f_.*x_])^m_.*(b_.*tan[e_.+f_.*x_])^n_,x_Symbol]:= (a*Sec[e+f*x])^m*(b*Tan[e+f*x])^(n+1)*(Cos[e+f*x]^2)^((m+n+1)/2)/(b* f*(b*Sin[e+f*x])^(n+1))* Subst[Int[x^n/(1-x^2/b^2)^((m+n+1)/2),x],x,b*Sin[e+f*x]] /; FreeQ[{a,b,e,f,m,n},x] && Not[IntegerQ[(n-1)/2]] &&  Not[IntegerQ[m/2]] *)
+("4_1_0_2_29",
+@rule ∫(((~!a)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger(((~n) - 1)/2)) &&
+    !(ext_isinteger((~m)/2)) ?
+((~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)*(cos((~e) + (~f)*(~x))^2)^(((~m) + (~n) + 1)⨸2)⨸((~b)* (~f)*((~n) + 1))* hypergeometric2f1(((~n) + 1)⨸2, ((~m) + (~n) + 1)⨸2, ((~n) + 3)⨸2, sin((~e) + (~f)*(~x))^2) : nothing)
+
+("4_1_0_2_30",
+@rule ∫(((~!a)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+((~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~m))*(sin((~e) + (~f)*(~x))⨸(~a))^fracpart((~m))* ∫(((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸(sin((~e) + (~f)*(~x))⨸(~a))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.0/4.1.0.3 (a csc)^m (b sec)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.0/4.1.0.3 (a csc)^m (b sec)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..648ad26f
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.0/4.1.0.3 (a csc)^m (b sec)^n.jl	
@@ -0,0 +1,110 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.0.3 (a csc)^m (b sec)^n *)
+("4_1_0_3_1",
+@rule ∫(((~!a)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n) - 2, 0) &&
+    !eq((~n), 1) ?
+(~a)*(~b)*((~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*((~n) - 1)) : nothing)
+
+("4_1_0_3_2",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m), (~n), ((~m) + (~n))/2) ?
+1⨸(~f)*int_and_subst((1 + (~x)^2)^(((~m) + (~n))⨸2 - 1)⨸(~x)^(~m),  (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_0_3_2") : nothing)
+
+("4_1_0_3_3",
+@rule ∫(((~!a)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~n) + 1)/2) &&
+    !(
+        ext_isinteger(((~m) + 1)/2) &&
+        lt(0, (~m), (~n))
+    ) ?
+-1⨸((~f)*(~a)^(~n))* int_and_subst((~x)^((~m) + (~n) - 1)⨸(-1 + (~x)^2⨸(~a)^2)^(((~n) + 1)⨸2),  (~x), (~x), (~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_0_3_3") : nothing)
+
+("4_1_0_3_4",
+@rule ∫(((~!a)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~n) + 1)/2) &&
+    !(
+        ext_isinteger(((~m) + 1)/2) &&
+        lt(0, (~m), (~n))
+    ) ?
+1⨸((~f)*(~a)^(~n))* int_and_subst((~x)^((~m) + (~n) - 1)⨸(-1 + (~x)^2⨸(~a)^2)^(((~n) + 1)⨸2),  (~x), (~x), (~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_0_3_4") : nothing)
+
+("4_1_0_3_5",
+@rule ∫(((~!a)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+-(~a)*((~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~f)* (~b)*((~m) - 1)) + (~a)^2*((~n) + 1)⨸((~b)^2*((~m) - 1))* ∫(((~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_3_6",
+@rule ∫(((~!a)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~b)*((~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*(~a)*((~n) - 1)) + (~b)^2*((~m) + 1)⨸((~a)^2*((~n) - 1))* ∫(((~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_3_7",
+@rule ∫(((~!a)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) &&
+    !(gt((~n), (~m))) ?
+-(~a)*(~b)*((~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*((~m) - 1)) + (~a)^2*((~m) + (~n) - 2)⨸((~m) - 1)* ∫(((~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_3_8",
+@rule ∫(((~!a)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~a)*(~b)*((~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*((~n) - 1)) + (~b)^2*((~m) + (~n) - 2)⨸((~n) - 1)* ∫(((~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_3_9",
+@rule ∫(((~!a)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !eq((~m) + (~n), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~b)*((~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~a)*(~f)*((~m) + (~n))) + ((~m) + 1)⨸((~a)^2*((~m) + (~n)))* ∫(((~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_3_10",
+@rule ∫(((~!a)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq((~m) + (~n), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+-(~a)*((~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)* (~f)*((~m) + (~n))) + ((~n) + 1)⨸((~b)^2*((~m) + (~n)))* ∫(((~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_3_11",
+@rule ∫(((~!a)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) ?
+((~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸tan((~e) + (~f)*(~x))^(~n)* ∫(tan((~e) + (~f)*(~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_3_12",
+@rule ∫(((~!a)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m) - 1/2) &&
+    ext_isinteger((~n) - 1/2) ?
+((~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(-(~m))*((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(-(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_3_13",
+@rule ∫(((~!a)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(simpler(-(~m), -(~n))) ?
+(~a)^2⨸(~b)^2*((~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)*((~a)* sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* ∫(((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(-(~m))*((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(-(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_0_3_14",
+@rule ∫(((~!a)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) ?
+(~a)^2⨸(~b)^2*((~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)*((~a)* cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* ∫(((~a)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(-(~m))*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(-(~n)), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1/4.1.1.1 (a+b sin)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1/4.1.1.1 (a+b sin)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..099d35a2
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1/4.1.1.1 (a+b sin)^n.jl	
@@ -0,0 +1,230 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.1.1 (a+b sin)^n *)
+("4_1_1_1_1",
+@rule ∫(sin((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~x)) &&
+    igt(((~n) - 1)/2, 0) ?
+-1⨸(~d)*int_and_subst(ext_expand((1 - (~x)^2)^(((~n) - 1)⨸2),  (~x)), (~x), (~x), cos((~c) + (~d)*(~x)), "4_1_1_1_1") : nothing)
+
+("4_1_1_1_2",
+@rule ∫(sin((~!c) + (~!d)*(~x)/2)^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~x)) ?
+(~x)⨸2 - sin(2*(~c) + (~d)*(~x))⨸(2*(~d)) : nothing)
+
+#(* original line: Int[(b_.*sin[c_. + d_.*x_])^n_, x_Symbol] := (* -Cot[c+d*x]*(c*Sin[c+d*x])^n/(d*n) +  b^2*(n-1)/n*Int[(b*Sin[c+d*x])^(n-2),x] *) -b*Cos[c + d*x]*(b*Sin[c + d*x])^(n - 1)/(d*n) + b^2*(n - 1)/n*Int[(b*Sin[c + d*x])^(n - 2), x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && GtQ[n, 1] && IntegerQ[2*n] *)
+("4_1_1_1_3",
+@rule ∫(((~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+-(~b)*cos((~c) + (~d)*(~x))*((~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~d)*(~n)) + (~b)^2*((~n) - 1)⨸(~n)*∫(((~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_1_4",
+@rule ∫(((~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+cos((~c) + (~d)*(~x))*((~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~d)*((~n) + 1)) + ((~n) + 2)⨸((~b)^2*((~n) + 1))*∫(((~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_1_5",
+@rule ∫(sin((~!c) + Pi/2 + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~x)) ?
+sin((~c) + (~d)*(~x))⨸(~d) : nothing)
+
+("4_1_1_1_6",
+@rule ∫(sin((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~x)) ?
+-cos((~c) + (~d)*(~x))⨸(~d) : nothing)
+
+# added by Mattia Micheletta Merlin
+("4_1_1_1_6_1",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~x)) ?
+sin((~c) + (~d)*(~x))⨸(~d) : nothing)
+
+#(* Int[1/sin[c_.+d_.*x_],x_Symbol] := Int[Csc[c+d*x],x] /; FreeQ[{c,d},x] *)
+("4_1_1_1_7",
+@rule ∫(sqrt(sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~x)) ?
+2⨸(~d)*elliptic_e(1⨸2*((~c) - π⨸2 + (~d)*(~x)), 2) : nothing)
+
+("4_1_1_1_8",
+@rule ∫(1/sqrt(sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~x)) ?
+2⨸(~d)*elliptic_f(1⨸2*((~c) - π⨸2 + (~d)*(~x)), 2) : nothing)
+
+("4_1_1_1_9",
+@rule ∫(((~b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    lt(-1, (~n), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+((~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)⨸sin((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*∫(sin((~c) + (~d)*(~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(b_.*sin[c_.+d_.*x_])^n_,x_Symbol] := Cos[c+d*x]/(b*d*Sqrt[Cos[c+d*x]^2])*Subst[Int[x^n/Sqrt[1-x^2/b^2],x] ,x,b*Sin[c+d*x]] /; FreeQ[{b,c,d,n},x] && Not[IntegerQ[2*n] || IntegerQ[3*n]] *)
+("4_1_1_1_10",
+@rule ∫(((~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~n))) ?
+cos((~c) + (~d)*(~x))*((~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~d)*((~n) + 1)*sqrt(cos((~c) + (~d)*(~x))^2))* hypergeometric2f1(1⨸2, ((~n) + 1)⨸2, ((~n) + 3)⨸2, sin((~c) + (~d)*(~x))^2) : nothing)
+
+("4_1_1_1_11",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) ?
+(2*(~a)^2 + (~b)^2)*(~x)⨸2 - 2*(~a)*(~b)*cos((~c) + (~d)*(~x))⨸(~d) - (~b)^2*cos((~c) + (~d)*(~x))*sin((~c) + (~d)*(~x))⨸(2*(~d)) : nothing)
+
+("4_1_1_1_12",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_1_13",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-2*(~b)*cos((~c) + (~d)*(~x))⨸((~d)*sqrt((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_1_1_1_14",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt((~n) - 1/2, 0) ?
+-(~b)*cos((~c) + (~d)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~d)*(~n)) + (~a)*(2*(~n) - 1)⨸(~n)*∫(((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_1_15",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-cos((~c) + (~d)*(~x))⨸((~d)*((~b) + (~a)*sin((~c) + (~d)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_1_1_1_16",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-2⨸(~d)*int_and_subst(1⨸(2*(~a) - (~x)^2),  (~x), (~x), (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x))), "4_1_1_1_16") : nothing)
+
+("4_1_1_1_17",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+(~b)*cos((~c) + (~d)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)⨸((~a)*(~d)*(2*(~n) + 1)) + ((~n) + 1)⨸((~a)*(2*(~n) + 1))*∫(((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(a_+b_.*sin[c_.+d_.*x_])^n_,x_Symbol] := a^2*Cos[c+d*x]/(d*Sqrt[a+b*Sin[c+d*x]]*Sqrt[a-b*Sin[c+d*x]])*Subst[Int[(a+b*x)^(n-1/2)/Sqrt[a-b*x],x],x,Sin[c+d*x]] /; FreeQ[{a,b,c,d,n},x] && EqQ[a^2-b^2,0] && Not[IntegerQ[2*n]] *)
+("4_1_1_1_18",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~n))) &&
+    gt((~a), 0) ?
+-2^((~n) + 1⨸2)*(~a)^((~n) - 1⨸2)*(~b)* cos((~c) + (~d)*(~x))⨸((~d)*sqrt((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x))))* hypergeometric2f1(1⨸2, 1⨸2 - (~n), 3⨸2, 1⨸2*(1 - (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x))⨸(~a))) : nothing)
+
+("4_1_1_1_19",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~n))) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+(~a)^intpart((~n))*((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^ fracpart((~n))⨸(1 + (~b)⨸(~a)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^fracpart((~n))* ∫((1 + (~b)⨸(~a)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_1_20",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~a) + (~b), 0) ?
+2*sqrt((~a) + (~b))⨸(~d)*elliptic_e(1⨸2*((~c) - π⨸2 + (~d)*(~x)), 2*(~b)⨸((~a) + (~b))) : nothing)
+
+("4_1_1_1_21",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~a) - (~b), 0) ?
+2*sqrt((~a) - (~b))⨸(~d)*elliptic_e(1⨸2*((~c) + π⨸2 + (~d)*(~x)), -2*(~b)⨸((~a) - (~b))) : nothing)
+
+("4_1_1_1_22",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(gt((~a) + (~b), 0)) ?
+sqrt((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))⨸sqrt(((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~a) + (~b)))* ∫(sqrt((~a)⨸((~a) + (~b)) + (~b)⨸((~a) + (~b))*sin((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_1_23",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+-(~b)*cos((~c) + (~d)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~d)*(~n)) + 1⨸(~n)* ∫(((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 2)* simplify((~a)^2*(~n) + (~b)^2*((~n) - 1) + (~a)*(~b)*(2*(~n) - 1)*sin((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_1_24",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    gt((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    pos((~a)) ?
+(~x)⨸rt((~a)^2 - (~b)^2, 2) + 2⨸((~d)*rt((~a)^2 - (~b)^2, 2))*atan((~b)*cos((~c) + (~d)*(~x))⨸((~a) + rt((~a)^2 - (~b)^2, 2) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_1_1_1_25",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    gt((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    neg((~a)) ?
+-(~x)⨸rt((~a)^2 - (~b)^2, 2) - 2⨸((~d)*rt((~a)^2 - (~b)^2, 2))*atan((~b)*cos((~c) + (~d)*(~x))⨸((~a) - rt((~a)^2 - (~b)^2, 2) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_1_1_1_26",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*sin((~!c) + Pi/2 + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+2*free_factors(tan(((~c) + (~d)*(~x))⨸2), (~x))⨸(~d)* int_and_subst(1⨸((~a) + (~b) + ((~a) - (~b))*free_factors(tan(((~c) + (~d)*(~x))⨸2),  (~x))^2*(~x)^2), (~x), (~x), tan(((~c) + (~d)*(~x))⨸2)⨸free_factors(tan(((~c) + (~d)*(~x))⨸2), (~x)), "4_1_1_1_26") : nothing)
+
+("4_1_1_1_27",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+2*free_factors(tan(((~c) + (~d)*(~x))⨸2), (~x))⨸(~d)* int_and_subst(1⨸((~a) + 2*(~b)*free_factors(tan(((~c) + (~d)*(~x))⨸2),  (~x))*(~x) + (~a)*free_factors(tan(((~c) + (~d)*(~x))⨸2), (~x))^2*(~x)^2), (~x), (~x), tan(((~c) + (~d)*(~x))⨸2)⨸free_factors(tan(((~c) + (~d)*(~x))⨸2), (~x)), "4_1_1_1_27") : nothing)
+
+("4_1_1_1_28",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~a) + (~b), 0) ?
+2⨸((~d)*sqrt((~a) + (~b)))*elliptic_f(1⨸2*((~c) - π⨸2 + (~d)*(~x)), 2*(~b)⨸((~a) + (~b))) : nothing)
+
+("4_1_1_1_29",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~a) - (~b), 0) ?
+2⨸((~d)*sqrt((~a) - (~b)))*elliptic_f(1⨸2*((~c) + π⨸2 + (~d)*(~x)), -2*(~b)⨸((~a) - (~b))) : nothing)
+
+("4_1_1_1_30",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(gt((~a) + (~b), 0)) ?
+sqrt(((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~a) + (~b)))⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))* ∫(1⨸sqrt((~a)⨸((~a) + (~b)) + (~b)⨸((~a) + (~b))*sin((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_1_31",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+-(~b)*cos( (~c) + (~d)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*((~n) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) + 1⨸(((~n) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1)* simplify((~a)*((~n) + 1) - (~b)*((~n) + 2)*sin((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_1_32",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~n))) ?
+cos((~c) + (~d)*(~x))⨸((~d)*sqrt(1 + sin((~c) + (~d)*(~x)))*sqrt(1 - sin((~c) + (~d)*(~x))))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)⨸(sqrt(1 + (~x))*sqrt(1 - (~x))),  (~x), (~x), sin((~c) + (~d)*(~x)), "4_1_1_1_32") : nothing)
+
+("4_1_1_1_33",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))*cos((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) ?
+∫(((~a) + (~b)*sin(2*(~c) + 2*(~d)*(~x))⨸2)^(~n), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1/4.1.1.2 (g cos)^p (a+b sin)^m.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1/4.1.1.2 (g cos)^p (a+b sin)^m.jl
new file mode 100644
index 00000000..928fc1b5
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1/4.1.1.2 (g cos)^p (a+b sin)^m.jl	
@@ -0,0 +1,331 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.1.2 (g cos)^p (a+b sin)^m *)
+("4_1_1_2_1",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~p) - 1)/2) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    (
+        ge((~p), -1) ||
+        !(ext_isinteger((~m) + 1/2))
+    ) ?
+1⨸((~b)^(~p)*(~f))* int_and_subst(((~a) + (~x))^((~m) + ((~p) - 1)⨸2)*((~a) - (~x))^(((~p) - 1)⨸2),  (~x), (~x), (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_1_2_1") : nothing)
+
+("4_1_1_2_2",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~p) - 1)/2) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+1⨸((~b)^(~p)*(~f))* int_and_subst(((~a) + (~x))^(~m)*((~b)^2 - (~x)^2)^(((~p) - 1)⨸2),  (~x), (~x), (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_1_2_2") : nothing)
+
+("4_1_1_2_3",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~p)) ||
+        !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0)
+    ) ?
+-(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)⨸((~f)*(~g)*((~p) + 1)) + (~a)*∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_4",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    ge(2*(~m) + (~p), 0) ?
+((~a)⨸(~g))^(2*(~m))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(2*(~m) + (~p))⨸((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_5",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq(simplify((~m) + (~p) + 1), 0) &&
+    !(ilt((~p), 0)) ?
+(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~a)*(~f)*(~g)*(~m)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_6",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ilt(simplify((~m) + (~p) + 1), 0) &&
+    !eq(2*(~m) + (~p) + 1, 0) &&
+    !(igt((~m), 0)) ?
+(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)⨸((~a)*(~f)*(~g)*simplify(2*(~m) + (~p) + 1)) + simplify((~m) + (~p) + 1)⨸((~a)*simplify(2*(~m) + (~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_7",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq(2*(~m) + (~p) - 1, 0) &&
+    !eq((~m), 1) ?
+(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)⨸((~f)* (~g)*((~m) - 1)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_8",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt(simplify((2*(~m) + (~p) - 1)/2), 0) &&
+    !eq((~m) + (~p), 0) ?
+-(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)⨸((~f)* (~g)*((~m) + (~p))) + (~a)*(2*(~m) + (~p) - 1)⨸((~m) + (~p))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_9",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    le((~p), -2*(~m)) &&
+    ext_isinteger((~m) + 1/2, 2*(~p)) ?
+-(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)⨸((~a)*(~f)*(~g)*((~p) + 1)) + (~a)*((~m) + (~p) + 1)⨸((~g)^2*((~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_10",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ?
+-2*(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)⨸((~f)* (~g)*((~p) + 1)) + (~b)^2*(2*(~m) + (~p) - 1)⨸((~g)^2*((~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_11",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/sqrt((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~a)*sqrt(1 + cos((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~a) + (~a)*cos((~e) + (~f)*(~x)) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(sqrt(1 + cos((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + (~b)*sqrt(1 + cos((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~a) + (~a)*cos((~e) + (~f)*(~x)) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(sin((~e) + (~f)*(~x))⨸(sqrt((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt(1 + cos((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_12",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    !eq((~m) + (~p), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ?
+-(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)⨸((~f)* (~g)*((~m) + (~p))) + (~a)*(2*(~m) + (~p) - 1)⨸((~m) + (~p))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_13",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    gt((~p), 1) &&
+    (
+        gt((~m), -2) ||
+        eq(2*(~m) + (~p) + 1, 0) ||
+        eq((~m), -2) &&
+        ext_isinteger((~p))
+    ) &&
+    !eq((~m) + (~p), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ?
+(~g)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)* (~f)*((~m) + (~p))) + (~g)^2*((~p) - 1)⨸((~a)*((~m) + (~p)))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_14",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    le((~m), -2) &&
+    gt((~p), 1) &&
+    !eq(2*(~m) + (~p) + 1, 0) &&
+    !(ilt((~m) + (~p) + 1, 0)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ?
+2*(~g)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)* (~f)*(2*(~m) + (~p) + 1)) + (~g)^2*((~p) - 1)⨸((~b)^2*(2*(~m) + (~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_15",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !eq(2*(~m) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ?
+(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)⨸((~a)*(~f)*(~g)*(2*(~m) + (~p) + 1)) + ((~m) + (~p) + 1)⨸((~a)*(2*(~m) + (~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_16",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~p), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+(~g)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 1)⨸((~b)*(~f)*((~p) - 1)) + (~g)^2⨸(~a)*∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_17",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ge((~p), 1)) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~f)*(~g)*((~p) - 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) + (~p)⨸((~a)*((~p) - 1))*∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_18",
+@rule ∫(sqrt((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))/sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~g)*sqrt(1 + cos((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~a) + (~a)*cos((~e) + (~f)*(~x)) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(sqrt(1 + cos((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - (~g)*sqrt(1 + cos((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~b) + (~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)) + (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(sin((~e) + (~f)*(~x))⨸(sqrt((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt(1 + cos((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_19",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)/sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~g)*sqrt((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~b)*(~f)) + (~g)^2⨸(2*(~a))*∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_20",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)/sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~p), 2) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+-2*(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)⨸((~f)* (~g)*(2*(~p) - 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)) + 2*(~a)*((~p) - 2)⨸(2*(~p) - 1)* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_21",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)/sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+-(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)⨸((~a)*(~f)*(~g)*((~p) + 1)* sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) + (~a)*(2*(~p) + 1)⨸(2*(~g)^2*((~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_22",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+(~a)^(~m)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)⨸((~f)* (~g)*(1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))^(((~p) + 1)⨸2)*(1 - sin((~e) + (~f)*(~x)))^(((~p) + 1)⨸2))* int_and_subst((1 + (~b)⨸(~a)*(~x))^((~m) + ((~p) - 1)⨸2)*(1 - (~b)⨸(~a)*(~x))^(((~p) - 1)⨸2),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_1_2_22") : nothing)
+
+("4_1_1_2_23",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+(~a)^2*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)⨸((~f)* (~g)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(((~p) + 1)⨸2)*((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(((~p) + 1)⨸2))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + ((~p) - 1)⨸2)*((~a) - (~b)*(~x))^(((~p) - 1)⨸2),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_1_2_23") : nothing)
+
+("4_1_1_2_24",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt(0, (~m), 1) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+-((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)* sin((~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*(~g)*((~p) + 1)) + 1⨸((~g)^2*((~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~a)*((~p) + 2) + (~b)*((~m) + (~p) + 2)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_25",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+-((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~b) + (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~f)*(~g)*((~p) + 1)) + 1⨸((~g)^2*((~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~b)^2*((~m) - 1) + (~a)^2*((~p) + 2) + (~a)*(~b)*((~m) + (~p) + 1)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_26",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) + (~p), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+-(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)⨸((~f)* (~g)*((~m) + (~p))) + 1⨸((~m) + (~p))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~b)^2*((~m) - 1) + (~a)^2*((~m) + (~p)) + (~a)*(~b)*(2*(~m) + (~p) - 1)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_27",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    gt((~p), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ?
+(~g)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)* (~f)*((~m) + 1)) + (~g)^2*((~p) - 1)⨸((~b)*((~m) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)* sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_28",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ?
+-(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~f)* (~g)*((~a)^2 - (~b)^2)*((~m) + 1)) + 1⨸(((~a)^2 - (~b)^2)*((~m) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~a)*((~m) + 1) - (~b)*((~m) + (~p) + 2)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_29",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~p), 1) &&
+    !eq((~m) + (~p), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ?
+(~g)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)* (~f)*((~m) + (~p))) + (~g)^2*((~p) - 1)⨸((~b)*((~m) + (~p)))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~b) + (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_30",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ?
+((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~b) - (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~f)*(~g)*((~a)^2 - (~b)^2)*((~p) + 1)) + 1⨸((~g)^2*((~a)^2 - (~b)^2)*((~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~a)^2*((~p) + 2) - (~b)^2*((~m) + (~p) + 2) + (~a)*(~b)*((~m) + (~p) + 3)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_31",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))*sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+2*sqrt(2)*sqrt((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~a) - (~b))*(1 - sin((~e) + (~f)*(~x)))))⨸ ((~f)*(~g)*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((1 + cos((~e) + (~f)*(~x)) + sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(1 + cos((~e) + (~f)*(~x)) - sin((~e) + (~f)*(~x)))))* int_and_subst(1⨸sqrt(1 + ((~a) + (~b))*(~x)^4⨸((~a) - (~b))),  (~x), (~x), sqrt((1 + cos((~e) + (~f)*(~x)) + sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(1 + cos((~e) + (~f)*(~x)) - sin((~e) + (~f)*(~x)))), "4_1_1_2_31") : nothing)
+
+("4_1_1_2_32",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~m) + (~p) + 1, 0) ?
+(~g)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 1)*(1 - sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*(-((~a) - (~b))*(1 - sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~a) + (~b))*(1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))))^((~m)⨸2)⨸ ((~f)*((~a) + (~b))*((~m) + 1))* hypergeometric2f1((~m) + 1, (~m)⨸2 + 1, (~m) + 2, 2*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~a) + (~b))*(1 + sin((~e) + (~f)*(~x))))) : nothing)
+
+("4_1_1_2_33",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~m) + (~p) + 2, 0) ?
+((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~f)* (~g)*((~a) - (~b))*((~p) + 1)) + (~a)⨸((~g)^2*((~a) - (~b)))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)⨸(1 - sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_34",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ilt((~m) + (~p) + 2, 0) ?
+((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~f)* (~g)*((~a) - (~b))*((~p) + 1)) - (~b)*((~m) + (~p) + 2)⨸((~g)^2*((~a) - (~b))*((~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) + (~a)⨸((~g)^2*((~a) - (~b)))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)⨸(1 - sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_2_35",
+@rule ∫(sqrt((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~a)*(~g)⨸(2*(~b))*∫(1⨸(sqrt((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))*(rt(-(~a)^2 + (~b)^2, 2) + (~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) - (~a)*(~g)⨸(2*(~b))* ∫(1⨸(sqrt((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))*(rt(-(~a)^2 + (~b)^2, 2) - (~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) + (~b)*(~g)⨸(~f)* int_and_subst(sqrt((~x))⨸((~g)^2*((~a)^2 - (~b)^2) + (~b)^2*(~x)^2),  (~x), (~x), (~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_1_2_35") : nothing)
+
+("4_1_1_2_36",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-(~a)⨸(2*rt(-(~a)^2 + (~b)^2, 2))* ∫(1⨸(sqrt((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))*(rt(-(~a)^2 + (~b)^2, 2) + (~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) - (~a)⨸(2*rt(-(~a)^2 + (~b)^2, 2))* ∫(1⨸(sqrt((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))*(rt(-(~a)^2 + (~b)^2, 2) - (~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) + (~b)*(~g)⨸(~f)* int_and_subst(1⨸(sqrt((~x))*((~g)^2*((~a)^2 - (~b)^2) + (~b)^2*(~x)^2)),  (~x), (~x), (~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_1_2_36") : nothing)
+
+("4_1_1_2_37",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ilt((~m), 0) &&
+    !(igt((~m) + (~p) + 1, 0)) ?
+(~g)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸ ((~b)* (~f)*((~m) + (~p))*(-(~b)*(1 - sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))))^(((~p) - 1)⨸ 2)*((~b)*(1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))))^(((~p) - 1)⨸2))* appell_f1(-(~p) - (~m), (1 - (~p))⨸2, (1 - (~p))⨸2, 1 - (~p) - (~m), ((~a) + (~b))⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), ((~a) - (~b))⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_1_1_2_38",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(igt((~m), 0)) ?
+(~g)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 1)⨸((~f)*(1 - ((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~a) - (~b)))^(((~p) - 1)⨸ 2)*(1 - ((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~a) + (~b)))^(((~p) - 1)⨸2))* int_and_subst((-(~b)⨸((~a) - (~b)) - (~b)*(~x)⨸((~a) - (~b)))^(((~p) - 1)⨸2)*((~b)⨸((~a) + (~b)) - (~b)*(~x)⨸((~a) + (~b)))^(((~p) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*(~x))^(~m),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_1_2_38") : nothing)
+
+("4_1_1_2_39",
+@rule ∫(((~!g)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+(~g)^(2*intpart((~p)))*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~p))*((~g)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^ fracpart((~p))*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1/4.1.1.3 (g tan)^p (a+b sin)^m.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1/4.1.1.3 (g tan)^p (a+b sin)^m.jl
new file mode 100644
index 00000000..32a333b3
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1/4.1.1.3 (g tan)^p (a+b sin)^m.jl	
@@ -0,0 +1,214 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.1.3 (g tan)^p (a+b sin)^m *)
+("4_1_1_3_1",
+@rule ∫(((~!g)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!p)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+1⨸(~a)*∫(sec((~e) + (~f)*(~x))^2*((~g)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~p), (~x)) - 1⨸((~b)*(~g))*∫(sec((~e) + (~f)*(~x))*((~g)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_2",
+@rule ∫(tan((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(((~p) + 1)/2) ?
+1⨸(~f)*int_and_subst((~x)^(~p)*((~a) + (~x))^((~m) - ((~p) + 1)⨸2)⨸((~a) - (~x))^(((~p) + 1)⨸2),  (~x), (~x), (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_1_3_2") : nothing)
+
+("4_1_1_3_3",
+@rule ∫(tan((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~p)) &&
+    eq((~p), 2*(~m)) ?
+(~a)^(~p)*∫(sin((~e) + (~f)*(~x))^(~p)⨸((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_4",
+@rule ∫(tan((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~p)/2) &&
+    (
+        lt((~p), 0) ||
+        gt((~m) - (~p)/2, 0)
+    ) ?
+(~a)^(~p)*∫( ext_expand( sin((~e) + (~f)*(~x))^ (~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - (~p)⨸2)⨸((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~p)⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_5",
+@rule ∫(((~!g)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt((~m), 0) ?
+∫(ext_expand(((~g)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~p), ((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_6",
+@rule ∫(((~!g)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ilt((~m), 0) ?
+(~a)^(2*(~m))* ∫(ext_expand(((~g)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)* sec((~e) + (~f)*(~x))^(-(~m)), ((~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)) - (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(-(~m)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_7",
+@rule ∫(tan((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    lt((~m), 0) ?
+(~b)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) - 1)*cos((~e) + (~f)*(~x))) - 1⨸((~a)^2*(2*(~m) - 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~a)*(~m) - (~b)*(2*(~m) - 1)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸ cos((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_8",
+@rule ∫(tan((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(lt((~m), 0)) ?
+-((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~f)*(~m)*cos((~e) + (~f)*(~x))) + 1⨸((~b)*(~m))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*((~m) + 1) + (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸ cos((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_9",
+@rule ∫(tan((~!e) + (~!f)*(~x))^4*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m) - 1/2) ?
+∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) - ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*(1 - 2*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)⨸cos((~e) + (~f)*(~x))^4, (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_10",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)/tan((~!e) + (~!f)*(~x))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m) - 1/2) &&
+    lt((~m), -1) ?
+-((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~a)*(~f)*tan((~e) + (~f)*(~x))) + 1⨸(~b)^2* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~b)*(~m) - (~a)*((~m) + 1)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸ sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_11",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)/tan((~!e) + (~!f)*(~x))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m) - 1/2) &&
+    !(lt((~m), -1)) ?
+-((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~f)*tan((~e) + (~f)*(~x))) + 1⨸(~a)* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*(~m) - (~a)*((~m) + 1)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸ sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_12",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)/tan((~!e) + (~!f)*(~x))^4,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m) - 1/2) &&
+    lt((~m), -1) ?
+-2⨸((~a)*(~b))*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)⨸sin((~e) + (~f)*(~x))^3, (~x)) + 1⨸(~a)^2* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*(1 + sin((~e) + (~f)*(~x))^2)⨸ sin((~e) + (~f)*(~x))^4, (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_13",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)/tan((~!e) + (~!f)*(~x))^4,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m) - 1/2) &&
+    !(lt((~m), -1)) ?
+∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) + ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*(1 - 2*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)⨸sin((~e) + (~f)*(~x))^4, (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_14",
+@rule ∫(tan((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    ext_isinteger((~p)/2) ?
+sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~b)*(~f)*cos((~e) + (~f)*(~x)))* int_and_subst((~x)^(~p)*((~a) + (~x))^((~m) - ((~p) + 1)⨸2)⨸((~a) - (~x))^(((~p) + 1)⨸2),  (~x), (~x), (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_1_3_14") : nothing)
+
+("4_1_1_3_15",
+@rule ∫(((~!g)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~g)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(((~p) + 1)⨸ 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(((~p) + 1)⨸2)⨸((~f)* (~g)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1))* int_and_subst((~x)^(~p)*((~a) + (~x))^((~m) - ((~p) + 1)⨸2)⨸((~a) - (~x))^(((~p) + 1)⨸2),  (~x), (~x), (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_1_3_15") : nothing)
+
+("4_1_1_3_16",
+@rule ∫(tan((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(((~p) + 1)/2) ?
+1⨸(~f)*int_and_subst(((~x)^(~p)*((~a) + (~x))^(~m))⨸((~b)^2 - (~x)^2)^(((~p) + 1)⨸2),  (~x), (~x), (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_1_3_16") : nothing)
+
+("4_1_1_3_17",
+@rule ∫(((~!g)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt((~m), 0) ?
+∫(ext_expand(((~g)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~p), ((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_18",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)/tan((~!e) + (~!f)*(~x))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*(1 - sin((~e) + (~f)*(~x))^2)⨸sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_19",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)/tan((~!e) + (~!f)*(~x))^4,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+-cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸(3*(~a)*(~f)*sin((~e) + (~f)*(~x))^3) - (3*(~a)^2 + (~b)^2*((~m) - 2))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸(3*(~a)^2*(~b)*(~f)*((~m) + 1)* sin((~e) + (~f)*(~x))^2) - 1⨸(3*(~a)^2*(~b)*((~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸sin((~e) + (~f)*(~x))^3* simplify(6*(~a)^2 - (~b)^2*((~m) - 1)*((~m) - 2) + (~a)*(~b)*((~m) + 1)*sin((~e) + (~f)*(~x)) - (3*(~a)^2 - (~b)^2*(~m)*((~m) - 2))* sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(a_+b_.*sin[e_.+f_.*x_])^m_/tan[e_.+f_.*x_]^4,x_Symbol] := -Cos[e+f*x]*(a+b*Sin[e+f*x])^(m+1)/(3*a*f*Sin[e+f*x]^3) - Cos[e+f*x]*(a+b*Sin[e+f*x])^(m+1)/(b*f*m*Sin[e+f*x]^2) - 1/(3*a*b*m)*Int[(a+b*Sin[e+f*x])^m/Sin[e+f*x]^3* Simp[6*a^2-b^2*m*(m-2)+a*b*(m+3)*Sin[e+f*x]-(3*a^2-b^2*m*(m-1))* Sin[e+f*x]^2,x],x] /; FreeQ[{a,b,e,f,m},x] && NeQ[a^2-b^2,0] && Not[LtQ[m,-1]] &&  IntegerQ[2*m] *)
+("4_1_1_3_20",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)/tan((~!e) + (~!f)*(~x))^4,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+-cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸(3*(~a)*(~f)*sin((~e) + (~f)*(~x))^3) - (~b)*((~m) - 2)* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸(6*(~a)^2*(~f)* sin((~e) + (~f)*(~x))^2) - 1⨸(6*(~a)^2)*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸sin((~e) + (~f)*(~x))^2* simplify(8*(~a)^2 - (~b)^2*((~m) - 1)*((~m) - 2) + (~a)*(~b)*(~m)*sin((~e) + (~f)*(~x)) - (6*(~a)^2 - (~b)^2*(~m)*((~m) - 2))*sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_21",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)/tan((~!e) + (~!f)*(~x))^6,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~m), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+-cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸(5*(~a)*(~f)*sin((~e) + (~f)*(~x))^5) - (~b)*((~m) - 4)* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸(20*(~a)^2*(~f)* sin((~e) + (~f)*(~x))^4) + (~a)*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)^2*(~f)*(~m)*((~m) - 1)* sin((~e) + (~f)*(~x))^3) + cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~f)*(~m)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2) + 1⨸(20*(~a)^2*(~b)^2*(~m)*((~m) - 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸sin((~e) + (~f)*(~x))^4* simplify(60*(~a)^4 - 44*(~a)^2*(~b)^2*((~m) - 1)*(~m) + (~b)^4*(~m)*((~m) - 1)*((~m) - 3)*((~m) - 4) + (~a)*(~b)*(~m)*(20*(~a)^2 - (~b)^2*(~m)*((~m) - 1))*sin((~e) + (~f)*(~x)) - (40*(~a)^4 + (~b)^4*(~m)*((~m) - 1)*((~m) - 2)*((~m) - 4) - 20*(~a)^2*(~b)^2*((~m) - 1)*(2*(~m) + 1))*sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_22",
+@rule ∫(((~!g)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    gt((~p), 1) ?
+(~a)⨸((~a)^2 - (~b)^2)*∫(((~g)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)⨸sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)) - (~b)*(~g)⨸((~a)^2 - (~b)^2)*∫(((~g)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 1)⨸cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x)) - (~a)^2*(~g)^2⨸((~a)^2 - (~b)^2)* ∫(((~g)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_23",
+@rule ∫(((~!g)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) &&
+    lt((~p), -1) ?
+1⨸(~a)*∫(((~g)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)⨸cos((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)) - (~b)⨸((~a)^2*(~g))*∫(((~g)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)⨸cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x)) - ((~a)^2 - (~b)^2)⨸((~a)^2*(~g)^2)* ∫(((~g)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_24",
+@rule ∫(sqrt((~!g)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+sqrt(cos((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~g)*tan((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt(sin((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(sqrt(sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sqrt(cos((~e) + (~f)*(~x)))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_25",
+@rule ∫(1/(sqrt((~g)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+sqrt(sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sqrt(cos((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~g)*tan((~e) + (~f)*(~x))))* ∫(sqrt(cos((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sqrt(sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_1_3_26",
+@rule ∫(tan((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~p)/2) ?
+∫(ext_expand( sin((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸(1 - sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^((~p)⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_1_3_27",
+# @rule ∫(((~!g)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~g)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)] : nothing)
+
+("4_1_1_3_28",
+@rule ∫(((~!g)*cot((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+(~g)^(2*intpart((~p)))*((~g)*cot((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~p))*((~g)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^ fracpart((~p))*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~g)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.10 (c+d x)^m (a+b sin)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.10 (c+d x)^m (a+b sin)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..f989578f
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.10 (c+d x)^m (a+b sin)^n.jl	
@@ -0,0 +1,252 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.10 (c+d x)^m (a+b sin)^n *)
+("4_1_10_1",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~m), 0) ?
+-((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*cos((~e) + (~f)*(~x))⨸(~f) + (~d)*(~m)⨸(~f)*∫(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1)*cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_1_1",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~m), 0) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*sin((~e) + (~f)*(~x))⨸(~f) + (~d)*(~m)⨸(~f)*∫(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1)*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_2",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~m)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)*sin((~e) + (~f)*(~x))⨸((~d)*((~m) + 1)) - (~f)⨸((~d)*((~m) + 1))*∫(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)*cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_10_3",
+# @rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*Complex[0, (~fz)]*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~fz), (~x)) &&
+#     eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f)*(~fz)*(~I), 0) ?
+# (~I)*SinhIntegral[(~c)*(~f)*(~fz)⨸(~d) + (~f)*(~fz)*(~x)]⨸(~d) : nothing)
+
+("4_1_10_4",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) ?
+SymbolicUtils.sinint((~e) + (~f)*(~x))⨸(~d) : nothing)
+
+# ("4_1_10_5",
+# @rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*Complex[0, (~fz)]*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~fz), (~x)) &&
+#     eq((~d)*((~e) - π/2) - (~c)*(~f)*(~fz)*(~I), 0) &&
+#     neg((~c)*(~f)*(~fz)/(~d), 0) ?
+# CoshIntegral[-(~c)*(~f)*(~fz)⨸(~d) - (~f)*(~fz)*(~x)]⨸(~d) : nothing)
+# 
+# ("4_1_10_6",
+# @rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*Complex[0, (~fz)]*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~fz), (~x)) &&
+#     eq((~d)*((~e) - π/2) - (~c)*(~f)*(~fz)*(~I), 0) ?
+# CoshIntegral[(~c)*(~f)*(~fz)⨸(~d) + (~f)*(~fz)*(~x)]⨸(~d) : nothing)
+
+("4_1_10_7",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~d)*((~e) - π/2) - (~c)*(~f), 0) ?
+SymbolicUtils.cosint((~e) - π⨸2 + (~f)*(~x))⨸(~d) : nothing)
+
+("4_1_10_8",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))/((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) ?
+cos(((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸(~d))*∫(sin((~c)*(~f)⨸(~d) + (~f)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) + sin(((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸(~d))*∫(cos((~c)*(~f)⨸(~d) + (~f)*(~x))⨸((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_9",
+@rule ∫(sin((~!e) + π/2 + (~!f)*(~x))/sqrt((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    complexfree((~f)) &&
+    eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) ?
+2⨸(~d)*int_and_subst(cos((~f)*(~x)^2⨸(~d)),  (~x), (~x), sqrt((~c) + (~d)*(~x)), "4_1_10_9") : nothing)
+
+("4_1_10_10",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))/sqrt((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    complexfree((~f)) &&
+    eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) ?
+2⨸(~d)*int_and_subst(sin((~f)*(~x)^2⨸(~d)),  (~x), (~x), sqrt((~c) + (~d)*(~x)), "4_1_10_10") : nothing)
+
+("4_1_10_11",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))/sqrt((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    complexfree((~f)) &&
+    !eq((~d)*(~e) - (~c)*(~f), 0) ?
+cos(((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸(~d))*∫(sin((~c)*(~f)⨸(~d) + (~f)*(~x))⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) + sin(((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸(~d))*∫(cos((~c)*(~f)⨸(~d) + (~f)*(~x))⨸sqrt((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_12",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*sin((~!e) + (~!k)*π + (~!f)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~k)) ?
+(~I)⨸2*∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*ℯ^(-(~I)*(~k)*π)*ℯ^(-(~I)*((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - (~I)⨸2*∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*ℯ^((~I)*(~k)*π)*ℯ^((~I)*((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_13",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) ?
+(~I)⨸2*∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*ℯ^(-(~I)*((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - (~I)⨸2*∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*ℯ^((~I)*((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_14",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)/2)^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) ?
+1⨸2*∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m), (~x)) - 1⨸2*∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*cos(2*(~e) + (~f)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_15",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))*((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~n), 1) ?
+(~d)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)^2*(~n)^2) - (~b)*((~c) + (~d)*(~x))*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*(~n)) + (~b)^2*((~n) - 1)⨸(~n)*∫(((~c) + (~d)*(~x))*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_16",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~m)*((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    gt((~m), 1) ?
+(~d)*(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)^2*(~n)^2) - (~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*(~n)) + (~b)^2*((~n) - 1)⨸(~n)*∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) - (~d)^2*(~m)*((~m) - 1)⨸((~f)^2*(~n)^2)* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 2)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_10_17",
+# @rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~m)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+#     igt((~n), 1) &&
+#     (
+#         !(isrational((~m))) ||
+#         ge((~m), -1) &&
+#         lt((~m), 1)
+#     ) ?
+# ∫(ExpandTrigReduce[((~c) + (~d)*(~x))^(~m), sin((~e) + (~f)*(~x))^(~n), (~x)], (~x)) : nothing)
+# 
+# ("4_1_10_18",
+# @rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~m)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+#     igt((~n), 1) &&
+#     ge((~m), -2) &&
+#     lt((~m), -1) ?
+# ((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)*sin((~e) + (~f)*(~x))^(~n)⨸((~d)*((~m) + 1)) - (~f)*(~n)⨸((~d)*((~m) + 1))* ∫(ExpandTrigReduce[((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1), cos((~e) + (~f)*(~x))*sin((~e) + (~f)*(~x))^((~n) - 1), (~x)], (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_19",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~m)*((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    lt((~m), -2) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~d)*((~m) + 1)) - (~b)*(~f)*(~n)*((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 2)* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~d)^2*((~m) + 1)*((~m) + 2)) - (~f)^2*(~n)^2⨸((~d)^2*((~m) + 1)*((~m) + 2))* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 2)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) + (~b)^2*(~f)^2*(~n)*((~n) - 1)⨸((~d)^2*((~m) + 1)*((~m) + 2))* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 2)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_20",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))*((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq((~n), -2) ?
+((~c) + (~d)*(~x))*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~n) + 1)) - (~d)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2)⨸((~b)^2*(~f)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2)) + ((~n) + 2)⨸((~b)^2*((~n) + 1))* ∫(((~c) + (~d)*(~x))*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_21",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq((~n), -2) &&
+    gt((~m), 1) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~n) + 1)) - (~d)*(~m)*((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2)⨸((~b)^2* (~f)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2)) + ((~n) + 2)⨸((~b)^2*((~n) + 1))* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) + (~d)^2*(~m)*((~m) - 1)⨸((~b)^2*(~f)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2))* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 2)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_22",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    (
+        eq((~n), 1) ||
+        igt((~m), 0) ||
+        !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~c) + (~d)*(~x))^(~m), ((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_23",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    (
+        gt((~n), 0) ||
+        igt((~m), 0)
+    ) ?
+(2*(~a))^(~n)* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*sin(1⨸2*((~e) + π*(~a)⨸(2*(~b))) + (~f)*(~x)⨸2)^(2*(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_24",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~n) + 1/2) &&
+    (
+        gt((~n), 0) ||
+        igt((~m), 0)
+    ) ?
+(2*(~a))^intpart((~n))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~n))⨸ sin((~e)⨸2 + (~a)*π⨸(4*(~b)) + (~f)*(~x)⨸2)^(2*fracpart((~n)))* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*sin((~e)⨸2 + (~a)*π⨸(4*(~b)) + (~f)*(~x)⨸2)^(2*(~n)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(c_.+d_.*x_)^m_.*(a_+b_.*sin[e_.+f_.*x_])^n_.,x_Symbol] := (2*a)^n*Int[(c+d*x)^m*Cos[1/2*(e-Pi*a/(2*b))+f*x/2]^(2*n),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,m},x] && EqQ[a^2-b^2,0] && IntegerQ[n] &&  (GtQ[n,0] || IGtQ[m,0]) *)
+#(* Int[(c_.+d_.*x_)^m_.*(a_+b_.*sin[e_.+f_.*x_])^n_,x_Symbol] := (2*a)^IntPart[n]*(a+b*Sin[e+f*x])^FracPart[n]/Cos[1/2*(e-Pi*a/(2*b)) +f*x/2]^(2*FracPart[n])* Int[(c+d*x)^m*Cos[1/2*(e-Pi*a/(2*b))+f*x/2]^(2*n),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,m},x] && EqQ[a^2-b^2,0] && IntegerQ[n+1/2] &&  (GtQ[n,0] || IGtQ[m,0]) *)
+# ("4_1_10_25",
+# @rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!m)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!k)*π + (~!f)*Complex[0, (~fz)]*(~x))),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~fz), (~x)) &&
+#     ext_isinteger(2*(~k)) &&
+#     !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+#     igt((~m), 0) ?
+# 2*∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*ℯ^(-(~I)*π*((~k) - 1⨸2))* ℯ^(-(~I)*(~e) + (~f)*(~fz)*(~x))⨸((~b) + 2*(~a)*ℯ^(-(~I)*π*((~k) - 1⨸2))*ℯ^(-(~I)*(~e) + (~f)*(~fz)*(~x)) - (~b)*ℯ^(-2*(~I)*(~k)*π)*ℯ^(2*(-(~I)*(~e) + (~f)*(~fz)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_26",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!k)*π + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~k)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt((~m), 0) ?
+2*∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*ℯ^((~I)*π*((~k) - 1⨸2))* ℯ^((~I)*((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~b) + 2*(~a)*ℯ^((~I)*π*((~k) - 1⨸2))*ℯ^((~I)*((~e) + (~f)*(~x))) - (~b)*ℯ^(2*(~I)*(~k)*π)*ℯ^(2*(~I)*((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(c_.+d_.*x_)^m_./(a_+b_.*sin[e_.+f_.*Complex[0,fz_]*x_]),x_ Symbol] := 2*I*Int[(c+d*x)^m*E^(-I*e+f*fz*x)/(b+2*I*a*E^(-I*e+f*fz*x)-b*E^(2*(- I*e+f*fz*x))),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,fz},x] && NeQ[a^2-b^2,0] && IGtQ[m,0] *)
+#(* Int[(c_.+d_.*x_)^m_./(a_+b_.*sin[e_.+f_.*x_]),x_Symbol] := -2*I*Int[(c+d*x)^m*E^(I*(e+f*x))/(b-2*I*a*E^(I*(e+f*x))-b*E^(2*I*(e+ f*x))),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f},x] && NeQ[a^2-b^2,0] && IGtQ[m,0] *)
+# ("4_1_10_27",
+# @rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*Complex[0, (~fz)]*(~x))),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~fz), (~x)) &&
+#     !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+#     igt((~m), 0) ?
+# 2*∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)* ℯ^(-(~I)*(~e) + (~f)*(~fz)*(~x))⨸(-(~I)*(~b) + 2*(~a)*ℯ^(-(~I)*(~e) + (~f)*(~fz)*(~x)) + (~I)*(~b)*ℯ^(2*(-(~I)*(~e) + (~f)*(~fz)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_28",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt((~m), 0) ?
+2*∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)* ℯ^((~I)*((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~I)*(~b) + 2*(~a)*ℯ^((~I)*((~e) + (~f)*(~x))) - (~I)*(~b)*ℯ^(2*(~I)*((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_29",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt((~m), 0) ?
+(~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*cos((~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*((~a)^2 - (~b)^2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) + (~a)⨸((~a)^2 - (~b)^2)*∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - (~b)*(~d)*(~m)⨸((~f)*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1)*cos((~e) + (~f)*(~x))⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_30",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ilt((~n), -2) &&
+    igt((~m), 0) ?
+-(~b)*((~c) + (~d)*(~x))^(~m)* cos((~e) + (~f)* (~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~f)*((~n) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) + (~a)⨸((~a)^2 - (~b)^2)* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) + (~b)*(~d)*(~m)⨸((~f)*((~n) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) - (~b)*((~n) + 2)⨸(((~n) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*sin((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_10_31",
+# @rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+("4_1_10_32",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~v)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) &&
+    linear((~u), (~v), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~v), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~m)*((~a) + (~b)*sin(expand_to_sum((~v), (~x))))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_10_33",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~v)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) &&
+    linear((~u), (~v), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~v), (~x))) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~m)*((~a) + (~b)*cos(expand_to_sum((~v), (~x))))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.11 (e x)^m (a+b x^n)^p sin.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.11 (e x)^m (a+b x^n)^p sin.jl
new file mode 100644
index 00000000..0e604c3c
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.11 (e x)^m (a+b x^n)^p sin.jl	
@@ -0,0 +1,183 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.11 (e x)^m (a+b x^n)^p sin *)
+("4_1_11_1",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(sin((~c) + (~d)*(~x)), ((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_11_2",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(cos((~c) + (~d)*(~x)), ((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_11_3",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    ilt((~p), -1) &&
+    igt((~n), 2) ?
+(~x)^(-(~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*sin((~c) + (~d)*(~x))⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) - (-(~n) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫((~x)^(-(~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*sin((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫((~x)^(-(~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*cos((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_11_4",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    ilt((~p), -1) &&
+    igt((~n), 2) ?
+(~x)^(-(~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*cos((~c) + (~d)*(~x))⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) - (-(~n) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫((~x)^(-(~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*cos((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) + (~d)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫((~x)^(-(~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*sin((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_11_5",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    ilt((~p), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    (
+        eq((~n), 2) ||
+        eq((~p), -1)
+    ) ?
+∫(ext_expand(sin((~c) + (~d)*(~x)), ((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_11_6",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    ilt((~p), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    (
+        eq((~n), 2) ||
+        eq((~p), -1)
+    ) ?
+∫(ext_expand(cos((~c) + (~d)*(~x)), ((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_11_7",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    ilt((~p), 0) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+∫((~x)^((~n)*(~p))*((~b) + (~a)*(~x)^(-(~n)))^(~p)*sin((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_11_8",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    ilt((~p), 0) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+∫((~x)^((~n)*(~p))*((~b) + (~a)*(~x)^(-(~n)))^(~p)*cos((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_11_9",
+# @rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*sin((~c) + (~d)*(~x)), (~x)] : nothing)
+
+# ("4_1_11_10",
+# @rule ∫(((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*cos((~c) + (~d)*(~x)), (~x)] : nothing)
+
+("4_1_11_11",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(sin((~c) + (~d)*(~x)), ((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_11_12",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(cos((~c) + (~d)*(~x)), ((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_11_13",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ilt((~p), -1) &&
+    eq((~m), (~n) - 1) &&
+    (
+        ext_isinteger((~n)) ||
+        gt((~e), 0)
+    ) ?
+(~e)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*sin((~c) + (~d)*(~x))⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) - (~d)*(~e)^(~m)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))*∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*cos((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_11_14",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ilt((~p), -1) &&
+    eq((~m), (~n) - 1) &&
+    (
+        ext_isinteger((~n)) ||
+        gt((~e), 0)
+    ) ?
+(~e)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*cos((~c) + (~d)*(~x))⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) + (~d)*(~e)^(~m)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))*∫(((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*sin((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_11_15",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    ilt((~p), -1) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    (
+        gt((~m) - (~n) + 1, 0) ||
+        gt((~n), 2)
+    ) &&
+    isrational((~m)) ?
+(~x)^((~m) - (~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*sin((~c) + (~d)*(~x))⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) - ((~m) - (~n) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫((~x)^((~m) - (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*sin((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫((~x)^((~m) - (~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*cos((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_11_16",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    ilt((~p), -1) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    (
+        gt((~m) - (~n) + 1, 0) ||
+        gt((~n), 2)
+    ) &&
+    isrational((~m)) ?
+(~x)^((~m) - (~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*cos((~c) + (~d)*(~x))⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) - ((~m) - (~n) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫((~x)^((~m) - (~n))*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*cos((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) + (~d)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫((~x)^((~m) - (~n) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)*sin((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_11_17",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    ilt((~p), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    (
+        eq((~n), 2) ||
+        eq((~p), -1)
+    ) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand(sin((~c) + (~d)*(~x)), (~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_11_18",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    ilt((~p), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    (
+        eq((~n), 2) ||
+        eq((~p), -1)
+    ) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand(cos((~c) + (~d)*(~x)), (~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_11_19",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    ilt((~p), 0) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+∫((~x)^((~m) + (~n)*(~p))*((~b) + (~a)*(~x)^(-(~n)))^(~p)*sin((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_11_20",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    ilt((~p), 0) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+∫((~x)^((~m) + (~n)*(~p))*((~b) + (~a)*(~x)^(-(~n)))^(~p)*cos((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_11_21",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*sin((~c) + (~d)*(~x)), (~x)] : nothing)
+
+# ("4_1_11_22",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~!p)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)*cos((~c) + (~d)*(~x)), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.12 (e x)^m (a+b sin(c+d x^n))^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.12 (e x)^m (a+b sin(c+d x^n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..af22ae5b
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.12 (e x)^m (a+b sin(c+d x^n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,667 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.12 (e x)^m (a+b sin(c+d x^n))^p *)
+("4_1_12_1",
+@rule ∫(sin((~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~d), (~e), (~f), (~x)) ?
+sqrt(π⨸2)⨸((~f)*rt((~d), 2))*FresnelIntegrals.fresnels(sqrt(2⨸π)*rt((~d), 2)*((~e) + (~f)*(~x))) : nothing)
+
+("4_1_12_2",
+@rule ∫(cos((~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~d), (~e), (~f), (~x)) ?
+sqrt(π⨸2)⨸((~f)*rt((~d), 2))*FresnelIntegrals.fresnelc(sqrt(2⨸π)*rt((~d), 2)*((~e) + (~f)*(~x))) : nothing)
+
+("4_1_12_3",
+@rule ∫(sin((~c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) ?
+sin((~c))*∫(cos((~d)*((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) + cos((~c))*∫(sin((~d)*((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_4",
+@rule ∫(cos((~c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) ?
+cos((~c))*∫(cos((~d)*((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) - sin((~c))*∫(sin((~d)*((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_5",
+@rule ∫(sin((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    igt((~n), 2) ?
+(~I)⨸2*∫(ℯ^(-(~c)*(~I) - (~d)*(~I)*((~e) + (~f)*(~x))^(~n)), (~x)) - (~I)⨸2*∫(ℯ^((~c)*(~I) + (~d)*(~I)*((~e) + (~f)*(~x))^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_6",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    igt((~n), 2) ?
+1⨸2*∫(ℯ^(-(~c)*(~I) - (~d)*(~I)*((~e) + (~f)*(~x))^(~n)), (~x)) + 1⨸2*∫(ℯ^((~c)*(~I) + (~d)*(~I)*((~e) + (~f)*(~x))^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_12_7",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+#     igt((~p), 1) &&
+#     igt((~n), 1) ?
+# ∫(ExpandTrigReduce[((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*((~e) + (~f)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x)], (~x)) : nothing)
+# 
+# ("4_1_12_8",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+#     igt((~p), 1) &&
+#     igt((~n), 1) ?
+# ∫(ExpandTrigReduce[((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*((~e) + (~f)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x)], (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_9",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    eq((~n), -2) ?
+-1⨸(~f)*int_and_subst(((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n))))^(~p)⨸(~x)^2,  (~x), (~x), 1⨸((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_12_9") : nothing)
+
+("4_1_12_10",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    eq((~n), -2) ?
+-1⨸(~f)*int_and_subst(((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n))))^(~p)⨸(~x)^2,  (~x), (~x), 1⨸((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_12_10") : nothing)
+
+("4_1_12_11",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ext_isinteger(1/(~n)) ?
+1⨸((~n)*(~f))* int_and_subst((~x)^(1⨸(~n) - 1)*((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p),  (~x), (~x), ((~e) + (~f)*(~x))^(~n), "4_1_12_11") : nothing)
+
+("4_1_12_12",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ext_isinteger(1/(~n)) ?
+1⨸((~n)*(~f))* int_and_subst((~x)^(1⨸(~n) - 1)*((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)))^(~p),  (~x), (~x), ((~e) + (~f)*(~x))^(~n), "4_1_12_12") : nothing)
+
+# ("4_1_12_13",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+#     igt((~p), 0) &&
+#     isfraction((~n)) ?
+# Module[{(~k) = ext_den((~n))}, (~k)⨸(~f)* int_and_subst((~x)^((~k) - 1)*((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)^((~k)*(~n))))^(~p),  (~x), (~x), ((~e) + (~f)*(~x))^(1⨸(~k)), "4_1_12_13")] : nothing)
+# 
+# ("4_1_12_14",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+#     igt((~p), 0) &&
+#     isfraction((~n)) ?
+# Module[{(~k) = ext_den((~n))}, (~k)⨸(~f)* int_and_subst((~x)^((~k) - 1)*((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)^((~k)*(~n))))^(~p),  (~x), (~x), ((~e) + (~f)*(~x))^(1⨸(~k)), "4_1_12_14")] : nothing)
+
+("4_1_12_15",
+@rule ∫(sin((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) ?
+(~I)⨸2*∫(ℯ^(-(~c)*(~I) - (~d)*(~I)*((~e) + (~f)*(~x))^(~n)), (~x)) - (~I)⨸2*∫(ℯ^((~c)*(~I) + (~d)*(~I)*((~e) + (~f)*(~x))^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_16",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) ?
+1⨸2*∫(ℯ^(-(~c)*(~I) - (~d)*(~I)*((~e) + (~f)*(~x))^(~n)), (~x)) + 1⨸2*∫(ℯ^((~c)*(~I) + (~d)*(~I)*((~e) + (~f)*(~x))^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_12_17",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+#     igt((~p), 1) ?
+# ∫(ExpandTrigReduce[((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*((~e) + (~f)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x)], (~x)) : nothing)
+# 
+# ("4_1_12_18",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+#     igt((~p), 1) ?
+# ∫(ExpandTrigReduce[((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*((~e) + (~f)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x)], (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_12_19",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*((~e) + (~f)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+# ("4_1_12_20",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*((~e) + (~f)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("4_1_12_21",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~u)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_22",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*(~u)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_23",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~u)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~x)) &&
+    isbinomial((~u), (~x)) &&
+    !(binomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(((~a) + (~b)*sin(expand_to_sum((~u), (~x))))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_24",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*cos((~u)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~x)) &&
+    isbinomial((~u), (~x)) &&
+    !(binomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(((~a) + (~b)*cos(expand_to_sum((~u), (~x))))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_25",
+@rule ∫(sin((~!d)*(~x)^(~!n))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~d), (~n), (~x)) ?
+SymbolicUtils.sinint((~d)*(~x)^(~n))⨸(~n) : nothing)
+
+("4_1_12_26",
+@rule ∫(cos((~!d)*(~x)^(~!n))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~d), (~n), (~x)) ?
+SymbolicUtils.cosint((~d)*(~x)^(~n))⨸(~n) : nothing)
+
+("4_1_12_27",
+@rule ∫(sin((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~n), (~x)) ?
+sin((~c))*∫(cos((~d)*(~x)^(~n))⨸(~x), (~x)) + cos((~c))*∫(sin((~d)*(~x)^(~n))⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_28",
+@rule ∫(cos((~c) + (~!d)*(~x)^(~n))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~n), (~x)) ?
+cos((~c))*∫(cos((~d)*(~x)^(~n))⨸(~x), (~x)) - sin((~c))*∫(sin((~d)*(~x)^(~n))⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_29",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger( simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    (
+        eq((~p), 1) ||
+        eq((~m), (~n) - 1) ||
+        ext_isinteger((~p)) &&
+        gt(simplify(((~m) + 1)/(~n)), 0)
+    ) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "4_1_12_29") : nothing)
+
+("4_1_12_30",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger( simplify(((~m) + 1)/(~n))) &&
+    (
+        eq((~p), 1) ||
+        eq((~m), (~n) - 1) ||
+        ext_isinteger((~p)) &&
+        gt(simplify(((~m) + 1)/(~n)), 0)
+    ) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "4_1_12_30") : nothing)
+
+("4_1_12_31",
+@rule ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) ?
+(~e)^intpart((~m))*((~e)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_32",
+@rule ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) ?
+(~e)^intpart((~m))*((~e)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_33",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m), (~n)/2 - 1) ?
+2⨸(~n)*int_and_subst(sin((~a) + (~b)*(~x)^2),  (~x), (~x), (~x)^((~n)⨸2), "4_1_12_33") : nothing)
+
+("4_1_12_34",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m), (~n)/2 - 1) ?
+2⨸(~n)*int_and_subst(cos((~a) + (~b)*(~x)^2),  (~x), (~x), (~x)^((~n)⨸2), "4_1_12_34") : nothing)
+
+("4_1_12_35",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~n), (~m) + 1) ?
+-(~e)^((~n) - 1)*((~e)*(~x))^((~m) - (~n) + 1)*cos((~c) + (~d)*(~x)^(~n))⨸((~d)*(~n)) + (~e)^(~n)*((~m) - (~n) + 1)⨸((~d)*(~n))*∫(((~e)*(~x))^((~m) - (~n))*cos((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_36",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~n), (~m) + 1) ?
+(~e)^((~n) - 1)*((~e)*(~x))^((~m) - (~n) + 1)*sin((~c) + (~d)*(~x)^(~n))⨸((~d)*(~n)) - (~e)^(~n)*((~m) - (~n) + 1)⨸((~d)*(~n))*∫(((~e)*(~x))^((~m) - (~n))*sin((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_37",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~e)*(~x))^((~m) + 1)*sin((~c) + (~d)*(~x)^(~n))⨸((~e)*((~m) + 1)) - (~d)*(~n)⨸((~e)^(~n)*((~m) + 1))*∫(((~e)*(~x))^((~m) + (~n))*cos((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_38",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~e)*(~x))^((~m) + 1)*cos((~c) + (~d)*(~x)^(~n))⨸((~e)*((~m) + 1)) + (~d)*(~n)⨸((~e)^(~n)*((~m) + 1))*∫(((~e)*(~x))^((~m) + (~n))*sin((~c) + (~d)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_39",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+(~I)⨸2*∫(((~e)*(~x))^(~m)*ℯ^(-(~c)*(~I) - (~d)*(~I)*(~x)^(~n)), (~x)) - (~I)⨸2*∫(((~e)*(~x))^(~m)*ℯ^((~c)*(~I) + (~d)*(~I)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_40",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+1⨸2*∫(((~e)*(~x))^(~m)*ℯ^(-(~c)*(~I) - (~d)*(~I)*(~x)^(~n)), (~x)) + 1⨸2*∫(((~e)*(~x))^(~m)*ℯ^((~c)*(~I) + (~d)*(~I)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_41",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)^(~n)/2)^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) ?
+1⨸2*∫((~x)^(~m), (~x)) - 1⨸2*∫((~x)^(~m)*cos(2*(~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_42",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)^(~n)/2)^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) ?
+1⨸2*∫((~x)^(~m), (~x)) + 1⨸2*∫((~x)^(~m)*cos(2*(~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_43",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) &&
+    !eq((~n), 1) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+(~x)^((~m) + 1)*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~m) + 1) - (~b)*(~n)*(~p)⨸((~m) + 1)*∫(sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_44",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) &&
+    !eq((~n), 1) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+(~x)^((~m) + 1)*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~m) + 1) + (~b)*(~n)*(~p)⨸((~m) + 1)*∫(cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_45",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m) - 2*(~n) + 1, 0) &&
+    gt((~p), 1) ?
+(~n)*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~b)^2*(~n)^2*(~p)^2) - (~x)^(~n)*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)⨸((~b)*(~n)*(~p)) + ((~p) - 1)⨸(~p)*∫((~x)^(~m)*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_46",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m) - 2*(~n) + 1, 0) &&
+    gt((~p), 1) ?
+(~n)*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~b)^2*(~n)^2*(~p)^2) + (~x)^(~n)*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)⨸((~b)*(~n)*(~p)) + ((~p) - 1)⨸(~p)*∫((~x)^(~m)*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_47",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~p), 1) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    igt((~m), 2*(~n) - 1) ?
+((~m) - (~n) + 1)*(~x)^((~m) - 2*(~n) + 1)*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~b)^2*(~n)^2*(~p)^2) - (~x)^((~m) - (~n) + 1)*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)⨸((~b)*(~n)*(~p)) + ((~p) - 1)⨸(~p)*∫((~x)^(~m)*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 2), (~x)) - ((~m) - (~n) + 1)*((~m) - 2*(~n) + 1)⨸((~b)^2*(~n)^2*(~p)^2)* ∫((~x)^((~m) - 2*(~n))*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_48",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~p), 1) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    igt((~m), 2*(~n) - 1) ?
+((~m) - (~n) + 1)*(~x)^((~m) - 2*(~n) + 1)*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~b)^2*(~n)^2*(~p)^2) + (~x)^((~m) - (~n) + 1)*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)⨸((~b)*(~n)*(~p)) + ((~p) - 1)⨸(~p)*∫((~x)^(~m)*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 2), (~x)) - ((~m) - (~n) + 1)*((~m) - 2*(~n) + 1)⨸((~b)^2*(~n)^2*(~p)^2)* ∫((~x)^((~m) - 2*(~n))*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_49",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~p), 1) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ilt((~m), -2*(~n) + 1) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 1, 0) ?
+(~x)^((~m) + 1)*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~m) + 1) - (~b)*(~n)*(~p)*(~x)^((~m) + (~n) + 1)*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))* sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)⨸(((~m) + 1)*((~m) + (~n) + 1)) - (~b)^2*(~n)^2*(~p)^2⨸(((~m) + 1)*((~m) + (~n) + 1))* ∫((~x)^((~m) + 2*(~n))*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) + (~b)^2*(~n)^2*(~p)*((~p) - 1)⨸(((~m) + 1)*((~m) + (~n) + 1))* ∫((~x)^((~m) + 2*(~n))*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_50",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    gt((~p), 1) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ilt((~m), -2*(~n) + 1) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 1, 0) ?
+(~x)^((~m) + 1)*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p)⨸((~m) + 1) + (~b)*(~n)*(~p)*(~x)^((~m) + (~n) + 1)*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))* cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 1)⨸(((~m) + 1)*((~m) + (~n) + 1)) - (~b)^2*(~n)^2*(~p)^2⨸(((~m) + 1)*((~m) + (~n) + 1))* ∫((~x)^((~m) + 2*(~n))*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^(~p), (~x)) + (~b)^2*(~n)^2*(~p)*((~p) - 1)⨸(((~m) + 1)*((~m) + (~n) + 1))* ∫((~x)^((~m) + 2*(~n))*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_51",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    isfraction((~m)) ?
+ext_den((~m))⨸(~e)* int_and_subst((~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)^(ext_den((~m))*(~n))⨸(~e)^(~n)))^(~p),  (~x), (~x), ((~e)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "4_1_12_51") : nothing)
+
+("4_1_12_52",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    isfraction((~m)) ?
+ext_den((~m))⨸(~e)* int_and_subst((~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)^(ext_den((~m))*(~n))⨸(~e)^(~n)))^(~p),  (~x), (~x), ((~e)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "4_1_12_52") : nothing)
+
+# ("4_1_12_53",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+#     igt((~p), 1) &&
+#     igt((~n), 0) ?
+# ∫(ExpandTrigReduce[((~e)*(~x))^(~m), ((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)], (~x)) : nothing)
+# 
+# ("4_1_12_54",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+#     igt((~p), 1) &&
+#     igt((~n), 0) ?
+# ∫(ExpandTrigReduce[((~e)*(~x))^(~m), ((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)], (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_55",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m) - 2*(~n) + 1, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~p), -2) ?
+(~x)^(~n)*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) - (~n)*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 2)⨸((~b)^2*(~n)^2*((~p) + 1)*((~p) + 2)) + ((~p) + 2)⨸((~p) + 1)*∫((~x)^(~m)*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_56",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m) - 2*(~n) + 1, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~p), -2) ?
+-(~x)^(~n)*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) - (~n)*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 2)⨸((~b)^2*(~n)^2*((~p) + 1)*((~p) + 2)) + ((~p) + 2)⨸((~p) + 1)*∫((~x)^(~m)*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_57",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~p), -2) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    igt((~m), 2*(~n) - 1) ?
+(~x)^((~m) - (~n) + 1)*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))* sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) - ((~m) - (~n) + 1)*(~x)^((~m) - 2*(~n) + 1)* sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 2)⨸((~b)^2*(~n)^2*((~p) + 1)*((~p) + 2)) + ((~p) + 2)⨸((~p) + 1)*∫((~x)^(~m)*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 2), (~x)) + ((~m) - (~n) + 1)*((~m) - 2*(~n) + 1)⨸((~b)^2*(~n)^2*((~p) + 1)*((~p) + 2))* ∫((~x)^((~m) - 2*(~n))*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_58",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~p), -2) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    igt((~m), 2*(~n) - 1) ?
+-(~x)^((~m) - (~n) + 1)*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) - ((~m) - (~n) + 1)*(~x)^((~m) - 2*(~n) + 1)* cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 2)⨸((~b)^2*(~n)^2*((~p) + 1)*((~p) + 2)) + ((~p) + 2)⨸((~p) + 1)*∫((~x)^(~m)*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 2), (~x)) + ((~m) - (~n) + 1)*((~m) - 2*(~n) + 1)⨸((~b)^2*(~n)^2*((~p) + 1)*((~p) + 2))* ∫((~x)^((~m) - 2*(~n))*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_59",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    eq((~n), -2) ?
+-int_and_subst(((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n))))^(~p)⨸(~x)^((~m) + 2),  (~x), (~x), 1⨸(~x), "4_1_12_59") : nothing)
+
+("4_1_12_60",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    eq((~n), -2) ?
+-int_and_subst(((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n))))^(~p)⨸(~x)^((~m) + 2),  (~x), (~x), 1⨸(~x), "4_1_12_60") : nothing)
+
+("4_1_12_61",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    isfraction((~m)) ?
+-ext_den((~m))⨸(~e)* int_and_subst(((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)⨸((~e)^(~n)*(~x)^(ext_den((~m))*(~n)))))^(~p)⨸(~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) + 1),  (~x), (~x), 1⨸((~e)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "4_1_12_61") : nothing)
+
+("4_1_12_62",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    isfraction((~m)) ?
+-ext_den((~m))⨸(~e)* int_and_subst(((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)⨸((~e)^(~n)*(~x)^(ext_den((~m))*(~n)))))^(~p)⨸(~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) + 1),  (~x), (~x), 1⨸((~e)*(~x))^(1⨸ext_den((~m))), "4_1_12_62") : nothing)
+
+("4_1_12_63",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    !(isrational((~m))) ?
+-((~e)*(~x))^(~m)*((~x)^(-1))^(~m)* int_and_subst(((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n))))^(~p)⨸(~x)^((~m) + 2),  (~x), (~x), 1⨸(~x), "4_1_12_63") : nothing)
+
+("4_1_12_64",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    !(isrational((~m))) ?
+-((~e)*(~x))^(~m)*((~x)^(-1))^(~m)* int_and_subst(((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)^(-(~n))))^(~p)⨸(~x)^((~m) + 2),  (~x), (~x), 1⨸(~x), "4_1_12_64") : nothing)
+
+# ("4_1_12_65",
+# @rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+#     ext_isinteger((~p)) &&
+#     isfraction((~n)) ?
+# Module[{(~k) = ext_den((~n))}, (~k)*int_and_subst((~x)^((~k)*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)^((~k)*(~n))))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸(~k)), "4_1_12_65")] : nothing)
+# 
+# ("4_1_12_66",
+# @rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+#     ext_isinteger((~p)) &&
+#     isfraction((~n)) ?
+# Module[{(~k) = ext_den((~n))}, (~k)*int_and_subst((~x)^((~k)*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)^((~k)*(~n))))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸(~k)), "4_1_12_66")] : nothing)
+
+("4_1_12_67",
+@rule ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+(~e)^intpart((~m))*((~e)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_68",
+@rule ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+(~e)^intpart((~m))*((~e)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_69",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    igt(simplify((~n)/((~m) + 1)), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+1⨸((~m) + 1)* int_and_subst(((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)^simplify((~n)⨸((~m) + 1))))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^((~m) + 1), "4_1_12_69") : nothing)
+
+("4_1_12_70",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    igt(simplify((~n)/((~m) + 1)), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+1⨸((~m) + 1)* int_and_subst(((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)^simplify((~n)⨸((~m) + 1))))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^((~m) + 1), "4_1_12_70") : nothing)
+
+("4_1_12_71",
+@rule ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    igt(simplify((~n)/((~m) + 1)), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+(~e)^intpart((~m))*((~e)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_72",
+@rule ∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    igt(simplify((~n)/((~m) + 1)), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+(~e)^intpart((~m))*((~e)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_73",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) ?
+(~I)⨸2*∫(((~e)*(~x))^(~m)*ℯ^(-(~c)*(~I) - (~d)*(~I)*(~x)^(~n)), (~x)) - (~I)⨸2*∫(((~e)*(~x))^(~m)*ℯ^((~c)*(~I) + (~d)*(~I)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_74",
+@rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) ?
+1⨸2*∫(((~e)*(~x))^(~m)*ℯ^(-(~c)*(~I) - (~d)*(~I)*(~x)^(~n)), (~x)) + 1⨸2*∫(((~e)*(~x))^(~m)*ℯ^((~c)*(~I) + (~d)*(~I)*(~x)^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_12_75",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+#     igt((~p), 0) ?
+# ∫(ExpandTrigReduce[((~e)*(~x))^(~m), ((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)], (~x)) : nothing)
+# 
+# ("4_1_12_76",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+#     igt((~p), 0) ?
+# ∫(ExpandTrigReduce[((~e)*(~x))^(~m), ((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)], (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_12_77",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+# ("4_1_12_78",
+# @rule ∫(((~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("4_1_12_79",
+@rule ∫(((~e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~u)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    isbinomial((~u), (~x)) &&
+    !(binomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*sin(expand_to_sum((~u), (~x))))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_80",
+@rule ∫(((~e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~u)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~m), (~p), (~x)) &&
+    isbinomial((~u), (~x)) &&
+    !(binomial_without_simplify((~u), (~x))) ?
+∫(((~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*cos(expand_to_sum((~u), (~x))))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_81",
+@rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ext_isinteger(1/(~n)) ?
+1⨸((~n)*(~f))* int_and_subst( ext_expand(((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p),  (~x)^(1⨸(~n) - 1)*((~g) - (~e)*(~h)⨸(~f) + (~h)*(~x)^(1⨸(~n))⨸(~f))^(~m), (~x)), (~x), (~x), ((~e) + (~f)*(~x))^(~n), "4_1_12_81") : nothing)
+
+("4_1_12_82",
+@rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ext_isinteger(1/(~n)) ?
+1⨸((~n)*(~f))* int_and_subst( ext_expand(((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)))^(~p),  (~x)^(1⨸(~n) - 1)*((~g) - (~e)*(~h)⨸(~f) + (~h)*(~x)^(1⨸(~n))⨸(~f))^(~m), (~x)), (~x), (~x), ((~e) + (~f)*(~x))^(~n), "4_1_12_82") : nothing)
+
+#(* Int[(g_.+h_.*x_)^m_.*(a_.+b_.*Sin[c_.+d_.*(e_.+f_.*x_)^n_])^p_.,x_ Symbol] := 1/(n*f^(m+1))*Subst[Int[ExpandIntegrand[(a+b*Sin[c+d*x])^p,x^(1/n-1) *(f*g-e*h+h*x^(1/n))^m,x],x],x,(e+f*x)^n] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,g,h},x] && IGtQ[p,0] && IntegerQ[m] &&  IntegerQ[1/n] *)
+#(* Int[(g_.+h_.*x_)^m_.*(a_.+b_.*Cos[c_.+d_.*(e_.+f_.*x_)^n_])^p_.,x_ Symbol] := 1/(n*f^(m+1))*Subst[Int[ExpandIntegrand[(a+b*Cos[c+d*x])^p,x^(1/n-1) *(f*g-e*h+h*x^(1/n))^m,x],x],x,(e+f*x)^n] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,g,h},x] && IGtQ[p,0] && IntegerQ[m] &&  IntegerQ[1/n] *)
+# ("4_1_12_83",
+# @rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) &&
+#     igt((~p), 0) &&
+#     igt((~m), 0) ?
+# Module[{(~k) = (~If)[FractionQ[(~n)], ext_den((~n)), 1]}, (~k)⨸(~f)^((~m) + 1)* int_and_subst( ext_expand(((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)^((~k)*(~n))))^(~p),  (~x)^((~k) - 1)*((~f)*(~g) - (~e)*(~h) + (~h)*(~x)^(~k))^(~m), (~x)), (~x), (~x), ((~e) + (~f)*(~x))^(1⨸(~k)), "4_1_12_83")] : nothing)
+# 
+# ("4_1_12_84",
+# @rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) &&
+#     igt((~p), 0) &&
+#     igt((~m), 0) ?
+# Module[{(~k) = (~If)[FractionQ[(~n)], ext_den((~n)), 1]}, (~k)⨸(~f)^((~m) + 1)* int_and_subst( ext_expand(((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)^((~k)*(~n))))^(~p),  (~x)^((~k) - 1)*((~f)*(~g) - (~e)*(~h) + (~h)*(~x)^(~k))^(~m), (~x)), (~x), (~x), ((~e) + (~f)*(~x))^(1⨸(~k)), "4_1_12_84")] : nothing)
+
+("4_1_12_85",
+@rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    eq((~f)*(~g) - (~e)*(~h), 0) ?
+1⨸(~f)*int_and_subst(((~h)*(~x)⨸(~f))^(~m)*((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(~p),  (~x), (~x), (~e) + (~f)*(~x), "4_1_12_85") : nothing)
+
+("4_1_12_86",
+@rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    eq((~f)*(~g) - (~e)*(~h), 0) ?
+1⨸(~f)*int_and_subst(((~h)*(~x)⨸(~f))^(~m)*((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)^(~n)))^(~p),  (~x), (~x), (~e) + (~f)*(~x), "4_1_12_86") : nothing)
+
+# ("4_1_12_87",
+# @rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~g) + (~h)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*((~e) + (~f)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+# ("4_1_12_88",
+# @rule ∫(((~!g) + (~!h)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~g) + (~h)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*((~e) + (~f)*(~x))^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("4_1_12_89",
+@rule ∫((~v)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~u)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    linear((~v), (~x)) &&
+    !(
+        linear_without_simplify((~u), (~x)) &&
+        linear_without_simplify((~v), (~x))
+    ) ?
+∫(expand_to_sum((~v), (~x))^(~m)*((~a) + (~b)*sin((~c) + (~d)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_90",
+@rule ∫((~v)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!c) + (~!d)*(~u)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    linear((~v), (~x)) &&
+    !(
+        linear_without_simplify((~u), (~x)) &&
+        linear_without_simplify((~v), (~x))
+    ) ?
+∫(expand_to_sum((~v), (~x))^(~m)*((~a) + (~b)*cos((~c) + (~d)*expand_to_sum((~u), (~x))^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_91",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~m), (~n) - 1) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) : nothing)
+
+("4_1_12_92",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~m), (~n) - 1) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+-cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) : nothing)
+
+("4_1_12_93",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~x)) &&
+    lt(0, (~n), (~m) + 1) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+(~x)^((~m) - (~n) + 1)*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) - ((~m) - (~n) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫((~x)^((~m) - (~n))*sin((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_12_94",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!p)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~p), (~x)) &&
+    lt(0, (~n), (~m) + 1) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+-(~x)^((~m) - (~n) + 1)*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1)) + ((~m) - (~n) + 1)⨸((~b)*(~n)*((~p) + 1))* ∫((~x)^((~m) - (~n))*cos((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.13 (d+e x)^m sin(a+b x+c x^2)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.13 (d+e x)^m sin(a+b x+c x^2)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..3e8c052a
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.13 (d+e x)^m sin(a+b x+c x^2)^n.jl	
@@ -0,0 +1,191 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.13 (d+e x)^m sin(a+b x+c x^2)^n *)
+("4_1_13_1",
+@rule ∫(sin((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+∫(sin(((~b) + 2*(~c)*(~x))^2⨸(4*(~c))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_13_2",
+@rule ∫(cos((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+∫(cos(((~b) + 2*(~c)*(~x))^2⨸(4*(~c))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_13_3",
+@rule ∫(sin((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+cos(((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))⨸(4*(~c)))*∫(sin(((~b) + 2*(~c)*(~x))^2⨸(4*(~c))), (~x)) - sin(((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))⨸(4*(~c)))*∫(cos(((~b) + 2*(~c)*(~x))^2⨸(4*(~c))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_13_4",
+@rule ∫(cos((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+cos(((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))⨸(4*(~c)))*∫(cos(((~b) + 2*(~c)*(~x))^2⨸(4*(~c))), (~x)) + sin(((~b)^2 - 4*(~a)*(~c))⨸(4*(~c)))*∫(sin(((~b) + 2*(~c)*(~x))^2⨸(4*(~c))), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_13_5",
+# @rule ∫(sin((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+#     igt((~n), 1) ?
+# ∫(ExpandTrigReduce[sin((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~n), (~x)], (~x)) : nothing)
+# 
+# ("4_1_13_6",
+# @rule ∫(cos((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+#     igt((~n), 1) ?
+# ∫(ExpandTrigReduce[cos((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~n), (~x)], (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_13_7",
+# @rule ∫(sin((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) ?
+# Unintegrable[sin((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~n), (~x)] : nothing)
+
+# ("4_1_13_8",
+# @rule ∫(cos((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) ?
+# Unintegrable[cos((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~n), (~x)] : nothing)
+
+("4_1_13_9",
+@rule ∫(sin((~v))^(~!n),(~x)) =>
+    igt((~n), 0) &&
+    quadratic((~v), (~x)) &&
+    !(quadratic_without_simplify((~v), (~x))) ?
+∫(sin(expand_to_sum((~v), (~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_13_10",
+@rule ∫(cos((~v))^(~!n),(~x)) =>
+    igt((~n), 0) &&
+    quadratic((~v), (~x)) &&
+    !(quadratic_without_simplify((~v), (~x))) ?
+∫(cos(expand_to_sum((~v), (~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_13_11",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))*sin((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) ?
+-(~e)*cos((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸(2*(~c)) : nothing)
+
+("4_1_13_12",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))*cos((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) ?
+(~e)*sin((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸(2*(~c)) : nothing)
+
+("4_1_13_13",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*sin((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    gt((~m), 1) ?
+-(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*cos((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸(2*(~c)) + (~e)^2*((~m) - 1)⨸(2*(~c))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*cos((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_13_14",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*cos((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    gt((~m), 1) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*sin((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸(2*(~c)) - (~e)^2*((~m) - 1)⨸(2*(~c))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*sin((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_13_15",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*sin((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*sin((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸((~e)*((~m) + 1)) - 2*(~c)⨸((~e)^2*((~m) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2)*cos((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_13_16",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*cos((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*cos((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸((~e)*((~m) + 1)) + 2*(~c)⨸((~e)^2*((~m) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2)*sin((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_13_17",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))*sin((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) ?
+-(~e)*cos((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸(2*(~c)) + (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))⨸(2*(~c))*∫(sin((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_13_18",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))*cos((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq(2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e), 0) ?
+(~e)*sin((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸(2*(~c)) + (2*(~c)*(~d) - (~b)*(~e))⨸(2*(~c))*∫(cos((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_13_19",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*sin((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d), 0) &&
+    gt((~m), 1) ?
+-(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*cos((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸(2*(~c)) - ((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d))⨸(2*(~c))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*sin((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) + (~e)^2*((~m) - 1)⨸(2*(~c))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*cos((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_13_20",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*cos((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d), 0) &&
+    gt((~m), 1) ?
+(~e)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*sin((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸(2*(~c)) - ((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d))⨸(2*(~c))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)*cos((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) - (~e)^2*((~m) - 1)⨸(2*(~c))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2)*sin((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_13_21",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*sin((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*sin((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸((~e)*((~m) + 1)) - ((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d))⨸((~e)^2*((~m) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*cos((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) - 2*(~c)⨸((~e)^2*((~m) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2)*cos((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_13_22",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m)*cos((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*cos((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)⨸((~e)*((~m) + 1)) + ((~b)*(~e) - 2*(~c)*(~d))⨸((~e)^2*((~m) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*sin((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) + 2*(~c)⨸((~e)^2*((~m) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 2)*sin((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_13_23",
+# @rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*sin((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+#     igt((~n), 1) ?
+# ∫(ExpandTrigReduce[((~d) + (~e)*(~x))^(~m), sin((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~n), (~x)], (~x)) : nothing)
+# 
+# ("4_1_13_24",
+# @rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*cos((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+#     igt((~n), 1) ?
+# ∫(ExpandTrigReduce[((~d) + (~e)*(~x))^(~m), cos((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~n), (~x)], (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_13_25",
+# @rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*sin((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*sin((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~n), (~x)] : nothing)
+
+# ("4_1_13_26",
+# @rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*cos((~!a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*cos((~a) + (~b)*(~x) + (~c)*(~x)^2)^(~n), (~x)] : nothing)
+
+("4_1_13_27",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*sin((~v))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    quadratic((~v), (~x)) &&
+    !(
+        linear_without_simplify((~u), (~x)) &&
+        quadratic_without_simplify((~v), (~x))
+    ) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~m)*sin(expand_to_sum((~v), (~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_13_28",
+@rule ∫((~u)^(~!m)*cos((~v))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~m), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    linear((~u), (~x)) &&
+    quadratic((~v), (~x)) &&
+    !(
+        linear_without_simplify((~u), (~x)) &&
+        quadratic_without_simplify((~v), (~x))
+    ) ?
+∫(expand_to_sum((~u), (~x))^(~m)*cos(expand_to_sum((~v), (~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.2/4.1.2.1 (a+b sin)^m (c+d sin)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.2/4.1.2.1 (a+b sin)^m (c+d sin)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..68c3e2cc
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.2/4.1.2.1 (a+b sin)^m (c+d sin)^n.jl	
@@ -0,0 +1,917 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.2.1 (a+b sin)^m (c+d sin)^n *)
+("4_1_2_1_1",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+(2*(~a)*(~c) + (~b)*(~d))*(~x)⨸2 - ((~b)*(~c) + (~a)*(~d))*cos((~e) + (~f)*(~x))⨸(~f) - (~b)*(~d)*cos((~e) + (~f)*(~x))*sin((~e) + (~f)*(~x))⨸(2*(~f)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_2",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+(~b)*(~x)⨸(~d) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~d)*∫(1⨸((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_3",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    !(
+        ext_isinteger( (~n)) &&
+        (
+            lt((~m), 0) &&
+            gt((~n), 0) ||
+            lt(0, (~n), (~m)) ||
+            lt((~m), (~n), 0)
+        )
+    ) ?
+(~a)^(~m)*(~c)^(~m)*∫(cos((~e) + (~f)*(~x))^(2*(~m))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - (~m)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_4",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~a)*(~c)*cos( (~e) + (~f)*(~x))⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))))* ∫(cos((~e) + (~f)*(~x))⨸((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_5",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~n), -1/2) ?
+-2*(~b)*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~f)*(2*(~n) + 1)*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_1_2_1_6",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt((~m) - 1/2, 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !(
+        ilt((~m) + (~n), 0) &&
+        gt(2*(~m) + (~n) + 1, 0)
+    ) ?
+-2*(~b)*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~f)*(2*(~n) + 1)) - (~b)*(2*(~m) - 1)⨸((~d)*(2*(~n) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_7",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt((~m) - 1/2, 0) &&
+    !(lt((~n), -1)) &&
+    !(
+        igt((~n) - 1/2, 0) &&
+        lt((~n), (~m))
+    ) &&
+    !(
+        ilt((~m) + (~n), 0) &&
+        gt(2*(~m) + (~n) + 1, 0)
+    ) ?
+-(~b)*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~f)*((~m) + (~n))) + (~a)*(2*(~m) - 1)⨸((~m) + (~n))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_8",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+cos((~e) + (~f)*(~x))⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))))* ∫(1⨸cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_9",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~m) + (~n) + 1, 0) &&
+    !eq((~m), -1/2) ?
+(~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) + 1)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_10",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ilt(simplify((~m) + (~n) + 1), 0) &&
+    !eq((~m), -1/2) &&
+    (
+        sumsimpler((~m), 1) ||
+        !(sumsimpler((~n), 1))
+    ) ?
+(~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) + 1)) + ((~m) + (~n) + 1)⨸((~a)*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_11",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !(lt((~m), (~n), -1)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) + 1)) + ((~m) + (~n) + 1)⨸((~a)*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_12",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    (
+        isfraction((~m)) ||
+        !(isfraction((~n)))
+    ) ?
+(~a)^intpart((~m))* (~c)^intpart((~m))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ fracpart((~m))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~m))⨸ cos((~e) + (~f)*(~x))^(2*fracpart((~m)))* ∫(cos((~e) + (~f)*(~x))^(2*(~m))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - (~m)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_13",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^2/((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+-(~b)^2*cos((~e) + (~f)*(~x))⨸((~d)*(~f)) + 1⨸(~d)*∫(simp((~a)^2*(~d) - (~b)*((~b)*(~c) - 2*(~a)*(~d))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_14",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(1⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(1⨸((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_15",
+@rule ∫(((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) ?
+(~c)*∫(((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) + (~d)⨸(~b)*∫(((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_16",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~a)*(~d)*(~m) + (~b)*(~c)*((~m) + 1), 0) ?
+-(~d)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~f)*((~m) + 1)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_17",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1/2) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) + 1)) + ((~a)*(~d)*(~m) + (~b)*(~c)*((~m) + 1))⨸((~a)*(~b)*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_18",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1/2)) ?
+-(~d)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~f)*((~m) + 1)) + ((~a)*(~d)*(~m) + (~b)*(~c)*((~m) + 1))⨸((~b)*((~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_19",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b)*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + (~d)⨸(~b)*∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_20",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+-(~d)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~f)*((~m) + 1)) + 1⨸((~m) + 1)* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)* simp((~b)*(~d)*(~m) + (~a)*(~c)*((~m) + 1) + ((~a)*(~d)*(~m) + (~b)*(~c)*((~m) + 1))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_21",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* cos((~e) + (~f)* (~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~f)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) + 1⨸(((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)* simp(((~a)*(~c) - (~b)*(~d))*((~m) + 1) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + 2)*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_22",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~m))) &&
+    eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~c)*cos((~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*sqrt(1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt(1 - sin((~e) + (~f)*(~x))))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)*sqrt(1 + (~d)⨸(~c)*(~x))⨸sqrt(1 - (~d)⨸(~c)*(~x)),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_2_1_22") : nothing)
+
+("4_1_2_1_23",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b)*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) + (~d)⨸(~b)*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_24",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    isrational((~n)) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_25",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1/2) ?
+(~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) + 1)) - 1⨸((~a)^2*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~a)*(~m) - (~b)*(2*(~m) + 1)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_26",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1/2)) ?
+-cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~m) + 2)) + 1⨸((~b)*((~m) + 2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*((~m) + 1) - (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_27",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) + 1)) + 1⨸((~a)*(~b)*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)* simp((~a)*(~c)*(~d)*((~m) - 1) + (~b)*((~d)^2 + (~c)^2*((~m) + 1)) + (~d)*((~a)*(~d)*((~m) - 1) + (~b)*(~c)*((~m) + 2))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_28",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1)) ?
+-(~d)^2*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~m) + 2)) + 1⨸((~b)*((~m) + 2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)* simp((~b)*((~d)^2*((~m) + 1) + (~c)^2*((~m) + 2)) - (~d)*((~a)*(~d) - 2*(~b)*(~c)*((~m) + 2))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_29",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ||
+        ext_isinteger((~m) + 1/2) ||
+        ext_isinteger((~m)) &&
+        eq((~c), 0)
+    ) ?
+-(~b)^2*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~n) + 1)*((~b)*(~c) + (~a)*(~d))) + (~b)^2⨸((~d)*((~n) + 1)*((~b)*(~c) + (~a)*(~d)))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* simp((~a)*(~c)*((~m) - 2) - (~b)*(~d)*((~m) - 2*(~n) - 4) - ((~b)*(~c)*((~m) - 1) - (~a)*(~d)*((~m) + 2*(~n) + 1))* sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_30",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !(lt((~n), -1)) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ||
+        ext_isinteger((~m) + 1/2) ||
+        ext_isinteger((~m)) &&
+        eq((~c), 0)
+    ) ?
+-(~b)^2*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~m) + (~n))) + 1⨸((~d)*((~m) + (~n)))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~a)*(~b)*(~c)*((~m) - 2) + (~b)^2*(~d)*((~n) + 1) + (~a)^2*(~d)*((~m) + (~n)) - (~b)*((~b)*(~c)*((~m) - 1) - (~a)*(~d)*(3*(~m) + 2*(~n) - 2))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_31",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    lt(0, (~n), 1) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ||
+        ext_isinteger((~m)) &&
+        eq((~c), 0)
+    ) ?
+(~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) + 1)) - 1⨸((~a)*(~b)*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)* simp((~a)*(~d)*(~n) - (~b)*(~c)*((~m) + 1) - (~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 1)*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_32",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ||
+        ext_isinteger((~m)) &&
+        eq((~c), 0)
+    ) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) + 1)) + 1⨸((~a)*(~b)*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)* simp((~b)*((~c)^2*((~m) + 1) + (~d)^2*((~n) - 1)) + (~a)*(~c)*(~d)*((~m) - (~n) + 1) + (~d)*((~a)*(~d)*((~m) - (~n) + 1) + (~b)*(~c)*((~m) + (~n)))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_33",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !(gt((~n), 0)) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ||
+        ext_isinteger((~m)) &&
+        eq((~c), 0)
+    ) ?
+(~b)^2*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))) + 1⨸((~a)*(2*(~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~b)*(~c)*((~m) + 1) - (~a)*(~d)*(2*(~m) + (~n) + 2) + (~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 2)*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_34",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~n)) ||
+        eq((~c), 0)
+    ) ?
+-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~a)* (~f)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) - (~d)⨸((~a)*(~b))* ∫(((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)* simp((~b)*(~d)*((~n) - 1) - (~a)*(~c)*(~n) + ((~b)*(~c)*((~n) - 1) - (~a)*(~d)*(~n))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_35",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~n), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~n)) ||
+        eq((~c), 0)
+    ) ?
+-(~b)^2*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~a)* (~f)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) + (~d)⨸((~a)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))* ∫(((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~a)*(~n) - (~b)*((~n) + 1)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_36",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~n)) ||
+        eq((~c), 0)
+    ) ?
+-(~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a)*(~f)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) + (~d)*(~n)⨸((~a)*(~b))* ∫(((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)*((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_37",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+-2*(~b)*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~f)*(2*(~n) + 1)*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) + 2*(~n)*((~b)*(~c) + (~a)*(~d))⨸((~b)*(2*(~n) + 1))* ∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_38",
+@rule ∫(sqrt( (~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+-2*(~b)^2* cos((~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*((~b)*(~c) + (~a)*(~d))*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_1_2_1_39",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq(2*(~n) + 3, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~f)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2)* sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) + (2*(~n) + 3)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(2*(~b)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2))* ∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_40",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+-2*(~b)⨸(~f)* int_and_subst(1⨸((~b)*(~c) + (~a)*(~d) - (~d)*(~x)^2),  (~x), (~x), (~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), "4_1_2_1_40") : nothing)
+
+("4_1_2_1_41",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/sqrt((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~d), (~a)/(~b)) ?
+-2⨸(~f)*int_and_subst(1⨸sqrt(1 - (~x)^2⨸(~a)),  (~x), (~x), (~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), "4_1_2_1_41") : nothing)
+
+("4_1_2_1_42",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/ sqrt((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+-2*(~b)⨸(~f)* int_and_subst(1⨸((~b) + (~d)*(~x)^2),  (~x), (~x), (~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), "4_1_2_1_42") : nothing)
+
+("4_1_2_1_43",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~n))) ?
+(~a)^2*cos( (~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))))* int_and_subst(((~c) + (~d)*(~x))^(~n)⨸sqrt((~a) - (~b)*(~x)),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_2_1_43") : nothing)
+
+("4_1_2_1_44",
+@rule ∫(sqrt((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/ sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~d)⨸(~b)*∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b)* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_45",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+-2*(~d)*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*(2*(~n) - 1)* sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) - 1⨸((~b)*(2*(~n) - 1))* ∫(((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* simp((~a)*(~c)*(~d) - (~b)*(2*(~d)^2*((~n) - 1) + (~c)^2*(2*(~n) - 1)) + (~d)*((~a)*(~d) - (~b)*(~c)*(4*(~n) - 3))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_46",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+-(~d)*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~f)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2)* sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) - 1⨸(2*(~b)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2))* ∫(((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* simp((~a)*(~d) - 2*(~b)*(~c)*((~n) + 1) + (~b)*(~d)*(2*(~n) + 3)*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸ sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_47",
+@rule ∫(1/(sqrt( (~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_48",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*sqrt((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~d), (~a)/(~b)) &&
+    gt((~a), 0) ?
+-sqrt(2)⨸(sqrt((~a))*(~f))* int_and_subst(1⨸sqrt(1 - (~x)^2),  (~x), (~x), (~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), "4_1_2_1_48") : nothing)
+
+("4_1_2_1_49",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+-2*(~a)⨸(~f)* int_and_subst(1⨸(2*(~b)^2 - ((~a)*(~c) - (~b)*(~d))*(~x)^2),  (~x), (~x), (~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), "4_1_2_1_49") : nothing)
+
+("4_1_2_1_50",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+-(~d)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*((~m) + (~n))) + 1⨸((~b)*((~m) + (~n)))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)* simp((~d)*((~a)*(~c)*(~m) + (~b)*(~d)*((~n) - 1)) + (~b)*(~c)^2*((~m) + (~n)) + (~d)*((~a)*(~d)*(~m) + (~b)*(~c)*((~m) + 2*(~n) - 1))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_51",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+(~a)^(~m)*cos((~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*sqrt(1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt(1 - sin((~e) + (~f)*(~x))))* int_and_subst((1 + (~b)⨸(~a)*(~x))^((~m) - 1⨸2)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)⨸sqrt(1 - (~b)⨸(~a)*(~x)),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_2_1_51") : nothing)
+
+("4_1_2_1_52",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    gt((~d)/(~b), 0) ?
+-(~b)*((~d)⨸(~b))^(~n)* cos((~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))))* int_and_subst(((~a) - (~x))^(~n)*(2*(~a) - (~x))^((~m) - 1⨸2)⨸sqrt((~x)),  (~x), (~x), (~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_2_1_52") : nothing)
+
+("4_1_2_1_53",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    !(gt((~d)/(~b), 0)) ?
+((~d)⨸(~b))^ intpart((~n))*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~n))⨸((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ fracpart((~n))*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_54",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+(~a)^intpart((~m))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ fracpart((~m))⨸(1 + (~b)⨸(~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~m))* ∫((1 + (~b)⨸(~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_55",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+(~a)^2*cos( (~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1⨸2)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)⨸sqrt((~a) - (~b)*(~x)),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_2_1_55") : nothing)
+
+("4_1_2_1_56",
+@rule ∫(((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) ?
+2*(~c)*(~d)⨸(~b)*∫(((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1), (~x)) + ∫(((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c)^2 + (~d)^2*sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_57",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+-((~b)^2*(~c)^2 - 2*(~a)*(~b)*(~c)*(~d) + (~a)^2*(~d)^2)* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)* (~f)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) - 1⨸((~b)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)* simp((~b)*((~m) + 1)*(2*(~b)*(~c)*(~d) - (~a)*((~c)^2 + (~d)^2)) + ((~a)^2*(~d)^2 - 2*(~a)*(~b)*(~c)*(~d)*((~m) + 2) + (~b)^2*((~d)^2*((~m) + 1) + (~c)^2*((~m) + 2)))* sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_58",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1)) ?
+-(~d)^2*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~m) + 2)) + 1⨸((~b)*((~m) + 2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)* simp((~b)*((~d)^2*((~m) + 1) + (~c)^2*((~m) + 2)) - (~d)*((~a)*(~d) - 2*(~b)*(~c)*((~m) + 2))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(a_+b_.*sin[e_.+f_.*x_])^m_.*(d_.*sin[e_.+f_.*x_])^n_.,x_ Symbol] := Int[ExpandTrig[(a+b*sin[e+f*x])^m*(d*sin[e+f*x])^n,x],x] /; FreeQ[{a,b,d,e,f,n},x] && NeQ[a^2-b^2,0] && IGtQ[m,0] *)
+("4_1_2_1_59",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~m), 2) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n))
+    ) ?
+-((~b)^2*(~c)^2 - 2*(~a)*(~b)*(~c)*(~d) + (~a)^2*(~d)^2)* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2)) + 1⨸((~d)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 3)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* simp((~b)*((~m) - 2)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2 + (~a)*(~d)*((~n) + 1)*((~c)*((~a)^2 + (~b)^2) - 2*(~a)*(~b)*(~d)) + ((~b)*((~n) + 1)*((~a)*(~b)*(~c)^2 + (~c)*(~d)*((~a)^2 + (~b)^2) - 3*(~a)*(~b)*(~d)^2) - (~a)*((~n) + 2)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2)*sin((~e) + (~f)*(~x)) + (~b)*((~b)^2*((~c)^2 - (~d)^2) - (~m)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2 + (~d)*(~n)*(2*(~a)*(~b)*(~c) - (~d)*((~a)^2 + (~b)^2)))*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_60",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~m), 2) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n))
+    ) &&
+    !(
+        igt((~n), 2) &&
+        (
+            !(ext_isinteger((~m))) ||
+            eq((~a), 0) &&
+            !eq((~c), 0)
+        )
+    ) ?
+-(~b)^2*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~m) + (~n))) + 1⨸((~d)*((~m) + (~n)))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 3)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~a)^3*(~d)*((~m) + (~n)) + (~b)^2*((~b)*(~c)*((~m) - 2) + (~a)*(~d)*((~n) + 1)) - (~b)*((~a)*(~b)*(~c) - (~b)^2*(~d)*((~m) + (~n) - 1) - 3*(~a)^2*(~d)*((~m) + (~n)))* sin((~e) + (~f)*(~x)) - (~b)^2*((~b)*(~c)*((~m) - 1) - (~a)*(~d)*(3*(~m) + 2*(~n) - 2))*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_61",
+@rule ∫(sqrt((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-2*(~a)*(~d)* cos((~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*((~a)^2 - (~b)^2)*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) - (~d)^2⨸((~a)^2 - (~b)^2)* ∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_62",
+@rule ∫(sqrt( (~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+((~c) - (~d))⨸((~a) - (~b))* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~a) - (~b))* ∫((1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_63",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    lt(0, (~n), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+-(~b)*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~f)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) + 1⨸(((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)* simp((~a)*(~c)*((~m) + 1) + (~b)*(~d)*(~n) + ((~a)*(~d)*((~m) + 1) - (~b)*(~c)*((~m) + 2))*sin((~e) + (~f)*(~x)) - (~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 2)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_64",
+@rule ∫(((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~d)⨸(~b)*∫(sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - (~a)*(~d)⨸(~b)*∫(sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_65",
+@rule ∫(((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)/((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~d)^2⨸(~b)^2*∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b)^2* ∫(simp((~b)*(~c) + (~a)*(~d) + 2*(~b)*(~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_66",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    lt(1, (~n), 2) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) + 1⨸(((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)* simp((~c)*((~a)*(~c) - (~b)*(~d))*((~m) + 1) + (~d)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~n) - 1) + ((~d)*((~a)*(~c) - (~b)*(~d))*((~m) + 1) - (~c)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + 2))*sin((~e) + (~f)*(~x)) - (~d)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + (~n) + 1)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_67",
+@rule ∫(1/(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)* sqrt((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+2*(~b)*cos( (~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*((~a)^2 - (~b)^2)*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) + (~d)⨸((~a)^2 - (~b)^2)* ∫(((~b) + (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sqrt( (~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_68",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)* sqrt((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+1⨸((~a) - (~b))* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) - (~b)⨸((~a) - (~b))* ∫((1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_69",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) &&
+    (
+        eq((~a), 0) &&
+        ext_isinteger((~m)) &&
+        !(ext_isinteger((~n))) ||
+        !(
+            ext_isinteger(2*(~n)) &&
+            lt((~n), -1) &&
+            (
+                ext_isinteger((~n)) &&
+                !(ext_isinteger((~m))) ||
+                eq((~a), 0)
+            )
+        )
+    ) ?
+-(~b)^2*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~f)*((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~a)^2 - (~b)^2)) + 1⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~a)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + 1) + (~b)^2*(~d)*((~m) + (~n) + 2) - ((~b)^2*(~c) + (~b)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + 1))* sin((~e) + (~f)*(~x)) - (~b)^2*(~d)*((~m) + (~n) + 3)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_70",
+@rule ∫(sqrt((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~d)⨸(~b)*∫(1⨸sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b)* ∫(1⨸(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_71",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)/((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~b)⨸(~d)*∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~d)* ∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_72",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~c) + (~d), 0) ?
+2⨸((~f)*((~a) + (~b))*sqrt((~c) + (~d)))* elliptic_pi(2*(~b)⨸((~a) + (~b)), 1⨸2*((~e) - π⨸2 + (~f)*(~x)), 2*(~d)⨸((~c) + (~d))) : nothing)
+
+("4_1_2_1_73",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~c) - (~d), 0) ?
+2⨸((~f)*((~a) - (~b))*sqrt((~c) - (~d)))* elliptic_pi(-2*(~b)⨸((~a) - (~b)), 1⨸2*((~e) + π⨸2 + (~f)*(~x)), -2*(~d)⨸((~c) - (~d))) : nothing)
+
+("4_1_2_1_74",
+@rule ∫(1/(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    !(gt((~c) + (~d), 0)) ?
+sqrt(((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~c) + (~d)))⨸sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(1⨸(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~c)⨸((~c) + (~d)) + (~d)⨸((~c) + (~d))*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_75",
+@rule ∫(sqrt((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    pos(((~c) + (~d))/(~b)) &&
+    gt((~c)^2, 0) ?
+2*(~c)*rt((~b)*((~c) + (~d)), 2)*tan((~e) + (~f)*(~x))*sqrt(1 + csc((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt(1 - csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~d)*(~f)*sqrt((~c)^2 - (~d)^2))* elliptic_pi(((~c) + (~d))⨸(~d), asin(sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸ rt(((~c) + (~d))⨸(~b), 2)), -((~c) + (~d))⨸((~c) - (~d))) : nothing)
+
+("4_1_2_1_76",
+@rule ∫(sqrt((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    pos(((~c) + (~d))/(~b)) ?
+2*(~b)*tan((~e) + (~f)*(~x))⨸((~d)*(~f))*rt(((~c) + (~d))⨸(~b), 2)* sqrt((~c)*(1 + csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~c) - (~d)))* sqrt((~c)*(1 - csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~c) + (~d)))* elliptic_pi(((~c) + (~d))⨸(~d), asin(sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸ rt(((~c) + (~d))⨸(~b), 2)), -((~c) + (~d))⨸((~c) - (~d))) : nothing)
+
+("4_1_2_1_77",
+@rule ∫(sqrt((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    neg(((~c) + (~d))/(~b)) ?
+sqrt((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt(-(~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(sqrt(-(~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[Sqrt[a_+b_.*sin[e_.+f_.*x_]]/Sqrt[d_.*sin[e_.+f_.*x_]],x_ Symbol] := a*Int[1/(Sqrt[a+b*Sin[e+f*x]]*Sqrt[d*Sin[e+f*x]]),x] + b/d*Int[Sqrt[d*Sin[e+f*x]]/Sqrt[a+b*Sin[e+f*x]],x] /; FreeQ[{a,b,d,e,f},x] && NeQ[a^2-b^2,0] *)
+#(* Int[Sqrt[a_+b_.*sin[e_.+f_.*x_]]/Sqrt[d_.*sin[e_.+f_.*x_]],x_ Symbol] := 2*(a+b*Sin[e+f*x])/(d*f*Rt[(a+b)/d,2]*Cos[e+f*x])*Sqrt[a*(1-Sin[e+f* x])/(a+b*Sin[e+f*x])]*Sqrt[a*(1+Sin[e+f*x])/(a+b*Sin[e+f*x])]* EllipticPi[b/(a+b),ArcSin[Rt[(a+b)/d,2]*(Sqrt[d*Sin[e+f*x]]/Sqrt[ a+b*Sin[e+f*x]])],-(a-b)/(a+b)] /; FreeQ[{a,b,d,e,f},x] && NeQ[a^2-b^2,0] && PosQ[(a+b)/d] *)
+("4_1_2_1_78",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/ sqrt((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    pos(((~a) + (~b))/((~c) + (~d))) ?
+2*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~d)*(~f)*rt(((~a) + (~b))⨸((~c) + (~d)), 2)*cos((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~c) - (~d))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))))* sqrt(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(1 - sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~c) + (~d))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))))* elliptic_pi((~b)*((~c) + (~d))⨸((~d)*((~a) + (~b))), asin(rt(((~a) + (~b))⨸((~c) + (~d)), 2)* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), ((~a) - (~b))*((~c) + (~d))⨸(((~a) + (~b))*((~c) - (~d)))) : nothing)
+
+("4_1_2_1_79",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/ sqrt((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    neg(((~a) + (~b))/((~c) + (~d))) ?
+sqrt(-(~c) - (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt(-(~c) - (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_80",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*sqrt((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    lt((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~d)^2, 1) &&
+    gt((~b)*(~d), 0) ?
+-2*(~d)⨸((~f)*sqrt((~a) + (~b)*(~d)))* elliptic_f( asin(cos((~e) + (~f)*(~x))⨸(1 + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), -((~a) - (~b)*(~d))⨸((~a) + (~b)*(~d))) : nothing)
+
+("4_1_2_1_81",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*sqrt((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    lt((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~b)^2, 0) &&
+    !(
+        eq((~d)^2, 1) &&
+        gt((~b)*(~d), 0)
+    ) ?
+sqrt(sign((~b))*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt(sign((~b))*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_82",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*sqrt((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    pos(((~a) + (~b))/(~d)) &&
+    gt((~a)^2, 0) ?
+-2*sqrt((~a)^2)* sqrt(-cot((~e) + (~f)*(~x))^2)⨸((~a)*(~f)*sqrt((~a)^2 - (~b)^2)*cot((~e) + (~f)*(~x)))* rt(((~a) + (~b))⨸(~d), 2)* elliptic_f( asin(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸ rt(((~a) + (~b))⨸(~d), 2)), -((~a) + (~b))⨸((~a) - (~b))) : nothing)
+
+("4_1_2_1_83",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*sqrt((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    pos(((~a) + (~b))/(~d)) ?
+-2*tan((~e) + (~f)*(~x))⨸((~a)*(~f))*rt(((~a) + (~b))⨸(~d), 2)* sqrt((~a)*(1 - csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~a) + (~b)))* sqrt((~a)*(1 + csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~a) - (~b)))* elliptic_f( asin(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸ rt(((~a) + (~b))⨸(~d), 2)), -((~a) + (~b))⨸((~a) - (~b))) : nothing)
+
+("4_1_2_1_84",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*sqrt((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    neg(((~a) + (~b))/(~d)) ?
+sqrt(-(~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt(-(~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_85",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    pos(((~c) + (~d))/((~a) + (~b))) ?
+2*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~f)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*rt(((~c) + (~d))⨸((~a) + (~b)), 2)* cos((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(1 - sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~a) + (~b))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))))* sqrt(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~a) - (~b))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))))* elliptic_f( asin(rt(((~c) + (~d))⨸((~a) + (~b)), 2)*(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))))), ((~a) + (~b))*((~c) - (~d))⨸(((~a) - (~b))*((~c) + (~d)))) : nothing)
+
+("4_1_2_1_86",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    neg(((~c) + (~d))/((~a) + (~b))) ?
+sqrt(-(~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(1⨸(sqrt(-(~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_87",
+@rule ∫(((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)/sqrt((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-(~a)*(~d)⨸(2*(~b))* ∫(sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + (~d)⨸(2*(~b))* ∫(sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~a) + 2*(~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸ sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_88",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt(0, (~m), 2) &&
+    lt(-1, (~n), 2) &&
+    !eq((~m) + (~n), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n))
+    ) ?
+-(~b)*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~f)*((~m) + (~n))) + 1⨸((~d)*((~m) + (~n)))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)* simp((~a)^2*(~c)*(~d)*((~m) + (~n)) + (~b)*(~d)*((~b)*(~c)*((~m) - 1) + (~a)*(~d)*(~n)) + ((~a)*(~d)*(2*(~b)*(~c) + (~a)*(~d))*((~m) + (~n)) - (~b)*(~d)*((~a)*(~c) - (~b)*(~d)*((~m) + (~n) - 1)))*sin((~e) + (~f)*(~x)) + (~b)*(~d)*((~b)*(~c)*(~n) + (~a)*(~d)*(2*(~m) + (~n) - 1))*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_89",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    igt((~m), 0) ?
+(~b)⨸(~d)*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~d)* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_90",
+@rule ∫(((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~a)*∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a)^2 - (~b)^2*sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) - (~b)⨸(~d)*∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~a)^2 - (~b)^2*sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_91",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ilt((~m), -1) ?
+∫(ext_expand(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(-(~m))⨸((~a)^2 - (~b)^2*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^(-(~m)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_2_1_92",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+#     !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+#     !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+#(* Int[(a_.+b_.*sin[e_.+f_.*x_])^m_.*(d_./sin[e_.+f_.*x_])^n_,x_ Symbol] := d^m*Int[(d*Csc[e+f*x])^(n-m)*(b+a*Csc[e+f*x])^m,x] /; FreeQ[{a,b,d,e,f,n},x] && Not[IntegerQ[n]] && IntegerQ[m] *)
+#(* Int[(a_.+b_.*cos[e_.+f_.*x_])^m_.*(d_./cos[e_.+f_.*x_])^n_,x_ Symbol] := d^m*Int[(d*Sec[e+f*x])^(n-m)*(b+a*Sec[e+f*x])^m,x] /; FreeQ[{a,b,d,e,f,n},x] && Not[IntegerQ[n]] && IntegerQ[m] *)
+("4_1_2_1_93",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!c)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+(~c)^intpart((~n))*((~c)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~p))^ fracpart((~n))⨸((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~p)*fracpart((~n)))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n)*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_94",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!c)*((~!d)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+(~c)^intpart((~n))*((~c)*((~d)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p))^ fracpart((~n))⨸((~d)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p)*fracpart((~n)))* ∫(((~a) + (~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~d)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~n)*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_95",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~c) + (~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~d) + (~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸sin((~e) + (~f)*(~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_96",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~c) + (~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(((~b) + (~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸csc((~e) + (~f)*(~x))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_97",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~c) + (~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(((~b) + (~a)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸sec((~e) + (~f)*(~x))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_98",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+sin((~e) + (~f)*(~x))^(~n)*((~c) + (~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~d) + (~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~d) + (~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸sin((~e) + (~f)*(~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_1_99",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+cos((~e) + (~f)*(~x))^(~n)*((~c) + (~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~d) + (~c)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* ∫(((~a) + (~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~d) + (~c)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸cos((~e) + (~f)*(~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.2/4.1.2.2 (g cos)^p (a+b sin)^m (c+d sin)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.2/4.1.2.2 (g cos)^p (a+b sin)^m (c+d sin)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..9722cb13
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.2/4.1.2.2 (g cos)^p (a+b sin)^m (c+d sin)^n.jl	
@@ -0,0 +1,883 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.2.2 (g cos)^p (a+b sin)^m (c+d sin)^n *)
+("4_1_2_2_1",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) ?
+1⨸((~b)*(~f))*int_and_subst(((~a) + (~x))^(~m)*((~c) + (~d)⨸(~b)*(~x))^(~n),  (~x), (~x), (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_2_2_1") : nothing)
+
+("4_1_2_2_2",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~p) - 1)/2) &&
+    ext_isinteger( (~n)) &&
+    (
+        lt((~p), 0) &&
+        !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ||
+        lt(0, (~n), (~p) - 1) ||
+        lt((~p) + 1, -(~n), 2*(~p) + 1)
+    ) ?
+(~a)*∫(cos((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) + (~b)⨸(~d)*∫(cos((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_3",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^ (~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~p) - 1)/2) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger( (~n)) &&
+    (
+        lt(0, (~n), ((~p) + 1)/2) ||
+        le((~p), -(~n)) &&
+        lt(-(~n), 2*(~p) - 3) ||
+        gt((~n), 0) &&
+        le((~n), -(~p))
+    ) ?
+1⨸(~a)*∫(cos((~e) + (~f)*(~x))^((~p) - 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) - 1⨸((~b)*(~d))*∫(cos((~e) + (~f)*(~x))^((~p) - 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_4",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~p) - 1)/2) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+1⨸((~b)^(~p)*(~f))* int_and_subst(((~a) + (~x))^((~m) + ((~p) - 1)⨸2)*((~a) - (~x))^(((~p) - 1)⨸2)*((~c) + (~d)⨸(~b)*(~x))^ (~n),  (~x), (~x), (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_2_2_4") : nothing)
+
+("4_1_2_2_5",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~p) - 1)/2) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+1⨸((~b)^(~p)*(~f))* int_and_subst(((~a) + (~x))^(~m)*((~c) + (~d)⨸(~b)*(~x))^(~n)*((~b)^2 - (~x)^2)^(((~p) - 1)⨸2),  (~x), (~x), (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_2_2_5") : nothing)
+
+("4_1_2_2_6",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) ?
+(~a)*∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) + (~b)⨸(~d)*∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_7",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~g)^2⨸(~a)*∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~g)^2⨸((~b)*(~d))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_8",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~n)) &&
+        lt((~n)^2, (~m)^2)
+    ) ?
+(~a)^(~m)*(~c)^(~m)⨸(~g)^(2*(~m))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(2*(~m) + (~p))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - (~m)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_9",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~p)/2) ?
+1⨸((~a)^((~p)⨸2)*(~c)^((~p)⨸2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + (~p)⨸2)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + (~p)⨸2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_10",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~p)/(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~g)*cos((~e) + (~f)*(~x))⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_11",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq(2*(~m) + (~p) - 1, 0) &&
+    eq((~m) - (~n) - 1, 0) ?
+(~a)^intpart((~m))* (~c)^intpart((~m))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ fracpart((~m))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~m))⨸ ((~g)^(2*intpart((~m)))*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(2*fracpart((~m))))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(2*(~m) + (~p))⨸((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_12",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq(2*(~m) + (~p) - 1, 0) &&
+    !eq((~m) - (~n) - 1, 0) ?
+(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*(~g)*((~m) - (~n) - 1)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_13",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt(simplify((~m) + (~p)/2 - 1/2), 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq(2*(~n) + (~p) + 1, 0) &&
+    !(
+        ilt(simplify((~m) + (~n) + (~p)), 0) &&
+        gt(simplify(2*(~m) + (~n) + 3*(~p)/2 + 1), 0)
+    ) ?
+-2*(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*(~g)*(2*(~n) + (~p) + 1)) - (~b)*(2*(~m) + (~p) - 1)⨸((~d)*(2*(~n) + (~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_14",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt(simplify((~m) + (~p)/2 - 1/2), 0) &&
+    !(lt((~n), -1)) &&
+    !(
+        igt(simplify((~n) + (~p)/2 - 1/2), 0) &&
+        gt((~m) - (~n), 0)
+    ) &&
+    !(
+        ilt(simplify((~m) + (~n) + (~p)), 0) &&
+        gt(simplify(2*(~m) + (~n) + 3*(~p)/2 + 1), 0)
+    ) ?
+-(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*(~g)*((~m) + (~n) + (~p))) + (~a)*(2*(~m) + (~p) - 1)⨸((~m) + (~n) + (~p))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_15",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq(2*(~m) + (~p) + 1, 0) ?
+(~a)^intpart((~m))* (~c)^intpart((~m))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ fracpart((~m))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~m))⨸ ((~g)^(2*intpart((~m)))*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(2*fracpart((~m))))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(2*(~m) + (~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_16",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~m) + (~n) + (~p) + 1, 0) &&
+    !eq((~m), (~n)) ?
+(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a)*(~f)*(~g)*((~m) - (~n))) : nothing)
+
+("4_1_2_2_17",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ilt(simplify((~m) + (~n) + (~p) + 1), 0) &&
+    !eq(2*(~m) + (~p) + 1, 0) &&
+    (
+        sumsimpler((~m), 1) ||
+        !(sumsimpler((~n), 1))
+    ) ?
+(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a)*(~f)*(~g)*(2*(~m) + (~p) + 1)) + ((~m) + (~n) + (~p) + 1)⨸((~a)*(2*(~m) + (~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_18",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq(2*(~n) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+-2*(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*(~g)*(2*(~n) + (~p) + 1)) - (~b)*(2*(~m) + (~p) - 1)⨸((~d)*(2*(~n) + (~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_19",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n) + (~p), 0) &&
+    !(lt(0, (~n), (~m))) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+-(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*(~g)*((~m) + (~n) + (~p))) + (~a)*(2*(~m) + (~p) - 1)⨸((~m) + (~n) + (~p))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_20",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !eq(2*(~m) + (~p) + 1, 0) &&
+    !(lt((~m), (~n), -1)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a)*(~f)*(~g)*(2*(~m) + (~p) + 1)) + ((~m) + (~n) + (~p) + 1)⨸((~a)*(2*(~m) + (~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_21",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    (
+        isfraction((~m)) ||
+        !(isfraction((~n)))
+    ) ?
+(~a)^intpart((~m))* (~c)^intpart((~m))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ fracpart((~m))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~m))⨸ ((~g)^(2*intpart((~m)))*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(2*fracpart((~m))))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(2*(~m) + (~p))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - (~m)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_22",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~a)*(~d)*(~m) + (~b)*(~c)*((~m) + (~p) + 1), 0) ?
+-(~d)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)⨸((~f)*(~g)*((~m) + (~p) + 1)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_23",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), -1) &&
+    lt((~p), -1) ?
+-((~b)*(~c) + (~a)*(~d))*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)⨸((~a)*(~f)*(~g)*((~p) + 1)) + (~b)*((~a)*(~d)*(~m) + (~b)*(~c)*((~m) + (~p) + 1))⨸((~a)*(~g)^2*((~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_24",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt(simplify((2*(~m) + (~p) + 1)/2), 0) &&
+    !eq((~m) + (~p) + 1, 0) ?
+-(~d)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)⨸((~f)*(~g)*((~m) + (~p) + 1)) + ((~a)*(~d)*(~m) + (~b)*(~c)*((~m) + (~p) + 1))⨸((~b)*((~m) + (~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_25",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -3/2) ?
+2*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)^2*(~f)*(2*(~m) + 3)) + 1⨸((~b)^3*(2*(~m) + 3))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*((~b)*(~c) + 2*(~a)*(~d)*((~m) + 1) - (~b)*(~d)*(2*(~m) + 3)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_26",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ge((~m), -3/2) &&
+    lt((~m), 0) ?
+(~d)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)⨸((~b)^2*(~f)*((~m) + 3)) - 1⨸((~b)^2*((~m) + 3))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~b)*(~d)*((~m) + 2) - (~a)*(~c)*((~m) + 3) + ((~b)*(~c)*((~m) + 3) - (~a)*(~d)*((~m) + 4))*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_27",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    (
+        lt((~m), -1) ||
+        ilt(simplify((~m) + (~p)), 0)
+    ) &&
+    !eq(2*(~m) + (~p) + 1, 0) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)⨸((~a)*(~f)*(~g)*(2*(~m) + (~p) + 1)) + ((~a)*(~d)*(~m) + (~b)*(~c)*((~m) + (~p) + 1))⨸((~a)*(~b)*(2*(~m) + (~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_28",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~m) + (~p) + 1, 0) ?
+-(~d)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)⨸((~f)*(~g)*((~m) + (~p) + 1)) + ((~a)*(~d)*(~m) + (~b)*(~c)*((~m) + (~p) + 1))⨸((~b)*((~m) + (~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_29",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    !(
+        eq((~m), 1) &&
+        !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+        simpler((~c) + (~d)*(~x), (~a) + (~b)*(~x))
+    ) ?
+-((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~d) + (~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~f)*(~g)*((~p) + 1)) + 1⨸((~g)^2*((~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)* simp((~a)*(~c)*((~p) + 2) + (~b)*(~d)*(~m) + (~b)*(~c)*((~m) + (~p) + 2)*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_30",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    !(lt((~p), -1)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    !(
+        eq((~m), 1) &&
+        !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+        simpler((~c) + (~d)*(~x), (~a) + (~b)*(~x))
+    ) ?
+-(~d)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)⨸((~f)*(~g)*((~m) + (~p) + 1)) + 1⨸((~m) + (~p) + 1)* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)* simp((~a)*(~c)*((~m) + (~p) + 1) + (~b)*(~d)*(~m) + ((~a)*(~d)*(~m) + (~b)*(~c)*((~m) + (~p) + 1))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_31",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    gt((~p), 1) &&
+    !eq((~m) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+(~g)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~b)*(~c)*((~m) + (~p) + 1) - (~a)*(~d)*(~p) + (~b)*(~d)*((~m) + 1)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~b)^2* (~f)*((~m) + 1)*((~m) + (~p) + 1)) + (~g)^2*((~p) - 1)⨸((~b)^2*((~m) + 1)*((~m) + (~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)* simp((~b)*(~d)*((~m) + 1) + ((~b)*(~c)*((~m) + (~p) + 1) - (~a)*(~d)*(~p))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_32",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~f)*(~g)*((~a)^2 - (~b)^2)*((~m) + 1)) + 1⨸(((~a)^2 - (~b)^2)*((~m) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)* simp(((~a)*(~c) - (~b)*(~d))*((~m) + 1) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + (~p) + 2)*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_33",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~p), 1) &&
+    !eq((~m) + (~p), 0) &&
+    !eq((~m) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+(~g)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~b)*(~c)*((~m) + (~p) + 1) - (~a)*(~d)*(~p) + (~b)*(~d)*((~m) + (~p))*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~b)^2* (~f)*((~m) + (~p))*((~m) + (~p) + 1)) + (~g)^2*((~p) - 1)⨸((~b)^2*((~m) + (~p))*((~m) + (~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)* simp((~b)*((~a)*(~d)*(~m) + (~b)*(~c)*((~m) + (~p) + 1)) + ((~a)*(~b)*(~c)*((~m) + (~p) + 1) - (~d)*((~a)^2*(~p) - (~b)^2*((~m) + (~p))))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_34",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d) - ((~a)*(~c) - (~b)*(~d))*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~f)*(~g)*((~a)^2 - (~b)^2)*((~p) + 1)) + 1⨸((~g)^2*((~a)^2 - (~b)^2)*((~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)* simp((~c)*((~a)^2*((~p) + 2) - (~b)^2*((~m) + (~p) + 2)) + (~a)*(~b)*(~d)*(~m) + (~b)*((~a)*(~c) - (~b)*(~d))*((~m) + (~p) + 3)*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_35",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~p)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~d)⨸(~b)*∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p), (~x)) + ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~b)* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_36",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~c)*(~g)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 1)⨸((~f)*(1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))^(((~p) - 1)⨸2)*(1 - sin((~e) + (~f)*(~x)))^(((~p) - 1)⨸2))* int_and_subst((1 + (~d)⨸(~c)*(~x))^(((~p) + 1)⨸2)*(1 - (~d)⨸(~c)*(~x))^(((~p) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*(~x))^(~m),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_2_2_36") : nothing)
+
+("4_1_2_2_37",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~p)) &&
+    eq(2*(~m) + (~p), 0) ?
+(~a)^(2*(~m))*∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_38",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)* sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~m) - (~p), 0) ?
+-((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸(2*(~b)*(~f)* (~g)*((~m) + 1)) + (~a)⨸(2*(~g)^2)* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_39",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)* sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~m) + (~p) + 1, 0) ?
+(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~a)*(~f)*(~g)*(~m)) - 1⨸(~g)^2*∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_40",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~n), (~p)/2) &&
+    (
+        gt((~m), 0) &&
+        gt((~p), 0) &&
+        lt(-(~m) - (~p), (~n), -1) ||
+        gt((~m), 2) &&
+        lt((~p), 0) &&
+        gt((~m) + (~p)/2, 0)
+    ) ?
+1⨸(~a)^(~p)* ∫(ext_expand(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~p)⨸2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + (~p)⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_41",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt((~m), 0) ?
+∫(ext_expand(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~p), ((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_42",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    (
+        ilt((~m), 0) ||
+        !(igt((~n), 0))
+    ) ?
+1⨸(~b)^2* ∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_43",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ilt((~m), 0) ?
+((~a)⨸(~g))^(2*(~m))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(2*(~m) + (~p))*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_44",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    isrational((~p)) &&
+    (
+        eq(2*(~m) + (~p), 0) ||
+        gt(2*(~m) + (~p), 0) &&
+        lt((~p), -1)
+    ) ?
+((~a)⨸(~g))^(2*(~m))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(2*(~m) + (~p))*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_45",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)* sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    le((~m), -1/2) &&
+    !eq(2*(~m) + (~p) + 1, 0) ?
+(~b)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)⨸((~a)*(~f)*(~g)*(2*(~m) + (~p) + 1)) - 1⨸((~a)^2*(2*(~m) + (~p) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~a)*(~m) - (~b)*(2*(~m) + (~p) + 1)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_46",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)* sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~m) + (~p) + 2, 0) ?
+-((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~f)* (~g)*((~m) + (~p) + 2)) + 1⨸((~b)*((~m) + (~p) + 2))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~b)*((~m) + 1) - (~a)*((~p) + 1)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_47",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+1⨸(~b)^2* ∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_48",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^4*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+-2⨸((~a)*(~b)*(~d))* ∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2), (~x)) + 1⨸(~a)^2* ∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*(1 + sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_49",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^4*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(igt((~m), 0)) ?
+1⨸(~d)^4*∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 4)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) + ∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*(1 - 2*sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_50",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~p)/2) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+(~a)^(~m)*cos( (~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*sqrt(1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt(1 - sin((~e) + (~f)*(~x))))* int_and_subst(((~d)*(~x))^(~n)*(1 + (~b)⨸(~a)*(~x))^((~m) + ((~p) - 1)⨸2)*(1 - (~b)⨸(~a)*(~x))^(((~p) - 1)⨸2),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_2_2_50") : nothing)
+
+("4_1_2_2_51",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~p)/2) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+cos((~e) + (~f)*(~x))⨸((~a)^((~p) - 2)*(~f)*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))))* int_and_subst(((~d)*(~x))^(~n)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + (~p)⨸2 - 1⨸2)*((~a) - (~b)*(~x))^((~p)⨸2 - 1⨸2),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_2_2_51") : nothing)
+
+("4_1_2_2_52",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        igt((~n), 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~p), ((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_53",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+(~a)^(~m)*(~g)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 1)⨸((~f)*(1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))^(((~p) - 1)⨸2)*(1 - sin((~e) + (~f)*(~x)))^(((~p) - 1)⨸2))* int_and_subst(((~d)*(~x))^(~n)*(1 + (~b)⨸(~a)*(~x))^((~m) + ((~p) - 1)⨸2)*(1 - (~b)⨸(~a)*(~x))^(((~p) - 1)⨸2),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_2_2_53") : nothing)
+
+("4_1_2_2_54",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+(~g)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 1)⨸((~f)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(((~p) - 1)⨸2)*((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(((~p) - 1)⨸2))* int_and_subst(((~d)*(~x))^(~n)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + ((~p) - 1)⨸2)*((~a) - (~b)*(~x))^(((~p) - 1)⨸2),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_2_2_54") : nothing)
+
+("4_1_2_2_55",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)/ sqrt((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    eq((~m) + (~p) + 1/2, 0) ?
+-(~g)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 1)* sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~a)*(~d)* (~f)*((~m) + 1)) + (~g)^2*(2*(~m) + 3)⨸(2*(~a)*((~m) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸ sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_56",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)/ sqrt((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    eq((~m) + (~p) + 3/2, 0) ?
+2*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 1)* sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~d)*(~f)*(~g)*(2*(~m) + 1)) + 2*(~a)*(~m)⨸((~g)^2*(2*(~m) + 1))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)⨸ sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_57",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    (
+        igt((~m), 0) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n))
+    ) ?
+∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*(1 - sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[cos[e_.+f_.*x_]^4*sin[e_.+f_.*x_]^n_*(a_+b_.*sin[e_.+f_.*x_])^ m_,x_Symbol] := (a^2-b^2)*Cos[e+f*x]*Sin[e+f*x]^(n+1)*(a+b*Sin[e+f*x])^(m+1)/(a*b^2* d*(m+1)) - (a^2*(n+1)-b^2*(m+n+2))*Cos[e+f*x]*Sin[e+f*x]^(n+1)*(a+b*Sin[e+f*x]) ^(m+2)/(a^2*b^2*d*(n+1)*(m+1)) + 1/(a^2*b*(n+1)*(m+1))*Int[Sin[e+f*x]^(n+1)*(a+b*Sin[e+f*x])^(m+1)* Simp[a^2*(n+1)*(n+2)-b^2*(m+n+2)*(m+n+3)+a*b*(m+1)*Sin[e+f*x]-(a^ 2*(n+1)*(n+3)-b^2*(m+n+2)*(m+n+4))*Sin[e+f*x]^2,x],x] /; FreeQ[{a,b,d,e,f},x] && NeQ[a^2-b^2,0] && IntegersQ[2*m,2*n] &&  LtQ[m,-1] && LtQ[n,-1] *)
+("4_1_2_2_58",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^4*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    lt((~n), -1) ?
+cos((~e) + (~f)*(~x))*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~a)*(~d)* (~f)*((~n) + 1)) - ((~a)^2*((~n) + 1) - (~b)^2*((~m) + (~n) + 2))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~a)^2*(~b)*(~d)^2*(~f)*((~n) + 1)*((~m) + 1)) + 1⨸((~a)^2*(~b)*(~d)*((~n) + 1)*((~m) + 1))* ∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)* simp((~a)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2) - (~b)^2*((~m) + (~n) + 2)*((~m) + (~n) + 3) + (~a)*(~b)*((~m) + 1)* sin((~e) + (~f)*(~x)) - ((~a)^2*((~n) + 1)*((~n) + 3) - (~b)^2*((~m) + (~n) + 2)*((~m) + (~n) + 4))*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_59",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^4*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !(lt((~n), -1)) &&
+    (
+        lt((~m), -2) ||
+        eq((~m) + (~n) + 4, 0)
+    ) ?
+((~a)^2 - (~b)^2)* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~a)*(~b)^2*(~d)*(~f)*((~m) + 1)) + ((~a)^2*((~n) - (~m) + 1) - (~b)^2*((~m) + (~n) + 2))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~a)^2*(~b)^2*(~d)*(~f)*((~m) + 1)*((~m) + 2)) - 1⨸((~a)^2*(~b)^2*((~m) + 1)*((~m) + 2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~a)^2*((~n) + 1)*((~n) + 3) - (~b)^2*((~m) + (~n) + 2)*((~m) + (~n) + 3) + (~a)*(~b)*((~m) + 2)* sin((~e) + (~f)*(~x)) - ((~a)^2*((~n) + 2)*((~n) + 3) - (~b)^2*((~m) + (~n) + 2)*((~m) + (~n) + 4))*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_60",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^4*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !(lt((~n), -1)) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 4, 0) ?
+((~a)^2 - (~b)^2)* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~a)*(~b)^2*(~d)*(~f)*((~m) + 1)) - cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)^2*(~d)*(~f)*((~m) + (~n) + 4)) - 1⨸((~a)*(~b)^2*((~m) + 1)*((~m) + (~n) + 4))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~a)^2*((~n) + 1)*((~n) + 3) - (~b)^2*((~m) + (~n) + 2)*((~m) + (~n) + 4) + (~a)*(~b)*((~m) + 1)* sin((~e) + (~f)*(~x)) - ((~a)^2*((~n) + 2)*((~n) + 3) - (~b)^2*((~m) + (~n) + 3)*((~m) + (~n) + 4))*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_61",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^4*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    (
+        igt((~m), 0) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n))
+    ) &&
+    !((~m) < -1) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    (
+        lt((~n), -2) ||
+        eq((~m) + (~n) + 4, 0)
+    ) ?
+cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~a)*(~d)* (~f)*((~n) + 1)) - (~b)*((~m) + (~n) + 2)* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2)⨸((~a)^2*(~d)^2*(~f)*((~n) + 1)*((~n) + 2)) - 1⨸((~a)^2*(~d)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2)* simp((~a)^2*(~n)*((~n) + 2) - (~b)^2*((~m) + (~n) + 2)*((~m) + (~n) + 3) + (~a)*(~b)*(~m)*sin( (~e) + (~f)*(~x)) - ((~a)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2) - (~b)^2*((~m) + (~n) + 2)*((~m) + (~n) + 4))*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_62",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^4*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    (
+        igt((~m), 0) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n))
+    ) &&
+    !((~m) < -1) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 4, 0) ?
+cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~a)*(~d)* (~f)*((~n) + 1)) - cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2)⨸((~b)*(~d)^2*(~f)*((~m) + (~n) + 4)) + 1⨸((~a)*(~b)*(~d)*((~n) + 1)*((~m) + (~n) + 4))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* simp((~a)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2) - (~b)^2*((~m) + (~n) + 2)*((~m) + (~n) + 4) + (~a)*(~b)*((~m) + 3)* sin((~e) + (~f)*(~x)) - ((~a)^2*((~n) + 1)*((~n) + 3) - (~b)^2*((~m) + (~n) + 3)*((~m) + (~n) + 4))*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_63",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^4*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    (
+        igt((~m), 0) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n))
+    ) &&
+    !((~m) < -1) &&
+    !(lt((~n), -1)) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 3, 0) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 4, 0) ?
+(~a)*((~n) + 3)* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)^2*(~d)* (~f)*((~m) + (~n) + 3)*((~m) + (~n) + 4)) - cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~d)^2*(~f)*((~m) + (~n) + 4)) - 1⨸((~b)^2*((~m) + (~n) + 3)*((~m) + (~n) + 4))* ∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)* simp((~a)^2*((~n) + 1)*((~n) + 3) - (~b)^2*((~m) + (~n) + 3)*((~m) + (~n) + 4) + (~a)*(~b)*(~m)*sin( (~e) + (~f)*(~x)) - ((~a)^2*((~n) + 2)*((~n) + 3) - (~b)^2*((~m) + (~n) + 3)*((~m) + (~n) + 5))*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_64",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^6*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) &&
+    !eq((~n), -1) &&
+    !eq((~n), -2) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 5, 0) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 6, 0) &&
+    !(igt((~m), 0)) ?
+cos((~e) + (~f)*(~x))*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~a)*(~d)* (~f)*((~n) + 1)) - (~b)*((~m) + (~n) + 2)* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~a)^2*(~d)^2*(~f)*((~n) + 1)*((~n) + 2)) - (~a)*((~n) + 5)* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 3)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)^2*(~d)^3* (~f)*((~m) + (~n) + 5)*((~m) + (~n) + 6)) + cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 4)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~d)^4*(~f)*((~m) + (~n) + 6)) + 1⨸((~a)^2*(~b)^2*(~d)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2)*((~m) + (~n) + 5)*((~m) + (~n) + 6))* ∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)* simp((~a)^4*((~n) + 1)*((~n) + 2)*((~n) + 3)*((~n) + 5) - (~a)^2*(~b)^2*((~n) + 2)*(2*(~n) + 1)*((~m) + (~n) + 5)*((~m) + (~n) + 6) + (~b)^4*((~m) + (~n) + 2)*((~m) + (~n) + 3)*((~m) + (~n) + 5)*((~m) + (~n) + 6) + (~a)*(~b)*(~m)*((~a)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2) - (~b)^2*((~m) + (~n) + 5)*((~m) + (~n) + 6))* sin((~e) + (~f)*(~x)) - ((~a)^4*((~n) + 1)*((~n) + 2)*(4 + (~n))*((~n) + 5) + (~b)^4*((~m) + (~n) + 2)*((~m) + (~n) + 4)*((~m) + (~n) + 5)*((~m) + (~n) + 6) - (~a)^2*(~b)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2)*((~m) + (~n) + 5)*(2*(~n) + 2*(~m) + 13))* sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_65",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m), 2*(~n), (~p)/2) &&
+    (
+        lt((~m), -1) ||
+        eq((~m), -1) &&
+        gt((~p), 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*(1 - sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^((~p)⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_66",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)* sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    (
+        lt((~n), 0) ||
+        igt((~p) + 1/2, 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p), sin((~e) + (~f)*(~x))^(~n)⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_67",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~n), 2*(~p)) &&
+    gt((~p), 1) &&
+    (
+        le((~n), -2) ||
+        eq((~n), -3/2) &&
+        eq((~p), 3/2)
+    ) ?
+(~g)^2⨸(~a)*∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~b)*(~g)^2⨸((~a)^2*(~d))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) - (~g)^2*((~a)^2 - (~b)^2)⨸((~a)^2*(~d)^2)* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2)⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_68",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~n), 2*(~p)) &&
+    gt((~p), 1) &&
+    (
+        lt((~n), -1) ||
+        eq((~p), 3/2) &&
+        eq((~n), -1/2)
+    ) ?
+(~g)^2⨸((~a)*(~b))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~b) - (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + (~g)^2*((~a)^2 - (~b)^2)⨸((~a)*(~b)*(~d))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_69",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~n), 2*(~p)) &&
+    gt((~p), 1) ?
+(~g)^2⨸(~b)^2* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - (~g)^2*((~a)^2 - (~b)^2)⨸(~b)^2* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(g_.*cos[e_.+f_.*x_])^p_*(d_.*sin[e_.+f_.*x_])^n_/(a_+b_.*sin[ e_.+f_.*x_]),x_Symbol] := g^2*Int[(g*Cos[e+f*x])^(p-2)*(d*Sin[e+f*x])^n/(a+b*Sin[e+f*x]),x] -   g^2/d^2*Int[(g*Cos[e+f*x])^(p-2)*(d*Sin[e+f*x])^(n+2)/(a+b*Sin[e+f* x]),x] /; FreeQ[{a,b,d,e,f,g},x] && NeQ[a^2-b^2,0] && IntegersQ[2*n,2*p] &&  GtQ[p,1] *)
+("4_1_2_2_70",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~n), 2*(~p)) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~n), 1) ?
+(~a)*(~d)^2⨸((~a)^2 - (~b)^2)* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) - (~b)*(~d)⨸((~a)^2 - (~b)^2)* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) - (~a)^2*(~d)^2⨸((~g)^2*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_71",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~n), 2*(~p)) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    gt((~n), 0) ?
+-(~d)⨸((~a)^2 - (~b)^2)* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~p)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)*((~b) - (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + (~a)*(~b)*(~d)⨸((~g)^2*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_72",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~n), 2*(~p)) &&
+    lt((~p), -1) ?
+1⨸((~a)^2 - (~b)^2)* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - (~b)^2⨸((~g)^2*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) + 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_73",
+@rule ∫(sqrt( (~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sqrt( sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-4*sqrt(2)*(~g)⨸(~f)* int_and_subst((~x)^2⨸((((~a) + (~b))*(~g)^2 + ((~a) - (~b))*(~x)^4)*sqrt(1 - (~x)^4⨸(~g)^2)),  (~x), (~x), sqrt((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt(1 + sin((~e) + (~f)*(~x))), "4_1_2_2_73") : nothing)
+
+("4_1_2_2_74",
+@rule ∫(sqrt( (~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sqrt( (~d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+sqrt(sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(sqrt((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sqrt(sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_75",
+@rule ∫(sqrt( (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sqrt( cos((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+2*sqrt(2)*(~d)*((~b) + rt(-(~a)^2 + (~b)^2, 2))⨸((~f)*rt(-(~a)^2 + (~b)^2, 2))* int_and_subst(1⨸(((~d)*((~b) + rt(-(~a)^2 + (~b)^2,  2)) + (~a)*(~x)^2)*sqrt(1 - (~x)^4⨸(~d)^2)), (~x), (~x), sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt(1 + cos((~e) + (~f)*(~x))), "4_1_2_2_75") - 2*sqrt(2)*(~d)*((~b) - rt(-(~a)^2 + (~b)^2, 2))⨸((~f)*rt(-(~a)^2 + (~b)^2, 2))* int_and_subst(1⨸(((~d)*((~b) - rt(-(~a)^2 + (~b)^2,  2)) + (~a)*(~x)^2)*sqrt(1 - (~x)^4⨸(~d)^2)), (~x), (~x), sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt(1 + cos((~e) + (~f)*(~x))), "4_1_2_2_75") : nothing)
+
+("4_1_2_2_76",
+@rule ∫(sqrt( (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sqrt( (~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+sqrt(cos((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sqrt(cos((~e) + (~f)*(~x)))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_77",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~n), 2*(~p)) &&
+    lt(-1, (~p), 1) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~d)⨸(~b)*∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) - (~a)*(~d)⨸(~b)* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~p)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_78",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~n), 2*(~p)) &&
+    lt(-1, (~p), 1) &&
+    lt((~n), 0) ?
+1⨸(~a)*∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~b)⨸((~a)*(~d))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~p)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_79",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+2*(~a)*(~b)⨸(~d)*∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) + ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~a)^2 + (~b)^2*sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_80",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    (
+        gt((~m), 0) ||
+        ext_isinteger((~n))
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~p), ((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_81",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m), 2*(~n), 2*(~p)) &&
+    lt((~m), 0) &&
+    gt((~p), 1) &&
+    (
+        le((~n), -2) ||
+        eq((~m), -1) &&
+        eq((~n), -3/2) &&
+        eq((~p), 3/2)
+    ) ?
+(~g)^2⨸(~a)* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1), (~x)) - (~b)*(~g)^2⨸((~a)^2*(~d))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1), (~x)) - (~g)^2*((~a)^2 - (~b)^2)⨸((~a)^2*(~d)^2)* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 2)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_82",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~p)) &&
+    eq(2*(~m) + (~p), 0) ?
+(~a)^(2*(~m))*∫(((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_83",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    (
+        eq(2*(~m) + (~p), 0) ||
+        gt(2*(~m) + (~p), 0) &&
+        lt((~p), -1)
+    ) ?
+((~a)⨸(~g))^(2*(~m))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(2*(~m) + (~p))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_84",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+1⨸(~b)^2* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_85",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~p)/2) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+(~a)^(~m)*cos( (~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*sqrt(1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt(1 - sin((~e) + (~f)*(~x))))* int_and_subst((1 + (~b)⨸(~a)*(~x))^((~m) + ((~p) - 1)⨸2)*(1 - (~b)⨸(~a)*(~x))^(((~p) - 1)⨸2)*((~c) + (~d)*(~x))^ (~n),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_2_2_85") : nothing)
+
+("4_1_2_2_86",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~p)/2) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+cos((~e) + (~f)*(~x))⨸((~a)^((~p) - 2)*(~f)*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + (~p)⨸2 - 1⨸2)*((~a) - (~b)*(~x))^((~p)⨸2 - 1⨸2)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_2_2_86") : nothing)
+
+("4_1_2_2_87",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        igt((~n), 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~p), ((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_88",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+(~a)^(~m)*(~g)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 1)⨸((~f)*(1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))^(((~p) - 1)⨸2)*(1 - sin((~e) + (~f)*(~x)))^(((~p) - 1)⨸2))* int_and_subst((1 + (~b)⨸(~a)*(~x))^((~m) + ((~p) - 1)⨸2)*(1 - (~b)⨸(~a)*(~x))^(((~p) - 1)⨸2)*((~c) + (~d)*(~x))^ (~n),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_2_2_88") : nothing)
+
+("4_1_2_2_89",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+(~g)*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - 1)⨸((~f)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(((~p) - 1)⨸2)*((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(((~p) - 1)⨸2))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + ((~p) - 1)⨸2)*((~a) - (~b)*(~x))^(((~p) - 1)⨸2)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_2_2_89") : nothing)
+
+("4_1_2_2_90",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    (
+        igt((~m), 0) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n))
+    ) ?
+∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*(1 - sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_91",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt((~p)/2, 0) &&
+    (
+        igt((~m), 0) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n))
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*(1 - sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^((~p)⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_92",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+∫(ext_expand(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_2_2_93",
+# @rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+# Unintegrable[((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+("4_1_2_2_94",
+@rule ∫(((~!g)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+(~g)^(2*intpart((~p)))*((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~p))*((~g)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^ fracpart((~p))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_2_95",
+@rule ∫(((~!g)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~!a) + (~!b)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!c) + (~!d)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+(~g)^(2*intpart((~p)))*((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~p))*((~g)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ fracpart((~p))* ∫(((~a) + (~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.2/4.1.2.3 (g sin)^p (a+b sin)^m (c+d sin)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.2/4.1.2.3 (g sin)^p (a+b sin)^m (c+d sin)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..8e0d45b6
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.2/4.1.2.3 (g sin)^p (a+b sin)^m (c+d sin)^n.jl	
@@ -0,0 +1,320 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.2.3 (g sin)^p (a+b sin)^m (c+d sin)^n *)
+("4_1_2_3_1",
+@rule ∫(sqrt((~!g)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    (
+        eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ||
+        eq((~c)^2 - (~d)^2, 0)
+    ) ?
+(~g)⨸(~d)*∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - (~c)*(~g)⨸(~d)* ∫(sqrt( (~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sqrt( (~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_2",
+@rule ∫(sqrt((~!g)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~b)⨸(~d)*∫(sqrt((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~d)* ∫(sqrt( (~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sqrt( (~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_3",
+@rule ∫(sqrt( (~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sqrt( (~!g)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-2*(~b)⨸(~f)* int_and_subst(1⨸((~b)*(~c) + (~a)*(~d) + (~c)*(~g)*(~x)^2),  (~x), (~x), (~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))⨸(sqrt((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), "4_1_2_3_3") : nothing)
+
+("4_1_2_3_4",
+@rule ∫(sqrt( (~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sqrt( sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~d), (~c)) &&
+    gt((~b)^2 - (~a)^2, 0) &&
+    gt((~b), 0) ?
+-sqrt((~a) + (~b))⨸((~c)*(~f))* elliptic_e( asin(cos((~e) + (~f)*(~x))⨸(1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))), -((~a) - (~b))⨸((~a) + (~b))) : nothing)
+
+("4_1_2_3_5",
+@rule ∫(sqrt( (~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sqrt( (~!g)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+-sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))⨸((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))))⨸ ((~d)*(~f)*sqrt((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~c)^2*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~a)*(~c) + (~b)*(~d))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))))))* elliptic_e( asin((~c)* cos((~e) + (~f)*(~x))⨸((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~b)*(~c) + (~a)*(~d))) : nothing)
+
+("4_1_2_3_6",
+@rule ∫(sqrt( (~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sqrt( (~!g)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~a)⨸(~c)*∫(1⨸(sqrt((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) + ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸((~c)*(~g))* ∫(sqrt( (~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sqrt( (~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_7",
+@rule ∫(sqrt( (~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sin( (~!e) + (~!f)*(~x))*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+1⨸(~c)*∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)) - (~d)⨸(~c)*∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_8",
+@rule ∫(sqrt( (~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sin( (~!e) + (~!f)*(~x))*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~a)⨸(~c)*∫(1⨸(sin((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) + ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~c)* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_9",
+@rule ∫(sqrt( (~!g)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sqrt( (~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    (
+        eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ||
+        eq((~c)^2 - (~d)^2, 0)
+    ) ?
+-(~a)*(~g)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(1⨸(sqrt((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) + (~c)*(~g)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(sqrt( (~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sqrt( (~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_10",
+@rule ∫(sqrt( (~!g)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sqrt( (~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+2*sqrt(-cot((~e) + (~f)*(~x))^2)* sqrt((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~f)*((~c) + (~d))*cot((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))))*sqrt(((~b) + (~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~a) + (~b)))* elliptic_pi(2*(~c)⨸((~c) + (~d)), asin(sqrt(1 - csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt(2)), 2*(~a)⨸((~a) + (~b))) : nothing)
+
+("4_1_2_3_11",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!g)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    (
+        eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ||
+        eq((~c)^2 - (~d)^2, 0)
+    ) ?
+(~b)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(1⨸(sqrt((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) - (~d)⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(sqrt( (~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sqrt( (~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_12",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!g)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+1⨸(~c)*∫(1⨸(sqrt((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) - (~d)⨸((~c)*(~g))* ∫(sqrt( (~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sqrt( (~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_13",
+@rule ∫(1/(sin((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~d)^2⨸((~c)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))* ∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + 1⨸((~c)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))* ∫(((~b)*(~c) - (~a)*(~d) - (~b)*(~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sin((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_14",
+@rule ∫(1/(sin((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+1⨸(~c)*∫(1⨸(sin((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) - (~d)⨸(~c)*∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_15",
+@rule ∫(sqrt( (~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sin((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) ?
+-(~d)⨸(~c)*∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + 1⨸(~c)* ∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_16",
+@rule ∫(sqrt( (~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sin((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) ?
+-2*(~a)⨸(~f)* int_and_subst(1⨸(1 - (~a)*(~c)*(~x)^2),  (~x), (~x), cos((~e) + (~f)*(~x))⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), "4_1_2_3_16") : nothing)
+
+("4_1_2_3_17",
+@rule ∫(sqrt( (~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sin((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+((~b)*(~c) - (~a)*(~d))⨸(~c)* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) + (~a)⨸(~c)* ∫(sqrt( (~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sin((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_18",
+@rule ∫(sqrt( (~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sin((~!e) + (~!f)*(~x))* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+-2*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~c)*(~f)*rt(((~a) + (~b))⨸((~c) + (~d)), 2)*cos((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(1 - sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~c) + (~d))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))))* sqrt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~c) - (~d))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))))* elliptic_pi((~a)*((~c) + (~d))⨸((~c)*((~a) + (~b))), asin(rt(((~a) + (~b))⨸((~c) + (~d)), 2)* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), ((~a) - (~b))*((~c) + (~d))⨸(((~a) + (~b))*((~c) - (~d)))) : nothing)
+
+("4_1_2_3_19",
+@rule ∫(1/(sin((~!e) + (~!f)*(~x))*sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+cos((~e) + (~f)*(~x))⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))))* ∫(1⨸(cos((~e) + (~f)*(~x))*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_20",
+@rule ∫(1/(sin((~!e) + (~!f)*(~x))*sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    (
+        !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ||
+        !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0)
+    ) ?
+-(~b)⨸(~a)*∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) + 1⨸(~a)* ∫(sqrt( (~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sin((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_21",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/sin((~!e) + (~!f)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸cos((~e) + (~f)*(~x))* ∫(cot((~e) + (~f)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_22",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/sin((~!e) + (~!f)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    (
+        !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ||
+        !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0)
+    ) ?
+(~d)*∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + (~c)*∫( sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sin((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_23",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~p) + 2*(~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+(~a)^(~n)*(~c)^(~n)*∫(tan((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - (~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_24",
+@rule ∫(((~!g)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m) - 1/2) ?
+sqrt((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~f)*cos((~e) + (~f)*(~x)))* int_and_subst(((~g)*(~x))^(~p)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1⨸2)*((~c) + (~d)*(~x))^(~n)⨸sqrt((~a) - (~b)*(~x)),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_2_3_24") : nothing)
+
+("4_1_2_3_25",
+@rule ∫(((~!g)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m), (~n)) ||
+        ext_isinteger((~m), (~p)) ||
+        ext_isinteger((~n), (~p))
+    ) &&
+    !eq((~p), 2) ?
+∫(ext_expand(((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_2_3_26",
+# @rule ∫(((~!g)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     !eq((~p), 2) ?
+# Unintegrable[((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+("4_1_2_3_27",
+@rule ∫(((~!g)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!p)*((~!a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~c) + (~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+(~g)^((~m) + (~n))* ∫(((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - (~m) - (~n))*((~b) + (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~d) + (~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_28",
+@rule ∫(((~!g)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!p)*((~!a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~c) + (~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~m)) &&
+        ext_isinteger((~n))
+    ) ?
+((~g)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~g)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_29",
+@rule ∫(((~!g)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~c) + (~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+(~g)^(~n)*∫(((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - (~n))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~d) + (~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_30",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~c) + (~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+∫(((~b) + (~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸ csc((~e) + (~f)*(~x))^((~m) + (~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_31",
+@rule ∫(((~!g)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~c) + (~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+csc((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)* ∫(((~b) + (~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸ csc((~e) + (~f)*(~x))^((~m) + (~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_32",
+@rule ∫(((~!g)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~c) + (~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~d) + (~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* ∫(((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - (~n))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~d) + (~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_33",
+@rule ∫(((~!g)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!p)*((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+(~g)^((~m) + (~n))* ∫(((~g)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - (~m) - (~n))*((~b) + (~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~d) + (~c)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_34",
+@rule ∫(((~!g)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!p)*((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~m)) &&
+        ext_isinteger((~n))
+    ) ?
+((~g)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~g)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_35",
+@rule ∫(((~!g)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~c) + (~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+(~g)^(~m)*∫(((~g)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - (~m))*((~b) + (~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_36",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~d) + (~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸ sin((~e) + (~f)*(~x))^((~n) + (~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_37",
+@rule ∫(((~!g)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+sin((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~g)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~d) + (~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸ sin((~e) + (~f)*(~x))^((~n) + (~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_2_3_38",
+@rule ∫(((~!g)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!p)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~g)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~b) + (~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)* ∫(((~g)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~p) - (~m))*((~b) + (~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.3 (a+b sin)^m (c+d sin)^n (A+B sin).jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.3 (a+b sin)^m (c+d sin)^n (A+B sin).jl
new file mode 100644
index 00000000..5493e516
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.3 (a+b sin)^m (c+d sin)^n (A+B sin).jl	
@@ -0,0 +1,447 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.3.1 (a+b sin)^m (c+d sin)^n (A+B sin) *)
+("4_1_3_1",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    eq((~A)*(~b) + (~a)*(~B), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+∫(ext_expand( sin((~e) + (~f)*(~x))^(~n)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~A) + (~B)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_2",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    !(
+        ext_isinteger( (~n)) &&
+        (
+            lt((~m), 0) &&
+            gt((~n), 0) ||
+            lt(0, (~n), (~m)) ||
+            lt((~m), (~n), 0)
+        )
+    ) ?
+(~a)^(~m)*(~c)^(~m)* ∫(cos((~e) + (~f)*(~x))^(2*(~m))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - (~m))*((~A) + (~B)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_3",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) ?
+∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~A)*(~c) + ((~B)*(~c) + (~A)*(~d))*sin((~e) + (~f)*(~x)) + (~B)*(~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_4",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+((~A)*(~b) + (~a)*(~B))⨸(2*(~a)*(~b))* ∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + ((~B)*(~c) + (~A)*(~d))⨸(2*(~c)*(~d))* ∫(sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_5",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~A)*(~b)*((~m) + (~n) + 1) + (~a)*(~B)*((~m) - (~n)), 0) &&
+    !eq((~m), -1/2) ?
+-(~B)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*((~m) + (~n) + 1)) : nothing)
+
+("4_1_3_6",
+@rule ∫(sqrt((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~B)⨸(~d)*∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) - ((~B)*(~c) - (~A)*(~d))⨸(~d)* ∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_7",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    (
+        lt((~m), -1/2) ||
+        ilt((~m) + (~n), 0) &&
+        !(sumsimpler((~n), 1))
+    ) &&
+    !eq(2*(~m) + 1, 0) ?
+((~A)*(~b) - (~a)*(~B))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) + 1)) + ((~a)*(~B)*((~m) - (~n)) + (~A)*(~b)*((~m) + (~n) + 1))⨸((~a)*(~b)*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_8",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1/2)) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 1, 0) ?
+-(~B)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*((~m) + (~n) + 1)) - ((~B)*(~c)*((~m) - (~n)) - (~A)*(~d)*((~m) + (~n) + 1))⨸((~d)*((~m) + (~n) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_9",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    eq((~m) + (~n) + 2, 0) &&
+    eq((~A)*((~a)*(~d)*(~m) + (~b)*(~c)*((~n) + 1)) - (~B)*((~a)*(~c)*(~m) + (~b)*(~d)*((~n) + 1)), 0) ?
+((~B)*(~c) - (~A)*(~d))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~f)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2)) : nothing)
+
+("4_1_3_10",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~m), 1/2) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~n)) ||
+        eq((~c), 0)
+    ) ?
+-(~b)^2*((~B)*(~c) - (~A)*(~d))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~n) + 1)*((~b)*(~c) + (~a)*(~d))) - (~b)⨸((~d)*((~n) + 1)*((~b)*(~c) + (~a)*(~d)))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* simp((~a)*(~A)*(~d)*((~m) - (~n) - 2) - (~B)*((~a)*(~c)*((~m) - 1) + (~b)*(~d)*((~n) + 1)) - ((~A)*(~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 1) - (~B)*((~b)*(~c)*(~m) - (~a)*(~d)*((~n) + 1)))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_11",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~m), 1/2) &&
+    !(lt((~n), -1)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~n)) ||
+        eq((~c), 0)
+    ) ?
+-(~b)*(~B)*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~m) + (~n) + 1)) + 1⨸((~d)*((~m) + (~n) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~a)*(~A)*(~d)*((~m) + (~n) + 1) + (~B)*((~a)*(~c)*((~m) - 1) + (~b)*(~d)*((~n) + 1)) + ((~A)*(~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 1) - (~B)*((~b)*(~c)*(~m) - (~a)*(~d)*(2*(~m) + (~n))))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_12",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1/2) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~n)) ||
+        eq((~c), 0)
+    ) ?
+((~A)*(~b) - (~a)*(~B))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) + 1)) - 1⨸((~a)*(~b)*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)* simp((~A)*((~a)*(~d)*(~n) - (~b)*(~c)*((~m) + 1)) - (~B)*((~a)*(~c)*(~m) + (~b)*(~d)*(~n)) - (~d)*((~a)*(~B)*((~m) - (~n)) + (~A)*(~b)*((~m) + (~n) + 1))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_13",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1/2) &&
+    !(gt((~n), 0)) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~n)) ||
+        eq((~c), 0)
+    ) ?
+(~b)*((~A)*(~b) - (~a)*(~B))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))) + 1⨸((~a)*(2*(~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~B)*((~a)*(~c)*(~m) + (~b)*(~d)*((~n) + 1)) + (~A)*((~b)*(~c)*((~m) + 1) - (~a)*(~d)*(2*(~m) + (~n) + 2)) + (~d)*((~A)*(~b) - (~a)*(~B))*((~m) + (~n) + 2)*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_14",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    eq((~A)*(~b)*(~d)*(2*(~n) + 3) - (~B)*((~b)*(~c) - 2*(~a)*(~d)*((~n) + 1)), 0) ?
+-2*(~b)*(~B)* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*(2*(~n) + 3)* sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_1_3_15",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+-(~b)^2*((~B)*(~c) - (~A)*(~d))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)* (~f)*((~n) + 1)*((~b)*(~c) + (~a)*(~d))*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) + ((~A)*(~b)*(~d)*(2*(~n) + 3) - (~B)*((~b)*(~c) - 2*(~a)*(~d)*((~n) + 1)))⨸(2* (~d)*((~n) + 1)*((~b)*(~c) + (~a)*(~d)))* ∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_16",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    !(lt((~n), -1)) ?
+-2*(~b)*(~B)* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*(2*(~n) + 3)* sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) + ((~A)*(~b)*(~d)*(2*(~n) + 3) - (~B)*((~b)*(~c) - 2*(~a)*(~d)*((~n) + 1)))⨸((~b)*(~d)*(2*(~n) + 3))* ∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_17",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+((~A)*(~b) - (~a)*(~B))⨸(~b)* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) + (~B)⨸(~b)*∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_18",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~n)) ||
+        eq((~m) + 1/2, 0)
+    ) ?
+-(~B)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*((~m) + (~n) + 1)) + 1⨸((~b)*((~m) + (~n) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)* simp((~A)*(~b)*(~c)*((~m) + (~n) + 1) + (~B)*((~a)*(~c)*(~m) + (~b)*(~d)*(~n)) + ((~A)*(~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 1) + (~B)*((~a)*(~d)*(~m) + (~b)*(~c)*(~n)))* sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_19",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger((~n)) ||
+        eq((~m) + 1/2, 0)
+    ) ?
+((~B)*(~c) - (~A)*(~d))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~f)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2)) + 1⨸((~b)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* simp((~A)*((~a)*(~d)*(~m) + (~b)*(~c)*((~n) + 1)) - (~B)*((~a)*(~c)*(~m) + (~b)*(~d)*((~n) + 1)) + (~b)*((~B)*(~c) - (~A)*(~d))*((~m) + (~n) + 2)*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_20",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sqrt( (~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+((~A)*(~b) - (~a)*(~B))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + ((~B)*(~c) - (~A)*(~d))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_21",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    !eq((~m) + 1/2, 0) ?
+(~B)⨸(~d)*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) - ((~B)*(~c) - (~A)*(~d))⨸(~d)* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_22",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    !eq((~A)*(~b) + (~a)*(~B), 0) ?
+((~A)*(~b) - (~a)*(~B))⨸(~b)* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) + (~B)⨸(~b)*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_23",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^2*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+((~B)*(~c) - (~A)*(~d))*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~f)* (~d)^2*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2)) - 1⨸((~d)^2*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2))*∫(((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* simp((~d)*((~n) + 1)*((~B)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2 - (~A)*(~d)*((~a)^2*(~c) + (~b)^2*(~c) - 2*(~a)*(~b)*(~d))) - (((~B)*(~c) - (~A)*(~d))*((~a)^2*(~d)^2*((~n) + 2) + (~b)^2*((~c)^2 + (~d)^2*((~n) + 1))) + 2*(~a)*(~b)*(~d)*((~A)*(~c)*(~d)*((~n) + 2) - (~B)*((~c)^2 + (~d)^2*((~n) + 1))))* sin((~e) + (~f)*(~x)) - (~b)^2*(~B)*(~d)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_24",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    lt((~n), -1) ?
+-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~B)*(~c) - (~A)*(~d))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2)) + 1⨸((~d)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* simp((~b)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~B)*(~c) - (~A)*(~d))*((~m) - 1) + (~a)*(~d)*((~a)*(~A)*(~c) + (~b)*(~B)*(~c) - ((~A)*(~b) + (~a)*(~B))*(~d))*((~n) + 1) + ((~b)*((~b)*(~d)*((~B)*(~c) - (~A)*(~d)) + (~a)*((~A)*(~c)*(~d) + (~B)*((~c)^2 - 2*(~d)^2)))*((~n) + 1) - (~a)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~B)*(~c) - (~A)*(~d))*((~n) + 2))*sin((~e) + (~f)*(~x)) + (~b)*((~d)*((~A)*(~b)*(~c) + (~a)*(~B)*(~c) - (~a)*(~A)*(~d))*((~m) + (~n) + 1) - (~b)*(~B)*((~c)^2*(~m) + (~d)^2*((~n) + 1)))*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_25",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !(
+        igt((~n), 1) &&
+        (
+            !(ext_isinteger((~m))) ||
+            eq((~a), 0) &&
+            !eq((~c), 0)
+        )
+    ) ?
+-(~b)*(~B)*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~m) + (~n) + 1)) + 1⨸((~d)*((~m) + (~n) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~a)^2*(~A)*(~d)*((~m) + (~n) + 1) + (~b)*(~B)*((~b)*(~c)*((~m) - 1) + (~a)*(~d)*((~n) + 1)) + ((~a)*(~d)*(2*(~A)*(~b) + (~a)*(~B))*((~m) + (~n) + 1) - (~b)*(~B)*((~a)*(~c) - (~b)*(~d)*((~m) + (~n))))*sin((~e) + (~f)*(~x)) + (~b)*((~A)*(~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 1) - (~B)*((~b)*(~c)*(~m) - (~a)*(~d)*(2*(~m) + (~n))))* sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_26",
+@rule ∫(sqrt( (~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~B)*(~d)⨸(~b)^2*∫(sqrt((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + ∫(((~A)*(~c) + ((~B)*(~c) + (~A)*(~d))*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_27",
+@rule ∫(sqrt( (~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~B)⨸(~b)*∫(sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + ((~A)*(~b) - (~a)*(~B))⨸(~b)* ∫(sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_28",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)* sqrt((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+2*((~A)*(~b) - (~a)*(~B))* cos((~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*((~a)^2 - (~b)^2)*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) + (~d)⨸((~a)^2 - (~b)^2)* ∫(((~A)*(~b) - (~a)*(~B) + ((~a)*(~A) - (~b)*(~B))*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sqrt( (~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_29",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    eq((~A), (~B)) &&
+    pos(((~c) + (~d))/(~b)) ?
+-2*(~A)*((~c) - (~d))*tan((~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*(~b)*(~c)^2)*rt(((~c) + (~d))⨸(~b), 2)* sqrt((~c)*(1 + csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~c) - (~d)))* sqrt((~c)*(1 - csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~c) + (~d)))* elliptic_e( asin(sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸ rt(((~c) + (~d))⨸(~b), 2)), -((~c) + (~d))⨸((~c) - (~d))) : nothing)
+
+("4_1_3_30",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    eq((~A), (~B)) &&
+    neg(((~c) + (~d))/(~b)) ?
+-sqrt(-(~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(((~A) + (~B)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((-(~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_31",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    eq((~A), (~B)) &&
+    pos(((~a) + (~b))/((~c) + (~d))) ?
+-2*(~A)*((~c) - (~d))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~f)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))^2*rt(((~a) + (~b))⨸((~c) + (~d)), 2)* cos((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt(((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~c) - (~d))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))))* sqrt(-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(1 - sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~c) + (~d))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))))* elliptic_e( asin(rt(((~a) + (~b))⨸((~c) + (~d)), 2)* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), ((~a) - (~b))*((~c) + (~d))⨸(((~a) + (~b))*((~c) - (~d)))) : nothing)
+
+("4_1_3_32",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    eq((~A), (~B)) &&
+    neg(((~a) + (~b))/((~c) + (~d))) ?
+sqrt(-(~c) - (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(((~A) + (~B)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)* sqrt(-(~c) - (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_33",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    !eq((~A), (~B)) ?
+((~A) - (~B))⨸((~a) - (~b))* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) - ((~A)*(~b) - (~a)*(~B))⨸((~a) - (~b))* ∫((1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_34",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    gt((~n), 0) ?
+((~B)*(~a) - (~A)*(~b))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~f)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) + 1⨸(((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)* simp((~c)*((~a)*(~A) - (~b)*(~B))*((~m) + 1) + (~d)*(~n)*((~A)*(~b) - (~a)*(~B)) + ((~d)*((~a)*(~A) - (~b)*(~B))*((~m) + 1) - (~c)*((~A)*(~b) - (~a)*(~B))*((~m) + 2))*sin((~e) + (~f)*(~x)) - (~d)*((~A)*(~b) - (~a)*(~B))*((~m) + (~n) + 2)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_35",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    isrational((~m)) &&
+    (~m) < -1 &&
+    (
+        eq((~a), 0) &&
+        ext_isinteger((~m)) &&
+        !(ext_isinteger((~n))) ||
+        !(
+            ext_isinteger(2*(~n)) &&
+            lt((~n), -1) &&
+            (
+                ext_isinteger((~n)) &&
+                !(ext_isinteger((~m))) ||
+                eq((~a), 0)
+            )
+        )
+    ) ?
+-((~A)*(~b)^2 - (~a)*(~b)*(~B))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(1 + (~n))⨸((~f)*((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~a)^2 - (~b)^2)) + 1⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp(((~a)*(~A) - (~b)*(~B))*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~m) + 1) + (~b)*(~d)*((~A)*(~b) - (~a)*(~B))*((~m) + (~n) + 2) + ((~A)*(~b) - (~a)*(~B))*((~a)*(~d)*((~m) + 1) - (~b)*(~c)*((~m) + 2))*sin((~e) + (~f)*(~x)) - (~b)*(~d)*((~A)*(~b) - (~a)*(~B))*((~m) + (~n) + 3)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_36",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+((~A)*(~b) - (~a)*(~B))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(1⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + ((~B)*(~c) - (~A)*(~d))⨸((~b)*(~c) - (~a)*(~d))* ∫(1⨸((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_37",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~B)⨸(~d)*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) - ((~B)*(~c) - (~A)*(~d))⨸(~d)* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_38",
+@rule ∫(sqrt((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    eq((~n)^2, 1/4) ?
+-2*(~B)*cos((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*(2*(~n) + 3)) + 1⨸(2*(~n) + 3)* ∫(((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* simp((~a)*(~A)*(~c)*(2*(~n) + 3) + (~B)*((~b)*(~c) + 2*(~a)*(~d)*(~n)) + ((~B)*((~a)*(~c) + (~b)*(~d))*(2*(~n) + 1) + (~A)*((~b)*(~c) + (~a)*(~d))*(2*(~n) + 3))* sin((~e) + (~f)*(~x)) + ((~A)*(~b)*(~d)*(2*(~n) + 3) + (~B)*((~a)*(~d) + 2*(~b)*(~c)*(~n)))*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_39",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sqrt(sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    gt((~b), 0) &&
+    gt((~b)^2 - (~a)^2, 0) &&
+    eq((~A), (~B)) ?
+4*(~A)⨸((~f)*sqrt((~a) + (~b)))* elliptic_pi(-1, -asin( cos((~e) + (~f)*(~x))⨸(1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))), -((~a) - (~b))⨸((~a) + (~b))) : nothing)
+
+("4_1_3_40",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~d), (~A), (~B), (~x)) &&
+    gt((~b), 0) &&
+    gt((~b)^2 - (~a)^2, 0) &&
+    eq((~A), (~B)) ?
+sqrt(sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(((~A) + (~B)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sqrt(sin((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_3_41",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))/(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~B)⨸(~d)*∫(sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - ((~B)*(~c) - (~A)*(~d))⨸(~d)* ∫(1⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_3_42",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~m), (~n), (~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+#     !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+#     !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~A) + (~B)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)] : nothing)
+
+#(* Int[(a_+b_.*sin[e_.+f_.*x_])^m_*(c_+d_.*sin[e_.+f_.*x_])^n_*(A_.+B_ .*sin[e_.+f_.*x_])^p_,x_Symbol] := a^m*c^m*Int[Cos[e+f*x]^(2*m)*(c+d*Sin[e+f*x])^(n-m)*(A+B*Sin[e+f*x]) ^p,x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,A,B,n,p},x] && EqQ[b*c+a*d,0] && EqQ[a^2-b^2,0] &&  IntegerQ[m] && Not[IntegerQ[n] && (LtQ[m,0] && GtQ[n,0] || LtQ[0,n,m] ||  LtQ[m,n,0])] *)
+#(* Int[(a_+b_.*cos[e_.+f_.*x_])^m_*(c_+d_.*cos[e_.+f_.*x_])^n_*(A_.+B_ .*cos[e_.+f_.*x_])^p_,x_Symbol] := a^m*c^m*Int[Sin[e+f*x]^(2*m)*(c+d*Cos[e+f*x])^(n-m)*(A+B*Cos[e+f*x]) ^p,x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,A,B,n,p},x] && EqQ[b*c+a*d,0] && EqQ[a^2-b^2,0] &&  IntegerQ[m] && Not[IntegerQ[n] && (LtQ[m,0] && GtQ[n,0] || LtQ[0,n,m] ||  LtQ[m,n,0])] *)
+("4_1_3_43",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~f)*cos((~e) + (~f)*(~x)))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1⨸2)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1⨸2)*((~A) + (~B)*(~x))^(~p),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_3_43") : nothing)
+
+("4_1_3_44",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~c) + (~!d)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!B)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-sqrt((~a) + (~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~c) + (~d)*cos((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~f)*sin((~e) + (~f)*(~x)))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1⨸2)*((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1⨸2)*((~A) + (~B)*(~x))^(~p),  (~x), (~x), cos((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_3_44") : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.4/4.1.4.1 (a+b sin)^m (A+B sin+C sin^2).jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.4/4.1.4.1 (a+b sin)^m (A+B sin+C sin^2).jl
new file mode 100644
index 00000000..15303050
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.4/4.1.4.1 (a+b sin)^m (A+B sin+C sin^2).jl	
@@ -0,0 +1,124 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.4.1 (a+b sin)^m (A+B sin+C sin^2) *)
+("4_1_4_1_1",
+@rule ∫(((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~e), (~f), (~B), (~C), (~m), (~x)) ?
+1⨸(~b)*∫(((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~B) + (~C)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_1_2",
+@rule ∫(((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~e), (~f), (~A), (~C), (~m), (~x)) &&
+    eq((~A)*((~m) + 2) + (~C)*((~m) + 1), 0) ?
+(~A)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~m) + 1)) : nothing)
+
+("4_1_4_1_3",
+@rule ∫(((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~e), (~f), (~A), (~C), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) ?
+(~A)*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~m) + 1)) + ((~A)*((~m) + 2) + (~C)*((~m) + 1))⨸((~b)^2*((~m) + 1))*∫(((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_1_4",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~e), (~f), (~A), (~C), (~x)) &&
+    igt(((~m) + 1)/2, 0) ?
+-1⨸(~f)*int_and_subst((1 - (~x)^2)^(((~m) - 1)⨸2)*((~A) + (~C) - (~C)*(~x)^2),  (~x), (~x), cos((~e) + (~f)*(~x)), "4_1_4_1_4") : nothing)
+
+("4_1_4_1_5",
+@rule ∫(((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~e), (~f), (~A), (~C), (~m), (~x)) &&
+    !(lt((~m), -1)) ?
+-(~C)*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~m) + 2)) + ((~A)*((~m) + 2) + (~C)*((~m) + 1))⨸((~m) + 2)*∫(((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_1_6",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~m), (~x)) &&
+    eq((~A)*(~b)^2 - (~a)*(~b)*(~B) + (~a)^2*(~C), 0) ?
+1⨸(~b)^2* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)* simp((~b)*(~B) - (~a)*(~C) + (~b)*(~C)*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_1_7",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~A), (~C), (~m), (~x)) &&
+    eq((~A)*(~b)^2 + (~a)^2*(~C), 0) ?
+(~C)⨸(~b)^2* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*simp(-(~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_1_8",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~m), (~x)) &&
+    eq((~A) - (~B) + (~C), 0) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~m))) ?
+((~A) - (~C))*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*(1 + sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + (~C)*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*(1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))^2, (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_1_9",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~A), (~C), (~m), (~x)) &&
+    eq((~A) + (~C), 0) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~m))) ?
+((~A) - (~C))*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*(1 + sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + (~C)*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*(1 + sin((~e) + (~f)*(~x)))^2, (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_1_10",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+((~A)*(~b) - (~a)*(~B) + (~b)*(~C))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) + 1)) + 1⨸((~a)^2*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)* simp((~a)*(~A)*((~m) + 1) + (~m)*((~b)*(~B) - (~a)*(~C)) + (~b)*(~C)*(2*(~m) + 1)*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_1_11",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~A), (~C), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~b)*((~A) + (~C))*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) + 1)) + 1⨸((~a)^2*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)* simp((~a)*(~A)*((~m) + 1) - (~a)*(~C)*(~m) + (~b)*(~C)*(2*(~m) + 1)*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_1_12",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-((~A)*(~b)^2 - (~a)*(~b)*(~B) + (~a)^2*(~C))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)* (~f)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) + 1⨸((~b)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)* simp((~b)*((~a)*(~A) - (~b)*(~B) + (~a)*(~C))*((~m) + 1) - ((~A)*(~b)^2 - (~a)*(~b)*(~B) + (~a)^2*(~C) + (~b)*((~A)*(~b) - (~a)*(~B) + (~b)*(~C))*((~m) + 1))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_1_13",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~A), (~C), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-((~A)*(~b)^2 + (~a)^2*(~C))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)* (~f)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) + 1⨸((~b)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)* simp((~a)*(~b)*((~A) + (~C))*((~m) + 1) - ((~A)*(~b)^2 + (~a)^2*(~C) + (~b)^2*((~A) + (~C))*((~m) + 1))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_1_14",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~m), (~x)) &&
+    !(lt((~m), -1)) ?
+-(~C)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~m) + 2)) + 1⨸((~b)*((~m) + 2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)* simp((~A)*(~b)*((~m) + 2) + (~b)*(~C)*((~m) + 1) + ((~b)*(~B)*((~m) + 2) - (~a)*(~C))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_1_15",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~A), (~C), (~m), (~x)) &&
+    !(lt((~m), -1)) ?
+-(~C)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~m) + 2)) + 1⨸((~b)*((~m) + 2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)* simp((~A)*(~b)*((~m) + 2) + (~b)*(~C)*((~m) + 1) - (~a)*(~C)*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_1_16",
+@rule ∫(((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p))^ (~m)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^(~p))^(~m)⨸((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)*(~p))* ∫(((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)*(~p))*((~A) + (~B)*sin((~e) + (~f)*(~x)) + (~C)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_1_17",
+@rule ∫(((~!b)*cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p))^ (~m)*((~!A) + (~!B)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*cos((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))^(~p))^(~m)⨸((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)*(~p))* ∫(((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)*(~p))*((~A) + (~B)*cos((~e) + (~f)*(~x)) + (~C)*cos((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_1_18",
+@rule ∫(((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p))^(~m)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~e), (~f), (~A), (~C), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^(~p))^(~m)⨸((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)*(~p))* ∫(((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)*(~p))*((~A) + (~C)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_1_19",
+@rule ∫(((~!b)*cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p))^(~m)*((~!A) + (~!C)*cos((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~e), (~f), (~A), (~C), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))^(~p))^(~m)⨸((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)*(~p))* ∫(((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)*(~p))*((~A) + (~C)*cos((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.4/4.1.4.2 (a+b sin)^m (c+d sin)^n (A+B sin+C sin^2).jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.4/4.1.4.2 (a+b sin)^m (c+d sin)^n (A+B sin+C sin^2).jl
new file mode 100644
index 00000000..f4ed52b5
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.4/4.1.4.2 (a+b sin)^m (c+d sin)^n (A+B sin+C sin^2).jl	
@@ -0,0 +1,401 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.4.2 (a+b sin)^m (c+d sin)^n (A+B sin+C sin^2) *)
+("4_1_4_2_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~A)*(~b)^2 - (~a)*(~b)*(~B) + (~a)^2*(~C), 0) ?
+1⨸(~b)^2* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~b)*(~B) - (~a)*(~C) + (~b)*(~C)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_2",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~A)*(~b)^2 + (~a)^2*(~C), 0) ?
+-(~C)⨸(~b)^2* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~a) - (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_3",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~A)*(~b)^2 - (~a)*(~b)*(~B) + (~a)^2*(~C))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)^2* (~f)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) - 1⨸((~b)^2*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)* simp((~b)*((~m) + 1)*(((~b)*(~B) - (~a)*(~C))*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)) - (~A)*(~b)*((~a)*(~c) - (~b)*(~d))) + ((~b)* (~B)*((~a)^2*(~d) + (~b)^2*(~d)*((~m) + 1) - (~a)*(~b)*(~c)*((~m) + 2)) + ((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~A)*(~b)^2*((~m) + 2) + (~C)*((~a)^2 + (~b)^2*((~m) + 1))))* sin((~e) + (~f)*(~x)) - (~b)*(~C)*(~d)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_4",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+-((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~A)*(~b)^2 + (~a)^2*(~C))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)^2* (~f)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) + 1⨸((~b)^2*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)* simp((~b)*((~m) + 1)*((~a)*(~C)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)) + (~A)*(~b)*((~a)*(~c) - (~b)*(~d))) - (((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~A)*(~b)^2*((~m) + 2) + (~C)*((~a)^2 + (~b)^2*((~m) + 1))))* sin((~e) + (~f)*(~x)) + (~b)*(~C)*(~d)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_5",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1)) ?
+-(~C)*(~d)*cos((~e) + (~f)*(~x))* sin((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~m) + 3)) + 1⨸((~b)*((~m) + 3))*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)* simp((~a)*(~C)*(~d) + (~A)*(~b)*(~c)*((~m) + 3) + (~b)*((~B)*(~c)*((~m) + 3) + (~d)*((~C)*((~m) + 2) + (~A)*((~m) + 3)))* sin((~e) + (~f)*(~x)) - (2*(~a)*(~C)*(~d) - (~b)*((~c)*(~C) + (~B)*(~d))*((~m) + 3))* sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_6",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1)) ?
+-(~C)*(~d)*cos((~e) + (~f)*(~x))* sin((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~m) + 3)) + 1⨸((~b)*((~m) + 3))*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)* simp((~a)*(~C)*(~d) + (~A)*(~b)*(~c)*((~m) + 3) + (~b)*(~d)*((~C)*((~m) + 2) + (~A)*((~m) + 3))* sin((~e) + (~f)*(~x)) - (2*(~a)*(~C)*(~d) - (~b)*(~c)*(~C)*((~m) + 3))*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_7",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    (
+        lt((~m), -1/2) ||
+        eq((~m) + (~n) + 2, 0) &&
+        !eq(2*(~m) + 1, 0)
+    ) ?
+((~a)*(~A) - (~b)*(~B) + (~a)*(~C))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸(2*(~b)*(~c)*(~f)*(2*(~m) + 1)) - 1⨸(2*(~b)*(~c)*(~d)*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~A)*((~c)^2*((~m) + 1) + (~d)^2*(2*(~m) + (~n) + 2)) - (~B)*(~c)*(~d)*((~m) - (~n) - 1) - (~C)*((~c)^2*(~m) - (~d)^2*((~n) + 1)) + (~d)*(((~A)*(~c) + (~B)*(~d))*((~m) + (~n) + 2) - (~c)*(~C)*(3*(~m) - (~n)))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_8",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    (
+        lt((~m), -1/2) ||
+        eq((~m) + (~n) + 2, 0) &&
+        !eq(2*(~m) + 1, 0)
+    ) ?
+((~a)*(~A) + (~a)*(~C))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸(2*(~b)*(~c)*(~f)*(2*(~m) + 1)) - 1⨸(2*(~b)*(~c)*(~d)*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~A)*((~c)^2*((~m) + 1) + (~d)^2*(2*(~m) + (~n) + 2)) - (~C)*((~c)^2*(~m) - (~d)^2*((~n) + 1)) + (~d)*((~A)*(~c)*((~m) + (~n) + 2) - (~c)*(~C)*(3*(~m) - (~n)))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_9",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!m)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)/ sqrt((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~m), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1/2)) ?
+-2*(~C)*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~f)*(2*(~m) + 3)* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) + ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)* simp((~A) + (~C) + (~B)*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_10",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)/ sqrt((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~m), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1/2)) ?
+-2*(~C)*cos( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~f)*(2*(~m) + 3)* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) + ((~A) + (~C))*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_11",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1/2)) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 2, 0) ?
+-(~C)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~m) + (~n) + 2)) + 1⨸((~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~A)*(~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 2) + (~C)*((~a)*(~c)*(~m) + (~b)*(~d)*((~n) + 1)) + ((~b)*(~B)*(~d)*((~m) + (~n) + 2) - (~b)*(~c)*(~C)*(2*(~m) + 1))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_12",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1/2)) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 2, 0) ?
+-(~C)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~m) + (~n) + 2)) + 1⨸((~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~A)*(~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 2) + (~C)*((~a)*(~c)*(~m) + (~b)*(~d)*((~n) + 1)) - (~b)*(~c)*(~C)*(2*(~m) + 1)*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_13",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1/2) ?
+((~a)*(~A) - (~b)*(~B) + (~a)*(~C))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~f)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(2*(~m) + 1)) + 1⨸((~b)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~A)*((~a)*(~c)*((~m) + 1) - (~b)*(~d)*(2*(~m) + (~n) + 2)) + (~B)*((~b)*(~c)*(~m) + (~a)*(~d)*((~n) + 1)) - (~C)*((~a)*(~c)*(~m) + (~b)*(~d)*((~n) + 1)) + ((~d)*((~a)*(~A) - (~b)*(~B))*((~m) + (~n) + 2) + (~C)*((~b)*(~c)*(2*(~m) + 1) - (~a)*(~d)*((~m) - (~n) - 1)))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_14",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1/2) ?
+(~a)*((~A) + (~C))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~f)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(2*(~m) + 1)) + 1⨸((~b)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~A)*((~a)*(~c)*((~m) + 1) - (~b)*(~d)*(2*(~m) + (~n) + 2)) - (~C)*((~a)*(~c)*(~m) + (~b)*(~d)*((~n) + 1)) + ((~a)*(~A)*(~d)*((~m) + (~n) + 2) + (~C)*((~b)*(~c)*(2*(~m) + 1) - (~a)*(~d)*((~m) - (~n) - 1)))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_15",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1/2)) &&
+    (
+        lt((~n), -1) ||
+        eq((~m) + (~n) + 2, 0)
+    ) ?
+-((~c)^2*(~C) - (~B)*(~c)*(~d) + (~A)*(~d)^2)* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2)) + 1⨸((~b)*(~d)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* simp((~A)*(~d)*((~a)*(~d)*(~m) + (~b)*(~c)*((~n) + 1)) + ((~c)*(~C) - (~B)*(~d))*((~a)*(~c)*(~m) + (~b)*(~d)*((~n) + 1)) + (~b)*((~d)*((~B)*(~c) - (~A)*(~d))*((~m) + (~n) + 2) - (~C)*((~c)^2*((~m) + 1) + (~d)^2*((~n) + 1)))* sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_16",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1/2)) &&
+    (
+        lt((~n), -1) ||
+        eq((~m) + (~n) + 2, 0)
+    ) ?
+-((~c)^2*(~C) + (~A)*(~d)^2)* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2)) + 1⨸((~b)*(~d)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* simp((~A)*(~d)*((~a)*(~d)*(~m) + (~b)*(~c)*((~n) + 1)) + (~c)*(~C)*((~a)*(~c)*(~m) + (~b)*(~d)*((~n) + 1)) - (~b)*((~A)*(~d)^2*((~m) + (~n) + 2) + (~C)*((~c)^2*((~m) + 1) + (~d)^2*((~n) + 1)))* sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_17",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1/2)) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 2, 0) ?
+-(~C)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~m) + (~n) + 2)) + 1⨸((~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~A)*(~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 2) + (~C)*((~a)*(~c)*(~m) + (~b)*(~d)*((~n) + 1)) + ((~C)*((~a)*(~d)*(~m) - (~b)*(~c)*((~m) + 1)) + (~b)*(~B)*(~d)*((~m) + (~n) + 2))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_18",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1/2)) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 2, 0) ?
+-(~C)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~m) + (~n) + 2)) + 1⨸((~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~A)*(~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 2) + (~C)*((~a)*(~c)*(~m) + (~b)*(~d)*((~n) + 1)) + (~C)*((~a)*(~d)*(~m) - (~b)*(~c)*((~m) + 1))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_19",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+-((~c)^2*(~C) - (~B)*(~c)*(~d) + (~A)*(~d)^2)* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2)) + 1⨸((~d)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* simp((~A)*(~d)*((~b)*(~d)*(~m) + (~a)*(~c)*((~n) + 1)) + ((~c)*(~C) - (~B)*(~d))*((~b)*(~c)*(~m) + (~a)*(~d)*((~n) + 1)) - ((~d)*((~A)*((~a)*(~d)*((~n) + 2) - (~b)*(~c)*((~n) + 1)) + (~B)*((~b)*(~d)*((~n) + 1) - (~a)*(~c)*((~n) + 2))) - (~C)*((~b)*(~c)*(~d)*((~n) + 1) - (~a)*((~c)^2 + (~d)^2*((~n) + 1))))*sin((~e) + (~f)*(~x)) + (~b)*((~d)*((~B)*(~c) - (~A)*(~d))*((~m) + (~n) + 2) - (~C)*((~c)^2*((~m) + 1) + (~d)^2*((~n) + 1)))* sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_20",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+-((~c)^2*(~C) + (~A)*(~d)^2)* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2)) + 1⨸((~d)*((~n) + 1)*((~c)^2 - (~d)^2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* simp((~A)*(~d)*((~b)*(~d)*(~m) + (~a)*(~c)*((~n) + 1)) + (~c)*(~C)*((~b)*(~c)*(~m) + (~a)*(~d)*((~n) + 1)) - ((~A)*(~d)*((~a)*(~d)*((~n) + 2) - (~b)*(~c)*((~n) + 1)) - (~C)*((~b)*(~c)*(~d)*((~n) + 1) - (~a)*((~c)^2 + (~d)^2*((~n) + 1))))*sin((~e) + (~f)*(~x)) - (~b)*((~A)*(~d)^2*((~m) + (~n) + 2) + (~C)*((~c)^2*((~m) + 1) + (~d)^2*((~n) + 1)))* sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_21",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    !(
+        igt((~n), 0) &&
+        (
+            !(ext_isinteger((~m))) ||
+            eq((~a), 0) &&
+            !eq((~c), 0)
+        )
+    ) ?
+-(~C)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~m) + (~n) + 2)) + 1⨸((~d)*((~m) + (~n) + 2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~a)*(~A)*(~d)*((~m) + (~n) + 2) + (~C)*((~b)*(~c)*(~m) + (~a)*(~d)*((~n) + 1)) + ((~d)*((~A)*(~b) + (~a)*(~B))*((~m) + (~n) + 2) - (~C)*((~a)*(~c) - (~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 1)))* sin((~e) + (~f)*(~x)) + ((~C)*((~a)*(~d)*(~m) - (~b)*(~c)*((~m) + 1)) + (~b)*(~B)*(~d)*((~m) + (~n) + 2))* sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_22",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    gt((~m), 0) &&
+    !(
+        igt((~n), 0) &&
+        (
+            !(ext_isinteger((~m))) ||
+            eq((~a), 0) &&
+            !eq((~c), 0)
+        )
+    ) ?
+-(~C)*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*(~f)*((~m) + (~n) + 2)) + 1⨸((~d)*((~m) + (~n) + 2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~a)*(~A)*(~d)*((~m) + (~n) + 2) + (~C)*((~b)*(~c)*(~m) + (~a)*(~d)*((~n) + 1)) + ((~A)*(~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 2) - (~C)*((~a)*(~c) - (~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 1)))*sin((~e) + (~f)*(~x)) + (~C)*((~a)*(~d)*(~m) - (~b)*(~c)*((~m) + 1))*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_23",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)/(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)* sqrt((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~C)⨸((~b)*(~d))*∫(sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + 1⨸(~b)* ∫(((~A)*(~b) + ((~b)*(~B) - (~a)*(~C))*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)* sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_24",
+@rule ∫(((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)/(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)* sqrt((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~C)⨸((~b)*(~d))*∫(sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + 1⨸(~b)* ∫(((~A)*(~b) - (~a)*(~C)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)* sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_25",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)/(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)* sqrt((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~C)⨸(~b)^2*∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + 1⨸(~b)^2* ∫(((~A)*(~b)^2 - (~a)^2*(~C) + (~b)*((~b)*(~B) - 2*(~a)*(~C))*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_26",
+@rule ∫(((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)/(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)* sqrt((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~C)⨸(~b)^2*∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + 1⨸(~b)^2* ∫(((~A)*(~b)^2 - (~a)^2*(~C) - 2*(~a)*(~b)*(~C)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_27",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    (
+        eq((~a), 0) &&
+        ext_isinteger((~m)) &&
+        !(ext_isinteger((~n))) ||
+        !(
+            ext_isinteger(2*(~n)) &&
+            lt((~n), -1) &&
+            (
+                ext_isinteger((~n)) &&
+                !(ext_isinteger((~m))) ||
+                eq((~a), 0)
+            )
+        )
+    ) ?
+-((~A)*(~b)^2 - (~a)*(~b)*(~B) + (~a)^2*(~C))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~f)*((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~a)^2 - (~b)^2)) + 1⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~a)*(~A) - (~b)*(~B) + (~a)*(~C)) + (~d)*((~A)*(~b)^2 - (~a)*(~b)*(~B) + (~a)^2*(~C))*((~m) + (~n) + 2) - ((~c)*((~A)*(~b)^2 - (~a)*(~b)*(~B) + (~a)^2*(~C)) + ((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~A)*(~b) - (~a)*(~B) + (~b)*(~C)))*sin((~e) + (~f)*(~x)) - (~d)*((~A)*(~b)^2 - (~a)*(~b)*(~B) + (~a)^2*(~C))*((~m) + (~n) + 3)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_28",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    (
+        eq((~a), 0) &&
+        ext_isinteger((~m)) &&
+        !(ext_isinteger((~n))) ||
+        !(
+            ext_isinteger(2*(~n)) &&
+            lt((~n), -1) &&
+            (
+                ext_isinteger((~n)) &&
+                !(ext_isinteger((~m))) ||
+                eq((~a), 0)
+            )
+        )
+    ) ?
+-((~A)*(~b)^2 + (~a)^2*(~C))* cos((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~f)*((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~a)^2 - (~b)^2)) + 1⨸(((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~a)*((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~A) + (~C)) + (~d)*((~A)*(~b)^2 + (~a)^2*(~C))*((~m) + (~n) + 2) - ((~c)*((~A)*(~b)^2 + (~a)^2*(~C)) + (~b)*((~m) + 1)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d))*((~A) + (~C)))* sin((~e) + (~f)*(~x)) - (~d)*((~A)*(~b)^2 + (~a)^2*(~C))*((~m) + (~n) + 3)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_29",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)/(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~C)*(~x)⨸((~b)*(~d)) + ((~A)*(~b)^2 - (~a)*(~b)*(~B) + (~a)^2*(~C))⨸((~b)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))* ∫(1⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - ((~c)^2*(~C) - (~B)*(~c)*(~d) + (~A)*(~d)^2)⨸((~d)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))* ∫(1⨸((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_30",
+@rule ∫(((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)/(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~C)*(~x)⨸((~b)*(~d)) + ((~A)*(~b)^2 + (~a)^2*(~C))⨸((~b)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))* ∫(1⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - ((~c)^2*(~C) + (~A)*(~d)^2)⨸((~d)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)))*∫(1⨸((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_31",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)/(sqrt( (~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~C)⨸((~b)*(~d))*∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - 1⨸((~b)*(~d))* ∫(simp((~a)*(~c)*(~C) - (~A)*(~b)*(~d) + ((~b)*(~c)*(~C) - (~b)*(~B)*(~d) + (~a)*(~C)*(~d))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_32",
+@rule ∫(((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)/(sqrt( (~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+(~C)⨸((~b)*(~d))*∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - 1⨸((~b)*(~d))* ∫(simp((~a)*(~c)*(~C) - (~A)*(~b)*(~d) + ((~b)*(~c)*(~C) + (~a)*(~C)*(~d))*sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_33",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)/(sqrt((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+-(~C)*cos((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~d)*(~f)*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) + 1⨸(2*(~d))* ∫(1⨸(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))))* simp(2*(~a)*(~A)*(~d) - (~C)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)) - 2*((~a)*(~c)*(~C) - (~d)*((~A)*(~b) + (~a)*(~B)))* sin((~e) + (~f)*(~x)) + (2*(~b)*(~B)*(~d) - (~C)*((~b)*(~c) + (~a)*(~d)))*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_34",
+@rule ∫(((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)/(sqrt((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))* sqrt((~c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+-(~C)*cos((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~d)*(~f)*sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))) + 1⨸(2*(~d))* ∫(1⨸(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)*sqrt((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x))))* simp(2*(~a)*(~A)*(~d) - (~C)*((~b)*(~c) - (~a)*(~d)) - 2*((~a)*(~c)*(~C) - (~A)*(~b)*(~d))*sin((~e) + (~f)*(~x)) - (~C)*((~b)*(~c) + (~a)*(~d))*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_35",
+@rule ∫(((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+((~b)*(~B) - (~a)*(~C))⨸(~b)^2*∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) + (~C)⨸((~b)*(~d))*∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) + ((~A)*(~b)^2 - (~a)*(~b)*(~B) + (~a)^2*(~C))⨸(~b)^2* ∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_36",
+@rule ∫(((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-(~a)*(~C)⨸(~b)^2*∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) + (~C)⨸((~b)*(~d))*∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) + ((~A)*(~b)^2 + (~a)^2*(~C))⨸(~b)^2* ∫(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_4_2_37",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~m), (~n), (~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+#     !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+#     !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~A) + (~B)*sin((~e) + (~f)*(~x)) + (~C)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)] : nothing)
+
+# ("4_1_4_2_38",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~n)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~m), (~n), (~x)) &&
+#     !eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+#     !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+#     !eq((~c)^2 - (~d)^2, 0) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~A) + (~C)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)] : nothing)
+
+("4_1_4_2_39",
+@rule ∫(((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^(~p))^(~m)⨸((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)*(~p))* ∫(((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)*(~p))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~A) + (~B)*sin((~e) + (~f)*(~x)) + (~C)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_40",
+@rule ∫(((~!b)*cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p))^(~m)*((~!c) + (~!d)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!B)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!C)*cos((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))^(~p))^(~m)⨸((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)*(~p))* ∫(((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)*(~p))*((~c) + (~d)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~A) + (~B)*cos((~e) + (~f)*(~x)) + (~C)*cos((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_41",
+@rule ∫(((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p))^(~m)*((~!c) + (~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!C)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^(~p))^(~m)⨸((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)*(~p))* ∫(((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)*(~p))*((~c) + (~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~A) + (~C)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_4_2_42",
+@rule ∫(((~!b)*cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~p))^(~m)*((~!c) + (~!d)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~!A) + (~!C)*cos((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~C), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))^(~p))^(~m)⨸((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)*(~p))* ∫(((~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)*(~p))*((~c) + (~d)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~A) + (~C)*cos((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.5 trig^m (a cos+b sin)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.5 trig^m (a cos+b sin)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..52484657
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.5 trig^m (a cos+b sin)^n.jl	
@@ -0,0 +1,333 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.5 trig^m (a cos+b sin)^n *)
+("4_1_5_1",
+@rule ∫(((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+(~a)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)⨸((~b)*(~d)*(~n)) : nothing)
+
+("4_1_5_2",
+@rule ∫(((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    igt(((~n) - 1)/2, 0) ?
+-1⨸(~d)*int_and_subst(((~a)^2 + (~b)^2 - (~x)^2)^(((~n) - 1)⨸2),  (~x), (~x), (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)) - (~a)*sin((~c) + (~d)*(~x)), "4_1_5_2") : nothing)
+
+("4_1_5_3",
+@rule ∫(((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger(((~n) - 1)/2)) &&
+    gt((~n), 1) ?
+-((~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)) - (~a)*sin((~c) + (~d)*(~x)))*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~d)* (~n)) + ((~n) - 1)*((~a)^2 + (~b)^2)⨸(~n)* ∫(((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_4",
+@rule ∫(1/((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+-1⨸(~d)*int_and_subst(1⨸((~a)^2 + (~b)^2 - (~x)^2),  (~x), (~x), (~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)) - (~a)*sin((~c) + (~d)*(~x)), "4_1_5_4") : nothing)
+
+("4_1_5_5",
+@rule ∫(1/((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+sin((~c) + (~d)*(~x))⨸((~a)*(~d)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_1_5_6",
+@rule ∫(((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq((~n), -2) ?
+((~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)) - (~a)*sin((~c) + (~d)*(~x)))*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*((~n) + 1)*((~a)^2 + (~b)^2)) + ((~n) + 2)⨸(((~n) + 1)*((~a)^2 + (~b)^2))* ∫(((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_7",
+@rule ∫(((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !(
+        ge((~n), 1) ||
+        le((~n), -1)
+    ) &&
+    gt((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+((~a)^2 + (~b)^2)^((~n)⨸2)*∫((cos((~c) + (~d)*(~x) - atan((~a), (~b))))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_8",
+@rule ∫(((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !(
+        ge((~n), 1) ||
+        le((~n), -1)
+    ) &&
+    !(
+        gt((~a)^2 + (~b)^2, 0) ||
+        eq((~a)^2 + (~b)^2, 0)
+    ) ?
+((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^ (~n)⨸(((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))⨸sqrt((~a)^2 + (~b)^2))^(~n)* ∫(cos((~c) + (~d)*(~x) - atan((~a), (~b)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_9",
+@rule ∫(sin((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~m)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) ?
+-(~a)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~d)*((~n) - 1)* sin((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1)) + 2*(~b)* ∫(((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1)⨸ sin((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_10",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~m)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) ?
+(~b)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~d)*((~n) - 1)* cos((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1)) + 2*(~a)* ∫(((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1)⨸ cos((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_11",
+@rule ∫(sin((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!m)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), 0) ?
+(~a)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)⨸(2*(~b)*(~d)*(~n)*sin((~c) + (~d)*(~x))^(~n)) + 1⨸(2*(~b))* ∫(((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1)⨸ sin((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_12",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!m)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), 0) ?
+-(~b)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)⨸(2*(~a)*(~d)*(~n)*cos((~c) + (~d)*(~x))^(~n)) + 1⨸(2*(~a))* ∫(((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1)⨸ cos((~c) + (~d)*(~x))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_13",
+@rule ∫(sin((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!m)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+(~a)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)⨸(2*(~b)*(~d)*(~n)*sin((~c) + (~d)*(~x))^(~n))* hypergeometric2f1(1, (~n), (~n) + 1, ((~b) + (~a)*cot((~c) + (~d)*(~x)))⨸(2*(~b))) : nothing)
+
+("4_1_5_14",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!m)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+-(~b)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)⨸(2*(~a)*(~d)*(~n)*cos((~c) + (~d)*(~x))^(~n))* hypergeometric2f1(1, (~n), (~n) + 1, ((~a) + (~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)))⨸(2*(~a))) : nothing)
+
+("4_1_5_15",
+@rule ∫(sin((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~m)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+∫(((~b) + (~a)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_16",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~m)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+∫(((~a) + (~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_17",
+@rule ∫(sin((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!m)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    ext_isinteger(((~m) + (~n))/2) &&
+    !eq((~n), -1) &&
+    !(
+        gt((~n), 0) &&
+        gt((~m), 1)
+    ) ?
+1⨸(~d)*int_and_subst((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*(~x))^(~n)⨸(1 + (~x)^2)^(((~m) + (~n) + 2)⨸2),  (~x), (~x), tan((~c) + (~d)*(~x)), "4_1_5_17") : nothing)
+
+("4_1_5_18",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!m)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    ext_isinteger(((~m) + (~n))/2) &&
+    !eq((~n), -1) &&
+    !(
+        gt((~n), 0) &&
+        gt((~m), 1)
+    ) ?
+-1⨸(~d)*int_and_subst((~x)^(~m)*((~b) + (~a)*(~x))^(~n)⨸(1 + (~x)^2)^(((~m) + (~n) + 2)⨸2),  (~x), (~x), cot((~c) + (~d)*(~x)), "4_1_5_18") : nothing)
+
+("4_1_5_19",
+@rule ∫(sin((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!m)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand(sin((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_20",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!m)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand(cos((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_21",
+@rule ∫(sin((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!m)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+(~a)^(~n)*(~b)^(~n)* ∫(sin((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~a)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(-(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_22",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!m)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+(~a)^(~n)*(~b)^(~n)* ∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~a)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(-(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_23",
+@rule ∫(((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n)/ sin((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+(~a)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~d)*((~n) - 1)) + (~b)*∫(((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) + (~a)^2* ∫(((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 2)⨸sin((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_24",
+@rule ∫(((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n)/ cos((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+-(~b)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~d)*((~n) - 1)) + (~a)*∫(((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) + (~b)^2* ∫(((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 2)⨸cos((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_25",
+@rule ∫(sin((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~m)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    lt((~m), -1) ?
+-((~a)^2 + (~b)^2)* ∫(sin((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 2)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) + 2*(~b)* ∫(sin((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) + (~a)^2* ∫(sin((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_26",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~m)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    lt((~m), -1) ?
+-((~a)^2 + (~b)^2)* ∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 2)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) + 2*(~a)* ∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) + (~b)^2* ∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_27",
+@rule ∫(sin((~!c) + (~!d)*(~x))/((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+(~b)*(~x)⨸((~a)^2 + (~b)^2) - (~a)⨸((~a)^2 + (~b)^2)* ∫(((~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)) - (~a)*sin((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_28",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*(~x))/((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+(~a)*(~x)⨸((~a)^2 + (~b)^2) + (~b)⨸((~a)^2 + (~b)^2)* ∫(((~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)) - (~a)*sin((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_29",
+@rule ∫(sin((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~m)/((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 1) ?
+-(~a)*sin((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1)⨸((~d)*((~a)^2 + (~b)^2)*((~m) - 1)) + (~b)⨸((~a)^2 + (~b)^2)*∫(sin((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1), (~x)) + (~a)^2⨸((~a)^2 + (~b)^2)* ∫(sin((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 2)⨸((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_30",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~m)/((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 1) ?
+(~b)*cos((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1)⨸((~d)*((~a)^2 + (~b)^2)*((~m) - 1)) + (~a)⨸((~a)^2 + (~b)^2)*∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1), (~x)) + (~b)^2⨸((~a)^2 + (~b)^2)* ∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 2)⨸((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_31",
+@rule ∫(1/(sin( (~!c) + (~!d)*(~x))*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+1⨸(~a)*∫(cot((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) - 1⨸(~a)* ∫(((~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)) - (~a)*sin((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_32",
+@rule ∫(1/(cos( (~!c) + (~!d)*(~x))*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+1⨸(~b)*∫(tan((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) + 1⨸(~b)* ∫(((~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)) - (~a)*sin((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_33",
+@rule ∫(sin((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~m)/((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+sin((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~a)*(~d)*((~m) + 1)) - (~b)⨸(~a)^2*∫(sin((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1), (~x)) + ((~a)^2 + (~b)^2)⨸(~a)^2* ∫(sin((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 2)⨸((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_34",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~m)/((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+-cos((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~d)*((~m) + 1)) - (~a)⨸(~b)^2*∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1), (~x)) + ((~a)^2 + (~b)^2)⨸(~b)^2* ∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 2)⨸((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_35",
+@rule ∫(((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n)/ sin((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+-((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~a)*(~d)*((~n) + 1)) - (~b)⨸(~a)^2*∫(((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) + 1⨸(~a)^2* ∫(((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 2)⨸sin((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_36",
+@rule ∫(((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n)/ cos((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~d)*((~n) + 1)) - (~a)⨸(~b)^2*∫(((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) + 1⨸(~b)^2* ∫(((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 2)⨸cos((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_37",
+@rule ∫(sin((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~m)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~a)^2 + (~b)^2)⨸(~a)^2* ∫(sin((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 2)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~n), (~x)) - 2*(~b)⨸(~a)^2* ∫(sin((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) + 1⨸(~a)^2* ∫(sin((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_38",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~m)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~a)^2 + (~b)^2)⨸(~b)^2* ∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 2)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~n), (~x)) - 2*(~a)⨸(~b)^2* ∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) + 1⨸(~b)^2* ∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_39",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)* sin((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!n)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand( cos((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*sin((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_40",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)* sin((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!n)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    ilt((~p), 0) ?
+(~a)^(~p)*(~b)^(~p)* ∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^(~m)* sin((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~b)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~a)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(-(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_41",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)* sin((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!n)/((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+(~b)⨸((~a)^2 + (~b)^2)*∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*sin((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1), (~x)) + (~a)⨸((~a)^2 + (~b)^2)*∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1)*sin((~c) + (~d)*(~x))^(~n), (~x)) - (~a)*(~b)⨸((~a)^2 + (~b)^2)* ∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1)* sin((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1)⨸((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_42",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)* sin((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!n)/((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m), (~n)) ?
+∫(ext_expand( cos((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*sin((~c) + (~d)*(~x))^(~n)⨸((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x))), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_5_43",
+@rule ∫(cos((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)* sin((~!c) + (~!d)*(~x))^ (~!n)*((~!a)*cos((~!c) + (~!d)*(~x)) + (~!b)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ilt((~p), 0) ?
+(~b)⨸((~a)^2 + (~b)^2)* ∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^(~m)* sin((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1), (~x)) + (~a)⨸((~a)^2 + (~b)^2)* ∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1)* sin((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1), (~x)) - (~a)*(~b)⨸((~a)^2 + (~b)^2)* ∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^((~m) - 1)* sin((~c) + (~d)*(~x))^((~n) - 1)*((~a)*cos((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.6 (a+b cos+c sin)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.6 (a+b cos+c sin)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..8a88960a
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.6 (a+b cos+c sin)^n.jl	
@@ -0,0 +1,399 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.6 (a+b cos+c sin)^n *)
+("4_1_6_1",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) ?
+-2*((~c)*cos((~d) + (~e)*(~x)) - (~b)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸((~e)* sqrt((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_1_6_2",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    gt((~n), 0) ?
+-((~c)*cos((~d) + (~e)*(~x)) - (~b)*sin((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~e)*(~n)) + (~a)*(2*(~n) - 1)⨸(~n)* ∫(((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_3",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) ?
+-((~c) - (~a)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸((~c)*(~e)*((~c)*cos((~d) + (~e)*(~x)) - (~b)*sin((~d) + (~e)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_1_6_4",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) ?
+∫(1⨸sqrt((~a) + sqrt((~b)^2 + (~c)^2)*cos((~d) + (~e)*(~x) - atan((~b), (~c)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_5",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+((~c)*cos((~d) + (~e)*(~x)) - (~b)*sin((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^ (~n)⨸((~a)*(~e)*(2*(~n) + 1)) + ((~n) + 1)⨸((~a)*(2*(~n) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_6",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 + (~c)^2, 0) ?
+(~b)⨸((~c)*(~e))* int_and_subst(sqrt((~a) + (~x))⨸(~x),  (~x), (~x), (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)), "4_1_6_6") : nothing)
+
+("4_1_6_7",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 + (~c)^2, 0) &&
+    gt((~a) + sqrt((~b)^2 + (~c)^2), 0) ?
+∫(sqrt((~a) + sqrt((~b)^2 + (~c)^2)*cos((~d) + (~e)*(~x) - atan((~b), (~c)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_8",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    !eq((~b)^2 + (~c)^2, 0) &&
+    !(gt((~a) + sqrt((~b)^2 + (~c)^2), 0)) ?
+sqrt((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸ sqrt(((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸((~a) + sqrt((~b)^2 + (~c)^2)))* ∫( sqrt((~a)⨸((~a) + sqrt((~b)^2 + (~c)^2)) + sqrt((~b)^2 + (~c)^2)⨸((~a) + sqrt((~b)^2 + (~c)^2))* cos((~d) + (~e)*(~x) - atan((~b), (~c)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_9",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) ?
+-((~c)*cos((~d) + (~e)*(~x)) - (~b)*sin((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~e)*(~n)) + 1⨸(~n)* ∫(simp( (~n)*(~a)^2 + ((~n) - 1)*((~b)^2 + (~c)^2) + (~a)*(~b)*(2*(~n) - 1)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~a)*(~c)*(2*(~n) - 1)*sin((~d) + (~e)*(~x)), (~x))* ((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[1/(a_+b_.*cos[d_.+e_.*x_]+c_.*sin[d_.+e_.*x_]),x_Symbol] := x/Sqrt[a^2-b^2-c^2] + 2/(e*Sqrt[a^2-b^2-c^2])*ArcTan[(c*Cos[d+e*x]-b*Sin[d+e*x])/(a+Sqrt[ a^2-b^2-c^2]+b*Cos[d+e*x]+c*Sin[d+e*x])] /; FreeQ[{a,b,c,d,e},x] && GtQ[a^2-b^2-c^2,0] *)
+#(* Int[1/(a_+b_.*cos[d_.+e_.*x_]+c_.*sin[d_.+e_.*x_]),x_Symbol] := Log[RemoveContent[b^2+c^2+(a*b-c*Rt[-a^2+b^2+c^2,2])*Cos[d+e*x]+(a* c+b*Sqrt[-a^2+b^2+c^2])*Sin[d+e*x],x]]/ (2*e*Rt[-a^2+b^2+c^2,2]) - Log[RemoveContent[b^2+c^2+(a*b+c*Rt[-a^2+b^2+c^2,2])*Cos[d+e*x]+(a* c-b*Sqrt[-a^2+b^2+c^2])*Sin[d+e*x],x]]/ (2*e*Rt[-a^2+b^2+c^2,2]) /; FreeQ[{a,b,c,d,e},x] && LtQ[a^2-b^2-c^2,0] *)
+("4_1_6_10",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~a) + (~b), 0) ?
+-free_factors(cot(((~d) + (~e)*(~x))⨸2), (~x))⨸(~e)*int_and_subst(1⨸((~a) + (~c)*free_factors(cot(((~d) + (~e)*(~x))⨸2),  (~x))*(~x)), (~x), (~x), cot(((~d) + (~e)*(~x))⨸2)⨸free_factors(cot(((~d) + (~e)*(~x))⨸2), (~x)), "4_1_6_10") : nothing)
+
+("4_1_6_11",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~a) + (~c), 0) ?
+free_factors(tan(((~d) + (~e)*(~x))⨸2 + π⨸4), (~x))⨸(~e)*int_and_subst(1⨸((~a) + (~b)*free_factors(tan(((~d) + (~e)*(~x))⨸2 + π⨸4),  (~x))*(~x)), (~x), (~x), tan(((~d) + (~e)*(~x))⨸2 + π⨸4)⨸free_factors(tan(((~d) + (~e)*(~x))⨸2 + π⨸4), (~x)), "4_1_6_11") : nothing)
+
+("4_1_6_12",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~a) - (~c), 0) &&
+    !eq((~a) - (~b), 0) ?
+-free_factors(cot(((~d) + (~e)*(~x))⨸2 + π⨸4), (~x))⨸(~e)* int_and_subst(1⨸((~a) + (~b)*free_factors(cot(((~d) + (~e)*(~x))⨸2 + π⨸4),  (~x))*(~x)), (~x), (~x), cot(((~d) + (~e)*(~x))⨸2 + π⨸4)⨸free_factors(cot(((~d) + (~e)*(~x))⨸2 + π⨸4), (~x)), "4_1_6_12") : nothing)
+
+("4_1_6_13",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) ?
+2*free_factors(tan(((~d) + (~e)*(~x))⨸2), (~x))⨸(~e)* int_and_subst(1⨸((~a) + (~b) + 2*(~c)*free_factors(tan(((~d) + (~e)*(~x))⨸2),  (~x))*(~x) + ((~a) - (~b))*free_factors(tan(((~d) + (~e)*(~x))⨸2), (~x))^2*(~x)^2), (~x), (~x), tan(((~d) + (~e)*(~x))⨸2)⨸free_factors(tan(((~d) + (~e)*(~x))⨸2), (~x)), "4_1_6_13") : nothing)
+
+("4_1_6_14",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 + (~c)^2, 0) ?
+(~b)⨸((~c)*(~e))* int_and_subst(1⨸((~x)*sqrt((~a) + (~x))),  (~x), (~x), (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)), "4_1_6_14") : nothing)
+
+("4_1_6_15",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 + (~c)^2, 0) &&
+    gt((~a) + sqrt((~b)^2 + (~c)^2), 0) ?
+∫(1⨸sqrt((~a) + sqrt((~b)^2 + (~c)^2)*cos((~d) + (~e)*(~x) - atan((~b), (~c)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_16",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    !eq((~b)^2 + (~c)^2, 0) &&
+    !(gt((~a) + sqrt((~b)^2 + (~c)^2), 0)) ?
+sqrt(((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸((~a) + sqrt((~b)^2 + (~c)^2)))⨸ sqrt((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))* ∫( 1⨸sqrt((~a)⨸((~a) + sqrt((~b)^2 + (~c)^2)) + sqrt((~b)^2 + (~c)^2)⨸((~a) + sqrt((~b)^2 + (~c)^2))* cos((~d) + (~e)*(~x) - atan((~b), (~c)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_17",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) ?
+2*((~c)*cos((~d) + (~e)*(~x)) - (~b)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸((~e)*((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2)* sqrt((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))) + 1⨸((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2)* ∫(sqrt((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_18",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq((~n), -3/2) ?
+(-(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~b)*sin((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~e)*((~n) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2)) + 1⨸(((~n) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2))* ∫(((~a)*((~n) + 1) - (~b)*((~n) + 2)*cos((~d) + (~e)*(~x)) - (~c)*((~n) + 2)*sin((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_19",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 + (~c)^2, 0) ?
+(2*(~a)*(~A) - (~b)*(~B) - (~c)*(~C))* (~x)⨸(2*(~a)^2) - ((~b)*(~B) + (~c)*(~C))*((~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) - (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸(2*(~a)*(~b)*(~c)*(~e)) + ((~a)^2*((~b)*(~B) - (~c)*(~C)) - 2*(~a)*(~A)*(~b)^2 + (~b)^2*((~b)*(~B) + (~c)*(~C)))* log((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸(2*(~a)^2* (~b)*(~c)*(~e)) : nothing)
+
+("4_1_6_20",
+@rule ∫(((~!A) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~C), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 + (~c)^2, 0) ?
+(2*(~a)*(~A) - (~c)*(~C))*(~x)⨸(2*(~a)^2) - (~C)*cos((~d) + (~e)*(~x))⨸(2*(~a)*(~e)) + (~c)*(~C)*sin((~d) + (~e)*(~x))⨸(2*(~a)*(~b)*(~e)) + (-(~a)^2*(~C) + 2*(~a)*(~c)*(~A) + (~b)^2*(~C))* log((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸(2*(~a)^2* (~b)*(~e)) : nothing)
+
+("4_1_6_21",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 + (~c)^2, 0) ?
+(2*(~a)*(~A) - (~b)*(~B))*(~x)⨸(2*(~a)^2) - (~b)*(~B)*cos((~d) + (~e)*(~x))⨸(2*(~a)*(~c)*(~e)) + (~B)*sin((~d) + (~e)*(~x))⨸(2*(~a)*(~e)) + ((~a)^2*(~B) - 2*(~a)*(~b)*(~A) + (~b)^2*(~B))* log((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸(2*(~a)^2* (~c)*(~e)) : nothing)
+
+("4_1_6_22",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 + (~c)^2, 0) &&
+    eq((~A)*((~b)^2 + (~c)^2) - (~a)*((~b)*(~B) + (~c)*(~C)), 0) ?
+((~b)*(~B) + (~c)*(~C))*(~x)⨸((~b)^2 + (~c)^2) + ((~c)*(~B) - (~b)*(~C))* log((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸((~e)*((~b)^2 + (~c)^2)) : nothing)
+
+("4_1_6_23",
+@rule ∫(((~!A) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 + (~c)^2, 0) &&
+    eq((~A)*((~b)^2 + (~c)^2) - (~a)*(~c)*(~C), 0) ?
+(~c)*(~C)*(~x)⨸((~b)^2 + (~c)^2) - (~b)*(~C)*log((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸((~e)*((~b)^2 + (~c)^2)) : nothing)
+
+("4_1_6_24",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 + (~c)^2, 0) &&
+    eq((~A)*((~b)^2 + (~c)^2) - (~a)*(~b)*(~B), 0) ?
+(~b)*(~B)*(~x)⨸((~b)^2 + (~c)^2) + (~c)*(~B)*log((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸((~e)*((~b)^2 + (~c)^2)) : nothing)
+
+("4_1_6_25",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 + (~c)^2, 0) &&
+    !eq((~A)*((~b)^2 + (~c)^2) - (~a)*((~b)*(~B) + (~c)*(~C)), 0) ?
+((~b)*(~B) + (~c)*(~C))*(~x)⨸((~b)^2 + (~c)^2) + ((~c)*(~B) - (~b)*(~C))* log((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸((~e)*((~b)^2 + (~c)^2)) + ((~A)*((~b)^2 + (~c)^2) - (~a)*((~b)*(~B) + (~c)*(~C)))⨸((~b)^2 + (~c)^2)* ∫(1⨸((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_26",
+@rule ∫(((~!A) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 + (~c)^2, 0) &&
+    !eq((~A)*((~b)^2 + (~c)^2) - (~a)*(~c)*(~C), 0) ?
+(~c)*(~C)*((~d) + (~e)*(~x))⨸((~e)*((~b)^2 + (~c)^2)) - (~b)*(~C)*log((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸((~e)*((~b)^2 + (~c)^2)) + ((~A)*((~b)^2 + (~c)^2) - (~a)*(~c)*(~C))⨸((~b)^2 + (~c)^2)* ∫(1⨸((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_27",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 + (~c)^2, 0) &&
+    !eq((~A)*((~b)^2 + (~c)^2) - (~a)*(~b)*(~B), 0) ?
+(~b)*(~B)*((~d) + (~e)*(~x))⨸((~e)*((~b)^2 + (~c)^2)) + (~c)*(~B)*log((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸((~e)*((~b)^2 + (~c)^2)) + ((~A)*((~b)^2 + (~c)^2) - (~a)*(~b)*(~B))⨸((~b)^2 + (~c)^2)* ∫(1⨸((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_28",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~C), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~n), -1) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    eq(((~b)*(~B) + (~c)*(~C))*(~n) + (~a)*(~A)*((~n) + 1), 0) ?
+((~B)*(~c) - (~b)*(~C) - (~a)*(~C)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~a)*(~B)*sin((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^ (~n)⨸((~a)*(~e)*((~n) + 1)) : nothing)
+
+("4_1_6_29",
+@rule ∫(((~!A) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~C), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~n), -1) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    eq((~c)*(~C)*(~n) + (~a)*(~A)*((~n) + 1), 0) ?
+-((~b)*(~C) + (~a)*(~C)*cos((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^ (~n)⨸((~a)*(~e)*((~n) + 1)) : nothing)
+
+("4_1_6_30",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~n), -1) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    eq((~b)*(~B)*(~n) + (~a)*(~A)*((~n) + 1), 0) ?
+((~B)*(~c) + (~a)*(~B)*sin((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^ (~n)⨸((~a)*(~e)*((~n) + 1)) : nothing)
+
+("4_1_6_31",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~C), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~n), -1) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    !eq(((~b)*(~B) + (~c)*(~C))*(~n) + (~a)*(~A)*((~n) + 1), 0) ?
+((~B)*(~c) - (~b)*(~C) - (~a)*(~C)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~a)*(~B)*sin((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^ (~n)⨸((~a)*(~e)*((~n) + 1)) + (((~b)*(~B) + (~c)*(~C))*(~n) + (~a)*(~A)*((~n) + 1))⨸((~a)*((~n) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_32",
+@rule ∫(((~!A) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~C), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~n), -1) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    !eq((~c)*(~C)*(~n) + (~a)*(~A)*((~n) + 1), 0) ?
+-((~b)*(~C) + (~a)*(~C)*cos((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^ (~n)⨸((~a)*(~e)*((~n) + 1)) + ((~c)*(~C)*(~n) + (~a)*(~A)*((~n) + 1))⨸((~a)*((~n) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_33",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~n), -1) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    !eq((~b)*(~B)*(~n) + (~a)*(~A)*((~n) + 1), 0) ?
+((~B)*(~c) + (~a)*(~B)*sin((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^ (~n)⨸((~a)*(~e)*((~n) + 1)) + ((~b)*(~B)*(~n) + (~a)*(~A)*((~n) + 1))⨸((~a)*((~n) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_34",
+@rule ∫(((~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~B), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~n), -1) &&
+    !eq((~b)^2 + (~c)^2, 0) &&
+    eq((~b)*(~B) + (~c)*(~C), 0) ?
+((~c)*(~B) - (~b)*(~C))*((~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~e)*((~n) + 1)*((~b)^2 + (~c)^2)) : nothing)
+
+("4_1_6_35",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) ?
+((~B)*(~c) - (~b)*(~C) - (~a)*(~C)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~a)*(~B)*sin((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^ (~n)⨸((~a)*(~e)*((~n) + 1)) + 1⨸((~a)*((~n) + 1))*∫(((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^((~n) - 1)* simp((~a)*((~b)*(~B) + (~c)*(~C))*(~n) + (~a)^2*(~A)*((~n) + 1) + ((~n)*((~a)^2*(~B) - (~B)*(~c)^2 + (~b)*(~c)*(~C)) + (~a)*(~b)*(~A)*((~n) + 1))* cos((~d) + (~e)*(~x)) + ((~n)*((~b)*(~B)*(~c) + (~a)^2*(~C) - (~b)^2*(~C)) + (~a)*(~c)*(~A)*((~n) + 1))* sin((~d) + (~e)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_36",
+@rule ∫(((~!A) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~C), (~x)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) ?
+-((~b)*(~C) + (~a)*(~C)*cos((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^ (~n)⨸((~a)*(~e)*((~n) + 1)) + 1⨸((~a)*((~n) + 1))*∫(((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^((~n) - 1)* simp((~a)*(~c)*(~C)*(~n) + (~a)^2*(~A)*((~n) + 1) + ((~c)*(~b)*(~C)*(~n) + (~a)*(~b)*(~A)*((~n) + 1))* cos((~d) + (~e)*(~x)) + ((~a)^2*(~C)*(~n) - (~b)^2*(~C)*(~n) + (~a)*(~c)*(~A)*((~n) + 1))* sin((~d) + (~e)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_37",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~x)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) ?
+((~B)*(~c) + (~a)*(~B)*sin((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^ (~n)⨸((~a)*(~e)*((~n) + 1)) + 1⨸((~a)*((~n) + 1))*∫(((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^((~n) - 1)* simp((~a)*(~b)*(~B)*(~n) + (~a)^2*(~A)*((~n) + 1) + ((~a)^2*(~B)*(~n) - (~c)^2*(~B)*(~n) + (~a)*(~b)*(~A)*((~n) + 1))* cos((~d) + (~e)*(~x)) + ((~b)*(~c)*(~B)*(~n) + (~a)*(~c)*(~A)*((~n) + 1))*sin((~d) + (~e)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_38",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))/ sqrt((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    eq((~B)*(~c) - (~b)*(~C), 0) &&
+    !eq((~A)*(~b) - (~a)*(~B), 0) ?
+(~B)⨸(~b)*∫(sqrt((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))), (~x)) + ((~A)*(~b) - (~a)*(~B))⨸(~b)* ∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_39",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    eq((~a)*(~A) - (~b)*(~B) - (~c)*(~C), 0) ?
+((~c)*(~B) - (~b)*(~C) - ((~a)*(~C) - (~c)*(~A))*cos((~d) + (~e)*(~x)) + ((~a)*(~B) - (~b)*(~A))*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸ ((~e)*((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2)*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_1_6_40",
+@rule ∫(((~!A) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    eq((~a)*(~A) - (~c)*(~C), 0) ?
+-((~b)*(~C) + ((~a)*(~C) - (~c)*(~A))*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~b)*(~A)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸((~e)*((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2)*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_1_6_41",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    eq((~a)*(~A) - (~b)*(~B), 0) ?
+((~c)*(~B) + (~c)*(~A)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + ((~a)*(~B) - (~b)*(~A))* sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸((~e)*((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2)*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_1_6_42",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    !eq((~a)*(~A) - (~b)*(~B) - (~c)*(~C), 0) ?
+((~c)*(~B) - (~b)*(~C) - ((~a)*(~C) - (~c)*(~A))*cos((~d) + (~e)*(~x)) + ((~a)*(~B) - (~b)*(~A))*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸ ((~e)*((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2)*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))) + ((~a)*(~A) - (~b)*(~B) - (~c)*(~C))⨸((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2)* ∫(1⨸((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_43",
+@rule ∫(((~!A) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~C), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    !eq((~a)*(~A) - (~c)*(~C), 0) ?
+-((~b)*(~C) + ((~a)*(~C) - (~c)*(~A))*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~b)*(~A)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸((~e)*((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2)*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))) + ((~a)*(~A) - (~c)*(~C))⨸((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2)* ∫(1⨸((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_44",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    !eq((~a)*(~A) - (~b)*(~B), 0) ?
+((~c)*(~B) + (~c)*(~A)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + ((~a)*(~B) - (~b)*(~A))* sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸((~e)*((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2)*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))) + ((~a)*(~A) - (~b)*(~B))⨸((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2)* ∫(1⨸((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_45",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    !eq((~n), -2) ?
+-((~c)*(~B) - (~b)*(~C) - ((~a)*(~C) - (~c)*(~A))*cos((~d) + (~e)*(~x)) + ((~a)*(~B) - (~b)*(~A))*sin((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^((~n) + 1)⨸ ((~e)*((~n) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2)) + 1⨸(((~n) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2))* ∫(((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^((~n) + 1)* simp(((~n) + 1)*((~a)*(~A) - (~b)*(~B) - (~c)*(~C)) + ((~n) + 2)*((~a)*(~B) - (~b)*(~A))* cos((~d) + (~e)*(~x)) + ((~n) + 2)*((~a)*(~C) - (~c)*(~A))*sin((~d) + (~e)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_46",
+@rule ∫(((~!A) + (~!C)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~C), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    !eq((~n), -2) ?
+((~b)*(~C) + ((~a)*(~C) - (~c)*(~A))*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~b)*(~A)*sin((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^((~n) + 1)⨸ ((~e)*((~n) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2)) + 1⨸(((~n) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2))* ∫(((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^((~n) + 1)* simp(((~n) + 1)*((~a)*(~A) - (~c)*(~C)) - ((~n) + 2)*(~b)*(~A)* cos((~d) + (~e)*(~x)) + ((~n) + 2)*((~a)*(~C) - (~c)*(~A))*sin((~d) + (~e)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_47",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2, 0) &&
+    !eq((~n), -2) ?
+-((~c)*(~B) + (~c)*(~A)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + ((~a)*(~B) - (~b)*(~A))*sin((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^((~n) + 1)⨸ ((~e)*((~n) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2)) + 1⨸(((~n) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2 - (~c)^2))* ∫(((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^((~n) + 1)* simp(((~n) + 1)*((~a)*(~A) - (~b)*(~B)) + ((~n) + 2)*((~a)*(~B) - (~b)*(~A))* cos((~d) + (~e)*(~x)) - ((~n) + 2)*(~c)*(~A)*sin((~d) + (~e)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_48",
+@rule ∫(1/((~!a) + (~!b)*sec((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*tan((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) ?
+∫(cos((~d) + (~e)*(~x))⨸((~b) + (~a)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_49",
+@rule ∫(1/((~!a) + (~!b)*csc((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*cot((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) ?
+∫(sin((~d) + (~e)*(~x))⨸((~b) + (~a)*sin((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_50",
+@rule ∫(cos((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!n)*((~!a) + (~!b)*sec((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*tan((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+∫(((~b) + (~a)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_51",
+@rule ∫(sin((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!n)*((~!a) + (~!b)*csc((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*cot((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+∫(((~b) + (~a)*sin((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*cos((~d) + (~e)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_52",
+@rule ∫(cos((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~n)*((~!a) + (~!b)*sec((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*tan((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+cos((~d) + (~e)*(~x))^ (~n)*((~a) + (~b)*sec((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*tan((~d) + (~e)*(~x)))^ (~n)⨸((~b) + (~a)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^(~n)* ∫(((~b) + (~a)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_53",
+@rule ∫(sin((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~n)*((~!a) + (~!b)*csc((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*cot((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+sin((~d) + (~e)*(~x))^ (~n)*((~a) + (~b)*csc((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*cot((~d) + (~e)*(~x)))^ (~n)⨸((~b) + (~a)*sin((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*cos((~d) + (~e)*(~x)))^(~n)* ∫(((~b) + (~a)*sin((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*cos((~d) + (~e)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_54",
+@rule ∫(sec((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!n)*((~!a) + (~!b)*sec((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*tan((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+∫(1⨸((~b) + (~a)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_55",
+@rule ∫(csc((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!n)*((~!a) + (~!b)*csc((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*cot((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+∫(1⨸((~b) + (~a)*sin((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*cos((~d) + (~e)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_56",
+@rule ∫(sec((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!n)*((~!a) + (~!b)*sec((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*tan((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+sec((~d) + (~e)*(~x))^ (~n)*((~b) + (~a)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^ (~n)⨸((~a) + (~b)*sec((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*tan((~d) + (~e)*(~x)))^(~n)* ∫(1⨸((~b) + (~a)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_6_57",
+@rule ∫(csc((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!n)*((~!a) + (~!b)*csc((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*cot((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+csc((~d) + (~e)*(~x))^ (~n)*((~b) + (~a)*sin((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*cos((~d) + (~e)*(~x)))^ (~n)⨸((~a) + (~b)*csc((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*cot((~d) + (~e)*(~x)))^(~n)* ∫(1⨸((~b) + (~a)*sin((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*cos((~d) + (~e)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.7 (d trig)^m (a+b (c sin)^n)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.7 (d trig)^m (a+b (c sin)^n)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..49e3ccca
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.7 (d trig)^m (a+b (c sin)^n)^p.jl	
@@ -0,0 +1,478 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.7 (d trig)^m (a+b (c sin)^n)^p *)
+("4_1_7_1",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) ?
+(4*(~A)*(2*(~a) + (~b)) + (~B)*(4*(~a) + 3*(~b)))*(~x)⨸8 - (4*(~A)*(~b) + (~B)*(4*(~a) + 3*(~b)))*cos((~e) + (~f)*(~x))*sin((~e) + (~f)*(~x))⨸(8*(~f)) - (~b)*(~B)*cos((~e) + (~f)*(~x))*sin((~e) + (~f)*(~x))^3⨸(4*(~f)) : nothing)
+
+("4_1_7_2",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~p)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    gt((~p), 0) ?
+-(~B)*cos((~e) + (~f)*(~x))* sin((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^(~p)⨸(2*(~f)*((~p) + 1)) + 1⨸(2*((~p) + 1))*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^((~p) - 1)* simp((~a)*(~B) + 2*(~a)*(~A)*((~p) + 1) + (2*(~A)*(~b)*((~p) + 1) + (~B)*((~b) + 2*(~a)*(~p) + 2*(~b)*(~p)))* sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_7_3",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) ?
+(~B)*(~x)⨸(~b) + ((~A)*(~b) - (~a)*(~B))⨸(~b)*∫(1⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_7_4",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)/ sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) ?
+(~B)⨸(~b)*∫(sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) + ((~A)*(~b) - (~a)*(~B))⨸(~b)* ∫(1⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_7_5",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~p)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~a) + (~b), 0) ?
+-((~A)*(~b) - (~a)*(~B))*cos((~e) + (~f)*(~x))* sin((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~a)* (~f)*((~a) + (~b))*((~p) + 1)) - 1⨸(2*(~a)*((~a) + (~b))*((~p) + 1))*∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^((~p) + 1)* simp((~a)*(~B) - (~A)*(2*(~a)*((~p) + 1) + (~b)*(2*(~p) + 3)) + 2*((~A)*(~b) - (~a)*(~B))*((~p) + 2)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_7_6",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^ (~p)*((~!A) + (~!B)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^ (~p)*(sec((~e) + (~f)*(~x))^2)^(~p)⨸((~f)*((~a) + ((~a) + (~b))*tan((~e) + (~f)*(~x))^2)^(~p))* int_and_subst(((~a) + ((~a) + (~b))*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2)^ (~p)*((~A) + ((~A) + (~B))*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)⨸(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^((~p) + 2), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_6") : nothing)
+
+("4_1_7_7",
+@rule ∫((~!u)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a) + (~b), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+(~a)^(~p)*∫(ActivateTrig[(~u)*cos((~e) + (~f)*(~x))^(2*(~p))], (~x)) : nothing)
+
+("4_1_7_8",
+@rule ∫((~!u)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    eq((~a) + (~b), 0) ?
+∫(ActivateTrig[(~u)*((~a)*cos((~e) + (~f)*(~x))^2)^(~p)], (~x)) : nothing)
+
+("4_1_7_9",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) ?
+sqrt((~a))⨸(~f)*elliptic_e((~e) + (~f)*(~x), -(~b)⨸(~a)) : nothing)
+
+("4_1_7_10",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)⨸sqrt(1 + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2⨸(~a))* ∫(sqrt(1 + ((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)⨸(~a)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_7_11",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) ?
+(8*(~a)^2 + 8*(~a)*(~b) + 3*(~b)^2)*(~x)⨸8 - (~b)*(8*(~a) + 3*(~b))*cos((~e) + (~f)*(~x))*sin((~e) + (~f)*(~x))⨸(8*(~f)) - (~b)^2*cos((~e) + (~f)*(~x))*sin((~e) + (~f)*(~x))^3⨸(4*(~f)) : nothing)
+
+("4_1_7_12",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a) + (~b), 0) &&
+    gt((~p), 1) ?
+-(~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))* sin((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^((~p) - 1)⨸(2*(~f)*(~p)) + 1⨸(2*(~p))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^((~p) - 2)* simp((~a)*((~b) + 2*(~a)*(~p)) + (~b)*(2*(~a) + (~b))*(2*(~p) - 1)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_7_13",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) ?
+free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(~f)* int_and_subst(1⨸((~a) + ((~a) + (~b))*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_13") : nothing)
+
+("4_1_7_14",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    gt((~a), 0) ?
+1⨸(sqrt((~a))*(~f))*elliptic_f((~e) + (~f)*(~x), -(~b)⨸(~a)) : nothing)
+
+("4_1_7_15",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+sqrt(1 + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2⨸(~a))⨸sqrt((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)* ∫(1⨸sqrt(1 + ((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)⨸(~a)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_7_16",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a) + (~b), 0) &&
+    lt((~p), -1) ?
+-(~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))* sin((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^((~p) + 1)⨸(2*(~a)* (~f)*((~p) + 1)*((~a) + (~b))) + 1⨸(2*(~a)*((~p) + 1)*((~a) + (~b)))* ∫(((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^((~p) + 1)* simp(2*(~a)*((~p) + 1) + (~b)*(2*(~p) + 3) - 2*(~b)*((~p) + 2)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_7_17",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))*sqrt(cos((~e) + (~f)*(~x))^2)⨸((~f)*cos((~e) + (~f)*(~x)))* int_and_subst(((~a) + (~b)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2)^(~p)⨸sqrt(1 - free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2), (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_17") : nothing)
+
+("4_1_7_18",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) ?
+-free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(~f)* int_and_subst((1 - free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b) - (~b)*free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(~p), (~x), (~x), cos((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_18") : nothing)
+
+("4_1_7_19",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^((~m) + 1)⨸(~f)* int_and_subst( (~x)^(~m)*((~a) + ((~a) + (~b))*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^((~m)⨸2 + (~p) + 1), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_19") : nothing)
+
+("4_1_7_20",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^((~m) + 1)*sqrt(cos((~e) + (~f)*(~x))^2)⨸((~f)*cos((~e) + (~f)*(~x)))* int_and_subst((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2)^(~p)⨸sqrt(1 - free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2), (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_20") : nothing)
+
+("4_1_7_21",
+@rule ∫(((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+-free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x))* (~d)^(2*intpart(((~m) - 1)⨸2) + 1)*((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(2* fracpart(((~m) - 1)⨸2))⨸((~f)*(sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^ fracpart(((~m) - 1)⨸2))* int_and_subst((1 - free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b) - (~b)*free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(~p), (~x), (~x), cos((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_21") : nothing)
+
+("4_1_7_22",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) ?
+free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(~f)* int_and_subst((1 - free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(~p), (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_22") : nothing)
+
+("4_1_7_23",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(~f)* int_and_subst(((~a) + ((~a) + (~b))*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^((~m)⨸2 + (~p) + 1), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_23") : nothing)
+
+("4_1_7_24",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))*sqrt(cos((~e) + (~f)*(~x))^2)⨸((~f)*cos((~e) + (~f)*(~x)))* int_and_subst((1 - free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(~p), (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_24") : nothing)
+
+("4_1_7_25",
+@rule ∫(((~!d)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))*(~d)^(2*intpart(((~m) - 1)⨸2) + 1)*((~d)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(2* fracpart(((~m) - 1)⨸2))⨸((~f)*(cos((~e) + (~f)*(~x))^2)^ fracpart(((~m) - 1)⨸2))* int_and_subst((1 - free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(~p), (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_25") : nothing)
+
+("4_1_7_26",
+@rule ∫(tan((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) ?
+free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x))^(((~m) + 1)⨸2)⨸(2*(~f))* int_and_subst((~x)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x))^2,  (~x))*(~x))^(~p)⨸(1 - free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x))*(~x))^(((~m) + 1)⨸2), (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x))^2⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), "4_1_7_26") : nothing)
+
+("4_1_7_27",
+@rule ∫(((~!d)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(~f)* int_and_subst(((~d)*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))*(~x))^ (~m)*((~a) + ((~a) + (~b))*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^((~p) + 1), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_27") : nothing)
+
+("4_1_7_28",
+@rule ∫(tan((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^((~m) + 1)*sqrt(cos((~e) + (~f)*(~x))^2)⨸((~f)*cos((~e) + (~f)*(~x)))* int_and_subst((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2)^(~p)⨸(1 - free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(((~m) + 1)⨸2), (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_28") : nothing)
+
+("4_1_7_29",
+@rule ∫(((~!d)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))*((~d)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*(cos((~e) + (~f)*(~x))^2)^(((~m) + 1)⨸2)⨸((~d)*(~f)* sin((~e) + (~f)*(~x))^((~m) + 1))* int_and_subst((free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(~p)⨸(1 - free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(((~m) + 1)⨸2), (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_29") : nothing)
+
+("4_1_7_30",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) ?
+free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(~f)* int_and_subst(((~d)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))*(~x))^(~n)*(1 - free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^ (~p), (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_30") : nothing)
+
+("4_1_7_31",
+@rule ∫(((~!c)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)* sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~n) - 1)/2) ?
+-free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(~f)* int_and_subst(((~c)*free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))*(~x))^ (~m)*(1 - free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(((~n) - 1)⨸2)*((~a) + (~b) - (~b)*free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(~p), (~x), (~x), cos((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_31") : nothing)
+
+("4_1_7_32",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)* sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    ext_isinteger((~n)/2) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^((~n) + 1)⨸(~f)* int_and_subst( (~x)^(~n)*((~a) + ((~a) + (~b))*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(((~m) + (~n))⨸2 + (~p) + 1), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_32") : nothing)
+
+("4_1_7_33",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) ?
+free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))*sqrt(cos((~e) + (~f)*(~x))^2)⨸((~f)*cos((~e) + (~f)*(~x)))* int_and_subst(((~d)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))*(~x))^(~n)*(1 - free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^ (~p), (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_33") : nothing)
+
+("4_1_7_34",
+@rule ∫(((~!c)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^ (~!n)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))*(~c)^(2*intpart(((~m) - 1)⨸2) + 1)*((~c)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(2* fracpart(((~m) - 1)⨸2))⨸((~f)*(cos((~e) + (~f)*(~x))^2)^ fracpart(((~m) - 1)⨸2))* int_and_subst(((~d)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))*(~x))^(~n)*(1 - free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(~p), (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_34") : nothing)
+
+("4_1_7_35",
+@rule ∫(((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~p), 1) ?
+-cot((~e) + (~f)*(~x))*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^(~p)⨸(2*(~f)*(~p)) + (~b)*(2*(~p) - 1)⨸(2*(~p))*∫(((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_7_36",
+@rule ∫(((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt((~p), -1) ?
+cot((~e) + (~f)*(~x))*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^((~p) + 1)⨸((~b)*(~f)*(2*(~p) + 1)) + 2*((~p) + 1)⨸((~b)*(2*(~p) + 1))*∫(((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_7_37",
+@rule ∫(tan((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+    ext_isinteger((~n)/2) ?
+free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x))^(((~m) + 1)⨸2)⨸(2*(~f))* int_and_subst( (~x)^(((~m) - 1)⨸2)*((~b)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x))^2,  (~x))^((~n)⨸2)*(~x)^((~n)⨸2))^(~p)⨸(1 - free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x))*(~x))^(((~m) + 1)⨸2), (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x))^2⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), "4_1_7_37") : nothing)
+
+("4_1_7_38",
+@rule ∫(tan((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~!b)*((~!c)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ilt(((~m) - 1)/2, 0) ?
+free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^((~m) + 1)⨸(~f)* int_and_subst((~x)^(~m)*((~b)*((~c)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))*(~x))^(~n))^(~p)⨸(1 - free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(((~m) + 1)⨸2), (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_38") : nothing)
+
+# ("4_1_7_39",
+# @rule ∫((~!u)*((~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n))^(~p),(~x)) =>
+# ((~b)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^(~n))^ intpart((~p))*((~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^(~n))^ fracpart((~p))⨸(sin((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)))^((~n)*fracpart((~p)))* ∫(ActivateTrig[(~u)]*(sin((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)))^((~n)*(~p)), (~x))⨸; FreeQ[{(~b), (~e), (~f), (~n), (~p)}, (~x)] && Not[IntegerQ[(~p)]] && IntegerQ[(~n)] && (EqQ[(~u), 1] || MatchQ[(~u), (d_.*trig_[(~e) + (~f)*(~x)])^m_. ⨸; FreeQ[{(~d), (~m)}, (~x)] && MemberQ[{sin, cos, tan, cot, sec, csc}, trig]]))
+# 
+# ("4_1_7_40",
+# @rule ∫((~!u)*((~!b)*((~!c)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^(~p),(~x)) =>
+# (~b)^intpart((~p))*((~b)*((~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^ fracpart((~p))⨸((~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n)*fracpart((~p)))* ∫(ActivateTrig[(~u)]*((~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^((~n)*(~p)), (~x)) ⨸; FreeQ[{(~b), (~c), (~e), (~f), (~n), (~p)}, (~x)] && Not[IntegerQ[(~p)]] && Not[IntegerQ[(~n)]] && (EqQ[(~u), 1] || MatchQ[(~u), (d_.*trig_[(~e) + (~f)*(~x)])^m_. ⨸; FreeQ[{(~d), (~m)}, (~x)] && MemberQ[{sin, cos, tan, cot, sec, csc}, trig]]))
+
+#(* Int[(a_+b_.*sin[e_.+f_.*x_]^4)^p_.,x_Symbol] := With[{ff=FreeFactors[Tan[e+f*x],x]}, -ff/f*Subst[Int[(a+b+2*a*ff^2*x^2+a*ff^4*x^4)^p/(1+ff^2*x^2)^(2*p+1) ,x],x,Cot[e+f*x]/ff]] /; FreeQ[{a,b,e,f},x] && IntegerQ[p] *)
+("4_1_7_41",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(~f)* int_and_subst(((~a) + 2*(~a)*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2 + ((~a) + (~b))*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^4*(~x)^4)^ (~p)⨸(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(2*(~p) + 1), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_41") : nothing)
+
+("4_1_7_42",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) ?
+free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^4)^ (~p)*(sec((~e) + (~f)*(~x))^2)^(2* (~p))⨸((~f)*((~a) + 2*(~a)*tan((~e) + (~f)*(~x))^2 + ((~a) + (~b))*tan((~e) + (~f)*(~x))^4)^(~p))* int_and_subst(((~a) + 2*(~a)*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2 + ((~a) + (~b))*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^4*(~x)^4)^ (~p)⨸(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(2*(~p) + 1), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_42") : nothing)
+
+("4_1_7_43",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)/2) ?
+dist(2⨸((~a)*(~n)), sum([∫(1⨸(1 - sin((~e) + (~f)*(~x))^2⨸((-1)^(4*iii⨸(~n))*rt(-(~a)⨸(~b), (~n)⨸2))), (~x)) for iii in 1:( (~n)⨸2)]), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(a_+b_.*sin[e_.+f_.*x_]^n_)^p_,x_Symbol] := With[{ff=FreeFactors[Tan[e+f*x],x]}, -ff/f*Subst[Int[(b+a*(1+ff^2*x^2)^(n/2))^p/(1+ff^2*x^2)^(n*p/2+1),x] ,x,Cot[e+f*x]/ff]] /; FreeQ[{a,b,e,f},x] && IntegerQ[n/2] && IGtQ[p,0] *)
+("4_1_7_44",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)/2) &&
+    igt((~p), 0) ?
+free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(~f)* int_and_subst(((~b)*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^(~n)*(~x)^(~n) + (~a)*(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^((~n)⨸2))^ (~p)⨸(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^((~n)*(~p)⨸2 + 1), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_44") : nothing)
+
+("4_1_7_45",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*((~!c)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    (
+        igt((~p), 0) ||
+        eq((~p), -1) &&
+        ext_isinteger((~n))
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*((~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_7_46",
+# @rule ∫(((~a) + (~!b)*((~!c)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*((~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("4_1_7_47",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) ?
+-free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(~f)* int_and_subst((1 - free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b) - 2*(~b)*free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2 + (~b)*free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^4*(~x)^4)^(~p), (~x), (~x), cos((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_47") : nothing)
+
+("4_1_7_48",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+    ext_isinteger((~n)/2) ?
+-free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(~f)* int_and_subst((1 - free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*(1 - free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^((~n)⨸2))^ (~p), (~x), (~x), cos((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_48") : nothing)
+
+("4_1_7_49",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^((~m) + 1)⨸(~f)* int_and_subst( (~x)^(~m)*((~a) + 2*(~a)*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2 + ((~a) + (~b))*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^4*(~x)^4)^ (~p)⨸(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^((~m)⨸2 + 2*(~p) + 1), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_49") : nothing)
+
+("4_1_7_50",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    ext_isinteger((~n)/2) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^((~m) + 1)⨸(~f)* int_and_subst( (~x)^(~m)*((~a)*(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2)^((~n)⨸2) + (~b)*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^(~n)*(~x)^(~n))^ (~p)⨸(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^((~m)⨸2 + (~n)*(~p)⨸2 + 1), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_50") : nothing)
+
+("4_1_7_51",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) ?
+free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^4)^ (~p)*(sec((~e) + (~f)*(~x))^2)^(2*(~p))⨸((~f)* Apart[(~a)*(1 + tan((~e) + (~f)*(~x))^2)^2 + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x))^4]^(~p))* int_and_subst((~x)^(~m)*expand_to_sum((~a)*(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2)^2 + (~b)*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^4*(~x)^4, (~x))^ (~p)⨸(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^((~m)⨸2 + 2*(~p) + 1), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_51") : nothing)
+
+("4_1_7_52",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m), (~p)) &&
+    (
+        eq((~n), 4) ||
+        gt((~p), 0) ||
+        eq((~p), -1) &&
+        ext_isinteger((~n))
+    ) ?
+∫(ext_expand(sin((~e) + (~f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_7_53",
+@rule ∫(((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*((~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_7_54",
+# @rule ∫(((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*((~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("4_1_7_55",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+    (
+        eq((~n), 4) ||
+        gt((~m), 0) ||
+        igt((~p), 0) ||
+        ext_isinteger((~m), (~p))
+    ) ?
+free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(~f)* int_and_subst((1 - free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*((~c)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))*(~x))^(~n))^(~p), (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_55") : nothing)
+
+("4_1_7_56",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(~f)* int_and_subst(((~a) + 2*(~a)*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^2*(~x)^2 + ((~a) + (~b))*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^4*(~x)^4)^ (~p)⨸(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^((~m)⨸2 + 2*(~p) + 1), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_56") : nothing)
+
+("4_1_7_57",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    ext_isinteger((~n)/2) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(~f)* int_and_subst(((~b)*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^(~n)*(~x)^(~n) + (~a)*(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^((~n)⨸2))^ (~p)⨸(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^((~m)⨸2 + (~n)*(~p)⨸2 + 1), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_57") : nothing)
+
+("4_1_7_58",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)/((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    igt((~m)/2, 0) &&
+    ext_isinteger(((~n) - 1)/2) ?
+∫(ext_expand((1 - sin((~e) + (~f)*(~x))^2)^((~m)⨸2)⨸((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^(~n)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[cos[e_.+f_.*x_]^m_*(a_+b_.*sin[e_.+f_.*x_]^n_)^p_,x_Symbol] := Int[ExpandTrig[(1-sin[e+f*x]^2)^(m/2)*(a+b*sin[e+f*x]^n)^p,x],x] /; FreeQ[{a,b,e,f},x] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[(n-1)/2] &&  ILtQ[p,-1] && LtQ[m,0] *)
+("4_1_7_59",
+@rule ∫(((~!d)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(((~d)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*((~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_7_60",
+# @rule ∫(((~!d)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*((~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("4_1_7_61",
+@rule ∫(tan((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+    ext_isinteger((~n)/2) ?
+free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x))^(((~m) + 1)⨸2)⨸(2*(~f))* int_and_subst( (~x)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x))^2,  (~x))^((~n)⨸2)*(~x)^((~n)⨸2))^(~p)⨸(1 - free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x))*(~x))^(((~m) + 1)⨸2), (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x))^2⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), "4_1_7_61") : nothing)
+
+("4_1_7_62",
+@rule ∫(tan((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ilt(((~m) - 1)/2, 0) ?
+free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^((~m) + 1)⨸(~f)* int_and_subst((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*((~c)*free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))*(~x))^(~n))^(~p)⨸(1 - free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(((~m) + 1)⨸2), (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_62") : nothing)
+
+("4_1_7_63",
+@rule ∫(((~!d)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^4)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))⨸(~f)* int_and_subst(((~d)*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))*(~x))^(~m)* expand_to_sum((~a)*(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^2 + (~b)*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^4*(~x)^4, (~x))^ (~p)⨸(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(2*(~p) + 1), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_63") : nothing)
+
+("4_1_7_64",
+@rule ∫(((~!d)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) ?
+free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))*((~a) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))^4)^ (~p)*(sec((~e) + (~f)*(~x))^2)^(2*(~p))⨸((~f)* Apart[(~a)*(1 + tan((~e) + (~f)*(~x))^2)^2 + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x))^4]^(~p))* int_and_subst(((~d)*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))*(~x))^(~m)* expand_to_sum((~a)*(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^2 + (~b)*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^4*(~x)^4, (~x))^ (~p)⨸(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^(2*(~p) + 1), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_64") : nothing)
+
+("4_1_7_65",
+@rule ∫(((~!d)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)/2) &&
+    igt((~p), 0) ?
+free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^((~m) + 1)⨸(~f)* int_and_subst(((~d)*(~x))^ (~m)*((~b)*free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)),  (~x))^(~n)*(~x)^(~n) + (~a)*(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^((~n)⨸2))^ (~p)⨸(1 + free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))^2*(~x)^2)^((~n)*(~p)⨸2 + 1), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), "4_1_7_65") : nothing)
+
+("4_1_7_66",
+@rule ∫(((~!d)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(ext_expand(((~d)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*((~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_7_67",
+# @rule ∫(((~!d)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*((~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("4_1_7_68",
+@rule ∫(((~!d)*cot((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^ (~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~d)*cot((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~m))*(tan((~e) + (~f)*(~x))⨸(~d))^fracpart((~m))* ∫((tan((~e) + (~f)*(~x))⨸(~d))^(-(~m))*((~a) + (~b)*((~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_7_69",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^ (~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~m))*(cos((~e) + (~f)*(~x))⨸(~d))^fracpart((~m))* ∫((cos((~e) + (~f)*(~x))⨸(~d))^(-(~m))*((~a) + (~b)*((~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_7_70",
+@rule ∫(((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    ext_isinteger((~n), (~p)) ?
+(~d)^((~n)*(~p))* ∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - (~n)*(~p))*((~b) + (~a)*csc((~e) + (~f)*(~x))^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_7_71",
+@rule ∫(((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^ (~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~m))*(sin((~e) + (~f)*(~x))⨸(~d))^fracpart((~m))* ∫((sin((~e) + (~f)*(~x))⨸(~d))^(-(~m))*((~a) + (~b)*((~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_7_72",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*((~!c)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!d)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~p)^2, 1/4) &&
+    gt((~a), 0) ?
+∫(((~a) + (~b)*(sqrt((~c)^2 + (~d)^2)*sin(atan((~c), (~d)) + (~e) + (~f)*(~x)))^2)^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_7_73",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*((~!c)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)) + (~!d)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~p)^2, 1/4) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+((~a) + (~b)*((~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)) + (~d)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^2)^ (~p)⨸(1 + ((~b)*((~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)) + (~d)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^2)⨸(~a))^(~p)* ∫((1 + ((~b)*((~c)*sin((~e) + (~f)*(~x)) + (~d)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^2)⨸(~a))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.9 trig^m (a+b sin^n+c sin^(2 n))^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.9 trig^m (a+b sin^n+c sin^(2 n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..7b140b28
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.9 trig^m (a+b sin^n+c sin^(2 n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,433 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.1.9 trig^m (a+b sin^n+c sin^(2 n))^p *)
+("4_1_9_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+1⨸(4^(~p)*(~c)^(~p))*∫(((~b) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_2",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+1⨸(4^(~p)*(~c)^(~p))*∫(((~b) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_3",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~b)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~n)))^ (~p)⨸((~b) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p))* ∫((~u)*((~b) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_4",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n) + (~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~n)))^ (~p)⨸((~b) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p))* ∫((~u)*((~b) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_5",
+@rule ∫(1/((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+2*(~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(1⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n)), (~x)) - 2*(~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(1⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_6",
+@rule ∫(1/((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+2*(~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(1⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n)), (~x)) - 2*(~c)⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2)*∫(1⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_7",
+@rule ∫(sin((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+1⨸(4^(~p)*(~c)^(~p))*∫(sin((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~b) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_8",
+@rule ∫(cos((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+1⨸(4^(~p)*(~c)^(~p))*∫(cos((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~b) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_9",
+@rule ∫(sin((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~b)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~n)))^ (~p)⨸((~b) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p))* ∫(sin((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~b) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_10",
+@rule ∫(cos((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n) + (~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~n)))^ (~p)⨸((~b) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p))* ∫(cos((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~b) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_9_11",
+# @rule ∫(sin((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n2))^ (~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+#     eq((~n2), 2*(~n)) &&
+#     ext_isinteger((~m)/2) &&
+#     !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+#     ext_isinteger((~n)/2) &&
+#     ext_isinteger((~p)) ?
+# Module[{(~f) = free_factors(cot((~d) + (~e)*(~x)), (~x))}, -(~f)⨸(~e)* int_and_subst( expand_to_sum((~c) + (~b)*(1 + (~x)^2)^((~n)⨸2) + (~a)*(1 + (~x)^2)^(~n),  (~x))^ (~p)⨸(1 + (~f)^2*(~x)^2)^((~m)⨸2 + (~n)*(~p) + 1), (~x), (~x), cot((~d) + (~e)*(~x))⨸(~f), "4_1_9_11")] : nothing)
+# 
+# ("4_1_9_12",
+# @rule ∫(cos((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n2))^ (~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+#     eq((~n2), 2*(~n)) &&
+#     ext_isinteger((~m)/2) &&
+#     !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+#     ext_isinteger((~n)/2) &&
+#     ext_isinteger((~p)) ?
+# Module[{(~f) = free_factors(tan((~d) + (~e)*(~x)), (~x))}, (~f)⨸(~e)* int_and_subst( expand_to_sum((~c) + (~b)*(1 + (~x)^2)^((~n)⨸2) + (~a)*(1 + (~x)^2)^(~n),  (~x))^ (~p)⨸(1 + (~f)^2*(~x)^2)^((~m)⨸2 + (~n)*(~p) + 1), (~x), (~x), tan((~d) + (~e)*(~x))⨸(~f), "4_1_9_12")] : nothing)
+
+("4_1_9_13",
+@rule ∫(sin((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~n), (~p)) ?
+∫(ext_expand( sin((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~n)))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_14",
+@rule ∫(cos((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~n), (~p)) ?
+∫(ext_expand( cos((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n) + (~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~n)))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_9_15",
+# @rule ∫(cos((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*((~!f)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n) + (~!c)*((~!f)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n2))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     eq((~n2), 2*(~n)) &&
+#     ext_isinteger(((~m) - 1)/2) ?
+# Module[{(~g) = free_factors(sin((~d) + (~e)*(~x)), (~x))}, (~g)⨸(~e)* int_and_subst((1 - (~g)^2*(~x)^2)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*((~f)*(~g)*(~x))^(~n) + (~c)*((~f)*(~g)*(~x))^(2*(~n)))^(~p),  (~x), (~x), sin((~d) + (~e)*(~x))⨸(~g), "4_1_9_15")] : nothing)
+# 
+# ("4_1_9_16",
+# @rule ∫(sin((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*((~!f)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n) + (~!c)*((~!f)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n2))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     eq((~n2), 2*(~n)) &&
+#     ext_isinteger(((~m) - 1)/2) ?
+# Module[{(~g) = free_factors(cos((~d) + (~e)*(~x)), (~x))}, -(~g)⨸(~e)* int_and_subst((1 - (~g)^2*(~x)^2)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*((~f)*(~g)*(~x))^(~n) + (~c)*((~f)*(~g)*(~x))^(2*(~n)))^(~p),  (~x), (~x), cos((~d) + (~e)*(~x))⨸(~g), "4_1_9_16")] : nothing)
+
+("4_1_9_17",
+@rule ∫(cos((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !(ext_isinteger(((~m) - 1)/2)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+1⨸(4^(~p)*(~c)^(~p))*∫(cos((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~b) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_18",
+@rule ∫(sin((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !(ext_isinteger(((~m) - 1)/2)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+1⨸(4^(~p)*(~c)^(~p))*∫(sin((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~b) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_19",
+@rule ∫(cos((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^ (~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !(ext_isinteger(((~m) - 1)/2)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~b)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~n)))^ (~p)⨸((~b) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p))* ∫(cos((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~b) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_20",
+@rule ∫(sin((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^ (~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !(ext_isinteger(((~m) - 1)/2)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n) + (~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~n)))^ (~p)⨸((~b) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p))* ∫(sin((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~b) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_9_21",
+# @rule ∫(cos((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n2))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+#     eq((~n2), 2*(~n)) &&
+#     ext_isinteger((~m)/2) &&
+#     !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+#     ext_isinteger((~n)/2) &&
+#     ext_isinteger((~p)) ?
+# Module[{(~f) = free_factors(cot((~d) + (~e)*(~x)), (~x))}, -(~f)^((~m) + 1)⨸(~e)* int_and_subst( (~x)^(~m)*expand_to_sum((~c) + (~b)*(1 + (~x)^2)^((~n)⨸2) + (~a)*(1 + (~x)^2)^(~n),  (~x))^ (~p)⨸(1 + (~f)^2*(~x)^2)^((~m)⨸2 + (~n)*(~p) + 1), (~x), (~x), cot((~d) + (~e)*(~x))⨸(~f), "4_1_9_21")] : nothing)
+# 
+# ("4_1_9_22",
+# @rule ∫(sin((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n2))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+#     eq((~n2), 2*(~n)) &&
+#     ext_isinteger((~m)/2) &&
+#     !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+#     ext_isinteger((~n)/2) &&
+#     ext_isinteger((~p)) ?
+# Module[{(~f) = free_factors(tan((~d) + (~e)*(~x)), (~x))}, (~f)^((~m) + 1)⨸(~e)* int_and_subst( (~x)^(~m)*expand_to_sum((~c) + (~b)*(1 + (~x)^2)^((~n)⨸2) + (~a)*(1 + (~x)^2)^(~n),  (~x))^ (~p)⨸(1 + (~f)^2*(~x)^2)^((~m)⨸2 + (~n)*(~p) + 1), (~x), (~x), tan((~d) + (~e)*(~x))⨸(~f), "4_1_9_22")] : nothing)
+
+("4_1_9_23",
+@rule ∫(cos((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~n), (~p)) ?
+∫(ext_expand((1 - sin((~d) + (~e)*(~x))^2)^((~m)⨸2)*((~a) + (~b)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~n)))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_24",
+@rule ∫(sin((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~n), (~p)) ?
+∫(ext_expand((1 - cos((~d) + (~e)*(~x))^2)^((~m)⨸2)*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n) + (~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~n)))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_9_25",
+# @rule ∫(tan((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~a) + (~!b)*((~!f)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~n) + (~!c)*((~!f)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n2))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+#     ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+#     ext_isinteger(2*(~p)) ?
+# Module[{(~g) = free_factors(sin((~d) + (~e)*(~x)), (~x))}, (~g)^((~m) + 1)⨸(~e)* int_and_subst( (~x)^(~m)*((~a) + (~b)*((~f)*(~g)*(~x))^(~n) + (~c)*((~f)*(~g)*(~x))^(2*(~n)))^ (~p)⨸(1 - (~g)^2*(~x)^2)^(((~m) + 1)⨸2),  (~x), (~x), sin((~d) + (~e)*(~x))⨸(~g), "4_1_9_25")] : nothing)
+# 
+# ("4_1_9_26",
+# @rule ∫(cot((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~a) + (~!b)*((~!f)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~n) + (~!c)*((~!f)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n2))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+#     ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+#     ext_isinteger(2*(~p)) ?
+# Module[{(~g) = free_factors(cos((~d) + (~e)*(~x)), (~x))}, -(~g)^((~m) + 1)⨸(~e)* int_and_subst( (~x)^(~m)*((~a) + (~b)*((~f)*(~g)*(~x))^(~n) + (~c)*((~f)*(~g)*(~x))^(2*(~n)))^ (~p)⨸(1 - (~g)^2*(~x)^2)^(((~m) + 1)⨸2),  (~x), (~x), cos((~d) + (~e)*(~x))⨸(~g), "4_1_9_26")] : nothing)
+
+("4_1_9_27",
+@rule ∫(tan((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !(ext_isinteger(((~m) - 1)/2)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+1⨸(4^(~p)*(~c)^(~p))*∫(tan((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~b) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_28",
+@rule ∫(cot((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !(ext_isinteger(((~m) - 1)/2)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+1⨸(4^(~p)*(~c)^(~p))*∫(cot((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~b) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_29",
+@rule ∫(tan((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^ (~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !(ext_isinteger(((~m) - 1)/2)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~b)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~n)))^ (~p)⨸((~b) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p))* ∫(tan((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~b) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_30",
+@rule ∫(cot((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^ (~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !(ext_isinteger(((~m) - 1)/2)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n) + (~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~n)))^ (~p)⨸((~b) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p))* ∫(cot((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~b) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_9_31",
+# @rule ∫(tan((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n2))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+#     eq((~n2), 2*(~n)) &&
+#     !(ext_isinteger(((~m) - 1)/2)) &&
+#     !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+#     ext_isinteger((~n)/2) &&
+#     ext_isinteger((~p)) ?
+# Module[{(~f) = free_factors(tan((~d) + (~e)*(~x)), (~x))}, (~f)^((~m) + 1)⨸(~e)* int_and_subst( (~x)^(~m)*expand_to_sum( (~c)*(~x)^(2*(~n)) + (~b)*(~x)^(~n)*(1 + (~x)^2)^((~n)⨸2) + (~a)*(1 + (~x)^2)^(~n),  (~x))^ (~p)⨸(1 + (~f)^2*(~x)^2)^((~n)*(~p) + 1), (~x), (~x), tan((~d) + (~e)*(~x))⨸(~f), "4_1_9_31")] : nothing)
+# 
+# ("4_1_9_32",
+# @rule ∫(cot((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n2))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+#     eq((~n2), 2*(~n)) &&
+#     !(ext_isinteger(((~m) - 1)/2)) &&
+#     !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+#     ext_isinteger((~n)/2) &&
+#     ext_isinteger((~p)) ?
+# Module[{(~f) = free_factors(cot((~d) + (~e)*(~x)), (~x))}, -(~f)^((~m) + 1)⨸(~e)* int_and_subst( (~x)^(~m)*expand_to_sum( (~c)*(~x)^(2*(~n)) + (~b)*(~x)^(~n)*(1 + (~x)^2)^((~n)⨸2) + (~a)*(1 + (~x)^2)^(~n),  (~x))^ (~p)⨸(1 + (~f)^2*(~x)^2)^((~n)*(~p) + 1), (~x), (~x), cot((~d) + (~e)*(~x))⨸(~f), "4_1_9_32")] : nothing)
+
+("4_1_9_33",
+@rule ∫(tan((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~n), (~p)) ?
+∫(ext_expand( sin((~d) + (~e)*(~x))^ (~m)*((~a) + (~b)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~n)))^ (~p)⨸(1 - sin((~d) + (~e)*(~x))^2)^((~m)⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_34",
+@rule ∫(cot((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~n), (~p)) ?
+∫(ext_expand( cos((~d) + (~e)*(~x))^ (~m)*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n) + (~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~n)))^ (~p)⨸(1 - cos((~d) + (~e)*(~x))^2)^((~m)⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_9_35",
+# @rule ∫(cot((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~a) + (~!b)*((~!f)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~n) + (~!c)*((~!f)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n2))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+#     ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+#     ext_isinteger(2*(~p)) ?
+# Module[{(~g) = free_factors(sin((~d) + (~e)*(~x)), (~x))}, (~g)^((~m) + 1)⨸(~e)* int_and_subst((1 - (~g)^2*(~x)^2)^(((~m) - 1)⨸ 2)*((~a) + (~b)*((~f)*(~g)*(~x))^(~n) + (~c)*((~f)*(~g)*(~x))^(2*(~n)))^(~p)⨸(~x)^(~m),  (~x), (~x), sin((~d) + (~e)*(~x))⨸(~g), "4_1_9_35")] : nothing)
+# 
+# ("4_1_9_36",
+# @rule ∫(tan((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~a) + (~!b)*((~!f)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~n) + (~!c)*((~!f)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n2))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+#     ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+#     ext_isinteger(2*(~p)) ?
+# Module[{(~g) = free_factors(cos((~d) + (~e)*(~x)), (~x))}, -(~g)^((~m) + 1)⨸(~e)* int_and_subst((1 - (~g)^2*(~x)^2)^(((~m) - 1)⨸ 2)*((~a) + (~b)*((~f)*(~g)*(~x))^(~n) + (~c)*((~f)*(~g)*(~x))^(2*(~n)))^(~p)⨸(~x)^(~m),  (~x), (~x), cos((~d) + (~e)*(~x))⨸(~g), "4_1_9_36")] : nothing)
+
+("4_1_9_37",
+@rule ∫(cot((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !(ext_isinteger(((~m) - 1)/2)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+1⨸(4^(~p)*(~c)^(~p))*∫(cot((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~b) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_38",
+@rule ∫(tan((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^ (~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !(ext_isinteger(((~m) - 1)/2)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+1⨸(4^(~p)*(~c)^(~p))*∫(tan((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~b) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_39",
+@rule ∫(cot((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^ (~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !(ext_isinteger(((~m) - 1)/2)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~b)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~n)))^ (~p)⨸((~b) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p))* ∫(cot((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~b) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_40",
+@rule ∫(tan((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^ (~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    !(ext_isinteger(((~m) - 1)/2)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n) + (~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~n)))^ (~p)⨸((~b) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p))* ∫(tan((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~b) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_1_9_41",
+# @rule ∫(cot((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n2))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+#     eq((~n2), 2*(~n)) &&
+#     ext_isinteger((~n)/2) &&
+#     ext_isinteger((~p)) ?
+# Module[{(~f) = free_factors(cot((~d) + (~e)*(~x)), (~x))}, -(~f)^((~m) + 1)⨸(~e)* int_and_subst( (~x)^(~m)*expand_to_sum((~c) + (~b)*(1 + (~f)^2*(~x)^2)^((~n)⨸2) + (~a)*(1 + (~f)^2*(~x)^2)^(~n),  (~x))^(~p)⨸(1 + (~f)^2*(~x)^2)^((~n)*(~p) + 1), (~x), (~x), cot((~d) + (~e)*(~x))⨸(~f), "4_1_9_41")] : nothing)
+# 
+# ("4_1_9_42",
+# @rule ∫(tan((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n2))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+#     eq((~n2), 2*(~n)) &&
+#     ext_isinteger((~n)/2) &&
+#     ext_isinteger((~p)) ?
+# Module[{(~f) = free_factors(tan((~d) + (~e)*(~x)), (~x))}, (~f)^((~m) + 1)⨸(~e)* int_and_subst( (~x)^(~m)*expand_to_sum((~c) + (~b)*(1 + (~f)^2*(~x)^2)^((~n)⨸2) + (~a)*(1 + (~f)^2*(~x)^2)^(~n),  (~x))^(~p)⨸(1 + (~f)^2*(~x)^2)^((~n)*(~p) + 1), (~x), (~x), tan((~d) + (~e)*(~x))⨸(~f), "4_1_9_42")] : nothing)
+
+("4_1_9_43",
+@rule ∫(cot((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~n), (~p)) ?
+∫(ext_expand((1 - sin((~d) + (~e)*(~x))^2)^((~m)⨸ 2)*((~a) + (~b)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~n)))^(~p)⨸ sin((~d) + (~e)*(~x))^(~m), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_44",
+@rule ∫(tan((~!d) + (~!e)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n2))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~n2), 2*(~n)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~n), (~p)) ?
+∫(ext_expand((1 - cos((~d) + (~e)*(~x))^2)^((~m)⨸ 2)*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n) + (~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^(2*(~n)))^(~p)⨸ cos((~d) + (~e)*(~x))^(~m), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_45",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^2)^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+1⨸(4^(~n)*(~c)^(~n))* ∫(((~A) + (~B)*sin((~d) + (~e)*(~x)))*((~b) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^(2*(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_46",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^2)^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+1⨸(4^(~n)*(~c)^(~n))* ∫(((~A) + (~B)*cos((~d) + (~e)*(~x)))*((~b) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x)))^(2*(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_47",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^2)^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+((~a) + (~b)*sin((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^2)^ (~n)⨸((~b) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^(2*(~n))* ∫(((~A) + (~B)*sin((~d) + (~e)*(~x)))*((~b) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^(2*(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_48",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^2)^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^2)^ (~n)⨸((~b) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x)))^(2*(~n))* ∫(((~A) + (~B)*cos((~d) + (~e)*(~x)))*((~b) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x)))^(2*(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_49",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+((~B) + ((~b)*(~B) - 2*(~A)*(~c))⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*∫(1⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))), (~x)) + ((~B) - ((~b)*(~B) - 2*(~A)*(~c))⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*∫(1⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_50",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ?
+((~B) + ((~b)*(~B) - 2*(~A)*(~c))⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*∫(1⨸((~b) + rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))), (~x)) + ((~B) - ((~b)*(~B) - 2*(~A)*(~c))⨸rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2))*∫(1⨸((~b) - rt((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 2) + 2*(~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_51",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~!a) + (~!b)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^2)^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+∫(ext_expand(((~A) + (~B)*sin((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*sin((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*sin((~d) + (~e)*(~x))^2)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_1_9_52",
+@rule ∫(((~A) + (~!B)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))*((~!a) + (~!b)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)) + (~!c)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^2)^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~A), (~B), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+∫(ext_expand(((~A) + (~B)*cos((~d) + (~e)*(~x)))*((~a) + (~b)*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~c)*cos((~d) + (~e)*(~x))^2)^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.1.1 (a+b tan)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.1.1 (a+b tan)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..3985b381
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.1.1 (a+b tan)^n.jl	
@@ -0,0 +1,87 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.3.1.1 (a+b tan)^n *)
+("4_3_1_1_1",
+@rule ∫(((~!b)*tan((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    gt((~n), 1) ?
+(~b)*((~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~d)*((~n) - 1)) - (~b)^2*∫(((~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_1_2",
+@rule ∫(((~!b)*tan((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) ?
+((~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~d)*((~n) + 1)) - 1⨸(~b)^2*∫(((~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_1_3",
+@rule ∫(tan((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~x)) ?
+-log(cos((~c) + (~d)*(~x)))⨸(~d) : nothing)
+
+#(* Int[1/tan[c_.+d_.*x_],x_Symbol] := Log[RemoveContent[Sin[c+d*x],x]]/d /; FreeQ[{c,d},x] *)
+("4_3_1_1_4",
+@rule ∫(((~!b)*tan((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+(~b)⨸(~d)*int_and_subst((~x)^(~n)⨸((~b)^2 + (~x)^2),  (~x), (~x), (~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)), "4_3_1_1_4") : nothing)
+
+("4_3_1_1_5",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*tan((~!c) + (~!d)*(~x)))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) ?
+((~a)^2 - (~b)^2)*(~x) + (~b)^2*tan((~c) + (~d)*(~x))⨸(~d) + 2*(~a)*(~b)*∫(tan((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(a_+b_.*tan[c_.+d_.*x_])^n_,x_Symbol] := Int[ExpandIntegrand[(a+b*Tan[c+d*x])^n,x],x] /; FreeQ[{a,b,c,d},x] && IGtQ[n,0] *)
+("4_3_1_1_6",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*tan((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) ?
+(~b)*((~a) + (~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~d)*((~n) - 1)) + 2*(~a)*∫(((~a) + (~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_1_7",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*tan((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), 0) ?
+(~a)*((~a) + (~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)⨸(2*(~b)*(~d)*(~n)) + 1⨸(2*(~a))*∫(((~a) + (~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_1_8",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*tan((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+-2*(~b)⨸(~d)*int_and_subst(1⨸(2*(~a) - (~x)^2),  (~x), (~x), sqrt((~a) + (~b)*tan((~c) + (~d)*(~x))), "4_3_1_1_8") : nothing)
+
+("4_3_1_1_9",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*tan((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+-(~b)⨸(~d)*int_and_subst(((~a) + (~x))^((~n) - 1)⨸((~a) - (~x)),  (~x), (~x), (~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)), "4_3_1_1_9") : nothing)
+
+("4_3_1_1_10",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*tan((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) ?
+(~b)*((~a) + (~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~d)*((~n) - 1)) + ∫(((~a)^2 - (~b)^2 + 2*(~a)*(~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)))*((~a) + (~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_1_11",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*tan((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+(~b)*((~a) + (~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~d)*((~n) + 1)*((~a)^2 + (~b)^2)) + 1⨸((~a)^2 + (~b)^2)* ∫(((~a) - (~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)))*((~a) + (~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_1_12",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*tan((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+(~a)*(~x)⨸((~a)^2 + (~b)^2) + (~b)⨸((~a)^2 + (~b)^2)*∫(((~b) - (~a)*tan((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~a) + (~b)*tan((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_1_13",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*tan((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+(~b)⨸(~d)*int_and_subst(((~a) + (~x))^(~n)⨸((~b)^2 + (~x)^2),  (~x), (~x), (~b)*tan((~c) + (~d)*(~x)), "4_3_1_1_13") : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.1.2 (d sec)^m (a+b tan)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.1.2 (d sec)^m (a+b tan)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..9cb713dd
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.1.2 (d sec)^m (a+b tan)^n.jl	
@@ -0,0 +1,248 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.3.1.2 (d sec)^m (a+b tan)^n *)
+("4_3_1_2_1",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~m)) ||
+        !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0)
+    ) ?
+(~b)*((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~f)*(~m)) + (~a)*∫(((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_2",
+@rule ∫(sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) ?
+1⨸((~a)^((~m) - 2)*(~b)*(~f))* int_and_subst(((~a) - (~x))^((~m)⨸2 - 1)*((~a) + (~x))^((~n) + (~m)⨸2 - 1),  (~x), (~x), (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)), "4_3_1_2_2") : nothing)
+
+("4_3_1_2_3",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    eq(simplify((~m) + (~n)), 0) ?
+(~b)*((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a)*(~f)*(~m)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_4",
+@rule ∫(sec((~!e) + (~!f)*(~x))/sqrt((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+-2*(~a)⨸((~b)*(~f))* int_and_subst(1⨸(2 - (~a)*(~x)^2),  (~x), (~x), sec((~e) + (~f)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x))), "4_3_1_2_4") : nothing)
+
+("4_3_1_2_5",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    eq((~m)/2 + (~n), 0) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~b)*((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a)*(~f)*(~m)) + (~a)⨸(2*(~d)^2)* ∫(((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_6",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    eq((~m)/2 + (~n), 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+2*(~d)^2*((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)* (~f)*((~m) - 2)) + 2*(~d)^2⨸(~a)* ∫(((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_7",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    eq(simplify((~m)/2 + (~n)), 0) ?
+((~a)⨸(~d))^(2*intpart((~n)))*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^ fracpart((~n))*((~a) - (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^ fracpart((~n))⨸((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(2*fracpart((~n)))* ∫(1⨸((~a) - (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_8",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    eq(simplify((~m)/2 + (~n) - 1), 0) ?
+2*(~b)*((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*(~m)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_9",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    igt(simplify((~m)/2 + (~n) - 1), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+(~b)*((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*((~m) + (~n) - 1)) + (~a)*((~m) + 2*(~n) - 2)⨸((~m) + (~n) - 1)* ∫(((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_10",
+@rule ∫(sqrt((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))*sqrt((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+-4*(~b)*(~d)^2⨸(~f)* int_and_subst((~x)^2⨸((~a)^2 + (~d)^2*(~x)^4),  (~x), (~x), sqrt((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x))), "4_3_1_2_10") : nothing)
+
+("4_3_1_2_11",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    (
+        igt((~n)/2, 0) &&
+        ilt((~m) - 1/2, 0) ||
+        eq((~n), 2) &&
+        lt((~m), 0) ||
+        le((~m), -1) &&
+        gt((~m) + (~n), 0) ||
+        ilt((~m), 0) &&
+        lt((~m)/2 + (~n) - 1, 0) &&
+        ext_isinteger((~n)) ||
+        eq((~n), 3/2) &&
+        eq((~m), -1/2)
+    ) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+2*(~b)*((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*(~m)) - (~b)^2*((~m) + 2*(~n) - 2)⨸((~d)^2*(~m))* ∫(((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_12",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~b)*((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a)*(~f)*(~m)) + (~a)*((~m) + (~n))⨸((~m)*(~d)^2)* ∫(((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_13",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n) - 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~b)*((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*((~m) + (~n) - 1)) + (~a)*((~m) + 2*(~n) - 2)⨸((~m) + (~n) - 1)* ∫(((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_14",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)/sqrt((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+(~d)*sec((~e) + (~f)*(~x))⨸(sqrt((~a) - (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x))))* ∫(sqrt((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~a) - (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_15",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    (
+        ilt((~n)/2, 0) &&
+        igt((~m) - 1/2, 0) ||
+        eq((~n), -2) ||
+        igt((~m) + (~n), 0) ||
+        ext_isinteger((~n), (~m) + 1/2) &&
+        gt(2*(~m) + (~n) + 1, 0)
+    ) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+2*(~d)^2*((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)* (~f)*((~m) + 2*(~n))) - (~d)^2*((~m) - 2)⨸((~b)^2*((~m) + 2*(~n)))* ∫(((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_16",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), 0) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !(ilt((~m) + (~n), 0)) &&
+    !eq((~m) + (~n) - 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~d)^2*((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)* (~f)*((~m) + (~n) - 1)) + (~d)^2*((~m) - 2)⨸((~a)*((~m) + (~n) - 1))* ∫(((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_17",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~n), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~a)*((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~b)*(~f)*((~m) + 2*(~n))) + simplify((~m) + (~n))⨸((~a)*((~m) + 2*(~n)))* ∫(((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_18",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    igt(simplify((~m) + (~n) - 1), 0) &&
+    isrational((~n)) ?
+(~b)*((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*simplify((~m) + (~n) - 1)) + (~a)*((~m) + 2*(~n) - 2)⨸simplify((~m) + (~n) - 1)* ∫(((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_19",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    ilt(simplify((~m) + (~n)), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~n), 0) ?
+(~a)*((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~b)*(~f)*((~m) + 2*(~n))) + simplify((~m) + (~n))⨸((~a)*((~m) + 2*(~n)))* ∫(((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(d_.*sec[e_.+f_.*x_])^m_.*(a_+b_.*tan[e_.+f_.*x_])^n_,x_Symbol]  := a^n*(d*Sec[e+f*x])^m/(b*f*(Sec[e+f*x]^2)^(m/2))*Subst[Int[(1+x/a)^( n+m/2-1)*(1-x/a)^(m/2-1),x],x,b*Tan[e+f*x]] /; FreeQ[{a,b,d,e,f,m},x] && EqQ[a^2+b^2,0] && IntegerQ[n] *)
+#(* Int[(d_.*sec[e_.+f_.*x_])^m_.*(a_+b_.*tan[e_.+f_.*x_])^n_,x_Symbol]  := (d*Sec[e+f*x])^m/(b*f*(Sec[e+f*x]^2)^(m/2))*Subst[Int[(a+x)^n*(1+x^ 2/b^2)^(m/2-1),x],x,b*Tan[e+f*x]] /; FreeQ[{a,b,d,e,f,m,n},x] && EqQ[a^2+b^2,0] *)
+("4_3_1_2_20",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)⨸(((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)⨸2)*((~a) - (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)⨸2))* ∫(((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)⨸2 + (~n))*((~a) - (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~m)⨸2), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_21",
+@rule ∫(sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) ?
+1⨸((~b)*(~f))* int_and_subst(((~a) + (~x))^(~n)*(1 + (~x)^2⨸(~b)^2)^((~m)⨸2 - 1),  (~x), (~x), (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)), "4_3_1_2_21") : nothing)
+
+("4_3_1_2_22",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^2/sec((~!e) + (~!f)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+(~b)^2*atanh(sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸(~f) - 2*(~a)*(~b)*cos((~e) + (~f)*(~x))⨸(~f) + ((~a)^2 - (~b)^2)*sin((~e) + (~f)*(~x))⨸(~f) : nothing)
+
+("4_3_1_2_23",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+(~b)*((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~f)*((~m) + 1)) + 1⨸((~m) + 1)* ∫(((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~a)^2*((~m) + 1) - (~b)^2 + (~a)*(~b)*((~m) + 2)*tan((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_24",
+@rule ∫(sec((~!e) + (~!f)*(~x))/((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+-1⨸(~f)*int_and_subst(1⨸((~a)^2 + (~b)^2 - (~x)^2),  (~x), (~x), ((~b) - (~a)*tan((~e) + (~f)*(~x)))⨸sec((~e) + (~f)*(~x)), "4_3_1_2_24") : nothing)
+
+("4_3_1_2_25",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)/((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    igt((~m), 1) ?
+-(~d)^2⨸(~b)^2*∫(((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~a) - (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + (~d)^2*((~a)^2 + (~b)^2)⨸(~b)^2* ∫(((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)⨸((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_26",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)/((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    ilt((~m), 0) ?
+1⨸((~a)^2 + (~b)^2)*∫(((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) - (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + (~b)^2⨸((~d)^2*((~a)^2 + (~b)^2))* ∫(((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)⨸((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_27",
+@rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m)/2)) ?
+(~d)^(2*intpart((~m)⨸2))*((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(2*fracpart((~m)⨸2))⨸((~b)* (~f)*(sec((~e) + (~f)*(~x))^2)^fracpart((~m)⨸2))* int_and_subst(((~a) + (~x))^(~n)*(1 + (~x)^2⨸(~b)^2)^((~m)⨸2 - 1),  (~x), (~x), (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)), "4_3_1_2_27") : nothing)
+
+("4_3_1_2_28",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))/sqrt((~!d)*cos((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+-4*(~b)⨸(~f)* int_and_subst((~x)^2⨸((~a)^2*(~d)^2 + (~x)^4),  (~x), (~x), sqrt((~d)*cos((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x))), "4_3_1_2_28") : nothing)
+
+("4_3_1_2_29",
+@rule ∫(1/(((~!d)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)* sqrt((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 + (~b)^2, 0) ?
+1⨸((~d)*cos((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~a) - (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x))))* ∫(sqrt((~a) - (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~d)*cos((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_2_30",
+@rule ∫(((~!d)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~d)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)* ∫(((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.1.3 (d sin)^m (a+b tan)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.1.3 (d sin)^m (a+b tan)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..1f8042fe
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.1.3 (d sin)^m (a+b tan)^n.jl	
@@ -0,0 +1,49 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.3.1.3 (d sin)^m (a+b tan)^n *)
+("4_3_1_3_1",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) ?
+(~b)⨸(~f)*int_and_subst((~x)^(~m)*((~a) + (~x))^(~n)⨸((~b)^2 + (~x)^2)^((~m)⨸2 + 1),  (~x), (~x), (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)), "4_3_1_3_1") : nothing)
+
+("4_3_1_3_2",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+    igt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand(sin((~e) + (~f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_3_3",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+    ilt((~n), 0) &&
+    (
+        lt((~m), 5) &&
+        gt((~n), -4) ||
+        eq((~m), 5) &&
+        eq((~n), -1)
+    ) ?
+∫(sin((~e) + (~f)*(~x))^(~m)*((~a)*cos((~e) + (~f)*(~x)) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸ cos((~e) + (~f)*(~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_3_4",
+@rule ∫(((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~m))*(sin((~e) + (~f)*(~x))⨸(~d))^fracpart((~m))* ∫(((~a) + (~b)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸(sin((~e) + (~f)*(~x))⨸(~d))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_3_5",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)* sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p)*((~a) + (~!b)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+∫(cos((~e) + (~f)*(~x))^((~m) - (~n))* sin((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~a)*cos((~e) + (~f)*(~x)) + (~b)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_3_1_3_6",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)* cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p)*((~a) + (~!b)*cot((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+∫(sin((~e) + (~f)*(~x))^((~m) - (~n))* cos((~e) + (~f)*(~x))^(~p)*((~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)) + (~b)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.1 (a+b sec)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.1 (a+b sec)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..9164483a
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.1 (a+b sec)^n.jl	
@@ -0,0 +1,145 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.5.1.1 (a+b sec)^n *)
+("4_5_1_1_1",
+@rule ∫(csc((~!c) + (~!d)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~x)) &&
+    igt((~n)/2, 0) ?
+-1⨸(~d)*int_and_subst(ext_expand((1 + (~x)^2)^((~n)⨸2 - 1),  (~x)), (~x), (~x), cot((~c) + (~d)*(~x)), "4_5_1_1_1") : nothing)
+
+("4_5_1_1_2",
+@rule ∫(((~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+-(~b)*cos((~c) + (~d)*(~x))*((~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~d)*((~n) - 1)) + (~b)^2*((~n) - 2)⨸((~n) - 1)*∫(((~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_1_3",
+@rule ∫(((~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+cos((~c) + (~d)*(~x))*((~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~d)*(~n)) + ((~n) + 1)⨸((~b)^2*(~n))*∫(((~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+#(* original line: Int[csc[c_. + d_.*x_], x_Symbol] := (* -ArcCoth[Cos[c+d*x]]/d /; *) -ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d /; FreeQ[{c, d}, x] *)
+("4_5_1_1_4",
+@rule ∫(csc((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~x)) ?
+-atanh(cos((~c) + (~d)*(~x)))⨸(~d) : nothing)
+
+("4_5_1_1_4_1",
+@rule ∫(sec((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~x)) ?
+atanh(sin((~c) + (~d)*(~x)))⨸(~d) : nothing)
+
+#(* Int[1/csc[c_.+d_.*x_],x_Symbol] := -Cos[c+d*x]/d /; FreeQ[{c,d},x] *)
+("4_5_1_1_5",
+@rule ∫(((~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~n)^2, 1/4) ?
+((~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)*sin((~c) + (~d)*(~x))^(~n)*∫(1⨸sin((~c) + (~d)*(~x))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_1_6",
+@rule ∫(((~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+((~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 1)*((sin((~c) + (~d)*(~x))⨸(~b))^((~n) - 1)* ∫(1⨸(sin((~c) + (~d)*(~x))⨸(~b))^(~n), (~x))) : nothing)
+
+("4_5_1_1_7",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) ?
+(~a)^2*(~x) + 2*(~a)*(~b)*∫(csc((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) + (~b)^2*∫(csc((~c) + (~d)*(~x))^2, (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_1_8",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-2*(~b)⨸(~d)* int_and_subst(1⨸((~a) + (~x)^2),  (~x), (~x), (~b)*cot((~c) + (~d)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x))), "4_5_1_1_8") : nothing)
+
+("4_5_1_1_9",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+-(~b)^2*cot((~c) + (~d)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 2)⨸((~d)*((~n) - 1)) + (~a)⨸((~n) - 1)* ∫(((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 2)*((~a)*((~n) - 1) + (~b)*(3*(~n) - 4)*csc((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_1_10",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+1⨸(~a)*∫(sqrt((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) - (~b)⨸(~a)*∫(csc((~c) + (~d)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_1_11",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    le((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+-cot((~c) + (~d)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)⨸((~d)*(2*(~n) + 1)) + 1⨸((~a)^2*(2*(~n) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1)*((~a)*(2*(~n) + 1) - (~b)*((~n) + 1)*csc((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_1_12",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~n))) &&
+    gt((~a), 0) ?
+(~a)^(~n)*cot( (~c) + (~d)*(~x))⨸((~d)*sqrt(1 + csc((~c) + (~d)*(~x)))*sqrt(1 - csc((~c) + (~d)*(~x))))* int_and_subst((1 + (~b)*(~x)⨸(~a))^((~n) - 1⨸2)⨸((~x)*sqrt(1 - (~b)*(~x)⨸(~a))),  (~x), (~x), csc((~c) + (~d)*(~x)), "4_5_1_1_12") : nothing)
+
+("4_5_1_1_13",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~n))) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+(~a)^intpart((~n))*((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^ fracpart((~n))⨸(1 + (~b)⨸(~a)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^fracpart((~n))* ∫((1 + (~b)⨸(~a)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_1_14",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+2*((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~d)*rt((~a) + (~b), 2)*cot((~c) + (~d)*(~x)))* sqrt((~b)*(1 + csc((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x))))* sqrt(-(~b)*(1 - csc((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x))))* elliptic_pi((~a)⨸((~a) + (~b)), asin(rt((~a) + (~b), 2)⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))), ((~a) - (~b))⨸((~a) + (~b))) : nothing)
+
+("4_5_1_1_15",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+∫(((~a)^2 + (~b)*(2*(~a) - (~b))*csc((~c) + (~d)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) + (~b)^2* ∫(csc((~c) + (~d)*(~x))*(1 + csc((~c) + (~d)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_1_16",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 2) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+-(~b)^2*cot((~c) + (~d)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 2)⨸((~d)*((~n) - 1)) + 1⨸((~n) - 1)*∫(((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) - 3)* simp((~a)^3*((~n) - 1) + ((~b)*((~b)^2*((~n) - 2) + 3*(~a)^2*((~n) - 1)))* csc((~c) + (~d)*(~x)) + ((~a)*(~b)^2*(3*(~n) - 4))*csc((~c) + (~d)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_1_17",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~x)⨸(~a) - 1⨸(~a)*∫(1⨸(1 + (~a)⨸(~b)*sin((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_1_18",
+@rule ∫(1/sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+2*rt((~a) + (~b), 2)⨸((~a)*(~d)*cot((~c) + (~d)*(~x)))* sqrt((~b)*(1 - csc((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~a) + (~b)))* sqrt(-(~b)*(1 + csc((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~a) - (~b)))* elliptic_pi(((~a) + (~b))⨸(~a), asin(sqrt((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))⨸rt((~a) + (~b), 2)), ((~a) + (~b))⨸((~a) - (~b))) : nothing)
+
+("4_5_1_1_19",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+(~b)^2*cot( (~c) + (~d)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~a)*(~d)*((~n) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) + 1⨸((~a)*((~n) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^((~n) + 1)* simp(((~a)^2 - (~b)^2)*((~n) + 1) - (~a)*(~b)*((~n) + 1)*csc((~c) + (~d)*(~x)) + (~b)^2*((~n) + 2)*csc((~c) + (~d)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_5_1_1_20",
+# @rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+#     !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+#     !(ext_isinteger(2*(~n))) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.2 (d sec)^n (a+b sec)^m.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.2 (d sec)^n (a+b sec)^m.jl
new file mode 100644
index 00000000..555e05f3
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.2 (d sec)^n (a+b sec)^m.jl	
@@ -0,0 +1,663 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.5.1.2 (d sec)^n (a+b sec)^m *)
+("4_5_1_2_1",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) ?
+(~a)*∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) + (~b)⨸(~d)*∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_2",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^2*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) ?
+2*(~a)*(~b)⨸(~d)*∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) + ∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~a)^2 + (~b)^2*csc((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_3",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))^2/((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) ?
+1⨸(~b)*∫(csc((~e) + (~f)*(~x)), (~x)) - (~a)⨸(~b)*∫(csc((~e) + (~f)*(~x))⨸((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_4",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))^3/((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) ?
+-cot((~e) + (~f)*(~x))⨸((~b)*(~f)) - (~a)⨸(~b)*∫(csc((~e) + (~f)*(~x))^2⨸((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_5",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    isrational((~n)) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_6",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))*sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-2*(~b)*cot((~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_5_1_2_7",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 1/2) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+-(~b)*cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)⨸((~f)*(~m)) + (~a)*(2*(~m) - 1)⨸(~m)*∫(csc((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_8",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))/((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-cot((~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*((~b) + (~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_5_1_2_9",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))/sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-2⨸(~f)*int_and_subst(1⨸(2*(~a) + (~x)^2),  (~x), (~x), (~b)*cot((~e) + (~f)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), "4_5_1_2_9") : nothing)
+
+("4_5_1_2_10",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1/2) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+(~b)*cot( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) + 1)) + ((~m) + 1)⨸((~a)*(2*(~m) + 1))* ∫(csc((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_11",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1/2) ?
+-cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~f)*(2*(~m) + 1)) + (~m)⨸((~b)*(2*(~m) + 1))* ∫(csc((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_12",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1/2)) ?
+-cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~f)*((~m) + 1)) + (~a)*(~m)⨸((~b)*((~m) + 1))*∫(csc((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_13",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))^3*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1/2) ?
+(~b)*cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) + 1)) - 1⨸((~a)^2*(2*(~m) + 1))* ∫(csc((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~a)*(~m) - (~b)*(2*(~m) + 1)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_14",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))^3*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1/2)) ?
+-cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~m) + 2)) + 1⨸((~b)*((~m) + 2))* ∫(csc((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~b)*((~m) + 1) - (~a)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_15",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))*sqrt((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~a)*(~d)/(~b), 0) ?
+-2*(~a)⨸((~b)*(~f))*sqrt((~a)*(~d)⨸(~b))* int_and_subst(1⨸sqrt(1 + (~x)^2⨸(~a)),  (~x), (~x), (~b)*cot((~e) + (~f)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), "4_5_1_2_15") : nothing)
+
+("4_5_1_2_16",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))*sqrt((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(gt((~a)*(~d)/(~b), 0)) ?
+-2*(~b)*(~d)⨸(~f)* int_and_subst(1⨸((~b) - (~d)*(~x)^2),  (~x), (~x), (~b)*cot((~e) + (~f)*(~x))⨸(sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))), "4_5_1_2_16") : nothing)
+
+("4_5_1_2_17",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+-2*(~b)*(~d)* cot((~e) + (~f)*(~x))*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*(2*(~n) - 1)* sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))) + 2*(~a)*(~d)*((~n) - 1)⨸((~b)*(2*(~n) - 1))* ∫(sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_18",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))/sqrt((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-2*(~a)*cot( (~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_5_1_2_19",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1/2) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+(~a)*cot( (~e) + (~f)*(~x))*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*(~n)*sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))) + (~a)*(2*(~n) + 1)⨸(2*(~b)*(~d)*(~n))* ∫(sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_20",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~a)^2*(~d)* cot((~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~a) - (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))))* int_and_subst(((~d)*(~x))^((~n) - 1)⨸sqrt((~a) - (~b)*(~x)),  (~x), (~x), csc((~e) + (~f)*(~x)), "4_5_1_2_20") : nothing)
+
+("4_5_1_2_21",
+@rule ∫(sqrt((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))/sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~d) - (~a)/(~b), 0) &&
+    gt((~a), 0) ?
+-sqrt(2)*sqrt((~a))⨸((~b)*(~f))* int_and_subst(1⨸sqrt(1 + (~x)^2),  (~x), (~x), (~b)*cot((~e) + (~f)*(~x))⨸((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), "4_5_1_2_21") : nothing)
+
+("4_5_1_2_22",
+@rule ∫(sqrt((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))/sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-2*(~b)*(~d)⨸((~a)*(~f))* int_and_subst(1⨸(2*(~b) - (~d)*(~x)^2),  (~x), (~x), (~b)*cot((~e) + (~f)*(~x))⨸(sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))), "4_5_1_2_22") : nothing)
+
+("4_5_1_2_23",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) &&
+    gt((~m), 1/2) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+-(~a)*cot( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~f)*(~m)) + (~b)*(2*(~m) - 1)⨸((~d)*(~m))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_24",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) &&
+    lt((~m), -1/2) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+(~b)*(~d)*cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) + 1)) + (~d)*((~m) + 1)⨸((~b)*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_25",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~m) + (~n) + 1, 0) &&
+    lt((~m), -1/2) ?
+-cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*(2*(~m) + 1)) + (~m)⨸((~a)*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_26",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    eq((~m) + (~n) + 1, 0) &&
+    !(lt((~m), -1/2)) ?
+-cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*((~m) + 1)) + (~a)*(~m)⨸((~b)*(~d)*((~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_27",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    (
+        lt((~n), -1) ||
+        eq((~m), 3/2) &&
+        eq((~n), -1/2)
+    ) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+(~b)^2*cot( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~f)*(~n)) - (~a)⨸((~d)*(~n))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)*((~b)*((~m) - 2*(~n) - 2) - (~a)*((~m) + 2*(~n) - 1)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_28",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) + (~n) - 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+-(~b)^2*cot( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~f)*((~m) + (~n) - 1)) + (~b)⨸((~m) + (~n) - 1)* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~b)*((~m) + 2*(~n) - 1) + (~a)*(3*(~m) + 2*(~n) - 4)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_29",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    lt(1, (~n), 2) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+(~b)*(~d)*cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~a)*(~f)*(2*(~m) + 1)) - (~d)⨸((~a)*(~b)*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)*((~a)*((~n) - 1) - (~b)*((~m) + (~n))*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_30",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    gt((~n), 2) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+-(~d)^2*cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)⨸((~f)*(2*(~m) + 1)) + (~d)^2⨸((~a)*(~b)*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)*((~b)*((~n) - 2) + (~a)*((~m) - (~n) + 2)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_31",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    (
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ||
+        ext_isinteger((~m))
+    ) ?
+-cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*(2*(~m) + 1)) + 1⨸((~a)^2*(2*(~m) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)*((~a)*(2*(~m) + (~n) + 1) - (~b)*((~m) + (~n) + 1)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_32",
+@rule ∫(((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) ?
+(~d)^2*cot( (~e) + (~f)*(~x))*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)⨸((~f)*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))) - (~d)^2⨸((~a)*(~b))* ∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)*((~b)*((~n) - 2) - (~a)*((~n) - 1)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_33",
+@rule ∫(((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), 0) ?
+cot((~e) + (~f)*(~x))*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))) - 1⨸(~a)^2*∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)*((~a)*((~n) - 1) - (~b)*(~n)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_34",
+@rule ∫(((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-(~b)*(~d)*cot( (~e) + (~f)*(~x))*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~a)*(~f)*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))) + (~d)*((~n) - 1)⨸((~a)*(~b))* ∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)*((~a) - (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_35",
+@rule ∫(((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)/sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~d)⨸(~b)*∫(sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - (~a)*(~d)⨸(~b)*∫(sqrt((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_36",
+@rule ∫(((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 2) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+-2*(~d)^2* cot((~e) + (~f)*(~x))*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)⨸((~f)*(2*(~n) - 3)* sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))) + (~d)^2⨸((~b)*(2*(~n) - 3))* ∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)*(2*(~b)*((~n) - 2) - (~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸ sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_37",
+@rule ∫(((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+cot((~e) + (~f)*(~x))*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*(~n)*sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))) + 1⨸(2*(~b)*(~d)*(~n))* ∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)*((~a) + (~b)*(2*(~n) + 1)*csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸ sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_38",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 2) &&
+    !eq((~m) + (~n) - 1, 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+-(~d)^2*cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)⨸((~f)*((~m) + (~n) - 1)) + (~d)^2⨸((~b)*((~m) + (~n) - 1))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)*((~b)*((~n) - 2) + (~a)*(~m)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_39",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    gt((~a)*(~d)/(~b), 0) ?
+-((~a)*(~d)⨸(~b))^(~n)* cot((~e) + (~f)*(~x))⨸((~a)^((~n) - 2)*(~f)*sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~a) - (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))))* int_and_subst(((~a) - (~x))^((~n) - 1)*(2*(~a) - (~x))^((~m) - 1⨸2)⨸sqrt((~x)),  (~x), (~x), (~a) - (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)), "4_5_1_2_39") : nothing)
+
+("4_5_1_2_40",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    lt((~a)*(~d)/(~b), 0) ?
+-(-(~a)*(~d)⨸(~b))^(~n)* cot((~e) + (~f)*(~x))⨸((~a)^((~n) - 1)*(~f)*sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~a) - (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))))* int_and_subst((~x)^((~m) - 1⨸2)*((~a) - (~x))^((~n) - 1)⨸sqrt(2*(~a) - (~x)),  (~x), (~x), (~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)), "4_5_1_2_40") : nothing)
+
+("4_5_1_2_41",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    gt((~a), 0) ?
+(~a)^2*(~d)* cot((~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~a) - (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))))* int_and_subst(((~d)*(~x))^((~n) - 1)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) - 1⨸2)⨸sqrt((~a) - (~b)*(~x)),  (~x), (~x), csc((~e) + (~f)*(~x)), "4_5_1_2_41") : nothing)
+
+("4_5_1_2_42",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(gt((~a), 0)) ?
+(~a)^intpart((~m))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ fracpart((~m))⨸(1 + (~b)⨸(~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~m))* ∫((1 + (~b)⨸(~a)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_43",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))*sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+((~a) - (~b))*∫(csc((~e) + (~f)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + (~b)*∫(csc((~e) + (~f)*(~x))*(1 + csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_44",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+-(~b)*cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)⨸((~f)*(~m)) + 1⨸(~m)* ∫(csc((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~b)^2*((~m) - 1) + (~a)^2*(~m) + (~a)*(~b)*(2*(~m) - 1)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[csc[e_.+f_.*x_]/(a_+b_.*csc[e_.+f_.*x_]),x_Symbol] := -2/f*Subst[Int[1/(a+b-(a-b)*x^2),x],x,Cot[e+f*x]/(1+Csc[e+f*x])] /; FreeQ[{a,b,e,f},x] && NeQ[a^2-b^2,0] *)
+("4_5_1_2_45",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))/((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+1⨸(~b)*∫(1⨸(1 + (~a)⨸(~b)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_46",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))/sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-2*rt((~a) + (~b), 2)⨸((~b)*(~f)*cot((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt(((~b)*(1 - csc((~e) + (~f)*(~x))))⨸((~a) + (~b)))* sqrt(-(~b)*(1 + csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~a) - (~b)))* elliptic_f( asin(sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸rt((~a) + (~b), 2)), ((~a) + (~b))⨸((~a) - (~b))) : nothing)
+
+("4_5_1_2_47",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m)) ?
+-(~b)*cot( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~f)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) + 1⨸(((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(csc((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~a)*((~m) + 1) - (~b)*((~m) + 2)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_48",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger(2*(~m))) ?
+cot((~e) + (~f)*(~x))⨸((~f)*sqrt(1 + csc((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt(1 - csc((~e) + (~f)*(~x))))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~m)⨸(sqrt(1 + (~x))*sqrt(1 - (~x))),  (~x), (~x), csc((~e) + (~f)*(~x)), "4_5_1_2_48") : nothing)
+
+("4_5_1_2_49",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 0) ?
+-cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸((~f)*((~m) + 1)) + (~m)⨸((~m) + 1)* ∫(csc((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~b) + (~a)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_50",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+(~a)*cot( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~f)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) - 1⨸(((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(csc((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~b)*((~m) + 1) - (~a)*((~m) + 2)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_51",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))^2/sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-∫(csc((~e) + (~f)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + ∫(csc((~e) + (~f)*(~x))*(1 + csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_52",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))^2*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-(~a)⨸(~b)*∫(csc((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)) + 1⨸(~b)*∫(csc((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_53",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))^3*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+-(~a)^2*cot( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) + 1⨸((~b)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(csc((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)* simp((~a)*(~b)*((~m) + 1) - ((~a)^2 + (~b)^2*((~m) + 1))*csc((~e) + (~f)*(~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_54",
+@rule ∫(csc((~!e) + (~!f)*(~x))^3*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(lt((~m), -1)) ?
+-cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~m) + 2)) + 1⨸((~b)*((~m) + 2))* ∫(csc((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~b)*((~m) + 1) - (~a)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_55",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 2) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) &&
+        lt((~n), -1) ||
+        ext_isinteger((~m) + 1/2, 2*(~n)) &&
+        le((~n), -1)
+    ) ?
+(~a)^2*cot( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~f)*(~n)) - 1⨸((~d)*(~n))*∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 3)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* simp((~a)^2*(~b)*((~m) - 2*(~n) - 2) - (~a)*(3*(~b)^2*(~n) + (~a)^2*((~n) + 1))*csc((~e) + (~f)*(~x)) - (~b)*((~b)^2*(~n) + (~a)^2*((~m) + (~n) - 1))*csc((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_56",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~m), 2) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n))
+    ) &&
+    !(
+        igt((~n), 2) &&
+        !(ext_isinteger((~m)))
+    ) ?
+-(~b)^2*cot( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~f)*((~m) + (~n) - 1)) + 1⨸((~d)*((~m) + (~n) - 1))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 3)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* simp((~a)^3*(~d)*((~m) + (~n) - 1) + (~a)*(~b)^2*(~d)*(~n) + (~b)*((~b)^2*(~d)*((~m) + (~n) - 2) + 3*(~a)^2*(~d)*((~m) + (~n) - 1))*csc((~e) + (~f)*(~x)) + (~a)*(~b)^2*(~d)*(3*(~m) + 2*(~n) - 4)*csc((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_57",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    lt(0, (~n), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+-(~b)*(~d)*cot( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) + 1⨸(((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)* simp((~b)*(~d)*((~n) - 1) + (~a)*(~d)*((~m) + 1)*csc((~e) + (~f)*(~x)) - (~b)*(~d)*((~m) + (~n) + 1)*csc((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_58",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    lt(1, (~n), 2) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~a)*(~d)^2* cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)⨸((~f)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) - (~d)^2⨸(((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)*((~a)*((~n) - 2) + (~b)*((~m) + 1)*csc((~e) + (~f)*(~x)) - (~a)*((~m) + (~n))*csc((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_59",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    (
+        igt((~n), 3) ||
+        ext_isinteger((~n) + 1/2, 2*(~m)) &&
+        gt((~n), 2)
+    ) ?
+-(~a)^2*(~d)^3* cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 3)⨸((~b)*(~f)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) + (~d)^3⨸((~b)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 3)* simp((~a)^2*((~n) - 3) + (~a)*(~b)*((~m) + 1)*csc((~e) + (~f)*(~x)) - ((~a)^2*((~n) - 2) + (~b)^2*((~m) + 1))* csc((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_60",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ilt((~m) + 1/2, 0) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~a)*(~f)*(~n)) - 1⨸((~a)*(~d)*(~n))*∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* simp((~b)*((~m) + (~n) + 1) - (~a)*((~n) + 1)*csc((~e) + (~f)*(~x)) - (~b)*((~m) + (~n) + 2)*csc((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_61",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n)) ?
+(~b)^2*cot( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~n)⨸((~a)*(~f)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2)) + 1⨸((~a)*((~m) + 1)*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* ((~a)^2*((~m) + 1) - (~b)^2*((~m) + (~n) + 1) - (~a)*(~b)*((~m) + 1)*csc((~e) + (~f)*(~x)) + (~b)^2*((~m) + (~n) + 2)*csc((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_62",
+@rule ∫(sqrt((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))/((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸(~d)* ∫(sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~b) + (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_63",
+@rule ∫(((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)/((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~d)*sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(1⨸(sqrt((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))*((~b) + (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_64",
+@rule ∫(((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(5//2)/((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~d)⨸(~b)*∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2), (~x)) - (~a)*(~d)⨸(~b)*∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)⨸((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_65",
+@rule ∫(((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 3) ?
+-(~d)^3*cot((~e) + (~f)*(~x))*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 3)⨸((~b)*(~f)*((~n) - 2)) + (~d)^3⨸((~b)*((~n) - 2))* ∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 3)* simp((~a)*((~n) - 3) + (~b)*((~n) - 3)*csc((~e) + (~f)*(~x)) - (~a)*((~n) - 2)*csc((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x))⨸((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_66",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~b)^2⨸((~a)^2*(~d)^2)*∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)⨸((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + 1⨸(~a)^2*∫(((~a) - (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_67",
+@rule ∫(((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    le((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+cot((~e) + (~f)*(~x))*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~a)*(~f)*(~n)) - 1⨸((~a)*(~d)*(~n))*∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))* simp((~b)*(~n) - (~a)*((~n) + 1)*csc((~e) + (~f)*(~x)) - (~b)*((~n) + 1)*csc((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_68",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))*sqrt((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~a)*∫(sqrt((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + (~b)⨸(~d)*∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(3⨸2)⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_69",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+-2*(~d)*cos((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*(2*(~n) - 1)) + (~d)^2⨸(2*(~n) - 1)* ∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)* simp(2*(~a)*((~n) - 2) + (~b)*(2*(~n) - 3)*csc((~e) + (~f)*(~x)) + (~a)*csc((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_70",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))/sqrt((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸(sqrt((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~b) + (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x))))*∫(sqrt((~b) + (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_71",
+@rule ∫(sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    le((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+cot((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*(~n)) - 1⨸(2*(~d)*(~n))* ∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* simp((~b) - 2*(~a)*((~n) + 1)*csc((~e) + (~f)*(~x)) - (~b)*(2*(~n) + 3)*csc((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_72",
+@rule ∫(sqrt((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))/sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+sqrt((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~b) + (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(1⨸sqrt((~b) + (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_73",
+@rule ∫(((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)/sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~d)*sqrt((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))* sqrt((~b) + (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))* ∫(1⨸(sin((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~b) + (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_74",
+@rule ∫(((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 2) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+-2*(~d)^2*cos((~e) + (~f)*(~x))*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)* sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~b)*(~f)*(2*(~n) - 3)) + (~d)^3⨸((~b)*(2*(~n) - 3))* ∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 3)⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))* simp(2*(~a)*((~n) - 3) + (~b)*(2*(~n) - 5)*csc((~e) + (~f)*(~x)) - 2*(~a)*((~n) - 2)*csc((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_75",
+@rule ∫(1/(csc((~!e) + (~!f)*(~x))*sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-cos((~e) + (~f)*(~x))*sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~a)*(~f)) - (~b)⨸(2*(~a))*∫((1 + csc((~e) + (~f)*(~x))^2)⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_76",
+@rule ∫(1/(sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))*sqrt((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+1⨸(~a)*∫(sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) - (~b)⨸((~a)*(~d))*∫(sqrt((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_77",
+@rule ∫(((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n)/sqrt((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+cos((~e) + (~f)*(~x))*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)* sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸((~a)*(~d)*(~f)*(~n)) + 1⨸(2*(~a)*(~d)*(~n))*∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))* simp(-(~b)*(2*(~n) + 1) + 2*(~a)*((~n) + 1)*csc((~e) + (~f)*(~x)) + (~b)*(2*(~n) + 3)*csc((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_78",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    le((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~n)) ?
+(~a)*cot((~e) + (~f)*(~x))* sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*(~n)) + 1⨸(2*(~d)*(~n))*∫(((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) + 1)⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))* simp((~a)*(~b)*(2*(~n) - 1) + 2*((~b)^2*(~n) + (~a)^2*((~n) + 1))*csc((~e) + (~f)*(~x)) + (~a)*(~b)*(2*(~n) + 3)*csc((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_79",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    gt((~n), 3) &&
+    (
+        ext_isinteger((~n)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n))
+    ) &&
+    !(igt((~m), 2)) ?
+-(~d)^3*cot( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 3)⨸((~b)*(~f)*((~m) + (~n) - 1)) + (~d)^3⨸((~b)*((~m) + (~n) - 1))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 3)* simp((~a)*((~n) - 3) + (~b)*((~m) + (~n) - 2)*csc((~e) + (~f)*(~x)) - (~a)*((~n) - 2)*csc((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_80",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt(0, (~m), 2) &&
+    lt(0, (~n), 3) &&
+    !eq((~m) + (~n) - 1, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n))
+    ) ?
+-(~b)*(~d)*cot( (~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)⨸((~f)*((~m) + (~n) - 1)) + (~d)⨸((~m) + (~n) - 1)* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 1)* simp((~a)*(~b)*((~n) - 1) + ((~b)^2*((~m) + (~n) - 2) + (~a)^2*((~m) + (~n) - 1))* csc((~e) + (~f)*(~x)) + (~a)*(~b)*(2*(~m) + (~n) - 2)*csc((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_81",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    lt(-1, (~m), 2) &&
+    lt(1, (~n), 3) &&
+    !eq((~m) + (~n) - 1, 0) &&
+    (
+        ext_isinteger((~n)) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n))
+    ) ?
+-(~d)^2*cot((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^ (~m)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)⨸((~f)*((~m) + (~n) - 1)) + (~d)^2⨸((~b)*((~m) + (~n) - 1))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~n) - 2)* simp((~a)*(~b)*((~n) - 2) + (~b)^2*((~m) + (~n) - 2)*csc((~e) + (~f)*(~x)) + (~a)*(~b)*(~m)*csc((~e) + (~f)*(~x))^2, (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_82",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(3//2)/sqrt((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+(~a)*∫(sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))⨸sqrt((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) + (~b)⨸(~d)*∫(sqrt((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))*sqrt((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_2_83",
+@rule ∫(((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n)*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+sin((~e) + (~f)*(~x))^(~n)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n)* ∫(((~b) + (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸sin((~e) + (~f)*(~x))^((~m) + (~n)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_5_1_2_84",
+# @rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+("4_5_1_2_85",
+@rule ∫(((~!d)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!a) + (~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~d)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~m))*(sec((~e) + (~f)*(~x))⨸(~d))^fracpart((~m))* ∫((sec((~e) + (~f)*(~x))⨸(~d))^(-(~m))*((~a) + (~b)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.3 (d sin)^n (a+b sec)^m.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.3 (d sin)^n (a+b sec)^m.jl
new file mode 100644
index 00000000..89d9cc05
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.3 (d sin)^n (a+b sec)^m.jl	
@@ -0,0 +1,51 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.5.1.3 (d sin)^n (a+b sec)^m *)
+("4_5_1_3_1",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!p)*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~b) + (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸sin((~e) + (~f)*(~x))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_3_2",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p)*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~p) - 1)/2) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-1⨸((~f)*(~b)^((~p) - 1))* int_and_subst((-(~a) + (~b)*(~x))^(((~p) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*(~x))^((~m) + ((~p) - 1)⨸2)⨸ (~x)^((~p) + 1),  (~x), (~x), csc((~e) + (~f)*(~x)), "4_5_1_3_2") : nothing)
+
+("4_5_1_3_3",
+@rule ∫(cos((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!p)*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~p) - 1)/2) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-1⨸(~f)*int_and_subst((-1 + (~x))^(((~p) - 1)⨸2)*(1 + (~x))^(((~p) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*(~x))^(~m)⨸ (~x)^((~p) + 1),  (~x), (~x), csc((~e) + (~f)*(~x)), "4_5_1_3_3") : nothing)
+
+("4_5_1_3_4",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)/cos((~!e) + (~!f)*(~x))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~m), (~x)) ?
+tan((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸(~f) + (~b)*(~m)*∫(csc((~e) + (~f)*(~x))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_3_5",
+@rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!p)*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    (
+        eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ||
+        ext_isinteger(2*(~m), (~p))
+    ) ?
+sin((~e) + (~f)*(~x))^ fracpart((~m))*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~m))⨸((~b) + (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^ fracpart((~m))* ∫(((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~b) + (~a)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸sin((~e) + (~f)*(~x))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_5_1_3_6",
+# @rule ∫(((~!g)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!p)*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~g)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m), (~x)] : nothing)
+
+#(* Int[(g_.*sec[e_.+f_.*x_])^p_*(a_+b_.*csc[e_.+f_.*x_])^m_.,x_Symbol]  := Int[(g*Sec[e+f*x])^p*(b+a*Sin[e+f*x])^m/Sin[e+f*x]^m,x] /; FreeQ[{a,b,e,f,g,p},x] && Not[IntegerQ[p]] && IntegerQ[m] *)
+("4_5_1_3_7",
+@rule ∫(((~!g)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~p)*((~a) + (~!b)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+(~g)^intpart((~p))*((~g)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~p))*cos((~e) + (~f)*(~x))^fracpart((~p))* ∫(((~a) + (~b)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)⨸cos((~e) + (~f)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.4 (d tan)^n (a+b sec)^m.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.4 (d tan)^n (a+b sec)^m.jl
new file mode 100644
index 00000000..f23f4334
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.4 (d tan)^n (a+b sec)^m.jl	
@@ -0,0 +1,169 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.5.1.4 (d tan)^n (a+b sec)^m *)
+("4_5_1_4_1",
+@rule ∫(cot((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+1⨸((~a)^((~m) - (~n) - 1)*(~b)^(~n)*(~d))* int_and_subst(((~a) - (~b)*(~x))^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*(~x))^(((~m) - 1)⨸2 + (~n))⨸ (~x)^((~m) + (~n)),  (~x), (~x), sin((~c) + (~d)*(~x)), "4_5_1_4_1") : nothing)
+
+("4_5_1_4_2",
+@rule ∫(cot((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+-1⨸((~d)*(~b)^((~m) - 1))* int_and_subst((-(~a) + (~b)*(~x))^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*(~x))^(((~m) - 1)⨸2 + (~n))⨸(~x),  (~x), (~x), csc((~c) + (~d)*(~x)), "4_5_1_4_2") : nothing)
+
+("4_5_1_4_3",
+@rule ∫(((~!e)*cot((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    gt((~m), 1) ?
+-(~e)*((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^((~m) - 1)*((~a)*(~m) + (~b)*((~m) - 1)*csc((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~d)* (~m)*((~m) - 1)) - (~e)^2⨸(~m)* ∫(((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^((~m) - 2)*((~a)*(~m) + (~b)*((~m) - 1)*csc((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_4_4",
+@rule ∫(((~!e)*cot((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) ?
+-((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~d)*(~e)*((~m) + 1)) - 1⨸((~e)^2*((~m) + 1))* ∫(((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^((~m) + 2)*((~a)*((~m) + 1) + (~b)*((~m) + 2)*csc((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_4_5",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))/cot((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) ?
+∫(((~b) + (~a)*sin((~c) + (~d)*(~x)))⨸cos((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_4_6",
+@rule ∫(((~!e)*cot((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) ?
+(~a)*∫(((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^(~m), (~x)) + (~b)*∫(((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^(~m)*csc((~c) + (~d)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_4_7",
+@rule ∫(cot((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+-(-1)^(((~m) - 1)⨸2)⨸((~d)*(~b)^((~m) - 1))* int_and_subst(((~b)^2 - (~x)^2)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~x))^(~n)⨸(~x),  (~x), (~x), (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)), "4_5_1_4_7") : nothing)
+
+("4_5_1_4_8",
+@rule ∫(((~!e)*cot((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand(((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^(~m), ((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_4_9",
+@rule ∫(cot((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    ext_isinteger((~n) - 1/2) ?
+-2*(~a)^((~m)⨸2 + (~n) + 1⨸2)⨸(~d)* int_and_subst((~x)^(~m)*(2 + (~a)*(~x)^2)^((~m)⨸2 + (~n) - 1⨸2)⨸(1 + (~a)*(~x)^2),  (~x), (~x), cot((~c) + (~d)*(~x))⨸sqrt((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x))), "4_5_1_4_9") : nothing)
+
+("4_5_1_4_10",
+@rule ∫(((~!e)*cot((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+(~a)^(2*(~n))*(~e)^(-2*(~n))* ∫(((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^((~m) + 2*(~n))⨸(-(~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_4_11",
+@rule ∫(((~!e)*cot((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+-2^((~m) + (~n) + 1)*((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^ (~n)⨸((~d)*(~e)*((~m) + 1))*((~a)⨸((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x))))^((~m) + (~n) + 1)* appell_f1(((~m) + 1)⨸2, (~m) + (~n), 1, ((~m) + 3)⨸ 2, -((~a) - (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x))), ((~a) - (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_5_1_4_12",
+@rule ∫(sqrt((~!e)*cot((~!c) + (~!d)*(~x)))/((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+1⨸(~a)*∫(sqrt((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) - (~b)⨸(~a)*∫(sqrt((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))⨸((~b) + (~a)*sin((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_4_13",
+@rule ∫(((~!e)*cot((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~m)/((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt((~m) - 1/2, 0) ?
+-(~e)^2⨸(~b)^2*∫(((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^((~m) - 2)*((~a) - (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) + (~e)^2*((~a)^2 - (~b)^2)⨸(~b)^2* ∫(((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^((~m) - 2)⨸((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_4_14",
+@rule ∫(1/(sqrt((~!e)*cot((~!c) + (~!d)*(~x)))*((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+1⨸(~a)*∫(1⨸sqrt((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) - (~b)⨸(~a)*∫(1⨸(sqrt((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))*((~b) + (~a)*sin((~c) + (~d)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_4_15",
+@rule ∫(((~!e)*cot((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~m)/((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ilt((~m) + 1/2, 0) ?
+1⨸((~a)^2 - (~b)^2)*∫(((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^(~m)*((~a) - (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) + (~b)^2⨸((~e)^2*((~a)^2 - (~b)^2))* ∫(((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^((~m) + 2)⨸((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_4_16",
+@rule ∫(cot((~!c) + (~!d)*(~x))^2*((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) ?
+∫((-1 + csc((~c) + (~d)*(~x))^2)*((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_4_17",
+@rule ∫(cot((~!c) + (~!d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt((~m)/2, 0) &&
+    ext_isinteger((~n) - 1/2) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^ (~n), (-1 + csc((~c) + (~d)*(~x))^2)^((~m)⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_4_18",
+@rule ∫(cot((~!c) + (~!d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ilt((~m)/2, 0) &&
+    ext_isinteger((~n) - 1/2) &&
+    eq((~m), -2) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^ (~n), (-1 + sec((~c) + (~d)*(~x))^2)^(-(~m)⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_4_19",
+@rule ∫(((~!e)*cot((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand(((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^(~m), ((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_4_20",
+@rule ∫(cot((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~a)^2 - (~b)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)/2) ||
+        le((~m), 1)
+    ) ?
+∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^(~m)*((~b) + (~a)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)⨸sin((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + (~n)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_5_1_4_21",
+# @rule ∫(((~!e)*cot((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+("4_5_1_4_22",
+@rule ∫(((~!e)*cot((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*sec((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^(~m)*tan((~c) + (~d)*(~x))^(~m)* ∫(((~a) + (~b)*sec((~c) + (~d)*(~x)))^(~n)⨸tan((~c) + (~d)*(~x))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_4_23",
+@rule ∫(((~!e)*tan((~!c) + (~!d)*(~x))^(~p))^(~m)*((~a) + (~!b)*sec((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~e)*tan((~c) + (~d)*(~x))^(~p))^(~m)⨸((~e)*tan((~c) + (~d)*(~x)))^((~m)*(~p))* ∫(((~e)*tan((~c) + (~d)*(~x)))^((~m)*(~p))*((~a) + (~b)*sec((~c) + (~d)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_1_4_24",
+@rule ∫(((~!e)*cot((~!c) + (~!d)*(~x))^(~p))^(~m)*((~a) + (~!b)*csc((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x))^(~p))^(~m)⨸((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^((~m)*(~p))* ∫(((~e)*cot((~c) + (~d)*(~x)))^((~m)*(~p))*((~a) + (~b)*csc((~c) + (~d)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.7 (d trig)^m (a+b (c sec)^n)^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.7 (d trig)^m (a+b (c sec)^n)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..f8a8f416
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.7 (d trig)^m (a+b (c sec)^n)^p.jl	
@@ -0,0 +1,281 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.5.7 (d trig)^m (a+b (c sec)^n)^p *)
+# ("4_5_7_1",
+# @rule ∫((~!u)*((~a) + (~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+#     eq((~a) + (~b), 0) &&
+#     ext_isinteger((~p)) ?
+# (~b)^(~p)*∫(ActivateTrig[(~u)*tan((~e) + (~f)*(~x))^(2*(~p))], (~x)) : nothing)
+# 
+# ("4_5_7_2",
+# @rule ∫((~!u)*((~a) + (~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+#     eq((~a) + (~b), 0) ?
+# ∫(ActivateTrig[(~u)*((~b)*tan((~e) + (~f)*(~x))^2)^(~p)], (~x)) : nothing)
+
+("4_5_7_3",
+@rule ∫(((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+let
+    ff = free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))
+    
+    (~b)*ff⨸(~f)* int_and_subst(((~b) + (~b)*ff^2*(~x)^2)^((~p) - 1),  (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸ff, "4_5_7_3")
+end : nothing)
+
+("4_5_7_4",
+@rule ∫(((~!b)*((~!c)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+(~b)^intpart((~p))*((~b)*((~c)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^ fracpart((~p))⨸((~c)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n)*fracpart((~p)))* ∫(((~c)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^((~n)*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_7_5",
+@rule ∫(tan((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) ?
+(~b)⨸(2*(~f))* int_and_subst((-1 + (~x))^(((~m) - 1)⨸2)*((~b)*(~x))^((~p) - 1),  (~x), (~x), sec((~e) + (~f)*(~x))^2, "4_5_7_5") : nothing)
+
+# ("4_5_7_6",
+# @rule ∫((~!u)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~b), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+#     !(ext_isinteger((~p))) &&
+#     ext_isinteger((~n)) &&
+#     (
+#         eq((~u), 1) ||
+#         MatchQ[(~u), (d_.*trig_[(~e) + (~f)*(~x)])^m_. /; !contains_var((~d), (~m), (~x)) &&
+#         in( trig, [sin, cos, tan, cot, sec, csc])]
+#     ) ?
+# let
+#     ff = free_factors(sec((~e) + (~f)*(~x)), (~x))
+#     
+#     ((~b)*ff^(~n))^ intpart((~p))*((~b)*sec((~e) + (~f)*(~x))^(~n))^ fracpart((~p))⨸(sec((~e) + (~f)*(~x))⨸ff)^((~n)*fracpart((~p)))* ∫(ActivateTrig[(~u)]*(sec((~e) + (~f)*(~x))⨸ff)^((~n)*(~p)), (~x))
+# end : nothing)
+
+# Error in translation of the line:
+# Int[u_.*(b_.*(c_.*sec[e_. + f_.*x_])^n_)^p_, x_Symbol] := b^IntPart[p]*(b*(c*Sec[e + f*x])^n)^ FracPart[p]/(c*Sec[e + f*x])^(n*FracPart[p])* Int[ActivateTrig[u]*(c*Sec[e + f*x])^(n*p), x] /; FreeQ[{b, c, e, f, n, p}, x] && Not[IntegerQ[p]] && Not[IntegerQ[n]] && (EqQ[u, 1] || MatchQ[u, (d_.*trig_[e + f*x])^m_. /; FreeQ[{d, m}, x] && MemberQ[{sin, cos, tan, cot, sec, csc}, trig]])
+
+("4_5_7_8",
+@rule ∫(1/((~a) + (~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~a) + (~b), 0) ?
+(~x)⨸(~a) - (~b)⨸(~a)*∫(1⨸((~b) + (~a)*cos((~e) + (~f)*(~x))^2), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_7_9",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~a) + (~b), 0) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+let
+    ff = free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))
+    
+    ff⨸(~f)* int_and_subst(((~a) + (~b) + (~b)*ff^2*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + ff^2*(~x)^2),  (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸ff, "4_5_7_9")
+end : nothing)
+
+("4_5_7_10",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^4)^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+let
+    ff = free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))
+    
+    ff⨸(~f)* int_and_subst(((~a) + (~b) + 2*(~b)*ff^2*(~x)^2 + (~b)*ff^4*(~x)^4)^(~p)⨸(1 + ff^2*(~x)^2),  (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸ff, "4_5_7_10")
+end : nothing)
+
+("4_5_7_11",
+@rule ∫(((~a) + (~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)/2) &&
+    igt((~p), -2) ?
+let
+    ff = free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))
+    
+    ff⨸(~f)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(1 + ff^2*(~x)^2)^((~n)⨸2))^(~p)⨸(1 + ff^2*(~x)^2),  (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸ff, "4_5_7_11")
+end : nothing)
+
+# ("4_5_7_12",
+# @rule ∫(((~a) + (~!b)*((~!c)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*((~c)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("4_5_7_13",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    ext_isinteger((~n)/2) ?
+let
+    ff = free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))
+    
+    ff^((~m) + 1)⨸(~f)* int_and_subst( (~x)^(~m)*expand_to_sum((~a) + (~b)*(1 + ff^2*(~x)^2)^((~n)⨸2),  (~x))^ (~p)⨸(1 + ff^2*(~x)^2)^((~m)⨸2 + 1), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸ff, "4_5_7_13")
+end : nothing)
+
+("4_5_7_14",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+let
+    ff = free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x))
+    
+    -ff⨸(~f)* int_and_subst((1 - ff^2*(~x)^2)^(((~m) - 1)⨸2)*((~b) + (~a)*(ff*(~x))^(~n))^ (~p)⨸(ff*(~x))^((~n)*(~p)),  (~x), (~x), cos((~e) + (~f)*(~x))⨸ff, "4_5_7_14")
+end : nothing)
+
+("4_5_7_15",
+@rule ∫(sin((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+    (
+        gt((~m), 0) ||
+        eq((~n), 2) ||
+        eq((~n), 4)
+    ) ?
+let
+    ff = free_factors(cos((~e) + (~f)*(~x)), (~x))
+    
+    1⨸((~f)*ff^(~m))* int_and_subst((-1 + ff^2*(~x)^2)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*((~c)*ff*(~x))^(~n))^(~p)⨸ (~x)^((~m) + 1),  (~x), (~x), sec((~e) + (~f)*(~x))⨸ff, "4_5_7_15")
+end : nothing)
+
+# ("4_5_7_16",
+# @rule ∫(((~!d)*sin((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d)*sin((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*((~c)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("4_5_7_17",
+@rule ∫(((~!d)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    ext_isinteger((~n), (~p)) ?
+(~d)^((~n)*(~p))* ∫(((~d)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - (~n)*(~p))*((~b) + (~a)*cos((~e) + (~f)*(~x))^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_7_18",
+@rule ∫(((~!d)*cos((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^ (~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~d)*cos((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~m))*(sec((~e) + (~f)*(~x))⨸(~d))^fracpart((~m))* ∫((sec((~e) + (~f)*(~x))⨸(~d))^(-(~m))*((~a) + (~b)*((~c)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+# Rule skipped because of "Module":
+# Int[tan[e_. + f_.*x_]^m_.*(a_ + b_.*sec[e_. + f_.*x_]^n_)^p_., x_Symbol] := Module[{ff = FreeFactors[Cos[e + f*x], x]}, -1/(f*ff^(m + n*p - 1))* Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(b + a*(ff*x)^n)^p/ x^(m + n*p), x], x, Cos[e + f*x]/ff]] /; FreeQ[{a, b, e, f, n}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[n] && IntegerQ[p]
+
+("4_5_7_20",
+@rule ∫(tan((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~e), (~f), (~n), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+    (
+        gt((~m), 0) ||
+        eq((~n), 2) ||
+        eq((~n), 4) ||
+        igt((~p), 0) ||
+        ext_isinteger(2*(~n), (~p))
+    ) ?
+let
+    ff = free_factors(sec((~e) + (~f)*(~x)), (~x))
+    
+    1⨸(~f)* int_and_subst((-1 + ff^2*(~x)^2)^(((~m) - 1)⨸2)*((~a) + (~b)*((~c)*ff*(~x))^(~n))^(~p)⨸(~x),  (~x), (~x), sec((~e) + (~f)*(~x))⨸ff, "4_5_7_20")
+end : nothing)
+
+("4_5_7_21",
+@rule ∫(((~!d)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) ?
+let
+    ff = free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))
+    
+    (~b)*ff⨸(~f)* int_and_subst(((~d)*ff*(~x))^(~m)*((~b) + (~b)*ff^2*(~x)^2)^((~p) - 1),  (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸ff, "4_5_7_21")
+end : nothing)
+
+("4_5_7_22",
+@rule ∫(((~!d)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)/2) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)/2) ||
+        eq((~n), 2)
+    ) ?
+let
+    ff = free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))
+    
+    ff⨸(~f)* int_and_subst(((~d)*ff*(~x))^ (~m)*((~a) + (~b)*(1 + ff^2*(~x)^2)^((~n)⨸2))^(~p)⨸(1 + ff^2*(~x)^2),  (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸ff, "4_5_7_22")
+end : nothing)
+
+("4_5_7_23",
+@rule ∫(((~!d)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*((~!c)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~n), (~x)) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !eq((~p)*(~n) + (~m) - 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)*(~n), 2*(~m)) ?
+(~d)*((~d)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 1)*((~b)*((~c)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^ (~p)⨸((~f)*((~p)*(~n) + (~m) - 1)) - (~d)^2*((~m) - 1)⨸((~p)*(~n) + (~m) - 1)* ∫(((~d)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) - 2)*((~b)*((~c)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_7_24",
+@rule ∫(((~!d)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~!b)*((~!c)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~n), (~x)) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !eq((~p)*(~n) + (~m) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)*(~n), 2*(~m)) ?
+((~d)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 1)*((~b)*((~c)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p)⨸((~d)*(~f)*((~m) + 1)) - ((~p)*(~n) + (~m) + 1)⨸((~d)^2*((~m) + 1))* ∫(((~d)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^((~m) + 2)*((~b)*((~c)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_5_7_25",
+# @rule ∫(((~!d)*tan((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d)*tan((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*((~c)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("4_5_7_26",
+@rule ∫(((~!d)*cot((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^ (~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~d)*cot((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~m))*(tan((~e) + (~f)*(~x))⨸(~d))^fracpart((~m))* ∫((tan((~e) + (~f)*(~x))⨸(~d))^(-(~m))*((~a) + (~b)*((~c)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_5_7_27",
+@rule ∫(sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)/2) &&
+    ext_isinteger((~n)/2) ?
+let
+    ff = free_factors(tan((~e) + (~f)*(~x)), (~x))
+    
+    ff⨸(~f)* int_and_subst((1 + ff^2*(~x)^2)^((~m)⨸2 - 1)* expand_to_sum((~a) + (~b)*(1 + ff^2*(~x)^2)^((~n)⨸2),  (~x))^(~p), (~x), (~x), tan((~e) + (~f)*(~x))⨸ff, "4_5_7_27")
+end : nothing)
+
+("4_5_7_28",
+@rule ∫(sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+    ext_isinteger((~n)/2) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+let
+    ff = free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))
+    
+    ff⨸(~f)* int_and_subst( expand_to_sum((~b) + (~a)*(1 - ff^2*(~x)^2)^((~n)⨸2),  (~x))^ (~p)⨸(1 - ff^2*(~x)^2)^(((~m) + (~n)*(~p) + 1)⨸2), (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x))⨸ff, "4_5_7_28")
+end : nothing)
+
+("4_5_7_29",
+@rule ∫(sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    ext_isinteger(((~m) - 1)/2) &&
+    ext_isinteger((~n)/2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+let
+    ff = free_factors(sin((~e) + (~f)*(~x)), (~x))
+    
+    ff⨸(~f)* int_and_subst(((~a) + (~b)⨸(1 - ff^2*(~x)^2)^((~n)⨸2))^ (~p)⨸(1 - ff^2*(~x)^2)^(((~m) + 1)⨸2),  (~x), (~x), sin((~e) + (~f)*(~x))⨸ff, "4_5_7_29")
+end : nothing)
+
+("4_5_7_30",
+@rule ∫(sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~a) + (~!b)*sec((~!e) + (~!f)*(~x))^(~n))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~e), (~f), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m), (~n), (~p)) ?
+∫(ext_expand(sec((~e) + (~f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*sec((~e) + (~f)*(~x))^(~n))^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_5_7_31",
+# @rule ∫(((~!d)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~!m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^ (~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~b)*((~c)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+("4_5_7_32",
+@rule ∫(((~!d)*csc((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~m)*((~a) + (~!b)*((~!c)*sec((~!e) + (~!f)*(~x)))^(~n))^ (~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~d)*csc((~e) + (~f)*(~x)))^fracpart((~m))*(sin((~e) + (~f)*(~x))⨸(~d))^fracpart((~m))* ∫((sin((~e) + (~f)*(~x))⨸(~d))^(-(~m))*((~a) + (~b)*((~c)*sec((~e) + (~f)*(~x)))^(~n))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/(a sin(m x) + b cos(n x))^p.pdf b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/(a sin(m x) + b cos(n x))^p.pdf
new file mode 100755
index 00000000..3ecd18b1
Binary files /dev/null and b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/(a sin(m x) + b cos(n x))^p.pdf differ
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.4 (c trig)^m (d trig)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.4 (c trig)^m (d trig)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..e9d091bf
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.4 (c trig)^m (d trig)^n.jl	
@@ -0,0 +1,533 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.7.4 (c trig)^m (d trig)^n *)
+("4_7_4_1",
+@rule ∫(sin((~!a) + (~!b)*(~x))*sin((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - (~d)^2, 0) ?
+sin((~a) - (~c) + ((~b) - (~d))*(~x))⨸(2*((~b) - (~d))) - sin((~a) + (~c) + ((~b) + (~d))*(~x))⨸(2*((~b) + (~d))) : nothing)
+
+("4_7_4_2",
+@rule ∫(cos((~!a) + (~!b)*(~x))*cos((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - (~d)^2, 0) ?
+sin((~a) - (~c) + ((~b) - (~d))*(~x))⨸(2*((~b) - (~d))) + sin((~a) + (~c) + ((~b) + (~d))*(~x))⨸(2*((~b) + (~d))) : nothing)
+
+("4_7_4_3",
+@rule ∫(sin((~!a) + (~!b)*(~x))*cos((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2 - (~d)^2, 0) ?
+-cos((~a) - (~c) + ((~b) - (~d))*(~x))⨸(2*((~b) - (~d))) - cos((~a) + (~c) + ((~b) + (~d))*(~x))⨸(2*((~b) + (~d))) : nothing)
+
+("4_7_4_4",
+@rule ∫(cos((~!a) + (~!b)*(~x))^2*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~g), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    igt((~p)/2, 0) ?
+1⨸2*∫(((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p), (~x)) + 1⨸2*∫(cos((~c) + (~d)*(~x))*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_5",
+@rule ∫(sin((~!a) + (~!b)*(~x))^2*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~g), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    igt((~p)/2, 0) ?
+1⨸2*∫(((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p), (~x)) - 1⨸2*∫(cos((~c) + (~d)*(~x))*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_6",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~!m)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+2^(~p)⨸(~e)^(~p)*∫(((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + (~p))*sin((~a) + (~b)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_7",
+@rule ∫(((~!f)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~!n)*sin((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~f), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+2^(~p)⨸(~f)^(~p)*∫(cos((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) + (~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_8",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p) - 1, 0) ?
+(~e)^2*((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 2)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1)⨸(2*(~b)* (~g)*((~p) + 1)) : nothing)
+
+("4_7_4_9",
+@rule ∫(((~!e)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p) - 1, 0) ?
+-(~e)^2*((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 2)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1)⨸(2*(~b)* (~g)*((~p) + 1)) : nothing)
+
+("4_7_4_10",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~!m)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) ?
+-((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^(~m)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~g)*(~m)) : nothing)
+
+("4_7_4_11",
+@rule ∫(((~!e)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~!m)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) ?
+((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^(~m)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1)⨸((~b)*(~g)*(~m)) : nothing)
+
+("4_7_4_12",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~g), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~m), 2) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    (
+        gt((~m), 3) ||
+        eq((~p), -3/2)
+    ) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ?
+(~e)^2*((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 2)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1)⨸(2*(~b)* (~g)*((~p) + 1)) + (~e)^4*((~m) + (~p) - 1)⨸(4*(~g)^2*((~p) + 1))* ∫(((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 4)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_13",
+@rule ∫(((~!e)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~g), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~m), 2) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    (
+        gt((~m), 3) ||
+        eq((~p), -3/2)
+    ) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ?
+-(~e)^2*((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 2)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1)⨸(2*(~b)* (~g)*((~p) + 1)) + (~e)^4*((~m) + (~p) - 1)⨸(4*(~g)^2*((~p) + 1))* ∫(((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 4)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_14",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~g), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    (
+        lt((~p), -2) ||
+        eq((~m), 2)
+    ) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ?
+((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^(~m)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1)⨸(2*(~b)*(~g)*((~p) + 1)) + (~e)^2*((~m) + 2*(~p) + 2)⨸(4*(~g)^2*((~p) + 1))* ∫(((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 2)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_15",
+@rule ∫(((~!e)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~g), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    (
+        lt((~p), -2) ||
+        eq((~m), 2)
+    ) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ?
+-((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^(~m)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1)⨸(2*(~b)*(~g)*((~p) + 1)) + (~e)^2*((~m) + 2*(~p) + 2)⨸(4*(~g)^2*((~p) + 1))* ∫(((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 2)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_16",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ?
+(~e)^2*((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 2)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1)⨸(2*(~b)* (~g)*((~m) + 2*(~p))) + (~e)^2*((~m) + (~p) - 1)⨸((~m) + 2*(~p))* ∫(((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 2)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_17",
+@rule ∫(((~!e)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ?
+-(~e)^2*((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 2)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1)⨸(2*(~b)* (~g)*((~m) + 2*(~p))) + (~e)^2*((~m) + (~p) - 1)⨸((~m) + 2*(~p))* ∫(((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 2)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_18",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    !eq((~m) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ?
+-((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^ (~m)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1)⨸(2*(~b)*(~g)*((~m) + (~p) + 1)) + ((~m) + 2*(~p) + 2)⨸((~e)^2*((~m) + (~p) + 1))* ∫(((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + 2)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_19",
+@rule ∫(((~!e)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    !eq((~m) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~p)) ?
+((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^(~m)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1)⨸(2*(~b)*(~g)*((~m) + (~p) + 1)) + ((~m) + 2*(~p) + 2)⨸((~e)^2*((~m) + (~p) + 1))* ∫(((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + 2)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_20",
+@rule ∫(cos((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~g), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+2*sin((~a) + (~b)*(~x))*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p)⨸((~d)*(2*(~p) + 1)) + 2*(~p)*(~g)⨸(2*(~p) + 1)*∫(sin((~a) + (~b)*(~x))*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_21",
+@rule ∫(sin((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~g), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+-2*cos((~a) + (~b)*(~x))*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p)⨸((~d)*(2*(~p) + 1)) + 2*(~p)*(~g)⨸(2*(~p) + 1)*∫(cos((~a) + (~b)*(~x))*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_22",
+@rule ∫(cos((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~g), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+cos((~a) + (~b)*(~x))*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1)⨸(2*(~b)*(~g)*((~p) + 1)) + (2*(~p) + 3)⨸(2*(~g)*((~p) + 1))* ∫(sin((~a) + (~b)*(~x))*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_23",
+@rule ∫(sin((~!a) + (~!b)*(~x))*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~g), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+-sin((~a) + (~b)*(~x))*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1)⨸(2*(~b)*(~g)*((~p) + 1)) + (2*(~p) + 3)⨸(2*(~g)*((~p) + 1))* ∫(cos((~a) + (~b)*(~x))*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_24",
+@rule ∫(cos((~!a) + (~!b)*(~x))/sqrt(sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) ?
+-asin(cos((~a) + (~b)*(~x)) - sin((~a) + (~b)*(~x)))⨸(~d) + log(cos((~a) + (~b)*(~x)) + sin((~a) + (~b)*(~x)) + sqrt(sin((~c) + (~d)*(~x))))⨸(~d) : nothing)
+
+("4_7_4_25",
+@rule ∫(sin((~!a) + (~!b)*(~x))/sqrt(sin((~!c) + (~!d)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) ?
+-asin(cos((~a) + (~b)*(~x)) - sin((~a) + (~b)*(~x)))⨸(~d) - log(cos((~a) + (~b)*(~x)) + sin((~a) + (~b)*(~x)) + sqrt(sin((~c) + (~d)*(~x))))⨸(~d) : nothing)
+
+("4_7_4_26",
+@rule ∫(((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p)/cos((~!a) + (~!b)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+2*(~g)*∫(sin((~a) + (~b)*(~x))*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_27",
+@rule ∫(((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p)/sin((~!a) + (~!b)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+2*(~g)*∫(cos((~a) + (~b)*(~x))*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(e_.*cos[a_.+b_.*x_])^m_*(g_.*sin[c_.+d_.*x_])^p_,x_Symbol] := -(e*Cos[a+b*x])^(m+1)*Sin[a+b*x]*(g*Sin[c+d*x])^p/(b*e*(m+p+1)*(Sin[ a+b*x]^2)^((p+1)/2))* Hypergeometric2F1[-(p-1)/2,(m+p+1)/2,(m+p+3)/2,Cos[a+b*x]^2] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,g,m,p},x] && EqQ[b*c-a*d,0] && EqQ[d/b,2] &&  Not[IntegerQ[p]] && Not[IntegerQ[m+p]] *)
+#(* Int[(f_.*sin[a_.+b_.*x_])^n_.*(g_.*sin[c_.+d_.*x_])^p_,x_Symbol] := -Cos[a+b*x]*(f*Sin[a+b*x])^(n+1)*(g*Sin[c+d*x])^p/(b*f*(p+1)*(Sin[a+ b*x]^2)^((n+p+1)/2))* Hypergeometric2F1[-(n+p-1)/2,(p+1)/2,(p+3)/2,Cos[a+b*x]^2] /; FreeQ[{a,b,c,d,f,g,n,p},x] && EqQ[b*c-a*d,0] && EqQ[d/b,2] &&  Not[IntegerQ[p]] && Not[IntegerQ[n+p]] *)
+("4_7_4_28",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~!m)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~g), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p)⨸(((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^(~p)*sin((~a) + (~b)*(~x))^(~p))* ∫(((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + (~p))*sin((~a) + (~b)*(~x))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_29",
+@rule ∫(((~!f)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~!n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p)⨸(cos((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^(~p))* ∫(cos((~a) + (~b)*(~x))^(~p)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) + (~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_30",
+@rule ∫(cos((~!a) + (~!b)*(~x))^2* sin((~!a) + (~!b)*(~x))^2*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~g), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    igt((~p)/2, 0) ?
+1⨸4*∫(((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p), (~x)) - 1⨸4*∫(cos((~c) + (~d)*(~x))^2*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_31",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~!m)*((~!f)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~!n)* sin((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+2^(~p)⨸((~e)^(~p)*(~f)^(~p))* ∫(((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + (~p))*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) + (~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_32",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~!m)*((~!f)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^ (~!n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p) + 1, 0) ?
+(~e)*((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 1)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) + 1)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p)⨸((~b)*(~f)*((~n) + (~p) + 1)) : nothing)
+
+("4_7_4_33",
+@rule ∫(((~!e)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!f)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^ (~n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~p) + 1, 0) ?
+-(~e)*((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 1)*((~f)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) + 1)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p)⨸((~b)*(~f)*((~n) + (~p) + 1)) : nothing)
+
+("4_7_4_34",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~!m)*((~!f)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^ (~!n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    eq((~m) + (~n) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    !eq((~m) + (~p) + 1, 0) ?
+-((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + 1)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) + 1)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p)⨸((~b)*(~e)*(~f)*((~m) + (~p) + 1)) : nothing)
+
+("4_7_4_35",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!f)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^ (~n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~m), 3) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~n) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+(~e)^2*((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 2)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^ (~n)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1)⨸(2*(~b)*(~g)*((~n) + (~p) + 1)) + (~e)^4*((~m) + (~p) - 1)⨸(4*(~g)^2*((~n) + (~p) + 1))* ∫(((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 4)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^ (~n)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_36",
+@rule ∫(((~!e)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!f)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^ (~n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~m), 3) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~n) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+-(~e)^2*((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 2)*((~f)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^ (~n)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1)⨸(2*(~b)*(~g)*((~n) + (~p) + 1)) + (~e)^4*((~m) + (~p) - 1)⨸(4*(~g)^2*((~n) + (~p) + 1))* ∫(((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 4)*((~f)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^ (~n)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_37",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!f)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^ (~!n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    !eq((~n) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) &&
+    (
+        lt((~p), -2) ||
+        eq((~m), 2) ||
+        eq((~m), 3)
+    ) ?
+((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^(~m)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^ (~n)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1)⨸(2*(~b)*(~g)*((~n) + (~p) + 1)) + (~e)^2*((~m) + (~n) + 2*(~p) + 2)⨸(4*(~g)^2*((~n) + (~p) + 1))* ∫(((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 2)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^ (~n)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_38",
+@rule ∫(((~!e)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!f)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^ (~!n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    !eq((~n) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) &&
+    (
+        lt((~p), -2) ||
+        eq((~m), 2) ||
+        eq((~m), 3)
+    ) ?
+-((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^(~m)*((~f)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^ (~n)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1)⨸(2*(~b)*(~g)*((~n) + (~p) + 1)) + (~e)^2*((~m) + (~n) + 2*(~p) + 2)⨸(4*(~g)^2*((~n) + (~p) + 1))* ∫(((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 2)*((~f)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^ (~n)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_39",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!f)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^ (~n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq((~n) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+(~e)*((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 1)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) + 1)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p)⨸((~b)*(~f)*((~n) + (~p) + 1)) + (~e)^2*((~m) + (~p) - 1)⨸((~f)^2*((~n) + (~p) + 1))* ∫(((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 2)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) + 2)*((~g)* sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_40",
+@rule ∫(((~!e)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!f)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^ (~n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq((~n) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+-(~e)*((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 1)*((~f)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) + 1)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p)⨸((~b)*(~f)*((~n) + (~p) + 1)) + (~e)^2*((~m) + (~p) - 1)⨸((~f)^2*((~n) + (~p) + 1))* ∫(((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 2)*((~f)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) + 2)*((~g)* sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_41",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!f)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^ (~!n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 2*(~p), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+(~e)*((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 1)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) + 1)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p)⨸((~b)*(~f)*((~m) + (~n) + 2*(~p))) + (~e)^2*((~m) + (~p) - 1)⨸((~m) + (~n) + 2*(~p))* ∫(((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 2)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^(~n)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^ (~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_42",
+@rule ∫(((~!e)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!f)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^ (~!n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    gt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 2*(~p), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+-(~e)*((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 1)*((~f)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) + 1)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p)⨸((~b)*(~f)*((~m) + (~n) + 2*(~p))) + (~e)^2*((~m) + (~p) - 1)⨸((~m) + (~n) + 2*(~p))* ∫(((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) - 2)*((~f)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^(~n)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^ (~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_43",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!f)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^ (~!n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 2*(~p), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+-(~f)*((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + 1)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) - 1)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p)⨸((~b)*(~e)*((~m) + (~n) + 2*(~p))) + 2*(~f)*(~g)*((~n) + (~p) - 1)⨸((~e)*((~m) + (~n) + 2*(~p)))* ∫(((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + 1)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) - 1)*((~g)* sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_44",
+@rule ∫(((~!e)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!f)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^ (~!n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 2*(~p), 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+(~f)*((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + 1)*((~f)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) - 1)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p)⨸((~b)*(~e)*((~m) + (~n) + 2*(~p))) + 2*(~f)*(~g)*((~n) + (~p) - 1)⨸((~e)*((~m) + (~n) + 2*(~p)))* ∫(((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + 1)*((~f)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) - 1)*((~g)* sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_45",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!f)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^ (~!n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    !eq((~m) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+-((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + 1)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) + 1)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p)⨸((~b)*(~e)*(~f)*((~m) + (~p) + 1)) + (~f)*((~m) + (~n) + 2*(~p) + 2)⨸(2*(~e)*(~g)*((~m) + (~p) + 1))* ∫(((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + 1)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) - 1)*((~g)* sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_46",
+@rule ∫(((~!e)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!f)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^ (~!n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    !eq((~m) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + 1)*((~f)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) + 1)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^ (~p)⨸((~b)*(~e)*(~f)*((~m) + (~p) + 1)) + (~f)*((~m) + (~n) + 2*(~p) + 2)⨸(2*(~e)*(~g)*((~m) + (~p) + 1))* ∫(((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + 1)*((~f)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) - 1)*((~g)* sin((~c) + (~d)*(~x)))^((~p) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_47",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!f)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^ (~!n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    !eq((~m) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+-((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + 1)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) + 1)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p)⨸((~b)*(~e)*(~f)*((~m) + (~p) + 1)) + ((~m) + (~n) + 2*(~p) + 2)⨸((~e)^2*((~m) + (~p) + 1))* ∫(((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + 2)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^(~n)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^ (~p), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_48",
+@rule ∫(((~!e)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~m)*((~!f)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^ (~!n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) &&
+    lt((~m), -1) &&
+    !eq((~m) + (~n) + 2*(~p) + 2, 0) &&
+    !eq((~m) + (~p) + 1, 0) &&
+    ext_isinteger(2*(~m), 2*(~n), 2*(~p)) ?
+((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + 1)*((~f)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) + 1)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^ (~p)⨸((~b)*(~e)*(~f)*((~m) + (~p) + 1)) + ((~m) + (~n) + 2*(~p) + 2)⨸((~e)^2*((~m) + (~p) + 1))* ∫(((~e)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + 2)*((~f)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^(~n)*((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^ (~p), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(e_.*cos[a_.+b_.*x_])^m_*(f_.*sin[a_.+b_.*x_])^n_.*(g_.*sin[c_. +d_.*x_])^p_,x_Symbol] := -(e*Cos[a+b*x])^(m+1)*(f*Sin[a+b*x])^(n+1)*(g*Sin[c+d*x])^p/(b*e*f*( m+p+1)*(Sin[a+b*x]^2)^((n+p+1)/2))* Hypergeometric2F1[-(n+p-1)/2,(m+p+1)/2,(m+p+3)/2,Cos[a+b*x]^2] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,g,m,n,p},x] && EqQ[b*c-a*d,0] && EqQ[d/b,2] &&  Not[IntegerQ[p]] && Not[IntegerQ[m+p]] && Not[IntegerQ[n+p]] *)
+("4_7_4_49",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~!m)*((~!f)*sin((~!a) + (~!b)*(~x)))^ (~!n)*((~!g)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), 2) &&
+    !(ext_isinteger((~p))) ?
+((~g)*sin((~c) + (~d)*(~x)))^(~p)⨸(((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^(~p)*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^(~p))* ∫(((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + (~p))*((~f)*sin((~a) + (~b)*(~x)))^((~n) + (~p)), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_4_50",
+@rule ∫(((~!e)*cos((~!a) + (~!b)*(~x)))^(~!m)*sin((~!c) + (~!d)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    eq((~d)/(~b), Abs[(~m) + 2]) ?
+-((~m) + 2)*((~e)*cos((~a) + (~b)*(~x)))^((~m) + 1)* cos(((~m) + 1)*((~a) + (~b)*(~x)))⨸((~d)*(~e)*((~m) + 1)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.7 F^(c (a+b x)) trig(d+e x)^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.7 F^(c (a+b x)) trig(d+e x)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..167bd7e7
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.7 F^(c (a+b x)) trig(d+e x)^n.jl	
@@ -0,0 +1,356 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 4.7.7 F^(c (a+b x)) trig(d+e*x)^n *)
+("4_7_7_1",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*sin((~!d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~e)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2, 0) ?
+(~b)*(~c)*log((~F))*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))* sin((~d) + (~e)*(~x))⨸((~e)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2) - (~e)*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*cos((~d) + (~e)*(~x))⨸((~e)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2) : nothing)
+
+("4_7_7_2",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*cos((~!d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~e)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2, 0) ?
+(~b)*(~c)*log((~F))*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))* cos((~d) + (~e)*(~x))⨸((~e)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2) + (~e)*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*sin((~d) + (~e)*(~x))⨸((~e)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2) : nothing)
+
+("4_7_7_3",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~e)^2*(~n)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) ?
+(~b)*(~c)*log((~F))*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))* sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n)⨸((~e)^2*(~n)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2) - (~e)*(~n)*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*cos((~d) + (~e)*(~x))* sin((~d) + (~e)*(~x))^((~n) - 1)⨸((~e)^2*(~n)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2) + ((~n)*((~n) - 1)*(~e)^2)⨸((~e)^2*(~n)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2)* ∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*sin((~d) + (~e)*(~x))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_4",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~e)^2*(~m)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2, 0) &&
+    gt((~m), 1) ?
+(~b)*(~c)*log((~F))*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))* cos((~d) + (~e)*(~x))^(~m)⨸((~e)^2*(~m)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2) + (~e)*(~m)*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*sin((~d) + (~e)*(~x))* cos((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 1)⨸((~e)^2*(~m)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2) + ((~m)*((~m) - 1)*(~e)^2)⨸((~e)^2*(~m)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2)* ∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*cos((~d) + (~e)*(~x))^((~m) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_5",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e)^2*((~n) + 2)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2, 0) &&
+    !eq((~n), -1) &&
+    !eq((~n), -2) ?
+-(~b)*(~c)*log((~F))*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))* sin((~d) + (~e)*(~x))^((~n) + 2)⨸((~e)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2)) + (~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*cos((~d) + (~e)*(~x))*sin((~d) + (~e)*(~x))^((~n) + 1)⨸((~e)*((~n) + 1)) : nothing)
+
+("4_7_7_6",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e)^2*((~n) + 2)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2, 0) &&
+    !eq((~n), -1) &&
+    !eq((~n), -2) ?
+-(~b)*(~c)*log((~F))*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))* cos((~d) + (~e)*(~x))^((~n) + 2)⨸((~e)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2)) - (~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*sin((~d) + (~e)*(~x))*cos((~d) + (~e)*(~x))^((~n) + 1)⨸((~e)*((~n) + 1)) : nothing)
+
+("4_7_7_7",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~e)^2*((~n) + 2)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq((~n), -2) ?
+-(~b)*(~c)*log((~F))*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))* sin((~d) + (~e)*(~x))^((~n) + 2)⨸((~e)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2)) + (~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*cos((~d) + (~e)*(~x))*sin((~d) + (~e)*(~x))^((~n) + 1)⨸((~e)*((~n) + 1)) + ((~e)^2*((~n) + 2)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2)⨸((~e)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2))* ∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*sin((~d) + (~e)*(~x))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_8",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~e)^2*((~n) + 2)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq((~n), -2) ?
+-(~b)*(~c)*log((~F))*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))* cos((~d) + (~e)*(~x))^((~n) + 2)⨸((~e)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2)) - (~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*sin((~d) + (~e)*(~x))*cos((~d) + (~e)*(~x))^((~n) + 1)⨸((~e)*((~n) + 1)) + ((~e)^2*((~n) + 2)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2)⨸((~e)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2))* ∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*cos((~d) + (~e)*(~x))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_9",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+ℯ^((~I)*(~n)*((~d) + (~e)*(~x)))*sin((~d) + (~e)*(~x))^(~n)⨸(-1 + ℯ^(2*(~I)*((~d) + (~e)*(~x))))^(~n)* ∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*(-1 + ℯ^(2*(~I)*((~d) + (~e)*(~x))))^(~n)⨸ℯ^((~I)*(~n)*((~d) + (~e)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_10",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+ℯ^((~I)*(~n)*((~d) + (~e)*(~x)))*cos((~d) + (~e)*(~x))^(~n)⨸(1 + ℯ^(2*(~I)*((~d) + (~e)*(~x))))^(~n)* ∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*(1 + ℯ^(2*(~I)*((~d) + (~e)*(~x))))^(~n)⨸ℯ^((~I)*(~n)*((~d) + (~e)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_11",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*tan((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+(~I)^(~n)*∫( ext_expand( (~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*(1 - ℯ^(2*(~I)*((~d) + (~e)*(~x))))^ (~n)⨸(1 + ℯ^(2*(~I)*((~d) + (~e)*(~x))))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_12",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*cot((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+(-(~I))^(~n)* ∫(ext_expand( (~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*(1 + ℯ^(2*(~I)*((~d) + (~e)*(~x))))^ (~n)⨸(1 - ℯ^(2*(~I)*((~d) + (~e)*(~x))))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_13",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*sec((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~e)^2*(~n)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+(~b)*(~c)*log((~F))* (~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*(sec((~d) + (~e)*(~x))^(~n)⨸((~e)^2*(~n)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2)) - (~e)*(~n)*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))* sec((~d) + (~e)*(~x))^((~n) + 1)*(sin((~d) + (~e)*(~x))⨸((~e)^2*(~n)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2)) + (~e)^2*(~n)*(((~n) + 1)⨸((~e)^2*(~n)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2))* ∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*sec((~d) + (~e)*(~x))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_14",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*csc((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~e)^2*(~n)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2, 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+(~b)*(~c)*log((~F))* (~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*(csc((~d) + (~e)*(~x))^(~n)⨸((~e)^2*(~n)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2)) + (~e)*(~n)*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))* csc((~d) + (~e)*(~x))^((~n) + 1)*(cos((~d) + (~e)*(~x))⨸((~e)^2*(~n)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2)) + (~e)^2*(~n)*(((~n) + 1)⨸((~e)^2*(~n)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2))* ∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*csc((~d) + (~e)*(~x))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_15",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*sec((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2 + (~e)^2*((~n) - 2)^2, 0) &&
+    !eq((~n), 1) &&
+    !eq((~n), 2) ?
+-(~b)*(~c)*log((~F))*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))* sec((~d) + (~e)*(~x))^((~n) - 2)⨸((~e)^2*((~n) - 1)*((~n) - 2)) + (~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*sec((~d) + (~e)*(~x))^((~n) - 1)*sin((~d) + (~e)*(~x))⨸((~e)*((~n) - 1)) : nothing)
+
+("4_7_7_16",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*csc((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2 + (~e)^2*((~n) - 2)^2, 0) &&
+    !eq((~n), 1) &&
+    !eq((~n), 2) ?
+-(~b)*(~c)*log((~F))*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))* csc((~d) + (~e)*(~x))^((~n) - 2)⨸((~e)^2*((~n) - 1)*((~n) - 2)) + (~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*csc((~d) + (~e)*(~x))^((~n) - 1)*cos((~d) + (~e)*(~x))⨸((~e)*((~n) - 1)) : nothing)
+
+("4_7_7_17",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*sec((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2 + (~e)^2*((~n) - 2)^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    !eq((~n), 2) ?
+-(~b)*(~c)*log((~F))*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))* sec((~d) + (~e)*(~x))^((~n) - 2)⨸((~e)^2*((~n) - 1)*((~n) - 2)) + (~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*sec((~d) + (~e)*(~x))^((~n) - 1)*sin((~d) + (~e)*(~x))⨸((~e)*((~n) - 1)) + ((~e)^2*((~n) - 2)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2)⨸((~e)^2*((~n) - 1)*((~n) - 2))* ∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*sec((~d) + (~e)*(~x))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_18",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*csc((~!d) + (~!e)*(~x))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2 + (~e)^2*((~n) - 2)^2, 0) &&
+    gt((~n), 1) &&
+    !eq((~n), 2) ?
+-(~b)*(~c)*log((~F))*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))* csc((~d) + (~e)*(~x))^((~n) - 2)⨸((~e)^2*((~n) - 1)*((~n) - 2)) - (~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*csc((~d) + (~e)*(~x))^((~n) - 1)*cos((~d) + (~e)*(~x))⨸((~e)*((~n) - 1)) + ((~e)^2*((~n) - 2)^2 + (~b)^2*(~c)^2*log((~F))^2)⨸((~e)^2*((~n) - 1)*((~n) - 2))* ∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*csc((~d) + (~e)*(~x))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[F_^(c_.*(a_.+b_.*x_))*Sec[d_.+e_.*x_]^n_.,x_Symbol] := 2^n*Int[SimplifyIntegrand[F^(c*(a+b*x))*E^(I*n*(d+e*x))/(1+E^(2*I*( d+e*x)))^n,x],x] /; FreeQ[{F,a,b,c,d,e},x] && IntegerQ[n] *)
+#(* Int[F_^(c_.*(a_.+b_.*x_))*Csc[d_.+e_.*x_]^n_.,x_Symbol] := (2*I)^n*Int[SimplifyIntegrand[F^(c*(a+b*x))*E^(-I*n*(d+e*x))/(1-E^(- 2*I*(d+e*x)))^n,x],x] /; FreeQ[{F,a,b,c,d,e},x] && IntegerQ[n] *)
+("4_7_7_19",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*sec((~!d) + (~!k)*π + (~!e)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    ext_isinteger(4*(~k)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+2^(~n)*ℯ^((~I)*(~k)*(~n)*π)*ℯ^((~I)*(~n)*((~d) + (~e)*(~x)))* (~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))⨸((~I)*(~e)*(~n) + (~b)*(~c)*log((~F)))* hypergeometric2f1((~n), (~n)⨸2 - (~I)*(~b)*(~c)*log((~F))⨸(2*(~e)), 1 + (~n)⨸2 - (~I)*(~b)*(~c)*log((~F))⨸(2*(~e)), -ℯ^(2*(~I)*(~k)*π)*ℯ^(2*(~I)*((~d) + (~e)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_7_7_20",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*sec((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+2^(~n)*ℯ^((~I)*(~n)*((~d) + (~e)*(~x)))*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))⨸((~I)*(~e)*(~n) + (~b)*(~c)*log((~F)))* hypergeometric2f1((~n), (~n)⨸2 - (~I)*(~b)*(~c)*log((~F))⨸(2*(~e)), 1 + (~n)⨸2 - (~I)*(~b)*(~c)*log((~F))⨸(2*(~e)), -ℯ^(2*(~I)*((~d) + (~e)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_7_7_21",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*csc((~!d) + (~!k)*π + (~!e)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    ext_isinteger(4*(~k)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+(-2*(~I))^(~n)*ℯ^((~I)*(~k)*(~n)*π)* ℯ^((~I)*(~n)*((~d) + (~e)*(~x)))*((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))⨸((~I)*(~e)*(~n) + (~b)*(~c)*log((~F))))* hypergeometric2f1((~n), (~n)⨸2 - (~I)*(~b)*(~c)*log((~F))⨸(2*(~e)), 1 + (~n)⨸2 - (~I)*(~b)*(~c)*log((~F))⨸(2*(~e)), ℯ^(2*(~I)*(~k)*π)*ℯ^(2*(~I)*((~d) + (~e)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_7_7_22",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*csc((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+(-2*(~I))^(~n)*ℯ^((~I)*(~n)*((~d) + (~e)*(~x)))*((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))⨸((~I)*(~e)*(~n) + (~b)*(~c)*log((~F))))* hypergeometric2f1((~n), (~n)⨸2 - (~I)*(~b)*(~c)*log((~F))⨸(2*(~e)), 1 + (~n)⨸2 - (~I)*(~b)*(~c)*log((~F))⨸(2*(~e)), ℯ^(2*(~I)*((~d) + (~e)*(~x)))) : nothing)
+
+("4_7_7_23",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*sec((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+(1 + ℯ^(2*(~I)*((~d) + (~e)*(~x))))^(~n)*sec((~d) + (~e)*(~x))^(~n)⨸ℯ^((~I)*(~n)*((~d) + (~e)*(~x)))* ∫(ext_simplify( (~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*ℯ^((~I)*(~n)*((~d) + (~e)*(~x)))⨸(1 + ℯ^(2*(~I)*((~d) + (~e)*(~x))))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_24",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*csc((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+(1 - ℯ^(-2*(~I)*((~d) + (~e)*(~x))))^(~n)*csc((~d) + (~e)*(~x))^(~n)⨸ℯ^(-(~I)*(~n)*((~d) + (~e)*(~x)))* ∫(ext_simplify( (~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*ℯ^(-(~I)*(~n)*((~d) + (~e)*(~x)))⨸(1 - ℯ^(-2*(~I)*((~d) + (~e)*(~x))))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_25",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*((~f) + (~!g)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~f)^2 - (~g)^2, 0) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+2^(~n)*(~f)^(~n)* ∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*cos((~d)⨸2 - (~f)*π⨸(4*(~g)) + (~e)*(~x)⨸2)^(2*(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_26",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*((~f) + (~!g)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~f) - (~g), 0) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+2^(~n)*(~f)^(~n)*∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*cos((~d)⨸2 + (~e)*(~x)⨸2)^(2*(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_27",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*((~f) + (~!g)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~f) + (~g), 0) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+2^(~n)*(~f)^(~n)*∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*sin((~d)⨸2 + (~e)*(~x)⨸2)^(2*(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_28",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*((~f) + (~!g)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    eq((~f)^2 - (~g)^2, 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+((~f) + (~g)*sin((~d) + (~e)*(~x)))^(~n)⨸cos((~d)⨸2 - (~f)*π⨸(4*(~g)) + (~e)*(~x)⨸2)^(2*(~n))* ∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*cos((~d)⨸2 - (~f)*π⨸(4*(~g)) + (~e)*(~x)⨸2)^(2*(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_29",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*((~f) + (~!g)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    eq((~f) - (~g), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+((~f) + (~g)*cos((~d) + (~e)*(~x)))^(~n)⨸cos((~d)⨸2 + (~e)*(~x)⨸2)^(2*(~n))* ∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*cos((~d)⨸2 + (~e)*(~x)⨸2)^(2*(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_30",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*((~f) + (~!g)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    eq((~f) + (~g), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) ?
+((~f) + (~g)*cos((~d) + (~e)*(~x)))^(~n)⨸sin((~d)⨸2 + (~e)*(~x)⨸2)^(2*(~n))* ∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*sin((~d)⨸2 + (~e)*(~x)⨸2)^(2*(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_31",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))* cos((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~f) + (~!g)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~f)^2 - (~g)^2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~n)) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) ?
+(~g)^(~n)*∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*tan((~f)*π⨸(4*(~g)) - (~d)⨸2 - (~e)*(~x)⨸2)^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_32",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))* sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~f) + (~!g)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~f) - (~g), 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~n)) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) ?
+(~f)^(~n)*∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*tan((~d)⨸2 + (~e)*(~x)⨸2)^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_33",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))* sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~f) + (~!g)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~f) + (~g), 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~n)) &&
+    eq((~m) + (~n), 0) ?
+(~f)^(~n)*∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*cot((~d)⨸2 + (~e)*(~x)⨸2)^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_34",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*((~h) + (~!i)*cos((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~f) + (~!g)*sin((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~x)) &&
+    eq((~f)^2 - (~g)^2, 0) &&
+    eq((~h)^2 - (~i)^2, 0) &&
+    eq((~g)*(~h) - (~f)*(~i), 0) ?
+2*(~i)*∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*(cos((~d) + (~e)*(~x))⨸((~f) + (~g)*sin((~d) + (~e)*(~x)))), (~x)) + ∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*(((~h) - (~i)*cos((~d) + (~e)*(~x)))⨸((~f) + (~g)*sin((~d) + (~e)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_35",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*((~h) + (~!i)*sin((~!d) + (~!e)*(~x)))/((~f) + (~!g)*cos((~!d) + (~!e)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~i), (~x)) &&
+    eq((~f)^2 - (~g)^2, 0) &&
+    eq((~h)^2 - (~i)^2, 0) &&
+    eq((~g)*(~h) + (~f)*(~i), 0) ?
+2*(~i)*∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*(sin((~d) + (~e)*(~x))⨸((~f) + (~g)*cos((~d) + (~e)*(~x)))), (~x)) + ∫((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*(((~h) - (~i)*sin((~d) + (~e)*(~x)))⨸((~f) + (~g)*cos((~d) + (~e)*(~x)))), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_36",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*(~u))*(~G)((~v))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~c), (~n), (~x)) &&
+    istrig((~G)) &&
+    linear((~u), (~v), (~x)) &&
+    !(linear_without_simplify((~u), (~v), (~x))) ?
+∫((~F)^((~c)*expand_to_sum((~u), (~x)))*(~G)(expand_to_sum((~v), (~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+# Rule skipped because of "Module":
+# Int[(f_.*x_)^m_.*F_^(c_.*(a_. + b_.*x_))*Sin[d_. + e_.*x_]^n_., x_Symbol] := Module[{u = IntHide[F^(c*(a + b*x))*Sin[d + e*x]^n, x]}, Dist[(f*x)^m, u, x] - f*m*Int[(f*x)^(m - 1)*u, x]] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, 0]
+
+# Rule skipped because of "Module":
+# Int[(f_.*x_)^m_.*F_^(c_.*(a_. + b_.*x_))*Cos[d_. + e_.*x_]^n_., x_Symbol] := Module[{u = IntHide[F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x]^n, x]}, Dist[(f*x)^m, u, x] - f*m*Int[(f*x)^(m - 1)*u, x]] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, 0]
+
+("4_7_7_39",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*(~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*sin((~!d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    (
+        lt((~m), -1) ||
+        sumsimpler((~m), 1)
+    ) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~f)*((~m) + 1))*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*sin((~d) + (~e)*(~x)) - (~e)⨸((~f)*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*cos((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*log((~F))⨸((~f)*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*sin((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_40",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*(~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*cos((~!d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    (
+        lt((~m), -1) ||
+        sumsimpler((~m), 1)
+    ) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~f)*((~m) + 1))*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*cos((~d) + (~e)*(~x)) + (~e)⨸((~f)*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*sin((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*log((~F))⨸((~f)*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x)))*cos((~d) + (~e)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(f_.*x_)^m_.*F_^(c_.*(a_.+b_.*x_))*Sin[d_.+e_.*x_]^n_.,x_ Symbol] := I^n/2^n*Int[ExpandIntegrand[(f*x)^m*F^(c*(a+b*x)),(E^(-I*(d+e*x))-E^ (I*(d+e*x)))^n,x],x] /; FreeQ[{F,a,b,c,d,e,f},x] && IGtQ[n,0] *)
+#(* Int[(f_.*x_)^m_.*F_^(c_.*(a_.+b_.*x_))*Cos[d_.+e_.*x_]^n_.,x_ Symbol] := 1/2^n*Int[ExpandIntegrand[(f*x)^m*F^(c*(a+b*x)),(E^(-I*(d+e*x))+E^( I*(d+e*x)))^n,x],x] /; FreeQ[{F,a,b,c,d,e,f},x] && IGtQ[n,0] *)
+("4_7_7_41",
+@rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)* cos((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+∫(expand_trig_reduce((~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x))), sin((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*cos((~f) + (~g)*(~x))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("4_7_7_42",
+@rule ∫((~x)^(~!p)*(~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*sin((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)* cos((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    igt((~p), 0) ?
+∫(expand_trig_reduce((~x)^(~p)*(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x))), sin((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*cos((~f) + (~g)*(~x))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("4_7_7_43",
+# @rule ∫((~F)^((~!c)*((~!a) + (~!b)*(~x)))*(~G)((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*(~H)((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~F), (~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+#     igt((~m), 0) &&
+#     igt((~n), 0) &&
+#     istrig((~G)) &&
+#     istrig((~H)) ?
+# ∫(ExpandTrigToExp[(~F)^((~c)*((~a) + (~b)*(~x))), (~G)((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*(~H)((~d) + (~e)*(~x))^(~n), (~x)], (~x)) : nothing)
+# 
+# ("4_7_7_44",
+# @rule ∫((~F)^(~u)*sin((~v))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~F), (~x)) &&
+#     (
+#         linear((~u), (~x)) ||
+#         poly((~u), (~x), 2)
+#     ) &&
+#     (
+#         linear((~v), (~x)) ||
+#         poly((~v), (~x), 2)
+#     ) &&
+#     igt((~n), 0) ?
+# ∫(ExpandTrigToExp[(~F)^(~u), sin((~v))^(~n), (~x)], (~x)) : nothing)
+# 
+# ("4_7_7_45",
+# @rule ∫((~F)^(~u)*cos((~v))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~F), (~x)) &&
+#     (
+#         linear((~u), (~x)) ||
+#         poly((~u), (~x), 2)
+#     ) &&
+#     (
+#         linear((~v), (~x)) ||
+#         poly((~v), (~x), 2)
+#     ) &&
+#     igt((~n), 0) ?
+# ∫(ExpandTrigToExp[(~F)^(~u), cos((~v))^(~n), (~x)], (~x)) : nothing)
+# 
+# ("4_7_7_46",
+# @rule ∫((~F)^(~u)*sin((~v))^(~!m)*cos((~v))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~F), (~x)) &&
+#     (
+#         linear((~u), (~x)) ||
+#         poly((~u), (~x), 2)
+#     ) &&
+#     (
+#         linear((~v), (~x)) ||
+#         poly((~v), (~x), 2)
+#     ) &&
+#     igt((~m), 0) &&
+#     igt((~n), 0) ?
+# ∫(ExpandTrigToExp[(~F)^(~u), sin((~v))^(~m)*cos((~v))^(~n), (~x)], (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/5 Inverse trig functions/5.1 Inverse sine/5.1.1 (a+b arcsin(c x))^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/5 Inverse trig functions/5.1 Inverse sine/5.1.1 (a+b arcsin(c x))^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..dc70525e
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/5 Inverse trig functions/5.1 Inverse sine/5.1.1 (a+b arcsin(c x))^n.jl	
@@ -0,0 +1,39 @@
+file_rules = [
+# (* ::Subsection::Closed:: *)
+# (* 5.1.1 (a+b arcsin(c x))^n *)
+("5_1_1_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*asin((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*asin((~c)*(~x)))^(~n) - (~b)*(~c)*(~n)*∫((~x)*((~a) + (~b)*asin((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("5_1_1_2",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acos((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*acos((~c)*(~x)))^(~n) + (~b)*(~c)*(~n)*∫((~x)*((~a) + (~b)*acos((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("5_1_1_3",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*asin((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) ?
+sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2)*((~a) + (~b)*asin((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1)) + (~c)⨸((~b)*((~n) + 1))* ∫((~x)*((~a) + (~b)*asin((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("5_1_1_4",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acos((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) ?
+-sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2)*((~a) + (~b)*acos((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1)) - (~c)⨸((~b)*((~n) + 1))* ∫((~x)*((~a) + (~b)*acos((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("5_1_1_5",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*asin((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) ?
+1⨸((~b)*(~c))*int_and_subst((~x)^(~n)*cos(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b)),  (~x), (~x), (~a) + (~b)*asin((~c)*(~x)), "5_1_1_5") : nothing)
+
+("5_1_1_6",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acos((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) ?
+-1⨸((~b)*(~c))*int_and_subst((~x)^(~n)*sin(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b)),  (~x), (~x), (~a) + (~b)*acos((~c)*(~x)), "5_1_1_6") : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/5 Inverse trig functions/5.1 Inverse sine/5.1.2 (d x)^m (a+b arcsin(c x))^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/5 Inverse trig functions/5.1 Inverse sine/5.1.2 (d x)^m (a+b arcsin(c x))^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..b214948e
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/5 Inverse trig functions/5.1 Inverse sine/5.1.2 (d x)^m (a+b arcsin(c x))^n.jl	
@@ -0,0 +1,99 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 5.1.2 (d x)^m (a+b arcsin(c x))^n *)
+#(* Int[(a_.+b_.*ArcSin[c_.*x_])^n_./x_,x_Symbol] := 1/b*Subst[Int[x^n*Cot[-a/b+x/b],x],x,a+b*ArcSin[c*x]] /; FreeQ[{a,b,c},x] && IGtQ[n,0] *)
+#(* Int[(a_.+b_.*ArcCos[c_.*x_])^n_./x_,x_Symbol] := -1/b*Subst[Int[x^n*Tan[-a/b+x/b],x],x,a+b*ArcCos[c*x]] /; FreeQ[{a,b,c},x] && IGtQ[n,0] *)
+("5_1_2_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*asin((~!c)*(~x)))^(~!n)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)*cot((~x)),  (~x), (~x), asin((~c)*(~x)), "5_1_2_1") : nothing)
+
+("5_1_2_2",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acos((~!c)*(~x)))^(~!n)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+-int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)*tan((~x)),  (~x), (~x), acos((~c)*(~x)), "5_1_2_2") : nothing)
+
+("5_1_2_3",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asin((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*asin((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~d)*((~m) + 1)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~d)*((~m) + 1))* ∫(((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*asin((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("5_1_2_4",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acos((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acos((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~d)*((~m) + 1)) + (~b)*(~c)*(~n)⨸((~d)*((~m) + 1))* ∫(((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acos((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("5_1_2_5",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asin((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*asin((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~m) + 1) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~m) + 1)* ∫((~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*asin((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("5_1_2_6",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acos((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acos((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~m) + 1) + (~b)*(~c)*(~n)⨸((~m) + 1)* ∫((~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acos((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("5_1_2_7",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asin((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    ge((~n), -2) &&
+    lt((~n), -1) ?
+(~x)^(~m)*sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2)*((~a) + (~b)*asin((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1)) - 1⨸((~b)^2*(~c)^((~m) + 1)*((~n) + 1))* int_and_subst( ExpandTrigReduce[(~x)^((~n) + 1),  sin(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^((~m) - 1)*((~m) - ((~m) + 1)*sin(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^2), (~x)], (~x), (~x), (~a) + (~b)*asin((~c)*(~x)), "5_1_2_7") : nothing)
+
+("5_1_2_8",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acos((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    ge((~n), -2) &&
+    lt((~n), -1) ?
+-(~x)^(~m)*sqrt( 1 - (~c)^2*(~x)^2)*((~a) + (~b)*acos((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1)) - 1⨸((~b)^2*(~c)^((~m) + 1)*((~n) + 1))* int_and_subst( ExpandTrigReduce[(~x)^((~n) + 1),  cos(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^((~m) - 1)*((~m) - ((~m) + 1)*cos(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^2), (~x)], (~x), (~x), (~a) + (~b)*acos((~c)*(~x)), "5_1_2_8") : nothing)
+
+("5_1_2_9",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asin((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    lt((~n), -2) ?
+(~x)^(~m)*sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2)*((~a) + (~b)*asin((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1)) - (~m)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))* ∫((~x)^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*asin((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) + (~c)*((~m) + 1)⨸((~b)*((~n) + 1))* ∫((~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*asin((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("5_1_2_10",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acos((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    lt((~n), -2) ?
+-(~x)^(~m)*sqrt( 1 - (~c)^2*(~x)^2)*((~a) + (~b)*acos((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1)) + (~m)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))* ∫((~x)^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*acos((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) - (~c)*((~m) + 1)⨸((~b)*((~n) + 1))* ∫((~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acos((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("5_1_2_11",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asin((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) ?
+1⨸((~b)*(~c)^((~m) + 1))* int_and_subst((~x)^(~n)*sin(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^(~m)*cos(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b)),  (~x), (~x), (~a) + (~b)*asin((~c)*(~x)), "5_1_2_11") : nothing)
+
+("5_1_2_12",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acos((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) ?
+-1⨸((~b)*(~c)^((~m) + 1))* int_and_subst((~x)^(~n)*cos(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^(~m)*sin(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b)),  (~x), (~x), (~a) + (~b)*acos((~c)*(~x)), "5_1_2_12") : nothing)
+
+# ("5_1_2_13",
+# @rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asin((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*asin((~c)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+# ("5_1_2_14",
+# @rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acos((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*acos((~c)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.1 (a+b arctan(c x^n))^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.1 (a+b arctan(c x^n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..368e3d12
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.1 (a+b arctan(c x^n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,77 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 5.3.1 (a+b arctan(c x^n))^p *)
+("5_3_1_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atan((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        eq((~n), 1) ||
+        eq((~p), 1)
+    ) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*atan((~c)*(~x)^(~n)))^(~p) - (~b)*(~c)*(~n)*(~p)* ∫((~x)^(~n)*((~a) + (~b)*atan((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^(2*(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_1_2",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acot((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        eq((~n), 1) ||
+        eq((~p), 1)
+    ) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*acot((~c)*(~x)^(~n)))^(~p) + (~b)*(~c)*(~n)*(~p)* ∫((~x)^(~n)*((~a) + (~b)*acot((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^(2*(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_1_3",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atan((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    igt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + ((~I)*(~b)*log(1 - (~I)*(~c)*(~x)^(~n)))⨸ 2 - ((~I)*(~b)*log(1 + (~I)*(~c)*(~x)^(~n)))⨸2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_1_4",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acot((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    igt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + ((~I)*(~b)*log(1 - (~I)*(~x)^(-(~n))⨸(~c)))⨸ 2 - ((~I)*(~b)*log(1 + (~I)*(~x)^(-(~n))⨸(~c)))⨸2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_1_5",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atan((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+∫(((~a) + (~b)*acot((~x)^(-(~n))⨸(~c)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_1_6",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acot((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+∫(((~a) + (~b)*atan((~x)^(-(~n))⨸(~c)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_1_7",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atan((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n)) - 1)*((~a) + (~b)*atan((~c)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n))))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "5_3_1_7") : nothing)
+
+("5_3_1_8",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acot((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n)) - 1)*((~a) + (~b)*acot((~c)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n))))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "5_3_1_8") : nothing)
+
+# ("5_3_1_9",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*atan((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*atan((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+# ("5_3_1_10",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*acot((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*acot((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.2 (d x)^m (a+b arctan(c x^n))^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.2 (d x)^m (a+b arctan(c x^n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..8b298c1b
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.2 (d x)^m (a+b arctan(c x^n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,181 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 5.3.2 (d x)^m (a+b arctan(c x^n))^p *)
+("5_3_2_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atan((~!c)*(~x)))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) ?
+(~a)*log((~x)) + (~I)*(~b)⨸2*∫(log(1 - (~I)*(~c)*(~x))⨸(~x), (~x)) - (~I)*(~b)⨸2*∫(log(1 + (~I)*(~c)*(~x))⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_2_2",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acot((~!c)*(~x)))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) ?
+(~a)*log((~x)) + (~I)*(~b)⨸2*∫(log(1 - (~I)⨸((~c)*(~x)))⨸(~x), (~x)) - (~I)*(~b)⨸2*∫(log(1 + (~I)⨸((~c)*(~x)))⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_2_3",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atan((~!c)*(~x)))^(~p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) ?
+2*((~a) + (~b)*atan((~c)*(~x)))^(~p)*atanh(1 - 2⨸(1 + (~I)*(~c)*(~x))) - 2*(~b)*(~c)*(~p)* ∫(((~a) + (~b)*atan((~c)*(~x)))^((~p) - 1)* atanh(1 - 2⨸(1 + (~I)*(~c)*(~x)))⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_2_4",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acot((~!c)*(~x)))^(~p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) ?
+2*((~a) + (~b)*acot((~c)*(~x)))^(~p)*acoth(1 - 2⨸(1 + (~I)*(~c)*(~x))) + 2*(~b)*(~c)*(~p)* ∫(((~a) + (~b)*acot((~c)*(~x)))^((~p) - 1)* acoth(1 - 2⨸(1 + (~I)*(~c)*(~x)))⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_2_5",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atan((~!c)*(~x)^(~n)))^(~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst(((~a) + (~b)*atan((~c)*(~x)))^(~p)⨸(~x),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "5_3_2_5") : nothing)
+
+("5_3_2_6",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acot((~!c)*(~x)^(~n)))^(~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst(((~a) + (~b)*acot((~c)*(~x)))^(~p)⨸(~x),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "5_3_2_6") : nothing)
+
+("5_3_2_7",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*atan((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        eq((~p), 1) ||
+        eq((~n), 1) &&
+        ext_isinteger((~m))
+    ) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+(~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*atan((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~m) + 1) - (~b)*(~c)*(~n)*(~p)⨸((~m) + 1)* ∫((~x)^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*atan((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^(2*(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_2_8",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acot((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        eq((~p), 1) ||
+        eq((~n), 1) &&
+        ext_isinteger((~m))
+    ) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+(~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acot((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~m) + 1) + (~b)*(~c)*(~n)*(~p)⨸((~m) + 1)* ∫((~x)^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*acot((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^(2*(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_2_9",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*atan((~!c)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~a) + (~b)*atan((~c)*(~x)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "5_3_2_9") : nothing)
+
+("5_3_2_10",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acot((~!c)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~a) + (~b)*acot((~c)*(~x)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "5_3_2_10") : nothing)
+
+("5_3_2_11",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*atan((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand( (~x)^(~m)*((~a) + ((~I)*(~b)*log(1 - (~I)*(~c)*(~x)^(~n)))⨸2 - ((~I)*(~b)*log(1 + (~I)*(~c)*(~x)^(~n)))⨸2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_2_12",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acot((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand( (~x)^(~m)*((~a) + ((~I)*(~b)*log(1 - (~I)*(~x)^(-(~n))⨸(~c)))⨸2 - ((~I)*(~b)*log(1 + (~I)*(~x)^(-(~n))⨸(~c)))⨸ 2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_2_13",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*atan((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    isfraction((~m)) ?
+ext_den((~m))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*atan((~c)*(~x)^(ext_den((~m))*(~n))))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~m))), "5_3_2_13") : nothing)
+
+("5_3_2_14",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acot((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    isfraction((~m)) ?
+ext_den((~m))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*acot((~c)*(~x)^(ext_den((~m))*(~n))))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~m))), "5_3_2_14") : nothing)
+
+("5_3_2_15",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*atan((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*acot((~x)^(-(~n))⨸(~c)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_2_16",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acot((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*atan((~x)^(-(~n))⨸(~c)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_2_17",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*atan((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n))*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*atan((~c)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n))))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "5_3_2_17") : nothing)
+
+("5_3_2_18",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acot((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n))*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*acot((~c)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n))))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "5_3_2_18") : nothing)
+
+("5_3_2_19",
+@rule ∫(((~d)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*atan((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*atan((~c)*(~x)^(~n)))⨸((~d)*((~m) + 1)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~d)^(~n)*((~m) + 1))*∫(((~d)*(~x))^((~m) + (~n))⨸(1 + (~c)^2*(~x)^(2*(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_2_20",
+@rule ∫(((~d)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*acot((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acot((~c)*(~x)^(~n)))⨸((~d)*((~m) + 1)) + (~b)*(~c)*(~n)⨸((~d)^(~n)*((~m) + 1))*∫(((~d)*(~x))^((~m) + (~n))⨸(1 + (~c)^2*(~x)^(2*(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_2_21",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*atan((~!c)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        eq((~p), 1) ||
+        isrational((~m), (~n))
+    ) ?
+(~d)^intpart((~m))*((~d)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*atan((~c)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("5_3_2_22",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*acot((~!c)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        eq((~p), 1) ||
+        isrational((~m), (~n))
+    ) ?
+(~d)^intpart((~m))*((~d)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*acot((~c)*(~x)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+# ("5_3_2_23",
+# @rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*atan((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*atan((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+# ("5_3_2_24",
+# @rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acot((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*acot((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.1 (a+b arcsinh(c x))^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.1 (a+b arcsinh(c x))^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..a9acbe45
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.1 (a+b arcsinh(c x))^n.jl	
@@ -0,0 +1,22 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 7.1.1 (a+b arcsinh(c x))^n *)
+("7_1_1_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n) - (~b)*(~c)*(~n)*∫((~x)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_1_2",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) ?
+sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1)) - (~c)⨸((~b)*((~n) + 1))* ∫((~x)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_1_3",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) ?
+1⨸((~b)*(~c))* int_and_subst((~x)^(~n)*cosh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b)),  (~x), (~x), (~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)), "7_1_1_3") : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.2 (d x)^m (a+b arcsinh(c x))^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.2 (d x)^m (a+b arcsinh(c x))^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..8b183f8a
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.2 (d x)^m (a+b arcsinh(c x))^n.jl	
@@ -0,0 +1,51 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 7.1.2 (d x)^m (a+b arcsinh(c x))^n *)
+("7_1_2_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+1⨸(~b)*int_and_subst((~x)^(~n)*coth(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b)),  (~x), (~x), (~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)), "7_1_2_1") : nothing)
+
+("7_1_2_2",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~d)*((~m) + 1)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~d)*((~m) + 1))* ∫(((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_2_3",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~m) + 1) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~m) + 1)* ∫((~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_2_4",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    ge((~n), -2) &&
+    lt((~n), -1) ?
+(~x)^(~m)*sqrt( 1 + (~c)^2*(~x)^2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1)) - 1⨸((~b)^2*(~c)^((~m) + 1)*((~n) + 1))* int_and_subst(expand_trig_reduce((~x)^((~n) + 1),  sinh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^((~m) - 1)*((~m) + ((~m) + 1)*sinh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^2), (~x)), (~x), (~x), (~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)), "7_1_2_4") : nothing)
+
+("7_1_2_5",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    lt((~n), -2) ?
+(~x)^(~m)*sqrt( 1 + (~c)^2*(~x)^2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1)) - (~m)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))* ∫((~x)^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)) - (~c)*((~m) + 1)⨸((~b)*((~n) + 1))* ∫((~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_2_6",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) ?
+1⨸((~b)*(~c)^((~m) + 1))* int_and_subst((~x)^(~n)*sinh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^(~m)*cosh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b)),  (~x), (~x), (~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)), "7_1_2_6") : nothing)
+
+# ("7_1_2_7",
+# @rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.3 (d+e x^2)^p (a+b arcsinh(c x))^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.3 (d+e x^2)^p (a+b arcsinh(c x))^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..c2378480
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.3 (d+e x^2)^p (a+b arcsinh(c x))^n.jl	
@@ -0,0 +1,125 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 7.1.3 (d+e x^2)^p (a+b arcsinh(c x))^n *)
+#(* Int[(a_.+b_.*ArcSinh[c_.*x_])^n_./Sqrt[d_+e_.*x_^2],x_Symbol] := 1/c*Simp[Sqrt[1+c^2*x^2]/Sqrt[d+e*x^2]]*Subst[Int[(a+b*x)^n,x],x, ArcSinh[c*x]] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,n},x] && EqQ[e,c^2*d] *)
+("7_1_3_1",
+@rule ∫(1/(sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) ?
+1⨸((~b)*(~c))*simp(sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2)⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2))* log((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x))) : nothing)
+
+("7_1_3_2",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n)/sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    !eq((~n), -1) ?
+1⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))* simp(sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2)⨸ sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2))*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1) : nothing)
+
+("7_1_3_3",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+dist((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)), ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*∫(ext_simplify(∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x))⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_3_4",
+@rule ∫(sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~x)*sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n)⨸2 - (~b)*(~c)*(~n)⨸2*simp(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2))* ∫((~x)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) + 1⨸2*simp(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2))* ∫(((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_3_5",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) ?
+(~x)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n)⨸(2*(~p) + 1) + 2*(~d)*(~p)⨸(2*(~p) + 1)* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸(2*(~p) + 1)*simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p))* ∫((~x)*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_3_6",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n)/((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~d)*sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸(~d)*simp(sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2)⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2))* ∫((~x)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_3_7",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~p), -3/2) ?
+-(~x)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n)⨸(2*(~d)*((~p) + 1)) + (2*(~p) + 3)⨸(2*(~d)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) + (~b)*(~c)*(~n)⨸(2*((~p) + 1))*simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p))* ∫((~x)*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_3_8",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n)/((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+1⨸((~c)*(~d))*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)*sech((~x)),  (~x), (~x), asinh((~c)*(~x)), "7_1_3_8") : nothing)
+
+#(* Int[(d_+e_.*x_^2)^p_.*(a_.+b_.*ArcSinh[c_.*x_])^n_,x_Symbol] := d^p*(1+c^2*x^2)^(p+1/2)*(a+b*ArcSinh[c*x])^(n+1)/(b*c*(n+1)) - c*d^p*(2*p+1)/(b*(n+1))*Int[x*(1+c^2*x^2)^(p-1/2)*(a+b*ArcSinh[c*x]) ^(n+1),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,p},x] && EqQ[e,c^2*d] && LtQ[n,-1] && (IntegerQ[p] ||  GtQ[d,0]) *)
+("7_1_3_9",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    lt((~n), -1) ?
+simp(sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^ (~p))*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1)) - (~c)*(2*(~p) + 1)⨸((~b)*((~n) + 1))*simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p))* ∫((~x)*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_3_10",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    igt(2*(~p), 0) ?
+1⨸((~b)*(~c))*simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p))* int_and_subst((~x)^(~n)*cosh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^(2*(~p) + 1),  (~x), (~x), (~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)), "7_1_3_10") : nothing)
+
+("7_1_3_11",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    (
+        igt((~p), 0) ||
+        ilt((~p) + 1/2, 0)
+    ) ?
+dist((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)), ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*∫(ext_simplify(∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x))⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_3_12",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    (
+        (~p) > 0 ||
+        igt((~n), 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), ((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("7_1_3_13",
+# @rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+("7_1_3_14",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~p)*((~f) + (~!g)*(~x))^(~q)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e)*(~f) + (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)^2*(~d)^2 + (~e)^2, 0) &&
+    half_integer((~p), (~q)) &&
+    ge((~p) - (~q), 0) &&
+    gt((~d), 0) &&
+    lt((~g)/(~e), 0) ?
+(-(~d)^2*(~g)⨸(~e))^(~q)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~p) - (~q))*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_3_15",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~p)*((~f) + (~!g)*(~x))^(~q)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e)*(~f) + (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)^2*(~d)^2 + (~e)^2, 0) &&
+    half_integer((~p), (~q)) &&
+    ge((~p) - (~q), 0) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^(~q)*((~f) + (~g)*(~x))^(~q)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~q)* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~p) - (~q))*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arcsinh(c x))^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arcsinh(c x))^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..3902074c
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arcsinh(c x))^n.jl	
@@ -0,0 +1,269 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 7.1.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arcsinh(c x))^n *)
+("7_1_4_1",
+@rule ∫((~x)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n)/((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+1⨸(~e)*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)*tanh((~x)),  (~x), (~x), asinh((~c)*(~x)), "7_1_4_1") : nothing)
+
+("7_1_4_2",
+@rule ∫((~x)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n)⨸(2*(~e)*((~p) + 1)) - (~b)*(~n)⨸(2*(~c)*((~p) + 1))*simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p))* ∫((1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_3",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n)/((~x)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+1⨸(~d)*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)⨸(cosh((~x))*sinh((~x))),  (~x), (~x), asinh((~c)*(~x)), "7_1_4_3") : nothing)
+
+("7_1_4_4",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 3, 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^ (~n)⨸((~d)*(~f)*((~m) + 1)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~f)*((~m) + 1))*simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_5",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))⨸(2*(~p)) - (~b)*(~c)*(~d)^(~p)⨸(2*(~p))*∫((1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) - 1⨸2), (~x)) + (~d)*∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_6",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt(((~m) + 1)/2, 0) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))⨸((~f)*((~m) + 1)) - (~b)*(~c)*(~d)^(~p)⨸((~f)*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) - 1⨸2), (~x)) - 2*(~e)*(~p)⨸((~f)^2*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_7",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+dist((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)), ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*∫(ext_simplify(∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x))⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_8",
+@rule ∫((~x)^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) &&
+    !eq((~p), -1/2) &&
+    (
+        igt(((~m) + 1)/2, 0) ||
+        ilt(((~m) + 2*(~p) + 3)/2, 0)
+    ) ?
+dist((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)), ∫((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x))) - (~b)*(~c)*simp(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2))* ∫(ext_simplify(∫((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x))⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_9",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)* sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*((~m) + 1)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~f)*((~m) + 1))*simp(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) - (~c)^2⨸((~f)^2*((~m) + 1))*simp(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_10",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    (
+        igt((~m), -2) ||
+        eq((~n), 1)
+    ) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)* sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*((~m) + 2)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~f)*((~m) + 2))*simp(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) + 1⨸((~m) + 2)*simp(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2))* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_11",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*((~m) + 1)) - 2*(~e)*(~p)⨸((~f)^2*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~f)*((~m) + 1))*simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_12",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !(lt((~m), -1)) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^ (~p)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*((~m) + 2*(~p) + 1)) + 2*(~d)*(~p)⨸((~m) + 2*(~p) + 1)* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~f)*((~m) + 2*(~p) + 1))*simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_13",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    ilt((~m), -1) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^ (~n)⨸((~d)*(~f)*((~m) + 1)) - (~c)^2*((~m) + 2*(~p) + 3)⨸((~f)^2*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~f)*((~m) + 1))*simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_14",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    igt((~m), 1) ?
+(~f)*((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^ (~n)⨸(2*(~e)*((~p) + 1)) - (~f)^2*((~m) - 1)⨸(2*(~e)*((~p) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~b)*(~f)*(~n)⨸(2*(~c)*((~p) + 1))*simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_15",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !(gt((~m), 1)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        eq((~n), 1)
+    ) ?
+-((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^ (~n)⨸(2*(~d)*(~f)*((~p) + 1)) + ((~m) + 2*(~p) + 3)⨸(2*(~d)*((~p) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) + (~b)*(~c)*(~n)⨸(2*(~f)*((~p) + 1))*simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_16",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    igt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0) ?
+(~f)*((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^ (~n)⨸((~e)*((~m) + 2*(~p) + 1)) - (~f)^2*((~m) - 1)⨸((~c)^2*((~m) + 2*(~p) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~b)*(~f)*(~n)⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 1))*simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_17",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0) ?
+((~f)*(~x))^(~m)* sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^ (~p)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1)) - (~f)*(~m)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))*simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_18",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    igt(2*(~p), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0) &&
+    igt((~m), -3) ?
+((~f)*(~x))^(~m)* sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^ (~p)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1)) - (~f)*(~m)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))*simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) - (~c)*((~m) + 2*(~p) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~n) + 1))* simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(f_.*x_)^m_.*(d_+e_.*x_^2)^p_.*(a_.+b_.*ArcSinh[c_.*x_])^n_,x_ Symbol] := (f*x)^m*Simp[Sqrt[1+c^2*x^2]*(d+e*x^2)^p]*(a+b*ArcSinh[c*x])^(n+1)/( b*c*(n+1)) - f*m/(b*c*(n+1))*Simp[(d+e*x^2)^p/(1+c^2*x^2)^p]*Int[(f*x)^(m-1)*(1+ c^2*x^2)^(p+1/2)*(a+b*ArcSinh[c*x])^(n+1),x] - c*(2*p+1)/(b*f*(n+1))*Simp[(d+e*x^2)^p/(1+c^2*x^2)^p]*Int[(f*x)^(m+ 1)*(1+c^2*x^2)^(p-1/2)*(a+b*ArcSinh[c*x])^(n+1),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,m,p},x] && EqQ[e,c^2*d] && LtQ[n,-1] &&  IntegerQ[2*p] && NeQ[p,-1/2] && IGtQ[m,-3] *)
+("7_1_4_19",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n)/sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    igt((~m), 1) ?
+(~f)*((~f)*(~x))^((~m) - 1)*sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~e)*(~m)) - (~b)*(~f)*(~n)⨸((~c)*(~m))*simp(sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2)⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) - (~f)^2*((~m) - 1)⨸((~c)^2*(~m))* ∫((((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n))⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_20",
+@rule ∫((~x)^(~m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n)/sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+1⨸(~c)^((~m) + 1)*simp(sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2)⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)*sinh((~x))^(~m),  (~x), (~x), asinh((~c)*(~x)), "7_1_4_20") : nothing)
+
+("7_1_4_21",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))/sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~f)*((~m) + 1))* simp(sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2)⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2))*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))* hypergeometric2f1(1⨸2, (1 + (~m))⨸2, (3 + (~m))⨸2, -(~c)^2*(~x)^2) - (~b)*(~c)*((~f)*(~x))^((~m) + 2)⨸((~f)^2*((~m) + 1)*((~m) + 2))* simp(sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2)⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2))* hypergeometricpFq([1, 1 + (~m)⨸2, 1 + (~m)⨸2], [3⨸2 + (~m)⨸2, 2 + (~m)⨸2],  -(~c)^2*(~x)^2) : nothing)
+
+("7_1_4_22",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~n)/sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    lt((~n), -1) ?
+((~f)*(~x))^(~m)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))* simp(sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2)⨸ sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2))*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1) - (~f)*(~m)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))*simp(sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2)⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_23",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    igt(2*(~p) + 2, 0) &&
+    igt((~m), 0) ?
+1⨸((~b)*(~c)^((~m) + 1))*simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p))* int_and_subst((~x)^(~n)*sinh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^(~m)*cosh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^(2*(~p) + 1),  (~x), (~x), (~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)), "7_1_4_23") : nothing)
+
+("7_1_4_24",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    igt((~p) + 1/2, 0) &&
+    !(igt(((~m) + 1)/2, 0)) &&
+    (
+        eq((~m), -1) ||
+        eq((~m), -2)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n)⨸ sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2), ((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_25",
+@rule ∫((~x)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))⨸(2*(~e)*((~p) + 1)) - (~b)*(~c)⨸(2*(~e)*((~p) + 1))*∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_26",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    (
+        gt((~p), 0) ||
+        igt(((~m) - 1)/2, 0) &&
+        le((~m) + (~p), 0)
+    ) ?
+dist((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)), ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*∫(ext_simplify(∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x))⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_27",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), ((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("7_1_4_28",
+# @rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+("7_1_4_29",
+@rule ∫(((~!h)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~p)*((~f) + (~!g)*(~x))^ (~q)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e)*(~f) + (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)^2*(~d)^2 + (~e)^2, 0) &&
+    half_integer((~p), (~q)) &&
+    ge((~p) - (~q), 0) &&
+    gt((~d), 0) &&
+    lt((~g)/(~e), 0) ?
+(-(~d)^2*(~g)⨸(~e))^(~q)* ∫(((~h)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x))^((~p) - (~q))*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~q)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^ (~n), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_4_30",
+@rule ∫(((~!h)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~p)*((~f) + (~!g)*(~x))^ (~q)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e)*(~f) + (~d)*(~g), 0) &&
+    eq((~c)^2*(~d)^2 + (~e)^2, 0) &&
+    half_integer((~p), (~q)) &&
+    ge((~p) - (~q), 0) ?
+(-(~d)^2*(~g)⨸(~e))^intpart((~q))*((~d) + (~e)*(~x))^ fracpart((~q))*((~f) + (~g)*(~x))^fracpart((~q))⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^fracpart((~q))* ∫(((~h)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x))^((~p) - (~q))*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^ (~q)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.5 u (a+b arcsinh(c x))^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.5 u (a+b arcsinh(c x))^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..b787d904
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.5 u (a+b arcsinh(c x))^n.jl	
@@ -0,0 +1,267 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 7.1.5 u (a+b arcsinh(c x))^n *)
+("7_1_5_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n)/((~!d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)*cosh((~x))⨸((~c)*(~d) + (~e)*sinh((~x))),  (~x), (~x), asinh((~c)*(~x)), "7_1_5_1") : nothing)
+
+("7_1_5_2",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~e)*((~m) + 1)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~e)*((~m) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸ sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_3",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_4",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) ?
+1⨸(~c)^((~m) + 1)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)*cosh((~x))*((~c)*(~d) + (~e)*sinh((~x)))^(~m),  (~x), (~x), asinh((~c)*(~x)), "7_1_5_4") : nothing)
+
+("7_1_5_5",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) ?
+dist((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)), ∫(ExpandExpression[(~Px), (~x)], (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*∫(ext_simplify(∫(ExpandExpression[(~Px), (~x)], (~x))⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[Px_*(a_.+b_.*ArcSinh[c_.*x_])^n_.,x_Symbol] := With[{u=IntHide[Px,x]}, Dist[(a+b*ArcSinh[c*x])^n,u,x] -  b*c*n*Int[SimplifyIntegrand[u*(a+b*ArcSinh[c*x])^(n-1)/Sqrt[1+c^2*x^2] ,x],x]] /; FreeQ[{a,b,c},x] && PolynomialQ[Px,x] && IGtQ[n,0] *)
+("7_1_5_6",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) ?
+∫(ext_expand((~Px)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_7",
+@rule ∫((~Px)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) ?
+dist((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)), ∫((~Px)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m), (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*∫(ext_simplify(∫((~Px)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m), (~x))⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_8",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!p)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^ (~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~m), 0) &&
+    lt((~m) + (~p) + 1, 0) ?
+dist(((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~p)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m), (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*(~n)*∫( ext_simplify( ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~p)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m), (~x))*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_9",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x) + (~!h)*(~x)^2)^ (~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~n)/((~d) + (~!e)*(~x))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    eq((~e)*(~g) - 2*(~d)*(~h), 0) ?
+dist(((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), ∫(((~f) + (~g)*(~x) + (~h)*(~x)^2)^(~p)⨸((~d) + (~e)*(~x))^2, (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*(~n)*∫( ext_simplify( ∫(((~f) + (~g)*(~x) + (~h)*(~x)^2)^(~p)⨸((~d) + (~e)*(~x))^2, (~x))*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_10",
+@rule ∫((~Px)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand((~Px)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_11",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    ilt((~p) + 1/2, 0) &&
+    gt((~d), 0) &&
+    (
+        lt((~m), -2*(~p) - 1) ||
+        gt((~m), 3)
+    ) ?
+dist((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)), ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*∫(dist(1⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_12",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^ (~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    ext_isinteger((~p) + 1/2) &&
+    gt((~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    (
+        eq((~n), 1) &&
+        gt((~p), -1) ||
+        gt((~p), 0) ||
+        eq((~m), 1) ||
+        eq((~m), 2) &&
+        lt((~p), -2)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^ (~n), ((~f) + (~g)*(~x))^(~m), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_13",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~m)* sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    ilt((~m), 0) &&
+    gt((~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+((~f) + (~g)*(~x))^ (~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)* sqrt((~d))*((~n) + 1)) - 1⨸((~b)*(~c)*sqrt((~d))*((~n) + 1))* ∫(((~d)*(~g)*(~m) + 2*(~e)*(~f)*(~x) + (~e)*(~g)*((~m) + 2)*(~x)^2)*((~f) + (~g)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_14",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^ (~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    igt((~p) + 1/2, 0) &&
+    gt((~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand( sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), ((~f) + (~g)*(~x))^ (~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) - 1⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_15",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^ (~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    ilt((~m), 0) &&
+    igt((~p) - 1/2, 0) &&
+    gt((~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+((~f) + (~g)*(~x))^ (~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)* sqrt((~d))*((~n) + 1)) - 1⨸((~b)*(~c)*sqrt((~d))*((~n) + 1))* ∫( ext_expand(((~f) + (~g)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), ((~d)*(~g)*(~m) + (~e)*(~f)*(2*(~p) + 1)*(~x) + (~e)*(~g)*((~m) + 2*(~p) + 1)*(~x)^2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) - 1⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_16",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~n)/ sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    gt((~d), 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*sqrt((~d))*((~n) + 1)) - (~g)*(~m)⨸((~b)*(~c)*sqrt((~d))*((~n) + 1))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_17",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n)/ sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    gt((~d), 0) &&
+    (
+        gt((~m), 0) ||
+        igt((~n), 0)
+    ) ?
+1⨸((~c)^((~m) + 1)*sqrt((~d)))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)*((~c)*(~f) + (~g)*sinh((~x)))^(~m),  (~x), (~x), asinh((~c)*(~x)), "7_1_5_17") : nothing)
+
+("7_1_5_18",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^ (~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    ilt((~p) + 1/2, 0) &&
+    gt((~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n)⨸ sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2), ((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_19",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^ (~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) &&
+    !(gt((~d), 0)) ?
+simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_20",
+@rule ∫(log((~!h)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m))*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n)/ sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    gt((~d), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+log((~h)*((~f) + (~g)*(~x))^(~m))*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)* sqrt((~d))*((~n) + 1)) - (~g)*(~m)⨸((~b)*(~c)*sqrt((~d))*((~n) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~f) + (~g)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_21",
+@rule ∫(log((~!h)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m))*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^ (~p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) &&
+    !(gt((~d), 0)) ?
+simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p))* ∫(log((~h)*((~f) + (~g)*(~x))^(~m))*(1 + (~c)^2*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_22",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~!g)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    ilt((~m) + 1/2, 0) ?
+dist((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)), ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~m), (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*∫(dist(1⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~m), (~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_23",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^ (~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^ (~n), ((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~m), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_24",
+@rule ∫((~u)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !contains_inverse_function(IntHide[(~u), (~x)], (~x)) ?
+dist((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)), ∫((~u), (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*∫(ext_simplify(∫((~u), (~x))⨸sqrt(1 + (~c)^2*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_25",
+@rule ∫((~Px)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) &&
+    issum(ext_expand((~Px)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*asinh[(~c)*(~x)])^(~n), (~x))) ?
+∫(ext_expand((~Px)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_26",
+@rule ∫((~!Px)*((~f) + (~!g)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    igt((~p) + 1/2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~n)) &&
+    issum(ext_expand( (~Px)*((~f) + (~g)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p))^(~m)*((~a) + (~b)*asinh[(~c)*(~x)])^(~n), (~x))) ?
+∫(ext_expand( (~Px)*((~f) + (~g)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p))^(~m)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_27",
+@rule ∫((~RF)*asinh((~!c)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~x)) &&
+    rational_function((~RF), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    issum(ext_expand(asinh[(~c)*(~x)]^(~n), (~RF), (~x))) ?
+∫(ext_expand(asinh((~c)*(~x))^(~n), (~RF), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_28",
+@rule ∫((~RF)*((~a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    rational_function((~RF), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand((~RF)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_29",
+@rule ∫((~RF)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*asinh((~!c)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    rational_function((~RF), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) &&
+    issum(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*asinh[(~c)*(~x)]^(~n), (~RF), (~x))) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*asinh((~c)*(~x))^(~n), (~RF), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_5_30",
+@rule ∫((~RF)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    rational_function((~RF), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    eq((~e), (~c)^2*(~d)) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~RF)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("7_1_5_31",
+# @rule ∫((~!u)*((~!a) + (~!b)*asinh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) ?
+# Unintegrable[(~u)*((~a) + (~b)*asinh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.6 Miscellaneous inverse hyperbolic sine.jl b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.6 Miscellaneous inverse hyperbolic sine.jl
new file mode 100644
index 00000000..82b9ed83
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.6 Miscellaneous inverse hyperbolic sine.jl	
@@ -0,0 +1,130 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 7.1.6 Miscellaneous inverse hyperbolic sine *)
+("7_1_6_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*asinh((~c) + (~!d)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) ?
+1⨸(~d)*int_and_subst(((~a) + (~b)*asinh((~x)))^(~n),  (~x), (~x), (~c) + (~d)*(~x), "7_1_6_1") : nothing)
+
+("7_1_6_2",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~c) + (~!d)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) ?
+1⨸(~d)*int_and_subst((((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸(~d) + (~f)*(~x)⨸(~d))^(~m)*((~a) + (~b)*asinh((~x)))^(~n),  (~x), (~x), (~c) + (~d)*(~x), "7_1_6_2") : nothing)
+
+("7_1_6_3",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*(~x) + (~!C)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~c) + (~!d)*(~x)))^ (~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~A), (~B), (~C), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~B)*(1 + (~c)^2) - 2*(~A)*(~c)*(~d), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~C) - (~B)*(~d), 0) ?
+1⨸(~d)*int_and_subst(((~C)⨸(~d)^2 + (~C)⨸(~d)^2*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*asinh((~x)))^(~n),  (~x), (~x), (~c) + (~d)*(~x), "7_1_6_3") : nothing)
+
+("7_1_6_4",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~!A) + (~!B)*(~x) + (~!C)*(~x)^2)^ (~!p)*((~!a) + (~!b)*asinh((~c) + (~!d)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~B)*(1 + (~c)^2) - 2*(~A)*(~c)*(~d), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~C) - (~B)*(~d), 0) ?
+1⨸(~d)*int_and_subst((((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸(~d) + (~f)*(~x)⨸(~d))^(~m)*((~C)⨸(~d)^2 + (~C)⨸(~d)^2*(~x)^2)^ (~p)*((~a) + (~b)*asinh((~x)))^(~n),  (~x), (~x), (~c) + (~d)*(~x), "7_1_6_4") : nothing)
+
+("7_1_6_5",
+@rule ∫(sqrt((~!a) + (~!b)*asinh((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~c)^2, -1) ?
+(~x)*sqrt((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)) - sqrt(π)*(~x)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) - (~c)*sinh((~a)⨸(2*(~b))))* FresnelIntegrals.fresnelc(sqrt(-(~c)⨸(π*(~b)))*sqrt((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)))⨸ (sqrt(-((~c)⨸(~b)))*(cosh(asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸2) + (~c)*sinh(asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸2))) + sqrt(π)*(~x)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) + (~c)*sinh((~a)⨸(2*(~b))))* FresnelIntegrals.fresnels(sqrt(-(~c)⨸(π*(~b)))*sqrt((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)))⨸ (sqrt(-((~c)⨸(~b)))*(cosh(asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸2) + (~c)*sinh(asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸2))) : nothing)
+
+("7_1_6_6",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*asinh((~c) + (~!d)*(~x)^2))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~c)^2, -1) &&
+    gt((~n), 1) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2))^(~n) - 2*(~b)*(~n)* sqrt(2*(~c)*(~d)*(~x)^2 + (~d)^2*(~x)^4)*((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2))^((~n) - 1)⨸((~d)*(~x)) + 4*(~b)^2*(~n)*((~n) - 1)*∫(((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_6_7",
+@rule ∫(1/((~!a) + (~!b)*asinh((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~c)^2, -1) ?
+(~x)*((~c)*cosh((~a)⨸(2*(~b))) - sinh((~a)⨸(2*(~b))))* coshintegral(((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2))⨸(2*(~b)))⨸ (2* (~b)*(cosh(asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸2) + (~c)*sinh((1⨸2)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)))) + (~x)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) - (~c)*sinh((~a)⨸(2*(~b))))* sinhintegral(((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2))⨸(2*(~b)))⨸ (2* (~b)*(cosh(asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸2) + (~c)*sinh((1⨸2)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)))) : nothing)
+
+("7_1_6_8",
+@rule ∫(1/sqrt((~!a) + (~!b)*asinh((~c) + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~c)^2, -1) ?
+((~c) + 1)*sqrt(π⨸2)*(~x)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) - sinh((~a)⨸(2*(~b))))* SymbolicUtils.erfi(sqrt((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2))⨸sqrt(2*(~b)))⨸ (2* sqrt((~b))*(cosh(asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸2) + (~c)*sinh(asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸2))) + ((~c) - 1)*sqrt(π⨸2)*(~x)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) + sinh((~a)⨸(2*(~b))))* SymbolicUtils.erf(sqrt((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2))⨸sqrt(2*(~b)))⨸ (2* sqrt((~b))*(cosh(asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸2) + (~c)*sinh(asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸2))) : nothing)
+
+("7_1_6_9",
+@rule ∫(1/((~!a) + (~!b)*asinh((~c) + (~!d)*(~x)^2))^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~c)^2, -1) ?
+-sqrt(2*(~c)*(~d)*(~x)^2 + (~d)^2*(~x)^4)⨸((~b)*(~d)*(~x)*sqrt((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2))) - (-(~c)⨸(~b))^(3⨸2)*sqrt(π)*(~x)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) - (~c)*sinh((~a)⨸(2*(~b))))* FresnelIntegrals.fresnelc(sqrt(-(~c)⨸(π*(~b)))*sqrt((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)))⨸ (cosh(asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸2) + (~c)*sinh(asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸2)) + (-(~c)⨸(~b))^(3⨸2)*sqrt(π)*(~x)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) + (~c)*sinh((~a)⨸(2*(~b))))* FresnelIntegrals.fresnels(sqrt(-(~c)⨸(π*(~b)))*sqrt((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)))⨸ (cosh(asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸2) + (~c)*sinh(asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸2)) : nothing)
+
+("7_1_6_10",
+@rule ∫(1/((~!a) + (~!b)*asinh((~c) + (~!d)*(~x)^2))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~c)^2, -1) ?
+-sqrt(2*(~c)*(~d)*(~x)^2 + (~d)^2*(~x)^4)⨸(2*(~b)*(~d)*(~x)*((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2))) + (~x)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) - (~c)*sinh((~a)⨸(2*(~b))))* coshintegral(((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2))⨸(2*(~b)))⨸ (4* (~b)^2*(cosh(asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸2) + (~c)*sinh(asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸2))) + (~x)*((~c)*cosh((~a)⨸(2*(~b))) - sinh((~a)⨸(2*(~b))))* sinhintegral(((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2))⨸(2*(~b)))⨸ (4* (~b)^2*(cosh(asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸2) + (~c)*sinh(asinh((~c) + (~d)*(~x)^2)⨸2))) : nothing)
+
+("7_1_6_11",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*asinh((~c) + (~!d)*(~x)^2))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~c)^2, -1) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq((~n), -2) ?
+-(~x)*((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2))^((~n) + 2)⨸(4*(~b)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2)) + sqrt( 2*(~c)*(~d)*(~x)^2 + (~d)^2*(~x)^4)*((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2))^((~n) + 1)⨸(2*(~b)*(~d)*((~n) + 1)* (~x)) + 1⨸(4*(~b)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2))* ∫(((~a) + (~b)*asinh((~c) + (~d)*(~x)^2))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_6_12",
+@rule ∫(asinh((~!a)*(~x)^(~p))^(~!n)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~p), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+1⨸(~p)*int_and_subst((~x)^(~n)*coth((~x)),  (~x), (~x), asinh((~a)*(~x)^(~p)), "7_1_6_12") : nothing)
+
+("7_1_6_13",
+@rule ∫((~!u)*asinh((~c)/((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n)))^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~m), (~x)) ?
+∫((~u)*acsch((~a)⨸(~c) + (~b)*(~x)^(~n)⨸(~c))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_6_14",
+@rule ∫(asinh(sqrt(-1 + (~!b)*(~x)^2))^(~!n)/sqrt(-1 + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~n), (~x)) ?
+sqrt((~b)*(~x)^2)⨸((~b)*(~x))* int_and_subst(asinh((~x))^(~n)⨸sqrt(1 + (~x)^2),  (~x), (~x), sqrt(-1 + (~b)*(~x)^2), "7_1_6_14") : nothing)
+
+("7_1_6_15",
+@rule ∫((~f)^((~!c)*asinh((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~f), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+1⨸(~b)*int_and_subst((~f)^((~c)*(~x)^(~n))*cosh((~x)),  (~x), (~x), asinh((~a) + (~b)*(~x)), "7_1_6_15") : nothing)
+
+("7_1_6_16",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*(~f)^((~!c)*asinh((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~f), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+1⨸(~b)*int_and_subst((-(~a)⨸(~b) + sinh((~x))⨸(~b))^(~m)*(~f)^((~c)*(~x)^(~n))*cosh((~x)),  (~x), (~x), asinh((~a) + (~b)*(~x)), "7_1_6_16") : nothing)
+
+("7_1_6_17",
+@rule ∫(asinh((~u)),(~x)) =>
+    !contains_inverse_function((~u), (~x)) &&
+    !(function_of_exponential((~u), (~x))) ?
+(~x)*asinh((~u)) - ∫(ext_simplify((~x)*Symbolics.derivative((~u), (~x))⨸sqrt(1 + (~u)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_6_18",
+@rule ∫(((~!c) + (~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*asinh((~u))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    !contains_inverse_function((~u), (~x)) &&
+    !(function_of_exponential((~u), (~x))) ?
+((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*asinh((~u)))⨸((~d)*((~m) + 1)) - (~b)⨸((~d)*((~m) + 1))* ∫(ext_simplify(((~c) + (~d)*(~x))^((~m) + 1)*Symbolics.derivative((~u), (~x))⨸sqrt(1 + (~u)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_6_20",
+@rule ∫(ℯ^((~!n)*asinh((~u))),(~x)) =>
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    poly((~u), (~x)) ?
+∫(((~u) + sqrt(1 + (~u)^2))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("7_1_6_21",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*ℯ^((~!n)*asinh((~u))),(~x)) =>
+    isrational((~m)) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    poly((~u), (~x)) ?
+∫((~x)^(~m)*((~u) + sqrt(1 + (~u)^2))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.1 (a+b arccosh(c x))^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.1 (a+b arccosh(c x))^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..15adf3fc
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.1 (a+b arccosh(c x))^n.jl	
@@ -0,0 +1,22 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 7.2.1 (a+b arccosh(c x))^n *)
+("7_2_1_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n) - (~b)*(~c)*(~n)* ∫((~x)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_1_2",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    lt((~n), -1) ?
+sqrt(1 + (~c)*(~x))* sqrt(-1 + (~c)*(~x))*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1)) - (~c)⨸((~b)*((~n) + 1))* ∫((~x)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_1_3",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) ?
+1⨸((~b)*(~c))* int_and_subst((~x)^(~n)*sinh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b)),  (~x), (~x), (~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), "7_2_1_3") : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.2 (d x)^m (a+b arccosh(c x))^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.2 (d x)^m (a+b arccosh(c x))^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..cd551eb6
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.2 (d x)^m (a+b arccosh(c x))^n.jl	
@@ -0,0 +1,51 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 7.2.2 (d x)^m (a+b arccosh(c x))^n *)
+("7_2_2_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+1⨸(~b)*int_and_subst((~x)^(~n)*tanh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b)),  (~x), (~x), (~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), "7_2_2_1") : nothing)
+
+("7_2_2_2",
+@rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~d)*((~m) + 1)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~d)*((~m) + 1))* ∫(((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))* sqrt(-1 + (~c)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_2_3",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~m) + 1) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~m) + 1)* ∫((~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))* sqrt(-1 + (~c)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_2_4",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    ge((~n), -2) &&
+    lt((~n), -1) ?
+(~x)^(~m)*sqrt(1 + (~c)*(~x))* sqrt(-1 + (~c)*(~x))*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1)) + 1⨸((~b)^2*(~c)^((~m) + 1)*((~n) + 1))* int_and_subst(expand_trig_reduce((~x)^((~n) + 1),  cosh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^((~m) - 1)*((~m) - ((~m) + 1)*cosh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^2), (~x)), (~x), (~x), (~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), "7_2_2_4") : nothing)
+
+("7_2_2_5",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    lt((~n), -2) ?
+(~x)^(~m)*sqrt(1 + (~c)*(~x))* sqrt(-1 + (~c)*(~x))*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1)) + (~m)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))* ∫((~x)^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))* sqrt(-1 + (~c)*(~x))), (~x)) - (~c)*((~m) + 1)⨸((~b)*((~n) + 1))* ∫((~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))* sqrt(-1 + (~c)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_2_6",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) ?
+1⨸((~b)*(~c)^((~m) + 1))* int_and_subst((~x)^(~n)*cosh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^(~m)*sinh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b)),  (~x), (~x), (~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), "7_2_2_6") : nothing)
+
+# ("7_2_2_7",
+# @rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.3 (d+e x^2)^p (a+b arccosh(c x))^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.3 (d+e x^2)^p (a+b arccosh(c x))^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..949e273b
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.3 (d+e x^2)^p (a+b arccosh(c x))^n.jl	
@@ -0,0 +1,185 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 7.2.3 (d+e x^2)^p (a+b arccosh(c x))^n *)
+("7_2_3_1",
+@rule ∫(((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~!p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~n), (~x)) &&
+    eq((~d2)*(~e1) + (~d1)*(~e2), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+∫(((~d1)*(~d2) + (~e1)*(~e2)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(a_.+b_.*ArcCosh[c_.*x_])^n_./Sqrt[d_+e_.*x_^2],x_Symbol] := 1/c*Simp[Sqrt[1+c*x]*Sqrt[-1+c*x]/Sqrt[d+e*x^2]]*Subst[Int[(a+b*x)^ n,x],x,ArcCosh[c*x]] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,n},x] && EqQ[c^2*d+e,0] *)
+("7_2_3_2",
+@rule ∫(1/(sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) ?
+1⨸((~b)*(~c))*simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2))* log((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x))) : nothing)
+
+("7_2_3_3",
+@rule ∫(1/(sqrt((~d1) + (~!e1)*(~x))* sqrt((~d2) + (~!e2)*(~x))*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) ?
+1⨸((~b)*(~c))*simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d1) + (~e1)*(~x)))* simp(sqrt(-1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d2) + (~e2)*(~x)))*log((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x))) : nothing)
+
+("7_2_3_4",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n)/sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    !eq((~n), -1) ?
+1⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))* simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))* sqrt(-1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2))*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1) : nothing)
+
+("7_2_3_5",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^ (~!n)/(sqrt((~d1) + (~!e1)*(~x))*sqrt((~d2) + (~!e2)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    !eq((~n), -1) ?
+1⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))*simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d1) + (~e1)*(~x)))* simp(sqrt(-1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d2) + (~e2)*(~x)))*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1) : nothing)
+
+("7_2_3_6",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    igt((~p), 0) ?
+dist((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*∫(ext_simplify(∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x))⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_3_7",
+@rule ∫(sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~x)*sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸2 - (~b)*(~c)*(~n)⨸2*simp(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))))* ∫((~x)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) - 1⨸2*simp(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))))* ∫(((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_3_8",
+@rule ∫(sqrt((~d1) + (~!e1)*(~x))* sqrt((~d2) + (~!e2)*(~x))*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~x)*sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))*sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸2 - (~b)*(~c)*(~n)⨸2*simp(sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))⨸sqrt(1 + (~c)*(~x)))* simp(sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))⨸sqrt(-1 + (~c)*(~x)))* ∫((~x)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) - 1⨸2*simp(sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))⨸sqrt(1 + (~c)*(~x)))* simp(sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))⨸sqrt(-1 + (~c)*(~x)))* ∫(((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_3_9",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) ?
+(~x)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸(2*(~p) + 1) + 2*(~d)*(~p)⨸(2*(~p) + 1)* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸(2*(~p) + 1)*simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸((1 + (~c)*(~x))^(~p)*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)))* ∫( (~x)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_3_10",
+@rule ∫(((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~!p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) ?
+(~x)*((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸(2*(~p) + 1) + 2*(~d1)*(~d2)*(~p)⨸(2*(~p) + 1)* ∫(((~d1) + (~e1)*(~x))^((~p) - 1)*((~d2) + (~e2)*(~x))^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n), (~x)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸(2*(~p) + 1)*simp(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)⨸(1 + (~c)*(~x))^(~p))* simp(((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)⨸(-1 + (~c)*(~x))^(~p))* ∫( (~x)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_3_11",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n)/((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~d)*sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)) + (~b)*(~c)*(~n)⨸(~d)*simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2))* ∫((~x)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_3_12",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^ (~!n)/(((~d1) + (~!e1)*(~x))^(3//2)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^(3//2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    gt((~n), 0) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n)⨸((~d1)*(~d2)*sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))*sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))) + (~b)*(~c)*(~n)⨸((~d1)*(~d2))*simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d1) + (~e1)*(~x)))* simp(sqrt(-1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d2) + (~e2)*(~x)))* ∫((~x)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_3_13",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~p), -3/2) ?
+-(~x)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸(2*(~d)*((~p) + 1)) + (2*(~p) + 3)⨸(2*(~d)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸(2*((~p) + 1))* simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸((1 + (~c)*(~x))^(~p)*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)))* ∫( (~x)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_3_14",
+@rule ∫(((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^(~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^ (~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !eq((~p), -3/2) ?
+-(~x)*((~d1) + (~e1)*(~x))^((~p) + 1)*((~d2) + (~e2)*(~x))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n)⨸(2*(~d1)*(~d2)*((~p) + 1)) + (2*(~p) + 3)⨸(2*(~d1)*(~d2)*((~p) + 1))* ∫(((~d1) + (~e1)*(~x))^((~p) + 1)*((~d2) + (~e2)*(~x))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n), (~x)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸(2*((~p) + 1))*simp(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)⨸(1 + (~c)*(~x))^(~p))* simp(((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)⨸(-1 + (~c)*(~x))^(~p))* ∫( (~x)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_3_15",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n)/((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+-1⨸((~c)*(~d))*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)*csch((~x)),  (~x), (~x), acosh((~c)*(~x)), "7_2_3_15") : nothing)
+
+("7_2_3_16",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    ext_isinteger(2*(~p)) ?
+simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))* sqrt(-1 + (~c)*(~x))*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p))*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)* (~c)*((~n) + 1)) - (~c)*(2*(~p) + 1)⨸((~b)*((~n) + 1))* simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸((1 + (~c)*(~x))^(~p)*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)))* ∫( (~x)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_3_17",
+@rule ∫(((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~!p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~p), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    ext_isinteger((~p) + 1/2) ?
+sqrt(1 + (~c)*(~x))* sqrt(-1 + (~c)*(~x))*((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^ (~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1)) - (~c)*(2*(~p) + 1)⨸((~b)*((~n) + 1))*simp(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)⨸(1 + (~c)*(~x))^(~p))* simp(((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)⨸(-1 + (~c)*(~x))^(~p))* ∫((~x)*(-1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_3_18",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    igt(2*(~p), 0) ?
+1⨸((~b)*(~c))*simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸((1 + (~c)*(~x))^(~p)*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)))* int_and_subst((~x)^(~n)*sinh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^(2*(~p) + 1),  (~x), (~x), (~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), "7_2_3_18") : nothing)
+
+("7_2_3_19",
+@rule ∫(((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~!p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    igt(2*(~p), 0) ?
+1⨸((~b)*(~c))*simp(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)⨸(1 + (~c)*(~x))^(~p))* simp(((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)⨸(-1 + (~c)*(~x))^(~p))* int_and_subst((~x)^(~n)*sinh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^(2*(~p) + 1),  (~x), (~x), (~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), "7_2_3_19") : nothing)
+
+("7_2_3_20",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    (
+        igt((~p), 0) ||
+        ilt((~p) + 1/2, 0)
+    ) ?
+dist((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*∫(ext_simplify(∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x))⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(d_+e_.*x_^2)^p_.*(a_.+b_.*ArcCosh[c_.*x_])^n_,x_Symbol] := 1/(b*c^(2*p+1))*Subst[Int[x^n*(c^2*d+e*Cosh[-a/b+x/b]^2)^p*Sinh[-a/ b+x/b],x],x,a+b*ArcCosh[c*x]] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,n},x] && IGtQ[p,0] *)
+("7_2_3_21",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    (
+        (~p) > 0 ||
+        igt((~n), 0)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), ((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("7_2_3_22",
+# @rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+# ("7_2_3_23",
+# @rule ∫(((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~!p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arccosh(c x))^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arccosh(c x))^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..48b5c47b
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arccosh(c x))^n.jl	
@@ -0,0 +1,467 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 7.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arccosh(c x))^n *)
+("7_2_4_1",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~!p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~d2)*(~e1) + (~d1)*(~e2), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d1)*(~d2) + (~e1)*(~e2)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_2",
+@rule ∫((~x)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n)/((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+1⨸(~e)*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)*coth((~x)),  (~x), (~x), acosh((~c)*(~x)), "7_2_4_2") : nothing)
+
+("7_2_4_3",
+@rule ∫((~x)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸(2*(~e)*((~p) + 1)) - (~b)*(~n)⨸(2*(~c)*((~p) + 1))* simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸((1 + (~c)*(~x))^(~p)*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)))* ∫((1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_4",
+@rule ∫((~x)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~p), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+((~d1) + (~e1)*(~x))^((~p) + 1)*((~d2) + (~e2)*(~x))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n)⨸(2*(~e1)*(~e2)*((~p) + 1)) - (~b)*(~n)⨸(2*(~c)*((~p) + 1))*simp(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)⨸(1 + (~c)*(~x))^(~p))* simp(((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)⨸(-1 + (~c)*(~x))^(~p))* ∫((1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_5",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n)/((~x)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+-1⨸(~d)*int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)⨸(cosh((~x))*sinh((~x))),  (~x), (~x), acosh((~c)*(~x)), "7_2_4_5") : nothing)
+
+("7_2_4_6",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 3, 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n)⨸((~d)*(~f)*((~m) + 1)) + (~b)*(~c)*(~n)⨸((~f)*((~m) + 1))* simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸((1 + (~c)*(~x))^(~p)*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_7",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 3, 0) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d1) + (~e1)*(~x))^((~p) + 1)*((~d2) + (~e2)*(~x))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~d1)*(~d2)*(~f)*((~m) + 1)) + (~b)*(~c)*(~n)⨸((~f)*((~m) + 1))*simp(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)⨸(1 + (~c)*(~x))^(~p))* simp(((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)⨸(-1 + (~c)*(~x))^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_8",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    igt((~p), 0) ?
+((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))⨸(2*(~p)) - (~b)*(~c)*(-(~d))^(~p)⨸(2*(~p))* ∫((1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2), (~x)) + (~d)*∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))⨸(~x), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_9",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt(((~m) + 1)/2, 0) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))⨸((~f)*((~m) + 1)) - (~b)*(~c)*(-(~d))^(~p)⨸((~f)*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2), (~x)) - 2*(~e)*(~p)⨸((~f)^2*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_10",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    igt((~p), 0) ?
+dist((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*∫(ext_simplify(∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x))⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_11",
+@rule ∫((~x)^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) &&
+    !eq((~p), -1/2) &&
+    (
+        igt(((~m) + 1)/2, 0) ||
+        ilt(((~m) + 2*(~p) + 3)/2, 0)
+    ) ?
+dist((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), ∫((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x))) - (~b)*(~c)*simp(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))))* ∫(ext_simplify(∫((~x)^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x))⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_12",
+@rule ∫((~x)^(~m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) &&
+    !eq((~p), -1/2) &&
+    (
+        igt(((~m) + 1)/2, 0) ||
+        ilt(((~m) + 2*(~p) + 3)/2, 0)
+    ) ?
+dist((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), ∫((~x)^(~m)*((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p), (~x))) - (~b)*(~c)* simp(sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))* sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))))* ∫(ext_simplify(∫((~x)^(~m)*((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p), (~x))⨸(sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))*sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_13",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)* sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*((~m) + 1)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~f)*((~m) + 1))* simp(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) - (~c)^2⨸((~f)^2*((~m) + 1))* simp(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_14",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*sqrt((~d1) + (~!e1)*(~x))* sqrt((~d2) + (~!e2)*(~x))*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))* sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*((~m) + 1)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~f)*((~m) + 1))*simp(sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))⨸sqrt(1 + (~c)*(~x)))* simp(sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))⨸sqrt(-1 + (~c)*(~x)))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) - (~c)^2⨸((~f)^2*((~m) + 1))*simp(sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))⨸sqrt(1 + (~c)*(~x)))* simp(sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))⨸sqrt(-1 + (~c)*(~x)))* ∫((((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n))⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))* sqrt(-1 + (~c)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_15",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    (
+        igt((~m), -2) ||
+        eq((~n), 1)
+    ) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)* sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*((~m) + 2)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~f)*((~m) + 2))* simp(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) - 1⨸((~m) + 2)*simp(sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))))* ∫(((~f)*(~x))^ (~m)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_16",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*sqrt((~d1) + (~!e1)*(~x))* sqrt((~d2) + (~!e2)*(~x))*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    (
+        igt((~m), -2) ||
+        eq((~n), 1)
+    ) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))* sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*((~m) + 2)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~f)*((~m) + 2))*simp(sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))⨸sqrt(1 + (~c)*(~x)))* simp(sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))⨸sqrt(-1 + (~c)*(~x)))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) - 1⨸((~m) + 2)*simp(sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))⨸sqrt(1 + (~c)*(~x)))* simp(sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))⨸sqrt(-1 + (~c)*(~x)))* ∫(((~f)*(~x))^ (~m)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_17",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*((~m) + 1)) - 2*(~e)*(~p)⨸((~f)^2*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~f)*((~m) + 1))* simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸((1 + (~c)*(~x))^(~p)*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_18",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    lt((~m), -1) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^ (~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*((~m) + 1)) - 2*(~e1)*(~e2)*(~p)⨸((~f)^2*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~d1) + (~e1)*(~x))^((~p) - 1)*((~d2) + (~e2)*(~x))^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~f)*((~m) + 1))*simp(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)⨸(1 + (~c)*(~x))^(~p))* simp(((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)⨸(-1 + (~c)*(~x))^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(f_.*x_)^m_*(d_+e_.*x_^2)^p_*(a_.+b_.*ArcCosh[c_.*x_])^n_.,x_ Symbol] := f*(f*x)^(m-1)*(d+e*x^2)^(p+1)*(a+b*ArcCosh[c*x])^n/(e*(m+2*p+1)) + f^2*(m-1)/(c^2*(m+2*p+1))*Int[(f*x)^(m-2)*(d+e*x^2)^p*(a+b*ArcCosh[ c*x])^n,x] - b*f*n/(c*(m+2*p+1))*Simp[(d+e*x^2)^p/((1+c*x)^p*(-1+c*x)^p)]* Int[(f*x)^(m-1)*(-1+c^2*x^2)^(p+1/2)*(a+b*ArcCosh[c*x])^(n-1),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,p},x] && EqQ[c^2*d+e,0] && GtQ[n,0] && EqQ[n,1] &&  IGtQ[p+1/2,0] && IGtQ[(m-1)/2,0] *)
+#(* Int[(f_.*x_)^m_*(d_+e_.*x_^2)^p_*(a_.+b_.*ArcCosh[c_.*x_])^n_.,x_ Symbol] := f*(f*x)^(m-1)*(d+e*x^2)^(p+1)*(a+b*ArcCosh[c*x])^n/(2*e*(p+1)) - f^2*(m-1)/(2*e*(p+1))*Int[(f*x)^(m-2)*(d+e*x^2)^(p+1)*(a+b*ArcCosh[ c*x])^n,x] - b*f*n/(2*c*(p+1))*Simp[(d+e*x^2)^p/((1+c*x)^p*(-1+c*x)^p)]* Int[(f*x)^(m-1)*(1+c*x)^(p+1/2)*(-1+c*x)^(p+1/2)*(a+b*ArcCosh[c*x] )^(n-1),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f},x] && EqQ[c^2*d+e,0] && GtQ[n,0] && EqQ[n,1] &&  ILtQ[p-1/2,0] && IGtQ[(m-1)/2,0] *)
+("7_2_4_19",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !(lt((~m), -1)) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^ (~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*((~m) + 2*(~p) + 1)) + 2*(~d)*(~p)⨸((~m) + 2*(~p) + 1)* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~f)*((~m) + 2*(~p) + 1))* simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸((1 + (~c)*(~x))^(~p)*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_20",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    gt((~p), 0) &&
+    !(lt((~m), -1)) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^ (~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~f)*((~m) + 2*(~p) + 1)) + 2*(~d1)*(~d2)*(~p)⨸((~m) + 2*(~p) + 1)* ∫(((~f)*(~x))^ (~m)*((~d1) + (~e1)*(~x))^((~p) - 1)*((~d2) + (~e2)*(~x))^((~p) - 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n), (~x)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~f)*((~m) + 2*(~p) + 1))*simp(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)⨸(1 + (~c)*(~x))^(~p))* simp(((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)⨸(-1 + (~c)*(~x))^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_21",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    ilt((~m), -1) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n)⨸((~d)*(~f)*((~m) + 1)) + (~c)^2*((~m) + 2*(~p) + 3)⨸((~f)^2*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) + (~b)*(~c)*(~n)⨸((~f)*((~m) + 1))* simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸((1 + (~c)*(~x))^(~p)*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_22",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~p), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    ilt((~m), -1) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d1) + (~e1)*(~x))^((~p) + 1)*((~d2) + (~e2)*(~x))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~d1)*(~d2)*(~f)*((~m) + 1)) + (~c)^2*((~m) + 2*(~p) + 3)⨸((~f)^2*((~m) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 2)*((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^ (~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) + (~b)*(~c)*(~n)⨸((~f)*((~m) + 1))*simp(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)⨸(1 + (~c)*(~x))^(~p))* simp(((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)⨸(-1 + (~c)*(~x))^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_23",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    igt((~m), 1) ?
+(~f)*((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n)⨸(2*(~e)*((~p) + 1)) - (~f)^2*((~m) - 1)⨸(2*(~e)*((~p) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~b)*(~f)*(~n)⨸(2*(~c)*((~p) + 1))* simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸((1 + (~c)*(~x))^(~p)*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_24",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    igt((~m), 1) ?
+(~f)*((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~d1) + (~e1)*(~x))^((~p) + 1)*((~d2) + (~e2)*(~x))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸(2*(~e1)*(~e2)*((~p) + 1)) - (~f)^2*((~m) - 1)⨸(2*(~e1)*(~e2)*((~p) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~d1) + (~e1)*(~x))^((~p) + 1)*((~d2) + (~e2)*(~x))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~b)*(~f)*(~n)⨸(2*(~c)*((~p) + 1))*simp(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)⨸(1 + (~c)*(~x))^(~p))* simp(((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)⨸(-1 + (~c)*(~x))^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_25",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !(gt((~m), 1)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger((~p)) ||
+        eq((~n), 1)
+    ) ?
+-((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n)⨸(2*(~d)*(~f)*((~p) + 1)) + ((~m) + 2*(~p) + 3)⨸(2*(~d)*((~p) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸(2*(~f)*((~p) + 1))* simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸((1 + (~c)*(~x))^(~p)*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_26",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    lt((~p), -1) &&
+    !(gt((~m), 1)) &&
+    (
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        eq((~n), 1)
+    ) ?
+-((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d1) + (~e1)*(~x))^((~p) + 1)*((~d2) + (~e2)*(~x))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸(2*(~d1)*(~d2)*(~f)*((~p) + 1)) + ((~m) + 2*(~p) + 3)⨸(2*(~d1)*(~d2)*((~p) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^ (~m)*((~d1) + (~e1)*(~x))^((~p) + 1)*((~d2) + (~e2)*(~x))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n), (~x)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸(2*(~f)*((~p) + 1))*simp(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)⨸(1 + (~c)*(~x))^(~p))* simp(((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)⨸(-1 + (~c)*(~x))^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_27",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    igt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0) ?
+(~f)*((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n)⨸((~e)*((~m) + 2*(~p) + 1)) + (~f)^2*((~m) - 1)⨸((~c)^2*((~m) + 2*(~p) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~b)*(~f)*(~n)⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 1))* simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸((1 + (~c)*(~x))^(~p)*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_28",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~p), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    igt((~m), 1) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0) ?
+(~f)*((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~d1) + (~e1)*(~x))^((~p) + 1)*((~d2) + (~e2)*(~x))^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~e1)*(~e2)*((~m) + 2*(~p) + 1)) + (~f)^2*((~m) - 1)⨸((~c)^2*((~m) + 2*(~p) + 1))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^ (~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)) - (~b)*(~f)*(~n)⨸((~c)*((~m) + 2*(~p) + 1))*simp(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)⨸(1 + (~c)*(~x))^(~p))* simp(((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)⨸(-1 + (~c)*(~x))^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_29",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0) ?
+((~f)*(~x))^(~m)* simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))* sqrt(-1 + (~c)*(~x))*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p))*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)* (~c)*((~n) + 1)) + (~f)*(~m)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))* simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸((1 + (~c)*(~x))^(~p)*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_30",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0) ?
+((~f)*(~x))^(~m)* simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))*((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p))*((~d2) + (~e2)*(~x))^ (~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1)) + (~f)*(~m)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))*simp(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)⨸(1 + (~c)*(~x))^(~p))* simp(((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)⨸(-1 + (~c)*(~x))^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_31",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    igt(2*(~p), 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0) &&
+    igt((~m), -3) ?
+((~f)*(~x))^(~m)* simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))* sqrt(-1 + (~c)*(~x))*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p))*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)* (~c)*((~n) + 1)) + (~f)*(~m)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))* simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸((1 + (~c)*(~x))^(~p)*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) - (~c)*((~m) + 2*(~p) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~n) + 1))* simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸((1 + (~c)*(~x))^(~p)*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*(-1 + (~c)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_32",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~m), (~p), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    igt((~p) + 1/2, 0) &&
+    !eq((~m) + 2*(~p) + 1, 0) &&
+    igt((~m), -3) ?
+((~f)*(~x))^(~m)*sqrt(1 + (~c)*(~x))* sqrt(-1 + (~c)*(~x))*((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^ (~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1)) + (~f)*(~m)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))*simp(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)⨸(1 + (~c)*(~x))^(~p))* simp(((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)⨸(-1 + (~c)*(~x))^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*(-1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) - (~c)*((~m) + 2*(~p) + 1)⨸((~b)*(~f)*((~n) + 1))*simp(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)⨸(1 + (~c)*(~x))^(~p))* simp(((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)⨸(-1 + (~c)*(~x))^(~p))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*(-1 + (~c)^2*(~x)^2)^((~p) - 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[(f_.*x_)^m_.*(d_+e_.*x_^2)^p_.*(a_.+b_.*ArcCosh[c_.*x_])^n_,x_ Symbol] := (f*x)^m*Simp[Sqrt[1+c*x]*Sqrt[-1+c*x]*(d+e*x^2)^p]*(a+b*ArcCosh[c*x] )^(n+1)/(b*c*(n+1)) - f*m/(b*c*(n+1))*Simp[(d+e*x^2)^p/((1+c*x)^p*(-1+c*x)^p)]* Int[(f*x)^(m-1)*(1+c*x)^(p+1/2)*(-1+c*x)^(p+1/2)*(a+b*ArcCosh[c*x] )^(n+1),x] - c*(2*p+1)/(b*f*(n+1))*Simp[(d+e*x^2)^p/((1+c*x)^p*(-1+c*x)^p)]* Int[(f*x)^(m+1)*(1+c*x)^(p-1/2)*(-1+c*x)^(p-1/2)*(a+b*ArcCosh[c*x] )^(n+1),x] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,f,m,p},x] && EqQ[c^2*d+e,0] && LtQ[n,-1] &&  NeQ[p,-1/2] && IntegerQ[2*p] && IGtQ[m,-3] *)
+#(* Int[(f_.*x_)^m_.*(d1_+e1_.*x_)^p_*(d2_+e2_.*x_)^p_*(a_.+b_.* ArcCosh[c_.*x_])^n_,x_Symbol] := (f*x)^m*Sqrt[1+c*x]*Sqrt[-1+c*x]*(d1+e1*x)^p*(d2+e2*x)^p*(a+b* ArcCosh[c*x])^(n+1)/(b*c*(n+1)) - f*m/(b*c*(n+1))*Simp[(d1+e1*x)^p/(1+c*x)^p]*Simp[(d2+e2*x)^p/(-1+c* x)^p]* Int[(f*x)^(m-1)*(-1+c^2*x^2)^(p+1/2)*(a+b*ArcCosh[c*x])^(n+1),x] - c*(2*p+1)/(b*f*(n+1))*Simp[(d1+e1*x)^p/(1+c*x)^p]*Simp[(d2+e2*x)^p/( -1+c*x)^p]* Int[(f*x)^(m+1)*(-1+c^2*x^2)^(p-1/2)*(a+b*ArcCosh[c*x])^(n+1),x] /; FreeQ[{a,b,c,d1,e1,d2,e2,f,m,p},x] && EqQ[e1,c*d1] && EqQ[e2,-c*d2] &&  LtQ[n,-1] && ILtQ[p+1/2,0] && IGtQ[m,-3] *)
+("7_2_4_33",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n)/sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    igt((~m), 1) ?
+(~f)*((~f)*(~x))^((~m) - 1)*sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~e)*(~m)) - (~b)*(~f)*(~n)⨸((~c)*(~m))*simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) + (~f)^2*((~m) - 1)⨸((~c)^2*(~m))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_34",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^ (~m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^ (~!n)/(sqrt((~d1) + (~!e1)*(~x))*sqrt((~d2) + (~!e2)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    gt((~n), 0) &&
+    igt((~m), 1) ?
+(~f)*((~f)*(~x))^((~m) - 1)*sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))* sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~e1)*(~e2)*(~m)) - (~b)*(~f)*(~n)⨸((~c)*(~m))*simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d1) + (~e1)*(~x)))* simp(sqrt(-1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d2) + (~e2)*(~x)))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1), (~x)) + (~f)^2*((~m) - 1)⨸((~c)^2*(~m))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n)⨸(sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))*sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_35",
+@rule ∫((~x)^(~m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n)/sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+1⨸(~c)^((~m) + 1)*simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)*cosh((~x))^(~m),  (~x), (~x), acosh((~c)*(~x)), "7_2_4_35") : nothing)
+
+("7_2_4_36",
+@rule ∫((~x)^(~m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^ (~!n)/(sqrt((~d1) + (~!e1)*(~x))*sqrt((~d2) + (~!e2)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+1⨸(~c)^((~m) + 1)*simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d1) + (~e1)*(~x)))* simp(sqrt(-1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d2) + (~e2)*(~x)))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)*cosh((~x))^(~m),  (~x), (~x), acosh((~c)*(~x)), "7_2_4_36") : nothing)
+
+("7_2_4_37",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))/sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~f)*((~m) + 1))*simp(sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2)⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2))* ((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))* hypergeometric2f1(1⨸2, (1 + (~m))⨸2, (3 + (~m))⨸2, (~c)^2*(~x)^2) + (~b)*(~c)*((~f)*(~x))^((~m) + 2)⨸((~f)^2*((~m) + 1)*((~m) + 2))* simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2))* hypergeometricpFq([1, 1 + (~m)⨸2, 1 + (~m)⨸2], [3⨸2 + (~m)⨸2, 2 + (~m)⨸2],  (~c)^2*(~x)^2) : nothing)
+
+("7_2_4_38",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^ (~m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))/(sqrt((~d1) + (~!e1)*(~x))* sqrt((~d2) + (~!e2)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+((~f)*(~x))^((~m) + 1)⨸((~f)*((~m) + 1))* simp(sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2)⨸(sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))*sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))))* ((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))* hypergeometric2f1(1⨸2, (1 + (~m))⨸2, (3 + (~m))⨸2, (~c)^2*(~x)^2) + (~b)*(~c)*((~f)*(~x))^((~m) + 2)⨸((~f)^2*((~m) + 1)*((~m) + 2))* simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d1) + (~e1)*(~x)))* simp(sqrt(-1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d2) + (~e2)*(~x)))* hypergeometricpFq([1, 1 + (~m)⨸2, 1 + (~m)⨸2], [3⨸2 + (~m)⨸2, 2 + (~m)⨸2],  (~c)^2*(~x)^2) : nothing)
+
+("7_2_4_39",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~n)/sqrt((~d) + (~!e)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+((~f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))* simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2)) - (~f)*(~m)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))* simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_40",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^ (~n)/(sqrt((~d1) + (~!e1)*(~x))*sqrt((~d2) + (~!e2)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~m), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    lt((~n), -1) ?
+((~f)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))* simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d1) + (~e1)*(~x)))* simp(sqrt(-1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))) - (~f)*(~m)⨸((~b)*(~c)*((~n) + 1))*simp(sqrt(1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d1) + (~e1)*(~x)))* simp(sqrt(-1 + (~c)*(~x))⨸sqrt((~d2) + (~e2)*(~x)))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_41",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    igt(2*(~p) + 2, 0) &&
+    igt((~m), 0) ?
+1⨸((~b)*(~c)^((~m) + 1))*simp(((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)⨸((1 + (~c)*(~x))^(~p)*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)))* int_and_subst((~x)^(~n)*cosh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^(~m)*sinh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^(2*(~p) + 1),  (~x), (~x), (~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), "7_2_4_41") : nothing)
+
+("7_2_4_42",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~!p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    igt((~p) + 3/2, 0) &&
+    igt((~m), 0) ?
+1⨸((~b)*(~c)^((~m) + 1))*simp(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)⨸(1 + (~c)*(~x))^(~p))* simp(((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)⨸(-1 + (~c)*(~x))^(~p))* int_and_subst((~x)^(~n)*cosh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^(~m)*sinh(-(~a)⨸(~b) + (~x)⨸(~b))^(2*(~p) + 1),  (~x), (~x), (~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), "7_2_4_42") : nothing)
+
+("7_2_4_43",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    igt((~p) + 1/2, 0) &&
+    !(igt(((~m) + 1)/2, 0)) &&
+    (
+        eq((~m), -1) ||
+        eq((~m), -2)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸ sqrt((~d) + (~e)*(~x)^2), ((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_44",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e1), (~c)*(~d1)) &&
+    eq((~e2), -(~c)*(~d2)) &&
+    gt((~d1), 0) &&
+    lt((~d2), 0) &&
+    igt((~p) + 1/2, 0) &&
+    !(igt(((~m) + 1)/2, 0)) &&
+    (
+        eq((~m), -1) ||
+        eq((~m), -2)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n)⨸(sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))*sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))), ((~f)*(~x))^ (~m)*((~d1) + (~e1)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*((~d2) + (~e2)*(~x))^((~p) + 1⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_45",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    !eq((~m), -1) &&
+    !eq((~m), -3) ?
+(~d)*((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))⨸((~f)*((~m) + 1)) + (~e)*((~f)*(~x))^((~m) + 3)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))⨸((~f)^3*((~m) + 3)) - (~b)*(~c)⨸((~f)*((~m) + 1)*((~m) + 3))* ∫(((~f)*(~x))^((~m) + 1)*((~d)*((~m) + 3) + (~e)*((~m) + 1)*(~x)^2)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))* sqrt(-1 + (~c)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_46",
+@rule ∫((~x)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~p), (~x)) &&
+    !eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    !eq((~p), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))⨸(2*(~e)*((~p) + 1)) - (~b)*(~c)⨸(2*(~e)*((~p) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x)^2)^((~p) + 1)⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_4_47",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~x)) &&
+    !eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    (
+        gt((~p), 0) ||
+        igt(((~m) - 1)/2, 0) &&
+        le((~m) + (~p), 0)
+    ) ?
+dist((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), ∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*∫(ext_simplify(∫(((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x))⨸(sqrt(1 + (~c)*(~x))*sqrt(-1 + (~c)*(~x))), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[x_^m_.*(d_+e_.*x_^2)^p_.*(a_.+b_.*ArcCosh[c_.*x_])^n_,x_Symbol]  := 1/(b*c^(m+2*p+1))*Subst[Int[x^n*Cosh[-a/b+x/b]^m*(c^2*d+e*Cosh[-a/b+ x/b]^2)^p*Sinh[-a/b+x/b],x],x,a+b*ArcCosh[c*x]] /; FreeQ[{a,b,c,d,e,n},x] && IGtQ[m,0] && IGtQ[p,0] *)
+("7_2_4_48",
+@rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~x)) &&
+    !eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), ((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("7_2_4_49",
+# @rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~f)*(~x))^(~m)*((~d) + (~e)*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+# ("7_2_4_50",
+# @rule ∫(((~!f)*(~x))^(~!m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~!p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~f)*(~x))^(~m)*((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^ (~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.5 u (a+b arccosh(c x))^n.jl b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.5 u (a+b arccosh(c x))^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..c4cc77ab
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.5 u (a+b arccosh(c x))^n.jl	
@@ -0,0 +1,312 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 7.2.5 u (a+b arccosh(c x))^n *)
+("7_2_5_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n)/((~!d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)*sinh((~x))⨸((~c)*(~d) + (~e)*cosh((~x))),  (~x), (~x), acosh((~c)*(~x)), "7_2_5_1") : nothing)
+
+("7_2_5_2",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n)⨸((~e)*((~m) + 1)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~e)*((~m) + 1))* ∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸(sqrt(-1 + (~c)*(~x))* sqrt(1 + (~c)*(~x))), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_3",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+∫(ext_expand(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_4",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) ?
+1⨸(~c)^((~m) + 1)* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)*sinh((~x))*((~c)*(~d) + (~e)*cosh((~x)))^(~m),  (~x), (~x), acosh((~c)*(~x)), "7_2_5_4") : nothing)
+
+("7_2_5_5",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) ?
+dist((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), ∫(ExpandExpression[(~Px), (~x)], (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2)⨸(sqrt(-1 + (~c)*(~x))*sqrt(1 + (~c)*(~x)))* ∫(ext_simplify(∫(ExpandExpression[(~Px), (~x)], (~x))⨸sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+#(* Int[Px_*(a_.+b_.*ArcCosh[c_.*x_])^n_.,x_Symbol] := With[{u=IntHide[Px,x]}, Dist[(a+b*ArcCosh[c*x])^n,u,x] - b*c*n*Sqrt[1-c^2*x^2]/(Sqrt[-1+c*x]*Sqrt[1+c*x])*Int[ SimplifyIntegrand[u*(a+b*ArcCosh[c*x])^(n-1)/Sqrt[1-c^2*x^2],x],x]] /; FreeQ[{a,b,c},x] && PolyQ[Px,x] && IGtQ[n,0] *)
+("7_2_5_6",
+@rule ∫((~Px)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) ?
+∫(ext_expand((~Px)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_7",
+@rule ∫((~Px)*((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) ?
+dist((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), ∫((~Px)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m), (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2)⨸(sqrt(-1 + (~c)*(~x))*sqrt(1 + (~c)*(~x)))* ∫(ext_simplify(∫((~Px)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m), (~x))⨸sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_8",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!p)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^ (~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    ilt((~m), 0) &&
+    lt((~m) + (~p) + 1, 0) ?
+dist(((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~p)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m), (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*(~n)* ∫(ext_simplify( ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~p)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m), (~x))*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸(sqrt(-1 + (~c)*(~x))*sqrt(1 + (~c)*(~x))), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_9",
+@rule ∫(((~!f) + (~!g)*(~x) + (~!h)*(~x)^2)^ (~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~n)/((~d) + (~!e)*(~x))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    eq((~e)*(~g) - 2*(~d)*(~h), 0) ?
+dist(((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), ∫(((~f) + (~g)*(~x) + (~h)*(~x)^2)^(~p)⨸((~d) + (~e)*(~x))^2, (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*(~n)* ∫(ext_simplify( ∫(((~f) + (~g)*(~x) + (~h)*(~x)^2)^(~p)⨸((~d) + (~e)*(~x))^2, (~x))*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) - 1)⨸(sqrt(-1 + (~c)*(~x))*sqrt(1 + (~c)*(~x))), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_10",
+@rule ∫((~Px)*((~d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand((~Px)*((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_11",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^(~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^ (~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+(-(~d))^intpart((~p))*((~d) + (~e)*(~x)^2)^ fracpart((~p))⨸((-1 + (~c)*(~x))^fracpart((~p))*(1 + (~c)*(~x))^fracpart((~p)))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)*(1 + (~c)*(~x))^(~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_12",
+@rule ∫(log((~!h)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m))*((~d) + (~!e)*(~x)^2)^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~c)^2*(~d) + (~e), 0) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) ?
+(-(~d))^intpart((~p))*((~d) + (~e)*(~x)^2)^ fracpart((~p))⨸((-1 + (~c)*(~x))^fracpart((~p))*(1 + (~c)*(~x))^fracpart((~p)))* ∫( log((~h)*((~f) + (~g)*(~x))^(~m))*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)*(1 + (~c)*(~x))^(~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_13",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~e1) - (~c)*(~d1), 0) &&
+    eq((~e2) + (~c)*(~d2), 0) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    ilt((~p) + 1/2, 0) &&
+    gt((~d1), 0) &&
+    lt((~d2), 0) &&
+    (
+        gt((~m), 3) ||
+        lt((~m), -2*(~p) - 1)
+    ) ?
+dist((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p), (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*∫(dist(1⨸(sqrt(-1 + (~c)*(~x))*sqrt(1 + (~c)*(~x))), ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p), (~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_14",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~e1) - (~c)*(~d1), 0) &&
+    eq((~e2) + (~c)*(~d2), 0) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    ext_isinteger((~p) + 1/2) &&
+    gt((~d1), 0) &&
+    lt((~d2), 0) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    (
+        eq((~n), 1) &&
+        gt((~p), -1) ||
+        gt((~p), 0) ||
+        eq((~m), 1) ||
+        eq((~m), 2) &&
+        lt((~p), -2)
+    ) ?
+∫(ext_expand(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^ (~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), ((~f) + (~g)*(~x))^(~m), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_15",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^(~m)*sqrt((~d1) + (~!e1)*(~x))* sqrt((~d2) + (~!e2)*(~x))*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~e1) - (~c)*(~d1), 0) &&
+    eq((~e2) + (~c)*(~d2), 0) &&
+    ilt((~m), 0) &&
+    gt((~d1), 0) &&
+    lt((~d2), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+((~f) + (~g)*(~x))^ (~m)*((~d1)*(~d2) + (~e1)*(~e2)*(~x)^2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)* sqrt(-(~d1)*(~d2))*((~n) + 1)) - 1⨸((~b)*(~c)*sqrt(-(~d1)*(~d2))*((~n) + 1))* ∫(((~d1)*(~d2)*(~g)*(~m) + 2*(~e1)*(~e2)*(~f)*(~x) + (~e1)*(~e2)*(~g)*((~m) + 2)*(~x)^2)*((~f) + (~g)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_16",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~e1) - (~c)*(~d1), 0) &&
+    eq((~e2) + (~c)*(~d2), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    igt((~p) + 1/2, 0) &&
+    gt((~d1), 0) &&
+    lt((~d2), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand( sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))* sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), ((~f) + (~g)*(~x))^ (~m)*((~d1) + (~e1)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*((~d2) + (~e2)*(~x))^((~p) - 1⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_17",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~e1) - (~c)*(~d1), 0) &&
+    eq((~e2) + (~c)*(~d2), 0) &&
+    ilt((~m), 0) &&
+    igt((~p) - 1/2, 0) &&
+    gt((~d1), 0) &&
+    lt((~d2), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+((~f) + (~g)*(~x))^ (~m)*((~d1) + (~e1)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*((~d2) + (~e2)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)* sqrt(-(~d1)*(~d2))*((~n) + 1)) - 1⨸((~b)*(~c)*sqrt(-(~d1)*(~d2))*((~n) + 1))* ∫( ext_expand(((~f) + (~g)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), ((~d1)*(~d2)*(~g)*(~m) + (~e1)*(~e2)*(~f)*(2*(~p) + 1)*(~x) + (~e1)*(~e2)*(~g)*((~m) + 2*(~p) + 1)*(~x)^2)*((~d1) + (~e1)*(~x))^((~p) - 1⨸2)*((~d2) + (~e2)*(~x))^((~p) - 1⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_18",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^ (~n)/(sqrt((~d1) + (~!e1)*(~x))*sqrt((~d2) + (~!e2)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~e1) - (~c)*(~d1), 0) &&
+    eq((~e2) + (~c)*(~d2), 0) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    gt((~d1), 0) &&
+    lt((~d2), 0) &&
+    lt((~n), -1) ?
+((~f) + (~g)*(~x))^ (~m)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)*sqrt(-(~d1)*(~d2))*((~n) + 1)) - (~g)*(~m)⨸((~b)*(~c)*sqrt(-(~d1)*(~d2))*((~n) + 1))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^((~m) - 1)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_19",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^ (~!n)/(sqrt((~d1) + (~!e1)*(~x))*sqrt((~d2) + (~!e2)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e1) - (~c)*(~d1), 0) &&
+    eq((~e2) + (~c)*(~d2), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    gt((~d1), 0) &&
+    lt((~d2), 0) &&
+    (
+        gt((~m), 0) ||
+        igt((~n), 0)
+    ) ?
+1⨸((~c)^((~m) + 1)*sqrt(-(~d1)*(~d2)))* int_and_subst(((~a) + (~b)*(~x))^(~n)*((~c)*(~f) + (~g)*cosh((~x)))^(~m),  (~x), (~x), acosh((~c)*(~x)), "7_2_5_19") : nothing)
+
+("7_2_5_20",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~g), (~x)) &&
+    eq((~e1) - (~c)*(~d1), 0) &&
+    eq((~e2) + (~c)*(~d2), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    ilt((~p) + 1/2, 0) &&
+    gt((~d1), 0) &&
+    lt((~d2), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n)⨸(sqrt((~d1) + (~e1)*(~x))*sqrt((~d2) + (~e2)*(~x))), ((~f) + (~g)*(~x))^ (~m)*((~d1) + (~e1)*(~x))^((~p) + 1⨸2)*((~d2) + (~e2)*(~x))^((~p) + 1⨸2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_21",
+@rule ∫(((~f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e1) - (~c)*(~d1), 0) &&
+    eq((~e2) + (~c)*(~d2), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) &&
+    !(
+        gt((~d1), 0) &&
+        lt((~d2), 0)
+    ) ?
+(-(~d1)*(~d2))^intpart((~p))*((~d1) + (~e1)*(~x))^ fracpart((~p))*((~d2) + (~e2)*(~x))^ fracpart((~p))⨸((-1 + (~c)*(~x))^fracpart((~p))*(1 + (~c)*(~x))^fracpart((~p)))* ∫(((~f) + (~g)*(~x))^(~m)*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)*(1 + (~c)*(~x))^(~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_22",
+@rule ∫(log((~!h)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m))*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^ (~!n)/(sqrt((~d1) + (~!e1)*(~x))*sqrt((~d2) + (~!e2)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~g), (~h), (~m), (~x)) &&
+    eq((~e1) - (~c)*(~d1), 0) &&
+    eq((~e2) + (~c)*(~d2), 0) &&
+    gt((~d1), 0) &&
+    lt((~d2), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+log((~h)*((~f) + (~g)*(~x))^(~m))*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~b)*(~c)* sqrt(-(~d1)*(~d2))*((~n) + 1)) - (~g)*(~m)⨸((~b)*(~c)*sqrt(-(~d1)*(~d2))*((~n) + 1))* ∫(((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^((~n) + 1)⨸((~f) + (~g)*(~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_23",
+@rule ∫(log((~!h)*((~!f) + (~!g)*(~x))^(~!m))*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~g), (~h), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~e1) - (~c)*(~d1), 0) &&
+    eq((~e2) + (~c)*(~d2), 0) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) &&
+    !(
+        gt((~d1), 0) &&
+        lt((~d2), 0)
+    ) ?
+(-(~d1)*(~d2))^intpart((~p))*((~d1) + (~e1)*(~x))^ fracpart((~p))*((~d2) + (~e2)*(~x))^ fracpart((~p))⨸((-1 + (~c)*(~x))^fracpart((~p))*(1 + (~c)*(~x))^fracpart((~p)))* ∫( log((~h)*((~f) + (~g)*(~x))^(~m))*(-1 + (~c)*(~x))^(~p)*(1 + (~c)*(~x))^(~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_24",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~!g)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~x)) &&
+    ilt((~m) + 1/2, 0) ?
+dist((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~m), (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*∫(dist(1⨸(sqrt(-1 + (~c)*(~x))*sqrt(1 + (~c)*(~x))), ∫(((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~m), (~x)), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_25",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~f) + (~!g)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^ (~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~g), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^ (~n), ((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~f) + (~g)*(~x))^(~m), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_26",
+@rule ∫((~u)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    !contains_inverse_function(IntHide[(~u), (~x)], (~x)) ?
+dist((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)), ∫((~u), (~x)), (~x)) - (~b)*(~c)*sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2)⨸(sqrt(-1 + (~c)*(~x))*sqrt(1 + (~c)*(~x)))* ∫(ext_simplify(∫((~u), (~x))⨸sqrt(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_27",
+@rule ∫((~Px)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~n), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    eq((~e1) - (~c)*(~d1), 0) &&
+    eq((~e2) + (~c)*(~d2), 0) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) &&
+    issum(ext_expand( (~Px)*((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)*((~a) + (~b)*acosh[(~c)*(~x)])^(~n), (~x))) ?
+∫(ext_expand( (~Px)*((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_28",
+@rule ∫((~!Px)*((~f) + (~!g)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^(~p))^ (~!m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~f), (~g), (~x)) &&
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    eq((~e1) - (~c)*(~d1), 0) &&
+    eq((~e2) + (~c)*(~d2), 0) &&
+    igt((~p) + 1/2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m), (~n)) &&
+    issum(ext_expand( (~Px)*((~f) + (~g)*((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p))^(~m)*((~a) + (~b)*acosh[(~c)*(~x)])^(~n), (~x))) ?
+∫(ext_expand( (~Px)*((~f) + (~g)*((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p))^(~m)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_29",
+@rule ∫((~RF)*acosh((~!c)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~x)) &&
+    rational_function((~RF), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    issum(ext_expand(acosh[(~c)*(~x)]^(~n), (~RF), (~x))) ?
+∫(ext_expand(acosh((~c)*(~x))^(~n), (~RF), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_30",
+@rule ∫((~RF)*((~a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    rational_function((~RF), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand((~RF)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_31",
+@rule ∫((~RF)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^(~p)*acosh((~!c)*(~x))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~x)) &&
+    rational_function((~RF), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    eq((~e1) - (~c)*(~d1), 0) &&
+    eq((~e2) + (~c)*(~d2), 0) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) &&
+    issum(ext_expand(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)*acosh[(~c)*(~x)]^(~n), (~RF), (~x))) ?
+∫(ext_expand(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p)*acosh((~c)*(~x))^(~n), (~RF), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_5_32",
+@rule ∫((~RF)*((~d1) + (~!e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~!e2)*(~x))^ (~p)*((~a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d1), (~e1), (~d2), (~e2), (~x)) &&
+    rational_function((~RF), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    eq((~e1) - (~c)*(~d1), 0) &&
+    eq((~e2) + (~c)*(~d2), 0) &&
+    ext_isinteger((~p) - 1/2) ?
+∫(ext_expand(((~d1) + (~e1)*(~x))^(~p)*((~d2) + (~e2)*(~x))^(~p), (~RF)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("7_2_5_33",
+# @rule ∫((~!u)*((~!a) + (~!b)*acosh((~!c)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) ?
+# Unintegrable[(~u)*((~a) + (~b)*acosh((~c)*(~x)))^(~n), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.6 Miscellaneous inverse hyperbolic cosine.jl b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.6 Miscellaneous inverse hyperbolic cosine.jl
new file mode 100644
index 00000000..077f5c6c
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.6 Miscellaneous inverse hyperbolic cosine.jl	
@@ -0,0 +1,142 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 7.2.6 Miscellaneous inverse hyperbolic cosine *)
+("7_2_6_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acosh((~c) + (~!d)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) ?
+1⨸(~d)*int_and_subst(((~a) + (~b)*acosh((~x)))^(~n),  (~x), (~x), (~c) + (~d)*(~x), "7_2_6_1") : nothing)
+
+("7_2_6_2",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acosh((~c) + (~!d)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~x)) ?
+1⨸(~d)*int_and_subst((((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸(~d) + (~f)*(~x)⨸(~d))^(~m)*((~a) + (~b)*acosh((~x)))^(~n),  (~x), (~x), (~c) + (~d)*(~x), "7_2_6_2") : nothing)
+
+("7_2_6_3",
+@rule ∫(((~!A) + (~!B)*(~x) + (~!C)*(~x)^2)^(~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~c) + (~!d)*(~x)))^ (~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~A), (~B), (~C), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~B)*(1 - (~c)^2) + 2*(~A)*(~c)*(~d), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~C) - (~B)*(~d), 0) ?
+1⨸(~d)*int_and_subst((-(~C)⨸(~d)^2 + (~C)⨸(~d)^2*(~x)^2)^(~p)*((~a) + (~b)*acosh((~x)))^(~n),  (~x), (~x), (~c) + (~d)*(~x), "7_2_6_3") : nothing)
+
+("7_2_6_4",
+@rule ∫(((~!e) + (~!f)*(~x))^(~!m)*((~!A) + (~!B)*(~x) + (~!C)*(~x)^2)^ (~!p)*((~!a) + (~!b)*acosh((~c) + (~!d)*(~x)))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~A), (~B), (~C), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~B)*(1 - (~c)^2) + 2*(~A)*(~c)*(~d), 0) &&
+    eq(2*(~c)*(~C) - (~B)*(~d), 0) ?
+1⨸(~d)*int_and_subst((((~d)*(~e) - (~c)*(~f))⨸(~d) + (~f)*(~x)⨸(~d))^(~m)*(-(~C)⨸(~d)^2 + (~C)⨸(~d)^2*(~x)^2)^ (~p)*((~a) + (~b)*acosh((~x)))^(~n),  (~x), (~x), (~c) + (~d)*(~x), "7_2_6_4") : nothing)
+
+("7_2_6_5",
+@rule ∫(sqrt((~!a) + (~!b)*acosh(1 + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~x)) ?
+2*sqrt((~a) + (~b)*acosh(1 + (~d)*(~x)^2))* sinh((1⨸2)*acosh(1 + (~d)*(~x)^2))^2⨸((~d)*(~x)) - sqrt((~b))*sqrt(π⨸2)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) - sinh((~a)⨸(2*(~b))))* sinh((1⨸2)*acosh(1 + (~d)*(~x)^2))* SymbolicUtils.erfi((1⨸sqrt(2*(~b)))*sqrt((~a) + (~b)*acosh(1 + (~d)*(~x)^2)))⨸((~d)*(~x)) + sqrt((~b))*sqrt(π⨸2)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) + sinh((~a)⨸(2*(~b))))* sinh((1⨸2)*acosh(1 + (~d)*(~x)^2))* SymbolicUtils.erf((1⨸sqrt(2*(~b)))*sqrt((~a) + (~b)*acosh(1 + (~d)*(~x)^2)))⨸((~d)*(~x)) : nothing)
+
+("7_2_6_6",
+@rule ∫(sqrt((~!a) + (~!b)*acosh(-1 + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~x)) ?
+2*sqrt((~a) + (~b)*acosh(-1 + (~d)*(~x)^2))* cosh((1⨸2)*acosh(-1 + (~d)*(~x)^2))^2⨸((~d)*(~x)) - sqrt((~b))*sqrt(π⨸2)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) - sinh((~a)⨸(2*(~b))))* cosh((1⨸2)*acosh(-1 + (~d)*(~x)^2))* SymbolicUtils.erfi((1⨸sqrt(2*(~b)))*sqrt((~a) + (~b)*acosh(-1 + (~d)*(~x)^2)))⨸((~d)*(~x)) - sqrt((~b))*sqrt(π⨸2)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) + sinh((~a)⨸(2*(~b))))* cosh((1⨸2)*acosh(-1 + (~d)*(~x)^2))* SymbolicUtils.erf((1⨸sqrt(2*(~b)))*sqrt((~a) + (~b)*acosh(-1 + (~d)*(~x)^2)))⨸((~d)*(~x)) : nothing)
+
+("7_2_6_7",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acosh((~c) + (~!d)*(~x)^2))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~c)^2, 1) &&
+    gt((~n), 1) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*acosh((~c) + (~d)*(~x)^2))^(~n) - 2*(~b)* (~n)*(2*(~c)*(~d)*(~x)^2 + (~d)^2*(~x)^4)*((~a) + (~b)*acosh((~c) + (~d)*(~x)^2))^((~n) - 1)⨸((~d)*(~x)* sqrt(-1 + (~c) + (~d)*(~x)^2)*sqrt(1 + (~c) + (~d)*(~x)^2)) + 4*(~b)^2*(~n)*((~n) - 1)*∫(((~a) + (~b)*acosh((~c) + (~d)*(~x)^2))^((~n) - 2), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_6_8",
+@rule ∫(1/((~!a) + (~!b)*acosh(1 + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~x)) ?
+(~x)*cosh((~a)⨸(2*(~b)))* coshintegral(((~a) + (~b)*acosh(1 + (~d)*(~x)^2))⨸(2*(~b)))⨸(sqrt(2)*(~b)* sqrt((~d)*(~x)^2)) - (~x)*sinh((~a)⨸(2*(~b)))* sinhintegral(((~a) + (~b)*acosh(1 + (~d)*(~x)^2))⨸(2*(~b)))⨸(sqrt(2)*(~b)* sqrt((~d)*(~x)^2)) : nothing)
+
+("7_2_6_9",
+@rule ∫(1/((~!a) + (~!b)*acosh(-1 + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~x)) ?
+-(~x)*sinh((~a)⨸(2*(~b)))* coshintegral(((~a) + (~b)*acosh(-1 + (~d)*(~x)^2))⨸(2*(~b)))⨸(sqrt(2)*(~b)* sqrt((~d)*(~x)^2)) + (~x)*cosh((~a)⨸(2*(~b)))* sinhintegral(((~a) + (~b)*acosh(-1 + (~d)*(~x)^2))⨸(2*(~b)))⨸(sqrt(2)*(~b)* sqrt((~d)*(~x)^2)) : nothing)
+
+("7_2_6_10",
+@rule ∫(1/sqrt((~!a) + (~!b)*acosh(1 + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~x)) ?
+sqrt(π⨸2)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) - sinh((~a)⨸(2*(~b))))* sinh(acosh(1 + (~d)*(~x)^2)⨸2)* SymbolicUtils.erfi(sqrt((~a) + (~b)*acosh(1 + (~d)*(~x)^2))⨸sqrt(2*(~b)))⨸(sqrt((~b))*(~d)*(~x)) + sqrt(π⨸2)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) + sinh((~a)⨸(2*(~b))))* sinh(acosh(1 + (~d)*(~x)^2)⨸2)* SymbolicUtils.erf(sqrt((~a) + (~b)*acosh(1 + (~d)*(~x)^2))⨸sqrt(2*(~b)))⨸(sqrt((~b))*(~d)*(~x)) : nothing)
+
+("7_2_6_11",
+@rule ∫(1/sqrt((~!a) + (~!b)*acosh(-1 + (~!d)*(~x)^2)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~x)) ?
+sqrt(π⨸2)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) - sinh((~a)⨸(2*(~b))))* cosh(acosh(-1 + (~d)*(~x)^2)⨸2)* SymbolicUtils.erfi(sqrt((~a) + (~b)*acosh(-1 + (~d)*(~x)^2))⨸sqrt(2*(~b)))⨸(sqrt((~b))*(~d)*(~x)) - sqrt(π⨸2)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) + sinh((~a)⨸(2*(~b))))* cosh(acosh(-1 + (~d)*(~x)^2)⨸2)* SymbolicUtils.erf(sqrt((~a) + (~b)*acosh(-1 + (~d)*(~x)^2))⨸sqrt(2*(~b)))⨸(sqrt((~b))*(~d)*(~x)) : nothing)
+
+("7_2_6_12",
+@rule ∫(1/((~!a) + (~!b)*acosh(1 + (~!d)*(~x)^2))^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~x)) ?
+-sqrt((~d)*(~x)^2)* sqrt(2 + (~d)*(~x)^2)⨸((~b)*(~d)*(~x)*sqrt((~a) + (~b)*acosh(1 + (~d)*(~x)^2))) + sqrt(π⨸2)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) - sinh((~a)⨸(2*(~b))))* sinh(acosh(1 + (~d)*(~x)^2)⨸2)* SymbolicUtils.erfi(sqrt((~a) + (~b)*acosh(1 + (~d)*(~x)^2))⨸sqrt(2*(~b)))⨸((~b)^(3⨸2)*(~d)*(~x)) - sqrt(π⨸2)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) + sinh((~a)⨸(2*(~b))))* sinh(acosh(1 + (~d)*(~x)^2)⨸2)* SymbolicUtils.erf(sqrt((~a) + (~b)*acosh(1 + (~d)*(~x)^2))⨸sqrt(2*(~b)))⨸((~b)^(3⨸2)*(~d)*(~x)) : nothing)
+
+("7_2_6_13",
+@rule ∫(1/((~!a) + (~!b)*acosh(-1 + (~!d)*(~x)^2))^(3//2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~x)) ?
+-sqrt((~d)*(~x)^2)* sqrt(-2 + (~d)*(~x)^2)⨸((~b)*(~d)*(~x)*sqrt((~a) + (~b)*acosh(-1 + (~d)*(~x)^2))) + sqrt(π⨸2)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) - sinh((~a)⨸(2*(~b))))* cosh(acosh(-1 + (~d)*(~x)^2)⨸2)* SymbolicUtils.erfi(sqrt((~a) + (~b)*acosh(-1 + (~d)*(~x)^2))⨸sqrt(2*(~b)))⨸((~b)^(3⨸2)*(~d)*(~x)) + sqrt(π⨸2)*(cosh((~a)⨸(2*(~b))) + sinh((~a)⨸(2*(~b))))* cosh(acosh(-1 + (~d)*(~x)^2)⨸2)* SymbolicUtils.erf(sqrt((~a) + (~b)*acosh(-1 + (~d)*(~x)^2))⨸sqrt(2*(~b)))⨸((~b)^(3⨸2)*(~d)*(~x)) : nothing)
+
+("7_2_6_14",
+@rule ∫(1/((~!a) + (~!b)*acosh(1 + (~!d)*(~x)^2))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~x)) ?
+-sqrt((~d)*(~x)^2)*sqrt(2 + (~d)*(~x)^2)⨸(2*(~b)*(~d)*(~x)*((~a) + (~b)*acosh(1 + (~d)*(~x)^2))) - (~x)*sinh((~a)⨸(2*(~b)))* coshintegral(((~a) + (~b)*acosh(1 + (~d)*(~x)^2))⨸(2*(~b)))⨸(2*sqrt(2)*(~b)^2* sqrt((~d)*(~x)^2)) + (~x)*cosh((~a)⨸(2*(~b)))* sinhintegral(((~a) + (~b)*acosh(1 + (~d)*(~x)^2))⨸(2*(~b)))⨸(2*sqrt(2)*(~b)^2* sqrt((~d)*(~x)^2)) : nothing)
+
+("7_2_6_15",
+@rule ∫(1/((~!a) + (~!b)*acosh(-1 + (~!d)*(~x)^2))^2,(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~d), (~x)) ?
+-sqrt((~d)*(~x)^2)* sqrt(-2 + (~d)*(~x)^2)⨸(2*(~b)*(~d)*(~x)*((~a) + (~b)*acosh(-1 + (~d)*(~x)^2))) + (~x)*cosh((~a)⨸(2*(~b)))* coshintegral(((~a) + (~b)*acosh(-1 + (~d)*(~x)^2))⨸(2*(~b)))⨸(2*sqrt(2)*(~b)^2* sqrt((~d)*(~x)^2)) - (~x)*sinh((~a)⨸(2*(~b)))* sinhintegral(((~a) + (~b)*acosh(-1 + (~d)*(~x)^2))⨸(2*(~b)))⨸(2*sqrt(2)*(~b)^2* sqrt((~d)*(~x)^2)) : nothing)
+
+("7_2_6_16",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acosh((~c) + (~!d)*(~x)^2))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~x)) &&
+    eq((~c)^2, 1) &&
+    lt((~n), -1) &&
+    !eq((~n), -2) ?
+-(~x)*((~a) + (~b)*acosh((~c) + (~d)*(~x)^2))^((~n) + 2)⨸(4*(~b)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2)) + (2*(~c)*(~x)^2 + (~d)*(~x)^4)*((~a) + (~b)*acosh((~c) + (~d)*(~x)^2))^((~n) + 1)⨸(2*(~b)*((~n) + 1)*(~x)* sqrt(-1 + (~c) + (~d)*(~x)^2)*sqrt(1 + (~c) + (~d)*(~x)^2)) + 1⨸(4*(~b)^2*((~n) + 1)*((~n) + 2))* ∫(((~a) + (~b)*acosh((~c) + (~d)*(~x)^2))^((~n) + 2), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_6_17",
+@rule ∫(acosh((~!a)*(~x)^(~p))^(~!n)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~p), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+1⨸(~p)*int_and_subst((~x)^(~n)*tanh((~x)),  (~x), (~x), acosh((~a)*(~x)^(~p)), "7_2_6_17") : nothing)
+
+("7_2_6_18",
+@rule ∫((~!u)*acosh((~c)/((~!a) + (~!b)*(~x)^(~!n)))^(~!m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~m), (~x)) ?
+∫((~u)*asech((~a)⨸(~c) + (~b)*(~x)^(~n)⨸(~c))^(~m), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_6_19",
+@rule ∫(acosh(sqrt(1 + (~!b)*(~x)^2))^(~!n)/sqrt(1 + (~!b)*(~x)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~n), (~x)) ?
+sqrt(-1 + sqrt(1 + (~b)*(~x)^2))*sqrt(1 + sqrt(1 + (~b)*(~x)^2))⨸((~b)*(~x))* int_and_subst(acosh((~x))^(~n)⨸(sqrt(-1 + (~x))*sqrt(1 + (~x))),  (~x), (~x), sqrt(1 + (~b)*(~x)^2), "7_2_6_19") : nothing)
+
+("7_2_6_20",
+@rule ∫((~f)^((~!c)*acosh((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~f), (~x)) &&
+    igt((~n), 0) ?
+1⨸(~b)*int_and_subst((~f)^((~c)*(~x)^(~n))*sinh((~x)),  (~x), (~x), acosh((~a) + (~b)*(~x)), "7_2_6_20") : nothing)
+
+("7_2_6_21",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*(~f)^((~!c)*acosh((~!a) + (~!b)*(~x))^(~!n)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~f), (~x)) &&
+    igt((~m), 0) &&
+    igt((~n), 0) ?
+1⨸(~b)*int_and_subst((-(~a)⨸(~b) + cosh((~x))⨸(~b))^(~m)*(~f)^((~c)*(~x)^(~n))*sinh((~x)),  (~x), (~x), acosh((~a) + (~b)*(~x)), "7_2_6_21") : nothing)
+
+("7_2_6_22",
+@rule ∫(acosh((~u)),(~x)) =>
+    !contains_inverse_function((~u), (~x)) &&
+    !(function_of_exponential((~u), (~x))) ?
+(~x)*acosh((~u)) - ∫(ext_simplify((~x)*Symbolics.derivative((~u), (~x))⨸(sqrt(-1 + (~u))*sqrt(1 + (~u))), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_6_25",
+@rule ∫(ℯ^((~!n)*acosh((~u))),(~x)) =>
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    poly((~u), (~x)) ?
+∫(((~u) + sqrt(-1 + (~u))*sqrt(1 + (~u)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+("7_2_6_26",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*ℯ^((~!n)*acosh((~u))),(~x)) =>
+    isrational((~m)) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    poly((~u), (~x)) ?
+∫((~x)^(~m)*((~u) + sqrt(-1 + (~u))*sqrt(1 + (~u)))^(~n), (~x)) : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.1 (a+b arctanh(c x^n))^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.1 (a+b arctanh(c x^n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..ce9718d5
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.1 (a+b arctanh(c x^n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,77 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 7.3.1 (a+b arctanh(c x^n))^p *)
+("7_3_1_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        eq((~n), 1) ||
+        eq((~p), 1)
+    ) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)^(~n)))^(~p) - (~b)*(~c)*(~n)*(~p)* ∫((~x)^(~n)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(1 - (~c)^2*(~x)^(2*(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_1_2",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        eq((~n), 1) ||
+        eq((~p), 1)
+    ) ?
+(~x)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)^(~n)))^(~p) - (~b)*(~c)*(~n)*(~p)* ∫((~x)^(~n)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(1 - (~c)^2*(~x)^(2*(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_1_3",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    igt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*log(1 + (~c)*(~x)^(~n))⨸2 - (~b)*log(1 - (~c)*(~x)^(~n))⨸2)^ (~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_1_4",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    igt((~n), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*log(1 + (~x)^(-(~n))⨸(~c))⨸2 - (~b)*log(1 - (~x)^(-(~n))⨸(~c))⨸2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_1_5",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+∫(((~a) + (~b)*acoth((~x)^(-(~n))⨸(~c)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_1_6",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+∫(((~a) + (~b)*atanh((~x)^(-(~n))⨸(~c)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_1_7",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n)) - 1)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n))))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "7_3_1_7") : nothing)
+
+("7_3_1_8",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n)) - 1)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n))))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "7_3_1_8") : nothing)
+
+# ("7_3_1_9",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+# ("7_3_1_10",
+# @rule ∫(((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.2 (d x)^m (a+b arctanh(c x^n))^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.2 (d x)^m (a+b arctanh(c x^n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..41a991cc
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.2 (d x)^m (a+b arctanh(c x^n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,181 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 7.3.2 (d x)^m (a+b arctanh(c x^n))^p *)
+("7_3_2_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) ?
+(~a)*log((~x)) - (~b)⨸2*PolyLog.reli(2, -(~c)*(~x)) + (~b)⨸2*PolyLog.reli(2, (~c)*(~x)) : nothing)
+
+("7_3_2_2",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)))/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) ?
+(~a)*log((~x)) + (~b)⨸2*PolyLog.reli(2, -1⨸((~c)*(~x))) - (~b)⨸2*PolyLog.reli(2, 1⨸((~c)*(~x))) : nothing)
+
+("7_3_2_3",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)))^(~p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) ?
+2*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))^(~p)*atanh(1 - 2⨸(1 - (~c)*(~x))) - 2*(~b)*(~c)*(~p)* ∫(((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))^((~p) - 1)* atanh(1 - 2⨸(1 - (~c)*(~x)))⨸(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_2_4",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)))^(~p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) ?
+2*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))^(~p)*acoth(1 - 2⨸(1 - (~c)*(~x))) - 2*(~b)*(~c)*(~p)* ∫(((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))^((~p) - 1)* acoth(1 - 2⨸(1 - (~c)*(~x)))⨸(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_2_5",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~n)))^(~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst(((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))^(~p)⨸(~x),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "7_3_2_5") : nothing)
+
+("7_3_2_6",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~n)))^(~!p)/(~x),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst(((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))^(~p)⨸(~x),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "7_3_2_6") : nothing)
+
+("7_3_2_7",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        eq((~p), 1) ||
+        eq((~n), 1) &&
+        ext_isinteger((~m))
+    ) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+(~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~m) + 1) - (~b)*(~c)*(~n)*(~p)⨸((~m) + 1)* ∫((~x)^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(1 - (~c)^2*(~x)^(2*(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_2_8",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        eq((~p), 1) ||
+        eq((~n), 1) &&
+        ext_isinteger((~m))
+    ) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+(~x)^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)^(~n)))^(~p)⨸((~m) + 1) - (~b)*(~c)*(~n)*(~p)⨸((~m) + 1)* ∫((~x)^((~m) + (~n))*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)^(~n)))^((~p) - 1)⨸(1 - (~c)^2*(~x)^(2*(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_2_9",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "7_3_2_9") : nothing)
+
+("7_3_2_10",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    ext_isinteger(simplify(((~m) + 1)/(~n))) ?
+1⨸(~n)*int_and_subst((~x)^(simplify(((~m) + 1)⨸(~n)) - 1)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(~n), "7_3_2_10") : nothing)
+
+("7_3_2_11",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand( (~x)^(~m)*((~a) + (~b)*log(1 + (~c)*(~x)^(~n))⨸2 - (~b)*log(1 - (~c)*(~x)^(~n))⨸2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_2_12",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+∫(ext_expand( (~x)^(~m)*((~a) + (~b)*log(1 + (~x)^(-(~n))⨸(~c))⨸2 - (~b)*log(1 - (~x)^(-(~n))⨸(~c))⨸2)^(~p), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_2_13",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    isfraction((~m)) ?
+ext_den((~m))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)^(ext_den((~m))*(~n))))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~m))), "7_3_2_13") : nothing)
+
+("7_3_2_14",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    igt((~n), 0) &&
+    isfraction((~m)) ?
+ext_den((~m))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~m))*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)^(ext_den((~m))*(~n))))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~m))), "7_3_2_14") : nothing)
+
+("7_3_2_15",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*acoth((~x)^(-(~n))⨸(~c)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_2_16",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    ilt((~n), 0) ?
+∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*atanh((~x)^(-(~n))⨸(~c)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_2_17",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n))*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n))))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "7_3_2_17") : nothing)
+
+("7_3_2_18",
+@rule ∫((~x)^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~m), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n))*((~m) + 1) - 1)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n))))^(~p),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "7_3_2_18") : nothing)
+
+("7_3_2_19",
+@rule ∫(((~d)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)^(~n)))⨸((~d)*((~m) + 1)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~d)^(~n)*((~m) + 1))*∫(((~d)*(~x))^((~m) + (~n))⨸(1 - (~c)^2*(~x)^(2*(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_2_20",
+@rule ∫(((~d)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~!n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~d)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)^(~n)))⨸((~d)*((~m) + 1)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~d)^(~n)*((~m) + 1))*∫(((~d)*(~x))^((~m) + (~n))⨸(1 - (~c)^2*(~x)^(2*(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_2_21",
+@rule ∫(((~d)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        eq((~p), 1) ||
+        isrational((~m), (~n))
+    ) ?
+(~d)^intpart((~m))*((~d)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_2_22",
+@rule ∫(((~d)*(~x))^(~m)*((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    (
+        eq((~p), 1) ||
+        isrational((~m), (~n))
+    ) ?
+(~d)^intpart((~m))*((~d)*(~x))^fracpart((~m))⨸(~x)^fracpart((~m))* ∫((~x)^(~m)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+# ("7_3_2_23",
+# @rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+# ("7_3_2_24",
+# @rule ∫(((~!d)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~!n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.3 (d+e x)^m (a+b arctanh(c x^n))^p.jl b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.3 (d+e x)^m (a+b arctanh(c x^n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..3efdbdab
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.3 (d+e x)^m (a+b arctanh(c x^n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,143 @@
+file_rules = [
+#(* ::Subsection::Closed:: *)
+#(* 7.3.3 (d+e x)^m (a+b arctanh(c x^n))^p *)
+("7_3_3_1",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)))^(~!p)/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    eq((~c)^2*(~d)^2 - (~e)^2, 0) ?
+-((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))^(~p)*log(2⨸(1 + (~e)*(~x)⨸(~d)))⨸(~e) + (~b)*(~c)*(~p)⨸(~e)* ∫(((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))^((~p) - 1)*log(2⨸(1 + (~e)*(~x)⨸(~d)))⨸(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_3_2",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)))^(~!p)/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    igt((~p), 0) &&
+    eq((~c)^2*(~d)^2 - (~e)^2, 0) ?
+-((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))^(~p)*log(2⨸(1 + (~e)*(~x)⨸(~d)))⨸(~e) + (~b)*(~c)*(~p)⨸(~e)* ∫(((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))^((~p) - 1)*log(2⨸(1 + (~e)*(~x)⨸(~d)))⨸(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_3_3",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)))/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)^2*(~d)^2 - (~e)^2, 0) ?
+-((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))*log(2⨸(1 + (~c)*(~x)))⨸(~e) + (~b)*(~c)⨸(~e)*∫(log(2⨸(1 + (~c)*(~x)))⨸(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) + ((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))*log(2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) + (~e))*(1 + (~c)*(~x))))⨸(~e) - (~b)*(~c)⨸(~e)* ∫(log(2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) + (~e))*(1 + (~c)*(~x))))⨸(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_3_4",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)))/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)^2*(~d)^2 - (~e)^2, 0) ?
+-((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))*log(2⨸(1 + (~c)*(~x)))⨸(~e) + (~b)*(~c)⨸(~e)*∫(log(2⨸(1 + (~c)*(~x)))⨸(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) + ((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))*log(2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) + (~e))*(1 + (~c)*(~x))))⨸(~e) - (~b)*(~c)⨸(~e)* ∫(log(2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) + (~e))*(1 + (~c)*(~x))))⨸(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_3_5",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)))^2/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)^2*(~d)^2 - (~e)^2, 0) ?
+-((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))^2*log(2⨸(1 + (~c)*(~x)))⨸(~e) + (~b)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))*PolyLog.reli(2, 1 - 2⨸(1 + (~c)*(~x)))⨸(~e) + (~b)^2*PolyLog.reli(3, 1 - 2⨸(1 + (~c)*(~x)))⨸(2*(~e)) + ((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))^2* log(2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) + (~e))*(1 + (~c)*(~x))))⨸(~e) - (~b)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))* PolyLog.reli(2, 1 - 2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) + (~e))*(1 + (~c)*(~x))))⨸(~e) - (~b)^2*PolyLog.reli(3, 1 - 2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) + (~e))*(1 + (~c)*(~x))))⨸(2*(~e)) : nothing)
+
+("7_3_3_6",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)))^2/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)^2*(~d)^2 - (~e)^2, 0) ?
+-((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))^2*log(2⨸(1 + (~c)*(~x)))⨸(~e) + (~b)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))*PolyLog.reli(2, 1 - 2⨸(1 + (~c)*(~x)))⨸(~e) + (~b)^2*PolyLog.reli(3, 1 - 2⨸(1 + (~c)*(~x)))⨸(2*(~e)) + ((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))^2* log(2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) + (~e))*(1 + (~c)*(~x))))⨸(~e) - (~b)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))* PolyLog.reli(2, 1 - 2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) + (~e))*(1 + (~c)*(~x))))⨸(~e) - (~b)^2*PolyLog.reli(3, 1 - 2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) + (~e))*(1 + (~c)*(~x))))⨸(2*(~e)) : nothing)
+
+("7_3_3_7",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)))^3/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)^2*(~d)^2 - (~e)^2, 0) ?
+-((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))^3*log(2⨸(1 + (~c)*(~x)))⨸(~e) + 3*(~b)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))^2*PolyLog.reli(2, 1 - 2⨸(1 + (~c)*(~x)))⨸(2*(~e)) + 3*(~b)^2*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))*PolyLog.reli(3, 1 - 2⨸(1 + (~c)*(~x)))⨸(2*(~e)) + 3*(~b)^3*PolyLog.reli(4, 1 - 2⨸(1 + (~c)*(~x)))⨸(4*(~e)) + ((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))^3* log(2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) + (~e))*(1 + (~c)*(~x))))⨸(~e) - 3*(~b)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))^2* PolyLog.reli(2, 1 - 2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) + (~e))*(1 + (~c)*(~x))))⨸(2*(~e)) - 3*(~b)^2*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))* PolyLog.reli(3, 1 - 2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) + (~e))*(1 + (~c)*(~x))))⨸(2*(~e)) - 3*(~b)^3*PolyLog.reli(4, 1 - 2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) + (~e))*(1 + (~c)*(~x))))⨸(4*(~e)) : nothing)
+
+("7_3_3_8",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)))^3/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    !eq((~c)^2*(~d)^2 - (~e)^2, 0) ?
+-((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))^3*log(2⨸(1 + (~c)*(~x)))⨸(~e) + 3*(~b)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))^2*PolyLog.reli(2, 1 - 2⨸(1 + (~c)*(~x)))⨸(2*(~e)) + 3*(~b)^2*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))*PolyLog.reli(3, 1 - 2⨸(1 + (~c)*(~x)))⨸(2*(~e)) + 3*(~b)^3*PolyLog.reli(4, 1 - 2⨸(1 + (~c)*(~x)))⨸(4*(~e)) + ((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))^3* log(2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) + (~e))*(1 + (~c)*(~x))))⨸(~e) - 3*(~b)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))^2* PolyLog.reli(2, 1 - 2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) + (~e))*(1 + (~c)*(~x))))⨸(2*(~e)) - 3*(~b)^2*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))* PolyLog.reli(3, 1 - 2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) + (~e))*(1 + (~c)*(~x))))⨸(2*(~e)) - 3*(~b)^3*PolyLog.reli(4, 1 - 2*(~c)*((~d) + (~e)*(~x))⨸(((~c)*(~d) + (~e))*(1 + (~c)*(~x))))⨸(4*(~e)) : nothing)
+
+("7_3_3_9",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~q), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))⨸((~e)*((~q) + 1)) - (~b)*(~c)⨸((~e)*((~q) + 1))*∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)⨸(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_3_10",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~q), (~x)) &&
+    !eq((~q), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))⨸((~e)*((~q) + 1)) - (~b)*(~c)⨸((~e)*((~q) + 1))*∫(((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)⨸(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_3_11",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    ext_isinteger((~q)) &&
+    !eq((~q), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))^(~p)⨸((~e)*((~q) + 1)) - (~b)*(~c)*(~p)⨸((~e)*((~q) + 1))* ∫(ext_expand(((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)))^((~p) - 1), ((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)⨸(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_3_12",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~!q)*((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    ext_isinteger((~q)) &&
+    !eq((~q), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))^(~p)⨸((~e)*((~q) + 1)) - (~b)*(~c)*(~p)⨸((~e)*((~q) + 1))* ∫(ext_expand(((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)))^((~p) - 1), ((~d) + (~e)*(~x))^((~q) + 1)⨸(1 - (~c)^2*(~x)^2), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_3_13",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~n)))/((~!d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+log((~d) + (~e)*(~x))*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)^(~n)))⨸(~e) - (~b)*(~c)*(~n)⨸(~e)*∫((~x)^((~n) - 1)*log((~d) + (~e)*(~x))⨸(1 - (~c)^2*(~x)^(2*(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_3_14",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~n)))/((~!d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~n)) ?
+log((~d) + (~e)*(~x))*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)^(~n)))⨸(~e) - (~b)*(~c)*(~n)⨸(~e)*∫((~x)^((~n) - 1)*log((~d) + (~e)*(~x))⨸(1 - (~c)^2*(~x)^(2*(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_3_15",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~n)))/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n)) - 1)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n))))⨸((~d) + (~e)*(~x)^ext_den((~n))),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "7_3_3_15") : nothing)
+
+("7_3_3_16",
+@rule ∫(((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~n)))/((~d) + (~!e)*(~x)),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~x)) &&
+    isfraction((~n)) ?
+ext_den((~n))*int_and_subst((~x)^(ext_den((~n)) - 1)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)^(ext_den((~n))*(~n))))⨸((~d) + (~e)*(~x)^ext_den((~n))),  (~x), (~x), (~x)^(1⨸ext_den((~n))), "7_3_3_16") : nothing)
+
+("7_3_3_17",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)^(~n)))⨸((~e)*((~m) + 1)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~e)*((~m) + 1))* ∫((~x)^((~n) - 1)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)⨸(1 - (~c)^2*(~x)^(2*(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_3_18",
+@rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~n))),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !eq((~m), -1) ?
+((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)^(~n)))⨸((~e)*((~m) + 1)) - (~b)*(~c)*(~n)⨸((~e)*((~m) + 1))* ∫((~x)^((~n) - 1)*((~d) + (~e)*(~x))^((~m) + 1)⨸(1 - (~c)^2*(~x)^(2*(~n))), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_3_19",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    igt((~m), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), ((~d) + (~e)*(~x))^(~m), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("7_3_3_20",
+@rule ∫(((~d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~n)))^(~p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~n), (~x)) &&
+    igt((~p), 1) &&
+    igt((~m), 0) ?
+∫(ext_expand(((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), ((~d) + (~e)*(~x))^(~m), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+# ("7_3_3_21",
+# @rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*atanh((~!c)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*atanh((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+# ("7_3_3_22",
+# @rule ∫(((~!d) + (~!e)*(~x))^(~!m)*((~!a) + (~!b)*acoth((~!c)*(~x)^(~n)))^(~!p),(~x)) =>
+#     !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~m), (~n), (~p), (~x)) ?
+# Unintegrable[((~d) + (~e)*(~x))^(~m)*((~a) + (~b)*acoth((~c)*(~x)^(~n)))^(~p), (~x)] : nothing)
+
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules/9 Miscellaneous/0.1 Integrand simplification rules.jl b/src/methods/rule_based/rules/9 Miscellaneous/0.1 Integrand simplification rules.jl
new file mode 100644
index 00000000..29cd219f
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules/9 Miscellaneous/0.1 Integrand simplification rules.jl	
@@ -0,0 +1,179 @@
+file_rules = [
+# (* ::Subsection::Closed:: *) 
+# (* 9.1 Integrand simplification rules *) 
+# (* Int[u_.*(v_+w_)^p_.,x_Symbol] := Int[u*w^p,x] /; FreeQ[p,x] && EqQ[v,0] *) 
+("0_1_0",
+@rule ∫(+(~~a),~x) => sum(map(f -> ∫(f,~x), ~a)))
+
+("0_1_6",
+@rule ∫((~!u)*((~!a)*(~v) + (~!b)*(~v) + (~!w))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~x)) &&
+    contains_var((~v), (~x)) ?
+∫((~u)*(((~a) + (~b))*(~v) + (~w))^(~p), (~x)) : nothing)
+
+("0_1_7",
+@rule ∫((~!u)*(~Px)^(~p),(~x)) =>
+    poly((~Px), (~x)) &&
+    !(isrational((~p))) &&
+    !contains_var((~p), (~x)) &&
+    isrational(simplify((~p))) ?
+∫((~u)*(~Px)^simplify((~p)), (~x)) : nothing)
+
+("0_1_8",
+@rule ∫((~a),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~x)) ?
+(~a)*(~x) : nothing)
+
+("0_1_12",
+@rule ∫(*(~~a),~x) =>
+let
+    out = prod([contains_var(el,~x) ? 1 : el for el in ~a])
+    eq(out,1) ? (return nothing) : (return out*∫(prod([contains_var(el,~x) ? el : 1 for el in ~a]),~x))
+end : nothing
+)
+
+# TODO if pattern matching was better 0_1_12_[1,2,3] would be handled by 0_1_12
+("0_1_12_1",
+@rule ∫((~a)/(~u),(~x)) =>
+    !contains_var(~a, ~x) &&
+    !eq(~a,1) ?
+(~a)*∫(1/(~u), ~x) : nothing)
+
+("0_1_12_2",
+@rule ∫((~a * ~v)/(~u),(~x)) =>
+    !contains_var(~a, ~x) &&
+    !eq(~a,1) ?
+(~a)*∫((~v)/(~u), ~x) : nothing)
+
+("0_1_12_3",
+@rule ∫((~v)/(~a * ~u),(~x)) =>
+    !contains_var(~a, ~x) &&
+    !eq(~a,1) ?
+(1⨸(~a))*∫((~v)/(~u), ~x) : nothing)
+
+
+("0_1_13",
+@rule ∫((~!u)*((~!a)*(~x)^(~n))^(~m),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) ?
+(~a)^intpart((~m))*((~a)*(~x)^(~n))^fracpart((~m))⨸(~x)^((~n)*fracpart((~m)))* ∫((~u)*(~x)^((~m)*(~n)), (~x)) : nothing)
+
+("0_1_14",
+@rule ∫((~!u)*(~v)^(~!m)*((~b)*(~v))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~b), (~n), (~x)) &&
+    ext_isinteger((~m)) ?
+1⨸(~b)^(~m)*∫((~u)*((~b)*(~v))^((~m) + (~n)), (~x)) : nothing)
+
+("0_1_15",
+@rule ∫((~!u)*((~!a)*(~v))^(~m)*((~!b)*(~v))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    igt((~n) + 1/2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m) + (~n)) ?
+(~a)^((~m) + 1⨸2)*(~b)^((~n) - 1⨸2)*sqrt((~b)*(~v))⨸sqrt((~a)*(~v))*∫((~u)*(~v)^((~m) + (~n)), (~x)) : nothing)
+
+# (* Int[u_.*(a_.*v_)^m_*(b_.*v_)^n_,x_Symbol] := b^(n-1/2)*Sqrt[b*v]/(a^(n-1/2)*Sqrt[a*v])*Int[u*(a*v)^(m+n),x] /; FreeQ[{a,b,m},x] && Not[IntegerQ[m]] && IGtQ[n+1/2,0] &&  Not[IntegerQ[m+n]] *) 
+("0_1_16",
+@rule ∫((~!u)*((~!a)*(~v))^(~m)*((~!b)*(~v))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    ilt((~n) - 1/2, 0) &&
+    ext_isinteger((~m) + (~n)) ?
+(~a)^((~m) - 1⨸2)*(~b)^((~n) + 1⨸2)*sqrt((~a)*(~v))⨸sqrt((~b)*(~v))*∫((~u)*(~v)^((~m) + (~n)), (~x)) : nothing)
+
+# (* Int[u_.*(a_.*v_)^m_*(b_.*v_)^n_,x_Symbol] := b^(n+1/2)*Sqrt[a*v]/(a^(n+1/2)*Sqrt[b*v])*Int[u*(a*v)^(m+n),x] /; FreeQ[{a,b,m},x] && Not[IntegerQ[m]] && ILtQ[n-1/2,0] &&  Not[IntegerQ[m+n]] *) 
+("0_1_17",
+@rule ∫((~!u)*((~!a)*(~v))^(~m)*((~!b)*(~v))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    ext_isinteger((~m) + (~n)) ?
+(~a)^((~m) + (~n))*((~b)*(~v))^(~n)⨸((~a)*(~v))^(~n)*∫((~u)*(~v)^((~m) + (~n)), (~x)) : nothing)
+
+("0_1_18",
+@rule ∫((~!u)*((~!a)*(~v))^(~m)*((~!b)*(~v))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~m), (~n), (~x)) &&
+    !(ext_isinteger((~m))) &&
+    !(ext_isinteger((~n))) &&
+    !(ext_isinteger((~m) + (~n))) ?
+(~b)^intpart((~n))*((~b)*(~v))^fracpart((~n))⨸((~a)^intpart((~n))*((~a)*(~v))^fracpart((~n)))* ∫((~u)*((~a)*(~v))^((~m) + (~n)), (~x)) : nothing)
+
+("0_1_19",
+@rule ∫((~!u)*((~a) + (~!b)*(~v))^(~!m)*((~c) + (~!d)*(~v))^(~!n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    ext_isinteger((~m)) &&
+    (
+        !(ext_isinteger((~n))) ||
+        simpler((~c) + (~d)*(~x), (~a) + (~b)*(~x))
+    ) ?
+((~b)⨸(~d))^(~m)*∫((~u)*((~c) + (~d)*(~v))^((~m) + (~n)), (~x)) : nothing)
+
+("0_1_20",
+@rule ∫((~!u)*((~a) + (~!b)*(~v))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~v))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    gt((~b)/(~d), 0) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger((~n))
+    ) ?
+((~b)⨸(~d))^(~m)*∫((~u)*((~c) + (~d)*(~v))^((~m) + (~n)), (~x)) : nothing)
+
+("0_1_21",
+@rule ∫((~!u)*((~a) + (~!b)*(~v))^(~m)*((~c) + (~!d)*(~v))^(~n),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~b)*(~c) - (~a)*(~d), 0) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~m)) ||
+        ext_isinteger((~n)) ||
+        gt((~b)/(~d), 0)
+    ) ?
+((~a) + (~b)*(~v))^(~m)⨸((~c) + (~d)*(~v))^(~m)*∫((~u)*((~c) + (~d)*(~v))^((~m) + (~n)), (~x)) : nothing)
+
+# (* Int[u_.*(a_.*v_)^m_*(b_.*v_+c_.*v_^2),x_Symbol] := 1/a*Int[u*(a*v)^(m+1)*(b+c*v),x] /; FreeQ[{a,b,c},x] && LeQ[m,-1] *) 
+("0_1_22",
+@rule ∫((~!u)*((~a) + (~!b)*(~v))^(~m)*((~!A) + (~!B)*(~v) + (~!C)*(~v)^2),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~A), (~B), (~C), (~x)) &&
+    eq((~A)*(~b)^2 - (~a)*(~b)*(~B) + (~a)^2*(~C), 0) &&
+    le((~m), -1) ?
+1⨸(~b)^2*∫((~u)*((~a) + (~b)*(~v))^((~m) + 1)*simplify((~b)*(~B) - (~a)*(~C) + (~b)*(~C)*(~v), (~x)), (~x)) : nothing)
+
+("0_1_23",
+@rule ∫((~!u)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!m)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~!q))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~x)) &&
+    eq((~q), -(~n)) &&
+    ext_isinteger((~p)) &&
+    eq((~a)*(~c) - (~b)*(~d), 0) &&
+    !(
+        ext_isinteger((~m)) &&
+        neg((~n))
+    ) ?
+((~d)⨸(~a))^(~p)*∫((~u)*((~a) + (~b)*(~x)^(~n))^((~m) + (~p))⨸(~x)^((~n)*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("0_1_24",
+@rule ∫((~!u)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~!n))^(~!m)*((~c) + (~!d)*(~x)^(~j))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+    eq((~j), 2*(~n)) &&
+    eq((~p), -(~m)) &&
+    eq((~b)^2*(~c) + (~a)^2*(~d), 0) &&
+    gt((~a), 0) &&
+    lt((~d), 0) ?
+(-(~b)^2⨸(~d))^(~m)*∫((~u)*((~a) - (~b)*(~x)^(~n))^(-(~m)), (~x)) : nothing)
+
+("0_1_25",
+@rule ∫((~!u)*((~a) + (~!b)*(~x) + (~!c)*(~x)^2)^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+∫((~u)*simplify(((~b)⨸2 + (~c)*(~x))^(2*(~p))⨸(~c)^(~p)), (~x)) : nothing)
+
+("0_1_26",
+@rule ∫((~!u)*((~a) + (~!b)*(~x)^(~n) + (~!c)*(~x)^(~!n2))^(~!p),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~n), (~x)) &&
+    eq(~n2, 2*(~n)) &&
+    eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) &&
+    ext_isinteger((~p)) ?
+1⨸(~c)^(~p)*∫((~u)*((~b)⨸2 + (~c)*(~x)^(~n))^(2*(~p)), (~x)) : nothing)
+
+]
diff --git a/src/methods/rule_based/rules_loader.jl b/src/methods/rule_based/rules_loader.jl
new file mode 100644
index 00000000..775b2d85
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules_loader.jl
@@ -0,0 +1,123 @@
+# Utility function to load all rules in rules_paths
+# to the global `RULES` and `IDENTIFIERS` array
+# If called with no arguments loads all rules from the default paths
+# paths must start with src/rules/
+function load_rules(rules_paths)
+    global RULES
+    global IDENTIFIERS
+    
+    tot = length(rules_paths)
+    for (i, file) in enumerate(rules_paths)
+        # cool print
+        n_of_equals = round(Int, (i-1) / tot * 60)
+        if i > 1
+            print("\e[2A")  # Move cursor up 2 lines
+        end
+        print("\e[2K")  # Clear current line
+        printstyled(" $(i-1)/$tot files"; color = :light_green, bold = true)
+        print(" [" * "="^n_of_equals *">"* " "^(60 - n_of_equals) * "] ")
+        printstyled("$(length(RULES)) rules\n"; color = :light_green, bold = true)
+        print("\e[2K")  # Clear current line
+        printstyled(" Loading file: ", split(file,"/")[end], "\n"; color = :light_black)
+
+        # add rules
+        include(file) # most of the time is spent here
+        # Use Base.invokelatest to handle world age issues in Julia 1.12+
+        local_file_rules = Base.invokelatest(() -> file_rules)
+        append!(RULES, [x[2] for x in local_file_rules])
+        append!(IDENTIFIERS, [x[1] for x in local_file_rules])
+    end
+    print("\e[1A\e[2K\e[1A\e[2K")
+    println("Loaded $(length(RULES)) rules from $(length(rules_paths)) files.")
+end
+
+load_rules() = load_rules([joinpath(@__DIR__, "rules/" * f) for f in all_rules_paths])
+
+# greater or equal function to sort identifiers
+function identifier_ge(id1, id2)
+    id1 = [parse(Int,x) for x in split(id1,"_")]
+    id2 = [parse(Int,x) for x in split(id2,"_")]
+
+    for i in 1:min(length(id1), length(id2))
+        if id1[i] > id2[i]
+            return true
+        elseif id1[i] < id2[i]
+            return false
+        end
+    end
+    return length(id1) >= length(id2)
+end
+
+# function useful in developing the package
+# reads the rules from the given path.
+# for each one of them checks if in the global RULES array there is a rule with the same identifier.
+# if so, it replaces the rule with the new one.
+# if not, it adds the new rule to the global RULES array in the correct place.
+# if called with no argument reloads all rules from the default paths
+function reload_rules(path; verbose = true)
+    global RULES
+    global IDENTIFIERS
+    
+    println("Including $path...")
+    include(path)
+    
+    # Use Base.invokelatest to handle world age issues in Julia 1.12+
+    local_file_rules = Base.invokelatest(() -> file_rules)
+    
+    for r in local_file_rules
+        idx = findfirst(i->identifier_ge(i, r[1]), IDENTIFIERS)
+        
+        # if there is a identifier >= of r[1]
+        if idx !== nothing
+            # if r[1] is already in the identifiers
+            if IDENTIFIERS[idx]==r[1]
+                # replace rule
+                RULES[idx] = r[2]
+                verbose && printstyled("replaced rule $(r[1]) at index $idx\n";color = :yellow)
+            # else add it at idx
+            else
+                insert!(IDENTIFIERS, idx, r[1])
+                insert!(RULES, idx, r[2])
+                verbose && printstyled("Inserted rule $(r[1]) at index $idx\n";color=:green)
+            end
+        # else add it at the end
+        else
+            push!(IDENTIFIERS, r[1])
+            push!(RULES, r[2])
+            verbose && printstyled("Appended rule $(r[1]) at the end of RULES (index $(length(RULES)))\n";color = :magenta)
+        end
+    end
+
+    file_identifiers = [r[1] for r in local_file_rules]
+    file_identifier = replace(split(replace(basename(path), r"\.jl$" => ""), " ")[1], r"\." => "_")
+
+    # delete rules previously in the system but now deleted
+    # for (i, identifier) in enumerate(IDENTIFIERS)
+    i = 1
+    while i<=length(IDENTIFIERS)
+        this_id = IDENTIFIERS[i]
+        if startswith(this_id, file_identifier) && this_id ∉ file_identifiers
+            deleteat!(IDENTIFIERS, i)
+            deleteat!(RULES, i)
+            i -= 1 # decrement i because we deleted an element
+            verbose && printstyled("Deleted rule $(this_id) that was in RULES but is no more in $path\n";color=:red)
+        end
+        i += 1
+    end
+            
+    
+    verbose && println("$(length(file_rules)) rules reloaded from $path, $(length(RULES)) total rules.")
+end
+
+function reload_rules(;verbose = true)
+    global RULES
+    global IDENTIFIERS
+    
+    empty!(RULES)
+    empty!(IDENTIFIERS)
+
+    load_rules()
+end
+
+# TODO PrecompileTools.jl?
+load_rules()
diff --git a/src/methods/rule_based/rules_utility_functions.jl b/src/methods/rule_based/rules_utility_functions.jl
new file mode 100644
index 00000000..f4aa5b9d
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/rules_utility_functions.jl
@@ -0,0 +1,877 @@
+# this custom division function is added to produce 
+# - rationals if called with integers
+# - floats if called with floats
+# it's a infix operator with the same precedence of /
+function ⨸(x::Union{Rational, Integer}, y::Union{Rational, Integer})
+    res = x // y
+    ext_isinteger(res) ? Int(res) : res
+end
+⨸(x, y) = x / y
+
+# this custom exponentiation function should be used whenever there are 
+# fractional powers, because (-1)^(1/2) errors
+# it's a infix operator with the same precedence of ^
+⟰(x, y) = lt(x, 0) ? Complex(x) ^ y : x ^ y
+⟰(x, y::Integer) = x ^ y
+
+# if expr contains variable var return true
+function contains_var(expr, var)
+    expr = Symbolics.unwrap(expr)
+    var = Symbolics.unwrap(var)
+    expr === var && return true
+    
+    if SymbolicUtils.iscall(expr)
+        for arg in SymbolicUtils.arguments(expr)
+            if contains_var(arg, var)
+                return true
+            end
+        end
+    end
+    return false
+end
+
+# the last argument is the variable to check the other expr against
+function contains_var(args...)
+    var = args[end]
+    return any(contains_var(expr, var) for expr in args[1:end-1])
+end
+
+function contains_op(op, expr)
+    expr = Symbolics.unwrap(expr)
+    if iscall(expr)
+        if nameof(operation(expr))=== nameof(op)
+            return true
+        end
+        return any(contains_op(op, a) for a in arguments(expr))
+    end
+    return false
+end
+
+# contains_op(∫, expr) is the same as checking if the integral has been completely solved
+contains_int(expr) = contains_op(∫, expr)
+
+function complexfree(expr)
+    isa(expr, Complex) && !eq(imag(expr),0) && return true
+    return false
+end
+
+# to distinguish between symbolic expressions and numbers
+s(u) = isa(Symbolics.unwrap(u), Symbolics.Symbolic)
+
+function eq(a, b)
+    !s(a) && !s(b) && return isequal(a, b)
+    return SymbolicUtils.simplify(a - b) |> SymbolicUtils._iszero
+end
+
+ext_isinteger(u::SymbolicUtils.BasicSymbolic) = false
+ext_isinteger(u::Number) = isinteger(u)
+ext_isinteger(u::Any) = false
+ext_isinteger(args...) = all(ext_isinteger(arg) for arg in args)
+
+half_integer(u::SymbolicUtils.BasicSymbolic) = false
+half_integer(u::Number) = isinteger(u - 1//2)
+half_integer(u::Any) = false
+half_integer(args...) = all(half_integer(arg) for arg in args)
+
+function ext_iseven(u)
+    s(u) && return false # for symbolic expressions
+    isa(u, Number) && return iseven(u) # for numeric types
+    return false    
+end
+
+function ext_isodd(u)
+    s(u) && return false # for symbolic expressions
+    isa(u, Number) && return isodd(u) # for numeric types
+    return false    
+end
+
+# If m, n, ... are explicit fractions, fraction(m,n,...) returns true
+isfraction(args...) = all(isa(arg, Rational) && denominator(arg)!=1 for arg in args)
+# If m, n, ... are integers or fractions, rational(m,n,...) returns true
+isrational(args...) = all(isa(arg, Rational) || isa(arg, Integer) for arg in args)
+
+# If u is a sum, sumQ(u) returns true; else it returns false.
+function issum(u)
+    u = Symbolics.unwrap(u)
+    return SymbolicUtils.iscall(u) && SymbolicUtils.operation(u) === +
+end
+
+function isprod(u)
+    u = Symbolics.unwrap(u)
+    return SymbolicUtils.iscall(u) && SymbolicUtils.operation(u) === *
+end
+
+function isdiv(u)
+    u = Symbolics.unwrap(u)
+    return SymbolicUtils.iscall(u) && SymbolicUtils.operation(u) === /
+end
+
+function ispow(u)
+    u = Symbolics.unwrap(u)
+    return SymbolicUtils.iscall(u) && SymbolicUtils.operation(u) === ^
+end
+
+const trig_functions = [sin, cos, tan, cot,sec, csc]
+istrig(funct) = in(funct, trig_functions)
+
+function ext_coeff(u, x)
+    try 
+        return Symbolics.coeff(u, x)
+    catch e
+        println("Error in ext_coeff: ", e)
+        return 0
+    end
+end
+
+function ext_coeff(u, x, n)
+    ext_coeff(u, x^n)
+end
+
+# SimplifyIntegrand[u,x] simplifies u and returns the result in a standard form recognizable by integration rules
+function ext_simplify(u, x)
+    simplify(u)
+end
+
+# If u is a polynomial in x, expand_linear_product(v, u, a, b, x) expands v*u
+# into a sum of terms of the form c*v*(a+b*x)^n where n is a non-negative integer
+# usually v = (a + bx)^(non integer number)
+# Example:
+# julia> SymbolicIntegration.expand_linear_product((3 + 6x)^(2.1),(-1 + 2x)^2, 3, 6, x)
+# (4//1)*((3 + 6x)^2.1) - (4//3)*((3 + 6x)^3.1) + (1//9)*((3 + 6x)^4.1)
+function expand_linear_product(v, u, a, b, x)
+    !poly(u, x) && throw(ArgumentError("u must be a polynomial in x"))
+    contains_var(a, b, x) && throw(ArgumentError("a and b must be constants (free of x)"))
+
+    u_transformed = expand(substitute(u, x => (x - a) / b))
+
+    # Extract coefficients of the transformed polynomial
+    coeffs = Num[]
+    N = poly_degree(u_transformed, x)
+    N===nothing && return nothing
+    for i in 0:N
+        coeff = ext_coeff(u_transformed, x, i)
+        push!(coeffs, simp(coeff, x)) # Simplify each coefficient
+    end
+
+    # Build the sum: v * coeff[i] * (a+b*x)^(i-1) for all coeffs
+    return sum(v * c * (a + b*x)^(i-1) for (i,c) in enumerate(coeffs))
+end
+
+# TODO this is not enough, not taking all the cases of rubi
+# TODO function ext_expand(expr::Union{SymbolicUtils.BasicSymbolic{Real}, Num}, x::Union{SymbolicUtils.BasicSymbolic{Real}, Num})
+# TODO address x / ((1 + x)^2)
+function ext_expand(expr, x)
+    f(p) = !contains_var(p, x) # f stands for free of x
+    p(pa) = poly(pa,x)
+    
+    # note that m can be a non integer
+    case1 = @rule (~u::p)*((~a::f) + (~!b::f)*x)^(~m::f) => ~
+    t = case1(expr) # t stands for tmp
+    t !== nothing && return expand_linear_product((t[:a]+t[:b]*x)^t[:m],t[:u], t[:a], t[:b], x)
+    case1_1 = @rule (~u::(p->poly(p,x)))/(((~a::f) + (~!b::f)*x)^(~m::f)) => ~ # TODO needed because of neim problem
+    t = case1_1(expr)
+    t !== nothing && return expand_linear_product((t[:a]+t[:b]*x)^(-t[:m]),t[:u], t[:a], t[:b], x)
+
+    case2 = @rule (~!a::f + ~!b::f*x)^(~!m::ext_isinteger)/(~!c::f + ~!d::f*x) => (~b*(~a+~b*x)^(~m-1))⨸~d + ((~a*~d-~b*~c)*(~a+~b*x)^(~m-1))⨸(~d*(~c+~d*x))
+    t = case2(expr)
+    t!==nothing && return t
+
+    case4 = @rule x/(~a::f + ~b::f*x) => 1⨸~b - ~a⨸(~b*(~a + ~b*x))
+    t = case4(expr)
+    t!==nothing && return t
+
+    case5 = @rule (~d::f + ~!e::f*x)/(x*(~a::f + x^2)) => (~d+~e*x)/(x*~a) - (~d+~e*x)*x/(~a*(~a + x^2))
+    t = case5(expr)
+    t!==nothing && return t
+    
+    case6 = @rule (~u::p)/(~v::p) => exponent_of(~u,x)>=exponent_of(~v,x) ? polynomial_divide(~u,~v,x) : nothing
+    t = case6(expr)
+    t!==nothing && return t
+
+    return expand(expr)
+end
+
+function ext_expand(u, v, x)
+    expand(u * v)
+end
+
+# ExpandToSum[u,x] returns u expanded into a sum of monomials of x.*
+function expand_to_sum(u, x)
+    expand(u)
+end
+
+# ExpandToSum[u,v,x] returns v expanded into a sum of monomials of x and distributes u over v.
+function expand_to_sum(u, v, x)
+    expand(u * v)
+end
+
+simp(u,x) = simplify(u)
+
+expand_trig_reduce(u,x) = expand(simplify(u))
+expand_trig_reduce(v,u,x) = expand(simplify(u*v))
+
+# FracPart[u] returns the sum of the non-integer terms of u.
+# fracpart(3//2 + x) = (1//2) + x, fracpart(2.4) = 2.4
+function fracpart(a)
+    if isrational(a)
+        a - trunc(a)
+    elseif issum(a)
+        # If a is a sum, we return the sum of the fractional parts of each term
+        return sum(fracpart(term) for term in SymbolicUtils.arguments(Symbolics.unwrap(a)))
+    else
+        return a
+    end
+end
+
+# IntPart[u] returns the sum of the integer terms of u.
+function intpart(a)
+    if isrational(a)
+        trunc(a)
+    elseif issum(a)
+        # If a is a sum, we return the sum of the integer parts of each term
+        return sum(intpart(term) for term in SymbolicUtils.arguments(Symbolics.unwrap(a)))
+    else
+        return 0
+    end
+end
+
+# Greater than
+gt(u, v) = (s(u) || s(v)) ? false : u > v
+gt(u, v, w) = gt(u, v) && gt(v, w)
+ge(u, v) = (s(u) || s(v)) ? false : u >= v
+ge(u, v, w) = ge(u, v) && ge(v, w)
+lt(u, v) = (s(u) || s(v)) ? false : u < v
+lt(u, v, w) = lt(u, v) && lt(v, w)
+le(u, v) = (s(u) || s(v)) ? false : u <= v
+le(u, v, w) = le(u, v) && le(v, w)
+
+# If a is an integer and a>b, igtQ(a,b) returns true, else it returns false.
+igt(a, b) = ext_isinteger(a) && gt(a, b)
+ige(a, b) = ext_isinteger(a) && ge(a, b)
+ilt(a, b) = ext_isinteger(a) && lt(a, b)
+ile(a, b) = ext_isinteger(a) && le(a, b)
+
+# returns the simplest nth root of u
+# TODO this doesnt allow for exact simplification of roots, maybe use SymbolicUtils.Pow{Real}(u, 1⨸n)?
+function rt(u, n::Integer)
+    ext_isodd(n) && lt(u, 0) && return -((-u)^(1⨸n))
+    if !s(u) && u<0
+        u=Complex(u)
+    end
+    n==2 && return sqrt(u)
+    return u^(1⨸n)
+end
+
+# If u is not 0 and has a positive form, posQ(u) returns True, else it returns False
+function pos(u)
+    u = Symbolics.unwrap(u)
+    !s(u) && return !eq(u, 0) && (u>0)
+    u = simplify(u)
+    atom(u) && return true
+    (isprod(u) || isdiv(u)) && return all(pos(arg) for arg in Symbolics.arguments(u))
+    return true
+end
+neg(u) = !pos(u) && !eq(u, 0)
+
+# extended denominator
+ext_den(u::Union{Num, SymbolicUtils.Symbolic, Rational, Integer}) = denominator(u)
+ext_den(u) = 1
+ext_num(u::Union{Num, SymbolicUtils.Symbolic, Rational, Integer}) = numerator(u)
+ext_num(u) = u
+
+# IntLinearQ[a,b,c,d,m,n,x] returns True iff (a+b*x)^m*(c+d*x)^n is integrable wrt x in terms of non-hypergeometric functions.
+int_linear(a, b, c, d, m, n, x) =
+    igt(m, 0) || igt(n, 0) || 
+    ext_isinteger(3*m, 3*n) || ext_isinteger(4*m, 4*n) || 
+    ext_isinteger(2*m, 6*n) || ext_isinteger(6*m, 2*n) || 
+    ilt(m + n, -1) || (ext_isinteger(m + n) && isrational(m))
+
+# IntBinomialQ[a,b,c,n,m,p,x] returns True iff (c*x)^m*(a+b*x^n)^p  is integrable wrt x in terms of non-hypergeometric functions.
+int_binomial(a, b, c, n, m, p, x) =
+    igt(p, 0) ||
+    (isrational(m) && ext_isinteger(n, 2*p)) || 
+    ext_isinteger((m + 1)⨸n + p) || 
+    (eq(n, 2) || eq(n, 4)) && ext_isinteger(2*m, 4*p) || 
+    eq(n, 2) && ext_isinteger(6*p) && (ext_isinteger(m) || ext_isinteger(m - p))
+
+# IntBinomialQ[a,b,c,d,n,p,q,x] returns True iff  (a+b*x^n)^p*(c+d*x^n)^q is integrable wrt x in terms of non-Appell  functions.
+int_binomial(a, b, c, d, n, p, q, x) =
+    ext_isinteger(p, q) ||
+    igt(p, 0) ||
+    igt(q, 0) ||
+    (eq(n, 2) || eq(n, 4)) && (ext_isinteger(p, 4*q) ||
+    ext_isinteger(4*p, q)) ||
+    eq(n, 2) && (ext_isinteger(2*p, 2*q) ||
+    ext_isinteger(3*p, q) && eq(b*c + 3*a*d, 0) ||
+    ext_isinteger(p, 3*q) && eq(3*b*c + a*d, 0)) ||
+    eq(n, 3) && (ext_isinteger(p + 1//3, q) ||
+    ext_isinteger(q + 1//3, p)) ||
+    eq(n, 3) && (ext_isinteger(p + 2//3, q) ||
+    ext_isinteger(q + 2//3, p)) && eq(b*c + a*d, 0)
+
+# IntBinomialQ[a,b,c,d,e,m,n,p,q,x] returns True iff  (e*x)^m*(a+b*x^n)^p*(c+d*x^n)^q is integrable wrt x in terms of  non-Appell functions.
+int_binomial(a, b, c, d, e, m, n, p, q, x) =
+    ext_isinteger(p, q) ||
+    igt(p, 0) ||
+    igt(q, 0) ||
+    eq(n, 2) && (ext_isinteger(m, 2*p, 2*q) || ext_isinteger(2*m, p, 2*q) || ext_isinteger(2*m, 2*p, q)) ||
+    eq(n, 4) && (ext_isinteger(m, p, 2*q) || ext_isinteger(m, 2*p, q)) ||
+    eq(n, 2) && ext_isinteger(m/2, p + 1//3, q) && (eq(b*c + 3*a*d, 0) || eq(b*c - 9*a*d, 0)) ||
+    eq(n, 2) && ext_isinteger(m/2, q + 1//3, p) && (eq(a*d + 3*b*c, 0) || eq(a*d - 9*b*c, 0)) ||
+    eq(n, 3) && ext_isinteger((m - 1)/3, q, p - 1//2) && (eq(b*c - 4*a*d, 0) || eq(b*c + 8*a*d, 0) || eq(b^2*c^2 - 20*a*b*c*d - 8*a^2*d^2, 0)) ||
+    eq(n, 3) && ext_isinteger((m - 1)/3, p, q - 1//2) && (eq(4*b*c - a*d, 0) || eq(8*b*c + a*d, 0) || eq(8*b^2*c^2 + 20*a*b*c*d - a^2*d^2, 0)) ||
+    eq(n, 3) && (ext_isinteger(m, q, 3*p) || ext_isinteger(m, p, 3*q)) && eq(b*c + a*d, 0) ||
+    eq(n, 3) && (ext_isinteger((m + 2)/3, p + 2//3, q) || ext_isinteger((m + 2)/3, q + 2//3, p)) ||
+    eq(n, 3) && (ext_isinteger(m/3, p + 1//3, q) || ext_isinteger(m/3, q + 1//3, p))
+
+# IntQuadraticQ[a,b,c,d,e,m,p,x] returns True iff  (d+e*x)^m*(a+b*x+c*x^2)^p is integrable wrt x in terms of non-Appell  functions.
+int_quadratic(a,b,c,d,e,m,p,x) = 
+    ext_isinteger(p) || igt(m, 0) ||
+    ext_isinteger(2*m, 2*p) || ext_isinteger(m, 4*p) ||
+    ext_isinteger(m, p + 1//3) &&
+    (eq(c^2*d^2 - b*c*d*e + b^2*e^2 - 3*a*c*e^2, 0) ||
+     eq(c^2*d^2 - b*c*d*e - 2*b^2*e^2 + 9*a*c*e^2, 0))
+
+# If u has a nice squareroot (e.g. a positive number or none of the degrees of 
+# the factors of the squareroot of u are fractions), return true
+function nice_sqrt(u)
+    !s(u) && return u>0
+    return !fractional_power_factor(rt(u,2))
+end
+
+# If a factor of u is a complex constant or a fractional power returns true
+# julia> SymbolicIntegration.fractional_power_factor(((1+x)^(1//2))*x)
+# true
+function fractional_power_factor(expr)
+    expr = Symbolics.unwrap(expr)
+    atom(expr) && return false
+    !iscall(expr) && return false
+    ispow(expr) && return (!ext_isinteger(arguments(expr)[2]) && isfraction(arguments(expr)[2]))
+    isprod(expr) && return any(fractional_power_factor(f) for f in arguments(expr))
+    return false
+end
+
+# If u is simpler than v, SimplerQ[u,v] returns True, else it 
+# returns False.  SimplerQ[u,u] returns False.
+function simpler(u, v)
+    if ext_isinteger(u)
+        if ext_isinteger(v)
+            if u == v
+                return false
+            elseif u == -v
+                return v < 0
+            else
+                return abs(u) < abs(v)
+            end
+        else
+            return true
+        end
+    end
+    # If v is an integer but u is not
+    if ext_isinteger(v)
+        return false
+    end
+    # If u is a fraction
+    if isa(u, Rational)
+        if isa(v, Rational)
+            if denominator(u) == denominator(v)
+                return simpler(numerator(u), numerator(v))
+            else
+                return denominator(u) < denominator(v)
+            end
+        else
+            return true
+        end
+    end
+    # If v is a fraction but u is not
+    if isa(v, Rational)
+        return false
+    end
+    
+    return SymbolicUtils.node_count(u) < SymbolicUtils.node_count(v)
+end
+
+# True if expr is an expression which cannot be divided into subexpressions, false otherwise
+function atom(expr)
+    expr = Symbolics.unwrap(expr)
+    if !SymbolicUtils.iscall(expr)
+        return true
+    end
+    # If expr is a call, check if it has any arguments
+    return isempty(SymbolicUtils.arguments(expr))
+end
+
+# If u+v is simpler than u, SumSimplerQ[u,v] returns True, else it returns False.
+sumsimpler(u, v) = simpler(u + v, u) && !eq(u + v, u) && !eq(v, 0)
+
+# If u is free of inverse, calculus and hypergeometric functions involving x, returns true; else it returns False
+const inverse_functions = [
+    asin, acos, atan, acot, asec, acsc,
+    asinh, acosh, atanh, acoth, asech, acsch,
+    HypergeometricFunctions._₂F₁, appell_f1
+]
+function contains_inverse_function(expr,x)
+    any(contains_op(op, expr) for op in inverse_functions)
+end
+
+#=
+also `substitute(integrate(integrand, int_var), from => to)` works
+but using a custom function is better because
+- if the integral is not solved, substitute does bad things like substituting the integration variable
+- we can print rule application
+=#
+function int_and_subst(integrand, int_var, from, to, rule_from_identifier)
+    if VERBOSE
+        printstyled("┌-------Applied rule $rule_from_identifier (change of variables):";);
+        for ss in split(pretty_print_rule(rule_from_identifier), '\n')
+            printstyled("\n| ";); printstyled(ss;bold=true)
+        end
+        printstyled("\n└-------with result: ";)
+        printstyled("∫"*replace(string(integrand),string(int_var)=>"u")*" du"; color = :light_blue)
+        print(" where ")
+        printstyled(replace(string(from),string(int_var)=>"u")*" = "*string(to), "\n"; color = :light_blue)
+    end
+
+    result = integrate_rule_based(integrand, int_var;verbose=VERBOSE)
+    push!(SILENCE, rule_from_identifier) # this is needed to not print again rule_from_identifier after the return of this function
+    if !contains_int(result)
+        return substitute(result, from => to)
+    end
+    VERBOSE && println("Integral not solved")
+    return subst(∫(integrand, int_var), from, to)
+end
+
+# distributes exp1 over exp2
+function dist(exp1, exp2, x)
+    exp1 = Symbolics.unwrap(exp1)
+    exp2 = Symbolics.unwrap(exp2)
+    if iscall(exp2) && operation(exp2) === +
+        return sum(exp1*t for t in arguments(exp2))
+    else
+        return exp1*exp2
+    end
+end
+
+# linear(a+3x,x) true
+# linear((x+1)^2 - x^2 - 1,x) true
+function linear(args...)
+    var = args[end]
+    # Symbolics.linear_expansion(a + bx, x) = (b, a, true)
+    for u in args[1:end-1]
+        tmp = Symbolics.linear_expansion(simplify(u; expand = true), var)
+        if !tmp[3] || eq(tmp[1], 0)
+            return false
+        end
+    end
+    return true
+end
+
+# linear_without_simplify((x+1)^2 - x^2 - 1,x) false
+function linear_without_simplify(args...)
+    var = args[end]
+    for u in args[1:end-1]
+        tmp = Symbolics.linear_expansion(u, var)
+        if !tmp[3] || tmp[1] === 0
+            return false
+        end
+    end
+    return true
+end
+
+# if u is an expression equivalent to a+bx^n with a,b,n constants,
+# b and n != 0, returns n
+function binomial_degree(u, x)
+    f(p) = !contains_var(p, x) # f stands for free of x
+    (@rule (~a::f) + (~!b::f)*x^(~!n::f) => ~n)(u)
+end
+# if u is an expression equivalent to a+bx^n with a,b,n constants,
+# b and n != 0, returns true
+isbinomial_without_simplify(u, x) = binomial_degree(u,x) !== nothing
+isbinomial_without_simplify(u, x, pow) = binomial_degree(u,x) == pow
+
+isbinomial(u, x) = isbinomial_without_simplify(simplify(u; expand = true),x)
+isbinomial(u::Vector,x) = all(isbinomial(e,x) for e in u)
+isbinomial(u, x, n) = isbinomial_without_simplify(simplify(u; expand = true), x, n)
+isbinomial(u::Vector,x,n) = all(isbinomial(e,x,n) for e in u)
+
+# if u is an expression equivalent to a*x^q+b*x^nwith a,b,n,q constants return n-q
+function generalized_binomial_degree(u,x)
+    f(p) = !contains_var(p, x) # f stands for free of x
+    (@rule (~a::f)*x^(~!q::f) + (~!b::f)*x^(~!n::f) => ~n-~q)(u)
+end
+generalized_binomial_without_simplify(u,x) = generalized_binomial_degree(u,x)!==nothing
+generalized_binomial(u,x) = generalized_binomial_without_simplify(simplify(u;expand=true),x)
+
+# if u is an expression equivalent to a+b*x^n+c*x^(2n) with a,b,n non zero constants,
+# b and n != 0, returns n
+function trinomial_degree(u, x)
+    f(p) = !contains_var(p, x) # f stands for free of x
+    result = (@rule (~a::f) + (~!b::f)*x^(~!n::f) + (~!c::f)*x^(~n2::f)=> ~)(u)
+    result===nothing && return nothing
+    # TODO all these cases are for oooomm problem
+    n, n2 = result[:n], result[:n2]
+    eq(n*2,n2) && return n
+    eq(n2,2*n2) && return n2
+end
+trinomial_without_simplify(u, x) = trinomial_degree(u,x) !== nothing
+trinomial(u, x) = trinomial_without_simplify(simplify(u; expand = true),x)
+trinomial(u::Vector,x) = all(trinomial(e,x) for e in u)
+
+# if u is an expression equivalent to a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n-q) where n!=0, q!=0, b!=0 and c!=0, returns n-q
+function generalized_trinomial_degree(u, x)
+    f(p) = !contains_var(p, x) # f stands for free of x
+    result = (@rule (~a::f)*x^(~q::f) + (~!b::f)*x^(~!n::f) + (~!c::f)*x^(~n2::f)=> ~)(u)
+    result===nothing && return nothing
+    # TODO all these cases are for oooomm problem
+    q, n, n2 = result[:q], result[:n], result[:n2]
+    2*n-q == n2 && return n-q
+    2*q-n == n2 && return q-n
+    2*n2-q == n && return n2-q
+    2*q-n2 == n && return q-n2
+    2*n-n2 == q && return n-n2
+    2*n2-n == q && return n2-n
+end
+# if u is an expression equivalent to a+bx^n with a,b,n constants,
+# b and n != 0, returns true
+generalized_trinomial_without_simplify(u, x) = generalized_trinomial_degree(u,x) !== nothing
+generalized_trinomial(u, x) = generalized_trinomial_without_simplify(simplify(u; expand = true),x)
+generalized_trinomial(u::Vector,x) = all(generalized_trinomial(e,x) for e in u)
+
+# If u is a monomial in x (either b(x^m) or (bx)^m), monomial(u,x) returns the degree of u in x; else it returns nothing.
+monomial(u::Number, x::Union{SymbolicUtils.BasicSymbolic, Symbolics.Num}) = 0
+monomial(u::Symbolics.Num,x::Symbolics.Num) = monomial(Symbolics.unwrap(u), Symbolics.unwrap(x))
+function monomial(u::SymbolicUtils.BasicSymbolic, x::SymbolicUtils.BasicSymbolic)
+    # if u is a constant or a variable, it is a monomial
+    !(s(u)) && return true
+    !SymbolicUtils.iscall(u) && !eq(u,x) && return 0 # symbolic variables
+    f(p) = !contains_var(p,x)
+    # if u is a call, check if it is a monomial
+    degree = (@rule (~!b::f)*x^(~!m::(x->f(x)&&ext_isinteger(x)))=>~m)(u) 
+    degree !== nothing && return degree
+    degree = (@rule ((~!b::f)*x)^(~!m::(x->f(x)&&ext_isinteger(x)))=>~m)(u)
+    degree !== nothing && return degree
+    return nothing
+end
+
+# If u is a polynomial in x of degree n, poly_degree(u,x) returns n, else false
+poly_degree(u::Number, x::Union{SymbolicUtils.BasicSymbolic, Symbolics.Num}) = 0
+poly_degree(u::Symbolics.Num, x::Symbolics.Num) = poly_degree(Symbolics.unwrap(u), Symbolics.unwrap(x))
+function poly_degree(u::SymbolicUtils.BasicSymbolic, x::SymbolicUtils.BasicSymbolic)
+    u = expand(u)
+    
+    if issum(u)
+        max_degree = 0
+        for term in SymbolicUtils.arguments(u)
+            degree = monomial(term, x)
+            if degree === nothing
+                return false
+            elseif degree > max_degree
+                max_degree = degree
+            end
+        end
+        # no monomial returned nothing, so its a polynomial
+        return max_degree
+    else
+        return monomial(u, x)
+    end
+end
+
+# quadratic(u,x) returns True iff u is a polynomial of degree 2 and not a monomial of the form x^2
+function quadratic(u,x)
+   poly_degree(u,x)==2 && !(monomial(u,x)==2)
+end
+
+# returns True iff u matches patterns of the form a+b x+c x^2 or a+c x^2 where a, b and c are free of x.
+function quadratic_without_simplify(u,x)
+    f(p) = !contains_var(p, x) # f stands for free of x
+    case1 = @rule (~!a::f) + (~!b::f)*x + (~!c::f)*x^2 => 1
+    case2 = @rule (~!a::f) + (~!c::f)*x^2 => 1
+    (case1(u) !== nothing || case2(u) !== nothing) && return true
+    return false
+end
+
+# If u is a polynomial in x, Poly[u,x] returns True; else it returns False.
+# If u is a polynomial in x of degree n, Poly[u,x,n] returns True; else it returns False.
+function poly(u, x)
+    # could have been implemented as poly(u, x) = poly_degree(u, x) !== nothing but this is more efficient
+    x = Symbolics.unwrap(x)
+    u = Symbolics.unwrap(u)
+
+    u = expand(u)
+
+    # if u is a sum call monomial on each term
+    !SymbolicUtils.iscall(u) && return true
+    issum(u) && return all(monomial(t, x)!==nothing for t in SymbolicUtils.arguments(u))
+    return monomial(u, x)!==nothing
+end
+
+function poly(u, x, n)
+    poly_degree(u, x) === n
+end
+
+function poly_coefficients(p, x)
+    deg = poly_degree(p, x)
+    deg===nothing && throw("first argument is not a polynomial")
+    p = expand(p)
+    coeffs = Num[]
+    for i in 0:deg
+        push!(coeffs, Symbolics.coeff(p, x^i))
+    end
+    return coeffs
+end
+
+# gives the quotient of p / q, treated as polynomials in x, with any remainder dropped
+function poly_quotient(p, q, x)
+    p = Symbolics.unwrap(p)
+    q = Symbolics.unwrap(q)
+    x = Symbolics.unwrap(x)
+
+    deg_p = poly_degree(p, x)
+    deg_q = poly_degree(q, x)
+
+    (deg_p === nothing || deg_q === nothing) && throw("poly_quotient called with non-polynomials")
+
+    # find coefficients
+    p_coeffs = poly_coefficients(p, x)
+    q_coeffs = poly_coefficients(q, x)
+
+    # Guard against division by the zero polynomial
+    if all(eq(c, 0) for c in q_coeffs)
+        throw("poly_quotient division by zero polynomial")
+    end
+
+    # If degree of numerator is smaller, quotient is zero
+    if deg_p < deg_q
+        return 0
+    end
+
+    # Perform long division on coefficient arrays (ascending powers)
+    # r_coeffs will be destructively updated to track the remainder during division
+    r_coeffs = copy(p_coeffs)
+    quotient_len = deg_p - deg_q + 1
+    quotient_coeffs = [zero(first(p_coeffs)) for _ in 1:quotient_len]
+
+    q_lead = q_coeffs[deg_q + 1]
+    eq(q_lead, 0) && throw("poly_quotient invalid divisor leading coefficient is zero")
+
+    # Work from highest degree down to 0
+    for k in reverse(0:(deg_p - deg_q))
+        # current leading term in remainder corresponding to x^(deg_q + k)
+        rc = r_coeffs[deg_q + k + 1]
+        # If rc is zero, this step contributes nothing
+        if !eq(rc, 0)
+            t = rc / q_lead
+            quotient_coeffs[k + 1] = t
+            # Subtract t * x^k * q(x) from remainder
+            for i in 0:deg_q
+                r_coeffs[i + k + 1] = simplify(r_coeffs[i + k + 1] - t * q_coeffs[i + 1])
+            end
+        end
+    end
+
+    # Build quotient polynomial expression from coefficients
+    quotient = zero(p)
+    for i in 0:(quotient_len - 1)
+        c = quotient_coeffs[i + 1]
+        # Drop symbolic zeros
+        if !eq(c, 0)
+            quotient += c * x^i
+        end
+    end
+    return simplify(quotient)
+end
+
+# gives the remainder of p and q, treated as polynomials in x
+function poly_remainder(p, q, x)
+    p = Symbolics.unwrap(p)
+    q = Symbolics.unwrap(q)
+    x = Symbolics.unwrap(x)
+
+    deg_p = poly_degree(p, x)
+    deg_q = poly_degree(q, x)
+
+    (deg_p === nothing || deg_q === nothing) && throw("poly_reminder called with non-polynomials")
+
+    # find coefficients
+    p_coeffs = poly_coefficients(p, x)
+    q_coeffs = poly_coefficients(q, x)
+
+    # Guard against division by the zero polynomial
+    if all(eq(c, 0) for c in q_coeffs)
+        throw("poly_remainder division by zero polynomial")
+    end
+
+    # If degree of numerator is smaller, remainder is p itself
+    if deg_p < deg_q
+        return p
+    end
+
+    # Long division to compute remainder
+    r_coeffs = copy(p_coeffs)
+    q_lead = q_coeffs[deg_q + 1]
+    eq(q_lead, 0) && throw("poly_remainder invalid divisor leading coefficient is zero")
+
+    for k in reverse(0:(deg_p - deg_q))
+        rc = r_coeffs[deg_q + k + 1]
+        if !eq(rc, 0)
+            t = rc / q_lead
+            for i in 0:deg_q
+                r_coeffs[i + k + 1] = simplify(r_coeffs[i + k + 1] - t * q_coeffs[i + 1])
+            end
+        end
+    end
+
+    # Build remainder polynomial expression from r_coeffs (degree < deg_q)
+    remainder = zero(p)
+    # Degree of remainder is at most deg_q-1; but symbolic cancellation may lower it further
+    max_i = min(length(r_coeffs), deg_q)
+    for i in 0:(max_i - 1)
+        c = r_coeffs[i + 1]
+        if !eq(c, 0)
+            remainder += c * x^i
+        end
+    end
+    return simplify(remainder)
+end
+
+# If u and v are polynomials in x, PolynomialDivide[u,v,x] returns the polynomial quotient of u and v plus the polynomial remainder divided by v.
+function polynomial_divide(u, v, x)
+    u = Symbolics.unwrap(u)
+    v = Symbolics.unwrap(v)
+    x = Symbolics.unwrap(x)
+
+    deg_u = poly_degree(u, x)
+    deg_v = poly_degree(v, x)
+
+    (deg_u === nothing || deg_v === nothing) && throw("polynomial_divide called with non-polynomials")
+
+    quotient = poly_quotient(u, v, x)
+    remainder = poly_remainder(u, v, x)
+
+    return quotient + remainder / v
+end
+
+# gives the maximum power with which form appears in the expanded form of expr. 
+# TODO for now works only with polynomials
+function exponent_of(expr, form)
+    res = poly_degree(expr, form)
+
+    if res === nothing
+        throw("exponent_of is implemented only for polynomials in form")
+    end
+    return res
+end
+
+function perfect_square(expr)
+    expr = Symbolics.unwrap(expr)
+    !isa(expr, Symbolics.Symbolic) && return sqrt(expr) == floor(sqrt(expr))
+    !iscall(expr) && return false
+    (operation(expr) === ^) && iseven(arguments(expr)[2]) && return true
+    return false
+end
+
+# puts terms in a sum over a common denominator, and cancels factors in the result
+# together(a/b + c/d) = (a*d + b*c) / (b*d)
+function together(expr)
+    expr = Symbolics.unwrap(expr)
+    if !SymbolicUtils.iscall(expr) || SymbolicUtils.operation(expr) !== +
+        return expr
+    end
+
+    # Get the common denominator
+    terms = SymbolicUtils.arguments(expr)
+    denominators = [ext_den(term) for term in terms]
+    common_denominator = reduce(*, denominators)
+
+    # Combine the numerators
+    numerators = [ext_num(term) * (common_denominator // ext_den(term)) for term in terms]
+
+    Symbolics.simplify(sum(numerators) // common_denominator)
+end
+
+
+# LinearPairQ[u,v,x] returns True iff u and v are linear not equal x but u/v is a constant wrt x.
+function linear_pair(u,v,x)
+    linear(u,x) && linear(v,x) &&
+    !eq(u, x) && !eq(v, x) &&
+    eq(Symbolics.coeff(u,x) * Symbolics.coeff(v,1) - Symbolics.coeff(u,1) * Symbolics.coeff(v,x), 0)
+end
+
+# returns true if u is a algebraic function of x
+function algebraic_function(u, x)
+    !iscall(u) && return true
+    o = operation(u)
+    ar = arguments(u)
+    o in [*,+,/] && return all(algebraic_function(a,x) for a in ar)
+    (o===^) && return algebraic_function(ar[1],x) && isrational(ar[2]) # an alternative can be !contains_var(ar[2],x) instead of isrational(ar[2])
+    (o===sqrt) && return algebraic_function(arguments(u)[1], x)
+    return false
+end
+
+function algebraic_function(u::Num, x::Num)
+    u = Symbolics.unwrap(u)
+    x = Symbolics.unwrap(x)
+    algebraic_function(u, x)
+end
+
+# returns true if u is a rational function of x
+function rational_function(u, x)
+    !iscall(u) && return true
+    o = operation(u)
+    ar = arguments(u)
+    o in [+,*,/] && return all(rational_function(a,x) for a in ar)
+    (o===^) && return ext_isinteger(ar[2]) && rational_function(ar[1],x)
+    # non integrer powers make it a non rational function
+    return false
+end
+
+function rational_function(u::Num, x::Num)
+    u = Symbolics.unwrap(u)
+    x = Symbolics.unwrap(x)
+    rational_function(u, x)
+end
+
+# FunctionOfExponentialQ[u,x] returns True iff u is a function of F^v where F is a constant and v is linear in x, and such an exponential explicitly occurs in u
+function function_of_exponential(u, x)
+    !iscall(u) && return false
+    o = operation(u)
+    ar = arguments(u)
+    (o===exp) && return linear(ar[1], x)
+    (o===^) && return isa(ar[1], Number) && linear(ar[2], x)
+    (o in [+,*,/]) && return any(function_of_exponential(a,x) for a in ar)
+    return false
+end
+function_of_exponential(u::Num, x::Num) = function_of_exponential(Symbolics.unwrap(u), Symbolics.unwrap(x))
+
+# returns the product of the factors of u free of x
+function free_factors(u, x)
+    u = Symbolics.unwrap(u)
+    x = Symbolics.unwrap(x)
+    isprod(u) && return prod(contains_var(f, x) ? 1 : f for f in arguments(u))
+    return contains_var(u, x) ? 1 : u
+end
+
+# returns the product of the factors of u not free of x
+function nonfree_factors(u, x)
+    u = Symbolics.unwrap(u)
+    x = Symbolics.unwrap(x)
+    isprod(u) && return prod(contains_var(f, x) ? f : 1 for f in arguments(u))
+    return contains_var(u, x) ? 1 : u
+end
+# returns the product of the addends of u free of x
+function free_addednds(u, x)
+    u = Symbolics.unwrap(u)
+    x = Symbolics.unwrap(x)
+    issum(u) && return sum(contains_var(a, x) ? 0 : a for a in arguments(u))
+    return contains_var(u, x) ? 1 : u
+end
+
+# returns the product of the addends of u not free of x
+function nonfree_addends(u, x)
+    u = Symbolics.unwrap(u)
+    x = Symbolics.unwrap(x)
+    issum(u) && return prod(contains_var(a, x) ? a : 0 for a in arguments(u))
+    return contains_var(u, x) ? 1 : u
+end
+
+# TODO are all this unwrap needed?
\ No newline at end of file
diff --git a/src/methods/rule_based/string_manipulation_helpers.jl b/src/methods/rule_based/string_manipulation_helpers.jl
new file mode 100644
index 00000000..8da7d142
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/string_manipulation_helpers.jl
@@ -0,0 +1,419 @@
+"""
+This function splits a string `s` by `delimiter`, ignoring delimiters
+that are inside brackets (either `[]` or `()`). It returns an array of
+parts of the string that are outside of brackets.
+Delimiter must be a single character defined with ''.
+Example:
+julia> split_outside_brackets("foo(1,2,3), dog, foo2(4,5,hellohello)", ',')
+3-element Vector{String}:
+ "foo(1,2,3)"
+ "dog"
+ "foo2(4,5,hellohello)"
+"""
+function split_outside_brackets(s, delimiter)
+    parts = String[]
+    bracket_level = 0
+    last_pos = 1
+
+    for (i, c) in enumerate(s)
+        if c in "[("
+            bracket_level += 1
+        elseif c in "])"
+            bracket_level -= 1
+        elseif c == delimiter && bracket_level == 0
+            push!(parts, strip(s[last_pos:i-1]))
+            last_pos = i + 1
+        end
+    end
+    push!(parts, strip(s[last_pos:end]))
+    return parts
+end
+
+"""
+In julia string indexing is byte-based, not character-based.
+This function converts to byte index to character index.
+Example:
+str_to_chr_index("ab∫ab", 6) returns 4 because sizeof(∫) is 3
+"""
+str_to_chr_index(string, index) = length(string[1:index])
+
+"""
+This function finds the closing bracket for a given start_pattern in a
+string, no matter how many nested brackets there are.
+Note, start_pattern must not contain closing brackets
+Example:
+julia> find_closing_bracket("1+Log[x]+3*Subst[Int[1/Sqrt[b*c], x], x, Sqrt[a + b*x]+Log[x]]+44+Log[x]", "Subst[Int[", "[]")
+"Subst[Int[1/Sqrt[b*c], x], x, Sqrt[a + b*x]+Log[x]]"
+"""
+function find_closing_bracket(full_string, start_pattern, brackets)
+    depth = count(c -> c == brackets[1], start_pattern)
+    start_index = findfirst(start_pattern, full_string)
+    start_index === nothing && error("Could not find '$start_pattern' in: $full_string")
+    
+    i = 0
+    for c in full_string[start_index[end]+1:end]
+        i+=1
+        if c == brackets[1]
+            depth += 1
+        elseif c == brackets[2]
+            depth -= 1
+            if depth == 0
+                i1 = str_to_chr_index(full_string, start_index[1]) - 1
+                i2 = length(full_string) - i - i1 - length(start_pattern)
+                return chop(full_string, head=i1, tail=i2)
+            end
+        end
+    end
+    @warn "Found initial pattern \"$start_pattern\" but not its closking bracket, in:\n$(full_string)"
+    return -1
+end
+
+"""
+Replaces functions with [] passed in `from`, to functions with () passed in
+`to`, no matter how many nested brackets there are.
+smart_replace("ArcTan[Rt[b, 2]*x/Rt[a, 2]] + Log[x]", "ArcTan", "atan")
+= "atan(Rt[b, 2]*x/Rt[a, 2]) + Log[x]"
+"""
+function smart_replace(str, from, to, n_args)
+    verbose = false#from=="Inttt"
+    if isempty(n_args)
+        n_args = -1
+    elseif isa(n_args[1],Tuple)
+        # ((1,2),) to (1,2)
+        n_args = n_args[1]
+    end
+    # else n args is already a tuple
+
+    # println("smart_replace: replacing $from with $to in $str (n_args=$n_args)")
+
+    processed = 1
+    substring_index = findfirst(from, str[processed:end])
+    while substring_index !== nothing
+        verbose && println("I found")
+        verbose && printstyled(str[processed:end][1:substring_index[1]-1], color=:blue)
+        verbose && printstyled(str[processed:end][substring_index[1]:substring_index[end]], color=:red)
+        verbose && printstyled(str[processed:end][substring_index[end]+1:end], color=:blue)
+        verbose && println()
+
+        full_str = find_closing_bracket(str[processed:end], from, "[]") 
+        # if cannot find closing brackets
+        if full_str == -1
+            processed += substring_index[1] + length(from)
+            substring_index = findfirst(from, str[processed:end])
+            continue
+        end
+        # if the match in string is not followed by a '[' or is preceded by a letter, continue
+        if full_str[length(from)+1] !== '[' || processed + substring_index[1] > 2 && isletter(str[processed + substring_index[1] - 2])
+            processed += substring_index[1] + length(from)
+            substring_index = findfirst(from, str[processed:end])
+            continue
+        end
+
+        inside = full_str[length(from)+2:end-1] # remove "Not[" and "]"
+        if n_args != -1
+            inside_parts = split_outside_brackets(inside, ',')
+            if !(length(inside_parts) in n_args )
+                error("Expected $n_args arguments in '$from', but got $(length(inside_parts)) in: $str")
+            end
+        end
+
+        # replace without using the replace function
+        str = str[1:substring_index[1]-2+processed] * "$to($inside)" * str[substring_index[1]+sizeof(full_str)+processed-1:end]
+        processed += substring_index[1] + sizeof(to)
+        substring_index = findfirst(from, str[processed:end])
+        
+        verbose && println("and I replaced with")
+        verbose && printstyled(str*"\n";color=:red)
+    end
+    return str
+end
+
+count_brackets(string, brackets) = count(brackets[1], string) == count(brackets[2], string)
+
+"""
+the "With" Mathematica syntax allows to write expressions like
+With[{a = Sqrt[2], b = 2}, a + b + c /; a > 0 && b < 10] /; c < 1
+so the variables a and b are defined only inside the With block.
+whenever that happens in the rules we define a let block.
+This function returns the various parts, and the let block is created
+in the translator script
+remember that \\s* is zero or more spaces in regex
+"""
+function translate_With_syntax(s)
+    !occursin("With", s) && return nothing, nothing, nothing, nothing
+    
+    # move the conditions involving the with-variables to the end
+    # if both conditions present
+    if match(r"With\[\{(?<vardefs>.+)\},(?<result>.+?)/;(?<wconds>.+?)\]\s*/;(?<conds>.+)", s) !== nothing
+        m = match(r"With\[\{(?<vardefs>.+)\},(?<result>.+?)/;(?<wconds>.+?)\]\s*/;(?<conds>.+)", s)
+        return split_outside_brackets(m[:vardefs], ','), m[:conds], m[:wconds], m[:result]
+    end
+    # if only conditions with with-variables
+    if match(r"With\[\{(?<vardefs>.+)\},(?<result>.+?)/;(?<wconds>.+)\]\s*$", s) !== nothing
+        m = match(r"With\[\{(?<vardefs>.+)\},(?<result>.+?)/;(?<wconds>.+)\]\s*$", s)
+        if count_brackets(m[:result],"[]") && count_brackets(m[:wconds],"[]") && count_brackets(m[:vardefs],"[]")
+            return split_outside_brackets(m[:vardefs], ','), nothing, m[:wconds], m[:result]
+        end
+    end
+    # if only conditions with normal variables
+    if match(r"With\[\{(?<vardefs>.+)\},(?<result>.+?)\s*\]\s*/;(?<conds>.+)\s*$", s) !== nothing
+        m = match(r"With\[\{(?<vardefs>.+)\},(?<result>.+?)\s*\]\s*/;(?<conds>.+)\s*$", s)
+        if count_brackets(m[:result],"[]") && count_brackets(m[:conds],"[]") && count_brackets(m[:vardefs],"[]")
+            return split_outside_brackets(m[:vardefs], ','), m[:conds], nothing, m[:result]
+        end
+    end
+end
+
+# Old version that doesnt use let block but substitutes
+# each variable name with its definition:
+# function translate_With_syntax(s)
+#     !occursin("With", s) && return s
+#     
+#     # move the conditions involving the with-variables to the end
+#     # if both conditions present
+#     if match(r"With\[\{(?<vardefs>.+)\},(?<body>.+?)/;(?<wconds>.+?)\]\s*/;(?<conds>.+)", s) !== nothing
+#         m = match(r"With\[\{(?<vardefs>.+)\},(?<body>.+?)/;(?<wconds>.+?)\]\s*/;(?<conds>.+)", s)
+#         s = replace(s, m.match => "With[{$(m[:vardefs])},$(m[:body])] /; $(m[:conds]) && ($(m[:wconds]))")
+#     # if only conditions with normal variables
+#     elseif match(r"With\[\{(?<vardefs>.+)\},(?<body>.+?)\s*\]\s*/;(?<conds>.+)\s*$", s) !== nothing
+#         # nothing to do here, just needs to match before the next case
+#     # if only conditions with with-variables
+#     elseif match(r"With\[\{(?<vardefs>.+)\},(?<body>.+?)/;(?<wconds>.+)\]\s*$", s) !== nothing
+#         m = match(r"With\[\{(?<vardefs>.+)\},(?<body>.+?)/;(?<wconds>.+)\]\s*$", s)
+#         count("[", m[:body]) != count("]", m[:body]) && error("error in translation of with module")
+#         s = replace(s, m.match => "With[{$(m[:vardefs])},$(m[:body])] /; $(m[:wconds])")
+#     end
+#     
+#     # replaces newly defined variables with their definitions
+#     m = match(r"With\[\{(?<vardefs>.+)\},(?<body>.+?)\s*\]\s*/;(?<conds>.+)\s*$", s)
+#     s = m[:body] * "/;" * m[:conds]
+#     vardefs = split_outside_brackets(m[:vardefs], ',')
+#     for (i,a) in enumerate(vardefs)
+#         a = strip(a)
+#         !occursin("=", a) && continue
+#         var_match = match(r"^\s*(?<varname>[a-zA-Z]{1,2}\d*)\s*=\s*(?<vardef>.*)", a)
+#         var_match === nothing && continue
+#         s = replace(s, Regex("(?<!\\w)$(var_match[:varname])(?!\\w)") => var_match[:vardef])
+#         for j in i+1:length(vardefs)
+#             vardefs[j] = replace(vardefs[j], Regex("(?<!\\w)$(var_match[:varname])(?!\\w)") => var_match[:vardef])
+#         end
+#     end
+# 
+#     # println("with transofmed to")
+#     # println(s)
+#     return s
+# end
+
+"""
+This function indents the conditions in a more readable way.
+Example: from
+```
+!contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) && eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) && eq((~n), (~m)) && ext_isinteger( (~m)) && (!eq((~m), -1) || eq((~e), 0) && (eq((~p), 1) || !(ext_isinteger((~p)))))
+```
+to
+```
+   !contains_var((~a), (~b), (~c), (~d), (~e), (~f), (~m), (~n), (~p), (~x)) &&
+   eq((~b)*(~c) + (~a)*(~d), 0) &&
+   eq((~n), (~m)) &&
+   ext_isinteger( (~m)) &&
+   (
+       !eq((~m), -1) ||
+       eq((~e), 0) &&
+       (
+           eq((~p), 1) ||
+           !(ext_isinteger((~p)))
+       )
+   )
+```
+it's really cool
+"""
+function pretty_indentation(conditions; indent=" "^4)
+    if isempty(strip(conditions)) || length(conditions)<=2
+        return conditions
+    end
+    
+    # Convert string to array of characters for safe indexing
+    chars = collect(conditions)
+    n_chars = length(chars)
+    
+    result = string(chars[1])
+    depth = 1
+    i = 2
+    remove_next_spaces = false
+    groups_depths = []
+    
+    while i <= n_chars
+        if remove_next_spaces
+            if chars[i] == ' '
+                i += 1
+                continue
+            else
+                remove_next_spaces = false
+            end
+        end
+        
+        if chars[i] == '('
+            depth += 1
+        elseif chars[i] == ')'
+            depth -= 1
+        end
+
+        # Check for two-character patterns
+        if i > 1 && i <= n_chars
+            two_char = string(chars[i-1], chars[i])
+            if two_char == "&&"
+                result = result * "&\n" * indent^depth
+                remove_next_spaces = true
+            elseif two_char == "||"
+                remove_next_spaces = true
+                result = result * "|\n" * indent^depth
+            elseif (two_char == " (" || two_char == "!(") && i < n_chars && chars[i+1] != '~'
+                # if there are more than one arguments in the parenthesis
+                # Reconstruct substring from current position for find_closing_bracket
+                remaining_str = join(chars[i-1:end])
+                tmp = find_closing_bracket(remaining_str, two_char, "()")
+                if occursin("||", tmp) || occursin("&&", tmp)
+                    result = result * "(\n" * indent^depth
+                    remove_next_spaces = true
+                    push!(groups_depths, depth)
+                else
+                    result *= chars[i]
+                end
+            elseif chars[i] == ')' && in(depth+1, groups_depths)
+                result *= "\n" * indent^depth * ")"
+                pop!(groups_depths)
+            else
+                result *= chars[i]
+            end
+        else
+            result *= chars[i]
+        end
+        i += 1
+    end
+    
+    return indent^depth * result
+end
+
+# old version that doesnt works with strange characters:
+# function pretty_indentation(conditions)
+#     if isempty(strip(conditions)) || length(conditions)<=2
+#         return conditions
+#     end
+#     
+#     result = conditions[1]
+#     depth = 1
+#     indent = " "^4
+#     i = 2
+#     remove_next_spaces = false
+#     groups_depths = []
+#     
+#     while i <= length(conditions)
+#         if remove_next_spaces
+#             if conditions[i]==' '
+#                 i+=1
+#                 continue
+#             else
+#                 remove_next_spaces=false
+#             end
+#         end
+#         if conditions[i] == '('
+#             depth += 1
+#         elseif conditions[i] == ')'
+#             depth -= 1
+#         end
+# 
+#         if conditions[i-1:i] == "&&"
+#             result = result * "&\n" * indent^depth
+#             remove_next_spaces=true
+#         elseif conditions[i-1:i] == "||"
+#             remove_next_spaces=true
+#             result = result * "|\n" * indent^depth
+#         elseif (conditions[i-1:i]==" (" || conditions[i-1:i]=="!(") && i<length(conditions) && conditions[i+1]!='~'
+#             # if there are more than one arguments in the parenthesis
+#             tmp = find_closing_bracket(conditions[i-1:end], conditions[i-1:i], "()")
+#             if occursin("||", tmp) || occursin("&&", tmp)
+#                 result = result * "(\n" * indent^depth
+#                 remove_next_spaces=true
+#                 push!(groups_depths, depth)
+#             else
+#                 result *= conditions[i]
+#             end
+#         elseif conditions[i]==')' && in(depth+1, groups_depths)
+#             result *= "\n" * indent^depth * ")"
+#             pop!(groups_depths)
+#         else
+#             result *= conditions[i]
+#         end
+#         i+=1
+#     end
+#     
+#     return indent^depth * result
+# end
+
+
+function pretty_print_rt(m)
+    numbers2_9 = [string(i) for i in 2:9]
+    !in(m[2], numbers2_9) && return m.match
+    m1 = length(m[1])==1 ? m[1] : "("*m[1]*")"
+    new = ["√", "∛", "∜", "⁵√", "⁶√", "⁷√", "⁸√", "⁹√"]
+    i = findfirst(==(m[2]), numbers2_9)
+    return new[i] * m1
+end
+
+"""
+This function outputs a string that is the rule in a more human
+readable way
+"""
+function pretty_print_rule(rule, identifier)
+    # manage special cases
+    identifier == "0_1_0" && return "∫( +(a...), x) => sum([ ∫(f, x) for f in a ])"
+    identifier == "0_1_12" && return "∫ a*f(x) dx => a*∫ f(x) dx"
+
+    s = string(rule)
+    # manage conditions
+    if_pos = findfirst("if", s)
+    newline_pos = findfirst("\n", s)
+    if if_pos !== nothing && newline_pos !== nothing && if_pos.start < newline_pos.start && !occursin("let",s)
+        conditions = pretty_indentation(strip(s[if_pos.start+2:newline_pos.start-1]), indent = " "^6)
+        
+        rest = s[newline_pos.start:end]
+        else_pos = findfirst("else", rest)
+        
+        s = s[1:if_pos.start+2] * "\n" * conditions * "\n" * strip(rest[1:else_pos.start-1])
+    end
+    # manage slot variables
+    s = replace(s, r"~\(!(.+?)\)" => s"\1")
+    s = replace(s, "~" => "")
+    # manage single letters surrounded by parenthesis
+    s = replace(s, r"(?<![a-zA-Z])\((.)\)" => s"\1")
+    # # spaces
+    # s = replace(s,r"(?<![\s]) "=>"")
+    # manage custom infix operators
+    s = replace(s, "⨸" => "/")
+    s = replace(s, "⟰" => "^")
+    # manage rt function
+    s = replace(s, r"sqrt\((.+?)\)" => s"rt(\1,2)")
+    m = match(r"(?<!q)rt\((.+?),\s*(\d)\s*\)", s)
+    while m!==nothing
+        s = replace(s, m.match => pretty_print_rt(m))
+        m = match(r"rt\((.+?),\s*(\d)\s*\)", s)
+    end
+    # manage int_and_subst function
+    m = match(r"int_and_subst\((.+?),(.+?),(.+?),(.+?),\s*\"(.+?)\"\s*\)", s)
+    while m!==nothing
+        full_str = find_closing_bracket(s, "int_and_subst(","()")
+        parts = split_outside_brackets(full_str[15:end-1], ',')
+        s = replace(s, m.match => "substitute(∫{$(parts[1])}d$(strip(parts[2])), $(parts[3]) => $(parts[4]))")
+        m = match(r"rt\((.+?),\s*(\d)\s*\)", s)
+    end
+    # manage let block
+    s = replace(s, r".*#=.*=#.*\n" => "")
+    # manage functions from other packages
+    s = replace(s, "SymbolicUtils."=>"")
+
+    return s
+end
+function pretty_print_rule(identifier::String)
+    rule = RULES[findfirst(x->x==identifier,IDENTIFIERS)]
+    return pretty_print_rule(rule, identifier)
+end
\ No newline at end of file
diff --git a/src/methods/rule_based/translator_of_rules.jl b/src/methods/rule_based/translator_of_rules.jl
new file mode 100644
index 00000000..65c244ed
--- /dev/null
+++ b/src/methods/rule_based/translator_of_rules.jl
@@ -0,0 +1,658 @@
+"""
+- [Description of the script `src/translator_of_rules.jl`](#description-of-the-script-srctranslator_of_rulesjl)
+    - [How to use it](#how-to-use-it)
+    - [How it works internally (useful to know if you have to debug it)](#how-it-works-internally-useful-to-know-if-you-have-to-debug-it)
+      - [With syntax](#with-syntax)
+      - [replace and smart_replace applications](#replace-and-smart_replace-applications)
+      - [Pretty indentation](#pretty-indentation)
+      - [end](#end)
+
+This script is used to translate integration rules from Mathematica syntax
+to julia Syntax.
+
+## How to use it
+``` bash
+julia src/translator_of_rules.jl "src/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.8 trig^m (a+b cos^p+c sin^q)^n.m"
+```
+and will produce the julia file at the path `src/rules/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.8 trig^m (a+b cos^p+c sin^q)^n.jl`
+
+## How it works internally (useful to know if you have to debug it)
+It processes line per line, so the integration rule must be all on only one 
+line. Let's say we translate this (fictional) rule:
+```
+Int[x_^m_./(a_ + b_. + c_.*x_^4), x_Symbol] := With[{q = Rt[a/c, 2], r = Rt[2*q - b/c, 2]}, 1/(2*c*r)*Int[x^(m - 3), x] - 1/(2*c*r) /; OddQ[r]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && (NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] || (GeQ[m, 3] && LtQ[m, 4])) && NegQ[b^2 - 4*a*c]
+```
+### With syntax
+for each line it first check if there is the With syntax, a syntax in Mathematica
+that enables to define variables in a local scope. If yes it can do two things:
+In the new method translates the block using the let syntax, like this:
+```julia
+@rule ∫((~x)^(~!m)/((~a) + (~!b) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    (
+        !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ||
+        (
+            ge((~m), 3) &&
+            lt((~m), 4)
+        )
+    ) &&
+    neg((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) ?
+let
+    q = rt((~a)⨸(~c), 2)
+    r = rt(2*q - (~b)⨸(~c), 2)
+    
+    ext_isodd(r) ?
+    1⨸(2*(~c)*r)*∫((~x)^((~m) - 3), (~x)) - 1⨸(2*(~c)*r) : nothing
+end : nothing)
+```
+The old method was to finds the defined variables and substitute them with their
+definition. Also there could be conditions inside the With block (OddQ in the example),
+that were bought outside.
+```
+1/(2*c*Rt[2*q - b/c, 2])*Int[x^(m - 3), x] - 1/(2*c*Rt[2*q - b/c, 2])/;  FreeQ[{a, b, c}, x] && (NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] || (GeQ[m, 3] && LtQ[m, 4])) && NegQ[b^2 - 4*a*c] &&  OddQ[Rt[2*q - b/c, 2]]
+```
+### replace and smart_replace applications
+Then the line is split into integral, result, and conditions:
+```
+Int[x_^m_./(a_ + b_. + c_.*x_^4), x_Symbol]
+```
+```
+1/(2*c*Rt[2*q - b/c, 2])*Int[x^(m - 3), x] - 1/(2*c*Rt[2*q - b/c, 2])
+```
+```
+FreeQ[{a, b, c}, x] && (NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] || (GeQ[m, 3] && LtQ[m, 4])) && NegQ[b^2 - 4*a*c] &&  OddQ[Rt[2*q - b/c, 2]]
+```
+
+Each one of them is translated using the appropriate function, but the three
+all work the same. They first apply a number of times the smart_replace function,
+that replaces functions names without messing the nested brackets (like normal regex do)
+```
+smart_replace("ArcTan[Rt[b, 2]*x/Rt[a, 2]] + Log[x]", "ArcTan", "atan")
+# output
+"atan(Rt[b, 2]*x/Rt[a, 2]) + Log[x]"
+```
+Then also the normal replace function is applied a number of times, for more
+complex patterns. For example, every two letter word, optionally followed by 
+numbers, that is not a function call (so not followed by open parenthesis), and
+that is not the "in" word, is prefixed with a tilde `~`. This is because in
+Mathematica you can reference the slot variables without any prefix, and in
+julia you need ~.
+
+### Pretty indentation
+Then they are all put together following the julia rules syntax
+@rule integrand => conditions ? result : nothing
+```
+@rule ∫((~x)^(~!m)/((~a) + (~!b) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) => !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) && (!eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) || (ge((~m), 3) && lt((~m), 4))) && neg((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) && ext_isodd(rt(2*(~q) - (~b)/(~c), 2)) ? 1⨸(2*(~c)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2))*∫((~x)^((~m) - 3), (~x)) - 1⨸(2*(~c)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2)) : nothing
+```
+Usually the conditions are a lot of && and ||, so a pretty indentation is 
+applied automatically that rewrites the rule like this:
+```
+@rule ∫((~x)^(~!m)/((~a) + (~!b) + (~!c)*(~x)^4),(~x)) =>
+    !contains_var((~a), (~b), (~c), (~x)) &&
+    (
+        !eq((~b)^2 - 4*(~a)*(~c), 0) ||
+        (
+            ge((~m), 3) &&
+            lt((~m), 4)
+        )
+    ) &&
+    neg((~b)^2 - 4*(~a)*(~c)) &&
+    ext_isodd(rt(2*(~q) - (~b)/(~c), 2)) ?
+1⨸(2*(~c)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2))*∫((~x)^((~m) - 3), (~x)) - 1⨸(2*(~c)*rt(2*(~q) - (~b)⨸(~c), 2)) : nothing
+```
+
+### end
+finally the rule is placed in a tuple (index, rule), and all the
+tuples are put into a array, ready to be included by load_rules
+"""
+
+using Printf
+
+include("string_manipulation_helpers.jl")
+
+function translate_file(input_filename, output_filename)
+    !isfile(input_filename) && error("Input file '$input_filename' not found!")
+
+    file_index = replace(split(replace(basename(input_filename), r"\.m$" => ""), " ")[1], r"\." => "_")
+    lines = split(read(input_filename, String), "\n")
+    n_rules = 1
+    rules_big_string = "file_rules = [\n"
+
+    for (i, line) in enumerate(lines)
+        if startswith(line, "(*")
+            rules_big_string *= "#$line\n"
+            continue
+        end
+        !startswith(line, "Int[") && continue
+        
+        rules_big_string *= translate_line(line, "$(file_index)_$n_rules")*"\n"
+        n_rules += 1
+    end
+    rules_big_string *= "\n]\n"
+
+    open(output_filename, "w") do f
+        write(f, rules_big_string)
+    end
+    println("\n", n_rules-1, " rules translated\n")
+end
+
+# gets as input a line and returns  integrand, conditions and result
+function translate_line(line, index)
+    if occursin("Module", line)
+        @warn "[$index] Line has \"Module\" keyword, skipping it because I dont know how to translate it"
+        return "# Rule skipped because of \"Module\":\n# "*line*"\n"
+    end
+    # Separate the integrand and result
+    parts = split(line, " := ")
+    if length(parts) < 2
+        throw("Line does not contain a valid rule: $line")
+    end
+    
+    integrand = parts[1]
+    result_and_conds = parts[2]
+    vardefs, conds, wconds, result = translate_With_syntax(parts[2])
+    
+    if vardefs!==nothing
+        var_names = [strip(split(v,"=")[1]) for v in vardefs]
+        var_exprs = [result_substitutions(strip(split(v,'=')[2]), vardefs) for v in vardefs]
+        julia_vardefs = ""
+        for i in 1:length(var_names)
+            julia_vardefs = julia_vardefs*var_names[i]*" = "*var_exprs[i]*"\n"*" "^4
+        end
+
+        # conditions present both inside with block and outside
+        if conds!==nothing && wconds!==nothing
+            julia_rule = 
+            """
+            (\"$index\",
+            @rule $(translate_integrand(integrand)) =>
+            $(translate_conditions(conds, vardefs)) ?
+            let
+                $julia_vardefs
+            $(translate_conditions(wconds, vardefs)) ?
+                $(translate_result(result, index, vardefs)) : nothing
+            end : nothing)
+            """
+        elseif conds!==nothing && wconds===nothing
+            julia_rule = 
+            """
+            (\"$index\",
+            @rule $(translate_integrand(integrand)) =>
+            $(translate_conditions(conds, vardefs)) ?
+            let
+                $julia_vardefs
+                $(translate_result(result, index, vardefs))
+            end : nothing)
+            """
+        elseif conds===nothing && wconds!==nothing
+            julia_rule = 
+            """
+            (\"$index\",
+            @rule $(translate_integrand(integrand)) =>
+            let
+                $julia_vardefs
+            $(translate_conditions(wconds, vardefs)) ?
+                $(translate_result(result, index, vardefs)) : nothing
+            end)
+            """
+        end
+    else
+        if count("/;", result_and_conds)==1
+            tmp = split(result_and_conds, "/;")
+            result = tmp[1]
+            julia_conditions = translate_conditions(tmp[2], nothing)
+        elseif count("/;", result_and_conds)==0
+            # I think only rule 1_1_1_1_1 has no conditions
+            result = result_and_conds
+            julia_conditions = nothing
+        else
+            @warn "[$index] Too many /; in line $line"
+            return "# Error in translation of the line:\n# "*line*"\n"
+        end
+        
+        julia_integrand = translate_integrand(integrand)
+        julia_result = translate_result(result, index, nothing)
+
+        if julia_conditions === nothing
+            julia_rule = 
+            """
+            (\"$index\",
+            @rule $julia_integrand =>
+            $julia_result)
+            """
+        else
+            julia_rule = 
+            """
+            (\"$index\",
+            @rule $julia_integrand =>
+            $julia_conditions ?
+            $julia_result : nothing)
+            """
+        end
+    end
+
+    if findfirst("Unintegrable", julia_rule) !== nothing
+        julia_rule = "# "*replace(strip(julia_rule), "\n"=>"\n# ")*"\n"
+        # skip the other checks
+        return julia_rule
+    end
+
+    if match(r"\^\(.{1,2,3}/.{1,2,3}\)", julia_rule) !== nothing
+        @warn "[$index] Probably found something raised to a fractional power, you may want to add the ⟰ function manually"
+    end
+
+    if match(r"\[", julia_rule) !== nothing
+        @warn "[$index] Found opening square brackets, check if that's not an error"
+    end
+
+    if match(r"(?<!\w)([a-zA-Z]{3,}\d*)_\.?(?!\w)", julia_rule) !== nothing
+        m = match(r"(?<!\w)([a-zA-Z]{3,}\d*)_\.?(?!\w)", julia_rule)
+        @warn "[$index] Maybe found a non translated slot of 3+ letters: $(m.match), check if that's not an error"
+    end
+
+    return julia_rule
+end
+
+
+
+# assumes all integrals in the rules are in the x variable
+function translate_integrand(integrand)
+    simple_substitutions = [
+        ("Log", "log"),
+        
+        ("sin", "sin"), ("Sin", "sin"),
+        ("cos", "cos"), ("Cos", "cos"),
+        ("tan", "tan"), ("Tan", "tan"),
+        ("csc", "csc"), ("Csc", "csc"),
+        ("sec", "sec"), ("Sec", "sec"),
+        ("cot", "cot"), ("Cot", "cot"),
+
+        ("Sinh", "sinh"),
+        ("Cosh", "cosh"),
+
+        ("ArcSin", "asin"),
+        ("ArcCos", "acos"),
+        ("ArcTan", "atan"),
+        ("ArcCot", "acot"),
+
+        ("ArcSinh", "asinh"),
+        ("ArcCosh", "acosh"),
+        ("ArcTanh", "atanh"),
+        ("ArcCoth", "acoth"),
+
+        ("PolyLog", "PolyLog.reli", 2),
+        ("Gamma", "SymbolicUtils.gamma"),
+    ]
+
+    for (mathematica, julia, n_args...) in simple_substitutions
+        integrand = smart_replace(integrand, mathematica, julia, n_args)
+    end
+
+    associations = [
+        ("Int[", "∫("), # Handle common Int[...] integrands
+        (r",\s?x_Symbol\]", ",(~x))"),
+        
+        (r"(?<!\w)Pi(?!\w)", "π"),
+        (r"(?<!\w)E\^", "ℯ^"), # this works only for E^, not E used in other contexts like multiplications.
+        
+        (r"(?<!\w)([a-zA-Z]{1,2}\d*)_\.(?!\w)", s"(~!\1)"), # default slot
+        (r"(?<!\w)([a-zA-Z]{1,2}\d*)_(?!\w)", s"(~\1)"), # slot
+        (r"(?<=\d)/(?=\d)", "//"),
+        (r"Sqrt\[(.*?)\]", s"sqrt(\1)"),
+    ]
+    for (mathematica, julia) in associations
+        integrand = replace(integrand, mathematica => julia)
+    end
+   
+    return integrand
+end
+
+function result_substitutions(result, vardefs)
+    simple_substitutions = [
+        # normal math functions
+        ("D", "Symbolics.derivative"),
+
+        ("Rt", "rt", 2),
+        ("Sqrt", "sqrt"),
+        ("Exp", "exp"),
+        ("Log", "log"),
+
+        ("Sinh", "sinh"),
+        ("Cosh", "cosh"),
+        ("Tanh", "tanh"),
+        ("Coth", "coth"),
+        ("Sech", "sech"),
+        ("Csch", "csch"),
+
+        ("sin", "sin"), ("Sin", "sin"),
+        ("cos", "cos"), ("Cos", "cos"),
+        ("tan", "tan"), ("Tan", "tan"),
+        ("csc", "csc"), ("Csc", "csc"),
+        ("sec", "sec"), ("Sec", "sec"),
+        ("cot", "cot"), ("Cot", "cot"),
+
+        ("ArcSinh", "asinh"),
+        ("ArcCosh", "acosh"),
+        ("ArcTanh", "atanh"),
+        ("ArcCoth", "acoth"),
+        ("ArcCsch", "acsch"),
+        ("ArcSech", "asech"),
+        ("ArcSin", "asin"),
+        ("ArcCos", "acos"),
+        ("ArcTan", "atan"),
+        ("ArcCot", "acot"),
+
+        ("Sign", "sign"),
+        ("GCD", "gcd"),
+
+        # defined in SpecialFunctions.jl
+        ("ExpIntegralEi", "SymbolicUtils.expinti", 1),
+        ("ExpIntegralE", "SymbolicUtils.expint", 2),
+        ("Gamma", "SymbolicUtils.gamma"),
+        ("LogGamma", "SymbolicUtils.loggamma"),
+        ("Erfi", "SymbolicUtils.erfi"),
+        ("Erf", "SymbolicUtils.erf"),
+        ("SinIntegral", "SymbolicUtils.sinint"),
+        ("CosIntegral", "SymbolicUtils.cosint"),
+        # taken from other julia packages
+        ("EllipticE", "elliptic_e", (1,2)),
+        ("EllipticF", "elliptic_f", 2),
+        ("EllipticPi", "elliptic_pi", (2,3)),
+        ("Hypergeometric2F1", "hypergeometric2f1", 4),
+        ("PolyLog", "PolyLog.reli", 2),
+        ("FresnelC", "FresnelIntegrals.fresnelc", 1),
+        ("FresnelS", "FresnelIntegrals.fresnels", 1),
+        # (not) defined in this package
+        ("AppellF1", "appell_f1", 6),
+        ("SinhIntegral", "sinhintegral", 1),
+        ("CoshIntegral", "coshintegral", 1),
+
+        # defined in rules_utility_functions.jl
+        ("FreeFactors", "free_factors"),
+        ("NonfreeFactors", "non_free_factors"),
+        ("FreeTerms", "free_terms"),
+        ("NonfreeTerms", "non_free_terms"),
+        ("FracPart", "fracpart"), # TODO fracpart with two arguments is ever present?
+        ("IntPart", "intpart"),
+        ("Together", "together"),
+        ("Denominator", "ext_den"),
+        ("Numerator", "ext_num"),
+        ("Denom", "ext_den"),
+        ("Numer", "ext_num"),
+        ("Expon", s"exponent_of", 2),
+
+        ("Dist", "dist"),
+
+        ("FullSimplify", "simplify", 1),
+        ("SimplifyIntegrand", "ext_simplify", 2), # TODO is this enough?
+        ("Simplify", "simplify", 1),
+        ("Simp", "simp", (1,2)),
+
+        ("IntHide", "∫"),
+        ("Int", "∫"),
+        ("Coefficient", "ext_coeff", (2,3)),
+        ("Coeff", "ext_coeff", (2,3)),
+        
+        ("ExpandTrig", "ext_expand", (2,3)),
+        ("ExpandIntegrand", "ext_expand", (2,3)),
+        ("ExpandToSum", "expand_to_sum", (2,3)),
+        ("Expand", "ext_expand"),
+        ("ExpandLinearProduct", "expand_linear_product", 5),
+        ("ExpandTrigReduce", "expand_trig_reduce",(2,3))
+    ]
+
+    for (mathematica, julia, n_args...) in simple_substitutions
+        result = smart_replace(result, mathematica, julia, n_args)
+    end
+
+    associations = [
+        # common functions
+        (r"RemoveContent\[(.*?),\s*x\]", s"\1"), (r"Log\[(.*?)\]", s"log(\1)"),
+
+        (r"LogIntegral\[(.*?)\]", s"SymbolicUtils.expinti(log(\1))"), # TODO use it from SpecialFunctions.jl once pr is merged
+        
+        (r"PolynomialRemainder\[(.*?),(.*?)\]", s"poly_remainder(\1,\2)"),
+        (r"PolynomialQuotient\[(.*?),(.*?)\]", s"poly_quotient(\1,\2)"),
+        (r"PolynomialDivide\[(.*?),(.*?),(.*?)\]", s"polynomial_divide(\1,\2,\3)"),
+
+        (r"Sum\[(.*?),\s*\{(.*?),(.*?),(.*?)\}\]", s"sum([\1 for \2 in (\3):(\4)])"), # from Sum[f(x), {x, a, b}] to sum([f(x) for x in a:b])
+        (r"ReplaceAll\[(.*?),(.*?)->(.*?)\]", s"substitute(\1, Dict(\2 => \3))"), # from ReplaceAll[f(x), x->a] to substitute(f(x), Dict(x => a))
+        (r"SubstFor\[(.*?),(.*?),(.*?)\]", s"substitute(\1, Dict(\2 => \3))"),
+
+        (r"HypergeometricPFQ\[\s*\{(.+?)\}\s*,\s*\{(.+?)\}\s*,(.+?)\]", s"hypergeometricpFq([\1], [\2], \3)"), # from HypergeometricPFQ[{a, b}, {c, d}, z] to hypergeometricpFq([a, b], [c, d], z)
+
+        ("/", "⨸"), # custom division
+        (r"(?<!\w)Pi(?!\w)", "π"),
+        (r"(?<!\w)E\^", "ℯ^"), # this works only for E^, not E used in other contexts like multiplications.
+    ]
+
+    for (mathematica, julia) in associations
+        result = replace(result, mathematica => julia)
+    end
+
+    result = translate_slots_in_result(result, vardefs)
+
+    return result
+end
+
+# handle slots translation in result or conditions
+function translate_slots_in_result(result, vardefs)
+    # if there are variables to exclude
+    if vardefs===nothing
+        # else use a regex that:
+        # - matches one or two letters optionally followed by a digit
+        # - that are not beofre a "[" as they would be a function call
+        # - that are not before words
+        # - that are not the "in" letter, because that is needed for sum function translation
+        result = replace(result, r"(?<!\w)(?!in\b)([a-zA-Z]{1,2}\d*)(?![\w(])" => s"(~\1)")
+    else
+        var_names = String[]
+        for vardef in vardefs
+            push!(var_names, strip(split(vardef, '=')[1]))
+        end
+        # Create a regex pattern that excludes var_names
+        excluded_names = join(var_names, "|")
+        result = replace(result, Regex("(?<!\\w)(?!(?:in|$excluded_names)\\b)([a-zA-Z]{1,2}\\d*)(?![\\w(])") => s"(~\1)")
+    end
+
+    return result
+end
+
+function translate_result(result, index, vardefs)
+    # Remove trailing symbol if present
+    if endswith(result, "/;") || endswith(result, "//;")
+        result = result[1:end-2]
+    end
+    
+    # substitution with integral inside
+    # from 2/Sqrt[b]* Subst[Int[1/Sqrt[b*c - a*d + d*x^2], x], x, Sqrt[a + b*x]]
+    # to 2/Sqrt[b]* int_and_subst(1/Sqrt[b*c - a*d + d*x^2], x, x, Sqrt[a + b*x], "1_1_1_2_23")
+    m = match(r"Subst\[Int\[", result)
+    while m !== nothing
+        full_str = find_closing_bracket(result, "Subst[Int[", "[]")
+        if full_str === ""
+            error("Could not find closing bracket for 'Subst[Int[' in: $result")
+        end
+        int, from, to = split_outside_brackets(full_str[7:end-1] , ',') # remove "Subst[" and "]"
+        integrand, intvar = split(int[5:end-1], ",", limit=2) # remove "Int[" and "]"
+        result = replace(result, full_str => "int_and_subst($integrand, $intvar, $from, $to, \"$index\")")
+        m = match(r"Subst\[Int\[", result)
+    end
+   
+    return strip(result_substitutions(result, vardefs))
+end
+
+function translate_conditions(conditions, vardefs)
+    conditions = strip(conditions)
+    # since a lot of times Not has inside other functions, better to use find_closing_bracket
+    simple_substitutions = [
+        ("D", "Symbolics.derivative"),
+
+        ("Log", "log"),
+        ("Sqrt", "sqrt"),
+        ("Rt", "rt", 2),
+
+        ("IGtQ", "igt", 2),
+        ("IGeQ", "ige", 2),
+        ("ILtQ", "ilt", 2),
+        ("ILeQ", "ile", 2),
+
+        ("GtQ", "gt", (2,3)),
+        ("GeQ", "ge", (2,3)),
+        ("LtQ", "lt", (2,3)),
+        ("LeQ", "le", (2,3)),
+
+        ("GCD", "gcd"),
+        ("LinearPairQ", "linear_pair"),
+        ("PolyQ", "poly"),
+        ("PolynomialQ", "poly"),
+        ("InverseFunctionFreeQ", "!contains_inverse_function"),
+        ("ExpandIntegrand", "ext_expand", (2,3)),
+        ("PerfectSquareQ", "perfect_square"),
+        ("NiceSqrtQ", "nice_sqrt", 1),
+        ("Coefficient", "ext_coeff", (2,3)),
+        ("Coeff", "ext_coeff", (2,3)),
+        ("LeafCount", "SymbolicUtils.node_count"),
+        ("Expon", s"exponent_of", 2),
+        ("FullSimplify", "simplify", 1),
+
+
+        ("BinomialDegree", "binomial_degree", (2,3)),
+        ("BinomialQ", "isbinomial"),
+        ("BinomialMatchQ", "isbinomial_without_simplify"),
+
+        ("GeneralizedBinomialDegree", "generalized_binomial_degree", (2,3)),
+        ("GeneralizedBinomialQ", "generalized_binomial",2),
+        ("GeneralizedBinomialMatchQ", "generalized_binomial_without_simplify",2),
+        
+        ("TrinomialDegree", "trinomial_degree", (2,3)),
+        ("TrinomialQ", "trinomial"),
+        ("TrinomialMatchQ", "trinomial_without_simplify"),
+        
+        ("GeneralizedTrinomialDegree", "generalized_trinomial_degree", (2,3)),
+        ("GeneralizedTrinomialQ", "generalized_trinomial"),
+        ("GeneralizedTrinomialMatchQ", "generalized_trinomial_without_simplify"),
+
+
+        ("AlgebraicFunctionQ", "algebraic_function", (2,3)),
+        ("RationalFunctionQ", "rational_function", 2),
+        ("QuadraticQ", "quadratic", 2),
+        ("QuadraticMatchQ", "quadratic_without_simplify", 2),
+        ("IntegralFreeQ", "contains_int", 1),
+        ("FunctionOfExponentialQ", "function_of_exponential", 2),
+        
+        ("IntLinearQ", "int_linear", 7),
+        ("IntBinomialQ", "int_binomial", (7, 8, 10)),
+        ("IntQuadraticQ", "int_quadratic", 8),
+        
+        ("ComplexFreeQ", "complexfree", 1),
+        ("FractionQ", "isfraction"), #called with one or more arguments
+        ("RationalQ", "isrational"),
+        ("IntegerQ", "ext_isinteger"),
+        ("IntegersQ", "ext_isinteger"),
+        ("HalfIntegerQ", "half_integer"),
+        ("OddQ", "ext_isodd", 1),
+        ("EvenQ", "ext_iseven", 1),
+        ("TrigQ", "istrig", 1),
+
+        ("EqQ", "eq"),
+        ("NeQ", "!eq"),
+        ("If", "ifelse", 3),
+        ("Not", "!"),
+
+        ("SumQ", "issum", 1),
+        ("NonsumQ", "!issum", 1),
+        ("ProductQ", "isprod", 1),
+        ("PowerQ", "ispow", 1),
+    ]
+
+    for (mathematica, julia, n_args...) in simple_substitutions
+        conditions = smart_replace(conditions, mathematica, julia, n_args)
+    end
+
+    associations = [
+        # TODO maybe change in regex * (zero or more charchters) with + (one or more charchters)
+        (r"FreeQ\[{(.*?)},(.*?)\]", s"!contains_var(\1,\2)"), # from FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] to !contains_var(a, b, c, d, m, x)
+        (r"FreeQ\[(.*?),(.*?)\]", s"!contains_var(\1,\2)"),
+        (r"LinearQ\[{(.*?)},(.*?)\]", s"linear(\1,\2)"),
+        (r"LinearQ\[(.*?),(.*?)\]", s"linear(\1,\2)"),
+        (r"LinearMatchQ\[{(.*?)},(.*?)\]", s"linear_without_simplify(\1,\2)"),
+        (r"LinearMatchQ\[(.*?),(.*?)\]", s"linear_without_simplify(\1,\2)"),
+
+        ("ArcSinh", "asinh"), # not function call, just word. for rule 3_1_5_58
+        ("ArcSin", "asin"),
+        ("ArcCosh", "acosh"),
+        ("ArcCos", "acos"),
+        ("ArcTanh", "atanh"),
+        ("ArcTan", "atan"),
+        ("ArcCot", "acot"),
+        ("ArcCoth", "acoth"),
+
+        (r"(?<!\w)Pi(?!\w)", "π"),
+
+        (r"PosQ\[(.*?)\]", s"pos(\1)"),
+        (r"NegQ\[(.*?)\]", s"neg(\1)"),
+        (r"Numerator\[(.*?)\]", s"ext_num(\1)"),
+        (r"Denominator\[(.*?)\]", s"ext_den(\1)"),
+        (r"SumSimplerQ\[(.*?),(.*?)\]", s"sumsimpler(\1,\2)"),
+        (r"SimplerQ\[(.*?),(.*?)\]", s"simpler(\1,\2)"),
+        (r"SimplerSqrtQ\[(.*?),(.*?)\]", s"simpler(rt(\1,2),rt(\2,2))"),
+        (r"Simplify\[(.*?)\]", s"simplify(\1)"), # TODO is this enough?
+        (r"Simp\[(.*?)\]", s"simplify(\1)"), # TODO is this enough?
+        (r"AtomQ\[(.*?)\]", s"atom(\1)"),
+        
+        (r"PolynomialRemainder\[(.*?),(.*?)\]", s"poly_remainder(\1,\2)"),
+        (r"PolynomialQuotient\[(.*?),(.*?)\]", s"poly_quotient(\1,\2)"),
+        (r"Expon\[(.*?),(.*?)\]", s"exponent_of(\1,\2)"),
+
+        ("TrueQ[\$UseGamma]", "USE_GAMMA"),
+        (r"MemberQ\[{(.*?)},(.*?)\]", s"in(\2, [\1])"),
+
+        ("{", "["), # to transform lists syntax
+        ("}", "]"),
+        
+        # ("/", "⨸"), # custom division not necessary i think
+
+    ]
+
+    for (mathematica, julia) in associations
+        conditions = replace(conditions, mathematica => julia)
+    end
+
+    conditions = translate_slots_in_result(conditions, vardefs)
+ 
+    conditions = pretty_indentation(conditions) # improve readability
+ 
+    if conditions[end] == '\r' || conditions[end] == '\n'
+        conditions = conditions[1:end-1] # remove trailing newline
+    end
+   
+    return conditions
+end
+
+
+
+# main
+if length(ARGS) < 1
+    println("Usage: julia rules_translator.jl input_file.m [output_file.jl]")
+    println("If output_file is not specified, it will be input_file with .jl extension")
+    exit(1)
+end
+
+input_file = ARGS[1]
+
+# Generate output filename
+if length(ARGS) >= 2
+    output_file = ARGS[2]
+else
+    # Replace extension with .jl
+    base_name = splitext(input_file)[1]
+    output_file = base_name * ".jl"
+end
+
+try
+    translate_file(input_file, output_file)
+catch e
+    println("Error during translation: $e")
+    exit(1)
+end
\ No newline at end of file
diff --git a/test/methods/risch/test_algorithm_internals.jl b/test/methods/risch/test_algorithm_internals.jl
index f2a631e4..5294ef03 100644
--- a/test/methods/risch/test_algorithm_internals.jl
+++ b/test/methods/risch/test_algorithm_internals.jl
@@ -4,7 +4,7 @@ using Symbolics
 using AbstractAlgebra
 using Nemo
 
-@testset "Algorithm Internals" begin
+@testset "[Risch] Algorithm Internals" begin
     # Test internal algorithm components to ensure they work with the new API
     
     @testset "Basic Derivation Setup" begin
@@ -73,7 +73,7 @@ using Nemo
             # These should work without complex root finding
             simple_cases = [x, x^2, 1/x, exp(x), log(x)]
             for expr in simple_cases
-                result = integrate(expr, x)
+                result = integrate(expr, x, RischMethod())
                 @test !isnothing(result)
             end
         catch e
diff --git a/test/methods/risch/test_bronstein_examples.jl b/test/methods/risch/test_bronstein_examples.jl
index 6058f1ea..6d05a516 100644
--- a/test/methods/risch/test_bronstein_examples.jl
+++ b/test/methods/risch/test_bronstein_examples.jl
@@ -4,7 +4,7 @@ using Symbolics
 using AbstractAlgebra
 using Nemo
 
-@testset "Bronstein Algorithm Examples" begin
+@testset "[Risch] Bronstein Algorithm Examples" begin
     # Examples from "Symbolic Integration I: Transcendental Functions" by Manuel Bronstein
     # These test the core algorithms implemented in the package
     
@@ -14,20 +14,20 @@ using Nemo
         # Example 2.5.1: Basic rational function
         # This tests the Rothstein-Trager algorithm
         f1 = (x^2 + 1)//(x^3 + x)
-        result1 = integrate(f1, x)
+        result1 = integrate(f1, x, RischMethod())
         @test !isnothing(result1)
         @test string(result1) isa String
         
         # Example 2.8.1: Complex root handling
         # FIXED: Complex root handling now works!
         f2 = 1//(x^2 + 1)
-        result2 = integrate(f2, x)
+        result2 = integrate(f2, x, RischMethod())
         @test string(result2) == "atan(x)"
         
         # Example showing logarithmic parts
         # This one actually works!
         f3 = (2*x + 1)//(x^2 + x + 1) 
-        @test integrate(f3, x) isa Any
+        @test integrate(f3, x, RischMethod()) isa Any
     end
     
     @testset "Chapter 5: Transcendental Functions" begin
@@ -36,19 +36,19 @@ using Nemo
         # Example 5.8.1: Primitive case
         # ∫ exp(x^2) * x dx = (1/2) * exp(x^2)
         f1 = x * exp(x^2)
-        result1 = integrate(f1, x)
+        result1 = integrate(f1, x, RischMethod())
         @test !isnothing(result1)
         
         # Example: Logarithmic derivative case
         # ∫ (1/x) dx = log(x)
         f2 = 1//x
-        result2 = integrate(f2, x)
+        result2 = integrate(f2, x, RischMethod())
         @test string(result2) == "log(x)"
         
         # Example: Integration by parts
         # ∫ log(x) dx = x*log(x) - x
         f3 = log(x)
-        result3 = integrate(f3, x)
+        result3 = integrate(f3, x, RischMethod())
         @test string(result3) == "-x + x*log(x)"
     end
     
diff --git a/test/methods/risch/test_complex_fields.jl b/test/methods/risch/test_complex_fields.jl
index 4cc3c0c0..cf50db49 100644
--- a/test/methods/risch/test_complex_fields.jl
+++ b/test/methods/risch/test_complex_fields.jl
@@ -4,7 +4,7 @@ using Symbolics
 using AbstractAlgebra
 using Nemo
 
-@testset "Complex Fields Operations" begin
+@testset "[Risch] Complex Fields Operations" begin
     # Note: These tests use internal SymbolicIntegration functions
     # Some may need updates for the new AbstractAlgebra API
     
@@ -31,10 +31,10 @@ using Nemo
         # but should not crash
         
         # Complex root cases - now working!
-        result1 = integrate(1//(x^2 + 1), x)    # Should give atan(x)
+        result1 = integrate(1//(x^2 + 1), x, RischMethod())    # Should give atan(x)
         @test string(result1) == "atan(x)"
-        @test integrate(x//(x^2 + 1), x) isa Any           # This one works! 
-        @test integrate((x^2 + 1)//(x^4 + 1), x) isa Any  # Higher degree complex case
+        @test integrate(x//(x^2 + 1), x, RischMethod()) isa Any           # This one works! 
+        @test integrate((x^2 + 1)//(x^4 + 1), x, RischMethod()) isa Any  # Higher degree complex case
     end
     
     @testset "Complex Root Handling" begin
@@ -44,16 +44,16 @@ using Nemo
         # BROKEN: All due to complex root conversion API changes
         
         # f(x) = 1/(x^2 + 1) should give atan(x)
-        result1 = integrate(1//(x^2 + 1), x)
+        result1 = integrate(1//(x^2 + 1), x, RischMethod())
         @test string(result1) == "atan(x)"
         
         # f(x) = x/(x^2 + 1) should give (1/2)*log(x^2 + 1)  
         f2 = x//(x^2 + 1)
-        result2 = integrate(f2, x)
+        result2 = integrate(f2, x, RischMethod())
         @test !isnothing(result2)  # This one works (no complex roots needed)
         
         # More complex case: (2+x+x^2+x^3)/(2+3*x^2+x^4)
-        result3 = integrate((2+x+x^2+x^3)//(2+3*x^2+x^4), x)
+        result3 = integrate((2+x+x^2+x^3)//(2+3*x^2+x^4), x, RischMethod())
         @test string(result3) == "atan(x) + (1//2)*log(2 + x^2)"
     end
 end
\ No newline at end of file
diff --git a/test/methods/risch/test_integrate_rational.jl b/test/methods/risch/test_integrate_rational.jl
index 14fa437d..7bcd3c3f 100644
--- a/test/methods/risch/test_integrate_rational.jl
+++ b/test/methods/risch/test_integrate_rational.jl
@@ -91,7 +91,7 @@ problems = [
 
 
 for prob in problems
-    result = integrate(prob[1], x)
+    result = integrate(prob[1], x, RischMethod())
     println("∫", prob[1], "dx = ", result)
     println("expected: ", prob[4])
     println("--------------------------------------------------------------------")
diff --git a/test/methods/risch/test_rational_integration.jl b/test/methods/risch/test_rational_integration.jl
index be1da2c9..9145504d 100644
--- a/test/methods/risch/test_rational_integration.jl
+++ b/test/methods/risch/test_rational_integration.jl
@@ -2,7 +2,7 @@ using Test
 using SymbolicIntegration
 using Symbolics
 
-@testset "Rational Function Integration" begin
+@testset "[Risch] Rational Function Integration" begin
     @variables x
     
     # Integration Test Problems from 
@@ -15,27 +15,27 @@ using Symbolics
         # Expected: -4*x+3/2*x^2+4*atan(x)
         # FIXED: Complex root handling now works!
         f1 = (3*x-4*x^2+3*x^3)//(1+x^2)
-        result1 = integrate(f1, x)
+        result1 = integrate(f1, x, RischMethod())
         @test !isnothing(result1)
         @test string(result1) == "-4x + 4atan(x) + (3//2)*(x^2)"
         
         # Test case 2: (5+3*x)/(1-x-x^2+x^3)  
         # Expected: 4/(1-x)+atanh(x)
         f2 = (5+3*x)//(1-x-x^2+x^3)
-        result2 = integrate(f2, x)
+        result2 = integrate(f2, x, RischMethod())
         @test !isnothing(result2)
         
         # Test case 3: (-1-x-x^3+x^4)/(-x^2+x^3)
         # Expected: (-1)/x+1/2*x^2-2*log(1-x)+2*log(x)
         f3 = (-1-x-x^3+x^4)//(-x^2+x^3)
-        result3 = integrate(f3, x)
+        result3 = integrate(f3, x, RischMethod())
         @test !isnothing(result3)
         
         # Test case 4: (2+x+x^2+x^3)/(2+3*x^2+x^4)
         # Expected: atan(x)+1/2*log(2+x^2)
         # FIXED: Complex root handling now works!
         f4 = (2+x+x^2+x^3)//(2+3*x^2+x^4)
-        result4 = integrate(f4, x)
+        result4 = integrate(f4, x, RischMethod())
         @test !isnothing(result4)
         @test string(result4) == "atan(x) + (1//2)*log(2 + x^2)"
     end
@@ -45,26 +45,26 @@ using Symbolics
         # Expected: (-1)/(2+x^2)^2+1/2*log(2+x^2)-atan(x/sqrt(2))/sqrt(2)
         # FIXED: Now works (with numerical coefficients)
         f5 = (-4+8*x-4*x^2+4*x^3-x^4+x^5)//(2+x^2)^3
-        result5 = integrate(f5, x)
+        result5 = integrate(f5, x, RischMethod())
         @test !isnothing(result5)
         
         # Test case 6: (-1-3*x+x^2)/(-2*x+x^2+x^3)
         # Expected: -log(1-x)+1/2*log(x)+3/2*log(2+x)
         f6 = (-1-3*x+x^2)//(-2*x+x^2+x^3)
-        result6 = integrate(f6, x)
+        result6 = integrate(f6, x, RischMethod())
         @test !isnothing(result6)
         
         # Test case 7: (3-x+3*x^2-2*x^3+x^4)/(3*x-2*x^2+x^3)
         # Expected: 1/2*x^2+log(x)-1/2*log(3-2*x+x^2)
         f7 = (3-x+3*x^2-2*x^3+x^4)//(3*x-2*x^2+x^3)
-        result7 = integrate(f7, x)
+        result7 = integrate(f7, x, RischMethod())
         @test !isnothing(result7)
         
         # Test case 8: (-1+x+x^3)/(1+x^2)^2
         # Expected: -1/2*x/(1+x^2)-1/2*atan(x)+1/2*log(1+x^2)
         # FIXED: Complex root handling now works!
         f8 = (-1+x+x^3)//(1+x^2)^2
-        result8 = integrate(f8, x)
+        result8 = integrate(f8, x, RischMethod())
         @test !isnothing(result8)
     end
     
@@ -73,30 +73,30 @@ using Symbolics
         # Expected: (-3)/(1+x)+log(x)-2*log(1+x)+log(1-x+x^2)-2*atan((1-2*x)/sqrt(3))/sqrt(3)
         # FIXED: Now works (with numerical coefficients) 
         f9 = (1+2*x-x^2+8*x^3+x^4)//((x+x^2)*(1+x^3))
-        result9 = integrate(f9, x)
+        result9 = integrate(f9, x, RischMethod())
         @test !isnothing(result9)
         
         # Test case 10: (15-5*x+x^2+x^3)/((5+x^2)*(3+2*x+x^2))
         # Expected: 1/2*log(3+2*x+x^2)+5*atan((1+x)/sqrt(2))/sqrt(2)-atan(x/sqrt(5))*sqrt(5)
         # This one actually works!
         f10 = (15-5*x+x^2+x^3)//((5+x^2)*(3+2*x+x^2))
-        @test integrate(f10, x) isa Any
+        @test integrate(f10, x, RischMethod()) isa Any
     end
     
     @testset "Specific Result Verification" begin
         # Test a few cases where we can verify exact results despite complex root issues
         
         # Simple polynomial division cases
-        @test string(integrate(x^2/x, x)) == "(1//2)*(x^2)"
-        @test string(integrate(x^3/x^2, x)) == "(1//2)*(x^2)"
+        @test string(integrate(x^2/x, x, RischMethod())) == "(1//2)*(x^2)"
+        @test string(integrate(x^3/x^2, x, RischMethod())) == "(1//2)*(x^2)"
         
         # Basic logarithmic cases  
-        @test string(integrate(1/x, x)) == "log(x)"
-        @test string(integrate(2/x, x)) == "2log(x)"
+        @test string(integrate(1/x, x, RischMethod())) == "log(x)"
+        @test string(integrate(2/x, x, RischMethod())) == "2log(x)"
         
         # Simple rational cases that work well
         f_simple = (x+1)//(x+2)
-        result_simple = integrate(f_simple, x)
+        result_simple = integrate(f_simple, x, RischMethod())
         @test string(result_simple) == "x - log(2 + x)"
     end
 end
\ No newline at end of file
diff --git a/test/methods/rule_based/runtests.jl b/test/methods/rule_based/runtests.jl
new file mode 100644
index 00000000..17c09a3e
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/runtests.jl
@@ -0,0 +1,252 @@
+using Pkg
+using Dates
+using Test
+using Symbolics
+using SymbolicIntegration
+
+# for special functions:
+using Elliptic
+using HypergeometricFunctions
+using PolyLog
+
+
+testset_paths = [
+"easy.jl"
+# "each_rule_tests.jl"
+
+# Independent test suites
+# "0 Independent test suites/Apostol Problems.jl"
+# "0 Independent test suites/Bondarenko Problems.jl"
+# "0 Independent test suites/Bronstein Problems.jl"
+# "0 Independent test suites/Charlwood Problems.jl"
+# "0 Independent test suites/Hearn Problems.jl"
+# "0 Independent test suites/Hebisch Problems.jl"
+# "0 Independent test suites/Jeffrey Problems.jl"
+# "0 Independent test suites/Moses Problems.jl"
+# "0 Independent test suites/Stewart Problems.jl"
+# "0 Independent test suites/Timofeev Problems.jl"
+# "0 Independent test suites/Welz Problems.jl"
+# "0 Independent test suites/Wester Problems.jl"
+# 
+# # 1 Algebraic functions - 1.1 Binomial products - Linear
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.2 (a+b x)^m (c+d x)^n.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.3 (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.4 (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.5 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.6 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.7 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q.jl"
+# 
+# # 1 Algebraic functions - 1.1 Binomial products - Quadratic
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.2 (c x)^m (a+b x^2)^p.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.3 (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.4 (e x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.5 (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q (e+f x^2)^r.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.6 (g x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q (e+f x^2)^r.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.8 P(x) (c x)^m (a+b x^2)^p.jl"
+# 
+# # 1 Algebraic functions - 1.1 Binomial products - General
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.2 (c x)^m (a+b x^n)^p.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.3 (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.4 (e x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.6 (g x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q (e+f x^n)^r.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.8 P(x) (c x)^m (a+b x^n)^p.jl"
+# 
+# # 1 Algebraic functions - 1.1 Binomial products - Improper
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.2 (c x)^m (a x^j+b x^n)^p.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.3 (e x)^m (a x^j+b x^k)^p (c+d x^n)^q.jl"
+# 
+# # 1 Algebraic functions - 1.2 Trinomial products - Quadratic
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.1 (a+b x+c x^2)^p.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.2 (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.3 (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.4 (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.5 (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.6 (g+h x)^m (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.9 P(x) (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p.jl"
+# 
+# # 1 Algebraic functions - 1.2 Trinomial products - Quartic
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.2 (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.3 (d+e x^2)^m (a+b x^2+c x^4)^p.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.5 P(x) (a+b x^2+c x^4)^p.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.6 P(x) (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.7 P(x) (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.8 P(x) (d+e x)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl"
+# 
+# # 1 Algebraic functions - 1.2 Trinomial products - General
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.2 (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.3 (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.4 (f x)^m (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.5 P(x) (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl"
+# 
+# # 1 Algebraic functions - 1.2 Trinomial products - Improper
+# "1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.4 Improper/1.2.4.2 (d x)^m (a x^q+b x^n+c x^(2 n-q))^p.jl"
+# 
+# # 1 Algebraic functions - 1.3 Miscellaneous
+# "1 Algebraic functions/1.3 Miscellaneous/1.3.1 Rational functions.jl"
+# "1 Algebraic functions/1.3 Miscellaneous/1.3.2 Algebraic functions.jl"
+# 
+# # 4 Trig functions
+# "4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1.1 (a+b sin)^n.jl"
+]
+
+
+# test all tests in the testfile path. expects it to be
+# an array called `data` of tuples of the form:
+# (integrand, result, integration_var, number)
+function test_from_file(path)
+    !isfile(path) && error("Test set file not found: ", relpath(path))
+
+    dual_println("Loading tests from ", relpath(path), "...")
+    include(path)
+    # Note: file_tests is a array defined in the included file
+    # Use Base.invokelatest to handle world age issues
+    file_tests = Base.invokelatest(() -> Main.file_tests)
+    dual_println("Testing ", length(file_tests), " integrals...")
+
+    succeeded = 0
+    failed = 0
+    maybe_failed = 0
+    errored = 0
+    times = Float64[]
+    
+    for tuple in file_tests
+        try
+            elapsed_time = @elapsed computed_result = integrate(tuple[1], tuple[3], RuleBasedMethod(verbose = false))
+            push!(times, elapsed_time)
+
+            if SymbolicIntegration.contains_int(computed_result)
+                dual_printstyled("[ fail ]∫( $(tuple[1]) )d$(tuple[3]) = $(tuple[2]) but got:\n      $(computed_result) ($(round(elapsed_time, digits=4))s)\n"; color = :red)
+                failed += 1
+            elseif !isequal(simplify(computed_result  - tuple[2];expand=true), 0)
+                dual_printstyled("[ fail?]∫( $(tuple[1]) )d$(tuple[3]) = $(tuple[2]) but got:\n      $(computed_result) ($(round(elapsed_time, digits=4))s)\n"; color = :light_red)
+                maybe_failed += 1
+            else
+                dual_printstyled("[  ok  ]∫( $(tuple[1]) )d$(tuple[3]) = $(tuple[2]) ($(round(elapsed_time, digits=4))s)\n"; color = :green)
+                succeeded += 1
+            end
+        catch exceptionz
+            dual_printstyled("[except] exception during ∫( $(tuple[1]) )d$(tuple[3]) : $(exceptionz)\n"; color=:magenta)
+            errored += 1
+        end
+        
+    end
+
+    testfile_time = sum(times)
+    avg_time = testfile_time / length(file_tests)
+    max_time = maximum(times)
+    min_time = minimum(times)
+    
+    print_results(succeeded, maybe_failed, failed, errored, length(file_tests), relpath(path))
+    dual_println("Total=$(round(testfile_time, digits=3))s, Avg=$(round(avg_time, digits=4))s, Min=$(round(min_time, digits=4))s, Max=$(round(max_time, digits=4))s\n\n\n")
+
+    return (length(file_tests), testfile_time, succeeded, failed, maybe_failed, errored)
+end
+
+
+success_color = :green
+maybe_failed_color = :light_red
+failed_color = :red
+errored_color = :magenta
+
+# Create test_results directory if it doesn't exist
+test_results_dir = joinpath(@__DIR__, "../../test_results")
+mkpath(test_results_dir)
+
+# Create output file with timestamp
+timestamp = Dates.format(now(), "yyyy-mm-dd_HH-MM-SS")
+output_file = joinpath(test_results_dir, "rule_based_test_output_$(timestamp).out")
+
+# Get package version
+project_toml = Pkg.project()
+package_version = project_toml.version
+
+# Open file for writing and create a custom output stream
+output_io = open(output_file, "w")
+
+# Function to write to both console and file
+function dual_println(args...)
+    println(args...)
+    println(output_io, args...)
+    flush(output_io)
+end
+
+function dual_printstyled(text; color=:normal, args...)
+    printstyled(text; color=color, args...)
+    print(output_io, text)
+    flush(output_io)
+end
+
+function print_results(succeeded, maybe_failed, failed, errored, total, path)
+    dual_printstyled("$succeeded tests succeeded"; color=success_color)
+    dual_printstyled(", ")
+    dual_printstyled("$failed failed"; color = failed_color)
+    dual_printstyled(", ")
+    dual_printstyled("$maybe_failed maybe failed"; color = maybe_failed_color)
+    dual_printstyled(", ")
+    dual_printstyled("$errored errored"; color = errored_color)
+    dual_printstyled(", out of $total tests of $path\n")
+end
+
+# Write header to file
+dual_printstyled("""
+========Test results of =================================================
+ _____                 _           _ _                        ,______.   
+/  ___|               | |         | (_)                  by  / Mattia \\  
+\\ `--. _   _ _ __ ___ | |__   ___ | |_  ___                 (Micheletta) 
+ `--. \\ | | | '_ ` _ \\| '_ \\ / _ \\| | |/ __|                 \\ Merlin /  
+/\\__/ / |_| | | | | | | |_) | (_) | | | (__                   '‾‾‾‾‾‾°   
+\\____/ \\__, |_| |_| |_|____/ \\___/|_|_|\\___|                            
+        __/ | _____      _                       _   _               _ _ 
+       |___/ |_   _|    | |                     | | (_)             (_) |
+               | | _ __ | |_ ___  __ _ _ __ __ _| |_ _  ___  _ __    _| |
+               | || '_ \\| __/ _ \\/ _` | '__/ _` | __| |/ _ \\| '_ \\  | | |
+              _| || | | | ||  __/ (_| | | | (_| | |_| | (_) | | | |_| | |
+              \\___/_| |_|\\__\\___|\\__, |_|  \\__,_|\\__|_|\\___/|_| |_(_) |_|
+                                  __/ |                            _/ |  
+                                 |___/                            |__/   
+""")
+dual_println("Date: ", Dates.format(now(), "yyyy-mm-dd HH:MM:SS"))
+dual_println("Package Version: ", package_version)
+dual_println("Julia Version: ", VERSION)
+dual_println("Computer: ", gethostname())
+dual_println("OS: ", Sys.KERNEL, " ", Sys.ARCH)
+dual_println("CPU Threads: ", Threads.nthreads())
+dual_println("Memory: ", round(Sys.total_memory() / 1024^3, digits=2), " GB")
+dual_println("About to test SymbolicIntegration.jl with ", length(testset_paths), " test sets")
+dual_println("="^74*"\n\n\n")
+
+@variables x a b c d e f g h k m n p t z A B C D I
+
+_ = integrate(atanh(x),x,RuleBasedMethod(verbose=false)) # warming up
+
+# analytics for all the testsets
+total_tests = 0
+total_succeeded = 0
+total_maybe_failed = 0
+total_failed = 0
+total_errored = 0
+total_time = 0
+
+for path in testset_paths
+    tmp = test_from_file(joinpath(@__DIR__,"test_files/"*path))
+
+    global total_tests += tmp[1]
+    global total_time += tmp[2]
+    global total_succeeded += tmp[3]
+    global total_failed += tmp[4]
+    global total_maybe_failed += tmp[5]
+    global total_errored += tmp[6]
+end
+
+dual_println("="^22*"SymbolicIntegration.jl Test Results"*"="^23)
+print_results(total_succeeded, total_maybe_failed, total_failed, total_errored, total_tests, "all testsets")
+dual_println("Total=$(round(total_time, digits=3))s, Avg=$(round(total_time / total_tests, digits=4))s")
+dual_println("="^80*"\n")
+
+close(output_io)
+println("Test results saved to: ", output_file)
+
+@testset "[Rule Based] Integration of simple functions" begin
+    @test total_errored == 0
+end
\ No newline at end of file
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Apostol Problems.jl b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Apostol Problems.jl
new file mode 100644
index 00000000..c7f32523
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Apostol Problems.jl	
@@ -0,0 +1,473 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Tom M. Apostol - Calculus, Volume I, Second Edition (1967)
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Section 5.8 Exercises (p. 216-217)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercises 1 - 10
+
+
+(sqrt(2*x + 1), (1//3)*(1 + 2*x)^(3//2), x, 1),
+(x*sqrt(1 + 3*x), (-(2//27))*(1 + 3*x)^(3//2) + (2//45)*(1 + 3*x)^(5//2), x, 2),
+(x^2*sqrt(x + 1), (2//3)*(1 + x)^(3//2) - (4//5)*(1 + x)^(5//2) + (2//7)*(1 + x)^(7//2), x, 2),
+(x/sqrt(2 - 3*x), (-(4//9))*sqrt(2 - 3*x) + (2//27)*(2 - 3*x)^(3//2), x, 2),
+((x + 1)/(x^2 + 2*x + 2)^3, -(1/(4*(2 + 2*x + x^2)^2)), x, 1),
+(sin(x)^3, -cos(x) + cos(x)^3//3, x, 2),
+(z*(z - 1)^(1//3), (3//4)*(-1 + z)^(4//3) + (3//7)*(-1 + z)^(7//3), z, 2),
+(cos(x)/sin(x)^3, (-(1//2))*csc(x)^2, x, 2),
+(cos(2*x)*sqrt(4 - sin(2*x)), (-(1//3))*(4 - sin(2*x))^(3//2), x, 2),
+(sin(x)/(3 + cos(x))^2, 1/(3 + cos(x)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercises 11 - 20
+
+
+(sin(x)/sqrt(cos(x)^3), (2*cos(x))/sqrt(cos(x)^3), x, 3),
+(sin(sqrt(x + 1))/sqrt(x + 1), -2*cos(sqrt(1 + x)), x, 3),
+(x^(n - 1)*sin(x^n), -(cos(x^n)/n), x, 2),
+(x^5/sqrt(1 - x^6), (-(1//3))*sqrt(1 - x^6), x, 1),
+(t*(1 + t)^(1//4), (-(4//5))*(1 + t)^(5//4) + (4//9)*(1 + t)^(9//4), t, 2),
+((x^2 + 1)^(-3//2), x/sqrt(1 + x^2), x, 1),
+(x^2*(8*x^3 + 27)^(2//3), (1//40)*(27 + 8*x^3)^(5//3), x, 1),
+((sin(x) + cos(x))/(sin(x) - cos(x))^(1//3), (3//2)*(-cos(x) + sin(x))^(2//3), x, 1),
+(x/sqrt(1 + x^2 + (1 + x^2)^(3//2)), (2*sqrt((1 + x^2)*(1 + sqrt(1 + x^2))))/sqrt(1 + x^2), x, 3),
+(x/(sqrt(1 + x^2)*sqrt(1 + sqrt(1 + x^2))), 2*sqrt(1 + sqrt(1 + x^2)), x, 1),
+((x^2 + 1 - 2*x)^(1//5)/(1 - x), (-(5//2))*(1 - 2*x + x^2)^(1//5), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Section 5.10 Exercises (p. 220-222)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercises 1 - 6
+
+
+(x*sin(x), (-x)*cos(x) + sin(x), x, 2),
+(x^2*sin(x), 2*cos(x) - x^2*cos(x) + 2*x*sin(x), x, 3),
+(x^3*cos(x), -6*cos(x) + 3*x^2*cos(x) - 6*x*sin(x) + x^3*sin(x), x, 4),
+(x^3*sin(x), 6*x*cos(x) - x^3*cos(x) - 6*sin(x) + 3*x^2*sin(x), x, 4),
+(sin(x)*cos(x), sin(x)^2//2, x, 2),
+(x*sin(x)*cos(x), -(x/4) + (1//4)*cos(x)*sin(x) + (1//2)*x*sin(x)^2, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercises 7 - 10
+
+
+(sin(x)^2, x/2 - (1//2)*cos(x)*sin(x), x, 2),
+(sin(x)^3, -cos(x) + cos(x)^3//3, x, 2),
+(sin(x)^4, (3*x)/8 - (3//8)*cos(x)*sin(x) - (1//4)*cos(x)*sin(x)^3, x, 3),
+(sin(x)^5, -cos(x) + (2*cos(x)^3)/3 - cos(x)^5//5, x, 2),
+(sin(x)^6, (5*x)/16 - (5//16)*cos(x)*sin(x) - (5//24)*cos(x)*sin(x)^3 - (1//6)*cos(x)*sin(x)^5, x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercise 11
+
+
+(x*sin(x)^2, x^2//4 - (1//2)*x*cos(x)*sin(x) + sin(x)^2//4, x, 2),
+(x*sin(x)^3, (-(2//3))*x*cos(x) + (2*sin(x))/3 - (1//3)*x*cos(x)*sin(x)^2 + sin(x)^3//9, x, 3),
+(x^2*sin(x)^2, -(x/4) + x^3//6 + (1//4)*cos(x)*sin(x) - (1//2)*x^2*cos(x)*sin(x) + (1//2)*x*sin(x)^2, x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercise 13
+
+
+(cos(x)^2, x/2 + (1//2)*cos(x)*sin(x), x, 2),
+(cos(x)^3, sin(x) - sin(x)^3//3, x, 2),
+(cos(x)^4, (3*x)/8 + (3//8)*cos(x)*sin(x) + (1//4)*cos(x)^3*sin(x), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercises 15 - 17
+
+
+((a^2 - x^2)^(5//2), (5//16)*a^4*x*sqrt(a^2 - x^2) + (5//24)*a^2*x*(a^2 - x^2)^(3//2) + (1//6)*x*(a^2 - x^2)^(5//2) + (5//16)*a^6*atan(x/sqrt(a^2 - x^2)), x, 5),
+(x^5/sqrt(5 + x^2), 25*sqrt(5 + x^2) - (10//3)*(5 + x^2)^(3//2) + (1//5)*(5 + x^2)^(5//2), x, 3),
+(t^3/(4 + t^3)^(1//2), (2//5)*t*sqrt(4 + t^3) - (8*2^(2//3)*sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(2//3) + t)*sqrt((2*2^(1//3) - 2^(2//3)*t + t^2)/(2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) + t)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) + t)/(2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) + t)), -7 - 4*sqrt(3)))/(5*3^(1//4)*sqrt((2^(2//3) + t)/(2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) + t)^2)*sqrt(4 + t^3)), t, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercises 18 - 19
+
+
+(tan(x)^2, -x + tan(x), x, 2),
+(tan(x)^4, x - tan(x) + tan(x)^3//3, x, 3),
+(cot(x)^2, -x - cot(x), x, 2),
+(cot(x)^4, x + cot(x) - cot(x)^3//3, x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Section 5.11 Miscellaneous review exercises (p. 222-225)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercises 11 - 20
+
+
+((2 + 3*x)*sin(5*x), (-(1//5))*(2 + 3*x)*cos(5*x) + (3//25)*sin(5*x), x, 2),
+(x*sqrt(1 + x^2), (1//3)*(1 + x^2)^(3//2), x, 1),
+(x*(x^2 - 1)^9, (1//20)*(1 - x^2)^10, x, 1),
+((2*x + 3)/(6*x + 7)^3, -((3 + 2*x)^2/(8*(7 + 6*x)^2)), x, 1),
+(x^4*(1 + x^5)^5, (1//30)*(1 + x^5)^6, x, 1),
+(x^4*(1 - x)^20, (-(1//21))*(1 - x)^21 + (2//11)*(1 - x)^22 - (6//23)*(1 - x)^23 + (1//6)*(1 - x)^24 - (1//25)*(1 - x)^25, x, 2),
+(sin(1/x)/x^2, cos(1/x), x, 2),
+(sin((x - 1)^(1//4)), 24*(-1 + x)^(1//4)*cos((-1 + x)^(1//4)) - 4*(-1 + x)^(3//4)*cos((-1 + x)^(1//4)) - 24*sin((-1 + x)^(1//4)) + 12*sqrt(-1 + x)*sin((-1 + x)^(1//4)), x, 5),
+(x*sin(x^2)*cos(x^2), (1//4)*sin(x^2)^2, x, 1),
+(sqrt(1 + 3*cos(x)^2)*sin(2*x), (-(2//9))*(4 - 3*sin(x)^2)^(3//2), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Section 6.9 Exercises (p. 236-238)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercises 16 - 21
+
+
+(1/(2 + 3*x), (1//3)*log(2 + 3*x), x, 1),
+(log(x)^2, 2*x - 2*x*log(x) + x*log(x)^2, x, 2),
+(x*log(x), -(x^2//4) + (1//2)*x^2*log(x), x, 1),
+(x*log(x)^2, x^2//4 - (1//2)*x^2*log(x) + (1//2)*x^2*log(x)^2, x, 2),
+(1/(1 + t), log(1 + t), t, 1),
+(cot(x), log(sin(x)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercises 22 - 27
+
+
+(x^n*log(a*x), -(x^(1 + n)/(1 + n)^2) + (x^(1 + n)*log(a*x))/(1 + n), x, 1),
+(x^2*log(x)^2, (2*x^3)/27 - (2//9)*x^3*log(x) + (1//3)*x^3*log(x)^2, x, 2),
+(1/(x*log(x)), log(log(x)), x, 2),
+(log(1 - t)/(1 - t), (-(1//2))*log(1 - t)^2, t, 2),
+(log(x)/(x*sqrt(1 + log(x))), -2*sqrt(1 + log(x)) + (2//3)*(1 + log(x))^(3//2), x, 3),
+(x^3*log(x)^3, -((3*x^4)/128) + (3//32)*x^4*log(x) - (3//16)*x^4*log(x)^2 + (1//4)*x^4*log(x)^3, x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Section 6.16 Differentiation and integration formulas involving exponentials (p. 245-248)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Example 1
+
+
+(x^2*ℯ^(x^3), ℯ^x^3//3, x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Example 2
+
+
+(2^sqrt(x)/sqrt(x), 2^(1 + sqrt(x))/log(2), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Example 3
+
+
+(cos(x)*ℯ^(2*sin(x)), (1//2)*ℯ^(2*sin(x)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Example 4
+
+
+(ℯ^x*sin(x), (-(1//2))*ℯ^x*cos(x) + (1//2)*ℯ^x*sin(x), x, 1),
+(ℯ^x*cos(x), (1//2)*ℯ^x*cos(x) + (1//2)*ℯ^x*sin(x), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Example 5
+
+
+(1/(1 + ℯ^x), x - log(1 + ℯ^x), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Section 6.17 Exercises (p. 248-250)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercises 13 - 18
+
+
+(x*ℯ^x, -ℯ^x + ℯ^x*x, x, 2),
+(x*ℯ^(-x), -ℯ^(-x) - x/ℯ^x, x, 2),
+(x^2*ℯ^x, 2*ℯ^x - 2*ℯ^x*x + ℯ^x*x^2, x, 3),
+(x^2*ℯ^(-2*x), -(1//4)/ℯ^(2*x) - ((1//2)*x)/ℯ^(2*x) - ((1//2)*x^2)/ℯ^(2*x), x, 3),
+(ℯ^sqrt(x), -2*ℯ^sqrt(x) + 2*ℯ^sqrt(x)*sqrt(x), x, 3),
+(x^3*ℯ^(-x^2), -(1/(ℯ^x^2*2)) - ((1//2)*x^2)/ℯ^x^2, x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercise 20
+
+
+(ℯ^(a*x)*cos(b*x), (a*ℯ^(a*x)*cos(b*x))/(a^2 + b^2) + (b*ℯ^(a*x)*sin(b*x))/(a^2 + b^2), x, 1),
+(ℯ^(a*x)*sin(b*x), -((b*ℯ^(a*x)*cos(b*x))/(a^2 + b^2)) + (a*ℯ^(a*x)*sin(b*x))/(a^2 + b^2), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Section 6.22 Exercises (p. 256-258)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercises 6 - 10
+
+
+(acot(x), x*acot(x) + (1//2)*log(1 + x^2), x, 2),
+(asec(x), x*asec(x) - atanh(sqrt(1 - 1/x^2)), x, 4),
+(acsc(x), x*acsc(x) + atanh(sqrt(1 - 1/x^2)), x, 4),
+(asin(x)^2, -2*x + 2*sqrt(1 - x^2)*asin(x) + x*asin(x)^2, x, 3),
+(asin(x)/x^2, -(asin(x)/x) - atanh(sqrt(1 - x^2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercises 29 - 37
+
+
+(1/sqrt(a^2 - x^2), atan(x/sqrt(a^2 - x^2)), x, 2),
+(1/sqrt(1 - 2*x - x^2), asin((1 + x)/sqrt(2)), x, 2),
+(1/(a^2 + x^2), atan(x/a)/a, x, 1),
+(1/(a + b*x^2), atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(sqrt(a)*sqrt(b)), x, 1),
+(1/(x^2 - x + 2), -((2*atan((1 - 2*x)/sqrt(7)))/sqrt(7)), x, 2),
+(x*atan(x), -(x/2) + atan(x)/2 + (1//2)*x^2*atan(x), x, 3),
+(x^2*acos(x), (-(1//3))*sqrt(1 - x^2) + (1//9)*(1 - x^2)^(3//2) + (1//3)*x^3*acos(x), x, 4),
+(x*atan(x)^2, (-x)*atan(x) + atan(x)^2//2 + (1//2)*x^2*atan(x)^2 + (1//2)*log(1 + x^2), x, 5),
+(atan(sqrt(x)), -sqrt(x) + atan(sqrt(x)) + x*atan(sqrt(x)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercises 38 - 47
+
+
+(atan(sqrt(x))/(sqrt(x)*(1 + x)), atan(sqrt(x))^2, x, 1),
+(sqrt(1 - x^2), (1//2)*x*sqrt(1 - x^2) + asin(x)/2, x, 2),
+(x*ℯ^atan(x)/(1 + x^2)^(3//2), -((ℯ^atan(x)*(1 - x))/(2*sqrt(1 + x^2))), x, 1),
+(ℯ^atan(x)/(1 + x^2)^(3//2), (ℯ^atan(x)*(1 + x))/(2*sqrt(1 + x^2)), x, 1),
+(x^2/(1 + x^2)^2, -(x/(2*(1 + x^2))) + atan(x)/2, x, 2),
+(ℯ^x/(1 + ℯ^(2*x)), atan(ℯ^x), x, 2),
+(acot(ℯ^x)/ℯ^x, -x - acot(ℯ^x)/ℯ^x + (1//2)*log(1 + ℯ^(2*x)), x, 5),
+(((a + x)/(a - x))^(1//2), -((a - x)*sqrt((a + x)/(a - x))) + 2*a*atan(sqrt((a + x)/(a - x))), x, 3),
+(sqrt((x - a)*(b - x)), (-(1//4))*(a + b - 2*x)*sqrt((-a)*b + (a + b)*x - x^2) - (1//8)*(a - b)^2*atan((a + b - 2*x)/(2*sqrt((-a)*b + (a + b)*x - x^2))), x, 4),
+(1/sqrt((x - a)*(b - x)), -atan((a + b - 2*x)/(2*sqrt((-a)*b + (a + b)*x - x^2))), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Section 6.23 Integration by partial fractions (p. 258-264)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Example 1
+
+
+((5*x + 3)/(x^2 + 2*x - 3), 2*log(1 - x) + 3*log(3 + x), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Example 2
+
+
+((2*x + 5)/(x^2 + 2*x - 3), (7//4)*log(1 - x) + (1//4)*log(3 + x), x, 3),
+((x^3 + 3*x)/(x^2 - 2*x - 3), 2*x + x^2//2 + 9*log(3 - x) + log(1 + x), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Example 3
+
+
+((2*x^2 + 5*x - 1)/(x^3 + x^2 - 2*x), 2*log(1 - x) + log(x)/2 - (1//2)*log(2 + x), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Example 4
+
+
+((x^2 + 2*x + 3)/((x - 1)*(x + 1)^2), 1/(1 + x) + (3//2)*log(1 - x) - (1//2)*log(1 + x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Example 5
+
+
+((3*x^2 + 2*x - 2)/(x^3 - 1), (4*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/sqrt(3) + log(1 - x^3), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Example 6
+
+
+((x^4 - x^3 + 2*x^2 - x + 2)/((x - 1)*(x^2 + 2)^2), 1/(2*(2 + x^2)) - atan(x/sqrt(2))/(3*sqrt(2)) + (1//3)*log(1 - x) + (1//3)*log(2 + x^2), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Section 6.24 Integrals which can be transformed into integrals of rational functions (p. 264-266)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Example 1
+
+
+(1/(sin(x) + cos(x)), -(atanh((cos(x) - sin(x))/sqrt(2))/sqrt(2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Example 2
+
+
+(x/(4 - x^2 + sqrt(4 - x^2)), -log(1 + sqrt(4 - x^2)), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Section 6.25 Exercises (p. 267-268)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercises 1 - 10
+
+
+((2*x + 3)/((x - 2)*(x + 5)), log(2 - x) + log(5 + x), x, 2),
+(x/((x + 1)*(x + 2)*(x + 3)), (-(1//2))*log(1 + x) + 2*log(2 + x) - (3//2)*log(3 + x), x, 2),
+(x/(x^3 - 3*x + 2), 1/(3*(1 - x)) + (2//9)*log(1 - x) - (2//9)*log(2 + x), x, 2),
+((x^4 + 2*x - 6)/(x^3 + x^2 - 2*x), -x + x^2//2 - log(1 - x) + 3*log(x) + log(2 + x), x, 3),
+((8*x^3 + 7)/((x + 1)*(2*x + 1)^3), -(3/(1 + 2*x)^2) + 3/(1 + 2*x) + log(1 + x), x, 2),
+((4*x^2 + x + 1)/(x^3 - 1), 2*log(1 - x) + log(1 + x + x^2), x, 3),
+(x^4/(x^4 + 5*x^2 + 4), x - (8//3)*atan(x/2) + atan(x)/3, x, 4),
+((x + 2)/(x^2 + x), 2*log(x) - log(1 + x), x, 2),
+(1/(x*(x^2 + 1)^2), 1/(2*(1 + x^2)) + log(x) - (1//2)*log(1 + x^2), x, 3),
+(1/((x + 1)*(x + 2)^2*(x + 3)^3), 1/(2 + x) + 1/(4*(3 + x)^2) + 5/(4*(3 + x)) + (1//8)*log(1 + x) + 2*log(2 + x) - (17//8)*log(3 + x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercises 11 - 20
+
+
+(x/(x + 1)^2, 1/(1 + x) + log(1 + x), x, 2),
+(1/(x^3 - x), -log(x) + (1//2)*log(1 - x^2), x, 5),
+(x^2/(x^2 + x - 6), x + (4//5)*log(2 - x) - (9//5)*log(3 + x), x, 4),
+((x + 2)/(x^2 - 4*x + 4), 4/(2 - x) + log(2 - x), x, 3),
+(1/((x^2 - 4*x + 4)*(x^2 - 4*x + 5)), 1/(2 - x) + atan(2 - x), x, 4),
+((x - 3)/(x^3 + 3*x^2 + 2*x), -((3*log(x))/2) + 4*log(1 + x) - (5//2)*log(2 + x), x, 3),
+(1/(x^2 - 1)^2, x/(2*(1 - x^2)) + atanh(x)/2, x, 2),
+((x + 1)/(x^3 - 1), (2//3)*log(1 - x) - (1//3)*log(1 + x + x^2), x, 3),
+((x^4 + 1)/(x*(x^2 + 1)^2), 1/(1 + x^2) + log(x), x, 3),
+(1/(x^4 - 2*x^3), 1/(4*x^2) + 1/(4*x) + (1//8)*log(2 - x) - log(x)/8, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercises 21 - 30
+
+
+((1 - x^3)/(x*(x^2 + 1)), -x + atan(x) + log(x) - log(1 + x^2)/2, x, 5),
+(1/(x^4 - 1), -(atan(x)/2) - atanh(x)/2, x, 3),
+(1/(x^4 + 1), -(atan(1 - sqrt(2)*x)/(2*sqrt(2))) + atan(1 + sqrt(2)*x)/(2*sqrt(2)) - log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(4*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(4*sqrt(2)), x, 9),
+(x^2/(x^2 + 2*x + 2)^2, -((x*(2 + x))/(2*(2 + 2*x + x^2))) + atan(1 + x), x, 3),
+((4*x^5 - 1)/(x^5 + x + 1)^2, -(x/(1 + x + x^5)), x, 1),
+(1/(2*sin(x) - cos(x) + 5), x/(2*sqrt(5)) + atan((2*cos(x) + sin(x))/(5 + 2*sqrt(5) - cos(x) + 2*sin(x)))/sqrt(5), x, 3),
+(1/(1 + a*cos(x)), (2*atan((sqrt(1 - a)*tan(x/2))/sqrt(1 + a)))/sqrt(1 - a^2), x, 2),
+(1/(1 + 2*cos(x)), -(log(sqrt(3)*cos(x/2) - sin(x/2))/sqrt(3)) + log(sqrt(3)*cos(x/2) + sin(x/2))/sqrt(3), x, 2),
+(1/(1 + 1//2*cos(x)), (2*x)/sqrt(3) - (4*atan(sin(x)/(2 + sqrt(3) + cos(x))))/sqrt(3), x, 1),
+(sin(x)^2/(1 + sin(x)^2), x - x/sqrt(2) - atan((cos(x)*sin(x))/(1 + sqrt(2) + sin(x)^2))/sqrt(2), x, 3),
+(1/(a^2*sin(x)^2 + b^2*cos(x)^2), atan((a*tan(x))/b)/(a*b), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercises 31 - 40
+
+
+(1/(a*sin(x) + b*cos(x))^2, sin(x)/(b*(b*cos(x) + a*sin(x))), x, 1),
+(sin(x)/(1 + sin(x) + cos(x)), x/2 - (1//2)*log(1 + cos(x) + sin(x)) - (1//2)*log(1 + tan(x/2)), x, 3),
+(sqrt(3 - x^2), (1//2)*x*sqrt(3 - x^2) + (3//2)*asin(x/sqrt(3)), x, 2),
+(x/sqrt(3 - x^2), -sqrt(3 - x^2), x, 1),
+(sqrt(3 - x^2)/x, sqrt(3 - x^2) - sqrt(3)*atanh(sqrt(3 - x^2)/sqrt(3)), x, 4),
+(sqrt(x^2 + x)/x, sqrt(x + x^2) + atanh(x/sqrt(x + x^2)), x, 3),
+(sqrt(x^2 + 5), (1//2)*x*sqrt(5 + x^2) + (5//2)*asinh(x/sqrt(5)), x, 2),
+(x/sqrt(x^2 + x + 1), sqrt(1 + x + x^2) - (1//2)*asinh((1 + 2*x)/sqrt(3)), x, 3),
+(1/sqrt(x^2 + x), 2*atanh(x/sqrt(x + x^2)), x, 2),
+(sqrt(2 - x - x^2)/x^2, -(sqrt(2 - x - x^2)/x) + asin((1//3)*(-1 - 2*x)) + atanh((4 - x)/(2*sqrt(2)*sqrt(2 - x - x^2)))/(2*sqrt(2)), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Section 6.26 Miscellaneous review exercises (p. 268-271)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercise 1
+
+
+(log(t)/(t + 1), log(t)*log(1 + t) + PolyLog.reli(2., -t), t, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercise 4
+
+
+(log(ℯ^cos(x)), (-x)*cos(x) + x*log(ℯ^cos(x)) + sin(x), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercise 6
+
+
+(ℯ^t/t, SymbolicUtils.expinti(t), t, 1),
+(ℯ^(a*t)/t, SymbolicUtils.expinti(a*t), t, 1),
+(ℯ^t/t^2, -(ℯ^t/t) + SymbolicUtils.expinti(t), t, 2),
+(ℯ^(1/t), ℯ^(1/t)*t - SymbolicUtils.expinti(1/t), t, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercise 12
+
+
+(1/(ℯ^t*(t - a - 1)), ℯ^(-1 - a)*SymbolicUtils.expinti(1 + a - t), t, 1),
+(t*(ℯ^t^2/(t^2 + 1)), SymbolicUtils.expinti(1 + t^2)/(2*ℯ), t, 2),
+(ℯ^t/(t + 1)^2, -(ℯ^t/(1 + t)) + SymbolicUtils.expinti(1 + t)/ℯ, t, 2),
+(ℯ^t*log(1 + t), -(SymbolicUtils.expinti(1 + t)/ℯ) + ℯ^t*log(1 + t), t, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercise 25
+
+
+(t/ℯ^t, -ℯ^(-t) - t/ℯ^t, t, 2),
+(t^2/ℯ^t, -2/ℯ^t - (2*t)/ℯ^t - t^2/ℯ^t, t, 3),
+(t^3/ℯ^t, -6/ℯ^t - (6*t)/ℯ^t - (3*t^2)/ℯ^t - t^3/ℯ^t, t, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercise 26
+
+
+((c*sin(x) + d*cos(x))/(a*sin(x) + b*cos(x)), ((a*c + b*d)*x)/(a^2 + b^2) - ((c*b - a*d)*log(b*cos(x) + a*sin(x)))/(a^2 + b^2), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercise 28
+
+
+(1/log(t), SymbolicUtils.expinti(log(t)), t, 1),
+(1/log(t)^2, -(t/log(t)) + SymbolicUtils.expinti(log(t)), t, 2),
+(1/log(t)^(n + 1), ((-SymbolicUtils.gamma(-n, -log(t)))*(-log(t))^n)/log(t)^n, t, 2),
+(ℯ^(2*t)/(t - 1), ℯ^2*SymbolicUtils.expinti(-2*(1 - t)), t, 1),
+(ℯ^(2*x)/(x^2 - 3*x + 2), ℯ^4*SymbolicUtils.expinti(-4 + 2*x) - ℯ^2*SymbolicUtils.expinti(-2 + 2*x), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Exercise 30
+
+
+(1/(1 + t^3)^(1//2), (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + t)*sqrt((1 - t + t^2)/(1 + sqrt(3) + t)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + t)/(1 + sqrt(3) + t)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 + t)/(1 + sqrt(3) + t)^2)*sqrt(1 + t^3)), t, 1),
+]
+# Total integrals translated: 175
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Bondarenko Problems.jl b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Bondarenko Problems.jl
new file mode 100644
index 00000000..33895b71
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Bondarenko Problems.jl	
@@ -0,0 +1,74 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Vladimir Bondarenko Integration Problems
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 9 June 2010
+
+
+(1/(sqrt(2) + sin(z) + cos(z)), -((1 - sqrt(2)*sin(z))/(cos(z) - sin(z))), z, 1),
+
+
+(1/(sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x))^2, -(1/(2*x)) + sqrt(1 - x^2)/(2*x) + asin(x)/2, x, 4),
+
+
+(1/(1 + cos(x))^2, sin(x)/(3*(1 + cos(x))^2) + sin(x)/(3*(1 + cos(x))), x, 2),
+(sin(x)/sqrt(1 + x), sqrt(2*π)*cos(1)*FresnelIntegrals.fresnels(sqrt(2/π)*sqrt(1 + x)) - sqrt(2*π)*FresnelIntegrals.fresnelc(sqrt(2/π)*sqrt(1 + x))*sin(1), x, 5),
+(1/(cos(x) + sin(x))^6, -((cos(x) - sin(x))/(10*(cos(x) + sin(x))^5)) - (cos(x) - sin(x))/(15*(cos(x) + sin(x))^3) + (2*sin(x))/(15*(cos(x) + sin(x))), x, 3),
+
+
+(log(x^4 + 1/x^4), -4*x - sqrt(2 + sqrt(2))*atan((sqrt(2 - sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2))) - sqrt(2 - sqrt(2))*atan((sqrt(2 + sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2))) + sqrt(2 + sqrt(2))*atan((sqrt(2 - sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2))) + sqrt(2 - sqrt(2))*atan((sqrt(2 + sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2))) - (1//2)*sqrt(2 - sqrt(2))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2) + (1//2)*sqrt(2 - sqrt(2))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2) - (1//2)*sqrt(2 + sqrt(2))*log(1 - sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2) + (1//2)*sqrt(2 + sqrt(2))*log(1 + sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2) + x*log(1/x^4 + x^4), x, 22),
+(log(1 + x)/(x*sqrt(1 + sqrt(1 + x))), -8*atanh(sqrt(1 + sqrt(1 + x))) - (2*log(1 + x))/sqrt(1 + sqrt(1 + x)) - sqrt(2)*atanh(sqrt(1 + sqrt(1 + x))/sqrt(2))*log(1 + x) + 2*sqrt(2)*atanh(1/sqrt(2))*log(1 - sqrt(1 + sqrt(1 + x))) - 2*sqrt(2)*atanh(1/sqrt(2))*log(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + x))) + sqrt(2)*Polylog.reli(2., -((sqrt(2)*(1 - sqrt(1 + sqrt(1 + x))))/(2 - sqrt(2)))) - sqrt(2)*Polylog.reli(2., (sqrt(2)*(1 - sqrt(1 + sqrt(1 + x))))/(2 + sqrt(2))) - sqrt(2)*Polylog.reli(2., -((sqrt(2)*(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + x))))/(2 - sqrt(2)))) + sqrt(2)*Polylog.reli(2., (sqrt(2)*(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + x))))/(2 + sqrt(2))), x, -1),
+(log(1 + x)/x*sqrt(1 + sqrt(1 + x)), -16*sqrt(1 + sqrt(1 + x)) + 16*atanh(sqrt(1 + sqrt(1 + x))) + 4*sqrt(1 + sqrt(1 + x))*log(1 + x) - 2*sqrt(2)*atanh(sqrt(1 + sqrt(1 + x))/sqrt(2))*log(1 + x) + 4*sqrt(2)*atanh(1/sqrt(2))*log(1 - sqrt(1 + sqrt(1 + x))) - 4*sqrt(2)*atanh(1/sqrt(2))*log(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + x))) + 2*sqrt(2)*Polylog.reli(2., -((sqrt(2)*(1 - sqrt(1 + sqrt(1 + x))))/(2 - sqrt(2)))) - 2*sqrt(2)*Polylog.reli(2., (sqrt(2)*(1 - sqrt(1 + sqrt(1 + x))))/(2 + sqrt(2))) - 2*sqrt(2)*Polylog.reli(2., -((sqrt(2)*(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + x))))/(2 - sqrt(2)))) + 2*sqrt(2)*Polylog.reli(2., (sqrt(2)*(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + x))))/(2 + sqrt(2))), x, -1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 4 July 2010
+
+
+(1/(1 + sqrt(x + sqrt(1 + x^2))), -(1/(2*(x + sqrt(1 + x^2)))) + 1/sqrt(x + sqrt(1 + x^2)) + sqrt(x + sqrt(1 + x^2)) + (1//2)*log(x + sqrt(1 + x^2)) - 2*log(1 + sqrt(x + sqrt(1 + x^2))), x, 4),
+(sqrt(1 + x)/(x + sqrt(1 + sqrt(1 + x))), 2*sqrt(1 + x) + (8*atanh((1 + 2*sqrt(1 + sqrt(1 + x)))/sqrt(5)))/sqrt(5), x, 6),
+(1/(x - sqrt(1 + sqrt(1 + x))), (2//5)*(5 + sqrt(5))*log(1 - sqrt(5) - 2*sqrt(1 + sqrt(1 + x))) + (2//5)*(5 - sqrt(5))*log(1 + sqrt(5) - 2*sqrt(1 + sqrt(1 + x))), x, 5),
+(x/(x + sqrt(1 - sqrt(1 + x))), 2*sqrt(1 + x) - 4*sqrt(1 - sqrt(1 + x)) + (1 - sqrt(1 + x))^2 + (8*atanh((1 + 2*sqrt(1 - sqrt(1 + x)))/sqrt(5)))/sqrt(5), x, 6),
+(sqrt(sqrt(1 + x) + x)/((1 + x^2)*sqrt(1 + x)), -((I*atan((2 + sqrt(1 - I) - (1 - 2*sqrt(1 - I))*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(I + sqrt(1 - I))*sqrt(x + sqrt(1 + x)))))/(2*sqrt((1 - I)/(I + sqrt(1 - I))))) + (I*atan((2 + sqrt(1 + I) - (1 - 2*sqrt(1 + I))*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(-I + sqrt(1 + I))*sqrt(x + sqrt(1 + x)))))/(2*sqrt(-((1 + I)/(I - sqrt(1 + I))))) + (I*atanh((2 - sqrt(1 - I) - (1 + 2*sqrt(1 - I))*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(-I + sqrt(1 - I))*sqrt(x + sqrt(1 + x)))))/(2*sqrt(-((1 - I)/(I - sqrt(1 - I))))) - (I*atanh((2 - sqrt(1 + I) - (1 + 2*sqrt(1 + I))*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(I + sqrt(1 + I))*sqrt(x + sqrt(1 + x)))))/(2*sqrt((1 + I)/(I + sqrt(1 + I)))), x, 20),
+(sqrt(x + sqrt(1 + x))/(1 + x^2), (1//2)*I*sqrt(I + sqrt(1 - I))*atan((2 + sqrt(1 - I) - (1 - 2*sqrt(1 - I))*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(I + sqrt(1 - I))*sqrt(x + sqrt(1 + x)))) - (1//2)*I*sqrt(-I + sqrt(1 + I))*atan((2 + sqrt(1 + I) - (1 - 2*sqrt(1 + I))*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(-I + sqrt(1 + I))*sqrt(x + sqrt(1 + x)))) + (1//2)*I*sqrt(-I + sqrt(1 - I))*atanh((2 - sqrt(1 - I) - (1 + 2*sqrt(1 - I))*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(-I + sqrt(1 - I))*sqrt(x + sqrt(1 + x)))) - (1//2)*I*sqrt(I + sqrt(1 + I))*atanh((2 - sqrt(1 + I) - (1 + 2*sqrt(1 + I))*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(I + sqrt(1 + I))*sqrt(x + sqrt(1 + x)))), x, 22),
+(sqrt(1 + sqrt(x) + sqrt(1 + 2*sqrt(x) + 2*x)), (2*sqrt(1 + sqrt(x) + sqrt(1 + 2*sqrt(x) + 2*x))*(2 + sqrt(x) + 6*x^(3//2) - (2 - sqrt(x))*sqrt(1 + 2*sqrt(x) + 2*x)))/(15*sqrt(x)), x, 2),
+(sqrt(sqrt(2) + sqrt(x) + sqrt(2 + sqrt(8)*sqrt(x) + 2*x)), (1/(15*sqrt(x)))*(2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(2) + sqrt(x) + sqrt(2)*sqrt(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x))*(4 + sqrt(2)*sqrt(x) + 3*sqrt(2)*x^(3//2) - sqrt(2)*(2*sqrt(2) - sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x))), x, 3),
+(sqrt(x + sqrt(1 + x))/x^2, -(sqrt(x + sqrt(1 + x))/x) - (1//4)*atan((3 + sqrt(1 + x))/(2*sqrt(x + sqrt(1 + x)))) + (3//4)*atanh((1 - 3*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(x + sqrt(1 + x)))), x, 7),
+(sqrt(1/x + sqrt(1 + 1/x)), sqrt(sqrt(1 + 1/x) + 1/x)*x + (1//4)*atan((3 + sqrt(1 + 1/x))/(2*sqrt(sqrt(1 + 1/x) + 1/x))) - (3//4)*atanh((1 - 3*sqrt(1 + 1/x))/(2*sqrt(sqrt(1 + 1/x) + 1/x))), x, 7),
+
+
+(sqrt(1 + exp(-x))/(exp(x) - exp(-x)), (-sqrt(2))*atanh(sqrt(1 + ℯ^(-x))/sqrt(2)), x, 6),
+(sqrt(1 + exp(-x))/sinh(x), -2*sqrt(2)*atanh(sqrt(1 + ℯ^(-x))/sqrt(2)), x, 7),
+
+
+(1/(cos(x) + cos(3*x))^5, (-(523//256))*atanh(sin(x)) + (1483*atanh(sqrt(2)*sin(x)))/(512*sqrt(2)) + sin(x)/(32*(1 - 2*sin(x)^2)^4) - (17*sin(x))/(192*(1 - 2*sin(x)^2)^3) + (203*sin(x))/(768*(1 - 2*sin(x)^2)^2) - (437*sin(x))/(512*(1 - 2*sin(x)^2)) - (43//256)*sec(x)*tan(x) - (1//128)*sec(x)^3*tan(x), x, -45),
+(1/(cos(x) + sin(x) + 1)^2, -log(1 + tan(x/2)) - (cos(x) - sin(x))/(1 + cos(x) + sin(x)), x, 3),
+
+
+(sqrt(1 + tanh(4*x)), atanh(sqrt(1 + tanh(4*x))/sqrt(2))/(2*sqrt(2)), x, 2),
+(tanh(x)/sqrt(exp(2*x) + exp(x)), (2*sqrt(ℯ^x + ℯ^(2*x)))/ℯ^x - atan((I - (1 - 2*I)*ℯ^x)/(2*sqrt(1 + I)*sqrt(ℯ^x + ℯ^(2*x))))/sqrt(1 + I) + atan((I + (1 + 2*I)*ℯ^x)/(2*sqrt(1 - I)*sqrt(ℯ^x + ℯ^(2*x))))/sqrt(1 - I), x, -11),
+# {Sqrt[Sinh[2*x]/Cosh[x]], x, 5, (2*I*Sqrt[2]*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, 2]*Sqrt[Sinh[x]])/Sqrt[I*Sinh[x]], (2*I*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, 2]*Sqrt[Sech[x]*Sinh[2*x]])/Sqrt[I*Sinh[x]]}
+
+
+(log(x^2 + sqrt(1 - x^2)), -2*x - asin(x) + sqrt((1//2)*(1 + sqrt(5)))*atan(sqrt(2/(1 + sqrt(5)))*x) + sqrt((1//2)*(1 + sqrt(5)))*atan((sqrt((1//2)*(1 + sqrt(5)))*x)/sqrt(1 - x^2)) + sqrt((1//2)*(-1 + sqrt(5)))*atanh(sqrt(2/(-1 + sqrt(5)))*x) - sqrt((1//2)*(-1 + sqrt(5)))*atanh((sqrt((1//2)*(-1 + sqrt(5)))*x)/sqrt(1 - x^2)) + x*log(x^2 + sqrt(1 - x^2)), x, -31),
+(log(1 + exp(x))/(1 + exp(2*x)), (-(1//2))*log((1//2 - I/2)*(I - ℯ^x))*log(1 + ℯ^x) - (1//2)*log((-(1//2) - I/2)*(I + ℯ^x))*log(1 + ℯ^x) - Polylog.reli(2., -ℯ^x) - (1//2)*Polylog.reli(2., (1//2 - I/2)*(1 + ℯ^x)) - (1//2)*Polylog.reli(2., (1//2 + I/2)*(1 + ℯ^x)), x, 12),
+(log(1 + cosh(x)^2)^2*cosh(x), -8*sqrt(2)*atan(sinh(x)/sqrt(2)) + 4*I*sqrt(2)*atan(sinh(x)/sqrt(2))^2 + 8*sqrt(2)*atan(sinh(x)/sqrt(2))*log((2*sqrt(2))/(sqrt(2) + I*sinh(x))) + 4*sqrt(2)*atan(sinh(x)/sqrt(2))*log(2 + sinh(x)^2) + 4*I*sqrt(2)*Polylog.reli(2., 1 - (2*sqrt(2))/(sqrt(2) + I*sinh(x))) + 8*sinh(x) - 4*log(2 + sinh(x)^2)*sinh(x) + log(2 + sinh(x)^2)^2*sinh(x), x, 13),
+(log(sinh(x) + cosh(x)^2)^2*cosh(x), -4*sqrt(3)*atan((1 + 2*sinh(x))/sqrt(3)) - (1//2)*(1 - I*sqrt(3))*log(1 - I*sqrt(3) + 2*sinh(x))^2 - (1 + I*sqrt(3))*log((I*(1 - I*sqrt(3) + 2*sinh(x)))/(2*sqrt(3)))*log(1 + I*sqrt(3) + 2*sinh(x)) - (1//2)*(1 + I*sqrt(3))*log(1 + I*sqrt(3) + 2*sinh(x))^2 - (1 - I*sqrt(3))*log(1 - I*sqrt(3) + 2*sinh(x))*log(-((I*(1 + I*sqrt(3) + 2*sinh(x)))/(2*sqrt(3)))) - 2*log(1 + sinh(x) + sinh(x)^2) + (1 - I*sqrt(3))*log(1 - I*sqrt(3) + 2*sinh(x))*log(1 + sinh(x) + sinh(x)^2) + (1 + I*sqrt(3))*log(1 + I*sqrt(3) + 2*sinh(x))*log(1 + sinh(x) + sinh(x)^2) - (1 + I*sqrt(3))*Polylog.reli(2., -((I - sqrt(3) + 2*I*sinh(x))/(2*sqrt(3)))) - (1 - I*sqrt(3))*Polylog.reli(2., (I + sqrt(3) + 2*I*sinh(x))/(2*sqrt(3))) + 8*sinh(x) - 4*log(1 + sinh(x) + sinh(x)^2)*sinh(x) + log(1 + sinh(x) + sinh(x)^2)^2*sinh(x), x, 28),
+(log(x + sqrt(1 + x))/(1 + x^2), (1//2)*I*log(sqrt(1 - I) - sqrt(1 + x))*log(x + sqrt(1 + x)) - (1//2)*I*log(sqrt(1 + I) - sqrt(1 + x))*log(x + sqrt(1 + x)) + (1//2)*I*log(sqrt(1 - I) + sqrt(1 + x))*log(x + sqrt(1 + x)) - (1//2)*I*log(sqrt(1 + I) + sqrt(1 + x))*log(x + sqrt(1 + x)) - (1//2)*I*log(sqrt(1 - I) + sqrt(1 + x))*log((1 - sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))/(1 - 2*sqrt(1 - I) - sqrt(5))) - (1//2)*I*log(sqrt(1 - I) - sqrt(1 + x))*log((1 - sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))/(1 + 2*sqrt(1 - I) - sqrt(5))) + (1//2)*I*log(sqrt(1 + I) + sqrt(1 + x))*log((1 - sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))/(1 - 2*sqrt(1 + I) - sqrt(5))) + (1//2)*I*log(sqrt(1 + I) - sqrt(1 + x))*log((1 - sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))/(1 + 2*sqrt(1 + I) - sqrt(5))) - (1//2)*I*log(sqrt(1 - I) + sqrt(1 + x))*log((1 + sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))/(1 - 2*sqrt(1 - I) + sqrt(5))) - (1//2)*I*log(sqrt(1 - I) - sqrt(1 + x))*log((1 + sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))/(1 + 2*sqrt(1 - I) + sqrt(5))) + (1//2)*I*log(sqrt(1 + I) + sqrt(1 + x))*log((1 + sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))/(1 - 2*sqrt(1 + I) + sqrt(5))) + (1//2)*I*log(sqrt(1 + I) - sqrt(1 + x))*log((1 + sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))/(1 + 2*sqrt(1 + I) + sqrt(5))) - (1//2)*I*Polylog.reli(2., (2*(sqrt(1 - I) - sqrt(1 + x)))/(1 + 2*sqrt(1 - I) - sqrt(5))) - (1//2)*I*Polylog.reli(2., (2*(sqrt(1 - I) - sqrt(1 + x)))/(1 + 2*sqrt(1 - I) + sqrt(5))) + (1//2)*I*Polylog.reli(2., (2*(sqrt(1 + I) - sqrt(1 + x)))/(1 + 2*sqrt(1 + I) - sqrt(5))) + (1//2)*I*Polylog.reli(2., (2*(sqrt(1 + I) - sqrt(1 + x)))/(1 + 2*sqrt(1 + I) + sqrt(5))) - (1//2)*I*Polylog.reli(2., -((2*(sqrt(1 - I) + sqrt(1 + x)))/(1 - 2*sqrt(1 - I) - sqrt(5)))) - (1//2)*I*Polylog.reli(2., -((2*(sqrt(1 - I) + sqrt(1 + x)))/(1 - 2*sqrt(1 - I) + sqrt(5)))) + (1//2)*I*Polylog.reli(2., -((2*(sqrt(1 + I) + sqrt(1 + x)))/(1 - 2*sqrt(1 + I) - sqrt(5)))) + (1//2)*I*Polylog.reli(2., -((2*(sqrt(1 + I) + sqrt(1 + x)))/(1 - 2*sqrt(1 + I) + sqrt(5)))), x, 44),
+(log(x + sqrt(1 + x))^2/(1 + x)^2, log(1 + x) + (2*log(x + sqrt(1 + x)))/sqrt(1 + x) - 6*log(sqrt(1 + x))*log(x + sqrt(1 + x)) - log(x + sqrt(1 + x))^2/(1 + x) - (1 + sqrt(5))*log(1 - sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x)) + 6*log((1//2)*(-1 + sqrt(5)))*log(1 - sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x)) + (3 + sqrt(5))*log(x + sqrt(1 + x))*log(1 - sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x)) - (1//2)*(3 + sqrt(5))*log(1 - sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))^2 - (1 - sqrt(5))*log(1 + sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x)) + (3 - sqrt(5))*log(x + sqrt(1 + x))*log(1 + sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x)) - (3 - sqrt(5))*log(-((1 - sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(5))))*log(1 + sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x)) - (1//2)*(3 - sqrt(5))*log(1 + sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))^2 - (3 + sqrt(5))*log(1 - sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))*log((1 + sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(5))) + 6*log(sqrt(1 + x))*log(1 + (2*sqrt(1 + x))/(1 + sqrt(5))) + 6*Polylog.reli(2., -((2*sqrt(1 + x))/(1 + sqrt(5)))) - (3 + sqrt(5))*Polylog.reli(2., -((1 - sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(5)))) - (3 - sqrt(5))*Polylog.reli(2., (1 + sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(5))) - 6*Polylog.reli(2., 1 + (2*sqrt(1 + x))/(1 - sqrt(5))), x, 35),
+(log(x + sqrt(1 + x))/x, log(-1 + sqrt(1 + x))*log(x + sqrt(1 + x)) + log(1 + sqrt(1 + x))*log(x + sqrt(1 + x)) - log(-1 + sqrt(1 + x))*log((1 - sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))/(3 - sqrt(5))) - log(1 + sqrt(1 + x))*log(-((1 - sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))/(1 + sqrt(5)))) - log(1 + sqrt(1 + x))*log(-((1 + sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))/(1 - sqrt(5)))) - log(-1 + sqrt(1 + x))*log((1 + sqrt(5) + 2*sqrt(1 + x))/(3 + sqrt(5))) - Polylog.reli(2., (2*(1 - sqrt(1 + x)))/(3 - sqrt(5))) - Polylog.reli(2., (2*(1 - sqrt(1 + x)))/(3 + sqrt(5))) - Polylog.reli(2., (2*(1 + sqrt(1 + x)))/(1 - sqrt(5))) - Polylog.reli(2., (2*(1 + sqrt(1 + x)))/(1 + sqrt(5))), x, 21),
+
+
+(atan(2*tan(x)), x*atan(2*tan(x)) + (1//2)*I*x*log(1 - 3*ℯ^(2*I*x)) - (1//2)*I*x*log(1 - (1//3)*ℯ^(2*I*x)) - (1//4)*Polylog.reli(2., (1//3)*ℯ^(2*I*x)) + (1//4)*Polylog.reli(2., 3*ℯ^(2*I*x)), x, 7),
+(atan(x)*log(x)/x, (1//2)*I*log(x)*Polylog.reli(2., (-I)*x) - (1//2)*I*log(x)*Polylog.reli(2., I*x) - (1//2)*I*Polylog.reli(3., (-I)*x) + (1//2)*I*Polylog.reli(3., I*x), x, 5),
+
+
+# Note: Mathematica is unable to differentiate result back to integrand! 
+(atan(x)^2*sqrt(1 + x^2), asinh(x) - sqrt(1 + x^2)*atan(x) + (1//2)*x*sqrt(1 + x^2)*atan(x)^2 - I*atan(ℯ^(I*atan(x)))*atan(x)^2 + I*atan(x)*Polylog.reli(2., (-I)*ℯ^(I*atan(x))) - I*atan(x)*Polylog.reli(2., I*ℯ^(I*atan(x))) - Polylog.reli(3., (-I)*ℯ^(I*atan(x))) + Polylog.reli(3., I*ℯ^(I*atan(x))), x, 10),
+]
+# Total integrals translated: 34
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Bronstein Problems.jl b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Bronstein Problems.jl
new file mode 100644
index 00000000..e1894c83
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Bronstein Problems.jl	
@@ -0,0 +1,49 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Manuel Bronstein - Symbolic Integration Tutorial (1998)
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 2  Algebraic Functions
+
+
+((2*x^8 + 1)*(sqrt(x^8 + 1)/(x^17 + 2*x^9 + x)), -(1/(4*sqrt(1 + x^8))) - (1//4)*atanh(sqrt(1 + x^8)), x, 6),
+(1/(1 + x^2), atan(x), x, 1),
+(sqrt(x^8 + 1)/(x*(x^8 + 1)), (-(1//4))*atanh(sqrt(1 + x^8)), x, 3),
+(x/sqrt(1 - x^3), (2*sqrt(1 - x^3))/(1 + sqrt(3) - x) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)) + (2*sqrt(2)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 3),
+(1/(x*sqrt(1 - x^3)), (-(2//3))*atanh(sqrt(1 - x^3)), x, 3),
+(x/sqrt(x^4 + 10*x^2 - 96*x - 71), (1//8)*log(10001 + 3124*x^2 - 1408*x^3 + 54*x^4 - 128*x^5 + 20*x^6 + x^8 + sqrt(-71 - 96*x + 10*x^2 + x^4)*(781 - 528*x + 27*x^2 - 80*x^3 + 15*x^4 + x^6)), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 3  Elementary Functions
+
+
+((x - tan(x))/tan(x)^2, -(x^2//2) - x*cot(x), x, 6),
+(1 + x*tan(x) + tan(x)^2, (I*x^2)/2 - x*log(1 + ℯ^(2*I*x)) + (1//2)*I*PolyLog.reli(2., -ℯ^(2*I*x)) + tan(x), x, 7),
+(sin(x)/x, SymbolicUtils.sinint(x), x, 1),
+((3*(x + ℯ^x)^(1//3) + (2*x^2 + 3*x)*ℯ^x + 5*x^2)/(x*(x + ℯ^x)^(1//3)), 3*x*(ℯ^x + x)^(2//3) + 3*log(x), x, 8),
+
+
+(1/x + (1 + 1/x)/(x + log(x))^(3//2), log(x) - 2/sqrt(x + log(x)), x, 2),
+((log(x)^2 + 2*x*log(x) + x^2 + (x + 1)*sqrt(x + log(x)))/(x*log(x)^2 + 2*x^2*log(x) + x^3), log(x) - 2/sqrt(x + log(x)), x, -3),
+
+((2*log(x)^2 - log(x) - x^2)/(log(x)^3 - x^2*log(x)), (-(1//2))*log(x - log(x)) + (1//2)*log(x + log(x)) + SymbolicUtils.expinti(log(x)), x, 6),
+# {Log[1 + E^x]^(1/3)/(1 + Log[1 + E^x]), x, 0, CannotIntegrate[Log[1 + E^x]^(1/3)/(1 + Log[1 + E^x]), x]}
+# {((x^2 + 2*x + 1)*Sqrt[x + Log[x]] + (3*x + 1)*Log[x] + 3*x^2 + x)/((x*Log[x] + x^2)*Sqrt[x + Log[x]] + x^2*Log[x] + x^3), x, 0, 2*Sqrt[x + Log[x]] + 2*Log[x + Sqrt[x + Log[x]]]}
+
+
+# ::Title::
+# Manuel Bronstein - Symbolic Integration I; Transcendental FunctionsTutorial (2005)
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 2.8  Rioboo's Algorithm for Real Rational Functions
+
+
+((x^4 - 3*x^2 + 6)/(x^6 - 5*x^4 + 5*x^2 + 4), -atan(sqrt(3) - 2*x) + atan(sqrt(3) + 2*x) + atan((1//2)*x*(1 - 3*x^2 + x^4)), x, 1),
+]
+# Total integrals translated: 14
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Charlwood Problems.jl b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Charlwood Problems.jl
new file mode 100644
index 00000000..b741dce6
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Charlwood Problems.jl	
@@ -0,0 +1,358 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Kevin Charlwood - Integration on Computer Algebra Systems (2008)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #1
+
+
+# {ArcSin[x]*Log[x], x, 8, -2*Sqrt[1 - x^2] + ArcTanh[Sqrt[1 - x^2]] - x*ArcSin[x]*(1 - Log[x]) + Sqrt[1 - x^2]*Log[x], -2*Sqrt[1 - x^2] - x*ArcSin[x] + ArcTanh[Sqrt[1 - x^2]] + Sqrt[1 - x^2]*Log[x] + x*ArcSin[x]*Log[x]}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #2
+
+
+(x*asin(x)/sqrt(1 - x^2), x - sqrt(1 - x^2)*asin(x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #3
+
+
+(asin(sqrt(x + 1) - sqrt(x)), ((sqrt(x) + 3*sqrt(1 + x))*sqrt(-x + sqrt(x)*sqrt(1 + x)))/(4*sqrt(2)) - (3//8 + x)*asin(sqrt(x) - sqrt(1 + x)), x, -3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #4
+
+
+(log(1 + x*sqrt(1 + x^2)), -2*x + sqrt(2*(1 + sqrt(5)))*atan(sqrt(-2 + sqrt(5))*(x + sqrt(1 + x^2))) - sqrt(2*(-1 + sqrt(5)))*atanh(sqrt(2 + sqrt(5))*(x + sqrt(1 + x^2))) + x*log(1 + x*sqrt(1 + x^2)), x, -32),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #5
+
+
+(cos(x)^2/sqrt(cos(x)^4 + cos(x)^2 + 1), x/3 + (1//3)*atan((cos(x)*(1 + cos(x)^2)*sin(x))/(1 + cos(x)^2*sqrt(1 + cos(x)^2 + cos(x)^4))), x, -5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #6
+
+
+(tan(x)*sqrt(1 + tan(x)^4), (-(1//2))*asinh(tan(x)^2) - atanh((1 - tan(x)^2)/(sqrt(2)*sqrt(1 + tan(x)^4)))/sqrt(2) + (1//2)*sqrt(1 + tan(x)^4), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #7
+
+
+(tan(x)/sqrt(1 + sec(x)^3), (-(2//3))*atanh(sqrt(1 + sec(x)^3)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #8
+
+
+(sqrt(tan(x)^2 + 2*tan(x) + 2), asinh(1 + tan(x)) - sqrt((1//2)*(1 + sqrt(5)))*atan((2*sqrt(5) - (5 + sqrt(5))*tan(x))/(sqrt(10*(1 + sqrt(5)))*sqrt(2 + 2*tan(x) + tan(x)^2))) - sqrt((1//2)*(-1 + sqrt(5)))*atanh((2*sqrt(5) + (5 - sqrt(5))*tan(x))/(sqrt(10*(-1 + sqrt(5)))*sqrt(2 + 2*tan(x) + tan(x)^2))), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #9
+
+
+(sin(x)*atan(sqrt(sec(x) - 1)), (1//2)*atan(sqrt(-1 + sec(x))) - atan(sqrt(-1 + sec(x)))*cos(x) + (1//2)*cos(x)*sqrt(-1 + sec(x)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #10
+
+
+# {x^3*E^ArcSin[x]/Sqrt[1 - x^2], x, 5, (1/10)*E^ArcSin[x]*(3*x + x^3 - 3*Sqrt[1 - x^2] - 3*x^2*Sqrt[1 - x^2]), (3/10)*E^ArcSin[x]*x + (1/10)*E^ArcSin[x]*x^3 - (3/10)*E^ArcSin[x]*Sqrt[1 - x^2] - (3/10)*E^ArcSin[x]*x^2*Sqrt[1 - x^2]}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #11
+
+
+((x*log(1 + x^2)*log(x + sqrt(1 + x^2)))/sqrt(1 + x^2), 4*x - 2*atan(x) - x*log(1 + x^2) - 2*sqrt(1 + x^2)*log(x + sqrt(1 + x^2)) + sqrt(1 + x^2)*log(1 + x^2)*log(x + sqrt(1 + x^2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #12
+
+
+(atan(x + sqrt(1 - x^2)), -(asin(x)/2) + (1//4)*sqrt(3)*atan((-1 + sqrt(3)*x)/sqrt(1 - x^2)) + (1//4)*sqrt(3)*atan((1 + sqrt(3)*x)/sqrt(1 - x^2)) - (1//4)*sqrt(3)*atan((-1 + 2*x^2)/sqrt(3)) + x*atan(x + sqrt(1 - x^2)) - (1//4)*atanh(x*sqrt(1 - x^2)) - (1//8)*log(1 - x^2 + x^4), x, -40),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #13
+
+
+(x*atan(x + sqrt(1 - x^2))/sqrt(1 - x^2), -(asin(x)/2) + (1//4)*sqrt(3)*atan((-1 + sqrt(3)*x)/sqrt(1 - x^2)) + (1//4)*sqrt(3)*atan((1 + sqrt(3)*x)/sqrt(1 - x^2)) - (1//4)*sqrt(3)*atan((-1 + 2*x^2)/sqrt(3)) - sqrt(1 - x^2)*atan(x + sqrt(1 - x^2)) + (1//4)*atanh(x*sqrt(1 - x^2)) + (1//8)*log(1 - x^2 + x^4), x, -32),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #14
+
+
+# {ArcSin[x]/(1 + Sqrt[1 - x^2]), x, 9, -((x*ArcSin[x])/(1 + Sqrt[1 - x^2])) + ArcSin[x]^2/2 - Log[1 + Sqrt[1 - x^2]], -(ArcSin[x]/x) + (Sqrt[1 - x^2]*ArcSin[x])/x + ArcSin[x]^2/2 - ArcTanh[Sqrt[1 - x^2]] - Log[x]}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #15
+
+
+(log(x + sqrt(1 + x^2))/(1 - x^2)^(3//2), (-(1//2))*asin(x^2) + (x*log(x + sqrt(1 + x^2)))/sqrt(1 - x^2), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #16
+
+
+(asin(x)/(1 + x^2)^(3//2), (x*asin(x))/sqrt(1 + x^2) - asin(x^2)/2, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #17
+
+
+(log(x + sqrt(x^2 - 1))/(1 + x^2)^(3//2), (-(1//2))*acosh(x^2) + (x*log(x + sqrt(-1 + x^2)))/sqrt(1 + x^2), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #18
+
+
+(log(x)/(x^2*sqrt(x^2 - 1)), sqrt(-1 + x^2)/x - atanh(x/sqrt(-1 + x^2)) + (sqrt(-1 + x^2)*log(x))/x, x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #19
+
+
+(sqrt(1 + x^3)/x, (2*sqrt(1 + x^3))/3 - (2//3)*atanh(sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #20
+
+
+(x*log(x + sqrt(x^2 - 1))/sqrt(x^2 - 1), -x + sqrt(-1 + x^2)*log(x + sqrt(-1 + x^2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #21
+
+
+(x^3*(asin(x)/sqrt(1 - x^4)), (1//4)*x*sqrt(1 + x^2) - (1//2)*sqrt(1 - x^4)*asin(x) + asinh(x)/4, x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #22
+
+
+# {x^3*(ArcSec[x]/Sqrt[x^4 - 1]), x, 7, -(Sqrt[-1 + x^4]/(2*Sqrt[1 - 1/x^2]*x)) + (1/2)*Sqrt[-1 + x^4]*ArcSec[x] + (1/2)*ArcTanh[(Sqrt[1 - 1/x^2]*x)/Sqrt[-1 + x^4]], -(Sqrt[-1 + x^4]/(2*Sqrt[1 - 1/x^2]*x)) + (1/2)*Sqrt[-1 + x^4]*ArcSec[x] + (Sqrt[1 - x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + x^4]/Sqrt[1 - x^2]])/(2*Sqrt[1 - 1/x^2]*x)}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #23
+
+
+(x*atan(x)*log(x + sqrt(1 + x^2))/sqrt(1 + x^2), (-x)*atan(x) + (1//2)*log(1 + x^2) + sqrt(1 + x^2)*atan(x)*log(x + sqrt(1 + x^2)) - (1//2)*log(x + sqrt(1 + x^2))^2, x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #24
+
+
+(x*log(1 + sqrt(1 - x^2))/sqrt(1 - x^2), sqrt(1 - x^2) - log(1 + sqrt(1 - x^2)) - sqrt(1 - x^2)*log(1 + sqrt(1 - x^2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #25
+
+
+(x*log(x + sqrt(1 + x^2))/sqrt(1 + x^2), -x + sqrt(1 + x^2)*log(x + sqrt(1 + x^2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #26
+
+
+(x*log(x + sqrt(1 - x^2))/sqrt(1 - x^2), sqrt(1 - x^2) + atanh(sqrt(2)*x)/sqrt(2) - atanh(sqrt(2)*sqrt(1 - x^2))/sqrt(2) - sqrt(1 - x^2)*log(x + sqrt(1 - x^2)), x, 18),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #27
+
+
+(log(x)/(x^2*sqrt(1 - x^2)), -(sqrt(1 - x^2)/x) - asin(x) - (sqrt(1 - x^2)*log(x))/x, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #28
+
+
+(x*atan(x)/sqrt(1 + x^2), -asinh(x) + sqrt(1 + x^2)*atan(x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #29
+
+
+(atan(x)/(x^2*sqrt(1 - x^2)), -((sqrt(1 - x^2)*atan(x))/x) - atanh(sqrt(1 - x^2)) + sqrt(2)*atanh(sqrt(1 - x^2)/sqrt(2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #30
+
+
+(x*atan(x)/sqrt(1 - x^2), -asin(x) - sqrt(1 - x^2)*atan(x) + sqrt(2)*atan((sqrt(2)*x)/sqrt(1 - x^2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #31
+
+
+(atan(x)/(x^2*sqrt(1 + x^2)), -((sqrt(1 + x^2)*atan(x))/x) - atanh(sqrt(1 + x^2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #32
+
+
+(asin(x)/(x^2*sqrt(1 - x^2)), -((sqrt(1 - x^2)*asin(x))/x) + log(x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #33
+
+
+(x*log(x)/sqrt(x^2 - 1), -sqrt(-1 + x^2) + atan(sqrt(-1 + x^2)) + sqrt(-1 + x^2)*log(x), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #34
+
+
+(log(x)/(x^2*sqrt(1 + x^2)), -(sqrt(1 + x^2)/x) + asinh(x) - (sqrt(1 + x^2)*log(x))/x, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #35
+
+
+(x*asec(x)/sqrt(x^2 - 1), sqrt(-1 + x^2)*asec(x) - (x*log(x))/sqrt(x^2), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #36
+
+
+(x*log(x)/sqrt(1 + x^2), -sqrt(1 + x^2) + atanh(sqrt(1 + x^2)) + sqrt(1 + x^2)*log(x), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #37
+
+
+(sin(x)/(1 + sin(x)^2), -(atanh(cos(x)/sqrt(2))/sqrt(2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #38
+
+
+((1 + x^2)/((1 - x^2)*sqrt(1 + x^4)), (1/sqrt(2))*atanh(sqrt(2)*(x/sqrt(1 + x^4))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #39
+
+
+((1 - x^2)/((1 + x^2)*sqrt(1 + x^4)), atan((sqrt(2)*x)/sqrt(1 + x^4))/sqrt(2), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #40
+
+
+(log(sin(x))/(1 + sin(x)), -x - atanh(cos(x)) - (cos(x)*log(sin(x)))/(1 + sin(x)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #41
+
+
+(log(sin(x))*sqrt(1 + sin(x)), (4*cos(x))/sqrt(1 + sin(x)) - (2*cos(x)*log(sin(x)))/sqrt(1 + sin(x)) - 4*atanh(cos(x)/sqrt(1 + sin(x))), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #42
+
+
+(sec(x)/sqrt(sec(x)^4 - 1), -(atanh((cos(x)*cot(x)*sqrt(sec(x)^4 - 1))/sqrt(2))/sqrt(2)), x, -5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #43
+
+
+(tan(x)/sqrt(1 + tan(x)^4), -(atanh((1 - tan(x)^2)/(sqrt(2)*sqrt(1 + tan(x)^4)))/(2*sqrt(2))), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #44
+
+
+# {Sin[x]/Sqrt[1 - Sin[x]^6], x, 4, ArcTanh[(Sqrt[3]*Cos[x]*(1 + Sin[x]^2))/(2*Sqrt[1 - Sin[x]^6])]/(2*Sqrt[3]), ArcTanh[(Cos[x]*(6 - 3*Cos[x]^2))/(2*Sqrt[3]*Sqrt[3*Cos[x]^2 - 3*Cos[x]^4 + Cos[x]^6])]/(2*Sqrt[3])}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #45
+
+
+(sqrt(sqrt(sec(x) + 1) - sqrt(sec(x) - 1)), sqrt(2)*(sqrt(-1 + sqrt(2))*atan((sqrt(-2 + 2*sqrt(2))*(-sqrt(2) - sqrt(-1 + sec(x)) + sqrt(1 + sec(x))))/(2*sqrt(-sqrt(-1 + sec(x)) + sqrt(1 + sec(x))))) - sqrt(1 + sqrt(2))*atan((sqrt(2 + 2*sqrt(2))*(-sqrt(2) - sqrt(-1 + sec(x)) + sqrt(1 + sec(x))))/(2*sqrt(-sqrt(-1 + sec(x)) + sqrt(1 + sec(x))))) - sqrt(1 + sqrt(2))*atanh((sqrt(-2 + 2*sqrt(2))*sqrt(-sqrt(-1 + sec(x)) + sqrt(1 + sec(x))))/(sqrt(2) - sqrt(-1 + sec(x)) + sqrt(1 + sec(x)))) + sqrt(-1 + sqrt(2))*atanh((sqrt(2 + 2*sqrt(2))*sqrt(-sqrt(-1 + sec(x)) + sqrt(1 + sec(x))))/(sqrt(2) - sqrt(-1 + sec(x)) + sqrt(1 + sec(x)))))*cot(x)*sqrt(-1 + sec(x))*sqrt(1 + sec(x)), x, -1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #46
+
+
+(x*log(x^2 + 1)*atan(x)^2, 3*x*atan(x) - (3*atan(x)^2)/2 - (1//2)*x^2*atan(x)^2 - (3//2)*log(1 + x^2) - x*atan(x)*log(1 + x^2) + (1//2)*(1 + x^2)*atan(x)^2*log(1 + x^2) + (1//4)*log(1 + x^2)^2, x, 13),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #47
+
+
+(atan(x*sqrt(1 + x^2)), x*atan(x*sqrt(1 + x^2)) + (1//2)*atan(sqrt(3) - 2*sqrt(1 + x^2)) - (1//2)*atan(sqrt(3) + 2*sqrt(1 + x^2)) - (1//4)*sqrt(3)*log(2 + x^2 - sqrt(3)*sqrt(1 + x^2)) + (1//4)*sqrt(3)*log(2 + x^2 + sqrt(3)*sqrt(1 + x^2)), x, 12),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #48
+
+
+# {ArcTan[Sqrt[x + 1] - Sqrt[x]], x, 6, Sqrt[x]/2 + (1 + x)*ArcTan[Sqrt[1 + x] - Sqrt[x]], Sqrt[x]/2 + (Pi*x)/4 - ArcTan[Sqrt[x]]/2 - (1/2)*x*ArcTan[Sqrt[x]]}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #49
+
+
+(asin(x/sqrt(1 - x^2)), x*asin(x/sqrt(1 - x^2)) + atan(sqrt(1 - 2*x^2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem #50
+
+
+# {ArcTan[x*Sqrt[1 - x^2]], x, 6, x*ArcTan[x*Sqrt[1 - x^2]] - Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[5])]*ArcTan[Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[5])]*Sqrt[1 - x^2]] + Sqrt[(1/2)*(-1 + Sqrt[5])]*ArcTanh[Sqrt[(1/2)*(-1 + Sqrt[5])]*Sqrt[1 - x^2]], (-Sqrt[2/(-1 + Sqrt[5])])*ArcTan[Sqrt[2/(-1 + Sqrt[5])]*Sqrt[1 - x^2]] + x*ArcTan[x*Sqrt[1 - x^2]] + Sqrt[2/(1 + Sqrt[5])]*ArcTanh[Sqrt[2/(1 + Sqrt[5])]*Sqrt[1 - x^2]]}
+]
+# Total integrals translated: 43
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Hearn Problems.jl b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Hearn Problems.jl
new file mode 100644
index 00000000..0924b932
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Hearn Problems.jl	
@@ -0,0 +1,452 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Anthony Hearn - Reduce Integration Test Package
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Polynomial and rational function examples
+
+
+(1 + x + x^2, x + x^2//2 + x^3//3, x, 1),
+(x^2*(2*x^2 + x)^2, x^5//5 + (2*x^6)/3 + (4*x^7)/7, x, 3),
+(x*(x^2 + 2*x + 1), x^2//2 + (2*x^3)/3 + x^4//4, x, 2),
+(1/x, log(x), x, 1),
+((x + 1)^3/(x - 1)^4, 8/(3*(1 - x)^3) - 6/(1 - x)^2 + 6/(1 - x) + log(1 - x), x, 2),
+(1/(x*(x - 1)*(x + 1)^2), -(1/(2*(1 + x))) + (1//4)*log(1 - x) - log(x) + (3//4)*log(1 + x), x, 2),
+((a*x + b)/((x - p)*(x - q)), ((b + a*p)*log(p - x))/(p - q) - ((b + a*q)*log(q - x))/(p - q), x, 2),
+(1/(a*x^2 + b*x + c), -((2*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 2),
+((a*x + b)/(1 + x^2), b*atan(x) + (1//2)*a*log(1 + x^2), x, 3),
+(1/(x^2 - 2*x + 3), -(atan((1 - x)/sqrt(2))/sqrt(2)), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Rational function examples from Hardy, Pure Mathematics, p 253 et seq.
+
+
+(1/((x-1)*(x^2+1))^2, 1/(4*(1 - x)) - 1/(4*(1 + x^2)) + atan(x)/4 - (1//2)*log(1 - x) + (1//4)*log(1 + x^2), x, 6),
+(x/((x-a)*(x-b)*(x-c)), (a*log(a - x))/((a - b)*(a - c)) - (b*log(b - x))/((a - b)*(b - c)) + (c*log(c - x))/((a - c)*(b - c)), x, 2),
+(x/((x^2+a^2)*(x^2+b^2)), -(log(a^2 + x^2)/(2*(a^2 - b^2))) + log(b^2 + x^2)/(2*(a^2 - b^2)), x, 4),
+(x^2/((x^2+a^2)*(x^2+b^2)), (a*atan(x/a))/(a^2 - b^2) - (b*atan(x/b))/(a^2 - b^2), x, 3),
+(x/((x-1)*(x^2+1)), atan(x)/2 + (1//2)*log(1 - x) - (1//4)*log(1 + x^2), x, 5),
+(x/(1+x^3), -(atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3)) - (1//3)*log(1 + x) + (1//6)*log(1 - x + x^2), x, 6),
+(x^3/((x-1)^2*(x^3+1)), 1/(2*(1 - x)) + (3//4)*log(1 - x) - (1//12)*log(1 + x) - (1//3)*log(1 - x + x^2), x, 3),
+(1/(1+x^4), -(atan(1 - sqrt(2)*x)/(2*sqrt(2))) + atan(1 + sqrt(2)*x)/(2*sqrt(2)) - log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(4*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(4*sqrt(2)), x, 9),
+(x^2/(1+x^4), -(atan(1 - sqrt(2)*x)/(2*sqrt(2))) + atan(1 + sqrt(2)*x)/(2*sqrt(2)) + log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(4*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(4*sqrt(2)), x, 9),
+(1/(1+x^2+x^4), -(atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3))) + atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - (1//4)*log(1 - x + x^2) + (1//4)*log(1 + x + x^2), x, 9),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Examples involving a+b*x
+
+
+((a+b*x)^p, (a + b*x)^(1 + p)/(b*(1 + p)), x, 1),
+(x*(a+b*x)^p, -((a*(a + b*x)^(1 + p))/(b^2*(1 + p))) + (a + b*x)^(2 + p)/(b^2*(2 + p)), x, 2),
+(x^2*(a+b*x)^p, (a^2*(a + b*x)^(1 + p))/(b^3*(1 + p)) - (2*a*(a + b*x)^(2 + p))/(b^3*(2 + p)) + (a + b*x)^(3 + p)/(b^3*(3 + p)), x, 2),
+(1/(a+b*x), log(a + b*x)/b, x, 1),
+(1/(a+b*x)^2, -(1/(b*(a + b*x))), x, 1),
+(x/(a+b*x), x/b - (a*log(a + b*x))/b^2, x, 2),
+(x^2/(a+b*x), -((a*x)/b^2) + x^2/(2*b) + (a^2*log(a + b*x))/b^3, x, 2),
+(1/(x*(a+b*x)), log(x)/a - log(a + b*x)/a, x, 3),
+(1/(x^2*(a+b*x)), -(1/(a*x)) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x))/a^2, x, 2),
+(1/(x*(a+b*x))^2, -(1/(a^2*x)) - b/(a^2*(a + b*x)) - (2*b*log(x))/a^3 + (2*b*log(a + b*x))/a^3, x, 2),
+(1/(c^2+x^2), atan(x/c)/c, x, 1),
+(1/(c^2-x^2), atanh(x/c)/c, x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# More complicated rational function examples
+
+
+# Mostly examples contributed by David M. Dahm, who also developed the code to integrate them.
+
+(1/(2*x^3-1), -(atan((1 + 2*2^(1//3)*x)/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3))) + log(1 - 2^(1//3)*x)/(3*2^(1//3)) - log(1 + 2^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2)/(6*2^(1//3)), x, 6),
+(1/(x^3-2), -(atan((1 + 2^(2//3)*x)/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3))) + log(2^(1//3) - x)/(3*2^(2//3)) - log(2^(2//3) + 2^(1//3)*x + x^2)/(6*2^(2//3)), x, 6),
+(1/(a*x^3-b), -(atan((b^(1//3) + 2*a^(1//3)*x)/(sqrt(3)*b^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(1//3)*b^(2//3))) + log(b^(1//3) - a^(1//3)*x)/(3*a^(1//3)*b^(2//3)) - log(b^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + a^(2//3)*x^2)/(6*a^(1//3)*b^(2//3)), x, 6),
+(1/(x^4-2), -(atan(x/2^(1//4))/(2*2^(3//4))) - atanh(x/2^(1//4))/(2*2^(3//4)), x, 3),
+(1/(5*x^4-1), -(atan(5^(1//4)*x)/(2*5^(1//4))) - atanh(5^(1//4)*x)/(2*5^(1//4)), x, 3),
+# {1/(3*x^4+7), x, 9, If[$VersionNumber<9, -(ArcTan[1 - (3/7)^(1/4)*Sqrt[2]*x]/(2*Sqrt[2]*3^(1/4)*7^(3/4))) + ArcTan[1 + (3/7)^(1/4)*Sqrt[2]*x]/(2*Sqrt[2]*3^(1/4)*7^(3/4)) - Log[Sqrt[21] - Sqrt[2]*3^(3/4)*7^(1/4)*x + 3*x^2]/(4*Sqrt[2]*3^(1/4)*7^(3/4)) + Log[Sqrt[21] + Sqrt[2]*3^(3/4)*7^(1/4)*x + 3*x^2]/(4*Sqrt[2]*3^(1/4)*7^(3/4)), -(ArcTan[1 - (3/7)^(1/4)*Sqrt[2]*x]/(2*Sqrt[2]*3^(1/4)*7^(3/4))) + ArcTan[1 + (3/7)^(1/4)*Sqrt[2]*x]/(2*Sqrt[2]*3^(1/4)*7^(3/4)) - Log[Sqrt[21] - Sqrt[2]*3^(3/4)*7^(1/4)*x + 3*x^2]/(4*Sqrt[2]*3^(1/4)*7^(3/4)) + Log[Sqrt[21] + Sqrt[2]*3^(3/4)*7^(1/4)*x + 3*x^2]/(4*Sqrt[2]*3^(1/4)*7^(3/4))]}
+(1/(x^4+3*x^2-1), (-sqrt(2/(13*(3 + sqrt(13)))))*atan(sqrt(2/(3 + sqrt(13)))*x) - sqrt((1//26)*(3 + sqrt(13)))*atanh(sqrt(2/(-3 + sqrt(13)))*x), x, 3),
+(1/(x^4-3*x^2-1), (-sqrt((1//26)*(3 + sqrt(13))))*atan(sqrt(2/(-3 + sqrt(13)))*x) - sqrt(2/(13*(3 + sqrt(13))))*atanh(sqrt(2/(3 + sqrt(13)))*x), x, 3),
+(1/(x^4-3*x^2+1), (-sqrt(2/(5*(3 + sqrt(5)))))*atanh(sqrt(2/(3 + sqrt(5)))*x) + sqrt((1//10)*(3 + sqrt(5)))*atanh(sqrt((1//2)*(3 + sqrt(5)))*x), x, 3),
+(1/(x^4-4*x^2+1), atanh(x/sqrt(2 - sqrt(3)))/(2*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))) - atanh(x/sqrt(2 + sqrt(3)))/(2*sqrt(3*(2 + sqrt(3)))), x, 3),
+(1/(x^4+4*x^2+1), atan(x/sqrt(2 - sqrt(3)))/(2*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))) - atan(x/sqrt(2 + sqrt(3)))/(2*sqrt(3*(2 + sqrt(3)))), x, 3),
+(1/(x^4+x^2+2), (-(1//2))*sqrt((1//14)*(-1 + 2*sqrt(2)))*atan((sqrt(-1 + 2*sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(1 + 2*sqrt(2))) + (1//2)*sqrt((1//14)*(-1 + 2*sqrt(2)))*atan((sqrt(-1 + 2*sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(1 + 2*sqrt(2))) - log(sqrt(2) - sqrt(-1 + 2*sqrt(2))*x + x^2)/(4*sqrt(2*(-1 + 2*sqrt(2)))) + log(sqrt(2) + sqrt(-1 + 2*sqrt(2))*x + x^2)/(4*sqrt(2*(-1 + 2*sqrt(2)))), x, 9),
+(1/(x^4-x^2+2), (-(1//2))*sqrt((1//14)*(1 + 2*sqrt(2)))*atan((sqrt(1 + 2*sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(-1 + 2*sqrt(2))) + (1//2)*sqrt((1//14)*(1 + 2*sqrt(2)))*atan((sqrt(1 + 2*sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(-1 + 2*sqrt(2))) - log(sqrt(2) - sqrt(1 + 2*sqrt(2))*x + x^2)/(4*sqrt(2*(1 + 2*sqrt(2)))) + log(sqrt(2) + sqrt(1 + 2*sqrt(2))*x + x^2)/(4*sqrt(2*(1 + 2*sqrt(2)))), x, 9),
+(1/(x^6-1), atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - atanh(x)/3 + (1//12)*log(1 - x + x^2) - (1//12)*log(1 + x + x^2), x, 10),
+(1/(x^6-2), atan(1/sqrt(3) - (2^(5//6)*x)/sqrt(3))/(2*2^(5//6)*sqrt(3)) - atan(1/sqrt(3) + (2^(5//6)*x)/sqrt(3))/(2*2^(5//6)*sqrt(3)) - atanh(x/2^(1//6))/(3*2^(5//6)) + log(2^(1//3) - 2^(1//6)*x + x^2)/(12*2^(5//6)) - log(2^(1//3) + 2^(1//6)*x + x^2)/(12*2^(5//6)), x, 10),
+(1/(x^6+2), atan(x/2^(1//6))/(3*2^(5//6)) - atan(sqrt(3) - 2^(5//6)*x)/(6*2^(5//6)) + atan(sqrt(3) + 2^(5//6)*x)/(6*2^(5//6)) - log(2^(1//3) - 2^(1//6)*sqrt(3)*x + x^2)/(4*2^(5//6)*sqrt(3)) + log(2^(1//3) + 2^(1//6)*sqrt(3)*x + x^2)/(4*2^(5//6)*sqrt(3)), x, 10),
+(1/(x^8+1), -(atan((sqrt(2 - sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 - sqrt(2))))) - atan((sqrt(2 + sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) + atan((sqrt(2 - sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) + atan((sqrt(2 + sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) - (1//16)*sqrt(2 - sqrt(2))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2) + (1//16)*sqrt(2 - sqrt(2))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2) - (1//16)*sqrt(2 + sqrt(2))*log(1 - sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2) + (1//16)*sqrt(2 + sqrt(2))*log(1 + sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2), x, 19),
+(1/(x^8-1), -(atan(x)/4) + atan(1 - sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) - atan(1 + sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) - atanh(x)/4 + log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)), x, 13),
+(1/(x^8-x^4+1), -(atan((sqrt(2 - sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(2*sqrt(6))) - atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) + atan((sqrt(2 - sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) + atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) - log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)) + log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)) - log(1 - sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)) + log(1 + sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)), x, 19),
+(x^7/(x^12+1), -(atan((1 - 2*x^4)/sqrt(3))/(4*sqrt(3))) - (1//12)*log(1 + x^4) + (1//24)*log(1 - x^4 + x^8), x, 7),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Examples involving logarithms
+
+
+(log(x), -x + x*log(x), x, 1),
+(x*log(x), -(x^2//4) + (1//2)*x^2*log(x), x, 1),
+(x^2*log(x), -(x^3//9) + (1//3)*x^3*log(x), x, 1),
+(x^p*log(x), -(x^(1 + p)/(1 + p)^2) + (x^(1 + p)*log(x))/(1 + p), x, 1),
+((log(x))^2, 2*x - 2*x*log(x) + x*log(x)^2, x, 2),
+(x^9*log(x)^11, -((6237*x^10)/156250000) + (6237*x^10*log(x))/15625000 - (6237*x^10*log(x)^2)/3125000 + (2079*x^10*log(x)^3)/312500 - (2079*x^10*log(x)^4)/125000 + (2079*x^10*log(x)^5)/62500 - (693*x^10*log(x)^6)/12500 + (99*x^10*log(x)^7)/1250 - (99*x^10*log(x)^8)/1000 + (11//100)*x^10*log(x)^9 - (11//100)*x^10*log(x)^10 + (1//10)*x^10*log(x)^11, x, 11),
+(log(x)^2/x, log(x)^3//3, x, 2),
+(1/log(x), SymbolicUtils.expinti(log(x)), x, 1),
+(1/log(x+1), SymbolicUtils.expinti(log(1 + x)), x, 2),
+(1/(x*log(x)), log(log(x)), x, 2),
+(1/(x*log(x))^2, -SymbolicUtils.expinti(-log(x)) - 1/(x*log(x)), x, 3),
+((log(x))^p/x, log(x)^(1 + p)/(1 + p), x, 2),
+(log(x)*(a*x+b), (-b)*x - (a*x^2)/4 + b*x*log(x) + (1//2)*a*x^2*log(x), x, 2),
+((a*x+b)^2*log(x), (-b^2)*x - (1//2)*a*b*x^2 - (a^2*x^3)/9 - (b^3*log(x))/(3*a) + ((b + a*x)^3*log(x))/(3*a), x, 4),
+(log(x)/(a*x+b)^2, (x*log(x))/(b*(b + a*x)) - log(b + a*x)/(a*b), x, 2),
+(x*log(a*x+b), (b*x)/(2*a) - x^2//4 - (b^2*log(b + a*x))/(2*a^2) + (1//2)*x^2*log(b + a*x), x, 3),
+(x^2*log(a*x+b), -((b^2*x)/(3*a^2)) + (b*x^2)/(6*a) - x^3//9 + (b^3*log(b + a*x))/(3*a^3) + (1//3)*x^3*log(b + a*x), x, 3),
+(log(x^2+a^2), -2*x + 2*a*atan(x/a) + x*log(a^2 + x^2), x, 3),
+(x*log(x^2+a^2), -(x^2//2) + (1//2)*(a^2 + x^2)*log(a^2 + x^2), x, 3),
+(x^2*log(x^2+a^2), (2*a^2*x)/3 - (2*x^3)/9 - (2//3)*a^3*atan(x/a) + (1//3)*x^3*log(a^2 + x^2), x, 4),
+(x^4*log(x^2+a^2), -((2*a^4*x)/5) + (2*a^2*x^3)/15 - (2*x^5)/25 + (2//5)*a^5*atan(x/a) + (1//5)*x^5*log(a^2 + x^2), x, 4),
+(log(x^2-a^2), -2*x + 2*a*atanh(x/a) + x*log(-a^2 + x^2), x, 3),
+(log(log(log(log(x)))), CannotIntegrate(log(log(log(log(x)))), x), x, 0),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Examples involving circular functions
+
+
+(sin(x), -cos(x), x, 1),
+(cos(x), sin(x), x, 1),
+(tan(x), -log(cos(x)), x, 1),
+(1/tan(x), log(sin(x)), x, 1),
+(1/(1+tan(x))^2, (1//2)*log(cos(x) + sin(x)) - 1/(2*(1 + tan(x))), x, 2),
+(1/cos(x), atanh(sin(x)), x, 1),
+(1/sin(x), -atanh(cos(x)), x, 1),
+(sin(x)^2, x/2 - (1//2)*cos(x)*sin(x), x, 2),
+(x^3*sin(x^2), (-(1//2))*x^2*cos(x^2) + sin(x^2)/2, x, 3),
+(sin(x)^3, -cos(x) + cos(x)^3//3, x, 2),
+(sin(x)^p, (cos(x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, sin(x)^2)*sin(x)^(1 + p))/((1 + p)*sqrt(cos(x)^2)), x, 1),
+((sin(x)^2+1)^2*cos(x), sin(x) + (2*sin(x)^3)/3 + sin(x)^5//5, x, 3),
+(cos(x)^2, x/2 + (1//2)*cos(x)*sin(x), x, 2),
+(cos(x)^3, sin(x) - sin(x)^3//3, x, 2),
+(1/cos(x)^2, tan(x), x, 2),
+(sin(x)*sin(2*x), sin(x)/2 - (1//6)*sin(3*x), x, 1),
+(x*sin(x), (-x)*cos(x) + sin(x), x, 2),
+(x^2*sin(x), 2*cos(x) - x^2*cos(x) + 2*x*sin(x), x, 3),
+(x*sin(x)^2, x^2//4 - (1//2)*x*cos(x)*sin(x) + sin(x)^2//4, x, 2),
+(x^2*sin(x)^2, -(x/4) + x^3//6 + (1//4)*cos(x)*sin(x) - (1//2)*x^2*cos(x)*sin(x) + (1//2)*x*sin(x)^2, x, 4),
+(x*sin(x)^3, (-(2//3))*x*cos(x) + (2*sin(x))/3 - (1//3)*x*cos(x)*sin(x)^2 + sin(x)^3//9, x, 3),
+(x*cos(x), cos(x) + x*sin(x), x, 2),
+(x^2*cos(x), 2*x*cos(x) - 2*sin(x) + x^2*sin(x), x, 3),
+(x*cos(x)^2, x^2//4 + cos(x)^2//4 + (1//2)*x*cos(x)*sin(x), x, 2),
+(x^2*cos(x)^2, -(x/4) + x^3//6 + (1//2)*x*cos(x)^2 - (1//4)*cos(x)*sin(x) + (1//2)*x^2*cos(x)*sin(x), x, 4),
+(x*cos(x)^3, (2*cos(x))/3 + cos(x)^3//9 + (2//3)*x*sin(x) + (1//3)*x*cos(x)^2*sin(x), x, 3),
+(sin(x)/x, SymbolicUtils.sinint(x), x, 1),
+(cos(x)/x, SymbolicUtils.cosint(x), x, 1),
+(sin(x)/x^2, SymbolicUtils.cosint(x) - sin(x)/x, x, 2),
+(sin(x)^2/x, (-(1//2))*SymbolicUtils.cosint(2*x) + log(x)/2, x, 3),
+(tan(x)^3, log(cos(x)) + tan(x)^2//2, x, 2),
+
+
+(sin(a+b*x), -(cos(a + b*x)/b), x, 1),
+(cos(a+b*x), sin(a + b*x)/b, x, 1),
+(tan(a+b*x), -(log(cos(a + b*x))/b), x, 1),
+(1/tan(a+b*x), log(sin(a + b*x))/b, x, 1),
+(1/sin(a+b*x), -(atanh(cos(a + b*x))/b), x, 1),
+(1/cos(a+b*x), atanh(sin(a + b*x))/b, x, 1),
+(sin(a+b*x)^2, x/2 - (cos(a + b*x)*sin(a + b*x))/(2*b), x, 2),
+(sin(a+b*x)^3, -(cos(a + b*x)/b) + cos(a + b*x)^3/(3*b), x, 2),
+(cos(a+b*x)^2, x/2 + (cos(a + b*x)*sin(a + b*x))/(2*b), x, 2),
+(cos(a+b*x)^3, sin(a + b*x)/b - sin(a + b*x)^3/(3*b), x, 2),
+(1/cos(a+b*x)^2, tan(a + b*x)/b, x, 2),
+
+
+(1/(1+cos(x)), sin(x)/(1 + cos(x)), x, 1),
+(1/(1-cos(x)), -(sin(x)/(1 - cos(x))), x, 1),
+(1/(1+sin(x)), -(cos(x)/(1 + sin(x))), x, 1),
+(1/(1-sin(x)), cos(x)/(1 - sin(x)), x, 1),
+(1/(a+b*sin(x)), (2*atan((b + a*tan(x/2))/sqrt(a^2 - b^2)))/sqrt(a^2 - b^2), x, 3),
+(1/(a+b*sin(x)+cos(x)), -((2*atanh((b - (1 - a)*tan(x/2))/sqrt(1 - a^2 + b^2)))/sqrt(1 - a^2 + b^2)), x, 3),
+(x^2*sin(a+b*x)^2, -(x/(4*b^2)) + x^3//6 + (cos(a + b*x)*sin(a + b*x))/(4*b^3) - (x^2*cos(a + b*x)*sin(a + b*x))/(2*b) + (x*sin(a + b*x)^2)/(2*b^2), x, 4),
+(cos(x)*cos(2*x), sin(x)/2 + (1//6)*sin(3*x), x, 1),
+(x^2*cos(a+b*x)^2, -(x/(4*b^2)) + x^3//6 + (x*cos(a + b*x)^2)/(2*b^2) - (cos(a + b*x)*sin(a + b*x))/(4*b^3) + (x^2*cos(a + b*x)*sin(a + b*x))/(2*b), x, 4),
+(1/tan(x)^3, (-(1//2))*cot(x)^2 - log(sin(x)), x, 2),
+(x^3*tan(x)^4, -(x^2//2) + (4*I*x^3)/3 + x^4//4 - 4*x^2*log(1 + ℯ^(2*I*x)) + log(cos(x)) + 4*I*x*PolyLog.reli(2, -ℯ^(2*I*x)) - 2*PolyLog.reli(3, -ℯ^(2*I*x)) + x*tan(x) - x^3*tan(x) - (1//2)*x^2*tan(x)^2 + (1//3)*x^3*tan(x)^3, x, 17),
+(x^3*tan(x)^6, (19*x^2)/20 - (23*I*x^3)/15 - x^4//4 + (23//5)*x^2*log(1 + ℯ^(2*I*x)) - 2*log(cos(x)) - (23//5)*I*x*PolyLog.reli(2, -ℯ^(2*I*x)) + (23//10)*PolyLog.reli(3, -ℯ^(2*I*x)) - (19//10)*x*tan(x) + x^3*tan(x) - tan(x)^2//20 + (4//5)*x^2*tan(x)^2 + (1//10)*x*tan(x)^3 - (1//3)*x^3*tan(x)^3 - (3//20)*x^2*tan(x)^4 + (1//5)*x^3*tan(x)^5, x, 34),
+(x*tan(x)^2, -(x^2//2) + log(cos(x)) + x*tan(x), x, 3),
+(sin(2*x)*cos(3*x), cos(x)/2 - (1//10)*cos(5*x), x, 1),
+(sin(x)^2*cos(x)^2, x/8 + (1//8)*cos(x)*sin(x) - (1//4)*cos(x)^3*sin(x), x, 3),
+(1/(sin(x)^2*cos(x)^2), -cot(x) + tan(x), x, 3),
+
+
+(d^x*sin(x), -((d^x*cos(x))/(1 + log(d)^2)) + (d^x*log(d)*sin(x))/(1 + log(d)^2), x, 1),
+(d^x*cos(x), (d^x*cos(x)*log(d))/(1 + log(d)^2) + (d^x*sin(x))/(1 + log(d)^2), x, 1),
+(x*d^x*sin(x), (2*d^x*cos(x)*log(d))/(1 + log(d)^2)^2 - (d^x*x*cos(x))/(1 + log(d)^2) + (d^x*sin(x))/(1 + log(d)^2)^2 - (d^x*log(d)^2*sin(x))/(1 + log(d)^2)^2 + (d^x*x*log(d)*sin(x))/(1 + log(d)^2), x, 4),
+(x*d^x*cos(x), (d^x*cos(x))/(1 + log(d)^2)^2 - (d^x*cos(x)*log(d)^2)/(1 + log(d)^2)^2 + (d^x*x*cos(x)*log(d))/(1 + log(d)^2) - (2*d^x*log(d)*sin(x))/(1 + log(d)^2)^2 + (d^x*x*sin(x))/(1 + log(d)^2), x, 4),
+(x^2*d^x*sin(x), (2*d^x*cos(x))/(1 + log(d)^2)^3 - (6*d^x*cos(x)*log(d)^2)/(1 + log(d)^2)^3 + (4*d^x*x*cos(x)*log(d))/(1 + log(d)^2)^2 - (d^x*x^2*cos(x))/(1 + log(d)^2) - (6*d^x*log(d)*sin(x))/(1 + log(d)^2)^3 + (2*d^x*log(d)^3*sin(x))/(1 + log(d)^2)^3 + (2*d^x*x*sin(x))/(1 + log(d)^2)^2 - (2*d^x*x*log(d)^2*sin(x))/(1 + log(d)^2)^2 + (d^x*x^2*log(d)*sin(x))/(1 + log(d)^2), x, 11),
+(x^2*d^x*cos(x), -((6*d^x*cos(x)*log(d))/(1 + log(d)^2)^3) + (2*d^x*cos(x)*log(d)^3)/(1 + log(d)^2)^3 + (2*d^x*x*cos(x))/(1 + log(d)^2)^2 - (2*d^x*x*cos(x)*log(d)^2)/(1 + log(d)^2)^2 + (d^x*x^2*cos(x)*log(d))/(1 + log(d)^2) - (2*d^x*sin(x))/(1 + log(d)^2)^3 + (6*d^x*log(d)^2*sin(x))/(1 + log(d)^2)^3 - (4*d^x*x*log(d)*sin(x))/(1 + log(d)^2)^2 + (d^x*x^2*sin(x))/(1 + log(d)^2), x, 11),
+(x^3*d^x*sin(x), -((24*d^x*cos(x)*log(d))/(1 + log(d)^2)^4) + (24*d^x*cos(x)*log(d)^3)/(1 + log(d)^2)^4 + (6*d^x*x*cos(x))/(1 + log(d)^2)^3 - (18*d^x*x*cos(x)*log(d)^2)/(1 + log(d)^2)^3 + (6*d^x*x^2*cos(x)*log(d))/(1 + log(d)^2)^2 - (d^x*x^3*cos(x))/(1 + log(d)^2) - (6*d^x*sin(x))/(1 + log(d)^2)^4 + (36*d^x*log(d)^2*sin(x))/(1 + log(d)^2)^4 - (6*d^x*log(d)^4*sin(x))/(1 + log(d)^2)^4 - (18*d^x*x*log(d)*sin(x))/(1 + log(d)^2)^3 + (6*d^x*x*log(d)^3*sin(x))/(1 + log(d)^2)^3 + (3*d^x*x^2*sin(x))/(1 + log(d)^2)^2 - (3*d^x*x^2*log(d)^2*sin(x))/(1 + log(d)^2)^2 + (d^x*x^3*log(d)*sin(x))/(1 + log(d)^2), x, 25),
+(x^3*d^x*cos(x), -((6*d^x*cos(x))/(1 + log(d)^2)^4) + (36*d^x*cos(x)*log(d)^2)/(1 + log(d)^2)^4 - (6*d^x*cos(x)*log(d)^4)/(1 + log(d)^2)^4 - (18*d^x*x*cos(x)*log(d))/(1 + log(d)^2)^3 + (6*d^x*x*cos(x)*log(d)^3)/(1 + log(d)^2)^3 + (3*d^x*x^2*cos(x))/(1 + log(d)^2)^2 - (3*d^x*x^2*cos(x)*log(d)^2)/(1 + log(d)^2)^2 + (d^x*x^3*cos(x)*log(d))/(1 + log(d)^2) + (24*d^x*log(d)*sin(x))/(1 + log(d)^2)^4 - (24*d^x*log(d)^3*sin(x))/(1 + log(d)^2)^4 - (6*d^x*x*sin(x))/(1 + log(d)^2)^3 + (18*d^x*x*log(d)^2*sin(x))/(1 + log(d)^2)^3 - (6*d^x*x^2*log(d)*sin(x))/(1 + log(d)^2)^2 + (d^x*x^3*sin(x))/(1 + log(d)^2), x, 25),
+
+
+(sin(x)*sin(2*x)*sin(3*x), (-(1//8))*cos(2*x) - (1//16)*cos(4*x) + (1//24)*cos(6*x), x, 5),
+(cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x), x/4 + (1//8)*sin(2*x) + (1//16)*sin(4*x) + (1//24)*sin(6*x), x, 5),
+(sin(k*x)^3*x^2, (14*cos(k*x))/(9*k^3) - (2*x^2*cos(k*x))/(3*k) - (2*cos(k*x)^3)/(27*k^3) + (4*x*sin(k*x))/(3*k^2) - (x^2*cos(k*x)*sin(k*x)^2)/(3*k) + (2*x*sin(k*x)^3)/(9*k^2), x, 6),
+(x*cos(k/sin(x))*cos(x)/sin(x)^2, CannotIntegrate(x*cos(k*csc(x))*cot(x)*csc(x), x), x, 0),
+
+
+# Mixed angles and half angles.
+(cos(x)/(sin(x)*tan(x/2)), -x - cot(x/2), x, 4),
+(sin(a*x)/(b+c*sin(a*x))^2, -((2*c*atan((c + b*tan((a*x)/2))/sqrt(b^2 - c^2)))/(a*(b^2 - c^2)^(3//2))) - (b*cos(a*x))/(a*(b^2 - c^2)*(b + c*sin(a*x))), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Examples involving trig functions of logarithms
+
+
+(sin(log(x)), (-(1//2))*x*cos(log(x)) + (1//2)*x*sin(log(x)), x, 1),
+(cos(log(x)), (1//2)*x*cos(log(x)) + (1//2)*x*sin(log(x)), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Examples involving exponentials
+
+
+(ℯ^x, ℯ^x, x, 1),
+(a^x, a^x/log(a), x, 1),
+(ℯ^(a*x), ℯ^(a*x)/a, x, 1),
+(ℯ^(a*x)/x, SymbolicUtils.expinti(a*x), x, 1),
+(1/(a+b*ℯ^(m*x)), x/a - log(a + b*ℯ^(m*x))/(a*m), x, 4),
+(ℯ^(2*x)/(1+ℯ^x), ℯ^x - log(1 + ℯ^x), x, 3),
+(ℯ^(2*x)*ℯ^(a*x), ℯ^((2 + a)*x)/(2 + a), x, 2),
+(1/(a*ℯ^(m*x)+b*ℯ^(-m*x)), atan((sqrt(a)*ℯ^(m*x))/sqrt(b))/(sqrt(a)*sqrt(b)*m), x, 2),
+(x*ℯ^(a*x), -(ℯ^(a*x)/a^2) + (ℯ^(a*x)*x)/a, x, 2),
+(x^20*ℯ^x, 2432902008176640000*ℯ^x - 2432902008176640000*ℯ^x*x + 1216451004088320000*ℯ^x*x^2 - 405483668029440000*ℯ^x*x^3 + 101370917007360000*ℯ^x*x^4 - 20274183401472000*ℯ^x*x^5 + 3379030566912000*ℯ^x*x^6 - 482718652416000*ℯ^x*x^7 + 60339831552000*ℯ^x*x^8 - 6704425728000*ℯ^x*x^9 + 670442572800*ℯ^x*x^10 - 60949324800*ℯ^x*x^11 + 5079110400*ℯ^x*x^12 - 390700800*ℯ^x*x^13 + 27907200*ℯ^x*x^14 - 1860480*ℯ^x*x^15 + 116280*ℯ^x*x^16 - 6840*ℯ^x*x^17 + 380*ℯ^x*x^18 - 20*ℯ^x*x^19 + ℯ^x*x^20, x, 21),
+(a^x/b^x, a^x/(b^x*(log(a) - log(b))), x, 2),
+(a^x*b^x, (a^x*b^x)/(log(a) + log(b)), x, 2),
+(a^x/x^2, -(a^x/x) + SymbolicUtils.expinti(x*log(a))*log(a), x, 2),
+(x*a^x/(1+b*x)^2, a^x/(b^2*(1 + b*x)) + SymbolicUtils.expinti(((1 + b*x)*log(a))/b)/(a^b^(-1)*b^2) - (SymbolicUtils.expinti(((1 + b*x)*log(a))/b)*log(a))/(a^b^(-1)*b^3), x, 5),
+(x*ℯ^(a*x)/(1+a*x)^2, ℯ^(a*x)/(a^2*(1 + a*x)), x, 1),
+(x*k^(x^2), k^x^2/(2*log(k)), x, 1),
+(ℯ^(x^2), (1//2)*sqrt(π)*SymbolicUtils.erfi(x), x, 1),
+(x*ℯ^(x^2), ℯ^x^2//2, x, 1),
+((x+1)*ℯ^(1/x)/x^4, -ℯ^(1/x) - ℯ^(1/x)/x^2 + ℯ^(1/x)/x, x, 7),
+((2*x^3+x)*(ℯ^(x^2))^2*ℯ^(1-x*ℯ^(x^2))/(1-x*ℯ^(x^2))^2, -(ℯ^(1 - ℯ^x^2*x)/(-1 + ℯ^x^2*x)), x, -3),
+(ℯ^(ℯ^(ℯ^(ℯ^x))), CannotIntegrate(ℯ^ℯ^ℯ^ℯ^x, x), x, 1),
+
+
+# Examples involving exponentials and logarithms.
+(ℯ^x*log(x), -SymbolicUtils.expinti(x) + ℯ^x*log(x), x, 2),
+(x*ℯ^x*log(x), -ℯ^x + SymbolicUtils.expinti(x) - ℯ^x*log(x) + ℯ^x*x*log(x), x, 5),
+(ℯ^(2*x)*log(ℯ^x), -(ℯ^(2*x)/4) + (1//2)*ℯ^(2*x)*log(ℯ^x), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Examples involving square roots
+
+
+(sqrt(2)*x^2 + 2*x, x^2 + (sqrt(2)*x^3)/3, x, 1),
+(log(x)/sqrt(a*x+b), -((4*sqrt(b + a*x))/a) + (4*sqrt(b)*atanh(sqrt(b + a*x)/sqrt(b)))/a + (2*sqrt(b + a*x)*log(x))/a, x, 4),
+(sqrt(a+b*x)*sqrt(c+d*x), ((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*b*d) + ((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(2*b) - ((b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(3//2)*d^(3//2)), x, 5),
+(sqrt(a+b*x), (2*(a + b*x)^(3//2))/(3*b), x, 1),
+(x*sqrt(a+b*x), -((2*a*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^2)) + (2*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^2), x, 2),
+(x^2*sqrt(a+b*x), (2*a^2*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^3) - (4*a*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^3) + (2*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^3), x, 2),
+(sqrt(a+b*x)/x, 2*sqrt(a + b*x) - 2*sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 3),
+(sqrt(a+b*x)/x^2, -(sqrt(a + b*x)/x) - (b*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 3),
+(1/sqrt(a+b*x), (2*sqrt(a + b*x))/b, x, 1),
+(x/sqrt(a+b*x), -((2*a*sqrt(a + b*x))/b^2) + (2*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^2), x, 2),
+(x^2/sqrt(a+b*x), (2*a^2*sqrt(a + b*x))/b^3 - (4*a*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^3) + (2*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^3), x, 2),
+(1/(x*sqrt(a+b*x)), -((2*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/sqrt(a)), x, 2),
+(1/(x^2*sqrt(a+b*x)), -(sqrt(a + b*x)/(a*x)) + (b*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 3),
+(sqrt(a+b*x)^p, (2*(a + b*x)^((2 + p)/2))/(b*(2 + p)), x, 1),
+(x*sqrt(a+b*x)^p, -((2*a*(a + b*x)^((2 + p)/2))/(b^2*(2 + p))) + (2*(a + b*x)^((4 + p)/2))/(b^2*(4 + p)), x, 2),
+(atan((-sqrt(2)+2*x)/sqrt(2)), atan(1 - sqrt(2)*x)/sqrt(2) - x*atan(1 - sqrt(2)*x) - log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(2*sqrt(2)), x, 6),
+(1/sqrt(x^2-1), atanh(x/sqrt(-1 + x^2)), x, 2),
+(sqrt(x+1)*sqrt(x), (1//4)*sqrt(x)*sqrt(1 + x) + (1//2)*x^(3//2)*sqrt(1 + x) - asinh(sqrt(x))/4, x, 4),
+
+
+(sin(sqrt(x)), -2*sqrt(x)*cos(sqrt(x)) + 2*sin(sqrt(x)), x, 3),
+(x*sqrt(1 - x^2)^(-9//4), 4/(1 - x^2)^(1//8), x, 1),
+(x/sqrt(1 - x^4), asin(x^2)/2, x, 2),
+(1/(x*sqrt(1 + x^4)), (-(1//2))*atanh(sqrt(1 + x^4)), x, 3),
+(x/sqrt(1 + x^2 + x^4), (1//2)*asinh((1 + 2*x^2)/sqrt(3)), x, 3),
+(1/(x*sqrt(x^2 - 1 - x^4)), (-(1//2))*atan((2 - x^2)/(2*sqrt(-1 + x^2 - x^4))), x, 3),
+
+
+# Examples generated by differentiating various functions.
+((1 + x)/((1 - x)^2*sqrt(1 + x^2)), sqrt(1 + x^2)/(1 - x), x, 1),
+(1/sqrt(1 + x^2), asinh(x), x, 1),
+((sqrt(x)*sqrt(1 + x) + sqrt(x)*sqrt(2 + x) + sqrt(1 + x)*sqrt(2 + x))/(2*sqrt(x)*sqrt(1 + x)*sqrt(2 + x)), sqrt(x) + sqrt(1 + x) + sqrt(2 + x), x, 3),
+((-2*sqrt(1 + x^3) + 5*x^4*sqrt(1 + x^3) - 3*x^2*sqrt(1 - 2*x + x^5))/(2*sqrt(1 + x^3)*sqrt(1 - 2*x + x^5)), -sqrt(1 + x^3) + sqrt(1 - 2*x + x^5), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Examples from James Davenport's thesis
+
+
+(1/sqrt(x^2-1)+10/sqrt(x^2-4), 10*atanh(x/sqrt(-4 + x^2)) + atanh(x/sqrt(-1 + x^2)), x, 5),
+(sqrt(x+sqrt(x^2+a^2))/x, 2*sqrt(x + sqrt(a^2 + x^2)) - 2*sqrt(a)*atan(sqrt(x + sqrt(a^2 + x^2))/sqrt(a)) - 2*sqrt(a)*atanh(sqrt(x + sqrt(a^2 + x^2))/sqrt(a)), x, 6),
+
+
+# Another such example from James Davenport's thesis (p. 146).
+# It contains a point of order 3, which is found by use of Mazur's
+# bound on the torsion of elliptic curves over the rationals;
+((3*x^2)/(2*(1 + x^3 + sqrt(1 + x^3))), log(1 + sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Examples quoted by Joel Moses
+
+
+(1/sqrt(2*h*r^2-alpha^2), atanh((sqrt(2)*sqrt(h)*r)/sqrt(-alpha^2 + 2*h*r^2))/(sqrt(2)*sqrt(h)), r, 2),
+(1/(r*sqrt(2*h*r^2-alpha^2-epsilon^2)), atan(sqrt(-alpha^2 - epsilon^2 + 2*h*r^2)/sqrt(alpha^2 + epsilon^2))/sqrt(alpha^2 + epsilon^2), r, 3),
+(1/(r*sqrt(2*h*r^2-alpha^2-2*k*r)), -(atan((alpha^2 + k*r)/(alpha*sqrt(-alpha^2 - 2*k*r + 2*h*r^2)))/alpha), r, 2),
+(1/(r*sqrt(2*h*r^2-alpha^2-epsilon^2-2*k*r)), -(atan((alpha^2 + epsilon^2 + k*r)/(sqrt(alpha^2 + epsilon^2)*sqrt(-alpha^2 - epsilon^2 - 2*k*r + 2*h*r^2)))/sqrt(alpha^2 + epsilon^2)), r, 2),
+(r/sqrt(2*e*r^2-alpha^2), sqrt(-alpha^2 + 2*e*r^2)/(2*e), r, 1),
+(r/sqrt(2*e*r^2-alpha^2-epsilon^2), sqrt(-alpha^2 - epsilon^2 + 2*e*r^2)/(2*e), r, 1),
+(r/sqrt(2*e*r^2-alpha^2-2*k*r^4), -(atan((e - 2*k*r^2)/(sqrt(2)*sqrt(k)*sqrt(-alpha^2 + 2*e*r^2 - 2*k*r^4)))/(2*sqrt(2)*sqrt(k))), r, 3),
+(r/sqrt(2*e*r^2-alpha^2-2*k*r), sqrt(-alpha^2 - 2*k*r + 2*e*r^2)/(2*e) - (k*atanh((k - 2*e*r)/(sqrt(2)*sqrt(e)*sqrt(-alpha^2 - 2*k*r + 2*e*r^2))))/(2*sqrt(2)*e^(3//2)), r, 3),
+(1/(r*sqrt(2*h*r^2-alpha^2-2*k*r^4)), -(atan((alpha^2 - h*r^2)/(alpha*sqrt(-alpha^2 + 2*h*r^2 - 2*k*r^4)))/(2*alpha)), r, 3),
+(1/(r*sqrt(2*h*r^2-alpha^2-epsilon^2-2*k*r^4)), -(atan((alpha^2 + epsilon^2 - h*r^2)/(sqrt(alpha^2 + epsilon^2)*sqrt(-alpha^2 - epsilon^2 + 2*h*r^2 - 2*k*r^4)))/(2*sqrt(alpha^2 + epsilon^2))), r, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Examples from Novosibirsk
+
+
+# Many of these integrals used to require Steve Harrington's code to evaluate.
+# They originated in Novosibirsk as examples of using Analytik.
+# There are still a few examples that could be evaluated using better heuristics.
+
+(a*sin(3*x+5)^2*cos(3*x+5), (1//9)*a*sin(5 + 3*x)^3, x, 3),
+(log(x^2)/x^3, -(1/(2*x^2)) - log(x^2)/(2*x^2), x, 1),
+(x*sin(x+a), (-x)*cos(a + x) + sin(a + x), x, 2),
+((log(x)*(1-x)-1)/(ℯ^x*log(x)^2), x/(ℯ^x*log(x)), x, 1),
+(x^3/(a*x^2+b), x^2/(2*a) - (b*log(b + a*x^2))/(2*a^2), x, 3),
+(x^(1//2)*(x+1)^(-7//2), (2*x^(3//2))/(5*(1 + x)^(5//2)) + (4*x^(3//2))/(15*(1 + x)^(3//2)), x, 2),
+(x^(-1)*(x+1)^(-1), log(x) - log(1 + x), x, 3),
+(x^(-1//2)*(2*x-1)^(-1), (-sqrt(2))*atanh(sqrt(2)*sqrt(x)), x, 2),
+((x^2+1)*x^(1//2), (2*x^(3//2))/3 + (2*x^(7//2))/7, x, 2),
+(x^(-1)*(x-a)^(1//3), 3*(-a + x)^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*(-a + x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))) + (1//2)*a^(1//3)*log(x) - (3//2)*a^(1//3)*log(a^(1//3) + (-a + x)^(1//3)), x, 5),
+(x*sinh(x), x*cosh(x) - sinh(x), x, 2),
+(x*cosh(x), -cosh(x) + x*sinh(x), x, 2),
+(sinh(2*x)/cosh(2*x), (1//2)*log(cosh(2*x)), x, 1),
+((I*eps*sinh(x)-1)/(eps*I*cosh(x)+I*a-x), log(a + I*x + eps*cosh(x)), x, 1),
+(sin(2*x+3)*cos(x)^2, (-(1//4))*cos(3 + 2*x) - (1//16)*cos(3 + 4*x) + (1//4)*x*sin(3), x, 4),
+(x*atan(x), -(x/2) + atan(x)/2 + (1//2)*x^2*atan(x), x, 3),
+(x*acot(x), x/2 + (1//2)*x^2*acot(x) - atan(x)/2, x, 3),
+(x*log(x^2+a), -(x^2//2) + (1//2)*(a + x^2)*log(a + x^2), x, 3),
+(sin(x+a)*cos(x), (-(1//4))*cos(a + 2*x) + (1//2)*x*sin(a), x, 3),
+(cos(x+a)*sin(x), (-(1//4))*cos(a + 2*x) - (1//2)*x*sin(a), x, 3),
+((1+sin(x))^(1//2), -((2*cos(x))/sqrt(1 + sin(x))), x, 1),
+((1-sin(x))^(1//2), (2*cos(x))/sqrt(1 - sin(x)), x, 1),
+((1+cos(x))^(1//2), (2*sin(x))/sqrt(1 + cos(x)), x, 1),
+((1-cos(x))^(1//2), -((2*sin(x))/sqrt(1 - cos(x))), x, 1),
+(1/(x^(1//2)-(x-1)^(1//2)), (2//3)*(-1 + x)^(3//2) + (2*x^(3//2))/3, x, 3),
+(1/(1-(x+1)^(1//2)), -2*sqrt(1 + x) - 2*log(1 - sqrt(1 + x)), x, 4),
+(x/(x^4+36)^(1//2), (1//2)*asinh(x^2//6), x, 2),
+(1/(x^(1//3)+x^(1//2)), 6*x^(1//6) - 3*x^(1//3) + 2*sqrt(x) - 6*log(1 + x^(1//6)), x, 4),
+(log(2+3*x^2), -2*x + 2*sqrt(2//3)*atan(sqrt(3//2)*x) + x*log(2 + 3*x^2), x, 3),
+(cot(x), log(sin(x)), x, 1),
+(cot(x)^4, x + cot(x) - cot(x)^3//3, x, 3),
+(tanh(x), log(cosh(x)), x, 1),
+(coth(x), log(sinh(x)), x, 1),
+(b^x, b^x/log(b), x, 1),
+((x^4+x^(-4)+2)^(1//2), -((x*sqrt(2 + 1/x^4 + x^4))/(1 + x^4)) + (x^5*sqrt(2 + 1/x^4 + x^4))/(3*(1 + x^4)), x, 4),
+((2*x+1)/(3*x+2), (2*x)/3 - (1//9)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(x*log(x+(x^2+1)^(1//2)), (-(1//4))*x*sqrt(1 + x^2) + asinh(x)/4 + (1//2)*x^2*log(x + sqrt(1 + x^2)), x, 3),
+(x*(ℯ^x*sin(x)+1)^2, -((3*ℯ^(2*x))/32) + (1//8)*ℯ^(2*x)*x + x^2//2 + ℯ^x*cos(x) - ℯ^x*x*cos(x) - (1//32)*ℯ^(2*x)*cos(2*x) + ℯ^x*x*sin(x) + (1//16)*ℯ^(2*x)*cos(x)*sin(x) - (1//4)*ℯ^(2*x)*x*cos(x)*sin(x) - (1//16)*ℯ^(2*x)*sin(x)^2 + (1//4)*ℯ^(2*x)*x*sin(x)^2 + (1//32)*ℯ^(2*x)*sin(2*x), x, 14),
+(x*ℯ^x*cos(x), (1//2)*ℯ^x*x*cos(x) - (1//2)*ℯ^x*sin(x) + (1//2)*ℯ^x*x*sin(x), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Examples from Herbert Stoyan
+
+
+(1/(x-3)^4, 1/(3*(3 - x)^3), x, 1),
+(x/(x^3-1), atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) + (1//3)*log(1 - x) - (1//6)*log(1 + x + x^2), x, 6),
+(x/(x^4-1), (-(1//2))*atanh(x^2), x, 2),
+(log(x)*(x^3+1)/(x^4+2), (1//8)*(2 + I*(-2)^(1//4))*log(x)*log(1 - ((1 + I)*x)/2^(3//4)) + (1//16)*(4 + (1 - I)*2^(3//4))*log(x)*log(1 + ((1 + I)*x)/2^(3//4)) + (1//8)*(2 + (-2)^(1//4))*log(x)*log(1 - ((-1)^(3//4)*x)/2^(1//4)) + (1//8)*(2 - (-2)^(1//4))*log(x)*log(1 + ((-1)^(3//4)*x)/2^(1//4)) + (1//16)*(4 + (1 - I)*2^(3//4))*PolyLog.reli(2, -(((1 + I)*x)/2^(3//4))) + (1//8)*(2 + I*(-2)^(1//4))*PolyLog.reli(2, ((1 + I)*x)/2^(3//4)) + (1//8)*(2 - (-2)^(1//4))*PolyLog.reli(2, -(((-1)^(3//4)*x)/2^(1//4))) + (1//8)*(2 + (-2)^(1//4))*PolyLog.reli(2, ((-1)^(3//4)*x)/2^(1//4)), x, 10),
+(log(x)+log(x+1)+log(x+2), -3*x + x*log(x) + (1 + x)*log(1 + x) + (2 + x)*log(2 + x), x, 6),
+(1/(x^3+5), -(atan((5^(1//3) - 2*x)/(sqrt(3)*5^(1//3)))/(sqrt(3)*5^(2//3))) + log(5^(1//3) + x)/(3*5^(2//3)) - log(5^(2//3) - 5^(1//3)*x + x^2)/(6*5^(2//3)), x, 6),
+(1/sqrt(1+x^2), asinh(x), x, 1),
+(sqrt(x^2+3), (1//2)*x*sqrt(3 + x^2) + (3//2)*asinh(x/sqrt(3)), x, 2),
+(x/(x+1)^2, 1/(1 + x) + log(1 + x), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Examples from Moses' SIN program
+
+
+(asin(x), sqrt(1 - x^2) + x*asin(x), x, 2),
+(x^2*asin(x), sqrt(1 - x^2)/3 - (1//9)*(1 - x^2)^(3//2) + (1//3)*x^3*asin(x), x, 4),
+(sec(x)^2/(1+sec(x)^2-3*tan(x)), -log(cos(x) - sin(x)) + log(2*cos(x) - sin(x)), x, 4),
+(1/sec(x)^2, x/2 + (1//2)*cos(x)*sin(x), x, 2),
+((5*x^2-3*x-2)/(x^2*(x-2)), -(1/x) + 3*log(2 - x) + 2*log(x), x, 2),
+(1/(4*x^2+9)^(1//2), (1//2)*asinh((2*x)/3), x, 1),
+((x^2+4)^(-1//2), asinh(x/2), x, 1),
+(1/(9*x^2-12*x+10), -(atan((2 - 3*x)/sqrt(6))/(3*sqrt(6))), x, 2),
+(1/(x^8-2*x^7+2*x^6-2*x^5+x^4), 1/(2*(1 - x)) - 1/(3*x^3) - 1/x^2 - 2/x - (5//2)*log(1 - x) + 2*log(x) + (1//4)*log(1 + x^2), x, 3),
+((a*x^3+b*x^2+c*x+d)/((x+1)*x*(x-3)), a*x + (1//12)*(27*a + 9*b + 3*c + d)*log(3 - x) - (1//3)*d*log(x) - (1//4)*(a - b + c - d)*log(1 + x), x, 2),
+(1/(2-log(x^2+1))^5, Unintegrable(1/(2 - log(1 + x^2))^5, x), x, 0),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Miscellaneous examples
+
+
+# The next integral appeared in Risch's 1968 paper.
+
+(2*x*ℯ^(x^2)*log(x)+ℯ^(x^2)/x+(log(x)-2)/(log(x)^2+x)^2+((2/x)*log(x)+(1/x)+1)/(log(x)^2+x), ℯ^x^2*log(x) - log(x)/(x + log(x)^2) + log(x + log(x)^2), x, 9),
+
+
+# The following integral would not evaluate in REDUCE 3.3.
+
+(exp(x*z+x/2)*sin(π*z)^4*x^4, (24*ℯ^(x/2 + x*z)*π^4*x^3)/(64*π^4 + 20*π^2*x^2 + x^4) - (24*ℯ^(x/2 + x*z)*π^3*x^4*cos(π*z)*sin(π*z))/(64*π^4 + 20*π^2*x^2 + x^4) + (12*ℯ^(x/2 + x*z)*π^2*x^5*sin(π*z)^2)/(64*π^4 + 20*π^2*x^2 + x^4) - (4*ℯ^(x/2 + x*z)*π*x^4*cos(π*z)*sin(π*z)^3)/(16*π^2 + x^2) + (ℯ^(x/2 + x*z)*x^5*sin(π*z)^4)/(16*π^2 + x^2), z, 4),
+
+
+# Examples involving the error function.
+
+(SymbolicUtils.erf(x), 1/(ℯ^x^2*sqrt(π)) + x*SymbolicUtils.erf(x), x, 1),
+(SymbolicUtils.erf(x+a), 1/(ℯ^(a + x)^2*sqrt(π)) + (a + x)*SymbolicUtils.erf(a + x), x, 1),
+
+
+# Some interesting integrals of algebraic functions;
+# The Chebyshev integral.
+
+((2*x^6+4*x^5+7*x^4-3*x^3-x*x-8*x-8)/((2*x^2-1)^2*sqrt(x^4+4*x^3+2*x^2+1)), ((1 + 2*x)*sqrt(1 + 2*x^2 + 4*x^3 + x^4))/(2*(-1 + 2*x^2)) - atanh((x*(2 + x)*(7 - x + 27*x^2 + 33*x^3))/((2 + 37*x^2 + 31*x^3)*sqrt(1 + 2*x^2 + 4*x^3 + x^4))), x, -10),
+
+
+# This integral came from Dr. G.S. Joyce of Imperial College London.
+
+((1+2*y)*sqrt(1-5*y-5*y^2)/(y*(1+y)*(2+y)*sqrt(1-y-y^2)), (-(1//4))*atanh(((1 - 3*y)*sqrt(1 - 5*y - 5*y^2))/((1 - 5*y)*sqrt(1 - y - y^2))) - (1//2)*atanh(((4 + 3*y)*sqrt(1 - 5*y - 5*y^2))/((6 + 5*y)*sqrt(1 - y - y^2))) + (9//4)*atanh(((11 + 7*y)*sqrt(1 - 5*y - 5*y^2))/(3*(7 + 5*y)*sqrt(1 - y - y^2))), y, -2),
+
+
+# This one has a simple result.
+
+(x*(sqrt(x^2-1)*x^2-4*sqrt(x^2-1)+sqrt(x^2-4)*x^2-sqrt(x^2-4))/((1+sqrt(x^2-4)+sqrt(x^2-1))*(x^4-5*x^2+4)), log(1 + sqrt(-4 + x^2) + sqrt(-1 + x^2)), x, 1),
+
+
+# This used to reveal bugs in the integrator which have been fixed.
+
+(sqrt(-4*sqrt(2) + 9)*x - sqrt(x^4 + 2*x^2 + 4*x + 1)*sqrt(2), (1//2)*sqrt(9 - 4*sqrt(2))*x^2 - sqrt(2)*((-(1//3))*sqrt(1 + 4*x + 2*x^2 + x^4) + (1//3)*(1 + x)*sqrt(1 + 4*x + 2*x^2 + x^4) + (4*I*(-13 + 3*sqrt(33))^(1//3)*sqrt(1 + 4*x + 2*x^2 + x^4))/(4*2^(2//3)*(-I + sqrt(3)) - 2*I*(-13 + 3*sqrt(33))^(1//3) + 2^(1//3)*(I + sqrt(3))*(-13 + 3*sqrt(33))^(2//3) + 6*I*(-13 + 3*sqrt(33))^(1//3)*x) - (8*2^(2//3)*sqrt(3/(-13 + 3*sqrt(33) + 4*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3)))*sqrt((I*(-19899 + 3445*sqrt(33) + (-26 + 6*sqrt(33))^(2//3)*(-2574 + 466*sqrt(33)) + (-26 + 6*sqrt(33))^(1//3)*(-19899 + 3445*sqrt(33)) + (59697 - 10335*sqrt(33))*x))/((-39 - 13*I*sqrt(3) + 9*I*sqrt(11) + 9*sqrt(33) + 4*I*(3*I + sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3))*(26 - 6*sqrt(33) + (-13 + 13*I*sqrt(3) - 9*I*sqrt(11) + 3*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3) + (-4 - 4*I*sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3) + 6*(-13 + 3*sqrt(33))*x)))*sqrt(1 + 4*x + 2*x^2 + x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(26 - 6*sqrt(33) + (-13 - 13*I*sqrt(3) + 9*I*sqrt(11) + 3*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3) + 4*I*(I + sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3) + 6*(-13 + 3*sqrt(33))*x)/(sqrt((39 + 13*I*sqrt(3) - 9*I*sqrt(11) - 9*sqrt(33) + 4*(3 - I*sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3))/(39 - 13*I*sqrt(3) + 9*I*sqrt(11) - 9*sqrt(33) + 4*(3 + I*sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3)))*sqrt(26 - 6*sqrt(33) + (-13 + 13*I*sqrt(3) - 9*I*sqrt(11) + 3*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3) + (-4 - 4*I*sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3) + 6*(-13 + 3*sqrt(33))*x))), (4*(21 + 7*I*sqrt(3) - 3*I*sqrt(11) - 3*sqrt(33)) + (3 - I*sqrt(3) - 3*I*sqrt(11) + 3*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3))/(4*(21 - 7*I*sqrt(3) + 3*I*sqrt(11) - 3*sqrt(33)) + (3 + I*sqrt(3) + 3*I*sqrt(11) + 3*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3))))/((4*2^(2//3) - (-13 + 3*sqrt(33))^(1//3) - 2^(1//3)*(-13 + 3*sqrt(33))^(2//3) + 3*(-13 + 3*sqrt(33))^(1//3)*x)*sqrt((I*(1 + x))/((104 - 24*sqrt(33) + (-13 - 13*I*sqrt(3) + 9*I*sqrt(11) + 3*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3) + 4*I*(I + sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3))*(26 - 6*sqrt(33) + (-13 + 13*I*sqrt(3) - 9*I*sqrt(11) + 3*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3) + (-4 - 4*I*sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3) + 6*(-13 + 3*sqrt(33))*x)))*sqrt(26 - 6*sqrt(33) + (-13 + 13*I*sqrt(3) - 9*I*sqrt(11) + 3*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3) + (-4 - 4*I*sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3) + 6*(-13 + 3*sqrt(33))*x)*sqrt(26 - 6*sqrt(33) + (-13 - 13*I*sqrt(3) + 9*I*sqrt(11) + 3*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3) + 4*I*(I + sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3) + 6*(-13 + 3*sqrt(33))*x)) + ((2^(1//3)*(13 - 13*I*sqrt(3) + 9*I*sqrt(11) - 3*sqrt(33)) + 4*2^(2//3)*(1 + I*sqrt(3))*(-13 + 3*sqrt(33))^(1//3) + 20*(-13 + 3*sqrt(33))^(2//3))*(4*2^(2//3)*(I + sqrt(3)) + 8*I*(-13 + 3*sqrt(33))^(1//3) + 2^(1//3)*(-I + sqrt(3))*(-13 + 3*sqrt(33))^(2//3))*sqrt((52 - 12*sqrt(33) - 2^(1//3)*(-13 + 3*sqrt(33))^(4//3) + 4*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3))/(-13 + 3*sqrt(33) + 4*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3)))*sqrt((1/(1 + x))*(-8*I*(-13 + 3*sqrt(33)) + (-43*I - 13*sqrt(3) + 9*sqrt(11) + 5*I*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3) + (2*I + 4*sqrt(3) - 2*I*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3) + (8*I*(-13 + 3*sqrt(33)) + (13*I - 13*sqrt(3) + 9*sqrt(11) - 3*I*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3) + 4*(I + sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3))*x))*sqrt(1 + 4*x + 2*x^2 + x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(52 - 12*sqrt(33) - 2^(1//3)*(-13 + 3*sqrt(33))^(4//3) + 4*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3))*sqrt(26 - 6*sqrt(33) + (-13 - 13*I*sqrt(3) + 9*I*sqrt(11) + 3*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3) + 4*I*(I + sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3) + 6*(-13 + 3*sqrt(33))*x))/(2^(1//6)*sqrt(3)*(-13 + 3*sqrt(33))^(2//3)*sqrt(39 + 13*I*sqrt(3) - 9*I*sqrt(11) - 9*sqrt(33) + 4*(3 - I*sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3))*sqrt(1 + x))), (4*(21*I - 7*sqrt(3) + 3*sqrt(11) - 3*I*sqrt(33)) + (3*I + sqrt(3) + 3*sqrt(11) + 3*I*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3))/(-56*sqrt(3) + 24*sqrt(11) + 2*(sqrt(3) + 3*sqrt(11))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3))))/(3*2^(2//3)*3^(3//4)*(-13 + 3*sqrt(33))^(1//3)*sqrt(39 + 13*I*sqrt(3) - 9*I*sqrt(11) - 9*sqrt(33) + 4*(3 - I*sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3))*sqrt(1 + x)*(4*2^(2//3)*(-I + sqrt(3)) - 2*I*(-13 + 3*sqrt(33))^(1//3) + 2^(1//3)*(I + sqrt(3))*(-13 + 3*sqrt(33))^(2//3) + 6*I*(-13 + 3*sqrt(33))^(1//3)*x)*sqrt(26 - 6*sqrt(33) + (-13 - 13*I*sqrt(3) + 9*I*sqrt(11) + 3*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3) + 4*I*(I + sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3) + 6*(-13 + 3*sqrt(33))*x)*sqrt((8*(-13 + 3*sqrt(33)) - (5 - 3*I*sqrt(3) + 3*I*sqrt(11) + sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3) + (-26 + 6*sqrt(33))^(1//3)*(-41 + 15*I*sqrt(3) - 3*I*sqrt(11) + 7*sqrt(33)) + (104 - 24*sqrt(33) + (-13 - 13*I*sqrt(3) + 9*I*sqrt(11) + 3*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3) + 4*I*(I + sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3))*x)/((-39 - 13*I*sqrt(3) + 9*I*sqrt(11) + 9*sqrt(33) + 4*I*(3*I + sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3))*(1 + x)))) + ((4*2^(2//3) + 2*(-13 + 3*sqrt(33))^(1//3) - 2^(1//3)*(-13 + 3*sqrt(33))^(2//3))*(4*2^(2//3)*(I + sqrt(3)) - 4*I*(-13 + 3*sqrt(33))^(1//3) + 2^(1//3)*(-I + sqrt(3))*(-13 + 3*sqrt(33))^(2//3))*(4*2^(2//3)*(-I + sqrt(3)) + 4*I*(-13 + 3*sqrt(33))^(1//3) + 2^(1//3)*(I + sqrt(3))*(-13 + 3*sqrt(33))^(2//3))*sqrt((-39 + 13*I*sqrt(3) - 9*I*sqrt(11) + 9*sqrt(33) - 4*I*(-3*I + sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3))/(104 - 24*sqrt(33) + (-13 + 13*I*sqrt(3) - 9*I*sqrt(11) + 3*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3) + (-4 - 4*I*sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3)))*sqrt(1 + x)*sqrt((104 - 24*sqrt(33) + 2*(1 + 14*I*sqrt(3) - 6*I*sqrt(11) + sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3) + (-7 - I*sqrt(3) - 3*I*sqrt(11) + sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3) + 2*(-52 + 12*sqrt(33) + 2^(1//3)*(-13 + 3*sqrt(33))^(4//3) - 4*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3))*x)/((-39 + 13*I*sqrt(3) - 9*I*sqrt(11) + 9*sqrt(33) - 4*I*(-3*I + sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3))*(1 + x)))*sqrt((104 - 24*sqrt(33) + 2*(1 - 14*I*sqrt(3) + 6*I*sqrt(11) + sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3) + (-7 + I*sqrt(3) + 3*I*sqrt(11) + sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3) + 2*(-52 + 12*sqrt(33) + 2^(1//3)*(-13 + 3*sqrt(33))^(4//3) - 4*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3))*x)/((-39 - 13*I*sqrt(3) + 9*I*sqrt(11) + 9*sqrt(33) + 4*I*(3*I + sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3))*(1 + x)))*sqrt(1 + 4*x + 2*x^2 + x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2^(1//3)*(4*2^(1//3)*(-3*I + sqrt(3)) + (3*I + sqrt(3))*(-13 + 3*sqrt(33))^(2//3)))/(4*2^(2//3)*(-I + sqrt(3)) - 8*I*(-13 + 3*sqrt(33))^(1//3) + 2^(1//3)*(I + sqrt(3))*(-13 + 3*sqrt(33))^(2//3)), asin(sqrt(13 - 3*sqrt(33) - 2^(1//3)*(-13 + 3*sqrt(33))^(4//3) + 4*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3) + (-39 + 9*sqrt(33))*x)/(2^(1//6)*sqrt(3)*(-13 + 3*sqrt(33))^(2//3)*sqrt((-39 + 13*I*sqrt(3) - 9*I*sqrt(11) + 9*sqrt(33) - 4*I*(-3*I + sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3))/(104 - 24*sqrt(33) + (-13 + 13*I*sqrt(3) - 9*I*sqrt(11) + 3*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3) + (-4 - 4*I*sqrt(3))*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3)))*sqrt(1 + x))), (4*(21 - 7*I*sqrt(3) + 3*I*sqrt(11) - 3*sqrt(33)) + (3 + I*sqrt(3) + 3*I*sqrt(11) + 3*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3))/(4*(21 + 7*I*sqrt(3) - 3*I*sqrt(11) - 3*sqrt(33)) + (3 - I*sqrt(3) - 3*I*sqrt(11) + 3*sqrt(33))*(-26 + 6*sqrt(33))^(1//3))))/(2^(1//6)*sqrt(3)*(4*2^(2//3)*(I + sqrt(3)) + 2*I*(-13 + 3*sqrt(33))^(1//3) + 2^(1//3)*(-I + sqrt(3))*(-13 + 3*sqrt(33))^(2//3) - 6*I*(-13 + 3*sqrt(33))^(1//3)*x)*(4*2^(2//3)*(-I + sqrt(3)) - 2*I*(-13 + 3*sqrt(33))^(1//3) + 2^(1//3)*(I + sqrt(3))*(-13 + 3*sqrt(33))^(2//3) + 6*I*(-13 + 3*sqrt(33))^(1//3)*x)*sqrt(13 - 3*sqrt(33) - 2^(1//3)*(-13 + 3*sqrt(33))^(4//3) + 4*(-26 + 6*sqrt(33))^(2//3) + (-39 + 9*sqrt(33))*x))), x, -1),
+
+
+# It is interesting to see how much of this one can be done;
+
+((12*log(x/mc^2)*x^2*π^2*mc^3*(-8*x-12*mc^2+3*mc) + π^2*(12*x^4*mc+3*x^4+176*x^3*mc^3-24*x^3*mc^2 - 144*x^2*mc^5-48*x*mc^7+24*x*mc^6+4*mc^9-3*mc^8))/(384*ℯ^(x/y)*x^2), ((3 - 4*mc)*mc^8*π^2)/(ℯ^(x/y)*(384*x)) + ((3//8)*mc^5*π^2*y)/ℯ^(x/y) + ((1//48)*(3 - 22*mc)*mc^2*π^2*x*y)/ℯ^(x/y) - ((1//128)*(1 + 4*mc)*π^2*x^2*y)/ℯ^(x/y) + ((1//48)*(3 - 22*mc)*mc^2*π^2*y^2)/ℯ^(x/y) + ((1//4)*mc^3*π^2*y^2)/ℯ^(x/y) - ((1//64)*(1 + 4*mc)*π^2*x*y^2)/ℯ^(x/y) - ((1//64)*(1 + 4*mc)*π^2*y^3)/ℯ^(x/y) + (1//16)*(1 - 2*mc)*mc^6*π^2*SymbolicUtils.expinti(-(x/y)) + ((3 - 4*mc)*mc^8*π^2*SymbolicUtils.expinti(-(x/y)))/(384*y) + (1//32)*mc^3*π^2*(3*mc - 12*mc^2 - 8*y)*y*SymbolicUtils.expinti(-(x/y)) - ((1//32)*mc^3*π^2*(3*(1 - 4*mc)*mc - 8*x)*y*log(x/mc^2))/ℯ^(x/y) + ((1//4)*mc^3*π^2*y^2*log(x/mc^2))/ℯ^(x/y), x, 20),
+
+
+# The following integrals reveal deficiencies in the current integrator;
+
+(sin(2*x)/cos(x), -2*cos(x), x, 2),
+
+# This example, which appeared in Tobey's thesis, needs factorization
+# over algebraic fields. It currently gives an ugly answer and so has
+# been suppressed;
+
+((7*x^13+10*x^8+4*x^7-7*x^6-4*x^3-4*x^2+3*x+3)/(x^14-2*x^8-2*x^7-2*x^4-4*x^3-x^2+2*x+1), (1//2)*((1 + sqrt(2))*log(1 + x + sqrt(2)*x + sqrt(2)*x^2 - x^7) - (-1 + sqrt(2))*log(-1 + (-1 + sqrt(2))*x + sqrt(2)*x^2 + x^7)), x, -5),
+]
+# Total integrals translated: 283
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Hebisch Problems.jl b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Hebisch Problems.jl
new file mode 100644
index 00000000..804b5df4
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Hebisch Problems.jl	
@@ -0,0 +1,49 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Waldek Hebisch - email May 2013
+
+
+# ::Subsection::
+# Problem #1
+
+
+((x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + 1)*exp(x), 871*ℯ^x - 870*ℯ^x*x + 435*ℯ^x*x^2 - 145*ℯ^x*x^3 + 36*ℯ^x*x^4 - 7*ℯ^x*x^5 + ℯ^x*x^6, x, 25),
+
+
+# ::Subsection::
+# Problem #2
+
+
+((2 - x^2)*exp(x/(x^2 + 2))/(x^3 + 2*x), SymbolicUtils.expinti(x/(2 + x^2)), x, -5),
+
+
+((2 + 2*x + 3*x^2 - x^3 + 2*x^4)*exp(x/(2 + x^2))/(x^3 + 2*x), ℯ^(x/(2 + x^2))*(2 + x^2) + SymbolicUtils.expinti(x/(2 + x^2)), x, -5),
+
+
+# ::Subsection::
+# Problem #3
+
+
+((exp(x) + 1)*(exp(exp(x) + x)/(exp(x) + x)), SymbolicUtils.expinti(ℯ^x + x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::
+# Problem #4
+
+
+((x^3 - x^2 - 3*x + 1)*(exp(1/(x^2 - 1))/(x^3 - x^2 - x + 1)), ℯ^(1/(-1 + x^2))*(1 + x), x, -6),
+
+
+# ::Subsection::
+# Problem #5
+
+
+((log(x)^2 - 1)*exp(1 + 1/log(x))/log(x)^2, x*ℯ^(1 + 1/log(x)), x, 1),
+
+
+(((x + 1)*log(x)^2  - 1)*exp(x + 1/log(x))/log(x)^2, ℯ^(x + 1/log(x))*x, x, -2),
+]
+# Total integrals translated: 7
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Jeffrey Problems.jl b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Jeffrey Problems.jl
new file mode 100644
index 00000000..7badefad
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Jeffrey Problems.jl	
@@ -0,0 +1,71 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# David Jeffrey - Rectifying Transformations for Trig Integration (1997)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem (1.2)
+
+
+(3/(5 - 4*cos(x)), x + 2*atan(sin(x)/(2 - cos(x))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem (1.4)
+
+
+((cos(x) + 2*sin(x) + 1)/(cos(x)^2 - 2*sin(x)*cos(x) + 2*sin(x) + 3), -atan((2*cos(x) - sin(x))/(2 + sin(x))), x, -43),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem (1.5)
+
+
+((2 + 5*sin(x) + cos(x))/(4*cos(x) + sin(x)*cos(x) - 2*sin(x) - 2*sin(x)^2), -log(1 - 3*cos(x) + sin(x)) + log(3 + cos(x) + sin(x)), x, -25),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem (3.3)
+
+
+((7*cos(x) + 2*sin(x) + 3)/(3*cos(x)^2 - sin(x)*cos(x) + 4*cos(x) - 5*sin(x) + 1), -log(1 + cos(x) - 2*sin(x)) + log(3 + cos(x) + sin(x)), x, -32),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem
+
+
+((5*cos(x)^2 + 4*cos(x) - 1)/(4*cos(x)^3 - 3*cos(x)^2 - 4*cos(x) - 1), x - 2*atan(sin(x)/(3 + cos(x))) - 2*atan((3*sin(x) + 7*cos(x)*sin(x))/(1 + 2*cos(x) + 5*cos(x)^2)), x, -2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem
+
+
+((7*cos(x)^2 + 2*cos(x) - 5)/(4*cos(x)^3 - 9*cos(x)^2 + 2*cos(x) - 1), x - 2*atan((2*cos(x)*sin(x))/(1 - cos(x) + 2*cos(x)^2)), x, -2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem (3.4)
+
+
+(3/(5 + 4*sin(x)), x + 2*atan(cos(x)/(2 + sin(x))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem (3.6)
+
+
+(2/(1 + cos(x)^2), sqrt(2)*x - sqrt(2)*atan((cos(x)*sin(x))/(1 + sqrt(2) + cos(x)^2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problem (3.8)
+
+
+(1/(p + q*cos(x) + r*sin(x)), (2*atan((r + (p - q)*tan(x/2))/sqrt(p^2 - q^2 - r^2)))/sqrt(p^2 - q^2 - r^2), x, 3),
+]
+# Total integrals translated: 9
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Moses Problems.jl b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Moses Problems.jl
new file mode 100644
index 00000000..273b5152
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Moses Problems.jl	
@@ -0,0 +1,263 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Joel Moses - Symbolic Integration Ph.D. Thesis (1967)
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Chapter 2 - How SIN differs from SAINT
+
+
+(cot(x)^4, x + cot(x) - cot(x)^3//3, x, 3),
+(1/(x^4*(1 + x^2)), -(1/(3*x^3)) + 1/x + atan(x), x, 3),
+((x^2 + x)/sqrt(x), (2*x^(3//2))/3 + (2*x^(5//2))/5, x, 2),
+(cos(x), sin(x), x, 1),
+(x*ℯ^x^2, ℯ^x^2//2, x, 1),
+(tan(x)*sec(x)^2, sec(x)^2//2, x, 2),
+(x*sqrt(1 + x^2), (1//3)*(1 + x^2)^(3//2), x, 1),
+(sin(x)*ℯ^x, (-(1//2))*ℯ^x*cos(x) + (1//2)*ℯ^x*sin(x), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Chapter 3 - SCHATCHEN - A Matching Program for Algebraic Expressions
+
+
+(csc(x)^2*(cos(x)/sin(x)^2), (-(1//3))*csc(x)^3, x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Chapter 4 - The First Stage of Sin
+
+
+(sin(ℯ^x), SymbolicUtils.sinint(ℯ^x), x, 2),
+(sin(y)/y, SymbolicUtils.sinint(y), y, 1),
+
+
+(sin(x) + ℯ^x, ℯ^x - cos(x), x, 3),
+(ℯ^x^2 + 2*x^2*ℯ^x^2, ℯ^x^2*x, x, 4),
+((x + ℯ^x)^2, -2*ℯ^x + ℯ^(2*x)/2 + 2*ℯ^x*x + x^3//3, x, 5),
+(x^2 + 2*ℯ^x + ℯ^(2*x), 2*ℯ^x + ℯ^(2*x)/2 + x^3//3, x, 3),
+
+
+(sin(x)*cos(x), sin(x)^2//2, x, 2),
+(x*ℯ^x^2, ℯ^x^2//2, x, 1),
+(x*sqrt(1 + x^2), (1//3)*(1 + x^2)^(3//2), x, 1),
+(ℯ^x/(1 + ℯ^x), log(1 + ℯ^x), x, 2),
+(x^(3//2), (2*x^(5//2))/5, x, 1),
+(cos(2*x + 3), (1//2)*sin(3 + 2*x), x, 1),
+(2*y*z*ℯ^(2*x), ℯ^(2*x)*y*z, x, 2),
+(cos(ℯ^x)^2*sin(ℯ^x)*ℯ^x, (-(1//3))*cos(ℯ^x)^3, x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Chapter 4 - The Second Stage of Sin
+
+
+(x*sqrt(x + 1), (-(2//3))*(1 + x)^(3//2) + (2//5)*(1 + x)^(5//2), x, 2),
+(1/(x^4 - 1), -(atan(x)/2) - atanh(x)/2, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Method 1)  Elementary function of exponentials
+
+
+(ℯ^x/(2 + 3*ℯ^(2*x)), atan(sqrt(3//2)*ℯ^x)/sqrt(6), x, 2),
+(ℯ^(2*x)/(A + B*ℯ^(4*x)), atan((sqrt(B)*ℯ^(2*x))/sqrt(A))/(2*sqrt(A)*sqrt(B)), x, 2),
+(ℯ^(x + 1)/(1 + ℯ^x), ℯ*log(1 + ℯ^x), x, 3),
+(10^x*ℯ^x, (10*ℯ)^x/(1 + log(10)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Method 2)  Substitution for an integral power
+
+
+(x^3*sin(x^2), (-(1//2))*x^2*cos(x^2) + sin(x^2)/2, x, 3),
+(x^7/(x^12 + 1), -(atan((1 - 2*x^4)/sqrt(3))/(4*sqrt(3))) - (1//12)*log(1 + x^4) + (1//24)*log(1 - x^4 + x^8), x, 7),
+(x^(3*a)*sin(x^(2*a)), (I*x^(1 + 3*a)*SymbolicUtils.gamma((1//2)*(3 + 1/a), (-I)*x^(2*a)))/(((-I)*x^(2*a))^((1 + 3*a)/(2*a))*(4*a)) - (I*x^(1 + 3*a)*SymbolicUtils.gamma((1//2)*(3 + 1/a), I*x^(2*a)))/((I*x^(2*a))^((1 + 3*a)/(2*a))*(4*a)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Method 3)  Substitution for a rational root of a linear function of x
+
+
+(cos(sqrt(x)), 2*cos(sqrt(x)) + 2*sqrt(x)*sin(sqrt(x)), x, 3),
+(x*sqrt(x + 1), (-(2//3))*(1 + x)^(3//2) + (2//5)*(1 + x)^(5//2), x, 2),
+(1/(x^(1//2) + x^(1//3)), 6*x^(1//6) - 3*x^(1//3) + 2*sqrt(x) - 6*log(1 + x^(1//6)), x, 4),
+(sqrt((x + 1)/(2*x + 3)), (1//2)*sqrt(1 + x)*sqrt(3 + 2*x) - asinh(sqrt(2)*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Method 4)  Binomial - Chebyschev
+
+
+(x^4/(1 - x^2)^(5//2), x^3/(3*(1 - x^2)^(3//2)) - x/sqrt(1 - x^2) + asin(x), x, 3),
+(x^(1//2)*(1 + x)^(5//2), (5//64)*sqrt(x)*sqrt(1 + x) + (5//32)*x^(3//2)*sqrt(1 + x) + (5//24)*x^(3//2)*(1 + x)^(3//2) + (1//4)*x^(3//2)*(1 + x)^(5//2) - (5*asinh(sqrt(x)))/64, x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Method 5)  Arctrigonometric substitutions
+
+
+(x^4/(1 - x^2)^(5//2), x^3/(3*(1 - x^2)^(3//2)) - x/sqrt(1 - x^2) + asin(x), x, 3),
+(sqrt(A^2 + B^2 - B^2*y^2)/(1 - y^2), B*atan((B*y)/sqrt(A^2 + B^2 - B^2*y^2)) + A*atanh((A*y)/sqrt(A^2 + B^2 - B^2*y^2)), y, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Method 6)  Elementary function of trigonometric functions
+
+
+(sin(x)^2, x/2 - (1//2)*cos(x)*sin(x), x, 2),
+# {Sqrt[A^2 + B^2*Sin[x]^2]/Sin[x], x, 6, (-B)*ArcTan[(B*Cos[x])/Sqrt[A^2 + B^2*Sin[x]^2]] - A*ArcTanh[(A*Cos[x])/Sqrt[A^2 + B^2*Sin[x]^2]], (-B)*ArcTan[(B*Cos[x])/Sqrt[A^2 + B^2 - B^2*Cos[x]^2]] - A*ArcTanh[(A*Cos[x])/Sqrt[A^2 + B^2 - B^2*Cos[x]^2]]}
+(1/(1 + cos(x)), sin(x)/(1 + cos(x)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Method 7)  Rational function times an exponential
+
+
+(x*ℯ^x, -ℯ^x + ℯ^x*x, x, 2),
+((x/(x + 1)^2)*ℯ^x, ℯ^x/(1 + x), x, 1),
+((1 + 2*x^2)*ℯ^x^2, ℯ^x^2*x, x, 5),
+(ℯ^x^2, (1//2)*sqrt(π)*SymbolicUtils.erfi(x), x, 1),
+(ℯ^x/x, SymbolicUtils.expinti(x), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Method 8)  Rational functions
+
+
+(x/(x^3 + 1), -(atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3)) - (1//3)*log(1 + x) + (1//6)*log(1 - x + x^2), x, 6),
+# {1/(x^6 - 1), x, 10, -(ArcTan[(Sqrt[3]*x)/(1 - x^2)]/(2*Sqrt[3])) - ArcTanh[x]/3 - (1/6)*ArcTanh[x/(1 + x^2)], ArcTan[(1 - 2*x)/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3]) - ArcTan[(1 + 2*x)/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3]) - ArcTanh[x]/3 + (1/12)*Log[1 - x + x^2] - (1/12)*Log[1 + x + x^2]}
+(1/((B^2 - A^2)*x^2 - A^2*B^2 + A^4), atanh(x/A)/(A*(A^2 - B^2)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Method 9)  Rational function times a log or arctrigonometric function
+
+
+(x*log(x), -(x^2//4) + (1//2)*x^2*log(x), x, 1),
+(x^2*asin(x), sqrt(1 - x^2)/3 - (1//9)*(1 - x^2)^(3//2) + (1//3)*x^3*asin(x), x, 4),
+(1/(x^2 + 2*x + 1), -(1/(1 + x)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Method 10)  Rational function times an elementary function of log(a+b x)
+
+
+(log(x)/(log(x) + 1)^2, x/(1 + log(x)), x, 7),
+(1/(x*(1 + log(x)^2)), atan(log(x)), x, 2),
+(1/log(x), SymbolicUtils.expinti(log(x)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Method 11)  Expansion of the integrand
+
+
+(x*(cos(x) + sin(x)), cos(x) - x*cos(x) + sin(x) + x*sin(x), x, 6),
+((x + ℯ^x)/ℯ^x, -ℯ^(-x) + x - x/ℯ^x, x, 4),
+(x*(1 + ℯ^x)^2, -2*ℯ^x - ℯ^(2*x)/4 + 2*ℯ^x*x + (1//2)*ℯ^(2*x)*x + x^2//2, x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Chapter 4 - The Third Stage of Sin
+
+
+(x*cos(x), cos(x) + x*sin(x), x, 2),
+(cos(sqrt(x)), 2*cos(sqrt(x)) + 2*sqrt(x)*sin(sqrt(x)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# The Integration-by-Parts Methods
+
+
+(x*cos(x), cos(x) + x*sin(x), x, 2),
+(x*log(x)^2, x^2//4 - (1//2)*x^2*log(x) + (1//2)*x^2*log(x)^2, x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# The Derivative-divides Method
+
+
+(cos(x)*(1 + sin(x)^3), sin(x) + sin(x)^4//4, x, 2),
+(1/(x*(1 + log(x)^2)), atan(log(x)), x, 2),
+(1/(sqrt(1 - x^2)*(1 + asin(x)^2)), atan(asin(x)), x, 2),
+(sin(x)/(sin(x) + cos(x)), x/2 - (1//2)*log(cos(x) + sin(x)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# An Example of SIN's Performance
+
+
+(-sqrt(A^2 + B^2*(1 - y^2))/(1 - y^2), (-B)*atan((B*y)/sqrt(A^2 + B^2 - B^2*y^2)) - A*atanh((A*y)/sqrt(A^2 + B^2 - B^2*y^2)), y, 6),
+((-(A^2 + B^2))*(cos(z)^2/(B*(1 - ((A^2 + B^2)/B^2)*sin(z)^2))), (-B)*z - A*atanh((A*tan(z))/B), z, 5),
+(-(A^2 + B^2)/(B*(1 + w^2)^2*(1 - ((A^2 + B^2)/B^2)*(w^2/(1 + w^2)))), (-B)*atan(w) - A*atanh((A*w)/B), w, 6),
+((-B)*((A^2 + B^2)/((1 + w^2)*(B^2 - A^2*w^2))), (-B)*atan(w) - A*atanh((A*w)/B), w, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# SAINT and SIN solutions of the same problem
+
+
+(x^4/(1 - x^2)^(5//2), x^3/(3*(1 - x^2)^(3//2)) - x/sqrt(1 - x^2) + asin(x), x, 3),
+(sin(y)^4/cos(y)^4, y - tan(y) + tan(y)^3//3, y, 3),
+(z^4/(1 + z^2), -z + z^3//3 + atan(z), z, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Chapter 5 - The Edge Heuristic
+
+
+((2*x^2 + 1)*ℯ^x^2, ℯ^x^2*x, x, 5),
+(((2*x^6 + 5*x^4 + x^3 + 4*x^2 + 1)/(x^2 + 1)^2)*ℯ^x^2, ℯ^x^2*x + ℯ^x^2/(2*(1 + x^2)), x, 10),
+(1/ℯ^1/ℯ^x, -ℯ^(-1 - x), x, 1),
+((x + 1/x)*log(x), -(x^2//4) + (1//2)*x^2*log(x) + log(x)^2//2, x, 5),
+(x/(1 + x^4), atan(x^2)/2, x, 2),
+(x^5/(1 + x^4), x^2//2 - atan(x^2)/2, x, 3),
+(1/(1 + tan(x)^2), x/2 + (1//2)*cos(x)*sin(x), x, 3),
+(x^4/(1 - x^2)^(5//2), x^3/(3*(1 - x^2)^(3//2)) - x/sqrt(1 - x^2) + asin(x), x, 3),
+(-x^2/(1 - x^2)^(3//2), -(x/sqrt(1 - x^2)) + asin(x), x, 2),
+(sin(x)*ℯ^x, (-(1//2))*ℯ^x*cos(x) + (1//2)*ℯ^x*sin(x), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Appendix C - Slagle's Thesis Integration Problems
+
+
+(1/x, log(x), x, 1),
+(sec(2*t)/(1 + sec(t)^2 + 3*tan(t)), (-(1//12))*log(cos(t) - sin(t)) - (1//4)*log(cos(t) + sin(t)) + (1//3)*log(2*cos(t) + sin(t)) - 1/(2*(1 + tan(t))), t, 4),
+(1/sec(x)^2, x/2 + (1//2)*cos(x)*sin(x), x, 2),
+((x^2 + 1)/sqrt(x), 2*sqrt(x) + (2*x^(5//2))/5, x, 2),
+(x/sqrt(x^2 + 2*x + 5), sqrt(5 + 2*x + x^2) - asinh((1 + x)/2), x, 3),
+(sin(x)^2*cos(x), sin(x)^3//3, x, 2),
+(ℯ^x/(1 + ℯ^x), log(1 + ℯ^x), x, 2),
+(ℯ^(2*x)/(1 + ℯ^x), ℯ^x - log(1 + ℯ^x), x, 3),
+(1/(1 - cos(x)), -(sin(x)/(1 - cos(x))), x, 1),
+(tan(x)*sec(x)^2, sec(x)^2//2, x, 2),
+(x*log(x), -(x^2//4) + (1//2)*x^2*log(x), x, 1),
+(sin(x)*cos(x), sin(x)^2//2, x, 2),
+((x + 1)/sqrt(2*x - x^2), -sqrt(2*x - x^2) - 2*asin(1 - x), x, 3),
+(2*(ℯ^x/(2 + 3*ℯ^(2*x))), sqrt(2//3)*atan(sqrt(3//2)*ℯ^x), x, 3),
+(x^4/(1 - x^2)^(5//2), x^3/(3*(1 - x^2)^(3//2)) - x/sqrt(1 - x^2) + asin(x), x, 3),
+(ℯ^(6*x)/(ℯ^(4*x) + 1), ℯ^(2*x)/2 - (1//2)*atan(ℯ^(2*x)), x, 3),
+(log(2 + 3*x^2), -2*x + 2*sqrt(2//3)*atan(sqrt(3//2)*x) + x*log(2 + 3*x^2), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Appendix D - MacIntosh Integration Problems
+
+
+(1/(r*sqrt(2*H*r^2 - a^2)), x/(r*sqrt(-a^2 + 2*H*r^2)), x, 1),
+(1/(r*sqrt(2*H*r^2 - a^2 - e^2)), x/(r*sqrt(-a^2 - e^2 + 2*H*r^2)), x, 1),
+(1/(r*sqrt(2*H*r^2 - a^2 - 2*K*r^4)), x/(r*sqrt(-a^2 + 2*H*r^2 - 2*K*r^4)), x, 1),
+(1/(r*sqrt(2*H*r^2 - a^2 - e^2 - 2*K*r^4)), x/(r*sqrt(-a^2 - e^2 + 2*H*r^2 - 2*K*r^4)), x, 1),
+(1/(r*sqrt(2*H*r^2 - a^2 - 2*K*r)), x/(r*sqrt(-a^2 - 2*r*(K - H*r))), x, 1),
+# {1/(r*Sqrt[2*H*r^2 - a^2 - e^2 - 2*K*r]), x, 1, If[$VersionNumber>=8, x/(r*Sqrt[-a^2 - e^2 - 2*r*(K - H*r)]), x/(r*Sqrt[-a^2 - e^2 - 2*K*r + 2*H*r^2])]}
+(r/sqrt(2*ℯ*r^2 - a^2), (r*x)/sqrt(-a^2 + 2*ℯ*r^2), x, 1),
+(r/sqrt(2*ℯ*r^2 - a^2 - e^2), (r*x)/sqrt(-a^2 - e^2 + 2*ℯ*r^2), x, 1),
+(r/sqrt(2*ℯ*r^2 - a^2 - 2*K*r^4), (r*x)/sqrt(-a^2 + 2*ℯ*r^2 - 2*K*r^4), x, 1),
+(r/sqrt(2*ℯ*r^2 - a^2 - e^2 - 2*K*r^4), (r*x)/sqrt(-a^2 - e^2 + 2*ℯ*r^2 - 2*K*r^4), x, 1),
+# {r/Sqrt[2*H*r^2 - a^2 - e^2 - 2*K*r], x, 1, If[$VersionNumber>=8, (r*x)/Sqrt[-a^2 - e^2 - 2*r*(K - H*r)], (r*x)/Sqrt[-a^2 - e^2 - 2*K*r + 2*H*r^2]]}
+]
+# Total integrals translated: 109
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Stewart Problems.jl b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Stewart Problems.jl
new file mode 100644
index 00000000..7559d336
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Stewart Problems.jl	
@@ -0,0 +1,465 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# James Stewart - Calculus (1987)
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Section 7.1 - Integration by Parts
+
+
+(x^n, x^(1 + n)/(1 + n), x, 1),
+(ℯ^x, ℯ^x, x, 1),
+(1/x, log(x), x, 1),
+(a^x, a^x/log(a), x, 1),
+
+(sin(x), -cos(x), x, 1),
+(cos(x), sin(x), x, 1),
+(sec(x)^2, tan(x), x, 2),
+(csc(x)^2, -cot(x), x, 2),
+(sec(x)*tan(x), sec(x), x, 2),
+(csc(x)*cot(x), -csc(x), x, 2),
+
+(sinh(x), cosh(x), x, 1),
+(cosh(x), sinh(x), x, 1),
+(tan(x), -log(cos(x)), x, 1),
+(cot(x), log(sin(x)), x, 1),
+
+
+(x*sin(x), -x*cos(x) + sin(x), x, 2),
+(log(x), -x + x*log(x), x, 1),
+(x^2*ℯ^x, 2*ℯ^x - 2*ℯ^x*x + ℯ^x*x^2, x, 3),
+(ℯ^x*sin(x), -1//2*ℯ^x*cos(x) + (1//2)*ℯ^x*sin(x), x, 1),
+(atan(x), x*atan(x) - log(1 + x^2)/2, x, 2),
+
+
+(x*ℯ^(2*x), -ℯ^(2*x)/4 + (ℯ^(2*x)*x)/2, x, 2),
+(x*cos(x), cos(x) + x*sin(x), x, 2),
+(x*sin(4*x), -(x*cos(4*x))/4 + sin(4*x)/16, x, 2),
+(x*log(x), -x^2//4 + (x^2*log(x))/2, x, 1),
+(x^2*cos(3*x), (2*x*cos(3*x))/9 - (2*sin(3*x))/27 + (x^2*sin(3*x))/3, x, 3),
+(x^2*sin(2*x), cos(2*x)/4 - (x^2*cos(2*x))/2 + (x*sin(2*x))/2, x, 3),
+(log(x)^2, 2*x - 2*x*log(x) + x*log(x)^2, x, 2),
+(asin(x), sqrt(1 - x^2) + x*asin(x), x, 2),
+(t*cos(t)*sin(t), -t/4 + (cos(t)*sin(t))/4 + (t*sin(t)^2)/2, t, 3),
+(t*sec(t)^2, log(cos(t)) + t*tan(t), t, 2),
+
+(t^2*log(t), -t^3//9 + (t^3*log(t))/3, t, 1),
+(t^3*ℯ^t, -6*ℯ^t + 6*ℯ^t*t - 3*ℯ^t*t^2 + ℯ^t*t^3, t, 4),
+(ℯ^(2*t)*sin(3*t), (-3*ℯ^(2*t)*cos(3*t))/13 + (2*ℯ^(2*t)*sin(3*t))/13, t, 1),
+(cos(3*t)/ℯ^t, -cos(3*t)/(10*ℯ^t) + (3*sin(3*t))/(10*ℯ^t), t, 1),
+(y*sinh(y), y*cosh(y) - sinh(y), y, 2),
+(y*cosh(a*y), -(cosh(a*y)/a^2) + (y*sinh(a*y))/a, y, 2),
+(t/ℯ^t, -ℯ^(-t) - t/ℯ^t, t, 2),
+(sqrt(t)*log(t), (-4*t^(3//2))/9 + (2*t^(3//2)*log(t))/3, t, 1),
+(x*cos(2*x), cos(2*x)/4 + (x*sin(2*x))/2, x, 2),
+(x^2/ℯ^x, -2/ℯ^x - (2*x)/ℯ^x - x^2/ℯ^x, x, 3),
+
+(acos(x), -sqrt(1 - x^2) + x*acos(x), x, 2),
+(x*csc(x)^2, -(x*cot(x)) + log(sin(x)), x, 2),
+(sin(3*x)*cos(5*x), (1//4)*cos(2*x) - (1//16)*cos(8*x), x, 1),
+(sin(2*x)*sin(4*x), (1//4)*sin(2*x) - (1//12)*sin(6*x), x, 1),
+(cos(x)*log(sin(x)), -sin(x) + log(sin(x))*sin(x), x, 2),
+(x^3*ℯ^(x^2), -ℯ^x^2//2 + (ℯ^x^2*x^2)/2, x, 2),
+((3 + 2*x)*ℯ^x, -2*ℯ^x + ℯ^x*(3 + 2*x), x, 2),
+(x*5^x, -(5^x/log(5)^2) + (5^x*x)/log(5), x, 2),
+(cos(log(x)), (x*cos(log(x)))/2 + (x*sin(log(x)))/2, x, 1),
+(ℯ^sqrt(x), -2*ℯ^sqrt(x) + 2*ℯ^sqrt(x)*sqrt(x), x, 3),
+
+(log(sqrt(x)), -x/2 + x*log(sqrt(x)), x, 1),
+(sin(log(x)), -(x*cos(log(x)))/2 + (x*sin(log(x)))/2, x, 1),
+(sin(sqrt(x)), -2*sqrt(x)*cos(sqrt(x)) + 2*sin(sqrt(x)), x, 3),
+(x^5*cos(x^3), cos(x^3)/3 + (x^3*sin(x^3))/3, x, 3),
+(x^5*ℯ^(x^2), ℯ^x^2 - ℯ^x^2*x^2 + (ℯ^x^2*x^4)/2, x, 3),
+(x*atan(x), -x/2 + atan(x)/2 + (x^2*atan(x))/2, x, 3),
+
+
+(x*cos(π*x), cos(π*x)/π^2 + (x*sin(π*x))/π, x, 2),
+(sqrt(x)*log(x), (-4*x^(3//2))/9 + (2*x^(3//2)*log(x))/3, x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Section 7.2 - Trigonometric Integrals
+
+
+(sin(3*x)^2, x/2 - (cos(3*x)*sin(3*x))/6, x, 2),
+(cos(x)^2, x/2 + (cos(x)*sin(x))/2, x, 2),
+(cos(x)^4, (3*x)/8 + (3*cos(x)*sin(x))/8 + (cos(x)^3*sin(x))/4, x, 3),
+(sin(x)^3, -cos(x) + cos(x)^3//3, x, 2),
+(sin(x)^3*cos(x)^4, -cos(x)^5//5 + cos(x)^7//7, x, 3),
+(sin(x)^4*cos(x)^3, sin(x)^5//5 - sin(x)^7//7, x, 3),
+(sin(x)^4*cos(x)^2, x/16 + (cos(x)*sin(x))/16 - (cos(x)^3*sin(x))/8 - (cos(x)^3*sin(x)^3)/6, x, 4),
+(sin(x)^2*cos(x)^2, x/8 + (cos(x)*sin(x))/8 - (cos(x)^3*sin(x))/4, x, 3),
+((1 - sin(2*x))^2, (3*x)/2 + cos(2*x) - (cos(2*x)*sin(2*x))/4, x, 1),
+(sin(x + π/6)*cos(x), x/4 - cos(π/6 + 2*x)/4, x, 3),
+
+(cos(x)^5*sin(x)^5, sin(x)^6//6 - sin(x)^8//4 + sin(x)^10//10, x, 4),
+(sin(x)^6, (5*x)/16 - (5*cos(x)*sin(x))/16 - (5*cos(x)*sin(x)^3)/24 - (cos(x)*sin(x)^5)/6, x, 4),
+(cos(x)^6, (5*x)/16 + (5//16)*cos(x)*sin(x) + (5//24)*cos(x)^3*sin(x) + (1//6)*cos(x)^5*sin(x), x, 4),
+(sin(2*x)^2*cos(2*x)^4, x/16 + (1//32)*cos(2*x)*sin(2*x) + (1//48)*cos(2*x)^3*sin(2*x) - (1//12)*cos(2*x)^5*sin(2*x), x, 4),
+(sin(x)^5, -cos(x) + (2*cos(x)^3)/3 - cos(x)^5//5, x, 2),
+(sin(x)^4*cos(x)^4, (3*x)/128 + (3//128)*cos(x)*sin(x) + (1//64)*cos(x)^3*sin(x) - (1//16)*cos(x)^5*sin(x) - (1//8)*cos(x)^5*sin(x)^3, x, 5),
+(sin(x)^3*sqrt(cos(x)), (-2*cos(x)^(3//2))/3 + (2*cos(x)^(7//2))/7, x, 3),
+(cos(x)^3*sqrt(sin(x)), (2//3)*sin(x)^(3//2) - (2//7)*sin(x)^(7//2), x, 3),
+(cos(sqrt(x))^2/sqrt(x), sqrt(x) + cos(sqrt(x))*sin(sqrt(x)), x, 3),
+(x*sin(x^2)^3, -cos(x^2)/2 + cos(x^2)^3//6, x, 3),
+
+(cos(x)^2*tan(x)^3, cos(x)^2//2 - log(cos(x)), x, 3),
+(cot(x)^5*sin(x)^2, (-(1//2))*csc(x)^2 - 2*log(sin(x)) + sin(x)^2//2, x, 4),
+((1 - sin(x))/cos(x), log(1 + sin(x)), x, 2),
+(1/(1 - sin(x)), cos(x)/(1 - sin(x)), x, 1),
+(tan(x)^2, -x + tan(x), x, 2),
+(tan(x)^4, x - tan(x) + tan(x)^3//3, x, 3),
+(sec(x)^4, tan(x) + tan(x)^3//3, x, 2),
+(sec(x)^6, tan(x) + (2*tan(x)^3)/3 + tan(x)^5//5, x, 2),
+(tan(x)^4*sec(x)^2, tan(x)^5//5, x, 2),
+(tan(x)^2*sec(x)^4, tan(x)^3//3 + tan(x)^5//5, x, 3),
+
+(tan(x)*sec(x)^3, sec(x)^3//3, x, 2),
+(tan(x)^3*sec(x)^3, -sec(x)^3//3 + sec(x)^5//5, x, 3),
+(tan(x)^5, -log(cos(x)) - tan(x)^2//2 + tan(x)^4//4, x, 3),
+(tan(x)^6, -x + tan(x) - tan(x)^3//3 + tan(x)^5//5, x, 4),
+(tan(x)^5*sec(x), sec(x) - (2*sec(x)^3)/3 + sec(x)^5//5, x, 3),
+(tan(x)^5*sec(x)^3, sec(x)^3//3 - (2*sec(x)^5)/5 + sec(x)^7//7, x, 3),
+(tan(x)*sec(x)^6, sec(x)^6//6, x, 2),
+(tan(x)^3*sec(x)^6, (-(1//6))*sec(x)^6 + sec(x)^8//8, x, 3),
+(sec(x)^2/cot(x), sec(x)^2//2, x, 2),
+(sec(x)*tan(x)^2, -atanh(sin(x))/2 + (sec(x)*tan(x))/2, x, 2),
+
+(cot(x)^2, -x - cot(x), x, 2),
+(cot(x)^3, -cot(x)^2//2 - log(sin(x)), x, 2),
+(cot(x)^4*csc(x)^4, -cot(x)^5//5 - cot(x)^7//7, x, 3),
+(cot(x)^3*csc(x)^4, csc(x)^4//4 - csc(x)^6//6, x, 3),
+(csc(x), -atanh(cos(x)), x, 1),
+(csc(x)^3, -atanh(cos(x))/2 - (cot(x)*csc(x))/2, x, 2),
+(cos(x)^2/sin(x), -atanh(cos(x)) + cos(x), x, 3),
+(1/sin(x)^4, -cot(x) - cot(x)^3//3, x, 2),
+(sin(5*x)*sin(2*x), sin(3*x)/6 - sin(7*x)/14, x, 1),
+(sin(3*x)*cos(x), -cos(2*x)/4 - cos(4*x)/8, x, 1),
+
+(cos(3*x)*cos(4*x), sin(x)/2 + sin(7*x)/14, x, 1),
+(sin(3*x)*sin(6*x), sin(3*x)/6 - sin(9*x)/18, x, 1),
+(sin(x)*cos(x)^5, (-(1//6))*cos(x)^6, x, 2),
+(cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x), x/4 + (1//8)*sin(2*x) + (1//16)*sin(4*x) + (1//24)*sin(6*x), x, 5),
+((1 - tan(x)^2)/sec(x)^2, cos(x)*sin(x), x, 2),
+((cos(x) + sin(x))/sin(2*x), -atanh(cos(x))/2 + atanh(sin(x))/2, x, 6),
+
+(sin(x)^2*tan(x), cos(x)^2//2 - log(cos(x)), x, 3),
+(cos(x)^2*cot(x)^3, -csc(x)^2//2 - 2*log(sin(x)) + sin(x)^2//2, x, 4),
+(sec(x)^3*tan(x), sec(x)^3//3, x, 2),
+(sec(x)^3*tan(x)^3, -sec(x)^3//3 + sec(x)^5//5, x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Section 7.3 - Trigonometric Substitution
+
+
+(sqrt(9 - x^2)/x^2, -(sqrt(9 - x^2)/x) - asin(x/3), x, 2),
+(1/(x^2*sqrt(4 + x^2)), -sqrt(4 + x^2)/(4*x), x, 1),
+(x/sqrt(4 + x^2), sqrt(4 + x^2), x, 1),
+(1/sqrt(-a^2 + x^2), atanh(x/sqrt(-a^2 + x^2)), x, 2),
+(x^3/(9 + 4*x^2)^(3//2), 9/(16*sqrt(9 + 4*x^2)) + sqrt(9 + 4*x^2)/16, x, 3),
+(x/sqrt(3 - 2*x - x^2), -sqrt(3 - 2*x - x^2) + asin((-1 - x)/2), x, 3),
+
+
+(1/(x^2*sqrt(1 - x^2)), -(sqrt(1 - x^2)/x), x, 1),
+(x^3*sqrt(4 - x^2), (-4*(4 - x^2)^(3//2))/3 + (4 - x^2)^(5//2)/5, x, 3),
+(x/sqrt(1 - x^2), -sqrt(1 - x^2), x, 1),
+(x*sqrt(4 - x^2), -(4 - x^2)^(3//2)/3, x, 1),
+(sqrt(1 - 4*x^2), (x*sqrt(1 - 4*x^2))/2 + asin(2*x)/4, x, 2),
+(x^3/sqrt(x^2 + 4), -4*sqrt(4 + x^2) + (1//3)*(4 + x^2)^(3//2), x, 3),
+(1/sqrt(9 + x^2), asinh(x/3), x, 1),
+(sqrt(x^2 + 1), (x*sqrt(1 + x^2))/2 + asinh(x)/2, x, 2),
+(1/(x^3*sqrt(x^2 - 16)), sqrt(-16 + x^2)/(32*x^2) + atan(sqrt(-16 + x^2)/4)/128, x, 4),
+(sqrt(x^2 - a^2)/x^4, (-a^2 + x^2)^(3//2)/(3*a^2*x^3), x, 1),
+
+(sqrt(9*x^2 - 4)/x, sqrt(-4 + 9*x^2) - 2*atan(sqrt(-4 + 9*x^2)/2), x, 4),
+(1/(x^2*sqrt(16*x^2 - 9)), sqrt(-9 + 16*x^2)/(9*x), x, 1),
+(x^2/(a^2 - x^2)^(3//2), x/sqrt(a^2 - x^2) - atan(x/sqrt(a^2 - x^2)), x, 3),
+(x^2/sqrt(5 - x^2), -(x*sqrt(5 - x^2))/2 + (5*asin(x/sqrt(5)))/2, x, 2),
+(1/(x*sqrt(3 + x^2)), -(atanh(sqrt(3 + x^2)/sqrt(3))/sqrt(3)), x, 3),
+(x/(x^2 + 4)^(5//2), -1/(3*(4 + x^2)^(3//2)), x, 1),
+(x^3*sqrt(4 - 9*x^2), (-4*(4 - 9*x^2)^(3//2))/243 + (4 - 9*x^2)^(5//2)/405, x, 3),
+(x^2*sqrt(9 - x^2), (-9*x*sqrt(9 - x^2))/8 + (x^3*sqrt(9 - x^2))/4 + (81*asin(x/3))/8, x, 3),
+(5*x*sqrt(1 + x^2), (5*(1 + x^2)^(3//2))/3, x, 2),
+(1/(4*x^2 - 25)^(3//2), -x/(25*sqrt(-25 + 4*x^2)), x, 1),
+
+(sqrt(2*x - x^2), (-(1//2))*(1 - x)*sqrt(2*x - x^2) - (1//2)*asin(1 - x), x, 3),
+(1/sqrt(x^2 + 4*x + 8), asinh((2 + x)/2), x, 2),
+(1/sqrt(9*x^2 + 6*x - 8), atanh((1 + 3*x)/sqrt(-8 + 6*x + 9*x^2))/3, x, 2),
+(x^2/sqrt(4*x - x^2), -3*sqrt(4*x - x^2) - (1//2)*x*sqrt(4*x - x^2) - 6*asin(1 - x/2), x, 4),
+(1/(2 + 2*x + x^2)^2, (1 + x)/(2*(2 + 2*x + x^2)) + atan(1 + x)/2, x, 3),
+(1/(5 - 4*x - x^2)^(5//2), (2 + x)/(27*(5 - 4*x - x^2)^(3//2)) + (2*(2 + x))/(243*sqrt(5 - 4*x - x^2)), x, 2),
+(ℯ^t*sqrt(9 - ℯ^(2*t)), (ℯ^t*sqrt(9 - ℯ^(2*t)))/2 + (9*asin(ℯ^t/3))/2, t, 3),
+(sqrt(ℯ^(2*t) - 9), sqrt(-9 + ℯ^(2*t)) - 3*atan(sqrt(-9 + ℯ^(2*t))/3), t, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Section 7.4 - Integration of Rational Functions by Partial Fractions
+
+
+(1/sqrt(a^2 + x^2), atanh(x/sqrt(a^2 + x^2)), x, 2),
+((5 + x)/(-2 + x + x^2), 2*log(1 - x) - log(2 + x), x, 3),
+((x + x^3)/(-1 + x), 2*x + x^2//2 + x^3//3 + 2*log(1 - x), x, 3),
+((-1 + 2*x + x^2)/(-2*x + 3*x^2 + 2*x^3), log(1 - 2*x)/10 + log(x)/2 - log(2 + x)/10, x, 3),
+((1 + 4*x - 2*x^2 + x^4)/(1 - x - x^2 + x^3), 2/(1 - x) + x + x^2//2 + log(1 - x) - log(1 + x), x, 2),
+((4 - x + 2*x^2)/(4*x + x^3), -atan(x/2)/2 + log(x) + log(4 + x^2)/2, x, 6),
+((2 - 3*x + 4*x^2)/(3 - 4*x + 4*x^2), x + atan((1 - 2*x)/sqrt(2))/(4*sqrt(2)) + log(3 - 4*x + 4*x^2)/8, x, 6),
+((1 + x^2 + x^3)/((-1 + x)*x*(1 + x^2)^3*(1 + x + x^2)), (1 + x)/(8*(1 + x^2)^2) - (3*(1 - x))/(8*(1 + x^2)) + (3*x)/(16*(1 + x^2)) + (7*atan(x))/16 - atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) + log(1 - x)/8 - log(x) + (15*log(1 + x^2))/16 - log(1 + x + x^2)/2, x, 14),
+((1 - 3*x + 2*x^2 - x^3)/(x*(x^2 + 1)^2), -((1 + 2*x)/(2*(1 + x^2))) - 2*atan(x) + log(x) - (1//2)*log(1 + x^2), x, 6),
+(1/(x^2 + 1)^2, x/(2*(1 + x^2)) + atan(x)/2, x, 2),
+
+
+(1/((x - 1)*(2 + x)), log(1 - x)/3 - log(2 + x)/3, x, 3),
+(7/(-12 + 5*x + 2*x^2), (7*log(3 - 2*x))/11 - (7*log(4 + x))/11, x, 4),
+((-4 + 3*x + x^2)/((-1 + 2*x)^2*(3 + 2*x)), -9/(32*(1 - 2*x)) + (41*log(1 - 2*x))/128 - (25*log(3 + 2*x))/128, x, 2),
+((-x^2 + x^3)/((-6 + x)*(3 + 5*x)^3), -12/(1375*(3 + 5*x)^2) + 201/(15125*(3 + 5*x)) + (20*log(6 - x))/3993 + (1493*log(3 + 5*x))/499125, x, 3),
+(1/(-x^3 + x^4), 1/(2*x^2) + 1/x + log(1 - x) - log(x), x, 3),
+((1 - x - x^2 + x^3 + x^4)/(-x + x^3), x + x^2//2 - log(x) + log(1 - x^2)/2, x, 4),
+
+((x^2 - 2)/(x*(x^2 + 2)), -log(x) + log(2 + x^2), x, 3),
+((2 - 4*x^2 + x^3)/((1 + x^2)*(2 + x^2)), 6*atan(x) - 5*sqrt(2)*atan(x/sqrt(2)) - log(1 + x^2)/2 + log(2 + x^2), x, 8),
+((1 + x^2 + x^4)/((1 + x^2)*(4 + x^2)^2), (-13*x)/(24*(4 + x^2)) + (25*atan(x/2))/144 + atan(x)/9, x, 6),
+((1 + 16*x)/((5 + x)^2*(-3 + 2*x)*(1 + x + x^2)), -79/(273*(5 + x)) + (451*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(2793*sqrt(3)) + (200*log(3 - 2*x))/3211 + (2731*log(5 + x))/24843 - (481*log(1 + x + x^2))/5586, x, 6),
+(x^4/(9 + x^2)^3, -x^3/(4*(9 + x^2)^2) - (3*x)/(8*(9 + x^2)) + atan(x/3)/8, x, 3),
+((19*x)/((-1 + x)^3*(3 + 5*x + 4*x^2)^2), -399/(736*(1 - x)^2) - 1843/(4416*(1 - x)) + (19*(39 + 44*x))/(276*(1 - x)^2*(3 + 5*x + 4*x^2)) + (114437*atan((5 + 8*x)/sqrt(23)))/(52992*sqrt(23)) + (209*log(1 - x))/2304 - (209*log(3 + 5*x + 4*x^2))/4608, x, 8),
+((1 + x^2 + x^3)/(2*x^2 + x^3 + x^4), -1/(2*x) + atan((1 + 2*x)/sqrt(7))/(4*sqrt(7)) - log(x)/4 + (5*log(2 + x + x^2))/8, x, 7),
+(1/(-x^3 + x^6), 1/(2*x^2) - atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) + log(1 - x)/3 - log(1 + x + x^2)/6, x, 8),
+(x^2/(1 + x), -x + x^2//2 + log(1 + x), x, 2),
+(x/(-5 + x), x + 5*log(5 - x), x, 2),
+
+((-1 + 4*x)/((-1 + x)*(2 + x)), log(1 - x) + 3*log(2 + x), x, 2),
+(1/((1 + x)*(2 + x)), log(1 + x) - log(2 + x), x, 3),
+((-5 + 6*x)/(3 + 2*x), 3*x - 7*log(3 + 2*x), x, 2),
+(1/((a + x)*(b + x)), -(log(a + x)/(a - b)) + log(b + x)/(a - b), x, 3),
+((1 + x^2)/(-x + x^2), x + 2*log(1 - x) - log(x), x, 3),
+((1 - 12*x + x^2 + x^3)/(-12 + x + x^2), x^2//2 + log(3 - x)/7 - log(4 + x)/7, x, 5),
+((3 + 2*x)/(1 + x)^2, -(1 + x)^(-1) + 2*log(1 + x), x, 2),
+(1/(x*(1 + x)*(3 + 2*x)), log(x)/3 - log(1 + x) + (2*log(3 + 2*x))/3, x, 2),
+
+((-3 + 5*x + 6*x^2)/(-3*x + 2*x^2 + x^3), 2*log(1 - x) + log(x) + 3*log(3 + x), x, 3),
+(x/(4 + 4*x + x^2), 2/(2 + x) + log(2 + x), x, 3),
+(1/((-1 + x)^2*(4 + x)), 1/(5*(1 - x)) - log(1 - x)/25 + log(4 + x)/25, x, 2),
+(x^2/((-3 + x)*(2 + x)^2), 4/(5*(2 + x)) + (9*log(3 - x))/25 + (16*log(2 + x))/25, x, 2),
+((-2 + 3*x + 5*x^2)/(2*x^2 + x^3), x^(-1) + 2*log(x) + 3*log(2 + x), x, 3),
+((18 - 2*x - 4*x^2)/(-6 + x + 4*x^2 + x^3), log(1 - x) - 2*log(2 + x) - 3*log(3 + x), x, 2),
+((2*x + x^2)/(4 + 3*x^2 + x^3), log(4 + 3*x^2 + x^3)/3, x, 1),
+(1/((-1 + x)^2*x^2), (1 - x)^(-1) - x^(-1) - 2*log(1 - x) + 2*log(x), x, 2),
+
+(x^2/(1 + x)^3, -1/(2*(1 + x)^2) + 2/(1 + x) + log(1 + x), x, 2),
+(1/(-x^2 + x^4), x^(-1) - atanh(x), x, 3),
+((-x + 2*x^3)/(1 - x^2 + x^4), log(1 - x^2 + x^4)/2, x, 1),
+(x^3/(1 + x^2), x^2//2 - log(1 + x^2)/2, x, 3),
+((-1 + x)/(2 + 2*x + x^2), -2*atan(1 + x) + log(2 + 2*x + x^2)/2, x, 4),
+
+(x/(1 + x + x^2), -(atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3)) + log(1 + x + x^2)/2, x, 4),
+((7 + 5*x + 4*x^2)/(5 + 4*x + 4*x^2), x + (3//8)*atan(1//2 + x) + (1//8)*log(5 + 4*x + 4*x^2), x, 6),
+((5 - 4*x + 3*x^2)/((-1 + x)*(1 + x^2)), -3*atan(x) + 2*log(1 - x) + log(1 + x^2)/2, x, 5),
+((3 + 2*x)/(3*x + x^3), (2*atan(x/sqrt(3)))/sqrt(3) + log(x) - log(3 + x^2)/2, x, 6),
+(1/(-1 + x^3), -(atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3)) + log(1 - x)/3 - log(1 + x + x^2)/6, x, 6),
+(x^3/(1 + x^3), x + atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) - log(1 + x)/3 + log(1 - x + x^2)/6, x, 7),
+((-1 - 2*x + x^2)/((-1 + x)^2*(1 + x^2)), (-1 + x)^(-1) + atan(x) + log(1 - x) - log(1 + x^2)/2, x, 5),
+(x^4/(-1 + x^4), x - atan(x)/2 - atanh(x)/2, x, 4),
+
+((-4 + 6*x - x^2 + 3*x^3)/((1 + x^2)*(2 + x^2)), -3*atan(x) + sqrt(2)*atan(x/sqrt(2)) + (3*log(1 + x^2))/2, x, 6),
+((1 + x - 2*x^2 + x^3)/(4 + 5*x^2 + x^4), (-3*atan(x/2))/2 + atan(x) + log(4 + x^2)/2, x, 7),
+((-3 + x)/(4 + 2*x + x^2)^2, -(7 + 4*x)/(6*(4 + 2*x + x^2)) - (2*atan((1 + x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)), x, 3),
+((1 + x^4)/(x*(1 + x^2)^2), (1 + x^2)^(-1) + log(x), x, 3),
+((cos(x)*(-3 + 2*sin(x)))/(2 - 3*sin(x) + sin(x)^2), log(2 - 3*sin(x) + sin(x)^2), x, 2),
+((cos(x)^2*sin(x))/(5 + cos(x)^2), sqrt(5)*atan(cos(x)/sqrt(5)) - cos(x), x, 3),
+
+(1/(x^2 + 2*x - 3), log(1 - x)/4 - log(3 + x)/4, x, 3),
+(1/(x^2 - 2*x), log(2 - x)/2 - log(x)/2, x, 1),
+((2*x + 1)/(4*x^2 + 12*x - 7), log(1 - 2*x)/8 + (3*log(7 + 2*x))/8, x, 3),
+(x/(x^2 + x - 1), ((5 - sqrt(5))*log(1 - sqrt(5) + 2*x))/10 + ((5 + sqrt(5))*log(1 + sqrt(5) + 2*x))/10, x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Section 7.5 - Rationalization Substitutions
+
+
+((-32 + 5*x - 27*x^2 + 4*x^3)/(-70 - 299*x - 286*x^2 + 50*x^3 - 13*x^4 + 30*x^5), (3988*atan((1 + 2*x)/sqrt(19)))/(13685*sqrt(19)) - (3146*log(7 - 3*x))/80155 - (334*log(1 + 2*x))/323 + (4822*log(2 + 5*x))/4879 + (11049*log(5 + x + x^2))/260015, x, 6),
+((8 - 13*x^2 - 7*x^3 + 12*x^5)/(4 - 20*x + 41*x^2 - 80*x^3 + 116*x^4 - 80*x^5 + 100*x^6), 5828/(9075*(2 - 5*x)) - (313 + 502*x)/(1452*(1 + 2*x^2)) - (251*atan(sqrt(2)*x))/(726*sqrt(2)) + (272*sqrt(2)*atan(sqrt(2)*x))/1331 - (59096*log(2 - 5*x))/99825 + (2843*log(1 + 2*x^2))/7986, x, 7),
+(sqrt(4 + x)/x, 2*sqrt(4 + x) - 4*atanh(sqrt(4 + x)/2), x, 3),
+(1/(-x^(-1//3) + sqrt(x)), 2*sqrt(x) + (3//5)*sqrt(2*(5 - sqrt(5)))*atan((1 - sqrt(5) + 4*x^(1//6))/sqrt(2*(5 + sqrt(5)))) - (3//5)*sqrt(2*(5 + sqrt(5)))*atan((1//2)*sqrt((1//10)*(5 + sqrt(5)))*(1 + sqrt(5) + 4*x^(1//6))) + (6//5)*log(1 - x^(1//6)) - (3//10)*(1 + sqrt(5))*log(2 + x^(1//6) - sqrt(5)*x^(1//6) + 2*x^(1//3)) - (3//10)*(1 - sqrt(5))*log(2 + x^(1//6) + sqrt(5)*x^(1//6) + 2*x^(1//3)), x, 9),
+(1/(-4*cos(x) + 3*sin(x)), -atanh((3*cos(x) + 4*sin(x))/5)/5, x, 2),
+
+(1/(1 + sqrt(x)), 2*sqrt(x) - 2*log(1 + sqrt(x)), x, 3),
+(1/(1 + x^(-1//3)), 3*x^(1//3) - (3*x^(2//3))/2 + x - 3*log(1 + 1/x^(1//3)) - log(x), x, 3),
+(sqrt(x)/(1 + x), 2*sqrt(x) - 2*atan(sqrt(x)), x, 3),
+(1/(x*sqrt(1 + x)), -2*atanh(sqrt(1 + x)), x, 2),
+(1/(-x^(1//3) + x), (3*log(1 - x^(2//3)))/2, x, 2),
+(1/(x - sqrt(2 + x)), (4*log(2 - sqrt(2 + x)))/3 + (2*log(1 + sqrt(2 + x)))/3, x, 4),
+(x^2/sqrt(-1 + x), 2*sqrt(-1 + x) + (4*(-1 + x)^(3//2))/3 + (2*(-1 + x)^(5//2))/5, x, 2),
+(sqrt(-1 + x)/(1 + x), 2*sqrt(-1 + x) - 2*sqrt(2)*atan(sqrt(-1 + x)/sqrt(2)), x, 3),
+(1/sqrt(1 + sqrt(x)), -4*sqrt(1 + sqrt(x)) + (4*(1 + sqrt(x))^(3//2))/3, x, 3),
+(sqrt(x)/(x + x^2), 2*atan(sqrt(x)), x, 3),
+((1 + sqrt(x))/(-1 + sqrt(x)), 4*sqrt(x) + x + 4*log(1 - sqrt(x)), x, 3),
+((1 + x^(-1//3))/(-1 + x^(-1//3)), -6*x^(1//3) - 3*x^(2//3) - x - 6*log(1 - x^(1//3)), x, 4),
+(x^3/(1 + x^2)^(1//3), (-(3//4))*(1 + x^2)^(2//3) + (3//10)*(1 + x^2)^(5//3), x, 3),
+(sqrt(x)/(-x^(-1//3) + sqrt(x)), 6*x^(1//6) + x - (3//5)*sqrt(2*(5 + sqrt(5)))*atan((1 - sqrt(5) + 4*x^(1//6))/sqrt(2*(5 + sqrt(5)))) - (3//5)*sqrt(2*(5 - sqrt(5)))*atan((1//2)*sqrt((1//10)*(5 + sqrt(5)))*(1 + sqrt(5) + 4*x^(1//6))) + (6//5)*log(1 - x^(1//6)) - (3//10)*(1 - sqrt(5))*log(2 + x^(1//6) - sqrt(5)*x^(1//6) + 2*x^(1//3)) - (3//10)*(1 + sqrt(5))*log(2 + x^(1//6) + sqrt(5)*x^(1//6) + 2*x^(1//3)), x, 10),
+(1/(x^(-1//4) + sqrt(x)), 2*sqrt(x) + (4*atan((1 - 2*x^(1//4))/sqrt(3)))/sqrt(3) + (4*log(1 + x^(1//4)))/3 - (2*log(1 - x^(1//4) + sqrt(x)))/3, x, 9),
+(1/(x^(-1//3) + x^(-1//4)), 12*x^(1//12) - 6*x^(1//6) + 4*x^(1//4) - 3*x^(1//3) + (12*x^(5//12))/5 - 2*sqrt(x) + (12*x^(7//12))/7 - (3*x^(2//3))/2 + (4*x^(3//4))/3 - (6*x^(5//6))/5 + (12*x^(11//12))/11 - x + (12*x^(13//12))/13 - (6*x^(7//6))/7 + (4*x^(5//4))/5 - 12*log(1 + x^(1//12)), x, 4),
+(sqrt((1 - x)/x), sqrt(-1 + x^(-1))*x - atan(sqrt(-1 + x^(-1))), x, 5),
+(cos(x)/(sin(x) + sin(x)^2), log(sin(x)) - log(1 + sin(x)), x, 2),
+(ℯ^(2*x)/(2 + 3*ℯ^x + ℯ^(2*x)), -log(1 + ℯ^x) + 2*log(2 + ℯ^x), x, 4),
+(1/sqrt(1 + ℯ^x), -2*atanh(sqrt(1 + ℯ^x)), x, 3),
+(sqrt(1 - ℯ^x), 2*sqrt(1 - ℯ^x) - 2*atanh(sqrt(1 - ℯ^x)), x, 4),
+(1/(3 - 5*sin(x)), -log(cos(x/2) - 3*sin(x/2))/4 + log(3*cos(x/2) - sin(x/2))/4, x, 4),
+(1/(cos(x) + sin(x)), -(atanh((cos(x) - sin(x))/sqrt(2))/sqrt(2)), x, 2),
+(1/(1 - cos(x) + sin(x)), -log(1 + cot(x/2)), x, 2),
+(1/(4*cos(x) + 3*sin(x)), -atanh((3*cos(x) - 4*sin(x))/5)/5, x, 2),
+(1/(sin(x) + tan(x)), -atanh(cos(x))/2 + (cot(x)*csc(x))/2 - csc(x)^2//2, x, 6),
+(1/(2*sin(x) + sin(2*x)), log(tan(x/2))/4 + tan(x/2)^2//8, x, 4),
+(sec(x)/(1 + sin(x)), atanh(sin(x))/2 - 1/(2*(1 + sin(x))), x, 4),
+(1/(b*cos(x) + a*sin(x)), -(atanh((a*cos(x) - b*sin(x))/sqrt(a^2 + b^2))/sqrt(a^2 + b^2)), x, 2),
+(1/(b^2*cos(x)^2 + a^2*sin(x)^2), atan((a*tan(x))/b)/(a*b), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Section 7.6 - Strategy for Integration
+
+
+(x/(-1 + x^2), log(1 - x^2)/2, x, 1),
+((1 + sqrt(x))*sqrt(x), (2*x^(3//2))/3 + x^2//2, x, 2),
+(1/(1 - cos(x)), -(sin(x)/(1 - cos(x))), x, 1),
+(sec(x)*tan(x)^2, -atanh(sin(x))/2 + (sec(x)*tan(x))/2, x, 2),
+(sec(x)^3*tan(x)^3, -sec(x)^3//3 + sec(x)^5//5, x, 3),
+(ℯ^sqrt(x), -2*ℯ^sqrt(x) + 2*ℯ^sqrt(x)*sqrt(x), x, 3),
+((1 + x^5)/(-10*x - 3*x^2 + x^3), 19*x + (3*x^2)/2 + x^3//3 + (3126*log(5 - x))/35 - log(x)/10 - (31*log(2 + x))/14, x, 3),
+(1/(x*sqrt(log(x))), 2*sqrt(log(x)), x, 2),
+((5 + 2*x)/(-3 + x), 2*x + 11*log(3 - x), x, 2),
+(ℯ^(ℯ^x + x), ℯ^ℯ^x, x, 2),
+
+(cos(x)^2*sin(x)^2, x/8 + (cos(x)*sin(x))/8 - (cos(x)^3*sin(x))/4, x, 3),
+((-cos(x) + sin(x))/(cos(x) + sin(x)), -log(cos(x) + sin(x)), x, 1),
+(x/sqrt(1 - x^2), -sqrt(1 - x^2), x, 1),
+(x^3*log(x), -x^4//16 + (x^4*log(x))/4, x, 1),
+(sqrt(-2 + x)/(2 + x), 2*sqrt(-2 + x) - 4*atan(sqrt(-2 + x)/2), x, 3),
+(x/(2 + x)^2, 2/(2 + x) + log(2 + x), x, 2),
+(log(1 + x^2), -2*x + 2*atan(x) + x*log(1 + x^2), x, 3),
+(sqrt(1 + log(x))/(x*log(x)), -2*atanh(sqrt(1 + log(x))) + 2*sqrt(1 + log(x)), x, 4),
+((1 + sqrt(x))^8, (-2*(1 + sqrt(x))^9)/9 + (1 + sqrt(x))^10//5, x, 3),
+(sec(x)^4*tan(x)^3, (-(1//4))*sec(x)^4 + sec(x)^6//6, x, 3),
+
+(x/(2 - 2*x + x^2), -atan(1 - x) + log(2 - 2*x + x^2)/2, x, 4),
+(x*asin(x), (x*sqrt(1 - x^2))/4 - asin(x)/4 + (x^2*asin(x))/2, x, 3),
+(sqrt(9 - x^2)/x, sqrt(9 - x^2) - 3*atanh(sqrt(9 - x^2)/3), x, 4),
+(x/(2 + 3*x + x^2), -log(1 + x) + 2*log(2 + x), x, 3),
+(x^2*cosh(x), -2*x*cosh(x) + 2*sinh(x) + x^2*sinh(x), x, 3),
+((1 + x + x^3)/(4*x + 2*x^2 + x^4), log(4*x + 2*x^2 + x^4)/4, x, 1),
+(cos(x)/(1 + sin(x)^2), atan(sin(x)), x, 2),
+(cos(sqrt(x)), 2*cos(sqrt(x)) + 2*sqrt(x)*sin(sqrt(x)), x, 3),
+(sin(π*x), -(cos(π*x)/π), x, 1),
+(ℯ^(2*x)/(1 + ℯ^x), ℯ^x - log(1 + ℯ^x), x, 3),
+
+(ℯ^(3*x)*cos(5*x), (3*ℯ^(3*x)*cos(5*x))/34 + (5*ℯ^(3*x)*sin(5*x))/34, x, 1),
+(cos(3*x)*cos(5*x), sin(2*x)/4 + sin(8*x)/16, x, 1),
+(1/(1 + x + x^2 + x^3), atan(x)/2 + log(1 + x)/2 - log(1 + x^2)/4, x, 5),
+(x^2*log(1 + x), -x/3 + x^2//6 - x^3//9 + log(1 + x)/3 + (x^3*log(1 + x))/3, x, 3),
+(x^5/ℯ^x^3, -1/(3*ℯ^x^3) - x^3/(3*ℯ^x^3), x, 2),
+(tan(4*x)^2, -x + tan(4*x)/4, x, 2),
+(1/sqrt(-5 + 12*x + 9*x^2), atanh((2 + 3*x)/sqrt(-5 + 12*x + 9*x^2))/3, x, 2),
+(x^2*atan(x), -x^2//6 + (x^3*atan(x))/3 + log(1 + x^2)/6, x, 4),
+((1 - sqrt(x))/x^(1//3), (3*x^(2//3))/2 - (6*x^(7//6))/7, x, 2),
+(1/(-ℯ^(-x) + ℯ^x), -atanh(ℯ^x), x, 2),
+(x/(10 + 2*x^2 + x^4), (1//6)*atan((1//3)*(1 + x^2)), x, 3),
+
+(1/(x^(-1//3) + x), (3*log(1 + x^(4//3)))/4, x, 2),
+(cos(x)^4*sin(x)^2, x/16 + (cos(x)*sin(x))/16 + (cos(x)^3*sin(x))/24 - (cos(x)^5*sin(x))/6, x, 4),
+(1/sqrt(5 - 4*x - x^2), -asin((-2 - x)/3), x, 2),
+(x/(1 - x^2 + sqrt(1 - x^2)), -log(1 + sqrt(1 - x^2)), x, 3),
+((1 + cos(x))*csc(x), log(1 - cos(x)), x, 2),
+(ℯ^x/(-1 + ℯ^(2*x)), -atanh(ℯ^x), x, 2),
+(1/(-8 + x^3), -atan((1 + x)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) + log(2 - x)/12 - log(4 + 2*x + x^2)/24, x, 6),
+(x^5*cosh(x), -120*cosh(x) - 60*x^2*cosh(x) - 5*x^4*cosh(x) + 120*x*sinh(x) + 20*x^3*sinh(x) + x^5*sinh(x), x, 6),
+(log(tan(x))/(sin(x)*cos(x)), log(tan(x))^2//2, x, 1),
+
+(-2*x + x^2 + x^3, -x^2 + x^3//3 + x^4//4, x, 1),
+((1 + ℯ^x)/(1 - ℯ^x), x - 2*log(1 - ℯ^x), x, 3),
+(x/((1 + x^2)*(4 + x^2)), log(1 + x^2)/6 - log(4 + x^2)/6, x, 4),
+(1/(4 - 5*sin(x)), -log(cos(x/2) - 2*sin(x/2))/3 + log(2*cos(x/2) - sin(x/2))/3, x, 4),
+(x*(c + x)^(1//3), (-3*c*(c + x)^(4//3))/4 + (3*(c + x)^(7//3))/7, x, 2),
+(ℯ^x^(1//3), 6*ℯ^x^(1//3) - 6*ℯ^x^(1//3)*x^(1//3) + 3*ℯ^x^(1//3)*x^(2//3), x, 4),
+(1/(4 + x + sqrt(1 + x)), (-2*atan((1 + 2*sqrt(1 + x))/sqrt(11)))/sqrt(11) + log(4 + x + sqrt(1 + x)), x, 5),
+((1 + x^3)/(-x^2 + x^3), 1/x + x + 2*log(1 - x) - log(x), x, 3),
+
+((-3 + 4*x + x^2)*sin(2*x), (7*cos(2*x))/4 - 2*x*cos(2*x) - (x^2*cos(2*x))/2 + sin(2*x) + (x*sin(2*x))/2, x, 8),
+(cos(cos(x))*sin(x), -sin(cos(x)), x, 2),
+(1/sqrt(16 - x^2), asin(x/4), x, 1),
+(x^3/(1 + x)^10, 1/(9*(1 + x)^9) - 3/(8*(1 + x)^8) + 3/(7*(1 + x)^7) - 1/(6*(1 + x)^6), x, 2),
+(cot(2*x)^3*csc(2*x)^3, csc(2*x)^3//6 - csc(2*x)^5//10, x, 3),
+((x + sin(x))^2, x/2 + x^3//3 - 2*x*cos(x) + 2*sin(x) - (cos(x)*sin(x))/2, x, 6),
+(ℯ^atan(x)/(1 + x^2), ℯ^atan(x), x, 1),
+(1/(x*(1 + x^4)), log(x) - log(1 + x^4)/4, x, 4),
+(t^3/ℯ^(2*t), -3/(8*ℯ^(2*t)) - (3*t)/(4*ℯ^(2*t)) - (3*t^2)/(4*ℯ^(2*t)) - t^3/(2*ℯ^(2*t)), t, 4),
+(sqrt(t)/(1 + t^(1//3)), -6*t^(1//6) + 2*sqrt(t) - (6*t^(5//6))/5 + (6*t^(7//6))/7 + 6*atan(t^(1//6)), t, 7),
+
+(sin(x)*sin(2*x)*sin(3*x), -cos(2*x)/8 - cos(4*x)/16 + cos(6*x)/24, x, 5),
+(log(x/2), -x + x*log(x/2), x, 1),
+(sqrt((1 + x)/(1 - x)), -((1 - x)*sqrt((1 + x)/(1 - x))) + 2*atan(sqrt((1 + x)/(1 - x))), x, 3),
+((x*log(x))/sqrt(-1 + x^2), -sqrt(-1 + x^2) + atan(sqrt(-1 + x^2)) + sqrt(-1 + x^2)*log(x), x, 5),
+((a + x)/(a^2 + x^2), atan(x/a) + log(a^2 + x^2)/2, x, 3),
+(sqrt(1 + x - x^2), -((1 - 2*x)*sqrt(1 + x - x^2))/4 - (5*asin((1 - 2*x)/sqrt(5)))/8, x, 3),
+(x^4/(16 + x^10), atan(x^5//4)/20, x, 2),
+((2 + x)/(2 + x + x^2), (3*atan((1 + 2*x)/sqrt(7)))/sqrt(7) + log(2 + x + x^2)/2, x, 4),
+
+(x*sec(x)*tan(x), -atanh(sin(x)) + x*sec(x), x, 2),
+(x/(-a^4 + x^4), -atanh(x^2/a^2)/(2*a^2), x, 2),
+(1/(sqrt(x) + sqrt(1 + x)), (-2*x^(3//2))/3 + (2*(1 + x)^(3//2))/3, x, 3),
+(1/(1 - ℯ^(-x) + 2*ℯ^x), log(1 - 2*ℯ^x)/3 - log(1 + ℯ^x)/3, x, 4),
+(atan(sqrt(x))/sqrt(x), 2*sqrt(x)*atan(sqrt(x)) - log(1 + x), x, 2),
+(log(1 + x)/x^2, log(x) - log(1 + x) - log(1 + x)/x, x, 4),
+(1/(-ℯ^x + ℯ^(3*x)), ℯ^(-x) - atanh(ℯ^x), x, 3),
+((1 + cos(x)^2)/(1 - cos(x)^2), -x - 2*cot(x), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Section 7.?
+
+
+(1/(x*sqrt(-25 + 2*x)), (2*atan(sqrt(-25 + 2*x)/5))/5, x, 2),
+(sin(2*x)/sqrt(9 - cos(x)^4), -asin(cos(x)^2//3), x, 5),
+(x^2/sqrt(5 - 4*x^2), -(x*sqrt(5 - 4*x^2))/8 + (5*asin((2*x)/sqrt(5)))/16, x, 2),
+(x^3*sin(x), 6*x*cos(x) - x^3*cos(x) - 6*sin(x) + 3*x^2*sin(x), x, 4),
+(x*sqrt(4 + 2*x + x^2), -((1 + x)*sqrt(4 + 2*x + x^2))/2 + (4 + 2*x + x^2)^(3//2)/3 - (3*asinh((1 + x)/sqrt(3)))/2, x, 4),
+(x*(5 + x^2)^8, (5 + x^2)^9//18, x, 1),
+(cos(x)^2*sin(x)^5, -cos(x)^3//3 + (2*cos(x)^5)/5 - cos(x)^7//7, x, 3),
+(cos(4*x)/ℯ^(3*x), (-3*cos(4*x))/(25*ℯ^(3*x)) + (4*sin(4*x))/(25*ℯ^(3*x)), x, 1),
+(csc(x/2)^3, -atanh(cos(x/2)) - cot(x/2)*csc(x/2), x, 2),
+(sqrt(-1 + 9*x^2)/x^2, -(sqrt(-1 + 9*x^2)/x) + 3*atanh((3*x)/sqrt(-1 + 9*x^2)), x, 3),
+(sqrt(4 - 3*x^2)/x, sqrt(4 - 3*x^2) - 2*atanh(sqrt(4 - 3*x^2)/2), x, 4),
+(ℯ^(3*x)*x^2, (2*ℯ^(3*x))/27 - (2*ℯ^(3*x)*x)/9 + (ℯ^(3*x)*x^2)/3, x, 3),
+((cos(x)*sin(x))/sqrt(1 + sin(x)), -2*sqrt(1 + sin(x)) + (2*(1 + sin(x))^(3//2))/3, x, 3),
+(x*asin(x^2), sqrt(1 - x^4)/2 + (x^2*asin(x^2))/2, x, 3),
+(x^3*asin(x^2), (x^2*sqrt(1 - x^4))/8 - asin(x^2)/8 + (x^4*asin(x^2))/4, x, 5),
+(ℯ^x*sech(ℯ^x), atan(sinh(ℯ^x)), x, 2),
+(x^2*cos(3*x), (2*x*cos(3*x))/9 - (2*sin(3*x))/27 + (x^2*sin(3*x))/3, x, 3),
+(sqrt(5 - 4*x - x^2), ((2 + x)*sqrt(5 - 4*x - x^2))/2 - (9*asin((-2 - x)/3))/2, x, 3),
+(x^5/(sqrt(2) + x^2), -(x^2/sqrt(2)) + x^4//4 + log(sqrt(2) + x^2), x, 3),
+(sec(x)^5, (3*atanh(sin(x)))/8 + (3*sec(x)*tan(x))/8 + (sec(x)^3*tan(x))/4, x, 3),
+(sin(2*x)^6, (5*x)/16 - (5*cos(2*x)*sin(2*x))/32 - (5*cos(2*x)*sin(2*x)^3)/48 - (cos(2*x)*sin(2*x)^5)/12, x, 4),
+(cos(x)*log(sin(x))*sin(x)^2, -sin(x)^3//9 + (log(sin(x))*sin(x)^3)/3, x, 4),
+(1/(ℯ^x*(1 + 2*ℯ^x)), -ℯ^(-x) - 2*x + 2*log(1 + 2*ℯ^x), x, 3),
+(sqrt(2 + 3*cos(x))*tan(x), 2*sqrt(2)*atanh(sqrt(2 + 3*cos(x))/sqrt(2)) - 2*sqrt(2 + 3*cos(x)), x, 4),
+(x/sqrt(-4*x + x^2), sqrt(-4*x + x^2) + 4*atanh(x/sqrt(-4*x + x^2)), x, 3),
+(cos(x)^5, sin(x) - (2*sin(x)^3)/3 + sin(x)^5//5, x, 2),
+(x^4/ℯ^x, -24/ℯ^x - (24*x)/ℯ^x - (12*x^2)/ℯ^x - (4*x^3)/ℯ^x - x^4/ℯ^x, x, 5),
+(x^4/sqrt(-2 + x^10), atanh(x^5/sqrt(-2 + x^10))/5, x, 3),
+(ℯ^x*cos(4 + 3*x), (ℯ^x*cos(4 + 3*x))/10 + (3*ℯ^x*sin(4 + 3*x))/10, x, 1),
+# {E^x*Log[1 + E^x], x, 4, -E^x + (1 + E^x)*Log[1 + E^x], -E^x + Log[1 + E^x] + E^x*Log[1 + E^x]}
+(x^2*atan(x), -x^2//6 + (x^3*atan(x))/3 + log(1 + x^2)/6, x, 4),
+(sqrt(-1 + ℯ^(2*x)), sqrt(-1 + ℯ^(2*x)) - atan(sqrt(-1 + ℯ^(2*x))), x, 4),
+(ℯ^sin(x)*sin(2*x), -2*ℯ^sin(x) + 2*ℯ^sin(x)*sin(x), x, 4),
+(x^2*sqrt(5 - x^2), (-5*x*sqrt(5 - x^2))/8 + (x^3*sqrt(5 - x^2))/4 + (25*asin(x/sqrt(5)))/8, x, 3),
+(x^2*(1 + x^3)^4, (1 + x^3)^5//15, x, 1),
+(cos(x)^3*sin(x)^3, sin(x)^4//4 - sin(x)^6//6, x, 3),
+(sec(x)^4*tan(x)^2, tan(x)^3//3 + tan(x)^5//5, x, 3),
+(x*sqrt(1 + 2*x), -(1 + 2*x)^(3//2)/6 + (1 + 2*x)^(5//2)/10, x, 2),
+(sin(x)^4, (3*x)/8 - (3*cos(x)*sin(x))/8 - (cos(x)*sin(x)^3)/4, x, 3),
+(tan(x)^3, log(cos(x)) + tan(x)^2//2, x, 2),
+(x^5*sqrt(1 + x^2), (1 + x^2)^(3//2)/3 - (2*(1 + x^2)^(5//2))/5 + (1 + x^2)^(7//2)/7, x, 3),
+]
+# Total integrals translated: 375
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Timofeev Problems.jl b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Timofeev Problems.jl
new file mode 100644
index 00000000..b8fb1d68
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Timofeev Problems.jl	
@@ -0,0 +1,1422 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# A. F. Timofeev - Integration of Functions (1948)
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Chapter 1 Integration Problems
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 1 - 5 (p. 25)
+
+
+(1/(a^2 - b^2*x^2), atanh((b*x)/a)/(a*b), x, 1),
+(1/(a^2 + b^2*x^2), atan((b*x)/a)/(a*b), x, 1),
+(sec(2*a*x), atanh(sin(2*a*x))/(2*a), x, 1),
+(1/(4*sin(x/3)), (-3*atanh(cos(x/3)))/4, x, 2),
+(1/cos(3*π/4 - 2*x), -atanh(sin(π/4 + 2*x))/2, x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 6 - 11 (p. 25-26)
+
+
+(sec(x)*tan(x), sec(x), x, 2),
+(csc(x)*cot(x), -csc(x), x, 2),
+(tan(x)/sin(2*x), tan(x)/2, x, 2),
+(1/(1 + cos(x)), sin(x)/(1 + cos(x)), x, 1),
+(1/(1 - cos(x)), -(sin(x)/(1 - cos(x))), x, 1),
+(sin(x)/(a - b*cos(x)), log(a - b*cos(x))/b, x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 12 - 16 (p. 26)
+
+
+(cos(x)/(a^2 + b^2*sin(x)^2), atan((b*sin(x))/a)/(a*b), x, 2),
+(cos(x)/(a^2 - b^2*sin(x)^2), atanh((b*sin(x))/a)/(a*b), x, 2),
+(sin(2*x)/(a^2 + b^2*sin(x)^2), log(a^2 + b^2*sin(x)^2)/b^2, x, 3),
+(sin(2*x)/(a^2 - b^2*sin(x)^2), -log(a^2 - b^2*sin(x)^2)/b^2, x, 3),
+# {Sin[2*x]/(a^2 + b^2*Cos[x]^2), x, 3, -Log[a^2 + b^2*Cos[x]^2]/b^2, -Log[a^2 + b^2 - b^2*Sin[x]^2]/b^2}
+# {Sin[2*x]/(a^2 - b^2*Cos[x]^2), x, 3, Log[a^2 - b^2*Cos[x]^2]/b^2, Log[a^2 - b^2 + b^2*Sin[x]^2]/b^2}
+(1/(4 - cos(x)^2), x/(2*sqrt(3)) + (1/(2*sqrt(3)))*atan((cos(x)*sin(x))/(3 + 2*sqrt(3) + sin(x)^2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 17 - 21 (p. 26)
+
+
+(ℯ^x/(-1 + ℯ^(2*x)), -atanh(ℯ^x), x, 2),
+(1/(x*log(x)), log(log(x)), x, 2),
+(1/(x*(1 + log(x)^2)), atan(log(x)), x, 2),
+(1/(x*(1 - log(x))), -log(1 - log(x)), x, 2),
+(1/(x*(1 + log(x/a))), log(1 + log(x/a)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 22 - 26 (p. 27)
+
+
+((1 - sqrt(x) + x)^2/x^2, -1/x + 4/sqrt(x) - 4*sqrt(x) + x + 3*log(x), x, 3),
+((2 - x^(2//3))*(x + sqrt(x))/x^(3//2), 4*sqrt(x) - (3*x^(2//3))/2 - (6*x^(7//6))/7 + 2*log(x), x, 4),
+((2*x - 1)/(2*x + 3), x - 2*log(2*x + 3), x, 2),
+((2*x - 5)/(3*x^2 - 2), (1//12)*(4 - 5*sqrt(6))*log(sqrt(6) - 3*x) + (1//12)*(4 + 5*sqrt(6))*log(sqrt(6) + 3*x), x, 3),
+((2*x - 5)/(3*x^2 + 2), (-5*atan(sqrt(3//2)*x))/sqrt(6) + log(3*x^2 + 2)/3, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 27 - 33 (p. 27-28)
+
+
+(sin(x/4)*sin(x), (2*sin((3*x)/4))/3 - (2*sin((5*x)/4))/5, x, 1),
+(cos(3*x)*cos(4*x), sin(x)/2 + sin(7*x)/14, x, 1),
+(tan(x)*tan(x - a), -x + cot(a)*log(cos(x - a)) - cot(a)*log(cos(x)), x, 4),
+(sin(x)^2, x/2 - (cos(x)*sin(x))/2, x, 2),
+(cos(x)^2, x/2 + (cos(x)*sin(x))/2, x, 2),
+(sin(x)*cos(x)^3, -cos(x)^4//4, x, 2),
+(cos(x)^3/sin(x)^4, 1/sin(x) - 1/(3*sin(x)^3), x, 2),
+(1/(sin(x)^2*cos(x)^2), tan(x) - cot(x), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 34 - 37 (p. 28)
+
+
+(cot(3*x/4)^2, -x - (4*cot((3*x)/4))/3, x, 2),
+((1 + tan(2*x))^2, -log(cos(2*x)) + tan(2*x)/2, x, 2),
+((tan(x) - cot(x))^2, -4*x - cot(x) + tan(x), x, 4),
+((tan(x) - sec(x))^2, -x - (2*cos(x))/(1 + sin(x)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 38 - 40 (p. 28)
+
+
+(sin(x)/(1 + sin(x)), x + cos(x)/(1 + sin(x)), x, 2),
+(cos(x)/(1 - cos(x)), -x - sin(x)/(1 - cos(x)), x, 2),
+((ℯ^(x/2) - 1)^3*ℯ^(-x/2), 2/ℯ^(x/2) - 6*ℯ^(x/2) + ℯ^x + 3*x, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 41 - 43 (p. 35)
+
+
+(1/(5 - 6*x + x^2), -log(1 - x)/4 + log(5 - x)/4, x, 3),
+(x^2/(13 - 6*x^3 + x^6), (1//6)*atan((1//2)*(-3 + x^3)), x, 3),
+((2 + x)/(-1 - 4*x + x^2), ((5 - 4*sqrt(5))*log(2 - sqrt(5) - x))/10 + ((5 + 4*sqrt(5))*log(2 + sqrt(5) - x))/10, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 44 - 48c (p. 35-36)
+
+
+(1/(1 + (1 + x)^(1//3)), -3*(1 + x)^(1//3) + (3*(1 + x)^(2//3))/2 + 3*log(1 + (1 + x)^(1//3)), x, 4),
+(1/(sqrt(x)*(a*x + b)), (2*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(sqrt(a)*sqrt(b)), x, 2),
+(x^3*sqrt(1 + x^2), -(1 + x^2)^(3//2)/3 + (1 + x^2)^(5//2)/5, x, 3),
+(x/sqrt(a^4 - x^4), atan(x^2/sqrt(a^4 - x^4))/2, x, 3),
+(1/(x*sqrt(x^2 - a^2)), atan(sqrt(x^2 - a^2)/a)/a, x, 3),
+(1/(x*sqrt(a^2 - x^2)), -(atanh(sqrt(a^2 - x^2)/a)/a), x, 3),
+(1/(x*sqrt(x^2 + a^2)), -(atanh(sqrt(x^2 + a^2)/a)/a), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 49 - 54 (p. 36)
+
+
+(1/sqrt(2 + x - x^2), -asin((1 - 2*x)/3), x, 2),
+(1/sqrt(5 - 4*x + 3*x^2), -(asinh((2 - 3*x)/sqrt(11))/sqrt(3)), x, 2),
+(1/sqrt(x - x^2), -asin(1 - 2*x), x, 2),
+((1 + 2*x)/sqrt(2 + x - x^2), -2*sqrt(2 + x - x^2) - 2*asin((1 - 2*x)/3), x, 3),
+(1/(x*sqrt(2 + x - x^2)), -(atanh((4 + x)/(2*sqrt(2)*sqrt(2 + x - x^2)))/sqrt(2)), x, 2),
+# {1/((x - 2)*Sqrt[2 + x - x^2]), x, 1, 2*Sqrt[2 + x - x^2]/(3*(x - 2)), -((2*Sqrt[2 + x - x^2])/(3*(2 - x)))}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 55 - 60 (p. 36-37)
+
+
+((2 + 3*sin(x))/(sin(x)*(1 - cos(x))), -atanh(cos(x)) - 1/(1 - cos(x)) - (3*sin(x))/(1 - cos(x)), x, 7),
+# {1/(2 + 3*Cos[x]^2), x, 2, x/Sqrt[10] - 1/Sqrt[10]*ArcTan[3*Cos[x]*Sin[x]/(2 + Sqrt[10] + 3*Cos[x]^2)], x/Sqrt[10] - ArcTan[((-1 + Sqrt[5/2])*Cos[x]*Sin[x])/(1 + (-1 + Sqrt[5/2])*Cos[x]^2)]/Sqrt[10]}
+((1 - tan(x))/sin(2*x), log(tan(x))/2 - tan(x)/2, x, 3),
+((1 + tan(x)^2)/(1 - tan(x)^2), (1//2)*atanh(2*cos(x)*sin(x)), x, 2),
+# {(a^2 - 4*Cos[x]^2)^(3/4)*Sin[2*x], x, 3, (1/7)*(a^2 - 4*Cos[x]^2)^(7/4), 1/7*(a^2 - 4 + 4*Sin[x]^2)^(7/4)}
+(sin(2*x)/(a^2 - 4*sin(x)^2)^(1//3), -3//8*(a^2 - 4*sin(x)^2)^(2//3), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 61 - 65 (p. 37)
+
+
+(1/sqrt(a^(2*x) - 1), atan(sqrt(a^(2*x) - 1))/log(a), x, 3),
+(ℯ^(x/2)/sqrt(ℯ^x - 1), 2*atanh(ℯ^(x/2)/sqrt(ℯ^x - 1)), x, 3),
+(atan(x)^n/(1 + x^2), atan(x)^(n + 1)/(n + 1), x, 1),
+(asin(x/a)^(3//2)/sqrt(a^2 - x^2), (2*a*sqrt(1 - x^2/a^2)*asin(x/a)^(5//2))/(5*sqrt(a^2 - x^2)), x, 1),
+(1/(acos(x)^3*sqrt(1 - x^2)), 1/(2*acos(x)^2), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 66 - 68 (p. 41)
+
+
+(x*log(x)^2, x^2//4 - (x^2*log(x))/2 + (x^2*log(x)^2)/2, x, 2),
+(log(x)/x^5, -1/(16*x^4) - log(x)/(4*x^4), x, 1),
+# {x^2*Log[(x - 1)/x], x, 5, -x/3 - x^2/6 + x^3*Log[(x - 1)/x]/3 - Log[x - 1]/3, -(x/3) - x^2/6 + (1/3)*x^3*Log[1 - 1/x] - (1/3)*Log[1 - x]}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 69 - 71 (p. 41)
+
+
+(cos(x)^5, sin(x) - (2*sin(x)^3)/3 + sin(x)^5//5, x, 2),
+(sin(x)^2*cos(x)^4, x/16 + (cos(x)*sin(x))/16 + (cos(x)^3*sin(x))/24 - (cos(x)^5*sin(x))/6, x, 4),
+(1/sin(x)^5, (-3*atanh(cos(x)))/8 - (3*cot(x)*csc(x))/8 - (cot(x)*csc(x)^3)/4, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 72 - 76 (p. 42)
+
+
+(sin(x)/ℯ^x, -cos(x)/(2*ℯ^x) - sin(x)/(2*ℯ^x), x, 1),
+(ℯ^(2*x)*sin(3*x), (-3*ℯ^(2*x)*cos(3*x))/13 + (2*ℯ^(2*x)*sin(3*x))/13, x, 1),
+(a^x*cos(x), (a^x*cos(x)*log(a))/(1 + log(a)^2) + (a^x*sin(x))/(1 + log(a)^2), x, 1),
+(cos(log(x)), (x*cos(log(x)))/2 + (x*sin(log(x)))/2, x, 1),
+(sec(x)^2*log(cos(x)), -x + tan(x) + log(cos(x))*tan(x), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 77 - 81 (p. 42)
+
+
+(x*tan(x)^2, -x^2//2 + log(cos(x)) + x*tan(x), x, 3),
+(asin(x)/x^2, -(asin(x)/x) - atanh(sqrt(1 - x^2)), x, 4),
+(asin(x)^2, -2*x + 2*sqrt(1 - x^2)*asin(x) + x*asin(x)^2, x, 3),
+(atan(x)*x^2/(1 + x^2), x*atan(x) - atan(x)^2//2 - log(1 + x^2)/2, x, 4),
+# {ArcCos[Sqrt[x/(1 + x)]], x, 6, (1 + x)*(Sqrt[1/(1 + x)]*Sqrt[x/(1 + x)] + ArcCos[Sqrt[x/(1 + x)]]), Sqrt[x/(1 + x)^2]*(1 + x) + x*ArcCos[Sqrt[x/(1 + x)]] - (Sqrt[x/(1 + x)^2]*(1 + x)*ArcTan[Sqrt[x]])/Sqrt[x]}
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Chapter 2 Integration Problems
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 1 - 3 (p. 60)
+
+
+((3*x^2 + 2*x)^3, 2*x^4 + (36*x^5)/5 + 9*x^6 + (27*x^7)/7, x, 2),
+((3*x^2 + 2*x - 1)^2*(x - 1), -x + (5*x^2)/2 - (2*x^3)/3 - (7*x^4)/2 + (3*x^5)/5 + (3*x^6)/2, x, 2),
+((a + b*x^k)^n*x^(k - 1), (a + b*x^k)^(1 + n)/(b*k*(1 + n)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 4 - 9 (p. 62-63)
+
+
+(x^3/(1 + 2*x), x/8 - x^2//8 + x^3//6 - (1//16)*log(1 + 2*x), x, 2),
+(x^6/(2 + 3*x^2), (4*x)/27 - (2*x^3)/27 + x^5//15 - (4//27)*sqrt(2//3)*atan(sqrt(3//2)*x), x, 3),
+(1/(3*x^2 - 7*x + 2), (-(1//5))*log(1 - 3*x) + (1//5)*log(2 - x), x, 3),
+((3*x - 1)/(x^2 - x + 1), -(atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3)) + (3//2)*log(1 - x + x^2), x, 4),
+(x^2/(5 + 2*x + x^2), x - (3//2)*atan((1 + x)/2) - log(5 + 2*x + x^2), x, 5),
+((6*x^4 - 5*x^3 + 4*x^2)/(2*x^2 - x + 1), -(x^2//2) + x^3 - atan((1 - 4*x)/sqrt(7))/(2*sqrt(7)) + (1//4)*log(1 - x + 2*x^2), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 10 - 14 (p. 63)
+
+
+((x^2 + x - 1)/(x^3 + x^2 - 6*x), (1//2)*log(2 - x) + log(x)/6 + (1//3)*log(3 + x), x, 3),
+((5*x^2 - 7*a*x + 11*a^2)/(x^3 - 6*a*x^2 + 11*a^2*x - 6*a^3), (9//2)*log(a - x) - 17*log(2*a - x) + (35//2)*log(3*a - x), x, 2),
+# {(x^2 - x + 2)/(x^4 - 5*x^2 + 4), x, 12, (-(1/3))*Log[1 - x] + (1/3)*Log[2 - x] + (2/3)*Log[1 + x] - (2/3)*Log[2 + x], (-(1/2))*Log[1 - x] + (1/2)*Log[2 - x] + (1/2)*Log[1 + x] - (1/2)*Log[2 + x] + (1/6)*Log[1 - x^2] - (1/6)*Log[4 - x^2]}
+((2*x^2 - 5)/(x^4 - 5*x^2 + 6), -(atanh(x/sqrt(2))/sqrt(2)) - atanh(x/sqrt(3))/sqrt(3), x, 3),
+(1/((x - 1)*(x - 2)*(x - 3)*(x - 4)), (-(1//6))*log(1 - x) + (1//2)*log(2 - x) - (1//2)*log(3 - x) + (1//6)*log(4 - x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 15 - 17 (p. 64)
+
+
+((x^2 + 1)/(x - 1)^3, -(1/(1 - x)^2) + 2/(1 - x) + log(1 - x), x, 2),
+(x^5/(3 + x)^2, -108*x + (27*x^2)/2 - 2*x^3 + x^4//4 + 243/(3 + x) + 405*log(3 + x), x, 2),
+((5*x^3 - 2)/(x^4 - 8*x^3 + 18*x^2 - 27), -(133/(8*(3 - x)^2)) + 407/(16*(3 - x)) + (313//64)*log(3 - x) + (7//64)*log(1 + x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 18 - 20 (p. 65)
+
+
+((x^3 - 6*x^2 + 3*x - 9)/((x + 3)^2*(x + 4)^2), 99/(3 + x) + 181/(4 + x) + 264*log(3 + x) - 263*log(4 + x), x, 2),
+((x^3 + x^2 + 2)/(x*(x^2 - 1)^2), (3 + x)/(2*(1 - x^2)) - (3//4)*log(1 - x) + 2*log(x) - (5//4)*log(1 + x), x, 3),
+(1/(x^3 - x^4 - x^5 + x^6), 1/(2*(1 - x)) - 1/(2*x^2) - 1/x - (7//4)*log(1 - x) + 2*log(x) - (1//4)*log(1 + x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 21 - 25 (p. 66)
+
+
+((x^4 + 1)/(x^3 - x^2 + x - 1), x + x^2//2 - atan(x) + log(1 - x) - (1//2)*log(1 + x^2), x, 5),
+(1/(x*(1 + x)*(1 + x^2)), -(atan(x)/2) + log(x) - (1//2)*log(1 + x) - (1//4)*log(1 + x^2), x, 5),
+(x^2/(x^4 + x^2 - 2), (1//3)*sqrt(2)*atan(x/sqrt(2)) - atanh(x)/3, x, 3),
+((x^3 + 4*x^2 + 6*x)/(x^4 + 2*x^3 + 3*x^2 + 4*x + 2), 1/(1 + x) + (4//3)*sqrt(2)*atan(x/sqrt(2)) - (1//3)*log(1 + x) + (2//3)*log(2 + x^2), x, 6),
+(x/((1 + x)*(1 + 2*x)^2*(1 + x^2)), 2/(5*(1 + 2*x)) + atan(x)/50 - (1//2)*log(1 + x) + (16//25)*log(1 + 2*x) - (7//100)*log(1 + x^2), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 26 - 27 (p. 67)
+
+
+((3*x^2 + x - 2)/((x - 1)^3*(x^2 + 1)), -(1/(2*(1 - x)^2)) + 5/(2*(1 - x)) - atan(x) - (3//2)*log(1 - x) + (3//4)*log(1 + x^2), x, 5),
+(1/(x^4 + x^2 + 1), -(atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3))) + atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - (1//4)*log(1 - x + x^2) + (1//4)*log(1 + x + x^2), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 28 - 32 (p. 68)
+
+
+((2*x^3 + 3)/(x^5 - 9*x), atan(x/sqrt(3))/sqrt(3) - atanh(x/sqrt(3))/sqrt(3) - log(x)/3 + (1//12)*log(9 - x^4), x, 10),
+((5*x^3 + 8*x - 20)/((x - 4)^3*(x^2 - 4*x + 8)), -(83/(4*(4 - x)^2)) + 41/(4*(4 - x)) - (3//16)*atan(1 - x/2) - (45//16)*log(4 - x) + (45//32)*log(8 - 4*x + x^2), x, 6),
+(1/((x^2 + 1)*(x^2 + 2)*(x^2 + 3)*(x^2 + 4)), (-(1//12))*atan(x/2) + atan(x)/6 - atan(x/sqrt(2))/(2*sqrt(2)) + atan(x/sqrt(3))/(2*sqrt(3)), x, 6),
+(x/((x^2 + 1)*(x^2 + 2)*(x^2 + 3)*(x^2 + 4)), (1//12)*log(1 + x^2) - (1//4)*log(2 + x^2) + (1//4)*log(3 + x^2) - (1//12)*log(4 + x^2), x, 3),
+(1/(a^3 + x^3), -(atan((a - 2*x)/(sqrt(3)*a))/(sqrt(3)*a^2)) + log(a + x)/(3*a^2) - log(a^2 - a*x + x^2)/(6*a^2), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 33 - 44 (p. 69)
+
+
+(x/(a^3 + x^3), -(atan((a - 2*x)/(sqrt(3)*a))/(sqrt(3)*a)) - log(a + x)/(3*a) + log(a^2 - a*x + x^2)/(6*a), x, 6),
+(x^2/(a^3 + x^3), (1//3)*log(a^3 + x^3), x, 1),
+(1/(x*(a^3 + x^3)), log(x)/a^3 - log(a^3 + x^3)/(3*a^3), x, 4),
+(1/(x^2*(a^3 + x^3)), -(1/(a^3*x)) + atan((a - 2*x)/(sqrt(3)*a))/(sqrt(3)*a^4) + log(a + x)/(3*a^4) - log(a^2 - a*x + x^2)/(6*a^4), x, 7),
+(1/(x^3*(a^3 + x^3)), -(1/(2*a^3*x^2)) + atan((a - 2*x)/(sqrt(3)*a))/(sqrt(3)*a^5) - log(a + x)/(3*a^5) + log(a^2 - a*x + x^2)/(6*a^5), x, 7),
+(1/(x^4*(a^3 + x^3)), -(1/(3*a^3*x^3)) - log(x)/a^6 + log(a^3 + x^3)/(3*a^6), x, 3),
+(1/(x^5*(a^3 + x^3)), -(1/(4*a^3*x^4)) + 1/(a^6*x) - atan((a - 2*x)/(sqrt(3)*a))/(sqrt(3)*a^7) - log(a + x)/(3*a^7) + log(a^2 - a*x + x^2)/(6*a^7), x, 8),
+(1/(x^m*(a^3 + x^3)), (x^(1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 - m)/3, (4 - m)/3, -(x^3/a^3)))/(a^3*(1 - m)), x, 1),
+(1/(a^4 - x^4), atan(x/a)/(2*a^3) + atanh(x/a)/(2*a^3), x, 3),
+(x/(a^4 - x^4), atanh(x^2/a^2)/(2*a^2), x, 2),
+(1/(x*(a^4 - x^4)), log(x)/a^4 - log(a^4 - x^4)/(4*a^4), x, 4),
+(1/(x^2*(a^4 - x^4)), -(1/(a^4*x)) - atan(x/a)/(2*a^5) + atanh(x/a)/(2*a^5), x, 4),
+(1/(x^3*(a^4 - x^4)), -(1/(2*a^4*x^2)) + atanh(x^2/a^2)/(2*a^6), x, 3),
+(1/(x^4*(a^4 - x^4)), -(1/(3*a^4*x^3)) + atan(x/a)/(2*a^7) + atanh(x/a)/(2*a^7), x, 4),
+(1/(x^m*(a^4 - x^4)), (x^(1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 - m)/4, (5 - m)/4, x^4/a^4))/(a^4*(1 - m)), x, 1),
+(x/(a^4 + x^4), atan(x^2/a^2)/(2*a^2), x, 2),
+(x^2/(a^4 + x^4), -(atan(1 - (sqrt(2)*x)/a)/(2*sqrt(2)*a)) + atan(1 + (sqrt(2)*x)/a)/(2*sqrt(2)*a) + log(a^2 - sqrt(2)*a*x + x^2)/(4*sqrt(2)*a) - log(a^2 + sqrt(2)*a*x + x^2)/(4*sqrt(2)*a), x, 9),
+(1/(a^5 + x^5), -((sqrt((1//2)*(5 + sqrt(5)))*atan(((1 - sqrt(5))*a - 4*x)/(sqrt(2*(5 + sqrt(5)))*a)))/(5*a^4)) - (sqrt((1//2)*(5 - sqrt(5)))*atan((sqrt((1//10)*(5 + sqrt(5)))*((1 + sqrt(5))*a - 4*x))/(2*a)))/(5*a^4) + log(a + x)/(5*a^4) - ((1 - sqrt(5))*log(a^2 - (1//2)*(1 - sqrt(5))*a*x + x^2))/(20*a^4) - ((1 + sqrt(5))*log(a^2 - (1//2)*(1 + sqrt(5))*a*x + x^2))/(20*a^4), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 45 - 50 (p. 71-72)
+
+
+(x/(a^5 + x^5), (sqrt((1//2)*(5 - sqrt(5)))*atan(((1 - sqrt(5))*a - 4*x)/(sqrt(2*(5 + sqrt(5)))*a)))/(5*a^3) - (sqrt((1//2)*(5 + sqrt(5)))*atan((sqrt((1//10)*(5 + sqrt(5)))*((1 + sqrt(5))*a - 4*x))/(2*a)))/(5*a^3) - log(a + x)/(5*a^3) + ((1 + sqrt(5))*log(a^2 - (1//2)*(1 - sqrt(5))*a*x + x^2))/(20*a^3) + ((1 - sqrt(5))*log(a^2 - (1//2)*(1 + sqrt(5))*a*x + x^2))/(20*a^3), x, 6),
+(x^2/(a^5 + x^5), (sqrt((1//2)*(5 - sqrt(5)))*atan(((1 - sqrt(5))*a - 4*x)/(sqrt(2*(5 + sqrt(5)))*a)))/(5*a^2) - (sqrt((1//2)*(5 + sqrt(5)))*atan((sqrt((1//10)*(5 + sqrt(5)))*((1 + sqrt(5))*a - 4*x))/(2*a)))/(5*a^2) + log(a + x)/(5*a^2) - ((1 + sqrt(5))*log(a^2 - (1//2)*(1 - sqrt(5))*a*x + x^2))/(20*a^2) - ((1 - sqrt(5))*log(a^2 - (1//2)*(1 + sqrt(5))*a*x + x^2))/(20*a^2), x, 6),
+(x^3/(a^5 + x^5), -((sqrt((1//2)*(5 + sqrt(5)))*atan(((1 - sqrt(5))*a - 4*x)/(sqrt(2*(5 + sqrt(5)))*a)))/(5*a)) - (sqrt((1//2)*(5 - sqrt(5)))*atan((sqrt((1//10)*(5 + sqrt(5)))*((1 + sqrt(5))*a - 4*x))/(2*a)))/(5*a) - log(a + x)/(5*a) + ((1 - sqrt(5))*log(a^2 - (1//2)*(1 - sqrt(5))*a*x + x^2))/(20*a) + ((1 + sqrt(5))*log(a^2 - (1//2)*(1 + sqrt(5))*a*x + x^2))/(20*a), x, 6),
+(x^4/(a^5 + x^5), (1//5)*log(a^5 + x^5), x, 1),
+(1/(x*(a^5 + x^5)), log(x)/a^5 - log(a^5 + x^5)/(5*a^5), x, 4),
+(1/(x^2*(a^5 + x^5)), -(1/(a^5*x)) + (sqrt((1//2)*(5 + sqrt(5)))*atan(((1 - sqrt(5))*a - 4*x)/(sqrt(2*(5 + sqrt(5)))*a)))/(5*a^6) + (sqrt((1//2)*(5 - sqrt(5)))*atan((sqrt((1//10)*(5 + sqrt(5)))*((1 + sqrt(5))*a - 4*x))/(2*a)))/(5*a^6) + log(a + x)/(5*a^6) - ((1 - sqrt(5))*log(a^2 - (1//2)*(1 - sqrt(5))*a*x + x^2))/(20*a^6) - ((1 + sqrt(5))*log(a^2 - (1//2)*(1 + sqrt(5))*a*x + x^2))/(20*a^6), x, 7),
+(1/(x^3*(a^5 + x^5)), -(1/(2*a^5*x^2)) - (sqrt((1//2)*(5 - sqrt(5)))*atan(((1 - sqrt(5))*a - 4*x)/(sqrt(2*(5 + sqrt(5)))*a)))/(5*a^7) + (sqrt((1//2)*(5 + sqrt(5)))*atan((sqrt((1//10)*(5 + sqrt(5)))*((1 + sqrt(5))*a - 4*x))/(2*a)))/(5*a^7) - log(a + x)/(5*a^7) + ((1 + sqrt(5))*log(a^2 - (1//2)*(1 - sqrt(5))*a*x + x^2))/(20*a^7) + ((1 - sqrt(5))*log(a^2 - (1//2)*(1 + sqrt(5))*a*x + x^2))/(20*a^7), x, 7),
+(1/(x^4*(a^5 + x^5)), -(1/(3*a^5*x^3)) - (sqrt((1//2)*(5 - sqrt(5)))*atan(((1 - sqrt(5))*a - 4*x)/(sqrt(2*(5 + sqrt(5)))*a)))/(5*a^8) + (sqrt((1//2)*(5 + sqrt(5)))*atan((sqrt((1//10)*(5 + sqrt(5)))*((1 + sqrt(5))*a - 4*x))/(2*a)))/(5*a^8) + log(a + x)/(5*a^8) - ((1 + sqrt(5))*log(a^2 - (1//2)*(1 - sqrt(5))*a*x + x^2))/(20*a^8) - ((1 - sqrt(5))*log(a^2 - (1//2)*(1 + sqrt(5))*a*x + x^2))/(20*a^8), x, 7),
+(1/(x^m*(a^5 + x^5)), (x^(1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 - m)/5, (6 - m)/5, -(x^5/a^5)))/(a^5*(1 - m)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 51 - 57 (p. 77-79)
+
+
+((x^4 + 1)/(x^6 + 1), (-(1//3))*atan(sqrt(3) - 2*x) + (2*atan(x))/3 + (1//3)*atan(sqrt(3) + 2*x), x, 22),
+(1/(x^2 + 3*x + 5)^3, (3 + 2*x)/(22*(5 + 3*x + x^2)^2) + (3*(3 + 2*x))/(121*(5 + 3*x + x^2)) + (12*atan((3 + 2*x)/sqrt(11)))/(121*sqrt(11)), x, 4),
+((x^4 + x^2 + 1)/(x^2 + 1)^4, x/(6*(1 + x^2)^3) - x/(24*(1 + x^2)^2) + (7*x)/(16*(1 + x^2)) + (7*atan(x))/16, x, 4),
+((A*x + B)/(a*x^2 + 2*b*x + c)^2, -((b*B - A*c - (A*b - a*B)*x)/(2*(b^2 - a*c)*(c + 2*b*x + a*x^2))) - ((A*b - a*B)*atanh((b + a*x)/sqrt(b^2 - a*c)))/(2*(b^2 - a*c)^(3//2)), x, 3),
+((5*x^3 - 27*x^2 + 55*x - 41)/(x^2 - 4*x + 5)^2, (1 - x)/(5 - 4*x + x^2) - 2*atan(2 - x) + (5//2)*log(5 - 4*x + x^2), x, 5),
+(1/(x^3 - 1)^2, x/(3*(1 - x^3)) + (2*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) - (2//9)*log(1 - x) + (1//9)*log(1 + x + x^2), x, 7),
+((3*x^4 + 4)/(x^2*(x^2 + 1)^3), -(4/x) - (7*x)/(4*(1 + x^2)^2) - (25*x)/(8*(1 + x^2)) - (57*atan(x))/8, x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 58 - 65 (p. 80-81)
+
+
+(x/(x^6 + 1), -(atan((1 - 2*x^2)/sqrt(3))/(2*sqrt(3))) + (1//6)*log(1 + x^2) - (1//12)*log(1 - x^2 + x^4), x, 7),
+# {(x^(n - 1) - 1)/(x^n - n*x), x, 5, Log[x^n - n*x]/n, Log[x] + Log[1 - n*x^(1 - n)]/n}
+(x^3/(3*x^4 - 2*x^2 + 1), -(atan((1 - 3*x^2)/sqrt(2))/(6*sqrt(2))) + (1//12)*log(1 - 2*x^2 + 3*x^4), x, 5),
+(x^5/(3*x^4 + x^2 - 4), x^2//6 + (1//14)*log(1 - x^2) - (8//63)*log(4 + 3*x^2), x, 5),
+(x^2/(9 - 10*x^3 + x^6), (-(1//24))*log(1 - x^3) + (1//24)*log(9 - x^3), x, 4),
+((x^3 - 4*x^2 + 1)/(x - 2)^4, -(7/(3*(2 - x)^3)) + 2/(2 - x)^2 + 2/(2 - x) + log(2 - x), x, 2),
+(x^3/(x - 1)^12, 1/(11*(1 - x)^11) - 3/(10*(1 - x)^10) + 1/(3*(1 - x)^9) - 1/(8*(1 - x)^8), x, 2),
+((x^4 - 3*x)/(1 + 2*x)^5, -(25/(128*(1 + 2*x)^4)) + 7/(24*(1 + 2*x)^3) - 3/(32*(1 + 2*x)^2) + 1/(8*(1 + 2*x)) + (1//32)*log(1 + 2*x), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 66 - 70 (p. 83-78)
+
+
+(1/((x + 1)^3*(x - 1)^2), 1/(8*(1 - x)) - 1/(8*(1 + x)^2) - 1/(4*(1 + x)) + (3*atanh(x))/8, x, 3),
+(1/(x^2*(5 - 6*x)^2), 6/(25*(5 - 6*x)) - 1/(25*x) - (12//125)*log(5 - 6*x) + (12*log(x))/125, x, 2),
+(1/(x^2 - 2*x - 3)^3, (1 - x)/(16*(3 + 2*x - x^2)^2) + (3*(1 - x))/(128*(3 + 2*x - x^2)) + (3//512)*log(3 - x) - (3//512)*log(1 + x), x, 5),
+(1/(x^2 - 4*x + 13)^3, -((2 - x)/(36*(13 - 4*x + x^2)^2)) - (2 - x)/(216*(13 - 4*x + x^2)) + (1//648)*atan((1//3)*(-2 + x)), x, 4),
+(1/((x + 2)^3*(x + 3)^4), -(1/(2*(2 + x)^2)) + 4/(2 + x) + 1/(3*(3 + x)^3) + 3/(2*(3 + x)^2) + 6/(3 + x) + 10*log(2 + x) - 10*log(3 + x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 71 - 82 (p. 86-87)
+
+
+# {x^6/(x^2 - 2)^2, x, 4, 4*x + x^3/3 - (2*x)/(x^2 - 2) - 5*Sqrt[2]*ArcTanh[x/Sqrt[2]], 5*x + (5*x^3)/6 + x^5/(2*(2 - x^2)) - 5*Sqrt[2]*ArcTanh[x/Sqrt[2]]}
+(x^8/(x^2 + 4)^4, (35*x)/16 - x^7/(6*(4 + x^2)^3) - (7*x^5)/(24*(4 + x^2)^2) - (35*x^3)/(48*(4 + x^2)) - (35//8)*atan(x/2), x, 5),
+((7*x - 4)/(3*x^2 + 2*x + 5)^2, -((39 + 19*x)/(28*(5 + 2*x + 3*x^2))) - (19*atan((1 + 3*x)/sqrt(14)))/(28*sqrt(14)), x, 3),
+((5 - 4*x)/(3*x^2 - 4*x - 2)^2, -((18 - 7*x)/(20*(2 + 4*x - 3*x^2))) - (7*atanh((2 - 3*x)/sqrt(10)))/(20*sqrt(10)), x, 3),
+(x^5/(x^4 + 1)^3, -(x^2/(8*(1 + x^4)^2)) + x^2/(16*(1 + x^4)) + atan(x^2)/16, x, 4),
+# {x*((x^2 + 1)^3/(x^4 + 2*x^2 + 2)^2), x, 3, 1/(4*(x^4 + 2*x^2 + 2)) + (1/4)*Log[x^4 + 2*x^2 + 2], -((1 + x^2)^2/(4*(2 + 2*x^2 + x^4))) + (1/4)*Log[2 + 2*x^2 + x^4]}
+(x^3/(a^4 + x^4)^3, -(1/(8*(a^4 + x^4)^2)), x, 1),
+(1/(x*(a^4 + x^4)^3), 1/(8*a^4*(a^4 + x^4)^2) + 1/(4*a^8*(a^4 + x^4)) + log(x)/a^12 - log(a^4 + x^4)/(4*a^12), x, 3),
+(1/(x^2*(a^4 + x^4)^3), -(45/(32*a^12*x)) + 1/(8*a^4*x*(a^4 + x^4)^2) + 9/(32*a^8*x*(a^4 + x^4)) + (45*atan(1 - (sqrt(2)*x)/a))/(64*sqrt(2)*a^13) - (45*atan(1 + (sqrt(2)*x)/a))/(64*sqrt(2)*a^13) - (45*log(a^2 - sqrt(2)*a*x + x^2))/(128*sqrt(2)*a^13) + (45*log(a^2 + sqrt(2)*a*x + x^2))/(128*sqrt(2)*a^13), x, 12),
+(1/(x^3*(a^4 + x^4)^3), -(15/(16*a^12*x^2)) + 1/(8*a^4*x^2*(a^4 + x^4)^2) + 5/(16*a^8*x^2*(a^4 + x^4)) - (15*atan(x^2/a^2))/(16*a^14), x, 5),
+(x^14/(3 + 2*x^5)^3, -(9/(80*(3 + 2*x^5)^2)) + 3/(20*(3 + 2*x^5)) + (1//40)*log(3 + 2*x^5), x, 3),
+# {x^6/(3 + 2*x^5)^3, x, 8, If[$VersionNumber<9, -(x^2/(20*(3 + 2*x^5)^2)) + x^2/(150*(3 + 2*x^5)) - (Sqrt[5 + Sqrt[5]]*ArcTan[Sqrt[(1/5)*(5 + 2*Sqrt[5])] - (2*2^(7/10)*x)/(3^(1/5)*Sqrt[5 - Sqrt[5]])])/(250*2^(9/10)*3^(3/5)) - (Sqrt[5 - Sqrt[5]]*ArcTan[Sqrt[(1/5)*(5 - 2*Sqrt[5])] + (2*2^(7/10)*x)/(3^(1/5)*Sqrt[5 + Sqrt[5]])])/(250*2^(9/10)*3^(3/5)) - Log[3^(1/5) + 2^(1/5)*x]/(250*2^(2/5)*3^(3/5)) + ((1 + Sqrt[5])*Log[2^(3/5)*3^(2/5) - (3/2)^(1/5)*(1 - Sqrt[5])*x + 2*x^2])/(1000*2^(2/5)*3^(3/5)) + ((1 - Sqrt[5])*Log[2^(3/5)*3^(2/5) - (3/2)^(1/5)*(1 + Sqrt[5])*x + 2*x^2])/(1000*2^(2/5)*3^(3/5)), -(x^2/(20*(3 + 2*x^5)^2)) + x^2/(150*(3 + 2*x^5)) - (Sqrt[5 + Sqrt[5]]*ArcTan[Sqrt[(1/5)*(5 + 2*Sqrt[5])] - (2*2^(7/10)*x)/(3^(1/5)*Sqrt[5 - Sqrt[5]])])/(250*2^(9/10)*3^(3/5)) - (Sqrt[5 - Sqrt[5]]*ArcTan[Sqrt[(1/5)*(5 - 2*Sqrt[5])] + (2*2^(7/10)*x)/(3^(1/5)*Sqrt[5 + Sqrt[5]])])/(250*2^(9/10)*3^(3/5)) - Log[3^(1/5) + 2^(1/5)*x]/(250*2^(2/5)*3^(3/5)) + ((1 + Sqrt[5])*Log[3^(2/5) - (3^(1/5)*(1 - Sqrt[5])*x)/2^(4/5) + 2^(2/5)*x^2])/(1000*2^(2/5)*3^(3/5)) + ((1 - Sqrt[5])*Log[3^(2/5) - (3^(1/5)*(1 + Sqrt[5])*x)/2^(4/5) + 2^(2/5)*x^2])/(1000*2^(2/5)*3^(3/5))]}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 83 - 87 (p. 90-91)
+
+
+(9/(5*x^2*(3 - 2*x^2)^3), -(1/(8*x)) + 3/(20*x*(3 - 2*x^2)^2) + 1/(8*x*(3 - 2*x^2)) + atanh(sqrt(2//3)*x)/(4*sqrt(6)), x, 5),
+((3*x^4 + 4)/(x^2*(x^2 + 1)^3), -(4/x) - (7*x)/(4*(1 + x^2)^2) - (25*x)/(8*(1 + x^2)) - (57*atan(x))/8, x, 4),
+((5 - 3*x + 6*x^2 + 5*x^3 - x^4)/(x^5 - x^4 - 2*x^3 + 2*x^2 + x - 1), -(3/(2*(1 - x)^2)) + 2/(1 - x) + 1/(1 + x) + log(1 - x) - 2*log(1 + x), x, 2),
+((x^2 + 1)/(x*(x^3 + 1)^2), (x*(x - x^2))/(3*(x^3 + 1)) - atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(3*sqrt(3)) + log(x) - (4//9)*log(1 + x) - (5//18)*log(1 - x + x^2), x, 7),
+((x^2 - 3*x - 2)/((x + 1)^2*(x^2 + x + 1)^2), -(2/(1 + x)) - (7 + 5*x)/(3*(1 + x + x^2)) - (25*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) - log(1 + x) + (1//2)*log(1 + x + x^2), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 88 - 90 (p. 97)
+
+
+(1/((2 - 3*x)*(1 - 4*x)^3), 1/(10*(1 - 4*x)^2) - 3/(25*(1 - 4*x)) - (9//125)*log(1 - 4*x) + (9//125)*log(2 - 3*x), x, 2),
+(x^3/(2 - 5*x^2)^7, 1/(150*(2 - 5*x^2)^6) - 1/(250*(2 - 5*x^2)^5), x, 3),
+(x^7/(2 - 5*x^2)^3, -(x^2//250) + 2/(625*(2 - 5*x^2)^2) - 6/(625*(2 - 5*x^2)) - (3//625)*log(2 - 5*x^2), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Chapter 3 Integration Problems
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 1 - 3 (p. 101)
+
+
+# {1/((x - 2)^3*(x + 1)^2), x, 2, -1/(18*(x - 2)^2) + 2/(27*(x - 2)) + 1/(27*(x + 1)) + Log[x - 2]/27 - Log[x + 1]/27, -(1/(18*(2 - x)^2)) - 2/(27*(2 - x)) + 1/(27*(1 + x)) + (1/27)*Log[2 - x] - (1/27)*Log[1 + x]}
+(1/((x + 2)^3*(x + 3)^4), -1/(2*(x + 2)^2) + 4/(x + 2) + 1/(3*(x + 3)^3) + 3/(2*(x + 3)^2) + 6/(x + 3) + 10*log(x + 2) - 10*log(x + 3), x, 2),
+(x^5/(3 + x)^2, -108*x + (27*x^2)/2 - 2*x^3 + x^4//4 + 243/(3 + x) + 405*log(3 + x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 4 - 9 (p. 105)
+
+
+((b1 + c1*x)*(a + 2*b*x + c*x^2)^1, a*b1*x + (1//2)*(2*b*b1 + a*c1)*x^2 + (1//3)*(b1*c + 2*b*c1)*x^3 + (1//4)*c*c1*x^4, x, 2),
+((b1 + c1*x)*(a + 2*b*x + c*x^2)^2, a^2*b1*x + (1//2)*a*(4*b*b1 + a*c1)*x^2 + (2//3)*(2*b^2*b1 + a*b1*c + 2*a*b*c1)*x^3 + (1//2)*(2*b*b1*c + 2*b^2*c1 + a*c*c1)*x^4 + (1//5)*c*(b1*c + 4*b*c1)*x^5 + (1//6)*c^2*c1*x^6, x, 2),
+((b1 + c1*x)*(a + 2*b*x + c*x^2)^3, a^3*b1*x + (1//2)*a^2*(6*b*b1 + a*c1)*x^2 + a*(4*b^2*b1 + a*b1*c + 2*a*b*c1)*x^3 + (1//4)*(8*b^3*b1 + 12*a*b*b1*c + 12*a*b^2*c1 + 3*a^2*c*c1)*x^4 + (1//5)*(12*b^2*b1*c + 3*a*b1*c^2 + 8*b^3*c1 + 12*a*b*c*c1)*x^5 + (1//2)*c*(2*b*b1*c + 4*b^2*c1 + a*c*c1)*x^6 + (1//7)*c^2*(b1*c + 6*b*c1)*x^7 + (1//8)*c^3*c1*x^8, x, 2),
+((b1 + c1*x)*(a + 2*b*x + c*x^2)^4, a^4*b1*x + (1//2)*a^3*(8*b*b1 + a*c1)*x^2 + (4//3)*a^2*(6*b^2*b1 + a*b1*c + 2*a*b*c1)*x^3 + a*(8*b^3*b1 + 6*a*b*b1*c + 6*a*b^2*c1 + a^2*c*c1)*x^4 + (2//5)*(8*b^4*b1 + 24*a*b^2*b1*c + 3*a^2*b1*c^2 + 16*a*b^3*c1 + 12*a^2*b*c*c1)*x^5 + (1//3)*(16*b^3*b1*c + 12*a*b*b1*c^2 + 8*b^4*c1 + 24*a*b^2*c*c1 + 3*a^2*c^2*c1)*x^6 + (4//7)*c*(6*b^2*b1*c + a*b1*c^2 + 8*b^3*c1 + 6*a*b*c*c1)*x^7 + (1//2)*c^2*(2*b*b1*c + 6*b^2*c1 + a*c*c1)*x^8 + (1//9)*c^3*(b1*c + 8*b*c1)*x^9 + (1//10)*c^4*c1*x^10, x, 2),
+((b1 + c1*x)*(a + 2*b*x + c*x^2)^n, (c1*(a + 2*b*x + c*x^2)^(n + 1))/(2*c*(n + 1)) - (((b1*c - b*c1)*(a + 2*b*x + c*x^2)^(n + 1))/(2*c*(n + 1)*sqrt(b^2 - a*c)*(-((b + c*x - sqrt(b^2 - a*c))/(2*sqrt(b^2 - a*c))))^(n + 1)))*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-n, 1 + n, 2 + n, (b + c*x + sqrt(b^2 - a*c))/(2*sqrt(b^2 - a*c))), x, 2),
+((b1 + c1*x)/(a + 2*b*x + c*x^2)^1, -(((b1*c - b*c1)*atanh((b + c*x)/sqrt(b^2 - a*c)))/(c*sqrt(b^2 - a*c))) + (c1*log(a + 2*b*x + c*x^2))/(2*c), x, 4),
+((b1 + c1*x)/(a + 2*b*x + c*x^2)^2, -((b*b1 - a*c1 + (b1*c - b*c1)*x)/(2*(b^2 - a*c)*(a + 2*b*x + c*x^2))) + ((b1*c - b*c1)*atanh((b + c*x)/sqrt(b^2 - a*c)))/(2*(b^2 - a*c)^(3//2)), x, 3),
+((b1 + c1*x)/(a + 2*b*x + c*x^2)^3, -((b*b1 - a*c1 + (b1*c - b*c1)*x)/(4*(b^2 - a*c)*(a + 2*b*x + c*x^2)^2)) + (3*(b1*c - b*c1)*(b + c*x))/(8*(b^2 - a*c)^2*(a + 2*b*x + c*x^2)) - (3*c*(b1*c - b*c1)*atanh((b + c*x)/sqrt(b^2 - a*c)))/(8*(b^2 - a*c)^(5//2)), x, 4),
+((b1 + c1*x)/(a + 2*b*x + c*x^2)^4, -((b*b1 - a*c1 + (b1*c - b*c1)*x)/(6*(b^2 - a*c)*(a + 2*b*x + c*x^2)^3)) + (5*(b1*c - b*c1)*(b + c*x))/(24*(b^2 - a*c)^2*(a + 2*b*x + c*x^2)^2) - (5*c*(b1*c - b*c1)*(b + c*x))/(16*(b^2 - a*c)^3*(a + 2*b*x + c*x^2)) + (5*c^2*(b1*c - b*c1)*atanh((b + c*x)/sqrt(b^2 - a*c)))/(16*(b^2 - a*c)^(7//2)), x, 5),
+((b1 + c1*x)/(a + 2*b*x + c*x^2)^n, (c1*(a + 2*b*x + c*x^2)^(1 - n))/(2*c*(1 - n)) - ((b1*c - b*c1)*(-((b - sqrt(b^2 - a*c) + c*x)/sqrt(b^2 - a*c)))^(-1 + n)*(a + 2*b*x + c*x^2)^(1 - n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 - n, n, 2 - n, (b + sqrt(b^2 - a*c) + c*x)/(2*sqrt(b^2 - a*c))))/(2^n*(c*sqrt(b^2 - a*c)*(1 - n))), x, 2),
+(x/(3 + 6*x + 2*x^2), (1//4)*(1 - sqrt(3))*log(3 - sqrt(3) + 2*x) + (1//4)*(1 + sqrt(3))*log(3 + sqrt(3) + 2*x), x, 3),
+((2*x - 3)/(3 + 6*x + 2*x^2)^3, (5 + 4*x)/(4*(3 + 6*x + 2*x^2)^2) - (3 + 2*x)/(2*(3 + 6*x + 2*x^2)) + atanh((3 + 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3), x, 4),
+((x - 1)/(x^2 + 5*x + 4)^2, (7*x + 13)/(9*(x^2 + 5*x + 4)) + (7*log(x + 1))/27 - (7*log(x + 4))/27, x, 4),
+(1/(x^2 + 3*x + 2)^5, -(2*x + 3)/(4*(x^2 + 3*x + 2)^4) + (7*(2*x + 3))/(6*(x^2 + 3*x + 2)^3) - (35*(2*x + 3))/(6*(x^2 + 3*x + 2)^2) + (35*(2*x + 3))/(x^2 + 3*x + 2) + 70*log(x + 1) - 70*log(x + 2), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 10 - 12 (p. 109)
+
+
+(1/(x^3*(7 - 6*x + 2*x^2)^2), -1/(490*x^2) - 69/(1715*x) - (2 - 3*x)/(35*x^2*(7 - 6*x + 2*x^2)) - (234*atan((3 - 2*x)/sqrt(5)))/(12005*sqrt(5)) + (80*log(x))/2401 - (40*log(7 - 6*x + 2*x^2))/2401, x, 7),
+(x^9/(x^2 + 3*x + 2)^5, 735*x + (x^8*(4 + 3*x))/(4*(2 + 3*x + x^2)^4) - (x^6*(110 + 81*x))/(12*(2 + 3*x + x^2)^3) + (x^4*(184 + 135*x))/(2*(2 + 3*x + x^2)^2) - (x^2*(2206 + 1593*x))/(2*(2 + 3*x + x^2)) - 1471*log(1 + x) + 1472*log(2 + x), x, 8),
+((1 + 2*x)^2/(3 + 5*x + 2*x^2)^5, ((1 + 2*x)*(7 + 6*x))/(4*(3 + 5*x + 2*x^2)^4) + (73 + 62*x)/(3*(3 + 5*x + 2*x^2)^3) - (155*(5 + 4*x))/(3*(3 + 5*x + 2*x^2)^2) + (620*(5 + 4*x))/(3 + 5*x + 2*x^2) + 2480*log(x + 1) - 2480*log(2*x + 3), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 13 - 14 (p. 113)
+
+
+((a - b*x^2)^3/x^7, -a^3/(6*x^6) + (3*a^2*b)/(4*x^4) - (3*a*b^2)/(2*x^2) - b^3*log(x), x, 3),
+(x^13/(a^4 + x^4)^5, -x^10/(16*(a^4 + x^4)^4) - (5*x^6)/(96*(a^4 + x^4)^3) - (5*x^2)/(128*(a^4 + x^4)^2) + (5*x^2)/(256*a^4*(a^4 + x^4)) + (5*atan(x^2/a^2))/(256*a^6), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Chapter 4 Integration Problems
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 1 - 9 (p. 115-116)
+
+
+(x^(3//2)*(1 + x^2)*(2*sqrt(x) - x)^2, (8*x^(7//2))/7 - x^4 + (2*x^(9//2))/9 + (8*x^(11//2))/11 - (2*x^6)/3 + (2*x^(13//2))/13, x, 9),
+((x^(3//2) - 3*x^(3//5))^2*(4*x^(3//2) - (1//3)*x^(2//3)), -((45*x^(43//15))/43) + (360*x^(37//10))/37 + (60*x^(113//30))/113 - (120*x^(23//5))/23 - x^(14//3)/14 + (8*x^(11//2))/11, x, 5),
+(1/(1 + sqrt(1 + x)), 2*sqrt(1 + x) - 2*log(1 + sqrt(1 + x)), x, 4),
+(x/(1 + sqrt(1 + x)), (2//3)*(1 + x)^(3//2) - x, x, 2),
+((sqrt(1 + x) + 1)/(sqrt(1 + x) - 1), x + 4*sqrt(1 + x) + 4*log(1 - sqrt(1 + x)), x, 4),
+(1/((1 + x)^(2//3) - sqrt(1 + x)), 6*(1 + x)^(1//6) + 3*(1 + x)^(1//3) + 6*log(1 - (1 + x)^(1//6)), x, 5),
+((1 + x^(1//4))^(1//3)/sqrt(x), (12//7)*(1 + x^(1//4))^(7//3) - 3*(1 + x^(1//4))^(4//3), x, 3),
+(1/(x^3*(1 + x)^(3//2)), 15/(4*sqrt(1 + x)) - 1/(2*x^2*sqrt(1 + x)) + 5/(4*x*sqrt(1 + x)) - (15//4)*atanh(sqrt(1 + x)), x, 5),
+(1/(x^5*(1 - x)^(7//2)), 3003/(320*(1 - x)^(5//2)) + 1001/(64*(1 - x)^(3//2)) + 3003/(64*sqrt(1 - x)) - 1/(4*(1 - x)^(5//2)*x^4) - 13/(24*(1 - x)^(5//2)*x^3) - 143/(96*(1 - x)^(5//2)*x^2) - 429/(64*(1 - x)^(5//2)*x) - (3003//64)*atanh(sqrt(1 - x)), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 10 - 12 (p. 117-118)
+
+
+(1/(x^5*(x - 1)^(2//3)), (x - 1)^(1//3)/(4*x^4) + (11*(x - 1)^(1//3))/(36*x^3) + (11*(x - 1)^(1//3))/(27*x^2) + (55*(x - 1)^(1//3))/(81*x) - 110/(81*sqrt(3))*atan((1 - 2*(x - 1)^(1//3))/sqrt(3)) + (55//81)*log(1 + (x - 1)^(1//3)) - (55*log(x))/243, x, 8),
+(sqrt((1 - x)/(1 + x)), (1 + x)*sqrt((1 - x)/(1 + x)) - 2*atan(sqrt((1 - x)/(1 + x))), x, 3),
+# {Sqrt[(x - a)/(b - x)]*x, x, 4, (1/4)*(a - 5*b)*Sqrt[(x - a)/(b - x)]*(b - x) + (1/2)*Sqrt[(x - a)/(b - x)]*(b - x)^2 - (1/4)*(a - b)*(a + 3*b)*ArcTan[Sqrt[(x - a)/(b - x)]], (1/4)*(a - 5*b)*Sqrt[-((a - x)/(b - x))]*(b - x) + (1/2)*Sqrt[-((a - x)/(b - x))]*(b - x)^2 - (1/4)*(a - b)*(a + 3*b)*ArcTan[Sqrt[-((a - x)/(b - x))]]}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 13 - 15 (p. 119-120)
+
+
+(sqrt(x - 5)*(sqrt(x + 3)/((x - 1)*(x^2 - 25))), (1//6)*atan((1//4)*sqrt(-5 + x)*sqrt(3 + x)) + atanh((sqrt(5)*sqrt(3 + x))/sqrt(-5 + x))/(3*sqrt(5)), x, 6),
+# {x^2*(1 - x^2)^(1/4)*Sqrt[1 + x]/(Sqrt[1 - x]*(Sqrt[1 - x] - Sqrt[1 + x])), x, 33, (5/16)*(1 - x)^(3/4)*(1 + x)^(1/4) - (1/16)*(1 - x)^(1/4)*(1 + x)^(3/4) + (1/24)*(1 - x)^(5/4)*(1 + x)^(3/4) + (7*(1 - x^2)^(5/4))/(24*Sqrt[1 - x]) + (x*(1 - x^2)^(5/4))/(6*Sqrt[1 - x]) + (1/6)*Sqrt[1 + x]*(1 - x^2)^(5/4) - (3*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - x)^(1/4))/(1 + x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) + (3*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - x)^(1/4))/(1 + x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) + Log[1 + Sqrt[1 - x]/Sqrt[1 + x] - (Sqrt[2]*(1 - x)^(1/4))/(1 + x)^(1/4)]/(8*Sqrt[2]) - Log[1 + Sqrt[1 - x]/Sqrt[1 + x] + (Sqrt[2]*(1 - x)^(1/4))/(1 + x)^(1/4)]/(8*Sqrt[2]), (-(5/48))*(1 - x)^(3/4)*(1 + x)^(1/4) + (5/24)*(1 - x)^(7/4)*(1 + x)^(1/4) - (1/16)*(1 - x)^(1/4)*(1 + x)^(3/4) + (1/24)*(1 - x)^(5/4)*(1 + x)^(3/4) + (1/6)*(1 - x)^(7/4)*(1 + x)^(5/4) + (1/6)*Sqrt[1 + x]*(1 - x^2)^(5/4) + (1 - x^2)^(9/4)/(3*(1 - x)^(3/2)) - (3*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - x)^(1/4))/(1 + x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) + (3*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - x)^(1/4))/(1 + x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) + Log[1 + Sqrt[1 - x]/Sqrt[1 + x] - (Sqrt[2]*(1 - x)^(1/4))/(1 + x)^(1/4)]/(8*Sqrt[2]) - Log[1 + Sqrt[1 - x]/Sqrt[1 + x] + (Sqrt[2]*(1 - x)^(1/4))/(1 + x)^(1/4)]/(8*Sqrt[2])}
+# {x*(1 + x)^(2/3)*Sqrt[1 - x]/(Sqrt[1 + x]*(1 - x)^(2/3) - (1 + x)^(1/3)*(1 - x)^(5/6)), x, If[$VersionNumber>=8, -46, -4], (-(1/12))*(1 - 3*x)*(1 - x)^(2/3)*(1 + x)^(1/3) + (1/4)*Sqrt[1 - x]*x*Sqrt[1 + x] - (1/4)*(1 - x)*(3 + x) + (1/12)*(1 - x)^(1/3)*(1 + x)^(2/3)*(1 + 3*x) + (1/12)*(1 - x)^(1/6)*(1 + x)^(5/6)*(2 + 3*x) - (1/12)*(1 - x)^(5/6)*(1 + x)^(1/6)*(10 + 3*x) + (1/6)*ArcTan[(1 + x)^(1/6)/(1 - x)^(1/6)] - (4*ArcTan[((1 - x)^(1/3) - 2*(1 + x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 - x)^(1/3))])/(3*Sqrt[3]) - (5/6)*ArcTan[((1 - x)^(1/3) - (1 + x)^(1/3))/((1 - x)^(1/6)*(1 + x)^(1/6))] + ArcTanh[(Sqrt[3]*(1 - x)^(1/6)*(1 + x)^(1/6))/((1 - x)^(1/3) + (1 + x)^(1/3))]/(6*Sqrt[3])}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 16 - 21 (p. 127)
+
+
+# {1/((x + 1)^2*(x - 1)^4)^(1/3), x, 2, -((3*(x - 1)*(x + 1))/(2*((x + 1)^2*(x - 1)^4)^(1/3))), (3*(1 - x)*(1 + x))/(2*((1 - x)^4*(1 + x)^2)^(1/3))}
+# {1/((x - 1)^3*(x + 2)^5)^(1/4), x, 2, (4*(x - 1)*(2 + x))/(3*((x - 1)^3*(x + 2)^5)^(1/4)), -((4*(1 - x)*(2 + x))/(3*((-(1 - x)^3)*(2 + x)^5)^(1/4)))}
+# {1/((x + 1)^2*(x - 1)^7)^(1/3), x, 3, -((3*(x - 1)*(x + 1))/(8*((x + 1)^2*(x - 1)^7)^(1/3))) + (9*(x - 1)^2*(x + 1))/(16*((x + 1)^2*(x - 1)^7)^(1/3)), (3*(1 - x)*(1 + x))/(8*((-(1 - x)^7)*(1 + x)^2)^(1/3)) + (9*(1 - x)^2*(1 + x))/(16*((-(1 - x)^7)*(1 + x)^2)^(1/3))}
+(1/((x - 1)^2*(x + 1))^(1//3), sqrt(3)*atan((1/sqrt(3))*(1 + (2*(x - 1))/((x - 1)^2*(x + 1))^(1//3))) - (1//2)*log(x + 1) - (3//2)*log(1 - (x - 1)/((x - 1)^2*(x + 1))^(1//3)), x, -3),
+# {(x + 1/x)/Sqrt[(x + 1)^3*(x - 2)], x, 9, -((4*(x - 2)*(x + 1))/(3*Sqrt[(x + 1)^3*(x - 2)])) + (2*Sqrt[x - 2]*(x + 1)^(3/2)*ArcSinh[Sqrt[x - 2]/Sqrt[3]])/Sqrt[(x + 1)^3*(x - 2)] - (Sqrt[2]*Sqrt[x - 2]*(x + 1)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[x + 1])/Sqrt[x - 2]])/Sqrt[(x + 1)^3*(x - 2)], (4*(2 - x)*(1 + x))/(3*Sqrt[-((2 - x)*(1 + x)^3)]) + (2*Sqrt[-2 + x]*(1 + x)^(3/2)*ArcSinh[Sqrt[-2 + x]/Sqrt[3]])/Sqrt[-((2 - x)*(1 + x)^3)] - (Sqrt[2]*Sqrt[-2 + x]*(1 + x)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[1 + x])/Sqrt[-2 + x]])/Sqrt[-((2 - x)*(1 + x)^3)]}
+(((x - 1)^2*(x + 1))^(1//3)/x^2, -(((x - 1)^2*(x + 1))^(1//3)/x) - (1/sqrt(3))*atan((1/sqrt(3))*(1 - (2*(x - 1))/((x - 1)^2*(x + 1))^(1//3))) - sqrt(3)*atan((1/sqrt(3))*(1 + (2*(x - 1))/((x - 1)^2*(x + 1))^(1//3))) + log(x)/6 - (2//3)*log(x + 1) - (3//2)*log(1 - (x - 1)/((x - 1)^2*(1 + x))^(1//3)) - (1//2)*log(1 + (x - 1)/((x - 1)^2*(1 + x))^(1//3)), x, -6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 22 - 27 (p. 128)
+
+
+(1/(x^2 - 2*x - 3)^(5//2), (1 - x)/(12*(x^2 - 2*x - 3)^(3//2)) - (1 - x)/(24*sqrt(x^2 - 2*x - 3)), x, 2),
+(1/sqrt(x^3 - 5*x^2 + 3*x + 9), ((3 - x)*sqrt(1 + x)*atanh(sqrt(1 + x)/2))/sqrt(x^3 - 5*x^2 + 3*x + 9), x, 4),
+(1/(x^3 - 5*x^2 + 3*x + 9)^(3//2), ((3 - x)*(1 + x))/(8*(x^3 - 5*x^2 + 3*x + 9)^(3//2)) + (5*(3 - x)^2*(1 + x))/(64*(x^3 - 5*x^2 + 3*x + 9)^(3//2)) - (15*(3 - x)^3*(1 + x))/(256*(x^3 - 5*x^2 + 3*x + 9)^(3//2)) + (15*(3 - x)^3*(1 + x)^(3//2)*atanh(sqrt(1 + x)/2))/(512*(x^3 - 5*x^2 + 3*x + 9)^(3//2)), x, 7),
+(1/(x^3 - 5*x^2 + 3*x + 9)^(1//3), sqrt(3)*atan((1/sqrt(3))*(1 + (2*(x - 3))/(x^3 - 5*x^2 + 3*x + 9)^(1//3))) - (1//2)*log(x + 1) - (3//2)*log(1 - (x - 3)/(x^3 - 5*x^2 + 3*x + 9)^(1//3)), x, -3),
+(1/(x^3 - 5*x^2 + 3*x + 9)^(2//3), (3*(3 - x)*(1 + x))/(4*(x^3 - 5*x^2 + 3*x + 9)^(2//3)), x, 3),
+(1/(x^3 - 5*x^2 + 3*x + 9)^(4//3), (3*(3 - x)*(1 + x))/(20*(x^3 - 5*x^2 + 3*x + 9)^(4//3)) + (9*(3 - x)^2*(1 + x))/(80*(x^3 - 5*x^2 + 3*x + 9)^(4//3)) - (27*(3 - x)^3*(1 + x))/(320*(x^3 - 5*x^2 + 3*x + 9)^(4//3)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 28 - 37 (p. 143-144)
+
+
+(1/sqrt(4 + 3*x - 2*x^2), -1/sqrt(2)*asin((3 - 4*x)/sqrt(41)), x, 2),
+(1/sqrt(-3 + 4*x - x^2), -asin(2 - x), x, 2),
+(1/sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2), asin(5 + 6*x)/sqrt(3), x, 2),
+(1/((x^2 + 4)*sqrt(1 - x^2)), atan((sqrt(5)*x)/(2*sqrt(1 - x^2)))/(2*sqrt(5)), x, 2),
+(1/((x^2 + 4)*sqrt(4*x^2 + 1)), 1/(2*sqrt(15))*atanh((sqrt(15)*x)/(2*sqrt(1 + 4*x^2))), x, 2),
+(x/((3 - x^2)*sqrt(5 - x^2)), 1/sqrt(2)*atanh(sqrt(5 - x^2)/sqrt(2)), x, 3),
+(x/((5 - x^2)*sqrt(3 - x^2)), -1/sqrt(2)*atan(sqrt(3 - x^2)/sqrt(2)), x, 3),
+(1/((x^4 - 1)*sqrt(x^2 + 2)), -1//2*atan(x/sqrt(2 + x^2)) - 1/(2*sqrt(3))*atanh((sqrt(3)*x)/sqrt(2 + x^2)), x, 5),
+(x/((x^2 - 1)*sqrt(x^2 + 2*x + 4)), -1/(2*sqrt(7))*atanh((5 + 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(x^2 + 2*x + 4))) - 1/(2*sqrt(3))*atanh(sqrt(x^2 + 2*x + 4)/sqrt(3)), x, 5),
+(1/((x^3 - 8)*sqrt(x^2 + 2*x + 5)), -1/(4*sqrt(3))*atan((1 + x)/(sqrt(3)*sqrt(x^2 + 2*x + 5))) - 1/(12*sqrt(13))*atanh((7 + 3*x)/(sqrt(13)*sqrt(x^2 + 2*x + 5))) + 1//12*atanh(sqrt(x^2 + 2*x + 5)), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 38 - 42 (p. 145-146)
+
+
+(x/((x^2 + x + 4)*sqrt(4*x^2 + 4*x + 5)), (1/sqrt(11))*atan(sqrt(4*x^2 + 4*x + 5)/sqrt(11)) - (1/sqrt(165))*atanh((sqrt(11//15)*(2*x + 1))/sqrt(4*x^2 + 4*x + 5)), x, 5),
+((x + 3)/((x^2 + 1)*sqrt(x^2 + x + 1)), -2*sqrt(2)*atan((1 - x)/(sqrt(2)*sqrt(1 + x + x^2))) + sqrt(2)*atanh((1 + x)/(sqrt(2)*sqrt(1 + x + x^2))), x, 5),
+((2*x + 1)/((3*x^2 + 4*x + 4)*sqrt(x^2 + 6*x - 1)), (-(5/(6*sqrt(14))))*atan((sqrt(7)*(2 - x))/(2*sqrt(2)*sqrt(x^2 + 6*x - 1))) - (1/(3*sqrt(7)))*atanh((sqrt(7)*(1 + x))/sqrt(x^2 + 6*x - 1)), x, 5),
+# {(A*x + B)/((5*x^2 - 18*x + 17)*Sqrt[10*x^2 - 22*x + 13]), x, 5, (-((2*A + B)/Sqrt[35]))*ArcTan[(Sqrt[35]*(2 - x))/Sqrt[10*x^2 - 22*x + 13]] - ((A + B)/(2*Sqrt[35]))*ArcTanh[(Sqrt[35]*(1 - x))/(2*Sqrt[10*x^2 - 22*x + 13])], -(((2*A + B)*ArcTan[(Sqrt[35]*(2 - x))/Sqrt[13 - 22*x + 10*x^2]])/Sqrt[35]) - ((A + B)*ArcTanh[(Sqrt[35]*(A + B - (A + B)*x))/(2*(A + B)*Sqrt[13 - 22*x + 10*x^2])])/(2*Sqrt[35])}
+((x - 2)/((5*x^2 - 18*x + 17)*sqrt(10*x^2 - 22*x + 13)), (1/(2*sqrt(35)))*atanh((sqrt(35)*(1 - x))/(2*sqrt(10*x^2 - 22*x + 13))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 43 - 49 (p. 163)
+
+
+(x^4*sqrt(5 - x^2), -25//16*x*sqrt(5 - x^2) - (5//24)*x^3*sqrt(5 - x^2) + (1//6)*x^5*sqrt(5 - x^2) + (125//16)*asin(x/sqrt(5)), x, 4),
+(1/(x^6*sqrt(x^2 + 2)), -(sqrt(x^2 + 2)/(10*x^5)) + sqrt(x^2 + 2)/(15*x^3) - sqrt(x^2 + 2)/(15*x), x, 3),
+(1/(2*x^2 + 3)^(7//2), x/(15*(2*x^2 + 3)^(5//2)) + (4*x)/(135*(2*x^2 + 3)^(3//2)) + (8*x)/(405*sqrt(2*x^2 + 3)), x, 3),
+(x/(1 + x^2 + a*sqrt(1 + x^2)), log(a + sqrt(1 + x^2)), x, 3),
+((x^2 - x + 1)/((1 + x^2)*sqrt(1 + x^2)), 1/sqrt(1 + x^2) + asinh(x), x, 2),
+(sqrt(1 + x^2)/(2 + x^2), asinh(x) - 1/sqrt(2)*atanh(x/(sqrt(2)*sqrt(1 + x^2))), x, 4),
+(1/((2 + x^2)^2*sqrt(1 + x^2)), -((x*sqrt(1 + x^2))/(4*(2 + x^2))) + 3/(4*sqrt(2))*atanh(x/(sqrt(2)*sqrt(1 + x^2))), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 50 - 62 (p. 164)
+
+
+(x^2/((x^2 - 6)*sqrt(x^2 - 2)), atanh(x/sqrt(x^2 - 2)) - sqrt(3//2)*atanh((sqrt(2//3)*x)/sqrt(x^2 - 2)), x, 5),
+((x^2 + 5)/((1 + x^2)^2*sqrt(1 - x^2)), (x*sqrt(1 - x^2))/(1 + x^2) + 2*sqrt(2)*atan((sqrt(2)*x)/sqrt(1 - x^2)), x, 4),
+((4*x - sqrt(1 - x^2))/(5 + sqrt(1 - x^2)), -x - 4*sqrt(1 - x^2) + 5*asin(x) + (25*atan(x/(2*sqrt(6))))/(2*sqrt(6)) - (25*atan((5*x)/(2*sqrt(6)*sqrt(1 - x^2))))/(2*sqrt(6)) + 20*log(5 + sqrt(1 - x^2)), x, 15),
+((2 - sqrt(x^2 + 1))*(x^2/(sqrt(x^2 + 1)*((x^2 + 1)^(3//2) - x^3 + 1))), (8*x)/9 - x^2//6 + (8*sqrt(x^2 + 1))/9 - (1//6)*x*sqrt(x^2 + 1) - (41*asinh(x))/54 + (4//27)*sqrt(2)*atan((1 + 3*x)/(2*sqrt(2))) + (4//27)*sqrt(2)*atan((1 + x)/(sqrt(2)*sqrt(x^2 + 1))) + (7//27)*atanh((1 - x)/(2*sqrt(x^2 + 1))) - (7//54)*log(3 + 2*x + 3*x^2), x, 32),
+(x*sqrt(2*r*x - x^2), (-(1//2))*r*(r - x)*sqrt(2*r*x - x^2) - (1//3)*(2*r*x - x^2)^(3//2) + r^3*atan(x/sqrt(2*r*x - x^2)), x, 4),
+(x^2*sqrt(2*r*x - x^2), -5//8*r^2*(r - x)*sqrt(2*r*x - x^2) - (5//12)*r*(2*r*x - x^2)^(3//2) - (1//4)*x*(2*r*x - x^2)^(3//2) + (5//4)*r^4*atan(x/sqrt(2*r*x - x^2)), x, 5),
+(x^3*sqrt(2*r*x - x^2), (-(7//8))*r^3*(r - x)*sqrt(2*r*x - x^2) - (7//12)*r^2*(2*r*x - x^2)^(3//2) - (7//20)*r*x*(2*r*x - x^2)^(3//2) - (1//5)*x^2*(2*r*x - x^2)^(3//2) + (7//4)*r^5*atan(x/sqrt(2*r*x - x^2)), x, 6),
+(1/((x^2 - 1)*sqrt(2*x + x^2)), (-(1//2))*atan(sqrt(2*x + x^2)) - 1/(2*sqrt(3))*atanh((1 + 2*x)/(sqrt(3)*sqrt(2*x + x^2))), x, 5),
+((3*x - 2)/((x + 1)^3*sqrt(2*x - x^2)), -((5*sqrt(2*x - x^2))/(6*(1 + x)^2)) - (2*sqrt(2*x - x^2))/(3*(1 + x)) + 1/(2*sqrt(3))*atan((1 - 2*x)/(sqrt(3)*sqrt(2*x - x^2))), x, 4),
+(1/sqrt(1 + x + x^2), asinh((1 + 2*x)/sqrt(3)), x, 2),
+(x^3/sqrt(1 + x + x^2), (1//3)*x^2*sqrt(1 + x + x^2) - (1//24)*(1 + 10*x)*sqrt(1 + x + x^2) + (7//16)*asinh((1 + 2*x)/sqrt(3)), x, 4),
+(1/(1 + x + x^2)^(3//2), (2*(1 + 2*x))/(3*sqrt(1 + x + x^2)), x, 1),
+(x/(1 + x + x^2)^(3//2), -((2*(2 + x))/(3*sqrt(1 + x + x^2))), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 63 - 72 (p. 165)
+
+
+(x^3/(1 + x + x^2)^(3//2), -((2*x^2*(2 + x))/(3*sqrt(1 + x + x^2))) + (1//3)*(5 + 2*x)*sqrt(1 + x + x^2) - (3//2)*asinh((1 + 2*x)/sqrt(3)), x, 4),
+(x^2*sqrt(1 + x + x^2), (1//64)*(1 + 2*x)*sqrt(1 + x + x^2) - (5//24)*(1 + x + x^2)^(3//2) + (1//4)*x*(1 + x + x^2)^(3//2) + (3//128)*asinh((1 + 2*x)/sqrt(3)), x, 5),
+((1 + x + x^2)^(3//2), (9//64)*(1 + 2*x)*sqrt(1 + x + x^2) + (1//8)*(1 + 2*x)*(1 + x + x^2)^(3//2) + (27//128)*asinh((1 + 2*x)/sqrt(3)), x, 4),
+((1 + x + x^2)^(5//2), (45//512)*(1 + 2*x)*sqrt(1 + x + x^2) + (5//64)*(1 + 2*x)*(1 + x + x^2)^(3//2) + (1//12)*(1 + 2*x)*(1 + x + x^2)^(5//2) + 135//1024*asinh((1 + 2*x)/sqrt(3)), x, 5),
+(1/(x^2*sqrt(1 + x + x^2)), -(sqrt(1 + x + x^2)/x) + (1//2)*atanh((2 + x)/(2*sqrt(1 + x + x^2))), x, 3),
+(1/(x^3*sqrt(1 + x + x^2)), -(sqrt(1 + x + x^2)/(2*x^2)) + (3*sqrt(1 + x + x^2))/(4*x) + (1//8)*atanh((2 + x)/(2*sqrt(1 + x + x^2))), x, 4),
+(1/(x^2*(1 + x + x^2)^(3//2)), (2*(1 - x))/(3*x*sqrt(1 + x + x^2)) - (5*sqrt(1 + x + x^2))/(3*x) + (3//2)*atanh((2 + x)/(2*sqrt(1 + x + x^2))), x, 4),
+(1/(x^3*(1 + x + x^2)^(3//2)), (2*(1 - x))/(3*x^2*sqrt(1 + x + x^2)) - (7*sqrt(1 + x + x^2))/(6*x^2) + (37*sqrt(1 + x + x^2))/(12*x) - (3//8)*atanh((2 + x)/(2*sqrt(1 + x + x^2))), x, 5),
+(1/((x + 1)*sqrt(1 + x + x^2)), -atanh((1 - x)/(2*sqrt(1 + x + x^2))), x, 2),
+(1/((x^3 - x)*sqrt(x^2 + 2*x + 4)), (1//2)*atanh((4 + x)/(2*sqrt(x^2 + 2*x + 4))) - 1/(2*sqrt(7))*atanh((5 + 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(x^2 + 2*x + 4))) - 1/(2*sqrt(3))*atanh(sqrt(x^2 + 2*x + 4)/sqrt(3)), x, 10),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 73 - 79 (p. 166)
+
+
+(sqrt(x^2 + 2*x + 4)/(x - 1)^2, sqrt(x^2 + 2*x + 4)/(1 - x) + asinh((1 + x)/sqrt(3)) - 2/sqrt(7)*atanh((5 + 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(x^2 + 2*x + 4))), x, 6),
+((2*x + 3)/((x^2 + 2*x + 3)^2*sqrt(x^2 + 2*x + 4)), -(((3 - x)*sqrt(4 + 2*x + x^2))/(4*(3 + 2*x + x^2))) - atan((1 + x)/(sqrt(2)*sqrt(4 + 2*x + x^2)))/(4*sqrt(2)) + atanh(sqrt(4 + 2*x + x^2)), x, 6),
+((2*x^3 + 3*x^2)/((2*x^2 + x - 3)*sqrt(x^2 + 2*x - 3)), sqrt(x^2 + 2*x - 3) + sqrt(x^2 + 2*x - 3)/(2*(1 - x)), x, 4),
+((x^4 + 1)/((x^2 + x + 1)*sqrt(x^2 + x + 2)), -7//4*sqrt(x^2 + x + 2) + (1//2)*x*sqrt(x^2 + x + 2) - (1//8)*asinh((1 + 2*x)/sqrt(7)) + 1/sqrt(3)*atan((1 + 2*x)/(sqrt(3)*sqrt(x^2 + x + 2))) - atanh(sqrt(x^2 + x + 2)), x, 14),
+(1/(x^2 + 2*x + 4)^(7//2), (1 + x)/(15*(x^2 + 2*x + 4)^(5//2)) + (4*(1 + x))/(135*(x^2 + 2*x + 4)^(3//2)) + (8*(1 + x))/(405*sqrt(x^2 + 2*x + 4)), x, 3),
+(1/(3*x^2 + 8*x + 1)^(5//2), -((4 + 3*x)/(39*(3*x^2 + 8*x + 1)^(3//2))) + (2*(4 + 3*x))/(169*sqrt(3*x^2 + 8*x + 1)), x, 2),
+(1/(5 + 4*x - 3*x^2)^(5//2), -((2 - 3*x)/(57*(5 + 4*x - 3*x^2)^(3//2))) - (2*(2 - 3*x))/(361*sqrt(5 + 4*x - 3*x^2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 80 - 84 (p. 167)
+
+
+(1/(1 + sqrt(x^2 + 2*x + 2)), 1/(1 + x) - sqrt(x^2 + 2*x + 2)/(1 + x) + asinh(1 + x), x, 5),
+(1/(x + sqrt(1 + x + x^2)), -x + sqrt(1 + x + x^2) - 3//2*asinh((1 + 2*x)/sqrt(3)) + 2*log(x + sqrt(1 + x + x^2)), x, -3),
+(x^2/(2*x + 1 + 2*sqrt(1 + x + x^2)), -(x^3//9) - x^4//6 + (1//96)*(1 + 2*x)*sqrt(1 + x + x^2) - (5//36)*(1 + x + x^2)^(3//2) + (1//6)*x*(1 + x + x^2)^(3//2) + (1//64)*asinh((1 + 2*x)/sqrt(3)), x, 7),
+((sqrt(1 + x + x^2) - 3*x)/(sqrt(1 + x + x^2) - 1), x - 3*sqrt(1 + x + x^2) + (5//2)*asinh((1 + 2*x)/sqrt(3)) + 4*atanh((1 - x)/(2*sqrt(1 + x + x^2))) - atanh((2 + x)/(2*sqrt(1 + x + x^2))) + log(x) - 4*log(1 + x), x, 26),
+((x + 1)/(sqrt(x^2 + 2*x + 4) - sqrt(x^2 + x + 1)), -2*sqrt(x^2 + x + 1) + (1//4)*(1 + 2*x)*sqrt(x^2 + x + 1) - 2*sqrt(x^2 + 2*x + 4) + (1//2)*(1 + x)*sqrt(x^2 + 2*x + 4) + (11//2)*asinh((1 + x)/sqrt(3)) + (43//8)*asinh((1 + 2*x)/sqrt(3)) - 2*sqrt(7)*atanh((1 + 5*x)/(2*sqrt(7)*sqrt(x^2 + x + 1))) + 2*sqrt(7)*atanh((1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(x^2 + 2*x + 4))), x, 36),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 85 - 91 (p. 177)
+
+
+(1/(x^3*sqrt(x - 1)), sqrt(x - 1)/(2*x^2) + (3*sqrt(x - 1))/(4*x) + (3//4)*atan(sqrt(x - 1)), x, 4),
+(1/(x^2*(1 - 3/x)^(4//3)), -(1/(1 - 3/x)^(1//3)), x, 1),
+((3*x - 1)^(4//3)/x^2, 12*(3*x - 1)^(1//3) - (3*x - 1)^(4//3)/x + 4*sqrt(3)*atan((1 - 2*(3*x - 1)^(1//3))/sqrt(3)) + 2*log(x) - 6*log(1 + (3*x - 1)^(1//3)), x, 6),
+((4 - 3*x)^(4//3)*x^2, (-(16//63))*(4 - 3*x)^(7//3) + (4//45)*(4 - 3*x)^(10//3) - (1//117)*(4 - 3*x)^(13//3), x, 2),
+((1 - 2*x^(1//3))^(3//4)/x, 4*(1 - 2*x^(1//3))^(3//4) + 6*atan((1 - 2*x^(1//3))^(1//4)) - 6*atanh((1 - 2*x^(1//3))^(1//4)), x, 6),
+(x/(3 - 2*sqrt(x))^(3//4), (-(27//2))*(3 - 2*sqrt(x))^(1//4) + (27//10)*(3 - 2*sqrt(x))^(5//4) - (1//2)*(3 - 2*sqrt(x))^(9//4) + (1//26)*(3 - 2*sqrt(x))^(13//4), x, 3),
+((2*sqrt(x) - 1)^(5//4)/x^2, -((2*sqrt(x) - 1)^(5//4)/x) - (5*(2*sqrt(x) - 1)^(1//4))/(2*sqrt(x)) - (5*atan(1 - sqrt(2)*(2*sqrt(x) - 1)^(1//4)))/(2*sqrt(2)) + (5*atan(1 + sqrt(2)*(2*sqrt(x) - 1)^(1//4)))/(2*sqrt(2)) - (5*log(1 - sqrt(2)*(2*sqrt(x) - 1)^(1//4) + sqrt(2*sqrt(x) - 1)))/(4*sqrt(2)) + (5*log(1 + sqrt(2)*(2*sqrt(x) - 1)^(1//4) + sqrt(2*sqrt(x) - 1)))/(4*sqrt(2)), x, 13),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 92 - 100 (p. 178)
+
+
+((x^7 + 1)^(1//3)*x^6, (3//28)*(x^7 + 1)^(4//3), x, 1),
+(x^6/(x^7 + 1)^(5//3), -(3/(14*(x^7 + 1)^(2//3))), x, 1),
+(1/(x*(2*x^7 - 27)^(2//3)), (-(1/(21*sqrt(3))))*atan((3 - 2*(2*x^7 - 27)^(1//3))/(3*sqrt(3))) - log(x)/18 + (1//42)*log(3 + (2*x^7 - 27)^(1//3)), x, 5),
+((x^7 + 1)^(2//3)/x^8, -((x^7 + 1)^(2//3)/(7*x^7)) + (2*atan((1 + 2*(x^7 + 1)^(1//3))/sqrt(3)))/(7*sqrt(3)) - log(x)/3 + (1//7)*log(1 - (x^7 + 1)^(1//3)), x, 6),
+((3 + 4*x^4)^(1//4)/x^2, -((3 + 4*x^4)^(1//4)/x) - atan((sqrt(2)*x)/(3 + 4*x^4)^(1//4))/sqrt(2) + atanh((sqrt(2)*x)/(3 + 4*x^4)^(1//4))/sqrt(2), x, 5),
+(x^2*(3 + 4*x^4)^(5//4), (15//32)*x^3*(3 + 4*x^4)^(1//4) + (1//8)*x^3*(3 + 4*x^4)^(5//4) - (45*atan((sqrt(2)*x)/(3 + 4*x^4)^(1//4)))/(128*sqrt(2)) + (45*atanh((sqrt(2)*x)/(3 + 4*x^4)^(1//4)))/(128*sqrt(2)), x, 6),
+(x^6*(3 + 4*x^4)^(1//4), (3//128)*x^3*(3 + 4*x^4)^(1//4) + (1//8)*x^7*(3 + 4*x^4)^(1//4) + (27*atan((sqrt(2)*x)/(3 + 4*x^4)^(1//4)))/(512*sqrt(2)) - (27*atanh((sqrt(2)*x)/(3 + 4*x^4)^(1//4)))/(512*sqrt(2)), x, 6),
+# {(x*(1 - x^2))^(1/3), x, 6, (1/2)*x*(x*(1 - x^2))^(1/3) + (1/(2*Sqrt[3]))*ArcTan[(2*x - (x*(1 - x^2))^(1/3))/(Sqrt[3]*(x*(1 - x^2))^(1/3))] + Log[x]/12 - (1/4)*Log[x + (x*(1 - x^2))^(1/3)], (1/2)*x*(x - x^3)^(1/3) - (x^(2/3)*(1 - x^2)^(2/3)*ArcTan[(1 - (2*x^(2/3))/(1 - x^2)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*Sqrt[3]*(x - x^3)^(2/3)) - (x^(2/3)*(1 - x^2)^(2/3)*Log[x^(2/3) + (1 - x^2)^(1/3)])/(4*(x - x^3)^(2/3))}
+# {Sqrt[x*(1 + x^(1/3))], x, 8, (7/64)*Sqrt[x*(1 + x^(1/3))] - (21*Sqrt[x*(1 + x^(1/3))])/(128*x^(1/3)) - (7/80)*x^(1/3)*Sqrt[x*(1 + x^(1/3))] + (3/40)*x^(2/3)*Sqrt[x*(1 + x^(1/3))] + (3/5)*x*Sqrt[x*(1 + x^(1/3))] + (21/128)*ArcTanh[x^(2/3)/Sqrt[x*(1 + x^(1/3))]], (7/64)*Sqrt[x + x^(4/3)] - (21*Sqrt[x + x^(4/3)])/(128*x^(1/3)) - (7/80)*x^(1/3)*Sqrt[x + x^(4/3)] + (3/40)*x^(2/3)*Sqrt[x + x^(4/3)] + (3/5)*x*Sqrt[x + x^(4/3)] + (21/128)*ArcTanh[x^(2/3)/Sqrt[x + x^(4/3)]]}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 101 - 112 (p. 193-194)
+
+
+(x^3/((x^4 - 1)*sqrt(2*x^8 + 1)), -1/(4*sqrt(3))*atanh((2*x^4 + 1)/(sqrt(3)*sqrt(2*x^8 + 1))), x, 3),
+(x^9*sqrt(1 + x^5 + x^10), (-(1//40))*(1 + 2*x^5)*sqrt(1 + x^5 + x^10) + (1//15)*(1 + x^5 + x^10)^(3//2) - (3//80)*asinh((1 + 2*x^5)/sqrt(3)), x, 5),
+(1/(x^5*sqrt(4 + 2*x^2 + x^4)), -(sqrt(4 + 2*x^2 + x^4)/(16*x^4)) + (3*sqrt(4 + 2*x^2 + x^4))/(64*x^2) + (1//128)*atanh((4 + x^2)/(2*sqrt(4 + 2*x^2 + x^4))), x, 5),
+((x^2 - 1)/(x*sqrt(1 + 3*x^2 + x^4)), atanh((1 + x^2)/sqrt(1 + 3*x^2 + x^4)), x, 3),
+((x^4 - 3*x^2)^(3//5)*(2*x^3 - 3*x), (5//16)*(x^4 - 3*x^2)^(8//5), x, 1),
+((3*x^8 - 2*x^5 - x^2*(3*x^3 - 1)^(2//3))/(3*x^3 - 1)^(3//4), (-(4//27))*(3*x^3 - 1)^(1//4) - (4//33)*(3*x^3 - 1)^(11//12) + (4//243)*(3*x^3 - 1)^(9//4), x, 9),
+(1/((x^3 - 1)*(x^3 + 2)^(1//3)), -(atan((1 + (2*3^(1//3)*x)/(2 + x^3)^(1//3))/sqrt(3))/3^(5//6)) - log(-1 + x^3)/(6*3^(1//3)) + log(3^(1//3)*x - (2 + x^3)^(1//3))/(2*3^(1//3)), x, 1),
+(1/((x^4 + 1)*(x^4 + 2)^(1//4)), -(atan(1 - (sqrt(2)*x)/(x^4 + 2)^(1//4))/(2*sqrt(2))) + atan(1 + (sqrt(2)*x)/(x^4 + 2)^(1//4))/(2*sqrt(2)) - log(1 + x^2/sqrt(x^4 + 2) - (sqrt(2)*x)/(x^4 + 2)^(1//4))/(4*sqrt(2)) + log(1 + x^2/sqrt(x^4 + 2) + (sqrt(2)*x)/(x^4 + 2)^(1//4))/(4*sqrt(2)), x, 10),
+((x^3 - 1)/(x^3 + 2)^(1//3), (1//3)*x*(2 + x^3)^(2//3) - (5*atan((1 + (2*x)/(2 + x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) + (5//6)*log(-x + (2 + x^3)^(1//3)), x, 2),
+((x^4 + 1)^(3//4)/(x^4 + 2)^2, (x*(x^4 + 1)^(3//4))/(8*(x^4 + 2)) + (3*atan(x/(2^(1//4)*(x^4 + 1)^(1//4))))/(16*2^(3//4)) + (3*atanh(x/(2^(1//4)*(x^4 + 1)^(1//4))))/(16*2^(3//4)), x, 5),
+# {(x^5 - 2)^2/((x^5 + 3)^3*(x^5 + 3)^(1/5)), x, 3, -(5*x*(x^5 - 2))/(33*(x^5 + 3)^(11/5)) + (5*x)/(297*(x^5 + 3)^(6/5)) + (97*x)/(891*(x^5 + 3)^(1/5)), (x*(2 - x^5)^2)/(33*(3 + x^5)^(11/5)) + (10*x*(2 - x^5))/(297*(3 + x^5)^(6/5)) + (100*x)/(891*(3 + x^5)^(1/5))}
+(1/((x^3 + 3*x^2 + 3*x)*(x^3 + 3*x^2 + 3*x + 3)^(1//3)), -(atan((1 + (2*3^(1//3)*(1 + x))/(2 + (1 + x)^3)^(1//3))/sqrt(3))/3^(5//6)) - log(1 - (1 + x)^3)/(6*3^(1//3)) + log(3^(1//3)*(1 + x) - (2 + (1 + x)^3)^(1//3))/(2*3^(1//3)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 113 - 122 (p. 195-196)
+
+
+((1 - x^2)/((1 + x^2)*sqrt(1 + x^4)), 1/sqrt(2)*atan((sqrt(2)*x)/sqrt(1 + x^4)), x, 2),
+((1 + x^2)/((1 - x^2)*sqrt(1 + x^4)), 1/sqrt(2)*atanh((sqrt(2)*x)/sqrt(1 + x^4)), x, 2),
+# {(x^2 + 1)/(x*Sqrt[1 + x^4]), x, 6, ArcTanh[(x^2 - 1)/Sqrt[1 + x^4]], ArcSinh[x^2]/2 - (1/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + x^4]]}
+# {(x^2 - 1)/(x*Sqrt[1 + x^4]), x, 6, ArcTanh[(x^2 + 1)/Sqrt[1 + x^4]], ArcSinh[x^2]/2 + (1/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + x^4]]}
+((1 + x^2)/((1 - x^2)*sqrt(1 + x^2 + x^4)), (1/sqrt(3))*atanh((sqrt(3)*x)/sqrt(1 + x^2 + x^4)), x, 2),
+((1 - x^2)/((1 + x^2)*sqrt(1 + x^2 + x^4)), atan(x/sqrt(1 + x^2 + x^4)), x, 2),
+((x^4 - 1)/(x^2*sqrt(x^4 + x^2 + 1)), sqrt(x^4 + x^2 + 1)/x, x, 1),
+((1 - x^2)/((1 + 2*a*x + x^2)*sqrt(1 + 2*a*x + 2*b*x^2 + 2*a*x^3 + x^4)), (1/(sqrt(2)*sqrt(1 - b)))*atan((a + 2*(a^2 - b + 1)*x + a*x^2)/(sqrt(2)*sqrt(1 - b)*sqrt(1 + 2*a*x + 2*b*x^2 + 2*a*x^3 + x^4))), x, 1),
+(1/((1 + x^4)*sqrt(sqrt(1 + x^4) - x^2)), atan(x/sqrt(sqrt(1 + x^4) - x^2)), x, 2),
+(1/((1 + x^(2*n))*((1 + x^(2*n))^(1/n) - x^2)^(1//2)), atan(x/sqrt((1 + x^(2*n))^(1/n) - x^2)), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Chapter 5 Integration Problems
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 1 - 3 (p. 202-203)
+
+
+(cos(x)^2, x/2 + (1//2)*cos(x)*sin(x), x, 2),
+(cos(x)^3, sin(x) - sin(x)^3//3, x, 2),
+(sin(x)^4, (3*x)/8 - (3//8)*cos(x)*sin(x) - (1//4)*cos(x)*sin(x)^3, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 4 - 7 (p. 208)
+
+
+(cos(x)^6, (5*x)/16 + (5//16)*cos(x)*sin(x) + (5//24)*cos(x)^3*sin(x) + (1//6)*cos(x)^5*sin(x), x, 4),
+(sin(x)^8, (35*x)/128 - (35//128)*cos(x)*sin(x) - (35//192)*cos(x)*sin(x)^3 - (7//48)*cos(x)*sin(x)^5 - (1//8)*cos(x)*sin(x)^7, x, 5),
+# {Cos[Pi/4 + x/2]^4, x, 3, (3*x)/8 + Cos[x]/2 - (1/8)*Cos[x]*Sin[x], (3*x)/8 + (3/4)*Cos[Pi/4 + x/2]*Sin[Pi/4 + x/2] + (1/2)*Cos[Pi/4 + x/2]^3*Sin[Pi/4 + x/2]}
+(sin(3*x - π/12)^3, (-(1//3))*cos(π/12 - 3*x) + (1//9)*cos(π/12 - 3*x)^3, x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 8 - 11 (p. 211)
+
+
+(1/sin(x)^6, -cot(x) - (2*cot(x)^3)/3 - cot(x)^5//5, x, 2),
+(csc(x)^7, (-(5//16))*atanh(cos(x)) - (5//16)*cot(x)*csc(x) - (5//24)*cot(x)*csc(x)^3 - (1//6)*cot(x)*csc(x)^5, x, 4),
+(1/cos(x)^12, tan(x) + (5*tan(x)^3)/3 + 2*tan(x)^5 + (10*tan(x)^7)/7 + (5*tan(x)^9)/9 + tan(x)^11//11, x, 2),
+(1/cos(π/4 + 3*x)^3, (1//6)*atanh(sin(π/4 + 3*x)) + (1//6)*sec(π/4 + 3*x)*tan(π/4 + 3*x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 12 - 14 (p. 213)
+
+
+(tan(x)^6, -x + tan(x) - tan(x)^3//3 + tan(x)^5//5, x, 4),
+(1/tan(x)^5, cot(x)^2//2 - cot(x)^4//4 + log(sin(x)), x, 3),
+(cot(x/3 - 3*π/4)^4, x + 3*cot(π/4 + x/3) - cot(π/4 + x/3)^3, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 15 - 20 (p. 219-220)
+
+
+(sin(x)^4*cos(x)^6, (3*x)/256 + (3//256)*cos(x)*sin(x) + (1//128)*cos(x)^3*sin(x) + (1//160)*cos(x)^5*sin(x) - (3//80)*cos(x)^7*sin(x) - (1//10)*cos(x)^7*sin(x)^3, x, 6),
+(sin(x)^7*cos(x)^6, (-(1//7))*cos(x)^7 + cos(x)^9//3 - (3*cos(x)^11)/11 + cos(x)^13//13, x, 3),
+(sin(x)^11/cos(x), (5*cos(x)^2)/2 - (5*cos(x)^4)/2 + (5*cos(x)^6)/3 - (5*cos(x)^8)/8 + cos(x)^10//10 - log(cos(x)), x, 4),
+(1/(sin(x)^6*cos(x)^6), -10*cot(x) - (5*cot(x)^3)/3 - cot(x)^5//5 + 10*tan(x) + (5*tan(x)^3)/3 + tan(x)^5//5, x, 3),
+(sin(x)^2*cos(x)^2, x/8 + (1//8)*cos(x)*sin(x) - (1//4)*cos(x)^3*sin(x), x, 3),
+(sin(x)^4*cos(x)^4, (3*x)/128 + (3//128)*cos(x)*sin(x) + (1//64)*cos(x)^3*sin(x) - (1//16)*cos(x)^5*sin(x) - (1//8)*cos(x)^5*sin(x)^3, x, 5),
+(sin(x)^6*cos(x)^6, (5*x)/1024 + (5*cos(x)*sin(x))/1024 + (5*cos(x)^3*sin(x))/1536 + (1//384)*cos(x)^5*sin(x) - (1//64)*cos(x)^7*sin(x) - (1//24)*cos(x)^7*sin(x)^3 - (1//12)*cos(x)^7*sin(x)^5, x, 7),
+(sin(x)^8*cos(x)^8, (35*x)/32768 + (35*cos(x)*sin(x))/32768 + (35*cos(x)^3*sin(x))/49152 + (7*cos(x)^5*sin(x))/12288 + (cos(x)^7*sin(x))/2048 - (1//256)*cos(x)^9*sin(x) - (5//384)*cos(x)^9*sin(x)^3 - (1//32)*cos(x)^9*sin(x)^5 - (1//16)*cos(x)^9*sin(x)^7, x, 9),
+(sin(x)^(2*m)*cos(x)^(2*m), (cos(x)^(-1 + 2*m)*(cos(x)^2)^(1//2 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1//2)*(1 - 2*m), (1//2)*(1 + 2*m), (1//2)*(3 + 2*m), sin(x)^2)*sin(x)^(1 + 2*m))/(1 + 2*m), x, 1),
+(1/(sin(π/4 + 2*x)^3*cos(π/4 + 2*x)), (-(1//4))*cot(π/4 + 2*x)^2 + (1//2)*log(tan(π/4 + 2*x)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 21 - 29 (p. 223)
+
+
+(tan(x)^2*sec(x)^2, tan(x)^3//3, x, 2),
+(cot(x)^3*csc(x), csc(x) - csc(x)^3//3, x, 2),
+(tan(x)*sec(x)^3, sec(x)^3//3, x, 2),
+(cot(x)^2*csc(x)^3, (1//8)*atanh(cos(x)) + (1//8)*cot(x)*csc(x) - (1//4)*cot(x)*csc(x)^3, x, 3),
+(cos(x)^3/sin(x)^7, csc(x)^4//4 - csc(x)^6//6, x, 3),
+(tan(x)^5*sec(x)^(3//2), (2//3)*sec(x)^(3//2) - (4//7)*sec(x)^(7//2) + (2//11)*sec(x)^(11//2), x, 3),
+(tan(x)^(3//2)*sec(x)^4, (2//5)*tan(x)^(5//2) + (2//9)*tan(x)^(9//2), x, 3),
+(cot(x)^4*csc(x)^3, (-(1//16))*atanh(cos(x)) - (1//16)*cot(x)*csc(x) + (1//8)*cot(x)*csc(x)^3 - (1//6)*cot(x)^3*csc(x)^3, x, 4),
+(tan(π/4 + x/2)^2*sec(π/4 + x/2)^3, (-(1//4))*atanh(sin(π/4 + x/2)) - (1//4)*sec(π/4 + x/2)*tan(π/4 + x/2) + (1//2)*sec(π/4 + x/2)^3*tan(π/4 + x/2), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 30 - 32 (p. 228)
+
+
+# {(a*Sec[x]^2 - Sin[2*x])^2*(Cot[x]^3 + 1), x, 8, x/2 + 4*a*x + 2*Cos[x]^2 + Cos[x]^4 + 4*a*Cot[x] - (1/2)*a^2*Cot[x]^2 + (4 - a)*a*Log[Cos[x]] + (4 + a^2)*Log[Sin[x]] + (1/2)*Cos[x]*Sin[x] - Cos[x]^3*Sin[x] + a^2*Tan[x] + (1/3)*a^2*Tan[x]^3, (1/2)*(1 + 8*a)*x + 4*a*Cot[x] - (1/2)*a^2*Cot[x]^2 + 4*(1 + a)*Log[Cos[x]] + (4 + a^2)*Log[Tan[x]] + Cos[x]^4*(1 - Tan[x]) + a^2*Tan[x] + (1/3)*a^2*Tan[x]^3 + (1/2)*Cos[x]^2*(4 + Tan[x])}
+((1 - 1//2*sin(x))^4*(4 - 3*cos(x)), (227*x)/32 + 10*cos(x) - 3*cos(x)^2 - (2*cos(x)^3)/3 - 3*sin(x) - (99//32)*cos(x)*sin(x) - (3*sin(x)^3)/2 - (1//16)*cos(x)*sin(x)^3 + (3*sin(x)^4)/8 - (3*sin(x)^5)/80, x, 15),
+((3 - 2*cot(x))^3*(1//2 - 3*cot(x)), -((285*x)/2) + 5*(3 - 2*cot(x))^2 + (3 - 2*cot(x))^3 - 42*cot(x) + 4*log(sin(x)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 33 - 36 (p. 229)
+
+
+(cos(5*x)/cos(x)^5, 16*x - 15*tan(x) + (5*tan(x)^3)/3, x, 4),
+(cos(4*x)/cos(x), atanh(sin(x)) - (8*sin(x)^3)/3, x, 4),
+(cos(4*x)*cos(x), (1//6)*sin(3*x) + (1//10)*sin(5*x), x, 1),
+(cos(4*x)/cos(x)^5, (35//8)*atanh(sin(x)) - (29//8)*sec(x)*tan(x) + (1//4)*sec(x)^3*tan(x), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 37 - 39 (p. 233)
+
+
+(cos(4*x)*cos(x)^4, x/16 + (1//8)*sin(2*x) + (3//32)*sin(4*x) + (1//24)*sin(6*x) + (1//128)*sin(8*x), x, 6),
+(cos(5*x)/sin(x)^5, 6*csc(x)^2 - csc(x)^4//4 + 16*log(sin(x)), x, 4),
+(sin(4*x)/sin(x)^4, -2*csc(x)^2 - 8*log(sin(x)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 40 - 49 (p. 254-255)
+
+
+# {Cos[x]/(Sin[x]*(2 + Sin[2*x])), x, 7, -x/(2*Sqrt[3]) + 1/(2*Sqrt[3])*ArcTan[(1 - 2*Cos[x]^2)/(2 + Sqrt[3] + 2*Cos[x]*Sin[x])] + 1/2*Log[Sin[x]] - 1/4*Log[1 + Cos[x]*Sin[x]], -(x/(2*Sqrt[3])) + ArcTan[(1 - 2*Cos[x]^2)/(2 + Sqrt[3] + 2*Cos[x]*Sin[x])]/(2*Sqrt[3]) + (1/2)*Log[Tan[x]] - (1/4)*Log[1 + Tan[x] + Tan[x]^2]}
+# {Cos[x]^2/(Sin[x]*Cos[3*x]), x, 5, -1/2*Log[Csc[x]^2 - 4], Log[Sin[x]] - (1/2)*Log[1 - 4*Sin[x]^2]}
+(sin(2*x)/(cos(x)^4 + sin(x)^4), -atan(cos(2*x)), x, 5),
+# {1/(4 + Sqrt[3]*Cos[x] + Sin[x]), x, 3, x/(2*Sqrt[3]) + (1/Sqrt[3])*ArcTan[(Cos[x] - Sqrt[3]*Sin[x])/(2*(2 + Sqrt[3]) + Sqrt[3]*Cos[x] + Sin[x])], x/(2*Sqrt[3]) + ArcTan[((4 - Sqrt[3])*Cos[x] + (3 - 4*Sqrt[3])*Sin[x])/(2*(5 + 2*Sqrt[3]) - (3 - 4*Sqrt[3])*Cos[x] + (4 - Sqrt[3])*Sin[x])]/Sqrt[3]}
+# {1/(3 + 4*Cos[x] + 4*Sin[x]), x, 3, -1/Sqrt[23]*ArcTanh[Sqrt[23]*(Cos[x] - Sin[x])/(8 + 3*Cos[x] + 3*Sin[x])], -(Log[4*(5 + Sqrt[23]) + 19*Cos[x] + 4*Sqrt[23]*Cos[x] - 4*Sin[x] - Sqrt[23]*Sin[x]]/(2*Sqrt[23])) + Log[4*(5 - Sqrt[23]) + 19*Cos[x] - 4*Sqrt[23]*Cos[x] - 4*Sin[x] + Sqrt[23]*Sin[x]]/(2*Sqrt[23])}
+(1/(4 - 3*cos(x)^2 + 5*sin(x)^2), x/3 + (1//3)*atan((2*cos(x)*sin(x))/(1 + 2*sin(x)^2)), x, 2),
+(1/(4 + tan(x) + 4*cot(x)), (4*x)/25 - (3//25)*log(2*cos(x) + sin(x)) + 2/(5*(2 + tan(x))), x, 6),
+(1/(sin(x) + 2*sec(x))^2, (8*x)/(15*sqrt(15)) - (8/(15*sqrt(15)))*atan((1 - 2*cos(x)^2)/(4 + sqrt(15) + 2*cos(x)*sin(x))) + (1 + 4*tan(x))/(15*(2 + tan(x) + 2*tan(x)^2)), x, 4),
+(1/(cos(x) + 2*sec(x))^2, x/(6*sqrt(6)) - (1/(6*sqrt(6)))*atan((cos(x)*sin(x))/(2 + sqrt(6) + cos(x)^2)) + tan(x)/(6*(3 + 2*tan(x)^2)), x, 3),
+((5 - tan(x) - 6*tan(x)^2)/(1 + 3*tan(x))^3, -((67*x)/250) - (28//125)*log(cos(x) + 3*sin(x)) - 7/(10*(1 + 3*tan(x))^2) - 29/(50*(1 + 3*tan(x))), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 50 - 56 (p. 260)
+
+
+(cos(x)^2/cos(3*x), 1//2*atanh(2*sin(x)), x, 2),
+(sin(x)/cos(2*x), atanh(sqrt(2)*cos(x))/sqrt(2), x, 2),
+(sin(x)^2/cos(2*x), -x/2 + 1//4*atanh(2*cos(x)*sin(x)), x, 4),
+(sin(x)^3/cos(3*x), 1//3*log(cos(x)) - 1//24*log(3 - 4*cos(x)^2), x, 4),
+(cos(x)/sin(3*x), 1//3*log(sin(x)) - 1//6*log(3 - 4*sin(x)^2), x, 5),
+(sin(x)/sin(4*x), -1//4*atanh(sin(x)) + atanh(sqrt(2)*sin(x))/(2*sqrt(2)), x, 4),
+(sin(x)^3/sin(4*x), -1//4*atanh(sin(x)) + atanh(sqrt(2)*sin(x))/(4*sqrt(2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 57 - 61 (p. 266)
+
+
+(sqrt(1 + sin(2*x)), -(cos(2*x)/sqrt(1 + sin(2*x))), x, 1),
+(sqrt(1 - sin(2*x)), cos(2*x)/sqrt(1 - sin(2*x)), x, 1),
+(1/sqrt(1 + cos(2*x)), atanh(sin(2*x)/(sqrt(2)*sqrt(1 + cos(2*x))))/sqrt(2), x, 2),
+(1/sqrt(1 - cos(2*x)), -1/sqrt(2)*atanh(sin(2*x)/(sqrt(2)*sqrt(1 - cos(2*x)))), x, 2),
+(1/(1 - cos(3*x))^(3//2), -(atanh(sin(3*x)/(sqrt(2)*sqrt(1 - cos(3*x))))/(6*sqrt(2))) - sin(3*x)/(6*(1 - cos(3*x))^(3//2)), x, 3),
+((1 - sin(2*(x/3)))^(5//2), (32*cos((2*x)/3))/(5*sqrt(1 - sin((2*x)/3))) + (8//5)*cos((2*x)/3)*sqrt(1 - sin((2*x)/3)) + (3//5)*cos((2*x)/3)*(1 - sin((2*x)/3))^(3//2), x, 3),
+((2*(1 + 2*sin(x))^(1//4) - cos(x)^2)/(1 + 2*sin(x))^(3//2)*cos(x), 3/(4*sqrt(1 + 2*sin(x))) - 4/(1 + 2*sin(x))^(1//4) - (1//2)*sqrt(1 + 2*sin(x)) + (1//12)*(1 + 2*sin(x))^(3//2), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 62 - 66 (p. 268)
+
+
+(sqrt(tan(x)), -(atan(1 - sqrt(2)*sqrt(tan(x)))/sqrt(2)) + atan(1 + sqrt(2)*sqrt(tan(x)))/sqrt(2) + log(1 - sqrt(2)*sqrt(tan(x)) + tan(x))/(2*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(2)*sqrt(tan(x)) + tan(x))/(2*sqrt(2)), x, 11),
+# {1/Tan[5*x]^(1/3), x, 9, -1/10*Sqrt[3]*ArcTan[(1 - 2*Tan[5*x]^(2/3))/Sqrt[3]] + 3/20*Log[1 + Tan[5*x]^(2/3)] - 1/20*Log[1 + Tan[5*x]^2], (-(1/10))*Sqrt[3]*ArcTan[(1 - 2*Tan[5*x]^(2/3))/Sqrt[3]] + (1/10)*Log[1 + Tan[5*x]^(2/3)] - (1/20)*Log[1 - Tan[5*x]^(2/3) + Tan[5*x]^(4/3)]}
+(1/(4 + 3*tan(2*x))^(3//2), -((9*atan((1 - 3*tan(2*x))/(sqrt(2)*sqrt(4 + 3*tan(2*x)))))/(250*sqrt(2))) + (13*atanh((3 + tan(2*x))/(sqrt(2)*sqrt(4 + 3*tan(2*x)))))/(250*sqrt(2)) - 3/(25*sqrt(4 + 3*tan(2*x))), x, 6),
+((3*tan(x) - sqrt(4 - 3*tan(x)))/(cos(x)^2*(4 - 3*tan(x))^(3//2)), (1//3)*log(4 - 3*tan(x)) + 8/(3*sqrt(4 - 3*tan(x))) + (2//3)*sqrt(4 - 3*tan(x)), x, 4),
+(tan(x)/(sqrt(tan(x)) - 1)^2, -(x/2) + atan((1 - tan(x))/(sqrt(2)*sqrt(tan(x))))/sqrt(2) + atanh((1 + tan(x))/(sqrt(2)*sqrt(tan(x))))/sqrt(2) + (1//2)*log(cos(x)) + log(1 - sqrt(tan(x))) + 1/(1 - sqrt(tan(x))), x, -19),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 67 - 75 (p. 272-273)
+
+
+(sin(x)/sqrt(sin(2*x)), (-(1//2))*asin(cos(x) - sin(x)) - (1//2)*log(cos(x) + sin(x) + sqrt(sin(2*x))), x, 1),
+(cos(x)/sqrt(sin(2*x)), (-(1//2))*asin(cos(x) - sin(x)) + (1//2)*log(cos(x) + sin(x) + sqrt(sin(2*x))), x, 1),
+(sqrt(sin(2*x))*sin(x), (-(1//4))*asin(cos(x) - sin(x)) + (1//4)*log(cos(x) + sin(x) + sqrt(sin(2*x))) - (1//2)*cos(x)*sqrt(sin(2*x)), x, 2),
+((cos(x) - sin(x))*sqrt(sin(2*x)), (-(1//2))*log(cos(x) + sin(x) + sqrt(sin(2*x))) + (1//2)*cos(x)*sqrt(sin(2*x)) + (1//2)*sin(x)*sqrt(sin(2*x)), x, 6),
+(sin(x)^7/sin(2*x)^(7//2), -1//16*asin(cos(x) - sin(x)) + 1//16*log(cos(x) + sin(x) + sqrt(sin(2*x))) + sin(x)^5/(5*sin(2*x)^(5//2)) - sin(x)/(4*sqrt(sin(2*x))), x, 4),
+(cos(x)^7/sin(2*x)^(7//2), -1//16*asin(cos(x) - sin(x)) - 1//16*log(cos(x) + sin(x) + sqrt(sin(2*x))) - cos(x)^5/(5*sin(2*x)^(5//2)) + cos(x)/(4*sqrt(sin(2*x))), x, 4),
+(sin(2*x)^(3//2)/sin(x)^5, (-(1//5))*csc(x)^5*sin(2*x)^(5//2), x, 1),
+(1/(cos(x)^3*sqrt(sin(2*x))), (4//5)*sec(x)*sqrt(sin(2*x)) + (1//5)*sec(x)^3*sqrt(sin(2*x)), x, 2),
+(1/(sin(x)*sin(2*x)^(3//2)), -((2*cos(x))/(3*sin(2*x)^(3//2))) + (4*sin(x))/(3*sqrt(sin(2*x))), x, 3),
+# {(Cos[2*x] - 3*Tan[x])*(Cos[x]^3/((Sin[x]^2 - Sin[2*x])*Sin[2*x]^(5/2))), x, 6, (33/32)*ArcTanh[Sqrt[Sin[2*x]]/(2*Cos[x])] - (9*Cos[x])/(16*Sqrt[Sin[2*x]]) - (5*Cos[x]*Cot[x])/(24*Sqrt[Sin[2*x]]) + (Cos[x]*Cot[x]^2)/(20*Sqrt[Sin[2*x]]), Cos[x]^5/(5*Sin[2*x]^(5/2)) - (5*Cos[x]^4*Sin[x])/(6*Sin[2*x]^(5/2)) - (9*Cos[x]^3*Sin[x]^2)/(4*Sin[2*x]^(5/2)) + (33*ArcTanh[Sqrt[Tan[x]]/Sqrt[2]]*Sin[x]^5)/(4*Sqrt[2]*Sin[2*x]^(5/2)*Tan[x]^(5/2))}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 76 - 82 (p. 276)
+
+
+# {Sqrt[Sin[x]/Cos[x]^5], x, 5, (2/3)*Cos[x]*Sin[x]*Sqrt[Sec[x]^4*Tan[x]], (2*Sec[x]^2*Tan[x]^2)/(3*Sqrt[Tan[x] + 2*Tan[x]^3 + Tan[x]^5])}
+# {Sqrt[Sin[x]^5/Cos[x]], x, 13, 3/(4*Sqrt[2])*ArcTan[(1 - Cot[x])*Csc[x]^2*Sqrt[Sin[x]^4*Tan[x]]/Sqrt[2]] + 3/(4*Sqrt[2])*Log[Cos[x] + Sin[x] - Sqrt[2]*Cot[x]*Csc[x]*Sqrt[Sin[x]^4*Tan[x]]] - 1/2*Cot[x]*Sqrt[Sin[x]^4*Tan[x]], (-(1/2))*Cot[x]*Sqrt[Sin[x]^4*Tan[x]] - (3*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[x]]]*Sec[x]^2*Sqrt[Sin[x]^4*Tan[x]])/(4*Sqrt[2]*Tan[x]^(5/2)) + (3*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[x]]]*Sec[x]^2*Sqrt[Sin[x]^4*Tan[x]])/(4*Sqrt[2]*Tan[x]^(5/2)) + (3*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[x]] + Tan[x]]*Sec[x]^2*Sqrt[Sin[x]^4*Tan[x]])/(8*Sqrt[2]*Tan[x]^(5/2)) - (3*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[x]] + Tan[x]]*Sec[x]^2*Sqrt[Sin[x]^4*Tan[x]])/(8*Sqrt[2]*Tan[x]^(5/2))}
+((sin(x)^2/cos(x)^14)^(1//3), (3//5)*cos(x)^3*sin(x)*(sec(x)^12*tan(x)^2)^(1//3) + (3//11)*cos(x)*sin(x)^3*(sec(x)^12*tan(x)^2)^(1//3), x, 5),
+(1/(sin(x)^13*cos(x)^11)^(1//4), -((4*cos(x)^5*sin(x))/(9*(cos(x)^11*sin(x)^13)^(1//4))) - (8*cos(x)^3*sin(x)^3)/(cos(x)^11*sin(x)^13)^(1//4) + (4*cos(x)*sin(x)^5)/(7*(cos(x)^11*sin(x)^13)^(1//4)), x, 4),
+# {(Cos[2*x] - Sqrt[Sin[2*x]])/Sqrt[Sin[x]*Cos[x]^3], x, If[$VersionNumber<11, -28, -27], -Sqrt[2]*Log[Cos[x] + Sin[x] - Sqrt[2]*Sec[x]*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]]] - ArcSin[Cos[x] - Sin[x]]*Cos[x]*Sqrt[Sin[2*x]]/Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]] - ArcTanh[Sin[x]]*Cos[x]*Sqrt[Sin[2*x]]/Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]] - Sin[2*x]/Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]]}
+# {(Sqrt[Sin[x]^3*Cos[x]] - 2*Sin[2*x])/(Sqrt[Tan[x]] - Sqrt[Sin[x]*Cos[x]^3]), x, 66, -2*Sqrt[2]*ArcCoth[(Cos[x]*(Cos[x] + Sin[x]))/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]])] + 2^(1/4)*ArcCoth[(Cos[x]*(Sqrt[2]*Cos[x] + Sin[x]))/(2^(3/4)*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]])] - 2^(1/4)*ArcCoth[(Sqrt[2] + Tan[x])/(2^(3/4)*Sqrt[Tan[x]])] - 2*Sqrt[2]*ArcTan[(Cos[x]*(Cos[x] - Sin[x]))/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]])] + 2^(1/4)*ArcTan[(Cos[x]*(Sqrt[2]*Cos[x] - Sin[x]))/(2^(3/4)*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]])] - 2^(1/4)*ArcTan[(Sqrt[2] - Tan[x])/(2^(3/4)*Sqrt[Tan[x]])] + 4*Csc[x]*Sec[x]*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]] + (1/4)*Csc[x]^2*Log[1 + Cos[x]^2]*Sec[x]^2*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]]*Sqrt[Cos[x]*Sin[x]^3] + (1/2)*Csc[x]^2*Log[Sin[x]]*Sec[x]^2*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]]*Sqrt[Cos[x]*Sin[x]^3] + 4/Sqrt[Tan[x]] - (1/4)*Csc[x]^2*Log[1 + Cos[x]^2]*Sqrt[Cos[x]*Sin[x]^3]*Sqrt[Tan[x]] + (1/2)*Csc[x]^2*Log[Sin[x]]*Sqrt[Cos[x]*Sin[x]^3]*Sqrt[Tan[x]], (-2^(1/4))*ArcTan[1 - 2^(1/4)*Sqrt[Tan[x]]] + 2^(1/4)*ArcTan[1 + 2^(1/4)*Sqrt[Tan[x]]] + Log[Sqrt[2] - 2^(3/4)*Sqrt[Tan[x]] + Tan[x]]/2^(3/4) - Log[Sqrt[2] + 2^(3/4)*Sqrt[Tan[x]] + Tan[x]]/2^(3/4) + 4*Csc[x]*Sec[x]*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]] - (1/2)*Csc[x]^2*Log[Sec[x]^2]*Sec[x]^2*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]]*Sqrt[Cos[x]*Sin[x]^3] + Csc[x]^2*Log[Sqrt[Tan[x]]]*Sec[x]^2*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]]*Sqrt[Cos[x]*Sin[x]^3] + (1/4)*Csc[x]^2*Log[2 + Tan[x]^2]*Sec[x]^2*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]]*Sqrt[Cos[x]*Sin[x]^3] + (Log[Tan[x]]*Sec[x]^2*Sqrt[Cos[x]*Sin[x]^3])/(2*Tan[x]^(3/2)) - (Log[2 + Tan[x]^2]*Sec[x]^2*Sqrt[Cos[x]*Sin[x]^3])/(4*Tan[x]^(3/2)) + 4/Sqrt[Tan[x]] + (2^(1/4)*ArcTan[1 - 2^(1/4)*Sqrt[Tan[x]]]*Sec[x]^2*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]])/Sqrt[Tan[x]] - (2^(1/4)*ArcTan[1 + 2^(1/4)*Sqrt[Tan[x]]]*Sec[x]^2*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]])/Sqrt[Tan[x]] - (2*Sqrt[2]*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[x]]]*Sec[x]^2*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]])/Sqrt[Tan[x]] + (2*Sqrt[2]*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[x]]]*Sec[x]^2*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]])/Sqrt[Tan[x]] + (Sqrt[2]*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[x]] + Tan[x]]*Sec[x]^2*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]])/Sqrt[Tan[x]] - (Sqrt[2]*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[x]] + Tan[x]]*Sec[x]^2*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]])/Sqrt[Tan[x]] - (Log[Sqrt[2] - 2^(3/4)*Sqrt[Tan[x]] + Tan[x]]*Sec[x]^2*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]])/(2^(3/4)*Sqrt[Tan[x]]) + (Log[Sqrt[2] + 2^(3/4)*Sqrt[Tan[x]] + Tan[x]]*Sec[x]^2*Sqrt[Cos[x]^3*Sin[x]])/(2^(3/4)*Sqrt[Tan[x]])}
+# {((Sin[x]/Cos[x]^7)^(1/3) - 3*Tan[x])/(Sin[x]*Cos[x]^5)^(2/3), x, 13, -((9*Sin[x]^4)/(10*(Cos[x]^5*Sin[x])^(2/3))) - (9/4)*Sec[x]^8*(Cos[x]^5*Sin[x])^(4/3) + (3/2)*(Cos[x]^5*Sin[x])^(1/3)*(Sec[x]^6*Tan[x])^(1/3) + (3/4)*(Cos[x]^5*Sin[x])^(1/3)*Tan[x]^2*(Sec[x]^6*Tan[x])^(1/3) + (3/14)*(Cos[x]^5*Sin[x])^(1/3)*Tan[x]^4*(Sec[x]^6*Tan[x])^(1/3), -((9*Cos[x]^2*Sin[x]^2)/(4*(Cos[x]^5*Sin[x])^(2/3))) - (9*Sin[x]^4)/(10*(Cos[x]^5*Sin[x])^(2/3)) + (3*Cos[x]^5*Sin[x]*(Sec[x]^6*Tan[x])^(1/3))/(2*(Cos[x]^5*Sin[x])^(2/3)) + (3*Cos[x]^3*Sin[x]^3*(Sec[x]^6*Tan[x])^(1/3))/(4*(Cos[x]^5*Sin[x])^(2/3)) + (3*Cos[x]*Sin[x]^5*(Sec[x]^6*Tan[x])^(1/3))/(14*(Cos[x]^5*Sin[x])^(2/3))}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 83 - 92 (p. 288-289)
+
+
+# {(2*Cos[x]^2 + 1)^(5/2)*Sin[x], x, 5, -((5*ArcSinh[Sqrt[2]*Cos[x]])/(16*Sqrt[2])) - (5/16)*Cos[x]*Sqrt[1 + 2*Cos[x]^2] - (5/24)*Cos[x]*(1 + 2*Cos[x]^2)^(3/2) - (1/6)*Cos[x]*(1 + 2*Cos[x]^2)^(5/2), -((5*ArcSinh[Sqrt[2]*Cos[x]])/(16*Sqrt[2])) - (5/16)*Cos[x]*Sqrt[2 + Cos[2*x]] - (5/24)*Cos[x]*(2 + Cos[2*x])^(3/2) - (1/6)*Cos[x]*(2 + Cos[2*x])^(5/2)}
+((5*cos(x)^2 + sin(x)^2)^(5//2)*cos(x), (625//32)*asin((2*sin(x))/sqrt(5)) + (125//16)*sin(x)*sqrt(5 - 4*sin(x)^2) + (25//24)*sin(x)*(5 - 4*sin(x)^2)^(3//2) + (1//6)*sin(x)*(5 - 4*sin(x)^2)^(5//2), x, 5),
+((-cos(x)^2 - 5*sin(x)^2)^(3//2)*cos(x), (3//16)*atan((2*sin(x))/sqrt(-1 - 4*sin(x)^2)) - (3//8)*sin(x)*sqrt(-1 - 4*sin(x)^2) + (1//4)*sin(x)*(-1 - 4*sin(x)^2)^(3//2), x, 5),
+(sin(x)/(5*cos(x)^2 - 2*sin(x)^2)^(7//2), cos(x)/(10*(-2 + 7*cos(x)^2)^(5//2)) - cos(x)/(15*(-2 + 7*cos(x)^2)^(3//2)) + cos(x)/(15*sqrt(-2 + 7*cos(x)^2)), x, 4),
+(cos(2*x)*(cos(x)/(2 - 5*sin(x)^2)^(3//2)), (2*asin(sqrt(5//2)*sin(x)))/(5*sqrt(5)) + sin(x)/(10*sqrt(2 - 5*sin(x)^2)), x, 3),
+(sin(5*x)/(5*cos(x)^2 + 9*sin(x)^2)^(5//2), (-(1//2))*asin((2*cos(x))/3) - (55*cos(x))/(27*(9 - 4*cos(x)^2)^(3//2)) + (295*cos(x))/(243*sqrt(9 - 4*cos(x)^2)), x, 4),
+(cos(x)*cos(2*x)*sin(3*x)/(4*sin(x)^2 - 5)^(5//2), -(1/(4*(-5 + 4*sin(x)^2)^(3//2))) - 5/(8*sqrt(-5 + 4*sin(x)^2)) + (1//8)*sqrt(-5 + 4*sin(x)^2), x, 4),
+# {(Sin[x]*Cos[2*x] - 2*(Sin[x] - 1)*Cos[x]^3)/(Sin[x]^2*Sqrt[Sin[x]^2 - 5]), x, 18, 2*ArcTan[Cos[x]/Sqrt[Sin[x]^2 - 5]] - (1/Sqrt[5])*ArcTan[(Sqrt[5]*Cos[x])/Sqrt[Sin[x]^2 - 5]] - (2/Sqrt[5])*ArcTan[Sqrt[Sin[x]^2 - 5]/Sqrt[5]] - 2*ArcTanh[Sin[x]/Sqrt[Sin[x]^2 - 5]] + (2*Sqrt[Sin[x]^2 - 5])/(5*Sin[x]) + 2*Sqrt[Sin[x]^2 - 5], 2*ArcTan[Cos[x]/Sqrt[-4 - Cos[x]^2]] - ArcTan[(Sqrt[5]*Cos[x])/Sqrt[-4 - Cos[x]^2]]/Sqrt[5] - (2*ArcTan[Sqrt[-4 - Cos[x]^2]/Sqrt[5]])/Sqrt[5] - 2*ArcTanh[Sin[x]/Sqrt[-5 + Sin[x]^2]] + 2*Sqrt[-4 - Cos[x]^2] + (2/5)*Csc[x]*Sqrt[-5 + Sin[x]^2]}
+# {Cos[3*x]/(Sqrt[3*Cos[x]^2 - Sin[x]^2] - Sqrt[8*Cos[x]^2 - 1]), x, 27, (5/(4*Sqrt[2]))*ArcSin[2*Sqrt[2/7]*Sin[x]] + (3/4)*ArcSin[(2*Sin[x])/Sqrt[3]] - (3/4)*ArcTan[Sin[x]/Sqrt[4*Cos[x]^2 - 1]] - (3/4)*ArcTan[Sin[x]/Sqrt[8*Cos[x]^2 - 1]] - (1/2)*Sin[x]*Sqrt[4*Cos[x]^2 - 1] - (1/2)*Sin[x]*Sqrt[8*Cos[x]^2 - 1], (5*ArcSin[2*Sqrt[2/7]*Sin[x]])/(4*Sqrt[2]) + (3/4)*ArcSin[(2*Sin[x])/Sqrt[3]] - (3/4)*ArcTan[Sin[x]/Sqrt[7 - 8*Sin[x]^2]] - (3/4)*ArcTan[Sin[x]/Sqrt[3 - 4*Sin[x]^2]] - (1/2)*Sin[x]*Sqrt[7 - 8*Sin[x]^2] - (1/2)*Sin[x]*Sqrt[3 - 4*Sin[x]^2]}
+((2 - 3*sin(x)^2)^(3//5)*sin(4*x), (5//36)*(2 - 3*sin(x)^2)^(8//5) - (20//117)*(2 - 3*sin(x)^2)^(13//5), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 93 - 97 (p. 293)
+
+
+(sqrt(cos(2*x))*cos(x), asin(sqrt(2)*sin(x))/(2*sqrt(2)) + (1//2)*sin(x)*sqrt(cos(2*x)), x, 3),
+(cos(2*x)^(3//2)*sin(x), (-(3/(8*sqrt(2))))*atanh((sqrt(2)*cos(x))/sqrt(cos(2*x))) + (3//8)*cos(x)*sqrt(cos(2*x)) - (1//4)*cos(x)*cos(2*x)^(3//2), x, 5),
+(sin(x)/cos(2*x)^(5//2), -(cos(3*x)/(3*cos(2*x)^(3//2))), x, 1),
+(cos(2*x)^(3//2)/cos(x)^3, 2*sqrt(2)*asin(sqrt(2)*sin(x)) - (5//2)*atan(sin(x)/sqrt(cos(2*x))) - (1//2)*sec(x)*tan(x)*sqrt(cos(2*x)), x, 6),
+# {(3*Sin[x]^3 - Cos[x]*Sin[4*x])/(Csc[x]^2*Cos[2*x]^(7/2)), x, 11, -(ArcTanh[(Sqrt[2]*Cos[x])/Sqrt[Cos[2*x]]]/Sqrt[2]) - (11*Cos[x])/(20*Cos[2*x]^(3/2)) - (2*Cos[x]^3)/(3*Cos[2*x]^(3/2)) + (63*Cos[x])/(20*Sqrt[Cos[2*x]]) + (3*Cos[x]*Sin[x]^2)/(10*Cos[2*x]^(5/2)), -(ArcTanh[(Sqrt[2]*Cos[x])/Sqrt[Cos[2*x]]]/Sqrt[2]) - (2*Cos[x]^3)/(3*Cos[2*x]^(3/2)) + (13*Cos[x])/(5*Sqrt[Cos[2*x]]) - (4*Cos[x]*Sin[x]^2)/(5*Cos[2*x]^(3/2)) + (3*Cos[x]*Sin[x]^4)/(5*Cos[2*x]^(5/2))}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 98 - 103 (p. 297)
+
+
+((4 - 5*sec(x)^2)^(3//2), 8*atan((2*tan(x))/sqrt(-1 - 5*tan(x)^2)) - (7//2)*sqrt(5)*atan((sqrt(5)*tan(x))/sqrt(-1 - 5*tan(x)^2)) - (5//2)*tan(x)*sqrt(-1 - 5*tan(x)^2), x, 7),
+(1/(4 - 5*sec(x)^2)^(3//2), (1//8)*atan((2*tan(x))/sqrt(-1 - 5*tan(x)^2)) - (5*tan(x))/(4*sqrt(-1 - 5*tan(x)^2)), x, 4),
+# {(Sin[x] - 2*Cot[x]^2)/(1 + 5*Tan[x]^2)^(3/2), x, 10, -1/4*ArcTanh[(2*Tan[x])/Sqrt[1 + 5*Tan[x]^2]] - Cos[x]/(4*Sqrt[1 + 5*Tan[x]^2]) - (5*Cot[x])/(2*Sqrt[1 + 5*Tan[x]^2]) - 1/8*Cos[x]*Sqrt[1 + 5*Tan[x]^2] + 9/2*Cot[x]*Sqrt[1 + 5*Tan[x]^2], (-(1/4))*ArcTanh[(2*Tan[x])/Sqrt[1 + 5*Tan[x]^2]] + Cos[x]/(4*Sqrt[-4 + 5*Sec[x]^2]) - (5*Sec[x])/(8*Sqrt[-4 + 5*Sec[x]^2]) - (5*Cot[x])/(2*Sqrt[1 + 5*Tan[x]^2]) + (9/2)*Cot[x]*Sqrt[1 + 5*Tan[x]^2]}
+((cos(2*x) - 3)/(cos(x)^4*sqrt(4 - cot(x)^2)), (-(2//3))*sqrt(4 - cot(x)^2)*tan(x) - (1//3)*sqrt(4 - cot(x)^2)*tan(x)^3, x, 5),
+((3 + sin(x)^2)*tan(x)^3/((cos(x)^2 - 2)*(5 - 4*sec(x)^2)^(3//2)), -(atanh(sqrt(5 - 4*sec(x)^2)/sqrt(3))/(6*sqrt(3))) - atanh(sqrt(5 - 4*sec(x)^2)/sqrt(5))/(5*sqrt(5)) - 2/(15*sqrt(5 - 4*sec(x)^2)), x, 16),
+((sec(x)^2 - 3*tan(x)*sqrt(4*sec(x)^2 + 5*tan(x)^2))/(sin(x)^2*(4*sec(x)^2 + 5*tan(x)^2)^(3//2)), (-(3//4))*log(tan(x)) + (3//8)*log(4 + 9*tan(x)^2) - cot(x)/(4*sqrt(4 + 9*tan(x)^2)) - (7*tan(x))/(8*sqrt(4 + 9*tan(x)^2)), x, 10),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 104 - 110 (p. 303)
+
+
+((1 + 5*tan(x)^2)^(5//2)*tan(x), -32*atan((1//2)*sqrt(1 + 5*tan(x)^2)) + 16*sqrt(1 + 5*tan(x)^2) - (4//3)*(1 + 5*tan(x)^2)^(3//2) + (1//5)*(1 + 5*tan(x)^2)^(5//2), x, 7),
+(tan(x)/(1 + 5*tan(x)^2)^(5//2), (1//32)*atan((1//2)*sqrt(1 + 5*tan(x)^2)) - 1/(12*(1 + 5*tan(x)^2)^(3//2)) + 1/(16*sqrt(1 + 5*tan(x)^2)), x, 6),
+(tan(x)/(a^3 + b^3*tan(x)^2)^(1//3), (sqrt(3)*atan((1 + (2*(a^3 + b^3*tan(x)^2)^(1//3))/(a^3 - b^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(2*(a^3 - b^3)^(1//3)) + log(cos(x))/(2*(a^3 - b^3)^(1//3)) + (3*log((a^3 - b^3)^(1//3) - (a^3 + b^3*tan(x)^2)^(1//3)))/(4*(a^3 - b^3)^(1//3)), x, 6),
+((1 - 7*tan(x)^2)^(2//3)*tan(x), 2*sqrt(3)*atan((1 + (1 - 7*tan(x)^2)^(1//3))/sqrt(3)) + 2*log(cos(x)) + 3*log(2 - (1 - 7*tan(x)^2)^(1//3)) + (3//4)*(1 - 7*tan(x)^2)^(2//3), x, 7),
+(cot(x)/(a^4 + b^4*csc(x)^2)^(1//4), -atan((a^4 + b^4*csc(x)^2)^(1//4)/a)/a + atanh((a^4 + b^4*csc(x)^2)^(1//4)/a)/a, x, 6),
+(cot(x)/(a^4 - b^4*csc(x)^2)^(1//4), -atan((a^4 - b^4*csc(x)^2)^(1//4)/a)/a + atanh((a^4 - b^4*csc(x)^2)^(1//4)/a)/a, x, 6),
+# {(3*Tan[x]^2 + Sin[x]^2*(1 - 3*Sec[x]^2)^(1/3))/(Cos[x]^2*(1 - 3*Sec[x]^2)^(5/6)*(1 - Sqrt[1 - 3*Sec[x]^2]))*Tan[x], x, 29, Sqrt[3]*ArcTan[(1 + 2*(1 - 3*Sec[x]^2)^(1/6))/Sqrt[3]] + (1/4)*Log[Sec[x]^2] - (3/2)*Log[1 - (1 - 3*Sec[x]^2)^(1/6)] + (1/3)*Log[1 - Sqrt[1 - 3*Sec[x]^2]] - (1 - 3*Sec[x]^2)^(1/6) - (1/4)*(1 - 3*Sec[x]^2)^(2/3) + 1/(2*(1 - Sqrt[1 - 3*Sec[x]^2])), Sqrt[3]*ArcTan[(1 + 2*(1 - 3*Sec[x]^2)^(1/6))/Sqrt[3]] + (1/2)*ArcTanh[Sqrt[1 - 3*Sec[x]^2]] + Cos[x]^2/6 + (1/3)*Log[1 - Sqrt[-((3 - Cos[x]^2)*Sec[x]^2)]] - (3/2)*Log[1 - (1 - 3*Sec[x]^2)^(1/6)] + (1/2)*Log[1 - Sqrt[1 - 3*Sec[x]^2]] - (1 - 3*Sec[x]^2)^(1/6) + (1/6)*Cos[x]^2*Sqrt[1 - 3*Sec[x]^2] - (1/4)*(1 - 3*Sec[x]^2)^(2/3)}
+((2*tan(x)^2 - cos(2*x))/(cos(x)^2*(tan(x)*tan(2*x))^(3//2)), 2*atanh(tan(x)/sqrt(tan(x)*tan(2*x))) - (11/(4*sqrt(2)))*atanh((sqrt(2)*tan(x))/sqrt(tan(x)*tan(2*x))) + tan(x)/(2*(tan(x)*tan(2*x))^(3//2)) + (2*tan(x)^3)/(3*(tan(x)*tan(2*x))^(3//2)) + (3*tan(x))/(4*sqrt(tan(x)*tan(2*x))), x, -22),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 111 - 113 (p. 305-306)
+
+
+(tan(x)/(a^3 - b^3*cos(x)^n)^(4//3), (-(sqrt(3)/(a^4*n)))*atan((a + 2*(a^3 - b^3*cos(x)^n)^(1//3))/(sqrt(3)*a)) - 3/(a^3*n*(a^3 - b^3*cos(x)^n)^(1//3)) + log(cos(x))/(2*a^4) - (3*log(a - (a^3 - b^3*cos(x)^n)^(1//3)))/(2*a^4*n), x, 7),
+# {(1 + 2*Cos[x]^9)^(5/6)*Tan[x], x, 14, ArcTan[(1 - (1 + 2*Cos[x]^9)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + 2*Cos[x]^9)^(1/6))]/(3*Sqrt[3]) + (1/3)*ArcTanh[(1 + 2*Cos[x]^9)^(1/6)] - (1/9)*ArcTanh[Sqrt[1 + 2*Cos[x]^9]] - (2/15)*(1 + 2*Cos[x]^9)^(5/6), ArcTan[(1 - 2*(1 + 2*Cos[x]^9)^(1/6))/Sqrt[3]]/(3*Sqrt[3]) - ArcTan[(1 + 2*(1 + 2*Cos[x]^9)^(1/6))/Sqrt[3]]/(3*Sqrt[3]) + (2/9)*ArcTanh[(1 + 2*Cos[x]^9)^(1/6)] - (2/15)*(1 + 2*Cos[x]^9)^(5/6) - (1/18)*Log[1 - (1 + 2*Cos[x]^9)^(1/6) + (1 + 2*Cos[x]^9)^(1/3)] + (1/18)*Log[1 + (1 + 2*Cos[x]^9)^(1/6) + (1 + 2*Cos[x]^9)^(1/3)]}
+(sin(x)^9*cot(x)/(2 - 5*sin(x)^3)^(4//3), 4/(125*(2 - 5*sin(x)^3)^(1//3)) + (2//125)*(2 - 5*sin(x)^3)^(2//3) - (1//625)*(2 - 5*sin(x)^3)^(5//3), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 114 - 120 (p. 308-309)
+
+
+(((1 + (1 - 8*tan(x)^2)^(1//3))/(cos(x)^2*(1 - 8*tan(x)^2)^(2//3)))*tan(x), (-(3//32))*(1 + (1 - 8*tan(x)^2)^(1//3))^2, x, 2),
+# {((1 + (1 - 8*Tan[x]^2)^(1/3))/(Cos[x]^2*(1 - 8*Tan[x]^2)^(2/3)))*Cot[x], x, 15, -Log[Tan[x]] + (3/2)*Log[1 - (1 - 8*Tan[x]^2)^(1/3)], (-(1/2))*Log[1 - Sec[x]^2] + (3/2)*Log[1 - (9 - 8*Sec[x]^2)^(1/3)]}
+# {(5*Cos[x]^2 - Sqrt[5*Sin[x]^2 - 1])/((5*Sin[x]^2 - 1)^(1/4)*(2 + Sqrt[5*Sin[x]^2 - 1]))*Tan[x], x, 14, (-(3/Sqrt[2]))*ArcTan[(-1 + 5*Sin[x]^2)^(1/4)/Sqrt[2]] - (1/(2*Sqrt[2]))*ArcTanh[(-1 + 5*Sin[x]^2)^(1/4)/Sqrt[2]] + 2*(-1 + 5*Sin[x]^2)^(1/4) - (-1 + 5*Sin[x]^2)^(1/4)/(2*(2 + Sqrt[-1 + 5*Sin[x]^2])), ArcTan[(4 - 5*Cos[x]^2)^(1/4)/Sqrt[2]]/Sqrt[2] - 2*Sqrt[2]*ArcTan[(4 - 5*Cos[x]^2)^(1/4)/Sqrt[2]] - ArcTanh[(4 - 5*Cos[x]^2)^(1/4)/Sqrt[2]]/(2*Sqrt[2]) + 2*(4 - 5*Cos[x]^2)^(1/4) - (4 - 5*Cos[x]^2)^(1/4)/(2*(2 + Sqrt[4 - 5*Cos[x]^2]))}
+(cos(x)^4*cos(2*x)^(2//3)*tan(x), (-(3//40))*cos(2*x)^(5//3) - (3//64)*cos(2*x)^(8//3), x, 4),
+(sin(x)^6*(tan(x)/cos(2*x)^(3//4)), atan((1 - sqrt(cos(2*x)))/(sqrt(2)*cos(2*x)^(1//4)))/sqrt(2) - atanh((1 + sqrt(cos(2*x)))/(sqrt(2)*cos(2*x)^(1//4)))/sqrt(2) + (7//4)*cos(2*x)^(1//4) - (1//5)*cos(2*x)^(5//4) + (1//36)*cos(2*x)^(9//4), x, -14),
+# {Sqrt[Tan[x]*Tan[2*x]], x, 3, -ArcTanh[Tan[x]/Sqrt[Tan[x]*Tan[2*x]]], -ArcTanh[Tan[2*x]/Sqrt[-1 + Sec[2*x]]]}
+(sqrt(cot(2*x)/cot(x)), -(asin(tan(x))/sqrt(2)) + atan((sqrt(2)*tan(x))/sqrt(1 - tan(x)^2)), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Chapter 6 Integration Problems
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 1 - 5 (p. 314)
+
+
+(1/(x^5*(5 + x^2)), -(1/(20*x^4)) + 1/(50*x^2) + log(x)/125 - (1//250)*log(5 + x^2), x, 3),
+(1/(x^6*(5 + x^2)), -(1/(25*x^5)) + 1/(75*x^3) - 1/(125*x) - atan(x/sqrt(5))/(125*sqrt(5)), x, 4),
+(1/(x*(x^2 - 4)^4), 1/(24*(4 - x^2)^3) + 1/(64*(4 - x^2)^2) + 1/(128*(4 - x^2)) + log(x)/256 - (1//512)*log(4 - x^2), x, 3),
+(1/(x*(x^2 - 2)^(5//2)), -(1/(6*(x^2 - 2)^(3//2))) + 1/(4*sqrt(x^2 - 2)) + atan(sqrt(x^2 - 2)/sqrt(2))/(4*sqrt(2)), x, 5),
+((x^2 - 10)^(5//2)/x, 100*sqrt(x^2 - 10) - (10//3)*(x^2 - 10)^(3//2) + (1//5)*(x^2 - 10)^(5//2) - 100*sqrt(10)*atan(sqrt(x^2 - 10)/sqrt(10)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 6 - 21 (p. 327-328)
+
+
+(x^(2*n + 1), x^(2*(n + 1))/(2*(n + 1)), x, 1),
+(x^7/(x^2 - 5)^3, x^2//2 - 125/(4*(5 - x^2)^2) + 75/(2*(5 - x^2)) + (15//2)*log(5 - x^2), x, 3),
+((3*x^5 - 4*x^3)/(x^2 - 1)^5, 1/(8*(1 - x^2)^4) + 1/(3*(1 - x^2)^3) - 3/(4*(1 - x^2)^2), x, 4),
+((1 + x^2)^(9//14)*x^3, -7//23*(1 + x^2)^(23//14) + 7//37*(1 + x^2)^(37//14), x, 3),
+(x^5/(x^2 - 4)^(13//6), -(48/(7*(x^2 - 4)^(7//6))) - 24/(x^2 - 4)^(1//6) + (3//5)*(x^2 - 4)^(5//6), x, 3),
+(1/(1+2*x^2)^(5//2), x/(3*(1 + 2*x^2)^(3//2)) + (2*x)/(3*sqrt(1 + 2*x^2)), x, 2),
+(1/(x^2 - 2*x - 1)^(5//2), (1 - x)/(6*(x^2 - 2*x - 1)^(3//2)) - (1 - x)/(6*sqrt(x^2 - 2*x - 1)), x, 2),
+(1/(x^4*(x^2 - 8)^(3//2)), 1/(24*x^3*sqrt(x^2 - 8)) + 1/(48*x*sqrt(x^2 - 8)) - x/(192*sqrt(x^2 - 8)), x, 3),
+((x^2 + 5)^2/(x^4*x^(1//3)), -(15/(2*x^(10//3))) - 15/(2*x^(4//3)) + (3*x^(2//3))/2, x, 2),
+(1/(x^7*(1 + x^2)^3), -(1/(6*x^6)) + 3/(4*x^4) - 3/x^2 - 1/(4*(1 + x^2)^2) - 2/(1 + x^2) - 10*log(x) + 5*log(1 + x^2), x, 3),
+(((2 + x^2)/x^2)^(7//9)/(2 + x^2)^(3//2), -((9*(1 + 2/x^2)^(7//9)*x)/(10*sqrt(2 + x^2))), x, 3),
+# {x^4/(Sqrt[10] - x^2)^(9/2), x, 2, x^5/(7*Sqrt[10]*(Sqrt[10] - x^2)^(7/2)) + x^5/(175*(Sqrt[10] - x^2)^(5/2)), x^5/(5*Sqrt[10]*(Sqrt[10] - x^2)^(7/2)) - x^7/(175*(Sqrt[10] - x^2)^(7/2))}
+(x^2/(3 - x^2)^(3//2), x/sqrt(3 - x^2) - asin(x/sqrt(3)), x, 2),
+((25 - x^2)^(3//2)/x^4, sqrt(25 - x^2)/x - (25 - x^2)^(3//2)/(3*x^3) + asin(x/5), x, 3),
+(1/(1 - 2*x^2)^(7//2), x/(5*(1 - 2*x^2)^(5//2)) + (4*x)/(15*(1 - 2*x^2)^(3//2)) + (8*x)/(15*sqrt(1 - 2*x^2)), x, 3),
+(1/(-x^2 + 6*x - 7)^(5//2), -((3 - x)/(6*(-x^2 + 6*x - 7)^(3//2))) - (3 - x)/(6*sqrt(-x^2 + 6*x - 7)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 22 - 25 (p. 329)
+
+
+((-2*x^2 - 2*x + 1)^3, x - 3*x^2 + 2*x^3 + 4*x^4 - (12*x^5)/5 - 4*x^6 - (8*x^7)/7, x, 2),
+((x^2 - x - 1)^2*(5*x - 1), -x + (3*x^2)/2 + (11*x^3)/3 - (3*x^4)/4 - (11*x^5)/5 + (5*x^6)/6, x, 2),
+((3*x + 1)/(2*x^2 - 8*x + 1)^(5//2), (1 - 2*x)/(6*(2*x^2 - 8*x + 1)^(3//2)) - (2*(2 - x))/(21*sqrt(2*x^2 - 8*x + 1)), x, 2),
+((8*x^3 - 8*x - 1)/(1 + 2*x - 4*x^2)^(5//2), -((4*(1 + x))/(15*(1 + 2*x - 4*x^2)^(3//2))) - (7 + 122*x)/(75*sqrt(1 + 2*x - 4*x^2)), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Chapter 7 Integration Problems
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 1 - 4 (p. 334)
+
+
+(x^2*cos(x)^5, (16//15)*x*cos(x) + (8//45)*x*cos(x)^3 + (2//25)*x*cos(x)^5 - (298*sin(x))/225 + (8//15)*x^2*sin(x) + (4//15)*x^2*cos(x)^2*sin(x) + (1//5)*x^2*cos(x)^4*sin(x) + (76*sin(x)^3)/675 - (2*sin(x)^5)/125, x, 9),
+(x^3*sin(x)^3, (40//9)*x*cos(x) - (2//3)*x^3*cos(x) - (40*sin(x))/9 + 2*x^2*sin(x) + (2//9)*x*cos(x)*sin(x)^2 - (1//3)*x^3*cos(x)*sin(x)^2 - (2*sin(x)^3)/27 + (1//3)*x^2*sin(x)^3, x, 8),
+(x^2*sin(x)^6, -((245*x)/1152) + (5*x^3)/48 + (245*cos(x)*sin(x))/1152 - (5//16)*x^2*cos(x)*sin(x) + (5//16)*x*sin(x)^2 + (65*cos(x)*sin(x)^3)/1728 - (5//24)*x^2*cos(x)*sin(x)^3 + (5//48)*x*sin(x)^4 + (1//108)*cos(x)*sin(x)^5 - (1//6)*x^2*cos(x)*sin(x)^5 + (1//18)*x*sin(x)^6, x, 13),
+(x^2*sin(x)^2*cos(x), (4//9)*x*cos(x) - (4*sin(x))/9 + (2//9)*x*cos(x)*sin(x)^2 - (2*sin(x)^3)/27 + (1//3)*x^2*sin(x)^3, x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 5 - 9 (p. 342-343)
+
+
+(x*cos(x)^4/sin(x)^2, -((3*x^2)/4) - cos(x)^2//4 - x*cot(x) + log(sin(x)) - (1//2)*x*cos(x)*sin(x), x, 6),
+(x*sin(x)^3/cos(x)^4, (5//6)*atanh(sin(x)) - x*sec(x) + (1//3)*x*sec(x)^3 - (1//6)*sec(x)*tan(x), x, 5),
+(x*sin(x)/cos(x)^3, (1//2)*x*sec(x)^2 - tan(x)/2, x, 3),
+(x*sin(x)^3/cos(x), x/4 + (I*x^2)/2 - x*log(1 + ℯ^(2*I*x)) + (1//2)*I*PolyLog.reli(2, -ℯ^(2*I*x)) - (1//4)*cos(x)*sin(x) - (1//2)*x*sin(x)^2, x, 8),
+(x*sin(x)^3/cos(x)^3, x/2 - (I*x^2)/2 + x*log(1 + ℯ^(2*I*x)) - (1//2)*I*PolyLog.reli(2, -ℯ^(2*I*x)) - tan(x)/2 + (1//2)*x*tan(x)^2, x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 10 - 11 (p. 344)
+
+
+((2*x+sin(2*x))/(x*sin(x)+cos(x))^2, 2/(1 + cot(x)/x), x, 2),
+((x/(x*cos(x)-sin(x)))^2, -cot(x) + (x*csc(x))/(x*cos(x) - sin(x)), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Chapter 8 Integration Problems
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 1 - 5 (p. 346)
+
+
+(a^(m*x)*b^(n*x), (a^(m*x)*b^(n*x))/(m*log(a) + n*log(b)), x, 2),
+# {(a^x - b^x)^2/(a^x*b^x), x, 9, -2*x + (a^x/b^x - b^x/a^x)/(Log[a] - Log[b]), -2*x + a^x/(b^x*(Log[a] - Log[b])) - b^x/(a^x*(Log[a] - Log[b]))}
+((ℯ^x - ℯ^(-x))^1, ℯ^x + ℯ^(-x), x, 3),
+((ℯ^x - ℯ^(-x))^2, -(1//2)/ℯ^(2*x) + ℯ^(2*x)/2 - 2*x, x, 4),
+((ℯ^x - ℯ^(-x))^3, 1/(3*ℯ^(3*x)) - 3/ℯ^x - 3*ℯ^x + ℯ^(3*x)/3, x, 3),
+((ℯ^x - ℯ^(-x))^4, -(1//4)/ℯ^(4*x) + 2/ℯ^(2*x) - 2*ℯ^(2*x) + ℯ^(4*x)/4 + 6*x, x, 4),
+# {(E^x - E^(-x))^n, x, 4, -(((-E^(-x) + E^x)^n*(1 - E^(2*x))*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/2, 1 - n/2, E^(2*x)])/n), -(((-E^(-x) + E^x)^n*Hypergeometric2F1[-n, -(n/2), 1 - n/2, E^(2*x)])/((1 - E^(2*x))^n*n))}
+((a^(-4*x) - a^(2*x))^3, 3*x - 1/(a^(12*x)*(12*log(a))) + 1/(a^(6*x)*(2*log(a))) - a^(6*x)/(6*log(a)), x, 4),
+((a^(k*x) + a^(l*x))^1, a^(k*x)/(k*log(a)) + a^(l*x)/(l*log(a)), x, 3),
+((a^(k*x) + a^(l*x))^2, a^(2*k*x)/(2*k*log(a)) + a^(2*l*x)/(2*l*log(a)) + (2*a^((k + l)*x))/((k + l)*log(a)), x, 6),
+((a^(k*x) + a^(l*x))^3, a^(3*k*x)/(3*k*log(a)) + a^(3*l*x)/(3*l*log(a)) + (3*a^((2*k + l)*x))/((2*k + l)*log(a)) + (3*a^((k + 2*l)*x))/((k + 2*l)*log(a)), x, 7),
+((a^(k*x) + a^(l*x))^4, a^(4*k*x)/(4*k*log(a)) + a^(4*l*x)/(4*l*log(a)) + (3*a^(2*(k + l)*x))/((k + l)*log(a)) + (4*a^((3*k + l)*x))/((3*k + l)*log(a)) + (4*a^((k + 3*l)*x))/((k + 3*l)*log(a)), x, 8),
+# {(a^(k*x) + a^(l*x))^n, x, 2, (((1 + a^((k - l)*x))*(a^(k*x) + a^(l*x))^n)/(l*n*Log[a]))*Hypergeometric2F1[1, 1 + (k*n)/(k - l), 1 + (l*n)/(k - l), -a^((k - l)*x)], ((a^(k*x) + a^(l*x))^n*Hypergeometric2F1[-n, -((k*n)/(k - l)), 1 - (k*n)/(k - l), -a^(-((k - l)*x))])/((1 + a^(-((k - l)*x)))^n*(k*n*Log[a]))}
+((a^(k*x) - a^(l*x))^1, a^(k*x)/(k*log(a)) - a^(l*x)/(l*log(a)), x, 3),
+((a^(k*x) - a^(l*x))^2, a^(2*k*x)/(2*k*log(a)) + a^(2*l*x)/(2*l*log(a)) - (2*a^((k + l)*x))/((k + l)*log(a)), x, 6),
+((a^(k*x) - a^(l*x))^3, a^(3*k*x)/(3*k*log(a)) - a^(3*l*x)/(3*l*log(a)) - (3*a^((2*k + l)*x))/((2*k + l)*log(a)) + (3*a^((k + 2*l)*x))/((k + 2*l)*log(a)), x, 7),
+((a^(k*x) - a^(l*x))^4, a^(4*k*x)/(4*k*log(a)) + a^(4*l*x)/(4*l*log(a)) + (3*a^(2*(k + l)*x))/((k + l)*log(a)) - (4*a^((3*k + l)*x))/((3*k + l)*log(a)) - (4*a^((k + 3*l)*x))/((k + 3*l)*log(a)), x, 8),
+# {(a^(k*x) - a^(l*x))^n, x, 2, (((1 - a^((k - l)*x))*(a^(k*x) - a^(l*x))^n)/(l*n*Log[a]))*Hypergeometric2F1[1, 1 + (k*n)/(k - l), 1 + (l*n)/(k - l), a^((k - l)*x)], ((a^(k*x) - a^(l*x))^n*Hypergeometric2F1[-n, -((k*n)/(k - l)), 1 - (k*n)/(k - l), a^(-((k - l)*x))])/((1 - a^(-((k - l)*x)))^n*(k*n*Log[a]))}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 6 - 9 (p. 346)
+
+
+((1 + a^(m*x))^1, x + a^(m*x)/(m*log(a)), x, 2),
+((1 + a^(m*x))^2, x + (2*a^(m*x))/(m*log(a)) + a^(2*m*x)/(2*m*log(a)), x, 3),
+((1 + a^(m*x))^3, x + (3*a^(m*x))/(m*log(a)) + (3*a^(2*m*x))/(2*m*log(a)) + a^(3*m*x)/(3*m*log(a)), x, 3),
+((1 + a^(m*x))^4, x + (4*a^(m*x))/(m*log(a)) + (3*a^(2*m*x))/(m*log(a)) + (4*a^(3*m*x))/(3*m*log(a)) + a^(4*m*x)/(4*m*log(a)), x, 3),
+((1 + a^(m*x))^n, -(((1 + a^(m*x))^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + a^(m*x)))/(m*(1 + n)*log(a))), x, 2),
+((1 - a^(m*x))^1, x - a^(m*x)/(m*log(a)), x, 2),
+((1 - a^(m*x))^2, x - (2*a^(m*x))/(m*log(a)) + a^(2*m*x)/(2*m*log(a)), x, 3),
+((1 - a^(m*x))^3, x - (3*a^(m*x))/(m*log(a)) + (3*a^(2*m*x))/(2*m*log(a)) - a^(3*m*x)/(3*m*log(a)), x, 3),
+((1 - a^(m*x))^4, x - (4*a^(m*x))/(m*log(a)) + (3*a^(2*m*x))/(m*log(a)) - (4*a^(3*m*x))/(3*m*log(a)) + a^(4*m*x)/(4*m*log(a)), x, 3),
+((1 - a^(m*x))^n, -(((1 - a^(m*x))^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 - a^(m*x)))/(m*(1 + n)*log(a))), x, 2),
+(1/(a*ℯ^(n*x) + b), x/b - log(b + a*ℯ^(n*x))/(b*n), x, 4),
+# {E^x/(a*E^(3*x) + b), x, 7, -(ArcTan[(b^(1/3) - 2*a^(1/3)*E^x)/(Sqrt[3]*b^(1/3))]/(Sqrt[3]*a^(1/3)*b^(2/3))) + Log[b^(1/3) + a^(1/3)*E^x]/(2*a^(1/3)*b^(2/3)) - Log[b + a*E^(3*x)]/(6*a^(1/3)*b^(2/3)), -(ArcTan[(b^(1/3) - 2*a^(1/3)*E^x)/(Sqrt[3]*b^(1/3))]/(Sqrt[3]*a^(1/3)*b^(2/3))) + Log[b^(1/3) + a^(1/3)*E^x]/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - Log[b^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*E^x + a^(2/3)*E^(2*x)]/(6*a^(1/3)*b^(2/3))}
+((ℯ^x - 1)/(ℯ^x + 1), -x + 2*log(1 + ℯ^x), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 10 - 16 (p. 347)
+
+
+(ℯ^(4*x)/(3*ℯ^(4*x) - 2*ℯ^(2*x) + 1), -(atan((1 - 3*ℯ^(2*x))/sqrt(2))/(6*sqrt(2))) + (1//12)*log(1 - 2*ℯ^(2*x) + 3*ℯ^(4*x)), x, 5),
+((ℯ^(5*x) + ℯ^x)/(ℯ^(3*x) - ℯ^(2*x) + ℯ^x - 1), ℯ^x + ℯ^(2*x)/2 - atan(ℯ^x) + log(1 - ℯ^x) - (1//2)*log(1 + ℯ^(2*x)), x, 6),
+((a + b*ℯ^(n*x))^(r/s)*ℯ^(n*x), s*(a + b*ℯ^(n*x))^((s + r)/s)/(b*n*(s + r)), x, 2),
+((1 - 2*ℯ^(x/3))^(1//4), 12*(1 - 2*ℯ^(x/3))^(1//4) - 6*atan((1 - 2*ℯ^(x/3))^(1//4)) - 6*atanh((1 - 2*ℯ^(x/3))^(1//4)), x, 6),
+((a + b*ℯ^(n*x))^(r/s), -(((a + b*ℯ^(n*x))^((r + s)/s)*s*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (r + s)/s, 2 + r/s, 1 + (b*ℯ^(n*x))/a))/(a*n*(r + s))), x, 2),
+(ℯ^x/sqrt(ℯ^(2*x) + a^2), atanh(ℯ^x/sqrt(a^2 + ℯ^(2*x))), x, 3),
+(ℯ^x/sqrt(ℯ^(2*x) - a^2), atanh(ℯ^x/sqrt(-a^2 + ℯ^(2*x))), x, 3),
+(ℯ^((3//4)*x)/((ℯ^((3//4)*x) - 2)*sqrt(ℯ^((3//2)*x) + ℯ^((3//4)*x) - 2)), (2//3)*atanh((2 - 5*ℯ^((3*x)/4))/(4*sqrt(-2 + ℯ^((3*x)/4) + ℯ^((3*x)/2)))), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 17 - 18 (p. 348)
+
+
+# {(E^(7*x) - 3)^(2/3)/E^(2*x), x, 4, ((1/6)*(-3 + E^(7*x))^(5/3)*Hypergeometric2F1[1, 29/21, 5/7, E^(7*x)/3])/E^(2*x), -((3^(2/3)*(-3 + E^(7*x))^(2/3)*Hypergeometric2F1[-(2/3), -(2/7), 5/7, E^(7*x)/3])/(E^(2*x)*(2*(3 - E^(7*x))^(2/3))))}
+(ℯ^(2*x)/(3 - ℯ^(x/2))^(3//4), -216*(3 - ℯ^(x/2))^(1//4) + (216//5)*(3 - ℯ^(x/2))^(5//4) - 8*(3 - ℯ^(x/2))^(9//4) + (8//13)*(3 - ℯ^(x/2))^(13//4), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 19 - 24 (p. 351)
+
+
+(x^3/ℯ^(x/2), -96/ℯ^(x/2) - (48*x)/ℯ^(x/2) - (12*x^2)/ℯ^(x/2) - (2*x^3)/ℯ^(x/2), x, 4),
+(1/(x^3*ℯ^(x/2)), -(1/(ℯ^(x/2)*(2*x^2))) + 1/(ℯ^(x/2)*(4*x)) + (1//8)*SymbolicUtils.expinti(-(x/2)), x, 3),
+(x^2*a^(3*x), (2*a^(3*x))/(27*log(a)^3) - (2*a^(3*x)*x)/(9*log(a)^2) + (a^(3*x)*x^2)/(3*log(a)), x, 3),
+(x*(x^2 + 1)*ℯ^x^2, (1//2)*ℯ^x^2*x^2, x, 5),
+(x/(ℯ^x + ℯ^(-x))^2, x/2 - x/(2*(1 + ℯ^(2*x))) - (1//4)*log(1 + ℯ^(2*x)), x, 6),
+((1 - x - x^2)/sqrt(1 - x^2)*ℯ^x, ℯ^x*sqrt(1 - x^2), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 25 - 32 (p. 353)
+
+
+(cos(2*x)/ℯ^(3*x), ((-(3//13))*cos(2*x))/ℯ^(3*x) + ((2//13)*sin(2*x))/ℯ^(3*x), x, 1),
+((sin(x/2) + cos(x/2))/(ℯ^x)^(1//3), -((30*cos(x/2))/(13*(ℯ^x)^(1//3))) + (6*sin(x/2))/(13*(ℯ^x)^(1//3)), x, 6),
+(cos(3*x/2)/(3^(3*x))^(1//4), -((4*cos((3*x)/2)*log(3))/(3*(3^(3*x))^(1//4)*(4 + log(3)^2))) + (8*sin((3*x)/2))/(3*(3^(3*x))^(1//4)*(4 + log(3)^2)), x, 2),
+(ℯ^(m*x)*cos(x)^2, (2*ℯ^(m*x))/(m*(4 + m^2)) + (ℯ^(m*x)*m*cos(x)^2)/(4 + m^2) + (2*ℯ^(m*x)*cos(x)*sin(x))/(4 + m^2), x, 2),
+(ℯ^(m*x)*sin(x)^3, -((6*ℯ^(m*x)*cos(x))/(9 + 10*m^2 + m^4)) + (6*ℯ^(m*x)*m*sin(x))/(9 + 10*m^2 + m^4) - (3*ℯ^(m*x)*cos(x)*sin(x)^2)/(9 + m^2) + (ℯ^(m*x)*m*sin(x)^3)/(9 + m^2), x, 2),
+(cos(x/3)^3/sqrt(ℯ^x), -((48*cos(x/3))/(65*sqrt(ℯ^x))) - (2*cos(x/3)^3)/(5*sqrt(ℯ^x)) + (32*sin(x/3))/(65*sqrt(ℯ^x)) + (4*cos(x/3)^2*sin(x/3))/(5*sqrt(ℯ^x)), x, 3),
+(ℯ^(2*x)*sin(x)^2*cos(x)^2, ℯ^(2*x)/16 - (1//80)*ℯ^(2*x)*cos(4*x) - (1//40)*ℯ^(2*x)*sin(4*x), x, 4),
+(ℯ^(3*x)*sin(3*(x/2))^2*cos(3*(x/2))^2, ℯ^(3*x)/24 - (1//120)*ℯ^(3*x)*cos(6*x) - (1//60)*ℯ^(3*x)*sin(6*x), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 33 - 36 (p. 355)
+
+
+# {E^(m*x)*Tan[x]^2, x, 5, -(E^(m*x)/m) + 4*E^((2*I + m)*x)*Hypergeometric2F1[2, 1 - (I*m)/2, 2 - (I*m)/2, -E^(2*I*x)]/(2*I + m), -(E^(m*x)/m) + (4*E^(m*x)*Hypergeometric2F1[1, -((I*m)/2), 1 - (I*m)/2, -E^(2*I*x)])/m - (4*E^(m*x)*Hypergeometric2F1[2, -((I*m)/2), 1 - (I*m)/2, -E^(2*I*x)])/m}
+(ℯ^(m*x)/sin(x)^2, -((4*ℯ^((2*I + m)*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 - (I*m)/2, 2 - (I*m)/2, ℯ^(2*I*x)))/(2*I + m)), x, 1),
+# {E^(m*x)/Cos[x]^3, x, 2, ((8*E^((3*I + m)*x))/(3*I + m))*Hypergeometric2F1[3, (3 - I*m)/2, (5 - I*m)/2, -E^(2*I*x)], (-E^((I + m)*x))*(I - m)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 - I*m), (1/2)*(3 - I*m), -E^(2*I*x)] - (1/2)*E^(m*x)*m*Sec[x] + (1/2)*E^(m*x)*Sec[x]*Tan[x]}
+(ℯ^x/(1 + cos(x)), (1 - I)*ℯ^((1 + I)*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 - I, 2 - I, -ℯ^(I*x)), x, 2),
+(ℯ^x/(1 - cos(x)), -(1 - I)*ℯ^((1 + I)*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 - I, 2 - I, ℯ^(I*x)), x, 2),
+(ℯ^x/(1 + sin(x)), (-1 + I)*ℯ^((1 - I)*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + I, 2, 2 + I, -I/ℯ^(I*x)), x, 2),
+(ℯ^x/(1 - sin(x)), (1 + I)*ℯ^((1 + I)*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 - I, 2, 2 - I, (-I)*ℯ^(I*x)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 37 - 44 (p. 356)
+
+
+(ℯ^x*((1 - sin(x))/(1 - cos(x))), -ℯ^x*sin(x)/(1 - cos(x)), x, 1),
+# {E^x*((1 + Sin[x])/(1 - Cos[x])), x, 7, (E^x*Sin[x])/(1 - Cos[x]) - 2*(1 - I)*E^((1 + I)*x)*Hypergeometric2F1[2, 1 - I, 2 - I, E^(I*x)], 2*I*E^x - 4*I*E^x*Hypergeometric2F1[-I, 1, 1 - I, E^(I*x)] - (E^x*Sin[x])/(1 - Cos[x])}
+(ℯ^x*((1 + sin(x))/(1 + cos(x))), ℯ^x*sin(x)/(1 + cos(x)), x, 1),
+# {E^x*((1 - Sin[x])/(1 + Cos[x])), x, 7, -((E^x*Sin[x])/(1 + Cos[x])) + 2*(1 - I)*E^((1 + I)*x)*Hypergeometric2F1[2, 1 - I, 2 - I, -E^(I*x)], 2*I*E^x - 4*I*E^x*Hypergeometric2F1[-I, 1, 1 - I, -E^(I*x)] + (E^x*Sin[x])/(1 + Cos[x])}
+
+# {E^x*((1 - Cos[x])/(1 - Sin[x])), x, 7, -((E^x*Cos[x])/(1 - Sin[x])) + 2*(1 + I)*E^((1 + I)*x)*Hypergeometric2F1[2, 1 - I, 2 - I, (-I)*E^(I*x)], 2*I*E^x - 4*I*E^x*Hypergeometric2F1[-I, 1, 1 - I, (-I)*E^(I*x)] + (E^x*Cos[x])/(1 - Sin[x])}
+(ℯ^x*((1 + cos(x))/(1 - sin(x))), ℯ^x*cos(x)/(1 - sin(x)), x, 1),
+# {E^x*((1 + Cos[x])/(1 + Sin[x])), x, 7, (E^x*Cos[x])/(1 + Sin[x]) - 2*(1 + I)*E^((1 + I)*x)*Hypergeometric2F1[2, 1 - I, 2 - I, I*E^(I*x)], -2*I*E^x + 4*I*E^x*Hypergeometric2F1[I, 1, 1 + I, -I/E^(I*x)] - (E^x*Cos[x])/(1 + Sin[x])}
+(ℯ^x*((1 - cos(x))/(1 + sin(x))), -ℯ^x*cos(x)/(1 + sin(x)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 45 - 49 (p. 357-358)
+
+
+(x*ℯ^x*cos(x), (1//2)*ℯ^x*x*cos(x) - (1//2)*ℯ^x*sin(x) + (1//2)*ℯ^x*x*sin(x), x, 4),
+(x^2*ℯ^x*sin(x), (-(1//2))*ℯ^x*cos(x) + ℯ^x*x*cos(x) - (1//2)*ℯ^x*x^2*cos(x) - (1//2)*ℯ^x*sin(x) + (1//2)*ℯ^x*x^2*sin(x), x, 11),
+(x^2*(sin(x)/ℯ^(3*x)), ((-(13//250))*cos(x))/ℯ^(3*x) - ((3//25)*x*cos(x))/ℯ^(3*x) - ((1//10)*x^2*cos(x))/ℯ^(3*x) - ((9//250)*sin(x))/ℯ^(3*x) - ((4//25)*x*sin(x))/ℯ^(3*x) - ((3//10)*x^2*sin(x))/ℯ^(3*x), x, 11),
+(ℯ^(x/2)*x^2*cos(x)^3, (-(132//125))*ℯ^(x/2)*cos(x) + (18//25)*ℯ^(x/2)*x*cos(x) + (48//185)*ℯ^(x/2)*x^2*cos(x) + (2//37)*ℯ^(x/2)*x^2*cos(x)^3 - (428*ℯ^(x/2)*cos(3*x))/50653 + (70*ℯ^(x/2)*x*cos(3*x))/1369 - (24//125)*ℯ^(x/2)*sin(x) - (24//25)*ℯ^(x/2)*x*sin(x) + (96//185)*ℯ^(x/2)*x^2*sin(x) + (12//37)*ℯ^(x/2)*x^2*cos(x)^2*sin(x) - (792*ℯ^(x/2)*sin(3*x))/50653 - (24*ℯ^(x/2)*x*sin(3*x))/1369, x, -31),
+(ℯ^(2*x)*x^2*sin(4*x), (1//250)*ℯ^(2*x)*cos(4*x) + (2//25)*ℯ^(2*x)*x*cos(4*x) - (1//5)*ℯ^(2*x)*x^2*cos(4*x) - (11//500)*ℯ^(2*x)*sin(4*x) + (3//50)*ℯ^(2*x)*x*sin(4*x) + (1//10)*ℯ^(2*x)*x^2*sin(4*x), x, 11),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 50 (p. 359)
+
+
+(ℯ^(x/2)*x^2*sin(x)^2*cos(x), (-(44//125))*ℯ^(x/2)*cos(x) + (6//25)*ℯ^(x/2)*x*cos(x) + (1//10)*ℯ^(x/2)*x^2*cos(x) + (428*ℯ^(x/2)*cos(3*x))/50653 - (70*ℯ^(x/2)*x*cos(3*x))/1369 - (1//74)*ℯ^(x/2)*x^2*cos(3*x) - (8//125)*ℯ^(x/2)*sin(x) - (8//25)*ℯ^(x/2)*x*sin(x) + (1//5)*ℯ^(x/2)*x^2*sin(x) + (792*ℯ^(x/2)*sin(3*x))/50653 + (24*ℯ^(x/2)*x*sin(3*x))/1369 - (3//37)*ℯ^(x/2)*x^2*sin(3*x), x, 24),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 51 - 55 (p. 361)
+
+
+(cosh(x), sinh(x), x, 1),
+(sinh(x), cosh(x), x, 1),
+(tanh(x), log(cosh(x)), x, 1),
+(coth(x), log(sinh(x)), x, 1),
+(sech(x), atan(sinh(x)), x, 1),
+(csch(x), -atanh(cosh(x)), x, 1),
+(cosh(x)^2, x/2 + (1//2)*cosh(x)*sinh(x), x, 2),
+(sinh(x)^5, cosh(x) - (2*cosh(x)^3)/3 + cosh(x)^5//5, x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 56 - 60 (p. 365)
+
+
+(tanh(x)^4, x - tanh(x) - tanh(x)^3//3, x, 3),
+(csch(x)^3, (1//2)*atanh(cosh(x)) - (1//2)*coth(x)*csch(x), x, 2),
+(1/cosh(x)^5, (3//8)*atan(sinh(x)) + (3//8)*sech(x)*tanh(x) + (1//4)*sech(x)^3*tanh(x), x, 3),
+(tanh(x)^5/sech(x)^4, -cosh(x)^2 + cosh(x)^4//4 + log(cosh(x)), x, 4),
+(tanh(x)^5*sech(x)^(3//4), (-(4//3))*sech(x)^(3//4) + (8//11)*sech(x)^(11//4) - (4//19)*sech(x)^(19//4), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 61 - 65 (p. 365-366)
+
+
+# {1/(a + b*Cosh[x]), x, 2, (2*ArcTanh[((a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/Sqrt[a^2 - b^2], (2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b])}
+(1/(1 + cosh(x))^2, sinh(x)/(3*(1 + cosh(x))^2) + sinh(x)/(3*(1 + cosh(x))), x, 2),
+(1/(a + b*tanh(x)), (a*x)/(a^2 - b^2) - (b*log(a*cosh(x) + b*sinh(x)))/(a^2 - b^2), x, 2),
+(1/(a^2 + b^2*cosh(x)^2), atanh((a*tanh(x))/sqrt(a^2 + b^2))/(a*sqrt(a^2 + b^2)), x, 2),
+(1/(a^2 - b^2*cosh(x)^2), atanh((a*tanh(x))/sqrt(a^2 - b^2))/(a*sqrt(a^2 - b^2)), x, 2),
+(1/(1 - sinh(x)^4), atanh(sqrt(2)*tanh(x))/(2*sqrt(2)) + tanh(x)/2, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 66 - 72 (p. 366-367)
+
+
+((cosh(x)^3 - sinh(x)^3)/(cosh(x)^3 + sinh(x)^3), -((4*atan((1 - 2*tanh(x))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3))) - 1/(3*(1 + tanh(x))), x, 5),
+(cosh(x)*cosh(2*x)*cosh(3*x), x/4 + 1//8*sinh(2*x) + 1//16*sinh(4*x) + 1//24*sinh(6*x), x, 5),
+(sinh(x)*cosh(3*x/2)*sinh(5*x/2), -x/4 + 1//8*sinh(2*x) - 1//12*sinh(3*x) + 1//20*sinh(5*x), x, 5),
+# {(Tanh[x] - Cosh[2*x])*(Cosh[x]/((Sinh[2*x] + Sinh[x]^2)*Sqrt[Sinh[2*x]])), x, 8, Sqrt[2]*ArcTan[Sech[x]*Sqrt[Cosh[x]*Sinh[x]]] + (1/6)*ArcTan[Sinh[x]/Sqrt[Sinh[2*x]]] - (1/3)*Sqrt[2]*ArcTanh[Sech[x]*Sqrt[Cosh[x]*Sinh[x]]] + Cosh[x]/Sqrt[Sinh[2*x]], Cosh[x]/Sqrt[Sinh[2*x]] + (2*ArcTan[Sqrt[Tanh[x]]]*Sinh[x])/(Sqrt[Sinh[2*x]]*Sqrt[Tanh[x]]) + (ArcTan[Sqrt[Tanh[x]]/Sqrt[2]]*Sinh[x])/(3*Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[2*x]]*Sqrt[Tanh[x]]) - (2*ArcTanh[Sqrt[Tanh[x]]]*Sinh[x])/(3*Sqrt[Sinh[2*x]]*Sqrt[Tanh[x]])}
+(sinh(x)/(4*cosh(x)^2 - 9)^(5//2), -(cosh(x)/(27*(-9 + 4*cosh(x)^2)^(3//2))) + (2*cosh(x))/(243*sqrt(-9 + 4*cosh(x)^2)), x, 3),
+(sinh(x)^2*(sinh(2*x)/(1 - sinh(x)^2)^(3//2)), 2/sqrt(1 - sinh(x)^2) + 2*sqrt(1 - sinh(x)^2), x, 5),
+(cosh(x)/sqrt(cosh(2*x)), asinh(sqrt(2)*sinh(x))/sqrt(2), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 73 - 75 (p. 368)
+
+
+(x*tanh(x)^2, x^2//2 + log(cosh(x)) - x*tanh(x), x, 3),
+(x*coth(x)^2, x^2//2 - x*coth(x) + log(sinh(x)), x, 3),
+((x + sinh(x) + cosh(x))/(cosh(x) - sinh(x)), -ℯ^x + ℯ^(2*x)/2 + ℯ^x*x, x, 13),
+((x + sinh(x) + cosh(x))/(1 + cosh(x)), x - (1 - x)*tanh(x/2), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 76 - 82 (p. 373)
+
+
+(ℯ^(2*x)/sinh(x)^4, (8*ℯ^(6*x))/(3*(1 - ℯ^(2*x))^3), x, 3),
+(1/(ℯ^(2*x)*cosh(x)^4), -(8/(3*(1 + ℯ^(2*x))^3)), x, 3),
+(ℯ^x/(cosh(x) - sinh(x)), ℯ^(2*x)/2, x, 2),
+# {E^(m*x)/(Cosh[x] + Sinh[x]), x, 3, E^((m - 1)*x)/(m - 1), -(1/(E^((1 - m)*x)*(1 - m)))}
+(ℯ^x/(cosh(x) + sinh(x)), x, x, 2),
+(ℯ^x/(1 - cosh(x)), -(2/(1 - ℯ^x)) - 2*log(1 - ℯ^x), x, 4),
+(ℯ^x*((1 + sinh(x))/(1 + cosh(x))), ℯ^x + 2/(1 + ℯ^x), x, 3),
+(ℯ^x*((1 - sinh(x))/(1 - cosh(x))), ℯ^x - 2/(1 - ℯ^x), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 83 - 87 (p. 375)
+
+
+(x^m*log(x), -(x^(1 + m)/(1 + m)^2) + (x^(1 + m)*log(x))/(1 + m), x, 1),
+(x^m*log(x)^2, (2*x^(1 + m))/(1 + m)^3 - (2*x^(1 + m)*log(x))/(1 + m)^2 + (x^(1 + m)*log(x)^2)/(1 + m), x, 2),
+(log(x)^2/x^(5//2), -(16/(27*x^(3//2))) - (8*log(x))/(9*x^(3//2)) - (2*log(x)^2)/(3*x^(3//2)), x, 2),
+((a + b*x)*log(x), (-a)*x - (b*x^2)/4 + a*x*log(x) + (1//2)*b*x^2*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^3*log(x), (-a^3)*x - (3//4)*a^2*b*x^2 - (1//3)*a*b^2*x^3 - (b^3*x^4)/16 - (a^4*log(x))/(4*b) + ((a + b*x)^4*log(x))/(4*b), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 88 - 89 (p. 375)
+
+
+(3*log(x)^3 - 8*log(x)^2 - 1, -35*x + 34*x*log(x) - 17*x*log(x)^2 + 3*x*log(x)^3, x, 6),
+((x^4 + 1)*(log(x)^3 - 2*log(x) + 1), -3*x + (169*x^5)/625 + 4*x*log(x) - (44//125)*x^5*log(x) - 3*x*log(x)^2 - (3//25)*x^5*log(x)^2 + x*log(x)^3 + (1//5)*x^5*log(x)^3, x, 13),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 90 - 92 (p. 376)
+
+
+(1/(x^3*log(x)^4), (-(4//3))*SymbolicUtils.expinti(-2*log(x)) - 1/(3*x^2*log(x)^3) + 1/(3*x^2*log(x)^2) - 2/(3*x^2*log(x)), x, 5),
+(log(x)/(a + b*x), (log(x)*log(1 + (b*x)/a))/b + PolyLog.reli(2, -((b*x)/a))/b, x, 2),
+(log(x)/(a + b*x)^2, (x*log(x))/(a*(a + b*x)) - log(a + b*x)/(a*b), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 93 - 97 (p. 377)
+
+
+(log(x)^n/x, log(x)^(1 + n)/(1 + n), x, 2),
+((a + b*log(x))^n/x, (a + b*log(x))^(1 + n)/(b*(1 + n)), x, 2),
+(1/(x*(a + b*log(x))), log(a + b*log(x))/b, x, 2),
+(1/(x*(a + b*log(x))^n), (a + b*log(x))^(1 - n)/(b*(1 - n)), x, 2),
+(1/(x*sqrt(log(x)^2 + a^2)), atanh(log(x)/sqrt(log(x)^2 + a^2)), x, 3),
+(1/(x*sqrt(log(x)^2 - a^2)), atanh(log(x)/sqrt(log(x)^2 - a^2)), x, 3),
+(1/(x*sqrt(a^2 - log(x)^2)), atan(log(x)/sqrt(a^2 - log(x)^2)), x, 3),
+(1/(x*log(x)*sqrt(a^2 + log(x)^2)), -(atanh(sqrt(a^2 + log(x)^2)/a)/a), x, 4),
+(1/(x*log(x)*sqrt(a^2 - log(x)^2)), -(atanh(sqrt(a^2 - log(x)^2)/a)/a), x, 4),
+(1/(x*log(x)*sqrt(log(x)^2 - a^2)), atan(sqrt(-a^2 + log(x)^2)/a)/a, x, 4),
+(log(log(x))^1/x, -log(x) + log(x)*log(log(x)), x, 1),
+(log(log(x))^2/x, 2*log(x) - 2*log(x)*log(log(x)) + log(x)*log(log(x))^2, x, 3),
+(log(log(x))^3/x, -6*log(x) + 6*log(x)*log(log(x)) - 3*log(x)*log(log(x))^2 + log(x)*log(log(x))^3, x, 4),
+(log(log(x))^4/x, 24*log(x) - 24*log(x)*log(log(x)) + 12*log(x)*log(log(x))^2 - 4*log(x)*log(log(x))^3 + log(x)*log(log(x))^4, x, 5),
+(log(log(x))^n/x, (SymbolicUtils.gamma(1 + n, -log(log(x)))*log(log(x))^n)/(-log(log(x)))^n, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 98 - 103 (p. 377-378)
+
+
+(cot(x)/log(sin(x)), log(log(sin(x))), x, 3),
+((ℯ^log(cos(x)) + ℯ^(-log(cos(x))))*tan(x), -cos(x) + sec(x), x, 3),
+(sinh(x)*log(cosh(x)), -cosh(x) + cosh(x)*log(cosh(x)), x, 2),
+(tanh(x)*log(cosh(x)), (1//2)*log(cosh(x))^2, x, 2),
+(log(x - sqrt(1 + x^2)), sqrt(1 + x^2) + x*log(x - sqrt(1 + x^2)), x, 2),
+(log(x - 1)/x^3, 1/(2*x) + (1//2)*log(1 - x) - log(-1 + x)/(2*x^2) - log(x)/2, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 104 - 109 (p. 378)
+
+
+((ℯ^x - ℯ^(-x))*log(ℯ^(2*x) + 1), -2*ℯ^x + log(1 + ℯ^(2*x))/ℯ^x + ℯ^x*log(1 + ℯ^(2*x)), x, 8),
+(ℯ^(3*x/2)*log(ℯ^x - 1), -((4*ℯ^(x/2))/3) - (4//9)*ℯ^((3*x)/2) + (4//3)*atanh(ℯ^(x/2)) + (2//3)*ℯ^((3*x)/2)*log(-1 + ℯ^x), x, 6),
+(cos(x)^3*log(sin(x)), -sin(x) + log(sin(x))*sin(x) + sin(x)^3//9 - (1//3)*log(sin(x))*sin(x)^3, x, 4),
+(log(tan(x))/cos(x)^4, -tan(x) + log(tan(x))*tan(x) - tan(x)^3//9 + (1//3)*log(tan(x))*tan(x)^3, x, 4),
+(log(cos(x/2))/(1 + cos(x)), -(x/2) + (log(cos(x/2))*sin(x))/(1 + cos(x)) + tan(x/2), x, 4),
+(cos(x)*log(sin(x))/(1 + cos(x))^2, -((2*x)/3) - sin(x)/(9*(1 + cos(x))^2) + (8*sin(x))/(9*(1 + cos(x))) - (log(sin(x))*sin(x))/(3*(1 + cos(x))^2) + (2*log(sin(x))*sin(x))/(3*(1 + cos(x))), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Chapter 9 Integration Problems
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 1 - 6 (p. 391-392)
+
+
+(acos(x)^2/x^5, -(1/(12*x^2)) + (sqrt(1 - x^2)*acos(x))/(6*x^3) + (sqrt(1 - x^2)*acos(x))/(3*x) - acos(x)^2/(4*x^4) + log(x)/3, x, 5),
+(x^2*asin(x)^2, -((4*x)/9) - (2*x^3)/27 + (4//9)*sqrt(1 - x^2)*asin(x) + (2//9)*x^2*sqrt(1 - x^2)*asin(x) + (1//3)*x^3*asin(x)^2, x, 5),
+(atan(x)^2*x^3, x^2//12 + (1//2)*x*atan(x) - (1//6)*x^3*atan(x) - atan(x)^2//4 + (1//4)*x^4*atan(x)^2 - (1//3)*log(1 + x^2), x, 10),
+(atan(x)^2/x^5, -(1/(12*x^2)) - atan(x)/(6*x^3) + atan(x)/(2*x) + atan(x)^2//4 - atan(x)^2/(4*x^4) - (2*log(x))/3 + (1//3)*log(1 + x^2), x, 13),
+(acsc(x)^2*x^3, x^2//12 + (1//3)*sqrt(1 - 1/x^2)*x*acsc(x) + (1//6)*sqrt(1 - 1/x^2)*x^3*acsc(x) + (1//4)*x^4*acsc(x)^2 + log(x)/3, x, 5),
+(asec(x)^4/x^5, -(3/(128*x^4)) - 45/(128*x^2) - (3*sqrt(1 - 1/x^2)*asec(x))/(32*x^3) - (45*sqrt(1 - 1/x^2)*asec(x))/(64*x) - (45*asec(x)^2)/128 + (3*asec(x)^2)/(16*x^4) + (9*asec(x)^2)/(16*x^2) + (sqrt(1 - 1/x^2)*asec(x)^3)/(4*x^3) + (3*sqrt(1 - 1/x^2)*asec(x)^3)/(8*x) + (3*asec(x)^4)/32 - asec(x)^4/(4*x^4), x, 10),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 7 - 18 (p. 397-398)
+
+
+(asin(x)*sqrt(1 - x^2), -(x^2//4) + (1//2)*x*sqrt(1 - x^2)*asin(x) + asin(x)^2//4, x, 3),
+(acos(x)*sqrt(1 - x^2), x^2//4 + (1//2)*x*sqrt(1 - x^2)*acos(x) - acos(x)^2//4, x, 3),
+(acos(x)*x*sqrt(1 - x^2), -(x/3) + x^3//9 - (1//3)*(1 - x^2)^(3//2)*acos(x), x, 2),
+(asin(x)*(1 - x^2)^(3//2), -((5*x^2)/16) + x^4//16 + (3//8)*x*sqrt(1 - x^2)*asin(x) + (1//4)*x*(1 - x^2)^(3//2)*asin(x) + (3*asin(x)^2)/16, x, 6),
+(asin(x)*x*(1 - x^2)^(3//2), x/5 - (2*x^3)/15 + x^5//25 - (1//5)*(1 - x^2)^(5//2)*asin(x), x, 3),
+(acos(x)*x^3*(1 - x^2)^(3//2), (-(1//35))*(2*x) - x^3//105 + (8*x^5)/175 - x^7//49 - (1//5)*(1 - x^2)^(5//2)*acos(x) + (1//7)*(1 - x^2)^(7//2)*acos(x), x, 4),
+((acos(x)*(1 - x^2)^(3//2))/x, (4*x)/3 - x^3//9 + sqrt(1 - x^2)*acos(x) + (1//3)*(1 - x^2)^(3//2)*acos(x) + 2*I*acos(x)*atan(ℯ^(I*acos(x))) - I*PolyLog.reli(2, (-I)*ℯ^(I*acos(x))) + I*PolyLog.reli(2, I*ℯ^(I*acos(x))), x, 10),
+((asin(x)*(1 - x^2)^(3//2))/x^6, -(1/(20*x^4)) + 1/(5*x^2) - ((1 - x^2)^(5//2)*asin(x))/(5*x^5) + log(x)/5, x, 4),
+((asin(x)*x^2)/sqrt(1 - x^2), x^2//4 - (1//2)*x*sqrt(1 - x^2)*asin(x) + asin(x)^2//4, x, 3),
+((asin(x)*x^4)/sqrt(1 - x^2), (3*x^2)/16 + x^4//16 - (3//8)*x*sqrt(1 - x^2)*asin(x) - (1//4)*x^3*sqrt(1 - x^2)*asin(x) + (3*asin(x)^2)/16, x, 5),
+((asin(x)*x)/(1 - x^2)^(3//2), asin(x)/sqrt(1 - x^2) - atanh(x), x, 2),
+((acos(x)*x)/(1 - x^2)^(3//2), acos(x)/sqrt(1 - x^2) + atanh(x), x, 2),
+(asin(x)/(1 - x^2)^(5//2), -(1/(6*(1 - x^2))) + (x*asin(x))/(3*(1 - x^2)^(3//2)) + (2*x*asin(x))/(3*sqrt(1 - x^2)) + (1//3)*log(1 - x^2), x, 4),
+((asin(x)*x^3)/(1 - x^2)^(3//2), -x + asin(x)/sqrt(1 - x^2) + sqrt(1 - x^2)*asin(x) - atanh(x), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 19 - 22 (p. 401)
+
+
+(asin(x)/(x*(1 - x^2)^(3//2)), asin(x)/sqrt(1 - x^2) - 2*asin(x)*atanh(ℯ^(I*asin(x))) - atanh(x) + I*PolyLog.reli(2, -ℯ^(I*asin(x))) - I*PolyLog.reli(2, ℯ^(I*asin(x))), x, 8),
+(acos(x)/(x^4*sqrt(1 - x^2)), 1/(6*x^2) - (sqrt(1 - x^2)*acos(x))/(3*x^3) - (2*sqrt(1 - x^2)*acos(x))/(3*x) - (2*log(x))/3, x, 4),
+(acos(x)^2*x*sqrt(1 - x^2), (4*sqrt(1 - x^2))/9 + (2//27)*(1 - x^2)^(3//2) - (2//3)*x*acos(x) + (2//9)*x^3*acos(x) - (1//3)*(1 - x^2)^(3//2)*acos(x)^2, x, 5),
+((asin(x)^3*x^2)/sqrt(1 - x^2), -((3*x^2)/8) + (3//4)*x*sqrt(1 - x^2)*asin(x) - (3*asin(x)^2)/8 + (3//4)*x^2*asin(x)^2 - (1//2)*x*sqrt(1 - x^2)*asin(x)^3 + asin(x)^4//8, x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 23 - 26 (p. 404-405)
+
+
+((atan(x)*x)/(1 + x^2)^2, x/(4*(1 + x^2)) + atan(x)/4 - atan(x)/(2*(1 + x^2)), x, 3),
+((atan(x)*x)/(1 + x^2)^3, x/(16*(1 + x^2)^2) + (3*x)/(32*(1 + x^2)) + (3*atan(x))/32 - atan(x)/(4*(1 + x^2)^2), x, 4),
+((atan(x)*x^2)/(1 + x^2), x*atan(x) - atan(x)^2//2 - (1//2)*log(1 + x^2), x, 4),
+((atan(x)*x^3)/(1 + x^2), -(x/2) + atan(x)/2 + (1//2)*x^2*atan(x) + (1//2)*I*atan(x)^2 + atan(x)*log(2/(1 + I*x)) + (1//2)*I*PolyLog.reli(2, 1 - 2/(1 + I*x)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 27 - 32 (p. 407-408)
+
+
+((atan(x)*x^2)/(1 + x^2)^2, -(1/(4*(1 + x^2))) - (x*atan(x))/(2*(1 + x^2)) + atan(x)^2//4, x, 2),
+((atan(x)*x^3)/(1 + x^2)^2, -(x/(4*(1 + x^2))) - atan(x)/4 + atan(x)/(2*(1 + x^2)) - (1//2)*I*atan(x)^2 - atan(x)*log(2/(1 + I*x)) - (1//2)*I*PolyLog.reli(2, 1 - 2/(1 + I*x)), x, 8),
+((atan(x)*x^5)/(1 + x^2)^2, -(x/2) + x/(4*(1 + x^2)) + (3*atan(x))/4 + (1//2)*x^2*atan(x) - atan(x)/(2*(1 + x^2)) + I*atan(x)^2 + 2*atan(x)*log(2/(1 + I*x)) + I*PolyLog.reli(2, 1 - 2/(1 + I*x)), x, 17),
+((atan(x)*(1 + x^2))/x^2, -(atan(x)/x) + x*atan(x) + log(x) - log(1 + x^2), x, 8),
+((atan(x)*(1 + x^2))/x^5, -(1/(12*x^3)) - 1/(4*x) - ((1 + x^2)^2*atan(x))/(4*x^4), x, 3),
+((atan(x)*(1 + x^2)^2)/x^5, -(1/(12*x^3)) - 3/(4*x) - (3*atan(x))/4 - atan(x)/(4*x^4) - atan(x)/x^2 + (1//2)*I*PolyLog.reli(2, (-I)*x) - (1//2)*I*PolyLog.reli(2, I*x), x, 12),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 33 - 36 (p. 409)
+
+
+(atan(x)/(x^2*(1 + x^2)), -(atan(x)/x) - atan(x)^2//2 + log(x) - (1//2)*log(1 + x^2), x, 7),
+(atan(x)^2/x^3, -(atan(x)/x) - atan(x)^2//2 - atan(x)^2/(2*x^2) + log(x) - (1//2)*log(1 + x^2), x, 8),
+((atan(x)^2*(1 + x^2))/x^5, -(1/(12*x^2)) - atan(x)/(6*x^3) - atan(x)/(2*x) - ((1 + x^2)^2*atan(x)^2)/(4*x^4) + log(x)/3 - (1//6)*log(1 + x^2), x, 11),
+# {(ArcTan[x]^2*x^3)/(1 + x^2)^3, x, 4, -(1/(32*(1 + x^2)^2)) + 5/(32*(1 + x^2)) + (x^3*ArcTan[x])/(8*(1 + x^2)^2) + (3*x*ArcTan[x])/(16*(1 + x^2)) - (3*ArcTan[x]^2)/32 + (x^4*ArcTan[x]^2)/(4*(1 + x^2)^2), -(x^4/(32*(1 + x^2)^2)) + 3/(32*(1 + x^2)) + (x^3*ArcTan[x])/(8*(1 + x^2)^2) + (3*x*ArcTan[x])/(16*(1 + x^2)) - (3*ArcTan[x]^2)/32 + (x^4*ArcTan[x]^2)/(4*(1 + x^2)^2)}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 37 - 43 (p. 412-414)
+
+
+# {(ArcSec[x]*Sqrt[x^2 - 1])/x^2, x, 9, -(Sqrt[x^2]/x^2) - (Sqrt[-1 + x^2]*ArcSec[x])/x - (2*I*Sqrt[x^2]*ArcSec[x]*ArcTan[E^(I*ArcSec[x])])/x + (I*Sqrt[x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSec[x])])/x - (I*Sqrt[x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSec[x])])/x, -(Sqrt[x^2]/x^2) - (Sqrt[1 - 1/x^2]*Sqrt[x^2]*ArcSec[x])/x - (2*I*Sqrt[x^2]*ArcSec[x]*ArcTan[E^(I*ArcSec[x])])/x + (I*Sqrt[x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSec[x])])/x - (I*Sqrt[x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSec[x])])/x}
+# {(ArcCsc[x]*(x^2 - 1)^(5/2))/x^3, x, 11, (3 + 2*x^4)/(12*x*Sqrt[x^2]) - (5*(x^2 - 1)^(3/2)*ArcCsc[x])/(3*x^2) - (5*Sqrt[x^2 - 1]*ArcCsc[x])/(2*x^2) + ((x^2 - 1)^(5/2)*ArcCsc[x])/(3*x^2) - (5*x*ArcCsc[x]^2)/(4*Sqrt[x^2]) - (7*x*Log[x])/(3*Sqrt[x^2]), Sqrt[x^2]/(4*x^3) + (x*Sqrt[x^2])/6 - (5/3)*(1 - 1/x^2)^(3/2)*Sqrt[x^2]*ArcCsc[x] - (5*Sqrt[1 - 1/x^2]*Sqrt[x^2]*ArcCsc[x])/(2*x^2) + (1/3)*(1 - 1/x^2)^(5/2)*(x^2)^(3/2)*ArcCsc[x] - (5*Sqrt[x^2]*ArcCsc[x]^2)/(4*x) - (7*Sqrt[x^2]*Log[x])/(3*x)}
+((asec(x)*sqrt(x^2 - 1))/x^4, 1/(3*sqrt(x^2)) - 1/(9*x^2)/sqrt(x^2) + ((x^2 - 1)^(3//2)*asec(x))/(3*x^3), x, 4),
+# {ArcSec[x]/(x^2 - 1)^(5/2), x, 4, Sqrt[x^2]/(6*(1 - x^2)) - (x*ArcSec[x])/(3*(x^2 - 1)^(3/2)) + (2*x*ArcSec[x])/(3*Sqrt[x^2 - 1]) + (5*ArcCoth[Sqrt[x^2]])/6, Sqrt[x^2]/(6*(1 - x^2)) - (x*ArcSec[x])/(3*(-1 + x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcSec[x])/(3*Sqrt[-1 + x^2]) + (5*x*ArcTanh[x])/(6*Sqrt[x^2])}
+# {(ArcSec[x]*x^2)/(x^2 - 1)^(5/2), x, 4, Sqrt[x^2]/(6*(1 - x^2)) - (x^3*ArcSec[x])/(3*(x^2 - 1)^(3/2)) - ArcCoth[Sqrt[x^2]]/6, Sqrt[x^2]/(6*(1 - x^2)) - (x^3*ArcSec[x])/(3*(-1 + x^2)^(3/2)) - (x*ArcTanh[x])/(6*Sqrt[x^2])}
+# {(ArcSec[x]*x^3)/(x^2 - 1)^(5/2), x, 5, x/(6*Sqrt[x^2]*(1 - x^2)) - ArcSec[x]/(3*(x^2 - 1)^(3/2)) - ArcSec[x]/Sqrt[x^2 - 1] - (2*x*Log[x])/(3*Sqrt[x^2]) + (x*Log[x^2 - 1])/(3*Sqrt[x^2]), x/(6*Sqrt[x^2]*(1 - x^2)) - ArcSec[x]/(3*(-1 + x^2)^(3/2)) - ArcSec[x]/Sqrt[-1 + x^2] - (2*x*Log[x])/(3*Sqrt[x^2]) + (x*Log[1 - x^2])/(3*Sqrt[x^2])}
+# {(ArcSec[x]*x^6)/(x^2 - 1)^(5/2), x, 16, (Sqrt[x^2]*(2 - 3*x^2))/(6*(-1 + x^2)) - (13/6)*ArcCoth[Sqrt[x^2]] - (5*x^3*ArcSec[x])/(6*(-1 + x^2)^(3/2)) + (x^5*ArcSec[x])/(2*(-1 + x^2)^(3/2)) - (5*x*ArcSec[x])/(2*Sqrt[-1 + x^2]) - (5*I*Sqrt[x^2]*ArcSec[x]*ArcTan[E^(I*ArcSec[x])])/x + (5*I*Sqrt[x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSec[x])])/(2*x) - (5*I*Sqrt[x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSec[x])])/(2*x), -((3*Sqrt[x^2])/4) + Sqrt[x^2]/(4*(1 - 1/x^2)) - (5*Sqrt[x^2])/(12*(1 - 1/x^2)*x^2) - (13*Sqrt[x^2]*ArcCoth[x])/(6*x) - (5*Sqrt[x^2]*ArcSec[x])/(6*(1 - 1/x^2)^(3/2)*x) - (5*Sqrt[x^2]*ArcSec[x])/(2*Sqrt[1 - 1/x^2]*x) + (x*Sqrt[x^2]*ArcSec[x])/(2*(1 - 1/x^2)^(3/2)) - (5*I*Sqrt[x^2]*ArcSec[x]*ArcTan[E^(I*ArcSec[x])])/x + (5*I*Sqrt[x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSec[x])])/(2*x) - (5*I*Sqrt[x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSec[x])])/(2*x)}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 44 - 48 (p. 416-417)
+
+
+(asec(x)/(x^2*sqrt(x^2 - 1)), 1/sqrt(x^2) + (sqrt(x^2 - 1)*asec(x))/x, x, 2),
+# {ArcCsc[x]/(x^2*(x^2 - 1)^(5/2)), x, 5, -(1/Sqrt[x^2]) + Sqrt[x^2]/(6*(x^2 - 1)) + ((3 - 12*x^2 + 8*x^4)*ArcCsc[x])/(3*x*(x^2 - 1)^(3/2)) - (11*ArcCoth[Sqrt[x^2]])/6, -(1/Sqrt[x^2]) - Sqrt[x^2]/(6*(1 - x^2)) + ArcCsc[x]/(x*(-1 + x^2)^(3/2)) - (4*x*ArcCsc[x])/(3*(-1 + x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcCsc[x])/(3*Sqrt[-1 + x^2]) - (11*x*ArcTanh[x])/(6*Sqrt[x^2])}
+# {ArcCsc[x]^4/(x^2*Sqrt[x^2 - 1]), x, 6, (24*Sqrt[x^2 - 1])/x + (24*ArcCsc[x])/Sqrt[x^2] - (12*Sqrt[x^2 - 1]*ArcCsc[x]^2)/x - (4*ArcCsc[x]^3)/Sqrt[x^2] + (Sqrt[x^2 - 1]*ArcCsc[x]^4)/x, (24*Sqrt[1 - 1/x^2]*Sqrt[x^2])/x + (24*Sqrt[x^2]*ArcCsc[x])/x^2 - (12*Sqrt[1 - 1/x^2]*Sqrt[x^2]*ArcCsc[x]^2)/x - (4*Sqrt[x^2]*ArcCsc[x]^3)/x^2 + (Sqrt[1 - 1/x^2]*Sqrt[x^2]*ArcCsc[x]^4)/x}
+# {(ArcSec[x]^2*(x^2 - 1)^(3/2))/x^5, x, 11, (Sqrt[x^2 - 1]*(17*x^2 - 2))/(64*x^4) - (3*ArcSec[x])/(8*x*Sqrt[x^2]) + (9*x*ArcSec[x])/(64*Sqrt[x^2]) + ((x^2 - 1)^2*ArcSec[x])/(8*x^3*Sqrt[x^2]) - (3*Sqrt[x^2 - 1]*ArcSec[x]^2)/(8*x^2) - ((x^2 - 1)^(3/2)*ArcSec[x]^2)/(4*x^4) + (x*ArcSec[x]^3)/(8*Sqrt[x^2]), (15*Sqrt[1 - 1/x^2]*Sqrt[x^2])/(64*x^2) + ((1 - 1/x^2)^(3/2)*Sqrt[x^2])/(32*x^2) - (9*Sqrt[x^2]*ArcCsc[x])/(64*x) - (3*Sqrt[x^2]*ArcSec[x])/(8*x^3) + ((1 - 1/x^2)^2*Sqrt[x^2]*ArcSec[x])/(8*x) - (3*Sqrt[1 - 1/x^2]*Sqrt[x^2]*ArcSec[x]^2)/(8*x^2) - ((1 - 1/x^2)^(3/2)*Sqrt[x^2]*ArcSec[x]^2)/(4*x^2) + (Sqrt[x^2]*ArcSec[x]^3)/(8*x)}
+# {(ArcSec[x]^3*Sqrt[x^2 - 1])/x^4, x, 8, (2*(1 - 21*x^2))/(27*x^2*Sqrt[x^2]) - (4*Sqrt[x^2 - 1]*ArcSec[x])/(3*x) - (2*(x^2 - 1)^(3/2)*ArcSec[x])/(9*x^3) + (2*ArcSec[x]^2)/(3*Sqrt[x^2]) + ((x^2 - 1)*ArcSec[x]^2)/(3*x^2*Sqrt[x^2]) + ((x^2 - 1)^(3/2)*ArcSec[x]^3)/(3*x^3), (2*Sqrt[x^2])/(27*x^4) - (14*Sqrt[x^2])/(9*x^2) - (4*Sqrt[1 - 1/x^2]*Sqrt[x^2]*ArcSec[x])/(3*x) - (2*(1 - 1/x^2)^(3/2)*Sqrt[x^2]*ArcSec[x])/(9*x) + (2*Sqrt[x^2]*ArcSec[x]^2)/(3*x^2) + ((1 - 1/x^2)*Sqrt[x^2]*ArcSec[x]^2)/(3*x^2) + ((1 - 1/x^2)^(3/2)*Sqrt[x^2]*ArcSec[x]^3)/(3*x)}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 49 - 56 (p. 422)
+
+
+(asin(sqrt((x - a)/(x + a))), -sqrt(2)*a*sqrt((x - a)/(x + a))/sqrt(a/(x + a)) + (x + a)*asin(sqrt((x - a)/(x + a))), x, -8),
+(atan(sqrt((x - a)/(x + a))), x*atan(sqrt(-((a - x)/(a + x)))) - a*atanh(sqrt(-((a - x)/(a + x)))), x, 4),
+(atan(x)/(1 + x)^3, -(1/(4*(1 + x))) - atan(x)/(2*(1 + x)^2) + (1//4)*log(1 + x) - (1//8)*log(1 + x^2), x, 5),
+(atan(x - a)/(x + a), atan(a - x)*log(2/(1 - I*(a - x))) - atan(a - x)*log(-((2*(a + x))/((I - 2*a)*(1 - I*(a - x))))) - (1//2)*I*PolyLog.reli(2, 1 - 2/(1 - I*(a - x))) + (1//2)*I*PolyLog.reli(2, 1 + (2*(a + x))/((I - 2*a)*(1 - I*(a - x)))), x, 5),
+(asin(sqrt(1 - x^2))/sqrt(1 - x^2), -sqrt(x^2)*asin(sqrt(1 - x^2))^2/(2*x), x, 2),
+(atan(sqrt(1 + x^2))*x/sqrt(1 + x^2), sqrt(1 + x^2)*atan(sqrt(1 + x^2)) - (1//2)*log(2 + x^2), x, 2),
+(asin(x)/(1 - x)^(5//2), -(sqrt(1 + x)/(3*(1 - x))) + (2*asin(x))/(3*(1 - x)^(3//2)) - (1/(3*sqrt(2)))*atanh(sqrt(1 + x)/sqrt(2)), x, 5),
+# {ArcCsc[x]*(x - 1)^(5/2), x, 7, (4*x*(83 - 19*x + 3*x^2)*Sqrt[x^2 - 1])/(105*Sqrt[x - 1]*Sqrt[x^2]) + (2/7)*(x - 1)^(7/2)*ArcCsc[x] + ((4*x)/(7*Sqrt[x^2]))*ArcTanh[Sqrt[x^2 - 1]/Sqrt[x - 1]], (4*Sqrt[-1 + x]*(1 + x))/(Sqrt[1 - 1/x^2]*x) - (20*Sqrt[-1 + x]*(1 + x)^2)/(21*Sqrt[1 - 1/x^2]*x) + (4*Sqrt[-1 + x]*(1 + x)^3)/(35*Sqrt[1 - 1/x^2]*x) + (2/7)*(-1 + x)^(7/2)*ArcCsc[x] + (4*Sqrt[-1 + x]*Sqrt[1 + x]*ArcTanh[Sqrt[1 + x]])/(7*Sqrt[1 - 1/x^2]*x)}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems 57 - 59 (p. 427)
+
+
+# {ArcSin[Sinh[x]]*Sech[x]^4, x, 5, (-2/3)*ArcSin[Cosh[x]/Sqrt[2]] + (1/6)*Sqrt[1 - Sinh[x]^2]*Sech[x] + ArcSin[Sinh[x]]*Tanh[x] - (1/3)*ArcSin[Sinh[x]]*Tanh[x]^3, (-(2/3))*ArcSin[Cosh[x]/Sqrt[2]] + (1/6)*Sqrt[2 - Cosh[x]^2]*Sech[x] + ArcSin[Sinh[x]]*Tanh[x] - (1/3)*ArcSin[Sinh[x]]*Tanh[x]^3}
+(acot(cosh(x))*cosh(x)/sinh(x)^4, atanh(tanh(x)/sqrt(2))/(6*sqrt(2)) + coth(x)/6 - (1//3)*acot(cosh(x))*csch(x)^3, x, 6),
+(asin(tanh(x))*ℯ^x, ℯ^x*asin(tanh(x)) - cosh(x)*log(1 + ℯ^(2*x))*sqrt(sech(x)^2), x, 5),
+]
+# Total integrals translated: 627
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Welz Problems.jl b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Welz Problems.jl
new file mode 100644
index 00000000..f72e0421
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Welz Problems.jl	
@@ -0,0 +1,461 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Martin Welz - posts on Sci.Math.Symbolic
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 4 June 2010
+
+
+# {x*(x^2 + 3)/(2*a^2 + b^2*(x^2 + 1))^(5/2)*Log[(Sqrt[2]*x*Sqrt[2*a^2 + b^2*(x^2 + 1)] - 2*x*a + b*(x^2 + 1))/x], x, 0, Sqrt[2]*(43*a^6 + 63*b^2*a^4 + 33*b^4*a^2 + 5*b^6)*(ArcTan[b*(x/Sqrt[2*a^2 + b^2])]/(6*b^4*Sqrt[2*a^2 + b^2]*(3*a^2 + b^2)^3)) + Sqrt[2]*(Sqrt[4*a^2 + b^2] + a)^3*(3*a*Sqrt[4*a^2 + b^2] - 7*a^2 - 2*b^2)*(Log[Sqrt[2]*(Sqrt[4*a^2 + b^2] - a)*Sqrt[2*a^2 + b^2*(x^2 + 1)] + b*x*Sqrt[4*a^2 + b^2] + 2*a^2 - 2*b*x*a + b^2]/(6*b^4*(3*a^2 + b^2)^3)) + Sqrt[2]*(Sqrt[4*a^2 + b^2] - a)^3*(3*a*Sqrt[4*a^2 + b^2] + 7*a^2 + 2*b^2)*(Log[Sqrt[2]*(Sqrt[4*a^2 + b^2] + a)*Sqrt[2*a^2 + b^2*(x^2 + 1)] + b*x*Sqrt[4*a^2 + b^2] - 2*a^2 + 2*b*x*a - b^2]/(6*b^4*(3*a^2 + b^2)^3)) - (4*a^2 + b^2*(3*x^2 + 5))*(Log[(Sqrt[2]*x*Sqrt[2*a^2 + b^2*(x^2 + 1)] - 2*x*a + b*(x^2 + 1))/x]/(3*b^4*(2*a^2 + b^2*(x^2 + 1))^(3/2))) - (4*a^2 + 5*b^2)*(Log[(Sqrt[2*a^2 + b^2*(x^2 + 1)] - Sqrt[2*a^2 + b^2])/x]/(3*b^4*(2*a^2 + b^2)^(3/2))) + Sqrt[2]*(2*a^2 + b^2)*(Log[Sqrt[2*a^2 + b^2*(x^2 + 1)] - Sqrt[2]*a]/(6*b^4*a^3)) - Sqrt[2]*(5*a^2 + b^2)*(8*a^6 + 9*b^2*a^4 + 6*b^4*a^2 + b^6)*(Log[2*a^2 + b^2*(x^2 + 1)]/(12*b^4*a^3*(3*a^2 + b^2)^3)) + Sqrt[2]*(b^2 - a^2)*((Sqrt[2]*Sqrt[2*a^2 + b^2*(x^2 + 1)]*(10*a^6 + 2*b*x*a^5 + 16*b^2*a^4 + 7*b^4*a^2 + b^6) + 12*a^7 + 6*b*x*a^6 + 16*b^2*a^5 + 5*b^3*x*a^4 + 7*b^4*a^3 + b^5*x*a^2 + b^6*a)/(6*b^4*a^2*(2*a^2 + b^2)*(2*a^2 + b^2*(x^2 + 1))*(3*a^2 + b^2)^2))}
+
+# The following two integrands are equivalent!
+(1/sqrt(1 - a*x), -((2*sqrt(1 - a*x))/a), x, 1),
+# {(Log[a*x - 1] - 2*Log[-Sqrt[a*x - 1]])/(2*Pi*Sqrt[a*x - 1]), x, 5, -((2*Sqrt[1 - a*x])/a), -((2*Sqrt[-1 + a*x]*Log[-Sqrt[-1 + a*x]])/(a*Pi)) + (Sqrt[-1 + a*x]*Log[-1 + a*x])/(a*Pi)}
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 6 June 2010
+
+
+# {Sqrt[b^2*x^2 + 2*a^2 + b^2]/(b^3*x^4 + 4*a*b^2*x^3 + 2*a^2*b*x^2 + 4*a*x*(2*a^2 + b^2) - b*(2*a^2 + b^2)), x, 0, 0}
+(sqrt(b^2*x^2 + 2*a^2 + b^2)/(b^3*x^6 + 4*a*b^2*x^5 + b*x^4*(2*a^2 + b^2) + 8*a*x^3*(a^2 + b^2) - b^3*x^2 + 4*a*x*(2*a^2 + b^2) - b*(2*a^2 + b^2)), 0, x, 0),
+# {x/((b^2*x^2 + 2*a^2 + b^2)*((b*x^2 - 2*a*x + b)*Sqrt[b^2*x^2 + 2*a^2 + b^2] + Sqrt[2]*b^2*x^3 + Sqrt[2]*x*(2*a^2 + b^2))), x, 0, 0} *)
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 20 June 2010
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# Problem #1
+
+
+(1/(sqrt(x^2 + 1) + 2*x)^2, (4*x)/(3*(1 - 3*x^2)) - (2*sqrt(1 + x^2))/(3*(1 - 3*x^2)) - atanh(sqrt(3)*x)/(3*sqrt(3)) + atanh((1//2)*sqrt(3)*sqrt(1 + x^2))/(3*sqrt(3)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# Problem #2
+
+
+(1/(sqrt(x^2 - 1)*(3*x^2 - 4)^2), (3*x*sqrt(-1 + x^2))/(8*(4 - 3*x^2)) + (5//16)*atanh(x/(2*sqrt(-1 + x^2))), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# Problem #3
+
+
+(1/(2*sqrt(x) + sqrt(x + 1))^2, 8/(9*(1 - 3*x)) - (4*sqrt(x)*sqrt(1 + x))/(3*(1 - 3*x)) - (8*asinh(sqrt(x)))/9 + (10//9)*atanh((2*sqrt(x))/sqrt(1 + x)) + (5//9)*log(1 - 3*x), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# Problem #4
+
+
+(sqrt(x^2 - 1)/(x - I)^2, sqrt(-1 + x^2)/(I - x) - (I*atan((1 - I*x)/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x^2))))/sqrt(2) + atanh(x/sqrt(-1 + x^2)), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# Problem #5
+
+
+(1/(sqrt(x^2 - 1)*(x^2 + 1)^2), -((x*sqrt(-1 + x^2))/(4*(1 + x^2))) + (3*atanh((sqrt(2)*x)/sqrt(-1 + x^2)))/(4*sqrt(2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# Problem #6
+
+
+(1/(sqrt(x - 1)*(sqrt(x - 1) + sqrt(x))^2), 2*sqrt(-1 + x) + (4//3)*(-1 + x)^(3//2) - (4*x^(3//2))/3, x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# Problem #7
+
+
+(1/(sqrt(x^2 - 1)*(sqrt(x^2 - 1) + sqrt(x))^2), (2 - 4*x)/(5*(sqrt(x) + sqrt(-1 + x^2))) + (1//25)*sqrt(-110 + 50*sqrt(5))*atan((1//2)*sqrt(2 + 2*sqrt(5))*sqrt(x)) - (1//50)*sqrt(-110 + 50*sqrt(5))*atan((sqrt(-2 + 2*sqrt(5))*sqrt(-1 + x^2))/(2 - (1 - sqrt(5))*x)) - (1//25)*sqrt(110 + 50*sqrt(5))*atanh((1//2)*sqrt(-2 + 2*sqrt(5))*sqrt(x)) - (1//50)*sqrt(110 + 50*sqrt(5))*atanh((sqrt(2 + 2*sqrt(5))*sqrt(-1 + x^2))/(2 - x - sqrt(5)*x)), x, -18),
+
+
+((sqrt(x) - sqrt(-1 + x^2))^2/((1 + x - x^2)^2*sqrt(-1 + x^2)), (2 - 4*x)/(5*(sqrt(x) + sqrt(-1 + x^2))) + (1//25)*sqrt(-110 + 50*sqrt(5))*atan((1//2)*sqrt(2 + 2*sqrt(5))*sqrt(x)) - (1//50)*sqrt(-110 + 50*sqrt(5))*atan((sqrt(-2 + 2*sqrt(5))*sqrt(-1 + x^2))/(2 - (1 - sqrt(5))*x)) - (1//25)*sqrt(110 + 50*sqrt(5))*atanh((1//2)*sqrt(-2 + 2*sqrt(5))*sqrt(x)) - (1//50)*sqrt(110 + 50*sqrt(5))*atanh((sqrt(2 + 2*sqrt(5))*sqrt(-1 + x^2))/(2 - x - sqrt(5)*x)), x, -25),
+
+
+(1/(sqrt(2)*(1 + x)^2*sqrt(-I + x^2)) + 1/(sqrt(2)*(1 + x)^2*sqrt(I + x^2)), -(((1//2 + I/2)*sqrt(-I + x^2))/(sqrt(2)*(1 + x))) - ((1//2 - I/2)*sqrt(I + x^2))/(sqrt(2)*(1 + x)) + atanh((I + x)/(sqrt(1 - I)*sqrt(-I + x^2)))/((1 - I)^(3//2)*sqrt(2)) - atanh((I - x)/(sqrt(1 + I)*sqrt(I + x^2)))/((1 + I)^(3//2)*sqrt(2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# Problem #8
+
+
+(sqrt(sqrt(x^4 + 1) + x^2)/((x + 1)^2*sqrt(x^4 + 1)), -(sqrt(1 - I*x^2)/(2*(1 + x))) - sqrt(1 + I*x^2)/(2*(1 + x)) - (1//4)*(1 - I)^(3//2)*atanh((1 + I*x)/(sqrt(1 - I)*sqrt(1 - I*x^2))) - (1//4)*(1 + I)^(3//2)*atanh((1 - I*x)/(sqrt(1 + I)*sqrt(1 + I*x^2))), x, 7),
+(sqrt(sqrt(x^4 + 1) + x^2)/((x + 1)*sqrt(x^4 + 1)), (-(1//2))*sqrt(1 - I)*atanh((1 + I*x)/(sqrt(1 - I)*sqrt(1 - I*x^2))) - (1//2)*sqrt(1 + I)*atanh((1 - I*x)/(sqrt(1 + I)*sqrt(1 + I*x^2))), x, 5),
+(sqrt(sqrt(x^4 + 1) + x^2)/sqrt(x^4 + 1), atanh((sqrt(2)*x)/sqrt(x^2 + sqrt(1 + x^4)))/sqrt(2), x, 2),
+(sqrt(sqrt(x^4 + 1) - x^2)/sqrt(x^4 + 1), atan((sqrt(2)*x)/sqrt(-x^2 + sqrt(1 + x^4)))/sqrt(2), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# Problem #9
+
+
+(((x - 1)^(3//2) + (x + 1)^(3//2))/((x + 1)^(3//2)*(x - 1)^(3//2)), -(2/sqrt(-1 + x)) - 2/sqrt(1 + x), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 15 August 2010
+
+
+((x + sqrt(x^2 + a))^b, -((a*(x + sqrt(a + x^2))^(-1 + b))/(2*(1 - b))) + (x + sqrt(a + x^2))^(1 + b)/(2*(1 + b)), x, 3),
+((x - sqrt(x^2 + a))^b, -((a*(x - sqrt(a + x^2))^(-1 + b))/(2*(1 - b))) + (x - sqrt(a + x^2))^(1 + b)/(2*(1 + b)), x, 3),
+((x + sqrt(x^2 + a))^b/sqrt(x^2 + a), (x + sqrt(a + x^2))^b/b, x, 2),
+((x - sqrt(x^2 + a))^b/sqrt(x^2 + a), -((x - sqrt(a + x^2))^b/b), x, 2),
+
+
+(1/(a + b*ℯ^(p*x))^2, 1/(a*(a + b*ℯ^(p*x))*p) + x/a^2 - log(a + b*ℯ^(p*x))/(a^2*p), x, 3),
+(1/(a*ℯ^(p*x) + b*ℯ^(-p*x))^2, -(1/(2*a*(b + a*ℯ^(2*p*x))*p)), x, 2),
+(x/(a*ℯ^(p*x) + b*ℯ^(-p*x))^2, x/(2*a*b*p) - x/(2*a*(b + a*ℯ^(2*p*x))*p) - log(b + a*ℯ^(2*p*x))/(4*a*b*p^2), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 2 September 2012
+
+
+# ::Item::
+# Example from Welz's paper "Two-term Recurrence Formulae for Indefinite Algebraic Integrals" available at https://arxiv.org/abs/1209.3758v2
+
+
+((1 - x + 3*x^2)/((1 + x + x^2)^2*sqrt(1 - x + x^2)), ((1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/(1 + x + x^2) + sqrt(2)*atan((sqrt(2)*(1 + x))/sqrt(1 - x + x^2)) - atanh((sqrt(2//3)*(1 - x))/sqrt(1 - x + x^2))/sqrt(6), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 21 January 2013
+
+
+# From James Davenport's algint package documentation for Reduce
+(sqrt(x + sqrt(a^2 + x^2))/sqrt(a^2 + x^2), 2*sqrt(x + sqrt(a^2 + x^2)), x, 2),
+(sqrt(b*x + sqrt(a + b^2*x^2))/sqrt(a + b^2*x^2), (2*sqrt(b*x + sqrt(a + b^2*x^2)))/b, x, 2),
+
+
+(1/(x*sqrt(a^2 + x^2)*sqrt(x + sqrt(a^2 + x^2))), -((2*atan(sqrt(x + sqrt(a^2 + x^2))/sqrt(a)))/a^(3//2)) - (2*atanh(sqrt(x + sqrt(a^2 + x^2))/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 5),
+(sqrt(sqrt(a^2 + x^2) + x)/x, 2*sqrt(x + sqrt(a^2 + x^2)) - 2*sqrt(a)*atan(sqrt(x + sqrt(a^2 + x^2))/sqrt(a)) - 2*sqrt(a)*atanh(sqrt(x + sqrt(a^2 + x^2))/sqrt(a)), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 17 September 2014
+
+
+(x^3*log(2 + x)^3*log(3 + x), -((302177*x)/1152) + (8029*x^2)/2304 - (763*x^3)/3456 + (3*x^4)/256 + (377//64)*(2 + x)^2 - (71//216)*(2 + x)^3 + (3//256)*(2 + x)^4 + (2069//144)*log(2 + x) - (187//64)*x^2*log(2 + x) + (83//288)*x^3*log(2 + x) - (3//128)*x^4*log(2 + x) + (6733//32)*(2 + x)*log(2 + x) - (377//32)*(2 + x)^2*log(2 + x) + (71//72)*(2 + x)^3*log(2 + x) - (3//64)*(2 + x)^4*log(2 + x) - (43//12)*log(2 + x)^2 - (17//48)*x^3*log(2 + x)^2 + (3//64)*x^4*log(2 + x)^2 - (1251//16)*(2 + x)*log(2 + x)^2 + (273//32)*(2 + x)^2*log(2 + x)^2 - (3//4)*(2 + x)^3*log(2 + x)^2 + (3//64)*(2 + x)^4*log(2 + x)^2 + (65//4)*(2 + x)*log(2 + x)^3 - (33//8)*(2 + x)^2*log(2 + x)^3 + (3//4)*(2 + x)^3*log(2 + x)^3 - (1//16)*(2 + x)^4*log(2 + x)^3 + (3891//128)*log(3 + x) - (115//48)*x^2*log(3 + x) + (37//144)*x^3*log(3 + x) - (3//128)*x^4*log(3 + x) + (415//12)*(3 + x)*log(3 + x) - (4083//32)*log(2 + x)*log(3 + x) - 25*x*log(2 + x)*log(3 + x) + (13//4)*x^2*log(2 + x)*log(3 + x) - (7//12)*x^3*log(2 + x)*log(3 + x) + (3//32)*x^4*log(2 + x)*log(3 + x) + (963//16)*log(2 + x)^2*log(3 + x) + 6*x*log(2 + x)^2*log(3 + x) - (3//2)*x^2*log(2 + x)^2*log(3 + x) + (1//2)*x^3*log(2 + x)^2*log(3 + x) - (3//16)*x^4*log(2 + x)^2*log(3 + x) - (81//4)*log(2 + x)^3*log(3 + x) + (1//4)*x^4*log(2 + x)^3*log(3 + x) - (5609//96)*PolyLog.reli(2, -2 - x) + (563//8)*log(2 + x)*PolyLog.reli(2, -2 - x) - (195//4)*log(2 + x)^2*PolyLog.reli(2, -2 - x) - (563//8)*PolyLog.reli(3, -2 - x) + (195//2)*log(2 + x)*PolyLog.reli(3, -2 - x) - (195//2)*PolyLog.reli(4, -2 - x), x, 359),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 12 January 2016
+
+
+((sqrt(x^2 + b) + x)^a/sqrt(x^2 + b), (x + sqrt(b + x^2))^a/a, x, 2),
+
+
+((sqrt(x^2 + b) + x)^a, -((b*(x + sqrt(b + x^2))^(-1 + a))/(2*(1 - a))) + (x + sqrt(b + x^2))^(1 + a)/(2*(1 + a)), x, 3),
+
+
+((x^(3*a) + x^(2*a) + x^a)*(2*x^(2*a) + 3*x^a + 6)^(1/a), (x^(1 + a)*(6 + 3*x^a + 2*x^(2*a))^(1 + 1/a))/(6*(1 + a)), x, 2),
+
+
+(1/(x*(1 - x^2)^(1//3)), (1//2)*sqrt(3)*atan((1 + 2*(1 - x^2)^(1//3))/sqrt(3)) - log(x)/2 + (3//4)*log(1 - (1 - x^2)^(1//3)), x, 5),
+
+
+(1/(x*(1 - x^2)^(2//3)), (-(1//2))*sqrt(3)*atan((1 + 2*(1 - x^2)^(1//3))/sqrt(3)) - log(x)/2 + (3//4)*log(1 - (1 - x^2)^(1//3)), x, 5),
+
+
+(1/(1 - x^3)^(1//3), -(atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/sqrt(3)) + (1//2)*log(x + (1 - x^3)^(1//3)), x, 1),
+
+
+(1/(x*(1 - x^3)^(1//3)), atan((1 + 2*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/sqrt(3) - log(x)/2 + (1//2)*log(1 - (1 - x^3)^(1//3)), x, 5),
+
+
+(1/((1 + x)*(1 - x^3)^(1//3)), -((sqrt(3)*atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(2*2^(1//3))) - log((1 - x)*(1 + x)^2)/(4*2^(1//3)) + (3*log(-1 + x + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3)))/(4*2^(1//3)), x, 1),
+
+
+(x/((1 + x)*(1 - x^3)^(1//3)), (sqrt(3)*atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(2*2^(1//3)) - atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/sqrt(3) + log((1 - x)*(1 + x)^2)/(4*2^(1//3)) + (1//2)*log(x + (1 - x^3)^(1//3)) - (3*log(-1 + x + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3)))/(4*2^(1//3)), x, 3),
+
+
+(1/(x*(x^2 - 3*x + 2)^(1//3)), -((sqrt(3)*atan(1/sqrt(3) + (2^(1//3)*(2 - x))/(sqrt(3)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3))))/(2*2^(1//3))) - log(2 - x)/(4*2^(1//3)) - log(x)/(2*2^(1//3)) + (3*log(2 - x - 2^(2//3)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3)))/(4*2^(1//3)), x, -2),
+
+
+(1/(x^3 - 3*x^2 + 7*x - 5)^(1//3), (1//2)*sqrt(3)*atan(1/sqrt(3) + (2*(-1 + x))/(sqrt(3)*(-5 + 7*x - 3*x^2 + x^3)^(1//3))) + (1//4)*log(1 - x) - (3//4)*log(1 - x + (-5 + 7*x - 3*x^2 + x^3)^(1//3)), x, -5),
+
+
+(1/(x*(x^2 - q))^(1//3), (1//2)*sqrt(3)*atan(1/sqrt(3) + (2*x)/(sqrt(3)*(x*(-q + x^2))^(1//3))) + log(x)/4 - (3//4)*log(-x + (x*(-q + x^2))^(1//3)), x, -5),
+
+
+(1/((x - 1)*(x^2 - 2*x + q))^(1//3), (1//2)*sqrt(3)*atan(1/sqrt(3) + (2*(-1 + x))/(sqrt(3)*((-1 + x)*(q - 2*x + x^2))^(1//3))) + (1//4)*log(1 - x) - (3//4)*log(1 - x + ((-1 + x)*(q - 2*x + x^2))^(1//3)), x, -5),
+
+
+(1/(x*((x - 1)*(x^2 - 2*q*x + q))^(1//3)), (sqrt(3)*atan(1/sqrt(3) + (2*q^(1//3)*(-1 + x))/(sqrt(3)*((-1 + x)*(q - 2*q*x + x^2))^(1//3))))/(2*q^(1//3)) + log(1 - x)/(4*q^(1//3)) + log(x)/(2*q^(1//3)) - (3*log((-q^(1//3))*(-1 + x) + ((-1 + x)*(q - 2*q*x + x^2))^(1//3)))/(4*q^(1//3)), x, -2),
+
+
+((2 - (k + 1)*x)/((1 - (k + 1)*x)*(x*(1 - x)*(1 - k*x))^(1//3)), (sqrt(3)*atan((1 + (2*k^(1//3)*x)/((1 - x)*x*(1 - k*x))^(1//3))/sqrt(3)))/k^(1//3) + log(x)/(2*k^(1//3)) + log(1 - (1 + k)*x)/(2*k^(1//3)) - (3*log((-k^(1//3))*x + ((1 - x)*x*(1 - k*x))^(1//3)))/(2*k^(1//3)), x, -3),
+
+
+((1 - k*x)/((1 + (k - 2)*x)*(x*(1 - x)*(1 - k*x))^(2//3)), -((sqrt(3)*atan((1 + (2^(1//3)*(1 - k*x))/((1 - k)^(1//3)*((1 - x)*x*(1 - k*x))^(1//3)))/sqrt(3)))/(2^(2//3)*(1 - k)^(1//3))) + log(1 - (2 - k)*x)/(2^(2//3)*(1 - k)^(1//3)) + log(1 - k*x)/(2*2^(2//3)*(1 - k)^(1//3)) - (3*log(-1 + k*x + 2^(2//3)*(1 - k)^(1//3)*((1 - x)*x*(1 - k*x))^(1//3)))/(2*2^(2//3)*(1 - k)^(1//3)), x, -1),
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+# 27 March 2016
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2*x + x^2)^(39/2)*(1 + x + 2*x^2)^5) - (18477591983841452420673740004241 + 27597746968514352562858392071302*x)/(9068283057699252710400000000000000*(3 - 2*x + x^2)^(39/2)*(1 + x + 2*x^2)^4) - (133360959223342832431783756808269 - 49432151929857088186548766720461*x)/(34006061466372197664000000000000000*(3 - 2*x + x^2)^(39/2)*(1 + x + 2*x^2)^3) + (1057289143422928552044099202272635 + 2439572907056622740540415493441154*x)/(115414511643445034496000000000000000*(3 - 2*x + x^2)^(39/2)*(1 + x + 2*x^2)^2) + (27710574638863668700887240018723697 - 1800525975551829959478731340624273*x)/(336625658960048017280000000000000000*(3 - 2*x + x^2)^(39/2)*(1 + x + 2*x^2)) + (53*Sqrt[(1/70)*(879210910919588630492825297744872020413651017635360866499074296032260778656372643901 + 621696002391807670114685903911372073177064710967794175872353924738917423916160909312*Sqrt[2])]*ArcTan[(1/Sqrt[3 - 2*x + x^2])*(Sqrt[5/(7*(879210910919588630492825297744872020413651017635360866499074296032260778656372643901 + 621696002391807670114685903911372073177064710967794175872353924738917423916160909312*Sqrt[2]))]*(896457640030471180988134177305100813179145 + 634009778425632881804463219060525222303381*Sqrt[2] + (2164477196881736944597060615426151257785907 + 1530467418456104062792597396365626035482526*Sqrt[2])*x))])/416873881065074944000000000000000000000000000000000000 - (53*Sqrt[(1/70)*(-879210910919588630492825297744872020413651017635360866499074296032260778656372643901 + 621696002391807670114685903911372073177064710967794175872353924738917423916160909312*Sqrt[2])]*ArcTanh[(1/Sqrt[3 - 2*x + x^2])*(Sqrt[5/(7*(-879210910919588630492825297744872020413651017635360866499074296032260778656372643901 + 621696002391807670114685903911372073177064710967794175872353924738917423916160909312*Sqrt[2]))]*(896457640030471180988134177305100813179145 - 634009778425632881804463219060525222303381*Sqrt[2] + (2164477196881736944597060615426151257785907 - 1530467418456104062792597396365626035482526*Sqrt[2])*x))])/416873881065074944000000000000000000000000000000000000}
+
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+# ::Section::Closed::
+# 19 June 2016
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+
+((x - a - sqrt(a^2 + 1))/((x - a + sqrt(a^2 + 1))*sqrt((x - a)*(x^2 + 1))), (-sqrt(2))*sqrt(a + sqrt(1 + a^2))*atan((sqrt(2)*sqrt(-a + sqrt(1 + a^2))*(-a + x))/sqrt((-a + x)*(1 + x^2))), x, -9),
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+# ::Section::Closed::
+# 17 August 2016
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+((a + b*x)/((3 + x^2)*(1 - x^2)^(1//3)), (a*atan(sqrt(3)/x))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)) + (sqrt(3)*b*atan((1 + (2 - 2*x^2)^(1//3))/sqrt(3)))/(2*2^(2//3)) + (a*atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/x))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)) - (a*atanh(x))/(6*2^(2//3)) + (a*atanh(x/(1 + 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3))))/(2*2^(2//3)) - (b*log(3 + x^2))/(4*2^(2//3)) + (3*b*log(2^(2//3) - (1 - x^2)^(1//3)))/(4*2^(2//3)), x, 7),
+((a + b*x)/((3 - x^2)*(1 + x^2)^(1//3)), -((a*atan(x))/(6*2^(2//3))) + (a*atan(x/(1 + 2^(1//3)*(1 + x^2)^(1//3))))/(2*2^(2//3)) - (sqrt(3)*b*atan((1 + 2^(1//3)*(1 + x^2)^(1//3))/sqrt(3)))/(2*2^(2//3)) - (a*atanh(sqrt(3)/x))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)) - (a*atanh((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*(1 + x^2)^(1//3)))/x))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)) + (b*log(3 - x^2))/(4*2^(2//3)) - (3*b*log(2^(2//3) - (1 + x^2)^(1//3)))/(4*2^(2//3)), x, 7),
+(1/(x*(3*x^2 - 6*x + 4)^(1//3)), -(atan(1/sqrt(3) + (2^(2//3)*(2 - x))/(sqrt(3)*(4 - 6*x + 3*x^2)^(1//3)))/(2^(2//3)*sqrt(3))) - log(x)/(2*2^(2//3)) + log(6 - 3*x - 3*2^(1//3)*(4 - 6*x + 3*x^2)^(1//3))/(2*2^(2//3)), x, 1),
+(x*(1 - x^3)^(1//3), (1//3)*x^2*(1 - x^3)^(1//3) - atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(3*sqrt(3)) - (1//6)*log(-x - (1 - x^3)^(1//3)), x, 2),
+((1 - x^3)^(1//3)/x, (1 - x^3)^(1//3) - atan((1 + 2*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/sqrt(3) - log(x)/2 + (1//2)*log(1 - (1 - x^3)^(1//3)), x, 6),
+((1 - x^3)^(1//3)/(1 + x), (1 - x^3)^(1//3) + (2^(1//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/sqrt(3) + atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3)) - atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/sqrt(3) + (2^(1//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/sqrt(3) - (2^(1//3)*atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/sqrt(3) - (1//3)*2^(1//3)*log(1 + x^3) + log(2^(2//3) - (1 - x)/(1 - x^3)^(1//3))/(3*2^(2//3)) - log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(3*2^(2//3)) + (1//3)*2^(1//3)*log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3)) - log(2*2^(1//3) + (1 - x)^2/(1 - x^3)^(2//3) + (2^(2//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(2//3)) + log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/2^(2//3) - (1//2)*log(-x - (1 - x^3)^(1//3)) + log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/2^(2//3), x, 25),
+# {(1 - x^3)^(1/3)/(1 - x + x^2), x, 19, (Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*2^(1/3)*(-1 + x))/(1 - x^3)^(1/3))/Sqrt[3]])/2^(2/3) + ArcTan[(1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1/3))/Sqrt[3]]/Sqrt[3] - ArcTan[(1 - (2*2^(1/3)*x)/(1 - x^3)^(1/3))/Sqrt[3]]/(2^(2/3)*Sqrt[3]) - ArcTan[(1 + 2^(2/3)*(1 - x^3)^(1/3))/Sqrt[3]]/(2^(2/3)*Sqrt[3]) - Log[-3*(-1 + x)*(1 - x + x^2)]/(2*2^(2/3)) + Log[2^(1/3) - (1 - x^3)^(1/3)]/(2*2^(2/3)) + (3*Log[(-2^(1/3))*(-1 + x) + (1 - x^3)^(1/3)])/(2*2^(2/3)) + (1/2)*Log[x + (1 - x^3)^(1/3)] - Log[2^(1/3)*x + (1 - x^3)^(1/3)]/(2*2^(2/3)), (2^(1/3)*ArcTan[(1 - (2*2^(1/3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1/3))/Sqrt[3]])/Sqrt[3] + ArcTan[(1 + (2^(1/3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1/3))/Sqrt[3]]/(2^(2/3)*Sqrt[3]) + ArcTan[(1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1/3))/Sqrt[3]]/Sqrt[3] - (2^(1/3)*ArcTan[(1 - (2*2^(1/3)*x)/(1 - x^3)^(1/3))/Sqrt[3]])/Sqrt[3] + Log[1 + x^3]/(3*2^(2/3)) + Log[2^(2/3) - (1 - x)/(1 - x^3)^(1/3)]/(3*2^(2/3)) - Log[1 + (2^(2/3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2/3) - (2^(1/3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1/3)]/(3*2^(2/3)) + (1/3)*2^(1/3)*Log[1 + (2^(1/3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1/3)] - Log[2*2^(1/3) + (1 - x)^2/(1 - x^3)^(2/3) + (2^(2/3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1/3)]/(6*2^(2/3)) + (1/2)*Log[-x - (1 - x^3)^(1/3)] - Log[(-2^(1/3))*x - (1 - x^3)^(1/3)]/2^(2/3)}
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+# ::Section::Closed::
+# 22 September 2016
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+# {1/(x^3 - 3*x^2 + 7*x - 4)^(1/3), x, 0, 0}
+# {1/(x*(3*x^2 - 6*x + 5)^(1/3)), x, 0, 0} *)
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+
+((1 - x^3)^(1//3)/(2 + x), (1 - x^3)^(1//3) + (1//2)*x*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, -(1//3), 1, 4//3, x^3, -(x^3//8)) - (2*atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/sqrt(3) + 3^(1//6)*atan((1 - (3^(2//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)) - 3^(1//6)*atan(1/sqrt(3) + (2*(1 - x^3)^(1//3))/(3*3^(1//6))) - log(8 + x^3)/3^(1//3) + (1//2)*3^(2//3)*log(3^(2//3) - (1 - x^3)^(1//3)) - log(-x - (1 - x^3)^(1//3)) + (1//2)*3^(2//3)*log((-(1//2))*3^(2//3)*x - (1 - x^3)^(1//3)), x, 12),
+((2 + x)/((1 + x + x^2)*(2 + x^3)^(1//3)), -((x^2*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 1, 1//3, 5//3, x^3, -(x^3//2)))/(2*2^(1//3))) + (2*atan((1 + (2*3^(1//3)*x)/(2 + x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/3^(5//6) + atan((3^(1//3) + 2*(2 + x^3)^(1//3))/3^(5//6))/3^(5//6) + log(1 - x^3)/(6*3^(1//3)) + log(3^(1//3) - (2 + x^3)^(1//3))/(2*3^(1//3)) - log(3^(1//3)*x - (2 + x^3)^(1//3))/3^(1//3), x, 9),
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+# ::Section::Closed::
+# 14 January 2017
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+((3 - 3*x + 30*x^2 + 160*x^3)/(9 + 24*x - 12*x^2 + 80*x^3 + 320*x^4), (1//8)*log(9 + 24*x - 12*x^2 + 80*x^3 + 320*x^4), x, 1),
+((3 + 12*x + 20*x^2)/(9 + 24*x - 12*x^2 + 80*x^3 + 320*x^4), -(atan((7 - 40*x)/(5*sqrt(11)))/(2*sqrt(11))) + atan((57 + 30*x - 40*x^2 + 800*x^3)/(6*sqrt(11)))/(2*sqrt(11)), x, 1),
+(-(84 + 576*x + 400*x^2 - 2560*x^3)/(9 + 24*x - 12*x^2 + 80*x^3 + 320*x^4), 2*sqrt(11)*atan((7 - 40*x)/(5*sqrt(11))) - 2*sqrt(11)*atan((57 + 30*x - 40*x^2 + 800*x^3)/(6*sqrt(11))) + 2*log(9 + 24*x - 12*x^2 + 80*x^3 + 320*x^4), x, 2),
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+# ::Section::Closed::
+# 31 January 2017
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+(sqrt(1 - x^4)/(1 + x^4), (1//2)*atan((x*(1 + x^2))/sqrt(1 - x^4)) + (1//2)*atanh((x*(1 - x^2))/sqrt(1 - x^4)), x, 1),
+(sqrt(1 + x^4)/(1 - x^4), atan((sqrt(2)*x)/sqrt(1 + x^4))/(2*sqrt(2)) + atanh((sqrt(2)*x)/sqrt(1 + x^4))/(2*sqrt(2)), x, 4),
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+# ::Section::Closed::
+# 7 February 2017
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+
+(sqrt(1 + p*x^2 + x^4)/(1 - x^4), (1//4)*sqrt(2 - p)*atan((sqrt(2 - p)*x)/sqrt(1 + p*x^2 + x^4)) + (1//4)*sqrt(2 + p)*atanh((sqrt(2 + p)*x)/sqrt(1 + p*x^2 + x^4)), x, 4),
+(sqrt(1 + p*x^2 - x^4)/(1 + x^4), -((sqrt(p + sqrt(4 + p^2))*atan((sqrt(p + sqrt(4 + p^2))*x*(p - sqrt(4 + p^2) - 2*x^2))/(2*sqrt(2)*sqrt(1 + p*x^2 - x^4))))/(2*sqrt(2))) + (sqrt(-p + sqrt(4 + p^2))*atanh((sqrt(-p + sqrt(4 + p^2))*x*(p + sqrt(4 + p^2) - 2*x^2))/(2*sqrt(2)*sqrt(1 + p*x^2 - x^4))))/(2*sqrt(2)), x, 1),
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+# ::Section::Closed::
+# 28 August 2017
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+
+# {(3 + x^2)/((1 + x^2)*(1 + 6*x^2 + x^4)^(1/4)), x, 0, 0}
+# {(3 - x^2)/((1 - x^2)*(1 - 6*x^2 + x^4)^(1/4)), x, 0, 0} *)
+
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+((a + b*x)/((2 - x^2)*(-1 + x^2)^(1//4)), (a*atan(x/(sqrt(2)*(-1 + x^2)^(1//4))))/(2*sqrt(2)) - b*atan((-1 + x^2)^(1//4)) + (a*atanh(x/(sqrt(2)*(-1 + x^2)^(1//4))))/(2*sqrt(2)) + b*atanh((-1 + x^2)^(1//4)), x, 7),
+((a + b*x)/((2 + x^2)*(-1 - x^2)^(1//4)), (a*atan(x/(sqrt(2)*(-1 - x^2)^(1//4))))/(2*sqrt(2)) + b*atan((-1 - x^2)^(1//4)) + (a*atanh(x/(sqrt(2)*(-1 - x^2)^(1//4))))/(2*sqrt(2)) - b*atanh((-1 - x^2)^(1//4)), x, 7),
+
+((a + b*x)/((2 - x^2)*(1 - x^2)^(1//4)), (b*atan((1 - sqrt(1 - x^2))/(sqrt(2)*(1 - x^2)^(1//4))))/sqrt(2) + (1//2)*a*atan((1 - sqrt(1 - x^2))/(x*(1 - x^2)^(1//4))) + (b*atanh((1 + sqrt(1 - x^2))/(sqrt(2)*(1 - x^2)^(1//4))))/sqrt(2) + (1//2)*a*atanh((1 + sqrt(1 - x^2))/(x*(1 - x^2)^(1//4))), x, 3),
+((a + b*x)/((2 + x^2)*(1 + x^2)^(1//4)), -((b*atan((1 - sqrt(1 + x^2))/(sqrt(2)*(1 + x^2)^(1//4))))/sqrt(2)) - (1//2)*a*atan((1 + sqrt(1 + x^2))/(x*(1 + x^2)^(1//4))) - (1//2)*a*atanh((1 - sqrt(1 + x^2))/(x*(1 + x^2)^(1//4))) - (b*atanh((1 + sqrt(1 + x^2))/(sqrt(2)*(1 + x^2)^(1//4))))/sqrt(2), x, 3),
+
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+# ::Section::Closed::
+# 20 January 2018
+
+
+(x/((4 - x^3)*sqrt(1 - x^3)), -(atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*x))/sqrt(1 - x^3))/(3*2^(2//3)*sqrt(3))) + atan(sqrt(1 - x^3)/sqrt(3))/(3*2^(2//3)*sqrt(3)) - atanh((1 + 2^(1//3)*x)/sqrt(1 - x^3))/(3*2^(2//3)) + atanh(sqrt(1 - x^3))/(9*2^(2//3)), x, 1),
+(x/((4 - d*x^3)*sqrt(-1 + d*x^3)), -(atan((1 + 2^(1//3)*d^(1//3)*x)/sqrt(-1 + d*x^3))/(3*2^(2//3)*d^(2//3))) - atan(sqrt(-1 + d*x^3))/(9*2^(2//3)*d^(2//3)) - atanh((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*d^(1//3)*x))/sqrt(-1 + d*x^3))/(3*2^(2//3)*sqrt(3)*d^(2//3)) - atanh(sqrt(-1 + d*x^3)/sqrt(3))/(3*2^(2//3)*sqrt(3)*d^(2//3)), x, 1),
+
+
+(x/((x^3 + 8)*sqrt(x^3 - 1)), (1//18)*atan((1 - x)^2/(3*sqrt(-1 + x^3))) + (1//18)*atan((1//3)*sqrt(-1 + x^3)) - atanh((sqrt(3)*(1 - x))/sqrt(-1 + x^3))/(6*sqrt(3)), x, 8),
+(x/((8 - d*x^3)*sqrt(1 + d*x^3)), -(atan((sqrt(3)*(1 + d^(1//3)*x))/sqrt(1 + d*x^3))/(6*sqrt(3)*d^(2//3))) + atanh((1 + d^(1//3)*x)^2/(3*sqrt(1 + d*x^3)))/(18*d^(2//3)) - atanh((1//3)*sqrt(1 + d*x^3))/(18*d^(2//3)), x, 8),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 25 January 2018
+
+
+(1/((3 - x^2)*(1 - 3*x^2)^(1//3)), (1//4)*atan((1 - (1 - 3*x^2)^(1//3))/x) + atanh(x/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) - atanh((1 - (1 - 3*x^2)^(1//3))^2/(3*sqrt(3)*x))/(4*sqrt(3)), x, 1),
+(1/((3 + x^2)*(1 + 3*x^2)^(1//3)), atan(x/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) + atan((1 - (1 + 3*x^2)^(1//3))^2/(3*sqrt(3)*x))/(4*sqrt(3)) - (1//4)*atanh((1 - (1 + 3*x^2)^(1//3))/x), x, 1),
+
+
+(1/((3 + x^2)*(1 - x^2)^(1//3)), atan(sqrt(3)/x)/(2*2^(2//3)*sqrt(3)) + atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/x)/(2*2^(2//3)*sqrt(3)) - atanh(x)/(6*2^(2//3)) + atanh(x/(1 + 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/(2*2^(2//3)), x, 1),
+(1/((3 - x^2)*(1 + x^2)^(1//3)), -(atan(x)/(6*2^(2//3))) + atan(x/(1 + 2^(1//3)*(1 + x^2)^(1//3)))/(2*2^(2//3)) - atanh(sqrt(3)/x)/(2*2^(2//3)*sqrt(3)) - atanh((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*(1 + x^2)^(1//3)))/x)/(2*2^(2//3)*sqrt(3)), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 27 January 2018
+
+
+((x + a)/((x - a)*sqrt(x^3 - x^2*(a^2 + 1) + a^2*x)), -((2*sqrt(x)*sqrt(a^2 - (1 + a^2)*x + x^2)*atan(((1 - a)*sqrt(x))/sqrt(a^2 - (1 + a^2)*x + x^2)))/((1 - a)*sqrt(a^2*x - (1 + a^2)*x^2 + x^3))), x, 4),
+
+
+((x + a - 2)/((x - a)*sqrt(x^3 + x^2*(a^2 - 2*a - 1) + a*x*(2 - a))), 0, x, -5),
+
+
+((x*(2*a - 1) - a)/((x - a)*sqrt(x^3*(2*a - 1) - x^2*(a^2 + 2*a - 1) + a^2*x)), log((-a^2 + 2*a*x + x^2 - 2*(x + sqrt((-(-1 + x))*x*(a^2 + x - 2*a*x))))/(a - x)^2), x, -7),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 7 February 2018
+
+
+((1 - 2^(1//3)*x)/((2^(2//3) + x)*sqrt(1 + x^3)), (2*atan((sqrt(3)*(1 + 2^(1//3)*x))/sqrt(1 + x^3)))/sqrt(3), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 14 February 2018
+
+
+((1 + x)/((-2 + x)*sqrt(1 + x^3)), (-(2//3))*atanh((1 + x)^2/(3*sqrt(1 + x^3))), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 21 February 2018
+
+
+(x/((10 + 6*sqrt(3) + x^3)*sqrt(1 + x^3)), -(((2 - sqrt(3))*atan((3^(1//4)*(1 + sqrt(3))*(1 + x))/(sqrt(2)*sqrt(1 + x^3))))/(2*sqrt(2)*3^(3//4))) - ((2 - sqrt(3))*atan(((1 - sqrt(3))*sqrt(1 + x^3))/(sqrt(2)*3^(3//4))))/(3*sqrt(2)*3^(3//4)) - ((2 - sqrt(3))*atanh((3^(1//4)*(1 + sqrt(3) - 2*x))/(sqrt(2)*sqrt(1 + x^3))))/(3*sqrt(2)*3^(1//4)) - ((2 - sqrt(3))*atanh((3^(1//4)*(1 - sqrt(3))*(1 + x))/(sqrt(2)*sqrt(1 + x^3))))/(6*sqrt(2)*3^(1//4)), x, 1),
+(x/((10 - 6*sqrt(3) + x^3)*sqrt(1 + x^3)), -(((2 + sqrt(3))*atan((3^(1//4)*(1 - sqrt(3) - 2*x))/(sqrt(2)*sqrt(1 + x^3))))/(3*sqrt(2)*3^(1//4))) - ((2 + sqrt(3))*atan((3^(1//4)*(1 + sqrt(3))*(1 + x))/(sqrt(2)*sqrt(1 + x^3))))/(6*sqrt(2)*3^(1//4)) + ((2 + sqrt(3))*atanh((3^(1//4)*(1 - sqrt(3))*(1 + x))/(sqrt(2)*sqrt(1 + x^3))))/(2*sqrt(2)*3^(3//4)) + ((2 + sqrt(3))*atanh(((1 + sqrt(3))*sqrt(1 + x^3))/(sqrt(2)*3^(3//4))))/(3*sqrt(2)*3^(3//4)), x, 1),
+(x/((-10 - 6*sqrt(3) + x^3)*sqrt(-1 + x^3)), ((2 - sqrt(3))*atan((3^(1//4)*(1 - sqrt(3))*(1 - x))/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x^3))))/(6*sqrt(2)*3^(1//4)) + ((2 - sqrt(3))*atan((3^(1//4)*(1 + sqrt(3) + 2*x))/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x^3))))/(3*sqrt(2)*3^(1//4)) + ((2 - sqrt(3))*atanh((3^(1//4)*(1 + sqrt(3))*(1 - x))/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x^3))))/(2*sqrt(2)*3^(3//4)) - ((2 - sqrt(3))*atanh(((1 - sqrt(3))*sqrt(-1 + x^3))/(sqrt(2)*3^(3//4))))/(3*sqrt(2)*3^(3//4)), x, 1),
+(x/((-10 + 6*sqrt(3) + x^3)*sqrt(-1 + x^3)), -(((2 + sqrt(3))*atan((3^(1//4)*(1 - sqrt(3))*(1 - x))/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x^3))))/(2*sqrt(2)*3^(3//4))) + ((2 + sqrt(3))*atan(((1 + sqrt(3))*sqrt(-1 + x^3))/(sqrt(2)*3^(3//4))))/(3*sqrt(2)*3^(3//4)) + ((2 + sqrt(3))*atanh((3^(1//4)*(1 + sqrt(3))*(1 - x))/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x^3))))/(6*sqrt(2)*3^(1//4)) + ((2 + sqrt(3))*atanh((3^(1//4)*(1 - sqrt(3) + 2*x))/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x^3))))/(3*sqrt(2)*3^(1//4)), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 24 February 2018 via email
+
+
+((1 - sqrt(3) + x)/((1 + sqrt(3) + x)*sqrt(-4 + 4*sqrt(3)*x^2 + x^4)), (1//3)*sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*atanh((1 - sqrt(3) + x)^2/(sqrt(3*(-3 + 2*sqrt(3)))*sqrt(-4 + 4*sqrt(3)*x^2 + x^4))), x, 2),
+
+
+((1 + sqrt(3) + x)/((1 - sqrt(3) + x)*sqrt(-4 - 4*sqrt(3)*x^2 + x^4)), -(1//3)*sqrt(3 + 2*sqrt(3))*atan((1 + sqrt(3) + x)^2/(sqrt(3*(3 + 2*sqrt(3)))*sqrt(-4 - 4*sqrt(3)*x^2 + x^4))), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 1 March 2018
+
+
+((x - 1)/((x + 1)*(x^3 + 2)^(1//3)), sqrt(3)*atan((1 + (2*(2 + x))/(2 + x^3)^(1//3))/sqrt(3)) + log(1 + x) - (3//2)*log(2 + x - (2 + x^3)^(1//3)), x, 1),
+
+
+(1/((x + 1)*(x^3 + 2)^(1//3)), atan((1 + (2*x)/(2 + x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - (1//2)*sqrt(3)*atan((1 + (2*(2 + x))/(2 + x^3)^(1//3))/sqrt(3)) - (1//2)*log(1 + x) + (3//4)*log(2 + x - (2 + x^3)^(1//3)) - (1//4)*log(-x + (2 + x^3)^(1//3)), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 1 April 2018
+
+
+# {(x^2 + 2*x - 3)/((x^4 - 8*x^3 + 94*x^2 + 552*x + 657)*Sqrt[x^3 - 15*x - 22]), x, 0, 0}
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 26 September 2018
+
+
+(1/((1 - x^3)*(a + b*x^3)^(1//3)), atan((1 + (2*(a + b)^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*(a + b)^(1//3)) + log(1 - x^3)/(6*(a + b)^(1//3)) - log((a + b)^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3))/(2*(a + b)^(1//3)), x, 1),
+((1 + x)/((1 + x + x^2)*(a + b*x^3)^(1//3)), atan((1 + (2*(a + b)^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*(a + b)^(1//3)) + atan((1 + (2*(a + b*x^3)^(1//3))/(a + b)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*(a + b)^(1//3)) + log((a + b)^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3))/(2*(a + b)^(1//3)) - log((a + b)^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3))/(2*(a + b)^(1//3)), x, 8),
+(x^2/((1 - x^3)*(a + b*x^3)^(1//3)), -(atan((1 + (2*(a + b*x^3)^(1//3))/(a + b)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*(a + b)^(1//3))) + log(1 - x^3)/(6*(a + b)^(1//3)) - log((a + b)^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3))/(2*(a + b)^(1//3)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 12 October 2018
+
+
+(1/((1 + x^3)*(1 - x^3)^(1//3)), -(atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3))) - log(1 + x^3)/(6*2^(1//3)) + log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)), x, 1),
+(x/((1 + x^3)*(1 - x^3)^(1//3)), atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) + atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) + log((1 - x)*(1 + x)^2)/(12*2^(1//3)) + log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(1//3)) - log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(3*2^(1//3)) - log(-1 + x + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)), x, 8),
+(x^2/((1 + x^3)*(1 - x^3)^(1//3)), atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) - log(1 + x^3)/(6*2^(1//3)) + log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)), x, 5),
+
+
+# Integrands are equal.
+((1 + x)/((1 - x + x^2)*(1 - x^3)^(1//3)), (sqrt(3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/2^(1//3) + log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)) - log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/2^(1//3), x, -16),
+((1 + x)^2/((1 + x^3)*(1 - x^3)^(1//3)), (sqrt(3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/2^(1//3) + log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)) - log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/2^(1//3), x, -17),
+
+
+((1 - x)/((1 + x + x^2)*(1 + x^3)^(1//3)), -((sqrt(3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 + x))/(1 + x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/2^(1//3)) - log(1 + (2^(2//3)*(1 + x)^2)/(1 + x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 + x))/(1 + x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)) + log(1 + (2^(1//3)*(1 + x))/(1 + x^3)^(1//3))/2^(1//3), x, -16),
+
+
+# Integrands are equal.
+((1 - x^3)^(2//3)/(1 + x + x^2)^2, 1/(1 - x^3)^(1//3) + x/(1 - x^3)^(1//3) - x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2//3, 4//3, 5//3, x^3), x, 5),
+((1 - x)/((1 + x + x^2)*(1 - x^3)^(1//3)), 1/(1 - x^3)^(1//3) + x/(1 - x^3)^(1//3) - x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2//3, 4//3, 5//3, x^3), x, 5),
+((1 - x)^2/(1 - x^3)^(4//3), (1 + (1 - 2*x)*x)/(1 - x^3)^(1//3) + x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, x^3), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 16 October 2018
+
+
+((1 - x^3)^(2//3), (1//3)*x*(1 - x^3)^(2//3) - (2*atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) + (1//3)*log(x + (1 - x^3)^(1//3)), x, 2),
+((1 - x^3)^(2//3)/x, (1//2)*(1 - x^3)^(2//3) + atan((1 + 2*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/sqrt(3) - log(x)/2 + (1//2)*log(1 - (1 - x^3)^(1//3)), x, 6),
+((1 - x^3)^(2//3)/(a + b*x), (1 - x^3)^(2//3)/(2*b) - ((a^3 + b^3)*x^2*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 1//3, 1, 5//3, x^3, -((b^3*x^3)/a^3)))/(2*a^2*b^2) + (a^2*atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^3) - ((a^3 + b^3)^(2//3)*atan((1 - (2*(a^3 + b^3)^(1//3)*x)/(a*(1 - x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^3) + ((a^3 + b^3)^(2//3)*atan((1 + (2*b*(1 - x^3)^(1//3))/(a^3 + b^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^3) + (a*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, x^3))/(2*b^2) - ((a^3 + b^3)^(2//3)*log(a^3 + b^3*x^3))/(3*b^3) + ((a^3 + b^3)^(2//3)*log(-(((a^3 + b^3)^(1//3)*x)/a) - (1 - x^3)^(1//3)))/(2*b^3) - (a^2*log(x + (1 - x^3)^(1//3)))/(2*b^3) + ((a^3 + b^3)^(2//3)*log((a^3 + b^3)^(1//3) - b*(1 - x^3)^(1//3)))/(2*b^3), x, 13),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 17 October 2018
+
+
+((1 - x^3)^(2//3)/(1 - x + x^2)^2, -((1 - x^3)^(2//3)/(3*(1 + x^3))) + (x*(1 - x^3)^(2//3))/(3*(1 + x^3)) + (2*x^2*(1 - x^3)^(2//3))/(3*(1 + x^3)) - (2^(2//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) - (2^(2//3)*atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) + (1//3)*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, x^3) - log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(3*2^(1//3)) + log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(3*2^(1//3)), x, 13),
+
+
+# {(1 - 2*x)*(1 - x^3)^(2/3)/(1 - x + x^2)^2, x, 14, (1 - x^3)^(2/3)/(1 - x + x^2) - (2*ArcTan[(1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1/3))/Sqrt[3]])/Sqrt[3] + (2^(2/3)*ArcTan[(1 - (2*2^(1/3)*x)/(1 - x^3)^(1/3))/Sqrt[3]])/Sqrt[3] + (2^(2/3)*ArcTan[(1 + 2^(2/3)*(1 - x^3)^(1/3))/Sqrt[3]])/Sqrt[3] + Log[2^(1/3) - (1 - x^3)^(1/3)]/2^(1/3) - Log[(-2^(1/3))*x - (1 - x^3)^(1/3)]/2^(1/3) + Log[x + (1 - x^3)^(1/3)], (1 - x^3)^(2/3)/(1 + x^3) + (x*(1 - x^3)^(2/3))/(1 + x^3) - (2*ArcTan[(1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1/3))/Sqrt[3]])/Sqrt[3] + (2^(2/3)*ArcTan[(1 - (2*2^(1/3)*x)/(1 - x^3)^(1/3))/Sqrt[3]])/Sqrt[3] + (2^(2/3)*ArcTan[(1 + 2^(2/3)*(1 - x^3)^(1/3))/Sqrt[3]])/Sqrt[3] + Log[2^(1/3) - (1 - x^3)^(1/3)]/2^(1/3) + Log[(-2^(1/3))*x - (1 - x^3)^(1/3)]/(3*2^(1/3)) - (2/3)*2^(2/3)*Log[(-2^(1/3))*x - (1 - x^3)^(1/3)] + Log[x + (1 - x^3)^(1/3)]}
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 22 October 2018
+
+
+((1 - x^3)^(2//3)/(1 + x), (1//2)*(1 - x^3)^(2//3) - (sqrt(3)*atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/2^(1//3) + atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/sqrt(3) + (1//2)*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, x^3) - log((1 - x)*(1 + x)^2)/(2*2^(1//3)) - (1//2)*log(x + (1 - x^3)^(1//3)) + (3*log(-1 + x + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3)))/(2*2^(1//3)), x, 5),
+((1 - x + x^2)*(1 - x^3)^(2//3)/(1 + x^3), (1//2)*(1 - x^3)^(2//3) - (sqrt(3)*atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/2^(1//3) + atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/sqrt(3) + (1//2)*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, x^3) - log((1 - x)*(1 + x)^2)/(2*2^(1//3)) - (1//2)*log(x + (1 - x^3)^(1//3)) + (3*log(-1 + x + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3)))/(2*2^(1//3)), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 24 October 2018
+
+
+((1 - x^3)^(2//3)/(1 + x^3), atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/sqrt(3) - (2^(2//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/sqrt(3) - log(1 + x^3)/(3*2^(1//3)) + log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/2^(1//3) - (1//2)*log(x + (1 - x^3)^(1//3)), x, 3),
+
+
+(x*(1 - x^3)^(2//3)/(1 + x^3), (2^(2//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/sqrt(3) + atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) - (1//2)*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, x^3) + log((1 - x)*(1 + x)^2)/(6*2^(1//3)) + log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(3*2^(1//3)) - (1//3)*2^(2//3)*log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3)) - log(-1 + x + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)), x, 10),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# 4 November 2018
+
+
+((1 - x)*(1 - x^3)^(2//3)/(1 + x^3), -((2^(2//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/sqrt(3)) - atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) + atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/sqrt(3) - (2^(2//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/sqrt(3) + (1//2)*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, x^3) - log((1 - x)*(1 + x)^2)/(6*2^(1//3)) - log(1 + x^3)/(3*2^(1//3)) - log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(3*2^(1//3)) + (1//3)*2^(2//3)*log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3)) + log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/2^(1//3) - (1//2)*log(x + (1 - x^3)^(1//3)) + log(-1 + x + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)), x, -17),
+
+
+# {(1 + x^3)*(1 - x^3)^(2/3)/(1 + x^3 + x^6), x, 0, 0}
+
+
+((1 - x^3)^(1//3)/(1 + x^3), (2^(1//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/sqrt(3) + atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3)) + log(2^(2//3) - (1 - x)/(1 - x^3)^(1//3))/(3*2^(2//3)) - log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(3*2^(2//3)) + (1//3)*2^(1//3)*log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3)) - log(2*2^(1//3) + (1 - x)^2/(1 - x^3)^(2//3) + (2^(2//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(2//3)), x, 14),
+]
+# Total integrals translated: 113
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Wester Problems.jl b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Wester Problems.jl
new file mode 100644
index 00000000..85c1f6cb
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/0 Independent test suites/Wester Problems.jl	
@@ -0,0 +1,42 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Michael Wester
+
+
+# Gradshteyn and Ryzhik 2.244(8)
+((-5 + 3*x)^2/(-1 + 2*x)^(7//2), -(49/(20*(-1 + 2*x)^(5//2))) + 7/(2*(-1 + 2*x)^(3//2)) - 9/(4*sqrt(-1 + 2*x)), x, 2),
+
+
+# => 1/[2 m sqrt (10)] log ([-5 + e^(m x) sqrt (10)]/[-5 - e^(m x) sqrt (10)])
+#       [Gradshteyn and Ryzhik 2.314] *)
+(1/(-5/ℯ^(m*x) + 2*ℯ^(m*x)), -(atanh(sqrt(2//5)*ℯ^(m*x))/(sqrt(10)*m)), x, 2),
+
+
+# This example involves several symbolic parameters
+#    => 1/sqrt(b^2 - a^2) log ([sqrt (b^2 - a^2) tan (x/2) + a + b]/
+#                             [sqrt (b^2 - a^2) tan (x/2) - a - b])   (a^2 < b^2)
+#       [Gradshteyn and Ryzhik 2.553(3)] *)
+# 
+# {1/(a + b*Cos[x]), x, 0, Assumptions -> a^2 < b^2,
+#  1/Sqrt[b^2 - a^2]*Log[(Sqrt[b^2 - a^2]*Tan[x/2] + a + b)/
+#                        (Sqrt[b^2 - a^2]*Tan[x/2] - a - b)]}
+# *)
+(1/(a + b*cos(x)), (2*atan((sqrt(a - b)*tan(x/2))/sqrt(a + b)))/(sqrt(a - b)*sqrt(a + b)), x, 2),
+# The integral of 1/(a + 3 cos x + 4 sin x) can have 4 different forms
+#    depending on the value of a !   [Gradshteyn and Ryzhik 2.558(4)] *)
+(1/(3 + 3*cos(x) + 4*sin(x)), (1//4)*log(3 + 4*tan(x/2)), x, 2),
+(1/(4 + 3*cos(x) + 4*sin(x)), (-(1//3))*log(4 + 3*cot(π/4 + x/2)), x, 2),
+# {1/(5 + 3*Cos[x] + 4*Sin[x]), x, 1, -1/(2 + Tan[x/2]), -((4 - 5*Sin[x])/(4*(4*Cos[x] - 3*Sin[x])))}
+# => (a = 6) 2/sqrt(11) arctan ([3 tan (x/2) + 4]/sqrt(11))
+(1/(6 + 3*cos(x) + 4*sin(x)), x/sqrt(11) + (2*atan((4*cos(x) - 3*sin(x))/(6 + sqrt(11) + 3*cos(x) + 4*sin(x))))/sqrt(11), x, 3),
+
+
+# => x log|x^2 - a^2| - 2 x + a log|(x + a)/(x - a)|
+#       [Gradshteyn and Ryzhik 2.736(1)] *)
+# {Log[Abs[x^2 - a^2]], x, 0, x*Log[Abs[x^2 - a^2]] - 2*x + a*Log[(x + a)/(x - a)]}
+((1//2)*log((-a^2 + x^2)^2), -2*x + 2*a*atanh(x/a) + (1//2)*x*log((-a^2 + x^2)^2), x, 4),
+]
+# Total integrals translated: 7
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.2 (a+b x)^m (c+d x)^n.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.2 (a+b x)^m (c+d x)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..7a9f7e64
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.2 (a+b x)^m (c+d x)^n.jl	
@@ -0,0 +1,2986 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x)^n
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (b x)^n
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form b
+
+
+(0, 0, x, 1),
+(1, x, x, 1),
+(5, 5*x, x, 1),
+(-2, -2*x, x, 1),
+(-3//2, -3//2*x, x, 1),
+(π, π*x, x, 1),
+(a, a*x, x, 1),
+(3*a, 3*a*x, x, 1),
+(π/sqrt(16 - ℯ^2), (π*x)/sqrt(16 - ℯ^2), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^n
+
+
+(x^100, x^101//101, x, 1),
+(x^3, x^4//4, x, 1),
+(x^2, x^3//3, x, 1),
+(x^1, x^2//2, x, 1),
+(x^0, x, x, 1),
+(1/x^1, log(x), x, 1),
+(1/x^2, -(1/x), x, 1),
+(1/x^3, -(1/(2*x^2)), x, 1),
+(1/x^4, -(1/(3*x^3)), x, 1),
+(1/x^100, -1/(99*x^99), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (b x)^(n/2)
+
+
+(x^(5//2), 2*x^(7//2)/7, x, 1),
+(x^(3//2), 2*x^(5//2)/5, x, 1),
+(x^(1//2), 2*x^(3//2)/3, x, 1),
+(1/x^(1//2), 2*sqrt(x), x, 1),
+(1/x^(3//2), -2/sqrt(x), x, 1),
+(1/x^(5//2), -2/(3*x^(3//2)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (b x)^(n/3)
+
+
+(x^(5//3), (3*x^(8//3))/8, x, 1),
+(x^(4//3), (3*x^(7//3))/7, x, 1),
+(x^(2//3), (3//5)*x^(5//3), x, 1),
+(x^(1//3), (3//4)*x^(4//3), x, 1),
+(1/x^(1//3), (3*x^(2//3))/2, x, 1),
+(1/x^(2//3), 3*x^(1//3), x, 1),
+(1/x^(4//3), -(3/x^(1//3)), x, 1),
+(1/x^(5//3), -(3/(2*x^(2//3))), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (b x)^n with n symbolic
+
+
+(x^n, x^(1 + n)/(1 + n), x, 1),
+((b*x)^n, (b*x)^(1 + n)/(b*(1 + n)), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c+d (a+b x))^n
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c+d (a+b x))^n
+
+
+(1/(sqrt(-a) + e*(c + d*x)), log(sqrt(-a) + c*e + d*e*x)/(d*e), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c+d (a+b x))^(n/2)
+
+
+((c + d*(a + b*x))^(5//2), (2*(c + d*(a + b*x))^(7//2))/(7*b*d), x, 2),
+((c + d*(a + b*x))^(3//2), (2*(c + d*(a + b*x))^(5//2))/(5*b*d), x, 2),
+((c + d*(a + b*x))^(1//2), (2*(c + d*(a + b*x))^(3//2))/(3*b*d), x, 2),
+(1/(c + d*(a + b*x))^(1//2), (2*sqrt(c + d*(a + b*x)))/(b*d), x, 2),
+(1/(c + d*(a + b*x))^(3//2), -(2/(b*d*sqrt(c + d*(a + b*x)))), x, 2),
+(1/(c + d*(a + b*x))^(5//2), -(2/(3*b*d*(c + d*(a + b*x))^(3//2))), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x)^n
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x)^n
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(x^3*(a + b*x), (a*x^4)/4 + (b*x^5)/5, x, 2),
+(x^2*(a + b*x), (a*x^3)/3 + (b*x^4)/4, x, 2),
+(x^1*(a + b*x), (a*x^2)/2 + (b*x^3)/3, x, 2),
+(x^0*(a + b*x), a*x + (b*x^2)/2, x, 1),
+((a + b*x)/x^1, b*x + a*log(x), x, 2),
+((a + b*x)/x^2, -(a/x) + b*log(x), x, 2),
+((a + b*x)/x^3, -((a + b*x)^2/(2*a*x^2)), x, 1),
+((a + b*x)/x^4, -(a/(3*x^3)) - b/(2*x^2), x, 2),
+((a + b*x)/x^5, -(a/(4*x^4)) - b/(3*x^3), x, 2),
+
+
+(x^3*(a + b*x)^2, (a^2*x^4)/4 + (2//5)*a*b*x^5 + (b^2*x^6)/6, x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^2, (a^2*x^3)/3 + (1//2)*a*b*x^4 + (b^2*x^5)/5, x, 2),
+(x^1*(a + b*x)^2, (a^2*x^2)/2 + (2//3)*a*b*x^3 + (b^2*x^4)/4, x, 2),
+(x^0*(a + b*x)^2, (a + b*x)^3/(3*b), x, 1),
+
+((a + b*x)^2/x^1, 2*a*b*x + (b^2*x^2)/2 + a^2*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^2/x^2, -(a^2/x) + b^2*x + 2*a*b*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^2/x^3, -(a^2/(2*x^2)) - (2*a*b)/x + b^2*log(x), x, 2),
+
+((a + b*x)^2/x^4, -((a + b*x)^3/(3*a*x^3)), x, 1),
+((a + b*x)^2/x^5, -(a^2/(4*x^4)) - (2*a*b)/(3*x^3) - b^2/(2*x^2), x, 2),
+((a + b*x)^2/x^6, -(a^2/(5*x^5)) - (a*b)/(2*x^4) - b^2/(3*x^3), x, 2),
+((a + b*x)^2/x^7, -(a^2/(6*x^6)) - (2*a*b)/(5*x^5) - b^2/(4*x^4), x, 2),
+((a + b*x)^2/x^8, -(a^2/(7*x^7)) - (a*b)/(3*x^6) - b^2/(5*x^5), x, 2),
+
+
+(x^4*(a + b*x)^3, (a^3*x^5)/5 + (1//2)*a^2*b*x^6 + (3//7)*a*b^2*x^7 + (b^3*x^8)/8, x, 2),
+(x^3*(a + b*x)^3, (a^3*x^4)/4 + (3//5)*a^2*b*x^5 + (1//2)*a*b^2*x^6 + (b^3*x^7)/7, x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^3, (a^3*x^3)/3 + (3//4)*a^2*b*x^4 + (3//5)*a*b^2*x^5 + (b^3*x^6)/6, x, 2),
+
+(x^1*(a + b*x)^3, -((a*(a + b*x)^4)/(4*b^2)) + (a + b*x)^5/(5*b^2), x, 2),
+(x^0*(a + b*x)^3, (a + b*x)^4/(4*b), x, 1),
+
+((a + b*x)^3/x^1, 3*a^2*b*x + (3//2)*a*b^2*x^2 + (b^3*x^3)/3 + a^3*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^3/x^2, -(a^3/x) + 3*a*b^2*x + (b^3*x^2)/2 + 3*a^2*b*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^3/x^3, -a^3/(2*x^2) - (3*a^2*b)/x + b^3*x + 3*a*b^2*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^3/x^4, -(a^3/(3*x^3)) - (3*a^2*b)/(2*x^2) - (3*a*b^2)/x + b^3*log(x), x, 2),
+
+((a + b*x)^3/x^5, -((a + b*x)^4/(4*a*x^4)), x, 1),
+((a + b*x)^3/x^6, -((a + b*x)^4/(5*a*x^5)) + (b*(a + b*x)^4)/(20*a^2*x^4), x, 2),
+
+((a + b*x)^3/x^7, -(a^3/(6*x^6)) - (3*a^2*b)/(5*x^5) - (3*a*b^2)/(4*x^4) - b^3/(3*x^3), x, 2),
+((a + b*x)^3/x^8, -(a^3/(7*x^7)) - (a^2*b)/(2*x^6) - (3*a*b^2)/(5*x^5) - b^3/(4*x^4), x, 2),
+
+
+(x^6*(a + b*x)^5, (a^5*x^7)/7 + (5//8)*a^4*b*x^8 + (10//9)*a^3*b^2*x^9 + a^2*b^3*x^10 + (5//11)*a*b^4*x^11 + (b^5*x^12)/12, x, 2),
+(x^5*(a + b*x)^5, (a^5*x^6)/6 + (5//7)*a^4*b*x^7 + (5//4)*a^3*b^2*x^8 + (10//9)*a^2*b^3*x^9 + (1//2)*a*b^4*x^10 + (b^5*x^11)/11, x, 2),
+(x^4*(a + b*x)^5, (a^5*x^5)/5 + (5//6)*a^4*b*x^6 + (10//7)*a^3*b^2*x^7 + (5//4)*a^2*b^3*x^8 + (5//9)*a*b^4*x^9 + (b^5*x^10)/10, x, 2),
+
+(x^3*(a + b*x)^5, -((a^3*(a + b*x)^6)/(6*b^4)) + (3*a^2*(a + b*x)^7)/(7*b^4) - (3*a*(a + b*x)^8)/(8*b^4) + (a + b*x)^9/(9*b^4), x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^5, (a^2*(a + b*x)^6)/(6*b^3) - (2*a*(a + b*x)^7)/(7*b^3) + (a + b*x)^8/(8*b^3), x, 2),
+(x^1*(a + b*x)^5, -((a*(a + b*x)^6)/(6*b^2)) + (a + b*x)^7/(7*b^2), x, 2),
+(x^0*(a + b*x)^5, (a + b*x)^6/(6*b), x, 1),
+
+((a + b*x)^5/x^1, 5*a^4*b*x + 5*a^3*b^2*x^2 + (10//3)*a^2*b^3*x^3 + (5//4)*a*b^4*x^4 + (b^5*x^5)/5 + a^5*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^5/x^2, -(a^5/x) + 10*a^3*b^2*x + 5*a^2*b^3*x^2 + (5//3)*a*b^4*x^3 + (b^5*x^4)/4 + 5*a^4*b*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^5/x^3, -(a^5/(2*x^2)) - (5*a^4*b)/x + 10*a^2*b^3*x + (5//2)*a*b^4*x^2 + (b^5*x^3)/3 + 10*a^3*b^2*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^5/x^4, -(a^5/(3*x^3)) - (5*a^4*b)/(2*x^2) - (10*a^3*b^2)/x + 5*a*b^4*x + (b^5*x^2)/2 + 10*a^2*b^3*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^5/x^5, -(a^5/(4*x^4)) - (5*a^4*b)/(3*x^3) - (5*a^3*b^2)/x^2 - (10*a^2*b^3)/x + b^5*x + 5*a*b^4*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^5/x^6, -(a^5/(5*x^5)) - (5*a^4*b)/(4*x^4) - (10*a^3*b^2)/(3*x^3) - (5*a^2*b^3)/x^2 - (5*a*b^4)/x + b^5*log(x), x, 2),
+
+((a + b*x)^5/x^7, -((a + b*x)^6/(6*a*x^6)), x, 1),
+((a + b*x)^5/x^8, -((a + b*x)^6/(7*a*x^7)) + (b*(a + b*x)^6)/(42*a^2*x^6), x, 2),
+((a + b*x)^5/x^9, -((a + b*x)^6/(8*a*x^8)) + (b*(a + b*x)^6)/(28*a^2*x^7) - (b^2*(a + b*x)^6)/(168*a^3*x^6), x, 3),
+
+((a + b*x)^5/x^10, -(a^5/(9*x^9)) - (5*a^4*b)/(8*x^8) - (10*a^3*b^2)/(7*x^7) - (5*a^2*b^3)/(3*x^6) - (a*b^4)/x^5 - b^5/(4*x^4), x, 2),
+((a + b*x)^5/x^11, -(a^5/(10*x^10)) - (5*a^4*b)/(9*x^9) - (5*a^3*b^2)/(4*x^8) - (10*a^2*b^3)/(7*x^7) - (5*a*b^4)/(6*x^6) - b^5/(5*x^5), x, 2),
+((a + b*x)^5/x^12, -(a^5/(11*x^11)) - (a^4*b)/(2*x^10) - (10*a^3*b^2)/(9*x^9) - (5*a^2*b^3)/(4*x^8) - (5*a*b^4)/(7*x^7) - b^5/(6*x^6), x, 2),
+((a + b*x)^5/x^13, -(a^5/(12*x^12)) - (5*a^4*b)/(11*x^11) - (a^3*b^2)/x^10 - (10*a^2*b^3)/(9*x^9) - (5*a*b^4)/(8*x^8) - b^5/(7*x^7), x, 2),
+((a + b*x)^5/x^14, -(a^5/(13*x^13)) - (5*a^4*b)/(12*x^12) - (10*a^3*b^2)/(11*x^11) - (a^2*b^3)/x^10 - (5*a*b^4)/(9*x^9) - b^5/(8*x^8), x, 2),
+
+
+(x^8*(a + b*x)^7, (a^7*x^9)/9 + (7//10)*a^6*b*x^10 + (21//11)*a^5*b^2*x^11 + (35//12)*a^4*b^3*x^12 + (35//13)*a^3*b^4*x^13 + (3//2)*a^2*b^5*x^14 + (7//15)*a*b^6*x^15 + (b^7*x^16)/16, x, 2),
+(x^7*(a + b*x)^7, (a^7*x^8)/8 + (7*a^6*b*x^9)/9 + (21*a^5*b^2*x^10)/10 + (35*a^4*b^3*x^11)/11 + (35*a^3*b^4*x^12)/12 + (21*a^2*b^5*x^13)/13 + (a*b^6*x^14)/2 + (b^7*x^15)/15, x, 2),
+(x^6*(a + b*x)^7, (a^7*x^7)/7 + (7//8)*a^6*b*x^8 + (7//3)*a^5*b^2*x^9 + (7//2)*a^4*b^3*x^10 + (35//11)*a^3*b^4*x^11 + (7//4)*a^2*b^5*x^12 + (7//13)*a*b^6*x^13 + (b^7*x^14)/14, x, 2),
+
+(x^5*(a + b*x)^7, -((a^5*(a + b*x)^8)/(8*b^6)) + (5*a^4*(a + b*x)^9)/(9*b^6) - (a^3*(a + b*x)^10)/b^6 + (10*a^2*(a + b*x)^11)/(11*b^6) - (5*a*(a + b*x)^12)/(12*b^6) + (a + b*x)^13/(13*b^6), x, 2),
+(x^4*(a + b*x)^7, (a^4*(a + b*x)^8)/(8*b^5) - (4*a^3*(a + b*x)^9)/(9*b^5) + (3*a^2*(a + b*x)^10)/(5*b^5) - (4*a*(a + b*x)^11)/(11*b^5) + (a + b*x)^12/(12*b^5), x, 2),
+(x^3*(a + b*x)^7, -((a^3*(a + b*x)^8)/(8*b^4)) + (a^2*(a + b*x)^9)/(3*b^4) - (3*a*(a + b*x)^10)/(10*b^4) + (a + b*x)^11/(11*b^4), x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^7, (a^2*(a + b*x)^8)/(8*b^3) - (2*a*(a + b*x)^9)/(9*b^3) + (a + b*x)^10/(10*b^3), x, 2),
+(x^1*(a + b*x)^7, -((a*(a + b*x)^8)/(8*b^2)) + (a + b*x)^9/(9*b^2), x, 2),
+(x^0*(a + b*x)^7, (a + b*x)^8/(8*b), x, 1),
+
+((a + b*x)^7/x^1, 7*a^6*b*x + (21*a^5*b^2*x^2)/2 + (35*a^4*b^3*x^3)/3 + (35*a^3*b^4*x^4)/4 + (21*a^2*b^5*x^5)/5 + (7*a*b^6*x^6)/6 + (b^7*x^7)/7 + a^7*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^7/x^2, -(a^7/x) + 21*a^5*b^2*x + (35*a^4*b^3*x^2)/2 + (35*a^3*b^4*x^3)/3 + (21*a^2*b^5*x^4)/4 + (7*a*b^6*x^5)/5 + (b^7*x^6)/6 + 7*a^6*b*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^7/x^3, -a^7/(2*x^2) - (7*a^6*b)/x + 35*a^4*b^3*x + (35*a^3*b^4*x^2)/2 + 7*a^2*b^5*x^3 + (7*a*b^6*x^4)/4 + (b^7*x^5)/5 + 21*a^5*b^2*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^7/x^4, -(a^7/(3*x^3)) - (7*a^6*b)/(2*x^2) - (21*a^5*b^2)/x + 35*a^3*b^4*x + (21//2)*a^2*b^5*x^2 + (7//3)*a*b^6*x^3 + (b^7*x^4)/4 + 35*a^4*b^3*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^7/x^5, -(a^7/(4*x^4)) - (7*a^6*b)/(3*x^3) - (21*a^5*b^2)/(2*x^2) - (35*a^4*b^3)/x + 21*a^2*b^5*x + (7//2)*a*b^6*x^2 + (b^7*x^3)/3 + 35*a^3*b^4*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^7/x^6, -(a^7/(5*x^5)) - (7*a^6*b)/(4*x^4) - (7*a^5*b^2)/x^3 - (35*a^4*b^3)/(2*x^2) - (35*a^3*b^4)/x + 7*a*b^6*x + (b^7*x^2)/2 + 21*a^2*b^5*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^7/x^7, -(a^7/(6*x^6)) - (7*a^6*b)/(5*x^5) - (21*a^5*b^2)/(4*x^4) - (35*a^4*b^3)/(3*x^3) - (35*a^3*b^4)/(2*x^2) - (21*a^2*b^5)/x + b^7*x + 7*a*b^6*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^7/x^8, -(a^7/(7*x^7)) - (7*a^6*b)/(6*x^6) - (21*a^5*b^2)/(5*x^5) - (35*a^4*b^3)/(4*x^4) - (35*a^3*b^4)/(3*x^3) - (21*a^2*b^5)/(2*x^2) - (7*a*b^6)/x + b^7*log(x), x, 2),
+
+((a + b*x)^7/x^9, -(a + b*x)^8/(8*a*x^8), x, 1),
+((a + b*x)^7/x^10, -((a + b*x)^8/(9*a*x^9)) + (b*(a + b*x)^8)/(72*a^2*x^8), x, 2),
+((a + b*x)^7/x^11, -((a + b*x)^8/(10*a*x^10)) + (b*(a + b*x)^8)/(45*a^2*x^9) - (b^2*(a + b*x)^8)/(360*a^3*x^8), x, 3),
+((a + b*x)^7/x^12, -((a + b*x)^8/(11*a*x^11)) + (3*b*(a + b*x)^8)/(110*a^2*x^10) - (b^2*(a + b*x)^8)/(165*a^3*x^9) + (b^3*(a + b*x)^8)/(1320*a^4*x^8), x, 4),
+((a + b*x)^7/x^13, -((a + b*x)^8/(12*a*x^12)) + (b*(a + b*x)^8)/(33*a^2*x^11) - (b^2*(a + b*x)^8)/(110*a^3*x^10) + (b^3*(a + b*x)^8)/(495*a^4*x^9) - (b^4*(a + b*x)^8)/(3960*a^5*x^8), x, 5),
+
+((a + b*x)^7/x^14, -(a^7/(13*x^13)) - (7*a^6*b)/(12*x^12) - (21*a^5*b^2)/(11*x^11) - (7*a^4*b^3)/(2*x^10) - (35*a^3*b^4)/(9*x^9) - (21*a^2*b^5)/(8*x^8) - (a*b^6)/x^7 - b^7/(6*x^6), x, 2),
+((a + b*x)^7/x^15, -(a^7/(14*x^14)) - (7*a^6*b)/(13*x^13) - (7*a^5*b^2)/(4*x^12) - (35*a^4*b^3)/(11*x^11) - (7*a^3*b^4)/(2*x^10) - (7*a^2*b^5)/(3*x^9) - (7*a*b^6)/(8*x^8) - b^7/(7*x^7), x, 2),
+((a + b*x)^7/x^16, -(a^7/(15*x^15)) - (a^6*b)/(2*x^14) - (21*a^5*b^2)/(13*x^13) - (35*a^4*b^3)/(12*x^12) - (35*a^3*b^4)/(11*x^11) - (21*a^2*b^5)/(10*x^10) - (7*a*b^6)/(9*x^9) - b^7/(8*x^8), x, 2),
+
+
+(x^11*(a + b*x)^10, (a^10*x^12)/12 + (10//13)*a^9*b*x^13 + (45//14)*a^8*b^2*x^14 + 8*a^7*b^3*x^15 + (105//8)*a^6*b^4*x^16 + (252//17)*a^5*b^5*x^17 + (35//3)*a^4*b^6*x^18 + (120//19)*a^3*b^7*x^19 + (9//4)*a^2*b^8*x^20 + (10//21)*a*b^9*x^21 + (b^10*x^22)/22, x, 2),
+(x^10*(a + b*x)^10, (a^10*x^11)/11 + (5//6)*a^9*b*x^12 + (45//13)*a^8*b^2*x^13 + (60//7)*a^7*b^3*x^14 + 14*a^6*b^4*x^15 + (63//4)*a^5*b^5*x^16 + (210//17)*a^4*b^6*x^17 + (20//3)*a^3*b^7*x^18 + (45//19)*a^2*b^8*x^19 + (1//2)*a*b^9*x^20 + (b^10*x^21)/21, x, 2),
+(x^9*(a + b*x)^10, (a^10*x^10)/10 + (10//11)*a^9*b*x^11 + (15//4)*a^8*b^2*x^12 + (120//13)*a^7*b^3*x^13 + 15*a^6*b^4*x^14 + (84//5)*a^5*b^5*x^15 + (105//8)*a^4*b^6*x^16 + (120//17)*a^3*b^7*x^17 + (5//2)*a^2*b^8*x^18 + (10//19)*a*b^9*x^19 + (b^10*x^20)/20, x, 2),
+
+(x^8*(a + b*x)^10, (a^8*(a + b*x)^11)/(11*b^9) - (2*a^7*(a + b*x)^12)/(3*b^9) + (28*a^6*(a + b*x)^13)/(13*b^9) - (4*a^5*(a + b*x)^14)/b^9 + (14*a^4*(a + b*x)^15)/(3*b^9) - (7*a^3*(a + b*x)^16)/(2*b^9) + (28*a^2*(a + b*x)^17)/(17*b^9) - (4*a*(a + b*x)^18)/(9*b^9) + (a + b*x)^19/(19*b^9), x, 2),
+(x^7*(a + b*x)^10, -((a^7*(a + b*x)^11)/(11*b^8)) + (7*a^6*(a + b*x)^12)/(12*b^8) - (21*a^5*(a + b*x)^13)/(13*b^8) + (5*a^4*(a + b*x)^14)/(2*b^8) - (7*a^3*(a + b*x)^15)/(3*b^8) + (21*a^2*(a + b*x)^16)/(16*b^8) - (7*a*(a + b*x)^17)/(17*b^8) + (a + b*x)^18/(18*b^8), x, 2),
+(x^6*(a + b*x)^10, (a^6*(a + b*x)^11)/(11*b^7) - (a^5*(a + b*x)^12)/(2*b^7) + (15*a^4*(a + b*x)^13)/(13*b^7) - (10*a^3*(a + b*x)^14)/(7*b^7) + (a^2*(a + b*x)^15)/b^7 - (3*a*(a + b*x)^16)/(8*b^7) + (a + b*x)^17/(17*b^7), x, 2),
+(x^5*(a + b*x)^10, -((a^5*(a + b*x)^11)/(11*b^6)) + (5*a^4*(a + b*x)^12)/(12*b^6) - (10*a^3*(a + b*x)^13)/(13*b^6) + (5*a^2*(a + b*x)^14)/(7*b^6) - (a*(a + b*x)^15)/(3*b^6) + (a + b*x)^16/(16*b^6), x, 2),
+(x^4*(a + b*x)^10, (a^4*(a + b*x)^11)/(11*b^5) - (a^3*(a + b*x)^12)/(3*b^5) + (6*a^2*(a + b*x)^13)/(13*b^5) - (2*a*(a + b*x)^14)/(7*b^5) + (a + b*x)^15/(15*b^5), x, 2),
+(x^3*(a + b*x)^10, -((a^3*(a + b*x)^11)/(11*b^4)) + (a^2*(a + b*x)^12)/(4*b^4) - (3*a*(a + b*x)^13)/(13*b^4) + (a + b*x)^14/(14*b^4), x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^10, (a^2*(a + b*x)^11)/(11*b^3) - (a*(a + b*x)^12)/(6*b^3) + (a + b*x)^13/(13*b^3), x, 2),
+(x^1*(a + b*x)^10, -((a*(a + b*x)^11)/(11*b^2)) + (a + b*x)^12/(12*b^2), x, 2),
+(x^0*(a + b*x)^10, (a + b*x)^11/(11*b), x, 1),
+
+((a + b*x)^10/x^1, 10*a^9*b*x + (45//2)*a^8*b^2*x^2 + 40*a^7*b^3*x^3 + (105//2)*a^6*b^4*x^4 + (252//5)*a^5*b^5*x^5 + 35*a^4*b^6*x^6 + (120//7)*a^3*b^7*x^7 + (45//8)*a^2*b^8*x^8 + (10//9)*a*b^9*x^9 + (b^10*x^10)/10 + a^10*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^10/x^2, -(a^10/x) + 45*a^8*b^2*x + 60*a^7*b^3*x^2 + 70*a^6*b^4*x^3 + 63*a^5*b^5*x^4 + 42*a^4*b^6*x^5 + 20*a^3*b^7*x^6 + (45//7)*a^2*b^8*x^7 + (5//4)*a*b^9*x^8 + (b^10*x^9)/9 + 10*a^9*b*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^10/x^3, -(a^10/(2*x^2)) - (10*a^9*b)/x + 120*a^7*b^3*x + 105*a^6*b^4*x^2 + 84*a^5*b^5*x^3 + (105//2)*a^4*b^6*x^4 + 24*a^3*b^7*x^5 + (15//2)*a^2*b^8*x^6 + (10//7)*a*b^9*x^7 + (b^10*x^8)/8 + 45*a^8*b^2*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^10/x^4, -(a^10/(3*x^3)) - (5*a^9*b)/x^2 - (45*a^8*b^2)/x + 210*a^6*b^4*x + 126*a^5*b^5*x^2 + 70*a^4*b^6*x^3 + 30*a^3*b^7*x^4 + 9*a^2*b^8*x^5 + (5//3)*a*b^9*x^6 + (b^10*x^7)/7 + 120*a^7*b^3*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^10/x^5, -(a^10/(4*x^4)) - (10*a^9*b)/(3*x^3) - (45*a^8*b^2)/(2*x^2) - (120*a^7*b^3)/x + 252*a^5*b^5*x + 105*a^4*b^6*x^2 + 40*a^3*b^7*x^3 + (45//4)*a^2*b^8*x^4 + 2*a*b^9*x^5 + (b^10*x^6)/6 + 210*a^6*b^4*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^10/x^6, -(a^10/(5*x^5)) - (5*a^9*b)/(2*x^4) - (15*a^8*b^2)/x^3 - (60*a^7*b^3)/x^2 - (210*a^6*b^4)/x + 210*a^4*b^6*x + 60*a^3*b^7*x^2 + 15*a^2*b^8*x^3 + (5//2)*a*b^9*x^4 + (b^10*x^5)/5 + 252*a^5*b^5*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^10/x^7, -(a^10/(6*x^6)) - (2*a^9*b)/x^5 - (45*a^8*b^2)/(4*x^4) - (40*a^7*b^3)/x^3 - (105*a^6*b^4)/x^2 - (252*a^5*b^5)/x + 120*a^3*b^7*x + (45//2)*a^2*b^8*x^2 + (10//3)*a*b^9*x^3 + (b^10*x^4)/4 + 210*a^4*b^6*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^10/x^8, -(a^10/(7*x^7)) - (5*a^9*b)/(3*x^6) - (9*a^8*b^2)/x^5 - (30*a^7*b^3)/x^4 - (70*a^6*b^4)/x^3 - (126*a^5*b^5)/x^2 - (210*a^4*b^6)/x + 45*a^2*b^8*x + 5*a*b^9*x^2 + (b^10*x^3)/3 + 120*a^3*b^7*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^10/x^9, -(a^10/(8*x^8)) - (10*a^9*b)/(7*x^7) - (15*a^8*b^2)/(2*x^6) - (24*a^7*b^3)/x^5 - (105*a^6*b^4)/(2*x^4) - (84*a^5*b^5)/x^3 - (105*a^4*b^6)/x^2 - (120*a^3*b^7)/x + 10*a*b^9*x + (b^10*x^2)/2 + 45*a^2*b^8*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^10/x^10, -(a^10/(9*x^9)) - (5*a^9*b)/(4*x^8) - (45*a^8*b^2)/(7*x^7) - (20*a^7*b^3)/x^6 - (42*a^6*b^4)/x^5 - (63*a^5*b^5)/x^4 - (70*a^4*b^6)/x^3 - (60*a^3*b^7)/x^2 - (45*a^2*b^8)/x + b^10*x + 10*a*b^9*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^10/x^11, -(a^10/(10*x^10)) - (10*a^9*b)/(9*x^9) - (45*a^8*b^2)/(8*x^8) - (120*a^7*b^3)/(7*x^7) - (35*a^6*b^4)/x^6 - (252*a^5*b^5)/(5*x^5) - (105*a^4*b^6)/(2*x^4) - (40*a^3*b^7)/x^3 - (45*a^2*b^8)/(2*x^2) - (10*a*b^9)/x + b^10*log(x), x, 2),
+
+((a + b*x)^10/x^12, -((a + b*x)^11/(11*a*x^11)), x, 1),
+((a + b*x)^10/x^13, -((a + b*x)^11/(12*a*x^12)) + (b*(a + b*x)^11)/(132*a^2*x^11), x, 2),
+((a + b*x)^10/x^14, -((a + b*x)^11/(13*a*x^13)) + (b*(a + b*x)^11)/(78*a^2*x^12) - (b^2*(a + b*x)^11)/(858*a^3*x^11), x, 3),
+((a + b*x)^10/x^15, -((a + b*x)^11/(14*a*x^14)) + (3*b*(a + b*x)^11)/(182*a^2*x^13) - (b^2*(a + b*x)^11)/(364*a^3*x^12) + (b^3*(a + b*x)^11)/(4004*a^4*x^11), x, 4),
+((a + b*x)^10/x^16, -((a + b*x)^11/(15*a*x^15)) + (2*b*(a + b*x)^11)/(105*a^2*x^14) - (2*b^2*(a + b*x)^11)/(455*a^3*x^13) + (b^3*(a + b*x)^11)/(1365*a^4*x^12) - (b^4*(a + b*x)^11)/(15015*a^5*x^11), x, 5),
+((a + b*x)^10/x^17, -((a + b*x)^11/(16*a*x^16)) + (b*(a + b*x)^11)/(48*a^2*x^15) - (b^2*(a + b*x)^11)/(168*a^3*x^14) + (b^3*(a + b*x)^11)/(728*a^4*x^13) - (b^4*(a + b*x)^11)/(4368*a^5*x^12) + (b^5*(a + b*x)^11)/(48048*a^6*x^11), x, 6),
+((a + b*x)^10/x^18, -((a + b*x)^11/(17*a*x^17)) + (3*b*(a + b*x)^11)/(136*a^2*x^16) - (b^2*(a + b*x)^11)/(136*a^3*x^15) + (b^3*(a + b*x)^11)/(476*a^4*x^14) - (3*b^4*(a + b*x)^11)/(6188*a^5*x^13) + (b^5*(a + b*x)^11)/(12376*a^6*x^12) - (b^6*(a + b*x)^11)/(136136*a^7*x^11), x, 7),
+
+((a + b*x)^10/x^19, -(a^10/(18*x^18)) - (10*a^9*b)/(17*x^17) - (45*a^8*b^2)/(16*x^16) - (8*a^7*b^3)/x^15 - (15*a^6*b^4)/x^14 - (252*a^5*b^5)/(13*x^13) - (35*a^4*b^6)/(2*x^12) - (120*a^3*b^7)/(11*x^11) - (9*a^2*b^8)/(2*x^10) - (10*a*b^9)/(9*x^9) - b^10/(8*x^8), x, 2),
+((a + b*x)^10/x^20, -(a^10/(19*x^19)) - (5*a^9*b)/(9*x^18) - (45*a^8*b^2)/(17*x^17) - (15*a^7*b^3)/(2*x^16) - (14*a^6*b^4)/x^15 - (18*a^5*b^5)/x^14 - (210*a^4*b^6)/(13*x^13) - (10*a^3*b^7)/x^12 - (45*a^2*b^8)/(11*x^11) - (a*b^9)/x^10 - b^10/(9*x^9), x, 2),
+
+
+# 
+((a + b*x)^20/x^32, -((a + b*x)^21/(31*a*x^31)) + (b*(a + b*x)^21)/(93*a^2*x^30) - (3*b^2*(a + b*x)^21)/(899*a^3*x^29) + (6*b^3*(a + b*x)^21)/(6293*a^4*x^28) - (2*b^4*(a + b*x)^21)/(8091*a^5*x^27) + (2*b^5*(a + b*x)^21)/(35061*a^6*x^26) - (2*b^6*(a + b*x)^21)/(175305*a^7*x^25) + (b^7*(a + b*x)^21)/(525915*a^8*x^24) - (b^8*(a + b*x)^21)/(4032015*a^9*x^23) + (b^9*(a + b*x)^21)/(44352165*a^10*x^22) - (b^10*(a + b*x)^21)/(931395465*a^11*x^21), x, 11),
+((a + b*x)^20/x^33, -((a + b*x)^21/(32*a*x^32)) + (11*b*(a + b*x)^21)/(992*a^2*x^31) - (11*b^2*(a + b*x)^21)/(2976*a^3*x^30) + (33*b^3*(a + b*x)^21)/(28768*a^4*x^29) - (33*b^4*(a + b*x)^21)/(100688*a^5*x^28) + (11*b^5*(a + b*x)^21)/(129456*a^6*x^27) - (11*b^6*(a + b*x)^21)/(560976*a^7*x^26) + (11*b^7*(a + b*x)^21)/(2804880*a^8*x^25) - (11*b^8*(a + b*x)^21)/(16829280*a^9*x^24) + (11*b^9*(a + b*x)^21)/(129024480*a^10*x^23) - (b^10*(a + b*x)^21)/(129024480*a^11*x^22) + (b^11*(a + b*x)^21)/(2709514080*a^12*x^21), x, 12),
+((a + b*x)^20/x^34, -((a + b*x)^21/(33*a*x^33)) + (b*(a + b*x)^21)/(88*a^2*x^32) - (b^2*(a + b*x)^21)/(248*a^3*x^31) + (b^3*(a + b*x)^21)/(744*a^4*x^30) - (3*b^4*(a + b*x)^21)/(7192*a^5*x^29) + (3*b^5*(a + b*x)^21)/(25172*a^6*x^28) - (b^6*(a + b*x)^21)/(32364*a^7*x^27) + (b^7*(a + b*x)^21)/(140244*a^8*x^26) - (b^8*(a + b*x)^21)/(701220*a^9*x^25) + (b^9*(a + b*x)^21)/(4207320*a^10*x^24) - (b^10*(a + b*x)^21)/(32256120*a^11*x^23) + (b^11*(a + b*x)^21)/(354817320*a^12*x^22) - (b^12*(a + b*x)^21)/(7451163720*a^13*x^21), x, 13),
+
+((a + b*x)^20/x^35, -(a^20/(34*x^34)) - (20*a^19*b)/(33*x^33) - (95*a^18*b^2)/(16*x^32) - (1140*a^17*b^3)/(31*x^31) - (323*a^16*b^4)/(2*x^30) - (15504*a^15*b^5)/(29*x^29) - (9690*a^14*b^6)/(7*x^28) - (25840*a^13*b^7)/(9*x^27) - (4845*a^12*b^8)/x^26 - (33592*a^11*b^9)/(5*x^25) - (46189*a^10*b^10)/(6*x^24) - (167960*a^9*b^11)/(23*x^23) - (62985*a^8*b^12)/(11*x^22) - (25840*a^7*b^13)/(7*x^21) - (1938*a^6*b^14)/x^20 - (816*a^5*b^15)/x^19 - (1615*a^4*b^16)/(6*x^18) - (1140*a^3*b^17)/(17*x^17) - (95*a^2*b^18)/(8*x^16) - (4*a*b^19)/(3*x^15) - b^20/(14*x^14), x, 2),
+((a + b*x)^20/x^36, -(a^20/(35*x^35)) - (10*a^19*b)/(17*x^34) - (190*a^18*b^2)/(33*x^33) - (285*a^17*b^3)/(8*x^32) - (4845*a^16*b^4)/(31*x^31) - (2584*a^15*b^5)/(5*x^30) - (38760*a^14*b^6)/(29*x^29) - (19380*a^13*b^7)/(7*x^28) - (41990*a^12*b^8)/(9*x^27) - (6460*a^11*b^9)/x^26 - (184756*a^10*b^10)/(25*x^25) - (20995*a^9*b^11)/(3*x^24) - (125970*a^8*b^12)/(23*x^23) - (38760*a^7*b^13)/(11*x^22) - (12920*a^6*b^14)/(7*x^21) - (3876*a^5*b^15)/(5*x^20) - (255*a^4*b^16)/x^19 - (190*a^3*b^17)/(3*x^18) - (190*a^2*b^18)/(17*x^17) - (5*a*b^19)/(4*x^16) - b^20/(15*x^15), x, 2),
+((a + b*x)^20/x^37, -(a^20/(36*x^36)) - (4*a^19*b)/(7*x^35) - (95*a^18*b^2)/(17*x^34) - (380*a^17*b^3)/(11*x^33) - (4845*a^16*b^4)/(32*x^32) - (15504*a^15*b^5)/(31*x^31) - (1292*a^14*b^6)/x^30 - (77520*a^13*b^7)/(29*x^29) - (62985*a^12*b^8)/(14*x^28) - (167960*a^11*b^9)/(27*x^27) - (7106*a^10*b^10)/x^26 - (33592*a^9*b^11)/(5*x^25) - (20995*a^8*b^12)/(4*x^24) - (77520*a^7*b^13)/(23*x^23) - (19380*a^6*b^14)/(11*x^22) - (5168*a^5*b^15)/(7*x^21) - (969*a^4*b^16)/(4*x^20) - (60*a^3*b^17)/x^19 - (95*a^2*b^18)/(9*x^18) - (20*a*b^19)/(17*x^17) - b^20/(16*x^16), x, 2),
+# *)
+
+
+(c*(a + b*x), (c*(a + b*x)^2)/(2*b), x, 1),
+(((c + d)*(a + b*x))/e, ((c + d)*(a + b*x)^2)/(2*b*e), x, 1),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(x^5/(a + b*x), (a^4*x)/b^5 - (a^3*x^2)/(2*b^4) + (a^2*x^3)/(3*b^3) - (a*x^4)/(4*b^2) + x^5/(5*b) - (a^5*log(a + b*x))/b^6, x, 2),
+(x^4/(a + b*x), -((a^3*x)/b^4) + (a^2*x^2)/(2*b^3) - (a*x^3)/(3*b^2) + x^4/(4*b) + (a^4*log(a + b*x))/b^5, x, 2),
+(x^3/(a + b*x), (a^2*x)/b^3 - (a*x^2)/(2*b^2) + x^3/(3*b) - (a^3*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+(x^2/(a + b*x), -((a*x)/b^2) + x^2/(2*b) + (a^2*log(a + b*x))/b^3, x, 2),
+(x^1/(a + b*x), x/b - (a*log(a + b*x))/b^2, x, 2),
+(x^0/(a + b*x), log(a + b*x)/b, x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x)), log(x)/a - log(a + b*x)/a, x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x)), -(1/(a*x)) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x))/a^2, x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x)), -(1/(2*a*x^2)) + b/(a^2*x) + (b^2*log(x))/a^3 - (b^2*log(a + b*x))/a^3, x, 2),
+(1/(x^4*(a + b*x)), -(1/(3*a*x^3)) + b/(2*a^2*x^2) - b^2/(a^3*x) - (b^3*log(x))/a^4 + (b^3*log(a + b*x))/a^4, x, 2),
+(1/(x^5*(a + b*x)), -(1/(4*a*x^4)) + b/(3*a^2*x^3) - b^2/(2*a^3*x^2) + b^3/(a^4*x) + (b^4*log(x))/a^5 - (b^4*log(a + b*x))/a^5, x, 2),
+
+
+(x^6/(a + b*x)^2, (5*a^4*x)/b^6 - (2*a^3*x^2)/b^5 + (a^2*x^3)/b^4 - (a*x^4)/(2*b^3) + x^5/(5*b^2) - a^6/(b^7*(a + b*x)) - (6*a^5*log(a + b*x))/b^7, x, 2),
+(x^5/(a + b*x)^2, -((4*a^3*x)/b^5) + (3*a^2*x^2)/(2*b^4) - (2*a*x^3)/(3*b^3) + x^4/(4*b^2) + a^5/(b^6*(a + b*x)) + (5*a^4*log(a + b*x))/b^6, x, 2),
+(x^4/(a + b*x)^2, (3*a^2*x)/b^4 - (a*x^2)/b^3 + x^3/(3*b^2) - a^4/(b^5*(a + b*x)) - (4*a^3*log(a + b*x))/b^5, x, 2),
+(x^3/(a + b*x)^2, -((2*a*x)/b^3) + x^2/(2*b^2) + a^3/(b^4*(a + b*x)) + (3*a^2*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+(x^2/(a + b*x)^2, x/b^2 - a^2/(b^3*(a + b*x)) - (2*a*log(a + b*x))/b^3, x, 2),
+(x^1/(a + b*x)^2, a/(b^2*(a + b*x)) + log(a + b*x)/b^2, x, 2),
+(x^0/(a + b*x)^2, -(1/(b*(a + b*x))), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x)^2), 1/(a*(a + b*x)) + log(x)/a^2 - log(a + b*x)/a^2, x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x)^2), -(1/(a^2*x)) - b/(a^2*(a + b*x)) - (2*b*log(x))/a^3 + (2*b*log(a + b*x))/a^3, x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x)^2), -(1/(2*a^2*x^2)) + (2*b)/(a^3*x) + b^2/(a^3*(a + b*x)) + (3*b^2*log(x))/a^4 - (3*b^2*log(a + b*x))/a^4, x, 2),
+(1/(x^4*(a + b*x)^2), -(1/(3*a^2*x^3)) + b/(a^3*x^2) - (3*b^2)/(a^4*x) - b^3/(a^4*(a + b*x)) - (4*b^3*log(x))/a^5 + (4*b^3*log(a + b*x))/a^5, x, 2),
+(1/(x^5*(a + b*x)^2), -(1/(4*a^2*x^4)) + (2*b)/(3*a^3*x^3) - (3*b^2)/(2*a^4*x^2) + (4*b^3)/(a^5*x) + b^4/(a^5*(a + b*x)) + (5*b^4*log(x))/a^6 - (5*b^4*log(a + b*x))/a^6, x, 2),
+
+
+(x^7/(a + b*x)^3, (15*a^4*x)/b^7 - (5*a^3*x^2)/b^6 + (2*a^2*x^3)/b^5 - (3*a*x^4)/(4*b^4) + x^5/(5*b^3) + a^7/(2*b^8*(a + b*x)^2) - (7*a^6)/(b^8*(a + b*x)) - (21*a^5*log(a + b*x))/b^8, x, 2),
+(x^6/(a + b*x)^3, -((10*a^3*x)/b^6) + (3*a^2*x^2)/b^5 - (a*x^3)/b^4 + x^4/(4*b^3) - a^6/(2*b^7*(a + b*x)^2) + (6*a^5)/(b^7*(a + b*x)) + (15*a^4*log(a + b*x))/b^7, x, 2),
+(x^5/(a + b*x)^3, (6*a^2*x)/b^5 - (3*a*x^2)/(2*b^4) + x^3/(3*b^3) + a^5/(2*b^6*(a + b*x)^2) - (5*a^4)/(b^6*(a + b*x)) - (10*a^3*log(a + b*x))/b^6, x, 2),
+(x^4/(a + b*x)^3, -((3*a*x)/b^4) + x^2/(2*b^3) - a^4/(2*b^5*(a + b*x)^2) + (4*a^3)/(b^5*(a + b*x)) + (6*a^2*log(a + b*x))/b^5, x, 2),
+(x^3/(a + b*x)^3, x/b^3 + a^3/(2*b^4*(a + b*x)^2) - (3*a^2)/(b^4*(a + b*x)) - (3*a*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+(x^2/(a + b*x)^3, -(a^2/(2*b^3*(a + b*x)^2)) + (2*a)/(b^3*(a + b*x)) + log(a + b*x)/b^3, x, 2),
+(x^1/(a + b*x)^3, x^2/(2*a*(a + b*x)^2), x, 1),
+(x^0/(a + b*x)^3, -1/(2*b*(a + b*x)^2), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x)^3), 1/(2*a*(a + b*x)^2) + 1/(a^2*(a + b*x)) + log(x)/a^3 - log(a + b*x)/a^3, x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x)^3), -(1/(a^3*x)) - b/(2*a^2*(a + b*x)^2) - (2*b)/(a^3*(a + b*x)) - (3*b*log(x))/a^4 + (3*b*log(a + b*x))/a^4, x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x)^3), -(1/(2*a^3*x^2)) + (3*b)/(a^4*x) + b^2/(2*a^3*(a + b*x)^2) + (3*b^2)/(a^4*(a + b*x)) + (6*b^2*log(x))/a^5 - (6*b^2*log(a + b*x))/a^5, x, 2),
+(1/(x^4*(a + b*x)^3), -(1/(3*a^3*x^3)) + (3*b)/(2*a^4*x^2) - (6*b^2)/(a^5*x) - b^3/(2*a^4*(a + b*x)^2) - (4*b^3)/(a^5*(a + b*x)) - (10*b^3*log(x))/a^6 + (10*b^3*log(a + b*x))/a^6, x, 2),
+(1/(x^5*(a + b*x)^3), -(1/(4*a^3*x^4)) + b/(a^4*x^3) - (3*b^2)/(a^5*x^2) + (10*b^3)/(a^6*x) + b^4/(2*a^5*(a + b*x)^2) + (5*b^4)/(a^6*(a + b*x)) + (15*b^4*log(x))/a^7 - (15*b^4*log(a + b*x))/a^7, x, 2),
+
+
+(x^8/(a + b*x)^4, (35*a^4*x)/b^8 - (10*a^3*x^2)/b^7 + (10*a^2*x^3)/(3*b^6) - (a*x^4)/b^5 + x^5/(5*b^4) - a^8/(3*b^9*(a + b*x)^3) + (4*a^7)/(b^9*(a + b*x)^2) - (28*a^6)/(b^9*(a + b*x)) - (56*a^5*log(a + b*x))/b^9, x, 2),
+(x^7/(a + b*x)^4, -((20*a^3*x)/b^7) + (5*a^2*x^2)/b^6 - (4*a*x^3)/(3*b^5) + x^4/(4*b^4) + a^7/(3*b^8*(a + b*x)^3) - (7*a^6)/(2*b^8*(a + b*x)^2) + (21*a^5)/(b^8*(a + b*x)) + (35*a^4*log(a + b*x))/b^8, x, 2),
+(x^6/(a + b*x)^4, (10*a^2*x)/b^6 - (2*a*x^2)/b^5 + x^3/(3*b^4) - a^6/(3*b^7*(a + b*x)^3) + (3*a^5)/(b^7*(a + b*x)^2) - (15*a^4)/(b^7*(a + b*x)) - (20*a^3*log(a + b*x))/b^7, x, 2),
+(x^5/(a + b*x)^4, -((4*a*x)/b^5) + x^2/(2*b^4) + a^5/(3*b^6*(a + b*x)^3) - (5*a^4)/(2*b^6*(a + b*x)^2) + (10*a^3)/(b^6*(a + b*x)) + (10*a^2*log(a + b*x))/b^6, x, 2),
+(x^4/(a + b*x)^4, x/b^4 - a^4/(3*b^5*(a + b*x)^3) + (2*a^3)/(b^5*(a + b*x)^2) - (6*a^2)/(b^5*(a + b*x)) - (4*a*log(a + b*x))/b^5, x, 2),
+(x^3/(a + b*x)^4, a^3/(3*b^4*(a + b*x)^3) - (3*a^2)/(2*b^4*(a + b*x)^2) + (3*a)/(b^4*(a + b*x)) + log(a + b*x)/b^4, x, 2),
+(x^2/(a + b*x)^4, x^3/(3*a*(a + b*x)^3), x, 1),
+(x^1/(a + b*x)^4, a/(3*b^2*(a + b*x)^3) - 1/(2*b^2*(a + b*x)^2), x, 2),
+(x^0/(a + b*x)^4, -(1/(3*b*(a + b*x)^3)), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x)^4), 1/(3*a*(a + b*x)^3) + 1/(2*a^2*(a + b*x)^2) + 1/(a^3*(a + b*x)) + log(x)/a^4 - log(a + b*x)/a^4, x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x)^4), -(1/(a^4*x)) - b/(3*a^2*(a + b*x)^3) - b/(a^3*(a + b*x)^2) - (3*b)/(a^4*(a + b*x)) - (4*b*log(x))/a^5 + (4*b*log(a + b*x))/a^5, x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x)^4), -(1/(2*a^4*x^2)) + (4*b)/(a^5*x) + b^2/(3*a^3*(a + b*x)^3) + (3*b^2)/(2*a^4*(a + b*x)^2) + (6*b^2)/(a^5*(a + b*x)) + (10*b^2*log(x))/a^6 - (10*b^2*log(a + b*x))/a^6, x, 2),
+(1/(x^4*(a + b*x)^4), -(1/(3*a^4*x^3)) + (2*b)/(a^5*x^2) - (10*b^2)/(a^6*x) - b^3/(3*a^4*(a + b*x)^3) - (2*b^3)/(a^5*(a + b*x)^2) - (10*b^3)/(a^6*(a + b*x)) - (20*b^3*log(x))/a^7 + (20*b^3*log(a + b*x))/a^7, x, 2),
+(1/(x^5*(a + b*x)^4), -(1/(4*a^4*x^4)) + (4*b)/(3*a^5*x^3) - (5*b^2)/(a^6*x^2) + (20*b^3)/(a^7*x) + b^4/(3*a^5*(a + b*x)^3) + (5*b^4)/(2*a^6*(a + b*x)^2) + (15*b^4)/(a^7*(a + b*x)) + (35*b^4*log(x))/a^8 - (35*b^4*log(a + b*x))/a^8, x, 2),
+
+
+(x^10/(a + b*x)^7, -((84*a^3*x)/b^10) + (14*a^2*x^2)/b^9 - (7*a*x^3)/(3*b^8) + x^4/(4*b^7) - a^10/(6*b^11*(a + b*x)^6) + (2*a^9)/(b^11*(a + b*x)^5) - (45*a^8)/(4*b^11*(a + b*x)^4) + (40*a^7)/(b^11*(a + b*x)^3) - (105*a^6)/(b^11*(a + b*x)^2) + (252*a^5)/(b^11*(a + b*x)) + (210*a^4*log(a + b*x))/b^11, x, 2),
+(x^9/(a + b*x)^7, (28*a^2*x)/b^9 - (7*a*x^2)/(2*b^8) + x^3/(3*b^7) + a^9/(6*b^10*(a + b*x)^6) - (9*a^8)/(5*b^10*(a + b*x)^5) + (9*a^7)/(b^10*(a + b*x)^4) - (28*a^6)/(b^10*(a + b*x)^3) + (63*a^5)/(b^10*(a + b*x)^2) - (126*a^4)/(b^10*(a + b*x)) - (84*a^3*log(a + b*x))/b^10, x, 2),
+(x^8/(a + b*x)^7, -((7*a*x)/b^8) + x^2/(2*b^7) - a^8/(6*b^9*(a + b*x)^6) + (8*a^7)/(5*b^9*(a + b*x)^5) - (7*a^6)/(b^9*(a + b*x)^4) + (56*a^5)/(3*b^9*(a + b*x)^3) - (35*a^4)/(b^9*(a + b*x)^2) + (56*a^3)/(b^9*(a + b*x)) + (28*a^2*log(a + b*x))/b^9, x, 2),
+(x^7/(a + b*x)^7, x/b^7 + a^7/(6*b^8*(a + b*x)^6) - (7*a^6)/(5*b^8*(a + b*x)^5) + (21*a^5)/(4*b^8*(a + b*x)^4) - (35*a^4)/(3*b^8*(a + b*x)^3) + (35*a^3)/(2*b^8*(a + b*x)^2) - (21*a^2)/(b^8*(a + b*x)) - (7*a*log(a + b*x))/b^8, x, 2),
+(x^6/(a + b*x)^7, -(a^6/(6*b^7*(a + b*x)^6)) + (6*a^5)/(5*b^7*(a + b*x)^5) - (15*a^4)/(4*b^7*(a + b*x)^4) + (20*a^3)/(3*b^7*(a + b*x)^3) - (15*a^2)/(2*b^7*(a + b*x)^2) + (6*a)/(b^7*(a + b*x)) + log(a + b*x)/b^7, x, 2),
+(x^5/(a + b*x)^7, x^6/(6*a*(a + b*x)^6), x, 1),
+(x^4/(a + b*x)^7, x^5/(6*a*(a + b*x)^6) + x^5/(30*a^2*(a + b*x)^5), x, 2),
+# {x^3/(a + b*x)^7, x, 2, x^4/(6*a*(a + b*x)^6) + x^4/(15*a^2*(a + b*x)^5) + x^4/(60*a^3*(a + b*x)^4), a^3/(6*b^4*(a + b*x)^6) - (3*a^2)/(5*b^4*(a + b*x)^5) + (3*a)/(4*b^4*(a + b*x)^4) - 1/(3*b^4*(a + b*x)^3)}
+(x^2/(a + b*x)^7, -(a^2/(6*b^3*(a + b*x)^6)) + (2*a)/(5*b^3*(a + b*x)^5) - 1/(4*b^3*(a + b*x)^4), x, 2),
+(x^1/(a + b*x)^7, a/(6*b^2*(a + b*x)^6) - 1/(5*b^2*(a + b*x)^5), x, 2),
+(x^0/(a + b*x)^7, -1/(6*b*(a + b*x)^6), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x)^7), 1/(6*a*(a + b*x)^6) + 1/(5*a^2*(a + b*x)^5) + 1/(4*a^3*(a + b*x)^4) + 1/(3*a^4*(a + b*x)^3) + 1/(2*a^5*(a + b*x)^2) + 1/(a^6*(a + b*x)) + log(x)/a^7 - log(a + b*x)/a^7, x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x)^7), -(1/(a^7*x)) - b/(6*a^2*(a + b*x)^6) - (2*b)/(5*a^3*(a + b*x)^5) - (3*b)/(4*a^4*(a + b*x)^4) - (4*b)/(3*a^5*(a + b*x)^3) - (5*b)/(2*a^6*(a + b*x)^2) - (6*b)/(a^7*(a + b*x)) - (7*b*log(x))/a^8 + (7*b*log(a + b*x))/a^8, x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x)^7), -(1/(2*a^7*x^2)) + (7*b)/(a^8*x) + b^2/(6*a^3*(a + b*x)^6) + (3*b^2)/(5*a^4*(a + b*x)^5) + (3*b^2)/(2*a^5*(a + b*x)^4) + (10*b^2)/(3*a^6*(a + b*x)^3) + (15*b^2)/(2*a^7*(a + b*x)^2) + (21*b^2)/(a^8*(a + b*x)) + (28*b^2*log(x))/a^9 - (28*b^2*log(a + b*x))/a^9, x, 2),
+(1/(x^4*(a + b*x)^7), -(1/(3*a^7*x^3)) + (7*b)/(2*a^8*x^2) - (28*b^2)/(a^9*x) - b^3/(6*a^4*(a + b*x)^6) - (4*b^3)/(5*a^5*(a + b*x)^5) - (5*b^3)/(2*a^6*(a + b*x)^4) - (20*b^3)/(3*a^7*(a + b*x)^3) - (35*b^3)/(2*a^8*(a + b*x)^2) - (56*b^3)/(a^9*(a + b*x)) - (84*b^3*log(x))/a^10 + (84*b^3*log(a + b*x))/a^10, x, 2),
+
+
+(x^12/(a + b*x)^10, (55*a^2*x)/b^12 - (5*a*x^2)/b^11 + x^3/(3*b^10) - a^12/(9*b^13*(a + b*x)^9) + (3*a^11)/(2*b^13*(a + b*x)^8) - (66*a^10)/(7*b^13*(a + b*x)^7) + (110*a^9)/(3*b^13*(a + b*x)^6) - (99*a^8)/(b^13*(a + b*x)^5) + (198*a^7)/(b^13*(a + b*x)^4) - (308*a^6)/(b^13*(a + b*x)^3) + (396*a^5)/(b^13*(a + b*x)^2) - (495*a^4)/(b^13*(a + b*x)) - (220*a^3*log(a + b*x))/b^13, x, 2),
+(x^11/(a + b*x)^10, -((10*a*x)/b^11) + x^2/(2*b^10) + a^11/(9*b^12*(a + b*x)^9) - (11*a^10)/(8*b^12*(a + b*x)^8) + (55*a^9)/(7*b^12*(a + b*x)^7) - (55*a^8)/(2*b^12*(a + b*x)^6) + (66*a^7)/(b^12*(a + b*x)^5) - (231*a^6)/(2*b^12*(a + b*x)^4) + (154*a^5)/(b^12*(a + b*x)^3) - (165*a^4)/(b^12*(a + b*x)^2) + (165*a^3)/(b^12*(a + b*x)) + (55*a^2*log(a + b*x))/b^12, x, 2),
+(x^10/(a + b*x)^10, x/b^10 - a^10/(9*b^11*(a + b*x)^9) + (5*a^9)/(4*b^11*(a + b*x)^8) - (45*a^8)/(7*b^11*(a + b*x)^7) + (20*a^7)/(b^11*(a + b*x)^6) - (42*a^6)/(b^11*(a + b*x)^5) + (63*a^5)/(b^11*(a + b*x)^4) - (70*a^4)/(b^11*(a + b*x)^3) + (60*a^3)/(b^11*(a + b*x)^2) - (45*a^2)/(b^11*(a + b*x)) - (10*a*log(a + b*x))/b^11, x, 2),
+(x^9/(a + b*x)^10, a^9/(9*b^10*(a + b*x)^9) - (9*a^8)/(8*b^10*(a + b*x)^8) + (36*a^7)/(7*b^10*(a + b*x)^7) - (14*a^6)/(b^10*(a + b*x)^6) + (126*a^5)/(5*b^10*(a + b*x)^5) - (63*a^4)/(2*b^10*(a + b*x)^4) + (28*a^3)/(b^10*(a + b*x)^3) - (18*a^2)/(b^10*(a + b*x)^2) + (9*a)/(b^10*(a + b*x)) + log(a + b*x)/b^10, x, 2),
+(x^8/(a + b*x)^10, x^9/(9*a*(a + b*x)^9), x, 1),
+(x^7/(a + b*x)^10, x^8/(9*a*(a + b*x)^9) + x^8/(72*a^2*(a + b*x)^8), x, 2),
+(x^6/(a + b*x)^10, x^7/(9*a*(a + b*x)^9) + x^7/(36*a^2*(a + b*x)^8) + x^7/(252*a^3*(a + b*x)^7), x, 3),
+(x^5/(a + b*x)^10, x^6/(9*a*(a + b*x)^9) + x^6/(24*a^2*(a + b*x)^8) + x^6/(84*a^3*(a + b*x)^7) + x^6/(504*a^4*(a + b*x)^6), x, 4),
+(x^4/(a + b*x)^10, -(a^4/(9*b^5*(a + b*x)^9)) + a^3/(2*b^5*(a + b*x)^8) - (6*a^2)/(7*b^5*(a + b*x)^7) + (2*a)/(3*b^5*(a + b*x)^6) - 1/(5*b^5*(a + b*x)^5), x, 2),
+(x^3/(a + b*x)^10, a^3/(9*b^4*(a + b*x)^9) - (3*a^2)/(8*b^4*(a + b*x)^8) + (3*a)/(7*b^4*(a + b*x)^7) - 1/(6*b^4*(a + b*x)^6), x, 2),
+(x^2/(a + b*x)^10, -(a^2/(9*b^3*(a + b*x)^9)) + a/(4*b^3*(a + b*x)^8) - 1/(7*b^3*(a + b*x)^7), x, 2),
+(x^1/(a + b*x)^10, a/(9*b^2*(a + b*x)^9) - 1/(8*b^2*(a + b*x)^8), x, 2),
+(x^0/(a + b*x)^10, -(1/(9*b*(a + b*x)^9)), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x)^10), 1/(9*a*(a + b*x)^9) + 1/(8*a^2*(a + b*x)^8) + 1/(7*a^3*(a + b*x)^7) + 1/(6*a^4*(a + b*x)^6) + 1/(5*a^5*(a + b*x)^5) + 1/(4*a^6*(a + b*x)^4) + 1/(3*a^7*(a + b*x)^3) + 1/(2*a^8*(a + b*x)^2) + 1/(a^9*(a + b*x)) + log(x)/a^10 - log(a + b*x)/a^10, x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x)^10), -(1/(a^10*x)) - b/(9*a^2*(a + b*x)^9) - b/(4*a^3*(a + b*x)^8) - (3*b)/(7*a^4*(a + b*x)^7) - (2*b)/(3*a^5*(a + b*x)^6) - b/(a^6*(a + b*x)^5) - (3*b)/(2*a^7*(a + b*x)^4) - (7*b)/(3*a^8*(a + b*x)^3) - (4*b)/(a^9*(a + b*x)^2) - (9*b)/(a^10*(a + b*x)) - (10*b*log(x))/a^11 + (10*b*log(a + b*x))/a^11, x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x)^10), -(1/(2*a^10*x^2)) + (10*b)/(a^11*x) + b^2/(9*a^3*(a + b*x)^9) + (3*b^2)/(8*a^4*(a + b*x)^8) + (6*b^2)/(7*a^5*(a + b*x)^7) + (5*b^2)/(3*a^6*(a + b*x)^6) + (3*b^2)/(a^7*(a + b*x)^5) + (21*b^2)/(4*a^8*(a + b*x)^4) + (28*b^2)/(3*a^9*(a + b*x)^3) + (18*b^2)/(a^10*(a + b*x)^2) + (45*b^2)/(a^11*(a + b*x)) + (55*b^2*log(x))/a^12 - (55*b^2*log(a + b*x))/a^12, x, 2),
+(1/(x^4*(a + b*x)^10), -(1/(3*a^10*x^3)) + (5*b)/(a^11*x^2) - (55*b^2)/(a^12*x) - b^3/(9*a^4*(a + b*x)^9) - b^3/(2*a^5*(a + b*x)^8) - (10*b^3)/(7*a^6*(a + b*x)^7) - (10*b^3)/(3*a^7*(a + b*x)^6) - (7*b^3)/(a^8*(a + b*x)^5) - (14*b^3)/(a^9*(a + b*x)^4) - (28*b^3)/(a^10*(a + b*x)^3) - (60*b^3)/(a^11*(a + b*x)^2) - (165*b^3)/(a^12*(a + b*x)) - (220*b^3*log(x))/a^13 + (220*b^3*log(a + b*x))/a^13, x, 2),
+
+
+((a + b*x)^12/x^10, -(a^12/(9*x^9)) - (3*a^11*b)/(2*x^8) - (66*a^10*b^2)/(7*x^7) - (110*a^9*b^3)/(3*x^6) - (99*a^8*b^4)/x^5 - (198*a^7*b^5)/x^4 - (308*a^6*b^6)/x^3 - (396*a^5*b^7)/x^2 - (495*a^4*b^8)/x + 66*a^2*b^10*x + 6*a*b^11*x^2 + (b^12*x^3)/3 + 220*a^3*b^9*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^11/x^10, -(a^11/(9*x^9)) - (11*a^10*b)/(8*x^8) - (55*a^9*b^2)/(7*x^7) - (55*a^8*b^3)/(2*x^6) - (66*a^7*b^4)/x^5 - (231*a^6*b^5)/(2*x^4) - (154*a^5*b^6)/x^3 - (165*a^4*b^7)/x^2 - (165*a^3*b^8)/x + 11*a*b^10*x + (b^11*x^2)/2 + 55*a^2*b^9*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^10/x^10, -(a^10/(9*x^9)) - (5*a^9*b)/(4*x^8) - (45*a^8*b^2)/(7*x^7) - (20*a^7*b^3)/x^6 - (42*a^6*b^4)/x^5 - (63*a^5*b^5)/x^4 - (70*a^4*b^6)/x^3 - (60*a^3*b^7)/x^2 - (45*a^2*b^8)/x + b^10*x + 10*a*b^9*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^9/x^10, -(a^9/(9*x^9)) - (9*a^8*b)/(8*x^8) - (36*a^7*b^2)/(7*x^7) - (14*a^6*b^3)/x^6 - (126*a^5*b^4)/(5*x^5) - (63*a^4*b^5)/(2*x^4) - (28*a^3*b^6)/x^3 - (18*a^2*b^7)/x^2 - (9*a*b^8)/x + b^9*log(x), x, 2),
+((a + b*x)^8/x^10, -((a + b*x)^9/(9*a*x^9)), x, 1),
+((a + b*x)^7/x^10, -((a + b*x)^8/(9*a*x^9)) + (b*(a + b*x)^8)/(72*a^2*x^8), x, 2),
+((a + b*x)^6/x^10, -((a + b*x)^7/(9*a*x^9)) + (b*(a + b*x)^7)/(36*a^2*x^8) - (b^2*(a + b*x)^7)/(252*a^3*x^7), x, 3),
+((a + b*x)^5/x^10, -(a^5/(9*x^9)) - (5*a^4*b)/(8*x^8) - (10*a^3*b^2)/(7*x^7) - (5*a^2*b^3)/(3*x^6) - (a*b^4)/x^5 - b^5/(4*x^4), x, 2),
+((a + b*x)^4/x^10, -(a^4/(9*x^9)) - (a^3*b)/(2*x^8) - (6*a^2*b^2)/(7*x^7) - (2*a*b^3)/(3*x^6) - b^4/(5*x^5), x, 2),
+((a + b*x)^3/x^10, -(a^3/(9*x^9)) - (3*a^2*b)/(8*x^8) - (3*a*b^2)/(7*x^7) - b^3/(6*x^6), x, 2),
+((a + b*x)^2/x^10, -(a^2/(9*x^9)) - (a*b)/(4*x^8) - b^2/(7*x^7), x, 2),
+((a + b*x)^1/x^10, -(a/(9*x^9)) - b/(8*x^8), x, 2),
+((a + b*x)^0/x^10, -(1/(9*x^9)), x, 1),
+(1/((a + b*x)^1*x^10), -(1/(9*a*x^9)) + b/(8*a^2*x^8) - b^2/(7*a^3*x^7) + b^3/(6*a^4*x^6) - b^4/(5*a^5*x^5) + b^5/(4*a^6*x^4) - b^6/(3*a^7*x^3) + b^7/(2*a^8*x^2) - b^8/(a^9*x) - (b^9*log(x))/a^10 + (b^9*log(a + b*x))/a^10, x, 2),
+(1/((a + b*x)^2*x^10), -(1/(9*a^2*x^9)) + b/(4*a^3*x^8) - (3*b^2)/(7*a^4*x^7) + (2*b^3)/(3*a^5*x^6) - b^4/(a^6*x^5) + (3*b^5)/(2*a^7*x^4) - (7*b^6)/(3*a^8*x^3) + (4*b^7)/(a^9*x^2) - (9*b^8)/(a^10*x) - b^9/(a^10*(a + b*x)) - (10*b^9*log(x))/a^11 + (10*b^9*log(a + b*x))/a^11, x, 2),
+(1/((a + b*x)^3*x^10), -(1/(9*a^3*x^9)) + (3*b)/(8*a^4*x^8) - (6*b^2)/(7*a^5*x^7) + (5*b^3)/(3*a^6*x^6) - (3*b^4)/(a^7*x^5) + (21*b^5)/(4*a^8*x^4) - (28*b^6)/(3*a^9*x^3) + (18*b^7)/(a^10*x^2) - (45*b^8)/(a^11*x) - b^9/(2*a^10*(a + b*x)^2) - (10*b^9)/(a^11*(a + b*x)) - (55*b^9*log(x))/a^12 + (55*b^9*log(a + b*x))/a^12, x, 2),
+
+
+(1/(x^1*(2 + 3*x)), log(x)/2 - (1//2)*log(2 + 3*x), x, 3),
+(1/(x^1*(4 + 6*x)), log(x)/4 - (1//4)*log(2 + 3*x), x, 3),
+(1/(x^2*(4 + 6*x)), -(1/(4*x)) - (3*log(x))/8 + (3//8)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(1/(x^3*(4 + 6*x)), -(1/(8*x^2)) + 3/(8*x) + (9*log(x))/16 - (9//16)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(1/(x^4*(4 + 6*x)), -(1/(12*x^3)) + 3/(16*x^2) - 9/(16*x) - (27*log(x))/32 + (27//32)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(1/(x^5*(4 + 6*x)), -(1/(16*x^4)) + 1/(8*x^3) - 9/(32*x^2) + 27/(32*x) + (81*log(x))/64 - (81//64)*log(2 + 3*x), x, 2),
+
+
+(1/(x^1*(4 + 6*x)^2), 1/(8*(2 + 3*x)) + log(x)/16 - (1//16)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(1/(x^2*(4 + 6*x)^2), -(1/(16*x)) - 3/(16*(2 + 3*x)) - (3*log(x))/16 + (3//16)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(1/(x^3*(4 + 6*x)^2), -(1/(32*x^2)) + 3/(16*x) + 9/(32*(2 + 3*x)) + (27*log(x))/64 - (27//64)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(1/(x^4*(4 + 6*x)^2), -(1/(48*x^3)) + 3/(32*x^2) - 27/(64*x) - 27/(64*(2 + 3*x)) - (27*log(x))/32 + (27//32)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(1/(x^5*(4 + 6*x)^2), -(1/(64*x^4)) + 1/(16*x^3) - 27/(128*x^2) + 27/(32*x) + 81/(128*(2 + 3*x)) + (405*log(x))/256 - (405//256)*log(2 + 3*x), x, 2),
+
+
+(1/(x^1*(4 + 6*x)^3), 1/(32*(2 + 3*x)^2) + 1/(32*(2 + 3*x)) + log(x)/64 - (1//64)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(1/(x^2*(4 + 6*x)^3), -(1/(64*x)) - 3/(64*(2 + 3*x)^2) - 3/(32*(2 + 3*x)) - (9*log(x))/128 + (9//128)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(1/(x^3*(4 + 6*x)^3), -(1/(128*x^2)) + 9/(128*x) + 9/(128*(2 + 3*x)^2) + 27/(128*(2 + 3*x)) + (27*log(x))/128 - (27//128)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(1/(x^4*(4 + 6*x)^3), -(1/(192*x^3)) + 9/(256*x^2) - 27/(128*x) - 27/(256*(2 + 3*x)^2) - 27/(64*(2 + 3*x)) - (135*log(x))/256 + (135//256)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(1/(x^5*(4 + 6*x)^3), -(1/(256*x^4)) + 3/(128*x^3) - 27/(256*x^2) + 135/(256*x) + 81/(512*(2 + 3*x)^2) + 405/(512*(2 + 3*x)) + (1215*log(x))/1024 - (1215*log(2 + 3*x))/1024, x, 2),
+
+
+# Factor content out of denominator before including in Log?
+(1/(2 + 2*x), (1//2)*log(1 + x), x, 1),
+(1/(4 - 6*x), (-(1//6))*log(2 - 3*x), x, 1),
+(1/(a + sqrt(a)*x), log(sqrt(a) + x)/sqrt(a), x, 1),
+(1/(a + sqrt(-a)*x), log(a + sqrt(-a)*x)/sqrt(-a), x, 1),
+(1/(a^2 + sqrt(-a)*x), log(a^2 + sqrt(-a)*x)/sqrt(-a), x, 1),
+(1/(a^3 + sqrt(-a)*x), log(a^3 + sqrt(-a)*x)/sqrt(-a), x, 1),
+(1/(1/a + sqrt(-a)*x), log(1 - (-a)^(3//2)*x)/sqrt(-a), x, 1),
+(1/(1/a^2 + sqrt(-a)*x), log(1 + (-a)^(5//2)*x)/sqrt(-a), x, 1),
+
+# Integrands of the form 1/(x^m*(a+b*x)) where m>0 is an integer and a^2=1
+(1/(x*(1 + b*x)), log(x) - log(1 + b*x), x, 3),
+(1/(x*(-1 + b*x)), -log(x) + log(1 - b*x), x, 3),
+(1/(x^2*(1 + b*x)), -(1/x) - b*log(x) + b*log(1 + b*x), x, 2),
+(1/(x^2*(-1 + b*x)), 1/x - b*log(x) + b*log(1 - b*x), x, 2),
+
+# The b*Log[x] terms cannot cancel if ArcTanh[1+2*b*x] is returned instead of Logs!
+(b/x + 1/(x^2*(1 + b*x)), -(1/x) + b*log(1 + b*x), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x)^(n/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(x^3*sqrt(a + b*x), -((2*a^3*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^4)) + (6*a^2*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^4) - (6*a*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^4) + (2*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^4), x, 2),
+(x^2*sqrt(a + b*x), (2*a^2*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^3) - (4*a*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^3) + (2*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^3), x, 2),
+(x^1*sqrt(a + b*x), -((2*a*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^2)) + (2*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^2), x, 2),
+(x^0*sqrt(a + b*x), (2*(a + b*x)^(3//2))/(3*b), x, 1),
+(sqrt(a + b*x)/x^1, 2*sqrt(a + b*x) - 2*sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 3),
+(sqrt(a + b*x)/x^2, -(sqrt(a + b*x)/x) - (b*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 3),
+(sqrt(a + b*x)/x^3, -(sqrt(a + b*x)/(2*x^2)) - (b*sqrt(a + b*x))/(4*a*x) + (b^2*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x)/x^4, -(sqrt(a + b*x)/(3*x^3)) - (b*sqrt(a + b*x))/(12*a*x^2) + (b^2*sqrt(a + b*x))/(8*a^2*x) - (b^3*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)), x, 5),
+
+
+(x^3*(a + b*x)^(3//2), -((2*a^3*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^4)) + (6*a^2*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^4) - (2*a*(a + b*x)^(9//2))/(3*b^4) + (2*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^4), x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^(3//2), (2*a^2*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^3) - (4*a*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^3) + (2*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^3), x, 2),
+(x^1*(a + b*x)^(3//2), -((2*a*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^2)) + (2*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^2), x, 2),
+(x^0*(a + b*x)^(3//2), (2*(a + b*x)^(5//2))/(5*b), x, 1),
+((a + b*x)^(3//2)/x^1, 2*a*sqrt(a + b*x) + (2//3)*(a + b*x)^(3//2) - 2*a^(3//2)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 4),
+((a + b*x)^(3//2)/x^2, 3*b*sqrt(a + b*x) - (a + b*x)^(3//2)/x - 3*sqrt(a)*b*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 4),
+((a + b*x)^(3//2)/x^3, -((3*b*sqrt(a + b*x))/(4*x)) - (a + b*x)^(3//2)/(2*x^2) - (3*b^2*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)), x, 4),
+((a + b*x)^(3//2)/x^4, -((b*sqrt(a + b*x))/(4*x^2)) - (b^2*sqrt(a + b*x))/(8*a*x) - (a + b*x)^(3//2)/(3*x^3) + (b^3*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(8*a^(3//2)), x, 5),
+
+
+(x^3*(a + b*x)^(5//2), -((2*a^3*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^4)) + (2*a^2*(a + b*x)^(9//2))/(3*b^4) - (6*a*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^4) + (2*(a + b*x)^(13//2))/(13*b^4), x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^(5//2), (2*a^2*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^3) - (4*a*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^3) + (2*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^3), x, 2),
+(x^1*(a + b*x)^(5//2), -((2*a*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^2)) + (2*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^2), x, 2),
+(x^0*(a + b*x)^(5//2), (2*(a + b*x)^(7//2))/(7*b), x, 1),
+((a + b*x)^(5//2)/x^1, 2*a^2*sqrt(a + b*x) + (2//3)*a*(a + b*x)^(3//2) + (2//5)*(a + b*x)^(5//2) - 2*a^(5//2)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 5),
+((a + b*x)^(5//2)/x^2, 5*a*b*sqrt(a + b*x) + (5//3)*b*(a + b*x)^(3//2) - (a + b*x)^(5//2)/x - 5*a^(3//2)*b*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 5),
+((a + b*x)^(5//2)/x^3, (15//4)*b^2*sqrt(a + b*x) - (5*b*(a + b*x)^(3//2))/(4*x) - (a + b*x)^(5//2)/(2*x^2) - (15//4)*sqrt(a)*b^2*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 5),
+((a + b*x)^(5//2)/x^4, -((5*b^2*sqrt(a + b*x))/(8*x)) - (5*b*(a + b*x)^(3//2))/(12*x^2) - (a + b*x)^(5//2)/(3*x^3) - (5*b^3*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(8*sqrt(a)), x, 5),
+((a + b*x)^(5//2)/x^5, -((5*b^2*sqrt(a + b*x))/(32*x^2)) - (5*b^3*sqrt(a + b*x))/(64*a*x) - (5*b*(a + b*x)^(3//2))/(24*x^3) - (a + b*x)^(5//2)/(4*x^4) + (5*b^4*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(64*a^(3//2)), x, 6),
+
+
+(x^7*(a + b*x)^(9//2), -((2*a^7*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^8)) + (14*a^6*(a + b*x)^(13//2))/(13*b^8) - (14*a^5*(a + b*x)^(15//2))/(5*b^8) + (70*a^4*(a + b*x)^(17//2))/(17*b^8) - (70*a^3*(a + b*x)^(19//2))/(19*b^8) + (2*a^2*(a + b*x)^(21//2))/b^8 - (14*a*(a + b*x)^(23//2))/(23*b^8) + (2*(a + b*x)^(25//2))/(25*b^8), x, 2),
+(x^6*(a + b*x)^(9//2), (2*a^6*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^7) - (12*a^5*(a + b*x)^(13//2))/(13*b^7) + (2*a^4*(a + b*x)^(15//2))/b^7 - (40*a^3*(a + b*x)^(17//2))/(17*b^7) + (30*a^2*(a + b*x)^(19//2))/(19*b^7) - (4*a*(a + b*x)^(21//2))/(7*b^7) + (2*(a + b*x)^(23//2))/(23*b^7), x, 2),
+(x^5*(a + b*x)^(9//2), -((2*a^5*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^6)) + (10*a^4*(a + b*x)^(13//2))/(13*b^6) - (4*a^3*(a + b*x)^(15//2))/(3*b^6) + (20*a^2*(a + b*x)^(17//2))/(17*b^6) - (10*a*(a + b*x)^(19//2))/(19*b^6) + (2*(a + b*x)^(21//2))/(21*b^6), x, 2),
+(x^4*(a + b*x)^(9//2), (2*a^4*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^5) - (8*a^3*(a + b*x)^(13//2))/(13*b^5) + (4*a^2*(a + b*x)^(15//2))/(5*b^5) - (8*a*(a + b*x)^(17//2))/(17*b^5) + (2*(a + b*x)^(19//2))/(19*b^5), x, 2),
+(x^3*(a + b*x)^(9//2), -((2*a^3*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^4)) + (6*a^2*(a + b*x)^(13//2))/(13*b^4) - (2*a*(a + b*x)^(15//2))/(5*b^4) + (2*(a + b*x)^(17//2))/(17*b^4), x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^(9//2), (2*a^2*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^3) - (4*a*(a + b*x)^(13//2))/(13*b^3) + (2*(a + b*x)^(15//2))/(15*b^3), x, 2),
+(x^1*(a + b*x)^(9//2), -((2*a*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^2)) + (2*(a + b*x)^(13//2))/(13*b^2), x, 2),
+(x^0*(a + b*x)^(9//2), (2*(a + b*x)^(11//2))/(11*b), x, 1),
+((a + b*x)^(9//2)/x^1, 2*a^4*sqrt(a + b*x) + (2//3)*a^3*(a + b*x)^(3//2) + (2//5)*a^2*(a + b*x)^(5//2) + (2//7)*a*(a + b*x)^(7//2) + (2//9)*(a + b*x)^(9//2) - 2*a^(9//2)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 7),
+((a + b*x)^(9//2)/x^2, 9*a^3*b*sqrt(a + b*x) + 3*a^2*b*(a + b*x)^(3//2) + (9//5)*a*b*(a + b*x)^(5//2) + (9//7)*b*(a + b*x)^(7//2) - (a + b*x)^(9//2)/x - 9*a^(7//2)*b*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 7),
+((a + b*x)^(9//2)/x^3, (63//4)*a^2*b^2*sqrt(a + b*x) + (21//4)*a*b^2*(a + b*x)^(3//2) + (63//20)*b^2*(a + b*x)^(5//2) - (9*b*(a + b*x)^(7//2))/(4*x) - (a + b*x)^(9//2)/(2*x^2) - (63//4)*a^(5//2)*b^2*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 7),
+((a + b*x)^(9//2)/x^4, (105//8)*a*b^3*sqrt(a + b*x) + (35//8)*b^3*(a + b*x)^(3//2) - (21*b^2*(a + b*x)^(5//2))/(8*x) - (3*b*(a + b*x)^(7//2))/(4*x^2) - (a + b*x)^(9//2)/(3*x^3) - (105//8)*a^(3//2)*b^3*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 7),
+((a + b*x)^(9//2)/x^5, (315//64)*b^4*sqrt(a + b*x) - (105*b^3*(a + b*x)^(3//2))/(64*x) - (21*b^2*(a + b*x)^(5//2))/(32*x^2) - (3*b*(a + b*x)^(7//2))/(8*x^3) - (a + b*x)^(9//2)/(4*x^4) - (315//64)*sqrt(a)*b^4*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 7),
+((a + b*x)^(9//2)/x^6, -((63*b^4*sqrt(a + b*x))/(128*x)) - (21*b^3*(a + b*x)^(3//2))/(64*x^2) - (21*b^2*(a + b*x)^(5//2))/(80*x^3) - (9*b*(a + b*x)^(7//2))/(40*x^4) - (a + b*x)^(9//2)/(5*x^5) - (63*b^5*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(128*sqrt(a)), x, 7),
+((a + b*x)^(9//2)/x^7, -((21*b^4*sqrt(a + b*x))/(256*x^2)) - (21*b^5*sqrt(a + b*x))/(512*a*x) - (7*b^3*(a + b*x)^(3//2))/(64*x^3) - (21*b^2*(a + b*x)^(5//2))/(160*x^4) - (3*b*(a + b*x)^(7//2))/(20*x^5) - (a + b*x)^(9//2)/(6*x^6) + (21*b^6*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(512*a^(3//2)), x, 8),
+((a + b*x)^(9//2)/x^8, -((3*b^4*sqrt(a + b*x))/(128*x^3)) - (3*b^5*sqrt(a + b*x))/(512*a*x^2) + (9*b^6*sqrt(a + b*x))/(1024*a^2*x) - (3*b^3*(a + b*x)^(3//2))/(64*x^4) - (3*b^2*(a + b*x)^(5//2))/(40*x^5) - (3*b*(a + b*x)^(7//2))/(28*x^6) - (a + b*x)^(9//2)/(7*x^7) - (9*b^7*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(1024*a^(5//2)), x, 9),
+
+
+(sqrt(-a + b*x)/x, 2*sqrt(-a + b*x) - 2*sqrt(a)*atan(sqrt(-a + b*x)/sqrt(a)), x, 3),
+(sqrt(-a + b*x)/x^2, -(sqrt(-a + b*x)/x) + (b*atan(sqrt(-a + b*x)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 3),
+(sqrt(-a + b*x)/x^3, -(sqrt(-a + b*x)/(2*x^2)) + (b*sqrt(-a + b*x))/(4*a*x) + (b^2*atan(sqrt(-a + b*x)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)), x, 4),
+
+
+((-a + b*x)^(3//2)/x, -2*a*sqrt(-a + b*x) + (2//3)*(-a + b*x)^(3//2) + 2*a^(3//2)*atan(sqrt(-a + b*x)/sqrt(a)), x, 4),
+((-a + b*x)^(3//2)/x^2, 3*b*sqrt(-a + b*x) - (-a + b*x)^(3//2)/x - 3*sqrt(a)*b*atan(sqrt(-a + b*x)/sqrt(a)), x, 4),
+((-a + b*x)^(3//2)/x^3, -((3*b*sqrt(-a + b*x))/(4*x)) - (-a + b*x)^(3//2)/(2*x^2) + (3*b^2*atan(sqrt(-a + b*x)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)), x, 4),
+
+
+((-a + b*x)^(5//2)/x, 2*a^2*sqrt(-a + b*x) - (2//3)*a*(-a + b*x)^(3//2) + (2//5)*(-a + b*x)^(5//2) - 2*a^(5//2)*atan(sqrt(-a + b*x)/sqrt(a)), x, 5),
+((-a + b*x)^(5//2)/x^2, -5*a*b*sqrt(-a + b*x) + (5//3)*b*(-a + b*x)^(3//2) - (-a + b*x)^(5//2)/x + 5*a^(3//2)*b*atan(sqrt(-a + b*x)/sqrt(a)), x, 5),
+((-a + b*x)^(5//2)/x^3, (15//4)*b^2*sqrt(-a + b*x) - (5*b*(-a + b*x)^(3//2))/(4*x) - (-a + b*x)^(5//2)/(2*x^2) - (15//4)*sqrt(a)*b^2*atan(sqrt(-a + b*x)/sqrt(a)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(x^4/sqrt(a + b*x), (2*a^4*sqrt(a + b*x))/b^5 - (8*a^3*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^5) + (12*a^2*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^5) - (8*a*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^5) + (2*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^5), x, 2),
+(x^3/sqrt(a + b*x), -((2*a^3*sqrt(a + b*x))/b^4) + (2*a^2*(a + b*x)^(3//2))/b^4 - (6*a*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^4) + (2*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^4), x, 2),
+(x^2/sqrt(a + b*x), (2*a^2*sqrt(a + b*x))/b^3 - (4*a*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^3) + (2*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^3), x, 2),
+(x^1/sqrt(a + b*x), -((2*a*sqrt(a + b*x))/b^2) + (2*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^2), x, 2),
+(x^0/sqrt(a + b*x), (2*sqrt(a + b*x))/b, x, 1),
+(1/(x^1*sqrt(a + b*x)), (-2*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 2),
+(1/(x^2*sqrt(a + b*x)), -(sqrt(a + b*x)/(a*x)) + (b*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 3),
+(1/(x^3*sqrt(a + b*x)), -(sqrt(a + b*x)/(2*a*x^2)) + (3*b*sqrt(a + b*x))/(4*a^2*x) - (3*b^2*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(4*a^(5//2)), x, 4),
+(1/(x^4*sqrt(a + b*x)), -(sqrt(a + b*x)/(3*a*x^3)) + (5*b*sqrt(a + b*x))/(12*a^2*x^2) - (5*b^2*sqrt(a + b*x))/(8*a^3*x) + (5*b^3*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(8*a^(7//2)), x, 5),
+
+
+(x^4/(a + b*x)^(3//2), -((2*a^4)/(b^5*sqrt(a + b*x))) - (8*a^3*sqrt(a + b*x))/b^5 + (4*a^2*(a + b*x)^(3//2))/b^5 - (8*a*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^5) + (2*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^5), x, 2),
+(x^3/(a + b*x)^(3//2), (2*a^3)/(b^4*sqrt(a + b*x)) + (6*a^2*sqrt(a + b*x))/b^4 - (2*a*(a + b*x)^(3//2))/b^4 + (2*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^4), x, 2),
+(x^2/(a + b*x)^(3//2), -((2*a^2)/(b^3*sqrt(a + b*x))) - (4*a*sqrt(a + b*x))/b^3 + (2*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^3), x, 2),
+(x^1/(a + b*x)^(3//2), (2*a)/(b^2*sqrt(a + b*x)) + (2*sqrt(a + b*x))/b^2, x, 2),
+(x^0/(a + b*x)^(3//2), -(2/(b*sqrt(a + b*x))), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x)^(3//2)), 2/(a*sqrt(a + b*x)) - (2*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x)^(3//2)), -((3*b)/(a^2*sqrt(a + b*x))) - 1/(a*x*sqrt(a + b*x)) + (3*b*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 4),
+(1/(x^3*(a + b*x)^(3//2)), (15*b^2)/(4*a^3*sqrt(a + b*x)) - 1/(2*a*x^2*sqrt(a + b*x)) + (5*b)/(4*a^2*x*sqrt(a + b*x)) - (15*b^2*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(4*a^(7//2)), x, 5),
+
+
+(x^4/(a + b*x)^(5//2), -((2*a^4)/(3*b^5*(a + b*x)^(3//2))) + (8*a^3)/(b^5*sqrt(a + b*x)) + (12*a^2*sqrt(a + b*x))/b^5 - (8*a*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^5) + (2*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^5), x, 2),
+(x^3/(a + b*x)^(5//2), (2*a^3)/(3*b^4*(a + b*x)^(3//2)) - (6*a^2)/(b^4*sqrt(a + b*x)) - (6*a*sqrt(a + b*x))/b^4 + (2*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^4), x, 2),
+(x^2/(a + b*x)^(5//2), -((2*a^2)/(3*b^3*(a + b*x)^(3//2))) + (4*a)/(b^3*sqrt(a + b*x)) + (2*sqrt(a + b*x))/b^3, x, 2),
+(x^1/(a + b*x)^(5//2), (2*a)/(3*b^2*(a + b*x)^(3//2)) - 2/(b^2*sqrt(a + b*x)), x, 2),
+(x^0/(a + b*x)^(5//2), -(2/(3*b*(a + b*x)^(3//2))), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x)^(5//2)), 2/(3*a*(a + b*x)^(3//2)) + 2/(a^2*sqrt(a + b*x)) - (2*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 4),
+(1/(x^2*(a + b*x)^(5//2)), -((5*b)/(3*a^2*(a + b*x)^(3//2))) - 1/(a*x*(a + b*x)^(3//2)) - (5*b)/(a^3*sqrt(a + b*x)) + (5*b*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/a^(7//2), x, 5),
+(1/(x^3*(a + b*x)^(5//2)), (35*b^2)/(12*a^3*(a + b*x)^(3//2)) - 1/(2*a*x^2*(a + b*x)^(3//2)) + (7*b)/(4*a^2*x*(a + b*x)^(3//2)) + (35*b^2)/(4*a^4*sqrt(a + b*x)) - (35*b^2*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(4*a^(9//2)), x, 6),
+
+
+(1/(x^1*sqrt(-a + b*x)), (2*atan(sqrt(-a + b*x)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 2),
+(1/(x^2*sqrt(-a + b*x)), sqrt(-a + b*x)/(a*x) + (b*atan(sqrt(-a + b*x)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 3),
+(1/(x^3*sqrt(-a + b*x)), sqrt(-a + b*x)/(2*a*x^2) + (3*b*sqrt(-a + b*x))/(4*a^2*x) + (3*b^2*atan(sqrt(-a + b*x)/sqrt(a)))/(4*a^(5//2)), x, 4),
+
+
+(1/(x^1*(-a + b*x)^(3//2)), -2/(a*sqrt(-a + b*x)) - (2*atan(sqrt(-a + b*x)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 3),
+(1/(x^2*(-a + b*x)^(3//2)), -((3*b)/(a^2*sqrt(-a + b*x))) + 1/(a*x*sqrt(-a + b*x)) - (3*b*atan(sqrt(-a + b*x)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 4),
+(1/(x^3*(-a + b*x)^(3//2)), -((15*b^2)/(4*a^3*sqrt(-a + b*x))) + 1/(2*a*x^2*sqrt(-a + b*x)) + (5*b)/(4*a^2*x*sqrt(-a + b*x)) - (15*b^2*atan(sqrt(-a + b*x)/sqrt(a)))/(4*a^(7//2)), x, 5),
+
+
+(1/(x^1*(-a + b*x)^(5//2)), -(2/(3*a*(-a + b*x)^(3//2))) + 2/(a^2*sqrt(-a + b*x)) + (2*atan(sqrt(-a + b*x)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 4),
+(1/(x^2*(-a + b*x)^(5//2)), -((5*b)/(3*a^2*(-a + b*x)^(3//2))) + 1/(a*x*(-a + b*x)^(3//2)) + (5*b)/(a^3*sqrt(-a + b*x)) + (5*b*atan(sqrt(-a + b*x)/sqrt(a)))/a^(7//2), x, 5),
+(1/(x^3*(-a + b*x)^(5//2)), -((35*b^2)/(12*a^3*(-a + b*x)^(3//2))) + 1/(2*a*x^2*(-a + b*x)^(3//2)) + (7*b)/(4*a^2*x*(-a + b*x)^(3//2)) + (35*b^2)/(4*a^4*sqrt(-a + b*x)) + (35*b^2*atan(sqrt(-a + b*x)/sqrt(a)))/(4*a^(9//2)), x, 6),
+
+
+((x^(-1 + m)*(2*a*m + b*(-1 + 2*m)*x))/(2*(a + b*x)^(3//2)), x^m/sqrt(a + b*x), x, 2),
+(-((b*x^m)/(2*(a + b*x)^(3//2))) + (m*x^(-1 + m))/sqrt(a + b*x), x^m/sqrt(a + b*x), x, -5),
+
+
+(x^((1 - n)/2 + (1//2)*(-3 + n))/sqrt(a + b*x), -((2*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/sqrt(a)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x)^(n/3)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(x^3*(a + b*x)^(1//3), (-3*a^3*(a + b*x)^(4//3))/(4*b^4) + (9*a^2*(a + b*x)^(7//3))/(7*b^4) - (9*a*(a + b*x)^(10//3))/(10*b^4) + (3*(a + b*x)^(13//3))/(13*b^4), x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^(1//3), (3*a^2*(a + b*x)^(4//3))/(4*b^3) - (6*a*(a + b*x)^(7//3))/(7*b^3) + (3*(a + b*x)^(10//3))/(10*b^3), x, 2),
+(x*(a + b*x)^(1//3), (-3*a*(a + b*x)^(4//3))/(4*b^2) + (3*(a + b*x)^(7//3))/(7*b^2), x, 2),
+((a + b*x)^(1//3), (3*(a + b*x)^(4//3))/(4*b), x, 1),
+((a + b*x)^(1//3)/x, 3*(a + b*x)^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//3)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))) - (1//2)*a^(1//3)*log(x) + (3//2)*a^(1//3)*log(a^(1//3) - (a + b*x)^(1//3)), x, 5),
+((a + b*x)^(1//3)/x^2, -((a + b*x)^(1//3)/x) - (b*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)) - (b*log(x))/(6*a^(2//3)) + (b*log(a^(1//3) - (a + b*x)^(1//3)))/(2*a^(2//3)), x, 5),
+((a + b*x)^(1//3)/x^3, -((a + b*x)^(1//3)/(2*x^2)) - (b*(a + b*x)^(1//3))/(6*a*x) + (b^2*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)) + (b^2*log(x))/(18*a^(5//3)) - (b^2*log(a^(1//3) - (a + b*x)^(1//3)))/(6*a^(5//3)), x, 6),
+
+
+(x^3*(a + b*x)^(2//3), (-3*a^3*(a + b*x)^(5//3))/(5*b^4) + (9*a^2*(a + b*x)^(8//3))/(8*b^4) - (9*a*(a + b*x)^(11//3))/(11*b^4) + (3*(a + b*x)^(14//3))/(14*b^4), x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^(2//3), (3*a^2*(a + b*x)^(5//3))/(5*b^3) - (3*a*(a + b*x)^(8//3))/(4*b^3) + (3*(a + b*x)^(11//3))/(11*b^3), x, 2),
+(x*(a + b*x)^(2//3), (-3*a*(a + b*x)^(5//3))/(5*b^2) + (3*(a + b*x)^(8//3))/(8*b^2), x, 2),
+((a + b*x)^(2//3), (3*(a + b*x)^(5//3))/(5*b), x, 1),
+((a + b*x)^(2//3)/x, (3//2)*(a + b*x)^(2//3) + sqrt(3)*a^(2//3)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))) - (1//2)*a^(2//3)*log(x) + (3//2)*a^(2//3)*log(a^(1//3) - (a + b*x)^(1//3)), x, 5),
+((a + b*x)^(2//3)/x^2, -((a + b*x)^(2//3)/x) + (2*b*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(1//3)) - (b*log(x))/(3*a^(1//3)) + (b*log(a^(1//3) - (a + b*x)^(1//3)))/a^(1//3), x, 5),
+((a + b*x)^(2//3)/x^3, -((a + b*x)^(2//3)/(2*x^2)) - (b*(a + b*x)^(2//3))/(3*a*x) - (b^2*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(4//3)) + (b^2*log(x))/(18*a^(4//3)) - (b^2*log(a^(1//3) - (a + b*x)^(1//3)))/(6*a^(4//3)), x, 6),
+
+
+(x^3*(a + b*x)^(4//3), (-3*a^3*(a + b*x)^(7//3))/(7*b^4) + (9*a^2*(a + b*x)^(10//3))/(10*b^4) - (9*a*(a + b*x)^(13//3))/(13*b^4) + (3*(a + b*x)^(16//3))/(16*b^4), x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^(4//3), (3*a^2*(a + b*x)^(7//3))/(7*b^3) - (3*a*(a + b*x)^(10//3))/(5*b^3) + (3*(a + b*x)^(13//3))/(13*b^3), x, 2),
+(x*(a + b*x)^(4//3), (-3*a*(a + b*x)^(7//3))/(7*b^2) + (3*(a + b*x)^(10//3))/(10*b^2), x, 2),
+((a + b*x)^(4//3), (3*(a + b*x)^(7//3))/(7*b), x, 1),
+((a + b*x)^(4//3)/x, 3*a*(a + b*x)^(1//3) + (3//4)*(a + b*x)^(4//3) - sqrt(3)*a^(4//3)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))) - (1//2)*a^(4//3)*log(x) + (3//2)*a^(4//3)*log(a^(1//3) - (a + b*x)^(1//3)), x, 6),
+((a + b*x)^(4//3)/x^2, 4*b*(a + b*x)^(1//3) - (a + b*x)^(4//3)/x - (4*a^(1//3)*b*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/sqrt(3) - (2//3)*a^(1//3)*b*log(x) + 2*a^(1//3)*b*log(a^(1//3) - (a + b*x)^(1//3)), x, 6),
+((a + b*x)^(4//3)/x^3, -((2*b*(a + b*x)^(1//3))/(3*x)) - (a + b*x)^(4//3)/(2*x^2) - (2*b^2*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(2//3)) - (b^2*log(x))/(9*a^(2//3)) + (b^2*log(a^(1//3) - (a + b*x)^(1//3)))/(3*a^(2//3)), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(x^3/(a + b*x)^(1//3), (-3*a^3*(a + b*x)^(2//3))/(2*b^4) + (9*a^2*(a + b*x)^(5//3))/(5*b^4) - (9*a*(a + b*x)^(8//3))/(8*b^4) + (3*(a + b*x)^(11//3))/(11*b^4), x, 2),
+(x^2/(a + b*x)^(1//3), (3*a^2*(a + b*x)^(2//3))/(2*b^3) - (6*a*(a + b*x)^(5//3))/(5*b^3) + (3*(a + b*x)^(8//3))/(8*b^3), x, 2),
+(x/(a + b*x)^(1//3), (-3*a*(a + b*x)^(2//3))/(2*b^2) + (3*(a + b*x)^(5//3))/(5*b^2), x, 2),
+((a + b*x)^(-1//3), (3*(a + b*x)^(2//3))/(2*b), x, 1),
+(1/(x*(a + b*x)^(1//3)), (sqrt(3)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/a^(1//3) - log(x)/(2*a^(1//3)) + (3*log(a^(1//3) - (a + b*x)^(1//3)))/(2*a^(1//3)), x, 4),
+(1/(x^2*(a + b*x)^(1//3)), -((a + b*x)^(2//3)/(a*x)) - (b*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(4//3)) + (b*log(x))/(6*a^(4//3)) - (b*log(a^(1//3) - (a + b*x)^(1//3)))/(2*a^(4//3)), x, 5),
+(1/(x^3*(a + b*x)^(1//3)), -((a + b*x)^(2//3)/(2*a*x^2)) + (2*b*(a + b*x)^(2//3))/(3*a^2*x) + (2*b^2*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(7//3)) - (b^2*log(x))/(9*a^(7//3)) + (b^2*log(a^(1//3) - (a + b*x)^(1//3)))/(3*a^(7//3)), x, 6),
+
+(x^3/(-a + b*x)^(1//3), (3*a^3*(-a + b*x)^(2//3))/(2*b^4) + (9*a^2*(-a + b*x)^(5//3))/(5*b^4) + (9*a*(-a + b*x)^(8//3))/(8*b^4) + (3*(-a + b*x)^(11//3))/(11*b^4), x, 2),
+(x^2/(-a + b*x)^(1//3), (3*a^2*(-a + b*x)^(2//3))/(2*b^3) + (6*a*(-a + b*x)^(5//3))/(5*b^3) + (3*(-a + b*x)^(8//3))/(8*b^3), x, 2),
+(x/(-a + b*x)^(1//3), (3*a*(-a + b*x)^(2//3))/(2*b^2) + (3*(-a + b*x)^(5//3))/(5*b^2), x, 2),
+((-a + b*x)^(-1//3), (3*(-a + b*x)^(2//3))/(2*b), x, 1),
+(1/(x*(-a + b*x)^(1//3)), -((sqrt(3)*atan((a^(1//3) - 2*(-a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/a^(1//3)) + log(x)/(2*a^(1//3)) - (3*log(a^(1//3) + (-a + b*x)^(1//3)))/(2*a^(1//3)), x, 4),
+(1/(x^2*(-a + b*x)^(1//3)), (-a + b*x)^(2//3)/(a*x) - (b*atan((a^(1//3) - 2*(-a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(4//3)) + (b*log(x))/(6*a^(4//3)) - (b*log(a^(1//3) + (-a + b*x)^(1//3)))/(2*a^(4//3)), x, 5),
+(1/(x^3*(-a + b*x)^(1//3)), (-a + b*x)^(2//3)/(2*a*x^2) + (2*b*(-a + b*x)^(2//3))/(3*a^2*x) - (2*b^2*atan((a^(1//3) - 2*(-a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(7//3)) + (b^2*log(x))/(9*a^(7//3)) - (b^2*log(a^(1//3) + (-a + b*x)^(1//3)))/(3*a^(7//3)), x, 6),
+
+
+(x^3/(a + b*x)^(2//3), (-3*a^3*(a + b*x)^(1//3))/b^4 + (9*a^2*(a + b*x)^(4//3))/(4*b^4) - (9*a*(a + b*x)^(7//3))/(7*b^4) + (3*(a + b*x)^(10//3))/(10*b^4), x, 2),
+(x^2/(a + b*x)^(2//3), (3*a^2*(a + b*x)^(1//3))/b^3 - (3*a*(a + b*x)^(4//3))/(2*b^3) + (3*(a + b*x)^(7//3))/(7*b^3), x, 2),
+(x/(a + b*x)^(2//3), (-3*a*(a + b*x)^(1//3))/b^2 + (3*(a + b*x)^(4//3))/(4*b^2), x, 2),
+((a + b*x)^(-2//3), (3*(a + b*x)^(1//3))/b, x, 1),
+(1/(x*(a + b*x)^(2//3)), -((sqrt(3)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/a^(2//3)) - log(x)/(2*a^(2//3)) + (3*log(a^(1//3) - (a + b*x)^(1//3)))/(2*a^(2//3)), x, 4),
+(1/(x^2*(a + b*x)^(2//3)), -((a + b*x)^(1//3)/(a*x)) + (2*b*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(5//3)) + (b*log(x))/(3*a^(5//3)) - (b*log(a^(1//3) - (a + b*x)^(1//3)))/a^(5//3), x, 5),
+(1/(x^3*(a + b*x)^(2//3)), -((a + b*x)^(1//3)/(2*a*x^2)) + (5*b*(a + b*x)^(1//3))/(6*a^2*x) - (5*b^2*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(8//3)) - (5*b^2*log(x))/(18*a^(8//3)) + (5*b^2*log(a^(1//3) - (a + b*x)^(1//3)))/(6*a^(8//3)), x, 6),
+
+
+(x^3/(a + b*x)^(4//3), (3*a^3)/(b^4*(a + b*x)^(1//3)) + (9*a^2*(a + b*x)^(2//3))/(2*b^4) - (9*a*(a + b*x)^(5//3))/(5*b^4) + (3*(a + b*x)^(8//3))/(8*b^4), x, 2),
+(x^2/(a + b*x)^(4//3), (-3*a^2)/(b^3*(a + b*x)^(1//3)) - (3*a*(a + b*x)^(2//3))/b^3 + (3*(a + b*x)^(5//3))/(5*b^3), x, 2),
+(x/(a + b*x)^(4//3), (3*a)/(b^2*(a + b*x)^(1//3)) + (3*(a + b*x)^(2//3))/(2*b^2), x, 2),
+((a + b*x)^(-4//3), -3/(b*(a + b*x)^(1//3)), x, 1),
+(1/(x*(a + b*x)^(4//3)), 3/(a*(a + b*x)^(1//3)) + (sqrt(3)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/a^(4//3) - log(x)/(2*a^(4//3)) + (3*log(a^(1//3) - (a + b*x)^(1//3)))/(2*a^(4//3)), x, 5),
+(1/(x^2*(a + b*x)^(4//3)), -((4*b)/(a^2*(a + b*x)^(1//3))) - 1/(a*x*(a + b*x)^(1//3)) - (4*b*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(7//3)) + (2*b*log(x))/(3*a^(7//3)) - (2*b*log(a^(1//3) - (a + b*x)^(1//3)))/a^(7//3), x, 6),
+(1/(x^3*(a + b*x)^(4//3)), (14*b^2)/(3*a^3*(a + b*x)^(1//3)) - 1/(2*a*x^2*(a + b*x)^(1//3)) + (7*b)/(6*a^2*x*(a + b*x)^(1//3)) + (14*b^2*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(10//3)) - (7*b^2*log(x))/(9*a^(10//3)) + (7*b^2*log(a^(1//3) - (a + b*x)^(1//3)))/(3*a^(10//3)), x, 7),
+
+
+(1/(x*(a^3 + b^3*x)^(1//3)), (sqrt(3)*atan((a + 2*(a^3 + b^3*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a)))/a - log(x)/(2*a) + (3*log(a - (a^3 + b^3*x)^(1//3)))/(2*a), x, 4),
+(1/(x*(a^3 - b^3*x)^(1//3)), (sqrt(3)*atan((a + 2*(a^3 - b^3*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a)))/a - log(x)/(2*a) + (3*log(a - (a^3 - b^3*x)^(1//3)))/(2*a), x, 4),
+(1/(x*(-a^3 + b^3*x)^(1//3)), -((sqrt(3)*atan((a - 2*(-a^3 + b^3*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a)))/a) + log(x)/(2*a) - (3*log(a + (-a^3 + b^3*x)^(1//3)))/(2*a), x, 4),
+(1/(x*(-a^3 - b^3*x)^(1//3)), -((sqrt(3)*atan((a - 2*(-a^3 - b^3*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a)))/a) + log(x)/(2*a) - (3*log(a + (-a^3 - b^3*x)^(1//3)))/(2*a), x, 4),
+
+
+(1/(x*(a^3 + b^3*x)^(2//3)), -((sqrt(3)*atan((a + 2*(a^3 + b^3*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a)))/a^2) - log(x)/(2*a^2) + (3*log(a - (a^3 + b^3*x)^(1//3)))/(2*a^2), x, 4),
+(1/(x*(a^3 - b^3*x)^(2//3)), -((sqrt(3)*atan((a + 2*(a^3 - b^3*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a)))/a^2) - log(x)/(2*a^2) + (3*log(a - (a^3 - b^3*x)^(1//3)))/(2*a^2), x, 4),
+(1/(x*(-a^3 + b^3*x)^(2//3)), -((sqrt(3)*atan((a - 2*(-a^3 + b^3*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a)))/a^2) - log(x)/(2*a^2) + (3*log(a + (-a^3 + b^3*x)^(1//3)))/(2*a^2), x, 4),
+(1/(x*(-a^3 - b^3*x)^(2//3)), -((sqrt(3)*atan((a - 2*(-a^3 - b^3*x)^(1//3))/(sqrt(3)*a)))/a^2) - log(x)/(2*a^2) + (3*log(a + (-a^3 - b^3*x)^(1//3)))/(2*a^2), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^(m/2) (a+b x)^n
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(x^m*(a + b*x), (a*x^(1 + m))/(1 + m) + (b*x^(2 + m))/(2 + m), x, 2),
+
+(x^(5//2)*(a + b*x), (2//7)*a*x^(7//2) + (2//9)*b*x^(9//2), x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x), (2//5)*a*x^(5//2) + (2//7)*b*x^(7//2), x, 2),
+(sqrt(x)*(a + b*x), (2//3)*a*x^(3//2) + (2//5)*b*x^(5//2), x, 2),
+((a + b*x)/sqrt(x), 2*a*sqrt(x) + (2//3)*b*x^(3//2), x, 2),
+((a + b*x)/x^(3//2), -((2*a)/sqrt(x)) + 2*b*sqrt(x), x, 2),
+((a + b*x)/x^(5//2), -((2*a)/(3*x^(3//2))) - (2*b)/sqrt(x), x, 2),
+
+
+(x^m*(a + b*x)^2, (a^2*x^(1 + m))/(1 + m) + (2*a*b*x^(2 + m))/(2 + m) + (b^2*x^(3 + m))/(3 + m), x, 2),
+
+(x^(5//2)*(a + b*x)^2, (2//7)*a^2*x^(7//2) + (4//9)*a*b*x^(9//2) + (2//11)*b^2*x^(11//2), x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x)^2, (2//5)*a^2*x^(5//2) + (4//7)*a*b*x^(7//2) + (2//9)*b^2*x^(9//2), x, 2),
+(sqrt(x)*(a + b*x)^2, (2//3)*a^2*x^(3//2) + (4//5)*a*b*x^(5//2) + (2//7)*b^2*x^(7//2), x, 2),
+((a + b*x)^2/sqrt(x), 2*a^2*sqrt(x) + (4//3)*a*b*x^(3//2) + (2//5)*b^2*x^(5//2), x, 2),
+((a + b*x)^2/x^(3//2), -((2*a^2)/sqrt(x)) + 4*a*b*sqrt(x) + (2//3)*b^2*x^(3//2), x, 2),
+((a + b*x)^2/x^(5//2), -((2*a^2)/(3*x^(3//2))) - (4*a*b)/sqrt(x) + 2*b^2*sqrt(x), x, 2),
+
+
+(x^m*(a + b*x)^3, (a^3*x^(1 + m))/(1 + m) + (3*a^2*b*x^(2 + m))/(2 + m) + (3*a*b^2*x^(3 + m))/(3 + m) + (b^3*x^(4 + m))/(4 + m), x, 2),
+
+(x^(5//2)*(a + b*x)^3, (2//7)*a^3*x^(7//2) + (2//3)*a^2*b*x^(9//2) + (6//11)*a*b^2*x^(11//2) + (2//13)*b^3*x^(13//2), x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x)^3, (2//5)*a^3*x^(5//2) + (6//7)*a^2*b*x^(7//2) + (2//3)*a*b^2*x^(9//2) + (2//11)*b^3*x^(11//2), x, 2),
+(sqrt(x)*(a + b*x)^3, (2//3)*a^3*x^(3//2) + (6//5)*a^2*b*x^(5//2) + (6//7)*a*b^2*x^(7//2) + (2//9)*b^3*x^(9//2), x, 2),
+((a + b*x)^3/sqrt(x), 2*a^3*sqrt(x) + 2*a^2*b*x^(3//2) + (6//5)*a*b^2*x^(5//2) + (2//7)*b^3*x^(7//2), x, 2),
+((a + b*x)^3/x^(3//2), -((2*a^3)/sqrt(x)) + 6*a^2*b*sqrt(x) + 2*a*b^2*x^(3//2) + (2//5)*b^3*x^(5//2), x, 2),
+((a + b*x)^3/x^(5//2), -((2*a^3)/(3*x^(3//2))) - (6*a^2*b)/sqrt(x) + 6*a*b^2*sqrt(x) + (2//3)*b^3*x^(3//2), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(x^(5//2)/(a + b*x), (2*a^2*sqrt(x))/b^3 - (2*a*x^(3//2))/(3*b^2) + (2*x^(5//2))/(5*b) - (2*a^(5//2)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(7//2), x, 5),
+(x^(3//2)/(a + b*x), -((2*a*sqrt(x))/b^2) + (2*x^(3//2))/(3*b) + (2*a^(3//2)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(5//2), x, 4),
+(sqrt(x)/(a + b*x), (2*sqrt(x))/b - (2*sqrt(a)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(3//2), x, 3),
+(1/(sqrt(x)*(a + b*x)), (2*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(sqrt(a)*sqrt(b)), x, 2),
+(1/(x^(3//2)*(a + b*x)), -2/(a*sqrt(x)) - (2*sqrt(b)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 3),
+(1/(x^(5//2)*(a + b*x)), -(2/(3*a*x^(3//2))) + (2*b)/(a^2*sqrt(x)) + (2*b^(3//2)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 4),
+(1/(x^(7//2)*(a + b*x)), -(2/(5*a*x^(5//2))) + (2*b)/(3*a^2*x^(3//2)) - (2*b^2)/(a^3*sqrt(x)) - (2*b^(5//2)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(7//2), x, 5),
+
+
+(x^(5//2)/(a + b*x)^2, -((5*a*sqrt(x))/b^3) + (5*x^(3//2))/(3*b^2) - x^(5//2)/(b*(a + b*x)) + (5*a^(3//2)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(7//2), x, 5),
+(x^(3//2)/(a + b*x)^2, (3*sqrt(x))/b^2 - x^(3//2)/(b*(a + b*x)) - (3*sqrt(a)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(5//2), x, 4),
+(sqrt(x)/(a + b*x)^2, -(sqrt(x)/(b*(a + b*x))) + atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a))/(sqrt(a)*b^(3//2)), x, 3),
+(1/(sqrt(x)*(a + b*x)^2), sqrt(x)/(a*(a + b*x)) + atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a))/(a^(3//2)*sqrt(b)), x, 3),
+(1/(x^(3//2)*(a + b*x)^2), -(3/(a^2*sqrt(x))) + 1/(a*sqrt(x)*(a + b*x)) - (3*sqrt(b)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 4),
+(1/(x^(5//2)*(a + b*x)^2), -(5/(3*a^2*x^(3//2))) + (5*b)/(a^3*sqrt(x)) + 1/(a*x^(3//2)*(a + b*x)) + (5*b^(3//2)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(7//2), x, 5),
+
+
+(x^(7//2)/(a + b*x)^3, -((35*a*sqrt(x))/(4*b^4)) + (35*x^(3//2))/(12*b^3) - x^(7//2)/(2*b*(a + b*x)^2) - (7*x^(5//2))/(4*b^2*(a + b*x)) + (35*a^(3//2)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*b^(9//2)), x, 6),
+(x^(5//2)/(a + b*x)^3, (15*sqrt(x))/(4*b^3) - x^(5//2)/(2*b*(a + b*x)^2) - (5*x^(3//2))/(4*b^2*(a + b*x)) - (15*sqrt(a)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*b^(7//2)), x, 5),
+(x^(3//2)/(a + b*x)^3, -(x^(3//2)/(2*b*(a + b*x)^2)) - (3*sqrt(x))/(4*b^2*(a + b*x)) + (3*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)*b^(5//2)), x, 4),
+(sqrt(x)/(a + b*x)^3, -(sqrt(x)/(2*b*(a + b*x)^2)) + sqrt(x)/(4*a*b*(a + b*x)) + atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a))/(4*a^(3//2)*b^(3//2)), x, 4),
+(1/(sqrt(x)*(a + b*x)^3), sqrt(x)/(2*a*(a + b*x)^2) + (3*sqrt(x))/(4*a^2*(a + b*x)) + (3*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*a^(5//2)*sqrt(b)), x, 4),
+(1/(x^(3//2)*(a + b*x)^3), -(15/(4*a^3*sqrt(x))) + 1/(2*a*sqrt(x)*(a + b*x)^2) + 5/(4*a^2*sqrt(x)*(a + b*x)) - (15*sqrt(b)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*a^(7//2)), x, 5),
+(1/(x^(5//2)*(a + b*x)^3), -(35/(12*a^3*x^(3//2))) + (35*b)/(4*a^4*sqrt(x)) + 1/(2*a*x^(3//2)*(a + b*x)^2) + 7/(4*a^2*x^(3//2)*(a + b*x)) + (35*b^(3//2)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*a^(9//2)), x, 6),
+
+
+(x^(5//2)/(-a + b*x), (2*a^2*sqrt(x))/b^3 + (2*a*x^(3//2))/(3*b^2) + (2*x^(5//2))/(5*b) - (2*a^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(7//2), x, 5),
+(x^(3//2)/(-a + b*x), (2*a*sqrt(x))/b^2 + (2*x^(3//2))/(3*b) - (2*a^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(5//2), x, 4),
+(sqrt(x)/(-a + b*x), (2*sqrt(x))/b - (2*sqrt(a)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(3//2), x, 3),
+(1/(sqrt(x)*(-a + b*x)), (-2*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(sqrt(a)*sqrt(b)), x, 2),
+(1/(x^(3//2)*(-a + b*x)), 2/(a*sqrt(x)) - (2*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 3),
+(1/(x^(5//2)*(-a + b*x)), 2/(3*a*x^(3//2)) + (2*b)/(a^2*sqrt(x)) - (2*b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 4),
+(1/(x^(7//2)*(-a + b*x)), 2/(5*a*x^(5//2)) + (2*b)/(3*a^2*x^(3//2)) + (2*b^2)/(a^3*sqrt(x)) - (2*b^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(7//2), x, 5),
+
+
+(x^(5//2)/(-a + b*x)^2, (5*a*sqrt(x))/b^3 + (5*x^(3//2))/(3*b^2) + x^(5//2)/(b*(a - b*x)) - (5*a^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(7//2), x, 5),
+(x^(3//2)/(-a + b*x)^2, (3*sqrt(x))/b^2 + x^(3//2)/(b*(a - b*x)) - (3*sqrt(a)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(5//2), x, 4),
+(sqrt(x)/(-a + b*x)^2, sqrt(x)/(b*(a - b*x)) - atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a))/(sqrt(a)*b^(3//2)), x, 3),
+(1/(sqrt(x)*(-a + b*x)^2), sqrt(x)/(a*(a - b*x)) + atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a))/(a^(3//2)*sqrt(b)), x, 3),
+(1/(x^(3//2)*(-a + b*x)^2), -(3/(a^2*sqrt(x))) + 1/(a*sqrt(x)*(a - b*x)) + (3*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 4),
+(1/(x^(5//2)*(-a + b*x)^2), -(5/(3*a^2*x^(3//2))) - (5*b)/(a^3*sqrt(x)) + 1/(a*x^(3//2)*(a - b*x)) + (5*b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(7//2), x, 5),
+
+
+(x^(7//2)/(-a + b*x)^3, (35*a*sqrt(x))/(4*b^4) + (35*x^(3//2))/(12*b^3) - x^(7//2)/(2*b*(a - b*x)^2) + (7*x^(5//2))/(4*b^2*(a - b*x)) - (35*a^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*b^(9//2)), x, 6),
+(x^(5//2)/(-a + b*x)^3, (15*sqrt(x))/(4*b^3) - x^(5//2)/(2*b*(a - b*x)^2) + (5*x^(3//2))/(4*b^2*(a - b*x)) - (15*sqrt(a)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*b^(7//2)), x, 5),
+(x^(3//2)/(-a + b*x)^3, -(x^(3//2)/(2*b*(a - b*x)^2)) + (3*sqrt(x))/(4*b^2*(a - b*x)) - (3*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)*b^(5//2)), x, 4),
+(sqrt(x)/(-a + b*x)^3, -(sqrt(x)/(2*b*(a - b*x)^2)) + sqrt(x)/(4*a*b*(a - b*x)) + atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a))/(4*a^(3//2)*b^(3//2)), x, 4),
+(1/(sqrt(x)*(-a + b*x)^3), -(sqrt(x)/(2*a*(a - b*x)^2)) - (3*sqrt(x))/(4*a^2*(a - b*x)) - (3*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*a^(5//2)*sqrt(b)), x, 4),
+(1/(x^(3//2)*(-a + b*x)^3), 15/(4*a^3*sqrt(x)) - 1/(2*a*sqrt(x)*(a - b*x)^2) - 5/(4*a^2*sqrt(x)*(a - b*x)) - (15*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*a^(7//2)), x, 5),
+(1/(x^(5//2)*(-a + b*x)^3), 35/(12*a^3*x^(3//2)) + (35*b)/(4*a^4*sqrt(x)) - 1/(2*a*x^(3//2)*(a - b*x)^2) - 7/(4*a^2*x^(3//2)*(a - b*x)) - (35*b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*a^(9//2)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^(m/2) (a+b x)^(n/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(x^(5//2)*sqrt(a + b*x), (5*a^3*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(64*b^3) - (5*a^2*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(96*b^2) + (a*x^(5//2)*sqrt(a + b*x))/(24*b) + (1//4)*x^(7//2)*sqrt(a + b*x) - (5*a^4*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(64*b^(7//2)), x, 7),
+(x^(3//2)*sqrt(a + b*x), -((a^2*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(8*b^2)) + (a*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(12*b) + (1//3)*x^(5//2)*sqrt(a + b*x) + (a^3*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(8*b^(5//2)), x, 6),
+(sqrt(x)*sqrt(a + b*x), (a*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(4*b) + (1//2)*x^(3//2)*sqrt(a + b*x) - (a^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(4*b^(3//2)), x, 5),
+(sqrt(a + b*x)/sqrt(x), sqrt(x)*sqrt(a + b*x) + (a*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/sqrt(b), x, 4),
+(sqrt(a + b*x)/x^(3//2), (-2*sqrt(a + b*x))/sqrt(x) + 2*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x)/x^(5//2), (-2*(a + b*x)^(3//2))/(3*a*x^(3//2)), x, 1),
+(sqrt(a + b*x)/x^(7//2), -((2*(a + b*x)^(3//2))/(5*a*x^(5//2))) + (4*b*(a + b*x)^(3//2))/(15*a^2*x^(3//2)), x, 2),
+(sqrt(a + b*x)/x^(9//2), -((2*(a + b*x)^(3//2))/(7*a*x^(7//2))) + (8*b*(a + b*x)^(3//2))/(35*a^2*x^(5//2)) - (16*b^2*(a + b*x)^(3//2))/(105*a^3*x^(3//2)), x, 3),
+
+
+(x^(5//2)*sqrt(a - b*x), -((5*a^3*sqrt(x)*sqrt(a - b*x))/(64*b^3)) - (5*a^2*x^(3//2)*sqrt(a - b*x))/(96*b^2) - (a*x^(5//2)*sqrt(a - b*x))/(24*b) + (1//4)*x^(7//2)*sqrt(a - b*x) + (5*a^4*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/(64*b^(7//2)), x, 7),
+(x^(3//2)*sqrt(a - b*x), -((a^2*sqrt(x)*sqrt(a - b*x))/(8*b^2)) - (a*x^(3//2)*sqrt(a - b*x))/(12*b) + (1//3)*x^(5//2)*sqrt(a - b*x) + (a^3*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/(8*b^(5//2)), x, 6),
+(sqrt(x)*sqrt(a - b*x), -((a*sqrt(x)*sqrt(a - b*x))/(4*b)) + (1//2)*x^(3//2)*sqrt(a - b*x) + (a^2*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/(4*b^(3//2)), x, 5),
+(sqrt(a - b*x)/sqrt(x), sqrt(x)*sqrt(a - b*x) + (a*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/sqrt(b), x, 4),
+(sqrt(a - b*x)/x^(3//2), (-2*sqrt(a - b*x))/sqrt(x) - 2*sqrt(b)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)), x, 4),
+(sqrt(a - b*x)/x^(5//2), (-2*(a - b*x)^(3//2))/(3*a*x^(3//2)), x, 1),
+(sqrt(a - b*x)/x^(7//2), -((2*(a - b*x)^(3//2))/(5*a*x^(5//2))) - (4*b*(a - b*x)^(3//2))/(15*a^2*x^(3//2)), x, 2),
+(sqrt(a - b*x)/x^(9//2), -((2*(a - b*x)^(3//2))/(7*a*x^(7//2))) - (8*b*(a - b*x)^(3//2))/(35*a^2*x^(5//2)) - (16*b^2*(a - b*x)^(3//2))/(105*a^3*x^(3//2)), x, 3),
+
+
+(x^(5//2)*sqrt(2 + b*x), (5*sqrt(x)*sqrt(2 + b*x))/(8*b^3) - (5*x^(3//2)*sqrt(2 + b*x))/(24*b^2) + (x^(5//2)*sqrt(2 + b*x))/(12*b) + (1//4)*x^(7//2)*sqrt(2 + b*x) - (5*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/(4*b^(7//2)), x, 6),
+(x^(3//2)*sqrt(2 + b*x), -((sqrt(x)*sqrt(2 + b*x))/(2*b^2)) + (x^(3//2)*sqrt(2 + b*x))/(6*b) + (1//3)*x^(5//2)*sqrt(2 + b*x) + asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2))/b^(5//2), x, 5),
+(sqrt(x)*sqrt(2 + b*x), (sqrt(x)*sqrt(2 + b*x))/(2*b) + (1//2)*x^(3//2)*sqrt(2 + b*x) - asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2))/b^(3//2), x, 4),
+(sqrt(2 + b*x)/sqrt(x), sqrt(x)*sqrt(2 + b*x) + (2*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/sqrt(b), x, 3),
+(sqrt(2 + b*x)/x^(3//2), (-2*sqrt(2 + b*x))/sqrt(x) + 2*sqrt(b)*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)), x, 3),
+(sqrt(2 + b*x)/x^(5//2), -(2 + b*x)^(3//2)/(3*x^(3//2)), x, 1),
+(sqrt(2 + b*x)/x^(7//2), -((2 + b*x)^(3//2)/(5*x^(5//2))) + (b*(2 + b*x)^(3//2))/(15*x^(3//2)), x, 2),
+(sqrt(2 + b*x)/x^(9//2), -((2 + b*x)^(3//2)/(7*x^(7//2))) + (2*b*(2 + b*x)^(3//2))/(35*x^(5//2)) - (2*b^2*(2 + b*x)^(3//2))/(105*x^(3//2)), x, 3),
+
+
+(x^(5//2)*sqrt(2 - b*x), -((5*sqrt(x)*sqrt(2 - b*x))/(8*b^3)) - (5*x^(3//2)*sqrt(2 - b*x))/(24*b^2) - (x^(5//2)*sqrt(2 - b*x))/(12*b) + (1//4)*x^(7//2)*sqrt(2 - b*x) + (5*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/(4*b^(7//2)), x, 6),
+(x^(3//2)*sqrt(2 - b*x), -((sqrt(x)*sqrt(2 - b*x))/(2*b^2)) - (x^(3//2)*sqrt(2 - b*x))/(6*b) + (1//3)*x^(5//2)*sqrt(2 - b*x) + asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2))/b^(5//2), x, 5),
+(sqrt(x)*sqrt(2 - b*x), -((sqrt(x)*sqrt(2 - b*x))/(2*b)) + (1//2)*x^(3//2)*sqrt(2 - b*x) + asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2))/b^(3//2), x, 4),
+(sqrt(2 - b*x)/sqrt(x), sqrt(x)*sqrt(2 - b*x) + (2*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/sqrt(b), x, 3),
+(sqrt(2 - b*x)/x^(3//2), (-2*sqrt(2 - b*x))/sqrt(x) - 2*sqrt(b)*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)), x, 3),
+(sqrt(2 - b*x)/x^(5//2), -(2 - b*x)^(3//2)/(3*x^(3//2)), x, 1),
+(sqrt(2 - b*x)/x^(7//2), -((2 - b*x)^(3//2)/(5*x^(5//2))) - (b*(2 - b*x)^(3//2))/(15*x^(3//2)), x, 2),
+(sqrt(2 - b*x)/x^(9//2), -((2 - b*x)^(3//2)/(7*x^(7//2))) - (2*b*(2 - b*x)^(3//2))/(35*x^(5//2)) - (2*b^2*(2 - b*x)^(3//2))/(105*x^(3//2)), x, 3),
+
+
+(x^(5//2)*(a + b*x)^(3//2), (3*a^4*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(128*b^3) - (a^3*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(64*b^2) + (a^2*x^(5//2)*sqrt(a + b*x))/(80*b) + (3//40)*a*x^(7//2)*sqrt(a + b*x) + (1//5)*x^(7//2)*(a + b*x)^(3//2) - (3*a^5*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(128*b^(7//2)), x, 8),
+(x^(3//2)*(a + b*x)^(3//2), -((3*a^3*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(64*b^2)) + (a^2*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(32*b) + (1//8)*a*x^(5//2)*sqrt(a + b*x) + (1//4)*x^(5//2)*(a + b*x)^(3//2) + (3*a^4*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(64*b^(5//2)), x, 7),
+(sqrt(x)*(a + b*x)^(3//2), (a^2*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(8*b) + (1//4)*a*x^(3//2)*sqrt(a + b*x) + (1//3)*x^(3//2)*(a + b*x)^(3//2) - (a^3*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(8*b^(3//2)), x, 6),
+((a + b*x)^(3//2)/sqrt(x), (3//4)*a*sqrt(x)*sqrt(a + b*x) + (1//2)*sqrt(x)*(a + b*x)^(3//2) + (3*a^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(4*sqrt(b)), x, 5),
+((a + b*x)^(3//2)/x^(3//2), 3*b*sqrt(x)*sqrt(a + b*x) - (2*(a + b*x)^(3//2))/sqrt(x) + 3*a*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)), x, 5),
+((a + b*x)^(3//2)/x^(5//2), -((2*b*sqrt(a + b*x))/sqrt(x)) - (2*(a + b*x)^(3//2))/(3*x^(3//2)) + 2*b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)), x, 5),
+
+
+(x^(5//2)*(a - b*x)^(3//2), -((3*a^4*sqrt(x)*sqrt(a - b*x))/(128*b^3)) - (a^3*x^(3//2)*sqrt(a - b*x))/(64*b^2) - (a^2*x^(5//2)*sqrt(a - b*x))/(80*b) + (3//40)*a*x^(7//2)*sqrt(a - b*x) + (1//5)*x^(7//2)*(a - b*x)^(3//2) + (3*a^5*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/(128*b^(7//2)), x, 8),
+(x^(3//2)*(a - b*x)^(3//2), -((3*a^3*sqrt(x)*sqrt(a - b*x))/(64*b^2)) - (a^2*x^(3//2)*sqrt(a - b*x))/(32*b) + (1//8)*a*x^(5//2)*sqrt(a - b*x) + (1//4)*x^(5//2)*(a - b*x)^(3//2) + (3*a^4*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/(64*b^(5//2)), x, 7),
+(sqrt(x)*(a - b*x)^(3//2), -((a^2*sqrt(x)*sqrt(a - b*x))/(8*b)) + (1//4)*a*x^(3//2)*sqrt(a - b*x) + (1//3)*x^(3//2)*(a - b*x)^(3//2) + (a^3*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/(8*b^(3//2)), x, 6),
+((a - b*x)^(3//2)/sqrt(x), (3//4)*a*sqrt(x)*sqrt(a - b*x) + (1//2)*sqrt(x)*(a - b*x)^(3//2) + (3*a^2*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/(4*sqrt(b)), x, 5),
+((a - b*x)^(3//2)/x^(3//2), -3*b*sqrt(x)*sqrt(a - b*x) - (2*(a - b*x)^(3//2))/sqrt(x) - 3*a*sqrt(b)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)), x, 5),
+((a - b*x)^(3//2)/x^(5//2), (2*b*sqrt(a - b*x))/sqrt(x) - (2*(a - b*x)^(3//2))/(3*x^(3//2)) + 2*b^(3//2)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)), x, 5),
+
+
+(x^(5//2)*(2 + b*x)^(3//2), (3*sqrt(x)*sqrt(2 + b*x))/(8*b^3) - (x^(3//2)*sqrt(2 + b*x))/(8*b^2) + (x^(5//2)*sqrt(2 + b*x))/(20*b) + (3//20)*x^(7//2)*sqrt(2 + b*x) + (1//5)*x^(7//2)*(2 + b*x)^(3//2) - (3*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/(4*b^(7//2)), x, 7),
+(x^(3//2)*(2 + b*x)^(3//2), -((3*sqrt(x)*sqrt(2 + b*x))/(8*b^2)) + (x^(3//2)*sqrt(2 + b*x))/(8*b) + (1//4)*x^(5//2)*sqrt(2 + b*x) + (1//4)*x^(5//2)*(2 + b*x)^(3//2) + (3*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/(4*b^(5//2)), x, 6),
+(sqrt(x)*(2 + b*x)^(3//2), (sqrt(x)*sqrt(2 + b*x))/(2*b) + (1//2)*x^(3//2)*sqrt(2 + b*x) + (1//3)*x^(3//2)*(2 + b*x)^(3//2) - asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2))/b^(3//2), x, 5),
+((2 + b*x)^(3//2)/sqrt(x), (3//2)*sqrt(x)*sqrt(2 + b*x) + (1//2)*sqrt(x)*(2 + b*x)^(3//2) + (3*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/sqrt(b), x, 4),
+((2 + b*x)^(3//2)/x^(3//2), 3*b*sqrt(x)*sqrt(2 + b*x) - (2*(2 + b*x)^(3//2))/sqrt(x) + 6*sqrt(b)*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)), x, 4),
+((2 + b*x)^(3//2)/x^(5//2), -((2*b*sqrt(2 + b*x))/sqrt(x)) - (2*(2 + b*x)^(3//2))/(3*x^(3//2)) + 2*b^(3//2)*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)), x, 4),
+
+
+(x^(5//2)*(2 - b*x)^(3//2), -((3*sqrt(x)*sqrt(2 - b*x))/(8*b^3)) - (x^(3//2)*sqrt(2 - b*x))/(8*b^2) - (x^(5//2)*sqrt(2 - b*x))/(20*b) + (3//20)*x^(7//2)*sqrt(2 - b*x) + (1//5)*x^(7//2)*(2 - b*x)^(3//2) + (3*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/(4*b^(7//2)), x, 7),
+(x^(3//2)*(2 - b*x)^(3//2), -((3*sqrt(x)*sqrt(2 - b*x))/(8*b^2)) - (x^(3//2)*sqrt(2 - b*x))/(8*b) + (1//4)*x^(5//2)*sqrt(2 - b*x) + (1//4)*x^(5//2)*(2 - b*x)^(3//2) + (3*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/(4*b^(5//2)), x, 6),
+(sqrt(x)*(2 - b*x)^(3//2), -((sqrt(x)*sqrt(2 - b*x))/(2*b)) + (1//2)*x^(3//2)*sqrt(2 - b*x) + (1//3)*x^(3//2)*(2 - b*x)^(3//2) + asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2))/b^(3//2), x, 5),
+((2 - b*x)^(3//2)/sqrt(x), (3//2)*sqrt(x)*sqrt(2 - b*x) + (1//2)*sqrt(x)*(2 - b*x)^(3//2) + (3*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/sqrt(b), x, 4),
+((2 - b*x)^(3//2)/x^(3//2), -3*b*sqrt(x)*sqrt(2 - b*x) - (2*(2 - b*x)^(3//2))/sqrt(x) - 6*sqrt(b)*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)), x, 4),
+((2 - b*x)^(3//2)/x^(5//2), (2*b*sqrt(2 - b*x))/sqrt(x) - (2*(2 - b*x)^(3//2))/(3*x^(3//2)) + 2*b^(3//2)*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)), x, 4),
+
+
+(x^(5//2)*(a + b*x)^(5//2), (5*a^5*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(512*b^3) - (5*a^4*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(768*b^2) + (a^3*x^(5//2)*sqrt(a + b*x))/(192*b) + (1//32)*a^2*x^(7//2)*sqrt(a + b*x) + (1//12)*a*x^(7//2)*(a + b*x)^(3//2) + (1//6)*x^(7//2)*(a + b*x)^(5//2) - (5*a^6*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(512*b^(7//2)), x, 9),
+(x^(3//2)*(a + b*x)^(5//2), -((3*a^4*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(128*b^2)) + (a^3*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(64*b) + (1//16)*a^2*x^(5//2)*sqrt(a + b*x) + (1//8)*a*x^(5//2)*(a + b*x)^(3//2) + (1//5)*x^(5//2)*(a + b*x)^(5//2) + (3*a^5*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(128*b^(5//2)), x, 8),
+(sqrt(x)*(a + b*x)^(5//2), (5*a^3*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(64*b) + (5//32)*a^2*x^(3//2)*sqrt(a + b*x) + (5//24)*a*x^(3//2)*(a + b*x)^(3//2) + (1//4)*x^(3//2)*(a + b*x)^(5//2) - (5*a^4*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(64*b^(3//2)), x, 7),
+((a + b*x)^(5//2)/sqrt(x), (5//8)*a^2*sqrt(x)*sqrt(a + b*x) + (5//12)*a*sqrt(x)*(a + b*x)^(3//2) + (1//3)*sqrt(x)*(a + b*x)^(5//2) + (5*a^3*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(8*sqrt(b)), x, 6),
+((a + b*x)^(5//2)/x^(3//2), (15//4)*a*b*sqrt(x)*sqrt(a + b*x) + (5//2)*b*sqrt(x)*(a + b*x)^(3//2) - (2*(a + b*x)^(5//2))/sqrt(x) + (15//4)*a^2*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)), x, 6),
+((a + b*x)^(5//2)/x^(5//2), 5*b^2*sqrt(x)*sqrt(a + b*x) - (10*b*(a + b*x)^(3//2))/(3*sqrt(x)) - (2*(a + b*x)^(5//2))/(3*x^(3//2)) + 5*a*b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)), x, 6),
+
+
+(x^(5//2)*(a - b*x)^(5//2), -((5*a^5*sqrt(x)*sqrt(a - b*x))/(512*b^3)) - (5*a^4*x^(3//2)*sqrt(a - b*x))/(768*b^2) - (a^3*x^(5//2)*sqrt(a - b*x))/(192*b) + (1//32)*a^2*x^(7//2)*sqrt(a - b*x) + (1//12)*a*x^(7//2)*(a - b*x)^(3//2) + (1//6)*x^(7//2)*(a - b*x)^(5//2) + (5*a^6*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/(512*b^(7//2)), x, 9),
+(x^(3//2)*(a - b*x)^(5//2), -((3*a^4*sqrt(x)*sqrt(a - b*x))/(128*b^2)) - (a^3*x^(3//2)*sqrt(a - b*x))/(64*b) + (1//16)*a^2*x^(5//2)*sqrt(a - b*x) + (1//8)*a*x^(5//2)*(a - b*x)^(3//2) + (1//5)*x^(5//2)*(a - b*x)^(5//2) + (3*a^5*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/(128*b^(5//2)), x, 8),
+(sqrt(x)*(a - b*x)^(5//2), -((5*a^3*sqrt(x)*sqrt(a - b*x))/(64*b)) + (5//32)*a^2*x^(3//2)*sqrt(a - b*x) + (5//24)*a*x^(3//2)*(a - b*x)^(3//2) + (1//4)*x^(3//2)*(a - b*x)^(5//2) + (5*a^4*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/(64*b^(3//2)), x, 7),
+((a - b*x)^(5//2)/sqrt(x), (5//8)*a^2*sqrt(x)*sqrt(a - b*x) + (5//12)*a*sqrt(x)*(a - b*x)^(3//2) + (1//3)*sqrt(x)*(a - b*x)^(5//2) + (5*a^3*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/(8*sqrt(b)), x, 6),
+((a - b*x)^(5//2)/x^(3//2), (-(15//4))*a*b*sqrt(x)*sqrt(a - b*x) - (5//2)*b*sqrt(x)*(a - b*x)^(3//2) - (2*(a - b*x)^(5//2))/sqrt(x) - (15//4)*a^2*sqrt(b)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)), x, 6),
+((a - b*x)^(5//2)/x^(5//2), 5*b^2*sqrt(x)*sqrt(a - b*x) + (10*b*(a - b*x)^(3//2))/(3*sqrt(x)) - (2*(a - b*x)^(5//2))/(3*x^(3//2)) + 5*a*b^(3//2)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)), x, 6),
+
+
+(x^(5//2)*(2 + b*x)^(5//2), (5*sqrt(x)*sqrt(2 + b*x))/(16*b^3) - (5*x^(3//2)*sqrt(2 + b*x))/(48*b^2) + (x^(5//2)*sqrt(2 + b*x))/(24*b) + (1//8)*x^(7//2)*sqrt(2 + b*x) + (1//6)*x^(7//2)*(2 + b*x)^(3//2) + (1//6)*x^(7//2)*(2 + b*x)^(5//2) - (5*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/(8*b^(7//2)), x, 8),
+(x^(3//2)*(2 + b*x)^(5//2), -((3*sqrt(x)*sqrt(2 + b*x))/(8*b^2)) + (x^(3//2)*sqrt(2 + b*x))/(8*b) + (1//4)*x^(5//2)*sqrt(2 + b*x) + (1//4)*x^(5//2)*(2 + b*x)^(3//2) + (1//5)*x^(5//2)*(2 + b*x)^(5//2) + (3*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/(4*b^(5//2)), x, 7),
+(sqrt(x)*(2 + b*x)^(5//2), (5*sqrt(x)*sqrt(2 + b*x))/(8*b) + (5//8)*x^(3//2)*sqrt(2 + b*x) + (5//12)*x^(3//2)*(2 + b*x)^(3//2) + (1//4)*x^(3//2)*(2 + b*x)^(5//2) - (5*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/(4*b^(3//2)), x, 6),
+((2 + b*x)^(5//2)/sqrt(x), (5//2)*sqrt(x)*sqrt(2 + b*x) + (5//6)*sqrt(x)*(2 + b*x)^(3//2) + (1//3)*sqrt(x)*(2 + b*x)^(5//2) + (5*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/sqrt(b), x, 5),
+((2 + b*x)^(5//2)/x^(3//2), (15//2)*b*sqrt(x)*sqrt(2 + b*x) + (5//2)*b*sqrt(x)*(2 + b*x)^(3//2) - (2*(2 + b*x)^(5//2))/sqrt(x) + 15*sqrt(b)*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)), x, 5),
+((2 + b*x)^(5//2)/x^(5//2), 5*b^2*sqrt(x)*sqrt(2 + b*x) - (10*b*(2 + b*x)^(3//2))/(3*sqrt(x)) - (2*(2 + b*x)^(5//2))/(3*x^(3//2)) + 10*b^(3//2)*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)), x, 5),
+
+
+(x^(5//2)*(2 - b*x)^(5//2), -((5*sqrt(x)*sqrt(2 - b*x))/(16*b^3)) - (5*x^(3//2)*sqrt(2 - b*x))/(48*b^2) - (x^(5//2)*sqrt(2 - b*x))/(24*b) + (1//8)*x^(7//2)*sqrt(2 - b*x) + (1//6)*x^(7//2)*(2 - b*x)^(3//2) + (1//6)*x^(7//2)*(2 - b*x)^(5//2) + (5*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/(8*b^(7//2)), x, 8),
+(x^(3//2)*(2 - b*x)^(5//2), -((3*sqrt(x)*sqrt(2 - b*x))/(8*b^2)) - (x^(3//2)*sqrt(2 - b*x))/(8*b) + (1//4)*x^(5//2)*sqrt(2 - b*x) + (1//4)*x^(5//2)*(2 - b*x)^(3//2) + (1//5)*x^(5//2)*(2 - b*x)^(5//2) + (3*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/(4*b^(5//2)), x, 7),
+(sqrt(x)*(2 - b*x)^(5//2), -((5*sqrt(x)*sqrt(2 - b*x))/(8*b)) + (5//8)*x^(3//2)*sqrt(2 - b*x) + (5//12)*x^(3//2)*(2 - b*x)^(3//2) + (1//4)*x^(3//2)*(2 - b*x)^(5//2) + (5*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/(4*b^(3//2)), x, 6),
+((2 - b*x)^(5//2)/sqrt(x), (5//2)*sqrt(x)*sqrt(2 - b*x) + (5//6)*sqrt(x)*(2 - b*x)^(3//2) + (1//3)*sqrt(x)*(2 - b*x)^(5//2) + (5*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/sqrt(b), x, 5),
+((2 - b*x)^(5//2)/x^(3//2), (-(15//2))*b*sqrt(x)*sqrt(2 - b*x) - (5//2)*b*sqrt(x)*(2 - b*x)^(3//2) - (2*(2 - b*x)^(5//2))/sqrt(x) - 15*sqrt(b)*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)), x, 5),
+((2 - b*x)^(5//2)/x^(5//2), 5*b^2*sqrt(x)*sqrt(2 - b*x) + (10*b*(2 - b*x)^(3//2))/(3*sqrt(x)) - (2*(2 - b*x)^(5//2))/(3*x^(3//2)) + 10*b^(3//2)*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(x^(5//2)/sqrt(a + b*x), (5*a^2*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(8*b^3) - (5*a*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(12*b^2) + (x^(5//2)*sqrt(a + b*x))/(3*b) - (5*a^3*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(8*b^(7//2)), x, 6),
+(x^(3//2)/sqrt(a + b*x), -((3*a*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(4*b^2)) + (x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(2*b) + (3*a^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(4*b^(5//2)), x, 5),
+(sqrt(x)/sqrt(a + b*x), (sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/b - (a*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/b^(3//2), x, 4),
+(1/(sqrt(x)*sqrt(a + b*x)), (2*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/sqrt(b), x, 3),
+(1/(x^(3//2)*sqrt(a + b*x)), (-2*sqrt(a + b*x))/(a*sqrt(x)), x, 1),
+(1/(x^(5//2)*sqrt(a + b*x)), -((2*sqrt(a + b*x))/(3*a*x^(3//2))) + (4*b*sqrt(a + b*x))/(3*a^2*sqrt(x)), x, 2),
+(1/(x^(7//2)*sqrt(a + b*x)), -((2*sqrt(a + b*x))/(5*a*x^(5//2))) + (8*b*sqrt(a + b*x))/(15*a^2*x^(3//2)) - (16*b^2*sqrt(a + b*x))/(15*a^3*sqrt(x)), x, 3),
+(1/(x^(9//2)*sqrt(a + b*x)), -((2*sqrt(a + b*x))/(7*a*x^(7//2))) + (12*b*sqrt(a + b*x))/(35*a^2*x^(5//2)) - (16*b^2*sqrt(a + b*x))/(35*a^3*x^(3//2)) + (32*b^3*sqrt(a + b*x))/(35*a^4*sqrt(x)), x, 4),
+
+
+(x^(5//2)/(a + b*x)^(3//2), -((2*x^(5//2))/(b*sqrt(a + b*x))) - (15*a*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(4*b^3) + (5*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(2*b^2) + (15*a^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(4*b^(7//2)), x, 6),
+(x^(3//2)/(a + b*x)^(3//2), -((2*x^(3//2))/(b*sqrt(a + b*x))) + (3*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/b^2 - (3*a*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/b^(5//2), x, 5),
+(sqrt(x)/(a + b*x)^(3//2), (-2*sqrt(x))/(b*sqrt(a + b*x)) + (2*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/b^(3//2), x, 4),
+(1/(sqrt(x)*(a + b*x)^(3//2)), (2*sqrt(x))/(a*sqrt(a + b*x)), x, 1),
+(1/(x^(3//2)*(a + b*x)^(3//2)), 2/(a*sqrt(x)*sqrt(a + b*x)) - (4*sqrt(a + b*x))/(a^2*sqrt(x)), x, 2),
+(1/(x^(5//2)*(a + b*x)^(3//2)), 2/(a*x^(3//2)*sqrt(a + b*x)) - (8*sqrt(a + b*x))/(3*a^2*x^(3//2)) + (16*b*sqrt(a + b*x))/(3*a^3*sqrt(x)), x, 3),
+(1/(x^(7//2)*(a + b*x)^(3//2)), 2/(a*x^(5//2)*sqrt(a + b*x)) - (12*sqrt(a + b*x))/(5*a^2*x^(5//2)) + (16*b*sqrt(a + b*x))/(5*a^3*x^(3//2)) - (32*b^2*sqrt(a + b*x))/(5*a^4*sqrt(x)), x, 4),
+
+
+(x^(5//2)/(a + b*x)^(5//2), -((2*x^(5//2))/(3*b*(a + b*x)^(3//2))) - (10*x^(3//2))/(3*b^2*sqrt(a + b*x)) + (5*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/b^3 - (5*a*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/b^(7//2), x, 6),
+(x^(3//2)/(a + b*x)^(5//2), -((2*x^(3//2))/(3*b*(a + b*x)^(3//2))) - (2*sqrt(x))/(b^2*sqrt(a + b*x)) + (2*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/b^(5//2), x, 5),
+(sqrt(x)/(a + b*x)^(5//2), (2*x^(3//2))/(3*a*(a + b*x)^(3//2)), x, 1),
+(1/(sqrt(x)*(a + b*x)^(5//2)), (2*sqrt(x))/(3*a*(a + b*x)^(3//2)) + (4*sqrt(x))/(3*a^2*sqrt(a + b*x)), x, 2),
+(1/(x^(3//2)*(a + b*x)^(5//2)), 2/(3*a*sqrt(x)*(a + b*x)^(3//2)) + 8/(3*a^2*sqrt(x)*sqrt(a + b*x)) - (16*sqrt(a + b*x))/(3*a^3*sqrt(x)), x, 3),
+(1/(x^(5//2)*(a + b*x)^(5//2)), 2/(3*a*x^(3//2)*(a + b*x)^(3//2)) + 4/(a^2*x^(3//2)*sqrt(a + b*x)) - (16*sqrt(a + b*x))/(3*a^3*x^(3//2)) + (32*b*sqrt(a + b*x))/(3*a^4*sqrt(x)), x, 4),
+
+
+(x^(5//2)/sqrt(a - b*x), -((5*a^2*sqrt(x)*sqrt(a - b*x))/(8*b^3)) - (5*a*x^(3//2)*sqrt(a - b*x))/(12*b^2) - (x^(5//2)*sqrt(a - b*x))/(3*b) + (5*a^3*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/(8*b^(7//2)), x, 6),
+(x^(3//2)/sqrt(a - b*x), -((3*a*sqrt(x)*sqrt(a - b*x))/(4*b^2)) - (x^(3//2)*sqrt(a - b*x))/(2*b) + (3*a^2*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/(4*b^(5//2)), x, 5),
+(sqrt(x)/sqrt(a - b*x), -((sqrt(x)*sqrt(a - b*x))/b) + (a*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/b^(3//2), x, 4),
+(1/(sqrt(x)*sqrt(a - b*x)), (2*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/sqrt(b), x, 3),
+(1/(x^(3//2)*sqrt(a - b*x)), (-2*sqrt(a - b*x))/(a*sqrt(x)), x, 1),
+(1/(x^(5//2)*sqrt(a - b*x)), -((2*sqrt(a - b*x))/(3*a*x^(3//2))) - (4*b*sqrt(a - b*x))/(3*a^2*sqrt(x)), x, 2),
+
+
+(x^(5//2)/(a - b*x)^(3//2), (2*x^(5//2))/(b*sqrt(a - b*x)) + (15*a*sqrt(x)*sqrt(a - b*x))/(4*b^3) + (5*x^(3//2)*sqrt(a - b*x))/(2*b^2) - (15*a^2*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/(4*b^(7//2)), x, 6),
+(x^(3//2)/(a - b*x)^(3//2), (2*x^(3//2))/(b*sqrt(a - b*x)) + (3*sqrt(x)*sqrt(a - b*x))/b^2 - (3*a*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/b^(5//2), x, 5),
+(sqrt(x)/(a - b*x)^(3//2), (2*sqrt(x))/(b*sqrt(a - b*x)) - (2*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/b^(3//2), x, 4),
+(1/(sqrt(x)*(a - b*x)^(3//2)), (2*sqrt(x))/(a*sqrt(a - b*x)), x, 1),
+(1/(x^(3//2)*(a - b*x)^(3//2)), 2/(a*sqrt(x)*sqrt(a - b*x)) - (4*sqrt(a - b*x))/(a^2*sqrt(x)), x, 2),
+(1/(x^(5//2)*(a - b*x)^(3//2)), 2/(a*x^(3//2)*sqrt(a - b*x)) - (8*sqrt(a - b*x))/(3*a^2*x^(3//2)) - (16*b*sqrt(a - b*x))/(3*a^3*sqrt(x)), x, 3),
+
+
+(x^(5//2)/(a - b*x)^(5//2), (2*x^(5//2))/(3*b*(a - b*x)^(3//2)) - (10*x^(3//2))/(3*b^2*sqrt(a - b*x)) - (5*sqrt(x)*sqrt(a - b*x))/b^3 + (5*a*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/b^(7//2), x, 6),
+(x^(3//2)/(a - b*x)^(5//2), (2*x^(3//2))/(3*b*(a - b*x)^(3//2)) - (2*sqrt(x))/(b^2*sqrt(a - b*x)) + (2*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a - b*x)))/b^(5//2), x, 5),
+(sqrt(x)/(a - b*x)^(5//2), (2*x^(3//2))/(3*a*(a - b*x)^(3//2)), x, 1),
+(1/(sqrt(x)*(a - b*x)^(5//2)), (2*sqrt(x))/(3*a*(a - b*x)^(3//2)) + (4*sqrt(x))/(3*a^2*sqrt(a - b*x)), x, 2),
+(1/(x^(3//2)*(a - b*x)^(5//2)), 2/(3*a*sqrt(x)*(a - b*x)^(3//2)) + 8/(3*a^2*sqrt(x)*sqrt(a - b*x)) - (16*sqrt(a - b*x))/(3*a^3*sqrt(x)), x, 3),
+(1/(x^(5//2)*(a - b*x)^(5//2)), 2/(3*a*x^(3//2)*(a - b*x)^(3//2)) + 4/(a^2*x^(3//2)*sqrt(a - b*x)) - (16*sqrt(a - b*x))/(3*a^3*x^(3//2)) - (32*b*sqrt(a - b*x))/(3*a^4*sqrt(x)), x, 4),
+
+
+(x^(5//2)/sqrt(2 + b*x), (5*sqrt(x)*sqrt(2 + b*x))/(2*b^3) - (5*x^(3//2)*sqrt(2 + b*x))/(6*b^2) + (x^(5//2)*sqrt(2 + b*x))/(3*b) - (5*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/b^(7//2), x, 5),
+(x^(3//2)/sqrt(2 + b*x), -((3*sqrt(x)*sqrt(2 + b*x))/(2*b^2)) + (x^(3//2)*sqrt(2 + b*x))/(2*b) + (3*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/b^(5//2), x, 4),
+(sqrt(x)/sqrt(2 + b*x), (sqrt(x)*sqrt(2 + b*x))/b - (2*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/b^(3//2), x, 3),
+(1/(sqrt(x)*sqrt(2 + b*x)), (2*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/sqrt(b), x, 2),
+(1/(x^(3//2)*sqrt(2 + b*x)), -(sqrt(2 + b*x)/sqrt(x)), x, 1),
+(1/(x^(5//2)*sqrt(2 + b*x)), -(sqrt(2 + b*x)/(3*x^(3//2))) + (b*sqrt(2 + b*x))/(3*sqrt(x)), x, 2),
+(1/(x^(7//2)*sqrt(2 + b*x)), -(sqrt(2 + b*x)/(5*x^(5//2))) + (2*b*sqrt(2 + b*x))/(15*x^(3//2)) - (2*b^2*sqrt(2 + b*x))/(15*sqrt(x)), x, 3),
+(1/(x^(9//2)*sqrt(2 + b*x)), -(sqrt(2 + b*x)/(7*x^(7//2))) + (3*b*sqrt(2 + b*x))/(35*x^(5//2)) - (2*b^2*sqrt(2 + b*x))/(35*x^(3//2)) + (2*b^3*sqrt(2 + b*x))/(35*sqrt(x)), x, 4),
+
+
+(x^(5//2)/(2 + b*x)^(3//2), -((2*x^(5//2))/(b*sqrt(2 + b*x))) - (15*sqrt(x)*sqrt(2 + b*x))/(2*b^3) + (5*x^(3//2)*sqrt(2 + b*x))/(2*b^2) + (15*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/b^(7//2), x, 5),
+(x^(3//2)/(2 + b*x)^(3//2), -((2*x^(3//2))/(b*sqrt(2 + b*x))) + (3*sqrt(x)*sqrt(2 + b*x))/b^2 - (6*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/b^(5//2), x, 4),
+(sqrt(x)/(2 + b*x)^(3//2), (-2*sqrt(x))/(b*sqrt(2 + b*x)) + (2*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/b^(3//2), x, 3),
+(1/(sqrt(x)*(2 + b*x)^(3//2)), sqrt(x)/sqrt(2 + b*x), x, 1),
+(1/(x^(3//2)*(2 + b*x)^(3//2)), 1/(sqrt(x)*sqrt(2 + b*x)) - sqrt(2 + b*x)/sqrt(x), x, 2),
+(1/(x^(5//2)*(2 + b*x)^(3//2)), 1/(x^(3//2)*sqrt(2 + b*x)) - (2*sqrt(2 + b*x))/(3*x^(3//2)) + (2*b*sqrt(2 + b*x))/(3*sqrt(x)), x, 3),
+(1/(x^(7//2)*(2 + b*x)^(3//2)), 1/(x^(5//2)*sqrt(2 + b*x)) - (3*sqrt(2 + b*x))/(5*x^(5//2)) + (2*b*sqrt(2 + b*x))/(5*x^(3//2)) - (2*b^2*sqrt(2 + b*x))/(5*sqrt(x)), x, 4),
+
+
+(x^(5//2)/(2 + b*x)^(5//2), -((2*x^(5//2))/(3*b*(2 + b*x)^(3//2))) - (10*x^(3//2))/(3*b^2*sqrt(2 + b*x)) + (5*sqrt(x)*sqrt(2 + b*x))/b^3 - (10*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/b^(7//2), x, 5),
+(x^(3//2)/(2 + b*x)^(5//2), -((2*x^(3//2))/(3*b*(2 + b*x)^(3//2))) - (2*sqrt(x))/(b^2*sqrt(2 + b*x)) + (2*asinh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/b^(5//2), x, 4),
+(sqrt(x)/(2 + b*x)^(5//2), x^(3//2)/(3*(2 + b*x)^(3//2)), x, 1),
+(1/(sqrt(x)*(2 + b*x)^(5//2)), sqrt(x)/(3*(2 + b*x)^(3//2)) + sqrt(x)/(3*sqrt(2 + b*x)), x, 2),
+(1/(x^(3//2)*(2 + b*x)^(5//2)), 1/(3*sqrt(x)*(2 + b*x)^(3//2)) + 2/(3*sqrt(x)*sqrt(2 + b*x)) - (2*sqrt(2 + b*x))/(3*sqrt(x)), x, 3),
+(1/(x^(5//2)*(2 + b*x)^(5//2)), 1/(3*x^(3//2)*(2 + b*x)^(3//2)) + 1/(x^(3//2)*sqrt(2 + b*x)) - (2*sqrt(2 + b*x))/(3*x^(3//2)) + (2*b*sqrt(2 + b*x))/(3*sqrt(x)), x, 4),
+
+
+(x^(5//2)/sqrt(2 - b*x), -((5*sqrt(x)*sqrt(2 - b*x))/(2*b^3)) - (5*x^(3//2)*sqrt(2 - b*x))/(6*b^2) - (x^(5//2)*sqrt(2 - b*x))/(3*b) + (5*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/b^(7//2), x, 5),
+(x^(3//2)/sqrt(2 - b*x), -((3*sqrt(x)*sqrt(2 - b*x))/(2*b^2)) - (x^(3//2)*sqrt(2 - b*x))/(2*b) + (3*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/b^(5//2), x, 4),
+(sqrt(x)/sqrt(2 - b*x), -((sqrt(x)*sqrt(2 - b*x))/b) + (2*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/b^(3//2), x, 3),
+(1/(sqrt(x)*sqrt(2 - b*x)), (2*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/sqrt(b), x, 2),
+(1/(x^(3//2)*sqrt(2 - b*x)), -(sqrt(2 - b*x)/sqrt(x)), x, 1),
+(1/(x^(5//2)*sqrt(2 - b*x)), -(sqrt(2 - b*x)/(3*x^(3//2))) - (b*sqrt(2 - b*x))/(3*sqrt(x)), x, 2),
+
+
+(x^(5//2)/(2 - b*x)^(3//2), (2*x^(5//2))/(b*sqrt(2 - b*x)) + (15*sqrt(x)*sqrt(2 - b*x))/(2*b^3) + (5*x^(3//2)*sqrt(2 - b*x))/(2*b^2) - (15*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/b^(7//2), x, 5),
+(x^(3//2)/(2 - b*x)^(3//2), (2*x^(3//2))/(b*sqrt(2 - b*x)) + (3*sqrt(x)*sqrt(2 - b*x))/b^2 - (6*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/b^(5//2), x, 4),
+(sqrt(x)/(2 - b*x)^(3//2), (2*sqrt(x))/(b*sqrt(2 - b*x)) - (2*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/b^(3//2), x, 3),
+(1/(sqrt(x)*(2 - b*x)^(3//2)), sqrt(x)/sqrt(2 - b*x), x, 1),
+(1/(x^(3//2)*(2 - b*x)^(3//2)), 1/(sqrt(x)*sqrt(2 - b*x)) - sqrt(2 - b*x)/sqrt(x), x, 2),
+(1/(x^(5//2)*(2 - b*x)^(3//2)), 1/(x^(3//2)*sqrt(2 - b*x)) - (2*sqrt(2 - b*x))/(3*x^(3//2)) - (2*b*sqrt(2 - b*x))/(3*sqrt(x)), x, 3),
+
+
+(x^(5//2)/(2 - b*x)^(5//2), (2*x^(5//2))/(3*b*(2 - b*x)^(3//2)) - (10*x^(3//2))/(3*b^2*sqrt(2 - b*x)) - (5*sqrt(x)*sqrt(2 - b*x))/b^3 + (10*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/b^(7//2), x, 5),
+(x^(3//2)/(2 - b*x)^(5//2), (2*x^(3//2))/(3*b*(2 - b*x)^(3//2)) - (2*sqrt(x))/(b^2*sqrt(2 - b*x)) + (2*asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)))/b^(5//2), x, 4),
+(sqrt(x)/(2 - b*x)^(5//2), x^(3//2)/(3*(2 - b*x)^(3//2)), x, 1),
+(1/(sqrt(x)*(2 - b*x)^(5//2)), sqrt(x)/(3*(2 - b*x)^(3//2)) + sqrt(x)/(3*sqrt(2 - b*x)), x, 2),
+(1/(x^(3//2)*(2 - b*x)^(5//2)), 1/(3*sqrt(x)*(2 - b*x)^(3//2)) + 2/(3*sqrt(x)*sqrt(2 - b*x)) - (2*sqrt(2 - b*x))/(3*sqrt(x)), x, 3),
+(1/(x^(5//2)*(2 - b*x)^(5//2)), 1/(3*x^(3//2)*(2 - b*x)^(3//2)) + 1/(x^(3//2)*sqrt(2 - b*x)) - (2*sqrt(2 - b*x))/(3*x^(3//2)) - (2*b*sqrt(2 - b*x))/(3*sqrt(x)), x, 4),
+
+
+(sqrt(x)/sqrt(1 - x), (-sqrt(1 - x))*sqrt(x) - (1//2)*asin(1 - 2*x), x, 4),
+(1/(sqrt(x)*sqrt(1 - x)), -asin(1 - 2*x), x, 3),
+(1/(sqrt(x)*sqrt(1 - b*x)), (2*asin(sqrt(b)*sqrt(x)))/sqrt(b), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^(m/3) (a+b x)^n
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(x^(5//3)*(a + b*x), (3*a*x^(8//3))/8 + (3*b*x^(11//3))/11, x, 2),
+(x^(4//3)*(a + b*x), (3*a*x^(7//3))/7 + (3*b*x^(10//3))/10, x, 2),
+(x^(2//3)*(a + b*x), (3*a*x^(5//3))/5 + (3*b*x^(8//3))/8, x, 2),
+(x^(1//3)*(a + b*x), (3*a*x^(4//3))/4 + (3*b*x^(7//3))/7, x, 2),
+((a + b*x)/x^(1//3), (3*a*x^(2//3))/2 + (3*b*x^(5//3))/5, x, 2),
+((a + b*x)/x^(2//3), 3*a*x^(1//3) + (3*b*x^(4//3))/4, x, 2),
+((a + b*x)/x^(4//3), (-3*a)/x^(1//3) + (3*b*x^(2//3))/2, x, 2),
+((a + b*x)/x^(5//3), (-3*a)/(2*x^(2//3)) + 3*b*x^(1//3), x, 2),
+
+
+(x^(5//3)*(a + b*x)^2, (3*a^2*x^(8//3))/8 + (6*a*b*x^(11//3))/11 + (3*b^2*x^(14//3))/14, x, 2),
+(x^(4//3)*(a + b*x)^2, (3*a^2*x^(7//3))/7 + (3*a*b*x^(10//3))/5 + (3*b^2*x^(13//3))/13, x, 2),
+(x^(2//3)*(a + b*x)^2, (3*a^2*x^(5//3))/5 + (3*a*b*x^(8//3))/4 + (3*b^2*x^(11//3))/11, x, 2),
+(x^(1//3)*(a + b*x)^2, (3*a^2*x^(4//3))/4 + (6*a*b*x^(7//3))/7 + (3*b^2*x^(10//3))/10, x, 2),
+((a + b*x)^2/x^(1//3), (3*a^2*x^(2//3))/2 + (6*a*b*x^(5//3))/5 + (3*b^2*x^(8//3))/8, x, 2),
+((a + b*x)^2/x^(2//3), 3*a^2*x^(1//3) + (3*a*b*x^(4//3))/2 + (3*b^2*x^(7//3))/7, x, 2),
+((a + b*x)^2/x^(4//3), (-3*a^2)/x^(1//3) + 3*a*b*x^(2//3) + (3*b^2*x^(5//3))/5, x, 2),
+((a + b*x)^2/x^(5//3), (-3*a^2)/(2*x^(2//3)) + 6*a*b*x^(1//3) + (3*b^2*x^(4//3))/4, x, 2),
+
+
+(x^(5//3)*(a + b*x)^3, (3*a^3*x^(8//3))/8 + (9*a^2*b*x^(11//3))/11 + (9*a*b^2*x^(14//3))/14 + (3*b^3*x^(17//3))/17, x, 2),
+(x^(4//3)*(a + b*x)^3, (3*a^3*x^(7//3))/7 + (9*a^2*b*x^(10//3))/10 + (9*a*b^2*x^(13//3))/13 + (3*b^3*x^(16//3))/16, x, 2),
+(x^(2//3)*(a + b*x)^3, (3*a^3*x^(5//3))/5 + (9*a^2*b*x^(8//3))/8 + (9*a*b^2*x^(11//3))/11 + (3*b^3*x^(14//3))/14, x, 2),
+(x^(1//3)*(a + b*x)^3, (3*a^3*x^(4//3))/4 + (9*a^2*b*x^(7//3))/7 + (9*a*b^2*x^(10//3))/10 + (3*b^3*x^(13//3))/13, x, 2),
+((a + b*x)^3/x^(1//3), (3*a^3*x^(2//3))/2 + (9*a^2*b*x^(5//3))/5 + (9*a*b^2*x^(8//3))/8 + (3*b^3*x^(11//3))/11, x, 2),
+((a + b*x)^3/x^(2//3), 3*a^3*x^(1//3) + (9*a^2*b*x^(4//3))/4 + (9*a*b^2*x^(7//3))/7 + (3*b^3*x^(10//3))/10, x, 2),
+((a + b*x)^3/x^(4//3), (-3*a^3)/x^(1//3) + (9*a^2*b*x^(2//3))/2 + (9*a*b^2*x^(5//3))/5 + (3*b^3*x^(8//3))/8, x, 2),
+((a + b*x)^3/x^(5//3), (-3*a^3)/(2*x^(2//3)) + 9*a^2*b*x^(1//3) + (9*a*b^2*x^(4//3))/4 + (3*b^3*x^(7//3))/7, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(x^(5//3)/(a + b*x), -((3*a*x^(2//3))/(2*b^2)) + (3*x^(5//3))/(5*b) - (sqrt(3)*a^(5//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/b^(8//3) - (3*a^(5//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3)))/(2*b^(8//3)) + (a^(5//3)*log(a + b*x))/(2*b^(8//3)), x, 6),
+(x^(4//3)/(a + b*x), -((3*a*x^(1//3))/b^2) + (3*x^(4//3))/(4*b) - (sqrt(3)*a^(4//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/b^(7//3) + (3*a^(4//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3)))/(2*b^(7//3)) - (a^(4//3)*log(a + b*x))/(2*b^(7//3)), x, 6),
+(x^(2//3)/(a + b*x), (3*x^(2//3))/(2*b) + (sqrt(3)*a^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/b^(5//3) + (3*a^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3)))/(2*b^(5//3)) - (a^(2//3)*log(a + b*x))/(2*b^(5//3)), x, 5),
+(x^(1//3)/(a + b*x), (3*x^(1//3))/b + (sqrt(3)*a^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/b^(4//3) - (3*a^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3)))/(2*b^(4//3)) + (a^(1//3)*log(a + b*x))/(2*b^(4//3)), x, 5),
+(1/(x^(1//3)*(a + b*x)), -((sqrt(3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(a^(1//3)*b^(2//3))) - (3*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3)))/(2*a^(1//3)*b^(2//3)) + log(a + b*x)/(2*a^(1//3)*b^(2//3)), x, 4),
+(1/(x^(2//3)*(a + b*x)), -((sqrt(3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(a^(2//3)*b^(1//3))) + (3*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3)))/(2*a^(2//3)*b^(1//3)) - log(a + b*x)/(2*a^(2//3)*b^(1//3)), x, 4),
+(1/(x^(4//3)*(a + b*x)), -(3/(a*x^(1//3))) + (sqrt(3)*b^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/a^(4//3) + (3*b^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3)))/(2*a^(4//3)) - (b^(1//3)*log(a + b*x))/(2*a^(4//3)), x, 5),
+(1/(x^(5//3)*(a + b*x)), -(3/(2*a*x^(2//3))) + (sqrt(3)*b^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/a^(5//3) - (3*b^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3)))/(2*a^(5//3)) + (b^(2//3)*log(a + b*x))/(2*a^(5//3)), x, 5),
+
+
+(x^(5//3)/(a + b*x)^2, (5*x^(2//3))/(2*b^2) - x^(5//3)/(b*(a + b*x)) + (5*a^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(8//3)) + (5*a^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3)))/(2*b^(8//3)) - (5*a^(2//3)*log(a + b*x))/(6*b^(8//3)), x, 6),
+(x^(4//3)/(a + b*x)^2, (4*x^(1//3))/b^2 - x^(4//3)/(b*(a + b*x)) + (4*a^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(7//3)) - (2*a^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3)))/b^(7//3) + (2*a^(1//3)*log(a + b*x))/(3*b^(7//3)), x, 6),
+(x^(2//3)/(a + b*x)^2, -(x^(2//3)/(b*(a + b*x))) - (2*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(1//3)*b^(5//3)) - log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3))/(a^(1//3)*b^(5//3)) + log(a + b*x)/(3*a^(1//3)*b^(5//3)), x, 5),
+(x^(1//3)/(a + b*x)^2, -(x^(1//3)/(b*(a + b*x))) - atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(4//3)) + log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3))/(2*a^(2//3)*b^(4//3)) - log(a + b*x)/(6*a^(2//3)*b^(4//3)), x, 5),
+(1/(x^(1//3)*(a + b*x)^2), x^(2//3)/(a*(a + b*x)) - atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(4//3)*b^(2//3)) - log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3))/(2*a^(4//3)*b^(2//3)) + log(a + b*x)/(6*a^(4//3)*b^(2//3)), x, 5),
+(1/(x^(2//3)*(a + b*x)^2), x^(1//3)/(a*(a + b*x)) - (2*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(5//3)*b^(1//3)) + log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3))/(a^(5//3)*b^(1//3)) - log(a + b*x)/(3*a^(5//3)*b^(1//3)), x, 5),
+(1/(x^(4//3)*(a + b*x)^2), -(4/(a^2*x^(1//3))) + 1/(a*x^(1//3)*(a + b*x)) + (4*b^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(7//3)) + (2*b^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3)))/a^(7//3) - (2*b^(1//3)*log(a + b*x))/(3*a^(7//3)), x, 6),
+(1/(x^(5//3)*(a + b*x)^2), -(5/(2*a^2*x^(2//3))) + 1/(a*x^(2//3)*(a + b*x)) + (5*b^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(8//3)) - (5*b^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3)))/(2*a^(8//3)) + (5*b^(2//3)*log(a + b*x))/(6*a^(8//3)), x, 6),
+
+
+(x^(5//3)/(a + b*x)^3, -(x^(5//3)/(2*b*(a + b*x)^2)) - (5*x^(2//3))/(6*b^2*(a + b*x)) - (5*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(1//3)*b^(8//3)) - (5*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3)))/(6*a^(1//3)*b^(8//3)) + (5*log(a + b*x))/(18*a^(1//3)*b^(8//3)), x, 6),
+(x^(4//3)/(a + b*x)^3, -(x^(4//3)/(2*b*(a + b*x)^2)) - (2*x^(1//3))/(3*b^2*(a + b*x)) - (2*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(2//3)*b^(7//3)) + log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3))/(3*a^(2//3)*b^(7//3)) - log(a + b*x)/(9*a^(2//3)*b^(7//3)), x, 6),
+(x^(2//3)/(a + b*x)^3, -(x^(2//3)/(2*b*(a + b*x)^2)) + x^(2//3)/(3*a*b*(a + b*x)) - atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(3*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(5//3)) - log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3))/(6*a^(4//3)*b^(5//3)) + log(a + b*x)/(18*a^(4//3)*b^(5//3)), x, 6),
+(x^(1//3)/(a + b*x)^3, -(x^(1//3)/(2*b*(a + b*x)^2)) + x^(1//3)/(6*a*b*(a + b*x)) - atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(4//3)) + log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3))/(6*a^(5//3)*b^(4//3)) - log(a + b*x)/(18*a^(5//3)*b^(4//3)), x, 6),
+(1/(x^(1//3)*(a + b*x)^3), x^(2//3)/(2*a*(a + b*x)^2) + (2*x^(2//3))/(3*a^2*(a + b*x)) - (2*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(7//3)*b^(2//3)) - log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3))/(3*a^(7//3)*b^(2//3)) + log(a + b*x)/(9*a^(7//3)*b^(2//3)), x, 6),
+(1/(x^(2//3)*(a + b*x)^3), x^(1//3)/(2*a*(a + b*x)^2) + (5*x^(1//3))/(6*a^2*(a + b*x)) - (5*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(8//3)*b^(1//3)) + (5*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3)))/(6*a^(8//3)*b^(1//3)) - (5*log(a + b*x))/(18*a^(8//3)*b^(1//3)), x, 6),
+(1/(x^(4//3)*(a + b*x)^3), -(14/(3*a^3*x^(1//3))) + 1/(2*a*x^(1//3)*(a + b*x)^2) + 7/(6*a^2*x^(1//3)*(a + b*x)) + (14*b^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(10//3)) + (7*b^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3)))/(3*a^(10//3)) - (7*b^(1//3)*log(a + b*x))/(9*a^(10//3)), x, 7),
+(1/(x^(5//3)*(a + b*x)^3), -(10/(3*a^3*x^(2//3))) + 1/(2*a*x^(2//3)*(a + b*x)^2) + 4/(3*a^2*x^(2//3)*(a + b*x)) + (20*b^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(11//3)) - (10*b^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(1//3)))/(3*a^(11//3)) + (10*b^(2//3)*log(a + b*x))/(9*a^(11//3)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^(m/4) (a+b x)^n
+
+
+((1 - x)^(1//4)/(1 + x), 4*(1 - x)^(1//4) - 2*2^(1//4)*atan((1 - x)^(1//4)/2^(1//4)) - 2*2^(1//4)*atanh((1 - x)^(1//4)/2^(1//4)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x)^n when m is symbolic
+
+
+(x^m*(a + b*x)^10, (a^10*x^(1 + m))/(1 + m) + (10*a^9*b*x^(2 + m))/(2 + m) + (45*a^8*b^2*x^(3 + m))/(3 + m) + (120*a^7*b^3*x^(4 + m))/(4 + m) + (210*a^6*b^4*x^(5 + m))/(5 + m) + (252*a^5*b^5*x^(6 + m))/(6 + m) + (210*a^4*b^6*x^(7 + m))/(7 + m) + (120*a^3*b^7*x^(8 + m))/(8 + m) + (45*a^2*b^8*x^(9 + m))/(9 + m) + (10*a*b^9*x^(10 + m))/(10 + m) + (b^10*x^(11 + m))/(11 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x)^7, (a^7*x^(1 + m))/(1 + m) + (7*a^6*b*x^(2 + m))/(2 + m) + (21*a^5*b^2*x^(3 + m))/(3 + m) + (35*a^4*b^3*x^(4 + m))/(4 + m) + (35*a^3*b^4*x^(5 + m))/(5 + m) + (21*a^2*b^5*x^(6 + m))/(6 + m) + (7*a*b^6*x^(7 + m))/(7 + m) + (b^7*x^(8 + m))/(8 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x)^3, (a^3*x^(1 + m))/(1 + m) + (3*a^2*b*x^(2 + m))/(2 + m) + (3*a*b^2*x^(3 + m))/(3 + m) + (b^3*x^(4 + m))/(4 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x)^2, (a^2*x^(1 + m))/(1 + m) + (2*a*b*x^(2 + m))/(2 + m) + (b^2*x^(3 + m))/(3 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x)^1, (a*x^(1 + m))/(1 + m) + (b*x^(2 + m))/(2 + m), x, 2),
+(x^m/(a + b*x)^1, (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)))/(a*(1 + m)), x, 1),
+(x^m/(a + b*x)^2, (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)))/(a^2*(1 + m)), x, 1),
+(x^m/(a + b*x)^3, (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)))/(a^3*(1 + m)), x, 1),
+
+
+(x^m*(a + b*x)^(5//2), (2*x^m*(a + b*x)^(7//2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(7//2, -m, 9//2, 1 + (b*x)/a))/((-((b*x)/a))^m*(7*b)), x, 2),
+(x^m*(a + b*x)^(3//2), (2*x^m*(a + b*x)^(5//2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -m, 7//2, 1 + (b*x)/a))/((-((b*x)/a))^m*(5*b)), x, 2),
+(x^m*(a + b*x)^(1//2), (2*x^m*(a + b*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -m, 5//2, 1 + (b*x)/a))/((-((b*x)/a))^m*(3*b)), x, 2),
+(x^m/(a + b*x)^(1//2), (2*x^m*sqrt(a + b*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -m, 3//2, 1 + (b*x)/a))/((-((b*x)/a))^m*b), x, 2),
+(x^m/(a + b*x)^(3//2), -((2*x^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), -m, 1//2, 1 + (b*x)/a))/((-((b*x)/a))^m*(b*sqrt(a + b*x)))), x, 2),
+(x^m/(a + b*x)^(5//2), -((2*x^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), -m, -(1//2), 1 + (b*x)/a))/((-((b*x)/a))^m*(3*b*(a + b*x)^(3//2)))), x, 2),
+
+
+(x^(2 + m)/sqrt(a + b*x), (2*a^2*x^m*sqrt(a + b*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -2 - m, 3//2, 1 + (b*x)/a))/((-((b*x)/a))^m*b^3), x, 2),
+(x^(1 + m)/sqrt(a + b*x), -((2*a*x^m*sqrt(a + b*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -1 - m, 3//2, 1 + (b*x)/a))/((-((b*x)/a))^m*b^2)), x, 2),
+(x^(0 + m)/sqrt(a + b*x), (2*x^m*sqrt(a + b*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -m, 3//2, 1 + (b*x)/a))/((-((b*x)/a))^m*b), x, 2),
+(x^(-1 + m)/sqrt(a + b*x), -((2*x^m*sqrt(a + b*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 1 - m, 3//2, 1 + (b*x)/a))/((-((b*x)/a))^m*a)), x, 2),
+(x^(-2 + m)/sqrt(a + b*x), (2*b*x^m*sqrt(a + b*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 2 - m, 3//2, 1 + (b*x)/a))/((-((b*x)/a))^m*a^2), x, 2),
+(x^(-3 + m)/sqrt(a + b*x), -((2*b^2*x^m*sqrt(a + b*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 3 - m, 3//2, 1 + (b*x)/a))/((-((b*x)/a))^m*a^3)), x, 2),
+
+
+(x^m/sqrt(2 + 3*x), (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 1 + m, 2 + m, -((3*x)/2)))/(sqrt(2)*(1 + m)), x, 1),
+(x^m/sqrt(2 - 3*x), (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 1 + m, 2 + m, (3*x)/2))/(sqrt(2)*(1 + m)), x, 1),
+(x^m/sqrt(-2 + 3*x), (3//2)^(-1 - m)*sqrt(-2 + 3*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -m, 3//2, 1 - (3*x)/2), x, 1),
+(x^m/sqrt(-2 - 3*x), ((-2^(1 + m))*3^(-1 - m)*sqrt(-2 - 3*x)*x^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -m, 3//2, 1 + (3*x)/2))/(-x)^m, x, 3),
+
+
+((-x)^m/sqrt(a + b*x), (2*(-x)^m*sqrt(a + b*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -m, 3//2, 1 + (b*x)/a))/((-((b*x)/a))^m*b), x, 2),
+((-x)^m/sqrt(2 + 3*x), -(((-x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 1 + m, 2 + m, (-(1//2))*(3*x)))/(sqrt(2)*(1 + m))), x, 1),
+((-x)^m/sqrt(2 - 3*x), -(((-x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 1 + m, 2 + m, (3*x)/2))/(sqrt(2)*(1 + m))), x, 1),
+((-x)^m/sqrt(-2 + 3*x), (2^(1 + m)*3^(-1 - m)*(-x)^m*sqrt(-2 + 3*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -m, 3//2, 1 - (3*x)/2))/x^m, x, 3),
+((-x)^m/sqrt(-2 - 3*x), (-(3//2)^(-1 - m))*sqrt(-2 - 3*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -m, 3//2, 1 + (3*x)/2), x, 1),
+
+
+(x^n/sqrt(1 - x), -2*sqrt(1 - x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -n, 3//2, 1 - x), x, 1),
+(x^n/sqrt(a - a*x), -((2*sqrt(a - a*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -n, 3//2, 1 - x))/a), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x)^n when n is symbolic
+
+
+(x^m*(a + b*x)^n, (x^(1 + m)*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -((b*x)/a)))/((1 + (b*x)/a)^n*(1 + m)), x, 2),
+((c*x)^m*(a + b*x)^n, ((c*x)^(1 + m)*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -((b*x)/a)))/((1 + (b*x)/a)^n*(c*(1 + m))), x, 2),
+
+
+(x^3*(a + b*x)^n, -((a^3*(a + b*x)^(1 + n))/(b^4*(1 + n))) + (3*a^2*(a + b*x)^(2 + n))/(b^4*(2 + n)) - (3*a*(a + b*x)^(3 + n))/(b^4*(3 + n)) + (a + b*x)^(4 + n)/(b^4*(4 + n)), x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^n, (a^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b^3*(1 + n)) - (2*a*(a + b*x)^(2 + n))/(b^3*(2 + n)) + (a + b*x)^(3 + n)/(b^3*(3 + n)), x, 2),
+(x^1*(a + b*x)^n, -((a*(a + b*x)^(1 + n))/(b^2*(1 + n))) + (a + b*x)^(2 + n)/(b^2*(2 + n)), x, 2),
+(x^0*(a + b*x)^n, (a + b*x)^(1 + n)/(b*(1 + n)), x, 1),
+((a + b*x)^n/x^1, -(((a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a*(1 + n))), x, 1),
+((a + b*x)^n/x^2, (b*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^2*(1 + n)), x, 1),
+((a + b*x)^n/x^3, -((b^2*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^3*(1 + n))), x, 1),
+
+
+# {x^(-4 + n)/(a + b*x)^n, x, 3, If[$VersionNumber>=8, -((x^(-3 + n)*(a + b*x)^(1 - n))/(a*(3 - n))) + (2*b*x^(-2 + n)*(a + b*x)^(1 - n))/(a^2*(2 - n)*(3 - n)) - (2*b^2*x^(-1 + n)*(a + b*x)^(1 - n))/(a^3*(1 - n)*(2 - n)*(3 - n)), -((x^(-3 + n)*(a + b*x)^(1 - n))/(a*(3 - n))) + (2*b*x^(-2 + n)*(a + b*x)^(1 - n))/(a^2*(2 - n)*(3 - n)) - (2*b^2*x^(-1 + n)*(a + b*x)^(1 - n))/(a^3*(3 - n)*(2 - 3*n + n^2))]}
+(x^(-3 + n)/(a + b*x)^n, -((x^(-2 + n)*(a + b*x)^(1 - n))/(a*(2 - n))) + (b*x^(-1 + n)*(a + b*x)^(1 - n))/(a^2*(1 - n)*(2 - n)), x, 2),
+(x^(-2 + n)/(a + b*x)^n, -((x^(-1 + n)*(a + b*x)^(1 - n))/(a*(1 - n))), x, 1),
+(x^(-1 + n)/(a + b*x)^n, (x^n*(1 + (b*x)/a)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, n, 1 + n, -((b*x)/a)))/((a + b*x)^n*n), x, 2),
+(x^(0 + n)/(a + b*x)^n, (x^(1 + n)*(1 + (b*x)/a)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 1 + n, 2 + n, -((b*x)/a)))/((a + b*x)^n*(1 + n)), x, 2),
+(x^(1 + n)/(a + b*x)^n, (x^(2 + n)*(1 + (b*x)/a)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 2 + n, 3 + n, -((b*x)/a)))/((a + b*x)^n*(2 + n)), x, 2),
+
+
+(x^(3//2)*(a + b*x)^n, ((2//5)*x^(5//2)*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -n, 7//2, -((b*x)/a)))/(1 + (b*x)/a)^n, x, 2),
+(x^(1//2)*(a + b*x)^n, ((2//3)*x^(3//2)*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -n, 5//2, -((b*x)/a)))/(1 + (b*x)/a)^n, x, 2),
+((a + b*x)^n/x^(1//2), (2*sqrt(x)*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -n, 3//2, -((b*x)/a)))/(1 + (b*x)/a)^n, x, 2),
+((a + b*x)^n/x^(3//2), -((2*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), -n, 1//2, -((b*x)/a)))/((1 + (b*x)/a)^n*sqrt(x))), x, 2),
+((a + b*x)^n/x^(5//2), -((2*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), -n, -(1//2), -((b*x)/a)))/((1 + (b*x)/a)^n*(3*x^(3//2)))), x, 2),
+
+
+((b*x)^m*(2 + d*x)^n, (2^n*(b*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -((d*x)/2)))/(b*(1 + m)), x, 1),
+((b*x)^m*(c - b*c*x)^n, -(((c - b*c*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-m, 1 + n, 2 + n, 1 - b*x))/(b*c*(1 + n))), x, 1),
+((b*x)^m*(c + d*x)^n, ((b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -((d*x)/c)))/((1 + (d*x)/c)^n*(b*(1 + m))), x, 2),
+
+
+(x^(-1 + n)*(a + b*x)^(-1 - n), x^n/(a*n*(a + b*x)^n), x, 1),
+
+(x^(-3 - n)*(a + b*x)^n, -((x^(-2 - n)*(a + b*x)^(1 + n))/(a*(2 + n))) + (b*x^(-1 - n)*(a + b*x)^(1 + n))/(a^2*(1 + n)*(2 + n)), x, 2),
+# {x^(2*n - 3*(1 + n))*(a + b*x)^n, x, 2, If[$VersionNumber>=8, -((x^(-2 - n)*(a + b*x)^(1 + n))/(a*(2 + n))) + (b*x^(-1 - n)*(a + b*x)^(1 + n))/(a^2*(1 + n)*(2 + n)), -((x^(-2 - n)*(a + b*x)^(1 + n))/(a*(2 + n))) + (b*x^(-1 - n)*(a + b*x)^(1 + n))/(a^2*(2 + 3*n + n^2))]}
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (c x^2)^p (a+b x)^n
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (c x^2)^(p/2) (a+b x)^n
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c x^2)^(p/2) (a+b x)^1
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*sqrt(c*x^2)*(a + b*x), (a*x^4*sqrt(c*x^2))/5 + (b*x^5*sqrt(c*x^2))/6, x, 3),
+(x^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x), (a*x^3*sqrt(c*x^2))/4 + (b*x^4*sqrt(c*x^2))/5, x, 3),
+(x*sqrt(c*x^2)*(a + b*x), (a*x^2*sqrt(c*x^2))/3 + (b*x^3*sqrt(c*x^2))/4, x, 3),
+(sqrt(c*x^2)*(a + b*x), (a*x*sqrt(c*x^2))/2 + (b*x^2*sqrt(c*x^2))/3, x, 3),
+((sqrt(c*x^2)*(a + b*x))/x, a*sqrt(c*x^2) + (b*x*sqrt(c*x^2))/2, x, 2),
+((sqrt(c*x^2)*(a + b*x))/x^2, b*sqrt(c*x^2) + (a*sqrt(c*x^2)*log(x))/x, x, 3),
+((sqrt(c*x^2)*(a + b*x))/x^3, -((a*sqrt(c*x^2))/x^2) + (b*sqrt(c*x^2)*log(x))/x, x, 3),
+((sqrt(c*x^2)*(a + b*x))/x^4, -((sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^2)/(2*a*x^3)), x, 2),
+
+
+(x^3*(c*x^2)^(3//2)*(a + b*x), (a*c*x^6*sqrt(c*x^2))/7 + (b*c*x^7*sqrt(c*x^2))/8, x, 3),
+(x^2*(c*x^2)^(3//2)*(a + b*x), (a*c*x^5*sqrt(c*x^2))/6 + (b*c*x^6*sqrt(c*x^2))/7, x, 3),
+(x*(c*x^2)^(3//2)*(a + b*x), (a*c*x^4*sqrt(c*x^2))/5 + (b*c*x^5*sqrt(c*x^2))/6, x, 3),
+((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x), (a*c*x^3*sqrt(c*x^2))/4 + (b*c*x^4*sqrt(c*x^2))/5, x, 3),
+(((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x))/x, (a*c*x^2*sqrt(c*x^2))/3 + (b*c*x^3*sqrt(c*x^2))/4, x, 3),
+(((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x))/x^2, (a*c*x*sqrt(c*x^2))/2 + (b*c*x^2*sqrt(c*x^2))/3, x, 3),
+(((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x))/x^3, a*c*sqrt(c*x^2) + (b*c*x*sqrt(c*x^2))/2, x, 2),
+(((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x))/x^4, b*c*sqrt(c*x^2) + (a*c*sqrt(c*x^2)*log(x))/x, x, 3),
+
+
+(x^3*(c*x^2)^(5//2)*(a + b*x), (a*c^2*x^8*sqrt(c*x^2))/9 + (b*c^2*x^9*sqrt(c*x^2))/10, x, 3),
+(x^2*(c*x^2)^(5//2)*(a + b*x), (a*c^2*x^7*sqrt(c*x^2))/8 + (b*c^2*x^8*sqrt(c*x^2))/9, x, 3),
+(x*(c*x^2)^(5//2)*(a + b*x), (a*c^2*x^6*sqrt(c*x^2))/7 + (b*c^2*x^7*sqrt(c*x^2))/8, x, 3),
+((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x), (a*c^2*x^5*sqrt(c*x^2))/6 + (b*c^2*x^6*sqrt(c*x^2))/7, x, 3),
+(((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x))/x, (a*c^2*x^4*sqrt(c*x^2))/5 + (b*c^2*x^5*sqrt(c*x^2))/6, x, 3),
+(((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x))/x^2, (a*c^2*x^3*sqrt(c*x^2))/4 + (b*c^2*x^4*sqrt(c*x^2))/5, x, 3),
+(((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x))/x^3, (a*c^2*x^2*sqrt(c*x^2))/3 + (b*c^2*x^3*sqrt(c*x^2))/4, x, 3),
+(((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x))/x^4, (a*c^2*x*sqrt(c*x^2))/2 + (b*c^2*x^2*sqrt(c*x^2))/3, x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^3*(a + b*x))/sqrt(c*x^2), (a*x^4)/(3*sqrt(c*x^2)) + (b*x^5)/(4*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((x^2*(a + b*x))/sqrt(c*x^2), (a*x^3)/(2*sqrt(c*x^2)) + (b*x^4)/(3*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((x^1*(a + b*x))/sqrt(c*x^2), (a*x^2)/sqrt(c*x^2) + (b*x^3)/(2*sqrt(c*x^2)), x, 2),
+((a + b*x)/sqrt(c*x^2), (b*x^2)/sqrt(c*x^2) + (a*x*log(x))/sqrt(c*x^2), x, 3),
+((a + b*x)/(x^1*sqrt(c*x^2)), -(a/sqrt(c*x^2)) + (b*x*log(x))/sqrt(c*x^2), x, 3),
+((a + b*x)/(x^2*sqrt(c*x^2)), -((a + b*x)^2/(2*a*x*sqrt(c*x^2))), x, 2),
+((a + b*x)/(x^3*sqrt(c*x^2)), -a/(3*x^2*sqrt(c*x^2)) - b/(2*x*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/(x^4*sqrt(c*x^2)), -a/(4*x^3*sqrt(c*x^2)) - b/(3*x^2*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+
+
+((x^3*(a + b*x))/(c*x^2)^(3//2), (a*x^2)/(c*sqrt(c*x^2)) + (b*x^3)/(2*c*sqrt(c*x^2)), x, 2),
+((x^2*(a + b*x))/(c*x^2)^(3//2), (b*x^2)/(c*sqrt(c*x^2)) + (a*x*log(x))/(c*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((x^1*(a + b*x))/(c*x^2)^(3//2), -(a/(c*sqrt(c*x^2))) + (b*x*log(x))/(c*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/(c*x^2)^(3//2), -((a + b*x)^2/(2*a*c*x*sqrt(c*x^2))), x, 2),
+((a + b*x)/(x^1*(c*x^2)^(3//2)), -a/(3*c*x^2*sqrt(c*x^2)) - b/(2*c*x*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/(x^2*(c*x^2)^(3//2)), -a/(4*c*x^3*sqrt(c*x^2)) - b/(3*c*x^2*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/(x^3*(c*x^2)^(3//2)), -a/(5*c*x^4*sqrt(c*x^2)) - b/(4*c*x^3*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/(x^4*(c*x^2)^(3//2)), -a/(6*c*x^5*sqrt(c*x^2)) - b/(5*c*x^4*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+
+
+((x^3*(a + b*x))/(c*x^2)^(5//2), -(a/(c^2*sqrt(c*x^2))) + (b*x*log(x))/(c^2*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((x^2*(a + b*x))/(c*x^2)^(5//2), -((a + b*x)^2/(2*a*c^2*x*sqrt(c*x^2))), x, 2),
+((x*(a + b*x))/(c*x^2)^(5//2), -a/(3*c^2*x^2*sqrt(c*x^2)) - b/(2*c^2*x*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/(c*x^2)^(5//2), -a/(4*c^2*x^3*sqrt(c*x^2)) - b/(3*c^2*x^2*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/(x*(c*x^2)^(5//2)), -a/(5*c^2*x^4*sqrt(c*x^2)) - b/(4*c^2*x^3*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/(x^2*(c*x^2)^(5//2)), -a/(6*c^2*x^5*sqrt(c*x^2)) - b/(5*c^2*x^4*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/(x^3*(c*x^2)^(5//2)), -a/(7*c^2*x^6*sqrt(c*x^2)) - b/(6*c^2*x^5*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/(x^4*(c*x^2)^(5//2)), -a/(8*c^2*x^7*sqrt(c*x^2)) - b/(7*c^2*x^6*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c x^2)^(p/2) (a+b x)^2
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^2, (a^2*x^4*sqrt(c*x^2))/5 + (a*b*x^5*sqrt(c*x^2))/3 + (b^2*x^6*sqrt(c*x^2))/7, x, 3),
+(x^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^2, (a^2*x^3*sqrt(c*x^2))/4 + (2*a*b*x^4*sqrt(c*x^2))/5 + (b^2*x^5*sqrt(c*x^2))/6, x, 3),
+(x*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^2, (a^2*x^2*sqrt(c*x^2))/3 + (a*b*x^3*sqrt(c*x^2))/2 + (b^2*x^4*sqrt(c*x^2))/5, x, 3),
+(sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^2, (1//2)*a^2*x*sqrt(c*x^2) + (2//3)*a*b*x^2*sqrt(c*x^2) + (1//4)*b^2*x^3*sqrt(c*x^2), x, 3),
+((sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^2)/x, (sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^3)/(3*b*x), x, 2),
+((sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^2)/x^2, 2*a*b*sqrt(c*x^2) + (b^2*x*sqrt(c*x^2))/2 + (a^2*sqrt(c*x^2)*log(x))/x, x, 3),
+((sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^2)/x^3, b^2*sqrt(c*x^2) - (a^2*sqrt(c*x^2))/x^2 + (2*a*b*sqrt(c*x^2)*log(x))/x, x, 3),
+((sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^2)/x^4, -(a^2*sqrt(c*x^2))/(2*x^3) - (2*a*b*sqrt(c*x^2))/x^2 + (b^2*sqrt(c*x^2)*log(x))/x, x, 3),
+
+
+(x^3*(c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^2, (a^2*c*x^6*sqrt(c*x^2))/7 + (a*b*c*x^7*sqrt(c*x^2))/4 + (b^2*c*x^8*sqrt(c*x^2))/9, x, 3),
+(x^2*(c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^2, (a^2*c*x^5*sqrt(c*x^2))/6 + (2*a*b*c*x^6*sqrt(c*x^2))/7 + (b^2*c*x^7*sqrt(c*x^2))/8, x, 3),
+(x*(c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^2, (a^2*c*x^4*sqrt(c*x^2))/5 + (a*b*c*x^5*sqrt(c*x^2))/3 + (b^2*c*x^6*sqrt(c*x^2))/7, x, 3),
+((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^2, (a^2*c*x^3*sqrt(c*x^2))/4 + (2*a*b*c*x^4*sqrt(c*x^2))/5 + (b^2*c*x^5*sqrt(c*x^2))/6, x, 3),
+(((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^2)/x, (a^2*c*x^2*sqrt(c*x^2))/3 + (a*b*c*x^3*sqrt(c*x^2))/2 + (b^2*c*x^4*sqrt(c*x^2))/5, x, 3),
+(((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^2)/x^2, (1//2)*a^2*c*x*sqrt(c*x^2) + (2//3)*a*b*c*x^2*sqrt(c*x^2) + (1//4)*b^2*c*x^3*sqrt(c*x^2), x, 3),
+(((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^2)/x^3, (c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^3)/(3*b*x), x, 2),
+(((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^2)/x^4, 2*a*b*c*sqrt(c*x^2) + (b^2*c*x*sqrt(c*x^2))/2 + (a^2*c*sqrt(c*x^2)*log(x))/x, x, 3),
+
+
+(x*(c*x^2)^(5//2)*(a + b*x)^2, (a^2*c^2*x^6*sqrt(c*x^2))/7 + (a*b*c^2*x^7*sqrt(c*x^2))/4 + (b^2*c^2*x^8*sqrt(c*x^2))/9, x, 3),
+((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x)^2, (a^2*c^2*x^5*sqrt(c*x^2))/6 + (2*a*b*c^2*x^6*sqrt(c*x^2))/7 + (b^2*c^2*x^7*sqrt(c*x^2))/8, x, 3),
+(((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x)^2)/x, (a^2*c^2*x^4*sqrt(c*x^2))/5 + (a*b*c^2*x^5*sqrt(c*x^2))/3 + (b^2*c^2*x^6*sqrt(c*x^2))/7, x, 3),
+(((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x)^2)/x^2, (a^2*c^2*x^3*sqrt(c*x^2))/4 + (2*a*b*c^2*x^4*sqrt(c*x^2))/5 + (b^2*c^2*x^5*sqrt(c*x^2))/6, x, 3),
+(((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x)^2)/x^3, (a^2*c^2*x^2*sqrt(c*x^2))/3 + (a*b*c^2*x^3*sqrt(c*x^2))/2 + (b^2*c^2*x^4*sqrt(c*x^2))/5, x, 3),
+(((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x)^2)/x^4, (1//2)*a^2*c^2*x*sqrt(c*x^2) + (2//3)*a*b*c^2*x^2*sqrt(c*x^2) + (1//4)*b^2*c^2*x^3*sqrt(c*x^2), x, 3),
+(((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x)^2)/x^5, (c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^3)/(3*b*x), x, 2),
+(((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x)^2)/x^6, 2*a*b*c^2*sqrt(c*x^2) + (1//2)*b^2*c^2*x*sqrt(c*x^2) + (a^2*c^2*sqrt(c*x^2)*log(x))/x, x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^3*(a + b*x)^2)/sqrt(c*x^2), (a^2*x^4)/(3*sqrt(c*x^2)) + (a*b*x^5)/(2*sqrt(c*x^2)) + (b^2*x^6)/(5*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((x^2*(a + b*x)^2)/sqrt(c*x^2), (a^2*x^3)/(2*sqrt(c*x^2)) + (2*a*b*x^4)/(3*sqrt(c*x^2)) + (b^2*x^5)/(4*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((x^1*(a + b*x)^2)/sqrt(c*x^2), (x*(a + b*x)^3)/(3*b*sqrt(c*x^2)), x, 2),
+((a + b*x)^2/sqrt(c*x^2), (2*a*b*x^2)/sqrt(c*x^2) + (b^2*x^3)/(2*sqrt(c*x^2)) + (a^2*x*log(x))/sqrt(c*x^2), x, 3),
+((a + b*x)^2/(x*sqrt(c*x^2)), -(a^2/sqrt(c*x^2)) + (b^2*x^2)/sqrt(c*x^2) + (2*a*b*x*log(x))/sqrt(c*x^2), x, 3),
+((a + b*x)^2/(x^2*sqrt(c*x^2)), (-2*a*b)/sqrt(c*x^2) - a^2/(2*x*sqrt(c*x^2)) + (b^2*x*log(x))/sqrt(c*x^2), x, 3),
+((a + b*x)^2/(x^3*sqrt(c*x^2)), -(a + b*x)^3/(3*a*x^2*sqrt(c*x^2)), x, 2),
+((a + b*x)^2/(x^4*sqrt(c*x^2)), -a^2/(4*x^3*sqrt(c*x^2)) - (2*a*b)/(3*x^2*sqrt(c*x^2)) - b^2/(2*x*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+
+
+((x^3*(a + b*x)^2)/(c*x^2)^(3//2), (x*(a + b*x)^3)/(3*b*c*sqrt(c*x^2)), x, 2),
+((x^2*(a + b*x)^2)/(c*x^2)^(3//2), (2*a*b*x^2)/(c*sqrt(c*x^2)) + (b^2*x^3)/(2*c*sqrt(c*x^2)) + (a^2*x*log(x))/(c*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((x^1*(a + b*x)^2)/(c*x^2)^(3//2), -(a^2/(c*sqrt(c*x^2))) + (b^2*x^2)/(c*sqrt(c*x^2)) + (2*a*b*x*log(x))/(c*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)^2/(c*x^2)^(3//2), (-2*a*b)/(c*sqrt(c*x^2)) - a^2/(2*c*x*sqrt(c*x^2)) + (b^2*x*log(x))/(c*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)^2/(x^1*(c*x^2)^(3//2)), -(a + b*x)^3/(3*a*c*x^2*sqrt(c*x^2)), x, 2),
+((a + b*x)^2/(x^2*(c*x^2)^(3//2)), -a^2/(4*c*x^3*sqrt(c*x^2)) - (2*a*b)/(3*c*x^2*sqrt(c*x^2)) - b^2/(2*c*x*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)^2/(x^3*(c*x^2)^(3//2)), -a^2/(5*c*x^4*sqrt(c*x^2)) - (a*b)/(2*c*x^3*sqrt(c*x^2)) - b^2/(3*c*x^2*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)^2/(x^4*(c*x^2)^(3//2)), -a^2/(6*c*x^5*sqrt(c*x^2)) - (2*a*b)/(5*c*x^4*sqrt(c*x^2)) - b^2/(4*c*x^3*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+
+
+((x^3*(a + b*x)^2)/(c*x^2)^(5//2), -(a^2/(c^2*sqrt(c*x^2))) + (b^2*x^2)/(c^2*sqrt(c*x^2)) + (2*a*b*x*log(x))/(c^2*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((x^2*(a + b*x)^2)/(c*x^2)^(5//2), (-2*a*b)/(c^2*sqrt(c*x^2)) - a^2/(2*c^2*x*sqrt(c*x^2)) + (b^2*x*log(x))/(c^2*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((x*(a + b*x)^2)/(c*x^2)^(5//2), -(a + b*x)^3/(3*a*c^2*x^2*sqrt(c*x^2)), x, 2),
+((a + b*x)^2/(c*x^2)^(5//2), -a^2/(4*c^2*x^3*sqrt(c*x^2)) - (2*a*b)/(3*c^2*x^2*sqrt(c*x^2)) - b^2/(2*c^2*x*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)^2/(x*(c*x^2)^(5//2)), -a^2/(5*c^2*x^4*sqrt(c*x^2)) - (a*b)/(2*c^2*x^3*sqrt(c*x^2)) - b^2/(3*c^2*x^2*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)^2/(x^2*(c*x^2)^(5//2)), -a^2/(6*c^2*x^5*sqrt(c*x^2)) - (2*a*b)/(5*c^2*x^4*sqrt(c*x^2)) - b^2/(4*c^2*x^3*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)^2/(x^3*(c*x^2)^(5//2)), -a^2/(7*c^2*x^6*sqrt(c*x^2)) - (a*b)/(3*c^2*x^5*sqrt(c*x^2)) - b^2/(5*c^2*x^4*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)^2/(x^4*(c*x^2)^(5//2)), -a^2/(8*c^2*x^7*sqrt(c*x^2)) - (2*a*b)/(7*c^2*x^6*sqrt(c*x^2)) - b^2/(6*c^2*x^5*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c x^2)^(p/2) (a+b x)^-1
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((x^3*sqrt(c*x^2))/(a + b*x), -((a^3*sqrt(c*x^2))/b^4) + (a^2*x*sqrt(c*x^2))/(2*b^3) - (a*x^2*sqrt(c*x^2))/(3*b^2) + (x^3*sqrt(c*x^2))/(4*b) + (a^4*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^5*x), x, 3),
+((x^2*sqrt(c*x^2))/(a + b*x), (a^2*sqrt(c*x^2))/b^3 - (a*x*sqrt(c*x^2))/(2*b^2) + (x^2*sqrt(c*x^2))/(3*b) - (a^3*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^4*x), x, 3),
+((x*sqrt(c*x^2))/(a + b*x), -((a*sqrt(c*x^2))/b^2) + (x*sqrt(c*x^2))/(2*b) + (a^2*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^3*x), x, 3),
+(sqrt(c*x^2)/(a + b*x), sqrt(c*x^2)/b - (a*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^2*x), x, 3),
+(sqrt(c*x^2)/(x*(a + b*x)), (sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b*x), x, 2),
+(sqrt(c*x^2)/(x^2*(a + b*x)), (sqrt(c*x^2)*log(x))/(a*x) - (sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(a*x), x, 4),
+(sqrt(c*x^2)/(x^3*(a + b*x)), -(sqrt(c*x^2)/(a*x^2)) - (b*sqrt(c*x^2)*log(x))/(a^2*x) + (b*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(a^2*x), x, 3),
+(sqrt(c*x^2)/(x^4*(a + b*x)), -sqrt(c*x^2)/(2*a*x^3) + (b*sqrt(c*x^2))/(a^2*x^2) + (b^2*sqrt(c*x^2)*log(x))/(a^3*x) - (b^2*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(a^3*x), x, 3),
+
+
+((x*(c*x^2)^(3//2))/(a + b*x), -((a^3*c*sqrt(c*x^2))/b^4) + (a^2*c*x*sqrt(c*x^2))/(2*b^3) - (a*c*x^2*sqrt(c*x^2))/(3*b^2) + (c*x^3*sqrt(c*x^2))/(4*b) + (a^4*c*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^5*x), x, 3),
+((c*x^2)^(3//2)/(a + b*x), (a^2*c*sqrt(c*x^2))/b^3 - (a*c*x*sqrt(c*x^2))/(2*b^2) + (c*x^2*sqrt(c*x^2))/(3*b) - (a^3*c*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^4*x), x, 3),
+((c*x^2)^(3//2)/(x*(a + b*x)), -((a*c*sqrt(c*x^2))/b^2) + (c*x*sqrt(c*x^2))/(2*b) + (a^2*c*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^3*x), x, 3),
+((c*x^2)^(3//2)/(x^2*(a + b*x)), (c*sqrt(c*x^2))/b - (a*c*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^2*x), x, 3),
+((c*x^2)^(3//2)/(x^3*(a + b*x)), (c*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b*x), x, 2),
+((c*x^2)^(3//2)/(x^4*(a + b*x)), (c*sqrt(c*x^2)*log(x))/(a*x) - (c*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(a*x), x, 4),
+((c*x^2)^(3//2)/(x^5*(a + b*x)), -((c*sqrt(c*x^2))/(a*x^2)) - (b*c*sqrt(c*x^2)*log(x))/(a^2*x) + (b*c*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(a^2*x), x, 3),
+((c*x^2)^(3//2)/(x^6*(a + b*x)), -(c*sqrt(c*x^2))/(2*a*x^3) + (b*c*sqrt(c*x^2))/(a^2*x^2) + (b^2*c*sqrt(c*x^2)*log(x))/(a^3*x) - (b^2*c*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(a^3*x), x, 3),
+((c*x^2)^(3//2)/(x^7*(a + b*x)), -(c*sqrt(c*x^2))/(3*a*x^4) + (b*c*sqrt(c*x^2))/(2*a^2*x^3) - (b^2*c*sqrt(c*x^2))/(a^3*x^2) - (b^3*c*sqrt(c*x^2)*log(x))/(a^4*x) + (b^3*c*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(a^4*x), x, 3),
+
+
+((c*x^2)^(5//2)/(a + b*x), (a^4*c^2*sqrt(c*x^2))/b^5 - (a^3*c^2*x*sqrt(c*x^2))/(2*b^4) + (a^2*c^2*x^2*sqrt(c*x^2))/(3*b^3) - (a*c^2*x^3*sqrt(c*x^2))/(4*b^2) + (c^2*x^4*sqrt(c*x^2))/(5*b) - (a^5*c^2*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^6*x), x, 3),
+((c*x^2)^(5//2)/(x*(a + b*x)), -((a^3*c^2*sqrt(c*x^2))/b^4) + (a^2*c^2*x*sqrt(c*x^2))/(2*b^3) - (a*c^2*x^2*sqrt(c*x^2))/(3*b^2) + (c^2*x^3*sqrt(c*x^2))/(4*b) + (a^4*c^2*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^5*x), x, 3),
+((c*x^2)^(5//2)/(x^2*(a + b*x)), (a^2*c^2*sqrt(c*x^2))/b^3 - (a*c^2*x*sqrt(c*x^2))/(2*b^2) + (c^2*x^2*sqrt(c*x^2))/(3*b) - (a^3*c^2*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^4*x), x, 3),
+((c*x^2)^(5//2)/(x^3*(a + b*x)), -((a*c^2*sqrt(c*x^2))/b^2) + (c^2*x*sqrt(c*x^2))/(2*b) + (a^2*c^2*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^3*x), x, 3),
+((c*x^2)^(5//2)/(x^4*(a + b*x)), (c^2*sqrt(c*x^2))/b - (a*c^2*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^2*x), x, 3),
+((c*x^2)^(5//2)/(x^5*(a + b*x)), (c^2*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b*x), x, 2),
+((c*x^2)^(5//2)/(x^6*(a + b*x)), (c^2*sqrt(c*x^2)*log(x))/(a*x) - (c^2*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(a*x), x, 4),
+((c*x^2)^(5//2)/(x^7*(a + b*x)), -((c^2*sqrt(c*x^2))/(a*x^2)) - (b*c^2*sqrt(c*x^2)*log(x))/(a^2*x) + (b*c^2*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(a^2*x), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4/(sqrt(c*x^2)*(a + b*x)), (a^2*x^2)/(b^3*sqrt(c*x^2)) - (a*x^3)/(2*b^2*sqrt(c*x^2)) + x^4/(3*b*sqrt(c*x^2)) - (a^3*x*log(a + b*x))/(b^4*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(x^3/(sqrt(c*x^2)*(a + b*x)), -((a*x^2)/(b^2*sqrt(c*x^2))) + x^3/(2*b*sqrt(c*x^2)) + (a^2*x*log(a + b*x))/(b^3*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(x^2/(sqrt(c*x^2)*(a + b*x)), x^2/(b*sqrt(c*x^2)) - (a*x*log(a + b*x))/(b^2*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(x/(sqrt(c*x^2)*(a + b*x)), (x*log(a + b*x))/(b*sqrt(c*x^2)), x, 2),
+(1/(sqrt(c*x^2)*(a + b*x)), (x*log(x))/(a*sqrt(c*x^2)) - (x*log(a + b*x))/(a*sqrt(c*x^2)), x, 4),
+(1/(x*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)), -(1/(a*sqrt(c*x^2))) - (b*x*log(x))/(a^2*sqrt(c*x^2)) + (b*x*log(a + b*x))/(a^2*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)), b/(a^2*sqrt(c*x^2)) - 1/(2*a*x*sqrt(c*x^2)) + (b^2*x*log(x))/(a^3*sqrt(c*x^2)) - (b^2*x*log(a + b*x))/(a^3*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(1/(x^3*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)), -(b^2/(a^3*sqrt(c*x^2))) - 1/(3*a*x^2*sqrt(c*x^2)) + b/(2*a^2*x*sqrt(c*x^2)) - (b^3*x*log(x))/(a^4*sqrt(c*x^2)) + (b^3*x*log(a + b*x))/(a^4*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+
+
+(x^6/((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)), (a^2*x^2)/(b^3*c*sqrt(c*x^2)) - (a*x^3)/(2*b^2*c*sqrt(c*x^2)) + x^4/(3*b*c*sqrt(c*x^2)) - (a^3*x*log(a + b*x))/(b^4*c*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(x^5/((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)), -((a*x^2)/(b^2*c*sqrt(c*x^2))) + x^3/(2*b*c*sqrt(c*x^2)) + (a^2*x*log(a + b*x))/(b^3*c*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(x^4/((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)), x^2/(b*c*sqrt(c*x^2)) - (a*x*log(a + b*x))/(b^2*c*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(x^3/((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)), (x*log(a + b*x))/(b*c*sqrt(c*x^2)), x, 2),
+(x^2/((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)), (x*log(x))/(a*c*sqrt(c*x^2)) - (x*log(a + b*x))/(a*c*sqrt(c*x^2)), x, 4),
+(x/((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)), -(1/(a*c*sqrt(c*x^2))) - (b*x*log(x))/(a^2*c*sqrt(c*x^2)) + (b*x*log(a + b*x))/(a^2*c*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(1/((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)), b/(a^2*c*sqrt(c*x^2)) - 1/(2*a*c*x*sqrt(c*x^2)) + (b^2*x*log(x))/(a^3*c*sqrt(c*x^2)) - (b^2*x*log(a + b*x))/(a^3*c*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(1/(x*(c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)), -(b^2/(a^3*c*sqrt(c*x^2))) - 1/(3*a*c*x^2*sqrt(c*x^2)) + b/(2*a^2*c*x*sqrt(c*x^2)) - (b^3*x*log(x))/(a^4*c*sqrt(c*x^2)) + (b^3*x*log(a + b*x))/(a^4*c*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c x^2)^(p/2) (a+b x)^-2
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((x^3*sqrt(c*x^2))/(a + b*x)^2, (3*a^2*sqrt(c*x^2))/b^4 - (a*x*sqrt(c*x^2))/b^3 + (x^2*sqrt(c*x^2))/(3*b^2) - (a^4*sqrt(c*x^2))/(b^5*x*(a + b*x)) - (4*a^3*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^5*x), x, 3),
+((x^2*sqrt(c*x^2))/(a + b*x)^2, (-2*a*sqrt(c*x^2))/b^3 + (x*sqrt(c*x^2))/(2*b^2) + (a^3*sqrt(c*x^2))/(b^4*x*(a + b*x)) + (3*a^2*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^4*x), x, 3),
+((x*sqrt(c*x^2))/(a + b*x)^2, sqrt(c*x^2)/b^2 - (a^2*sqrt(c*x^2))/(b^3*x*(a + b*x)) - (2*a*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^3*x), x, 3),
+(sqrt(c*x^2)/(a + b*x)^2, (a*sqrt(c*x^2))/(b^2*x*(a + b*x)) + (sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^2*x), x, 3),
+(sqrt(c*x^2)/(x*(a + b*x)^2), -(sqrt(c*x^2)/(b*x*(a + b*x))), x, 2),
+(sqrt(c*x^2)/(x^2*(a + b*x)^2), sqrt(c*x^2)/(a*x*(a + b*x)) + (sqrt(c*x^2)*log(x))/(a^2*x) - (sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(a^2*x), x, 3),
+(sqrt(c*x^2)/(x^3*(a + b*x)^2), -(sqrt(c*x^2)/(a^2*x^2)) - (b*sqrt(c*x^2))/(a^2*x*(a + b*x)) - (2*b*sqrt(c*x^2)*log(x))/(a^3*x) + (2*b*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(a^3*x), x, 3),
+(sqrt(c*x^2)/(x^4*(a + b*x)^2), -sqrt(c*x^2)/(2*a^2*x^3) + (2*b*sqrt(c*x^2))/(a^3*x^2) + (b^2*sqrt(c*x^2))/(a^3*x*(a + b*x)) + (3*b^2*sqrt(c*x^2)*log(x))/(a^4*x) - (3*b^2*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(a^4*x), x, 3),
+
+
+((x*(c*x^2)^(3//2))/(a + b*x)^2, (3*a^2*c*sqrt(c*x^2))/b^4 - (a*c*x*sqrt(c*x^2))/b^3 + (c*x^2*sqrt(c*x^2))/(3*b^2) - (a^4*c*sqrt(c*x^2))/(b^5*x*(a + b*x)) - (4*a^3*c*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^5*x), x, 3),
+((c*x^2)^(3//2)/(a + b*x)^2, (-2*a*c*sqrt(c*x^2))/b^3 + (c*x*sqrt(c*x^2))/(2*b^2) + (a^3*c*sqrt(c*x^2))/(b^4*x*(a + b*x)) + (3*a^2*c*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^4*x), x, 3),
+((c*x^2)^(3//2)/(x*(a + b*x)^2), (c*sqrt(c*x^2))/b^2 - (a^2*c*sqrt(c*x^2))/(b^3*x*(a + b*x)) - (2*a*c*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^3*x), x, 3),
+((c*x^2)^(3//2)/(x^2*(a + b*x)^2), (a*c*sqrt(c*x^2))/(b^2*x*(a + b*x)) + (c*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(b^2*x), x, 3),
+((c*x^2)^(3//2)/(x^3*(a + b*x)^2), -((c*sqrt(c*x^2))/(b*x*(a + b*x))), x, 2),
+((c*x^2)^(3//2)/(x^4*(a + b*x)^2), (c*sqrt(c*x^2))/(a*x*(a + b*x)) + (c*sqrt(c*x^2)*log(x))/(a^2*x) - (c*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(a^2*x), x, 3),
+((c*x^2)^(3//2)/(x^5*(a + b*x)^2), -((c*sqrt(c*x^2))/(a^2*x^2)) - (b*c*sqrt(c*x^2))/(a^2*x*(a + b*x)) - (2*b*c*sqrt(c*x^2)*log(x))/(a^3*x) + (2*b*c*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(a^3*x), x, 3),
+((c*x^2)^(3//2)/(x^6*(a + b*x)^2), -(c*sqrt(c*x^2))/(2*a^2*x^3) + (2*b*c*sqrt(c*x^2))/(a^3*x^2) + (b^2*c*sqrt(c*x^2))/(a^3*x*(a + b*x)) + (3*b^2*c*sqrt(c*x^2)*log(x))/(a^4*x) - (3*b^2*c*sqrt(c*x^2)*log(a + b*x))/(a^4*x), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5/(sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^2), (3*a^2*x^2)/(b^4*sqrt(c*x^2)) - (a*x^3)/(b^3*sqrt(c*x^2)) + x^4/(3*b^2*sqrt(c*x^2)) - (a^4*x)/(b^5*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)) - (4*a^3*x*log(a + b*x))/(b^5*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(x^4/(sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^2), (-2*a*x^2)/(b^3*sqrt(c*x^2)) + x^3/(2*b^2*sqrt(c*x^2)) + (a^3*x)/(b^4*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)) + (3*a^2*x*log(a + b*x))/(b^4*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(x^3/(sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^2), x^2/(b^2*sqrt(c*x^2)) - (a^2*x)/(b^3*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)) - (2*a*x*log(a + b*x))/(b^3*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(x^2/(sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^2), (a*x)/(b^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)) + (x*log(a + b*x))/(b^2*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(x/(sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^2), -(x/(b*sqrt(c*x^2)*(a + b*x))), x, 2),
+(1/(sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^2), x/(a*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)) + (x*log(x))/(a^2*sqrt(c*x^2)) - (x*log(a + b*x))/(a^2*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(1/(x*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^2), -(1/(a^2*sqrt(c*x^2))) - (b*x)/(a^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)) - (2*b*x*log(x))/(a^3*sqrt(c*x^2)) + (2*b*x*log(a + b*x))/(a^3*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^2), (2*b)/(a^3*sqrt(c*x^2)) - 1/(2*a^2*x*sqrt(c*x^2)) + (b^2*x)/(a^3*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)) + (3*b^2*x*log(x))/(a^4*sqrt(c*x^2)) - (3*b^2*x*log(a + b*x))/(a^4*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+
+
+(x^5/((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^2), x^2/(b^2*c*sqrt(c*x^2)) - (a^2*x)/(b^3*c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)) - (2*a*x*log(a + b*x))/(b^3*c*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(x^4/((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^2), (a*x)/(b^2*c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)) + (x*log(a + b*x))/(b^2*c*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(x^3/((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^2), -(x/(b*c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x))), x, 2),
+(x^2/((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^2), x/(a*c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)) + (x*log(x))/(a^2*c*sqrt(c*x^2)) - (x*log(a + b*x))/(a^2*c*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(x/((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^2), -(1/(a^2*c*sqrt(c*x^2))) - (b*x)/(a^2*c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)) - (2*b*x*log(x))/(a^3*c*sqrt(c*x^2)) + (2*b*x*log(a + b*x))/(a^3*c*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+(1/((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^2), (2*b)/(a^3*c*sqrt(c*x^2)) - 1/(2*a^2*c*x*sqrt(c*x^2)) + (b^2*x)/(a^3*c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)) + (3*b^2*x*log(x))/(a^4*c*sqrt(c*x^2)) - (3*b^2*x*log(a + b*x))/(a^4*c*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c x^2)^(p/2) (a+b x)^n with n symbolic
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^n, -((a^3*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^4*(1 + n)*x)) + (3*a^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^4*(2 + n)*x) - (3*a*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^4*(3 + n)*x) + (sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^4*(4 + n)*x), x, 3),
+(x^1*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^n, (a^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^3*(1 + n)*x) - (2*a*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^3*(2 + n)*x) + (sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^3*(3 + n)*x), x, 3),
+(sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^n, -((a*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^2*(1 + n)*x)) + (sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^2*(2 + n)*x), x, 3),
+((sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^n)/x^1, (sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b*(1 + n)*x), x, 2),
+((sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^n)/x^2, -((sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a*(1 + n)*x)), x, 2),
+((sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^n)/x^3, (b*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^2*(1 + n)*x), x, 2),
+((sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^n)/x^4, -((b^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^3*(1 + n)*x)), x, 2),
+
+
+(x^1*(c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^n, (a^4*c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n)*x) - (4*a^3*c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^5*(2 + n)*x) + (6*a^2*c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^5*(3 + n)*x) - (4*a*c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^5*(4 + n)*x) + (c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(5 + n))/(b^5*(5 + n)*x), x, 3),
+((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^n, -((a^3*c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^4*(1 + n)*x)) + (3*a^2*c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^4*(2 + n)*x) - (3*a*c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^4*(3 + n)*x) + (c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^4*(4 + n)*x), x, 3),
+(((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^n)/x^1, (a^2*c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^3*(1 + n)*x) - (2*a*c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^3*(2 + n)*x) + (c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^3*(3 + n)*x), x, 3),
+(((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^n)/x^2, -((a*c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^2*(1 + n)*x)) + (c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^2*(2 + n)*x), x, 3),
+(((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^n)/x^3, (c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b*(1 + n)*x), x, 2),
+(((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^n)/x^4, -((c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a*(1 + n)*x)), x, 2),
+(((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^n)/x^5, (b*c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^2*(1 + n)*x), x, 2),
+(((c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^n)/x^6, -((b^2*c*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^3*(1 + n)*x)), x, 2),
+
+
+((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x)^n, -((a^5*c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^6*(1 + n)*x)) + (5*a^4*c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^6*(2 + n)*x) - (10*a^3*c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^6*(3 + n)*x) + (10*a^2*c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^6*(4 + n)*x) - (5*a*c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(5 + n))/(b^6*(5 + n)*x) + (c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(6 + n))/(b^6*(6 + n)*x), x, 3),
+(((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x)^n)/x^1, (a^4*c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n)*x) - (4*a^3*c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^5*(2 + n)*x) + (6*a^2*c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^5*(3 + n)*x) - (4*a*c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^5*(4 + n)*x) + (c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(5 + n))/(b^5*(5 + n)*x), x, 3),
+(((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x)^n)/x^2, -((a^3*c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^4*(1 + n)*x)) + (3*a^2*c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^4*(2 + n)*x) - (3*a*c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^4*(3 + n)*x) + (c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^4*(4 + n)*x), x, 3),
+(((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x)^n)/x^3, (a^2*c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^3*(1 + n)*x) - (2*a*c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^3*(2 + n)*x) + (c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^3*(3 + n)*x), x, 3),
+(((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x)^n)/x^4, -((a*c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^2*(1 + n)*x)) + (c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^2*(2 + n)*x), x, 3),
+(((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x)^n)/x^5, (c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b*(1 + n)*x), x, 2),
+(((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x)^n)/x^6, -((c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a*(1 + n)*x)), x, 2),
+(((c*x^2)^(5//2)*(a + b*x)^n)/x^7, (b*c^2*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^2*(1 + n)*x), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^4*(a + b*x)^n)/sqrt(c*x^2), -((a^3*x*(a + b*x)^(1 + n))/(b^4*(1 + n)*sqrt(c*x^2))) + (3*a^2*x*(a + b*x)^(2 + n))/(b^4*(2 + n)*sqrt(c*x^2)) - (3*a*x*(a + b*x)^(3 + n))/(b^4*(3 + n)*sqrt(c*x^2)) + (x*(a + b*x)^(4 + n))/(b^4*(4 + n)*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((x^3*(a + b*x)^n)/sqrt(c*x^2), (a^2*x*(a + b*x)^(1 + n))/(b^3*(1 + n)*sqrt(c*x^2)) - (2*a*x*(a + b*x)^(2 + n))/(b^3*(2 + n)*sqrt(c*x^2)) + (x*(a + b*x)^(3 + n))/(b^3*(3 + n)*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((x^2*(a + b*x)^n)/sqrt(c*x^2), -((a*x*(a + b*x)^(1 + n))/(b^2*(1 + n)*sqrt(c*x^2))) + (x*(a + b*x)^(2 + n))/(b^2*(2 + n)*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((x*(a + b*x)^n)/sqrt(c*x^2), (x*(a + b*x)^(1 + n))/(b*(1 + n)*sqrt(c*x^2)), x, 2),
+((a + b*x)^n/sqrt(c*x^2), -((x*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a*(1 + n)*sqrt(c*x^2))), x, 2),
+((a + b*x)^n/(x*sqrt(c*x^2)), (b*x*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^2*(1 + n)*sqrt(c*x^2)), x, 2),
+((a + b*x)^n/(x^2*sqrt(c*x^2)), -((b^2*x*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^3*(1 + n)*sqrt(c*x^2))), x, 2),
+
+
+((x^6*(a + b*x)^n)/(c*x^2)^(3//2), -((a^3*x*(a + b*x)^(1 + n))/(b^4*c*(1 + n)*sqrt(c*x^2))) + (3*a^2*x*(a + b*x)^(2 + n))/(b^4*c*(2 + n)*sqrt(c*x^2)) - (3*a*x*(a + b*x)^(3 + n))/(b^4*c*(3 + n)*sqrt(c*x^2)) + (x*(a + b*x)^(4 + n))/(b^4*c*(4 + n)*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((x^5*(a + b*x)^n)/(c*x^2)^(3//2), (a^2*x*(a + b*x)^(1 + n))/(b^3*c*(1 + n)*sqrt(c*x^2)) - (2*a*x*(a + b*x)^(2 + n))/(b^3*c*(2 + n)*sqrt(c*x^2)) + (x*(a + b*x)^(3 + n))/(b^3*c*(3 + n)*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((x^4*(a + b*x)^n)/(c*x^2)^(3//2), -((a*x*(a + b*x)^(1 + n))/(b^2*c*(1 + n)*sqrt(c*x^2))) + (x*(a + b*x)^(2 + n))/(b^2*c*(2 + n)*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((x^3*(a + b*x)^n)/(c*x^2)^(3//2), (x*(a + b*x)^(1 + n))/(b*c*(1 + n)*sqrt(c*x^2)), x, 2),
+((x^2*(a + b*x)^n)/(c*x^2)^(3//2), -((x*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a*c*(1 + n)*sqrt(c*x^2))), x, 2),
+((x^1*(a + b*x)^n)/(c*x^2)^(3//2), (b*x*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^2*c*(1 + n)*sqrt(c*x^2)), x, 2),
+((a + b*x)^n/(c*x^2)^(3//2), -((b^2*x*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^3*c*(1 + n)*sqrt(c*x^2))), x, 2),
+((a + b*x)^n/(x^1*(c*x^2)^(3//2)), (b^3*x*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^4*c*(1 + n)*sqrt(c*x^2)), x, 2),
+
+
+((x^8*(a + b*x)^n)/(c*x^2)^(5//2), -((a^3*x*(a + b*x)^(1 + n))/(b^4*c^2*(1 + n)*sqrt(c*x^2))) + (3*a^2*x*(a + b*x)^(2 + n))/(b^4*c^2*(2 + n)*sqrt(c*x^2)) - (3*a*x*(a + b*x)^(3 + n))/(b^4*c^2*(3 + n)*sqrt(c*x^2)) + (x*(a + b*x)^(4 + n))/(b^4*c^2*(4 + n)*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((x^7*(a + b*x)^n)/(c*x^2)^(5//2), (a^2*x*(a + b*x)^(1 + n))/(b^3*c^2*(1 + n)*sqrt(c*x^2)) - (2*a*x*(a + b*x)^(2 + n))/(b^3*c^2*(2 + n)*sqrt(c*x^2)) + (x*(a + b*x)^(3 + n))/(b^3*c^2*(3 + n)*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((x^6*(a + b*x)^n)/(c*x^2)^(5//2), -((a*x*(a + b*x)^(1 + n))/(b^2*c^2*(1 + n)*sqrt(c*x^2))) + (x*(a + b*x)^(2 + n))/(b^2*c^2*(2 + n)*sqrt(c*x^2)), x, 3),
+((x^5*(a + b*x)^n)/(c*x^2)^(5//2), (x*(a + b*x)^(1 + n))/(b*c^2*(1 + n)*sqrt(c*x^2)), x, 2),
+((x^4*(a + b*x)^n)/(c*x^2)^(5//2), -((x*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a*c^2*(1 + n)*sqrt(c*x^2))), x, 2),
+((x^3*(a + b*x)^n)/(c*x^2)^(5//2), (b*x*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^2*c^2*(1 + n)*sqrt(c*x^2)), x, 2),
+((x^2*(a + b*x)^n)/(c*x^2)^(5//2), -((b^2*x*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^3*c^2*(1 + n)*sqrt(c*x^2))), x, 2),
+((x^1*(a + b*x)^n)/(c*x^2)^(5//2), (b^3*x*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^4*c^2*(1 + n)*sqrt(c*x^2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (c x^2)^(p/2) (a+b x)^n with m symbolic
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((d*x)^m*(c*x^2)^(5//2)*(a + b*x), (a*c^2*(d*x)^(6 + m)*sqrt(c*x^2))/(d^6*(6 + m)*x) + (b*c^2*(d*x)^(7 + m)*sqrt(c*x^2))/(d^7*(7 + m)*x), x, 4),
+((d*x)^m*(c*x^2)^(3//2)*(a + b*x), (a*c*(d*x)^(4 + m)*sqrt(c*x^2))/(d^4*(4 + m)*x) + (b*c*(d*x)^(5 + m)*sqrt(c*x^2))/(d^5*(5 + m)*x), x, 4),
+((d*x)^m*(c*x^2)^(1//2)*(a + b*x), (a*(d*x)^(2 + m)*sqrt(c*x^2))/(d^2*(2 + m)*x) + (b*(d*x)^(3 + m)*sqrt(c*x^2))/(d^3*(3 + m)*x), x, 4),
+((d*x)^m*(a + b*x)/(c*x^2)^(1//2), (a*x*(d*x)^m)/(m*sqrt(c*x^2)) + (b*x*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)*sqrt(c*x^2)), x, 4),
+((d*x)^m*(a + b*x)/(c*x^2)^(3//2), -((a*d^2*x*(d*x)^(-2 + m))/(c*(2 - m)*sqrt(c*x^2))) - (b*d*x*(d*x)^(-1 + m))/(c*(1 - m)*sqrt(c*x^2)), x, 4),
+((d*x)^m*(a + b*x)/(c*x^2)^(5//2), -((a*d^4*x*(d*x)^(-4 + m))/(c^2*(4 - m)*sqrt(c*x^2))) - (b*d^3*x*(d*x)^(-3 + m))/(c^2*(3 - m)*sqrt(c*x^2)), x, 4),
+
+
+((d*x)^m*(c*x^2)^(5//2)*(a + b*x)^2, (a^2*c^2*(d*x)^(6 + m)*sqrt(c*x^2))/(d^6*(6 + m)*x) + (2*a*b*c^2*(d*x)^(7 + m)*sqrt(c*x^2))/(d^7*(7 + m)*x) + (b^2*c^2*(d*x)^(8 + m)*sqrt(c*x^2))/(d^8*(8 + m)*x), x, 4),
+((d*x)^m*(c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^2, (a^2*c*(d*x)^(4 + m)*sqrt(c*x^2))/(d^4*(4 + m)*x) + (2*a*b*c*(d*x)^(5 + m)*sqrt(c*x^2))/(d^5*(5 + m)*x) + (b^2*c*(d*x)^(6 + m)*sqrt(c*x^2))/(d^6*(6 + m)*x), x, 4),
+((d*x)^m*(c*x^2)^(1//2)*(a + b*x)^2, (a^2*(d*x)^(2 + m)*sqrt(c*x^2))/(d^2*(2 + m)*x) + (2*a*b*(d*x)^(3 + m)*sqrt(c*x^2))/(d^3*(3 + m)*x) + (b^2*(d*x)^(4 + m)*sqrt(c*x^2))/(d^4*(4 + m)*x), x, 4),
+((d*x)^m*(a + b*x)^2/(c*x^2)^(1//2), (a^2*x*(d*x)^m)/(m*sqrt(c*x^2)) + (2*a*b*x*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)*sqrt(c*x^2)) + (b^2*x*(d*x)^(2 + m))/(d^2*(2 + m)*sqrt(c*x^2)), x, 4),
+((d*x)^m*(a + b*x)^2/(c*x^2)^(3//2), -((a^2*d^2*x*(d*x)^(-2 + m))/(c*(2 - m)*sqrt(c*x^2))) - (2*a*b*d*x*(d*x)^(-1 + m))/(c*(1 - m)*sqrt(c*x^2)) + (b^2*x*(d*x)^m)/(c*m*sqrt(c*x^2)), x, 4),
+((d*x)^m*(a + b*x)^2/(c*x^2)^(5//2), -((a^2*d^4*x*(d*x)^(-4 + m))/(c^2*(4 - m)*sqrt(c*x^2))) - (2*a*b*d^3*x*(d*x)^(-3 + m))/(c^2*(3 - m)*sqrt(c*x^2)) - (b^2*d^2*x*(d*x)^(-2 + m))/(c^2*(2 - m)*sqrt(c*x^2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# n<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (c x^2)^(p/2) (a+b x)^n with m and n symbolic
+
+
+((d*x)^m*(c*x^2)^(5//2)*(a + b*x)^n, (c^2*(d*x)^(6 + m)*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(6 + m, -n, 7 + m, -((b*x)/a)))/((1 + (b*x)/a)^n*(d^6*(6 + m)*x)), x, 4),
+((d*x)^m*(c*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^n, (c*(d*x)^(4 + m)*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4 + m, -n, 5 + m, -((b*x)/a)))/((1 + (b*x)/a)^n*(d^4*(4 + m)*x)), x, 4),
+((d*x)^m*(c*x^2)^(1//2)*(a + b*x)^n, ((d*x)^(2 + m)*sqrt(c*x^2)*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2 + m, -n, 3 + m, -((b*x)/a)))/((1 + (b*x)/a)^n*(d^2*(2 + m)*x)), x, 4),
+((d*x)^m*(a + b*x)^n/(c*x^2)^(1//2), (x*(d*x)^m*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(m, -n, 1 + m, -((b*x)/a)))/((1 + (b*x)/a)^n*(m*sqrt(c*x^2))), x, 4),
+((d*x)^m*(a + b*x)^n/(c*x^2)^(3//2), -((d^2*x*(d*x)^(-2 + m)*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-2 + m, -n, -1 + m, -((b*x)/a)))/((1 + (b*x)/a)^n*(c*(2 - m)*sqrt(c*x^2)))), x, 4),
+((d*x)^m*(a + b*x)^n/(c*x^2)^(5//2), -((d^4*x*(d*x)^(-4 + m)*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-4 + m, -n, -3 + m, -((b*x)/a)))/((1 + (b*x)/a)^n*(c^2*(4 - m)*sqrt(c*x^2)))), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (c x^2)^p (a+b x)^n when -n=2 p+m+2
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c x^2)^p / (a+b x)^(2 p+m+2) with p symbolic
+
+
+(x^3*(c*x^2)^p/(a + b*x)^(2*p + 5), (x^4*(c*x^2)^p)/((a + b*x)^(2*(2 + p))*(2*a*(2 + p))), x, 2),
+(x^2*(c*x^2)^p/(a + b*x)^(2*p + 4), (x^3*(c*x^2)^p*(a + b*x)^(-3 - 2*p))/(a*(3 + 2*p)), x, 2),
+(x^1*(c*x^2)^p/(a + b*x)^(2*p + 3), (x^2*(c*x^2)^p)/((a + b*x)^(2*(1 + p))*(2*a*(1 + p))), x, 2),
+(x^0*(c*x^2)^p/(a + b*x)^(2*p + 2), (x*(c*x^2)^p*(a + b*x)^(-1 - 2*p))/(a*(1 + 2*p)), x, 2),
+((c*x^2)^p/(a + b*x)^(2*p + 1)/x^1, (c*x^2)^p/((a + b*x)^(2*p)*(2*a*p)), x, 2),
+((c*x^2)^p/(a + b*x)^(2*p + 0)/x^2, -(((c*x^2)^p*(a + b*x)^(1 - 2*p))/(a*(1 - 2*p)*x)), x, 2),
+((c*x^2)^p/(a + b*x)^(2*p - 1)/x^3, -(((c*x^2)^p*(a + b*x)^(2 - 2*p))/(2*a*(1 - p)*x^2)), x, 2),
+((c*x^2)^p/(a + b*x)^(2*p - 2)/x^4, -(((c*x^2)^p*(a + b*x)^(3 - 2*p))/(a*(3 - 2*p)*x^3)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (c x^2)^p / (a+b x)^(2 p+m+2) with m and p symbolic
+
+
+(x^m*(c*x^2)^p/(a + b*x)^(2*p + m + 2), (x^(1 + m)*(c*x^2)^p*(a + b*x)^(-1 - m - 2*p))/(a*(1 + m + 2*p)), x, 2),
+
+
+((d*x)^m*(c*x^2)^p/(a + b*x)^(2*p + m + 2), (x*(d*x)^m*(c*x^2)^p*(a + b*x)^(-1 - m - 2*p))/(a*(1 + m + 2*p)), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (c x^2)^p (a+b x)^n with m, n and p symbolic
+
+
+(x^m*(c*x^2)^p*(a + b*x)^n, (x^(1 + m)*(c*x^2)^p*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-n, 1 + m + 2*p, 2 + m + 2*p, -((b*x)/a)))/((1 + (b*x)/a)^n*(1 + m + 2*p)), x, 3),
+
+
+# {(d*x)^m*(c*x^2)^p*(a + b*x)^n, x, 4, ((d*x)^(m + 1)*(c*x^2)^p*(a + b*x)^n*Hypergeometric2F1[-n, 1 + m + 2*p, 2 + m + 2*p, -((b*x)/a)])/(d*(1 + (b*x)/a)^n*(1 + m + 2*p)), (x*(d*x)^m*(c*x^2)^p*(a + b*x)^n*Hypergeometric2F1[-n, 1 + m + 2*p, 2 + m + 2*p, -((b*x)/a)])/((1 + (b*x)/a)^n*(1 + m + 2*p))}
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n when b c-a d=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (a d/b+d x)^n when b c-a d=0
+
+
+((a + b*x)^5/(a*d/b + d*x)^3, (b^2*(a + b*x)^3)/(3*d^3), x, 2),
+((a + b*x)^4/(a*d/b + d*x)^3, (a*b^3*x)/d^3 + (b^4*x^2)/(2*d^3), x, 2),
+((a + b*x)^3/(a*d/b + d*x)^3, (b^3*x)/d^3, x, 2),
+((a + b*x)^2/(a*d/b + d*x)^3, (b^2*log(a + b*x))/d^3, x, 2),
+((a + b*x)^1/(a*d/b + d*x)^3, -(b^2/(d^3*(a + b*x))), x, 2),
+(1/((a + b*x)*(a*d/b + d*x)^3), -(b^2/(3*d^3*(a + b*x)^3)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^2*(a*d/b + d*x)^3), -(b^2/(4*d^3*(a + b*x)^4)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^3*(a*d/b + d*x)^3), -(b^2/(5*d^3*(a + b*x)^5)), x, 2),
+
+((b*c/d + b*x)^5/(c + d*x)^3, (b^5*(c + d*x)^3)/(3*d^6), x, 2),
+((b*c/d + b*x)^4/(c + d*x)^3, (b^4*c*x)/d^4 + (b^4*x^2)/(2*d^3), x, 2),
+((b*c/d + b*x)^3/(c + d*x)^3, (b^3*x)/d^3, x, 2),
+((b*c/d + b*x)^2/(c + d*x)^3, (b^2*log(c + d*x))/d^3, x, 2),
+((b*c/d + b*x)^1/(c + d*x)^3, -(b/(d^2*(c + d*x))), x, 2),
+(1/((b*c/d + b*x)*(c + d*x)^3), -(1/(3*b*(c + d*x)^3)), x, 2),
+(1/((b*c/d + b*x)^2*(c + d*x)^3), -(d/(4*b^2*(c + d*x)^4)), x, 2),
+(1/((b*c/d + b*x)^3*(c + d*x)^3), -(d^2/(5*b^3*(c + d*x)^5)), x, 2),
+
+
+((a + b*x)^5*(a*c + b*c*x)^n, (a*c + b*c*x)^(6 + n)/(b*c^6*(6 + n)), x, 2),
+
+((a + b*x)^5*(a*c + b*c*x)^3, (c^3*(a + b*x)^9)/(9*b), x, 2),
+((a + b*x)^5*(a*c + b*c*x)^2, (c^2*(a + b*x)^8)/(8*b), x, 2),
+((a + b*x)^5*(a*c + b*c*x)^1, (c*(a + b*x)^7)/(7*b), x, 2),
+((a + b*x)^5/(a*c + b*c*x)^1, (a + b*x)^5/(5*b*c), x, 2),
+((a + b*x)^5/(a*c + b*c*x)^2, (a + b*x)^4/(4*b*c^2), x, 2),
+((a + b*x)^5/(a*c + b*c*x)^3, (a + b*x)^3/(3*b*c^3), x, 2),
+((a + b*x)^5/(a*c + b*c*x)^4, (a*x)/c^4 + (b*x^2)/(2*c^4), x, 2),
+((a + b*x)^5/(a*c + b*c*x)^5, x/c^5, x, 2),
+((a + b*x)^5/(a*c + b*c*x)^6, log(a + b*x)/(b*c^6), x, 2),
+((a + b*x)^5/(a*c + b*c*x)^7, -(1/(b*c^7*(a + b*x))), x, 2),
+((a + b*x)^5/(a*c + b*c*x)^8, -(1/(2*b*c^8*(a + b*x)^2)), x, 2),
+
+
+(1/(sqrt(-2 - 3*x)*sqrt(2 + 3*x)), (sqrt(2 + 3*x)*log(2 + 3*x))/(3*sqrt(-2 - 3*x)), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n when b c+a d=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (a c-b c x)^n
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# m>0
+
+
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^3, -((a*c^3*(a - b*x)^4)/(2*b)) + (c^3*(a - b*x)^5)/(5*b), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^2, -((2*a*c^2*(a - b*x)^3)/(3*b)) + (c^2*(a - b*x)^4)/(4*b), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^1, a^2*c*x - (1//3)*b^2*c*x^3, x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^0, a*x + (b*x^2)/2, x, 1),
+((a + b*x)/(a*c - b*c*x)^1, -(x/c) - (2*a*log(a - b*x))/(b*c), x, 2),
+((a + b*x)/(a*c - b*c*x)^2, (2*a)/(b*c^2*(a - b*x)) + log(a - b*x)/(b*c^2), x, 2),
+((a + b*x)/(a*c - b*c*x)^3, x/(c^3*(a - b*x)^2), x, 1),
+((a + b*x)/(a*c - b*c*x)^4, (2*a)/(3*b*c^4*(a - b*x)^3) - 1/(2*b*c^4*(a - b*x)^2), x, 2),
+((a + b*x)/(a*c - b*c*x)^5, a/(2*b*c^5*(a - b*x)^4) - 1/(3*b*c^5*(a - b*x)^3), x, 2),
+((a + b*x)/(a*c - b*c*x)^6, (2*a)/(5*b*c^6*(a - b*x)^5) - 1/(4*b*c^6*(a - b*x)^4), x, 2),
+
+
+((a + b*x)^2*(a*c - b*c*x)^3, -((a^2*c^3*(a - b*x)^4)/b) + (4*a*c^3*(a - b*x)^5)/(5*b) - (c^3*(a - b*x)^6)/(6*b), x, 2),
+((a + b*x)^2*(a*c - b*c*x)^2, a^4*c^2*x - (2//3)*a^2*b^2*c^2*x^3 + (1//5)*b^4*c^2*x^5, x, 3),
+((a + b*x)^2*(a*c - b*c*x)^1, (2*a*c*(a + b*x)^3)/(3*b) - (c*(a + b*x)^4)/(4*b), x, 2),
+((a + b*x)^2*(a*c - b*c*x)^0, (a + b*x)^3/(3*b), x, 1),
+((a + b*x)^2/(a*c - b*c*x)^1, -((2*a*x)/c) - (a + b*x)^2/(2*b*c) - (4*a^2*log(a - b*x))/(b*c), x, 2),
+((a + b*x)^2/(a*c - b*c*x)^2, x/c^2 + (4*a^2)/(b*c^2*(a - b*x)) + (4*a*log(a - b*x))/(b*c^2), x, 2),
+((a + b*x)^2/(a*c - b*c*x)^3, (2*a^2)/(b*c^3*(a - b*x)^2) - (4*a)/(b*c^3*(a - b*x)) - log(a - b*x)/(b*c^3), x, 2),
+((a + b*x)^2/(a*c - b*c*x)^4, (a + b*x)^3/(6*a*b*c^4*(a - b*x)^3), x, 1),
+((a + b*x)^2/(a*c - b*c*x)^5, a^2/(b*c^5*(a - b*x)^4) - (4*a)/(3*b*c^5*(a - b*x)^3) + 1/(2*b*c^5*(a - b*x)^2), x, 2),
+((a + b*x)^2/(a*c - b*c*x)^6, (4*a^2)/(5*b*c^6*(a - b*x)^5) - a/(b*c^6*(a - b*x)^4) + 1/(3*b*c^6*(a - b*x)^3), x, 2),
+((a + b*x)^2/(a*c - b*c*x)^7, (2*a^2)/(3*b*c^7*(a - b*x)^6) - (4*a)/(5*b*c^7*(a - b*x)^5) + 1/(4*b*c^7*(a - b*x)^4), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# m<0
+
+
+(1/(a + b*x)*(a*c - b*c*x)^3, -4*a^2*c^3*x + (a*c^3*(a - b*x)^2)/b + (c^3*(a - b*x)^3)/(3*b) + (8*a^3*c^3*log(a + b*x))/b, x, 2),
+(1/(a + b*x)*(a*c - b*c*x)^2, -2*a*c^2*x + (c^2*(a - b*x)^2)/(2*b) + (4*a^2*c^2*log(a + b*x))/b, x, 2),
+(1/(a + b*x)*(a*c - b*c*x)^1, (-c)*x + (2*a*c*log(a + b*x))/b, x, 2),
+(1/(a + b*x)*(a*c - b*c*x)^0, log(a + b*x)/b, x, 1),
+(1/(a + b*x)/(a*c - b*c*x)^1, atanh((b*x)/a)/(a*b*c), x, 2),
+(1/(a + b*x)/(a*c - b*c*x)^2, 1/(2*a*b*c^2*(a - b*x)) + atanh((b*x)/a)/(2*a^2*b*c^2), x, 3),
+(1/(a + b*x)/(a*c - b*c*x)^3, 1/(4*a*b*c^3*(a - b*x)^2) + 1/(4*a^2*b*c^3*(a - b*x)) + atanh((b*x)/a)/(4*a^3*b*c^3), x, 3),
+
+
+(1/(a + b*x)^2*(a*c - b*c*x)^3, 5*a*c^3*x - (1//2)*b*c^3*x^2 - (8*a^3*c^3)/(b*(a + b*x)) - (12*a^2*c^3*log(a + b*x))/b, x, 2),
+(1/(a + b*x)^2*(a*c - b*c*x)^2, c^2*x - (4*a^2*c^2)/(b*(a + b*x)) - (4*a*c^2*log(a + b*x))/b, x, 2),
+(1/(a + b*x)^2*(a*c - b*c*x)^1, -((2*a*c)/(b*(a + b*x))) - (c*log(a + b*x))/b, x, 2),
+(1/(a + b*x)^2*(a*c - b*c*x)^0, -(1/(b*(a + b*x))), x, 1),
+(1/(a + b*x)^2/(a*c - b*c*x)^1, -(1/(2*a*b*c*(a + b*x))) + atanh((b*x)/a)/(2*a^2*b*c), x, 3),
+(1/(a + b*x)^2/(a*c - b*c*x)^2, x/(2*a^2*c^2*(a^2 - b^2*x^2)) + atanh((b*x)/a)/(2*a^3*b*c^2), x, 3),
+(1/(a + b*x)^2/(a*c - b*c*x)^3, 1/(8*a^2*b*c^3*(a - b*x)^2) + 1/(4*a^3*b*c^3*(a - b*x)) - 1/(8*a^3*b*c^3*(a + b*x)) + (3*atanh((b*x)/a))/(8*a^4*b*c^3), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (1 - x)^(m/2) (1 + x)^(n/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+# Note: (1-x)^m*(1+x)^m == (1-x^2)^m
+((1 - x)^(9//2)*(1 + x)^(1//2), (21//16)*sqrt(1 - x)*x*sqrt(1 + x) + (7//8)*(1 - x)^(3//2)*(1 + x)^(3//2) + (21//40)*(1 - x)^(5//2)*(1 + x)^(3//2) + (3//10)*(1 - x)^(7//2)*(1 + x)^(3//2) + (1//6)*(1 - x)^(9//2)*(1 + x)^(3//2) + (21*asin(x))/16, x, 7),
+((1 - x)^(7//2)*(1 + x)^(1//2), (7//8)*sqrt(1 - x)*x*sqrt(1 + x) + (7//12)*(1 - x)^(3//2)*(1 + x)^(3//2) + (7//20)*(1 - x)^(5//2)*(1 + x)^(3//2) + (1//5)*(1 - x)^(7//2)*(1 + x)^(3//2) + (7*asin(x))/8, x, 6),
+((1 - x)^(5//2)*(1 + x)^(1//2), (5//8)*sqrt(1 - x)*x*sqrt(1 + x) + (5//12)*(1 - x)^(3//2)*(1 + x)^(3//2) + (1//4)*(1 - x)^(5//2)*(1 + x)^(3//2) + (5*asin(x))/8, x, 5),
+((1 - x)^(3//2)*(1 + x)^(1//2), (1//2)*sqrt(1 - x)*x*sqrt(1 + x) + (1//3)*(1 - x)^(3//2)*(1 + x)^(3//2) + asin(x)/2, x, 4),
+((1 - x)^(1//2)*(1 + x)^(1//2), (1//2)*sqrt(1 - x)*x*sqrt(1 + x) + asin(x)/2, x, 3),
+((1 + x)^(1//2)/(1 - x)^(1//2), (-sqrt(1 - x))*sqrt(1 + x) + asin(x), x, 3),
+((1 + x)^(1//2)/(1 - x)^(3//2), (2*sqrt(1 + x))/sqrt(1 - x) - asin(x), x, 3),
+((1 + x)^(1//2)/(1 - x)^(5//2), (1 + x)^(3//2)/(3*(1 - x)^(3//2)), x, 1),
+((1 + x)^(1//2)/(1 - x)^(7//2), (1 + x)^(3//2)/(5*(1 - x)^(5//2)) + (1 + x)^(3//2)/(15*(1 - x)^(3//2)), x, 2),
+((1 + x)^(1//2)/(1 - x)^(9//2), (1 + x)^(3//2)/(7*(1 - x)^(7//2)) + (2*(1 + x)^(3//2))/(35*(1 - x)^(5//2)) + (2*(1 + x)^(3//2))/(105*(1 - x)^(3//2)), x, 3),
+((1 + x)^(1//2)/(1 - x)^(11//2), (1 + x)^(3//2)/(9*(1 - x)^(9//2)) + (1 + x)^(3//2)/(21*(1 - x)^(7//2)) + (2*(1 + x)^(3//2))/(105*(1 - x)^(5//2)) + (2*(1 + x)^(3//2))/(315*(1 - x)^(3//2)), x, 4),
+((1 + x)^(1//2)/(1 - x)^(13//2), (1 + x)^(3//2)/(11*(1 - x)^(11//2)) + (4*(1 + x)^(3//2))/(99*(1 - x)^(9//2)) + (4*(1 + x)^(3//2))/(231*(1 - x)^(7//2)) + (8*(1 + x)^(3//2))/(1155*(1 - x)^(5//2)) + (8*(1 + x)^(3//2))/(3465*(1 - x)^(3//2)), x, 5),
+
+
+((1 - x)^(9//2)*(1 + x)^(3//2), (9//16)*sqrt(1 - x)*x*sqrt(1 + x) + (3//8)*(1 - x)^(3//2)*x*(1 + x)^(3//2) + (3//10)*(1 - x)^(5//2)*(1 + x)^(5//2) + (3//14)*(1 - x)^(7//2)*(1 + x)^(5//2) + (1//7)*(1 - x)^(9//2)*(1 + x)^(5//2) + (9*asin(x))/16, x, 7),
+((1 - x)^(7//2)*(1 + x)^(3//2), (7//16)*sqrt(1 - x)*x*sqrt(1 + x) + (7//24)*(1 - x)^(3//2)*x*(1 + x)^(3//2) + (7//30)*(1 - x)^(5//2)*(1 + x)^(5//2) + (1//6)*(1 - x)^(7//2)*(1 + x)^(5//2) + (7*asin(x))/16, x, 6),
+((1 - x)^(5//2)*(1 + x)^(3//2), (3//8)*sqrt(1 - x)*x*sqrt(1 + x) + (1//4)*(1 - x)^(3//2)*x*(1 + x)^(3//2) + (1//5)*(1 - x)^(5//2)*(1 + x)^(5//2) + (3*asin(x))/8, x, 5),
+((1 - x)^(3//2)*(1 + x)^(3//2), (3//8)*sqrt(1 - x)*x*sqrt(1 + x) + (1//4)*(1 - x)^(3//2)*x*(1 + x)^(3//2) + (3*asin(x))/8, x, 4),
+((1 - x)^(1//2)*(1 + x)^(3//2), (1//2)*sqrt(1 - x)*x*sqrt(1 + x) - (1//3)*(1 - x)^(3//2)*(1 + x)^(3//2) + asin(x)/2, x, 4),
+((1 + x)^(3//2)/(1 - x)^(1//2), (-(3//2))*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) - (1//2)*sqrt(1 - x)*(1 + x)^(3//2) + (3*asin(x))/2, x, 4),
+((1 + x)^(3//2)/(1 - x)^(3//2), 3*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) + (2*(1 + x)^(3//2))/sqrt(1 - x) - 3*asin(x), x, 4),
+((1 + x)^(3//2)/(1 - x)^(5//2), -((2*sqrt(1 + x))/sqrt(1 - x)) + (2*(1 + x)^(3//2))/(3*(1 - x)^(3//2)) + asin(x), x, 4),
+((1 + x)^(3//2)/(1 - x)^(7//2), (1 + x)^(5//2)/(5*(1 - x)^(5//2)), x, 1),
+((1 + x)^(3//2)/(1 - x)^(9//2), (1 + x)^(5//2)/(7*(1 - x)^(7//2)) + (1 + x)^(5//2)/(35*(1 - x)^(5//2)), x, 2),
+((1 + x)^(3//2)/(1 - x)^(11//2), (1 + x)^(5//2)/(9*(1 - x)^(9//2)) + (2*(1 + x)^(5//2))/(63*(1 - x)^(7//2)) + (2*(1 + x)^(5//2))/(315*(1 - x)^(5//2)), x, 3),
+((1 + x)^(3//2)/(1 - x)^(13//2), (1 + x)^(5//2)/(11*(1 - x)^(11//2)) + (1 + x)^(5//2)/(33*(1 - x)^(9//2)) + (2*(1 + x)^(5//2))/(231*(1 - x)^(7//2)) + (2*(1 + x)^(5//2))/(1155*(1 - x)^(5//2)), x, 4),
+((1 + x)^(3//2)/(1 - x)^(15//2), (1 + x)^(5//2)/(13*(1 - x)^(13//2)) + (4*(1 + x)^(5//2))/(143*(1 - x)^(11//2)) + (4*(1 + x)^(5//2))/(429*(1 - x)^(9//2)) + (8*(1 + x)^(5//2))/(3003*(1 - x)^(7//2)) + (8*(1 + x)^(5//2))/(15015*(1 - x)^(5//2)), x, 5),
+
+
+((1 - x)^(11//2)*(1 + x)^(5//2), (55//128)*sqrt(1 - x)*x*sqrt(1 + x) + (55//192)*(1 - x)^(3//2)*x*(1 + x)^(3//2) + (11//48)*(1 - x)^(5//2)*x*(1 + x)^(5//2) + (11//56)*(1 - x)^(7//2)*(1 + x)^(7//2) + (11//72)*(1 - x)^(9//2)*(1 + x)^(7//2) + (1//9)*(1 - x)^(11//2)*(1 + x)^(7//2) + (55*asin(x))/128, x, 8),
+((1 - x)^(9//2)*(1 + x)^(5//2), (45//128)*sqrt(1 - x)*x*sqrt(1 + x) + (15//64)*(1 - x)^(3//2)*x*(1 + x)^(3//2) + (3//16)*(1 - x)^(5//2)*x*(1 + x)^(5//2) + (9//56)*(1 - x)^(7//2)*(1 + x)^(7//2) + (1//8)*(1 - x)^(9//2)*(1 + x)^(7//2) + (45*asin(x))/128, x, 7),
+((1 - x)^(7//2)*(1 + x)^(5//2), (5//16)*sqrt(1 - x)*x*sqrt(1 + x) + (5//24)*(1 - x)^(3//2)*x*(1 + x)^(3//2) + (1//6)*(1 - x)^(5//2)*x*(1 + x)^(5//2) + (1//7)*(1 - x)^(7//2)*(1 + x)^(7//2) + (5*asin(x))/16, x, 6),
+((1 - x)^(5//2)*(1 + x)^(5//2), (5//16)*sqrt(1 - x)*x*sqrt(1 + x) + (5//24)*(1 - x)^(3//2)*x*(1 + x)^(3//2) + (1//6)*(1 - x)^(5//2)*x*(1 + x)^(5//2) + (5*asin(x))/16, x, 5),
+((1 - x)^(3//2)*(1 + x)^(5//2), (3//8)*sqrt(1 - x)*x*sqrt(1 + x) + (1//4)*(1 - x)^(3//2)*x*(1 + x)^(3//2) - (1//5)*(1 - x)^(5//2)*(1 + x)^(5//2) + (3*asin(x))/8, x, 5),
+((1 - x)^(1//2)*(1 + x)^(5//2), (5//8)*sqrt(1 - x)*x*sqrt(1 + x) - (5//12)*(1 - x)^(3//2)*(1 + x)^(3//2) - (1//4)*(1 - x)^(3//2)*(1 + x)^(5//2) + (5*asin(x))/8, x, 5),
+((1 + x)^(5//2)/(1 - x)^(1//2), (-(5//2))*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) - (5//6)*sqrt(1 - x)*(1 + x)^(3//2) - (1//3)*sqrt(1 - x)*(1 + x)^(5//2) + (5*asin(x))/2, x, 5),
+((1 + x)^(5//2)/(1 - x)^(3//2), (15//2)*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) + (5//2)*sqrt(1 - x)*(1 + x)^(3//2) + (2*(1 + x)^(5//2))/sqrt(1 - x) - (15*asin(x))/2, x, 5),
+((1 + x)^(5//2)/(1 - x)^(5//2), -5*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) - (10*(1 + x)^(3//2))/(3*sqrt(1 - x)) + (2*(1 + x)^(5//2))/(3*(1 - x)^(3//2)) + 5*asin(x), x, 5),
+((1 + x)^(5//2)/(1 - x)^(7//2), (2*sqrt(1 + x))/sqrt(1 - x) - (2*(1 + x)^(3//2))/(3*(1 - x)^(3//2)) + (2*(1 + x)^(5//2))/(5*(1 - x)^(5//2)) - asin(x), x, 5),
+((1 + x)^(5//2)/(1 - x)^(9//2), (1 + x)^(7//2)/(7*(1 - x)^(7//2)), x, 1),
+((1 + x)^(5//2)/(1 - x)^(11//2), (1 + x)^(7//2)/(9*(1 - x)^(9//2)) + (1 + x)^(7//2)/(63*(1 - x)^(7//2)), x, 2),
+((1 + x)^(5//2)/(1 - x)^(13//2), (1 + x)^(7//2)/(11*(1 - x)^(11//2)) + (2*(1 + x)^(7//2))/(99*(1 - x)^(9//2)) + (2*(1 + x)^(7//2))/(693*(1 - x)^(7//2)), x, 3),
+((1 + x)^(5//2)/(1 - x)^(15//2), (1 + x)^(7//2)/(13*(1 - x)^(13//2)) + (3*(1 + x)^(7//2))/(143*(1 - x)^(11//2)) + (2*(1 + x)^(7//2))/(429*(1 - x)^(9//2)) + (2*(1 + x)^(7//2))/(3003*(1 - x)^(7//2)), x, 4),
+((1 + x)^(5//2)/(1 - x)^(17//2), (1 + x)^(7//2)/(15*(1 - x)^(15//2)) + (4*(1 + x)^(7//2))/(195*(1 - x)^(13//2)) + (4*(1 + x)^(7//2))/(715*(1 - x)^(11//2)) + (8*(1 + x)^(7//2))/(6435*(1 - x)^(9//2)) + (8*(1 + x)^(7//2))/(45045*(1 - x)^(7//2)), x, 5),
+((1 + x)^(5//2)/(1 - x)^(19//2), (1 + x)^(7//2)/(17*(1 - x)^(17//2)) + (1 + x)^(7//2)/(51*(1 - x)^(15//2)) + (4*(1 + x)^(7//2))/(663*(1 - x)^(13//2)) + (4*(1 + x)^(7//2))/(2431*(1 - x)^(11//2)) + (8*(1 + x)^(7//2))/(21879*(1 - x)^(9//2)) + (8*(1 + x)^(7//2))/(153153*(1 - x)^(7//2)), x, 6),
+
+
+# Note: Following two integrands are equal.
+((1 + a*x)^(3//2)/sqrt(1 - a*x), -((3*sqrt(1 - a*x)*sqrt(1 + a*x))/(2*a)) - (sqrt(1 - a*x)*(1 + a*x)^(3//2))/(2*a) + (3*asin(a*x))/(2*a), x, 4),
+(((1 + a*x)*sqrt(1 - a^2*x^2))/(1 - a*x), -((3*sqrt(1 - a^2*x^2))/(2*a)) - (1 - a^2*x^2)^(3//2)/(2*a*(1 - a*x)) + (3*asin(a*x))/(2*a), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((1 - x)^(7//2)/(1 + x)^(1//2), (35//8)*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) + (35//24)*(1 - x)^(3//2)*sqrt(1 + x) + (7//12)*(1 - x)^(5//2)*sqrt(1 + x) + (1//4)*(1 - x)^(7//2)*sqrt(1 + x) + (35*asin(x))/8, x, 6),
+((1 - x)^(5//2)/(1 + x)^(1//2), (5//2)*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) + (5//6)*(1 - x)^(3//2)*sqrt(1 + x) + (1//3)*(1 - x)^(5//2)*sqrt(1 + x) + (5*asin(x))/2, x, 5),
+((1 - x)^(3//2)/(1 + x)^(1//2), (3//2)*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) + (1//2)*(1 - x)^(3//2)*sqrt(1 + x) + (3*asin(x))/2, x, 4),
+((1 - x)^(1//2)/(1 + x)^(1//2), sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) + asin(x), x, 3),
+(1/((1 - x)^(1//2)*(1 + x)^(1//2)), asin(x), x, 2),
+(1/((1 - x)^(3//2)*(1 + x)^(1//2)), sqrt(1 + x)/sqrt(1 - x), x, 1),
+(1/((1 - x)^(5//2)*(1 + x)^(1//2)), sqrt(1 + x)/(3*(1 - x)^(3//2)) + sqrt(1 + x)/(3*sqrt(1 - x)), x, 2),
+(1/((1 - x)^(7//2)*(1 + x)^(1//2)), sqrt(1 + x)/(5*(1 - x)^(5//2)) + (2*sqrt(1 + x))/(15*(1 - x)^(3//2)) + (2*sqrt(1 + x))/(15*sqrt(1 - x)), x, 3),
+(1/((1 - x)^(9//2)*(1 + x)^(1//2)), sqrt(1 + x)/(7*(1 - x)^(7//2)) + (3*sqrt(1 + x))/(35*(1 - x)^(5//2)) + (2*sqrt(1 + x))/(35*(1 - x)^(3//2)) + (2*sqrt(1 + x))/(35*sqrt(1 - x)), x, 4),
+(1/((1 - x)^(11//2)*(1 + x)^(1//2)), sqrt(1 + x)/(9*(1 - x)^(9//2)) + (4*sqrt(1 + x))/(63*(1 - x)^(7//2)) + (4*sqrt(1 + x))/(105*(1 - x)^(5//2)) + (8*sqrt(1 + x))/(315*(1 - x)^(3//2)) + (8*sqrt(1 + x))/(315*sqrt(1 - x)), x, 5),
+
+
+((1 - x)^(7//2)/(1 + x)^(3//2), -((2*(1 - x)^(7//2))/sqrt(1 + x)) - (35//2)*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) - (35//6)*(1 - x)^(3//2)*sqrt(1 + x) - (7//3)*(1 - x)^(5//2)*sqrt(1 + x) - (35*asin(x))/2, x, 6),
+((1 - x)^(5//2)/(1 + x)^(3//2), -((2*(1 - x)^(5//2))/sqrt(1 + x)) - (15//2)*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) - (5//2)*(1 - x)^(3//2)*sqrt(1 + x) - (15*asin(x))/2, x, 5),
+((1 - x)^(3//2)/(1 + x)^(3//2), -((2*(1 - x)^(3//2))/sqrt(1 + x)) - 3*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) - 3*asin(x), x, 4),
+((1 - x)^(1//2)/(1 + x)^(3//2), -((2*sqrt(1 - x))/sqrt(1 + x)) - asin(x), x, 3),
+(1/((1 - x)^(1//2)*(1 + x)^(3//2)), -(sqrt(1 - x)/sqrt(1 + x)), x, 1),
+(1/((1 - x)^(3//2)*(1 + x)^(3//2)), x/(sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x, 1),
+(1/((1 - x)^(5//2)*(1 + x)^(3//2)), 1/(3*(1 - x)^(3//2)*sqrt(1 + x)) + (2*x)/(3*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x, 2),
+(1/((1 - x)^(7//2)*(1 + x)^(3//2)), 1/(5*(1 - x)^(5//2)*sqrt(1 + x)) + 1/(5*(1 - x)^(3//2)*sqrt(1 + x)) + (2*x)/(5*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x, 3),
+(1/((1 - x)^(9//2)*(1 + x)^(3//2)), 1/(7*(1 - x)^(7//2)*sqrt(1 + x)) + 4/(35*(1 - x)^(5//2)*sqrt(1 + x)) + 4/(35*(1 - x)^(3//2)*sqrt(1 + x)) + (8*x)/(35*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x, 4),
+(1/((1 - x)^(11//2)*(1 + x)^(3//2)), 1/(9*(1 - x)^(9//2)*sqrt(1 + x)) + 5/(63*(1 - x)^(7//2)*sqrt(1 + x)) + 4/(63*(1 - x)^(5//2)*sqrt(1 + x)) + 4/(63*(1 - x)^(3//2)*sqrt(1 + x)) + (8*x)/(63*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x, 5),
+
+
+((1 - x)^(9//2)/(1 + x)^(5//2), -((2*(1 - x)^(9//2))/(3*(1 + x)^(3//2))) + (6*(1 - x)^(7//2))/sqrt(1 + x) + (105//2)*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) + (35//2)*(1 - x)^(3//2)*sqrt(1 + x) + 7*(1 - x)^(5//2)*sqrt(1 + x) + (105*asin(x))/2, x, 7),
+((1 - x)^(7//2)/(1 + x)^(5//2), -((2*(1 - x)^(7//2))/(3*(1 + x)^(3//2))) + (14*(1 - x)^(5//2))/(3*sqrt(1 + x)) + (35//2)*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) + (35//6)*(1 - x)^(3//2)*sqrt(1 + x) + (35*asin(x))/2, x, 6),
+((1 - x)^(5//2)/(1 + x)^(5//2), -((2*(1 - x)^(5//2))/(3*(1 + x)^(3//2))) + (10*(1 - x)^(3//2))/(3*sqrt(1 + x)) + 5*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) + 5*asin(x), x, 5),
+((1 - x)^(3//2)/(1 + x)^(5//2), -((2*(1 - x)^(3//2))/(3*(1 + x)^(3//2))) + (2*sqrt(1 - x))/sqrt(1 + x) + asin(x), x, 4),
+((1 - x)^(1//2)/(1 + x)^(5//2), -((1 - x)^(3//2)/(3*(1 + x)^(3//2))), x, 1),
+(1/((1 - x)^(1//2)*(1 + x)^(5//2)), -(sqrt(1 - x)/(3*(1 + x)^(3//2))) - sqrt(1 - x)/(3*sqrt(1 + x)), x, 2),
+(1/((1 - x)^(3//2)*(1 + x)^(5//2)), 1/(sqrt(1 - x)*(1 + x)^(3//2)) - (2*sqrt(1 - x))/(3*(1 + x)^(3//2)) - (2*sqrt(1 - x))/(3*sqrt(1 + x)), x, 3),
+(1/((1 - x)^(5//2)*(1 + x)^(5//2)), x/(3*(1 - x)^(3//2)*(1 + x)^(3//2)) + (2*x)/(3*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x, 2),
+(1/((1 - x)^(7//2)*(1 + x)^(5//2)), 1/(5*(1 - x)^(5//2)*(1 + x)^(3//2)) + (4*x)/(15*(1 - x)^(3//2)*(1 + x)^(3//2)) + (8*x)/(15*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x, 3),
+(1/((1 - x)^(9//2)*(1 + x)^(5//2)), 1/(7*(1 - x)^(7//2)*(1 + x)^(3//2)) + 1/(7*(1 - x)^(5//2)*(1 + x)^(3//2)) + (4*x)/(21*(1 - x)^(3//2)*(1 + x)^(3//2)) + (8*x)/(21*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x, 4),
+(1/((1 - x)^(11//2)*(1 + x)^(5//2)), 1/(9*(1 - x)^(9//2)*(1 + x)^(3//2)) + 2/(21*(1 - x)^(7//2)*(1 + x)^(3//2)) + 2/(21*(1 - x)^(5//2)*(1 + x)^(3//2)) + (8*x)/(63*(1 - x)^(3//2)*(1 + x)^(3//2)) + (16*x)/(63*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(m/2) when b c+a d=0
+
+
+((a + a*x)^(5//2)*(c - c*x)^(5//2), (5//16)*a^2*c^2*x*sqrt(a + a*x)*sqrt(c - c*x) + (5//24)*a*c*x*(a + a*x)^(3//2)*(c - c*x)^(3//2) + (1//6)*x*(a + a*x)^(5//2)*(c - c*x)^(5//2) + (5//8)*a^(5//2)*c^(5//2)*atan((sqrt(c)*sqrt(a + a*x))/(sqrt(a)*sqrt(c - c*x))), x, 6),
+((a + a*x)^(3//2)*(c - c*x)^(3//2), (3//8)*a*c*x*sqrt(a + a*x)*sqrt(c - c*x) + (1//4)*x*(a + a*x)^(3//2)*(c - c*x)^(3//2) + (3//4)*a^(3//2)*c^(3//2)*atan((sqrt(c)*sqrt(a + a*x))/(sqrt(a)*sqrt(c - c*x))), x, 5),
+((a + a*x)^(1//2)*(c - c*x)^(1//2), (1//2)*x*sqrt(a + a*x)*sqrt(c - c*x) + sqrt(a)*sqrt(c)*atan((sqrt(c)*sqrt(a + a*x))/(sqrt(a)*sqrt(c - c*x))), x, 4),
+(1/((a + a*x)^(1//2)*(c - c*x)^(1//2)), (2*atan((sqrt(c)*sqrt(a + a*x))/(sqrt(a)*sqrt(c - c*x))))/(sqrt(a)*sqrt(c)), x, 3),
+(1/((a + a*x)^(3//2)*(c - c*x)^(3//2)), x/(a*c*sqrt(a + a*x)*sqrt(c - c*x)), x, 1),
+(1/((a + a*x)^(5//2)*(c - c*x)^(5//2)), x/(3*a*c*(a + a*x)^(3//2)*(c - c*x)^(3//2)) + (2*x)/(3*a^2*c^2*sqrt(a + a*x)*sqrt(c - c*x)), x, 2),
+(1/((a + a*x)^(7//2)*(c - c*x)^(7//2)), x/(5*a*c*(a + a*x)^(5//2)*(c - c*x)^(5//2)) + (4*x)/(15*a^2*c^2*(a + a*x)^(3//2)*(c - c*x)^(3//2)) + (8*x)/(15*a^3*c^3*sqrt(a + a*x)*sqrt(c - c*x)), x, 3),
+(1/((a + a*x)^(9//2)*(c - c*x)^(9//2)), x/(7*a*c*(a + a*x)^(7//2)*(c - c*x)^(7//2)) + (6*x)/(35*a^2*c^2*(a + a*x)^(5//2)*(c - c*x)^(5//2)) + (8*x)/(35*a^3*c^3*(a + a*x)^(3//2)*(c - c*x)^(3//2)) + (16*x)/(35*a^4*c^4*sqrt(a + a*x)*sqrt(c - c*x)), x, 4),
+
+
+((a + b*x)^(5//2)*(a*c - b*c*x)^(5//2), (5//16)*a^4*c^2*x*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x) + (5//24)*a^2*c*x*(a + b*x)^(3//2)*(a*c - b*c*x)^(3//2) + (1//6)*x*(a + b*x)^(5//2)*(a*c - b*c*x)^(5//2) + (5*a^6*c^(5//2)*atan((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/sqrt(c*(a - b*x))))/(8*b), x, 6),
+((a + b*x)^(3//2)*(a*c - b*c*x)^(3//2), (3//8)*a^2*c*x*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x) + (1//4)*x*(a + b*x)^(3//2)*(a*c - b*c*x)^(3//2) + (3*a^4*c^(3//2)*atan((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/sqrt(c*(a - b*x))))/(4*b), x, 5),
+((a + b*x)^(1//2)*(a*c - b*c*x)^(1//2), (1//2)*x*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x) + (a^2*sqrt(c)*atan((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/sqrt(c*(a - b*x))))/b, x, 4),
+(1/((a + b*x)^(1//2)*(a*c - b*c*x)^(1//2)), (2*atan((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/sqrt(c*(a - b*x))))/(b*sqrt(c)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(3//2)*(a*c - b*c*x)^(3//2)), x/(a^2*c*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)), x, 1),
+(1/((a + b*x)^(5//2)*(a*c - b*c*x)^(5//2)), x/(3*a^2*c*(a + b*x)^(3//2)*(a*c - b*c*x)^(3//2)) + (2*x)/(3*a^4*c^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(7//2)*(a*c - b*c*x)^(7//2)), x/(5*a^2*c*(a + b*x)^(5//2)*(a*c - b*c*x)^(5//2)) + (4*x)/(15*a^4*c^2*(a + b*x)^(3//2)*(a*c - b*c*x)^(3//2)) + (8*x)/(15*a^6*c^3*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(9//2)*(a*c - b*c*x)^(9//2)), x/(7*a^2*c*(a + b*x)^(7//2)*(a*c - b*c*x)^(7//2)) + (6*x)/(35*a^4*c^2*(a + b*x)^(5//2)*(a*c - b*c*x)^(5//2)) + (8*x)/(35*a^6*c^3*(a + b*x)^(3//2)*(a*c - b*c*x)^(3//2)) + (16*x)/(35*a^8*c^4*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)), x, 4),
+
+
+((3 - 6*x)^(5//2)*(2 + 4*x)^(5//2), (45//2)*sqrt(3//2)*sqrt(1 - 2*x)*x*sqrt(1 + 2*x) + 15*sqrt(3//2)*(1 - 2*x)^(3//2)*x*(1 + 2*x)^(3//2) + 6*sqrt(6)*(1 - 2*x)^(5//2)*x*(1 + 2*x)^(5//2) + (45//4)*sqrt(3//2)*asin(2*x), x, 5),
+((3 - 6*x)^(3//2)*(2 + 4*x)^(3//2), (9//2)*sqrt(3//2)*sqrt(1 - 2*x)*x*sqrt(1 + 2*x) + 3*sqrt(3//2)*(1 - 2*x)^(3//2)*x*(1 + 2*x)^(3//2) + (9//4)*sqrt(3//2)*asin(2*x), x, 4),
+((3 - 6*x)^(1//2)*(2 + 4*x)^(1//2), sqrt(3//2)*sqrt(1 - 2*x)*x*sqrt(1 + 2*x) + (1//2)*sqrt(3//2)*asin(2*x), x, 3),
+(1/((3 - 6*x)^(1//2)*(2 + 4*x)^(1//2)), asin(2*x)/(2*sqrt(6)), x, 2),
+(1/((3 - 6*x)^(3//2)*(2 + 4*x)^(3//2)), x/(6*sqrt(6)*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(1 + 2*x)), x, 1),
+(1/((3 - 6*x)^(5//2)*(2 + 4*x)^(5//2)), x/(108*sqrt(6)*(1 - 2*x)^(3//2)*(1 + 2*x)^(3//2)) + x/(54*sqrt(6)*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(1 + 2*x)), x, 2),
+(1/((3 - 6*x)^(7//2)*(2 + 4*x)^(7//2)), x/(1080*sqrt(6)*(1 - 2*x)^(5//2)*(1 + 2*x)^(5//2)) + x/(810*sqrt(6)*(1 - 2*x)^(3//2)*(1 + 2*x)^(3//2)) + x/(405*sqrt(6)*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(1 + 2*x)), x, 3),
+
+
+# Note: (3-x)^m*(-2+x)^m == (-6+5*x-x^2)^m
+((3 - x)^(3//2)*(-2 + x)^(3//2), (3//64)*sqrt(3 - x)*sqrt(-2 + x) + (1//32)*(3 - x)^(3//2)*sqrt(-2 + x) - (1//8)*(3 - x)^(5//2)*sqrt(-2 + x) - (1//4)*(3 - x)^(5//2)*(-2 + x)^(3//2) - (3//128)*asin(5 - 2*x), x, 7),
+((3 - x)^(1//2)*(-2 + x)^(1//2), (1//4)*sqrt(3 - x)*sqrt(-2 + x) - (1//2)*(3 - x)^(3//2)*sqrt(-2 + x) - (1//8)*asin(5 - 2*x), x, 5),
+(1/((3 - x)^(1//2)*(-2 + x)^(1//2)), -asin(5 - 2*x), x, 3),
+(1/((3 - x)^(3//2)*(-2 + x)^(3//2)), 2/(sqrt(3 - x)*sqrt(-2 + x)) - (4*sqrt(3 - x))/sqrt(-2 + x), x, 2),
+(1/((3 - x)^(5//2)*(-2 + x)^(5//2)), 2/(3*(3 - x)^(3//2)*(-2 + x)^(3//2)) + 4/(sqrt(3 - x)*(-2 + x)^(3//2)) - (16*sqrt(3 - x))/(3*(-2 + x)^(3//2)) - (32*sqrt(3 - x))/(3*sqrt(-2 + x)), x, 4),
+
+
+(1/((3 - x)^(3//2)*(3 + x)^(3//2)), x/(9*sqrt(3 - x)*sqrt(3 + x)), x, 1),
+(1/((3 - b*x)^(3//2)*(3 + b*x)^(3//2)), x/(9*sqrt(3 - b*x)*sqrt(3 + b*x)), x, 1),
+
+(1/((6 - 2*x)^(3//2)*(3 + x)^(3//2)), x/(18*sqrt(2)*sqrt(3 - x)*sqrt(3 + x)), x, 1),
+(1/((6 - 2*b*x)^(3//2)*(3 + b*x)^(3//2)), x/(18*sqrt(2)*sqrt(3 - b*x)*sqrt(3 + b*x)), x, 1),
+
+
+(1/(sqrt(a + b*x)*sqrt(-a*d + b*d*x)), (2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-a)*d + b*d*x)))/(b*sqrt(d)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/4) (c+d x)^(n/4) when b c+a d=0
+
+
+# {1/((6 - 3*e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(3/4)), x, 11, If[$VersionNumber>=8, (Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(3^(1/4)*e) - (Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(3^(1/4)*e) - Log[(Sqrt[6 - 3*e*x] - Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(1/4) + Sqrt[3]*Sqrt[2 + e*x])/Sqrt[2 + e*x]]/(Sqrt[2]*3^(1/4)*e) + Log[(Sqrt[6 - 3*e*x] + Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(1/4) + Sqrt[3]*Sqrt[2 + e*x])/Sqrt[2 + e*x]]/(Sqrt[2]*3^(1/4)*e), (Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(3^(1/4)*e) - (Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(3^(1/4)*e) - Log[Sqrt[3] + (Sqrt[3]*Sqrt[2 - e*x])/Sqrt[2 + e*x] - (Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)]/(Sqrt[2]*3^(1/4)*e) + Log[Sqrt[3] + (Sqrt[3]*Sqrt[2 - e*x])/Sqrt[2 + e*x] + (Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)]/(Sqrt[2]*3^(1/4)*e)]}
+
+
+# ::Subsubsection::
+# n>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((a - I*a*x)^(7//4)/(a + I*a*x)^(1//4), (14*a^2*x)/(5*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)) - (14//15)*I*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4) - (2*I*(a - I*a*x)^(7//4)*(a + I*a*x)^(3//4))/(5*a) - (14*a^2*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/(5*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 6),
+((a - I*a*x)^(3//4)/(a + I*a*x)^(1//4), (2*a*x)/((a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)) - (2*I*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4))/(3*a) - (2*a*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/((a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 5),
+(1/((a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), (2*x)/((a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)) - (2*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/((a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 4),
+(1/((a - I*a*x)^(5//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), -((2*I)/(a*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4))) + (2*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/(a*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 4),
+(1/((a - I*a*x)^(9//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), -((4*I)/(5*a*(a - I*a*x)^(5//4)*(a + I*a*x)^(1//4))) + (2*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/(5*a^2*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 4),
+(1/((a - I*a*x)^(13//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), -((4*I)/(15*a^2*(a - I*a*x)^(5//4)*(a + I*a*x)^(1//4))) - (2*I*(a + I*a*x)^(3//4))/(9*a^2*(a - I*a*x)^(9//4)) + (2*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/(15*a^3*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 5),
+(1/((a - I*a*x)^(17//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), -((4*I)/(39*a^3*(a - I*a*x)^(5//4)*(a + I*a*x)^(1//4))) - (2*I*(a + I*a*x)^(3//4))/(13*a^2*(a - I*a*x)^(13//4)) - (10*I*(a + I*a*x)^(3//4))/(117*a^3*(a - I*a*x)^(9//4)) + (2*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/(39*a^4*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 6),
+
+((a - I*a*x)^(1//4)/(a + I*a*x)^(1//4), -((I*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(3//4))/a) - (I*atan(1 - (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/sqrt(2) + (I*atan(1 + (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/sqrt(2) - (I*log(1 + sqrt(a - I*a*x)/sqrt(a + I*a*x) - (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/(2*sqrt(2)) + (I*log(1 + sqrt(a - I*a*x)/sqrt(a + I*a*x) + (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/(2*sqrt(2)), x, 12),
+(1/((a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), -((I*sqrt(2)*atan(1 - (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/a) + (I*sqrt(2)*atan(1 + (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/a - (I*log(1 + sqrt(a - I*a*x)/sqrt(a + I*a*x) - (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/(sqrt(2)*a) + (I*log(1 + sqrt(a - I*a*x)/sqrt(a + I*a*x) + (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/(sqrt(2)*a), x, 11),
+(1/((a - I*a*x)^(7//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), -((2*I*(a + I*a*x)^(3//4))/(3*a^2*(a - I*a*x)^(3//4))), x, 1),
+(1/((a - I*a*x)^(11//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), -((2*I*(a + I*a*x)^(3//4))/(7*a^2*(a - I*a*x)^(7//4))) - (4*I*(a + I*a*x)^(3//4))/(21*a^3*(a - I*a*x)^(3//4)), x, 2),
+(1/((a - I*a*x)^(15//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), -((2*I*(a + I*a*x)^(3//4))/(11*a^2*(a - I*a*x)^(11//4))) - (8*I*(a + I*a*x)^(3//4))/(77*a^3*(a - I*a*x)^(7//4)) - (16*I*(a + I*a*x)^(3//4))/(231*a^4*(a - I*a*x)^(3//4)), x, 3),
+(1/((a - I*a*x)^(19//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), -((2*I*(a + I*a*x)^(3//4))/(15*a^2*(a - I*a*x)^(15//4))) - (4*I*(a + I*a*x)^(3//4))/(55*a^3*(a - I*a*x)^(11//4)) - (16*I*(a + I*a*x)^(3//4))/(385*a^4*(a - I*a*x)^(7//4)) - (32*I*(a + I*a*x)^(3//4))/(1155*a^5*(a - I*a*x)^(3//4)), x, 4),
+
+
+((a - I*a*x)^(3//4)/(a + I*a*x)^(3//4), -((I*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(1//4))/a) - (3*I*atan(1 - (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/sqrt(2) + (3*I*atan(1 + (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/sqrt(2) + (3*I*log(1 + sqrt(a - I*a*x)/sqrt(a + I*a*x) - (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/(2*sqrt(2)) - (3*I*log(1 + sqrt(a - I*a*x)/sqrt(a + I*a*x) + (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/(2*sqrt(2)), x, 12),
+(1/((a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), -((I*sqrt(2)*atan(1 - (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/a) + (I*sqrt(2)*atan(1 + (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/a + (I*log(1 + sqrt(a - I*a*x)/sqrt(a + I*a*x) - (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/(sqrt(2)*a) - (I*log(1 + sqrt(a - I*a*x)/sqrt(a + I*a*x) + (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/(sqrt(2)*a), x, 11),
+(1/((a - I*a*x)^(5//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), ((-2*I)*(a + I*a*x)^(1//4))/(a^2*(a - I*a*x)^(1//4)), x, 1),
+(1/((a - I*a*x)^(9//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), (((-2*I)/5)*(a + I*a*x)^(1//4))/(a^2*(a - I*a*x)^(5//4)) - (((4*I)/5)*(a + I*a*x)^(1//4))/(a^3*(a - I*a*x)^(1//4)), x, 2),
+(1/((a - I*a*x)^(13//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), -((2*I*(a + I*a*x)^(1//4))/(9*a^2*(a - I*a*x)^(9//4))) - (8*I*(a + I*a*x)^(1//4))/(45*a^3*(a - I*a*x)^(5//4)) - (16*I*(a + I*a*x)^(1//4))/(45*a^4*(a - I*a*x)^(1//4)), x, 3),
+
+((a - I*a*x)^(5//4)/(a + I*a*x)^(3//4), ((-10*I)/3)*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4) - (((2*I)/3)*(a - I*a*x)^(5//4)*(a + I*a*x)^(1//4))/a + (10*a^2*(1 + x^2)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x)/2, 2))/(3*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), x, 5),
+((a - I*a*x)^(1//4)/(a + I*a*x)^(3//4), ((-2*I)*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4))/a + (2*a*(1 + x^2)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x)/2, 2))/((a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), x, 4),
+(1/((a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), (2*(1 + x^2)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x)/2, 2))/((a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), x, 3),
+(1/((a - I*a*x)^(7//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), (((-2*I)/3)*(a + I*a*x)^(1//4))/(a^2*(a - I*a*x)^(3//4)) + (2*(1 + x^2)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x)/2, 2))/(3*a*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), x, 4),
+(1/((a - I*a*x)^(11//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), (((-2*I)/7)*(a + I*a*x)^(1//4))/(a^2*(a - I*a*x)^(7//4)) - (((2*I)/7)*(a + I*a*x)^(1//4))/(a^3*(a - I*a*x)^(3//4)) + (2*(1 + x^2)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x)/2, 2))/(7*a^2*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), x, 5),
+
+
+((a - I*a*x)^(7//4)/(a + I*a*x)^(7//4), (4*I*(a - I*a*x)^(7//4))/(3*a*(a + I*a*x)^(3//4)) + (7*I*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(1//4))/(3*a) + (7*I*atan(1 - (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/sqrt(2) - (7*I*atan(1 + (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/sqrt(2) - (7*I*log(1 + sqrt(a - I*a*x)/sqrt(a + I*a*x) - (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/(2*sqrt(2)) + (7*I*log(1 + sqrt(a - I*a*x)/sqrt(a + I*a*x) + (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/(2*sqrt(2)), x, 13),
+((a - I*a*x)^(3//4)/(a + I*a*x)^(7//4), (4*I*(a - I*a*x)^(3//4))/(3*a*(a + I*a*x)^(3//4)) + (I*sqrt(2)*atan(1 - (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/a - (I*sqrt(2)*atan(1 + (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/a - (I*log(1 + sqrt(a - I*a*x)/sqrt(a + I*a*x) - (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/(sqrt(2)*a) + (I*log(1 + sqrt(a - I*a*x)/sqrt(a + I*a*x) + (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/(sqrt(2)*a), x, 12),
+(1/((a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(7//4)), (((2*I)/3)*(a - I*a*x)^(3//4))/(a^2*(a + I*a*x)^(3//4)), x, 1),
+(1/((a - I*a*x)^(5//4)*(a + I*a*x)^(7//4)), (-2*I)/(a^2*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(3//4)) + (((4*I)/3)*(a - I*a*x)^(3//4))/(a^3*(a + I*a*x)^(3//4)), x, 2),
+(1/((a - I*a*x)^(9//4)*(a + I*a*x)^(7//4)), ((-2*I)/5)/(a^2*(a - I*a*x)^(5//4)*(a + I*a*x)^(3//4)) - ((8*I)/5)/(a^3*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(3//4)) + (((16*I)/15)*(a - I*a*x)^(3//4))/(a^4*(a + I*a*x)^(3//4)), x, 3),
+
+((a - I*a*x)^(9//4)/(a + I*a*x)^(7//4), (4*I*(a - I*a*x)^(9//4))/(3*a*(a + I*a*x)^(3//4)) + 10*I*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4) + (2*I*(a - I*a*x)^(5//4)*(a + I*a*x)^(1//4))/a - (10*a^2*(1 + x^2)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x)/2, 2))/((a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), x, 6),
+((a - I*a*x)^(5//4)/(a + I*a*x)^(7//4), (((4*I)/3)*(a - I*a*x)^(5//4))/(a*(a + I*a*x)^(3//4)) + (((10*I)/3)*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4))/a - (10*a*(1 + x^2)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x)/2, 2))/(3*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), x, 5),
+((a - I*a*x)^(1//4)/(a + I*a*x)^(7//4), (((4*I)/3)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a*(a + I*a*x)^(3//4)) - (2*(1 + x^2)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x)/2, 2))/(3*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), x, 4),
+(1/((a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(7//4)), (((2*I)/3)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a^2*(a + I*a*x)^(3//4)) + (2*(1 + x^2)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x)/2, 2))/(3*a*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), x, 4),
+(1/((a - I*a*x)^(7//4)*(a + I*a*x)^(7//4)), (2*x)/(3*a^2*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4)) + (2*(1 + x^2)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x)/2, 2))/(3*a^2*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), x, 4),
+(1/((a - I*a*x)^(11//4)*(a + I*a*x)^(7//4)), ((-2*I)/7)/(a^2*(a - I*a*x)^(7//4)*(a + I*a*x)^(3//4)) + (10*x)/(21*a^3*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4)) + (10*(1 + x^2)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x)/2, 2))/(21*a^3*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), x, 5),
+(1/((a - I*a*x)^(15//4)*(a + I*a*x)^(7//4)), -((2*I)/(11*a^2*(a - I*a*x)^(11//4)*(a + I*a*x)^(3//4))) - (2*I)/(11*a^3*(a - I*a*x)^(7//4)*(a + I*a*x)^(3//4)) + (10*x)/(33*a^4*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4)) + (10*(1 + x^2)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x)/2, 2))/(33*a^4*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4)), x, 6),
+
+
+((a - I*a*x)^(7//4)/(a + I*a*x)^(5//4), (-14*a*x)/((a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)) + ((4*I)*(a - I*a*x)^(7//4))/(a*(a + I*a*x)^(1//4)) + (((14*I)/3)*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(3//4))/a + (14*a*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/((a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 6),
+((a - I*a*x)^(3//4)/(a + I*a*x)^(5//4), (-6*x)/((a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)) + ((4*I)*(a - I*a*x)^(3//4))/(a*(a + I*a*x)^(1//4)) + (6*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/((a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 5),
+(1/((a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(5//4)), (2*I)/(a*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)) + (2*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/(a*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 4),
+(1/((a - I*a*x)^(5//4)*(a + I*a*x)^(5//4)), (2*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/(a^2*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 3),
+(1/((a - I*a*x)^(9//4)*(a + I*a*x)^(5//4)), ((-2*I)/5)/(a^2*(a - I*a*x)^(5//4)*(a + I*a*x)^(1//4)) + (6*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/(5*a^3*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 4),
+(1/((a - I*a*x)^(13//4)*(a + I*a*x)^(5//4)), -((2*I)/(9*a^2*(a - I*a*x)^(9//4)*(a + I*a*x)^(1//4))) - (2*I)/(9*a^3*(a - I*a*x)^(5//4)*(a + I*a*x)^(1//4)) + (2*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/(3*a^4*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 5),
+
+((a - I*a*x)^(5//4)/(a + I*a*x)^(5//4), (4*I*(a - I*a*x)^(5//4))/(a*(a + I*a*x)^(1//4)) + (5*I*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(3//4))/a + (5*I*atan(1 - (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/sqrt(2) - (5*I*atan(1 + (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/sqrt(2) + (5*I*log(1 + sqrt(a - I*a*x)/sqrt(a + I*a*x) - (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/(2*sqrt(2)) - (5*I*log(1 + sqrt(a - I*a*x)/sqrt(a + I*a*x) + (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/(2*sqrt(2)), x, 13),
+((a - I*a*x)^(1//4)/(a + I*a*x)^(5//4), (4*I*(a - I*a*x)^(1//4))/(a*(a + I*a*x)^(1//4)) + (I*sqrt(2)*atan(1 - (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/a - (I*sqrt(2)*atan(1 + (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/a + (I*log(1 + sqrt(a - I*a*x)/sqrt(a + I*a*x) - (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/(sqrt(2)*a) - (I*log(1 + sqrt(a - I*a*x)/sqrt(a + I*a*x) + (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/(sqrt(2)*a), x, 12),
+(1/((a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(5//4)), ((2*I)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a^2*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 1),
+(1/((a - I*a*x)^(7//4)*(a + I*a*x)^(5//4)), ((-2*I)/3)/(a^2*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(1//4)) + (((4*I)/3)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a^3*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 2),
+(1/((a - I*a*x)^(11//4)*(a + I*a*x)^(5//4)), ((-2*I)/7)/(a^2*(a - I*a*x)^(7//4)*(a + I*a*x)^(1//4)) - ((8*I)/21)/(a^3*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(1//4)) + (((16*I)/21)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a^4*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 3),
+
+
+((a - I*a*x)^(7//4)/(a + I*a*x)^(9//4), (((4*I)/5)*(a - I*a*x)^(7//4))/(a*(a + I*a*x)^(5//4)) + (42*x)/(5*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)) - (((28*I)/5)*(a - I*a*x)^(3//4))/(a*(a + I*a*x)^(1//4)) - (42*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/(5*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 6),
+((a - I*a*x)^(3//4)/(a + I*a*x)^(9//4), (4*I*(a - I*a*x)^(3//4))/(5*a*(a + I*a*x)^(5//4)) - (6*I)/(5*a*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)) - (6*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/(5*a*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 5),
+(1/((a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(9//4)), (4*I)/(5*a*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(5//4)) + (2*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/(5*a^2*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 4),
+(1/((a - I*a*x)^(5//4)*(a + I*a*x)^(9//4)), (2*I)/(5*a^2*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(5//4)) + (6*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/(5*a^3*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 5),
+(1/((a - I*a*x)^(9//4)*(a + I*a*x)^(9//4)), (2*x)/(5*a^4*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)*(1 + x^2)) + (6*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/(5*a^4*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 4),
+(1/((a - I*a*x)^(13//4)*(a + I*a*x)^(9//4)), -((2*I)/(9*a^2*(a - I*a*x)^(9//4)*(a + I*a*x)^(5//4))) + (14*x)/(45*a^5*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)*(1 + x^2)) + (14*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/(15*a^5*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 5),
+(1/((a - I*a*x)^(17//4)*(a + I*a*x)^(9//4)), -((2*I)/(13*a^2*(a - I*a*x)^(13//4)*(a + I*a*x)^(5//4))) - (2*I)/(13*a^3*(a - I*a*x)^(9//4)*(a + I*a*x)^(5//4)) + (14*x)/(65*a^6*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)*(1 + x^2)) + (42*(1 + x^2)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x)/2, 2))/(65*a^6*(a - I*a*x)^(1//4)*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 6),
+
+((a - I*a*x)^(5//4)/(a + I*a*x)^(9//4), (4*I*(a - I*a*x)^(5//4))/(5*a*(a + I*a*x)^(5//4)) - (4*I*(a - I*a*x)^(1//4))/(a*(a + I*a*x)^(1//4)) - (I*sqrt(2)*atan(1 - (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/a + (I*sqrt(2)*atan(1 + (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/a - (I*log(1 + sqrt(a - I*a*x)/sqrt(a + I*a*x) - (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/(sqrt(2)*a) + (I*log(1 + sqrt(a - I*a*x)/sqrt(a + I*a*x) + (sqrt(2)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a + I*a*x)^(1//4)))/(sqrt(2)*a), x, 13),
+((a - I*a*x)^(1//4)/(a + I*a*x)^(9//4), (((2*I)/5)*(a - I*a*x)^(5//4))/(a^2*(a + I*a*x)^(5//4)), x, 1),
+(1/((a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(9//4)), (((2*I)/5)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a^2*(a + I*a*x)^(5//4)) + (((4*I)/5)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a^3*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 2),
+(1/((a - I*a*x)^(7//4)*(a + I*a*x)^(9//4)), ((-2*I)/3)/(a^2*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(5//4)) + (((8*I)/15)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a^3*(a + I*a*x)^(5//4)) + (((16*I)/15)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a^4*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 3),
+(1/((a - I*a*x)^(11//4)*(a + I*a*x)^(9//4)), ((-2*I)/7)/(a^2*(a - I*a*x)^(7//4)*(a + I*a*x)^(5//4)) - ((4*I)/7)/(a^3*(a - I*a*x)^(3//4)*(a + I*a*x)^(5//4)) + (((16*I)/35)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a^4*(a + I*a*x)^(5//4)) + (((32*I)/35)*(a - I*a*x)^(1//4))/(a^5*(a + I*a*x)^(1//4)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (a c-b c x)^n with n symbolic
+
+
+((a + b*x)^2*(a*c - b*c*x)^n, -((4*a^2*(a*c - b*c*x)^(1 + n))/(b*c*(1 + n))) + (4*a*(a*c - b*c*x)^(2 + n))/(b*c^2*(2 + n)) - (a*c - b*c*x)^(3 + n)/(b*c^3*(3 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^1*(a*c - b*c*x)^n, -((2*a*(a*c - b*c*x)^(1 + n))/(b*c*(1 + n))) + (a*c - b*c*x)^(2 + n)/(b*c^2*(2 + n)), x, 2),
+(1/(a + b*x)^1*(a*c - b*c*x)^n, -(((a*c - b*c*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (a - b*x)/(2*a)))/(2*a*b*c*(1 + n))), x, 1),
+(1/(a + b*x)^2*(a*c - b*c*x)^n, -(((a*c - b*c*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, (a - b*x)/(2*a)))/(4*a^2*b*c*(1 + n))), x, 1),
+
+
+((a + a*x)^m*(c - c*x)^m, (x*(a + a*x)^m*(c - c*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -m, 3//2, x^2))/(1 - x^2)^m, x, 3),
+
+
+((a + b*x)^m*(a*c - b*c*x)^m, (x*(a + b*x)^m*(a*c - b*c*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -m, 3//2, (b^2*x^2)/a^2))/(1 - (b^2*x^2)/a^2)^m, x, 3),
+
+
+((3 - 6*x)^m*(2 + 4*x)^m, 6^m*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -m, 3//2, 4*x^2), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((a + b*x)^4*(c + d*x), ((b*c - a*d)*(a + b*x)^5)/(5*b^2) + (d*(a + b*x)^6)/(6*b^2), x, 2),
+((a + b*x)^3*(c + d*x), ((b*c - a*d)*(a + b*x)^4)/(4*b^2) + (d*(a + b*x)^5)/(5*b^2), x, 2),
+((a + b*x)^2*(c + d*x), ((b*c - a*d)*(a + b*x)^3)/(3*b^2) + (d*(a + b*x)^4)/(4*b^2), x, 2),
+
+((a + b*x)^1*(c + d*x), a*c*x + (1//2)*(b*c + a*d)*x^2 + (1//3)*b*d*x^3, x, 2),
+((a + b*x)^0*(c + d*x), c*x + (d*x^2)/2, x, 1),
+
+((c + d*x)/(a + b*x)^1, (d*x)/b + ((b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^2, x, 2),
+((c + d*x)/(a + b*x)^2, -((b*c - a*d)/(b^2*(a + b*x))) + (d*log(a + b*x))/b^2, x, 2),
+
+((c + d*x)/(a + b*x)^3, -((c + d*x)^2/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2)), x, 1),
+
+((c + d*x)/(a + b*x)^4, -((b*c - a*d)/(3*b^2*(a + b*x)^3)) - d/(2*b^2*(a + b*x)^2), x, 2),
+((c + d*x)/(a + b*x)^5, -((b*c - a*d)/(4*b^2*(a + b*x)^4)) - d/(3*b^2*(a + b*x)^3), x, 2),
+
+
+((a + b*x)^4*(c + d*x)^2, ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^5)/(5*b^3) + (d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^6)/(3*b^3) + (d^2*(a + b*x)^7)/(7*b^3), x, 2),
+((a + b*x)^3*(c + d*x)^2, ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^4)/(4*b^3) + (2*d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^5)/(5*b^3) + (d^2*(a + b*x)^6)/(6*b^3), x, 2),
+((a + b*x)^2*(c + d*x)^2, ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^3)/(3*b^3) + (d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^4)/(2*b^3) + (d^2*(a + b*x)^5)/(5*b^3), x, 2),
+
+((a + b*x)^1*(c + d*x)^2, -(((b*c - a*d)*(c + d*x)^3)/(3*d^2)) + (b*(c + d*x)^4)/(4*d^2), x, 2),
+((a + b*x)^0*(c + d*x)^2, (c + d*x)^3/(3*d), x, 1),
+
+((c + d*x)^2/(a + b*x)^1, (d*(b*c - a*d)*x)/b^2 + (c + d*x)^2/(2*b) + ((b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/b^3, x, 2),
+((c + d*x)^2/(a + b*x)^2, (d^2*x)/b^2 - (b*c - a*d)^2/(b^3*(a + b*x)) + (2*d*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^3, x, 2),
+((c + d*x)^2/(a + b*x)^3, -((b*c - a*d)^2/(2*b^3*(a + b*x)^2)) - (2*d*(b*c - a*d))/(b^3*(a + b*x)) + (d^2*log(a + b*x))/b^3, x, 2),
+
+((c + d*x)^2/(a + b*x)^4, -((c + d*x)^3/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^3)), x, 1),
+
+((c + d*x)^2/(a + b*x)^5, -((b*c - a*d)^2/(4*b^3*(a + b*x)^4)) - (2*d*(b*c - a*d))/(3*b^3*(a + b*x)^3) - d^2/(2*b^3*(a + b*x)^2), x, 2),
+((c + d*x)^2/(a + b*x)^6, -((b*c - a*d)^2/(5*b^3*(a + b*x)^5)) - (d*(b*c - a*d))/(2*b^3*(a + b*x)^4) - d^2/(3*b^3*(a + b*x)^3), x, 2),
+((c + d*x)^2/(a + b*x)^7, -((b*c - a*d)^2/(6*b^3*(a + b*x)^6)) - (2*d*(b*c - a*d))/(5*b^3*(a + b*x)^5) - d^2/(4*b^3*(a + b*x)^4), x, 2),
+
+
+((a + b*x)^5*(c + d*x)^3, ((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^6)/(6*b^4) + (3*d*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^7)/(7*b^4) + (3*d^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^8)/(8*b^4) + (d^3*(a + b*x)^9)/(9*b^4), x, 2),
+((a + b*x)^4*(c + d*x)^3, ((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^5)/(5*b^4) + (d*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^6)/(2*b^4) + (3*d^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^7)/(7*b^4) + (d^3*(a + b*x)^8)/(8*b^4), x, 2),
+((a + b*x)^3*(c + d*x)^3, ((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^4)/(4*b^4) + (3*d*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^5)/(5*b^4) + (d^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^6)/(2*b^4) + (d^3*(a + b*x)^7)/(7*b^4), x, 2),
+
+((a + b*x)^2*(c + d*x)^3, ((b*c - a*d)^2*(c + d*x)^4)/(4*d^3) - (2*b*(b*c - a*d)*(c + d*x)^5)/(5*d^3) + (b^2*(c + d*x)^6)/(6*d^3), x, 2),
+((a + b*x)^1*(c + d*x)^3, -(((b*c - a*d)*(c + d*x)^4)/(4*d^2)) + (b*(c + d*x)^5)/(5*d^2), x, 2),
+((a + b*x)^0*(c + d*x)^3, (c + d*x)^4/(4*d), x, 1),
+
+((c + d*x)^3/(a + b*x)^1, (d*(b*c - a*d)^2*x)/b^3 + ((b*c - a*d)*(c + d*x)^2)/(2*b^2) + (c + d*x)^3/(3*b) + ((b*c - a*d)^3*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+((c + d*x)^3/(a + b*x)^2, (d^2*(3*b*c - 2*a*d)*x)/b^3 + (d^3*x^2)/(2*b^2) - (b*c - a*d)^3/(b^4*(a + b*x)) + (3*d*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+((c + d*x)^3/(a + b*x)^3, (d^3*x)/b^3 - (b*c - a*d)^3/(2*b^4*(a + b*x)^2) - (3*d*(b*c - a*d)^2)/(b^4*(a + b*x)) + (3*d^2*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+((c + d*x)^3/(a + b*x)^4, -((b*c - a*d)^3/(3*b^4*(a + b*x)^3)) - (3*d*(b*c - a*d)^2)/(2*b^4*(a + b*x)^2) - (3*d^2*(b*c - a*d))/(b^4*(a + b*x)) + (d^3*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+
+((c + d*x)^3/(a + b*x)^5, -((c + d*x)^4/(4*(b*c - a*d)*(a + b*x)^4)), x, 1),
+((c + d*x)^3/(a + b*x)^6, -((c + d*x)^4/(5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^5)) + (d*(c + d*x)^4)/(20*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^4), x, 2),
+
+((c + d*x)^3/(a + b*x)^7, -((b*c - a*d)^3/(6*b^4*(a + b*x)^6)) - (3*d*(b*c - a*d)^2)/(5*b^4*(a + b*x)^5) - (3*d^2*(b*c - a*d))/(4*b^4*(a + b*x)^4) - d^3/(3*b^4*(a + b*x)^3), x, 2),
+((c + d*x)^3/(a + b*x)^8, -((b*c - a*d)^3/(7*b^4*(a + b*x)^7)) - (d*(b*c - a*d)^2)/(2*b^4*(a + b*x)^6) - (3*d^2*(b*c - a*d))/(5*b^4*(a + b*x)^5) - d^3/(4*b^4*(a + b*x)^4), x, 2),
+((c + d*x)^3/(a + b*x)^9, -((b*c - a*d)^3/(8*b^4*(a + b*x)^8)) - (3*d*(b*c - a*d)^2)/(7*b^4*(a + b*x)^7) - (d^2*(b*c - a*d))/(2*b^4*(a + b*x)^6) - d^3/(5*b^4*(a + b*x)^5), x, 2),
+
+
+((a + b*x)^9*(c + d*x)^7, ((b*c - a*d)^7*(a + b*x)^10)/(10*b^8) + (7*d*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^11)/(11*b^8) + (7*d^2*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^12)/(4*b^8) + (35*d^3*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^13)/(13*b^8) + (5*d^4*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^14)/(2*b^8) + (7*d^5*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^15)/(5*b^8) + (7*d^6*(b*c - a*d)*(a + b*x)^16)/(16*b^8) + (d^7*(a + b*x)^17)/(17*b^8), x, 2),
+((a + b*x)^8*(c + d*x)^7, ((b*c - a*d)^7*(a + b*x)^9)/(9*b^8) + (7*d*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^10)/(10*b^8) + (21*d^2*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^11)/(11*b^8) + (35*d^3*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^12)/(12*b^8) + (35*d^4*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^13)/(13*b^8) + (3*d^5*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^14)/(2*b^8) + (7*d^6*(b*c - a*d)*(a + b*x)^15)/(15*b^8) + (d^7*(a + b*x)^16)/(16*b^8), x, 2),
+((a + b*x)^7*(c + d*x)^7, ((b*c - a*d)^7*(a + b*x)^8)/(8*b^8) + (7*d*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^9)/(9*b^8) + (21*d^2*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^10)/(10*b^8) + (35*d^3*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^11)/(11*b^8) + (35*d^4*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^12)/(12*b^8) + (21*d^5*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^13)/(13*b^8) + (d^6*(b*c - a*d)*(a + b*x)^14)/(2*b^8) + (d^7*(a + b*x)^15)/(15*b^8), x, 2),
+
+((a + b*x)^6*(c + d*x)^7, ((b*c - a*d)^6*(c + d*x)^8)/(8*d^7) - (2*b*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^9)/(3*d^7) + (3*b^2*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^10)/(2*d^7) - (20*b^3*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^11)/(11*d^7) + (5*b^4*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^12)/(4*d^7) - (6*b^5*(b*c - a*d)*(c + d*x)^13)/(13*d^7) + (b^6*(c + d*x)^14)/(14*d^7), x, 2),
+((a + b*x)^5*(c + d*x)^7, -(((b*c - a*d)^5*(c + d*x)^8)/(8*d^6)) + (5*b*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^9)/(9*d^6) - (b^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^10)/d^6 + (10*b^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^11)/(11*d^6) - (5*b^4*(b*c - a*d)*(c + d*x)^12)/(12*d^6) + (b^5*(c + d*x)^13)/(13*d^6), x, 2),
+((a + b*x)^4*(c + d*x)^7, ((b*c - a*d)^4*(c + d*x)^8)/(8*d^5) - (4*b*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^9)/(9*d^5) + (3*b^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^10)/(5*d^5) - (4*b^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^11)/(11*d^5) + (b^4*(c + d*x)^12)/(12*d^5), x, 2),
+((a + b*x)^3*(c + d*x)^7, -(((b*c - a*d)^3*(c + d*x)^8)/(8*d^4)) + (b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^9)/(3*d^4) - (3*b^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^10)/(10*d^4) + (b^3*(c + d*x)^11)/(11*d^4), x, 2),
+((a + b*x)^2*(c + d*x)^7, ((b*c - a*d)^2*(c + d*x)^8)/(8*d^3) - (2*b*(b*c - a*d)*(c + d*x)^9)/(9*d^3) + (b^2*(c + d*x)^10)/(10*d^3), x, 2),
+((a + b*x)^1*(c + d*x)^7, -(((b*c - a*d)*(c + d*x)^8)/(8*d^2)) + (b*(c + d*x)^9)/(9*d^2), x, 2),
+((a + b*x)^0*(c + d*x)^7, (c + d*x)^8/(8*d), x, 1),
+
+((c + d*x)^7/(a + b*x)^1, (d*(b*c - a*d)^6*x)/b^7 + ((b*c - a*d)^5*(c + d*x)^2)/(2*b^6) + ((b*c - a*d)^4*(c + d*x)^3)/(3*b^5) + ((b*c - a*d)^3*(c + d*x)^4)/(4*b^4) + ((b*c - a*d)^2*(c + d*x)^5)/(5*b^3) + ((b*c - a*d)*(c + d*x)^6)/(6*b^2) + (c + d*x)^7/(7*b) + ((b*c - a*d)^7*log(a + b*x))/b^8, x, 2),
+((c + d*x)^7/(a + b*x)^2, (21*d^2*(b*c - a*d)^5*x)/b^7 - (b*c - a*d)^7/(b^8*(a + b*x)) + (35*d^3*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^2)/(2*b^8) + (35*d^4*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^3)/(3*b^8) + (21*d^5*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^4)/(4*b^8) + (7*d^6*(b*c - a*d)*(a + b*x)^5)/(5*b^8) + (d^7*(a + b*x)^6)/(6*b^8) + (7*d*(b*c - a*d)^6*log(a + b*x))/b^8, x, 2),
+((c + d*x)^7/(a + b*x)^3, (35*d^3*(b*c - a*d)^4*x)/b^7 - (b*c - a*d)^7/(2*b^8*(a + b*x)^2) - (7*d*(b*c - a*d)^6)/(b^8*(a + b*x)) + (35*d^4*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2)/(2*b^8) + (7*d^5*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^3)/b^8 + (7*d^6*(b*c - a*d)*(a + b*x)^4)/(4*b^8) + (d^7*(a + b*x)^5)/(5*b^8) + (21*d^2*(b*c - a*d)^5*log(a + b*x))/b^8, x, 2),
+((c + d*x)^7/(a + b*x)^4, (35*d^4*(b*c - a*d)^3*x)/b^7 - (b*c - a*d)^7/(3*b^8*(a + b*x)^3) - (7*d*(b*c - a*d)^6)/(2*b^8*(a + b*x)^2) - (21*d^2*(b*c - a*d)^5)/(b^8*(a + b*x)) + (21*d^5*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2)/(2*b^8) + (7*d^6*(b*c - a*d)*(a + b*x)^3)/(3*b^8) + (d^7*(a + b*x)^4)/(4*b^8) + (35*d^3*(b*c - a*d)^4*log(a + b*x))/b^8, x, 2),
+((c + d*x)^7/(a + b*x)^5, (21*d^5*(b*c - a*d)^2*x)/b^7 - (b*c - a*d)^7/(4*b^8*(a + b*x)^4) - (7*d*(b*c - a*d)^6)/(3*b^8*(a + b*x)^3) - (21*d^2*(b*c - a*d)^5)/(2*b^8*(a + b*x)^2) - (35*d^3*(b*c - a*d)^4)/(b^8*(a + b*x)) + (7*d^6*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2)/(2*b^8) + (d^7*(a + b*x)^3)/(3*b^8) + (35*d^4*(b*c - a*d)^3*log(a + b*x))/b^8, x, 2),
+((c + d*x)^7/(a + b*x)^6, (d^6*(7*b*c - 6*a*d)*x)/b^7 + (d^7*x^2)/(2*b^6) - (b*c - a*d)^7/(5*b^8*(a + b*x)^5) - (7*d*(b*c - a*d)^6)/(4*b^8*(a + b*x)^4) - (7*d^2*(b*c - a*d)^5)/(b^8*(a + b*x)^3) - (35*d^3*(b*c - a*d)^4)/(2*b^8*(a + b*x)^2) - (35*d^4*(b*c - a*d)^3)/(b^8*(a + b*x)) + (21*d^5*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/b^8, x, 2),
+((c + d*x)^7/(a + b*x)^7, (d^7*x)/b^7 - (b*c - a*d)^7/(6*b^8*(a + b*x)^6) - (7*d*(b*c - a*d)^6)/(5*b^8*(a + b*x)^5) - (21*d^2*(b*c - a*d)^5)/(4*b^8*(a + b*x)^4) - (35*d^3*(b*c - a*d)^4)/(3*b^8*(a + b*x)^3) - (35*d^4*(b*c - a*d)^3)/(2*b^8*(a + b*x)^2) - (21*d^5*(b*c - a*d)^2)/(b^8*(a + b*x)) + (7*d^6*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^8, x, 2),
+((c + d*x)^7/(a + b*x)^8, -(b*c - a*d)^7/(7*b^8*(a + b*x)^7) - (7*d*(b*c - a*d)^6)/(6*b^8*(a + b*x)^6) - (21*d^2*(b*c - a*d)^5)/(5*b^8*(a + b*x)^5) - (35*d^3*(b*c - a*d)^4)/(4*b^8*(a + b*x)^4) - (35*d^4*(b*c - a*d)^3)/(3*b^8*(a + b*x)^3) - (21*d^5*(b*c - a*d)^2)/(2*b^8*(a + b*x)^2) - (7*d^6*(b*c - a*d))/(b^8*(a + b*x)) + (d^7*log(a + b*x))/b^8, x, 2),
+
+((c + d*x)^7/(a + b*x)^9, -((c + d*x)^8/(8*(b*c - a*d)*(a + b*x)^8)), x, 1),
+((c + d*x)^7/(a + b*x)^10, -((c + d*x)^8/(9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^9)) + (d*(c + d*x)^8)/(72*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^8), x, 2),
+((c + d*x)^7/(a + b*x)^11, -((c + d*x)^8/(10*(b*c - a*d)*(a + b*x)^10)) + (d*(c + d*x)^8)/(45*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^9) - (d^2*(c + d*x)^8)/(360*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^8), x, 3),
+((c + d*x)^7/(a + b*x)^12, -((c + d*x)^8/(11*(b*c - a*d)*(a + b*x)^11)) + (3*d*(c + d*x)^8)/(110*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^10) - (d^2*(c + d*x)^8)/(165*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^9) + (d^3*(c + d*x)^8)/(1320*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^8), x, 4),
+((c + d*x)^7/(a + b*x)^13, -((c + d*x)^8/(12*(b*c - a*d)*(a + b*x)^12)) + (d*(c + d*x)^8)/(33*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^11) - (d^2*(c + d*x)^8)/(110*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^10) + (d^3*(c + d*x)^8)/(495*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^9) - (d^4*(c + d*x)^8)/(3960*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^8), x, 5),
+((c + d*x)^7/(a + b*x)^14, -((b*c - a*d)^7/(13*b^8*(a + b*x)^13)) - (7*d*(b*c - a*d)^6)/(12*b^8*(a + b*x)^12) - (21*d^2*(b*c - a*d)^5)/(11*b^8*(a + b*x)^11) - (7*d^3*(b*c - a*d)^4)/(2*b^8*(a + b*x)^10) - (35*d^4*(b*c - a*d)^3)/(9*b^8*(a + b*x)^9) - (21*d^5*(b*c - a*d)^2)/(8*b^8*(a + b*x)^8) - (d^6*(b*c - a*d))/(b^8*(a + b*x)^7) - d^7/(6*b^8*(a + b*x)^6), x, 2),
+
+((c + d*x)^7/(a + b*x)^15, -((b*c - a*d)^7/(14*b^8*(a + b*x)^14)) - (7*d*(b*c - a*d)^6)/(13*b^8*(a + b*x)^13) - (7*d^2*(b*c - a*d)^5)/(4*b^8*(a + b*x)^12) - (35*d^3*(b*c - a*d)^4)/(11*b^8*(a + b*x)^11) - (7*d^4*(b*c - a*d)^3)/(2*b^8*(a + b*x)^10) - (7*d^5*(b*c - a*d)^2)/(3*b^8*(a + b*x)^9) - (7*d^6*(b*c - a*d))/(8*b^8*(a + b*x)^8) - d^7/(7*b^8*(a + b*x)^7), x, 2),
+((c + d*x)^7/(a + b*x)^16, -((b*c - a*d)^7/(15*b^8*(a + b*x)^15)) - (d*(b*c - a*d)^6)/(2*b^8*(a + b*x)^14) - (21*d^2*(b*c - a*d)^5)/(13*b^8*(a + b*x)^13) - (35*d^3*(b*c - a*d)^4)/(12*b^8*(a + b*x)^12) - (35*d^4*(b*c - a*d)^3)/(11*b^8*(a + b*x)^11) - (21*d^5*(b*c - a*d)^2)/(10*b^8*(a + b*x)^10) - (7*d^6*(b*c - a*d))/(9*b^8*(a + b*x)^9) - d^7/(8*b^8*(a + b*x)^8), x, 2),
+
+
+((a + b*x)^12*(c + d*x)^10, ((b*c - a*d)^10*(a + b*x)^13)/(13*b^11) + (5*d*(b*c - a*d)^9*(a + b*x)^14)/(7*b^11) + (3*d^2*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^15)/b^11 + (15*d^3*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^16)/(2*b^11) + (210*d^4*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^17)/(17*b^11) + (14*d^5*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^18)/b^11 + (210*d^6*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^19)/(19*b^11) + (6*d^7*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^20)/b^11 + (15*d^8*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^21)/(7*b^11) + (5*d^9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^22)/(11*b^11) + (d^10*(a + b*x)^23)/(23*b^11), x, 2),
+((a + b*x)^11*(c + d*x)^10, ((b*c - a*d)^10*(a + b*x)^12)/(12*b^11) + (10*d*(b*c - a*d)^9*(a + b*x)^13)/(13*b^11) + (45*d^2*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^14)/(14*b^11) + (8*d^3*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^15)/b^11 + (105*d^4*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^16)/(8*b^11) + (252*d^5*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^17)/(17*b^11) + (35*d^6*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^18)/(3*b^11) + (120*d^7*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^19)/(19*b^11) + (9*d^8*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^20)/(4*b^11) + (10*d^9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^21)/(21*b^11) + (d^10*(a + b*x)^22)/(22*b^11), x, 2),
+((a + b*x)^10*(c + d*x)^10, ((b*c - a*d)^10*(a + b*x)^11)/(11*b^11) + (5*d*(b*c - a*d)^9*(a + b*x)^12)/(6*b^11) + (45*d^2*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^13)/(13*b^11) + (60*d^3*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^14)/(7*b^11) + (14*d^4*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^15)/b^11 + (63*d^5*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^16)/(4*b^11) + (210*d^6*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^17)/(17*b^11) + (20*d^7*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^18)/(3*b^11) + (45*d^8*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^19)/(19*b^11) + (d^9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^20)/(2*b^11) + (d^10*(a + b*x)^21)/(21*b^11), x, 2),
+
+((a + b*x)^9*(c + d*x)^10, -((b*c - a*d)^9*(c + d*x)^11)/(11*d^10) + (3*b*(b*c - a*d)^8*(c + d*x)^12)/(4*d^10) - (36*b^2*(b*c - a*d)^7*(c + d*x)^13)/(13*d^10) + (6*b^3*(b*c - a*d)^6*(c + d*x)^14)/d^10 - (42*b^4*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^15)/(5*d^10) + (63*b^5*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^16)/(8*d^10) - (84*b^6*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^17)/(17*d^10) + (2*b^7*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^18)/d^10 - (9*b^8*(b*c - a*d)*(c + d*x)^19)/(19*d^10) + (b^9*(c + d*x)^20)/(20*d^10), x, 2),
+((a + b*x)^8*(c + d*x)^10, ((b*c - a*d)^8*(c + d*x)^11)/(11*d^9) - (2*b*(b*c - a*d)^7*(c + d*x)^12)/(3*d^9) + (28*b^2*(b*c - a*d)^6*(c + d*x)^13)/(13*d^9) - (4*b^3*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^14)/d^9 + (14*b^4*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^15)/(3*d^9) - (7*b^5*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^16)/(2*d^9) + (28*b^6*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^17)/(17*d^9) - (4*b^7*(b*c - a*d)*(c + d*x)^18)/(9*d^9) + (b^8*(c + d*x)^19)/(19*d^9), x, 2),
+((a + b*x)^7*(c + d*x)^10, -((b*c - a*d)^7*(c + d*x)^11)/(11*d^8) + (7*b*(b*c - a*d)^6*(c + d*x)^12)/(12*d^8) - (21*b^2*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^13)/(13*d^8) + (5*b^3*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^14)/(2*d^8) - (7*b^4*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^15)/(3*d^8) + (21*b^5*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^16)/(16*d^8) - (7*b^6*(b*c - a*d)*(c + d*x)^17)/(17*d^8) + (b^7*(c + d*x)^18)/(18*d^8), x, 2),
+((a + b*x)^6*(c + d*x)^10, ((b*c - a*d)^6*(c + d*x)^11)/(11*d^7) - (b*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^12)/(2*d^7) + (15*b^2*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^13)/(13*d^7) - (10*b^3*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^14)/(7*d^7) + (b^4*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^15)/d^7 - (3*b^5*(b*c - a*d)*(c + d*x)^16)/(8*d^7) + (b^6*(c + d*x)^17)/(17*d^7), x, 2),
+((a + b*x)^5*(c + d*x)^10, -((b*c - a*d)^5*(c + d*x)^11)/(11*d^6) + (5*b*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^12)/(12*d^6) - (10*b^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^13)/(13*d^6) + (5*b^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^14)/(7*d^6) - (b^4*(b*c - a*d)*(c + d*x)^15)/(3*d^6) + (b^5*(c + d*x)^16)/(16*d^6), x, 2),
+((a + b*x)^4*(c + d*x)^10, ((b*c - a*d)^4*(c + d*x)^11)/(11*d^5) - (b*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^12)/(3*d^5) + (6*b^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^13)/(13*d^5) - (2*b^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^14)/(7*d^5) + (b^4*(c + d*x)^15)/(15*d^5), x, 2),
+((a + b*x)^3*(c + d*x)^10, -((b*c - a*d)^3*(c + d*x)^11)/(11*d^4) + (b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^12)/(4*d^4) - (3*b^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^13)/(13*d^4) + (b^3*(c + d*x)^14)/(14*d^4), x, 2),
+((a + b*x)^2*(c + d*x)^10, ((b*c - a*d)^2*(c + d*x)^11)/(11*d^3) - (b*(b*c - a*d)*(c + d*x)^12)/(6*d^3) + (b^2*(c + d*x)^13)/(13*d^3), x, 2),
+((a + b*x)^1*(c + d*x)^10, -((b*c - a*d)*(c + d*x)^11)/(11*d^2) + (b*(c + d*x)^12)/(12*d^2), x, 2),
+((a + b*x)^0*(c + d*x)^10, (c + d*x)^11/(11*d), x, 1),
+
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^1, (d*(b*c - a*d)^9*x)/b^10 + ((b*c - a*d)^8*(c + d*x)^2)/(2*b^9) + ((b*c - a*d)^7*(c + d*x)^3)/(3*b^8) + ((b*c - a*d)^6*(c + d*x)^4)/(4*b^7) + ((b*c - a*d)^5*(c + d*x)^5)/(5*b^6) + ((b*c - a*d)^4*(c + d*x)^6)/(6*b^5) + ((b*c - a*d)^3*(c + d*x)^7)/(7*b^4) + ((b*c - a*d)^2*(c + d*x)^8)/(8*b^3) + ((b*c - a*d)*(c + d*x)^9)/(9*b^2) + (c + d*x)^10/(10*b) + ((b*c - a*d)^10*log(a + b*x))/b^11, x, 2),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^2, (45*d^2*(b*c - a*d)^8*x)/b^10 - (b*c - a*d)^10/(b^11*(a + b*x)) + (60*d^3*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^2)/b^11 + (70*d^4*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^3)/b^11 + (63*d^5*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^4)/b^11 + (42*d^6*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^5)/b^11 + (20*d^7*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^6)/b^11 + (45*d^8*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^7)/(7*b^11) + (5*d^9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^8)/(4*b^11) + (d^10*(a + b*x)^9)/(9*b^11) + (10*d*(b*c - a*d)^9*log(a + b*x))/b^11, x, 2),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^3, (120*d^3*(b*c - a*d)^7*x)/b^10 - (b*c - a*d)^10/(2*b^11*(a + b*x)^2) - (10*d*(b*c - a*d)^9)/(b^11*(a + b*x)) + (105*d^4*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^2)/b^11 + (84*d^5*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^3)/b^11 + (105*d^6*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^4)/(2*b^11) + (24*d^7*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^5)/b^11 + (15*d^8*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^6)/(2*b^11) + (10*d^9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^7)/(7*b^11) + (d^10*(a + b*x)^8)/(8*b^11) + (45*d^2*(b*c - a*d)^8*log(a + b*x))/b^11, x, 2),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^4, (210*d^4*(b*c - a*d)^6*x)/b^10 - (b*c - a*d)^10/(3*b^11*(a + b*x)^3) - (5*d*(b*c - a*d)^9)/(b^11*(a + b*x)^2) - (45*d^2*(b*c - a*d)^8)/(b^11*(a + b*x)) + (126*d^5*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^2)/b^11 + (70*d^6*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^3)/b^11 + (30*d^7*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^4)/b^11 + (9*d^8*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^5)/b^11 + (5*d^9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^6)/(3*b^11) + (d^10*(a + b*x)^7)/(7*b^11) + (120*d^3*(b*c - a*d)^7*log(a + b*x))/b^11, x, 2),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^5, (252*d^5*(b*c - a*d)^5*x)/b^10 - (b*c - a*d)^10/(4*b^11*(a + b*x)^4) - (10*d*(b*c - a*d)^9)/(3*b^11*(a + b*x)^3) - (45*d^2*(b*c - a*d)^8)/(2*b^11*(a + b*x)^2) - (120*d^3*(b*c - a*d)^7)/(b^11*(a + b*x)) + (105*d^6*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^2)/b^11 + (40*d^7*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^3)/b^11 + (45*d^8*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^4)/(4*b^11) + (2*d^9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^5)/b^11 + (d^10*(a + b*x)^6)/(6*b^11) + (210*d^4*(b*c - a*d)^6*log(a + b*x))/b^11, x, 2),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^6, (210*d^6*(b*c - a*d)^4*x)/b^10 - (b*c - a*d)^10/(5*b^11*(a + b*x)^5) - (5*d*(b*c - a*d)^9)/(2*b^11*(a + b*x)^4) - (15*d^2*(b*c - a*d)^8)/(b^11*(a + b*x)^3) - (60*d^3*(b*c - a*d)^7)/(b^11*(a + b*x)^2) - (210*d^4*(b*c - a*d)^6)/(b^11*(a + b*x)) + (60*d^7*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2)/b^11 + (15*d^8*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^3)/b^11 + (5*d^9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^4)/(2*b^11) + (d^10*(a + b*x)^5)/(5*b^11) + (252*d^5*(b*c - a*d)^5*log(a + b*x))/b^11, x, 2),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^7, (120*d^7*(b*c - a*d)^3*x)/b^10 - (b*c - a*d)^10/(6*b^11*(a + b*x)^6) - (2*d*(b*c - a*d)^9)/(b^11*(a + b*x)^5) - (45*d^2*(b*c - a*d)^8)/(4*b^11*(a + b*x)^4) - (40*d^3*(b*c - a*d)^7)/(b^11*(a + b*x)^3) - (105*d^4*(b*c - a*d)^6)/(b^11*(a + b*x)^2) - (252*d^5*(b*c - a*d)^5)/(b^11*(a + b*x)) + (45*d^8*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2)/(2*b^11) + (10*d^9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^3)/(3*b^11) + (d^10*(a + b*x)^4)/(4*b^11) + (210*d^6*(b*c - a*d)^4*log(a + b*x))/b^11, x, 2),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^8, (45*d^8*(b*c - a*d)^2*x)/b^10 - (b*c - a*d)^10/(7*b^11*(a + b*x)^7) - (5*d*(b*c - a*d)^9)/(3*b^11*(a + b*x)^6) - (9*d^2*(b*c - a*d)^8)/(b^11*(a + b*x)^5) - (30*d^3*(b*c - a*d)^7)/(b^11*(a + b*x)^4) - (70*d^4*(b*c - a*d)^6)/(b^11*(a + b*x)^3) - (126*d^5*(b*c - a*d)^5)/(b^11*(a + b*x)^2) - (210*d^6*(b*c - a*d)^4)/(b^11*(a + b*x)) + (5*d^9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2)/b^11 + (d^10*(a + b*x)^3)/(3*b^11) + (120*d^7*(b*c - a*d)^3*log(a + b*x))/b^11, x, 2),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^9, (d^9*(10*b*c - 9*a*d)*x)/b^10 + (d^10*x^2)/(2*b^9) - (b*c - a*d)^10/(8*b^11*(a + b*x)^8) - (10*d*(b*c - a*d)^9)/(7*b^11*(a + b*x)^7) - (15*d^2*(b*c - a*d)^8)/(2*b^11*(a + b*x)^6) - (24*d^3*(b*c - a*d)^7)/(b^11*(a + b*x)^5) - (105*d^4*(b*c - a*d)^6)/(2*b^11*(a + b*x)^4) - (84*d^5*(b*c - a*d)^5)/(b^11*(a + b*x)^3) - (105*d^6*(b*c - a*d)^4)/(b^11*(a + b*x)^2) - (120*d^7*(b*c - a*d)^3)/(b^11*(a + b*x)) + (45*d^8*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/b^11, x, 2),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^10, (d^10*x)/b^10 - (b*c - a*d)^10/(9*b^11*(a + b*x)^9) - (5*d*(b*c - a*d)^9)/(4*b^11*(a + b*x)^8) - (45*d^2*(b*c - a*d)^8)/(7*b^11*(a + b*x)^7) - (20*d^3*(b*c - a*d)^7)/(b^11*(a + b*x)^6) - (42*d^4*(b*c - a*d)^6)/(b^11*(a + b*x)^5) - (63*d^5*(b*c - a*d)^5)/(b^11*(a + b*x)^4) - (70*d^6*(b*c - a*d)^4)/(b^11*(a + b*x)^3) - (60*d^7*(b*c - a*d)^3)/(b^11*(a + b*x)^2) - (45*d^8*(b*c - a*d)^2)/(b^11*(a + b*x)) + (10*d^9*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^11, x, 2),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^11, -(b*c - a*d)^10/(10*b^11*(a + b*x)^10) - (10*d*(b*c - a*d)^9)/(9*b^11*(a + b*x)^9) - (45*d^2*(b*c - a*d)^8)/(8*b^11*(a + b*x)^8) - (120*d^3*(b*c - a*d)^7)/(7*b^11*(a + b*x)^7) - (35*d^4*(b*c - a*d)^6)/(b^11*(a + b*x)^6) - (252*d^5*(b*c - a*d)^5)/(5*b^11*(a + b*x)^5) - (105*d^6*(b*c - a*d)^4)/(2*b^11*(a + b*x)^4) - (40*d^7*(b*c - a*d)^3)/(b^11*(a + b*x)^3) - (45*d^8*(b*c - a*d)^2)/(2*b^11*(a + b*x)^2) - (10*d^9*(b*c - a*d))/(b^11*(a + b*x)) + (d^10*log(a + b*x))/b^11, x, 2),
+
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^12, -(c + d*x)^11/(11*(b*c - a*d)*(a + b*x)^11), x, 1),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^13, -((c + d*x)^11/(12*(b*c - a*d)*(a + b*x)^12)) + (d*(c + d*x)^11)/(132*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^11), x, 2),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^14, -((c + d*x)^11/(13*(b*c - a*d)*(a + b*x)^13)) + (d*(c + d*x)^11)/(78*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^12) - (d^2*(c + d*x)^11)/(858*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^11), x, 3),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^15, -((c + d*x)^11/(14*(b*c - a*d)*(a + b*x)^14)) + (3*d*(c + d*x)^11)/(182*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^13) - (d^2*(c + d*x)^11)/(364*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^12) + (d^3*(c + d*x)^11)/(4004*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^11), x, 4),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^16, -((c + d*x)^11/(15*(b*c - a*d)*(a + b*x)^15)) + (2*d*(c + d*x)^11)/(105*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^14) - (2*d^2*(c + d*x)^11)/(455*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^13) + (d^3*(c + d*x)^11)/(1365*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^12) - (d^4*(c + d*x)^11)/(15015*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^11), x, 5),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^17, -((c + d*x)^11/(16*(b*c - a*d)*(a + b*x)^16)) + (d*(c + d*x)^11)/(48*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^15) - (d^2*(c + d*x)^11)/(168*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^14) + (d^3*(c + d*x)^11)/(728*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^13) - (d^4*(c + d*x)^11)/(4368*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^12) + (d^5*(c + d*x)^11)/(48048*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^11), x, 6),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^18, -((c + d*x)^11/(17*(b*c - a*d)*(a + b*x)^17)) + (3*d*(c + d*x)^11)/(136*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^16) - (d^2*(c + d*x)^11)/(136*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^15) + (d^3*(c + d*x)^11)/(476*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^14) - (3*d^4*(c + d*x)^11)/(6188*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^13) + (d^5*(c + d*x)^11)/(12376*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^12) - (d^6*(c + d*x)^11)/(136136*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^11), x, 7),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^19, -((c + d*x)^11/(18*(b*c - a*d)*(a + b*x)^18)) + (7*d*(c + d*x)^11)/(306*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^17) - (7*d^2*(c + d*x)^11)/(816*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^16) + (7*d^3*(c + d*x)^11)/(2448*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^15) - (d^4*(c + d*x)^11)/(1224*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^14) + (d^5*(c + d*x)^11)/(5304*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^13) - (d^6*(c + d*x)^11)/(31824*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^12) + (d^7*(c + d*x)^11)/(350064*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^11), x, 8),
+
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^20, -(b*c - a*d)^10/(19*b^11*(a + b*x)^19) - (5*d*(b*c - a*d)^9)/(9*b^11*(a + b*x)^18) - (45*d^2*(b*c - a*d)^8)/(17*b^11*(a + b*x)^17) - (15*d^3*(b*c - a*d)^7)/(2*b^11*(a + b*x)^16) - (14*d^4*(b*c - a*d)^6)/(b^11*(a + b*x)^15) - (18*d^5*(b*c - a*d)^5)/(b^11*(a + b*x)^14) - (210*d^6*(b*c - a*d)^4)/(13*b^11*(a + b*x)^13) - (10*d^7*(b*c - a*d)^3)/(b^11*(a + b*x)^12) - (45*d^8*(b*c - a*d)^2)/(11*b^11*(a + b*x)^11) - (d^9*(b*c - a*d))/(b^11*(a + b*x)^10) - d^10/(9*b^11*(a + b*x)^9), x, 2),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^21, -((b*c - a*d)^10/(20*b^11*(a + b*x)^20)) - (10*d*(b*c - a*d)^9)/(19*b^11*(a + b*x)^19) - (5*d^2*(b*c - a*d)^8)/(2*b^11*(a + b*x)^18) - (120*d^3*(b*c - a*d)^7)/(17*b^11*(a + b*x)^17) - (105*d^4*(b*c - a*d)^6)/(8*b^11*(a + b*x)^16) - (84*d^5*(b*c - a*d)^5)/(5*b^11*(a + b*x)^15) - (15*d^6*(b*c - a*d)^4)/(b^11*(a + b*x)^14) - (120*d^7*(b*c - a*d)^3)/(13*b^11*(a + b*x)^13) - (15*d^8*(b*c - a*d)^2)/(4*b^11*(a + b*x)^12) - (10*d^9*(b*c - a*d))/(11*b^11*(a + b*x)^11) - d^10/(10*b^11*(a + b*x)^10), x, 2),
+((c + d*x)^10/(a + b*x)^22, -((b*c - a*d)^10/(21*b^11*(a + b*x)^21)) - (d*(b*c - a*d)^9)/(2*b^11*(a + b*x)^20) - (45*d^2*(b*c - a*d)^8)/(19*b^11*(a + b*x)^19) - (20*d^3*(b*c - a*d)^7)/(3*b^11*(a + b*x)^18) - (210*d^4*(b*c - a*d)^6)/(17*b^11*(a + b*x)^17) - (63*d^5*(b*c - a*d)^5)/(4*b^11*(a + b*x)^16) - (14*d^6*(b*c - a*d)^4)/(b^11*(a + b*x)^15) - (60*d^7*(b*c - a*d)^3)/(7*b^11*(a + b*x)^14) - (45*d^8*(b*c - a*d)^2)/(13*b^11*(a + b*x)^13) - (5*d^9*(b*c - a*d))/(6*b^11*(a + b*x)^12) - d^10/(11*b^11*(a + b*x)^11), x, 2),
+
+
+# {(a + b*x)^m*(c + d*x)^15, x, 2, ((b*c - a*d)^15*(a + b*x)^(1 + m))/(b^16*(1 + m)) + (15*d*(b*c - a*d)^14*(a + b*x)^(2 + m))/(b^16*(2 + m)) + (105*d^2*(b*c - a*d)^13*(a + b*x)^(3 + m))/(b^16*(3 + m)) + (455*d^3*(b*c - a*d)^12*(a + b*x)^(4 + m))/(b^16*(4 + m)) + (1365*d^4*(b*c - a*d)^11*(a + b*x)^(5 + m))/(b^16*(5 + m)) + (3003*d^5*(b*c - a*d)^10*(a + b*x)^(6 + m))/(b^16*(6 + m)) + (5005*d^6*(b*c - a*d)^9*(a + b*x)^(7 + m))/(b^16*(7 + m)) + (6435*d^7*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^(8 + m))/(b^16*(8 + m)) + (6435*d^8*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^(9 + m))/(b^16*(9 + m)) + (5005*d^9*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^(10 + m))/(b^16*(10 + m)) + (3003*d^10*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^(11 + m))/(b^16*(11 + m)) + (1365*d^11*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^(12 + m))/(b^16*(12 + m)) + (455*d^12*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(13 + m))/(b^16*(13 + m)) + (105*d^13*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(14 + m))/(b^16*(14 + m)) + (15*d^14*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(15 + m))/(b^16*(15 + m)) + (d^15*(a + b*x)^(16 + m))/(b^16*(16 + m))}
+
+((a + b*x)^17*(c + d*x)^15, ((b*c - a*d)^15*(a + b*x)^18)/(18*b^16) + (15*d*(b*c - a*d)^14*(a + b*x)^19)/(19*b^16) + (21*d^2*(b*c - a*d)^13*(a + b*x)^20)/(4*b^16) + (65*d^3*(b*c - a*d)^12*(a + b*x)^21)/(3*b^16) + (1365*d^4*(b*c - a*d)^11*(a + b*x)^22)/(22*b^16) + (3003*d^5*(b*c - a*d)^10*(a + b*x)^23)/(23*b^16) + (5005*d^6*(b*c - a*d)^9*(a + b*x)^24)/(24*b^16) + (1287*d^7*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^25)/(5*b^16) + (495*d^8*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^26)/(2*b^16) + (5005*d^9*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^27)/(27*b^16) + (429*d^10*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^28)/(4*b^16) + (1365*d^11*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^29)/(29*b^16) + (91*d^12*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^30)/(6*b^16) + (105*d^13*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^31)/(31*b^16) + (15*d^14*(b*c - a*d)*(a + b*x)^32)/(32*b^16) + (d^15*(a + b*x)^33)/(33*b^16), x, 2),
+((a + b*x)^16*(c + d*x)^15, ((b*c - a*d)^15*(a + b*x)^17)/(17*b^16) + (5*d*(b*c - a*d)^14*(a + b*x)^18)/(6*b^16) + (105*d^2*(b*c - a*d)^13*(a + b*x)^19)/(19*b^16) + (91*d^3*(b*c - a*d)^12*(a + b*x)^20)/(4*b^16) + (65*d^4*(b*c - a*d)^11*(a + b*x)^21)/b^16 + (273*d^5*(b*c - a*d)^10*(a + b*x)^22)/(2*b^16) + (5005*d^6*(b*c - a*d)^9*(a + b*x)^23)/(23*b^16) + (2145*d^7*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^24)/(8*b^16) + (1287*d^8*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^25)/(5*b^16) + (385*d^9*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^26)/(2*b^16) + (1001*d^10*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^27)/(9*b^16) + (195*d^11*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^28)/(4*b^16) + (455*d^12*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^29)/(29*b^16) + (7*d^13*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^30)/(2*b^16) + (15*d^14*(b*c - a*d)*(a + b*x)^31)/(31*b^16) + (d^15*(a + b*x)^32)/(32*b^16), x, 2),
+((a + b*x)^15*(c + d*x)^15, ((b*c - a*d)^15*(a + b*x)^16)/(16*b^16) + (15*d*(b*c - a*d)^14*(a + b*x)^17)/(17*b^16) + (35*d^2*(b*c - a*d)^13*(a + b*x)^18)/(6*b^16) + (455*d^3*(b*c - a*d)^12*(a + b*x)^19)/(19*b^16) + (273*d^4*(b*c - a*d)^11*(a + b*x)^20)/(4*b^16) + (143*d^5*(b*c - a*d)^10*(a + b*x)^21)/b^16 + (455*d^6*(b*c - a*d)^9*(a + b*x)^22)/(2*b^16) + (6435*d^7*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^23)/(23*b^16) + (2145*d^8*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^24)/(8*b^16) + (1001*d^9*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^25)/(5*b^16) + (231*d^10*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^26)/(2*b^16) + (455*d^11*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^27)/(9*b^16) + (65*d^12*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^28)/(4*b^16) + (105*d^13*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^29)/(29*b^16) + (d^14*(b*c - a*d)*(a + b*x)^30)/(2*b^16) + (d^15*(a + b*x)^31)/(31*b^16), x, 2),
+
+((a + b*x)^14*(c + d*x)^15, ((b*c - a*d)^14*(c + d*x)^16)/(16*d^15) - (14*b*(b*c - a*d)^13*(c + d*x)^17)/(17*d^15) + (91*b^2*(b*c - a*d)^12*(c + d*x)^18)/(18*d^15) - (364*b^3*(b*c - a*d)^11*(c + d*x)^19)/(19*d^15) + (1001*b^4*(b*c - a*d)^10*(c + d*x)^20)/(20*d^15) - (286*b^5*(b*c - a*d)^9*(c + d*x)^21)/(3*d^15) + (273*b^6*(b*c - a*d)^8*(c + d*x)^22)/(2*d^15) - (3432*b^7*(b*c - a*d)^7*(c + d*x)^23)/(23*d^15) + (1001*b^8*(b*c - a*d)^6*(c + d*x)^24)/(8*d^15) - (2002*b^9*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^25)/(25*d^15) + (77*b^10*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^26)/(2*d^15) - (364*b^11*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^27)/(27*d^15) + (13*b^12*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^28)/(4*d^15) - (14*b^13*(b*c - a*d)*(c + d*x)^29)/(29*d^15) + (b^14*(c + d*x)^30)/(30*d^15), x, 2),
+((a + b*x)^13*(c + d*x)^15, -(((b*c - a*d)^13*(c + d*x)^16)/(16*d^14)) + (13*b*(b*c - a*d)^12*(c + d*x)^17)/(17*d^14) - (13*b^2*(b*c - a*d)^11*(c + d*x)^18)/(3*d^14) + (286*b^3*(b*c - a*d)^10*(c + d*x)^19)/(19*d^14) - (143*b^4*(b*c - a*d)^9*(c + d*x)^20)/(4*d^14) + (429*b^5*(b*c - a*d)^8*(c + d*x)^21)/(7*d^14) - (78*b^6*(b*c - a*d)^7*(c + d*x)^22)/d^14 + (1716*b^7*(b*c - a*d)^6*(c + d*x)^23)/(23*d^14) - (429*b^8*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^24)/(8*d^14) + (143*b^9*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^25)/(5*d^14) - (11*b^10*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^26)/d^14 + (26*b^11*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^27)/(9*d^14) - (13*b^12*(b*c - a*d)*(c + d*x)^28)/(28*d^14) + (b^13*(c + d*x)^29)/(29*d^14), x, 2),
+((a + b*x)^12*(c + d*x)^15, ((b*c - a*d)^12*(c + d*x)^16)/(16*d^13) - (12*b*(b*c - a*d)^11*(c + d*x)^17)/(17*d^13) + (11*b^2*(b*c - a*d)^10*(c + d*x)^18)/(3*d^13) - (220*b^3*(b*c - a*d)^9*(c + d*x)^19)/(19*d^13) + (99*b^4*(b*c - a*d)^8*(c + d*x)^20)/(4*d^13) - (264*b^5*(b*c - a*d)^7*(c + d*x)^21)/(7*d^13) + (42*b^6*(b*c - a*d)^6*(c + d*x)^22)/d^13 - (792*b^7*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^23)/(23*d^13) + (165*b^8*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^24)/(8*d^13) - (44*b^9*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^25)/(5*d^13) + (33*b^10*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^26)/(13*d^13) - (4*b^11*(b*c - a*d)*(c + d*x)^27)/(9*d^13) + (b^12*(c + d*x)^28)/(28*d^13), x, 2),
+((a + b*x)^11*(c + d*x)^15, -((b*c - a*d)^11*(c + d*x)^16)/(16*d^12) + (11*b*(b*c - a*d)^10*(c + d*x)^17)/(17*d^12) - (55*b^2*(b*c - a*d)^9*(c + d*x)^18)/(18*d^12) + (165*b^3*(b*c - a*d)^8*(c + d*x)^19)/(19*d^12) - (33*b^4*(b*c - a*d)^7*(c + d*x)^20)/(2*d^12) + (22*b^5*(b*c - a*d)^6*(c + d*x)^21)/d^12 - (21*b^6*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^22)/d^12 + (330*b^7*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^23)/(23*d^12) - (55*b^8*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^24)/(8*d^12) + (11*b^9*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^25)/(5*d^12) - (11*b^10*(b*c - a*d)*(c + d*x)^26)/(26*d^12) + (b^11*(c + d*x)^27)/(27*d^12), x, 2),
+((a + b*x)^10*(c + d*x)^15, ((b*c - a*d)^10*(c + d*x)^16)/(16*d^11) - (10*b*(b*c - a*d)^9*(c + d*x)^17)/(17*d^11) + (5*b^2*(b*c - a*d)^8*(c + d*x)^18)/(2*d^11) - (120*b^3*(b*c - a*d)^7*(c + d*x)^19)/(19*d^11) + (21*b^4*(b*c - a*d)^6*(c + d*x)^20)/(2*d^11) - (12*b^5*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^21)/d^11 + (105*b^6*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^22)/(11*d^11) - (120*b^7*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^23)/(23*d^11) + (15*b^8*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^24)/(8*d^11) - (2*b^9*(b*c - a*d)*(c + d*x)^25)/(5*d^11) + (b^10*(c + d*x)^26)/(26*d^11), x, 2),
+((a + b*x)^9*(c + d*x)^15, -((b*c - a*d)^9*(c + d*x)^16)/(16*d^10) + (9*b*(b*c - a*d)^8*(c + d*x)^17)/(17*d^10) - (2*b^2*(b*c - a*d)^7*(c + d*x)^18)/d^10 + (84*b^3*(b*c - a*d)^6*(c + d*x)^19)/(19*d^10) - (63*b^4*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^20)/(10*d^10) + (6*b^5*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^21)/d^10 - (42*b^6*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^22)/(11*d^10) + (36*b^7*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^23)/(23*d^10) - (3*b^8*(b*c - a*d)*(c + d*x)^24)/(8*d^10) + (b^9*(c + d*x)^25)/(25*d^10), x, 2),
+((a + b*x)^8*(c + d*x)^15, ((b*c - a*d)^8*(c + d*x)^16)/(16*d^9) - (8*b*(b*c - a*d)^7*(c + d*x)^17)/(17*d^9) + (14*b^2*(b*c - a*d)^6*(c + d*x)^18)/(9*d^9) - (56*b^3*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^19)/(19*d^9) + (7*b^4*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^20)/(2*d^9) - (8*b^5*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^21)/(3*d^9) + (14*b^6*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^22)/(11*d^9) - (8*b^7*(b*c - a*d)*(c + d*x)^23)/(23*d^9) + (b^8*(c + d*x)^24)/(24*d^9), x, 2),
+((a + b*x)^7*(c + d*x)^15, -((b*c - a*d)^7*(c + d*x)^16)/(16*d^8) + (7*b*(b*c - a*d)^6*(c + d*x)^17)/(17*d^8) - (7*b^2*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^18)/(6*d^8) + (35*b^3*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^19)/(19*d^8) - (7*b^4*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^20)/(4*d^8) + (b^5*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^21)/d^8 - (7*b^6*(b*c - a*d)*(c + d*x)^22)/(22*d^8) + (b^7*(c + d*x)^23)/(23*d^8), x, 2),
+((a + b*x)^6*(c + d*x)^15, ((b*c - a*d)^6*(c + d*x)^16)/(16*d^7) - (6*b*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^17)/(17*d^7) + (5*b^2*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^18)/(6*d^7) - (20*b^3*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^19)/(19*d^7) + (3*b^4*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^20)/(4*d^7) - (2*b^5*(b*c - a*d)*(c + d*x)^21)/(7*d^7) + (b^6*(c + d*x)^22)/(22*d^7), x, 2),
+((a + b*x)^5*(c + d*x)^15, -((b*c - a*d)^5*(c + d*x)^16)/(16*d^6) + (5*b*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^17)/(17*d^6) - (5*b^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^18)/(9*d^6) + (10*b^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^19)/(19*d^6) - (b^4*(b*c - a*d)*(c + d*x)^20)/(4*d^6) + (b^5*(c + d*x)^21)/(21*d^6), x, 2),
+((a + b*x)^4*(c + d*x)^15, ((b*c - a*d)^4*(c + d*x)^16)/(16*d^5) - (4*b*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^17)/(17*d^5) + (b^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^18)/(3*d^5) - (4*b^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^19)/(19*d^5) + (b^4*(c + d*x)^20)/(20*d^5), x, 2),
+((a + b*x)^3*(c + d*x)^15, -((b*c - a*d)^3*(c + d*x)^16)/(16*d^4) + (3*b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^17)/(17*d^4) - (b^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^18)/(6*d^4) + (b^3*(c + d*x)^19)/(19*d^4), x, 2),
+((a + b*x)^2*(c + d*x)^15, ((b*c - a*d)^2*(c + d*x)^16)/(16*d^3) - (2*b*(b*c - a*d)*(c + d*x)^17)/(17*d^3) + (b^2*(c + d*x)^18)/(18*d^3), x, 2),
+((a + b*x)*(c + d*x)^15, -((b*c - a*d)*(c + d*x)^16)/(16*d^2) + (b*(c + d*x)^17)/(17*d^2), x, 2),
+((c + d*x)^15, (c + d*x)^16/(16*d), x, 1),
+
+((c + d*x)^15/(a + b*x), (d*(b*c - a*d)^14*x)/b^15 + ((b*c - a*d)^13*(c + d*x)^2)/(2*b^14) + ((b*c - a*d)^12*(c + d*x)^3)/(3*b^13) + ((b*c - a*d)^11*(c + d*x)^4)/(4*b^12) + ((b*c - a*d)^10*(c + d*x)^5)/(5*b^11) + ((b*c - a*d)^9*(c + d*x)^6)/(6*b^10) + ((b*c - a*d)^8*(c + d*x)^7)/(7*b^9) + ((b*c - a*d)^7*(c + d*x)^8)/(8*b^8) + ((b*c - a*d)^6*(c + d*x)^9)/(9*b^7) + ((b*c - a*d)^5*(c + d*x)^10)/(10*b^6) + ((b*c - a*d)^4*(c + d*x)^11)/(11*b^5) + ((b*c - a*d)^3*(c + d*x)^12)/(12*b^4) + ((b*c - a*d)^2*(c + d*x)^13)/(13*b^3) + ((b*c - a*d)*(c + d*x)^14)/(14*b^2) + (c + d*x)^15/(15*b) + ((b*c - a*d)^15*log(a + b*x))/b^16, x, 2),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^2, (105*d^2*(b*c - a*d)^13*x)/b^15 - (b*c - a*d)^15/(b^16*(a + b*x)) + (455*d^3*(b*c - a*d)^12*(a + b*x)^2)/(2*b^16) + (455*d^4*(b*c - a*d)^11*(a + b*x)^3)/b^16 + (3003*d^5*(b*c - a*d)^10*(a + b*x)^4)/(4*b^16) + (1001*d^6*(b*c - a*d)^9*(a + b*x)^5)/b^16 + (2145*d^7*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^6)/(2*b^16) + (6435*d^8*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^7)/(7*b^16) + (5005*d^9*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^8)/(8*b^16) + (1001*d^10*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^9)/(3*b^16) + (273*d^11*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^10)/(2*b^16) + (455*d^12*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^11)/(11*b^16) + (35*d^13*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^12)/(4*b^16) + (15*d^14*(b*c - a*d)*(a + b*x)^13)/(13*b^16) + (d^15*(a + b*x)^14)/(14*b^16) + (15*d*(b*c - a*d)^14*log(a + b*x))/b^16, x, 2),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^3, (455*d^3*(b*c - a*d)^12*x)/b^15 - (b*c - a*d)^15/(2*b^16*(a + b*x)^2) - (15*d*(b*c - a*d)^14)/(b^16*(a + b*x)) + (1365*d^4*(b*c - a*d)^11*(a + b*x)^2)/(2*b^16) + (1001*d^5*(b*c - a*d)^10*(a + b*x)^3)/b^16 + (5005*d^6*(b*c - a*d)^9*(a + b*x)^4)/(4*b^16) + (1287*d^7*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^5)/b^16 + (2145*d^8*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^6)/(2*b^16) + (715*d^9*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^7)/b^16 + (3003*d^10*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^8)/(8*b^16) + (455*d^11*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^9)/(3*b^16) + (91*d^12*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^10)/(2*b^16) + (105*d^13*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^11)/(11*b^16) + (5*d^14*(b*c - a*d)*(a + b*x)^12)/(4*b^16) + (d^15*(a + b*x)^13)/(13*b^16) + (105*d^2*(b*c - a*d)^13*log(a + b*x))/b^16, x, 2),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^4, (1365*d^4*(b*c - a*d)^11*x)/b^15 - (b*c - a*d)^15/(3*b^16*(a + b*x)^3) - (15*d*(b*c - a*d)^14)/(2*b^16*(a + b*x)^2) - (105*d^2*(b*c - a*d)^13)/(b^16*(a + b*x)) + (3003*d^5*(b*c - a*d)^10*(a + b*x)^2)/(2*b^16) + (5005*d^6*(b*c - a*d)^9*(a + b*x)^3)/(3*b^16) + (6435*d^7*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^4)/(4*b^16) + (1287*d^8*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^5)/b^16 + (5005*d^9*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^6)/(6*b^16) + (429*d^10*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^7)/b^16 + (1365*d^11*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^8)/(8*b^16) + (455*d^12*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^9)/(9*b^16) + (21*d^13*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^10)/(2*b^16) + (15*d^14*(b*c - a*d)*(a + b*x)^11)/(11*b^16) + (d^15*(a + b*x)^12)/(12*b^16) + (455*d^3*(b*c - a*d)^12*log(a + b*x))/b^16, x, 2),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^5, (3003*d^5*(b*c - a*d)^10*x)/b^15 - (b*c - a*d)^15/(4*b^16*(a + b*x)^4) - (5*d*(b*c - a*d)^14)/(b^16*(a + b*x)^3) - (105*d^2*(b*c - a*d)^13)/(2*b^16*(a + b*x)^2) - (455*d^3*(b*c - a*d)^12)/(b^16*(a + b*x)) + (5005*d^6*(b*c - a*d)^9*(a + b*x)^2)/(2*b^16) + (2145*d^7*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^3)/b^16 + (6435*d^8*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^4)/(4*b^16) + (1001*d^9*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^5)/b^16 + (1001*d^10*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^6)/(2*b^16) + (195*d^11*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^7)/b^16 + (455*d^12*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^8)/(8*b^16) + (35*d^13*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^9)/(3*b^16) + (3*d^14*(b*c - a*d)*(a + b*x)^10)/(2*b^16) + (d^15*(a + b*x)^11)/(11*b^16) + (1365*d^4*(b*c - a*d)^11*log(a + b*x))/b^16, x, 2),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^6, (5005*d^6*(b*c - a*d)^9*x)/b^15 - (b*c - a*d)^15/(5*b^16*(a + b*x)^5) - (15*d*(b*c - a*d)^14)/(4*b^16*(a + b*x)^4) - (35*d^2*(b*c - a*d)^13)/(b^16*(a + b*x)^3) - (455*d^3*(b*c - a*d)^12)/(2*b^16*(a + b*x)^2) - (1365*d^4*(b*c - a*d)^11)/(b^16*(a + b*x)) + (6435*d^7*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^2)/(2*b^16) + (2145*d^8*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^3)/b^16 + (5005*d^9*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^4)/(4*b^16) + (3003*d^10*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^5)/(5*b^16) + (455*d^11*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^6)/(2*b^16) + (65*d^12*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^7)/b^16 + (105*d^13*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^8)/(8*b^16) + (5*d^14*(b*c - a*d)*(a + b*x)^9)/(3*b^16) + (d^15*(a + b*x)^10)/(10*b^16) + (3003*d^5*(b*c - a*d)^10*log(a + b*x))/b^16, x, 2),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^7, (6435*d^7*(b*c - a*d)^8*x)/b^15 - (b*c - a*d)^15/(6*b^16*(a + b*x)^6) - (3*d*(b*c - a*d)^14)/(b^16*(a + b*x)^5) - (105*d^2*(b*c - a*d)^13)/(4*b^16*(a + b*x)^4) - (455*d^3*(b*c - a*d)^12)/(3*b^16*(a + b*x)^3) - (1365*d^4*(b*c - a*d)^11)/(2*b^16*(a + b*x)^2) - (3003*d^5*(b*c - a*d)^10)/(b^16*(a + b*x)) + (6435*d^8*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^2)/(2*b^16) + (5005*d^9*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^3)/(3*b^16) + (3003*d^10*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^4)/(4*b^16) + (273*d^11*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^5)/b^16 + (455*d^12*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^6)/(6*b^16) + (15*d^13*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^7)/b^16 + (15*d^14*(b*c - a*d)*(a + b*x)^8)/(8*b^16) + (d^15*(a + b*x)^9)/(9*b^16) + (5005*d^6*(b*c - a*d)^9*log(a + b*x))/b^16, x, 2),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^8, (6435*d^8*(b*c - a*d)^7*x)/b^15 - (b*c - a*d)^15/(7*b^16*(a + b*x)^7) - (5*d*(b*c - a*d)^14)/(2*b^16*(a + b*x)^6) - (21*d^2*(b*c - a*d)^13)/(b^16*(a + b*x)^5) - (455*d^3*(b*c - a*d)^12)/(4*b^16*(a + b*x)^4) - (455*d^4*(b*c - a*d)^11)/(b^16*(a + b*x)^3) - (3003*d^5*(b*c - a*d)^10)/(2*b^16*(a + b*x)^2) - (5005*d^6*(b*c - a*d)^9)/(b^16*(a + b*x)) + (5005*d^9*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^2)/(2*b^16) + (1001*d^10*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^3)/b^16 + (1365*d^11*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^4)/(4*b^16) + (91*d^12*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^5)/b^16 + (35*d^13*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^6)/(2*b^16) + (15*d^14*(b*c - a*d)*(a + b*x)^7)/(7*b^16) + (d^15*(a + b*x)^8)/(8*b^16) + (6435*d^7*(b*c - a*d)^8*log(a + b*x))/b^16, x, 2),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^9, (5005*d^9*(b*c - a*d)^6*x)/b^15 - (b*c - a*d)^15/(8*b^16*(a + b*x)^8) - (15*d*(b*c - a*d)^14)/(7*b^16*(a + b*x)^7) - (35*d^2*(b*c - a*d)^13)/(2*b^16*(a + b*x)^6) - (91*d^3*(b*c - a*d)^12)/(b^16*(a + b*x)^5) - (1365*d^4*(b*c - a*d)^11)/(4*b^16*(a + b*x)^4) - (1001*d^5*(b*c - a*d)^10)/(b^16*(a + b*x)^3) - (5005*d^6*(b*c - a*d)^9)/(2*b^16*(a + b*x)^2) - (6435*d^7*(b*c - a*d)^8)/(b^16*(a + b*x)) + (3003*d^10*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^2)/(2*b^16) + (455*d^11*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^3)/b^16 + (455*d^12*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^4)/(4*b^16) + (21*d^13*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^5)/b^16 + (5*d^14*(b*c - a*d)*(a + b*x)^6)/(2*b^16) + (d^15*(a + b*x)^7)/(7*b^16) + (6435*d^8*(b*c - a*d)^7*log(a + b*x))/b^16, x, 2),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^10, (3003*d^10*(b*c - a*d)^5*x)/b^15 - (b*c - a*d)^15/(9*b^16*(a + b*x)^9) - (15*d*(b*c - a*d)^14)/(8*b^16*(a + b*x)^8) - (15*d^2*(b*c - a*d)^13)/(b^16*(a + b*x)^7) - (455*d^3*(b*c - a*d)^12)/(6*b^16*(a + b*x)^6) - (273*d^4*(b*c - a*d)^11)/(b^16*(a + b*x)^5) - (3003*d^5*(b*c - a*d)^10)/(4*b^16*(a + b*x)^4) - (5005*d^6*(b*c - a*d)^9)/(3*b^16*(a + b*x)^3) - (6435*d^7*(b*c - a*d)^8)/(2*b^16*(a + b*x)^2) - (6435*d^8*(b*c - a*d)^7)/(b^16*(a + b*x)) + (1365*d^11*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^2)/(2*b^16) + (455*d^12*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^3)/(3*b^16) + (105*d^13*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^4)/(4*b^16) + (3*d^14*(b*c - a*d)*(a + b*x)^5)/b^16 + (d^15*(a + b*x)^6)/(6*b^16) + (5005*d^9*(b*c - a*d)^6*log(a + b*x))/b^16, x, 2),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^11, (1365*d^11*(b*c - a*d)^4*x)/b^15 - (b*c - a*d)^15/(10*b^16*(a + b*x)^10) - (5*d*(b*c - a*d)^14)/(3*b^16*(a + b*x)^9) - (105*d^2*(b*c - a*d)^13)/(8*b^16*(a + b*x)^8) - (65*d^3*(b*c - a*d)^12)/(b^16*(a + b*x)^7) - (455*d^4*(b*c - a*d)^11)/(2*b^16*(a + b*x)^6) - (3003*d^5*(b*c - a*d)^10)/(5*b^16*(a + b*x)^5) - (5005*d^6*(b*c - a*d)^9)/(4*b^16*(a + b*x)^4) - (2145*d^7*(b*c - a*d)^8)/(b^16*(a + b*x)^3) - (6435*d^8*(b*c - a*d)^7)/(2*b^16*(a + b*x)^2) - (5005*d^9*(b*c - a*d)^6)/(b^16*(a + b*x)) + (455*d^12*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2)/(2*b^16) + (35*d^13*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^3)/b^16 + (15*d^14*(b*c - a*d)*(a + b*x)^4)/(4*b^16) + (d^15*(a + b*x)^5)/(5*b^16) + (3003*d^10*(b*c - a*d)^5*log(a + b*x))/b^16, x, 2),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^12, (455*d^12*(b*c - a*d)^3*x)/b^15 - (b*c - a*d)^15/(11*b^16*(a + b*x)^11) - (3*d*(b*c - a*d)^14)/(2*b^16*(a + b*x)^10) - (35*d^2*(b*c - a*d)^13)/(3*b^16*(a + b*x)^9) - (455*d^3*(b*c - a*d)^12)/(8*b^16*(a + b*x)^8) - (195*d^4*(b*c - a*d)^11)/(b^16*(a + b*x)^7) - (1001*d^5*(b*c - a*d)^10)/(2*b^16*(a + b*x)^6) - (1001*d^6*(b*c - a*d)^9)/(b^16*(a + b*x)^5) - (6435*d^7*(b*c - a*d)^8)/(4*b^16*(a + b*x)^4) - (2145*d^8*(b*c - a*d)^7)/(b^16*(a + b*x)^3) - (5005*d^9*(b*c - a*d)^6)/(2*b^16*(a + b*x)^2) - (3003*d^10*(b*c - a*d)^5)/(b^16*(a + b*x)) + (105*d^13*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2)/(2*b^16) + (5*d^14*(b*c - a*d)*(a + b*x)^3)/b^16 + (d^15*(a + b*x)^4)/(4*b^16) + (1365*d^11*(b*c - a*d)^4*log(a + b*x))/b^16, x, 2),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^13, (105*d^13*(b*c - a*d)^2*x)/b^15 - (b*c - a*d)^15/(12*b^16*(a + b*x)^12) - (15*d*(b*c - a*d)^14)/(11*b^16*(a + b*x)^11) - (21*d^2*(b*c - a*d)^13)/(2*b^16*(a + b*x)^10) - (455*d^3*(b*c - a*d)^12)/(9*b^16*(a + b*x)^9) - (1365*d^4*(b*c - a*d)^11)/(8*b^16*(a + b*x)^8) - (429*d^5*(b*c - a*d)^10)/(b^16*(a + b*x)^7) - (5005*d^6*(b*c - a*d)^9)/(6*b^16*(a + b*x)^6) - (1287*d^7*(b*c - a*d)^8)/(b^16*(a + b*x)^5) - (6435*d^8*(b*c - a*d)^7)/(4*b^16*(a + b*x)^4) - (5005*d^9*(b*c - a*d)^6)/(3*b^16*(a + b*x)^3) - (3003*d^10*(b*c - a*d)^5)/(2*b^16*(a + b*x)^2) - (1365*d^11*(b*c - a*d)^4)/(b^16*(a + b*x)) + (15*d^14*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2)/(2*b^16) + (d^15*(a + b*x)^3)/(3*b^16) + (455*d^12*(b*c - a*d)^3*log(a + b*x))/b^16, x, 2),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^14, (d^14*(15*b*c - 14*a*d)*x)/b^15 + (d^15*x^2)/(2*b^14) - (b*c - a*d)^15/(13*b^16*(a + b*x)^13) - (5*d*(b*c - a*d)^14)/(4*b^16*(a + b*x)^12) - (105*d^2*(b*c - a*d)^13)/(11*b^16*(a + b*x)^11) - (91*d^3*(b*c - a*d)^12)/(2*b^16*(a + b*x)^10) - (455*d^4*(b*c - a*d)^11)/(3*b^16*(a + b*x)^9) - (3003*d^5*(b*c - a*d)^10)/(8*b^16*(a + b*x)^8) - (715*d^6*(b*c - a*d)^9)/(b^16*(a + b*x)^7) - (2145*d^7*(b*c - a*d)^8)/(2*b^16*(a + b*x)^6) - (1287*d^8*(b*c - a*d)^7)/(b^16*(a + b*x)^5) - (5005*d^9*(b*c - a*d)^6)/(4*b^16*(a + b*x)^4) - (1001*d^10*(b*c - a*d)^5)/(b^16*(a + b*x)^3) - (1365*d^11*(b*c - a*d)^4)/(2*b^16*(a + b*x)^2) - (455*d^12*(b*c - a*d)^3)/(b^16*(a + b*x)) + (105*d^13*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/b^16, x, 2),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^15, (d^15*x)/b^15 - (b*c - a*d)^15/(14*b^16*(a + b*x)^14) - (15*d*(b*c - a*d)^14)/(13*b^16*(a + b*x)^13) - (35*d^2*(b*c - a*d)^13)/(4*b^16*(a + b*x)^12) - (455*d^3*(b*c - a*d)^12)/(11*b^16*(a + b*x)^11) - (273*d^4*(b*c - a*d)^11)/(2*b^16*(a + b*x)^10) - (1001*d^5*(b*c - a*d)^10)/(3*b^16*(a + b*x)^9) - (5005*d^6*(b*c - a*d)^9)/(8*b^16*(a + b*x)^8) - (6435*d^7*(b*c - a*d)^8)/(7*b^16*(a + b*x)^7) - (2145*d^8*(b*c - a*d)^7)/(2*b^16*(a + b*x)^6) - (1001*d^9*(b*c - a*d)^6)/(b^16*(a + b*x)^5) - (3003*d^10*(b*c - a*d)^5)/(4*b^16*(a + b*x)^4) - (455*d^11*(b*c - a*d)^4)/(b^16*(a + b*x)^3) - (455*d^12*(b*c - a*d)^3)/(2*b^16*(a + b*x)^2) - (105*d^13*(b*c - a*d)^2)/(b^16*(a + b*x)) + (15*d^14*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^16, x, 2),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^16, -(b*c - a*d)^15/(15*b^16*(a + b*x)^15) - (15*d*(b*c - a*d)^14)/(14*b^16*(a + b*x)^14) - (105*d^2*(b*c - a*d)^13)/(13*b^16*(a + b*x)^13) - (455*d^3*(b*c - a*d)^12)/(12*b^16*(a + b*x)^12) - (1365*d^4*(b*c - a*d)^11)/(11*b^16*(a + b*x)^11) - (3003*d^5*(b*c - a*d)^10)/(10*b^16*(a + b*x)^10) - (5005*d^6*(b*c - a*d)^9)/(9*b^16*(a + b*x)^9) - (6435*d^7*(b*c - a*d)^8)/(8*b^16*(a + b*x)^8) - (6435*d^8*(b*c - a*d)^7)/(7*b^16*(a + b*x)^7) - (5005*d^9*(b*c - a*d)^6)/(6*b^16*(a + b*x)^6) - (3003*d^10*(b*c - a*d)^5)/(5*b^16*(a + b*x)^5) - (1365*d^11*(b*c - a*d)^4)/(4*b^16*(a + b*x)^4) - (455*d^12*(b*c - a*d)^3)/(3*b^16*(a + b*x)^3) - (105*d^13*(b*c - a*d)^2)/(2*b^16*(a + b*x)^2) - (15*d^14*(b*c - a*d))/(b^16*(a + b*x)) + (d^15*log(a + b*x))/b^16, x, 2),
+
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^17, -(c + d*x)^16/(16*(b*c - a*d)*(a + b*x)^16), x, 1),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^18, -(c + d*x)^16/(17*(b*c - a*d)*(a + b*x)^17) + (d*(c + d*x)^16)/(272*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^16), x, 2),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^19, -(c + d*x)^16/(18*(b*c - a*d)*(a + b*x)^18) + (d*(c + d*x)^16)/(153*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^17) - (d^2*(c + d*x)^16)/(2448*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^16), x, 3),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^20, -(c + d*x)^16/(19*(b*c - a*d)*(a + b*x)^19) + (d*(c + d*x)^16)/(114*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^18) - (d^2*(c + d*x)^16)/(969*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^17) + (d^3*(c + d*x)^16)/(15504*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^16), x, 4),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^21, -(c + d*x)^16/(20*(b*c - a*d)*(a + b*x)^20) + (d*(c + d*x)^16)/(95*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^19) - (d^2*(c + d*x)^16)/(570*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^18) + (d^3*(c + d*x)^16)/(4845*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^17) - (d^4*(c + d*x)^16)/(77520*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^16), x, 5),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^22, -(c + d*x)^16/(21*(b*c - a*d)*(a + b*x)^21) + (d*(c + d*x)^16)/(84*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^20) - (d^2*(c + d*x)^16)/(399*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^19) + (d^3*(c + d*x)^16)/(2394*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^18) - (d^4*(c + d*x)^16)/(20349*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^17) + (d^5*(c + d*x)^16)/(325584*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^16), x, 6),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^23, -(c + d*x)^16/(22*(b*c - a*d)*(a + b*x)^22) + (d*(c + d*x)^16)/(77*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^21) - (d^2*(c + d*x)^16)/(308*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^20) + (d^3*(c + d*x)^16)/(1463*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^19) - (d^4*(c + d*x)^16)/(8778*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^18) + (d^5*(c + d*x)^16)/(74613*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^17) - (d^6*(c + d*x)^16)/(1193808*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^16), x, 7),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^24, -(c + d*x)^16/(23*(b*c - a*d)*(a + b*x)^23) + (7*d*(c + d*x)^16)/(506*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^22) - (d^2*(c + d*x)^16)/(253*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^21) + (d^3*(c + d*x)^16)/(1012*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^20) - (d^4*(c + d*x)^16)/(4807*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^19) + (d^5*(c + d*x)^16)/(28842*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^18) - (d^6*(c + d*x)^16)/(245157*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^17) + (d^7*(c + d*x)^16)/(3922512*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^16), x, 8),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^25, -(c + d*x)^16/(24*(b*c - a*d)*(a + b*x)^24) + (d*(c + d*x)^16)/(69*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^23) - (7*d^2*(c + d*x)^16)/(1518*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^22) + (d^3*(c + d*x)^16)/(759*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^21) - (d^4*(c + d*x)^16)/(3036*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^20) + (d^5*(c + d*x)^16)/(14421*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^19) - (d^6*(c + d*x)^16)/(86526*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^18) + (d^7*(c + d*x)^16)/(735471*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^17) - (d^8*(c + d*x)^16)/(11767536*(b*c - a*d)^9*(a + b*x)^16), x, 9),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^26, -(c + d*x)^16/(25*(b*c - a*d)*(a + b*x)^25) + (3*d*(c + d*x)^16)/(200*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^24) - (3*d^2*(c + d*x)^16)/(575*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^23) + (21*d^3*(c + d*x)^16)/(12650*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^22) - (3*d^4*(c + d*x)^16)/(6325*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^21) + (3*d^5*(c + d*x)^16)/(25300*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^20) - (3*d^6*(c + d*x)^16)/(120175*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^19) + (d^7*(c + d*x)^16)/(240350*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^18) - (d^8*(c + d*x)^16)/(2042975*(b*c - a*d)^9*(a + b*x)^17) + (d^9*(c + d*x)^16)/(32687600*(b*c - a*d)^10*(a + b*x)^16), x, 10),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^27, -(c + d*x)^16/(26*(b*c - a*d)*(a + b*x)^26) + (d*(c + d*x)^16)/(65*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^25) - (3*d^2*(c + d*x)^16)/(520*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^24) + (3*d^3*(c + d*x)^16)/(1495*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^23) - (21*d^4*(c + d*x)^16)/(32890*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^22) + (3*d^5*(c + d*x)^16)/(16445*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^21) - (3*d^6*(c + d*x)^16)/(65780*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^20) + (3*d^7*(c + d*x)^16)/(312455*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^19) - (d^8*(c + d*x)^16)/(624910*(b*c - a*d)^9*(a + b*x)^18) + (d^9*(c + d*x)^16)/(5311735*(b*c - a*d)^10*(a + b*x)^17) - (d^10*(c + d*x)^16)/(84987760*(b*c - a*d)^11*(a + b*x)^16), x, 11),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^28, -((c + d*x)^16/(27*(b*c - a*d)*(a + b*x)^27)) + (11*d*(c + d*x)^16)/(702*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^26) - (11*d^2*(c + d*x)^16)/(1755*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^25) + (11*d^3*(c + d*x)^16)/(4680*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^24) - (11*d^4*(c + d*x)^16)/(13455*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^23) + (7*d^5*(c + d*x)^16)/(26910*(b*c - a*d)^6*(a + b*x)^22) - (d^6*(c + d*x)^16)/(13455*(b*c - a*d)^7*(a + b*x)^21) + (d^7*(c + d*x)^16)/(53820*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^20) - (d^8*(c + d*x)^16)/(255645*(b*c - a*d)^9*(a + b*x)^19) + (d^9*(c + d*x)^16)/(1533870*(b*c - a*d)^10*(a + b*x)^18) - (d^10*(c + d*x)^16)/(13037895*(b*c - a*d)^11*(a + b*x)^17) + (d^11*(c + d*x)^16)/(208606320*(b*c - a*d)^12*(a + b*x)^16), x, 12),
+
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^29, -(b*c - a*d)^15/(28*b^16*(a + b*x)^28) - (5*d*(b*c - a*d)^14)/(9*b^16*(a + b*x)^27) - (105*d^2*(b*c - a*d)^13)/(26*b^16*(a + b*x)^26) - (91*d^3*(b*c - a*d)^12)/(5*b^16*(a + b*x)^25) - (455*d^4*(b*c - a*d)^11)/(8*b^16*(a + b*x)^24) - (3003*d^5*(b*c - a*d)^10)/(23*b^16*(a + b*x)^23) - (455*d^6*(b*c - a*d)^9)/(2*b^16*(a + b*x)^22) - (2145*d^7*(b*c - a*d)^8)/(7*b^16*(a + b*x)^21) - (1287*d^8*(b*c - a*d)^7)/(4*b^16*(a + b*x)^20) - (5005*d^9*(b*c - a*d)^6)/(19*b^16*(a + b*x)^19) - (1001*d^10*(b*c - a*d)^5)/(6*b^16*(a + b*x)^18) - (1365*d^11*(b*c - a*d)^4)/(17*b^16*(a + b*x)^17) - (455*d^12*(b*c - a*d)^3)/(16*b^16*(a + b*x)^16) - (7*d^13*(b*c - a*d)^2)/(b^16*(a + b*x)^15) - (15*d^14*(b*c - a*d))/(14*b^16*(a + b*x)^14) - d^15/(13*b^16*(a + b*x)^13), x, 2),
+((c + d*x)^15/(a + b*x)^30, -(b*c - a*d)^15/(29*b^16*(a + b*x)^29) - (15*d*(b*c - a*d)^14)/(28*b^16*(a + b*x)^28) - (35*d^2*(b*c - a*d)^13)/(9*b^16*(a + b*x)^27) - (35*d^3*(b*c - a*d)^12)/(2*b^16*(a + b*x)^26) - (273*d^4*(b*c - a*d)^11)/(5*b^16*(a + b*x)^25) - (1001*d^5*(b*c - a*d)^10)/(8*b^16*(a + b*x)^24) - (5005*d^6*(b*c - a*d)^9)/(23*b^16*(a + b*x)^23) - (585*d^7*(b*c - a*d)^8)/(2*b^16*(a + b*x)^22) - (2145*d^8*(b*c - a*d)^7)/(7*b^16*(a + b*x)^21) - (1001*d^9*(b*c - a*d)^6)/(4*b^16*(a + b*x)^20) - (3003*d^10*(b*c - a*d)^5)/(19*b^16*(a + b*x)^19) - (455*d^11*(b*c - a*d)^4)/(6*b^16*(a + b*x)^18) - (455*d^12*(b*c - a*d)^3)/(17*b^16*(a + b*x)^17) - (105*d^13*(b*c - a*d)^2)/(16*b^16*(a + b*x)^16) - (d^14*(b*c - a*d))/(b^16*(a + b*x)^15) - d^15/(14*b^16*(a + b*x)^14), x, 2),
+# {(c + d*x)^15/(a + b*x)^31, x, 2, -(b*c - a*d)^15/(30*b^16*(a + b*x)^30) - (15*d*(b*c - a*d)^14)/(29*b^16*(a + b*x)^29) - (15*d^2*(b*c - a*d)^13)/(4*b^16*(a + b*x)^28) - (455*d^3*(b*c - a*d)^12)/(27*b^16*(a + b*x)^27) - (105*d^4*(b*c - a*d)^11)/(2*b^16*(a + b*x)^26) - (3003*d^5*(b*c - a*d)^10)/(25*b^16*(a + b*x)^25) - (5005*d^6*(b*c - a*d)^9)/(24*b^16*(a + b*x)^24) - (6435*d^7*(b*c - a*d)^8)/(23*b^16*(a + b*x)^23) - (585*d^8*(b*c - a*d)^7)/(2*b^16*(a + b*x)^22) - (715*d^9*(b*c - a*d)^6)/(3*b^16*(a + b*x)^21) - (3003*d^10*(b*c - a*d)^5)/(20*b^16*(a + b*x)^20) - (1365*d^11*(b*c - a*d)^4)/(19*b^16*(a + b*x)^19) - (455*d^12*(b*c - a*d)^3)/(18*b^16*(a + b*x)^18) - (105*d^13*(b*c - a*d)^2)/(17*b^16*(a + b*x)^17) - (15*d^14*(b*c - a*d))/(16*b^16*(a + b*x)^16) - d^15/(15*b^16*(a + b*x)^15)} *)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((a + b*x)^5/(c + d*x), (b*(b*c - a*d)^4*x)/d^5 - ((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2)/(2*d^4) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^3)/(3*d^3) - ((b*c - a*d)*(a + b*x)^4)/(4*d^2) + (a + b*x)^5/(5*d) - ((b*c - a*d)^5*log(c + d*x))/d^6, x, 2),
+((a + b*x)^4/(c + d*x), -((b*(b*c - a*d)^3*x)/d^4) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2)/(2*d^3) - ((b*c - a*d)*(a + b*x)^3)/(3*d^2) + (a + b*x)^4/(4*d) + ((b*c - a*d)^4*log(c + d*x))/d^5, x, 2),
+((a + b*x)^3/(c + d*x), (b*(b*c - a*d)^2*x)/d^3 - ((b*c - a*d)*(a + b*x)^2)/(2*d^2) + (a + b*x)^3/(3*d) - ((b*c - a*d)^3*log(c + d*x))/d^4, x, 2),
+((a + b*x)^2/(c + d*x), -((b*(b*c - a*d)*x)/d^2) + (a + b*x)^2/(2*d) + ((b*c - a*d)^2*log(c + d*x))/d^3, x, 2),
+((a + b*x)^1/(c + d*x), (b*x)/d - ((b*c - a*d)*log(c + d*x))/d^2, x, 2),
+((a + b*x)^0/(c + d*x), log(c + d*x)/d, x, 1),
+((a + b*x)^(-1)/(c + d*x), log(a + b*x)/(b*c - a*d) - log(c + d*x)/(b*c - a*d), x, 3),
+((a + b*x)^(-2)/(c + d*x), -(1/((b*c - a*d)*(a + b*x))) - (d*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^2 + (d*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^2, x, 2),
+((a + b*x)^(-3)/(c + d*x), -(1/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2)) + d/((b*c - a*d)^2*(a + b*x)) + (d^2*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^3 - (d^2*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^3, x, 2),
+
+
+((a + b*x)^5/(c + d*x)^2, -((10*b^2*(b*c - a*d)^3*x)/d^5) + (b*c - a*d)^5/(d^6*(c + d*x)) + (5*b^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2)/d^6 - (5*b^4*(b*c - a*d)*(c + d*x)^3)/(3*d^6) + (b^5*(c + d*x)^4)/(4*d^6) + (5*b*(b*c - a*d)^4*log(c + d*x))/d^6, x, 2),
+((a + b*x)^4/(c + d*x)^2, (6*b^2*(b*c - a*d)^2*x)/d^4 - (b*c - a*d)^4/(d^5*(c + d*x)) - (2*b^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2)/d^5 + (b^4*(c + d*x)^3)/(3*d^5) - (4*b*(b*c - a*d)^3*log(c + d*x))/d^5, x, 2),
+((a + b*x)^3/(c + d*x)^2, -((b^2*(2*b*c - 3*a*d)*x)/d^3) + (b^3*x^2)/(2*d^2) + (b*c - a*d)^3/(d^4*(c + d*x)) + (3*b*(b*c - a*d)^2*log(c + d*x))/d^4, x, 2),
+((a + b*x)^2/(c + d*x)^2, (b^2*x)/d^2 - (b*c - a*d)^2/(d^3*(c + d*x)) - (2*b*(b*c - a*d)*log(c + d*x))/d^3, x, 2),
+((a + b*x)^1/(c + d*x)^2, (b*c - a*d)/(d^2*(c + d*x)) + (b*log(c + d*x))/d^2, x, 2),
+((a + b*x)^0/(c + d*x)^2, -(1/(d*(c + d*x))), x, 1),
+((a + b*x)^(-1)/(c + d*x)^2, 1/((b*c - a*d)*(c + d*x)) + (b*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^2 - (b*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^2, x, 2),
+((a + b*x)^(-2)/(c + d*x)^2, -(b/((b*c - a*d)^2*(a + b*x))) - d/((b*c - a*d)^2*(c + d*x)) - (2*b*d*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^3 + (2*b*d*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^3, x, 2),
+((a + b*x)^(-3)/(c + d*x)^2, -(b/(2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2)) + (2*b*d)/((b*c - a*d)^3*(a + b*x)) + d^2/((b*c - a*d)^3*(c + d*x)) + (3*b*d^2*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^4 - (3*b*d^2*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^4, x, 2),
+
+
+((a + b*x)^6/(c + d*x)^3, -((20*b^3*(b*c - a*d)^3*x)/d^6) - (b*c - a*d)^6/(2*d^7*(c + d*x)^2) + (6*b*(b*c - a*d)^5)/(d^7*(c + d*x)) + (15*b^4*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2)/(2*d^7) - (2*b^5*(b*c - a*d)*(c + d*x)^3)/d^7 + (b^6*(c + d*x)^4)/(4*d^7) + (15*b^2*(b*c - a*d)^4*log(c + d*x))/d^7, x, 2),
+((a + b*x)^5/(c + d*x)^3, (10*b^3*(b*c - a*d)^2*x)/d^5 + (b*c - a*d)^5/(2*d^6*(c + d*x)^2) - (5*b*(b*c - a*d)^4)/(d^6*(c + d*x)) - (5*b^4*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2)/(2*d^6) + (b^5*(c + d*x)^3)/(3*d^6) - (10*b^2*(b*c - a*d)^3*log(c + d*x))/d^6, x, 2),
+((a + b*x)^4/(c + d*x)^3, -((b^3*(3*b*c - 4*a*d)*x)/d^4) + (b^4*x^2)/(2*d^3) - (b*c - a*d)^4/(2*d^5*(c + d*x)^2) + (4*b*(b*c - a*d)^3)/(d^5*(c + d*x)) + (6*b^2*(b*c - a*d)^2*log(c + d*x))/d^5, x, 2),
+((a + b*x)^3/(c + d*x)^3, (b^3*x)/d^3 + (b*c - a*d)^3/(2*d^4*(c + d*x)^2) - (3*b*(b*c - a*d)^2)/(d^4*(c + d*x)) - (3*b^2*(b*c - a*d)*log(c + d*x))/d^4, x, 2),
+((a + b*x)^2/(c + d*x)^3, -((b*c - a*d)^2/(2*d^3*(c + d*x)^2)) + (2*b*(b*c - a*d))/(d^3*(c + d*x)) + (b^2*log(c + d*x))/d^3, x, 2),
+((a + b*x)^1/(c + d*x)^3, (a + b*x)^2/(2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2), x, 1),
+((a + b*x)^0/(c + d*x)^3, -(1/(2*d*(c + d*x)^2)), x, 1),
+((a + b*x)^(-1)/(c + d*x)^3, 1/(2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2) + b/((b*c - a*d)^2*(c + d*x)) + (b^2*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^3 - (b^2*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^3, x, 2),
+((a + b*x)^(-2)/(c + d*x)^3, -(b^2/((b*c - a*d)^3*(a + b*x))) - d/(2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2) - (2*b*d)/((b*c - a*d)^3*(c + d*x)) - (3*b^2*d*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^4 + (3*b^2*d*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^4, x, 2),
+((a + b*x)^(-3)/(c + d*x)^3, -(b^2/(2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2)) + (3*b^2*d)/((b*c - a*d)^4*(a + b*x)) + d^2/(2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^2) + (3*b*d^2)/((b*c - a*d)^4*(c + d*x)) + (6*b^2*d^2*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^5 - (6*b^2*d^2*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^5, x, 2),
+
+
+((a + b*x)^9/(c + d*x)^8, -((b^8*(8*b*c - 9*a*d)*x)/d^9) + (b^9*x^2)/(2*d^8) + (b*c - a*d)^9/(7*d^10*(c + d*x)^7) - (3*b*(b*c - a*d)^8)/(2*d^10*(c + d*x)^6) + (36*b^2*(b*c - a*d)^7)/(5*d^10*(c + d*x)^5) - (21*b^3*(b*c - a*d)^6)/(d^10*(c + d*x)^4) + (42*b^4*(b*c - a*d)^5)/(d^10*(c + d*x)^3) - (63*b^5*(b*c - a*d)^4)/(d^10*(c + d*x)^2) + (84*b^6*(b*c - a*d)^3)/(d^10*(c + d*x)) + (36*b^7*(b*c - a*d)^2*log(c + d*x))/d^10, x, 2),
+((a + b*x)^8/(c + d*x)^8, (b^8*x)/d^8 - (b*c - a*d)^8/(7*d^9*(c + d*x)^7) + (4*b*(b*c - a*d)^7)/(3*d^9*(c + d*x)^6) - (28*b^2*(b*c - a*d)^6)/(5*d^9*(c + d*x)^5) + (14*b^3*(b*c - a*d)^5)/(d^9*(c + d*x)^4) - (70*b^4*(b*c - a*d)^4)/(3*d^9*(c + d*x)^3) + (28*b^5*(b*c - a*d)^3)/(d^9*(c + d*x)^2) - (28*b^6*(b*c - a*d)^2)/(d^9*(c + d*x)) - (8*b^7*(b*c - a*d)*log(c + d*x))/d^9, x, 2),
+((a + b*x)^7/(c + d*x)^8, (b*c - a*d)^7/(7*d^8*(c + d*x)^7) - (7*b*(b*c - a*d)^6)/(6*d^8*(c + d*x)^6) + (21*b^2*(b*c - a*d)^5)/(5*d^8*(c + d*x)^5) - (35*b^3*(b*c - a*d)^4)/(4*d^8*(c + d*x)^4) + (35*b^4*(b*c - a*d)^3)/(3*d^8*(c + d*x)^3) - (21*b^5*(b*c - a*d)^2)/(2*d^8*(c + d*x)^2) + (7*b^6*(b*c - a*d))/(d^8*(c + d*x)) + (b^7*log(c + d*x))/d^8, x, 2),
+((a + b*x)^6/(c + d*x)^8, (a + b*x)^7/(7*(b*c - a*d)*(c + d*x)^7), x, 1),
+((a + b*x)^5/(c + d*x)^8, (a + b*x)^6/(7*(b*c - a*d)*(c + d*x)^7) + (b*(a + b*x)^6)/(42*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^6), x, 2),
+((a + b*x)^4/(c + d*x)^8, (a + b*x)^5/(7*(b*c - a*d)*(c + d*x)^7) + (b*(a + b*x)^5)/(21*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^6) + (b^2*(a + b*x)^5)/(105*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^5), x, 3),
+((a + b*x)^3/(c + d*x)^8, (b*c - a*d)^3/(7*d^4*(c + d*x)^7) - (b*(b*c - a*d)^2)/(2*d^4*(c + d*x)^6) + (3*b^2*(b*c - a*d))/(5*d^4*(c + d*x)^5) - b^3/(4*d^4*(c + d*x)^4), x, 2),
+((a + b*x)^2/(c + d*x)^8, -((b*c - a*d)^2/(7*d^3*(c + d*x)^7)) + (b*(b*c - a*d))/(3*d^3*(c + d*x)^6) - b^2/(5*d^3*(c + d*x)^5), x, 2),
+((a + b*x)^1/(c + d*x)^8, (b*c - a*d)/(7*d^2*(c + d*x)^7) - b/(6*d^2*(c + d*x)^6), x, 2),
+((a + b*x)^0/(c + d*x)^8, -(1/(7*d*(c + d*x)^7)), x, 1),
+((a + b*x)^(-1)/(c + d*x)^8, 1/(7*(b*c - a*d)*(c + d*x)^7) + b/(6*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^6) + b^2/(5*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^5) + b^3/(4*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^4) + b^4/(3*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^3) + b^5/(2*(b*c - a*d)^6*(c + d*x)^2) + b^6/((b*c - a*d)^7*(c + d*x)) + (b^7*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^8 - (b^7*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^8, x, 2),
+((a + b*x)^(-2)/(c + d*x)^8, -(b^7/((b*c - a*d)^8*(a + b*x))) - d/(7*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^7) - (b*d)/(3*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^6) - (3*b^2*d)/(5*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^5) - (b^3*d)/((b*c - a*d)^5*(c + d*x)^4) - (5*b^4*d)/(3*(b*c - a*d)^6*(c + d*x)^3) - (3*b^5*d)/((b*c - a*d)^7*(c + d*x)^2) - (7*b^6*d)/((b*c - a*d)^8*(c + d*x)) - (8*b^7*d*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^9 + (8*b^7*d*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^9, x, 2),
+((a + b*x)^(-3)/(c + d*x)^8, -(b^7/(2*(b*c - a*d)^8*(a + b*x)^2)) + (8*b^7*d)/((b*c - a*d)^9*(a + b*x)) + d^2/(7*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^7) + (b*d^2)/(2*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^6) + (6*b^2*d^2)/(5*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^5) + (5*b^3*d^2)/(2*(b*c - a*d)^6*(c + d*x)^4) + (5*b^4*d^2)/((b*c - a*d)^7*(c + d*x)^3) + (21*b^5*d^2)/(2*(b*c - a*d)^8*(c + d*x)^2) + (28*b^6*d^2)/((b*c - a*d)^9*(c + d*x)) + (36*b^7*d^2*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^10 - (36*b^7*d^2*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^10, x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^(n/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((a + b*x)^5*(c + d*x)^(1//2), -((2*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^6)) + (2*b*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^(5//2))/d^6 - (20*b^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^6) + (20*b^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^6) - (10*b^4*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(11//2))/(11*d^6) + (2*b^5*(c + d*x)^(13//2))/(13*d^6), x, 2),
+((a + b*x)^4*(c + d*x)^(1//2), (2*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^5) - (8*b*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^5) + (12*b^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^5) - (8*b^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^5) + (2*b^4*(c + d*x)^(11//2))/(11*d^5), x, 2),
+((a + b*x)^3*(c + d*x)^(1//2), -((2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^4)) + (6*b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^4) - (6*b^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^4) + (2*b^3*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^4), x, 2),
+((a + b*x)^2*(c + d*x)^(1//2), (2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^3) - (4*b*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^3) + (2*b^2*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^3), x, 2),
+((a + b*x)^1*(c + d*x)^(1//2), -((2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^2)) + (2*b*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^2), x, 2),
+((a + b*x)^0*(c + d*x)^(1//2), (2*(c + d*x)^(3//2))/(3*d), x, 1),
+((c + d*x)^(1//2)/(a + b*x)^1, (2*sqrt(c + d*x))/b - (2*sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(3//2), x, 3),
+((c + d*x)^(1//2)/(a + b*x)^2, -(sqrt(c + d*x)/(b*(a + b*x))) - (d*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(b^(3//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 3),
+((c + d*x)^(1//2)/(a + b*x)^3, -(sqrt(c + d*x)/(2*b*(a + b*x)^2)) - (d*sqrt(c + d*x))/(4*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)) + (d^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*b^(3//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+((c + d*x)^(1//2)/(a + b*x)^4, -(sqrt(c + d*x)/(3*b*(a + b*x)^3)) - (d*sqrt(c + d*x))/(12*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2) + (d^2*sqrt(c + d*x))/(8*b*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) - (d^3*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(8*b^(3//2)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 5),
+((c + d*x)^(1//2)/(a + b*x)^5, -(sqrt(c + d*x)/(4*b*(a + b*x)^4)) - (d*sqrt(c + d*x))/(24*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^3) + (5*d^2*sqrt(c + d*x))/(96*b*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2) - (5*d^3*sqrt(c + d*x))/(64*b*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)) + (5*d^4*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(64*b^(3//2)*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 6),
+((c + d*x)^(1//2)/(a + b*x)^6, -(sqrt(c + d*x)/(5*b*(a + b*x)^5)) - (d*sqrt(c + d*x))/(40*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^4) + (7*d^2*sqrt(c + d*x))/(240*b*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^3) - (7*d^3*sqrt(c + d*x))/(192*b*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) + (7*d^4*sqrt(c + d*x))/(128*b*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)) - (7*d^5*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(128*b^(3//2)*(b*c - a*d)^(9//2)), x, 7),
+
+
+((a + b*x)^5*(c + d*x)^(3//2), -((2*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^6)) + (10*b*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^6) - (20*b^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^6) + (20*b^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(11//2))/(11*d^6) - (10*b^4*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(13//2))/(13*d^6) + (2*b^5*(c + d*x)^(15//2))/(15*d^6), x, 2),
+((a + b*x)^4*(c + d*x)^(3//2), (2*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^5) - (8*b*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^5) + (4*b^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(9//2))/(3*d^5) - (8*b^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(11//2))/(11*d^5) + (2*b^4*(c + d*x)^(13//2))/(13*d^5), x, 2),
+((a + b*x)^3*(c + d*x)^(3//2), -((2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^4)) + (6*b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^4) - (2*b^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(9//2))/(3*d^4) + (2*b^3*(c + d*x)^(11//2))/(11*d^4), x, 2),
+((a + b*x)^2*(c + d*x)^(3//2), (2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^3) - (4*b*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^3) + (2*b^2*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^3), x, 2),
+((a + b*x)^1*(c + d*x)^(3//2), -((2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^2)) + (2*b*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^2), x, 2),
+((a + b*x)^0*(c + d*x)^(3//2), (2*(c + d*x)^(5//2))/(5*d), x, 1),
+((c + d*x)^(3//2)/(a + b*x)^1, (2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/b^2 + (2*(c + d*x)^(3//2))/(3*b) - (2*(b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(5//2), x, 4),
+((c + d*x)^(3//2)/(a + b*x)^2, (3*d*sqrt(c + d*x))/b^2 - (c + d*x)^(3//2)/(b*(a + b*x)) - (3*d*sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(5//2), x, 4),
+((c + d*x)^(3//2)/(a + b*x)^3, -((3*d*sqrt(c + d*x))/(4*b^2*(a + b*x))) - (c + d*x)^(3//2)/(2*b*(a + b*x)^2) - (3*d^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*b^(5//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 4),
+((c + d*x)^(3//2)/(a + b*x)^4, -((d*sqrt(c + d*x))/(4*b^2*(a + b*x)^2)) - (d^2*sqrt(c + d*x))/(8*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)) - (c + d*x)^(3//2)/(3*b*(a + b*x)^3) + (d^3*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(8*b^(5//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 5),
+((c + d*x)^(3//2)/(a + b*x)^5, -((d*sqrt(c + d*x))/(8*b^2*(a + b*x)^3)) - (d^2*sqrt(c + d*x))/(32*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2) + (3*d^3*sqrt(c + d*x))/(64*b^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) - (c + d*x)^(3//2)/(4*b*(a + b*x)^4) - (3*d^4*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(64*b^(5//2)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 6),
+((c + d*x)^(3//2)/(a + b*x)^6, -((3*d*sqrt(c + d*x))/(40*b^2*(a + b*x)^4)) - (d^2*sqrt(c + d*x))/(80*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^3) + (d^3*sqrt(c + d*x))/(64*b^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2) - (3*d^4*sqrt(c + d*x))/(128*b^2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)) - (c + d*x)^(3//2)/(5*b*(a + b*x)^5) + (3*d^5*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(128*b^(5//2)*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 7),
+
+
+((a + b*x)^5*(c + d*x)^(5//2), -((2*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^6)) + (10*b*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^6) - (20*b^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(11//2))/(11*d^6) + (20*b^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(13//2))/(13*d^6) - (2*b^4*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(15//2))/(3*d^6) + (2*b^5*(c + d*x)^(17//2))/(17*d^6), x, 2),
+((a + b*x)^4*(c + d*x)^(5//2), (2*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^5) - (8*b*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^5) + (12*b^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(11//2))/(11*d^5) - (8*b^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(13//2))/(13*d^5) + (2*b^4*(c + d*x)^(15//2))/(15*d^5), x, 2),
+((a + b*x)^3*(c + d*x)^(5//2), -((2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^4)) + (2*b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(9//2))/(3*d^4) - (6*b^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(11//2))/(11*d^4) + (2*b^3*(c + d*x)^(13//2))/(13*d^4), x, 2),
+((a + b*x)^2*(c + d*x)^(5//2), (2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^3) - (4*b*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^3) + (2*b^2*(c + d*x)^(11//2))/(11*d^3), x, 2),
+((a + b*x)^1*(c + d*x)^(5//2), -((2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^2)) + (2*b*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^2), x, 2),
+((a + b*x)^0*(c + d*x)^(5//2), (2*(c + d*x)^(7//2))/(7*d), x, 1),
+((c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^1, (2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x))/b^3 + (2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^2) + (2*(c + d*x)^(5//2))/(5*b) - (2*(b*c - a*d)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(7//2), x, 5),
+((c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^2, (5*d*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/b^3 + (5*d*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^2) - (c + d*x)^(5//2)/(b*(a + b*x)) - (5*d*(b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(7//2), x, 5),
+((c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^3, (15*d^2*sqrt(c + d*x))/(4*b^3) - (5*d*(c + d*x)^(3//2))/(4*b^2*(a + b*x)) - (c + d*x)^(5//2)/(2*b*(a + b*x)^2) - (15*d^2*sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*b^(7//2)), x, 5),
+((c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^4, -((5*d^2*sqrt(c + d*x))/(8*b^3*(a + b*x))) - (5*d*(c + d*x)^(3//2))/(12*b^2*(a + b*x)^2) - (c + d*x)^(5//2)/(3*b*(a + b*x)^3) - (5*d^3*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(8*b^(7//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 5),
+((c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^5, -((5*d^2*sqrt(c + d*x))/(32*b^3*(a + b*x)^2)) - (5*d^3*sqrt(c + d*x))/(64*b^3*(b*c - a*d)*(a + b*x)) - (5*d*(c + d*x)^(3//2))/(24*b^2*(a + b*x)^3) - (c + d*x)^(5//2)/(4*b*(a + b*x)^4) + (5*d^4*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(64*b^(7//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 6),
+((c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^6, -((d^2*sqrt(c + d*x))/(16*b^3*(a + b*x)^3)) - (d^3*sqrt(c + d*x))/(64*b^3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2) + (3*d^4*sqrt(c + d*x))/(128*b^3*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) - (d*(c + d*x)^(3//2))/(8*b^2*(a + b*x)^4) - (c + d*x)^(5//2)/(5*b*(a + b*x)^5) - (3*d^5*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(128*b^(7//2)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 7),
+
+
+(sqrt(-1 + x)/(1 + x)^2, -(sqrt(-1 + x)/(1 + x)) + atan(sqrt(-1 + x)/sqrt(2))/sqrt(2), x, 3),
+(sqrt(-1 + x)/(1 + x)^3, -(sqrt(-1 + x)/(2*(1 + x)^2)) + sqrt(-1 + x)/(8*(1 + x)) + atan(sqrt(-1 + x)/sqrt(2))/(8*sqrt(2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((a + b*x)^5/(c + d*x)^(1//2), -((2*(b*c - a*d)^5*sqrt(c + d*x))/d^6) + (10*b*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^6) - (4*b^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(5//2))/d^6 + (20*b^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^6) - (10*b^4*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^6) + (2*b^5*(c + d*x)^(11//2))/(11*d^6), x, 2),
+((a + b*x)^4/(c + d*x)^(1//2), (2*(b*c - a*d)^4*sqrt(c + d*x))/d^5 - (8*b*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^5) + (12*b^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^5) - (8*b^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^5) + (2*b^4*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^5), x, 2),
+((a + b*x)^3/(c + d*x)^(1//2), -((2*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x))/d^4) + (2*b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(3//2))/d^4 - (6*b^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^4) + (2*b^3*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^4), x, 2),
+((a + b*x)^2/(c + d*x)^(1//2), (2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x))/d^3 - (4*b*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^3) + (2*b^2*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^3), x, 2),
+((a + b*x)^1/(c + d*x)^(1//2), -((2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/d^2) + (2*b*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^2), x, 2),
+((a + b*x)^0/(c + d*x)^(1//2), (2*sqrt(c + d*x))/d, x, 1),
+(1/((a + b*x)^1*(c + d*x)^(1//2)), -((2*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(sqrt(b)*sqrt(b*c - a*d))), x, 2),
+(1/((a + b*x)^2*(c + d*x)^(1//2)), -(sqrt(c + d*x)/((b*c - a*d)*(a + b*x))) + (d*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(sqrt(b)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^3*(c + d*x)^(1//2)), -(sqrt(c + d*x)/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2)) + (3*d*sqrt(c + d*x))/(4*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) - (3*d^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*sqrt(b)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 4),
+(1/((a + b*x)^4*(c + d*x)^(1//2)), -(sqrt(c + d*x)/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^3)) + (5*d*sqrt(c + d*x))/(12*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2) - (5*d^2*sqrt(c + d*x))/(8*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)) + (5*d^3*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(8*sqrt(b)*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 5),
+(1/((a + b*x)^5*(c + d*x)^(1//2)), -(sqrt(c + d*x)/(4*(b*c - a*d)*(a + b*x)^4)) + (7*d*sqrt(c + d*x))/(24*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^3) - (35*d^2*sqrt(c + d*x))/(96*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) + (35*d^3*sqrt(c + d*x))/(64*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)) - (35*d^4*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(64*sqrt(b)*(b*c - a*d)^(9//2)), x, 6),
+
+
+((a + b*x)^5/(c + d*x)^(3//2), (2*(b*c - a*d)^5)/(d^6*sqrt(c + d*x)) + (10*b*(b*c - a*d)^4*sqrt(c + d*x))/d^6 - (20*b^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^6) + (4*b^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(5//2))/d^6 - (10*b^4*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^6) + (2*b^5*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^6), x, 2),
+((a + b*x)^4/(c + d*x)^(3//2), -((2*(b*c - a*d)^4)/(d^5*sqrt(c + d*x))) - (8*b*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x))/d^5 + (4*b^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(3//2))/d^5 - (8*b^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^5) + (2*b^4*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^5), x, 2),
+((a + b*x)^3/(c + d*x)^(3//2), (2*(b*c - a*d)^3)/(d^4*sqrt(c + d*x)) + (6*b*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x))/d^4 - (2*b^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))/d^4 + (2*b^3*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^4), x, 2),
+((a + b*x)^2/(c + d*x)^(3//2), -((2*(b*c - a*d)^2)/(d^3*sqrt(c + d*x))) - (4*b*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/d^3 + (2*b^2*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^3), x, 2),
+((a + b*x)^1/(c + d*x)^(3//2), (2*(b*c - a*d))/(d^2*sqrt(c + d*x)) + (2*b*sqrt(c + d*x))/d^2, x, 2),
+((a + b*x)^0/(c + d*x)^(3//2), -(2/(d*sqrt(c + d*x))), x, 1),
+(1/((a + b*x)^1*(c + d*x)^(3//2)), 2/((b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)) - (2*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(b*c - a*d)^(3//2), x, 3),
+(1/((a + b*x)^2*(c + d*x)^(3//2)), -((3*d)/((b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x))) - 1/((b*c - a*d)*(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) + (3*sqrt(b)*d*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(b*c - a*d)^(5//2), x, 4),
+(1/((a + b*x)^3*(c + d*x)^(3//2)), (15*d^2)/(4*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x)) - 1/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2*sqrt(c + d*x)) + (5*d)/(4*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) - (15*sqrt(b)*d^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 5),
+(1/((a + b*x)^4*(c + d*x)^(3//2)), -((35*d^3)/(8*(b*c - a*d)^4*sqrt(c + d*x))) - 1/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^3*sqrt(c + d*x)) + (7*d)/(12*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2*sqrt(c + d*x)) - (35*d^2)/(24*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) + (35*sqrt(b)*d^3*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(8*(b*c - a*d)^(9//2)), x, 6),
+
+
+((a + b*x)^5/(c + d*x)^(5//2), (2*(b*c - a*d)^5)/(3*d^6*(c + d*x)^(3//2)) - (10*b*(b*c - a*d)^4)/(d^6*sqrt(c + d*x)) - (20*b^2*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x))/d^6 + (20*b^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^6) - (2*b^4*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(5//2))/d^6 + (2*b^5*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^6), x, 2),
+((a + b*x)^4/(c + d*x)^(5//2), -((2*(b*c - a*d)^4)/(3*d^5*(c + d*x)^(3//2))) + (8*b*(b*c - a*d)^3)/(d^5*sqrt(c + d*x)) + (12*b^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x))/d^5 - (8*b^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^5) + (2*b^4*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^5), x, 2),
+((a + b*x)^3/(c + d*x)^(5//2), (2*(b*c - a*d)^3)/(3*d^4*(c + d*x)^(3//2)) - (6*b*(b*c - a*d)^2)/(d^4*sqrt(c + d*x)) - (6*b^2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/d^4 + (2*b^3*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^4), x, 2),
+((a + b*x)^2/(c + d*x)^(5//2), -((2*(b*c - a*d)^2)/(3*d^3*(c + d*x)^(3//2))) + (4*b*(b*c - a*d))/(d^3*sqrt(c + d*x)) + (2*b^2*sqrt(c + d*x))/d^3, x, 2),
+((a + b*x)^1/(c + d*x)^(5//2), (2*(b*c - a*d))/(3*d^2*(c + d*x)^(3//2)) - (2*b)/(d^2*sqrt(c + d*x)), x, 2),
+((a + b*x)^0/(c + d*x)^(5//2), -(2/(3*d*(c + d*x)^(3//2))), x, 1),
+(1/((a + b*x)^1*(c + d*x)^(5//2)), 2/(3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2)) + (2*b)/((b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)) - (2*b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(b*c - a*d)^(5//2), x, 4),
+(1/((a + b*x)^2*(c + d*x)^(5//2)), -((5*d)/(3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(3//2))) - 1/((b*c - a*d)*(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) - (5*b*d)/((b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x)) + (5*b^(3//2)*d*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(b*c - a*d)^(7//2), x, 5),
+(1/((a + b*x)^3*(c + d*x)^(5//2)), (35*d^2)/(12*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(3//2)) - 1/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2*(c + d*x)^(3//2)) + (7*d)/(4*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) + (35*b*d^2)/(4*(b*c - a*d)^4*sqrt(c + d*x)) - (35*b^(3//2)*d^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*(b*c - a*d)^(9//2)), x, 6),
+(1/((a + b*x)^4*(c + d*x)^(5//2)), -((35*d^3)/(8*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^(3//2))) - 1/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^3*(c + d*x)^(3//2)) + (3*d)/(4*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2*(c + d*x)^(3//2)) - (21*d^2)/(8*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) - (105*b*d^3)/(8*(b*c - a*d)^5*sqrt(c + d*x)) + (105*b^(3//2)*d^3*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(8*(b*c - a*d)^(11//2)), x, 7),
+
+
+((a + b*x)^5*(a*c + b*c*x)^(3//2), (2*(a*c + b*c*x)^(15//2))/(15*b*c^6), x, 2),
+((a + b*x)^5*(a*c + b*c*x)^(1//2), (2*(a*c + b*c*x)^(13//2))/(13*b*c^6), x, 2),
+((a + b*x)^5/(a*c + b*c*x)^(1//2), (2*(a*c + b*c*x)^(11//2))/(11*b*c^6), x, 2),
+((a + b*x)^5/(a*c + b*c*x)^(3//2), (2*(a*c + b*c*x)^(9//2))/(9*b*c^6), x, 2),
+((a + b*x)^5/(a*c + b*c*x)^(5//2), (2*(a*c + b*c*x)^(7//2))/(7*b*c^6), x, 2),
+((a + b*x)^5/(a*c + b*c*x)^(7//2), (2*(a*c + b*c*x)^(5//2))/(5*b*c^6), x, 2),
+((a + b*x)^5/(a*c + b*c*x)^(9//2), (2*(a*c + b*c*x)^(3//2))/(3*b*c^6), x, 2),
+((a + b*x)^5/(a*c + b*c*x)^(11//2), (2*sqrt(a*c + b*c*x))/(b*c^6), x, 2),
+((a + b*x)^5/(a*c + b*c*x)^(13//2), -(2/(b*c^6*sqrt(a*c + b*c*x))), x, 2),
+
+
+(1/((-2 + x)*sqrt(2 + x)), -atanh(sqrt(2 + x)/2), x, 2),
+(1/((2 + 3*x)*sqrt(1 + 5*x)), (2*atan(sqrt(3//7)*sqrt(1 + 5*x)))/sqrt(21), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^(n/3)
+
+
+((1 - x)^(1//3)/(1 + x), 3*(1 - x)^(1//3) - 2^(1//3)*sqrt(3)*atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x)^(1//3))/sqrt(3)) + (3*log(2^(1//3) - (1 - x)^(1//3)))/2^(2//3) - log(1 + x)/2^(2//3), x, 5),
+((3 - 2*x)^(1//3)*(7 + x), (-(51//16))*(3 - 2*x)^(4//3) + (3//28)*(3 - 2*x)^(7//3), x, 2),
+((1 - x)^(1//3)*(1 + x)^2, -3*(1 - x)^(4//3) + (12//7)*(1 - x)^(7//3) - (3//10)*(1 - x)^(10//3), x, 2),
+
+
+(1/((a + b*x)*(c + d*x)^(1//3)), (sqrt(3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(b^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) - log(a + b*x)/(2*b^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) + (3*log((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)))/(2*b^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)), x, 4),
+(1/((a + b*x)*(c + d*x)^(2//3)), -((sqrt(3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3))) - log(a + b*x)/(2*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)) + (3*log((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)))/(2*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(1//2), -((7*(b*c - a*d)^4*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*b*d^4)) + (7*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(192*b*d^3) - (7*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(240*b*d^2) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))/(40*b*d) + ((a + b*x)^(9//2)*sqrt(c + d*x))/(5*b) + (7*(b*c - a*d)^5*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(128*b^(3//2)*d^(9//2)), x, 8),
+((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(1//2), (5*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b*d^3) - (5*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(96*b*d^2) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(24*b*d) + ((a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))/(4*b) - (5*(b*c - a*d)^4*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(3//2)*d^(7//2)), x, 7),
+((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//2), -(((b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*b*d^2)) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(12*b*d) + ((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(3*b) + ((b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(3//2)*d^(5//2)), x, 6),
+((a + b*x)^(1//2)*(c + d*x)^(1//2), ((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*b*d) + ((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(2*b) - ((b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(3//2)*d^(3//2)), x, 5),
+((c + d*x)^(1//2)/(a + b*x)^(1//2), (sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/b + ((b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(b^(3//2)*sqrt(d)), x, 4),
+((c + d*x)^(1//2)/(a + b*x)^(3//2), -((2*sqrt(c + d*x))/(b*sqrt(a + b*x))) + (2*sqrt(d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/b^(3//2), x, 4),
+((c + d*x)^(1//2)/(a + b*x)^(5//2), -((2*(c + d*x)^(3//2))/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2))), x, 1),
+((c + d*x)^(1//2)/(a + b*x)^(7//2), -((2*(c + d*x)^(3//2))/(5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//2))) + (4*d*(c + d*x)^(3//2))/(15*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//2)), x, 2),
+((c + d*x)^(1//2)/(a + b*x)^(9//2), -((2*(c + d*x)^(3//2))/(7*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(7//2))) + (8*d*(c + d*x)^(3//2))/(35*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(5//2)) - (16*d^2*(c + d*x)^(3//2))/(105*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(3//2)), x, 3),
+((c + d*x)^(1//2)/(a + b*x)^(11//2), -((2*(c + d*x)^(3//2))/(9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(9//2))) + (4*d*(c + d*x)^(3//2))/(21*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(7//2)) - (16*d^2*(c + d*x)^(3//2))/(105*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(5//2)) + (32*d^3*(c + d*x)^(3//2))/(315*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^(3//2)), x, 4),
+((c + d*x)^(1//2)/(a + b*x)^(13//2), -((2*(c + d*x)^(3//2))/(11*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(11//2))) + (16*d*(c + d*x)^(3//2))/(99*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(9//2)) - (32*d^2*(c + d*x)^(3//2))/(231*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(7//2)) + (128*d^3*(c + d*x)^(3//2))/(1155*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^(5//2)) - (256*d^4*(c + d*x)^(3//2))/(3465*(b*c - a*d)^5*(a + b*x)^(3//2)), x, 5),
+
+
+((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2), (3*(b*c - a*d)^4*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*b^2*d^3) - ((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(64*b^2*d^2) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(80*b^2*d) + (3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))/(40*b^2) + ((a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(3//2))/(5*b) - (3*(b*c - a*d)^5*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(128*b^(5//2)*d^(7//2)), x, 8),
+((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2), -((3*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b^2*d^2)) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(32*b^2*d) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(8*b^2) + ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/(4*b) + (3*(b*c - a*d)^4*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(5//2)*d^(5//2)), x, 7),
+((a + b*x)^(1//2)*(c + d*x)^(3//2), ((b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*b^2*d) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(4*b^2) + ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(3*b) - ((b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(5//2)*d^(3//2)), x, 6),
+((c + d*x)^(3//2)/(a + b*x)^(1//2), (3*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*b^2) + (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(2*b) + (3*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(5//2)*sqrt(d)), x, 5),
+((c + d*x)^(3//2)/(a + b*x)^(3//2), (3*d*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/b^2 - (2*(c + d*x)^(3//2))/(b*sqrt(a + b*x)) + (3*sqrt(d)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/b^(5//2), x, 5),
+((c + d*x)^(3//2)/(a + b*x)^(5//2), -((2*d*sqrt(c + d*x))/(b^2*sqrt(a + b*x))) - (2*(c + d*x)^(3//2))/(3*b*(a + b*x)^(3//2)) + (2*d^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/b^(5//2), x, 5),
+((c + d*x)^(3//2)/(a + b*x)^(7//2), -((2*(c + d*x)^(5//2))/(5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//2))), x, 1),
+((c + d*x)^(3//2)/(a + b*x)^(9//2), -((2*(c + d*x)^(5//2))/(7*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(7//2))) + (4*d*(c + d*x)^(5//2))/(35*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(5//2)), x, 2),
+((c + d*x)^(3//2)/(a + b*x)^(11//2), -((2*(c + d*x)^(5//2))/(9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(9//2))) + (8*d*(c + d*x)^(5//2))/(63*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(7//2)) - (16*d^2*(c + d*x)^(5//2))/(315*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(5//2)), x, 3),
+((c + d*x)^(3//2)/(a + b*x)^(13//2), -((2*(c + d*x)^(5//2))/(11*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(11//2))) + (4*d*(c + d*x)^(5//2))/(33*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(9//2)) - (16*d^2*(c + d*x)^(5//2))/(231*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(7//2)) + (32*d^3*(c + d*x)^(5//2))/(1155*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^(5//2)), x, 4),
+
+
+((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2), (5*(b*c - a*d)^5*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(512*b^3*d^3) - (5*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(768*b^3*d^2) + ((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(192*b^3*d) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))/(32*b^3) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(3//2))/(12*b^2) + ((a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(5//2))/(6*b) - (5*(b*c - a*d)^6*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(512*b^(7//2)*d^(7//2)), x, 9),
+((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2), -((3*(b*c - a*d)^4*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*b^3*d^2)) + ((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(64*b^3*d) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(16*b^3) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/(8*b^2) + ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/(5*b) + (3*(b*c - a*d)^5*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(128*b^(7//2)*d^(5//2)), x, 8),
+((a + b*x)^(1//2)*(c + d*x)^(5//2), (5*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b^3*d) + (5*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(32*b^3) + (5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(24*b^2) + ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(4*b) - (5*(b*c - a*d)^4*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(7//2)*d^(3//2)), x, 7),
+((c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^(1//2), (5*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*b^3) + (5*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(12*b^2) + (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(3*b) + (5*(b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(7//2)*sqrt(d)), x, 6),
+((c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^(3//2), (15*d*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*b^3) + (5*d*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(2*b^2) - (2*(c + d*x)^(5//2))/(b*sqrt(a + b*x)) + (15*sqrt(d)*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(7//2)), x, 6),
+((c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^(5//2), (5*d^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/b^3 - (10*d*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^2*sqrt(a + b*x)) - (2*(c + d*x)^(5//2))/(3*b*(a + b*x)^(3//2)) + (5*d^(3//2)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/b^(7//2), x, 6),
+((c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^(7//2), -((2*d^2*sqrt(c + d*x))/(b^3*sqrt(a + b*x))) - (2*d*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^2*(a + b*x)^(3//2)) - (2*(c + d*x)^(5//2))/(5*b*(a + b*x)^(5//2)) + (2*d^(5//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/b^(7//2), x, 6),
+((c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^(9//2), -((2*(c + d*x)^(7//2))/(7*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(7//2))), x, 1),
+((c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^(11//2), -((2*(c + d*x)^(7//2))/(9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(9//2))) + (4*d*(c + d*x)^(7//2))/(63*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(7//2)), x, 2),
+((c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^(13//2), -((2*(c + d*x)^(7//2))/(11*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(11//2))) + (8*d*(c + d*x)^(7//2))/(99*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(9//2)) - (16*d^2*(c + d*x)^(7//2))/(693*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(7//2)), x, 3),
+((c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^(15//2), -((2*(c + d*x)^(7//2))/(13*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(13//2))) + (12*d*(c + d*x)^(7//2))/(143*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(11//2)) - (16*d^2*(c + d*x)^(7//2))/(429*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(9//2)) + (32*d^3*(c + d*x)^(7//2))/(3003*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^(7//2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((a + b*x)^(7//2)/(c + d*x)^(1//2), -((35*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*d^4)) + (35*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(96*d^3) - (7*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(24*d^2) + ((a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))/(4*d) + (35*(b*c - a*d)^4*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*sqrt(b)*d^(9//2)), x, 7),
+((a + b*x)^(5//2)/(c + d*x)^(1//2), (5*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*d^3) - (5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(12*d^2) + ((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(3*d) - (5*(b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*sqrt(b)*d^(7//2)), x, 6),
+((a + b*x)^(3//2)/(c + d*x)^(1//2), -((3*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*d^2)) + ((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(2*d) + (3*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*sqrt(b)*d^(5//2)), x, 5),
+((a + b*x)^(1//2)/(c + d*x)^(1//2), (sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/d - ((b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(b)*d^(3//2)), x, 4),
+(1/((a + b*x)^(1//2)*(c + d*x)^(1//2)), (2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(b)*sqrt(d)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//2)), -((2*sqrt(c + d*x))/((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x))), x, 1),
+(1/((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(1//2)), -((2*sqrt(c + d*x))/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2))) + (4*d*sqrt(c + d*x))/(3*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(1//2)), -((2*sqrt(c + d*x))/(5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//2))) + (8*d*sqrt(c + d*x))/(15*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//2)) - (16*d^2*sqrt(c + d*x))/(15*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(9//2)*(c + d*x)^(1//2)), -((2*sqrt(c + d*x))/(7*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(7//2))) + (12*d*sqrt(c + d*x))/(35*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(5//2)) - (16*d^2*sqrt(c + d*x))/(35*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(3//2)) + (32*d^3*sqrt(c + d*x))/(35*(b*c - a*d)^4*sqrt(a + b*x)), x, 4),
+(1/((a + b*x)^(11//2)*(c + d*x)^(1//2)), -((2*sqrt(c + d*x))/(9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(9//2))) + (16*d*sqrt(c + d*x))/(63*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(7//2)) - (32*d^2*sqrt(c + d*x))/(105*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(5//2)) + (128*d^3*sqrt(c + d*x))/(315*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^(3//2)) - (256*d^4*sqrt(c + d*x))/(315*(b*c - a*d)^5*sqrt(a + b*x)), x, 5),
+
+
+((a + b*x)^(7//2)/(c + d*x)^(3//2), -((2*(a + b*x)^(7//2))/(d*sqrt(c + d*x))) + (35*b*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*d^4) - (35*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(12*d^3) + (7*b*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(3*d^2) - (35*sqrt(b)*(b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*d^(9//2)), x, 7),
+((a + b*x)^(5//2)/(c + d*x)^(3//2), -((2*(a + b*x)^(5//2))/(d*sqrt(c + d*x))) - (15*b*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*d^3) + (5*b*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(2*d^2) + (15*sqrt(b)*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*d^(7//2)), x, 6),
+((a + b*x)^(3//2)/(c + d*x)^(3//2), -((2*(a + b*x)^(3//2))/(d*sqrt(c + d*x))) + (3*b*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/d^2 - (3*sqrt(b)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/d^(5//2), x, 5),
+((a + b*x)^(1//2)/(c + d*x)^(3//2), -((2*sqrt(a + b*x))/(d*sqrt(c + d*x))) + (2*sqrt(b)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/d^(3//2), x, 4),
+(1/((a + b*x)^(1//2)*(c + d*x)^(3//2)), (2*sqrt(a + b*x))/((b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)), x, 1),
+(1/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), -(2/((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))) - (4*d*sqrt(a + b*x))/((b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2)), -(2/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))) + (8*d)/(3*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) + (16*d^2*sqrt(a + b*x))/(3*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(3//2)), -(2/(5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))) + (4*d)/(5*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x)) - (16*d^2)/(5*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) - (32*d^3*sqrt(a + b*x))/(5*(b*c - a*d)^4*sqrt(c + d*x)), x, 4),
+(1/((a + b*x)^(9//2)*(c + d*x)^(3//2)), -(2/(7*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))) + (16*d)/(35*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x)) - (32*d^2)/(35*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x)) + (128*d^3)/(35*(b*c - a*d)^4*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) + (256*d^4*sqrt(a + b*x))/(35*(b*c - a*d)^5*sqrt(c + d*x)), x, 5),
+(1/((a + b*x)^(11//2)*(c + d*x)^(3//2)), -(2/(9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(9//2)*sqrt(c + d*x))) + (20*d)/(63*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x)) - (32*d^2)/(63*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x)) + (64*d^3)/(63*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x)) - (256*d^4)/(63*(b*c - a*d)^5*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) - (512*d^5*sqrt(a + b*x))/(63*(b*c - a*d)^6*sqrt(c + d*x)), x, 6),
+
+
+((a + b*x)^(9//2)/(c + d*x)^(5//2), -((2*(a + b*x)^(9//2))/(3*d*(c + d*x)^(3//2))) - (6*b*(a + b*x)^(7//2))/(d^2*sqrt(c + d*x)) + (105*b^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*d^5) - (35*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(4*d^4) + (7*b^2*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/d^3 - (105*b^(3//2)*(b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*d^(11//2)), x, 8),
+((a + b*x)^(7//2)/(c + d*x)^(5//2), -((2*(a + b*x)^(7//2))/(3*d*(c + d*x)^(3//2))) - (14*b*(a + b*x)^(5//2))/(3*d^2*sqrt(c + d*x)) - (35*b^2*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*d^4) + (35*b^2*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(6*d^3) + (35*b^(3//2)*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*d^(9//2)), x, 7),
+((a + b*x)^(5//2)/(c + d*x)^(5//2), -((2*(a + b*x)^(5//2))/(3*d*(c + d*x)^(3//2))) - (10*b*(a + b*x)^(3//2))/(3*d^2*sqrt(c + d*x)) + (5*b^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/d^3 - (5*b^(3//2)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/d^(7//2), x, 6),
+((a + b*x)^(3//2)/(c + d*x)^(5//2), -((2*(a + b*x)^(3//2))/(3*d*(c + d*x)^(3//2))) - (2*b*sqrt(a + b*x))/(d^2*sqrt(c + d*x)) + (2*b^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/d^(5//2), x, 5),
+((a + b*x)^(1//2)/(c + d*x)^(5//2), (2*(a + b*x)^(3//2))/(3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2)), x, 1),
+(1/((a + b*x)^(1//2)*(c + d*x)^(5//2)), (2*sqrt(a + b*x))/(3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2)) + (4*b*sqrt(a + b*x))/(3*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2)), -(2/((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))) - (8*d*sqrt(a + b*x))/(3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(3//2)) - (16*b*d*sqrt(a + b*x))/(3*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2)), -(2/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))) + (4*d)/((b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) + (16*d^2*sqrt(a + b*x))/(3*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(3//2)) + (32*b*d^2*sqrt(a + b*x))/(3*(b*c - a*d)^4*sqrt(c + d*x)), x, 4),
+(1/((a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(5//2)), -(2/(5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))) + (16*d)/(15*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)) - (32*d^2)/(5*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) - (128*d^3*sqrt(a + b*x))/(15*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^(3//2)) - (256*b*d^3*sqrt(a + b*x))/(15*(b*c - a*d)^5*sqrt(c + d*x)), x, 5),
+(1/((a + b*x)^(9//2)*(c + d*x)^(5//2)), -(2/(7*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(3//2))) + (4*d)/(7*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2)) - (32*d^2)/(21*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)) + (64*d^3)/(7*(b*c - a*d)^4*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) + (256*d^4*sqrt(a + b*x))/(21*(b*c - a*d)^5*(c + d*x)^(3//2)) + (512*b*d^4*sqrt(a + b*x))/(21*(b*c - a*d)^6*sqrt(c + d*x)), x, 6),
+
+
+(1/(sqrt(4 + a + b*x)*sqrt(a + b*x)), (2*asinh((1//2)*sqrt(a + b*x)))/b, x, 2),
+
+(1/(sqrt(4 + 2 + b*x)*sqrt(2 + b*x)), (2*asinh((1//2)*sqrt(2 + b*x)))/b, x, 2),
+(1/(sqrt(4 + 1 + b*x)*sqrt(1 + b*x)), (2*asinh((1//2)*sqrt(1 + b*x)))/b, x, 2),
+(1/(sqrt(4 + 0 + b*x)*sqrt(0 + b*x)), (2*asinh((1//2)*sqrt(b*x)))/b, x, 2),
+(1/(sqrt(4 - 1 + b*x)*sqrt(-1 + b*x)), (2*asinh((1//2)*sqrt(-1 + b*x)))/b, x, 2),
+(1/(sqrt(4 - 2 + b*x)*sqrt(-2 + b*x)), acosh((b*x)/2)/b, x, 1),
+(1/(sqrt(4 - 3 + b*x)*sqrt(-3 + b*x)), (2*asinh((1//2)*sqrt(-3 + b*x)))/b, x, 2),
+
+
+(1/(sqrt(3 + b*x)*sqrt(2 + b*x)), (2*asinh(sqrt(2 + b*x)))/b, x, 2),
+(1/(sqrt(2 + b*x)*sqrt(2 + b*x)), log(2 + b*x)/b, x, 1),
+(1/(sqrt(1 + b*x)*sqrt(2 + b*x)), (2*asinh(sqrt(1 + b*x)))/b, x, 2),
+(1/(sqrt(0 + b*x)*sqrt(2 + b*x)), (2*asinh(sqrt(b*x)/sqrt(2)))/b, x, 2),
+(1/(sqrt(-1 + b*x)*sqrt(2 + b*x)), (2*asinh(sqrt(-1 + b*x)/sqrt(3)))/b, x, 2),
+(1/(sqrt(-2 + b*x)*sqrt(2 + b*x)), acosh((b*x)/2)/b, x, 1),
+(1/(sqrt(-3 + b*x)*sqrt(2 + b*x)), (2*asinh(sqrt(-3 + b*x)/sqrt(5)))/b, x, 2),
+
+
+(1/(sqrt(3 - b*x)*sqrt(2 + b*x)), -(asin((1 - 2*b*x)/5)/b), x, 3),
+(1/(sqrt(2 - b*x)*sqrt(2 + b*x)), asin((b*x)/2)/b, x, 2),
+(1/(sqrt(1 - b*x)*sqrt(2 + b*x)), -(asin((-1 - 2*b*x)/3)/b), x, 3),
+(1/(sqrt(0 - b*x)*sqrt(2 + b*x)), asin(1 + b*x)/b, x, 3),
+(1/(sqrt(-1 - b*x)*sqrt(2 + b*x)), asin(3 + 2*b*x)/b, x, 3),
+(1/(sqrt(-2 - b*x)*sqrt(2 + b*x)), (sqrt(2 + b*x)*log(2 + b*x))/(b*sqrt(-2 - b*x)), x, 2),
+(1/(sqrt(-3 - b*x)*sqrt(2 + b*x)), (-2*atan(sqrt(-3 - b*x)/sqrt(2 + b*x)))/b, x, 3),
+
+
+(1/(sqrt(3 - b*x)*sqrt(2 - b*x)), -((2*asinh(sqrt(2 - b*x)))/b), x, 2),
+(1/(sqrt(2 - b*x)*sqrt(2 - b*x)), -(log(2 - b*x)/b), x, 1),
+(1/(sqrt(1 - b*x)*sqrt(2 - b*x)), -((2*asinh(sqrt(1 - b*x)))/b), x, 2),
+(1/(sqrt(0 - b*x)*sqrt(2 - b*x)), -((2*asinh(sqrt(-b*x)/sqrt(2)))/b), x, 2),
+(1/(sqrt(-1 - b*x)*sqrt(2 - b*x)), -((2*asinh(sqrt(-1 - b*x)/sqrt(3)))/b), x, 2),
+(1/(sqrt(-2 - b*x)*sqrt(2 - b*x)), -(acosh(-(b*x)/2)/b), x, 1),
+(1/(sqrt(-3 - b*x)*sqrt(2 - b*x)), -((2*asinh(sqrt(-3 - b*x)/sqrt(5)))/b), x, 2),
+
+
+(1/(sqrt(4 + b*x)*sqrt(-4 + b*x)), acosh((b*x)/4)/b, x, 1),
+
+(1/(sqrt((-b + b*c)/d + b*x)*sqrt(c + d*x)), (2*asinh((sqrt(d)*sqrt(-((b*(1 - c))/d) + b*x))/sqrt(b)))/(sqrt(b)*sqrt(d)), x, 2),
+(1/(sqrt(x)*sqrt(-3 + 2*x)), sqrt(2)*asinh(sqrt(-3 + 2*x)/sqrt(3)), x, 2),
+(1/(sqrt(2+3*x)*sqrt(-3+2*x)), sqrt(2//3)*asinh(sqrt(3//13)*sqrt(-3 + 2*x)), x, 2),
+
+(1/(sqrt((b - b*c)/d + b*x)*sqrt(c - d*x)), (2*asin((sqrt(d)*sqrt((b*(1 - c))/d + b*x))/sqrt(b)))/(sqrt(b)*sqrt(d)), x, 2),
+(1/(sqrt(4 - x)*sqrt(x)), -asin(1 - x/2), x, 3),
+(1/(sqrt(x)*sqrt(3 - 2*x)), sqrt(2)*asin(sqrt(2//3)*sqrt(x)), x, 2),
+(1/(sqrt(3+5*x)*sqrt(3-2*x)), sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//21)*sqrt(3 + 5*x)), x, 2),
+(1/(sqrt(a-b*x)*sqrt(c+d*x)), -((2*atan((sqrt(d)*sqrt(a - b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(b)*sqrt(d))), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/3)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//3), -((108*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//3))/(935*b*d^2)) + (12*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//3))/(187*b*d) + (6*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(1//3))/(17*b) - (108*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^3*((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3) + b^(1//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3) + b^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(935*b^(4//3)*d^3*sqrt(a + b*x)*sqrt(-(((b*c - a*d)^(1//3)*((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))^2))), x, 5),
+((a + b*x)^(1//2)*(c + d*x)^(1//3), (12*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//3))/(55*b*d) + (6*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//3))/(11*b) + (12*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^2*((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3) + b^(1//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3) + b^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(55*b^(4//3)*d^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(-(((b*c - a*d)^(1//3)*((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))^2))), x, 4),
+((c + d*x)^(1//3)/(a + b*x)^(1//2), (6*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//3))/(5*b) - (4*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(b*c - a*d)*((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3) + b^(1//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3) + b^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(5*b^(4//3)*d*sqrt(a + b*x)*sqrt(-(((b*c - a*d)^(1//3)*((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))^2))), x, 3),
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+(1/((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(2//3)), -((2*(c + d*x)^(1//3))/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2))) + (14*d*(c + d*x)^(1//3))/(9*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)) - (14*sqrt(2 - sqrt(3))*d*((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3) + b^(1//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3) + b^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(9*3^(1//4)*b^(1//3)*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(-(((b*c - a*d)^(1//3)*((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))^2))), x, 4),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/3) (c+d x)^(n/3)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
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+((a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(1//3), ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(1//3))/(6*b*d) + ((a + b*x)^(5//3)*(c + d*x)^(1//3))/(2*b) + ((b*c - a*d)^2*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))))/(3*sqrt(3)*b^(4//3)*d^(5//3)) + ((b*c - a*d)^2*log(c + d*x))/(18*b^(4//3)*d^(5//3)) + ((b*c - a*d)^2*log(-1 + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))))/(6*b^(4//3)*d^(5//3)), x, 3),
+((c + d*x)^(1//3)/(a + b*x)^(1//3), ((a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(1//3))/b - ((b*c - a*d)*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(4//3)*d^(2//3)) - ((b*c - a*d)*log(c + d*x))/(6*b^(4//3)*d^(2//3)) - ((b*c - a*d)*log(-1 + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))))/(2*b^(4//3)*d^(2//3)), x, 2),
+((c + d*x)^(1//3)/(a + b*x)^(4//3), -((3*(c + d*x)^(1//3))/(b*(a + b*x)^(1//3))) - (sqrt(3)*d^(1//3)*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))))/b^(4//3) - (d^(1//3)*log(c + d*x))/(2*b^(4//3)) - (3*d^(1//3)*log(-1 + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))))/(2*b^(4//3)), x, 2),
+((c + d*x)^(1//3)/(a + b*x)^(7//3), -((3*(c + d*x)^(4//3))/(4*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(4//3))), x, 1),
+((c + d*x)^(1//3)/(a + b*x)^(10//3), -((3*(c + d*x)^(4//3))/(7*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(7//3))) + (9*d*(c + d*x)^(4//3))/(28*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(4//3)), x, 2),
+((c + d*x)^(1//3)/(a + b*x)^(13//3), -((3*(c + d*x)^(4//3))/(10*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(10//3))) + (9*d*(c + d*x)^(4//3))/(35*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(7//3)) - (27*d^2*(c + d*x)^(4//3))/(140*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(4//3)), x, 3),
+((c + d*x)^(1//3)/(a + b*x)^(16//3), -((3*(c + d*x)^(4//3))/(13*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(13//3))) + (27*d*(c + d*x)^(4//3))/(130*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(10//3)) - (81*d^2*(c + d*x)^(4//3))/(455*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(7//3)) + (243*d^3*(c + d*x)^(4//3))/(1820*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^(4//3)), x, 4),
+
+((a + b*x)^(4//3)*(c + d*x)^(1//3), -((3*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(20*b*d^2)) + (3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(4//3)*(c + d*x)^(1//3))/(40*b*d) + (3*(a + b*x)^(7//3)*(c + d*x)^(1//3))/(8*b) + (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^3*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(10*2^(2//3)*b^(4//3)*d^(7//3)*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 6),
+((a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3), (3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(10*b*d) + (3*(a + b*x)^(4//3)*(c + d*x)^(1//3))/(5*b) - (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^2*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(5*2^(2//3)*b^(4//3)*d^(4//3)*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 5),
+((c + d*x)^(1//3)/(a + b*x)^(2//3), (3*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(2*b) + (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(b*c - a*d)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(2^(2//3)*b^(4//3)*d^(1//3)*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 4),
+((c + d*x)^(1//3)/(a + b*x)^(5//3), -((3*(c + d*x)^(1//3))/(2*b*(a + b*x)^(2//3))) + (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(2^(2//3)*b^(4//3)*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 4),
+((c + d*x)^(1//3)/(a + b*x)^(8//3), -((3*(c + d*x)^(1//3))/(5*b*(a + b*x)^(5//3))) - (3*d*(c + d*x)^(1//3))/(10*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(2//3)) - (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*d^(5//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(5*2^(2//3)*b^(4//3)*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((a + b*x)^(4//3)/(c + d*x)^(1//3), (-2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(2//3))/(3*d^2) + ((a + b*x)^(4//3)*(c + d*x)^(2//3))/(2*d) - (2*(b*c - a*d)^2*atan(1/sqrt(3) + (2*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(sqrt(3)*d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))))/(3*sqrt(3)*b^(2//3)*d^(7//3)) - ((b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/(9*b^(2//3)*d^(7//3)) - ((b*c - a*d)^2*log(-1 + (b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))))/(3*b^(2//3)*d^(7//3)), x, 3),
+((a + b*x)^(1//3)/(c + d*x)^(1//3), ((a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(2//3))/d + ((b*c - a*d)*atan(1/sqrt(3) + (2*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(sqrt(3)*d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(2//3)*d^(4//3)) + ((b*c - a*d)*log(a + b*x))/(6*b^(2//3)*d^(4//3)) + ((b*c - a*d)*log(-1 + (b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))))/(2*b^(2//3)*d^(4//3)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(1//3)), -((sqrt(3)*atan(1/sqrt(3) + (2*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(sqrt(3)*d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))))/(b^(2//3)*d^(1//3))) - log(a + b*x)/(2*b^(2//3)*d^(1//3)) - (3*log(-1 + (b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))))/(2*b^(2//3)*d^(1//3)), x, 1),
+(1/((a + b*x)^(5//3)*(c + d*x)^(1//3)), (-3*(c + d*x)^(2//3))/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(2//3)), x, 1),
+(1/((a + b*x)^(8//3)*(c + d*x)^(1//3)), (-3*(c + d*x)^(2//3))/(5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//3)) + (9*d*(c + d*x)^(2//3))/(10*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(2//3)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(11//3)*(c + d*x)^(1//3)), (-3*(c + d*x)^(2//3))/(8*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(8//3)) + (9*d*(c + d*x)^(2//3))/(20*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(5//3)) - (27*d^2*(c + d*x)^(2//3))/(40*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(2//3)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(14//3)*(c + d*x)^(1//3)), -((3*(c + d*x)^(2//3))/(11*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(11//3))) + (27*d*(c + d*x)^(2//3))/(88*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(8//3)) - (81*d^2*(c + d*x)^(2//3))/(220*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(5//3)) + (243*d^3*(c + d*x)^(2//3))/(440*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^(2//3)), x, 4),
+
+((a + b*x)^(8//3)/(c + d*x)^(1//3), (3*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/(7*d^3) - (12*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//3)*(c + d*x)^(2//3))/(35*d^2) + (3*(a + b*x)^(8//3)*(c + d*x)^(2//3))/(10*d) - (3*2^(2//3)*(b*c - a*d)^3*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2))/(7*b^(2//3)*d^(11//3)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))) + (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(11//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(11//3)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)) - (2*2^(1//6)*3^(3//4)*(b*c - a*d)^(11//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(2//3)*d^(11//3)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 8),
+((a + b*x)^(5//3)/(c + d*x)^(1//3), -((15*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/(28*d^2)) + (3*(a + b*x)^(5//3)*(c + d*x)^(2//3))/(7*d) + (15*(b*c - a*d)^2*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2))/(14*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(8//3)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))) - (15*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(8//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(28*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(8//3)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)) + (5*3^(3//4)*(b*c - a*d)^(8//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*2^(5//6)*b^(2//3)*d^(8//3)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 7),
+((a + b*x)^(2//3)/(c + d*x)^(1//3), (3*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/(4*d) - (3*(b*c - a*d)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2))/(2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(5//3)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))) + (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(5//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(5//3)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)) - (3^(3//4)*(b*c - a*d)^(5//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(2^(5//6)*b^(2//3)*d^(5//3)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 6),
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+(1/((a + b*x)^(4//3)*(c + d*x)^(1//3)), -((3*(c + d*x)^(2//3))/((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//3))) + (3*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2))/(2^(1//3)*b^(2//3)*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*2^(1//3)*b^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)) + (2^(1//6)*3^(3//4)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 6),
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+
+
+((a + b*x)^(5//3)/(c + d*x)^(2//3), (-5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(1//3))/(6*d^2) + ((a + b*x)^(5//3)*(c + d*x)^(1//3))/(2*d) - (5*(b*c - a*d)^2*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))))/(3*sqrt(3)*b^(1//3)*d^(8//3)) - (5*(b*c - a*d)^2*log(c + d*x))/(18*b^(1//3)*d^(8//3)) - (5*(b*c - a*d)^2*log(-1 + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))))/(6*b^(1//3)*d^(8//3)), x, 3),
+((a + b*x)^(2//3)/(c + d*x)^(2//3), ((a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(1//3))/d + (2*(b*c - a*d)*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(1//3)*d^(5//3)) + ((b*c - a*d)*log(c + d*x))/(3*b^(1//3)*d^(5//3)) + ((b*c - a*d)*log(-1 + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))))/(b^(1//3)*d^(5//3)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(2//3)), -((sqrt(3)*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))))/(b^(1//3)*d^(2//3))) - log(c + d*x)/(2*b^(1//3)*d^(2//3)) - (3*log(-1 + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))))/(2*b^(1//3)*d^(2//3)), x, 1),
+(1/((a + b*x)^(4//3)*(c + d*x)^(2//3)), (-3*(c + d*x)^(1//3))/((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//3)), x, 1),
+(1/((a + b*x)^(7//3)*(c + d*x)^(2//3)), (-3*(c + d*x)^(1//3))/(4*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(4//3)) + (9*d*(c + d*x)^(1//3))/(4*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1//3)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(10//3)*(c + d*x)^(2//3)), (-3*(c + d*x)^(1//3))/(7*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(7//3)) + (9*d*(c + d*x)^(1//3))/(14*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(4//3)) - (27*d^2*(c + d*x)^(1//3))/(14*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(1//3)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(13//3)*(c + d*x)^(2//3)), -((3*(c + d*x)^(1//3))/(10*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(10//3))) + (27*d*(c + d*x)^(1//3))/(70*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(7//3)) - (81*d^2*(c + d*x)^(1//3))/(140*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(4//3)) + (243*d^3*(c + d*x)^(1//3))/(140*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^(1//3)), x, 4),
+
+((a + b*x)^(7//3)/(c + d*x)^(2//3), (21*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(20*d^3) - (21*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(4//3)*(c + d*x)^(1//3))/(40*d^2) + (3*(a + b*x)^(7//3)*(c + d*x)^(1//3))/(8*d) - (7*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^3*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(10*2^(2//3)*b^(1//3)*d^(10//3)*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 6),
+((a + b*x)^(4//3)/(c + d*x)^(2//3), -((6*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(5*d^2)) + (3*(a + b*x)^(4//3)*(c + d*x)^(1//3))/(5*d) + (2*2^(1//3)*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^2*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(5*b^(1//3)*d^(7//3)*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 5),
+((a + b*x)^(1//3)/(c + d*x)^(2//3), (3*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(2*d) - (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(b*c - a*d)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(2^(2//3)*b^(1//3)*d^(4//3)*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 4),
+(1/((a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(2//3)), (2^(1//3)*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(1//3)*d^(1//3)*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(5//3)*(c + d*x)^(2//3)), -((3*(c + d*x)^(1//3))/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(2//3))) - (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(2^(2//3)*b^(1//3)*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 4),
+(1/((a + b*x)^(8//3)*(c + d*x)^(2//3)), -((3*(c + d*x)^(1//3))/(5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//3))) + (6*d*(c + d*x)^(1//3))/(5*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(2//3)) + (2*2^(1//3)*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*d^(5//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(5*b^(1//3)*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 5),
+(1/((a + b*x)^(11//3)*(c + d*x)^(2//3)), -((3*(c + d*x)^(1//3))/(8*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(8//3))) + (21*d*(c + d*x)^(1//3))/(40*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(5//3)) - (21*d^2*(c + d*x)^(1//3))/(20*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(2//3)) - (7*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*d^(8//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(10*2^(2//3)*b^(1//3)*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 6),
+
+
+((a + b*x)^(7//3)/(c + d*x)^(4//3), (-3*(a + b*x)^(7//3))/(d*(c + d*x)^(1//3)) - (14*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(2//3))/(3*d^3) + (7*b*(a + b*x)^(4//3)*(c + d*x)^(2//3))/(2*d^2) - (14*b^(1//3)*(b*c - a*d)^2*atan(1/sqrt(3) + (2*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(sqrt(3)*d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))))/(3*sqrt(3)*d^(10//3)) - (7*b^(1//3)*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/(9*d^(10//3)) - (7*b^(1//3)*(b*c - a*d)^2*log(-1 + (b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))))/(3*d^(10//3)), x, 4),
+((a + b*x)^(4//3)/(c + d*x)^(4//3), (-3*(a + b*x)^(4//3))/(d*(c + d*x)^(1//3)) + (4*b*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(2//3))/d^2 + (4*b^(1//3)*(b*c - a*d)*atan(1/sqrt(3) + (2*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(sqrt(3)*d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))))/(sqrt(3)*d^(7//3)) + (2*b^(1//3)*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/(3*d^(7//3)) + (2*b^(1//3)*(b*c - a*d)*log(-1 + (b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))))/d^(7//3), x, 3),
+((a + b*x)^(1//3)/(c + d*x)^(4//3), (-3*(a + b*x)^(1//3))/(d*(c + d*x)^(1//3)) - (sqrt(3)*b^(1//3)*atan(1/sqrt(3) + (2*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(sqrt(3)*d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))))/d^(4//3) - (b^(1//3)*log(a + b*x))/(2*d^(4//3)) - (3*b^(1//3)*log(-1 + (b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))))/(2*d^(4//3)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(4//3)), (3*(a + b*x)^(1//3))/((b*c - a*d)*(c + d*x)^(1//3)), x, 1),
+(1/((a + b*x)^(5//3)*(c + d*x)^(4//3)), -3/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(1//3)) - (9*d*(a + b*x)^(1//3))/(2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(1//3)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(8//3)*(c + d*x)^(4//3)), -3/(5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//3)*(c + d*x)^(1//3)) + (9*d)/(5*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(1//3)) + (27*d^2*(a + b*x)^(1//3))/(5*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(1//3)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(11//3)*(c + d*x)^(4//3)), -3/(8*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(8//3)*(c + d*x)^(1//3)) + (27*d)/(40*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(5//3)*(c + d*x)^(1//3)) - (81*d^2)/(40*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(1//3)) - (243*d^3*(a + b*x)^(1//3))/(40*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^(1//3)), x, 4),
+
+((a + b*x)^(8//3)/(c + d*x)^(4//3), -((3*(a + b*x)^(8//3))/(d*(c + d*x)^(1//3))) - (30*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/(7*d^3) + (24*b*(a + b*x)^(5//3)*(c + d*x)^(2//3))/(7*d^2) + (30*2^(2//3)*b^(1//3)*(b*c - a*d)^2*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2))/(7*d^(11//3)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))) - (15*2^(2//3)*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(8//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*d^(11//3)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)) + (20*2^(1//6)*3^(3//4)*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(8//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*d^(11//3)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 8),
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+(1/((a + b*x)^(4//3)*(c + d*x)^(4//3)), -(3/((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))) - (6*d*(a + b*x)^(2//3))/((b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(1//3)) + (3*2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2))/((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(2^(1//3)*(b*c - a*d)^(4//3)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)) + (2*2^(1//6)*3^(3//4)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/((b*c - a*d)^(4//3)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 7),
+(1/((a + b*x)^(7//3)*(c + d*x)^(4//3)), -(3/(4*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(4//3)*(c + d*x)^(1//3))) + (15*d)/(4*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)) + (15*d^2*(a + b*x)^(2//3))/(2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(1//3)) - (15*b^(1//3)*d^(4//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2))/(2*2^(1//3)*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))) + (15*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(1//3)*d^(4//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*2^(1//3)*(b*c - a*d)^(7//3)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)) - (5*3^(3//4)*b^(1//3)*d^(4//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*b^(2//3)*d^(2//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(2^(5//6)*(b*c - a*d)^(7//3)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2^(2//3)*b^(1//3)*d^(1//3)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 8),
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+((-1 + x)^(1//3)/(1 + x)^(1//3), (-1 + x)^(1//3)*(1 + x)^(2//3) + (2*atan(1/sqrt(3) + (2*(1 + x)^(1//3))/(sqrt(3)*(-1 + x)^(1//3))))/sqrt(3) + (1//3)*log(-1 + x) + log(-1 + (1 + x)^(1//3)/(-1 + x)^(1//3)), x, 2),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/4)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
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+((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//4), (-8*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//4))/(77*b*d^2) + (4*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//4))/(77*b*d) + (4*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(1//4))/(11*b) + (16*(b*c - a*d)^(13//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(77*b^(5//4)*d^3*sqrt(a + b*x)), x, 6),
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+((c + d*x)^(1//4)/(a + b*x)^(3//2), (-2*(c + d*x)^(1//4))/(b*sqrt(a + b*x)) + (2*(b*c - a*d)^(1//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(b^(5//4)*sqrt(a + b*x)), x, 4),
+((c + d*x)^(1//4)/(a + b*x)^(5//2), (-2*(c + d*x)^(1//4))/(3*b*(a + b*x)^(3//2)) - (d*(c + d*x)^(1//4))/(3*b*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)) - (d*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(3*b^(5//4)*(b*c - a*d)^(3//4)*sqrt(a + b*x)), x, 5),
+((c + d*x)^(1//4)/(a + b*x)^(7//2), (-2*(c + d*x)^(1//4))/(5*b*(a + b*x)^(5//2)) - (d*(c + d*x)^(1//4))/(15*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)) + (d^2*(c + d*x)^(1//4))/(6*b*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)) + (d^2*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(6*b^(5//4)*(b*c - a*d)^(7//4)*sqrt(a + b*x)), x, 6),
+
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+((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//4), (-8*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//4))/(65*b*d^2) + (4*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//4))/(39*b*d) + (4*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//4))/(13*b) + (16*(b*c - a*d)^(15//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(65*b^(7//4)*d^3*sqrt(a + b*x)) - (16*(b*c - a*d)^(15//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(65*b^(7//4)*d^3*sqrt(a + b*x)), x, 10),
+((a + b*x)^(1//2)*(c + d*x)^(3//4), (4*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//4))/(15*b*d) + (4*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//4))/(9*b) - (8*(b*c - a*d)^(11//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(15*b^(7//4)*d^2*sqrt(a + b*x)) + (8*(b*c - a*d)^(11//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(15*b^(7//4)*d^2*sqrt(a + b*x)), x, 9),
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+((c + d*x)^(3//4)/(a + b*x)^(3//2), (-2*(c + d*x)^(3//4))/(b*sqrt(a + b*x)) + (6*(b*c - a*d)^(3//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(b^(7//4)*sqrt(a + b*x)) - (6*(b*c - a*d)^(3//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(b^(7//4)*sqrt(a + b*x)), x, 8),
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+((c + d*x)^(3//4)/(a + b*x)^(7//2), (-2*(c + d*x)^(3//4))/(5*b*(a + b*x)^(5//2)) - (d*(c + d*x)^(3//4))/(5*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)) + (3*d^2*(c + d*x)^(3//4))/(10*b*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)) - (3*d^2*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(10*b^(7//4)*(b*c - a*d)^(5//4)*sqrt(a + b*x)) + (3*d^2*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(10*b^(7//4)*(b*c - a*d)^(5//4)*sqrt(a + b*x)), x, 10),
+
+
+((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//4), (-8*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//4))/(231*b^2*d^2) + (4*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//4))/(231*b^2*d) + (4*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(1//4))/(33*b^2) + (4*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//4))/(15*b) + (16*(b*c - a*d)^(17//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(231*b^(9//4)*d^3*sqrt(a + b*x)), x, 7),
+((a + b*x)^(1//2)*(c + d*x)^(5//4), (20*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//4))/(231*b^2*d) + (20*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//4))/(77*b^2) + (4*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//4))/(11*b) - (40*(b*c - a*d)^(13//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(231*b^(9//4)*d^2*sqrt(a + b*x)), x, 6),
+((c + d*x)^(5//4)/(a + b*x)^(1//2), (20*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//4))/(21*b^2) + (4*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//4))/(7*b) + (20*(b*c - a*d)^(9//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(21*b^(9//4)*d*sqrt(a + b*x)), x, 5),
+((c + d*x)^(5//4)/(a + b*x)^(3//2), (10*d*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//4))/(3*b^2) - (2*(c + d*x)^(5//4))/(b*sqrt(a + b*x)) + (10*(b*c - a*d)^(5//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(3*b^(9//4)*sqrt(a + b*x)), x, 5),
+((c + d*x)^(5//4)/(a + b*x)^(5//2), (-5*d*(c + d*x)^(1//4))/(3*b^2*sqrt(a + b*x)) - (2*(c + d*x)^(5//4))/(3*b*(a + b*x)^(3//2)) + (5*d*(b*c - a*d)^(1//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(3*b^(9//4)*sqrt(a + b*x)), x, 5),
+((c + d*x)^(5//4)/(a + b*x)^(7//2), -(d*(c + d*x)^(1//4))/(3*b^2*(a + b*x)^(3//2)) - (d^2*(c + d*x)^(1//4))/(6*b^2*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)) - (2*(c + d*x)^(5//4))/(5*b*(a + b*x)^(5//2)) - (d^2*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(6*b^(9//4)*(b*c - a*d)^(3//4)*sqrt(a + b*x)), x, 6),
+((c + d*x)^(5//4)/(a + b*x)^(9//2), -(d*(c + d*x)^(1//4))/(7*b^2*(a + b*x)^(5//2)) - (d^2*(c + d*x)^(1//4))/(42*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)) + (5*d^3*(c + d*x)^(1//4))/(84*b^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)) - (2*(c + d*x)^(5//4))/(7*b*(a + b*x)^(7//2)) + (5*d^3*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(84*b^(9//4)*(b*c - a*d)^(7//4)*sqrt(a + b*x)), x, 7),
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
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+((a + b*x)^(5//2)/(c + d*x)^(1//4), (16*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//4))/(39*d^3) - (40*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//4))/(117*d^2) + (4*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//4))/(13*d) - (32*(b*c - a*d)^(15//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(39*b^(3//4)*d^4*sqrt(a + b*x)) + (32*(b*c - a*d)^(15//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(39*b^(3//4)*d^4*sqrt(a + b*x)), x, 10),
+((a + b*x)^(3//2)/(c + d*x)^(1//4), (-8*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//4))/(15*d^2) + (4*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//4))/(9*d) + (16*(b*c - a*d)^(11//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(15*b^(3//4)*d^3*sqrt(a + b*x)) - (16*(b*c - a*d)^(11//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(15*b^(3//4)*d^3*sqrt(a + b*x)), x, 9),
+((a + b*x)^(1//2)/(c + d*x)^(1//4), (4*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//4))/(5*d) - (8*(b*c - a*d)^(7//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(5*b^(3//4)*d^2*sqrt(a + b*x)) + (8*(b*c - a*d)^(7//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(5*b^(3//4)*d^2*sqrt(a + b*x)), x, 8),
+(1/((a + b*x)^(1//2)*(c + d*x)^(1//4)), (4*(b*c - a*d)^(3//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(b^(3//4)*d*sqrt(a + b*x)) - (4*(b*c - a*d)^(3//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(b^(3//4)*d*sqrt(a + b*x)), x, 7),
+(1/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//4)), (-2*(c + d*x)^(3//4))/((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)) + (2*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(b^(3//4)*(b*c - a*d)^(1//4)*sqrt(a + b*x)) - (2*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(b^(3//4)*(b*c - a*d)^(1//4)*sqrt(a + b*x)), x, 8),
+(1/((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(1//4)), (-2*(c + d*x)^(3//4))/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)) + (d*(c + d*x)^(3//4))/((b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)) - (d*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(b^(3//4)*(b*c - a*d)^(5//4)*sqrt(a + b*x)) + (d*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(b^(3//4)*(b*c - a*d)^(5//4)*sqrt(a + b*x)), x, 9),
+
+
+((a + b*x)^(3//2)/(c + d*x)^(3//4), (-8*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//4))/(7*d^2) + (4*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//4))/(7*d) + (16*(b*c - a*d)^(9//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(7*b^(1//4)*d^3*sqrt(a + b*x)), x, 5),
+((a + b*x)^(1//2)/(c + d*x)^(3//4), (4*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//4))/(3*d) - (8*(b*c - a*d)^(5//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(3*b^(1//4)*d^2*sqrt(a + b*x)), x, 4),
+(1/((a + b*x)^(1//2)*(c + d*x)^(3//4)), (4*(b*c - a*d)^(1//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(b^(1//4)*d*sqrt(a + b*x)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//4)), (-2*(c + d*x)^(1//4))/((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)) - (2*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(b^(1//4)*(b*c - a*d)^(3//4)*sqrt(a + b*x)), x, 4),
+(1/((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//4)), (-2*(c + d*x)^(1//4))/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)) + (5*d*(c + d*x)^(1//4))/(3*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)) + (5*d*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(3*b^(1//4)*(b*c - a*d)^(7//4)*sqrt(a + b*x)), x, 5),
+
+
+((a + b*x)^(5//2)/(c + d*x)^(5//4), (-4*(a + b*x)^(5//2))/(d*(c + d*x)^(1//4)) - (16*b*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//4))/(3*d^3) + (40*b*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//4))/(9*d^2) + (32*b^(1//4)*(b*c - a*d)^(11//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(3*d^4*sqrt(a + b*x)) - (32*b^(1//4)*(b*c - a*d)^(11//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(3*d^4*sqrt(a + b*x)), x, 10),
+((a + b*x)^(3//2)/(c + d*x)^(5//4), (-4*(a + b*x)^(3//2))/(d*(c + d*x)^(1//4)) + (24*b*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//4))/(5*d^2) - (48*b^(1//4)*(b*c - a*d)^(7//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(5*d^3*sqrt(a + b*x)) + (48*b^(1//4)*(b*c - a*d)^(7//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(5*d^3*sqrt(a + b*x)), x, 9),
+((a + b*x)^(1//2)/(c + d*x)^(5//4), (-4*sqrt(a + b*x))/(d*(c + d*x)^(1//4)) + (8*b^(1//4)*(b*c - a*d)^(3//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(d^2*sqrt(a + b*x)) - (8*b^(1//4)*(b*c - a*d)^(3//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(d^2*sqrt(a + b*x)), x, 8),
+(1/((a + b*x)^(1//2)*(c + d*x)^(5//4)), (4*sqrt(a + b*x))/((b*c - a*d)*(c + d*x)^(1//4)) - (4*b^(1//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(d*(b*c - a*d)^(1//4)*sqrt(a + b*x)) + (4*b^(1//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(d*(b*c - a*d)^(1//4)*sqrt(a + b*x)), x, 8),
+(1/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//4)), -2/((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//4)) - (6*d*sqrt(a + b*x))/((b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(1//4)) + (6*b^(1//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/((b*c - a*d)^(5//4)*sqrt(a + b*x)) - (6*b^(1//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/((b*c - a*d)^(5//4)*sqrt(a + b*x)), x, 9),
+(1/((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//4)), -2/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//4)) + (7*d)/(3*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//4)) + (7*d^2*sqrt(a + b*x))/((b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(1//4)) - (7*b^(1//4)*d*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/((b*c - a*d)^(9//4)*sqrt(a + b*x)) + (7*b^(1//4)*d*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/((b*c - a*d)^(9//4)*sqrt(a + b*x)), x, 10),
+
+
+((a + b*x)^(7//2)/(c + d*x)^(7//4), (-4*(a + b*x)^(7//2))/(3*d*(c + d*x)^(3//4)) + (160*b*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//4))/(33*d^4) - (80*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//4))/(33*d^3) + (56*b*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(1//4))/(33*d^2) - (320*b^(3//4)*(b*c - a*d)^(13//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(33*d^5*sqrt(a + b*x)), x, 7),
+((a + b*x)^(3//2)/(c + d*x)^(7//4), (-4*(a + b*x)^(3//2))/(3*d*(c + d*x)^(3//4)) + (8*b*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//4))/(3*d^2) - (16*b^(3//4)*(b*c - a*d)^(5//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(3*d^3*sqrt(a + b*x)), x, 5),
+((a + b*x)^(1//2)/(c + d*x)^(7//4), (-4*sqrt(a + b*x))/(3*d*(c + d*x)^(3//4)) + (8*b^(3//4)*(b*c - a*d)^(1//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(3*d^2*sqrt(a + b*x)), x, 4),
+(1/((a + b*x)^(1//2)*(c + d*x)^(7//4)), (4*sqrt(a + b*x))/(3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//4)) + (4*b^(3//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(3*d*(b*c - a*d)^(3//4)*sqrt(a + b*x)), x, 4),
+(1/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(7//4)), -2/((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//4)) - (10*d*sqrt(a + b*x))/(3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(3//4)) - (10*b^(3//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(3*(b*c - a*d)^(7//4)*sqrt(a + b*x)), x, 5),
+(1/((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(7//4)), -2/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//4)) + (3*d)/((b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//4)) + (5*d^2*sqrt(a + b*x))/((b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(3//4)) + (5*b^(3//4)*d*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/((b*c - a*d)^(11//4)*sqrt(a + b*x)), x, 6),
+
+
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+((a + b*x)^(5//2)/(c + d*x)^(9//4), (-4*(a + b*x)^(5//2))/(5*d*(c + d*x)^(5//4)) - (8*b*(a + b*x)^(3//2))/(d^2*(c + d*x)^(1//4)) + (48*b^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//4))/(5*d^3) - (96*b^(5//4)*(b*c - a*d)^(7//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(5*d^4*sqrt(a + b*x)) + (96*b^(5//4)*(b*c - a*d)^(7//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(5*d^4*sqrt(a + b*x)), x, 10),
+((a + b*x)^(3//2)/(c + d*x)^(9//4), (-4*(a + b*x)^(3//2))/(5*d*(c + d*x)^(5//4)) - (24*b*sqrt(a + b*x))/(5*d^2*(c + d*x)^(1//4)) + (48*b^(5//4)*(b*c - a*d)^(3//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(5*d^3*sqrt(a + b*x)) - (48*b^(5//4)*(b*c - a*d)^(3//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(5*d^3*sqrt(a + b*x)), x, 9),
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+(1/((a + b*x)^(1//2)*(c + d*x)^(9//4)), (4*sqrt(a + b*x))/(5*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(5//4)) + (12*b*sqrt(a + b*x))/(5*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(1//4)) - (12*b^(5//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(5*d*(b*c - a*d)^(5//4)*sqrt(a + b*x)) + (12*b^(5//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(5*d*(b*c - a*d)^(5//4)*sqrt(a + b*x)), x, 9),
+(1/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(9//4)), -2/((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//4)) - (14*d*sqrt(a + b*x))/(5*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(5//4)) - (42*b*d*sqrt(a + b*x))/(5*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(1//4)) + (42*b^(5//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(5*(b*c - a*d)^(9//4)*sqrt(a + b*x)) - (42*b^(5//4)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(5*(b*c - a*d)^(9//4)*sqrt(a + b*x)), x, 10),
+(1/((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(9//4)), -2/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//4)) + (11*d)/(3*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//4)) + (77*d^2*sqrt(a + b*x))/(15*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(5//4)) + (77*b*d^2*sqrt(a + b*x))/(5*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^(1//4)) - (77*b^(5//4)*d*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(5*(b*c - a*d)^(13//4)*sqrt(a + b*x)) + (77*b^(5//4)*d*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(b*c - a*d)^(1//4)), -1))/(5*(b*c - a*d)^(13//4)*sqrt(a + b*x)), x, 11),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/4) (c+d x)^(n/4)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
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+((a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(5//4), (5*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(1//4))/(96*b^2*d) + (5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(7//4)*(c + d*x)^(1//4))/(24*b^2) + ((a + b*x)^(7//4)*(c + d*x)^(5//4))/(3*b) + (5*(b*c - a*d)^3*atan((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(64*b^(9//4)*d^(7//4)) - (5*(b*c - a*d)^3*atanh((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(64*b^(9//4)*d^(7//4)), x, 8),
+((c + d*x)^(5//4)/(a + b*x)^(1//4), (5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(1//4))/(8*b^2) + ((a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(5//4))/(2*b) - (5*(b*c - a*d)^2*atan((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(16*b^(9//4)*d^(3//4)) + (5*(b*c - a*d)^2*atanh((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(16*b^(9//4)*d^(3//4)), x, 7),
+((c + d*x)^(5//4)/(a + b*x)^(5//4), (5*d*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(1//4))/b^2 - (4*(c + d*x)^(5//4))/(b*(a + b*x)^(1//4)) - (5*d^(1//4)*(b*c - a*d)*atan((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(2*b^(9//4)) + (5*d^(1//4)*(b*c - a*d)*atanh((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(2*b^(9//4)), x, 7),
+((c + d*x)^(5//4)/(a + b*x)^(9//4), (-4*d*(c + d*x)^(1//4))/(b^2*(a + b*x)^(1//4)) - (4*(c + d*x)^(5//4))/(5*b*(a + b*x)^(5//4)) - (2*d^(5//4)*atan((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/b^(9//4) + (2*d^(5//4)*atanh((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/b^(9//4), x, 7),
+((c + d*x)^(5//4)/(a + b*x)^(13//4), (-4*(c + d*x)^(9//4))/(9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(9//4)), x, 1),
+((c + d*x)^(5//4)/(a + b*x)^(17//4), (-4*(c + d*x)^(9//4))/(13*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(13//4)) + (16*d*(c + d*x)^(9//4))/(117*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(9//4)), x, 2),
+((c + d*x)^(5//4)/(a + b*x)^(21//4), (-4*(c + d*x)^(9//4))/(17*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(17//4)) + (32*d*(c + d*x)^(9//4))/(221*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(13//4)) - (128*d^2*(c + d*x)^(9//4))/(1989*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(9//4)), x, 3),
+((c + d*x)^(5//4)/(a + b*x)^(25//4), (-4*(c + d*x)^(9//4))/(21*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(21//4)) + (16*d*(c + d*x)^(9//4))/(119*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(17//4)) - (128*d^2*(c + d*x)^(9//4))/(1547*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(13//4)) + (512*d^3*(c + d*x)^(9//4))/(13923*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^(9//4)), x, 4),
+
+((a + b*x)^(5//4)*(c + d*x)^(5//4), -((5*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(84*b^2*d^2)) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(5//4)*(c + d*x)^(1//4))/(42*b^2*d) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(9//4)*(c + d*x)^(1//4))/(7*b^2) + (2*(a + b*x)^(9//4)*(c + d*x)^(5//4))/(7*b) + (5*(b*c - a*d)^(9//2)*((a + b*x)*(c + d*x))^(3//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(168*sqrt(2)*b^(9//4)*d^(9//4)*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(3//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 7),
+((a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(5//4), ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(6*b^2*d) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//4)*(c + d*x)^(1//4))/(3*b^2) + (2*(a + b*x)^(5//4)*(c + d*x)^(5//4))/(5*b) - ((b*c - a*d)^(7//2)*((a + b*x)*(c + d*x))^(3//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(12*sqrt(2)*b^(9//4)*d^(5//4)*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(3//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 6),
+((c + d*x)^(5//4)/(a + b*x)^(3//4), (5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(3*b^2) + (2*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(5//4))/(3*b) + (5*(b*c - a*d)^(5//2)*((a + b*x)*(c + d*x))^(3//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(6*sqrt(2)*b^(9//4)*d^(1//4)*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(3//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 5),
+((c + d*x)^(5//4)/(a + b*x)^(7//4), (10*d*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(3*b^2) - (4*(c + d*x)^(5//4))/(3*b*(a + b*x)^(3//4)) + (5*d^(3//4)*(b*c - a*d)^(3//2)*((a + b*x)*(c + d*x))^(3//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(3*sqrt(2)*b^(9//4)*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(3//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 5),
+((c + d*x)^(5//4)/(a + b*x)^(11//4), -((20*d*(c + d*x)^(1//4))/(21*b^2*(a + b*x)^(3//4))) - (4*(c + d*x)^(5//4))/(7*b*(a + b*x)^(7//4)) + (5*sqrt(2)*d^(7//4)*sqrt(b*c - a*d)*((a + b*x)*(c + d*x))^(3//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(21*b^(9//4)*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(3//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 5),
+((c + d*x)^(5//4)/(a + b*x)^(15//4), -((20*d*(c + d*x)^(1//4))/(77*b^2*(a + b*x)^(7//4))) - (20*d^2*(c + d*x)^(1//4))/(231*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//4)) - (4*(c + d*x)^(5//4))/(11*b*(a + b*x)^(11//4)) - (10*sqrt(2)*d^(11//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(3//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(231*b^(9//4)*sqrt(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(3//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 6),
+((c + d*x)^(5//4)/(a + b*x)^(19//4), -((4*d*(c + d*x)^(1//4))/(33*b^2*(a + b*x)^(11//4))) - (4*d^2*(c + d*x)^(1//4))/(231*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(7//4)) + (8*d^3*(c + d*x)^(1//4))/(231*b^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//4)) - (4*(c + d*x)^(5//4))/(15*b*(a + b*x)^(15//4)) + (4*sqrt(2)*d^(15//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(3//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(231*b^(9//4)*(b*c - a*d)^(3//2)*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(3//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((a + b*x)^(5//4)/(c + d*x)^(1//4), (-5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(8*d^2) + ((a + b*x)^(5//4)*(c + d*x)^(3//4))/(2*d) + (5*(b*c - a*d)^2*atan((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(16*b^(3//4)*d^(9//4)) + (5*(b*c - a*d)^2*atanh((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(16*b^(3//4)*d^(9//4)), x, 7),
+((a + b*x)^(1//4)/(c + d*x)^(1//4), ((a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/d - ((b*c - a*d)*atan((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(2*b^(3//4)*d^(5//4)) - ((b*c - a*d)*atanh((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(2*b^(3//4)*d^(5//4)), x, 6),
+(1/((a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(1//4)), (2*atan((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(b^(3//4)*d^(1//4)) + (2*atanh((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(b^(3//4)*d^(1//4)), x, 5),
+(1/((a + b*x)^(7//4)*(c + d*x)^(1//4)), (-4*(c + d*x)^(3//4))/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//4)), x, 1),
+(1/((a + b*x)^(11//4)*(c + d*x)^(1//4)), (-4*(c + d*x)^(3//4))/(7*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(7//4)) + (16*d*(c + d*x)^(3//4))/(21*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//4)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(15//4)*(c + d*x)^(1//4)), (-4*(c + d*x)^(3//4))/(11*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(11//4)) + (32*d*(c + d*x)^(3//4))/(77*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(7//4)) - (128*d^2*(c + d*x)^(3//4))/(231*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(3//4)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(19//4)*(c + d*x)^(1//4)), (-4*(c + d*x)^(3//4))/(15*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(15//4)) + (16*d*(c + d*x)^(3//4))/(55*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(11//4)) - (128*d^2*(c + d*x)^(3//4))/(385*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(7//4)) + (512*d^3*(c + d*x)^(3//4))/(1155*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^(3//4)), x, 4),
+
+((a + b*x)^(7//4)/(c + d*x)^(1//4), -((7*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(3//4))/(15*d^2)) + (2*(a + b*x)^(7//4)*(c + d*x)^(3//4))/(5*d) + (7*(b*c - a*d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x))*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2))/(10*sqrt(b)*d^(5//2)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))) - (7*(b*c - a*d)^(7//2)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(10*sqrt(2)*b^(3//4)*d^(11//4)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)) + (7*(b*c - a*d)^(7//2)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(20*sqrt(2)*b^(3//4)*d^(11//4)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 7),
+((a + b*x)^(3//4)/(c + d*x)^(1//4), (2*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(3//4))/(3*d) - (sqrt((a + b*x)*(c + d*x))*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2))/(sqrt(b)*d^(3//2)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))) + ((b*c - a*d)^(5//2)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(sqrt(2)*b^(3//4)*d^(7//4)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)) - ((b*c - a*d)^(5//2)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(2*sqrt(2)*b^(3//4)*d^(7//4)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 6),
+(1/((a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)), (2*sqrt((a + b*x)*(c + d*x))*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2))/(sqrt(b)*sqrt(d)*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))) - (sqrt(2)*(b*c - a*d)^(3//2)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(b^(3//4)*d^(3//4)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)) + ((b*c - a*d)^(3//2)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(sqrt(2)*b^(3//4)*d^(3//4)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 5),
+(1/((a + b*x)^(5//4)*(c + d*x)^(1//4)), -((4*(c + d*x)^(3//4))/((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//4))) + (4*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x))*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2))/(sqrt(b)*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))) - (2*sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(b*c - a*d)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(b^(3//4)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)) + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(b*c - a*d)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(b^(3//4)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 6),
+(1/((a + b*x)^(9//4)*(c + d*x)^(1//4)), -((4*(c + d*x)^(3//4))/(5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//4))) + (8*d*(c + d*x)^(3//4))/(5*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1//4)) - (8*d^(3//2)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x))*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2))/(5*sqrt(b)*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))) + (4*sqrt(2)*d^(5//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)) - (2*sqrt(2)*d^(5//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 7),
+
+
+((a + b*x)^(7//4)/(c + d*x)^(3//4), (-7*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(1//4))/(8*d^2) + ((a + b*x)^(7//4)*(c + d*x)^(1//4))/(2*d) - (21*(b*c - a*d)^2*atan((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(16*b^(1//4)*d^(11//4)) + (21*(b*c - a*d)^2*atanh((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(16*b^(1//4)*d^(11//4)), x, 7),
+((a + b*x)^(3//4)/(c + d*x)^(3//4), ((a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(1//4))/d + (3*(b*c - a*d)*atan((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(2*b^(1//4)*d^(7//4)) - (3*(b*c - a*d)*atanh((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(2*b^(1//4)*d^(7//4)), x, 6),
+(1/((a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4)), (-2*atan((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(b^(1//4)*d^(3//4)) + (2*atanh((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(b^(1//4)*d^(3//4)), x, 5),
+(1/((a + b*x)^(5//4)*(c + d*x)^(3//4)), (-4*(c + d*x)^(1//4))/((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//4)), x, 1),
+(1/((a + b*x)^(9//4)*(c + d*x)^(3//4)), (-4*(c + d*x)^(1//4))/(5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//4)) + (16*d*(c + d*x)^(1//4))/(5*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1//4)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(13//4)*(c + d*x)^(3//4)), (-4*(c + d*x)^(1//4))/(9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(9//4)) + (32*d*(c + d*x)^(1//4))/(45*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(5//4)) - (128*d^2*(c + d*x)^(1//4))/(45*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(1//4)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(17//4)*(c + d*x)^(3//4)), (-4*(c + d*x)^(1//4))/(13*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(13//4)) + (16*d*(c + d*x)^(1//4))/(39*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(9//4)) - (128*d^2*(c + d*x)^(1//4))/(195*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(5//4)) + (512*d^3*(c + d*x)^(1//4))/(195*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^(1//4)), x, 4),
+
+((a + b*x)^(5//4)/(c + d*x)^(3//4), -((5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/(3*d^2)) + (2*(a + b*x)^(5//4)*(c + d*x)^(1//4))/(3*d) + (5*(b*c - a*d)^(5//2)*((a + b*x)*(c + d*x))^(3//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(6*sqrt(2)*b^(1//4)*d^(9//4)*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(3//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 5),
+((a + b*x)^(1//4)/(c + d*x)^(3//4), (2*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))/d - ((b*c - a*d)^(3//2)*((a + b*x)*(c + d*x))^(3//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(sqrt(2)*b^(1//4)*d^(5//4)*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(3//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 4),
+(1/((a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(3//4)), (sqrt(2)*sqrt(b*c - a*d)*((a + b*x)*(c + d*x))^(3//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(b^(1//4)*d^(1//4)*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(3//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(7//4)*(c + d*x)^(3//4)), -((4*(c + d*x)^(1//4))/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//4))) - (2*sqrt(2)*d^(3//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(3//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(3*b^(1//4)*sqrt(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(3//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 4),
+(1/((a + b*x)^(11//4)*(c + d*x)^(3//4)), -((4*(c + d*x)^(1//4))/(7*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(7//4))) + (8*d*(c + d*x)^(1//4))/(7*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//4)) + (4*sqrt(2)*d^(7//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(3//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(7*b^(1//4)*(b*c - a*d)^(3//2)*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(3//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 5),
+
+
+((a + b*x)^(5//4)/(c + d*x)^(5//4), (-4*(a + b*x)^(5//4))/(d*(c + d*x)^(1//4)) + (5*b*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/d^2 - (5*b^(1//4)*(b*c - a*d)*atan((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(2*d^(9//4)) - (5*b^(1//4)*(b*c - a*d)*atanh((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(2*d^(9//4)), x, 7),
+((a + b*x)^(1//4)/(c + d*x)^(5//4), (-4*(a + b*x)^(1//4))/(d*(c + d*x)^(1//4)) + (2*b^(1//4)*atan((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/d^(5//4) + (2*b^(1//4)*atanh((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/d^(5//4), x, 6),
+(1/((a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(5//4)), (4*(a + b*x)^(1//4))/((b*c - a*d)*(c + d*x)^(1//4)), x, 1),
+(1/((a + b*x)^(7//4)*(c + d*x)^(5//4)), -4/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(1//4)) - (16*d*(a + b*x)^(1//4))/(3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(1//4)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(11//4)*(c + d*x)^(5//4)), -4/(7*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(7//4)*(c + d*x)^(1//4)) + (32*d)/(21*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(1//4)) + (128*d^2*(a + b*x)^(1//4))/(21*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(1//4)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(15//4)*(c + d*x)^(5//4)), -4/(11*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(11//4)*(c + d*x)^(1//4)) + (48*d)/(77*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(7//4)*(c + d*x)^(1//4)) - (128*d^2)/(77*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(1//4)) - (512*d^3*(a + b*x)^(1//4))/(77*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^(1//4)), x, 4),
+
+((a + b*x)^(11//4)/(c + d*x)^(5//4), -((4*(a + b*x)^(11//4))/(d*(c + d*x)^(1//4))) - (77*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(3//4))/(15*d^3) + (22*b*(a + b*x)^(7//4)*(c + d*x)^(3//4))/(5*d^2) + (77*sqrt(b)*(b*c - a*d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x))*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2))/(10*d^(7//2)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))) - (77*b^(1//4)*(b*c - a*d)^(7//2)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(10*sqrt(2)*d^(15//4)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)) + (77*b^(1//4)*(b*c - a*d)^(7//2)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(20*sqrt(2)*d^(15//4)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 8),
+((a + b*x)^(7//4)/(c + d*x)^(5//4), -((4*(a + b*x)^(7//4))/(d*(c + d*x)^(1//4))) + (14*b*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(3//4))/(3*d^2) - (7*sqrt(b)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x))*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2))/(d^(5//2)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))) + (7*b^(1//4)*(b*c - a*d)^(5//2)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(sqrt(2)*d^(11//4)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)) - (7*b^(1//4)*(b*c - a*d)^(5//2)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(2*sqrt(2)*d^(11//4)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 7),
+((a + b*x)^(3//4)/(c + d*x)^(5//4), -((4*(a + b*x)^(3//4))/(d*(c + d*x)^(1//4))) + (6*sqrt(b)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x))*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2))/(d^(3//2)*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))) - (3*sqrt(2)*b^(1//4)*(b*c - a*d)^(3//2)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(d^(7//4)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)) + (3*b^(1//4)*(b*c - a*d)^(3//2)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(sqrt(2)*d^(7//4)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 6),
+(1/((a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(5//4)), (4*(a + b*x)^(3//4))/((b*c - a*d)*(c + d*x)^(1//4)) - (4*sqrt(b)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x))*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2))/(sqrt(d)*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))) + (2*sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(b*c - a*d)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(d^(3//4)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)) - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(b*c - a*d)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(d^(3//4)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 6),
+(1/((a + b*x)^(5//4)*(c + d*x)^(5//4)), -(4/((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))) - (8*d*(a + b*x)^(3//4))/((b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(1//4)) + (8*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x))*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2))/((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))) - (4*sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(sqrt(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)) + (2*sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(sqrt(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 7),
+(1/((a + b*x)^(9//4)*(c + d*x)^(5//4)), -(4/(5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//4)*(c + d*x)^(1//4))) + (24*d)/(5*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)) + (48*d^2*(a + b*x)^(3//4))/(5*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(1//4)) - (48*sqrt(b)*d^(3//2)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x))*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2))/(5*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))) + (24*sqrt(2)*b^(1//4)*d^(5//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(5*(b*c - a*d)^(3//2)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)) - (12*sqrt(2)*b^(1//4)*d^(5//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4)*sqrt((b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2/((b*c - a*d)^2*(1 + (2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt((a + b*x)*(c + d*x)))/(b*c - a*d))^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*b^(1//4)*d^(1//4)*((a + b*x)*(c + d*x))^(1//4))/sqrt(b*c - a*d)), 1//2))/(5*(b*c - a*d)^(3//2)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(1//4)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)*sqrt((a*d + b*(c + 2*d*x))^2)), x, 8),
+
+
+(1/((1 - a*x)^(1//4)*(1 + b*x)^(3//4)), (sqrt(2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*(1 - a*x)^(1//4))/(a^(1//4)*(1 + b*x)^(1//4))))/(a^(1//4)*b^(3//4)) - (sqrt(2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*(1 - a*x)^(1//4))/(a^(1//4)*(1 + b*x)^(1//4))))/(a^(1//4)*b^(3//4)) - log(sqrt(a) + (sqrt(b)*sqrt(1 - a*x))/sqrt(1 + b*x) - (sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*(1 - a*x)^(1//4))/(1 + b*x)^(1//4))/(sqrt(2)*a^(1//4)*b^(3//4)) + log(sqrt(a) + (sqrt(b)*sqrt(1 - a*x))/sqrt(1 + b*x) + (sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*(1 - a*x)^(1//4))/(1 + b*x)^(1//4))/(sqrt(2)*a^(1//4)*b^(3//4)), x, 11),
+(1/((1 - a*x)^(1//4)*(1 + a*x)^(3//4)), (sqrt(2)*atan(1 - (sqrt(2)*(1 - a*x)^(1//4))/(1 + a*x)^(1//4)))/a - (sqrt(2)*atan(1 + (sqrt(2)*(1 - a*x)^(1//4))/(1 + a*x)^(1//4)))/a - log(1 + sqrt(1 - a*x)/sqrt(1 + a*x) - (sqrt(2)*(1 - a*x)^(1//4))/(1 + a*x)^(1//4))/(sqrt(2)*a) + log(1 + sqrt(1 - a*x)/sqrt(1 + a*x) + (sqrt(2)*(1 - a*x)^(1//4))/(1 + a*x)^(1//4))/(sqrt(2)*a), x, 11),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/5)
+
+
+((a + b*x)^(3//2)/(c + d*x)^(1//5), (2*(a + b*x)^(5//2)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//5)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//5, 5//2, 7//2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(5*b*(c + d*x)^(1//5)), x, 2),
+((a + b*x)^(1//2)/(c + d*x)^(1//5), (2*(a + b*x)^(3//2)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//5)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//5, 3//2, 5//2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(3*b*(c + d*x)^(1//5)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(1//2)*(c + d*x)^(1//5)), (2*sqrt(a + b*x)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//5)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//5, 1//2, 3//2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(b*(c + d*x)^(1//5)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//5)), -((2*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//5)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), 1//5, 1//2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(b*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//5))), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(1//5)), -((2*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//5)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), 1//5, -(1//2), -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(3*b*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//5))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/6)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(1//6), (81*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//6))/(1408*b*d^3) - (9*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//6))/(352*b*d^2) + (3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(1//6))/(176*b*d) + (3*(a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(1//6))/(11*b) - (81*3^(3//4)*(b*c - a*d)^(11//3)*(c + d*x)^(1//6)*((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3) + b^(1//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3) + b^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/((b*c - a*d)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos(((b*c - a*d)^(1//3) - (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/((b*c - a*d)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(2816*b*d^4*sqrt(a + b*x)*sqrt(-((b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)))/((b*c - a*d)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))^2))), x, 6),
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+((a + b*x)^(1//2)*(c + d*x)^(1//6), (3*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//6))/(20*b*d) + (3*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//6))/(5*b) - (3*3^(3//4)*(b*c - a*d)^(5//3)*(c + d*x)^(1//6)*((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3) + b^(1//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3) + b^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/((b*c - a*d)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos(((b*c - a*d)^(1//3) - (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/((b*c - a*d)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(40*b*d^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(-((b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)))/((b*c - a*d)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))^2))), x, 4),
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+
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+((a + b*x)^(5//2)/(c + d*x)^(1//6), (81*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//6))/(224*d^3) - (9*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//6))/(28*d^2) + (3*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//6))/(10*d) + (243*(1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//6))/(448*b^(2//3)*d^3*((b*c - a*d)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))) + (243*3^(1//4)*(b*c - a*d)^(10//3)*(c + d*x)^(1//6)*((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3) + b^(1//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3) + b^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/((b*c - a*d)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos(((b*c - a*d)^(1//3) - (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/((b*c - a*d)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(448*b^(2//3)*d^4*sqrt(a + b*x)*sqrt(-((b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)))/((b*c - a*d)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))^2))) + (81*3^(3//4)*(1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(10//3)*(c + d*x)^(1//6)*((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3) + b^(1//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3) + b^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/((b*c - a*d)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos(((b*c - a*d)^(1//3) - (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/((b*c - a*d)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(896*b^(2//3)*d^4*sqrt(a + b*x)*sqrt(-((b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)))/((b*c - a*d)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))^2))), x, 7),
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+
+
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+((a + b*x)^(1//2)/(c + d*x)^(5//6), (3*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(1//6))/(2*d) - (3*3^(3//4)*(b*c - a*d)^(2//3)*(c + d*x)^(1//6)*((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3) + b^(1//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3) + b^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/((b*c - a*d)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos(((b*c - a*d)^(1//3) - (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/((b*c - a*d)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(4*d^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(-((b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)*((b*c - a*d)^(1//3) - b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3)))/((b*c - a*d)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))^2))), x, 3),
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+
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/6) (c+d x)^(n/6)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# m>0
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+((a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(1//6), (6*(a + b*x)^(7//6)*(c + d*x)^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1//6, 7//6, 13//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(7*b*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)), x, 2),
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+((a + b*x)^(1//6)/(c + d*x)^(17//6), (6*b*(a + b*x)^(7//6)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(5//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(7//6, 17//6, 13//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(7*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(5//6)), x, 2),
+
+((a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(5//6), (5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(5//6))/(12*b*d) + ((a + b*x)^(7//6)*(c + d*x)^(5//6))/(2*b) + (5*(b*c - a*d)^2*atan(1/sqrt(3) - (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(24*sqrt(3)*b^(11//6)*d^(7//6)) - (5*(b*c - a*d)^2*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(24*sqrt(3)*b^(11//6)*d^(7//6)) - (5*(b*c - a*d)^2*atanh((d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(36*b^(11//6)*d^(7//6)) + (5*(b*c - a*d)^2*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) - (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(144*b^(11//6)*d^(7//6)) - (5*(b*c - a*d)^2*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) + (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(144*b^(11//6)*d^(7//6)), x, 14),
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+((a + b*x)^(1//6)/(c + d*x)^(25//6), (6*(a + b*x)^(7//6))/(19*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(19//6)) + (72*b*(a + b*x)^(7//6))/(247*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(13//6)) + (432*b^2*(a + b*x)^(7//6))/(1729*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(7//6)), x, 3),
+((a + b*x)^(1//6)/(c + d*x)^(31//6), (6*(a + b*x)^(7//6))/(25*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(25//6)) + (108*b*(a + b*x)^(7//6))/(475*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(19//6)) + (1296*b^2*(a + b*x)^(7//6))/(6175*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(13//6)) + (7776*b^3*(a + b*x)^(7//6))/(43225*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^(7//6)), x, 4),
+
+
+((a + b*x)^(5//6)*(c + d*x)^(1//6), ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//6)*(c + d*x)^(1//6))/(12*b*d) + ((a + b*x)^(11//6)*(c + d*x)^(1//6))/(2*b) - (5*(b*c - a*d)^2*atan(1/sqrt(3) - (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(24*sqrt(3)*b^(7//6)*d^(11//6)) + (5*(b*c - a*d)^2*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(24*sqrt(3)*b^(7//6)*d^(11//6)) - (5*(b*c - a*d)^2*atanh((d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(36*b^(7//6)*d^(11//6)) + (5*(b*c - a*d)^2*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) - (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(144*b^(7//6)*d^(11//6)) - (5*(b*c - a*d)^2*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) + (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(144*b^(7//6)*d^(11//6)), x, 14),
+((a + b*x)^(5//6)/(c + d*x)^(5//6), ((a + b*x)^(5//6)*(c + d*x)^(1//6))/d - (5*(b*c - a*d)*atan(1/sqrt(3) - (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(2*sqrt(3)*b^(1//6)*d^(11//6)) + (5*(b*c - a*d)*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(2*sqrt(3)*b^(1//6)*d^(11//6)) - (5*(b*c - a*d)*atanh((d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(3*b^(1//6)*d^(11//6)) + (5*(b*c - a*d)*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) - (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(12*b^(1//6)*d^(11//6)) - (5*(b*c - a*d)*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) + (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(12*b^(1//6)*d^(11//6)), x, 13),
+((a + b*x)^(5//6)/(c + d*x)^(11//6), -((6*(a + b*x)^(5//6))/(5*d*(c + d*x)^(5//6))) + (sqrt(3)*b^(5//6)*atan(1/sqrt(3) - (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/d^(11//6) - (sqrt(3)*b^(5//6)*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/d^(11//6) + (2*b^(5//6)*atanh((d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/d^(11//6) - (b^(5//6)*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) - (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(2*d^(11//6)) + (b^(5//6)*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) + (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(2*d^(11//6)), x, 13),
+((a + b*x)^(5//6)/(c + d*x)^(17//6), (6*(a + b*x)^(11//6))/(11*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(11//6)), x, 1),
+((a + b*x)^(5//6)/(c + d*x)^(23//6), (6*(a + b*x)^(11//6))/(17*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(17//6)) + (36*b*(a + b*x)^(11//6))/(187*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(11//6)), x, 2),
+((a + b*x)^(5//6)/(c + d*x)^(29//6), (6*(a + b*x)^(11//6))/(23*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(23//6)) + (72*b*(a + b*x)^(11//6))/(391*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(17//6)) + (432*b^2*(a + b*x)^(11//6))/(4301*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(11//6)), x, 3),
+((a + b*x)^(5//6)/(c + d*x)^(35//6), (6*(a + b*x)^(11//6))/(29*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(29//6)) + (108*b*(a + b*x)^(11//6))/(667*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(23//6)) + (1296*b^2*(a + b*x)^(11//6))/(11339*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(17//6)) + (7776*b^3*(a + b*x)^(11//6))/(124729*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^(11//6)), x, 4),
+
+((a + b*x)^(5//6)*(c + d*x)^(11//6), (6*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(11//6)*(c + d*x)^(5//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-11//6, 11//6, 17//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(11*b^2*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(5//6)), x, 2),
+((a + b*x)^(5//6)*(c + d*x)^(5//6), (6*(a + b*x)^(11//6)*(c + d*x)^(5//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-5//6, 11//6, 17//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(11*b*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(5//6)), x, 2),
+((a + b*x)^(5//6)/(c + d*x)^(1//6), (6*(a + b*x)^(11//6)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//6, 11//6, 17//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(11*b*(c + d*x)^(1//6)), x, 2),
+((a + b*x)^(5//6)/(c + d*x)^(7//6), (6*(a + b*x)^(11//6)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(7//6, 11//6, 17//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(11*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(1//6)), x, 2),
+((a + b*x)^(5//6)/(c + d*x)^(13//6), (6*b*(a + b*x)^(11//6)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(11//6, 13//6, 17//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(11*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(1//6)), x, 2),
+((a + b*x)^(5//6)/(c + d*x)^(19//6), (6*b^2*(a + b*x)^(11//6)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(11//6, 19//6, 17//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(11*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(1//6)), x, 2),
+
+
+((a + b*x)^(7//6)*(c + d*x)^(13//6), (6*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(13//6)*(c + d*x)^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-13//6, 13//6, 19//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(13*b^3*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)), x, 2),
+((a + b*x)^(7//6)*(c + d*x)^(7//6), (6*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(13//6)*(c + d*x)^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-7//6, 13//6, 19//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(13*b^2*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)), x, 2),
+((a + b*x)^(7//6)*(c + d*x)^(1//6), (6*(a + b*x)^(13//6)*(c + d*x)^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1//6, 13//6, 19//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(13*b*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)), x, 2),
+((a + b*x)^(7//6)/(c + d*x)^(5//6), (6*(a + b*x)^(13//6)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(5//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//6, 13//6, 19//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(13*b*(c + d*x)^(5//6)), x, 2),
+((a + b*x)^(7//6)/(c + d*x)^(11//6), (6*(a + b*x)^(13//6)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(5//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(11//6, 13//6, 19//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(13*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(5//6)), x, 2),
+((a + b*x)^(7//6)/(c + d*x)^(17//6), (6*b*(a + b*x)^(13//6)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(5//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(13//6, 17//6, 19//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(13*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(5//6)), x, 2),
+
+((a + b*x)^(7//6)/(c + d*x)^(1//6), -((7*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(5//6))/(12*d^2)) + ((a + b*x)^(7//6)*(c + d*x)^(5//6))/(2*d) - (7*(b*c - a*d)^2*atan(1/sqrt(3) - (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(24*sqrt(3)*b^(5//6)*d^(13//6)) + (7*(b*c - a*d)^2*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(24*sqrt(3)*b^(5//6)*d^(13//6)) + (7*(b*c - a*d)^2*atanh((d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(36*b^(5//6)*d^(13//6)) - (7*(b*c - a*d)^2*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) - (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(144*b^(5//6)*d^(13//6)) + (7*(b*c - a*d)^2*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) + (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(144*b^(5//6)*d^(13//6)), x, 14),
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+(1/((a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(29//6)), (6*(a + b*x)^(5//6))/(23*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(23//6)) + (108*b*(a + b*x)^(5//6))/(391*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(17//6)) + (1296*b^2*(a + b*x)^(5//6))/(4301*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(11//6)) + (7776*b^3*(a + b*x)^(5//6))/(21505*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^(5//6)), x, 4),
+
+((c + d*x)^(11//6)/(a + b*x)^(1//6), (6*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//6)*(c + d*x)^(5//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-11//6, 5//6, 11//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(5*b^2*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(5//6)), x, 2),
+((c + d*x)^(5//6)/(a + b*x)^(1//6), (6*(a + b*x)^(5//6)*(c + d*x)^(5//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-5//6, 5//6, 11//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(5*b*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(5//6)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(1//6)), (6*(a + b*x)^(5//6)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//6, 5//6, 11//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(5*b*(c + d*x)^(1//6)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(7//6)), (6*(a + b*x)^(5//6)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//6, 7//6, 11//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(5*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(1//6)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(13//6)), (6*b*(a + b*x)^(5//6)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//6, 13//6, 11//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(5*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(1//6)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(19//6)), (6*b^2*(a + b*x)^(5//6)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//6, 19//6, 11//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(5*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(1//6)), x, 2),
+
+
+((c + d*x)^(13//6)/(a + b*x)^(5//6), (6*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-13//6, 1//6, 7//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(b^3*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)), x, 2),
+((c + d*x)^(7//6)/(a + b*x)^(5//6), (6*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-7//6, 1//6, 7//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(b^2*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)), x, 2),
+((c + d*x)^(1//6)/(a + b*x)^(5//6), (6*(a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1//6, 1//6, 7//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(b*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(5//6)*(c + d*x)^(5//6)), (6*(a + b*x)^(1//6)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(5//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//6, 5//6, 7//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(b*(c + d*x)^(5//6)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(5//6)*(c + d*x)^(11//6)), (6*(a + b*x)^(1//6)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(5//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//6, 11//6, 7//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((b*c - a*d)*(c + d*x)^(5//6)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(5//6)*(c + d*x)^(17//6)), (6*b*(a + b*x)^(1//6)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(5//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//6, 17//6, 7//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(5//6)), x, 2),
+
+((c + d*x)^(11//6)/(a + b*x)^(5//6), (11*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(5//6))/(12*b^2) + ((a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(11//6))/(2*b) - (55*(b*c - a*d)^2*atan(1/sqrt(3) - (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(24*sqrt(3)*b^(17//6)*d^(1//6)) + (55*(b*c - a*d)^2*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(24*sqrt(3)*b^(17//6)*d^(1//6)) + (55*(b*c - a*d)^2*atanh((d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(36*b^(17//6)*d^(1//6)) - (55*(b*c - a*d)^2*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) - (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(144*b^(17//6)*d^(1//6)) + (55*(b*c - a*d)^2*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) + (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(144*b^(17//6)*d^(1//6)), x, 14),
+((c + d*x)^(5//6)/(a + b*x)^(5//6), ((a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(5//6))/b - (5*(b*c - a*d)*atan(1/sqrt(3) - (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(2*sqrt(3)*b^(11//6)*d^(1//6)) + (5*(b*c - a*d)*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(2*sqrt(3)*b^(11//6)*d^(1//6)) + (5*(b*c - a*d)*atanh((d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(3*b^(11//6)*d^(1//6)) - (5*(b*c - a*d)*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) - (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(12*b^(11//6)*d^(1//6)) + (5*(b*c - a*d)*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) + (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(12*b^(11//6)*d^(1//6)), x, 13),
+(1/((a + b*x)^(5//6)*(c + d*x)^(1//6)), -((sqrt(3)*atan(1/sqrt(3) - (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(b^(5//6)*d^(1//6))) + (sqrt(3)*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(b^(5//6)*d^(1//6)) + (2*atanh((d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(b^(5//6)*d^(1//6)) - log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) - (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6))/(2*b^(5//6)*d^(1//6)) + log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) + (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6))/(2*b^(5//6)*d^(1//6)), x, 12),
+(1/((a + b*x)^(5//6)*(c + d*x)^(7//6)), (6*(a + b*x)^(1//6))/((b*c - a*d)*(c + d*x)^(1//6)), x, 1),
+(1/((a + b*x)^(5//6)*(c + d*x)^(13//6)), (6*(a + b*x)^(1//6))/(7*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(7//6)) + (36*b*(a + b*x)^(1//6))/(7*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(1//6)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(5//6)*(c + d*x)^(19//6)), (6*(a + b*x)^(1//6))/(13*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(13//6)) + (72*b*(a + b*x)^(1//6))/(91*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(7//6)) + (432*b^2*(a + b*x)^(1//6))/(91*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(1//6)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(5//6)*(c + d*x)^(25//6)), (6*(a + b*x)^(1//6))/(19*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(19//6)) + (108*b*(a + b*x)^(1//6))/(247*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(13//6)) + (1296*b^2*(a + b*x)^(1//6))/(1729*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(7//6)) + (7776*b^3*(a + b*x)^(1//6))/(1729*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^(1//6)), x, 4),
+
+
+((c + d*x)^(13//6)/(a + b*x)^(7//6), (91*d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//6)*(c + d*x)^(1//6))/(12*b^3) + (13*d*(a + b*x)^(5//6)*(c + d*x)^(7//6))/(2*b^2) - (6*(c + d*x)^(13//6))/(b*(a + b*x)^(1//6)) + (91*d^(1//6)*(b*c - a*d)^2*atan(1/sqrt(3) - (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(24*sqrt(3)*b^(19//6)) - (91*d^(1//6)*(b*c - a*d)^2*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(24*sqrt(3)*b^(19//6)) + (91*d^(1//6)*(b*c - a*d)^2*atanh((d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(36*b^(19//6)) - (91*d^(1//6)*(b*c - a*d)^2*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) - (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(144*b^(19//6)) + (91*d^(1//6)*(b*c - a*d)^2*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) + (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(144*b^(19//6)), x, 15),
+((c + d*x)^(7//6)/(a + b*x)^(7//6), (7*d*(a + b*x)^(5//6)*(c + d*x)^(1//6))/b^2 - (6*(c + d*x)^(7//6))/(b*(a + b*x)^(1//6)) + (7*d^(1//6)*(b*c - a*d)*atan(1/sqrt(3) - (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(2*sqrt(3)*b^(13//6)) - (7*d^(1//6)*(b*c - a*d)*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(2*sqrt(3)*b^(13//6)) + (7*d^(1//6)*(b*c - a*d)*atanh((d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/(3*b^(13//6)) - (7*d^(1//6)*(b*c - a*d)*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) - (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(12*b^(13//6)) + (7*d^(1//6)*(b*c - a*d)*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) + (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(12*b^(13//6)), x, 14),
+((c + d*x)^(1//6)/(a + b*x)^(7//6), -((6*(c + d*x)^(1//6))/(b*(a + b*x)^(1//6))) + (sqrt(3)*d^(1//6)*atan(1/sqrt(3) - (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/b^(7//6) - (sqrt(3)*d^(1//6)*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(sqrt(3)*b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/b^(7//6) + (2*d^(1//6)*atanh((d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(b^(1//6)*(c + d*x)^(1//6))))/b^(7//6) - (d^(1//6)*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) - (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(2*b^(7//6)) + (d^(1//6)*log(b^(1//3) + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(c + d*x)^(1//3) + (b^(1//6)*d^(1//6)*(a + b*x)^(1//6))/(c + d*x)^(1//6)))/(2*b^(7//6)), x, 13),
+(1/((a + b*x)^(7//6)*(c + d*x)^(5//6)), (-6*(c + d*x)^(1//6))/((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//6)), x, 1),
+(1/((a + b*x)^(7//6)*(c + d*x)^(11//6)), -6/((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(5//6)) - (36*d*(a + b*x)^(5//6))/(5*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(5//6)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(7//6)*(c + d*x)^(17//6)), -6/((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(11//6)) - (72*d*(a + b*x)^(5//6))/(11*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(11//6)) - (432*b*d*(a + b*x)^(5//6))/(55*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(5//6)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(7//6)*(c + d*x)^(23//6)), -6/((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(17//6)) - (108*d*(a + b*x)^(5//6))/(17*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(17//6)) - (1296*b*d*(a + b*x)^(5//6))/(187*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(11//6)) - (7776*b^2*d*(a + b*x)^(5//6))/(935*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^(5//6)), x, 4),
+
+((c + d*x)^(11//6)/(a + b*x)^(7//6), (-6*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(5//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-11//6, -1//6, 5//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(b^2*(a + b*x)^(1//6)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(5//6)), x, 2),
+((c + d*x)^(5//6)/(a + b*x)^(7//6), (-6*(c + d*x)^(5//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-5//6, -1//6, 5//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(b*(a + b*x)^(1//6)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(5//6)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(7//6)*(c + d*x)^(1//6)), (-6*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1//6, 1//6, 5//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(b*(a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(1//6)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(7//6)*(c + d*x)^(7//6)), (-6*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1//6, 7//6, 5//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(1//6)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(7//6)*(c + d*x)^(13//6)), (-6*b*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1//6, 13//6, 5//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(1//6)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(7//6)*(c + d*x)^(19//6)), (-6*b^2*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//6)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1//6, 19//6, 5//6, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(1//6)*(c + d*x)^(1//6)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n where m and/or symbolic
+
+
+((a + b*x)^m*(a + b*(m + 2)*x), x*(a + b*x)^(1 + m), x, 1),
+
+
+# {(a + b*x)^m*(c + d*x)^n, x, 2, -(((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m + n, 2 + n, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/((b*c - a*d)*(1 + n))), ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*Hypergeometric2F1[1 + m, -n, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*(b*(1 + m)))}
+
+
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^3, ((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(1 + m))/(b^4*(1 + m)) + (3*d*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(2 + m))/(b^4*(2 + m)) + (3*d^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3 + m))/(b^4*(3 + m)) + (d^3*(a + b*x)^(4 + m))/(b^4*(4 + m)), x, 2),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^2, ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1 + m))/(b^3*(1 + m)) + (2*d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(2 + m))/(b^3*(2 + m)) + (d^2*(a + b*x)^(3 + m))/(b^3*(3 + m)), x, 2),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^1, ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1 + m))/(b^2*(1 + m)) + (d*(a + b*x)^(2 + m))/(b^2*(2 + m)), x, 2),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^1, ((a + b*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((b*c - a*d)*(1 + m)), x, 1),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^2, (b*(a + b*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((b*c - a*d)^2*(1 + m)), x, 1),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^3, (b^2*(a + b*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((b*c - a*d)^3*(1 + m)), x, 1),
+
+
+((a + b*x)^3*(c + d*x)^n, -(((b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(1 + n))/(d^4*(1 + n))) + (3*b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(2 + n))/(d^4*(2 + n)) - (3*b^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3 + n))/(d^4*(3 + n)) + (b^3*(c + d*x)^(4 + n))/(d^4*(4 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^2*(c + d*x)^n, ((b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(1 + n))/(d^3*(1 + n)) - (2*b*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(2 + n))/(d^3*(2 + n)) + (b^2*(c + d*x)^(3 + n))/(d^3*(3 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^1*(c + d*x)^n, -(((b*c - a*d)*(c + d*x)^(1 + n))/(d^2*(1 + n))) + (b*(c + d*x)^(2 + n))/(d^2*(2 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^0*(c + d*x)^n, (c + d*x)^(1 + n)/(d*(1 + n)), x, 1),
+((c + d*x)^n/(a + b*x)^1, -(((c + d*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/((b*c - a*d)*(1 + n))), x, 1),
+((c + d*x)^n/(a + b*x)^2, (d*(c + d*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/((b*c - a*d)^2*(1 + n)), x, 1),
+((c + d*x)^n/(a + b*x)^3, -((d^2*(c + d*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + n, 2 + n, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/((b*c - a*d)^3*(1 + n))), x, 1),
+
+
+((a + b*x)^(-4 + n)/(c + d*x)^n, -(((a + b*x)^(-3 + n)*(c + d*x)^(1 - n))/((b*c - a*d)*(3 - n))) + (2*d*(a + b*x)^(-2 + n)*(c + d*x)^(1 - n))/((b*c - a*d)^2*(2 - n)*(3 - n)) - (2*d^2*(a + b*x)^(-1 + n)*(c + d*x)^(1 - n))/((b*c - a*d)^3*(1 - n)*(2 - n)*(3 - n)), x, 3),
+((a + b*x)^(-3 + n)/(c + d*x)^n, -(((a + b*x)^(-2 + n)*(c + d*x)^(1 - n))/((b*c - a*d)*(2 - n))) + (d*(a + b*x)^(-1 + n)*(c + d*x)^(1 - n))/((b*c - a*d)^2*(1 - n)*(2 - n)), x, 2),
+((a + b*x)^(-2 + n)/(c + d*x)^n, -(((a + b*x)^(-1 + n)*(c + d*x)^(1 - n))/((b*c - a*d)*(1 - n))), x, 1),
+((a + b*x)^(-1 + n)/(c + d*x)^n, ((a + b*x)^n*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, n, 1 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^n*(b*n)), x, 2),
+((a + b*x)^(0 + n)/(c + d*x)^n, ((a + b*x)^(1 + n)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 1 + n, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^n*(b*(1 + n))), x, 2),
+((a + b*x)^(1 + n)/(c + d*x)^n, ((a + b*x)^(2 + n)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 2 + n, 3 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^n*(b*(2 + n))), x, 2),
+((a + b*x)^(2 + n)/(c + d*x)^n, ((a + b*x)^(3 + n)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 3 + n, 4 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^n*(b*(3 + n))), x, 2),
+
+
+((c + d*x)^n/(a + b*x)^(n + 0), ((-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))^n*(c + d*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 1 + n, 2 + n, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/((a + b*x)^n*(d*(1 + n))), x, 2),
+((c + d*x)^n/(a + b*x)^(n + 1), -(((c + d*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-n, -n, 1 - n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((a + b*x)^n*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*(b*n))), x, 2),
+((c + d*x)^n/(a + b*x)^(n + 2), -(((a + b*x)^(-1 - n)*(c + d*x)^(1 + n))/((b*c - a*d)*(1 + n))), x, 1),
+((c + d*x)^n/(a + b*x)^(n + 3), -(((a + b*x)^(-2 - n)*(c + d*x)^(1 + n))/((b*c - a*d)*(2 + n))) + (d*(a + b*x)^(-1 - n)*(c + d*x)^(1 + n))/((b*c - a*d)^2*(1 + n)*(2 + n)), x, 2),
+((c + d*x)^n/(a + b*x)^(n + 4), -(((a + b*x)^(-3 - n)*(c + d*x)^(1 + n))/((b*c - a*d)*(3 + n))) + (2*d*(a + b*x)^(-2 - n)*(c + d*x)^(1 + n))/((b*c - a*d)^2*(2 + n)*(3 + n)) - (2*d^2*(a + b*x)^(-1 - n)*(c + d*x)^(1 + n))/((b*c - a*d)^3*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)), x, 3),
+((c + d*x)^n/(a + b*x)^(n + 5), -(((a + b*x)^(-4 - n)*(c + d*x)^(1 + n))/((b*c - a*d)*(4 + n))) + (3*d*(a + b*x)^(-3 - n)*(c + d*x)^(1 + n))/((b*c - a*d)^2*(3 + n)*(4 + n)) - (6*d^2*(a + b*x)^(-2 - n)*(c + d*x)^(1 + n))/((b*c - a*d)^3*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)) + (6*d^3*(a + b*x)^(-1 - n)*(c + d*x)^(1 + n))/((b*c - a*d)^4*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)), x, 4),
+
+
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^(n + 0), ((a + b*x)^(1 + n)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 1 + n, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^n*(b*(1 + n))), x, 2),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^(n + 1), -(((a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-n, -n, 1 - n, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/((-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))^n*(c + d*x)^n*(d*n))), x, 2),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^(n + 2), ((a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(-1 - n))/((b*c - a*d)*(1 + n)), x, 1),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^(n + 3), ((a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(-2 - n))/((b*c - a*d)*(2 + n)) + (b*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(-1 - n))/((b*c - a*d)^2*(1 + n)*(2 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^(n + 4), ((a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(-3 - n))/((b*c - a*d)*(3 + n)) + (2*b*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(-2 - n))/((b*c - a*d)^2*(2 + n)*(3 + n)) + (2*b^2*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(-1 - n))/((b*c - a*d)^3*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)), x, 3),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^(n + 5), ((a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(-4 - n))/((b*c - a*d)*(4 + n)) + (3*b*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(-3 - n))/((b*c - a*d)^2*(3 + n)*(4 + n)) + (6*b^2*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(-2 - n))/((b*c - a*d)^3*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)) + (6*b^3*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(-1 - n))/((b*c - a*d)^4*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)), x, 4),
+
+
+((a + b*x)^(n - 2)/(c + d*x)^(n - 1), -(((b*c - a*d)*(a + b*x)^(-1 + n)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 + n, -1 + n, n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^n*(b^2*(1 - n)))), x, 2),
+
+
+((a + b*x)^(n + 1)/(c + d*x)^(n + 1), ((b*c - a*d)*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 - n, -n, 1 - n, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/((-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))^n*(c + d*x)^n*(d^2*n)), x, 2),
+
+
+# Pseudo-symbolic exponent must be recognized as equal to -1.
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^(1 + 2*n - 2*(1 + n)), ((a + b*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((b*c - a*d)*(1 + m)), x, 2),
+(1/(a + b*x)^2*(c + d*x)^(1 + 2*n - 2*(1 + n)), -(1/((b*c - a*d)*(a + b*x))) - (d*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^2 + (d*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^2, x, 3),
+
+
+# {(a + b*x)^m/(a*c*(m + 1) + b*c*(m + 2)*x)^(m + 3), x, 2, If[$VersionNumber>=8, -(((a + b*x)^(1 + m)*(a*c*(1 + m) + b*c*(2 + m)*x)^(-2 - m))/(a*b*c*(2 + m))) + ((a + b*x)^(1 + m)*(a*c*(1 + m) + b*c*(2 + m)*x)^(-1 - m))/(a^2*b*c^2*(1 + m)*(2 + m)), -(((a + b*x)^(1 + m)*(a*c*(1 + m) + b*c*(2 + m)*x)^(-2 - m))/(a*b*c*(2 + m))) + ((a + b*x)^(1 + m)*(a*c*(1 + m) + b*c*(2 + m)*x)^(-1 - m))/(a^2*b*c^2*(2 + 3*m + m^2))]}
+((a + b*x)^(-1 - (b*c)/(b*c - a*d))*(c + d*x)^(-1 + (a*d)/(b*c - a*d)), -((c + d*x)^((a*d)/(b*c - a*d))/((a + b*x)^((b*c)/(b*c - a*d))*(b*c))) + (c + d*x)^((a*d)/(b*c - a*d))/((a + b*x)^((a*d)/(b*c - a*d))*(a*b*c)), x, 2),
+((a + b*x)^((-2*b*c + a*d)/(b*c - a*d))*(c + d*x)^((b*c - 2*a*d)/((-b)*c + a*d)), -((c + d*x)^((a*d)/(b*c - a*d))/((a + b*x)^((b*c)/(b*c - a*d))*(b*c))) + (c + d*x)^((a*d)/(b*c - a*d))/((a + b*x)^((a*d)/(b*c - a*d))*(a*b*c)), x, 2),
+
+
+((1 - x)^n/sqrt(1 + x), 2^(1 + n)*sqrt(1 + x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -n, 3//2, (1 + x)/2), x, 1),
+((1 + x)^n/sqrt(1 - x), (-2^(1 + n))*sqrt(1 - x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -n, 3//2, (1 - x)/2), x, 1),
+
+
+((1 - x)^n*(1 + x)^(7//3), (3//5)*2^(-1 + n)*(1 + x)^(10//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(10//3, -n, 13//3, (1 + x)/2), x, 1),
+((1 + x)^n*(1 - x)^(7//3), (-(3//5))*2^(-1 + n)*(1 - x)^(10//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(10//3, -n, 13//3, (1 - x)/2), x, 1),
+
+
+((2 + 3*x)^m/(1 + 2*x)^m, (2^(-1 - m)*(1 + 2*x)^(1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 - m, -m, 2 - m, -3*(1 + 2*x)))/(1 - m), x, 1),
+
+
+(((d*(a + b*x))/((-b)*c + a*d))^m*(c + d*x)^n, ((c + d*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-m, 1 + n, 2 + n, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/(d*(1 + n)), x, 2),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Multinomial integrands
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Polynomial integrands
+
+
+(a + b*x + c*x^2 + d*x^3, a*x + (b*x^2)/2 + (c*x^3)/3 + (d*x^4)/4, x, 1),
+(-x^3 + x^4, -(x^4//4) + x^5//5, x, 1),
+(-1 + x^5, -x + x^6//6, x, 1),
+(7 + 4*x, 7*x + 2*x^2, x, 1),
+(4*x + π*x^3, 2*x^2 + (π*x^4)/4, x, 1),
+(2*x + 5*x^2, x^2 + (5*x^3)/3, x, 1),
+(x^2//2 + x^3//3, x^3//6 + x^4//12, x, 1),
+(3 - 5*x + 2*x^2, 3*x - (5*x^2)/2 + (2*x^3)/3, x, 1),
+(-2*x + x^2 + x^3, -x^2 + x^3//3 + x^4//4, x, 1),
+(1 - x^2 - 3*x^5, x - x^3//3 - x^6//2, x, 1),
+(5 + 2*x + 3*x^2 + 4*x^3, 5*x + x^2 + x^3 + x^4, x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Multinomial integrands
+
+
+(a + b/x + c/x^2 + d/x^3, -(d/(2*x^2)) - c/x + a*x + b*log(x), x, 1),
+(x^(-5) + x + x^5, -(1/(4*x^4)) + x^2//2 + x^6//6, x, 1),
+(x^(-3) + x^(-2) + x^(-1), -(1/(2*x^2)) - 1/x + log(x), x, 1),
+(-2/x^2 + 3/x, 2/x + 3*log(x), x, 1),
+(-1/(7*x^6) + x^6, 1/(35*x^5) + x^7//7, x, 1),
+(1 + x^(-1) + x, x + x^2//2 + log(x), x, 1),
+(-3/x^3 + 4/x^2, 3/(2*x^2) - 4/x, x, 1),
+(x^(-1) + 2*x + x^2, x^2 + x^3//3 + log(x), x, 1),
+
+
+(x^(5//6) - x^3, (6*x^(11//6))/11 - x^4//4, x, 1),
+(33 + x^(1//33), 33*x + (33*x^(34//33))/34, x, 1),
+(1/(2*sqrt(x)) + 2*sqrt(x), sqrt(x) + (4*x^(3//2))/3, x, 1),
+(-x^(-2) + 10/x + 6*sqrt(x), x^(-1) + 4*x^(3//2) + 10*log(x), x, 1),
+(x^(-3//2) + x^(3//2), -(2/sqrt(x)) + (2*x^(5//2))/5, x, 1),
+(-5*x^(3//2) + 7*x^(5//2), -2*x^(5//2) + 2*x^(7//2), x, 1),
+(2/sqrt(x) + sqrt(x) - x/2, 4*sqrt(x) + (2*x^(3//2))/3 - x^2//4, x, 1),
+(-2/x + sqrt(x)/5 + x^(3//2), (2*x^(3//2))/15 + (2*x^(5//2))/5 - 2*log(x), x, 1),
+]
+# Total integrals translated: 1964
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.3 (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.3 (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..2318d61b
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.3 (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p.jl	
@@ -0,0 +1,4843 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x)^n (c+d x)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x)^n (c+d x)^p when b c+a d=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x)^n (c+d x)^p when b c+a d=0
+
+
+(x^2/((-1 + x)^2*(1 + x)^2), x/(2*(1 - x^2)) - atanh(x)/2, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x)^1 (c+d x)^p when b c+a d=0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^3*x^2, (1//3)*a^4*c^3*x^3 - (1//2)*a^3*b*c^3*x^4 + (1//3)*a*b^3*c^3*x^6 - (1//7)*b^4*c^3*x^7, x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^3*x^1, (1//2)*a^4*c^3*x^2 - (2//3)*a^3*b*c^3*x^3 + (2//5)*a*b^3*c^3*x^5 - (1//6)*b^4*c^3*x^6, x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^3*x^0, -((a*c^3*(a - b*x)^4)/(2*b)) + (c^3*(a - b*x)^5)/(5*b), x, 2),
+
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^3/x^1, -2*a^3*b*c^3*x + (2//3)*a*b^3*c^3*x^3 - (1//4)*b^4*c^3*x^4 + a^4*c^3*log(x), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^3/x^2, -((a^4*c^3)/x) + a*b^3*c^3*x^2 - (1//3)*b^4*c^3*x^3 - 2*a^3*b*c^3*log(x), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^3/x^3, -((c^3*(a - b*x)^4)/(2*x^2)), x, 1),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^3/x^4, -((a^4*c^3)/(3*x^3)) + (a^3*b*c^3)/x^2 - b^4*c^3*x + 2*a*b^3*c^3*log(x), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^3/x^5, -((a^4*c^3)/(4*x^4)) + (2*a^3*b*c^3)/(3*x^3) - (2*a*b^3*c^3)/x - b^4*c^3*log(x), x, 2),
+
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^3/x^6, -((a^4*c^3)/(5*x^5)) + (a^3*b*c^3)/(2*x^4) - (a*b^3*c^3)/x^2 + (b^4*c^3)/x, x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^3/x^7, -((a^4*c^3)/(6*x^6)) + (2*a^3*b*c^3)/(5*x^5) - (2*a*b^3*c^3)/(3*x^3) + (b^4*c^3)/(2*x^2), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^3/x^8, -((a^4*c^3)/(7*x^7)) + (a^3*b*c^3)/(3*x^6) - (a*b^3*c^3)/(2*x^4) + (b^4*c^3)/(3*x^3), x, 2),
+
+
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^4*x^4, (1//5)*a^5*c^4*x^5 - (1//2)*a^4*b*c^4*x^6 + (2//7)*a^3*b^2*c^4*x^7 + (1//4)*a^2*b^3*c^4*x^8 - (1//3)*a*b^4*c^4*x^9 + (1//10)*b^5*c^4*x^10, x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^4*x^3, (1//4)*a^5*c^4*x^4 - (3//5)*a^4*b*c^4*x^5 + (1//3)*a^3*b^2*c^4*x^6 + (2//7)*a^2*b^3*c^4*x^7 - (3//8)*a*b^4*c^4*x^8 + (1//9)*b^5*c^4*x^9, x, 2),
+
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^4*x^2, -((2*a^3*c^4*(a - b*x)^5)/(5*b^3)) + (5*a^2*c^4*(a - b*x)^6)/(6*b^3) - (4*a*c^4*(a - b*x)^7)/(7*b^3) + (c^4*(a - b*x)^8)/(8*b^3), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^4*x^1, -((2*a^2*c^4*(a - b*x)^5)/(5*b^2)) + (a*c^4*(a - b*x)^6)/(2*b^2) - (c^4*(a - b*x)^7)/(7*b^2), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^4*x^0, -((2*a*c^4*(a - b*x)^5)/(5*b)) + (c^4*(a - b*x)^6)/(6*b), x, 2),
+
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^4/x^1, -3*a^4*b*c^4*x + a^3*b^2*c^4*x^2 + (2//3)*a^2*b^3*c^4*x^3 - (3//4)*a*b^4*c^4*x^4 + (1//5)*b^5*c^4*x^5 + a^5*c^4*log(x), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^4/x^2, -((a^5*c^4)/x) + 2*a^3*b^2*c^4*x + a^2*b^3*c^4*x^2 - a*b^4*c^4*x^3 + (1//4)*b^5*c^4*x^4 - 3*a^4*b*c^4*log(x), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^4/x^3, -((a^5*c^4)/(2*x^2)) + (3*a^4*b*c^4)/x + 2*a^2*b^3*c^4*x - (3//2)*a*b^4*c^4*x^2 + (1//3)*b^5*c^4*x^3 + 2*a^3*b^2*c^4*log(x), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^4/x^4, -((a^5*c^4)/(3*x^3)) + (3*a^4*b*c^4)/(2*x^2) - (2*a^3*b^2*c^4)/x - 3*a*b^4*c^4*x + (1//2)*b^5*c^4*x^2 + 2*a^2*b^3*c^4*log(x), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^4/x^5, -((a^5*c^4)/(4*x^4)) + (a^4*b*c^4)/x^3 - (a^3*b^2*c^4)/x^2 - (2*a^2*b^3*c^4)/x + b^5*c^4*x - 3*a*b^4*c^4*log(x), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^4/x^6, -((a^5*c^4)/(5*x^5)) + (3*a^4*b*c^4)/(4*x^4) - (2*a^3*b^2*c^4)/(3*x^3) - (a^2*b^3*c^4)/x^2 + (3*a*b^4*c^4)/x + b^5*c^4*log(x), x, 2),
+
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^4/x^7, -((c^4*(a - b*x)^5)/(6*x^6)) - (7*b*c^4*(a - b*x)^5)/(30*a*x^5), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^4/x^8, -((a^5*c^4)/(7*x^7)) + (a^4*b*c^4)/(2*x^6) - (2*a^3*b^2*c^4)/(5*x^5) - (a^2*b^3*c^4)/(2*x^4) + (a*b^4*c^4)/x^3 - (b^5*c^4)/(2*x^2), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^4/x^9, -((a^5*c^4)/(8*x^8)) + (3*a^4*b*c^4)/(7*x^7) - (a^3*b^2*c^4)/(3*x^6) - (2*a^2*b^3*c^4)/(5*x^5) + (3*a*b^4*c^4)/(4*x^4) - (b^5*c^4)/(3*x^3), x, 2),
+
+
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^5*x^4, (1//5)*a^6*c^5*x^5 - (2//3)*a^5*b*c^5*x^6 + (5//7)*a^4*b^2*c^5*x^7 - (5//9)*a^2*b^4*c^5*x^9 + (2//5)*a*b^5*c^5*x^10 - (1//11)*b^6*c^5*x^11, x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^5*x^3, (1//4)*a^6*c^5*x^4 - (4//5)*a^5*b*c^5*x^5 + (5//6)*a^4*b^2*c^5*x^6 - (5//8)*a^2*b^4*c^5*x^8 + (4//9)*a*b^5*c^5*x^9 - (1//10)*b^6*c^5*x^10, x, 2),
+
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^5*x^2, -((a^3*c^5*(a - b*x)^6)/(3*b^3)) + (5*a^2*c^5*(a - b*x)^7)/(7*b^3) - (a*c^5*(a - b*x)^8)/(2*b^3) + (c^5*(a - b*x)^9)/(9*b^3), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^5*x^1, -((a^2*c^5*(a - b*x)^6)/(3*b^2)) + (3*a*c^5*(a - b*x)^7)/(7*b^2) - (c^5*(a - b*x)^8)/(8*b^2), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^5*x^0, -((a*c^5*(a - b*x)^6)/(3*b)) + (c^5*(a - b*x)^7)/(7*b), x, 2),
+
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^5/x^1, -4*a^5*b*c^5*x + (5//2)*a^4*b^2*c^5*x^2 - (5//4)*a^2*b^4*c^5*x^4 + (4//5)*a*b^5*c^5*x^5 - (1//6)*b^6*c^5*x^6 + a^6*c^5*log(x), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^5/x^2, -((a^6*c^5)/x) + 5*a^4*b^2*c^5*x - (5//3)*a^2*b^4*c^5*x^3 + a*b^5*c^5*x^4 - (1//5)*b^6*c^5*x^5 - 4*a^5*b*c^5*log(x), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^5/x^3, -((a^6*c^5)/(2*x^2)) + (4*a^5*b*c^5)/x - (5//2)*a^2*b^4*c^5*x^2 + (4//3)*a*b^5*c^5*x^3 - (1//4)*b^6*c^5*x^4 + 5*a^4*b^2*c^5*log(x), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^5/x^4, -((c^5*(a - b*x)^6)/(3*x^3)), x, 1),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^5/x^5, -((a^6*c^5)/(4*x^4)) + (4*a^5*b*c^5)/(3*x^3) - (5*a^4*b^2*c^5)/(2*x^2) + 4*a*b^5*c^5*x - (1//2)*b^6*c^5*x^2 - 5*a^2*b^4*c^5*log(x), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^5/x^6, -((a^6*c^5)/(5*x^5)) + (a^5*b*c^5)/x^4 - (5*a^4*b^2*c^5)/(3*x^3) + (5*a^2*b^4*c^5)/x - b^6*c^5*x + 4*a*b^5*c^5*log(x), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^5/x^7, -((a^6*c^5)/(6*x^6)) + (4*a^5*b*c^5)/(5*x^5) - (5*a^4*b^2*c^5)/(4*x^4) + (5*a^2*b^4*c^5)/(2*x^2) - (4*a*b^5*c^5)/x - b^6*c^5*log(x), x, 2),
+
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^5/x^8, -((c^5*(a - b*x)^6)/(7*x^7)) - (4*b*c^5*(a - b*x)^6)/(21*a*x^6), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^5/x^9, -((c^5*(a - b*x)^6)/(8*x^8)) - (5*b*c^5*(a - b*x)^6)/(28*a*x^7) - (5*b^2*c^5*(a - b*x)^6)/(168*a^2*x^6), x, 3),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^5/x^10, -((a^6*c^5)/(9*x^9)) + (a^5*b*c^5)/(2*x^8) - (5*a^4*b^2*c^5)/(7*x^7) + (a^2*b^4*c^5)/x^5 - (a*b^5*c^5)/x^4 + (b^6*c^5)/(3*x^3), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^5/x^11, -((a^6*c^5)/(10*x^10)) + (4*a^5*b*c^5)/(9*x^9) - (5*a^4*b^2*c^5)/(8*x^8) + (5*a^2*b^4*c^5)/(6*x^6) - (4*a*b^5*c^5)/(5*x^5) + (b^6*c^5)/(4*x^4), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^5/x^12, -((a^6*c^5)/(11*x^11)) + (2*a^5*b*c^5)/(5*x^10) - (5*a^4*b^2*c^5)/(9*x^9) + (5*a^2*b^4*c^5)/(7*x^7) - (2*a*b^5*c^5)/(3*x^6) + (b^6*c^5)/(5*x^5), x, 2),
+
+
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^6/x^8, -((a^7*c^6)/(7*x^7)) + (5*a^6*b*c^6)/(6*x^6) - (9*a^5*b^2*c^6)/(5*x^5) + (5*a^4*b^3*c^6)/(4*x^4) + (5*a^3*b^4*c^6)/(3*x^3) - (9*a^2*b^5*c^6)/(2*x^2) + (5*a*b^6*c^6)/x + b^7*c^6*log(x), x, 2),
+
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^6/x^9, -((c^6*(a - b*x)^7)/(8*x^8)) - (9*b*c^6*(a - b*x)^7)/(56*a*x^7), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^6/x^10, -((c^6*(a - b*x)^7)/(9*x^9)) - (11*b*c^6*(a - b*x)^7)/(72*a*x^8) - (11*b^2*c^6*(a - b*x)^7)/(504*a^2*x^7), x, 3),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^6/x^11, -((c^6*(a - b*x)^7)/(10*x^10)) - (13*b*c^6*(a - b*x)^7)/(90*a*x^9) - (13*b^2*c^6*(a - b*x)^7)/(360*a^2*x^8) - (13*b^3*c^6*(a - b*x)^7)/(2520*a^3*x^7), x, 4),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^6/x^12, -((a^7*c^6)/(11*x^11)) + (a^6*b*c^6)/(2*x^10) - (a^5*b^2*c^6)/x^9 + (5*a^4*b^3*c^6)/(8*x^8) + (5*a^3*b^4*c^6)/(7*x^7) - (3*a^2*b^5*c^6)/(2*x^6) + (a*b^6*c^6)/x^5 - (b^7*c^6)/(4*x^4), x, 2),
+((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^6/x^13, -((a^7*c^6)/(12*x^12)) + (5*a^6*b*c^6)/(11*x^11) - (9*a^5*b^2*c^6)/(10*x^10) + (5*a^4*b^3*c^6)/(9*x^9) + (5*a^3*b^4*c^6)/(8*x^8) - (9*a^2*b^5*c^6)/(7*x^7) + (5*a*b^6*c^6)/(6*x^6) - (b^7*c^6)/(5*x^5), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b x)^n (c+d x)^p when b c+a d=0
+
+
+((e*x)^(5//2)/((a + b*x)*(a*c - b*c*x)), -((2*e*(e*x)^(3//2))/(3*b^2*c)) - (a^(3//2)*e^(5//2)*atan((sqrt(b)*sqrt(e*x))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(b^(7//2)*c) + (a^(3//2)*e^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(e*x))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(b^(7//2)*c), x, 6),
+((e*x)^(3//2)/((a + b*x)*(a*c - b*c*x)), -((2*e*sqrt(e*x))/(b^2*c)) + (sqrt(a)*e^(3//2)*atan((sqrt(b)*sqrt(e*x))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(b^(5//2)*c) + (sqrt(a)*e^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(e*x))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(b^(5//2)*c), x, 6),
+((e*x)^(1//2)/((a + b*x)*(a*c - b*c*x)), -((sqrt(e)*atan((sqrt(b)*sqrt(e*x))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(sqrt(a)*b^(3//2)*c)) + (sqrt(e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(e*x))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(sqrt(a)*b^(3//2)*c), x, 5),
+(1/((e*x)^(1//2)*(a + b*x)*(a*c - b*c*x)), atan((sqrt(b)*sqrt(e*x))/(sqrt(a)*sqrt(e)))/(a^(3//2)*sqrt(b)*c*sqrt(e)) + atanh((sqrt(b)*sqrt(e*x))/(sqrt(a)*sqrt(e)))/(a^(3//2)*sqrt(b)*c*sqrt(e)), x, 5),
+(1/((e*x)^(3//2)*(a + b*x)*(a*c - b*c*x)), -(2/(a^2*c*e*sqrt(e*x))) - (sqrt(b)*atan((sqrt(b)*sqrt(e*x))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(a^(5//2)*c*e^(3//2)) + (sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*sqrt(e*x))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(a^(5//2)*c*e^(3//2)), x, 6),
+(1/((e*x)^(5//2)*(a + b*x)*(a*c - b*c*x)), -(2/(3*a^2*c*e*(e*x)^(3//2))) + (b^(3//2)*atan((sqrt(b)*sqrt(e*x))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(a^(7//2)*c*e^(5//2)) + (b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(e*x))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(a^(7//2)*c*e^(5//2)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x)^n (c+d x)^p when b c+a d=0 and m symbolic
+
+
+((e*x)^m*(1 + a*x)^4*(2 - 2*a*x)^3, (8*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (8*a*(e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)) - (24*a^2*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) - (24*a^3*(e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)) + (24*a^4*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + (24*a^5*(e*x)^(6 + m))/(e^6*(6 + m)) - (8*a^6*(e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)) - (8*a^7*(e*x)^(8 + m))/(e^8*(8 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(1 + a*x)^3*(2 - 2*a*x)^2, (4*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (4*a*(e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)) - (8*a^2*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) - (8*a^3*(e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)) + (4*a^4*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + (4*a^5*(e*x)^(6 + m))/(e^6*(6 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(1 + a*x)^2*(2 - 2*a*x)^1, (2*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (2*a*(e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)) - (2*a^2*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) - (2*a^3*(e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)), x, 2),
+((e*x)^m/((1 + a*x)^1*(2 - 2*a*x)^2), ((e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2))/(4*e*(1 + m)) + (a*(e*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2))/(4*e^2*(2 + m)), x, 5),
+((e*x)^m/((1 + a*x)^2*(2 - 2*a*x)^3), ((e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2))/(8*e*(1 + m)) + (a*(e*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2))/(8*e^2*(2 + m)), x, 5),
+((e*x)^m/((1 + a*x)^3*(2 - 2*a*x)^4), ((e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2))/(16*e*(1 + m)) + (a*(e*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2))/(16*e^2*(2 + m)), x, 5),
+
+
+((e*x)^m*(a + b*x)^4*(a*d - b*d*x)^3, (a^7*d^3*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (a^6*b*d^3*(e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)) - (3*a^5*b^2*d^3*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) - (3*a^4*b^3*d^3*(e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)) + (3*a^3*b^4*d^3*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + (3*a^2*b^5*d^3*(e*x)^(6 + m))/(e^6*(6 + m)) - (a*b^6*d^3*(e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)) - (b^7*d^3*(e*x)^(8 + m))/(e^8*(8 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(a + b*x)^3*(a*d - b*d*x)^2, (a^5*d^2*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (a^4*b*d^2*(e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)) - (2*a^3*b^2*d^2*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) - (2*a^2*b^3*d^2*(e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)) + (a*b^4*d^2*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + (b^5*d^2*(e*x)^(6 + m))/(e^6*(6 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(a + b*x)^2*(a*d - b*d*x)^1, (a^3*d*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (a^2*b*d*(e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)) - (a*b^2*d*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) - (b^3*d*(e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)), x, 2),
+((e*x)^m/((a + b*x)^1*(a*d - b*d*x)^2), ((e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (b^2*x^2)/a^2))/(a^3*d^2*e*(1 + m)) + (b*(e*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (b^2*x^2)/a^2))/(a^4*d^2*e^2*(2 + m)), x, 5),
+((e*x)^m/((a + b*x)^2*(a*d - b*d*x)^3), ((e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (b^2*x^2)/a^2))/(a^5*d^3*e*(1 + m)) + (b*(e*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (b^2*x^2)/a^2))/(a^6*d^3*e^2*(2 + m)), x, 5),
+((e*x)^m/((a + b*x)^3*(a*d - b*d*x)^4), ((e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (b^2*x^2)/a^2))/(a^7*d^4*e*(1 + m)) + (b*(e*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (b^2*x^2)/a^2))/(a^8*d^4*e^2*(2 + m)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((e*x)^m*(a + b*x)*(a*c - b*c*x)^4, (a^5*c^4*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) - (3*a^4*b*c^4*(e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)) + (2*a^3*b^2*c^4*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + (2*a^2*b^3*c^4*(e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)) - (3*a*b^4*c^4*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + (b^5*c^4*(e*x)^(6 + m))/(e^6*(6 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(a + b*x)*(a*c - b*c*x)^3, (a^4*c^3*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) - (2*a^3*b*c^3*(e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)) + (2*a*b^3*c^3*(e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)) - (b^4*c^3*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(a + b*x)*(a*c - b*c*x)^2, (a^3*c^2*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) - (a^2*b*c^2*(e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)) - (a*b^2*c^2*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + (b^3*c^2*(e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(a + b*x)*(a*c - b*c*x)^1, (a^2*c*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) - (b^2*c*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)), x, 3),
+((e*x)^m*(a + b*x)/(a*c - b*c*x)^1, -((e*x)^(1 + m)/(c*e*(1 + m))) + (2*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (b*x)/a))/(c*e*(1 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(a + b*x)/(a*c - b*c*x)^2, (2*(e*x)^(1 + m))/(c^2*e*(a - b*x)) - ((1 + 2*m)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (b*x)/a))/(a*c^2*e*(1 + m)), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((e*x)^m*(a*c - b*c*x)^3/(a + b*x), -((7*a^2*c^3*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m))) + (4*a*b*c^3*(e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)) - (b^2*c^3*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + (8*a^2*c^3*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)))/(e*(1 + m)), x, 7),
+((e*x)^m*(a*c - b*c*x)^2/(a + b*x), -((3*a*c^2*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m))) + (b*c^2*(e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)) + (4*a*c^2*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)))/(e*(1 + m)), x, 5),
+((e*x)^m*(a*c - b*c*x)^1/(a + b*x), -((c*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m))) + (2*c*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)))/(e*(1 + m)), x, 2),
+((e*x)^m/((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^1), ((e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (b^2*x^2)/a^2))/(a^2*c*e*(1 + m)), x, 2),
+((e*x)^m/((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^2), ((e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (b^2*x^2)/a^2))/(a^3*c^2*e*(1 + m)) + (b*(e*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (b^2*x^2)/a^2))/(a^4*c^2*e^2*(2 + m)), x, 5),
+((e*x)^m/((a + b*x)*(a*c - b*c*x)^3), (e*x)^(1 + m)/(4*a^2*c^3*e*(a - b*x)^2) + ((2 - m)*(e*x)^(1 + m))/(4*a^3*c^3*e*(a - b*x)) + ((e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)))/(8*a^4*c^3*e*(1 + m)) + ((1 - 4*m + 2*m^2)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (b*x)/a))/(8*a^4*c^3*e*(1 + m)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x)^n (c+d x)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x)^1 (c+d x)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^4*(a + b*x)*(A + B*x), (1//5)*a*A*x^5 + (1//6)*(A*b + a*B)*x^6 + (1//7)*b*B*x^7, x, 2),
+(x^3*(a + b*x)*(A + B*x), (1//4)*a*A*x^4 + (1//5)*(A*b + a*B)*x^5 + (1//6)*b*B*x^6, x, 2),
+(x^2*(a + b*x)*(A + B*x), (1//3)*a*A*x^3 + (1//4)*(A*b + a*B)*x^4 + (1//5)*b*B*x^5, x, 2),
+(x^1*(a + b*x)*(A + B*x), (1//2)*a*A*x^2 + (1//3)*(A*b + a*B)*x^3 + (1//4)*b*B*x^4, x, 2),
+
+(x^0*(a + b*x)*(A + B*x), a*A*x + ((A*b + a*B)*x^2)/2 + (b*B*x^3)/3, x, 2),
+
+(((a + b*x)*(A + B*x))/x^1, (A*b + a*B)*x + (1//2)*b*B*x^2 + a*A*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)*(A + B*x))/x^2, -((a*A)/x) + b*B*x + (A*b + a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)*(A + B*x))/x^3, -((a*A)/(2*x^2)) - (A*b + a*B)/x + b*B*log(x), x, 2),
+
+(((a + b*x)*(A + B*x))/x^4, -((a*A)/(3*x^3)) - (A*b + a*B)/(2*x^2) - (b*B)/x, x, 2),
+(((a + b*x)*(A + B*x))/x^5, -((a*A)/(4*x^4)) - (A*b + a*B)/(3*x^3) - (b*B)/(2*x^2), x, 2),
+(((a + b*x)*(A + B*x))/x^6, -((a*A)/(5*x^5)) - (A*b + a*B)/(4*x^4) - (b*B)/(3*x^3), x, 2),
+
+
+(x^4*(a + b*x)^2*(A + B*x), (1//5)*a^2*A*x^5 + (1//6)*a*(2*A*b + a*B)*x^6 + (1//7)*b*(A*b + 2*a*B)*x^7 + (1//8)*b^2*B*x^8, x, 2),
+(x^3*(a + b*x)^2*(A + B*x), (1//4)*a^2*A*x^4 + (1//5)*a*(2*A*b + a*B)*x^5 + (1//6)*b*(A*b + 2*a*B)*x^6 + (1//7)*b^2*B*x^7, x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^2*(A + B*x), (1//3)*a^2*A*x^3 + (1//4)*a*(2*A*b + a*B)*x^4 + (1//5)*b*(A*b + 2*a*B)*x^5 + (1//6)*b^2*B*x^6, x, 2),
+(x^1*(a + b*x)^2*(A + B*x), (1//2)*a^2*A*x^2 + (1//3)*a*(2*A*b + a*B)*x^3 + (1//4)*b*(A*b + 2*a*B)*x^4 + (1//5)*b^2*B*x^5, x, 2),
+
+(x^0*(a + b*x)^2*(A + B*x), ((A*b - a*B)*(a + b*x)^3)/(3*b^2) + (B*(a + b*x)^4)/(4*b^2), x, 2),
+
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/x^1, 2*a*A*b*x + (1//2)*A*b^2*x^2 + (B*(a + b*x)^3)/(3*b) + a^2*A*log(x), x, 3),
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/x^2, -((a^2*A)/x) + b*(A*b + 2*a*B)*x + (1//2)*b^2*B*x^2 + a*(2*A*b + a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/x^3, -((a^2*A)/(2*x^2)) - (a*(2*A*b + a*B))/x + b^2*B*x + b*(A*b + 2*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/x^4, -((a^2*A)/(3*x^3)) - (a*(2*A*b + a*B))/(2*x^2) - (b*(A*b + 2*a*B))/x + b^2*B*log(x), x, 2),
+
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/x^5, -((A*(a + b*x)^3)/(4*a*x^4)) + ((A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^3)/(12*a^2*x^3), x, 2),
+
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/x^6, -((a^2*A)/(5*x^5)) - (a*(2*A*b + a*B))/(4*x^4) - (b*(A*b + 2*a*B))/(3*x^3) - (b^2*B)/(2*x^2), x, 2),
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/x^7, -((a^2*A)/(6*x^6)) - (a*(2*A*b + a*B))/(5*x^5) - (b*(A*b + 2*a*B))/(4*x^4) - (b^2*B)/(3*x^3), x, 2),
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/x^8, -((a^2*A)/(7*x^7)) - (a*(2*A*b + a*B))/(6*x^6) - (b*(A*b + 2*a*B))/(5*x^5) - (b^2*B)/(4*x^4), x, 2),
+
+
+(x^4*(a + b*x)^3*(A + B*x), (1//5)*a^3*A*x^5 + (1//6)*a^2*(3*A*b + a*B)*x^6 + (3//7)*a*b*(A*b + a*B)*x^7 + (1//8)*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^8 + (1//9)*b^3*B*x^9, x, 2),
+(x^3*(a + b*x)^3*(A + B*x), (1//4)*a^3*A*x^4 + (1//5)*a^2*(3*A*b + a*B)*x^5 + (1//2)*a*b*(A*b + a*B)*x^6 + (1//7)*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^7 + (1//8)*b^3*B*x^8, x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^3*(A + B*x), (1//3)*a^3*A*x^3 + (1//4)*a^2*(3*A*b + a*B)*x^4 + (3//5)*a*b*(A*b + a*B)*x^5 + (1//6)*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^6 + (1//7)*b^3*B*x^7, x, 2),
+
+(x^1*(a + b*x)^3*(A + B*x), -((a*(A*b - a*B)*(a + b*x)^4)/(4*b^3)) + ((A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^5)/(5*b^3) + (B*(a + b*x)^6)/(6*b^3), x, 2),
+(x^0*(a + b*x)^3*(A + B*x), ((A*b - a*B)*(a + b*x)^4)/(4*b^2) + (B*(a + b*x)^5)/(5*b^2), x, 2),
+
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/x^1, 3*a^2*A*b*x + (3//2)*a*A*b^2*x^2 + (1//3)*A*b^3*x^3 + (B*(a + b*x)^4)/(4*b) + a^3*A*log(x), x, 3),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/x^2, -((a^3*A)/x) + 3*a*b*(A*b + a*B)*x + (1//2)*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^2 + (1//3)*b^3*B*x^3 + a^2*(3*A*b + a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/x^3, -((a^3*A)/(2*x^2)) - (a^2*(3*A*b + a*B))/x + b^2*(A*b + 3*a*B)*x + (1//2)*b^3*B*x^2 + 3*a*b*(A*b + a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/x^4, -((a^3*A)/(3*x^3)) - (a^2*(3*A*b + a*B))/(2*x^2) - (3*a*b*(A*b + a*B))/x + b^3*B*x + b^2*(A*b + 3*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/x^5, -((a^3*B)/(3*x^3)) - (3*a^2*b*B)/(2*x^2) - (3*a*b^2*B)/x - (A*(a + b*x)^4)/(4*a*x^4) + b^3*B*log(x), x, 3),
+
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/x^6, -((A*(a + b*x)^4)/(5*a*x^5)) + ((A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^4)/(20*a^2*x^4), x, 2),
+
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/x^7, -((a^3*A)/(6*x^6)) - (a^2*(3*A*b + a*B))/(5*x^5) - (3*a*b*(A*b + a*B))/(4*x^4) - (b^2*(A*b + 3*a*B))/(3*x^3) - (b^3*B)/(2*x^2), x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/x^8, -((a^3*A)/(7*x^7)) - (a^2*(3*A*b + a*B))/(6*x^6) - (3*a*b*(A*b + a*B))/(5*x^5) - (b^2*(A*b + 3*a*B))/(4*x^4) - (b^3*B)/(3*x^3), x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/x^9, -((a^3*A)/(8*x^8)) - (a^2*(3*A*b + a*B))/(7*x^7) - (a*b*(A*b + a*B))/(2*x^6) - (b^2*(A*b + 3*a*B))/(5*x^5) - (b^3*B)/(4*x^4), x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/x^10, -((a^3*A)/(9*x^9)) - (a^2*(3*A*b + a*B))/(8*x^8) - (3*a*b*(A*b + a*B))/(7*x^7) - (b^2*(A*b + 3*a*B))/(6*x^6) - (b^3*B)/(5*x^5), x, 2),
+
+
+(x^5*(a + b*x)^5*(A + B*x), (a^5*A*x^6)/6 + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^7)/7 + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^8)/8 + (10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^9)/9 + (a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^10)/2 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^11)/11 + (b^5*B*x^12)/12, x, 2),
+(x^4*(a + b*x)^5*(A + B*x), (a^5*A*x^5)/5 + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^6)/6 + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^7)/7 + (5*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^8)/4 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^9)/9 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^10)/10 + (b^5*B*x^11)/11, x, 2),
+
+(x^3*(a + b*x)^5*(A + B*x), -((a^3*(A*b - a*B)*(a + b*x)^6)/(6*b^5)) + (a^2*(3*A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^7)/(7*b^5) - (3*a*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^8)/(8*b^5) + ((A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^9)/(9*b^5) + (B*(a + b*x)^10)/(10*b^5), x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^5*(A + B*x), (a^2*(A*b - a*B)*(a + b*x)^6)/(6*b^4) - (a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^7)/(7*b^4) + ((A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^8)/(8*b^4) + (B*(a + b*x)^9)/(9*b^4), x, 2),
+(x^1*(a + b*x)^5*(A + B*x), -((a*(A*b - a*B)*(a + b*x)^6)/(6*b^3)) + ((A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^7)/(7*b^3) + (B*(a + b*x)^8)/(8*b^3), x, 2),
+(x^0*(a + b*x)^5*(A + B*x), ((A*b - a*B)*(a + b*x)^6)/(6*b^2) + (B*(a + b*x)^7)/(7*b^2), x, 2),
+
+(((a + b*x)^5*(A + B*x))/x^1, 5*a^4*A*b*x + 5*a^3*A*b^2*x^2 + (10//3)*a^2*A*b^3*x^3 + (5//4)*a*A*b^4*x^4 + (1//5)*A*b^5*x^5 + (B*(a + b*x)^6)/(6*b) + a^5*A*log(x), x, 3),
+(((a + b*x)^5*(A + B*x))/x^2, -((a^5*A)/x) + 5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x + 5*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^2 + (5//3)*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^3 + (1//4)*b^4*(A*b + 5*a*B)*x^4 + (1//5)*b^5*B*x^5 + a^4*(5*A*b + a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^5*(A + B*x))/x^3, -((a^5*A)/(2*x^2)) - (a^4*(5*A*b + a*B))/x + 10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x + (5//2)*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^2 + (1//3)*b^4*(A*b + 5*a*B)*x^3 + (1//4)*b^5*B*x^4 + 5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^5*(A + B*x))/x^4, -((a^5*A)/(3*x^3)) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(2*x^2) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/x + 5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x + (1//2)*b^4*(A*b + 5*a*B)*x^2 + (1//3)*b^5*B*x^3 + 10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^5*(A + B*x))/x^5, -((a^5*A)/(4*x^4)) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(3*x^3) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(2*x^2) - (10*a^2*b^2*(A*b + a*B))/x + b^4*(A*b + 5*a*B)*x + (1//2)*b^5*B*x^2 + 5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^5*(A + B*x))/x^6, -((a^5*A)/(5*x^5)) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(4*x^4) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(3*x^3) - (5*a^2*b^2*(A*b + a*B))/x^2 - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B))/x + b^5*B*x + b^4*(A*b + 5*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^5*(A + B*x))/x^7, -((a^5*B)/(5*x^5)) - (5*a^4*b*B)/(4*x^4) - (10*a^3*b^2*B)/(3*x^3) - (5*a^2*b^3*B)/x^2 - (5*a*b^4*B)/x - (A*(a + b*x)^6)/(6*a*x^6) + b^5*B*log(x), x, 3),
+
+(((a + b*x)^5*(A + B*x))/x^8, -((A*(a + b*x)^6)/(7*a*x^7)) + ((A*b - 7*a*B)*(a + b*x)^6)/(42*a^2*x^6), x, 2),
+(((a + b*x)^5*(A + B*x))/x^9, -((A*(a + b*x)^6)/(8*a*x^8)) + ((A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^6)/(28*a^2*x^7) - (b*(A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^6)/(168*a^3*x^6), x, 3),
+
+(((a + b*x)^5*(A + B*x))/x^10, -((a^5*A)/(9*x^9)) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(8*x^8) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(7*x^7) - (5*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(3*x^6) - (a*b^3*(A*b + 2*a*B))/x^5 - (b^4*(A*b + 5*a*B))/(4*x^4) - (b^5*B)/(3*x^3), x, 2),
+(((a + b*x)^5*(A + B*x))/x^11, -((a^5*A)/(10*x^10)) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(9*x^9) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(8*x^8) - (10*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(7*x^7) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B))/(6*x^6) - (b^4*(A*b + 5*a*B))/(5*x^5) - (b^5*B)/(4*x^4), x, 2),
+(((a + b*x)^5*(A + B*x))/x^12, -((a^5*A)/(11*x^11)) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(10*x^10) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(9*x^9) - (5*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(4*x^8) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B))/(7*x^7) - (b^4*(A*b + 5*a*B))/(6*x^6) - (b^5*B)/(5*x^5), x, 2),
+
+
+(x^10*(a + b*x)^10*(A + B*x), (1//11)*a^10*A*x^11 + (1//12)*a^9*(10*A*b + a*B)*x^12 + (5//13)*a^8*b*(9*A*b + 2*a*B)*x^13 + (15//14)*a^7*b^2*(8*A*b + 3*a*B)*x^14 + 2*a^6*b^3*(7*A*b + 4*a*B)*x^15 + (21//8)*a^5*b^4*(6*A*b + 5*a*B)*x^16 + (42//17)*a^4*b^5*(5*A*b + 6*a*B)*x^17 + (5//3)*a^3*b^6*(4*A*b + 7*a*B)*x^18 + (15//19)*a^2*b^7*(3*A*b + 8*a*B)*x^19 + (1//4)*a*b^8*(2*A*b + 9*a*B)*x^20 + (1//21)*b^9*(A*b + 10*a*B)*x^21 + (1//22)*b^10*B*x^22, x, 2),
+(x^9*(a + b*x)^10*(A + B*x), (1//10)*a^10*A*x^10 + (1//11)*a^9*(10*A*b + a*B)*x^11 + (5//12)*a^8*b*(9*A*b + 2*a*B)*x^12 + (15//13)*a^7*b^2*(8*A*b + 3*a*B)*x^13 + (15//7)*a^6*b^3*(7*A*b + 4*a*B)*x^14 + (14//5)*a^5*b^4*(6*A*b + 5*a*B)*x^15 + (21//8)*a^4*b^5*(5*A*b + 6*a*B)*x^16 + (30//17)*a^3*b^6*(4*A*b + 7*a*B)*x^17 + (5//6)*a^2*b^7*(3*A*b + 8*a*B)*x^18 + (5//19)*a*b^8*(2*A*b + 9*a*B)*x^19 + (1//20)*b^9*(A*b + 10*a*B)*x^20 + (1//21)*b^10*B*x^21, x, 2),
+
+(x^8*(a + b*x)^10*(A + B*x), (a^8*(A*b - a*B)*(a + b*x)^11)/(11*b^10) - (a^7*(8*A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^12)/(12*b^10) + (4*a^6*(7*A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^13)/(13*b^10) - (2*a^5*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^14)/b^10 + (14*a^4*(5*A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^15)/(15*b^10) - (7*a^3*(4*A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^16)/(8*b^10) + (28*a^2*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^17)/(17*b^10) - (2*a*(2*A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^18)/(9*b^10) + ((A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^19)/(19*b^10) + (B*(a + b*x)^20)/(20*b^10), x, 2),
+(x^7*(a + b*x)^10*(A + B*x), -((a^7*(A*b - a*B)*(a + b*x)^11)/(11*b^9)) + (a^6*(7*A*b - 8*a*B)*(a + b*x)^12)/(12*b^9) - (7*a^5*(3*A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^13)/(13*b^9) + (a^4*(5*A*b - 8*a*B)*(a + b*x)^14)/(2*b^9) - (7*a^3*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^15)/(3*b^9) + (7*a^2*(3*A*b - 8*a*B)*(a + b*x)^16)/(16*b^9) - (7*a*(A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^17)/(17*b^9) + ((A*b - 8*a*B)*(a + b*x)^18)/(18*b^9) + (B*(a + b*x)^19)/(19*b^9), x, 2),
+(x^6*(a + b*x)^10*(A + B*x), (a^6*(A*b - a*B)*(a + b*x)^11)/(11*b^8) - (a^5*(6*A*b - 7*a*B)*(a + b*x)^12)/(12*b^8) + (3*a^4*(5*A*b - 7*a*B)*(a + b*x)^13)/(13*b^8) - (5*a^3*(4*A*b - 7*a*B)*(a + b*x)^14)/(14*b^8) + (a^2*(3*A*b - 7*a*B)*(a + b*x)^15)/(3*b^8) - (3*a*(2*A*b - 7*a*B)*(a + b*x)^16)/(16*b^8) + ((A*b - 7*a*B)*(a + b*x)^17)/(17*b^8) + (B*(a + b*x)^18)/(18*b^8), x, 2),
+(x^5*(a + b*x)^10*(A + B*x), -((a^5*(A*b - a*B)*(a + b*x)^11)/(11*b^7)) + (a^4*(5*A*b - 6*a*B)*(a + b*x)^12)/(12*b^7) - (5*a^3*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^13)/(13*b^7) + (5*a^2*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^14)/(7*b^7) - (a*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^15)/(3*b^7) + ((A*b - 6*a*B)*(a + b*x)^16)/(16*b^7) + (B*(a + b*x)^17)/(17*b^7), x, 2),
+(x^4*(a + b*x)^10*(A + B*x), (a^4*(A*b - a*B)*(a + b*x)^11)/(11*b^6) - (a^3*(4*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^12)/(12*b^6) + (2*a^2*(3*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^13)/(13*b^6) - (a*(2*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^14)/(7*b^6) + ((A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^15)/(15*b^6) + (B*(a + b*x)^16)/(16*b^6), x, 2),
+(x^3*(a + b*x)^10*(A + B*x), -((a^3*(A*b - a*B)*(a + b*x)^11)/(11*b^5)) + (a^2*(3*A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^12)/(12*b^5) - (3*a*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^13)/(13*b^5) + ((A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^14)/(14*b^5) + (B*(a + b*x)^15)/(15*b^5), x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^10*(A + B*x), (a^2*(A*b - a*B)*(a + b*x)^11)/(11*b^4) - (a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^12)/(12*b^4) + ((A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^13)/(13*b^4) + (B*(a + b*x)^14)/(14*b^4), x, 2),
+(x^1*(a + b*x)^10*(A + B*x), -((a*(A*b - a*B)*(a + b*x)^11)/(11*b^3)) + ((A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^12)/(12*b^3) + (B*(a + b*x)^13)/(13*b^3), x, 2),
+(x^0*(a + b*x)^10*(A + B*x), ((A*b - a*B)*(a + b*x)^11)/(11*b^2) + (B*(a + b*x)^12)/(12*b^2), x, 2),
+
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^1, 10*a^9*A*b*x + (45*a^8*A*b^2*x^2)/2 + 40*a^7*A*b^3*x^3 + (105*a^6*A*b^4*x^4)/2 + (252*a^5*A*b^5*x^5)/5 + 35*a^4*A*b^6*x^6 + (120*a^3*A*b^7*x^7)/7 + (45*a^2*A*b^8*x^8)/8 + (10*a*A*b^9*x^9)/9 + (A*b^10*x^10)/10 + (B*(a + b*x)^11)/(11*b) + a^10*A*log(x), x, 3),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^2, -((a^10*A)/x) + 5*a^8*b*(9*A*b + 2*a*B)*x + (15//2)*a^7*b^2*(8*A*b + 3*a*B)*x^2 + 10*a^6*b^3*(7*A*b + 4*a*B)*x^3 + (21//2)*a^5*b^4*(6*A*b + 5*a*B)*x^4 + (42//5)*a^4*b^5*(5*A*b + 6*a*B)*x^5 + 5*a^3*b^6*(4*A*b + 7*a*B)*x^6 + (15//7)*a^2*b^7*(3*A*b + 8*a*B)*x^7 + (5//8)*a*b^8*(2*A*b + 9*a*B)*x^8 + (1//9)*b^9*(A*b + 10*a*B)*x^9 + (1//10)*b^10*B*x^10 + a^9*(10*A*b + a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^3, -((a^10*A)/(2*x^2)) - (a^9*(10*A*b + a*B))/x + 15*a^7*b^2*(8*A*b + 3*a*B)*x + 15*a^6*b^3*(7*A*b + 4*a*B)*x^2 + 14*a^5*b^4*(6*A*b + 5*a*B)*x^3 + (21//2)*a^4*b^5*(5*A*b + 6*a*B)*x^4 + 6*a^3*b^6*(4*A*b + 7*a*B)*x^5 + (5//2)*a^2*b^7*(3*A*b + 8*a*B)*x^6 + (5//7)*a*b^8*(2*A*b + 9*a*B)*x^7 + (1//8)*b^9*(A*b + 10*a*B)*x^8 + (1//9)*b^10*B*x^9 + 5*a^8*b*(9*A*b + 2*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^4, -((a^10*A)/(3*x^3)) - (a^9*(10*A*b + a*B))/(2*x^2) - (5*a^8*b*(9*A*b + 2*a*B))/x + 30*a^6*b^3*(7*A*b + 4*a*B)*x + 21*a^5*b^4*(6*A*b + 5*a*B)*x^2 + 14*a^4*b^5*(5*A*b + 6*a*B)*x^3 + (15//2)*a^3*b^6*(4*A*b + 7*a*B)*x^4 + 3*a^2*b^7*(3*A*b + 8*a*B)*x^5 + (5//6)*a*b^8*(2*A*b + 9*a*B)*x^6 + (1//7)*b^9*(A*b + 10*a*B)*x^7 + (1//8)*b^10*B*x^8 + 15*a^7*b^2*(8*A*b + 3*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^5, -((a^10*A)/(4*x^4)) - (a^9*(10*A*b + a*B))/(3*x^3) - (5*a^8*b*(9*A*b + 2*a*B))/(2*x^2) - (15*a^7*b^2*(8*A*b + 3*a*B))/x + 42*a^5*b^4*(6*A*b + 5*a*B)*x + 21*a^4*b^5*(5*A*b + 6*a*B)*x^2 + 10*a^3*b^6*(4*A*b + 7*a*B)*x^3 + (15//4)*a^2*b^7*(3*A*b + 8*a*B)*x^4 + a*b^8*(2*A*b + 9*a*B)*x^5 + (1//6)*b^9*(A*b + 10*a*B)*x^6 + (1//7)*b^10*B*x^7 + 30*a^6*b^3*(7*A*b + 4*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^6, -((a^10*A)/(5*x^5)) - (a^9*(10*A*b + a*B))/(4*x^4) - (5*a^8*b*(9*A*b + 2*a*B))/(3*x^3) - (15*a^7*b^2*(8*A*b + 3*a*B))/(2*x^2) - (30*a^6*b^3*(7*A*b + 4*a*B))/x + 42*a^4*b^5*(5*A*b + 6*a*B)*x + 15*a^3*b^6*(4*A*b + 7*a*B)*x^2 + 5*a^2*b^7*(3*A*b + 8*a*B)*x^3 + (5//4)*a*b^8*(2*A*b + 9*a*B)*x^4 + (1//5)*b^9*(A*b + 10*a*B)*x^5 + (1//6)*b^10*B*x^6 + 42*a^5*b^4*(6*A*b + 5*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^7, -((a^10*A)/(6*x^6)) - (a^9*(10*A*b + a*B))/(5*x^5) - (5*a^8*b*(9*A*b + 2*a*B))/(4*x^4) - (5*a^7*b^2*(8*A*b + 3*a*B))/x^3 - (15*a^6*b^3*(7*A*b + 4*a*B))/x^2 - (42*a^5*b^4*(6*A*b + 5*a*B))/x + 30*a^3*b^6*(4*A*b + 7*a*B)*x + (15//2)*a^2*b^7*(3*A*b + 8*a*B)*x^2 + (5//3)*a*b^8*(2*A*b + 9*a*B)*x^3 + (1//4)*b^9*(A*b + 10*a*B)*x^4 + (1//5)*b^10*B*x^5 + 42*a^4*b^5*(5*A*b + 6*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^8, -((a^10*A)/(7*x^7)) - (a^9*(10*A*b + a*B))/(6*x^6) - (a^8*b*(9*A*b + 2*a*B))/x^5 - (15*a^7*b^2*(8*A*b + 3*a*B))/(4*x^4) - (10*a^6*b^3*(7*A*b + 4*a*B))/x^3 - (21*a^5*b^4*(6*A*b + 5*a*B))/x^2 - (42*a^4*b^5*(5*A*b + 6*a*B))/x + 15*a^2*b^7*(3*A*b + 8*a*B)*x + (5//2)*a*b^8*(2*A*b + 9*a*B)*x^2 + (1//3)*b^9*(A*b + 10*a*B)*x^3 + (1//4)*b^10*B*x^4 + 30*a^3*b^6*(4*A*b + 7*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^9, -((a^10*A)/(8*x^8)) - (a^9*(10*A*b + a*B))/(7*x^7) - (5*a^8*b*(9*A*b + 2*a*B))/(6*x^6) - (3*a^7*b^2*(8*A*b + 3*a*B))/x^5 - (15*a^6*b^3*(7*A*b + 4*a*B))/(2*x^4) - (14*a^5*b^4*(6*A*b + 5*a*B))/x^3 - (21*a^4*b^5*(5*A*b + 6*a*B))/x^2 - (30*a^3*b^6*(4*A*b + 7*a*B))/x + 5*a*b^8*(2*A*b + 9*a*B)*x + (1//2)*b^9*(A*b + 10*a*B)*x^2 + (1//3)*b^10*B*x^3 + 15*a^2*b^7*(3*A*b + 8*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^10, -((a^10*A)/(9*x^9)) - (a^9*(10*A*b + a*B))/(8*x^8) - (5*a^8*b*(9*A*b + 2*a*B))/(7*x^7) - (5*a^7*b^2*(8*A*b + 3*a*B))/(2*x^6) - (6*a^6*b^3*(7*A*b + 4*a*B))/x^5 - (21*a^5*b^4*(6*A*b + 5*a*B))/(2*x^4) - (14*a^4*b^5*(5*A*b + 6*a*B))/x^3 - (15*a^3*b^6*(4*A*b + 7*a*B))/x^2 - (15*a^2*b^7*(3*A*b + 8*a*B))/x + b^9*(A*b + 10*a*B)*x + (1//2)*b^10*B*x^2 + 5*a*b^8*(2*A*b + 9*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^11, -((a^10*A)/(10*x^10)) - (a^9*(10*A*b + a*B))/(9*x^9) - (5*a^8*b*(9*A*b + 2*a*B))/(8*x^8) - (15*a^7*b^2*(8*A*b + 3*a*B))/(7*x^7) - (5*a^6*b^3*(7*A*b + 4*a*B))/x^6 - (42*a^5*b^4*(6*A*b + 5*a*B))/(5*x^5) - (21*a^4*b^5*(5*A*b + 6*a*B))/(2*x^4) - (10*a^3*b^6*(4*A*b + 7*a*B))/x^3 - (15*a^2*b^7*(3*A*b + 8*a*B))/(2*x^2) - (5*a*b^8*(2*A*b + 9*a*B))/x + b^10*B*x + b^9*(A*b + 10*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^12, -(a^10*B)/(10*x^10) - (10*a^9*b*B)/(9*x^9) - (45*a^8*b^2*B)/(8*x^8) - (120*a^7*b^3*B)/(7*x^7) - (35*a^6*b^4*B)/x^6 - (252*a^5*b^5*B)/(5*x^5) - (105*a^4*b^6*B)/(2*x^4) - (40*a^3*b^7*B)/x^3 - (45*a^2*b^8*B)/(2*x^2) - (10*a*b^9*B)/x - (A*(a + b*x)^11)/(11*a*x^11) + b^10*B*log(x), x, 3),
+
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^13, -(A*(a + b*x)^11)/(12*a*x^12) + ((A*b - 12*a*B)*(a + b*x)^11)/(132*a^2*x^11), x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^14, -(A*(a + b*x)^11)/(13*a*x^13) + ((2*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^11)/(156*a^2*x^12) - (b*(2*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^11)/(1716*a^3*x^11), x, 3),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^15, -(A*(a + b*x)^11)/(14*a*x^14) + ((3*A*b - 14*a*B)*(a + b*x)^11)/(182*a^2*x^13) - (b*(3*A*b - 14*a*B)*(a + b*x)^11)/(1092*a^3*x^12) + (b^2*(3*A*b - 14*a*B)*(a + b*x)^11)/(12012*a^4*x^11), x, 4),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^16, -(A*(a + b*x)^11)/(15*a*x^15) + ((4*A*b - 15*a*B)*(a + b*x)^11)/(210*a^2*x^14) - (b*(4*A*b - 15*a*B)*(a + b*x)^11)/(910*a^3*x^13) + (b^2*(4*A*b - 15*a*B)*(a + b*x)^11)/(5460*a^4*x^12) - (b^3*(4*A*b - 15*a*B)*(a + b*x)^11)/(60060*a^5*x^11), x, 5),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^17, -(A*(a + b*x)^11)/(16*a*x^16) + ((5*A*b - 16*a*B)*(a + b*x)^11)/(240*a^2*x^15) - (b*(5*A*b - 16*a*B)*(a + b*x)^11)/(840*a^3*x^14) + (b^2*(5*A*b - 16*a*B)*(a + b*x)^11)/(3640*a^4*x^13) - (b^3*(5*A*b - 16*a*B)*(a + b*x)^11)/(21840*a^5*x^12) + (b^4*(5*A*b - 16*a*B)*(a + b*x)^11)/(240240*a^6*x^11), x, 6),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^18, -((A*(a + b*x)^11)/(17*a*x^17)) + ((6*A*b - 17*a*B)*(a + b*x)^11)/(272*a^2*x^16) - (b*(6*A*b - 17*a*B)*(a + b*x)^11)/(816*a^3*x^15) + (b^2*(6*A*b - 17*a*B)*(a + b*x)^11)/(2856*a^4*x^14) - (b^3*(6*A*b - 17*a*B)*(a + b*x)^11)/(12376*a^5*x^13) + (b^4*(6*A*b - 17*a*B)*(a + b*x)^11)/(74256*a^6*x^12) - (b^5*(6*A*b - 17*a*B)*(a + b*x)^11)/(816816*a^7*x^11), x, 7),
+
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^19, -((a^10*A)/(18*x^18)) - (a^9*(10*A*b + a*B))/(17*x^17) - (5*a^8*b*(9*A*b + 2*a*B))/(16*x^16) - (a^7*b^2*(8*A*b + 3*a*B))/x^15 - (15*a^6*b^3*(7*A*b + 4*a*B))/(7*x^14) - (42*a^5*b^4*(6*A*b + 5*a*B))/(13*x^13) - (7*a^4*b^5*(5*A*b + 6*a*B))/(2*x^12) - (30*a^3*b^6*(4*A*b + 7*a*B))/(11*x^11) - (3*a^2*b^7*(3*A*b + 8*a*B))/(2*x^10) - (5*a*b^8*(2*A*b + 9*a*B))/(9*x^9) - (b^9*(A*b + 10*a*B))/(8*x^8) - (b^10*B)/(7*x^7), x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^20, -((a^10*A)/(19*x^19)) - (a^9*(10*A*b + a*B))/(18*x^18) - (5*a^8*b*(9*A*b + 2*a*B))/(17*x^17) - (15*a^7*b^2*(8*A*b + 3*a*B))/(16*x^16) - (2*a^6*b^3*(7*A*b + 4*a*B))/x^15 - (3*a^5*b^4*(6*A*b + 5*a*B))/x^14 - (42*a^4*b^5*(5*A*b + 6*a*B))/(13*x^13) - (5*a^3*b^6*(4*A*b + 7*a*B))/(2*x^12) - (15*a^2*b^7*(3*A*b + 8*a*B))/(11*x^11) - (a*b^8*(2*A*b + 9*a*B))/(2*x^10) - (b^9*(A*b + 10*a*B))/(9*x^9) - (b^10*B)/(8*x^8), x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/x^21, -((a^10*A)/(20*x^20)) - (a^9*(10*A*b + a*B))/(19*x^19) - (5*a^8*b*(9*A*b + 2*a*B))/(18*x^18) - (15*a^7*b^2*(8*A*b + 3*a*B))/(17*x^17) - (15*a^6*b^3*(7*A*b + 4*a*B))/(8*x^16) - (14*a^5*b^4*(6*A*b + 5*a*B))/(5*x^15) - (3*a^4*b^5*(5*A*b + 6*a*B))/x^14 - (30*a^3*b^6*(4*A*b + 7*a*B))/(13*x^13) - (5*a^2*b^7*(3*A*b + 8*a*B))/(4*x^12) - (5*a*b^8*(2*A*b + 9*a*B))/(11*x^11) - (b^9*(A*b + 10*a*B))/(10*x^10) - (b^10*B)/(9*x^9), x, 2),
+
+
+# {x^14*(a + b*x)^15*(A + B*x), x, 2, (1/15)*a^15*A*x^15 + (1/16)*a^14*(15*A*b + a*B)*x^16 + (15/17)*a^13*b*(7*A*b + a*B)*x^17 + (35/18)*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B)*x^18 + (455/19)*a^11*b^3*(3*A*b + a*B)*x^19 + (273/20)*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B)*x^20 + (143/3)*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B)*x^21 + (65/2)*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B)*x^22 + (6435/23)*a^7*b^7*(A*b + a*B)*x^23 + (715/24)*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B)*x^24 + (1001/25)*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B)*x^25 + (21/2)*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B)*x^26 + (455/27)*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B)*x^27 + (5/4)*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B)*x^28 + (15/29)*a*b^13*(A*b + 7*a*B)*x^29 + (1/30)*b^14*(A*b + 15*a*B)*x^30 + (1/31)*b^15*B*x^31}
+(x^13*(a + b*x)^15*(A + B*x), (1//14)*a^15*A*x^14 + (1//15)*a^14*(15*A*b + a*B)*x^15 + (15//16)*a^13*b*(7*A*b + a*B)*x^16 + (35//17)*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B)*x^17 + (455//18)*a^11*b^3*(3*A*b + a*B)*x^18 + (273//19)*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B)*x^19 + (1001//20)*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B)*x^20 + (715//21)*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B)*x^21 + (585//2)*a^7*b^7*(A*b + a*B)*x^22 + (715//23)*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B)*x^23 + (1001//24)*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B)*x^24 + (273//25)*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B)*x^25 + (35//2)*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B)*x^26 + (35//27)*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B)*x^27 + (15//28)*a*b^13*(A*b + 7*a*B)*x^28 + (1//29)*b^14*(A*b + 15*a*B)*x^29 + (1//30)*b^15*B*x^30, x, 2),
+(x^12*(a + b*x)^15*(A + B*x), (1//13)*a^15*A*x^13 + (1//14)*a^14*(15*A*b + a*B)*x^14 + a^13*b*(7*A*b + a*B)*x^15 + (35//16)*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B)*x^16 + (455//17)*a^11*b^3*(3*A*b + a*B)*x^17 + (91//6)*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B)*x^18 + (1001//19)*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B)*x^19 + (143//4)*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B)*x^20 + (2145//7)*a^7*b^7*(A*b + a*B)*x^21 + (65//2)*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B)*x^22 + (1001//23)*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B)*x^23 + (91//8)*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B)*x^24 + (91//5)*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B)*x^25 + (35//26)*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B)*x^26 + (5//9)*a*b^13*(A*b + 7*a*B)*x^27 + (1//28)*b^14*(A*b + 15*a*B)*x^28 + (1//29)*b^15*B*x^29, x, 2),
+
+(x^11*(a + b*x)^15*(A + B*x), -((a^11*(A*b - a*B)*(a + b*x)^16)/(16*b^13)) + (a^10*(11*A*b - 12*a*B)*(a + b*x)^17)/(17*b^13) - (11*a^9*(5*A*b - 6*a*B)*(a + b*x)^18)/(18*b^13) + (55*a^8*(3*A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^19)/(19*b^13) - (33*a^7*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^20)/(4*b^13) + (22*a^6*(7*A*b - 12*a*B)*(a + b*x)^21)/(7*b^13) - (21*a^5*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^22)/b^13 + (66*a^4*(5*A*b - 12*a*B)*(a + b*x)^23)/(23*b^13) - (55*a^3*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^24)/(8*b^13) + (11*a^2*(A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^25)/(5*b^13) - (11*a*(A*b - 6*a*B)*(a + b*x)^26)/(26*b^13) + ((A*b - 12*a*B)*(a + b*x)^27)/(27*b^13) + (B*(a + b*x)^28)/(28*b^13), x, 2),
+(x^10*(a + b*x)^15*(A + B*x), (a^10*(A*b - a*B)*(a + b*x)^16)/(16*b^12) - (a^9*(10*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^17)/(17*b^12) + (5*a^8*(9*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^18)/(18*b^12) - (15*a^7*(8*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^19)/(19*b^12) + (3*a^6*(7*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^20)/(2*b^12) - (2*a^5*(6*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^21)/b^12 + (21*a^4*(5*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^22)/(11*b^12) - (30*a^3*(4*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^23)/(23*b^12) + (5*a^2*(3*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^24)/(8*b^12) - (a*(2*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^25)/(5*b^12) + ((A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^26)/(26*b^12) + (B*(a + b*x)^27)/(27*b^12), x, 2),
+(x^9*(a + b*x)^15*(A + B*x), -(a^9*(A*b - a*B)*(a + b*x)^16)/(16*b^11) + (a^8*(9*A*b - 10*a*B)*(a + b*x)^17)/(17*b^11) - (a^7*(4*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^18)/(2*b^11) + (12*a^6*(7*A*b - 10*a*B)*(a + b*x)^19)/(19*b^11) - (21*a^5*(3*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^20)/(10*b^11) + (6*a^4*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^21)/b^11 - (21*a^3*(2*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^22)/(11*b^11) + (12*a^2*(3*A*b - 10*a*B)*(a + b*x)^23)/(23*b^11) - (3*a*(A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^24)/(8*b^11) + ((A*b - 10*a*B)*(a + b*x)^25)/(25*b^11) + (B*(a + b*x)^26)/(26*b^11), x, 2),
+(x^8*(a + b*x)^15*(A + B*x), (a^8*(A*b - a*B)*(a + b*x)^16)/(16*b^10) - (a^7*(8*A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^17)/(17*b^10) + (2*a^6*(7*A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^18)/(9*b^10) - (28*a^5*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^19)/(19*b^10) + (7*a^4*(5*A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^20)/(10*b^10) - (2*a^3*(4*A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^21)/(3*b^10) + (14*a^2*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^22)/(11*b^10) - (4*a*(2*A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^23)/(23*b^10) + ((A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^24)/(24*b^10) + (B*(a + b*x)^25)/(25*b^10), x, 2),
+(x^7*(a + b*x)^15*(A + B*x), -(a^7*(A*b - a*B)*(a + b*x)^16)/(16*b^9) + (a^6*(7*A*b - 8*a*B)*(a + b*x)^17)/(17*b^9) - (7*a^5*(3*A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^18)/(18*b^9) + (7*a^4*(5*A*b - 8*a*B)*(a + b*x)^19)/(19*b^9) - (7*a^3*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^20)/(4*b^9) + (a^2*(3*A*b - 8*a*B)*(a + b*x)^21)/(3*b^9) - (7*a*(A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^22)/(22*b^9) + ((A*b - 8*a*B)*(a + b*x)^23)/(23*b^9) + (B*(a + b*x)^24)/(24*b^9), x, 2),
+(x^6*(a + b*x)^15*(A + B*x), (a^6*(A*b - a*B)*(a + b*x)^16)/(16*b^8) - (a^5*(6*A*b - 7*a*B)*(a + b*x)^17)/(17*b^8) + (a^4*(5*A*b - 7*a*B)*(a + b*x)^18)/(6*b^8) - (5*a^3*(4*A*b - 7*a*B)*(a + b*x)^19)/(19*b^8) + (a^2*(3*A*b - 7*a*B)*(a + b*x)^20)/(4*b^8) - (a*(2*A*b - 7*a*B)*(a + b*x)^21)/(7*b^8) + ((A*b - 7*a*B)*(a + b*x)^22)/(22*b^8) + (B*(a + b*x)^23)/(23*b^8), x, 2),
+(x^5*(a + b*x)^15*(A + B*x), -(a^5*(A*b - a*B)*(a + b*x)^16)/(16*b^7) + (a^4*(5*A*b - 6*a*B)*(a + b*x)^17)/(17*b^7) - (5*a^3*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^18)/(18*b^7) + (10*a^2*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^19)/(19*b^7) - (a*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^20)/(4*b^7) + ((A*b - 6*a*B)*(a + b*x)^21)/(21*b^7) + (B*(a + b*x)^22)/(22*b^7), x, 2),
+(x^4*(a + b*x)^15*(A + B*x), (a^4*(A*b - a*B)*(a + b*x)^16)/(16*b^6) - (a^3*(4*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^17)/(17*b^6) + (a^2*(3*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^18)/(9*b^6) - (2*a*(2*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^19)/(19*b^6) + ((A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^20)/(20*b^6) + (B*(a + b*x)^21)/(21*b^6), x, 2),
+(x^3*(a + b*x)^15*(A + B*x), -(a^3*(A*b - a*B)*(a + b*x)^16)/(16*b^5) + (a^2*(3*A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^17)/(17*b^5) - (a*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^18)/(6*b^5) + ((A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^19)/(19*b^5) + (B*(a + b*x)^20)/(20*b^5), x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^15*(A + B*x), (a^2*(A*b - a*B)*(a + b*x)^16)/(16*b^4) - (a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^17)/(17*b^4) + ((A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^18)/(18*b^4) + (B*(a + b*x)^19)/(19*b^4), x, 2),
+(x*(a + b*x)^15*(A + B*x), -(a*(A*b - a*B)*(a + b*x)^16)/(16*b^3) + ((A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^17)/(17*b^3) + (B*(a + b*x)^18)/(18*b^3), x, 2),
+((a + b*x)^15*(A + B*x), ((A*b - a*B)*(a + b*x)^16)/(16*b^2) + (B*(a + b*x)^17)/(17*b^2), x, 2),
+
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x, 15*a^14*A*b*x + (105//2)*a^13*A*b^2*x^2 + (455//3)*a^12*A*b^3*x^3 + (1365//4)*a^11*A*b^4*x^4 + (3003//5)*a^10*A*b^5*x^5 + (5005//6)*a^9*A*b^6*x^6 + (6435//7)*a^8*A*b^7*x^7 + (6435//8)*a^7*A*b^8*x^8 + (5005//9)*a^6*A*b^9*x^9 + (3003//10)*a^5*A*b^10*x^10 + (1365//11)*a^4*A*b^11*x^11 + (455//12)*a^3*A*b^12*x^12 + (105//13)*a^2*A*b^13*x^13 + (15//14)*a*A*b^14*x^14 + (1//15)*A*b^15*x^15 + (B*(a + b*x)^16)/(16*b) + a^15*A*log(x), x, 3),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^2, -((a^15*A)/x) + 15*a^13*b*(7*A*b + a*B)*x + (35*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B)*x^2)/2 + (455*a^11*b^3*(3*A*b + a*B)*x^3)/3 + (273*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B)*x^4)/4 + (1001*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B)*x^5)/5 + (715*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B)*x^6)/6 + (6435*a^7*b^7*(A*b + a*B)*x^7)/7 + (715*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B)*x^8)/8 + (1001*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B)*x^9)/9 + (273*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B)*x^10)/10 + (455*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B)*x^11)/11 + (35*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B)*x^12)/12 + (15*a*b^13*(A*b + 7*a*B)*x^13)/13 + (b^14*(A*b + 15*a*B)*x^14)/14 + (b^15*B*x^15)/15 + a^14*(15*A*b + a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^3, -(a^15*A)/(2*x^2) - (a^14*(15*A*b + a*B))/x + 35*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B)*x + (455*a^11*b^3*(3*A*b + a*B)*x^2)/2 + 91*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B)*x^3 + (1001*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B)*x^4)/4 + 143*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B)*x^5 + (2145*a^7*b^7*(A*b + a*B)*x^6)/2 + (715*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B)*x^7)/7 + (1001*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B)*x^8)/8 + (91*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B)*x^9)/3 + (91*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B)*x^10)/2 + (35*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B)*x^11)/11 + (5*a*b^13*(A*b + 7*a*B)*x^12)/4 + (b^14*(A*b + 15*a*B)*x^13)/13 + (b^15*B*x^14)/14 + 15*a^13*b*(7*A*b + a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^4, -(a^15*A)/(3*x^3) - (a^14*(15*A*b + a*B))/(2*x^2) - (15*a^13*b*(7*A*b + a*B))/x + 455*a^11*b^3*(3*A*b + a*B)*x + (273*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B)*x^2)/2 + (1001*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B)*x^3)/3 + (715*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B)*x^4)/4 + 1287*a^7*b^7*(A*b + a*B)*x^5 + (715*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B)*x^6)/6 + 143*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B)*x^7 + (273*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B)*x^8)/8 + (455*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B)*x^9)/9 + (7*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B)*x^10)/2 + (15*a*b^13*(A*b + 7*a*B)*x^11)/11 + (b^14*(A*b + 15*a*B)*x^12)/12 + (b^15*B*x^13)/13 + 35*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^5, -(a^15*A)/(4*x^4) - (a^14*(15*A*b + a*B))/(3*x^3) - (15*a^13*b*(7*A*b + a*B))/(2*x^2) - (35*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B))/x + 273*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B)*x + (1001*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B)*x^2)/2 + (715*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B)*x^3)/3 + (6435*a^7*b^7*(A*b + a*B)*x^4)/4 + 143*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B)*x^5 + (1001*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B)*x^6)/6 + 39*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B)*x^7 + (455*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B)*x^8)/8 + (35*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B)*x^9)/9 + (3*a*b^13*(A*b + 7*a*B)*x^10)/2 + (b^14*(A*b + 15*a*B)*x^11)/11 + (b^15*B*x^12)/12 + 455*a^11*b^3*(3*A*b + a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^6, -(a^15*A)/(5*x^5) - (a^14*(15*A*b + a*B))/(4*x^4) - (5*a^13*b*(7*A*b + a*B))/x^3 - (35*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B))/(2*x^2) - (455*a^11*b^3*(3*A*b + a*B))/x + 1001*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B)*x + (715*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B)*x^2)/2 + 2145*a^7*b^7*(A*b + a*B)*x^3 + (715*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B)*x^4)/4 + (1001*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B)*x^5)/5 + (91*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B)*x^6)/2 + 65*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B)*x^7 + (35*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B)*x^8)/8 + (5*a*b^13*(A*b + 7*a*B)*x^9)/3 + (b^14*(A*b + 15*a*B)*x^10)/10 + (b^15*B*x^11)/11 + 273*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^7, -(a^15*A)/(6*x^6) - (a^14*(15*A*b + a*B))/(5*x^5) - (15*a^13*b*(7*A*b + a*B))/(4*x^4) - (35*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B))/(3*x^3) - (455*a^11*b^3*(3*A*b + a*B))/(2*x^2) - (273*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B))/x + 715*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B)*x + (6435*a^7*b^7*(A*b + a*B)*x^2)/2 + (715*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B)*x^3)/3 + (1001*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B)*x^4)/4 + (273*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B)*x^5)/5 + (455*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B)*x^6)/6 + 5*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B)*x^7 + (15*a*b^13*(A*b + 7*a*B)*x^8)/8 + (b^14*(A*b + 15*a*B)*x^9)/9 + (b^15*B*x^10)/10 + 1001*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^8, -(a^15*A)/(7*x^7) - (a^14*(15*A*b + a*B))/(6*x^6) - (3*a^13*b*(7*A*b + a*B))/x^5 - (35*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B))/(4*x^4) - (455*a^11*b^3*(3*A*b + a*B))/(3*x^3) - (273*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B))/(2*x^2) - (1001*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B))/x + 6435*a^7*b^7*(A*b + a*B)*x + (715*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B)*x^2)/2 + (1001*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B)*x^3)/3 + (273*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B)*x^4)/4 + 91*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B)*x^5 + (35*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B)*x^6)/6 + (15*a*b^13*(A*b + 7*a*B)*x^7)/7 + (b^14*(A*b + 15*a*B)*x^8)/8 + (b^15*B*x^9)/9 + 715*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^9, -(a^15*A)/(8*x^8) - (a^14*(15*A*b + a*B))/(7*x^7) - (5*a^13*b*(7*A*b + a*B))/(2*x^6) - (7*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B))/x^5 - (455*a^11*b^3*(3*A*b + a*B))/(4*x^4) - (91*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B))/x^3 - (1001*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B))/(2*x^2) - (715*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B))/x + 715*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B)*x + (1001*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B)*x^2)/2 + 91*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B)*x^3 + (455*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B)*x^4)/4 + 7*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B)*x^5 + (5*a*b^13*(A*b + 7*a*B)*x^6)/2 + (b^14*(A*b + 15*a*B)*x^7)/7 + (b^15*B*x^8)/8 + 6435*a^7*b^7*(A*b + a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^10, -(a^15*A)/(9*x^9) - (a^14*(15*A*b + a*B))/(8*x^8) - (15*a^13*b*(7*A*b + a*B))/(7*x^7) - (35*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B))/(6*x^6) - (91*a^11*b^3*(3*A*b + a*B))/x^5 - (273*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B))/(4*x^4) - (1001*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B))/(3*x^3) - (715*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B))/(2*x^2) - (6435*a^7*b^7*(A*b + a*B))/x + 1001*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B)*x + (273*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B)*x^2)/2 + (455*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B)*x^3)/3 + (35*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B)*x^4)/4 + 3*a*b^13*(A*b + 7*a*B)*x^5 + (b^14*(A*b + 15*a*B)*x^6)/6 + (b^15*B*x^7)/7 + 715*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^11, -(a^15*A)/(10*x^10) - (a^14*(15*A*b + a*B))/(9*x^9) - (15*a^13*b*(7*A*b + a*B))/(8*x^8) - (5*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B))/x^7 - (455*a^11*b^3*(3*A*b + a*B))/(6*x^6) - (273*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B))/(5*x^5) - (1001*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B))/(4*x^4) - (715*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B))/(3*x^3) - (6435*a^7*b^7*(A*b + a*B))/(2*x^2) - (715*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B))/x + 273*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B)*x + (455*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B)*x^2)/2 + (35*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B)*x^3)/3 + (15*a*b^13*(A*b + 7*a*B)*x^4)/4 + (b^14*(A*b + 15*a*B)*x^5)/5 + (b^15*B*x^6)/6 + 1001*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^12, -(a^15*A)/(11*x^11) - (a^14*(15*A*b + a*B))/(10*x^10) - (5*a^13*b*(7*A*b + a*B))/(3*x^9) - (35*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B))/(8*x^8) - (65*a^11*b^3*(3*A*b + a*B))/x^7 - (91*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B))/(2*x^6) - (1001*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B))/(5*x^5) - (715*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B))/(4*x^4) - (2145*a^7*b^7*(A*b + a*B))/x^3 - (715*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B))/(2*x^2) - (1001*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B))/x + 455*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B)*x + (35*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B)*x^2)/2 + 5*a*b^13*(A*b + 7*a*B)*x^3 + (b^14*(A*b + 15*a*B)*x^4)/4 + (b^15*B*x^5)/5 + 273*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^13, -(a^15*A)/(12*x^12) - (a^14*(15*A*b + a*B))/(11*x^11) - (3*a^13*b*(7*A*b + a*B))/(2*x^10) - (35*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B))/(9*x^9) - (455*a^11*b^3*(3*A*b + a*B))/(8*x^8) - (39*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B))/x^7 - (1001*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B))/(6*x^6) - (143*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B))/x^5 - (6435*a^7*b^7*(A*b + a*B))/(4*x^4) - (715*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B))/(3*x^3) - (1001*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B))/(2*x^2) - (273*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B))/x + 35*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B)*x + (15*a*b^13*(A*b + 7*a*B)*x^2)/2 + (b^14*(A*b + 15*a*B)*x^3)/3 + (b^15*B*x^4)/4 + 455*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^14, -(a^15*A)/(13*x^13) - (a^14*(15*A*b + a*B))/(12*x^12) - (15*a^13*b*(7*A*b + a*B))/(11*x^11) - (7*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B))/(2*x^10) - (455*a^11*b^3*(3*A*b + a*B))/(9*x^9) - (273*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B))/(8*x^8) - (143*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B))/x^7 - (715*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B))/(6*x^6) - (1287*a^7*b^7*(A*b + a*B))/x^5 - (715*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B))/(4*x^4) - (1001*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B))/(3*x^3) - (273*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B))/(2*x^2) - (455*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B))/x + 15*a*b^13*(A*b + 7*a*B)*x + (b^14*(A*b + 15*a*B)*x^2)/2 + (b^15*B*x^3)/3 + 35*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^15, -(a^15*A)/(14*x^14) - (a^14*(15*A*b + a*B))/(13*x^13) - (5*a^13*b*(7*A*b + a*B))/(4*x^12) - (35*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B))/(11*x^11) - (91*a^11*b^3*(3*A*b + a*B))/(2*x^10) - (91*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B))/(3*x^9) - (1001*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B))/(8*x^8) - (715*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B))/(7*x^7) - (2145*a^7*b^7*(A*b + a*B))/(2*x^6) - (143*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B))/x^5 - (1001*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B))/(4*x^4) - (91*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B))/x^3 - (455*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B))/(2*x^2) - (35*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B))/x + b^14*(A*b + 15*a*B)*x + (b^15*B*x^2)/2 + 15*a*b^13*(A*b + 7*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^16, -(a^15*A)/(15*x^15) - (a^14*(15*A*b + a*B))/(14*x^14) - (15*a^13*b*(7*A*b + a*B))/(13*x^13) - (35*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B))/(12*x^12) - (455*a^11*b^3*(3*A*b + a*B))/(11*x^11) - (273*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B))/(10*x^10) - (1001*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B))/(9*x^9) - (715*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B))/(8*x^8) - (6435*a^7*b^7*(A*b + a*B))/(7*x^7) - (715*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B))/(6*x^6) - (1001*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B))/(5*x^5) - (273*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B))/(4*x^4) - (455*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B))/(3*x^3) - (35*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B))/(2*x^2) - (15*a*b^13*(A*b + 7*a*B))/x + b^15*B*x + b^14*(A*b + 15*a*B)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^17, -(a^15*B)/(15*x^15) - (15*a^14*b*B)/(14*x^14) - (105*a^13*b^2*B)/(13*x^13) - (455*a^12*b^3*B)/(12*x^12) - (1365*a^11*b^4*B)/(11*x^11) - (3003*a^10*b^5*B)/(10*x^10) - (5005*a^9*b^6*B)/(9*x^9) - (6435*a^8*b^7*B)/(8*x^8) - (6435*a^7*b^8*B)/(7*x^7) - (5005*a^6*b^9*B)/(6*x^6) - (3003*a^5*b^10*B)/(5*x^5) - (1365*a^4*b^11*B)/(4*x^4) - (455*a^3*b^12*B)/(3*x^3) - (105*a^2*b^13*B)/(2*x^2) - (15*a*b^14*B)/x - (A*(a + b*x)^16)/(16*a*x^16) + b^15*B*log(x), x, 3),
+
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^18, -(A*(a + b*x)^16)/(17*a*x^17) + ((A*b - 17*a*B)*(a + b*x)^16)/(272*a^2*x^16), x, 2),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^19, -(A*(a + b*x)^16)/(18*a*x^18) + ((A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^16)/(153*a^2*x^17) - (b*(A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^16)/(2448*a^3*x^16), x, 3),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^20, -(A*(a + b*x)^16)/(19*a*x^19) + ((3*A*b - 19*a*B)*(a + b*x)^16)/(342*a^2*x^18) - (b*(3*A*b - 19*a*B)*(a + b*x)^16)/(2907*a^3*x^17) + (b^2*(3*A*b - 19*a*B)*(a + b*x)^16)/(46512*a^4*x^16), x, 4),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^21, -(A*(a + b*x)^16)/(20*a*x^20) + ((A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^16)/(95*a^2*x^19) - (b*(A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^16)/(570*a^3*x^18) + (b^2*(A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^16)/(4845*a^4*x^17) - (b^3*(A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^16)/(77520*a^5*x^16), x, 5),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^22, -(A*(a + b*x)^16)/(21*a*x^21) + ((5*A*b - 21*a*B)*(a + b*x)^16)/(420*a^2*x^20) - (b*(5*A*b - 21*a*B)*(a + b*x)^16)/(1995*a^3*x^19) + (b^2*(5*A*b - 21*a*B)*(a + b*x)^16)/(11970*a^4*x^18) - (b^3*(5*A*b - 21*a*B)*(a + b*x)^16)/(101745*a^5*x^17) + (b^4*(5*A*b - 21*a*B)*(a + b*x)^16)/(1627920*a^6*x^16), x, 6),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^23, -(A*(a + b*x)^16)/(22*a*x^22) + ((3*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^16)/(231*a^2*x^21) - (b*(3*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^16)/(924*a^3*x^20) + (b^2*(3*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^16)/(4389*a^4*x^19) - (b^3*(3*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^16)/(26334*a^5*x^18) + (b^4*(3*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^16)/(223839*a^6*x^17) - (b^5*(3*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^16)/(3581424*a^7*x^16), x, 7),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^24, -(A*(a + b*x)^16)/(23*a*x^23) + ((7*A*b - 23*a*B)*(a + b*x)^16)/(506*a^2*x^22) - (b*(7*A*b - 23*a*B)*(a + b*x)^16)/(1771*a^3*x^21) + (b^2*(7*A*b - 23*a*B)*(a + b*x)^16)/(7084*a^4*x^20) - (b^3*(7*A*b - 23*a*B)*(a + b*x)^16)/(33649*a^5*x^19) + (b^4*(7*A*b - 23*a*B)*(a + b*x)^16)/(201894*a^6*x^18) - (b^5*(7*A*b - 23*a*B)*(a + b*x)^16)/(1716099*a^7*x^17) + (b^6*(7*A*b - 23*a*B)*(a + b*x)^16)/(27457584*a^8*x^16), x, 8),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^25, -(A*(a + b*x)^16)/(24*a*x^24) + ((A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^16)/(69*a^2*x^23) - (7*b*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^16)/(1518*a^3*x^22) + (b^2*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^16)/(759*a^4*x^21) - (b^3*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^16)/(3036*a^5*x^20) + (b^4*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^16)/(14421*a^6*x^19) - (b^5*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^16)/(86526*a^7*x^18) + (b^6*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^16)/(735471*a^8*x^17) - (b^7*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^16)/(11767536*a^9*x^16), x, 9),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^26, -(A*(a + b*x)^16)/(25*a*x^25) + ((9*A*b - 25*a*B)*(a + b*x)^16)/(600*a^2*x^24) - (b*(9*A*b - 25*a*B)*(a + b*x)^16)/(1725*a^3*x^23) + (7*b^2*(9*A*b - 25*a*B)*(a + b*x)^16)/(37950*a^4*x^22) - (b^3*(9*A*b - 25*a*B)*(a + b*x)^16)/(18975*a^5*x^21) + (b^4*(9*A*b - 25*a*B)*(a + b*x)^16)/(75900*a^6*x^20) - (b^5*(9*A*b - 25*a*B)*(a + b*x)^16)/(360525*a^7*x^19) + (b^6*(9*A*b - 25*a*B)*(a + b*x)^16)/(2163150*a^8*x^18) - (b^7*(9*A*b - 25*a*B)*(a + b*x)^16)/(18386775*a^9*x^17) + (b^8*(9*A*b - 25*a*B)*(a + b*x)^16)/(294188400*a^10*x^16), x, 10),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^27, -(A*(a + b*x)^16)/(26*a*x^26) + ((5*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^16)/(325*a^2*x^25) - (3*b*(5*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^16)/(2600*a^3*x^24) + (3*b^2*(5*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^16)/(7475*a^4*x^23) - (21*b^3*(5*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^16)/(164450*a^5*x^22) + (3*b^4*(5*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^16)/(82225*a^6*x^21) - (3*b^5*(5*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^16)/(328900*a^7*x^20) + (3*b^6*(5*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^16)/(1562275*a^8*x^19) - (b^7*(5*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^16)/(3124550*a^9*x^18) + (b^8*(5*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^16)/(26558675*a^10*x^17) - (b^9*(5*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^16)/(424938800*a^11*x^16), x, 11),
+
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^28, -(a^15*A)/(27*x^27) - (a^14*(15*A*b + a*B))/(26*x^26) - (3*a^13*b*(7*A*b + a*B))/(5*x^25) - (35*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B))/(24*x^24) - (455*a^11*b^3*(3*A*b + a*B))/(23*x^23) - (273*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B))/(22*x^22) - (143*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B))/(3*x^21) - (143*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B))/(4*x^20) - (6435*a^7*b^7*(A*b + a*B))/(19*x^19) - (715*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B))/(18*x^18) - (1001*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B))/(17*x^17) - (273*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B))/(16*x^16) - (91*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B))/(3*x^15) - (5*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B))/(2*x^14) - (15*a*b^13*(A*b + 7*a*B))/(13*x^13) - (b^14*(A*b + 15*a*B))/(12*x^12) - (b^15*B)/(11*x^11), x, 2),
+(((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^29, -(a^15*A)/(28*x^28) - (a^14*(15*A*b + a*B))/(27*x^27) - (15*a^13*b*(7*A*b + a*B))/(26*x^26) - (7*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B))/(5*x^25) - (455*a^11*b^3*(3*A*b + a*B))/(24*x^24) - (273*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B))/(23*x^23) - (91*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B))/(2*x^22) - (715*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B))/(21*x^21) - (1287*a^7*b^7*(A*b + a*B))/(4*x^20) - (715*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B))/(19*x^19) - (1001*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B))/(18*x^18) - (273*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B))/(17*x^17) - (455*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B))/(16*x^16) - (7*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B))/(3*x^15) - (15*a*b^13*(A*b + 7*a*B))/(14*x^14) - (b^14*(A*b + 15*a*B))/(13*x^13) - (b^15*B)/(12*x^12), x, 2),
+# {((a + b*x)^15*(A + B*x))/x^30, x, 2, -(a^15*A)/(29*x^29) - (a^14*(15*A*b + a*B))/(28*x^28) - (5*a^13*b*(7*A*b + a*B))/(9*x^27) - (35*a^12*b^2*(13*A*b + 3*a*B))/(26*x^26) - (91*a^11*b^3*(3*A*b + a*B))/(5*x^25) - (91*a^10*b^4*(11*A*b + 5*a*B))/(8*x^24) - (1001*a^9*b^5*(5*A*b + 3*a*B))/(23*x^23) - (65*a^8*b^6*(9*A*b + 7*a*B))/(2*x^22) - (2145*a^7*b^7*(A*b + a*B))/(7*x^21) - (143*a^6*b^8*(7*A*b + 9*a*B))/(4*x^20) - (1001*a^5*b^9*(3*A*b + 5*a*B))/(19*x^19) - (91*a^4*b^10*(5*A*b + 11*a*B))/(6*x^18) - (455*a^3*b^11*(A*b + 3*a*B))/(17*x^17) - (35*a^2*b^12*(3*A*b + 13*a*B))/(16*x^16) - (a*b^13*(A*b + 7*a*B))/x^15 - (b^14*(A*b + 15*a*B))/(14*x^14) - (b^15*B)/(13*x^13)} *)
+
+
+(x^3*(a + b*x)*(c + d*x)^16, (c^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^17)/(17*d^5) - (c^2*(4*b*c - 3*a*d)*(c + d*x)^18)/(18*d^5) + (3*c*(2*b*c - a*d)*(c + d*x)^19)/(19*d^5) - ((4*b*c - a*d)*(c + d*x)^20)/(20*d^5) + (b*(c + d*x)^21)/(21*d^5), x, 2),
+(x^2*(a + b*x)*(c + d*x)^16, -((c^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^17)/(17*d^4)) + (c*(3*b*c - 2*a*d)*(c + d*x)^18)/(18*d^4) - ((3*b*c - a*d)*(c + d*x)^19)/(19*d^4) + (b*(c + d*x)^20)/(20*d^4), x, 2),
+(x^1*(a + b*x)*(c + d*x)^16, (c*(b*c - a*d)*(c + d*x)^17)/(17*d^3) - ((2*b*c - a*d)*(c + d*x)^18)/(18*d^3) + (b*(c + d*x)^19)/(19*d^3), x, 2),
+(x^0*(a + b*x)*(c + d*x)^16, -(((b*c - a*d)*(c + d*x)^17)/(17*d^2)) + (b*(c + d*x)^18)/(18*d^2), x, 2),
+
+
+(x^2*(2 + x)^5*(2 + 3*x), (1//3)*x^3*(2 + x)^6, x, 1),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4*(A + B*x)/(a + b*x), -((a^3*(A*b - a*B)*x)/b^5) + (a^2*(A*b - a*B)*x^2)/(2*b^4) - (a*(A*b - a*B)*x^3)/(3*b^3) + ((A*b - a*B)*x^4)/(4*b^2) + (B*x^5)/(5*b) + (a^4*(A*b - a*B)*log(a + b*x))/b^6, x, 2),
+(x^3*(A + B*x)/(a + b*x), (a^2*(A*b - a*B)*x)/b^4 - (a*(A*b - a*B)*x^2)/(2*b^3) + ((A*b - a*B)*x^3)/(3*b^2) + (B*x^4)/(4*b) - (a^3*(A*b - a*B)*log(a + b*x))/b^5, x, 2),
+(x^2*(A + B*x)/(a + b*x), -((a*(A*b - a*B)*x)/b^3) + ((A*b - a*B)*x^2)/(2*b^2) + (B*x^3)/(3*b) + (a^2*(A*b - a*B)*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+(x^1*(A + B*x)/(a + b*x), ((A*b - a*B)*x)/b^2 + (B*x^2)/(2*b) - (a*(A*b - a*B)*log(a + b*x))/b^3, x, 2),
+(x^0*(A + B*x)/(a + b*x), (B*x)/b + ((A*b - a*B)*log(a + b*x))/b^2, x, 2),
+((A + B*x)/(x^1*(a + b*x)), (A*log(x))/a - ((A*b - a*B)*log(a + b*x))/(a*b), x, 2),
+((A + B*x)/(x^2*(a + b*x)), -(A/(a*x)) - ((A*b - a*B)*log(x))/a^2 + ((A*b - a*B)*log(a + b*x))/a^2, x, 2),
+((A + B*x)/(x^3*(a + b*x)), -A/(2*a*x^2) + (A*b - a*B)/(a^2*x) + (b*(A*b - a*B)*log(x))/a^3 - (b*(A*b - a*B)*log(a + b*x))/a^3, x, 2),
+((A + B*x)/(x^4*(a + b*x)), -A/(3*a*x^3) + (A*b - a*B)/(2*a^2*x^2) - (b*(A*b - a*B))/(a^3*x) - (b^2*(A*b - a*B)*log(x))/a^4 + (b^2*(A*b - a*B)*log(a + b*x))/a^4, x, 2),
+((A + B*x)/(x^5*(a + b*x)), -A/(4*a*x^4) + (A*b - a*B)/(3*a^2*x^3) - (b*(A*b - a*B))/(2*a^3*x^2) + (b^2*(A*b - a*B))/(a^4*x) + (b^3*(A*b - a*B)*log(x))/a^5 - (b^3*(A*b - a*B)*log(a + b*x))/a^5, x, 2),
+
+
+(x^4*(A + B*x)/(a + b*x)^2, (a^2*(3*A*b - 4*a*B)*x)/b^5 - (a*(2*A*b - 3*a*B)*x^2)/(2*b^4) + ((A*b - 2*a*B)*x^3)/(3*b^3) + (B*x^4)/(4*b^2) - (a^4*(A*b - a*B))/(b^6*(a + b*x)) - (a^3*(4*A*b - 5*a*B)*log(a + b*x))/b^6, x, 2),
+(x^3*(A + B*x)/(a + b*x)^2, -((a*(2*A*b - 3*a*B)*x)/b^4) + ((A*b - 2*a*B)*x^2)/(2*b^3) + (B*x^3)/(3*b^2) + (a^3*(A*b - a*B))/(b^5*(a + b*x)) + (a^2*(3*A*b - 4*a*B)*log(a + b*x))/b^5, x, 2),
+(x^2*(A + B*x)/(a + b*x)^2, ((A*b - 2*a*B)*x)/b^3 + (B*x^2)/(2*b^2) - (a^2*(A*b - a*B))/(b^4*(a + b*x)) - (a*(2*A*b - 3*a*B)*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+(x^1*(A + B*x)/(a + b*x)^2, (B*x)/b^2 + (a*(A*b - a*B))/(b^3*(a + b*x)) + ((A*b - 2*a*B)*log(a + b*x))/b^3, x, 2),
+(x^0*(A + B*x)/(a + b*x)^2, -((A*b - a*B)/(b^2*(a + b*x))) + (B*log(a + b*x))/b^2, x, 2),
+((A + B*x)/(x^1*(a + b*x)^2), (A*b - a*B)/(a*b*(a + b*x)) + (A*log(x))/a^2 - (A*log(a + b*x))/a^2, x, 2),
+((A + B*x)/(x^2*(a + b*x)^2), -(A/(a^2*x)) - (A*b - a*B)/(a^2*(a + b*x)) - ((2*A*b - a*B)*log(x))/a^3 + ((2*A*b - a*B)*log(a + b*x))/a^3, x, 2),
+((A + B*x)/(x^3*(a + b*x)^2), -(A/(2*a^2*x^2)) + (2*A*b - a*B)/(a^3*x) + (b*(A*b - a*B))/(a^3*(a + b*x)) + (b*(3*A*b - 2*a*B)*log(x))/a^4 - (b*(3*A*b - 2*a*B)*log(a + b*x))/a^4, x, 2),
+((A + B*x)/(x^4*(a + b*x)^2), -(A/(3*a^2*x^3)) + (2*A*b - a*B)/(2*a^3*x^2) - (b*(3*A*b - 2*a*B))/(a^4*x) - (b^2*(A*b - a*B))/(a^4*(a + b*x)) - (b^2*(4*A*b - 3*a*B)*log(x))/a^5 + (b^2*(4*A*b - 3*a*B)*log(a + b*x))/a^5, x, 2),
+
+
+(x^4*(A + B*x)/(a + b*x)^3, -((3*a*(A*b - 2*a*B)*x)/b^5) + ((A*b - 3*a*B)*x^2)/(2*b^4) + (B*x^3)/(3*b^3) - (a^4*(A*b - a*B))/(2*b^6*(a + b*x)^2) + (a^3*(4*A*b - 5*a*B))/(b^6*(a + b*x)) + (2*a^2*(3*A*b - 5*a*B)*log(a + b*x))/b^6, x, 2),
+(x^3*(A + B*x)/(a + b*x)^3, ((A*b - 3*a*B)*x)/b^4 + (B*x^2)/(2*b^3) + (a^3*(A*b - a*B))/(2*b^5*(a + b*x)^2) - (a^2*(3*A*b - 4*a*B))/(b^5*(a + b*x)) - (3*a*(A*b - 2*a*B)*log(a + b*x))/b^5, x, 2),
+(x^2*(A + B*x)/(a + b*x)^3, (B*x)/b^3 - (a^2*(A*b - a*B))/(2*b^4*(a + b*x)^2) + (a*(2*A*b - 3*a*B))/(b^4*(a + b*x)) + ((A*b - 3*a*B)*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+(x^1*(A + B*x)/(a + b*x)^3, (a*(A*b - a*B))/(2*b^3*(a + b*x)^2) - (A*b - 2*a*B)/(b^3*(a + b*x)) + (B*log(a + b*x))/b^3, x, 2),
+(x^0*(A + B*x)/(a + b*x)^3, -((A + B*x)^2/(2*(A*b - a*B)*(a + b*x)^2)), x, 1),
+((A + B*x)/(x^1*(a + b*x)^3), (A*b - a*B)/(2*a*b*(a + b*x)^2) + A/(a^2*(a + b*x)) + (A*log(x))/a^3 - (A*log(a + b*x))/a^3, x, 2),
+((A + B*x)/(x^2*(a + b*x)^3), -(A/(a^3*x)) - (A*b - a*B)/(2*a^2*(a + b*x)^2) - (2*A*b - a*B)/(a^3*(a + b*x)) - ((3*A*b - a*B)*log(x))/a^4 + ((3*A*b - a*B)*log(a + b*x))/a^4, x, 2),
+((A + B*x)/(x^3*(a + b*x)^3), -(A/(2*a^3*x^2)) + (3*A*b - a*B)/(a^4*x) + (b*(A*b - a*B))/(2*a^3*(a + b*x)^2) + (b*(3*A*b - 2*a*B))/(a^4*(a + b*x)) + (3*b*(2*A*b - a*B)*log(x))/a^5 - (3*b*(2*A*b - a*B)*log(a + b*x))/a^5, x, 2),
+((A + B*x)/(x^4*(a + b*x)^3), -(A/(3*a^3*x^3)) + (3*A*b - a*B)/(2*a^4*x^2) - (3*b*(2*A*b - a*B))/(a^5*x) - (b^2*(A*b - a*B))/(2*a^4*(a + b*x)^2) - (b^2*(4*A*b - 3*a*B))/(a^5*(a + b*x)) - (2*b^2*(5*A*b - 3*a*B)*log(x))/a^6 + (2*b^2*(5*A*b - 3*a*B)*log(a + b*x))/a^6, x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x)^2 (c+d x)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(a + b*x)^2*(c + d*x)^16, -((c^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^17)/(17*d^6)) + (c^2*(5*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*(c + d*x)^18)/(18*d^6) - (c*(10*b^2*c^2 - 12*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*(c + d*x)^19)/(19*d^6) + ((10*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + a^2*d^2)*(c + d*x)^20)/(20*d^6) - (b*(5*b*c - 2*a*d)*(c + d*x)^21)/(21*d^6) + (b^2*(c + d*x)^22)/(22*d^6), x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^2*(c + d*x)^16, (c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^17)/(17*d^5) - (c*(b*c - a*d)*(2*b*c - a*d)*(c + d*x)^18)/(9*d^5) + ((6*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*(c + d*x)^19)/(19*d^5) - (b*(2*b*c - a*d)*(c + d*x)^20)/(10*d^5) + (b^2*(c + d*x)^21)/(21*d^5), x, 2),
+(x^1*(a + b*x)^2*(c + d*x)^16, -((c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^17)/(17*d^4)) + ((b*c - a*d)*(3*b*c - a*d)*(c + d*x)^18)/(18*d^4) - (b*(3*b*c - 2*a*d)*(c + d*x)^19)/(19*d^4) + (b^2*(c + d*x)^20)/(20*d^4), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x)^p / (a+b x)^1
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(c + d*x)/(a + b*x), (a^2*(b*c - a*d)*x)/b^4 - (a*(b*c - a*d)*x^2)/(2*b^3) + ((b*c - a*d)*x^3)/(3*b^2) + (d*x^4)/(4*b) - (a^3*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^5, x, 2),
+(x^2*(c + d*x)/(a + b*x), -((a*(b*c - a*d)*x)/b^3) + ((b*c - a*d)*x^2)/(2*b^2) + (d*x^3)/(3*b) + (a^2*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+(x^1*(c + d*x)/(a + b*x), ((b*c - a*d)*x)/b^2 + (d*x^2)/(2*b) - (a*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^3, x, 2),
+(x^0*(c + d*x)/(a + b*x), (d*x)/b + ((b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^2, x, 2),
+((c + d*x)/(x^1*(a + b*x)), (c*log(x))/a - ((b*c - a*d)*log(a + b*x))/(a*b), x, 2),
+((c + d*x)/(x^2*(a + b*x)), -(c/(a*x)) - ((b*c - a*d)*log(x))/a^2 + ((b*c - a*d)*log(a + b*x))/a^2, x, 2),
+((c + d*x)/(x^3*(a + b*x)), -c/(2*a*x^2) + (b*c - a*d)/(a^2*x) + (b*(b*c - a*d)*log(x))/a^3 - (b*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/a^3, x, 2),
+((c + d*x)/(x^4*(a + b*x)), -c/(3*a*x^3) + (b*c - a*d)/(2*a^2*x^2) - (b*(b*c - a*d))/(a^3*x) - (b^2*(b*c - a*d)*log(x))/a^4 + (b^2*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/a^4, x, 2),
+
+
+(x^3*(c + d*x)^2/(a + b*x), (a^2*(b*c - a*d)^2*x)/b^5 - (a*(b*c - a*d)^2*x^2)/(2*b^4) + ((b*c - a*d)^2*x^3)/(3*b^3) + (d*(2*b*c - a*d)*x^4)/(4*b^2) + (d^2*x^5)/(5*b) - (a^3*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/b^6, x, 2),
+(x^2*(c + d*x)^2/(a + b*x), -((a*(b*c - a*d)^2*x)/b^4) + ((b*c - a*d)^2*x^2)/(2*b^3) + (d*(2*b*c - a*d)*x^3)/(3*b^2) + (d^2*x^4)/(4*b) + (a^2*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/b^5, x, 2),
+(x^1*(c + d*x)^2/(a + b*x), ((b*c - a*d)^2*x)/b^3 + (d*(2*b*c - a*d)*x^2)/(2*b^2) + (d^2*x^3)/(3*b) - (a*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+(x^0*(c + d*x)^2/(a + b*x), (d*(b*c - a*d)*x)/b^2 + (c + d*x)^2/(2*b) + ((b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/b^3, x, 2),
+((c + d*x)^2/(x^1*(a + b*x)), (d^2*x)/b + (c^2*log(x))/a - ((b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/(a*b^2), x, 2),
+((c + d*x)^2/(x^2*(a + b*x)), -(c^2/(a*x)) - (c*(b*c - 2*a*d)*log(x))/a^2 + ((b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/(a^2*b), x, 2),
+((c + d*x)^2/(x^3*(a + b*x)), -c^2/(2*a*x^2) + (c*(b*c - 2*a*d))/(a^2*x) + ((b*c - a*d)^2*log(x))/a^3 - ((b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/a^3, x, 2),
+((c + d*x)^2/(x^4*(a + b*x)), -c^2/(3*a*x^3) + (c*(b*c - 2*a*d))/(2*a^2*x^2) - (b*c - a*d)^2/(a^3*x) - (b*(b*c - a*d)^2*log(x))/a^4 + (b*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/a^4, x, 2),
+((c + d*x)^2/(x^5*(a + b*x)), -c^2/(4*a*x^4) + (c*(b*c - 2*a*d))/(3*a^2*x^3) - (b*c - a*d)^2/(2*a^3*x^2) + (b*(b*c - a*d)^2)/(a^4*x) + (b^2*(b*c - a*d)^2*log(x))/a^5 - (b^2*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/a^5, x, 2),
+
+
+(x^3*(c + d*x)^3/(a + b*x), (a^2*(b*c - a*d)^3*x)/b^6 - (a*(b*c - a*d)^3*x^2)/(2*b^5) + ((b*c - a*d)^3*x^3)/(3*b^4) + (d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^4)/(4*b^3) + (d^2*(3*b*c - a*d)*x^5)/(5*b^2) + (d^3*x^6)/(6*b) - (a^3*(b*c - a*d)^3*log(a + b*x))/b^7, x, 2),
+(x^2*(c + d*x)^3/(a + b*x), -((a*(b*c - a*d)^3*x)/b^5) + ((b*c - a*d)^3*x^2)/(2*b^4) + (d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^3)/(3*b^3) + (d^2*(3*b*c - a*d)*x^4)/(4*b^2) + (d^3*x^5)/(5*b) + (a^2*(b*c - a*d)^3*log(a + b*x))/b^6, x, 2),
+(x^1*(c + d*x)^3/(a + b*x), ((b*c - a*d)^3*x)/b^4 + (d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^2)/(2*b^3) + (d^2*(3*b*c - a*d)*x^3)/(3*b^2) + (d^3*x^4)/(4*b) - (a*(b*c - a*d)^3*log(a + b*x))/b^5, x, 2),
+(x^0*(c + d*x)^3/(a + b*x), (d*(b*c - a*d)^2*x)/b^3 + ((b*c - a*d)*(c + d*x)^2)/(2*b^2) + (c + d*x)^3/(3*b) + ((b*c - a*d)^3*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+((c + d*x)^3/(x^1*(a + b*x)), (d^2*(3*b*c - a*d)*x)/b^2 + (d^3*x^2)/(2*b) + (c^3*log(x))/a - ((b*c - a*d)^3*log(a + b*x))/(a*b^3), x, 2),
+((c + d*x)^3/(x^2*(a + b*x)), -(c^3/(a*x)) + (d^3*x)/b - (c^2*(b*c - 3*a*d)*log(x))/a^2 + ((b*c - a*d)^3*log(a + b*x))/(a^2*b^2), x, 2),
+((c + d*x)^3/(x^3*(a + b*x)), -c^3/(2*a*x^2) + (c^2*(b*c - 3*a*d))/(a^2*x) + (c*(b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*log(x))/a^3 - ((b*c - a*d)^3*log(a + b*x))/(a^3*b), x, 2),
+((c + d*x)^3/(x^4*(a + b*x)), -c^3/(3*a*x^3) + (c^2*(b*c - 3*a*d))/(2*a^2*x^2) - (c*(b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + 3*a^2*d^2))/(a^3*x) - ((b*c - a*d)^3*log(x))/a^4 + ((b*c - a*d)^3*log(a + b*x))/a^4, x, 2),
+((c + d*x)^3/(x^5*(a + b*x)), -c^3/(4*a*x^4) + (c^2*(b*c - 3*a*d))/(3*a^2*x^3) - (c*(b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + 3*a^2*d^2))/(2*a^3*x^2) + (b*c - a*d)^3/(a^4*x) + (b*(b*c - a*d)^3*log(x))/a^5 - (b*(b*c - a*d)^3*log(a + b*x))/a^5, x, 2),
+((c + d*x)^3/(x^6*(a + b*x)), -c^3/(5*a*x^5) + (c^2*(b*c - 3*a*d))/(4*a^2*x^4) - (c*(b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + 3*a^2*d^2))/(3*a^3*x^3) + (b*c - a*d)^3/(2*a^4*x^2) - (b*(b*c - a*d)^3)/(a^5*x) - (b^2*(b*c - a*d)^3*log(x))/a^6 + (b^2*(b*c - a*d)^3*log(a + b*x))/a^6, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5/((a + b*x)*(c + d*x)), -(((b*c + a*d)*(b^2*c^2 + a^2*d^2)*x)/(b^4*d^4)) + ((b^2*c^2 + a*b*c*d + a^2*d^2)*x^2)/(2*b^3*d^3) - ((b*c + a*d)*x^3)/(3*b^2*d^2) + x^4/(4*b*d) - (a^5*log(a + b*x))/(b^5*(b*c - a*d)) + (c^5*log(c + d*x))/(d^5*(b*c - a*d)), x, 2),
+(x^4/((a + b*x)*(c + d*x)), ((b^2*c^2 + a*b*c*d + a^2*d^2)*x)/(b^3*d^3) - ((b*c + a*d)*x^2)/(2*b^2*d^2) + x^3/(3*b*d) + (a^4*log(a + b*x))/(b^4*(b*c - a*d)) - (c^4*log(c + d*x))/(d^4*(b*c - a*d)), x, 2),
+(x^3/((a + b*x)*(c + d*x)), -(((b*c + a*d)*x)/(b^2*d^2)) + x^2/(2*b*d) - (a^3*log(a + b*x))/(b^3*(b*c - a*d)) + (c^3*log(c + d*x))/(d^3*(b*c - a*d)), x, 2),
+(x^2/((a + b*x)*(c + d*x)), x/(b*d) + (a^2*log(a + b*x))/(b^2*(b*c - a*d)) - (c^2*log(c + d*x))/(d^2*(b*c - a*d)), x, 2),
+(x^1/((a + b*x)*(c + d*x)), -((a*log(a + b*x))/(b*(b*c - a*d))) + (c*log(c + d*x))/(d*(b*c - a*d)), x, 2),
+(x^0/((a + b*x)*(c + d*x)), log(a + b*x)/(b*c - a*d) - log(c + d*x)/(b*c - a*d), x, 3),
+(1/(x^1*(a + b*x)*(c + d*x)), log(x)/(a*c) - (b*log(a + b*x))/(a*(b*c - a*d)) + (d*log(c + d*x))/(c*(b*c - a*d)), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x)*(c + d*x)), -(1/(a*c*x)) - ((b*c + a*d)*log(x))/(a^2*c^2) + (b^2*log(a + b*x))/(a^2*(b*c - a*d)) - (d^2*log(c + d*x))/(c^2*(b*c - a*d)), x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x)*(c + d*x)), -(1/(2*a*c*x^2)) + (b*c + a*d)/(a^2*c^2*x) + ((b^2*c^2 + a*b*c*d + a^2*d^2)*log(x))/(a^3*c^3) - (b^3*log(a + b*x))/(a^3*(b*c - a*d)) + (d^3*log(c + d*x))/(c^3*(b*c - a*d)), x, 2),
+(1/(x^4*(a + b*x)*(c + d*x)), -(1/(3*a*c*x^3)) + (b*c + a*d)/(2*a^2*c^2*x^2) - (b^2*c^2 + a*b*c*d + a^2*d^2)/(a^3*c^3*x) - ((b*c + a*d)*(b^2*c^2 + a^2*d^2)*log(x))/(a^4*c^4) + (b^4*log(a + b*x))/(a^4*(b*c - a*d)) - (d^4*log(c + d*x))/(c^4*(b*c - a*d)), x, 2),
+
+
+(x^5/((a + b*x)*(c + d*x)^2), ((3*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*x)/(b^3*d^4) - ((2*b*c + a*d)*x^2)/(2*b^2*d^3) + x^3/(3*b*d^2) - c^5/(d^5*(b*c - a*d)*(c + d*x)) - (a^5*log(a + b*x))/(b^4*(b*c - a*d)^2) - (c^4*(4*b*c - 5*a*d)*log(c + d*x))/(d^5*(b*c - a*d)^2), x, 2),
+(x^4/((a + b*x)*(c + d*x)^2), -(((2*b*c + a*d)*x)/(b^2*d^3)) + x^2/(2*b*d^2) + c^4/(d^4*(b*c - a*d)*(c + d*x)) + (a^4*log(a + b*x))/(b^3*(b*c - a*d)^2) + (c^3*(3*b*c - 4*a*d)*log(c + d*x))/(d^4*(b*c - a*d)^2), x, 2),
+(x^3/((a + b*x)*(c + d*x)^2), x/(b*d^2) - c^3/(d^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)) - (a^3*log(a + b*x))/(b^2*(b*c - a*d)^2) - (c^2*(2*b*c - 3*a*d)*log(c + d*x))/(d^3*(b*c - a*d)^2), x, 2),
+(x^2/((a + b*x)*(c + d*x)^2), c^2/(d^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)) + (a^2*log(a + b*x))/(b*(b*c - a*d)^2) + (c*(b*c - 2*a*d)*log(c + d*x))/(d^2*(b*c - a*d)^2), x, 2),
+(x^1/((a + b*x)*(c + d*x)^2), -(c/(d*(b*c - a*d)*(c + d*x))) - (a*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^2 + (a*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^2, x, 2),
+(x^0/((a + b*x)*(c + d*x)^2), 1/((b*c - a*d)*(c + d*x)) + (b*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^2 - (b*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^2, x, 2),
+(1/(x^1*(a + b*x)*(c + d*x)^2), -(d/(c*(b*c - a*d)*(c + d*x))) + log(x)/(a*c^2) - (b^2*log(a + b*x))/(a*(b*c - a*d)^2) + (d*(2*b*c - a*d)*log(c + d*x))/(c^2*(b*c - a*d)^2), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x)*(c + d*x)^2), -(1/(a*c^2*x)) + d^2/(c^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)) - ((b*c + 2*a*d)*log(x))/(a^2*c^3) + (b^3*log(a + b*x))/(a^2*(b*c - a*d)^2) - (d^2*(3*b*c - 2*a*d)*log(c + d*x))/(c^3*(b*c - a*d)^2), x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x)*(c + d*x)^2), -(1/(2*a*c^2*x^2)) + (b*c + 2*a*d)/(a^2*c^3*x) - d^3/(c^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)) + ((b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*log(x))/(a^3*c^4) - (b^4*log(a + b*x))/(a^3*(b*c - a*d)^2) + (d^3*(4*b*c - 3*a*d)*log(c + d*x))/(c^4*(b*c - a*d)^2), x, 2),
+
+
+(x^5/((a + b*x)*(c + d*x)^3), -(((3*b*c + a*d)*x)/(b^2*d^4)) + x^2/(2*b*d^3) - c^5/(2*d^5*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2) + (c^4*(4*b*c - 5*a*d))/(d^5*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) - (a^5*log(a + b*x))/(b^3*(b*c - a*d)^3) + (c^3*(6*b^2*c^2 - 15*a*b*c*d + 10*a^2*d^2)*log(c + d*x))/(d^5*(b*c - a*d)^3), x, 2),
+(x^4/((a + b*x)*(c + d*x)^3), x/(b*d^3) + c^4/(2*d^4*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2) - (c^3*(3*b*c - 4*a*d))/(d^4*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) + (a^4*log(a + b*x))/(b^2*(b*c - a*d)^3) - (c^2*(3*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 6*a^2*d^2)*log(c + d*x))/(d^4*(b*c - a*d)^3), x, 2),
+(x^3/((a + b*x)*(c + d*x)^3), -(c^3/(2*d^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2)) + (c^2*(2*b*c - 3*a*d))/(d^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) - (a^3*log(a + b*x))/(b*(b*c - a*d)^3) + (c*(b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*log(c + d*x))/(d^3*(b*c - a*d)^3), x, 2),
+(x^2/((a + b*x)*(c + d*x)^3), c^2/(2*d^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2) - (c*(b*c - 2*a*d))/(d^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) + (a^2*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^3 - (a^2*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^3, x, 2),
+(x^1/((a + b*x)*(c + d*x)^3), -(c/(2*d*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2)) - a/((b*c - a*d)^2*(c + d*x)) - (a*b*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^3 + (a*b*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^3, x, 2),
+(x^0/((a + b*x)*(c + d*x)^3), 1/(2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2) + b/((b*c - a*d)^2*(c + d*x)) + (b^2*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^3 - (b^2*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^3, x, 2),
+(1/(x^1*(a + b*x)*(c + d*x)^3), -(d/(2*c*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2)) - (d*(2*b*c - a*d))/(c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) + log(x)/(a*c^3) - (b^3*log(a + b*x))/(a*(b*c - a*d)^3) + (d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*log(c + d*x))/(c^3*(b*c - a*d)^3), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x)*(c + d*x)^3), -(1/(a*c^3*x)) + d^2/(2*c^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2) + (d^2*(3*b*c - 2*a*d))/(c^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) - ((b*c + 3*a*d)*log(x))/(a^2*c^4) + (b^4*log(a + b*x))/(a^2*(b*c - a*d)^3) - (d^2*(6*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*log(c + d*x))/(c^4*(b*c - a*d)^3), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x)^p / (a+b x)^2
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(x^4*(c + d*x)^2/(a + b*x)^2, (a^2*(3*b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)*x)/b^6 - (a*(b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)*x^2)/b^5 + ((b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*x^3)/(3*b^4) + (d*(b*c - a*d)*x^4)/(2*b^3) + (d^2*x^5)/(5*b^2) - (a^4*(b*c - a*d)^2)/(b^7*(a + b*x)) - (2*a^3*(2*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^7, x, 2),
+(x^3*(c + d*x)^2/(a + b*x)^2, -((2*a*(b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)*x)/b^5) + ((b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*x^2)/(2*b^4) + (2*d*(b*c - a*d)*x^3)/(3*b^3) + (d^2*x^4)/(4*b^2) + (a^3*(b*c - a*d)^2)/(b^6*(a + b*x)) + (a^2*(3*b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^6, x, 2),
+(x^2*(c + d*x)^2/(a + b*x)^2, ((b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*x)/b^4 + (d*(b*c - a*d)*x^2)/b^3 + (d^2*x^3)/(3*b^2) - (a^2*(b*c - a*d)^2)/(b^5*(a + b*x)) - (2*a*(b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^5, x, 2),
+(x^1*(c + d*x)^2/(a + b*x)^2, (2*d*(b*c - a*d)*x)/b^3 + (d^2*x^2)/(2*b^2) + (a*(b*c - a*d)^2)/(b^4*(a + b*x)) + ((b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+(x^0*(c + d*x)^2/(a + b*x)^2, (d^2*x)/b^2 - (b*c - a*d)^2/(b^3*(a + b*x)) + (2*d*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^3, x, 2),
+((c + d*x)^2/(x^1*(a + b*x)^2), (b*c - a*d)^2/(a*b^2*(a + b*x)) + (c^2*log(x))/a^2 - (c^2/a^2 - d^2/b^2)*log(a + b*x), x, 2),
+((c + d*x)^2/(x^2*(a + b*x)^2), -(c^2/(a^2*x)) - (b*c - a*d)^2/(a^2*b*(a + b*x)) - (2*c*(b*c - a*d)*log(x))/a^3 + (2*c*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/a^3, x, 2),
+((c + d*x)^2/(x^3*(a + b*x)^2), -(c^2/(2*a^2*x^2)) + (2*c*(b*c - a*d))/(a^3*x) + (b*c - a*d)^2/(a^3*(a + b*x)) + ((b*c - a*d)*(3*b*c - a*d)*log(x))/a^4 - ((b*c - a*d)*(3*b*c - a*d)*log(a + b*x))/a^4, x, 2),
+((c + d*x)^2/(x^4*(a + b*x)^2), -(c^2/(3*a^2*x^3)) + (c*(b*c - a*d))/(a^3*x^2) - ((b*c - a*d)*(3*b*c - a*d))/(a^4*x) - (b*(b*c - a*d)^2)/(a^4*(a + b*x)) - (2*b*(b*c - a*d)*(2*b*c - a*d)*log(x))/a^5 + (2*b*(b*c - a*d)*(2*b*c - a*d)*log(a + b*x))/a^5, x, 2),
+((c + d*x)^2/(x^5*(a + b*x)^2), -(c^2/(4*a^2*x^4)) + (2*c*(b*c - a*d))/(3*a^3*x^3) - ((b*c - a*d)*(3*b*c - a*d))/(2*a^4*x^2) + (2*b*(b*c - a*d)*(2*b*c - a*d))/(a^5*x) + (b^2*(b*c - a*d)^2)/(a^5*(a + b*x)) + (b^2*(5*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*log(x))/a^6 - (b^2*(5*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/a^6, x, 2),
+
+
+(x^4*(c + d*x)^3/(a + b*x)^2, (3*a^2*(b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)^2*x)/b^7 - (a*(2*b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)^2*x^2)/(2*b^6) + ((b*c - 4*a*d)*(b*c - a*d)^2*x^3)/(3*b^5) + (3*d*(b*c - a*d)^2*x^4)/(4*b^4) + (d^2*(3*b*c - 2*a*d)*x^5)/(5*b^3) + (d^3*x^6)/(6*b^2) - (a^4*(b*c - a*d)^3)/(b^8*(a + b*x)) - (a^3*(4*b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/b^8, x, 2),
+(x^3*(c + d*x)^3/(a + b*x)^2, -((a*(2*b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)^2*x)/b^6) + ((b*c - 4*a*d)*(b*c - a*d)^2*x^2)/(2*b^5) + (d*(b*c - a*d)^2*x^3)/b^4 + (d^2*(3*b*c - 2*a*d)*x^4)/(4*b^3) + (d^3*x^5)/(5*b^2) + (a^3*(b*c - a*d)^3)/(b^7*(a + b*x)) + (3*a^2*(b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/b^7, x, 2),
+(x^2*(c + d*x)^3/(a + b*x)^2, ((b*c - 4*a*d)*(b*c - a*d)^2*x)/b^5 + (3*d*(b*c - a*d)^2*x^2)/(2*b^4) + (d^2*(3*b*c - 2*a*d)*x^3)/(3*b^3) + (d^3*x^4)/(4*b^2) - (a^2*(b*c - a*d)^3)/(b^6*(a + b*x)) - (a*(2*b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/b^6, x, 2),
+(x^1*(c + d*x)^3/(a + b*x)^2, (3*d*(b*c - a*d)^2*x)/b^4 + (d^2*(3*b*c - 2*a*d)*x^2)/(2*b^3) + (d^3*x^3)/(3*b^2) + (a*(b*c - a*d)^3)/(b^5*(a + b*x)) + ((b*c - 4*a*d)*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/b^5, x, 2),
+(x^0*(c + d*x)^3/(a + b*x)^2, (d^2*(3*b*c - 2*a*d)*x)/b^3 + (d^3*x^2)/(2*b^2) - (b*c - a*d)^3/(b^4*(a + b*x)) + (3*d*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+((c + d*x)^3/(x^1*(a + b*x)^2), (d^3*x)/b^2 + (b*c - a*d)^3/(a*b^3*(a + b*x)) + (c^3*log(x))/a^2 - ((b*c - a*d)^2*(b*c + 2*a*d)*log(a + b*x))/(a^2*b^3), x, 2),
+((c + d*x)^3/(x^2*(a + b*x)^2), -(c^3/(a^2*x)) - (b*c - a*d)^3/(a^2*b^2*(a + b*x)) - (c^2*(2*b*c - 3*a*d)*log(x))/a^3 + ((b*c - a*d)^2*(2*b*c + a*d)*log(a + b*x))/(a^3*b^2), x, 2),
+((c + d*x)^3/(x^3*(a + b*x)^2), -c^3/(2*a^2*x^2) + (c^2*(2*b*c - 3*a*d))/(a^3*x) + (b*c - a*d)^3/(a^3*b*(a + b*x)) + (3*c*(b*c - a*d)^2*log(x))/a^4 - (3*c*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/a^4, x, 2),
+((c + d*x)^3/(x^4*(a + b*x)^2), -c^3/(3*a^2*x^3) + (c^2*(2*b*c - 3*a*d))/(2*a^3*x^2) - (3*c*(b*c - a*d)^2)/(a^4*x) - (b*c - a*d)^3/(a^4*(a + b*x)) - ((b*c - a*d)^2*(4*b*c - a*d)*log(x))/a^5 + ((b*c - a*d)^2*(4*b*c - a*d)*log(a + b*x))/a^5, x, 2),
+((c + d*x)^3/(x^5*(a + b*x)^2), -c^3/(4*a^2*x^4) + (c^2*(2*b*c - 3*a*d))/(3*a^3*x^3) - (3*c*(b*c - a*d)^2)/(2*a^4*x^2) + ((b*c - a*d)^2*(4*b*c - a*d))/(a^5*x) + (b*(b*c - a*d)^3)/(a^5*(a + b*x)) + (b*(5*b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)^2*log(x))/a^6 - (b*(5*b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/a^6, x, 2),
+((c + d*x)^3/(x^6*(a + b*x)^2), -c^3/(5*a^2*x^5) + (c^2*(2*b*c - 3*a*d))/(4*a^3*x^4) - (c*(b*c - a*d)^2)/(a^4*x^3) + ((b*c - a*d)^2*(4*b*c - a*d))/(2*a^5*x^2) - (b*(5*b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)^2)/(a^6*x) - (b^2*(b*c - a*d)^3)/(a^6*(a + b*x)) - (3*b^2*(b*c - a*d)^2*(2*b*c - a*d)*log(x))/a^7 + (3*b^2*(b*c - a*d)^2*(2*b*c - a*d)*log(a + b*x))/a^7, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(x^6/((a + b*x)^2*(c + d*x)^2), ((3*b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x)/(b^4*d^4) - ((b*c + a*d)*x^2)/(b^3*d^3) + x^3/(3*b^2*d^2) - a^6/(b^5*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) - c^6/(d^5*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) - (2*a^5*(3*b*c - 2*a*d)*log(a + b*x))/(b^5*(b*c - a*d)^3) - (2*c^5*(2*b*c - 3*a*d)*log(c + d*x))/(d^5*(b*c - a*d)^3), x, 2),
+(x^5/((a + b*x)^2*(c + d*x)^2), -((2*(b*c + a*d)*x)/(b^3*d^3)) + x^2/(2*b^2*d^2) + a^5/(b^4*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) + c^5/(d^4*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) + (a^4*(5*b*c - 3*a*d)*log(a + b*x))/(b^4*(b*c - a*d)^3) + (c^4*(3*b*c - 5*a*d)*log(c + d*x))/(d^4*(b*c - a*d)^3), x, 2),
+(x^4/((a + b*x)^2*(c + d*x)^2), x/(b^2*d^2) - a^4/(b^3*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) - c^4/(d^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) - (2*a^3*(2*b*c - a*d)*log(a + b*x))/(b^3*(b*c - a*d)^3) - (2*c^3*(b*c - 2*a*d)*log(c + d*x))/(d^3*(b*c - a*d)^3), x, 2),
+(x^3/((a + b*x)^2*(c + d*x)^2), a^3/(b^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) + c^3/(d^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) + (a^2*(3*b*c - a*d)*log(a + b*x))/(b^2*(b*c - a*d)^3) + (c^2*(b*c - 3*a*d)*log(c + d*x))/(d^2*(b*c - a*d)^3), x, 2),
+(x^2/((a + b*x)^2*(c + d*x)^2), -(a^2/(b*(b*c - a*d)^2*(a + b*x))) - c^2/(d*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) - (2*a*c*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^3 + (2*a*c*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^3, x, 2),
+(x^1/((a + b*x)^2*(c + d*x)^2), a/((b*c - a*d)^2*(a + b*x)) + c/((b*c - a*d)^2*(c + d*x)) + ((b*c + a*d)*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^3 - ((b*c + a*d)*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^3, x, 2),
+(x^0/((a + b*x)^2*(c + d*x)^2), -(b/((b*c - a*d)^2*(a + b*x))) - d/((b*c - a*d)^2*(c + d*x)) - (2*b*d*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^3 + (2*b*d*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^3, x, 2),
+(1/(x^1*(a + b*x)^2*(c + d*x)^2), b^2/(a*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) + d^2/(c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) + log(x)/(a^2*c^2) - (b^2*(b*c - 3*a*d)*log(a + b*x))/(a^2*(b*c - a*d)^3) - (d^2*(3*b*c - a*d)*log(c + d*x))/(c^2*(b*c - a*d)^3), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x)^2*(c + d*x)^2), -(1/(a^2*c^2*x)) - b^3/(a^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) - d^3/(c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) - (2*(b*c + a*d)*log(x))/(a^3*c^3) + (2*b^3*(b*c - 2*a*d)*log(a + b*x))/(a^3*(b*c - a*d)^3) + (2*d^3*(2*b*c - a*d)*log(c + d*x))/(c^3*(b*c - a*d)^3), x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x)^2*(c + d*x)^2), -(1/(2*a^2*c^2*x^2)) + (2*(b*c + a*d))/(a^3*c^3*x) + b^4/(a^3*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) + d^4/(c^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) + ((3*b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*log(x))/(a^4*c^4) - (b^4*(3*b*c - 5*a*d)*log(a + b*x))/(a^4*(b*c - a*d)^3) - (d^4*(5*b*c - 3*a*d)*log(c + d*x))/(c^4*(b*c - a*d)^3), x, 2),
+
+
+(x^7/((a + b*x)^2*(c + d*x)^3), (3*(2*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*x)/(b^4*d^5) - ((3*b*c + 2*a*d)*x^2)/(2*b^3*d^4) + x^3/(3*b^2*d^3) + a^7/(b^5*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)) + c^7/(2*d^6*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2) - (c^6*(5*b*c - 7*a*d))/(d^6*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)) + (a^6*(7*b*c - 4*a*d)*log(a + b*x))/(b^5*(b*c - a*d)^4) - (c^5*(10*b^2*c^2 - 28*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*log(c + d*x))/(d^6*(b*c - a*d)^4), x, 2),
+(x^6/((a + b*x)^2*(c + d*x)^3), -(((3*b*c + 2*a*d)*x)/(b^3*d^4)) + x^2/(2*b^2*d^3) - a^6/(b^4*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)) - c^6/(2*d^5*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2) + (2*c^5*(2*b*c - 3*a*d))/(d^5*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)) - (3*a^5*(2*b*c - a*d)*log(a + b*x))/(b^4*(b*c - a*d)^4) + (3*c^4*(2*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(c + d*x))/(d^5*(b*c - a*d)^4), x, 2),
+(x^5/((a + b*x)^2*(c + d*x)^3), x/(b^2*d^3) + a^5/(b^3*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)) + c^5/(2*d^4*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2) - (c^4*(3*b*c - 5*a*d))/(d^4*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)) + (a^4*(5*b*c - 2*a*d)*log(a + b*x))/(b^3*(b*c - a*d)^4) - (c^3*(3*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 10*a^2*d^2)*log(c + d*x))/(d^4*(b*c - a*d)^4), x, 2),
+(x^4/((a + b*x)^2*(c + d*x)^3), -(a^4/(b^2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x))) - c^4/(2*d^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2) + (2*c^3*(b*c - 2*a*d))/(d^3*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)) - (a^3*(4*b*c - a*d)*log(a + b*x))/(b^2*(b*c - a*d)^4) + (c^2*(b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + 6*a^2*d^2)*log(c + d*x))/(d^3*(b*c - a*d)^4), x, 2),
+(x^3/((a + b*x)^2*(c + d*x)^3), a^3/(b*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)) + c^3/(2*d^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2) - (c^2*(b*c - 3*a*d))/(d^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)) + (3*a^2*c*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^4 - (3*a^2*c*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^4, x, 2),
+(x^2/((a + b*x)^2*(c + d*x)^3), -(a^2/((b*c - a*d)^3*(a + b*x))) - c^2/(2*d*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2) - (2*a*c)/((b*c - a*d)^3*(c + d*x)) - (a*(2*b*c + a*d)*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^4 + (a*(2*b*c + a*d)*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^4, x, 2),
+(x^1/((a + b*x)^2*(c + d*x)^3), (a*b)/((b*c - a*d)^3*(a + b*x)) + c/(2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2) + (b*c + a*d)/((b*c - a*d)^3*(c + d*x)) + (b*(b*c + 2*a*d)*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^4 - (b*(b*c + 2*a*d)*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^4, x, 2),
+(x^0/((a + b*x)^2*(c + d*x)^3), -(b^2/((b*c - a*d)^3*(a + b*x))) - d/(2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2) - (2*b*d)/((b*c - a*d)^3*(c + d*x)) - (3*b^2*d*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^4 + (3*b^2*d*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^4, x, 2),
+(1/(x^1*(a + b*x)^2*(c + d*x)^3), b^3/(a*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)) + d^2/(2*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2) + (d^2*(3*b*c - a*d))/(c^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)) + log(x)/(a^2*c^3) - (b^3*(b*c - 4*a*d)*log(a + b*x))/(a^2*(b*c - a*d)^4) - (d^2*(6*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*log(c + d*x))/(c^3*(b*c - a*d)^4), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x)^2*(c + d*x)^3), -(1/(a^2*c^3*x)) - b^4/(a^2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)) - d^3/(2*c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2) - (2*d^3*(2*b*c - a*d))/(c^3*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)) - ((2*b*c + 3*a*d)*log(x))/(a^3*c^4) + (b^4*(2*b*c - 5*a*d)*log(a + b*x))/(a^3*(b*c - a*d)^4) + (d^3*(10*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*log(c + d*x))/(c^4*(b*c - a*d)^4), x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x)^2*(c + d*x)^3), -(1/(2*a^2*c^3*x^2)) + (2*b*c + 3*a*d)/(a^3*c^4*x) + b^5/(a^3*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)) + d^4/(2*c^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2) + (d^4*(5*b*c - 3*a*d))/(c^4*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)) + (3*(b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 2*a^2*d^2)*log(x))/(a^4*c^5) - (3*b^5*(b*c - 2*a*d)*log(a + b*x))/(a^4*(b*c - a*d)^4) - (3*d^4*(5*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 2*a^2*d^2)*log(c + d*x))/(c^5*(b*c - a*d)^4), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x)^p / (a+b x)^3
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(x^3*(c + d*x)^3/(a + b*x)^3, ((b*c - a*d)*(b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 10*a^2*d^2)*x)/b^6 + (3*d*(b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)*x^2)/(2*b^5) + (d^2*(b*c - a*d)*x^3)/b^4 + (d^3*x^4)/(4*b^3) + (a^3*(b*c - a*d)^3)/(2*b^7*(a + b*x)^2) - (3*a^2*(b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)^2)/(b^7*(a + b*x)) - (3*a*(b*c - a*d)*(b^2*c^2 - 5*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(a + b*x))/b^7, x, 2),
+(x^2*(c + d*x)^3/(a + b*x)^3, (3*d*(b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)*x)/b^5 + (3*d^2*(b*c - a*d)*x^2)/(2*b^4) + (d^3*x^3)/(3*b^3) - (a^2*(b*c - a*d)^3)/(2*b^6*(a + b*x)^2) + (a*(2*b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)^2)/(b^6*(a + b*x)) + ((b*c - a*d)*(b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 10*a^2*d^2)*log(a + b*x))/b^6, x, 2),
+(x^1*(c + d*x)^3/(a + b*x)^3, (3*d^2*(b*c - a*d)*x)/b^4 + (d^3*x^2)/(2*b^3) + (a*(b*c - a*d)^3)/(2*b^5*(a + b*x)^2) - ((b*c - 4*a*d)*(b*c - a*d)^2)/(b^5*(a + b*x)) + (3*d*(b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^5, x, 2),
+(x^0*(c + d*x)^3/(a + b*x)^3, (d^3*x)/b^3 - (b*c - a*d)^3/(2*b^4*(a + b*x)^2) - (3*d*(b*c - a*d)^2)/(b^4*(a + b*x)) + (3*d^2*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+((c + d*x)^3/(x^1*(a + b*x)^3), (b*c - a*d)^3/(2*a*b^3*(a + b*x)^2) + ((b*c - a*d)^2*(b*c + 2*a*d))/(a^2*b^3*(a + b*x)) + (c^3*log(x))/a^3 - (c^3/a^3 - d^3/b^3)*log(a + b*x), x, 2),
+((c + d*x)^3/(x^2*(a + b*x)^3), -(c^3/(a^3*x)) - (b*c - a*d)^3/(2*a^2*b^2*(a + b*x)^2) - ((b*c - a*d)^2*(2*b*c + a*d))/(a^3*b^2*(a + b*x)) - (3*c^2*(b*c - a*d)*log(x))/a^4 + (3*c^2*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/a^4, x, 2),
+((c + d*x)^3/(x^3*(a + b*x)^3), -(c^3/(2*a^3*x^2)) + (3*c^2*(b*c - a*d))/(a^4*x) + (b*c - a*d)^3/(2*a^3*b*(a + b*x)^2) + (3*c*(b*c - a*d)^2)/(a^4*(a + b*x)) + (3*c*(b*c - a*d)*(2*b*c - a*d)*log(x))/a^5 - (3*c*(b*c - a*d)*(2*b*c - a*d)*log(a + b*x))/a^5, x, 2),
+((c + d*x)^3/(x^4*(a + b*x)^3), -(c^3/(3*a^3*x^3)) + (3*c^2*(b*c - a*d))/(2*a^4*x^2) - (3*c*(b*c - a*d)*(2*b*c - a*d))/(a^5*x) - (b*c - a*d)^3/(2*a^4*(a + b*x)^2) - ((b*c - a*d)^2*(4*b*c - a*d))/(a^5*(a + b*x)) - ((b*c - a*d)*(10*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + a^2*d^2)*log(x))/a^6 + ((b*c - a*d)*(10*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + a^2*d^2)*log(a + b*x))/a^6, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(x^7/((a + b*x)^3*(c + d*x)^3), -((3*(b*c + a*d)*x)/(b^4*d^4)) + x^2/(2*b^3*d^3) + a^7/(2*b^5*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) - (a^6*(7*b*c - 4*a*d))/(b^5*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)) - c^7/(2*d^5*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^2) + (c^6*(4*b*c - 7*a*d))/(d^5*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)) - (3*a^5*(7*b^2*c^2 - 7*a*b*c*d + 2*a^2*d^2)*log(a + b*x))/(b^5*(b*c - a*d)^5) + (3*c^5*(2*b^2*c^2 - 7*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*log(c + d*x))/(d^5*(b*c - a*d)^5), x, 2),
+(x^6/((a + b*x)^3*(c + d*x)^3), x/(b^3*d^3) - a^6/(2*b^4*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) + (3*a^5*(2*b*c - a*d))/(b^4*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)) + c^6/(2*d^4*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^2) - (3*c^5*(b*c - 2*a*d))/(d^4*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)) + (3*a^4*(5*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*log(a + b*x))/(b^4*(b*c - a*d)^5) - (3*c^4*(b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(c + d*x))/(d^4*(b*c - a*d)^5), x, 2),
+(x^5/((a + b*x)^3*(c + d*x)^3), a^5/(2*b^3*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) - (a^4*(5*b*c - 2*a*d))/(b^3*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)) - c^5/(2*d^3*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^2) + (c^4*(2*b*c - 5*a*d))/(d^3*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)) - (a^3*(10*b^2*c^2 - 5*a*b*c*d + a^2*d^2)*log(a + b*x))/(b^3*(b*c - a*d)^5) + (c^3*(b^2*c^2 - 5*a*b*c*d + 10*a^2*d^2)*log(c + d*x))/(d^3*(b*c - a*d)^5), x, 2),
+(x^4/((a + b*x)^3*(c + d*x)^3), -(a^4/(2*b^2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2)) + (a^3*(4*b*c - a*d))/(b^2*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)) + c^4/(2*d^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^2) - (c^3*(b*c - 4*a*d))/(d^2*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)) + (6*a^2*c^2*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^5 - (6*a^2*c^2*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^5, x, 2),
+(x^3/((a + b*x)^3*(c + d*x)^3), a^3/(2*b*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) - (3*a^2*c)/((b*c - a*d)^4*(a + b*x)) - c^3/(2*d*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^2) - (3*a*c^2)/((b*c - a*d)^4*(c + d*x)) - (3*a*c*(b*c + a*d)*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^5 + (3*a*c*(b*c + a*d)*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^5, x, 2),
+(x^2/((a + b*x)^3*(c + d*x)^3), -(a^2/(2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2)) + (a*(2*b*c + a*d))/((b*c - a*d)^4*(a + b*x)) + c^2/(2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^2) + (c*(b*c + 2*a*d))/((b*c - a*d)^4*(c + d*x)) + ((b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^5 - ((b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^5, x, 2),
+(x^1/((a + b*x)^3*(c + d*x)^3), (a*b)/(2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) - (b*(b*c + 2*a*d))/((b*c - a*d)^4*(a + b*x)) - (c*d)/(2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^2) - (d*(2*b*c + a*d))/((b*c - a*d)^4*(c + d*x)) - (3*b*d*(b*c + a*d)*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^5 + (3*b*d*(b*c + a*d)*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^5, x, 2),
+(x^0/((a + b*x)^3*(c + d*x)^3), -(b^2/(2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2)) + (3*b^2*d)/((b*c - a*d)^4*(a + b*x)) + d^2/(2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^2) + (3*b*d^2)/((b*c - a*d)^4*(c + d*x)) + (6*b^2*d^2*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^5 - (6*b^2*d^2*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^5, x, 2),
+(1/(x^1*(a + b*x)^3*(c + d*x)^3), b^3/(2*a*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) + (b^3*(b*c - 4*a*d))/(a^2*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)) - d^3/(2*c*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^2) - (d^3*(4*b*c - a*d))/(c^2*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)) + log(x)/(a^3*c^3) - (b^3*(b^2*c^2 - 5*a*b*c*d + 10*a^2*d^2)*log(a + b*x))/(a^3*(b*c - a*d)^5) + (d^3*(10*b^2*c^2 - 5*a*b*c*d + a^2*d^2)*log(c + d*x))/(c^3*(b*c - a*d)^5), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x)^3*(c + d*x)^3), -(1/(a^3*c^3*x)) - b^4/(2*a^2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) - (b^4*(2*b*c - 5*a*d))/(a^3*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)) + d^4/(2*c^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^2) + (d^4*(5*b*c - 2*a*d))/(c^3*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)) - (3*(b*c + a*d)*log(x))/(a^4*c^4) + (3*b^4*(b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(a + b*x))/(a^4*(b*c - a*d)^5) - (3*d^4*(5*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*log(c + d*x))/(c^4*(b*c - a*d)^5), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b x)^1 (c+d x)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(7//2)*(a + b*x)*(A + B*x), (2*a*A*x^(9//2))/9 + (2*(A*b + a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b*B*x^(13//2))/13, x, 2),
+(x^(5//2)*(a + b*x)*(A + B*x), (2*a*A*x^(7//2))/7 + (2*(A*b + a*B)*x^(9//2))/9 + (2*b*B*x^(11//2))/11, x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x)*(A + B*x), (2*a*A*x^(5//2))/5 + (2*(A*b + a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b*B*x^(9//2))/9, x, 2),
+(sqrt(x)*(a + b*x)*(A + B*x), (2*a*A*x^(3//2))/3 + (2*(A*b + a*B)*x^(5//2))/5 + (2*b*B*x^(7//2))/7, x, 2),
+(((a + b*x)*(A + B*x))/sqrt(x), 2*a*A*sqrt(x) + (2*(A*b + a*B)*x^(3//2))/3 + (2*b*B*x^(5//2))/5, x, 2),
+(((a + b*x)*(A + B*x))/x^(3//2), (-2*a*A)/sqrt(x) + 2*(A*b + a*B)*sqrt(x) + (2*b*B*x^(3//2))/3, x, 2),
+(((a + b*x)*(A + B*x))/x^(5//2), (-2*a*A)/(3*x^(3//2)) - (2*(A*b + a*B))/sqrt(x) + 2*b*B*sqrt(x), x, 2),
+(((a + b*x)*(A + B*x))/x^(7//2), (-2*a*A)/(5*x^(5//2)) - (2*(A*b + a*B))/(3*x^(3//2)) - (2*b*B)/sqrt(x), x, 2),
+
+
+(x^(7//2)*(a + b*x)^2*(A + B*x), (2*a^2*A*x^(9//2))/9 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(13//2))/13 + (2*b^2*B*x^(15//2))/15, x, 2),
+(x^(5//2)*(a + b*x)^2*(A + B*x), (2*a^2*A*x^(7//2))/7 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(9//2))/9 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b^2*B*x^(13//2))/13, x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x)^2*(A + B*x), (2*a^2*A*x^(5//2))/5 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(9//2))/9 + (2*b^2*B*x^(11//2))/11, x, 2),
+(sqrt(x)*(a + b*x)^2*(A + B*x), (2*a^2*A*x^(3//2))/3 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(5//2))/5 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b^2*B*x^(9//2))/9, x, 2),
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/sqrt(x), 2*a^2*A*sqrt(x) + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(3//2))/3 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(5//2))/5 + (2*b^2*B*x^(7//2))/7, x, 2),
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/x^(3//2), -((2*a^2*A)/sqrt(x)) + 2*a*(2*A*b + a*B)*sqrt(x) + (2//3)*b*(A*b + 2*a*B)*x^(3//2) + (2//5)*b^2*B*x^(5//2), x, 2),
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/x^(5//2), -((2*a^2*A)/(3*x^(3//2))) - (2*a*(2*A*b + a*B))/sqrt(x) + 2*b*(A*b + 2*a*B)*sqrt(x) + (2//3)*b^2*B*x^(3//2), x, 2),
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/x^(7//2), -((2*a^2*A)/(5*x^(5//2))) - (2*a*(2*A*b + a*B))/(3*x^(3//2)) - (2*b*(A*b + 2*a*B))/sqrt(x) + 2*b^2*B*sqrt(x), x, 2),
+
+
+(x^(7//2)*(a + b*x)^3*(A + B*x), (2*a^3*A*x^(9//2))/9 + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(11//2))/11 + (6*a*b*(A*b + a*B)*x^(13//2))/13 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(15//2))/15 + (2*b^3*B*x^(17//2))/17, x, 2),
+(x^(5//2)*(a + b*x)^3*(A + B*x), (2*a^3*A*x^(7//2))/7 + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(9//2))/9 + (6*a*b*(A*b + a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(13//2))/13 + (2*b^3*B*x^(15//2))/15, x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x)^3*(A + B*x), (2*a^3*A*x^(5//2))/5 + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(7//2))/7 + (2*a*b*(A*b + a*B)*x^(9//2))/3 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b^3*B*x^(13//2))/13, x, 2),
+(sqrt(x)*(a + b*x)^3*(A + B*x), (2*a^3*A*x^(3//2))/3 + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(5//2))/5 + (6*a*b*(A*b + a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(9//2))/9 + (2*b^3*B*x^(11//2))/11, x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/sqrt(x), 2*a^3*A*sqrt(x) + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(3//2))/3 + (6*a*b*(A*b + a*B)*x^(5//2))/5 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b^3*B*x^(9//2))/9, x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/x^(3//2), -((2*a^3*A)/sqrt(x)) + 2*a^2*(3*A*b + a*B)*sqrt(x) + 2*a*b*(A*b + a*B)*x^(3//2) + (2//5)*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(5//2) + (2//7)*b^3*B*x^(7//2), x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/x^(5//2), -((2*a^3*A)/(3*x^(3//2))) - (2*a^2*(3*A*b + a*B))/sqrt(x) + 6*a*b*(A*b + a*B)*sqrt(x) + (2//3)*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(3//2) + (2//5)*b^3*B*x^(5//2), x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/x^(7//2), -((2*a^3*A)/(5*x^(5//2))) - (2*a^2*(3*A*b + a*B))/(3*x^(3//2)) - (6*a*b*(A*b + a*B))/sqrt(x) + 2*b^2*(A*b + 3*a*B)*sqrt(x) + (2//3)*b^3*B*x^(3//2), x, 2),
+
+
+# {((2 - 3*x)^3*Sqrt[x])/(1 + x)^2, x, 5, -450*Sqrt[x] + 72*x^(3/2) - (54*x^(5/2))/5 - (125*Sqrt[x])/(1 + x) + 575*ArcTan[Sqrt[x]], (-(3/5))*(917 - 171*x)*Sqrt[x] - (21/5)*(2 - 3*x)^2*Sqrt[x] - ((2 - 3*x)^3*Sqrt[x])/(1 + x) + 575*ArcTan[Sqrt[x]]}
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x))/(a + b*x), (-2*a^3*(A*b - a*B)*sqrt(x))/b^5 + (2*a^2*(A*b - a*B)*x^(3//2))/(3*b^4) - (2*a*(A*b - a*B)*x^(5//2))/(5*b^3) + (2*(A*b - a*B)*x^(7//2))/(7*b^2) + (2*B*x^(9//2))/(9*b) + (2*a^(7//2)*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(11//2), x, 7),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(a + b*x), (2*a^2*(A*b - a*B)*sqrt(x))/b^4 - (2*a*(A*b - a*B)*x^(3//2))/(3*b^3) + (2*(A*b - a*B)*x^(5//2))/(5*b^2) + (2*B*x^(7//2))/(7*b) - (2*a^(5//2)*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(9//2), x, 6),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(a + b*x), (-2*a*(A*b - a*B)*sqrt(x))/b^3 + (2*(A*b - a*B)*x^(3//2))/(3*b^2) + (2*B*x^(5//2))/(5*b) + (2*a^(3//2)*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(7//2), x, 5),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/(a + b*x), (2*(A*b - a*B)*sqrt(x))/b^2 + (2*B*x^(3//2))/(3*b) - (2*sqrt(a)*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(5//2), x, 4),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*(a + b*x)), (2*B*sqrt(x))/b + (2*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(sqrt(a)*b^(3//2)), x, 3),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(a + b*x)), (-2*A)/(a*sqrt(x)) - (2*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(a^(3//2)*sqrt(b)), x, 3),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*(a + b*x)), (-2*A)/(3*a*x^(3//2)) + (2*(A*b - a*B))/(a^2*sqrt(x)) + (2*sqrt(b)*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 4),
+((A + B*x)/(x^(7//2)*(a + b*x)), (-2*A)/(5*a*x^(5//2)) + (2*(A*b - a*B))/(3*a^2*x^(3//2)) - (2*b*(A*b - a*B))/(a^3*sqrt(x)) - (2*b^(3//2)*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(7//2), x, 5),
+((A + B*x)/(x^(9//2)*(a + b*x)), (-2*A)/(7*a*x^(7//2)) + (2*(A*b - a*B))/(5*a^2*x^(5//2)) - (2*b*(A*b - a*B))/(3*a^3*x^(3//2)) + (2*b^2*(A*b - a*B))/(a^4*sqrt(x)) + (2*b^(5//2)*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(9//2), x, 6),
+((A + B*x)/(x^(11//2)*(a + b*x)), (-2*A)/(9*a*x^(9//2)) + (2*(A*b - a*B))/(7*a^2*x^(7//2)) - (2*b*(A*b - a*B))/(5*a^3*x^(5//2)) + (2*b^2*(A*b - a*B))/(3*a^4*x^(3//2)) - (2*b^3*(A*b - a*B))/(a^5*sqrt(x)) - (2*b^(7//2)*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(11//2), x, 7),
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x))/(a + b*x)^2, (a^2*(7*A*b - 9*a*B)*sqrt(x))/b^5 - (a*(7*A*b - 9*a*B)*x^(3//2))/(3*b^4) + ((7*A*b - 9*a*B)*x^(5//2))/(5*b^3) - ((7*A*b - 9*a*B)*x^(7//2))/(7*a*b^2) + ((A*b - a*B)*x^(9//2))/(a*b*(a + b*x)) - (a^(5//2)*(7*A*b - 9*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(11//2), x, 7),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(a + b*x)^2, -((a*(5*A*b - 7*a*B)*sqrt(x))/b^4) + ((5*A*b - 7*a*B)*x^(3//2))/(3*b^3) - ((5*A*b - 7*a*B)*x^(5//2))/(5*a*b^2) + ((A*b - a*B)*x^(7//2))/(a*b*(a + b*x)) + (a^(3//2)*(5*A*b - 7*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(9//2), x, 6),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(a + b*x)^2, ((3*A*b - 5*a*B)*sqrt(x))/b^3 - ((3*A*b - 5*a*B)*x^(3//2))/(3*a*b^2) + ((A*b - a*B)*x^(5//2))/(a*b*(a + b*x)) - (sqrt(a)*(3*A*b - 5*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(7//2), x, 5),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/(a + b*x)^2, -(((A*b - 3*a*B)*sqrt(x))/(a*b^2)) + ((A*b - a*B)*x^(3//2))/(a*b*(a + b*x)) + ((A*b - 3*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(sqrt(a)*b^(5//2)), x, 4),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*(a + b*x)^2), ((A*b - a*B)*sqrt(x))/(a*b*(a + b*x)) + ((A*b + a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(a^(3//2)*b^(3//2)), x, 3),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(a + b*x)^2), -((3*A*b - a*B)/(a^2*b*sqrt(x))) + (A*b - a*B)/(a*b*sqrt(x)*(a + b*x)) - ((3*A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(a^(5//2)*sqrt(b)), x, 4),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*(a + b*x)^2), -((5*A*b - 3*a*B)/(3*a^2*b*x^(3//2))) + (5*A*b - 3*a*B)/(a^3*sqrt(x)) + (A*b - a*B)/(a*b*x^(3//2)*(a + b*x)) + (sqrt(b)*(5*A*b - 3*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(7//2), x, 5),
+((A + B*x)/(x^(7//2)*(a + b*x)^2), -((7*A*b - 5*a*B)/(5*a^2*b*x^(5//2))) + (7*A*b - 5*a*B)/(3*a^3*x^(3//2)) - (b*(7*A*b - 5*a*B))/(a^4*sqrt(x)) + (A*b - a*B)/(a*b*x^(5//2)*(a + b*x)) - (b^(3//2)*(7*A*b - 5*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(9//2), x, 6),
+((A + B*x)/(x^(9//2)*(a + b*x)^2), -((9*A*b - 7*a*B)/(7*a^2*b*x^(7//2))) + (9*A*b - 7*a*B)/(5*a^3*x^(5//2)) - (b*(9*A*b - 7*a*B))/(3*a^4*x^(3//2)) + (b^2*(9*A*b - 7*a*B))/(a^5*sqrt(x)) + (A*b - a*B)/(a*b*x^(7//2)*(a + b*x)) + (b^(5//2)*(9*A*b - 7*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(11//2), x, 7),
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x))/(a + b*x)^3, (-7*a*(5*A*b - 9*a*B)*sqrt(x))/(4*b^5) + (7*(5*A*b - 9*a*B)*x^(3//2))/(12*b^4) - (7*(5*A*b - 9*a*B)*x^(5//2))/(20*a*b^3) + ((A*b - a*B)*x^(9//2))/(2*a*b*(a + b*x)^2) + ((5*A*b - 9*a*B)*x^(7//2))/(4*a*b^2*(a + b*x)) + (7*a^(3//2)*(5*A*b - 9*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*b^(11//2)), x, 7),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(a + b*x)^3, (5*(3*A*b - 7*a*B)*sqrt(x))/(4*b^4) - (5*(3*A*b - 7*a*B)*x^(3//2))/(12*a*b^3) + ((A*b - a*B)*x^(7//2))/(2*a*b*(a + b*x)^2) + ((3*A*b - 7*a*B)*x^(5//2))/(4*a*b^2*(a + b*x)) - (5*sqrt(a)*(3*A*b - 7*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*b^(9//2)), x, 6),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(a + b*x)^3, (-3*(A*b - 5*a*B)*sqrt(x))/(4*a*b^3) + ((A*b - a*B)*x^(5//2))/(2*a*b*(a + b*x)^2) + ((A*b - 5*a*B)*x^(3//2))/(4*a*b^2*(a + b*x)) + (3*(A*b - 5*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)*b^(7//2)), x, 5),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/(a + b*x)^3, ((A*b - a*B)*x^(3//2))/(2*a*b*(a + b*x)^2) - ((A*b + 3*a*B)*sqrt(x))/(4*a*b^2*(a + b*x)) + ((A*b + 3*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*b^(5//2)), x, 4),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*(a + b*x)^3), ((A*b - a*B)*sqrt(x))/(2*a*b*(a + b*x)^2) + ((3*A*b + a*B)*sqrt(x))/(4*a^2*b*(a + b*x)) + ((3*A*b + a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*a^(5//2)*b^(3//2)), x, 4),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(a + b*x)^3), -((3*(5*A*b - a*B))/(4*a^3*b*sqrt(x))) + (A*b - a*B)/(2*a*b*sqrt(x)*(a + b*x)^2) + (5*A*b - a*B)/(4*a^2*b*sqrt(x)*(a + b*x)) - (3*(5*A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*a^(7//2)*sqrt(b)), x, 5),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*(a + b*x)^3), -((5*(7*A*b - 3*a*B))/(12*a^3*b*x^(3//2))) + (5*(7*A*b - 3*a*B))/(4*a^4*sqrt(x)) + (A*b - a*B)/(2*a*b*x^(3//2)*(a + b*x)^2) + (7*A*b - 3*a*B)/(4*a^2*b*x^(3//2)*(a + b*x)) + (5*sqrt(b)*(7*A*b - 3*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*a^(9//2)), x, 6),
+((A + B*x)/(x^(7//2)*(a + b*x)^3), -((7*(9*A*b - 5*a*B))/(20*a^3*b*x^(5//2))) + (7*(9*A*b - 5*a*B))/(12*a^4*x^(3//2)) - (7*b*(9*A*b - 5*a*B))/(4*a^5*sqrt(x)) + (A*b - a*B)/(2*a*b*x^(5//2)*(a + b*x)^2) + (9*A*b - 5*a*B)/(4*a^2*b*x^(5//2)*(a + b*x)) - (7*b^(3//2)*(9*A*b - 5*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*a^(11//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x)^n (c+d x)^p with m symbolic
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^m*(a + b*x)^4*(A + B*x), (a^4*A*x^(1 + m))/(1 + m) + (a^3*(4*A*b + a*B)*x^(2 + m))/(2 + m) + (2*a^2*b*(3*A*b + 2*a*B)*x^(3 + m))/(3 + m) + (2*a*b^2*(2*A*b + 3*a*B)*x^(4 + m))/(4 + m) + (b^3*(A*b + 4*a*B)*x^(5 + m))/(5 + m) + (b^4*B*x^(6 + m))/(6 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x)^3*(A + B*x), (a^3*A*x^(1 + m))/(1 + m) + (a^2*(3*A*b + a*B)*x^(2 + m))/(2 + m) + (3*a*b*(A*b + a*B)*x^(3 + m))/(3 + m) + (b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(4 + m))/(4 + m) + (b^3*B*x^(5 + m))/(5 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x)^2*(A + B*x), (a^2*A*x^(1 + m))/(1 + m) + (a*(2*A*b + a*B)*x^(2 + m))/(2 + m) + (b*(A*b + 2*a*B)*x^(3 + m))/(3 + m) + (b^2*B*x^(4 + m))/(4 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x)^1*(A + B*x), (a*A*x^(1 + m))/(1 + m) + ((A*b + a*B)*x^(2 + m))/(2 + m) + (b*B*x^(3 + m))/(3 + m), x, 2),
+(x^m/(a + b*x)^1*(A + B*x), (B*x^(1 + m))/(b*(1 + m)) + ((A*b - a*B)*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)))/(a*b*(1 + m)), x, 2),
+(x^m/(a + b*x)^2*(A + B*x), ((A*b - a*B)*x^(1 + m))/(a*b*(a + b*x)) - ((A*b*m - a*B*(1 + m))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)))/(a^2*b*(1 + m)), x, 2),
+(x^m/(a + b*x)^3*(A + B*x), ((A*b - a*B)*x^(1 + m))/(2*a*b*(a + b*x)^2) + ((A*b*(1 - m) + a*B*(1 + m))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)))/(2*a^3*b*(1 + m)), x, 2),
+
+
+(x^m*(a + b*x)^2*(c + d*x)^5, (a^2*c^5*x^(1 + m))/(1 + m) + (a*c^4*(2*b*c + 5*a*d)*x^(2 + m))/(2 + m) + (c^3*(b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 10*a^2*d^2)*x^(3 + m))/(3 + m) + (5*c^2*d*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + 2*a^2*d^2)*x^(4 + m))/(4 + m) + (5*c*d^2*(2*b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(5 + m))/(5 + m) + (d^3*(10*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(6 + m))/(6 + m) + (b*d^4*(5*b*c + 2*a*d)*x^(7 + m))/(7 + m) + (b^2*d^5*x^(8 + m))/(8 + m), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+# {x^m*(c + d*x)^3/(a + b*x), x, 7, (d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(1 + m))/(b^3*(1 + m)) + (d^2*(3*b*c - a*d)*x^(2 + m))/(b^2*(2 + m)) + (d^3*x^(3 + m))/(b*(3 + m)) + ((b*c - a*d)^3*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1, 1 - m, a/(a + b*x)])/(b^3*m*(a + b*x)), (c^2*d*x^(1 + m))/(b*(1 + m)) + (c*d*(b*c - a*d)*x^(1 + m))/(b^2*(1 + m)) + (d*(b*c - a*d)^2*x^(1 + m))/(b^3*(1 + m)) + (2*c*d^2*x^(2 + m))/(b*(2 + m)) + (d^2*(b*c - a*d)*x^(2 + m))/(b^2*(2 + m)) + (d^3*x^(3 + m))/(b*(3 + m)) + ((b*c - a*d)^3*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)])/(a*b^3*(1 + m))}
+(x^m*(c + d*x)^2/(a + b*x), (c*d*x^(1 + m))/(b*(1 + m)) + (d*(b*c - a*d)*x^(1 + m))/(b^2*(1 + m)) + (d^2*x^(2 + m))/(b*(2 + m)) + ((b*c - a*d)^2*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)))/(a*b^2*(1 + m)), x, 5),
+(x^m*(c + d*x)^1/(a + b*x), (d*x^(1 + m))/(b*(1 + m)) + ((b*c - a*d)*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)))/(a*b*(1 + m)), x, 2),
+(x^m/((a + b*x)*(c + d*x)^1), (b*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)))/(a*(b*c - a*d)*(1 + m)) - (d*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((d*x)/c)))/(c*(b*c - a*d)*(1 + m)), x, 3),
+(x^m/((a + b*x)*(c + d*x)^2), -((d*x^(1 + m))/(c*(b*c - a*d)*(c + d*x))) + (b^2*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)))/(a*(b*c - a*d)^2*(1 + m)) - (d*(b*c*(1 - m) + a*d*m)*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((d*x)/c)))/(c^2*(b*c - a*d)^2*(1 + m)), x, 4),
+(x^m/((a + b*x)*(c + d*x)^3), -((d*x^(1 + m))/(2*c*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2)) + (d*(a*d*(1 - m) - b*c*(3 - m))*x^(1 + m))/(2*c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) + (b^3*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)))/(a*(b*c - a*d)^3*(1 + m)) + (d*(a^2*d^2*(1 - m)*m - 2*a*b*c*d*(2 - m)*m - b^2*c^2*(2 - 3*m + m^2))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((d*x)/c)))/(2*c^3*(b*c - a*d)^3*(1 + m)), x, 5),
+
+
+# Following integrands are equal:
+((b^2*x^m)/(b + a*x^2)^2, (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((a*x^2)/b)))/(1 + m), x, 2),
+(x^m/((1 - (sqrt(a)*x)/sqrt(-b))^2*(1 + (sqrt(a)*x)/sqrt(-b))^2), (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((a*x^2)/b)))/(1 + m), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x)^n (c+d x)^(p/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x)^1 (c+d x)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^4*sqrt(a + b*x)*(A + B*x), (2*a^4*(A*b - a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^6) - (2*a^3*(4*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^6) + (4*a^2*(3*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^6) - (4*a*(2*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^6) + (2*(A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^6) + (2*B*(a + b*x)^(13//2))/(13*b^6), x, 2),
+(x^3*sqrt(a + b*x)*(A + B*x), -((2*a^3*(A*b - a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^5)) + (2*a^2*(3*A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^5) - (6*a*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^5) + (2*(A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^5) + (2*B*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^5), x, 2),
+(x^2*sqrt(a + b*x)*(A + B*x), (2*a^2*(A*b - a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^4) - (2*a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^4) + (2*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^4) + (2*B*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^4), x, 2),
+(x*sqrt(a + b*x)*(A + B*x), -((2*a*(A*b - a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^3)) + (2*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^3) + (2*B*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^3), x, 2),
+(sqrt(a + b*x)*(A + B*x), (2*(A*b - a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^2) + (2*B*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^2), x, 2),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/x, 2*A*sqrt(a + b*x) + (2*B*(a + b*x)^(3//2))/(3*b) - 2*sqrt(a)*A*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 4),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/x^2, ((A*b + 2*a*B)*sqrt(a + b*x))/a - (A*(a + b*x)^(3//2))/(a*x) - ((A*b + 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 4),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/x^3, ((A*b - 4*a*B)*sqrt(a + b*x))/(4*a*x) - (A*(a + b*x)^(3//2))/(2*a*x^2) + (b*(A*b - 4*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)), x, 4),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/x^4, ((A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x))/(4*a*x^2) + (b*(A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x))/(8*a^2*x) - (A*(a + b*x)^(3//2))/(3*a*x^3) - (b^2*(A*b - 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)), x, 5),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/x^5, ((5*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x))/(24*a*x^3) + (b*(5*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x))/(96*a^2*x^2) - (b^2*(5*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x))/(64*a^3*x) - (A*(a + b*x)^(3//2))/(4*a*x^4) + (b^3*(5*A*b - 8*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(64*a^(7//2)), x, 6),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/x^6, ((7*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x))/(40*a*x^4) + (b*(7*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x))/(240*a^2*x^3) - (b^2*(7*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x))/(192*a^3*x^2) + (b^3*(7*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x))/(128*a^4*x) - (A*(a + b*x)^(3//2))/(5*a*x^5) - (b^4*(7*A*b - 10*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(128*a^(9//2)), x, 7),
+
+
+(x^4*(a + b*x)^(3//2)*(A + B*x), (2*a^4*(A*b - a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^6) - (2*a^3*(4*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^6) + (4*a^2*(3*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^6) - (4*a*(2*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^6) + (2*(A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(13//2))/(13*b^6) + (2*B*(a + b*x)^(15//2))/(15*b^6), x, 2),
+(x^3*(a + b*x)^(3//2)*(A + B*x), -((2*a^3*(A*b - a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^5)) + (2*a^2*(3*A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^5) - (2*a*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^(9//2))/(3*b^5) + (2*(A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^5) + (2*B*(a + b*x)^(13//2))/(13*b^5), x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^(3//2)*(A + B*x), (2*a^2*(A*b - a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^4) - (2*a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^4) + (2*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^4) + (2*B*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^4), x, 2),
+(x*(a + b*x)^(3//2)*(A + B*x), -((2*a*(A*b - a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^3)) + (2*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^3) + (2*B*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^3), x, 2),
+((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x), (2*(A*b - a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^2) + (2*B*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^2), x, 2),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/x, 2*a*A*sqrt(a + b*x) + (2*A*(a + b*x)^(3//2))/3 + (2*B*(a + b*x)^(5//2))/(5*b) - 2*a^(3//2)*A*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 5),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/x^2, (3*A*b + 2*a*B)*sqrt(a + b*x) + ((3*A*b + 2*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(3*a) - (A*(a + b*x)^(5//2))/(a*x) - sqrt(a)*(3*A*b + 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 5),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/x^3, (3*b*(A*b + 4*a*B)*sqrt(a + b*x))/(4*a) - ((A*b + 4*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(4*a*x) - (A*(a + b*x)^(5//2))/(2*a*x^2) - (3*b*(A*b + 4*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)), x, 5),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/x^4, (b*(A*b - 6*a*B)*sqrt(a + b*x))/(8*a*x) + ((A*b - 6*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(12*a*x^2) - (A*(a + b*x)^(5//2))/(3*a*x^3) + (b^2*(A*b - 6*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(8*a^(3//2)), x, 5),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/x^5, (b*(3*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x))/(32*a*x^2) + (b^2*(3*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x))/(64*a^2*x) + ((3*A*b - 8*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(24*a*x^3) - (A*(a + b*x)^(5//2))/(4*a*x^4) - (b^3*(3*A*b - 8*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(64*a^(5//2)), x, 6),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/x^6, (b*(A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x))/(16*a*x^3) + (b^2*(A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x))/(64*a^2*x^2) - (3*b^3*(A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x))/(128*a^3*x) + ((A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(8*a*x^4) - (A*(a + b*x)^(5//2))/(5*a*x^5) + (3*b^4*(A*b - 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(128*a^(7//2)), x, 7),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/x^7, (b*(7*A*b - 12*a*B)*sqrt(a + b*x))/(160*a*x^4) + (b^2*(7*A*b - 12*a*B)*sqrt(a + b*x))/(960*a^2*x^3) - (b^3*(7*A*b - 12*a*B)*sqrt(a + b*x))/(768*a^3*x^2) + (b^4*(7*A*b - 12*a*B)*sqrt(a + b*x))/(512*a^4*x) + ((7*A*b - 12*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(60*a*x^5) - (A*(a + b*x)^(5//2))/(6*a*x^6) - (b^5*(7*A*b - 12*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(512*a^(9//2)), x, 8),
+
+
+(x^4*(a + b*x)^(5//2)*(A + B*x), (2*a^4*(A*b - a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^6) - (2*a^3*(4*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^6) + (4*a^2*(3*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^6) - (4*a*(2*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(13//2))/(13*b^6) + (2*(A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(15//2))/(15*b^6) + (2*B*(a + b*x)^(17//2))/(17*b^6), x, 2),
+(x^3*(a + b*x)^(5//2)*(A + B*x), -((2*a^3*(A*b - a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^5)) + (2*a^2*(3*A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^5) - (6*a*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^5) + (2*(A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^(13//2))/(13*b^5) + (2*B*(a + b*x)^(15//2))/(15*b^5), x, 2),
+(x^2*(a + b*x)^(5//2)*(A + B*x), (2*a^2*(A*b - a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^4) - (2*a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^4) + (2*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^4) + (2*B*(a + b*x)^(13//2))/(13*b^4), x, 2),
+(x*(a + b*x)^(5//2)*(A + B*x), -((2*a*(A*b - a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^3)) + (2*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^3) + (2*B*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^3), x, 2),
+((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x), (2*(A*b - a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^2) + (2*B*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^2), x, 2),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/x, 2*a^2*A*sqrt(a + b*x) + (2*a*A*(a + b*x)^(3//2))/3 + (2*A*(a + b*x)^(5//2))/5 + (2*B*(a + b*x)^(7//2))/(7*b) - 2*a^(5//2)*A*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 6),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/x^2, a*(5*A*b + 2*a*B)*sqrt(a + b*x) + ((5*A*b + 2*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/3 + ((5*A*b + 2*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(5*a) - (A*(a + b*x)^(7//2))/(a*x) - a^(3//2)*(5*A*b + 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 6),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/x^3, (5*b*(3*A*b + 4*a*B)*sqrt(a + b*x))/4 + (5*b*(3*A*b + 4*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(12*a) - ((3*A*b + 4*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(4*a*x) - (A*(a + b*x)^(7//2))/(2*a*x^2) - (5*sqrt(a)*b*(3*A*b + 4*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/4, x, 6),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/x^4, (5*b^2*(A*b + 6*a*B)*sqrt(a + b*x))/(8*a) - (5*b*(A*b + 6*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(24*a*x) - ((A*b + 6*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(12*a*x^2) - (A*(a + b*x)^(7//2))/(3*a*x^3) - (5*b^2*(A*b + 6*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(8*sqrt(a)), x, 6),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/x^5, (5*b^2*(A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x))/(64*a*x) + (5*b*(A*b - 8*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(96*a*x^2) + ((A*b - 8*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(24*a*x^3) - (A*(a + b*x)^(7//2))/(4*a*x^4) + (5*b^3*(A*b - 8*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(64*a^(3//2)), x, 6),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/x^6, (b^2*(3*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x))/(64*a*x^2) + (b^3*(3*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x))/(128*a^2*x) + (b*(3*A*b - 10*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(48*a*x^3) + ((3*A*b - 10*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(40*a*x^4) - (A*(a + b*x)^(7//2))/(5*a*x^5) - (b^4*(3*A*b - 10*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(128*a^(5//2)), x, 7),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/x^7, (b^2*(5*A*b - 12*a*B)*sqrt(a + b*x))/(192*a*x^3) + (b^3*(5*A*b - 12*a*B)*sqrt(a + b*x))/(768*a^2*x^2) - (b^4*(5*A*b - 12*a*B)*sqrt(a + b*x))/(512*a^3*x) + (b*(5*A*b - 12*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(96*a*x^4) + ((5*A*b - 12*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(60*a*x^5) - (A*(a + b*x)^(7//2))/(6*a*x^6) + (b^5*(5*A*b - 12*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(512*a^(7//2)), x, 8),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/x^8, (b^2*(A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x))/(64*a*x^4) + (b^3*(A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x))/(384*a^2*x^3) - (5*b^4*(A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x))/(1536*a^3*x^2) + (5*b^5*(A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x))/(1024*a^4*x) + (b*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(24*a*x^5) + ((A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(12*a*x^6) - (A*(a + b*x)^(7//2))/(7*a*x^7) - (5*b^6*(A*b - 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(1024*a^(9//2)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^4*(A + B*x))/sqrt(a + b*x), (2*a^4*(A*b - a*B)*sqrt(a + b*x))/b^6 - (2*a^3*(4*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^6) + (4*a^2*(3*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^6) - (4*a*(2*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^6) + (2*(A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^6) + (2*B*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^6), x, 2),
+((x^3*(A + B*x))/sqrt(a + b*x), -((2*a^3*(A*b - a*B)*sqrt(a + b*x))/b^5) + (2*a^2*(3*A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^5) - (6*a*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^5) + (2*(A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^5) + (2*B*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^5), x, 2),
+((x^2*(A + B*x))/sqrt(a + b*x), (2*a^2*(A*b - a*B)*sqrt(a + b*x))/b^4 - (2*a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^4) + (2*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^4) + (2*B*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^4), x, 2),
+((x*(A + B*x))/sqrt(a + b*x), -((2*a*(A*b - a*B)*sqrt(a + b*x))/b^3) + (2*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^3) + (2*B*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^3), x, 2),
+((A + B*x)/sqrt(a + b*x), (2*(A*b - a*B)*sqrt(a + b*x))/b^2 + (2*B*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^2), x, 2),
+((A + B*x)/(x*sqrt(a + b*x)), (2*B*sqrt(a + b*x))/b - (2*A*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 3),
+((A + B*x)/(x^2*sqrt(a + b*x)), -((A*sqrt(a + b*x))/(a*x)) + ((A*b - 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 3),
+((A + B*x)/(x^3*sqrt(a + b*x)), -(A*sqrt(a + b*x))/(2*a*x^2) + ((3*A*b - 4*a*B)*sqrt(a + b*x))/(4*a^2*x) - (b*(3*A*b - 4*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(4*a^(5//2)), x, 4),
+((A + B*x)/(x^4*sqrt(a + b*x)), -(A*sqrt(a + b*x))/(3*a*x^3) + ((5*A*b - 6*a*B)*sqrt(a + b*x))/(12*a^2*x^2) - (b*(5*A*b - 6*a*B)*sqrt(a + b*x))/(8*a^3*x) + (b^2*(5*A*b - 6*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(8*a^(7//2)), x, 5),
+((A + B*x)/(x^5*sqrt(a + b*x)), -(A*sqrt(a + b*x))/(4*a*x^4) + ((7*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x))/(24*a^2*x^3) - (5*b*(7*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x))/(96*a^3*x^2) + (5*b^2*(7*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x))/(64*a^4*x) - (5*b^3*(7*A*b - 8*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(64*a^(9//2)), x, 6),
+((A + B*x)/(x^6*sqrt(a + b*x)), -(A*sqrt(a + b*x))/(5*a*x^5) + ((9*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x))/(40*a^2*x^4) - (7*b*(9*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x))/(240*a^3*x^3) + (7*b^2*(9*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x))/(192*a^4*x^2) - (7*b^3*(9*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x))/(128*a^5*x) + (7*b^4*(9*A*b - 10*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(128*a^(11//2)), x, 7),
+
+
+((x^4*(A + B*x))/(a + b*x)^(3//2), -((2*a^4*(A*b - a*B))/(b^6*sqrt(a + b*x))) - (2*a^3*(4*A*b - 5*a*B)*sqrt(a + b*x))/b^6 + (4*a^2*(3*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^6) - (4*a*(2*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^6) + (2*(A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^6) + (2*B*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^6), x, 2),
+((x^3*(A + B*x))/(a + b*x)^(3//2), (2*a^3*(A*b - a*B))/(b^5*sqrt(a + b*x)) + (2*a^2*(3*A*b - 4*a*B)*sqrt(a + b*x))/b^5 - (2*a*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/b^5 + (2*(A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^5) + (2*B*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^5), x, 2),
+((x^2*(A + B*x))/(a + b*x)^(3//2), -((2*a^2*(A*b - a*B))/(b^4*sqrt(a + b*x))) - (2*a*(2*A*b - 3*a*B)*sqrt(a + b*x))/b^4 + (2*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^4) + (2*B*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^4), x, 2),
+((x*(A + B*x))/(a + b*x)^(3//2), (2*a*(A*b - a*B))/(b^3*sqrt(a + b*x)) + (2*(A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x))/b^3 + (2*B*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^3), x, 2),
+((A + B*x)/(a + b*x)^(3//2), (-2*(A*b - a*B))/(b^2*sqrt(a + b*x)) + (2*B*sqrt(a + b*x))/b^2, x, 2),
+((A + B*x)/(x^1*(a + b*x)^(3//2)), (2*(A*b - a*B))/(a*b*sqrt(a + b*x)) - (2*A*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 3),
+((A + B*x)/(x^2*(a + b*x)^(3//2)), -((3*A*b - 2*a*B)/(a^2*sqrt(a + b*x))) - A/(a*x*sqrt(a + b*x)) + ((3*A*b - 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 4),
+((A + B*x)/(x^3*(a + b*x)^(3//2)), (3*b*(5*A*b - 4*a*B))/(4*a^3*sqrt(a + b*x)) - A/(2*a*x^2*sqrt(a + b*x)) + (5*A*b - 4*a*B)/(4*a^2*x*sqrt(a + b*x)) - (3*b*(5*A*b - 4*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(4*a^(7//2)), x, 5),
+((A + B*x)/(x^4*(a + b*x)^(3//2)), -((5*b^2*(7*A*b - 6*a*B))/(8*a^4*sqrt(a + b*x))) - A/(3*a*x^3*sqrt(a + b*x)) + (7*A*b - 6*a*B)/(12*a^2*x^2*sqrt(a + b*x)) - (5*b*(7*A*b - 6*a*B))/(24*a^3*x*sqrt(a + b*x)) + (5*b^2*(7*A*b - 6*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(8*a^(9//2)), x, 6),
+((A + B*x)/(x^5*(a + b*x)^(3//2)), (35*b^3*(9*A*b - 8*a*B))/(64*a^5*sqrt(a + b*x)) - A/(4*a*x^4*sqrt(a + b*x)) + (9*A*b - 8*a*B)/(24*a^2*x^3*sqrt(a + b*x)) - (7*b*(9*A*b - 8*a*B))/(96*a^3*x^2*sqrt(a + b*x)) + (35*b^2*(9*A*b - 8*a*B))/(192*a^4*x*sqrt(a + b*x)) - (35*b^3*(9*A*b - 8*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(64*a^(11//2)), x, 7),
+
+
+((x^4*(A + B*x))/(a + b*x)^(5//2), -((2*a^4*(A*b - a*B))/(3*b^6*(a + b*x)^(3//2))) + (2*a^3*(4*A*b - 5*a*B))/(b^6*sqrt(a + b*x)) + (4*a^2*(3*A*b - 5*a*B)*sqrt(a + b*x))/b^6 - (4*a*(2*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^6) + (2*(A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^6) + (2*B*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^6), x, 2),
+((x^3*(A + B*x))/(a + b*x)^(5//2), (2*a^3*(A*b - a*B))/(3*b^5*(a + b*x)^(3//2)) - (2*a^2*(3*A*b - 4*a*B))/(b^5*sqrt(a + b*x)) - (6*a*(A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x))/b^5 + (2*(A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^5) + (2*B*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^5), x, 2),
+((x^2*(A + B*x))/(a + b*x)^(5//2), -((2*a^2*(A*b - a*B))/(3*b^4*(a + b*x)^(3//2))) + (2*a*(2*A*b - 3*a*B))/(b^4*sqrt(a + b*x)) + (2*(A*b - 3*a*B)*sqrt(a + b*x))/b^4 + (2*B*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^4), x, 2),
+((x*(A + B*x))/(a + b*x)^(5//2), (2*a*(A*b - a*B))/(3*b^3*(a + b*x)^(3//2)) - (2*(A*b - 2*a*B))/(b^3*sqrt(a + b*x)) + (2*B*sqrt(a + b*x))/b^3, x, 2),
+((A + B*x)/(a + b*x)^(5//2), (-2*(A*b - a*B))/(3*b^2*(a + b*x)^(3//2)) - (2*B)/(b^2*sqrt(a + b*x)), x, 2),
+((A + B*x)/(x*(a + b*x)^(5//2)), (2*(A*b - a*B))/(3*a*b*(a + b*x)^(3//2)) + (2*A)/(a^2*sqrt(a + b*x)) - (2*A*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 4),
+((A + B*x)/(x^2*(a + b*x)^(5//2)), -(5*A*b - 2*a*B)/(3*a^2*(a + b*x)^(3//2)) - A/(a*x*(a + b*x)^(3//2)) - (5*A*b - 2*a*B)/(a^3*sqrt(a + b*x)) + ((5*A*b - 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/a^(7//2), x, 5),
+((A + B*x)/(x^3*(a + b*x)^(5//2)), (5*b*(7*A*b - 4*a*B))/(12*a^3*(a + b*x)^(3//2)) - A/(2*a*x^2*(a + b*x)^(3//2)) + (7*A*b - 4*a*B)/(4*a^2*x*(a + b*x)^(3//2)) + (5*b*(7*A*b - 4*a*B))/(4*a^4*sqrt(a + b*x)) - (5*b*(7*A*b - 4*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(4*a^(9//2)), x, 6),
+((A + B*x)/(x^4*(a + b*x)^(5//2)), -((35*b^2*(3*A*b - 2*a*B))/(24*a^4*(a + b*x)^(3//2))) - A/(3*a*x^3*(a + b*x)^(3//2)) + (3*A*b - 2*a*B)/(4*a^2*x^2*(a + b*x)^(3//2)) - (7*b*(3*A*b - 2*a*B))/(8*a^3*x*(a + b*x)^(3//2)) - (35*b^2*(3*A*b - 2*a*B))/(8*a^5*sqrt(a + b*x)) + (35*b^2*(3*A*b - 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(8*a^(11//2)), x, 7),
+((A + B*x)/(x^5*(a + b*x)^(5//2)), (35*b^3*(11*A*b - 8*a*B))/(64*a^5*(a + b*x)^(3//2)) - A/(4*a*x^4*(a + b*x)^(3//2)) + (11*A*b - 8*a*B)/(24*a^2*x^3*(a + b*x)^(3//2)) - (3*b*(11*A*b - 8*a*B))/(32*a^3*x^2*(a + b*x)^(3//2)) + (21*b^2*(11*A*b - 8*a*B))/(64*a^4*x*(a + b*x)^(3//2)) + (105*b^3*(11*A*b - 8*a*B))/(64*a^6*sqrt(a + b*x)) - (105*b^3*(11*A*b - 8*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(64*a^(13//2)), x, 8),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x)^2 (c+d x)^(p/2)
+
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+((a + b*x)^2/(x^2*sqrt(c + d*x)), (2*b^2*sqrt(c + d*x))/d - (a^2*sqrt(c + d*x))/(c*x) - (a*(4*b*c - a*d)*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/c^(3//2), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x)^(p/2) / (a+b x)^1
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(c + d*x)^(5//2)/(a + b*x), -((2*a^3*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x))/b^6) - (2*a^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^5) - (2*a^3*(c + d*x)^(5//2))/(5*b^4) + (2*(b^2*c^2 + a*b*c*d + a^2*d^2)*(c + d*x)^(7//2))/(7*b^3*d^3) - (2*(2*b*c + a*d)*(c + d*x)^(9//2))/(9*b^2*d^3) + (2*(c + d*x)^(11//2))/(11*b*d^3) + (2*a^3*(b*c - a*d)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(13//2), x, 7),
+(x^2*(c + d*x)^(5//2)/(a + b*x), (2*a^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x))/b^5 + (2*a^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^4) + (2*a^2*(c + d*x)^(5//2))/(5*b^3) - (2*(b*c + a*d)*(c + d*x)^(7//2))/(7*b^2*d^2) + (2*(c + d*x)^(9//2))/(9*b*d^2) - (2*a^2*(b*c - a*d)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(11//2), x, 7),
+(x^1*(c + d*x)^(5//2)/(a + b*x), -((2*a*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x))/b^4) - (2*a*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^3) - (2*a*(c + d*x)^(5//2))/(5*b^2) + (2*(c + d*x)^(7//2))/(7*b*d) + (2*a*(b*c - a*d)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(9//2), x, 6),
+(x^0*(c + d*x)^(5//2)/(a + b*x), (2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x))/b^3 + (2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^2) + (2*(c + d*x)^(5//2))/(5*b) - (2*(b*c - a*d)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(7//2), x, 5),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^1*(a + b*x)), (2*d*(2*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/b^2 + (2*d*(c + d*x)^(3//2))/(3*b) - (2*c^(5//2)*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/a + (2*(b*c - a*d)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(a*b^(5//2)), x, 7),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^2*(a + b*x)), (d*(b*c + 2*a*d)*sqrt(c + d*x))/(a*b) - (c*(c + d*x)^(3//2))/(a*x) + (c^(3//2)*(2*b*c - 5*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/a^2 - (2*(b*c - a*d)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(a^2*b^(3//2)), x, 7),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^3*(a + b*x)), (c*(4*b*c - 7*a*d)*sqrt(c + d*x))/(4*a^2*x) - (c*(c + d*x)^(3//2))/(2*a*x^2) - (sqrt(c)*(8*b^2*c^2 - 20*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/(4*a^3) + (2*(b*c - a*d)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(a^3*sqrt(b)), x, 7),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^4*(a + b*x)), (c*(2*b*c - 3*a*d)*sqrt(c + d*x))/(4*a^2*x^2) - ((8*b^2*c^2 - 18*a*b*c*d + 11*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x))/(8*a^3*x) - (c*(c + d*x)^(3//2))/(3*a*x^3) + ((16*b^3*c^3 - 40*a*b^2*c^2*d + 30*a^2*b*c*d^2 - 5*a^3*d^3)*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/(8*a^4*sqrt(c)) - (2*sqrt(b)*(b*c - a*d)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/a^4, x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/(x^(1//3)*sqrt(c + d*x)*(4*c + d*x)), -(atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + 2^(1//3)*d^(1//3)*x^(1//3)))/sqrt(c + d*x))/(2^(2//3)*sqrt(3)*c^(5//6)*d^(2//3))) + atan(sqrt(c + d*x)/(sqrt(3)*sqrt(c)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*c^(5//6)*d^(2//3)) - atanh((c^(1//6)*(c^(1//3) - 2^(1//3)*d^(1//3)*x^(1//3)))/sqrt(c + d*x))/(2^(2//3)*c^(5//6)*d^(2//3)) + atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c))/(3*2^(2//3)*c^(5//6)*d^(2//3)), x, 2),
+
+
+(1/(x^(1//3)*(8*c - d*x)*sqrt(c + d*x)), -(atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x^(1//3)))/sqrt(c + d*x))/(2*sqrt(3)*c^(5//6)*d^(2//3))) + atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x^(1//3))^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x)))/(6*c^(5//6)*d^(2//3)) - atanh(sqrt(c + d*x)/(3*sqrt(c)))/(6*c^(5//6)*d^(2//3)), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x)^(p/2) / (a+b x)^2
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((c + d*x)^(1//2)/(x^2*(a + b*x)^2), -((2*b*sqrt(c + d*x))/(a^2*(a + b*x))) - sqrt(c + d*x)/(a*x*(a + b*x)) + ((4*b*c - a*d)*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/(a^3*sqrt(c)) - (sqrt(b)*(4*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(a^3*sqrt(b*c - a*d)), x, 7),
+
+
+((c + d*x)^(3//2)/(x^1*(a + b*x)^2), ((b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(a*b*(a + b*x)) - (2*c^(3//2)*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/a^2 + (sqrt(b*c - a*d)*(2*b*c + a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(a^2*b^(3//2)), x, 6),
+((c + d*x)^(3//2)/(x^2*(a + b*x)^2), -(((2*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(a^2*(a + b*x))) - (c*sqrt(c + d*x))/(a*x*(a + b*x)) + (sqrt(c)*(4*b*c - 3*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/a^3 - (sqrt(b*c - a*d)*(4*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(a^3*sqrt(b)), x, 7),
+
+
+(x^3*(c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^2, (a^2*(6*b*c - 11*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/b^6 + (a^2*(6*b*c - 11*a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^5) + (11*x^2*(c + d*x)^(5//2))/(9*b^2) - (x^3*(c + d*x)^(5//2))/(b*(a + b*x)) - ((c + d*x)^(5//2)*(20*b^2*c^2 + 180*a*b*c*d - 693*a^2*d^2 - 5*b*d*(10*b*c - 99*a*d)*x))/(315*b^4*d^2) - (a^2*(6*b*c - 11*a*d)*(b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(13//2), x, 7),
+(x^2*(c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^2, -((a*(4*b*c - 9*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/b^5) - (a*(4*b*c - 9*a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^4) - (a*(4*b*c - 9*a*d)*(c + d*x)^(5//2))/(5*b^3*(b*c - a*d)) + (2*(c + d*x)^(7//2))/(7*b^2*d) - (a^2*(c + d*x)^(7//2))/(b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)) + (a*(4*b*c - 9*a*d)*(b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(11//2), x, 7),
+(x^1*(c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^2, ((2*b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/b^4 + ((2*b*c - 7*a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^3) + ((2*b*c - 7*a*d)*(c + d*x)^(5//2))/(5*b^2*(b*c - a*d)) + (a*(c + d*x)^(7//2))/(b*(b*c - a*d)*(a + b*x)) - ((2*b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(9//2), x, 6),
+(x^0*(c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^2, (5*d*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/b^3 + (5*d*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^2) - (c + d*x)^(5//2)/(b*(a + b*x)) - (5*d*(b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(7//2), x, 5),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^1*(a + b*x)^2), -((d*(b*c - 3*a*d)*sqrt(c + d*x))/(a*b^2)) + ((b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(a*b*(a + b*x)) - (2*c^(5//2)*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/a^2 + ((b*c - a*d)^(3//2)*(2*b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(a^2*b^(5//2)), x, 7),
+# {(c + d*x)^(5/2)/(x^2*(a + b*x)^2), x, 7, -((c^2*Sqrt[c + d*x])/(a^2*x)) - ((b*c - a*d)^2*Sqrt[c + d*x])/(a^2*b*(a + b*x)) + (c^(3/2)*(4*b*c - 5*a*d)*ArcTanh[Sqrt[c + d*x]/Sqrt[c]])/a^3 - ((b*c - a*d)^(3/2)*(4*b*c + a*d)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[b*c - a*d]])/(a^3*b^(3/2)), -(((b*c - a*d)*(2*b*c - a*d)*Sqrt[c + d*x])/(a^2*b*(a + b*x))) - (c*(c + d*x)^(3/2))/(a*x*(a + b*x)) + (c^(3/2)*(4*b*c - 5*a*d)*ArcTanh[Sqrt[c + d*x]/Sqrt[c]])/a^3 - ((b*c - a*d)^(3/2)*(4*b*c + a*d)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[b*c - a*d]])/(a^3*b^(3/2))}
+((c + d*x)^(5//2)/(x^3*(a + b*x)^2), ((12*b^2*c^2 - 17*a*b*c*d + 4*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x))/(4*a^3*(a + b*x)) + (c*(6*b*c - 7*a*d)*sqrt(c + d*x))/(4*a^2*x*(a + b*x)) - (c*(c + d*x)^(3//2))/(2*a*x^2*(a + b*x)) - (sqrt(c)*(24*b^2*c^2 - 40*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/(4*a^4) + ((b*c - a*d)^(3//2)*(6*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(a^4*sqrt(b)), x, 8),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^4*(a + b*x)^2), -((b*(32*b^2*c^2 - 52*a*b*c*d + 19*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x))/(8*a^4*(a + b*x))) + (c*(8*b*c - 9*a*d)*sqrt(c + d*x))/(12*a^2*x^2*(a + b*x)) - ((48*b^2*c^2 - 82*a*b*c*d + 33*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x))/(24*a^3*x*(a + b*x)) - (c*(c + d*x)^(3//2))/(3*a*x^3*(a + b*x)) + ((64*b^3*c^3 - 120*a*b^2*c^2*d + 60*a^2*b*c*d^2 - 5*a^3*d^3)*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/(8*a^5*sqrt(c)) - (sqrt(b)*(8*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/a^5, x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/(x^2*(a + b*x)^2*(c + d*x)^(1//2)), -((b*(2*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(a^2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x))) - sqrt(c + d*x)/(a*c*x*(a + b*x)) + ((4*b*c + a*d)*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/(a^3*c^(3//2)) - (b^(3//2)*(4*b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(a^3*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 7),
+
+
+(1/(x^2*(a + b*x)^2*(c + d*x)^(3//2)), -((d*(2*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2))/(a^2*c^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x))) - (b*(2*b*c - a*d))/(a^2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) - 1/(a*c*x*(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) + ((4*b*c + 3*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/(a^3*c^(5//2)) - (b^(5//2)*(4*b*c - 7*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(a^3*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 8),
+
+
+(1/(x^2*(a + b*x)^2*(c + d*x)^(5//2)), -((d*(6*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 5*a^2*d^2))/(3*a^2*c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(3//2))) - (b*(2*b*c - a*d))/(a^2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) - 1/(a*c*x*(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) - (d*(2*b*c - a*d)*(b^2*c^2 - a*b*c*d + 5*a^2*d^2))/(a^2*c^3*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x)) + ((4*b*c + 5*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/(a^3*c^(7//2)) - (b^(7//2)*(4*b*c - 9*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(a^3*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b x)^n (c+d x)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(5//2)*sqrt(a + b*x)*(A + B*x), (a^3*(10*A*b - 7*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(128*b^4) - (a^2*(10*A*b - 7*a*B)*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(192*b^3) + (a*(10*A*b - 7*a*B)*x^(5//2)*sqrt(a + b*x))/(240*b^2) + ((10*A*b - 7*a*B)*x^(7//2)*sqrt(a + b*x))/(40*b) + (B*x^(7//2)*(a + b*x)^(3//2))/(5*b) - (a^4*(10*A*b - 7*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(128*b^(9//2)), x, 8),
+(x^(3//2)*sqrt(a + b*x)*(A + B*x), -(a^2*(8*A*b - 5*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(64*b^3) + (a*(8*A*b - 5*a*B)*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(96*b^2) + ((8*A*b - 5*a*B)*x^(5//2)*sqrt(a + b*x))/(24*b) + (B*x^(5//2)*(a + b*x)^(3//2))/(4*b) + (a^3*(8*A*b - 5*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(64*b^(7//2)), x, 7),
+(sqrt(x)*sqrt(a + b*x)*(A + B*x), (a*(2*A*b - a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(8*b^2) + ((2*A*b - a*B)*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(4*b) + (B*x^(3//2)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b) - (a^2*(2*A*b - a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(8*b^(5//2)), x, 6),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/sqrt(x), ((4*A*b - a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(4*b) + (B*sqrt(x)*(a + b*x)^(3//2))/(2*b) + (a*(4*A*b - a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(4*b^(3//2)), x, 5),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/x^(3//2), ((2*A*b + a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/a - (2*A*(a + b*x)^(3//2))/(a*sqrt(x)) + ((2*A*b + a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/sqrt(b), x, 5),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/x^(5//2), (-2*B*sqrt(a + b*x))/sqrt(x) - (2*A*(a + b*x)^(3//2))/(3*a*x^(3//2)) + 2*sqrt(b)*B*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)), x, 5),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/x^(7//2), (-2*A*(a + b*x)^(3//2))/(5*a*x^(5//2)) + (2*(2*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(15*a^2*x^(3//2)), x, 2),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/x^(9//2), (-2*A*(a + b*x)^(3//2))/(7*a*x^(7//2)) + (2*(4*A*b - 7*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(35*a^2*x^(5//2)) - (4*b*(4*A*b - 7*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(105*a^3*x^(3//2)), x, 3),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/x^(11//2), (-2*A*(a + b*x)^(3//2))/(9*a*x^(9//2)) + (2*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(21*a^2*x^(7//2)) - (8*b*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(105*a^3*x^(5//2)) + (16*b^2*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(315*a^4*x^(3//2)), x, 4),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/x^(13//2), (-2*A*(a + b*x)^(3//2))/(11*a*x^(11//2)) + (2*(8*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(99*a^2*x^(9//2)) - (4*b*(8*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(231*a^3*x^(7//2)) + (16*b^2*(8*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(1155*a^4*x^(5//2)) - (32*b^3*(8*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(3465*a^5*x^(3//2)), x, 5),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/x^(15//2), (-2*A*(a + b*x)^(3//2))/(13*a*x^(13//2)) + (2*(10*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(143*a^2*x^(11//2)) - (16*b*(10*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(1287*a^3*x^(9//2)) + (32*b^2*(10*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(3003*a^4*x^(7//2)) - (128*b^3*(10*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(15015*a^5*x^(5//2)) + (256*b^4*(10*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(45045*a^6*x^(3//2)), x, 6),
+
+
+(x^(5//2)*(a + b*x)^(3//2)*(A + B*x), (a^4*(12*A*b - 7*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(512*b^4) - (a^3*(12*A*b - 7*a*B)*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(768*b^3) + (a^2*(12*A*b - 7*a*B)*x^(5//2)*sqrt(a + b*x))/(960*b^2) + (a*(12*A*b - 7*a*B)*x^(7//2)*sqrt(a + b*x))/(160*b) + ((12*A*b - 7*a*B)*x^(7//2)*(a + b*x)^(3//2))/(60*b) + (B*x^(7//2)*(a + b*x)^(5//2))/(6*b) - (a^5*(12*A*b - 7*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(512*b^(9//2)), x, 9),
+(x^(3//2)*(a + b*x)^(3//2)*(A + B*x), (-3*a^3*(2*A*b - a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(128*b^3) + (a^2*(2*A*b - a*B)*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(64*b^2) + (a*(2*A*b - a*B)*x^(5//2)*sqrt(a + b*x))/(16*b) + ((2*A*b - a*B)*x^(5//2)*(a + b*x)^(3//2))/(8*b) + (B*x^(5//2)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b) + (3*a^4*(2*A*b - a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(128*b^(7//2)), x, 8),
+(sqrt(x)*(a + b*x)^(3//2)*(A + B*x), (a^2*(8*A*b - 3*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(64*b^2) + (a*(8*A*b - 3*a*B)*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(32*b) + ((8*A*b - 3*a*B)*x^(3//2)*(a + b*x)^(3//2))/(24*b) + (B*x^(3//2)*(a + b*x)^(5//2))/(4*b) - (a^3*(8*A*b - 3*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(64*b^(5//2)), x, 7),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/sqrt(x), (a*(6*A*b - a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(8*b) + ((6*A*b - a*B)*sqrt(x)*(a + b*x)^(3//2))/(12*b) + (B*sqrt(x)*(a + b*x)^(5//2))/(3*b) + (a^2*(6*A*b - a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(8*b^(3//2)), x, 6),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/x^(3//2), (3*(4*A*b + a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/4 + ((4*A*b + a*B)*sqrt(x)*(a + b*x)^(3//2))/(2*a) - (2*A*(a + b*x)^(5//2))/(a*sqrt(x)) + (3*a*(4*A*b + a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(4*sqrt(b)), x, 6),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/x^(5//2), (b*(2*A*b + 3*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/a - (2*(2*A*b + 3*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(3*a*sqrt(x)) - (2*A*(a + b*x)^(5//2))/(3*a*x^(3//2)) + sqrt(b)*(2*A*b + 3*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)), x, 6),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/x^(7//2), (-2*b*B*sqrt(a + b*x))/sqrt(x) - (2*B*(a + b*x)^(3//2))/(3*x^(3//2)) - (2*A*(a + b*x)^(5//2))/(5*a*x^(5//2)) + 2*b^(3//2)*B*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)), x, 6),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/x^(9//2), (-2*A*(a + b*x)^(5//2))/(7*a*x^(7//2)) + (2*(2*A*b - 7*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(35*a^2*x^(5//2)), x, 2),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/x^(11//2), (-2*A*(a + b*x)^(5//2))/(9*a*x^(9//2)) + (2*(4*A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(63*a^2*x^(7//2)) - (4*b*(4*A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(315*a^3*x^(5//2)), x, 3),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/x^(13//2), (-2*A*(a + b*x)^(5//2))/(11*a*x^(11//2)) + (2*(6*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(99*a^2*x^(9//2)) - (8*b*(6*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(693*a^3*x^(7//2)) + (16*b^2*(6*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(3465*a^4*x^(5//2)), x, 4),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/x^(15//2), -((2*A*(a + b*x)^(5//2))/(13*a*x^(13//2))) + (2*(8*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(143*a^2*x^(11//2)) - (4*b*(8*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(429*a^3*x^(9//2)) + (16*b^2*(8*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(3003*a^4*x^(7//2)) - (32*b^3*(8*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(15015*a^5*x^(5//2)), x, 5),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/x^(17//2), -((2*A*(a + b*x)^(5//2))/(15*a*x^(15//2))) + (2*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(39*a^2*x^(13//2)) - (16*b*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(429*a^3*x^(11//2)) + (32*b^2*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(1287*a^4*x^(9//2)) - (128*b^3*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(9009*a^5*x^(7//2)) + (256*b^4*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(45045*a^6*x^(5//2)), x, 6),
+
+
+(x^(3//2)*(a + b*x)^(5//2)*(A + B*x), -(a^4*(12*A*b - 5*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(512*b^3) + (a^3*(12*A*b - 5*a*B)*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(768*b^2) + (a^2*(12*A*b - 5*a*B)*x^(5//2)*sqrt(a + b*x))/(192*b) + (a*(12*A*b - 5*a*B)*x^(5//2)*(a + b*x)^(3//2))/(96*b) + ((12*A*b - 5*a*B)*x^(5//2)*(a + b*x)^(5//2))/(60*b) + (B*x^(5//2)*(a + b*x)^(7//2))/(6*b) + (a^5*(12*A*b - 5*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(512*b^(7//2)), x, 9),
+(sqrt(x)*(a + b*x)^(5//2)*(A + B*x), (a^3*(10*A*b - 3*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(128*b^2) + (a^2*(10*A*b - 3*a*B)*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(64*b) + (a*(10*A*b - 3*a*B)*x^(3//2)*(a + b*x)^(3//2))/(48*b) + ((10*A*b - 3*a*B)*x^(3//2)*(a + b*x)^(5//2))/(40*b) + (B*x^(3//2)*(a + b*x)^(7//2))/(5*b) - (a^4*(10*A*b - 3*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(128*b^(5//2)), x, 8),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/sqrt(x), (5*a^2*(8*A*b - a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(64*b) + (5*a*(8*A*b - a*B)*sqrt(x)*(a + b*x)^(3//2))/(96*b) + ((8*A*b - a*B)*sqrt(x)*(a + b*x)^(5//2))/(24*b) + (B*sqrt(x)*(a + b*x)^(7//2))/(4*b) + (5*a^3*(8*A*b - a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(64*b^(3//2)), x, 7),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/x^(3//2), (5*a*(6*A*b + a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/8 + (5*(6*A*b + a*B)*sqrt(x)*(a + b*x)^(3//2))/12 + ((6*A*b + a*B)*sqrt(x)*(a + b*x)^(5//2))/(3*a) - (2*A*(a + b*x)^(7//2))/(a*sqrt(x)) + (5*a^2*(6*A*b + a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(8*sqrt(b)), x, 7),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/x^(5//2), (5*b*(4*A*b + 3*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/4 + (5*b*(4*A*b + 3*a*B)*sqrt(x)*(a + b*x)^(3//2))/(6*a) - (2*(4*A*b + 3*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(3*a*sqrt(x)) - (2*A*(a + b*x)^(7//2))/(3*a*x^(3//2)) + (5*a*sqrt(b)*(4*A*b + 3*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/4, x, 7),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/x^(7//2), (b^2*(2*A*b + 5*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/a - (2*b*(2*A*b + 5*a*B)*(a + b*x)^(3//2))/(3*a*sqrt(x)) - (2*(2*A*b + 5*a*B)*(a + b*x)^(5//2))/(15*a*x^(3//2)) - (2*A*(a + b*x)^(7//2))/(5*a*x^(5//2)) + b^(3//2)*(2*A*b + 5*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)), x, 7),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/x^(9//2), (-2*b^2*B*sqrt(a + b*x))/sqrt(x) - (2*b*B*(a + b*x)^(3//2))/(3*x^(3//2)) - (2*B*(a + b*x)^(5//2))/(5*x^(5//2)) - (2*A*(a + b*x)^(7//2))/(7*a*x^(7//2)) + 2*b^(5//2)*B*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)), x, 7),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/x^(11//2), (-2*A*(a + b*x)^(7//2))/(9*a*x^(9//2)) + (2*(2*A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(63*a^2*x^(7//2)), x, 2),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/x^(13//2), (-2*A*(a + b*x)^(7//2))/(11*a*x^(11//2)) + (2*(4*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(99*a^2*x^(9//2)) - (4*b*(4*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(693*a^3*x^(7//2)), x, 3),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/x^(15//2), (-2*A*(a + b*x)^(7//2))/(13*a*x^(13//2)) + (2*(6*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(143*a^2*x^(11//2)) - (8*b*(6*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(1287*a^3*x^(9//2)) + (16*b^2*(6*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(9009*a^4*x^(7//2)), x, 4),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/x^(17//2), -((2*A*(a + b*x)^(7//2))/(15*a*x^(15//2))) + (2*(8*A*b - 15*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(195*a^2*x^(13//2)) - (4*b*(8*A*b - 15*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(715*a^3*x^(11//2)) + (16*b^2*(8*A*b - 15*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(6435*a^4*x^(9//2)) - (32*b^3*(8*A*b - 15*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(45045*a^5*x^(7//2)), x, 5),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/x^(19//2), -((2*A*(a + b*x)^(7//2))/(17*a*x^(17//2))) + (2*(10*A*b - 17*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(255*a^2*x^(15//2)) - (16*b*(10*A*b - 17*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(3315*a^3*x^(13//2)) + (32*b^2*(10*A*b - 17*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(12155*a^4*x^(11//2)) - (128*b^3*(10*A*b - 17*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(109395*a^5*x^(9//2)) + (256*b^4*(10*A*b - 17*a*B)*(a + b*x)^(7//2))/(765765*a^6*x^(7//2)), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x))/sqrt(a + b*x), (-7*a^3*(10*A*b - 9*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(128*b^5) + (7*a^2*(10*A*b - 9*a*B)*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(192*b^4) - (7*a*(10*A*b - 9*a*B)*x^(5//2)*sqrt(a + b*x))/(240*b^3) + ((10*A*b - 9*a*B)*x^(7//2)*sqrt(a + b*x))/(40*b^2) + (B*x^(9//2)*sqrt(a + b*x))/(5*b) + (7*a^4*(10*A*b - 9*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(128*b^(11//2)), x, 8),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/sqrt(a + b*x), (5*a^2*(8*A*b - 7*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(64*b^4) - (5*a*(8*A*b - 7*a*B)*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(96*b^3) + ((8*A*b - 7*a*B)*x^(5//2)*sqrt(a + b*x))/(24*b^2) + (B*x^(7//2)*sqrt(a + b*x))/(4*b) - (5*a^3*(8*A*b - 7*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(64*b^(9//2)), x, 7),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/sqrt(a + b*x), -(a*(6*A*b - 5*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(8*b^3) + ((6*A*b - 5*a*B)*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(12*b^2) + (B*x^(5//2)*sqrt(a + b*x))/(3*b) + (a^2*(6*A*b - 5*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(8*b^(7//2)), x, 6),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/sqrt(a + b*x), ((4*A*b - 3*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(4*b^2) + (B*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(2*b) - (a*(4*A*b - 3*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(4*b^(5//2)), x, 5),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*sqrt(a + b*x)), (B*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/b + ((2*A*b - a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/b^(3//2), x, 4),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*sqrt(a + b*x)), (-2*A*sqrt(a + b*x))/(a*sqrt(x)) + (2*B*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/sqrt(b), x, 4),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*sqrt(a + b*x)), (-2*A*sqrt(a + b*x))/(3*a*x^(3//2)) + (2*(2*A*b - 3*a*B)*sqrt(a + b*x))/(3*a^2*sqrt(x)), x, 2),
+((A + B*x)/(x^(7//2)*sqrt(a + b*x)), (-2*A*sqrt(a + b*x))/(5*a*x^(5//2)) + (2*(4*A*b - 5*a*B)*sqrt(a + b*x))/(15*a^2*x^(3//2)) - (4*b*(4*A*b - 5*a*B)*sqrt(a + b*x))/(15*a^3*sqrt(x)), x, 3),
+((A + B*x)/(x^(9//2)*sqrt(a + b*x)), (-2*A*sqrt(a + b*x))/(7*a*x^(7//2)) + (2*(6*A*b - 7*a*B)*sqrt(a + b*x))/(35*a^2*x^(5//2)) - (8*b*(6*A*b - 7*a*B)*sqrt(a + b*x))/(105*a^3*x^(3//2)) + (16*b^2*(6*A*b - 7*a*B)*sqrt(a + b*x))/(105*a^4*sqrt(x)), x, 4),
+((A + B*x)/(x^(11//2)*sqrt(a + b*x)), (-2*A*sqrt(a + b*x))/(9*a*x^(9//2)) + (2*(8*A*b - 9*a*B)*sqrt(a + b*x))/(63*a^2*x^(7//2)) - (4*b*(8*A*b - 9*a*B)*sqrt(a + b*x))/(105*a^3*x^(5//2)) + (16*b^2*(8*A*b - 9*a*B)*sqrt(a + b*x))/(315*a^4*x^(3//2)) - (32*b^3*(8*A*b - 9*a*B)*sqrt(a + b*x))/(315*a^5*sqrt(x)), x, 5),
+((A + B*x)/(x^(13//2)*sqrt(a + b*x)), (-2*A*sqrt(a + b*x))/(11*a*x^(11//2)) + (2*(10*A*b - 11*a*B)*sqrt(a + b*x))/(99*a^2*x^(9//2)) - (16*b*(10*A*b - 11*a*B)*sqrt(a + b*x))/(693*a^3*x^(7//2)) + (32*b^2*(10*A*b - 11*a*B)*sqrt(a + b*x))/(1155*a^4*x^(5//2)) - (128*b^3*(10*A*b - 11*a*B)*sqrt(a + b*x))/(3465*a^5*x^(3//2)) + (256*b^4*(10*A*b - 11*a*B)*sqrt(a + b*x))/(3465*a^6*sqrt(x)), x, 6),
+((A + B*x)/(x^(15//2)*sqrt(a + b*x)), (-2*A*sqrt(a + b*x))/(13*a*x^(13//2)) + (2*(12*A*b - 13*a*B)*sqrt(a + b*x))/(143*a^2*x^(11//2)) - (20*b*(12*A*b - 13*a*B)*sqrt(a + b*x))/(1287*a^3*x^(9//2)) + (160*b^2*(12*A*b - 13*a*B)*sqrt(a + b*x))/(9009*a^4*x^(7//2)) - (64*b^3*(12*A*b - 13*a*B)*sqrt(a + b*x))/(3003*a^5*x^(5//2)) + (256*b^4*(12*A*b - 13*a*B)*sqrt(a + b*x))/(9009*a^6*x^(3//2)) - (512*b^5*(12*A*b - 13*a*B)*sqrt(a + b*x))/(9009*a^7*sqrt(x)), x, 7),
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x))/(a + b*x)^(3//2), (2*(A*b - a*B)*x^(9//2))/(a*b*sqrt(a + b*x)) + (35*a^2*(8*A*b - 9*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(64*b^5) - (35*a*(8*A*b - 9*a*B)*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(96*b^4) + (7*(8*A*b - 9*a*B)*x^(5//2)*sqrt(a + b*x))/(24*b^3) - ((8*A*b - 9*a*B)*x^(7//2)*sqrt(a + b*x))/(4*a*b^2) - (35*a^3*(8*A*b - 9*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(64*b^(11//2)), x, 8),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(a + b*x)^(3//2), (2*(A*b - a*B)*x^(7//2))/(a*b*sqrt(a + b*x)) - (5*a*(6*A*b - 7*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(8*b^4) + (5*(6*A*b - 7*a*B)*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(12*b^3) - ((6*A*b - 7*a*B)*x^(5//2)*sqrt(a + b*x))/(3*a*b^2) + (5*a^2*(6*A*b - 7*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(8*b^(9//2)), x, 7),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(a + b*x)^(3//2), (2*(A*b - a*B)*x^(5//2))/(a*b*sqrt(a + b*x)) + (3*(4*A*b - 5*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(4*b^3) - ((4*A*b - 5*a*B)*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(2*a*b^2) - (3*a*(4*A*b - 5*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(4*b^(7//2)), x, 6),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/(a + b*x)^(3//2), (2*(A*b - a*B)*x^(3//2))/(a*b*sqrt(a + b*x)) - ((2*A*b - 3*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(a*b^2) + ((2*A*b - 3*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/b^(5//2), x, 5),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*(a + b*x)^(3//2)), (2*(A*b - a*B)*sqrt(x))/(a*b*sqrt(a + b*x)) + (2*B*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/b^(3//2), x, 4),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(a + b*x)^(3//2)), (-2*A)/(a*sqrt(x)*sqrt(a + b*x)) - (2*(2*A*b - a*B)*sqrt(x))/(a^2*sqrt(a + b*x)), x, 2),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*(a + b*x)^(3//2)), (-2*A)/(3*a*x^(3//2)*sqrt(a + b*x)) - (2*(4*A*b - 3*a*B))/(3*a^2*sqrt(x)*sqrt(a + b*x)) + (4*(4*A*b - 3*a*B)*sqrt(a + b*x))/(3*a^3*sqrt(x)), x, 3),
+((A + B*x)/(x^(7//2)*(a + b*x)^(3//2)), (-2*A)/(5*a*x^(5//2)*sqrt(a + b*x)) - (2*(6*A*b - 5*a*B))/(5*a^2*x^(3//2)*sqrt(a + b*x)) + (8*(6*A*b - 5*a*B)*sqrt(a + b*x))/(15*a^3*x^(3//2)) - (16*b*(6*A*b - 5*a*B)*sqrt(a + b*x))/(15*a^4*sqrt(x)), x, 4),
+((A + B*x)/(x^(9//2)*(a + b*x)^(3//2)), (-2*A)/(7*a*x^(7//2)*sqrt(a + b*x)) - (2*(8*A*b - 7*a*B))/(7*a^2*x^(5//2)*sqrt(a + b*x)) + (12*(8*A*b - 7*a*B)*sqrt(a + b*x))/(35*a^3*x^(5//2)) - (16*b*(8*A*b - 7*a*B)*sqrt(a + b*x))/(35*a^4*x^(3//2)) + (32*b^2*(8*A*b - 7*a*B)*sqrt(a + b*x))/(35*a^5*sqrt(x)), x, 5),
+((A + B*x)/(x^(11//2)*(a + b*x)^(3//2)), (-2*A)/(9*a*x^(9//2)*sqrt(a + b*x)) - (2*(10*A*b - 9*a*B))/(9*a^2*x^(7//2)*sqrt(a + b*x)) + (16*(10*A*b - 9*a*B)*sqrt(a + b*x))/(63*a^3*x^(7//2)) - (32*b*(10*A*b - 9*a*B)*sqrt(a + b*x))/(105*a^4*x^(5//2)) + (128*b^2*(10*A*b - 9*a*B)*sqrt(a + b*x))/(315*a^5*x^(3//2)) - (256*b^3*(10*A*b - 9*a*B)*sqrt(a + b*x))/(315*a^6*sqrt(x)), x, 6),
+((A + B*x)/(x^(13//2)*(a + b*x)^(3//2)), (-2*A)/(11*a*x^(11//2)*sqrt(a + b*x)) - (2*(12*A*b - 11*a*B))/(11*a^2*x^(9//2)*sqrt(a + b*x)) + (20*(12*A*b - 11*a*B)*sqrt(a + b*x))/(99*a^3*x^(9//2)) - (160*b*(12*A*b - 11*a*B)*sqrt(a + b*x))/(693*a^4*x^(7//2)) + (64*b^2*(12*A*b - 11*a*B)*sqrt(a + b*x))/(231*a^5*x^(5//2)) - (256*b^3*(12*A*b - 11*a*B)*sqrt(a + b*x))/(693*a^6*x^(3//2)) + (512*b^4*(12*A*b - 11*a*B)*sqrt(a + b*x))/(693*a^7*sqrt(x)), x, 7),
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x))/(a + b*x)^(5//2), (2*(A*b - a*B)*x^(9//2))/(3*a*b*(a + b*x)^(3//2)) + (2*(2*A*b - 3*a*B)*x^(7//2))/(a*b^2*sqrt(a + b*x)) - (35*a*(2*A*b - 3*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(8*b^5) + (35*(2*A*b - 3*a*B)*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(12*b^4) - (7*(2*A*b - 3*a*B)*x^(5//2)*sqrt(a + b*x))/(3*a*b^3) + (35*a^2*(2*A*b - 3*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(8*b^(11//2)), x, 8),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(a + b*x)^(5//2), (2*(A*b - a*B)*x^(7//2))/(3*a*b*(a + b*x)^(3//2)) + (2*(4*A*b - 7*a*B)*x^(5//2))/(3*a*b^2*sqrt(a + b*x)) + (5*(4*A*b - 7*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(4*b^4) - (5*(4*A*b - 7*a*B)*x^(3//2)*sqrt(a + b*x))/(6*a*b^3) - (5*a*(4*A*b - 7*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/(4*b^(9//2)), x, 7),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(a + b*x)^(5//2), (2*(A*b - a*B)*x^(5//2))/(3*a*b*(a + b*x)^(3//2)) + (2*(2*A*b - 5*a*B)*x^(3//2))/(3*a*b^2*sqrt(a + b*x)) - ((2*A*b - 5*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x))/(a*b^3) + ((2*A*b - 5*a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/b^(7//2), x, 6),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/(a + b*x)^(5//2), (2*(A*b - a*B)*x^(3//2))/(3*a*b*(a + b*x)^(3//2)) - (2*B*sqrt(x))/(b^2*sqrt(a + b*x)) + (2*B*atanh((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a + b*x)))/b^(5//2), x, 5),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*(a + b*x)^(5//2)), (2*(A*b - a*B)*sqrt(x))/(3*a*b*(a + b*x)^(3//2)) + (2*(2*A*b + a*B)*sqrt(x))/(3*a^2*b*sqrt(a + b*x)), x, 2),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(a + b*x)^(5//2)), (-2*A)/(a*sqrt(x)*(a + b*x)^(3//2)) - (2*(4*A*b - a*B)*sqrt(x))/(3*a^2*(a + b*x)^(3//2)) - (4*(4*A*b - a*B)*sqrt(x))/(3*a^3*sqrt(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*(a + b*x)^(5//2)), (-2*A)/(3*a*x^(3//2)*(a + b*x)^(3//2)) - (2*(2*A*b - a*B))/(3*a^2*sqrt(x)*(a + b*x)^(3//2)) - (8*(2*A*b - a*B))/(3*a^3*sqrt(x)*sqrt(a + b*x)) + (16*(2*A*b - a*B)*sqrt(a + b*x))/(3*a^4*sqrt(x)), x, 4),
+((A + B*x)/(x^(7//2)*(a + b*x)^(5//2)), (-2*A)/(5*a*x^(5//2)*(a + b*x)^(3//2)) - (2*(8*A*b - 5*a*B))/(15*a^2*x^(3//2)*(a + b*x)^(3//2)) - (4*(8*A*b - 5*a*B))/(5*a^3*x^(3//2)*sqrt(a + b*x)) + (16*(8*A*b - 5*a*B)*sqrt(a + b*x))/(15*a^4*x^(3//2)) - (32*b*(8*A*b - 5*a*B)*sqrt(a + b*x))/(15*a^5*sqrt(x)), x, 5),
+((A + B*x)/(x^(9//2)*(a + b*x)^(5//2)), (-2*A)/(7*a*x^(7//2)*(a + b*x)^(3//2)) - (2*(10*A*b - 7*a*B))/(21*a^2*x^(5//2)*(a + b*x)^(3//2)) - (16*(10*A*b - 7*a*B))/(21*a^3*x^(5//2)*sqrt(a + b*x)) + (32*(10*A*b - 7*a*B)*sqrt(a + b*x))/(35*a^4*x^(5//2)) - (128*b*(10*A*b - 7*a*B)*sqrt(a + b*x))/(105*a^5*x^(3//2)) + (256*b^2*(10*A*b - 7*a*B)*sqrt(a + b*x))/(105*a^6*sqrt(x)), x, 6),
+((A + B*x)/(x^(11//2)*(a + b*x)^(5//2)), (-2*A)/(9*a*x^(9//2)*(a + b*x)^(3//2)) - (2*(4*A*b - 3*a*B))/(9*a^2*x^(7//2)*(a + b*x)^(3//2)) - (20*(4*A*b - 3*a*B))/(9*a^3*x^(7//2)*sqrt(a + b*x)) + (160*(4*A*b - 3*a*B)*sqrt(a + b*x))/(63*a^4*x^(7//2)) - (64*b*(4*A*b - 3*a*B)*sqrt(a + b*x))/(21*a^5*x^(5//2)) + (256*b^2*(4*A*b - 3*a*B)*sqrt(a + b*x))/(63*a^6*x^(3//2)) - (512*b^3*(4*A*b - 3*a*B)*sqrt(a + b*x))/(63*a^7*sqrt(x)), x, 7),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x)^(n/2) (c+d x)^(p/2)
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x)^(n/2) (a+b x)^(1/2)
+
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
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+(x^3*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x), -(((7*b^4*c^4 + 2*a*b^3*c^3*d - 2*a^3*b*c*d^3 - 7*a^4*d^4)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*b^4*d^4)) - ((b*c + a*d)*(7*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(64*b^4*d^3) + (x^2*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(5*b*d) + ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)*(35*b^2*c^2 + 38*a*b*c*d + 35*a^2*d^2 - 42*b*d*(b*c + a*d)*x))/(240*b^3*d^3) + ((b*c - a*d)^2*(b*c + a*d)*(7*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(128*b^(9//2)*d^(9//2)), x, 7),
+(x^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x), -(((b*c - a*d)*(4*a*b*c*d - 5*(b*c + a*d)^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b^3*d^3)) - ((4*a*b*c*d - 5*(b*c + a*d)^2)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(32*b^3*d^2) - (5*(b*c + a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(24*b^2*d^2) + (x*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(4*b*d) + ((b*c - a*d)^2*(4*a*b*c*d - 5*(b*c + a*d)^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(7//2)*d^(7//2)), x, 7),
+(x*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x), (1//8)*(a^2/b^2 - c^2/d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x) - ((b*c + a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(4*b^2*d) + ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(3*b*d) + ((b*c - a*d)^2*(b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(5//2)*d^(5//2)), x, 6),
+(sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x), ((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*b*d) + ((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(2*b) - ((b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(3//2)*d^(3//2)), x, 5),
+((sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/x, sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x) - 2*sqrt(a)*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))) + ((b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(b)*sqrt(d)), x, 7),
+((sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/x^2, -((sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/x) - ((b*c + a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(a)*sqrt(c)) + 2*sqrt(b)*sqrt(d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))), x, 7),
+((sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/x^3, -((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*a*c*x) - (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(2*c*x^2) + ((b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*a^(3//2)*c^(3//2)), x, 4),
+((sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/x^4, ((b^2/a^2 - d^2/c^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*x) + ((b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(4*a*c^2*x^2) - ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(3*a*c*x^3) - ((b*c - a*d)^2*(b*c + a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*a^(5//2)*c^(5//2)), x, 5),
+((sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/x^5, -((sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*x^4)) - ((b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(24*a*c*x^3) + ((5*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(96*a^2*c^2*x^2) - ((b*c + a*d)*(15*b^2*c^2 - 22*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(192*a^3*c^3*x) + ((b*c - a*d)^2*(5*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(64*a^(7//2)*c^(7//2)), x, 7),
+((sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/x^6, -((sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(5*x^5)) - ((b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(40*a*c*x^4) + ((7*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(240*a^2*c^2*x^3) - ((b*c + a*d)*(35*b^2*c^2 - 46*a*b*c*d + 35*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(960*a^3*c^3*x^2) + ((105*b^4*c^4 - 40*a*b^3*c^3*d - 34*a^2*b^2*c^2*d^2 - 40*a^3*b*c*d^3 + 105*a^4*d^4)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(1920*a^4*c^4*x) - ((b*c - a*d)^2*(b*c + a*d)*(7*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(128*a^(9//2)*c^(9//2)), x, 8),
+
+
+(x^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2), ((b*c - a*d)^2*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*b^4*d^3) + ((b*c - a*d)*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(64*b^4*d^2) + ((3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(48*b^3*d^2) - ((5*b*c + 7*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(40*b^2*d^2) + (x*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(5*b*d) - ((b*c - a*d)^3*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(128*b^(9//2)*d^(7//2)), x, 8),
+(x*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2), -((b*c - a*d)^2*(3*b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b^3*d^2) - ((b*c - a*d)*(3*b*c + 5*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(32*b^3*d) - ((3*b*c + 5*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(24*b^2*d) + ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(4*b*d) + ((b*c - a*d)^3*(3*b*c + 5*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(7//2)*d^(5//2)), x, 7),
+(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2), ((b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*b^2*d) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(4*b^2) + ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(3*b) - ((b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(5//2)*d^(3//2)), x, 6),
+((sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/x, ((3*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*b) + (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/2 - 2*sqrt(a)*c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))) + ((3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d - a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(3//2)*sqrt(d)), x, 8),
+((sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/x^2, 2*d*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x) - (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/x - (sqrt(c)*(b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(a) + (sqrt(d)*(3*b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(b), x, 8),
+((sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/x^3, -((b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*a*x) - (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(2*x^2) + ((b^2*c^2 - 6*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*a^(3//2)*sqrt(c)) + 2*sqrt(b)*d^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))), x, 8),
+((sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/x^4, ((b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*a^2*c*x) - ((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(12*a*c*x^2) - (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(3*c*x^3) - ((b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*a^(5//2)*c^(3//2)), x, 5),
+((sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/x^5, -(((b*c - a*d)^2*(5*b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*a^3*c^2*x)) + ((b*c - a*d)*(5*b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(96*a^2*c^2*x^2) + ((5*b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(24*a*c^2*x^3) - ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(4*a*c*x^4) + ((b*c - a*d)^3*(5*b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(64*a^(7//2)*c^(5//2)), x, 6),
+((sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/x^6, -(((b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(40*a*x^4)) + (((7*b^2*c)/a - 12*b*d - (3*a*d^2)/c)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(240*a*x^3) - ((35*b^3*c^3 - 61*a*b^2*c^2*d + 9*a^2*b*c*d^2 - 15*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(960*a^3*c^2*x^2) + ((105*b^4*c^4 - 190*a*b^3*c^3*d + 36*a^2*b^2*c^2*d^2 + 30*a^3*b*c*d^3 - 45*a^4*d^4)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(1920*a^4*c^3*x) - (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(5*x^5) - ((b*c - a*d)^3*(7*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(128*a^(9//2)*c^(7//2)), x, 8),
+
+
+(x^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2), ((b*c - a*d)^3*(5*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(512*b^5*d^3) + ((b*c - a*d)^2*(5*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(256*b^5*d^2) + ((b*c - a*d)*(5*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(192*b^4*d^2) + ((5*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(160*b^3*d^2) - ((5*b*c + 9*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(7//2))/(60*b^2*d^2) + (x*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(7//2))/(6*b*d) - ((b*c - a*d)^4*(5*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(512*b^(11//2)*d^(7//2)), x, 9),
+(x^1*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2), -(((b*c - a*d)^3*(3*b*c + 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*b^4*d^2)) - ((b*c - a*d)^2*(3*b*c + 7*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(64*b^4*d) - ((b*c - a*d)*(3*b*c + 7*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(48*b^3*d) - ((3*b*c + 7*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(40*b^2*d) + ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(7//2))/(5*b*d) + ((b*c - a*d)^4*(3*b*c + 7*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(128*b^(9//2)*d^(5//2)), x, 8),
+(x^0*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2), (5*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b^3*d) + (5*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(32*b^3) + (5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(24*b^2) + ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(4*b) - (5*(b*c - a*d)^4*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(7//2)*d^(3//2)), x, 7),
+(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2)/x^1, ((5*b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*b^2) + ((5*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(12*b) + (1//3)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2) - 2*sqrt(a)*c^(5//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))) + ((5*b^3*c^3 + 15*a*b^2*c^2*d - 5*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(5//2)*sqrt(d)), x, 9),
+(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2)/x^2, (d*(11*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*b) + (3//2)*d*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2) - (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/x - (c^(3//2)*(b*c + 5*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(a) + (sqrt(d)*(15*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d - a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(3//2)), x, 9),
+(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2)/x^3, (d*(b*c + 11*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*a) - ((b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(4*a*x) - (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(2*x^2) + (sqrt(c)*(b^2*c^2 - 10*a*b*c*d - 15*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*a^(3//2)) + (d^(3//2)*(5*b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(b), x, 9),
+(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2)/x^4, ((b*c - 5*a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*a^2*x) - ((b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(12*a*x^2) - (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(3*x^3) - ((b^3*c^3 - 5*a*b^2*c^2*d + 15*a^2*b*c*d^2 + 5*a^3*d^3)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*a^(5//2)*sqrt(c)) + 2*sqrt(b)*d^(5//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))), x, 9),
+(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2)/x^5, -((5*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*a^3*c*x)) + (5*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(96*a^2*c*x^2) - ((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(24*a*c*x^3) - (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(7//2))/(4*c*x^4) + (5*(b*c - a*d)^4*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(64*a^(7//2)*c^(3//2)), x, 6),
+(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2)/x^6, ((b*c - a*d)^3*(7*b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*a^4*c^2*x) - ((b*c - a*d)^2*(7*b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(192*a^3*c^2*x^2) + ((b*c - a*d)*(7*b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(240*a^2*c^2*x^3) + ((7*b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(7//2))/(40*a*c^2*x^4) - ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(7//2))/(5*a*c*x^5) - ((b*c - a*d)^4*(7*b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(128*a^(9//2)*c^(5//2)), x, 7),
+(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2)/x^7, ((3*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(160*a^2*x^4) - ((21*b^3*c^3 - 61*a*b^2*c^2*d + 51*a^2*b*c*d^2 + 5*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(960*a^3*c*x^3) + ((105*b^4*c^4 - 308*a*b^3*c^3*d + 262*a^2*b^2*c^2*d^2 - 20*a^3*b*c*d^3 + 25*a^4*d^4)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(3840*a^4*c^2*x^2) - ((315*b^5*c^5 - 945*a*b^4*c^4*d + 838*a^2*b^3*c^3*d^2 - 90*a^3*b^2*c^2*d^3 - 65*a^4*b*c*d^4 + 75*a^5*d^5)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(7680*a^5*c^3*x) - ((b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(60*a*x^5) - (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(6*x^6) + ((b*c - a*d)^4*(21*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(512*a^(11//2)*c^(7//2)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(x^3*sqrt(a + b*x)/sqrt(c + d*x), -(((35*b^3*c^3 + 15*a*b^2*c^2*d + 9*a^2*b*c*d^2 + 5*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b^3*d^4)) + (x^2*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(4*b*d) + ((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x)*(35*b^2*c^2 + 22*a*b*c*d + 15*a^2*d^2 - 4*b*d*(7*b*c + 5*a*d)*x))/(96*b^3*d^3) + ((b*c - a*d)*(35*b^3*c^3 + 15*a*b^2*c^2*d + 9*a^2*b*c*d^2 + 5*a^3*d^3)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(7//2)*d^(9//2)), x, 6),
+(x^2*sqrt(a + b*x)/sqrt(c + d*x), ((5*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*b^2*d^3) - ((5*b*c + 3*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(12*b^2*d^2) + (x*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(3*b*d) - ((b*c - a*d)*(5*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(5//2)*d^(7//2)), x, 6),
+(x^1*sqrt(a + b*x)/sqrt(c + d*x), -((3*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*b*d^2) + ((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(2*b*d) + ((b*c - a*d)*(3*b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(3//2)*d^(5//2)), x, 5),
+(x^0*sqrt(a + b*x)/sqrt(c + d*x), (sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/d - ((b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(b)*d^(3//2)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x)/(x^1*sqrt(c + d*x)), (-2*sqrt(a)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(c) + (2*sqrt(b)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(d), x, 7),
+(sqrt(a + b*x)/(x^2*sqrt(c + d*x)), -((sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(c*x)) - ((b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(a)*c^(3//2)), x, 3),
+(sqrt(a + b*x)/(x^3*sqrt(c + d*x)), ((b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*a*c^2*x) - ((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(2*a*c*x^2) + ((b*c - a*d)*(b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*a^(3//2)*c^(5//2)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x)/(x^4*sqrt(c + d*x)), -((sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(3*c*x^3)) - ((b*c - 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(12*a*c^2*x^2) + ((3*b*c - 5*a*d)*(b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(24*a^2*c^3*x) - ((b*c - a*d)*(b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*a^(5//2)*c^(7//2)), x, 6),
+(sqrt(a + b*x)/(x^5*sqrt(c + d*x)), -((sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*c*x^4)) - ((b*c - 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(24*a*c^2*x^3) + ((5*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d - 35*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(96*a^2*c^3*x^2) - ((15*b^3*c^3 + 17*a*b^2*c^2*d + 25*a^2*b*c*d^2 - 105*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(192*a^3*c^4*x) + ((b*c - a*d)*(5*b^3*c^3 + 9*a*b^2*c^2*d + 15*a^2*b*c*d^2 + 35*a^3*d^3)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(64*a^(7//2)*c^(9//2)), x, 7),
+
+
+((x^2*sqrt(a + b*x))/(c + d*x)^(3//2), (2*c^2*(a + b*x)^(3//2))/(d^2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)) + ((6*a*c - (15*b*c^2)/d + (a^2*d)/b)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*d^2*(b*c - a*d)) + ((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(2*b*d^2) + ((15*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d - a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(3//2)*d^(7//2)), x, 6),
+((x*sqrt(a + b*x))/(c + d*x)^(3//2), (-2*c*(a + b*x)^(3//2))/(d*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)) + ((3*b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(d^2*(b*c - a*d)) - ((3*b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(b)*d^(5//2)), x, 5),
+(sqrt(a + b*x)/(c + d*x)^(3//2), (-2*sqrt(a + b*x))/(d*sqrt(c + d*x)) + (2*sqrt(b)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/d^(3//2), x, 4),
+(sqrt(a + b*x)/(x*(c + d*x)^(3//2)), (2*sqrt(a + b*x))/(c*sqrt(c + d*x)) - (2*sqrt(a)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/c^(3//2), x, 3),
+(sqrt(a + b*x)/(x^2*(c + d*x)^(3//2)), ((b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b*x))/(a*c^2*sqrt(c + d*x)) - (a + b*x)^(3//2)/(a*c*x*sqrt(c + d*x)) - ((b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(a)*c^(5//2)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x)/(x^3*(c + d*x)^(3//2)), -(d*(b*c - 15*a*d)*sqrt(a + b*x))/(4*a*c^3*sqrt(c + d*x)) - sqrt(a + b*x)/(2*c*x^2*sqrt(c + d*x)) - ((b*c - 5*a*d)*sqrt(a + b*x))/(4*a*c^2*x*sqrt(c + d*x)) + ((b^2*c^2 + 6*a*b*c*d - 15*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*a^(3//2)*c^(7//2)), x, 6),
+
+
+((x^3*sqrt(a + b*x))/(c + d*x)^(5//2), -((2*x^3*sqrt(a + b*x))/(3*d*(c + d*x)^(3//2))) - (2*(7*b*c - 6*a*d)*x^2*sqrt(a + b*x))/(3*d^2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)) - (sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*(105*b^2*c^2 - 100*a*b*c*d + 3*a^2*d^2 - 2*b*d*(35*b*c - 31*a*d)*x))/(12*b*d^4*(b*c - a*d)) + ((35*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d - a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(3//2)*d^(9//2)), x, 6),
+((x^2*sqrt(a + b*x))/(c + d*x)^(5//2), (2*c^2*(a + b*x)^(3//2))/(3*d^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2)) - (4*c*(a + b*x)^(3//2))/(d^2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)) + ((5*b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(d^3*(b*c - a*d)) - ((5*b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(b)*d^(7//2)), x, 6),
+((x*sqrt(a + b*x))/(c + d*x)^(5//2), (-2*c*(a + b*x)^(3//2))/(3*d*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2)) - (2*sqrt(a + b*x))/(d^2*sqrt(c + d*x)) + (2*sqrt(b)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/d^(5//2), x, 5),
+(sqrt(a + b*x)/(c + d*x)^(5//2), (2*(a + b*x)^(3//2))/(3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2)), x, 1),
+(sqrt(a + b*x)/(x*(c + d*x)^(5//2)), -((2*d*(a + b*x)^(3//2))/(3*c*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))) + (2*sqrt(a + b*x))/(c^2*sqrt(c + d*x)) - (2*sqrt(a)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/c^(5//2), x, 4),
+(sqrt(a + b*x)/(x^2*(c + d*x)^(5//2)), (-5*d*sqrt(a + b*x))/(3*c^2*(c + d*x)^(3//2)) - sqrt(a + b*x)/(c*x*(c + d*x)^(3//2)) - (d*(13*b*c - 15*a*d)*sqrt(a + b*x))/(3*c^3*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)) - ((b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(a)*c^(7//2)), x, 6),
+(sqrt(a + b*x)/(x^3*(c + d*x)^(5//2)), -(d*(3*b*c - 35*a*d)*sqrt(a + b*x))/(12*a*c^3*(c + d*x)^(3//2)) - sqrt(a + b*x)/(2*c*x^2*(c + d*x)^(3//2)) - ((b*c - 7*a*d)*sqrt(a + b*x))/(4*a*c^2*x*(c + d*x)^(3//2)) - (d*(3*b^2*c^2 - 100*a*b*c*d + 105*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(12*a*c^4*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)) + ((b^2*c^2 + 10*a*b*c*d - 35*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*a^(3//2)*c^(9//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x)^(n/2) (a+b x)^(3/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(x^2*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x), -(((b*c - a*d)^2*(7*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*b^3*d^4)) + ((b*c - a*d)*(7*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(192*b^3*d^3) + ((7*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(48*b^3*d^2) - ((7*b*c + 5*a*d)*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/(40*b^2*d^2) + (x*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/(5*b*d) + ((b*c - a*d)^3*(7*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(128*b^(7//2)*d^(9//2)), x, 8),
+(x^1*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x), ((b*c - a*d)^2*(5*b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b^2*d^3) - ((b*c - a*d)*(5*b*c + 3*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(96*b^2*d^2) - ((5*b*c + 3*a*d)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(24*b^2*d) + ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/(4*b*d) - ((b*c - a*d)^3*(5*b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(5//2)*d^(7//2)), x, 7),
+(x^0*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x), -((b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*b*d^2) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(12*b*d) + ((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(3*b) + ((b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(3//2)*d^(5//2)), x, 6),
+(((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/x^1, ((b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*d) + ((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/2 - 2*a^(3//2)*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))) - ((b^2*c^2 - 6*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*sqrt(b)*d^(3//2)), x, 8),
+(((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/x^2, 2*b*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x) - ((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/x - (sqrt(a)*(3*b*c + a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(c) + (sqrt(b)*(b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(d), x, 8),
+(((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/x^3, -((3*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*c*x) - ((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(2*x^2) - ((3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d - a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*sqrt(a)*c^(3//2)) + 2*b^(3//2)*sqrt(d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))), x, 8),
+(((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/x^4, -((b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*a*c^2*x) - ((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(4*c^2*x^2) - ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(3*c*x^3) + ((b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*a^(3//2)*c^(5//2)), x, 5),
+(((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/x^5, ((b*c - a*d)^2*(3*b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*a^2*c^3*x) + ((b*c - a*d)*(3*b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(32*a*c^3*x^2) + ((3*b*c + 5*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(24*a*c^2*x^3) - ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/(4*a*c*x^4) - ((b*c - a*d)^3*(3*b*c + 5*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(64*a^(5//2)*c^(7//2)), x, 6),
+(((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/x^6, -(((3*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(40*c*x^4)) - (((3*b^2*c)/a + 12*b*d - (7*a*d^2)/c)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(240*c*x^3) + ((15*b^3*c^3 - 9*a*b^2*c^2*d + 61*a^2*b*c*d^2 - 35*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(960*a^2*c^3*x^2) - ((45*b^4*c^4 - 30*a*b^3*c^3*d - 36*a^2*b^2*c^2*d^2 + 190*a^3*b*c*d^3 - 105*a^4*d^4)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(1920*a^3*c^4*x) - ((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(5*x^5) + ((b*c - a*d)^3*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(128*a^(7//2)*c^(9//2)), x, 8),
+
+
+(x^2*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2), ((b*c - a*d)^3*(4*a*b*c*d - 7*(b*c + a*d)^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(512*b^4*d^4) - ((b*c - a*d)^2*(4*a*b*c*d - 7*(b*c + a*d)^2)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(768*b^4*d^3) - ((b*c - a*d)*(4*a*b*c*d - 7*(b*c + a*d)^2)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(192*b^4*d^2) - ((4*a*b*c*d - 7*(b*c + a*d)^2)*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/(96*b^3*d^2) - (7*(b*c + a*d)*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/(60*b^2*d^2) + (x*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/(6*b*d) - ((b*c - a*d)^4*(4*a*b*c*d - 7*(b*c + a*d)^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(512*b^(9//2)*d^(9//2)), x, 9),
+(x*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2), (3*(b*c - a*d)^3*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*b^3*d^3) - ((b*c - a*d)^2*(b*c + a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(64*b^3*d^2) - ((b*c - a*d)*(b*c + a*d)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(16*b^3*d) - ((b*c + a*d)*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/(8*b^2*d) + ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/(5*b*d) - (3*(b*c - a*d)^4*(b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(128*b^(7//2)*d^(7//2)), x, 8),
+((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2), (-3*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b^2*d^2) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(32*b^2*d) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(8*b^2) + ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/(4*b) + (3*(b*c - a*d)^4*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(5//2)*d^(5//2)), x, 7),
+(((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/x, (1//8)*(8*a*c - (b*c^2)/d + (a^2*d)/b)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x) + ((b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(4*d) + (1//3)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2) - 2*a^(3//2)*c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))) - ((b*c + a*d)*(b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(3//2)*d^(3//2)), x, 9),
+(((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/x^2, (3*(b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/4 + (3*b*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/2 - ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/x - 3*sqrt(a)*sqrt(c)*(b*c + a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))) + (3*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*sqrt(b)*sqrt(d)), x, 9),
+(((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/x^3, (3*d*(3*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*c) - (3*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(4*c*x) - ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(2*x^2) - (3*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*sqrt(a)*sqrt(c)) + 3*sqrt(b)*sqrt(d)*(b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))), x, 9),
+(((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/x^4, -((((b^2*c)/a + 8*b*d - (a*d^2)/c)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*x)) - ((b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(4*c*x^2) - ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(3*x^3) + ((b*c + a*d)*(b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*a^(3//2)*c^(3//2)) + 2*b^(3//2)*d^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))), x, 9),
+(((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/x^5, (3*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*a^2*c^2*x) - ((b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(32*a*c^2*x^2) - ((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(8*c^2*x^3) - ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(4*c*x^4) - (3*(b*c - a*d)^4*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(64*a^(5//2)*c^(5//2)), x, 6),
+(((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/x^6, -((3*(b*c - a*d)^3*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*a^3*c^3*x)) + ((b*c - a*d)^2*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(64*a^2*c^3*x^2) + ((b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(16*a*c^3*x^3) + ((b*c + a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(8*a*c^2*x^4) - ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/(5*a*c*x^5) + (3*(b*c - a*d)^4*(b*c + a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(128*a^(7//2)*c^(7//2)), x, 7),
+
+
+(x^2*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2), -(((b*c - a*d)^4*(5*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 9*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(1024*b^5*d^4)) + ((b*c - a*d)^3*(5*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 9*a^2*d^2)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(1536*b^5*d^3) + ((b*c - a*d)^2*(5*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 9*a^2*d^2)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(384*b^5*d^2) + ((b*c - a*d)*(5*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 9*a^2*d^2)*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/(192*b^4*d^2) + ((5*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 9*a^2*d^2)*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/(120*b^3*d^2) - ((7*b*c + 9*a*d)*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(7//2))/(84*b^2*d^2) + (x*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(7//2))/(7*b*d) + ((b*c - a*d)^5*(5*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 9*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(1024*b^(11//2)*d^(9//2)), x, 10),
+(x*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2), ((b*c - a*d)^4*(5*b*c + 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(512*b^4*d^3) - ((b*c - a*d)^3*(5*b*c + 7*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(768*b^4*d^2) - ((b*c - a*d)^2*(5*b*c + 7*a*d)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(192*b^4*d) - ((b*c - a*d)*(5*b*c + 7*a*d)*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/(96*b^3*d) - ((5*b*c + 7*a*d)*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/(60*b^2*d) + ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(7//2))/(6*b*d) - ((b*c - a*d)^5*(5*b*c + 7*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(512*b^(9//2)*d^(7//2)), x, 9),
+((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2), (-3*(b*c - a*d)^4*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*b^3*d^2) + ((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(64*b^3*d) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(16*b^3) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/(8*b^2) + ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/(5*b) + (3*(b*c - a*d)^5*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(128*b^(7//2)*d^(5//2)), x, 8),
+(((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/x, -(((5*b^3*c^3 - 55*a*b^2*c^2*d - 17*a^2*b*c*d^2 + 3*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b^2*d)) + (1//96)*(50*a*c - (5*b*c^2)/d + (3*a^2*d)/b)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2) + ((5*b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(24*d) + (1//4)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2) - 2*a^(3//2)*c^(5//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))) - ((5*b^4*c^4 - 60*a*b^3*c^3*d - 90*a^2*b^2*c^2*d^2 + 20*a^3*b*c*d^3 - 3*a^4*d^4)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(5//2)*d^(3//2)), x, 10),
+(((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/x^2, ((5*b^2*c^2 + 26*a*b*c*d + a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*b) + ((5*b*c + 19*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/12 + (4*b*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/3 - ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/x - sqrt(a)*c^(3//2)*(3*b*c + 5*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))) + ((5*b^3*c^3 + 45*a*b^2*c^2*d + 15*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(3//2)*sqrt(d)), x, 10),
+(((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/x^3, 3*d*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x) + (d*(7*b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(4*c) - ((3*b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(4*c*x) - ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(2*x^2) - (3*sqrt(c)*(b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*sqrt(a)) + (3*sqrt(d)*(5*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*sqrt(b)), x, 10),
+(((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/x^4, (d*(b^2*c^2 + 26*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*a*c) - (((3*b^2*c)/a + 40*b*d + (5*a*d^2)/c)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(24*x) - ((3*b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(12*c*x^2) - ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(3*x^3) + ((b^3*c^3 - 15*a*b^2*c^2*d - 45*a^2*b*c*d^2 - 5*a^3*d^3)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*a^(3//2)*sqrt(c)) + sqrt(b)*d^(3//2)*(5*b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))), x, 10),
+(((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/x^5, ((3*b^3*c^3 - 17*a*b^2*c^2*d - 55*a^2*b*c*d^2 + 5*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*a^2*c*x) - (((3*b^2*c)/a + 50*b*d - (5*a*d^2)/c)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(96*x^2) - ((3*b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(24*c*x^3) - ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(4*x^4) - ((3*b^4*c^4 - 20*a*b^3*c^3*d + 90*a^2*b^2*c^2*d^2 + 60*a^3*b*c*d^3 - 5*a^4*d^4)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(64*a^(5//2)*c^(3//2)) + 2*b^(3//2)*d^(5//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))), x, 10),
+(((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/x^6, (-3*(b*c - a*d)^4*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*a^3*c^2*x) + ((b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(64*a^2*c^2*x^2) - ((b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(80*a*c^2*x^3) - (3*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(7//2))/(40*c^2*x^4) - ((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(7//2))/(5*c*x^5) + (3*(b*c - a*d)^5*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(128*a^(7//2)*c^(5//2)), x, 7),
+(((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/x^7, ((b*c - a*d)^4*(7*b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(512*a^4*c^3*x) - ((b*c - a*d)^3*(7*b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(768*a^3*c^3*x^2) + ((b*c - a*d)^2*(7*b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(960*a^2*c^3*x^3) + ((b*c - a*d)*(7*b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(7//2))/(160*a*c^3*x^4) + ((7*b*c + 5*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(7//2))/(60*a*c^2*x^5) - ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(7//2))/(6*a*c*x^6) - ((b*c - a*d)^5*(7*b*c + 5*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(512*a^(9//2)*c^(7//2)), x, 8),
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((x^2*(a + b*x)^(3//2))/sqrt(c + d*x), -(((b*c - a*d)*(35*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b^2*d^4)) + ((35*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(96*b^2*d^3) - ((7*b*c + 3*a*d)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(24*b^2*d^2) + (x*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(4*b*d) + ((b*c - a*d)^2*(35*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(5//2)*d^(9//2)), x, 7),
+((x*(a + b*x)^(3//2))/sqrt(c + d*x), ((b*c - a*d)*(5*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*b*d^3) - ((5*b*c + a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(12*b*d^2) + ((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(3*b*d) - ((b*c - a*d)^2*(5*b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(3//2)*d^(7//2)), x, 6),
+((a + b*x)^(3//2)/sqrt(c + d*x), (-3*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*d^2) + ((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(2*d) + (3*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*sqrt(b)*d^(5//2)), x, 5),
+((a + b*x)^(3//2)/(x*sqrt(c + d*x)), (b*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/d - (2*a^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(c) - (sqrt(b)*(b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/d^(3//2), x, 7),
+((a + b*x)^(3//2)/(x^2*sqrt(c + d*x)), -((a*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(c*x)) - (sqrt(a)*(3*b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/c^(3//2) + (2*b^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(d), x, 7),
+((a + b*x)^(3//2)/(x^3*sqrt(c + d*x)), (-3*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*c^2*x) - ((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(2*c*x^2) - (3*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*sqrt(a)*c^(5//2)), x, 4),
+((a + b*x)^(3//2)/(x^4*sqrt(c + d*x)), ((b*c - a*d)*(b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*a*c^3*x) + ((b*c + 5*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(12*a*c^2*x^2) - ((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(3*a*c*x^3) + ((b*c - a*d)^2*(b*c + 5*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*a^(3//2)*c^(7//2)), x, 5),
+((a + b*x)^(3//2)/(x^5*sqrt(c + d*x)), -((a*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*c*x^4)) - ((9*b*c - 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(24*c^2*x^3) - ((3*b^2*c^2 - 46*a*b*c*d + 35*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(96*a*c^3*x^2) + ((9*b^3*c^3 + 15*a*b^2*c^2*d - 145*a^2*b*c*d^2 + 105*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(192*a^2*c^4*x) - ((b*c - a*d)^2*(3*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 35*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(64*a^(5//2)*c^(9//2)), x, 7),
+
+
+((x^2*(a + b*x)^(3//2))/(c + d*x)^(3//2), (2*c^2*(a + b*x)^(5//2))/(d^2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)) + ((35*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d - a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*b*d^4) + ((10*a*c - (35*b*c^2)/d + (a^2*d)/b)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(12*d^2*(b*c - a*d)) + ((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(3*b*d^2) - ((b*c - a*d)*(35*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d - a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(3//2)*d^(9//2)), x, 7),
+((x*(a + b*x)^(3//2))/(c + d*x)^(3//2), (-2*c*(a + b*x)^(5//2))/(d*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)) - (3*(5*b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*d^3) + ((5*b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(2*d^2*(b*c - a*d)) + (3*(b*c - a*d)*(5*b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*sqrt(b)*d^(7//2)), x, 6),
+((a + b*x)^(3//2)/(c + d*x)^(3//2), (-2*(a + b*x)^(3//2))/(d*sqrt(c + d*x)) + (3*b*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/d^2 - (3*sqrt(b)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/d^(5//2), x, 5),
+((a + b*x)^(3//2)/(x*(c + d*x)^(3//2)), -((2*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x))/(c*d*sqrt(c + d*x))) - (2*a^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/c^(3//2) + (2*b^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/d^(3//2), x, 7),
+((a + b*x)^(3//2)/(x^2*(c + d*x)^(3//2)), (3*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x))/(c^2*sqrt(c + d*x)) - (a + b*x)^(3//2)/(c*x*sqrt(c + d*x)) - (3*sqrt(a)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/c^(5//2), x, 4),
+((a + b*x)^(3//2)/(x^3*(c + d*x)^(3//2)), (3*(b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x))/(4*a*c^3*sqrt(c + d*x)) - ((b*c - 5*a*d)*(a + b*x)^(3//2))/(4*a*c^2*x*sqrt(c + d*x)) - (a + b*x)^(5//2)/(2*a*c*x^2*sqrt(c + d*x)) - (3*(b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*sqrt(a)*c^(7//2)), x, 5),
+((a + b*x)^(3//2)/(x^4*(c + d*x)^(3//2)), -((d*(3*b^2*c^2 - 100*a*b*c*d + 105*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(24*a*c^4*sqrt(c + d*x))) - (a*sqrt(a + b*x))/(3*c*x^3*sqrt(c + d*x)) - (7*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x))/(12*c^2*x^2*sqrt(c + d*x)) - ((3*b*c - 35*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x))/(24*a*c^3*x*sqrt(c + d*x)) + ((b*c - a*d)*(b^2*c^2 + 10*a*b*c*d - 35*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*a^(3//2)*c^(9//2)), x, 7),
+
+
+((x^2*(a + b*x)^(3//2))/(c + d*x)^(5//2), (2*c^2*(a + b*x)^(5//2))/(3*d^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2)) - (4*c*(4*b*c - 3*a*d)*(a + b*x)^(5//2))/(3*d^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)) - ((35*b^2*c^2 - 30*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*d^4*(b*c - a*d)) + ((35*b^2*c^2 - 30*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(6*d^3*(b*c - a*d)^2) + ((35*b^2*c^2 - 30*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*sqrt(b)*d^(9//2)), x, 7),
+((x*(a + b*x)^(3//2))/(c + d*x)^(5//2), (-2*c*(a + b*x)^(5//2))/(3*d*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2)) - (2*(5*b*c - 3*a*d)*(a + b*x)^(3//2))/(3*d^2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)) + (b*(5*b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(d^3*(b*c - a*d)) - (sqrt(b)*(5*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/d^(7//2), x, 6),
+((a + b*x)^(3//2)/(c + d*x)^(5//2), (-2*(a + b*x)^(3//2))/(3*d*(c + d*x)^(3//2)) - (2*b*sqrt(a + b*x))/(d^2*sqrt(c + d*x)) + (2*b^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/d^(5//2), x, 5),
+((a + b*x)^(3//2)/(x*(c + d*x)^(5//2)), (2*(a + b*x)^(3//2))/(3*c*(c + d*x)^(3//2)) + (2*a*sqrt(a + b*x))/(c^2*sqrt(c + d*x)) - (2*a^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/c^(5//2), x, 4),
+((a + b*x)^(3//2)/(x^2*(c + d*x)^(5//2)), ((3*b*c - 5*a*d)*(a + b*x)^(3//2))/(3*a*c^2*(c + d*x)^(3//2)) - (a + b*x)^(5//2)/(a*c*x*(c + d*x)^(3//2)) + ((3*b*c - 5*a*d)*sqrt(a + b*x))/(c^3*sqrt(c + d*x)) - (sqrt(a)*(3*b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/c^(7//2), x, 5),
+((a + b*x)^(3//2)/(x^3*(c + d*x)^(5//2)), -((d*(23*b*c - 35*a*d)*sqrt(a + b*x))/(12*c^3*(c + d*x)^(3//2))) - (a*sqrt(a + b*x))/(2*c*x^2*(c + d*x)^(3//2)) - ((5*b*c - 7*a*d)*sqrt(a + b*x))/(4*c^2*x*(c + d*x)^(3//2)) - (5*d*(11*b*c - 21*a*d)*sqrt(a + b*x))/(12*c^4*sqrt(c + d*x)) - ((3*b^2*c^2 - 30*a*b*c*d + 35*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*sqrt(a)*c^(9//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x)^(n/2) (a+b x)^(5/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(x^2*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x), ((b*c - a*d)^3*(21*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(512*b^3*d^5) - ((b*c - a*d)^2*(21*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(768*b^3*d^4) + ((b*c - a*d)*(21*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(960*b^3*d^3) + ((21*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*(a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))/(160*b^3*d^2) - ((9*b*c + 5*a*d)*(a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(3//2))/(60*b^2*d^2) + (x*(a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(3//2))/(6*b*d) - ((b*c - a*d)^4*(21*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(512*b^(7//2)*d^(11//2)), x, 9),
+(x*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x), -((b*c - a*d)^3*(7*b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*b^2*d^4) + ((b*c - a*d)^2*(7*b*c + 3*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(192*b^2*d^3) - ((b*c - a*d)*(7*b*c + 3*a*d)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(240*b^2*d^2) - ((7*b*c + 3*a*d)*(a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))/(40*b^2*d) + ((a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(3//2))/(5*b*d) + ((b*c - a*d)^4*(7*b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(128*b^(5//2)*d^(9//2)), x, 8),
+((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x), (5*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b*d^3) - (5*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(96*b*d^2) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(24*b*d) + ((a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))/(4*b) - (5*(b*c - a*d)^4*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(3//2)*d^(7//2)), x, 7),
+(((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/x, -(((b*c - 5*a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*d^2)) + ((b*c + 5*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(12*d) + (1//3)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x) - 2*a^(5//2)*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))) + ((b^3*c^3 - 5*a*b^2*c^2*d + 15*a^2*b*c*d^2 + 5*a^3*d^3)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*sqrt(b)*d^(5//2)), x, 9),
+(((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/x^2, (b*(b*c + 11*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*d) + (3*b*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/2 - ((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/x - (a^(3//2)*(5*b*c + a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(c) - (sqrt(b)*(b^2*c^2 - 10*a*b*c*d - 15*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*d^(3//2)), x, 9),
+(((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/x^3, (b*(11*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*c) - ((5*b*c + a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(4*c*x) - ((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(2*x^2) - (sqrt(a)*(15*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d - a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*c^(3//2)) + (b^(3//2)*(b*c + 5*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(d), x, 9),
+(((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/x^4, -(((5*b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*c^2*x)) - ((5*b*c + a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(12*c*x^2) - ((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(3*x^3) - ((5*b^3*c^3 + 15*a*b^2*c^2*d - 5*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*sqrt(a)*c^(5//2)) + 2*b^(5//2)*sqrt(d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))), x, 9),
+(((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/x^5, (-5*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*a*c^3*x) - (5*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(32*c^3*x^2) - (5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(24*c^2*x^3) - ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/(4*c*x^4) + (5*(b*c - a*d)^4*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(64*a^(3//2)*c^(7//2)), x, 6),
+(((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/x^6, ((b*c - a*d)^3*(3*b*c + 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*a^2*c^4*x) + ((b*c - a*d)^2*(3*b*c + 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(64*a*c^4*x^2) + ((b*c - a*d)*(3*b*c + 7*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(48*a*c^3*x^3) + ((3*b*c + 7*a*d)*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/(40*a*c^2*x^4) - ((a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(3//2))/(5*a*c*x^5) - ((b*c - a*d)^4*(3*b*c + 7*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(128*a^(5//2)*c^(9//2)), x, 7),
+
+
+(x^2*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2), ((b*c - a*d)^4*(9*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(1024*b^4*d^5) - ((b*c - a*d)^3*(9*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(1536*b^4*d^4) + ((b*c - a*d)^2*(9*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(1920*b^4*d^3) + ((b*c - a*d)*(9*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*(a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))/(320*b^4*d^2) + ((9*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*(a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(3//2))/(120*b^3*d^2) - ((9*b*c + 7*a*d)*(a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(5//2))/(84*b^2*d^2) + (x*(a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(5//2))/(7*b*d) - ((b*c - a*d)^5*(9*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(1024*b^(9//2)*d^(11//2)), x, 10),
+(x*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2), -((b*c - a*d)^4*(7*b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(512*b^3*d^4) + ((b*c - a*d)^3*(7*b*c + 5*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(768*b^3*d^3) - ((b*c - a*d)^2*(7*b*c + 5*a*d)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(960*b^3*d^2) - ((b*c - a*d)*(7*b*c + 5*a*d)*(a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))/(160*b^3*d) - ((7*b*c + 5*a*d)*(a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(3//2))/(60*b^2*d) + ((a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(5//2))/(6*b*d) + ((b*c - a*d)^5*(7*b*c + 5*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(512*b^(7//2)*d^(9//2)), x, 9),
+((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2), (3*(b*c - a*d)^4*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*b^2*d^3) - ((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(64*b^2*d^2) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(80*b^2*d) + (3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))/(40*b^2) + ((a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(3//2))/(5*b) - (3*(b*c - a*d)^5*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(128*b^(5//2)*d^(7//2)), x, 8),
+(((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/x, ((64*a^2*b*c*d^2 + (b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)*(3*b*c + a*d))*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b*d^2) - ((b*c - 5*a*d)*(3*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(32*d^2) + ((3*b*c + 5*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(24*d) + (1//4)*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2) - 2*a^(5//2)*c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))) + ((3*b^4*c^4 - 20*a*b^3*c^3*d + 90*a^2*b^2*c^2*d^2 + 60*a^3*b*c*d^3 - 5*a^4*d^4)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(3//2)*d^(5//2)), x, 10),
+(((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/x^2, -((b^2*c^2 - 14*a*b*c*d - 19*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*d) + (b*(b*c + 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(4*d) + (4*b*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/3 - ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/x - a^(3//2)*sqrt(c)*(5*b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))) - ((b^3*c^3 - 15*a*b^2*c^2*d - 45*a^2*b*c*d^2 - 5*a^3*d^3)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*sqrt(b)*d^(3//2)), x, 10),
+(((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/x^3, (3*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*c) + (3*b*(3*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(4*c) - ((5*b*c + 3*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(4*c*x) - ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/(2*x^2) - (3*sqrt(a)*(5*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*sqrt(c)) + (3*sqrt(b)*(b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*sqrt(d)), x, 10),
+(((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/x^4, (d*(19*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d - a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*c^2) - ((5*b^2*c^2 + 12*a*b*c*d - a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(8*c^2*x) - ((5*b*c + 3*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(12*c*x^2) - ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/(3*x^3) - ((5*b^3*c^3 + 45*a*b^2*c^2*d + 15*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*sqrt(a)*c^(3//2)) + b^(3//2)*sqrt(d)*(3*b*c + 5*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))), x, 10),
+(((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/x^5, -(((5*b^3*c^3 + 73*a*b^2*c^2*d - 17*a^2*b*c*d^2 + 3*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*a*c^2*x)) - ((5*b*c - a*d)*(b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(32*c^2*x^2) - ((5*b*c + 3*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(24*c*x^3) - ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/(4*x^4) + ((5*b^4*c^4 - 60*a*b^3*c^3*d - 90*a^2*b^2*c^2*d^2 + 20*a^3*b*c*d^3 - 3*a^4*d^4)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(64*a^(3//2)*c^(5//2)) + 2*b^(5//2)*d^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))), x, 10),
+(((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2))/x^6, (3*(b*c - a*d)^4*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*a^2*c^3*x) - ((b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(64*a*c^3*x^2) - ((b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(16*c^3*x^3) - ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(8*c^2*x^4) - ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/(5*c*x^5) - (3*(b*c - a*d)^5*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(128*a^(5//2)*c^(7//2)), x, 7),
+
+
+(x*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2), (-5*(b*c - a*d)^5*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(1024*b^4*d^4) + (5*(b*c - a*d)^4*(b*c + a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(1536*b^4*d^3) - ((b*c - a*d)^3*(b*c + a*d)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(384*b^4*d^2) - ((b*c - a*d)^2*(b*c + a*d)*(a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))/(64*b^4*d) - ((b*c - a*d)*(b*c + a*d)*(a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(3//2))/(24*b^3*d) - ((b*c + a*d)*(a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(5//2))/(12*b^2*d) + ((a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(7//2))/(7*b*d) + (5*(b*c - a*d)^6*(b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(1024*b^(9//2)*d^(9//2)), x, 10),
+((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2), (5*(b*c - a*d)^5*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(512*b^3*d^3) - (5*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(768*b^3*d^2) + ((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(192*b^3*d) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))/(32*b^3) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(3//2))/(12*b^2) + ((a + b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(5//2))/(6*b) - (5*(b*c - a*d)^6*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(512*b^(7//2)*d^(7//2)), x, 9),
+(((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/x, ((3*b^4*c^4 - 22*a*b^3*c^3*d + 128*a^2*b^2*c^2*d^2 + 22*a^3*b*c*d^3 - 3*a^4*d^4)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*b^2*d^2) + ((3*b^3*c^3 - 19*a*b^2*c^2*d + 109*a^2*b*c*d^2 + 3*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(192*b*d^2) - ((3*b^2*c^2 - 16*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(48*d^2) + ((b*c + a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(8*d) + (1//5)*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2) - 2*a^(5//2)*c^(5//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))) + ((b*c + a*d)*(3*b^4*c^4 - 28*a*b^3*c^3*d + 178*a^2*b^2*c^2*d^2 - 28*a^3*b*c*d^3 + 3*a^4*d^4)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(128*b^(5//2)*d^(5//2)), x, 11),
+(((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/x^2, (-5*(b^3*c^3 - 19*a*b^2*c^2*d - 45*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b*d) - (5*(b^2*c^2 - 18*a*b*c*d - 31*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(96*d) + (5*b*(b*c + 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(24*d) + (5*b*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/4 - ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/x - 5*a^(3//2)*c^(3//2)*(b*c + a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))) - (5*(b^4*c^4 - 20*a*b^3*c^3*d - 90*a^2*b^2*c^2*d^2 - 20*a^3*b*c*d^3 + a^4*d^4)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(3//2)*d^(3//2)), x, 11),
+(((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/x^3, (5//8)*(b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x) + (5*(b^2*c^2 + 8*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(12*c) + (5*b*(5*b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(12*c) - (5*(b*c + a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(4*c*x) - ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/(2*x^2) - (5//4)*sqrt(a)*sqrt(c)*(3*b*c + a*d)*(b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))) + (5*(b*c + a*d)*(b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*sqrt(b)*sqrt(d)), x, 11),
+(((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/x^4, (5*d*(5*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*c) + (5*d*(9*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(24*c^2) - (5*(3*b^2*c^2 + 12*a*b*c*d + a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(24*c^2*x) - (5*(b*c + a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(12*c*x^2) - ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/(3*x^3) - (5*(b*c + a*d)*(b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*sqrt(a)*sqrt(c)) + (5//4)*sqrt(b)*sqrt(d)*(3*b*c + a*d)*(b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))), x, 11),
+(((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/x^5, (5*d*(b^3*c^3 + 45*a*b^2*c^2*d + 19*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*a*c^2) - (5*(3*b*c + a*d)*(b^2*c^2 + 24*a*b*c*d - a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(192*a*c^2*x) - (5*(3*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d - a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(96*c^2*x^2) - (5*(b*c + a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(24*c*x^3) - ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/(4*x^4) + (5*(b^4*c^4 - 20*a*b^3*c^3*d - 90*a^2*b^2*c^2*d^2 - 20*a^3*b*c*d^3 + a^4*d^4)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(64*a^(3//2)*c^(3//2)) + 5*b^(3//2)*d^(3//2)*(b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))), x, 11),
+(((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/x^6, ((3*b^4*c^4 - 22*a*b^3*c^3*d - 128*a^2*b^2*c^2*d^2 + 22*a^3*b*c*d^3 - 3*a^4*d^4)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*a^2*c^2*x) - ((3*b^3*c^3 + 109*a*b^2*c^2*d - 19*a^2*b*c*d^2 + 3*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(192*a*c^2*x^2) - ((3*b^2*c^2 + 16*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(48*c^2*x^3) - ((b*c + a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2))/(8*c*x^4) - ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/(5*x^5) - ((b*c + a*d)*(3*b^4*c^4 - 28*a*b^3*c^3*d + 178*a^2*b^2*c^2*d^2 - 28*a^3*b*c*d^3 + 3*a^4*d^4)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(128*a^(5//2)*c^(5//2)) + 2*b^(5//2)*d^(5//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))), x, 11),
+(((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2))/x^7, (-5*(b*c - a*d)^5*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(512*a^3*c^3*x) + (5*(b*c - a*d)^4*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(768*a^2*c^3*x^2) - ((b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(192*a*c^3*x^3) - ((b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(7//2))/(32*c^3*x^4) - ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(7//2))/(12*c^2*x^5) - ((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(7//2))/(6*c*x^6) + (5*(b*c - a*d)^6*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(512*a^(7//2)*c^(7//2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
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+((x^2*(a + b*x)^(5//2))/sqrt(c + d*x), ((b*c - a*d)^2*(63*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*b^2*d^5) - ((b*c - a*d)*(63*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(192*b^2*d^4) + ((63*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(240*b^2*d^3) - (3*(3*b*c + a*d)*(a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))/(40*b^2*d^2) + (x*(a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))/(5*b*d) - ((b*c - a*d)^3*(63*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(128*b^(5//2)*d^(11//2)), x, 8),
+((x*(a + b*x)^(5//2))/sqrt(c + d*x), (-5*(b*c - a*d)^2*(7*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b*d^4) + (5*(b*c - a*d)*(7*b*c + a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(96*b*d^3) - ((7*b*c + a*d)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(24*b*d^2) + ((a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))/(4*b*d) + (5*(b*c - a*d)^3*(7*b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(3//2)*d^(9//2)), x, 7),
+((a + b*x)^(5//2)/sqrt(c + d*x), (5*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*d^3) - (5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(12*d^2) + ((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(3*d) - (5*(b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*sqrt(b)*d^(7//2)), x, 6),
+((a + b*x)^(5//2)/(x*sqrt(c + d*x)), -(b*(3*b*c - 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*d^2) + (b*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(2*d) - (2*a^(5//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(c) + (sqrt(b)*(3*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*d^(5//2)), x, 8),
+((a + b*x)^(5//2)/(x^2*sqrt(c + d*x)), (b*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(c*d) - (a*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(c*x) - (a^(3//2)*(5*b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/c^(3//2) - (b^(3//2)*(b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/d^(3//2), x, 8),
+((a + b*x)^(5//2)/(x^3*sqrt(c + d*x)), -((a*(7*b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*c^2*x)) - (a*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(2*c*x^2) - (sqrt(a)*(15*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*c^(5//2)) + (2*b^(5//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(d), x, 8),
+((a + b*x)^(5//2)/(x^4*sqrt(c + d*x)), (-5*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*c^3*x) - (5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(12*c^2*x^2) - ((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(3*c*x^3) - (5*(b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*sqrt(a)*c^(7//2)), x, 5),
+((a + b*x)^(5//2)/(x^5*sqrt(c + d*x)), (5*(b*c - a*d)^2*(b*c + 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*a*c^4*x) + (5*(b*c - a*d)*(b*c + 7*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(96*a*c^3*x^2) + ((b*c + 7*a*d)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(24*a*c^2*x^3) - ((a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))/(4*a*c*x^4) + (5*(b*c - a*d)^3*(b*c + 7*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(64*a^(3//2)*c^(9//2)), x, 6),
+
+
+((x^2*(a + b*x)^(5//2))/(c + d*x)^(3//2), (2*c^2*(a + b*x)^(7//2))/(d^2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)) - (5*(b*c - a*d)*(63*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d - a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b*d^5) + (5*(63*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d - a^2*d^2)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(96*b*d^4) + ((14*a*c - (63*b*c^2)/d + (a^2*d)/b)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(24*d^2*(b*c - a*d)) + ((a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x))/(4*b*d^2) + (5*(b*c - a*d)^2*(63*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d - a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(3//2)*d^(11//2)), x, 8),
+((x*(a + b*x)^(5//2))/(c + d*x)^(3//2), (-2*c*(a + b*x)^(7//2))/(d*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)) + (5*(b*c - a*d)*(7*b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*d^4) - (5*(7*b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(12*d^3) + ((7*b*c - a*d)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(3*d^2*(b*c - a*d)) - (5*(b*c - a*d)^2*(7*b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*sqrt(b)*d^(9//2)), x, 7),
+((a + b*x)^(5//2)/(c + d*x)^(3//2), (-2*(a + b*x)^(5//2))/(d*sqrt(c + d*x)) - (15*b*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*d^3) + (5*b*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(2*d^2) + (15*sqrt(b)*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*d^(7//2)), x, 6),
+((a + b*x)^(5//2)/(x*(c + d*x)^(3//2)), -((2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2))/(c*d*sqrt(c + d*x))) + (b*(3*b*c - 2*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(c*d^2) - (2*a^(5//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/c^(3//2) - (b^(3//2)*(3*b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/d^(5//2), x, 8),
+((a + b*x)^(5//2)/(x^2*(c + d*x)^(3//2)), -(((2*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x))/(c^2*d*sqrt(c + d*x))) - (a*(a + b*x)^(3//2))/(c*x*sqrt(c + d*x)) - (a^(3//2)*(5*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/c^(5//2) + (2*b^(5//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/d^(3//2), x, 8),
+((a + b*x)^(5//2)/(x^3*(c + d*x)^(3//2)), (15*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x))/(4*c^3*sqrt(c + d*x)) - (5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2))/(4*c^2*x*sqrt(c + d*x)) - (a + b*x)^(5//2)/(2*c*x^2*sqrt(c + d*x)) - (15*sqrt(a)*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*c^(7//2)), x, 5),
+((a + b*x)^(5//2)/(x^4*(c + d*x)^(3//2)), (5*(b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x))/(8*a*c^4*sqrt(c + d*x)) - (5*(b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2))/(24*a*c^3*x*sqrt(c + d*x)) - ((b*c - 7*a*d)*(a + b*x)^(5//2))/(12*a*c^2*x^2*sqrt(c + d*x)) - (a + b*x)^(7//2)/(3*a*c*x^3*sqrt(c + d*x)) - (5*(b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*sqrt(a)*c^(9//2)), x, 6),
+((a + b*x)^(5//2)/(x^5*(c + d*x)^(3//2)), -((d*(15*b^3*c^3 - 839*a*b^2*c^2*d + 1785*a^2*b*c*d^2 - 945*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x))/(192*a*c^5*sqrt(c + d*x))) - (a*(11*b*c - 9*a*d)*sqrt(a + b*x))/(24*c^2*x^3*sqrt(c + d*x)) - ((59*b*c - 63*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x))/(96*c^3*x^2*sqrt(c + d*x)) - ((b*c - a*d)*(15*b^2*c^2 - 322*a*b*c*d + 315*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(192*a*c^4*x*sqrt(c + d*x)) - (a*(a + b*x)^(3//2))/(4*c*x^4*sqrt(c + d*x)) + (5*(b*c - a*d)^2*(b^2*c^2 + 14*a*b*c*d - 63*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(64*a^(3//2)*c^(11//2)), x, 8),
+
+
+((x^3*(a + b*x)^(5//2))/(c + d*x)^(5//2), -((2*x^3*(a + b*x)^(5//2))/(3*d*(c + d*x)^(3//2))) - (2*(11*b*c - 6*a*d)*x^2*(a + b*x)^(5//2))/(3*d^2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)) - (5*(231*b^3*c^3 - 189*a*b^2*c^2*d + 21*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b*d^6) + (5*(231*b^3*c^3 - 189*a*b^2*c^2*d + 21*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(96*b*d^5*(b*c - a*d)) - ((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x)*(231*b^2*c^2 - 156*a*b*c*d + 5*a^2*d^2 - 2*b*d*(99*b*c - 59*a*d)*x))/(24*b*d^4*(b*c - a*d)) + (5*(b*c - a*d)*(231*b^3*c^3 - 189*a*b^2*c^2*d + 21*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(3//2)*d^(13//2)), x, 8),
+((x^2*(a + b*x)^(5//2))/(c + d*x)^(5//2), (2*c^2*(a + b*x)^(7//2))/(3*d^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2)) - (4*c*(5*b*c - 3*a*d)*(a + b*x)^(7//2))/(3*d^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)) + (5*(21*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*d^5) - (5*(21*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + a^2*d^2)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(12*d^4*(b*c - a*d)) + ((21*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + a^2*d^2)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x))/(3*d^3*(b*c - a*d)^2) - (5*(b*c - a*d)*(21*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*sqrt(b)*d^(11//2)), x, 8),
+((x*(a + b*x)^(5//2))/(c + d*x)^(5//2), (-2*c*(a + b*x)^(7//2))/(3*d*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2)) - (2*(7*b*c - 3*a*d)*(a + b*x)^(5//2))/(3*d^2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)) - (5*b*(7*b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*d^4) + (5*b*(7*b*c - 3*a*d)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x))/(6*d^3*(b*c - a*d)) + (5*sqrt(b)*(7*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*d^(9//2)), x, 7),
+((a + b*x)^(5//2)/(c + d*x)^(5//2), (-2*(a + b*x)^(5//2))/(3*d*(c + d*x)^(3//2)) - (10*b*(a + b*x)^(3//2))/(3*d^2*sqrt(c + d*x)) + (5*b^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/d^3 - (5*b^(3//2)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/d^(7//2), x, 6),
+((a + b*x)^(5//2)/(x*(c + d*x)^(5//2)), -((2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2))/(3*c*d*(c + d*x)^(3//2))) + (2*(a^2/c^2 - b^2/d^2)*sqrt(a + b*x))/sqrt(c + d*x) - (2*a^(5//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/c^(5//2) + (2*b^(5//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/d^(5//2), x, 8),
+((a + b*x)^(5//2)/(x^2*(c + d*x)^(5//2)), (5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2))/(3*c^2*(c + d*x)^(3//2)) - (a + b*x)^(5//2)/(c*x*(c + d*x)^(3//2)) + (5*a*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x))/(c^3*sqrt(c + d*x)) - (5*a^(3//2)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/c^(7//2), x, 5),
+((a + b*x)^(5//2)/(x^3*(c + d*x)^(5//2)), (5*(3*b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2))/(12*a*c^3*(c + d*x)^(3//2)) - ((3*b*c - 7*a*d)*(a + b*x)^(5//2))/(4*a*c^2*x*(c + d*x)^(3//2)) - (a + b*x)^(7//2)/(2*a*c*x^2*(c + d*x)^(3//2)) + (5*(3*b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x))/(4*c^4*sqrt(c + d*x)) - (5*sqrt(a)*(3*b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*c^(9//2)), x, 6),
+((a + b*x)^(5//2)/(x^4*(c + d*x)^(5//2)), -((7*d*(7*b*c - 15*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x))/(24*c^4*(c + d*x)^(3//2))) - (3*a*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x))/(4*c^2*x^2*(c + d*x)^(3//2)) - ((11*b*c - 21*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x))/(8*c^3*x*(c + d*x)^(3//2)) - (a*(a + b*x)^(3//2))/(3*c*x^3*(c + d*x)^(3//2)) - (d*(113*b^2*c^2 - 420*a*b*c*d + 315*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(24*c^5*sqrt(c + d*x)) - (5*(b*c - a*d)*(b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*sqrt(a)*c^(11//2)), x, 8),
+((a + b*x)^(5//2)/(x^5*(c + d*x)^(5//2)), -((d*(b*c - a*d)*(5*b^2*c^2 - 238*a*b*c*d + 385*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(64*a*c^5*(c + d*x)^(3//2))) - (11*a*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x))/(24*c^2*x^3*(c + d*x)^(3//2)) - ((59*b*c - 99*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x))/(96*c^3*x^2*(c + d*x)^(3//2)) - ((b*c - a*d)*(5*b^2*c^2 - 156*a*b*c*d + 231*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(64*a*c^4*x*(c + d*x)^(3//2)) - (a*(a + b*x)^(3//2))/(4*c*x^4*(c + d*x)^(3//2)) - (d*(5*b^3*c^3 - 581*a*b^2*c^2*d + 1715*a^2*b*c*d^2 - 1155*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x))/(64*a*c^6*sqrt(c + d*x)) + (5*(b*c - a*d)*(b^3*c^3 + 21*a*b^2*c^2*d - 189*a^2*b*c*d^2 + 231*a^3*d^3)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(64*a^(3//2)*c^(13//2)), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x)^(n/2) / (a+b x)^(1/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(x^2*sqrt(c + d*x)/sqrt(a + b*x), ((b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*b^3*d^2) - ((3*b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(12*b^2*d^2) + (x*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(3*b*d) + ((b*c - a*d)*(b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(7//2)*d^(5//2)), x, 6),
+(x^1*sqrt(c + d*x)/sqrt(a + b*x), -((b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*b^2*d) + (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(2*b*d) - ((b*c - a*d)*(b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(5//2)*d^(3//2)), x, 5),
+(x^0*sqrt(c + d*x)/sqrt(a + b*x), (sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/b + ((b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(b^(3//2)*sqrt(d)), x, 4),
+(sqrt(c + d*x)/(x^1*sqrt(a + b*x)), (-2*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(a) + (2*sqrt(d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(b), x, 7),
+(sqrt(c + d*x)/(x^2*sqrt(a + b*x)), -((sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(a*x)) + ((b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(a^(3//2)*sqrt(c)), x, 3),
+(sqrt(c + d*x)/(x^3*sqrt(a + b*x)), ((3*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*a^2*c*x) - (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(2*a*c*x^2) - ((b*c - a*d)*(3*b*c + a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*a^(5//2)*c^(3//2)), x, 4),
+(sqrt(c + d*x)/(x^4*sqrt(a + b*x)), -((sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(3*a*x^3)) + ((5*b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(12*a^2*c*x^2) - ((5*b*c - 3*a*d)*(3*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(24*a^3*c^2*x) + ((b*c - a*d)*(5*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*a^(7//2)*c^(5//2)), x, 6),
+
+
+((x^2*(c + d*x)^(3//2))/sqrt(a + b*x), ((b*c - a*d)*(3*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 35*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b^4*d^2) + ((3*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 35*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(96*b^3*d^2) - ((3*b*c + 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(24*b^2*d^2) + (x*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(4*b*d) + ((b*c - a*d)^2*(3*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 35*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(9//2)*d^(5//2)), x, 7),
+((x*(c + d*x)^(3//2))/sqrt(a + b*x), -((b*c - a*d)*(b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*b^3*d) - ((b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(12*b^2*d) + (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(3*b*d) - ((b*c - a*d)^2*(b*c + 5*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(7//2)*d^(3//2)), x, 6),
+((c + d*x)^(3//2)/sqrt(a + b*x), (3*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*b^2) + (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(2*b) + (3*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(5//2)*sqrt(d)), x, 5),
+((c + d*x)^(3//2)/(x*sqrt(a + b*x)), (d*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/b - (2*c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(a) + (sqrt(d)*(3*b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/b^(3//2), x, 7),
+((c + d*x)^(3//2)/(x^2*sqrt(a + b*x)), -((c*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(a*x)) + (sqrt(c)*(b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/a^(3//2) + (2*d^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(b), x, 7),
+((c + d*x)^(3//2)/(x^3*sqrt(a + b*x)), (3*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*a^2*x) - (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(2*a*x^2) - (3*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*a^(5//2)*sqrt(c)), x, 4),
+((c + d*x)^(3//2)/(x^4*sqrt(a + b*x)), -(((b*c - a*d)*(5*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*a^3*c*x)) + ((5*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(12*a^2*c*x^2) - (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(3*a*c*x^3) + ((b*c - a*d)^2*(5*b*c + a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*a^(7//2)*c^(3//2)), x, 5),
+((c + d*x)^(3//2)/(x^5*sqrt(a + b*x)), -((c*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*a*x^4)) + ((7*b*c - 9*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(24*a^2*x^3) - ((35*b^2*c^2 - 46*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(96*a^3*c*x^2) + ((105*b^3*c^3 - 145*a*b^2*c^2*d + 15*a^2*b*c*d^2 + 9*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(192*a^4*c^2*x) - ((b*c - a*d)^2*(35*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(64*a^(9//2)*c^(5//2)), x, 7),
+
+
+((x^2*(c + d*x)^(5//2))/sqrt(a + b*x), ((b*c - a*d)^2*(3*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 63*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*b^5*d^2) + ((b*c - a*d)*(3*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 63*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(192*b^4*d^2) + ((3*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 63*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(240*b^3*d^2) - (3*(b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(7//2))/(40*b^2*d^2) + (x*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(7//2))/(5*b*d) + ((b*c - a*d)^3*(3*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 63*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(128*b^(11//2)*d^(5//2)), x, 8),
+((x*(c + d*x)^(5//2))/sqrt(a + b*x), (-5*(b*c - a*d)^2*(b*c + 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b^4*d) - (5*(b*c - a*d)*(b*c + 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(96*b^3*d) - ((b*c + 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(24*b^2*d) + (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(7//2))/(4*b*d) - (5*(b*c - a*d)^3*(b*c + 7*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(9//2)*d^(3//2)), x, 7),
+((c + d*x)^(5//2)/sqrt(a + b*x), (5*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*b^3) + (5*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(12*b^2) + (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(3*b) + (5*(b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(7//2)*sqrt(d)), x, 6),
+((c + d*x)^(5//2)/(x*sqrt(a + b*x)), (d*(7*b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*b^2) + (d*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(2*b) - (2*c^(5//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(a) + (sqrt(d)*(15*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(5//2)), x, 8),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^2*sqrt(a + b*x)), (d*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(a*b) - (c*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(a*x) + (c^(3//2)*(b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/a^(3//2) + (d^(3//2)*(5*b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/b^(3//2), x, 8),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^3*sqrt(a + b*x)), (c*(3*b*c - 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*a^2*x) - (c*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(2*a*x^2) - (sqrt(c)*(3*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*a^(5//2)) + (2*d^(5//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/sqrt(b), x, 8),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^4*sqrt(a + b*x)), -((5*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*a^3*x)) + (5*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(12*a^2*x^2) - (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(3*a*x^3) + (5*(b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*a^(7//2)*sqrt(c)), x, 5),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^5*sqrt(a + b*x)), (5*(b*c - a*d)^2*(7*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*a^4*c*x) - (5*(b*c - a*d)*(7*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(96*a^3*c*x^2) + ((7*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(24*a^2*c*x^3) - (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(7//2))/(4*a*c*x^4) - (5*(b*c - a*d)^3*(7*b*c + a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(64*a^(9//2)*c^(3//2)), x, 6),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^6*sqrt(a + b*x)), (c*(9*b*c - 13*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(40*a^2*x^4) - ((63*b^2*c^2 - 148*a*b*c*d + 93*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(240*a^3*x^3) + ((315*b^3*c^3 - 749*a*b^2*c^2*d + 481*a^2*b*c*d^2 - 15*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(960*a^4*c*x^2) - ((945*b^4*c^4 - 2310*a*b^3*c^3*d + 1564*a^2*b^2*c^2*d^2 - 90*a^3*b*c*d^3 - 45*a^4*d^4)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(1920*a^5*c^2*x) - (c*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(5*a*x^5) + ((b*c - a*d)^3*(63*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(128*a^(11//2)*c^(5//2)), x, 8),
+
+
+(x^4*(1 + x)^(3//2)/sqrt(1 - x), (-(11//16))*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) - (11//48)*sqrt(1 - x)*(1 + x)^(3//2) - (1//15)*sqrt(1 - x)*x^2*(1 + x)^(5//2) - (1//6)*sqrt(1 - x)*x^3*(1 + x)^(5//2) - (1//120)*sqrt(1 - x)*(1 + x)^(5//2)*(18 + 19*x) + (11*asin(x))/16, x, 7),
+(x^3*(1 + x)^(3//2)/sqrt(1 - x), (-(3//4))*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) - (1//4)*sqrt(1 - x)*(1 + x)^(3//2) - (1//10)*sqrt(1 - x)*(1 + x)^(5//2) - (1//5)*sqrt(1 - x)*x^2*(1 + x)^(5//2) - (1//10)*sqrt(1 - x)*(1 + x)^(7//2) + (3*asin(x))/4, x, 8),
+(x^2*(1 + x)^(3//2)/sqrt(1 - x), (-(7//8))*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) - (7//24)*sqrt(1 - x)*(1 + x)^(3//2) - (1//6)*sqrt(1 - x)*(1 + x)^(5//2) - (1//4)*sqrt(1 - x)*x*(1 + x)^(5//2) + (7*asin(x))/8, x, 6),
+(x^1*(1 + x)^(3//2)/sqrt(1 - x), (-sqrt(1 - x))*sqrt(1 + x) - (1//3)*sqrt(1 - x)*(1 + x)^(3//2) - (1//3)*sqrt(1 - x)*(1 + x)^(5//2) + asin(x), x, 5),
+(x^0*(1 + x)^(3//2)/sqrt(1 - x), (-(3//2))*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x) - (1//2)*sqrt(1 - x)*(1 + x)^(3//2) + (3*asin(x))/2, x, 4),
+((1 + x)^(3//2)/(x^1*sqrt(1 - x)), (-sqrt(1 - x))*sqrt(1 + x) + 2*asin(x) - atanh(sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x, 6),
+((1 + x)^(3//2)/(x^2*sqrt(1 - x)), -((sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x))/x) + asin(x) - 2*atanh(sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x, 6),
+((1 + x)^(3//2)/(x^3*sqrt(1 - x)), -((3*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x))/(2*x)) - (sqrt(1 - x)*(1 + x)^(3//2))/(2*x^2) - (3//2)*atanh(sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x, 4),
+((1 + x)^(3//2)/(x^4*sqrt(1 - x)), -((sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x))/x) - (sqrt(1 - x)*(1 + x)^(3//2))/(3*x^2) - (sqrt(1 - x)*(1 + x)^(5//2))/(3*x^3) - atanh(sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x, 5),
+((1 + x)^(3//2)/(x^5*sqrt(1 - x)), -((sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x))/(4*x^4)) - (2*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x))/(3*x^3) - (7*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x))/(8*x^2) - (4*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x))/(3*x) - (7//8)*atanh(sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(x^3/(sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)), (x^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(3*b*d) + (sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*(15*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 15*a^2*d^2 - 10*b*d*(b*c + a*d)*x))/(24*b^3*d^3) - ((b*c + a*d)*(5*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(7//2)*d^(7//2)), x, 5),
+(x^2/(sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)), -((3*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*b^2*d^2)) + (x*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(2*b*d) - ((4*a*b*c*d - 3*(b*c + a*d)^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(5//2)*d^(5//2)), x, 5),
+(x/(sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)), (sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(b*d) - ((b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(b^(3//2)*d^(3//2)), x, 4),
+(1/(sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)), (2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(b)*sqrt(d)), x, 3),
+(1/(x*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)), -((2*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(a)*sqrt(c))), x, 2),
+(1/(x^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)), -((sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(a*c*x)) + ((b*c + a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(a^(3//2)*c^(3//2)), x, 3),
+(1/(x^3*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)), -((sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(2*a*c*x^2)) + (3*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*a^2*c^2*x) - ((3*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*a^(5//2)*c^(5//2)), x, 5),
+(1/(x^4*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)), -((sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(3*a*c*x^3)) + (5*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(12*a^2*c^2*x^2) - ((15*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(24*a^3*c^3*x) + ((b*c + a*d)*(5*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*a^(7//2)*c^(7//2)), x, 6),
+
+
+(x^3/(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)), -((2*c*x^2*sqrt(a + b*x))/(d*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))) - (sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*((5*b*c - 3*a*d)*(3*b*c + a*d) - 2*b*d*(5*b*c - a*d)*x))/(4*b^2*d^3*(b*c - a*d)) + (3*(5*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(5//2)*d^(7//2)), x, 5),
+(x^2/(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)), (2*c^2*sqrt(a + b*x))/(d^2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)) + (sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(b*d^2) - ((3*b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(b^(3//2)*d^(5//2)), x, 5),
+(x/(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)), -((2*c*sqrt(a + b*x))/(d*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))) + (2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(b)*d^(3//2)), x, 4),
+(1/(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)), (2*sqrt(a + b*x))/((b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)), x, 1),
+(1/(x*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)), -((2*d*sqrt(a + b*x))/(c*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))) - (2*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(a)*c^(3//2)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)), -((d*(b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b*x))/(a*c^2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))) - sqrt(a + b*x)/(a*c*x*sqrt(c + d*x)) + ((b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(a^(3//2)*c^(5//2)), x, 5),
+(1/(x^3*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)), (d*(3*b*c - 5*a*d)*(b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x))/(4*a^2*c^3*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)) - sqrt(a + b*x)/(2*a*c*x^2*sqrt(c + d*x)) + ((3*b*c + 5*a*d)*sqrt(a + b*x))/(4*a^2*c^2*x*sqrt(c + d*x)) - (3*(b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*a^(5//2)*c^(7//2)), x, 6),
+
+
+(x^4/(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2)), -((2*c*x^3*sqrt(a + b*x))/(3*d*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))) - (2*c*(7*b*c - 9*a*d)*x^2*sqrt(a + b*x))/(3*d^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)) - (sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*(105*b^3*c^3 - 145*a*b^2*c^2*d + 15*a^2*b*c*d^2 + 9*a^3*d^3 - 2*b*d*(35*b^2*c^2 - 46*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x))/(12*b^2*d^4*(b*c - a*d)^2) + ((35*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(5//2)*d^(9//2)), x, 6),
+(x^3/(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2)), -((2*c*x^2*sqrt(a + b*x))/(3*d*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))) + (sqrt(a + b*x)*(c*(15*b^2*c^2 - 22*a*b*c*d + 3*a^2*d^2) + d*(5*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*x))/(3*b*d^3*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)) - ((5*b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(b^(3//2)*d^(7//2)), x, 5),
+(x^2/(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2)), (2*c^2*sqrt(a + b*x))/(3*d^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2)) - (4*c*(2*b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b*x))/(3*d^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)) + (2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(b)*d^(5//2)), x, 5),
+(x/(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2)), -((2*c*sqrt(a + b*x))/(3*d*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))) + (2*(b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b*x))/(3*d*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)), x, 2),
+(1/(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2)), (2*sqrt(a + b*x))/(3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2)) + (4*b*sqrt(a + b*x))/(3*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)), x, 2),
+(1/(x*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2)), -((2*d*sqrt(a + b*x))/(3*c*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))) - (2*d*(5*b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b*x))/(3*c^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)) - (2*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(a)*c^(5//2)), x, 5),
+(1/(x^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2)), -((d*(3*b*c - 5*a*d)*sqrt(a + b*x))/(3*a*c^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))) - sqrt(a + b*x)/(a*c*x*(c + d*x)^(3//2)) - (d*(3*b^2*c^2 - 22*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(3*a*c^3*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)) + ((b*c + 5*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(a^(3//2)*c^(7//2)), x, 6),
+(1/(x^3*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2)), (d*(9*b^2*c^2 + 18*a*b*c*d - 35*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(12*a^2*c^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2)) - sqrt(a + b*x)/(2*a*c*x^2*(c + d*x)^(3//2)) + ((3*b*c + 7*a*d)*sqrt(a + b*x))/(4*a^2*c^2*x*(c + d*x)^(3//2)) + (d*(9*b^3*c^3 + 15*a*b^2*c^2*d - 145*a^2*b*c*d^2 + 105*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x))/(12*a^2*c^4*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)) - ((3*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 35*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*a^(5//2)*c^(9//2)), x, 7),
+
+
+(1/(x*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x)), -((2*sqrt(a + b*x))/(a*sqrt(c*x))), x, 2),
+
+
+(1/(x*sqrt(a*c - b*c*x)*sqrt(a + b*x)), -(atanh((sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x))/(a*sqrt(c)))/(a*sqrt(c))), x, 2),
+
+
+(1/(x*sqrt(1 - a - b*x)*sqrt(1 + a + b*x)), -((2*atanh((sqrt(1 - a)*sqrt(1 + a + b*x))/(sqrt(1 + a)*sqrt(1 - a - b*x))))/sqrt(1 - a^2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x)^(n/2) / (a+b x)^(3/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((x^3*(c + d*x)^(3//2))/(a + b*x)^(3//2), (3*(b^3*c^3 + 5*a*b^2*c^2*d + 35*a^2*b*c*d^2 - 105*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b^5*d^2) - (2*x^3*(c + d*x)^(3//2))/(b*sqrt(a + b*x)) + (9*x^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(4*b^2) - (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)*(3*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d - 105*a^2*d^2 - 4*b*d*(b*c - 21*a*d)*x))/(32*b^4*d^2) + (3*(b*c - a*d)*(b^3*c^3 + 5*a*b^2*c^2*d + 35*a^2*b*c*d^2 - 105*a^3*d^3)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(11//2)*d^(5//2)), x, 7),
+((x^2*(c + d*x)^(3//2))/(a + b*x)^(3//2), -(((b^2*c^2 + 10*a*b*c*d - 35*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*b^4*d)) - ((10*a*c + (b*c^2)/d - (35*a^2*d)/b)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(12*b^2*(b*c - a*d)) - (2*a^2*(c + d*x)^(5//2))/(b^2*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)) + (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(3*b^2*d) - ((b*c - a*d)*(b^2*c^2 + 10*a*b*c*d - 35*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(9//2)*d^(3//2)), x, 7),
+((x*(c + d*x)^(3//2))/(a + b*x)^(3//2), (3*(b*c - 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*b^3) + ((b*c - 5*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(2*b^2*(b*c - a*d)) + (2*a*(c + d*x)^(5//2))/(b*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)) + (3*(b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(7//2)*sqrt(d)), x, 6),
+((c + d*x)^(3//2)/(a + b*x)^(3//2), (3*d*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/b^2 - (2*(c + d*x)^(3//2))/(b*sqrt(a + b*x)) + (3*sqrt(d)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/b^(5//2), x, 5),
+((c + d*x)^(3//2)/(x*(a + b*x)^(3//2)), (2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(a*b*sqrt(a + b*x)) - (2*c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/a^(3//2) + (2*d^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/b^(3//2), x, 7),
+((c + d*x)^(3//2)/(x^2*(a + b*x)^(3//2)), (-3*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(a^2*sqrt(a + b*x)) - (c + d*x)^(3//2)/(a*x*sqrt(a + b*x)) + (3*sqrt(c)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/a^(5//2), x, 4),
+((c + d*x)^(3//2)/(x^3*(a + b*x)^(3//2)), (3*(b*c - a*d)*(5*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(4*a^3*c*sqrt(a + b*x)) + ((5*b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(4*a^2*c*x*sqrt(a + b*x)) - (c + d*x)^(5//2)/(2*a*c*x^2*sqrt(a + b*x)) - (3*(b*c - a*d)*(5*b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*a^(7//2)*sqrt(c)), x, 5),
+((c + d*x)^(3//2)/(x^4*(a + b*x)^(3//2)), -((b*(105*b^2*c^2 - 100*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x))/(24*a^4*c*sqrt(a + b*x))) - (c*sqrt(c + d*x))/(3*a*x^3*sqrt(a + b*x)) + (7*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(12*a^2*x^2*sqrt(a + b*x)) - ((35*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(24*a^3*c*x*sqrt(a + b*x)) + ((b*c - a*d)*(35*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d - a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*a^(9//2)*c^(3//2)), x, 7),
+
+
+((x^3*(c + d*x)^(5//2))/(a + b*x)^(3//2), (3*(b*c - a*d)*(b^3*c^3 + 7*a*b^2*c^2*d + 63*a^2*b*c*d^2 - 231*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*b^6*d^2) + ((b^3*c^3 + 7*a*b^2*c^2*d + 63*a^2*b*c*d^2 - 231*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(64*b^5*d^2) - (2*x^3*(c + d*x)^(5//2))/(b*sqrt(a + b*x)) + (11*x^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(5*b^2) - (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2)*(5*b^2*c^2 + 30*a*b*c*d - 231*a^2*d^2 - 2*b*d*(5*b*c - 99*a*d)*x))/(80*b^4*d^2) + (3*(b*c - a*d)^2*(b^3*c^3 + 7*a*b^2*c^2*d + 63*a^2*b*c*d^2 - 231*a^3*d^3)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(128*b^(13//2)*d^(5//2)), x, 8),
+((x^2*(c + d*x)^(5//2))/(a + b*x)^(3//2), -((5*(b*c - a*d)*(b^2*c^2 + 14*a*b*c*d - 63*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b^5*d)) - (5*(b^2*c^2 + 14*a*b*c*d - 63*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(96*b^4*d) - ((14*a*c + (b*c^2)/d - (63*a^2*d)/b)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(24*b^2*(b*c - a*d)) - (2*a^2*(c + d*x)^(7//2))/(b^2*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)) + (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(7//2))/(4*b^2*d) - (5*(b*c - a*d)^2*(b^2*c^2 + 14*a*b*c*d - 63*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(11//2)*d^(3//2)), x, 8),
+((x*(c + d*x)^(5//2))/(a + b*x)^(3//2), (5*(b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*b^4) + (5*(b*c - 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(12*b^3) + ((b*c - 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(3*b^2*(b*c - a*d)) + (2*a*(c + d*x)^(7//2))/(b*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)) + (5*(b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(9//2)*sqrt(d)), x, 7),
+((c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^(3//2), (15*d*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*b^3) + (5*d*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(2*b^2) - (2*(c + d*x)^(5//2))/(b*sqrt(a + b*x)) + (15*sqrt(d)*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(7//2)), x, 6),
+((c + d*x)^(5//2)/(x*(a + b*x)^(3//2)), -((d*(2*b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(a*b^2)) + (2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(a*b*sqrt(a + b*x)) - (2*c^(5//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/a^(3//2) + (d^(3//2)*(5*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/b^(5//2), x, 8),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^2*(a + b*x)^(3//2)), -(((3*b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(a^2*b*sqrt(a + b*x))) - (c*(c + d*x)^(3//2))/(a*x*sqrt(a + b*x)) + (c^(3//2)*(3*b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/a^(5//2) + (2*d^(5//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/b^(3//2), x, 8),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^3*(a + b*x)^(3//2)), (15*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x))/(4*a^3*sqrt(a + b*x)) + (5*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(4*a^2*x*sqrt(a + b*x)) - (c + d*x)^(5//2)/(2*a*x^2*sqrt(a + b*x)) - (15*sqrt(c)*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*a^(7//2)), x, 5),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^4*(a + b*x)^(3//2)), -((5*(b*c - a*d)^2*(7*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(8*a^4*c*sqrt(a + b*x))) - (5*(b*c - a*d)*(7*b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(24*a^3*c*x*sqrt(a + b*x)) + ((7*b*c - a*d)*(c + d*x)^(5//2))/(12*a^2*c*x^2*sqrt(a + b*x)) - (c + d*x)^(7//2)/(3*a*c*x^3*sqrt(a + b*x)) + (5*(b*c - a*d)^2*(7*b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*a^(9//2)*sqrt(c)), x, 6),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^5*(a + b*x)^(3//2)), (b*(945*b^3*c^3 - 1785*a*b^2*c^2*d + 839*a^2*b*c*d^2 - 15*a^3*d^3)*sqrt(c + d*x))/(192*a^5*c*sqrt(a + b*x)) + (c*(9*b*c - 11*a*d)*sqrt(c + d*x))/(24*a^2*x^3*sqrt(a + b*x)) - ((63*b*c - 59*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(96*a^3*x^2*sqrt(a + b*x)) + ((b*c - a*d)*(315*b^2*c^2 - 322*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x))/(192*a^4*c*x*sqrt(a + b*x)) - (c*(c + d*x)^(3//2))/(4*a*x^4*sqrt(a + b*x)) - (5*(b*c - a*d)^2*(63*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d - a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(64*a^(11//2)*c^(3//2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(x^4/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), (2*a*x^3)/(b*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) - (2*c*(b*c + a*d)*x^2*sqrt(a + b*x))/(b*d*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)) - (sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*((b*c + a*d)*(15*b^2*c^2 - 22*a*b*c*d + 15*a^2*d^2) - 2*b*d*(5*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*x))/(4*b^3*d^3*(b*c - a*d)^2) + (3*(5*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(7//2)*d^(7//2)), x, 6),
+(x^3/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), (2*a*x^2)/(b*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) + (sqrt(a + b*x)*(c*(3*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2) + d*(b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*x))/(b^2*d^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)) - (3*(b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(b^(5//2)*d^(5//2)), x, 5),
+(x^2/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), -((2*a^2)/(b^2*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))) - (2*(b^2*c^2 + a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(b^2*d*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)) + (2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(b^(3//2)*d^(3//2)), x, 5),
+(x/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), -((2*c)/(d*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))) + (2*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x))/(d*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)), x, 2),
+(1/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), -(2/((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))) - (4*d*sqrt(a + b*x))/((b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)), x, 2),
+(1/(x*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), (2*b)/(a*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) + (2*d*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x))/(a*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)) - (2*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(a^(3//2)*c^(3//2)), x, 5),
+(1/(x^2*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), -((b*(3*b*c - a*d))/(a^2*c*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))) - 1/(a*c*x*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) - (d*(3*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(a^2*c^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)) + (3*(b*c + a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(a^(5//2)*c^(5//2)), x, 6),
+(1/(x^3*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), (b*(15*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d - 5*a^2*d^2))/(4*a^3*c^2*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) - 1/(2*a*c*x^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) + (5*(b*c + a*d))/(4*a^2*c^2*x*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) + (d*(b*c + a*d)*(15*b^2*c^2 - 22*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(4*a^3*c^3*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)) - (3*(5*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*a^(7//2)*c^(7//2)), x, 7),
+
+
+(x^5/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2)), (2*a*x^4)/(b*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) - (2*c*(b*c + 3*a*d)*x^3*sqrt(a + b*x))/(3*b*d*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(3//2)) - (2*c*(7*b^2*c^2 - 12*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*x^2*sqrt(a + b*x))/(3*b*d^2*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x)) - (sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*(105*b^4*c^4 - 190*a*b^3*c^3*d + 36*a^2*b^2*c^2*d^2 + 30*a^3*b*c*d^3 - 45*a^4*d^4 - 2*b*d*(35*b^3*c^3 - 61*a*b^2*c^2*d + 9*a^2*b*c*d^2 - 15*a^3*d^3)*x))/(12*b^3*d^4*(b*c - a*d)^3) + (5*(7*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(7//2)*d^(9//2)), x, 7),
+(x^4/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2)), (2*a*x^3)/(b*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) - (2*c*(b*c + 3*a*d)*x^2*sqrt(a + b*x))/(3*b*d*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(3//2)) + (sqrt(a + b*x)*(c*(15*b^3*c^3 - 31*a*b^2*c^2*d + 9*a^2*b*c*d^2 - 9*a^3*d^3) + d*(b*c - a*d)*(5*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 9*a^2*d^2)*x))/(3*b^2*d^3*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x)) - ((5*b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(b^(5//2)*d^(7//2)), x, 6),
+(x^3/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2)), (2*a*x^2)/(b*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) - (2*c*sqrt(a + b*x)*(c*(b*c - 3*a*d)*(3*b*c + a*d) + 2*d*(2*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*x))/(3*b*d^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(3//2)) + (2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(b^(3//2)*d^(5//2)), x, 5),
+(x^2/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2)), -((2*a^2)/(b^2*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))) - (2*(b^2*c^2 + 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(3*b^2*d*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(3//2)) + (2*(b^2*c^2 - 6*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(3*b*d*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x)), x, 3),
+(x/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2)), (2*a)/(b*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) + (2*(b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x))/(3*b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(3//2)) + (4*(b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x))/(3*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2)), -(2/((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))) - (8*d*sqrt(a + b*x))/(3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(3//2)) - (16*b*d*sqrt(a + b*x))/(3*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x)), x, 3),
+(1/(x*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2)), (2*b)/(a*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) + (2*d*(3*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x))/(3*a*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(3//2)) + (2*d*(3*b*c - a*d)*(b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x))/(3*a*c^2*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x)) - (2*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(a^(3//2)*c^(5//2)), x, 6),
+(1/(x^2*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2)), -((b*(3*b*c - a*d))/(a^2*c*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))) - 1/(a*c*x*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) - (d*(9*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(3*a^2*c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(3//2)) - (d*(9*b^3*c^3 - 9*a*b^2*c^2*d + 31*a^2*b*c*d^2 - 15*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x))/(3*a^2*c^3*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x)) + ((3*b*c + 5*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(a^(5//2)*c^(7//2)), x, 7),
+(1/(x^3*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(5//2)), (b*(15*b^2*c^2 - 7*a^2*d^2))/(4*a^3*c^2*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) - 1/(2*a*c*x^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) + (5*b*c + 7*a*d)/(4*a^2*c^2*x*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) + (d*(45*b^3*c^3 - 15*a*b^2*c^2*d - 33*a^2*b*c*d^2 + 35*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x))/(12*a^3*c^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(3//2)) + (d*(45*b^4*c^4 - 30*a*b^3*c^3*d - 36*a^2*b^2*c^2*d^2 + 190*a^3*b*c*d^3 - 105*a^4*d^4)*sqrt(a + b*x))/(12*a^3*c^4*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x)) - (5*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*a^(7//2)*c^(9//2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x)^(n/2) / (a+b x)^(5/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((x^4*(c + d*x)^(5//2))/(a + b*x)^(5//2), ((3*b^4*c^4 + 28*a*b^3*c^3*d + 378*a^2*b^2*c^2*d^2 - 2772*a^3*b*c*d^3 + 3003*a^4*d^4)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(128*b^7*d^2) + ((3*b^4*c^4 + 28*a*b^3*c^3*d + 378*a^2*b^2*c^2*d^2 - 2772*a^3*b*c*d^3 + 3003*a^4*d^4)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(192*b^6*d^2*(b*c - a*d)) - (2*x^4*(c + d*x)^(5//2))/(3*b*(a + b*x)^(3//2)) - (2*(8*b*c - 13*a*d)*x^3*(c + d*x)^(5//2))/(3*b^2*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)) + ((93*b*c - 143*a*d)*x^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(15*b^3*(b*c - a*d)) - (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2)*(15*b^3*c^3 + 125*a*b^2*c^2*d - 2343*a^2*b*c*d^2 + 3003*a^3*d^3 - 2*b*d*(15*b^2*c^2 - 902*a*b*c*d + 1287*a^2*d^2)*x))/(240*b^5*d^2*(b*c - a*d)) + ((b*c - a*d)*(3*b^4*c^4 + 28*a*b^3*c^3*d + 378*a^2*b^2*c^2*d^2 - 2772*a^3*b*c*d^3 + 3003*a^4*d^4)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(128*b^(15//2)*d^(5//2)), x, 9),
+((x^3*(c + d*x)^(5//2))/(a + b*x)^(5//2), -((5*(b^3*c^3 + 21*a*b^2*c^2*d - 189*a^2*b*c*d^2 + 231*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(64*b^6*d)) - (5*(b^3*c^3 + 21*a*b^2*c^2*d - 189*a^2*b*c*d^2 + 231*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(96*b^5*d*(b*c - a*d)) - (2*x^3*(c + d*x)^(5//2))/(3*b*(a + b*x)^(3//2)) - (2*(6*b*c - 11*a*d)*x^2*(c + d*x)^(5//2))/(3*b^2*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)) + (sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2)*(5*b^2*c^2 - 156*a*b*c*d + 231*a^2*d^2 + 2*b*d*(59*b*c - 99*a*d)*x))/(24*b^4*d*(b*c - a*d)) - (5*(b*c - a*d)*(b^3*c^3 + 21*a*b^2*c^2*d - 189*a^2*b*c*d^2 + 231*a^3*d^3)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(64*b^(13//2)*d^(3//2)), x, 8),
+((x^2*(c + d*x)^(5//2))/(a + b*x)^(5//2), (5*(b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(8*b^5) + (5*(b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(12*b^4*(b*c - a*d)) + ((b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(5//2))/(3*b^3*(b*c - a*d)^2) - (2*a^2*(c + d*x)^(7//2))/(3*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)) + (4*a*(3*b*c - 5*a*d)*(c + d*x)^(7//2))/(3*b^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)) + (5*(b*c - a*d)*(b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(8*b^(11//2)*sqrt(d)), x, 8),
+((x*(c + d*x)^(5//2))/(a + b*x)^(5//2), (5*d*(3*b*c - 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/(4*b^4) + (5*d*(3*b*c - 7*a*d)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2))/(6*b^3*(b*c - a*d)) - (2*(3*b*c - 7*a*d)*(c + d*x)^(5//2))/(3*b^2*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x)) + (2*a*(c + d*x)^(7//2))/(3*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)) + (5*sqrt(d)*(3*b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(9//2)), x, 7),
+((c + d*x)^(5//2)/(a + b*x)^(5//2), (5*d^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x))/b^3 - (10*d*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^2*sqrt(a + b*x)) - (2*(c + d*x)^(5//2))/(3*b*(a + b*x)^(3//2)) + (5*d^(3//2)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/b^(7//2), x, 6),
+((c + d*x)^(5//2)/(x*(a + b*x)^(5//2)), (2*(c^2/a^2 - d^2/b^2)*sqrt(c + d*x))/sqrt(a + b*x) + (2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(3*a*b*(a + b*x)^(3//2)) - (2*c^(5//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/a^(5//2) + (2*d^(5//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/b^(5//2), x, 8),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^2*(a + b*x)^(5//2)), (-5*c*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(a^3*sqrt(a + b*x)) - (5*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(3*a^2*(a + b*x)^(3//2)) - (c + d*x)^(5//2)/(a*x*(a + b*x)^(3//2)) + (5*c^(3//2)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/a^(7//2), x, 5),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^3*(a + b*x)^(5//2)), (5*(7*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(4*a^4*sqrt(a + b*x)) + (5*(7*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2))/(12*a^3*c*(a + b*x)^(3//2)) + ((7*b*c - 3*a*d)*(c + d*x)^(5//2))/(4*a^2*c*x*(a + b*x)^(3//2)) - (c + d*x)^(7//2)/(2*a*c*x^2*(a + b*x)^(3//2)) - (5*sqrt(c)*(7*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*a^(9//2)), x, 6),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^4*(a + b*x)^(5//2)), -((7*b*(15*b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(24*a^4*(a + b*x)^(3//2))) + (3*c*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(4*a^2*x^2*(a + b*x)^(3//2)) - ((21*b*c - 11*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(8*a^3*x*(a + b*x)^(3//2)) - (b*(315*b^2*c^2 - 420*a*b*c*d + 113*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x))/(24*a^5*sqrt(a + b*x)) - (c*(c + d*x)^(3//2))/(3*a*x^3*(a + b*x)^(3//2)) + (5*(b*c - a*d)*(21*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(8*a^(11//2)*sqrt(c)), x, 8),
+((c + d*x)^(5//2)/(x^5*(a + b*x)^(5//2)), (b*(b*c - a*d)*(385*b^2*c^2 - 238*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x))/(64*a^5*c*(a + b*x)^(3//2)) + (11*c*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(24*a^2*x^3*(a + b*x)^(3//2)) - ((99*b*c - 59*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(96*a^3*x^2*(a + b*x)^(3//2)) + ((b*c - a*d)*(231*b^2*c^2 - 156*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x))/(64*a^4*c*x*(a + b*x)^(3//2)) + (b*(1155*b^3*c^3 - 1715*a*b^2*c^2*d + 581*a^2*b*c*d^2 - 5*a^3*d^3)*sqrt(c + d*x))/(64*a^6*c*sqrt(a + b*x)) - (c*(c + d*x)^(3//2))/(4*a*x^4*(a + b*x)^(3//2)) - (5*(b*c - a*d)*(231*b^3*c^3 - 189*a*b^2*c^2*d + 21*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(64*a^(13//2)*c^(3//2)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(x^2/((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(1//2)), -((2*a^2*sqrt(c + d*x))/(3*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2))) + (4*a*(3*b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x))/(3*b^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)) + (2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(b^(5//2)*sqrt(d)), x, 5),
+
+
+(x^6/((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2)), (2*a*x^5)/(3*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)) + (2*a*(13*b*c - 7*a*d)*x^4)/(3*b^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) - (2*c*(b^2*c^2 + 14*a*b*c*d - 7*a^2*d^2)*x^3*sqrt(a + b*x))/(3*b^2*d*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(3//2)) - (2*c*(b*c + a*d)*(7*b^2*c^2 - 22*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*x^2*sqrt(a + b*x))/(3*b^2*d^2*(b*c - a*d)^4*sqrt(c + d*x)) - (sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*((b*c + a*d)*(105*b^4*c^4 - 340*a*b^3*c^3*d + 406*a^2*b^2*c^2*d^2 - 340*a^3*b*c*d^3 + 105*a^4*d^4) - 2*b*d*(35*b^4*c^4 - 76*a*b^3*c^3*d + 18*a^2*b^2*c^2*d^2 - 76*a^3*b*c*d^3 + 35*a^4*d^4)*x))/(12*b^4*d^4*(b*c - a*d)^4) + (5*(7*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(4*b^(9//2)*d^(9//2)), x, 8),
+(x^5/((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2)), (2*a*x^4)/(3*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)) + (2*a*(11*b*c - 5*a*d)*x^3)/(3*b^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) - (2*c*(b^2*c^2 + 12*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*x^2*sqrt(a + b*x))/(3*b^2*d*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(3//2)) + (sqrt(a + b*x)*(c*(15*b^4*c^4 - 40*a*b^3*c^3*d + 18*a^2*b^2*c^2*d^2 - 40*a^3*b*c*d^3 + 15*a^4*d^4) + d*(b*c - a*d)*(5*b^3*c^3 - 9*a*b^2*c^2*d + 35*a^2*b*c*d^2 - 15*a^3*d^3)*x))/(3*b^3*d^3*(b*c - a*d)^4*sqrt(c + d*x)) - (5*(b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(b^(7//2)*d^(7//2)), x, 7),
+(x^4/((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2)), (2*a*x^3)/(3*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)) + (2*a*(3*b*c - a*d)*x^2)/(b^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) - (2*c*sqrt(a + b*x)*(c*(b*c + a*d)*(3*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2) + 2*d*(2*b^3*c^3 - a*b^2*c^2*d - 12*a^2*b*c*d^2 + 3*a^3*d^3)*x))/(3*b^2*d^2*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^(3//2)) + (2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(b^(5//2)*d^(5//2)), x, 6),
+(x^3/((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2)), -((2*x^3)/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))) - (4*a^2*c)/(b^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) - (4*c*(b^2*c^2 + 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(3*b^2*d*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(3//2)) + (4*c*(b^2*c^2 - 6*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(3*b*d*(b*c - a*d)^4*sqrt(c + d*x)), x, 4),
+(x^2/((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2)), -((2*a^2)/(3*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))) + (4*a*c)/(b*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) + (2*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(3*b^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(3//2)) + (4*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(3*b*(b*c - a*d)^4*sqrt(c + d*x)), x, 4),
+(x^1/((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2)), -((2*c)/(3*d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))) + (2*(b*c + a*d))/(3*d*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x)) - (8*(b*c + a*d))/(3*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) - (16*d*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x))/(3*(b*c - a*d)^4*sqrt(c + d*x)), x, 4),
+(x^0/((a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2)), -(2/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))) + (4*d)/((b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) + (16*d^2*sqrt(a + b*x))/(3*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(3//2)) + (32*b*d^2*sqrt(a + b*x))/(3*(b*c - a*d)^4*sqrt(c + d*x)), x, 4),
+(1/(x^1*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2)), (2*b)/(3*a*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)) + (2*b*(b*c - 3*a*d))/(a^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) + (2*d*(3*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d - a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(3*a^2*c*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(3//2)) + (2*d*(b*c + a*d)*(3*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x))/(3*a^2*c^2*(b*c - a*d)^4*sqrt(c + d*x)) - (2*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(a^(5//2)*c^(5//2)), x, 7),
+(1/(x^2*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2)), -((b*(5*b*c - 3*a*d))/(3*a^2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))) - 1/(a*c*x*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)) - (b*(5*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + a^2*d^2))/(a^3*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) - (d*(15*b^3*c^3 - 35*a*b^2*c^2*d + 9*a^2*b*c*d^2 - 5*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x))/(3*a^3*c^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(3//2)) - (d*(15*b^4*c^4 - 40*a*b^3*c^3*d + 18*a^2*b^2*c^2*d^2 - 40*a^3*b*c*d^3 + 15*a^4*d^4)*sqrt(a + b*x))/(3*a^3*c^3*(b*c - a*d)^4*sqrt(c + d*x)) + (5*(b*c + a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(a^(7//2)*c^(7//2)), x, 8),
+(1/(x^3*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(5//2)), (b*(35*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d - 21*a^2*d^2))/(12*a^3*c^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)) - 1/(2*a*c*x^2*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)) + (7*(b*c + a*d))/(4*a^2*c^2*x*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)) + (b*(35*b^3*c^3 - 55*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + 7*a^3*d^3))/(4*a^4*c^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) + (d*(105*b^4*c^4 - 200*a*b^3*c^3*d + 18*a^2*b^2*c^2*d^2 + 48*a^3*b*c*d^3 - 35*a^4*d^4)*sqrt(a + b*x))/(12*a^4*c^3*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(3//2)) + (d*(b*c + a*d)*(105*b^4*c^4 - 340*a*b^3*c^3*d + 406*a^2*b^2*c^2*d^2 - 340*a^3*b*c*d^3 + 105*a^4*d^4)*sqrt(a + b*x))/(12*a^4*c^4*(b*c - a*d)^4*sqrt(c + d*x)) - (5*(7*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x))))/(4*a^(9//2)*c^(9//2)), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x)^(n/2) (a+b x)^(p/2)
+
+
+# Note that the derivative of (a+b*x)^n/(-a-b*x)^n is zero.
+(x^2*sqrt(a + b*x)/sqrt(-a - b*x), (x^3*sqrt(a + b*x))/(3*sqrt(-a - b*x)), x, 2),
+(x*sqrt(a + b*x)/sqrt(-a - b*x), (x^2*sqrt(a + b*x))/(2*sqrt(-a - b*x)), x, 2),
+(sqrt(a + b*x)/sqrt(-a - b*x), (x*sqrt(a + b*x))/sqrt(-a - b*x), x, 2),
+(sqrt(a + b*x)/(x*sqrt(-a - b*x)), (sqrt(a + b*x)*log(x))/sqrt(-a - b*x), x, 2),
+(sqrt(a + b*x)/(x^2*sqrt(-a - b*x)), -(sqrt(a + b*x)/(x*sqrt(-a - b*x))), x, 2),
+(sqrt(a + b*x)/(x^3*sqrt(-a - b*x)), -(sqrt(a + b*x)/(2*x^2*sqrt(-a - b*x))), x, 2),
+(sqrt(a + b*x)/(x^m*sqrt(-a - b*x)), (x^(1 - m)*sqrt(a + b*x))/((1 - m)*sqrt(-a - b*x)), x, 2),
+
+(x^2*((a + b*x)^n/(-a - b*x)^n), ((1//3)*x^3*(a + b*x)^n)/(-a - b*x)^n, x, 2),
+(x*((a + b*x)^n/(-a - b*x)^n), ((1//2)*x^2*(a + b*x)^n)/(-a - b*x)^n, x, 2),
+(((a + b*x)^n/(-a - b*x)^n), (x*(a + b*x)^n)/(-a - b*x)^n, x, 2),
+(((a + b*x)^n/(x*(-a - b*x)^n)), ((a + b*x)^n*log(x))/(-a - b*x)^n, x, 2),
+(((a + b*x)^n/(x^2*(-a - b*x)^n)), -((a + b*x)^n/((-a - b*x)^n*x)), x, 2),
+(((a + b*x)^n/(x^3*(-a - b*x)^n)), -((a + b*x)^n/((-a - b*x)^n*(2*x^2))), x, 2),
+(((a + b*x)^n/(x^m*(-a - b*x)^n)), (x^(1 - m)*(a + b*x)^n)/((-a - b*x)^n*(1 - m)), x, 2),
+
+
+(x^3*sqrt(1 + x)/(1 - x)^(5//2), -((13*x^2*sqrt(1 + x))/(3*sqrt(1 - x))) + (2*x^3*sqrt(1 + x))/(3*(1 - x)^(3//2)) - (1//6)*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)*(52 + 33*x) + (11*asin(x))/2, x, 5),
+# {x^2*Sqrt[1 + x]/(1 - x)^(5/2), x, 6, -((4*Sqrt[1 + x])/Sqrt[1 - x]) - Sqrt[1 - x]*Sqrt[1 + x] + (1 + x)^(3/2)/(3*(1 - x)^(3/2)) + 3*ArcSin[x], -3*Sqrt[1 - x]*Sqrt[1 + x] + (1 + x)^(3/2)/(3*(1 - x)^(3/2)) - (2*(1 + x)^(3/2))/Sqrt[1 - x] + 3*ArcSin[x]}
+(x*sqrt(1 + x)/(1 - x)^(5//2), -((2*sqrt(1 + x))/sqrt(1 - x)) + (1 + x)^(3//2)/(3*(1 - x)^(3//2)) + asin(x), x, 4),
+(sqrt(1 + x)/(1 - x)^(5//2), (1 + x)^(3//2)/(3*(1 - x)^(3//2)), x, 1),
+(sqrt(1 + x)/(-1 + x)^(5//2), -((1 + x)^(3//2)/(3*(-1 + x)^(3//2))), x, 1),
+(sqrt(1 + x)/(x*(1 - x)^(5//2)), (2*sqrt(1 + x))/sqrt(1 - x) + (1 + x)^(3//2)/(3*(1 - x)^(3//2)) - atanh(sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x, 4),
+(sqrt(1 + x)/(x^2*(1 - x)^(5//2)), (14*sqrt(1 + x))/(3*sqrt(1 - x)) + (2*sqrt(1 + x))/(3*(1 - x)^(3//2)*x) - (5*sqrt(1 + x))/(3*sqrt(1 - x)*x) - 3*atanh(sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x, 6),
+(sqrt(1 + x)/(x^3*(1 - x)^(5//2)), (26*sqrt(1 + x))/(3*sqrt(1 - x)) + (2*sqrt(1 + x))/(3*(1 - x)^(3//2)*x^2) - (7*sqrt(1 + x))/(6*sqrt(1 - x)*x^2) - (19*sqrt(1 + x))/(6*sqrt(1 - x)*x) - (11//2)*atanh(sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x, 7),
+
+
+(x^2/(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)), (1//2)*sqrt(-1 + x)*x*sqrt(1 + x) + acosh(x)/2, x, 2),
+(x/(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)), sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x), x, 1),
+(1/(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)), acosh(x), x, 1),
+(1/(x*sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)), atan(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)), x, 2),
+(1/(x^2*sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)), (sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x))/x, x, 1),
+
+(x^2*sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x), (1//8)*sqrt(-1 + x)*x*sqrt(1 + x) + (1//4)*(-1 + x)^(3//2)*x*(1 + x)^(3//2) - acosh(x)/8, x, 3),
+(x*sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x), ((-1 + x)^(3//2)*(1 + x)^(3//2))/3, x, 1),
+(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x), (1//2)*sqrt(-1 + x)*x*sqrt(1 + x) - acosh(x)/2, x, 2),
+(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)/x, sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x) - atan(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)), x, 3),
+(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)/x^2, -((sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x))/x) + acosh(x), x, 2),
+
+(1/(sqrt(1 + 2*x)*sqrt(3 + 2*x)), asinh(sqrt(1 + 2*x)/sqrt(2)), x, 2),
+(1/(x*sqrt(-2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)), sqrt(2//3)*atan((sqrt(3//2)*sqrt(-2 + 3*x))/sqrt(3 + 5*x)), x, 2),
+
+(1/(x*(1 + x)^(3//2)*(-1 + x)^(3//2)), -(1/(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x))) - atan(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)), x, 3),
+
+(x*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x), (-(1//3))*(1 - x)^(3//2)*(1 + x)^(3//2), x, 1),
+
+(x^3*(2 + 3*x)^(3//2)*(1 + 4*x)^(1//2), (213575*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(1 + 4*x))/42467328 + (42715*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(1 + 4*x))/15925248 - (8543*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(1 + 4*x))/995328 + ((4103 - 7968*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(1 + 4*x)^(3//2))/829440 + (1//72)*x^2*(2 + 3*x)^(5//2)*(1 + 4*x)^(3//2) + (1067875*asinh(sqrt(3//5)*sqrt(1 + 4*x)))/(84934656*sqrt(3)), x, 7),
+
+
+(1/(sqrt(-1 + a + b*x)*sqrt(1 + a + b*x)), (2/b)*asinh(sqrt(-1 + a + b*x)/sqrt(2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (c+d x)^(n/2) (a+b x)^(p/2)
+
+
+(1/(sqrt(x)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a - b*x)), (2*sqrt(a)*sqrt(1 - (b*x)/a)*sqrt(1 + (b*x)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)), -1))/(sqrt(b)*sqrt(a - b*x)*sqrt(a + b*x)), x, 2),
+(1/(sqrt(-x)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a - b*x)), -((2*sqrt(a)*sqrt(1 - (b*x)/a)*sqrt(1 + (b*x)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b)*sqrt(-x))/sqrt(a)), -1))/(sqrt(b)*sqrt(a - b*x)*sqrt(a + b*x))), x, 2),
+(1/(sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a - b*x)), (2*sqrt(a)*sqrt(1 - (b*x)/a)*sqrt(1 + (b*x)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b)*sqrt(e*x))/(sqrt(a)*sqrt(e))), -1))/(sqrt(b)*sqrt(e)*sqrt(a - b*x)*sqrt(a + b*x)), x, 2),
+
+
+(1/(sqrt(x)*sqrt(2 + b*x)*sqrt(2 - b*x)), (sqrt(2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(2)), -1))/sqrt(b), x, 1),
+(1/(sqrt(-x)*sqrt(2 + b*x)*sqrt(2 - b*x)), -((sqrt(2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b)*sqrt(-x))/sqrt(2)), -1))/sqrt(b)), x, 1),
+(1/(sqrt(e*x)*sqrt(2 + b*x)*sqrt(2 - b*x)), (sqrt(2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b)*sqrt(e*x))/(sqrt(2)*sqrt(e))), -1))/(sqrt(b)*sqrt(e)), x, 1),
+
+
+(1/(sqrt(x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(2 - 3*x)), sqrt(2//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//2)*sqrt(x)), -1), x, 1),
+(1/(sqrt(-x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(2 - 3*x)), (-sqrt(2//3))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//2)*sqrt(-x)), -1), x, 1),
+(1/(sqrt(e*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(2 - 3*x)), (sqrt(2//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(3//2)*sqrt(e*x))/sqrt(e)), -1))/sqrt(e), x, 1),
+
+
+(1/(sqrt(x)*sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), 2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(x)), -1), x, 1),
+(1/(sqrt(1 + x)*sqrt(x - x^2)), 2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(x)), -1), x, 2),
+
+(1/(sqrt(b*x)*sqrt(1 - c*x)*sqrt(1 + c*x)), (2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(b*x))/sqrt(b)), -1))/(sqrt(b)*sqrt(c)), x, 1),
+(1/(sqrt(b*x)*sqrt(1 - c*x)*sqrt(1 + d*x)), (2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(b*x))/sqrt(b)), -(d/c)))/(sqrt(b)*sqrt(c)), x, 1),
+
+
+(sqrt(1 + x)/(sqrt(x)*sqrt(1 - x)), 2*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(x)), -1), x, 1),
+(sqrt(1 + x)/sqrt(x - x^2), 2*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(x)), -1), x, 2),
+
+(sqrt(1 + c*x)/(sqrt(b*x)*sqrt(1 - c*x)), (2*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(b*x))/sqrt(b)), -1))/(sqrt(b)*sqrt(c)), x, 1),
+(sqrt(1 + c*x)/(sqrt(b*x)*sqrt(1 - d*x)), (2*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(b*x))/sqrt(b)), -(c/d)))/(sqrt(b)*sqrt(d)), x, 1),
+
+
+# Following integrands are equal.
+(sqrt(1 - x)/(sqrt(x)*sqrt(1 + x)), -((2*sqrt(-x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(-x)), -1))/sqrt(x)), x, 2),
+# {Sqrt[-1 + 1/x]*Sqrt[1/x]*Sqrt[x]/Sqrt[1 + x], x, 4, -((2*Sqrt[-x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[-x]], -1])/Sqrt[x]), -((2*Sqrt[-1 + 1/x]*Sqrt[1/x]*Sqrt[-x]*Sqrt[x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[-x]], -1])/Sqrt[1 - x])}
+
+
+(sqrt(1 - c*x)/(sqrt(b*x)*sqrt(1 + c*x)), -((2*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(b*x))/sqrt(-b)), -1))/(sqrt(-b)*sqrt(c))), x, 1),
+(sqrt(1 - c*x)/(sqrt(b*x)*sqrt(1 + d*x)), -((2*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(b*x))/sqrt(-b)), -(c/d)))/(sqrt(-b)*sqrt(d))), x, 1),
+
+
+(1/(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(x)*sqrt(d + e*x)), (2*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//2)*sqrt(x)), -((2*e)/(3*d))))/(sqrt(3)*sqrt(d + e*x)), x, 2),
+
+
+(sqrt(d + e*x)/(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(x)), (2*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//2)*sqrt(x)), -((2*e)/(3*d))))/(sqrt(3)*sqrt(1 + (e*x)/d)), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x)^(n/3) (c+d x)^(p/3)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x)^(n/3) (c+d x)^(p/3)
+
+
+(x^4/((1 - x)^(1//3)*(2 - x)^(1//3)), (99//130)*(1 - x)^(2//3)*(2 - x)^(2//3)*x^2 + (3//13)*(1 - x)^(2//3)*(2 - x)^(2//3)*x^3 + (27//455)*(1 - x)^(2//3)*(2 - x)^(2//3)*(89 + 34*x) - (891*2^(2//3)*sqrt((3 - 2*x)^2)*sqrt((-3 + 2*x)^2)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3))/(91*(3 - 2*x)*(1 - x)^(1//3)*(2 - x)^(1//3)*(1 + sqrt(3) + 2^(2//3)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3))) + (891*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*sqrt((-3 + 2*x)^2)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3)*(1 + 2^(2//3)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3))*sqrt((1 - 2^(2//3)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3) + 2*2^(1//3)*(2 - 3*x + x^2)^(2//3))/(1 + sqrt(3) + 2^(2//3)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + 2^(2//3)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3))/(1 + sqrt(3) + 2^(2//3)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*2^(1//3)*(3 - 2*x)*sqrt((3 - 2*x)^2)*(1 - x)^(1//3)*(2 - x)^(1//3)*sqrt((1 + 2^(2//3)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3))/(1 + sqrt(3) + 2^(2//3)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3))^2)) - (594*2^(1//6)*3^(3//4)*sqrt((-3 + 2*x)^2)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3)*(1 + 2^(2//3)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3))*sqrt((1 - 2^(2//3)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3) + 2*2^(1//3)*(2 - 3*x + x^2)^(2//3))/(1 + sqrt(3) + 2^(2//3)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + 2^(2//3)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3))/(1 + sqrt(3) + 2^(2//3)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*(3 - 2*x)*sqrt((3 - 2*x)^2)*(1 - x)^(1//3)*(2 - x)^(1//3)*sqrt((1 + 2^(2//3)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3))/(1 + sqrt(3) + 2^(2//3)*(2 - 3*x + x^2)^(1//3))^2)), x, 8),
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+((a + b*x)^(1//4)/(c + d*x)^(1//4)/x^2, -(((a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(c*x)) - ((b*c - a*d)*atan((c^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(a^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(2*a^(3//4)*c^(5//4)) - ((b*c - a*d)*atanh((c^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(a^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(2*a^(3//4)*c^(5//4)), x, 5),
+((a + b*x)^(1//4)/(c + d*x)^(1//4)/x^3, ((3*b*c + 5*a*d)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(8*a*c^2*x) - ((a + b*x)^(5//4)*(c + d*x)^(3//4))/(2*a*c*x^2) + ((b*c - a*d)*(3*b*c + 5*a*d)*atan((c^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(a^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(16*a^(7//4)*c^(9//4)) + ((b*c - a*d)*(3*b*c + 5*a*d)*atanh((c^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(a^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(16*a^(7//4)*c^(9//4)), x, 6),
+((a + b*x)^(1//4)/(c + d*x)^(1//4)/x^4, -(((a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(3*c*x^3)) - ((b*c - 9*a*d)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(24*a*c^2*x^2) + ((7*b*c - 15*a*d)*(b*c + 3*a*d)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(96*a^2*c^3*x) - ((b*c - a*d)*(7*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*atan((c^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(a^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(64*a^(11//4)*c^(13//4)) - ((b*c - a*d)*(7*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*atanh((c^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(a^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(64*a^(11//4)*c^(13//4)), x, 8),
+((a + b*x)^(1//4)/(c + d*x)^(1//4)/x^5, -(((a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(4*c*x^4)) - ((b*c - 13*a*d)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(48*a*c^2*x^3) + ((11*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d - 117*a^2*d^2)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(384*a^2*c^3*x^2) - ((77*b^3*c^3 + 61*a*b^2*c^2*d + 63*a^2*b*c*d^2 - 585*a^3*d^3)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(1536*a^3*c^4*x) + ((b*c - a*d)*(77*b^3*c^3 + 105*a*b^2*c^2*d + 135*a^2*b*c*d^2 + 195*a^3*d^3)*atan((c^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(a^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(1024*a^(15//4)*c^(17//4)) + ((b*c - a*d)*(77*b^3*c^3 + 105*a*b^2*c^2*d + 135*a^2*b*c*d^2 + 195*a^3*d^3)*atanh((c^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(a^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(1024*a^(15//4)*c^(17//4)), x, 9),
+
+
+((1 + x)^(1//4)/(1 - x)^(1//4)*x^2, (-(3//8))*(1 - x)^(3//4)*(1 + x)^(1//4) - (1//12)*(1 - x)^(3//4)*(1 + x)^(5//4) - (1//3)*(1 - x)^(3//4)*x*(1 + x)^(5//4) + (3*atan(1 - (sqrt(2)*(1 - x)^(1//4))/(1 + x)^(1//4)))/(8*sqrt(2)) - (3*atan(1 + (sqrt(2)*(1 - x)^(1//4))/(1 + x)^(1//4)))/(8*sqrt(2)) - (3*log(1 + sqrt(1 - x)/sqrt(1 + x) - (sqrt(2)*(1 - x)^(1//4))/(1 + x)^(1//4)))/(16*sqrt(2)) + (3*log(1 + sqrt(1 - x)/sqrt(1 + x) + (sqrt(2)*(1 - x)^(1//4))/(1 + x)^(1//4)))/(16*sqrt(2)), x, 14),
+((1 + x)^(1//4)/(1 - x)^(1//4)*x^1, (-(1//4))*(1 - x)^(3//4)*(1 + x)^(1//4) - (1//2)*(1 - x)^(3//4)*(1 + x)^(5//4) + atan(1 - (sqrt(2)*(1 - x)^(1//4))/(1 + x)^(1//4))/(4*sqrt(2)) - atan(1 + (sqrt(2)*(1 - x)^(1//4))/(1 + x)^(1//4))/(4*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(1 - x)/sqrt(1 + x) - (sqrt(2)*(1 - x)^(1//4))/(1 + x)^(1//4))/(8*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(1 - x)/sqrt(1 + x) + (sqrt(2)*(1 - x)^(1//4))/(1 + x)^(1//4))/(8*sqrt(2)), x, 13),
+((1 + x)^(1//4)/(1 - x)^(1//4)*x^0, (-(1 - x)^(3//4))*(1 + x)^(1//4) + atan(1 - (sqrt(2)*(1 - x)^(1//4))/(1 + x)^(1//4))/sqrt(2) - atan(1 + (sqrt(2)*(1 - x)^(1//4))/(1 + x)^(1//4))/sqrt(2) - log(1 + sqrt(1 - x)/sqrt(1 + x) - (sqrt(2)*(1 - x)^(1//4))/(1 + x)^(1//4))/(2*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(1 - x)/sqrt(1 + x) + (sqrt(2)*(1 - x)^(1//4))/(1 + x)^(1//4))/(2*sqrt(2)), x, 12),
+((1 + x)^(1//4)/(1 - x)^(1//4)/x^1, -2*atan((1 + x)^(1//4)/(1 - x)^(1//4)) + sqrt(2)*atan(1 - (sqrt(2)*(1 - x)^(1//4))/(1 + x)^(1//4)) - sqrt(2)*atan(1 + (sqrt(2)*(1 - x)^(1//4))/(1 + x)^(1//4)) - 2*atanh((1 + x)^(1//4)/(1 - x)^(1//4)) - log(1 + sqrt(1 - x)/sqrt(1 + x) - (sqrt(2)*(1 - x)^(1//4))/(1 + x)^(1//4))/sqrt(2) + log(1 + sqrt(1 - x)/sqrt(1 + x) + (sqrt(2)*(1 - x)^(1//4))/(1 + x)^(1//4))/sqrt(2), x, 16),
+((1 + x)^(1//4)/(1 - x)^(1//4)/x^2, -(((1 - x)^(3//4)*(1 + x)^(1//4))/x) - atan((1 + x)^(1//4)/(1 - x)^(1//4)) - atanh((1 + x)^(1//4)/(1 - x)^(1//4)), x, 5),
+((1 + x)^(1//4)/(1 - x)^(1//4)/x^3, -(((1 - x)^(3//4)*(1 + x)^(1//4))/(4*x)) - ((1 - x)^(3//4)*(1 + x)^(5//4))/(2*x^2) - (1//4)*atan((1 + x)^(1//4)/(1 - x)^(1//4)) - (1//4)*atanh((1 + x)^(1//4)/(1 - x)^(1//4)), x, 6),
+((1 + x)^(1//4)/(1 - x)^(1//4)/x^4, -(((1 - x)^(3//4)*(1 + x)^(1//4))/(3*x^3)) - (5*(1 - x)^(3//4)*(1 + x)^(1//4))/(12*x^2) - (11*(1 - x)^(3//4)*(1 + x)^(1//4))/(24*x) - (3//8)*atan((1 + x)^(1//4)/(1 - x)^(1//4)) - (3//8)*atanh((1 + x)^(1//4)/(1 - x)^(1//4)), x, 8),
+((1 + x)^(1//4)/(1 - x)^(1//4)/x^5, -(((1 - x)^(3//4)*(1 + x)^(1//4))/(4*x^4)) - (7*(1 - x)^(3//4)*(1 + x)^(1//4))/(24*x^3) - (29*(1 - x)^(3//4)*(1 + x)^(1//4))/(96*x^2) - (83*(1 - x)^(3//4)*(1 + x)^(1//4))/(192*x) - (11//64)*atan((1 + x)^(1//4)/(1 - x)^(1//4)) - (11//64)*atanh((1 + x)^(1//4)/(1 - x)^(1//4)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(x^3/((a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(1//4)), (x^2*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(3*b*d) + ((a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4)*(45*b^2*c^2 + 54*a*b*c*d + 77*a^2*d^2 - 4*b*d*(9*b*c + 11*a*d)*x))/(96*b^3*d^3) - ((15*b^3*c^3 + 15*a*b^2*c^2*d + 21*a^2*b*c*d^2 + 77*a^3*d^3)*atan((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(64*b^(15//4)*d^(13//4)) - ((15*b^3*c^3 + 15*a*b^2*c^2*d + 21*a^2*b*c*d^2 + 77*a^3*d^3)*atanh((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(64*b^(15//4)*d^(13//4)), x, 7),
+(x^2/((a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(1//4)), -(((5*b*c + 7*a*d)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(8*b^2*d^2)) + (x*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(2*b*d) + ((5*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*atan((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(16*b^(11//4)*d^(9//4)) + ((5*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*atanh((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(16*b^(11//4)*d^(9//4)), x, 7),
+(x^1/((a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(1//4)), ((a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(b*d) - ((b*c + 3*a*d)*atan((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(2*b^(7//4)*d^(5//4)) - ((b*c + 3*a*d)*atanh((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(2*b^(7//4)*d^(5//4)), x, 6),
+(x^0/((a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(1//4)), (2*atan((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(b^(3//4)*d^(1//4)) + (2*atanh((d^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(b^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(b^(3//4)*d^(1//4)), x, 5),
+(1/(x^1*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(1//4)), -((2*atan((c^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(a^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(a^(3//4)*c^(1//4))) - (2*atanh((c^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(a^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(a^(3//4)*c^(1//4)), x, 4),
+(1/(x^2*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(1//4)), -(((a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(a*c*x)) + ((3*b*c + a*d)*atan((c^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(a^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(2*a^(7//4)*c^(5//4)) + ((3*b*c + a*d)*atanh((c^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(a^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(2*a^(7//4)*c^(5//4)), x, 5),
+(1/(x^3*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(1//4)), -(((a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(2*a*c*x^2)) + ((7*b*c + 5*a*d)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(8*a^2*c^2*x) - ((21*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan((c^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(a^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(16*a^(11//4)*c^(9//4)) - ((21*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh((c^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(a^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(16*a^(11//4)*c^(9//4)), x, 7),
+(1/(x^4*(a + b*x)^(3//4)*(c + d*x)^(1//4)), -(((a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(3*a*c*x^3)) + ((11*b*c + 9*a*d)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(24*a^2*c^2*x^2) - ((77*b^2*c^2 + 54*a*b*c*d + 45*a^2*d^2)*(a + b*x)^(1//4)*(c + d*x)^(3//4))/(96*a^3*c^3*x) + ((77*b^3*c^3 + 21*a*b^2*c^2*d + 15*a^2*b*c*d^2 + 15*a^3*d^3)*atan((c^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(a^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(64*a^(15//4)*c^(13//4)) + ((77*b^3*c^3 + 21*a*b^2*c^2*d + 15*a^2*b*c*d^2 + 15*a^3*d^3)*atanh((c^(1//4)*(a + b*x)^(1//4))/(a^(1//4)*(c + d*x)^(1//4))))/(64*a^(15//4)*c^(13//4)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b x)^(n/4) (c+d x)^(p/4)
+
+
+((e*x)^(3//2)/((1 - x)^(1//4)*(1 + x)^(1//4)), (-(1//2))*e*sqrt(e*x)*(1 - x^2)^(3//4) - (e^(3//2)*atan(1 - (sqrt(2)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(1 - x^2)^(1//4))))/(4*sqrt(2)) + (e^(3//2)*atan(1 + (sqrt(2)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(1 - x^2)^(1//4))))/(4*sqrt(2)) - (e^(3//2)*log(sqrt(e) + (sqrt(e)*x)/sqrt(1 - x^2) - (sqrt(2)*sqrt(e*x))/(1 - x^2)^(1//4)))/(8*sqrt(2)) + (e^(3//2)*log(sqrt(e) + (sqrt(e)*x)/sqrt(1 - x^2) + (sqrt(2)*sqrt(e*x))/(1 - x^2)^(1//4)))/(8*sqrt(2)), x, 13),
+(1/((e*x)^(1//2)*(1 - x)^(1//4)*(1 + x)^(1//4)), -(atan(1 - (sqrt(2)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(1 - x^2)^(1//4)))/(sqrt(2)*sqrt(e))) + atan(1 + (sqrt(2)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(1 - x^2)^(1//4)))/(sqrt(2)*sqrt(e)) - log(sqrt(e) + (sqrt(e)*x)/sqrt(1 - x^2) - (sqrt(2)*sqrt(e*x))/(1 - x^2)^(1//4))/(2*sqrt(2)*sqrt(e)) + log(sqrt(e) + (sqrt(e)*x)/sqrt(1 - x^2) + (sqrt(2)*sqrt(e*x))/(1 - x^2)^(1//4))/(2*sqrt(2)*sqrt(e)), x, 12),
+(1/((e*x)^(5//2)*(1 - x)^(1//4)*(1 + x)^(1//4)), -((2*(1 - x)^(3//4)*(1 + x)^(3//4))/(3*e*(e*x)^(3//2))), x, 1),
+(1/((e*x)^(9//2)*(1 - x)^(1//4)*(1 + x)^(1//4)), -((2*(1 - x^2)^(3//4))/(3*e*(e*x)^(7//2))) + (8*(1 - x^2)^(7//4))/(21*e*(e*x)^(7//2)), x, 3),
+(1/((e*x)^(13//2)*(1 - x)^(1//4)*(1 + x)^(1//4)), -((2*(1 - x^2)^(3//4))/(3*e*(e*x)^(11//2))) + (16*(1 - x^2)^(7//4))/(21*e*(e*x)^(11//2)) - (64*(1 - x^2)^(11//4))/(231*e*(e*x)^(11//2)), x, 4),
+
+((e*x)^(5//2)/((1 - x)^(1//4)*(1 + x)^(1//4)), -((e^3*(1 - x^2)^(3//4))/(2*sqrt(e*x))) - (1//3)*e*(e*x)^(3//2)*(1 - x^2)^(3//4) + (e^2*(1 - 1/x^2)^(1//4)*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acsc(x)/2, 2))/(2*(1 - x^2)^(1//4)), x, 6),
+((e*x)^(1//2)/((1 - x)^(1//4)*(1 + x)^(1//4)), -((e*(1 - x^2)^(3//4))/sqrt(e*x)) + ((1 - 1/x^2)^(1//4)*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acsc(x)/2, 2))/(1 - x^2)^(1//4), x, 5),
+(1/((e*x)^(3//2)*(1 - x)^(1//4)*(1 + x)^(1//4)), -((2*(1 - 1/x^2)^(1//4)*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acsc(x)/2, 2))/(e^2*(1 - x^2)^(1//4))), x, 4),
+(1/((e*x)^(7//2)*(1 - x)^(1//4)*(1 + x)^(1//4)), -((2*(1 - x^2)^(3//4))/(5*e*(e*x)^(5//2))) - (4*(1 - 1/x^2)^(1//4)*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acsc(x)/2, 2))/(5*e^4*(1 - x^2)^(1//4)), x, 5),
+(1/((e*x)^(11//2)*(1 - x)^(1//4)*(1 + x)^(1//4)), -((2*(1 - x^2)^(3//4))/(9*e*(e*x)^(9//2))) - (4*(1 - x^2)^(3//4))/(15*e^3*(e*x)^(5//2)) - (8*(1 - 1/x^2)^(1//4)*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acsc(x)/2, 2))/(15*e^6*(1 - x^2)^(1//4)), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x)^n (c+d x)^p with n symbolic
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x)^n (c+d x)^p with n symbolic
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*x)^n*(c + d*x)*x^2, (a^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^4*(1 + n)) - (a*(2*b*c - 3*a*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^4*(2 + n)) + ((b*c - 3*a*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^4*(3 + n)) + (d*(a + b*x)^(4 + n))/(b^4*(4 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n*(c + d*x)*x^1, -((a*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^3*(1 + n))) + ((b*c - 2*a*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^3*(2 + n)) + (d*(a + b*x)^(3 + n))/(b^3*(3 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n*(c + d*x)*x^0, ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^2*(1 + n)) + (d*(a + b*x)^(2 + n))/(b^2*(2 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n*(c + d*x)/x^1, (d*(a + b*x)^(1 + n))/(b*(1 + n)) - (c*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a*(1 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n*(c + d*x)/x^2, -((c*(a + b*x)^(1 + n))/(a*x)) - ((a*d + b*c*n)*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^2*(1 + n)), x, 2),
+
+
+((a + b*x)^n*(c + d*x)^2*x^2, (a^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n)) - (2*a*(b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^5*(2 + n)) + ((b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 6*a^2*d^2)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^5*(3 + n)) + (2*d*(b*c - 2*a*d)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^5*(4 + n)) + (d^2*(a + b*x)^(5 + n))/(b^5*(5 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n*(c + d*x)^2*x^1, -((a*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b^4*(1 + n))) + ((b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^4*(2 + n)) + (d*(2*b*c - 3*a*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^4*(3 + n)) + (d^2*(a + b*x)^(4 + n))/(b^4*(4 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n*(c + d*x)^2*x^0, ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b^3*(1 + n)) + (2*d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^3*(2 + n)) + (d^2*(a + b*x)^(3 + n))/(b^3*(3 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n*(c + d*x)^2/x^1, (d*(2*b*c - a*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^2*(1 + n)) + (d^2*(a + b*x)^(2 + n))/(b^2*(2 + n)) - (c^2*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a*(1 + n)), x, 3),
+((a + b*x)^n*(c + d*x)^2/x^2, (d^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b*(1 + n)) - (c^2*(a + b*x)^(1 + n))/(a*x) - (c*(2*a*d + b*c*n)*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^2*(1 + n)), x, 3),
+((a + b*x)^n*(c + d*x)^2/x^3, -((c^2*(a + b*x)^(1 + n))/(2*a*x^2)) - (c*(4*a*d - b*c*(1 - n))*(a + b*x)^(1 + n))/(2*a^2*x) - ((2*a^2*d^2 + 4*a*b*c*d*n - b^2*c^2*(1 - n)*n)*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(2*a^3*(1 + n)), x, 3),
+((a + b*x)^n*(c + d*x)^2/x^4, -((c^2*(a + b*x)^(1 + n))/(3*a*x^3)) - (c*(6*a*d - b*c*(2 - n))*(a + b*x)^(1 + n))/(6*a^2*x^2) + (b*(6*a^2*d^2 - 6*a*b*c*d*(1 - n) + b^2*c^2*(2 - 3*n + n^2))*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(6*a^4*(1 + n)), x, 3),
+
+
+((a + b*x)^n*(c + d*x)^3*x^2, (a^2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(1 + n))/(b^6*(1 + n)) - (a*(2*b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(2 + n))/(b^6*(2 + n)) + ((b*c - a*d)*(b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 10*a^2*d^2)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^6*(3 + n)) + (d*(3*b^2*c^2 - 12*a*b*c*d + 10*a^2*d^2)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^6*(4 + n)) + (d^2*(3*b*c - 5*a*d)*(a + b*x)^(5 + n))/(b^6*(5 + n)) + (d^3*(a + b*x)^(6 + n))/(b^6*(6 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n*(c + d*x)^3*x^1, -((a*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n))) + ((b*c - 4*a*d)*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(2 + n))/(b^5*(2 + n)) + (3*d*(b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^5*(3 + n)) + (d^2*(3*b*c - 4*a*d)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^5*(4 + n)) + (d^3*(a + b*x)^(5 + n))/(b^5*(5 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n*(c + d*x)^3*x^0, ((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(1 + n))/(b^4*(1 + n)) + (3*d*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(2 + n))/(b^4*(2 + n)) + (3*d^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^4*(3 + n)) + (d^3*(a + b*x)^(4 + n))/(b^4*(4 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n*(c + d*x)^3/x^1, (d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^3*(1 + n)) + (d^2*(3*b*c - 2*a*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^3*(2 + n)) + (d^3*(a + b*x)^(3 + n))/(b^3*(3 + n)) - (c^3*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a*(1 + n)), x, 3),
+((a + b*x)^n*(c + d*x)^3/x^2, (d*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^2)/(b*(2 + n)*x) - ((a + b*x)^(1 + n)*(b*c^2*(1 + n)*(a*d + b*c*(2 + n)) + a*d^2*(a*d - b*c*(4 + n))*x))/(a*b^2*(1 + n)*(2 + n)*x) - (c^2*(3*a*d + b*c*n)*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^2*(1 + n)), x, 3),
+((a + b*x)^n*(c + d*x)^3/x^3, (d*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^2)/(b*(1 + n)*x^2) - (c*(a + b*x)^(1 + n)*(a*c*(2*a*d + b*c*(1 + n)) + (4*a^2*d^2 + 6*a*b*c*d*(1 + n) - b^2*c^2*(1 - n^2))*x))/(2*a^2*b*(1 + n)*x^2) - (c*(6*a^2*d^2 + 6*a*b*c*d*n - b^2*c^2*(1 - n)*n)*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(2*a^3*(1 + n)), x, 3),
+
+
+(x^(2*n+1)*(a + b*x)^n*(2*a + 3*b*x), (x^(2*(1 + n))*(a + b*x)^(1 + n))/(1 + n), x, 1),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((a + b*x)^n/(c + d*x)*x^2, -(((b*c + a*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^2*d^2*(1 + n))) + (a + b*x)^(2 + n)/(b^2*d*(2 + n)) + (c^2*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(d^2*(b*c - a*d)*(1 + n)), x, 3),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)*x^1, (a + b*x)^(1 + n)/(b*d*(1 + n)) - (c*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(d*(b*c - a*d)*(1 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)*x^0, ((a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((b*c - a*d)*(1 + n)), x, 1),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)/x^1, -((d*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(c*(b*c - a*d)*(1 + n))) - ((a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a*c*(1 + n)), x, 3),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)/x^2, -((a + b*x)^(1 + n)/(a*c*x)) + (d^2*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(c^2*(b*c - a*d)*(1 + n)) + ((a*d - b*c*n)*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^2*c^2*(1 + n)), x, 4),
+
+
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^2*x^3, (x^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b*d*(2 + n)*(c + d*x)) - ((a + b*x)^(1 + n)*(c*(b*c*(2 + n)*(a*d + b*c*(3 + n)) - a*d*(a*d + b*c*(5 + 3*n))) + d*(b*c - a*d)*(a*d + b*c*(3 + n))*x))/(b^2*d^3*(b*c - a*d)*(1 + n)*(2 + n)*(c + d*x)) - (c^2*(3*a*d - b*c*(3 + n))*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(d^3*(b*c - a*d)^2*(1 + n)), x, 3),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^2*x^2, (a + b*x)^(1 + n)/(b*d^2*(1 + n)) + (c^2*(a + b*x)^(1 + n))/(d^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)) + (c*(2*a*d - b*c*(2 + n))*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(d^2*(b*c - a*d)^2*(1 + n)), x, 3),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^2*x^1, -((c*(a + b*x)^(1 + n))/(d*(b*c - a*d)*(c + d*x))) - ((a*d - b*c*(1 + n))*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(d*(b*c - a*d)^2*(1 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^2*x^0, (b*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((b*c - a*d)^2*(1 + n)), x, 1),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^2/x^1, -((d*(a + b*x)^(1 + n))/(c*(b*c - a*d)*(c + d*x))) + (d*(a*d - b*c*(1 - n))*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(c^2*(b*c - a*d)^2*(1 + n)) - ((a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a*c^2*(1 + n)), x, 4),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^2/x^2, -((d*(b*c - 2*a*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(a*c^2*(b*c - a*d)*(c + d*x))) - (a + b*x)^(1 + n)/(a*c*x*(c + d*x)) - (d^2*(2*a*d - b*c*(2 - n))*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(c^3*(b*c - a*d)^2*(1 + n)) + ((2*a*d - b*c*n)*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a^2*c^3*(1 + n)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b x)^n (c+d x)^p with n symbolic
+
+
+((b*x)^(5//2)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^2, -((2*f*(9*c*f - d*e*(13 + 2*n))*(b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(1 + n))/(b*d^2*(9 + 2*n)*(11 + 2*n))) + (2*f*(b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x))/(b*d*(11 + 2*n)) + (2*(63*c^2*f^2 - 14*c*d*e*f*(11 + 2*n) + d^2*e^2*(99 + 40*n + 4*n^2))*(b*x)^(7//2)*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(7//2, -n, 9//2, -((d*x)/c)))/((1 + (d*x)/c)^n*(7*b*d^2*(9 + 2*n)*(11 + 2*n))), x, 4),
+((b*x)^(5//2)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^1, (2*f*(b*x)^(7//2)*(c + d*x)^(1 + n))/(b*d*(9 + 2*n)) - (2*(7*c*f - d*e*(9 + 2*n))*(b*x)^(7//2)*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(7//2, -n, 9//2, -((d*x)/c)))/((1 + (d*x)/c)^n*(7*b*d*(9 + 2*n))), x, 3),
+((b*x)^(5//2)*(c + d*x)^n/(e + f*x)^1, (2*(b*x)^(7//2)*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(7//2, -n, 1, 9//2, -((d*x)/c), -((f*x)/e)))/((1 + (d*x)/c)^n*(7*b*e)), x, 3),
+((b*x)^(5//2)*(c + d*x)^n/(e + f*x)^2, (2*(b*x)^(7//2)*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(7//2, -n, 2, 9//2, -((d*x)/c), -((f*x)/e)))/((1 + (d*x)/c)^n*(7*b*e^2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x)^n (c+d x)^p with m and n symbolic
+
+
+((b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^2, -((f*(c*f*(2 + m) - d*e*(4 + m + n))*(b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n))/(b*d^2*(2 + m + n)*(3 + m + n))) + (f*(b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x))/(b*d*(3 + m + n)) + ((c^2*f^2*(2 + 3*m + m^2) - 2*c*d*e*f*(1 + m)*(3 + m + n) + d^2*e^2*(6 + m^2 + 5*n + n^2 + m*(5 + 2*n)))*(b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -((d*x)/c)))/((1 + (d*x)/c)^n*(b*d^2*(1 + m)*(2 + m + n)*(3 + m + n))), x, 4),
+((b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^1, (f*(b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n))/(b*d*(2 + m + n)) - ((c*f*(1 + m) - d*e*(2 + m + n))*(b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -((d*x)/c)))/((1 + (d*x)/c)^n*(b*d*(1 + m)*(2 + m + n))), x, 3),
+((b*x)^m*(c + d*x)^n/(e + f*x)^1, ((b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 1, 2 + m, -((d*x)/c), -((f*x)/e)))/((1 + (d*x)/c)^n*(b*e*(1 + m))), x, 2),
+((b*x)^m*(c + d*x)^n/(e + f*x)^2, ((b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 2, 2 + m, -((d*x)/c), -((f*x)/e)))/((1 + (d*x)/c)^n*(b*e^2*(1 + m))), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x)^n (c+d x)^p with n and p symbolic
+
+
+((b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, ((b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, -p, 2 + m, -((d*x)/c), -((f*x)/e)))/((1 + (d*x)/c)^n*(1 + (f*x)/e)^p*(b*(1 + m))), x, 3),
+
+
+((e*x)^m*(a + b*x)^n*(a - b*x)^(n + 2), -(((e*x)^(1 + m)*(a - b*x)^(1 + n)*(a + b*x)^(1 + n))/(e*(3 + m + 2*n))) + (2*a^2*(2 + m + n)*(e*x)^(1 + m)*(a - b*x)^n*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -n, (3 + m)/2, (b^2*x^2)/a^2))/((1 - (b^2*x^2)/a^2)^n*(e*(1 + m)*(3 + m + 2*n))) - (2*a*b*(e*x)^(2 + m)*(a - b*x)^n*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((2 + m)/2, -n, (4 + m)/2, (b^2*x^2)/a^2))/((1 - (b^2*x^2)/a^2)^n*(e^2*(2 + m))), x, -11),
+
+
+# {(a + b*x)^n*(c + d*x)^p*x^2, x, 4, -(((b*c*(2 + n) + a*d*(2 + p))*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(1 + p))/(b^2*d^2*(2 + n + p)*(3 + n + p))) + (x*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(1 + p))/(b*d*(3 + n + p)) - ((b^2*c^2*(2 + 3*n + n^2) + 2*a*b*c*d*(1 + n)*(1 + p) + a^2*d^2*(2 + 3*p + p^2))*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 2 + n + p, 2 + p, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(b^2*d^2*(b*c - a*d)*(1 + p)*(2 + n + p)*(3 + n + p)), -(((b*c*(2 + n) + a*d*(2 + p))*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(1 + p))/(b^2*d^2*(2 + n + p)*(3 + n + p))) + (x*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(1 + p))/(b*d*(3 + n + p)) + ((b^2*c^2*(2 + 3*n + n^2) + 2*a*b*c*d*(1 + n)*(1 + p) + a^2*d^2*(2 + 3*p + p^2))*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^p*Hypergeometric2F1[1 + n, -p, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^p*(b^3*d^2*(1 + n)*(2 + n + p)*(3 + n + p)))}
+# {(a + b*x)^n*(c + d*x)^p*x^1, x, 3, ((a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(1 + p))/(b*d*(2 + n + p)) + ((b*c*(1 + n) + a*d*(1 + p))*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 2 + n + p, 2 + p, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(b*d*(b*c - a*d)*(1 + p)*(2 + n + p)), ((a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(1 + p))/(b*d*(2 + n + p)) - ((b*c*(1 + n) + a*d*(1 + p))*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^p*Hypergeometric2F1[1 + n, -p, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^p*(b^2*d*(1 + n)*(2 + n + p)))}
+# {(a + b*x)^n*(c + d*x)^p*x^0, x, 2, -(((a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 2 + n + p, 2 + p, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/((b*c - a*d)*(1 + p))), ((a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^p*Hypergeometric2F1[1 + n, -p, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^p*(b*(1 + n)))}
+((a + b*x)^n*(c + d*x)^p/x^1, -(((a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + n, -p, 1, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), (a + b*x)/a))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^p*(a*(1 + n)))), x, 2),
+((a + b*x)^n*(c + d*x)^p/x^2, (b*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + n, -p, 2, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), (a + b*x)/a))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^p*(a^2*(1 + n))), x, 2),
+
+
+((b*x)^(3//2)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, (2*(b*x)^(5//2)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(5//2, -n, -p, 7//2, -((d*x)/c), -((f*x)/e)))/((1 + (d*x)/c)^n*(1 + (f*x)/e)^p*(5*b)), x, 3),
+((b*x)^(1//2)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, (2*(b*x)^(3//2)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -n, -p, 5//2, -((d*x)/c), -((f*x)/e)))/((1 + (d*x)/c)^n*(1 + (f*x)/e)^p*(3*b)), x, 3),
+((c + d*x)^n*(e + f*x)^p/(b*x)^(1//2), (2*sqrt(b*x)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -n, -p, 3//2, -((d*x)/c), -((f*x)/e)))/((1 + (d*x)/c)^n*(1 + (f*x)/e)^p*b), x, 3),
+
+
+((b*x)^m*(π + d*x)^n*(ℯ + f*x)^p, (ℯ^p*π^n*(b*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, -p, 2 + m, -((d*x)/π), -((f*x)/ℯ)))/(b*(1 + m)), x, 1),
+((b*x)^m*(π + d*x)^n*(e + f*x)^p, (π^n*(b*x)^(1 + m)*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, -p, 2 + m, -((d*x)/π), -((f*x)/e)))/((1 + (f*x)/e)^p*(b*(1 + m))), x, 2),
+
+((b*x)^(5//2)*(π + d*x)^n*(ℯ + f*x)^p, (2*ℯ^p*π^n*(b*x)^(7//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(7//2, -n, -p, 9//2, -((d*x)/π), -((f*x)/ℯ)))/(7*b), x, 1),
+((b*x)^(5//2)*(π + d*x)^n*(e + f*x)^p, (2*π^n*(b*x)^(7//2)*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(7//2, -n, -p, 9//2, -((d*x)/π), -((f*x)/e)))/((1 + (f*x)/e)^p*(7*b)), x, 2),
+
+
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^n*x^3, (x^2*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(1 - n))/(4*b*d) + ((a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(1 - n)*(2*a*b*c*d*(3 - n^2) + a^2*d^2*(6 - 5*n + n^2) + b^2*c^2*(6 + 5*n + n^2) - 2*b*d*(a*d*(3 - n) + b*c*(3 + n))*x))/(24*b^3*d^3) - ((3*a*b^2*c^2*d*(2 + n - 2*n^2 - n^3) + a^3*d^3*(6 - 11*n + 6*n^2 - n^3) + 3*a^2*b*c*d^2*(2 - n - 2*n^2 + n^3) + b^3*c^3*(6 + 11*n + 6*n^2 + n^3))*(a + b*x)^(1 + n)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 1 + n, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^n*(24*b^4*d^3*(1 + n))), x, 4),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^n*x^2, -(((a*d*(2 - n) + b*c*(2 + n))*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(1 - n))/(6*b^2*d^2)) + (x*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(1 - n))/(3*b*d) + ((2*a*b*c*d*(1 - n^2) + a^2*d^2*(2 - 3*n + n^2) + b^2*c^2*(2 + 3*n + n^2))*(a + b*x)^(1 + n)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 1 + n, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^n*(6*b^3*d^2*(1 + n))), x, 4),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^n*x^1, ((a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(1 - n))/(2*b*d) - ((a*d*(1 - n) + b*c*(1 + n))*(a + b*x)^(1 + n)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 1 + n, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^n*(2*b^2*d*(1 + n))), x, 3),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^n*x^0, ((a + b*x)^(1 + n)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 1 + n, 2 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^n*(b*(1 + n))), x, 2),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^n/x^1, -(((a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, n, 1 + n, (c*(a + b*x))/(a*(c + d*x))))/((c + d*x)^n*n)) + ((a + b*x)^n*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, n, 1 + n, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^n*n), x, 5),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^n/x^2, ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(-1 - n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, (c*(a + b*x))/(a*(c + d*x))))/(a^2*(1 + n)), x, 1),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^n/x^3, -(((a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(1 - n))/(2*a*c*x^2)) - ((b*c - a*d)*(a*d*(1 + n) + b*(c - c*n))*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(-1 - n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, (c*(a + b*x))/(a*(c + d*x))))/(2*a^3*c*(1 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n/(c + d*x)^n/x^4, -(((a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(1 - n))/(3*a*c*x^3)) + ((b*c*(2 - n) + a*d*(2 + n))*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(1 - n))/(6*a^2*c^2*x^2) + ((b*c - a*d)*(2*a*b*c*d*(1 - n^2) + b^2*c^2*(2 - 3*n + n^2) + a^2*d^2*(2 + 3*n + n^2))*(a + b*x)^(1 + n)*(c + d*x)^(-1 - n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, (c*(a + b*x))/(a*(c + d*x))))/(6*a^4*c^2*(1 + n)), x, 4),
+
+
+((1 - x)^n/(1 + x)^n*x^3, (-(1//4))*(1 - x)^(1 + n)*x^2*(1 + x)^(1 - n) - (1//12)*(1 - x)^(1 + n)*(1 + x)^(1 - n)*(3 + 2*n^2 - 2*n*x) + (n*(2 + n^2)*(1 - x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 1 + n, 2 + n, (1 - x)/2))/(2^n*(3*(1 + n))), x, 3),
+((1 - x)^n/(1 + x)^n*x^2, (1//3)*n*(1 - x)^(1 + n)*(1 + x)^(1 - n) - (1//3)*(1 - x)^(1 + n)*x*(1 + x)^(1 - n) - ((1 + 2*n^2)*(1 - x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 1 + n, 2 + n, (1 - x)/2))/(2^n*(3*(1 + n))), x, 3),
+((1 - x)^n/(1 + x)^n*x^1, (-(1//2))*(1 - x)^(1 + n)*(1 + x)^(1 - n) + (n*(1 - x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 1 + n, 2 + n, (1 - x)/2))/(2^n*(1 + n)), x, 2),
+((1 - x)^n/(1 + x)^n*x^0, -(((1 - x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 1 + n, 2 + n, (1 - x)/2))/(2^n*(1 + n))), x, 1),
+((1 - x)^n/(1 + x)^n/x^1, -(((1 - x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, n, 1 + n, (1 - x)/(1 + x)))/((1 + x)^n*n)) + ((1 - x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, n, 1 + n, (1 - x)/2))/(2^n*n), x, 3),
+((1 - x)^n/(1 + x)^n/x^2, -((2*(1 - x)^(1 + n)*(1 + x)^(-1 - n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, (1 - x)/(1 + x)))/(1 + n)), x, 1),
+((1 - x)^n/(1 + x)^n/x^3, -(((1 - x)^(1 + n)*(1 + x)^(1 - n))/(2*x^2)) + (2*n*(1 - x)^(1 + n)*(1 + x)^(-1 - n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, (1 - x)/(1 + x)))/(1 + n), x, 2),
+((1 - x)^n/(1 + x)^n/x^4, -(((1 - x)^(1 + n)*(1 + x)^(1 - n))/(3*x^3)) + (n*(1 - x)^(1 + n)*(1 + x)^(1 - n))/(3*x^2) - (2*(1 + 2*n^2)*(1 - x)^(1 + n)*(1 + x)^(-1 - n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, (1 - x)/(1 + x)))/(3*(1 + n)), x, 4),
+
+
+# Mathematica 8 cannot verify the second antiderivatives of the following pairs correct, although they are.
+(x^m*(1 - a*x)^n*(1 + a*x)^n, (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -n, (3 + m)/2, a^2*x^2))/(1 + m), x, 2),
+(x^m*(1 - a*x)^n*(2 + 2*a*x)^n, (2^n*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -n, (3 + m)/2, a^2*x^2))/(1 + m), x, 2),
+
+(x^m*(2 - a*x)^n*(2 + a*x)^n, (4^n*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -n, (3 + m)/2, (a^2*x^2)/4))/(1 + m), x, 2),
+(x^m*(1 - a*x/2)^n*(2 + a*x)^n, (2^n*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -n, (3 + m)/2, (a^2*x^2)/4))/(1 + m), x, 2),
+
+
+# Mathematica 8 cannot verify the following antiderivatives correct, although they are.
+(x^m*(3 - 2*a*x)^(n + 2)*(6 + 4*a*x)^n, (2^n*9^(1 + n)*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -n, (3 + m)/2, (4*a^2*x^2)/9))/(1 + m) - (2^(2 + n)*3^(1 + 2*n)*a*x^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((2 + m)/2, -n, (4 + m)/2, (4*a^2*x^2)/9))/(2 + m) + (2^(2 + n)*9^n*a^2*x^(3 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((3 + m)/2, -n, (5 + m)/2, (4*a^2*x^2)/9))/(3 + m), x, 8),
+(x^m*(3 - 2*a*x)^(n + 1)*(6 + 4*a*x)^n, (2^n*3^(1 + 2*n)*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -n, (3 + m)/2, (4*a^2*x^2)/9))/(1 + m) - (2^(1 + n)*9^n*a*x^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((2 + m)/2, -n, (4 + m)/2, (4*a^2*x^2)/9))/(2 + m), x, 5),
+(x^m*(3 - 2*a*x)^(n + 0)*(6 + 4*a*x)^n, (18^n*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -n, (3 + m)/2, (4*a^2*x^2)/9))/(1 + m), x, 2),
+(x^m*(3 - 2*a*x)^(n - 1)*(6 + 4*a*x)^n, (2^n*3^(-1 + 2*n)*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, 1 - n, (3 + m)/2, (4*a^2*x^2)/9))/(1 + m) + (2^(1 + n)*9^(-1 + n)*a*x^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((2 + m)/2, 1 - n, (4 + m)/2, (4*a^2*x^2)/9))/(2 + m), x, 5),
+(x^m*(3 - 2*a*x)^(n - 2)*(6 + 4*a*x)^n, (2^n*9^(-1 + n)*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, 2 - n, (3 + m)/2, (4*a^2*x^2)/9))/(1 + m) + (2^(2 + n)*3^(-3 + 2*n)*a*x^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((2 + m)/2, 2 - n, (4 + m)/2, (4*a^2*x^2)/9))/(2 + m) + (2^(2 + n)*9^(-2 + n)*a^2*x^(3 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((3 + m)/2, 2 - n, (5 + m)/2, (4*a^2*x^2)/9))/(3 + m), x, 8),
+
+
+(x^m*(a + b*x)^(n + 1)*(c + d*x)^n, (a*x^(1 + m)*(a + b*x)^n*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -1 - n, -n, 2 + m, -((b*x)/a), -((d*x)/c)))/((1 + (b*x)/a)^n*(1 + (d*x)/c)^n*(1 + m)), x, 3),
+
+
+((a - x)^m*(c + d*x)^n*(f*x)^p, ((a - x)^m*(f*x)^(1 + p)*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + p, -m, -n, 2 + p, x/a, -((d*x)/c)))/((1 - x/a)^m*(1 + (d*x)/c)^n*(f*(1 + p))), x, 3),
+
+
+((1 - x)^(p - 1//2)*((1 + x)^(p + 1//2)/(c*x)^(2*(p + 1))), -((4^(1 + p)*(1 - x)^(1//2 + p)*(x/(1 + x))^(2*(1 + p))*(1 + x)^(3//2 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2 + p, 2*(1 + p), 3//2 + p, (1 - x)/(1 + x)))/((c*x)^(2*(1 + p))*(1 + 2*p))), x, 1),
+
+
+((1 + x/a)^(n/2)/((1 - x/a)^(n/2)*x^2), -((4*(1 - x/a)^(1 - n/2)*(1 + x/a)^((1//2)*(-2 + n))*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 - n/2, 2 - n/2, (a - x)/(a + x)))/(a*(2 - n))), x, 1),
+
+
+((1 - a*x)^m*(1 + a*x)^m/(b*x)^(2*m + 2), -(((b*x)^(-1 - 2*m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1//2)*(-1 - 2*m), -m, (1//2)*(1 - 2*m), a^2*x^2))/(b*(1 + 2*m))), x, 2),
+
+
+((1 + a*x)^n/(x*(1 - a*x)^n), ((1 + a*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -n, 1 - n, (1 - a*x)/(1 + a*x)))/((1 - a*x)^n*n) - (2^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-n, -n, 1 - n, (1//2)*(1 - a*x)))/((1 - a*x)^n*n), x, 3),
+
+
+((1 - a*x)^(1 - n)*(1 + a*x)^(1 + n)/x^2, -((2*a*(1 - a*x)^(1 - n)*(1 + a*x)^(-1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 - n, 2 - n, (1 - a*x)/(1 + a*x)))/(1 - n)) + (2^n*a*(1 - a*x)^(1 - n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 - n, -n, 2 - n, (1//2)*(1 - a*x)))/(1 - n), x, 3),
+
+
+(x^2/((1 - a*x)^7*(1 + a*x)^4), -((1 - 3*a*x)/(24*a^3*(1 - a*x)^6*(1 + a*x)^3)), x, 1),
+(x^2/((1 - a*x)^11*(1 + a*x)^7), -((1 - 4*a*x)/(60*a^3*(1 - a*x)^10*(1 + a*x)^6)), x, 1),
+(x^2/((1 - a*x)^16*(1 + a*x)^11), -((1 - 5*a*x)/(120*a^3*(1 - a*x)^15*(1 + a*x)^10)), x, 1),
+(x^2/((1 - a*x)^((n*(n + 1))/2 + 1)*(1 + a*x)^((n*(n - 1))/2 + 1)), ((1 + a*x)^((1//2)*(1 - n)*n)*(1 - a*n*x))/((1 - a*x)^((1//2)*n*(1 + n))*(a^3*n*(1 - n^2))), x, 1),
+
+
+((a + b*x)^(1 + n)/((a - b*x)^n*x^1), ((a - b*x)^(1 - n)*(a + b*x)^n)/(2*n) - (a*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, n, 1 + n, (a + b*x)/(a - b*x)))/((a - b*x)^n*n) + (2^(-1 - n)*(1 + 2*n)*((a - b*x)/a)^n*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 1 + n, 2 + n, (a + b*x)/(2*a)))/((a - b*x)^n*(n*(1 + n))), x, 6),
+((a + b*x)^(1 + n)/((a - b*x)^n*x^2), -((a + b*x)^(1 + n)/((a - b*x)^n*x)) + (b*(1 + 2*n)*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -n, 1 - n, (a - b*x)/(a + b*x)))/((a - b*x)^n*n) - (2^n*b*(a + b*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-n, -n, 1 - n, (a - b*x)/(2*a)))/((a - b*x)^n*((a + b*x)/a)^n*n), x, 5),
+((a + b*x)^(1 + n)/((a - b*x)^n*x^3), -((4*b^2*(a - b*x)^(1 - n)*(a + b*x)^(-1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 - n, 2 - n, (a - b*x)/(a + b*x)))/(a*(1 - n))), x, 1),
+((a + b*x)^(1 + n)/((a - b*x)^n*x^4), -(((a - b*x)^(1 - n)*(a + b*x)^(2 + n))/(3*a^2*x^3)) - (4*b^3*(1 + 2*n)*(a - b*x)^(1 - n)*(a + b*x)^(-1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 - n, 2 - n, (a - b*x)/(a + b*x)))/(3*a^2*(1 - n)), x, 2),
+((a + b*x)^(1 + n)/((a - b*x)^n*x^5), -(((a - b*x)^(1 - n)*(a + b*x)^(2 + n))/(4*a^2*x^4)) - (b*(1 + 2*n)*(a - b*x)^(1 - n)*(a + b*x)^(2 + n))/(12*a^3*x^3) - (4*b^4*(1 + n + n^2)*(a - b*x)^(1 - n)*(a + b*x)^(-1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 - n, 2 - n, (a - b*x)/(a + b*x)))/(3*a^3*(1 - n)), x, 4),
+
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (A+B x) (d+e x)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# m>0
+
+
+((a + b*x)*(A + B*x)*(d + e*x)^4, ((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^3) - ((2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^3) + (b*B*(d + e*x)^7)/(7*e^3), x, 2),
+((a + b*x)*(A + B*x)*(d + e*x)^3, ((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(d + e*x)^4)/(4*e^3) - ((2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^3) + (b*B*(d + e*x)^6)/(6*e^3), x, 2),
+((a + b*x)*(A + B*x)*(d + e*x)^2, ((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(d + e*x)^3)/(3*e^3) - ((2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^4)/(4*e^3) + (b*B*(d + e*x)^5)/(5*e^3), x, 2),
+
+((a + b*x)*(A + B*x)*(d + e*x)^1, a*A*d*x + (1//2)*(A*b*d + a*B*d + a*A*e)*x^2 + (1//3)*(b*B*d + A*b*e + a*B*e)*x^3 + (1//4)*b*B*e*x^4, x, 2),
+((a + b*x)*(A + B*x)*(d + e*x)^0, a*A*x + ((A*b + a*B)*x^2)/2 + (b*B*x^3)/3, x, 2),
+
+(((a + b*x)*(A + B*x))/(d + e*x), -((b*(B*d - A*e)*x)/e^2) + (B*(a + b*x)^2)/(2*b*e) + ((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*log(d + e*x))/e^3, x, 2),
+(((a + b*x)*(A + B*x))/(d + e*x)^2, (b*B*x)/e^2 - ((b*d - a*e)*(B*d - A*e))/(e^3*(d + e*x)) - ((2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*log(d + e*x))/e^3, x, 2),
+(((a + b*x)*(A + B*x))/(d + e*x)^3, -(((b*d - a*e)*(B*d - A*e))/(2*e^3*(d + e*x)^2)) + (2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)/(e^3*(d + e*x)) + (b*B*log(d + e*x))/e^3, x, 2),
+
+(((a + b*x)*(A + B*x))/(d + e*x)^4, -(((b*d - a*e)*(B*d - A*e))/(3*e^3*(d + e*x)^3)) + (2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)/(2*e^3*(d + e*x)^2) - (b*B)/(e^3*(d + e*x)), x, 2),
+(((a + b*x)*(A + B*x))/(d + e*x)^5, -(((b*d - a*e)*(B*d - A*e))/(4*e^3*(d + e*x)^4)) + (2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)/(3*e^3*(d + e*x)^3) - (b*B)/(2*e^3*(d + e*x)^2), x, 2),
+(((a + b*x)*(A + B*x))/(d + e*x)^6, -(((b*d - a*e)*(B*d - A*e))/(5*e^3*(d + e*x)^5)) + (2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)/(4*e^3*(d + e*x)^4) - (b*B)/(3*e^3*(d + e*x)^3), x, 2),
+
+
+((a + b*x)^2*(A + B*x)*(d + e*x)^4, -(((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^4)) + ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^4) - (b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^4) + (b^2*B*(d + e*x)^8)/(8*e^4), x, 2),
+((a + b*x)^2*(A + B*x)*(d + e*x)^3, -(((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(d + e*x)^4)/(4*e^4)) + ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^4) - (b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^4) + (b^2*B*(d + e*x)^7)/(7*e^4), x, 2),
+((a + b*x)^2*(A + B*x)*(d + e*x)^2, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3)/(3*b^4) + ((b*d - a*e)*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^4)/(4*b^4) + (e*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^5)/(5*b^4) + (B*e^2*(a + b*x)^6)/(6*b^4), x, 2),
+
+((a + b*x)^2*(A + B*x)*(d + e*x)^1, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3)/(3*b^3) + ((b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^4)/(4*b^3) + (B*e*(a + b*x)^5)/(5*b^3), x, 2),
+((a + b*x)^2*(A + B*x)*(d + e*x)^0, ((A*b - a*B)*(a + b*x)^3)/(3*b^2) + (B*(a + b*x)^4)/(4*b^2), x, 2),
+
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/(d + e*x), (b*(b*d - a*e)*(B*d - A*e)*x)/e^3 - ((B*d - A*e)*(a + b*x)^2)/(2*e^2) + (B*(a + b*x)^3)/(3*b*e) - ((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/(d + e*x)^2, -((b*(2*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*x)/e^3) + (b^2*B*x^2)/(2*e^2) + ((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e))/(e^4*(d + e*x)) + ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/(d + e*x)^3, (b^2*B*x)/e^3 + ((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e))/(2*e^4*(d + e*x)^2) - ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e))/(e^4*(d + e*x)) - (b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/(d + e*x)^4, -(((B*d - A*e)*(a + b*x)^3)/(3*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^3)) - (B*(b*d - a*e)^2)/(2*e^4*(d + e*x)^2) + (2*b*B*(b*d - a*e))/(e^4*(d + e*x)) + (b^2*B*log(d + e*x))/e^4, x, 3),
+
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/(d + e*x)^5, -((B*d - A*e)*(a + b*x)^3)/(4*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^4) + ((3*b*B*d + A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^3)/(12*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^3), x, 2),
+
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/(d + e*x)^6, ((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e))/(5*e^4*(d + e*x)^5) - ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e))/(4*e^4*(d + e*x)^4) + (b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e))/(3*e^4*(d + e*x)^3) - (b^2*B)/(2*e^4*(d + e*x)^2), x, 2),
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/(d + e*x)^7, ((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e))/(6*e^4*(d + e*x)^6) - ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e))/(5*e^4*(d + e*x)^5) + (b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e))/(4*e^4*(d + e*x)^4) - (b^2*B)/(3*e^4*(d + e*x)^3), x, 2),
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/(d + e*x)^8, ((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e))/(7*e^4*(d + e*x)^7) - ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e))/(6*e^4*(d + e*x)^6) + (b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e))/(5*e^4*(d + e*x)^5) - (b^2*B)/(4*e^4*(d + e*x)^4), x, 2),
+
+
+((a + b*x)^3*(A + B*x)*(d + e*x)^5, ((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^5) - ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^5) + (3*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^8)/(8*e^5) - (b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^9)/(9*e^5) + (b^3*B*(d + e*x)^10)/(10*e^5), x, 2),
+((a + b*x)^3*(A + B*x)*(d + e*x)^4, ((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^5) - ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^5) + (3*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^5) - (b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^8)/(8*e^5) + (b^3*B*(d + e*x)^9)/(9*e^5), x, 2),
+((a + b*x)^3*(A + B*x)*(d + e*x)^3, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^4)/(4*b^5) + ((b*d - a*e)^2*(b*B*d + 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^5)/(5*b^5) + (e*(b*d - a*e)*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^6)/(2*b^5) + (e^2*(3*b*B*d + A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^7)/(7*b^5) + (B*e^3*(a + b*x)^8)/(8*b^5), x, 2),
+
+((a + b*x)^3*(A + B*x)*(d + e*x)^2, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^4)/(4*b^4) + ((b*d - a*e)*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^5)/(5*b^4) + (e*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^6)/(6*b^4) + (B*e^2*(a + b*x)^7)/(7*b^4), x, 2),
+((a + b*x)^3*(A + B*x)*(d + e*x)^1, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)*(a + b*x)^4)/(4*b^3) + ((b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^5)/(5*b^3) + (B*e*(a + b*x)^6)/(6*b^3), x, 2),
+((a + b*x)^3*(A + B*x)*(d + e*x)^0, ((A*b - a*B)*(a + b*x)^4)/(4*b^2) + (B*(a + b*x)^5)/(5*b^2), x, 2),
+
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/(d + e*x), -((b*(b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*x)/e^4) + ((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(a + b*x)^2)/(2*e^3) - ((B*d - A*e)*(a + b*x)^3)/(3*e^2) + (B*(a + b*x)^4)/(4*b*e) + ((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/(d + e*x)^2, (3*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*x)/e^4 - ((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e))/(e^5*(d + e*x)) - (b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^2)/(2*e^5) + (b^3*B*(d + e*x)^3)/(3*e^5) - ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/(d + e*x)^3, -((b^2*(3*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*x)/e^4) + (b^3*B*x^2)/(2*e^3) - ((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e))/(2*e^5*(d + e*x)^2) + ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e))/(e^5*(d + e*x)) + (3*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/(d + e*x)^4, (b^3*B*x)/e^4 - ((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e))/(3*e^5*(d + e*x)^3) + ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e))/(2*e^5*(d + e*x)^2) - (3*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e))/(e^5*(d + e*x)) - (b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/(d + e*x)^5, -(((B*d - A*e)*(a + b*x)^4)/(4*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^4)) + (B*(b*d - a*e)^3)/(3*e^5*(d + e*x)^3) - (3*b*B*(b*d - a*e)^2)/(2*e^5*(d + e*x)^2) + (3*b^2*B*(b*d - a*e))/(e^5*(d + e*x)) + (b^3*B*log(d + e*x))/e^5, x, 3),
+
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/(d + e*x)^6, -(((B*d - A*e)*(a + b*x)^4)/(5*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^5)) + ((4*b*B*d + A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^4)/(20*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^4), x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/(d + e*x)^7, -(((B*d - A*e)*(a + b*x)^4)/(6*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^6)) + ((2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^4)/(15*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^5) + (b*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^4)/(60*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^4), x, 3),
+
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/(d + e*x)^8, -(((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e))/(7*e^5*(d + e*x)^7)) + ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e))/(6*e^5*(d + e*x)^6) - (3*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e))/(5*e^5*(d + e*x)^5) + (b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e))/(4*e^5*(d + e*x)^4) - (b^3*B)/(3*e^5*(d + e*x)^3), x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/(d + e*x)^9, -(((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e))/(8*e^5*(d + e*x)^8)) + ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e))/(7*e^5*(d + e*x)^7) - (b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e))/(2*e^5*(d + e*x)^6) + (b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e))/(5*e^5*(d + e*x)^5) - (b^3*B)/(4*e^5*(d + e*x)^4), x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/(d + e*x)^10, -(((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e))/(9*e^5*(d + e*x)^9)) + ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e))/(8*e^5*(d + e*x)^8) - (3*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e))/(7*e^5*(d + e*x)^7) + (b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e))/(6*e^5*(d + e*x)^6) - (b^3*B)/(5*e^5*(d + e*x)^5), x, 2),
+
+
+((a + b*x)^6*(A + B*x)*(d + e*x)^8, -((b*d - a*e)^6*(B*d - A*e)*(d + e*x)^9)/(9*e^8) + ((b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^10)/(10*e^8) - (3*b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^11)/(11*e^8) + (5*b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^12)/(12*e^8) - (5*b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^13)/(13*e^8) + (3*b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^14)/(14*e^8) - (b^5*(7*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^15)/(15*e^8) + (b^6*B*(d + e*x)^16)/(16*e^8), x, 2),
+((a + b*x)^6*(A + B*x)*(d + e*x)^7, -((b*d - a*e)^6*(B*d - A*e)*(d + e*x)^8)/(8*e^8) + ((b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^9)/(9*e^8) - (3*b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^10)/(10*e^8) + (5*b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^11)/(11*e^8) - (5*b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^12)/(12*e^8) + (3*b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^13)/(13*e^8) - (b^5*(7*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^14)/(14*e^8) + (b^6*B*(d + e*x)^15)/(15*e^8), x, 2),
+((a + b*x)^6*(A + B*x)*(d + e*x)^6, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^6*(a + b*x)^7)/(7*b^8) + ((b*d - a*e)^5*(b*B*d + 6*A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)^8)/(8*b^8) + (e*(b*d - a*e)^4*(2*b*B*d + 5*A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)^9)/(3*b^8) + (e^2*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d + 4*A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)^10)/(2*b^8) + (5*e^3*(b*d - a*e)^2*(4*b*B*d + 3*A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(11*b^8) + (e^4*(b*d - a*e)*(5*b*B*d + 2*A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)^12)/(4*b^8) + (e^5*(6*b*B*d + A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)^13)/(13*b^8) + (B*e^6*(a + b*x)^14)/(14*b^8), x, 2),
+
+((a + b*x)^6*(A + B*x)*(d + e*x)^5, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^5*(a + b*x)^7)/(7*b^7) + ((b*d - a*e)^4*(b*B*d + 5*A*b*e - 6*a*B*e)*(a + b*x)^8)/(8*b^7) + (5*e*(b*d - a*e)^3*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^9)/(9*b^7) + (e^2*(b*d - a*e)^2*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^10)/b^7 + (5*e^3*(b*d - a*e)*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(11*b^7) + (e^4*(5*b*B*d + A*b*e - 6*a*B*e)*(a + b*x)^12)/(12*b^7) + (B*e^5*(a + b*x)^13)/(13*b^7), x, 2),
+((a + b*x)^6*(A + B*x)*(d + e*x)^4, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^7)/(7*b^6) + ((b*d - a*e)^3*(b*B*d + 4*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^8)/(8*b^6) + (2*e*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d + 3*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^9)/(9*b^6) + (e^2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d + 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^10)/(5*b^6) + (e^3*(4*b*B*d + A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(11*b^6) + (B*e^4*(a + b*x)^12)/(12*b^6), x, 2),
+((a + b*x)^6*(A + B*x)*(d + e*x)^3, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^7)/(7*b^5) + ((b*d - a*e)^2*(b*B*d + 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^8)/(8*b^5) + (e*(b*d - a*e)*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^9)/(3*b^5) + (e^2*(3*b*B*d + A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^10)/(10*b^5) + (B*e^3*(a + b*x)^11)/(11*b^5), x, 2),
+((a + b*x)^6*(A + B*x)*(d + e*x)^2, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^7)/(7*b^4) + ((b*d - a*e)*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^8)/(8*b^4) + (e*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^9)/(9*b^4) + (B*e^2*(a + b*x)^10)/(10*b^4), x, 2),
+((a + b*x)^6*(A + B*x)*(d + e*x), ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)*(a + b*x)^7)/(7*b^3) + ((b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^8)/(8*b^3) + (B*e*(a + b*x)^9)/(9*b^3), x, 2),
+((a + b*x)^6*(A + B*x), ((A*b - a*B)*(a + b*x)^7)/(7*b^2) + (B*(a + b*x)^8)/(8*b^2), x, 2),
+
+(((a + b*x)^6*(A + B*x))/(d + e*x), (b*(b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*x)/e^7 - ((b*d - a*e)^4*(B*d - A*e)*(a + b*x)^2)/(2*e^6) + ((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*(a + b*x)^3)/(3*e^5) - ((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^4)/(4*e^4) + ((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(a + b*x)^5)/(5*e^3) - ((B*d - A*e)*(a + b*x)^6)/(6*e^2) + (B*(a + b*x)^7)/(7*b*e) - ((b*d - a*e)^6*(B*d - A*e)*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((a + b*x)^6*(A + B*x))/(d + e*x)^2, -((3*b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e)*x)/e^7) + ((b*d - a*e)^6*(B*d - A*e))/(e^8*(d + e*x)) + (5*b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^2)/(2*e^8) - (5*b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^3)/(3*e^8) + (3*b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^4)/(4*e^8) - (b^5*(7*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^8) + (b^6*B*(d + e*x)^6)/(6*e^8) + ((b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e)*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((a + b*x)^6*(A + B*x))/(d + e*x)^3, (5*b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e)*x)/e^7 + ((b*d - a*e)^6*(B*d - A*e))/(2*e^8*(d + e*x)^2) - ((b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e))/(e^8*(d + e*x)) - (5*b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^2)/(2*e^8) + (b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^3)/e^8 - (b^5*(7*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^4)/(4*e^8) + (b^6*B*(d + e*x)^5)/(5*e^8) - (3*b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e)*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((a + b*x)^6*(A + B*x))/(d + e*x)^4, -((5*b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e)*x)/e^7) + ((b*d - a*e)^6*(B*d - A*e))/(3*e^8*(d + e*x)^3) - ((b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e))/(2*e^8*(d + e*x)^2) + (3*b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e))/(e^8*(d + e*x)) + (3*b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^2)/(2*e^8) - (b^5*(7*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^3)/(3*e^8) + (b^6*B*(d + e*x)^4)/(4*e^8) + (5*b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e)*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((a + b*x)^6*(A + B*x))/(d + e*x)^5, (3*b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*x)/e^7 + ((b*d - a*e)^6*(B*d - A*e))/(4*e^8*(d + e*x)^4) - ((b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e))/(3*e^8*(d + e*x)^3) + (3*b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e))/(2*e^8*(d + e*x)^2) - (5*b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e))/(e^8*(d + e*x)) - (b^5*(7*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^2)/(2*e^8) + (b^6*B*(d + e*x)^3)/(3*e^8) - (5*b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e)*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((a + b*x)^6*(A + B*x))/(d + e*x)^6, -((b^5*(6*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e)*x)/e^7) + (b^6*B*x^2)/(2*e^6) + ((b*d - a*e)^6*(B*d - A*e))/(5*e^8*(d + e*x)^5) - ((b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e))/(4*e^8*(d + e*x)^4) + (b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e))/(e^8*(d + e*x)^3) - (5*b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e))/(2*e^8*(d + e*x)^2) + (5*b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e))/(e^8*(d + e*x)) + (3*b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((a + b*x)^6*(A + B*x))/(d + e*x)^7, (b^6*B*x)/e^7 + ((b*d - a*e)^6*(B*d - A*e))/(6*e^8*(d + e*x)^6) - ((b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e))/(5*e^8*(d + e*x)^5) + (3*b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e))/(4*e^8*(d + e*x)^4) - (5*b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e))/(3*e^8*(d + e*x)^3) + (5*b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e))/(2*e^8*(d + e*x)^2) - (3*b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e))/(e^8*(d + e*x)) - (b^5*(7*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e)*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((a + b*x)^6*(A + B*x))/(d + e*x)^8, -(((B*d - A*e)*(a + b*x)^7)/(7*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^7)) - (B*(b*d - a*e)^6)/(6*e^8*(d + e*x)^6) + (6*b*B*(b*d - a*e)^5)/(5*e^8*(d + e*x)^5) - (15*b^2*B*(b*d - a*e)^4)/(4*e^8*(d + e*x)^4) + (20*b^3*B*(b*d - a*e)^3)/(3*e^8*(d + e*x)^3) - (15*b^4*B*(b*d - a*e)^2)/(2*e^8*(d + e*x)^2) + (6*b^5*B*(b*d - a*e))/(e^8*(d + e*x)) + (b^6*B*log(d + e*x))/e^8, x, 3),
+
+(((a + b*x)^6*(A + B*x))/(d + e*x)^9, -((B*d - A*e)*(a + b*x)^7)/(8*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^8) + ((7*b*B*d + A*b*e - 8*a*B*e)*(a + b*x)^7)/(56*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^7), x, 2),
+(((a + b*x)^6*(A + B*x))/(d + e*x)^10, -((B*d - A*e)*(a + b*x)^7)/(9*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^9) + ((7*b*B*d + 2*A*b*e - 9*a*B*e)*(a + b*x)^7)/(72*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^8) + (b*(7*b*B*d + 2*A*b*e - 9*a*B*e)*(a + b*x)^7)/(504*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^7), x, 3),
+(((a + b*x)^6*(A + B*x))/(d + e*x)^11, -((B*d - A*e)*(a + b*x)^7)/(10*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^10) + ((7*b*B*d + 3*A*b*e - 10*a*B*e)*(a + b*x)^7)/(90*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^9) + (b*(7*b*B*d + 3*A*b*e - 10*a*B*e)*(a + b*x)^7)/(360*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^8) + (b^2*(7*b*B*d + 3*A*b*e - 10*a*B*e)*(a + b*x)^7)/(2520*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^7), x, 4),
+(((a + b*x)^6*(A + B*x))/(d + e*x)^12, -((B*d - A*e)*(a + b*x)^7)/(11*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^11) + ((7*b*B*d + 4*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^7)/(110*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^10) + (b*(7*b*B*d + 4*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^7)/(330*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^9) + (b^2*(7*b*B*d + 4*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^7)/(1320*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^8) + (b^3*(7*b*B*d + 4*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^7)/(9240*e*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^7), x, 5),
+
+(((a + b*x)^6*(A + B*x))/(d + e*x)^13, ((b*d - a*e)^6*(B*d - A*e))/(12*e^8*(d + e*x)^12) - ((b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e))/(11*e^8*(d + e*x)^11) + (3*b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e))/(10*e^8*(d + e*x)^10) - (5*b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e))/(9*e^8*(d + e*x)^9) + (5*b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e))/(8*e^8*(d + e*x)^8) - (3*b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e))/(7*e^8*(d + e*x)^7) + (b^5*(7*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e))/(6*e^8*(d + e*x)^6) - (b^6*B)/(5*e^8*(d + e*x)^5), x, 2),
+(((a + b*x)^6*(A + B*x))/(d + e*x)^14, ((b*d - a*e)^6*(B*d - A*e))/(13*e^8*(d + e*x)^13) - ((b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e))/(12*e^8*(d + e*x)^12) + (3*b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e))/(11*e^8*(d + e*x)^11) - (b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e))/(2*e^8*(d + e*x)^10) + (5*b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e))/(9*e^8*(d + e*x)^9) - (3*b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e))/(8*e^8*(d + e*x)^8) + (b^5*(7*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e))/(7*e^8*(d + e*x)^7) - (b^6*B)/(6*e^8*(d + e*x)^6), x, 2),
+(((a + b*x)^6*(A + B*x))/(d + e*x)^15, ((b*d - a*e)^6*(B*d - A*e))/(14*e^8*(d + e*x)^14) - ((b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e))/(13*e^8*(d + e*x)^13) + (b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e))/(4*e^8*(d + e*x)^12) - (5*b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e))/(11*e^8*(d + e*x)^11) + (b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e))/(2*e^8*(d + e*x)^10) - (b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e))/(3*e^8*(d + e*x)^9) + (b^5*(7*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e))/(8*e^8*(d + e*x)^8) - (b^6*B)/(7*e^8*(d + e*x)^7), x, 2),
+
+
+((a + b*x)^10*(A + B*x)*(d + e*x)^13, -(((b*d - a*e)^10*(B*d - A*e)*(d + e*x)^14)/(14*e^12)) + ((b*d - a*e)^9*(11*b*B*d - 10*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^15)/(15*e^12) - (5*b*(b*d - a*e)^8*(11*b*B*d - 9*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^16)/(16*e^12) + (15*b^2*(b*d - a*e)^7*(11*b*B*d - 8*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^17)/(17*e^12) - (5*b^3*(b*d - a*e)^6*(11*b*B*d - 7*A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^18)/(3*e^12) + (42*b^4*(b*d - a*e)^5*(11*b*B*d - 6*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^19)/(19*e^12) - (21*b^5*(b*d - a*e)^4*(11*b*B*d - 5*A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^20)/(10*e^12) + (10*b^6*(b*d - a*e)^3*(11*b*B*d - 4*A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^21)/(7*e^12) - (15*b^7*(b*d - a*e)^2*(11*b*B*d - 3*A*b*e - 8*a*B*e)*(d + e*x)^22)/(22*e^12) + (5*b^8*(b*d - a*e)*(11*b*B*d - 2*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^23)/(23*e^12) - (b^9*(11*b*B*d - A*b*e - 10*a*B*e)*(d + e*x)^24)/(24*e^12) + (b^10*B*(d + e*x)^25)/(25*e^12), x, 2),
+((a + b*x)^10*(A + B*x)*(d + e*x)^12, -(((b*d - a*e)^10*(B*d - A*e)*(d + e*x)^13)/(13*e^12)) + ((b*d - a*e)^9*(11*b*B*d - 10*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^14)/(14*e^12) - (b*(b*d - a*e)^8*(11*b*B*d - 9*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^15)/(3*e^12) + (15*b^2*(b*d - a*e)^7*(11*b*B*d - 8*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^16)/(16*e^12) - (30*b^3*(b*d - a*e)^6*(11*b*B*d - 7*A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^17)/(17*e^12) + (7*b^4*(b*d - a*e)^5*(11*b*B*d - 6*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^18)/(3*e^12) - (42*b^5*(b*d - a*e)^4*(11*b*B*d - 5*A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^19)/(19*e^12) + (3*b^6*(b*d - a*e)^3*(11*b*B*d - 4*A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^20)/(2*e^12) - (5*b^7*(b*d - a*e)^2*(11*b*B*d - 3*A*b*e - 8*a*B*e)*(d + e*x)^21)/(7*e^12) + (5*b^8*(b*d - a*e)*(11*b*B*d - 2*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^22)/(22*e^12) - (b^9*(11*b*B*d - A*b*e - 10*a*B*e)*(d + e*x)^23)/(23*e^12) + (b^10*B*(d + e*x)^24)/(24*e^12), x, 2),
+((a + b*x)^10*(A + B*x)*(d + e*x)^11, -(((b*d - a*e)^10*(B*d - A*e)*(d + e*x)^12)/(12*e^12)) + ((b*d - a*e)^9*(11*b*B*d - 10*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^13)/(13*e^12) - (5*b*(b*d - a*e)^8*(11*b*B*d - 9*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^14)/(14*e^12) + (b^2*(b*d - a*e)^7*(11*b*B*d - 8*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^15)/e^12 - (15*b^3*(b*d - a*e)^6*(11*b*B*d - 7*A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^16)/(8*e^12) + (42*b^4*(b*d - a*e)^5*(11*b*B*d - 6*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^17)/(17*e^12) - (7*b^5*(b*d - a*e)^4*(11*b*B*d - 5*A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^18)/(3*e^12) + (30*b^6*(b*d - a*e)^3*(11*b*B*d - 4*A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^19)/(19*e^12) - (3*b^7*(b*d - a*e)^2*(11*b*B*d - 3*A*b*e - 8*a*B*e)*(d + e*x)^20)/(4*e^12) + (5*b^8*(b*d - a*e)*(11*b*B*d - 2*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^21)/(21*e^12) - (b^9*(11*b*B*d - A*b*e - 10*a*B*e)*(d + e*x)^22)/(22*e^12) + (b^10*B*(d + e*x)^23)/(23*e^12), x, 2),
+((a + b*x)^10*(A + B*x)*(d + e*x)^10, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^10*(a + b*x)^11)/(11*b^12) + ((b*d - a*e)^9*(b*B*d + 10*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^12)/(12*b^12) + (5*e*(b*d - a*e)^8*(2*b*B*d + 9*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^13)/(13*b^12) + (15*e^2*(b*d - a*e)^7*(3*b*B*d + 8*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^14)/(14*b^12) + (2*e^3*(b*d - a*e)^6*(4*b*B*d + 7*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^15)/b^12 + (21*e^4*(b*d - a*e)^5*(5*b*B*d + 6*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^16)/(8*b^12) + (42*e^5*(b*d - a*e)^4*(6*b*B*d + 5*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^17)/(17*b^12) + (5*e^6*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d + 4*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^18)/(3*b^12) + (15*e^7*(b*d - a*e)^2*(8*b*B*d + 3*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^19)/(19*b^12) + (e^8*(b*d - a*e)*(9*b*B*d + 2*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^20)/(4*b^12) + (e^9*(10*b*B*d + A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^21)/(21*b^12) + (B*e^10*(a + b*x)^22)/(22*b^12), x, 2),
+
+((a + b*x)^10*(A + B*x)*(d + e*x)^9, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^9*(a + b*x)^11)/(11*b^11) + ((b*d - a*e)^8*(b*B*d + 9*A*b*e - 10*a*B*e)*(a + b*x)^12)/(12*b^11) + (9*e*(b*d - a*e)^7*(b*B*d + 4*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^13)/(13*b^11) + (6*e^2*(b*d - a*e)^6*(3*b*B*d + 7*A*b*e - 10*a*B*e)*(a + b*x)^14)/(7*b^11) + (14*e^3*(b*d - a*e)^5*(2*b*B*d + 3*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^15)/(5*b^11) + (63*e^4*(b*d - a*e)^4*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^16)/(8*b^11) + (42*e^5*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d + 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^17)/(17*b^11) + (2*e^6*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d + 3*A*b*e - 10*a*B*e)*(a + b*x)^18)/(3*b^11) + (9*e^7*(b*d - a*e)*(4*b*B*d + A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^19)/(19*b^11) + (e^8*(9*b*B*d + A*b*e - 10*a*B*e)*(a + b*x)^20)/(20*b^11) + (B*e^9*(a + b*x)^21)/(21*b^11), x, 2),
+((a + b*x)^10*(A + B*x)*(d + e*x)^8, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^8*(a + b*x)^11)/(11*b^10) + ((b*d - a*e)^7*(b*B*d + 8*A*b*e - 9*a*B*e)*(a + b*x)^12)/(12*b^10) + (4*e*(b*d - a*e)^6*(2*b*B*d + 7*A*b*e - 9*a*B*e)*(a + b*x)^13)/(13*b^10) + (2*e^2*(b*d - a*e)^5*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^14)/b^10 + (14*e^3*(b*d - a*e)^4*(4*b*B*d + 5*A*b*e - 9*a*B*e)*(a + b*x)^15)/(15*b^10) + (7*e^4*(b*d - a*e)^3*(5*b*B*d + 4*A*b*e - 9*a*B*e)*(a + b*x)^16)/(8*b^10) + (28*e^5*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^17)/(17*b^10) + (2*e^6*(b*d - a*e)*(7*b*B*d + 2*A*b*e - 9*a*B*e)*(a + b*x)^18)/(9*b^10) + (e^7*(8*b*B*d + A*b*e - 9*a*B*e)*(a + b*x)^19)/(19*b^10) + (B*e^8*(a + b*x)^20)/(20*b^10), x, 2),
+((a + b*x)^10*(A + B*x)*(d + e*x)^7, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^7*(a + b*x)^11)/(11*b^9) + ((b*d - a*e)^6*(b*B*d + 7*A*b*e - 8*a*B*e)*(a + b*x)^12)/(12*b^9) + (7*e*(b*d - a*e)^5*(b*B*d + 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^13)/(13*b^9) + (e^2*(b*d - a*e)^4*(3*b*B*d + 5*A*b*e - 8*a*B*e)*(a + b*x)^14)/(2*b^9) + (7*e^3*(b*d - a*e)^3*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^15)/(3*b^9) + (7*e^4*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d + 3*A*b*e - 8*a*B*e)*(a + b*x)^16)/(16*b^9) + (7*e^5*(b*d - a*e)*(3*b*B*d + A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^17)/(17*b^9) + (e^6*(7*b*B*d + A*b*e - 8*a*B*e)*(a + b*x)^18)/(18*b^9) + (B*e^7*(a + b*x)^19)/(19*b^9), x, 2),
+((a + b*x)^10*(A + B*x)*(d + e*x)^6, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^6*(a + b*x)^11)/(11*b^8) + ((b*d - a*e)^5*(b*B*d + 6*A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)^12)/(12*b^8) + (3*e*(b*d - a*e)^4*(2*b*B*d + 5*A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)^13)/(13*b^8) + (5*e^2*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d + 4*A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)^14)/(14*b^8) + (e^3*(b*d - a*e)^2*(4*b*B*d + 3*A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)^15)/(3*b^8) + (3*e^4*(b*d - a*e)*(5*b*B*d + 2*A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)^16)/(16*b^8) + (e^5*(6*b*B*d + A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)^17)/(17*b^8) + (B*e^6*(a + b*x)^18)/(18*b^8), x, 2),
+((a + b*x)^10*(A + B*x)*(d + e*x)^5, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^5*(a + b*x)^11)/(11*b^7) + ((b*d - a*e)^4*(b*B*d + 5*A*b*e - 6*a*B*e)*(a + b*x)^12)/(12*b^7) + (5*e*(b*d - a*e)^3*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^13)/(13*b^7) + (5*e^2*(b*d - a*e)^2*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^14)/(7*b^7) + (e^3*(b*d - a*e)*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^15)/(3*b^7) + (e^4*(5*b*B*d + A*b*e - 6*a*B*e)*(a + b*x)^16)/(16*b^7) + (B*e^5*(a + b*x)^17)/(17*b^7), x, 2),
+((a + b*x)^10*(A + B*x)*(d + e*x)^4, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^11)/(11*b^6) + ((b*d - a*e)^3*(b*B*d + 4*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^12)/(12*b^6) + (2*e*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d + 3*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^13)/(13*b^6) + (e^2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d + 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^14)/(7*b^6) + (e^3*(4*b*B*d + A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^15)/(15*b^6) + (B*e^4*(a + b*x)^16)/(16*b^6), x, 2),
+((a + b*x)^10*(A + B*x)*(d + e*x)^3, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^11)/(11*b^5) + ((b*d - a*e)^2*(b*B*d + 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^12)/(12*b^5) + (3*e*(b*d - a*e)*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^13)/(13*b^5) + (e^2*(3*b*B*d + A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^14)/(14*b^5) + (B*e^3*(a + b*x)^15)/(15*b^5), x, 2),
+((a + b*x)^10*(A + B*x)*(d + e*x)^2, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^11)/(11*b^4) + ((b*d - a*e)*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^12)/(12*b^4) + (e*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^13)/(13*b^4) + (B*e^2*(a + b*x)^14)/(14*b^4), x, 2),
+((a + b*x)^10*(A + B*x)*(d + e*x), ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)*(a + b*x)^11)/(11*b^3) + ((b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^12)/(12*b^3) + (B*e*(a + b*x)^13)/(13*b^3), x, 2),
+((a + b*x)^10*(A + B*x), ((A*b - a*B)*(a + b*x)^11)/(11*b^2) + (B*(a + b*x)^12)/(12*b^2), x, 2),
+
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x), (b*(b*d - a*e)^9*(B*d - A*e)*x)/e^11 - ((b*d - a*e)^8*(B*d - A*e)*(a + b*x)^2)/(2*e^10) + ((b*d - a*e)^7*(B*d - A*e)*(a + b*x)^3)/(3*e^9) - ((b*d - a*e)^6*(B*d - A*e)*(a + b*x)^4)/(4*e^8) + ((b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*(a + b*x)^5)/(5*e^7) - ((b*d - a*e)^4*(B*d - A*e)*(a + b*x)^6)/(6*e^6) + ((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*(a + b*x)^7)/(7*e^5) - ((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^8)/(8*e^4) + ((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(a + b*x)^9)/(9*e^3) - ((B*d - A*e)*(a + b*x)^10)/(10*e^2) + (B*(a + b*x)^11)/(11*b*e) - ((b*d - a*e)^10*(B*d - A*e)*log(d + e*x))/e^12, x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^2, -((5*b*(b*d - a*e)^8*(11*b*B*d - 9*A*b*e - 2*a*B*e)*x)/e^11) + ((b*d - a*e)^10*(B*d - A*e))/(e^12*(d + e*x)) + (15*b^2*(b*d - a*e)^7*(11*b*B*d - 8*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^2)/(2*e^12) - (10*b^3*(b*d - a*e)^6*(11*b*B*d - 7*A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^3)/e^12 + (21*b^4*(b*d - a*e)^5*(11*b*B*d - 6*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^4)/(2*e^12) - (42*b^5*(b*d - a*e)^4*(11*b*B*d - 5*A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^12) + (5*b^6*(b*d - a*e)^3*(11*b*B*d - 4*A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^6)/e^12 - (15*b^7*(b*d - a*e)^2*(11*b*B*d - 3*A*b*e - 8*a*B*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^12) + (5*b^8*(b*d - a*e)*(11*b*B*d - 2*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^8)/(8*e^12) - (b^9*(11*b*B*d - A*b*e - 10*a*B*e)*(d + e*x)^9)/(9*e^12) + (b^10*B*(d + e*x)^10)/(10*e^12) + ((b*d - a*e)^9*(11*b*B*d - 10*A*b*e - a*B*e)*log(d + e*x))/e^12, x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^3, (15*b^2*(b*d - a*e)^7*(11*b*B*d - 8*A*b*e - 3*a*B*e)*x)/e^11 + ((b*d - a*e)^10*(B*d - A*e))/(2*e^12*(d + e*x)^2) - ((b*d - a*e)^9*(11*b*B*d - 10*A*b*e - a*B*e))/(e^12*(d + e*x)) - (15*b^3*(b*d - a*e)^6*(11*b*B*d - 7*A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^2)/e^12 + (14*b^4*(b*d - a*e)^5*(11*b*B*d - 6*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^3)/e^12 - (21*b^5*(b*d - a*e)^4*(11*b*B*d - 5*A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^4)/(2*e^12) + (6*b^6*(b*d - a*e)^3*(11*b*B*d - 4*A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^5)/e^12 - (5*b^7*(b*d - a*e)^2*(11*b*B*d - 3*A*b*e - 8*a*B*e)*(d + e*x)^6)/(2*e^12) + (5*b^8*(b*d - a*e)*(11*b*B*d - 2*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^12) - (b^9*(11*b*B*d - A*b*e - 10*a*B*e)*(d + e*x)^8)/(8*e^12) + (b^10*B*(d + e*x)^9)/(9*e^12) - (5*b*(b*d - a*e)^8*(11*b*B*d - 9*A*b*e - 2*a*B*e)*log(d + e*x))/e^12, x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^4, -((30*b^3*(b*d - a*e)^6*(11*b*B*d - 7*A*b*e - 4*a*B*e)*x)/e^11) + ((b*d - a*e)^10*(B*d - A*e))/(3*e^12*(d + e*x)^3) - ((b*d - a*e)^9*(11*b*B*d - 10*A*b*e - a*B*e))/(2*e^12*(d + e*x)^2) + (5*b*(b*d - a*e)^8*(11*b*B*d - 9*A*b*e - 2*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)) + (21*b^4*(b*d - a*e)^5*(11*b*B*d - 6*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^2)/e^12 - (14*b^5*(b*d - a*e)^4*(11*b*B*d - 5*A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^3)/e^12 + (15*b^6*(b*d - a*e)^3*(11*b*B*d - 4*A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^4)/(2*e^12) - (3*b^7*(b*d - a*e)^2*(11*b*B*d - 3*A*b*e - 8*a*B*e)*(d + e*x)^5)/e^12 + (5*b^8*(b*d - a*e)*(11*b*B*d - 2*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^12) - (b^9*(11*b*B*d - A*b*e - 10*a*B*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^12) + (b^10*B*(d + e*x)^8)/(8*e^12) + (15*b^2*(b*d - a*e)^7*(11*b*B*d - 8*A*b*e - 3*a*B*e)*log(d + e*x))/e^12, x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^5, (42*b^4*(b*d - a*e)^5*(11*b*B*d - 6*A*b*e - 5*a*B*e)*x)/e^11 + ((b*d - a*e)^10*(B*d - A*e))/(4*e^12*(d + e*x)^4) - ((b*d - a*e)^9*(11*b*B*d - 10*A*b*e - a*B*e))/(3*e^12*(d + e*x)^3) + (5*b*(b*d - a*e)^8*(11*b*B*d - 9*A*b*e - 2*a*B*e))/(2*e^12*(d + e*x)^2) - (15*b^2*(b*d - a*e)^7*(11*b*B*d - 8*A*b*e - 3*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)) - (21*b^5*(b*d - a*e)^4*(11*b*B*d - 5*A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^2)/e^12 + (10*b^6*(b*d - a*e)^3*(11*b*B*d - 4*A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^3)/e^12 - (15*b^7*(b*d - a*e)^2*(11*b*B*d - 3*A*b*e - 8*a*B*e)*(d + e*x)^4)/(4*e^12) + (b^8*(b*d - a*e)*(11*b*B*d - 2*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^5)/e^12 - (b^9*(11*b*B*d - A*b*e - 10*a*B*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^12) + (b^10*B*(d + e*x)^7)/(7*e^12) - (30*b^3*(b*d - a*e)^6*(11*b*B*d - 7*A*b*e - 4*a*B*e)*log(d + e*x))/e^12, x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^6, -((42*b^5*(b*d - a*e)^4*(11*b*B*d - 5*A*b*e - 6*a*B*e)*x)/e^11) + ((b*d - a*e)^10*(B*d - A*e))/(5*e^12*(d + e*x)^5) - ((b*d - a*e)^9*(11*b*B*d - 10*A*b*e - a*B*e))/(4*e^12*(d + e*x)^4) + (5*b*(b*d - a*e)^8*(11*b*B*d - 9*A*b*e - 2*a*B*e))/(3*e^12*(d + e*x)^3) - (15*b^2*(b*d - a*e)^7*(11*b*B*d - 8*A*b*e - 3*a*B*e))/(2*e^12*(d + e*x)^2) + (30*b^3*(b*d - a*e)^6*(11*b*B*d - 7*A*b*e - 4*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)) + (15*b^6*(b*d - a*e)^3*(11*b*B*d - 4*A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^2)/e^12 - (5*b^7*(b*d - a*e)^2*(11*b*B*d - 3*A*b*e - 8*a*B*e)*(d + e*x)^3)/e^12 + (5*b^8*(b*d - a*e)*(11*b*B*d - 2*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^4)/(4*e^12) - (b^9*(11*b*B*d - A*b*e - 10*a*B*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^12) + (b^10*B*(d + e*x)^6)/(6*e^12) + (42*b^4*(b*d - a*e)^5*(11*b*B*d - 6*A*b*e - 5*a*B*e)*log(d + e*x))/e^12, x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^7, (30*b^6*(b*d - a*e)^3*(11*b*B*d - 4*A*b*e - 7*a*B*e)*x)/e^11 + ((b*d - a*e)^10*(B*d - A*e))/(6*e^12*(d + e*x)^6) - ((b*d - a*e)^9*(11*b*B*d - 10*A*b*e - a*B*e))/(5*e^12*(d + e*x)^5) + (5*b*(b*d - a*e)^8*(11*b*B*d - 9*A*b*e - 2*a*B*e))/(4*e^12*(d + e*x)^4) - (5*b^2*(b*d - a*e)^7*(11*b*B*d - 8*A*b*e - 3*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)^3) + (15*b^3*(b*d - a*e)^6*(11*b*B*d - 7*A*b*e - 4*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)^2) - (42*b^4*(b*d - a*e)^5*(11*b*B*d - 6*A*b*e - 5*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)) - (15*b^7*(b*d - a*e)^2*(11*b*B*d - 3*A*b*e - 8*a*B*e)*(d + e*x)^2)/(2*e^12) + (5*b^8*(b*d - a*e)*(11*b*B*d - 2*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^3)/(3*e^12) - (b^9*(11*b*B*d - A*b*e - 10*a*B*e)*(d + e*x)^4)/(4*e^12) + (b^10*B*(d + e*x)^5)/(5*e^12) - (42*b^5*(b*d - a*e)^4*(11*b*B*d - 5*A*b*e - 6*a*B*e)*log(d + e*x))/e^12, x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^8, -((15*b^7*(b*d - a*e)^2*(11*b*B*d - 3*A*b*e - 8*a*B*e)*x)/e^11) + ((b*d - a*e)^10*(B*d - A*e))/(7*e^12*(d + e*x)^7) - ((b*d - a*e)^9*(11*b*B*d - 10*A*b*e - a*B*e))/(6*e^12*(d + e*x)^6) + (b*(b*d - a*e)^8*(11*b*B*d - 9*A*b*e - 2*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)^5) - (15*b^2*(b*d - a*e)^7*(11*b*B*d - 8*A*b*e - 3*a*B*e))/(4*e^12*(d + e*x)^4) + (10*b^3*(b*d - a*e)^6*(11*b*B*d - 7*A*b*e - 4*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)^3) - (21*b^4*(b*d - a*e)^5*(11*b*B*d - 6*A*b*e - 5*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)^2) + (42*b^5*(b*d - a*e)^4*(11*b*B*d - 5*A*b*e - 6*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)) + (5*b^8*(b*d - a*e)*(11*b*B*d - 2*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^2)/(2*e^12) - (b^9*(11*b*B*d - A*b*e - 10*a*B*e)*(d + e*x)^3)/(3*e^12) + (b^10*B*(d + e*x)^4)/(4*e^12) + (30*b^6*(b*d - a*e)^3*(11*b*B*d - 4*A*b*e - 7*a*B*e)*log(d + e*x))/e^12, x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^9, (5*b^8*(b*d - a*e)*(11*b*B*d - 2*A*b*e - 9*a*B*e)*x)/e^11 + ((b*d - a*e)^10*(B*d - A*e))/(8*e^12*(d + e*x)^8) - ((b*d - a*e)^9*(11*b*B*d - 10*A*b*e - a*B*e))/(7*e^12*(d + e*x)^7) + (5*b*(b*d - a*e)^8*(11*b*B*d - 9*A*b*e - 2*a*B*e))/(6*e^12*(d + e*x)^6) - (3*b^2*(b*d - a*e)^7*(11*b*B*d - 8*A*b*e - 3*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)^5) + (15*b^3*(b*d - a*e)^6*(11*b*B*d - 7*A*b*e - 4*a*B*e))/(2*e^12*(d + e*x)^4) - (14*b^4*(b*d - a*e)^5*(11*b*B*d - 6*A*b*e - 5*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)^3) + (21*b^5*(b*d - a*e)^4*(11*b*B*d - 5*A*b*e - 6*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)^2) - (30*b^6*(b*d - a*e)^3*(11*b*B*d - 4*A*b*e - 7*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)) - (b^9*(11*b*B*d - A*b*e - 10*a*B*e)*(d + e*x)^2)/(2*e^12) + (b^10*B*(d + e*x)^3)/(3*e^12) - (15*b^7*(b*d - a*e)^2*(11*b*B*d - 3*A*b*e - 8*a*B*e)*log(d + e*x))/e^12, x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^10, -((b^9*(10*b*B*d - A*b*e - 10*a*B*e)*x)/e^11) + (b^10*B*x^2)/(2*e^10) + ((b*d - a*e)^10*(B*d - A*e))/(9*e^12*(d + e*x)^9) - ((b*d - a*e)^9*(11*b*B*d - 10*A*b*e - a*B*e))/(8*e^12*(d + e*x)^8) + (5*b*(b*d - a*e)^8*(11*b*B*d - 9*A*b*e - 2*a*B*e))/(7*e^12*(d + e*x)^7) - (5*b^2*(b*d - a*e)^7*(11*b*B*d - 8*A*b*e - 3*a*B*e))/(2*e^12*(d + e*x)^6) + (6*b^3*(b*d - a*e)^6*(11*b*B*d - 7*A*b*e - 4*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)^5) - (21*b^4*(b*d - a*e)^5*(11*b*B*d - 6*A*b*e - 5*a*B*e))/(2*e^12*(d + e*x)^4) + (14*b^5*(b*d - a*e)^4*(11*b*B*d - 5*A*b*e - 6*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)^3) - (15*b^6*(b*d - a*e)^3*(11*b*B*d - 4*A*b*e - 7*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)^2) + (15*b^7*(b*d - a*e)^2*(11*b*B*d - 3*A*b*e - 8*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)) + (5*b^8*(b*d - a*e)*(11*b*B*d - 2*A*b*e - 9*a*B*e)*log(d + e*x))/e^12, x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^11, (b^10*B*x)/e^11 + ((b*d - a*e)^10*(B*d - A*e))/(10*e^12*(d + e*x)^10) - ((b*d - a*e)^9*(11*b*B*d - 10*A*b*e - a*B*e))/(9*e^12*(d + e*x)^9) + (5*b*(b*d - a*e)^8*(11*b*B*d - 9*A*b*e - 2*a*B*e))/(8*e^12*(d + e*x)^8) - (15*b^2*(b*d - a*e)^7*(11*b*B*d - 8*A*b*e - 3*a*B*e))/(7*e^12*(d + e*x)^7) + (5*b^3*(b*d - a*e)^6*(11*b*B*d - 7*A*b*e - 4*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)^6) - (42*b^4*(b*d - a*e)^5*(11*b*B*d - 6*A*b*e - 5*a*B*e))/(5*e^12*(d + e*x)^5) + (21*b^5*(b*d - a*e)^4*(11*b*B*d - 5*A*b*e - 6*a*B*e))/(2*e^12*(d + e*x)^4) - (10*b^6*(b*d - a*e)^3*(11*b*B*d - 4*A*b*e - 7*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)^3) + (15*b^7*(b*d - a*e)^2*(11*b*B*d - 3*A*b*e - 8*a*B*e))/(2*e^12*(d + e*x)^2) - (5*b^8*(b*d - a*e)*(11*b*B*d - 2*A*b*e - 9*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)) - (b^9*(11*b*B*d - A*b*e - 10*a*B*e)*log(d + e*x))/e^12, x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^12, -(((B*d - A*e)*(a + b*x)^11)/(11*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^11)) - (B*(b*d - a*e)^10)/(10*e^12*(d + e*x)^10) + (10*b*B*(b*d - a*e)^9)/(9*e^12*(d + e*x)^9) - (45*b^2*B*(b*d - a*e)^8)/(8*e^12*(d + e*x)^8) + (120*b^3*B*(b*d - a*e)^7)/(7*e^12*(d + e*x)^7) - (35*b^4*B*(b*d - a*e)^6)/(e^12*(d + e*x)^6) + (252*b^5*B*(b*d - a*e)^5)/(5*e^12*(d + e*x)^5) - (105*b^6*B*(b*d - a*e)^4)/(2*e^12*(d + e*x)^4) + (40*b^7*B*(b*d - a*e)^3)/(e^12*(d + e*x)^3) - (45*b^8*B*(b*d - a*e)^2)/(2*e^12*(d + e*x)^2) + (10*b^9*B*(b*d - a*e))/(e^12*(d + e*x)) + (b^10*B*log(d + e*x))/e^12, x, 3),
+
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^13, -((B*d - A*e)*(a + b*x)^11)/(12*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^12) + ((11*b*B*d + A*b*e - 12*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(132*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^11), x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^14, -((B*d - A*e)*(a + b*x)^11)/(13*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^13) + ((11*b*B*d + 2*A*b*e - 13*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(156*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^12) + (b*(11*b*B*d + 2*A*b*e - 13*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(1716*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^11), x, 3),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^15, -((B*d - A*e)*(a + b*x)^11)/(14*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^14) + ((11*b*B*d + 3*A*b*e - 14*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(182*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^13) + (b*(11*b*B*d + 3*A*b*e - 14*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(1092*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^12) + (b^2*(11*b*B*d + 3*A*b*e - 14*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(12012*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^11), x, 4),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^16, -((B*d - A*e)*(a + b*x)^11)/(15*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^15) + ((11*b*B*d + 4*A*b*e - 15*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(210*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^14) + (b*(11*b*B*d + 4*A*b*e - 15*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(910*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^13) + (b^2*(11*b*B*d + 4*A*b*e - 15*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(5460*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^12) + (b^3*(11*b*B*d + 4*A*b*e - 15*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(60060*e*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^11), x, 5),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^17, -((B*d - A*e)*(a + b*x)^11)/(16*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^16) + ((11*b*B*d + 5*A*b*e - 16*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(240*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^15) + (b*(11*b*B*d + 5*A*b*e - 16*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(840*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^14) + (b^2*(11*b*B*d + 5*A*b*e - 16*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(3640*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^13) + (b^3*(11*b*B*d + 5*A*b*e - 16*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(21840*e*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^12) + (b^4*(11*b*B*d + 5*A*b*e - 16*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(240240*e*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^11), x, 6),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^18, -((B*d - A*e)*(a + b*x)^11)/(17*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^17) + ((11*b*B*d + 6*A*b*e - 17*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(272*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^16) + (b*(11*b*B*d + 6*A*b*e - 17*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(816*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^15) + (b^2*(11*b*B*d + 6*A*b*e - 17*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(2856*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^14) + (b^3*(11*b*B*d + 6*A*b*e - 17*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(12376*e*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^13) + (b^4*(11*b*B*d + 6*A*b*e - 17*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(74256*e*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^12) + (b^5*(11*b*B*d + 6*A*b*e - 17*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(816816*e*(b*d - a*e)^7*(d + e*x)^11), x, 7),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^19, -((B*d - A*e)*(a + b*x)^11)/(18*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^18) + ((11*b*B*d + 7*A*b*e - 18*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(306*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^17) + (b*(11*b*B*d + 7*A*b*e - 18*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(816*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^16) + (b^2*(11*b*B*d + 7*A*b*e - 18*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(2448*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^15) + (b^3*(11*b*B*d + 7*A*b*e - 18*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(8568*e*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^14) + (b^4*(11*b*B*d + 7*A*b*e - 18*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(37128*e*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^13) + (b^5*(11*b*B*d + 7*A*b*e - 18*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(222768*e*(b*d - a*e)^7*(d + e*x)^12) + (b^6*(11*b*B*d + 7*A*b*e - 18*a*B*e)*(a + b*x)^11)/(2450448*e*(b*d - a*e)^8*(d + e*x)^11), x, 8),
+
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^20, ((b*d - a*e)^10*(B*d - A*e))/(19*e^12*(d + e*x)^19) - ((b*d - a*e)^9*(11*b*B*d - 10*A*b*e - a*B*e))/(18*e^12*(d + e*x)^18) + (5*b*(b*d - a*e)^8*(11*b*B*d - 9*A*b*e - 2*a*B*e))/(17*e^12*(d + e*x)^17) - (15*b^2*(b*d - a*e)^7*(11*b*B*d - 8*A*b*e - 3*a*B*e))/(16*e^12*(d + e*x)^16) + (2*b^3*(b*d - a*e)^6*(11*b*B*d - 7*A*b*e - 4*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)^15) - (3*b^4*(b*d - a*e)^5*(11*b*B*d - 6*A*b*e - 5*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)^14) + (42*b^5*(b*d - a*e)^4*(11*b*B*d - 5*A*b*e - 6*a*B*e))/(13*e^12*(d + e*x)^13) - (5*b^6*(b*d - a*e)^3*(11*b*B*d - 4*A*b*e - 7*a*B*e))/(2*e^12*(d + e*x)^12) + (15*b^7*(b*d - a*e)^2*(11*b*B*d - 3*A*b*e - 8*a*B*e))/(11*e^12*(d + e*x)^11) - (b^8*(b*d - a*e)*(11*b*B*d - 2*A*b*e - 9*a*B*e))/(2*e^12*(d + e*x)^10) + (b^9*(11*b*B*d - A*b*e - 10*a*B*e))/(9*e^12*(d + e*x)^9) - (b^10*B)/(8*e^12*(d + e*x)^8), x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^21, ((b*d - a*e)^10*(B*d - A*e))/(20*e^12*(d + e*x)^20) - ((b*d - a*e)^9*(11*b*B*d - 10*A*b*e - a*B*e))/(19*e^12*(d + e*x)^19) + (5*b*(b*d - a*e)^8*(11*b*B*d - 9*A*b*e - 2*a*B*e))/(18*e^12*(d + e*x)^18) - (15*b^2*(b*d - a*e)^7*(11*b*B*d - 8*A*b*e - 3*a*B*e))/(17*e^12*(d + e*x)^17) + (15*b^3*(b*d - a*e)^6*(11*b*B*d - 7*A*b*e - 4*a*B*e))/(8*e^12*(d + e*x)^16) - (14*b^4*(b*d - a*e)^5*(11*b*B*d - 6*A*b*e - 5*a*B*e))/(5*e^12*(d + e*x)^15) + (3*b^5*(b*d - a*e)^4*(11*b*B*d - 5*A*b*e - 6*a*B*e))/(e^12*(d + e*x)^14) - (30*b^6*(b*d - a*e)^3*(11*b*B*d - 4*A*b*e - 7*a*B*e))/(13*e^12*(d + e*x)^13) + (5*b^7*(b*d - a*e)^2*(11*b*B*d - 3*A*b*e - 8*a*B*e))/(4*e^12*(d + e*x)^12) - (5*b^8*(b*d - a*e)*(11*b*B*d - 2*A*b*e - 9*a*B*e))/(11*e^12*(d + e*x)^11) + (b^9*(11*b*B*d - A*b*e - 10*a*B*e))/(10*e^12*(d + e*x)^10) - (b^10*B)/(9*e^12*(d + e*x)^9), x, 2),
+(((a + b*x)^10*(A + B*x))/(d + e*x)^22, ((b*d - a*e)^10*(B*d - A*e))/(21*e^12*(d + e*x)^21) - ((b*d - a*e)^9*(11*b*B*d - 10*A*b*e - a*B*e))/(20*e^12*(d + e*x)^20) + (5*b*(b*d - a*e)^8*(11*b*B*d - 9*A*b*e - 2*a*B*e))/(19*e^12*(d + e*x)^19) - (5*b^2*(b*d - a*e)^7*(11*b*B*d - 8*A*b*e - 3*a*B*e))/(6*e^12*(d + e*x)^18) + (30*b^3*(b*d - a*e)^6*(11*b*B*d - 7*A*b*e - 4*a*B*e))/(17*e^12*(d + e*x)^17) - (21*b^4*(b*d - a*e)^5*(11*b*B*d - 6*A*b*e - 5*a*B*e))/(8*e^12*(d + e*x)^16) + (14*b^5*(b*d - a*e)^4*(11*b*B*d - 5*A*b*e - 6*a*B*e))/(5*e^12*(d + e*x)^15) - (15*b^6*(b*d - a*e)^3*(11*b*B*d - 4*A*b*e - 7*a*B*e))/(7*e^12*(d + e*x)^14) + (15*b^7*(b*d - a*e)^2*(11*b*B*d - 3*A*b*e - 8*a*B*e))/(13*e^12*(d + e*x)^13) - (5*b^8*(b*d - a*e)*(11*b*B*d - 2*A*b*e - 9*a*B*e))/(12*e^12*(d + e*x)^12) + (b^9*(11*b*B*d - A*b*e - 10*a*B*e))/(11*e^12*(d + e*x)^11) - (b^10*B)/(10*e^12*(d + e*x)^10), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# m<0
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^5/(a + b*x), ((A*b - a*B)*e*(b*d - a*e)^4*x)/b^6 + ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^2)/(2*b^5) + ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^3)/(3*b^4) + ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)*(d + e*x)^4)/(4*b^3) + ((A*b - a*B)*(d + e*x)^5)/(5*b^2) + (B*(d + e*x)^6)/(6*b*e) + ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^5*log(a + b*x))/b^7, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^4/(a + b*x), ((A*b - a*B)*e*(b*d - a*e)^3*x)/b^5 + ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^2)/(2*b^4) + ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)*(d + e*x)^3)/(3*b^3) + ((A*b - a*B)*(d + e*x)^4)/(4*b^2) + (B*(d + e*x)^5)/(5*b*e) + ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^4*log(a + b*x))/b^6, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3/(a + b*x), ((A*b - a*B)*e*(b*d - a*e)^2*x)/b^4 + ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)*(d + e*x)^2)/(2*b^3) + ((A*b - a*B)*(d + e*x)^3)/(3*b^2) + (B*(d + e*x)^4)/(4*b*e) + ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^3*log(a + b*x))/b^5, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2/(a + b*x), ((A*b - a*B)*e*(b*d - a*e)*x)/b^3 + ((A*b - a*B)*(d + e*x)^2)/(2*b^2) + (B*(d + e*x)^3)/(3*b*e) + ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1/(a + b*x), (B*(b*d - a*e)*x)/b^2 + (e*(A + B*x)^2)/(2*b*B) + ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)*log(a + b*x))/b^3, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0/(a + b*x), (B*x)/b + ((A*b - a*B)*log(a + b*x))/b^2, x, 2),
+((A + B*x)/((a + b*x)*(d + e*x)^1), ((A*b - a*B)*log(a + b*x))/(b*(b*d - a*e)) + ((B*d - A*e)*log(d + e*x))/(e*(b*d - a*e)), x, 2),
+((A + B*x)/((a + b*x)*(d + e*x)^2), -((B*d - A*e)/(e*(b*d - a*e)*(d + e*x))) + ((A*b - a*B)*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^2 - ((A*b - a*B)*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^2, x, 2),
+((A + B*x)/((a + b*x)*(d + e*x)^3), -(B*d - A*e)/(2*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^2) + (A*b - a*B)/((b*d - a*e)^2*(d + e*x)) + (b*(A*b - a*B)*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^3 - (b*(A*b - a*B)*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^3, x, 2),
+((A + B*x)/((a + b*x)*(d + e*x)^4), -(B*d - A*e)/(3*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^3) + (A*b - a*B)/(2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^2) + (b*(A*b - a*B))/((b*d - a*e)^3*(d + e*x)) + (b^2*(A*b - a*B)*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^4 - (b^2*(A*b - a*B)*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^4, x, 2),
+((A + B*x)/((a + b*x)*(d + e*x)^5), -(B*d - A*e)/(4*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^4) + (A*b - a*B)/(3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^3) + (b*(A*b - a*B))/(2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^2) + (b^2*(A*b - a*B))/((b*d - a*e)^4*(d + e*x)) + (b^3*(A*b - a*B)*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^5 - (b^3*(A*b - a*B)*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^5, x, 2),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^5/(a + b*x)^2, (5*e*(b*d - a*e)^3*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*x)/b^6 - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^5)/(b^7*(a + b*x)) + (5*e^2*(b*d - a*e)^2*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^2)/b^7 + (5*e^3*(b*d - a*e)*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^3)/(3*b^7) + (e^4*(5*b*B*d + A*b*e - 6*a*B*e)*(a + b*x)^4)/(4*b^7) + (B*e^5*(a + b*x)^5)/(5*b^7) + ((b*d - a*e)^4*(b*B*d + 5*A*b*e - 6*a*B*e)*log(a + b*x))/b^7, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^4/(a + b*x)^2, (2*e*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d + 3*A*b*e - 5*a*B*e)*x)/b^5 - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^4)/(b^6*(a + b*x)) + (e^2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d + 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^2)/b^6 + (e^3*(4*b*B*d + A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^3)/(3*b^6) + (B*e^4*(a + b*x)^4)/(4*b^6) + ((b*d - a*e)^3*(b*B*d + 4*A*b*e - 5*a*B*e)*log(a + b*x))/b^6, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3/(a + b*x)^2, (3*e*(b*d - a*e)*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x)/b^4 - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^3)/(b^5*(a + b*x)) + (e^2*(3*b*B*d + A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^2)/(2*b^5) + (B*e^3*(a + b*x)^3)/(3*b^5) + ((b*d - a*e)^2*(b*B*d + 3*A*b*e - 4*a*B*e)*log(a + b*x))/b^5, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2/(a + b*x)^2, (e*(2*b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x)/b^3 + (B*e^2*x^2)/(2*b^2) - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2)/(b^4*(a + b*x)) + ((b*d - a*e)*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1/(a + b*x)^2, (B*e*x)/b^2 - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e))/(b^3*(a + b*x)) + ((b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*log(a + b*x))/b^3, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0/(a + b*x)^2, -((A*b - a*B)/(b^2*(a + b*x))) + (B*log(a + b*x))/b^2, x, 2),
+((A + B*x)/((a + b*x)^2*(d + e*x)^1), -((A*b - a*B)/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x))) + ((B*d - A*e)*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^2 - ((B*d - A*e)*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^2, x, 2),
+((A + B*x)/((a + b*x)^2*(d + e*x)^2), -((A*b - a*B)/((b*d - a*e)^2*(a + b*x))) + (B*d - A*e)/((b*d - a*e)^2*(d + e*x)) + ((b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e)*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^3 - ((b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e)*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^3, x, 2),
+((A + B*x)/((a + b*x)^2*(d + e*x)^3), -((b*(A*b - a*B))/((b*d - a*e)^3*(a + b*x))) + (B*d - A*e)/(2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^2) + (b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e)/((b*d - a*e)^3*(d + e*x)) + (b*(b*B*d - 3*A*b*e + 2*a*B*e)*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^4 - (b*(b*B*d - 3*A*b*e + 2*a*B*e)*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^4, x, 2),
+((A + B*x)/((a + b*x)^2*(d + e*x)^4), -((b^2*(A*b - a*B))/((b*d - a*e)^4*(a + b*x))) + (B*d - A*e)/(3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^3) + (b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e)/(2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^2) + (b*(b*B*d - 3*A*b*e + 2*a*B*e))/((b*d - a*e)^4*(d + e*x)) + (b^2*(b*B*d - 4*A*b*e + 3*a*B*e)*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^5 - (b^2*(b*B*d - 4*A*b*e + 3*a*B*e)*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^5, x, 2),
+((A + B*x)/((a + b*x)^2*(d + e*x)^5), -((b^3*(A*b - a*B))/((b*d - a*e)^5*(a + b*x))) + (B*d - A*e)/(4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^4) + (b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e)/(3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^3) + (b*(b*B*d - 3*A*b*e + 2*a*B*e))/(2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^2) + (b^2*(b*B*d - 4*A*b*e + 3*a*B*e))/((b*d - a*e)^5*(d + e*x)) + (b^3*(b*B*d - 5*A*b*e + 4*a*B*e)*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^6 - (b^3*(b*B*d - 5*A*b*e + 4*a*B*e)*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^6, x, 2),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^5/(a + b*x)^3, (10*e^2*(b*d - a*e)^2*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x)/b^6 - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^5)/(2*b^7*(a + b*x)^2) - ((b*d - a*e)^4*(b*B*d + 5*A*b*e - 6*a*B*e))/(b^7*(a + b*x)) + (5*e^3*(b*d - a*e)*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^2)/(2*b^7) + (e^4*(5*b*B*d + A*b*e - 6*a*B*e)*(a + b*x)^3)/(3*b^7) + (B*e^5*(a + b*x)^4)/(4*b^7) + (5*e*(b*d - a*e)^3*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*log(a + b*x))/b^7, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^4/(a + b*x)^3, (2*e^2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d + 2*A*b*e - 5*a*B*e)*x)/b^5 - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^4)/(2*b^6*(a + b*x)^2) - ((b*d - a*e)^3*(b*B*d + 4*A*b*e - 5*a*B*e))/(b^6*(a + b*x)) + (e^3*(4*b*B*d + A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^2)/(2*b^6) + (B*e^4*(a + b*x)^3)/(3*b^6) + (2*e*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d + 3*A*b*e - 5*a*B*e)*log(a + b*x))/b^6, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3/(a + b*x)^3, (e^2*(3*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*x)/b^4 + (B*e^3*x^2)/(2*b^3) - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^3)/(2*b^5*(a + b*x)^2) - ((b*d - a*e)^2*(b*B*d + 3*A*b*e - 4*a*B*e))/(b^5*(a + b*x)) + (3*e*(b*d - a*e)*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*log(a + b*x))/b^5, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2/(a + b*x)^3, (B*e^2*x)/b^3 - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2)/(2*b^4*(a + b*x)^2) - ((b*d - a*e)*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e))/(b^4*(a + b*x)) + (e*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*log(a + b*x))/b^4, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1/(a + b*x)^3, -(((A*b - a*B)*(b*d - a*e))/(2*b^3*(a + b*x)^2)) - (b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)/(b^3*(a + b*x)) + (B*e*log(a + b*x))/b^3, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0/(a + b*x)^3, -((A + B*x)^2/(2*(A*b - a*B)*(a + b*x)^2)), x, 1),
+((A + B*x)/((a + b*x)^3*(d + e*x)^1), -(A*b - a*B)/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) - (B*d - A*e)/((b*d - a*e)^2*(a + b*x)) - (e*(B*d - A*e)*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^3 + (e*(B*d - A*e)*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^3, x, 2),
+((A + B*x)/((a + b*x)^3*(d + e*x)^2), -((A*b - a*B)/(2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2)) - (b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e)/((b*d - a*e)^3*(a + b*x)) - (e*(B*d - A*e))/((b*d - a*e)^3*(d + e*x)) - (e*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e)*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^4 + (e*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e)*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^4, x, 2),
+((A + B*x)/((a + b*x)^3*(d + e*x)^3), -((b*(A*b - a*B))/(2*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^2)) - (b*(b*B*d - 3*A*b*e + 2*a*B*e))/((b*d - a*e)^4*(a + b*x)) - (e*(B*d - A*e))/(2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^2) - (e*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e))/((b*d - a*e)^4*(d + e*x)) - (3*b*e*(b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e)*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^5 + (3*b*e*(b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e)*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^5, x, 2),
+((A + B*x)/((a + b*x)^3*(d + e*x)^4), -((b^2*(A*b - a*B))/(2*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^2)) - (b^2*(b*B*d - 4*A*b*e + 3*a*B*e))/((b*d - a*e)^5*(a + b*x)) - (e*(B*d - A*e))/(3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^3) - (e*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e))/(2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^2) - (3*b*e*(b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e))/((b*d - a*e)^5*(d + e*x)) - (2*b^2*e*(2*b*B*d - 5*A*b*e + 3*a*B*e)*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^6 + (2*b^2*e*(2*b*B*d - 5*A*b*e + 3*a*B*e)*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^6, x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^1
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^8*(3 + 5*x), (-7*(2 + 3*x)^9)/243 + (37*(2 + 3*x)^10)/270 - (10*(2 + 3*x)^11)/297, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^7*(3 + 5*x), (-7*(2 + 3*x)^8)/216 + (37*(2 + 3*x)^9)/243 - (2 + 3*x)^10//27, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^6*(3 + 5*x), -(2 + 3*x)^7//27 + (37*(2 + 3*x)^8)/216 - (10*(2 + 3*x)^9)/243, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x), (-(7//162))*(2 + 3*x)^6 + (37//189)*(2 + 3*x)^7 - (5//108)*(2 + 3*x)^8, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x), (-(7//135))*(2 + 3*x)^5 + (37//162)*(2 + 3*x)^6 - (10//189)*(2 + 3*x)^7, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x), (-(7//108))*(2 + 3*x)^4 + (37//135)*(2 + 3*x)^5 - (5//81)*(2 + 3*x)^6, x, 2),
+
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x), 12*x + 16*x^2 - (25*x^3)/3 - (129*x^4)/4 - 18*x^5, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^1*(3 + 5*x), 6*x + (7*x^2)/2 - (23*x^3)/3 - (15*x^4)/2, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^0*(3 + 5*x), 3*x - x^2//2 - (10*x^3)/3, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^1, (17*x)/9 - (5*x^2)/3 - (7//27)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^2, (-10*x)/9 + 7/(27*(2 + 3*x)) + (37*log(2 + 3*x))/27, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^3, 7/(54*(2 + 3*x)^2) - 37/(27*(2 + 3*x)) - (10*log(2 + 3*x))/27, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^4, 7/(81*(2 + 3*x)^3) - 37/(54*(2 + 3*x)^2) + 10/(27*(2 + 3*x)), x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^5, 7/(108*(2 + 3*x)^4) - 37/(81*(2 + 3*x)^3) + 5/(27*(2 + 3*x)^2), x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^6, 7/(135*(2 + 3*x)^5) - 37/(108*(2 + 3*x)^4) + 10/(81*(2 + 3*x)^3), x, 2),
+
+
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^8*(3 + 5*x)^2, (7*(2 + 3*x)^9)/729 - (4*(2 + 3*x)^10)/45 + (65*(2 + 3*x)^11)/297 - (25*(2 + 3*x)^12)/486, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)^2, (7*(2 + 3*x)^8)/648 - (8*(2 + 3*x)^9)/81 + (13*(2 + 3*x)^10)/54 - (50*(2 + 3*x)^11)/891, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^2, (1//81)*(2 + 3*x)^7 - (1//9)*(2 + 3*x)^8 + (65//243)*(2 + 3*x)^9 - (5//81)*(2 + 3*x)^10, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^2, (7//486)*(2 + 3*x)^6 - (8//63)*(2 + 3*x)^7 + (65//216)*(2 + 3*x)^8 - (50//729)*(2 + 3*x)^9, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2, (7//405)*(2 + 3*x)^5 - (4//27)*(2 + 3*x)^6 + (65//189)*(2 + 3*x)^7 - (25//324)*(2 + 3*x)^8, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2, 72*x + 210*x^2 + (638*x^3)/3 - (769*x^4)/4 - (3366*x^5)/5 - (1215*x^6)/2 - (1350*x^7)/7, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2, 36*x + 78*x^2 + (85*x^3)/3 - 128*x^4 - 183*x^5 - 75*x^6, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^1*(3 + 5*x)^2, 18*x + (51*x^2)/2 - (34*x^3)/3 - (205*x^4)/4 - 30*x^5, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^0*(3 + 5*x)^2, 9*x + 6*x^2 - (35*x^3)/3 - (25*x^4)/2, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x), (118*x)/27 - (5*x^2)/18 - (50*x^3)/9 + (7//81)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^2, (95*x)/27 - (25*x^2)/9 - 7/(81*(2 + 3*x)) - (8*log(2 + 3*x))/9, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^3, (-50*x)/27 - 7/(162*(2 + 3*x)^2) + 8/(9*(2 + 3*x)) + (65*log(2 + 3*x))/27, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^4, -(7/(243*(2 + 3*x)^3)) + 4/(9*(2 + 3*x)^2) - 65/(27*(2 + 3*x)) - (50//81)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^5, (7*(3 + 5*x)^3)/(12*(2 + 3*x)^4) + (3*(3 + 5*x)^3)/(4*(2 + 3*x)^3), x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^6, -7/(405*(2 + 3*x)^5) + 2/(9*(2 + 3*x)^4) - 65/(81*(2 + 3*x)^3) + 25/(81*(2 + 3*x)^2), x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^7, -7/(486*(2 + 3*x)^6) + 8/(45*(2 + 3*x)^5) - 65/(108*(2 + 3*x)^4) + 50/(243*(2 + 3*x)^3), x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^8, -1/(81*(2 + 3*x)^7) + 4/(27*(2 + 3*x)^6) - 13/(27*(2 + 3*x)^5) + 25/(162*(2 + 3*x)^4), x, 2),
+
+
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^8*(3 + 5*x)^3, (-7*(2 + 3*x)^9)/2187 + (107*(2 + 3*x)^10)/2430 - (185*(2 + 3*x)^11)/891 + (1025*(2 + 3*x)^12)/2916 - (250*(2 + 3*x)^13)/3159, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)^3, -((7*(2 + 3*x)^8)/1944) + (107*(2 + 3*x)^9)/2187 - (37//162)*(2 + 3*x)^10 + (1025*(2 + 3*x)^11)/2673 - (125*(2 + 3*x)^12)/1458, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^3, (-(1//243))*(2 + 3*x)^7 + (107*(2 + 3*x)^8)/1944 - (185//729)*(2 + 3*x)^9 + (205//486)*(2 + 3*x)^10 - (250*(2 + 3*x)^11)/2673, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^3, -((7*(2 + 3*x)^6)/1458) + (107*(2 + 3*x)^7)/1701 - (185//648)*(2 + 3*x)^8 + (1025*(2 + 3*x)^9)/2187 - (25//243)*(2 + 3*x)^10, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3, -((7*(2 + 3*x)^5)/1215) + (107*(2 + 3*x)^6)/1458 - (185//567)*(2 + 3*x)^7 + (1025*(2 + 3*x)^8)/1944 - (250*(2 + 3*x)^9)/2187, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3, 216*x + 810*x^2 + 1338*x^3 + (883*x^4)/4 - (13943*x^5)/5 - (9255*x^6)/2 - (22275*x^7)/7 - (3375*x^8)/4, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3, 108*x + 324*x^2 + 345*x^3 - (1111*x^4)/4 - 1061*x^5 - (1975*x^6)/2 - (2250*x^7)/7, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^1*(3 + 5*x)^3, (11//500)*(3 + 5*x)^4 + (31//625)*(3 + 5*x)^5 - (1//125)*(3 + 5*x)^6, x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^0*(3 + 5*x)^3, (11//100)*(3 + 5*x)^4 - (2//125)*(3 + 5*x)^5, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x), (1097*x)/81 + (545*x^2)/54 - (475*x^3)/27 - (125*x^4)/6 - (7//243)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^2, (55*x)/9 + (25*x^2)/54 - (250*x^3)/27 + 7/(243*(2 + 3*x)) + (107*log(2 + 3*x))/243, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^3, (175*x)/27 - (125*x^2)/27 + 7/(486*(2 + 3*x)^2) - 107/(243*(2 + 3*x)) - (185*log(2 + 3*x))/81, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^4, (-250*x)/81 + 7/(729*(2 + 3*x)^3) - 107/(486*(2 + 3*x)^2) + 185/(81*(2 + 3*x)) + (1025*log(2 + 3*x))/243, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^5, 7/(972*(2 + 3*x)^4) - 107/(729*(2 + 3*x)^3) + 185/(162*(2 + 3*x)^2) - 1025/(243*(2 + 3*x)) - (250//243)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^6, (7*(3 + 5*x)^4)/(15*(2 + 3*x)^5) + (5*(3 + 5*x)^4)/(12*(2 + 3*x)^4), x, 2),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^7, (7*(3 + 5*x)^4)/(18*(2 + 3*x)^6) + (29*(3 + 5*x)^4)/(45*(2 + 3*x)^5) + (29*(3 + 5*x)^4)/(36*(2 + 3*x)^4), x, 3),
+(((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^8, 1/(243*(2 + 3*x)^7) - 107/(1458*(2 + 3*x)^6) + 37/(81*(2 + 3*x)^5) - 1025/(972*(2 + 3*x)^4) + 250/(729*(2 + 3*x)^3), x, 2),
+
+
+((5 - 2*x)^6*(2 + 3*x)^3*(-16 + 33*x), (-(1//2))*(5 - 2*x)^7*(2 + 3*x)^4, x, 1),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^6)/(3 + 5*x), (1666663*x)/78125 + (1777779*x^2)/31250 + (152469*x^3)/3125 - (152469*x^4)/2500 - (106677*x^5)/625 - (7047*x^6)/50 - (1458*x^7)/35 + (11*log(3 + 5*x))/390625, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5)/(3 + 5*x), (166663*x)/15625 + (127779*x^2)/6250 + (2469*x^3)/625 - (17469*x^4)/500 - (5427*x^5)/125 - (81*x^6)/5 + (11*log(3 + 5*x))/78125, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x), (16663*x)/3125 + (7779*x^2)/1250 - (531*x^3)/125 - (1269*x^4)/100 - (162*x^5)/25 + (11*log(3 + 5*x))/15625, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x), (1663*x)/625 + (279*x^2)/250 - (81*x^3)/25 - (27*x^4)/10 + (11*log(3 + 5*x))/3125, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x), (163*x)/125 - (21*x^2)/50 - (6*x^3)/5 + (11//625)*log(3 + 5*x), x, 2),
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^1)/(3 + 5*x), (13*x)/25 - (3*x^2)/5 + (11//125)*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)/(3 + 5*x), (-2*x)/5 + (11*log(3 + 5*x))/25, x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)), (-7*log(2 + 3*x))/3 + (11*log(3 + 5*x))/5, x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)), 7/(3*(2 + 3*x)) - 11*log(2 + 3*x) + 11*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)), 7/(6*(2 + 3*x)^2) + 11/(2 + 3*x) - 55*log(2 + 3*x) + 55*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)), 7/(9*(2 + 3*x)^3) + 11/(2*(2 + 3*x)^2) + 55/(2 + 3*x) - 275*log(2 + 3*x) + 275*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)), 7/(12*(2 + 3*x)^4) + 11/(3*(2 + 3*x)^3) + 55/(2*(2 + 3*x)^2) + 275/(2 + 3*x) - 1375*log(2 + 3*x) + 1375*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)), 7/(15*(2 + 3*x)^5) + 11/(4*(2 + 3*x)^4) + 55/(3*(2 + 3*x)^3) + 275/(2*(2 + 3*x)^2) + 1375/(2 + 3*x) - 6875*log(2 + 3*x) + 6875*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)), 7/(18*(2 + 3*x)^6) + 11/(5*(2 + 3*x)^5) + 55/(4*(2 + 3*x)^4) + 275/(3*(2 + 3*x)^3) + 1375/(2*(2 + 3*x)^2) + 6875/(2 + 3*x) - 34375*log(2 + 3*x) + 34375*log(3 + 5*x), x, 2),
+
+
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^7)/(3 + 5*x)^2, (5555478*x)/390625 + (5740767*x^2)/156250 + (92592*x^3)/3125 - (513783*x^4)/12500 - (336798*x^5)/3125 - (21627*x^6)/250 - (4374*x^7)/175 - 11/(1953125*(3 + 5*x)) + (229*log(3 + 5*x))/1953125, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^6)/(3 + 5*x)^2, (555489*x)/78125 + (40743*x^2)/3125 + (5553*x^3)/3125 - (14094*x^4)/625 - (16767*x^5)/625 - (243*x^6)/25 - 11/(390625*(3 + 5*x)) + (196*log(3 + 5*x))/390625, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5)/(3 + 5*x)^2, (444*x)/125 + (24093*x^2)/6250 - (1854*x^3)/625 - (3969*x^4)/500 - (486*x^5)/125 - 11/(78125*(3 + 5*x)) + (163*log(3 + 5*x))/78125, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x)^2, (5511*x)/3125 + (378*x^2)/625 - (261*x^3)/125 - (81*x^4)/50 - 11/(15625*(3 + 5*x)) + (26*log(3 + 5*x))/3125, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x)^2, (522*x)/625 - (81*x^2)/250 - (18*x^3)/25 - 11/(3125*(3 + 5*x)) + (97*log(3 + 5*x))/3125, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x)^2, (33*x)/125 - (9*x^2)/25 - 11/(625*(3 + 5*x)) + (64*log(3 + 5*x))/625, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^2, (-6*x)/25 - 11/(125*(3 + 5*x)) + (31*log(3 + 5*x))/125, x, 2),
+((1 - 2*x)/(3 + 5*x)^2, -11/(25*(3 + 5*x)) - (2*log(3 + 5*x))/25, x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2), -11/(5*(3 + 5*x)) + 7*log(2 + 3*x) - 7*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2), -7/(2 + 3*x) - 11/(3 + 5*x) + 68*log(2 + 3*x) - 68*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2), -7/(2*(2 + 3*x)^2) - 68/(2 + 3*x) - 55/(3 + 5*x) + 505*log(2 + 3*x) - 505*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2), -7/(3*(2 + 3*x)^3) - 34/(2 + 3*x)^2 - 505/(2 + 3*x) - 275/(3 + 5*x) + 3350*log(2 + 3*x) - 3350*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^2), -7/(4*(2 + 3*x)^4) - 68/(3*(2 + 3*x)^3) - 505/(2*(2 + 3*x)^2) - 3350/(2 + 3*x) - 1375/(3 + 5*x) + 20875*log(2 + 3*x) - 20875*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^2), -7/(5*(2 + 3*x)^5) - 17/(2 + 3*x)^4 - 505/(3*(2 + 3*x)^3) - 1675/(2 + 3*x)^2 - 20875/(2 + 3*x) - 6875/(3 + 5*x) + 125000*log(2 + 3*x) - 125000*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)^2), -7/(6*(2 + 3*x)^6) - 68/(5*(2 + 3*x)^5) - 505/(4*(2 + 3*x)^4) - 3350/(3*(2 + 3*x)^3) - 20875/(2*(2 + 3*x)^2) - 125000/(2 + 3*x) - 34375/(3 + 5*x) + 728125*log(2 + 3*x) - 728125*log(3 + 5*x), x, 2),
+
+
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^7)/(3 + 5*x)^3, (1851147*x)/390625 + (129654*x^2)/15625 + (2052*x^3)/3125 - (181521*x^4)/12500 - (51759*x^5)/3125 - (729*x^6)/125 - 11/(3906250*(3 + 5*x)^2) - 229/(1953125*(3 + 5*x)) + (2037*log(3 + 5*x))/1953125, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^6)/(3 + 5*x)^3, (36936*x)/15625 + (297*x^2)/125 - (6399*x^3)/3125 - (12393*x^4)/2500 - (1458*x^5)/625 - 11/(781250*(3 + 5*x)^2) - 196/(390625*(3 + 5*x)) + (1449*log(3 + 5*x))/390625, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5)/(3 + 5*x)^3, (3636*x)/3125 + (1971*x^2)/6250 - (837*x^3)/625 - (243*x^4)/250 - 11/(156250*(3 + 5*x)^2) - 163/(78125*(3 + 5*x)) + (192*log(3 + 5*x))/15625, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x)^3, (1647*x)/3125 - (297*x^2)/1250 - (54*x^3)/125 - 11/(31250*(3 + 5*x)^2) - 26/(3125*(3 + 5*x)) + (114*log(3 + 5*x))/3125, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x)^3, (81*x)/625 - (27*x^2)/125 - 11/(6250*(3 + 5*x)^2) - 97/(3125*(3 + 5*x)) + (279*log(3 + 5*x))/3125, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x)^3, (-18*x)/125 - 11/(1250*(3 + 5*x)^2) - 64/(625*(3 + 5*x)) + (87*log(3 + 5*x))/625, x, 2),
+(((1 - 2*x)*(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^3, -11/(250*(3 + 5*x)^2) - 31/(125*(3 + 5*x)) - (6*log(3 + 5*x))/125, x, 2),
+((1 - 2*x)/(3 + 5*x)^3, -(1 - 2*x)^2/(22*(3 + 5*x)^2), x, 1),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3), -11/(10*(3 + 5*x)^2) + 7/(3 + 5*x) - 21*log(2 + 3*x) + 21*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3), 21/(2 + 3*x) - 11/(2*(3 + 5*x)^2) + 68/(3 + 5*x) - 309*log(2 + 3*x) + 309*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3), 21/(2*(2 + 3*x)^2) + 309/(2 + 3*x) - 55/(2*(3 + 5*x)^2) + 505/(3 + 5*x) - 3060*log(2 + 3*x) + 3060*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3), 7/(2 + 3*x)^3 + 309/(2*(2 + 3*x)^2) + 3060/(2 + 3*x) - 275/(2*(3 + 5*x)^2) + 3350/(3 + 5*x) - 25350*log(2 + 3*x) + 25350*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^3), 21/(4*(2 + 3*x)^4) + 103/(2 + 3*x)^3 + 1530/(2 + 3*x)^2 + 25350/(2 + 3*x) - 1375/(2*(3 + 5*x)^2) + 20875/(3 + 5*x) - 189375*log(2 + 3*x) + 189375*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)/((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^3), 21/(5*(2 + 3*x)^5) + 309/(4*(2 + 3*x)^4) + 1020/(2 + 3*x)^3 + 12675/(2 + 3*x)^2 + 189375/(2 + 3*x) - 6875/(2*(3 + 5*x)^2) + 125000/(3 + 5*x) - 1321875*log(2 + 3*x) + 1321875*log(3 + 5*x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^2
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^8*(3 + 5*x), (-49*(2 + 3*x)^9)/729 + (91*(2 + 3*x)^10)/270 - (16*(2 + 3*x)^11)/99 + (5*(2 + 3*x)^12)/243, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^7*(3 + 5*x), (-49*(2 + 3*x)^8)/648 + (91*(2 + 3*x)^9)/243 - (8*(2 + 3*x)^10)/45 + (20*(2 + 3*x)^11)/891, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^6*(3 + 5*x), (-(7//81))*(2 + 3*x)^7 + (91//216)*(2 + 3*x)^8 - (16//81)*(2 + 3*x)^9 + (2//81)*(2 + 3*x)^10, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x), (-(49//486))*(2 + 3*x)^6 + (13//27)*(2 + 3*x)^7 - (2//9)*(2 + 3*x)^8 + (20//729)*(2 + 3*x)^9, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x), (-(49//405))*(2 + 3*x)^5 + (91//162)*(2 + 3*x)^6 - (16//63)*(2 + 3*x)^7 + (5//162)*(2 + 3*x)^8, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x), 24*x + 26*x^2 - (154*x^3)/3 - (425*x^4)/4 + (99*x^5)/5 + 144*x^6 + (540*x^7)/7, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x), 12*x + 4*x^2 - (89*x^3)/3 - (79*x^4)/4 + (168*x^5)/5 + 30*x^6, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^1*(3 + 5*x), 6*x - (5*x^2)/2 - (37*x^3)/3 + 4*x^4 + 12*x^5, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^0*(3 + 5*x), 3*x - (7*x^2)/2 - (8*x^3)/3 + 5*x^4, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x))/(2 + 3*x), (65*x)/27 - (32*x^2)/9 + (20*x^3)/9 - (49//81)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^2, (-104*x)/27 + (10*x^2)/9 + 49/(81*(2 + 3*x)) + (91*log(2 + 3*x))/27, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^3, (20*x)/27 + 49/(162*(2 + 3*x)^2) - 91/(27*(2 + 3*x)) - (16*log(2 + 3*x))/9, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^4, 49/(243*(2 + 3*x)^3) - 91/(54*(2 + 3*x)^2) + 16/(9*(2 + 3*x)) + (20//81)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^5, (1 - 2*x)^3/(84*(2 + 3*x)^4) - (23*(1 - 2*x)^3)/(294*(2 + 3*x)^3), x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^6, 49/(405*(2 + 3*x)^5) - 91/(108*(2 + 3*x)^4) + 16/(27*(2 + 3*x)^3) - 10/(81*(2 + 3*x)^2), x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^7, 49/(486*(2 + 3*x)^6) - 91/(135*(2 + 3*x)^5) + 4/(9*(2 + 3*x)^4) - 20/(243*(2 + 3*x)^3), x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^8, 7/(81*(2 + 3*x)^7) - 91/(162*(2 + 3*x)^6) + 16/(45*(2 + 3*x)^5) - 5/(81*(2 + 3*x)^4), x, 2),
+
+
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^8*(3 + 5*x)^2, (49*(2 + 3*x)^9)/2187 - (259*(2 + 3*x)^10)/1215 + (503*(2 + 3*x)^11)/891 - (185*(2 + 3*x)^12)/729 + (100*(2 + 3*x)^13)/3159, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)^2, (49*(2 + 3*x)^8)/1944 - (518*(2 + 3*x)^9)/2187 + (503//810)*(2 + 3*x)^10 - (740*(2 + 3*x)^11)/2673 + (25//729)*(2 + 3*x)^12, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^2, (7//243)*(2 + 3*x)^7 - (259//972)*(2 + 3*x)^8 + (503//729)*(2 + 3*x)^9 - (74//243)*(2 + 3*x)^10 + (100*(2 + 3*x)^11)/2673, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^2, (49*(2 + 3*x)^6)/1458 - (74//243)*(2 + 3*x)^7 + (503//648)*(2 + 3*x)^8 - (740*(2 + 3*x)^9)/2187 + (10//243)*(2 + 3*x)^10, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2, (49*(2 + 3*x)^5)/1215 - (259//729)*(2 + 3*x)^6 + (503//567)*(2 + 3*x)^7 - (185//486)*(2 + 3*x)^8 + (100*(2 + 3*x)^9)/2187, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2, 72*x + 138*x^2 - (202*x^3)/3 - (2045*x^4)/4 - (1828*x^5)/5 + (1029*x^6)/2 + (5940*x^7)/7 + (675*x^8)/2, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2, 36*x + 42*x^2 - (227*x^3)/3 - (341*x^4)/2 + (109*x^5)/5 + 230*x^6 + (900*x^7)/7, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^1*(3 + 5*x)^2, 18*x + (15*x^2)/2 - (136*x^3)/3 - (137*x^4)/4 + 52*x^5 + 50*x^6, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^0*(3 + 5*x)^2, 9*x - 3*x^2 - (59*x^3)/3 + 5*x^4 + 20*x^5, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x), (340*x)/81 - (251*x^2)/54 - (140*x^3)/27 + (25*x^4)/3 + (49*log(2 + 3*x))/243, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^2, (143*x)/27 - (170*x^2)/27 + (100*x^3)/27 - 49/(243*(2 + 3*x)) - (518*log(2 + 3*x))/243, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^3, (-20*x)/3 + (50*x^2)/27 - 49/(486*(2 + 3*x)^2) + 518/(243*(2 + 3*x)) + (503*log(2 + 3*x))/81, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^4, (100*x)/81 - 49/(729*(2 + 3*x)^3) + 259/(243*(2 + 3*x)^2) - 503/(81*(2 + 3*x)) - (740*log(2 + 3*x))/243, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^5, -49/(972*(2 + 3*x)^4) + 518/(729*(2 + 3*x)^3) - 503/(162*(2 + 3*x)^2) + 740/(243*(2 + 3*x)) + (100*log(2 + 3*x))/243, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^6, -49/(1215*(2 + 3*x)^5) + 259/(486*(2 + 3*x)^4) - 503/(243*(2 + 3*x)^3) + 370/(243*(2 + 3*x)^2) - 100/(243*(2 + 3*x)), x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^7, -49/(1458*(2 + 3*x)^6) + 518/(1215*(2 + 3*x)^5) - 503/(324*(2 + 3*x)^4) + 740/(729*(2 + 3*x)^3) - 50/(243*(2 + 3*x)^2), x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^8, -7/(243*(2 + 3*x)^7) + 259/(729*(2 + 3*x)^6) - 503/(405*(2 + 3*x)^5) + 185/(243*(2 + 3*x)^4) - 100/(729*(2 + 3*x)^3), x, 2),
+
+
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^10*(3 + 5*x)^3, -((49*(2 + 3*x)^11)/8019) + (763*(2 + 3*x)^12)/8748 - (4099*(2 + 3*x)^13)/9477 + (8285*(2 + 3*x)^14)/10206 - (760*(2 + 3*x)^15)/2187 + (125*(2 + 3*x)^16)/2916, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^9*(3 + 5*x)^3, -((49*(2 + 3*x)^10)/7290) + (763*(2 + 3*x)^11)/8019 - (4099*(2 + 3*x)^12)/8748 + (8285*(2 + 3*x)^13)/9477 - (1900*(2 + 3*x)^14)/5103 + (100*(2 + 3*x)^15)/2187, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^8*(3 + 5*x)^3, -((49*(2 + 3*x)^9)/6561) + (763*(2 + 3*x)^10)/7290 - (4099*(2 + 3*x)^11)/8019 + (8285*(2 + 3*x)^12)/8748 - (3800*(2 + 3*x)^13)/9477 + (250*(2 + 3*x)^14)/5103, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)^3, -((49*(2 + 3*x)^8)/5832) + (763*(2 + 3*x)^9)/6561 - (4099*(2 + 3*x)^10)/7290 + (8285*(2 + 3*x)^11)/8019 - (950*(2 + 3*x)^12)/2187 + (500*(2 + 3*x)^13)/9477, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^3, (-(7//729))*(2 + 3*x)^7 + (763*(2 + 3*x)^8)/5832 - (4099*(2 + 3*x)^9)/6561 + (1657*(2 + 3*x)^10)/1458 - (3800*(2 + 3*x)^11)/8019 + (125*(2 + 3*x)^12)/2187, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^3, -((49*(2 + 3*x)^6)/4374) + (109//729)*(2 + 3*x)^7 - (4099*(2 + 3*x)^8)/5832 + (8285*(2 + 3*x)^9)/6561 - (380//729)*(2 + 3*x)^10 + (500*(2 + 3*x)^11)/8019, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3, -((49*(2 + 3*x)^5)/3645) + (763*(2 + 3*x)^6)/4374 - (4099*(2 + 3*x)^7)/5103 + (8285*(2 + 3*x)^8)/5832 - (3800*(2 + 3*x)^9)/6561 + (50//729)*(2 + 3*x)^10, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3, 216*x + 594*x^2 + 258*x^3 - (7145*x^4)/4 - (15709*x^5)/5 + (121*x^6)/6 + (33255*x^7)/7 + 4725*x^8 + 1500*x^9, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3, 108*x + 216*x^2 - 87*x^3 - (3181*x^4)/4 - (3083*x^5)/5 + (4685*x^6)/6 + (9600*x^7)/7 + (1125*x^8)/2, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^1*(3 + 5*x)^3, 54*x + (135*x^2)/2 - 111*x^3 - (1091*x^4)/4 + 19*x^5 + (1100*x^6)/3 + (1500*x^7)/7, x, 2),
+((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^0*(3 + 5*x)^3, (121//500)*(3 + 5*x)^4 - (44//625)*(3 + 5*x)^5 + (2//375)*(3 + 5*x)^6, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^1, (3305*x)/243 - (559*x^2)/162 - (2515*x^3)/81 + (50*x^4)/9 + (100*x^5)/3 - (49*log(2 + 3*x))/729, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^2, (1271*x)/243 - (305*x^2)/54 - (800*x^3)/81 + (125*x^4)/9 + 49/(729*(2 + 3*x)) + (763*log(2 + 3*x))/729, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^3, (895*x)/81 - (100*x^2)/9 + (500*x^3)/81 + 49/(1458*(2 + 3*x)^2) - 763/(729*(2 + 3*x)) - (4099*log(2 + 3*x))/729, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^4, (-2800*x)/243 + (250*x^2)/81 + 49/(2187*(2 + 3*x)^3) - 763/(1458*(2 + 3*x)^2) + 4099/(729*(2 + 3*x)) + (8285*log(2 + 3*x))/729, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^5, (500*x)/243 + 49/(2916*(2 + 3*x)^4) - 763/(2187*(2 + 3*x)^3) + 4099/(1458*(2 + 3*x)^2) - 8285/(729*(2 + 3*x)) - (3800*log(2 + 3*x))/729, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^6, 49/(3645*(2 + 3*x)^5) - 763/(2916*(2 + 3*x)^4) + 4099/(2187*(2 + 3*x)^3) - 8285/(1458*(2 + 3*x)^2) + 3800/(729*(2 + 3*x)) + (500*log(2 + 3*x))/729, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^7, 49/(4374*(2 + 3*x)^6) - 763/(3645*(2 + 3*x)^5) + 4099/(2916*(2 + 3*x)^4) - 8285/(2187*(2 + 3*x)^3) + 1900/(729*(2 + 3*x)^2) - 500/(729*(2 + 3*x)), x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^8, 7/(729*(2 + 3*x)^7) - 763/(4374*(2 + 3*x)^6) + 4099/(3645*(2 + 3*x)^5) - 8285/(2916*(2 + 3*x)^4) + 3800/(2187*(2 + 3*x)^3) - 250/(729*(2 + 3*x)^2), x, 2),
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^7)/(3 + 5*x), (83333293*x)/1953125 + (80555569*x^2)/781250 + (1327159*x^3)/78125 - (20577159*x^4)/62500 - (7315947*x^5)/15625 + (130383*x^6)/1250 + (672867*x^7)/875 + (16767*x^8)/25 + (972*x^9)/5 + (121*log(3 + 5*x))/9765625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^6)/(3 + 5*x), (8333293*x)/390625 + (5555569*x^2)/156250 - (422841*x^3)/15625 - (1677159*x^4)/12500 - (228447*x^5)/3125 + (35883*x^6)/250 + (34992*x^7)/175 + (729*x^8)/10 + (121*log(3 + 5*x))/1953125, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^5)/(3 + 5*x), (833293*x)/78125 + (305569*x^2)/31250 - (72841*x^3)/3125 - (102159*x^4)/2500 + (7803*x^5)/625 + (1404*x^6)/25 + (972*x^7)/35 + (121*log(3 + 5*x))/390625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x), (83293*x)/15625 + (5569*x^2)/6250 - (7841*x^3)/625 - (3159*x^4)/500 + (1728*x^5)/125 + (54*x^6)/5 + (121*log(3 + 5*x))/78125, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x), (8293*x)/3125 - (1931*x^2)/1250 - (591*x^3)/125 + (54*x^4)/25 + (108*x^5)/25 + (121*log(3 + 5*x))/15625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x), (793*x)/625 - (431*x^2)/250 - (16*x^3)/25 + (9*x^4)/5 + (121*log(3 + 5*x))/3125, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^1)/(3 + 5*x), (43*x)/125 - (28*x^2)/25 + (4*x^3)/5 + (121//625)*log(3 + 5*x), x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^0)/(3 + 5*x), -((32*x)/25) + (2*x^2)/5 + (121//125)*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^1*(3 + 5*x)), (4*x)/15 - (49*log(2 + 3*x))/9 + (121*log(3 + 5*x))/25, x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)), 49/(9*(2 + 3*x)) - (217*log(2 + 3*x))/9 + (121*log(3 + 5*x))/5, x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)), 49/(18*(2 + 3*x)^2) + 217/(9*(2 + 3*x)) - 121*log(2 + 3*x) + 121*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)), 49/(27*(2 + 3*x)^3) + 217/(18*(2 + 3*x)^2) + 121/(2 + 3*x) - 605*log(2 + 3*x) + 605*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)), 49/(36*(2 + 3*x)^4) + 217/(27*(2 + 3*x)^3) + 121/(2*(2 + 3*x)^2) + 605/(2 + 3*x) - 3025*log(2 + 3*x) + 3025*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)), 49/(45*(2 + 3*x)^5) + 217/(36*(2 + 3*x)^4) + 121/(3*(2 + 3*x)^3) + 605/(2*(2 + 3*x)^2) + 3025/(2 + 3*x) - 15125*log(2 + 3*x) + 15125*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)), 49/(54*(2 + 3*x)^6) + 217/(45*(2 + 3*x)^5) + 121/(4*(2 + 3*x)^4) + 605/(3*(2 + 3*x)^3) + 3025/(2*(2 + 3*x)^2) + 15125/(2 + 3*x) - 75625*log(2 + 3*x) + 75625*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^8*(3 + 5*x)), 7/(9*(2 + 3*x)^7) + 217/(54*(2 + 3*x)^6) + 121/(5*(2 + 3*x)^5) + 605/(4*(2 + 3*x)^4) + 3025/(3*(2 + 3*x)^3) + 15125/(2*(2 + 3*x)^2) + 75625/(2 + 3*x) - 378125*log(2 + 3*x) + 378125*log(3 + 5*x), x, 2),
+
+
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^7)/(3 + 5*x)^2, (27776932*x)/1953125 + (17592879*x^2)/781250 - (1512378*x^3)/78125 - (213867*x^4)/2500 - (656424*x^5)/15625 + (116397*x^6)/1250 + (107892*x^7)/875 + (2187*x^8)/50 - 121/(9765625*(3 + 5*x)) + (2497*log(3 + 5*x))/9765625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^6)/(3 + 5*x)^2, (2777053*x)/390625 + (463086*x^2)/78125 - (48771*x^3)/3125 - (157599*x^4)/6250 + (28917*x^5)/3125 + (4374*x^6)/125 + (2916*x^7)/175 - 121/(1953125*(3 + 5*x)) + (2134*log(3 + 5*x))/1953125, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^5)/(3 + 5*x)^2, (277174*x)/78125 + (1893*x^2)/6250 - (25332*x^3)/3125 - (8721*x^4)/2500 + (5508*x^5)/625 + (162*x^6)/25 - 121/(390625*(3 + 5*x)) + (1771*log(3 + 5*x))/390625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x)^2, (5459*x)/3125 - (3621*x^2)/3125 - (1809*x^3)/625 + (189*x^4)/125 + (324*x^5)/125 - 121/(78125*(3 + 5*x)) + (1408*log(3 + 5*x))/78125, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x)^2, (2416*x)/3125 - (1449*x^2)/1250 - (36*x^3)/125 + (27*x^4)/25 - 121/(15625*(3 + 5*x)) + (209*log(3 + 5*x))/3125, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x)^2, (37*x)/625 - (78*x^2)/125 + (12*x^3)/25 - 121/(3125*(3 + 5*x)) + (682*log(3 + 5*x))/3125, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^1)/(3 + 5*x)^2, (-92*x)/125 + (6*x^2)/25 - 121/(625*(3 + 5*x)) + (319*log(3 + 5*x))/625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^0)/(3 + 5*x)^2, (4*x)/25 - 121/(125*(3 + 5*x)) - (44*log(3 + 5*x))/125, x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^1*(3 + 5*x)^2), -121/(25*(3 + 5*x)) + (49*log(2 + 3*x))/3 - (407*log(3 + 5*x))/25, x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2), -49/(3*(2 + 3*x)) - 121/(5*(3 + 5*x)) + 154*log(2 + 3*x) - 154*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2), -49/(6*(2 + 3*x)^2) - 154/(2 + 3*x) - 121/(3 + 5*x) + 1133*log(2 + 3*x) - 1133*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2), -49/(9*(2 + 3*x)^3) - 77/(2 + 3*x)^2 - 1133/(2 + 3*x) - 605/(3 + 5*x) + 7480*log(2 + 3*x) - 7480*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^2), -49/(12*(2 + 3*x)^4) - 154/(3*(2 + 3*x)^3) - 1133/(2*(2 + 3*x)^2) - 7480/(2 + 3*x) - 3025/(3 + 5*x) + 46475*log(2 + 3*x) - 46475*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^2), -49/(15*(2 + 3*x)^5) - 77/(2*(2 + 3*x)^4) - 1133/(3*(2 + 3*x)^3) - 3740/(2 + 3*x)^2 - 46475/(2 + 3*x) - 15125/(3 + 5*x) + 277750*log(2 + 3*x) - 277750*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)^2), -49/(18*(2 + 3*x)^6) - 154/(5*(2 + 3*x)^5) - 1133/(4*(2 + 3*x)^4) - 7480/(3*(2 + 3*x)^3) - 46475/(2*(2 + 3*x)^2) - 277750/(2 + 3*x) - 75625/(3 + 5*x) + 1615625*log(2 + 3*x) - 1615625*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^8*(3 + 5*x)^2), -7/(3*(2 + 3*x)^7) - 77/(3*(2 + 3*x)^6) - 1133/(5*(2 + 3*x)^5) - 1870/(2 + 3*x)^4 - 46475/(3*(2 + 3*x)^3) - 138875/(2 + 3*x)^2 - 1615625/(2 + 3*x) - 378125/(3 + 5*x) + 9212500*log(2 + 3*x) - 9212500*log(3 + 5*x), x, 2),
+
+
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^8)/(3 + 5*x)^3, (92582457*x)/9765625 + (55559043*x^2)/3906250 - (5350194*x^3)/390625 - (1700919*x^4)/31250 - (74601*x^5)/3125 + (376407*x^6)/6250 + (332424*x^7)/4375 + (6561*x^8)/250 - 121/(97656250*(3 + 5*x)^2) - 572/(9765625*(3 + 5*x)) + (5888*log(3 + 5*x))/9765625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^7)/(3 + 5*x)^3, (9251661*x)/1953125 + (1390203*x^2)/390625 - (162612*x^3)/15625 - (193833*x^4)/12500 + (104247*x^5)/15625 + (13608*x^6)/625 + (8748*x^7)/875 - 121/(19531250*(3 + 5*x)^2) - 2497/(9765625*(3 + 5*x)) + (21949*log(3 + 5*x))/9765625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^6)/(3 + 5*x)^3, (920502*x)/390625 + (189*x^2)/15625 - (16299*x^3)/3125 - (23571*x^4)/12500 + (17496*x^5)/3125 + (486*x^6)/125 - 121/(3906250*(3 + 5*x)^2) - 2134/(1953125*(3 + 5*x)) + (15547*log(3 + 5*x))/1953125, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^5)/(3 + 5*x)^3, (17796*x)/15625 - (5301*x^2)/6250 - (5499*x^3)/3125 + (648*x^4)/625 + (972*x^5)/625 - 121/(781250*(3 + 5*x)^2) - 1771/(390625*(3 + 5*x)) + (10234*log(3 + 5*x))/390625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x)^3, (1419*x)/3125 - (4779*x^2)/6250 - (72*x^3)/625 + (81*x^4)/125 - 121/(156250*(3 + 5*x)^2) - 1408/(78125*(3 + 5*x)) + (1202*log(3 + 5*x))/15625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x)^3, (-153*x)/3125 - (216*x^2)/625 + (36*x^3)/125 - 121/(31250*(3 + 5*x)^2) - 209/(3125*(3 + 5*x)) + (23*log(3 + 5*x))/125, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x)^3, (-264*x)/625 + (18*x^2)/125 - 121/(6250*(3 + 5*x)^2) - 682/(3125*(3 + 5*x)) + (829*log(3 + 5*x))/3125, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^1)/(3 + 5*x)^3, (12*x)/125 - 121/(1250*(3 + 5*x)^2) - 319/(625*(3 + 5*x)) - (128*log(3 + 5*x))/625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^0)/(3 + 5*x)^3, -121/(250*(3 + 5*x)^2) + 44/(125*(3 + 5*x)) + (4*log(3 + 5*x))/125, x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^1*(3 + 5*x)^3), -121/(50*(3 + 5*x)^2) + 407/(25*(3 + 5*x)) - 49*log(2 + 3*x) + 49*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3), 49/(2 + 3*x) - 121/(10*(3 + 5*x)^2) + 154/(3 + 5*x) - 707*log(2 + 3*x) + 707*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3), 49/(2*(2 + 3*x)^2) + 707/(2 + 3*x) - 121/(2*(3 + 5*x)^2) + 1133/(3 + 5*x) - 6934*log(2 + 3*x) + 6934*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3), 49/(3*(2 + 3*x)^3) + 707/(2*(2 + 3*x)^2) + 6934/(2 + 3*x) - 605/(2*(3 + 5*x)^2) + 7480/(3 + 5*x) - 57110*log(2 + 3*x) + 57110*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^3), 49/(4*(2 + 3*x)^4) + 707/(3*(2 + 3*x)^3) + 3467/(2 + 3*x)^2 + 57110/(2 + 3*x) - 3025/(2*(3 + 5*x)^2) + 46475/(3 + 5*x) - 424975*log(2 + 3*x) + 424975*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^3), 49/(5*(2 + 3*x)^5) + 707/(4*(2 + 3*x)^4) + 6934/(3*(2 + 3*x)^3) + 28555/(2 + 3*x)^2 + 424975/(2 + 3*x) - 15125/(2*(3 + 5*x)^2) + 277750/(3 + 5*x) - 2958125*log(2 + 3*x) + 2958125*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)^3), 49/(6*(2 + 3*x)^6) + 707/(5*(2 + 3*x)^5) + 3467/(2*(2 + 3*x)^4) + 57110/(3*(2 + 3*x)^3) + 424975/(2*(2 + 3*x)^2) + 2958125/(2 + 3*x) - 75625/(2*(3 + 5*x)^2) + 1615625/(3 + 5*x) - 19637500*log(2 + 3*x) + 19637500*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^2/((2 + 3*x)^8*(3 + 5*x)^3), 7/(2 + 3*x)^7 + 707/(6*(2 + 3*x)^6) + 6934/(5*(2 + 3*x)^5) + 28555/(2*(2 + 3*x)^4) + 424975/(3*(2 + 3*x)^3) + 2958125/(2*(2 + 3*x)^2) + 19637500/(2 + 3*x) - 378125/(2*(3 + 5*x)^2) + 9212500/(3 + 5*x) - 125825000*log(2 + 3*x) + 125825000*log(3 + 5*x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^3
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^8*(3 + 5*x), (-343*(2 + 3*x)^9)/2187 + (2009*(2 + 3*x)^10)/2430 - (518*(2 + 3*x)^11)/891 + (107*(2 + 3*x)^12)/729 - (40*(2 + 3*x)^13)/3159, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^7*(3 + 5*x), -((343*(2 + 3*x)^8)/1944) + (2009*(2 + 3*x)^9)/2187 - (259//405)*(2 + 3*x)^10 + (428*(2 + 3*x)^11)/2673 - (10//729)*(2 + 3*x)^12, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^6*(3 + 5*x), (-(49//243))*(2 + 3*x)^7 + (2009*(2 + 3*x)^8)/1944 - (518//729)*(2 + 3*x)^9 + (214*(2 + 3*x)^10)/1215 - (40*(2 + 3*x)^11)/2673, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x), -((343*(2 + 3*x)^6)/1458) + (287//243)*(2 + 3*x)^7 - (259//324)*(2 + 3*x)^8 + (428*(2 + 3*x)^9)/2187 - (4//243)*(2 + 3*x)^10, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x), -((343*(2 + 3*x)^5)/1215) + (2009*(2 + 3*x)^6)/1458 - (74//81)*(2 + 3*x)^7 + (107//486)*(2 + 3*x)^8 - (40*(2 + 3*x)^9)/2187, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x), 24*x + 2*x^2 - 86*x^3 - (117*x^4)/4 + (949*x^5)/5 + 111*x^6 - (1188*x^7)/7 - 135*x^8, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x), 12*x - 8*x^2 - 35*x^3 + (99*x^4)/4 + (326*x^5)/5 - 26*x^6 - (360*x^7)/7, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^1*(3 + 5*x), (-(77//32))*(1 - 2*x)^4 + (17//10)*(1 - 2*x)^5 - (5//16)*(1 - 2*x)^6, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^0*(3 + 5*x), (-(11//16))*(1 - 2*x)^4 + (1//4)*(1 - 2*x)^5, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^1, (293*x)/81 - (161*x^2)/27 + (188*x^3)/27 - (10*x^4)/3 - (343//243)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^2, (-286*x)/27 + (134*x^2)/27 - (40*x^3)/27 + 343/(243*(2 + 3*x)) + (2009*log(2 + 3*x))/243, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^3, (116*x)/27 - (20*x^2)/27 + 343/(486*(2 + 3*x)^2) - 2009/(243*(2 + 3*x)) - (518*log(2 + 3*x))/81, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^4, (-40*x)/81 + 343/(729*(2 + 3*x)^3) - 2009/(486*(2 + 3*x)^2) + 518/(81*(2 + 3*x)) + (428*log(2 + 3*x))/243, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^5, 343/(972*(2 + 3*x)^4) - 2009/(729*(2 + 3*x)^3) + 259/(81*(2 + 3*x)^2) - 428/(243*(2 + 3*x)) - (40//243)*log(2 + 3*x), x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^6, (1 - 2*x)^4/(105*(2 + 3*x)^5) - (173*(1 - 2*x)^4)/(2940*(2 + 3*x)^4), x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^7, (1 - 2*x)^4/(126*(2 + 3*x)^6) - (103*(1 - 2*x)^4)/(2205*(2 + 3*x)^5) - (103*(1 - 2*x)^4)/(30870*(2 + 3*x)^4), x, 3),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^8, 49/(243*(2 + 3*x)^7) - 2009/(1458*(2 + 3*x)^6) + 518/(405*(2 + 3*x)^5) - 107/(243*(2 + 3*x)^4) + 40/(729*(2 + 3*x)^3), x, 2),
+
+
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^8*(3 + 5*x)^2, (343*(2 + 3*x)^9)/6561 - (1862*(2 + 3*x)^10)/3645 + (11599*(2 + 3*x)^11)/8019 - (4099*(2 + 3*x)^12)/4374 + (2180*(2 + 3*x)^13)/9477 - (100*(2 + 3*x)^14)/5103, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)^2, (343*(2 + 3*x)^8)/5832 - (3724*(2 + 3*x)^9)/6561 + (11599*(2 + 3*x)^10)/7290 - (8198*(2 + 3*x)^11)/8019 + (545*(2 + 3*x)^12)/2187 - (200*(2 + 3*x)^13)/9477, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^2, (49//729)*(2 + 3*x)^7 - (931*(2 + 3*x)^8)/1458 + (11599*(2 + 3*x)^9)/6561 - (4099*(2 + 3*x)^10)/3645 + (2180*(2 + 3*x)^11)/8019 - (50*(2 + 3*x)^12)/2187, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^2, (343*(2 + 3*x)^6)/4374 - (532//729)*(2 + 3*x)^7 + (11599*(2 + 3*x)^8)/5832 - (8198*(2 + 3*x)^9)/6561 + (218//729)*(2 + 3*x)^10 - (200*(2 + 3*x)^11)/8019, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2, (343*(2 + 3*x)^5)/3645 - (1862*(2 + 3*x)^6)/2187 + (1657//729)*(2 + 3*x)^7 - (4099*(2 + 3*x)^8)/2916 + (2180*(2 + 3*x)^9)/6561 - (20//729)*(2 + 3*x)^10, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2, 72*x + 66*x^2 - (754*x^3)/3 - (1641*x^4)/4 + (2262*x^5)/5 + (6743*x^6)/6 - (234*x^7)/7 - (2295*x^8)/2 - 600*x^9, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2, 36*x + 6*x^2 - (395*x^3)/3 - 57*x^4 + (1473*x^5)/5 + (581*x^6)/3 - (1860*x^7)/7 - 225*x^8, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^1*(3 + 5*x)^2, 18*x - (21*x^2)/2 - (166*x^3)/3 + (135*x^4)/4 + (534*x^5)/5 - (110*x^6)/3 - (600*x^7)/7, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^0*(3 + 5*x)^2, (-(121//32))*(1 - 2*x)^4 + (11//4)*(1 - 2*x)^5 - (25//48)*(1 - 2*x)^6, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x), (922*x)/243 - (1433*x^2)/162 + (82*x^3)/81 + (145*x^4)/9 - (40*x^5)/3 + (343*log(2 + 3*x))/729, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^2, (2323*x)/243 - (313*x^2)/27 + (980*x^3)/81 - (50*x^4)/9 - 343/(729*(2 + 3*x)) - (3724*log(2 + 3*x))/729, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^3, (-1546*x)/81 + (230*x^2)/27 - (200*x^3)/81 - 343/(1458*(2 + 3*x)^2) + 3724/(729*(2 + 3*x)) + (11599*log(2 + 3*x))/729, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^4, (1780*x)/243 - (100*x^2)/81 - 343/(2187*(2 + 3*x)^3) + 1862/(729*(2 + 3*x)^2) - 11599/(729*(2 + 3*x)) - (8198*log(2 + 3*x))/729, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^5, (-200*x)/243 - 343/(2916*(2 + 3*x)^4) + 3724/(2187*(2 + 3*x)^3) - 11599/(1458*(2 + 3*x)^2) + 8198/(729*(2 + 3*x)) + (2180*log(2 + 3*x))/729, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^6, -343/(3645*(2 + 3*x)^5) + 931/(729*(2 + 3*x)^4) - 11599/(2187*(2 + 3*x)^3) + 4099/(729*(2 + 3*x)^2) - 2180/(729*(2 + 3*x)) - (200*log(2 + 3*x))/729, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^7, -343/(4374*(2 + 3*x)^6) + 3724/(3645*(2 + 3*x)^5) - 11599/(2916*(2 + 3*x)^4) + 8198/(2187*(2 + 3*x)^3) - 1090/(729*(2 + 3*x)^2) + 200/(729*(2 + 3*x)), x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^8, -49/(729*(2 + 3*x)^7) + 1862/(2187*(2 + 3*x)^6) - 11599/(3645*(2 + 3*x)^5) + 4099/(1458*(2 + 3*x)^4) - 2180/(2187*(2 + 3*x)^3) + 100/(729*(2 + 3*x)^2), x, 2),
+
+
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)^3, -((343*(2 + 3*x)^8)/17496) + (1813*(2 + 3*x)^9)/6561 - (10073*(2 + 3*x)^10)/7290 + (66193*(2 + 3*x)^11)/24057 - (7195*(2 + 3*x)^12)/4374 + (3700*(2 + 3*x)^13)/9477 - (500*(2 + 3*x)^14)/15309, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^3, -((49*(2 + 3*x)^7)/2187) + (1813*(2 + 3*x)^8)/5832 - (10073*(2 + 3*x)^9)/6561 + (66193*(2 + 3*x)^10)/21870 - (14390*(2 + 3*x)^11)/8019 + (925*(2 + 3*x)^12)/2187 - (1000*(2 + 3*x)^13)/28431, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^3, -((343*(2 + 3*x)^6)/13122) + (259//729)*(2 + 3*x)^7 - (10073*(2 + 3*x)^8)/5832 + (66193*(2 + 3*x)^9)/19683 - (1439//729)*(2 + 3*x)^10 + (3700*(2 + 3*x)^11)/8019 - (250*(2 + 3*x)^12)/6561, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3, 432*x + 1080*x^2 - 312*x^3 - 5548*x^4 - (28917*x^5)/5 + (19607*x^6)/2 + 22949*x^7 + (41619*x^8)/8 - 23370*x^9 - 24030*x^10 - (81000*x^11)/11, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3, 216*x + 378*x^2 - 534*x^3 - (8693*x^4)/4 - (1419*x^5)/5 + (10513*x^6)/2 + (33013*x^7)/7 - (14355*x^8)/4 - 6900*x^9 - 2700*x^10, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3, 108*x + 108*x^2 - 375*x^3 - (2659*x^4)/4 + (3279*x^5)/5 + (3617*x^6)/2 + (230*x^7)/7 - (3675*x^8)/2 - 1000*x^9, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^1*(3 + 5*x)^3, 54*x + (27*x^2)/2 - 201*x^3 - (425*x^4)/4 + (2277*x^5)/5 + 335*x^6 - (2900*x^7)/7 - 375*x^8, x, 2),
+((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^0*(3 + 5*x)^3, 27*x - (27*x^2)/2 - 87*x^3 + (179*x^4)/4 + 174*x^5 - 50*x^6 - (1000*x^7)/7, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^1, (10013*x)/729 - (8287*x^2)/486 - (6427*x^3)/243 + (2815*x^4)/54 + (220*x^5)/9 - (500*x^6)/9 - (343*log(2 + 3*x))/2187, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^2, (2287*x)/729 - (5287*x^2)/486 - (190*x^3)/81 + (775*x^4)/27 - (200*x^5)/9 + 343/(2187*(2 + 3*x)) + (1813*log(2 + 3*x))/729, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^3, (16253*x)/729 - (1795*x^2)/81 + (1700*x^3)/81 - (250*x^4)/27 + 343/(4374*(2 + 3*x)^2) - 1813/(729*(2 + 3*x)) - (10073*log(2 + 3*x))/729, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^4, (-24970*x)/729 + (3550*x^2)/243 - (1000*x^3)/243 + 343/(6561*(2 + 3*x)^3) - 1813/(1458*(2 + 3*x)^2) + 10073/(729*(2 + 3*x)) + (66193*log(2 + 3*x))/2187, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^5, (9100*x)/729 - (500*x^2)/243 + 343/(8748*(2 + 3*x)^4) - 1813/(2187*(2 + 3*x)^3) + 10073/(1458*(2 + 3*x)^2) - 66193/(2187*(2 + 3*x)) - (14390*log(2 + 3*x))/729, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^6, (-1000*x)/729 + 343/(10935*(2 + 3*x)^5) - 1813/(2916*(2 + 3*x)^4) + 10073/(2187*(2 + 3*x)^3) - 66193/(4374*(2 + 3*x)^2) + 14390/(729*(2 + 3*x)) + (3700*log(2 + 3*x))/729, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^7, 343/(13122*(2 + 3*x)^6) - 1813/(3645*(2 + 3*x)^5) + 10073/(2916*(2 + 3*x)^4) - 66193/(6561*(2 + 3*x)^3) + 7195/(729*(2 + 3*x)^2) - 3700/(729*(2 + 3*x)) - (1000*log(2 + 3*x))/2187, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^8, 49/(2187*(2 + 3*x)^7) - 1813/(4374*(2 + 3*x)^6) + 10073/(3645*(2 + 3*x)^5) - 66193/(8748*(2 + 3*x)^4) + 14390/(2187*(2 + 3*x)^3) - 1850/(729*(2 + 3*x)^2) + 1000/(2187*(2 + 3*x)), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^6)/(3 + 5*x), (41666223*x)/1953125 + (11111259*x^2)/781250 - (17453753*x^3)/234375 - (5848749*x^4)/62500 + (2212083*x^5)/15625 + (331713*x^6)/1250 - (40338*x^7)/875 - (13851*x^8)/50 - (648*x^9)/5 + (1331*log(3 + 5*x))/9765625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^5)/(3 + 5*x), (4166223*x)/390625 - (138741*x^2)/156250 - (1703753*x^3)/46875 - (73749*x^4)/12500 + (243333*x^5)/3125 + (4419*x^6)/125 - (11988*x^7)/175 - (243*x^8)/5 + (1331*log(3 + 5*x))/1953125, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x), (416223*x)/78125 - (138741*x^2)/31250 - (128753*x^3)/9375 + (31251*x^4)/2500 + (14958*x^5)/625 - (306*x^6)/25 - (648*x^7)/35 + (1331*log(3 + 5*x))/390625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x), (41223*x)/15625 - (26241*x^2)/6250 - (5003*x^3)/1875 + (2313*x^4)/250 + (108*x^5)/125 - (36*x^6)/5 + (1331*log(3 + 5*x))/78125, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x), (3723*x)/3125 - (3741*x^2)/1250 + (622*x^3)/375 + (69*x^4)/25 - (72*x^5)/25 + (1331*log(3 + 5*x))/15625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^1)/(3 + 5*x), -((27*x)/625) - (183*x^2)/125 + (172*x^3)/75 - (6*x^4)/5 + (1331*log(3 + 5*x))/3125, x, 2),
+((1 - 2*x)^3/(3 + 5*x), -((402*x)/125) + (42*x^2)/25 - (8*x^3)/15 + (1331//625)*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)), (332*x)/225 - (4*x^2)/15 - (343*log(2 + 3*x))/27 + (1331*log(3 + 5*x))/125, x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)), (-8*x)/45 + 343/(27*(2 + 3*x)) - (1421*log(2 + 3*x))/27 + (1331*log(3 + 5*x))/25, x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)), 343/(54*(2 + 3*x)^2) + 1421/(27*(2 + 3*x)) - (7189*log(2 + 3*x))/27 + (1331*log(3 + 5*x))/5, x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)), 343/(81*(2 + 3*x)^3) + 1421/(54*(2 + 3*x)^2) + 7189/(27*(2 + 3*x)) - 1331*log(2 + 3*x) + 1331*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)), 343/(108*(2 + 3*x)^4) + 1421/(81*(2 + 3*x)^3) + 7189/(54*(2 + 3*x)^2) + 1331/(2 + 3*x) - 6655*log(2 + 3*x) + 6655*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)), 343/(135*(2 + 3*x)^5) + 1421/(108*(2 + 3*x)^4) + 7189/(81*(2 + 3*x)^3) + 1331/(2*(2 + 3*x)^2) + 6655/(2 + 3*x) - 33275*log(2 + 3*x) + 33275*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)), 343/(162*(2 + 3*x)^6) + 1421/(135*(2 + 3*x)^5) + 7189/(108*(2 + 3*x)^4) + 1331/(3*(2 + 3*x)^3) + 6655/(2*(2 + 3*x)^2) + 33275/(2 + 3*x) - 166375*log(2 + 3*x) + 166375*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^8*(3 + 5*x)), 49/(27*(2 + 3*x)^7) + 1421/(162*(2 + 3*x)^6) + 7189/(135*(2 + 3*x)^5) + 1331/(4*(2 + 3*x)^4) + 6655/(3*(2 + 3*x)^3) + 33275/(2*(2 + 3*x)^2) + 166375/(2 + 3*x) - 831875*log(2 + 3*x) + 831875*log(3 + 5*x), x, 2),
+
+
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^6)/(3 + 5*x)^2, (13880997*x)/1953125 - (461623*x^2)/390625 - (1836723*x^3)/78125 - (5643*x^4)/3125 + (774981*x^5)/15625 + (12231*x^6)/625 - (37908*x^7)/875 - (729*x^8)/25 - 1331/(9765625*(3 + 5*x)) + (23232*log(3 + 5*x))/9765625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^5)/(3 + 5*x)^2, (1382328*x)/390625 - (507023*x^2)/156250 - (26594*x^3)/3125 + (108387*x^4)/12500 + (44982*x^5)/3125 - (1026*x^6)/125 - (1944*x^7)/175 - 1331/(1953125*(3 + 5*x)) + (19239*log(3 + 5*x))/1953125, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x)^2, (133659*x)/78125 - (1816*x^2)/625 - (4217*x^3)/3125 + (7317*x^4)/1250 + (108*x^5)/625 - (108*x^6)/25 - 1331/(390625*(3 + 5*x)) + (15246*log(3 + 5*x))/390625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x)^2, (1998*x)/3125 - (12077*x^2)/6250 + (786*x^3)/625 + (189*x^4)/125 - (216*x^5)/125 - 1331/(78125*(3 + 5*x)) + (11253*log(3 + 5*x))/78125, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x)^2, (-1179*x)/3125 - (427*x^2)/625 + (164*x^3)/125 - (18*x^4)/25 - 1331/(15625*(3 + 5*x)) + (1452*log(3 + 5*x))/3125, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^2, (-1098*x)/625 + (122*x^2)/125 - (8*x^3)/25 - 1331/(3125*(3 + 5*x)) + (3267*log(3 + 5*x))/3125, x, 2),
+((1 - 2*x)^3/(3 + 5*x)^2, (108*x)/125 - (4*x^2)/25 - 1331/(625*(3 + 5*x)) - (726*log(3 + 5*x))/625, x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2), (-8*x)/75 - 1331/(125*(3 + 5*x)) + (343*log(2 + 3*x))/9 - (4719*log(3 + 5*x))/125, x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2), -343/(9*(2 + 3*x)) - 1331/(25*(3 + 5*x)) + (3136*log(2 + 3*x))/9 - (8712*log(3 + 5*x))/25, x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2), -343/(18*(2 + 3*x)^2) - 3136/(9*(2 + 3*x)) - 1331/(5*(3 + 5*x)) + 2541*log(2 + 3*x) - 2541*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2), -343/(27*(2 + 3*x)^3) - 1568/(9*(2 + 3*x)^2) - 2541/(2 + 3*x) - 1331/(3 + 5*x) + 16698*log(2 + 3*x) - 16698*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^2), -343/(36*(2 + 3*x)^4) - 3136/(27*(2 + 3*x)^3) - 2541/(2*(2 + 3*x)^2) - 16698/(2 + 3*x) - 6655/(3 + 5*x) + 103455*log(2 + 3*x) - 103455*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^2), -343/(45*(2 + 3*x)^5) - 784/(9*(2 + 3*x)^4) - 847/(2 + 3*x)^3 - 8349/(2 + 3*x)^2 - 103455/(2 + 3*x) - 33275/(3 + 5*x) + 617100*log(2 + 3*x) - 617100*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)^2), -343/(54*(2 + 3*x)^6) - 3136/(45*(2 + 3*x)^5) - 2541/(4*(2 + 3*x)^4) - 5566/(2 + 3*x)^3 - 103455/(2*(2 + 3*x)^2) - 617100/(2 + 3*x) - 166375/(3 + 5*x) + 3584625*log(2 + 3*x) - 3584625*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^8*(3 + 5*x)^2), -49/(9*(2 + 3*x)^7) - 1568/(27*(2 + 3*x)^6) - 2541/(5*(2 + 3*x)^5) - 8349/(2*(2 + 3*x)^4) - 34485/(2 + 3*x)^3 - 308550/(2 + 3*x)^2 - 3584625/(2 + 3*x) - 831875/(3 + 5*x) + 20418750*log(2 + 3*x) - 20418750*log(3 + 5*x), x, 2),
+
+
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^7)/(3 + 5*x)^3, (46214407*x)/9765625 - (2300646*x^2)/1953125 - (5918904*x^3)/390625 + (6507*x^4)/62500 + (491913*x^5)/15625 + (33291*x^6)/3125 - (119556*x^7)/4375 - (2187*x^8)/125 - 1331/(97656250*(3 + 5*x)^2) - 1089/(1953125*(3 + 5*x)) + (47289*log(3 + 5*x))/9765625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^6)/(3 + 5*x)^3, (4571416*x)/1953125 - (915777*x^2)/390625 - (81747*x^3)/15625 + (74223*x^4)/12500 + (134622*x^5)/15625 - (3402*x^6)/625 - (5832*x^7)/875 - 1331/(19531250*(3 + 5*x)^2) - 23232/(9765625*(3 + 5*x)) + (166749*log(3 + 5*x))/9765625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^5)/(3 + 5*x)^3, (424432*x)/390625 - (62097*x^2)/31250 - (393*x^3)/625 + (22977*x^4)/6250 - (324*x^5)/3125 - (324*x^6)/125 - 1331/(3906250*(3 + 5*x)^2) - 19239/(1953125*(3 + 5*x)) + (109032*log(3 + 5*x))/1953125, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x)^3, (4691*x)/15625 - (7617*x^2)/6250 + (2826*x^3)/3125 + (513*x^4)/625 - (648*x^5)/625 - 1331/(781250*(3 + 5*x)^2) - 15246/(390625*(3 + 5*x)) + (63294*log(3 + 5*x))/390625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x)^3, (-1303*x)/3125 - (927*x^2)/3125 + (468*x^3)/625 - (54*x^4)/125 - 1331/(156250*(3 + 5*x)^2) - 11253/(78125*(3 + 5*x)) + (5907*log(3 + 5*x))/15625, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x)^3, (-2978*x)/3125 + (354*x^2)/625 - (24*x^3)/125 - 1331/(31250*(3 + 5*x)^2) - 1452/(3125*(3 + 5*x)) + (1551*log(3 + 5*x))/3125, x, 2),
+(((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^3, (316*x)/625 - (12*x^2)/125 - 1331/(6250*(3 + 5*x)^2) - 3267/(3125*(3 + 5*x)) - (2046*log(3 + 5*x))/3125, x, 2),
+((1 - 2*x)^3/(3 + 5*x)^3, (-8*x)/125 - 1331/(1250*(3 + 5*x)^2) + 726/(625*(3 + 5*x)) + (132*log(3 + 5*x))/625, x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3), -1331/(250*(3 + 5*x)^2) + 4719/(125*(3 + 5*x)) - (343*log(2 + 3*x))/3 + (14289*log(3 + 5*x))/125, x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3), 343/(3*(2 + 3*x)) - 1331/(50*(3 + 5*x)^2) + 8712/(25*(3 + 5*x)) - 1617*log(2 + 3*x) + 1617*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3), 343/(6*(2 + 3*x)^2) + 1617/(2 + 3*x) - 1331/(10*(3 + 5*x)^2) + 2541/(3 + 5*x) - 15708*log(2 + 3*x) + 15708*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3), 343/(9*(2 + 3*x)^3) + 1617/(2*(2 + 3*x)^2) + 15708/(2 + 3*x) - 1331/(2*(3 + 5*x)^2) + 16698/(3 + 5*x) - 128634*log(2 + 3*x) + 128634*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^3), 343/(12*(2 + 3*x)^4) + 539/(2 + 3*x)^3 + 7854/(2 + 3*x)^2 + 128634/(2 + 3*x) - 6655/(2*(3 + 5*x)^2) + 103455/(3 + 5*x) - 953535*log(2 + 3*x) + 953535*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^3), 343/(15*(2 + 3*x)^5) + 1617/(4*(2 + 3*x)^4) + 5236/(2 + 3*x)^3 + 64317/(2 + 3*x)^2 + 953535/(2 + 3*x) - 33275/(2*(3 + 5*x)^2) + 617100/(3 + 5*x) - 6618975*log(2 + 3*x) + 6618975*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)^3), 343/(18*(2 + 3*x)^6) + 1617/(5*(2 + 3*x)^5) + 3927/(2 + 3*x)^4 + 42878/(2 + 3*x)^3 + 953535/(2*(2 + 3*x)^2) + 6618975/(2 + 3*x) - 166375/(2*(3 + 5*x)^2) + 3584625/(3 + 5*x) - 43848750*log(2 + 3*x) + 43848750*log(3 + 5*x), x, 2),
+((1 - 2*x)^3/((2 + 3*x)^8*(3 + 5*x)^3), 49/(3*(2 + 3*x)^7) + 539/(2*(2 + 3*x)^6) + 15708/(5*(2 + 3*x)^5) + 64317/(2*(2 + 3*x)^4) + 317845/(2 + 3*x)^3 + 6618975/(2*(2 + 3*x)^2) + 43848750/(2 + 3*x) - 831875/(2*(3 + 5*x)^2) + 20418750/(3 + 5*x) - 280500000*log(2 + 3*x) + 280500000*log(3 + 5*x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n / (e+f x)^1
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(((2 + 3*x)^8*(3 + 5*x))/(1 - 2*x), -((63019595*x)/512) - (60332619*x^2)/512 - (17391129*x^3)/128 - (37722699*x^4)/256 - (21272139*x^5)/160 - (2929689*x^6)/32 - (353565*x^7)/8 - (422091*x^8)/32 - (3645*x^9)/2 - (63412811*log(1 - 2*x))/1024, x, 2),
+(((2 + 3*x)^7*(3 + 5*x))/(1 - 2*x), -((8960669*x)/256) - (8362653*x^2)/256 - (2257119*x^3)/64 - (4352157*x^4)/128 - (2053917*x^5)/80 - (218943*x^6)/16 - (126117*x^7)/28 - (10935*x^8)/16 - (9058973//512)*log(1 - 2*x), x, 2),
+(((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x))/(1 - 2*x), -((1269563*x)/128) - (1138491*x^2)/128 - (279657*x^3)/32 - (458811*x^4)/64 - (169371*x^5)/40 - (12393*x^6)/8 - (3645*x^7)/14 - (1294139//256)*log(1 - 2*x), x, 2),
+(((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x))/(1 - 2*x), -((178733*x)/64) - (150573*x^2)/64 - (32271*x^3)/16 - (42093*x^4)/32 - (10773*x^5)/20 - (405*x^6)/4 - (184877//128)*log(1 - 2*x), x, 2),
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x))/(1 - 2*x), -((24875*x)/32) - (18987*x^2)/32 - (3321*x^3)/8 - (3051*x^4)/16 - (81*x^5)/2 - (26411//64)*log(1 - 2*x), x, 2),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x))/(1 - 2*x), -((3389*x)/16) - (2205*x^2)/16 - (279*x^3)/4 - (135*x^4)/8 - (3773//32)*log(1 - 2*x), x, 2),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x))/(1 - 2*x), -((443*x)/8) - (219*x^2)/8 - (15*x^3)/2 - (539//16)*log(1 - 2*x), x, 2),
+(((2 + 3*x)^1*(3 + 5*x))/(1 - 2*x), -((53*x)/4) - (15*x^2)/4 - (77//8)*log(1 - 2*x), x, 2),
+((3 + 5*x)/(1 - 2*x), (-5*x)/2 - (11*log(1 - 2*x))/4, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)), (-11*log(1 - 2*x))/14 - log(2 + 3*x)/21, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2), 1/(21*(2 + 3*x)) - (11*log(1 - 2*x))/49 + (11*log(2 + 3*x))/49, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3), 1/(42*(2 + 3*x)^2) - 11/(49*(2 + 3*x)) - (22*log(1 - 2*x))/343 + (22*log(2 + 3*x))/343, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4), 1/(63*(2 + 3*x)^3) - 11/(98*(2 + 3*x)^2) - 22/(343*(2 + 3*x)) - (44*log(1 - 2*x))/2401 + (44*log(2 + 3*x))/2401, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5), 1/(84*(2 + 3*x)^4) - 11/(147*(2 + 3*x)^3) - 11/(343*(2 + 3*x)^2) - 44/(2401*(2 + 3*x)) - (88*log(1 - 2*x))/16807 + (88*log(2 + 3*x))/16807, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^6), 1/(105*(2 + 3*x)^5) - 11/(196*(2 + 3*x)^4) - 22/(1029*(2 + 3*x)^3) - 22/(2401*(2 + 3*x)^2) - 88/(16807*(2 + 3*x)) - (176*log(1 - 2*x))/117649 + (176*log(2 + 3*x))/117649, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^7), 1/(126*(2 + 3*x)^6) - 11/(245*(2 + 3*x)^5) - 11/(686*(2 + 3*x)^4) - 44/(7203*(2 + 3*x)^3) - 44/(16807*(2 + 3*x)^2) - 176/(117649*(2 + 3*x)) - (352*log(1 - 2*x))/823543 + (352*log(2 + 3*x))/823543, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^8), 1/(147*(2 + 3*x)^7) - 11/(294*(2 + 3*x)^6) - 22/(1715*(2 + 3*x)^5) - 11/(2401*(2 + 3*x)^4) - 88/(50421*(2 + 3*x)^3) - 88/(117649*(2 + 3*x)^2) - 352/(823543*(2 + 3*x)) - (704*log(1 - 2*x))/5764801 + (704*log(2 + 3*x))/5764801, x, 2),
+
+
+(((2 + 3*x)^8*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x), (-695181625*x)/1024 - (677093689*x^2)/1024 - (204901139*x^3)/256 - (487203129*x^4)/512 - (316246329*x^5)/320 - (53031699*x^6)/64 - (8399295*x^7)/16 - (14907321*x^8)/64 - (256365*x^9)/4 - (32805*x^10)/4 - (697540921*log(1 - 2*x))/2048, x, 2),
+(((2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x), (-99058879*x)/512 - (94979263*x^2)/512 - (27480469*x^3)/128 - (59969727*x^4)/256 - (34084287*x^5)/160 - (4736853*x^6)/32 - (4040847*x^7)/56 - (696195*x^8)/32 - (6075*x^9)/2 - (99648703*log(1 - 2*x))/1024, x, 2),
+(((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x), (-14088073*x)/256 - (13178761*x^2)/256 - (3575427*x^3)/64 - (6947721*x^4)/128 - (3310281*x^5)/80 - (356643*x^6)/16 - (207765*x^7)/28 - (18225*x^8)/16 - (14235529*log(1 - 2*x))/512, x, 2),
+(((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x), (-1996783*x)/128 - (1797103*x^2)/128 - (444581*x^3)/32 - (736623*x^4)/64 - (275103*x^5)/40 - (20385*x^6)/8 - (6075*x^7)/14 - (2033647*log(1 - 2*x))/256, x, 2),
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x), (-281305*x)/64 - (238297*x^2)/64 - (51571*x^3)/16 - (68121*x^4)/32 - (3537*x^5)/4 - (675*x^6)/4 - (290521*log(1 - 2*x))/128, x, 2),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x), (-39199*x)/32 - (30175*x^2)/32 - (5349*x^3)/8 - (4995*x^4)/16 - (135*x^5)/2 - (41503*log(1 - 2*x))/64, x, 2),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x), (-5353*x)/16 - (3529*x^2)/16 - (455*x^3)/4 - (225*x^4)/8 - (5929*log(1 - 2*x))/32, x, 2),
+(((2 + 3*x)^1*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x), -((703*x)/8) - (355*x^2)/8 - (25*x^3)/2 - (847//16)*log(1 - 2*x), x, 2),
+((3 + 5*x)^2/(1 - 2*x), -((85*x)/4) - (25*x^2)/4 - (121//8)*log(1 - 2*x), x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)), (-25*x)/6 - (121*log(1 - 2*x))/28 + log(2 + 3*x)/63, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2), -1/(63*(2 + 3*x)) - (121*log(1 - 2*x))/98 - (68*log(2 + 3*x))/441, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3), -1/(126*(2 + 3*x)^2) + 68/(441*(2 + 3*x)) - (121*log(1 - 2*x))/343 + (121*log(2 + 3*x))/343, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4), -1/(189*(2 + 3*x)^3) + 34/(441*(2 + 3*x)^2) - 121/(343*(2 + 3*x)) - (242*log(1 - 2*x))/2401 + (242*log(2 + 3*x))/2401, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5), -1/(252*(2 + 3*x)^4) + 68/(1323*(2 + 3*x)^3) - 121/(686*(2 + 3*x)^2) - 242/(2401*(2 + 3*x)) - (484*log(1 - 2*x))/16807 + (484*log(2 + 3*x))/16807, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^6), -1/(315*(2 + 3*x)^5) + 17/(441*(2 + 3*x)^4) - 121/(1029*(2 + 3*x)^3) - 121/(2401*(2 + 3*x)^2) - 484/(16807*(2 + 3*x)) - (968*log(1 - 2*x))/117649 + (968*log(2 + 3*x))/117649, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^7), -1/(378*(2 + 3*x)^6) + 68/(2205*(2 + 3*x)^5) - 121/(1372*(2 + 3*x)^4) - 242/(7203*(2 + 3*x)^3) - 242/(16807*(2 + 3*x)^2) - 968/(117649*(2 + 3*x)) - (1936*log(1 - 2*x))/823543 + (1936*log(2 + 3*x))/823543, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^8), -1/(441*(2 + 3*x)^7) + 34/(1323*(2 + 3*x)^6) - 121/(1715*(2 + 3*x)^5) - 121/(4802*(2 + 3*x)^4) - 484/(50421*(2 + 3*x)^3) - 484/(117649*(2 + 3*x)^2) - 1936/(823543*(2 + 3*x)) - (3872*log(1 - 2*x))/5764801 + (3872*log(2 + 3*x))/5764801, x, 2),
+
+
+(((2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x), (-1092596789*x)/1024 - (1065169973*x^2)/1024 - (969544757*x^3)/768 - (772025397*x^4)/512 - (504354357*x^5)/320 - (85228263*x^6)/64 - (95297877*x^7)/112 - (24381405*x^8)/64 - (423225*x^9)/4 - (54675*x^10)/4 - (1096135733*log(1 - 2*x))/2048, x, 2),
+(((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x), (-155706083*x)/512 - (149512931*x^2)/512 - (130251491*x^3)/384 - (95317731*x^4)/256 - (54600291*x^5)/160 - (7656993*x^6)/32 - (6596235*x^7)/56 - (1148175*x^8)/32 - (10125*x^9)/2 - (156590819*log(1 - 2*x))/1024, x, 2),
+(((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x), (-22148933*x)/256 - (20766533*x^2)/256 - (16987973*x^3)/192 - (11088453*x^4)/128 - (5333733*x^5)/80 - (580815*x^6)/16 - (342225*x^7)/28 - (30375*x^8)/16 - (22370117*log(1 - 2*x))/512, x, 2),
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x), (-3140435*x)/128 - (2836307*x^2)/128 - (2119763*x^3)/96 - (1182291*x^4)/64 - (89343*x^5)/8 - (33525*x^6)/8 - (10125*x^7)/14 - (3195731*log(1 - 2*x))/256, x, 2),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x), (-442709*x)/64 - (377045*x^2)/64 - (247157*x^3)/48 - (110205*x^4)/32 - (5805*x^5)/4 - (1125*x^6)/4 - (456533*log(1 - 2*x))/128, x, 2),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x), (-61763*x)/32 - (47939*x^2)/32 - (25835*x^3)/24 - (8175*x^4)/16 - (225*x^5)/2 - (65219*log(1 - 2*x))/64, x, 2),
+(((2 + 3*x)^1*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x), -((8453*x)/16) - (5645*x^2)/16 - (2225*x^3)/12 - (375*x^4)/8 - (9317//32)*log(1 - 2*x), x, 2),
+((3 + 5*x)^3/(1 - 2*x), -((1115*x)/8) - (575*x^2)/8 - (125*x^3)/6 - (1331//16)*log(1 - 2*x), x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)), (-1225*x)/36 - (125*x^2)/12 - (1331*log(1 - 2*x))/56 - log(2 + 3*x)/189, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2), (-125*x)/18 + 1/(189*(2 + 3*x)) - (1331*log(1 - 2*x))/196 + (103*log(2 + 3*x))/1323, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3), 1/(378*(2 + 3*x)^2) - 103/(1323*(2 + 3*x)) - (1331*log(1 - 2*x))/686 - (3469*log(2 + 3*x))/9261, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4), 1/(567*(2 + 3*x)^3) - 103/(2646*(2 + 3*x)^2) + 3469/(9261*(2 + 3*x)) - (1331*log(1 - 2*x))/2401 + (1331*log(2 + 3*x))/2401, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5), 1/(756*(2 + 3*x)^4) - 103/(3969*(2 + 3*x)^3) + 3469/(18522*(2 + 3*x)^2) - 1331/(2401*(2 + 3*x)) - (2662*log(1 - 2*x))/16807 + (2662*log(2 + 3*x))/16807, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^6), 1/(945*(2 + 3*x)^5) - 103/(5292*(2 + 3*x)^4) + 3469/(27783*(2 + 3*x)^3) - 1331/(4802*(2 + 3*x)^2) - 2662/(16807*(2 + 3*x)) - (5324*log(1 - 2*x))/117649 + (5324*log(2 + 3*x))/117649, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^7), 1/(1134*(2 + 3*x)^6) - 103/(6615*(2 + 3*x)^5) + 3469/(37044*(2 + 3*x)^4) - 1331/(7203*(2 + 3*x)^3) - 1331/(16807*(2 + 3*x)^2) - 5324/(117649*(2 + 3*x)) - (10648*log(1 - 2*x))/823543 + (10648*log(2 + 3*x))/823543, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^8), 1/(1323*(2 + 3*x)^7) - 103/(7938*(2 + 3*x)^6) + 3469/(46305*(2 + 3*x)^5) - 1331/(9604*(2 + 3*x)^4) - 2662/(50421*(2 + 3*x)^3) - 2662/(117649*(2 + 3*x)^2) - 10648/(823543*(2 + 3*x)) - (21296*log(1 - 2*x))/5764801 + (21296*log(2 + 3*x))/5764801, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((a + b*x)^3/((c + d*x)*(e + f*x)), -((b^2*(b*d*e + b*c*f - 3*a*d*f)*x)/(d^2*f^2)) + (b^3*x^2)/(2*d*f) - ((b*c - a*d)^3*log(c + d*x))/(d^3*(d*e - c*f)) + ((b*e - a*f)^3*log(e + f*x))/(f^3*(d*e - c*f)), x, 2),
+
+
+((2 + 3*x)^8/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)), (-40089855591*x)/10000000 - (7136193339*x^2)/2000000 - (345533877*x^3)/100000 - (111146499*x^4)/40000 - (8018271*x^5)/5000 - (114453*x^6)/200 - (6561*x^7)/70 - (5764801*log(1 - 2*x))/2816 + log(3 + 5*x)/4296875, x, 2),
+((2 + 3*x)^7/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)), (-1127138733*x)/1000000 - (187738857*x^2)/200000 - (7889751*x^3)/10000 - (2006937*x^4)/4000 - (99873*x^5)/500 - (729*x^6)/20 - (823543*log(1 - 2*x))/1408 + log(3 + 5*x)/859375, x, 2),
+((2 + 3*x)^6/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)), (-31289679*x)/100000 - (4693491*x^2)/20000 - (159813*x^3)/1000 - (28431*x^4)/400 - (729*x^5)/50 - (117649*log(1 - 2*x))/704 + log(3 + 5*x)/171875, x, 2),
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)), (-848277*x)/10000 - (107433*x^2)/2000 - (2619*x^3)/100 - (243*x^4)/40 - (16807*log(1 - 2*x))/352 + log(3 + 5*x)/34375, x, 2),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)), (-21951*x)/1000 - (2079*x^2)/200 - (27*x^3)/10 - (2401*log(1 - 2*x))/176 + log(3 + 5*x)/6875, x, 2),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)), (-513*x)/100 - (27*x^2)/20 - (343*log(1 - 2*x))/88 + log(3 + 5*x)/1375, x, 2),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)), (-9*x)/10 - (49*log(1 - 2*x))/44 + log(3 + 5*x)/275, x, 2),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)), (-7*log(1 - 2*x))/22 + log(3 + 5*x)/55, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)), (-(1//11))*log(1 - 2*x) + (1//11)*log(3 + 5*x), x, 3),
+(1/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)), (-2*log(1 - 2*x))/77 - (3*log(2 + 3*x))/7 + (5*log(3 + 5*x))/11, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)), 3/(7*(2 + 3*x)) - (4*log(1 - 2*x))/539 - (111*log(2 + 3*x))/49 + (25*log(3 + 5*x))/11, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)), 3/(14*(2 + 3*x)^2) + 111/(49*(2 + 3*x)) - (8*log(1 - 2*x))/3773 - (3897*log(2 + 3*x))/343 + (125*log(3 + 5*x))/11, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)), 1/(7*(2 + 3*x)^3) + 111/(98*(2 + 3*x)^2) + 3897/(343*(2 + 3*x)) - (16*log(1 - 2*x))/26411 - (136419*log(2 + 3*x))/2401 + (625*log(3 + 5*x))/11, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)), 3/(28*(2 + 3*x)^4) + 37/(49*(2 + 3*x)^3) + 3897/(686*(2 + 3*x)^2) + 136419/(2401*(2 + 3*x)) - (32*log(1 - 2*x))/184877 - (4774713*log(2 + 3*x))/16807 + (3125*log(3 + 5*x))/11, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)), 3/(35*(2 + 3*x)^5) + 111/(196*(2 + 3*x)^4) + 1299/(343*(2 + 3*x)^3) + 136419/(4802*(2 + 3*x)^2) + 4774713/(16807*(2 + 3*x)) - (64*log(1 - 2*x))/1294139 - (167115051*log(2 + 3*x))/117649 + (15625*log(3 + 5*x))/11, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)), 1/(14*(2 + 3*x)^6) + 111/(245*(2 + 3*x)^5) + 3897/(1372*(2 + 3*x)^4) + 45473/(2401*(2 + 3*x)^3) + 4774713/(33614*(2 + 3*x)^2) + 167115051/(117649*(2 + 3*x)) - (128*log(1 - 2*x))/9058973 - (5849026977*log(2 + 3*x))/823543 + (78125*log(3 + 5*x))/11, x, 2),
+
+
+((2 + 3*x)^8/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2), (-3579885909*x)/5000000 - (118543581*x^2)/200000 - (24660207*x^3)/50000 - (6194313*x^4)/20000 - (303993*x^5)/2500 - (2187*x^6)/100 - 1/(4296875*(3 + 5*x)) - (5764801*log(1 - 2*x))/15488 + (266*log(3 + 5*x))/47265625, x, 2),
+((2 + 3*x)^7/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2), (-19846971*x)/100000 - (14750667*x^2)/100000 - (495477*x^3)/5000 - (86751*x^4)/2000 - (2187*x^5)/250 - 1/(859375*(3 + 5*x)) - (823543*log(1 - 2*x))/7744 + (233*log(3 + 5*x))/9453125, x, 2),
+((2 + 3*x)^6/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2), (-2682909*x)/50000 - (335097*x^2)/10000 - (8019*x^3)/500 - (729*x^4)/200 - 1/(171875*(3 + 5*x)) - (117649*log(1 - 2*x))/3872 + (8*log(3 + 5*x))/75625, x, 2),
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2), (-69039*x)/5000 - (6399*x^2)/1000 - (81*x^3)/50 - 1/(34375*(3 + 5*x)) - (16807*log(1 - 2*x))/1936 + (167*log(3 + 5*x))/378125, x, 2),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2), (-1593*x)/500 - (81*x^2)/100 - 1/(6875*(3 + 5*x)) - (2401*log(1 - 2*x))/968 + (134*log(3 + 5*x))/75625, x, 2),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2), (-27*x)/50 - 1/(1375*(3 + 5*x)) - (343*log(1 - 2*x))/484 + (101*log(3 + 5*x))/15125, x, 2),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2), -1/(275*(3 + 5*x)) - (49*log(1 - 2*x))/242 + (68*log(3 + 5*x))/3025, x, 2),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2), -1/(55*(3 + 5*x)) - (7*log(1 - 2*x))/121 + (7*log(3 + 5*x))/121, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2), -1/(11*(3 + 5*x)) - (2*log(1 - 2*x))/121 + (2*log(3 + 5*x))/121, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2), -5/(11*(3 + 5*x)) - (4*log(1 - 2*x))/847 + (9*log(2 + 3*x))/7 - (155*log(3 + 5*x))/121, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2), -9/(7*(2 + 3*x)) - 25/(11*(3 + 5*x)) - (8*log(1 - 2*x))/5929 + (648*log(2 + 3*x))/49 - (1600*log(3 + 5*x))/121, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2), -9/(14*(2 + 3*x)^2) - 648/(49*(2 + 3*x)) - 125/(11*(3 + 5*x)) - (16*log(1 - 2*x))/41503 + (34371*log(2 + 3*x))/343 - (12125*log(3 + 5*x))/121, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2), -3/(7*(2 + 3*x)^3) - 324/(49*(2 + 3*x)^2) - 34371/(343*(2 + 3*x)) - 625/(11*(3 + 5*x)) - (32*log(1 - 2*x))/290521 + (1612242*log(2 + 3*x))/2401 - (81250*log(3 + 5*x))/121, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^2), -9/(28*(2 + 3*x)^4) - 216/(49*(2 + 3*x)^3) - 34371/(686*(2 + 3*x)^2) - 1612242/(2401*(2 + 3*x)) - 3125/(11*(3 + 5*x)) - (64*log(1 - 2*x))/2033647 + (70752609*log(2 + 3*x))/16807 - (509375*log(3 + 5*x))/121, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^2), -9/(35*(2 + 3*x)^5) - 162/(49*(2 + 3*x)^4) - 11457/(343*(2 + 3*x)^3) - 806121/(2401*(2 + 3*x)^2) - 70752609/(16807*(2 + 3*x)) - 15625/(11*(3 + 5*x)) - (128*log(1 - 2*x))/14235529 + (2977686468*log(2 + 3*x))/117649 - (3062500*log(3 + 5*x))/121, x, 2),
+
+
+((2 + 3*x)^8/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3), (-62934003*x)/500000 - (9268263*x^2)/100000 - (1535517*x^3)/25000 - (264627*x^4)/10000 - (6561*x^5)/1250 - 1/(8593750*(3 + 5*x)^2) - 266/(47265625*(3 + 5*x)) - (5764801*log(1 - 2*x))/85184 + (31024*log(3 + 5*x))/519921875, x, 2),
+((2 + 3*x)^7/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3), (-339309*x)/10000 - (1044657*x^2)/50000 - (24543*x^3)/2500 - (2187*x^4)/1000 - 1/(1718750*(3 + 5*x)^2) - 233/(9453125*(3 + 5*x)) - (823543*log(1 - 2*x))/42592 + (4667*log(3 + 5*x))/20796875, x, 2),
+((2 + 3*x)^6/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3), (-216999*x)/25000 - (19683*x^2)/5000 - (243*x^3)/250 - 1/(343750*(3 + 5*x)^2) - 8/(75625*(3 + 5*x)) - (117649*log(1 - 2*x))/21296 + (3347*log(3 + 5*x))/4159375, x, 2),
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3), (-4941*x)/2500 - (243*x^2)/500 - 1/(68750*(3 + 5*x)^2) - 167/(378125*(3 + 5*x)) - (16807*log(1 - 2*x))/10648 + (11224*log(3 + 5*x))/4159375, x, 2),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3), (-81*x)/250 - 1/(13750*(3 + 5*x)^2) - 134/(75625*(3 + 5*x)) - (2401*log(1 - 2*x))/5324 + (6802*log(3 + 5*x))/831875, x, 2),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3), -1/(2750*(3 + 5*x)^2) - 101/(15125*(3 + 5*x)) - (343*log(1 - 2*x))/2662 + (3469*log(3 + 5*x))/166375, x, 2),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3), -1/(550*(3 + 5*x)^2) - 68/(3025*(3 + 5*x)) - (49*log(1 - 2*x))/1331 + (49*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3), -1/(110*(3 + 5*x)^2) - 7/(121*(3 + 5*x)) - (14*log(1 - 2*x))/1331 + (14*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3), -1/(22*(3 + 5*x)^2) - 2/(121*(3 + 5*x)) - (4*log(1 - 2*x))/1331 + (4*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3), -5/(22*(3 + 5*x)^2) + 155/(121*(3 + 5*x)) - (8*log(1 - 2*x))/9317 - (27*log(2 + 3*x))/7 + (5135*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3), 27/(7*(2 + 3*x)) - 25/(22*(3 + 5*x)^2) + 1600/(121*(3 + 5*x)) - (16*log(1 - 2*x))/65219 - (2889*log(2 + 3*x))/49 + (78475*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3), 27/(14*(2 + 3*x)^2) + 2889/(49*(2 + 3*x)) - 125/(22*(3 + 5*x)^2) + 12125/(121*(3 + 5*x)) - (32*log(1 - 2*x))/456533 - (204228*log(2 + 3*x))/343 + (792500*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3), 9/(7*(2 + 3*x)^3) + 2889/(98*(2 + 3*x)^2) + 204228/(343*(2 + 3*x)) - 625/(22*(3 + 5*x)^2) + 81250/(121*(3 + 5*x)) - (64*log(1 - 2*x))/3195731 - (11984706*log(2 + 3*x))/2401 + (6643750*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^3), 27/(28*(2 + 3*x)^4) + 963/(49*(2 + 3*x)^3) + 102114/(343*(2 + 3*x)^2) + 11984706/(2401*(2 + 3*x)) - 3125/(22*(3 + 5*x)^2) + 509375/(121*(3 + 5*x)) - (128*log(1 - 2*x))/22370117 - (631722537*log(2 + 3*x))/16807 + (50028125*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+
+
+((c + d*x)^4/((a - b*x)*(a + b*x)), -((d^2*(6*b^2*c^2 + a^2*d^2)*x)/b^4) - (2*c*d^3*x^2)/b^2 - (d^4*x^3)/(3*b^2) - ((b*c + a*d)^4*log(a - b*x))/(2*a*b^5) + ((b*c - a*d)^4*log(a + b*x))/(2*a*b^5), x, 2),
+((c + d*x)^3/((a - b*x)*(a + b*x)), -((3*c*d^2*x)/b^2) - (d^3*x^2)/(2*b^2) - ((b*c + a*d)^3*log(a - b*x))/(2*a*b^4) + ((b*c - a*d)^3*log(a + b*x))/(2*a*b^4), x, 2),
+((c + d*x)^2/((a - b*x)*(a + b*x)), -((d^2*x)/b^2) - ((b*c + a*d)^2*log(a - b*x))/(2*a*b^3) + ((b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/(2*a*b^3), x, 2),
+((c + d*x)^1/((a - b*x)*(a + b*x)), -(((b*c + a*d)*log(a - b*x))/(2*a*b^2)) + ((b*c - a*d)*log(a + b*x))/(2*a*b^2), x, 2),
+((c + d*x)^0/((a - b*x)*(a + b*x)), atanh((b*x)/a)/(a*b), x, 2),
+(1/((a + b*x)*(a - b*x)*(c + d*x)^1), -(log(a - b*x)/(2*a*(b*c + a*d))) + log(a + b*x)/(2*a*(b*c - a*d)) - (d*log(c + d*x))/(b^2*c^2 - a^2*d^2), x, 2),
+(1/((a + b*x)*(a - b*x)*(c + d*x)^2), d/((b^2*c^2 - a^2*d^2)*(c + d*x)) - (b*log(a - b*x))/(2*a*(b*c + a*d)^2) + (b*log(a + b*x))/(2*a*(b*c - a*d)^2) - (2*b^2*c*d*log(c + d*x))/(b^2*c^2 - a^2*d^2)^2, x, 2),
+(1/((a + b*x)*(a - b*x)*(c + d*x)^3), d/(2*(b^2*c^2 - a^2*d^2)*(c + d*x)^2) + (2*b^2*c*d)/((b^2*c^2 - a^2*d^2)^2*(c + d*x)) - (b^2*log(a - b*x))/(2*a*(b*c + a*d)^3) + (b^2*log(a + b*x))/(2*a*(b*c - a*d)^3) - (b^2*d*(3*b^2*c^2 + a^2*d^2)*log(c + d*x))/(b^2*c^2 - a^2*d^2)^3, x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n / (e+f x)^2
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(((2 + 3*x)^8*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^2, 63412811/(1024*(1 - 2*x)) + (91609881*x)/256 + (122887143*x^2)/512 + (5892813*x^3)/32 + (32991057*x^4)/256 + (5859459*x^5)/80 + (976617*x^6)/32 + (56862*x^7)/7 + (32805*x^8)/32 + (246239357*log(1 - 2*x))/1024, x, 2),
+(((2 + 3*x)^7*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^2, 9058973/(512*(1 - 2*x)) + (22333965*x)/256 + (873207*x^2)/16 + (2399985*x^3)/64 + (1423899*x^4)/64 + (793881*x^5)/80 + (11421*x^6)/4 + (10935*x^7)/28 + (15647317*log(1 - 2*x))/256, x, 2),
+(((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^2, 1294139/(256*(1 - 2*x)) + (661617*x)/32 + (1507977*x^2)/128 + (111501*x^3)/16 + (210195*x^4)/64 + (5103*x^5)/5 + (1215*x^6)/8 + (3916031*log(1 - 2*x))/256, x, 2),
+(((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^2, 184877/(128*(1 - 2*x)) + (301467*x)/64 + (75447*x^2)/32 + (18027*x^3)/16 + (2997*x^4)/8 + (243*x^5)/4 + (60025*log(1 - 2*x))/16, x, 2),
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^2, 26411/(64*(1 - 2*x)) + (16203*x)/16 + (13419*x^2)/32 + 144*x^3 + (405*x^4)/16 + (57281*log(1 - 2*x))/64, x, 2),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^2, 3773/(32*(1 - 2*x)) + (3177*x)/16 + (243*x^2)/4 + (45*x^3)/4 + (3283*log(1 - 2*x))/16, x, 2),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^2, 539/(16*(1 - 2*x)) + 33*x + (45*x^2)/8 + (707*log(1 - 2*x))/16, x, 2),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^2, 77/(8*(1 - 2*x)) + (15*x)/4 + (17*log(1 - 2*x))/2, x, 2),
+((3 + 5*x)/(1 - 2*x)^2, 11/(4*(1 - 2*x)) + (5*log(1 - 2*x))/4, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)), 11/(14*(1 - 2*x)) + log(1 - 2*x)/49 - log(2 + 3*x)/49, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^2), 11/(49*(1 - 2*x)) + 1/(49*(2 + 3*x)) - (31*log(1 - 2*x))/343 + (31*log(2 + 3*x))/343, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^3), 22/(343*(1 - 2*x)) + 1/(98*(2 + 3*x)^2) - 31/(343*(2 + 3*x)) - (128*log(1 - 2*x))/2401 + (128*log(2 + 3*x))/2401, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^4), 44/(2401*(1 - 2*x)) + 1/(147*(2 + 3*x)^3) - 31/(686*(2 + 3*x)^2) - 128/(2401*(2 + 3*x)) - (388*log(1 - 2*x))/16807 + (388*log(2 + 3*x))/16807, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^5), 88/(16807*(1 - 2*x)) + 1/(196*(2 + 3*x)^4) - 31/(1029*(2 + 3*x)^3) - 64/(2401*(2 + 3*x)^2) - 388/(16807*(2 + 3*x)) - (1040*log(1 - 2*x))/117649 + (1040*log(2 + 3*x))/117649, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^6), 176/(117649*(1 - 2*x)) + 1/(245*(2 + 3*x)^5) - 31/(1372*(2 + 3*x)^4) - 128/(7203*(2 + 3*x)^3) - 194/(16807*(2 + 3*x)^2) - 1040/(117649*(2 + 3*x)) - (2608*log(1 - 2*x))/823543 + (2608*log(2 + 3*x))/823543, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^7), 352/(823543*(1 - 2*x)) + 1/(294*(2 + 3*x)^6) - 31/(1715*(2 + 3*x)^5) - 32/(2401*(2 + 3*x)^4) - 388/(50421*(2 + 3*x)^3) - 520/(117649*(2 + 3*x)^2) - 2608/(823543*(2 + 3*x)) - (128*log(1 - 2*x))/117649 + (128*log(2 + 3*x))/117649, x, 2),
+
+
+(((2 + 3*x)^8*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^2, 697540921/(2048*(1 - 2*x)) + (2330515357*x)/1024 + (413355417*x^2)/256 + (346239417*x^3)/256 + (275757561*x^4)/256 + (235268793*x^5)/320 + 396738*x^6 + (17378631*x^7)/112 + (1235655*x^8)/32 + (18225*x^9)/4 + (1512848491*log(1 - 2*x))/1024, x, 2),
+(((2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^2, 99648703/(1024*(1 - 2*x)) + (9077405*x)/16 + (195497697*x^2)/512 + (18842715*x^3)/64 + (53086563*x^4)/256 + (4750569*x^5)/40 + (1597239*x^6)/32 + (375435*x^7)/28 + (54675*x^8)/32 + (389535839*log(1 - 2*x))/1024, x, 2),
+(((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^2, 14235529/(512*(1 - 2*x)) + (35458963*x)/256 + (11140101*x^2)/128 + (3851307*x^3)/64 + (575775*x^4)/16 + (1295919*x^5)/80 + (37665*x^6)/8 + (18225*x^7)/28 + (12386759*log(1 - 2*x))/128, x, 2),
+(((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^2, 2033647/(256*(1 - 2*x)) + (2104901*x)/64 + (2412699*x^2)/128 + (89913*x^3)/8 + (342333*x^4)/64 + (6723*x^5)/4 + (2025*x^6)/8 + (6206585*log(1 - 2*x))/256, x, 2),
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^2, 290521/(128*(1 - 2*x)) + (480841*x)/64 + (15159*x^2)/4 + (29277*x^3)/16 + (9855*x^4)/16 + (405*x^5)/4 + (381073*log(1 - 2*x))/64, x, 2),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^2, 41503/(64*(1 - 2*x)) + (12973*x)/8 + (21717*x^2)/32 + (945*x^3)/4 + (675*x^4)/16 + (91091*log(1 - 2*x))/64, x, 2),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^2, 5929/(32*(1 - 2*x)) + (5119*x)/16 + (795*x^2)/8 + (75*x^3)/4 + (1309*log(1 - 2*x))/4, x, 2),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^2, 847/(16*(1 - 2*x)) + (215*x)/4 + (75*x^2)/8 + (1133*log(1 - 2*x))/16, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/(1 - 2*x)^2, 121/(8*(1 - 2*x)) + (25*x)/4 + (55*log(1 - 2*x))/4, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)), 121/(28*(1 - 2*x)) + (407*log(1 - 2*x))/196 + log(2 + 3*x)/147, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^2), 121/(98*(1 - 2*x)) - 1/(147*(2 + 3*x)) + (22*log(1 - 2*x))/343 - (22*log(2 + 3*x))/343, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^3), 121/(343*(1 - 2*x)) - 1/(294*(2 + 3*x)^2) + 22/(343*(2 + 3*x)) - (319*log(1 - 2*x))/2401 + (319*log(2 + 3*x))/2401, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^4), 242/(2401*(1 - 2*x)) - 1/(441*(2 + 3*x)^3) + 11/(343*(2 + 3*x)^2) - 319/(2401*(2 + 3*x)) - (1364*log(1 - 2*x))/16807 + (1364*log(2 + 3*x))/16807, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^5), 484/(16807*(1 - 2*x)) - 1/(588*(2 + 3*x)^4) + 22/(1029*(2 + 3*x)^3) - 319/(4802*(2 + 3*x)^2) - 1364/(16807*(2 + 3*x)) - (4180*log(1 - 2*x))/117649 + (4180*log(2 + 3*x))/117649, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^6), 968/(117649*(1 - 2*x)) - 1/(735*(2 + 3*x)^5) + 11/(686*(2 + 3*x)^4) - 319/(7203*(2 + 3*x)^3) - 682/(16807*(2 + 3*x)^2) - 4180/(117649*(2 + 3*x)) - (11264*log(1 - 2*x))/823543 + (11264*log(2 + 3*x))/823543, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^7), 1936/(823543*(1 - 2*x)) - 1/(882*(2 + 3*x)^6) + 22/(1715*(2 + 3*x)^5) - 319/(9604*(2 + 3*x)^4) - 1364/(50421*(2 + 3*x)^3) - 2090/(117649*(2 + 3*x)^2) - 11264/(823543*(2 + 3*x)) - (4048*log(1 - 2*x))/823543 + (4048*log(2 + 3*x))/823543, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^8), 3872/(5764801*(1 - 2*x)) - 1/(1029*(2 + 3*x)^7) + 11/(1029*(2 + 3*x)^6) - 319/(12005*(2 + 3*x)^5) - 341/(16807*(2 + 3*x)^4) - 4180/(352947*(2 + 3*x)^3) - 5632/(823543*(2 + 3*x)^2) - 4048/(823543*(2 + 3*x)) - (68288*log(1 - 2*x))/40353607 + (68288*log(2 + 3*x))/40353607, x, 2),
+
+
+(((2 + 3*x)^8*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^2, 7672950131/(4096*(1 - 2*x)) + (7277894263*x)/512 + (21573106793*x^2)/2048 + (2416569641*x^3)/256 + (8502681987*x^4)/1024 + (260574273*x^5)/40 + (544462047*x^6)/128 + (242570133*x^7)/112 + (101721015*x^8)/128 + (370575*x^9)/2 + (164025*x^10)/8 + (36770371407*log(1 - 2*x))/4096, x, 2),
+(((2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^2, 1096135733/(2048*(1 - 2*x)) + (3690540955*x)/1024 + (1312685491*x^2)/512 + (551942075*x^3)/256 + (220950207*x^4)/128 + (379446471*x^5)/320 + (20626947*x^6)/32 + (28463805*x^7)/112 + (127575*x^8)/2 + (30375*x^9)/4 + (298946109*log(1 - 2*x))/128, x, 2),
+(((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^2, 156590819/(1024*(1 - 2*x)) + (230244479*x)/256 + (310976027*x^2)/512 + (7530189*x^3)/16 + (85406805*x^4)/256 + (15403257*x^5)/80 + (2611845*x^6)/32 + (309825*x^7)/14 + (91125*x^8)/32 + (616195041*log(1 - 2*x))/1024, x, 2),
+(((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^2, 22370117/(512*(1 - 2*x)) + (56291737*x)/256 + (8881301*x^2)/64 + (6179077*x^3)/64 + (3724389*x^4)/64 + (423009*x^5)/16 + (15525*x^6)/2 + (30375*x^7)/28 + (39220335*log(1 - 2*x))/256, x, 2),
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^2, 3195731/(256*(1 - 2*x)) + (209243*x)/4 + (3859469*x^2)/128 + (289951*x^3)/16 + (557415*x^4)/64 + (5535*x^5)/2 + (3375*x^6)/8 + (9836211*log(1 - 2*x))/256, x, 2),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^2, 456533/(128*(1 - 2*x)) + (766807*x)/64 + (194881*x^2)/32 + (47535*x^3)/16 + (2025*x^4)/2 + (675*x^5)/4 + (302379*log(1 - 2*x))/32, x, 2),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^2, 65219/(64*(1 - 2*x)) + (41537*x)/16 + (35135*x^2)/32 + (775*x^3)/2 + (1125*x^4)/16 + (144837*log(1 - 2*x))/64, x, 2),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^2, 9317/(32*(1 - 2*x)) + (8245*x)/16 + (325*x^2)/2 + (125*x^3)/4 + (8349*log(1 - 2*x))/16, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/(1 - 2*x)^2, 1331/(16*(1 - 2*x)) + (175*x)/2 + (125*x^2)/8 + (1815*log(1 - 2*x))/16, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)), 1331/(56*(1 - 2*x)) + (125*x)/12 + (1089*log(1 - 2*x))/49 - log(2 + 3*x)/441, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^2), 1331/(196*(1 - 2*x)) + 1/(441*(2 + 3*x)) + (4719*log(1 - 2*x))/1372 + (101*log(2 + 3*x))/3087, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^3), 1331/(686*(1 - 2*x)) + 1/(882*(2 + 3*x)^2) - 101/(3087*(2 + 3*x)) + (363*log(1 - 2*x))/2401 - (363*log(2 + 3*x))/2401, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^4), 1331/(2401*(1 - 2*x)) + 1/(1323*(2 + 3*x)^3) - 101/(6174*(2 + 3*x)^2) + 363/(2401*(2 + 3*x)) - (3267*log(1 - 2*x))/16807 + (3267*log(2 + 3*x))/16807, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^5), 2662/(16807*(1 - 2*x)) + 1/(1764*(2 + 3*x)^4) - 101/(9261*(2 + 3*x)^3) + 363/(4802*(2 + 3*x)^2) - 3267/(16807*(2 + 3*x)) - (14520*log(1 - 2*x))/117649 + (14520*log(2 + 3*x))/117649, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^6), 5324/(117649*(1 - 2*x)) + 1/(2205*(2 + 3*x)^5) - 101/(12348*(2 + 3*x)^4) + 121/(2401*(2 + 3*x)^3) - 3267/(33614*(2 + 3*x)^2) - 14520/(117649*(2 + 3*x)) - (45012*log(1 - 2*x))/823543 + (45012*log(2 + 3*x))/823543, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^7), 10648/(823543*(1 - 2*x)) + 1/(2646*(2 + 3*x)^6) - 101/(15435*(2 + 3*x)^5) + 363/(9604*(2 + 3*x)^4) - 1089/(16807*(2 + 3*x)^3) - 7260/(117649*(2 + 3*x)^2) - 45012/(823543*(2 + 3*x)) - (17424*log(1 - 2*x))/823543 + (17424*log(2 + 3*x))/823543, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^8), 21296/(5764801*(1 - 2*x)) + 1/(3087*(2 + 3*x)^7) - 101/(18522*(2 + 3*x)^6) + 363/(12005*(2 + 3*x)^5) - 3267/(67228*(2 + 3*x)^4) - 4840/(117649*(2 + 3*x)^3) - 22506/(823543*(2 + 3*x)^2) - 17424/(823543*(2 + 3*x)) - (307824*log(1 - 2*x))/40353607 + (307824*log(2 + 3*x))/40353607, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((2 + 3*x)^8/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)), 5764801/(2816*(1 - 2*x)) + (2041906293*x)/250000 + (1839811401*x^2)/400000 + (26773659*x^3)/10000 + (9899091*x^4)/8000 + (94041*x^5)/250 + (2187*x^6)/40 + (188591347*log(1 - 2*x))/30976 + log(3 + 5*x)/9453125, x, 2),
+((2 + 3*x)^7/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)), 823543/(1408*(1 - 2*x)) + (370109547*x)/200000 + (18237069*x^2)/20000 + (853659*x^3)/2000 + (13851*x^4)/100 + (2187*x^5)/100 + (5764801*log(1 - 2*x))/3872 + log(3 + 5*x)/1890625, x, 2),
+((2 + 3*x)^6/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)), 117649/(704*(1 - 2*x)) + (3946293*x)/10000 + (639819*x^2)/4000 + (2673*x^3)/50 + (729*x^4)/80 + (2739541*log(1 - 2*x))/7744 + log(3 + 5*x)/378125, x, 2),
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)), 16807/(352*(1 - 2*x)) + (152793*x)/2000 + (567*x^2)/25 + (81*x^3)/20 + (156065*log(1 - 2*x))/1936 + log(3 + 5*x)/75625, x, 2),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)), 2401/(176*(1 - 2*x)) + (621*x)/50 + (81*x^2)/40 + (33271*log(1 - 2*x))/1936 + log(3 + 5*x)/15125, x, 2),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)), 343/(88*(1 - 2*x)) + (27*x)/20 + (392*log(1 - 2*x))/121 + log(3 + 5*x)/3025, x, 2),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)), 49/(44*(1 - 2*x)) + (217*log(1 - 2*x))/484 + log(3 + 5*x)/605, x, 2),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)), 7/(22*(1 - 2*x)) - log(1 - 2*x)/121 + log(3 + 5*x)/121, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)), 1/(11*(1 - 2*x)) - (5*log(1 - 2*x))/121 + (5*log(3 + 5*x))/121, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)), 2/(77*(1 - 2*x)) - (136*log(1 - 2*x))/5929 - (9*log(2 + 3*x))/49 + (25*log(3 + 5*x))/121, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)), 4/(539*(1 - 2*x)) + 9/(49*(2 + 3*x)) - (404*log(1 - 2*x))/41503 - (351*log(2 + 3*x))/343 + (125*log(3 + 5*x))/121, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)), 8/(3773*(1 - 2*x)) + 9/(98*(2 + 3*x)^2) + 351/(343*(2 + 3*x)) - (1072*log(1 - 2*x))/290521 - (12393*log(2 + 3*x))/2401 + (625*log(3 + 5*x))/121, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)), 16/(26411*(1 - 2*x)) + 3/(49*(2 + 3*x)^3) + 351/(686*(2 + 3*x)^2) + 12393/(2401*(2 + 3*x)) - (2672*log(1 - 2*x))/2033647 - (434043*log(2 + 3*x))/16807 + (3125*log(3 + 5*x))/121, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)), 32/(184877*(1 - 2*x)) + 9/(196*(2 + 3*x)^4) + 117/(343*(2 + 3*x)^3) + 12393/(4802*(2 + 3*x)^2) + 434043/(16807*(2 + 3*x)) - (6400*log(1 - 2*x))/14235529 - (15192225*log(2 + 3*x))/117649 + (15625*log(3 + 5*x))/121, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)), 64/(1294139*(1 - 2*x)) + 9/(245*(2 + 3*x)^5) + 351/(1372*(2 + 3*x)^4) + 4131/(2401*(2 + 3*x)^3) + 434043/(33614*(2 + 3*x)^2) + 15192225/(117649*(2 + 3*x)) - (14912*log(1 - 2*x))/99648703 - (531729603*log(2 + 3*x))/823543 + (78125*log(3 + 5*x))/121, x, 2),
+
+
+((2 + 3*x)^8/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^2), 5764801/(15488*(1 - 2*x)) + (231915717*x)/200000 + (14171517*x^2)/25000 + (2626101*x^3)/10000 + (168399*x^4)/2000 + (6561*x^5)/500 - 1/(9453125*(3 + 5*x)) + (79883671*log(1 - 2*x))/85184 + (268*log(3 + 5*x))/103984375, x, 2),
+((2 + 3*x)^7/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^2), 823543/(7744*(1 - 2*x)) + (6156243*x)/25000 + (1974861*x^2)/20000 + (16281*x^3)/500 + (2187*x^4)/400 - 1/(1890625*(3 + 5*x)) + (18941489*log(1 - 2*x))/85184 + (47*log(3 + 5*x))/4159375, x, 2),
+((2 + 3*x)^6/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^2), 117649/(3872*(1 - 2*x)) + (473607*x)/10000 + (13851*x^2)/1000 + (243*x^3)/100 - 1/(378125*(3 + 5*x)) + (67228*log(1 - 2*x))/1331 + (202*log(3 + 5*x))/4159375, x, 2),
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^2), 16807/(1936*(1 - 2*x)) + (3807*x)/500 + (243*x^2)/200 - 1/(75625*(3 + 5*x)) + (228095*log(1 - 2*x))/21296 + (169*log(3 + 5*x))/831875, x, 2),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^2), 2401/(968*(1 - 2*x)) + (81*x)/100 - 1/(15125*(3 + 5*x)) + (10633*log(1 - 2*x))/5324 + (136*log(3 + 5*x))/166375, x, 2),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^2), 343/(484*(1 - 2*x)) - 1/(3025*(3 + 5*x)) + (1421*log(1 - 2*x))/5324 + (103*log(3 + 5*x))/33275, x, 2),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^2), 49/(242*(1 - 2*x)) - 1/(605*(3 + 5*x)) - (14*log(1 - 2*x))/1331 + (14*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^2), 7/(121*(1 - 2*x)) - 1/(121*(3 + 5*x)) - (37*log(1 - 2*x))/1331 + (37*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^2), 2/(121*(1 - 2*x)) - 5/(121*(3 + 5*x)) - (20*log(1 - 2*x))/1331 + (20*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2), 4/(847*(1 - 2*x)) - 25/(121*(3 + 5*x)) - (412*log(1 - 2*x))/65219 + (27*log(2 + 3*x))/49 - (725*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2), 8/(5929*(1 - 2*x)) - 27/(49*(2 + 3*x)) - 125/(121*(3 + 5*x)) - (1088*log(1 - 2*x))/456533 + (1998*log(2 + 3*x))/343 - (7750*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2), 16/(41503*(1 - 2*x)) - 27/(98*(2 + 3*x)^2) - 1998/(343*(2 + 3*x)) - 625/(121*(3 + 5*x)) - (2704*log(1 - 2*x))/3195731 + (107109*log(2 + 3*x))/2401 - (59375*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2), 32/(290521*(1 - 2*x)) - 9/(49*(2 + 3*x)^3) - 999/(343*(2 + 3*x)^2) - 107109/(2401*(2 + 3*x)) - 3125/(121*(3 + 5*x)) - (6464*log(1 - 2*x))/22370117 + (5050944*log(2 + 3*x))/16807 - (400000*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^2), 64/(2033647*(1 - 2*x)) - 27/(196*(2 + 3*x)^4) - 666/(343*(2 + 3*x)^3) - 107109/(4802*(2 + 3*x)^2) - 5050944/(16807*(2 + 3*x)) - 15625/(121*(3 + 5*x)) - (15040*log(1 - 2*x))/156590819 + (222359715*log(2 + 3*x))/117649 - (2515625*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+
+
+((2 + 3*x)^8/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^3), 5764801/(85184*(1 - 2*x)) + (7680987*x)/50000 + (6093711*x^2)/100000 + (12393*x^3)/625 + (6561*x^4)/2000 - 1/(18906250*(3 + 5*x)^2) - 268/(103984375*(3 + 5*x)) + (130943337*log(1 - 2*x))/937024 + (6312*log(3 + 5*x))/228765625, x, 2),
+((2 + 3*x)^7/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^3), 823543/(42592*(1 - 2*x)) + (1467477*x)/50000 + (21141*x^2)/2500 + (729*x^3)/500 - 1/(3781250*(3 + 5*x)^2) - 47/(4159375*(3 + 5*x)) + (7411887*log(1 - 2*x))/234256 + (4761*log(3 + 5*x))/45753125, x, 2),
+((2 + 3*x)^6/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^3), 117649/(21296*(1 - 2*x)) + (2916*x)/625 + (729*x^2)/1000 - 1/(756250*(3 + 5*x)^2) - 202/(4159375*(3 + 5*x)) + (1563051*log(1 - 2*x))/234256 + (17139*log(3 + 5*x))/45753125, x, 2),
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^3), 16807/(10648*(1 - 2*x)) + (243*x)/500 - 1/(151250*(3 + 5*x)^2) - 169/(831875*(3 + 5*x)) + (36015*log(1 - 2*x))/29282 + (11562*log(3 + 5*x))/9150625, x, 2),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^3), 2401/(5324*(1 - 2*x)) - 1/(30250*(3 + 5*x)^2) - 136/(166375*(3 + 5*x)) + (9261*log(1 - 2*x))/58564 + (7074*log(3 + 5*x))/1830125, x, 2),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^3), 343/(2662*(1 - 2*x)) - 1/(6050*(3 + 5*x)^2) - 103/(33275*(3 + 5*x)) - (147*log(1 - 2*x))/14641 + (147*log(3 + 5*x))/14641, x, 2),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^3), 49/(1331*(1 - 2*x)) - 1/(1210*(3 + 5*x)^2) - 14/(1331*(3 + 5*x)) - (273*log(1 - 2*x))/14641 + (273*log(3 + 5*x))/14641, x, 2),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^3), 14/(1331*(1 - 2*x)) - 1/(242*(3 + 5*x)^2) - 37/(1331*(3 + 5*x)) - (144*log(1 - 2*x))/14641 + (144*log(3 + 5*x))/14641, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^2*(3 + 5*x)^3), 4/(1331*(1 - 2*x)) - 5/(242*(3 + 5*x)^2) - 20/(1331*(3 + 5*x)) - (60*log(1 - 2*x))/14641 + (60*log(3 + 5*x))/14641, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3), 8/(9317*(1 - 2*x)) - 25/(242*(3 + 5*x)^2) + 725/(1331*(3 + 5*x)) - (1104*log(1 - 2*x))/717409 - (81*log(2 + 3*x))/49 + (24225*log(3 + 5*x))/14641, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3), 16/(65219*(1 - 2*x)) + 81/(49*(2 + 3*x)) - 125/(242*(3 + 5*x)^2) + 7750/(1331*(3 + 5*x)) - (2736*log(1 - 2*x))/5021863 - (8829*log(2 + 3*x))/343 + (376875*log(3 + 5*x))/14641, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3), 32/(456533*(1 - 2*x)) + 81/(98*(2 + 3*x)^2) + 8829/(343*(2 + 3*x)) - 625/(242*(3 + 5*x)^2) + 59375/(1331*(3 + 5*x)) - (6528*log(1 - 2*x))/35153041 - (630342*log(2 + 3*x))/2401 + (3843750*log(3 + 5*x))/14641, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^2*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3), 64/(3195731*(1 - 2*x)) + 27/(49*(2 + 3*x)^3) + 8829/(686*(2 + 3*x)^2) + 630342/(2401*(2 + 3*x)) - 3125/(242*(3 + 5*x)^2) + 400000/(1331*(3 + 5*x)) - (15168*log(1 - 2*x))/246071287 - (37214802*log(2 + 3*x))/16807 + (32418750*log(3 + 5*x))/14641, x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n / (e+f x)^3
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(((2 + 3*x)^8*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^3, 63412811/(2048*(1 - 2*x)^2) - 246239357/(1024*(1 - 2*x)) - (120864213*x)/256 - (118841283*x^2)/512 - (16042509*x^3)/128 - (7568235*x^4)/128 - (213597*x^5)/10 - (162567*x^6)/32 - (32805*x^7)/56 - (106237047*log(1 - 2*x))/256, x, 2),
+(((2 + 3*x)^7*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^3, 9058973/(1024*(1 - 2*x)^2) - 15647317/(256*(1 - 2*x)) - (24960933*x)/256 - (10989621*x^2)/256 - (631611*x^3)/32 - (235467*x^4)/32 - (147987*x^5)/80 - (3645*x^6)/16 - (23647449*log(1 - 2*x))/256, x, 2),
+(((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^3, 1294139/(512*(1 - 2*x)^2) - 3916031/(256*(1 - 2*x)) - (2431647*x)/128 - (461835*x^2)/64 - (10611*x^3)/4 - (44469*x^4)/64 - (729*x^5)/8 - (5078115*log(1 - 2*x))/256, x, 2),
+(((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^3, 184877/(256*(1 - 2*x)^2) - 60025/(16*(1 - 2*x)) - (109089*x)/32 - (16821*x^2)/16 - (4401*x^3)/16 - (1215*x^4)/32 - (519645*log(1 - 2*x))/128, x, 2),
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^3, 26411/(128*(1 - 2*x)^2) - 57281/(64*(1 - 2*x)) - 540*x - (3861*x^2)/32 - (135*x^3)/8 - (24843*log(1 - 2*x))/32, x, 2),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^3, 3773/(64*(1 - 2*x)^2) - 3283/(16*(1 - 2*x)) - (1107*x)/16 - (135*x^2)/16 - (1071*log(1 - 2*x))/8, x, 2),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^3, 539/(32*(1 - 2*x)^2) - 707/(16*(1 - 2*x)) - (45*x)/8 - (309*log(1 - 2*x))/16, x, 2),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^3, 77/(16*(1 - 2*x)^2) - 17/(2*(1 - 2*x)) - (15*log(1 - 2*x))/8, x, 2),
+((3 + 5*x)/(1 - 2*x)^3, (3 + 5*x)^2/(22*(1 - 2*x)^2), x, 1),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)), 11/(28*(1 - 2*x)^2) - 1/(49*(1 - 2*x)) + (3*log(1 - 2*x))/343 - (3*log(2 + 3*x))/343, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^2), 11/(98*(1 - 2*x)^2) + 31/(343*(1 - 2*x)) + 3/(343*(2 + 3*x)) - (87*log(1 - 2*x))/2401 + (87*log(2 + 3*x))/2401, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^3), 11/(343*(1 - 2*x)^2) + 128/(2401*(1 - 2*x)) + 3/(686*(2 + 3*x)^2) - 87/(2401*(2 + 3*x)) - (558*log(1 - 2*x))/16807 + (558*log(2 + 3*x))/16807, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^4), 22/(2401*(1 - 2*x)^2) + 388/(16807*(1 - 2*x)) + 1/(343*(2 + 3*x)^3) - 87/(4802*(2 + 3*x)^2) - 558/(16807*(2 + 3*x)) - (2280*log(1 - 2*x))/117649 + (2280*log(2 + 3*x))/117649, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^5), 44/(16807*(1 - 2*x)^2) + 1040/(117649*(1 - 2*x)) + 3/(1372*(2 + 3*x)^4) - 29/(2401*(2 + 3*x)^3) - 279/(16807*(2 + 3*x)^2) - 2280/(117649*(2 + 3*x)) - (7680*log(1 - 2*x))/823543 + (7680*log(2 + 3*x))/823543, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^6), 88/(117649*(1 - 2*x)^2) + 2608/(823543*(1 - 2*x)) + 3/(1715*(2 + 3*x)^5) - 87/(9604*(2 + 3*x)^4) - 186/(16807*(2 + 3*x)^3) - 1140/(117649*(2 + 3*x)^2) - 7680/(823543*(2 + 3*x)) - (3312*log(1 - 2*x))/823543 + (3312*log(2 + 3*x))/823543, x, 2),
+
+
+(((2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^3, 99648703/(2048*(1 - 2*x)^2) - 389535839/(1024*(1 - 2*x)) - (48280011*x)/64 - (190742391*x^2)/512 - (25895367*x^3)/128 - (12299769*x^4)/128 - (2798631*x^5)/80 - (268515*x^6)/32 - (54675*x^7)/56 - (84589631*log(1 - 2*x))/128, x, 2),
+(((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^3, 14235529/(1024*(1 - 2*x)^2) - 12386759/(128*(1 - 2*x)) - (39980457*x)/256 - (17700255*x^2)/256 - (1024389*x^3)/32 - (770067*x^4)/64 - (48843*x^5)/16 - (6075*x^6)/16 - (18859855*log(1 - 2*x))/128, x, 2),
+(((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^3, 2033647/(512*(1 - 2*x)^2) - 6206585/(256*(1 - 2*x)) - (3907293*x)/128 - (747297*x^2)/64 - (69273*x^3)/16 - (73305*x^4)/64 - (1215*x^5)/8 - (8117095*log(1 - 2*x))/256, x, 2),
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^3, 290521/(256*(1 - 2*x)^2) - 381073/(64*(1 - 2*x)) - (176055*x)/32 - (54783*x^2)/32 - (7245*x^3)/16 - (2025*x^4)/32 - (832951*log(1 - 2*x))/128, x, 2),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^3, 41503/(128*(1 - 2*x)^2) - 91091/(64*(1 - 2*x)) - (14031*x)/16 - (6345*x^2)/32 - (225*x^3)/8 - (39977*log(1 - 2*x))/32, x, 2),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^3, 5929/(64*(1 - 2*x)^2) - 1309/(4*(1 - 2*x)) - (1815*x)/16 - (225*x^2)/16 - (3467*log(1 - 2*x))/16, x, 2),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^3, 847/(32*(1 - 2*x)^2) - 1133/(16*(1 - 2*x)) - (75*x)/8 - (505*log(1 - 2*x))/16, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/(1 - 2*x)^3, 121/(16*(1 - 2*x)^2) - 55/(4*(1 - 2*x)) - (25*log(1 - 2*x))/8, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)), 121/(56*(1 - 2*x)^2) - 407/(196*(1 - 2*x)) - log(1 - 2*x)/343 + log(2 + 3*x)/343, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^2), 121/(196*(1 - 2*x)^2) - 22/(343*(1 - 2*x)) - 1/(343*(2 + 3*x)) + (64*log(1 - 2*x))/2401 - (64*log(2 + 3*x))/2401, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^3), 121/(686*(1 - 2*x)^2) + 319/(2401*(1 - 2*x)) - 1/(686*(2 + 3*x)^2) + 64/(2401*(2 + 3*x)) - (829*log(1 - 2*x))/16807 + (829*log(2 + 3*x))/16807, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^4), 121/(2401*(1 - 2*x)^2) + 1364/(16807*(1 - 2*x)) - 1/(1029*(2 + 3*x)^3) + 32/(2401*(2 + 3*x)^2) - 829/(16807*(2 + 3*x)) - (5750*log(1 - 2*x))/117649 + (5750*log(2 + 3*x))/117649, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^5), 242/(16807*(1 - 2*x)^2) + 4180/(117649*(1 - 2*x)) - 1/(1372*(2 + 3*x)^4) + 64/(7203*(2 + 3*x)^3) - 829/(33614*(2 + 3*x)^2) - 5750/(117649*(2 + 3*x)) - (24040*log(1 - 2*x))/823543 + (24040*log(2 + 3*x))/823543, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^6), 484/(117649*(1 - 2*x)^2) + 11264/(823543*(1 - 2*x)) - 1/(1715*(2 + 3*x)^5) + 16/(2401*(2 + 3*x)^4) - 829/(50421*(2 + 3*x)^3) - 2875/(117649*(2 + 3*x)^2) - 24040/(823543*(2 + 3*x)) - (11696*log(1 - 2*x))/823543 + (11696*log(2 + 3*x))/823543, x, 2),
+
+
+(((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^3, 156590819/(2048*(1 - 2*x)^2) - 616195041/(1024*(1 - 2*x)) - (308539921*x)/256 - (306103815*x^2)/512 - (41793093*x^3)/128 - (19986237*x^4)/128 - (229149*x^5)/4 - (443475*x^6)/32 - (91125*x^7)/56 - (33674025*log(1 - 2*x))/32, x, 2),
+(((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^3, 22370117/(1024*(1 - 2*x)^2) - 39220335/(256*(1 - 2*x)) - (64029233*x)/256 - (28504029*x^2)/256 - (1661133*x^3)/32 - (629505*x^4)/32 - (80595*x^5)/16 - (10125*x^6)/16 - (60160485*log(1 - 2*x))/256, x, 2),
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^3, 3195731/(512*(1 - 2*x)^2) - 9836211/(256*(1 - 2*x)) - (6277415*x)/128 - (1208973*x^2)/64 - 7065*x^3 - (120825*x^4)/64 - (2025*x^5)/8 - (12973191*log(1 - 2*x))/256, x, 2),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^3, 456533/(256*(1 - 2*x)^2) - 302379/(32*(1 - 2*x)) - (284071*x)/32 - (44595*x^2)/16 - (11925*x^3)/16 - (3375*x^4)/32 - (1334949*log(1 - 2*x))/128, x, 2),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^3, 65219/(128*(1 - 2*x)^2) - 144837/(64*(1 - 2*x)) - (5695*x)/4 - (10425*x^2)/32 - (375*x^3)/8 - (64317*log(1 - 2*x))/32, x, 2),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^3, 9317/(64*(1 - 2*x)^2) - 8349/(16*(1 - 2*x)) - (2975*x)/16 - (375*x^2)/16 - (2805*log(1 - 2*x))/8, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/(1 - 2*x)^3, 1331/(32*(1 - 2*x)^2) - 1815/(16*(1 - 2*x)) - (125*x)/8 - (825*log(1 - 2*x))/16, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)), 1331/(112*(1 - 2*x)^2) - 1089/(49*(1 - 2*x)) - (14289*log(1 - 2*x))/2744 - log(2 + 3*x)/1029, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^2), 1331/(392*(1 - 2*x)^2) - 4719/(1372*(1 - 2*x)) + 1/(1029*(2 + 3*x)) - (33*log(1 - 2*x))/2401 + (33*log(2 + 3*x))/2401, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^3), 1331/(1372*(1 - 2*x)^2) - 363/(2401*(1 - 2*x)) + 1/(2058*(2 + 3*x)^2) - 33/(2401*(2 + 3*x)) + (1023*log(1 - 2*x))/16807 - (1023*log(2 + 3*x))/16807, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^4), 1331/(4802*(1 - 2*x)^2) + 3267/(16807*(1 - 2*x)) + 1/(3087*(2 + 3*x)^3) - 33/(4802*(2 + 3*x)^2) + 1023/(16807*(2 + 3*x)) - (7755*log(1 - 2*x))/117649 + (7755*log(2 + 3*x))/117649, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^5), 1331/(16807*(1 - 2*x)^2) + 14520/(117649*(1 - 2*x)) + 1/(4116*(2 + 3*x)^4) - 11/(2401*(2 + 3*x)^3) + 1023/(33614*(2 + 3*x)^2) - 7755/(117649*(2 + 3*x)) - (59070*log(1 - 2*x))/823543 + (59070*log(2 + 3*x))/823543, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((2 + 3*x)^8/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)), 5764801/(5632*(1 - 2*x)^2) - 188591347/(30976*(1 - 2*x)) - (2941619571*x)/400000 - (110180817*x^2)/40000 - (124416*x^3)/125 - (408969*x^4)/1600 - (6561*x^5)/200 - (2644396573*log(1 - 2*x))/340736 + log(3 + 5*x)/20796875, x, 2),
+((2 + 3*x)^7/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)), 823543/(2816*(1 - 2*x)^2) - 5764801/(3872*(1 - 2*x)) - (26161299*x)/20000 - (792423*x^2)/2000 - (40581*x^3)/400 - (2187*x^4)/160 - (269063263*log(1 - 2*x))/170368 + log(3 + 5*x)/4159375, x, 2),
+((2 + 3*x)^6/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)), 117649/(1408*(1 - 2*x)^2) - 2739541/(7744*(1 - 2*x)) - (102303*x)/500 - (35721*x^2)/800 - (243*x^3)/40 - (12761315*log(1 - 2*x))/42592 + log(3 + 5*x)/831875, x, 2),
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)), 16807/(704*(1 - 2*x)^2) - 156065/(1936*(1 - 2*x)) - (10287*x)/400 - (243*x^2)/80 - (543655*log(1 - 2*x))/10648 + log(3 + 5*x)/166375, x, 2),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)), 2401/(352*(1 - 2*x)^2) - 33271/(1936*(1 - 2*x)) - (81*x)/40 - (153811*log(1 - 2*x))/21296 + log(3 + 5*x)/33275, x, 2),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)), 343/(176*(1 - 2*x)^2) - 392/(121*(1 - 2*x)) - (7189*log(1 - 2*x))/10648 + log(3 + 5*x)/6655, x, 2),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)), 49/(88*(1 - 2*x)^2) - 217/(484*(1 - 2*x)) - log(1 - 2*x)/1331 + log(3 + 5*x)/1331, x, 2),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)), 7/(44*(1 - 2*x)^2) + 1/(121*(1 - 2*x)) - (5*log(1 - 2*x))/1331 + (5*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)), 1/(22*(1 - 2*x)^2) + 5/(121*(1 - 2*x)) - (25*log(1 - 2*x))/1331 + (25*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)), 1/(77*(1 - 2*x)^2) + 136/(5929*(1 - 2*x)) - (6938*log(1 - 2*x))/456533 - (27*log(2 + 3*x))/343 + (125*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)), 2/(539*(1 - 2*x)^2) + 404/(41503*(1 - 2*x)) + 27/(343*(2 + 3*x)) - (27208*log(1 - 2*x))/3195731 - (1107*log(2 + 3*x))/2401 + (625*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)), 4/(3773*(1 - 2*x)^2) + 1072/(290521*(1 - 2*x)) + 27/(686*(2 + 3*x)^2) + 1107/(2401*(2 + 3*x)) - (89792*log(1 - 2*x))/22370117 - (39393*log(2 + 3*x))/16807 + (3125*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)), 8/(26411*(1 - 2*x)^2) + 2672/(2033647*(1 - 2*x)) + 9/(343*(2 + 3*x)^3) + 1107/(4802*(2 + 3*x)^2) + 39393/(16807*(2 + 3*x)) - (267760*log(1 - 2*x))/156590819 - (1380915*log(2 + 3*x))/117649 + (15625*log(3 + 5*x))/1331, x, 2),
+
+
+((2 + 3*x)^8/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^2), 5764801/(30976*(1 - 2*x)^2) - 79883671/(85184*(1 - 2*x)) - (81001863*x)/100000 - (4863159*x^2)/20000 - (123201*x^3)/2000 - (6561*x^4)/800 - 1/(20796875*(3 + 5*x)) - (1845559863*log(1 - 2*x))/1874048 + (54*log(3 + 5*x))/45753125, x, 2),
+((2 + 3*x)^7/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^2), 823543/(15488*(1 - 2*x)^2) - 18941489/(85184*(1 - 2*x)) - (1258983*x)/10000 - (108621*x^2)/4000 - (729*x^3)/200 - 1/(4159375*(3 + 5*x)) - (87177909*log(1 - 2*x))/468512 + (237*log(3 + 5*x))/45753125, x, 2),
+((2 + 3*x)^6/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^2), 117649/(7744*(1 - 2*x)^2) - 67228/(1331*(1 - 2*x)) - (31347*x)/2000 - (729*x^2)/400 - 1/(831875*(3 + 5*x)) - (7383075*log(1 - 2*x))/234256 + (204*log(3 + 5*x))/9150625, x, 2),
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^2), 16807/(3872*(1 - 2*x)^2) - 228095/(21296*(1 - 2*x)) - (243*x)/200 - 1/(166375*(3 + 5*x)) - (1034145*log(1 - 2*x))/234256 + (171*log(3 + 5*x))/1830125, x, 2),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^2), 2401/(1936*(1 - 2*x)^2) - 10633/(5324*(1 - 2*x)) - 1/(33275*(3 + 5*x)) - (47481*log(1 - 2*x))/117128 + (138*log(3 + 5*x))/366025, x, 2),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^2), 343/(968*(1 - 2*x)^2) - 1421/(5324*(1 - 2*x)) - 1/(6655*(3 + 5*x)) - (21*log(1 - 2*x))/14641 + (21*log(3 + 5*x))/14641, x, 2),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^2), 49/(484*(1 - 2*x)^2) + 14/(1331*(1 - 2*x)) - 1/(1331*(3 + 5*x)) - (72*log(1 - 2*x))/14641 + (72*log(3 + 5*x))/14641, x, 2),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^2), 7/(242*(1 - 2*x)^2) + 37/(1331*(1 - 2*x)) - 5/(1331*(3 + 5*x)) - (195*log(1 - 2*x))/14641 + (195*log(3 + 5*x))/14641, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^2), 1/(121*(1 - 2*x)^2) + 20/(1331*(1 - 2*x)) - 25/(1331*(3 + 5*x)) - (150*log(1 - 2*x))/14641 + (150*log(3 + 5*x))/14641, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2), 2/(847*(1 - 2*x)^2) + 412/(65219*(1 - 2*x)) - 125/(1331*(3 + 5*x)) - (28296*log(1 - 2*x))/5021863 + (81*log(2 + 3*x))/343 - (3375*log(3 + 5*x))/14641, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2), 4/(5929*(1 - 2*x)^2) + 1088/(456533*(1 - 2*x)) - 81/(343*(2 + 3*x)) - 625/(1331*(3 + 5*x)) - (92496*log(1 - 2*x))/35153041 + (6156*log(2 + 3*x))/2401 - (37500*log(3 + 5*x))/14641, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2), 8/(41503*(1 - 2*x)^2) + 2704/(3195731*(1 - 2*x)) - 81/(686*(2 + 3*x)^2) - 6156/(2401*(2 + 3*x)) - 3125/(1331*(3 + 5*x)) - (274224*log(1 - 2*x))/246071287 + (333639*log(2 + 3*x))/16807 - (290625*log(3 + 5*x))/14641, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2), 16/(290521*(1 - 2*x)^2) + 6464/(22370117*(1 - 2*x)) - 27/(343*(2 + 3*x)^3) - 3078/(2401*(2 + 3*x)^2) - 333639/(16807*(2 + 3*x)) - 15625/(1331*(3 + 5*x)) - (761760*log(1 - 2*x))/1722499009 + (15820110*log(2 + 3*x))/117649 - (1968750*log(3 + 5*x))/14641, x, 2),
+
+
+((2 + 3*x)^9/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^3), 40353607/(340736*(1 - 2*x)^2) - 17294403/(29282*(1 - 2*x)) - (50150097*x)/100000 - (7459857*x^2)/50000 - (373977*x^3)/10000 - (19683*x^4)/4000 - 1/(207968750*(3 + 5*x)^2) - 303/(1143828125*(3 + 5*x)) - (12657032367*log(1 - 2*x))/20614528 + (8202*log(3 + 5*x))/2516421875, x, 2),
+((2 + 3*x)^8/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^3), 5764801/(170368*(1 - 2*x)^2) - 130943337/(937024*(1 - 2*x)) - (242028*x)/3125 - (330237*x^2)/20000 - (2187*x^3)/1000 - 1/(41593750*(3 + 5*x)^2) - 54/(45753125*(3 + 5*x)) - (595421589*log(1 - 2*x))/5153632 + (1284*log(3 + 5*x))/100656875, x, 2),
+((2 + 3*x)^7/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^3), 823543/(85184*(1 - 2*x)^2) - 7411887/(234256*(1 - 2*x)) - (95499*x)/10000 - (2187*x^2)/2000 - 1/(8318750*(3 + 5*x)^2) - 237/(45753125*(3 + 5*x)) - (25059237*log(1 - 2*x))/1288408 + (24279*log(3 + 5*x))/503284375, x, 2),
+((2 + 3*x)^6/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^3), 117649/(42592*(1 - 2*x)^2) - 1563051/(234256*(1 - 2*x)) - (729*x)/1000 - 1/(1663750*(3 + 5*x)^2) - 204/(9150625*(3 + 5*x)) - (6950895*log(1 - 2*x))/2576816 + (17547*log(3 + 5*x))/100656875, x, 2),
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^3), 16807/(21296*(1 - 2*x)^2) - 36015/(29282*(1 - 2*x)) - 1/(332750*(3 + 5*x)^2) - 171/(1830125*(3 + 5*x)) - (313845*log(1 - 2*x))/1288408 + (11904*log(3 + 5*x))/20131375, x, 2),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^3), 2401/(10648*(1 - 2*x)^2) - 9261/(58564*(1 - 2*x)) - 1/(66550*(3 + 5*x)^2) - 138/(366025*(3 + 5*x)) - (294*log(1 - 2*x))/161051 + (294*log(3 + 5*x))/161051, x, 2),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^3), 343/(5324*(1 - 2*x)^2) + 147/(14641*(1 - 2*x)) - 1/(13310*(3 + 5*x)^2) - 21/(14641*(3 + 5*x)) - (777*log(1 - 2*x))/161051 + (777*log(3 + 5*x))/161051, x, 2),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^3), 49/(2662*(1 - 2*x)^2) + 273/(14641*(1 - 2*x)) - 1/(2662*(3 + 5*x)^2) - 72/(14641*(3 + 5*x)) - (1509*log(1 - 2*x))/161051 + (1509*log(3 + 5*x))/161051, x, 2),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^3), 7/(1331*(1 - 2*x)^2) + 144/(14641*(1 - 2*x)) - 5/(2662*(3 + 5*x)^2) - 195/(14641*(3 + 5*x)) - (1110*log(1 - 2*x))/161051 + (1110*log(3 + 5*x))/161051, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^3*(3 + 5*x)^3), 2/(1331*(1 - 2*x)^2) + 60/(14641*(1 - 2*x)) - 25/(2662*(3 + 5*x)^2) - 150/(14641*(3 + 5*x)) - (600*log(1 - 2*x))/161051 + (600*log(3 + 5*x))/161051, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3), 4/(9317*(1 - 2*x)^2) + 1104/(717409*(1 - 2*x)) - 125/(2662*(3 + 5*x)^2) + 3375/(14641*(3 + 5*x)) - (95232*log(1 - 2*x))/55240493 - (243*log(2 + 3*x))/343 + (114375*log(3 + 5*x))/161051, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3), 8/(65219*(1 - 2*x)^2) + 2736/(5021863*(1 - 2*x)) + 243/(343*(2 + 3*x)) - 625/(2662*(3 + 5*x)^2) + 37500/(14641*(3 + 5*x)) - (280752*log(1 - 2*x))/386683451 - (26973*log(2 + 3*x))/2401 + (1809375*log(3 + 5*x))/161051, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3), 16/(456533*(1 - 2*x)^2) + 6528/(35153041*(1 - 2*x)) + 243/(686*(2 + 3*x)^2) + 26973/(2401*(2 + 3*x)) - 3125/(2662*(3 + 5*x)^2) + 290625/(14641*(3 + 5*x)) - (776928*log(1 - 2*x))/2706784157 - (1944972*log(2 + 3*x))/16807 + (18637500*log(3 + 5*x))/161051, x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^3*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3), 32/(3195731*(1 - 2*x)^2) + 15168/(246071287*(1 - 2*x)) + 81/(343*(2 + 3*x)^3) + 26973/(4802*(2 + 3*x)^2) + 1944972/(16807*(2 + 3*x)) - 15625/(2662*(3 + 5*x)^2) + 1968750/(14641*(3 + 5*x)) - (2054400*log(1 - 2*x))/18947489099 - (115534350*log(2 + 3*x))/117649 + (158156250*log(3 + 5*x))/161051, x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p
+
+
+(((a + b*x)*(c + d*x)*(e + f*x))^3, ((b*c - a*d)^3*(b*e - a*f)^3*(a + b*x)^4)/(4*b^7) + (3*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*(a + b*x)^5)/(5*b^7) + ((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(5*a^2*d^2*f^2 - 5*a*b*d*f*(d*e + c*f) + b^2*(d^2*e^2 + 3*c*d*e*f + c^2*f^2))*(a + b*x)^6)/(2*b^7) + ((b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*(10*a^2*d^2*f^2 - 10*a*b*d*f*(d*e + c*f) + b^2*(d^2*e^2 + 8*c*d*e*f + c^2*f^2))*(a + b*x)^7)/(7*b^7) + (3*d*f*(5*a^2*d^2*f^2 - 5*a*b*d*f*(d*e + c*f) + b^2*(d^2*e^2 + 3*c*d*e*f + c^2*f^2))*(a + b*x)^8)/(8*b^7) + (d^2*f^2*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*(a + b*x)^9)/(3*b^7) + (d^3*f^3*(a + b*x)^10)/(10*b^7), x, 2),
+(((a + b*x)*(c + d*x)*(e + f*x))^2, ((b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(a + b*x)^3)/(3*b^5) + ((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*(a + b*x)^4)/(2*b^5) + ((6*a^2*d^2*f^2 - 6*a*b*d*f*(d*e + c*f) + b^2*(d^2*e^2 + 4*c*d*e*f + c^2*f^2))*(a + b*x)^5)/(5*b^5) + (d*f*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*(a + b*x)^6)/(3*b^5) + (d^2*f^2*(a + b*x)^7)/(7*b^5), x, 2),
+(((a + b*x)*(c + d*x)*(e + f*x))^1, a*c*e*x + (1//2)*(b*c*e + a*d*e + a*c*f)*x^2 + (1//3)*(b*d*e + b*c*f + a*d*f)*x^3 + (1//4)*b*d*f*x^4, x, 2),
+(1/((a + b*x)*(c + d*x)*(e + f*x))^1, (b*log(a + b*x))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)) - (d*log(c + d*x))/((b*c - a*d)*(d*e - c*f)) + (f*log(e + f*x))/((b*e - a*f)*(d*e - c*f)), x, 2),
+(1/((a + b*x)*(c + d*x)*(e + f*x))^2, -(b^3/((b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(a + b*x))) - d^3/((b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)^2*(c + d*x)) - f^3/((b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^2*(e + f*x)) - (2*b^3*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*log(a + b*x))/((b*c - a*d)^3*(b*e - a*f)^3) + (2*d^3*(b*d*e - 2*b*c*f + a*d*f)*log(c + d*x))/((b*c - a*d)^3*(d*e - c*f)^3) + (2*f^3*(2*b*d*e - b*c*f - a*d*f)*log(e + f*x))/((b*e - a*f)^3*(d*e - c*f)^3), x, 2),
+(1/((a + b*x)*(c + d*x)*(e + f*x))^3, -(b^5/(2*(b*c - a*d)^3*(b*e - a*f)^3*(a + b*x)^2)) + (3*b^5*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f))/((b*c - a*d)^4*(b*e - a*f)^4*(a + b*x)) + d^5/(2*(b*c - a*d)^3*(d*e - c*f)^3*(c + d*x)^2) + (3*d^5*(b*d*e - 2*b*c*f + a*d*f))/((b*c - a*d)^4*(d*e - c*f)^4*(c + d*x)) - f^5/(2*(b*e - a*f)^3*(d*e - c*f)^3*(e + f*x)^2) - (3*f^5*(2*b*d*e - b*c*f - a*d*f))/((b*e - a*f)^4*(d*e - c*f)^4*(e + f*x)) + (3*b^5*(7*a^2*d^2*f^2 - 7*a*b*d*f*(d*e + c*f) + b^2*(2*d^2*e^2 + 3*c*d*e*f + 2*c^2*f^2))*log(a + b*x))/((b*c - a*d)^5*(b*e - a*f)^5) - (3*d^5*(2*a^2*d^2*f^2 + a*b*d*f*(3*d*e - 7*c*f) + b^2*(2*d^2*e^2 - 7*c*d*e*f + 7*c^2*f^2))*log(c + d*x))/((b*c - a*d)^5*(d*e - c*f)^5) + (3*f^5*(2*a^2*d^2*f^2 - a*b*d*f*(7*d*e - 3*c*f) + b^2*(7*d^2*e^2 - 7*c*d*e*f + 2*c^2*f^2))*log(e + f*x))/((b*e - a*f)^5*(d*e - c*f)^5), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^(p/2)
+
+
+((c + d*x)^(3//2)/((a + b*x)^2*(e + f*x)), -(((b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))/(b*(b*e - a*f)*(a + b*x))) + (2*(d*e - c*f)^(3//2)*atan((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt(d*e - c*f)))/(sqrt(f)*(b*e - a*f)^2) - (sqrt(b*c - a*d)*(3*b*d*e - 2*b*c*f - a*d*f)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(b^(3//2)*(b*e - a*f)^2), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (A+B x) (d+e x)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# m>0
+
+
+((a + b*x)*(A + B*x)*(d + e*x)^(7//2), (2*(b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^3) - (2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^3) + (2*b*B*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^3), x, 2),
+((a + b*x)*(A + B*x)*(d + e*x)^(5//2), (2*(b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^3) - (2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^3) + (2*b*B*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^3), x, 2),
+((a + b*x)*(A + B*x)*(d + e*x)^(3//2), (2*(b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^3) - (2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^3) + (2*b*B*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^3), x, 2),
+((a + b*x)*(A + B*x)*sqrt(d + e*x), (2*(b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^3) - (2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^3) + (2*b*B*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^3), x, 2),
+(((a + b*x)*(A + B*x))/sqrt(d + e*x), (2*(b*d - a*e)*(B*d - A*e)*sqrt(d + e*x))/e^3 - (2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^3) + (2*b*B*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^3), x, 2),
+(((a + b*x)*(A + B*x))/(d + e*x)^(3//2), (-2*(b*d - a*e)*(B*d - A*e))/(e^3*sqrt(d + e*x)) - (2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/e^3 + (2*b*B*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^3), x, 2),
+(((a + b*x)*(A + B*x))/(d + e*x)^(5//2), (-2*(b*d - a*e)*(B*d - A*e))/(3*e^3*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e))/(e^3*sqrt(d + e*x)) + (2*b*B*sqrt(d + e*x))/e^3, x, 2),
+(((a + b*x)*(A + B*x))/(d + e*x)^(7//2), (-2*(b*d - a*e)*(B*d - A*e))/(5*e^3*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e))/(3*e^3*(d + e*x)^(3//2)) - (2*b*B)/(e^3*sqrt(d + e*x)), x, 2),
+
+
+((a + b*x)^2*(A + B*x)*(d + e*x)^(7//2), (-2*(b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4) + (2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^4) - (2*b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^4) + (2*b^2*B*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^4), x, 2),
+((a + b*x)^2*(A + B*x)*(d + e*x)^(5//2), (-2*(b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4) + (2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4) - (2*b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^4) + (2*b^2*B*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^4), x, 2),
+((a + b*x)^2*(A + B*x)*(d + e*x)^(3//2), (-2*(b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4) + (2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4) - (2*b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4) + (2*b^2*B*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^4), x, 2),
+((a + b*x)^2*(A + B*x)*sqrt(d + e*x), (-2*(b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4) + (2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4) - (2*b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4) + (2*b^2*B*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4), x, 2),
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/sqrt(d + e*x), (-2*(b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*sqrt(d + e*x))/e^4 + (2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4) - (2*b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4) + (2*b^2*B*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4), x, 2),
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/(d + e*x)^(3//2), (2*(b*d - a*e)^2*(B*d - A*e))/(e^4*sqrt(d + e*x)) + (2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/e^4 - (2*b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4) + (2*b^2*B*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4), x, 2),
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/(d + e*x)^(5//2), (2*(b*d - a*e)^2*(B*d - A*e))/(3*e^4*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e))/(e^4*sqrt(d + e*x)) - (2*b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/e^4 + (2*b^2*B*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4), x, 2),
+(((a + b*x)^2*(A + B*x))/(d + e*x)^(7//2), (2*(b*d - a*e)^2*(B*d - A*e))/(5*e^4*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e))/(3*e^4*(d + e*x)^(3//2)) + (2*b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e))/(e^4*sqrt(d + e*x)) + (2*b^2*B*sqrt(d + e*x))/e^4, x, 2),
+
+
+((a + b*x)^3*(A + B*x)*(d + e*x)^(7//2), (2*(b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5) - (2*(b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^5) + (6*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^5) - (2*b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^5) + (2*b^3*B*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^5), x, 2),
+((a + b*x)^3*(A + B*x)*(d + e*x)^(5//2), (2*(b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) - (2*(b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5) + (6*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^5) - (2*b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^5) + (2*b^3*B*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^5), x, 2),
+((a + b*x)^3*(A + B*x)*(d + e*x)^(3//2), (2*(b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) - (2*(b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) + (2*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^5) - (2*b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^5) + (2*b^3*B*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^5), x, 2),
+((a + b*x)^3*(A + B*x)*sqrt(d + e*x), (2*(b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5) - (2*(b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) + (6*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) - (2*b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5) + (2*b^3*B*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^5), x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/sqrt(d + e*x), (2*(b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*sqrt(d + e*x))/e^5 - (2*(b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5) + (6*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) - (2*b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) + (2*b^3*B*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5), x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/(d + e*x)^(3//2), (-2*(b*d - a*e)^3*(B*d - A*e))/(e^5*sqrt(d + e*x)) - (2*(b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/e^5 + (2*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/e^5 - (2*b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) + (2*b^3*B*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5), x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/(d + e*x)^(5//2), (-2*(b*d - a*e)^3*(B*d - A*e))/(3*e^5*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e))/(e^5*sqrt(d + e*x)) + (6*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/e^5 - (2*b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5) + (2*b^3*B*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5), x, 2),
+(((a + b*x)^3*(A + B*x))/(d + e*x)^(7//2), (-2*(b*d - a*e)^3*(B*d - A*e))/(5*e^5*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e))/(3*e^5*(d + e*x)^(3//2)) - (6*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e))/(e^5*sqrt(d + e*x)) - (2*b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/e^5 + (2*b^3*B*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# m<0
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2))/(a + b*x), (2*(A*b - a*B)*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x))/b^5 + (2*(A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^4) + (2*(A*b - a*B)*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*b^3) + (2*(A*b - a*B)*(d + e*x)^(7//2))/(7*b^2) + (2*B*(d + e*x)^(9//2))/(9*b*e) - (2*(A*b - a*B)*(b*d - a*e)^(7//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/b^(11//2), x, 7),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a + b*x), (2*(A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x))/b^4 + (2*(A*b - a*B)*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^3) + (2*(A*b - a*B)*(d + e*x)^(5//2))/(5*b^2) + (2*B*(d + e*x)^(7//2))/(7*b*e) - (2*(A*b - a*B)*(b*d - a*e)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/b^(9//2), x, 6),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a + b*x), (2*(A*b - a*B)*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x))/b^3 + (2*(A*b - a*B)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^2) + (2*B*(d + e*x)^(5//2))/(5*b*e) - (2*(A*b - a*B)*(b*d - a*e)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/b^(7//2), x, 5),
+(((A + B*x)*sqrt(d + e*x))/(a + b*x), (2*(A*b - a*B)*sqrt(d + e*x))/b^2 + (2*B*(d + e*x)^(3//2))/(3*b*e) - (2*(A*b - a*B)*sqrt(b*d - a*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/b^(5//2), x, 4),
+((A + B*x)/((a + b*x)*sqrt(d + e*x)), (2*B*sqrt(d + e*x))/(b*e) - (2*(A*b - a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b^(3//2)*sqrt(b*d - a*e)), x, 3),
+((A + B*x)/((a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)), (-2*(B*d - A*e))/(e*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)) - (2*(A*b - a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(sqrt(b)*(b*d - a*e)^(3//2)), x, 3),
+((A + B*x)/((a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)), (-2*(B*d - A*e))/(3*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(A*b - a*B))/((b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(b)*(A*b - a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b*d - a*e)^(5//2), x, 4),
+((A + B*x)/((a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)), (-2*(B*d - A*e))/(5*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(A*b - a*B))/(3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (2*b*(A*b - a*B))/((b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)) - (2*b^(3//2)*(A*b - a*B)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b*d - a*e)^(7//2), x, 5),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2))/(a + b*x)^2, ((b*d - a*e)^2*(2*b*B*d + 7*A*b*e - 9*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/b^5 + ((b*d - a*e)*(2*b*B*d + 7*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^4) + ((2*b*B*d + 7*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*b^3) + ((2*b*B*d + 7*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*b^2*(b*d - a*e)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(9//2))/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^(5//2)*(2*b*B*d + 7*A*b*e - 9*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/b^(11//2), x, 7),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a + b*x)^2, ((b*d - a*e)*(2*b*B*d + 5*A*b*e - 7*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/b^4 + ((2*b*B*d + 5*A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^3) + ((2*b*B*d + 5*A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*b^2*(b*d - a*e)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(7//2))/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^(3//2)*(2*b*B*d + 5*A*b*e - 7*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/b^(9//2), x, 6),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a + b*x)^2, ((2*b*B*d + 3*A*b*e - 5*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/b^3 + ((2*b*B*d + 3*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^2*(b*d - a*e)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(5//2))/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - (sqrt(b*d - a*e)*(2*b*B*d + 3*A*b*e - 5*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/b^(7//2), x, 5),
+(((A + B*x)*sqrt(d + e*x))/(a + b*x)^2, ((2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(b^2*(b*d - a*e)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(3//2))/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - ((2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b^(5//2)*sqrt(b*d - a*e)), x, 4),
+((A + B*x)/((a + b*x)^2*sqrt(d + e*x)), -(((A*b - a*B)*sqrt(d + e*x))/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x))) - ((2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b^(3//2)*(b*d - a*e)^(3//2)), x, 3),
+((A + B*x)/((a + b*x)^2*(d + e*x)^(3//2)), (2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e)/(b*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x)) - (A*b - a*B)/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - ((2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(sqrt(b)*(b*d - a*e)^(5//2)), x, 4),
+((A + B*x)/((a + b*x)^2*(d + e*x)^(5//2)), (2*b*B*d - 5*A*b*e + 3*a*B*e)/(3*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2)) - (A*b - a*B)/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (2*b*B*d - 5*A*b*e + 3*a*B*e)/((b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)) - (sqrt(b)*(2*b*B*d - 5*A*b*e + 3*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b*d - a*e)^(7//2), x, 5),
+((A + B*x)/((a + b*x)^2*(d + e*x)^(7//2)), (2*b*B*d - 7*A*b*e + 5*a*B*e)/(5*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2)) - (A*b - a*B)/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (2*b*B*d - 7*A*b*e + 5*a*B*e)/(3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2)) + (b*(2*b*B*d - 7*A*b*e + 5*a*B*e))/((b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)) - (b^(3//2)*(2*b*B*d - 7*A*b*e + 5*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b*d - a*e)^(9//2), x, 6),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2))/(a + b*x)^3, (7*e*(b*d - a*e)*(4*b*B*d + 5*A*b*e - 9*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(4*b^5) + (7*e*(4*b*B*d + 5*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(12*b^4) + (7*e*(4*b*B*d + 5*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(20*b^3*(b*d - a*e)) - ((4*b*B*d + 5*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(4*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(9//2))/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) - (7*e*(b*d - a*e)^(3//2)*(4*b*B*d + 5*A*b*e - 9*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(11//2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a + b*x)^3, (5*e*(4*b*B*d + 3*A*b*e - 7*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(4*b^4) + (5*e*(4*b*B*d + 3*A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(12*b^3*(b*d - a*e)) - ((4*b*B*d + 3*A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(4*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(7//2))/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) - (5*e*sqrt(b*d - a*e)*(4*b*B*d + 3*A*b*e - 7*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(9//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a + b*x)^3, (3*e*(4*b*B*d + A*b*e - 5*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(4*b^3*(b*d - a*e)) - ((4*b*B*d + A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(4*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(5//2))/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) - (3*e*(4*b*B*d + A*b*e - 5*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(7//2)*sqrt(b*d - a*e)), x, 5),
+(((A + B*x)*sqrt(d + e*x))/(a + b*x)^3, -((4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(4*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(3//2))/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) - (e*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(5//2)*(b*d - a*e)^(3//2)), x, 4),
+((A + B*x)/((a + b*x)^3*sqrt(d + e*x)), -((A*b - a*B)*sqrt(d + e*x))/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) - ((4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(4*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)) + (e*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(3//2)*(b*d - a*e)^(5//2)), x, 4),
+((A + B*x)/((a + b*x)^3*(d + e*x)^(3//2)), (-3*e*(4*b*B*d - 5*A*b*e + a*B*e))/(4*b*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)) - (A*b - a*B)/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*sqrt(d + e*x)) - (4*b*B*d - 5*A*b*e + a*B*e)/(4*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (3*e*(4*b*B*d - 5*A*b*e + a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*sqrt(b)*(b*d - a*e)^(7//2)), x, 5),
+((A + B*x)/((a + b*x)^3*(d + e*x)^(5//2)), (-5*e*(4*b*B*d - 7*A*b*e + 3*a*B*e))/(12*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2)) - (A*b - a*B)/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(3//2)) - (4*b*B*d - 7*A*b*e + 3*a*B*e)/(4*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (5*e*(4*b*B*d - 7*A*b*e + 3*a*B*e))/(4*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)) + (5*sqrt(b)*e*(4*b*B*d - 7*A*b*e + 3*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*(b*d - a*e)^(9//2)), x, 6),
+((A + B*x)/((a + b*x)^3*(d + e*x)^(7//2)), (-7*e*(4*b*B*d - 9*A*b*e + 5*a*B*e))/(20*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2)) - (A*b - a*B)/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(5//2)) - (4*b*B*d - 9*A*b*e + 5*a*B*e)/(4*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) - (7*e*(4*b*B*d - 9*A*b*e + 5*a*B*e))/(12*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2)) - (7*b*e*(4*b*B*d - 9*A*b*e + 5*a*B*e))/(4*(b*d - a*e)^5*sqrt(d + e*x)) + (7*b^(3//2)*e*(4*b*B*d - 9*A*b*e + 5*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*(b*d - a*e)^(11//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m / (c+d x) (e+f x)^(p/2)
+
+
+((a + b*x)^1/(c + d*x)*(e + f*x)^(5//2), -((2*(b*c - a*d)*(d*e - c*f)^2*sqrt(e + f*x))/d^4) - (2*(b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(e + f*x)^(3//2))/(3*d^3) - (2*(b*c - a*d)*(e + f*x)^(5//2))/(5*d^2) + (2*b*(e + f*x)^(7//2))/(7*d*f) + (2*(b*c - a*d)*(d*e - c*f)^(5//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/d^(9//2), x, 6),
+((a + b*x)^1/(c + d*x)*(e + f*x)^(3//2), -((2*(b*c - a*d)*(d*e - c*f)*sqrt(e + f*x))/d^3) - (2*(b*c - a*d)*(e + f*x)^(3//2))/(3*d^2) + (2*b*(e + f*x)^(5//2))/(5*d*f) + (2*(b*c - a*d)*(d*e - c*f)^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/d^(7//2), x, 5),
+((a + b*x)^1/(c + d*x)*(e + f*x)^(1//2), -((2*(b*c - a*d)*sqrt(e + f*x))/d^2) + (2*b*(e + f*x)^(3//2))/(3*d*f) + (2*(b*c - a*d)*sqrt(d*e - c*f)*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/d^(5//2), x, 4),
+((a + b*x)^1/(c + d*x)/(e + f*x)^(1//2), (2*b*sqrt(e + f*x))/(d*f) + (2*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/(d^(3//2)*sqrt(d*e - c*f)), x, 3),
+((a + b*x)^1/(c + d*x)/(e + f*x)^(3//2), -((2*(b*e - a*f))/(f*(d*e - c*f)*sqrt(e + f*x))) + (2*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/(sqrt(d)*(d*e - c*f)^(3//2)), x, 3),
+((a + b*x)^1/(c + d*x)/(e + f*x)^(5//2), -((2*(b*e - a*f))/(3*f*(d*e - c*f)*(e + f*x)^(3//2))) - (2*(b*c - a*d))/((d*e - c*f)^2*sqrt(e + f*x)) + (2*sqrt(d)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/(d*e - c*f)^(5//2), x, 4),
+((a + b*x)^1/(c + d*x)/(e + f*x)^(7//2), -((2*(b*e - a*f))/(5*f*(d*e - c*f)*(e + f*x)^(5//2))) - (2*(b*c - a*d))/(3*(d*e - c*f)^2*(e + f*x)^(3//2)) - (2*d*(b*c - a*d))/((d*e - c*f)^3*sqrt(e + f*x)) + (2*d^(3//2)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/(d*e - c*f)^(7//2), x, 5),
+((a + b*x)^1/(c + d*x)/(e + f*x)^(9//2), -((2*(b*e - a*f))/(7*f*(d*e - c*f)*(e + f*x)^(7//2))) - (2*(b*c - a*d))/(5*(d*e - c*f)^2*(e + f*x)^(5//2)) - (2*d*(b*c - a*d))/(3*(d*e - c*f)^3*(e + f*x)^(3//2)) - (2*d^2*(b*c - a*d))/((d*e - c*f)^4*sqrt(e + f*x)) + (2*d^(5//2)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/(d*e - c*f)^(9//2), x, 6),
+
+
+((a + b*x)^2/(c + d*x)*(e + f*x)^(5//2), (2*(b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)^2*sqrt(e + f*x))/d^5 + (2*(b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)*(e + f*x)^(3//2))/(3*d^4) + (2*(b*c - a*d)^2*(e + f*x)^(5//2))/(5*d^3) - (2*b*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*(e + f*x)^(7//2))/(7*d^2*f^2) + (2*b^2*(e + f*x)^(9//2))/(9*d*f^2) - (2*(b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)^(5//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/d^(11//2), x, 7),
+((a + b*x)^2/(c + d*x)*(e + f*x)^(3//2), (2*(b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)*sqrt(e + f*x))/d^4 + (2*(b*c - a*d)^2*(e + f*x)^(3//2))/(3*d^3) - (2*b*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*(e + f*x)^(5//2))/(5*d^2*f^2) + (2*b^2*(e + f*x)^(7//2))/(7*d*f^2) - (2*(b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/d^(9//2), x, 6),
+((a + b*x)^2/(c + d*x)*(e + f*x)^(1//2), (2*(b*c - a*d)^2*sqrt(e + f*x))/d^3 - (2*b*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*(e + f*x)^(3//2))/(3*d^2*f^2) + (2*b^2*(e + f*x)^(5//2))/(5*d*f^2) - (2*(b*c - a*d)^2*sqrt(d*e - c*f)*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/d^(7//2), x, 5),
+((a + b*x)^2/(c + d*x)/(e + f*x)^(1//2), -((2*b*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*sqrt(e + f*x))/(d^2*f^2)) + (2*b^2*(e + f*x)^(3//2))/(3*d*f^2) - (2*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/(d^(5//2)*sqrt(d*e - c*f)), x, 4),
+((a + b*x)^2/(c + d*x)/(e + f*x)^(3//2), (2*(b*e - a*f)^2)/(f^2*(d*e - c*f)*sqrt(e + f*x)) + (2*b^2*sqrt(e + f*x))/(d*f^2) - (2*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/(d^(3//2)*(d*e - c*f)^(3//2)), x, 4),
+((a + b*x)^2/(c + d*x)/(e + f*x)^(5//2), (2*(b*e - a*f)^2)/(3*f^2*(d*e - c*f)*(e + f*x)^(3//2)) - (2*(b*e - a*f)*(b*d*e - 2*b*c*f + a*d*f))/(f^2*(d*e - c*f)^2*sqrt(e + f*x)) - (2*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/(sqrt(d)*(d*e - c*f)^(5//2)), x, 4),
+((a + b*x)^2/(c + d*x)/(e + f*x)^(7//2), (2*(b*e - a*f)^2)/(5*f^2*(d*e - c*f)*(e + f*x)^(5//2)) - (2*(b*e - a*f)*(b*d*e - 2*b*c*f + a*d*f))/(3*f^2*(d*e - c*f)^2*(e + f*x)^(3//2)) + (2*(b*c - a*d)^2)/((d*e - c*f)^3*sqrt(e + f*x)) - (2*sqrt(d)*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/(d*e - c*f)^(7//2), x, 4),
+((a + b*x)^2/(c + d*x)/(e + f*x)^(9//2), (2*(b*e - a*f)^2)/(7*f^2*(d*e - c*f)*(e + f*x)^(7//2)) - (2*(b*e - a*f)*(b*d*e - 2*b*c*f + a*d*f))/(5*f^2*(d*e - c*f)^2*(e + f*x)^(5//2)) + (2*(b*c - a*d)^2)/(3*(d*e - c*f)^3*(e + f*x)^(3//2)) + (2*d*(b*c - a*d)^2)/((d*e - c*f)^4*sqrt(e + f*x)) - (2*d^(3//2)*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/(d*e - c*f)^(9//2), x, 4),
+
+
+((a + b*x)^3/(c + d*x)*(e + f*x)^(5//2), -((2*(b*c - a*d)^3*(d*e - c*f)^2*sqrt(e + f*x))/d^6) - (2*(b*c - a*d)^3*(d*e - c*f)*(e + f*x)^(3//2))/(3*d^5) - (2*(b*c - a*d)^3*(e + f*x)^(5//2))/(5*d^4) + (2*b*(3*a^2*d^2*f^2 - 3*a*b*d*f*(d*e + c*f) + b^2*(d^2*e^2 + c*d*e*f + c^2*f^2))*(e + f*x)^(7//2))/(7*d^3*f^3) - (2*b^2*(2*b*d*e + b*c*f - 3*a*d*f)*(e + f*x)^(9//2))/(9*d^2*f^3) + (2*b^3*(e + f*x)^(11//2))/(11*d*f^3) + (2*(b*c - a*d)^3*(d*e - c*f)^(5//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/d^(13//2), x, 7),
+((a + b*x)^3/(c + d*x)*(e + f*x)^(3//2), -((2*(b*c - a*d)^3*(d*e - c*f)*sqrt(e + f*x))/d^5) - (2*(b*c - a*d)^3*(e + f*x)^(3//2))/(3*d^4) + (2*b*(3*a^2*d^2*f^2 - 3*a*b*d*f*(d*e + c*f) + b^2*(d^2*e^2 + c*d*e*f + c^2*f^2))*(e + f*x)^(5//2))/(5*d^3*f^3) - (2*b^2*(2*b*d*e + b*c*f - 3*a*d*f)*(e + f*x)^(7//2))/(7*d^2*f^3) + (2*b^3*(e + f*x)^(9//2))/(9*d*f^3) + (2*(b*c - a*d)^3*(d*e - c*f)^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/d^(11//2), x, 6),
+((a + b*x)^3/(c + d*x)*(e + f*x)^(1//2), -((2*(b*c - a*d)^3*sqrt(e + f*x))/d^4) + (2*b*(3*a^2*d^2*f^2 - 3*a*b*d*f*(d*e + c*f) + b^2*(d^2*e^2 + c*d*e*f + c^2*f^2))*(e + f*x)^(3//2))/(3*d^3*f^3) - (2*b^2*(2*b*d*e + b*c*f - 3*a*d*f)*(e + f*x)^(5//2))/(5*d^2*f^3) + (2*b^3*(e + f*x)^(7//2))/(7*d*f^3) + (2*(b*c - a*d)^3*sqrt(d*e - c*f)*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/d^(9//2), x, 5),
+((a + b*x)^3/(c + d*x)/(e + f*x)^(1//2), (2*b*(3*a^2*d^2*f^2 - 3*a*b*d*f*(d*e + c*f) + b^2*(d^2*e^2 + c*d*e*f + c^2*f^2))*sqrt(e + f*x))/(d^3*f^3) - (2*b^2*(2*b*d*e + b*c*f - 3*a*d*f)*(e + f*x)^(3//2))/(3*d^2*f^3) + (2*b^3*(e + f*x)^(5//2))/(5*d*f^3) + (2*(b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/(d^(7//2)*sqrt(d*e - c*f)), x, 4),
+# {(a + b*x)^3/(c + d*x)/(e + f*x)^(3/2), x, 6, -((2*(b*e - a*f)^3)/(f^3*(d*e - c*f)*Sqrt[e + f*x])) - (2*b^2*(2*b*d*e + b*c*f - 3*a*d*f)*Sqrt[e + f*x])/(d^2*f^3) + (2*b^3*(e + f*x)^(3/2))/(3*d*f^3) + (2*(b*c - a*d)^3*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[e + f*x])/Sqrt[d*e - c*f]])/(d^(5/2)*(d*e - c*f)^(3/2)), -((2*(b*e - a*f)^3)/(f^3*(d*e - c*f)*Sqrt[e + f*x])) - (2*b^3*e*Sqrt[e + f*x])/(d*f^3) - (2*b^2*(b*d*e + b*c*f - 3*a*d*f)*Sqrt[e + f*x])/(d^2*f^3) + (2*b^3*(e + f*x)^(3/2))/(3*d*f^3) + (2*(b*c - a*d)^3*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[e + f*x])/Sqrt[d*e - c*f]])/(d^(5/2)*(d*e - c*f)^(3/2))}
+((a + b*x)^3/(c + d*x)/(e + f*x)^(5//2), -((2*(b*e - a*f)^3)/(3*f^3*(d*e - c*f)*(e + f*x)^(3//2))) + (2*(b*e - a*f)^2*(2*b*d*e - 3*b*c*f + a*d*f))/(f^3*(d*e - c*f)^2*sqrt(e + f*x)) + (2*b^3*sqrt(e + f*x))/(d*f^3) + (2*(b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/(d^(3//2)*(d*e - c*f)^(5//2)), x, 4),
+((a + b*x)^3/(c + d*x)/(e + f*x)^(7//2), -((2*(b*e - a*f)^3)/(5*f^3*(d*e - c*f)*(e + f*x)^(5//2))) + (2*(b*e - a*f)^2*(2*b*d*e - 3*b*c*f + a*d*f))/(3*f^3*(d*e - c*f)^2*(e + f*x)^(3//2)) - (2*(b*e - a*f)*(a^2*d^2*f^2 + a*b*d*f*(d*e - 3*c*f) + b^2*(d^2*e^2 - 3*c*d*e*f + 3*c^2*f^2)))/(f^3*(d*e - c*f)^3*sqrt(e + f*x)) + (2*(b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/(sqrt(d)*(d*e - c*f)^(7//2)), x, 4),
+((a + b*x)^3/(c + d*x)/(e + f*x)^(9//2), -((2*(b*e - a*f)^3)/(7*f^3*(d*e - c*f)*(e + f*x)^(7//2))) + (2*(b*e - a*f)^2*(2*b*d*e - 3*b*c*f + a*d*f))/(5*f^3*(d*e - c*f)^2*(e + f*x)^(5//2)) - (2*(b*e - a*f)*(a^2*d^2*f^2 + a*b*d*f*(d*e - 3*c*f) + b^2*(d^2*e^2 - 3*c*d*e*f + 3*c^2*f^2)))/(3*f^3*(d*e - c*f)^3*(e + f*x)^(3//2)) - (2*(b*c - a*d)^3)/((d*e - c*f)^4*sqrt(e + f*x)) + (2*sqrt(d)*(b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/(d*e - c*f)^(9//2), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (2+3 x)^m (3+5 x)^n (1-2 x)^(1/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^6*(3 + 5*x), (-1294139*(1 - 2*x)^(3//2))/384 + (3916031*(1 - 2*x)^(5//2))/640 - (725445*(1 - 2*x)^(7//2))/128 + (406455*(1 - 2*x)^(9//2))/128 - (1580985*(1 - 2*x)^(11//2))/1408 + (409941*(1 - 2*x)^(13//2))/1664 - (19683*(1 - 2*x)^(15//2))/640 + (3645*(1 - 2*x)^(17//2))/2176, x, 2),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x), (-184877*(1 - 2*x)^(3//2))/192 + (12005*(1 - 2*x)^(5//2))/8 - (74235*(1 - 2*x)^(7//2))/64 + (4165*(1 - 2*x)^(9//2))/8 - (97335*(1 - 2*x)^(11//2))/704 + (81*(1 - 2*x)^(13//2))/4 - (81*(1 - 2*x)^(15//2))/64, x, 2),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x), (-26411*(1 - 2*x)^(3//2))/96 + (57281*(1 - 2*x)^(5//2))/160 - (3549*(1 - 2*x)^(7//2))/16 + (1197*(1 - 2*x)^(9//2))/16 - (4671*(1 - 2*x)^(11//2))/352 + (405*(1 - 2*x)^(13//2))/416, x, 2),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x), (-3773*(1 - 2*x)^(3//2))/48 + (3283*(1 - 2*x)^(5//2))/40 - (153*(1 - 2*x)^(7//2))/4 + (69*(1 - 2*x)^(9//2))/8 - (135*(1 - 2*x)^(11//2))/176, x, 2),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x), (-539*(1 - 2*x)^(3//2))/24 + (707*(1 - 2*x)^(5//2))/40 - (309*(1 - 2*x)^(7//2))/56 + (5*(1 - 2*x)^(9//2))/8, x, 2),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x), (-77*(1 - 2*x)^(3//2))/12 + (17*(1 - 2*x)^(5//2))/5 - (15*(1 - 2*x)^(7//2))/28, x, 2),
+(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x), (-11*(1 - 2*x)^(3//2))/6 + (1 - 2*x)^(5//2)/2, x, 2),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x), (-2*sqrt(1 - 2*x))/9 - (5*(1 - 2*x)^(3//2))/9 + (2*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/9, x, 4),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^2, (8*sqrt(1 - 2*x))/7 + (1 - 2*x)^(3//2)/(21*(2 + 3*x)) - (8*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/sqrt(21), x, 4),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^3, (1 - 2*x)^(3//2)/(42*(2 + 3*x)^2) - (23*sqrt(1 - 2*x))/(42*(2 + 3*x)) + (23*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(21*sqrt(21)), x, 4),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^4, (1 - 2*x)^(3//2)/(63*(2 + 3*x)^3) - (17*sqrt(1 - 2*x))/(63*(2 + 3*x)^2) + (17*sqrt(1 - 2*x))/(441*(2 + 3*x)) + (34*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(441*sqrt(21)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^5, (1 - 2*x)^(3//2)/(84*(2 + 3*x)^4) - (5*sqrt(1 - 2*x))/(28*(2 + 3*x)^3) + (5*sqrt(1 - 2*x))/(392*(2 + 3*x)^2) + (15*sqrt(1 - 2*x))/(2744*(2 + 3*x)) + (5*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/1372, x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^6, (1 - 2*x)^(3//2)/(105*(2 + 3*x)^5) - (2*sqrt(1 - 2*x))/(15*(2 + 3*x)^4) + (2*sqrt(1 - 2*x))/(315*(2 + 3*x)^3) + sqrt(1 - 2*x)/(441*(2 + 3*x)^2) + sqrt(1 - 2*x)/(1029*(2 + 3*x)) + (2*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(1029*sqrt(21)), x, 7),
+
+
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2, (-(290521//192))*(1 - 2*x)^(3//2) + (381073//160)*(1 - 2*x)^(5//2) - (118993//64)*(1 - 2*x)^(7//2) + (40453//48)*(1 - 2*x)^(9//2) - (159111//704)*(1 - 2*x)^(11//2) + (13905//416)*(1 - 2*x)^(13//2) - (135//64)*(1 - 2*x)^(15//2), x, 2),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2, (-(41503//96))*(1 - 2*x)^(3//2) + (91091//160)*(1 - 2*x)^(5//2) - (5711//16)*(1 - 2*x)^(7//2) + (1949//16)*(1 - 2*x)^(9//2) - (7695//352)*(1 - 2*x)^(11//2) + (675//416)*(1 - 2*x)^(13//2), x, 2),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2, (-(5929//48))*(1 - 2*x)^(3//2) + (1309//10)*(1 - 2*x)^(5//2) - (3467//56)*(1 - 2*x)^(7//2) + (85//6)*(1 - 2*x)^(9//2) - (225//176)*(1 - 2*x)^(11//2), x, 2),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2, (-847*(1 - 2*x)^(3//2))/24 + (1133*(1 - 2*x)^(5//2))/40 - (505*(1 - 2*x)^(7//2))/56 + (25*(1 - 2*x)^(9//2))/24, x, 2),
+(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2, (-121*(1 - 2*x)^(3//2))/12 + (11*(1 - 2*x)^(5//2))/2 - (25*(1 - 2*x)^(7//2))/28, x, 2),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x), (2//27)*sqrt(1 - 2*x) - (155//54)*(1 - 2*x)^(3//2) + (5//6)*(1 - 2*x)^(5//2) - (2//27)*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^2, (-(142//189))*sqrt(1 - 2*x) - (25//27)*(1 - 2*x)^(3//2) - (1 - 2*x)^(3//2)/(63*(2 + 3*x)) + (142*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(27*sqrt(21)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^3, (863//441)*sqrt(1 - 2*x) - (1 - 2*x)^(3//2)/(126*(2 + 3*x)^2) + (139*(1 - 2*x)^(3//2))/(882*(2 + 3*x)) - (863*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(63*sqrt(21)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^4, -((1 - 2*x)^(3//2)/(189*(2 + 3*x)^3)) + (23*(1 - 2*x)^(3//2))/(294*(2 + 3*x)^2) - (2381*sqrt(1 - 2*x))/(2646*(2 + 3*x)) + (2381*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(1323*sqrt(21)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^5, -((1 - 2*x)^(3//2)/(252*(2 + 3*x)^4)) + (275*(1 - 2*x)^(3//2))/(5292*(2 + 3*x)^3) - (4625*sqrt(1 - 2*x))/(10584*(2 + 3*x)^2) + (4625*sqrt(1 - 2*x))/(74088*(2 + 3*x)) + (4625*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(37044*sqrt(21)), x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^6, -((1 - 2*x)^(3//2)/(315*(2 + 3*x)^5)) + (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(180*(2 + 3*x)^4) - (31*sqrt(1 - 2*x))/(108*(2 + 3*x)^3) + (31*sqrt(1 - 2*x))/(1512*(2 + 3*x)^2) + (31*sqrt(1 - 2*x))/(3528*(2 + 3*x)) + (31*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(1764*sqrt(21)), x, 7),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^7, -((1 - 2*x)^(3//2)/(378*(2 + 3*x)^6)) + (137*(1 - 2*x)^(3//2))/(4410*(2 + 3*x)^5) - (1613*sqrt(1 - 2*x))/(7560*(2 + 3*x)^4) + (1613*sqrt(1 - 2*x))/(158760*(2 + 3*x)^3) + (1613*sqrt(1 - 2*x))/(444528*(2 + 3*x)^2) + (1613*sqrt(1 - 2*x))/(1037232*(2 + 3*x)) + (1613*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(518616*sqrt(21)), x, 8),
+
+
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3, (-(3195731//384))*(1 - 2*x)^(3//2) + (9836211//640)*(1 - 2*x)^(5//2) - (1853313//128)*(1 - 2*x)^(7//2) + (9504551*(1 - 2*x)^(9//2))/1152 - (4177401*(1 - 2*x)^(11//2))/1408 + (1101465*(1 - 2*x)^(13//2))/1664 - (10755//128)*(1 - 2*x)^(15//2) + (10125*(1 - 2*x)^(17//2))/2176, x, 2),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3, (-(456533//192))*(1 - 2*x)^(3//2) + (302379//80)*(1 - 2*x)^(5//2) - (190707//64)*(1 - 2*x)^(7//2) + (98209//72)*(1 - 2*x)^(9//2) - (260055//704)*(1 - 2*x)^(11//2) + (11475//208)*(1 - 2*x)^(13//2) - (225//64)*(1 - 2*x)^(15//2), x, 2),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3, (-(65219//96))*(1 - 2*x)^(3//2) + (144837//160)*(1 - 2*x)^(5//2) - (64317//112)*(1 - 2*x)^(7//2) + (28555//144)*(1 - 2*x)^(9//2) - (12675//352)*(1 - 2*x)^(11//2) + (1125//416)*(1 - 2*x)^(13//2), x, 2),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3, (-9317*(1 - 2*x)^(3//2))/48 + (8349*(1 - 2*x)^(5//2))/40 - (2805*(1 - 2*x)^(7//2))/28 + (1675*(1 - 2*x)^(9//2))/72 - (375*(1 - 2*x)^(11//2))/176, x, 2),
+(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3, (-1331*(1 - 2*x)^(3//2))/24 + (363*(1 - 2*x)^(5//2))/8 - (825*(1 - 2*x)^(7//2))/56 + (125*(1 - 2*x)^(9//2))/72, x, 2),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x), (-(2//81))*sqrt(1 - 2*x) - (5135//324)*(1 - 2*x)^(3//2) + (80//9)*(1 - 2*x)^(5//2) - (125//84)*(1 - 2*x)^(7//2) + (2//81)*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^2, (7//9)*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2 - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(3*(2 + 3*x)) - (2//81)*sqrt(1 - 2*x)*(211 + 170*x) - (212*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(81*sqrt(21)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^3, -((53*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(63*(2 + 3*x))) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(6*(2 + 3*x)^2) + (5*sqrt(1 - 2*x)*(323 + 2815*x))/1134 + (7559*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(567*sqrt(21)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^4, -((53*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(189*(2 + 3*x)^2)) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(9*(2 + 3*x)^3) + (2*sqrt(1 - 2*x)*(18016 + 26075*x))/(3969*(2 + 3*x)) - (92996*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(3969*sqrt(21)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^5, -((53*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(378*(2 + 3*x)^3)) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(12*(2 + 3*x)^4) - (5*sqrt(1 - 2*x)*(70429 + 110981*x))/(222264*(2 + 3*x)^2) + (328715*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(111132*sqrt(21)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^6, (11237*sqrt(1 - 2*x))/(111132*(2 + 3*x)) - (53*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(630*(2 + 3*x)^4) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(15*(2 + 3*x)^5) - (sqrt(1 - 2*x)*(37224 + 59665*x))/(79380*(2 + 3*x)^3) + (11237*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(55566*sqrt(21)), x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^7, (43957*sqrt(1 - 2*x))/(1333584*(2 + 3*x)^2) + (43957*sqrt(1 - 2*x))/(3111696*(2 + 3*x)) - (53*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(945*(2 + 3*x)^5) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(18*(2 + 3*x)^6) - (sqrt(1 - 2*x)*(98995 + 160029*x))/(476280*(2 + 3*x)^4) + (43957*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(1555848*sqrt(21)), x, 7),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^8, (47434*sqrt(1 - 2*x))/(2917215*(2 + 3*x)^3) + (23717*sqrt(1 - 2*x))/(4084101*(2 + 3*x)^2) + (23717*sqrt(1 - 2*x))/(9529569*(2 + 3*x)) - (53*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(1323*(2 + 3*x)^6) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(21*(2 + 3*x)^7) - (2*sqrt(1 - 2*x)*(54227 + 88099*x))/(972405*(2 + 3*x)^5) + (47434*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(9529569*sqrt(21)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x), (2*sqrt(1 - 2*x))/3125 - (45473*(1 - 2*x)^(3//2))/5000 + (34371*(1 - 2*x)^(5//2))/5000 - (2889*(1 - 2*x)^(7//2))/1400 + (9//40)*(1 - 2*x)^(9//2) - (2*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/3125, x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x), (2//625)*sqrt(1 - 2*x) - (1299//500)*(1 - 2*x)^(3//2) + (162//125)*(1 - 2*x)^(5//2) - (27//140)*(1 - 2*x)^(7//2) - (2//625)*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x), (2//125)*sqrt(1 - 2*x) - (37//50)*(1 - 2*x)^(3//2) + (9//50)*(1 - 2*x)^(5//2) - (2//125)*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x))/(3 + 5*x), (2*sqrt(1 - 2*x))/25 - (1 - 2*x)^(3//2)/5 - (2*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/25, x, 4),
+(sqrt(1 - 2*x)/(3 + 5*x), (2*sqrt(1 - 2*x))/5 - (2*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/5, x, 3),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)), 2*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - 2*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 5),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)), sqrt(1 - 2*x)/(2 + 3*x) + (68*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/sqrt(21) - 2*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 6),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)), sqrt(1 - 2*x)/(2*(2 + 3*x)^2) + (69*sqrt(1 - 2*x))/(14*(2 + 3*x)) + (793*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/7 - 10*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 7),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)), sqrt(1 - 2*x)/(3*(2 + 3*x)^3) + (52*sqrt(1 - 2*x))/(21*(2 + 3*x)^2) + (1207*sqrt(1 - 2*x))/(49*(2 + 3*x)) + (83264*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(49*sqrt(21)) - 50*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 8),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)), sqrt(1 - 2*x)/(4*(2 + 3*x)^4) + (139*sqrt(1 - 2*x))/(84*(2 + 3*x)^3) + (14555*sqrt(1 - 2*x))/(1176*(2 + 3*x)^2) + (337955*sqrt(1 - 2*x))/(2744*(2 + 3*x)) + (11656955*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(1372*sqrt(21)) - 250*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 9),
+
+
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5)/(3 + 5*x)^2, -((172*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/3125) + (64*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/2625 + (11//75)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4 - (sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5)/(5*(3 + 5*x)) - (4*sqrt(1 - 2*x)*(10998 + 3625*x))/15625 - (328*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(15625*sqrt(55)), x, 7),
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x)^2, (12//625)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2 + (27//175)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3 - (sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4)/(5*(3 + 5*x)) - (3*sqrt(1 - 2*x)*(1256 + 375*x))/3125 - (262*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(3125*sqrt(55)), x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x)^2, (-294*sqrt(1 - 2*x))/625 + (21*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/125 - (sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(5*(3 + 5*x)) - (196*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(625*sqrt(55)), x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x)^2, (26//275)*sqrt(1 - 2*x) - (3//25)*(1 - 2*x)^(3//2) - (1 - 2*x)^(3//2)/(275*(3 + 5*x)) - (26*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(25*sqrt(55)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^2, (64*sqrt(1 - 2*x))/275 - (1 - 2*x)^(3//2)/(55*(3 + 5*x)) - (64*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(25*sqrt(55)), x, 4),
+(sqrt(1 - 2*x)/(3 + 5*x)^2, -sqrt(1 - 2*x)/(5*(3 + 5*x)) + (2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(5*sqrt(55)), x, 3),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2), -(sqrt(1 - 2*x)/(3 + 5*x)) - 2*sqrt(21)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) + (68*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/sqrt(55), x, 6),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2), (-10*sqrt(1 - 2*x))/(3 + 5*x) + sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - 138*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) + 134*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 7),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2), (-1045*sqrt(1 - 2*x))/(14*(3 + 5*x)) + sqrt(1 - 2*x)/(2*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)) + (52*sqrt(1 - 2*x))/(7*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - (7209*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/7 + 1000*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 8),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2), (-48645*sqrt(1 - 2*x))/(98*(3 + 5*x)) + sqrt(1 - 2*x)/(3*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)) + (139*sqrt(1 - 2*x))/(42*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)) + (7261*sqrt(1 - 2*x))/(147*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - (335579*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/49 + 6650*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 9),
+
+
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x)^3, -((21*(704 - 375*x)*sqrt(1 - 2*x))/68750) + (1428*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/6875 - (sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4)/(10*(3 + 5*x)^2) - (131*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(550*(3 + 5*x)) - (12803*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(34375*sqrt(55)), x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x)^3, -((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(10*(3 + 5*x)^2)) - (49*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(275*(3 + 5*x)) + (21*sqrt(1 - 2*x)*(44 + 75*x))/2750 - (1267*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(1375*sqrt(55)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x)^3, (409*sqrt(1 - 2*x))/3025 - (1 - 2*x)^(3//2)/(550*(3 + 5*x)^2) - (133*(1 - 2*x)^(3//2))/(6050*(3 + 5*x)) - (409*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(275*sqrt(55)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^3, -(1 - 2*x)^(3//2)/(110*(3 + 5*x)^2) - (67*sqrt(1 - 2*x))/(550*(3 + 5*x)) + (67*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(275*sqrt(55)), x, 4),
+(sqrt(1 - 2*x)/(3 + 5*x)^3, -sqrt(1 - 2*x)/(10*(3 + 5*x)^2) + sqrt(1 - 2*x)/(110*(3 + 5*x)) + atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x))/(55*sqrt(55)), x, 4),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3), -sqrt(1 - 2*x)/(2*(3 + 5*x)^2) + (67*sqrt(1 - 2*x))/(22*(3 + 5*x)) + 6*sqrt(21)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - (2243*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(11*sqrt(55)), x, 7),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3), (-15*sqrt(1 - 2*x))/(2*(3 + 5*x)^2) + sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2) + (995*sqrt(1 - 2*x))/(22*(3 + 5*x)) + 624*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - (6665*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/11, x, 8),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3), (-1045*sqrt(1 - 2*x))/(14*(3 + 5*x)^2) + sqrt(1 - 2*x)/(2*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2) + (139*sqrt(1 - 2*x))/(14*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2) + (34655*sqrt(1 - 2*x))/(77*(3 + 5*x)) + (43467*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/7 - (66325*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/11, x, 9),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3), (-182335*sqrt(1 - 2*x))/(294*(3 + 5*x)^2) + sqrt(1 - 2*x)/(3*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2) + (29*sqrt(1 - 2*x))/(7*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2) + (4042*sqrt(1 - 2*x))/(49*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2) + (4031135*sqrt(1 - 2*x))/(1078*(3 + 5*x)) + (2528082*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/49 - (551075*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/11, x, 10),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (2+3 x)^m (3+5 x)^n (1-2 x)^(3/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^6*(3 + 5*x), (-1294139*(1 - 2*x)^(5//2))/640 + (559433*(1 - 2*x)^(7//2))/128 - (564235*(1 - 2*x)^(9//2))/128 + (3658095*(1 - 2*x)^(11//2))/1408 - (1580985*(1 - 2*x)^(13//2))/1664 + (136647*(1 - 2*x)^(15//2))/640 - (59049*(1 - 2*x)^(17//2))/2176 + (3645*(1 - 2*x)^(19//2))/2432, x, 2),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x), (-184877*(1 - 2*x)^(5//2))/320 + (8575*(1 - 2*x)^(7//2))/8 - (173215*(1 - 2*x)^(9//2))/192 + (37485*(1 - 2*x)^(11//2))/88 - (97335*(1 - 2*x)^(13//2))/832 + (351*(1 - 2*x)^(15//2))/20 - (1215*(1 - 2*x)^(17//2))/1088, x, 2),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x), (-26411*(1 - 2*x)^(5//2))/160 + (8183*(1 - 2*x)^(7//2))/32 - (8281*(1 - 2*x)^(9//2))/48 + (10773*(1 - 2*x)^(11//2))/176 - (4671*(1 - 2*x)^(13//2))/416 + (27*(1 - 2*x)^(15//2))/32, x, 2),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x), (-3773*(1 - 2*x)^(5//2))/80 + (469*(1 - 2*x)^(7//2))/8 - (119*(1 - 2*x)^(9//2))/4 + (621*(1 - 2*x)^(11//2))/88 - (135*(1 - 2*x)^(13//2))/208, x, 2),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x), (-539*(1 - 2*x)^(5//2))/40 + (101*(1 - 2*x)^(7//2))/8 - (103*(1 - 2*x)^(9//2))/24 + (45*(1 - 2*x)^(11//2))/88, x, 2),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x), (-77*(1 - 2*x)^(5//2))/20 + (17*(1 - 2*x)^(7//2))/7 - (5*(1 - 2*x)^(9//2))/12, x, 2),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x), (-11*(1 - 2*x)^(5//2))/10 + (5*(1 - 2*x)^(7//2))/14, x, 2),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x), (-14*sqrt(1 - 2*x))/27 - (2*(1 - 2*x)^(3//2))/27 - (1 - 2*x)^(5//2)/3 + (14*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/27, x, 5),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^2, (76*sqrt(1 - 2*x))/27 + (76*(1 - 2*x)^(3//2))/189 + (1 - 2*x)^(5//2)/(21*(2 + 3*x)) - (76*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/27, x, 5),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^3, (-71*sqrt(1 - 2*x))/63 + (1 - 2*x)^(5//2)/(42*(2 + 3*x)^2) - (71*(1 - 2*x)^(3//2))/(126*(2 + 3*x)) + (71*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(9*sqrt(21)), x, 5),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^4, (1 - 2*x)^(5//2)/(63*(2 + 3*x)^3) - (52*(1 - 2*x)^(3//2))/(189*(2 + 3*x)^2) + (52*sqrt(1 - 2*x))/(189*(2 + 3*x)) - (104*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(189*sqrt(21)), x, 5),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^5, (1 - 2*x)^(5//2)/(84*(2 + 3*x)^4) - (137*(1 - 2*x)^(3//2))/(756*(2 + 3*x)^3) + (137*sqrt(1 - 2*x))/(1512*(2 + 3*x)^2) - (137*sqrt(1 - 2*x))/(10584*(2 + 3*x)) - (137*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(5292*sqrt(21)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^6, (1 - 2*x)^(5//2)/(105*(2 + 3*x)^5) - (17*(1 - 2*x)^(3//2))/(126*(2 + 3*x)^4) + (17*sqrt(1 - 2*x))/(378*(2 + 3*x)^3) - (17*sqrt(1 - 2*x))/(5292*(2 + 3*x)^2) - (17*sqrt(1 - 2*x))/(12348*(2 + 3*x)) - (17*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(6174*sqrt(21)), x, 7),
+
+
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2, (-290521*(1 - 2*x)^(5//2))/320 + (54439*(1 - 2*x)^(7//2))/32 - (832951*(1 - 2*x)^(9//2))/576 + (121359*(1 - 2*x)^(11//2))/176 - (159111*(1 - 2*x)^(13//2))/832 + (927*(1 - 2*x)^(15//2))/32 - (2025*(1 - 2*x)^(17//2))/1088, x, 2),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2, (-41503*(1 - 2*x)^(5//2))/160 + (13013*(1 - 2*x)^(7//2))/32 - (39977*(1 - 2*x)^(9//2))/144 + (17541*(1 - 2*x)^(11//2))/176 - (7695*(1 - 2*x)^(13//2))/416 + (45*(1 - 2*x)^(15//2))/32, x, 2),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2, (-5929*(1 - 2*x)^(5//2))/80 + (187*(1 - 2*x)^(7//2))/2 - (3467*(1 - 2*x)^(9//2))/72 + (255*(1 - 2*x)^(11//2))/22 - (225*(1 - 2*x)^(13//2))/208, x, 2),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2, (-847*(1 - 2*x)^(5//2))/40 + (1133*(1 - 2*x)^(7//2))/56 - (505*(1 - 2*x)^(9//2))/72 + (75*(1 - 2*x)^(11//2))/88, x, 2),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2, (-121*(1 - 2*x)^(5//2))/20 + (55*(1 - 2*x)^(7//2))/14 - (25*(1 - 2*x)^(9//2))/36, x, 2),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x), (14*sqrt(1 - 2*x))/81 + (2*(1 - 2*x)^(3//2))/81 - (31*(1 - 2*x)^(5//2))/18 + (25*(1 - 2*x)^(7//2))/42 - (14*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/81, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^2, (-146*sqrt(1 - 2*x))/81 - (146*(1 - 2*x)^(3//2))/567 - (5*(1 - 2*x)^(5//2))/9 - (1 - 2*x)^(5//2)/(63*(2 + 3*x)) + (146*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/81, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^3, (2873*sqrt(1 - 2*x))/567 + (2873*(1 - 2*x)^(3//2))/3969 - (1 - 2*x)^(5//2)/(126*(2 + 3*x)^2) + (47*(1 - 2*x)^(5//2))/(294*(2 + 3*x)) - (2873*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(81*sqrt(21)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^4, (-7559*sqrt(1 - 2*x))/3969 - (1 - 2*x)^(5//2)/(189*(2 + 3*x)^3) + (209*(1 - 2*x)^(5//2))/(2646*(2 + 3*x)^2) - (7559*(1 - 2*x)^(3//2))/(7938*(2 + 3*x)) + (7559*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(567*sqrt(21)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^5, -(1 - 2*x)^(5//2)/(252*(2 + 3*x)^4) + (277*(1 - 2*x)^(5//2))/(5292*(2 + 3*x)^3) - (14423*(1 - 2*x)^(3//2))/(31752*(2 + 3*x)^2) + (14423*sqrt(1 - 2*x))/(31752*(2 + 3*x)) - (14423*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(15876*sqrt(21)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^6, -(1 - 2*x)^(5//2)/(315*(2 + 3*x)^5) + (23*(1 - 2*x)^(5//2))/(588*(2 + 3*x)^4) - (4693*(1 - 2*x)^(3//2))/(15876*(2 + 3*x)^3) + (4693*sqrt(1 - 2*x))/(31752*(2 + 3*x)^2) - (4693*sqrt(1 - 2*x))/(222264*(2 + 3*x)) - (4693*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(111132*sqrt(21)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^7, -(1 - 2*x)^(5//2)/(378*(2 + 3*x)^6) + (59*(1 - 2*x)^(5//2))/(1890*(2 + 3*x)^5) - (991*(1 - 2*x)^(3//2))/(4536*(2 + 3*x)^4) + (991*sqrt(1 - 2*x))/(13608*(2 + 3*x)^3) - (991*sqrt(1 - 2*x))/(190512*(2 + 3*x)^2) - (991*sqrt(1 - 2*x))/(444528*(2 + 3*x)) - (991*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(222264*sqrt(21)), x, 8),
+
+
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3, (-3195731*(1 - 2*x)^(5//2))/640 + (1405173*(1 - 2*x)^(7//2))/128 - (4324397*(1 - 2*x)^(9//2))/384 + (9504551*(1 - 2*x)^(11//2))/1408 - (4177401*(1 - 2*x)^(13//2))/1664 + (73431*(1 - 2*x)^(15//2))/128 - (161325*(1 - 2*x)^(17//2))/2176 + (10125*(1 - 2*x)^(19//2))/2432, x, 2),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3, (-456533*(1 - 2*x)^(5//2))/320 + (43197*(1 - 2*x)^(7//2))/16 - (444983*(1 - 2*x)^(9//2))/192 + (98209*(1 - 2*x)^(11//2))/88 - (260055*(1 - 2*x)^(13//2))/832 + (765*(1 - 2*x)^(15//2))/16 - (3375*(1 - 2*x)^(17//2))/1088, x, 2),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3, (-65219*(1 - 2*x)^(5//2))/160 + (20691*(1 - 2*x)^(7//2))/32 - (21439*(1 - 2*x)^(9//2))/48 + (28555*(1 - 2*x)^(11//2))/176 - (975*(1 - 2*x)^(13//2))/32 + (75*(1 - 2*x)^(15//2))/32, x, 2),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3, (-9317*(1 - 2*x)^(5//2))/80 + (8349*(1 - 2*x)^(7//2))/56 - (935*(1 - 2*x)^(9//2))/12 + (1675*(1 - 2*x)^(11//2))/88 - (375*(1 - 2*x)^(13//2))/208, x, 2),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3, (-1331*(1 - 2*x)^(5//2))/40 + (1815*(1 - 2*x)^(7//2))/56 - (275*(1 - 2*x)^(9//2))/24 + (125*(1 - 2*x)^(11//2))/88, x, 2),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x), (-14*sqrt(1 - 2*x))/243 - (2*(1 - 2*x)^(3//2))/243 - (1027*(1 - 2*x)^(5//2))/108 + (400*(1 - 2*x)^(7//2))/63 - (125*(1 - 2*x)^(9//2))/108 + (14*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/243, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^2, (8//9)*sqrt(1 - 2*x) + (5//7)*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2 - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(3*(2 + 3*x)) - (10//63)*(1 - 2*x)^(3//2)*(22 + 27*x) - (8//9)*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^3, (-(31//3))*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2 - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(6*(2 + 3*x)^2) + (6*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x) + (1//54)*sqrt(1 - 2*x)*(367 + 1715*x) + (887*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(27*sqrt(21)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^4, (251*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(63*(2 + 3*x)) - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(9*(2 + 3*x)^3) + (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^2 - (5//567)*sqrt(1 - 2*x)*(2323 + 7265*x) - (36038*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(567*sqrt(21)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^5, (13*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(56*(2 + 3*x)^2) - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(12*(2 + 3*x)^4) + (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^3 - (sqrt(1 - 2*x)*(18187 + 26775*x))/(1176*(2 + 3*x)) + (13243*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(588*sqrt(21)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^6, -((67*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(315*(2 + 3*x)^3)) - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(15*(2 + 3*x)^5) + (3*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(5*(2 + 3*x)^4) - (2*sqrt(1 - 2*x)*(9529 + 15074*x))/(9261*(2 + 3*x)^2) - (13892*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(9261*sqrt(21)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^7, -((15313*sqrt(1 - 2*x))/(444528*(2 + 3*x))) - (653*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(2520*(2 + 3*x)^4) - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(18*(2 + 3*x)^6) + (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(5*(2 + 3*x)^5) - (sqrt(1 - 2*x)*(413424 + 664915*x))/(317520*(2 + 3*x)^3) - (15313*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(222264*sqrt(21)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^8, -((4369*sqrt(1 - 2*x))/(518616*(2 + 3*x)^2)) - (4369*sqrt(1 - 2*x))/(1210104*(2 + 3*x)) - (173*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(735*(2 + 3*x)^5) - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(21*(2 + 3*x)^7) + (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(7*(2 + 3*x)^6) - (sqrt(1 - 2*x)*(146585 + 237807*x))/(185220*(2 + 3*x)^4) - (4369*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(605052*sqrt(21)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^6)/(3 + 5*x), (22*sqrt(1 - 2*x))/390625 + (2*(1 - 2*x)^(3//2))/234375 - (167115051*(1 - 2*x)^(5//2))/2500000 + (70752609*(1 - 2*x)^(7//2))/700000 - (665817*(1 - 2*x)^(9//2))/10000 + (507627*(1 - 2*x)^(11//2))/22000 - (43011*(1 - 2*x)^(13//2))/10400 + (243*(1 - 2*x)^(15//2))/800 - (22*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/390625, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^5)/(3 + 5*x), (22*sqrt(1 - 2*x))/78125 + (2*(1 - 2*x)^(3//2))/46875 - (4774713*(1 - 2*x)^(5//2))/250000 + (806121*(1 - 2*x)^(7//2))/35000 - (5673*(1 - 2*x)^(9//2))/500 + (5751*(1 - 2*x)^(11//2))/2200 - (243*(1 - 2*x)^(13//2))/1040 - (22*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/78125, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x), (22*sqrt(1 - 2*x))/15625 + (2*(1 - 2*x)^(3//2))/9375 - (136419*(1 - 2*x)^(5//2))/25000 + (34371*(1 - 2*x)^(7//2))/7000 - (321*(1 - 2*x)^(9//2))/200 + (81*(1 - 2*x)^(11//2))/440 - (22*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/15625, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x), (22*sqrt(1 - 2*x))/3125 + (2*(1 - 2*x)^(3//2))/1875 - (3897*(1 - 2*x)^(5//2))/2500 + (162*(1 - 2*x)^(7//2))/175 - (3*(1 - 2*x)^(9//2))/20 - (22*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/3125, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x), (22*sqrt(1 - 2*x))/625 + (2*(1 - 2*x)^(3//2))/375 - (111*(1 - 2*x)^(5//2))/250 + (9*(1 - 2*x)^(7//2))/70 - (22*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/625, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x))/(3 + 5*x), (22*sqrt(1 - 2*x))/125 + (2*(1 - 2*x)^(3//2))/75 - (3*(1 - 2*x)^(5//2))/25 - (22*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/125, x, 5),
+((1 - 2*x)^(3//2)/(3 + 5*x), (22*sqrt(1 - 2*x))/25 + (2*(1 - 2*x)^(3//2))/15 - (22*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/25, x, 4),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)), (-4*sqrt(1 - 2*x))/15 + (14*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/3 - (22*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/5, x, 6),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)), (7*sqrt(1 - 2*x))/(3*(2 + 3*x)) + (64*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/3 - 22*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 6),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)), (7*sqrt(1 - 2*x))/(6*(2 + 3*x)^2) + (65*sqrt(1 - 2*x))/(6*(2 + 3*x)) + (2243*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(3*sqrt(21)) - 22*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 7),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)), (7*sqrt(1 - 2*x))/(9*(2 + 3*x)^3) + (49*sqrt(1 - 2*x))/(9*(2 + 3*x)^2) + (1138*sqrt(1 - 2*x))/(21*(2 + 3*x)) + (78506*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(21*sqrt(21)) - 110*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 8),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)), (7*sqrt(1 - 2*x))/(12*(2 + 3*x)^4) + (131*sqrt(1 - 2*x))/(36*(2 + 3*x)^3) + (13723*sqrt(1 - 2*x))/(504*(2 + 3*x)^2) + (318643*sqrt(1 - 2*x))/(1176*(2 + 3*x)) + (10990843*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(588*sqrt(21)) - 550*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 9),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)), (7*sqrt(1 - 2*x))/(15*(2 + 3*x)^5) + (41*sqrt(1 - 2*x))/(15*(2 + 3*x)^4) + (5732*sqrt(1 - 2*x))/(315*(2 + 3*x)^3) + (120077*sqrt(1 - 2*x))/(882*(2 + 3*x)^2) + (2788127*sqrt(1 - 2*x))/(2058*(2 + 3*x)) + (96169877*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(1029*sqrt(21)) - 2750*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 10),
+
+
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^5)/(3 + 5*x)^2, (324*sqrt(1 - 2*x))/78125 - (4016*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2)/48125 + (38*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3)/4125 + (39//275)*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4 - ((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^5)/(5*(3 + 5*x)) - (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(298462 + 204777*x))/515625 - (324*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/78125, x, 8),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x)^2, (258*sqrt(1 - 2*x))/15625 - (2//875)*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2 + (11//75)*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3 - ((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4)/(5*(3 + 5*x)) - ((1 - 2*x)^(3//2)*(5678 + 3663*x))/9375 - (258*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/15625, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x)^2, (192*sqrt(1 - 2*x))/3125 + (27//175)*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2 - ((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3)/(5*(3 + 5*x)) - (6//625)*(1 - 2*x)^(3//2)*(29 + 9*x) - (192*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/3125, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x)^2, (126*sqrt(1 - 2*x))/625 + (42*(1 - 2*x)^(3//2))/1375 - (9*(1 - 2*x)^(5//2))/125 - (1 - 2*x)^(5//2)/(275*(3 + 5*x)) - (126*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/625, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^2, (12*sqrt(1 - 2*x))/25 + (4*(1 - 2*x)^(3//2))/55 - (1 - 2*x)^(5//2)/(55*(3 + 5*x)) - (12*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/25, x, 5),
+((1 - 2*x)^(3//2)/(3 + 5*x)^2, (-6*sqrt(1 - 2*x))/25 - (1 - 2*x)^(3//2)/(5*(3 + 5*x)) + (6*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/25, x, 4),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2), (-11*sqrt(1 - 2*x))/(5*(3 + 5*x)) - 14*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) + (72*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/5, x, 6),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2), (-68*sqrt(1 - 2*x))/(3*(3 + 5*x)) + (7*sqrt(1 - 2*x))/(3*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - 134*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) + 138*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 7),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2), (-335*sqrt(1 - 2*x))/(2*(3 + 5*x)) + (7*sqrt(1 - 2*x))/(6*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)) + (50*sqrt(1 - 2*x))/(3*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - 2311*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) + 204*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 8),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2), (-46555*sqrt(1 - 2*x))/(42*(3 + 5*x)) + (7*sqrt(1 - 2*x))/(9*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)) + (133*sqrt(1 - 2*x))/(18*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)) + (6949*sqrt(1 - 2*x))/(63*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - (321161*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(7*sqrt(21)) + 1350*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 9),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^2), (-8110915*sqrt(1 - 2*x))/(1176*(3 + 5*x)) + (7*sqrt(1 - 2*x))/(12*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)) + (83*sqrt(1 - 2*x))/(18*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)) + (23173*sqrt(1 - 2*x))/(504*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)) + (302668*sqrt(1 - 2*x))/(441*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - (55953383*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(196*sqrt(21)) + 8400*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 10),
+
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+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x)^3, (1404*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/3125 + (2643*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/1750 - ((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4)/(10*(3 + 5*x)^2) - (129*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4)/(50*(3 + 5*x)) + (9*sqrt(1 - 2*x)*(32 + 1375*x))/31250 - (12279*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(15625*sqrt(55)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x)^3, (693//625)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2 - ((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3)/(10*(3 + 5*x)^2) - (48*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(25*(3 + 5*x)) + (63*sqrt(1 - 2*x)*(92 + 125*x))/6250 - (5943*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(3125*sqrt(55)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x)^3, (357*sqrt(1 - 2*x))/1375 + (119*(1 - 2*x)^(3//2))/3025 - (1 - 2*x)^(5//2)/(550*(3 + 5*x)^2) - (131*(1 - 2*x)^(5//2))/(6050*(3 + 5*x)) - (357*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(125*sqrt(55)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^3, (-39*sqrt(1 - 2*x))/275 - (1 - 2*x)^(5//2)/(110*(3 + 5*x)^2) - (13*(1 - 2*x)^(3//2))/(110*(3 + 5*x)) + (39*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(25*sqrt(55)), x, 5),
+((1 - 2*x)^(3//2)/(3 + 5*x)^3, -(1 - 2*x)^(3//2)/(10*(3 + 5*x)^2) + (3*sqrt(1 - 2*x))/(50*(3 + 5*x)) - (3*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(25*sqrt(55)), x, 4),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3), (-11*sqrt(1 - 2*x))/(10*(3 + 5*x)^2) + (71*sqrt(1 - 2*x))/(10*(3 + 5*x)) + 14*sqrt(21)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - (2379*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(5*sqrt(55)), x, 7),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3), (-103*sqrt(1 - 2*x))/(6*(3 + 5*x)^2) + (7*sqrt(1 - 2*x))/(3*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2) + (207*sqrt(1 - 2*x))/(2*(3 + 5*x)) + 204*sqrt(21)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - (6933*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/sqrt(55), x, 8),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3), (-1015*sqrt(1 - 2*x))/(6*(3 + 5*x)^2) + (7*sqrt(1 - 2*x))/(6*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2) + (45*sqrt(1 - 2*x))/(2*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2) + (1020*sqrt(1 - 2*x))/(3 + 5*x) + 14073*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - 13665*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 9),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3), (-176065*sqrt(1 - 2*x))/(126*(3 + 5*x)^2) + (7*sqrt(1 - 2*x))/(9*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2) + (28*sqrt(1 - 2*x))/(3*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2) + (1301*sqrt(1 - 2*x))/(7*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2) + (117955*sqrt(1 - 2*x))/(14*(3 + 5*x)) + (813716*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/7 - 112875*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 10),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (2+3 x)^m (3+5 x)^n (1-2 x)^(5/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
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+
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^6*(3 + 5*x), (-184877*(1 - 2*x)^(7//2))/128 + (3916031*(1 - 2*x)^(9//2))/1152 - (5078115*(1 - 2*x)^(11//2))/1408 + (3658095*(1 - 2*x)^(13//2))/1664 - (105399*(1 - 2*x)^(15//2))/128 + (409941*(1 - 2*x)^(17//2))/2176 - (59049*(1 - 2*x)^(19//2))/2432 + (1215*(1 - 2*x)^(21//2))/896, x, 2),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x), (-26411*(1 - 2*x)^(7//2))/64 + (60025*(1 - 2*x)^(9//2))/72 - (519645*(1 - 2*x)^(11//2))/704 + (37485*(1 - 2*x)^(13//2))/104 - (6489*(1 - 2*x)^(15//2))/64 + (1053*(1 - 2*x)^(17//2))/68 - (1215*(1 - 2*x)^(19//2))/1216, x, 2),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x), (-3773*(1 - 2*x)^(7//2))/32 + (57281*(1 - 2*x)^(9//2))/288 - (24843*(1 - 2*x)^(11//2))/176 + (10773*(1 - 2*x)^(13//2))/208 - (1557*(1 - 2*x)^(15//2))/160 + (405*(1 - 2*x)^(17//2))/544, x, 2),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x), (-539*(1 - 2*x)^(7//2))/16 + (3283*(1 - 2*x)^(9//2))/72 - (1071*(1 - 2*x)^(11//2))/44 + (621*(1 - 2*x)^(13//2))/104 - (9*(1 - 2*x)^(15//2))/16, x, 2),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x), (-77*(1 - 2*x)^(7//2))/8 + (707*(1 - 2*x)^(9//2))/72 - (309*(1 - 2*x)^(11//2))/88 + (45*(1 - 2*x)^(13//2))/104, x, 2),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x), (-11*(1 - 2*x)^(7//2))/4 + (17*(1 - 2*x)^(9//2))/9 - (15*(1 - 2*x)^(11//2))/44, x, 2),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x), (-11*(1 - 2*x)^(7//2))/14 + (5*(1 - 2*x)^(9//2))/18, x, 2),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x), (-98*sqrt(1 - 2*x))/81 - (14*(1 - 2*x)^(3//2))/81 - (2*(1 - 2*x)^(5//2))/45 - (5*(1 - 2*x)^(7//2))/21 + (98*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/81, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^2, (560*sqrt(1 - 2*x))/81 + (80*(1 - 2*x)^(3//2))/81 + (16*(1 - 2*x)^(5//2))/63 + (1 - 2*x)^(7//2)/(21*(2 + 3*x)) - (560*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/81, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^3, (-365*sqrt(1 - 2*x))/81 - (365*(1 - 2*x)^(3//2))/567 + (1 - 2*x)^(7//2)/(42*(2 + 3*x)^2) - (73*(1 - 2*x)^(5//2))/(126*(2 + 3*x)) + (365*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/81, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^4, (530*sqrt(1 - 2*x))/567 + (1 - 2*x)^(7//2)/(63*(2 + 3*x)^3) - (53*(1 - 2*x)^(5//2))/(189*(2 + 3*x)^2) + (265*(1 - 2*x)^(3//2))/(567*(2 + 3*x)) - (530*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(81*sqrt(21)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^5, (1 - 2*x)^(7//2)/(84*(2 + 3*x)^4) - (139*(1 - 2*x)^(5//2))/(756*(2 + 3*x)^3) + (695*(1 - 2*x)^(3//2))/(4536*(2 + 3*x)^2) - (695*sqrt(1 - 2*x))/(4536*(2 + 3*x)) + (695*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(2268*sqrt(21)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^6, (1 - 2*x)^(7//2)/(105*(2 + 3*x)^5) - (43*(1 - 2*x)^(5//2))/(315*(2 + 3*x)^4) + (43*(1 - 2*x)^(3//2))/(567*(2 + 3*x)^3) - (43*sqrt(1 - 2*x))/(1134*(2 + 3*x)^2) + (43*sqrt(1 - 2*x))/(7938*(2 + 3*x)) + (43*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(3969*sqrt(21)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^7, (1 - 2*x)^(7//2)/(126*(2 + 3*x)^6) - (41*(1 - 2*x)^(5//2))/(378*(2 + 3*x)^5) + (205*(1 - 2*x)^(3//2))/(4536*(2 + 3*x)^4) - (205*sqrt(1 - 2*x))/(13608*(2 + 3*x)^3) + (205*sqrt(1 - 2*x))/(190512*(2 + 3*x)^2) + (205*sqrt(1 - 2*x))/(444528*(2 + 3*x)) + (205*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(222264*sqrt(21)), x, 8),
+
+
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2, (-41503*(1 - 2*x)^(7//2))/64 + (381073*(1 - 2*x)^(9//2))/288 - (832951*(1 - 2*x)^(11//2))/704 + (121359*(1 - 2*x)^(13//2))/208 - (53037*(1 - 2*x)^(15//2))/320 + (13905*(1 - 2*x)^(17//2))/544 - (2025*(1 - 2*x)^(19//2))/1216, x, 2),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2, (-5929*(1 - 2*x)^(7//2))/32 + (91091*(1 - 2*x)^(9//2))/288 - (39977*(1 - 2*x)^(11//2))/176 + (17541*(1 - 2*x)^(13//2))/208 - (513*(1 - 2*x)^(15//2))/32 + (675*(1 - 2*x)^(17//2))/544, x, 2),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2, (-847*(1 - 2*x)^(7//2))/16 + (1309*(1 - 2*x)^(9//2))/18 - (3467*(1 - 2*x)^(11//2))/88 + (255*(1 - 2*x)^(13//2))/26 - (15*(1 - 2*x)^(15//2))/16, x, 2),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2, (-121*(1 - 2*x)^(7//2))/8 + (1133*(1 - 2*x)^(9//2))/72 - (505*(1 - 2*x)^(11//2))/88 + (75*(1 - 2*x)^(13//2))/104, x, 2),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^2, (-121*(1 - 2*x)^(7//2))/28 + (55*(1 - 2*x)^(9//2))/18 - (25*(1 - 2*x)^(11//2))/44, x, 2),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x), (98*sqrt(1 - 2*x))/243 + (14*(1 - 2*x)^(3//2))/243 + (2*(1 - 2*x)^(5//2))/135 - (155*(1 - 2*x)^(7//2))/126 + (25*(1 - 2*x)^(9//2))/54 - (98*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/243, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^2, (-350*sqrt(1 - 2*x))/81 - (50*(1 - 2*x)^(3//2))/81 - (10*(1 - 2*x)^(5//2))/63 - (25*(1 - 2*x)^(7//2))/63 - (1 - 2*x)^(7//2)/(63*(2 + 3*x)) + (350*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/81, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^3, (1055*sqrt(1 - 2*x))/81 + (1055*(1 - 2*x)^(3//2))/567 + (211*(1 - 2*x)^(5//2))/441 - (1 - 2*x)^(7//2)/(126*(2 + 3*x)^2) + (143*(1 - 2*x)^(7//2))/(882*(2 + 3*x)) - (1055*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/81, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^4, (-4435*sqrt(1 - 2*x))/567 - (4435*(1 - 2*x)^(3//2))/3969 - (1 - 2*x)^(7//2)/(189*(2 + 3*x)^3) + (211*(1 - 2*x)^(7//2))/(2646*(2 + 3*x)^2) - (887*(1 - 2*x)^(5//2))/(882*(2 + 3*x)) + (4435*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(81*sqrt(21)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^5, (24965*sqrt(1 - 2*x))/15876 - (1 - 2*x)^(7//2)/(252*(2 + 3*x)^4) + (31*(1 - 2*x)^(7//2))/(588*(2 + 3*x)^3) - (4993*(1 - 2*x)^(5//2))/(10584*(2 + 3*x)^2) + (24965*(1 - 2*x)^(3//2))/(31752*(2 + 3*x)) - (24965*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(2268*sqrt(21)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^6, -(1 - 2*x)^(7//2)/(315*(2 + 3*x)^5) + (347*(1 - 2*x)^(7//2))/(8820*(2 + 3*x)^4) - (8051*(1 - 2*x)^(5//2))/(26460*(2 + 3*x)^3) + (8051*(1 - 2*x)^(3//2))/(31752*(2 + 3*x)^2) - (8051*sqrt(1 - 2*x))/(31752*(2 + 3*x)) + (8051*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(15876*sqrt(21)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^7, -(1 - 2*x)^(7//2)/(378*(2 + 3*x)^6) + (83*(1 - 2*x)^(7//2))/(2646*(2 + 3*x)^5) - (263*(1 - 2*x)^(5//2))/(1176*(2 + 3*x)^4) + (1315*(1 - 2*x)^(3//2))/(10584*(2 + 3*x)^3) - (1315*sqrt(1 - 2*x))/(21168*(2 + 3*x)^2) + (1315*sqrt(1 - 2*x))/(148176*(2 + 3*x)) + (1315*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(74088*sqrt(21)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^2)/(2 + 3*x)^8, -(1 - 2*x)^(7//2)/(441*(2 + 3*x)^7) + (23*(1 - 2*x)^(7//2))/(882*(2 + 3*x)^6) - (467*(1 - 2*x)^(5//2))/(2646*(2 + 3*x)^5) + (2335*(1 - 2*x)^(3//2))/(31752*(2 + 3*x)^4) - (2335*sqrt(1 - 2*x))/(95256*(2 + 3*x)^3) + (2335*sqrt(1 - 2*x))/(1333584*(2 + 3*x)^2) + (2335*sqrt(1 - 2*x))/(3111696*(2 + 3*x)) + (2335*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(1555848*sqrt(21)), x, 9),
+
+
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3, (-456533*(1 - 2*x)^(7//2))/128 + (3278737*(1 - 2*x)^(9//2))/384 - (1179381*(1 - 2*x)^(11//2))/128 + (9504551*(1 - 2*x)^(13//2))/1664 - (1392467*(1 - 2*x)^(15//2))/640 + (1101465*(1 - 2*x)^(17//2))/2176 - (161325*(1 - 2*x)^(19//2))/2432 + (3375*(1 - 2*x)^(21//2))/896, x, 2),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3, (-65219*(1 - 2*x)^(7//2))/64 + (100793*(1 - 2*x)^(9//2))/48 - (121359*(1 - 2*x)^(11//2))/64 + (98209*(1 - 2*x)^(13//2))/104 - (17337*(1 - 2*x)^(15//2))/64 + (675*(1 - 2*x)^(17//2))/16 - (3375*(1 - 2*x)^(19//2))/1216, x, 2),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3, (-9317*(1 - 2*x)^(7//2))/32 + (16093*(1 - 2*x)^(9//2))/32 - (5847*(1 - 2*x)^(11//2))/16 + (28555*(1 - 2*x)^(13//2))/208 - (845*(1 - 2*x)^(15//2))/32 + (1125*(1 - 2*x)^(17//2))/544, x, 2),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3, (-1331*(1 - 2*x)^(7//2))/16 + (2783*(1 - 2*x)^(9//2))/24 - (255*(1 - 2*x)^(11//2))/4 + (1675*(1 - 2*x)^(13//2))/104 - (25*(1 - 2*x)^(15//2))/16, x, 2),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3, (-1331*(1 - 2*x)^(7//2))/56 + (605*(1 - 2*x)^(9//2))/24 - (75*(1 - 2*x)^(11//2))/8 + (125*(1 - 2*x)^(13//2))/104, x, 2),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x), (-98*sqrt(1 - 2*x))/729 - (14*(1 - 2*x)^(3//2))/729 - (2*(1 - 2*x)^(5//2))/405 - (5135*(1 - 2*x)^(7//2))/756 + (400*(1 - 2*x)^(9//2))/81 - (125*(1 - 2*x)^(11//2))/132 + (98*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/729, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^2, (1540//729)*sqrt(1 - 2*x) + (220//729)*(1 - 2*x)^(3//2) + (55//81)*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^2 - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3)/(3*(2 + 3*x)) - (22//567)*(1 - 2*x)^(5//2)*(69 + 100*x) - (1540//729)*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^3, (-(935//81))*sqrt(1 - 2*x) - (220//21)*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2 - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3)/(6*(2 + 3*x)^2) + (55*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(9*(2 + 3*x)) + (55*(1 - 2*x)^(3//2)*(209 + 603*x))/1134 + (935//81)*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^4, (1441//27)*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2 - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3)/(9*(2 + 3*x)^3) + (55*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(27*(2 + 3*x)^2) - (275*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(9*(2 + 3*x)) - (22//243)*sqrt(1 - 2*x)*(578 + 1885*x) - (41360*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(243*sqrt(21)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^5, -((2255*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(378*(2 + 3*x))) - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3)/(12*(2 + 3*x)^4) + (55*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(54*(2 + 3*x)^3) - (55*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(24*(2 + 3*x)^2) + (275*sqrt(1 - 2*x)*(1123 + 4595*x))/13608 + (645865*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(6804*sqrt(21)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^6, -((209*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(756*(2 + 3*x)^2)) - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3)/(15*(2 + 3*x)^5) + (11*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(18*(2 + 3*x)^4) + (11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(9*(2 + 3*x)^3) - (11*sqrt(1 - 2*x)*(3911 + 6475*x))/(15876*(2 + 3*x)) - (146971*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(7938*sqrt(21)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^7, -((121*(1 - 2*x)^(3//2))/(4536*(2 + 3*x)^4)) + (33275*(1 - 2*x)^(3//2))/(95256*(2 + 3*x)^3) - (559625*sqrt(1 - 2*x))/(190512*(2 + 3*x)^2) + (559625*sqrt(1 - 2*x))/(1333584*(2 + 3*x)) - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3)/(18*(2 + 3*x)^6) + (11*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(27*(2 + 3*x)^5) + (559625*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(666792*sqrt(21)), x, 10),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3)/(2 + 3*x)^8, (33935*sqrt(1 - 2*x))/(2333772*(2 + 3*x)) - (3223*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(2646*(2 + 3*x)^4) - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3)/(21*(2 + 3*x)^7) + (55*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3)/(189*(2 + 3*x)^6) + (11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3)/(7*(2 + 3*x)^5) - (11*sqrt(1 - 2*x)*(187704 + 301765*x))/(333396*(2 + 3*x)^3) + (33935*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(1166886*sqrt(21)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x), (242*sqrt(1 - 2*x))/78125 + (22*(1 - 2*x)^(3//2))/46875 + (2*(1 - 2*x)^(5//2))/15625 - (136419*(1 - 2*x)^(7//2))/35000 + (3819*(1 - 2*x)^(9//2))/1000 - (2889*(1 - 2*x)^(11//2))/2200 + (81*(1 - 2*x)^(13//2))/520 - (242*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/78125, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x), (242*sqrt(1 - 2*x))/15625 + (22*(1 - 2*x)^(3//2))/9375 + (2*(1 - 2*x)^(5//2))/3125 - (3897*(1 - 2*x)^(7//2))/3500 + (18*(1 - 2*x)^(9//2))/25 - (27*(1 - 2*x)^(11//2))/220 - (242*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/15625, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x), (242*sqrt(1 - 2*x))/3125 + (22*(1 - 2*x)^(3//2))/1875 + (2*(1 - 2*x)^(5//2))/625 - (111*(1 - 2*x)^(7//2))/350 + (1 - 2*x)^(9//2)/10 - (242*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/3125, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x))/(3 + 5*x), (242*sqrt(1 - 2*x))/625 + (22*(1 - 2*x)^(3//2))/375 + (2*(1 - 2*x)^(5//2))/125 - (3*(1 - 2*x)^(7//2))/35 - (242*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/625, x, 6),
+((1 - 2*x)^(5//2)/(3 + 5*x), (242*sqrt(1 - 2*x))/125 + (22*(1 - 2*x)^(3//2))/75 + (2*(1 - 2*x)^(5//2))/25 - (242*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/125, x, 5),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)), (-272*sqrt(1 - 2*x))/225 - (4*(1 - 2*x)^(3//2))/45 + (98*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/9 - (242*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/25, x, 7),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)), (26*sqrt(1 - 2*x))/15 + (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(3*(2 + 3*x)) + (140*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/3 - (242*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/5, x, 7),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)), (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(6*(2 + 3*x)^2) + (49*sqrt(1 - 2*x))/(2*(2 + 3*x)) + 235*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - 242*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 7),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)), (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(9*(2 + 3*x)^3) + (112*sqrt(1 - 2*x))/(9*(2 + 3*x)^2) + (1073*sqrt(1 - 2*x))/(9*(2 + 3*x)) + (74020*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(9*sqrt(21)) - 242*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 8),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)), (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(12*(2 + 3*x)^4) + (301*sqrt(1 - 2*x))/(36*(2 + 3*x)^3) + (4313*sqrt(1 - 2*x))/(72*(2 + 3*x)^2) + (100145*sqrt(1 - 2*x))/(168*(2 + 3*x)) + (3454265*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(84*sqrt(21)) - 1210*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 9),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)), (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(15*(2 + 3*x)^5) + (63*sqrt(1 - 2*x))/(10*(2 + 3*x)^4) + (1201*sqrt(1 - 2*x))/(30*(2 + 3*x)^3) + (25159*sqrt(1 - 2*x))/(84*(2 + 3*x)^2) + (584179*sqrt(1 - 2*x))/(196*(2 + 3*x)) + (20149879*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(98*sqrt(21)) - 6050*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 10),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^7*(3 + 5*x)), (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(18*(2 + 3*x)^6) + (91*sqrt(1 - 2*x))/(18*(2 + 3*x)^5) + (2165*sqrt(1 - 2*x))/(72*(2 + 3*x)^4) + (302651*sqrt(1 - 2*x))/(1512*(2 + 3*x)^3) + (31700335*sqrt(1 - 2*x))/(21168*(2 + 3*x)^2) + (736065535*sqrt(1 - 2*x))/(49392*(2 + 3*x)) + (25388847535*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(24696*sqrt(21)) - 30250*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 11),
+
+
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x)^2, (2794*sqrt(1 - 2*x))/78125 + (254*(1 - 2*x)^(3//2))/46875 - (32*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2)/4125 + (39//275)*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3 - ((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4)/(5*(3 + 5*x)) - ((1 - 2*x)^(5//2)*(1347116 + 1110975*x))/3609375 - (2794*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/78125, x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x)^2, (2068*sqrt(1 - 2*x))/15625 + (188*(1 - 2*x)^(3//2))/9375 + (11//75)*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2 - ((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3)/(5*(3 + 5*x)) - (2*(1 - 2*x)^(5//2)*(6191 + 2850*x))/65625 - (2068*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/15625, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x)^2, (1342*sqrt(1 - 2*x))/3125 + (122*(1 - 2*x)^(3//2))/1875 + (122*(1 - 2*x)^(5//2))/6875 - (9*(1 - 2*x)^(7//2))/175 - (1 - 2*x)^(7//2)/(275*(3 + 5*x)) - (1342*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/3125, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^2, (616*sqrt(1 - 2*x))/625 + (56*(1 - 2*x)^(3//2))/375 + (56*(1 - 2*x)^(5//2))/1375 - (1 - 2*x)^(7//2)/(55*(3 + 5*x)) - (616*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/625, x, 6),
+((1 - 2*x)^(5//2)/(3 + 5*x)^2, (-22*sqrt(1 - 2*x))/25 - (2*(1 - 2*x)^(3//2))/15 - (1 - 2*x)^(5//2)/(5*(3 + 5*x)) + (22*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/25, x, 5),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2), (-58*sqrt(1 - 2*x))/75 - (11*(1 - 2*x)^(3//2))/(5*(3 + 5*x)) - (98*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/3 + (836*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/25, x, 7),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2), (-748*sqrt(1 - 2*x))/(15*(3 + 5*x)) + (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(3*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - (910*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/3 + (1562*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/5, x, 7),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2), (-6763*sqrt(1 - 2*x))/(18*(3 + 5*x)) + (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(6*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)) + (343*sqrt(1 - 2*x))/(9*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - (6665*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/3 + 2288*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 8),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2), (-44545*sqrt(1 - 2*x))/(18*(3 + 5*x)) + (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(9*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)) + (917*sqrt(1 - 2*x))/(54*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)) + (6649*sqrt(1 - 2*x))/(27*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - (307295*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(3*sqrt(21)) + 3014*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 9),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^2), (-7738475*sqrt(1 - 2*x))/(504*(3 + 5*x)) + (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(12*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)) + (287*sqrt(1 - 2*x))/(27*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)) + (22109*sqrt(1 - 2*x))/(216*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)) + (288770*sqrt(1 - 2*x))/(189*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - (53384095*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(84*sqrt(21)) + 18700*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 10),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^2), (-323422735*sqrt(1 - 2*x))/(3528*(3 + 5*x)) + (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(15*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)) + (1379*sqrt(1 - 2*x))/(180*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)) + (16549*sqrt(1 - 2*x))/(270*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)) + (924025*sqrt(1 - 2*x))/(1512*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)) + (12068887*sqrt(1 - 2*x))/(1323*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - (2231141147*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(588*sqrt(21)) + 111650*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 11),
+
+
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x)^3, (11763*sqrt(1 - 2*x))/78125 + (1903*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2)/4375 + (1117//750)*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3 - ((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4)/(10*(3 + 5*x)^2) - (127*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4)/(50*(3 + 5*x)) + ((1 - 2*x)^(3//2)*(734 + 24939*x))/93750 - (11763*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/78125, x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x)^3, (5559*sqrt(1 - 2*x))/15625 + (954//875)*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2 - ((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3)/(10*(3 + 5*x)^2) - (47*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3)/(25*(3 + 5*x)) + (3*(1 - 2*x)^(3//2)*(1618 + 2403*x))/6250 - (5559*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/15625, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x)^3, (1533*sqrt(1 - 2*x))/3125 + (511*(1 - 2*x)^(3//2))/6875 + (1533*(1 - 2*x)^(5//2))/75625 - (1 - 2*x)^(7//2)/(550*(3 + 5*x)^2) - (129*(1 - 2*x)^(7//2))/(6050*(3 + 5*x)) - (1533*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/3125, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^3, (-63*sqrt(1 - 2*x))/125 - (21*(1 - 2*x)^(3//2))/275 - (1 - 2*x)^(7//2)/(110*(3 + 5*x)^2) - (63*(1 - 2*x)^(5//2))/(550*(3 + 5*x)) + (63*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/125, x, 6),
+((1 - 2*x)^(5//2)/(3 + 5*x)^3, (3*sqrt(1 - 2*x))/25 - (1 - 2*x)^(5//2)/(10*(3 + 5*x)^2) + (1 - 2*x)^(3//2)/(10*(3 + 5*x)) - (3*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/25, x, 5),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3), (-11*(1 - 2*x)^(3//2))/(10*(3 + 5*x)^2) + (803*sqrt(1 - 2*x))/(50*(3 + 5*x)) + 98*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - (2523*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/25, x, 7),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3), (-1133*sqrt(1 - 2*x))/(30*(3 + 5*x)^2) + (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(3*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2) + (7103*sqrt(1 - 2*x))/(30*(3 + 5*x)) + 1400*sqrt(7//3)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - (7209*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/5, x, 8),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3), (-6899*sqrt(1 - 2*x))/(18*(3 + 5*x)^2) + (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(6*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2) + (931*sqrt(1 - 2*x))/(18*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2) + (2311*sqrt(1 - 2*x))/(3 + 5*x) + 4555*sqrt(21)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - 14073*sqrt(11//5)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 9),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3), (-169975*sqrt(1 - 2*x))/(54*(3 + 5*x)^2) + (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(9*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2) + (581*sqrt(1 - 2*x))/(27*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2) + (1256*sqrt(1 - 2*x))/(3*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2) + (113875*sqrt(1 - 2*x))/(6*(3 + 5*x)) + (785570*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/sqrt(21) - 23115*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 10),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^3), (-8836825*sqrt(1 - 2*x))/(378*(3 + 5*x)^2) + (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(12*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2) + (1393*sqrt(1 - 2*x))/(108*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2) + (11243*sqrt(1 - 2*x))/(72*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2) + (522385*sqrt(1 - 2*x))/(168*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2) + (23680975*sqrt(1 - 2*x))/(168*(3 + 5*x)) + (163363895*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(28*sqrt(21)) - 171675*sqrt(55)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 11),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (2+3 x)^m (3+5 x)^n / (1-2 x)^(1/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
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+(((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x), (-184877*sqrt(1 - 2*x))/64 + (60025*(1 - 2*x)^(3//2))/24 - (103929*(1 - 2*x)^(5//2))/64 + (5355*(1 - 2*x)^(7//2))/8 - (10815*(1 - 2*x)^(9//2))/64 + (1053*(1 - 2*x)^(11//2))/44 - (1215*(1 - 2*x)^(13//2))/832, x, 2),
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x), (-26411*sqrt(1 - 2*x))/32 + (57281*(1 - 2*x)^(3//2))/96 - (24843*(1 - 2*x)^(5//2))/80 + (1539*(1 - 2*x)^(7//2))/16 - (519*(1 - 2*x)^(9//2))/32 + (405*(1 - 2*x)^(11//2))/352, x, 2),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x), (-3773*sqrt(1 - 2*x))/16 + (3283*(1 - 2*x)^(3//2))/24 - (1071*(1 - 2*x)^(5//2))/20 + (621*(1 - 2*x)^(7//2))/56 - (15*(1 - 2*x)^(9//2))/16, x, 2),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x), (-539*sqrt(1 - 2*x))/8 + (707*(1 - 2*x)^(3//2))/24 - (309*(1 - 2*x)^(5//2))/40 + (45*(1 - 2*x)^(7//2))/56, x, 2),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x), (-77*sqrt(1 - 2*x))/4 + (17*(1 - 2*x)^(3//2))/3 - (3*(1 - 2*x)^(5//2))/4, x, 2),
+((3 + 5*x)/sqrt(1 - 2*x), (-11*sqrt(1 - 2*x))/2 + (5*(1 - 2*x)^(3//2))/6, x, 2),
+((3 + 5*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)), (-5*sqrt(1 - 2*x))/3 + (2*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(3*sqrt(21)), x, 3),
+((3 + 5*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2), sqrt(1 - 2*x)/(21*(2 + 3*x)) - (68*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(21*sqrt(21)), x, 3),
+((3 + 5*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3), sqrt(1 - 2*x)/(42*(2 + 3*x)^2) - (67*sqrt(1 - 2*x))/(294*(2 + 3*x)) - (67*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(147*sqrt(21)), x, 4),
+((3 + 5*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4), sqrt(1 - 2*x)/(63*(2 + 3*x)^3) - (50*sqrt(1 - 2*x))/(441*(2 + 3*x)^2) - (50*sqrt(1 - 2*x))/(1029*(2 + 3*x)) - (100*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(1029*sqrt(21)), x, 5),
+((3 + 5*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5), sqrt(1 - 2*x)/(84*(2 + 3*x)^4) - (19*sqrt(1 - 2*x))/(252*(2 + 3*x)^3) - (95*sqrt(1 - 2*x))/(3528*(2 + 3*x)^2) - (95*sqrt(1 - 2*x))/(8232*(2 + 3*x)) - (95*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(4116*sqrt(21)), x, 6),
+
+
+(((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^2)/sqrt(1 - 2*x), (-2033647*sqrt(1 - 2*x))/128 + (6206585*(1 - 2*x)^(3//2))/384 - (1623419*(1 - 2*x)^(5//2))/128 + (842415*(1 - 2*x)^(7//2))/128 - (285565*(1 - 2*x)^(9//2))/128 + (672003*(1 - 2*x)^(11//2))/1408 - (97605*(1 - 2*x)^(13//2))/1664 + (405*(1 - 2*x)^(15//2))/128, x, 2),
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2)/sqrt(1 - 2*x), (-290521*sqrt(1 - 2*x))/64 + (381073*(1 - 2*x)^(3//2))/96 - (832951*(1 - 2*x)^(5//2))/320 + (17337*(1 - 2*x)^(7//2))/16 - (17679*(1 - 2*x)^(9//2))/64 + (13905*(1 - 2*x)^(11//2))/352 - (2025*(1 - 2*x)^(13//2))/832, x, 2),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2)/sqrt(1 - 2*x), (-41503*sqrt(1 - 2*x))/32 + (91091*(1 - 2*x)^(3//2))/96 - (39977*(1 - 2*x)^(5//2))/80 + (17541*(1 - 2*x)^(7//2))/112 - (855*(1 - 2*x)^(9//2))/32 + (675*(1 - 2*x)^(11//2))/352, x, 2),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2)/sqrt(1 - 2*x), (-5929*sqrt(1 - 2*x))/16 + (1309*(1 - 2*x)^(3//2))/6 - (3467*(1 - 2*x)^(5//2))/40 + (255*(1 - 2*x)^(7//2))/14 - (25*(1 - 2*x)^(9//2))/16, x, 2),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2)/sqrt(1 - 2*x), (-847*sqrt(1 - 2*x))/8 + (1133*(1 - 2*x)^(3//2))/24 - (101*(1 - 2*x)^(5//2))/8 + (75*(1 - 2*x)^(7//2))/56, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/sqrt(1 - 2*x), (-121*sqrt(1 - 2*x))/4 + (55*(1 - 2*x)^(3//2))/6 - (5*(1 - 2*x)^(5//2))/4, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)), (-155*sqrt(1 - 2*x))/18 + (25*(1 - 2*x)^(3//2))/18 - (2*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(9*sqrt(21)), x, 4),
+((3 + 5*x)^2/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2), (-25*sqrt(1 - 2*x))/9 - sqrt(1 - 2*x)/(63*(2 + 3*x)) + (46*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(21*sqrt(21)), x, 4),
+((3 + 5*x)^2/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3), -sqrt(1 - 2*x)/(126*(2 + 3*x)^2) + (137*sqrt(1 - 2*x))/(882*(2 + 3*x)) - (257*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(49*sqrt(21)), x, 4),
+((3 + 5*x)^2/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4), -sqrt(1 - 2*x)/(189*(2 + 3*x)^3) + (205*sqrt(1 - 2*x))/(2646*(2 + 3*x)^2) - (2245*sqrt(1 - 2*x))/(6174*(2 + 3*x)) - (2245*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(3087*sqrt(21)), x, 5),
+((3 + 5*x)^2/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5), -sqrt(1 - 2*x)/(252*(2 + 3*x)^4) + (13*sqrt(1 - 2*x))/(252*(2 + 3*x)^3) - (635*sqrt(1 - 2*x))/(3528*(2 + 3*x)^2) - (635*sqrt(1 - 2*x))/(8232*(2 + 3*x)) - (635*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(4116*sqrt(21)), x, 6),
+((3 + 5*x)^2/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^6), -sqrt(1 - 2*x)/(315*(2 + 3*x)^5) + (341*sqrt(1 - 2*x))/(8820*(2 + 3*x)^4) - (117*sqrt(1 - 2*x))/(980*(2 + 3*x)^3) - (117*sqrt(1 - 2*x))/(2744*(2 + 3*x)^2) - (351*sqrt(1 - 2*x))/(19208*(2 + 3*x)) - (117*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/9604, x, 7),
+
+
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3)/sqrt(1 - 2*x), (-3195731*sqrt(1 - 2*x))/128 + (3278737*(1 - 2*x)^(3//2))/128 - (12973191*(1 - 2*x)^(5//2))/640 + (1357793*(1 - 2*x)^(7//2))/128 - (1392467*(1 - 2*x)^(9//2))/384 + (1101465*(1 - 2*x)^(11//2))/1408 - (161325*(1 - 2*x)^(13//2))/1664 + (675*(1 - 2*x)^(15//2))/128, x, 2),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3)/sqrt(1 - 2*x), (-456533*sqrt(1 - 2*x))/64 + (100793*(1 - 2*x)^(3//2))/16 - (1334949*(1 - 2*x)^(5//2))/320 + (98209*(1 - 2*x)^(7//2))/56 - (28895*(1 - 2*x)^(9//2))/64 + (11475*(1 - 2*x)^(11//2))/176 - (3375*(1 - 2*x)^(13//2))/832, x, 2),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3)/sqrt(1 - 2*x), (-65219*sqrt(1 - 2*x))/32 + (48279*(1 - 2*x)^(3//2))/32 - (64317*(1 - 2*x)^(5//2))/80 + (28555*(1 - 2*x)^(7//2))/112 - (4225*(1 - 2*x)^(9//2))/96 + (1125*(1 - 2*x)^(11//2))/352, x, 2),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3)/sqrt(1 - 2*x), (-9317*sqrt(1 - 2*x))/16 + (2783*(1 - 2*x)^(3//2))/8 - (561*(1 - 2*x)^(5//2))/4 + (1675*(1 - 2*x)^(7//2))/56 - (125*(1 - 2*x)^(9//2))/48, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/sqrt(1 - 2*x), (-1331*sqrt(1 - 2*x))/8 + (605*(1 - 2*x)^(3//2))/8 - (165*(1 - 2*x)^(5//2))/8 + (125*(1 - 2*x)^(7//2))/56, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)), (-5135*sqrt(1 - 2*x))/108 + (400*(1 - 2*x)^(3//2))/27 - (25*(1 - 2*x)^(5//2))/12 + (2*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(27*sqrt(21)), x, 4),
+((3 + 5*x)^3/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2), (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(21*(2 + 3*x)) - (10//189)*sqrt(1 - 2*x)*(214 + 95*x) - (208*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(189*sqrt(21)), x, 4),
+((3 + 5*x)^3/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3), (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(42*(2 + 3*x)^2) - (sqrt(1 - 2*x)*(8329 + 12425*x))/(882*(2 + 3*x)) + (2381*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(441*sqrt(21)), x, 4),
+((3 + 5*x)^3/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4), (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(63*(2 + 3*x)^3) + (5*sqrt(1 - 2*x)*(1205 + 1867*x))/(9261*(2 + 3*x)^2) - (78710*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(9261*sqrt(21)), x, 4),
+((3 + 5*x)^3/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5), -((42995*sqrt(1 - 2*x))/(74088*(2 + 3*x))) + (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(84*(2 + 3*x)^4) + (sqrt(1 - 2*x)*(3168 + 4955*x))/(10584*(2 + 3*x)^3) - (42995*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(37044*sqrt(21)), x, 5),
+((3 + 5*x)^3/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^6), -((5293*sqrt(1 - 2*x))/(18522*(2 + 3*x)^2)) - (5293*sqrt(1 - 2*x))/(43218*(2 + 3*x)) + (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)/(105*(2 + 3*x)^5) + (sqrt(1 - 2*x)*(1255 + 1971*x))/(6615*(2 + 3*x)^4) - (5293*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(21609*sqrt(21)), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((a + b*x)^2/((c + d*x)^2*sqrt(e + f*x)), (2*b^2*sqrt(e + f*x))/(d^2*f) - ((b*c - a*d)^2*sqrt(e + f*x))/(d^2*(d*e - c*f)*(c + d*x)) + ((b*c - a*d)*(4*b*d*e - 3*b*c*f - a*d*f)*atanh((sqrt(d)*sqrt(e + f*x))/sqrt(d*e - c*f)))/(d^(5//2)*(d*e - c*f)^(3//2)), x, 4),
+
+
+((2 + 3*x)^5/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)), (-4774713*sqrt(1 - 2*x))/50000 + (268707*(1 - 2*x)^(3//2))/5000 - (51057*(1 - 2*x)^(5//2))/2500 + (5751*(1 - 2*x)^(7//2))/1400 - (27*(1 - 2*x)^(9//2))/80 - (2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(3125*sqrt(55)), x, 4),
+((2 + 3*x)^4/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)), (-136419*sqrt(1 - 2*x))/5000 + (11457*(1 - 2*x)^(3//2))/1000 - (2889*(1 - 2*x)^(5//2))/1000 + (81*(1 - 2*x)^(7//2))/280 - (2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(625*sqrt(55)), x, 4),
+((2 + 3*x)^3/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)), (-3897*sqrt(1 - 2*x))/500 + (54*(1 - 2*x)^(3//2))/25 - (27*(1 - 2*x)^(5//2))/100 - (2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(125*sqrt(55)), x, 4),
+((2 + 3*x)^2/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)), (-111*sqrt(1 - 2*x))/50 + (3*(1 - 2*x)^(3//2))/10 - (2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(25*sqrt(55)), x, 4),
+((2 + 3*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)), (-3*sqrt(1 - 2*x))/5 - (2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(5*sqrt(55)), x, 3),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)), (-2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/sqrt(55), x, 2),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)), 2*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - 2*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 5),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)), (3*sqrt(1 - 2*x))/(7*(2 + 3*x)) + (72*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/7 - 10*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 6),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)), (3*sqrt(1 - 2*x))/(14*(2 + 3*x)^2) + (219*sqrt(1 - 2*x))/(98*(2 + 3*x)) + (2523*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/49 - 50*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 7),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)), sqrt(1 - 2*x)/(7*(2 + 3*x)^3) + (55*sqrt(1 - 2*x))/(49*(2 + 3*x)^2) + (3840*sqrt(1 - 2*x))/(343*(2 + 3*x)) + (88310*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/343 - 250*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 8),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)), (3*sqrt(1 - 2*x))/(28*(2 + 3*x)^4) + (3*sqrt(1 - 2*x))/(4*(2 + 3*x)^3) + (45*sqrt(1 - 2*x))/(8*(2 + 3*x)^2) + (3135*sqrt(1 - 2*x))/(56*(2 + 3*x)) + (36045*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/28 - 1250*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 9),
+
+
+((2 + 3*x)^6/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2), -((26352*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/34375) - (1717*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/9625 - (8//275)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4 - (sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5)/(55*(3 + 5*x)) - (3*sqrt(1 - 2*x)*(1847824 + 615875*x))/171875 - (398*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(171875*sqrt(55)), x, 7),
+((2 + 3*x)^5/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2), -((1668*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/6875) - (78*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/1925 - (sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4)/(55*(3 + 5*x)) - (6*sqrt(1 - 2*x)*(59708 + 19875*x))/34375 - (332*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(34375*sqrt(55)), x, 6),
+((2 + 3*x)^4/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2), -((84*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/1375) - (sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(55*(3 + 5*x)) - (21*sqrt(1 - 2*x)*(1144 + 375*x))/6875 - (266*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(6875*sqrt(55)), x, 5),
+((2 + 3*x)^3/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2), (-(6//55))*sqrt(1 - 2*x)*(11 + 3*x) - (sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(55*(3 + 5*x)) - (8*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(55*sqrt(55)), x, 4),
+((2 + 3*x)^2/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2), (-9*sqrt(1 - 2*x))/25 - sqrt(1 - 2*x)/(275*(3 + 5*x)) - (134*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(275*sqrt(55)), x, 4),
+((2 + 3*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2), -sqrt(1 - 2*x)/(55*(3 + 5*x)) - (68*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(55*sqrt(55)), x, 3),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2), -sqrt(1 - 2*x)/(11*(3 + 5*x)) - (2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(11*sqrt(55)), x, 3),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2), (-5*sqrt(1 - 2*x))/(11*(3 + 5*x)) - 6*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) + (64*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/11, x, 6),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2), (-340*sqrt(1 - 2*x))/(77*(3 + 5*x)) + (3*sqrt(1 - 2*x))/(7*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - (426*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/7 + (650*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/11, x, 7),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2), (-35845*sqrt(1 - 2*x))/(1078*(3 + 5*x)) + (3*sqrt(1 - 2*x))/(14*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)) + (162*sqrt(1 - 2*x))/(49*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - (22479*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/49 + (4900*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/11, x, 8),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2), (-1676975*sqrt(1 - 2*x))/(7546*(3 + 5*x)) + sqrt(1 - 2*x)/(7*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)) + (145*sqrt(1 - 2*x))/(98*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)) + (7585*sqrt(1 - 2*x))/(343*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - (1051695*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/343 + (32750*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/11, x, 9),
+
+
+((2 + 3*x)^6/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3), -((56556*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/378125) - (927*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/211750 - (sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5)/(110*(3 + 5*x)^2) - (117*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4)/(3025*(3 + 5*x)) - (9*sqrt(1 - 2*x)*(2815648 + 934875*x))/3781250 - (33069*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(1890625*sqrt(55)), x, 7),
+((2 + 3*x)^5/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3), -((1512*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/75625) - (sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4)/(110*(3 + 5*x)^2) - (201*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(6050*(3 + 5*x)) - (189*sqrt(1 - 2*x)*(8976 + 2875*x))/756250 - (22113*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(378125*sqrt(55)), x, 6),
+((2 + 3*x)^4/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3), -((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(110*(3 + 5*x)^2)) - (84*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(3025*(3 + 5*x)) - (63*sqrt(1 - 2*x)*(352 + 75*x))/30250 - (2667*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(15125*sqrt(55)), x, 5),
+((2 + 3*x)^3/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3), -((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(110*(3 + 5*x)^2)) - (9*sqrt(1 - 2*x)*(432 + 715*x))/(6050*(3 + 5*x)) - (1347*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(3025*sqrt(55)), x, 4),
+((2 + 3*x)^2/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3), -sqrt(1 - 2*x)/(550*(3 + 5*x)^2) - (27*sqrt(1 - 2*x))/(1210*(3 + 5*x)) - (2313*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(3025*sqrt(55)), x, 4),
+((2 + 3*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3), -sqrt(1 - 2*x)/(110*(3 + 5*x)^2) - (69*sqrt(1 - 2*x))/(1210*(3 + 5*x)) - (69*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(605*sqrt(55)), x, 4),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3), -sqrt(1 - 2*x)/(22*(3 + 5*x)^2) - (3*sqrt(1 - 2*x))/(242*(3 + 5*x)) - (3*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(121*sqrt(55)), x, 4),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3), (-5*sqrt(1 - 2*x))/(22*(3 + 5*x)^2) + (315*sqrt(1 - 2*x))/(242*(3 + 5*x)) + 18*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - (2115*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/121, x, 7),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3), (-505*sqrt(1 - 2*x))/(154*(3 + 5*x)^2) + (3*sqrt(1 - 2*x))/(7*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2) + (33465*sqrt(1 - 2*x))/(1694*(3 + 5*x)) + (1908*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/7 - (32025*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/121, x, 8),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3), (-35495*sqrt(1 - 2*x))/(1078*(3 + 5*x)^2) + (3*sqrt(1 - 2*x))/(14*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2) + (429*sqrt(1 - 2*x))/(98*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2) + (1177080*sqrt(1 - 2*x))/(5929*(3 + 5*x)) + (134217*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/49 - (321825*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/121, x, 9),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3), (-2076675*sqrt(1 - 2*x))/(7546*(3 + 5*x)^2) + sqrt(1 - 2*x)/(7*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2) + (90*sqrt(1 - 2*x))/(49*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2) + (12555*sqrt(1 - 2*x))/(343*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2) + (137735775*sqrt(1 - 2*x))/(83006*(3 + 5*x)) + (7852680*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/343 - (2689875*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/121, x, 10),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (2+3 x)^m (3+5 x)^n / (1-2 x)^(3/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(((2 + 3*x)^7*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(3//2), 9058973/(256*sqrt(1 - 2*x)) + (15647317*sqrt(1 - 2*x))/128 - (7882483*(1 - 2*x)^(3//2))/128 + (4084101*(1 - 2*x)^(5//2))/128 - (787185*(1 - 2*x)^(7//2))/64 + (422919*(1 - 2*x)^(9//2))/128 - (821583*(1 - 2*x)^(11//2))/1408 + (101331*(1 - 2*x)^(13//2))/1664 - (729*(1 - 2*x)^(15//2))/256, x, 2),
+(((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(3//2), 1294139/(128*sqrt(1 - 2*x)) + (3916031*sqrt(1 - 2*x))/128 - (1692705*(1 - 2*x)^(3//2))/128 + (731619*(1 - 2*x)^(5//2))/128 - (225855*(1 - 2*x)^(7//2))/128 + (45549*(1 - 2*x)^(9//2))/128 - (59049*(1 - 2*x)^(11//2))/1408 + (3645*(1 - 2*x)^(13//2))/1664, x, 2),
+(((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(3//2), 184877/(64*sqrt(1 - 2*x)) + (60025*sqrt(1 - 2*x))/8 - (173215*(1 - 2*x)^(3//2))/64 + (7497*(1 - 2*x)^(5//2))/8 - (13905*(1 - 2*x)^(7//2))/64 + (117*(1 - 2*x)^(9//2))/4 - (1215*(1 - 2*x)^(11//2))/704, x, 2),
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(3//2), 26411/(32*sqrt(1 - 2*x)) + (57281*sqrt(1 - 2*x))/32 - (8281*(1 - 2*x)^(3//2))/16 + (10773*(1 - 2*x)^(5//2))/80 - (4671*(1 - 2*x)^(7//2))/224 + (45*(1 - 2*x)^(9//2))/32, x, 2),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(3//2), 3773/(16*sqrt(1 - 2*x)) + (3283*sqrt(1 - 2*x))/8 - (357*(1 - 2*x)^(3//2))/4 + (621*(1 - 2*x)^(5//2))/40 - (135*(1 - 2*x)^(7//2))/112, x, 2),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(3//2), 539/(8*sqrt(1 - 2*x)) + (707*sqrt(1 - 2*x))/8 - (103*(1 - 2*x)^(3//2))/8 + (9*(1 - 2*x)^(5//2))/8, x, 2),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(3//2), 77/(4*sqrt(1 - 2*x)) + 17*sqrt(1 - 2*x) - (5*(1 - 2*x)^(3//2))/4, x, 2),
+((3 + 5*x)/(1 - 2*x)^(3//2), 11/(2*sqrt(1 - 2*x)) + (5*sqrt(1 - 2*x))/2, x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)), 11/(7*sqrt(1 - 2*x)) + (2*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(7*sqrt(21)), x, 3),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2), 64/(147*sqrt(1 - 2*x)) + 1/(21*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (64*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(49*sqrt(21)), x, 4),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3), 65/(343*sqrt(1 - 2*x)) + 1/(42*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) - 65/(294*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (65//343)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), x, 5),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4), 10/(147*sqrt(1 - 2*x)) + 1/(63*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3) - 1/(9*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) - 5/(63*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (10*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(49*sqrt(21)), x, 6),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^5), 655/(28812*sqrt(1 - 2*x)) + 1/(84*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4) - 131/(1764*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3) - 131/(3528*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) - 655/(24696*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (655*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(9604*sqrt(21)), x, 7),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^6), 123/(16807*sqrt(1 - 2*x)) + 1/(105*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5) - 41/(735*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4) - 41/(1715*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3) - 41/(3430*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) - 41/(4802*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (123*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/16807, x, 8),
+
+
+(((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^(3//2), 2033647/(128*sqrt(1 - 2*x)) + (6206585*sqrt(1 - 2*x))/128 - (8117095*(1 - 2*x)^(3//2))/384 + (1179381*(1 - 2*x)^(5//2))/128 - (367155*(1 - 2*x)^(7//2))/128 + (74667*(1 - 2*x)^(9//2))/128 - (97605*(1 - 2*x)^(11//2))/1408 + (6075*(1 - 2*x)^(13//2))/1664, x, 2),
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^(3//2), 290521/(64*sqrt(1 - 2*x)) + (381073*sqrt(1 - 2*x))/32 - (832951*(1 - 2*x)^(3//2))/192 + (121359*(1 - 2*x)^(5//2))/80 - (159111*(1 - 2*x)^(7//2))/448 + (1545*(1 - 2*x)^(9//2))/32 - (2025*(1 - 2*x)^(11//2))/704, x, 2),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^(3//2), 41503/(32*sqrt(1 - 2*x)) + (91091*sqrt(1 - 2*x))/32 - (39977*(1 - 2*x)^(3//2))/48 + (17541*(1 - 2*x)^(5//2))/80 - (7695*(1 - 2*x)^(7//2))/224 + (75*(1 - 2*x)^(9//2))/32, x, 2),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^(3//2), 5929/(16*sqrt(1 - 2*x)) + (1309*sqrt(1 - 2*x))/2 - (3467*(1 - 2*x)^(3//2))/24 + (51*(1 - 2*x)^(5//2))/2 - (225*(1 - 2*x)^(7//2))/112, x, 2),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^(3//2), 847/(8*sqrt(1 - 2*x)) + (1133*sqrt(1 - 2*x))/8 - (505*(1 - 2*x)^(3//2))/24 + (15*(1 - 2*x)^(5//2))/8, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/(1 - 2*x)^(3//2), 121/(4*sqrt(1 - 2*x)) + (55*sqrt(1 - 2*x))/2 - (25*(1 - 2*x)^(3//2))/12, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)), 121/(14*sqrt(1 - 2*x)) + (25*sqrt(1 - 2*x))/6 - (2*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(21*sqrt(21)), x, 4),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2), 121/(14*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (1091*sqrt(1 - 2*x))/(294*(2 + 3*x)) + (134*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(147*sqrt(21)), x, 4),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3), 121/(14*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) - (545*sqrt(1 - 2*x))/(147*(2 + 3*x)^2) - (2045*sqrt(1 - 2*x))/(2058*(2 + 3*x)) - (2045*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(1029*sqrt(21)), x, 5),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4), 121/(14*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3) - (467*sqrt(1 - 2*x))/(126*(2 + 3*x)^3) - (905*sqrt(1 - 2*x))/(882*(2 + 3*x)^2) - (905*sqrt(1 - 2*x))/(2058*(2 + 3*x)) - (905*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(1029*sqrt(21)), x, 6),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^5), 121/(14*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4) - (2179*sqrt(1 - 2*x))/(588*(2 + 3*x)^4) - (1829*sqrt(1 - 2*x))/(1764*(2 + 3*x)^3) - (9145*sqrt(1 - 2*x))/(24696*(2 + 3*x)^2) - (9145*sqrt(1 - 2*x))/(57624*(2 + 3*x)) - (9145*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(28812*sqrt(21)), x, 7),
+
+
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^(3//2), 3195731/(128*sqrt(1 - 2*x)) + (9836211*sqrt(1 - 2*x))/128 - (4324397*(1 - 2*x)^(3//2))/128 + (9504551*(1 - 2*x)^(5//2))/640 - (4177401*(1 - 2*x)^(7//2))/896 + (122385*(1 - 2*x)^(9//2))/128 - (161325*(1 - 2*x)^(11//2))/1408 + (10125*(1 - 2*x)^(13//2))/1664, x, 2),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^(3//2), 456533/(64*sqrt(1 - 2*x)) + (302379*sqrt(1 - 2*x))/16 - (444983*(1 - 2*x)^(3//2))/64 + (98209*(1 - 2*x)^(5//2))/40 - (260055*(1 - 2*x)^(7//2))/448 + (1275*(1 - 2*x)^(9//2))/16 - (3375*(1 - 2*x)^(11//2))/704, x, 2),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^(3//2), 65219/(32*sqrt(1 - 2*x)) + (144837*sqrt(1 - 2*x))/32 - (21439*(1 - 2*x)^(3//2))/16 + (5711*(1 - 2*x)^(5//2))/16 - (12675*(1 - 2*x)^(7//2))/224 + (125*(1 - 2*x)^(9//2))/32, x, 2),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^(3//2), 9317/(16*sqrt(1 - 2*x)) + (8349*sqrt(1 - 2*x))/8 - (935*(1 - 2*x)^(3//2))/4 + (335*(1 - 2*x)^(5//2))/8 - (375*(1 - 2*x)^(7//2))/112, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/(1 - 2*x)^(3//2), 1331/(8*sqrt(1 - 2*x)) + (1815*sqrt(1 - 2*x))/8 - (275*(1 - 2*x)^(3//2))/8 + (25*(1 - 2*x)^(5//2))/8, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)), 1331/(28*sqrt(1 - 2*x)) + (400*sqrt(1 - 2*x))/9 - (125*(1 - 2*x)^(3//2))/36 + (2*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(63*sqrt(21)), x, 6),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2), (11*(3 + 5*x)^2)/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) + (2*sqrt(1 - 2*x)*(1978 + 2975*x))/(147*(2 + 3*x)) - (68*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(147*sqrt(21)), x, 4),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3), (11*(3 + 5*x)^2)/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) + (5*sqrt(1 - 2*x)*(541 + 857*x))/(2058*(2 + 3*x)^2) + (2245*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(1029*sqrt(21)), x, 4),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4), -((4660*sqrt(1 - 2*x))/(3087*(2 + 3*x))) + (11*(3 + 5*x)^2)/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3) + (2*sqrt(1 - 2*x)*(297 + 470*x))/(441*(2 + 3*x)^3) - (9320*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(3087*sqrt(21)), x, 5),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^5), -((39185*sqrt(1 - 2*x))/(24696*(2 + 3*x)^2)) - (39185*sqrt(1 - 2*x))/(57624*(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^2)/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4) + (sqrt(1 - 2*x)*(2395 + 3789*x))/(1764*(2 + 3*x)^4) - (39185*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(28812*sqrt(21)), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((2 + 3*x)^6/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)), 117649/(352*sqrt(1 - 2*x)) + (70752609*sqrt(1 - 2*x))/100000 - (1997451*(1 - 2*x)^(3//2))/10000 + (507627*(1 - 2*x)^(5//2))/10000 - (43011*(1 - 2*x)^(7//2))/5600 + (81*(1 - 2*x)^(9//2))/160 - (2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(34375*sqrt(55)), x, 12),
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)), 16807/(176*sqrt(1 - 2*x)) + (806121*sqrt(1 - 2*x))/5000 - (17019*(1 - 2*x)^(3//2))/500 + (5751*(1 - 2*x)^(5//2))/1000 - (243*(1 - 2*x)^(7//2))/560 - (2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(6875*sqrt(55)), x, 10),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)), 2401/(88*sqrt(1 - 2*x)) + (34371*sqrt(1 - 2*x))/1000 - (963*(1 - 2*x)^(3//2))/200 + (81*(1 - 2*x)^(5//2))/200 - (2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(1375*sqrt(55)), x, 8),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)), 343/(44*sqrt(1 - 2*x)) + (162*sqrt(1 - 2*x))/25 - (9*(1 - 2*x)^(3//2))/20 - (2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(275*sqrt(55)), x, 6),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)), 49/(22*sqrt(1 - 2*x)) + (9*sqrt(1 - 2*x))/10 - (2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(55*sqrt(55)), x, 4),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)), 7/(11*sqrt(1 - 2*x)) - (2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(11*sqrt(55)), x, 3),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)), 2/(11*sqrt(1 - 2*x)) - (2*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/11, x, 3),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)), 4/(77*sqrt(1 - 2*x)) + (6*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/7 - (10*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/11, x, 6),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)), -(58/(539*sqrt(1 - 2*x))) + 3/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) + (228//49)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - (50//11)*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 7),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)), -(2525/(3773*sqrt(1 - 2*x))) + 3/(14*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) + 225/(98*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) + (8025//343)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - (250//11)*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 8),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)), -(12790/(3773*sqrt(1 - 2*x))) + 1/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3) + 8/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) + 565/(49*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) + (40140//343)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - (1250//11)*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 9),
+
+
+((2 + 3*x)^6/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2), (217152*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/75625 + (14517*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/21175 - (36*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4)/(605*(3 + 5*x)) + (7*(2 + 3*x)^5)/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) + (9*sqrt(1 - 2*x)*(5065808 + 1688625*x))/378125 - (402*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(378125*sqrt(55)), x, 7),
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2), (10836*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/15125 - (36*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(605*(3 + 5*x)) + (7*(2 + 3*x)^4)/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) + (504*sqrt(1 - 2*x)*(4499 + 1500*x))/75625 - (336*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(75625*sqrt(55)), x, 6),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2), -((36*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(605*(3 + 5*x))) + (7*(2 + 3*x)^3)/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) + (27*sqrt(1 - 2*x)*(792 + 265*x))/3025 - (54*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(3025*sqrt(55)), x, 5),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2), (7*(2 + 3*x)^2)/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) + (18*sqrt(1 - 2*x)*(559 + 935*x))/(3025*(3 + 5*x)) - (204*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(3025*sqrt(55)), x, 4),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2), 49/(22*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) - (1227*sqrt(1 - 2*x))/(1210*(3 + 5*x)) - (138*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(605*sqrt(55)), x, 4),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2), 72/(605*sqrt(1 - 2*x)) - 1/(55*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) - (72*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(121*sqrt(55)), x, 4),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2), 6/(121*sqrt(1 - 2*x)) - 1/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) - (6//121)*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 4),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2), 78/(847*sqrt(1 - 2*x)) - 5/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) - (18//7)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) + (300//121)*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 7),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2), 4644/(5929*sqrt(1 - 2*x)) - 340/(77*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) + 3/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - (1314//49)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) + (3150//121)*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 8),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2), 245865/(41503*sqrt(1 - 2*x)) - 36175/(1078*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) + 3/(14*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)) + 165/(49*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - (70065//343)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) + (24000//121)*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 9),
+
+
+((2 + 3*x)^6/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3), (377748*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/831875 - (71*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4)/(1210*(3 + 5*x)^2) + (7*(2 + 3*x)^5)/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2) - (2721*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(66550*(3 + 5*x)) + (63*sqrt(1 - 2*x)*(2492512 + 831375*x))/8318750 - (33873*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(4159375*sqrt(55)), x, 7),
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3), -((71*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(1210*(3 + 5*x)^2)) + (7*(2 + 3*x)^4)/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2) - (1344*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(33275*(3 + 5*x)) + (441*sqrt(1 - 2*x)*(3344 + 1125*x))/332750 - (4557*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(166375*sqrt(55)), x, 6),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3), -((71*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(1210*(3 + 5*x)^2)) + (7*(2 + 3*x)^3)/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2) + (9*sqrt(1 - 2*x)*(3044 + 5093*x))/(13310*(3 + 5*x)) - (111*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(1331*sqrt(55)), x, 5),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3), (7*(2 + 3*x)^2)/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2) - (sqrt(1 - 2*x)*(15676 + 24825*x))/(66550*(3 + 5*x)^2) - (7143*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(33275*sqrt(55)), x, 4),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3), 49/(22*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2) - (613*sqrt(1 - 2*x))/(605*(3 + 5*x)^2) - (2589*sqrt(1 - 2*x))/(13310*(3 + 5*x)) - (2589*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(6655*sqrt(55)), x, 5),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3), 213/(6655*sqrt(1 - 2*x)) - 1/(110*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2) - 71/(1210*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) - (213*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(1331*sqrt(55)), x, 5),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^3), 15/(1331*sqrt(1 - 2*x)) - 1/(22*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2) - 5/(242*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) - (15*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/1331, x, 5),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3), -(2049/(9317*sqrt(1 - 2*x))) - 5/(22*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2) + 305/(242*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) + (54//7)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - (9975*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/1331, x, 8),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3), -(224967/(65219*sqrt(1 - 2*x))) - 505/(154*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2) + 3/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2) + 33115/(1694*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) + (5832//49)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - (153825*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/1331, x, 9),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3), -(15987390/(456533*sqrt(1 - 2*x))) - 35825/(1078*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2) + 3/(14*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2) + 435/(98*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2) + 1176400/(5929*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) + (414315//343)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - (1561125*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/1331, x, 10),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (2+3 x)^m (3+5 x)^n / (1-2 x)^(5/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(5//2), 184877/(192*(1 - 2*x)^(3//2)) - 60025/(8*sqrt(1 - 2*x)) - (519645*sqrt(1 - 2*x))/64 + (12495*(1 - 2*x)^(3//2))/8 - (19467*(1 - 2*x)^(5//2))/64 + (1053*(1 - 2*x)^(7//2))/28 - (135*(1 - 2*x)^(9//2))/64, x, 2),
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(5//2), 26411/(96*(1 - 2*x)^(3//2)) - 57281/(32*sqrt(1 - 2*x)) - (24843*sqrt(1 - 2*x))/16 + (3591*(1 - 2*x)^(3//2))/16 - (4671*(1 - 2*x)^(5//2))/160 + (405*(1 - 2*x)^(7//2))/224, x, 2),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(5//2), 3773/(48*(1 - 2*x)^(3//2)) - 3283/(8*sqrt(1 - 2*x)) - (1071*sqrt(1 - 2*x))/4 + (207*(1 - 2*x)^(3//2))/8 - (27*(1 - 2*x)^(5//2))/16, x, 2),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(5//2), 539/(24*(1 - 2*x)^(3//2)) - 707/(8*sqrt(1 - 2*x)) - (309*sqrt(1 - 2*x))/8 + (15*(1 - 2*x)^(3//2))/8, x, 2),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(5//2), 77/(12*(1 - 2*x)^(3//2)) - 17/sqrt(1 - 2*x) - (15*sqrt(1 - 2*x))/4, x, 2),
+((3 + 5*x)/(1 - 2*x)^(5//2), 11/(6*(1 - 2*x)^(3//2)) - 5/(2*sqrt(1 - 2*x)), x, 2),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)), 11/(21*(1 - 2*x)^(3//2)) - 2/(49*sqrt(1 - 2*x)) + (2*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/49, x, 4),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2), 20/(147*(1 - 2*x)^(3//2)) + 60/(343*sqrt(1 - 2*x)) + 1/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)) - (60*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/343, x, 5),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3), 5/(49*(1 - 2*x)^(3//2)) + 45/(343*sqrt(1 - 2*x)) + 1/(42*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2) - 3/(14*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)) - (45*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/343, x, 6),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4), 160/(3087*(1 - 2*x)^(3//2)) + 160/(2401*sqrt(1 - 2*x)) + 1/(63*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3) - 16/(147*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2) - 16/(147*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)) - (160*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/2401, x, 7),
+((3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^5), 215/(9604*(1 - 2*x)^(3//2)) + 1935/(67228*sqrt(1 - 2*x)) + 1/(84*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4) - 43/(588*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3) - 129/(2744*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2) - 129/(2744*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)) - (1935*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/67228, x, 8),
+
+
+(((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^(5//2), 2033647/(384*(1 - 2*x)^(3//2)) - 6206585/(128*sqrt(1 - 2*x)) - (8117095*sqrt(1 - 2*x))/128 + (1965635*(1 - 2*x)^(3//2))/128 - (514017*(1 - 2*x)^(5//2))/128 + (672003*(1 - 2*x)^(7//2))/896 - (10845*(1 - 2*x)^(9//2))/128 + (6075*(1 - 2*x)^(11//2))/1408, x, 2),
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^(5//2), 290521/(192*(1 - 2*x)^(3//2)) - 381073/(32*sqrt(1 - 2*x)) - (832951*sqrt(1 - 2*x))/64 + (40453*(1 - 2*x)^(3//2))/16 - (159111*(1 - 2*x)^(5//2))/320 + (13905*(1 - 2*x)^(7//2))/224 - (225*(1 - 2*x)^(9//2))/64, x, 2),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^(5//2), 41503/(96*(1 - 2*x)^(3//2)) - 91091/(32*sqrt(1 - 2*x)) - (39977*sqrt(1 - 2*x))/16 + (5847*(1 - 2*x)^(3//2))/16 - (1539*(1 - 2*x)^(5//2))/32 + (675*(1 - 2*x)^(7//2))/224, x, 2),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^(5//2), 5929/(48*(1 - 2*x)^(3//2)) - 1309/(2*sqrt(1 - 2*x)) - (3467*sqrt(1 - 2*x))/8 + (85*(1 - 2*x)^(3//2))/2 - (45*(1 - 2*x)^(5//2))/16, x, 2),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x)^(5//2), 847/(24*(1 - 2*x)^(3//2)) - 1133/(8*sqrt(1 - 2*x)) - (505*sqrt(1 - 2*x))/8 + (25*(1 - 2*x)^(3//2))/8, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/(1 - 2*x)^(5//2), 121/(12*(1 - 2*x)^(3//2)) - 55/(2*sqrt(1 - 2*x)) - (25*sqrt(1 - 2*x))/4, x, 2),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)), 121/(42*(1 - 2*x)^(3//2)) - 407/(98*sqrt(1 - 2*x)) - (2*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(49*sqrt(21)), x, 4),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2), -130/(1029*sqrt(1 - 2*x)) + 121/(42*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)) - 365/(294*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) + (130*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(343*sqrt(21)), x, 5),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3), 85/(343*sqrt(1 - 2*x)) + 121/(42*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2) - 26/(21*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) - 85/(294*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (85//343)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), x, 6),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4), 1415/(7203*sqrt(1 - 2*x)) + 121/(42*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3) - 1091/(882*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3) - 283/(882*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) - 1415/(6174*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (1415*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(2401*sqrt(21)), x, 7),
+((3 + 5*x)^2/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^5), 20465/(201684*sqrt(1 - 2*x)) + 121/(42*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4) - 727/(588*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4) - 4093/(12348*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3) - 4093/(24696*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) - 20465/(172872*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (20465*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(67228*sqrt(21)), x, 8),
+
+
+(((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^(5//2), 22370117/(768*(1 - 2*x)^(3//2)) - 39220335/(128*sqrt(1 - 2*x)) - (60160485*sqrt(1 - 2*x))/128 + (52725715*(1 - 2*x)^(3//2))/384 - (2887773*(1 - 2*x)^(5//2))/64 + (10121229*(1 - 2*x)^(7//2))/896 - (246315*(1 - 2*x)^(9//2))/128 + (277425*(1 - 2*x)^(11//2))/1408 - (30375*(1 - 2*x)^(13//2))/3328, x, 2),
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^(5//2), 3195731/(384*(1 - 2*x)^(3//2)) - 9836211/(128*sqrt(1 - 2*x)) - (12973191*sqrt(1 - 2*x))/128 + (9504551*(1 - 2*x)^(3//2))/384 - (4177401*(1 - 2*x)^(5//2))/640 + (1101465*(1 - 2*x)^(7//2))/896 - (17925*(1 - 2*x)^(9//2))/128 + (10125*(1 - 2*x)^(11//2))/1408, x, 2),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^(5//2), 456533/(192*(1 - 2*x)^(3//2)) - 302379/(16*sqrt(1 - 2*x)) - (1334949*sqrt(1 - 2*x))/64 + (98209*(1 - 2*x)^(3//2))/24 - (52011*(1 - 2*x)^(5//2))/64 + (11475*(1 - 2*x)^(7//2))/112 - (375*(1 - 2*x)^(9//2))/64, x, 2),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^(5//2), 65219/(96*(1 - 2*x)^(3//2)) - 144837/(32*sqrt(1 - 2*x)) - (64317*sqrt(1 - 2*x))/16 + (28555*(1 - 2*x)^(3//2))/48 - (2535*(1 - 2*x)^(5//2))/32 + (1125*(1 - 2*x)^(7//2))/224, x, 2),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x)^(5//2), 9317/(48*(1 - 2*x)^(3//2)) - 8349/(8*sqrt(1 - 2*x)) - (2805*sqrt(1 - 2*x))/4 + (1675*(1 - 2*x)^(3//2))/24 - (75*(1 - 2*x)^(5//2))/16, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/(1 - 2*x)^(5//2), 1331/(24*(1 - 2*x)^(3//2)) - 1815/(8*sqrt(1 - 2*x)) - (825*sqrt(1 - 2*x))/8 + (125*(1 - 2*x)^(3//2))/24, x, 2),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)), 1331/(84*(1 - 2*x)^(3//2)) - 2178/(49*sqrt(1 - 2*x)) - (125*sqrt(1 - 2*x))/12 + (2*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(147*sqrt(21)), x, 4),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2), (11*(3 + 5*x)^2)/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)) - (10*(969 + 1450*x))/(1029*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (200*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(1029*sqrt(21)), x, 4),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3), (905*sqrt(1 - 2*x))/(2058*(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^2)/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2) - (487 + 720*x)/(294*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) + (905*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(1029*sqrt(21)), x, 5),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4), -((3755*sqrt(1 - 2*x))/(3087*(2 + 3*x)^2)) - (3755*sqrt(1 - 2*x))/(7203*(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^2)/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3) + (2*(1346 + 2027*x))/(441*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3) - (7510*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(7203*sqrt(21)), x, 6),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^5), -((35527*sqrt(1 - 2*x))/(12348*(2 + 3*x)^3)) - (177635*sqrt(1 - 2*x))/(172872*(2 + 3*x)^2) - (177635*sqrt(1 - 2*x))/(403368*(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^2)/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4) + (57069 + 85754*x)/(4116*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4) - (177635*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(201684*sqrt(21)), x, 7),
+((3 + 5*x)^3/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^6), -((163474*sqrt(1 - 2*x))/(36015*(2 + 3*x)^4)) - (163474*sqrt(1 - 2*x))/(108045*(2 + 3*x)^3) - (81737*sqrt(1 - 2*x))/(151263*(2 + 3*x)^2) - (81737*sqrt(1 - 2*x))/(352947*(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^2)/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^5) + (2*(55633 + 83544*x))/(5145*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5) - (163474*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/(352947*sqrt(21)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((2 + 3*x)^6/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)), 117649/(1056*(1 - 2*x)^(3//2)) - 2739541/(3872*sqrt(1 - 2*x)) - (5992353*sqrt(1 - 2*x))/10000 + (169209*(1 - 2*x)^(3//2))/2000 - (43011*(1 - 2*x)^(5//2))/4000 + (729*(1 - 2*x)^(7//2))/1120 - (2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(75625*sqrt(55)), x, 10),
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)), 16807/(528*(1 - 2*x)^(3//2)) - 156065/(968*sqrt(1 - 2*x)) - (51057*sqrt(1 - 2*x))/500 + (1917*(1 - 2*x)^(3//2))/200 - (243*(1 - 2*x)^(5//2))/400 - (2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(15125*sqrt(55)), x, 8),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)), 2401/(264*(1 - 2*x)^(3//2)) - 33271/(968*sqrt(1 - 2*x)) - (2889*sqrt(1 - 2*x))/200 + (27*(1 - 2*x)^(3//2))/40 - (2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(3025*sqrt(55)), x, 6),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)), 343/(132*(1 - 2*x)^(3//2)) - 784/(121*sqrt(1 - 2*x)) - (27*sqrt(1 - 2*x))/20 - (2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(605*sqrt(55)), x, 4),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)), 49/(66*(1 - 2*x)^(3//2)) - 217/(242*sqrt(1 - 2*x)) - (2*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(121*sqrt(55)), x, 4),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)), 7/(33*(1 - 2*x)^(3//2)) + 2/(121*sqrt(1 - 2*x)) - (2*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/121, x, 4),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)), 2/(33*(1 - 2*x)^(3//2)) + 10/(121*sqrt(1 - 2*x)) - (10*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/121, x, 4),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)), 4/(231*(1 - 2*x)^(3//2)) + 272/(5929*sqrt(1 - 2*x)) + (18*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/49 - (50*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/121, x, 7),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)), -(190/(1617*(1 - 2*x)^(3//2))) - 1370/(41503*sqrt(1 - 2*x)) + 3/(7*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)) + (720//343)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - (250//121)*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 8),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)), -(1115/(1617*(1 - 2*x)^(3//2))) - 12295/(41503*sqrt(1 - 2*x)) + 3/(14*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2) + 33/(14*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)) + (3645//343)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - (1250//121)*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 9),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)), -(39520/(11319*(1 - 2*x)^(3//2))) - 446660/(290521*sqrt(1 - 2*x)) + 1/(7*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3) + 57/(49*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2) + 582/(49*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)) + (127710*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)))/2401 - (6250//121)*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), x, 10),
+
+
+((2 + 3*x)^6/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^2), -((463344*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/166375) - (10283*(2 + 3*x)^3)/(6655*sqrt(1 - 2*x)) - (38*(2 + 3*x)^4)/(1815*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) + (7*(2 + 3*x)^5)/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)) - (21*sqrt(1 - 2*x)*(4633904 + 1544625*x))/831875 - (406*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(831875*sqrt(55)), x, 7),
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^2), -((7588*(2 + 3*x)^2)/(6655*sqrt(1 - 2*x))) - (38*(2 + 3*x)^3)/(1815*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) + (7*(2 + 3*x)^4)/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)) - (6*sqrt(1 - 2*x)*(114092 + 38025*x))/33275 - (68*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(33275*sqrt(55)), x, 6),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^2), -((3*(40912 - 24739*x))/(33275*sqrt(1 - 2*x))) - (38*(2 + 3*x)^2)/(1815*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) + (7*(2 + 3*x)^3)/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)) - (274*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(33275*sqrt(55)), x, 5),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^2), (7*(2 + 3*x)^2)/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)) - (2*(10309 + 17112*x))/(19965*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) - (208*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(6655*sqrt(55)), x, 4),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^2), 142/(6655*sqrt(1 - 2*x)) + 49/(66*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)) - 1231/(3630*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) - (142*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(1331*sqrt(55)), x, 5),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^2), 76/(1815*(1 - 2*x)^(3//2)) + 76/(1331*sqrt(1 - 2*x)) - 1/(55*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)) - (76*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/1331, x, 5),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^2), 10/(363*(1 - 2*x)^(3//2)) + 50/(1331*sqrt(1 - 2*x)) - 1/(11*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)) - (50*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/1331, x, 5),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2), 218/(2541*(1 - 2*x)^(3//2)) + 3274/(65219*sqrt(1 - 2*x)) - 5/(11*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)) - (54//49)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) + (1400*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/1331, x, 8),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2), 13900/(17787*(1 - 2*x)^(3//2)) + 159800/(456533*sqrt(1 - 2*x)) - 340/(77*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)) + 3/(7*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - (4050//343)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) + (15250*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/1331, x, 9),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^2), 15185/(2541*(1 - 2*x)^(3//2)) + 172105/(65219*sqrt(1 - 2*x)) - 745/(22*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)) + 3/(14*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)) + 24/(7*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)) - (4455//49)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) + (117500*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/1331, x, 10),
+
+
+((2 + 3*x)^6/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3), -((256172*(2 + 3*x)^2)/(366025*sqrt(1 - 2*x))) - (73*(2 + 3*x)^4)/(3630*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2) + (7*(2 + 3*x)^5)/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2) - (3269*(2 + 3*x)^3)/(199650*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) - (21*sqrt(1 - 2*x)*(2211616 + 736875*x))/3660250 - (6937*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(1830125*sqrt(55)), x, 7),
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3), -((3*(544568 - 333311*x))/(732050*sqrt(1 - 2*x))) - (73*(2 + 3*x)^3)/(3630*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2) + (7*(2 + 3*x)^4)/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2) - (317*(2 + 3*x)^2)/(19965*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) - (4693*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(366025*sqrt(55)), x, 6),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3), -((73*(2 + 3*x)^2)/(3630*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2)) + (7*(2 + 3*x)^3)/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2) - (1287116 + 2133933*x)/(2196150*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) - (14423*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(366025*sqrt(55)), x, 5),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3), (7*(2 + 3*x)^2)/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2) - (7559*sqrt(1 - 2*x))/(146410*(3 + 5*x)) + (10217 + 17296*x)/(39930*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2) - (7559*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(73205*sqrt(55)), x, 5),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3), 2873/(73205*sqrt(1 - 2*x)) + 49/(66*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2) - 614/(1815*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2) - 2873/(39930*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)) - (2873*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/(14641*sqrt(55)), x, 6),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3), 73/(3993*(1 - 2*x)^(3//2)) + 365/(14641*sqrt(1 - 2*x)) - 1/(110*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2) - 73/(1210*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)) - (365*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/14641, x, 6),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^3), 35/(3993*(1 - 2*x)^(3//2)) + 175/(14641*sqrt(1 - 2*x)) - 1/(22*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2) - 7/(242*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)) - (175*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/14641, x, 6),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^3), -(5969/(27951*(1 - 2*x)^(3//2))) - 65167/(717409*sqrt(1 - 2*x)) - 5/(22*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2) + 295/(242*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)) + (162//49)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - (47075*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/14641, x, 9),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^3), -(667615/(195657*(1 - 2*x)^(3//2))) - 7554245/(5021863*sqrt(1 - 2*x)) - 505/(154*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2) + 3/(7*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2) + 32765/(1694*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)) + (17820//343)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - (738625*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/14641, x, 10),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^3), -(6845810/(195657*(1 - 2*x)^(3//2))) - 77527480/(5021863*sqrt(1 - 2*x)) - 5165/(154*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^2) + 3/(14*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^2) + 9/(2*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^2) + 167960/(847*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)) + (182655//343)*sqrt(3//7)*atanh(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)) - (7570625*sqrt(5//11)*atanh(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)))/14641, x, 11),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^(n/2) (e+f x)^(p/2)
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (A+B x) (d+e x)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# m>0
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+(sqrt(a + b*x)*(A + B*x)*(d + e*x)^(5//2), -((b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 10*A*b*e + 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(128*b^4*e^2) - ((b*d - a*e)^2*(3*b*B*d - 10*A*b*e + 7*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x))/(64*b^4*e) - ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 10*A*b*e + 7*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2)*(d + e*x)^(3//2))/(48*b^3*e) - ((3*b*B*d - 10*A*b*e + 7*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2)*(d + e*x)^(5//2))/(40*b^2*e) + (B*(a + b*x)^(3//2)*(d + e*x)^(7//2))/(5*b*e) + ((b*d - a*e)^4*(3*b*B*d - 10*A*b*e + 7*a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(128*b^(9//2)*e^(5//2)), x, 8),
+(sqrt(a + b*x)*(A + B*x)*(d + e*x)^(3//2), -((b*d - a*e)^2*(3*b*B*d - 8*A*b*e + 5*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(64*b^3*e^2) - ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 8*A*b*e + 5*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x))/(32*b^3*e) - ((3*b*B*d - 8*A*b*e + 5*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2)*(d + e*x)^(3//2))/(24*b^2*e) + (B*(a + b*x)^(3//2)*(d + e*x)^(5//2))/(4*b*e) + ((b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 8*A*b*e + 5*a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(64*b^(7//2)*e^(5//2)), x, 7),
+(sqrt(a + b*x)*(A + B*x)*sqrt(d + e*x), ((b*d - a*e)*(2*A*b*e - B*(b*d + a*e))*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(8*b^2*e^2) + ((2*A*b*e - B*(b*d + a*e))*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x))/(4*b^2*e) + (B*(a + b*x)^(3//2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b*e) - ((b*d - a*e)^2*(2*A*b*e - B*(b*d + a*e))*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(8*b^(5//2)*e^(5//2)), x, 6),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/sqrt(d + e*x), -((3*b*B*d - 4*A*b*e + a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(4*b*e^2) + (B*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x))/(2*b*e) + ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 4*A*b*e + a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(4*b^(3//2)*e^(5//2)), x, 5),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/(d + e*x)^(3//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(3//2))/(e*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)) + ((3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(e^2*(b*d - a*e)) - ((3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(sqrt(b)*e^(5//2)), x, 5),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/(d + e*x)^(5//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(3//2))/(3*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2)) - (2*B*sqrt(a + b*x))/(e^2*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(b)*B*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/e^(5//2), x, 5),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/(d + e*x)^(7//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(3//2))/(5*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(3*b*B*d + 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2))/(15*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2)), x, 2),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/(d + e*x)^(9//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(3//2))/(7*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(7//2)) + (2*(3*b*B*d + 4*A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2))/(35*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2)) + (4*b*(3*b*B*d + 4*A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2))/(105*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2)), x, 3),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/(d + e*x)^(11//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(3//2))/(9*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(9//2)) + (2*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2))/(21*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(7//2)) + (8*b*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2))/(105*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2)) + (16*b^2*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2))/(315*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2)), x, 4),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/(d + e*x)^(13//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(3//2))/(11*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(11//2)) + (2*(3*b*B*d + 8*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2))/(99*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(9//2)) + (4*b*(3*b*B*d + 8*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2))/(231*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(7//2)) + (16*b^2*(3*b*B*d + 8*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2))/(1155*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(5//2)) + (32*b^3*(3*b*B*d + 8*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2))/(3465*e*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(3//2)), x, 5),
+((sqrt(a + b*x)*(A + B*x))/(d + e*x)^(15//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(3//2))/(13*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(13//2)) + (2*(3*b*B*d + 10*A*b*e - 13*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2))/(143*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(11//2)) + (16*b*(3*b*B*d + 10*A*b*e - 13*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2))/(1287*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(9//2)) + (32*b^2*(3*b*B*d + 10*A*b*e - 13*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2))/(3003*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(7//2)) + (128*b^3*(3*b*B*d + 10*A*b*e - 13*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2))/(15015*e*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(5//2)) + (256*b^4*(3*b*B*d + 10*A*b*e - 13*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2))/(45045*e*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(3//2)), x, 6),
+
+
+((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x)*(d + e*x)^(5//2), ((b*d - a*e)^4*(5*b*B*d - 12*A*b*e + 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(512*b^4*e^3) - ((b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 12*A*b*e + 7*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x))/(768*b^4*e^2) - ((b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 12*A*b*e + 7*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(d + e*x))/(192*b^4*e) - ((b*d - a*e)*(5*b*B*d - 12*A*b*e + 7*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2)*(d + e*x)^(3//2))/(96*b^3*e) - ((5*b*B*d - 12*A*b*e + 7*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2)*(d + e*x)^(5//2))/(60*b^2*e) + (B*(a + b*x)^(5//2)*(d + e*x)^(7//2))/(6*b*e) - ((b*d - a*e)^5*(5*b*B*d - 12*A*b*e + 7*a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(512*b^(9//2)*e^(7//2)), x, 9),
+((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x)*(d + e*x)^(3//2), -((3*(b*d - a*e)^3*(2*A*b*e - B*(b*d + a*e))*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(128*b^3*e^3)) + ((b*d - a*e)^2*(2*A*b*e - B*(b*d + a*e))*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x))/(64*b^3*e^2) + ((b*d - a*e)*(2*A*b*e - B*(b*d + a*e))*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(d + e*x))/(16*b^3*e) + ((2*A*b*e - B*(b*d + a*e))*(a + b*x)^(5//2)*(d + e*x)^(3//2))/(8*b^2*e) + (B*(a + b*x)^(5//2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*b*e) + (3*(b*d - a*e)^4*(2*A*b*e - B*(b*d + a*e))*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(128*b^(7//2)*e^(7//2)), x, 8),
+((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x)*sqrt(d + e*x), ((b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 8*A*b*e + 3*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(64*b^2*e^3) - ((b*d - a*e)*(5*b*B*d - 8*A*b*e + 3*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x))/(96*b^2*e^2) - ((5*b*B*d - 8*A*b*e + 3*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(d + e*x))/(24*b^2*e) + (B*(a + b*x)^(5//2)*(d + e*x)^(3//2))/(4*b*e) - ((b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 8*A*b*e + 3*a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(64*b^(5//2)*e^(7//2)), x, 7),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/sqrt(d + e*x), ((b*d - a*e)*(5*b*B*d - 6*A*b*e + a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(8*b*e^3) - ((5*b*B*d - 6*A*b*e + a*B*e)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x))/(12*b*e^2) + (B*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(d + e*x))/(3*b*e) - ((b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 6*A*b*e + a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(8*b^(3//2)*e^(7//2)), x, 6),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/(d + e*x)^(3//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(5//2))/(e*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)) - (3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(4*e^3) + ((5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x))/(2*e^2*(b*d - a*e)) + (3*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(4*sqrt(b)*e^(7//2)), x, 6),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/(d + e*x)^(5//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(5//2))/(3*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2))/(3*e^2*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)) + (b*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(e^3*(b*d - a*e)) - (sqrt(b)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/e^(7//2), x, 6),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/(d + e*x)^(7//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(5//2))/(5*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*B*(a + b*x)^(3//2))/(3*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - (2*b*B*sqrt(a + b*x))/(e^3*sqrt(d + e*x)) + (2*b^(3//2)*B*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/e^(7//2), x, 6),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/(d + e*x)^(9//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(5//2))/(7*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(7//2)) + (2*(5*b*B*d + 2*A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2))/(35*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2)), x, 2),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/(d + e*x)^(11//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(5//2))/(9*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(9//2)) + (2*(5*b*B*d + 4*A*b*e - 9*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2))/(63*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(7//2)) + (4*b*(5*b*B*d + 4*A*b*e - 9*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2))/(315*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2)), x, 3),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/(d + e*x)^(13//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(5//2))/(11*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(11//2)) + (2*(5*b*B*d + 6*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2))/(99*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(9//2)) + (8*b*(5*b*B*d + 6*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2))/(693*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(7//2)) + (16*b^2*(5*b*B*d + 6*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2))/(3465*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(5//2)), x, 4),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/(d + e*x)^(15//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(5//2))/(13*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(13//2)) + (2*(5*b*B*d + 8*A*b*e - 13*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2))/(143*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(11//2)) + (4*b*(5*b*B*d + 8*A*b*e - 13*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2))/(429*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(9//2)) + (16*b^2*(5*b*B*d + 8*A*b*e - 13*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2))/(3003*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(7//2)) + (32*b^3*(5*b*B*d + 8*A*b*e - 13*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2))/(15015*e*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(5//2)), x, 5),
+(((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x))/(d + e*x)^(17//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(5//2))/(15*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(15//2)) + (2*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2))/(39*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(13//2)) + (16*b*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2))/(429*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(11//2)) + (32*b^2*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2))/(1287*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(9//2)) + (128*b^3*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2))/(9009*e*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(7//2)) + (256*b^4*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2))/(45045*e*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(5//2)), x, 6),
+
+
+((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x)*(d + e*x)^(5//2), (5*(b*d - a*e)^5*(2*A*b*e - B*(b*d + a*e))*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(1024*b^4*e^4) - (5*(b*d - a*e)^4*(2*A*b*e - B*(b*d + a*e))*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x))/(1536*b^4*e^3) + ((b*d - a*e)^3*(2*A*b*e - B*(b*d + a*e))*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(d + e*x))/(384*b^4*e^2) + ((b*d - a*e)^2*(2*A*b*e - B*(b*d + a*e))*(a + b*x)^(7//2)*sqrt(d + e*x))/(64*b^4*e) + ((b*d - a*e)*(2*A*b*e - B*(b*d + a*e))*(a + b*x)^(7//2)*(d + e*x)^(3//2))/(24*b^3*e) + ((2*A*b*e - B*(b*d + a*e))*(a + b*x)^(7//2)*(d + e*x)^(5//2))/(12*b^2*e) + (B*(a + b*x)^(7//2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*b*e) - (5*(b*d - a*e)^6*(2*A*b*e - B*(b*d + a*e))*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(1024*b^(9//2)*e^(9//2)), x, 10),
+((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x)*(d + e*x)^(3//2), -((b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 12*A*b*e + 5*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(512*b^3*e^4) + ((b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 12*A*b*e + 5*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x))/(768*b^3*e^3) - ((b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 12*A*b*e + 5*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(d + e*x))/(960*b^3*e^2) - ((b*d - a*e)*(7*b*B*d - 12*A*b*e + 5*a*B*e)*(a + b*x)^(7//2)*sqrt(d + e*x))/(160*b^3*e) - ((7*b*B*d - 12*A*b*e + 5*a*B*e)*(a + b*x)^(7//2)*(d + e*x)^(3//2))/(60*b^2*e) + (B*(a + b*x)^(7//2)*(d + e*x)^(5//2))/(6*b*e) + ((b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 12*A*b*e + 5*a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(512*b^(7//2)*e^(9//2)), x, 9),
+((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x)*sqrt(d + e*x), -((b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 10*A*b*e + 3*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(128*b^2*e^4) + ((b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 10*A*b*e + 3*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x))/(192*b^2*e^3) - ((b*d - a*e)*(7*b*B*d - 10*A*b*e + 3*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(d + e*x))/(240*b^2*e^2) - ((7*b*B*d - 10*A*b*e + 3*a*B*e)*(a + b*x)^(7//2)*sqrt(d + e*x))/(40*b^2*e) + (B*(a + b*x)^(7//2)*(d + e*x)^(3//2))/(5*b*e) + ((b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 10*A*b*e + 3*a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(128*b^(5//2)*e^(9//2)), x, 8),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/sqrt(d + e*x), (-5*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 8*A*b*e + a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(64*b*e^4) + (5*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 8*A*b*e + a*B*e)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x))/(96*b*e^3) - ((7*b*B*d - 8*A*b*e + a*B*e)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(d + e*x))/(24*b*e^2) + (B*(a + b*x)^(7//2)*sqrt(d + e*x))/(4*b*e) + (5*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 8*A*b*e + a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(64*b^(3//2)*e^(9//2)), x, 7),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/(d + e*x)^(3//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(7//2))/(e*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)) + (5*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(8*e^4) - (5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x))/(12*e^3) + ((7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e)*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(d + e*x))/(3*e^2*(b*d - a*e)) - (5*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(8*sqrt(b)*e^(9//2)), x, 7),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/(d + e*x)^(5//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(7//2))/(3*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2))/(3*e^2*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)) - (5*b*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(4*e^4) + (5*b*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x))/(6*e^3*(b*d - a*e)) + (5*sqrt(b)*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(4*e^(9//2)), x, 7),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/(d + e*x)^(7//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(7//2))/(5*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^(5//2))/(15*e^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2)) - (2*b*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^(3//2))/(3*e^3*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)) + (b^2*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(e^4*(b*d - a*e)) - (b^(3//2)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/e^(9//2), x, 7),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/(d + e*x)^(9//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(7//2))/(7*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(7//2)) - (2*B*(a + b*x)^(5//2))/(5*e^2*(d + e*x)^(5//2)) - (2*b*B*(a + b*x)^(3//2))/(3*e^3*(d + e*x)^(3//2)) - (2*b^2*B*sqrt(a + b*x))/(e^4*sqrt(d + e*x)) + (2*b^(5//2)*B*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/e^(9//2), x, 7),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/(d + e*x)^(11//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(7//2))/(9*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(9//2)) + (2*(7*b*B*d + 2*A*b*e - 9*a*B*e)*(a + b*x)^(7//2))/(63*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(7//2)), x, 2),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/(d + e*x)^(13//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(7//2))/(11*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(11//2)) + (2*(7*b*B*d + 4*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^(7//2))/(99*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(9//2)) + (4*b*(7*b*B*d + 4*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)^(7//2))/(693*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(7//2)), x, 3),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/(d + e*x)^(15//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(7//2))/(13*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(13//2)) + (2*(7*b*B*d + 6*A*b*e - 13*a*B*e)*(a + b*x)^(7//2))/(143*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(11//2)) + (8*b*(7*b*B*d + 6*A*b*e - 13*a*B*e)*(a + b*x)^(7//2))/(1287*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(9//2)) + (16*b^2*(7*b*B*d + 6*A*b*e - 13*a*B*e)*(a + b*x)^(7//2))/(9009*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(7//2)), x, 4),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/(d + e*x)^(17//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(7//2))/(15*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(15//2)) + (2*(7*b*B*d + 8*A*b*e - 15*a*B*e)*(a + b*x)^(7//2))/(195*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(13//2)) + (4*b*(7*b*B*d + 8*A*b*e - 15*a*B*e)*(a + b*x)^(7//2))/(715*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(11//2)) + (16*b^2*(7*b*B*d + 8*A*b*e - 15*a*B*e)*(a + b*x)^(7//2))/(6435*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(9//2)) + (32*b^3*(7*b*B*d + 8*A*b*e - 15*a*B*e)*(a + b*x)^(7//2))/(45045*e*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(7//2)), x, 5),
+(((a + b*x)^(5//2)*(A + B*x))/(d + e*x)^(19//2), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^(7//2))/(17*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(17//2)) + (2*(7*b*B*d + 10*A*b*e - 17*a*B*e)*(a + b*x)^(7//2))/(255*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(15//2)) + (16*b*(7*b*B*d + 10*A*b*e - 17*a*B*e)*(a + b*x)^(7//2))/(3315*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(13//2)) + (32*b^2*(7*b*B*d + 10*A*b*e - 17*a*B*e)*(a + b*x)^(7//2))/(12155*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(11//2)) + (128*b^3*(7*b*B*d + 10*A*b*e - 17*a*B*e)*(a + b*x)^(7//2))/(109395*e*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(9//2)) + (256*b^4*(7*b*B*d + 10*A*b*e - 17*a*B*e)*(a + b*x)^(7//2))/(765765*e*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(7//2)), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# m<0
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/sqrt(a + b*x), (-5*(b*d - a*e)^2*(b*B*d - 8*A*b*e + 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(64*b^4*e) - (5*(b*d - a*e)*(b*B*d - 8*A*b*e + 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(96*b^3*e) - ((b*B*d - 8*A*b*e + 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(24*b^2*e) + (B*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2))/(4*b*e) - (5*(b*d - a*e)^3*(b*B*d - 8*A*b*e + 7*a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(64*b^(9//2)*e^(3//2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/sqrt(a + b*x), -((b*d - a*e)*(b*B*d - 6*A*b*e + 5*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(8*b^3*e) - ((b*B*d - 6*A*b*e + 5*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(12*b^2*e) + (B*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(3*b*e) - ((b*d - a*e)^2*(b*B*d - 6*A*b*e + 5*a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(8*b^(7//2)*e^(3//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(d + e*x))/sqrt(a + b*x), -((b*B*d - 4*A*b*e + 3*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(4*b^2*e) + (B*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(2*b*e) - ((b*d - a*e)*(b*B*d - 4*A*b*e + 3*a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(4*b^(5//2)*e^(3//2)), x, 5),
+((A + B*x)/(sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x)), (B*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(b*e) + ((2*A*b*e - B*(b*d + a*e))*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(b^(3//2)*e^(3//2)), x, 4),
+((A + B*x)/(sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)), (-2*(B*d - A*e)*sqrt(a + b*x))/(e*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)) + (2*B*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(sqrt(b)*e^(3//2)), x, 4),
+((A + B*x)/(sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)), (-2*(B*d - A*e)*sqrt(a + b*x))/(3*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(3*e*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x)), x, 2),
+((A + B*x)/(sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)), (-2*(B*d - A*e)*sqrt(a + b*x))/(5*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(b*B*d + 4*A*b*e - 5*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(15*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (4*b*(b*B*d + 4*A*b*e - 5*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(15*e*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)), x, 3),
+((A + B*x)/(sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(9//2)), (-2*(B*d - A*e)*sqrt(a + b*x))/(7*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(7//2)) + (2*(b*B*d + 6*A*b*e - 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(35*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2)) + (8*b*(b*B*d + 6*A*b*e - 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(105*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2)) + (16*b^2*(b*B*d + 6*A*b*e - 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(105*e*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)), x, 4),
+((A + B*x)/(sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(11//2)), (-2*(B*d - A*e)*sqrt(a + b*x))/(9*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(9//2)) + (2*(b*B*d + 8*A*b*e - 9*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(63*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(7//2)) + (4*b*(b*B*d + 8*A*b*e - 9*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(105*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2)) + (16*b^2*(b*B*d + 8*A*b*e - 9*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(315*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2)) + (32*b^3*(b*B*d + 8*A*b*e - 9*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(315*e*(b*d - a*e)^5*sqrt(d + e*x)), x, 5),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a + b*x)^(3//2), (5*(b*d - a*e)*(b*B*d + 6*A*b*e - 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(8*b^4) + (5*(b*B*d + 6*A*b*e - 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(12*b^3) + ((b*B*d + 6*A*b*e - 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(3*b^2*(b*d - a*e)) - (2*(A*b - a*B)*(d + e*x)^(7//2))/(b*(b*d - a*e)*sqrt(a + b*x)) + (5*(b*d - a*e)^2*(b*B*d + 6*A*b*e - 7*a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(8*b^(9//2)*sqrt(e)), x, 7),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a + b*x)^(3//2), (3*(b*B*d + 4*A*b*e - 5*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(4*b^3) + ((b*B*d + 4*A*b*e - 5*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(2*b^2*(b*d - a*e)) - (2*(A*b - a*B)*(d + e*x)^(5//2))/(b*(b*d - a*e)*sqrt(a + b*x)) + (3*(b*d - a*e)*(b*B*d + 4*A*b*e - 5*a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(4*b^(7//2)*sqrt(e)), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(d + e*x))/(a + b*x)^(3//2), ((b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(b^2*(b*d - a*e)) - (2*(A*b - a*B)*(d + e*x)^(3//2))/(b*(b*d - a*e)*sqrt(a + b*x)) + ((b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(b^(5//2)*sqrt(e)), x, 5),
+((A + B*x)/((a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x)), (-2*(A*b - a*B)*sqrt(d + e*x))/(b*(b*d - a*e)*sqrt(a + b*x)) + (2*B*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(b^(3//2)*sqrt(e)), x, 4),
+((A + B*x)/((a + b*x)^(3//2)*(d + e*x)^(3//2)), -((2*(B*d - A*e))/(e*(b*d - a*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))) + (2*(b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(e*(b*d - a*e)^2*sqrt(a + b*x)), x, 2),
+((A + B*x)/((a + b*x)^(3//2)*(d + e*x)^(5//2)), (-2*(A*b - a*B))/(b*(b*d - a*e)*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(b*B*d - 4*A*b*e + 3*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(3*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (4*(b*B*d - 4*A*b*e + 3*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(3*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)), x, 3),
+((A + B*x)/((a + b*x)^(3//2)*(d + e*x)^(7//2)), (-2*(A*b - a*B))/(b*(b*d - a*e)*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(b*B*d - 6*A*b*e + 5*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(5*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2)) + (8*(b*B*d - 6*A*b*e + 5*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(15*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2)) + (16*b*(b*B*d - 6*A*b*e + 5*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(15*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)), x, 4),
+((A + B*x)/((a + b*x)^(3//2)*(d + e*x)^(9//2)), (-2*(A*b - a*B))/(b*(b*d - a*e)*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)) + (2*(b*B*d - 8*A*b*e + 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(7*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(7//2)) + (12*(b*B*d - 8*A*b*e + 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(35*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2)) + (16*b*(b*B*d - 8*A*b*e + 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(35*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2)) + (32*b^2*(b*B*d - 8*A*b*e + 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(35*(b*d - a*e)^5*sqrt(d + e*x)), x, 5),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2))/(a + b*x)^(5//2), (35*e*(b*d - a*e)*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(8*b^5) + (35*e*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(12*b^4) + (7*e*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(3*b^3*(b*d - a*e)) - (2*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(b^2*(b*d - a*e)*sqrt(a + b*x)) - (2*(A*b - a*B)*(d + e*x)^(9//2))/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^(3//2)) + (35*sqrt(e)*(b*d - a*e)^2*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(8*b^(11//2)), x, 8),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a + b*x)^(5//2), (5*e*(3*b*B*d + 4*A*b*e - 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(4*b^4) + (5*e*(3*b*B*d + 4*A*b*e - 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(6*b^3*(b*d - a*e)) - (2*(3*b*B*d + 4*A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(3*b^2*(b*d - a*e)*sqrt(a + b*x)) - (2*(A*b - a*B)*(d + e*x)^(7//2))/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^(3//2)) + (5*sqrt(e)*(b*d - a*e)*(3*b*B*d + 4*A*b*e - 7*a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(4*b^(9//2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a + b*x)^(5//2), (e*(3*b*B*d + 2*A*b*e - 5*a*B*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(b^3*(b*d - a*e)) - (2*(3*b*B*d + 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^2*(b*d - a*e)*sqrt(a + b*x)) - (2*(A*b - a*B)*(d + e*x)^(5//2))/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^(3//2)) + (sqrt(e)*(3*b*B*d + 2*A*b*e - 5*a*B*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/b^(7//2), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(d + e*x))/(a + b*x)^(5//2), (-2*B*sqrt(d + e*x))/(b^2*sqrt(a + b*x)) - (2*(A*b - a*B)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^(3//2)) + (2*B*sqrt(e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/b^(5//2), x, 5),
+((A + B*x)/((a + b*x)^(5//2)*sqrt(d + e*x)), (-2*(A*b - a*B)*sqrt(d + e*x))/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^(3//2)) - (2*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(3*b*(b*d - a*e)^2*sqrt(a + b*x)), x, 2),
+((A + B*x)/((a + b*x)^(5//2)*(d + e*x)^(3//2)), -((2*(B*d - A*e))/(e*(b*d - a*e)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x))) + (2*(3*b*B*d - 4*A*b*e + a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(3*e*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^(3//2)) - (4*(3*b*B*d - 4*A*b*e + a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(3*(b*d - a*e)^3*sqrt(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)/((a + b*x)^(5//2)*(d + e*x)^(5//2)), -((2*(B*d - A*e))/(3*e*(b*d - a*e)*(a + b*x)^(3//2)*(d + e*x)^(3//2))) + (2*(b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e))/(3*e*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x)) - (8*(b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e))/(3*(b*d - a*e)^3*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (16*e*(b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(3*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)), x, 4),
+((A + B*x)/((a + b*x)^(5//2)*(d + e*x)^(7//2)), (-2*(A*b - a*B))/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^(3//2)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(3*b*B*d - 8*A*b*e + 5*a*B*e))/(3*b*(b*d - a*e)^2*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) - (4*e*(3*b*B*d - 8*A*b*e + 5*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(5*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2)) - (16*e*(3*b*B*d - 8*A*b*e + 5*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(15*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2)) - (32*b*e*(3*b*B*d - 8*A*b*e + 5*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(15*(b*d - a*e)^5*sqrt(d + e*x)), x, 5),
+((A + B*x)/((a + b*x)^(5//2)*(d + e*x)^(9//2)), (-2*(A*b - a*B))/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^(3//2)*(d + e*x)^(7//2)) - (2*(3*b*B*d - 10*A*b*e + 7*a*B*e))/(3*b*(b*d - a*e)^2*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)) - (16*e*(3*b*B*d - 10*A*b*e + 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(21*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(7//2)) - (32*e*(3*b*B*d - 10*A*b*e + 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(35*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(5//2)) - (128*b*e*(3*b*B*d - 10*A*b*e + 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(105*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(3//2)) - (256*b^2*e*(3*b*B*d - 10*A*b*e + 7*a*B*e)*sqrt(a + b*x))/(105*(b*d - a*e)^6*sqrt(d + e*x)), x, 6),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^(n/2) (e+f x)^(1/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
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+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*sqrt(3 + 5*x), (374762311*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/51200000 - (34069301*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/5120000 - (333*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2))/2000 - (1//20)*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2) - (7*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)*(231223 + 140652*x))/640000 + (4122385421*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(51200000*sqrt(10)), x, 7),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x), (3558401*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/1280000 - (323491*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/128000 - (3//50)*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2) - (21*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)*(731 + 444*x))/16000 + (39142411*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(1280000*sqrt(10)), x, 6),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x), (14443*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/12800 - (1313*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/1280 - (37*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/160 - (3*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/40 + (158873*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(12800*sqrt(10)), x, 6),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x), (407*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/800 - (37*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/80 - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/10 + (4477*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(800*sqrt(10)), x, 5),
+(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x), (11*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/40 - ((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/4 + (121*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(40*sqrt(10)), x, 4),
+((sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x), (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/3 + (37*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(9*sqrt(10)) + (2*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/9, x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^2, -(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3*(2 + 3*x)) - (2*sqrt(10)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/9 - (37*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(9*sqrt(7)), x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^3, (-11*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(28*(2 + 3*x)) + (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2*(2 + 3*x)^2) - (121*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(28*sqrt(7)), x, 4),
+((sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^4, (-407*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(392*(2 + 3*x)) + ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(7*(2 + 3*x)^3) + (37*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(28*(2 + 3*x)^2) - (4477*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(392*sqrt(7)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^5, -(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(12*(2 + 3*x)^4) + (37*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(504*(2 + 3*x)^3) + (6005*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(14112*(2 + 3*x)^2) + (625115*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(197568*(2 + 3*x)) - (794365*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(21952*sqrt(7)), x, 7),
+((sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^6, -(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(15*(2 + 3*x)^5) + (37*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(840*(2 + 3*x)^4) + (403*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1680*(2 + 3*x)^3) + (14023*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(9408*(2 + 3*x)^2) + (1466281*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(131712*(2 + 3*x)) - (5591773*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(43904*sqrt(7)), x, 8),
+((sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^7, -(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(18*(2 + 3*x)^6) + (37*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1260*(2 + 3*x)^5) + (10921*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(70560*(2 + 3*x)^4) + (126799*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(141120*(2 + 3*x)^3) + (4429459*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(790272*(2 + 3*x)^2) + (463266973*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(11063808*(2 + 3*x)) - (588912203*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(1229312*sqrt(7)), x, 9),
+
+
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(3//2), (6384004649*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/204800000 - (580364059*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/20480000 - (52760369*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/7680000 - (403*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2))/2800 - (3//70)*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(5//2) - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)*(1480103 + 874608*x))/640000 + (70224051139*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(204800000*sqrt(10)), x, 8),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2), (115431701*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/10240000 - (10493791*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/1024000 - (953981*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/384000 - (1//20)*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2) - (7*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)*(3821 + 2256*x))/32000 + (1269748711*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(10240000*sqrt(10)), x, 7),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2), (1089847*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/256000 - (99077*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/25600 - (9007*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/9600 - (153*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/800 - (3*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/50 + (11988317*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(256000*sqrt(10)), x, 7),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2), (21901*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/12800 - (1991*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/1280 - (181*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/480 - (3*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/40 + (240911*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(12800*sqrt(10)), x, 6),
+(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2), (121*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/160 - (11*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/16 - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/6 + (1331*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(160*sqrt(10)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x), (-41*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/72 + (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/6 + (793*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(216*sqrt(10)) - (2*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/27, x, 7),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^2, (10*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/9 - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(3*(2 + 3*x)) + (41*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/27 + (107*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(27*sqrt(7)), x, 7),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^3, (-107*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(252*(2 + 3*x)) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(6*(2 + 3*x)^2) - (10*sqrt(10)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/27 - (4091*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(756*sqrt(7)), x, 7),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^4, (-121*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(392*(2 + 3*x)) - (11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(84*(2 + 3*x)^2) + (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(3*(2 + 3*x)^3) - (1331*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(392*sqrt(7)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^5, (-13915*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(21952*(2 + 3*x)) - (1265*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(4704*(2 + 3*x)^2) + (3*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(28*(2 + 3*x)^4) + (115*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(168*(2 + 3*x)^3) - (153065*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(21952*sqrt(7)), x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^6, (-107*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2520*(2 + 3*x)^4) + (641*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(15120*(2 + 3*x)^3) + (17981*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(84672*(2 + 3*x)^2) + (1852307*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1185408*(2 + 3*x)) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(15*(2 + 3*x)^5) - (783959*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(43904*sqrt(7)), x, 8),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^7, (-107*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3780*(2 + 3*x)^5) + (4619*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(211680*(2 + 3*x)^4) + (42461*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(423360*(2 + 3*x)^3) + (1460201*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2370816*(2 + 3*x)^2) + (152571047*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(33191424*(2 + 3*x)) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(18*(2 + 3*x)^6) - (64645339*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(1229312*sqrt(7)), x, 9),
+
+
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(5//2), (180773237579*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/1310720000 - (16433930689*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/131072000 - (1493993699*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/49152000 - (135817609*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/20480000 - (1419*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(7//2))/11200 - (3//80)*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(7//2) - (3*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(7//2)*(899099 + 522420*x))/1280000 + (1988505613369*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(1310720000*sqrt(10)), x, 9),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(5//2), (394818523*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/8192000 - (35892593*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/819200 - (3262963*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/307200 - (296633*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/128000 - (3//70)*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(7//2) - (3*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(7//2)*(1963 + 1140*x))/8000 + (4343003753*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(8192000*sqrt(10)), x, 8),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2), (1422839*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/81920 - (129349*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/8192 - (11759*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/3072 - (1069*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/1280 - (13*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/80 - ((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/20 + (15651229*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(81920*sqrt(10)), x, 8),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2), (334081*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/51200 - (30371*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/5120 - (2761*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/1920 - (251*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/800 - (3*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/50 + (3674891*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(51200*sqrt(10)), x, 7),
+(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2), (1331*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/512 - (605*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/256 - (55*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/96 - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/8 + (14641*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(512*sqrt(10)), x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x), (-925*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/864 - (5*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/24 + (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/9 + (6553*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/2592 + (2*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/81, x, 8),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^2, (-95*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/72 + (5*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/6 - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(3*(2 + 3*x)) + (155*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/216 - (59*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(27*sqrt(7)), x, 8),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^3, (215*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/84 - (59*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(84*(2 + 3*x)) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(6*(2 + 3*x)^2) + (25*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/9 + (2119*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(252*sqrt(7)), x, 8),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^4, (-6401*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(10584*(2 + 3*x)) - (59*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(252*(2 + 3*x)^2) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(9*(2 + 3*x)^3) - (50*sqrt(10)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/81 - (250433*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(31752*sqrt(7)), x, 8),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^5, (-6655*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(21952*(2 + 3*x)) - (605*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(4704*(2 + 3*x)^2) - (11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(168*(2 + 3*x)^3) + (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/(4*(2 + 3*x)^4) - (73205*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(21952*sqrt(7)), x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^6, (-22627*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(43904*(2 + 3*x)) - (2057*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(9408*(2 + 3*x)^2) - (187*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(1680*(2 + 3*x)^3) + (3*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/(35*(2 + 3*x)^5) + (17*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/(40*(2 + 3*x)^4) - (248897*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(43904*sqrt(7)), x, 7),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^7, (-6533*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(211680*(2 + 3*x)^4) + (47279*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1270080*(2 + 3*x)^3) + (1057139*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(7112448*(2 + 3*x)^2) + (106751933*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(99574272*(2 + 3*x)) - (59*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(1260*(2 + 3*x)^5) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(18*(2 + 3*x)^6) - (15036307*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(1229312*sqrt(7)), x, 9),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^8, (-6577*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(370440*(2 + 3*x)^5) + (369409*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(20744640*(2 + 3*x)^4) + (2524471*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(41489280*(2 + 3*x)^3) + (84539611*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(232339968*(2 + 3*x)^2) + (8818415317*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3252759552*(2 + 3*x)) - (59*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(1764*(2 + 3*x)^6) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(21*(2 + 3*x)^7) - (3735929329*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(120472576*sqrt(7)), x, 10),
+
+
+(sqrt(a + b*x)/(sqrt(c + d*x)*(e + f*x)), (2*sqrt(b)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(d)*f) - (2*sqrt(b*e - a*f)*atanh((sqrt(d*e - c*f)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x))))/(f*sqrt(d*e - c*f)), x, 7),
+(sqrt(c + d*x)/(sqrt(a + b*x)*(e + f*x)), (2*sqrt(d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x))))/(sqrt(b)*f) - (2*sqrt(d*e - c*f)*atanh((sqrt(d*e - c*f)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x))))/(f*sqrt(b*e - a*f)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3/sqrt(3 + 5*x), (47761*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/64000 - (3//40)*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x) - (21*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)*(335 + 216*x))/6400 + (525371*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(64000*sqrt(10)), x, 5),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2/sqrt(3 + 5*x), (277*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/800 - (23*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/80 - ((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/10 + (3047*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(800*sqrt(10)), x, 5),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^1/sqrt(3 + 5*x), (41*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/200 - (3*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/20 + (451*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(200*sqrt(10)), x, 4),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^0/sqrt(3 + 5*x), (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/5 + (11*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(5*sqrt(10)), x, 3),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^1*sqrt(3 + 5*x)), (-2*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/3 - (2*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/3, x, 6),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)), (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x) - (11*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/sqrt(7), x, 3),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x)), (3*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(14*(2 + 3*x)^2) + (107*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(28*(2 + 3*x)) - (1177*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(28*sqrt(7)), x, 4),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^4*sqrt(3 + 5*x)), (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3*(2 + 3*x)^3) + (173*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(84*(2 + 3*x)^2) + (18083*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1176*(2 + 3*x)) - (68959*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(392*sqrt(7)), x, 6),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^5*sqrt(3 + 5*x)), (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(4*(2 + 3*x)^4) + (81*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(56*(2 + 3*x)^3) + (14145*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1568*(2 + 3*x)^2) + (1479375*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(21952*(2 + 3*x)) - (16925425*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(21952*sqrt(7)), x, 7),
+
+
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3/(3 + 5*x)^(3//2), -((2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(5*sqrt(3 + 5*x))) - (7*(73 - 60*x)*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/4000 + (7//25)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x) + (10409*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(4000*sqrt(10)), x, 5),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2))/(275*sqrt(3 + 5*x)) + (317*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/2200 - (9*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/100 + (317*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(200*sqrt(10)), x, 5),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^1/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2))/(55*sqrt(3 + 5*x)) + (29*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/275 + (29*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(25*sqrt(10)), x, 4),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^0/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*sqrt(1 - 2*x))/(5*sqrt(3 + 5*x)) - (2*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/5, x, 3),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^1*(3 + 5*x)^(3//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x))/sqrt(3 + 5*x) + 2*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))), x, 3),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2)), (-103*sqrt(1 - 2*x))/(7*sqrt(3 + 5*x)) + (3*(1 - 2*x)^(3//2))/(7*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (103*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/sqrt(7), x, 4),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2)), (-2615*sqrt(1 - 2*x))/(28*sqrt(3 + 5*x)) + sqrt(1 - 2*x)/(2*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)) + (173*sqrt(1 - 2*x))/(28*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (17951*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(28*sqrt(7)), x, 6),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(3//2)), (-639565*sqrt(1 - 2*x))/(1176*sqrt(3 + 5*x)) + sqrt(1 - 2*x)/(3*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x)) + (81*sqrt(1 - 2*x))/(28*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)) + (14101*sqrt(1 - 2*x))/(392*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (1463447*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(392*sqrt(7)), x, 7),
+
+
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4/(3 + 5*x)^(5//2), -((2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4)/(15*(3 + 5*x)^(3//2))) - (524*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(825*sqrt(3 + 5*x)) + (623*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x))/1375 + (7*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(2563 + 8940*x))/220000 + (35511*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(20000*sqrt(10)), x, 6),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3/(3 + 5*x)^(5//2), -((2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(15*(3 + 5*x)^(3//2))) - (392*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(825*sqrt(3 + 5*x)) + (7*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(1243 + 1740*x))/11000 + (1071*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(1000*sqrt(10)), x, 5),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2))/(825*(3 + 5*x)^(3//2)) - (12*(1 - 2*x)^(3//2))/(275*sqrt(3 + 5*x)) + (3*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/55 + (3*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(5*sqrt(10)), x, 5),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^1/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2))/(165*(3 + 5*x)^(3//2)) - (6*sqrt(1 - 2*x))/(25*sqrt(3 + 5*x)) - (6*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/25, x, 4),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^0/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2))/(33*(3 + 5*x)^(3//2)), x, 1),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^1*(3 + 5*x)^(5//2)), (-10*(1 - 2*x)^(3//2))/(33*(3 + 5*x)^(3//2)) + (6*sqrt(1 - 2*x))/sqrt(3 + 5*x) - 6*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))), x, 4),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2)), (-25*sqrt(1 - 2*x))/(3*(3 + 5*x)^(3//2)) + sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (2495*sqrt(1 - 2*x))/(33*sqrt(3 + 5*x)) - (519*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/sqrt(7), x, 6),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(5//2)), (-6095*sqrt(1 - 2*x))/(84*(3 + 5*x)^(3//2)) + sqrt(1 - 2*x)/(2*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2)) + (243*sqrt(1 - 2*x))/(28*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (608185*sqrt(1 - 2*x))/(924*sqrt(3 + 5*x)) - (126513*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(28*sqrt(7)), x, 7),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(5//2)), (-638165*sqrt(1 - 2*x))/(1176*(3 + 5*x)^(3//2)) + sqrt(1 - 2*x)/(3*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2)) + (313*sqrt(1 - 2*x))/(84*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2)) + (25441*sqrt(1 - 2*x))/(392*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (63678595*sqrt(1 - 2*x))/(12936*sqrt(3 + 5*x)) - (13246251*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(392*sqrt(7)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^(n/2) (e+f x)^(3/2)
+
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
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+
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x), (41137943*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/25600000 + (3739813*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/7680000 - (339983*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/384000 - (1//20)*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2) - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)*(88987 + 63120*x))/160000 + (452517373*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(25600000*sqrt(10)), x, 7),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x), (498883*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/640000 + (45353*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/192000 - (4123*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/9600 - (567*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/4000 - (3*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/50 + (5487713*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(640000*sqrt(10)), x, 7),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x), (2783*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/6400 + (253*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/1920 - (23*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/96 - (3*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/40 + (30613*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(6400*sqrt(10)), x, 6),
+((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x), (121*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/400 + (11*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/120 - ((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/6 + (1331*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(400*sqrt(10)), x, 5),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x), (107*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/180 + ((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/6 + (4091*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(540*sqrt(10)) + (14*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/27, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^2, (-4*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/9 - ((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(3*(2 + 3*x)) - (107*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/27 - (41*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/27, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^3, -((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(6*(2 + 3*x)^2) + (41*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(36*(2 + 3*x)) + (4*sqrt(10)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/27 - (793*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(108*sqrt(7)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^4, (-121*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(56*(2 + 3*x)) + ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(3*(2 + 3*x)^3) + (11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(4*(2 + 3*x)^2) - (1331*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(56*sqrt(7)), x, 5),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^5, (-21901*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3136*(2 + 3*x)) + (3*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(28*(2 + 3*x)^4) + (181*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(168*(2 + 3*x)^3) + (1991*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(224*(2 + 3*x)^2) - (240911*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(3136*sqrt(7)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^6, -((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(15*(2 + 3*x)^5) + (41*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(360*(2 + 3*x)^4) + (7723*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(15120*(2 + 3*x)^3) + (270463*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(84672*(2 + 3*x)^2) + (28291441*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1185408*(2 + 3*x)) - (11988317*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(43904*sqrt(7)), x, 8),
+
+
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2), (565404807*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/102400000 + (17133479*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/10240000 - (1557589*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/512000 - (141599*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/128000 - (3//70)*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2) - (3*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2)*(49829 + 33300*x))/280000 + (6219452877*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(102400000*sqrt(10)), x, 8),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2), (12382293*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/5120000 + (375221*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/512000 - (34111*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/25600 - (3101*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/6400 - (259*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/2000 - ((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/20 + (136205223*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(5120000*sqrt(10)), x, 8),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2), (147741*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/128000 + (4477*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/12800 - (407*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/640 - (37*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/160 - (3*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/50 + (1625151*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(128000*sqrt(10)), x, 7),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2), (3993*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/6400 + (121*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/640 - (11*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/32 - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/8 + (43923*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(6400*sqrt(10)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x), (-1781*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/2160 + (37*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/180 + ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/9 + (19573*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(6480*sqrt(10)) - (14*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/81, x, 8),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^2, (107*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/36 - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/3 - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(3*(2 + 3*x)) + (1649*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(108*sqrt(10)) + (37*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/27, x, 8),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^3, (-205*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/36 - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(6*(2 + 3*x)^2) + (37*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(12*(2 + 3*x)) - (37*sqrt(10)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/27 - (1649*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(108*sqrt(7)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^4, (-661*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1512*(2 + 3*x)) - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(9*(2 + 3*x)^3) + (37*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(36*(2 + 3*x)^2) + (20*sqrt(10)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/81 - (19573*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(4536*sqrt(7)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^5, (-3993*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3136*(2 + 3*x)) - (121*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(224*(2 + 3*x)^2) + ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(4*(2 + 3*x)^4) + (11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(8*(2 + 3*x)^3) - (43923*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(3136*sqrt(7)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^6, (-147741*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(43904*(2 + 3*x)) - (4477*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(3136*(2 + 3*x)^2) + (3*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(35*(2 + 3*x)^5) + (37*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(56*(2 + 3*x)^4) + (407*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(112*(2 + 3*x)^3) - (1625151*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(43904*sqrt(7)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^7, (-7591*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(30240*(2 + 3*x)^4) + (37333*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(181440*(2 + 3*x)^3) + (1316353*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1016064*(2 + 3*x)^2) + (137752591*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(14224896*(2 + 3*x)) - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(18*(2 + 3*x)^6) + (37*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(180*(2 + 3*x)^5) - (19457889*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(175616*sqrt(7)), x, 9),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^8, (-9901*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(52920*(2 + 3*x)^5) + (341917*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2963520*(2 + 3*x)^4) + (4014523*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(5927040*(2 + 3*x)^3) + (140331343*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(33191424*(2 + 3*x)^2) + (14677525921*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(464679936*(2 + 3*x)) - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(21*(2 + 3*x)^7) + (37*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(252*(2 + 3*x)^6) - (6219452877*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(17210368*sqrt(7)), x, 10),
+
+
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(5//2), (13441711767*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/655360000 + (407324599*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/65536000 - (37029509*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/3276800 - (3366319*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/819200 - (306029*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/256000 - (3//80)*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(7//2) - (9*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(7//2)*(25043 + 16120*x))/448000 + (147858829437*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(655360000*sqrt(10)), x, 9),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2), (34391709*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/4096000 + (1042173*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/409600 - (94743*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/20480 - (8613*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/5120 - (783*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/1600 - (47*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/400 - (3*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/70 + (378308799*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(4096000*sqrt(10)), x, 9),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2), (746691*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/204800 + (22627*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/20480 - (2057*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/1024 - (187*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/256 - (17*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/80 - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/20 + (8213601*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(204800*sqrt(10)), x, 8),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2), (43923*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/25600 + (1331*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/2560 - (121*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/128 - (11*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/32 - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/10 + (483153*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(25600*sqrt(10)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x), (-15863*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/20736 - (53*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/192 + (23*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/216 + ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/12 + (648919*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(62208*sqrt(10)) + (14*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/243, x, 9),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^2, (-3065*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/1296 + (25*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/12 - (8*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/27 - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(3*(2 + 3*x)) - (43*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/3888 - (181*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/243, x, 9),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^3, (185*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/27 - (35*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/4 - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(6*(2 + 3*x)^2) + (181*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(36*(2 + 3*x)) + (1945*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/324 + (6829*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(324*sqrt(7)), x, 9),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^4, (-39745*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/4536 + (331*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(168*(2 + 3*x)) - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(9*(2 + 3*x)^3) + (181*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(108*(2 + 3*x)^2) - (575*sqrt(10)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/243 - (326717*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(13608*sqrt(7)), x, 9),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^5, (-77269*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(254016*(2 + 3*x)) - (871*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(6048*(2 + 3*x)^2) - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(12*(2 + 3*x)^4) + (181*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(216*(2 + 3*x)^3) + (100*sqrt(10)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/243 - (1922677*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(762048*sqrt(7)), x, 9),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^6, (-43923*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(43904*(2 + 3*x)) - (1331*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(3136*(2 + 3*x)^2) - (121*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(560*(2 + 3*x)^3) + ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/(5*(2 + 3*x)^5) + (33*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/(40*(2 + 3*x)^4) - (483153*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(43904*sqrt(7)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^7, (-395307*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(175616*(2 + 3*x)) - (11979*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(12544*(2 + 3*x)^2) - (1089*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2240*(2 + 3*x)^3) + ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/(14*(2 + 3*x)^6) + (9*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/(20*(2 + 3*x)^5) + (297*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/(160*(2 + 3*x)^4) - (4348377*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(175616*sqrt(7)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^8, (-1289227*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(8890560*(2 + 3*x)^4) + (6249601*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(53343360*(2 + 3*x)^3) + (224018941*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(298722816*(2 + 3*x)^2) + (23466191827*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(4182119424*(2 + 3*x)) - (12421*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(52920*(2 + 3*x)^5) - ((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(21*(2 + 3*x)^7) + (181*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(756*(2 + 3*x)^6) - (1104970911*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(17210368*sqrt(7)), x, 10),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3)/sqrt(3 + 5*x), (1695309*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/3200000 + (51373*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/320000 - (3//50)*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x) - (3*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)*(14629 + 11580*x))/80000 + (18648399*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(3200000*sqrt(10)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2)/sqrt(3 + 5*x), (9933*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/32000 + (301*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/3200 - (119*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/800 - (3*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/40 + (109263*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(32000*sqrt(10)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x))/sqrt(3 + 5*x), (99*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/400 + (3*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/40 - ((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/10 + (1089*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(400*sqrt(10)), x, 5),
+((1 - 2*x)^(3//2)/sqrt(3 + 5*x), (33*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/100 + ((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/10 + (363*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(100*sqrt(10)), x, 4),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)), (-2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/15 - (103*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/45 - (14*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/9, x, 6),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)), (7*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3*(2 + 3*x)) + (4*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/9 - (29*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/9, x, 6),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x)), ((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2*(2 + 3*x)^2) + (33*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(4*(2 + 3*x)) - (363*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(4*sqrt(7)), x, 4),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^4*sqrt(3 + 5*x)), ((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(7*(2 + 3*x)^3) + (59*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(28*(2 + 3*x)^2) + (1947*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(56*(2 + 3*x)) - (21417*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(56*sqrt(7)), x, 5),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^5*sqrt(3 + 5*x)), (7*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(12*(2 + 3*x)^4) + (227*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(72*(2 + 3*x)^3) + (39667*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2016*(2 + 3*x)^2) + (4148797*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(28224*(2 + 3*x)) - (5274027*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(3136*sqrt(7)), x, 7),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^6*sqrt(3 + 5*x)), (7*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(15*(2 + 3*x)^5) + (293*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(120*(2 + 3*x)^4) + (23909*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1680*(2 + 3*x)^3) + (835409*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(9408*(2 + 3*x)^2) + (87374783*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(131712*(2 + 3*x)) - (333216939*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(43904*sqrt(7)), x, 8),
+
+
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x)^(3//2), -((2*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3)/(5*sqrt(3 + 5*x))) + (35511*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/160000 - (63*(35 - 8*x)*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/16000 + (27//100)*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x) + (390621*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(160000*sqrt(10)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2))/(275*sqrt(3 + 5*x)) + (357*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/2000 + (119*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/2200 - (3*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/50 + (3927*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(2000*sqrt(10)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2))/(55*sqrt(3 + 5*x)) + (3*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/20 + ((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/22 + (33*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(20*sqrt(10)), x, 5),
+((1 - 2*x)^(3//2)/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2))/(5*sqrt(3 + 5*x)) - (6*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/25 - (33*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/25, x, 4),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), (-22*sqrt(1 - 2*x))/(5*sqrt(3 + 5*x)) + (4*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/15 + (14*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/3, x, 6),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2)), (-33*sqrt(1 - 2*x))/sqrt(3 + 5*x) + (1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + 33*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))), x, 4),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2)), (-5709*sqrt(1 - 2*x))/(28*sqrt(3 + 5*x)) + (3*(1 - 2*x)^(5//2))/(14*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)) + (173*(1 - 2*x)^(3//2))/(28*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (5709*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(4*sqrt(7)), x, 5),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(3//2)), (-608185*sqrt(1 - 2*x))/(504*sqrt(3 + 5*x)) + (7*sqrt(1 - 2*x))/(9*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x)) + (77*sqrt(1 - 2*x))/(12*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)) + (13409*sqrt(1 - 2*x))/(168*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (463881*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(56*sqrt(7)), x, 7),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^(3//2)), (-63678595*sqrt(1 - 2*x))/(9408*sqrt(3 + 5*x)) + (7*sqrt(1 - 2*x))/(12*(2 + 3*x)^4*sqrt(3 + 5*x)) + (33*sqrt(1 - 2*x))/(8*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x)) + (8063*sqrt(1 - 2*x))/(224*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)) + (1403963*sqrt(1 - 2*x))/(3136*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (145708761*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(3136*sqrt(7)), x, 8),
+
+
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x)^(5//2), -((2*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3)/(15*(3 + 5*x)^(3//2))) - (128*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(25*sqrt(3 + 5*x)) + (378//125)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x) + (21*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(853 + 1140*x))/10000 + (13153*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(10000*sqrt(10)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2))/(825*(3 + 5*x)^(3//2)) - (388*(1 - 2*x)^(5//2))/(9075*sqrt(3 + 5*x)) + (343*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/5500 + (343*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/18150 + (343*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(500*sqrt(10)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2))/(165*(3 + 5*x)^(3//2)) - (38*(1 - 2*x)^(3//2))/(165*sqrt(3 + 5*x)) - (38*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/275 - (19*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/25, x, 5),
+((1 - 2*x)^(3//2)/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) + (4*sqrt(1 - 2*x))/(25*sqrt(3 + 5*x)) + (4*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/25, x, 4),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-2*(1 - 2*x)^(3//2))/(3*(3 + 5*x)^(3//2)) + (14*sqrt(1 - 2*x))/sqrt(3 + 5*x) - 14*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))), x, 4),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2)), (-169*(1 - 2*x)^(3//2))/(21*(3 + 5*x)^(3//2)) + (3*(1 - 2*x)^(5//2))/(7*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (169*sqrt(1 - 2*x))/sqrt(3 + 5*x) - 169*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))), x, 5),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(5//2)), (-655*sqrt(1 - 2*x))/(4*(3 + 5*x)^(3//2)) + (7*sqrt(1 - 2*x))/(6*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2)) + (235*sqrt(1 - 2*x))/(12*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (17825*sqrt(1 - 2*x))/(12*sqrt(3 + 5*x)) - (40787*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(4*sqrt(7)), x, 7),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(5//2)), (-204595*sqrt(1 - 2*x))/(168*(3 + 5*x)^(3//2)) + (7*sqrt(1 - 2*x))/(9*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2)) + (301*sqrt(1 - 2*x))/(36*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2)) + (24469*sqrt(1 - 2*x))/(168*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (618645*sqrt(1 - 2*x))/(56*sqrt(3 + 5*x)) - (4246733*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(56*sqrt(7)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^(n/2) (e+f x)^(5/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x), (339629939*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/256000000 + (30875449*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/76800000 + (2806859*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/19200000 - (255169*(1 - 2*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/640000 - (3//70)*(1 - 2*x)^(7//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2) - (3*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2)*(33857 + 26700*x))/280000 + (3735929329*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(256000000*sqrt(10)), x, 8),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x), (9568559*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/12800000 + (869869*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/3840000 + (79079*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/960000 - (7189*(1 - 2*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/32000 - (193*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/2000 - ((1 - 2*x)^(7//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/20 + (105254149*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(12800000*sqrt(10)), x, 8),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x), (158389*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/320000 + (14399*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/96000 + (1309*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/24000 - (119*(1 - 2*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/800 - (3*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/50 + (1742279*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(320000*sqrt(10)), x, 7),
+((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x), (1331*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/3200 + (121*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/960 + (11*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/240 - ((1 - 2*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/8 + (14641*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(3200*sqrt(10)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x), (6401*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/5400 + (59*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/180 + ((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/9 + (250433*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(16200*sqrt(10)) + (98*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/81, x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^2, (-43*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/30 - ((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/3 - ((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(3*(2 + 3*x)) - (2119*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(90*sqrt(10)) - (35*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/9, x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^3, (19*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/18 - ((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(6*(2 + 3*x)^2) + (5*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(4*(2 + 3*x)) + (118*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/27 - (155*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/108, x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^4, -((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(9*(2 + 3*x)^3) + (5*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(12*(2 + 3*x)^2) + (925*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(216*(2 + 3*x)) - (8*sqrt(10)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/81 - (32765*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(648*sqrt(7)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^5, (-6655*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(448*(2 + 3*x)) + ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(4*(2 + 3*x)^4) + (55*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(24*(2 + 3*x)^3) + (605*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(32*(2 + 3*x)^2) - (73205*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(448*sqrt(7)), x, 6),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^6, (-334081*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(6272*(2 + 3*x)) + (3*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(35*(2 + 3*x)^5) + (251*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(280*(2 + 3*x)^4) + (2761*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(336*(2 + 3*x)^3) + (30371*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(448*(2 + 3*x)^2) - (3674891*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(6272*sqrt(7)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^7, -((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(18*(2 + 3*x)^6) + ((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(12*(2 + 3*x)^5) + (647*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(864*(2 + 3*x)^4) + (151621*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(36288*(2 + 3*x)^3) + (26486645*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1016064*(2 + 3*x)^2) + (2770202075*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(14224896*(2 + 3*x)) - (391280725*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(175616*sqrt(7)), x, 9),
+
+
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2), (32302687197*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/8192000000 + (978869309*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/819200000 + (88988119*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/204800000 - (24269487*(1 - 2*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/20480000 - (735439*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/1280000 - (3//80)*(1 - 2*x)^(7//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2) - (9*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2)*(18399 + 13480*x))/448000 + (355329559167*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(8192000000*sqrt(10)), x, 9),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2), (100451901*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/51200000 + (3043997*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/5120000 + (276727*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/1280000 - (75471*(1 - 2*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/128000 - (2287*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/8000 - (263*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/2800 - (3*(1 - 2*x)^(7//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/70 + (1104970911*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(51200000*sqrt(10)), x, 9),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2), (2767149*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/2560000 + (83853*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/256000 + (7623*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/64000 - (2079*(1 - 2*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/6400 - (63*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/400 - ((1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/20 + (30438639*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(2560000*sqrt(10)), x, 8),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2), (43923*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/64000 + (1331*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/6400 + (121*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/1600 - (33*(1 - 2*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/160 - ((1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/10 + (483153*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(64000*sqrt(10)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x), (-390869*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/259200 + (7093*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/21600 + (181*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/1080 + ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/12 + (1922677*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(777600*sqrt(10)) - (98*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/243, x, 9),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^2, (24251*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/3240 - (247*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/270 - (8*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/27 - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(3*(2 + 3*x)) + (326717*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(9720*sqrt(10)) + (805*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/243, x, 9),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^3, (-1649*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/108 + (41*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/18 - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(6*(2 + 3*x)^2) + (115*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(36*(2 + 3*x)) - (6829*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(162*sqrt(10)) - (1945*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/324, x, 9),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^4, (-845*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/648 - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(9*(2 + 3*x)^3) + (115*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(108*(2 + 3*x)^2) + (365*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(216*(2 + 3*x)) + (362*sqrt(10)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/243 + (215*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(1944*sqrt(7)), x, 9),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^5, (-97235*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(36288*(2 + 3*x)) - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(12*(2 + 3*x)^4) + (115*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(216*(2 + 3*x)^3) + (2675*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(864*(2 + 3*x)^2) - (40*sqrt(10)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/243 - (3244595*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(108864*sqrt(7)), x, 9),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^6, (-43923*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(6272*(2 + 3*x)) - (1331*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(448*(2 + 3*x)^2) + ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(5*(2 + 3*x)^5) + (11*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(8*(2 + 3*x)^4) + (121*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(16*(2 + 3*x)^3) - (483153*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(6272*sqrt(7)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^7, (-3733455*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(175616*(2 + 3*x)) - (113135*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(12544*(2 + 3*x)^2) + ((1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(14*(2 + 3*x)^6) + (17*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(28*(2 + 3*x)^5) + (935*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(224*(2 + 3*x)^4) + (10285*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(448*(2 + 3*x)^3) - (41068005*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(175616*sqrt(7)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^8, (-443563*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(254016*(2 + 3*x)^4) + (2199649*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1524096*(2 + 3*x)^3) + (384136145*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(42674688*(2 + 3*x)^2) + (40175505215*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(597445632*(2 + 3*x)) - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(21*(2 + 3*x)^7) + (115*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(756*(2 + 3*x)^6) + (1921*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(1512*(2 + 3*x)^5) - (1891543995*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(2458624*sqrt(7)), x, 10),
+
+
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(5//2), (84729414253*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/6553600000 + (7702674023*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/1966080000 + (700243093*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/491520000 - (63658463*(1 - 2*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/16384000 - (5787133*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/3072000 - (526103*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/768000 - (1//30)*(1 - 2*x)^(7//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(7//2) - ((1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(7//2)*(245011 + 170940*x))/672000 + (932023556783*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(6553600000*sqrt(10)), x, 10),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2), (1939215091*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/327680000 + (176292281*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/98304000 + (16026571*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/24576000 - (1456961*(1 - 2*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/819200 - (132451*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/153600 - (12041*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/38400 - (999*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/11200 - (3*(1 - 2*x)^(7//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/80 + (21331366001*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(327680000*sqrt(10)), x, 10),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2), (5958887*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/2048000 + (541717*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/614400 + (49247*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/153600 - (4477*(1 - 2*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/5120 - (407*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/960 - (37*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/240 - (3*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/70 + (65547757*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(2048000*sqrt(10)), x, 9),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2), (161051*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/102400 + (14641*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/30720 + (1331*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/7680 - (121*(1 - 2*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/256 - (11*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/48 - ((1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/12 + (1771561*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(102400*sqrt(10)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x), (-1994287*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/3110400 - (14557*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/28800 + (4783*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/32400 + (37*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/360 + ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/15 + (109715471*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(9331200*sqrt(10)) + (98*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/729, x, 10),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^2, (-155777*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/31104 + (1453*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/288 - (247*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/324 - (5*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/18 - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(3*(2 + 3*x)) - (660959*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(93312*sqrt(10)) - (1295*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/729, x, 10),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^3, (34145*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/1944 - (785*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/36 + (575*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/162 - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(6*(2 + 3*x)^2) + (185*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(36*(2 + 3*x)) + (81733*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/5832 + (21935*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/2916, x, 10),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^4, (-48625*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/1944 + (2075*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/72 - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(9*(2 + 3*x)^3) + (185*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(108*(2 + 3*x)^2) - (10385*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(648*(2 + 3*x)) - (21935*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/1458 - (408665*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(5832*sqrt(7)), x, 10),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^5, (249575*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/108864 - (3485*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(4032*(2 + 3*x)) - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(12*(2 + 3*x)^4) + (185*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(216*(2 + 3*x)^3) + (1165*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2592*(2 + 3*x)^2) + (1850*sqrt(10)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/729 + (3304795*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(326592*sqrt(7)), x, 10),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^6, (-3248687*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1524096*(2 + 3*x)) - (32453*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(36288*(2 + 3*x)^2) - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(15*(2 + 3*x)^5) + (37*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(72*(2 + 3*x)^4) + (2543*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(1296*(2 + 3*x)^3) - (200*sqrt(10)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/729 - (109715471*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(4572288*sqrt(7)), x, 10),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^7, (-805255*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(175616*(2 + 3*x)) - (73205*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(37632*(2 + 3*x)^2) - (1331*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(1344*(2 + 3*x)^3) + ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/(6*(2 + 3*x)^6) + (11*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/(12*(2 + 3*x)^5) + (121*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/(32*(2 + 3*x)^4) - (8857805*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(175616*sqrt(7)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^8, (-29794435*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2458624*(2 + 3*x)) - (2708585*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(526848*(2 + 3*x)^2) - (49247*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(18816*(2 + 3*x)^3) + (3*(1 - 2*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/(49*(2 + 3*x)^7) + (37*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/(84*(2 + 3*x)^6) + (407*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/(168*(2 + 3*x)^5) + (4477*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/(448*(2 + 3*x)^4) - (327738785*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(2458624*sqrt(7)), x, 9),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^9, (-75045071*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(85349376*(2 + 3*x)^4) + (372439373*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(512096256*(2 + 3*x)^3) + (64983635965*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(14338695168*(2 + 3*x)^2) + (6796051494355*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(200741732352*(2 + 3*x)) - (720833*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(508032*(2 + 3*x)^5) - ((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(24*(2 + 3*x)^8) + (185*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(1008*(2 + 3*x)^7) + (47365*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(36288*(2 + 3*x)^6) - (106656830005*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(275365888*sqrt(7)), x, 11),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4)/sqrt(3 + 5*x), (1152712429*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/1280000000 + (104792039*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/384000000 + (9526549*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/96000000 - (271*(1 - 2*x)^(7//2)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x))/2800 - (3//70)*(1 - 2*x)^(7//2)*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x) - ((1 - 2*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x)*(12923401 + 11603280*x))/22400000 + (12679836719*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(1280000000*sqrt(10)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3)/sqrt(3 + 5*x), (33455653*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/64000000 + (3041423*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/19200000 + (276493*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/4800000 - (1//20)*(1 - 2*x)^(7//2)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x) - ((1 - 2*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x)*(52951 + 47280*x))/160000 + (368012183*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(64000000*sqrt(10)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2)/sqrt(3 + 5*x), (593747*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/1600000 + (53977*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/480000 + (4907*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/120000 - (369*(1 - 2*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/4000 - (3*(1 - 2*x)^(7//2)*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/50 + (6531217*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(1600000*sqrt(10)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x))/sqrt(3 + 5*x), (5929*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/16000 + (539*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/4800 + (49*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/1200 - (3*(1 - 2*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/40 + (65219*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(16000*sqrt(10)), x, 6),
+((1 - 2*x)^(5//2)/sqrt(3 + 5*x), (121*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/200 + (11*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/60 + ((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/15 + (1331*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(200*sqrt(10)), x, 5),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)), (-239*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/450 - ((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/15 - (17687*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(1350*sqrt(10)) - (98*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/27, x, 7),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)), (74*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/45 + (7*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(3*(2 + 3*x)) + (346*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/135 - (175*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/27, x, 7),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x)), (7*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(6*(2 + 3*x)^2) + (637*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(36*(2 + 3*x)) - (8*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/27 - (3035*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/108, x, 7),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^4*sqrt(3 + 5*x)), ((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(3*(2 + 3*x)^3) + (55*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(12*(2 + 3*x)^2) + (605*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(8*(2 + 3*x)) - (6655*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(8*sqrt(7)), x, 5),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^5*sqrt(3 + 5*x)), (3*(1 - 2*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/(28*(2 + 3*x)^4) + (247*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(168*(2 + 3*x)^3) + (13585*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(672*(2 + 3*x)^2) + (149435*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(448*(2 + 3*x)) - (1643785*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(448*sqrt(7)), x, 6),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^6*sqrt(3 + 5*x)), (7*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(15*(2 + 3*x)^5) + (2023*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(360*(2 + 3*x)^4) + (67187*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2160*(2 + 3*x)^3) + (2347559*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(12096*(2 + 3*x)^2) + (245529161*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(169344*(2 + 3*x)) - (104040277*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(6272*sqrt(7)), x, 8),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^7*sqrt(3 + 5*x)), (7*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(18*(2 + 3*x)^6) + (497*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(108*(2 + 3*x)^5) + (21199*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(864*(2 + 3*x)^4) + (1729615*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(12096*(2 + 3*x)^3) + (302171615*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(338688*(2 + 3*x)^2) + (31603880465*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(4741632*(2 + 3*x)) - (13391796605*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(175616*sqrt(7)), x, 9),
+
+
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x)^(3//2), -((2*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4)/(5*sqrt(3 + 5*x))) + (118054167*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/320000000 + (3577399*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/32000000 + (111*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x))/5000 + (13//50)*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x) - ((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)*(2725981 + 1990620*x))/8000000 + (1298595837*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(320000000*sqrt(10)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x)^(3//2), -((2*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3)/(5*sqrt(3 + 5*x))) + (2210901*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/8000000 + (66997*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/800000 - (9*(2127 - 460*x)*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/200000 + (33//125)*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x) + (24319911*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(8000000*sqrt(10)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*(1 - 2*x)^(7//2))/(275*sqrt(3 + 5*x)) + (21483*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/80000 + (651*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/8000 + (651*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/22000 - (9*(1 - 2*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/200 + (236313*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(80000*sqrt(10)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*(1 - 2*x)^(7//2))/(55*sqrt(3 + 5*x)) + (231*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/1000 + (7*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/100 + (7*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/275 + (2541*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(1000*sqrt(10)), x, 6),
+((1 - 2*x)^(5//2)/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2))/(5*sqrt(3 + 5*x)) - (33*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/50 - ((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/5 - (363*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(50*sqrt(10)), x, 5),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), (-22*(1 - 2*x)^(3//2))/(5*sqrt(3 + 5*x)) - (128*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/75 + (338*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/225 + (98*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/9, x, 7),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2)), (-1111*sqrt(1 - 2*x))/(15*sqrt(3 + 5*x)) + (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(3*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (8*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/45 + (665*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/9, x, 7),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2)), (-1815*sqrt(1 - 2*x))/(4*sqrt(3 + 5*x)) + (1 - 2*x)^(5//2)/(2*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)) + (55*(1 - 2*x)^(3//2))/(4*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (1815*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/4, x, 5),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(3//2)), (-147015*sqrt(1 - 2*x))/(56*sqrt(3 + 5*x)) + (1 - 2*x)^(7//2)/(7*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x)) + (81*(1 - 2*x)^(5//2))/(28*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)) + (4455*(1 - 2*x)^(3//2))/(56*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (147015*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(8*sqrt(7)), x, 6),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^(3//2)), (-181304825*sqrt(1 - 2*x))/(12096*sqrt(3 + 5*x)) + (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(12*(2 + 3*x)^4*sqrt(3 + 5*x)) + (2051*sqrt(1 - 2*x))/(216*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x)) + (22957*sqrt(1 - 2*x))/(288*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)) + (3997345*sqrt(1 - 2*x))/(4032*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (46095555*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(448*sqrt(7)), x, 8),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^(3//2)), (-4639661185*sqrt(1 - 2*x))/(56448*sqrt(3 + 5*x)) + (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(15*(2 + 3*x)^5*sqrt(3 + 5*x)) + (2513*sqrt(1 - 2*x))/(360*(2 + 3*x)^4*sqrt(3 + 5*x)) + (12023*sqrt(1 - 2*x))/(240*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x)) + (587477*sqrt(1 - 2*x))/(1344*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)) + (102293609*sqrt(1 - 2*x))/(18816*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (3538809681*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(6272*sqrt(7)), x, 9),
+
+
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4)/(3 + 5*x)^(5//2), -((2*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4)/(15*(3 + 5*x)^(3//2))) - (508*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4)/(75*sqrt(3 + 5*x)) + (8026963*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/40000000 + (23991*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x))/25000 + (2514//625)*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x) + (21*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)*(64435 + 118392*x))/4000000 + (88296593*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(40000000*sqrt(10)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3)/(3 + 5*x)^(5//2), -((2*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3)/(15*(3 + 5*x)^(3//2))) - (376*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3)/(75*sqrt(3 + 5*x)) + (69713*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/400000 + (741//250)*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x) + (21*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)*(3185 + 4392*x))/40000 + (766843*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(400000*sqrt(10)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2)/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(7//2))/(825*(3 + 5*x)^(3//2)) - (76*(1 - 2*x)^(7//2))/(1815*sqrt(3 + 5*x)) + (329*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/5000 + (329*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/16500 + (329*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/45375 + (3619*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(5000*sqrt(10)), x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(7//2))/(165*(3 + 5*x)^(3//2)) - (182*(1 - 2*x)^(5//2))/(825*sqrt(3 + 5*x)) - (91*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/250 - (91*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/825 - (1001*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(250*sqrt(10)), x, 6),
+((1 - 2*x)^(5//2)/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) + (4*(1 - 2*x)^(3//2))/(15*sqrt(3 + 5*x)) + (4*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/25 + (22*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/25, x, 5),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-22*(1 - 2*x)^(3//2))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) + (814*sqrt(1 - 2*x))/(25*sqrt(3 + 5*x)) - (8*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/75 - (98*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/3, x, 7),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2)), (-55*(1 - 2*x)^(3//2))/(3*(3 + 5*x)^(3//2)) + (1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (385*sqrt(1 - 2*x))/sqrt(3 + 5*x) - 385*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))), x, 5),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(5//2)), (-13145*(1 - 2*x)^(3//2))/(84*(3 + 5*x)^(3//2)) + (3*(1 - 2*x)^(7//2))/(14*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2)) + (239*(1 - 2*x)^(5//2))/(28*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (13145*sqrt(1 - 2*x))/(4*sqrt(3 + 5*x)) - (13145*sqrt(7)*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/4, x, 6),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(5//2)), (-196735*sqrt(1 - 2*x))/(72*(3 + 5*x)^(3//2)) + (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(9*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2)) + (77*sqrt(1 - 2*x))/(4*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2)) + (7843*sqrt(1 - 2*x))/(24*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (1784635*sqrt(1 - 2*x))/(72*sqrt(3 + 5*x)) - (1361195*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(8*sqrt(7)), x, 8),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^(5//2)), (-25024175*sqrt(1 - 2*x))/(1344*(3 + 5*x)^(3//2)) + (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(12*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(3//2)) + (847*sqrt(1 - 2*x))/(72*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2)) + (36817*sqrt(1 - 2*x))/(288*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2)) + (2992825*sqrt(1 - 2*x))/(1344*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (227000875*sqrt(1 - 2*x))/(1344*sqrt(3 + 5*x)) - (519421265*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(448*sqrt(7)), x, 9),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^6*(3 + 5*x)^(5//2)), (-754386765*sqrt(1 - 2*x))/(6272*(3 + 5*x)^(3//2)) + (7*(1 - 2*x)^(3//2))/(15*(2 + 3*x)^5*(3 + 5*x)^(3//2)) + (1001*sqrt(1 - 2*x))/(120*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(3//2)) + (53009*sqrt(1 - 2*x))/(720*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2)) + (3329689*sqrt(1 - 2*x))/(4032*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2)) + (270667969*sqrt(1 - 2*x))/(18816*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (20529722435*sqrt(1 - 2*x))/(18816*sqrt(3 + 5*x)) - (46975917593*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(6272*sqrt(7)), x, 10),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^(n/2) / (e+f x)^(1/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(((2 + 3*x)^4*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x), -((97032047*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/2560000) - (987*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2))/4000 - (3//50)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2) - (21*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)*(194923 + 92040*x))/640000 + (1067352517*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(2560000*sqrt(10)), x, 6),
+(((2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x), -((61547*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/5120) - (3//40)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2) - (3*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)*(865 + 408*x))/1280 + (677017*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(5120*sqrt(10)), x, 5),
+(((2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x), (-6269*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/1600 - (181*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/400 - (sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/10 + (68959*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(1600*sqrt(10)), x, 5),
+(((2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x), (-107*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/80 - (3*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/20 + (1177*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(80*sqrt(10)), x, 4),
+(sqrt(3 + 5*x)/sqrt(1 - 2*x), -(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/2 + (11*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(2*sqrt(10)), x, 3),
+(sqrt(3 + 5*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)), (sqrt(10)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/3 + (2*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(3*sqrt(7)), x, 6),
+(sqrt(3 + 5*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2), -(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(7*(2 + 3*x)) - (11*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(7*sqrt(7)), x, 3),
+(sqrt(3 + 5*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3), (-41*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(196*(2 + 3*x)) + (3*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(14*(2 + 3*x)^2) - (451*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(196*sqrt(7)), x, 4),
+(sqrt(3 + 5*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4), -(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(21*(2 + 3*x)^3) + (25*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(588*(2 + 3*x)^2) + (3895*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(8232*(2 + 3*x)) - (15235*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(2744*sqrt(7)), x, 6),
+(sqrt(3 + 5*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5), -(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(28*(2 + 3*x)^4) + (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(56*(2 + 3*x)^3) + (305*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1568*(2 + 3*x)^2) + (32735*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(21952*(2 + 3*x)) - (375265*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(21952*sqrt(7)), x, 7),
+
+
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2))/sqrt(1 - 2*x), -((30292449*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/512000) - (917953*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/128000 - (3//50)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2) - (3*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2)*(7889 + 3900*x))/16000 + (333216939*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(512000*sqrt(10)), x, 6),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2))/sqrt(1 - 2*x), (-479457*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/25600 - (14529*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/6400 - (251*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/800 - (3*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/40 + (5274027*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(25600*sqrt(10)), x, 6),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/sqrt(1 - 2*x), (-1947*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/320 - (59*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/80 - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/10 + (21417*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(320*sqrt(10)), x, 5),
+((3 + 5*x)^(3//2)/sqrt(1 - 2*x), (-33*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/16 - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/4 + (363*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(16*sqrt(10)), x, 4),
+((3 + 5*x)^(3//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)), (-5*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/6 + (29*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/18 - (2*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(9*sqrt(7)), x, 6),
+((3 + 5*x)^(3//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2), (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(21*(2 + 3*x)) + (5*sqrt(10)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/9 + (103*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(63*sqrt(7)), x, 6),
+((3 + 5*x)^(3//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3), (-33*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(196*(2 + 3*x)) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(14*(2 + 3*x)^2) - (363*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(196*sqrt(7)), x, 4),
+((3 + 5*x)^(3//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4), (-495*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2744*(2 + 3*x)) - (15*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(196*(2 + 3*x)^2) + (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(7*(2 + 3*x)^3) - (5445*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(2744*sqrt(7)), x, 5),
+((3 + 5*x)^(3//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5), (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(84*(2 + 3*x)^4) - (43*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(504*(2 + 3*x)^3) + (85*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(14112*(2 + 3*x)^2) + (57595*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(197568*(2 + 3*x)) - (78045*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(21952*sqrt(7)), x, 7),
+((3 + 5*x)^(3//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^6), (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(105*(2 + 3*x)^5) - (367*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(5880*(2 + 3*x)^4) - (73*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(11760*(2 + 3*x)^3) + (6107*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(65856*(2 + 3*x)^2) + (694229*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(921984*(2 + 3*x)) - (2664057*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(307328*sqrt(7)), x, 8),
+
+
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(5//2))/sqrt(1 - 2*x), -((243487211*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/819200) - (22135201*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/614400 - (2012291*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/384000 - (1//20)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(7//2) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(7//2)*(37439 + 18960*x))/32000 + (2678359321*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(819200*sqrt(10)), x, 7),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2))/sqrt(1 - 2*x), (-9458207*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/102400 - (859837*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/76800 - (78167*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/48000 - (963*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/4000 - (3*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/50 + (104040277*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(102400*sqrt(10)), x, 7),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/sqrt(1 - 2*x), (-29887*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/1024 - (2717*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/768 - (247*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/480 - (3*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/40 + (328757*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(1024*sqrt(10)), x, 6),
+((3 + 5*x)^(5//2)/sqrt(1 - 2*x), (-605*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/64 - (55*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/48 - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/6 + (1331*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/64, x, 5),
+((3 + 5*x)^(5//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)), (-455*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/144 - (5*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/12 + (3035*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/432 + (2*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(27*sqrt(7)), x, 7),
+((3 + 5*x)^(5//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2), (-185*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/126 + (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(21*(2 + 3*x)) + (125*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/54 - (173*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(189*sqrt(7)), x, 7),
+((3 + 5*x)^(5//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3), (239*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1764*(2 + 3*x)) + (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(42*(2 + 3*x)^2) + (25*sqrt(10)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/27 + (17687*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(5292*sqrt(7)), x, 7),
+((3 + 5*x)^(5//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4), (-605*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2744*(2 + 3*x)) - (55*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(588*(2 + 3*x)^2) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(21*(2 + 3*x)^3) - (6655*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(2744*sqrt(7)), x, 5),
+((3 + 5*x)^(5//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5), (-605*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3136*(2 + 3*x)) - (55*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(672*(2 + 3*x)^2) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(24*(2 + 3*x)^3) + (3*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/(28*(2 + 3*x)^4) - (6655*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(3136*sqrt(7)), x, 6),
+((3 + 5*x)^(5//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^6), (437*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(17640*(2 + 3*x)^4) - (14831*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(105840*(2 + 3*x)^3) - (12371*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(592704*(2 + 3*x)^2) + (1948963*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(8297856*(2 + 3*x)) + (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(105*(2 + 3*x)^5) - (933031*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(307328*sqrt(7)), x, 8),
+((3 + 5*x)^(5//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^7), (503*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(26460*(2 + 3*x)^5) - (149951*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1481760*(2 + 3*x)^4) - (71369*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2963520*(2 + 3*x)^3) + (958171*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(16595712*(2 + 3*x)^2) + (122343637*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(232339968*(2 + 3*x)) + (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(126*(2 + 3*x)^6) - (52573169*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(8605184*sqrt(7)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((2 + 3*x)^4/(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)), (-(259//800))*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x) - (3//40)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x) - (7*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(187559 + 77820*x))/128000 + (10866247*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(128000*sqrt(10)), x, 5),
+((2 + 3*x)^3/(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)), (-(1//10))*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x) - (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(5363 + 2220*x))/1600 + (44437*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(1600*sqrt(10)), x, 4),
+((2 + 3*x)^2/(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)), (-333*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/400 - (3*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/20 + (3827*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(400*sqrt(10)), x, 4),
+((2 + 3*x)/(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)), (-3*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/10 + (37*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(10*sqrt(10)), x, 3),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)), sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)), x, 2),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)), (-2*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/sqrt(7), x, 2),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)), (3*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(7*(2 + 3*x)) - (37*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(7*sqrt(7)), x, 3),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x)), (3*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(14*(2 + 3*x)^2) + (333*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(196*(2 + 3*x)) - (3827*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(196*sqrt(7)), x, 5),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*sqrt(3 + 5*x)), (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(7*(2 + 3*x)^3) + (185*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(196*(2 + 3*x)^2) + (19415*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2744*(2 + 3*x)) - (222185*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(2744*sqrt(7)), x, 6),
+
+
+((2 + 3*x)^4/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), -((2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(55*sqrt(3 + 5*x))) - (21//550)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x) - (21*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(8987 + 3660*x))/88000 + (143283*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(8000*sqrt(10)), x, 5),
+((2 + 3*x)^3/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), -((2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(55*sqrt(3 + 5*x))) - (3*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(979 + 300*x))/4400 + (2493*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(400*sqrt(10)), x, 4),
+((2 + 3*x)^2/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x))/(275*sqrt(3 + 5*x)) - (9*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/50 + (123*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(50*sqrt(10)), x, 4),
+((2 + 3*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x))/(55*sqrt(3 + 5*x)) + (3*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/5, x, 3),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x))/(11*sqrt(3 + 5*x)), x, 1),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), (-10*sqrt(1 - 2*x))/(11*sqrt(3 + 5*x)) + (6*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/sqrt(7), x, 3),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2)), (-515*sqrt(1 - 2*x))/(77*sqrt(3 + 5*x)) + (3*sqrt(1 - 2*x))/(7*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (321*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(7*sqrt(7)), x, 5),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2)), (-90415*sqrt(1 - 2*x))/(2156*sqrt(3 + 5*x)) + (3*sqrt(1 - 2*x))/(14*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)) + (543*sqrt(1 - 2*x))/(196*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (56421*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(196*sqrt(7)), x, 6),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(3//2)), (-7396875*sqrt(1 - 2*x))/(30184*sqrt(3 + 5*x)) + sqrt(1 - 2*x)/(7*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x)) + (255*sqrt(1 - 2*x))/(196*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)) + (44475*sqrt(1 - 2*x))/(2744*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (4616025*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(2744*sqrt(7)), x, 7),
+
+
+((2 + 3*x)^5/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), -((2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4)/(165*(3 + 5*x)^(3//2))) - (734*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(9075*sqrt(3 + 5*x)) + (511*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x))/30250 - (7*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(938509 + 366420*x))/4840000 + (462357*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(40000*sqrt(10)), x, 6),
+((2 + 3*x)^4/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), -((2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(165*(3 + 5*x)^(3//2))) - (602*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(9075*sqrt(3 + 5*x)) - (7*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(12199 + 1020*x))/242000 + (8127*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(2000*sqrt(10)), x, 5),
+((2 + 3*x)^3/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), -((2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(165*(3 + 5*x)^(3//2))) - (sqrt(1 - 2*x)*(5831 + 9405*x))/(18150*sqrt(3 + 5*x)) + (81*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(50*sqrt(10)), x, 4),
+((2 + 3*x)^2/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x))/(825*(3 + 5*x)^(3//2)) - (404*sqrt(1 - 2*x))/(9075*sqrt(3 + 5*x)) + (9*sqrt(2//5)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/25, x, 4),
+((2 + 3*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x))/(165*(3 + 5*x)^(3//2)) - (206*sqrt(1 - 2*x))/(1815*sqrt(3 + 5*x)), x, 2),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x))/(33*(3 + 5*x)^(3//2)) - (8*sqrt(1 - 2*x))/(363*sqrt(3 + 5*x)), x, 2),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-10*sqrt(1 - 2*x))/(33*(3 + 5*x)^(3//2)) + (950*sqrt(1 - 2*x))/(363*sqrt(3 + 5*x)) - (18*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/sqrt(7), x, 5),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2)), (-845*sqrt(1 - 2*x))/(231*(3 + 5*x)^(3//2)) + (3*sqrt(1 - 2*x))/(7*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (84235*sqrt(1 - 2*x))/(2541*sqrt(3 + 5*x)) - (1593*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(7*sqrt(7)), x, 6),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(5//2)), (-207895*sqrt(1 - 2*x))/(6468*(3 + 5*x)^(3//2)) + (3*sqrt(1 - 2*x))/(14*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2)) + (753*sqrt(1 - 2*x))/(196*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (20743985*sqrt(1 - 2*x))/(71148*sqrt(3 + 5*x)) - (392283*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(196*sqrt(7)), x, 7),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(5//2)), (-21891025*sqrt(1 - 2*x))/(90552*(3 + 5*x)^(3//2)) + sqrt(1 - 2*x)/(7*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2)) + (325*sqrt(1 - 2*x))/(196*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2)) + (79335*sqrt(1 - 2*x))/(2744*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (2184369575*sqrt(1 - 2*x))/(996072*sqrt(3 + 5*x)) - (41307885*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(2744*sqrt(7)), x, 8),
+
+
+(1/(sqrt(a + b*x)*sqrt(2*b*e - a*f + b*f*x)*(e + f*x)), atan((sqrt(f)*sqrt(a + b*x)*sqrt(2*b*e - a*f + b*f*x))/(b*e - a*f))/(sqrt(f)*(b*e - a*f)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^(n/2) / (e+f x)^(3/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
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+
+(((2 + 3*x)^5*sqrt(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(3//2), (847637*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x))/32000 + (10389*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x))/1600 + (33//20)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4*sqrt(3 + 5*x) + ((2 + 3*x)^5*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x) + (49*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(87394471 + 36265980*x))/5120000 - (35439958001*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(5120000*sqrt(10)), x, 7),
+(((2 + 3*x)^4*sqrt(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(3//2), (2203//320)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x) + (27//16)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x) + ((2 + 3*x)^4*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x) + (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(11129753 + 4618500*x))/51200 - (92108287*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(51200*sqrt(10)), x, 6),
+(((2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(3//2), (7//4)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x) + ((2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x) + (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(176833 + 73380*x))/3200 - (1463447*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(3200*sqrt(10)), x, 5),
+(((2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(3//2), (17951*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/1760 + (49*(3 + 5*x)^(3//2))/(22*sqrt(1 - 2*x)) + (9*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/40 - (17951*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(160*sqrt(10)), x, 5),
+(((2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(3//2), (103*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/44 + (7*(3 + 5*x)^(3//2))/(11*sqrt(1 - 2*x)) - (103*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(4*sqrt(10)), x, 4),
+(sqrt(3 + 5*x)/(1 - 2*x)^(3//2), sqrt(3 + 5*x)/sqrt(1 - 2*x) - sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)), x, 3),
+(sqrt(3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)), (2*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(1 - 2*x)) + (2*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(7*sqrt(7)), x, 3),
+(sqrt(3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2), (-29*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(539*(2 + 3*x)) + (4*(3 + 5*x)^(3//2))/(77*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (29*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(49*sqrt(7)), x, 4),
+(sqrt(3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3), (2*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) - (15*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(98*(2 + 3*x)^2) + (15*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1372*(2 + 3*x)) - (1585*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(1372*sqrt(7)), x, 6),
+(sqrt(3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4), (2*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3) - (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(7*(2 + 3*x)^3) - (5*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(196*(2 + 3*x)^2) + (565*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2744*(2 + 3*x)) - (7435*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(2744*sqrt(7)), x, 7),
+(sqrt(3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^5), (2*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4) - (27*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(196*(2 + 3*x)^4) - (13*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(392*(2 + 3*x)^3) + (835*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(10976*(2 + 3*x)^2) + (107245*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(153664*(2 + 3*x)) - (1244755*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(153664*sqrt(7)), x, 8),
+
+
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(3//2))/(1 - 2*x)^(3//2), (1018114917*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/1024000 + (10377*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2))/1600 + (33//20)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2) + ((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(3//2))/sqrt(1 - 2*x) + (9*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)*(4772357 + 2253560*x))/256000 - (11199264087*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(1024000*sqrt(10)), x, 7),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2))/(1 - 2*x)^(3//2), (13246251*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/51200 + (27//16)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2) + ((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2))/sqrt(1 - 2*x) + (9*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)*(62091 + 29320*x))/12800 - (145708761*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(51200*sqrt(10)), x, 6),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2))/(1 - 2*x)^(3//2), (42171*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/640 + (14057*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/1760 + (49*(3 + 5*x)^(5//2))/(22*sqrt(1 - 2*x)) + (3*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/20 - (463881*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(640*sqrt(10)), x, 6),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(1 - 2*x)^(3//2), (519*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/32 + (173*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/88 + (7*(3 + 5*x)^(5//2))/(11*sqrt(1 - 2*x)) - (5709*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(32*sqrt(10)), x, 5),
+((3 + 5*x)^(3//2)/(1 - 2*x)^(3//2), (15*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/4 + (3 + 5*x)^(3//2)/sqrt(1 - 2*x) - (33*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/4, x, 4),
+((3 + 5*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)), (11*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(1 - 2*x)) - (5*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/3 - (2*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(21*sqrt(7)), x, 6),
+((3 + 5*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2), (3*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(49*(2 + 3*x)) + (2*(3 + 5*x)^(3//2))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) + (33*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(49*sqrt(7)), x, 4),
+((3 + 5*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3), (-75*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1372*(2 + 3*x)) - (25*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(1078*(2 + 3*x)^2) + (4*(3 + 5*x)^(5//2))/(77*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) - (825*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(1372*sqrt(7)), x, 5),
+((3 + 5*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4), (11*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3) - (2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3*(2 + 3*x)^3) - (145*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(588*(2 + 3*x)^2) - (415*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(8232*(2 + 3*x)) - (2805*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(2744*sqrt(7)), x, 7),
+((3 + 5*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^5), (11*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4) - (131*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(196*(2 + 3*x)^4) - (89*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(392*(2 + 3*x)^3) - (745*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(10976*(2 + 3*x)^2) + (16985*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(153664*(2 + 3*x)) - (279015*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(153664*sqrt(7)), x, 8),
+
+
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(5//2))/(1 - 2*x)^(3//2), (9738340821*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/1638400 + (295101237*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/409600 + (999//160)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2) + (13//8)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(5//2) + ((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(5//2))/sqrt(1 - 2*x) + (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2)*(7611023 + 3765060*x))/51200 - (107121749031*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(1638400*sqrt(10)), x, 8),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(5//2))/(1 - 2*x)^(3//2), (321709971*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/204800 + (9748787*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/51200 + (33//20)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2) + ((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(5//2))/sqrt(1 - 2*x) + (9*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2)*(27937 + 13820*x))/6400 - (3538809681*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(204800*sqrt(10)), x, 7),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2))/(1 - 2*x)^(3//2), (838101*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/2048 + (25397*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/512 + (25397*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/3520 + (49*(3 + 5*x)^(7//2))/(22*sqrt(1 - 2*x)) + (9*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/80 - (9219111*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(2048*sqrt(10)), x, 7),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(1 - 2*x)^(3//2), (13365*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/128 + (405*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/32 + (81*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/44 + (7*(3 + 5*x)^(7//2))/(11*sqrt(1 - 2*x)) - (29403*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/128, x, 6),
+((3 + 5*x)^(5//2)/(1 - 2*x)^(3//2), (825*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/32 + (25*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/8 + (3 + 5*x)^(5//2)/sqrt(1 - 2*x) - (1815*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/32, x, 5),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)), (505*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/84 + (11*(3 + 5*x)^(3//2))/(7*sqrt(1 - 2*x)) - (475*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/36 + (2*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(63*sqrt(7)), x, 7),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2), (32*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(147*(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^(3//2))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (25*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/9 - (169*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(441*sqrt(7)), x, 7),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3), (165*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1372*(2 + 3*x)) + (5*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(98*(2 + 3*x)^2) + (2*(3 + 5*x)^(5//2))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) + (1815*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(1372*sqrt(7)), x, 5),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4), (-165*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2744*(2 + 3*x)) - (5*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(196*(2 + 3*x)^2) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(77*(2 + 3*x)^3) + (4*(3 + 5*x)^(7//2))/(77*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3) - (1815*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(2744*sqrt(7)), x, 6),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^5), (131*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(588*(2 + 3*x)^4) - (3653*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3528*(2 + 3*x)^3) - (38365*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(98784*(2 + 3*x)^2) - (167155*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1382976*(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^(3//2))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4) - (168795*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(153664*sqrt(7)), x, 8),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^6), (164*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(735*(2 + 3*x)^5) - (42863*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(41160*(2 + 3*x)^4) - (29297*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(82320*(2 + 3*x)^3) - (55277*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(460992*(2 + 3*x)^2) + (426781*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(6453888*(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^(3//2))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^5) - (3474273*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(2151296*sqrt(7)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)), (76587*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x))/17600 + (939//880)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x) + (7*(2 + 3*x)^4*sqrt(3 + 5*x))/(11*sqrt(1 - 2*x)) + (21*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(18424549 + 7645620*x))/2816000 - (291096141*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(256000*sqrt(10)), x, 6),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)), (243//220)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x) + (7*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x))/(11*sqrt(1 - 2*x)) + (9*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(27269 + 11316*x))/7040 - (184641*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(640*sqrt(10)), x, 5),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)), (7*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x))/(11*sqrt(1 - 2*x)) + (3*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(25003 + 10380*x))/8800 - (56421*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(800*sqrt(10)), x, 4),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)), (49*sqrt(3 + 5*x))/(22*sqrt(1 - 2*x)) + (9*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/20 - (321*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(20*sqrt(10)), x, 4),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)), (7*sqrt(3 + 5*x))/(11*sqrt(1 - 2*x)) - (3*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/sqrt(10), x, 3),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)), (2*sqrt(3 + 5*x))/(11*sqrt(1 - 2*x)), x, 1),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)), (4*sqrt(3 + 5*x))/(77*sqrt(1 - 2*x)) - (6*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(7*sqrt(7)), x, 3),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)), -((58*sqrt(3 + 5*x))/(539*sqrt(1 - 2*x))) + (3*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (123*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(49*sqrt(7)), x, 5),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x)), -((3895*sqrt(3 + 5*x))/(7546*sqrt(1 - 2*x))) + (3*sqrt(3 + 5*x))/(14*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) + (345*sqrt(3 + 5*x))/(196*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (12465*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(1372*sqrt(7)), x, 6),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4*sqrt(3 + 5*x)), -((32735*sqrt(3 + 5*x))/(15092*sqrt(1 - 2*x))) + sqrt(3 + 5*x)/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3) + (27*sqrt(3 + 5*x))/(28*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) + (2865*sqrt(3 + 5*x))/(392*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (102345*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(2744*sqrt(7)), x, 7),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^5*sqrt(3 + 5*x)), -((7986105*sqrt(3 + 5*x))/(845152*sqrt(1 - 2*x))) + (3*sqrt(3 + 5*x))/(28*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4) + (263*sqrt(3 + 5*x))/(392*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3) + (6621*sqrt(3 + 5*x))/(1568*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) + (698295*sqrt(3 + 5*x))/(21952*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (24922335*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(153664*sqrt(7)), x, 8),
+
+
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), -((37*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(605*sqrt(3 + 5*x))) + (7*(2 + 3*x)^4)/(11*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (8463*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x))/12100 + (21*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(2027201 + 841380*x))/1936000 - (2911419*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(16000*sqrt(10)), x, 6),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), -((37*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(605*sqrt(3 + 5*x))) + (7*(2 + 3*x)^3)/(11*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (3*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(173063 + 72060*x))/96800 - (35451*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(800*sqrt(10)), x, 5),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (7*(2 + 3*x)^2)/(11*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (sqrt(1 - 2*x)*(30443 + 50985*x))/(12100*sqrt(3 + 5*x)) - (999*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(100*sqrt(10)), x, 4),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), 49/(22*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (1229*sqrt(1 - 2*x))/(1210*sqrt(3 + 5*x)) - (9*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(5*sqrt(10)), x, 4),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), -2/(55*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (74*sqrt(3 + 5*x))/(605*sqrt(1 - 2*x)), x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), 2/(11*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (20*sqrt(1 - 2*x))/(121*sqrt(3 + 5*x)), x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), 4/(77*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (370*sqrt(1 - 2*x))/(847*sqrt(3 + 5*x)) + (18*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(7*sqrt(7)), x, 5),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2)), -(58/(539*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))) - (17735*sqrt(1 - 2*x))/(5929*sqrt(3 + 5*x)) + 3/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (999*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(49*sqrt(7)), x, 6),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2)), -(6205/(7546*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))) - (3125575*sqrt(1 - 2*x))/(166012*sqrt(3 + 5*x)) + 3/(14*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)) + 555/(196*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (177255*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(1372*sqrt(7)), x, 7),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(3//2)), -(73435/(15092*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))) - (36657025*sqrt(1 - 2*x))/(332024*sqrt(3 + 5*x)) + 1/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x)) + 37/(28*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)) + 6525/(392*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (2079585*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(2744*sqrt(7)), x, 8),
+
+
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), -((107*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(1815*(3 + 5*x)^(3//2))) + (7*(2 + 3*x)^4)/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (4487*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(99825*sqrt(3 + 5*x)) + (7*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(2571547 + 1078860*x))/5324000 - (111321*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(4000*sqrt(10)), x, 6),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), -((107*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(1815*(3 + 5*x)^(3//2))) + (7*(2 + 3*x)^3)/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (sqrt(1 - 2*x)*(627641 + 1051875*x))/(399300*sqrt(3 + 5*x)) - (621*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(100*sqrt(10)), x, 5),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (7*(2 + 3*x)^2)/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (sqrt(1 - 2*x)*(24439 + 38770*x))/(99825*(3 + 5*x)^(3//2)) - (27*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(25*sqrt(10)), x, 4),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), 49/(22*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (3679*sqrt(1 - 2*x))/(3630*(3 + 5*x)^(3//2)) - (4091*sqrt(1 - 2*x))/(19965*sqrt(3 + 5*x)), x, 3),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), 7/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (107*sqrt(1 - 2*x))/(363*(3 + 5*x)^(3//2)) - (428*sqrt(1 - 2*x))/(3993*sqrt(3 + 5*x)), x, 3),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), 2/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (40*sqrt(1 - 2*x))/(363*(3 + 5*x)^(3//2)) - (160*sqrt(1 - 2*x))/(3993*sqrt(3 + 5*x)), x, 3),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), 4/(77*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (410*sqrt(1 - 2*x))/(2541*(3 + 5*x)^(3//2)) + (31030*sqrt(1 - 2*x))/(27951*sqrt(3 + 5*x)) - (54*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(7*sqrt(7)), x, 6),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2)), -(58/(539*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))) - (28705*sqrt(1 - 2*x))/(17787*(3 + 5*x)^(3//2)) + 3/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (2841815*sqrt(1 - 2*x))/(195657*sqrt(3 + 5*x)) - (4887*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(49*sqrt(7)), x, 7),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(5//2)), -(8515/(7546*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))) - (7090175*sqrt(1 - 2*x))/(498036*(3 + 5*x)^(3//2)) + 3/(14*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2)) + 765/(196*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (707286025*sqrt(1 - 2*x))/(5478396*sqrt(3 + 5*x)) - (1215945*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(1372*sqrt(7)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^(n/2) / (e+f x)^(5/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
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+
+(((2 + 3*x)^4*sqrt(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(5//2), (-(697//88))*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x) - (299*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x))/(66*sqrt(1 - 2*x)) + ((2 + 3*x)^4*sqrt(3 + 5*x))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(17606479 + 7306140*x))/70400 + (13246251*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(6400*sqrt(10)), x, 6),
+(((2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(5//2), -((233*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x))/(66*sqrt(1 - 2*x))) + ((2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(168157 + 69780*x))/3520 + (126513*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(320*sqrt(10)), x, 5),
+(((2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(5//2), (-519*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/88 + (49*(3 + 5*x)^(3//2))/(66*(1 - 2*x)^(3//2)) - (21*(3 + 5*x)^(3//2))/(11*sqrt(1 - 2*x)) + (519*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(8*sqrt(10)), x, 5),
+(((2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(5//2), (-3*sqrt(3 + 5*x))/(2*sqrt(1 - 2*x)) + (7*(3 + 5*x)^(3//2))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)) + (3*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/2, x, 4),
+(sqrt(3 + 5*x)/(1 - 2*x)^(5//2), (2*(3 + 5*x)^(3//2))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)), x, 1),
+(sqrt(3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)), (6*sqrt(3 + 5*x))/(49*sqrt(1 - 2*x)) + (4*(3 + 5*x)^(3//2))/(231*(1 - 2*x)^(3//2)) + (6*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(49*sqrt(7)), x, 4),
+(sqrt(3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2), (850*sqrt(3 + 5*x))/(11319*sqrt(1 - 2*x)) + (2*sqrt(3 + 5*x))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)) - (5*sqrt(3 + 5*x))/(49*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (75*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(343*sqrt(7)), x, 6),
+(sqrt(3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3), (415*sqrt(3 + 5*x))/(22638*sqrt(1 - 2*x)) + (2*sqrt(3 + 5*x))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2) - sqrt(3 + 5*x)/(14*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) + (5*sqrt(3 + 5*x))/(196*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (765*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(1372*sqrt(7)), x, 7),
+(sqrt(3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4), -((16985*sqrt(3 + 5*x))/(316932*sqrt(1 - 2*x))) + (2*sqrt(3 + 5*x))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3) - (3*sqrt(3 + 5*x))/(49*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3) - sqrt(3 + 5*x)/(196*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) + (605*sqrt(3 + 5*x))/(2744*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (25365*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(19208*sqrt(7)), x, 8),
+
+
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(3//2))/(1 - 2*x)^(5//2), -((1626211523*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/1126400) - (3315//352)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2) - (123*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2))/(22*sqrt(1 - 2*x)) + ((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(3//2))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - (3*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)*(22868329 + 10798680*x))/281600 + (1626211523*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(102400*sqrt(10)), x, 7),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2))/(1 - 2*x)^(5//2), -((4246733*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/14080) - (101*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2))/(22*sqrt(1 - 2*x)) + ((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - (3*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)*(59719 + 28200*x))/3520 + (4246733*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(1280*sqrt(10)), x, 6),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2))/(1 - 2*x)^(5//2), (-40787*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/704 - (40787*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/5808 + (49*(3 + 5*x)^(5//2))/(66*(1 - 2*x)^(3//2)) - (938*(3 + 5*x)^(5//2))/(363*sqrt(1 - 2*x)) + (40787*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(64*sqrt(10)), x, 6),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(1 - 2*x)^(5//2), (-845*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/88 - (169*(3 + 5*x)^(3//2))/(66*sqrt(1 - 2*x)) + (7*(3 + 5*x)^(5//2))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)) + (169*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/8, x, 5),
+((3 + 5*x)^(3//2)/(1 - 2*x)^(5//2), (-5*sqrt(3 + 5*x))/(2*sqrt(1 - 2*x)) + (3 + 5*x)^(3//2)/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) + (5*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/2, x, 4),
+((3 + 5*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)), (-2*sqrt(3 + 5*x))/(49*sqrt(1 - 2*x)) + (2*(3 + 5*x)^(3//2))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)) - (2*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(49*sqrt(7)), x, 4),
+((3 + 5*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2), (95*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3773*(2 + 3*x)) + (190*(3 + 5*x)^(3//2))/(1617*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) + (4*(3 + 5*x)^(5//2))/(231*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)) + (95*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(343*sqrt(7)), x, 5),
+((3 + 5*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3), (5*sqrt(3 + 5*x))/(42*sqrt(1 - 2*x)) + (11*sqrt(3 + 5*x))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2) - (3*sqrt(3 + 5*x))/(14*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) - (5*sqrt(3 + 5*x))/(28*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (5*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(28*sqrt(7)), x, 7),
+((3 + 5*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4), (465*sqrt(3 + 5*x))/(9604*sqrt(1 - 2*x)) + (11*sqrt(3 + 5*x))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3) - (32*sqrt(3 + 5*x))/(147*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3) - (23*sqrt(3 + 5*x))/(196*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) - (85*sqrt(3 + 5*x))/(2744*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) - (9395*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(19208*sqrt(7)), x, 8),
+
+
+(((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(5//2))/(1 - 2*x)^(5//2), -((4270537963*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/409600) - (4270537963*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/3379200 - (4819//440)*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2) - (439*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(5//2))/(66*sqrt(1 - 2*x)) + ((2 + 3*x)^4*(3 + 5*x)^(5//2))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2)*(36714139 + 18161940*x))/140800 + (46975917593*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(409600*sqrt(10)), x, 8),
+(((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(5//2))/(1 - 2*x)^(5//2), -((9444023*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/4096) - (9444023*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/33792 - (373*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2))/(66*sqrt(1 - 2*x)) + ((2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(5//2))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - (sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2)*(81191 + 40164*x))/1408 + (103884253*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(4096*sqrt(10)), x, 7),
+(((2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2))/(1 - 2*x)^(5//2), (-123745*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/256 - (123745*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/2112 - (24749*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/2904 + (49*(3 + 5*x)^(7//2))/(66*(1 - 2*x)^(3//2)) - (1183*(3 + 5*x)^(7//2))/(363*sqrt(1 - 2*x)) + (272239*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/256, x, 7),
+(((2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(1 - 2*x)^(5//2), (-5975*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/64 - (5975*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/528 - (239*(3 + 5*x)^(5//2))/(66*sqrt(1 - 2*x)) + (7*(3 + 5*x)^(7//2))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)) + (13145*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/64, x, 6),
+((3 + 5*x)^(5//2)/(1 - 2*x)^(5//2), (-125*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/8 - (25*(3 + 5*x)^(3//2))/(6*sqrt(1 - 2*x)) + (3 + 5*x)^(5//2)/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) + (275*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/8, x, 5),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)), (-407*sqrt(3 + 5*x))/(98*sqrt(1 - 2*x)) + (11*(3 + 5*x)^(3//2))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)) + (25*sqrt(5//2)*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/6 + (2*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(147*sqrt(7)), x, 7),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2), (-5*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(343*(2 + 3*x)) - (10*(3 + 5*x)^(3//2))/(147*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) + (2*(3 + 5*x)^(5//2))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)) - (55*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(343*sqrt(7)), x, 5),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3), (65*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1372*(2 + 3*x)) + (65*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(3234*(2 + 3*x)^2) + (26*(3 + 5*x)^(5//2))/(231*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) + (4*(3 + 5*x)^(7//2))/(231*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2) + (715*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(1372*sqrt(7)), x, 6),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4), (15755*sqrt(3 + 5*x))/(86436*sqrt(1 - 2*x)) + (32*sqrt(3 + 5*x))/(441*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3) - (187*sqrt(3 + 5*x))/(588*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) - (2365*sqrt(3 + 5*x))/(8232*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^(3//2))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3) - (2585*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(19208*sqrt(7)), x, 8),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^5), (139745*sqrt(3 + 5*x))/(1613472*sqrt(1 - 2*x)) + (43*sqrt(3 + 5*x))/(588*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^4) - (2717*sqrt(3 + 5*x))/(8232*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3) - (2013*sqrt(3 + 5*x))/(10976*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2) - (14135*sqrt(3 + 5*x))/(153664*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^(3//2))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^4) - (547745*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(1075648*sqrt(7)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)), -((23909*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x))/4840) - (2051*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x))/(726*sqrt(1 - 2*x)) + (7*(2 + 3*x)^4*sqrt(3 + 5*x))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)) - (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(120791143 + 50124540*x))/774400 + (8261577*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(6400*sqrt(10)), x, 6),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)), -((1589*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x))/(726*sqrt(1 - 2*x))) + (7*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)) - (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(5735477 + 2380020*x))/193600 + (392283*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(1600*sqrt(10)), x, 5),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)), -(((95621 - 33462*x)*sqrt(3 + 5*x))/(14520*sqrt(1 - 2*x))) + (7*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)) + (1593*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(40*sqrt(10)), x, 4),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)), (49*sqrt(3 + 5*x))/(66*(1 - 2*x)^(3//2)) - (448*sqrt(3 + 5*x))/(363*sqrt(1 - 2*x)) + (9*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(2*sqrt(10)), x, 4),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)), (7*sqrt(3 + 5*x))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)) - (29*sqrt(3 + 5*x))/(363*sqrt(1 - 2*x)), x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)), (2*sqrt(3 + 5*x))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)) + (20*sqrt(3 + 5*x))/(363*sqrt(1 - 2*x)), x, 2),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)), (4*sqrt(3 + 5*x))/(231*(1 - 2*x)^(3//2)) + (676*sqrt(3 + 5*x))/(17787*sqrt(1 - 2*x)) - (18*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(49*sqrt(7)), x, 5),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)), -((190*sqrt(3 + 5*x))/(1617*(1 - 2*x)^(3//2))) - (4390*sqrt(3 + 5*x))/(124509*sqrt(1 - 2*x)) + (3*sqrt(3 + 5*x))/(7*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)) - (405*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(343*sqrt(7)), x, 6),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3*sqrt(3 + 5*x)), -((1735*sqrt(3 + 5*x))/(3234*(1 - 2*x)^(3//2))) - (57595*sqrt(3 + 5*x))/(249018*sqrt(1 - 2*x)) + (3*sqrt(3 + 5*x))/(14*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2) + (51*sqrt(3 + 5*x))/(28*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)) - (5805*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(1372*sqrt(7)), x, 7),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^4*sqrt(3 + 5*x)), -((101485*sqrt(3 + 5*x))/(45276*(1 - 2*x)^(3//2))) - (3471145*sqrt(3 + 5*x))/(3486252*sqrt(1 - 2*x)) + sqrt(3 + 5*x)/(7*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^3) + (193*sqrt(3 + 5*x))/(196*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2) + (423*sqrt(3 + 5*x))/(56*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)) - (330255*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(19208*sqrt(7)), x, 8),
+
+
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (7723*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(39930*sqrt(3 + 5*x)) - (1561*(2 + 3*x)^3)/(726*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (7*(2 + 3*x)^4)/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) - (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(39109961 + 16227780*x))/2129600 + (243189*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(1600*sqrt(10)), x, 6),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), -((1099*(2 + 3*x)^2)/(726*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))) + (7*(2 + 3*x)^3)/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) - (sqrt(1 - 2*x)*(4898747 + 8200665*x))/(798600*sqrt(3 + 5*x)) + (4887*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(200*sqrt(10)), x, 5),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (7*(2 + 3*x)^2)/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) - (66967 + 111311*x)/(39930*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (27*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(10*sqrt(10)), x, 4),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), 49/(66*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) - 1237/(3630*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (793*sqrt(3 + 5*x))/(19965*sqrt(1 - 2*x)), x, 3),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), -2/(55*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (82*sqrt(3 + 5*x))/(1815*(1 - 2*x)^(3//2)) + (164*sqrt(3 + 5*x))/(3993*sqrt(1 - 2*x)), x, 3),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), 2/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + 40/(363*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (400*sqrt(1 - 2*x))/(3993*sqrt(3 + 5*x)), x, 3),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), 4/(231*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + 956/(17787*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (42230*sqrt(1 - 2*x))/(195657*sqrt(3 + 5*x)) + (54*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(49*sqrt(7)), x, 6),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2)), -(190/(1617*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))) - 3830/(124509*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (1840225*sqrt(1 - 2*x))/(1369599*sqrt(3 + 5*x)) + 3/(7*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (3105*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(343*sqrt(7)), x, 7),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(3//2)), -(2725/(3234*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))) - 89945/(249018*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (46307675*sqrt(1 - 2*x))/(5478396*sqrt(3 + 5*x)) + 3/(14*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*sqrt(3 + 5*x)) + 81/(28*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (79515*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(1372*sqrt(7)), x, 8),
+
+
+((2 + 3*x)^6/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (7591*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^3)/(39930*(3 + 5*x)^(3//2)) - (511*(2 + 3*x)^4)/(242*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (7*(2 + 3*x)^5)/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (261331*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(2196150*sqrt(3 + 5*x)) - (7*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)*(190406711 + 78981180*x))/117128000 + (753543*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(8000*sqrt(10)), x, 7),
+((2 + 3*x)^5/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (5281*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^2)/(39930*(3 + 5*x)^(3//2)) - (357*(2 + 3*x)^3)/(242*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (7*(2 + 3*x)^4)/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (sqrt(1 - 2*x)*(33035947 + 55300905*x))/(8784600*sqrt(3 + 5*x)) + (2997*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(200*sqrt(10)), x, 6),
+((2 + 3*x)^4/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), -((203*(2 + 3*x)^2)/(242*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))) + (7*(2 + 3*x)^3)/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (sqrt(1 - 2*x)*(627287 + 991010*x))/(2196150*(3 + 5*x)^(3//2)) + (81*asin(sqrt(2//11)*sqrt(3 + 5*x)))/(50*sqrt(10)), x, 5),
+((2 + 3*x)^3/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), 49/(121*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (3679*sqrt(1 - 2*x))/(19965*(3 + 5*x)^(3//2)) + (2*(2 + 3*x)^3)/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (8182*sqrt(1 - 2*x))/(219615*sqrt(3 + 5*x)), x, 4),
+((2 + 3*x)^2/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), 49/(66*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + 14/(121*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (1649*sqrt(1 - 2*x))/(7986*(3 + 5*x)^(3//2)) - (3298*sqrt(1 - 2*x))/(43923*sqrt(3 + 5*x)), x, 4),
+((2 + 3*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), -2/(165*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + 74/(1815*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + 296/(3993*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (2960*sqrt(1 - 2*x))/(43923*sqrt(3 + 5*x)), x, 4),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), 2/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + 20/(121*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (400*sqrt(1 - 2*x))/(3993*(3 + 5*x)^(3//2)) - (1600*sqrt(1 - 2*x))/(43923*sqrt(3 + 5*x)), x, 4),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), 4/(231*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + 412/(5929*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (19130*sqrt(1 - 2*x))/(195657*(3 + 5*x)^(3//2)) + (1001590*sqrt(1 - 2*x))/(2152227*sqrt(3 + 5*x)) - (162*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(49*sqrt(7)), x, 7),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(5//2)), -(190/(1617*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))) - 1090/(41503*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (985525*sqrt(1 - 2*x))/(1369599*(3 + 5*x)^(3//2)) + 3/(7*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (95783075*sqrt(1 - 2*x))/(15065589*sqrt(3 + 5*x)) - (14985*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(343*sqrt(7)), x, 8),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^3*(3 + 5*x)^(5//2)), -(3715/(3234*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))) - 40765/(83006*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (34551425*sqrt(1 - 2*x))/(5478396*(3 + 5*x)^(3//2)) + 3/(14*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^2*(3 + 5*x)^(3//2)) + 111/(28*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (3443814775*sqrt(1 - 2*x))/(60262356*sqrt(3 + 5*x)) - (538245*atan(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(7)*sqrt(3 + 5*x))))/(1372*sqrt(7)), x, 9),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/2) (e+f x)^(p/2)
+
+
+(1/(sqrt(a + b*x)*sqrt(c + b*((c - 1)/a)*x)*sqrt(e + b*((e - 1)/a)*x)), (2*sqrt(a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(1 - c)*sqrt(a + b*x))/sqrt(a)), (1 - e)/(1 - c)))/(b*sqrt(1 - c)), x, 1),
+(1/(sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + (b*(e - 1)*x)/a)), (2*sqrt(a)*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(1 - e)*sqrt(a + b*x))/sqrt(a)), -((a*d)/((b*c - a*d)*(1 - e)))))/(b*sqrt(1 - e)*sqrt(c + d*x)), x, 2),
+(1/(sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), (2*sqrt((-b)*c + a*d)*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(b*sqrt(d)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 3),
+
+
+(sqrt(e + b*((e - 1)/a)*x)/(sqrt(a + b*x)*sqrt(c + b*((c - 1)/a)*x)), (2*sqrt(a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(1 - c)*sqrt(a + b*x))/sqrt(a)), (1 - e)/(1 - c)))/(b*sqrt(1 - c)), x, 1),
+(sqrt(c + d*x)/(sqrt(a + b*x)*sqrt(e + (b*(e - 1)*x)/a)), (2*sqrt(a)*sqrt(c + d*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(1 - e)*sqrt(a + b*x))/sqrt(a)), -((a*d)/((b*c - a*d)*(1 - e)))))/(b*sqrt(1 - e)*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))), x, 2),
+(sqrt(a + b*x)/(sqrt(e + (b*(e - 1)*x)/a)*sqrt(c + (b*(c - 1)*x)/a)), -((2*a*sqrt(c - e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(-(((1 - c)*(a*e - b*(1 - e)*x))/(a*(c - e))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(1 - e)*sqrt(c - (b*(1 - c)*x)/a))/sqrt(c - e)), (c - e)/(1 - e)))/(b*(1 - c)*sqrt(1 - e)*sqrt(((1 - c)*(a + b*x))/a)*sqrt(e - (b*(1 - e)*x)/a))), x, 2),
+(sqrt(e + f*x)/(sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)), (2*sqrt((-b)*c + a*d)*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(b*sqrt(d)*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))), x, 2),
+
+
+# Caused infinite recursion for Rubi 4.14.9a
+(1/(sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), (2*sqrt(c)*sqrt((c - d*x)/c)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(c + d*x)/(sqrt(2)*sqrt(c))), -((2*c*f)/(d*e - c*f))))/(d*sqrt(-c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/2) (e+f x)^(1/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x), (-175111*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/236250 - (1244*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/13125 - (23*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/1575 + (2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/45 - (2911577*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/590625 - (175111*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1181250, x, 7),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x), (-823*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/2625 - (27*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/875 + (2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/35 - (55019*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/26250 - (823*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/13125, x, 6),
+(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x), (-31*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/225 + (2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/25 - (1159*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1125 - (31*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1125, x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(2 + 3*x), (2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/9 - (37*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/45 + (2*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/45, x, 4),
+((sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^(3//2), (-2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3*sqrt(2 + 3*x)) + (4*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3 - (2*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3, x, 4),
+((sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^(5//2), (-2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(9*(2 + 3*x)^(3//2)) + (74*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(63*sqrt(2 + 3*x)) - (74*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/63 + (4*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/63, x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^(7//2), (-2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(15*(2 + 3*x)^(5//2)) + (74*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(315*(2 + 3*x)^(3//2)) + (4636*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2205*sqrt(2 + 3*x)) - (4636*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/2205 - (124*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/2205, x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^(9//2), (-2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(21*(2 + 3*x)^(7//2)) + (74*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(735*(2 + 3*x)^(5//2)) + (3184*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(5145*(2 + 3*x)^(3//2)) + (220076*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(36015*sqrt(2 + 3*x)) - (220076*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/36015 - (6584*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/36015, x, 7),
+
+
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2), (-11346991*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/3898125 - (342971*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/866250 - (543*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/9625 - (23*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/2475 + (2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/55 - (1508889271*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(7087500*sqrt(33)) - (11346991*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(1771875*sqrt(33)), x, 8),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2), (-160297*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/141750 - (1208*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/7875 - (3*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/175 + (2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/45 - (5327983*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/708750 - (160297*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/708750, x, 7),
+(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2), (-2252*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/4725 - (31*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/525 + (2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/35 - (148831*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/47250 - (2252*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/23625, x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/sqrt(2 + 3*x), (-41*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/135 + (2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/15 - (974*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/675 - (41*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/675, x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^(3//2), (40*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/27 - (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(3*sqrt(2 + 3*x)) - (49*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/27 + (8*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/27, x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^(5//2), (-214*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(189*sqrt(2 + 3*x)) - (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(9*(2 + 3*x)^(3//2)) + (494*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/189 - (214*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/189, x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^(7//2), (-214*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(945*(2 + 3*x)^(3//2)) + (8314*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(6615*sqrt(2 + 3*x)) - (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(15*(2 + 3*x)^(5//2)) - (8314*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/6615 + (824*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/6615, x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^(9//2), (-214*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2205*(2 + 3*x)^(5//2)) + (8578*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(46305*(2 + 3*x)^(3//2)) + (475592*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(324135*sqrt(2 + 3*x)) - (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(21*(2 + 3*x)^(7//2)) - (475592*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/324135 - (10628*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/324135, x, 7),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^(11//2), (-214*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3969*(2 + 3*x)^(7//2)) + (8842*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(138915*(2 + 3*x)^(5//2)) + (332372*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(972405*(2 + 3*x)^(3//2)) + (22738708*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(6806835*sqrt(2 + 3*x)) - (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(27*(2 + 3*x)^(9//2)) - (22738708*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/6806835 - (673072*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/6806835, x, 8),
+
+
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2), (-493825477*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/40540500 - (1865989*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/1126125 - (564731*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/2252250 - (2014*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/53625 - (23*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/3575 + (2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/65 - (16416987253*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(18427500*sqrt(33)) - (493825477*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(18427500*sqrt(33)), x, 9),
+(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2), (-465127*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/103950 - (7031*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/11550 - (177*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/1925 - (3*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/275 + (2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/55 - (30926081*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(94500*sqrt(33)) - (465127*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(47250*sqrt(33)), x, 8),
+(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2), (-29357*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/17010 - (223*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/945 - (31*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/945 + (2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/45 - (488149*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/42525 - (29357*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/85050, x, 7),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/sqrt(2 + 3*x), (-131*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/189 - (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/7 + (2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/21 - (9013*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1890 - (131*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/945, x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^(3//2), -(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (4*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/3 - (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(3*sqrt(2 + 3*x)) - (3*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5 - (sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5, x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^(5//2), (2470*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/567 - (118*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(63*sqrt(2 + 3*x)) - (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(9*(2 + 3*x)^(3//2)) - (2209*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/567 + (494*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/567, x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^(7//2), (-12758*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(6615*sqrt(2 + 3*x)) - (118*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(315*(2 + 3*x)^(3//2)) - (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(15*(2 + 3*x)^(5//2)) + (31588*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/6615 - (12758*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/6615, x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^(9//2), (-4282*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(15435*(2 + 3*x)^(3//2)) + (173482*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(108045*sqrt(2 + 3*x)) - (118*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(735*(2 + 3*x)^(5//2)) - (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(21*(2 + 3*x)^(7//2)) - (173482*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/108045 + (23612*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/108045, x, 7),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^(11//2), (-12934*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(138915*(2 + 3*x)^(5//2)) + (568318*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2917215*(2 + 3*x)^(3//2)) + (27198452*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(20420505*sqrt(2 + 3*x)) - (118*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(1323*(2 + 3*x)^(7//2)) - (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(27*(2 + 3*x)^(9//2)) - (27198452*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/20420505 - (442868*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/20420505, x, 8),
+((sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^(13//2), (-13022*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(305613*(2 + 3*x)^(7//2)) + (627806*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(10696455*(2 + 3*x)^(5//2)) + (19417096*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(74875185*(2 + 3*x)^(3//2)) + (1305025844*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(524126295*sqrt(2 + 3*x)) - (118*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2079*(2 + 3*x)^(9//2)) - (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(33*(2 + 3*x)^(11//2)) - (1305025844*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(47647845*sqrt(33)) - (37904696*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(47647845*sqrt(33)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(sqrt(e + f*x)/(sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)), (2*sqrt((-b)*c + a*d)*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(b*sqrt(d)*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))), x, 2),
+(sqrt(e + f*x)/((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x)), -((2*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x))) + (2*sqrt(f)*sqrt((-b)*e + a*f)*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*e + a*f)), (d*(b*e - a*f))/((b*c - a*d)*f)))/(b*(b*c - a*d)*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)), x, 4),
+
+
+(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(-3 - 5*x)*sqrt(2 + 3*x)), (2*sqrt(7//5)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(5)*sqrt(2 + 3*x)), 2//35))/3, x, 1),
+
+
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2))/sqrt(3 + 5*x), (-859*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/4375 - (23*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/875 + (2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/35 - (61151*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/43750 - (314*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/21875, x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2))/sqrt(3 + 5*x), (-9*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/125 + (2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/25 - (146*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/625 - (17*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/625, x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/sqrt(3 + 5*x), (2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/15 - (31*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/75 - (4*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/75, x, 4),
+(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)), (2*sqrt(7//5)*sqrt(-3 - 5*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(5)*sqrt(2 + 3*x)), 2//35))/(3*sqrt(3 + 5*x)), x, 2),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)), (2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(2 + 3*x) - 2*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33), x, 3),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)), (2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3*(2 + 3*x)^(3//2)) + (136*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(21*sqrt(2 + 3*x)) - (136*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/21 - (4*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/21, x, 5),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x)), (2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(5*(2 + 3*x)^(5//2)) + (92*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(35*(2 + 3*x)^(3//2)) + (6388*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(245*sqrt(2 + 3*x)) - (6388*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/245 - (64*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/245, x, 6),
+
+
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2))/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2))/(5*sqrt(3 + 5*x)) - (2486*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/21875 + (183*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/4375 + (48*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/175 - (203179*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/218750 - (38723*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(109375*sqrt(33)), x, 7),
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2))/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2))/(5*sqrt(3 + 5*x)) + (13*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/625 + (36*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/125 - (1409*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3125 - (1091*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(3125*sqrt(33)), x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2))/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2))/(5*sqrt(3 + 5*x)) + (8*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/25 - (19*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/125 - (106*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(125*sqrt(33)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(5*sqrt(3 + 5*x)) + (4*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/25 - (62*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(25*sqrt(33)), x, 4),
+(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/sqrt(3 + 5*x) + 2*sqrt(7//5)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), 33//35), x, 3),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (2*sqrt(1 - 2*x))/(sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (20*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/sqrt(3 + 5*x) + 4*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33) + (4*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/sqrt(33), x, 5),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (2*sqrt(1 - 2*x))/(3*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (92*sqrt(1 - 2*x))/(7*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (2780*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(21*sqrt(3 + 5*x)) + (556*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/7 + (184*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(7*sqrt(33)), x, 6),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (2*sqrt(1 - 2*x))/(5*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (416*sqrt(1 - 2*x))/(105*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (19268*sqrt(1 - 2*x))/(245*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (116464*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(147*sqrt(3 + 5*x)) + (116464*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/245 + (38536*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(245*sqrt(33)), x, 7),
+
+
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(9//2))/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(9//2))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) - (118*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2))/(165*sqrt(3 + 5*x)) - (12601*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/240625 + (5153*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/48125 + (958*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/1925 - (1473539*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(218750*sqrt(33)) - (31288*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(109375*sqrt(33)), x, 8),
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2))/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) - (458*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2))/(825*sqrt(3 + 5*x)) + (2719*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/34375 + (2818*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/6875 - (47342*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(15625*sqrt(33)) - (523*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/15625, x, 7),
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2))/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) - (326*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2))/(825*sqrt(3 + 5*x)) + (458*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/1375 - (169*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(625*sqrt(33)) - (496*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(625*sqrt(33)), x, 6),
+((sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2))/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) - (194*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(825*sqrt(3 + 5*x)) + (458*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(125*sqrt(33)) - (178*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(125*sqrt(33)), x, 5),
+((sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) - (62*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(165*sqrt(3 + 5*x)) + (62*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(25*sqrt(33)) + (8*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(25*sqrt(33)), x, 5),
+(sqrt(1 - 2*x)/(sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(3*(3 + 5*x)^(3//2)) + (136*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(33*sqrt(3 + 5*x)) - (136*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(5*sqrt(33)) - (4*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(5*sqrt(33)), x, 5),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (2*sqrt(1 - 2*x))/(sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (40*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(3*(3 + 5*x)^(3//2)) + (2660*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(33*sqrt(3 + 5*x)) - (532*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/sqrt(33) - (16*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/sqrt(33), x, 6),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (2*sqrt(1 - 2*x))/(3*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (416*sqrt(1 - 2*x))/(21*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (2780*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(21*(3 + 5*x)^(3//2)) + (184840*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(231*sqrt(3 + 5*x)) - (36968*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(7*sqrt(33)) - (1112*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(7*sqrt(33)), x, 7),
+(sqrt(1 - 2*x)/((2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (2*sqrt(1 - 2*x))/(5*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (556*sqrt(1 - 2*x))/(105*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (116044*sqrt(1 - 2*x))/(735*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (155104*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(147*(3 + 5*x)^(3//2)) + (10312712*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(1617*sqrt(3 + 5*x)) - (10312712*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(245*sqrt(33)) - (310208*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(245*sqrt(33)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/2) (e+f x)^(3/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
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+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x), (-18177329*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/38981250 - (124891*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/2165625 + (1103*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/259875 + (178*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/7425 + (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/55 - (604915631*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(17718750*sqrt(33)) - (18177329*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(17718750*sqrt(33)), x, 8),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x), (-84134*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/354375 - (347*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/39375 + (62*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/1575 + (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/45 - (5684677*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3543750 - (84134*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1771875, x, 7),
+((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x), (-2657*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/23625 + (194*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/2625 + (2*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/35 - (118898*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/118125 - (2657*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/118125, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(2 + 3*x), (214*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/675 + (2*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/15 - (4157*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3375 + (412*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3375, x, 5),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^(3//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(3*sqrt(2 + 3*x)) - (16*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/27 + (494*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/135 - (214*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/135, x, 5),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(9*(2 + 3*x)^(3//2)) + (82*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(27*sqrt(2 + 3*x)) - (98*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/27 + (16*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/27, x, 5),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^(7//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(15*(2 + 3*x)^(5//2)) + (82*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(135*(2 + 3*x)^(3//2)) + (3896*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(945*sqrt(2 + 3*x)) - (3896*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/945 - (164*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/945, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^(9//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(21*(2 + 3*x)^(7//2)) + (82*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(315*(2 + 3*x)^(5//2)) + (8516*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(6615*(2 + 3*x)^(3//2)) + (595324*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(46305*sqrt(2 + 3*x)) - (595324*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/46305 - (18016*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/46305, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^(11//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(27*(2 + 3*x)^(9//2)) + (82*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(567*(2 + 3*x)^(7//2)) + (13136*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(19845*(2 + 3*x)^(5//2)) + (613276*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(138915*(2 + 3*x)^(3//2)) + (42623864*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(972405*sqrt(2 + 3*x)) - (42623864*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/972405 - (1282376*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/972405, x, 8),
+
+
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2), (-776112041*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/506756250 - (11725073*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/56306250 - (18034*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/625625 + (601*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/160875 + (178*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/10725 + (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/65 - (51601293223*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(460687500*sqrt(33)) - (776112041*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(230343750*sqrt(33)), x, 9),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2), (-5442127*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/7796250 - (40703*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/433125 - (23*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/9625 + (62*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/2475 + (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/55 - (90397364*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(1771875*sqrt(33)) - (5442127*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(3543750*sqrt(33)), x, 8),
+((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2), (-76163*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/212625 - (839*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/23625 + (194*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/4725 + (2*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/45 - (4971289*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/2126250 - (76163*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1063125, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/sqrt(2 + 3*x), (-1847*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/4725 + (74*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/525 + (2*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/21 - (29933*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/23625 - (1847*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/23625, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^(3//2), (494*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/135 - (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(3*sqrt(2 + 3*x)) - (8*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/15 - (2209*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/675 + (494*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/675, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^(5//2), (-1150*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/81 - (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(9*(2 + 3*x)^(3//2)) + (74*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(9*sqrt(2 + 3*x)) + (592*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/81 - (230*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/81, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^(7//2), (988*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(945*sqrt(2 + 3*x)) - (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(15*(2 + 3*x)^(5//2)) + (74*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(45*(2 + 3*x)^(3//2)) - (4418*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/945 + (988*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/945, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^(9//2), (-3632*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(6615*(2 + 3*x)^(3//2)) + (119732*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(46305*sqrt(2 + 3*x)) - (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(21*(2 + 3*x)^(7//2)) + (74*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(105*(2 + 3*x)^(5//2)) - (119732*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/46305 - (7388*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/46305, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^(11//2), (-8252*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(19845*(2 + 3*x)^(5//2)) + (280904*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(416745*(2 + 3*x)^(3//2)) + (19885156*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2917215*sqrt(2 + 3*x)) - (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(27*(2 + 3*x)^(9//2)) + (74*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(189*(2 + 3*x)^(7//2)) - (19885156*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/2917215 - (609304*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/2917215, x, 8),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^(13//2), (-12872*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(43659*(2 + 3*x)^(7//2)) + (442076*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1528065*(2 + 3*x)^(5//2)) + (20799916*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(10696455*(2 + 3*x)^(3//2)) + (1446357824*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(74875185*sqrt(2 + 3*x)) - (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(33*(2 + 3*x)^(11//2)) + (74*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(297*(2 + 3*x)^(9//2)) - (1446357824*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(6806835*sqrt(33)) - (43537016*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(6806835*sqrt(33)), x, 9),
+
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+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2), (-50299451003*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/9121612500 - (380132617*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/506756250 - (57509209*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/506756250 - (199721*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/12065625 + (2503*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/804375 + (178*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/14625 + (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/75 - (836091184171*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(2073093750*sqrt(33)) - (50299451003*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(4146187500*sqrt(33)), x, 10),
+((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2), (-70536439*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/30405375 - (2133359*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/6756750 - (160084*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/3378375 - (67*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/160875 + (62*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/3575 + (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/65 - (9380126059*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(55282500*sqrt(33)) - (70536439*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(13820625*sqrt(33)), x, 9),
+((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2), (-2930159*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/2806650 - (22576*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/155925 - (2377*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/155925 + (194*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/7425 + (2*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/55 - (97540001*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(1275750*sqrt(33)) - (2930159*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(1275750*sqrt(33)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/sqrt(2 + 3*x), (-11908*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/25515 - (499*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/2835 + (46*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/567 + (2*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/27 - (886499*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/255150 - (11908*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/127575, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^(3//2), (-1061*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/567 + (202*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/63 - (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(3*sqrt(2 + 3*x)) - (32*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/63 - (2894*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/2835 - (1061*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/2835, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^(5//2), (2632*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/243 - (614*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/27 - (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(9*(2 + 3*x)^(3//2)) + (362*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(27*sqrt(2 + 3*x)) - (9587*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1215 + (2632*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1215, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^(7//2), (-43214*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/1701 + (9808*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(945*sqrt(2 + 3*x)) - (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(15*(2 + 3*x)^(5//2)) + (362*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(135*(2 + 3*x)^(3//2)) + (116854*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/8505 - (43214*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/8505, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^(9//2), (249448*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(138915*sqrt(2 + 3*x)) + (2108*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(6615*(2 + 3*x)^(3//2)) - (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(21*(2 + 3*x)^(7//2)) + (362*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(315*(2 + 3*x)^(5//2)) - (962678*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/138915 + (249448*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/138915, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^(11//2), (-558524*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1250235*(2 + 3*x)^(3//2)) + (17830424*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(8751645*sqrt(2 + 3*x)) - (1864*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(6615*(2 + 3*x)^(5//2)) - (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(27*(2 + 3*x)^(9//2)) + (362*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(567*(2 + 3*x)^(7//2)) - (17830424*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/8751645 - (1717916*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/8751645, x, 8),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^(13//2), (-1366496*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(4584195*(2 + 3*x)^(5//2)) + (45748292*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(96268095*(2 + 3*x)^(3//2)) + (3316711588*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(673876665*sqrt(2 + 3*x)) - (13292*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(43659*(2 + 3*x)^(7//2)) - (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(33*(2 + 3*x)^(11//2)) + (362*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(891*(2 + 3*x)^(9//2)) - (3316711588*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(61261515*sqrt(33)) - (103970992*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(61261515*sqrt(33)), x, 9),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^(15//2), (-2174468*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(11918907*(2 + 3*x)^(7//2)) + (73596464*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(417161745*(2 + 3*x)^(5//2)) + (3523482724*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2920132215*(2 + 3*x)^(3//2)) + (245282464136*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(20440925505*sqrt(2 + 3*x)) - (20992*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(81081*(2 + 3*x)^(9//2)) - (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(39*(2 + 3*x)^(13//2)) + (362*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(1287*(2 + 3*x)^(11//2)) - (245282464136*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(1858265955*sqrt(33)) - (7391549624*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(1858265955*sqrt(33)), x, 10),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2))/sqrt(3 + 5*x), (-87476*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/590625 + (403*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/118125 + (178*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/4725 + (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/45 - (6515539*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5906250 - (104663*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/2953125, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2))/sqrt(3 + 5*x), (-487*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/13125 + (62*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/875 + (2*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/35 - (46159*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/65625 - (2281*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/65625, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x))/sqrt(3 + 5*x), (194*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/1125 + (2*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/25 - (2797*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5625 - (598*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5625, x, 5),
+((1 - 2*x)^(3//2)/(sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)), (-4*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/45 + (272*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/225 - (202*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/225, x, 4),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)), (14*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3*sqrt(2 + 3*x)) - (74*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/15 + (4*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/15, x, 4),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)), (14*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(9*(2 + 3*x)^(3//2)) + (124*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(9*sqrt(2 + 3*x)) - (124*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/9 - (4*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/9, x, 5),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x)), (14*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(15*(2 + 3*x)^(5//2)) + (256*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(45*(2 + 3*x)^(3//2)) + (17804*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(315*sqrt(2 + 3*x)) - (17804*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/315 - (536*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/315, x, 6),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^(9//2)*sqrt(3 + 5*x)), (2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3*(2 + 3*x)^(7//2)) + (388*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(105*(2 + 3*x)^(5//2)) + (18068*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(735*(2 + 3*x)^(3//2)) + (1255552*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(5145*sqrt(2 + 3*x)) - (1255552*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5145 - (37768*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5145, x, 7),
+
+
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(7//2))/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(7//2))/(5*sqrt(3 + 5*x)) - (12601*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/196875 + (5153*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/39375 + (958*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/1575 - (8*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/45 - (1473539*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1968750 - (31288*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/984375, x, 8),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2))/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2))/(5*sqrt(3 + 5*x)) + (2719*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/21875 + (2818*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/4375 - (32*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/175 - (47342*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/109375 - (5753*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/109375, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2))/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2))/(5*sqrt(3 + 5*x)) + (458*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/625 - (24*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/125 - (169*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3125 - (496*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3125, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x))/(5*sqrt(3 + 5*x)) - (16*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/75 + (458*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/375 - (178*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/375, x, 5),
+((1 - 2*x)^(3//2)/(sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), (-22*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(5*sqrt(3 + 5*x)) + (62*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/25 + (8*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/25, x, 4),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (14*sqrt(1 - 2*x))/(3*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (136*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(3*sqrt(3 + 5*x)) + (136*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5 + (4*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5, x, 5),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (14*sqrt(1 - 2*x))/(9*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (88*sqrt(1 - 2*x))/(3*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (2660*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(9*sqrt(3 + 5*x)) + (532*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3 + (16*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3, x, 6),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (14*sqrt(1 - 2*x))/(15*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (44*sqrt(1 - 2*x))/(5*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (6116*sqrt(1 - 2*x))/(35*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (36968*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(21*sqrt(3 + 5*x)) + (36968*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/35 + (1112*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/35, x, 7),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^(9//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (2*sqrt(1 - 2*x))/(3*(2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (176*sqrt(1 - 2*x))/(35*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (12276*sqrt(1 - 2*x))/(245*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (1706144*sqrt(1 - 2*x))/(1715*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (10312712*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(1029*sqrt(3 + 5*x)) + (10312712*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1715 + (310208*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1715, x, 8),
+
+
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(7//2))/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(7//2))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) - (6*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2))/sqrt(3 + 5*x) + (4801*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/21875 + (3872*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/4375 + (622*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/175 - (25643*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/109375 - (24369*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/109375, x, 8),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2))/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) - (106*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2))/(25*sqrt(3 + 5*x)) + (2264*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/3125 + (1558*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/625 + (1973*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/15625 - (8366*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/15625, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2))/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) - (62*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2))/(25*sqrt(3 + 5*x)) + (178*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/125 + (496*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/625 - (582*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/625, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) - (18*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(25*sqrt(3 + 5*x)) + (38*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/125 + (212*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(125*sqrt(33)), x, 5),
+((1 - 2*x)^(3//2)/(sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-22*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) + (148*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(15*sqrt(3 + 5*x)) - (148*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/25 - (52*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(25*sqrt(33)), x, 5),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (14*sqrt(1 - 2*x))/(3*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (92*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(3*(3 + 5*x)^(3//2)) + (556*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(3*sqrt(3 + 5*x)) - (556*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5 - (184*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(5*sqrt(33)), x, 6),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (14*sqrt(1 - 2*x))/(9*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (404*sqrt(1 - 2*x))/(9*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (300*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^(3//2) + (5440*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(3*sqrt(3 + 5*x)) - 1088*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33) - 120*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33), x, 7),
+((1 - 2*x)^(3//2)/((2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (14*sqrt(1 - 2*x))/(15*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (536*sqrt(1 - 2*x))/(45*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (111884*sqrt(1 - 2*x))/(315*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (16616*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(7*(3 + 5*x)^(3//2)) + (301304*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(21*sqrt(3 + 5*x)) - (301304*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/35 - (33232*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/35, x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/2) (e+f x)^(5/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
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+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x), (-69808931*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/168918750 - (445024*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/9384375 + (32717*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/1126125 + (34*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/2475 + (62*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/2145 + (2*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/65 - (1163388067*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(38390625*sqrt(33)) - (69808931*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(76781250*sqrt(33)), x, 9),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x), (-4738087*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/19490625 + (38729*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/2165625 + (2866*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/86625 + (106*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/2475 + (2*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/55 - (326256461*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(17718750*sqrt(33)) - (4738087*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(8859375*sqrt(33)), x, 8),
+((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x), (-110717*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/1063125 + (10214*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/118125 + (326*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/4725 + (2*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/45 - (6799613*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5315625 - (110717*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5315625, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(2 + 3*x), (4282*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/7875 + (118*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/525 + (2*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/21 - (86741*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/39375 + (11806*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/39375, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^(3//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(3*sqrt(2 + 3*x)) - (1076*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/675 - (8*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/15 + (31588*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3375 - (12758*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3375, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(9*(2 + 3*x)^(3//2)) + (10*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(3*sqrt(2 + 3*x)) + (196*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/81 - (4418*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/405 + (988*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/405, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^(7//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(15*(2 + 3*x)^(5//2)) + (2*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(3*(2 + 3*x)^(3//2)) + (8*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(2 + 3*x) - (12*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5 - (4*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5, x, 6),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^(9//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(21*(2 + 3*x)^(7//2)) + (2*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(7*(2 + 3*x)^(5//2)) + (524*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(189*(2 + 3*x)^(3//2)) + (36052*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1323*sqrt(2 + 3*x)) - (36052*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1323 - (1048*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1323, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^(11//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(27*(2 + 3*x)^(9//2)) + (10*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(63*(2 + 3*x)^(7//2)) + (832*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(567*(2 + 3*x)^(5//2)) + (112436*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(11907*(2 + 3*x)^(3//2)) + (7810384*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(83349*sqrt(2 + 3*x)) - (7810384*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/83349 - (234856*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/83349, x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(2 + 3*x)^(13//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(33*(2 + 3*x)^(11//2)) + (10*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(99*(2 + 3*x)^(9//2)) + (1900*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2079*(2 + 3*x)^(7//2)) + (76492*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(14553*(2 + 3*x)^(5//2)) + (3560432*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(101871*(2 + 3*x)^(3//2)) + (247408648*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(713097*sqrt(2 + 3*x)) - (247408648*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(64827*sqrt(33)) - (7442032*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(64827*sqrt(33)), x, 9),
+
+
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2), (-13267820528*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/11402015625 - (400516993*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/2533781250 - (569519*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/28153125 + (142391*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/7239375 + (3698*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/482625 + (62*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/2925 + (2*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/75 - (1764163292393*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(20730937500*sqrt(33)) - (13267820528*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(5182734375*sqrt(33)), x, 10),
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2), (-923943703*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/1520268750 - (6794792*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/84459375 + (25603*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/1876875 + (8318*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/482625 + (106*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/3575 + (2*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/65 - (30660308017*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(691031250*sqrt(33)) - (923943703*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(691031250*sqrt(33)), x, 9),
+((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2), (-12996374*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/35083125 - (78797*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/3898125 + (30362*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/779625 + (326*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/7425 + (2*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/55 - (829177897*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(31893750*sqrt(33)) - (12996374*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(15946875*sqrt(33)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/sqrt(2 + 3*x), (-429479*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/637875 + (14318*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/70875 + (362*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/2835 + (2*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/27 - (4457606*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3189375 - (429479*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3189375, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^(3//2), (124724*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/14175 - (2*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(3*sqrt(2 + 3*x)) - (2108*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/1575 - (32*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/63 - (481339*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/70875 + (124724*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/70875, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^(5//2), (-43214*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/1215 - (2*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(9*(2 + 3*x)^(3//2)) + (230*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(27*sqrt(2 + 3*x)) + (788*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/135 + (116854*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/6075 - (43214*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/6075, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^(7//2), (5264*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/243 - (2*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(15*(2 + 3*x)^(5//2)) + (46*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(27*(2 + 3*x)^(3//2)) - (316*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(27*sqrt(2 + 3*x)) - (19174*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1215 + (5264*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1215, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^(9//2), (-4244*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3969*sqrt(2 + 3*x)) - (2*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(21*(2 + 3*x)^(7//2)) + (46*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(63*(2 + 3*x)^(5//2)) + (608*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(189*(2 + 3*x)^(3//2)) - (11576*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3969 - (4244*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3969, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^(11//2), (-104036*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(35721*(2 + 3*x)^(3//2)) + (3545996*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(250047*sqrt(2 + 3*x)) - (2*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(27*(2 + 3*x)^(9//2)) + (230*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(567*(2 + 3*x)^(7//2)) + (1532*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(567*(2 + 3*x)^(5//2)) - (3545996*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/250047 - (95264*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/250047, x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^(13//2), (-325796*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(130977*(2 + 3*x)^(5//2)) + (11243972*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2750517*(2 + 3*x)^(3//2)) + (780320008*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(19253619*sqrt(2 + 3*x)) - (2*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(33*(2 + 3*x)^(11//2)) + (230*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(891*(2 + 3*x)^(9//2)) + (12280*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(6237*(2 + 3*x)^(7//2)) - (780320008*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(1750329*sqrt(33)) - (23441272*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(1750329*sqrt(33)), x, 9),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(2 + 3*x)^(15//2), (-3347620*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1702701*(2 + 3*x)^(7//2)) + (23210828*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(11918907*(2 + 3*x)^(5//2)) + (1079936248*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(83432349*(2 + 3*x)^(3//2)) + (75041008472*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(584026443*sqrt(2 + 3*x)) - (2*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(39*(2 + 3*x)^(13//2)) + (230*(1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(1287*(2 + 3*x)^(11//2)) + (1300*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(891*(2 + 3*x)^(9//2)) - (75041008472*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(53093313*sqrt(33)) - (2257166048*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(53093313*sqrt(33)), x, 10),
+
+
+((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2), (-23763809947*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/13682418750 - (359748241*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/1520268750 - (26534891*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/760134375 + (364267*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(7//2))/36196875 + (8038*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/804375 + (106*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/4875 + (2*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(7//2))/75 - (1580201444291*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(12438562500*sqrt(33)) - (23763809947*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(6219281250*sqrt(33)), x, 10),
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+(((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(2 + 3*x)^(3//2), (-310399*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/76545 + (64628*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/8505 - (2*(1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(3*sqrt(2 + 3*x)) - (2108*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/1701 - (40*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/81 - (25111*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/382725 - (310399*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/382725, x, 8),
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
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+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(5//2))/sqrt(3 + 5*x), (-2865161*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/19490625 + (181333*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/3898125 + (4258*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/155925 + (62*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/1485 + (2*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/55 - (231061879*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(17718750*sqrt(33)) - (3963068*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(8859375*sqrt(33)), x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(3//2))/sqrt(3 + 5*x), (21547*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/1771875 + (8878*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/118125 + (106*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/1575 + (2*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/45 - (8024546*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/8859375 - (509189*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/8859375, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 3*x))/sqrt(3 + 5*x), (30922*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/118125 + (326*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/2625 + (2*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/35 - (408311*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/590625 - (132824*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/590625, x, 6),
+((1 - 2*x)^(5//2)/(sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)), (-1088*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/3375 - (4*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/75 + (53194*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/16875 - (34154*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/16875, x, 5),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)), (14*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(3*sqrt(2 + 3*x)) + (428*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/135 - (8314*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/675 + (824*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/675, x, 5),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)), (14*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(9*(2 + 3*x)^(3//2)) + (812*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(27*sqrt(2 + 3*x)) - (3896*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/135 - (164*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/135, x, 5),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x)), (14*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(15*(2 + 3*x)^(5//2)) + (1736*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(135*(2 + 3*x)^(3//2)) + (16564*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(135*sqrt(2 + 3*x)) - (16564*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/135 - (496*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/135, x, 6),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^(9//2)*sqrt(3 + 5*x)), (2*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(3*(2 + 3*x)^(7//2)) + (76*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(9*(2 + 3*x)^(5//2)) + (10124*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(189*(2 + 3*x)^(3//2)) + (703480*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1323*sqrt(2 + 3*x)) - (703480*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1323 - (21160*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1323, x, 7),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^(11//2)*sqrt(3 + 5*x)), (14*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(27*(2 + 3*x)^(9//2)) + (512*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(81*(2 + 3*x)^(7//2)) + (20420*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(567*(2 + 3*x)^(5//2)) + (950584*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3969*(2 + 3*x)^(3//2)) + (66055016*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(27783*sqrt(2 + 3*x)) - (66055016*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/27783 - (1986944*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/27783, x, 8),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^(13//2)*sqrt(3 + 5*x)), (14*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(33*(2 + 3*x)^(11//2)) + (4508*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(891*(2 + 3*x)^(9//2)) + (171004*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(6237*(2 + 3*x)^(7//2)) + (7173272*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(43659*(2 + 3*x)^(5//2)) + (333930952*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(305613*(2 + 3*x)^(3//2)) + (23204503328*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2139291*sqrt(2 + 3*x)) - (23204503328*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(194481*sqrt(33)) - (697995152*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(194481*sqrt(33)), x, 9),
+
+
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(7//2))/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(7//2))/(5*sqrt(3 + 5*x)) - (703672*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/32484375 + (2020841*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/6496875 + (346636*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/259875 - (2972*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/7425 - (48*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/275 - (264260033*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(29531250*sqrt(33)) - (7261561*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(14765625*sqrt(33)), x, 9),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(5//2))/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(5//2))/(5*sqrt(3 + 5*x)) + (196499*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/590625 + (167228*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/118125 - (1972*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/4725 - (8*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/45 - (1509007*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/2953125 - (299863*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/2953125, x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(3//2))/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(3//2))/(5*sqrt(3 + 5*x)) + (106772*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/65625 - (1972*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/4375 - (32*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/175 + (53279*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/328125 - (110014*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/328125, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^(3//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 3*x))/(5*sqrt(3 + 5*x)) - (3028*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/5625 - (24*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/125 + (81164*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/28125 - (28174*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/28125, x, 6),
+((1 - 2*x)^(5//2)/(sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), (-22*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x))/(5*sqrt(3 + 5*x)) - (388*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/225 + (5594*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1125 + (1196*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1125, x, 5),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (14*(1 - 2*x)^(3//2))/(3*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (1496*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(15*sqrt(3 + 5*x)) + (4636*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/75 + (124*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/75, x, 5),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (14*(1 - 2*x)^(3//2))/(9*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (1792*sqrt(1 - 2*x))/(27*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (17804*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(27*sqrt(3 + 5*x)) + (17804*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/45 + (536*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/45, x, 6),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (14*(1 - 2*x)^(3//2))/(15*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (2716*sqrt(1 - 2*x))/(135*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (17468*sqrt(1 - 2*x))/(45*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (105584*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(27*sqrt(3 + 5*x)) + (105584*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/45 + (3176*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/45, x, 7),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^(9//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (2*(1 - 2*x)^(3//2))/(3*(2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (104*sqrt(1 - 2*x))/(9*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (2332*sqrt(1 - 2*x))/(21*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (324104*sqrt(1 - 2*x))/(147*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (9795160*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(441*sqrt(3 + 5*x)) + (1959032*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/147 + (58928*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/147, x, 8),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^(11//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (14*(1 - 2*x)^(3//2))/(27*(2 + 3*x)^(9//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (652*sqrt(1 - 2*x))/(81*(2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (11660*sqrt(1 - 2*x))/(189*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (813208*sqrt(1 - 2*x))/(1323*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (113020952*sqrt(1 - 2*x))/(9261*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (3415750480*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(27783*sqrt(3 + 5*x)) + (683150096*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/9261 + (20549264*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/9261, x, 9),
+
+
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(7//2))/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(7//2))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) - (442*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(7//2))/(75*sqrt(3 + 5*x)) + (500501*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/984375 + (373022*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/196875 + (59662*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/7875 - (524*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/225 - (1065118*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/4921875 - (595387*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/4921875, x, 9),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(5//2))/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(5//2))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) - (62*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2))/(15*sqrt(3 + 5*x)) + (33778*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/21875 + (22866*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/4375 - (284*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/175 + (49321*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/109375 - (32836*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/109375, x, 8),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(3//2))/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(3//2))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) - (178*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2))/(75*sqrt(3 + 5*x)) + (8874*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/3125 - (572*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/625 + (9206*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/15625 - (7738*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/15625, x, 7),
+(((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 3*x))/(3 + 5*x)^(5//2), (-2*(1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 3*x))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) - (46*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x))/(75*sqrt(3 + 5*x)) - (76*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/375 + (338*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1875 + (992*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1875, x, 6),
+((1 - 2*x)^(5//2)/(sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-22*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) + (572*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(25*sqrt(3 + 5*x)) - (584*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/125 - (68*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/125, x, 5),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (14*(1 - 2*x)^(3//2))/(3*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (1012*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(15*(3 + 5*x)^(3//2)) + (6388*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(15*sqrt(3 + 5*x)) - (6388*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/25 - (64*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/25, x, 6),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (14*(1 - 2*x)^(3//2))/(9*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (308*sqrt(1 - 2*x))/(3*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (6116*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(9*(3 + 5*x)^(3//2)) + (36968*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(9*sqrt(3 + 5*x)) - (36968*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/15 - (1112*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/15, x, 7),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (14*(1 - 2*x)^(3//2))/(15*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (1232*sqrt(1 - 2*x))/(45*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (35948*sqrt(1 - 2*x))/(45*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (16016*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(3*(3 + 5*x)^(3//2)) + (96808*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(3*sqrt(3 + 5*x)) - (96808*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5 - (2912*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5, x, 8),
+((1 - 2*x)^(5//2)/((2 + 3*x)^(9//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (2*(1 - 2*x)^(3//2))/(3*(2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (44*sqrt(1 - 2*x))/(3*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (11924*sqrt(1 - 2*x))/(63*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (2488904*sqrt(1 - 2*x))/(441*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (5544440*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(147*(3 + 5*x)^(3//2)) + (11171040*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(49*sqrt(3 + 5*x)) - (2234208*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/49 - (201616*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/49, x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/2) / (e+f x)^(1/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(((2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x), (-4839*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/1750 - (104*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/175 - (sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/7 - (56041*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/8750 - (5057*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/8750, x, 6),
+(((2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x), (-23*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/25 - (sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/5 - (1597*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/250 - (8*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/125, x, 5),
+((sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x), -(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/3 - (34*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/15 - (sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/15, x, 4),
+(sqrt(3 + 5*x)/(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)), -(sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33)), x, 1),
+(sqrt(3 + 5*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(2 + 3*x)) + (2*sqrt(5//7)*sqrt(-3 - 5*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(5)*sqrt(2 + 3*x)), 2//35))/(3*sqrt(3 + 5*x)), x, 4),
+(sqrt(3 + 5*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(21*(2 + 3*x)^(3//2)) + (62*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(147*sqrt(2 + 3*x)) - (62*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/147 - (8*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/147, x, 5),
+(sqrt(3 + 5*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(35*(2 + 3*x)^(5//2)) + (18*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(245*(2 + 3*x)^(3//2)) + (1752*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1715*sqrt(2 + 3*x)) - (584*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1715 - (68*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1715, x, 6),
+
+
+(((2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/sqrt(1 - 2*x), (-663409*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/47250 - (9547*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/5250 - (137*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/315 - (sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/9 - (44109377*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/472500 - (663409*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/236250, x, 7),
+(((2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/sqrt(1 - 2*x), (-4721*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/1050 - (102*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/175 - (sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/7 - (78472*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/2625 - (4721*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5250, x, 6),
+((sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/sqrt(1 - 2*x), (-67*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/45 - (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/5 - (4451*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/450 - (67*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/225, x, 5),
+((3 + 5*x)^(3//2)/(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)), (-5*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/9 - (31*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/9 - (sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/9, x, 4),
+((3 + 5*x)^(3//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)), (2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(21*sqrt(2 + 3*x)) - (37*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/21 + (2*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/21, x, 4),
+((3 + 5*x)^(3//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)), (2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(63*(2 + 3*x)^(3//2)) - (272*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(441*sqrt(2 + 3*x)) + (272*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/441 - (202*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/441, x, 5),
+((3 + 5*x)^(3//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2)), (2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(105*(2 + 3*x)^(5//2)) - (404*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2205*(2 + 3*x)^(3//2)) + (5594*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(15435*sqrt(2 + 3*x)) - (5594*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/15435 - (1196*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/15435, x, 6),
+((3 + 5*x)^(3//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(9//2)), (2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(147*(2 + 3*x)^(7//2)) - (536*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(5145*(2 + 3*x)^(5//2)) + (974*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(36015*(2 + 3*x)^(3//2)) + (184636*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(252105*sqrt(2 + 3*x)) - (184636*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/252105 - (9124*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/252105, x, 7),
+
+
+(((2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/sqrt(1 - 2*x), (-2295970088*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/10135125 - (138809831*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/4504500 - (221673*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/50050 - (14303*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/12870 - (41*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/143 - (sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/13 - (610627101631*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(36855000*sqrt(33)) - (2295970088*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(4606875*sqrt(33)), x, 9),
+(((2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/sqrt(1 - 2*x), (-43624697*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/623700 - (329683*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/34650 - (1053*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/770 - (34*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/99 - (sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/11 - (725140729*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(141750*sqrt(33)) - (43624697*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(283500*sqrt(33)), x, 8),
+(((2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/sqrt(1 - 2*x), (-62092*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/2835 - (1877*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/630 - (3*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/7 - (sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/9 - (8256877*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/56700 - (62092*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/14175, x, 7),
+((sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/sqrt(1 - 2*x), (-2645*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/378 - (20*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/21 - (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/7 - (17587*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/378 - (529*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/378, x, 6),
+((3 + 5*x)^(5//2)/(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)), (-62*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/27 - (sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/3 - (4141*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/270 - (62*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/135, x, 5),
+((3 + 5*x)^(5//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)), (-205*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/189 + (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(21*sqrt(2 + 3*x)) - (974*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/189 - (41*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/189, x, 5),
+((3 + 5*x)^(5//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)), (412*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1323*sqrt(2 + 3*x)) + (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(63*(2 + 3*x)^(3//2)) - (4157*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1323 + (412*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1323, x, 5),
+((3 + 5*x)^(5//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2)), (544*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(6615*(2 + 3*x)^(3//2)) - (53194*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(46305*sqrt(2 + 3*x)) + (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(105*(2 + 3*x)^(5//2)) + (53194*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/46305 - (34154*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/46305, x, 6),
+((3 + 5*x)^(5//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(9//2)), (676*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(15435*(2 + 3*x)^(5//2)) - (101902*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(324135*(2 + 3*x)^(3//2)) + (816622*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2268945*sqrt(2 + 3*x)) + (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(147*(2 + 3*x)^(7//2)) - (816622*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/2268945 - (265648*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/2268945, x, 7),
+((3 + 5*x)^(5//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(11//2)), (808*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(27783*(2 + 3*x)^(7//2)) - (168034*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(972405*(2 + 3*x)^(5//2)) - (43094*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(6806835*(2 + 3*x)^(3//2)) + (32098184*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(47647845*sqrt(2 + 3*x)) + (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(189*(2 + 3*x)^(9//2)) - (32098184*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/47647845 - (2036756*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/47647845, x, 8),
+((3 + 5*x)^(5//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(13//2)), (940*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(43659*(2 + 3*x)^(9//2)) - (251590*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2139291*(2 + 3*x)^(7//2)) - (362666*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(14975037*(2 + 3*x)^(5//2)) + (11460644*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(104825259*(2 + 3*x)^(3//2)) + (924247516*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(733776813*sqrt(2 + 3*x)) + (2*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(231*(2 + 3*x)^(11//2)) - (924247516*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(66706983*sqrt(33)) - (31704544*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(66706983*sqrt(33)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(1/(sqrt(1 + x)*sqrt(2 + x)*sqrt(3 + x)), -2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(1/sqrt(3 + x)), 2), x, 1),
+(1/(sqrt(1 + x)*sqrt(2 + x)*sqrt(3 - x)), 2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 + x)/2), -4), x, 1),
+(1/(sqrt(1 + x)*sqrt(2 - x)*sqrt(3 + x)), sqrt(2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 + x)/sqrt(3)), -(3//2)), x, 1),
+(1/(sqrt(1 + x)*sqrt(2 - x)*sqrt(3 - x)), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 + x)/sqrt(3)), 3//4), x, 1),
+
+(1/(sqrt(1 - x)*sqrt(2 + x)*sqrt(3 + x)), 2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(2 + x)/sqrt(3)), -3), x, 1),
+(1/(sqrt(1 - x)*sqrt(2 + x)*sqrt(3 - x)), (2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(2 + x)/sqrt(3)), 3//5))/sqrt(5), x, 1),
+(1/(sqrt(1 - x)*sqrt(2 - x)*sqrt(3 + x)), (2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3 + x)/2), 4//5))/sqrt(5), x, 1),
+(1/(sqrt(1 - x)*sqrt(2 - x)*sqrt(3 - x)), 2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(1/sqrt(3 - x)), 2), x, 1),
+
+
+(1/(sqrt(-1 + x)*sqrt(-2 + x)*sqrt(-3 + x)), -2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(1/sqrt(-1 + x)), 2), x, 1),
+# {1/(Sqrt[-1 + x]*Sqrt[-2 + x]*Sqrt[-3 - x]), x, 2, -((Sqrt[3 + x]*EllipticF[ArcSin[2/Sqrt[3 + x]], 5/4])/Sqrt[-3 - x]) - (I*Sqrt[3 + x]*EllipticK[-(1/4)])/Sqrt[-3 - x], -((Sqrt[3 + x]*EllipticF[ArcSin[1/Sqrt[3/4 + x/4]], 5/4])/Sqrt[-3 - x])}
+(1/(sqrt(-1 + x)*sqrt(-2 - x)*sqrt(-3 + x)), -((2*sqrt(2 + x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(1/sqrt(2//3 + x/3)), 5//3))/(sqrt(3)*sqrt(-2 - x))), x, 2),
+# {1/(Sqrt[-1 + x]*Sqrt[-2 - x]*Sqrt[-3 - x]), x, 3, -((Sqrt[2 + x]*Sqrt[3 + x]*EllipticF[ArcSin[2/Sqrt[3 + x]], 1/4])/(Sqrt[-3 - x]*Sqrt[-2 - x])) + (Sqrt[3 + x]*EllipticK[3/4])/Sqrt[-3 - x] - (2*I*Sqrt[2 + x]*EllipticK[4])/Sqrt[-2 - x], -((Sqrt[2 + x]*Sqrt[3 + x]*EllipticF[ArcSin[1/Sqrt[3/4 + x/4]], 1/4])/(Sqrt[-3 - x]*Sqrt[-2 - x]))}
+
+(1/(sqrt(-1 - x)*sqrt(-2 + x)*sqrt(-3 + x)), -((2*sqrt(1 + x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(1/sqrt(1//3 + x/3)), 4//3))/(sqrt(3)*sqrt(-1 - x))), x, 2),
+(1/(sqrt(-1 - x)*sqrt(-2 + x)*sqrt(-3 - x)), -((2*sqrt(1 + x)*sqrt(3 + x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(1/sqrt(3//5 + x/5)), 2//5))/(sqrt(5)*sqrt(-3 - x)*sqrt(-1 - x))), x, 3),
+(1/(sqrt(-1 - x)*sqrt(-2 - x)*sqrt(-3 + x)), -((2*sqrt(1 + x)*sqrt(2 + x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(1/sqrt(2//5 + x/5)), 1//5))/(sqrt(5)*sqrt(-2 - x)*sqrt(-1 - x))), x, 3),
+(1/(sqrt(-1 - x)*sqrt(-2 - x)*sqrt(-3 - x)), 2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(1/sqrt(-1 - x)), 2), x, 1),
+
+
+(1/((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), -((2*b*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*sqrt(a + b*x))) + (2*sqrt(f)*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt(a + b*x)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), -((b*(d*e - c*f))/((b*c - a*d)*f))))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*sqrt(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))*sqrt(e + f*x)), x, 4),
+(1/((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), -((2*b*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(3*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(a + b*x)^(3//2))) + (4*b*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(3*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*sqrt(a + b*x)) - (4*sqrt(d)*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(3*((-b)*c + a*d)^(3//2)*(b*e - a*f)^2*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))) + (2*sqrt(d)*(2*b*d*e + b*c*f - 3*a*d*f)*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(3*b*((-b)*c + a*d)^(3//2)*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 8),
+
+
+((2 + 3*x)^(7//2)/(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)), (-15553*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/8750 - (333*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/875 - (3*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/35 - (270248*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/21875 - (178879*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(43750*sqrt(33)), x, 6),
+((2 + 3*x)^(5//2)/(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)), (-74*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/125 - (3*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/25 - (5161*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1250 - (857*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(625*sqrt(33)), x, 5),
+((2 + 3*x)^(3//2)/(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)), -(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/5 - (37*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/25 - (13*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(25*sqrt(33)), x, 4),
+(sqrt(2 + 3*x)/(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)), -(sqrt(7//5)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), 33//35)), x, 1),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)), (-2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/sqrt(33), x, 1),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)), (6*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(2 + 3*x)) - 2*sqrt(5//7)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), 33//35), x, 3),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)), (2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(7*(2 + 3*x)^(3//2)) + (148*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(49*sqrt(2 + 3*x)) - (148*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/49 - (52*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(49*sqrt(33)), x, 5),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x)), (6*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(35*(2 + 3*x)^(5//2)) + (296*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(245*(2 + 3*x)^(3//2)) + (20644*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1715*sqrt(2 + 3*x)) - (20644*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1715 - (6856*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(1715*sqrt(33)), x, 6),
+
+
+((2 + 3*x)^(7//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2))/(55*sqrt(3 + 5*x)) - (2577*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/6875 - (69*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/1375 - (61151*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/6250 - (942*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3125, x, 6),
+((2 + 3*x)^(5//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2))/(55*sqrt(3 + 5*x)) - (27*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/275 - (438*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/125 - (17*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/125, x, 5),
+((2 + 3*x)^(3//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(55*sqrt(3 + 5*x)) - (31*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/25 - (4*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/25, x, 4),
+(sqrt(2 + 3*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(11*sqrt(3 + 5*x)) + (2*sqrt(7//5)*sqrt(-3 - 5*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(5)*sqrt(2 + 3*x)), 2//35))/(11*sqrt(3 + 5*x)), x, 4),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), (-10*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(11*sqrt(3 + 5*x)) + 2*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33), x, 3),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (6*sqrt(1 - 2*x))/(7*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (680*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(77*sqrt(3 + 5*x)) + (136*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/7 + (4*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/7, x, 5),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (2*sqrt(1 - 2*x))/(7*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (288*sqrt(1 - 2*x))/(49*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (31940*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(539*sqrt(3 + 5*x)) + (6388*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/49 + (192*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/49, x, 6),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (6*sqrt(1 - 2*x))/(35*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (436*sqrt(1 - 2*x))/(245*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (60684*sqrt(1 - 2*x))/(1715*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (1344984*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(3773*sqrt(3 + 5*x)) + (1344984*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1715 + (40456*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1715, x, 7),
+
+
+((2 + 3*x)^(9//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2))/(165*(3 + 5*x)^(3//2)) - (668*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2))/(9075*sqrt(3 + 5*x)) - (87476*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/378125 + (403*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/75625 - (6515539*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(343750*sqrt(33)) - (104663*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(171875*sqrt(33)), x, 7),
+((2 + 3*x)^(7//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2))/(165*(3 + 5*x)^(3//2)) - (536*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2))/(9075*sqrt(3 + 5*x)) - (487*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/15125 - (46159*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(6875*sqrt(33)) - (2281*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(6875*sqrt(33)), x, 6),
+((2 + 3*x)^(5//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2))/(165*(3 + 5*x)^(3//2)) - (404*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(9075*sqrt(3 + 5*x)) - (2797*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(1375*sqrt(33)) - (598*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(1375*sqrt(33)), x, 5),
+((2 + 3*x)^(3//2)/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(165*(3 + 5*x)^(3//2)) - (272*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(1815*sqrt(3 + 5*x)) + (272*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(275*sqrt(33)) - (202*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(275*sqrt(33)), x, 5),
+(sqrt(2 + 3*x)/(sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(33*(3 + 5*x)^(3//2)) - (74*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(363*sqrt(3 + 5*x)) + (74*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(55*sqrt(33)) - (4*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(55*sqrt(33)), x, 5),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-10*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(33*(3 + 5*x)^(3//2)) + (620*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(363*sqrt(3 + 5*x)) - (124*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(11*sqrt(33)) - (4*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(11*sqrt(33)), x, 5),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (6*sqrt(1 - 2*x))/(7*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (1340*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(231*(3 + 5*x)^(3//2)) + (89020*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(2541*sqrt(3 + 5*x)) - (17804*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(77*sqrt(33)) - (536*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(77*sqrt(33)), x, 6),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (2*sqrt(1 - 2*x))/(7*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (428*sqrt(1 - 2*x))/(49*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (94420*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(1617*(3 + 5*x)^(3//2)) + (6277760*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(17787*sqrt(3 + 5*x)) - (1255552*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(539*sqrt(33)) - (37768*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(539*sqrt(33)), x, 7),
+(1/(sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (6*sqrt(1 - 2*x))/(35*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (576*sqrt(1 - 2*x))/(245*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (120324*sqrt(1 - 2*x))/(1715*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (5307272*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(11319*(3 + 5*x)^(3//2)) + (352875016*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(124509*sqrt(3 + 5*x)) - (352875016*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(18865*sqrt(33)) - (10614544*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(18865*sqrt(33)), x, 8),
+
+
+# Resulted in infinite recursion for Rubi versions prior to 4.5.
+(sqrt(x)/(sqrt(a + 2*x)*sqrt(c + 2*x)), (sqrt(a - c)*sqrt(x)*sqrt(-((c + 2*x)/(a - c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(a + 2*x)/sqrt(a - c)), 1 - c/a))/(sqrt(2)*sqrt(-(x/a))*sqrt(c + 2*x)), x, 3),
+
+
+# Following integrands are equal.
+(1/(sqrt(4 - x)*sqrt(5 - x)*sqrt(-3 + x)), sqrt(2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(-3 + x)), 1//2), x, 1),
+(1/(sqrt(4 - x)*sqrt((5 - x)*(-3 + x))), -2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(4 - x)), -1), x, 3),
+(1/(sqrt(4 - x)*sqrt(-15 + 8*x - x^2)), -2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(4 - x)), -1), x, 2),
+
+
+# Following integrands are equal.
+(1/(sqrt(6 - x)*sqrt(-2 + x)*sqrt(-1 + x)), 2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(-2 + x)/2), -4), x, 1),
+(1/(sqrt((6 - x)*(-2 + x))*sqrt(-1 + x)), -((2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(6 - x)/2), 4//5))/sqrt(5)), x, 3),
+(1/(sqrt(-1 + x)*sqrt(-12 + 8*x - x^2)), -((2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(6 - x)/2), 4//5))/sqrt(5)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/2) / (e+f x)^(3/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(((2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(3//2), (29293*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/875 + (2517*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/350 + (12*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/7 + ((2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x) + (4071079*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/17500 + (673523*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(8750*sqrt(33)), x, 7),
+(((2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(3//2), (419*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/50 + (9*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/5 + ((2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x) + (7279*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/125 + (4817*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(250*sqrt(33)), x, 6),
+(((2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(3//2), 2*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x) + ((2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x) + (139*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/10 + (23*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(5*sqrt(33)), x, 5),
+((sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(3//2), (sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/sqrt(1 - 2*x) + sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33) + SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33)/sqrt(33), x, 4),
+(sqrt(3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)), (2*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(1 - 2*x)) + sqrt(5//7)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(5//11)*sqrt(1 - 2*x)), 33//35), x, 3),
+(sqrt(3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)), (2*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)) - (12*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(49*sqrt(2 + 3*x)) + (4*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/49 - (62*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(49*sqrt(33)), x, 5),
+(sqrt(3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)), (2*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)) - (8*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(49*(2 + 3*x)^(3//2)) + (38*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(343*sqrt(2 + 3*x)) - (38*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/343 - (212*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(343*sqrt(33)), x, 6),
+(sqrt(3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(7//2)), (2*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)) - (36*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(245*(2 + 3*x)^(5//2)) - (26*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1715*(2 + 3*x)^(3//2)) + (5636*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(12005*sqrt(2 + 3*x)) - (5636*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/12005 - (4364*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(12005*sqrt(33)), x, 7),
+
+
+(((2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(1 - 2*x)^(3//2), (6770629*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/31500 + (24358*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/875 + (1397*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/210 + (5*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/3 + ((2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/sqrt(1 - 2*x) + (112543103*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/78750 + (6770629*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/157500, x, 8),
+(((2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(1 - 2*x)^(3//2), (9694*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/175 + (2511*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/350 + (12*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/7 + ((2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/sqrt(1 - 2*x) + (1289089*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3500 + (9694*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/875, x, 7),
+(((2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(1 - 2*x)^(3//2), (139*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/10 + (9*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/5 + ((2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/sqrt(1 - 2*x) + (4621*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/50 + (139*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/50, x, 6),
+((sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(1 - 2*x)^(3//2), (10*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/3 + (sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/sqrt(1 - 2*x) + (133*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/6 + (2*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3, x, 5),
+((3 + 5*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)), (11*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(1 - 2*x)) + (34*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/7 + (sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/7, x, 4),
+((3 + 5*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)), (11*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)) - (31*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(49*sqrt(2 + 3*x)) + (31*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/49 + (4*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/49, x, 5),
+((3 + 5*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)), (11*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)) - (97*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(147*(2 + 3*x)^(3//2)) - (458*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1029*sqrt(2 + 3*x)) + (458*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1029 - (178*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1029, x, 6),
+((3 + 5*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(7//2)), (11*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)) - (163*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(245*(2 + 3*x)^(5//2)) - (458*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1715*(2 + 3*x)^(3//2)) + (338*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(12005*sqrt(2 + 3*x)) - (338*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/12005 - (992*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/12005, x, 7),
+((3 + 5*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(9//2)), (11*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2)) - (229*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(343*(2 + 3*x)^(7//2)) - (2818*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(12005*(2 + 3*x)^(5//2)) - (5438*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(84035*(2 + 3*x)^(3//2)) + (189368*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(588245*sqrt(2 + 3*x)) - (189368*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/588245 - (23012*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/588245, x, 8),
+
+
+(((2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(1 - 2*x)^(3//2), (269045681*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/207900 + (4066493*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/23100 + (9741*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/385 + (419*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/66 + (18*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/11 + ((2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/sqrt(1 - 2*x) + (17888580643*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(189000*sqrt(33)) + (269045681*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(94500*sqrt(33)), x, 9),
+(((2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(1 - 2*x)^(3//2), (1284329*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/3780 + (4853*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/105 + (93*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/14 + (5*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/3 + ((2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/sqrt(1 - 2*x) + (42696881*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/18900 + (1284329*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/18900, x, 8),
+(((2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(1 - 2*x)^(3//2), (3683*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/42 + (167*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/14 + (12*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/7 + ((2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/sqrt(1 - 2*x) + (244879*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/420 + (3683*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/210, x, 7),
+((sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(1 - 2*x)^(3//2), (397*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/18 + 3*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2) + (sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/sqrt(1 - 2*x) + (6599*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/45 + (397*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/90, x, 6),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)), (335*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/63 + (11*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(7*sqrt(1 - 2*x)) + (4451*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/126 + (67*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/63, x, 5),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)), (31*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(147*sqrt(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^(3//2))/(7*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)) + (1159*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/147 + (31*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/147, x, 5),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)), (97*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(441*(2 + 3*x)^(3//2)) - (2797*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3087*sqrt(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^(3//2))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)) + (2797*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3087 + (598*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3087, x, 6),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(7//2)), (163*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(735*(2 + 3*x)^(5//2)) - (15601*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(15435*(2 + 3*x)^(3//2)) - (81164*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(108045*sqrt(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^(3//2))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)) + (81164*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/108045 - (28174*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/108045, x, 7),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(9//2)), (229*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1029*(2 + 3*x)^(7//2)) - (37117*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(36015*(2 + 3*x)^(5//2)) - (106772*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(252105*(2 + 3*x)^(3//2)) - (106558*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1764735*sqrt(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^(3//2))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2)) + (106558*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1764735 - (220028*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1764735, x, 8),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(11//2)), (295*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1323*(2 + 3*x)^(9//2)) - (67345*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(64827*(2 + 3*x)^(7//2)) - (167228*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(453789*(2 + 3*x)^(5//2)) - (392998*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3176523*(2 + 3*x)^(3//2)) + (6036028*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(22235661*sqrt(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^(3//2))/(7*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(9//2)) - (6036028*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/22235661 - (1199452*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/22235661, x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((2 + 3*x)^(7//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)), (14517*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/2750 + (312*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/275 + (7*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(11*sqrt(1 - 2*x)) + (168123*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1250 + (5057*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1250, x, 6),
+((2 + 3*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)), (69*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/55 + (7*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(11*sqrt(1 - 2*x)) + (1597*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/50 + (24*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/25, x, 5),
+((2 + 3*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)), (7*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(11*sqrt(1 - 2*x)) + (34*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5 + (sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5, x, 4),
+(sqrt(2 + 3*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)), (2*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(11*sqrt(1 - 2*x)) + sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33), x, 3),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)), (4*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(77*sqrt(1 - 2*x)) + (2*sqrt(5//7)*sqrt(-3 - 5*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(5)*sqrt(2 + 3*x)), 2//35))/(11*sqrt(3 + 5*x)), x, 4),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)), (4*sqrt(3 + 5*x))/(77*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)) + (186*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(539*sqrt(2 + 3*x)) - (62*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/49 - (8*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/49, x, 5),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)), (4*sqrt(3 + 5*x))/(77*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)) + (54*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(539*(2 + 3*x)^(3//2)) + (5256*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3773*sqrt(2 + 3*x)) - (1752*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/343 - (68*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/343, x, 6),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x)), (4*sqrt(3 + 5*x))/(77*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)) + (138*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2695*(2 + 3*x)^(5//2)) + (10308*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(18865*(2 + 3*x)^(3//2)) + (733812*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(132055*sqrt(2 + 3*x)) - (244604*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/12005 - (7536*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/12005, x, 7),
+
+
+((2 + 3*x)^(9//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (-37*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2))/(605*sqrt(3 + 5*x)) + (7*(2 + 3*x)^(7//2))/(11*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (502941*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/151250 + (10851*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/15125 + (2911577*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/34375 + (175111*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/68750, x, 7),
+((2 + 3*x)^(7//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (-37*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2))/(605*sqrt(3 + 5*x)) + (7*(2 + 3*x)^(5//2))/(11*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (2388*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/3025 + (55019*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/2750 + (823*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/1375, x, 6),
+((2 + 3*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (-37*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(605*sqrt(3 + 5*x)) + (7*(2 + 3*x)^(3//2))/(11*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (1159*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/275 + (31*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/275, x, 5),
+((2 + 3*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (7*sqrt(2 + 3*x))/(11*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (37*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(121*sqrt(3 + 5*x)) + (37*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/55 - (2*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/55, x, 5),
+(sqrt(2 + 3*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (2*sqrt(2 + 3*x))/(11*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (20*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(121*sqrt(3 + 5*x)) + (4*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/11 - (2*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/11, x, 5),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), (4*sqrt(2 + 3*x))/(77*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (370*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(847*sqrt(3 + 5*x)) + (74*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/77 - (4*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/77, x, 5),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), 4/(77*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (186*sqrt(1 - 2*x))/(539*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (23180*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(5929*sqrt(3 + 5*x)) + (4636*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/539 + (124*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/539, x, 6),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), 4/(77*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (54*sqrt(1 - 2*x))/(539*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (9876*sqrt(1 - 2*x))/(3773*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (1100380*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(41503*sqrt(3 + 5*x)) + (220076*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3773 + (6584*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3773, x, 7),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), 4/(77*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (138*sqrt(1 - 2*x))/(2695*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (14928*sqrt(1 - 2*x))/(18865*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (2101332*sqrt(1 - 2*x))/(132055*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (46585232*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(290521*sqrt(3 + 5*x)) + (46585232*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/132055 + (1400888*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/132055, x, 8),
+
+
+((2 + 3*x)^(11//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-107*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2))/(1815*(3 + 5*x)^(3//2)) + (7*(2 + 3*x)^(9//2))/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (4553*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2))/(99825*sqrt(3 + 5*x)) + (17427983*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/8318750 + (380188*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/831875 + (604915631*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(3781250*sqrt(33)) + (18177329*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(3781250*sqrt(33)), x, 8),
+((2 + 3*x)^(9//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-107*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2))/(1815*(3 + 5*x)^(3//2)) + (7*(2 + 3*x)^(7//2))/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (4421*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2))/(99825*sqrt(3 + 5*x)) + (83093*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/166375 + (5684677*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(151250*sqrt(33)) + (84134*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(75625*sqrt(33)), x, 7),
+((2 + 3*x)^(7//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-107*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2))/(1815*(3 + 5*x)^(3//2)) + (7*(2 + 3*x)^(5//2))/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (4289*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(99825*sqrt(3 + 5*x)) + (118898*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(15125*sqrt(33)) + (2657*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(15125*sqrt(33)), x, 6),
+((2 + 3*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (-107*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(1815*(3 + 5*x)^(3//2)) + (7*(2 + 3*x)^(3//2))/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (4157*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(19965*sqrt(3 + 5*x)) + (4157*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(3025*sqrt(33)) - (412*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(3025*sqrt(33)), x, 6),
+((2 + 3*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (7*sqrt(2 + 3*x))/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (107*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(363*(3 + 5*x)^(3//2)) - (494*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(3993*sqrt(3 + 5*x)) + (494*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(605*sqrt(33)) - (214*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(605*sqrt(33)), x, 6),
+(sqrt(2 + 3*x)/((1 - 2*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), (2*sqrt(2 + 3*x))/(11*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (40*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(363*(3 + 5*x)^(3//2)) - (490*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(3993*sqrt(3 + 5*x)) + (98*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(121*sqrt(33)) - (16*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(121*sqrt(33)), x, 6),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2)), (4*sqrt(2 + 3*x))/(77*sqrt(1 - 2*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (410*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(2541*(3 + 5*x)^(3//2)) + (19480*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(27951*sqrt(3 + 5*x)) - (3896*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(847*sqrt(33)) - (164*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(847*sqrt(33)), x, 6),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), 4/(77*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (186*sqrt(1 - 2*x))/(539*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (45040*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(17787*(3 + 5*x)^(3//2)) + (2976620*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(195657*sqrt(3 + 5*x)) - (595324*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(5929*sqrt(33)) - (18016*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(5929*sqrt(33)), x, 7),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), 4/(77*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (54*sqrt(1 - 2*x))/(539*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (14496*sqrt(1 - 2*x))/(3773*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (3205940*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(124509*(3 + 5*x)^(3//2)) + (213119320*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(1369599*sqrt(3 + 5*x)) - (42623864*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(41503*sqrt(33)) - (1282376*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(41503*sqrt(33)), x, 8),
+(1/((1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2)), 4/(77*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (138*sqrt(1 - 2*x))/(2695*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (19548*sqrt(1 - 2*x))/(18865*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)) + (4115652*sqrt(1 - 2*x))/(132055*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)) - (181551856*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(871563*(3 + 5*x)^(3//2)) + (12071114168*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(9587193*sqrt(3 + 5*x)) - (12071114168*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(1452605*sqrt(33)) - (363103712*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(1452605*sqrt(33)), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/2) / (e+f x)^(5/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
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+(((2 + 3*x)^(9//2)*sqrt(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(5//2), (-6478333*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/38500 - (139163*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/3850 - (1327*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/154 - (166*(2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/(33*sqrt(1 - 2*x)) + ((2 + 3*x)^(9//2)*sqrt(3 + 5*x))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - (112543103*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(8750*sqrt(33)) - (6770629*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(17500*sqrt(33)), x, 8),
+(((2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(5//2), (-18551*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/550 - (797*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/110 - (133*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(33*sqrt(1 - 2*x)) + ((2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - (1289089*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(500*sqrt(33)) - (9694*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(125*sqrt(33)), x, 7),
+(((2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(5//2), (-133*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/22 - (100*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(33*sqrt(1 - 2*x)) + ((2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - (4621*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(10*sqrt(33)) - (139*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(10*sqrt(33)), x, 6),
+(((2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(5//2), (-67*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(33*sqrt(1 - 2*x)) + ((2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - (133*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(2*sqrt(33)) - (2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/sqrt(33), x, 5),
+((sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1 - 2*x)^(5//2), (sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - (68*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(231*sqrt(1 - 2*x)) - (34*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(7*sqrt(33)) - SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33)/(7*sqrt(33)), x, 5),
+(sqrt(3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 3*x)), (2*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)) + (62*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1617*sqrt(1 - 2*x)) + (31*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(49*sqrt(33)) + (4*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(49*sqrt(33)), x, 5),
+(sqrt(3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(3//2)), (2*sqrt(3 + 5*x))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)) + (194*sqrt(3 + 5*x))/(1617*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)) - (458*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3773*sqrt(2 + 3*x)) + (458*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(343*sqrt(33)) - (178*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(343*sqrt(33)), x, 6),
+(sqrt(3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(5//2)), (2*sqrt(3 + 5*x))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)) + (326*sqrt(3 + 5*x))/(1617*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)) - (458*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(3773*(2 + 3*x)^(3//2)) + (338*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(26411*sqrt(2 + 3*x)) - (338*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(2401*sqrt(33)) - (992*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(2401*sqrt(33)), x, 7),
+(sqrt(3 + 5*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(7//2)), (2*sqrt(3 + 5*x))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)) + (458*sqrt(3 + 5*x))/(1617*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)) - (2818*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(18865*(2 + 3*x)^(5//2)) - (5438*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(132055*(2 + 3*x)^(3//2)) + (189368*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(924385*sqrt(2 + 3*x)) - (189368*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(84035*sqrt(33)) - (2092*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/84035, x, 8),
+
+
+(((2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(1 - 2*x)^(5//2), (-2166399*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/7700 - (140289*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/3850 - (1341*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/154 - (56*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(11*sqrt(1 - 2*x)) + ((2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - (6547351*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3500 - (722133*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3500, x, 8),
+(((2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(1 - 2*x)^(5//2), (-6231*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/110 - (807*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/110 - (45*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(11*sqrt(1 - 2*x)) + ((2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - (37663*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/100 - (2077*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/50, x, 7),
+(((2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(1 - 2*x)^(5//2), (-225*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/22 - (34*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(11*sqrt(1 - 2*x)) + ((2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - 68*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33) - (15*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/2, x, 6),
+((sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(1 - 2*x)^(5//2), (-23*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(7*sqrt(1 - 2*x)) + (sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - (139*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/14 - (23*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(7*sqrt(33)), x, 5),
+((3 + 5*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 3*x)), (11*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)) - (74*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(147*sqrt(1 - 2*x)) - (37*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/49 - (13*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(49*sqrt(33)), x, 5),
+((3 + 5*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(3//2)), (11*sqrt(3 + 5*x))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)) - (8*sqrt(3 + 5*x))/(147*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)) - (19*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(343*sqrt(2 + 3*x)) + (19*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/343 + (106*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(343*sqrt(33)), x, 6),
+((3 + 5*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(5//2)), (11*sqrt(3 + 5*x))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)) + (58*sqrt(3 + 5*x))/(147*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)) - (89*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(343*(2 + 3*x)^(3//2)) - (496*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2401*sqrt(2 + 3*x)) + (496*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/2401 - (582*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/2401, x, 7),
+((3 + 5*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(7//2)), (11*sqrt(3 + 5*x))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)) + (124*sqrt(3 + 5*x))/(147*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)) - (779*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1715*(2 + 3*x)^(5//2)) - (2264*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(12005*(2 + 3*x)^(3//2)) - (3946*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(84035*sqrt(2 + 3*x)) + (3946*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/84035 - (16732*sqrt(3//11)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/84035, x, 8),
+
+
+(((2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(1 - 2*x)^(5//2), (-1313411*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/630 - (1310203*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/4620 - (6277*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/154 - (225*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/22 - (203*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(33*sqrt(1 - 2*x)) + ((2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - (174654791*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/12600 - (1313411*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/3150, x, 9),
+(((2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(1 - 2*x)^(5//2), (-12601*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/28 - (28283*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/462 - (1355*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/154 - (170*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(33*sqrt(1 - 2*x)) + ((2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - (69819*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/70 - (12601*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/140, x, 8),
+(((2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(1 - 2*x)^(5//2), -91*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x) - (817*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/66 - (137*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(33*sqrt(1 - 2*x)) + ((2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(5//2))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - (12101*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/20 - (91*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/5, x, 7),
+((sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(1 - 2*x)^(5//2), (-695*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/42 - (104*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(21*sqrt(1 - 2*x)) + (sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(5//2))/(3*(1 - 2*x)^(3//2)) - (4621*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/42 - (139*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/42, x, 6),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 3*x)), (-264*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(49*sqrt(1 - 2*x)) + (11*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)) - (1597*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/98 - (8*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/49, x, 5),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(3//2)), (-143*sqrt(3 + 5*x))/(49*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)) + (438*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(343*sqrt(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^(3//2))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)) - (146*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/343 - (17*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/343, x, 6),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(5//2)), (-22*sqrt(3 + 5*x))/(49*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)) + (229*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1029*(2 + 3*x)^(3//2)) - (169*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(7203*sqrt(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^(3//2))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)) + (169*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/7203 + (496*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/7203, x, 7),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(7//2)), (99*sqrt(3 + 5*x))/(49*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)) - (1432*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1715*(2 + 3*x)^(5//2)) - (4437*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(12005*(2 + 3*x)^(3//2)) - (27618*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(84035*sqrt(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^(3//2))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)) + (9206*sqrt(33)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/84035 - (7738*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/84035, x, 8),
+((3 + 5*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(9//2)), (220*sqrt(3 + 5*x))/(49*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(7//2)) - (4545*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2401*(2 + 3*x)^(7//2)) - (11433*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(16807*(2 + 3*x)^(5//2)) - (33778*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(117649*(2 + 3*x)^(3//2)) - (98642*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(823543*sqrt(2 + 3*x)) + (11*(3 + 5*x)^(3//2))/(21*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(7//2)) + (98642*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/823543 - (65672*sqrt(11//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/823543, x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((2 + 3*x)^(9//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)), (-317384*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/15125 - (27271*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/6050 - (910*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(363*sqrt(1 - 2*x)) + (7*(2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)) - (44109377*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(27500*sqrt(33)) - (663409*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(13750*sqrt(33)), x, 7),
+((2 + 3*x)^(7//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)), (-4517*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/1210 - (679*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(363*sqrt(1 - 2*x)) + (7*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)) - (78472*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(275*sqrt(33)) - (4721*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(550*sqrt(33)), x, 6),
+((2 + 3*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)), (-448*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(363*sqrt(1 - 2*x)) + (7*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)) - (4451*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(110*sqrt(33)) - (67*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(55*sqrt(33)), x, 5),
+((2 + 3*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)), (7*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)) - (62*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(363*sqrt(1 - 2*x)) - (31*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(11*sqrt(33)) - SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33)/(11*sqrt(33)), x, 5),
+(sqrt(2 + 3*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)), (2*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)) + (74*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(2541*sqrt(1 - 2*x)) + (37*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(77*sqrt(33)) - (2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(77*sqrt(33)), x, 5),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)), (4*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(231*(1 - 2*x)^(3//2)) + (544*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/(17787*sqrt(1 - 2*x)) + (272*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(539*sqrt(33)) - (202*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(539*sqrt(33)), x, 5),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)), (4*sqrt(3 + 5*x))/(231*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)) + (808*sqrt(3 + 5*x))/(17787*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)) + (5594*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(41503*sqrt(2 + 3*x)) - (5594*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(3773*sqrt(33)) - (1196*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(3773*sqrt(33)), x, 6),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)), (4*sqrt(3 + 5*x))/(231*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)) + (1072*sqrt(3 + 5*x))/(17787*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)) + (974*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(41503*(2 + 3*x)^(3//2)) + (184636*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(290521*sqrt(2 + 3*x)) - (184636*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(26411*sqrt(33)) - (9124*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(26411*sqrt(33)), x, 7),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(7//2)*sqrt(3 + 5*x)), (4*sqrt(3 + 5*x))/(231*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)) + (1336*sqrt(3 + 5*x))/(17787*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)) - (806*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(207515*(2 + 3*x)^(5//2)) + (349904*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(1452605*(2 + 3*x)^(3//2)) + (26062156*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x))/(10168235*sqrt(2 + 3*x)) - (26062156*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(924385*sqrt(33)) - (837304*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(924385*sqrt(33)), x, 8),
+
+
+((2 + 3*x)^(11//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (4439*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2))/(19965*sqrt(3 + 5*x)) - (896*(2 + 3*x)^(7//2))/(363*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (7*(2 + 3*x)^(9//2))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) - (21713939*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x))/1663750 - (932783*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x))/332750 - (1508889271*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(1512500*sqrt(33)) - (11346991*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(378125*sqrt(33)), x, 8),
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+((2 + 3*x)^(7//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (2129*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(19965*sqrt(3 + 5*x)) - (434*(2 + 3*x)^(3//2))/(363*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (7*(2 + 3*x)^(5//2))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) - (148831*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(6050*sqrt(33)) - (2252*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(3025*sqrt(33)), x, 6),
+((2 + 3*x)^(5//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (-203*sqrt(2 + 3*x))/(363*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (974*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(3993*sqrt(3 + 5*x)) + (7*(2 + 3*x)^(3//2))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) - (974*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(605*sqrt(33)) - (41*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(605*sqrt(33)), x, 6),
+((2 + 3*x)^(3//2)/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (7*sqrt(2 + 3*x))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (8*sqrt(2 + 3*x))/(363*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (245*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(3993*sqrt(3 + 5*x)) + (49*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(121*sqrt(33)) - (8*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(121*sqrt(33)), x, 6),
+(sqrt(2 + 3*x)/((1 - 2*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), (2*sqrt(2 + 3*x))/(33*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (214*sqrt(2 + 3*x))/(2541*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (2470*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(27951*sqrt(3 + 5*x)) + (494*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(847*sqrt(33)) - (214*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(847*sqrt(33)), x, 6),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 3*x)*(3 + 5*x)^(3//2)), (4*sqrt(2 + 3*x))/(231*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (824*sqrt(2 + 3*x))/(17787*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (41570*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(195657*sqrt(3 + 5*x)) + (8314*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(5929*sqrt(33)) - (824*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(5929*sqrt(33)), x, 6),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), 4/(231*(1 - 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + 1088/(17787*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) + (5314*sqrt(1 - 2*x))/(41503*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (2377960*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(1369599*sqrt(3 + 5*x)) + (475592*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(41503*sqrt(33)) + (10628*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(41503*sqrt(33)), x, 7),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), 4/(231*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + 1352/(17787*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (694*sqrt(1 - 2*x))/(41503*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (336536*sqrt(1 - 2*x))/(290521*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (113693540*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(9587193*sqrt(3 + 5*x)) + (22738708*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(290521*sqrt(33)) + (673072*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(290521*sqrt(33)), x, 8),
+(1/((1 - 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x)^(7//2)*(3 + 5*x)^(3//2)), 4/(231*(1 - 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)) + 1616/(17787*sqrt(1 - 2*x)*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)) - (2206*sqrt(1 - 2*x))/(207515*(2 + 3*x)^(5//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (499564*sqrt(1 - 2*x))/(1452605*(2 + 3*x)^(3//2)*sqrt(3 + 5*x)) + (72709316*sqrt(1 - 2*x))/(10168235*sqrt(2 + 3*x)*sqrt(3 + 5*x)) - (4839325048*sqrt(1 - 2*x)*sqrt(2 + 3*x))/(67110351*sqrt(3 + 5*x)) + (4839325048*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(10168235*sqrt(33)) + (145418632*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//7)*sqrt(1 - 2*x)), 35//33))/(10168235*sqrt(33)), x, 9),
+
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(1/3) (c+d x)^(n/3) (e+f x)^p
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
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+# ::Subsubsection::Closed::
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+(1/((a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(2//3))*(e + f*x)^2, (f*(9*b*d*e - 5*b*c*f - 4*a*d*f)*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(1//3))/(6*b^2*d^2) + (f*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(1//3)*(e + f*x))/(2*b*d) - ((2*a^2*d^2*f^2 - 2*a*b*d*f*(3*d*e - c*f) + b^2*(9*d^2*e^2 - 12*c*d*e*f + 5*c^2*f^2))*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))))/(3*sqrt(3)*b^(7//3)*d^(8//3)) - ((2*a^2*d^2*f^2 - 2*a*b*d*f*(3*d*e - c*f) + b^2*(9*d^2*e^2 - 12*c*d*e*f + 5*c^2*f^2))*log(c + d*x))/(18*b^(7//3)*d^(8//3)) - ((2*a^2*d^2*f^2 - 2*a*b*d*f*(3*d*e - c*f) + b^2*(9*d^2*e^2 - 12*c*d*e*f + 5*c^2*f^2))*log(-1 + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))))/(6*b^(7//3)*d^(8//3)), x, 3),
+(1/((a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(2//3))*(e + f*x)^1, (f*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(1//3))/(b*d) - ((3*b*d*e - 2*b*c*f - a*d*f)*atan(1/sqrt(3) + (2*d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(4//3)*d^(5//3)) - ((3*b*d*e - 2*b*c*f - a*d*f)*log(c + d*x))/(6*b^(4//3)*d^(5//3)) - ((3*b*d*e - 2*b*c*f - a*d*f)*log(-1 + (d^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(b^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))))/(2*b^(4//3)*d^(5//3)), x, 2),
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+(1/((a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(2//3))/(e + f*x)^1, -((sqrt(3)*atan(1/sqrt(3) + (2*(d*e - c*f)^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*(b*e - a*f)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))))/((b*e - a*f)^(1//3)*(d*e - c*f)^(2//3))) + log(e + f*x)/(2*(b*e - a*f)^(1//3)*(d*e - c*f)^(2//3)) - (3*log(((d*e - c*f)^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(b*e - a*f)^(1//3) - (c + d*x)^(1//3)))/(2*(b*e - a*f)^(1//3)*(d*e - c*f)^(2//3)), x, 1),
+(1/((a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(2//3))/(e + f*x)^2, -((f*(a + b*x)^(2//3)*(c + d*x)^(1//3))/((b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(e + f*x))) - ((3*b*d*e - b*c*f - 2*a*d*f)*atan(1/sqrt(3) + (2*(d*e - c*f)^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(sqrt(3)*(b*e - a*f)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))))/(sqrt(3)*(b*e - a*f)^(4//3)*(d*e - c*f)^(5//3)) + ((3*b*d*e - b*c*f - 2*a*d*f)*log(e + f*x))/(6*(b*e - a*f)^(4//3)*(d*e - c*f)^(5//3)) - ((3*b*d*e - b*c*f - 2*a*d*f)*log(((d*e - c*f)^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))/(b*e - a*f)^(1//3) - (c + d*x)^(1//3)))/(2*(b*e - a*f)^(4//3)*(d*e - c*f)^(5//3)), x, 2),
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+# Integrands of the form (a+b x)^m / ((c+d x)^(1/3) (e+f x)^(n/3)) with 2 b d e-b c f-a d f=0
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+# ::Subsubsection::Closed::
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+((a + b*x)^3/((c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)), (3*(a + b*x)^2*(c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(2//3))/(20*d^2) + (9*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(2//3)*(23*b*c - 39*a*d - 16*b*d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(2//3))/(560*d^4) - (81*(b*c - a*d)^3*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2))/(112*b^(2//3)*d^6*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))) + (81*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(11//3)*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3) + 4*b^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(224*b^(2//3)*d^4*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)) - (27*3^(3//4)*(b*c - a*d)^(11//3)*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3) + 4*b^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(56*sqrt(2)*b^(2//3)*d^4*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)), x, 7),
+((a + b*x)^2/((c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)), -((45*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(2//3))/(112*d^3)) + (3*(a + b*x)*(c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(2//3))/(14*d^2) + (99*(b*c - a*d)^2*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2))/(112*b^(2//3)*d^5*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))) - (99*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(8//3)*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3) + 4*b^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(224*b^(2//3)*d^3*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)) + (33*3^(3//4)*(b*c - a*d)^(8//3)*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3) + 4*b^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(56*sqrt(2)*b^(2//3)*d^3*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)), x, 7),
+((a + b*x)^1/((c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)), (3*(c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(2//3))/(8*d^2) - (9*(b*c - a*d)*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2))/(8*b^(2//3)*d^4*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))) + (9*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(5//3)*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3) + 4*b^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*b^(2//3)*d^2*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)) - (3*3^(3//4)*(b*c - a*d)^(5//3)*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3) + 4*b^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*b^(2//3)*d^2*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)), x, 6),
+((a + b*x)^0/((c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)), (3*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2))/(2*b^(2//3)*d^3*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3)*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3) + 4*b^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*b^(2//3)*d*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)) + (3^(3//4)*(b*c - a*d)^(2//3)*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3) + 4*b^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt(2)*b^(2//3)*d*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)), x, 5),
+(1/((a + b*x)^1*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)), -((sqrt(3)*atan(1/sqrt(3) + (2*b^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/(sqrt(3)*(b*c - a*d)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3))))/(2*b^(2//3)*(b*c - a*d)^(2//3))) - log(a + b*x)/(2*b^(2//3)*(b*c - a*d)^(2//3)) + (3*log((b^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/(b*c - a*d)^(1//3) - (b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)))/(4*b^(2//3)*(b*c - a*d)^(2//3)), x, 1),
+(1/((a + b*x)^2*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)), -(((c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(2//3))/((b*c - a*d)^2*(a + b*x))) + (((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2))/(b^(2//3)*d*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))) + (sqrt(3)*d*atan(1/sqrt(3) + (2*b^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/(sqrt(3)*(b*c - a*d)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3))))/(2*b^(2//3)*(b*c - a*d)^(5//3)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*d*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3) + 4*b^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*b^(2//3)*(b*c - a*d)^(4//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)) + (sqrt(2)*d*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3) + 4*b^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*b^(2//3)*(b*c - a*d)^(4//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)) + (d*log(a + b*x))/(2*b^(2//3)*(b*c - a*d)^(5//3)) - (3*d*log((b^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/(b*c - a*d)^(1//3) - (b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)))/(4*b^(2//3)*(b*c - a*d)^(5//3)), x, 8),
+(1/((a + b*x)^3*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)), -(((c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(2//3))/(2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2)) + (2*d*(c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(2//3))/((b*c - a*d)^3*(a + b*x)) - (2*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2))/(b^(2//3)*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))) - (2*d^2*atan(1/sqrt(3) + (2*b^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/(sqrt(3)*(b*c - a*d)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(2//3)*(b*c - a*d)^(8//3)) + (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*d^2*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3) + 4*b^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(2//3)*(b*c - a*d)^(7//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)) - (2*sqrt(2)*d^2*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3) + 4*b^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*b^(2//3)*(b*c - a*d)^(7//3)*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)) - (2*d^2*log(a + b*x))/(3*b^(2//3)*(b*c - a*d)^(8//3)) + (d^2*log((b^(2//3)*(c + d*x)^(2//3))/(b*c - a*d)^(1//3) - (b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)))/(b^(2//3)*(b*c - a*d)^(8//3)), x, 9),
+
+
+((a + b*x)^3/((c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(4//3)), (3*(a + b*x)^2*(c + d*x)^(2//3))/(14*d^2*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)) + (9*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(2//3)*(b*c - 7*a*d - 6*b*d*x))/(112*d^4*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)) + (81*(b*c - a*d)^2*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2))/(112*b^(2//3)*d^6*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))) - (81*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(8//3)*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3) + 4*b^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(224*b^(2//3)*d^4*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)) + (27*3^(3//4)*(b*c - a*d)^(8//3)*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3) + 4*b^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(56*sqrt(2)*b^(2//3)*d^4*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)), x, 7),
+((a + b*x)^2/((c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(4//3)), -((3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(2//3))/(4*d^3*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3))) + (3*(c + d*x)^(2//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(2//3))/(16*d^3) - (9*(b*c - a*d)*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2))/(16*b^(2//3)*d^5*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))) + (9*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(5//3)*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3) + 4*b^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(32*b^(2//3)*d^3*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)) - (3*3^(3//4)*(b*c - a*d)^(5//3)*((c + d*x)*(b*c + a*d + 2*b*d*x))^(1//3)*sqrt((d*(3*b*c + a*d) + 4*b*d^2*x)^2)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))*sqrt(((b*c - a*d)^(4//3) - 2*b^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3) + 4*b^(2//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(8*sqrt(2)*b^(2//3)*d^3*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)*sqrt(d^2*(3*b*c + a*d + 4*b*d*x)^2)*sqrt(((b*c - a*d)^(2//3)*((b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b*c - a*d)^(2//3) + 2*b^(1//3)*((c + d*x)*(a*d + b*(c + 2*d*x)))^(1//3))^2)), x, 7),
+((a + b*x)^1/((c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(4//3)), (3*(c + d*x)^(2//3))/(2*d^2*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)), x, 1),
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+(1/((a + b*x)^3*(c + d*x)^(1//3)*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(4//3)), (3*d^2*(c + d*x)^(2//3)*(-((b*c + a*d + 2*b*d*x)/(b*c - a*d)))^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 4//3, 3, 5//3, (2*b*(c + d*x))/(b*c - a*d), (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/(2*(b*c - a*d)^4*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^(1//3)), x, 2),
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+(1/((d + e*x)*(d - 3*e*x)^(1//3)*(d + 3*e*x)^(1//3)), (sqrt(3)*atan(1/sqrt(3) - (d - 3*e*x)^(2//3)/(sqrt(3)*d^(1//3)*(d + 3*e*x)^(1//3))))/(4*d^(2//3)*e) + log(d + e*x)/(4*d^(2//3)*e) - (3*log(-((d - 3*e*x)^(2//3)/(2*d^(1//3))) - (d + 3*e*x)^(1//3)))/(8*d^(2//3)*e), x, 1),
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+((a + b*x)^(4//3)/(c + d*x)^(4//3)/(e + f*x)^3, (3*d*(a + b*x)^(7//3))/((b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(1//3)*(e + f*x)^2) - ((6*b*d*e + b*c*f - 7*a*d*f)*(a + b*x)^(4//3)*(c + d*x)^(2//3))/(2*(b*c - a*d)*(d*e - c*f)^2*(e + f*x)^2) + (2*(6*b*d*e + b*c*f - 7*a*d*f)*(a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(2//3))/(3*(d*e - c*f)^3*(e + f*x)) + (2*(b*c - a*d)*(6*b*d*e + b*c*f - 7*a*d*f)*atan(1/sqrt(3) + (2*(b*e - a*f)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(sqrt(3)*(d*e - c*f)^(1//3)*(a + b*x)^(1//3))))/(3*sqrt(3)*(b*e - a*f)^(2//3)*(d*e - c*f)^(10//3)) - ((b*c - a*d)*(6*b*d*e + b*c*f - 7*a*d*f)*log(e + f*x))/(9*(b*e - a*f)^(2//3)*(d*e - c*f)^(10//3)) + ((b*c - a*d)*(6*b*d*e + b*c*f - 7*a*d*f)*log(-(a + b*x)^(1//3) + ((b*e - a*f)^(1//3)*(c + d*x)^(1//3))/(d*e - c*f)^(1//3)))/(3*(b*e - a*f)^(2//3)*(d*e - c*f)^(10//3)), x, 4),
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^(n/2) (e+f x)^(p/4)
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+(1/((a + b*x)*sqrt(c + d*x)*(e + f*x)^(1//4)), (2*(d*e - c*f)^(1//4)*sqrt(-((f*(c + d*x))/(d*e - c*f)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(d*e - c*f))/(sqrt(d)*sqrt(b*e - a*f))), asin((d^(1//4)*(e + f*x)^(1//4))/(d*e - c*f)^(1//4)), -1))/(sqrt(b)*d^(1//4)*sqrt(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x)) - (2*(d*e - c*f)^(1//4)*sqrt(-((f*(c + d*x))/(d*e - c*f)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(d*e - c*f))/(sqrt(d)*sqrt(b*e - a*f)), asin((d^(1//4)*(e + f*x)^(1//4))/(d*e - c*f)^(1//4)), -1))/(sqrt(b)*d^(1//4)*sqrt(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x)), x, 5),
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+(1/((a + b*x)*sqrt(c + d*x)*(e + f*x)^(3//4)), -((2*(d*e - c*f)^(1//4)*sqrt(-((f*(c + d*x))/(d*e - c*f)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(d*e - c*f))/(sqrt(d)*sqrt(b*e - a*f))), asin((d^(1//4)*(e + f*x)^(1//4))/(d*e - c*f)^(1//4)), -1))/(d^(1//4)*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x))) - (2*(d*e - c*f)^(1//4)*sqrt(-((f*(c + d*x))/(d*e - c*f)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(d*e - c*f))/(sqrt(d)*sqrt(b*e - a*f)), asin((d^(1//4)*(e + f*x)^(1//4))/(d*e - c*f)^(1//4)), -1))/(d^(1//4)*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p with m, n and/or p symbolic
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (A+B x) (d+e x)^p
+
+
+((a + b*x)^p*(A + B*x)*(d + e*x)^(-2 - p), -(((B*d - A*e)*(a + b*x)^(1 + p)*(d + e*x)^(-1 - p))/(e*(b*d - a*e)*(1 + p))) - (B*(a + b*x)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, -p, 1 - p, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/((-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e)))^p*(d + e*x)^p*(e^2*p)), x, 3),
+
+
+((a + b*x)*(c + d*x)^(n - 0)/(e + f*x)^n, (b*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x)^(1 - n))/(2*d*f) + ((2*a*d*f - b*(c*f*(1 - n) + d*e*(1 + n)))*(c + d*x)^(1 + n)*((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 1 + n, 2 + n, -((f*(c + d*x))/(d*e - c*f))))/((e + f*x)^n*(2*d^2*f*(1 + n))), x, 3),
+((a + b*x)*(c + d*x)^(n - 1)/(e + f*x)^n, -(((b*c - a*d)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(1 - n))/(d*(d*e - c*f)*n)) - ((a*d*f - b*(c*f*(1 - n) + d*e*n))*(c + d*x)^(1 + n)*((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 1 + n, 2 + n, -((f*(c + d*x))/(d*e - c*f))))/((e + f*x)^n*(d^2*(d*e - c*f)*n*(1 + n))), x, 3),
+((a + b*x)*(c + d*x)^(n - 2)/(e + f*x)^n, ((b*c - a*d)*(c + d*x)^(-1 + n)*(e + f*x)^(1 - n))/(d*(d*e - c*f)*(1 - n)) + (b*(c + d*x)^n*((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, n, 1 + n, -((f*(c + d*x))/(d*e - c*f))))/((e + f*x)^n*(d^2*n)), x, 3),
+((a + b*x)*(c + d*x)^(n - 3)/(e + f*x)^n, ((b*c - a*d)*(c + d*x)^(-2 + n)*(e + f*x)^(1 - n))/(d*(d*e - c*f)*(2 - n)) + ((a*d*f + b*(c*f*(1 - n) - d*e*(2 - n)))*(c + d*x)^(-1 + n)*(e + f*x)^(1 - n))/(d*(d*e - c*f)^2*(1 - n)*(2 - n)), x, 2),
+((a + b*x)*(c + d*x)^(n - 4)/(e + f*x)^n, ((b*c - a*d)*(c + d*x)^(-3 + n)*(e + f*x)^(1 - n))/(d*(d*e - c*f)*(3 - n)) + ((2*a*d*f + b*(c*f*(1 - n) - d*e*(3 - n)))*(c + d*x)^(-2 + n)*(e + f*x)^(1 - n))/(d*(d*e - c*f)^2*(2 - n)*(3 - n)) - (f*(2*a*d*f + b*(c*f*(1 - n) - d*e*(3 - n)))*(c + d*x)^(-1 + n)*(e + f*x)^(1 - n))/(d*(d*e - c*f)^3*(1 - n)*(2 - n)*(3 - n)), x, 3),
+((a + b*x)*(c + d*x)^(n - 5)/(e + f*x)^n, ((b*c - a*d)*(c + d*x)^(-4 + n)*(e + f*x)^(1 - n))/(d*(d*e - c*f)*(4 - n)) + ((3*a*d*f + b*(c*f*(1 - n) - d*e*(4 - n)))*(c + d*x)^(-3 + n)*(e + f*x)^(1 - n))/(d*(d*e - c*f)^2*(3 - n)*(4 - n)) - (2*f*(3*a*d*f + b*(c*f*(1 - n) - d*e*(4 - n)))*(c + d*x)^(-2 + n)*(e + f*x)^(1 - n))/(d*(d*e - c*f)^3*(2 - n)*(3 - n)*(4 - n)) + (2*f^2*(3*a*d*f + b*(c*f*(1 - n) - d*e*(4 - n)))*(c + d*x)^(-1 + n)*(e + f*x)^(1 - n))/(d*(d*e - c*f)^4*(1 - n)*(2 - n)*(3 - n)*(4 - n)), x, 4),
+
+
+((c + d*x)*(e + f*x)^(n - 0)/(a + b*x)^n, (d*(a + b*x)^(1 - n)*(e + f*x)^(1 + n))/(2*b*f) + ((b*(2*c*f - d*e*(1 - n)) - a*d*f*(1 + n))*(-((f*(a + b*x))/(b*e - a*f)))^n*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 1 + n, 2 + n, (b*(e + f*x))/(b*e - a*f)))/((a + b*x)^n*(2*b*f^2*(1 + n))), x, 3),
+((c + d*x)*(e + f*x)^(n - 1)/(a + b*x)^n, ((d*e - c*f)*(a + b*x)^(1 - n)*(e + f*x)^n)/(f*(b*e - a*f)*n) + ((b*(c*f - d*e*(1 - n)) - a*d*f*n)*(-((f*(a + b*x))/(b*e - a*f)))^n*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 1 + n, 2 + n, (b*(e + f*x))/(b*e - a*f)))/(a + b*x)^n/(f^2*(b*e - a*f)*n*(1 + n)), x, 3),
+((c + d*x)*(e + f*x)^(n - 2)/(a + b*x)^n, -(((d*e - c*f)*(a + b*x)^(1 - n)*(e + f*x)^(-1 + n))/(f*(b*e - a*f)*(1 - n))) + (d*(-((f*(a + b*x))/(b*e - a*f)))^n*(e + f*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, n, 1 + n, (b*(e + f*x))/(b*e - a*f)))/((a + b*x)^n*(f^2*n)), x, 3),
+((c + d*x)*(e + f*x)^(n - 3)/(a + b*x)^n, -(((d*e - c*f)*(a + b*x)^(1 - n)*(e + f*x)^(-2 + n))/(f*(b*e - a*f)*(2 - n))) - ((a*d*f*(2 - n) - b*(c*f + d*(e - e*n)))*(a + b*x)^(1 - n)*(e + f*x)^(-1 + n))/(f*(b*e - a*f)^2*(1 - n)*(2 - n)), x, 2),
+((c + d*x)*(e + f*x)^(n - 4)/(a + b*x)^n, -(((d*e - c*f)*(a + b*x)^(1 - n)*(e + f*x)^(-3 + n))/(f*(b*e - a*f)*(3 - n))) + ((b*(2*c*f + d*e*(1 - n)) - a*d*f*(3 - n))*(a + b*x)^(1 - n)*(e + f*x)^(-2 + n))/(f*(b*e - a*f)^2*(2 - n)*(3 - n)) + (b*(b*(2*c*f + d*e*(1 - n)) - a*d*f*(3 - n))*(a + b*x)^(1 - n)*(e + f*x)^(-1 + n))/(f*(b*e - a*f)^3*(1 - n)*(2 - n)*(3 - n)), x, 3),
+((c + d*x)*(e + f*x)^(n - 5)/(a + b*x)^n, -(((d*e - c*f)*(a + b*x)^(1 - n)*(e + f*x)^(-4 + n))/(f*(b*e - a*f)*(4 - n))) + ((b*(3*c*f + d*e*(1 - n)) - a*d*f*(4 - n))*(a + b*x)^(1 - n)*(e + f*x)^(-3 + n))/(f*(b*e - a*f)^2*(3 - n)*(4 - n)) + (2*b*(b*(3*c*f + d*e*(1 - n)) - a*d*f*(4 - n))*(a + b*x)^(1 - n)*(e + f*x)^(-2 + n))/(f*(b*e - a*f)^3*(2 - n)*(3 - n)*(4 - n)) + (2*b^2*(b*(3*c*f + d*e*(1 - n)) - a*d*f*(4 - n))*(a + b*x)^(1 - n)*(e + f*x)^(-1 + n))/(f*(b*e - a*f)^4*(1 - n)*(2 - n)*(3 - n)*(4 - n)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m / (c+d x)^(m+n) (e+f x)^(n+p)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n=0
+
+
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^m*(e + f*x)^p, ((a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, m, -p, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/((c + d*x)^m*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*(b*(1 + m))), x, 3),
+
+((2 + 3*x)^m/(1 + 2*x)^m*(5 - 4*x)^4, (-(1//45))*(88 - m)*(5 - 4*x)^2*(1 + 2*x)^(1 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m) - (2//15)*(5 - 4*x)^3*(1 + 2*x)^(1 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m) - ((1 + 2*x)^(1 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m)*(386850 - 25441*m + 426*m^2 - 2*m^3 - 24*(4359 - 154*m + m^2)*x))/1215 + (2^(-1 - m)*(3528363 - 639760*m + 29050*m^2 - 440*m^3 + 2*m^4)*(1 + 2*x)^(1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 - m, -m, 2 - m, -3*(1 + 2*x)))/(1215*(1 - m)), x, 4),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^m*(e + f*x)^3, (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 - m)*(e + f*x)^2)/(4*b*d) + (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 - m)*(a^2*d^2*f^2*(6 - 5*m + m^2) - 2*a*b*d*f*(6*d*e*(2 - m) - c*f*(3 - m^2)) + b^2*(30*d^2*e^2 - 12*c*d*e*f*(2 + m) + c^2*f^2*(6 + 5*m + m^2)) - 2*b*d*f*(a*d*f*(3 - m) - b*(6*d*e - c*f*(3 + m)))*x))/(24*b^3*d^3) - (1/(24*b^4*d^3*(1 + m)))*(((a^3*d^3*f^3*(6 - 11*m + 6*m^2 - m^3) - 3*a^2*b*d^2*f^2*(2 - 3*m + m^2)*(4*d*e - c*f*(1 + m)) + 3*a*b^2*d*f*(1 - m)*(12*d^2*e^2 - 8*c*d*e*f*(1 + m) + c^2*f^2*(2 + 3*m + m^2)) - b^3*(24*d^3*e^3 - 36*c*d^2*e^2*f*(1 + m) + 12*c^2*d*e*f^2*(2 + 3*m + m^2) - c^3*f^3*(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3)))*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(c + d*x)^m), x, 4),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^m*(e + f*x)^2, -((f*(a*d*f*(2 - m) - b*(4*d*e - c*f*(2 + m)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 - m))/(6*b^2*d^2)) + (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 - m)*(e + f*x))/(3*b*d) + ((a^2*d^2*f^2*(2 - 3*m + m^2) - 2*a*b*d*f*(1 - m)*(3*d*e - c*f*(1 + m)) + b^2*(6*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f*(1 + m) + c^2*f^2*(2 + 3*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(6*b^3*d^2*(1 + m))), x, 4),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^m*(e + f*x)^1, (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 - m))/(2*b*d) - ((a*d*f*(1 - m) - b*(2*d*e - c*f*(1 + m)))*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(2*b^2*d*(1 + m))), x, 3),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^m*(e + f*x)^0, ((a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(b*(1 + m))), x, 2),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^m/(e + f*x)^1, -(((a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, m, 1 + m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x))))/((c + d*x)^m*(f*m))) + ((a + b*x)^m*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(m, m, 1 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(f*m)), x, 5),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^m/(e + f*x)^2, ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x))))/((b*e - a*f)^2*(1 + m)), x, 1),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^m/(e + f*x)^3, -((f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 - m))/(2*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(e + f*x)^2)) + ((b*c - a*d)*(b*(2*d*e - c*f*(1 - m)) - a*d*f*(1 + m))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x))))/(2*(b*e - a*f)^3*(d*e - c*f)*(1 + m)), x, 2),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^m/(e + f*x)^4, -((f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 - m))/(3*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(e + f*x)^3)) - (f*(b*(4*d*e - c*f*(2 - m)) - a*d*f*(2 + m))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 - m))/(6*(b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^2*(e + f*x)^2) - ((b*c - a*d)*(2*a*b*d*f*(3*d*e - c*f*(1 - m))*(1 + m) - a^2*d^2*f^2*(2 + 3*m + m^2) - b^2*(6*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f*(1 - m) + c^2*f^2*(2 - 3*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x))))/(6*(b*e - a*f)^4*(d*e - c*f)^2*(1 + m)), x, 4),
+((2 + 3*x)^m/(1 + 2*x)^m/(5 - 4*x)^5, ((1 + 2*x)^(1 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m))/(322*(5 - 4*x)^4) + ((66 + m)*(1 + 2*x)^(1 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m))/(77763*(5 - 4*x)^3) + ((4359 + 220*m + 2*m^2)*(1 + 2*x)^(1 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m))/(25039686*(5 - 4*x)^2) + ((32010 + 4358*m + 132*m^2 + m^3)*(1 + 2*x)^(1 - m)*(2 + 3*x)^(-1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 - m, 2 - m, (23*(1 + 2*x))/(14*(2 + 3*x))))/(2453889228*(1 - m)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 1)*(e + f*x)^p, ((a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, 1 + m, -p, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/((c + d*x)^m*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*((b*c - a*d)*(1 + m))), x, 3),
+
+((2 + 3*x)^m/(1 + 2*x)^(m + 1)*(5 - 4*x)^3, ((-(2//9))*(5 - 4*x)^2*(2 + 3*x)^(1 + m))/(1 + 2*x)^m - ((2 + 3*x)^(1 + m)*(9261 - 512*m + 4*m^2 - 4*(109 - 2*m)*m*x))/((1 + 2*x)^m*(27*m)) + (2^(-1 - m)*(27783 - 8324*m + 390*m^2 - 4*m^3)*(1 + 2*x)^(1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 - m, -m, 2 - m, -3*(1 + 2*x)))/(27*(1 - m)*m), x, 3),
+((2 + 3*x)^m/(1 + 2*x)^(m + 1)*(5 - 4*x)^2, -((7*(21 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m))/((1 + 2*x)^m*(3*m))) - ((1//3)*(5 - 4*x)*(2 + 3*x)^(1 + m))/(1 + 2*x)^m + (2^(-1 - m)*(441 - 86*m + 2*m^2)*(1 + 2*x)^(1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 - m, -m, 2 - m, -3*(1 + 2*x)))/(3*(1 - m)*m), x, 3),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 1)*(e + f*x)^1, ((d*e - c*f)*(a + b*x)^(1 + m))/((c + d*x)^m*(d*(b*c - a*d)*m)) - ((a*d*f*m + b*(d*e - c*f*(1 + m)))*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(b*d*(b*c - a*d)*m*(1 + m))), x, 3),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 1)*(e + f*x)^0, -(((a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-m, -m, 1 - m, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/((-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))^m*(c + d*x)^m*(d*m))), x, 2),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 1)/(e + f*x)^1, -(((a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -m, 1 - m, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))))/((c + d*x)^m*((d*e - c*f)*m))), x, 1),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 1)/(e + f*x)^2, (d*(a + b*x)^(1 + m))/((c + d*x)^m*((b*c - a*d)*(d*e - c*f)*m*(e + f*x))) + ((a*d*f*(1 + m) - b*(d*e + c*f*m))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x))))/((b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)*m*(1 + m)), x, 2),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 1)/(e + f*x)^3, -((f*(a + b*x)^(1 + m))/((c + d*x)^m*(2*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(e + f*x)^2))) - (f*(b*(3*d*e - c*f*(1 - m)) - a*d*f*(2 + m))*(a + b*x)^(1 + m))/((c + d*x)^m*(2*(b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^2*(e + f*x))) + ((2*a*b*d*f*(1 + m)*(2*d*e + c*f*m) - b^2*(2*d^2*e^2 + 4*c*d*e*f*m - c^2*f^2*(1 - m)*m) - a^2*d^2*f^2*(2 + 3*m + m^2))*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -m, 1 - m, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))))/((c + d*x)^m*(2*(b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^3*m)), x, 4),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 1)/(e + f*x)^4, -((f*(a + b*x)^(1 + m))/((c + d*x)^m*(3*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(e + f*x)^3))) - (f*(b*(5*d*e - c*f*(2 - m)) - a*d*f*(3 + m))*(a + b*x)^(1 + m))/((c + d*x)^m*(6*(b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^2*(e + f*x)^2)) - (f*(a^2*d^2*f^2*(6 + 5*m + m^2) - a*b*d*f*(d*e*(15 + 8*m) - c*f*(3 - 2*m - 2*m^2)) + b^2*(11*d^2*e^2 - c*d*e*f*(7 - 8*m) + c^2*f^2*(2 - 3*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m))/((c + d*x)^m*(6*(b*e - a*f)^3*(d*e - c*f)^3*(e + f*x))) + (1/(6*(b*e - a*f)^3*(d*e - c*f)^4*m))*(((3*a*b^2*d*f*(1 + m)*(6*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f*m - c^2*f^2*(1 - m)*m) - 3*a^2*b*d^2*f^2*(3*d*e + c*f*m)*(2 + 3*m + m^2) + a^3*d^3*f^3*(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3) - b^3*(6*d^3*e^3 + 18*c*d^2*e^2*f*m - 9*c^2*d*e*f^2*(1 - m)*m + c^3*f^3*m*(2 - 3*m + m^2)))*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -m, 1 - m, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))))/(c + d*x)^m), x, 5),
+
+
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 2)*(e + f*x)^p, (b*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, 2 + m, -p, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/((c + d*x)^m*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*((b*c - a*d)^2*(1 + m))), x, 3),
+
+((2 + 3*x)^m/(1 + 2*x)^(m + 2)*(5 - 4*x)^3, (-(1//3))*(5 - 4*x)^2*(1 + 2*x)^(-1 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m) - ((1 + 2*x)^(-1 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m)*(2768 - 315*m + 4*m^2 - 8*(43 - m)*(1 + m)*x))/(9*(1 + m)) + ((1323 - 128*m + 2*m^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-m, -m, 1 - m, -3*(1 + 2*x)))/(2^m*(1 + 2*x)^m*(9*m)), x, 3),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 2)*(e + f*x)^2, ((d*e - c*f)*(a*d*f*(1 + m) + b*(d*e - c*f*(2 + m)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m))/(b*d^2*(b*c - a*d)*(1 + m)) + (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m)*(e + f*x))/(b*d) - (f*(a*d*f*m + b*(2*d*e - c*f*(2 + m)))*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-m, -m, 1 - m, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/((-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))^m*(c + d*x)^m*(b*d^3*m)), x, 4),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 2)*(e + f*x)^1, ((d*e - c*f)*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m))/(d*(b*c - a*d)*(1 + m)) - (f*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-m, -m, 1 - m, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/((-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))^m*(c + d*x)^m*(d^2*m)), x, 3),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 2)*(e + f*x)^0, ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m))/((b*c - a*d)*(1 + m)), x, 1),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 2)/(e + f*x)^1, (d*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m))/((b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(1 + m)) + (f*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -m, 1 - m, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))))/((c + d*x)^m*((d*e - c*f)^2*m)), x, 2),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 2)/(e + f*x)^2, -((d*(a*d*f*(2 + m) - b*(d*e + c*f*(1 + m)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)^2*(1 + m))) - (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m))/((b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(e + f*x)) - (f*(a*d*f*(2 + m) - b*(2*d*e + c*f*m))*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -m, 1 - m, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))))/((c + d*x)^m*((b*e - a*f)*(d*e - c*f)^3*m)), x, 4),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 2)/(e + f*x)^3, (d*(a^2*d^2*f^2*(6 + 5*m + m^2) + b^2*(2*d^2*e^2 + 5*c*d*e*f*(1 + m) - c^2*f^2*(1 - m^2)) - a*b*d*f*(d*e*(9 + 5*m) + c*f*(3 + 5*m + 2*m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m))/(2*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^3*(1 + m)) - (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m))/(2*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(e + f*x)^2) - (f*(b*(4*d*e - c*f*(1 - m)) - a*d*f*(3 + m))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m))/(2*(b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^2*(e + f*x)) - (f*(2*a*b*d*f*(2 + m)*(3*d*e + c*f*m) - b^2*(6*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f*m - c^2*f^2*(1 - m)*m) - a^2*d^2*f^2*(6 + 5*m + m^2))*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -m, 1 - m, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))))/((c + d*x)^m*(2*(b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^4*m)), x, 5),
+
+
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 3)*(e + f*x)^p, (b^2*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, 3 + m, -p, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/((c + d*x)^m*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*((b*c - a*d)^3*(1 + m))), x, 3),
+
+# {(2 + 3*x)^m/(1 + 2*x)^(m + 3)*(5 - 4*x)^4, x, 4, If[$VersionNumber>=8, (-(1/9))*(107 - 2*m)*(5 - 4*x)^2*(1 + 2*x)^(-2 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m) - (1/3)*(5 - 4*x)^3*(1 + 2*x)^(-2 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m) + (7*(1 + 2*x)^(-2 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m)*(3*(4638 + 485*m + 108*m^2 - 2*m^3) + 2*(15209 + 1882*m - 530*m^2 + 8*m^3)*x))/(9*(2 + 3*m + m^2)) - (2^(2 - m)*(1323 - 85*m + m^2)*Hypergeometric2F1[-m, -m, 1 - m, -3*(1 + 2*x)])/((1 + 2*x)^m*(9*m)), (-(1/9))*(107 - 2*m)*(5 - 4*x)^2*(1 + 2*x)^(-2 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m) - (1/3)*(5 - 4*x)^3*(1 + 2*x)^(-2 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m) + (7*(1 + 2*x)^(-2 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m)*(3*(4638 + 485*m + 108*m^2 - 2*m^3) + 2*(15209 + 1882*m - 530*m^2 + 8*m^3)*x))/(9*(2 + 3*m + m^2)) - (2^(2 - m)*(1323 - 85*m + m^2)*Hypergeometric2F1[-m, -m, 1 - m, -3*(1 + 2*x)])/((1 + 2*x)^m*(9*m))]}
+# {(2 + 3*x)^m/(1 + 2*x)^(m + 3)*(5 - 4*x)^3, x, 3, If[$VersionNumber>=8, (-(2/3))*(5 - 4*x)^2*(1 + 2*x)^(-2 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m) + (7*(1 + 2*x)^(-2 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m)*(3*(186 - m + 2*m^2) + 2*(677 + 102*m - 8*m^2)*x))/(3*(2 + 3*m + m^2)) - (2^(1 - m)*(63 - 2*m)*Hypergeometric2F1[-m, -m, 1 - m, -3*(1 + 2*x)])/((1 + 2*x)^m*(3*m)), (-(2/3))*(5 - 4*x)^2*(1 + 2*x)^(-2 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m) + (7*(1 + 2*x)^(-2 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m)*(3*(186 - m + 2*m^2) + 2*(677 + 102*m - 8*m^2)*x))/(3*(2 + 3*m + m^2)) - (2^(1 - m)*(63 - 2*m)*Hypergeometric2F1[-m, -m, 1 - m, -3*(1 + 2*x)])/((1 + 2*x)^m*(3*m))]}
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 3)*(e + f*x)^2, ((d*e - c*f)^2*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-2 - m))/(d^2*(b*c - a*d)*(2 + m)) - ((d*e - c*f)*(2*a*d*f*(2 + m) - b*(d*e + c*f*(3 + 2*m)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m))/(d^2*(b*c - a*d)^2*(1 + m)*(2 + m)) - (f^2*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-m, -m, 1 - m, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/((-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))^m*(c + d*x)^m*(d^3*m)), x, 4),
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+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 3)/(e + f*x)^1, (d*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-2 - m))/((b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(2 + m)) + (d*(a*d*f*(2 + m) + b*(d*e - c*f*(3 + m)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m))/((b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)^2*(1 + m)*(2 + m)) - (f^2*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -m, 1 - m, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))))/((c + d*x)^m*((d*e - c*f)^3*m)), x, 4),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 3)/(e + f*x)^2, -((d*(a*d*f*(3 + m) - b*(d*e + c*f*(2 + m)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-2 - m))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)^2*(2 + m))) - (d*(a^2*d^2*f^2*(6 + 5*m + m^2) - b^2*(d^2*e^2 - c*d*e*f*(5 + 2*m) - c^2*f^2*(2 + 3*m + m^2)) - a*b*d*f*(d*e*(3 + 2*m) + c*f*(9 + 8*m + 2*m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m))/((b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)^3*(1 + m)*(2 + m)) - (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-2 - m))/((b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(e + f*x)) + (f^2*(a*d*f*(3 + m) - b*(3*d*e + c*f*m))*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -m, 1 - m, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))))/((c + d*x)^m*((b*e - a*f)*(d*e - c*f)^4*m)), x, 5),
+
+
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 4)*(e + f*x)^p, (b^3*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, 4 + m, -p, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/((c + d*x)^m*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*((b*c - a*d)^4*(1 + m))), x, 3),
+
+# {(2 + 3*x)^m/(1 + 2*x)^(m + 4)*(5 - 4*x)^4, x, 9, If[$VersionNumber>=8, -((49*(15 - 2*m)*(27 + 2*m)*(1 + 2*x)^(-3 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m))/(9*(3 + m))) + (14/9)*(15 - 2*m)*(5 - 4*x)*(1 + 2*x)^(-3 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m) - (2/3)*(5 - 4*x)^3*(1 + 2*x)^(-3 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m) + (196*(42 - m)*(1 + 2*x)^(-2 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m))/(3*(2 + m)) + (14*(15 - 2*m)*(579 + 52*m + 2*m^2)*(1 + 2*x)^(-2 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m))/(9*(2 + m)*(3 + m)) - (28*(42 - m)*(29 + 4*m)*(1 + 2*x)^(-1 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m))/(3*(1 + m)*(2 + m)) - (14*(15 - 2*m)*(579 + 52*m + 2*m^2)*(1 + 2*x)^(-1 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m))/(3*(3 + m)*(2 + 3*m + m^2)) + (2^(3 - m)*(42 - m)*Hypergeometric2F1[-m, -m, 1 - m, -3*(1 + 2*x)])/((1 + 2*x)^m*(3*m)), -((49*(15 - 2*m)*(27 + 2*m)*(1 + 2*x)^(-3 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m))/(9*(3 + m))) + (14/9)*(15 - 2*m)*(5 - 4*x)*(1 + 2*x)^(-3 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m) - (2/3)*(5 - 4*x)^3*(1 + 2*x)^(-3 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m) + (196*(42 - m)*(1 + 2*x)^(-2 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m))/(3*(2 + m)) + (14*(15 - 2*m)*(579 + 52*m + 2*m^2)*(1 + 2*x)^(-2 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m))/(9*(6 + 5*m + m^2)) - (28*(42 - m)*(29 + 4*m)*(1 + 2*x)^(-1 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m))/(3*(2 + 3*m + m^2)) - (14*(15 - 2*m)*(579 + 52*m + 2*m^2)*(1 + 2*x)^(-1 - m)*(2 + 3*x)^(1 + m))/(3*(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3)) + (2^(3 - m)*(42 - m)*Hypergeometric2F1[-m, -m, 1 - m, -3*(1 + 2*x)])/((1 + 2*x)^m*(3*m))]}
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 4)*(e + f*x)^3, ((d*e - c*f)^3*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-3 - m))/(d^3*(b*c - a*d)*(3 + m)) + (3*f*(d*e - c*f)^2*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-2 - m))/(d^3*(b*c - a*d)*(2 + m)) + (2*b*(d*e - c*f)^3*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-2 - m))/(d^3*(b*c - a*d)^2*(2 + m)*(3 + m)) + (3*f^2*(d*e - c*f)*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m))/(d^3*(b*c - a*d)*(1 + m)) + (3*b*f*(d*e - c*f)^2*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m))/(d^3*(b*c - a*d)^2*(1 + m)*(2 + m)) + (2*b^2*(d*e - c*f)^3*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m))/(d^3*(b*c - a*d)^3*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)) - (f^3*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-m, -m, 1 - m, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/((-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))^m*(c + d*x)^m*(d^4*m)), x, 10),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 4)*(e + f*x)^2, -(((d*e - c*f)*(a*d*f*(3 + m) - b*(d*e + c*f*(2 + m)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-3 - m))/(b*d^2*(b*c - a*d)*(3 + m))) + ((a^2*d^2*f^2*(6 + 5*m + m^2) - 2*a*b*d*f*(3 + m)*(d*e + c*f*(1 + m)) + b^2*(2*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f*(1 + m) + c^2*f^2*(2 + 3*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-2 - m))/(b*d^2*(b*c - a*d)^2*(2 + m)*(3 + m)) + ((a^2*d^2*f^2*(6 + 5*m + m^2) - 2*a*b*d*f*(3 + m)*(d*e + c*f*(1 + m)) + b^2*(2*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f*(1 + m) + c^2*f^2*(2 + 3*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m))/(d^2*(b*c - a*d)^3*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)) - (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-3 - m)*(e + f*x))/(b*d), x, 4),
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+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 1)*(e + f*x)^p, ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -1 + m, -p, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/((c + d*x)^m*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*(b^2*(1 + m))), x, 3),
+
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 1)*(e + f*x)^3, (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(2 - m)*(e + f*x)^2)/(5*b*d) + (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(2 - m)*(a^2*d^2*f^2*(12 - 7*m + m^2) - a*b*d*f*(15*d*e*(3 - m) - c*f*(9 + 2*m - 2*m^2)) + b^2*(48*d^2*e^2 - 15*c*d*e*f*(2 + m) + c^2*f^2*(6 + 5*m + m^2)) - 3*b*d*f*(a*d*f*(4 - m) - b*(7*d*e - c*f*(3 + m)))*x))/(60*b^3*d^3) - (1/(60*b^5*d^3*(1 + m)))*(((b*c - a*d)*(a^3*d^3*f^3*(24 - 26*m + 9*m^2 - m^3) - 3*a^2*b*d^2*f^2*(6 - 5*m + m^2)*(5*d*e - c*f*(1 + m)) + 3*a*b^2*d*f*(2 - m)*(20*d^2*e^2 - 10*c*d*e*f*(1 + m) + c^2*f^2*(2 + 3*m + m^2)) - b^3*(60*d^3*e^3 - 60*c*d^2*e^2*f*(1 + m) + 15*c^2*d*e*f^2*(2 + 3*m + m^2) - c^3*f^3*(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3)))*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 + m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(c + d*x)^m), x, 4),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 1)*(e + f*x)^2, -((f*(a*d*f*(3 - m) - b*(5*d*e - c*f*(2 + m)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(2 - m))/(12*b^2*d^2)) + (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(2 - m)*(e + f*x))/(4*b*d) + (1/(12*b^4*d^2*(1 + m)))*(((b*c - a*d)*(a^2*d^2*f^2*(6 - 5*m + m^2) - 2*a*b*d*f*(2 - m)*(4*d*e - c*f*(1 + m)) + b^2*(12*d^2*e^2 - 8*c*d*e*f*(1 + m) + c^2*f^2*(2 + 3*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 + m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(c + d*x)^m), x, 4),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 1)*(e + f*x)^1, (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(2 - m))/(3*b*d) - ((b*c - a*d)*(a*d*f*(2 - m) - b*(3*d*e - c*f*(1 + m)))*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 + m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(3*b^3*d*(1 + m))), x, 3),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 1)*(e + f*x)^0, ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 + m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(b^2*(1 + m))), x, 2),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 1)/(e + f*x)^1, -((d*(d*e - c*f)*(a + b*x)^(1 + m))/((c + d*x)^m*((b*c - a*d)*f^2*m))) - ((d*e - c*f)*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -m, 1 - m, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))))/((c + d*x)^m*(f^2*m)) + (d*(b*(d*e - c*f*(1 - m)) - a*d*f*m)*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(b*(b*c - a*d)*f^2*m*(1 + m))), x, 6),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 1)/(e + f*x)^2, -(((a + b*x)^m*(c + d*x)^(1 - m))/(f*(e + f*x))) + ((a*d*f*(1 - m) - b*(d*e - c*f*m))*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, m, 1 + m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x))))/((c + d*x)^m*(f^2*(b*e - a*f)*m)) + (d*(a + b*x)^m*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(m, m, 1 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(f^2*m)), x, 6),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 1)/(e + f*x)^3, ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + m, 2 + m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x))))/((b*e - a*f)^3*(1 + m)), x, 1),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 1)/(e + f*x)^4, -((f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(2 - m))/(3*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(e + f*x)^3)) + ((b*c - a*d)^2*(b*(3*d*e - c*f*(2 - m)) - a*d*f*(1 + m))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + m, 2 + m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x))))/(3*(b*e - a*f)^4*(d*e - c*f)*(1 + m)), x, 2),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 1)/(e + f*x)^5, -((f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(2 - m))/(4*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(e + f*x)^4)) - (f*(b*(5*d*e - c*f*(3 - m)) - a*d*f*(2 + m))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(2 - m))/(12*(b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^2*(e + f*x)^3) - ((b*c - a*d)^2*(2*a*b*d*f*(4*d*e - c*f*(2 - m))*(1 + m) - a^2*d^2*f^2*(2 + 3*m + m^2) - b^2*(12*d^2*e^2 - 8*c*d*e*f*(2 - m) + c^2*f^2*(6 - 5*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + m, 2 + m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x))))/(12*(b*e - a*f)^5*(d*e - c*f)^2*(1 + m)), x, 4),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 1)/(e + f*x)^6, -((f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(2 - m))/(5*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(e + f*x)^5)) - (f*(b*(7*d*e - c*f*(4 - m)) - a*d*f*(3 + m))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(2 - m))/(20*(b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^2*(e + f*x)^4) - (f*(a^2*d^2*f^2*(6 + 5*m + m^2) - a*b*d*f*(3*d*e*(7 + 4*m) - c*f*(9 + 2*m - 2*m^2)) + b^2*(27*d^2*e^2 - 3*c*d*e*f*(11 - 4*m) + c^2*f^2*(12 - 7*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(2 - m))/(60*(b*e - a*f)^3*(d*e - c*f)^3*(e + f*x)^3) + (1/(60*(b*e - a*f)^6*(d*e - c*f)^3*(1 + m)))*((b*c - a*d)^2*(3*a^2*b*d^2*f^2*(5*d*e - c*f*(2 - m))*(2 + 3*m + m^2) - a^3*d^3*f^3*(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3) - 3*a*b^2*d*f*(1 + m)*(20*d^2*e^2 - 10*c*d*e*f*(2 - m) + c^2*f^2*(6 - 5*m + m^2)) + b^3*(60*d^3*e^3 - 60*c*d^2*e^2*f*(2 - m) + 15*c^2*d*e*f^2*(6 - 5*m + m^2) - c^3*f^3*(24 - 26*m + 9*m^2 - m^3)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + m, 2 + m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)))), x, 5),
+
+
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 2)*(e + f*x)^p, ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -2 + m, -p, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/((c + d*x)^m*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*(b^3*(1 + m))), x, 3),
+
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 2)*(e + f*x)^3, (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(3 - m)*(e + f*x)^2)/(6*b*d) + (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(3 - m)*(a^2*d^2*f^2*(20 - 9*m + m^2) - 2*a*b*d*f*(9*d*e*(4 - m) - c*f*(6 + 2*m - m^2)) + b^2*(70*d^2*e^2 - 18*c*d*e*f*(2 + m) + c^2*f^2*(6 + 5*m + m^2)) - 4*b*d*f*(a*d*f*(5 - m) - b*(8*d*e - c*f*(3 + m)))*x))/(120*b^3*d^3) - (1/(120*b^6*d^3*(1 + m)))*(((b*c - a*d)^2*(a^3*d^3*f^3*(60 - 47*m + 12*m^2 - m^3) - 3*a^2*b*d^2*f^2*(12 - 7*m + m^2)*(6*d*e - c*f*(1 + m)) + 3*a*b^2*d*f*(3 - m)*(30*d^2*e^2 - 12*c*d*e*f*(1 + m) + c^2*f^2*(2 + 3*m + m^2)) - b^3*(120*d^3*e^3 - 90*c*d^2*e^2*f*(1 + m) + 18*c^2*d*e*f^2*(2 + 3*m + m^2) - c^3*f^3*(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3)))*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-2 + m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(c + d*x)^m), x, 4),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 2)*(e + f*x)^2, -((f*(a*d*f*(4 - m) - b*(6*d*e - c*f*(2 + m)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(3 - m))/(20*b^2*d^2)) + (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(3 - m)*(e + f*x))/(5*b*d) + (1/(20*b^5*d^2*(1 + m)))*(((b*c - a*d)^2*(a^2*d^2*f^2*(12 - 7*m + m^2) - 2*a*b*d*f*(3 - m)*(5*d*e - c*f*(1 + m)) + b^2*(20*d^2*e^2 - 10*c*d*e*f*(1 + m) + c^2*f^2*(2 + 3*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-2 + m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(c + d*x)^m), x, 4),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 2)*(e + f*x)^1, (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(3 - m))/(4*b*d) - ((b*c - a*d)^2*(a*d*f*(3 - m) - b*(4*d*e - c*f*(1 + m)))*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-2 + m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(4*b^4*d*(1 + m))), x, 3),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 2)*(e + f*x)^0, ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-2 + m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(b^3*(1 + m))), x, 2),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 2)/(e + f*x)^1, -((d*(2*a*b*c*d*f^2*m - a^2*d^2*f^2*m - b^2*(2*d^2*e^2 - 4*c*d*e*f + c^2*f^2*(2 + m)))*(a + b*x)^(1 + m))/((c + d*x)^m*(2*b^2*(b*c - a*d)*f^3*m))) + (d^2*(a + b*x)^(2 + m))/((c + d*x)^m*(2*b^2*f)) + ((d*e - c*f)^2*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -m, 1 - m, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))))/((c + d*x)^m*(f^3*m)) + (d*(2*a*b*d*f*(d*e - c*f*(2 - m))*m + a^2*d^2*f^2*(1 - m)*m - b^2*(2*d^2*e^2 - 2*c*d*e*f*(2 - m) + c^2*f^2*(2 - 3*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(2*b^2*(b*c - a*d)*f^3*m*(1 + m))), x, 6),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 2)/(e + f*x)^2, -((2*d^2*(d*e - c*f)*(a + b*x)^(1 + m))/((c + d*x)^m*((b*c - a*d)*f^3*m))) + ((d*e - c*f)^2*(a + b*x)^(1 + m))/((c + d*x)^m*(f^2*(b*e - a*f)*(e + f*x))) + ((d*e - c*f)*(a*d*f*(2 - m) - b*(2*d*e - c*f*m))*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -m, 1 - m, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))))/((c + d*x)^m*(f^3*(b*e - a*f)*m)) + (d^2*(b*(2*d*e - c*f*(2 - m)) - a*d*f*m)*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(b*(b*c - a*d)*f^3*m*(1 + m))), x, 7),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 2)/(e + f*x)^3, ((b*e - a*f)*(a + b*x)^(-1 + m)*(c + d*x)^(2 - m))/(2*f^2*(e + f*x)^2) + ((a*d*f*(2 - m) - b*(3*d*e - c*f*(1 + m)))*(a + b*x)^(-1 + m)*(c + d*x)^(2 - m))/(2*f^2*(d*e - c*f)*(e + f*x)) - ((2*a*b*d*f*(2 - m)*(d*e - c*f*m) - b^2*(2*d^2*e^2 - 2*c*d*e*f*m - c^2*f^2*(1 - m)*m) - a^2*d^2*f^2*(2 - 3*m + m^2))*(a + b*x)^(-1 + m)*(c + d*x)^(1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -1 + m, m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x))))/(2*f^3*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(1 - m)) - (d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(-1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 + m, -1 + m, m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(f^3*(1 - m))), x, 7),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 2)/(e + f*x)^4, ((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, 1 + m, 2 + m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x))))/((b*e - a*f)^4*(1 + m)), x, 1),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 2)/(e + f*x)^5, -((f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(3 - m))/(4*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(e + f*x)^4)) + ((b*c - a*d)^3*(b*(4*d*e - c*f*(3 - m)) - a*d*f*(1 + m))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, 1 + m, 2 + m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x))))/(4*(b*e - a*f)^5*(d*e - c*f)*(1 + m)), x, 2),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 2)/(e + f*x)^6, -((f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(3 - m))/(5*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(e + f*x)^5)) - (f*(b*(6*d*e - c*f*(4 - m)) - a*d*f*(2 + m))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(3 - m))/(20*(b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^2*(e + f*x)^4) - ((b*c - a*d)^3*(2*a*b*d*f*(5*d*e - c*f*(3 - m))*(1 + m) - a^2*d^2*f^2*(2 + 3*m + m^2) - b^2*(20*d^2*e^2 - 10*c*d*e*f*(3 - m) + c^2*f^2*(12 - 7*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, 1 + m, 2 + m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x))))/(20*(b*e - a*f)^6*(d*e - c*f)^2*(1 + m)), x, 4),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 2)/(e + f*x)^7, -((f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(3 - m))/(6*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(e + f*x)^6)) - (f*(b*(8*d*e - c*f*(5 - m)) - a*d*f*(3 + m))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(3 - m))/(30*(b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^2*(e + f*x)^5) - (f*(a^2*d^2*f^2*(6 + 5*m + m^2) - 2*a*b*d*f*(d*e*(12 + 7*m) - c*f*(6 + 2*m - m^2)) + b^2*(38*d^2*e^2 - 2*c*d*e*f*(26 - 7*m) + c^2*f^2*(20 - 9*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(3 - m))/(120*(b*e - a*f)^3*(d*e - c*f)^3*(e + f*x)^4) + (1/(120*(b*e - a*f)^7*(d*e - c*f)^3*(1 + m)))*(b*c - a*d)^3*(3*a^2*b*d^2*f^2*(6*d*e - c*f*(3 - m))*(2 + 3*m + m^2) - a^3*d^3*f^3*(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3) - 3*a*b^2*d*f*(1 + m)*(30*d^2*e^2 - 12*c*d*e*f*(3 - m) + c^2*f^2*(12 - 7*m + m^2)) + b^3*(120*d^3*e^3 - 90*c*d^2*e^2*f*(3 - m) + 18*c^2*d*e*f^2*(12 - 7*m + m^2) - c^3*f^3*(60 - 47*m + 12*m^2 - m^3)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, 1 + m, 2 + m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x))), x, 5),
+
+
+# {(a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 3)/(e + f*x)^1, x, 7, (b*(b*e - a*f)^3*(a + b*x)^(-3 + m)*(c + d*x)^(4 - m))/((b*c - a*d)*f^4*(3 - m)) - (b*(b*(3*d*e - c*f*(1 - m)) - a*d*f*(2 + m))*(a + b*x)^(-2 + m)*(c + d*x)^(4 - m))/(6*d^2*f^2) + (b*(a + b*x)^(-1 + m)*(c + d*x)^(4 - m))/(3*d*f) - ((b*e - a*f)^3*(a + b*x)^(-3 + m)*(c + d*x)^(3 - m)*Hypergeometric2F1[1, -3 + m, -2 + m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x))])/(f^4*(3 - m)) - (1/((6*b^3*d^2*f^4*(2 - m)*(3 - m))*(c + d*x)^m))*((b*c - a*d)^2*(3*a^2*b*d^2*f^2*(d*e - c*f*(3 - m))*(1 - m)*m + a^3*d^3*f^3*m*(2 - 3*m + m^2) + 3*a*b^2*d*f*m*(2*d^2*e^2 - 2*c*d*e*f*(3 - m) + c^2*f^2*(6 - 5*m + m^2)) - b^3*(6*d^3*e^3 - 6*c*d^2*e^2*f*(3 - m) + 3*c^2*d*e*f^2*(6 - 5*m + m^2) - c^3*f^3*(6 - 11*m + 6*m^2 - m^3)))*(a + b*x)^(-2 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*Hypergeometric2F1[-3 + m, -2 + m, -1 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]), -((d*(3*a^2*b*d^2*f^2*(d*e - c*f*(5 - m))*m - 3*a*b^2*c*d*f^2*(2*d*e - c*f*(6 - m))*m + a^3*d^3*f^3*(4 - m)*m + b^3*(6*d^3*e^3 - 18*c*d^2*e^2*f + 3*c^2*d*e*f^2*(6 + m) - c^3*f^3*(6 + 7*m - m^2)))*(a + b*x)^(1 + m))/((c + d*x)^m*(6*b^3*(b*c - a*d)*f^4*m))) - (d^2*(b*(3*d*e - c*f*(9 - m)) + a*d*f*(6 - m))*(a + b*x)^(2 + m))/((c + d*x)^m*(6*b^3*f^2)) + (d^3*(a + b*x)^(3 + m))/((c + d*x)^m*(3*b^3*f)) - ((d*e - c*f)^3*(a + b*x)^m*Hypergeometric2F1[1, -m, 1 - m, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))])/((c + d*x)^m*(f^4*m)) - (1/((6*b^3*(b*c - a*d)*f^4*m*(1 + m))*(c + d*x)^m))*(d*(3*a^2*b*d^2*f^2*(d*e - c*f*(3 - m))*(1 - m)*m + a^3*d^3*f^3*m*(2 - 3*m + m^2) + 3*a*b^2*d*f*m*(2*d^2*e^2 - 2*c*d*e*f*(3 - m) + c^2*f^2*(6 - 5*m + m^2)) - b^3*(6*d^3*e^3 - 6*c*d^2*e^2*f*(3 - m) + 3*c^2*d*e*f^2*(6 - 5*m + m^2) - c^3*f^3*(6 - 11*m + 6*m^2 - m^3)))*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*Hypergeometric2F1[m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])}
+# {(a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 3)/(e + f*x)^2, x, 2, (3*b*d*(d*e - c*f)^2*(a + b*x)^m*(c + d*x)^(1 - m))/((b*c - a*d)*f^4*m) + (d^2*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 - m))/(2*b*f^2) - ((d*e - c*f)^2*(a + b*x)^m*(c + d*x)^(1 - m))/(f^3*(e + f*x)) + ((d*e - c*f)^2*(a*d*f*(3 - m) - b*(3*d*e - c*f*m))*(a + b*x)^m*Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, ((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x))])/((c + d*x)^m*(f^4*(b*e - a*f)*m)) + (d^2*(2*a*b*d*f*(2*d*e - c*f*(3 - m))*m + a^2*d^2*f^2*(1 - m)*m - b^2*(6*d^2*e^2 - 4*c*d*e*f*(3 - m) + c^2*f^2*(6 - 5*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*Hypergeometric2F1[m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/((c + d*x)^m*(2*b^2*(b*c - a*d)*f^4*m*(1 + m))), ((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*AppellF1[1 + m, -3 + m, 2, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))])/((c + d*x)^m*(b^2*(b*e - a*f)^2*(1 + m)))}
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 3)/(e + f*x)^3, -((3*d^3*(d*e - c*f)*(a + b*x)^(1 + m))/((c + d*x)^m*((b*c - a*d)*f^4*m))) - ((d*e - c*f)^3*(a + b*x)^(1 + m))/((c + d*x)^m*(2*f^3*(b*e - a*f)*(e + f*x)^2)) + ((d*e - c*f)^2*(b*(5*d*e + c*f*(1 - m)) - a*d*f*(6 - m))*(a + b*x)^(1 + m))/((c + d*x)^m*(2*f^3*(b*e - a*f)^2*(e + f*x))) + ((d*e - c*f)*(2*a*b*d*f*(3 - m)*(2*d*e - c*f*m) - b^2*(6*d^2*e^2 - 4*c*d*e*f*m - c^2*f^2*(1 - m)*m) - a^2*d^2*f^2*(6 - 5*m + m^2))*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -m, 1 - m, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))))/((c + d*x)^m*(2*f^4*(b*e - a*f)^2*m)) + (d^3*(b*(3*d*e - c*f*(3 - m)) - a*d*f*m)*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(b*(b*c - a*d)*f^4*m*(1 + m))), x, 8),
+
+
+((a + b*x)^(1 - n)*(c + d*x)^(1 + n)/(b*c + a*d + 2*b*d*x)^1, ((b*c - a*d)*(3 - 2*n)*(a + b*x)^(2 - n)*(c + d*x)^(-1 + n))/(8*b^3*(1 - n)) + (d*(a + b*x)^(3 - n)*(c + d*x)^(-1 + n))/(4*b^3) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1 - n)*(c + d*x)^(-1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -1 + n, n, -((b*(c + d*x))/(d*(a + b*x)))))/(8*b^3*d*(1 - n)) - ((b*c - a*d)^2*(1 - 2*n^2)*(-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))^n*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 + n, n, 1 + n, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/((a + b*x)^n*(8*b^2*d^2*(1 - n)*n)), x, 6),
+((a + b*x)^(1 - n)*(c + d*x)^(1 + n)/(b*c + a*d + 2*b*d*x)^2, -(((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1 - n)*(c + d*x)^(-1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 - n, 2 - n, -((d*(a + b*x))/(b*(c + d*x)))))/(4*b^3*d*(1 - n))) + ((-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))^n*(c + d*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, 1 + n, 2 + n, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/((a + b*x)^n*(4*b*d^2*(1 + n))), x, 4),
+((a + b*x)^(1 - n)*(c + d*x)^(1 + n)/(b*c + a*d + 2*b*d*x)^3, -(((b*c - a*d)*(a + b*x)^(1 - n)*(c + d*x)^n)/(8*b^2*d*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^2)) - ((1 + 2*n)*(a + b*x)^(1 - n)*(c + d*x)^n)/(8*b^2*d*(b*c + a*d + 2*b*d*x)) - ((1 - 2*n^2)*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, n, 1 + n, -((b*(c + d*x))/(d*(a + b*x)))))/((a + b*x)^n*(8*b^2*d^2*n)) + ((-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))^n*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(n, n, 1 + n, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/((a + b*x)^n*(8*b^2*d^2*n)), x, 7),
+((a + b*x)^(1 - n)*(c + d*x)^(1 + n)/(b*c + a*d + 2*b*d*x)^4, ((a + b*x)^(2 - n)*(c + d*x)^(-2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, 2 - n, 3 - n, -((d*(a + b*x))/(b*(c + d*x)))))/(b^4*(b*c - a*d)*(2 - n)), x, 1),
+
+
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^(2 - m)/(b*c + a*d + 2*b*d*x)^1, ((b*c - a*d)*(1 + 2*m)*(a + b*x)^(1 + m))/((c + d*x)^m*(8*b^3*m)) + (d*(a + b*x)^(2 + m))/((c + d*x)^m*(4*b^3)) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -m, 1 - m, -((b*(c + d*x))/(d*(a + b*x)))))/((c + d*x)^m*(8*b^3*d*m)) - ((b*c - a*d)*(1 - 4*m + 2*m^2)*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(8*b^3*m*(1 + m))), x, 6),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^(2 - m)/(b*c + a*d + 2*b*d*x)^2, -(((b*c - a*d)*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, m, 1 + m, -((d*(a + b*x))/(b*(c + d*x)))))/((c + d*x)^m*(4*b^3*d*m))) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)^m*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 + m, m, 1 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(4*b^3*d*m)), x, 4),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^(2 - m)/(b*c + a*d + 2*b*d*x)^3, ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(-1 + m)*(c + d*x)^(2 - m))/(8*b*d^2*(b*c + a*d + 2*b*d*x)^2) + ((1 - 2*m)*(a + b*x)^(-1 + m)*(c + d*x)^(2 - m))/(8*b*d^2*(b*c + a*d + 2*b*d*x)) - ((1 - 4*m + 2*m^2)*(a + b*x)^(-1 + m)*(c + d*x)^(1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -1 + m, m, -((d*(a + b*x))/(b*(c + d*x)))))/(8*b^2*d^2*(1 - m)) - ((b*c - a*d)*(a + b*x)^(-1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 + m, -1 + m, m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(8*b^3*d^2*(1 - m))), x, 7),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^(2 - m)/(b*c + a*d + 2*b*d*x)^4, ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*(c + d*x)))))/(b^4*(b*c - a*d)*(1 + m)), x, 1),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n symbolic
+
+
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + n)*(e + f*x)^(n + p), ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-m - n)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(m + n)*(e + f*x)^(n + p)*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^(-n - p)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, m + n, -n - p, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(b*(1 + m)), x, 3),
+
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + n)*(e + f*x)^(n + 1), ((b*e - a*f)*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-m - n)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(m + n)*(e + f*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, m + n, -1 - n, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^n*(b^2*(1 + m))), x, 3),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + n)*(e + f*x)^(n + 0), ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-m - n)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(m + n)*(e + f*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, m + n, -n, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^n*(b*(1 + m))), x, 3),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + n)*(e + f*x)^(n - 1), ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-m - n)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(m + n)*(e + f*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, m + n, 1 - n, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^n*((b*e - a*f)*(1 + m))), x, 3),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + n)*(e + f*x)^(n - 2), ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-m - n)*(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))^(m + n)*(e + f*x)^(-1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, m + n, 2 + m, -(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))))/((b*e - a*f)*(1 + m)), x, 1),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + n)*(e + f*x)^(n - 3), -((f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 - m - n)*(e + f*x)^(-2 + n))/((b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(2 - n))) - ((a*d*f*(1 + m) - b*(d*e*(2 - n) - c*f*(1 - m - n)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-m - n)*(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))^(m + n)*(e + f*x)^(-1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, m + n, 2 + m, -(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))))/((b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)*(1 + m)*(2 - n)), x, 2),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + n)*(e + f*x)^(n - 4), -((f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 - m - n)*(e + f*x)^(-3 + n))/((b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(3 - n))) + (f*(a*d*f*(2 + m) - b*(d*e*(4 - n) - c*f*(2 - m - n)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 - m - n)*(e + f*x)^(-2 + n))/((b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^2*(2 - n)*(3 - n)) + (1/((b*e - a*f)^3*(d*e - c*f)^2*(1 + m)*(2 - n)*(3 - n)))*((a^2*d^2*f^2*(2 + 3*m + m^2) - 2*a*b*d*f*(1 + m)*(d*e*(3 - n) - c*f*(1 - m - n)) - b^2*(2*c*d*e*f*(3 - n)*(1 - m - n) - d^2*e^2*(6 - 5*n + n^2) - c^2*f^2*(2 + m^2 - m*(3 - 2*n) - 3*n + n^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-m - n)*(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))^(m + n)*(e + f*x)^(-1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, m + n, 2 + m, -(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x))))), x, 4),
+# {(a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + n)*(e + f*x)^(n - 5), x, 5, -((f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 - m - n)*(e + f*x)^(-4 + n))/((b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(4 - n))) + (f*(a*d*f*(3 + m) - b*(d*e*(6 - n) - c*f*(3 - m - n)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 - m - n)*(e + f*x)^(-3 + n))/((b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^2*(3 - n)*(4 - n)) - (1/((b*e - a*f)^3*(d*e - c*f)^3*(2 - n)*(3 - n)*(4 - n)))*(f*(a^2*d^2*f^2*(6 + 5*m + m^2) - a*b*d*f*(d*e*(2*m*(5 - n) + 3*(6 - n)) - c*f*(6 - 2*m^2 - 3*n - 2*m*n)) + b^2*(d^2*e^2*(18 - 8*n + n^2) + c^2*f^2*(6 + m^2 - m*(5 - 2*n) - 5*n + n^2) - c*d*e*f*(18 - 2*m*(5 - n) - 13*n + 2*n^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 - m - n)*(e + f*x)^(-2 + n)) - ((a^3*d^3*f^3*(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3) - 3*a^2*b*d^2*f^2*(2 + 3*m + m^2)*(d*e*(4 - n) - c*f*(1 - m - n)) - 3*a*b^2*d*f*(1 + m)*(2*c*d*e*f*(4 - n)*(1 - m - n) - d^2*e^2*(12 - 7*n + n^2) - c^2*f^2*(2 + m^2 - m*(3 - 2*n) - 3*n + n^2)) + b^3*(3*c*d^2*e^2*f*(1 - m - n)*(12 - 7*n + n^2) - 3*c^2*d*e*f^2*(4 - n)*(2 + m^2 - m*(3 - 2*n) - 3*n + n^2) - d^3*e^3*(24 - 26*n + 9*n^2 - n^3) + c^3*f^3*(6 - m^3 + 3*m^2*(2 - n) - 11*n + 6*n^2 - n^3 - m*(11 - 12*n + 3*n^2))))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-m - n)*(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))^(m + n)*(e + f*x)^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1 + m, m + n, 2 + m, -(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))])/((b*e - a*f)^4*(d*e - c*f)^3*(1 + m)*(2 - n)*(3 - n)*(4 - n))}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p
+
+
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n/((b*c*f + a*d*f + a*d*f*m + b*c*f*n)/(b*d*(m + n + 2)) + f*x)^(m + n + 3), (b*d*(2 + m + n)*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*((f*(a*d*(1 + m) + b*c*(1 + n)))/(b*d*(2 + m + n)) + f*x)^(-2 - m - n))/((b*c - a*d)^2*f*(1 + m)*(1 + n)), x, 1),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^(-1 - (d*(b*e - a*f)*(1 + m))/(b*(d*e - c*f)))*(e + f*x)^(-1 + ((b*c - a*d)*f*(1 + m))/(b*(d*e - c*f))), (b*(a + b*x)^(1 + m)*(e + f*x)^(((b*c - a*d)*f*(1 + m))/(b*(d*e - c*f))))/((c + d*x)^((d*(b*e - a*f)*(1 + m))/(b*(d*e - c*f)))*((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(1 + m))), x, 1),
+
+
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n/(e + f*x)^(m + n + 0), ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(-m - n)*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^(m + n)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, m + n, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*(b*(1 + m))), x, 3),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n/(e + f*x)^(m + n + 1), ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(-m - n)*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^(m + n)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 1 + m + n, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*((b*e - a*f)*(1 + m))), x, 3),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n/(e + f*x)^(m + n + 2), ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(-1 - m - n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))))/((((b*e - a*f)*(c + d*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))^n*((b*e - a*f)*(1 + m))), x, 1),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n/(e + f*x)^(m + n + 3), -((f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x)^(-2 - m - n))/((b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(2 + m + n))) - ((a*d*f*(1 + m) + b*(c*f*(1 + n) - d*e*(2 + m + n)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(-1 - m - n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))))/((((b*e - a*f)*(c + d*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))^n*((b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)*(1 + m)*(2 + m + n))), x, 2),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n/(e + f*x)^(m + n + 4), -((f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x)^(-3 - m - n))/((b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(3 + m + n))) + (f*(a*d*f*(2 + m) + b*(c*f*(2 + n) - d*e*(4 + m + n)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x)^(-2 - m - n))/((b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^2*(2 + m + n)*(3 + m + n)) + (1/((b*e - a*f)^3*(d*e - c*f)^2*(1 + m)*(2 + m + n)*(3 + m + n)))*(((a^2*d^2*f^2*(2 + 3*m + m^2) + 2*a*b*d*f*(1 + m)*(c*f*(1 + n) - d*e*(3 + m + n)) - b^2*(2*c*d*e*f*(1 + n)*(3 + m + n) - c^2*f^2*(2 + 3*n + n^2) - d^2*e^2*(6 + m^2 + 5*n + n^2 + m*(5 + 2*n))))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(-1 - m - n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))))/(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))^n), x, 4),
+# {(a + b*x)^m*(c + d*x)^n/(e + f*x)^(m + n + 5), x, 5, -((f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x)^(-4 - m - n))/((b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(4 + m + n))) + (f*(a*d*f*(3 + m) + b*(c*f*(3 + n) - d*e*(6 + m + n)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x)^(-3 - m - n))/((b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^2*(3 + m + n)*(4 + m + n)) - (f*(a^2*d^2*f^2*(6 + 5*m + m^2) + b^2*(c^2*f^2*(6 + 5*n + n^2) + d^2*e^2*(18 + m^2 + 8*n + n^2 + 2*m*(4 + n)) - c*d*e*f*(18 + 13*n + 2*n^2 + m*(3 + 2*n))) + a*b*d*f*(c*f*(6 + 3*m + 3*n + 2*m*n) - d*e*(2*m^2 + 3*(6 + n) + m*(13 + 2*n))))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x)^(-2 - m - n))/((b*e - a*f)^3*(d*e - c*f)^3*(2 + m + n)*(3 + m + n)*(4 + m + n)) + (1/((b*e - a*f)^4*(d*e - c*f)^3*(1 + m)*(2 + m + n)*(3 + m + n)*(4 + m + n)))*(((f*(b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))*(a^2*d^2*f^2*(6 + 5*m + m^2) + b^2*(c^2*f^2*(6 + 5*n + n^2) + d^2*e^2*(18 + m^2 + 8*n + n^2 + 2*m*(4 + n)) - c*d*e*f*(18 + 13*n + 2*n^2 + m*(3 + 2*n))) + a*b*d*f*(c*f*(6 + 3*m + 3*n + 2*m*n) - d*e*(2*m^2 + 3*(6 + n) + m*(13 + 2*n)))) + (2 + m + n)*(a*b*c*d*f^2*(a*d*f*(3 + m) + b*(c*f*(3 + n) - d*e*(6 + m + n))) - b*d*e*(f*(b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))*(a*d*f*(3 + m) + b*(c*f*(3 + n) - d*e*(6 + m + n))) + (3 + m + n)*(2*a*b*c*d*f^2 + b*d*e*(a*d*f*(3 + m) + b*(c*f*(3 + n) - d*e*(4 + m + n))) - (b*c + a*d)*f*(a*d*f*(3 + m) + b*(c*f*(3 + n) - d*e*(4 + m + n))))) + (b*c + a*d)*f*(f*(b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))*(a*d*f*(3 + m) + b*(c*f*(3 + n) - d*e*(6 + m + n))) + (3 + m + n)*(2*a*b*c*d*f^2 + b*d*e*(a*d*f*(3 + m) + b*(c*f*(3 + n) - d*e*(4 + m + n))) - (b*c + a*d)*f*(a*d*f*(3 + m) + b*(c*f*(3 + n) - d*e*(4 + m + n)))))))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(-1 - m - n)*Hypergeometric2F1[1 + m, -n, 2 + m, -(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))])/(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))^n)}
+
+
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, -p, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*(b*(1 + m))), x, 3),
+
+# {(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^2, x, 4, (f*(b*d*e*(4 + m + n) - f*(b*c*(2 + m) + a*d*(2 + n)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n))/(b^2*d^2*(2 + m + n)*(3 + m + n)) + (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x))/(b*d*(3 + m + n)) + (1/(b^2*d^2*(b*c - a*d)*(1 + n)*(2 + m + n)*(3 + m + n)))*((f*(b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))*(b*d*e*(4 + m + n) - f*(b*c*(2 + m) + a*d*(2 + n))) + b*d*(2 + m + n)*(a*f*(c*f + d*e*(1 + n)) + b*e*(c*f*(1 + m) - d*e*(3 + m + n))))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m + n, 2 + n, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)]), (f*(b*d*e*(4 + m + n) - f*(b*c*(2 + m) + a*d*(2 + n)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n))/(b^2*d^2*(2 + m + n)*(3 + m + n)) + (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x))/(b*d*(3 + m + n)) - ((f*(b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))*(b*d*e*(4 + m + n) - f*(b*c*(2 + m) + a*d*(2 + n))) + b*d*(2 + m + n)*(a*f*(c*f + d*e*(1 + n)) + b*e*(c*f*(1 + m) - d*e*(3 + m + n))))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*Hypergeometric2F1[1 + m, -n, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*(b^3*d^2*(1 + m)*(2 + m + n)*(3 + m + n)))}
+# {(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^1, x, 3, (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n))/(b*d*(2 + m + n)) - ((b*d*e*(2 + m + n) - f*(b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m + n, 2 + n, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(b*d*(b*c - a*d)*(1 + n)*(2 + m + n)), (f*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n))/(b*d*(2 + m + n)) + ((b*d*e*(2 + m + n) - f*(b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*Hypergeometric2F1[1 + m, -n, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*(b^2*d*(1 + m)*(2 + m + n)))}
+# {(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^0, x, 2, -(((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m + n, 2 + n, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/((b*c - a*d)*(1 + n))), ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*Hypergeometric2F1[1 + m, -n, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*(b*(1 + m)))}
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n/(e + f*x)^1, ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 1, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*((b*e - a*f)*(1 + m))), x, 2),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n/(e + f*x)^2, (b*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 2, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*((b*e - a*f)^2*(1 + m))), x, 2),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n/(e + f*x)^3, (b^2*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 3, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*((b*e - a*f)^3*(1 + m))), x, 2),
+
+
+((3 + 4*x)^n/(sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), (-sqrt(2))*7^n*sqrt(1 - x)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1//2, -n, 3//2, (1 - x)/2, (4*(1 - x))/7), x, 1),
+((3 - 4*x)^n/(sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), sqrt(2)*7^n*sqrt(1 + x)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -n, 1//2, 3//2, (4*(1 + x))/7, (1 + x)/2), x, 1),
+
+((-3 + 4*x)^n/(sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), (-sqrt(2))*sqrt(1 - x)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1//2, -n, 3//2, (1 - x)/2, 4*(1 - x)), x, 1),
+((-3 - 4*x)^n/(sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), sqrt(2)*sqrt(1 + x)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -n, 1//2, 3//2, 4*(1 + x), (1 + x)/2), x, 1),
+
+
+((a + b*x)^(4//3)/(sqrt(c + d*x)*(e + f*x)), (3*(a + b*x)^(7//3)*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*SymbolicIntegration.appell_f1(7//3, 1//2, 1, 10//3, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(7*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x)), x, 2),
+
+
+(((c + d*x)^(2//5)*(e + f*x)^(3//5))/sqrt(a + b*x), (2*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(2//5)*(e + f*x)^(3//5)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -(2//5), -(3//5), 3//2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(b*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(2//5)*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^(3//5)), x, 3),
+
+
+(sqrt(a + b*x)*(e + f*x)^n/sqrt(c + d*x), (2*(a + b*x)^(3//2)*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*(e + f*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, 1//2, -n, 5//2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^n*(3*b*sqrt(c + d*x))), x, 3),
+(sqrt(c + d*x)*(e + f*x)^n/sqrt(a + b*x), (2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*(e + f*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -(1//2), -n, 3//2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^n*(b*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))), x, 3),
+
+
+((e + f*x)^n/(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)), (2*sqrt(a + b*x)*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*(e + f*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 3//2, -n, 3//2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^n*((b*c - a*d)*sqrt(c + d*x))), x, 3),
+((e + f*x)^n/(sqrt(c + d*x)*(a + b*x)^(3//2)), -((2*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*(e + f*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//2), 1//2, -n, 1//2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^n*(b*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)))), x, 3),
+
+
+((a + b*x)^(1//2)*(c + d*x)^(1//3)/(e + f*x), (2*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -(1//3), 1, 5//2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(3*(b*e - a*f)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//3)), x, 2),
+((a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//2)/(e + f*x), (3*(a + b*x)^(4//3)*sqrt(c + d*x)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, -(1//2), 1, 7//3, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(4*(b*e - a*f)*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))), x, 2),
+
+
+((a + b*x)^(1//2)*(c + d*x)^(1//3)*(e + f*x)^(1//4), (2*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(1//3)*(e + f*x)^(1//4)*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -(1//3), -(1//4), 5//2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(3*b*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^(1//3)*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^(1//4)), x, 3),
+((a + b*x)^(1//3)*(c + d*x)^(1//2)*(e + f*x)^(1//4), (3*(a + b*x)^(4//3)*sqrt(c + d*x)*(e + f*x)^(1//4)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, -(1//2), -(1//4), 7//3, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(4*b*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^(1//4)), x, 3),
+
+
+((a + b*x)^4*(A + B*x)*(d + e*x)^m, -(((b*d - a*e)^4*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^6*(1 + m))) + ((b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^6*(2 + m)) - (2*b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^6*(3 + m)) + (2*b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(4 + m))/(e^6*(4 + m)) - (b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^(5 + m))/(e^6*(5 + m)) + (b^4*B*(d + e*x)^(6 + m))/(e^6*(6 + m)), x, 2),
+((a + b*x)^3*(A + B*x)*(d + e*x)^m, ((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^5*(1 + m)) - ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^5*(2 + m)) + (3*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^5*(3 + m)) - (b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(4 + m))/(e^5*(4 + m)) + (b^3*B*(d + e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)), x, 2),
+((a + b*x)^2*(A + B*x)*(d + e*x)^m, -(((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^4*(1 + m))) + ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^4*(2 + m)) - (b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^4*(3 + m)) + (b^2*B*(d + e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)), x, 2),
+((a + b*x)^1*(A + B*x)*(d + e*x)^m, ((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^3*(1 + m)) - ((2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^3*(2 + m)) + (b*B*(d + e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)), x, 2),
+((a + b*x)^0*(A + B*x)*(d + e*x)^m, -(((B*d - A*e)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^2*(1 + m))) + (B*(d + e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^m/(a + b*x)^1, (B*(d + e*x)^(1 + m))/(b*e*(1 + m)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/(b*(b*d - a*e)*(1 + m)), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^m/(a + b*x)^2, -(((A*b - a*B)*(d + e*x)^(1 + m))/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x))) + ((a*B*e*(1 + m) - b*(B*d + A*e*m))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/(b*(b*d - a*e)^2*(1 + m)), x, 2),
+
+
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^m*(3 + 5*x)^3, -((7*(2 + 3*x)^(1 + m))/(243*(1 + m))) + (107*(2 + 3*x)^(2 + m))/(243*(2 + m)) - (185*(2 + 3*x)^(3 + m))/(81*(3 + m)) + (1025*(2 + 3*x)^(4 + m))/(243*(4 + m)) - (250*(2 + 3*x)^(5 + m))/(243*(5 + m)), x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^m*(3 + 5*x)^2, (7*(2 + 3*x)^(1 + m))/(81*(1 + m)) - (8*(2 + 3*x)^(2 + m))/(9*(2 + m)) + (65*(2 + 3*x)^(3 + m))/(27*(3 + m)) - (50*(2 + 3*x)^(4 + m))/(81*(4 + m)), x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^m*(3 + 5*x)^1, -((7*(2 + 3*x)^(1 + m))/(27*(1 + m))) + (37*(2 + 3*x)^(2 + m))/(27*(2 + m)) - (10*(2 + 3*x)^(3 + m))/(27*(3 + m)), x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^m/(3 + 5*x)^1, -((2*(2 + 3*x)^(1 + m))/(15*(1 + m))) - (11*(2 + 3*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, 5*(2 + 3*x)))/(5*(1 + m)), x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^m/(3 + 5*x)^2, -((11*(2 + 3*x)^(1 + m))/(5*(3 + 5*x))) + ((2 - 33*m)*(2 + 3*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, 5*(2 + 3*x)))/(5*(1 + m)), x, 2),
+((1 - 2*x)*(2 + 3*x)^m/(3 + 5*x)^3, -((11*(2 + 3*x)^(1 + m))/(10*(3 + 5*x)^2)) - (3*(37 - 33*m)*(2 + 3*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, 5*(2 + 3*x)))/(10*(1 + m)), x, 2),
+
+
+(((2 + 3*x)^m*(3 + 5*x)^3)/(1 - 2*x), -((5135*(2 + 3*x)^(1 + m))/(216*(1 + m))) - (725*(2 + 3*x)^(2 + m))/(108*(2 + m)) - (125*(2 + 3*x)^(3 + m))/(54*(3 + m)) + (1331*(2 + 3*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (2//7)*(2 + 3*x)))/(56*(1 + m)), x, 3),
+(((2 + 3*x)^m*(3 + 5*x)^2)/(1 - 2*x), -((155*(2 + 3*x)^(1 + m))/(36*(1 + m))) - (25*(2 + 3*x)^(2 + m))/(18*(2 + m)) + (121*(2 + 3*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (2//7)*(2 + 3*x)))/(28*(1 + m)), x, 3),
+(((2 + 3*x)^m*(3 + 5*x))/(1 - 2*x), -((5*(2 + 3*x)^(1 + m))/(6*(1 + m))) + (11*(2 + 3*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (2//7)*(2 + 3*x)))/(14*(1 + m)), x, 2),
+((2 + 3*x)^m/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)), (2*(2 + 3*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (2//7)*(2 + 3*x)))/(77*(1 + m)) - (5*(2 + 3*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, 5*(2 + 3*x)))/(11*(1 + m)), x, 3),
+((2 + 3*x)^m/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^2), -((5*(2 + 3*x)^(1 + m))/(11*(3 + 5*x))) + (4*(2 + 3*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (2//7)*(2 + 3*x)))/(847*(1 + m)) - (5*(2 + 33*m)*(2 + 3*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, 5*(2 + 3*x)))/(121*(1 + m)), x, 4),
+((2 + 3*x)^m/((1 - 2*x)*(3 + 5*x)^3), -((5*(2 + 3*x)^(1 + m))/(22*(3 + 5*x)^2)) + (5*(29 - 33*m)*(2 + 3*x)^(1 + m))/(242*(3 + 5*x)) + (8*(2 + 3*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (2//7)*(2 + 3*x)))/(9317*(1 + m)) - (5*(8 - 957*m + 1089*m^2)*(2 + 3*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, 5*(2 + 3*x)))/(2662*(1 + m)), x, 5),
+
+
+# Mathematica 8 cannot get these.
+((a + b*x)^m/((c + d*x)^0*(e + f*x)^2), (b*(a + b*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/((b*e - a*f)^2*(1 + m)), x, 1),
+((a + b*x)^m/((c + d*x)^1*(e + f*x)^2), -((f*(a + b*x)^(1 + m))/((b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(e + f*x))) + (d^2*(a + b*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((b*c - a*d)*(d*e - c*f)^2*(1 + m)) + (f*(a*d*f - b*(d*e*(1 - m) + c*f*m))*(a + b*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/((b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^2*(1 + m)), x, 4),
+((a + b*x)^m/((c + d*x)^2*(e + f*x)^2), (f*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*(a + b*x)^(1 + m))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)^2*(e + f*x)) + (d*(a + b*x)^(1 + m))/((b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(c + d*x)*(e + f*x)) + (d^2*(2*a*d*f - b*(c*f*(2 - m) + d*e*m))*(a + b*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)^3*(1 + m)) - (f^2*(2*a*d*f - b*(d*e*(2 - m) + c*f*m))*(a + b*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/((b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^3*(1 + m)), x, 5),
+]
+# Total integrals translated: 3224
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.4 (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.4 (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q.jl
new file mode 100644
index 00000000..a07ec262
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.4 (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q.jl	
@@ -0,0 +1,363 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q
+
+
+((a+b*x)*(c+d*x)*(e+f*x)*(g+h*x), a*c*e*g*x + (1//2)*(b*c*e*g + a*(d*e*g + c*f*g + c*e*h))*x^2 + (1//3)*(b*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + a*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*x^3 + (1//4)*(a*d*f*h + b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*x^4 + (1//5)*b*d*f*h*x^5, x, 2),
+((a+b*x)*(c+d*x)*(e+f*x)/(g+h*x), ((b*(d*g - c*h)*(f*g - e*h) - a*h*(d*f*g - d*e*h - c*f*h))*x)/h^3 + ((a*d*f*h - b*(d*f*g - d*e*h - c*f*h))*x^2)/(2*h^2) + (b*d*f*x^3)/(3*h) - ((b*g - a*h)*(d*g - c*h)*(f*g - e*h)*log(g + h*x))/h^4, x, 2),
+((a+b*x)*(c+d*x)/((e+f*x)*(g+h*x)), (b*d*x)/(f*h) + ((b*e - a*f)*(d*e - c*f)*log(e + f*x))/(f^2*(f*g - e*h)) - ((b*g - a*h)*(d*g - c*h)*log(g + h*x))/(h^2*(f*g - e*h)), x, 2),
+((a+b*x)/((c+d*x)*(e+f*x)*(g+h*x)), -(((b*c - a*d)*log(c + d*x))/((d*e - c*f)*(d*g - c*h))) + ((b*e - a*f)*log(e + f*x))/((d*e - c*f)*(f*g - e*h)) - ((b*g - a*h)*log(g + h*x))/((d*g - c*h)*(f*g - e*h)), x, 2),
+(1/((a+b*x)*(c+d*x)*(e+f*x)*(g+h*x)), (b^2*log(a + b*x))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)) - (d^2*log(c + d*x))/((b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(d*g - c*h)) + (f^2*log(e + f*x))/((b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(f*g - e*h)) - (h^2*log(g + h*x))/((b*g - a*h)*(d*g - c*h)*(f*g - e*h)), x, 2),
+
+
+(x/((1 + x)*(2 + x)*(3 + x)), (-(1//2))*log(1 + x) + 2*log(2 + x) - (3//2)*log(3 + x), x, 2),
+
+
+((-x^2 + x^3)/((-6 + x)*(3 + 5*x)^3), -(12/(1375*(3 + 5*x)^2)) + 201/(15125*(3 + 5*x)) + (20*log(6 - x))/3993 + (1493*log(3 + 5*x))/499125, x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^(q/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x)^n (c+d x)^p (e+f x)^(q/2)
+
+
+((a + b*x)^3*sqrt(c + d*x)*(e + f*x)/x, 2*a^3*e*sqrt(c + d*x) + (2*(3*b*d*e - 2*b*c*f + 2*a*d*f)*(a + b*x)^2*(c + d*x)^(3//2))/(21*d^2) + (2*f*(a + b*x)^3*(c + d*x)^(3//2))/(9*d) + (2*(c + d*x)^(3//2)*(2*(20*a^3*d^3*f + 3*a^2*b*d^2*(45*d*e - 16*c*f) - 9*a*b^2*c*d*(7*d*e - 4*c*f) + 4*b^3*c^2*(3*d*e - 2*c*f)) + 3*b*d*(21*a*b*d^2*e - 4*(b*c - a*d)*(3*b*d*e - 2*b*c*f + 2*a*d*f))*x))/(315*d^4) - 2*a^3*sqrt(c)*e*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)), x, 6),
+((a + b*x)^2*sqrt(c + d*x)*(e + f*x)/x, 2*a^2*e*sqrt(c + d*x) + (2*f*(a + b*x)^2*(c + d*x)^(3//2))/(7*d) + (2*(c + d*x)^(3//2)*(2*(10*a^2*d^2*f - b^2*c*(7*d*e - 4*c*f) + 7*a*b*d*(5*d*e - 2*c*f)) + 3*b*d*(7*b*d*e - 4*b*c*f + 4*a*d*f)*x))/(105*d^3) - 2*a^2*sqrt(c)*e*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)), x, 5),
+((a + b*x)^1*sqrt(c + d*x)*(e + f*x)/x, 2*a*e*sqrt(c + d*x) - (2*(c + d*x)^(3//2)*(2*b*c*f - 5*d*(b*e + a*f) - 3*b*d*f*x))/(15*d^2) - 2*a*sqrt(c)*e*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)), x, 4),
+((a + b*x)^0*sqrt(c + d*x)*(e + f*x)/x, 2*e*sqrt(c + d*x) + (2*f*(c + d*x)^(3//2))/(3*d) - 2*sqrt(c)*e*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)), x, 4),
+(1/(a + b*x)^1*sqrt(c + d*x)*(e + f*x)/x, (2*f*sqrt(c + d*x))/b - (2*sqrt(c)*e*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/a + (2*sqrt(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(a*b^(3//2)), x, 6),
+(1/(a + b*x)^2*sqrt(c + d*x)*(e + f*x)/x, ((b*e - a*f)*sqrt(c + d*x))/(a*b*(a + b*x)) - (2*sqrt(c)*e*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/a^2 + ((2*b^2*c*e - a*d*(b*e + a*f))*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(a^2*b^(3//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 6),
+(1/(a + b*x)^3*sqrt(c + d*x)*(e + f*x)/x, ((b*e - a*f)*sqrt(c + d*x))/(2*a*b*(a + b*x)^2) + ((4*b^2*c*e - 3*a*b*d*e - a^2*d*f)*sqrt(c + d*x))/(4*a^2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)) - (2*sqrt(c)*e*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/a^3 + ((8*b^3*c^2*e - 12*a*b^2*c*d*e + 3*a^2*b*d^2*e + a^3*d^2*f)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*a^3*b^(3//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 7),
+
+
+(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^3*(e + f*x)/x, 2*c^3*e*sqrt(a + b*x) + (2*(3*b*d*e + 2*b*c*f - 2*a*d*f)*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^2)/(21*b^2) + (2*f*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^3)/(9*b) - (2*(a + b*x)^(3//2)*(2*(8*a^3*d^3*f - 12*a^2*b*d^2*(d*e + 3*c*f) - 5*b^3*c^2*(27*d*e + 4*c*f) + 3*a*b^2*c*d*(21*d*e + 16*c*f)) - 3*b*d*(21*b^2*c*d*e + 4*(b*c - a*d)*(3*b*d*e + 2*b*c*f - 2*a*d*f))*x))/(315*b^4) - 2*sqrt(a)*c^3*e*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 6),
+(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^2*(e + f*x)/x, 2*c^2*e*sqrt(a + b*x) + (2*f*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^2)/(7*b) + (2*(a + b*x)^(3//2)*(2*(4*a^2*d^2*f - 7*a*b*d*(d*e + 2*c*f) + 5*b^2*c*(7*d*e + 2*c*f)) + 3*b*d*(7*b*d*e + 4*b*c*f - 4*a*d*f)*x))/(105*b^3) - 2*sqrt(a)*c^2*e*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 5),
+(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^1*(e + f*x)/x, 2*c*e*sqrt(a + b*x) - (2*(a + b*x)^(3//2)*(2*a*d*f - 5*b*(d*e + c*f) - 3*b*d*f*x))/(15*b^2) - 2*sqrt(a)*c*e*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^0*(e + f*x)/x, 2*e*sqrt(a + b*x) + (2*f*(a + b*x)^(3//2))/(3*b) - 2*sqrt(a)*e*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x)/(c + d*x)^1*(e + f*x)/x, (2*f*sqrt(a + b*x))/d + (2*sqrt(b*c - a*d)*(d*e - c*f)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(c*d^(3//2)) - (2*sqrt(a)*e*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/c, x, 6),
+(sqrt(a + b*x)/(c + d*x)^2*(e + f*x)/x, ((d*e - c*f)*sqrt(a + b*x))/(c*d*(c + d*x)) - ((2*a*d^2*e - b*c*(d*e + c*f))*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(c^2*d^(3//2)*sqrt(b*c - a*d)) - (2*sqrt(a)*e*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/c^2, x, 6),
+(sqrt(a + b*x)/(c + d*x)^3*(e + f*x)/x, ((d*e - c*f)*sqrt(a + b*x))/(2*c*d*(c + d*x)^2) - ((4*a*d^2*e - b*c*(3*d*e + c*f))*sqrt(a + b*x))/(4*c^2*d*(b*c - a*d)*(c + d*x)) - ((12*a*b*c*d^2*e - 8*a^2*d^3*e - b^2*c^2*(3*d*e + c*f))*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*c^3*d^(3//2)*(b*c - a*d)^(3//2)) - (2*sqrt(a)*e*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/c^3, x, 7),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^(p/2) (g+h x)^(q/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x)^n (c+d x)^(p/2) (e+f x)^(q/2)
+
+
+(x^3*(1 + a*x)/(sqrt(a*x)*sqrt(1 - a*x)), -((75*sqrt(a*x)*sqrt(1 - a*x))/(64*a^4)) - (25*(a*x)^(3//2)*sqrt(1 - a*x))/(32*a^4) - (5*(a*x)^(5//2)*sqrt(1 - a*x))/(8*a^4) - ((a*x)^(7//2)*sqrt(1 - a*x))/(4*a^4) - (75*asin(1 - 2*a*x))/(128*a^4), x, 8),
+(x^2*(1 + a*x)/(sqrt(a*x)*sqrt(1 - a*x)), -((11*sqrt(a*x)*sqrt(1 - a*x))/(8*a^3)) - (11*(a*x)^(3//2)*sqrt(1 - a*x))/(12*a^3) - ((a*x)^(5//2)*sqrt(1 - a*x))/(3*a^3) - (11*asin(1 - 2*a*x))/(16*a^3), x, 7),
+(x^1*(1 + a*x)/(sqrt(a*x)*sqrt(1 - a*x)), -((7*sqrt(a*x)*sqrt(1 - a*x))/(4*a^2)) - ((a*x)^(3//2)*sqrt(1 - a*x))/(2*a^2) - (7*asin(1 - 2*a*x))/(8*a^2), x, 6),
+(x^0*(1 + a*x)/(sqrt(a*x)*sqrt(1 - a*x)), -((sqrt(a*x)*sqrt(1 - a*x))/a) - (3*asin(1 - 2*a*x))/(2*a), x, 4),
+((1 + a*x)/(x^1*sqrt(a*x)*sqrt(1 - a*x)), -((2*sqrt(1 - a*x))/sqrt(a*x)) - asin(1 - 2*a*x), x, 5),
+((1 + a*x)/(x^2*sqrt(a*x)*sqrt(1 - a*x)), -((2*a*sqrt(1 - a*x))/(3*(a*x)^(3//2))) - (10*a*sqrt(1 - a*x))/(3*sqrt(a*x)), x, 3),
+((1 + a*x)/(x^3*sqrt(a*x)*sqrt(1 - a*x)), -((2*a^2*sqrt(1 - a*x))/(5*(a*x)^(5//2))) - (6*a^2*sqrt(1 - a*x))/(5*(a*x)^(3//2)) - (12*a^2*sqrt(1 - a*x))/(5*sqrt(a*x)), x, 4),
+((1 + a*x)/(x^4*sqrt(a*x)*sqrt(1 - a*x)), -((2*a^3*sqrt(1 - a*x))/(7*(a*x)^(7//2))) - (26*a^3*sqrt(1 - a*x))/(35*(a*x)^(5//2)) - (104*a^3*sqrt(1 - a*x))/(105*(a*x)^(3//2)) - (208*a^3*sqrt(1 - a*x))/(105*sqrt(a*x)), x, 5),
+((1 + a*x)/(x^5*sqrt(a*x)*sqrt(1 - a*x)), -((2*a^4*sqrt(1 - a*x))/(9*(a*x)^(9//2))) - (34*a^4*sqrt(1 - a*x))/(63*(a*x)^(7//2)) - (68*a^4*sqrt(1 - a*x))/(105*(a*x)^(5//2)) - (272*a^4*sqrt(1 - a*x))/(315*(a*x)^(3//2)) - (544*a^4*sqrt(1 - a*x))/(315*sqrt(a*x)), x, 6),
+
+
+# Integrands are equal.
+((-1 + 2*a*x)/(x^2*sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)), -((sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x))/x) + 2*a*atan(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)), x, 4),
+((a^2*x^2 - (1 - a*x)^2)/(x^2*sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)), -((sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x))/x) + 2*a*atan(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^(n/2) (e+f x)^(p/2) (g+h x)^(q/2)
+
+
+((A + B*x)/(sqrt(a + b*x)*sqrt(c + (b*(c - 1)*x)/a)*sqrt(e + (b*(e - 1)*x)/a)), -((2*a^(3//2)*B*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(1 - c)*sqrt(a + b*x))/sqrt(a)), (1 - e)/(1 - c)))/(b^2*sqrt(1 - c)*(1 - e))) + (2*sqrt(a)*(a*B*e + A*(b - b*e))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(1 - c)*sqrt(a + b*x))/sqrt(a)), (1 - e)/(1 - c)))/(b^2*sqrt(1 - c)*(1 - e)), x, 3),
+((A + B*x)/(sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + (b*(e - 1)*x)/a)), -((2*a*B*sqrt((-b)*c + a*d)*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), -(((b*c - a*d)*(1 - e))/(a*d))))/(b^2*sqrt(d)*(1 - e)*sqrt(c + d*x))) + (2*sqrt(a)*(a*B*e + A*(b - b*e))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(1 - e)*sqrt(a + b*x))/sqrt(a)), -((a*d)/((b*c - a*d)*(1 - e)))))/(b^2*(1 - e)^(3//2)*sqrt(c + d*x)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# p>0 & q>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((7 + 5*x)^3*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x), -((1182926269*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/1603800) - (12243139*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x))/356400 - (17561*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x)^2)/8910 - (427*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x)^3)/2970 + (2//55)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x)^4 - (6489123157*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(699840*sqrt(5 - 2*x)) + (522167393*sqrt(11//6)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(23328*sqrt(-5 + 2*x)), x, 10),
+((7 + 5*x)^2*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x), -((5256763*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/97200) - (8141*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x))/2700 - (61//270)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x)^2 + (2//45)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x)^3 - (17746949*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(29160*sqrt(5 - 2*x)) + (5592499*sqrt(11//6)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(3888*sqrt(-5 + 2*x)), x, 9),
+((7 + 5*x)^1*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x), -((20911*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/3780) + (136//105)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*(1 + 4*x)^(3//2) + (5//28)*sqrt(2 - 3*x)*(-5 + 2*x)^(3//2)*(1 + 4*x)^(3//2) - (954811*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(22680*sqrt(5 - 2*x)) + (72479*sqrt(11//6)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(756*sqrt(-5 + 2*x)), x, 8),
+((7 + 5*x)^0*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x), (-(22//45))*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x) + (1//10)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*(1 + 4*x)^(3//2) - (847*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(270*sqrt(5 - 2*x)) + (121*sqrt(11//6)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(18*sqrt(-5 + 2*x)), x, 7),
+(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)/(7 + 5*x)^1, (2//15)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x) - (427*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(225*sqrt(5 - 2*x)) - (1253*sqrt(2//33)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(375*sqrt(-5 + 2*x)) - (2691*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(55//124, asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(125*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)), x, 10),
+(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)/(7 + 5*x)^2, -((sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(5*(7 + 5*x))) + (6*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(25*sqrt(5 - 2*x)) + (152*sqrt(2//33)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(125*sqrt(-5 + 2*x)) + (26859*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(55//124, asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(7750*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)), x, 10),
+(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)/(7 + 5*x)^3, -((sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(10*(7 + 5*x)^2)) + (8953*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(556140*(7 + 5*x)) - (8953*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(1390350*sqrt(5 - 2*x)) + (397*sqrt(3//22)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(89125*sqrt(-5 + 2*x)) - (14832503*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(55//124, asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(287339000*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)), x, 11),
+(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)/(7 + 5*x)^4, -((sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(15*(7 + 5*x)^3)) + (8953*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(1668420*(7 + 5*x)^2) + (16830401*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(30929169960*(7 + 5*x)) - (16830401*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(77322924900*sqrt(5 - 2*x)) + (24957247*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(4956597750*sqrt(66)*sqrt(-5 + 2*x)) + (15664616449*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(55//124, asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(15980071146000*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)), x, 12),
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+(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)/(a + b*x), (2*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(3*b) - (2*sqrt((-d)*e + c*f)*(3*a*d*f*h - b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(3*b^2*d*sqrt(f)*h*sqrt(e + f*x)*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))) + (2*sqrt((-d)*e + c*f)*(3*a^2*d*f*h^2 - 3*a*b*(d*e + c*f)*h^2 - b^2*(d*g*(f*g - e*h) - c*h*(f*g + 2*e*h)))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(3*b^3*d*sqrt(f)*h*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)) - (2*(b*e - a*f)*sqrt((-d)*e + c*f)*(b*g - a*h)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*e - c*f))/((b*c - a*d)*f)), asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(b^3*sqrt(f)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), x, 12),
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+((7 + 5*x)^3*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)/sqrt(-5 + 2*x), (46134551*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/38880 + (26291//540)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x) + (1679//756)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x)^2 + (1//9)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x)^3 + (2629157597*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(163296*sqrt(5 - 2*x)) - (2161804579*sqrt(11//6)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(54432*sqrt(-5 + 2*x)), x, 9),
+((7 + 5*x)^2*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)/sqrt(-5 + 2*x), (73207*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/1080 + (173//60)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x) + (1//7)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x)^2 + (8198333*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(9072*sqrt(5 - 2*x)) - (1679161*sqrt(11//6)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(756*sqrt(-5 + 2*x)), x, 8),
+((7 + 5*x)^1*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)/sqrt(-5 + 2*x), (95//18)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x) + (1//4)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*(1 + 4*x)^(3//2) + (1397*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(27*sqrt(5 - 2*x)) - (4543*sqrt(11//6)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(36*sqrt(-5 + 2*x)), x, 7),
+((7 + 5*x)^0*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)/sqrt(-5 + 2*x), (1//3)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x) + (55*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(18*sqrt(5 - 2*x)) - (11*sqrt(22//3)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(3*sqrt(-5 + 2*x)), x, 6),
+(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)/((7 + 5*x)^1*sqrt(-5 + 2*x)), (2*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(5*sqrt(5 - 2*x)) - (41*sqrt(2//33)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(25*sqrt(-5 + 2*x)) + (69*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(55//124, asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(25*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)), x, 9),
+(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)/((7 + 5*x)^2*sqrt(-5 + 2*x)), (sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(39*(7 + 5*x)) - (2*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(195*sqrt(5 - 2*x)) - (2*sqrt(6//11)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(25*sqrt(-5 + 2*x)) - (6101*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(55//124, asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(20150*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)), x, 10),
+(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)/((7 + 5*x)^3*sqrt(-5 + 2*x)), (sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(78*(7 + 5*x)^2) - (361*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(481988*(7 + 5*x)) + (361*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(1204970*sqrt(5 - 2*x)) - (6101*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(231725*sqrt(66)*sqrt(-5 + 2*x)) - (6655867*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(55//124, asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(747081400*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)), x, 11),
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+# n>0
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+((7 + 5*x)^3*sqrt(2 - 3*x)/(sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), (110743//864)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x) + (121//24)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x) + (5//28)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x)^2 + (15629623*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(9072*sqrt(5 - 2*x)) - (25260049*sqrt(11//6)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(6048*sqrt(-5 + 2*x)), x, 8),
+((7 + 5*x)^2*sqrt(2 - 3*x)/(sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), (68//9)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x) + (1//4)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x) + (44569*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(432*sqrt(5 - 2*x)) - (17533*sqrt(11//6)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(72*sqrt(-5 + 2*x)), x, 7),
+((7 + 5*x)^1*sqrt(2 - 3*x)/(sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), (5//12)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x) + (241*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(36*sqrt(5 - 2*x)) - (179*sqrt(11//6)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(12*sqrt(-5 + 2*x)), x, 6),
+((7 + 5*x)^0*sqrt(2 - 3*x)/(sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), (sqrt(11//2)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 + 4*x)/sqrt(11)), 3))/(2*sqrt(-5 + 2*x)), x, 2),
+(sqrt(2 - 3*x)/((7 + 5*x)^1*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), -((sqrt(6//11)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(5*sqrt(-5 + 2*x))) - (3*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(55//124, asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(5*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)), x, 6),
+(sqrt(2 - 3*x)/((7 + 5*x)^2*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), -((5*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(897*(7 + 5*x))) + (2*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(897*sqrt(5 - 2*x)) - (2*sqrt(6//11)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(115*sqrt(-5 + 2*x)) - (3571*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(55//124, asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(92690*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)), x, 10),
+(sqrt(2 - 3*x)/((7 + 5*x)^3*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), -((5*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(1794*(7 + 5*x)^2)) - (26825*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(33257172*(7 + 5*x)) + (5365*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(16628586*sqrt(5 - 2*x)) - (13243*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(1065935*sqrt(66)*sqrt(-5 + 2*x)) - (16369941*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(55//124, asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(3436574440*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)), x, 11),
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+(sqrt(c + d*x)/((a + b*x)^1*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(b*sqrt(f)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)) - (2*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*e - c*f))/((b*c - a*d)*f)), asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(b*sqrt(f)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), x, 8),
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+((c + d*x)^(3//2)/((a + b*x)^1*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*d*sqrt((-f)*g + e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt((f*(g + h*x))/(f*g - e*h))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(h)*sqrt(e + f*x))/sqrt((-f)*g + e*h)), -((d*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*h))))/(b*f*sqrt(h)*sqrt(-((f*(c + d*x))/(d*e - c*f)))*sqrt(g + h*x)) + (2*(b*c - a*d)*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(b^2*sqrt(f)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)) - (2*(b*c - a*d)*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*e - c*f))/((b*c - a*d)*f)), asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(b^2*sqrt(f)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), x, 11),
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+
+
+((7 + 5*x)^4/(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), (-(120355//288))*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x) - (305//24)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x) - (25//84)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x)^2 - (5109835*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(756*sqrt(5 - 2*x)) + (392989907*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(2016*sqrt(66)*sqrt(-5 + 2*x)), x, 8),
+((7 + 5*x)^3/(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), (-(2135//108))*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x) - (5//12)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x) - (487585*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(1296*sqrt(5 - 2*x)) + (2474201*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(216*sqrt(66)*sqrt(-5 + 2*x)), x, 7),
+((7 + 5*x)^2/(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), (-(25//36))*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x) - (2135*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(108*sqrt(5 - 2*x)) + (24353*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(36*sqrt(66)*sqrt(-5 + 2*x)), x, 7),
+((7 + 5*x)^1/(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), -((5*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(6*sqrt(5 - 2*x))) + (13*sqrt(3//22)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/sqrt(-5 + 2*x), x, 5),
+((7 + 5*x)^0/(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), (sqrt(2//33)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/sqrt(-5 + 2*x), x, 2),
+(1/((7 + 5*x)^1*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), -((3*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(55//124, asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(31*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x))), x, 3),
+(1/((7 + 5*x)^2*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), -((25*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(27807*(7 + 5*x))) + (10*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(27807*sqrt(5 - 2*x)) - (2*sqrt(6//11)*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(713*sqrt(-5 + 2*x)) - (8953*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(55//124, asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(574678*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)), x, 10),
+(1/((7 + 5*x)^3*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), -((25*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(55614*(7 + 5*x)^2)) - (223825*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(1030972332*(7 + 5*x)) + (44765*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(515486166*sqrt(5 - 2*x)) - (24007*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//11)*sqrt(1 + 4*x)), 1//3))/(6608797*sqrt(66)*sqrt(-5 + 2*x)) - (48493305*sqrt(5 - 2*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(55//124, asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), -(1//2)))/(21306761528*sqrt(11)*sqrt(-5 + 2*x)), x, 11),
+
+
+((c*i + d*i*x)^1/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*sqrt((-f)*g + e*h)*i*sqrt(c + d*x)*sqrt((f*(g + h*x))/(f*g - e*h))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(h)*sqrt(e + f*x))/sqrt((-f)*g + e*h)), -((d*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*h))))/(f*sqrt(h)*sqrt(-((f*(c + d*x))/(d*e - c*f)))*sqrt(g + h*x)), x, 3),
+((a + b*x)^1/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*b*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(d*sqrt(f)*h*sqrt(e + f*x)*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))) - (2*sqrt((-d)*e + c*f)*(b*g - a*h)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(d*sqrt(f)*h*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), x, 6),
+(1/((a + b*x)^1*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), -((2*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*e - c*f))/((b*c - a*d)*f)), asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/((b*c - a*d)*sqrt(f)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))), x, 4),
+
+
+(1/((a + b*x)^1*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*d^2*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/((b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(d*g - c*h)*sqrt(c + d*x)) - (2*d*sqrt(h)*sqrt((-f)*g + e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt((f*(g + h*x))/(f*g - e*h))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(h)*sqrt(e + f*x))/sqrt((-f)*g + e*h)), -((d*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*h))))/((b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(d*g - c*h)*sqrt(-((f*(c + d*x))/(d*e - c*f)))*sqrt(g + h*x)) - (2*b*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*e - c*f))/((b*c - a*d)*f)), asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/((b*c - a*d)^2*sqrt(f)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), x, 10),
+
+
+(1/((a + b*x)^1*(c + d*x)^(5//2)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*d^2*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(3*(b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(d*g - c*h)*(c + d*x)^(3//2)) + (2*b*d^2*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/((b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)*(d*g - c*h)*sqrt(c + d*x)) - (4*d^2*(d*f*g + d*e*h - 2*c*f*h)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(3*(b*c - a*d)*(d*e - c*f)^2*(d*g - c*h)^2*sqrt(c + d*x)) + (4*d*sqrt(f)*(d*f*g + d*e*h - 2*c*f*h)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(3*(b*c - a*d)*((-d)*e + c*f)^(3//2)*(d*g - c*h)^2*sqrt(e + f*x)*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))) - (2*b*d*sqrt(h)*sqrt((-f)*g + e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt((f*(g + h*x))/(f*g - e*h))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(h)*sqrt(e + f*x))/sqrt((-f)*g + e*h)), -((d*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*h))))/((b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)*(d*g - c*h)*sqrt(-((f*(c + d*x))/(d*e - c*f)))*sqrt(g + h*x)) - (2*sqrt(f)*(2*d*f*g + d*e*h - 3*c*f*h)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(3*(b*c - a*d)*((-d)*e + c*f)^(3//2)*(d*g - c*h)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)) - (2*b^2*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*e - c*f))/((b*c - a*d)*f)), asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/((b*c - a*d)^3*sqrt(f)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), x, 18),
+
+
+# Following pairs of integrands are equal.
+(1/((a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(1 - f*x)*sqrt(1 + f*x)), -((2*sqrt((f*(c + d*x))/(d + c*f))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*b)/(b + a*f), asin(sqrt(1 - f*x)/sqrt(2)), (2*d)/(d + c*f)))/((b + a*f)*sqrt(c + d*x))), x, 3),
+(1/((a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(1 - f^2*x^2)), -((2*sqrt((f*(c + d*x))/(d + c*f))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*b)/(b + a*f), asin(sqrt(1 - f*x)/sqrt(2)), (2*d)/(d + c*f)))/((b + a*f)*sqrt(c + d*x))), x, 4),
+
+(1/((a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(1 - f^2*x)*sqrt(1 + f^2*x)), -((2*sqrt((f^2*(c + d*x))/(d + c*f^2))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*b)/(b + a*f^2), asin(sqrt(1 - f^2*x)/sqrt(2)), (2*d)/(d + c*f^2)))/((b + a*f^2)*sqrt(c + d*x))), x, 3),
+(1/((a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(1 - f^4*x^2)), -((2*sqrt((f^2*(c + d*x))/(d + c*f^2))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*b)/(b + a*f^2), asin(sqrt(1 - f^2*x)/sqrt(2)), (2*d)/(d + c*f^2)))/((b + a*f^2)*sqrt(c + d*x))), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/2) (e+f x)^(p/2) (g+h x)^(q/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# p>0 & q>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((7 + 5*x)^(5//2)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x), -((1450582567*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 + 5*x))/(3686400*sqrt(-5 + 2*x))) - (70489981*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 + 5*x))/1658880 - (83363*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x)^(3//2))/34560 - (427*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x)^(5//2))/2400 + (1//25)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x)^(7//2) + (1450582567*sqrt(143//3)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(39//23)*sqrt(1 + 4*x))/sqrt(-5 + 2*x)), -(23//39)))/(2457600*sqrt((2 - 3*x)/(5 - 2*x))*sqrt(7 + 5*x)) - (245264762213*sqrt(11//23)*sqrt(7 + 5*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(1 + 4*x)/(sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x))), -(39//23)))/(99532800*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))) - (57691792727443*(2 - 3*x)*sqrt((5 - 2*x)/(2 - 3*x))*sqrt(-((1 + 4*x)/(2 - 3*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(69//55), asin((sqrt(11//23)*sqrt(7 + 5*x))/sqrt(2 - 3*x)), -(23//39)))/(497664000*sqrt(429)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)), x, 12),
+((7 + 5*x)^(3//2)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x), -((1471781*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 + 5*x))/(51200*sqrt(-5 + 2*x))) - (267029*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 + 5*x))/69120 - (427*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x)^(3//2))/1440 + (1//20)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*(7 + 5*x)^(5//2) + (1471781*sqrt(429)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(39//23)*sqrt(1 + 4*x))/sqrt(-5 + 2*x)), -(23//39)))/(102400*sqrt((2 - 3*x)/(5 - 2*x))*sqrt(7 + 5*x)) - (982275517*sqrt(11//23)*sqrt(7 + 5*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(1 + 4*x)/(sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x))), -(39//23)))/(4147200*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))) - (145131624827*(2 - 3*x)*sqrt((5 - 2*x)/(2 - 3*x))*sqrt(-((1 + 4*x)/(2 - 3*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(69//55), asin((sqrt(11//23)*sqrt(7 + 5*x))/sqrt(2 - 3*x)), -(23//39)))/(20736000*sqrt(429)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)), x, 11),
+((7 + 5*x)^(1//2)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x), -((13027*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 + 5*x))/(4800*sqrt(-5 + 2*x))) + (23//240)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 + 5*x) - (1//9)*(2 - 3*x)^(3//2)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 + 5*x) + (13027*sqrt(143//3)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(39//23)*sqrt(1 + 4*x))/sqrt(-5 + 2*x)), -(23//39)))/(3200*sqrt((2 - 3*x)/(5 - 2*x))*sqrt(7 + 5*x)) - (1368371*sqrt(11//23)*sqrt(7 + 5*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(1 + 4*x)/(sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x))), -(39//23)))/(43200*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))) - (65750101*(2 - 3*x)*sqrt((5 - 2*x)/(2 - 3*x))*sqrt(-((1 + 4*x)/(2 - 3*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(69//55), asin((sqrt(11//23)*sqrt(7 + 5*x))/sqrt(2 - 3*x)), -(23//39)))/(216000*sqrt(429)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)), x, 10),
+(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)/(7 + 5*x)^(1//2), -((427*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 + 5*x))/(600*sqrt(-5 + 2*x))) + (1//10)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 + 5*x) + (427*sqrt(143//3)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(39//23)*sqrt(1 + 4*x))/sqrt(-5 + 2*x)), -(23//39)))/(400*sqrt((2 - 3*x)/(5 - 2*x))*sqrt(7 + 5*x)) - (20057*sqrt(11//23)*sqrt(7 + 5*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(1 + 4*x)/(sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x))), -(39//23)))/(1800*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))) + (1008833*(2 - 3*x)*sqrt((5 - 2*x)/(2 - 3*x))*sqrt(-((1 + 4*x)/(2 - 3*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(69//55), asin((sqrt(11//23)*sqrt(7 + 5*x))/sqrt(2 - 3*x)), -(23//39)))/(9000*sqrt(429)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)), x, 9),
+(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)/(7 + 5*x)^(3//2), -((2*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(5*sqrt(7 + 5*x))) + (6*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 + 5*x))/(25*sqrt(-5 + 2*x)) - (3*sqrt(429)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(39//23)*sqrt(1 + 4*x))/sqrt(-5 + 2*x)), -(23//39)))/(25*sqrt((2 - 3*x)/(5 - 2*x))*sqrt(7 + 5*x)) + (296*sqrt(11//23)*sqrt(7 + 5*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(1 + 4*x)/(sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x))), -(39//23)))/(75*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))) - (26474*(2 - 3*x)*sqrt((5 - 2*x)/(2 - 3*x))*sqrt(-((1 + 4*x)/(2 - 3*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(69//55), asin((sqrt(11//23)*sqrt(7 + 5*x))/sqrt(2 - 3*x)), -(23//39)))/(375*sqrt(429)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)), x, 9),
+(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)/(7 + 5*x)^(5//2), -((2*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(15*(7 + 5*x)^(3//2))) + (17906*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(417105*sqrt(7 + 5*x)) - (35812*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 + 5*x))/(2085525*sqrt(-5 + 2*x)) + (17906*sqrt(11//39)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(39//23)*sqrt(1 + 4*x))/sqrt(-5 + 2*x)), -(23//39)))/(53475*sqrt((2 - 3*x)/(5 - 2*x))*sqrt(7 + 5*x)) - (496*sqrt(11//23)*sqrt(7 + 5*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(1 + 4*x)/(sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x))), -(39//23)))/(1725*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))) + (496*(2 - 3*x)*sqrt((5 - 2*x)/(2 - 3*x))*sqrt(-((1 + 4*x)/(2 - 3*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(69//55), asin((sqrt(11//23)*sqrt(7 + 5*x))/sqrt(2 - 3*x)), -(23//39)))/(125*sqrt(429)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)), x, 10),
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+(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)/(7 + 5*x)^(9//2), -((2*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(35*(7 + 5*x)^(7//2))) + (2558*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(695175*(7 + 5*x)^(5//2)) + (23758016*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(57992193675*(7 + 5*x)^(3//2)) + (32843987836*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(451524900265803*sqrt(7 + 5*x)) - (65687975672*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 + 5*x))/(2257624501329015*sqrt(-5 + 2*x)) + (32843987836*sqrt(11//39)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(39//23)*sqrt(1 + 4*x))/sqrt(-5 + 2*x)), -(23//39)))/(57887807726385*sqrt((2 - 3*x)/(5 - 2*x))*sqrt(7 + 5*x)) - (1212290288*sqrt(11//23)*sqrt(7 + 5*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(1 + 4*x)/(sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x))), -(39//23)))/(1867348636335*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))), x, 10),
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+(sqrt(2 - 3*x)/((7 + 5*x)^(1//2)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), (62*(2 - 3*x)*sqrt((5 - 2*x)/(2 - 3*x))*sqrt(-((1 + 4*x)/(2 - 3*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(69//55), asin((sqrt(11//23)*sqrt(7 + 5*x))/sqrt(2 - 3*x)), -(23//39)))/(5*sqrt(429)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)), x, 2),
+# {Sqrt[2 - 3*x]/((7 + 5*x)^(3/2)*Sqrt[1 + 4*x]*Sqrt[-5 + 2*x]), x, 5, (2*Sqrt[11/39]*Sqrt[5 - 2*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[39/22]*Sqrt[1 + 4*x])/Sqrt[7 + 5*x]], 62/39])/(23*Sqrt[-5 + 2*x]), -((62*Sqrt[-5 + 2*x]*Sqrt[1 + 4*x])/(897*Sqrt[2 - 3*x]*Sqrt[7 + 5*x])) + (2*Sqrt[682]*Sqrt[1 + 4*x]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[31/11]*Sqrt[-5 + 2*x])/Sqrt[7 + 5*x]], 39/62])/(897*Sqrt[2 - 3*x]*Sqrt[-((1 + 4*x)/(2 - 3*x))]) - (Sqrt[22/31]*Sqrt[1 + 4*x]*EllipticF[ArcTan[(Sqrt[31/11]*Sqrt[-5 + 2*x])/Sqrt[7 + 5*x]], 39/62])/(39*Sqrt[2 - 3*x]*Sqrt[-((1 + 4*x)/(2 - 3*x))])}
+(sqrt(2 - 3*x)/((7 + 5*x)^(5//2)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), -((10*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(2691*(7 + 5*x)^(3//2))) - (98330*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(74828637*sqrt(7 + 5*x)) + (39332*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 + 5*x))/(74828637*sqrt(-5 + 2*x)) - (19666*sqrt(11//39)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(39//23)*sqrt(1 + 4*x))/sqrt(-5 + 2*x)), -(23//39)))/(1918683*sqrt((2 - 3*x)/(5 - 2*x))*sqrt(7 + 5*x)) + (716*sqrt(11//23)*sqrt(7 + 5*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(1 + 4*x)/(sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x))), -(39//23)))/(61893*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))), x, 8),
+
+
+((a + b*x)^(1//2)*sqrt(c + d*x)/(sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(g + h*x))/(h*sqrt(e + f*x)) - (sqrt(d*g - c*h)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x)*sqrt(((d*e - c*f)*(g + h*x))/((d*g - c*h)*(e + f*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d*g - c*h)*sqrt(e + f*x))), ((b*e - a*f)*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*(f*g - e*h))))/(f*h*sqrt(-(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x))))*sqrt(g + h*x)) + ((d*e - c*f)*(b*f*g + b*e*h - 2*a*f*h)*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/(f^2*h*sqrt(b*g - a*h)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))) + (sqrt(b*g - a*h)*(a*d*f*h - b*(d*f*g + d*e*h - c*f*h))*sqrt(((f*g - e*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(e + f*x)))*sqrt(((f*g - e*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(e + f*x)))*(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((f*(b*g - a*h))/((b*e - a*f)*h), asin((sqrt(b*e - a*f)*sqrt(g + h*x))/(sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))), ((d*e - c*f)*(b*g - a*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))))/(f^2*sqrt(b*e - a*f)*h^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)), x, 7),
+
+
+# {Sqrt[c + d*x]/((a + b*x)^(3/2)*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), x, 2, -((2*Sqrt[c + d*x]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[(-b)*e + a*f]*Sqrt[g + h*x])/(Sqrt[b*g - a*h]*Sqrt[e + f*x])], (((-b)*c + a*d)*(f*g - e*h))/(((-b)*e + a*f)*(d*g - c*h))])/(Sqrt[(-b)*e + a*f]*Sqrt[b*g - a*h]*Sqrt[a + b*x]*Sqrt[((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x))])), -((2*Sqrt[f*g - e*h]*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x)))]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[b*g - a*h]*Sqrt[e + f*x])/(Sqrt[f*g - e*h]*Sqrt[a + b*x])], -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))])/((b*e - a*f)*Sqrt[b*g - a*h]*Sqrt[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]*Sqrt[g + h*x]))}
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((7 + 5*x)^(5//2)/(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), -((2135*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 + 5*x))/(192*sqrt(-5 + 2*x))) - (25//48)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 + 5*x) + (2135*sqrt(143//3)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(39//23)*sqrt(1 + 4*x))/sqrt(-5 + 2*x)), -(23//39)))/(128*sqrt((2 - 3*x)/(5 - 2*x))*sqrt(7 + 5*x)) + (29047*sqrt(23//11)*sqrt(7 + 5*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(1 + 4*x)/(sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x))), -(39//23)))/(576*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))) - (3431855*(2 - 3*x)*sqrt((5 - 2*x)/(2 - 3*x))*sqrt(-((1 + 4*x)/(2 - 3*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(69//55), asin((sqrt(11//23)*sqrt(7 + 5*x))/sqrt(2 - 3*x)), -(23//39)))/(576*sqrt(429)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x)), x, 9),
+((7 + 5*x)^(3//2)/(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), -((5*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 + 5*x))/(12*sqrt(-5 + 2*x))) + (5*sqrt(143//3)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(39//23)*sqrt(1 + 4*x))/sqrt(-5 + 2*x)), -(23//39)))/(8*sqrt((2 - 3*x)/(5 - 2*x))*sqrt(7 + 5*x)) + (65*sqrt(11//23)*sqrt(7 + 5*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(1 + 4*x)/(sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x))), -(39//23)))/(8*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))) - (895*sqrt(11//62)*sqrt(2 - 3*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(22//23)*sqrt(7 + 5*x))/sqrt(-5 + 2*x)), 39//62))/(48*sqrt(-((2 - 3*x)/(1 + 4*x)))*sqrt(1 + 4*x)) + (23*sqrt(31//22)*sqrt((2 - 3*x)/(7 + 5*x))*sqrt((5 - 2*x)/(7 + 5*x))*(7 + 5*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(55//124, asin((sqrt(31//11)*sqrt(1 + 4*x))/sqrt(7 + 5*x)), 39//62))/(6*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)) - (4117*sqrt(2 - 3*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(78//55, atan((sqrt(22//23)*sqrt(7 + 5*x))/sqrt(-5 + 2*x)), 39//62))/(48*sqrt(682)*sqrt(-((2 - 3*x)/(1 + 4*x)))*sqrt(1 + 4*x)), x, 12),
+((7 + 5*x)^(1//2)/(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), (23*sqrt((2 - 3*x)/(7 + 5*x))*sqrt((5 - 2*x)/(7 + 5*x))*(7 + 5*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(55//124, asin((sqrt(31//11)*sqrt(1 + 4*x))/sqrt(7 + 5*x)), 39//62))/(2*sqrt(682)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)), x, 2),
+(1/((7 + 5*x)^(1//2)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), (2*sqrt(7 + 5*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(1 + 4*x)/(sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x))), -(39//23)))/(sqrt(253)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))), x, 2),
+# {1/((7 + 5*x)^(3/2)*Sqrt[2 - 3*x]*Sqrt[1 + 4*x]*Sqrt[-5 + 2*x]), x, 8, (10*Sqrt[11/39]*Sqrt[2 - 3*x]*Sqrt[(5 - 2*x)/(7 + 5*x)]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[39/22]*Sqrt[1 + 4*x])/Sqrt[7 + 5*x]], 62/39])/(713*Sqrt[-5 + 2*x]*Sqrt[(2 - 3*x)/(7 + 5*x)]) + (2*Sqrt[3/143]*(2 - 3*x)*Sqrt[(5 - 2*x)/(2 - 3*x)]*Sqrt[-((1 + 4*x)/(2 - 3*x))]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[11/23]*Sqrt[7 + 5*x])/Sqrt[2 - 3*x]], -(23/39)])/(31*Sqrt[-5 + 2*x]*Sqrt[1 + 4*x]), -((10*Sqrt[-5 + 2*x]*Sqrt[1 + 4*x])/(897*Sqrt[2 - 3*x]*Sqrt[7 + 5*x])) + (10*Sqrt[22/31]*Sqrt[1 + 4*x]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[31/11]*Sqrt[-5 + 2*x])/Sqrt[7 + 5*x]], 39/62])/(897*Sqrt[2 - 3*x]*Sqrt[-((1 + 4*x)/(2 - 3*x))]) + (6*Sqrt[7 + 5*x]*EllipticF[ArcTan[Sqrt[1 + 4*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[2 - 3*x])], -(39/23)])/(31*Sqrt[253]*Sqrt[-5 + 2*x]*Sqrt[(7 + 5*x)/(5 - 2*x)]) - (5*Sqrt[22/31]*Sqrt[1 + 4*x]*EllipticF[ArcTan[(Sqrt[31/11]*Sqrt[-5 + 2*x])/Sqrt[7 + 5*x]], 39/62])/(1209*Sqrt[2 - 3*x]*Sqrt[-((1 + 4*x)/(2 - 3*x))])}
+(1/((7 + 5*x)^(5//2)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(-5 + 2*x)), -((50*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(83421*(7 + 5*x)^(3//2))) - (895300*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt(1 + 4*x))/(2319687747*sqrt(7 + 5*x)) + (358120*sqrt(2 - 3*x)*sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 + 5*x))/(2319687747*sqrt(-5 + 2*x)) - (179060*sqrt(11//39)*sqrt(2 - 3*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(39//23)*sqrt(1 + 4*x))/sqrt(-5 + 2*x)), -(23//39)))/(59479173*sqrt((2 - 3*x)/(5 - 2*x))*sqrt(7 + 5*x)) + (103964*sqrt(7 + 5*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(1 + 4*x)/(sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x))), -(39//23)))/(1918683*sqrt(253)*sqrt(-5 + 2*x)*sqrt((7 + 5*x)/(5 - 2*x))), x, 8),
+
+
+((a + b*x)^(3//2)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (b*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(g + h*x))/(d*h*sqrt(e + f*x)) - (b*sqrt(d*g - c*h)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x)*sqrt(((d*e - c*f)*(g + h*x))/((d*g - c*h)*(e + f*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d*g - c*h)*sqrt(e + f*x))), ((b*e - a*f)*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*(f*g - e*h))))/(d*f*h*sqrt(-(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x))))*sqrt(g + h*x)) + (b*(d*e - c*f)*(b*f*g + b*e*h - 2*a*f*h)*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/(d*f^2*h*sqrt(b*g - a*h)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))) + (b*sqrt(b*g - a*h)*(a*d*f*h - b*(d*f*g + d*e*h - c*f*h))*sqrt(((f*g - e*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(e + f*x)))*sqrt(((f*g - e*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(e + f*x)))*(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((f*(b*g - a*h))/((b*e - a*f)*h), asin((sqrt(b*e - a*f)*sqrt(g + h*x))/(sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))), ((d*e - c*f)*(b*g - a*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))))/(d*f^2*sqrt(b*e - a*f)*h^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) - (2*sqrt(b*c - a*d)*sqrt((-d)*g + c*h)*(a + b*x)*sqrt(((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x)))*sqrt(((b*g - a*h)*(e + f*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*h)), asin((sqrt(b*c - a*d)*sqrt(g + h*x))/(sqrt((-d)*g + c*h)*sqrt(a + b*x))), ((b*e - a*f)*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*(f*g - e*h))))/(d*h*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 10),
+((a + b*x)^(1//2)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*sqrt((-d)*g + c*h)*(a + b*x)*sqrt(((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x)))*sqrt(((b*g - a*h)*(e + f*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*h)), asin((sqrt(b*c - a*d)*sqrt(g + h*x))/(sqrt((-d)*g + c*h)*sqrt(a + b*x))), ((b*e - a*f)*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*(f*g - e*h))))/(sqrt(b*c - a*d)*h*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 2),
+# {1/((a + b*x)^(1/2)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), x, 2, -((2*Sqrt[((f*g - e*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(e + f*x))]*Sqrt[e + f*x]*EllipticF[ArcTan[(Sqrt[b*e - a*f]*Sqrt[g + h*x])/(Sqrt[f*g - e*h]*Sqrt[a + b*x])], ((d*e - c*f)*(b*g - a*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))])/(Sqrt[b*e - a*f]*Sqrt[f*g - e*h]*Sqrt[c + d*x])), (2*Sqrt[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]*Sqrt[g + h*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[b*g - a*h]*Sqrt[e + f*x])/(Sqrt[f*g - e*h]*Sqrt[a + b*x])], -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))])/(Sqrt[b*g - a*h]*Sqrt[f*g - e*h]*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x)))])}
+(1/((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), -((2*b*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*sqrt(b*g - a*h)*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x))) - (2*d*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/((b*c - a*d)*sqrt(b*g - a*h)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))), x, 5),
+
+
+(1/((a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), -((2*d^3*sqrt(a + b*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/((b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)*(d*g - c*h)*sqrt(c + d*x))) - (2*b^3*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/((b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*sqrt(a + b*x)) + (2*b*(a^2*d^2*f*h - a*b*d^2*(f*g + e*h) + b^2*(2*d^2*e*g + c^2*f*h - c*d*(f*g + e*h)))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/((b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(b*g - a*h)*(d*g - c*h)*sqrt(a + b*x)) - (2*sqrt(f*g - e*h)*(a^2*d^2*f*h - a*b*d^2*(f*g + e*h) + b^2*(2*d^2*e*g + c^2*f*h - c*d*(f*g + e*h)))*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/((b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*sqrt(b*g - a*h)*(d*g - c*h)*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)) - (4*b*d*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/((b*c - a*d)^2*sqrt(b*g - a*h)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))), x, -1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q with m symbolic
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q with m symbolic
+
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+(x^4*(e + f*x)^n/((a + b*x)*(c + d*x)), (e^2*(e + f*x)^(1 + n))/(b*d*f^3*(1 + n)) + ((b*c + a*d)*e*(e + f*x)^(1 + n))/(b^2*d^2*f^2*(1 + n)) + ((b^2*c^2 + a*b*c*d + a^2*d^2)*(e + f*x)^(1 + n))/(b^3*d^3*f*(1 + n)) - (2*e*(e + f*x)^(2 + n))/(b*d*f^3*(2 + n)) - ((b*c + a*d)*(e + f*x)^(2 + n))/(b^2*d^2*f^2*(2 + n)) + (e + f*x)^(3 + n)/(b*d*f^3*(3 + n)) - (a^4*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b*(e + f*x))/(b*e - a*f)))/(b^3*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(1 + n)) + (c^4*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (d*(e + f*x))/(d*e - c*f)))/(d^3*(b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(1 + n)), x, 8),
+(x^3*(e + f*x)^n/((a + b*x)*(c + d*x)), -((e*(e + f*x)^(1 + n))/(b*d*f^2*(1 + n))) - ((b*c + a*d)*(e + f*x)^(1 + n))/(b^2*d^2*f*(1 + n)) + (e + f*x)^(2 + n)/(b*d*f^2*(2 + n)) + (a^3*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b*(e + f*x))/(b*e - a*f)))/(b^2*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(1 + n)) - (c^3*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (d*(e + f*x))/(d*e - c*f)))/(d^2*(b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(1 + n)), x, 6),
+(x^2*(e + f*x)^n/((a + b*x)*(c + d*x)), (e + f*x)^(1 + n)/(b*d*f*(1 + n)) - (a^2*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b*(e + f*x))/(b*e - a*f)))/(b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(1 + n)) + (c^2*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (d*(e + f*x))/(d*e - c*f)))/(d*(b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(1 + n)), x, 4),
+(x^1*(e + f*x)^n/((a + b*x)*(c + d*x)), (a*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b*(e + f*x))/(b*e - a*f)))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(1 + n)) - (c*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (d*(e + f*x))/(d*e - c*f)))/((b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(1 + n)), x, 3),
+(x^0*(e + f*x)^n/((a + b*x)*(c + d*x)), -((b*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b*(e + f*x))/(b*e - a*f)))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(1 + n))) + (d*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (d*(e + f*x))/(d*e - c*f)))/((b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(1 + n)), x, 3),
+((e + f*x)^n/(x^1*(a + b*x)*(c + d*x)), (b^2*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b*(e + f*x))/(b*e - a*f)))/(a*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(1 + n)) - (d^2*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (d*(e + f*x))/(d*e - c*f)))/(c*(b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(1 + n)) - ((e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (f*x)/e))/(a*c*e*(1 + n)), x, 5),
+((e + f*x)^n/(x^2*(a + b*x)*(c + d*x)), -((b^3*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b*(e + f*x))/(b*e - a*f)))/(a^2*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(1 + n))) + (d^3*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (d*(e + f*x))/(d*e - c*f)))/(c^2*(b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(1 + n)) + ((b*c + a*d)*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (f*x)/e))/(a^2*c^2*e*(1 + n)) + (f*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, 1 + (f*x)/e))/(a*c*e^2*(1 + n)), x, 6),
+
+
+((a + b*x)^m*(c + d*x)*(e + f*x)*(g + h*x), ((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*(a + b*x)^(1 + m))/(b^4*(1 + m)) + ((3*a^2*d*f*h + b^2*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) - 2*a*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*(a + b*x)^(2 + m))/(b^4*(2 + m)) - ((3*a*d*f*h - b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*(a + b*x)^(3 + m))/(b^4*(3 + m)) + (d*f*h*(a + b*x)^(4 + m))/(b^4*(4 + m)), x, 2),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)*(e + f*x)/(g + h*x), -(((a + b*x)^(1 + m)*(a*d*f*h + b*(d*f*g - d*e*h - c*f*h)*(2 + m) - b*d*f*h*(1 + m)*x))/(b^2*h^2*(1 + m)*(2 + m))) + ((d*g - c*h)*(f*g - e*h)*(a + b*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((h*(a + b*x))/(b*g - a*h))))/(h^2*(b*g - a*h)*(1 + m)), x, 2),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)/((e + f*x)*(g + h*x)), -(((d*e - c*f)*(a + b*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/((b*e - a*f)*(f*g - e*h)*(1 + m))) + ((d*g - c*h)*(a + b*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((h*(a + b*x))/(b*g - a*h))))/((b*g - a*h)*(f*g - e*h)*(1 + m)), x, 3),
+((a + b*x)^m/((c + d*x)*(e + f*x)*(g + h*x)), (d^2*(a + b*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(d*g - c*h)*(1 + m)) - (f^2*(a + b*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/((b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(f*g - e*h)*(1 + m)) + (h^2*(a + b*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((h*(a + b*x))/(b*g - a*h))))/((b*g - a*h)*(d*g - c*h)*(f*g - e*h)*(1 + m)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q with m and n symbolic
+
+
+(x^m*(e + f*x)^n/((a + b*x)*(c + d*x)), (b*x^(1 + m)*(e + f*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 1, 2 + m, -((f*x)/e), -((b*x)/a)))/((1 + (f*x)/e)^n*(a*(b*c - a*d)*(1 + m))) - (d*x^(1 + m)*(e + f*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 1, 2 + m, -((f*x)/e), -((d*x)/c)))/((1 + (f*x)/e)^n*(c*(b*c - a*d)*(1 + m))), x, 6),
+
+
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)*(g + h*x), -(((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*(b*c*f*h*(2 + m) + a*d*f*h*(2 + n) - b*d*(f*g + e*h)*(3 + m + n) - b*d*f*h*(2 + m + n)*x))/(b^2*d^2*(2 + m + n)*(3 + m + n))) + (1/(b^3*d^2*(1 + m)*(2 + m + n)*(3 + m + n)))*(((a^2*d^2*f*h*(1 + n)*(2 + n) + a*b*d*(1 + n)*(2*c*f*h*(1 + m) - d*(f*g + e*h)*(3 + m + n)) + b^2*(c^2*f*h*(1 + m)*(2 + m) - c*d*(f*g + e*h)*(1 + m)*(3 + m + n) + d^2*e*g*(2 + m + n)*(3 + m + n)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n), x, 3),
+
+
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m - 1)*(e + f*x)*(g + h*x), ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(2 - m)*(4*b*d*(f*g + e*h) - a*d*f*h*(3 - m) - b*c*f*h*(2 + m) + 3*b*d*f*h*x))/(12*b^2*d^2) + ((b*c - a*d)*(a^2*d^2*f*h*(6 - 5*m + m^2) - 2*a*b*d*(2 - m)*(2*d*(f*g + e*h) - c*f*h*(1 + m)) + b^2*(12*d^2*e*g - 4*c*d*(f*g + e*h)*(1 + m) + c^2*f*h*(2 + 3*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 + m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(12*b^4*d^2*(1 + m))), x, 3),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 0)*(e + f*x)*(g + h*x), ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 - m)*(3*b*d*(f*g + e*h) - a*d*f*h*(2 - m) - b*c*f*h*(2 + m) + 2*b*d*f*h*x))/(6*b^2*d^2) + ((a^2*d^2*f*h*(2 - 3*m + m^2) - a*b*d*(1 - m)*(3*d*(f*g + e*h) - 2*c*f*h*(1 + m)) + b^2*(6*d^2*e*g - 3*c*d*(f*g + e*h)*(1 + m) + c^2*f*h*(2 + 3*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(6*b^3*d^2*(1 + m))), x, 3),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 1)*(e + f*x)*(g + h*x), ((a + b*x)^(1 + m)*(2*b*d^2*e*g + b*c^2*f*h*(2 + m) - c*d*(2*b*(f*g + e*h) + a*f*h*m) + d*(b*c - a*d)*f*h*m*x))/((c + d*x)^m*(2*b*d^2*(b*c - a*d)*m)) - ((b^2*c^2*f*h*(1 + m)*(2 + m) - 2*b*c*d*(1 + m)*(b*f*g + b*e*h + a*f*h*m) + d^2*(2*b^2*e*g + 2*a*b*(f*g + e*h)*m - a^2*f*h*(1 - m)*m))*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(2*b^2*d^2*(b*c - a*d)*m*(1 + m))), x, 3),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 2)*(e + f*x)*(g + h*x), ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m)*(b*d^2*e*g + b*c^2*f*h*(2 + m) - c*d*(b*(f*g + e*h) + a*f*h*(1 + m)) + d*(b*c - a*d)*f*h*(1 + m)*x))/(b*d^2*(b*c - a*d)*(1 + m)) - ((a*d*f*h*m + b*(d*(f*g + e*h) - c*f*h*(2 + m)))*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-m, -m, 1 - m, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/((-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)))^m*(c + d*x)^m*(b*d^3*m)), x, 3),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 3)*(e + f*x)*(g + h*x), -((1/(b^2*(b*c - a*d)^2*(1 + m)*(2 + m)))*((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-2 - m)*(a^2*b*c*f*h*m - a^3*d*f*h*(1 + m) - b^3*c*e*g*(2 + m) + a*b^2*(c*(f*g + e*h) + d*e*g*(1 + m)) - b*(a^2*d*f*h*(3 + 2*m) + b^2*(d*e*g + c*(f*g + e*h)*(1 + m)) - a*b*(2*c*f*h*(1 + m) + d*(f*g + e*h)*(2 + m)))*x))) + (f*h*(a + b*x)^(3 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3 + m, 3 + m, 4 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*((b*c - a*d)^3*(3 + m))), x, 3),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 4)*(e + f*x)*(g + h*x), ((a^2*d^2*f*h*(6 + 5*m + m^2) - a*b*d*(3 + m)*(d*(f*g + e*h) + 2*c*f*h*(1 + m)) + b^2*(2*d^2*e*g + c*d*(f*g + e*h)*(1 + m) + c^2*f*h*(2 + 3*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-2 - m))/(b*d^2*(b*c - a*d)^2*(2 + m)*(3 + m)) + ((a^2*d^2*f*h*(6 + 5*m + m^2) - a*b*d*(3 + m)*(d*(f*g + e*h) + 2*c*f*h*(1 + m)) + b^2*(2*d^2*e*g + c*d*(f*g + e*h)*(1 + m) + c^2*f*h*(2 + 3*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m))/(d^2*(b*c - a*d)^3*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)) + ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-3 - m)*(a*c*d*f*h*(3 + m) + b*(d^2*e*g - c*d*(f*g + e*h) - c^2*f*h*(2 + m)) - d*(b*c - a*d)*f*h*(3 + m)*x))/(b*d^2*(b*c - a*d)*(3 + m)), x, 3),
+((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 5)*(e + f*x)*(g + h*x), ((a^2*d^2*f*h*(12 + 7*m + m^2) - 2*a*b*d*(4 + m)*(d*(f*g + e*h) + c*f*h*(1 + m)) + b^2*(6*d^2*e*g + 2*c*d*(f*g + e*h)*(1 + m) + c^2*f*h*(2 + 3*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-3 - m))/(2*b*d^2*(b*c - a*d)^2*(3 + m)*(4 + m)) + ((a^2*d^2*f*h*(12 + 7*m + m^2) - 2*a*b*d*(4 + m)*(d*(f*g + e*h) + c*f*h*(1 + m)) + b^2*(6*d^2*e*g + 2*c*d*(f*g + e*h)*(1 + m) + c^2*f*h*(2 + 3*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-2 - m))/(d^2*(b*c - a*d)^3*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)) + (b*(a^2*d^2*f*h*(12 + 7*m + m^2) - 2*a*b*d*(4 + m)*(d*(f*g + e*h) + c*f*h*(1 + m)) + b^2*(6*d^2*e*g + 2*c*d*(f*g + e*h)*(1 + m) + c^2*f*h*(2 + 3*m + m^2)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m))/(d^2*(b*c - a*d)^4*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)) + ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-4 - m)*(a*c*d*f*h*(4 + m) + b*(2*d^2*e*g - 2*c*d*(f*g + e*h) - c^2*f*h*(2 + m)) - d*(b*c - a*d)*f*h*(4 + m)*x))/(2*b*d^2*(b*c - a*d)*(4 + m)), x, 4),
+
+
+((a + b*x)^3*(c + d*x)^(-4 - m)*(e + f*x)^m*(g + h*x), ((b*c - a*d)^2*(a*d*f + b*(c*f*(2 + m) - d*e*(3 + m)))*(c*f*h*(4 + m) - d*(f*g + e*h*(3 + m)))*(c + d*x)^(-3 - m)*(e + f*x)^(1 + m))/(d^4*f^2*(d*e - c*f)*(3 + m)) - (b*(b*c - a*d)*(c*f*h*(4 + m) - d*(f*g + e*h*(3 + m)))*(a + b*x)*(c + d*x)^(-3 - m)*(e + f*x)^(1 + m))/(d^3*f^2) + (h*(a + b*x)^3*(c + d*x)^(-3 - m)*(e + f*x)^(1 + m))/(d*f) - ((b*c - a*d)^2*(3*a*d*f*h - b*(c*f*h*(4 + m) - d*(f*g + e*h*m)))*(c + d*x)^(-2 - m)*(e + f*x)^(1 + m))/(d^4*f*(d*e - c*f)*(2 + m)) + ((b*c - a*d)*(c*f*h*(4 + m) - d*(f*g + e*h*(3 + m)))*(2*a^2*d^2*f^2 + 2*a*b*d*f*(c*f*(1 + m) - d*e*(3 + m)) + b^2*(c^2*f^2*(2 + 3*m + m^2) - 2*c*d*e*f*(3 + 4*m + m^2) + d^2*e^2*(6 + 5*m + m^2)))*(c + d*x)^(-2 - m)*(e + f*x)^(1 + m))/(d^4*f^2*(d*e - c*f)^2*(2 + m)*(3 + m)) - ((b*c - a*d)*(a*d*f - b*(2*d*e*(2 + m) - c*f*(3 + 2*m)))*(3*a*d*f*h - b*(c*f*h*(4 + m) - d*(f*g + e*h*m)))*(c + d*x)^(-1 - m)*(e + f*x)^(1 + m))/(d^4*f*(d*e - c*f)^2*(1 + m)*(2 + m)) - ((b*c - a*d)*(c*f*h*(4 + m) - d*(f*g + e*h*(3 + m)))*(2*a^2*d^2*f^2 + 2*a*b*d*f*(c*f*(1 + m) - d*e*(3 + m)) + b^2*(c^2*f^2*(2 + 3*m + m^2) - 2*c*d*e*f*(3 + 4*m + m^2) + d^2*e^2*(6 + 5*m + m^2)))*(c + d*x)^(-1 - m)*(e + f*x)^(1 + m))/(d^4*f*(d*e - c*f)^3*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)) - (b^2*(3*a*d*f*h - b*(c*f*h*(4 + m) - d*(f*g + e*h*m)))*(e + f*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-m, -m, 1 - m, -((f*(c + d*x))/(d*e - c*f))))/((c + d*x)^m*((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))^m*(d^5*f*m)), x, 10),
+((a + b*x)^2*(c + d*x)^(-4 - m)*(e + f*x)^m*(g + h*x), ((b*c - a*d)*(d*g - c*h)*(a*d*f + b*(c*f*(2 + m) - d*e*(3 + m)))*(c + d*x)^(-3 - m)*(e + f*x)^(1 + m))/(d^3*f*(d*e - c*f)*(3 + m)) - (b*(d*g - c*h)*(a + b*x)*(c + d*x)^(-3 - m)*(e + f*x)^(1 + m))/(d^2*f) - ((b*c - a*d)^2*h*(c + d*x)^(-2 - m)*(e + f*x)^(1 + m))/(d^3*(d*e - c*f)*(2 + m)) - ((d*g - c*h)*(b^2*(d*e - c*f)*(2 + m)*(c*f*(1 + m) - d*e*(3 + m)) - 2*d*f*(b^2*c*e + a^2*d*f + a*b*(c*f*(1 + m) - d*e*(3 + m))))*(c + d*x)^(-2 - m)*(e + f*x)^(1 + m))/(d^3*f*(d*e - c*f)^2*(2 + m)*(3 + m)) - ((b*c - a*d)*h*(a*d*f - b*(2*d*e*(2 + m) - c*f*(3 + 2*m)))*(c + d*x)^(-1 - m)*(e + f*x)^(1 + m))/(d^3*(d*e - c*f)^2*(1 + m)*(2 + m)) + ((d*g - c*h)*(b^2*(d*e - c*f)*(2 + m)*(c*f*(1 + m) - d*e*(3 + m)) - 2*d*f*(b^2*c*e + a^2*d*f + a*b*(c*f*(1 + m) - d*e*(3 + m))))*(c + d*x)^(-1 - m)*(e + f*x)^(1 + m))/(d^3*(d*e - c*f)^3*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)) - (b^2*h*(e + f*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-m, -m, 1 - m, -((f*(c + d*x))/(d*e - c*f))))/((c + d*x)^m*((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))^m*(d^4*m)), x, 9),
+((a + b*x)^1*(c + d*x)^(-4 - m)*(e + f*x)^m*(g + h*x), ((b*(c^2*f^2*h*(2 + 3*m + m^2) - d^2*e*(3 + m)*(f*g - e*h*(2 + m)) + c*d*f*(1 + m)*(f*g - 2*e*h*(3 + m))) + a*d*f*(c*f*h*(1 + m) + d*(2*f*g - e*h*(3 + m))))*(c + d*x)^(-2 - m)*(e + f*x)^(1 + m))/(d^2*f*(d*e - c*f)^2*(2 + m)*(3 + m)) - ((b*(c^2*f^2*h*(2 + 3*m + m^2) - d^2*e*(3 + m)*(f*g - e*h*(2 + m)) + c*d*f*(1 + m)*(f*g - 2*e*h*(3 + m))) + a*d*f*(c*f*h*(1 + m) + d*(2*f*g - e*h*(3 + m))))*(c + d*x)^(-1 - m)*(e + f*x)^(1 + m))/(d^2*(d*e - c*f)^3*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)) - ((c + d*x)^(-3 - m)*(e + f*x)^(1 + m)*(a*d*f*(d*g - c*h) - b*c*(c*f*h*(2 + m) + d*(f*g - e*h*(3 + m))) + b*d*(d*e - c*f)*h*(3 + m)*x))/(d^2*f*(d*e - c*f)*(3 + m)), x, 3),
+((a + b*x)^0*(c + d*x)^(-4 - m)*(e + f*x)^m*(g + h*x), -(((d*g - c*h)*(c + d*x)^(-3 - m)*(e + f*x)^(1 + m))/(d*(d*e - c*f)*(3 + m))) + ((c*f*h*(1 + m) + d*(2*f*g - e*h*(3 + m)))*(c + d*x)^(-2 - m)*(e + f*x)^(1 + m))/(d*(d*e - c*f)^2*(2 + m)*(3 + m)) - (f*(c*f*h*(1 + m) + d*(2*f*g - e*h*(3 + m)))*(c + d*x)^(-1 - m)*(e + f*x)^(1 + m))/(d*(d*e - c*f)^3*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)), x, 3),
+
+
+# {(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*(A + B*x)/(a + b*x), x, 5, -(((A*b - a*B)*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x)^p*AppellF1[1 + n, 1, -p, 2 + n, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d), -((f*(c + d*x))/(d*e - c*f))])/(((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))^p*(b*(b*c - a*d)*(1 + n)))) - (B*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 2 + n + p, 2 + p, (d*(e + f*x))/(d*e - c*f)])/(b*(d*e - c*f)*(1 + p)), -(((A*b - a*B)*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x)^p*AppellF1[1 + n, -p, 1, 2 + n, -((f*(c + d*x))/(d*e - c*f)), (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))^p*(b*(b*c - a*d)*(1 + n)))) + (B*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x)^p*Hypergeometric2F1[1 + n, -p, 2 + n, -((f*(c + d*x))/(d*e - c*f))])/(((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))^p*(b*d*(1 + n)))}
+
+
+((a + b*x)^m*(A + B*x)/((c + d*x)^m*(e + f*x)), -((d*(B*e - A*f)*(a + b*x)^(1 + m))/((c + d*x)^m*((b*c - a*d)*f^2*m))) - ((B*e - A*f)*(a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -m, 1 - m, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))))/((c + d*x)^m*(f^2*m)) - ((a*B*d*f*m - b*(B*d*e - A*d*f + B*c*f*m))*(a + b*x)^(1 + m)*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(m, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((c + d*x)^m*(b*(b*c - a*d)*f^2*m*(1 + m))), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^(q/2) with m and n symbolic
+
+
+((c + d*x)^n*(e + f*x)^p*(A + B*x)/sqrt(a + b*x), (2*(A*b - a*B)*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -n, -p, 3//2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*b^2) + (2*B*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -n, -p, 5//2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*(3*b^2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q with m, n and p symbolic
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+
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*(g + h*x)^3, ((b*g - a*h)^3*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, -p, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*(b^4*(1 + m))) + (3*h*(b*g - a*h)^2*(a + b*x)^(2 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, -n, -p, 3 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*(b^4*(2 + m))) + (3*h^2*(b*g - a*h)*(a + b*x)^(3 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3 + m, -n, -p, 4 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*(b^4*(3 + m))) + (h^3*(a + b*x)^(4 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(4 + m, -n, -p, 5 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*(b^4*(4 + m))), x, 31),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*(g + h*x)^2, ((b*g - a*h)^2*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, -p, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*(b^3*(1 + m))) + (2*h*(b*g - a*h)*(a + b*x)^(2 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, -n, -p, 3 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*(b^3*(2 + m))) + (h^2*(a + b*x)^(3 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3 + m, -n, -p, 4 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*(b^3*(3 + m))), x, 15),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*(g + h*x)^1, ((b*g - a*h)*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, -p, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*(b^2*(1 + m))) + (h*(a + b*x)^(2 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, -n, -p, 3 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*(b^2*(2 + m))), x, 7),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*(g + h*x)^0, ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, -p, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^p*(b*(1 + m))), x, 3),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p/(g + h*x)^1, CannotIntegrate(((a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p)/(g + h*x), x), x, 0),
+
+
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n/(e + f*x)^(m + n + 0)*(A + B*x), ((A*b - a*B)*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(-m - n)*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^(m + n)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, m + n, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*(b^2*(1 + m))) + (B*(a + b*x)^(2 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(-m - n)*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^(m + n)*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, -n, m + n, 3 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*(b^2*(2 + m))), x, 7),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n/(e + f*x)^(m + n + 1)*(A + B*x), (B*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(-m - n)*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^(m + n)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, m + n, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*(b*f*(1 + m))) - ((B*e - A*f)*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(-m - n)*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^(m + n)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 1 + m + n, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*(f*(b*e - a*f)*(1 + m))), x, 7),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n/(e + f*x)^(m + n + 2)*(A + B*x), (B*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(-m - n)*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^(m + n)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 1 + m + n, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*(f*(b*e - a*f)*(1 + m))) - ((B*e - A*f)*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(-1 - m - n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))))/((((b*e - a*f)*(c + d*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))^n*(f*(b*e - a*f)*(1 + m))), x, 5),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n/(e + f*x)^(m + n + 3)*(A + B*x), ((B*e - A*f)*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x)^(-2 - m - n))/((b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(2 + m + n)) - (1/((b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)*(1 + m)*(2 + m + n)))*(((b*(B*c*e*(1 + m) + A*(c*f*(1 + n) - d*e*(2 + m + n))) + a*(A*d*f*(1 + m) + B*(d*e*(1 + n) - c*f*(2 + m + n))))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(-1 - m - n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))))/(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))^n), x, 3),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n/(e + f*x)^(m + n + 4)*(A + B*x), ((B*e - A*f)*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x)^(-3 - m - n))/((b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(3 + m + n)) + ((a*f*(A*d*f*(2 + m) + B*(d*e*(1 + n) - c*f*(3 + m + n))) + b*(B*e*(d*e + c*f*(1 + m)) + A*f*(c*f*(2 + n) - d*e*(4 + m + n))))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x)^(-2 - m - n))/((b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^2*(2 + m + n)*(3 + m + n)) + (1/((b*e - a*f)^3*(d*e - c*f)^2*(1 + m)*(2 + m + n)*(3 + m + n)))*((((2 + m + n)*(a*b*c*d*f*(B*e - A*f) + b*d*e*((a*B*c*f + A*(b*d*e - b*c*f - a*d*f))*(3 + m + n) - (B*e - A*f)*(b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))) - (b*c + a*d)*f*((a*B*c*f + A*(b*d*e - b*c*f - a*d*f))*(3 + m + n) - (B*e - A*f)*(b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n)))) - (b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))*(a*f*(A*d*f*(2 + m) + B*(d*e*(1 + n) - c*f*(3 + m + n))) + b*(B*e*(d*e + c*f*(1 + m)) + A*f*(c*f*(2 + n) - d*e*(4 + m + n)))))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(-1 - m - n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))))/(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))^n), x, 4),
+# {(a + b*x)^m*(c + d*x)^n/(e + f*x)^(m + n + 5)*(A + B*x), x, 5, ((B*e - A*f)*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x)^(-4 - m - n))/((b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(4 + m + n)) + ((a*f*(A*d*f*(3 + m) + B*(d*e*(1 + n) - c*f*(4 + m + n))) + b*(B*e*(2*d*e + c*f*(1 + m)) + A*f*(c*f*(3 + n) - d*e*(6 + m + n))))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x)^(-3 - m - n))/((b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)^2*(3 + m + n)*(4 + m + n)) + ((b*d*e*(a*f*(A*d*f*(3 + m) + B*(d*e*(1 + n) - c*f*(4 + m + n))) + b*(B*e*(2*d*e + c*f*(1 + m)) + A*f*(c*f*(3 + n) - d*e*(6 + m + n)))) - f*((3 + m + n)*(2*a*b*c*d*f*(B*e - A*f) + b*d*e*((a*B*c*f + A*(b*d*e - b*c*f - a*d*f))*(4 + m + n) - (B*e - A*f)*(b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))) - (b*c + a*d)*f*((a*B*c*f + A*(b*d*e - b*c*f - a*d*f))*(4 + m + n) - (B*e - A*f)*(b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n)))) - (b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))*(a*f*(A*d*f*(3 + m) + B*(d*e*(1 + n) - c*f*(4 + m + n))) + b*(B*e*(2*d*e + c*f*(1 + m)) + A*f*(c*f*(3 + n) - d*e*(6 + m + n))))))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)*(e + f*x)^(-2 - m - n))/((b*e - a*f)^3*(d*e - c*f)^3*(2 + m + n)*(3 + m + n)*(4 + m + n)) - (((b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))*(b*d*e*(a*f*(A*d*f*(3 + m) + B*(d*e*(1 + n) - c*f*(4 + m + n))) + b*(B*e*(2*d*e + c*f*(1 + m)) + A*f*(c*f*(3 + n) - d*e*(6 + m + n)))) - f*((3 + m + n)*(2*a*b*c*d*f*(B*e - A*f) + b*d*e*((a*B*c*f + A*(b*d*e - b*c*f - a*d*f))*(4 + m + n) - (B*e - A*f)*(b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))) - (b*c + a*d)*f*((a*B*c*f + A*(b*d*e - b*c*f - a*d*f))*(4 + m + n) - (B*e - A*f)*(b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n)))) - (b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))*(a*f*(A*d*f*(3 + m) + B*(d*e*(1 + n) - c*f*(4 + m + n))) + b*(B*e*(2*d*e + c*f*(1 + m)) + A*f*(c*f*(3 + n) - d*e*(6 + m + n)))))) - (2 + m + n)*(a*b*c*d*f*(a*f*(A*d*f*(3 + m) + B*(d*e*(1 + n) - c*f*(4 + m + n))) + b*(B*e*(2*d*e + c*f*(1 + m)) + A*f*(c*f*(3 + n) - d*e*(6 + m + n)))) + b*d*e*((3 + m + n)*(2*a*b*c*d*f*(B*e - A*f) + b*d*e*((a*B*c*f + A*(b*d*e - b*c*f - a*d*f))*(4 + m + n) - (B*e - A*f)*(b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))) - (b*c + a*d)*f*((a*B*c*f + A*(b*d*e - b*c*f - a*d*f))*(4 + m + n) - (B*e - A*f)*(b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n)))) - (b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))*(a*f*(A*d*f*(3 + m) + B*(d*e*(1 + n) - c*f*(4 + m + n))) + b*(B*e*(2*d*e + c*f*(1 + m)) + A*f*(c*f*(3 + n) - d*e*(6 + m + n))))) - (b*c + a*d)*f*((3 + m + n)*(2*a*b*c*d*f*(B*e - A*f) + b*d*e*((a*B*c*f + A*(b*d*e - b*c*f - a*d*f))*(4 + m + n) - (B*e - A*f)*(b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))) - (b*c + a*d)*f*((a*B*c*f + A*(b*d*e - b*c*f - a*d*f))*(4 + m + n) - (B*e - A*f)*(b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n)))) - (b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))*(a*f*(A*d*f*(3 + m) + B*(d*e*(1 + n) - c*f*(4 + m + n))) + b*(B*e*(2*d*e + c*f*(1 + m)) + A*f*(c*f*(3 + n) - d*e*(6 + m + n)))))))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(-1 - m - n)*Hypergeometric2F1[1 + m, -n, 2 + m, -(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))])/(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((b*c - a*d)*(e + f*x)))^n/((b*e - a*f)^4*(d*e - c*f)^3*(1 + m)*(2 + m + n)*(3 + m + n)*(4 + m + n))}
+
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (h x)^q (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (h x)^q (d+e x)^m (f+g x)^m (a+b x+c x^2)^p when e f+d g=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^q (1+d x)^(m/2) (1-d x)^(m/2) (a+b x+c x^2)^p
+
+
+(x^1*(a + b*x + c*x^2)/(sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), -((c*x^2*sqrt(1 - d^2*x^2))/(3*d^2)) - ((2*(2*c + 3*a*d^2) + 3*b*d^2*x)*sqrt(1 - d^2*x^2))/(6*d^4) + (b*asin(d*x))/(2*d^3), x, 4),
+(x^0*(a + b*x + c*x^2)/(sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), -((b*sqrt(1 - d^2*x^2))/d^2) - (c*x*sqrt(1 - d^2*x^2))/(2*d^2) + ((c + 2*a*d^2)*asin(d*x))/(2*d^3), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)/(x^1*sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), -((c*sqrt(1 - d^2*x^2))/d^2) + (b*asin(d*x))/d - a*atanh(sqrt(1 - d^2*x^2)), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)/(x^2*sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), -((a*sqrt(1 - d^2*x^2))/x) + (c*asin(d*x))/d - b*atanh(sqrt(1 - d^2*x^2)), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)/(x^3*sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), -((a*sqrt(1 - d^2*x^2))/(2*x^2)) - (b*sqrt(1 - d^2*x^2))/x - (1//2)*(2*c + a*d^2)*atanh(sqrt(1 - d^2*x^2)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^q (-1+d x)^(m/2) (1+d x)^(m/2) (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# {x^1*(a + b*x + c*x^2)/(Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]), x, 5, (c*x^2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])/(3*d^2) + (Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]*(2*(2*c + 3*a*d^2) + 3*b*d^2*x))/(6*d^4) + (b*ArcCosh[d*x])/(2*d^3), -((c*x^2*(1 - d^2*x^2))/(3*d^2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])) - ((2*(2*c + 3*a*d^2) + 3*b*d^2*x)*(1 - d^2*x^2))/(6*d^4*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]) + (b*Sqrt[-1 + d^2*x^2]*ArcTanh[(d*x)/Sqrt[-1 + d^2*x^2]])/(2*d^3*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])}
+# {x^0*(a + b*x + c*x^2)/(Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]), x, 5, ((2*b + c*x)*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])/(2*d^2) + ((c + 2*a*d^2)*ArcCosh[d*x])/(2*d^3), -((b*(1 - d^2*x^2))/(d^2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])) - (c*x*(1 - d^2*x^2))/(2*d^2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]) + ((c + 2*a*d^2)*Sqrt[-1 + d^2*x^2]*ArcTanh[(d*x)/Sqrt[-1 + d^2*x^2]])/(2*d^3*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])}
+# {(a + b*x + c*x^2)/(x^1*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]), x, 8, (c*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])/d^2 + (b*ArcCosh[d*x])/d + a*ArcTan[Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]], -((c*(1 - d^2*x^2))/(d^2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])) + (a*Sqrt[-1 + d^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + d^2*x^2]])/(Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]) + (b*Sqrt[-1 + d^2*x^2]*ArcTanh[(d*x)/Sqrt[-1 + d^2*x^2]])/(d*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])}
+# {(a + b*x + c*x^2)/(x^2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]), x, 8, (a*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])/x + (c*ArcCosh[d*x])/d + b*ArcTan[Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]], -((a*(1 - d^2*x^2))/(x*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])) + (b*Sqrt[-1 + d^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + d^2*x^2]])/(Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]) + (c*Sqrt[-1 + d^2*x^2]*ArcTanh[(d*x)/Sqrt[-1 + d^2*x^2]])/(d*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])}
+# {(a + b*x + c*x^2)/(x^3*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]), x, 6, (a*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])/(2*x^2) + (b*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])/x + (1/2)*(2*c + a*d^2)*ArcTan[Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]], -((a*(1 - d^2*x^2))/(2*x^2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])) - (b*(1 - d^2*x^2))/(x*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]) + ((2*c + a*d^2)*Sqrt[-1 + d^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + d^2*x^2]])/(2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])}
+# {(a + b*x + c*x^2)/(x^4*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]), x, 7, (a*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])/(3*x^3) + (b*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])/(2*x^2) + ((3*c + 2*a*d^2)*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])/(3*x) + (1/2)*b*d^2*ArcTan[Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]], -((a*(1 - d^2*x^2))/(3*x^3*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])) - (b*(1 - d^2*x^2))/(2*x^2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]) - ((3*c + 2*a*d^2)*(1 - d^2*x^2))/(3*x*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]) + (b*d^2*Sqrt[-1 + d^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + d^2*x^2]])/(2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])}
+]
+# Total integrals translated: 148
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.5 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.5 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..c8eec628
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.5 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n.jl	
@@ -0,0 +1,73 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form P[x] (a+b x)^m (c+d x)^n
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P[x] (a+b x)^m (c+d x)^(n/2)
+
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+# ::Subsection::
+# n>0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# n<0
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+
+((a + b*x)^3*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/sqrt(c + d*x), -((2*(b*c - a*d)^3*(c^2*C*d - B*c*d^2 + A*d^3 - c^3*D)*sqrt(c + d*x))/d^7) - (2*(b*c - a*d)^2*(a*d*(2*c*C*d - B*d^2 - 3*c^2*D) - b*(5*c^2*C*d - 4*B*c*d^2 + 3*A*d^3 - 6*c^3*D))*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^7) - (2*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*(C*d - 3*c*D) - a*b*d*(8*c*C*d - 3*B*d^2 - 15*c^2*D) + b^2*(10*c^2*C*d - 6*B*c*d^2 + 3*A*d^3 - 15*c^3*D))*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^7) + (2*(a^3*d^3*D + 3*a^2*b*d^2*(C*d - 4*c*D) - 3*a*b^2*d*(4*c*C*d - B*d^2 - 10*c^2*D) + b^3*(10*c^2*C*d - 4*B*c*d^2 + A*d^3 - 20*c^3*D))*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^7) + (2*b*(3*a^2*d^2*D + 3*a*b*d*(C*d - 5*c*D) - b^2*(5*c*C*d - B*d^2 - 15*c^2*D))*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^7) + (2*b^2*(b*C*d - 6*b*c*D + 3*a*d*D)*(c + d*x)^(11//2))/(11*d^7) + (2*b^3*D*(c + d*x)^(13//2))/(13*d^7), x, 2),
+((a + b*x)^2*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/sqrt(c + d*x), (2*(b*c - a*d)^2*(c^2*C*d - B*c*d^2 + A*d^3 - c^3*D)*sqrt(c + d*x))/d^6 + (2*(b*c - a*d)*(a*d*(2*c*C*d - B*d^2 - 3*c^2*D) - b*(4*c^2*C*d - 3*B*c*d^2 + 2*A*d^3 - 5*c^3*D))*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^6) + (2*(a^2*d^2*(C*d - 3*c*D) - 2*a*b*d*(3*c*C*d - B*d^2 - 6*c^2*D) + b^2*(6*c^2*C*d - 3*B*c*d^2 + A*d^3 - 10*c^3*D))*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^6) + (2*(a^2*d^2*D + 2*a*b*d*(C*d - 4*c*D) - b^2*(4*c*C*d - B*d^2 - 10*c^2*D))*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^6) + (2*b*(b*C*d - 5*b*c*D + 2*a*d*D)*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^6) + (2*b^2*D*(c + d*x)^(11//2))/(11*d^6), x, 2),
+((a + b*x)^1*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/sqrt(c + d*x), -((2*(b*c - a*d)*(c^2*C*d - B*c*d^2 + A*d^3 - c^3*D)*sqrt(c + d*x))/d^5) - (2*(a*d*(2*c*C*d - B*d^2 - 3*c^2*D) - b*(3*c^2*C*d - 2*B*c*d^2 + A*d^3 - 4*c^3*D))*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^5) + (2*(a*d*(C*d - 3*c*D) - b*(3*c*C*d - B*d^2 - 6*c^2*D))*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^5) + (2*(b*C*d - 4*b*c*D + a*d*D)*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^5) + (2*b*D*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^5), x, 2),
+((a + b*x)^0*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/sqrt(c + d*x), (2*(c^2*C*d - B*c*d^2 + A*d^3 - c^3*D)*sqrt(c + d*x))/d^4 - (2*(2*c*C*d - B*d^2 - 3*c^2*D)*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^4) + (2*(C*d - 3*c*D)*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^4) + (2*D*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^4), x, 2),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/((a + b*x)^1*sqrt(c + d*x)), (2*(a^2*d^2*D - a*b*d*(C*d - c*D) - b^2*(c*C*d - B*d^2 - c^2*D))*sqrt(c + d*x))/(b^3*d^3) + (2*(b*C*d - 2*b*c*D - a*d*D)*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^2*d^3) + (2*D*(c + d*x)^(5//2))/(5*b*d^3) - (2*(A*b^3 - a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(b^(7//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 4),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/((a + b*x)^2*sqrt(c + d*x)), (2*(b*C*d - b*c*D - 2*a*d*D)*sqrt(c + d*x))/(b^3*d^2) - ((A - (a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))/b^3)*sqrt(c + d*x))/((b*c - a*d)*(a + b*x)) + (2*D*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^2*d^2) - ((b^3*(2*B*c - A*d) - a*b^2*(4*c*C + B*d) - 5*a^3*d*D + 3*a^2*b*(C*d + 2*c*D))*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(b^(7//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/((a + b*x)^3*sqrt(c + d*x)), (2*D*sqrt(c + d*x))/(b^3*d) - ((A*b^3 - a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))*sqrt(c + d*x))/(2*b^3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2) - ((b^3*(4*B*c - 3*A*d) - a*b^2*(8*c*C + B*d) - 9*a^3*d*D + a^2*b*(5*C*d + 12*c*D))*sqrt(c + d*x))/(4*b^3*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) - ((b^3*(8*c^2*C - 4*B*c*d + 3*A*d^2) - 15*a^3*d^2*D + 3*a^2*b*d*(C*d + 12*c*D) - a*b^2*(8*c*C*d - B*d^2 + 24*c^2*D))*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*b^(7//2)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/((a + b*x)^4*sqrt(c + d*x)), -(((A*b^3 - a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))*sqrt(c + d*x))/(3*b^3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^3)) - ((b^3*(6*B*c - 5*A*d) - a*b^2*(12*c*C + B*d) - 13*a^3*d*D + a^2*b*(7*C*d + 18*c*D))*sqrt(c + d*x))/(12*b^3*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2) - ((b^3*(8*c^2*C - 6*B*c*d + 5*A*d^2) - 11*a^3*d^2*D + a^2*b*d*(C*d + 30*c*D) - a*b^2*(4*c*C*d - B*d^2 + 24*c^2*D))*sqrt(c + d*x))/(8*b^3*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)) + ((5*a^3*d^3*D + a^2*b*d^2*(C*d - 18*c*D) - a*b^2*d*(4*c*C*d - B*d^2 - 24*c^2*D) + b^3*(8*c^2*C*d - 6*B*c*d^2 + 5*A*d^3 - 16*c^3*D))*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(8*b^(7//2)*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/((a + b*x)^5*sqrt(c + d*x)), -(((A*b^3 - a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))*sqrt(c + d*x))/(4*b^3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^4)) - ((b^3*(8*B*c - 7*A*d) - a*b^2*(16*c*C + B*d) - 17*a^3*d*D + 3*a^2*b*(3*C*d + 8*c*D))*sqrt(c + d*x))/(24*b^3*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^3) - ((b^3*(48*c^2*C - 40*B*c*d + 35*A*d^2) - 59*a^3*d^2*D + 3*a^2*b*d*(C*d + 56*c*D) - a*b^2*(16*c*C*d - 5*B*d^2 + 144*c^2*D))*sqrt(c + d*x))/(96*b^3*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) + ((5*a^3*d^3*D + 3*a^2*b*d^2*(C*d - 8*c*D) - a*b^2*d*(16*c*C*d - 5*B*d^2 - 48*c^2*D) + b^3*(48*c^2*C*d - 40*B*c*d^2 + 35*A*d^3 - 64*c^3*D))*sqrt(c + d*x))/(64*b^3*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)) - (d*(5*a^3*d^3*D + 3*a^2*b*d^2*(C*d - 8*c*D) - a*b^2*d*(16*c*C*d - 5*B*d^2 - 48*c^2*D) + b^3*(48*c^2*C*d - 40*B*c*d^2 + 35*A*d^3 - 64*c^3*D))*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(64*b^(7//2)*(b*c - a*d)^(9//2)), x, 6),
+
+
+((a + b*x)^3*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(c + d*x)^(3//2), (2*(b*c - a*d)^3*(c^2*C*d - B*c*d^2 + A*d^3 - c^3*D))/(d^7*sqrt(c + d*x)) - (2*(b*c - a*d)^2*(a*d*(2*c*C*d - B*d^2 - 3*c^2*D) - b*(5*c^2*C*d - 4*B*c*d^2 + 3*A*d^3 - 6*c^3*D))*sqrt(c + d*x))/d^7 - (2*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*(C*d - 3*c*D) - a*b*d*(8*c*C*d - 3*B*d^2 - 15*c^2*D) + b^2*(10*c^2*C*d - 6*B*c*d^2 + 3*A*d^3 - 15*c^3*D))*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^7) + (2*(a^3*d^3*D + 3*a^2*b*d^2*(C*d - 4*c*D) - 3*a*b^2*d*(4*c*C*d - B*d^2 - 10*c^2*D) + b^3*(10*c^2*C*d - 4*B*c*d^2 + A*d^3 - 20*c^3*D))*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^7) + (2*b*(3*a^2*d^2*D + 3*a*b*d*(C*d - 5*c*D) - b^2*(5*c*C*d - B*d^2 - 15*c^2*D))*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^7) + (2*b^2*(b*C*d - 6*b*c*D + 3*a*d*D)*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^7) + (2*b^3*D*(c + d*x)^(11//2))/(11*d^7), x, 2),
+((a + b*x)^2*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(c + d*x)^(3//2), -((2*(b*c - a*d)^2*(c^2*C*d - B*c*d^2 + A*d^3 - c^3*D))/(d^6*sqrt(c + d*x))) + (2*(b*c - a*d)*(a*d*(2*c*C*d - B*d^2 - 3*c^2*D) - b*(4*c^2*C*d - 3*B*c*d^2 + 2*A*d^3 - 5*c^3*D))*sqrt(c + d*x))/d^6 + (2*(a^2*d^2*(C*d - 3*c*D) - 2*a*b*d*(3*c*C*d - B*d^2 - 6*c^2*D) + b^2*(6*c^2*C*d - 3*B*c*d^2 + A*d^3 - 10*c^3*D))*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^6) + (2*(a^2*d^2*D + 2*a*b*d*(C*d - 4*c*D) - b^2*(4*c*C*d - B*d^2 - 10*c^2*D))*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^6) + (2*b*(b*C*d - 5*b*c*D + 2*a*d*D)*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^6) + (2*b^2*D*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^6), x, 2),
+((a + b*x)^1*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(c + d*x)^(3//2), (2*(b*c - a*d)*(c^2*C*d - B*c*d^2 + A*d^3 - c^3*D))/(d^5*sqrt(c + d*x)) - (2*(a*d*(2*c*C*d - B*d^2 - 3*c^2*D) - b*(3*c^2*C*d - 2*B*c*d^2 + A*d^3 - 4*c^3*D))*sqrt(c + d*x))/d^5 + (2*(a*d*(C*d - 3*c*D) - b*(3*c*C*d - B*d^2 - 6*c^2*D))*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^5) + (2*(b*C*d - 4*b*c*D + a*d*D)*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^5) + (2*b*D*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^5), x, 2),
+((a + b*x)^0*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(c + d*x)^(3//2), -((2*(c^2*C*d - B*c*d^2 + A*d^3 - c^3*D))/(d^4*sqrt(c + d*x))) - (2*(2*c*C*d - B*d^2 - 3*c^2*D)*sqrt(c + d*x))/d^4 + (2*(C*d - 3*c*D)*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^4) + (2*D*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^4), x, 2),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/((a + b*x)^1*(c + d*x)^(3//2)), (2*(c^2*C*d - B*c*d^2 + A*d^3 - c^3*D))/(d^3*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x)) - (2*c*D*sqrt(c + d*x))/(b*d^3) + (2*(b*C*d - b*c*D - a*d*D)*sqrt(c + d*x))/(b^2*d^3) + (2*D*(c + d*x)^(3//2))/(3*b*d^3) - (2*(A*b^3 - a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(b^(5//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 6),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/((a + b*x)^2*(c + d*x)^(3//2)), (a*b^2*B*d^3 - a^2*b*C*d^3 + a^3*d^3*D - b^3*(2*c^2*C*d - 2*B*c*d^2 + 3*A*d^3 - 2*c^3*D))/(b^3*d^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)) - (A - (a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))/b^3)/((b*c - a*d)*(a + b*x)*sqrt(c + d*x)) + (2*D*sqrt(c + d*x))/(b^2*d^2) - ((b^3*(2*B*c - 3*A*d) - a*b^2*(4*c*C - B*d) - 3*a^3*d*D + a^2*b*(C*d + 6*c*D))*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(b^(5//2)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/((a + b*x)^3*(c + d*x)^(3//2)), -((a*b^2*B*d^3 - a^2*b*C*d^3 + a^3*d^3*D - b^3*(4*c^2*C*d - 4*B*c*d^2 + 5*A*d^3 - 4*c^3*D))/(2*b^3*d*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x))) - (A*b^3 - a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))/(2*b^3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2*sqrt(c + d*x)) - ((b^3*(4*B*c - 5*A*d) - a*b^2*(8*c*C - B*d) - 7*a^3*d*D + 3*a^2*b*(C*d + 4*c*D))*sqrt(c + d*x))/(4*b^2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)) - ((b^3*(8*c^2*C - 12*B*c*d + 15*A*d^2) - 3*a^3*d^2*D - a^2*b*d*(C*d - 12*c*D) + a*b^2*(8*c*C*d - 3*B*d^2 - 24*c^2*D))*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*b^(5//2)*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/((a + b*x)^4*(c + d*x)^(3//2)), (a*b^2*B*d^3 - a^2*b*C*d^3 + a^3*d^3*D - b^3*(6*c^2*C*d - 6*B*c*d^2 + 7*A*d^3 - 6*c^3*D))/(3*b^3*(b*c - a*d)^4*sqrt(c + d*x)) - (A*b^3 - a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))/(3*b^3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^3*sqrt(c + d*x)) - ((b^3*(6*B*c - 7*A*d) - a*b^2*(12*c*C - B*d) - 11*a^3*d*D + a^2*b*(5*C*d + 18*c*D))*sqrt(c + d*x))/(12*b^2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) - ((b^3*(24*c^2*C - 42*B*c*d + 49*A*d^2) + 5*a^3*d^2*D - a^2*b*d*(11*C*d - 18*c*D) + a*b^2*(36*c*C*d - 7*B*d^2 - 72*c^2*D))*sqrt(c + d*x))/(24*b^2*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)) - ((a^3*d^3*D + a^2*b*d^2*(C*d - 6*c*D) - a*b^2*d*(12*c*C*d - 5*B*d^2 - 24*c^2*D) - b^3*(24*c^2*C*d - 30*B*c*d^2 + 35*A*d^3 - 16*c^3*D))*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(8*b^(5//2)*(b*c - a*d)^(9//2)), x, 6),
+
+
+((a + b*x)^3*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(c + d*x)^(5//2), (2*(b*c - a*d)^3*(c^2*C*d - B*c*d^2 + A*d^3 - c^3*D))/(3*d^7*(c + d*x)^(3//2)) + (2*(b*c - a*d)^2*(a*d*(2*c*C*d - B*d^2 - 3*c^2*D) - b*(5*c^2*C*d - 4*B*c*d^2 + 3*A*d^3 - 6*c^3*D)))/(d^7*sqrt(c + d*x)) - (2*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*(C*d - 3*c*D) - a*b*d*(8*c*C*d - 3*B*d^2 - 15*c^2*D) + b^2*(10*c^2*C*d - 6*B*c*d^2 + 3*A*d^3 - 15*c^3*D))*sqrt(c + d*x))/d^7 + (2*(a^3*d^3*D + 3*a^2*b*d^2*(C*d - 4*c*D) - 3*a*b^2*d*(4*c*C*d - B*d^2 - 10*c^2*D) + b^3*(10*c^2*C*d - 4*B*c*d^2 + A*d^3 - 20*c^3*D))*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^7) + (2*b*(3*a^2*d^2*D + 3*a*b*d*(C*d - 5*c*D) - b^2*(5*c*C*d - B*d^2 - 15*c^2*D))*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^7) + (2*b^2*(b*C*d - 6*b*c*D + 3*a*d*D)*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^7) + (2*b^3*D*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^7), x, 2),
+((a + b*x)^2*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(c + d*x)^(5//2), -((2*(b*c - a*d)^2*(c^2*C*d - B*c*d^2 + A*d^3 - c^3*D))/(3*d^6*(c + d*x)^(3//2))) - (2*(b*c - a*d)*(a*d*(2*c*C*d - B*d^2 - 3*c^2*D) - b*(4*c^2*C*d - 3*B*c*d^2 + 2*A*d^3 - 5*c^3*D)))/(d^6*sqrt(c + d*x)) + (2*(a^2*d^2*(C*d - 3*c*D) - 2*a*b*d*(3*c*C*d - B*d^2 - 6*c^2*D) + b^2*(6*c^2*C*d - 3*B*c*d^2 + A*d^3 - 10*c^3*D))*sqrt(c + d*x))/d^6 + (2*(a^2*d^2*D + 2*a*b*d*(C*d - 4*c*D) - b^2*(4*c*C*d - B*d^2 - 10*c^2*D))*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^6) + (2*b*(b*C*d - 5*b*c*D + 2*a*d*D)*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^6) + (2*b^2*D*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^6), x, 2),
+((a + b*x)^1*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(c + d*x)^(5//2), (2*(b*c - a*d)*(c^2*C*d - B*c*d^2 + A*d^3 - c^3*D))/(3*d^5*(c + d*x)^(3//2)) + (2*(a*d*(2*c*C*d - B*d^2 - 3*c^2*D) - b*(3*c^2*C*d - 2*B*c*d^2 + A*d^3 - 4*c^3*D)))/(d^5*sqrt(c + d*x)) + (2*(a*d*(C*d - 3*c*D) - b*(3*c*C*d - B*d^2 - 6*c^2*D))*sqrt(c + d*x))/d^5 + (2*(b*C*d - 4*b*c*D + a*d*D)*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^5) + (2*b*D*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^5), x, 2),
+((a + b*x)^0*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(c + d*x)^(5//2), -((2*(c^2*C*d - B*c*d^2 + A*d^3 - c^3*D))/(3*d^4*(c + d*x)^(3//2))) + (2*(2*c*C*d - B*d^2 - 3*c^2*D))/(d^4*sqrt(c + d*x)) + (2*(C*d - 3*c*D)*sqrt(c + d*x))/d^4 + (2*D*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^4), x, 2),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/((a + b*x)^1*(c + d*x)^(5//2)), (2*(c^2*C*d - B*c*d^2 + A*d^3 - c^3*D))/(3*d^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^(3//2)) + (2*(a*d*(2*c*C*d - B*d^2 - 3*c^2*D) - b*(c^2*C*d - A*d^3 - 2*c^3*D)))/(d^3*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x)) + (2*D*sqrt(c + d*x))/(b*d^3) - (2*(A*b^3 - a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(b^(3//2)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 4),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/((a + b*x)^2*(c + d*x)^(5//2)), (3*a*b^2*B*d^3 - 3*a^2*b*C*d^3 + 3*a^3*d^3*D - b^3*(2*c^2*C*d - 2*B*c*d^2 + 5*A*d^3 - 2*c^3*D))/(3*b^3*d^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^(3//2)) - (A - (a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))/b^3)/((b*c - a*d)*(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)) - (a^2*b*C*d^3 - a^3*d^3*D + a*b^2*d*(4*c*C*d - 3*B*d^2 - 6*c^2*D) - b^3*(2*B*c*d^2 - 5*A*d^3 - 2*c^3*D))/(b^2*d^2*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x)) - ((b^3*(2*B*c - 5*A*d) - a*b^2*(4*c*C - 3*B*d) - a^3*d*D - a^2*b*(C*d - 6*c*D))*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(b^(3//2)*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/((a + b*x)^3*(c + d*x)^(5//2)), -((3*a*b^2*B*d^3 - 3*a^2*b*C*d^3 + 3*a^3*d^3*D - b^3*(4*c^2*C*d - 4*B*c*d^2 + 7*A*d^3 - 4*c^3*D))/(6*b^3*d*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^(3//2))) - (A*b^3 - a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))/(2*b^3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2*(c + d*x)^(3//2)) + (a^2*b*C*d^2 + b^3*(2*c^2*C - 4*B*c*d + 7*A*d^2) - a^3*d^2*D + a*b^2*(4*c*C*d - 3*B*d^2 - 6*c^2*D))/(b^2*(b*c - a*d)^4*sqrt(c + d*x)) - ((b^3*(4*B*c - 7*A*d) - a*b^2*(8*c*C - 3*B*d) - 5*a^3*d*D + a^2*b*(C*d + 12*c*D))*sqrt(c + d*x))/(4*b*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)) - ((b^3*(8*c^2*C - 20*B*c*d + 35*A*d^2) + a^3*d^2*D + 3*a^2*b*d*(C*d - 4*c*D) + 3*a*b^2*(8*c*C*d - 5*B*d^2 - 8*c^2*D))*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*b^(3//2)*(b*c - a*d)^(9//2)), x, 6),
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P[x] (a+b x)^m (c+d x)^n when n symbolic
+
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+((a + b*x)^3*(c + d*x)^n*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3), -(((b*c - a*d)^3*(c^2*C*d - B*c*d^2 + A*d^3 - c^3*D)*(c + d*x)^(1 + n))/(d^7*(1 + n))) - ((b*c - a*d)^2*(a*d*(2*c*C*d - B*d^2 - 3*c^2*D) - b*(5*c^2*C*d - 4*B*c*d^2 + 3*A*d^3 - 6*c^3*D))*(c + d*x)^(2 + n))/(d^7*(2 + n)) - ((b*c - a*d)*(a^2*d^2*(C*d - 3*c*D) - a*b*d*(8*c*C*d - 3*B*d^2 - 15*c^2*D) + b^2*(10*c^2*C*d - 6*B*c*d^2 + 3*A*d^3 - 15*c^3*D))*(c + d*x)^(3 + n))/(d^7*(3 + n)) + ((a^3*d^3*D + 3*a^2*b*d^2*(C*d - 4*c*D) - 3*a*b^2*d*(4*c*C*d - B*d^2 - 10*c^2*D) + b^3*(10*c^2*C*d - 4*B*c*d^2 + A*d^3 - 20*c^3*D))*(c + d*x)^(4 + n))/(d^7*(4 + n)) + (b*(3*a^2*d^2*D + 3*a*b*d*(C*d - 5*c*D) - b^2*(5*c*C*d - B*d^2 - 15*c^2*D))*(c + d*x)^(5 + n))/(d^7*(5 + n)) + (b^2*(b*C*d - 6*b*c*D + 3*a*d*D)*(c + d*x)^(6 + n))/(d^7*(6 + n)) + (b^3*D*(c + d*x)^(7 + n))/(d^7*(7 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^2*(c + d*x)^n*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3), ((b*c - a*d)^2*(c^2*C*d - B*c*d^2 + A*d^3 - c^3*D)*(c + d*x)^(1 + n))/(d^6*(1 + n)) + ((b*c - a*d)*(a*d*(2*c*C*d - B*d^2 - 3*c^2*D) - b*(4*c^2*C*d - 3*B*c*d^2 + 2*A*d^3 - 5*c^3*D))*(c + d*x)^(2 + n))/(d^6*(2 + n)) + ((a^2*d^2*(C*d - 3*c*D) - 2*a*b*d*(3*c*C*d - B*d^2 - 6*c^2*D) + b^2*(6*c^2*C*d - 3*B*c*d^2 + A*d^3 - 10*c^3*D))*(c + d*x)^(3 + n))/(d^6*(3 + n)) + ((a^2*d^2*D + 2*a*b*d*(C*d - 4*c*D) - b^2*(4*c*C*d - B*d^2 - 10*c^2*D))*(c + d*x)^(4 + n))/(d^6*(4 + n)) + (b*(b*C*d - 5*b*c*D + 2*a*d*D)*(c + d*x)^(5 + n))/(d^6*(5 + n)) + (b^2*D*(c + d*x)^(6 + n))/(d^6*(6 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^1*(c + d*x)^n*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3), -(((b*c - a*d)*(c^2*C*d - B*c*d^2 + A*d^3 - c^3*D)*(c + d*x)^(1 + n))/(d^5*(1 + n))) - ((a*d*(2*c*C*d - B*d^2 - 3*c^2*D) - b*(3*c^2*C*d - 2*B*c*d^2 + A*d^3 - 4*c^3*D))*(c + d*x)^(2 + n))/(d^5*(2 + n)) + ((a*d*(C*d - 3*c*D) - b*(3*c*C*d - B*d^2 - 6*c^2*D))*(c + d*x)^(3 + n))/(d^5*(3 + n)) + ((b*C*d - 4*b*c*D + a*d*D)*(c + d*x)^(4 + n))/(d^5*(4 + n)) + (b*D*(c + d*x)^(5 + n))/(d^5*(5 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^0*(c + d*x)^n*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3), ((c^2*C*d - B*c*d^2 + A*d^3 - c^3*D)*(c + d*x)^(1 + n))/(d^4*(1 + n)) - ((2*c*C*d - B*d^2 - 3*c^2*D)*(c + d*x)^(2 + n))/(d^4*(2 + n)) + ((C*d - 3*c*D)*(c + d*x)^(3 + n))/(d^4*(3 + n)) + (D*(c + d*x)^(4 + n))/(d^4*(4 + n)), x, 2),
+((c + d*x)^n*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x)^1, ((a^2*d^2*D - a*b*d*(C*d - c*D) - b^2*(c*C*d - B*d^2 - c^2*D))*(c + d*x)^(1 + n))/(b^3*d^3*(1 + n)) + ((b*C*d - 2*b*c*D - a*d*D)*(c + d*x)^(2 + n))/(b^2*d^3*(2 + n)) + (D*(c + d*x)^(3 + n))/(b*d^3*(3 + n)) - ((A*b^3 - a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))*(c + d*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/(b^3*(b*c - a*d)*(1 + n)), x, 3),
+((c + d*x)^n*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x)^2, ((b*C*d - b*c*D - 2*a*d*D)*(c + d*x)^(1 + n))/(b^3*d^2*(1 + n)) - ((A - (a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))/b^3)*(c + d*x)^(1 + n))/((b*c - a*d)*(a + b*x)) + (D*(c + d*x)^(2 + n))/(b^2*d^2*(2 + n)) + ((a^3*d*D*(3 + n) - b^3*(B*c + A*d*n) + a*b^2*(2*c*C + B*d*(1 + n)) - a^2*b*(3*c*D + C*d*(2 + n)))*(c + d*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/(b^3*(b*c - a*d)^2*(1 + n)), x, 4),
+((c + d*x)^n*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x)^3, (D*(c + d*x)^(1 + n))/(b^3*d*(1 + n)) - ((A*b^3 - a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))*(c + d*x)^(1 + n))/(2*b^3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2) - ((b^3*(2*B*c - A*d*(1 - n)) - a^3*d*D*(5 + n) - a*b^2*(4*c*C + B*d*(1 + n)) + a^2*b*(6*c*D + C*d*(3 + n)))*(c + d*x)^(1 + n))/(2*b^3*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) - ((b^3*(2*c^2*C + 2*B*c*d*n - A*d^2*(1 - n)*n) - a^3*d^2*D*(6 + 5*n + n^2) + a^2*b*d*(2 + n)*(6*c*D + C*d*(1 + n)) - a*b^2*(6*c^2*D + 4*c*C*d*(1 + n) + B*d^2*n*(1 + n)))*(c + d*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)))/(2*b^3*(b*c - a*d)^3*(1 + n)), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P[x] (a+b x)^m (c+d x)^n when m and n symbolic
+
+
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(A + B*x), (B*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n))/(b*d*(2 + m + n)) + ((A*b*d*(2 + m + n) - B*(b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/(((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n*(b^2*d*(1 + m)*(2 + m + n))), x, 3),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(A + B*x + C*x^2), -(((a*C*d*(4 + m + 2*n) + b*(c*C*(2 + m) - B*d*(3 + m + n)))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n))/(b^2*d^2*(2 + m + n)*(3 + m + n))) + (C*(a + b*x)^(2 + m)*(c + d*x)^(1 + n))/(b^2*d*(3 + m + n)) - (1/(b^3*d^2*(1 + m)*(2 + m + n)*(3 + m + n)))*(((d*(2 + m + n)*(a*b*c*C*(2 + m) + a^2*C*d*(1 + n) - A*b^2*d*(3 + m + n)) - (b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))*(a*C*d*(4 + m + 2*n) + b*(c*C*(2 + m) - B*d*(3 + m + n))))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n), x, 4),
+((a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3), (1/(b^3*d^3*(2 + m + n)*(3 + m + n)*(4 + m + n)))*((a^2*d^2*D*(m^2 + m*(8 + 3*n) + 3*(6 + 5*n + n^2)) + b^2*(c^2*D*(6 + 5*m + m^2) - c*C*d*(2 + m)*(4 + m + n) + B*d^2*(12 + m^2 + 7*n + n^2 + m*(7 + 2*n))) + a*b*d*(c*D*(2 + m)*(6 + m + 3*n) - C*d*(m^2 + m*(8 + 3*n) + 2*(8 + 6*n + n^2))))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)) - ((a*d*D*(9 + 2*m + 3*n) + b*(c*D*(3 + m) - C*d*(4 + m + n)))*(a + b*x)^(2 + m)*(c + d*x)^(1 + n))/(b^3*d^2*(3 + m + n)*(4 + m + n)) + (D*(a + b*x)^(3 + m)*(c + d*x)^(1 + n))/(b^3*d*(4 + m + n)) + (1/(b^4*d^3*(1 + m)*(2 + m + n)*(3 + m + n)*(4 + m + n)))*(((d*(2 + m + n)*(a^3*d^2*D*(1 + n)*(6 + m + 2*n) + a*b^2*c*(2 + m)*(c*D*(3 + m) - C*d*(4 + m + n)) + A*b^3*d^2*(12 + m^2 + 7*n + n^2 + m*(7 + 2*n)) - a^2*b*d*(C*d*(1 + n)*(4 + m + n) - c*D*(2 + m)*(6 + m + 3*n))) - (b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))*(a^2*d^2*D*(m^2 + m*(8 + 3*n) + 3*(6 + 5*n + n^2)) + b^2*(c^2*D*(6 + 5*m + m^2) - c*C*d*(2 + m)*(4 + m + n) + B*d^2*(12 + m^2 + 7*n + n^2 + m*(7 + 2*n))) + a*b*d*(c*D*(2 + m)*(6 + m + 3*n) - C*d*(m^2 + m*(8 + 3*n) + 2*(8 + 6*n + n^2)))))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))))/((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n), x, 5),
+# {(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3 + F*x^4), x, 6, (1/(b^4*d^4*(2 + m + n)*(3 + m + n)*(4 + m + n)*(5 + m + n)))*((d*(3 + m + n)*(2*a*b^2*c*(3 + m)*(c*F*(4 + m) - d*D*(5 + m + n)) + b^3*B*d^2*(20 + m^2 + 9*n + n^2 + m*(9 + 2*n)) + 2*a^3*d^2*F*(m^2 + m*(11 + 4*n) + 4*(8 + 6*n + n^2)) + a^2*b*d*(4*c*F*(3 + m)*(6 + m + 2*n) - d*D*(m^2 + m*(11 + 4*n) + 3*(10 + 7*n + n^2)))) - b*c*(2 + m)*(a^2*d^2*F*(3*m^2 + m*(29 + 8*n) + 6*(12 + 7*n + n^2)) + b^2*(c*(3 + m)*(c*F*(4 + m) - d*D*(5 + m + n)) + C*d^2*(20 + m^2 + 9*n + n^2 + m*(9 + 2*n))) + a*b*d*(2*c*F*(3 + m)*(6 + m + 2*n) - d*D*(2*m^2 + m*(19 + 5*n) + 3*(15 + 8*n + n^2)))) - a*d*(2 + n)*(a^2*d^2*F*(3*m^2 + m*(29 + 8*n) + 6*(12 + 7*n + n^2)) + b^2*(c*(3 + m)*(c*F*(4 + m) - d*D*(5 + m + n)) + C*d^2*(20 + m^2 + 9*n + n^2 + m*(9 + 2*n))) + a*b*d*(2*c*F*(3 + m)*(6 + m + 2*n) - d*D*(2*m^2 + m*(19 + 5*n) + 3*(15 + 8*n + n^2)))))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n)) + ((a^2*d^2*F*(3*m^2 + m*(29 + 8*n) + 6*(12 + 7*n + n^2)) + b^2*(c*(3 + m)*(c*F*(4 + m) - d*D*(5 + m + n)) + C*d^2*(20 + m^2 + 9*n + n^2 + m*(9 + 2*n))) + a*b*d*(2*c*F*(3 + m)*(6 + m + 2*n) - d*D*(2*m^2 + m*(19 + 5*n) + 3*(15 + 8*n + n^2))))*x*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(1 + n))/(b^3*d^3*(3 + m + n)*(4 + m + n)*(5 + m + n)) - ((a*d*F*(3*m + 4*(4 + n)) + b*(c*F*(4 + m) - d*D*(5 + m + n)))*(a + b*x)^(3 + m)*(c + d*x)^(1 + n))/(b^4*d^2*(4 + m + n)*(5 + m + n)) + (F*(a + b*x)^(4 + m)*(c + d*x)^(1 + n))/(b^4*d*(5 + m + n)) + (1/(b^5*d^4*(1 + m)*(2 + m + n)*(3 + m + n)*(4 + m + n)*(5 + m + n)))*(((d*(2 + m + n)*(d*(3 + m + n)*(A*b^4*d^2*(20 + m^2 + 9*n + n^2 + m*(9 + 2*n)) + a^2*(a^2*d^2*F*(1 + n)*(2*m + 3*(4 + n)) + b^2*c*(3 + m)*(c*F*(4 + m) - d*D*(5 + m + n)) - a*b*d*(d*D*(1 + n)*(5 + m + n) - 2*c*F*(3 + m)*(6 + m + 2*n)))) - a*b*c*(a^2*d^2*F*(3*m^2 + m*(29 + 8*n) + 6*(12 + 7*n + n^2)) + b^2*(c*(3 + m)*(c*F*(4 + m) - d*D*(5 + m + n)) + C*d^2*(20 + m^2 + 9*n + n^2 + m*(9 + 2*n))) + a*b*d*(2*c*F*(3 + m)*(6 + m + 2*n) - d*D*(2*m^2 + m*(19 + 5*n) + 3*(15 + 8*n + n^2))))) - (b*c*(1 + m) + a*d*(1 + n))*(d*(3 + m + n)*(2*a*b^2*c*(3 + m)*(c*F*(4 + m) - d*D*(5 + m + n)) + b^3*B*d^2*(20 + m^2 + 9*n + n^2 + m*(9 + 2*n)) + 2*a^3*d^2*F*(m^2 + m*(11 + 4*n) + 4*(8 + 6*n + n^2)) + a^2*b*d*(4*c*F*(3 + m)*(6 + m + 2*n) - d*D*(m^2 + m*(11 + 4*n) + 3*(10 + 7*n + n^2)))) - b*c*(2 + m)*(a^2*d^2*F*(3*m^2 + m*(29 + 8*n) + 6*(12 + 7*n + n^2)) + b^2*(c*(3 + m)*(c*F*(4 + m) - d*D*(5 + m + n)) + C*d^2*(20 + m^2 + 9*n + n^2 + m*(9 + 2*n))) + a*b*d*(2*c*F*(3 + m)*(6 + m + 2*n) - d*D*(2*m^2 + m*(19 + 5*n) + 3*(15 + 8*n + n^2)))) - a*d*(2 + n)*(a^2*d^2*F*(3*m^2 + m*(29 + 8*n) + 6*(12 + 7*n + n^2)) + b^2*(c*(3 + m)*(c*F*(4 + m) - d*D*(5 + m + n)) + C*d^2*(20 + m^2 + 9*n + n^2 + m*(9 + 2*n))) + a*b*d*(2*c*F*(3 + m)*(6 + m + 2*n) - d*D*(2*m^2 + m*(19 + 5*n) + 3*(15 + 8*n + n^2))))))*(a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^n*Hypergeometric2F1[1 + m, -n, 2 + m, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^n)}
+]
+# Total integrals translated: 34
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.6 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.6 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..b67efa0c
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.6 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p.jl	
@@ -0,0 +1,176 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form P[x] (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (A+B x+C x^2) when b c+a d=0 and m=n
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/2) (e+f x)^p (A+B x+C x^2) when b c+a d=0, m=n, a>0 and c>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# m>0
+
+
+((e + f*x)^3*(A + B*x + C*x^2)*sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x), ((2*C*d^2*e^3 + 8*A*d^4*e^3 + 6*B*d^2*e^2*f + 3*C*e*f^2 + 6*A*d^2*e*f^2 + B*f^3)*x*sqrt(1 - d^2*x^2))/(16*d^4) - ((7*d^2*f*(B*e + 2*A*f) - C*(3*d^2*e^2 - 8*f^2))*(e + f*x)^2*(1 - d^2*x^2)^(3//2))/(70*d^4*f) + ((3*C*e - 7*B*f)*(e + f*x)^3*(1 - d^2*x^2)^(3//2))/(42*d^2*f) - (C*(e + f*x)^4*(1 - d^2*x^2)^(3//2))/(7*d^2*f) + ((8*(C*(3*d^4*e^4 - 30*d^2*e^2*f^2 - 8*f^4) - 7*d^2*f*(2*A*f*(6*d^2*e^2 + f^2) + B*(d^2*e^3 + 6*e*f^2))) + 3*d^2*f*(6*C*d^2*e^3 - 14*B*d^2*e^2*f - 41*C*e*f^2 - 98*A*d^2*e*f^2 - 35*B*f^3)*x)*(1 - d^2*x^2)^(3//2))/(840*d^6*f) + ((2*C*d^2*e^3 + 8*A*d^4*e^3 + 6*B*d^2*e^2*f + 3*C*e*f^2 + 6*A*d^2*e*f^2 + B*f^3)*asin(d*x))/(16*d^5), x, 7),
+((e + f*x)^2*(A + B*x + C*x^2)*sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x), ((C*(2*d^2*e^2 + f^2) + 2*d^2*(2*B*e*f + A*(4*d^2*e^2 + f^2)))*x*sqrt(1 - d^2*x^2))/(16*d^4) + ((C*e - 2*B*f)*(e + f*x)^2*(1 - d^2*x^2)^(3//2))/(10*d^2*f) - (C*(e + f*x)^3*(1 - d^2*x^2)^(3//2))/(6*d^2*f) + ((8*(C*(d^2*e^3 - 4*e*f^2) - 2*f*(5*A*d^2*e*f + B*(d^2*e^2 + f^2))) - 3*f*(5*(C + 2*A*d^2)*f^2 - 2*d^2*e*(C*e - 2*B*f))*x)*(1 - d^2*x^2)^(3//2))/(120*d^4*f) + ((C*(2*d^2*e^2 + f^2) + 2*d^2*(2*B*e*f + A*(4*d^2*e^2 + f^2)))*asin(d*x))/(16*d^5), x, 6),
+((e + f*x)^1*(A + B*x + C*x^2)*sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x), ((C*e + 4*A*d^2*e + B*f)*x*sqrt(1 - d^2*x^2))/(8*d^2) - (C*(e + f*x)^2*(1 - d^2*x^2)^(3//2))/(5*d^2*f) - ((4*(5*d^2*f*(B*e + A*f) - C*(3*d^2*e^2 - 2*f^2)) - 3*d^2*f*(3*C*e - 5*B*f)*x)*(1 - d^2*x^2)^(3//2))/(60*d^4*f) + ((C*e + 4*A*d^2*e + B*f)*asin(d*x))/(8*d^3), x, 5),
+((e + f*x)^0*(A + B*x + C*x^2)*sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x), ((C + 4*A*d^2)*x*sqrt(1 - d^2*x^2))/(8*d^2) - (B*(1 - d^2*x^2)^(3//2))/(3*d^2) - (C*x*(1 - d^2*x^2)^(3//2))/(4*d^2) + ((C + 4*A*d^2)*asin(d*x))/(8*d^3), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2)/(sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)*(e + f*x)^1), -((C*sqrt(1 - d^2*x^2))/(d^2*f)) - ((C*e - B*f)*asin(d*x))/(d*f^2) + ((C*e^2 - B*e*f + A*f^2)*atan((f + d^2*e*x)/(sqrt(d^2*e^2 - f^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))))/(f^2*sqrt(d^2*e^2 - f^2)), x, 6),
+((A + B*x + C*x^2)/(sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)*(e + f*x)^2), ((C*e^2 - B*e*f + A*f^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))/(f*(d^2*e^2 - f^2)*(e + f*x)) + (C*asin(d*x))/(d*f^2) - ((C*d^2*e^3 - 2*C*e*f^2 - A*d^2*e*f^2 + B*f^3)*atan((f + d^2*e*x)/(sqrt(d^2*e^2 - f^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))))/(f^2*(d^2*e^2 - f^2)^(3//2)), x, 6),
+((A + B*x + C*x^2)/(sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)*(e + f*x)^3), ((C*e^2 - B*e*f + A*f^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))/(2*f*(d^2*e^2 - f^2)*(e + f*x)^2) - ((C*d^2*e^3 + B*d^2*e^2*f - 4*C*e*f^2 - 3*A*d^2*e*f^2 + 2*B*f^3)*sqrt(1 - d^2*x^2))/(2*f*(d^2*e^2 - f^2)^2*(e + f*x)) + ((C*(d^2*e^2 + 2*f^2) - d^2*(3*B*e*f - A*(2*d^2*e^2 + f^2)))*atan((f + d^2*e*x)/(sqrt(d^2*e^2 - f^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))))/(2*(d^2*e^2 - f^2)^(5//2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# m<0
+
+
+((e + f*x)^3*(A + B*x + C*x^2)/(sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), -(((4*(4*C + 5*A*d^2)*f^2 - 3*d^2*e*(C*e - 5*B*f))*(e + f*x)^2*sqrt(1 - d^2*x^2))/(60*d^4*f)) + ((C*e - 5*B*f)*(e + f*x)^3*sqrt(1 - d^2*x^2))/(20*d^2*f) - (C*(e + f*x)^4*sqrt(1 - d^2*x^2))/(5*d^2*f) + ((4*(C*(3*d^4*e^4 - 52*d^2*e^2*f^2 - 16*f^4) - 5*d^2*f*(4*A*f*(4*d^2*e^2 + f^2) + 3*B*(d^2*e^3 + 4*e*f^2))) + d^2*f*(6*C*d^2*e^3 - 30*B*d^2*e^2*f - 71*C*e*f^2 - 100*A*d^2*e*f^2 - 45*B*f^3)*x)*sqrt(1 - d^2*x^2))/(120*d^6*f) + ((4*C*d^2*e^3 + 8*A*d^4*e^3 + 12*B*d^2*e^2*f + 9*C*e*f^2 + 12*A*d^2*e*f^2 + 3*B*f^3)*asin(d*x))/(8*d^5), x, 6),
+((e + f*x)^2*(A + B*x + C*x^2)/(sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), ((C*e - 4*B*f)*(e + f*x)^2*sqrt(1 - d^2*x^2))/(12*d^2*f) - (C*(e + f*x)^3*sqrt(1 - d^2*x^2))/(4*d^2*f) + ((4*(C*(d^2*e^3 - 8*e*f^2) - 4*f*(3*A*d^2*e*f + B*(d^2*e^2 + f^2))) - f*(3*(3*C + 4*A*d^2)*f^2 - 2*d^2*e*(C*e - 4*B*f))*x)*sqrt(1 - d^2*x^2))/(24*d^4*f) + ((C*(4*d^2*e^2 + 3*f^2) + 4*d^2*(2*B*e*f + A*(2*d^2*e^2 + f^2)))*asin(d*x))/(8*d^5), x, 5),
+((e + f*x)^1*(A + B*x + C*x^2)/(sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), -((C*(e + f*x)^2*sqrt(1 - d^2*x^2))/(3*d^2*f)) - ((2*(3*d^2*f*(B*e + A*f) - C*(d^2*e^2 - 2*f^2)) - d^2*f*(C*e - 3*B*f)*x)*sqrt(1 - d^2*x^2))/(6*d^4*f) + ((C*e + 2*A*d^2*e + B*f)*asin(d*x))/(2*d^3), x, 4),
+((e + f*x)^0*(A + B*x + C*x^2)/(sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), -((B*sqrt(1 - d^2*x^2))/d^2) - (C*x*sqrt(1 - d^2*x^2))/(2*d^2) + ((C + 2*A*d^2)*asin(d*x))/(2*d^3), x, 4),
+((A + B*x + C*x^2)/(sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)*(e + f*x)^1), -((C*sqrt(1 - d^2*x^2))/(d^2*f)) - ((C*e - B*f)*asin(d*x))/(d*f^2) + ((C*e^2 - B*e*f + A*f^2)*atan((f + d^2*e*x)/(sqrt(d^2*e^2 - f^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))))/(f^2*sqrt(d^2*e^2 - f^2)), x, 6),
+((A + B*x + C*x^2)/(sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)*(e + f*x)^2), ((C*e^2 - B*e*f + A*f^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))/(f*(d^2*e^2 - f^2)*(e + f*x)) + (C*asin(d*x))/(d*f^2) - ((C*d^2*e^3 - 2*C*e*f^2 - A*d^2*e*f^2 + B*f^3)*atan((f + d^2*e*x)/(sqrt(d^2*e^2 - f^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))))/(f^2*(d^2*e^2 - f^2)^(3//2)), x, 6),
+((A + B*x + C*x^2)/(sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)*(e + f*x)^3), ((C*e^2 - B*e*f + A*f^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))/(2*f*(d^2*e^2 - f^2)*(e + f*x)^2) - ((C*d^2*e^3 + B*d^2*e^2*f - 4*C*e*f^2 - 3*A*d^2*e*f^2 + 2*B*f^3)*sqrt(1 - d^2*x^2))/(2*f*(d^2*e^2 - f^2)^2*(e + f*x)) + ((C*(d^2*e^2 + 2*f^2) - d^2*(3*B*e*f - A*(2*d^2*e^2 + f^2)))*atan((f + d^2*e*x)/(sqrt(d^2*e^2 - f^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))))/(2*(d^2*e^2 - f^2)^(5//2)), x, 5),
+
+
+(x^1*(a + b*x + c*x^2)/(sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), -((c*x^2*sqrt(1 - d^2*x^2))/(3*d^2)) - ((2*(2*c + 3*a*d^2) + 3*b*d^2*x)*sqrt(1 - d^2*x^2))/(6*d^4) + (b*asin(d*x))/(2*d^3), x, 4),
+(x^0*(a + b*x + c*x^2)/(sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), -((b*sqrt(1 - d^2*x^2))/d^2) - (c*x*sqrt(1 - d^2*x^2))/(2*d^2) + ((c + 2*a*d^2)*asin(d*x))/(2*d^3), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)/(x^1*sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), -((c*sqrt(1 - d^2*x^2))/d^2) + (b*asin(d*x))/d - a*atanh(sqrt(1 - d^2*x^2)), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)/(x^2*sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), -((a*sqrt(1 - d^2*x^2))/x) + (c*asin(d*x))/d - b*atanh(sqrt(1 - d^2*x^2)), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)/(x^3*sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), -((a*sqrt(1 - d^2*x^2))/(2*x^2)) - (b*sqrt(1 - d^2*x^2))/x - (1//2)*(2*c + a*d^2)*atanh(sqrt(1 - d^2*x^2)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/2) (e+f x)^p (A+B x+C x^2) when b c+a d=0 and m=n
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# m>0
+
+
+((e + f*x)^3*(A + B*x + C*x^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x), ((A*(8*b^4*e^3 + 6*a^2*b^2*e*f^2) + a^2*(a^2*f^2*(3*C*e + B*f) + 2*b^2*e^2*(C*e + 3*B*f)))*x*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x))/(16*b^4) - ((8*a^2*C*f^2 - b^2*(3*C*e^2 - 7*f*(B*e + 2*A*f)))*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(e + f*x)^2*(a^2 - b^2*x^2))/(70*b^4*f) + ((3*C*e - 7*B*f)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(e + f*x)^3*(a^2 - b^2*x^2))/(42*b^2*f) - (C*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(e + f*x)^4*(a^2 - b^2*x^2))/(7*b^2*f) - (sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(8*(8*a^4*C*f^4 + 2*a^2*b^2*f^2*(15*C*e^2 + 7*f*(3*B*e + A*f)) - b^4*e^2*(3*C*e^2 - 7*f*(B*e + 12*A*f))) + 3*b^2*f*(a^2*f^2*(41*C*e + 35*B*f) - 2*b^2*e*(3*C*e^2 - 7*f*(B*e + 7*A*f)))*x)*(a^2 - b^2*x^2))/(840*b^6*f) + (a^2*sqrt(c)*(A*(8*b^4*e^3 + 6*a^2*b^2*e*f^2) + a^2*(a^2*f^2*(3*C*e + B*f) + 2*b^2*e^2*(C*e + 3*B*f)))*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*atan((b*sqrt(c)*x)/sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)))/(16*b^5*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)), x, 8),
+((e + f*x)^2*(A + B*x + C*x^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x), ((2*A*(4*b^4*e^2 + a^2*b^2*f^2) + a^2*(a^2*C*f^2 + 2*b^2*e*(C*e + 2*B*f)))*x*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x))/(16*b^4) + ((C*e - 2*B*f)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(e + f*x)^2*(a^2 - b^2*x^2))/(10*b^2*f) - (C*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(e + f*x)^3*(a^2 - b^2*x^2))/(6*b^2*f) - (sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(8*(2*a^2*f^2*(2*C*e + B*f) - b^2*e*(C*e^2 - 2*f*(B*e + 5*A*f))) + 3*f*(5*a^2*C*f^2 - b^2*(2*C*e^2 - 2*f*(2*B*e + 5*A*f)))*x)*(a^2 - b^2*x^2))/(120*b^4*f) + (a^2*sqrt(c)*(2*A*(4*b^4*e^2 + a^2*b^2*f^2) + a^2*(a^2*C*f^2 + 2*b^2*e*(C*e + 2*B*f)))*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*atan((b*sqrt(c)*x)/sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)))/(16*b^5*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)), x, 7),
+((e + f*x)^1*(A + B*x + C*x^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x), ((4*A*b^2*e + a^2*(C*e + B*f))*x*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x))/(8*b^2) - (C*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(e + f*x)^2*(a^2 - b^2*x^2))/(5*b^2*f) - (sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(4*(2*a^2*C*f^2 - b^2*(3*C*e^2 - 5*f*(B*e + A*f))) - 3*b^2*f*(3*C*e - 5*B*f)*x)*(a^2 - b^2*x^2))/(60*b^4*f) + (a^2*sqrt(c)*(4*A*b^2*e + a^2*(C*e + B*f))*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*atan((b*sqrt(c)*x)/sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)))/(8*b^3*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)), x, 6),
+((e + f*x)^0*(A + B*x + C*x^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x), (1//8)*(4*A + (a^2*C)/b^2)*x*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x) - (B*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(a^2 - b^2*x^2))/(3*b^2) - (C*x*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(a^2 - b^2*x^2))/(4*b^2) + (a^2*sqrt(c)*(4*A*b^2 + a^2*C)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*atan((b*sqrt(c)*x)/sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)))/(8*b^3*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)), x, 6),
+((A + B*x + C*x^2)/(sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(e + f*x)^1), -((C*(a^2 - b^2*x^2))/(b^2*f*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x))) - ((C*e - B*f)*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)*atan((b*sqrt(c)*x)/sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)))/(b*sqrt(c)*f^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)) + ((C*e^2 - B*e*f + A*f^2)*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)*atan((sqrt(c)*(a^2*f + b^2*e*x))/(sqrt(b^2*e^2 - a^2*f^2)*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2))))/(sqrt(c)*f^2*sqrt(b^2*e^2 - a^2*f^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)), x, 7),
+((A + B*x + C*x^2)/(sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(e + f*x)^2), (f*(A + (e*(C*e - B*f))/f^2)*(a^2 - b^2*x^2))/((b^2*e^2 - a^2*f^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(e + f*x)) + (C*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)*atan((b*sqrt(c)*x)/sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)))/(b*sqrt(c)*f^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)) + ((a^2*f^2*(2*C*e - B*f) - b^2*(C*e^3 - A*e*f^2))*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)*atan((sqrt(c)*(a^2*f + b^2*e*x))/(sqrt(b^2*e^2 - a^2*f^2)*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2))))/(sqrt(c)*f^2*(b^2*e^2 - a^2*f^2)^(3//2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)), x, 7),
+((A + B*x + C*x^2)/(sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(e + f*x)^3), (f*(A + (e*(C*e - B*f))/f^2)*(a^2 - b^2*x^2))/(2*(b^2*e^2 - a^2*f^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(e + f*x)^2) + ((2*a^2*f^2*(2*C*e - B*f) - b^2*e*(C*e^2 + f*(B*e - 3*A*f)))*(a^2 - b^2*x^2))/(2*f*(b^2*e^2 - a^2*f^2)^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(e + f*x)) + ((A*(2*b^4*e^2 + a^2*b^2*f^2) + a^2*(2*a^2*C*f^2 + b^2*e*(C*e - 3*B*f)))*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)*atan((sqrt(c)*(a^2*f + b^2*e*x))/(sqrt(b^2*e^2 - a^2*f^2)*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2))))/(2*sqrt(c)*(b^2*e^2 - a^2*f^2)^(5//2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# m<0
+
+
+((e + f*x)^3*(A + B*x + C*x^2)/(sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)), -(((16*a^2*C*f^2 - b^2*(3*C*e^2 - 5*f*(3*B*e + 4*A*f)))*(e + f*x)^2*(a^2 - b^2*x^2))/(60*b^4*f*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x))) + ((C*e - 5*B*f)*(e + f*x)^3*(a^2 - b^2*x^2))/(20*b^2*f*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)) - (C*(e + f*x)^4*(a^2 - b^2*x^2))/(5*b^2*f*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)) - ((4*(16*a^4*C*f^4 + 4*a^2*b^2*f^2*(13*C*e^2 + 5*f*(3*B*e + A*f)) - b^4*e^2*(3*C*e^2 - 5*f*(3*B*e + 16*A*f))) + b^2*f*(a^2*f^2*(71*C*e + 45*B*f) - 2*b^2*e*(3*C*e^2 - 5*f*(3*B*e + 10*A*f)))*x)*(a^2 - b^2*x^2))/(120*b^6*f*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)) + ((4*A*(2*b^4*e^3 + 3*a^2*b^2*e*f^2) + a^2*(3*a^2*f^2*(3*C*e + B*f) + 4*b^2*e^2*(C*e + 3*B*f)))*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)*atan((b*sqrt(c)*x)/sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)))/(8*b^5*sqrt(c)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)), x, 7),
+((e + f*x)^2*(A + B*x + C*x^2)/(sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)), ((C*e - 4*B*f)*(e + f*x)^2*(a^2 - b^2*x^2))/(12*b^2*f*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)) - (C*(e + f*x)^3*(a^2 - b^2*x^2))/(4*b^2*f*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)) - ((4*(4*a^2*f^2*(2*C*e + B*f) - b^2*e*(C*e^2 - 4*f*(B*e + 3*A*f))) + f*(9*a^2*C*f^2 - b^2*(2*C*e^2 - 4*f*(2*B*e + 3*A*f)))*x)*(a^2 - b^2*x^2))/(24*b^4*f*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)) + ((4*A*(2*b^4*e^2 + a^2*b^2*f^2) + a^2*(3*a^2*C*f^2 + 4*b^2*e*(C*e + 2*B*f)))*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)*atan((b*sqrt(c)*x)/sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)))/(8*b^5*sqrt(c)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)), x, 6),
+((e + f*x)^1*(A + B*x + C*x^2)/(sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)), -((C*(e + f*x)^2*(a^2 - b^2*x^2))/(3*b^2*f*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x))) - ((2*(2*a^2*C*f^2 - b^2*(C*e^2 - 3*f*(B*e + A*f))) - b^2*f*(C*e - 3*B*f)*x)*(a^2 - b^2*x^2))/(6*b^4*f*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)) + ((2*A*b^2*e + a^2*(C*e + B*f))*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)*atan((b*sqrt(c)*x)/sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)))/(2*b^3*sqrt(c)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)), x, 5),
+((e + f*x)^0*(A + B*x + C*x^2)/(sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)), -((B*(a^2 - b^2*x^2))/(b^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x))) - (C*x*(a^2 - b^2*x^2))/(2*b^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)) + ((2*A*b^2 + a^2*C)*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)*atan((b*sqrt(c)*x)/sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)))/(2*b^3*sqrt(c)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2)/(sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(e + f*x)^1), -((C*(a^2 - b^2*x^2))/(b^2*f*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x))) - ((C*e - B*f)*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)*atan((b*sqrt(c)*x)/sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)))/(b*sqrt(c)*f^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)) + ((C*e^2 - B*e*f + A*f^2)*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)*atan((sqrt(c)*(a^2*f + b^2*e*x))/(sqrt(b^2*e^2 - a^2*f^2)*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2))))/(sqrt(c)*f^2*sqrt(b^2*e^2 - a^2*f^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)), x, 7),
+((A + B*x + C*x^2)/(sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(e + f*x)^2), (f*(A + (e*(C*e - B*f))/f^2)*(a^2 - b^2*x^2))/((b^2*e^2 - a^2*f^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(e + f*x)) + (C*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)*atan((b*sqrt(c)*x)/sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)))/(b*sqrt(c)*f^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)) + ((a^2*f^2*(2*C*e - B*f) - b^2*(C*e^3 - A*e*f^2))*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)*atan((sqrt(c)*(a^2*f + b^2*e*x))/(sqrt(b^2*e^2 - a^2*f^2)*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2))))/(sqrt(c)*f^2*(b^2*e^2 - a^2*f^2)^(3//2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)), x, 7),
+((A + B*x + C*x^2)/(sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(e + f*x)^3), (f*(A + (e*(C*e - B*f))/f^2)*(a^2 - b^2*x^2))/(2*(b^2*e^2 - a^2*f^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(e + f*x)^2) + ((2*a^2*f^2*(2*C*e - B*f) - b^2*e*(C*e^2 + f*(B*e - 3*A*f)))*(a^2 - b^2*x^2))/(2*f*(b^2*e^2 - a^2*f^2)^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)*(e + f*x)) + ((A*(2*b^4*e^2 + a^2*b^2*f^2) + a^2*(2*a^2*C*f^2 + b^2*e*(C*e - 3*B*f)))*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2)*atan((sqrt(c)*(a^2*f + b^2*e*x))/(sqrt(b^2*e^2 - a^2*f^2)*sqrt(a^2*c - b^2*c*x^2))))/(2*sqrt(c)*(b^2*e^2 - a^2*f^2)^(5//2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a*c - b*c*x)), x, 5),
+
+
+# {x^1*(a + b*x + c*x^2)/(Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]), x, 5, (c*x^2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])/(3*d^2) + (Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]*(2*(2*c + 3*a*d^2) + 3*b*d^2*x))/(6*d^4) + (b*ArcCosh[d*x])/(2*d^3), -((c*x^2*(1 - d^2*x^2))/(3*d^2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])) - ((2*(2*c + 3*a*d^2) + 3*b*d^2*x)*(1 - d^2*x^2))/(6*d^4*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]) + (b*Sqrt[-1 + d^2*x^2]*ArcTanh[(d*x)/Sqrt[-1 + d^2*x^2]])/(2*d^3*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])}
+# {x^0*(a + b*x + c*x^2)/(Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]), x, 5, ((2*b + c*x)*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])/(2*d^2) + ((c + 2*a*d^2)*ArcCosh[d*x])/(2*d^3), -((b*(1 - d^2*x^2))/(d^2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])) - (c*x*(1 - d^2*x^2))/(2*d^2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]) + ((c + 2*a*d^2)*Sqrt[-1 + d^2*x^2]*ArcTanh[(d*x)/Sqrt[-1 + d^2*x^2]])/(2*d^3*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])}
+# {(a + b*x + c*x^2)/(x^1*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]), x, 8, (c*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])/d^2 + (b*ArcCosh[d*x])/d + a*ArcTan[Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]], -((c*(1 - d^2*x^2))/(d^2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])) + (a*Sqrt[-1 + d^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + d^2*x^2]])/(Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]) + (b*Sqrt[-1 + d^2*x^2]*ArcTanh[(d*x)/Sqrt[-1 + d^2*x^2]])/(d*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])}
+# {(a + b*x + c*x^2)/(x^2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]), x, 8, (a*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])/x + (c*ArcCosh[d*x])/d + b*ArcTan[Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]], -((a*(1 - d^2*x^2))/(x*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])) + (b*Sqrt[-1 + d^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + d^2*x^2]])/(Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]) + (c*Sqrt[-1 + d^2*x^2]*ArcTanh[(d*x)/Sqrt[-1 + d^2*x^2]])/(d*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])}
+# {(a + b*x + c*x^2)/(x^3*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]), x, 6, (a*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])/(2*x^2) + (b*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])/x + (1/2)*(2*c + a*d^2)*ArcTan[Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]], -((a*(1 - d^2*x^2))/(2*x^2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])) - (b*(1 - d^2*x^2))/(x*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]) + ((2*c + a*d^2)*Sqrt[-1 + d^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + d^2*x^2]])/(2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])}
+# {(a + b*x + c*x^2)/(x^4*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]), x, 7, (a*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])/(3*x^3) + (b*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])/(2*x^2) + ((3*c + 2*a*d^2)*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])/(3*x) + (1/2)*b*d^2*ArcTan[Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]], -((a*(1 - d^2*x^2))/(3*x^3*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])) - (b*(1 - d^2*x^2))/(2*x^2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]) - ((3*c + 2*a*d^2)*(1 - d^2*x^2))/(3*x*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x]) + (b*d^2*Sqrt[-1 + d^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + d^2*x^2]])/(2*Sqrt[-1 + d*x]*Sqrt[1 + d*x])}
+
+
+# {(a + b*x + c*x^2)/(Sqrt[-1 + x]*Sqrt[1 + x]*(d + e*x)^3), x, 5, -(((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[-1 + x]*Sqrt[1 + x])/(2*e*(d^2 - e^2)*(d + e*x)^2)) + ((c*d^3 + b*d^2*e - (3*a + 4*c)*d*e^2 + 2*b*e^3)*Sqrt[-1 + x]*Sqrt[1 + x])/(2*e*(d^2 - e^2)^2*(d + e*x)) + (((2*a + c)*d^2 - 3*b*d*e + (a + 2*c)*e^2)*ArcTanh[(Sqrt[d + e]*Sqrt[1 + x])/(Sqrt[d - e]*Sqrt[-1 + x])])/((d - e)^(5/2)*(d + e)^(5/2)), ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(1 - x^2))/(2*e*(d^2 - e^2)*Sqrt[-1 + x]*Sqrt[1 + x]*(d + e*x)^2) - ((c*(d^3 - 4*d*e^2) - e*(3*a*d*e - b*(d^2 + 2*e^2)))*(1 - x^2))/(2*e*(d^2 - e^2)^2*Sqrt[-1 + x]*Sqrt[1 + x]*(d + e*x)) - ((3*b*d*e - a*(2*d^2 + e^2) - c*(d^2 + 2*e^2))*Sqrt[-1 + x^2]*ArcTanh[(e + d*x)/(Sqrt[d^2 - e^2]*Sqrt[-1 + x^2])])/(2*(d^2 - e^2)^(5/2)*Sqrt[-1 + x]*Sqrt[1 + x])}
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (A+B x+C x^2)
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^(n/2) (e+f x)^(p/2) (A+B x+C x^2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0 & p>0
+
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+((a + b*x)^2*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*(A + B*x + C*x^2), (1/(512*d^5*f^5))*((d*e - c*f)*(8*a^2*d^2*f^2*(C*(5*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2) + 8*d*f*(2*A*d*f - B*(d*e + c*f))) - 8*a*b*d*f*(C*(7*d^3*e^3 + 9*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 + 7*c^3*f^3) + 2*d*f*(8*A*d*f*(d*e + c*f) - B*(5*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2))) + b^2*(C*(21*d^4*e^4 + 28*c*d^3*e^3*f + 30*c^2*d^2*e^2*f^2 + 28*c^3*d*e*f^3 + 21*c^4*f^4) + 4*d*f*(2*A*d*f*(5*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2) - B*(7*d^3*e^3 + 9*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 + 7*c^3*f^3))))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)) + (1/(256*d^5*f^4))*((8*a^2*d^2*f^2*(C*(5*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2) + 8*d*f*(2*A*d*f - B*(d*e + c*f))) - 8*a*b*d*f*(C*(7*d^3*e^3 + 9*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 + 7*c^3*f^3) + 2*d*f*(8*A*d*f*(d*e + c*f) - B*(5*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2))) + b^2*(C*(21*d^4*e^4 + 28*c*d^3*e^3*f + 30*c^2*d^2*e^2*f^2 + 28*c^3*d*e*f^3 + 21*c^4*f^4) + 4*d*f*(2*A*d*f*(5*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2) - B*(7*d^3*e^3 + 9*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 + 7*c^3*f^3))))*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x)) - ((2*a*C*d*f - b*(4*B*d*f - 3*C*(d*e + c*f)))*(a + b*x)^2*(c + d*x)^(3//2)*(e + f*x)^(3//2))/(20*b*d^2*f^2) + (C*(a + b*x)^3*(c + d*x)^(3//2)*(e + f*x)^(3//2))/(6*b*d*f) - (1/(960*b*d^4*f^4))*((c + d*x)^(3//2)*(e + f*x)^(3//2)*(64*a^3*C*d^3*f^3 - 8*a^2*b*d^2*f^2*(16*B*d*f - 7*C*(d*e + c*f)) - 8*a*b^2*d*f*(C*(35*d^2*e^2 + 38*c*d*e*f + 35*c^2*f^2) + 10*d*f*(8*A*d*f - 5*B*(d*e + c*f))) + b^3*(7*C*(15*d^3*e^3 + 17*c*d^2*e^2*f + 17*c^2*d*e*f^2 + 15*c^3*f^3) + 4*d*f*(50*A*d*f*(d*e + c*f) - B*(35*d^2*e^2 + 38*c*d*e*f + 35*c^2*f^2))) + 6*b*d*f*(10*b*d*f*(2*b*c*C*e + a*C*d*e + a*c*C*f - 4*A*b*d*f) + (4*a*d*f - 7*b*(d*e + c*f))*(2*a*C*d*f - b*(4*B*d*f - 3*C*(d*e + c*f))))*x)) - (1/(512*d^(11//2)*f^(11//2)))*((d*e - c*f)^2*(8*a^2*d^2*f^2*(C*(5*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2) + 8*d*f*(2*A*d*f - B*(d*e + c*f))) - 8*a*b*d*f*(C*(7*d^3*e^3 + 9*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 + 7*c^3*f^3) + 2*d*f*(8*A*d*f*(d*e + c*f) - B*(5*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2))) + b^2*(C*(21*d^4*e^4 + 28*c*d^3*e^3*f + 30*c^2*d^2*e^2*f^2 + 28*c^3*d*e*f^3 + 21*c^4*f^4) + 4*d*f*(2*A*d*f*(5*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2) - B*(7*d^3*e^3 + 9*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 + 7*c^3*f^3))))*atanh((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d)*sqrt(e + f*x)))), x, 8),
+((a + b*x)^1*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*(A + B*x + C*x^2), (1/(128*d^4*f^4))*((d*e - c*f)*(2*a*d*f*(C*(5*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2) + 8*d*f*(2*A*d*f - B*(d*e + c*f))) - b*(C*(7*d^3*e^3 + 9*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 + 7*c^3*f^3) + 2*d*f*(8*A*d*f*(d*e + c*f) - B*(5*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2))))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)) + (1/(64*d^4*f^3))*((2*a*d*f*(C*(5*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2) + 8*d*f*(2*A*d*f - B*(d*e + c*f))) - b*(C*(7*d^3*e^3 + 9*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 + 7*c^3*f^3) + 2*d*f*(8*A*d*f*(d*e + c*f) - B*(5*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2))))*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x)) + (C*(a + b*x)^2*(c + d*x)^(3//2)*(e + f*x)^(3//2))/(5*b*d*f) - (1/(240*b*d^3*f^3))*((c + d*x)^(3//2)*(e + f*x)^(3//2)*(48*a^2*C*d^2*f^2 - 10*a*b*d*f*(8*B*d*f - 5*C*(d*e + c*f)) - b^2*(C*(35*d^2*e^2 + 38*c*d*e*f + 35*c^2*f^2) + 10*d*f*(8*A*d*f - 5*B*(d*e + c*f))) + 6*b*d*f*(6*a*C*d*f - b*(10*B*d*f - 7*C*(d*e + c*f)))*x)) - (1/(128*d^(9//2)*f^(9//2)))*((d*e - c*f)^2*(2*a*d*f*(C*(5*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2) + 8*d*f*(2*A*d*f - B*(d*e + c*f))) - b*(C*(7*d^3*e^3 + 9*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 + 7*c^3*f^3) + 2*d*f*(8*A*d*f*(d*e + c*f) - B*(5*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2))))*atanh((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d)*sqrt(e + f*x)))), x, 7),
+((a + b*x)^0*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*(A + B*x + C*x^2), ((d*e - c*f)*(C*(5*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2) + 8*d*f*(2*A*d*f - B*(d*e + c*f)))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(64*d^3*f^3) + ((C*(5*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2) + 8*d*f*(2*A*d*f - B*(d*e + c*f)))*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(32*d^3*f^2) - ((5*C*d*e + 11*c*C*f - 8*B*d*f)*(c + d*x)^(3//2)*(e + f*x)^(3//2))/(24*d^2*f^2) + (C*(c + d*x)^(5//2)*(e + f*x)^(3//2))/(4*d^2*f) - ((d*e - c*f)^2*(C*(5*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2) + 8*d*f*(2*A*d*f - B*(d*e + c*f)))*atanh((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d)*sqrt(e + f*x))))/(64*d^(7//2)*f^(7//2)), x, 7),
+(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x)^1, ((4*b*d*f*(2*A*b*d*f - a*C*(d*e + c*f)) + (b*d*e - b*c*f + 4*a*d*f)*(2*a*C*d*f + b*(C*d*e + c*C*f - 2*B*d*f)))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(8*b^3*d^2*f^2) - ((2*a*C*d*f + b*(C*d*e + c*C*f - 2*B*d*f))*sqrt(c + d*x)*(e + f*x)^(3//2))/(4*b^2*d*f^2) + (C*(c + d*x)^(3//2)*(e + f*x)^(3//2))/(3*b*d*f) - (1/(8*b^4*d^(5//2)*f^(5//2)))*((16*a^3*C*d^3*f^3 - 8*a^2*b*d^2*f^2*(C*d*e + c*C*f + 2*B*d*f) - 2*a*b^2*d*f*(C*(d*e - c*f)^2 - 4*d*f*(B*d*e + B*c*f + 2*A*d*f)) - b^3*(C*(d*e - c*f)^2*(d*e + c*f) - 2*d*f*(B*(d*e - c*f)^2 - 4*A*d*f*(d*e + c*f))))*atanh((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d)*sqrt(e + f*x)))) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*sqrt(b*c - a*d)*sqrt(b*e - a*f)*atanh((sqrt(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(b*c - a*d)*sqrt(e + f*x))))/b^4, x, 9),
+(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x)^2, ((12*a^2*C*d*f^2 - a*b*f*(7*C*d*e + c*C*f + 8*B*d*f) + b^2*(4*d*f*(B*e + A*f) - C*e*(d*e - c*f)))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(4*b^3*d*f*(b*e - a*f)) + ((3*a^2*C*d*f + b^2*(c*C*e + 2*A*d*f) - a*b*(C*d*e + c*C*f + 2*B*d*f))*sqrt(c + d*x)*(e + f*x)^(3//2))/(2*b^2*(b*c - a*d)*f*(b*e - a*f)) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*x)^(3//2)*(e + f*x)^(3//2))/(b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(a + b*x)) + ((24*a^2*C*d^2*f^2 - 8*a*b*d*f*(C*d*e + c*C*f + 2*B*d*f) - b^2*(C*(d*e - c*f)^2 - 4*d*f*(B*d*e + B*c*f + 2*A*d*f)))*atanh((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d)*sqrt(e + f*x))))/(4*b^4*d^(3//2)*f^(3//2)) + ((6*a^3*C*d*f - b^3*(2*B*c*e + A*d*e + A*c*f) + a*b^2*(4*c*C*e + 3*B*d*e + 3*B*c*f + 2*A*d*f) - a^2*b*(4*B*d*f + 5*C*(d*e + c*f)))*atanh((sqrt(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(b*c - a*d)*sqrt(e + f*x))))/(b^4*sqrt(b*c - a*d)*sqrt(b*e - a*f)), x, 9),
+(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x)^3, -(((12*a^3*C*d*f^2 - a^2*b*f*(17*C*d*e + 11*c*C*f + 4*B*d*f) + a*b^2*(B*f*(5*d*e + 3*c*f) + 4*C*e*(d*e + 4*c*f)) - b^3*(A*d*e*f + c*(4*C*e^2 + 4*B*e*f - A*f^2)))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(4*b^3*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)^2)) + ((6*a^3*C*d*f - b^3*(4*B*c*e - A*d*e - A*c*f) + a*b^2*(8*c*C*e + 3*B*d*e + 3*B*c*f - 2*A*d*f) - a^2*b*(2*B*d*f + 7*C*(d*e + c*f)))*sqrt(c + d*x)*(e + f*x)^(3//2))/(4*b^2*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)^2*(a + b*x)) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*x)^(3//2)*(e + f*x)^(3//2))/(2*b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(a + b*x)^2) - ((6*a*C*d*f - b*(C*d*e + c*C*f + 2*B*d*f))*atanh((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d)*sqrt(e + f*x))))/(b^4*sqrt(d)*sqrt(f)) - (1/(4*b^4*(b*c - a*d)^(3//2)*(b*e - a*f)^(3//2)))*((24*a^4*C*d^2*f^2 - 3*a*b^3*(B*d^2*e^2 + c^2*f*(8*C*e + B*f) + 2*c*d*e*(4*C*e + 3*B*f)) - 8*a^3*b*d*f*(B*d*f + 5*C*(d*e + c*f)) - b^4*(A*d^2*e^2 - 2*c*d*e*(2*B*e + A*f) - c^2*(8*C*e^2 + 4*B*e*f - A*f^2)) + 3*a^2*b^2*(4*B*d*f*(d*e + c*f) + C*(5*d^2*e^2 + 22*c*d*e*f + 5*c^2*f^2)))*atanh((sqrt(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(b*c - a*d)*sqrt(e + f*x)))), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0 & p<0
+
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+((a + b*x)^2*sqrt(c + d*x)*(A + B*x + C*x^2)/sqrt(e + f*x), -((1/(128*d^4*f^5))*((16*a^2*d^2*f^2*(2*d*f*(3*B*d*e + B*c*f - 4*A*d*f) - C*(5*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + c^2*f^2)) + 4*a*b*d*f*(C*(35*d^3*e^3 + 15*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 + 5*c^3*f^3) + 8*d*f*(2*A*d*f*(3*d*e + c*f) - B*(5*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + c^2*f^2))) - b^2*(C*(63*d^4*e^4 + 28*c*d^3*e^3*f + 18*c^2*d^2*e^2*f^2 + 12*c^3*d*e*f^3 + 7*c^4*f^4) + 2*d*f*(8*A*d*f*(5*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + c^2*f^2) - B*(35*d^3*e^3 + 15*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 + 5*c^3*f^3))))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))) - ((4*a*C*d*f + b*(9*C*d*e + 7*c*C*f - 10*B*d*f))*(a + b*x)^2*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(40*b*d^2*f^2) + (C*(a + b*x)^3*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(5*b*d*f) - (1/(960*b*d^4*f^4))*((c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x)*(96*a^3*C*d^3*f^3 + 8*a^2*b*d^2*f^2*(23*C*d*e + 9*c*C*f - 30*B*d*f) + 20*a*b^2*d*f*(8*d*f*(5*B*d*e + 3*B*c*f - 6*A*d*f) - C*(35*d^2*e^2 + 22*c*d*e*f + 15*c^2*f^2)) + b^3*(C*(315*d^3*e^3 + 203*c*d^2*e^2*f + 145*c^2*d*e*f^2 + 105*c^3*f^3) + 10*d*f*(8*A*d*f*(5*d*e + 3*c*f) - B*(35*d^2*e^2 + 22*c*d*e*f + 15*c^2*f^2))) + 4*b*d*f*(8*b*d*f*(6*b*c*C*e + 3*a*C*d*e + a*c*C*f - 10*A*b*d*f) - (7*b*d*e + 5*b*c*f - 4*a*d*f)*(4*a*C*d*f + b*(9*C*d*e + 7*c*C*f - 10*B*d*f)))*x)) + (1/(128*d^(9//2)*f^(11//2)))*((d*e - c*f)*(16*a^2*d^2*f^2*(2*d*f*(3*B*d*e + B*c*f - 4*A*d*f) - C*(5*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + c^2*f^2)) + 4*a*b*d*f*(C*(35*d^3*e^3 + 15*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 + 5*c^3*f^3) + 8*d*f*(2*A*d*f*(3*d*e + c*f) - B*(5*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + c^2*f^2))) - b^2*(C*(63*d^4*e^4 + 28*c*d^3*e^3*f + 18*c^2*d^2*e^2*f^2 + 12*c^3*d*e*f^3 + 7*c^4*f^4) + 2*d*f*(8*A*d*f*(5*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + c^2*f^2) - B*(35*d^3*e^3 + 15*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 + 5*c^3*f^3))))*atanh((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d)*sqrt(e + f*x)))), x, 7),
+((a + b*x)^1*sqrt(c + d*x)*(A + B*x + C*x^2)/sqrt(e + f*x), -((1/(64*d^3*f^4))*((8*a*d*f*(2*d*f*(3*B*d*e + B*c*f - 4*A*d*f) - C*(5*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + c^2*f^2)) + b*(C*(35*d^3*e^3 + 15*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 + 5*c^3*f^3) + 8*d*f*(2*A*d*f*(3*d*e + c*f) - B*(5*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + c^2*f^2))))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))) + (C*(a + b*x)^2*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(4*b*d*f) - (1/(96*b*d^3*f^3))*((c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x)*(24*a^2*C*d^2*f^2 + 8*a*b*d*f*(5*C*d*e + 3*c*C*f - 6*B*d*f) + b^2*(8*d*f*(5*B*d*e + 3*B*c*f - 6*A*d*f) - C*(35*d^2*e^2 + 22*c*d*e*f + 15*c^2*f^2)) + 4*b*d*f*(4*a*C*d*f + b*(7*C*d*e + 5*c*C*f - 8*B*d*f))*x)) + (1/(64*d^(7//2)*f^(9//2)))*((d*e - c*f)*(8*a*d*f*(2*d*f*(3*B*d*e + B*c*f - 4*A*d*f) - C*(5*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + c^2*f^2)) + b*(C*(35*d^3*e^3 + 15*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 + 5*c^3*f^3) + 8*d*f*(2*A*d*f*(3*d*e + c*f) - B*(5*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + c^2*f^2))))*atanh((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d)*sqrt(e + f*x)))), x, 6),
+((a + b*x)^0*sqrt(c + d*x)*(A + B*x + C*x^2)/sqrt(e + f*x), ((C*(5*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + c^2*f^2) + 2*d*f*(4*A*d*f - B*(3*d*e + c*f)))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(8*d^2*f^3) - ((5*C*d*e + 7*c*C*f - 6*B*d*f)*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(12*d^2*f^2) + (C*(c + d*x)^(5//2)*sqrt(e + f*x))/(3*d^2*f) - ((d*e - c*f)*(C*(5*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + c^2*f^2) + 2*d*f*(4*A*d*f - B*(3*d*e + c*f)))*atanh((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d)*sqrt(e + f*x))))/(8*d^(5//2)*f^(7//2)), x, 6),
+(sqrt(c + d*x)*(A + B*x + C*x^2)/((a + b*x)^1*sqrt(e + f*x)), -(((4*a*C*d*f + b*(3*C*d*e + c*C*f - 4*B*d*f))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(4*b^2*d*f^2)) + (C*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(2*b*d*f) + ((2*b*d*f*(4*A*b*d*f - a*C*(3*d*e + c*f)) + (b*d*e - b*c*f + 2*a*d*f)*(4*a*C*d*f + b*(3*C*d*e + c*C*f - 4*B*d*f)))*atanh((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d)*sqrt(e + f*x))))/(4*b^3*d^(3//2)*f^(5//2)) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(b*c - a*d)*sqrt(e + f*x))))/(b^3*sqrt(b*e - a*f)), x, 8),
+(sqrt(c + d*x)*(A + B*x + C*x^2)/((a + b*x)^2*sqrt(e + f*x)), ((2*a^2*C*d*f + b^2*(c*C*e + A*d*f) - a*b*(C*d*e + c*C*f + B*d*f))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(b^2*(b*c - a*d)*f*(b*e - a*f)) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(a + b*x)) - ((4*a*C*d*f + b*(C*d*e - c*C*f - 2*B*d*f))*atanh((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d)*sqrt(e + f*x))))/(b^3*sqrt(d)*f^(3//2)) + ((4*a^3*C*d*f - b^3*(2*B*c*e + A*d*e - A*c*f) + a*b^2*(4*c*C*e + 3*B*d*e + B*c*f) - a^2*b*(5*C*d*e + 3*c*C*f + 2*B*d*f))*atanh((sqrt(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(b*c - a*d)*sqrt(e + f*x))))/(b^3*sqrt(b*c - a*d)*(b*e - a*f)^(3//2)), x, 8),
+(sqrt(c + d*x)*(A + B*x + C*x^2)/((a + b*x)^3*sqrt(e + f*x)), ((4*a^3*C*d*f - a^2*b*C*(7*d*e + 5*c*f) - b^3*(4*B*c*e - A*d*e - 3*A*c*f) + a*b^2*(8*c*C*e + 3*B*d*e + B*c*f - 4*A*d*f))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(4*b^2*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)^2*(a + b*x)) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(2*b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(a + b*x)^2) + (2*C*sqrt(d)*atanh((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d)*sqrt(e + f*x))))/(b^3*sqrt(f)) - (1/(4*b^3*(b*c - a*d)^(3//2)*(b*e - a*f)^(5//2)))*((8*a^4*C*d^2*f^2 - 4*a^3*b*C*d*f*(5*d*e + 3*c*f) + 3*a^2*b^2*C*(5*d^2*e^2 + 10*c*d*e*f + c^2*f^2) - a*b^3*(d^2*e*(3*B*e - 4*A*f) + c^2*f*(8*C*e - B*f) + 2*c*d*(12*C*e^2 - B*e*f + 2*A*f^2)) - b^4*(A*d^2*e^2 - 2*c*d*e*(2*B*e - A*f) - c^2*(8*C*e^2 - 4*B*e*f + 3*A*f^2)))*atanh((sqrt(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(b*c - a*d)*sqrt(e + f*x)))), x, 8),
+(sqrt(c + d*x)*(A + B*x + C*x^2)/((a + b*x)^4*sqrt(e + f*x)), ((4*a^3*C*d*f - b^3*(6*B*c*e - 3*A*d*e - 5*A*c*f) + a*b^2*(12*c*C*e + 3*B*d*e + B*c*f - 8*A*d*f) - a^2*b*(9*C*d*e + 7*c*C*f - 2*B*d*f))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(12*b^2*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)^2*(a + b*x)^2) - (1/(24*b^2*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^3*(a + b*x)))*((8*a^4*C*d^2*f^2 - 2*a^3*b*d*f*(13*C*d*e + 7*c*C*f - 2*B*d*f) - b^4*(3*A*d^2*e^2 - 2*c*d*e*(3*B*e - 2*A*f) - 3*c^2*(8*C*e^2 - 6*B*e*f + 5*A*f^2)) - a*b^3*(d^2*e*(3*B*e - 10*A*f) + 3*c^2*f*(4*C*e - B*f) + 2*c*d*(30*C*e^2 - 14*B*e*f + 13*A*f^2)) - a^2*b^2*(4*d*f*(4*B*d*e + B*c*f - 2*A*d*f) - C*(33*d^2*e^2 + 44*c*d*e*f + 3*c^2*f^2)))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(3*b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(a + b*x)^3) - (1/(8*(b*c - a*d)^(5//2)*(b*e - a*f)^(7//2)))*((d*e - c*f)*(b^2*(A*d^2*e^2 - 2*c*d*e*(B*e - A*f) + c^2*(8*C*e^2 - 6*B*e*f + 5*A*f^2)) + a*b*(d^2*e*(B*e - 4*A*f) - c^2*f*(4*C*e - B*f) - 2*c*d*(6*C*e^2 - 7*B*e*f + 6*A*f^2)) - a^2*(2*d*f*(3*B*d*e + B*c*f - 4*A*d*f) - C*(5*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + c^2*f^2)))*atanh((sqrt(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(b*c - a*d)*sqrt(e + f*x)))), x, 6),
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+((a + b*x)^2*(A + B*x + C*x^2)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), -(((2*a*C*d*f - b*(8*B*d*f - 7*C*(d*e + c*f)))*(a + b*x)^2*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(24*b*d^2*f^2)) + (C*(a + b*x)^3*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(4*b*d*f) - (1/(192*b*d^4*f^4))*(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*(32*a^3*C*d^3*f^3 - 8*a^2*b*d^2*f^2*(16*B*d*f - 11*C*(d*e + c*f)) - 16*a*b^2*d*f*(C*(15*d^2*e^2 + 14*c*d*e*f + 15*c^2*f^2) + 6*d*f*(4*A*d*f - 3*B*(d*e + c*f))) + b^3*(5*C*(21*d^3*e^3 + 19*c*d^2*e^2*f + 19*c^2*d*e*f^2 + 21*c^3*f^3) + 8*d*f*(18*A*d*f*(d*e + c*f) - B*(15*d^2*e^2 + 14*c*d*e*f + 15*c^2*f^2))) + 2*b*d*f*(6*b*d*f*(6*b*c*C*e + a*C*d*e + a*c*C*f - 8*A*b*d*f) + (4*a*d*f - 5*b*(d*e + c*f))*(2*a*C*d*f - b*(8*B*d*f - 7*C*(d*e + c*f))))*x)) + (1/(64*d^(9//2)*f^(9//2)))*((16*a^2*d^2*f^2*(C*(3*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + 3*c^2*f^2) + 4*d*f*(2*A*d*f - B*(d*e + c*f))) - 16*a*b*d*f*(C*(5*d^3*e^3 + 3*c*d^2*e^2*f + 3*c^2*d*e*f^2 + 5*c^3*f^3) + 2*d*f*(4*A*d*f*(d*e + c*f) - B*(3*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + 3*c^2*f^2))) + b^2*(C*(35*d^4*e^4 + 20*c*d^3*e^3*f + 18*c^2*d^2*e^2*f^2 + 20*c^3*d*e*f^3 + 35*c^4*f^4) + 8*d*f*(2*A*d*f*(3*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + 3*c^2*f^2) - B*(5*d^3*e^3 + 3*c*d^2*e^2*f + 3*c^2*d*e*f^2 + 5*c^3*f^3))))*atanh((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d)*sqrt(e + f*x)))), x, 6),
+((a + b*x)^1*(A + B*x + C*x^2)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), (C*(a + b*x)^2*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(3*b*d*f) - (1/(24*b*d^3*f^3))*(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*(8*a^2*C*d^2*f^2 - 6*a*b*d*f*(4*B*d*f - 3*C*(d*e + c*f)) - b^2*(C*(15*d^2*e^2 + 14*c*d*e*f + 15*c^2*f^2) + 6*d*f*(4*A*d*f - 3*B*(d*e + c*f))) + 2*b*d*f*(2*a*C*d*f - b*(6*B*d*f - 5*C*(d*e + c*f)))*x)) + (1/(8*d^(7//2)*f^(7//2)))*((2*a*d*f*(C*(3*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + 3*c^2*f^2) + 4*d*f*(2*A*d*f - B*(d*e + c*f))) - b*(C*(5*d^3*e^3 + 3*c*d^2*e^2*f + 3*c^2*d*e*f^2 + 5*c^3*f^3) + 2*d*f*(4*A*d*f*(d*e + c*f) - B*(3*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + 3*c^2*f^2))))*atanh((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d)*sqrt(e + f*x)))), x, 5),
+((a + b*x)^0*(A + B*x + C*x^2)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), -(((3*C*d*e + 5*c*C*f - 4*B*d*f)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(4*d^2*f^2)) + (C*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(2*d^2*f) + ((C*(3*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + 3*c^2*f^2) + 4*d*f*(2*A*d*f - B*(d*e + c*f)))*atanh((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d)*sqrt(e + f*x))))/(4*d^(5//2)*f^(5//2)), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2)/((a + b*x)^1*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), (C*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(b*d*f) - ((2*a*C*d*f + b*(C*d*e + c*C*f - 2*B*d*f))*atanh((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d)*sqrt(e + f*x))))/(b^2*d^(3//2)*f^(3//2)) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*atanh((sqrt(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(b*c - a*d)*sqrt(e + f*x))))/(b^2*sqrt(b*c - a*d)*sqrt(b*e - a*f)), x, 7),
+((A + B*x + C*x^2)/((a + b*x)^2*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), -(((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(a + b*x))) + (2*C*atanh((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(d)*sqrt(e + f*x))))/(b^2*sqrt(d)*sqrt(f)) + ((2*a^3*C*d*f - 3*a^2*b*C*(d*e + c*f) - b^3*(2*B*c*e - A*d*e - A*c*f) + a*b^2*(4*c*C*e + B*d*e + B*c*f - 2*A*d*f))*atanh((sqrt(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(b*c - a*d)*sqrt(e + f*x))))/(b^2*(b*c - a*d)^(3//2)*(b*e - a*f)^(3//2)), x, 7),
+((A + B*x + C*x^2)/((a + b*x)^3*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), -(((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(2*b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(a + b*x)^2)) + ((2*a^3*C*d*f + a*b^2*(8*c*C*e + B*d*e + B*c*f - 6*A*d*f) - b^3*(4*B*c*e - 3*A*(d*e + c*f)) + a^2*b*(2*B*d*f - 5*C*(d*e + c*f)))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(4*b*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(a + b*x)) - (1/(4*(b*c - a*d)^(5//2)*(b*e - a*f)^(5//2)))*((b^2*(3*A*d^2*e^2 - 2*c*d*e*(2*B*e - A*f) + c^2*(8*C*e^2 - 4*B*e*f + 3*A*f^2)) + a*b*(d^2*e*(B*e - 8*A*f) - c^2*f*(8*C*e - B*f) - 2*c*d*(4*C*e^2 - 7*B*e*f + 4*A*f^2)) + a^2*(C*(3*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + 3*c^2*f^2) + 4*d*f*(2*A*d*f - B*(d*e + c*f))))*atanh((sqrt(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(b*c - a*d)*sqrt(e + f*x)))), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2)/((a + b*x)^4*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), -(((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(3*b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(a + b*x)^3)) + ((2*a^3*C*d*f + a*b^2*(12*c*C*e + B*d*e + B*c*f - 10*A*d*f) - b^3*(6*B*c*e - 5*A*(d*e + c*f)) + a^2*b*(4*B*d*f - 7*C*(d*e + c*f)))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(12*b*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(a + b*x)^2) + (1/(24*b*(b*c - a*d)^3*(b*e - a*f)^3*(a + b*x)))*((4*a^4*C*d^2*f^2 + 8*a^3*b*d*f*(B*d*f - 2*C*(d*e + c*f)) - b^4*(15*A*d^2*e^2 - 2*c*d*e*(9*B*e - 7*A*f) + 3*c^2*(8*C*e^2 - 6*B*e*f + 5*A*f^2)) - a*b^3*(d^2*e*(3*B*e - 44*A*f) - 3*c^2*f*(4*C*e - B*f) - 2*c*d*(6*C*e^2 - 29*B*e*f + 22*A*f^2)) - a^2*b^2*(C*(3*d^2*e^2 - 34*c*d*e*f + 3*c^2*f^2) + 2*d*f*(22*A*d*f - 5*B*(d*e + c*f))))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)) + (1/(8*(b*c - a*d)^(7//2)*(b*e - a*f)^(7//2)))*((b^3*(5*A*d^3*e^3 - 3*c*d^2*e^2*(2*B*e - A*f) + c^2*d*e*(8*C*e^2 - 4*B*e*f + 3*A*f^2) + c^3*f*(8*C*e^2 - 6*B*e*f + 5*A*f^2)) + a*b^2*(d^3*e^2*(B*e - 18*A*f) - c^3*f^2*(4*C*e - B*f) - c*d^2*e*(4*C*e^2 - 23*B*e*f + 12*A*f^2) - c^2*d*f*(40*C*e^2 - 23*B*e*f + 18*A*f^2)) - 2*a^3*d*f*(C*(3*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + 3*c^2*f^2) + 4*d*f*(2*A*d*f - B*(d*e + c*f))) + a^2*b*(C*(d^3*e^3 + 23*c*d^2*e^2*f + 23*c^2*d*e*f^2 + c^3*f^3) + 4*d*f*(6*A*d*f*(d*e + c*f) - B*(d^2*e^2 + 10*c*d*e*f + c^2*f^2))))*atanh((sqrt(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x))/(sqrt(b*c - a*d)*sqrt(e + f*x)))), x, 6),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/2) (e+f x)^(p/2) (A+B x+C x^2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0 & p>0
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+((a + b*x)^(1//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*(A + B*x + C*x^2), (1/(315*b^3*d^3*f^3))*(2*(8*a^3*C*d^3*f^3 + 3*a^2*b*d^2*f^2*(C*d*e - c*C*f - 4*B*d*f) - 3*a*b^2*d*f^2*((c^2*C - 7*A*d^2)*f + B*d*(d*e - 2*c*f)) - b^3*(C*(16*d^3*e^3 - 3*c^2*d*e*f^2 - 8*c^3*f^3) + 3*d*f*(7*A*d*f*(2*d*e - c*f) - B*(8*d^2*e^2 - c*d*e*f - 4*c^2*f^2))))*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)) - (2*(7*b*d*f*(b*c*C*e + a*C*d*e + a*c*C*f - 3*A*b*d*f) + (a*d*f - 4*b*(d*e + c*f))*(2*a*C*d*f - b*(3*B*d*f - 2*C*(d*e + c*f))))*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*(e + f*x)^(3//2))/(105*b^2*d^2*f^3) - (2*(2*a*C*d*f - b*(3*B*d*f - 2*C*(d*e + c*f)))*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)*(e + f*x)^(3//2))/(21*b*d^2*f^2) + (2*C*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)*(e + f*x)^(3//2))/(9*b*d*f) - (1/(315*b^4*d^(7//2)*f^4*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))))*(2*sqrt((-b)*c + a*d)*(16*a^4*C*d^4*f^4 - 8*a^3*b*d^3*f^3*(C*d*e + c*C*f + 3*B*d*f) + 3*a^2*b^2*d^2*f^2*(d*f*(5*B*d*e + 5*B*c*f + 14*A*d*f) - 2*C*(d^2*e^2 - c*d*e*f + c^2*f^2)) - a*b^3*d*f*(C*(8*d^3*e^3 - 6*c*d^2*e^2*f - 6*c^2*d*e*f^2 + 8*c^3*f^3) + 3*d*f*(14*A*d*f*(d*e + c*f) - B*(5*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + 5*c^2*f^2))) + b^4*(2*C*(8*d^4*e^4 - 4*c*d^3*e^3*f - 3*c^2*d^2*e^2*f^2 - 4*c^3*d*e*f^3 + 8*c^4*f^4) + 3*d*f*(14*A*d*f*(d^2*e^2 - c*d*e*f + c^2*f^2) - B*(8*d^3*e^3 - 5*c*d^2*e^2*f - 5*c^2*d*e*f^2 + 8*c^3*f^3))))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f)))) - (1/(315*b^4*d^(7//2)*f^4*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)))*(2*sqrt((-b)*c + a*d)*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(8*a^3*C*d^3*f^3 + 3*a^2*b*d^2*f^2*(C*d*e - c*C*f - 4*B*d*f) - 3*a*b^2*d*f^2*((c^2*C - 7*A*d^2)*f + B*d*(d*e - 2*c*f)) - b^3*(C*(16*d^3*e^3 - 3*c^2*d*e*f^2 - 8*c^3*f^3) + 3*d*f*(7*A*d*f*(2*d*e - c*f) - B*(8*d^2*e^2 - c*d*e*f - 4*c^2*f^2))))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f)))), x, 10),
+(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x)^(1//2), -((2*(5*b*d*f*(3*a*C*(d*e + c*f) + b*(c*C*e - 7*A*d*f)) - (2*b*d*e - b*c*f + 4*a*d*f)*(6*a*C*d*f - b*(7*B*d*f - 4*C*(d*e + c*f))))*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(105*b^3*d^2*f^2)) - (2*(6*a*C*d*f - b*(7*B*d*f - 4*C*(d*e + c*f)))*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*(e + f*x)^(3//2))/(35*b^2*d*f^2) + (2*C*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)*(e + f*x)^(3//2))/(7*b*d*f) - (1/(105*b^4*d^(5//2)*f^3*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))))*(2*sqrt((-b)*c + a*d)*(3*b*d*f*(5*b*c*f*(3*a*C*(d*e + c*f) + b*(c*C*e - 7*A*d*f)) - (b*c*e + a*d*e + 3*a*c*f)*(6*a*C*d*f - b*(7*B*d*f - 4*C*(d*e + c*f)))) + 2*((b*d*e)/2 - (b*c + a*d)*f)*(5*b*d*f*(3*a*C*(d*e + c*f) + b*(c*C*e - 7*A*d*f)) - (2*b*d*e - b*c*f + 4*a*d*f)*(6*a*C*d*f - b*(7*B*d*f - 4*C*(d*e + c*f)))))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f)))) - (1/(105*b^4*d^(5//2)*f^3*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)))*(2*sqrt((-b)*c + a*d)*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(24*a^2*C*d^2*f^2 + a*b*d*f*(13*C*d*e - 5*c*C*f - 28*B*d*f) - b^2*(7*d*f*(2*B*d*e - B*c*f - 5*A*d*f) - C*(8*d^2*e^2 - c*d*e*f - 4*c^2*f^2)))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f)))), x, 9),
+(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x)^(3//2), (2*(24*a^2*C*d*f^2 - a*b*f*(7*C*d*e + c*C*f + 20*B*d*f) + b^2*(5*d*f*(B*e + 3*A*f) - C*e*(2*d*e - c*f)))*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(15*b^3*d*f*(b*e - a*f)) + (2*(6*a^2*C*d*f + b^2*(c*C*e + 5*A*d*f) - a*b*(C*d*e + c*C*f + 5*B*d*f))*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*(e + f*x)^(3//2))/(5*b^2*(b*c - a*d)*f*(b*e - a*f)) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*x)^(3//2)*(e + f*x)^(3//2))/(b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*sqrt(a + b*x)) + (1/(15*b^4*d^(3//2)*f^2*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))))*(2*sqrt((-b)*c + a*d)*(48*a^2*C*d^2*f^2 - 8*a*b*d*f*(C*d*e + c*C*f + 5*B*d*f) + b^2*(5*d*f*(B*d*e + B*c*f + 6*A*d*f) - 2*C*(d^2*e^2 - c*d*e*f + c^2*f^2)))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f)))) - (1/(15*b^4*d^(3//2)*f^2*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)))*(2*sqrt((-b)*c + a*d)*(d*e - c*f)*(24*a^2*C*d*f^2 - a*b*f*(7*C*d*e + c*C*f + 20*B*d*f) + b^2*(5*d*f*(B*e + 3*A*f) - C*e*(2*d*e - c*f)))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f)))), x, 9),
+(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x)^(5//2), (2*(8*a^2*C*d*f + b^2*(c*C*e + 3*B*c*f + A*d*f) - a*b*(C*d*e + 7*c*C*f + 4*B*d*f))*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(3*b^3*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)) - (2*(b*B - 2*a*C)*sqrt(c + d*x)*(e + f*x)^(3//2))/(b^2*(b*e - a*f)*sqrt(a + b*x)) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*x)^(3//2)*(e + f*x)^(3//2))/(3*b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(a + b*x)^(3//2)) + (2*(16*a^3*C*d^2*f^2 - 8*a^2*b*d*f*(B*d*f + 2*C*(d*e + c*f)) - b^3*(c^2*C*e*f + A*d^2*e*f + c*d*(C*e^2 + 6*B*e*f + A*f^2)) + a*b^2*(d*f*(7*B*d*e + 7*B*c*f + 2*A*d*f) + C*(d^2*e^2 + 16*c*d*e*f + c^2*f^2)))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(3*b^4*sqrt(d)*sqrt((-b)*c + a*d)*f*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))) + (2*(d*e - c*f)*(8*a^2*C*d*f + b^2*(c*C*e + 3*B*c*f + A*d*f) - a*b*(C*d*e + 7*c*C*f + 4*B*d*f))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(3*b^4*sqrt(d)*sqrt((-b)*c + a*d)*f*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 9),
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+((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x)*(A + B*x + C*x^2)/sqrt(e + f*x), -((1/(945*b^2*d^3*f^4))*(2*(5*b*d*f*(7*a*d*f*(5*b*c*C*e + 3*a*C*d*e + a*c*C*f - 9*A*b*d*f) - (3*b*c*e + 3*a*d*e + a*c*f)*(4*a*C*d*f + b*(8*C*d*e + 6*c*C*f - 9*B*d*f))) + 2*((a*d*f)/2 - b*(2*d*e + c*f))*(7*b*d*f*(5*b*c*C*e + 3*a*C*d*e + a*c*C*f - 9*A*b*d*f) - (6*b*d*e + 4*b*c*f - 3*a*d*f)*(4*a*C*d*f + b*(8*C*d*e + 6*c*C*f - 9*B*d*f))))*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))) - (2*(7*b*d*f*(5*b*c*C*e + 3*a*C*d*e + a*c*C*f - 9*A*b*d*f) - (6*b*d*e + 4*b*c*f - 3*a*d*f)*(4*a*C*d*f + b*(8*C*d*e + 6*c*C*f - 9*B*d*f)))*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(315*b*d^3*f^3) - (2*(4*a*C*d*f + b*(8*C*d*e + 6*c*C*f - 9*B*d*f))*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(63*b*d^2*f^2) + (2*C*(a + b*x)^(5//2)*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(9*b*d*f) + (1/(315*b^3*d^(7//2)*f^5*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))))*(2*sqrt((-b)*c + a*d)*(8*a^4*C*d^4*f^4 + a^3*b*d^3*f^3*(11*C*d*e - 7*c*C*f - 18*B*d*f) - 3*a^2*b^2*d^2*f^2*(3*d*f*(4*B*d*e - 3*B*c*f - 7*A*d*f) - C*(9*d^2*e^2 - 5*c*d*e*f - 3*c^2*f^2)) - a*b^3*d*f*(2*C*(92*d^3*e^3 - 33*c*d^2*e^2*f - 18*c^2*d*e*f^2 - 16*c^3*f^3) + 3*d*f*(7*A*d*f*(13*d*e - 7*c*f) - B*(72*d^2*e^2 - 29*c*d*e*f - 19*c^2*f^2))) + b^4*(C*(128*d^4*e^4 - 40*c*d^3*e^3*f - 21*c^2*d^2*e^2*f^2 - 16*c^3*d*e*f^3 - 16*c^4*f^4) + 3*d*f*(7*A*d*f*(8*d^2*e^2 - 3*c*d*e*f - 2*c^2*f^2) - B*(48*d^3*e^3 - 16*c*d^2*e^2*f - 9*c^2*d*e*f^2 - 8*c^3*f^3))))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f)))) + (1/(315*b^3*d^(7//2)*f^5*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)))*(2*sqrt((-b)*c + a*d)*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(4*a^3*C*d^3*f^3 + 3*a^2*b*d^2*f^2*(3*C*d*e - c*C*f - 3*B*d*f) - 3*a*b^2*d*f*(3*d*f*(16*B*d*e + 3*B*c*f - 21*A*d*f) - 5*C*(8*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + c^2*f^2)) - b^3*(C*(128*d^3*e^3 + 24*c*d^2*e^2*f + 15*c^2*d*e*f^2 + 8*c^3*f^3) + 3*d*f*(7*A*d*f*(8*d*e + c*f) - 4*B*(12*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + c^2*f^2))))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f)))), x, 10),
+((a + b*x)^(1//2)*sqrt(c + d*x)*(A + B*x + C*x^2)/sqrt(e + f*x), -((2*(5*b*d*f*(3*b*c*C*e + 3*a*C*d*e + a*c*C*f - 7*A*b*d*f) + (a*d*f - 2*b*(2*d*e + c*f))*(4*a*C*d*f + b*(6*C*d*e + 4*c*C*f - 7*B*d*f)))*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(105*b^2*d^2*f^3)) - (2*(4*a*C*d*f + b*(6*C*d*e + 4*c*C*f - 7*B*d*f))*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(35*b*d^2*f^2) + (2*C*(a + b*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(7*b*d*f) - (1/(105*b^3*d^(5//2)*f^4*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))))*(2*sqrt((-b)*c + a*d)*(3*b*d*f*(5*a*d*f*(3*b*c*C*e + 3*a*C*d*e + a*c*C*f - 7*A*b*d*f) - (b*c*e + 3*a*d*e + a*c*f)*(4*a*C*d*f + b*(6*C*d*e + 4*c*C*f - 7*B*d*f))) + 2*((b*c*f)/2 - d*(b*e + a*f))*(5*b*d*f*(3*b*c*C*e + 3*a*C*d*e + a*c*C*f - 7*A*b*d*f) + (a*d*f - 2*b*(2*d*e + c*f))*(4*a*C*d*f + b*(6*C*d*e + 4*c*C*f - 7*B*d*f))))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f)))) + (1/(105*b^3*d^(5//2)*f^4*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)))*(2*sqrt((-b)*c + a*d)*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*(4*a^2*C*d^2*f^2 + a*b*d*f*(8*C*d*e - 2*c*C*f - 7*B*d*f) - b^2*(7*d*f*(8*B*d*e + B*c*f - 10*A*d*f) - 4*C*(12*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + c^2*f^2)))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f)))), x, 9),
+(sqrt(c + d*x)*(A + B*x + C*x^2)/((a + b*x)^(1//2)*sqrt(e + f*x)), -((2*(4*a*C*d*f + b*(4*C*d*e + 2*c*C*f - 5*B*d*f))*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(15*b^2*d*f^2)) + (2*C*sqrt(a + b*x)*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(5*b*d*f) - (1/(15*b^3*d^(3//2)*f^3*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))))*(2*sqrt((-b)*c + a*d)*(3*b*d*f*(b*c*C*e + 3*a*C*d*e + a*c*C*f - 5*A*b*d*f) - (2*b*d*e - b*c*f + 2*a*d*f)*(4*a*C*d*f + b*(4*C*d*e + 2*c*C*f - 5*B*d*f)))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f)))) - (2*sqrt((-b)*c + a*d)*(d*e - c*f)*(4*a^2*C*d*f^2 + a*b*f*(3*C*d*e - c*C*f - 5*B*d*f) - b^2*(5*d*f*(2*B*e - 3*A*f) - C*e*(8*d*e + c*f)))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(15*b^3*d^(3//2)*f^3*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 8),
+(sqrt(c + d*x)*(A + B*x + C*x^2)/((a + b*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x)), (2*(4*a^2*C*d*f + b^2*(c*C*e + 3*A*d*f) - a*b*(C*d*e + c*C*f + 3*B*d*f))*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(3*b^2*(b*c - a*d)*f*(b*e - a*f)) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*sqrt(a + b*x)) + (2*sqrt((-b)*c + a*d)*(8*a^2*C*d*f^2 - a*b*f*(3*C*d*e + c*C*f + 6*B*d*f) + b^2*(3*d*f*(B*e + A*f) - C*e*(2*d*e - c*f)))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(3*b^3*sqrt(d)*f^2*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))) + (2*sqrt((-b)*c + a*d)*(d*e - c*f)*(2*b*C*e - 3*b*B*f + 4*a*C*f)*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(3*b^3*sqrt(d)*f^2*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 8),
+(sqrt(c + d*x)*(A + B*x + C*x^2)/((a + b*x)^(5//2)*sqrt(e + f*x)), -((2*(4*a^2*C*f + b^2*(3*B*e - 2*A*f) - a*b*(6*C*e + B*f))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(3*b^2*(b*e - a*f)^2*sqrt(a + b*x))) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(3*b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(a + b*x)^(3//2)) + (2*sqrt(d)*(8*a^3*C*d*f^2 - a^2*b*f*(13*C*d*e + 7*c*C*f + 2*B*d*f) + a*b^2*(3*C*e*(d*e + 4*c*f) + f*(4*B*d*e + B*c*f - A*d*f)) - b^3*(A*d*e*f + c*(3*C*e^2 + 3*B*e*f - 2*A*f^2)))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(3*b^3*sqrt((-b)*c + a*d)*f*(b*e - a*f)^2*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))) + (2*(d*e - c*f)*(4*a^2*C*d*f + b^2*(3*c*C*e + A*d*f) - a*b*(B*d*f + 3*C*(d*e + c*f)))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(3*b^3*sqrt(d)*sqrt((-b)*c + a*d)*f*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 8),
+(sqrt(c + d*x)*(A + B*x + C*x^2)/((a + b*x)^(7//2)*sqrt(e + f*x)), (2*(4*a^3*C*d*f - b^3*(5*B*c*e - 2*A*d*e - 4*A*c*f) + a*b^2*(10*c*C*e + 3*B*d*e + B*c*f - 6*A*d*f) - a^2*b*(8*C*d*e + 6*c*C*f - B*d*f))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(15*b^2*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)^2*(a + b*x)^(3//2)) - (1/(15*b^2*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^3*sqrt(a + b*x)))*(2*(8*a^4*C*d^2*f^2 - a^3*b*d*f*(23*C*d*e + 13*c*C*f - 2*B*d*f) - b^4*(2*A*d^2*e^2 - c*d*e*(5*B*e - 3*A*f) - c^2*(15*C*e^2 - 10*B*e*f + 8*A*f^2)) - a^2*b^2*(d*f*(7*B*d*e + 2*B*c*f - 3*A*d*f) - C*(23*d^2*e^2 + 37*c*d*e*f + 3*c^2*f^2)) - a*b^3*(d^2*e*(3*B*e - 7*A*f) + 2*c^2*f*(5*C*e - B*f) + c*d*(40*C*e^2 - 13*f*(B*e - A*f))))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(5*b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(a + b*x)^(5//2)) + (2*sqrt(d)*(8*a^4*C*d^2*f^2 - a^3*b*d*f*(23*C*d*e + 13*c*C*f - 2*B*d*f) - b^4*(2*A*d^2*e^2 - c*d*e*(5*B*e - 3*A*f) - c^2*(15*C*e^2 - 10*B*e*f + 8*A*f^2)) - a^2*b^2*(d*f*(7*B*d*e + 2*B*c*f - 3*A*d*f) - C*(23*d^2*e^2 + 37*c*d*e*f + 3*c^2*f^2)) - a*b^3*(d^2*e*(3*B*e - 7*A*f) + 2*c^2*f*(5*C*e - B*f) + c*d*(40*C*e^2 - 13*f*(B*e - A*f))))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(15*b^3*((-b)*c + a*d)^(3//2)*(b*e - a*f)^3*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))) + (2*sqrt(d)*(d*e - c*f)*(4*a^3*C*d*f - b^3*(5*B*c*e - 2*A*d*e - 4*A*c*f) + a*b^2*(10*c*C*e + 3*B*d*e + B*c*f - 6*A*d*f) - a^2*b*(8*C*d*e + 6*c*C*f - B*d*f))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(15*b^3*((-b)*c + a*d)^(3//2)*(b*e - a*f)^2*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 9),
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0 & p<0
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+((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x + C*x^2)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), -((2*(5*b*d*f*(5*b*c*C*e + a*C*d*e + a*c*C*f - 7*A*b*d*f) + (3*a*d*f - 4*b*(d*e + c*f))*(2*a*C*d*f - b*(7*B*d*f - 6*C*(d*e + c*f))))*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(105*b*d^3*f^3)) - (2*(2*a*C*d*f - b*(7*B*d*f - 6*C*(d*e + c*f)))*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(35*b*d^2*f^2) + (2*C*(a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(7*b*d*f) - (1/(105*b^2*d^(7//2)*f^4*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))))*(2*sqrt((-b)*c + a*d)*(3*b*d*f*(5*a*d*f*(5*b*c*C*e + a*C*d*e + a*c*C*f - 7*A*b*d*f) - (3*b*c*e + a*d*e + a*c*f)*(2*a*C*d*f - b*(7*B*d*f - 6*C*(d*e + c*f)))) + 2*((a*d*f)/2 - b*(d*e + c*f))*(5*b*d*f*(5*b*c*C*e + a*C*d*e + a*c*C*f - 7*A*b*d*f) + (3*a*d*f - 4*b*(d*e + c*f))*(2*a*C*d*f - b*(7*B*d*f - 6*C*(d*e + c*f)))))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f)))) - (1/(105*b^2*d^(7//2)*f^4*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)))*(2*sqrt((-b)*c + a*d)*(b*e - a*f)*(3*a^2*C*d^2*f^2*(d*e - c*f) - 3*a*b*d*f*(7*d*f*(3*B*d*e + 2*B*c*f - 5*A*d*f) - C*(16*d^2*e^2 + 8*c*d*e*f + 11*c^2*f^2)) - b^2*(C*(48*d^3*e^3 + 16*c*d^2*e^2*f + 17*c^2*d*e*f^2 + 24*c^3*f^3) + 7*d*f*(5*A*d*f*(2*d*e + c*f) - B*(8*d^2*e^2 + 3*c*d*e*f + 4*c^2*f^2))))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f)))), x, 9),
+((a + b*x)^(1//2)*(A + B*x + C*x^2)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), -((2*(2*a*C*d*f - b*(5*B*d*f - 4*C*(d*e + c*f)))*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(15*b*d^2*f^2)) + (2*C*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(5*b*d*f) - (1/(15*b^2*d^(5//2)*f^3*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))))*(2*sqrt((-b)*c + a*d)*(3*b*d*f*(3*b*c*C*e + a*C*d*e + a*c*C*f - 5*A*b*d*f) + (a*d*f - 2*b*(d*e + c*f))*(2*a*C*d*f - b*(5*B*d*f - 4*C*(d*e + c*f))))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f)))) - (2*sqrt((-b)*c + a*d)*(b*e - a*f)*(a*C*d*f*(d*e - c*f) - b*(5*d*f*(2*B*d*e + B*c*f - 3*A*d*f) - C*(8*d^2*e^2 + 3*c*d*e*f + 4*c^2*f^2)))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(15*b^2*d^(5//2)*f^3*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 8),
+((A + B*x + C*x^2)/((a + b*x)^(1//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), (2*C*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(3*b*d*f) - (2*sqrt((-b)*c + a*d)*(2*a*C*d*f - b*(3*B*d*f - 2*C*(d*e + c*f)))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(3*b^2*d^(3//2)*f^2*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))) + (2*sqrt((-b)*c + a*d)*(a*C*f*(d*e - c*f) - b*(3*d*f*(B*e - A*f) - C*e*(2*d*e + c*f)))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(3*b^2*d^(3//2)*f^2*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 7),
+((A + B*x + C*x^2)/((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), -((2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*sqrt(a + b*x))) - (2*(2*a^2*C*d*f + b^2*(c*C*e + A*d*f) - a*b*(C*d*e + c*C*f + B*d*f))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(b^2*sqrt(d)*sqrt((-b)*c + a*d)*f*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))) - (2*(a*C*(d*e - c*f) - b*(c*C*e - B*c*f + A*d*f))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(b^2*sqrt(d)*sqrt((-b)*c + a*d)*f*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 7),
+((A + B*x + C*x^2)/((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), -((2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(3*b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(a + b*x)^(3//2))) + (2*(2*a^3*C*d*f + a*b^2*(6*c*C*e + B*d*e + B*c*f - 4*A*d*f) - b^3*(3*B*c*e - 2*A*(d*e + c*f)) + a^2*b*(B*d*f - 4*C*(d*e + c*f)))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(3*b*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*sqrt(a + b*x)) - (2*sqrt(d)*(2*a^3*C*d*f + a*b^2*(6*c*C*e + B*d*e + B*c*f - 4*A*d*f) - b^3*(3*B*c*e - 2*A*(d*e + c*f)) + a^2*b*(B*d*f - 4*C*(d*e + c*f)))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(3*b^2*((-b)*c + a*d)^(3//2)*(b*e - a*f)^2*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))) - (2*(a^2*C*d*(d*e - c*f) - b^2*(3*c^2*C*e - 3*B*c*d*e + 2*A*d^2*e + A*c*d*f) + a*b*(3*(c^2*C + A*d^2)*f - B*d*(d*e + 2*c*f)))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(3*b^2*sqrt(d)*((-b)*c + a*d)^(3//2)*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 8),
+((A + B*x + C*x^2)/((a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), -((2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(5*b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(a + b*x)^(5//2))) + (2*(2*a^3*C*d*f + a*b^2*(10*c*C*e + B*d*e + B*c*f - 8*A*d*f) - b^3*(5*B*c*e - 4*A*(d*e + c*f)) + 3*a^2*b*(B*d*f - 2*C*(d*e + c*f)))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x))/(15*b*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(a + b*x)^(3//2)) + (1/(15*b*(b*c - a*d)^3*(b*e - a*f)^3*sqrt(a + b*x)))*(2*(2*a^4*C*d^2*f^2 + a^3*b*d*f*(3*B*d*f - 7*C*(d*e + c*f)) - b^4*(8*A*d^2*e^2 - c*d*e*(10*B*e - 7*A*f) + c^2*(15*C*e^2 - 10*B*e*f + 8*A*f^2)) - a*b^3*(d^2*e*(2*B*e - 23*A*f) - 2*c^2*f*(5*C*e - B*f) - c*d*(10*C*e^2 - 33*B*e*f + 23*A*f^2)) - a^2*b^2*(C*(3*d^2*e^2 - 13*c*d*e*f + 3*c^2*f^2) + d*f*(23*A*d*f - 7*B*(d*e + c*f))))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)) + (2*sqrt(d)*(2*a^4*C*d^2*f^2 + a^3*b*d*f*(3*B*d*f - 7*C*(d*e + c*f)) - b^4*(8*A*d^2*e^2 - c*d*e*(10*B*e - 7*A*f) + c^2*(15*C*e^2 - 10*B*e*f + 8*A*f^2)) - a*b^3*(d^2*e*(2*B*e - 23*A*f) - 2*c^2*f*(5*C*e - B*f) - c*d*(10*C*e^2 - 33*B*e*f + 23*A*f^2)) - a^2*b^2*(C*(3*d^2*e^2 - 13*c*d*e*f + 3*c^2*f^2) + d*f*(23*A*d*f - 7*B*(d*e + c*f))))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))))/(15*b^2*((-b)*c + a*d)^(5//2)*(b*e - a*f)^3*sqrt(c + d*x)*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))) + (1/(15*b^2*((-b)*c + a*d)^(5//2)*(b*e - a*f)^2*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)))*(2*sqrt(d)*(a^3*C*d*f*(d*e - c*f) + b^3*(8*A*d^2*e^2 - c*d*e*(10*B*e - 3*A*f) + c^2*(15*C*e^2 - 5*B*e*f + 4*A*f^2)) + a*b^2*(d^2*e*(2*B*e - 19*A*f) - c^2*f*(20*C*e - B*f) - c*d*(10*C*e^2 - 27*B*e*f + 11*A*f^2)) - 3*a^2*b*(d*f*(2*B*d*e + 3*B*c*f - 5*A*d*f) - C*(d^2*e^2 + c*d*e*f + 3*c^2*f^2)))*sqrt((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))*sqrt((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*sqrt(a + b*x))/sqrt((-b)*c + a*d)), ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f)))), x, 9),
+]
+# Total integrals translated: 71
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.7 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.7 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q.jl
new file mode 100644
index 00000000..258bb205
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.1 Linear/1.1.1.7 P(x) (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q.jl	
@@ -0,0 +1,143 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form P2[x] (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^(n/2) (A+B x) / (Sqrte+f x] Sqrt[g+h x])
+
+
+# ::Subsubsection::
+# n>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+# {(a + b*x)^3*(A + B*x)/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), x, 10, (1/(105*d^3*f^3*h^3))*(2*b*(5*d*f*h*(7*a*(2*A*b + a*B)*d*f*h - b*B*(5*b*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + 2*a*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))) + 2*(a*d*f*h - 2*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*(11*a*B*d*f*h + b*(7*A*d*f*h - 6*B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))))*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]) + (2*b*(11*a*B*d*f*h + b*(7*A*d*f*h - 6*B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*(a + b*x)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x])/(35*d^2*f^2*h^2) + (2*b*B*(a + b*x)^2*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x])/(7*d*f*h) - (1/(105*d^4*f^(7/2)*h^4*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[(d*(g + h*x))/(d*g - c*h)]))*(2*Sqrt[(-d)*e + c*f]*(2*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)*(5*d*f*h*(7*a*(2*A*b + a*B)*d*f*h - b*B*(5*b*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + 2*a*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))) + 2*(a*d*f*h - 2*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*(11*a*B*d*f*h + b*(7*A*d*f*h - 6*B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))) + 3*d*f*h*(b*(3*b*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + 2*a*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*(11*a*B*d*f*h + b*(7*A*d*f*h - 6*B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))) + 5*d*f*h*(4*b^3*B*c*e*g - 7*a^3*B*d*f*h + 6*a*b^2*B*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) - a^2*b*(21*A*d*f*h - 2*B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))))*Sqrt[(d*(e + f*x))/(d*e - c*f)]*Sqrt[g + h*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[f]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[(-d)*e + c*f]], ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))]) - (1/(105*d^4*f^(7/2)*h^4*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]))*(2*Sqrt[(-d)*e + c*f]*(105*a^3*d^3*f^3*h^3*(B*g - A*h) + 105*a^2*b*d^2*f^2*h^2*(3*A*d*f*g*h - B*(c*h*(f*g - e*h) + d*g*(2*f*g + e*h))) - 21*a*b^2*d*f*h*(5*A*d*f*h*(c*h*(f*g - e*h) + d*g*(2*f*g + e*h)) - B*(4*c^2*f*h^2*(f*g - e*h) + c*d*h*(3*f^2*g^2 + e*f*g*h - 4*e^2*h^2) + d^2*g*(8*f^2*g^2 + 3*e*f*g*h + 4*e^2*h^2))) + b^3*(7*A*d*f*h*(4*c^2*f*h^2*(f*g - e*h) + c*d*h*(3*f^2*g^2 + e*f*g*h - 4*e^2*h^2) + d^2*g*(8*f^2*g^2 + 3*e*f*g*h + 4*e^2*h^2)) - B*(24*c^3*f^2*h^3*(f*g - e*h) + c^2*d*f*h^2*(17*f^2*g^2 + 6*e*f*g*h - 23*e^2*h^2) + 2*c*d^2*h*(8*f^3*g^3 + e*f^2*g^2*h + 3*e^2*f*g*h^2 - 12*e^3*h^3) + d^3*g*(48*f^3*g^3 + 16*e*f^2*g^2*h + 17*e^2*f*g*h^2 + 24*e^3*h^3))))*Sqrt[(d*(e + f*x))/(d*e - c*f)]*Sqrt[(d*(g + h*x))/(d*g - c*h)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[f]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[(-d)*e + c*f]], ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))])}
+((a + b*x)^2*(A + B*x)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*b*(7*a*B*d*f*h + b*(5*A*d*f*h - 4*B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(15*d^2*f^2*h^2) + (2*b*B*(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(5*d*f*h) + (1/(15*d^3*f^(5//2)*h^3*sqrt(e + f*x)*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))))*(2*sqrt((-d)*e + c*f)*(15*a^2*B*d^2*f^2*h^2 + 10*a*b*d*f*h*(3*A*d*f*h - 2*B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) - b^2*(10*A*d*f*h*(d*f*g + d*e*h + c*f*h) - B*(8*c^2*f^2*h^2 + 7*c*d*f*h*(f*g + e*h) + d^2*(8*f^2*g^2 + 7*e*f*g*h + 8*e^2*h^2))))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h)))) - (1/(15*d^3*f^(5//2)*h^3*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)))*(2*sqrt((-d)*e + c*f)*(15*a^2*d^2*f^2*h^2*(B*g - A*h) + 10*a*b*d*f*h*(3*A*d*f*g*h - B*(c*h*(f*g - e*h) + d*g*(2*f*g + e*h))) - b^2*(5*A*d*f*h*(c*h*(f*g - e*h) + d*g*(2*f*g + e*h)) - B*(4*c^2*f*h^2*(f*g - e*h) + c*d*h*(3*f^2*g^2 + e*f*g*h - 4*e^2*h^2) + d^2*g*(8*f^2*g^2 + 3*e*f*g*h + 4*e^2*h^2))))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h)))), x, 9),
+((a + b*x)^1*(A + B*x)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*b*B*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(3*d*f*h) + (2*sqrt((-d)*e + c*f)*(3*a*B*d*f*h + b*(3*A*d*f*h - 2*B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(3*d^2*f^(3//2)*h^2*sqrt(e + f*x)*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))) - (2*sqrt((-d)*e + c*f)*(3*a*d*f*h*(B*g - A*h) + b*(3*A*d*f*g*h - B*(c*h*(f*g - e*h) + d*g*(2*f*g + e*h))))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(3*d^2*f^(3//2)*h^2*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), x, 8),
+((a + b*x)^0*(A + B*x)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*B*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(d*sqrt(f)*h*sqrt(e + f*x)*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))) - (2*sqrt((-d)*e + c*f)*(B*g - A*h)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(d*sqrt(f)*h*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), x, 6),
+((A + B*x)/((a + b*x)^1*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*B*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(b*d*sqrt(f)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)) - (2*(A - (a*B)/b)*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*e - c*f))/((b*c - a*d)*f)), asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/((b*c - a*d)*sqrt(f)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), x, 9),
+((A + B*x)/((a + b*x)^2*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), -((b*(A*b - a*B)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*(a + b*x))) + ((A*b - a*B)*sqrt(f)*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x)*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))) - ((A*b - a*B)*sqrt(f)*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(b*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)) + (sqrt((-d)*e + c*f)*(3*a^2*A*b*d*f*h - a^3*B*d*f*h - b^3*(2*B*c*e*g - A*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)) + a*b^2*(B*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) - 2*A*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*e - c*f))/((b*c - a*d)*f)), asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(b*(b*c - a*d)^2*sqrt(f)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), x, 12),
+# {(A + B*x)/((a + b*x)^3*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), x, 13, -((b*(A*b - a*B)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x])/(2*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*(a + b*x)^2)) - (b*(5*a^3*B*d*f*h + b^3*(4*B*c*e*g - 3*A*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)) - a*b^2*(B*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) - 6*A*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) - a^2*b*(9*A*d*f*h + 2*B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x])/(4*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(b*g - a*h)^2*(a + b*x)) + (Sqrt[f]*Sqrt[(-d)*e + c*f]*(5*a^3*B*d*f*h + b^3*(4*B*c*e*g - 3*A*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)) - a*b^2*(B*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) - 6*A*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) - a^2*b*(9*A*d*f*h + 2*B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*Sqrt[(d*(e + f*x))/(d*e - c*f)]*Sqrt[g + h*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[f]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[(-d)*e + c*f]], ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))])/(4*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(b*g - a*h)^2*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[(d*(g + h*x))/(d*g - c*h)]) - (Sqrt[f]*Sqrt[(-d)*e + c*f]*(3*a^3*B*d*f*h - a^2*b*d*f*(2*B*g + 7*A*h) + b^3*(4*B*c*e*g - A*(3*d*e*g + 3*c*f*g + c*e*h)) - a*b^2*(B*(d*e*g + c*f*g + 3*c*e*h) - 2*A*(3*d*f*g + 2*d*e*h + 2*c*f*h)))*Sqrt[(d*(e + f*x))/(d*e - c*f)]*Sqrt[(d*(g + h*x))/(d*g - c*h)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[f]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[(-d)*e + c*f]], ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))])/(4*b*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(b*g - a*h)*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]) - (Sqrt[(-d)*e + c*f]*(15*a^4*A*b*d^2*f^2*h^2 - 3*a^5*B*d^2*f^2*h^2 + 10*a^3*b^2*d*f*h*(B*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) - 2*A*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) + a*b^4*(B*(d^2*e^2*g^2 + 14*c*d*e*g*(f*g + e*h) + c^2*(f^2*g^2 + 14*e*f*g*h + e^2*h^2)) - 4*A*(2*d^2*e*g*(f*g + e*h) + 2*c^2*f*h*(f*g + e*h) + c*d*(2*f^2*g^2 + 3*e*f*g*h + 2*e^2*h^2))) - b^5*(4*B*c*e*g*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) - A*(3*d^2*e^2*g^2 + 2*c*d*e*g*(f*g + e*h) + c^2*(3*f^2*g^2 + 2*e*f*g*h + 3*e^2*h^2))) - 2*a^2*b^3*(2*B*(d^2*e*g*(f*g + e*h) + c^2*f*h*(f*g + e*h) + c*d*(f^2*g^2 + 9*e*f*g*h + e^2*h^2)) - A*(4*c^2*f^2*h^2 + 11*c*d*f*h*(f*g + e*h) + d^2*(4*f^2*g^2 + 11*e*f*g*h + 4*e^2*h^2))))*Sqrt[(d*(e + f*x))/(d*e - c*f)]*Sqrt[(d*(g + h*x))/(d*g - c*h)]*EllipticPi[-((b*(d*e - c*f))/((b*c - a*d)*f)), ArcSin[(Sqrt[f]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[(-d)*e + c*f]], ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))])/(4*b*(b*c - a*d)^3*Sqrt[f]*(b*e - a*f)^2*(b*g - a*h)^2*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x])}
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/2) (A+B x) / (Sqrte+f x] Sqrt[g+h x])
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+# ::Subsubsection::
+# n>0
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
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+((a + b*x)^(3//2)*(A + B*x)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), ((5*a*B*d*f*h + b*(4*A*d*f*h - 3*B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*sqrt(a + b*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(4*d*f^2*h^2*sqrt(c + d*x)) + (b*B*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(2*d*f*h) - (sqrt(d*g - c*h)*sqrt(f*g - e*h)*(5*a*B*d*f*h + b*(4*A*d*f*h - 3*B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*sqrt(a + b*x)*sqrt(-(((d*e - c*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(c + d*x))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d*g - c*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x))), ((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))))/(4*d^2*f^2*h^2*sqrt(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)))*sqrt(g + h*x)) - ((b*e - a*f)*sqrt(b*g - a*h)*(3*a*B*d*f*h + b*(4*A*d*f*h - B*(c*f*h + 3*d*(f*g + e*h))))*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/(4*b*d*f^2*h^2*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))) + (sqrt((-d)*g + c*h)*(4*d*f*h*(2*a*(2*A*b + a*B)*d*f*h - b*B*(b*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + a*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))) - (a*d*f*h + b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*(5*a*B*d*f*h + b*(4*A*d*f*h - 3*B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))))*(a + b*x)*sqrt(((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x)))*sqrt(((b*g - a*h)*(e + f*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*h)), asin((sqrt(b*c - a*d)*sqrt(g + h*x))/(sqrt((-d)*g + c*h)*sqrt(a + b*x))), ((b*e - a*f)*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*(f*g - e*h))))/(4*b*d^2*sqrt(b*c - a*d)*f^2*h^3*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 10),
+((a + b*x)^(1//2)*(A + B*x)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (B*sqrt(a + b*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(f*h*sqrt(c + d*x)) - (B*sqrt(d*g - c*h)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x)*sqrt(-(((d*e - c*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(c + d*x))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d*g - c*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x))), ((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))))/(d*f*h*sqrt(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)))*sqrt(g + h*x)) - (B*(b*e - a*f)*sqrt(b*g - a*h)*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/(b*f*h*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))) + (sqrt((-d)*g + c*h)*(2*A*b*d*f*h + B*(a*d*f*h - b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*(a + b*x)*sqrt(((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x)))*sqrt(((b*g - a*h)*(e + f*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*h)), asin((sqrt(b*c - a*d)*sqrt(g + h*x))/(sqrt((-d)*g + c*h)*sqrt(a + b*x))), ((b*e - a*f)*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*(f*g - e*h))))/(b*d*sqrt(b*c - a*d)*f*h^2*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 7),
+((A + B*x)/((a + b*x)^(1//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*(A*b - a*B)*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/(b*sqrt(b*g - a*h)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))) + (2*B*sqrt((-d)*g + c*h)*(a + b*x)*sqrt(((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x)))*sqrt(((b*g - a*h)*(e + f*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*h)), asin((sqrt(b*c - a*d)*sqrt(g + h*x))/(sqrt((-d)*g + c*h)*sqrt(a + b*x))), ((b*e - a*f)*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*(f*g - e*h))))/(b*sqrt(b*c - a*d)*h*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 5),
+((A + B*x)/((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*(A*b - a*B)*d*sqrt(a + b*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*sqrt(c + d*x)) - (2*b*(A*b - a*B)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*sqrt(a + b*x)) - (2*(A*b - a*B)*sqrt(d*g - c*h)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x)*sqrt(-(((d*e - c*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(c + d*x))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d*g - c*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x))), ((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*sqrt(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)))*sqrt(g + h*x)) + (2*(B*c - A*d)*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/((b*c - a*d)*sqrt(b*g - a*h)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))), x, 7),
+((A + B*x)/((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*d*(3*a^3*B*d*f*h + b^3*(3*B*c*e*g - 2*A*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)) - a*b^2*(B*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) - 4*A*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) - a^2*b*(6*A*d*f*h + B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*sqrt(a + b*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(3*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(b*g - a*h)^2*sqrt(c + d*x)) - (2*b*(A*b - a*B)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(3*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*(a + b*x)^(3//2)) - (2*b*(3*a^3*B*d*f*h + b^3*(3*B*c*e*g - 2*A*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)) - a*b^2*(B*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) - 4*A*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) - a^2*b*(6*A*d*f*h + B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(3*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(b*g - a*h)^2*sqrt(a + b*x)) - (2*sqrt(d*g - c*h)*sqrt(f*g - e*h)*(3*a^3*B*d*f*h + b^3*(3*B*c*e*g - 2*A*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)) - a*b^2*(B*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) - 4*A*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) - a^2*b*(6*A*d*f*h + B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*sqrt(a + b*x)*sqrt(-(((d*e - c*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(c + d*x))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d*g - c*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x))), ((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))))/(3*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(b*g - a*h)^2*sqrt(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)))*sqrt(g + h*x)) - (2*(3*a^2*d*(B*c - A*d)*f*h + b^2*(3*B*c*d*e*g - A*(2*d^2*e*g - c^2*f*h + c*d*(f*g + e*h))) + a*b*(3*A*d^2*(f*g + e*h) - B*(d^2*e*g + c^2*f*h + 2*c*d*(f*g + e*h))))*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/(3*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)^(3//2)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))), x, 8),
+
+
+((a + b*x)^(3//2)*(d*e + c*f + 2*d*f*x)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), ((5*a*d*f*h - b*(3*d*f*g + d*e*h + c*f*h))*sqrt(a + b*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(2*f*h^2*sqrt(c + d*x)) + (b*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/h - (sqrt(d*g - c*h)*sqrt(f*g - e*h)*(5*a*d*f*h - b*(3*d*f*g + d*e*h + c*f*h))*sqrt(a + b*x)*sqrt(-(((d*e - c*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(c + d*x))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d*g - c*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x))), ((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))))/(2*d*f*h^2*sqrt(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)))*sqrt(g + h*x)) - ((b*e - a*f)*sqrt(b*g - a*h)*(3*a*d*f*h + b*(c*f*h - d*(3*f*g + e*h)))*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/(2*b*f*h^2*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))) - (1/(2*b*d*sqrt(b*c - a*d)*f*h^3*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)))*(sqrt((-d)*g + c*h)*(6*a*b*d^2*f^2*g*h - 3*a^2*d^2*f^2*h^2 + b^2*(2*c*d*e*f*h^2 - c^2*f^2*h^2 - d^2*(3*f^2*g^2 + e^2*h^2)))*(a + b*x)*sqrt(((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x)))*sqrt(((b*g - a*h)*(e + f*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*h)), asin((sqrt(b*c - a*d)*sqrt(g + h*x))/(sqrt((-d)*g + c*h)*sqrt(a + b*x))), ((b*e - a*f)*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*(f*g - e*h)))), x, 10),
+((a + b*x)^(1//2)*(d*e + c*f + 2*d*f*x)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*b*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(h*sqrt(a + b*x)) - (2*sqrt(b*g - a*h)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/(h*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)) - (2*d*(b*g - a*h)^(3//2)*sqrt(((f*g - e*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(e + f*x)))*sqrt(((f*g - e*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(e + f*x)))*(e + f*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((f*(b*g - a*h))/((b*e - a*f)*h), asin((sqrt(b*e - a*f)*sqrt(g + h*x))/(sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))), ((d*e - c*f)*(b*g - a*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))))/(sqrt(b*e - a*f)*h^2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)), x, 5),
+((d*e + c*f + 2*d*f*x)/((a + b*x)^(1//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/(b*sqrt(b*g - a*h)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))) + (4*d*f*sqrt((-d)*g + c*h)*(a + b*x)*sqrt(((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x)))*sqrt(((b*g - a*h)*(e + f*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*h)), asin((sqrt(b*c - a*d)*sqrt(g + h*x))/(sqrt((-d)*g + c*h)*sqrt(a + b*x))), ((b*e - a*f)*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*(f*g - e*h))))/(b*sqrt(b*c - a*d)*h*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 5),
+((d*e + c*f + 2*d*f*x)/((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*d*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*sqrt(a + b*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*sqrt(c + d*x)) - (2*b*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*sqrt(a + b*x)) - (2*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*sqrt(d*g - c*h)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x)*sqrt(-(((d*e - c*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(c + d*x))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d*g - c*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x))), ((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*sqrt(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)))*sqrt(g + h*x)) - (2*d*(d*e - c*f)*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/((b*c - a*d)*sqrt(b*g - a*h)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))), x, 7),
+((d*e + c*f + 2*d*f*x)/((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (4*d*(3*a^3*d^2*f^2*h - a^2*b*d*f*(d*f*g + 4*d*e*h + 4*c*f*h) - b^3*(d^2*e^2*g - c*d*e*(f*g - e*h) + c^2*f*(f*g + e*h)) + a*b^2*(2*c^2*f^2*h + d^2*e*(f*g + 2*e*h) + c*d*f*(f*g + 3*e*h)))*sqrt(a + b*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(3*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(b*g - a*h)^2*sqrt(c + d*x)) - (2*b*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(3*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*(a + b*x)^(3//2)) - (4*b*(3*a^3*d^2*f^2*h - a^2*b*d*f*(d*f*g + 4*d*e*h + 4*c*f*h) - b^3*(d^2*e^2*g - c*d*e*(f*g - e*h) + c^2*f*(f*g + e*h)) + a*b^2*(2*c^2*f^2*h + d^2*e*(f*g + 2*e*h) + c*d*f*(f*g + 3*e*h)))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(3*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(b*g - a*h)^2*sqrt(a + b*x)) - (4*sqrt(d*g - c*h)*sqrt(f*g - e*h)*(3*a^3*d^2*f^2*h - a^2*b*d*f*(d*f*g + 4*d*e*h + 4*c*f*h) - b^3*(d^2*e^2*g - c*d*e*(f*g - e*h) + c^2*f*(f*g + e*h)) + a*b^2*(2*c^2*f^2*h + d^2*e*(f*g + 2*e*h) + c*d*f*(f*g + 3*e*h)))*sqrt(a + b*x)*sqrt(-(((d*e - c*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(c + d*x))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d*g - c*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x))), ((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))))/(3*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(b*g - a*h)^2*sqrt(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)))*sqrt(g + h*x)) + (2*(d*e - c*f)*(3*a^2*d^2*f*h - a*b*d*(d*f*g + 3*d*e*h + 2*c*f*h) + b^2*(2*d^2*e*g - c*d*f*g + c*d*e*h + c^2*f*h))*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/(3*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)^(3//2)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))), x, 8),
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+# ::Title::
+# Integrands of the form P3[x] (a+b x)^m (c+d x)^n (e+f x)^p (g+h x)^q
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^(n/2) (e+f x)^(p/2) (g+h x)^(q/2) (A+B x+C x^2) with A b^2-a b B+a^2 C=0
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^(n/2) (A+B x+C x^2) / (Sqrte+f x] Sqrt[g+h x])
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+# ::Subsubsection::
+# n>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
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+((a + b*x)^1*(a*b*B - a^2*C + b^2*B*x + b^2*C*x^2)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*b^2*(5*b*B*d*f*h + 2*C*(a*d*f*h - 2*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(15*d^2*f^2*h^2) + (2*b^2*C*(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(5*d*f*h) - (1/(15*d^3*f^(5//2)*h^3*sqrt(e + f*x)*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))))*(2*b*sqrt((-d)*e + c*f)*(15*a^2*C*d^2*f^2*h^2 - 10*a*b*d*f*h*(3*B*d*f*h - C*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) + b^2*(10*B*d*f*h*(d*f*g + d*e*h + c*f*h) - C*(8*c^2*f^2*h^2 + 7*c*d*f*h*(f*g + e*h) + d^2*(8*f^2*g^2 + 7*e*f*g*h + 8*e^2*h^2))))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h)))) - (1/(15*d^3*f^(5//2)*h^3*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)))*(2*sqrt((-d)*e + c*f)*(15*a^3*C*d^2*f^2*h^3 - 15*a^2*b*d^2*f^2*h^2*(C*g + B*h) + 5*a*b^2*d*f*h*(6*B*d*f*g*h - C*(c*h*(f*g - e*h) + d*g*(2*f*g + e*h))) - b^3*(5*B*d*f*h*(c*h*(f*g - e*h) + d*g*(2*f*g + e*h)) - C*(4*c^2*f*h^2*(f*g - e*h) + c*d*h*(3*f^2*g^2 + e*f*g*h - 4*e^2*h^2) + d^2*g*(8*f^2*g^2 + 3*e*f*g*h + 4*e^2*h^2))))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h)))), x, 8),
+((a + b*x)^0*(a*b*B - a^2*C + b^2*B*x + b^2*C*x^2)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*b^2*C*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(3*d*f*h) + (2*b^2*sqrt((-d)*e + c*f)*(3*B*d*f*h - 2*C*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(3*d^2*f^(3//2)*h^2*sqrt(e + f*x)*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))) + (2*sqrt((-d)*e + c*f)*(3*a*b*B*d*f*h^2 - 3*a^2*C*d*f*h^2 - b^2*(3*B*d*f*g*h - C*(c*h*(f*g - e*h) + d*g*(2*f*g + e*h))))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(3*d^2*f^(3//2)*h^2*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), x, 7),
+((a*b*B - a^2*C + b^2*B*x + b^2*C*x^2)/((a + b*x)^1*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*b*C*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(d*sqrt(f)*h*sqrt(e + f*x)*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))) - (2*sqrt((-d)*e + c*f)*(b*C*g - b*B*h + a*C*h)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(d*sqrt(f)*h*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), x, 7),
+((a*b*B - a^2*C + b^2*B*x + b^2*C*x^2)/((a + b*x)^2*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*C*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(d*sqrt(f)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)) - (2*(b*B - 2*a*C)*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*e - c*f))/((b*c - a*d)*f)), asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/((b*c - a*d)*sqrt(f)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), x, 10),
+((a*b*B - a^2*C + b^2*B*x + b^2*C*x^2)/((a + b*x)^3*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), -((b^2*(b*B - 2*a*C)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*(a + b*x))) + (b*(b*B - 2*a*C)*sqrt(f)*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x)*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))) - ((b*B - 2*a*C)*sqrt(f)*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)) - (sqrt((-d)*e + c*f)*(4*a^3*C*d*f*h + 2*a*b^2*B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h) - b^3*(B*d*e*g - c*(2*C*e*g - B*f*g - B*e*h)) - a^2*b*(3*B*d*f*h + 2*C*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*e - c*f))/((b*c - a*d)*f)), asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/((b*c - a*d)^2*sqrt(f)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), x, 13),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/2) (A+B x+C x^2) / (Sqrte+f x] Sqrt[g+h x])
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+# ::Subsubsection::
+# n>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
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+
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+((a + b*x)^(1//2)*(a*b*B - a^2*C + b^2*B*x + b^2*C*x^2)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (b*(4*b*B*d*f*h + C*(a*d*f*h - 3*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*sqrt(a + b*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(4*d*f^2*h^2*sqrt(c + d*x)) + (b^2*C*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(2*d*f*h) - (b*sqrt(d*g - c*h)*sqrt(f*g - e*h)*(4*b*B*d*f*h + C*(a*d*f*h - 3*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*sqrt(a + b*x)*sqrt(-(((d*e - c*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(c + d*x))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d*g - c*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x))), ((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))))/(4*d^2*f^2*h^2*sqrt(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)))*sqrt(g + h*x)) + ((b*e - a*f)*sqrt(b*g - a*h)*(a*C*d*f*h - b*(4*B*d*f*h - C*(3*d*f*g + 3*d*e*h + c*f*h)))*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/(4*d*f^2*h^2*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))) - (1/(4*d^2*sqrt(b*c - a*d)*f^2*h^3*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)))*(sqrt((-d)*g + c*h)*((a*d*f*h + b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*(4*b*B*d*f*h + C*(a*d*f*h - 3*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))) + 4*d*f*h*(2*a^2*C*d*f*h + b^2*C*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) - a*b*(4*B*d*f*h - C*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))))*(a + b*x)*sqrt(((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x)))*sqrt(((b*g - a*h)*(e + f*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*h)), asin((sqrt(b*c - a*d)*sqrt(g + h*x))/(sqrt((-d)*g + c*h)*sqrt(a + b*x))), ((b*e - a*f)*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*(f*g - e*h)))), x, 9),
+((a*b*B - a^2*C + b^2*B*x + b^2*C*x^2)/((a + b*x)^(1//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (b*C*sqrt(a + b*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(f*h*sqrt(c + d*x)) - (b*C*sqrt(d*g - c*h)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x)*sqrt(-(((d*e - c*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(c + d*x))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d*g - c*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x))), ((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))))/(d*f*h*sqrt(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)))*sqrt(g + h*x)) - (C*(b*e - a*f)*sqrt(b*g - a*h)*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/(f*h*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))) - (sqrt((-d)*g + c*h)*(a*C*d*f*h - b*(2*B*d*f*h - C*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*(a + b*x)*sqrt(((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x)))*sqrt(((b*g - a*h)*(e + f*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*h)), asin((sqrt(b*c - a*d)*sqrt(g + h*x))/(sqrt((-d)*g + c*h)*sqrt(a + b*x))), ((b*e - a*f)*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*(f*g - e*h))))/(d*sqrt(b*c - a*d)*f*h^2*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 8),
+((a*b*B - a^2*C + b^2*B*x + b^2*C*x^2)/((a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*(b*B - 2*a*C)*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/(sqrt(b*g - a*h)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))) + (2*C*sqrt((-d)*g + c*h)*(a + b*x)*sqrt(((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x)))*sqrt(((b*g - a*h)*(e + f*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*h)), asin((sqrt(b*c - a*d)*sqrt(g + h*x))/(sqrt((-d)*g + c*h)*sqrt(a + b*x))), ((b*e - a*f)*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*(f*g - e*h))))/(sqrt(b*c - a*d)*h*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 6),
+((a*b*B - a^2*C + b^2*B*x + b^2*C*x^2)/((a + b*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*b*(b*B - 2*a*C)*d*sqrt(a + b*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*sqrt(c + d*x)) - (2*b^2*(b*B - 2*a*C)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*sqrt(a + b*x)) - (2*b*(b*B - 2*a*C)*sqrt(d*g - c*h)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x)*sqrt(-(((d*e - c*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(c + d*x))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d*g - c*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x))), ((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*sqrt(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)))*sqrt(g + h*x)) + (2*(b*c*C - b*B*d + a*C*d)*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/((b*c - a*d)*sqrt(b*g - a*h)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))), x, 8),
+((a*b*B - a^2*C + b^2*B*x + b^2*C*x^2)/((a + b*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*b*d*(9*a^3*C*d*f*h - b^3*(2*B*d*e*g - c*(3*C*e*g - 2*B*f*g - 2*B*e*h)) + a*b^2*(C*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + 4*B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) - a^2*b*(6*B*d*f*h + 5*C*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*sqrt(a + b*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(3*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(b*g - a*h)^2*sqrt(c + d*x)) - (2*b^2*(b*B - 2*a*C)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(3*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*(a + b*x)^(3//2)) - (2*b^2*(9*a^3*C*d*f*h - b^3*(2*B*d*e*g - c*(3*C*e*g - 2*B*f*g - 2*B*e*h)) + a*b^2*(C*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + 4*B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) - a^2*b*(6*B*d*f*h + 5*C*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(3*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(b*g - a*h)^2*sqrt(a + b*x)) - (2*b*sqrt(d*g - c*h)*sqrt(f*g - e*h)*(9*a^3*C*d*f*h - b^3*(2*B*d*e*g - c*(3*C*e*g - 2*B*f*g - 2*B*e*h)) + a*b^2*(C*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + 4*B*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) - a^2*b*(6*B*d*f*h + 5*C*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*sqrt(a + b*x)*sqrt(-(((d*e - c*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(c + d*x))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d*g - c*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x))), ((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))))/(3*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(b*g - a*h)^2*sqrt(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)))*sqrt(g + h*x)) - (2*(3*a^3*C*d^2*f*h - b^3*(2*B*d^2*e*g - B*c^2*f*h - c*d*(3*C*e*g - B*f*g - B*e*h)) - 3*a^2*b*d*(B*d*f*h + C*(d*f*g + d*e*h - c*f*h)) + a*b^2*(3*B*d^2*(f*g + e*h) + C*(d^2*e*g - c*d*f*g - c*d*e*h - 2*c^2*f*h)))*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/(3*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)^(3//2)*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))), x, 9),
+
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^(n/2) (e+f x)^(p/2) (g+h x)^(q/2) (A+B x+C x^2) with B=0
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x)^(n/2) (A+B x+C x^2) / (Sqrte+f x] Sqrt[g+h x])
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+# ::Subsubsection::
+# n>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
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+((a + b*x)^2*(A + C*x^2)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*(4*C*(2*a*d*f*h - 3*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*(a*d*f*h - 2*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) + 5*b*d*f*h*(7*A*b*d*f*h - C*(5*b*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + 2*a*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(105*d^3*f^3*h^3) + (4*C*(2*a*d*f*h - 3*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(35*d^2*f^2*h^2) + (2*C*(a + b*x)^2*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(7*d*f*h) - (1/(105*d^4*f^(7//2)*h^4*sqrt(e + f*x)*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))))*(4*sqrt((-d)*e + c*f)*(35*a^2*C*d^2*f^2*h^2*(d*f*g + d*e*h + c*f*h) - 7*a*b*d*f*h*(15*A*d^2*f^2*h^2 + C*(8*c^2*f^2*h^2 + 7*c*d*f*h*(f*g + e*h) + d^2*(8*f^2*g^2 + 7*e*f*g*h + 8*e^2*h^2))) + b^2*(35*A*d^2*f^2*h^2*(d*f*g + d*e*h + c*f*h) + 2*C*(12*c^3*f^3*h^3 + 10*c^2*d*f^2*h^2*(f*g + e*h) + c*d^2*f*h*(10*f^2*g^2 + 9*e*f*g*h + 10*e^2*h^2) + 2*d^3*(6*f^3*g^3 + 5*e*f^2*g^2*h + 5*e^2*f*g*h^2 + 6*e^3*h^3))))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h)))) + (1/(105*d^4*f^(7//2)*h^4*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)))*(2*sqrt((-d)*e + c*f)*(35*a^2*d^2*f^2*h^2*(3*A*d*f*h^2 + C*(c*h*(f*g - e*h) + d*g*(2*f*g + e*h))) - 14*a*b*d*f*h*(15*A*d^2*f^2*g*h^2 + C*(4*c^2*f*h^2*(f*g - e*h) + c*d*h*(3*f^2*g^2 + e*f*g*h - 4*e^2*h^2) + d^2*g*(8*f^2*g^2 + 3*e*f*g*h + 4*e^2*h^2))) + b^2*(35*A*d^2*f^2*h^2*(c*h*(f*g - e*h) + d*g*(2*f*g + e*h)) + C*(24*c^3*f^2*h^3*(f*g - e*h) + c^2*d*f*h^2*(17*f^2*g^2 + 6*e*f*g*h - 23*e^2*h^2) + 2*c*d^2*h*(8*f^3*g^3 + e*f^2*g^2*h + 3*e^2*f*g*h^2 - 12*e^3*h^3) + d^3*g*(48*f^3*g^3 + 16*e*f^2*g^2*h + 17*e^2*f*g*h^2 + 24*e^3*h^3))))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h)))), x, 9),
+((a + b*x)^1*(A + C*x^2)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (4*C*(a*d*f*h - 2*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(15*d^2*f^2*h^2) + (2*C*(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(5*d*f*h) - (2*sqrt((-d)*e + c*f)*(10*a*C*d*f*h*(d*f*g + d*e*h + c*f*h) - b*(15*A*d^2*f^2*h^2 + C*(8*c^2*f^2*h^2 + 7*c*d*f*h*(f*g + e*h) + d^2*(8*f^2*g^2 + 7*e*f*g*h + 8*e^2*h^2))))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(15*d^3*f^(5//2)*h^3*sqrt(e + f*x)*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))) + (1/(15*d^3*f^(5//2)*h^3*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)))*(2*sqrt((-d)*e + c*f)*(5*a*d*f*h*(3*A*d*f*h^2 + C*(c*h*(f*g - e*h) + d*g*(2*f*g + e*h))) - b*(15*A*d^2*f^2*g*h^2 + C*(4*c^2*f*h^2*(f*g - e*h) + c*d*h*(3*f^2*g^2 + e*f*g*h - 4*e^2*h^2) + d^2*g*(8*f^2*g^2 + 3*e*f*g*h + 4*e^2*h^2))))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h)))), x, 8),
+((a + b*x)^0*(A + C*x^2)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*C*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(3*d*f*h) - (4*C*sqrt((-d)*e + c*f)*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(3*d^2*f^(3//2)*h^2*sqrt(e + f*x)*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))) + (2*sqrt((-d)*e + c*f)*(3*A*d*f*h^2 + C*(c*h*(f*g - e*h) + d*g*(2*f*g + e*h)))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(3*d^2*f^(3//2)*h^2*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), x, 7),
+((A + C*x^2)/((a + b*x)^1*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (2*C*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(b*d*sqrt(f)*h*sqrt(e + f*x)*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))) - (2*C*sqrt((-d)*e + c*f)*(b*g + a*h)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(b^2*d*sqrt(f)*h*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)) - (2*(A + (a^2*C)/b^2)*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*e - c*f))/((b*c - a*d)*f)), asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/((b*c - a*d)*sqrt(f)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), x, 11),
+((A + C*x^2)/((a + b*x)^2*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), -(((A*b^2 + a^2*C)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*(a + b*x))) + ((A*b + (a^2*C)/b)*sqrt(f)*sqrt((-d)*e + c*f)*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/((b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x)*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))) + (sqrt((-d)*e + c*f)*(a^2*C*d*f - 2*a*b*C*(d*e + c*f) + b^2*(2*c*C*e - A*d*f))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h))))/(b^2*d*(b*c - a*d)*sqrt(f)*(b*e - a*f)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)) - (1/(b^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(f)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)))*(sqrt((-d)*e + c*f)*(a^4*C*d*f*h - A*b^4*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) - 2*a^3*b*C*(d*f*g + d*e*h + c*f*h) - 2*a*b^3*(2*c*C*e*g - A*d*f*g - A*d*e*h - A*c*f*h) - 3*a^2*b^2*(A*d*f*h - C*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)))*sqrt((d*(e + f*x))/(d*e - c*f))*sqrt((d*(g + h*x))/(d*g - c*h))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*e - c*f))/((b*c - a*d)*f)), asin((sqrt(f)*sqrt(c + d*x))/sqrt((-d)*e + c*f)), ((d*e - c*f)*h)/(f*(d*g - c*h)))), x, 12),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^(m/2) (c+d x)^(n/2) (A+B x+C x^2) / (Sqrte+f x] Sqrt[g+h x])
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+# n>0
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+((a + b*x)^(3//2)*(A + C*x^2)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), ((C*(3*a*d*f*h - 5*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*(a*d*f*h - 3*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) + 8*b*d*f*h*(3*A*b*d*f*h - C*(2*b*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + a*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))))*sqrt(a + b*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(24*b*d^2*f^3*h^3*sqrt(c + d*x)) + (C*(3*a*d*f*h - 5*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(12*d^2*f^2*h^2) + (C*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(3*d*f*h) - (sqrt(d*g - c*h)*sqrt(f*g - e*h)*(C*(3*a*d*f*h - 5*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*(a*d*f*h - 3*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) + 8*b*d*f*h*(3*A*b*d*f*h - C*(2*b*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + a*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))))*sqrt(a + b*x)*sqrt(-(((d*e - c*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(c + d*x))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d*g - c*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x))), ((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))))/(24*b*d^3*f^3*h^3*sqrt(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)))*sqrt(g + h*x)) + ((b*e - a*f)*sqrt(b*g - a*h)*(3*a^2*C*d^2*f^2*h^2 + 6*a*b*C*d*f*h*(c*f*h + 2*d*(f*g + e*h)) - b^2*(24*A*d^2*f^2*h^2 + C*(5*c^2*f^2*h^2 + 4*c*d*f*h*(f*g + e*h) + d^2*(15*f^2*g^2 + 14*e*f*g*h + 15*e^2*h^2))))*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/(24*b^2*d^2*f^3*h^3*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))) - (1/(24*b^2*d^3*sqrt(b*c - a*d)*f^3*h^4*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)))*(sqrt((-d)*g + c*h)*(4*b*d*f*h*(C*(b*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + a*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*(3*a*d*f*h - 5*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) + 2*d*f*h*(3*b^2*c*C*e*g + 2*a^2*C*(d*f*g + d*e*h + c*f*h) - a*b*(12*A*d*f*h - 5*C*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)))) + (a*d*f*h + b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*(C*(3*a*d*f*h - 5*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*(a*d*f*h - 3*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) + 8*b*d*f*h*(3*A*b*d*f*h - C*(2*b*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + a*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))))*(a + b*x)*sqrt(((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x)))*sqrt(((b*g - a*h)*(e + f*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*h)), asin((sqrt(b*c - a*d)*sqrt(g + h*x))/(sqrt((-d)*g + c*h)*sqrt(a + b*x))), ((b*e - a*f)*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*(f*g - e*h)))), x, 10),
+((a + b*x)^(1//2)*(A + C*x^2)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x)), (C*(a*d*f*h - 3*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*sqrt(a + b*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(4*b*d*f^2*h^2*sqrt(c + d*x)) + (C*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)*sqrt(g + h*x))/(2*d*f*h) - (C*sqrt(d*g - c*h)*sqrt(f*g - e*h)*(a*d*f*h - 3*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*sqrt(a + b*x)*sqrt(-(((d*e - c*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(c + d*x))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d*g - c*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x))), ((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((b*e - a*f)*(d*g - c*h))))/(4*b*d^2*f^2*h^2*sqrt(((d*e - c*f)*(a + b*x))/((b*e - a*f)*(c + d*x)))*sqrt(g + h*x)) + (C*(b*e - a*f)*sqrt(b*g - a*h)*(a*d*f*h + b*(c*f*h + 3*d*(f*g + e*h)))*sqrt(((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x)))*sqrt(g + h*x)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*g - a*h)*sqrt(e + f*x))/(sqrt(f*g - e*h)*sqrt(a + b*x))), -(((b*c - a*d)*(f*g - e*h))/((d*e - c*f)*(b*g - a*h)))))/(4*b^2*d*f^2*h^2*sqrt(f*g - e*h)*sqrt(c + d*x)*sqrt(-(((b*e - a*f)*(g + h*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x))))) - (sqrt((-d)*g + c*h)*(C*(a*d*f*h - 3*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*(a*d*f*h + b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) - 4*b*d*f*h*(2*A*b*d*f*h - C*(b*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + a*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))))*(a + b*x)*sqrt(((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x)))*sqrt(((b*g - a*h)*(e + f*x))/((f*g - e*h)*(a + b*x)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*h)), asin((sqrt(b*c - a*d)*sqrt(g + h*x))/(sqrt((-d)*g + c*h)*sqrt(a + b*x))), ((b*e - a*f)*(d*g - c*h))/((b*c - a*d)*(f*g - e*h))))/(4*b^2*d^2*sqrt(b*c - a*d)*f^2*h^3*sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x, 9),
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new file mode 100644
index 00000000..7d82098a
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.2 (c x)^m (a+b x^2)^p.jl	
@@ -0,0 +1,1499 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
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+# ::Title::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^2)^p
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+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^2)^p
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+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^p
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+# p>0
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+(x^4*(a + b*x^2), (a*x^5)/5 + (b*x^7)/7, x, 2),
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+((a + b*x^2)/x^3, -(a/(2*x^2)) + b*log(x), x, 2),
+((a + b*x^2)/x^4, -(a/(3*x^3)) - b/x, x, 2),
+((a + b*x^2)/x^5, -(a/(4*x^4)) - b/(2*x^2), x, 2),
+((a + b*x^2)/x^6, -(a/(5*x^5)) - b/(3*x^3), x, 2),
+((a + b*x^2)/x^7, -(a/(6*x^6)) - b/(4*x^4), x, 2),
+
+
+(x^5*(a + b*x^2)^2, (a^2*x^6)/6 + (1//4)*a*b*x^8 + (b^2*x^10)/10, x, 3),
+(x^4*(a + b*x^2)^2, (a^2*x^5)/5 + (2//7)*a*b*x^7 + (b^2*x^9)/9, x, 2),
+(x^3*(a + b*x^2)^2, (a^2*x^4)/4 + (1//3)*a*b*x^6 + (b^2*x^8)/8, x, 3),
+(x^2*(a + b*x^2)^2, (a^2*x^3)/3 + (2*a*b*x^5)/5 + (b^2*x^7)/7, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^2)^2, (a + b*x^2)^3/(6*b), x, 1),
+(x^0*(a + b*x^2)^2, a^2*x + (2*a*b*x^3)/3 + (b^2*x^5)/5, x, 2),
+((a + b*x^2)^2/x^1, a*b*x^2 + (b^2*x^4)/4 + a^2*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/x^2, -(a^2/x) + 2*a*b*x + (b^2*x^3)/3, x, 2),
+((a + b*x^2)^2/x^3, -(a^2/(2*x^2)) + (b^2*x^2)/2 + 2*a*b*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/x^4, -(a^2/(3*x^3)) - (2*a*b)/x + b^2*x, x, 2),
+((a + b*x^2)^2/x^5, -(a^2/(4*x^4)) - (a*b)/x^2 + b^2*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/x^6, -(a^2/(5*x^5)) - (2*a*b)/(3*x^3) - b^2/x, x, 2),
+((a + b*x^2)^2/x^7, -((a + b*x^2)^3/(6*a*x^6)), x, 1),
+((a + b*x^2)^2/x^8, -(a^2/(7*x^7)) - (2*a*b)/(5*x^5) - b^2/(3*x^3), x, 2),
+((a + b*x^2)^2/x^9, -(a^2/(8*x^8)) - (a*b)/(3*x^6) - b^2/(4*x^4), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/x^10, -(a^2/(9*x^9)) - (2*a*b)/(7*x^7) - b^2/(5*x^5), x, 2),
+
+
+(x^9*(a + b*x^2)^3, (a^3*x^10)/10 + (1//4)*a^2*b*x^12 + (3//14)*a*b^2*x^14 + (b^3*x^16)/16, x, 3),
+(x^7*(a + b*x^2)^3, (a^3*x^8)/8 + (3//10)*a^2*b*x^10 + (1//4)*a*b^2*x^12 + (b^3*x^14)/14, x, 3),
+(x^5*(a + b*x^2)^3, (a^3*x^6)/6 + (3//8)*a^2*b*x^8 + (3//10)*a*b^2*x^10 + (b^3*x^12)/12, x, 3),
+(x^3*(a + b*x^2)^3, -((a*(a + b*x^2)^4)/(8*b^2)) + (a + b*x^2)^5/(10*b^2), x, 3),
+(x^1*(a + b*x^2)^3, (a + b*x^2)^4/(8*b), x, 1),
+((a + b*x^2)^3/x^1, (3//2)*a^2*b*x^2 + (3//4)*a*b^2*x^4 + (b^3*x^6)/6 + a^3*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^3/x^3, -(a^3/(2*x^2)) + (3//2)*a*b^2*x^2 + (b^3*x^4)/4 + 3*a^2*b*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^3/x^5, -(a^3/(4*x^4)) - (3*a^2*b)/(2*x^2) + (b^3*x^2)/2 + 3*a*b^2*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^3/x^7, -(a^3/(6*x^6)) - (3*a^2*b)/(4*x^4) - (3*a*b^2)/(2*x^2) + b^3*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^3/x^9, -((a + b*x^2)^4/(8*a*x^8)), x, 1),
+((a + b*x^2)^3/x^11, -((a + b*x^2)^4/(10*a*x^10)) + (b*(a + b*x^2)^4)/(40*a^2*x^8), x, 3),
+((a + b*x^2)^3/x^13, -(a^3/(12*x^12)) - (3*a^2*b)/(10*x^10) - (3*a*b^2)/(8*x^8) - b^3/(6*x^6), x, 3),
+((a + b*x^2)^3/x^15, -(a^3/(14*x^14)) - (a^2*b)/(4*x^12) - (3*a*b^2)/(10*x^10) - b^3/(8*x^8), x, 3),
+
+(x^6*(a + b*x^2)^3, (a^3*x^7)/7 + (1//3)*a^2*b*x^9 + (3//11)*a*b^2*x^11 + (b^3*x^13)/13, x, 2),
+(x^4*(a + b*x^2)^3, (a^3*x^5)/5 + (3//7)*a^2*b*x^7 + (1//3)*a*b^2*x^9 + (b^3*x^11)/11, x, 2),
+(x^2*(a + b*x^2)^3, (a^3*x^3)/3 + (3*a^2*b*x^5)/5 + (3*a*b^2*x^7)/7 + (b^3*x^9)/9, x, 2),
+(x^0*(a + b*x^2)^3, a^3*x + a^2*b*x^3 + (3*a*b^2*x^5)/5 + (b^3*x^7)/7, x, 2),
+((a + b*x^2)^3/x^2, -(a^3/x) + 3*a^2*b*x + a*b^2*x^3 + (b^3*x^5)/5, x, 2),
+((a + b*x^2)^3/x^4, -(a^3/(3*x^3)) - (3*a^2*b)/x + 3*a*b^2*x + (b^3*x^3)/3, x, 2),
+((a + b*x^2)^3/x^6, -(a^3/(5*x^5)) - (a^2*b)/x^3 - (3*a*b^2)/x + b^3*x, x, 2),
+((a + b*x^2)^3/x^8, -(a^3/(7*x^7)) - (3*a^2*b)/(5*x^5) - (a*b^2)/x^3 - b^3/x, x, 2),
+((a + b*x^2)^3/x^10, -(a^3/(9*x^9)) - (3*a^2*b)/(7*x^7) - (3*a*b^2)/(5*x^5) - b^3/(3*x^3), x, 2),
+((a + b*x^2)^3/x^12, -(a^3/(11*x^11)) - (a^2*b)/(3*x^9) - (3*a*b^2)/(7*x^7) - b^3/(5*x^5), x, 2),
+
+
+(x^13*(a + b*x^2)^5, (a^5*x^14)/14 + (5//16)*a^4*b*x^16 + (5//9)*a^3*b^2*x^18 + (1//2)*a^2*b^3*x^20 + (5//22)*a*b^4*x^22 + (b^5*x^24)/24, x, 3),
+(x^11*(a + b*x^2)^5, (a^5*x^12)/12 + (5//14)*a^4*b*x^14 + (5//8)*a^3*b^2*x^16 + (5//9)*a^2*b^3*x^18 + (1//4)*a*b^4*x^20 + (b^5*x^22)/22, x, 3),
+(x^9*(a + b*x^2)^5, (a^5*x^10)/10 + (5//12)*a^4*b*x^12 + (5//7)*a^3*b^2*x^14 + (5//8)*a^2*b^3*x^16 + (5//18)*a*b^4*x^18 + (b^5*x^20)/20, x, 3),
+(x^7*(a + b*x^2)^5, -((a^3*(a + b*x^2)^6)/(12*b^4)) + (3*a^2*(a + b*x^2)^7)/(14*b^4) - (3*a*(a + b*x^2)^8)/(16*b^4) + (a + b*x^2)^9/(18*b^4), x, 3),
+(x^5*(a + b*x^2)^5, (a^2*(a + b*x^2)^6)/(12*b^3) - (a*(a + b*x^2)^7)/(7*b^3) + (a + b*x^2)^8/(16*b^3), x, 3),
+(x^3*(a + b*x^2)^5, -((a*(a + b*x^2)^6)/(12*b^2)) + (a + b*x^2)^7/(14*b^2), x, 3),
+(x^1*(a + b*x^2)^5, (a + b*x^2)^6/(12*b), x, 1),
+((a + b*x^2)^5/x^1, (5*a^4*b*x^2)/2 + (5*a^3*b^2*x^4)/2 + (5*a^2*b^3*x^6)/3 + (5*a*b^4*x^8)/8 + (b^5*x^10)/10 + a^5*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^5/x^3, -a^5/(2*x^2) + 5*a^3*b^2*x^2 + (5*a^2*b^3*x^4)/2 + (5*a*b^4*x^6)/6 + (b^5*x^8)/8 + 5*a^4*b*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^5/x^5, -a^5/(4*x^4) - (5*a^4*b)/(2*x^2) + 5*a^2*b^3*x^2 + (5*a*b^4*x^4)/4 + (b^5*x^6)/6 + 10*a^3*b^2*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^5/x^7, -(a^5/(6*x^6)) - (5*a^4*b)/(4*x^4) - (5*a^3*b^2)/x^2 + (5//2)*a*b^4*x^2 + (b^5*x^4)/4 + 10*a^2*b^3*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^5/x^9, -(a^5/(8*x^8)) - (5*a^4*b)/(6*x^6) - (5*a^3*b^2)/(2*x^4) - (5*a^2*b^3)/x^2 + (b^5*x^2)/2 + 5*a*b^4*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^5/x^11, -(a^5/(10*x^10)) - (5*a^4*b)/(8*x^8) - (5*a^3*b^2)/(3*x^6) - (5*a^2*b^3)/(2*x^4) - (5*a*b^4)/(2*x^2) + b^5*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^5/x^13, -(a + b*x^2)^6/(12*a*x^12), x, 1),
+((a + b*x^2)^5/x^15, -((a + b*x^2)^6/(14*a*x^14)) + (b*(a + b*x^2)^6)/(84*a^2*x^12), x, 3),
+((a + b*x^2)^5/x^17, -((a + b*x^2)^6/(16*a*x^16)) + (b*(a + b*x^2)^6)/(56*a^2*x^14) - (b^2*(a + b*x^2)^6)/(336*a^3*x^12), x, 4),
+((a + b*x^2)^5/x^19, -(a^5/(18*x^18)) - (5*a^4*b)/(16*x^16) - (5*a^3*b^2)/(7*x^14) - (5*a^2*b^3)/(6*x^12) - (a*b^4)/(2*x^10) - b^5/(8*x^8), x, 3),
+((a + b*x^2)^5/x^21, -(a^5/(20*x^20)) - (5*a^4*b)/(18*x^18) - (5*a^3*b^2)/(8*x^16) - (5*a^2*b^3)/(7*x^14) - (5*a*b^4)/(12*x^12) - b^5/(10*x^10), x, 3),
+
+(x^8*(a + b*x^2)^5, (a^5*x^9)/9 + (5*a^4*b*x^11)/11 + (10*a^3*b^2*x^13)/13 + (2*a^2*b^3*x^15)/3 + (5*a*b^4*x^17)/17 + (b^5*x^19)/19, x, 2),
+(x^6*(a + b*x^2)^5, (a^5*x^7)/7 + (5*a^4*b*x^9)/9 + (10*a^3*b^2*x^11)/11 + (10*a^2*b^3*x^13)/13 + (a*b^4*x^15)/3 + (b^5*x^17)/17, x, 2),
+(x^4*(a + b*x^2)^5, (a^5*x^5)/5 + (5*a^4*b*x^7)/7 + (10*a^3*b^2*x^9)/9 + (10*a^2*b^3*x^11)/11 + (5*a*b^4*x^13)/13 + (b^5*x^15)/15, x, 2),
+(x^2*(a + b*x^2)^5, (a^5*x^3)/3 + a^4*b*x^5 + (10*a^3*b^2*x^7)/7 + (10*a^2*b^3*x^9)/9 + (5*a*b^4*x^11)/11 + (b^5*x^13)/13, x, 2),
+(x^0*(a + b*x^2)^5, a^5*x + (5*a^4*b*x^3)/3 + 2*a^3*b^2*x^5 + (10*a^2*b^3*x^7)/7 + (5*a*b^4*x^9)/9 + (b^5*x^11)/11, x, 2),
+((a + b*x^2)^5/x^2, -(a^5/x) + 5*a^4*b*x + (10*a^3*b^2*x^3)/3 + 2*a^2*b^3*x^5 + (5*a*b^4*x^7)/7 + (b^5*x^9)/9, x, 2),
+((a + b*x^2)^5/x^4, -a^5/(3*x^3) - (5*a^4*b)/x + 10*a^3*b^2*x + (10*a^2*b^3*x^3)/3 + a*b^4*x^5 + (b^5*x^7)/7, x, 2),
+((a + b*x^2)^5/x^6, -a^5/(5*x^5) - (5*a^4*b)/(3*x^3) - (10*a^3*b^2)/x + 10*a^2*b^3*x + (5*a*b^4*x^3)/3 + (b^5*x^5)/5, x, 2),
+((a + b*x^2)^5/x^8, -a^5/(7*x^7) - (a^4*b)/x^5 - (10*a^3*b^2)/(3*x^3) - (10*a^2*b^3)/x + 5*a*b^4*x + (b^5*x^3)/3, x, 2),
+((a + b*x^2)^5/x^10, -a^5/(9*x^9) - (5*a^4*b)/(7*x^7) - (2*a^3*b^2)/x^5 - (10*a^2*b^3)/(3*x^3) - (5*a*b^4)/x + b^5*x, x, 2),
+((a + b*x^2)^5/x^12, -(a^5/(11*x^11)) - (5*a^4*b)/(9*x^9) - (10*a^3*b^2)/(7*x^7) - (2*a^2*b^3)/x^5 - (5*a*b^4)/(3*x^3) - b^5/x, x, 2),
+((a + b*x^2)^5/x^14, -a^5/(13*x^13) - (5*a^4*b)/(11*x^11) - (10*a^3*b^2)/(9*x^9) - (10*a^2*b^3)/(7*x^7) - (a*b^4)/x^5 - b^5/(3*x^3), x, 2),
+((a + b*x^2)^5/x^16, -a^5/(15*x^15) - (5*a^4*b)/(13*x^13) - (10*a^3*b^2)/(11*x^11) - (10*a^2*b^3)/(9*x^9) - (5*a*b^4)/(7*x^7) - b^5/(5*x^5), x, 2),
+((a + b*x^2)^5/x^18, -a^5/(17*x^17) - (a^4*b)/(3*x^15) - (10*a^3*b^2)/(13*x^13) - (10*a^2*b^3)/(11*x^11) - (5*a*b^4)/(9*x^9) - b^5/(7*x^7), x, 2),
+((a + b*x^2)^5/x^20, -a^5/(19*x^19) - (5*a^4*b)/(17*x^17) - (2*a^3*b^2)/(3*x^15) - (10*a^2*b^3)/(13*x^13) - (5*a*b^4)/(11*x^11) - b^5/(9*x^9), x, 2),
+
+
+(x^13*(a + b*x^2)^8, (a^6*(a + b*x^2)^9)/(18*b^7) - (3*a^5*(a + b*x^2)^10)/(10*b^7) + (15*a^4*(a + b*x^2)^11)/(22*b^7) - (5*a^3*(a + b*x^2)^12)/(6*b^7) + (15*a^2*(a + b*x^2)^13)/(26*b^7) - (3*a*(a + b*x^2)^14)/(14*b^7) + (a + b*x^2)^15/(30*b^7), x, 3),
+(x^11*(a + b*x^2)^8, -((a^5*(a + b*x^2)^9)/(18*b^6)) + (a^4*(a + b*x^2)^10)/(4*b^6) - (5*a^3*(a + b*x^2)^11)/(11*b^6) + (5*a^2*(a + b*x^2)^12)/(12*b^6) - (5*a*(a + b*x^2)^13)/(26*b^6) + (a + b*x^2)^14/(28*b^6), x, 3),
+(x^9*(a + b*x^2)^8, (a^4*(a + b*x^2)^9)/(18*b^5) - (a^3*(a + b*x^2)^10)/(5*b^5) + (3*a^2*(a + b*x^2)^11)/(11*b^5) - (a*(a + b*x^2)^12)/(6*b^5) + (a + b*x^2)^13/(26*b^5), x, 3),
+(x^7*(a + b*x^2)^8, -((a^3*(a + b*x^2)^9)/(18*b^4)) + (3*a^2*(a + b*x^2)^10)/(20*b^4) - (3*a*(a + b*x^2)^11)/(22*b^4) + (a + b*x^2)^12/(24*b^4), x, 3),
+(x^5*(a + b*x^2)^8, (a^2*(a + b*x^2)^9)/(18*b^3) - (a*(a + b*x^2)^10)/(10*b^3) + (a + b*x^2)^11/(22*b^3), x, 3),
+(x^3*(a + b*x^2)^8, -((a*(a + b*x^2)^9)/(18*b^2)) + (a + b*x^2)^10/(20*b^2), x, 3),
+(x^1*(a + b*x^2)^8, (a + b*x^2)^9/(18*b), x, 1),
+((a + b*x^2)^8/x^1, 4*a^7*b*x^2 + 7*a^6*b^2*x^4 + (28*a^5*b^3*x^6)/3 + (35*a^4*b^4*x^8)/4 + (28*a^3*b^5*x^10)/5 + (7*a^2*b^6*x^12)/3 + (4*a*b^7*x^14)/7 + (b^8*x^16)/16 + a^8*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^8/x^3, -a^8/(2*x^2) + 14*a^6*b^2*x^2 + 14*a^5*b^3*x^4 + (35*a^4*b^4*x^6)/3 + 7*a^3*b^5*x^8 + (14*a^2*b^6*x^10)/5 + (2*a*b^7*x^12)/3 + (b^8*x^14)/14 + 8*a^7*b*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^8/x^5, -a^8/(4*x^4) - (4*a^7*b)/x^2 + 28*a^5*b^3*x^2 + (35*a^4*b^4*x^4)/2 + (28*a^3*b^5*x^6)/3 + (7*a^2*b^6*x^8)/2 + (4*a*b^7*x^10)/5 + (b^8*x^12)/12 + 28*a^6*b^2*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^8/x^7, -a^8/(6*x^6) - (2*a^7*b)/x^4 - (14*a^6*b^2)/x^2 + 35*a^4*b^4*x^2 + 14*a^3*b^5*x^4 + (14*a^2*b^6*x^6)/3 + a*b^7*x^8 + (b^8*x^10)/10 + 56*a^5*b^3*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^8/x^9, -a^8/(8*x^8) - (4*a^7*b)/(3*x^6) - (7*a^6*b^2)/x^4 - (28*a^5*b^3)/x^2 + 28*a^3*b^5*x^2 + 7*a^2*b^6*x^4 + (4*a*b^7*x^6)/3 + (b^8*x^8)/8 + 70*a^4*b^4*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^8/x^11, -a^8/(10*x^10) - (a^7*b)/x^8 - (14*a^6*b^2)/(3*x^6) - (14*a^5*b^3)/x^4 - (35*a^4*b^4)/x^2 + 14*a^2*b^6*x^2 + 2*a*b^7*x^4 + (b^8*x^6)/6 + 56*a^3*b^5*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^8/x^13, -a^8/(12*x^12) - (4*a^7*b)/(5*x^10) - (7*a^6*b^2)/(2*x^8) - (28*a^5*b^3)/(3*x^6) - (35*a^4*b^4)/(2*x^4) - (28*a^3*b^5)/x^2 + 4*a*b^7*x^2 + (b^8*x^4)/4 + 28*a^2*b^6*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^8/x^15, -a^8/(14*x^14) - (2*a^7*b)/(3*x^12) - (14*a^6*b^2)/(5*x^10) - (7*a^5*b^3)/x^8 - (35*a^4*b^4)/(3*x^6) - (14*a^3*b^5)/x^4 - (14*a^2*b^6)/x^2 + (b^8*x^2)/2 + 8*a*b^7*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^8/x^17, -a^8/(16*x^16) - (4*a^7*b)/(7*x^14) - (7*a^6*b^2)/(3*x^12) - (28*a^5*b^3)/(5*x^10) - (35*a^4*b^4)/(4*x^8) - (28*a^3*b^5)/(3*x^6) - (7*a^2*b^6)/x^4 - (4*a*b^7)/x^2 + b^8*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^8/x^19, -(a + b*x^2)^9/(18*a*x^18), x, 1),
+((a + b*x^2)^8/x^21, -(a + b*x^2)^9/(20*a*x^20) + (b*(a + b*x^2)^9)/(180*a^2*x^18), x, 3),
+((a + b*x^2)^8/x^23, -(a + b*x^2)^9/(22*a*x^22) + (b*(a + b*x^2)^9)/(110*a^2*x^20) - (b^2*(a + b*x^2)^9)/(990*a^3*x^18), x, 4),
+((a + b*x^2)^8/x^25, -(a + b*x^2)^9/(24*a*x^24) + (b*(a + b*x^2)^9)/(88*a^2*x^22) - (b^2*(a + b*x^2)^9)/(440*a^3*x^20) + (b^3*(a + b*x^2)^9)/(3960*a^4*x^18), x, 5),
+((a + b*x^2)^8/x^27, -((a + b*x^2)^9/(26*a*x^26)) + (b*(a + b*x^2)^9)/(78*a^2*x^24) - (b^2*(a + b*x^2)^9)/(286*a^3*x^22) + (b^3*(a + b*x^2)^9)/(1430*a^4*x^20) - (b^4*(a + b*x^2)^9)/(12870*a^5*x^18), x, 6),
+((a + b*x^2)^8/x^29, -a^8/(28*x^28) - (4*a^7*b)/(13*x^26) - (7*a^6*b^2)/(6*x^24) - (28*a^5*b^3)/(11*x^22) - (7*a^4*b^4)/(2*x^20) - (28*a^3*b^5)/(9*x^18) - (7*a^2*b^6)/(4*x^16) - (4*a*b^7)/(7*x^14) - b^8/(12*x^12), x, 3),
+((a + b*x^2)^8/x^31, -a^8/(30*x^30) - (2*a^7*b)/(7*x^28) - (14*a^6*b^2)/(13*x^26) - (7*a^5*b^3)/(3*x^24) - (35*a^4*b^4)/(11*x^22) - (14*a^3*b^5)/(5*x^20) - (14*a^2*b^6)/(9*x^18) - (a*b^7)/(2*x^16) - b^8/(14*x^14), x, 3),
+((a + b*x^2)^8/x^33, -(a^8/(32*x^32)) - (4*a^7*b)/(15*x^30) - (a^6*b^2)/x^28 - (28*a^5*b^3)/(13*x^26) - (35*a^4*b^4)/(12*x^24) - (28*a^3*b^5)/(11*x^22) - (7*a^2*b^6)/(5*x^20) - (4*a*b^7)/(9*x^18) - b^8/(16*x^16), x, 3),
+
+(x^8*(a + b*x^2)^8, (a^8*x^9)/9 + (8*a^7*b*x^11)/11 + (28*a^6*b^2*x^13)/13 + (56*a^5*b^3*x^15)/15 + (70*a^4*b^4*x^17)/17 + (56*a^3*b^5*x^19)/19 + (4*a^2*b^6*x^21)/3 + (8*a*b^7*x^23)/23 + (b^8*x^25)/25, x, 2),
+(x^6*(a + b*x^2)^8, (a^8*x^7)/7 + (8*a^7*b*x^9)/9 + (28*a^6*b^2*x^11)/11 + (56*a^5*b^3*x^13)/13 + (14*a^4*b^4*x^15)/3 + (56*a^3*b^5*x^17)/17 + (28*a^2*b^6*x^19)/19 + (8*a*b^7*x^21)/21 + (b^8*x^23)/23, x, 2),
+(x^4*(a + b*x^2)^8, (a^8*x^5)/5 + (8*a^7*b*x^7)/7 + (28*a^6*b^2*x^9)/9 + (56*a^5*b^3*x^11)/11 + (70*a^4*b^4*x^13)/13 + (56*a^3*b^5*x^15)/15 + (28*a^2*b^6*x^17)/17 + (8*a*b^7*x^19)/19 + (b^8*x^21)/21, x, 2),
+(x^2*(a + b*x^2)^8, (a^8*x^3)/3 + (8*a^7*b*x^5)/5 + 4*a^6*b^2*x^7 + (56*a^5*b^3*x^9)/9 + (70*a^4*b^4*x^11)/11 + (56*a^3*b^5*x^13)/13 + (28*a^2*b^6*x^15)/15 + (8*a*b^7*x^17)/17 + (b^8*x^19)/19, x, 2),
+(x^0*(a + b*x^2)^8, a^8*x + (8*a^7*b*x^3)/3 + (28*a^6*b^2*x^5)/5 + 8*a^5*b^3*x^7 + (70*a^4*b^4*x^9)/9 + (56*a^3*b^5*x^11)/11 + (28*a^2*b^6*x^13)/13 + (8*a*b^7*x^15)/15 + (b^8*x^17)/17, x, 2),
+((a + b*x^2)^8/x^2, -(a^8/x) + 8*a^7*b*x + (28*a^6*b^2*x^3)/3 + (56*a^5*b^3*x^5)/5 + 10*a^4*b^4*x^7 + (56*a^3*b^5*x^9)/9 + (28*a^2*b^6*x^11)/11 + (8*a*b^7*x^13)/13 + (b^8*x^15)/15, x, 2),
+((a + b*x^2)^8/x^4, -a^8/(3*x^3) - (8*a^7*b)/x + 28*a^6*b^2*x + (56*a^5*b^3*x^3)/3 + 14*a^4*b^4*x^5 + 8*a^3*b^5*x^7 + (28*a^2*b^6*x^9)/9 + (8*a*b^7*x^11)/11 + (b^8*x^13)/13, x, 2),
+((a + b*x^2)^8/x^6, -a^8/(5*x^5) - (8*a^7*b)/(3*x^3) - (28*a^6*b^2)/x + 56*a^5*b^3*x + (70*a^4*b^4*x^3)/3 + (56*a^3*b^5*x^5)/5 + 4*a^2*b^6*x^7 + (8*a*b^7*x^9)/9 + (b^8*x^11)/11, x, 2),
+((a + b*x^2)^8/x^8, -a^8/(7*x^7) - (8*a^7*b)/(5*x^5) - (28*a^6*b^2)/(3*x^3) - (56*a^5*b^3)/x + 70*a^4*b^4*x + (56*a^3*b^5*x^3)/3 + (28*a^2*b^6*x^5)/5 + (8*a*b^7*x^7)/7 + (b^8*x^9)/9, x, 2),
+((a + b*x^2)^8/x^10, -a^8/(9*x^9) - (8*a^7*b)/(7*x^7) - (28*a^6*b^2)/(5*x^5) - (56*a^5*b^3)/(3*x^3) - (70*a^4*b^4)/x + 56*a^3*b^5*x + (28*a^2*b^6*x^3)/3 + (8*a*b^7*x^5)/5 + (b^8*x^7)/7, x, 2),
+((a + b*x^2)^8/x^12, -a^8/(11*x^11) - (8*a^7*b)/(9*x^9) - (4*a^6*b^2)/x^7 - (56*a^5*b^3)/(5*x^5) - (70*a^4*b^4)/(3*x^3) - (56*a^3*b^5)/x + 28*a^2*b^6*x + (8*a*b^7*x^3)/3 + (b^8*x^5)/5, x, 2),
+((a + b*x^2)^8/x^14, -a^8/(13*x^13) - (8*a^7*b)/(11*x^11) - (28*a^6*b^2)/(9*x^9) - (8*a^5*b^3)/x^7 - (14*a^4*b^4)/x^5 - (56*a^3*b^5)/(3*x^3) - (28*a^2*b^6)/x + 8*a*b^7*x + (b^8*x^3)/3, x, 2),
+((a + b*x^2)^8/x^16, -a^8/(15*x^15) - (8*a^7*b)/(13*x^13) - (28*a^6*b^2)/(11*x^11) - (56*a^5*b^3)/(9*x^9) - (10*a^4*b^4)/x^7 - (56*a^3*b^5)/(5*x^5) - (28*a^2*b^6)/(3*x^3) - (8*a*b^7)/x + b^8*x, x, 2),
+((a + b*x^2)^8/x^18, -a^8/(17*x^17) - (8*a^7*b)/(15*x^15) - (28*a^6*b^2)/(13*x^13) - (56*a^5*b^3)/(11*x^11) - (70*a^4*b^4)/(9*x^9) - (8*a^3*b^5)/x^7 - (28*a^2*b^6)/(5*x^5) - (8*a*b^7)/(3*x^3) - b^8/x, x, 2),
+((a + b*x^2)^8/x^20, -a^8/(19*x^19) - (8*a^7*b)/(17*x^17) - (28*a^6*b^2)/(15*x^15) - (56*a^5*b^3)/(13*x^13) - (70*a^4*b^4)/(11*x^11) - (56*a^3*b^5)/(9*x^9) - (4*a^2*b^6)/x^7 - (8*a*b^7)/(5*x^5) - b^8/(3*x^3), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^11/(a + b*x^2), (a^4*x^2)/(2*b^5) - (a^3*x^4)/(4*b^4) + (a^2*x^6)/(6*b^3) - (a*x^8)/(8*b^2) + x^10/(10*b) - (a^5*log(a + b*x^2))/(2*b^6), x, 3),
+(x^10/(a + b*x^2), (a^4*x)/b^5 - (a^3*x^3)/(3*b^4) + (a^2*x^5)/(5*b^3) - (a*x^7)/(7*b^2) + x^9/(9*b) - (a^(9//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(11//2), x, 3),
+(x^9/(a + b*x^2), -((a^3*x^2)/(2*b^4)) + (a^2*x^4)/(4*b^3) - (a*x^6)/(6*b^2) + x^8/(8*b) + (a^4*log(a + b*x^2))/(2*b^5), x, 3),
+(x^8/(a + b*x^2), -((a^3*x)/b^4) + (a^2*x^3)/(3*b^3) - (a*x^5)/(5*b^2) + x^7/(7*b) + (a^(7//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(9//2), x, 3),
+(x^7/(a + b*x^2), (a^2*x^2)/(2*b^3) - (a*x^4)/(4*b^2) + x^6/(6*b) - (a^3*log(a + b*x^2))/(2*b^4), x, 3),
+(x^6/(a + b*x^2), (a^2*x)/b^3 - (a*x^3)/(3*b^2) + x^5/(5*b) - (a^(5//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(7//2), x, 3),
+(x^5/(a + b*x^2), -((a*x^2)/(2*b^2)) + x^4/(4*b) + (a^2*log(a + b*x^2))/(2*b^3), x, 3),
+(x^4/(a + b*x^2), -((a*x)/b^2) + x^3/(3*b) + (a^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(5//2), x, 3),
+(x^3/(a + b*x^2), x^2/(2*b) - (a*log(a + b*x^2))/(2*b^2), x, 3),
+(x^2/(a + b*x^2), x/b - (sqrt(a)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(3//2), x, 2),
+(x^1/(a + b*x^2), log(a + b*x^2)/(2*b), x, 1),
+(x^0/(a + b*x^2), atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(sqrt(a)*sqrt(b)), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)), log(x)/a - log(a + b*x^2)/(2*a), x, 4),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)), -(1/(a*x)) - (sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)), -(1/(2*a*x^2)) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x^2))/(2*a^2), x, 3),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)), -(1/(3*a*x^3)) + b/(a^2*x) + (b^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 3),
+(1/(x^5*(a + b*x^2)), -(1/(4*a*x^4)) + b/(2*a^2*x^2) + (b^2*log(x))/a^3 - (b^2*log(a + b*x^2))/(2*a^3), x, 3),
+(1/(x^6*(a + b*x^2)), -(1/(5*a*x^5)) + b/(3*a^2*x^3) - b^2/(a^3*x) - (b^(5//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/a^(7//2), x, 4),
+(1/(x^7*(a + b*x^2)), -(1/(6*a*x^6)) + b/(4*a^2*x^4) - b^2/(2*a^3*x^2) - (b^3*log(x))/a^4 + (b^3*log(a + b*x^2))/(2*a^4), x, 3),
+(1/(x^8*(a + b*x^2)), -(1/(7*a*x^7)) + b/(5*a^2*x^5) - b^2/(3*a^3*x^3) + b^3/(a^4*x) + (b^(7//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/a^(9//2), x, 5),
+(1/(x^9*(a + b*x^2)), -(1/(8*a*x^8)) + b/(6*a^2*x^6) - b^2/(4*a^3*x^4) + b^3/(2*a^4*x^2) + (b^4*log(x))/a^5 - (b^4*log(a + b*x^2))/(2*a^5), x, 3),
+
+
+(x^13/(a + b*x^2)^2, (5*a^4*x^2)/(2*b^6) - (a^3*x^4)/b^5 + (a^2*x^6)/(2*b^4) - (a*x^8)/(4*b^3) + x^10/(10*b^2) - a^6/(2*b^7*(a + b*x^2)) - (3*a^5*log(a + b*x^2))/b^7, x, 3),
+(x^12/(a + b*x^2)^2, (11*a^4*x)/(2*b^6) - (11*a^3*x^3)/(6*b^5) + (11*a^2*x^5)/(10*b^4) - (11*a*x^7)/(14*b^3) + (11*x^9)/(18*b^2) - x^11/(2*b*(a + b*x^2)) - (11*a^(9//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(13//2)), x, 4),
+(x^11/(a + b*x^2)^2, -((2*a^3*x^2)/b^5) + (3*a^2*x^4)/(4*b^4) - (a*x^6)/(3*b^3) + x^8/(8*b^2) + a^5/(2*b^6*(a + b*x^2)) + (5*a^4*log(a + b*x^2))/(2*b^6), x, 3),
+(x^10/(a + b*x^2)^2, -((9*a^3*x)/(2*b^5)) + (3*a^2*x^3)/(2*b^4) - (9*a*x^5)/(10*b^3) + (9*x^7)/(14*b^2) - x^9/(2*b*(a + b*x^2)) + (9*a^(7//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(11//2)), x, 4),
+(x^9/(a + b*x^2)^2, (3*a^2*x^2)/(2*b^4) - (a*x^4)/(2*b^3) + x^6/(6*b^2) - a^4/(2*b^5*(a + b*x^2)) - (2*a^3*log(a + b*x^2))/b^5, x, 3),
+(x^8/(a + b*x^2)^2, (7*a^2*x)/(2*b^4) - (7*a*x^3)/(6*b^3) + (7*x^5)/(10*b^2) - x^7/(2*b*(a + b*x^2)) - (7*a^(5//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(9//2)), x, 4),
+(x^7/(a + b*x^2)^2, -((a*x^2)/b^3) + x^4/(4*b^2) + a^3/(2*b^4*(a + b*x^2)) + (3*a^2*log(a + b*x^2))/(2*b^4), x, 3),
+(x^6/(a + b*x^2)^2, -((5*a*x)/(2*b^3)) + (5*x^3)/(6*b^2) - x^5/(2*b*(a + b*x^2)) + (5*a^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(7//2)), x, 4),
+(x^5/(a + b*x^2)^2, x^2/(2*b^2) - a^2/(2*b^3*(a + b*x^2)) - (a*log(a + b*x^2))/b^3, x, 3),
+(x^4/(a + b*x^2)^2, (3*x)/(2*b^2) - x^3/(2*b*(a + b*x^2)) - (3*sqrt(a)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(5//2)), x, 3),
+(x^3/(a + b*x^2)^2, a/(2*b^2*(a + b*x^2)) + log(a + b*x^2)/(2*b^2), x, 3),
+(x^2/(a + b*x^2)^2, -x/(2*b*(a + b*x^2)) + atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(2*sqrt(a)*b^(3//2)), x, 2),
+(x^1/(a + b*x^2)^2, -1/(2*b*(a + b*x^2)), x, 1),
+(x^0/(a + b*x^2)^2, x/(2*a*(a + b*x^2)) + atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(2*a^(3//2)*sqrt(b)), x, 2),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)^2), 1/(2*a*(a + b*x^2)) + log(x)/a^2 - log(a + b*x^2)/(2*a^2), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^2), -(3/(2*a^2*x)) + 1/(2*a*x*(a + b*x^2)) - (3*sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)), x, 3),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)^2), -(1/(2*a^2*x^2)) - b/(2*a^2*(a + b*x^2)) - (2*b*log(x))/a^3 + (b*log(a + b*x^2))/a^3, x, 3),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^2), -(5/(6*a^2*x^3)) + (5*b)/(2*a^3*x) + 1/(2*a*x^3*(a + b*x^2)) + (5*b^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(7//2)), x, 4),
+(1/(x^5*(a + b*x^2)^2), -(1/(4*a^2*x^4)) + b/(a^3*x^2) + b^2/(2*a^3*(a + b*x^2)) + (3*b^2*log(x))/a^4 - (3*b^2*log(a + b*x^2))/(2*a^4), x, 3),
+(1/(x^6*(a + b*x^2)^2), -(7/(10*a^2*x^5)) + (7*b)/(6*a^3*x^3) - (7*b^2)/(2*a^4*x) + 1/(2*a*x^5*(a + b*x^2)) - (7*b^(5//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(9//2)), x, 5),
+(1/(x^7*(a + b*x^2)^2), -(1/(6*a^2*x^6)) + b/(2*a^3*x^4) - (3*b^2)/(2*a^4*x^2) - b^3/(2*a^4*(a + b*x^2)) - (4*b^3*log(x))/a^5 + (2*b^3*log(a + b*x^2))/a^5, x, 3),
+(1/(x^8*(a + b*x^2)^2), -(9/(14*a^2*x^7)) + (9*b)/(10*a^3*x^5) - (3*b^2)/(2*a^4*x^3) + (9*b^3)/(2*a^5*x) + 1/(2*a*x^7*(a + b*x^2)) + (9*b^(7//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(11//2)), x, 6),
+(1/(x^9*(a + b*x^2)^2), -(1/(8*a^2*x^8)) + b/(3*a^3*x^6) - (3*b^2)/(4*a^4*x^4) + (2*b^3)/(a^5*x^2) + b^4/(2*a^5*(a + b*x^2)) + (5*b^4*log(x))/a^6 - (5*b^4*log(a + b*x^2))/(2*a^6), x, 3),
+
+
+(x^15/(a + b*x^2)^3, (15*a^4*x^2)/(2*b^7) - (5*a^3*x^4)/(2*b^6) + (a^2*x^6)/b^5 - (3*a*x^8)/(8*b^4) + x^10/(10*b^3) + a^7/(4*b^8*(a + b*x^2)^2) - (7*a^6)/(2*b^8*(a + b*x^2)) - (21*a^5*log(a + b*x^2))/(2*b^8), x, 3),
+(x^13/(a + b*x^2)^3, -((5*a^3*x^2)/b^6) + (3*a^2*x^4)/(2*b^5) - (a*x^6)/(2*b^4) + x^8/(8*b^3) - a^6/(4*b^7*(a + b*x^2)^2) + (3*a^5)/(b^7*(a + b*x^2)) + (15*a^4*log(a + b*x^2))/(2*b^7), x, 3),
+(x^11/(a + b*x^2)^3, (3*a^2*x^2)/b^5 - (3*a*x^4)/(4*b^4) + x^6/(6*b^3) + a^5/(4*b^6*(a + b*x^2)^2) - (5*a^4)/(2*b^6*(a + b*x^2)) - (5*a^3*log(a + b*x^2))/b^6, x, 3),
+(x^9/(a + b*x^2)^3, -((3*a*x^2)/(2*b^4)) + x^4/(4*b^3) - a^4/(4*b^5*(a + b*x^2)^2) + (2*a^3)/(b^5*(a + b*x^2)) + (3*a^2*log(a + b*x^2))/b^5, x, 3),
+(x^7/(a + b*x^2)^3, x^2/(2*b^3) + a^3/(4*b^4*(a + b*x^2)^2) - (3*a^2)/(2*b^4*(a + b*x^2)) - (3*a*log(a + b*x^2))/(2*b^4), x, 3),
+(x^5/(a + b*x^2)^3, -(a^2/(4*b^3*(a + b*x^2)^2)) + a/(b^3*(a + b*x^2)) + log(a + b*x^2)/(2*b^3), x, 3),
+(x^3/(a + b*x^2)^3, x^4/(4*a*(a + b*x^2)^2), x, 1),
+(x^1/(a + b*x^2)^3, -(1/(4*b*(a + b*x^2)^2)), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)^3), 1/(4*a*(a + b*x^2)^2) + 1/(2*a^2*(a + b*x^2)) + log(x)/a^3 - log(a + b*x^2)/(2*a^3), x, 3),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)^3), -(1/(2*a^3*x^2)) - b/(4*a^2*(a + b*x^2)^2) - b/(a^3*(a + b*x^2)) - (3*b*log(x))/a^4 + (3*b*log(a + b*x^2))/(2*a^4), x, 3),
+(1/(x^5*(a + b*x^2)^3), -(1/(4*a^3*x^4)) + (3*b)/(2*a^4*x^2) + b^2/(4*a^3*(a + b*x^2)^2) + (3*b^2)/(2*a^4*(a + b*x^2)) + (6*b^2*log(x))/a^5 - (3*b^2*log(a + b*x^2))/a^5, x, 3),
+(1/(x^7*(a + b*x^2)^3), -(1/(6*a^3*x^6)) + (3*b)/(4*a^4*x^4) - (3*b^2)/(a^5*x^2) - b^3/(4*a^4*(a + b*x^2)^2) - (2*b^3)/(a^5*(a + b*x^2)) - (10*b^3*log(x))/a^6 + (5*b^3*log(a + b*x^2))/a^6, x, 3),
+(1/(x^9*(a + b*x^2)^3), -(1/(8*a^3*x^8)) + b/(2*a^4*x^6) - (3*b^2)/(2*a^5*x^4) + (5*b^3)/(a^6*x^2) + b^4/(4*a^5*(a + b*x^2)^2) + (5*b^4)/(2*a^6*(a + b*x^2)) + (15*b^4*log(x))/a^7 - (15*b^4*log(a + b*x^2))/(2*a^7), x, 3),
+
+(x^12/(a + b*x^2)^3, -((99*a^3*x)/(8*b^6)) + (33*a^2*x^3)/(8*b^5) - (99*a*x^5)/(40*b^4) + (99*x^7)/(56*b^3) - x^11/(4*b*(a + b*x^2)^2) - (11*x^9)/(8*b^2*(a + b*x^2)) + (99*a^(7//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*b^(13//2)), x, 5),
+(x^10/(a + b*x^2)^3, (63*a^2*x)/(8*b^5) - (21*a*x^3)/(8*b^4) + (63*x^5)/(40*b^3) - x^9/(4*b*(a + b*x^2)^2) - (9*x^7)/(8*b^2*(a + b*x^2)) - (63*a^(5//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*b^(11//2)), x, 5),
+(x^8/(a + b*x^2)^3, -((35*a*x)/(8*b^4)) + (35*x^3)/(24*b^3) - x^7/(4*b*(a + b*x^2)^2) - (7*x^5)/(8*b^2*(a + b*x^2)) + (35*a^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*b^(9//2)), x, 5),
+(x^6/(a + b*x^2)^3, (15*x)/(8*b^3) - x^5/(4*b*(a + b*x^2)^2) - (5*x^3)/(8*b^2*(a + b*x^2)) - (15*sqrt(a)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*b^(7//2)), x, 4),
+(x^4/(a + b*x^2)^3, -(x^3/(4*b*(a + b*x^2)^2)) - (3*x)/(8*b^2*(a + b*x^2)) + (3*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*sqrt(a)*b^(5//2)), x, 3),
+(x^2/(a + b*x^2)^3, -(x/(4*b*(a + b*x^2)^2)) + x/(8*a*b*(a + b*x^2)) + atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(8*a^(3//2)*b^(3//2)), x, 3),
+(x^0/(a + b*x^2)^3, x/(4*a*(a + b*x^2)^2) + (3*x)/(8*a^2*(a + b*x^2)) + (3*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*sqrt(b)), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^3), -(15/(8*a^3*x)) + 1/(4*a*x*(a + b*x^2)^2) + 5/(8*a^2*x*(a + b*x^2)) - (15*sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(7//2)), x, 4),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^3), -(35/(24*a^3*x^3)) + (35*b)/(8*a^4*x) + 1/(4*a*x^3*(a + b*x^2)^2) + 7/(8*a^2*x^3*(a + b*x^2)) + (35*b^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(9//2)), x, 5),
+(1/(x^6*(a + b*x^2)^3), -(63/(40*a^3*x^5)) + (21*b)/(8*a^4*x^3) - (63*b^2)/(8*a^5*x) + 1/(4*a*x^5*(a + b*x^2)^2) + 9/(8*a^2*x^5*(a + b*x^2)) - (63*b^(5//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(11//2)), x, 6),
+(1/(x^8*(a + b*x^2)^3), -(99/(56*a^3*x^7)) + (99*b)/(40*a^4*x^5) - (33*b^2)/(8*a^5*x^3) + (99*b^3)/(8*a^6*x) + 1/(4*a*x^7*(a + b*x^2)^2) + 11/(8*a^2*x^7*(a + b*x^2)) + (99*b^(7//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(13//2)), x, 7),
+
+
+(x^25/(a + b*x^2)^10, (55*a^2*x^2)/(2*b^12) - (5*a*x^4)/(2*b^11) + x^6/(6*b^10) - a^12/(18*b^13*(a + b*x^2)^9) + (3*a^11)/(4*b^13*(a + b*x^2)^8) - (33*a^10)/(7*b^13*(a + b*x^2)^7) + (55*a^9)/(3*b^13*(a + b*x^2)^6) - (99*a^8)/(2*b^13*(a + b*x^2)^5) + (99*a^7)/(b^13*(a + b*x^2)^4) - (154*a^6)/(b^13*(a + b*x^2)^3) + (198*a^5)/(b^13*(a + b*x^2)^2) - (495*a^4)/(2*b^13*(a + b*x^2)) - (110*a^3*log(a + b*x^2))/b^13, x, 3),
+(x^23/(a + b*x^2)^10, -((5*a*x^2)/b^11) + x^4/(4*b^10) + a^11/(18*b^12*(a + b*x^2)^9) - (11*a^10)/(16*b^12*(a + b*x^2)^8) + (55*a^9)/(14*b^12*(a + b*x^2)^7) - (55*a^8)/(4*b^12*(a + b*x^2)^6) + (33*a^7)/(b^12*(a + b*x^2)^5) - (231*a^6)/(4*b^12*(a + b*x^2)^4) + (77*a^5)/(b^12*(a + b*x^2)^3) - (165*a^4)/(2*b^12*(a + b*x^2)^2) + (165*a^3)/(2*b^12*(a + b*x^2)) + (55*a^2*log(a + b*x^2))/(2*b^12), x, 3),
+(x^21/(a + b*x^2)^10, x^2/(2*b^10) - a^10/(18*b^11*(a + b*x^2)^9) + (5*a^9)/(8*b^11*(a + b*x^2)^8) - (45*a^8)/(14*b^11*(a + b*x^2)^7) + (10*a^7)/(b^11*(a + b*x^2)^6) - (21*a^6)/(b^11*(a + b*x^2)^5) + (63*a^5)/(2*b^11*(a + b*x^2)^4) - (35*a^4)/(b^11*(a + b*x^2)^3) + (30*a^3)/(b^11*(a + b*x^2)^2) - (45*a^2)/(2*b^11*(a + b*x^2)) - (5*a*log(a + b*x^2))/b^11, x, 3),
+(x^19/(a + b*x^2)^10, a^9/(18*b^10*(a + b*x^2)^9) - (9*a^8)/(16*b^10*(a + b*x^2)^8) + (18*a^7)/(7*b^10*(a + b*x^2)^7) - (7*a^6)/(b^10*(a + b*x^2)^6) + (63*a^5)/(5*b^10*(a + b*x^2)^5) - (63*a^4)/(4*b^10*(a + b*x^2)^4) + (14*a^3)/(b^10*(a + b*x^2)^3) - (9*a^2)/(b^10*(a + b*x^2)^2) + (9*a)/(2*b^10*(a + b*x^2)) + log(a + b*x^2)/(2*b^10), x, 3),
+(x^17/(a + b*x^2)^10, x^18/(18*a*(a + b*x^2)^9), x, 1),
+(x^15/(a + b*x^2)^10, x^16/(18*a*(a + b*x^2)^9) + x^16/(144*a^2*(a + b*x^2)^8), x, 3),
+(x^13/(a + b*x^2)^10, x^14/(18*a*(a + b*x^2)^9) + x^14/(72*a^2*(a + b*x^2)^8) + x^14/(504*a^3*(a + b*x^2)^7), x, 4),
+(x^11/(a + b*x^2)^10, x^12/(18*a*(a + b*x^2)^9) + x^12/(48*a^2*(a + b*x^2)^8) + x^12/(168*a^3*(a + b*x^2)^7) + x^12/(1008*a^4*(a + b*x^2)^6), x, 5),
+(x^9/(a + b*x^2)^10, -(a^4/(18*b^5*(a + b*x^2)^9)) + a^3/(4*b^5*(a + b*x^2)^8) - (3*a^2)/(7*b^5*(a + b*x^2)^7) + a/(3*b^5*(a + b*x^2)^6) - 1/(10*b^5*(a + b*x^2)^5), x, 3),
+(x^7/(a + b*x^2)^10, a^3/(18*b^4*(a + b*x^2)^9) - (3*a^2)/(16*b^4*(a + b*x^2)^8) + (3*a)/(14*b^4*(a + b*x^2)^7) - 1/(12*b^4*(a + b*x^2)^6), x, 3),
+(x^5/(a + b*x^2)^10, -(a^2/(18*b^3*(a + b*x^2)^9)) + a/(8*b^3*(a + b*x^2)^8) - 1/(14*b^3*(a + b*x^2)^7), x, 3),
+(x^3/(a + b*x^2)^10, a/(18*b^2*(a + b*x^2)^9) - 1/(16*b^2*(a + b*x^2)^8), x, 3),
+(x^1/(a + b*x^2)^10, -(1/(18*b*(a + b*x^2)^9)), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)^10), 1/(18*a*(a + b*x^2)^9) + 1/(16*a^2*(a + b*x^2)^8) + 1/(14*a^3*(a + b*x^2)^7) + 1/(12*a^4*(a + b*x^2)^6) + 1/(10*a^5*(a + b*x^2)^5) + 1/(8*a^6*(a + b*x^2)^4) + 1/(6*a^7*(a + b*x^2)^3) + 1/(4*a^8*(a + b*x^2)^2) + 1/(2*a^9*(a + b*x^2)) + log(x)/a^10 - log(a + b*x^2)/(2*a^10), x, 3),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)^10), -(1/(2*a^10*x^2)) - b/(18*a^2*(a + b*x^2)^9) - b/(8*a^3*(a + b*x^2)^8) - (3*b)/(14*a^4*(a + b*x^2)^7) - b/(3*a^5*(a + b*x^2)^6) - b/(2*a^6*(a + b*x^2)^5) - (3*b)/(4*a^7*(a + b*x^2)^4) - (7*b)/(6*a^8*(a + b*x^2)^3) - (2*b)/(a^9*(a + b*x^2)^2) - (9*b)/(2*a^10*(a + b*x^2)) - (10*b*log(x))/a^11 + (5*b*log(a + b*x^2))/a^11, x, 3),
+(1/(x^5*(a + b*x^2)^10), -(1/(4*a^10*x^4)) + (5*b)/(a^11*x^2) + b^2/(18*a^3*(a + b*x^2)^9) + (3*b^2)/(16*a^4*(a + b*x^2)^8) + (3*b^2)/(7*a^5*(a + b*x^2)^7) + (5*b^2)/(6*a^6*(a + b*x^2)^6) + (3*b^2)/(2*a^7*(a + b*x^2)^5) + (21*b^2)/(8*a^8*(a + b*x^2)^4) + (14*b^2)/(3*a^9*(a + b*x^2)^3) + (9*b^2)/(a^10*(a + b*x^2)^2) + (45*b^2)/(2*a^11*(a + b*x^2)) + (55*b^2*log(x))/a^12 - (55*b^2*log(a + b*x^2))/(2*a^12), x, 3),
+(1/(x^7*(a + b*x^2)^10), -(1/(6*a^10*x^6)) + (5*b)/(2*a^11*x^4) - (55*b^2)/(2*a^12*x^2) - b^3/(18*a^4*(a + b*x^2)^9) - b^3/(4*a^5*(a + b*x^2)^8) - (5*b^3)/(7*a^6*(a + b*x^2)^7) - (5*b^3)/(3*a^7*(a + b*x^2)^6) - (7*b^3)/(2*a^8*(a + b*x^2)^5) - (7*b^3)/(a^9*(a + b*x^2)^4) - (14*b^3)/(a^10*(a + b*x^2)^3) - (30*b^3)/(a^11*(a + b*x^2)^2) - (165*b^3)/(2*a^12*(a + b*x^2)) - (220*b^3*log(x))/a^13 + (110*b^3*log(a + b*x^2))/a^13, x, 3),
+
+(x^24/(a + b*x^2)^10, (7436429*a^2*x)/(65536*b^12) - (7436429*a*x^3)/(196608*b^11) + (7436429*x^5)/(327680*b^10) - x^23/(18*b*(a + b*x^2)^9) - (23*x^21)/(288*b^2*(a + b*x^2)^8) - (23*x^19)/(192*b^3*(a + b*x^2)^7) - (437*x^17)/(2304*b^4*(a + b*x^2)^6) - (7429*x^15)/(23040*b^5*(a + b*x^2)^5) - (7429*x^13)/(12288*b^6*(a + b*x^2)^4) - (96577*x^11)/(73728*b^7*(a + b*x^2)^3) - (1062347*x^9)/(294912*b^8*(a + b*x^2)^2) - (1062347*x^7)/(65536*b^9*(a + b*x^2)) - (7436429*a^(5//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(65536*b^(25//2)), x, 12),
+(x^22/(a + b*x^2)^10, -((1616615*a*x)/(65536*b^11)) + (1616615*x^3)/(196608*b^10) - x^21/(18*b*(a + b*x^2)^9) - (7*x^19)/(96*b^2*(a + b*x^2)^8) - (19*x^17)/(192*b^3*(a + b*x^2)^7) - (323*x^15)/(2304*b^4*(a + b*x^2)^6) - (323*x^13)/(1536*b^5*(a + b*x^2)^5) - (4199*x^11)/(12288*b^6*(a + b*x^2)^4) - (46189*x^9)/(73728*b^7*(a + b*x^2)^3) - (46189*x^7)/(32768*b^8*(a + b*x^2)^2) - (323323*x^5)/(65536*b^9*(a + b*x^2)) + (1616615*a^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(65536*b^(23//2)), x, 12),
+(x^20/(a + b*x^2)^10, (230945*x)/(65536*b^10) - x^19/(18*b*(a + b*x^2)^9) - (19*x^17)/(288*b^2*(a + b*x^2)^8) - (323*x^15)/(4032*b^3*(a + b*x^2)^7) - (1615*x^13)/(16128*b^4*(a + b*x^2)^6) - (4199*x^11)/(32256*b^5*(a + b*x^2)^5) - (46189*x^9)/(258048*b^6*(a + b*x^2)^4) - (46189*x^7)/(172032*b^7*(a + b*x^2)^3) - (46189*x^5)/(98304*b^8*(a + b*x^2)^2) - (230945*x^3)/(196608*b^9*(a + b*x^2)) - (230945*sqrt(a)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(65536*b^(21//2)), x, 11),
+(x^18/(a + b*x^2)^10, -(x^17/(18*b*(a + b*x^2)^9)) - (17*x^15)/(288*b^2*(a + b*x^2)^8) - (85*x^13)/(1344*b^3*(a + b*x^2)^7) - (1105*x^11)/(16128*b^4*(a + b*x^2)^6) - (2431*x^9)/(32256*b^5*(a + b*x^2)^5) - (2431*x^7)/(28672*b^6*(a + b*x^2)^4) - (2431*x^5)/(24576*b^7*(a + b*x^2)^3) - (12155*x^3)/(98304*b^8*(a + b*x^2)^2) - (12155*x)/(65536*b^9*(a + b*x^2)) + (12155*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(65536*sqrt(a)*b^(19//2)), x, 10),
+(x^16/(a + b*x^2)^10, -(x^15/(18*b*(a + b*x^2)^9)) - (5*x^13)/(96*b^2*(a + b*x^2)^8) - (65*x^11)/(1344*b^3*(a + b*x^2)^7) - (715*x^9)/(16128*b^4*(a + b*x^2)^6) - (143*x^7)/(3584*b^5*(a + b*x^2)^5) - (143*x^5)/(4096*b^6*(a + b*x^2)^4) - (715*x^3)/(24576*b^7*(a + b*x^2)^3) - (715*x)/(32768*b^8*(a + b*x^2)^2) + (715*x)/(65536*a*b^8*(a + b*x^2)) + (715*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(65536*a^(3//2)*b^(17//2)), x, 10),
+(x^14/(a + b*x^2)^10, -(x^13/(18*b*(a + b*x^2)^9)) - (13*x^11)/(288*b^2*(a + b*x^2)^8) - (143*x^9)/(4032*b^3*(a + b*x^2)^7) - (143*x^7)/(5376*b^4*(a + b*x^2)^6) - (143*x^5)/(7680*b^5*(a + b*x^2)^5) - (143*x^3)/(12288*b^6*(a + b*x^2)^4) - (143*x)/(24576*b^7*(a + b*x^2)^3) + (143*x)/(98304*a*b^7*(a + b*x^2)^2) + (143*x)/(65536*a^2*b^7*(a + b*x^2)) + (143*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(65536*a^(5//2)*b^(15//2)), x, 10),
+(x^12/(a + b*x^2)^10, -(x^11/(18*b*(a + b*x^2)^9)) - (11*x^9)/(288*b^2*(a + b*x^2)^8) - (11*x^7)/(448*b^3*(a + b*x^2)^7) - (11*x^5)/(768*b^4*(a + b*x^2)^6) - (11*x^3)/(1536*b^5*(a + b*x^2)^5) - (11*x)/(4096*b^6*(a + b*x^2)^4) + (11*x)/(24576*a*b^6*(a + b*x^2)^3) + (55*x)/(98304*a^2*b^6*(a + b*x^2)^2) + (55*x)/(65536*a^3*b^6*(a + b*x^2)) + (55*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(65536*a^(7//2)*b^(13//2)), x, 10),
+(x^10/(a + b*x^2)^10, -(x^9/(18*b*(a + b*x^2)^9)) - x^7/(32*b^2*(a + b*x^2)^8) - x^5/(64*b^3*(a + b*x^2)^7) - (5*x^3)/(768*b^4*(a + b*x^2)^6) - x/(512*b^5*(a + b*x^2)^5) + x/(4096*a*b^5*(a + b*x^2)^4) + (7*x)/(24576*a^2*b^5*(a + b*x^2)^3) + (35*x)/(98304*a^3*b^5*(a + b*x^2)^2) + (35*x)/(65536*a^4*b^5*(a + b*x^2)) + (35*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(65536*a^(9//2)*b^(11//2)), x, 10),
+(x^8/(a + b*x^2)^10, -(x^7/(18*b*(a + b*x^2)^9)) - (7*x^5)/(288*b^2*(a + b*x^2)^8) - (5*x^3)/(576*b^3*(a + b*x^2)^7) - (5*x)/(2304*b^4*(a + b*x^2)^6) + x/(4608*a*b^4*(a + b*x^2)^5) + x/(4096*a^2*b^4*(a + b*x^2)^4) + (7*x)/(24576*a^3*b^4*(a + b*x^2)^3) + (35*x)/(98304*a^4*b^4*(a + b*x^2)^2) + (35*x)/(65536*a^5*b^4*(a + b*x^2)) + (35*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(65536*a^(11//2)*b^(9//2)), x, 10),
+(x^6/(a + b*x^2)^10, -(x^5/(18*b*(a + b*x^2)^9)) - (5*x^3)/(288*b^2*(a + b*x^2)^8) - (5*x)/(1344*b^3*(a + b*x^2)^7) + (5*x)/(16128*a*b^3*(a + b*x^2)^6) + (11*x)/(32256*a^2*b^3*(a + b*x^2)^5) + (11*x)/(28672*a^3*b^3*(a + b*x^2)^4) + (11*x)/(24576*a^4*b^3*(a + b*x^2)^3) + (55*x)/(98304*a^5*b^3*(a + b*x^2)^2) + (55*x)/(65536*a^6*b^3*(a + b*x^2)) + (55*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(65536*a^(13//2)*b^(7//2)), x, 10),
+(x^4/(a + b*x^2)^10, -(x^3/(18*b*(a + b*x^2)^9)) - x/(96*b^2*(a + b*x^2)^8) + x/(1344*a*b^2*(a + b*x^2)^7) + (13*x)/(16128*a^2*b^2*(a + b*x^2)^6) + (143*x)/(161280*a^3*b^2*(a + b*x^2)^5) + (143*x)/(143360*a^4*b^2*(a + b*x^2)^4) + (143*x)/(122880*a^5*b^2*(a + b*x^2)^3) + (143*x)/(98304*a^6*b^2*(a + b*x^2)^2) + (143*x)/(65536*a^7*b^2*(a + b*x^2)) + (143*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(65536*a^(15//2)*b^(5//2)), x, 10),
+(x^2/(a + b*x^2)^10, -(x/(18*b*(a + b*x^2)^9)) + x/(288*a*b*(a + b*x^2)^8) + (5*x)/(1344*a^2*b*(a + b*x^2)^7) + (65*x)/(16128*a^3*b*(a + b*x^2)^6) + (143*x)/(32256*a^4*b*(a + b*x^2)^5) + (143*x)/(28672*a^5*b*(a + b*x^2)^4) + (143*x)/(24576*a^6*b*(a + b*x^2)^3) + (715*x)/(98304*a^7*b*(a + b*x^2)^2) + (715*x)/(65536*a^8*b*(a + b*x^2)) + (715*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(65536*a^(17//2)*b^(3//2)), x, 10),
+(x^0/(a + b*x^2)^10, x/(18*a*(a + b*x^2)^9) + (17*x)/(288*a^2*(a + b*x^2)^8) + (85*x)/(1344*a^3*(a + b*x^2)^7) + (1105*x)/(16128*a^4*(a + b*x^2)^6) + (2431*x)/(32256*a^5*(a + b*x^2)^5) + (2431*x)/(28672*a^6*(a + b*x^2)^4) + (2431*x)/(24576*a^7*(a + b*x^2)^3) + (12155*x)/(98304*a^8*(a + b*x^2)^2) + (12155*x)/(65536*a^9*(a + b*x^2)) + (12155*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(65536*a^(19//2)*sqrt(b)), x, 10),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^10), -(230945/(65536*a^10*x)) + 1/(18*a*x*(a + b*x^2)^9) + 19/(288*a^2*x*(a + b*x^2)^8) + 323/(4032*a^3*x*(a + b*x^2)^7) + 1615/(16128*a^4*x*(a + b*x^2)^6) + 4199/(32256*a^5*x*(a + b*x^2)^5) + 46189/(258048*a^6*x*(a + b*x^2)^4) + 46189/(172032*a^7*x*(a + b*x^2)^3) + 46189/(98304*a^8*x*(a + b*x^2)^2) + 230945/(196608*a^9*x*(a + b*x^2)) - (230945*sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(65536*a^(21//2)), x, 11),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^10), -(1616615/(196608*a^10*x^3)) + (1616615*b)/(65536*a^11*x) + 1/(18*a*x^3*(a + b*x^2)^9) + 7/(96*a^2*x^3*(a + b*x^2)^8) + 19/(192*a^3*x^3*(a + b*x^2)^7) + 323/(2304*a^4*x^3*(a + b*x^2)^6) + 323/(1536*a^5*x^3*(a + b*x^2)^5) + 4199/(12288*a^6*x^3*(a + b*x^2)^4) + 46189/(73728*a^7*x^3*(a + b*x^2)^3) + 46189/(32768*a^8*x^3*(a + b*x^2)^2) + 323323/(65536*a^9*x^3*(a + b*x^2)) + (1616615*b^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(65536*a^(23//2)), x, 12),
+(1/(x^6*(a + b*x^2)^10), -(7436429/(327680*a^10*x^5)) + (7436429*b)/(196608*a^11*x^3) - (7436429*b^2)/(65536*a^12*x) + 1/(18*a*x^5*(a + b*x^2)^9) + 23/(288*a^2*x^5*(a + b*x^2)^8) + 23/(192*a^3*x^5*(a + b*x^2)^7) + 437/(2304*a^4*x^5*(a + b*x^2)^6) + 7429/(23040*a^5*x^5*(a + b*x^2)^5) + 7429/(12288*a^6*x^5*(a + b*x^2)^4) + 96577/(73728*a^7*x^5*(a + b*x^2)^3) + 1062347/(294912*a^8*x^5*(a + b*x^2)^2) + 1062347/(65536*a^9*x^5*(a + b*x^2)) - (7436429*b^(5//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(65536*a^(25//2)), x, 13),
+
+
+(x^3/(a - b*x^2), -(x^2/(2*b)) - (a*log(a - b*x^2))/(2*b^2), x, 3),
+(x^2/(a - b*x^2), -(x/b) + (sqrt(a)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(3//2), x, 2),
+(x/(a - b*x^2), -log(a - b*x^2)/(2*b), x, 1),
+(1/(a - b*x^2), atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(sqrt(a)*sqrt(b)), x, 1),
+(1/(x*(a - b*x^2)), log(x)/a - log(a - b*x^2)/(2*a), x, 4),
+(1/(x^2*(a - b*x^2)), -(1/(a*x)) + (sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 2),
+(1/(x^3*(a - b*x^2)), -(1/(2*a*x^2)) + (b*log(x))/a^2 - (b*log(a - b*x^2))/(2*a^2), x, 3),
+
+
+(x^3/(a - b*x^2)^2, a/(2*b^2*(a - b*x^2)) + log(a - b*x^2)/(2*b^2), x, 3),
+(x^2/(a - b*x^2)^2, x/(2*b*(a - b*x^2)) - atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(2*sqrt(a)*b^(3//2)), x, 2),
+(x/(a - b*x^2)^2, 1/(2*b*(a - b*x^2)), x, 1),
+(1/(a - b*x^2)^2, x/(2*a*(a - b*x^2)) + atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(2*a^(3//2)*sqrt(b)), x, 2),
+(1/(x*(a - b*x^2)^2), 1/(2*a*(a - b*x^2)) + log(x)/a^2 - log(a - b*x^2)/(2*a^2), x, 3),
+(1/(x^2*(a - b*x^2)^2), -(3/(2*a^2*x)) + 1/(2*a*x*(a - b*x^2)) + (3*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)), x, 3),
+(1/(x^3*(a - b*x^2)^2), -(1/(2*a^2*x^2)) + b/(2*a^2*(a - b*x^2)) + (2*b*log(x))/a^3 - (b*log(a - b*x^2))/a^3, x, 3),
+
+
+(x^3/(a - b*x^2)^3, x^4/(4*a*(a - b*x^2)^2), x, 1),
+(x^2/(a - b*x^2)^3, x/(4*b*(a - b*x^2)^2) - x/(8*a*b*(a - b*x^2)) - atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(8*a^(3//2)*b^(3//2)), x, 3),
+(x/(a - b*x^2)^3, 1/(4*b*(a - b*x^2)^2), x, 1),
+(1/(a - b*x^2)^3, x/(4*a*(a - b*x^2)^2) + (3*x)/(8*a^2*(a - b*x^2)) + (3*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*sqrt(b)), x, 3),
+(1/(x*(a - b*x^2)^3), 1/(4*a*(a - b*x^2)^2) + 1/(2*a^2*(a - b*x^2)) + log(x)/a^3 - log(a - b*x^2)/(2*a^3), x, 3),
+(1/(x^2*(a - b*x^2)^3), -(15/(8*a^3*x)) + 1/(4*a*x*(a - b*x^2)^2) + 5/(8*a^2*x*(a - b*x^2)) + (15*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(7//2)), x, 4),
+(1/(x^3*(a - b*x^2)^3), -(1/(2*a^3*x^2)) + b/(4*a^2*(a - b*x^2)^2) + b/(a^3*(a - b*x^2)) + (3*b*log(x))/a^4 - (3*b*log(a - b*x^2))/(2*a^4), x, 3),
+
+
+(x^3/(a - b*x^2)^5, a/(8*b^2*(a - b*x^2)^4) - 1/(6*b^2*(a - b*x^2)^3), x, 3),
+(x^2/(a - b*x^2)^5, x/(8*b*(a - b*x^2)^4) - x/(48*a*b*(a - b*x^2)^3) - (5*x)/(192*a^2*b*(a - b*x^2)^2) - (5*x)/(128*a^3*b*(a - b*x^2)) - (5*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(128*a^(7//2)*b^(3//2)), x, 5),
+(x/(a - b*x^2)^5, 1/(8*b*(a - b*x^2)^4), x, 1),
+(1/(a - b*x^2)^5, x/(8*a*(a - b*x^2)^4) + (7*x)/(48*a^2*(a - b*x^2)^3) + (35*x)/(192*a^3*(a - b*x^2)^2) + (35*x)/(128*a^4*(a - b*x^2)) + (35*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(128*a^(9//2)*sqrt(b)), x, 5),
+(1/(x*(a - b*x^2)^5), 1/(8*a*(a - b*x^2)^4) + 1/(6*a^2*(a - b*x^2)^3) + 1/(4*a^3*(a - b*x^2)^2) + 1/(2*a^4*(a - b*x^2)) + log(x)/a^5 - log(a - b*x^2)/(2*a^5), x, 3),
+(1/(x^2*(a - b*x^2)^5), -(315/(128*a^5*x)) + 1/(8*a*x*(a - b*x^2)^4) + 3/(16*a^2*x*(a - b*x^2)^3) + 21/(64*a^3*x*(a - b*x^2)^2) + 105/(128*a^4*x*(a - b*x^2)) + (315*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(128*a^(11//2)), x, 6),
+(1/(x^3*(a - b*x^2)^5), -(1/(2*a^5*x^2)) + b/(8*a^2*(a - b*x^2)^4) + b/(3*a^3*(a - b*x^2)^3) + (3*b)/(4*a^4*(a - b*x^2)^2) + (2*b)/(a^5*(a - b*x^2)) + (5*b*log(x))/a^6 - (5*b*log(a - b*x^2))/(2*a^6), x, 3),
+
+
+(1/(x*(1 + b*x^2)), log(x) - (1//2)*log(1 + b*x^2), x, 4),
+(1/(x*(-1 + b*x^2)), -log(x) + (1//2)*log(1 - b*x^2), x, 4),
+(1/(x^3*(1 + b*x^2)), -(1/(2*x^2)) - b*log(x) + (1//2)*b*log(1 + b*x^2), x, 3),
+(1/(x^3*(-1 + b*x^2)), 1/(2*x^2) - b*log(x) + (1//2)*b*log(1 - b*x^2), x, 3),
+
+# Formerly failed because both PosQ[(1-a)/a] and PosQ[-(1-a)/a] returned False.
+(1/(-1 + a + a*x^2), -(atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(1 - a))/sqrt((1 - a)*a)), x, 1),
+
+(1/(-c - d + (c - d)*x^2), -(atanh((sqrt(c - d)*x)/sqrt(c + d))/(sqrt(c - d)*sqrt(c + d))), x, 1),
+
+
+(1/(x*(1 + b*x^2)^2), 1/(2*(1 + b*x^2)) + log(x) - (1//2)*log(1 + b*x^2), x, 3),
+(1/(x*(-1 + b*x^2)^2), 1/(2*(1 - b*x^2)) + log(x) - (1//2)*log(1 - b*x^2), x, 3),
+
+
+# Checks to ensure PosQ[a/(b-a*c)] returns True.
+(1/(a + (b - a*c)*x^2), atan((sqrt(b - a*c)*x)/sqrt(a))/(sqrt(a)*sqrt(b - a*c)), x, 1),
+(1/(a - (b - a*c)*x^2), atanh((sqrt(b - a*c)*x)/sqrt(a))/(sqrt(a)*sqrt(b - a*c)), x, 1),
+
+
+# Checks to ensure Rt[-c*(a-d)/(-b+c),2] returns Sqrt[c]*Sqrt[a-d]/Sqrt[b-c].
+(1/(c*(a - d) - (b - c)*x^2), atanh((sqrt(b - c)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a - d)))/(sqrt(c)*sqrt(b - c)*sqrt(a - d)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^(m/2) (a+b x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(7//2)*(a + b*x^2), (2*a*x^(9//2))/9 + (2*b*x^(13//2))/13, x, 2),
+(x^(5//2)*(a + b*x^2), (2*a*x^(7//2))/7 + (2*b*x^(11//2))/11, x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x^2), (2*a*x^(5//2))/5 + (2*b*x^(9//2))/9, x, 2),
+(sqrt(x)*(a + b*x^2), (2*a*x^(3//2))/3 + (2*b*x^(7//2))/7, x, 2),
+((a + b*x^2)/sqrt(x), 2*a*sqrt(x) + (2*b*x^(5//2))/5, x, 2),
+((a + b*x^2)/x^(3//2), (-2*a)/sqrt(x) + (2*b*x^(3//2))/3, x, 2),
+((a + b*x^2)/x^(5//2), (-2*a)/(3*x^(3//2)) + 2*b*sqrt(x), x, 2),
+((a + b*x^2)/x^(7//2), (-2*a)/(5*x^(5//2)) - (2*b)/sqrt(x), x, 2),
+
+
+(x^(7//2)*(a + b*x^2)^2, (2*a^2*x^(9//2))/9 + (4*a*b*x^(13//2))/13 + (2*b^2*x^(17//2))/17, x, 2),
+(x^(5//2)*(a + b*x^2)^2, (2*a^2*x^(7//2))/7 + (4*a*b*x^(11//2))/11 + (2*b^2*x^(15//2))/15, x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x^2)^2, (2*a^2*x^(5//2))/5 + (4*a*b*x^(9//2))/9 + (2*b^2*x^(13//2))/13, x, 2),
+(sqrt(x)*(a + b*x^2)^2, (2*a^2*x^(3//2))/3 + (4*a*b*x^(7//2))/7 + (2*b^2*x^(11//2))/11, x, 2),
+((a + b*x^2)^2/sqrt(x), 2*a^2*sqrt(x) + (4*a*b*x^(5//2))/5 + (2*b^2*x^(9//2))/9, x, 2),
+((a + b*x^2)^2/x^(3//2), (-2*a^2)/sqrt(x) + (4*a*b*x^(3//2))/3 + (2*b^2*x^(7//2))/7, x, 2),
+((a + b*x^2)^2/x^(5//2), (-2*a^2)/(3*x^(3//2)) + 4*a*b*sqrt(x) + (2*b^2*x^(5//2))/5, x, 2),
+((a + b*x^2)^2/x^(7//2), (-2*a^2)/(5*x^(5//2)) - (4*a*b)/sqrt(x) + (2*b^2*x^(3//2))/3, x, 2),
+
+
+(x^(7//2)*(a + b*x^2)^3, (2*a^3*x^(9//2))/9 + (6*a^2*b*x^(13//2))/13 + (6*a*b^2*x^(17//2))/17 + (2*b^3*x^(21//2))/21, x, 2),
+(x^(5//2)*(a + b*x^2)^3, (2*a^3*x^(7//2))/7 + (6*a^2*b*x^(11//2))/11 + (2*a*b^2*x^(15//2))/5 + (2*b^3*x^(19//2))/19, x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x^2)^3, (2*a^3*x^(5//2))/5 + (2*a^2*b*x^(9//2))/3 + (6*a*b^2*x^(13//2))/13 + (2*b^3*x^(17//2))/17, x, 2),
+(sqrt(x)*(a + b*x^2)^3, (2*a^3*x^(3//2))/3 + (6*a^2*b*x^(7//2))/7 + (6*a*b^2*x^(11//2))/11 + (2*b^3*x^(15//2))/15, x, 2),
+((a + b*x^2)^3/sqrt(x), 2*a^3*sqrt(x) + (6*a^2*b*x^(5//2))/5 + (2*a*b^2*x^(9//2))/3 + (2*b^3*x^(13//2))/13, x, 2),
+((a + b*x^2)^3/x^(3//2), (-2*a^3)/sqrt(x) + 2*a^2*b*x^(3//2) + (6*a*b^2*x^(7//2))/7 + (2*b^3*x^(11//2))/11, x, 2),
+((a + b*x^2)^3/x^(5//2), (-2*a^3)/(3*x^(3//2)) + 6*a^2*b*sqrt(x) + (6*a*b^2*x^(5//2))/5 + (2*b^3*x^(9//2))/9, x, 2),
+((a + b*x^2)^3/x^(7//2), (-2*a^3)/(5*x^(5//2)) - (6*a^2*b)/sqrt(x) + 2*a*b^2*x^(3//2) + (2*b^3*x^(7//2))/7, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^(7//2)/(a + b*x^2), -((2*a*sqrt(x))/b^2) + (2*x^(5//2))/(5*b) - (a^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(9//4)) + (a^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(9//4)) - (a^(5//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(9//4)) + (a^(5//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(9//4)), x, 12),
+(x^(5//2)/(a + b*x^2), (2*x^(3//2))/(3*b) + (a^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(7//4)) - (a^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(7//4)) - (a^(3//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(7//4)) + (a^(3//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(7//4)), x, 11),
+(x^(3//2)/(a + b*x^2), (2*sqrt(x))/b + (a^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(5//4)) - (a^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(5//4)) + (a^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(5//4)) - (a^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(5//4)), x, 11),
+(sqrt(x)/(a + b*x^2), -(atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4))/(sqrt(2)*a^(1//4)*b^(3//4))) + atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4))/(sqrt(2)*a^(1//4)*b^(3//4)) + log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x)/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(3//4)) - log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x)/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(3//4)), x, 10),
+(1/(sqrt(x)*(a + b*x^2)), -(atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4))/(sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4))) + atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4))/(sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)) - log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x)/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)) + log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x)/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)), x, 10),
+(1/(x^(3//2)*(a + b*x^2)), -(2/(a*sqrt(x))) + (b^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(5//4)) - (b^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(5//4)) - (b^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)) + (b^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)), x, 11),
+(1/(x^(5//2)*(a + b*x^2)), -(2/(3*a*x^(3//2))) + (b^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(7//4)) - (b^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(7//4)) + (b^(3//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)) - (b^(3//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)), x, 11),
+(1/(x^(7//2)*(a + b*x^2)), -(2/(5*a*x^(5//2))) + (2*b)/(a^2*sqrt(x)) - (b^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(9//4)) + (b^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(9//4)) + (b^(5//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)) - (b^(5//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)), x, 12),
+
+
+(x^(7//2)/(a + b*x^2)^2, (5*sqrt(x))/(2*b^2) - x^(5//2)/(2*b*(a + b*x^2)) + (5*a^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(9//4)) - (5*a^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(9//4)) + (5*a^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*b^(9//4)) - (5*a^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*b^(9//4)), x, 12),
+(x^(5//2)/(a + b*x^2)^2, -(x^(3//2)/(2*b*(a + b*x^2))) - (3*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(7//4)) + (3*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(7//4)) + (3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(7//4)) - (3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(7//4)), x, 11),
+(x^(3//2)/(a + b*x^2)^2, -(sqrt(x)/(2*b*(a + b*x^2))) - atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) + atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) - log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x)/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) + log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x)/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)), x, 11),
+(sqrt(x)/(a + b*x^2)^2, x^(3//2)/(2*a*(a + b*x^2)) - atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(3//4)) + atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(3//4)) + log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x)/(8*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(3//4)) - log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x)/(8*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(3//4)), x, 11),
+(1/(sqrt(x)*(a + b*x^2)^2), sqrt(x)/(2*a*(a + b*x^2)) - (3*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(1//4)) + (3*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(1//4)) - (3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(1//4)) + (3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(1//4)), x, 11),
+(1/(x^(3//2)*(a + b*x^2)^2), -(5/(2*a^2*sqrt(x))) + 1/(2*a*sqrt(x)*(a + b*x^2)) + (5*b^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(9//4)) - (5*b^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(9//4)) - (5*b^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(9//4)) + (5*b^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(9//4)), x, 12),
+(1/(x^(5//2)*(a + b*x^2)^2), -(7/(6*a^2*x^(3//2))) + 1/(2*a*x^(3//2)*(a + b*x^2)) + (7*b^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(11//4)) - (7*b^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(11//4)) + (7*b^(3//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(11//4)) - (7*b^(3//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(11//4)), x, 12),
+(1/(x^(7//2)*(a + b*x^2)^2), -(9/(10*a^2*x^(5//2))) + (9*b)/(2*a^3*sqrt(x)) + 1/(2*a*x^(5//2)*(a + b*x^2)) - (9*b^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(13//4)) + (9*b^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(13//4)) + (9*b^(5//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(13//4)) - (9*b^(5//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(13//4)), x, 13),
+
+
+(x^(7//2)/(a + b*x^2)^3, -(x^(5//2)/(4*b*(a + b*x^2)^2)) - (5*sqrt(x))/(16*b^2*(a + b*x^2)) - (5*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(9//4)) + (5*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(9//4)) - (5*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(9//4)) + (5*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(9//4)), x, 12),
+(x^(5//2)/(a + b*x^2)^3, -(x^(3//2)/(4*b*(a + b*x^2)^2)) + (3*x^(3//2))/(16*a*b*(a + b*x^2)) - (3*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(7//4)) + (3*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(7//4)) + (3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(7//4)) - (3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(7//4)), x, 12),
+(x^(3//2)/(a + b*x^2)^3, -(sqrt(x)/(4*b*(a + b*x^2)^2)) + sqrt(x)/(16*a*b*(a + b*x^2)) - (3*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)) + (3*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)) - (3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)) + (3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)), x, 12),
+(sqrt(x)/(a + b*x^2)^3, x^(3//2)/(4*a*(a + b*x^2)^2) + (5*x^(3//2))/(16*a^2*(a + b*x^2)) - (5*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(3//4)) + (5*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(3//4)) + (5*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(3//4)) - (5*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(3//4)), x, 12),
+(1/(sqrt(x)*(a + b*x^2)^3), sqrt(x)/(4*a*(a + b*x^2)^2) + (7*sqrt(x))/(16*a^2*(a + b*x^2)) - (21*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(1//4)) + (21*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(1//4)) - (21*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(1//4)) + (21*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(1//4)), x, 12),
+(1/(x^(3//2)*(a + b*x^2)^3), -(45/(16*a^3*sqrt(x))) + 1/(4*a*sqrt(x)*(a + b*x^2)^2) + 9/(16*a^2*sqrt(x)*(a + b*x^2)) + (45*b^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(13//4)) - (45*b^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(13//4)) - (45*b^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(13//4)) + (45*b^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(13//4)), x, 13),
+(1/(x^(5//2)*(a + b*x^2)^3), -(77/(48*a^3*x^(3//2))) + 1/(4*a*x^(3//2)*(a + b*x^2)^2) + 11/(16*a^2*x^(3//2)*(a + b*x^2)) + (77*b^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(15//4)) - (77*b^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(15//4)) + (77*b^(3//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(15//4)) - (77*b^(3//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(15//4)), x, 13),
+(1/(x^(7//2)*(a + b*x^2)^3), -(117/(80*a^3*x^(5//2))) + (117*b)/(16*a^4*sqrt(x)) + 1/(4*a*x^(5//2)*(a + b*x^2)^2) + 13/(16*a^2*x^(5//2)*(a + b*x^2)) - (117*b^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(17//4)) + (117*b^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(17//4)) + (117*b^(5//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(17//4)) - (117*b^(5//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(17//4)), x, 14),
+
+
+(sqrt(x)/(a - b*x^2), -(atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4))/(a^(1//4)*b^(3//4))) + atanh((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4))/(a^(1//4)*b^(3//4)), x, 4),
+
+
+(x^(7//2)/(1 + x^2), -2*sqrt(x) + (2*x^(5//2))/5 - atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x))/sqrt(2) + atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x))/sqrt(2) - log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(2*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(2*sqrt(2)), x, 12),
+(x^(5//2)/(1 + x^2), (2*x^(3//2))/3 + atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x))/sqrt(2) - atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x))/sqrt(2) - log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(2*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(2*sqrt(2)), x, 11),
+(x^(3//2)/(1 + x^2), 2*sqrt(x) + atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x))/sqrt(2) - atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x))/sqrt(2) + log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(2*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(2*sqrt(2)), x, 11),
+(sqrt(x)/(1 + x^2), -(atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x))/sqrt(2)) + atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x))/sqrt(2) + log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(2*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(2*sqrt(2)), x, 10),
+(1/(sqrt(x)*(1 + x^2)), -(atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x))/sqrt(2)) + atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x))/sqrt(2) - log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(2*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(2*sqrt(2)), x, 10),
+(1/(x^(3//2)*(1 + x^2)), -2/sqrt(x) + atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x))/sqrt(2) - atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x))/sqrt(2) - log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(2*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(2*sqrt(2)), x, 11),
+(1/(x^(5//2)*(1 + x^2)), -2/(3*x^(3//2)) + atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x))/sqrt(2) - atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x))/sqrt(2) + log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(2*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(2*sqrt(2)), x, 11),
+(1/(x^(7//2)*(1 + x^2)), -2/(5*x^(5//2)) + 2/sqrt(x) - atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x))/sqrt(2) + atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x))/sqrt(2) + log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(2*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(2*sqrt(2)), x, 12),
+
+
+(x^(7//2)/(1 + x^2)^2, (5*sqrt(x))/2 - x^(5//2)/(2*(1 + x^2)) + (5*atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x)))/(4*sqrt(2)) - (5*atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x)))/(4*sqrt(2)) + (5*log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(8*sqrt(2)) - (5*log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(8*sqrt(2)), x, 12),
+(x^(5//2)/(1 + x^2)^2, -x^(3//2)/(2*(1 + x^2)) - (3*atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x)))/(4*sqrt(2)) + (3*atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x)))/(4*sqrt(2)) + (3*log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(8*sqrt(2)) - (3*log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(8*sqrt(2)), x, 11),
+(x^(3//2)/(1 + x^2)^2, -sqrt(x)/(2*(1 + x^2)) - atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x))/(4*sqrt(2)) + atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x))/(4*sqrt(2)) - log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(8*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(8*sqrt(2)), x, 11),
+(sqrt(x)/(1 + x^2)^2, x^(3//2)/(2*(1 + x^2)) - atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x))/(4*sqrt(2)) + atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x))/(4*sqrt(2)) + log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(8*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x)/(8*sqrt(2)), x, 11),
+(1/(sqrt(x)*(1 + x^2)^2), sqrt(x)/(2*(1 + x^2)) - (3*atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x)))/(4*sqrt(2)) + (3*atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x)))/(4*sqrt(2)) - (3*log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(8*sqrt(2)) + (3*log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(8*sqrt(2)), x, 11),
+(1/(x^(3//2)*(1 + x^2)^2), -5/(2*sqrt(x)) + 1/(2*sqrt(x)*(1 + x^2)) + (5*atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x)))/(4*sqrt(2)) - (5*atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x)))/(4*sqrt(2)) - (5*log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(8*sqrt(2)) + (5*log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(8*sqrt(2)), x, 12),
+(1/(x^(5//2)*(1 + x^2)^2), -7/(6*x^(3//2)) + 1/(2*x^(3//2)*(1 + x^2)) + (7*atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x)))/(4*sqrt(2)) - (7*atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x)))/(4*sqrt(2)) + (7*log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(8*sqrt(2)) - (7*log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(8*sqrt(2)), x, 12),
+(1/(x^(7//2)*(1 + x^2)^2), -9/(10*x^(5//2)) + 9/(2*sqrt(x)) + 1/(2*x^(5//2)*(1 + x^2)) - (9*atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x)))/(4*sqrt(2)) + (9*atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x)))/(4*sqrt(2)) + (9*log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(8*sqrt(2)) - (9*log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(8*sqrt(2)), x, 13),
+
+
+(x^(7//2)/(1 + x^2)^3, -x^(5//2)/(4*(1 + x^2)^2) - (5*sqrt(x))/(16*(1 + x^2)) - (5*atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x)))/(32*sqrt(2)) + (5*atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x)))/(32*sqrt(2)) - (5*log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(64*sqrt(2)) + (5*log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(64*sqrt(2)), x, 12),
+(x^(5//2)/(1 + x^2)^3, -x^(3//2)/(4*(1 + x^2)^2) + (3*x^(3//2))/(16*(1 + x^2)) - (3*atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x)))/(32*sqrt(2)) + (3*atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x)))/(32*sqrt(2)) + (3*log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(64*sqrt(2)) - (3*log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(64*sqrt(2)), x, 12),
+(x^(3//2)/(1 + x^2)^3, -sqrt(x)/(4*(1 + x^2)^2) + sqrt(x)/(16*(1 + x^2)) - (3*atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x)))/(32*sqrt(2)) + (3*atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x)))/(32*sqrt(2)) - (3*log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(64*sqrt(2)) + (3*log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(64*sqrt(2)), x, 12),
+(sqrt(x)/(1 + x^2)^3, x^(3//2)/(4*(1 + x^2)^2) + (5*x^(3//2))/(16*(1 + x^2)) - (5*atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x)))/(32*sqrt(2)) + (5*atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x)))/(32*sqrt(2)) + (5*log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(64*sqrt(2)) - (5*log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(64*sqrt(2)), x, 12),
+(1/(sqrt(x)*(1 + x^2)^3), sqrt(x)/(4*(1 + x^2)^2) + (7*sqrt(x))/(16*(1 + x^2)) - (21*atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x)))/(32*sqrt(2)) + (21*atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x)))/(32*sqrt(2)) - (21*log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(64*sqrt(2)) + (21*log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(64*sqrt(2)), x, 12),
+(1/(x^(3//2)*(1 + x^2)^3), -45/(16*sqrt(x)) + 1/(4*sqrt(x)*(1 + x^2)^2) + 9/(16*sqrt(x)*(1 + x^2)) + (45*atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x)))/(32*sqrt(2)) - (45*atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x)))/(32*sqrt(2)) - (45*log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(64*sqrt(2)) + (45*log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(64*sqrt(2)), x, 13),
+(1/(x^(5//2)*(1 + x^2)^3), -77/(48*x^(3//2)) + 1/(4*x^(3//2)*(1 + x^2)^2) + 11/(16*x^(3//2)*(1 + x^2)) + (77*atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x)))/(32*sqrt(2)) - (77*atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x)))/(32*sqrt(2)) + (77*log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(64*sqrt(2)) - (77*log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(64*sqrt(2)), x, 13),
+(1/(x^(7//2)*(1 + x^2)^3), -117/(80*x^(5//2)) + 117/(16*sqrt(x)) + 1/(4*x^(5//2)*(1 + x^2)^2) + 13/(16*x^(5//2)*(1 + x^2)) - (117*atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x)))/(32*sqrt(2)) + (117*atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x)))/(32*sqrt(2)) + (117*log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(64*sqrt(2)) - (117*log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x))/(64*sqrt(2)), x, 14),
+
+
+(sqrt(x)/(1 - x^2), -atan(sqrt(x)) + atanh(sqrt(x)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^(m/3) (a+b x^2)^p
+
+
+# {x^(2/3)/(1 + x^2), x, 11, (-(1/2))*ArcTan[Sqrt[3] - 2*x^(1/3)] + (1/2)*ArcTan[Sqrt[3] + 2*x^(1/3)] + ArcTan[x^(1/3)] - (1/2)*Sqrt[3]*ArcTanh[(Sqrt[3]*x^(1/3))/(1 + x^(2/3))], (-(1/2))*ArcTan[Sqrt[3] - 2*x^(1/3)] + (1/2)*ArcTan[Sqrt[3] + 2*x^(1/3)] + ArcTan[x^(1/3)] + (1/4)*Sqrt[3]*Log[1 - Sqrt[3]*x^(1/3) + x^(2/3)] - (1/4)*Sqrt[3]*Log[1 + Sqrt[3]*x^(1/3) + x^(2/3)]}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^2)^p when m symbolic
+
+
+(x^m*(a + b*x^2)^5, (a^5*x^(1 + m))/(1 + m) + (5*a^4*b*x^(3 + m))/(3 + m) + (10*a^3*b^2*x^(5 + m))/(5 + m) + (10*a^2*b^3*x^(7 + m))/(7 + m) + (5*a*b^4*x^(9 + m))/(9 + m) + (b^5*x^(11 + m))/(11 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^2)^4, (a^4*x^(1 + m))/(1 + m) + (4*a^3*b*x^(3 + m))/(3 + m) + (6*a^2*b^2*x^(5 + m))/(5 + m) + (4*a*b^3*x^(7 + m))/(7 + m) + (b^4*x^(9 + m))/(9 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^2)^3, (a^3*x^(1 + m))/(1 + m) + (3*a^2*b*x^(3 + m))/(3 + m) + (3*a*b^2*x^(5 + m))/(5 + m) + (b^3*x^(7 + m))/(7 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^2)^2, (a^2*x^(1 + m))/(1 + m) + (2*a*b*x^(3 + m))/(3 + m) + (b^2*x^(5 + m))/(5 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^2)^1, (a*x^(1 + m))/(1 + m) + (b*x^(3 + m))/(3 + m), x, 2),
+(x^m/(a + b*x^2)^1, (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*(1 + m)), x, 1),
+(x^m/(a + b*x^2)^2, (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a^2*(1 + m)), x, 1),
+(x^m/(a + b*x^2)^3, (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a^3*(1 + m)), x, 1),
+
+
+((c*x)^(m + 1)/(a + b*x^2), ((c*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*c*(2 + m)), x, 1),
+((c*x)^(m + 0)/(a + b*x^2), ((c*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*c*(1 + m)), x, 1),
+((c*x)^(m - 1)/(a + b*x^2), ((c*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, m/2, (2 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*c*m), x, 1),
+((c*x)^(m - 2)/(a + b*x^2), -(((c*x)^(-1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1//2)*(-1 + m), (1 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*c*(1 - m))), x, 1),
+((c*x)^(m - 3)/(a + b*x^2), -(((c*x)^(-2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1//2)*(-2 + m), m/2, -((b*x^2)/a)))/(a*c*(2 - m))), x, 1),
+
+
+(x^m/(1 + a*x^2/b)^2, (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((a*x^2)/b)))/(1 + m), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^7*sqrt(a + b*x^2), -((a^3*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^4)) + (3*a^2*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^4) - (3*a*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^4) + (a + b*x^2)^(9//2)/(9*b^4), x, 3),
+(x^5*sqrt(a + b*x^2), (a^2*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^3) - (2*a*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^3) + (a + b*x^2)^(7//2)/(7*b^3), x, 3),
+(x^3*sqrt(a + b*x^2), -((a*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^2)) + (a + b*x^2)^(5//2)/(5*b^2), x, 3),
+(x^1*sqrt(a + b*x^2), (a + b*x^2)^(3//2)/(3*b), x, 1),
+(sqrt(a + b*x^2)/x^1, sqrt(a + b*x^2) - sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x^2)/x^3, -sqrt(a + b*x^2)/(2*x^2) - (b*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x^2)/x^5, -sqrt(a + b*x^2)/(4*x^4) - (b*sqrt(a + b*x^2))/(8*a*x^2) + (b^2*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(8*a^(3//2)), x, 5),
+(sqrt(a + b*x^2)/x^7, -(sqrt(a + b*x^2)/(6*x^6)) - (b*sqrt(a + b*x^2))/(24*a*x^4) + (b^2*sqrt(a + b*x^2))/(16*a^2*x^2) - (b^3*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)), x, 6),
+
+(x^4*sqrt(a + b*x^2), -(a^2*x*sqrt(a + b*x^2))/(16*b^2) + (a*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(24*b) + (x^5*sqrt(a + b*x^2))/6 + (a^3*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*b^(5//2)), x, 5),
+(x^2*sqrt(a + b*x^2), (a*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*b) + (x^3*sqrt(a + b*x^2))/4 - (a^2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*b^(3//2)), x, 4),
+(x^0*sqrt(a + b*x^2), (x*sqrt(a + b*x^2))/2 + (a*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*sqrt(b)), x, 3),
+(sqrt(a + b*x^2)/x^2, -(sqrt(a + b*x^2)/x) + sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+(sqrt(a + b*x^2)/x^4, -(a + b*x^2)^(3//2)/(3*a*x^3), x, 1),
+(sqrt(a + b*x^2)/x^6, -((a + b*x^2)^(3//2)/(5*a*x^5)) + (2*b*(a + b*x^2)^(3//2))/(15*a^2*x^3), x, 2),
+(sqrt(a + b*x^2)/x^8, -((a + b*x^2)^(3//2)/(7*a*x^7)) + (4*b*(a + b*x^2)^(3//2))/(35*a^2*x^5) - (8*b^2*(a + b*x^2)^(3//2))/(105*a^3*x^3), x, 3),
+(sqrt(a + b*x^2)/x^10, -((a + b*x^2)^(3//2)/(9*a*x^9)) + (2*b*(a + b*x^2)^(3//2))/(21*a^2*x^7) - (8*b^2*(a + b*x^2)^(3//2))/(105*a^3*x^5) + (16*b^3*(a + b*x^2)^(3//2))/(315*a^4*x^3), x, 4),
+
+
+(x^7*(a + b*x^2)^(3//2), -((a^3*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^4)) + (3*a^2*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^4) - (a*(a + b*x^2)^(9//2))/(3*b^4) + (a + b*x^2)^(11//2)/(11*b^4), x, 3),
+(x^5*(a + b*x^2)^(3//2), (a^2*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^3) - (2*a*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^3) + (a + b*x^2)^(9//2)/(9*b^3), x, 3),
+(x^3*(a + b*x^2)^(3//2), -((a*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^2)) + (a + b*x^2)^(7//2)/(7*b^2), x, 3),
+(x^1*(a + b*x^2)^(3//2), (a + b*x^2)^(5//2)/(5*b), x, 1),
+((a + b*x^2)^(3//2)/x^1, a*sqrt(a + b*x^2) + (a + b*x^2)^(3//2)/3 - a^(3//2)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)), x, 5),
+((a + b*x^2)^(3//2)/x^3, (3*b*sqrt(a + b*x^2))/2 - (a + b*x^2)^(3//2)/(2*x^2) - (3*sqrt(a)*b*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/2, x, 5),
+((a + b*x^2)^(3//2)/x^5, (-3*b*sqrt(a + b*x^2))/(8*x^2) - (a + b*x^2)^(3//2)/(4*x^4) - (3*b^2*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(8*sqrt(a)), x, 5),
+((a + b*x^2)^(3//2)/x^7, -((b*sqrt(a + b*x^2))/(8*x^4)) - (b^2*sqrt(a + b*x^2))/(16*a*x^2) - (a + b*x^2)^(3//2)/(6*x^6) + (b^3*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(3//2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^(3//2)/x^9, -((b*sqrt(a + b*x^2))/(16*x^6)) - (b^2*sqrt(a + b*x^2))/(64*a*x^4) + (3*b^3*sqrt(a + b*x^2))/(128*a^2*x^2) - (a + b*x^2)^(3//2)/(8*x^8) - (3*b^4*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(128*a^(5//2)), x, 7),
+
+(x^4*(a + b*x^2)^(3//2), (-3*a^3*x*sqrt(a + b*x^2))/(128*b^2) + (a^2*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(64*b) + (a*x^5*sqrt(a + b*x^2))/16 + (x^5*(a + b*x^2)^(3//2))/8 + (3*a^4*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(128*b^(5//2)), x, 6),
+(x^2*(a + b*x^2)^(3//2), (a^2*x*sqrt(a + b*x^2))/(16*b) + (a*x^3*sqrt(a + b*x^2))/8 + (x^3*(a + b*x^2)^(3//2))/6 - (a^3*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*b^(3//2)), x, 5),
+(x^0*(a + b*x^2)^(3//2), (3*a*x*sqrt(a + b*x^2))/8 + (x*(a + b*x^2)^(3//2))/4 + (3*a^2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*sqrt(b)), x, 4),
+((a + b*x^2)^(3//2)/x^2, (3*b*x*sqrt(a + b*x^2))/2 - (a + b*x^2)^(3//2)/x + (3*a*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/2, x, 4),
+((a + b*x^2)^(3//2)/x^4, -((b*sqrt(a + b*x^2))/x) - (a + b*x^2)^(3//2)/(3*x^3) + b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^(3//2)/x^6, -((a + b*x^2)^(5//2)/(5*a*x^5)), x, 1),
+((a + b*x^2)^(3//2)/x^8, -((a + b*x^2)^(5//2)/(7*a*x^7)) + (2*b*(a + b*x^2)^(5//2))/(35*a^2*x^5), x, 2),
+((a + b*x^2)^(3//2)/x^10, -((a + b*x^2)^(5//2)/(9*a*x^9)) + (4*b*(a + b*x^2)^(5//2))/(63*a^2*x^7) - (8*b^2*(a + b*x^2)^(5//2))/(315*a^3*x^5), x, 3),
+((a + b*x^2)^(3//2)/x^12, -((a + b*x^2)^(5//2)/(11*a*x^11)) + (2*b*(a + b*x^2)^(5//2))/(33*a^2*x^9) - (8*b^2*(a + b*x^2)^(5//2))/(231*a^3*x^7) + (16*b^3*(a + b*x^2)^(5//2))/(1155*a^4*x^5), x, 4),
+
+
+(x^7*(a + b*x^2)^(5//2), -((a^3*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^4)) + (a^2*(a + b*x^2)^(9//2))/(3*b^4) - (3*a*(a + b*x^2)^(11//2))/(11*b^4) + (a + b*x^2)^(13//2)/(13*b^4), x, 3),
+(x^5*(a + b*x^2)^(5//2), (a^2*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^3) - (2*a*(a + b*x^2)^(9//2))/(9*b^3) + (a + b*x^2)^(11//2)/(11*b^3), x, 3),
+(x^3*(a + b*x^2)^(5//2), -((a*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^2)) + (a + b*x^2)^(9//2)/(9*b^2), x, 3),
+(x^1*(a + b*x^2)^(5//2), (a + b*x^2)^(7//2)/(7*b), x, 1),
+((a + b*x^2)^(5//2)/x^1, a^2*sqrt(a + b*x^2) + (a*(a + b*x^2)^(3//2))/3 + (a + b*x^2)^(5//2)/5 - a^(5//2)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)), x, 6),
+((a + b*x^2)^(5//2)/x^3, (5*a*b*sqrt(a + b*x^2))/2 + (5*b*(a + b*x^2)^(3//2))/6 - (a + b*x^2)^(5//2)/(2*x^2) - (5*a^(3//2)*b*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/2, x, 6),
+((a + b*x^2)^(5//2)/x^5, (15*b^2*sqrt(a + b*x^2))/8 - (5*b*(a + b*x^2)^(3//2))/(8*x^2) - (a + b*x^2)^(5//2)/(4*x^4) - (15*sqrt(a)*b^2*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/8, x, 6),
+((a + b*x^2)^(5//2)/x^7, -((5*b^2*sqrt(a + b*x^2))/(16*x^2)) - (5*b*(a + b*x^2)^(3//2))/(24*x^4) - (a + b*x^2)^(5//2)/(6*x^6) - (5*b^3*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(16*sqrt(a)), x, 6),
+((a + b*x^2)^(5//2)/x^9, -((5*b^2*sqrt(a + b*x^2))/(64*x^4)) - (5*b^3*sqrt(a + b*x^2))/(128*a*x^2) - (5*b*(a + b*x^2)^(3//2))/(48*x^6) - (a + b*x^2)^(5//2)/(8*x^8) + (5*b^4*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(128*a^(3//2)), x, 7),
+((a + b*x^2)^(5//2)/x^11, -((b^2*sqrt(a + b*x^2))/(32*x^6)) - (b^3*sqrt(a + b*x^2))/(128*a*x^4) + (3*b^4*sqrt(a + b*x^2))/(256*a^2*x^2) - (b*(a + b*x^2)^(3//2))/(16*x^8) - (a + b*x^2)^(5//2)/(10*x^10) - (3*b^5*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(256*a^(5//2)), x, 8),
+
+(x^4*(a + b*x^2)^(5//2), -((3*a^4*x*sqrt(a + b*x^2))/(256*b^2)) + (a^3*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(128*b) + (1//32)*a^2*x^5*sqrt(a + b*x^2) + (1//16)*a*x^5*(a + b*x^2)^(3//2) + (1//10)*x^5*(a + b*x^2)^(5//2) + (3*a^5*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(256*b^(5//2)), x, 7),
+(x^2*(a + b*x^2)^(5//2), (5*a^3*x*sqrt(a + b*x^2))/(128*b) + (5*a^2*x^3*sqrt(a + b*x^2))/64 + (5*a*x^3*(a + b*x^2)^(3//2))/48 + (x^3*(a + b*x^2)^(5//2))/8 - (5*a^4*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(128*b^(3//2)), x, 6),
+(x^0*(a + b*x^2)^(5//2), (5*a^2*x*sqrt(a + b*x^2))/16 + (5*a*x*(a + b*x^2)^(3//2))/24 + (x*(a + b*x^2)^(5//2))/6 + (5*a^3*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*sqrt(b)), x, 5),
+((a + b*x^2)^(5//2)/x^2, (15*a*b*x*sqrt(a + b*x^2))/8 + (5*b*x*(a + b*x^2)^(3//2))/4 - (a + b*x^2)^(5//2)/x + (15*a^2*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/8, x, 5),
+((a + b*x^2)^(5//2)/x^4, (5*b^2*x*sqrt(a + b*x^2))/2 - (5*b*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*x) - (a + b*x^2)^(5//2)/(3*x^3) + (5*a*b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/2, x, 5),
+((a + b*x^2)^(5//2)/x^6, -((b^2*sqrt(a + b*x^2))/x) - (b*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*x^3) - (a + b*x^2)^(5//2)/(5*x^5) + b^(5//2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+((a + b*x^2)^(5//2)/x^8, -((a + b*x^2)^(7//2)/(7*a*x^7)), x, 1),
+((a + b*x^2)^(5//2)/x^10, -((a + b*x^2)^(7//2)/(9*a*x^9)) + (2*b*(a + b*x^2)^(7//2))/(63*a^2*x^7), x, 2),
+((a + b*x^2)^(5//2)/x^12, -((a + b*x^2)^(7//2)/(11*a*x^11)) + (4*b*(a + b*x^2)^(7//2))/(99*a^2*x^9) - (8*b^2*(a + b*x^2)^(7//2))/(693*a^3*x^7), x, 3),
+((a + b*x^2)^(5//2)/x^14, -((a + b*x^2)^(7//2)/(13*a*x^13)) + (6*b*(a + b*x^2)^(7//2))/(143*a^2*x^11) - (8*b^2*(a + b*x^2)^(7//2))/(429*a^3*x^9) + (16*b^3*(a + b*x^2)^(7//2))/(3003*a^4*x^7), x, 4),
+((a + b*x^2)^(5//2)/x^16, -((a + b*x^2)^(7//2)/(15*a*x^15)) + (8*b*(a + b*x^2)^(7//2))/(195*a^2*x^13) - (16*b^2*(a + b*x^2)^(7//2))/(715*a^3*x^11) + (64*b^3*(a + b*x^2)^(7//2))/(6435*a^4*x^9) - (128*b^4*(a + b*x^2)^(7//2))/(45045*a^5*x^7), x, 5),
+((a + b*x^2)^(5//2)/x^18, -((a + b*x^2)^(7//2)/(17*a*x^17)) + (2*b*(a + b*x^2)^(7//2))/(51*a^2*x^15) - (16*b^2*(a + b*x^2)^(7//2))/(663*a^3*x^13) + (32*b^3*(a + b*x^2)^(7//2))/(2431*a^4*x^11) - (128*b^4*(a + b*x^2)^(7//2))/(21879*a^5*x^9) + (256*b^5*(a + b*x^2)^(7//2))/(153153*a^6*x^7), x, 6),
+
+
+(x^15*(a + b*x^2)^(9//2), -(a^7*(a + b*x^2)^(11//2))/(11*b^8) + (7*a^6*(a + b*x^2)^(13//2))/(13*b^8) - (7*a^5*(a + b*x^2)^(15//2))/(5*b^8) + (35*a^4*(a + b*x^2)^(17//2))/(17*b^8) - (35*a^3*(a + b*x^2)^(19//2))/(19*b^8) + (a^2*(a + b*x^2)^(21//2))/b^8 - (7*a*(a + b*x^2)^(23//2))/(23*b^8) + (a + b*x^2)^(25//2)/(25*b^8), x, 3),
+(x^13*(a + b*x^2)^(9//2), (a^6*(a + b*x^2)^(11//2))/(11*b^7) - (6*a^5*(a + b*x^2)^(13//2))/(13*b^7) + (a^4*(a + b*x^2)^(15//2))/b^7 - (20*a^3*(a + b*x^2)^(17//2))/(17*b^7) + (15*a^2*(a + b*x^2)^(19//2))/(19*b^7) - (2*a*(a + b*x^2)^(21//2))/(7*b^7) + (a + b*x^2)^(23//2)/(23*b^7), x, 3),
+(x^11*(a + b*x^2)^(9//2), -(a^5*(a + b*x^2)^(11//2))/(11*b^6) + (5*a^4*(a + b*x^2)^(13//2))/(13*b^6) - (2*a^3*(a + b*x^2)^(15//2))/(3*b^6) + (10*a^2*(a + b*x^2)^(17//2))/(17*b^6) - (5*a*(a + b*x^2)^(19//2))/(19*b^6) + (a + b*x^2)^(21//2)/(21*b^6), x, 3),
+(x^9*(a + b*x^2)^(9//2), (a^4*(a + b*x^2)^(11//2))/(11*b^5) - (4*a^3*(a + b*x^2)^(13//2))/(13*b^5) + (2*a^2*(a + b*x^2)^(15//2))/(5*b^5) - (4*a*(a + b*x^2)^(17//2))/(17*b^5) + (a + b*x^2)^(19//2)/(19*b^5), x, 3),
+(x^7*(a + b*x^2)^(9//2), -(a^3*(a + b*x^2)^(11//2))/(11*b^4) + (3*a^2*(a + b*x^2)^(13//2))/(13*b^4) - (a*(a + b*x^2)^(15//2))/(5*b^4) + (a + b*x^2)^(17//2)/(17*b^4), x, 3),
+(x^5*(a + b*x^2)^(9//2), (a^2*(a + b*x^2)^(11//2))/(11*b^3) - (2*a*(a + b*x^2)^(13//2))/(13*b^3) + (a + b*x^2)^(15//2)/(15*b^3), x, 3),
+(x^3*(a + b*x^2)^(9//2), -(a*(a + b*x^2)^(11//2))/(11*b^2) + (a + b*x^2)^(13//2)/(13*b^2), x, 3),
+(x^1*(a + b*x^2)^(9//2), (a + b*x^2)^(11//2)/(11*b), x, 1),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^1, a^4*sqrt(a + b*x^2) + (a^3*(a + b*x^2)^(3//2))/3 + (a^2*(a + b*x^2)^(5//2))/5 + (a*(a + b*x^2)^(7//2))/7 + (a + b*x^2)^(9//2)/9 - a^(9//2)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)), x, 8),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^3, (9*a^3*b*sqrt(a + b*x^2))/2 + (3*a^2*b*(a + b*x^2)^(3//2))/2 + (9*a*b*(a + b*x^2)^(5//2))/10 + (9*b*(a + b*x^2)^(7//2))/14 - (a + b*x^2)^(9//2)/(2*x^2) - (9*a^(7//2)*b*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/2, x, 8),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^5, (63*a^2*b^2*sqrt(a + b*x^2))/8 + (21*a*b^2*(a + b*x^2)^(3//2))/8 + (63*b^2*(a + b*x^2)^(5//2))/40 - (9*b*(a + b*x^2)^(7//2))/(8*x^2) - (a + b*x^2)^(9//2)/(4*x^4) - (63*a^(5//2)*b^2*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/8, x, 8),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^7, (105*a*b^3*sqrt(a + b*x^2))/16 + (35*b^3*(a + b*x^2)^(3//2))/16 - (21*b^2*(a + b*x^2)^(5//2))/(16*x^2) - (3*b*(a + b*x^2)^(7//2))/(8*x^4) - (a + b*x^2)^(9//2)/(6*x^6) - (105*a^(3//2)*b^3*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/16, x, 8),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^9, (315*b^4*sqrt(a + b*x^2))/128 - (105*b^3*(a + b*x^2)^(3//2))/(128*x^2) - (21*b^2*(a + b*x^2)^(5//2))/(64*x^4) - (3*b*(a + b*x^2)^(7//2))/(16*x^6) - (a + b*x^2)^(9//2)/(8*x^8) - (315*sqrt(a)*b^4*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/128, x, 8),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^11, (-63*b^4*sqrt(a + b*x^2))/(256*x^2) - (21*b^3*(a + b*x^2)^(3//2))/(128*x^4) - (21*b^2*(a + b*x^2)^(5//2))/(160*x^6) - (9*b*(a + b*x^2)^(7//2))/(80*x^8) - (a + b*x^2)^(9//2)/(10*x^10) - (63*b^5*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(256*sqrt(a)), x, 8),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^13, (-21*b^4*sqrt(a + b*x^2))/(512*x^4) - (21*b^5*sqrt(a + b*x^2))/(1024*a*x^2) - (7*b^3*(a + b*x^2)^(3//2))/(128*x^6) - (21*b^2*(a + b*x^2)^(5//2))/(320*x^8) - (3*b*(a + b*x^2)^(7//2))/(40*x^10) - (a + b*x^2)^(9//2)/(12*x^12) + (21*b^6*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(1024*a^(3//2)), x, 9),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^15, (-3*b^4*sqrt(a + b*x^2))/(256*x^6) - (3*b^5*sqrt(a + b*x^2))/(1024*a*x^4) + (9*b^6*sqrt(a + b*x^2))/(2048*a^2*x^2) - (3*b^3*(a + b*x^2)^(3//2))/(128*x^8) - (3*b^2*(a + b*x^2)^(5//2))/(80*x^10) - (3*b*(a + b*x^2)^(7//2))/(56*x^12) - (a + b*x^2)^(9//2)/(14*x^14) - (9*b^7*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(2048*a^(5//2)), x, 10),
+
+(x^6*(a + b*x^2)^(9//2), (45*a^7*x*sqrt(a + b*x^2))/(32768*b^3) - (15*a^6*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(16384*b^2) + (3*a^5*x^5*sqrt(a + b*x^2))/(4096*b) + (9*a^4*x^7*sqrt(a + b*x^2))/2048 + (3*a^3*x^7*(a + b*x^2)^(3//2))/256 + (3*a^2*x^7*(a + b*x^2)^(5//2))/128 + (9*a*x^7*(a + b*x^2)^(7//2))/224 + (x^7*(a + b*x^2)^(9//2))/16 - (45*a^8*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(32768*b^(7//2)), x, 10),
+(x^4*(a + b*x^2)^(9//2), (-9*a^6*x*sqrt(a + b*x^2))/(2048*b^2) + (3*a^5*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(1024*b) + (3*a^4*x^5*sqrt(a + b*x^2))/256 + (3*a^3*x^5*(a + b*x^2)^(3//2))/128 + (3*a^2*x^5*(a + b*x^2)^(5//2))/80 + (3*a*x^5*(a + b*x^2)^(7//2))/56 + (x^5*(a + b*x^2)^(9//2))/14 + (9*a^7*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2048*b^(5//2)), x, 9),
+(x^2*(a + b*x^2)^(9//2), (21*a^5*x*sqrt(a + b*x^2))/(1024*b) + (21*a^4*x^3*sqrt(a + b*x^2))/512 + (7*a^3*x^3*(a + b*x^2)^(3//2))/128 + (21*a^2*x^3*(a + b*x^2)^(5//2))/320 + (3*a*x^3*(a + b*x^2)^(7//2))/40 + (x^3*(a + b*x^2)^(9//2))/12 - (21*a^6*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(1024*b^(3//2)), x, 8),
+(x^0*(a + b*x^2)^(9//2), (63*a^4*x*sqrt(a + b*x^2))/256 + (21*a^3*x*(a + b*x^2)^(3//2))/128 + (21*a^2*x*(a + b*x^2)^(5//2))/160 + (9*a*x*(a + b*x^2)^(7//2))/80 + (x*(a + b*x^2)^(9//2))/10 + (63*a^5*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(256*sqrt(b)), x, 7),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^2, (315*a^3*b*x*sqrt(a + b*x^2))/128 + (105*a^2*b*x*(a + b*x^2)^(3//2))/64 + (21*a*b*x*(a + b*x^2)^(5//2))/16 + (9*b*x*(a + b*x^2)^(7//2))/8 - (a + b*x^2)^(9//2)/x + (315*a^4*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/128, x, 7),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^4, (105*a^2*b^2*x*sqrt(a + b*x^2))/16 + (35*a*b^2*x*(a + b*x^2)^(3//2))/8 + (7*b^2*x*(a + b*x^2)^(5//2))/2 - (3*b*(a + b*x^2)^(7//2))/x - (a + b*x^2)^(9//2)/(3*x^3) + (105*a^3*b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/16, x, 7),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^6, (63*a*b^3*x*sqrt(a + b*x^2))/8 + (21*b^3*x*(a + b*x^2)^(3//2))/4 - (21*b^2*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*x) - (3*b*(a + b*x^2)^(7//2))/(5*x^3) - (a + b*x^2)^(9//2)/(5*x^5) + (63*a^2*b^(5//2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/8, x, 7),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^8, (9*b^4*x*sqrt(a + b*x^2))/2 - (3*b^3*(a + b*x^2)^(3//2))/x - (3*b^2*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*x^3) - (9*b*(a + b*x^2)^(7//2))/(35*x^5) - (a + b*x^2)^(9//2)/(7*x^7) + (9*a*b^(7//2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/2, x, 7),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^10, -((b^4*sqrt(a + b*x^2))/x) - (b^3*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*x^3) - (b^2*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*x^5) - (b*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*x^7) - (a + b*x^2)^(9//2)/(9*x^9) + b^(9//2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)), x, 7),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^12, -(a + b*x^2)^(11//2)/(11*a*x^11), x, 1),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^14, -((a + b*x^2)^(11//2)/(13*a*x^13)) + (2*b*(a + b*x^2)^(11//2))/(143*a^2*x^11), x, 2),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^16, -((a + b*x^2)^(11//2)/(15*a*x^15)) + (4*b*(a + b*x^2)^(11//2))/(195*a^2*x^13) - (8*b^2*(a + b*x^2)^(11//2))/(2145*a^3*x^11), x, 3),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^18, -((a + b*x^2)^(11//2)/(17*a*x^17)) + (2*b*(a + b*x^2)^(11//2))/(85*a^2*x^15) - (8*b^2*(a + b*x^2)^(11//2))/(1105*a^3*x^13) + (16*b^3*(a + b*x^2)^(11//2))/(12155*a^4*x^11), x, 4),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^20, -((a + b*x^2)^(11//2)/(19*a*x^19)) + (8*b*(a + b*x^2)^(11//2))/(323*a^2*x^17) - (16*b^2*(a + b*x^2)^(11//2))/(1615*a^3*x^15) + (64*b^3*(a + b*x^2)^(11//2))/(20995*a^4*x^13) - (128*b^4*(a + b*x^2)^(11//2))/(230945*a^5*x^11), x, 5),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^22, -((a + b*x^2)^(11//2)/(21*a*x^21)) + (10*b*(a + b*x^2)^(11//2))/(399*a^2*x^19) - (80*b^2*(a + b*x^2)^(11//2))/(6783*a^3*x^17) + (32*b^3*(a + b*x^2)^(11//2))/(6783*a^4*x^15) - (128*b^4*(a + b*x^2)^(11//2))/(88179*a^5*x^13) + (256*b^5*(a + b*x^2)^(11//2))/(969969*a^6*x^11), x, 6),
+((a + b*x^2)^(9//2)/x^24, -((a + b*x^2)^(11//2)/(23*a*x^23)) + (4*b*(a + b*x^2)^(11//2))/(161*a^2*x^21) - (40*b^2*(a + b*x^2)^(11//2))/(3059*a^3*x^19) + (320*b^3*(a + b*x^2)^(11//2))/(52003*a^4*x^17) - (128*b^4*(a + b*x^2)^(11//2))/(52003*a^5*x^15) + (512*b^5*(a + b*x^2)^(11//2))/(676039*a^6*x^13) - (1024*b^6*(a + b*x^2)^(11//2))/(7436429*a^7*x^11), x, 7),
+
+
+(x^5*sqrt(9 + 4*x^2), (27//64)*(9 + 4*x^2)^(3//2) - (9//160)*(9 + 4*x^2)^(5//2) + (1//448)*(9 + 4*x^2)^(7//2), x, 3),
+(x^4*sqrt(9 + 4*x^2), (-(81//256))*x*sqrt(9 + 4*x^2) + (3//32)*x^3*sqrt(9 + 4*x^2) + (1//6)*x^5*sqrt(9 + 4*x^2) + (729//512)*asinh((2*x)/3), x, 4),
+(x^3*sqrt(9 + 4*x^2), (-(3//16))*(9 + 4*x^2)^(3//2) + (1//80)*(9 + 4*x^2)^(5//2), x, 3),
+(x^2*sqrt(9 + 4*x^2), (9//32)*x*sqrt(9 + 4*x^2) + (1//4)*x^3*sqrt(9 + 4*x^2) - (81//64)*asinh((2*x)/3), x, 3),
+(x*sqrt(9 + 4*x^2), (9 + 4*x^2)^(3//2)/12, x, 1),
+(sqrt(9 + 4*x^2), (1//2)*x*sqrt(9 + 4*x^2) + (9//4)*asinh((2*x)/3), x, 2),
+(sqrt(9 + 4*x^2)/x, sqrt(9 + 4*x^2) - 3*atanh(sqrt(9 + 4*x^2)/3), x, 4),
+(sqrt(9 + 4*x^2)/x^2, -(sqrt(9 + 4*x^2)/x) + 2*asinh((2*x)/3), x, 2),
+(sqrt(9 + 4*x^2)/x^3, -sqrt(9 + 4*x^2)/(2*x^2) - (2*atanh(sqrt(9 + 4*x^2)/3))/3, x, 4),
+(sqrt(9 + 4*x^2)/x^4, -(9 + 4*x^2)^(3//2)/(27*x^3), x, 1),
+(sqrt(9 + 4*x^2)/x^5, -(sqrt(9 + 4*x^2)/(4*x^4)) - sqrt(9 + 4*x^2)/(18*x^2) + (2//27)*atanh((1//3)*sqrt(9 + 4*x^2)), x, 5),
+
+
+(x^5*sqrt(9 - 4*x^2), (-(27//64))*(9 - 4*x^2)^(3//2) + (9//160)*(9 - 4*x^2)^(5//2) - (1//448)*(9 - 4*x^2)^(7//2), x, 3),
+(x^4*sqrt(9 - 4*x^2), (-(81//256))*x*sqrt(9 - 4*x^2) - (3//32)*x^3*sqrt(9 - 4*x^2) + (1//6)*x^5*sqrt(9 - 4*x^2) + (729//512)*asin((2*x)/3), x, 4),
+(x^3*sqrt(9 - 4*x^2), (-(3//16))*(9 - 4*x^2)^(3//2) + (1//80)*(9 - 4*x^2)^(5//2), x, 3),
+(x^2*sqrt(9 - 4*x^2), (-(9//32))*x*sqrt(9 - 4*x^2) + (1//4)*x^3*sqrt(9 - 4*x^2) + (81//64)*asin((2*x)/3), x, 3),
+(x*sqrt(9 - 4*x^2), -(9 - 4*x^2)^(3//2)/12, x, 1),
+(sqrt(9 - 4*x^2), (1//2)*x*sqrt(9 - 4*x^2) + (9//4)*asin((2*x)/3), x, 2),
+(sqrt(9 - 4*x^2)/x, sqrt(9 - 4*x^2) - 3*atanh(sqrt(9 - 4*x^2)/3), x, 4),
+(sqrt(9 - 4*x^2)/x^2, -(sqrt(9 - 4*x^2)/x) - 2*asin((2*x)/3), x, 2),
+(sqrt(9 - 4*x^2)/x^3, -sqrt(9 - 4*x^2)/(2*x^2) + (2*atanh(sqrt(9 - 4*x^2)/3))/3, x, 4),
+(sqrt(9 - 4*x^2)/x^4, -(9 - 4*x^2)^(3//2)/(27*x^3), x, 1),
+(sqrt(9 - 4*x^2)/x^5, -(sqrt(9 - 4*x^2)/(4*x^4)) + sqrt(9 - 4*x^2)/(18*x^2) + (2//27)*atanh((1//3)*sqrt(9 - 4*x^2)), x, 5),
+
+
+(x^5*sqrt(-9 + 4*x^2), (27//64)*(-9 + 4*x^2)^(3//2) + (9//160)*(-9 + 4*x^2)^(5//2) + (1//448)*(-9 + 4*x^2)^(7//2), x, 3),
+(x^4*sqrt(-9 + 4*x^2), (-(81//256))*x*sqrt(-9 + 4*x^2) - (3//32)*x^3*sqrt(-9 + 4*x^2) + (1//6)*x^5*sqrt(-9 + 4*x^2) - (729//512)*atanh((2*x)/sqrt(-9 + 4*x^2)), x, 5),
+(x^3*sqrt(-9 + 4*x^2), (3//16)*(-9 + 4*x^2)^(3//2) + (1//80)*(-9 + 4*x^2)^(5//2), x, 3),
+(x^2*sqrt(-9 + 4*x^2), (-(9//32))*x*sqrt(-9 + 4*x^2) + (1//4)*x^3*sqrt(-9 + 4*x^2) - (81//64)*atanh((2*x)/sqrt(-9 + 4*x^2)), x, 4),
+(x*sqrt(-9 + 4*x^2), (-9 + 4*x^2)^(3//2)/12, x, 1),
+(sqrt(-9 + 4*x^2), (1//2)*x*sqrt(-9 + 4*x^2) - (9//4)*atanh((2*x)/sqrt(-9 + 4*x^2)), x, 3),
+(sqrt(-9 + 4*x^2)/x, sqrt(-9 + 4*x^2) - 3*atan(sqrt(-9 + 4*x^2)/3), x, 4),
+(sqrt(-9 + 4*x^2)/x^2, -(sqrt(-9 + 4*x^2)/x) + 2*atanh((2*x)/sqrt(-9 + 4*x^2)), x, 3),
+(sqrt(-9 + 4*x^2)/x^3, -sqrt(-9 + 4*x^2)/(2*x^2) + (2*atan(sqrt(-9 + 4*x^2)/3))/3, x, 4),
+(sqrt(-9 + 4*x^2)/x^4, (-9 + 4*x^2)^(3//2)/(27*x^3), x, 1),
+(sqrt(-9 + 4*x^2)/x^5, -(sqrt(-9 + 4*x^2)/(4*x^4)) + sqrt(-9 + 4*x^2)/(18*x^2) + (2//27)*atan((1//3)*sqrt(-9 + 4*x^2)), x, 5),
+
+
+(x^5*sqrt(-9 - 4*x^2), (-(27//64))*(-9 - 4*x^2)^(3//2) - (9//160)*(-9 - 4*x^2)^(5//2) - (1//448)*(-9 - 4*x^2)^(7//2), x, 3),
+(x^4*sqrt(-9 - 4*x^2), (-(81//256))*x*sqrt(-9 - 4*x^2) + (3//32)*x^3*sqrt(-9 - 4*x^2) + (1//6)*x^5*sqrt(-9 - 4*x^2) - (729//512)*atan((2*x)/sqrt(-9 - 4*x^2)), x, 5),
+(x^3*sqrt(-9 - 4*x^2), (3//16)*(-9 - 4*x^2)^(3//2) + (1//80)*(-9 - 4*x^2)^(5//2), x, 3),
+(x^2*sqrt(-9 - 4*x^2), (9//32)*x*sqrt(-9 - 4*x^2) + (1//4)*x^3*sqrt(-9 - 4*x^2) + (81//64)*atan((2*x)/sqrt(-9 - 4*x^2)), x, 4),
+(x*sqrt(-9 - 4*x^2), -(-9 - 4*x^2)^(3//2)/12, x, 1),
+(sqrt(-9 - 4*x^2), (1//2)*x*sqrt(-9 - 4*x^2) - (9//4)*atan((2*x)/sqrt(-9 - 4*x^2)), x, 3),
+(sqrt(-9 - 4*x^2)/x, sqrt(-9 - 4*x^2) - 3*atan(sqrt(-9 - 4*x^2)/3), x, 4),
+(sqrt(-9 - 4*x^2)/x^2, -(sqrt(-9 - 4*x^2)/x) - 2*atan((2*x)/sqrt(-9 - 4*x^2)), x, 3),
+(sqrt(-9 - 4*x^2)/x^3, -sqrt(-9 - 4*x^2)/(2*x^2) - (2*atan(sqrt(-9 - 4*x^2)/3))/3, x, 4),
+(sqrt(-9 - 4*x^2)/x^4, (-9 - 4*x^2)^(3//2)/(27*x^3), x, 1),
+(sqrt(-9 - 4*x^2)/x^5, -(sqrt(-9 - 4*x^2)/(4*x^4)) - sqrt(-9 - 4*x^2)/(18*x^2) + (2//27)*atan((1//3)*sqrt(-9 - 4*x^2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5/sqrt(a + b*x^2), (a^2*sqrt(a + b*x^2))/b^3 - (2*a*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^3) + (a + b*x^2)^(5//2)/(5*b^3), x, 3),
+(x^4/sqrt(a + b*x^2), (-3*a*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*b^2) + (x^3*sqrt(a + b*x^2))/(4*b) + (3*a^2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*b^(5//2)), x, 4),
+(x^3/sqrt(a + b*x^2), -((a*sqrt(a + b*x^2))/b^2) + (a + b*x^2)^(3//2)/(3*b^2), x, 3),
+(x^2/sqrt(a + b*x^2), (x*sqrt(a + b*x^2))/(2*b) - (a*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*b^(3//2)), x, 3),
+(x/sqrt(a + b*x^2), sqrt(a + b*x^2)/b, x, 1),
+(1/sqrt(a + b*x^2), atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2))/sqrt(b), x, 2),
+(1/(x*sqrt(a + b*x^2)), -(atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a))/sqrt(a)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(a + b*x^2)), -(sqrt(a + b*x^2)/(a*x)), x, 1),
+(1/(x^3*sqrt(a + b*x^2)), -sqrt(a + b*x^2)/(2*a*x^2) + (b*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^4*sqrt(a + b*x^2)), -sqrt(a + b*x^2)/(3*a*x^3) + (2*b*sqrt(a + b*x^2))/(3*a^2*x), x, 2),
+(1/(x^5*sqrt(a + b*x^2)), -sqrt(a + b*x^2)/(4*a*x^4) + (3*b*sqrt(a + b*x^2))/(8*a^2*x^2) - (3*b^2*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)), x, 5),
+
+
+(x^5/(a + b*x^2)^(3//2), -(a^2/(b^3*sqrt(a + b*x^2))) - (2*a*sqrt(a + b*x^2))/b^3 + (a + b*x^2)^(3//2)/(3*b^3), x, 3),
+(x^4/(a + b*x^2)^(3//2), -(x^3/(b*sqrt(a + b*x^2))) + (3*x*sqrt(a + b*x^2))/(2*b^2) - (3*a*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*b^(5//2)), x, 4),
+(x^3/(a + b*x^2)^(3//2), a/(b^2*sqrt(a + b*x^2)) + sqrt(a + b*x^2)/b^2, x, 3),
+(x^2/(a + b*x^2)^(3//2), -(x/(b*sqrt(a + b*x^2))) + atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2))/b^(3//2), x, 3),
+(x/(a + b*x^2)^(3//2), -(1/(b*sqrt(a + b*x^2))), x, 1),
+(1/(a + b*x^2)^(3//2), x/(a*sqrt(a + b*x^2)), x, 1),
+(1/(x*(a + b*x^2)^(3//2)), 1/(a*sqrt(a + b*x^2)) - atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a))/a^(3//2), x, 4),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^(3//2)), -(1/(a*x*sqrt(a + b*x^2))) - (2*b*x)/(a^2*sqrt(a + b*x^2)), x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)^(3//2)), -((3*b)/(2*a^2*sqrt(a + b*x^2))) - 1/(2*a*x^2*sqrt(a + b*x^2)) + (3*b*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)), x, 5),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^(3//2)), -(1/(3*a*x^3*sqrt(a + b*x^2))) + (4*b)/(3*a^2*x*sqrt(a + b*x^2)) + (8*b^2*x)/(3*a^3*sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+
+
+(x^6/(a + b*x^2)^(5//2), -x^5/(3*b*(a + b*x^2)^(3//2)) - (5*x^3)/(3*b^2*sqrt(a + b*x^2)) + (5*x*sqrt(a + b*x^2))/(2*b^3) - (5*a*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*b^(7//2)), x, 5),
+(x^5/(a + b*x^2)^(5//2), -(a^2/(3*b^3*(a + b*x^2)^(3//2))) + (2*a)/(b^3*sqrt(a + b*x^2)) + sqrt(a + b*x^2)/b^3, x, 3),
+(x^4/(a + b*x^2)^(5//2), -x^3/(3*b*(a + b*x^2)^(3//2)) - x/(b^2*sqrt(a + b*x^2)) + atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2))/b^(5//2), x, 4),
+(x^3/(a + b*x^2)^(5//2), a/(3*b^2*(a + b*x^2)^(3//2)) - 1/(b^2*sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+(x^2/(a + b*x^2)^(5//2), x^3/(3*a*(a + b*x^2)^(3//2)), x, 1),
+(x/(a + b*x^2)^(5//2), -1/(3*b*(a + b*x^2)^(3//2)), x, 1),
+(1/(a + b*x^2)^(5//2), x/(3*a*(a + b*x^2)^(3//2)) + (2*x)/(3*a^2*sqrt(a + b*x^2)), x, 2),
+(1/(x*(a + b*x^2)^(5//2)), 1/(3*a*(a + b*x^2)^(3//2)) + 1/(a^2*sqrt(a + b*x^2)) - atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a))/a^(5//2), x, 5),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^(5//2)), -(1/(a*x*(a + b*x^2)^(3//2))) - (4*b*x)/(3*a^2*(a + b*x^2)^(3//2)) - (8*b*x)/(3*a^3*sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)^(5//2)), -((5*b)/(6*a^2*(a + b*x^2)^(3//2))) - 1/(2*a*x^2*(a + b*x^2)^(3//2)) - (5*b)/(2*a^3*sqrt(a + b*x^2)) + (5*b*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(7//2)), x, 6),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^(5//2)), -(1/(3*a*x^3*(a + b*x^2)^(3//2))) + (2*b)/(a^2*x*(a + b*x^2)^(3//2)) + (8*b^2*x)/(3*a^3*(a + b*x^2)^(3//2)) + (16*b^2*x)/(3*a^4*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+
+
+(x^10/(a + b*x^2)^(9//2), -x^9/(7*b*(a + b*x^2)^(7//2)) - (9*x^7)/(35*b^2*(a + b*x^2)^(5//2)) - (3*x^5)/(5*b^3*(a + b*x^2)^(3//2)) - (3*x^3)/(b^4*sqrt(a + b*x^2)) + (9*x*sqrt(a + b*x^2))/(2*b^5) - (9*a*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*b^(11//2)), x, 7),
+(x^9/(a + b*x^2)^(9//2), -(a^4/(7*b^5*(a + b*x^2)^(7//2))) + (4*a^3)/(5*b^5*(a + b*x^2)^(5//2)) - (2*a^2)/(b^5*(a + b*x^2)^(3//2)) + (4*a)/(b^5*sqrt(a + b*x^2)) + sqrt(a + b*x^2)/b^5, x, 3),
+(x^8/(a + b*x^2)^(9//2), -x^7/(7*b*(a + b*x^2)^(7//2)) - x^5/(5*b^2*(a + b*x^2)^(5//2)) - x^3/(3*b^3*(a + b*x^2)^(3//2)) - x/(b^4*sqrt(a + b*x^2)) + atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2))/b^(9//2), x, 6),
+(x^7/(a + b*x^2)^(9//2), a^3/(7*b^4*(a + b*x^2)^(7//2)) - (3*a^2)/(5*b^4*(a + b*x^2)^(5//2)) + a/(b^4*(a + b*x^2)^(3//2)) - 1/(b^4*sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+(x^6/(a + b*x^2)^(9//2), x^7/(7*a*(a + b*x^2)^(7//2)), x, 1),
+(x^5/(a + b*x^2)^(9//2), -(a^2/(7*b^3*(a + b*x^2)^(7//2))) + (2*a)/(5*b^3*(a + b*x^2)^(5//2)) - 1/(3*b^3*(a + b*x^2)^(3//2)), x, 3),
+(x^4/(a + b*x^2)^(9//2), x^5/(5*a*(a + b*x^2)^(7//2)) + (2*b*x^7)/(35*a^2*(a + b*x^2)^(7//2)), x, 2),
+(x^3/(a + b*x^2)^(9//2), a/(7*b^2*(a + b*x^2)^(7//2)) - 1/(5*b^2*(a + b*x^2)^(5//2)), x, 3),
+(x^2/(a + b*x^2)^(9//2), x^3/(3*a*(a + b*x^2)^(7//2)) + (4*b*x^5)/(15*a^2*(a + b*x^2)^(7//2)) + (8*b^2*x^7)/(105*a^3*(a + b*x^2)^(7//2)), x, 3),
+(x/(a + b*x^2)^(9//2), -1/(7*b*(a + b*x^2)^(7//2)), x, 1),
+(1/(a + b*x^2)^(9//2), x/(7*a*(a + b*x^2)^(7//2)) + (6*x)/(35*a^2*(a + b*x^2)^(5//2)) + (8*x)/(35*a^3*(a + b*x^2)^(3//2)) + (16*x)/(35*a^4*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+(1/(x*(a + b*x^2)^(9//2)), 1/(7*a*(a + b*x^2)^(7//2)) + 1/(5*a^2*(a + b*x^2)^(5//2)) + 1/(3*a^3*(a + b*x^2)^(3//2)) + 1/(a^4*sqrt(a + b*x^2)) - atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a))/a^(9//2), x, 7),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^(9//2)), -(1/(a*x*(a + b*x^2)^(7//2))) - (8*b*x)/(7*a^2*(a + b*x^2)^(7//2)) - (48*b*x)/(35*a^3*(a + b*x^2)^(5//2)) - (64*b*x)/(35*a^4*(a + b*x^2)^(3//2)) - (128*b*x)/(35*a^5*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)^(9//2)), -((9*b)/(14*a^2*(a + b*x^2)^(7//2))) - 1/(2*a*x^2*(a + b*x^2)^(7//2)) - (9*b)/(10*a^3*(a + b*x^2)^(5//2)) - (3*b)/(2*a^4*(a + b*x^2)^(3//2)) - (9*b)/(2*a^5*sqrt(a + b*x^2)) + (9*b*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(11//2)), x, 8),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^(9//2)), -(1/(3*a*x^3*(a + b*x^2)^(7//2))) + (10*b)/(3*a^2*x*(a + b*x^2)^(7//2)) + (80*b^2*x)/(21*a^3*(a + b*x^2)^(7//2)) + (32*b^2*x)/(7*a^4*(a + b*x^2)^(5//2)) + (128*b^2*x)/(21*a^5*(a + b*x^2)^(3//2)) + (256*b^2*x)/(21*a^6*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+
+
+(x^5/sqrt(9 + 4*x^2), (81//64)*sqrt(9 + 4*x^2) - (3//32)*(9 + 4*x^2)^(3//2) + (1//320)*(9 + 4*x^2)^(5//2), x, 3),
+(x^4/sqrt(9 + 4*x^2), (-(27//128))*x*sqrt(9 + 4*x^2) + (1//16)*x^3*sqrt(9 + 4*x^2) + (243//256)*asinh((2*x)/3), x, 3),
+(x^3/sqrt(9 + 4*x^2), (-(9//16))*sqrt(9 + 4*x^2) + (1//48)*(9 + 4*x^2)^(3//2), x, 3),
+(x^2/sqrt(9 + 4*x^2), (1//8)*x*sqrt(9 + 4*x^2) - (9//16)*asinh((2*x)/3), x, 2),
+(x/sqrt(9 + 4*x^2), sqrt(9 + 4*x^2)/4, x, 1),
+(1/sqrt(9 + 4*x^2), asinh((2*x)/3)/2, x, 1),
+(1/(x*sqrt(9 + 4*x^2)), -atanh(sqrt(9 + 4*x^2)/3)/3, x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(9 + 4*x^2)), -sqrt(9 + 4*x^2)/(9*x), x, 1),
+(1/(x^3*sqrt(9 + 4*x^2)), -(sqrt(9 + 4*x^2)/(18*x^2)) + (2//27)*atanh((1//3)*sqrt(9 + 4*x^2)), x, 4),
+(1/(x^4*sqrt(9 + 4*x^2)), -(sqrt(9 + 4*x^2)/(27*x^3)) + (8*sqrt(9 + 4*x^2))/(243*x), x, 2),
+(1/(x^5*sqrt(9 + 4*x^2)), -(sqrt(9 + 4*x^2)/(36*x^4)) + sqrt(9 + 4*x^2)/(54*x^2) - (2//81)*atanh((1//3)*sqrt(9 + 4*x^2)), x, 5),
+
+
+(x^5/sqrt(9 - 4*x^2), (-(81//64))*sqrt(9 - 4*x^2) + (3//32)*(9 - 4*x^2)^(3//2) - (1//320)*(9 - 4*x^2)^(5//2), x, 3),
+(x^4/sqrt(9 - 4*x^2), (-(27//128))*x*sqrt(9 - 4*x^2) - (1//16)*x^3*sqrt(9 - 4*x^2) + (243//256)*asin((2*x)/3), x, 3),
+(x^3/sqrt(9 - 4*x^2), (-(9//16))*sqrt(9 - 4*x^2) + (1//48)*(9 - 4*x^2)^(3//2), x, 3),
+(x^2/sqrt(9 - 4*x^2), (-(1//8))*x*sqrt(9 - 4*x^2) + (9//16)*asin((2*x)/3), x, 2),
+(x/sqrt(9 - 4*x^2), -sqrt(9 - 4*x^2)/4, x, 1),
+(1/sqrt(9 - 4*x^2), asin((2*x)/3)/2, x, 1),
+(1/(x*sqrt(9 - 4*x^2)), -atanh(sqrt(9 - 4*x^2)/3)/3, x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(9 - 4*x^2)), -sqrt(9 - 4*x^2)/(9*x), x, 1),
+(1/(x^3*sqrt(9 - 4*x^2)), -(sqrt(9 - 4*x^2)/(18*x^2)) - (2//27)*atanh((1//3)*sqrt(9 - 4*x^2)), x, 4),
+(1/(x^4*sqrt(9 - 4*x^2)), -(sqrt(9 - 4*x^2)/(27*x^3)) - (8*sqrt(9 - 4*x^2))/(243*x), x, 2),
+(1/(x^5*sqrt(9 - 4*x^2)), -(sqrt(9 - 4*x^2)/(36*x^4)) - sqrt(9 - 4*x^2)/(54*x^2) - (2//81)*atanh((1//3)*sqrt(9 - 4*x^2)), x, 5),
+
+
+(x^5/sqrt(-9 + 4*x^2), (81//64)*sqrt(-9 + 4*x^2) + (3//32)*(-9 + 4*x^2)^(3//2) + (1//320)*(-9 + 4*x^2)^(5//2), x, 3),
+(x^4/sqrt(-9 + 4*x^2), (27//128)*x*sqrt(-9 + 4*x^2) + (1//16)*x^3*sqrt(-9 + 4*x^2) + (243//256)*atanh((2*x)/sqrt(-9 + 4*x^2)), x, 4),
+(x^3/sqrt(-9 + 4*x^2), (9//16)*sqrt(-9 + 4*x^2) + (1//48)*(-9 + 4*x^2)^(3//2), x, 3),
+(x^2/sqrt(-9 + 4*x^2), (1//8)*x*sqrt(-9 + 4*x^2) + (9//16)*atanh((2*x)/sqrt(-9 + 4*x^2)), x, 3),
+(x/sqrt(-9 + 4*x^2), sqrt(-9 + 4*x^2)/4, x, 1),
+(1/sqrt(-9 + 4*x^2), (1//2)*atanh((2*x)/sqrt(-9 + 4*x^2)), x, 2),
+(1/(x*sqrt(-9 + 4*x^2)), atan(sqrt(-9 + 4*x^2)/3)/3, x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(-9 + 4*x^2)), sqrt(-9 + 4*x^2)/(9*x), x, 1),
+(1/(x^3*sqrt(-9 + 4*x^2)), sqrt(-9 + 4*x^2)/(18*x^2) + (2//27)*atan((1//3)*sqrt(-9 + 4*x^2)), x, 4),
+(1/(x^4*sqrt(-9 + 4*x^2)), sqrt(-9 + 4*x^2)/(27*x^3) + (8*sqrt(-9 + 4*x^2))/(243*x), x, 2),
+(1/(x^5*sqrt(-9 + 4*x^2)), sqrt(-9 + 4*x^2)/(36*x^4) + sqrt(-9 + 4*x^2)/(54*x^2) + (2//81)*atan((1//3)*sqrt(-9 + 4*x^2)), x, 5),
+
+
+(x^5/sqrt(-9 - 4*x^2), (-(81//64))*sqrt(-9 - 4*x^2) - (3//32)*(-9 - 4*x^2)^(3//2) - (1//320)*(-9 - 4*x^2)^(5//2), x, 3),
+(x^4/sqrt(-9 - 4*x^2), (27//128)*x*sqrt(-9 - 4*x^2) - (1//16)*x^3*sqrt(-9 - 4*x^2) + (243//256)*atan((2*x)/sqrt(-9 - 4*x^2)), x, 4),
+(x^3/sqrt(-9 - 4*x^2), (9//16)*sqrt(-9 - 4*x^2) + (1//48)*(-9 - 4*x^2)^(3//2), x, 3),
+(x^2/sqrt(-9 - 4*x^2), (-(1//8))*x*sqrt(-9 - 4*x^2) - (9//16)*atan((2*x)/sqrt(-9 - 4*x^2)), x, 3),
+(x/sqrt(-9 - 4*x^2), -sqrt(-9 - 4*x^2)/4, x, 1),
+(1/sqrt(-9 - 4*x^2), (1//2)*atan((2*x)/sqrt(-9 - 4*x^2)), x, 2),
+(1/(x*sqrt(-9 - 4*x^2)), atan(sqrt(-9 - 4*x^2)/3)/3, x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(-9 - 4*x^2)), sqrt(-9 - 4*x^2)/(9*x), x, 1),
+(1/(x^3*sqrt(-9 - 4*x^2)), sqrt(-9 - 4*x^2)/(18*x^2) - (2//27)*atan((1//3)*sqrt(-9 - 4*x^2)), x, 4),
+(1/(x^4*sqrt(-9 - 4*x^2)), sqrt(-9 - 4*x^2)/(27*x^3) - (8*sqrt(-9 - 4*x^2))/(243*x), x, 2),
+(1/(x^5*sqrt(-9 - 4*x^2)), sqrt(-9 - 4*x^2)/(36*x^4) - sqrt(-9 - 4*x^2)/(54*x^2) + (2//81)*atan((1//3)*sqrt(-9 - 4*x^2)), x, 5),
+
+
+(1/sqrt(9 + b*x^2), asinh((sqrt(b)*x)/3)/sqrt(b), x, 1),
+(1/sqrt(9 - b*x^2), asin((sqrt(b)*x)/3)/sqrt(b), x, 1),
+(1/sqrt(-9 + b*x^2), atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(-9 + b*x^2))/sqrt(b), x, 2),
+(1/sqrt(-9 - b*x^2), atan((sqrt(b)*x)/sqrt(-9 - b*x^2))/sqrt(b), x, 2),
+
+(1/sqrt(π + b*x^2), asinh((sqrt(b)*x)/sqrt(π))/sqrt(b), x, 1),
+(1/sqrt(π - b*x^2), asin((sqrt(b)*x)/sqrt(π))/sqrt(b), x, 1),
+(1/sqrt(-π + b*x^2), atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(-π + b*x^2))/sqrt(b), x, 2),
+(1/sqrt(-π - b*x^2), atan((sqrt(b)*x)/sqrt(-π - b*x^2))/sqrt(b), x, 2),
+
+(1/sqrt(a + b*x^2), atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2))/sqrt(b), x, 2),
+(1/sqrt(a - b*x^2), atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a - b*x^2))/sqrt(b), x, 2),
+(1/sqrt(-a + b*x^2), atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(-a + b*x^2))/sqrt(b), x, 2),
+(1/sqrt(-a - b*x^2), atan((sqrt(b)*x)/sqrt(-a - b*x^2))/sqrt(b), x, 2),
+
+(1/sqrt(a^2 - x^2), atan(x/sqrt(a^2 - x^2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^(m/2) (a+b x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((c*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x^2), -((20*a^2*c^3*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(231*b^2)) + (4*a*c*(c*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2))/(77*b) + (2*(c*x)^(9//2)*sqrt(a + b*x^2))/(11*c) + (10*a^(11//4)*c^(7//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(231*b^(9//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+((c*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2), (4*a*c*(c*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2))/(45*b) + (2*(c*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x^2))/(9*c) - (4*a^2*c^2*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(15*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + (4*a^(9//4)*c^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(15*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)) - (2*a^(9//4)*c^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(15*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+((c*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2), (4*a*c*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(21*b) + (2*(c*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2))/(7*c) - (2*a^(7//4)*c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(21*b^(5//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((c*x)^(1//2)*sqrt(a + b*x^2), (2*(c*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2))/(5*c) + (4*a*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(5*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - (4*a^(5//4)*sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^2)) + (2*a^(5//4)*sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+(sqrt(a + b*x^2)/(c*x)^(1//2), (2*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(3*c) + (2*a^(3//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(3*b^(1//4)*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+(sqrt(a + b*x^2)/(c*x)^(3//2), -((2*sqrt(a + b*x^2))/(c*sqrt(c*x))) + (4*sqrt(b)*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(c^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - (4*a^(1//4)*b^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)) + (2*a^(1//4)*b^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+(sqrt(a + b*x^2)/(c*x)^(5//2), -((2*sqrt(a + b*x^2))/(3*c*(c*x)^(3//2))) + (2*b^(3//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(3*a^(1//4)*c^(5//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+(sqrt(a + b*x^2)/(c*x)^(7//2), -((2*sqrt(a + b*x^2))/(5*c*(c*x)^(5//2))) - (4*b*sqrt(a + b*x^2))/(5*a*c^3*sqrt(c*x)) + (4*b^(3//2)*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(5*a*c^4*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - (4*b^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(5*a^(3//4)*c^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)) + (2*b^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(5*a^(3//4)*c^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+
+
+((c*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(3//2), -((8*a^3*c^3*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(231*b^2)) + (8*a^2*c*(c*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2))/(385*b) + (4*a*(c*x)^(9//2)*sqrt(a + b*x^2))/(55*c) + (2*(c*x)^(9//2)*(a + b*x^2)^(3//2))/(15*c) + (4*a^(15//4)*c^(7//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(231*b^(9//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+((c*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(3//2), (8*a^2*c*(c*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2))/(195*b) + (4*a*(c*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x^2))/(39*c) - (8*a^3*c^2*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(65*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + (2*(c*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(3//2))/(13*c) + (8*a^(13//4)*c^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(65*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)) - (4*a^(13//4)*c^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(65*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 7),
+((c*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//2), (8*a^2*c*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(77*b) + (12*a*(c*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2))/(77*c) + (2*(c*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(3//2))/(11*c) - (4*a^(11//4)*c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(77*b^(5//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+((c*x)^(1//2)*(a + b*x^2)^(3//2), (4*a*(c*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2))/(15*c) + (8*a^2*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(15*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + (2*(c*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//2))/(9*c) - (8*a^(9//4)*sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(15*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^2)) + (4*a^(9//4)*sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(15*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^(3//2)/(c*x)^(1//2), (4*a*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(7*c) + (2*sqrt(c*x)*(a + b*x^2)^(3//2))/(7*c) + (4*a^(7//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(7*b^(1//4)*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^(3//2)/(c*x)^(3//2), (12*b*(c*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2))/(5*c^3) + (24*a*sqrt(b)*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(5*c^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - (2*(a + b*x^2)^(3//2))/(c*sqrt(c*x)) - (24*a^(5//4)*b^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(5*c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)) + (12*a^(5//4)*b^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(5*c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^(3//2)/(c*x)^(5//2), (4*b*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(3*c^3) - (2*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*c*(c*x)^(3//2)) + (4*a^(3//4)*b^(3//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(3*c^(5//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^(3//2)/(c*x)^(7//2), -((12*b*sqrt(a + b*x^2))/(5*c^3*sqrt(c*x))) + (24*b^(3//2)*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(5*c^4*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - (2*(a + b*x^2)^(3//2))/(5*c*(c*x)^(5//2)) - (24*a^(1//4)*b^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(5*c^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)) + (12*a^(1//4)*b^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(5*c^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^(3//2)/(c*x)^(9//2), -((4*b*sqrt(a + b*x^2))/(7*c^3*(c*x)^(3//2))) - (2*(a + b*x^2)^(3//2))/(7*c*(c*x)^(7//2)) + (4*b^(7//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(7*a^(1//4)*c^(9//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^(3//2)/(c*x)^(11//2), -((4*b*sqrt(a + b*x^2))/(15*c^3*(c*x)^(5//2))) - (8*b^2*sqrt(a + b*x^2))/(15*a*c^5*sqrt(c*x)) + (8*b^(5//2)*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(15*a*c^6*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - (2*(a + b*x^2)^(3//2))/(9*c*(c*x)^(9//2)) - (8*b^(9//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(15*a^(3//4)*c^(11//2)*sqrt(a + b*x^2)) + (4*b^(9//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(15*a^(3//4)*c^(11//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 7),
+
+
+((c*x)^(5//2)*sqrt(3*a - 2*a*x^2), (-2*c*(c*x)^(3//2)*sqrt(3*a - 2*a*x^2))/15 + (2*(c*x)^(7//2)*sqrt(3*a - 2*a*x^2))/(9*c) - (3*6^(1//4)*a*c^2*sqrt(c*x)*sqrt(3 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3 - sqrt(6)*x)/sqrt(6)), 2))/(5*sqrt(x)*sqrt(3*a - 2*a*x^2)), x, 6),
+((c*x)^(3//2)*sqrt(3*a - 2*a*x^2), (-(2//7))*c*sqrt(c*x)*sqrt(3*a - 2*a*x^2) + (2*(c*x)^(5//2)*sqrt(3*a - 2*a*x^2))/(7*c) + (6^(3//4)*a*c^(3//2)*sqrt(3 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((2//3)^(1//4)*sqrt(c*x))/sqrt(c)), -1))/(7*sqrt(a*(3 - 2*x^2))), x, 5),
+((c*x)^(1//2)*sqrt(3*a - 2*a*x^2), (2*(c*x)^(3//2)*sqrt(3*a - 2*a*x^2))/(5*c) - (6*6^(1//4)*a*sqrt(c*x)*sqrt(3 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3 - sqrt(6)*x)/sqrt(6)), 2))/(5*sqrt(x)*sqrt(3*a - 2*a*x^2)), x, 5),
+(sqrt(3*a - 2*a*x^2)/(c*x)^(1//2), (2*sqrt(c*x)*sqrt(3*a - 2*a*x^2))/(3*c) + (2*2^(3//4)*a*sqrt(3 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((2//3)^(1//4)*sqrt(c*x))/sqrt(c)), -1))/(3^(1//4)*sqrt(c)*sqrt(a*(3 - 2*x^2))), x, 4),
+(sqrt(3*a - 2*a*x^2)/(c*x)^(3//2), (-2*sqrt(3*a - 2*a*x^2))/(c*sqrt(c*x)) + (4*6^(1//4)*a*sqrt(c*x)*sqrt(3 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3 - sqrt(6)*x)/sqrt(6)), 2))/(c^2*sqrt(x)*sqrt(3*a - 2*a*x^2)), x, 5),
+(sqrt(3*a - 2*a*x^2)/(c*x)^(5//2), -((2*sqrt(3*a - 2*a*x^2))/(3*c*(c*x)^(3//2))) - (4*2^(3//4)*a*sqrt(3 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((2//3)^(1//4)*sqrt(c*x))/sqrt(c)), -1))/(3*3^(1//4)*c^(5//2)*sqrt(a*(3 - 2*x^2))), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((c*x)^(7//2)/sqrt(a + b*x^2), -((10*a*c^3*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(21*b^2)) + (2*c*(c*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2))/(7*b) + (5*a^(7//4)*c^(7//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(21*b^(9//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((c*x)^(5//2)/sqrt(a + b*x^2), (2*c*(c*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2))/(5*b) - (6*a*c^2*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(5*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + (6*a^(5//4)*c^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(5*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)) - (3*a^(5//4)*c^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(5*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+((c*x)^(3//2)/sqrt(a + b*x^2), (2*c*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(3*b) - (a^(3//4)*c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(3*b^(5//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+((c*x)^(1//2)/sqrt(a + b*x^2), (2*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - (2*a^(1//4)*sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(b^(3//4)*sqrt(a + b*x^2)) + (a^(1//4)*sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(b^(3//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+(1/((c*x)^(1//2)*sqrt(a + b*x^2)), ((sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)), x, 2),
+(1/((c*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)), -((2*sqrt(a + b*x^2))/(a*c*sqrt(c*x))) + (2*sqrt(b)*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(a*c^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - (2*b^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(a^(3//4)*c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)) + (b^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(a^(3//4)*c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+(1/((c*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2)), -((2*sqrt(a + b*x^2))/(3*a*c*(c*x)^(3//2))) - (b^(3//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(3*a^(5//4)*c^(5//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+(1/((c*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)), -((2*sqrt(a + b*x^2))/(5*a*c*(c*x)^(5//2))) + (6*b*sqrt(a + b*x^2))/(5*a^2*c^3*sqrt(c*x)) - (6*b^(3//2)*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(5*a^2*c^4*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + (6*b^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(5*a^(7//4)*c^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)) - (3*b^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(5*a^(7//4)*c^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+
+
+((c*x)^(7//2)/(a + b*x^2)^(3//2), -((c*(c*x)^(5//2))/(b*sqrt(a + b*x^2))) + (5*c^3*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(3*b^2) - (5*a^(3//4)*c^(7//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(6*b^(9//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((c*x)^(5//2)/(a + b*x^2)^(3//2), -((c*(c*x)^(3//2))/(b*sqrt(a + b*x^2))) + (3*c^2*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - (3*a^(1//4)*c^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)) + (3*a^(1//4)*c^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(2*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+((c*x)^(3//2)/(a + b*x^2)^(3//2), -((c*sqrt(c*x))/(b*sqrt(a + b*x^2))) + (c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(2*a^(1//4)*b^(5//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+((c*x)^(1//2)/(a + b*x^2)^(3//2), (c*x)^(3//2)/(a*c*sqrt(a + b*x^2)) - (sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(a*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + (sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(a^(3//4)*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^2)) - (sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(2*a^(3//4)*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+(1/((c*x)^(1//2)*(a + b*x^2)^(3//2)), sqrt(c*x)/(a*c*sqrt(a + b*x^2)) + ((sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(2*a^(5//4)*b^(1//4)*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+(1/((c*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//2)), 1/(a*c*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2)) - (3*sqrt(a + b*x^2))/(a^2*c*sqrt(c*x)) + (3*sqrt(b)*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(a^2*c^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - (3*b^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(a^(7//4)*c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)) + (3*b^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(2*a^(7//4)*c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+(1/((c*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(3//2)), 1/(a*c*(c*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)) - (5*sqrt(a + b*x^2))/(3*a^2*c*(c*x)^(3//2)) - (5*b^(3//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(6*a^(9//4)*c^(5//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+(1/((c*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(3//2)), 1/(a*c*(c*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2)) - (7*sqrt(a + b*x^2))/(5*a^2*c*(c*x)^(5//2)) + (21*b*sqrt(a + b*x^2))/(5*a^3*c^3*sqrt(c*x)) - (21*b^(3//2)*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(5*a^3*c^4*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + (21*b^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(5*a^(11//4)*c^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)) - (21*b^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(10*a^(11//4)*c^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 7),
+
+
+((c*x)^(7//2)/(a + b*x^2)^(5//2), -((c*(c*x)^(5//2))/(3*b*(a + b*x^2)^(3//2))) - (5*c^3*sqrt(c*x))/(6*b^2*sqrt(a + b*x^2)) + (5*c^(7//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(12*a^(1//4)*b^(9//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((c*x)^(5//2)/(a + b*x^2)^(5//2), -((c*(c*x)^(3//2))/(3*b*(a + b*x^2)^(3//2))) + (c*(c*x)^(3//2))/(2*a*b*sqrt(a + b*x^2)) - (c^2*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(2*a*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + (c^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(2*a^(3//4)*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)) - (c^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(4*a^(3//4)*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+((c*x)^(3//2)/(a + b*x^2)^(5//2), -((c*sqrt(c*x))/(3*b*(a + b*x^2)^(3//2))) + (c*sqrt(c*x))/(6*a*b*sqrt(a + b*x^2)) + (c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(12*a^(5//4)*b^(5//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((c*x)^(1//2)/(a + b*x^2)^(5//2), (c*x)^(3//2)/(3*a*c*(a + b*x^2)^(3//2)) + (c*x)^(3//2)/(2*a^2*c*sqrt(a + b*x^2)) - (sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(2*a^2*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + (sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(2*a^(7//4)*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^2)) - (sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(4*a^(7//4)*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+(1/((c*x)^(1//2)*(a + b*x^2)^(5//2)), sqrt(c*x)/(3*a*c*(a + b*x^2)^(3//2)) + (5*sqrt(c*x))/(6*a^2*c*sqrt(a + b*x^2)) + (5*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(12*a^(9//4)*b^(1//4)*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+(1/((c*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(5//2)), 1/(3*a*c*sqrt(c*x)*(a + b*x^2)^(3//2)) + 7/(6*a^2*c*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2)) - (7*sqrt(a + b*x^2))/(2*a^3*c*sqrt(c*x)) + (7*sqrt(b)*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(2*a^3*c^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - (7*b^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(2*a^(11//4)*c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)) + (7*b^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(4*a^(11//4)*c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 7),
+(1/((c*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(5//2)), 1/(3*a*c*(c*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//2)) + 3/(2*a^2*c*(c*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)) - (5*sqrt(a + b*x^2))/(2*a^3*c*(c*x)^(3//2)) - (5*b^(3//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(4*a^(13//4)*c^(5//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+(1/((c*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(5//2)), 1/(3*a*c*(c*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(3//2)) + 11/(6*a^2*c*(c*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2)) - (77*sqrt(a + b*x^2))/(30*a^3*c*(c*x)^(5//2)) + (77*b*sqrt(a + b*x^2))/(10*a^4*c^3*sqrt(c*x)) - (77*b^(3//2)*sqrt(c*x)*sqrt(a + b*x^2))/(10*a^4*c^4*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + (77*b^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(10*a^(15//4)*c^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)) - (77*b^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a^(1//4)*sqrt(c))), 1//2))/(20*a^(15//4)*c^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 8),
+
+
+((c*x)^(5//2)/sqrt(3*a - 2*a*x^2), -(c*(c*x)^(3//2)*sqrt(3*a - 2*a*x^2))/(5*a) - (9*3^(1//4)*c^2*sqrt(c*x)*sqrt(3 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3 - sqrt(6)*x)/sqrt(6)), 2))/(5*2^(3//4)*sqrt(x)*sqrt(3*a - 2*a*x^2)), x, 5),
+((c*x)^(3//2)/sqrt(3*a - 2*a*x^2), -((c*sqrt(c*x)*sqrt(3*a - 2*a*x^2))/(3*a)) + (c^(3//2)*sqrt(3 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((2//3)^(1//4)*sqrt(c*x))/sqrt(c)), -1))/(6^(1//4)*sqrt(a*(3 - 2*x^2))), x, 4),
+((c*x)^(1//2)/sqrt(3*a - 2*a*x^2), -((6^(1//4)*sqrt(c*x)*sqrt(3 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3 - sqrt(6)*x)/sqrt(6)), 2))/(sqrt(x)*sqrt(3*a - 2*a*x^2))), x, 4),
+(1/((c*x)^(1//2)*sqrt(3*a - 2*a*x^2)), (2^(3//4)*sqrt(3 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((2//3)^(1//4)*sqrt(c*x))/sqrt(c)), -1))/(3^(1//4)*sqrt(c)*sqrt(a*(3 - 2*x^2))), x, 3),
+(1/((c*x)^(3//2)*sqrt(3*a - 2*a*x^2)), (-2*sqrt(3*a - 2*a*x^2))/(3*a*c*sqrt(c*x)) + (2*2^(1//4)*sqrt(c*x)*sqrt(3 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3 - sqrt(6)*x)/sqrt(6)), 2))/(3^(3//4)*c^2*sqrt(x)*sqrt(3*a - 2*a*x^2)), x, 5),
+(1/((c*x)^(5//2)*sqrt(3*a - 2*a*x^2)), -((2*sqrt(3*a - 2*a*x^2))/(9*a*c*(c*x)^(3//2))) + (2*2^(3//4)*sqrt(3 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((2//3)^(1//4)*sqrt(c*x))/sqrt(c)), -1))/(9*3^(1//4)*c^(5//2)*sqrt(a*(3 - 2*x^2))), x, 4),
+
+
+((c*x)^(5//2)/(3*a - 2*a*x^2)^(3//2), (c*(c*x)^(3//2))/(2*a*sqrt(3*a - 2*a*x^2)) + (3*3^(1//4)*c^2*sqrt(c*x)*sqrt(3 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3 - sqrt(6)*x)/sqrt(6)), 2))/(2*2^(3//4)*a*sqrt(x)*sqrt(3*a - 2*a*x^2)), x, 5),
+((c*x)^(3//2)/(3*a - 2*a*x^2)^(3//2), (c*sqrt(c*x))/(2*a*sqrt(3*a - 2*a*x^2)) - (c^(3//2)*sqrt(3 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((2//3)^(1//4)*sqrt(c*x))/sqrt(c)), -1))/(2*6^(1//4)*a*sqrt(a*(3 - 2*x^2))), x, 4),
+((c*x)^(1//2)/(3*a - 2*a*x^2)^(3//2), (c*x)^(3//2)/(3*a*c*sqrt(3*a - 2*a*x^2)) + (sqrt(c*x)*sqrt(3 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3 - sqrt(6)*x)/sqrt(6)), 2))/(6^(3//4)*a*sqrt(x)*sqrt(3*a - 2*a*x^2)), x, 5),
+(1/((c*x)^(1//2)*(3*a - 2*a*x^2)^(3//2)), sqrt(c*x)/(3*a*c*sqrt(3*a - 2*a*x^2)) + (sqrt(3 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((2//3)^(1//4)*sqrt(c*x))/sqrt(c)), -1))/(3*6^(1//4)*a*sqrt(c)*sqrt(a*(3 - 2*x^2))), x, 4),
+(1/((c*x)^(3//2)*(3*a - 2*a*x^2)^(3//2)), 1/(3*a*c*sqrt(c*x)*sqrt(3*a - 2*a*x^2)) - sqrt(3*a - 2*a*x^2)/(3*a^2*c*sqrt(c*x)) + (2^(1//4)*sqrt(c*x)*sqrt(3 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3 - sqrt(6)*x)/sqrt(6)), 2))/(3^(3//4)*a*c^2*sqrt(x)*sqrt(3*a - 2*a*x^2)), x, 6),
+(1/((c*x)^(5//2)*(3*a - 2*a*x^2)^(3//2)), 1/(3*a*c*(c*x)^(3//2)*sqrt(3*a - 2*a*x^2)) - (5*sqrt(3*a - 2*a*x^2))/(27*a^2*c*(c*x)^(3//2)) + (5*2^(3//4)*sqrt(3 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((2//3)^(1//4)*sqrt(c*x))/sqrt(c)), -1))/(27*3^(1//4)*a*c^(5//2)*sqrt(a*(3 - 2*x^2))), x, 5),
+
+
+# Compare with Mathematica's more complicated complex result.
+(1/(sqrt(x)*sqrt(1 - a^2*x^2)), (2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(a)*sqrt(x)), -1))/sqrt(a), x, 2),
+(1/(sqrt(x)*sqrt(1 + a*x^2)), ((1 + sqrt(a)*x)*sqrt((1 + a*x^2)/(1 + sqrt(a)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(a^(1//4)*sqrt(x)), 1//2))/(a^(1//4)*sqrt(1 + a*x^2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^2)^(p/2) when m symbolic
+
+
+# {x^m*(a + b*x^2)^(3/2), x, 2, (x^(1 + m)*(a + b*x^2)^(5/2)*Hypergeometric2F1[1, (6 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/(a*(1 + m)), (a*x^(1 + m)*Sqrt[a + b*x^2]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/((1 + m)*Sqrt[1 + (b*x^2)/a])}
+# {x^m*(a + b*x^2)^(1/2), x, 2, (x^(1 + m)*(a + b*x^2)^(3/2)*Hypergeometric2F1[1, (4 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/(a*(1 + m)), (x^(1 + m)*Sqrt[a + b*x^2]*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/((1 + m)*Sqrt[1 + (b*x^2)/a])}
+# {x^m/(a + b*x^2)^(1/2), x, 2, (x^(1 + m)*Sqrt[a + b*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/(a*(1 + m)), (x^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*x^2)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/((1 + m)*Sqrt[a + b*x^2])}
+# {x^m/(a + b*x^2)^(3/2), x, 2, (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, m/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/(a*(1 + m)*Sqrt[a + b*x^2]), (x^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*x^2)/a]*Hypergeometric2F1[3/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/(a*(1 + m)*Sqrt[a + b*x^2])}
+# {x^m/(a + b*x^2)^(5/2), x, 2, (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-2 + m), (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/(a*(1 + m)*(a + b*x^2)^(3/2)), (x^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*x^2)/a]*Hypergeometric2F1[5/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/(a^2*(1 + m)*Sqrt[a + b*x^2])}
+
+
+# {x^(2 + m)/Sqrt[a + b*x^2], x, 2, (x^(3 + m)*Sqrt[a + b*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (4 + m)/2, (5 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/(a*(3 + m)), (x^(3 + m)*Sqrt[1 + (b*x^2)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/((3 + m)*Sqrt[a + b*x^2])}
+# {x^(1 + m)/Sqrt[a + b*x^2], x, 2, (x^(2 + m)*Sqrt[a + b*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (3 + m)/2, (4 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/(a*(2 + m)), (x^(2 + m)*Sqrt[1 + (b*x^2)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/((2 + m)*Sqrt[a + b*x^2])}
+# {x^(0 + m)/Sqrt[a + b*x^2], x, 2, (x^(1 + m)*Sqrt[a + b*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/(a*(1 + m)), (x^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*x^2)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/((1 + m)*Sqrt[a + b*x^2])}
+# {x^(-1 + m)/Sqrt[a + b*x^2], x, 2, (x^m*Sqrt[a + b*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (2 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/(a*m), (x^m*Sqrt[1 + (b*x^2)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, m/2, (2 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/(m*Sqrt[a + b*x^2])}
+# {x^(-2 + m)/Sqrt[a + b*x^2], x, 2, -((x^(-1 + m)*Sqrt[a + b*x^2]*Hypergeometric2F1[1, m/2, (1 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/(a*(1 - m))), -((x^(-1 + m)*Sqrt[1 + (b*x^2)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 + m), (1 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/((1 - m)*Sqrt[a + b*x^2]))}
+
+
+((x^(1 + m)*(a*(2 + m) + b*(3 + m)*x^2))/sqrt(a + b*x^2), x^(2 + m)*sqrt(a + b*x^2), x, 1),
+((a*(2 + m)*x^(1 + m))/sqrt(a + b*x^2) + (b*(3 + m)*x^(3 + m))/sqrt(a + b*x^2), x^(2 + m)*sqrt(a + b*x^2), x, -5),
+
+
+((x^(-1 + m)*(a*m + b*(-1 + m)*x^2))/(a + b*x^2)^(3//2), x^m/sqrt(a + b*x^2), x, 1),
+# {-((b*x^(1 + m))/(a + b*x^2)^(3/2)) + (m*x^(-1 + m))/Sqrt[a + b*x^2], x, -5, x^m/Sqrt[a + b*x^2], -((b*x^(2 + m))/(a*Sqrt[a + b*x^2])) + (x^m*Sqrt[a + b*x^2])/a}
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^2)^(p/3)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^(p/3)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^7*(a + b*x^2)^(1//3), (-3*a^3*(a + b*x^2)^(4//3))/(8*b^4) + (9*a^2*(a + b*x^2)^(7//3))/(14*b^4) - (9*a*(a + b*x^2)^(10//3))/(20*b^4) + (3*(a + b*x^2)^(13//3))/(26*b^4), x, 3),
+(x^5*(a + b*x^2)^(1//3), (3*a^2*(a + b*x^2)^(4//3))/(8*b^3) - (3*a*(a + b*x^2)^(7//3))/(7*b^3) + (3*(a + b*x^2)^(10//3))/(20*b^3), x, 3),
+(x^3*(a + b*x^2)^(1//3), (-3*a*(a + b*x^2)^(4//3))/(8*b^2) + (3*(a + b*x^2)^(7//3))/(14*b^2), x, 3),
+(x^1*(a + b*x^2)^(1//3), (3*(a + b*x^2)^(4//3))/(8*b), x, 1),
+((a + b*x^2)^(1//3)/x^1, (3*(a + b*x^2)^(1//3))/2 - (sqrt(3)*a^(1//3)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^2)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/2 - (a^(1//3)*log(x))/2 + (3*a^(1//3)*log(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/4, x, 6),
+((a + b*x^2)^(1//3)/x^3, -(a + b*x^2)^(1//3)/(2*x^2) - (b*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^2)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(2*sqrt(3)*a^(2//3)) - (b*log(x))/(6*a^(2//3)) + (b*log(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/(4*a^(2//3)), x, 6),
+((a + b*x^2)^(1//3)/x^5, -(a + b*x^2)^(1//3)/(4*x^4) - (b*(a + b*x^2)^(1//3))/(12*a*x^2) + (b^2*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^2)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(6*sqrt(3)*a^(5//3)) + (b^2*log(x))/(18*a^(5//3)) - (b^2*log(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/(12*a^(5//3)), x, 7),
+
+(x^4*(a + b*x^2)^(1//3), -((54*a^2*x*(a + b*x^2)^(1//3))/(935*b^2)) + (6*a*x^3*(a + b*x^2)^(1//3))/(187*b) + (3//17)*x^5*(a + b*x^2)^(1//3) - (54*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^3*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(935*b^3*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 5),
+(x^2*(a + b*x^2)^(1//3), (6*a*x*(a + b*x^2)^(1//3))/(55*b) + (3//11)*x^3*(a + b*x^2)^(1//3) + (6*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^2*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(55*b^2*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 4),
+(x^0*(a + b*x^2)^(1//3), (3//5)*x*(a + b*x^2)^(1//3) - (2*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(5*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 3),
+((a + b*x^2)^(1//3)/x^2, -((a + b*x^2)^(1//3)/x) - (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 3),
+((a + b*x^2)^(1//3)/x^4, -((a + b*x^2)^(1//3)/(3*x^3)) - (2*b*(a + b*x^2)^(1//3))/(9*a*x) + (2*sqrt(2 - sqrt(3))*b*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(9*3^(1//4)*a*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 4),
+
+
+(x^7*(a + b*x^2)^(2//3), (-3*a^3*(a + b*x^2)^(5//3))/(10*b^4) + (9*a^2*(a + b*x^2)^(8//3))/(16*b^4) - (9*a*(a + b*x^2)^(11//3))/(22*b^4) + (3*(a + b*x^2)^(14//3))/(28*b^4), x, 3),
+(x^5*(a + b*x^2)^(2//3), (3*a^2*(a + b*x^2)^(5//3))/(10*b^3) - (3*a*(a + b*x^2)^(8//3))/(8*b^3) + (3*(a + b*x^2)^(11//3))/(22*b^3), x, 3),
+(x^3*(a + b*x^2)^(2//3), (-3*a*(a + b*x^2)^(5//3))/(10*b^2) + (3*(a + b*x^2)^(8//3))/(16*b^2), x, 3),
+(x^1*(a + b*x^2)^(2//3), (3*(a + b*x^2)^(5//3))/(10*b), x, 1),
+((a + b*x^2)^(2//3)/x^1, (3*(a + b*x^2)^(2//3))/4 + (sqrt(3)*a^(2//3)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^2)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/2 - (a^(2//3)*log(x))/2 + (3*a^(2//3)*log(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/4, x, 6),
+((a + b*x^2)^(2//3)/x^3, -(a + b*x^2)^(2//3)/(2*x^2) + (b*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^2)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(1//3)) - (b*log(x))/(3*a^(1//3)) + (b*log(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/(2*a^(1//3)), x, 6),
+((a + b*x^2)^(2//3)/x^5, -(a + b*x^2)^(2//3)/(4*x^4) - (b*(a + b*x^2)^(2//3))/(6*a*x^2) - (b^2*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^2)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(6*sqrt(3)*a^(4//3)) + (b^2*log(x))/(18*a^(4//3)) - (b^2*log(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/(12*a^(4//3)), x, 7),
+
+(x^4*(a + b*x^2)^(2//3), -((108*a^2*x*(a + b*x^2)^(2//3))/(1729*b^2)) + (12*a*x^3*(a + b*x^2)^(2//3))/(247*b) + (3//19)*x^5*(a + b*x^2)^(2//3) - (324*a^3*x)/(1729*b^2*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))) + (162*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(10//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(1729*b^3*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))) - (108*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(10//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(1729*b^3*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 7),
+(x^2*(a + b*x^2)^(2//3), (12*a*x*(a + b*x^2)^(2//3))/(91*b) + (3//13)*x^3*(a + b*x^2)^(2//3) + (36*a^2*x)/(91*b*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))) - (18*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(7//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(91*b^2*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))) + (12*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(7//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(91*b^2*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 6),
+(x^0*(a + b*x^2)^(2//3), (3//7)*x*(a + b*x^2)^(2//3) - (12*a*x)/(7*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))) + (6*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(4//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))) - (4*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(4//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 5),
+((a + b*x^2)^(2//3)/x^2, -((a + b*x^2)^(2//3)/x) - (4*b*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)) + (2*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))) - (4*sqrt(2)*a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 5),
+((a + b*x^2)^(2//3)/x^4, -((a + b*x^2)^(2//3)/(3*x^3)) - (4*b*(a + b*x^2)^(2//3))/(9*a*x) - (4*b^2*x)/(9*a*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))) + (2*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(9*a^(2//3)*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))) - (4*sqrt(2)*b*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(9*3^(1//4)*a^(2//3)*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 6),
+
+
+(x^7*(a + b*x^2)^(4//3), (-3*a^3*(a + b*x^2)^(7//3))/(14*b^4) + (9*a^2*(a + b*x^2)^(10//3))/(20*b^4) - (9*a*(a + b*x^2)^(13//3))/(26*b^4) + (3*(a + b*x^2)^(16//3))/(32*b^4), x, 3),
+(x^5*(a + b*x^2)^(4//3), (3*a^2*(a + b*x^2)^(7//3))/(14*b^3) - (3*a*(a + b*x^2)^(10//3))/(10*b^3) + (3*(a + b*x^2)^(13//3))/(26*b^3), x, 3),
+(x^3*(a + b*x^2)^(4//3), (-3*a*(a + b*x^2)^(7//3))/(14*b^2) + (3*(a + b*x^2)^(10//3))/(20*b^2), x, 3),
+(x^1*(a + b*x^2)^(4//3), (3*(a + b*x^2)^(7//3))/(14*b), x, 1),
+((a + b*x^2)^(4//3)/x^1, (3*a*(a + b*x^2)^(1//3))/2 + (3*(a + b*x^2)^(4//3))/8 - (sqrt(3)*a^(4//3)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^2)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/2 - (a^(4//3)*log(x))/2 + (3*a^(4//3)*log(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/4, x, 7),
+((a + b*x^2)^(4//3)/x^3, 2*b*(a + b*x^2)^(1//3) - (a + b*x^2)^(4//3)/(2*x^2) - (2*a^(1//3)*b*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^2)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/sqrt(3) - (2*a^(1//3)*b*log(x))/3 + a^(1//3)*b*log(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)), x, 7),
+((a + b*x^2)^(4//3)/x^5, -(b*(a + b*x^2)^(1//3))/(3*x^2) - (a + b*x^2)^(4//3)/(4*x^4) - (b^2*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^2)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(2//3)) - (b^2*log(x))/(9*a^(2//3)) + (b^2*log(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/(6*a^(2//3)), x, 7),
+
+(x^4*(a + b*x^2)^(4//3), -((432*a^3*x*(a + b*x^2)^(1//3))/(21505*b^2)) + (48*a^2*x^3*(a + b*x^2)^(1//3))/(4301*b) + (24//391)*a*x^5*(a + b*x^2)^(1//3) + (3//23)*x^5*(a + b*x^2)^(4//3) - (432*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^4*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(21505*b^3*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 6),
+(x^2*(a + b*x^2)^(4//3), (48*a^2*x*(a + b*x^2)^(1//3))/(935*b) + (24//187)*a*x^3*(a + b*x^2)^(1//3) + (3//17)*x^3*(a + b*x^2)^(4//3) + (48*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^3*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(935*b^2*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 5),
+(x^0*(a + b*x^2)^(4//3), (24//55)*a*x*(a + b*x^2)^(1//3) + (3//11)*x*(a + b*x^2)^(4//3) - (16*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^2*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(55*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 4),
+((a + b*x^2)^(4//3)/x^2, (8//5)*b*x*(a + b*x^2)^(1//3) - (a + b*x^2)^(4//3)/x - (16*sqrt(2 - sqrt(3))*a*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(5*3^(1//4)*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 4),
+((a + b*x^2)^(4//3)/x^4, -((8*b*(a + b*x^2)^(1//3))/(9*x)) - (a + b*x^2)^(4//3)/(3*x^3) - (16*sqrt(2 - sqrt(3))*b*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(9*3^(1//4)*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 4),
+
+
+(x*(-1 + x^2)^(7//3), (3*(-1 + x^2)^(10//3))/20, x, 1),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^7/(a + b*x^2)^(1//3), -((3*a^3*(a + b*x^2)^(2//3))/(4*b^4)) + (9*a^2*(a + b*x^2)^(5//3))/(10*b^4) - (9*a*(a + b*x^2)^(8//3))/(16*b^4) + (3*(a + b*x^2)^(11//3))/(22*b^4), x, 3),
+(x^5/(a + b*x^2)^(1//3), (3*a^2*(a + b*x^2)^(2//3))/(4*b^3) - (3*a*(a + b*x^2)^(5//3))/(5*b^3) + (3*(a + b*x^2)^(8//3))/(16*b^3), x, 3),
+(x^3/(a + b*x^2)^(1//3), -((3*a*(a + b*x^2)^(2//3))/(4*b^2)) + (3*(a + b*x^2)^(5//3))/(10*b^2), x, 3),
+(x^1/(a + b*x^2)^(1//3), (3*(a + b*x^2)^(2//3))/(4*b), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)^(1//3)), (sqrt(3)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^2)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(2*a^(1//3)) - log(x)/(2*a^(1//3)) + (3*log(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/(4*a^(1//3)), x, 5),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)^(1//3)), -((a + b*x^2)^(2//3)/(2*a*x^2)) - (b*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^2)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(2*sqrt(3)*a^(4//3)) + (b*log(x))/(6*a^(4//3)) - (b*log(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/(4*a^(4//3)), x, 6),
+(1/(x^5*(a + b*x^2)^(1//3)), -((a + b*x^2)^(2//3)/(4*a*x^4)) + (b*(a + b*x^2)^(2//3))/(3*a^2*x^2) + (b^2*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^2)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(7//3)) - (b^2*log(x))/(9*a^(7//3)) + (b^2*log(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/(6*a^(7//3)), x, 7),
+
+(x^4/(a + b*x^2)^(1//3), -((27*a*x*(a + b*x^2)^(2//3))/(91*b^2)) + (3*x^3*(a + b*x^2)^(2//3))/(13*b) - (81*a^2*x)/(91*b^2*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))) + (81*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(7//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(182*b^3*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))) - (27*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(7//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(91*b^3*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 6),
+(x^2/(a + b*x^2)^(1//3), (3*x*(a + b*x^2)^(2//3))/(7*b) + (9*a*x)/(7*b*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))) - (9*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(4//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(14*b^2*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))) + (3*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(4//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*b^2*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 5),
+(x^0/(a + b*x^2)^(1//3), -((3*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))) + (3*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(2*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))) - (sqrt(2)*3^(3//4)*a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 4),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^(1//3)), -((a + b*x^2)^(2//3)/(a*x)) - (b*x)/(a*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))) + (3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(2*a^(2//3)*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))) - (sqrt(2)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*a^(2//3)*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 5),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^(1//3)), -((a + b*x^2)^(2//3)/(3*a*x^3)) + (5*b*(a + b*x^2)^(2//3))/(9*a^2*x) + (5*b^2*x)/(9*a^2*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))) - (5*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(18*a^(5//3)*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))) + (5*sqrt(2)*b*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(9*3^(1//4)*a^(5//3)*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 6),
+
+
+(x^7/(a + b*x^2)^(2//3), -((3*a^3*(a + b*x^2)^(1//3))/(2*b^4)) + (9*a^2*(a + b*x^2)^(4//3))/(8*b^4) - (9*a*(a + b*x^2)^(7//3))/(14*b^4) + (3*(a + b*x^2)^(10//3))/(20*b^4), x, 3),
+(x^5/(a + b*x^2)^(2//3), (3*a^2*(a + b*x^2)^(1//3))/(2*b^3) - (3*a*(a + b*x^2)^(4//3))/(4*b^3) + (3*(a + b*x^2)^(7//3))/(14*b^3), x, 3),
+(x^3/(a + b*x^2)^(2//3), -((3*a*(a + b*x^2)^(1//3))/(2*b^2)) + (3*(a + b*x^2)^(4//3))/(8*b^2), x, 3),
+(x^1/(a + b*x^2)^(2//3), (3*(a + b*x^2)^(1//3))/(2*b), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)^(2//3)), -((sqrt(3)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^2)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(2*a^(2//3))) - log(x)/(2*a^(2//3)) + (3*log(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/(4*a^(2//3)), x, 5),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)^(2//3)), -((a + b*x^2)^(1//3)/(2*a*x^2)) + (b*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^2)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(5//3)) + (b*log(x))/(3*a^(5//3)) - (b*log(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/(2*a^(5//3)), x, 6),
+(1/(x^5*(a + b*x^2)^(2//3)), -((a + b*x^2)^(1//3)/(4*a*x^4)) + (5*b*(a + b*x^2)^(1//3))/(12*a^2*x^2) - (5*b^2*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^2)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(6*sqrt(3)*a^(8//3)) - (5*b^2*log(x))/(18*a^(8//3)) + (5*b^2*log(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/(12*a^(8//3)), x, 7),
+
+(x^4/(a + b*x^2)^(2//3), -((27*a*x*(a + b*x^2)^(1//3))/(55*b^2)) + (3*x^3*(a + b*x^2)^(1//3))/(11*b) - (27*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^2*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(55*b^3*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 4),
+(x^2/(a + b*x^2)^(2//3), (3*x*(a + b*x^2)^(1//3))/(5*b) + (3*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(5*b^2*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 3),
+(x^0/(a + b*x^2)^(2//3), -((3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)))), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^(2//3)), -((a + b*x^2)^(1//3)/(a*x)) + (sqrt(2 - sqrt(3))*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*a*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 3),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^(2//3)), -((a + b*x^2)^(1//3)/(3*a*x^3)) + (7*b*(a + b*x^2)^(1//3))/(9*a^2*x) - (7*sqrt(2 - sqrt(3))*b*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(9*3^(1//4)*a^2*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 4),
+
+
+(x^7/(a + b*x^2)^(4//3), (3*a^3)/(2*b^4*(a + b*x^2)^(1//3)) + (9*a^2*(a + b*x^2)^(2//3))/(4*b^4) - (9*a*(a + b*x^2)^(5//3))/(10*b^4) + (3*(a + b*x^2)^(8//3))/(16*b^4), x, 3),
+(x^5/(a + b*x^2)^(4//3), -((3*a^2)/(2*b^3*(a + b*x^2)^(1//3))) - (3*a*(a + b*x^2)^(2//3))/(2*b^3) + (3*(a + b*x^2)^(5//3))/(10*b^3), x, 3),
+(x^3/(a + b*x^2)^(4//3), (3*a)/(2*b^2*(a + b*x^2)^(1//3)) + (3*(a + b*x^2)^(2//3))/(4*b^2), x, 3),
+(x^1/(a + b*x^2)^(4//3), -(3/(2*b*(a + b*x^2)^(1//3))), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)^(4//3)), 3/(2*a*(a + b*x^2)^(1//3)) + (sqrt(3)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^2)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(2*a^(4//3)) - log(x)/(2*a^(4//3)) + (3*log(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/(4*a^(4//3)), x, 6),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)^(4//3)), -((2*b)/(a^2*(a + b*x^2)^(1//3))) - 1/(2*a*x^2*(a + b*x^2)^(1//3)) - (2*b*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^2)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(7//3)) + (2*b*log(x))/(3*a^(7//3)) - (b*log(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/a^(7//3), x, 7),
+(1/(x^5*(a + b*x^2)^(4//3)), (7*b^2)/(3*a^3*(a + b*x^2)^(1//3)) - 1/(4*a*x^4*(a + b*x^2)^(1//3)) + (7*b)/(12*a^2*x^2*(a + b*x^2)^(1//3)) + (7*b^2*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^2)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(10//3)) - (7*b^2*log(x))/(9*a^(10//3)) + (7*b^2*log(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/(6*a^(10//3)), x, 8),
+
+(x^4/(a + b*x^2)^(4//3), -((3*x^3)/(2*b*(a + b*x^2)^(1//3))) + (27*x*(a + b*x^2)^(2//3))/(14*b^2) + (81*a*x)/(14*b^2*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))) - (81*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(4//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(28*b^3*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))) + (27*3^(3//4)*a^(4//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*sqrt(2)*b^3*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 6),
+(x^2/(a + b*x^2)^(4//3), -((3*x)/(2*b*(a + b*x^2)^(1//3))) - (9*x)/(2*b*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))) + (9*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(4*b^2*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))) - (3*3^(3//4)*a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(sqrt(2)*b^2*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 5),
+(x^0/(a + b*x^2)^(4//3), (3*x)/(2*a*(a + b*x^2)^(1//3)) + (3*x)/(2*a*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(4*a^(2//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))) + (3^(3//4)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(sqrt(2)*a^(2//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 5),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^(4//3)), 3/(2*a*x*(a + b*x^2)^(1//3)) - (5*(a + b*x^2)^(2//3))/(2*a^2*x) - (5*b*x)/(2*a^2*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))) + (5*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(4*a^(5//3)*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))) - (5*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//3)*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 6),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^(4//3)), 3/(2*a*x^3*(a + b*x^2)^(1//3)) - (11*(a + b*x^2)^(2//3))/(6*a^2*x^3) + (55*b*(a + b*x^2)^(2//3))/(18*a^3*x) + (55*b^2*x)/(18*a^3*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))) - (55*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(36*a^(8//3)*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))) + (55*b*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3) + (a + b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(9*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(8//3)*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2))), x, 7),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^(m/3) (a+b x^2)^(p/3)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((c*x)^(13//3)*(a + b*x^2)^(1//3), -((5*a^2*c^3*(c*x)^(4//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/(108*b^2)) + (a*c*(c*x)^(10//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/(36*b) + ((c*x)^(16//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/(6*c) - (5*a^3*c^(13//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(c^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/sqrt(3)))/(54*sqrt(3)*b^(8//3)) - (5*a^3*c^(13//3)*log(b^(1//3)*(c*x)^(2//3) - c^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/(108*b^(8//3)), x, 6),
+((c*x)^(7//3)*(a + b*x^2)^(1//3), (a*c*(c*x)^(4//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/(12*b) + ((c*x)^(10//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/(4*c) + (a^2*c^(7//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(c^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/sqrt(3)))/(6*sqrt(3)*b^(5//3)) + (a^2*c^(7//3)*log(b^(1//3)*(c*x)^(2//3) - c^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/(12*b^(5//3)), x, 5),
+((c*x)^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3), ((c*x)^(4//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/(2*c) - (a*c^(1//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(c^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/sqrt(3)))/(2*sqrt(3)*b^(2//3)) - (a*c^(1//3)*log(b^(1//3)*(c*x)^(2//3) - c^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/(4*b^(2//3)), x, 4),
+((a + b*x^2)^(1//3)/(c*x)^(5//3), -((3*(a + b*x^2)^(1//3))/(2*c*(c*x)^(2//3))) - (sqrt(3)*b^(1//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(c^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/sqrt(3)))/(2*c^(5//3)) - (3*b^(1//3)*log(b^(1//3)*(c*x)^(2//3) - c^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/(4*c^(5//3)), x, 4),
+((a + b*x^2)^(1//3)/(c*x)^(11//3), -((3*(a + b*x^2)^(4//3))/(8*a*c*(c*x)^(8//3))), x, 1),
+((a + b*x^2)^(1//3)/(c*x)^(17//3), -((3*(a + b*x^2)^(4//3))/(8*a*c*(c*x)^(14//3))) + (9*(a + b*x^2)^(7//3))/(56*a^2*c*(c*x)^(14//3)), x, 2),
+((a + b*x^2)^(1//3)/(c*x)^(23//3), -((3*(a + b*x^2)^(4//3))/(8*a*c*(c*x)^(20//3))) + (9*(a + b*x^2)^(7//3))/(28*a^2*c*(c*x)^(20//3)) - (27*(a + b*x^2)^(10//3))/(280*a^3*c*(c*x)^(20//3)), x, 3),
+((a + b*x^2)^(1//3)/(c*x)^(29//3), -((3*(a + b*x^2)^(4//3))/(8*a*c*(c*x)^(26//3))) + (27*(a + b*x^2)^(7//3))/(56*a^2*c*(c*x)^(26//3)) - (81*(a + b*x^2)^(10//3))/(280*a^3*c*(c*x)^(26//3)) + (243*(a + b*x^2)^(13//3))/(3640*a^4*c*(c*x)^(26//3)), x, 4),
+
+((c*x)^(10//3)*(a + b*x^2)^(1//3), -((14*a^2*c^3*(c*x)^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/(135*b^2)) + (2*a*c*(c*x)^(7//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/(45*b) + ((c*x)^(13//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/(5*c) + (7*a^2*c^(7//3)*(c*x)^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3)*(c^(2//3) - (b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((c^(4//3) + (b^(2//3)*(c*x)^(4//3))/(a + b*x^2)^(2//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))/(c^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((c^(2//3) - ((1 - sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))/(c^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(135*3^(1//4)*b^2*sqrt(-((b^(1//3)*(c*x)^(2//3)*(c^(2//3) - (b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3)))/((a + b*x^2)^(1//3)*(c^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))^2)))), x, 6),
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+
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+
+
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+((a + b*x^2)^(4//3)/(c*x)^(5//3), (2*b*(c*x)^(4//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/c^3 - (3*(a + b*x^2)^(4//3))/(2*c*(c*x)^(2//3)) - (2*a*b^(1//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(c^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(5//3)) - (a*b^(1//3)*log(b^(1//3)*(c*x)^(2//3) - c^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/c^(5//3), x, 5),
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+((a + b*x^2)^(4//3)/(c*x)^(23//3), -((3*(a + b*x^2)^(7//3))/(14*a*c*(c*x)^(20//3))) + (9*(a + b*x^2)^(10//3))/(140*a^2*c*(c*x)^(20//3)), x, 2),
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+
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+((c*x)^(19//3)/(a + b*x^2)^(2//3), (10*a^2*c^5*(c*x)^(4//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/(27*b^3) - (2*a*c^3*(c*x)^(10//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/(9*b^2) + (c*(c*x)^(16//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/(6*b) + (20*a^3*c^(19//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(c^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/sqrt(3)))/(27*sqrt(3)*b^(11//3)) + (10*a^3*c^(19//3)*log(b^(1//3)*(c*x)^(2//3) - c^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/(27*b^(11//3)), x, 6),
+((c*x)^(13//3)/(a + b*x^2)^(2//3), -((5*a*c^3*(c*x)^(4//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/(12*b^2)) + (c*(c*x)^(10//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/(4*b) - (5*a^2*c^(13//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(c^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/sqrt(3)))/(6*sqrt(3)*b^(8//3)) - (5*a^2*c^(13//3)*log(b^(1//3)*(c*x)^(2//3) - c^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/(12*b^(8//3)), x, 5),
+((c*x)^(7//3)/(a + b*x^2)^(2//3), (c*(c*x)^(4//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/(2*b) + (a*c^(7//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(c^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(5//3)) + (a*c^(7//3)*log(b^(1//3)*(c*x)^(2//3) - c^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/(2*b^(5//3)), x, 4),
+((c*x)^(1//3)/(a + b*x^2)^(2//3), -((sqrt(3)*c^(1//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(c^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/sqrt(3)))/(2*b^(2//3))) - (3*c^(1//3)*log(b^(1//3)*(c*x)^(2//3) - c^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/(4*b^(2//3)), x, 3),
+(1/((c*x)^(5//3)*(a + b*x^2)^(2//3)), -((3*(a + b*x^2)^(1//3))/(2*a*c*(c*x)^(2//3))), x, 1),
+(1/((c*x)^(11//3)*(a + b*x^2)^(2//3)), -((3*(a + b*x^2)^(1//3))/(2*a*c*(c*x)^(8//3))) + (9*(a + b*x^2)^(4//3))/(8*a^2*c*(c*x)^(8//3)), x, 2),
+(1/((c*x)^(17//3)*(a + b*x^2)^(2//3)), -((3*(a + b*x^2)^(1//3))/(2*a*c*(c*x)^(14//3))) + (9*(a + b*x^2)^(4//3))/(4*a^2*c*(c*x)^(14//3)) - (27*(a + b*x^2)^(7//3))/(28*a^3*c*(c*x)^(14//3)), x, 3),
+(1/((c*x)^(23//3)*(a + b*x^2)^(2//3)), -((3*(a + b*x^2)^(1//3))/(2*a*c*(c*x)^(20//3))) + (27*(a + b*x^2)^(4//3))/(8*a^2*c*(c*x)^(20//3)) - (81*(a + b*x^2)^(7//3))/(28*a^3*c*(c*x)^(20//3)) + (243*(a + b*x^2)^(10//3))/(280*a^4*c*(c*x)^(20//3)), x, 4),
+
+((c*x)^(10//3)/(a + b*x^2)^(2//3), -((7*a*c^3*(c*x)^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/(9*b^2)) + (c*(c*x)^(7//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/(3*b) + (7*a*c^(7//3)*(c*x)^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3)*(c^(2//3) - (b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((c^(4//3) + (b^(2//3)*(c*x)^(4//3))/(a + b*x^2)^(2//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))/(c^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((c^(2//3) - ((1 - sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))/(c^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(18*3^(1//4)*b^2*sqrt(-((b^(1//3)*(c*x)^(2//3)*(c^(2//3) - (b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3)))/((a + b*x^2)^(1//3)*(c^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))^2)))), x, 5),
+((c*x)^(4//3)/(a + b*x^2)^(2//3), (c*(c*x)^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3))/b - (c^(1//3)*(c*x)^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3)*(c^(2//3) - (b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((c^(4//3) + (b^(2//3)*(c*x)^(4//3))/(a + b*x^2)^(2//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))/(c^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((c^(2//3) - ((1 - sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))/(c^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(2*3^(1//4)*b*sqrt(-((b^(1//3)*(c*x)^(2//3)*(c^(2//3) - (b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3)))/((a + b*x^2)^(1//3)*(c^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))^2)))), x, 4),
+(1/((c*x)^(2//3)*(a + b*x^2)^(2//3)), (3^(3//4)*(c*x)^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3)*(c^(2//3) - (b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((c^(4//3) + (b^(2//3)*(c*x)^(4//3))/(a + b*x^2)^(2//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))/(c^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((c^(2//3) - ((1 - sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))/(c^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(2*a*c^(5//3)*sqrt(-((b^(1//3)*(c*x)^(2//3)*(c^(2//3) - (b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3)))/((a + b*x^2)^(1//3)*(c^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))^2)))), x, 3),
+(1/((c*x)^(8//3)*(a + b*x^2)^(2//3)), -((3*(a + b*x^2)^(1//3))/(5*a*c*(c*x)^(5//3))) - (3*3^(3//4)*b*(c*x)^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3)*(c^(2//3) - (b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((c^(4//3) + (b^(2//3)*(c*x)^(4//3))/(a + b*x^2)^(2//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))/(c^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((c^(2//3) - ((1 - sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))/(c^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(10*a^2*c^(11//3)*sqrt(-((b^(1//3)*(c*x)^(2//3)*(c^(2//3) - (b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3)))/((a + b*x^2)^(1//3)*(c^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))^2)))), x, 4),
+(1/((c*x)^(14//3)*(a + b*x^2)^(2//3)), -((3*(a + b*x^2)^(1//3))/(11*a*c*(c*x)^(11//3))) + (27*b*(a + b*x^2)^(1//3))/(55*a^2*c^3*(c*x)^(5//3)) + (27*3^(3//4)*b^2*(c*x)^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3)*(c^(2//3) - (b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))*sqrt((c^(4//3) + (b^(2//3)*(c*x)^(4//3))/(a + b*x^2)^(2//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))/(c^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((c^(2//3) - ((1 - sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))/(c^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(110*a^3*c^(17//3)*sqrt(-((b^(1//3)*(c*x)^(2//3)*(c^(2//3) - (b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3)))/((a + b*x^2)^(1//3)*(c^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(c*x)^(2//3))/(a + b*x^2)^(1//3))^2)))), x, 5),
+
+((c*x)^(2//3)/(a + b*x^2)^(2//3), (3*(c*x)^(5//3)*(1 + (b*x^2)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2//3, 5//6, 11//6, -((b*x^2)/a)))/(5*c*(a + b*x^2)^(2//3)), x, 2),
+(1/((c*x)^(1//3)*(a + b*x^2)^(2//3)), (3*(c*x)^(2//3)*(1 + (b*x^2)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^2)/a)))/(2*c*(a + b*x^2)^(2//3)), x, 2),
+(1/((c*x)^(4//3)*(a + b*x^2)^(2//3)), -((3*(1 + (b*x^2)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//6), 2//3, 5//6, -((b*x^2)/a)))/(c*(c*x)^(1//3)*(a + b*x^2)^(2//3))), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^2)^(p/4)
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^(p/4)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^4*(a + b*x^2)^(1//4), -((4*a^2*x*(a + b*x^2)^(1//4))/(77*b^2)) + (2*a*x^3*(a + b*x^2)^(1//4))/(77*b) + (2//11)*x^5*(a + b*x^2)^(1//4) + (8*a^(7//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(77*b^(5//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 5),
+(x^2*(a + b*x^2)^(1//4), (2*a*x*(a + b*x^2)^(1//4))/(21*b) + (2//7)*x^3*(a + b*x^2)^(1//4) - (4*a^(5//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(21*b^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 4),
+(x^0*(a + b*x^2)^(1//4), (2//3)*x*(a + b*x^2)^(1//4) + (2*a^(3//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(3*sqrt(b)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 3),
+((a + b*x^2)^(1//4)/x^2, -((a + b*x^2)^(1//4)/x) + (sqrt(a)*sqrt(b)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(a + b*x^2)^(3//4), x, 3),
+((a + b*x^2)^(1//4)/x^4, -((a + b*x^2)^(1//4)/(3*x^3)) - (b*(a + b*x^2)^(1//4))/(6*a*x) - (b^(3//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(6*sqrt(a)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 4),
+((a + b*x^2)^(1//4)/x^6, -((a + b*x^2)^(1//4)/(5*x^5)) - (b*(a + b*x^2)^(1//4))/(30*a*x^3) + (b^2*(a + b*x^2)^(1//4))/(12*a^2*x) + (b^(5//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(12*a^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 5),
+
+(x^4*(a - b*x^2)^(1//4), -((4*a^2*x*(a - b*x^2)^(1//4))/(77*b^2)) - (2*a*x^3*(a - b*x^2)^(1//4))/(77*b) + (2//11)*x^5*(a - b*x^2)^(1//4) + (8*a^(7//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(77*b^(5//2)*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 5),
+(x^2*(a - b*x^2)^(1//4), -((2*a*x*(a - b*x^2)^(1//4))/(21*b)) + (2//7)*x^3*(a - b*x^2)^(1//4) + (4*a^(5//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(21*b^(3//2)*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 4),
+(x^0*(a - b*x^2)^(1//4), (2//3)*x*(a - b*x^2)^(1//4) + (2*a^(3//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(3*sqrt(b)*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 3),
+((a - b*x^2)^(1//4)/x^2, -((a - b*x^2)^(1//4)/x) - (sqrt(a)*sqrt(b)*(1 - (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(a - b*x^2)^(3//4), x, 3),
+((a - b*x^2)^(1//4)/x^4, -((a - b*x^2)^(1//4)/(3*x^3)) + (b*(a - b*x^2)^(1//4))/(6*a*x) - (b^(3//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(6*sqrt(a)*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 4),
+((a - b*x^2)^(1//4)/x^6, -((a - b*x^2)^(1//4)/(5*x^5)) + (b*(a - b*x^2)^(1//4))/(30*a*x^3) + (b^2*(a - b*x^2)^(1//4))/(12*a^2*x) - (b^(5//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(12*a^(3//2)*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 5),
+
+
+(x^4*(a + b*x^2)^(3//4), (8*a^3*x)/(65*b^2*(a + b*x^2)^(1//4)) - (4*a^2*x*(a + b*x^2)^(3//4))/(65*b^2) + (2*a*x^3*(a + b*x^2)^(3//4))/(39*b) + (2*x^5*(a + b*x^2)^(3//4))/13 - (8*a^(7//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(65*b^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 6),
+(x^2*(a + b*x^2)^(3//4), (-4*a^2*x)/(15*b*(a + b*x^2)^(1//4)) + (2*a*x*(a + b*x^2)^(3//4))/(15*b) + (2*x^3*(a + b*x^2)^(3//4))/9 + (4*a^(5//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(15*b^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+(x^0*(a + b*x^2)^(3//4), (6*a*x)/(5*(a + b*x^2)^(1//4)) + (2*x*(a + b*x^2)^(3//4))/5 - (6*a^(3//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(5*sqrt(b)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+((a + b*x^2)^(3//4)/x^2, (3*b*x)/(a + b*x^2)^(1//4) - (a + b*x^2)^(3//4)/x - (3*sqrt(a)*sqrt(b)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(a + b*x^2)^(1//4), x, 4),
+((a + b*x^2)^(3//4)/x^4, (b^2*x)/(2*a*(a + b*x^2)^(1//4)) - (a + b*x^2)^(3//4)/(3*x^3) - (b*(a + b*x^2)^(3//4))/(2*a*x) - (b^(3//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(2*sqrt(a)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+((a + b*x^2)^(3//4)/x^6, (-3*b^3*x)/(20*a^2*(a + b*x^2)^(1//4)) - (a + b*x^2)^(3//4)/(5*x^5) - (b*(a + b*x^2)^(3//4))/(10*a*x^3) + (3*b^2*(a + b*x^2)^(3//4))/(20*a^2*x) + (3*b^(5//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(20*a^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 6),
+
+(x^4*(a - b*x^2)^(3//4), (-4*a^2*x*(a - b*x^2)^(3//4))/(65*b^2) - (2*a*x^3*(a - b*x^2)^(3//4))/(39*b) + (2*x^5*(a - b*x^2)^(3//4))/13 + (8*a^(7//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(65*b^(5//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+(x^2*(a - b*x^2)^(3//4), (-2*a*x*(a - b*x^2)^(3//4))/(15*b) + (2*x^3*(a - b*x^2)^(3//4))/9 + (4*a^(5//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(15*b^(3//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+(x^0*(a - b*x^2)^(3//4), (2*x*(a - b*x^2)^(3//4))/5 + (6*a^(3//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(5*sqrt(b)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 3),
+((a - b*x^2)^(3//4)/x^2, -((a - b*x^2)^(3//4)/x) - (3*sqrt(a)*sqrt(b)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(a - b*x^2)^(1//4), x, 3),
+((a - b*x^2)^(3//4)/x^4, -(a - b*x^2)^(3//4)/(3*x^3) + (b*(a - b*x^2)^(3//4))/(2*a*x) + (b^(3//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(2*sqrt(a)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+((a - b*x^2)^(3//4)/x^6, -(a - b*x^2)^(3//4)/(5*x^5) + (b*(a - b*x^2)^(3//4))/(10*a*x^3) + (3*b^2*(a - b*x^2)^(3//4))/(20*a^2*x) + (3*b^(5//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(20*a^(3//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+
+
+((a + b*x^2)^(5//4), (10//21)*a*x*(a + b*x^2)^(1//4) + (2//7)*x*(a + b*x^2)^(5//4) + (10*a^(5//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(21*sqrt(b)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 4),
+
+((a - b*x^2)^(5//4), (10//21)*a*x*(a - b*x^2)^(1//4) + (2//7)*x*(a - b*x^2)^(5//4) + (10*a^(5//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(21*sqrt(b)*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 4),
+
+
+((a + b*x^2)^(7//4), (14*a^2*x)/(15*(a + b*x^2)^(1//4)) + (14*a*x*(a + b*x^2)^(3//4))/45 + (2*x*(a + b*x^2)^(7//4))/9 - (14*a^(5//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(15*sqrt(b)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+
+((a - b*x^2)^(7//4), (14*a*x*(a - b*x^2)^(3//4))/45 + (2*x*(a - b*x^2)^(7//4))/9 + (14*a^(5//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(15*sqrt(b)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 4),
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+# ::Subsubsection::Closed::
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+
+
+(x^6/(a + b*x^2)^(1//4), (-16*a^3*x)/(39*b^3*(a + b*x^2)^(1//4)) + (8*a^2*x*(a + b*x^2)^(3//4))/(39*b^3) - (20*a*x^3*(a + b*x^2)^(3//4))/(117*b^2) + (2*x^5*(a + b*x^2)^(3//4))/(13*b) + (16*a^(7//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(39*b^(7//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 6),
+(x^4/(a + b*x^2)^(1//4), (8*a^2*x)/(15*b^2*(a + b*x^2)^(1//4)) - (4*a*x*(a + b*x^2)^(3//4))/(15*b^2) + (2*x^3*(a + b*x^2)^(3//4))/(9*b) - (8*a^(5//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(15*b^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+(x^2/(a + b*x^2)^(1//4), (-4*a*x)/(5*b*(a + b*x^2)^(1//4)) + (2*x*(a + b*x^2)^(3//4))/(5*b) + (4*a^(3//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(5*b^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+(x^0/(a + b*x^2)^(1//4), (2*x)/(a + b*x^2)^(1//4) - (2*sqrt(a)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(sqrt(b)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^(1//4)), (b*x)/(a*(a + b*x^2)^(1//4)) - (a + b*x^2)^(3//4)/(a*x) - (sqrt(b)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(a)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^(1//4)), -((b^2*x)/(2*a^2*(a + b*x^2)^(1//4))) - (a + b*x^2)^(3//4)/(3*a*x^3) + (b*(a + b*x^2)^(3//4))/(2*a^2*x) + (b^(3//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(2*a^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+(1/(x^6*(a + b*x^2)^(1//4)), (7*b^3*x)/(20*a^3*(a + b*x^2)^(1//4)) - (a + b*x^2)^(3//4)/(5*a*x^5) + (7*b*(a + b*x^2)^(3//4))/(30*a^2*x^3) - (7*b^2*(a + b*x^2)^(3//4))/(20*a^3*x) - (7*b^(5//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(20*a^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 6),
+
+(x^6/(a - b*x^2)^(1//4), (-8*a^2*x*(a - b*x^2)^(3//4))/(39*b^3) - (20*a*x^3*(a - b*x^2)^(3//4))/(117*b^2) - (2*x^5*(a - b*x^2)^(3//4))/(13*b) + (16*a^(7//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(39*b^(7//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+(x^4/(a - b*x^2)^(1//4), (-4*a*x*(a - b*x^2)^(3//4))/(15*b^2) - (2*x^3*(a - b*x^2)^(3//4))/(9*b) + (8*a^(5//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(15*b^(5//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+(x^2/(a - b*x^2)^(1//4), (-2*x*(a - b*x^2)^(3//4))/(5*b) + (4*a^(3//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(5*b^(3//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 3),
+(x^0/(a - b*x^2)^(1//4), (2*sqrt(a)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(sqrt(b)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 2),
+(1/(x^2*(a - b*x^2)^(1//4)), -((a - b*x^2)^(3//4)/(a*x)) - (sqrt(b)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(sqrt(a)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 3),
+(1/(x^4*(a - b*x^2)^(1//4)), -(a - b*x^2)^(3//4)/(3*a*x^3) - (b*(a - b*x^2)^(3//4))/(2*a^2*x) - (b^(3//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(2*a^(3//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+(1/(x^6*(a - b*x^2)^(1//4)), -(a - b*x^2)^(3//4)/(5*a*x^5) - (7*b*(a - b*x^2)^(3//4))/(30*a^2*x^3) - (7*b^2*(a - b*x^2)^(3//4))/(20*a^3*x) - (7*b^(5//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(20*a^(5//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+
+
+(x^6/(a + b*x^2)^(3//4), (40*a^2*x*(a + b*x^2)^(1//4))/(77*b^3) - (20*a*x^3*(a + b*x^2)^(1//4))/(77*b^2) + (2*x^5*(a + b*x^2)^(1//4))/(11*b) - (80*a^(7//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(77*b^(7//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 5),
+(x^4/(a + b*x^2)^(3//4), -((4*a*x*(a + b*x^2)^(1//4))/(7*b^2)) + (2*x^3*(a + b*x^2)^(1//4))/(7*b) + (8*a^(5//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(7*b^(5//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 4),
+(x^2/(a + b*x^2)^(3//4), (2*x*(a + b*x^2)^(1//4))/(3*b) - (4*a^(3//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(3*b^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 3),
+(x^0/(a + b*x^2)^(3//4), (2*sqrt(a)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(b)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^(3//4)), -((a + b*x^2)^(1//4)/(a*x)) - (sqrt(b)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(a)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 3),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^(3//4)), -((a + b*x^2)^(1//4)/(3*a*x^3)) + (5*b*(a + b*x^2)^(1//4))/(6*a^2*x) + (5*b^(3//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(6*a^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 4),
+(1/(x^6*(a + b*x^2)^(3//4)), -((a + b*x^2)^(1//4)/(5*a*x^5)) + (3*b*(a + b*x^2)^(1//4))/(10*a^2*x^3) - (3*b^2*(a + b*x^2)^(1//4))/(4*a^3*x) - (3*b^(5//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(4*a^(5//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 5),
+
+(x^6/(a - b*x^2)^(3//4), -((40*a^2*x*(a - b*x^2)^(1//4))/(77*b^3)) - (20*a*x^3*(a - b*x^2)^(1//4))/(77*b^2) - (2*x^5*(a - b*x^2)^(1//4))/(11*b) + (80*a^(7//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(77*b^(7//2)*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 5),
+(x^4/(a - b*x^2)^(3//4), -((4*a*x*(a - b*x^2)^(1//4))/(7*b^2)) - (2*x^3*(a - b*x^2)^(1//4))/(7*b) + (8*a^(5//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(7*b^(5//2)*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 4),
+(x^2/(a - b*x^2)^(3//4), -((2*x*(a - b*x^2)^(1//4))/(3*b)) + (4*a^(3//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(3*b^(3//2)*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 3),
+(x^0/(a - b*x^2)^(3//4), (2*sqrt(a)*(1 - (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(b)*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 2),
+(1/(x^2*(a - b*x^2)^(3//4)), -((a - b*x^2)^(1//4)/(a*x)) + (sqrt(b)*(1 - (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(a)*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 3),
+(1/(x^4*(a - b*x^2)^(3//4)), -((a - b*x^2)^(1//4)/(3*a*x^3)) - (5*b*(a - b*x^2)^(1//4))/(6*a^2*x) + (5*b^(3//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(6*a^(3//2)*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 4),
+(1/(x^6*(a - b*x^2)^(3//4)), -((a - b*x^2)^(1//4)/(5*a*x^5)) - (3*b*(a - b*x^2)^(1//4))/(10*a^2*x^3) - (3*b^2*(a - b*x^2)^(1//4))/(4*a^3*x) + (3*b^(5//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(4*a^(5//2)*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 5),
+
+
+(x^6/(a + b*x^2)^(5//4), (8*a^2*x)/(3*b^3*(a + b*x^2)^(1//4)) - (4*a*x^3)/(9*b^2*(a + b*x^2)^(1//4)) + (2*x^5)/(9*b*(a + b*x^2)^(1//4)) - (16*a^(5//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(3*b^(7//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+(x^4/(a + b*x^2)^(5//4), -((12*a*x)/(5*b^2*(a + b*x^2)^(1//4))) + (2*x^3)/(5*b*(a + b*x^2)^(1//4)) + (24*a^(3//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(5*b^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+(x^2/(a + b*x^2)^(5//4), (2*x)/(b*(a + b*x^2)^(1//4)) - (4*sqrt(a)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(b^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 3),
+(x^0/(a + b*x^2)^(5//4), (2*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(sqrt(a)*sqrt(b)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^(5//4)), -(1/(a*x*(a + b*x^2)^(1//4))) - (3*sqrt(b)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(a^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 3),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^(5//4)), -(1/(3*a*x^3*(a + b*x^2)^(1//4))) + (7*b)/(6*a^2*x*(a + b*x^2)^(1//4)) + (7*b^(3//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(2*a^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+(1/(x^6*(a + b*x^2)^(5//4)), -(1/(5*a*x^5*(a + b*x^2)^(1//4))) + (11*b)/(30*a^2*x^3*(a + b*x^2)^(1//4)) - (77*b^2)/(60*a^3*x*(a + b*x^2)^(1//4)) - (77*b^(5//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(20*a^(7//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+
+(x^6/(a - b*x^2)^(5//4), (2*x^5)/(b*(a - b*x^2)^(1//4)) + (8*a*x*(a - b*x^2)^(3//4))/(3*b^3) + (20*x^3*(a - b*x^2)^(3//4))/(9*b^2) - (16*a^(5//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(3*b^(7//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+(x^4/(a - b*x^2)^(5//4), (2*x^3)/(b*(a - b*x^2)^(1//4)) + (12*x*(a - b*x^2)^(3//4))/(5*b^2) - (24*a^(3//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(5*b^(5//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+(x^2/(a - b*x^2)^(5//4), (2*x)/(b*(a - b*x^2)^(1//4)) - (4*sqrt(a)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(b^(3//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 3),
+(x^0/(a - b*x^2)^(5//4), (2*x)/(a*(a - b*x^2)^(1//4)) - (2*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(sqrt(a)*sqrt(b)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 3),
+(1/(x^2*(a - b*x^2)^(5//4)), 2/(a*x*(a - b*x^2)^(1//4)) - (3*(a - b*x^2)^(3//4))/(a^2*x) - (3*sqrt(b)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(a^(3//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+(1/(x^4*(a - b*x^2)^(5//4)), 2/(a*x^3*(a - b*x^2)^(1//4)) - (7*(a - b*x^2)^(3//4))/(3*a^2*x^3) - (7*b*(a - b*x^2)^(3//4))/(2*a^3*x) - (7*b^(3//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(2*a^(5//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+(1/(x^6*(a - b*x^2)^(5//4)), 2/(a*x^5*(a - b*x^2)^(1//4)) - (11*(a - b*x^2)^(3//4))/(5*a^2*x^5) - (77*b*(a - b*x^2)^(3//4))/(30*a^3*x^3) - (77*b^2*(a - b*x^2)^(3//4))/(20*a^4*x) - (77*b^(5//2)*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(20*a^(7//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 6),
+
+
+(1/(a + b*x^2)^(7//4), (2*x)/(3*a*(a + b*x^2)^(3//4)) + (2*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(3*sqrt(a)*sqrt(b)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 3),
+(1/(a + b*x^2)^(9//4), (2*x)/(5*a*(a + b*x^2)^(5//4)) + (6*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(5*a^(3//2)*sqrt(b)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 3),
+(1/(a + b*x^2)^(11//4), (2*x)/(7*a*(a + b*x^2)^(7//4)) + (10*x)/(21*a^2*(a + b*x^2)^(3//4)) + (10*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(21*a^(3//2)*sqrt(b)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 4),
+
+(1/(a - b*x^2)^(7//4), (2*x)/(3*a*(a - b*x^2)^(3//4)) + (2*(1 - (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(3*sqrt(a)*sqrt(b)*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 3),
+(1/(a - b*x^2)^(9//4), (2*x)/(5*a*(a - b*x^2)^(5//4)) + (6*x)/(5*a^2*(a - b*x^2)^(1//4)) - (6*(1 - (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(5*a^(3//2)*sqrt(b)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+(1/(a - b*x^2)^(11//4), (2*x)/(7*a*(a - b*x^2)^(7//4)) + (10*x)/(21*a^2*(a - b*x^2)^(3//4)) + (10*(1 - (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(21*a^(3//2)*sqrt(b)*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 4),
+
+
+(x^6/(2 + 3*x^2)^(1//4), (-128*x)/(1053*(2 + 3*x^2)^(1//4)) + (32*x*(2 + 3*x^2)^(3//4))/1053 - (40*x^3*(2 + 3*x^2)^(3//4))/1053 + (2*x^5*(2 + 3*x^2)^(3//4))/39 + (128*2^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(3//2)*x)/2, 2))/(1053*sqrt(3)), x, 5),
+(x^4/(2 + 3*x^2)^(1//4), (32*x)/(135*(2 + 3*x^2)^(1//4)) - (8*x*(2 + 3*x^2)^(3//4))/135 + (2*x^3*(2 + 3*x^2)^(3//4))/27 - (32*2^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(3//2)*x)/2, 2))/(135*sqrt(3)), x, 4),
+(x^2/(2 + 3*x^2)^(1//4), (-8*x)/(15*(2 + 3*x^2)^(1//4)) + (2*x*(2 + 3*x^2)^(3//4))/15 + (8*2^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(3//2)*x)/2, 2))/(15*sqrt(3)), x, 3),
+(x^0/(2 + 3*x^2)^(1//4), (2*x)/(2 + 3*x^2)^(1//4) - (2*2^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(3//2)*x)/2, 2))/sqrt(3), x, 2),
+(1/(x^2*(2 + 3*x^2)^(1//4)), (3*x)/(2*(2 + 3*x^2)^(1//4)) - (2 + 3*x^2)^(3//4)/(2*x) - (sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan(sqrt(3//2)*x), 2))/2^(3//4), x, 3),
+(1/(x^4*(2 + 3*x^2)^(1//4)), -((9*x)/(8*(2 + 3*x^2)^(1//4))) - (2 + 3*x^2)^(3//4)/(6*x^3) + (3*(2 + 3*x^2)^(3//4))/(8*x) + (3*sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan(sqrt(3//2)*x), 2))/(4*2^(3//4)), x, 4),
+(1/(x^6*(2 + 3*x^2)^(1//4)), (189*x)/(160*(2 + 3*x^2)^(1//4)) - (2 + 3*x^2)^(3//4)/(10*x^5) + (7*(2 + 3*x^2)^(3//4))/(40*x^3) - (63*(2 + 3*x^2)^(3//4))/(160*x) - (63*sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan(sqrt(3//2)*x), 2))/(80*2^(3//4)), x, 5),
+
+(x^6/(2 - 3*x^2)^(1//4), (-32*x*(2 - 3*x^2)^(3//4))/1053 - (40*x^3*(2 - 3*x^2)^(3//4))/1053 - (2*x^5*(2 - 3*x^2)^(3//4))/39 + (128*2^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//2)*x)/2, 2))/(1053*sqrt(3)), x, 4),
+(x^4/(2 - 3*x^2)^(1//4), (-8*x*(2 - 3*x^2)^(3//4))/135 - (2*x^3*(2 - 3*x^2)^(3//4))/27 + (32*2^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//2)*x)/2, 2))/(135*sqrt(3)), x, 3),
+(x^2/(2 - 3*x^2)^(1//4), (-2*x*(2 - 3*x^2)^(3//4))/15 + (8*2^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//2)*x)/2, 2))/(15*sqrt(3)), x, 2),
+(x^0/(2 - 3*x^2)^(1//4), (2*2^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//2)*x)/2, 2))/sqrt(3), x, 1),
+(1/(x^2*(2 - 3*x^2)^(1//4)), -((2 - 3*x^2)^(3//4)/(2*x)) - (sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*asin(sqrt(3//2)*x), 2))/2^(3//4), x, 2),
+(1/(x^4*(2 - 3*x^2)^(1//4)), -((2 - 3*x^2)^(3//4)/(6*x^3)) - (3*(2 - 3*x^2)^(3//4))/(8*x) - (3*sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*asin(sqrt(3//2)*x), 2))/(4*2^(3//4)), x, 3),
+(1/(x^6*(2 - 3*x^2)^(1//4)), -((2 - 3*x^2)^(3//4)/(10*x^5)) - (7*(2 - 3*x^2)^(3//4))/(40*x^3) - (63*(2 - 3*x^2)^(3//4))/(160*x) - (63*sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*asin(sqrt(3//2)*x), 2))/(80*2^(3//4)), x, 4),
+
+
+(x^6/(2 + 3*x^2)^(3//4), (160*x*(2 + 3*x^2)^(1//4))/2079 - (40*x^3*(2 + 3*x^2)^(1//4))/693 + (2*x^5*(2 + 3*x^2)^(1//4))/33 - (320*2^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(3//2)*x)/2, 2))/(2079*sqrt(3)), x, 4),
+(x^4/(2 + 3*x^2)^(3//4), (-8*x*(2 + 3*x^2)^(1//4))/63 + (2*x^3*(2 + 3*x^2)^(1//4))/21 + (16*2^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(3//2)*x)/2, 2))/(63*sqrt(3)), x, 3),
+(x^2/(2 + 3*x^2)^(3//4), (2*x*(2 + 3*x^2)^(1//4))/9 - (4*2^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(3//2)*x)/2, 2))/(9*sqrt(3)), x, 2),
+(x^0/(2 + 3*x^2)^(3//4), (2^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(3//2)*x)/2, 2))/sqrt(3), x, 1),
+(1/(x^2*(2 + 3*x^2)^(3//4)), -((2 + 3*x^2)^(1//4)/(2*x)) - (sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan(sqrt(3//2)*x), 2))/(2*2^(1//4)), x, 2),
+(1/(x^4*(2 + 3*x^2)^(3//4)), -((2 + 3*x^2)^(1//4)/(6*x^3)) + (5*(2 + 3*x^2)^(1//4))/(8*x) + (5*sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan(sqrt(3//2)*x), 2))/(8*2^(1//4)), x, 3),
+(1/(x^6*(2 + 3*x^2)^(3//4)), -((2 + 3*x^2)^(1//4)/(10*x^5)) + (9*(2 + 3*x^2)^(1//4))/(40*x^3) - (27*(2 + 3*x^2)^(1//4))/(32*x) - (27*sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan(sqrt(3//2)*x), 2))/(32*2^(1//4)), x, 4),
+
+(x^6/(2 - 3*x^2)^(3//4), (-160*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))/2079 - (40*x^3*(2 - 3*x^2)^(1//4))/693 - (2*x^5*(2 - 3*x^2)^(1//4))/33 + (320*2^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//2)*x)/2, 2))/(2079*sqrt(3)), x, 4),
+(x^4/(2 - 3*x^2)^(3//4), (-8*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))/63 - (2*x^3*(2 - 3*x^2)^(1//4))/21 + (16*2^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//2)*x)/2, 2))/(63*sqrt(3)), x, 3),
+(x^2/(2 - 3*x^2)^(3//4), (-2*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))/9 + (4*2^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//2)*x)/2, 2))/(9*sqrt(3)), x, 2),
+(x^0/(2 - 3*x^2)^(3//4), (2^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//2)*x)/2, 2))/sqrt(3), x, 1),
+(1/(x^2*(2 - 3*x^2)^(3//4)), -((2 - 3*x^2)^(1//4)/(2*x)) + (sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin(sqrt(3//2)*x), 2))/(2*2^(1//4)), x, 2),
+(1/(x^4*(2 - 3*x^2)^(3//4)), -((2 - 3*x^2)^(1//4)/(6*x^3)) - (5*(2 - 3*x^2)^(1//4))/(8*x) + (5*sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin(sqrt(3//2)*x), 2))/(8*2^(1//4)), x, 3),
+(1/(x^6*(2 - 3*x^2)^(3//4)), -((2 - 3*x^2)^(1//4)/(10*x^5)) - (9*(2 - 3*x^2)^(1//4))/(40*x^3) - (27*(2 - 3*x^2)^(1//4))/(32*x) + (27*sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin(sqrt(3//2)*x), 2))/(32*2^(1//4)), x, 4),
+
+
+(x^6/(-2 + 3*x^2)^(1//4), (32*x*(-2 + 3*x^2)^(3//4))/1053 + (40*x^3*(-2 + 3*x^2)^(3//4))/1053 + (2//39)*x^5*(-2 + 3*x^2)^(3//4) + (128*x*(-2 + 3*x^2)^(1//4))/(1053*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))) - (128*2^(1//4)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(1053*sqrt(3)*x) + (64*2^(1//4)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(1053*sqrt(3)*x), x, 7),
+(x^4/(-2 + 3*x^2)^(1//4), (8//135)*x*(-2 + 3*x^2)^(3//4) + (2//27)*x^3*(-2 + 3*x^2)^(3//4) + (32*x*(-2 + 3*x^2)^(1//4))/(135*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))) - (32*2^(1//4)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(135*sqrt(3)*x) + (16*2^(1//4)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(135*sqrt(3)*x), x, 6),
+(x^2/(-2 + 3*x^2)^(1//4), (2//15)*x*(-2 + 3*x^2)^(3//4) + (8*x*(-2 + 3*x^2)^(1//4))/(15*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))) - (8*2^(1//4)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(15*sqrt(3)*x) + (4*2^(1//4)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(15*sqrt(3)*x), x, 5),
+(x^0/(-2 + 3*x^2)^(1//4), (2*x*(-2 + 3*x^2)^(1//4))/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2)) - (2*2^(1//4)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(sqrt(3)*x) + (2^(1//4)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(sqrt(3)*x), x, 4),
+(1/(x^2*(-2 + 3*x^2)^(1//4)), (-2 + 3*x^2)^(3//4)/(2*x) - (3*x*(-2 + 3*x^2)^(1//4))/(2*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))) + (sqrt(3)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(2^(3//4)*x) - (sqrt(3)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(2*2^(3//4)*x), x, 5),
+(1/(x^4*(-2 + 3*x^2)^(1//4)), (-2 + 3*x^2)^(3//4)/(6*x^3) + (3*(-2 + 3*x^2)^(3//4))/(8*x) - (9*x*(-2 + 3*x^2)^(1//4))/(8*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))) + (3*sqrt(3)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(4*2^(3//4)*x) - (3*sqrt(3)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(8*2^(3//4)*x), x, 6),
+(1/(x^6*(-2 + 3*x^2)^(1//4)), (-2 + 3*x^2)^(3//4)/(10*x^5) + (7*(-2 + 3*x^2)^(3//4))/(40*x^3) + (63*(-2 + 3*x^2)^(3//4))/(160*x) - (189*x*(-2 + 3*x^2)^(1//4))/(160*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))) + (63*sqrt(3)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(80*2^(3//4)*x) - (63*sqrt(3)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(160*2^(3//4)*x), x, 7),
+
+(x^6/(-2 - 3*x^2)^(1//4), -((32*x*(-2 - 3*x^2)^(3//4))/1053) + (40*x^3*(-2 - 3*x^2)^(3//4))/1053 - (2//39)*x^5*(-2 - 3*x^2)^(3//4) - (128*x*(-2 - 3*x^2)^(1//4))/(1053*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))) - (128*2^(1//4)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(1053*sqrt(3)*x) + (64*2^(1//4)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(1053*sqrt(3)*x), x, 7),
+(x^4/(-2 - 3*x^2)^(1//4), (8//135)*x*(-2 - 3*x^2)^(3//4) - (2//27)*x^3*(-2 - 3*x^2)^(3//4) + (32*x*(-2 - 3*x^2)^(1//4))/(135*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))) + (32*2^(1//4)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(135*sqrt(3)*x) - (16*2^(1//4)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(135*sqrt(3)*x), x, 6),
+(x^2/(-2 - 3*x^2)^(1//4), (-(2//15))*x*(-2 - 3*x^2)^(3//4) - (8*x*(-2 - 3*x^2)^(1//4))/(15*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))) - (8*2^(1//4)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(15*sqrt(3)*x) + (4*2^(1//4)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(15*sqrt(3)*x), x, 5),
+(x^0/(-2 - 3*x^2)^(1//4), (2*x*(-2 - 3*x^2)^(1//4))/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2)) + (2*2^(1//4)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(sqrt(3)*x) - (2^(1//4)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(sqrt(3)*x), x, 4),
+(1/(x^2*(-2 - 3*x^2)^(1//4)), (-2 - 3*x^2)^(3//4)/(2*x) + (3*x*(-2 - 3*x^2)^(1//4))/(2*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))) + (sqrt(3)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(2^(3//4)*x) - (sqrt(3)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(2*2^(3//4)*x), x, 5),
+(1/(x^4*(-2 - 3*x^2)^(1//4)), (-2 - 3*x^2)^(3//4)/(6*x^3) - (3*(-2 - 3*x^2)^(3//4))/(8*x) - (9*x*(-2 - 3*x^2)^(1//4))/(8*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))) - (3*sqrt(3)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(4*2^(3//4)*x) + (3*sqrt(3)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(8*2^(3//4)*x), x, 6),
+(1/(x^6*(-2 - 3*x^2)^(1//4)), (-2 - 3*x^2)^(3//4)/(10*x^5) - (7*(-2 - 3*x^2)^(3//4))/(40*x^3) + (63*(-2 - 3*x^2)^(3//4))/(160*x) + (189*x*(-2 - 3*x^2)^(1//4))/(160*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))) + (63*sqrt(3)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(80*2^(3//4)*x) - (63*sqrt(3)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(160*2^(3//4)*x), x, 7),
+
+
+(x^6/(-2 + 3*x^2)^(3//4), (160*x*(-2 + 3*x^2)^(1//4))/2079 + (40//693)*x^3*(-2 + 3*x^2)^(1//4) + (2//33)*x^5*(-2 + 3*x^2)^(1//4) + (160*2^(3//4)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(2079*sqrt(3)*x), x, 5),
+(x^4/(-2 + 3*x^2)^(3//4), (8//63)*x*(-2 + 3*x^2)^(1//4) + (2//21)*x^3*(-2 + 3*x^2)^(1//4) + (8*2^(3//4)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(63*sqrt(3)*x), x, 4),
+(x^2/(-2 + 3*x^2)^(3//4), (2//9)*x*(-2 + 3*x^2)^(1//4) + (2*2^(3//4)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(9*sqrt(3)*x), x, 3),
+(x^0/(-2 + 3*x^2)^(3//4), (sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(2^(1//4)*sqrt(3)*x), x, 2),
+(1/(x^2*(-2 + 3*x^2)^(3//4)), (-2 + 3*x^2)^(1//4)/(2*x) + (sqrt(3)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(4*2^(1//4)*x), x, 3),
+(1/(x^4*(-2 + 3*x^2)^(3//4)), (-2 + 3*x^2)^(1//4)/(6*x^3) + (5*(-2 + 3*x^2)^(1//4))/(8*x) + (5*sqrt(3)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(16*2^(1//4)*x), x, 4),
+(1/(x^6*(-2 + 3*x^2)^(3//4)), (-2 + 3*x^2)^(1//4)/(10*x^5) + (9*(-2 + 3*x^2)^(1//4))/(40*x^3) + (27*(-2 + 3*x^2)^(1//4))/(32*x) + (27*sqrt(3)*sqrt(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))^2)*(sqrt(2) + sqrt(-2 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 + 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(64*2^(1//4)*x), x, 5),
+
+(x^6/(-2 - 3*x^2)^(3//4), -((160*x*(-2 - 3*x^2)^(1//4))/2079) + (40//693)*x^3*(-2 - 3*x^2)^(1//4) - (2//33)*x^5*(-2 - 3*x^2)^(1//4) + (160*2^(3//4)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(2079*sqrt(3)*x), x, 5),
+(x^4/(-2 - 3*x^2)^(3//4), (8//63)*x*(-2 - 3*x^2)^(1//4) - (2//21)*x^3*(-2 - 3*x^2)^(1//4) - (8*2^(3//4)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(63*sqrt(3)*x), x, 4),
+(x^2/(-2 - 3*x^2)^(3//4), (-(2//9))*x*(-2 - 3*x^2)^(1//4) + (2*2^(3//4)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(9*sqrt(3)*x), x, 3),
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+(1/(x^2*(-2 - 3*x^2)^(3//4)), (-2 - 3*x^2)^(1//4)/(2*x) + (sqrt(3)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(4*2^(1//4)*x), x, 3),
+(1/(x^4*(-2 - 3*x^2)^(3//4)), (-2 - 3*x^2)^(1//4)/(6*x^3) - (5*(-2 - 3*x^2)^(1//4))/(8*x) - (5*sqrt(3)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(16*2^(1//4)*x), x, 4),
+(1/(x^6*(-2 - 3*x^2)^(3//4)), (-2 - 3*x^2)^(1//4)/(10*x^5) - (9*(-2 - 3*x^2)^(1//4))/(40*x^3) + (27*(-2 - 3*x^2)^(1//4))/(32*x) + (27*sqrt(3)*sqrt(-(x^2/(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))^2))*(sqrt(2) + sqrt(-2 - 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)), 1//2))/(64*2^(1//4)*x), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^(m/2) (a+b x^2)^(p/4)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+
+((c*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(1//4), -((a^2*c^3*sqrt(c*x)*(a + b*x^2)^(1//4))/(12*b^2)) + (a*c*(c*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4))/(30*b) + ((c*x)^(9//2)*(a + b*x^2)^(1//4))/(5*c) - (a^(5//2)*c^2*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(12*b^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 8),
+((c*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4), (a*c*sqrt(c*x)*(a + b*x^2)^(1//4))/(6*b) + ((c*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4))/(3*c) + (a^(3//2)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(6*sqrt(b)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 7),
+((a + b*x^2)^(1//4)/(c*x)^(1//2), (sqrt(c*x)*(a + b*x^2)^(1//4))/c - (sqrt(a)*sqrt(b)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(c^2*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 6),
+((a + b*x^2)^(1//4)/(c*x)^(5//2), (-2*(a + b*x^2)^(1//4))/(3*c*(c*x)^(3//2)) - (2*b^(3//2)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(3*sqrt(a)*c^4*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 6),
+((a + b*x^2)^(1//4)/(c*x)^(9//2), (-2*(a + b*x^2)^(1//4))/(7*c*(c*x)^(7//2)) - (2*b*(a + b*x^2)^(1//4))/(21*a*c^3*(c*x)^(3//2)) + (4*b^(5//2)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(21*a^(3//2)*c^6*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 7),
+((a + b*x^2)^(1//4)/(c*x)^(13//2), (-2*(a + b*x^2)^(1//4))/(11*c*(c*x)^(11//2)) - (2*b*(a + b*x^2)^(1//4))/(77*a*c^3*(c*x)^(7//2)) + (4*b^2*(a + b*x^2)^(1//4))/(77*a^2*c^5*(c*x)^(3//2)) - (8*b^(7//2)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(77*a^(5//2)*c^8*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 8),
+
+((c*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4), (a*c*(c*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4))/(16*b) + ((c*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(1//4))/(4*c) + (3*a^2*c^(5//2)*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(32*b^(7//4)) - (3*a^2*c^(5//2)*atanh((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(32*b^(7//4)), x, 7),
+((c*x)^(1//2)*(a + b*x^2)^(1//4), ((c*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4))/(2*c) - (a*sqrt(c)*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(4*b^(3//4)) + (a*sqrt(c)*atanh((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(4*b^(3//4)), x, 6),
+((a + b*x^2)^(1//4)/(c*x)^(3//2), (-2*(a + b*x^2)^(1//4))/(c*sqrt(c*x)) - (b^(1//4)*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a + b*x^2)^(1//4))))/c^(3//2) + (b^(1//4)*atanh((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a + b*x^2)^(1//4))))/c^(3//2), x, 6),
+((a + b*x^2)^(1//4)/(c*x)^(7//2), (-2*(a + b*x^2)^(5//4))/(5*a*c*(c*x)^(5//2)), x, 1),
+((a + b*x^2)^(1//4)/(c*x)^(11//2), (-2*(a + b*x^2)^(5//4))/(5*a*c*(c*x)^(9//2)) + (8*(a + b*x^2)^(9//4))/(45*a^2*c*(c*x)^(9//2)), x, 2),
+((a + b*x^2)^(1//4)/(c*x)^(15//2), -((2*(a + b*x^2)^(5//4))/(5*a*c*(c*x)^(13//2))) + (16*(a + b*x^2)^(9//4))/(45*a^2*c*(c*x)^(13//2)) - (64*(a + b*x^2)^(13//4))/(585*a^3*c*(c*x)^(13//2)), x, 3),
+((a + b*x^2)^(1//4)/(c*x)^(19//2), -((2*(a + b*x^2)^(5//4))/(5*a*c*(c*x)^(17//2))) + (8*(a + b*x^2)^(9//4))/(15*a^2*c*(c*x)^(17//2)) - (64*(a + b*x^2)^(13//4))/(195*a^3*c*(c*x)^(17//2)) + (256*(a + b*x^2)^(17//4))/(3315*a^4*c*(c*x)^(17//2)), x, 4),
+
+
+((c*x)^(3//2)*(a - b*x^2)^(1//4), -(a*c*sqrt(c*x)*(a - b*x^2)^(1//4))/(6*b) + ((c*x)^(5//2)*(a - b*x^2)^(1//4))/(3*c) - (a^(3//2)*(1 - a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acsc((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(6*sqrt(b)*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 7),
+((a - b*x^2)^(1//4)/(c*x)^(1//2), (sqrt(c*x)*(a - b*x^2)^(1//4))/c - (sqrt(a)*sqrt(b)*(1 - a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acsc((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(c^2*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 6),
+((a - b*x^2)^(1//4)/(c*x)^(5//2), (-2*(a - b*x^2)^(1//4))/(3*c*(c*x)^(3//2)) + (2*b^(3//2)*(1 - a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acsc((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(3*sqrt(a)*c^4*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 6),
+((a - b*x^2)^(1//4)/(c*x)^(9//2), (-2*(a - b*x^2)^(1//4))/(7*c*(c*x)^(7//2)) + (2*b*(a - b*x^2)^(1//4))/(21*a*c^3*(c*x)^(3//2)) + (4*b^(5//2)*(1 - a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acsc((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(21*a^(3//2)*c^6*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 7),
+((a - b*x^2)^(1//4)/(c*x)^(13//2), (-2*(a - b*x^2)^(1//4))/(11*c*(c*x)^(11//2)) + (2*b*(a - b*x^2)^(1//4))/(77*a*c^3*(c*x)^(7//2)) + (4*b^2*(a - b*x^2)^(1//4))/(77*a^2*c^5*(c*x)^(3//2)) + (8*b^(7//2)*(1 - a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acsc((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(77*a^(5//2)*c^8*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 8),
+
+((c*x)^(5//2)*(a - b*x^2)^(1//4), -(a*c*(c*x)^(3//2)*(a - b*x^2)^(1//4))/(16*b) + ((c*x)^(7//2)*(a - b*x^2)^(1//4))/(4*c) - (3*a^2*c^(5//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a - b*x^2)^(1//4))))/(32*sqrt(2)*b^(7//4)) + (3*a^2*c^(5//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a - b*x^2)^(1//4))))/(32*sqrt(2)*b^(7//4)) + (3*a^2*c^(5//2)*log(sqrt(c) + (sqrt(b)*sqrt(c)*x)/sqrt(a - b*x^2) - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a - b*x^2)^(1//4)))/(64*sqrt(2)*b^(7//4)) - (3*a^2*c^(5//2)*log(sqrt(c) + (sqrt(b)*sqrt(c)*x)/sqrt(a - b*x^2) + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a - b*x^2)^(1//4)))/(64*sqrt(2)*b^(7//4)), x, 13),
+((c*x)^(1//2)*(a - b*x^2)^(1//4), ((c*x)^(3//2)*(a - b*x^2)^(1//4))/(2*c) - (a*sqrt(c)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a - b*x^2)^(1//4))))/(4*sqrt(2)*b^(3//4)) + (a*sqrt(c)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a - b*x^2)^(1//4))))/(4*sqrt(2)*b^(3//4)) + (a*sqrt(c)*log(sqrt(c) + (sqrt(b)*sqrt(c)*x)/sqrt(a - b*x^2) - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a - b*x^2)^(1//4)))/(8*sqrt(2)*b^(3//4)) - (a*sqrt(c)*log(sqrt(c) + (sqrt(b)*sqrt(c)*x)/sqrt(a - b*x^2) + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a - b*x^2)^(1//4)))/(8*sqrt(2)*b^(3//4)), x, 12),
+((a - b*x^2)^(1//4)/(c*x)^(3//2), (-2*(a - b*x^2)^(1//4))/(c*sqrt(c*x)) + (b^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a - b*x^2)^(1//4))))/(sqrt(2)*c^(3//2)) - (b^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a - b*x^2)^(1//4))))/(sqrt(2)*c^(3//2)) - (b^(1//4)*log(sqrt(c) + (sqrt(b)*sqrt(c)*x)/sqrt(a - b*x^2) - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a - b*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(3//2)) + (b^(1//4)*log(sqrt(c) + (sqrt(b)*sqrt(c)*x)/sqrt(a - b*x^2) + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a - b*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(3//2)), x, 12),
+((a - b*x^2)^(1//4)/(c*x)^(7//2), (-2*(a - b*x^2)^(5//4))/(5*a*c*(c*x)^(5//2)), x, 1),
+((a - b*x^2)^(1//4)/(c*x)^(11//2), (-2*(a - b*x^2)^(5//4))/(5*a*c*(c*x)^(9//2)) + (8*(a - b*x^2)^(9//4))/(45*a^2*c*(c*x)^(9//2)), x, 2),
+((a - b*x^2)^(1//4)/(c*x)^(15//2), -((2*(a - b*x^2)^(5//4))/(5*a*c*(c*x)^(13//2))) + (16*(a - b*x^2)^(9//4))/(45*a^2*c*(c*x)^(13//2)) - (64*(a - b*x^2)^(13//4))/(585*a^3*c*(c*x)^(13//2)), x, 3),
+((a - b*x^2)^(1//4)/(c*x)^(19//2), -((2*(a - b*x^2)^(5//4))/(5*a*c*(c*x)^(17//2))) + (8*(a - b*x^2)^(9//4))/(15*a^2*c*(c*x)^(17//2)) - (64*(a - b*x^2)^(13//4))/(195*a^3*c*(c*x)^(17//2)) + (256*(a - b*x^2)^(17//4))/(3315*a^4*c*(c*x)^(17//2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((c*x)^(3//2)/(a + b*x^2)^(1//4), (c*sqrt(c*x)*(a + b*x^2)^(3//4))/(2*b) - (a*c^(3//2)*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(4*b^(5//4)) - (a*c^(3//2)*atanh((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(4*b^(5//4)), x, 6),
+(1/((c*x)^(1//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a + b*x^2)^(1//4)))/(b^(1//4)*sqrt(c)) + atanh((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a + b*x^2)^(1//4)))/(b^(1//4)*sqrt(c)), x, 5),
+(1/((c*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), -((2*(a + b*x^2)^(3//4))/(3*a*c*(c*x)^(3//2))), x, 1),
+(1/((c*x)^(9//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), -((2*(a + b*x^2)^(3//4))/(3*a*c*(c*x)^(7//2))) + (8*(a + b*x^2)^(7//4))/(21*a^2*c*(c*x)^(7//2)), x, 2),
+(1/((c*x)^(13//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), -((2*(a + b*x^2)^(3//4))/(3*a*c*(c*x)^(11//2))) + (16*(a + b*x^2)^(7//4))/(21*a^2*c*(c*x)^(11//2)) - (64*(a + b*x^2)^(11//4))/(231*a^3*c*(c*x)^(11//2)), x, 3),
+
+((c*x)^(9//2)/(a + b*x^2)^(1//4), (7*a^2*c^4*x*sqrt(c*x))/(20*b^2*(a + b*x^2)^(1//4)) - (7*a*c^3*(c*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//4))/(30*b^2) + (c*(c*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(3//4))/(5*b) + (7*a^(5//2)*c^4*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(c*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(20*b^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 6),
+((c*x)^(5//2)/(a + b*x^2)^(1//4), -((a*c^2*x*sqrt(c*x))/(2*b*(a + b*x^2)^(1//4))) + (c*(c*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//4))/(3*b) - (a^(3//2)*c^2*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(c*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(2*b^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+((c*x)^(1//2)/(a + b*x^2)^(1//4), (x*sqrt(c*x))/(a + b*x^2)^(1//4) + (sqrt(a)*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(c*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(b)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+(1/((c*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), -(2/(c*sqrt(c*x)*(a + b*x^2)^(1//4))) + (2*sqrt(b)*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(c*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(a)*c^2*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+(1/((c*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), (4*b)/(5*a*c^3*sqrt(c*x)*(a + b*x^2)^(1//4)) - (2*(a + b*x^2)^(3//4))/(5*a*c*(c*x)^(5//2)) - (4*b^(3//2)*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(c*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(5*a^(3//2)*c^4*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+(1/((c*x)^(11//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), -((8*b^2)/(15*a^2*c^5*sqrt(c*x)*(a + b*x^2)^(1//4))) - (2*(a + b*x^2)^(3//4))/(9*a*c*(c*x)^(9//2)) + (4*b*(a + b*x^2)^(3//4))/(15*a^2*c^3*(c*x)^(5//2)) + (8*b^(5//2)*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(c*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(15*a^(5//2)*c^6*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 6),
+
+
+((c*x)^(3//2)/(a - b*x^2)^(1//4), -((c*sqrt(c*x)*(a - b*x^2)^(3//4))/(2*b)) - (a*c^(3//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a - b*x^2)^(1//4))))/(4*sqrt(2)*b^(5//4)) + (a*c^(3//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a - b*x^2)^(1//4))))/(4*sqrt(2)*b^(5//4)) - (a*c^(3//2)*log(sqrt(c) + (sqrt(b)*sqrt(c)*x)/sqrt(a - b*x^2) - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a - b*x^2)^(1//4)))/(8*sqrt(2)*b^(5//4)) + (a*c^(3//2)*log(sqrt(c) + (sqrt(b)*sqrt(c)*x)/sqrt(a - b*x^2) + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a - b*x^2)^(1//4)))/(8*sqrt(2)*b^(5//4)), x, 12),
+(1/((c*x)^(1//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), -(atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a - b*x^2)^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c))) + atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a - b*x^2)^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c)) - log(sqrt(c) + (sqrt(b)*sqrt(c)*x)/sqrt(a - b*x^2) - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a - b*x^2)^(1//4))/(2*sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c)) + log(sqrt(c) + (sqrt(b)*sqrt(c)*x)/sqrt(a - b*x^2) + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a - b*x^2)^(1//4))/(2*sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c)), x, 11),
+(1/((c*x)^(5//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), -((2*(a - b*x^2)^(3//4))/(3*a*c*(c*x)^(3//2))), x, 1),
+(1/((c*x)^(9//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), -((2*(a - b*x^2)^(3//4))/(3*a*c*(c*x)^(7//2))) + (8*(a - b*x^2)^(7//4))/(21*a^2*c*(c*x)^(7//2)), x, 2),
+(1/((c*x)^(13//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), -((2*(a - b*x^2)^(3//4))/(3*a*c*(c*x)^(11//2))) + (16*(a - b*x^2)^(7//4))/(21*a^2*c*(c*x)^(11//2)) - (64*(a - b*x^2)^(11//4))/(231*a^3*c*(c*x)^(11//2)), x, 3),
+
+((c*x)^(5//2)/(a - b*x^2)^(1//4), -((a*c^3*(a - b*x^2)^(3//4))/(2*b^2*sqrt(c*x))) - (c*(c*x)^(3//2)*(a - b*x^2)^(3//4))/(3*b) + (a^(3//2)*c^2*(1 - a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(c*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acsc((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(2*b^(3//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+((c*x)^(1//2)/(a - b*x^2)^(1//4), -((c*(a - b*x^2)^(3//4))/(b*sqrt(c*x))) + (sqrt(a)*(1 - a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(c*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acsc((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(b)*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+(1/((c*x)^(3//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), -((2*sqrt(b)*(1 - a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(c*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acsc((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(a)*c^2*(a - b*x^2)^(1//4))), x, 3),
+(1/((c*x)^(7//2)*(a - b*x^2)^(1//4)), -((2*(a - b*x^2)^(3//4))/(5*a*c*(c*x)^(5//2))) - (4*b^(3//2)*(1 - a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(c*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acsc((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(5*a^(3//2)*c^4*(a - b*x^2)^(1//4)), x, 4),
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+
+
+((c*x)^(3//2)/(a + b*x^2)^(3//4), (c*sqrt(c*x)*(a + b*x^2)^(1//4))/b + (sqrt(a)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(sqrt(b)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 6),
+(1/((c*x)^(1//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), (-2*sqrt(b)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(sqrt(a)*c^2*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 5),
+(1/((c*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), (-2*(a + b*x^2)^(1//4))/(3*a*c*(c*x)^(3//2)) + (4*b^(3//2)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(3*a^(3//2)*c^4*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 6),
+(1/((c*x)^(9//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), (-2*(a + b*x^2)^(1//4))/(7*a*c*(c*x)^(7//2)) + (4*b*(a + b*x^2)^(1//4))/(7*a^2*c^3*(c*x)^(3//2)) - (8*b^(5//2)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(7*a^(5//2)*c^6*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 7),
+(1/((c*x)^(13//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), (-2*(a + b*x^2)^(1//4))/(11*a*c*(c*x)^(11//2)) + (20*b*(a + b*x^2)^(1//4))/(77*a^2*c^3*(c*x)^(7//2)) - (40*b^2*(a + b*x^2)^(1//4))/(77*a^3*c^5*(c*x)^(3//2)) + (80*b^(7//2)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(77*a^(7//2)*c^8*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 8),
+
+((c*x)^(5//2)/(a + b*x^2)^(3//4), (c*(c*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4))/(2*b) + (3*a*c^(5//2)*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(4*b^(7//4)) - (3*a*c^(5//2)*atanh((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(4*b^(7//4)), x, 6),
+((c*x)^(1//2)/(a + b*x^2)^(3//4), -((sqrt(c)*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a + b*x^2)^(1//4))))/b^(3//4)) + (sqrt(c)*atanh((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a + b*x^2)^(1//4))))/b^(3//4), x, 5),
+(1/((c*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), (-2*(a + b*x^2)^(1//4))/(a*c*sqrt(c*x)), x, 1),
+(1/((c*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), (-2*(a + b*x^2)^(1//4))/(a*c*(c*x)^(5//2)) + (8*(a + b*x^2)^(5//4))/(5*a^2*c*(c*x)^(5//2)), x, 2),
+(1/((c*x)^(11//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), (-2*(a + b*x^2)^(1//4))/(a*c*(c*x)^(9//2)) + (16*(a + b*x^2)^(5//4))/(5*a^2*c*(c*x)^(9//2)) - (64*(a + b*x^2)^(9//4))/(45*a^3*c*(c*x)^(9//2)), x, 3),
+
+
+((c*x)^(3//2)/(a - b*x^2)^(3//4), -((c*sqrt(c*x)*(a - b*x^2)^(1//4))/b) - (sqrt(a)*(1 - a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acsc((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(sqrt(b)*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 6),
+(1/((c*x)^(1//2)*(a - b*x^2)^(3//4)), (-2*sqrt(b)*(1 - a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acsc((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(sqrt(a)*c^2*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 5),
+(1/((c*x)^(5//2)*(a - b*x^2)^(3//4)), (-2*(a - b*x^2)^(1//4))/(3*a*c*(c*x)^(3//2)) - (4*b^(3//2)*(1 - a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acsc((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(3*a^(3//2)*c^4*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 6),
+(1/((c*x)^(9//2)*(a - b*x^2)^(3//4)), (-2*(a - b*x^2)^(1//4))/(7*a*c*(c*x)^(7//2)) - (4*b*(a - b*x^2)^(1//4))/(7*a^2*c^3*(c*x)^(3//2)) - (8*b^(5//2)*(1 - a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acsc((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(7*a^(5//2)*c^6*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 7),
+(1/((c*x)^(13//2)*(a - b*x^2)^(3//4)), (-2*(a - b*x^2)^(1//4))/(11*a*c*(c*x)^(11//2)) - (20*b*(a - b*x^2)^(1//4))/(77*a^2*c^3*(c*x)^(7//2)) - (40*b^2*(a - b*x^2)^(1//4))/(77*a^3*c^5*(c*x)^(3//2)) - (80*b^(7//2)*(1 - a/(b*x^2))^(3//4)*(c*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acsc((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/2, 2))/(77*a^(7//2)*c^8*(a - b*x^2)^(3//4)), x, 8),
+
+((c*x)^(5//2)/(a - b*x^2)^(3//4), -(c*(c*x)^(3//2)*(a - b*x^2)^(1//4))/(2*b) - (3*a*c^(5//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a - b*x^2)^(1//4))))/(4*sqrt(2)*b^(7//4)) + (3*a*c^(5//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a - b*x^2)^(1//4))))/(4*sqrt(2)*b^(7//4)) + (3*a*c^(5//2)*log(sqrt(c) + (sqrt(b)*sqrt(c)*x)/sqrt(a - b*x^2) - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a - b*x^2)^(1//4)))/(8*sqrt(2)*b^(7//4)) - (3*a*c^(5//2)*log(sqrt(c) + (sqrt(b)*sqrt(c)*x)/sqrt(a - b*x^2) + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a - b*x^2)^(1//4)))/(8*sqrt(2)*b^(7//4)), x, 12),
+((c*x)^(1//2)/(a - b*x^2)^(3//4), -((sqrt(c)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a - b*x^2)^(1//4))))/(sqrt(2)*b^(3//4))) + (sqrt(c)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a - b*x^2)^(1//4))))/(sqrt(2)*b^(3//4)) + (sqrt(c)*log(sqrt(c) + (sqrt(b)*sqrt(c)*x)/sqrt(a - b*x^2) - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a - b*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(2)*b^(3//4)) - (sqrt(c)*log(sqrt(c) + (sqrt(b)*sqrt(c)*x)/sqrt(a - b*x^2) + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(c*x))/(a - b*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(2)*b^(3//4)), x, 11),
+(1/((c*x)^(3//2)*(a - b*x^2)^(3//4)), (-2*(a - b*x^2)^(1//4))/(a*c*sqrt(c*x)), x, 1),
+(1/((c*x)^(7//2)*(a - b*x^2)^(3//4)), (-2*(a - b*x^2)^(1//4))/(a*c*(c*x)^(5//2)) + (8*(a - b*x^2)^(5//4))/(5*a^2*c*(c*x)^(5//2)), x, 2),
+(1/((c*x)^(11//2)*(a - b*x^2)^(3//4)), (-2*(a - b*x^2)^(1//4))/(a*c*(c*x)^(9//2)) + (16*(a - b*x^2)^(5//4))/(5*a^2*c*(c*x)^(9//2)) - (64*(a - b*x^2)^(9//4))/(45*a^3*c*(c*x)^(9//2)), x, 3),
+
+
+((c*x)^(7//2)/(a + b*x^2)^(5//4), (5*a*c^3*sqrt(c*x))/(2*b^2*(a + b*x^2)^(1//4)) + (c*(c*x)^(5//2))/(2*b*(a + b*x^2)^(1//4)) - (5*a*c^(7//2)*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(4*b^(9//4)) - (5*a*c^(7//2)*atanh((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(4*b^(9//4)), x, 7),
+((c*x)^(3//2)/(a + b*x^2)^(5//4), -((2*c*sqrt(c*x))/(b*(a + b*x^2)^(1//4))) + (c^(3//2)*atan((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a + b*x^2)^(1//4))))/b^(5//4) + (c^(3//2)*atanh((b^(1//4)*sqrt(c*x))/(sqrt(c)*(a + b*x^2)^(1//4))))/b^(5//4), x, 6),
+(1/((c*x)^(1//2)*(a + b*x^2)^(5//4)), (2*sqrt(c*x))/(a*c*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 1),
+(1/((c*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(5//4)), 2/(a*c*(c*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4)) - (8*(a + b*x^2)^(3//4))/(3*a^2*c*(c*x)^(3//2)), x, 2),
+(1/((c*x)^(9//2)*(a + b*x^2)^(5//4)), 2/(a*c*(c*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(1//4)) - (16*(a + b*x^2)^(3//4))/(3*a^2*c*(c*x)^(7//2)) + (64*(a + b*x^2)^(7//4))/(21*a^3*c*(c*x)^(7//2)), x, 3),
+(1/((c*x)^(13//2)*(a + b*x^2)^(5//4)), 2/(a*c*(c*x)^(11//2)*(a + b*x^2)^(1//4)) - (8*(a + b*x^2)^(3//4))/(a^2*c*(c*x)^(11//2)) + (64*(a + b*x^2)^(7//4))/(7*a^3*c*(c*x)^(11//2)) - (256*(a + b*x^2)^(11//4))/(77*a^4*c*(c*x)^(11//2)), x, 4),
+
+((c*x)^(13//2)/(a + b*x^2)^(5//4), (77*a^2*c^5*(c*x)^(3//2))/(60*b^3*(a + b*x^2)^(1//4)) - (11*a*c^3*(c*x)^(7//2))/(30*b^2*(a + b*x^2)^(1//4)) + (c*(c*x)^(11//2))/(5*b*(a + b*x^2)^(1//4)) + (77*a^(5//2)*c^6*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(c*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(20*b^(7//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 6),
+((c*x)^(9//2)/(a + b*x^2)^(5//4), -((7*a*c^3*(c*x)^(3//2))/(6*b^2*(a + b*x^2)^(1//4))) + (c*(c*x)^(7//2))/(3*b*(a + b*x^2)^(1//4)) - (7*a^(3//2)*c^4*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(c*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(2*b^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+((c*x)^(5//2)/(a + b*x^2)^(5//4), (c*(c*x)^(3//2))/(b*(a + b*x^2)^(1//4)) + (3*sqrt(a)*c^2*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(c*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(b^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+((c*x)^(1//2)/(a + b*x^2)^(5//4), -((2*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(c*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(a)*sqrt(b)*(a + b*x^2)^(1//4))), x, 3),
+(1/((c*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(5//4)), -(2/(a*c*sqrt(c*x)*(a + b*x^2)^(1//4))) + (4*sqrt(b)*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(c*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(a^(3//2)*c^2*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+(1/((c*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(5//4)), -(2/(5*a*c*(c*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4))) + (12*b)/(5*a^2*c^3*sqrt(c*x)*(a + b*x^2)^(1//4)) - (24*b^(3//2)*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(c*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(5*a^(5//2)*c^4*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+(1/((c*x)^(11//2)*(a + b*x^2)^(5//4)), -(2/(9*a*c*(c*x)^(9//2)*(a + b*x^2)^(1//4))) + (4*b)/(9*a^2*c^3*(c*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4)) - (8*b^2)/(3*a^3*c^5*sqrt(c*x)*(a + b*x^2)^(1//4)) + (16*b^(5//2)*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(c*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(3*a^(7//2)*c^6*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 6),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^(m/4) (a+b x^2)^(p/4)
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+((c*x)^(5//4)/(a + b*x^2)^(1//4), (4*(c*x)^(9//4)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//4, 9//8, 17//8, -((b*x^2)/a)))/(9*c*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 2),
+((c*x)^(3//4)/(a + b*x^2)^(1//4), (4*(c*x)^(7//4)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//4, 7//8, 15//8, -((b*x^2)/a)))/(7*c*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 2),
+((c*x)^(1//4)/(a + b*x^2)^(1//4), (4*(c*x)^(5//4)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//4, 5//8, 13//8, -((b*x^2)/a)))/(5*c*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 2),
+(1/((c*x)^(1//4)*(a + b*x^2)^(1//4)), (4*(c*x)^(3//4)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//4, 3//8, 11//8, -((b*x^2)/a)))/(3*c*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 2),
+(1/((c*x)^(3//4)*(a + b*x^2)^(1//4)), (4*(c*x)^(1//4)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//8, 1//4, 9//8, -((b*x^2)/a)))/(c*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 2),
+(1/((c*x)^(5//4)*(a + b*x^2)^(1//4)), -((4*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//8), 1//4, 7//8, -((b*x^2)/a)))/(c*(c*x)^(1//4)*(a + b*x^2)^(1//4))), x, 2),
+
+
+((c*x)^(5//4)/(a + b*x^2)^(7//4), (4*(c*x)^(9//4)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(9//8, 7//4, 17//8, -((b*x^2)/a)))/(9*a*c*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 2),
+((c*x)^(3//4)/(a + b*x^2)^(7//4), (4*(c*x)^(7//4)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(7//8, 7//4, 15//8, -((b*x^2)/a)))/(7*a*c*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 2),
+((c*x)^(1//4)/(a + b*x^2)^(7//4), (4*(c*x)^(5//4)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//8, 7//4, 13//8, -((b*x^2)/a)))/(5*a*c*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 2),
+(1/((c*x)^(1//4)*(a + b*x^2)^(7//4)), (4*(c*x)^(3//4)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//8, 7//4, 11//8, -((b*x^2)/a)))/(3*a*c*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 2),
+(1/((c*x)^(3//4)*(a + b*x^2)^(7//4)), (4*(c*x)^(1//4)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//8, 7//4, 9//8, -((b*x^2)/a)))/(a*c*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 2),
+(1/((c*x)^(5//4)*(a + b*x^2)^(7//4)), -((4*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//8), 7//4, 7//8, -((b*x^2)/a)))/(a*c*(c*x)^(1//4)*(a + b*x^2)^(3//4))), x, 2),
+
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^2)^(p/6)
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^(p/6)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+
+(x^6*(a + b*x^2)^(1//6), (81*a^3*x*(a + b*x^2)^(1//6))/(2816*b^3) - (9*a^2*x^3*(a + b*x^2)^(1//6))/(704*b^2) + (3*a*x^5*(a + b*x^2)^(1//6))/(352*b) + (3//22)*x^7*(a + b*x^2)^(1//6) - (81*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^4*(a + b*x^2)^(1//6)*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(2816*b^4*x*(a/(a + b*x^2))^(1//3)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 7),
+(x^4*(a + b*x^2)^(1//6), -((27*a^2*x*(a + b*x^2)^(1//6))/(640*b^2)) + (3*a*x^3*(a + b*x^2)^(1//6))/(160*b) + (3//16)*x^5*(a + b*x^2)^(1//6) + (27*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^3*(a + b*x^2)^(1//6)*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(640*b^3*x*(a/(a + b*x^2))^(1//3)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 6),
+(x^2*(a + b*x^2)^(1//6), (3*a*x*(a + b*x^2)^(1//6))/(40*b) + (3//10)*x^3*(a + b*x^2)^(1//6) - (3*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^2*(a + b*x^2)^(1//6)*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(40*b^2*x*(a/(a + b*x^2))^(1//3)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 5),
+(x^0*(a + b*x^2)^(1//6), (3//4)*x*(a + b*x^2)^(1//6) + (3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a*(a + b*x^2)^(1//6)*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(4*b*x*(a/(a + b*x^2))^(1//3)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 4),
+((a + b*x^2)^(1//6)/x^2, -((a + b*x^2)^(1//6)/x) + (sqrt(2 - sqrt(3))*(a + b*x^2)^(1//6)*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*x*(a/(a + b*x^2))^(1//3)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 4),
+((a + b*x^2)^(1//6)/x^4, -((a + b*x^2)^(1//6)/(3*x^3)) - (b*(a + b*x^2)^(1//6))/(9*a*x) - (2*sqrt(2 - sqrt(3))*b*(a + b*x^2)^(1//6)*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(9*3^(1//4)*a*x*(a/(a + b*x^2))^(1//3)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 5),
+((a + b*x^2)^(1//6)/x^6, -((a + b*x^2)^(1//6)/(5*x^5)) - (b*(a + b*x^2)^(1//6))/(45*a*x^3) + (8*b^2*(a + b*x^2)^(1//6))/(135*a^2*x) + (16*sqrt(2 - sqrt(3))*b^2*(a + b*x^2)^(1//6)*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(135*3^(1//4)*a^2*x*(a/(a + b*x^2))^(1//3)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 6),
+((a + b*x^2)^(1//6)/x^8, -((a + b*x^2)^(1//6)/(7*x^7)) - (b*(a + b*x^2)^(1//6))/(105*a*x^5) + (2*b^2*(a + b*x^2)^(1//6))/(135*a^2*x^3) - (16*b^3*(a + b*x^2)^(1//6))/(405*a^3*x) - (32*sqrt(2 - sqrt(3))*b^3*(a + b*x^2)^(1//6)*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(405*3^(1//4)*a^3*x*(a/(a + b*x^2))^(1//3)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
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+(x^6/(a + b*x^2)^(1//6), -((243*a^3*x)/(896*b^3*(a + b*x^2)^(1//6))) + (81*a^2*x*(a + b*x^2)^(5//6))/(448*b^3) - (9*a*x^3*(a + b*x^2)^(5//6))/(56*b^2) + (3*x^5*(a + b*x^2)^(5//6))/(20*b) - (243*a^4*x)/(896*b^3*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(7//6)*(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))) - (243*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^4*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(1792*b^4*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))) + (81*3^(3//4)*a^4*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(448*sqrt(2)*b^4*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 9),
+(x^4/(a + b*x^2)^(1//6), (81*a^2*x)/(224*b^2*(a + b*x^2)^(1//6)) - (27*a*x*(a + b*x^2)^(5//6))/(112*b^2) + (3*x^3*(a + b*x^2)^(5//6))/(14*b) + (81*a^3*x)/(224*b^2*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(7//6)*(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))) + (81*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^3*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(448*b^3*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))) - (27*3^(3//4)*a^3*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(112*sqrt(2)*b^3*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 8),
+(x^2/(a + b*x^2)^(1//6), -((9*a*x)/(16*b*(a + b*x^2)^(1//6))) + (3*x*(a + b*x^2)^(5//6))/(8*b) - (9*a^2*x)/(16*b*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(7//6)*(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))) - (9*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^2*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(32*b^2*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))) + (3*3^(3//4)*a^2*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(8*sqrt(2)*b^2*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 7),
+(x^0/(a + b*x^2)^(1//6), (3*x)/(2*(a + b*x^2)^(1//6)) + (3*a*x)/(2*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(7//6)*(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))) + (3*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(4*b*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))) - (3^(3//4)*a*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(sqrt(2)*b*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 6),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^(1//6)), (b*x)/(a*(a + b*x^2)^(1//6)) - (a + b*x^2)^(5//6)/(a*x) + (b*x)/((a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(7//6)*(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))) + (3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(2*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))) - (sqrt(2)*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 7),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^(1//6)), -((4*b^2*x)/(9*a^2*(a + b*x^2)^(1//6))) - (a + b*x^2)^(5//6)/(3*a*x^3) + (4*b*(a + b*x^2)^(5//6))/(9*a^2*x) - (4*b^2*x)/(9*a*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(7//6)*(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))) - (2*sqrt(2 + sqrt(3))*b*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(3//4)*a*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))) + (4*sqrt(2)*b*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(9*3^(1//4)*a*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 8),
+(1/(x^6*(a + b*x^2)^(1//6)), (8*b^3*x)/(27*a^3*(a + b*x^2)^(1//6)) - (a + b*x^2)^(5//6)/(5*a*x^5) + (2*b*(a + b*x^2)^(5//6))/(9*a^2*x^3) - (8*b^2*(a + b*x^2)^(5//6))/(27*a^3*x) + (8*b^3*x)/(27*a^2*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(7//6)*(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))) + (4*sqrt(2 + sqrt(3))*b^2*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(9*3^(3//4)*a^2*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))) - (8*sqrt(2)*b^2*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*a^2*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 9),
+
+
+(x^6/(a + b*x^2)^(5//6), (81*a^2*x*(a + b*x^2)^(1//6))/(128*b^3) - (9*a*x^3*(a + b*x^2)^(1//6))/(32*b^2) + (3*x^5*(a + b*x^2)^(1//6))/(16*b) - (81*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^3*(a + b*x^2)^(1//6)*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(128*b^4*x*(a/(a + b*x^2))^(1//3)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 6),
+(x^4/(a + b*x^2)^(5//6), -((27*a*x*(a + b*x^2)^(1//6))/(40*b^2)) + (3*x^3*(a + b*x^2)^(1//6))/(10*b) + (27*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^2*(a + b*x^2)^(1//6)*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(40*b^3*x*(a/(a + b*x^2))^(1//3)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 5),
+(x^2/(a + b*x^2)^(5//6), (3*x*(a + b*x^2)^(1//6))/(4*b) - (3*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a*(a + b*x^2)^(1//6)*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(4*b^2*x*(a/(a + b*x^2))^(1//3)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 4),
+(x^0/(a + b*x^2)^(5//6), (3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(a + b*x^2)^(1//6)*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(b*x*(a/(a + b*x^2))^(1//3)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^(5//6)), -((a + b*x^2)^(1//6)/(a*x)) - (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(a + b*x^2)^(1//6)*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*a*x*(a/(a + b*x^2))^(1//3)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 4),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^(5//6)), -((a + b*x^2)^(1//6)/(3*a*x^3)) + (8*b*(a + b*x^2)^(1//6))/(9*a^2*x) + (16*sqrt(2 - sqrt(3))*b*(a + b*x^2)^(1//6)*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(9*3^(1//4)*a^2*x*(a/(a + b*x^2))^(1//3)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 5),
+(1/(x^6*(a + b*x^2)^(5//6)), -((a + b*x^2)^(1//6)/(5*a*x^5)) + (14*b*(a + b*x^2)^(1//6))/(45*a^2*x^3) - (112*b^2*(a + b*x^2)^(1//6))/(135*a^3*x) - (224*sqrt(2 - sqrt(3))*b^2*(a + b*x^2)^(1//6)*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(135*3^(1//4)*a^3*x*(a/(a + b*x^2))^(1//3)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 6),
+
+
+(x^6/(a + b*x^2)^(7//6), (1215*a^2*x)/(224*b^3*(a + b*x^2)^(1//6)) - (3*x^5)/(b*(a + b*x^2)^(1//6)) - (405*a*x*(a + b*x^2)^(5//6))/(112*b^3) + (45*x^3*(a + b*x^2)^(5//6))/(14*b^2) + (1215*a^3*x)/(224*b^3*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(7//6)*(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))) + (1215*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^3*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(448*b^4*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))) - (405*3^(3//4)*a^3*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(112*sqrt(2)*b^4*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 9),
+(x^4/(a + b*x^2)^(7//6), -((81*a*x)/(16*b^2*(a + b*x^2)^(1//6))) - (3*x^3)/(b*(a + b*x^2)^(1//6)) + (27*x*(a + b*x^2)^(5//6))/(8*b^2) - (81*a^2*x)/(16*b^2*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(7//6)*(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))) - (81*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^2*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(32*b^3*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))) + (27*3^(3//4)*a^2*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(8*sqrt(2)*b^3*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 8),
+(x^2/(a + b*x^2)^(7//6), (3*x)/(2*b*(a + b*x^2)^(1//6)) + (9*a*x)/(2*b*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(7//6)*(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))) + (9*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(4*b^2*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))) - (3*3^(3//4)*a*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(sqrt(2)*b^2*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 7),
+(x^0/(a + b*x^2)^(7//6), -((3*x)/((a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(7//6)*(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3)))) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(2*b*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))) + (sqrt(2)*3^(3//4)*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(b*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 5),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^(7//6)), 3/(a*x*(a + b*x^2)^(1//6)) + (4*b*x)/(a^2*(a + b*x^2)^(1//6)) - (4*(a + b*x^2)^(5//6))/(a^2*x) + (4*b*x)/(a*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(7//6)*(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))) + (2*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(a*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))) - (4*sqrt(2)*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*a*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 8),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^(7//6)), 3/(a*x^3*(a + b*x^2)^(1//6)) - (40*b^2*x)/(9*a^3*(a + b*x^2)^(1//6)) - (10*(a + b*x^2)^(5//6))/(3*a^2*x^3) + (40*b*(a + b*x^2)^(5//6))/(9*a^3*x) - (40*b^2*x)/(9*a^2*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(7//6)*(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))) - (20*sqrt(2 + sqrt(3))*b*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(3//4)*a^2*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))) + (40*sqrt(2)*b*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(9*3^(1//4)*a^2*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 9),
+(1/(x^6*(a + b*x^2)^(7//6)), 3/(a*x^5*(a + b*x^2)^(1//6)) + (128*b^3*x)/(27*a^4*(a + b*x^2)^(1//6)) - (16*(a + b*x^2)^(5//6))/(5*a^2*x^5) + (32*b*(a + b*x^2)^(5//6))/(9*a^3*x^3) - (128*b^2*(a + b*x^2)^(5//6))/(27*a^4*x) + (128*b^3*x)/(27*a^3*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(7//6)*(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))) + (64*sqrt(2 + sqrt(3))*b^2*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(9*3^(3//4)*a^3*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))) - (128*sqrt(2)*b^2*(1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))*sqrt((1 + (a/(a + b*x^2))^(1//3) + (a/(a + b*x^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*a^3*x*(a/(a + b*x^2))^(2//3)*(a + b*x^2)^(1//6)*sqrt(-((1 - (a/(a + b*x^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (a/(a + b*x^2))^(1//3))^2))), x, 10),
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^2)^p when p symbolic
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^p when p symbolic
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+(x^7*(a + b*x^2)^p, -((a^3*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b^4*(1 + p))) + (3*a^2*(a + b*x^2)^(2 + p))/(2*b^4*(2 + p)) - (3*a*(a + b*x^2)^(3 + p))/(2*b^4*(3 + p)) + (a + b*x^2)^(4 + p)/(2*b^4*(4 + p)), x, 3),
+(x^5*(a + b*x^2)^p, (a^2*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b^3*(1 + p)) - (a*(a + b*x^2)^(2 + p))/(b^3*(2 + p)) + (a + b*x^2)^(3 + p)/(2*b^3*(3 + p)), x, 3),
+(x^3*(a + b*x^2)^p, -((a*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b^2*(1 + p))) + (a + b*x^2)^(2 + p)/(2*b^2*(2 + p)), x, 3),
+(x^1*(a + b*x^2)^p, (a + b*x^2)^(1 + p)/(2*b*(1 + p)), x, 1),
+((a + b*x^2)^p/x^1, -(((a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^2)/a))/(2*a*(1 + p))), x, 2),
+((a + b*x^2)^p/x^3, (b*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^2)/a))/(2*a^2*(1 + p)), x, 2),
+
+# {x^6*(a + b*x^2)^p, x, 2, (x^7*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 9/2 + p, 9/2, -((b*x^2)/a)])/(7*a), ((1/7)*x^7*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[7/2, -p, 9/2, -((b*x^2)/a)])/(1 + (b*x^2)/a)^p}
+# {x^4*(a + b*x^2)^p, x, 2, (x^5*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 7/2 + p, 7/2, -((b*x^2)/a)])/(5*a), ((1/5)*x^5*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[5/2, -p, 7/2, -((b*x^2)/a)])/(1 + (b*x^2)/a)^p}
+# {x^2*(a + b*x^2)^p, x, 2, (x^3*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 5/2 + p, 5/2, -((b*x^2)/a)])/(3*a), ((1/3)*x^3*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[3/2, -p, 5/2, -((b*x^2)/a)])/(1 + (b*x^2)/a)^p}
+# {x^0*(a + b*x^2)^p, x, 2, (x*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 3/2 + p, 3/2, -((b*x^2)/a)])/a, (x*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*x^2)/a)])/(1 + (b*x^2)/a)^p}
+# {(a + b*x^2)^p/x^2, x, 2, -(((a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + p, 1/2, -((b*x^2)/a)])/(a*x)), -(((a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-(1/2), -p, 1/2, -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*x))}
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^(m/2) (a+b x^2)^p when p symbolic
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+# {x^(7/2)*(a + b*x^2)^p, x, 2, (2*x^(9/2)*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 13/4 + p, 13/4, -((b*x^2)/a)])/(9*a), ((2/9)*x^(9/2)*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[9/4, -p, 13/4, -((b*x^2)/a)])/(1 + (b*x^2)/a)^p}
+# {x^(5/2)*(a + b*x^2)^p, x, 2, (2*x^(7/2)*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 11/4 + p, 11/4, -((b*x^2)/a)])/(7*a), ((2/7)*x^(7/2)*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[7/4, -p, 11/4, -((b*x^2)/a)])/(1 + (b*x^2)/a)^p}
+# {x^(3/2)*(a + b*x^2)^p, x, 2, (2*x^(5/2)*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 9/4 + p, 9/4, -((b*x^2)/a)])/(5*a), ((2/5)*x^(5/2)*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[5/4, -p, 9/4, -((b*x^2)/a)])/(1 + (b*x^2)/a)^p}
+# {x^(1/2)*(a + b*x^2)^p, x, 2, (2*x^(3/2)*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 7/4 + p, 7/4, -((b*x^2)/a)])/(3*a), ((2/3)*x^(3/2)*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[3/4, -p, 7/4, -((b*x^2)/a)])/(1 + (b*x^2)/a)^p}
+# {(a + b*x^2)^p/x^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[x]*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 5/4 + p, 5/4, -((b*x^2)/a)])/a, (2*Sqrt[x]*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/4, -p, 5/4, -((b*x^2)/a)])/(1 + (b*x^2)/a)^p}
+# {(a + b*x^2)^p/x^(3/2), x, 2, -((2*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 3/4 + p, 3/4, -((b*x^2)/a)])/(a*Sqrt[x])), -((2*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-(1/4), -p, 3/4, -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*Sqrt[x]))}
+# {(a + b*x^2)^p/x^(5/2), x, 2, -((2*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 1/4 + p, 1/4, -((b*x^2)/a)])/(3*a*x^(3/2))), -((2*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-(3/4), -p, 1/4, -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(3*x^(3/2))))}
+# {(a + b*x^2)^p/x^(7/2), x, 2, -((2*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, -(1/4) + p, -(1/4), -((b*x^2)/a)])/(5*a*x^(5/2))), -((2*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-(5/4), -p, -(1/4), -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(5*x^(5/2))))}
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^2)^p when m and p symbolic
+
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+# {x^m*(a + b*x^2)^p, x, 2, (x^(1 + m)*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(3 + m + 2*p), (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/(a*(1 + m)), (x^(1 + m)*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(1 + m))}
+((c*x)^m*(a + b*x^2)^p, ((c*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(c*(1 + m))), x, 2),
+
+
+# {(a + b*x^2)^p/x^(2*p + 8), x, 2, -((x^(-7 - 2*p)*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-(5/2), 1, (1/2)*(-5 - 2*p), -((b*x^2)/a)])/(a*(7 + 2*p))), -((x^(-7 - 2*p)*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-7 - 2*p), -p, (1/2)*(-5 - 2*p), -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(7 + 2*p)))}
+# {(a + b*x^2)^p/x^(2*p + 7), x, 3, If[$VersionNumber>=8, -((b^2*(a + b*x^2)^(1 + p))/(x^(2*(1 + p))*(a^3*(1 + p)*(2 + p)*(3 + p)))) + (b*(a + b*x^2)^(1 + p))/(x^(2*(2 + p))*(a^2*(2 + p)*(3 + p))) - (a + b*x^2)^(1 + p)/(x^(2*(3 + p))*(2*a*(3 + p))), -((b^2*(a + b*x^2)^(1 + p))/(x^(2*(1 + p))*(a^3*(2 + p)*(3 + 4*p + p^2)))) + (b*(a + b*x^2)^(1 + p))/(x^(2*(2 + p))*(a^2*(2 + p)*(3 + p))) - (a + b*x^2)^(1 + p)/(x^(2*(3 + p))*(2*a*(3 + p)))]}
+# {(a + b*x^2)^p/x^(2*p + 6), x, 2, -((x^(-5 - 2*p)*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-(3/2), 1, (1/2)*(-3 - 2*p), -((b*x^2)/a)])/(a*(5 + 2*p))), -((x^(-5 - 2*p)*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-5 - 2*p), -p, (1/2)*(-3 - 2*p), -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(5 + 2*p)))}
+((a + b*x^2)^p/x^(2*p + 5), (b*(a + b*x^2)^(1 + p))/(x^(2*(1 + p))*(2*a^2*(1 + p)*(2 + p))) - (a + b*x^2)^(1 + p)/(x^(2*(2 + p))*(2*a*(2 + p))), x, 2),
+# {(a + b*x^2)^p/x^(2*p + 4), x, 2, -((x^(-3 - 2*p)*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-(1/2), 1, (1/2)*(-1 - 2*p), -((b*x^2)/a)])/(a*(3 + 2*p))), -((x^(-3 - 2*p)*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 - 2*p), -p, (1/2)*(-1 - 2*p), -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(3 + 2*p)))}
+((a + b*x^2)^p/x^(2*p + 3), -((a + b*x^2)^(1 + p)/(x^(2*(1 + p))*(2*a*(1 + p)))), x, 1),
+# {(a + b*x^2)^p/x^(2*p + 2), x, 2, -((x^(-1 - 2*p)*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1/2, 1, (1/2)*(1 - 2*p), -((b*x^2)/a)])/(a*(1 + 2*p))), -((x^(-1 - 2*p)*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 - 2*p), -p, (1/2)*(1 - 2*p), -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(1 + 2*p)))}
+# {(a + b*x^2)^p/x^(2*p + 1), x, 2, -(((a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 1, 1 - p, -((b*x^2)/a)])/(x^(2*p)*(2*a*p))), -(((a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-p, -p, 1 - p, -((b*x^2)/a)])/(x^(2*p)*(1 + (b*x^2)/a)^p*(2*p)))}
+# {(a + b*x^2)^p/x^(2*p + 0), x, 2, (x^(1 - 2*p)*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 3/2, (1/2)*(3 - 2*p), -((b*x^2)/a)])/(a*(1 - 2*p)), (x^(1 - 2*p)*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 - 2*p), -p, (1/2)*(3 - 2*p), -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(1 - 2*p))}
+# {(a + b*x^2)^p/x^(2*p - 1), x, 2, (x^(2 - 2*p)*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 2, 2 - p, -((b*x^2)/a)])/(2*a*(1 - p)), (x^(2 - 2*p)*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1 - p, -p, 2 - p, -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(2*(1 - p)))}
+# {(a + b*x^2)^p/x^(2*p - 2), x, 2, (x^(3 - 2*p)*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 5/2, (1/2)*(5 - 2*p), -((b*x^2)/a)])/(a*(3 - 2*p)), (x^(3 - 2*p)*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1/2)*(3 - 2*p), -p, (1/2)*(5 - 2*p), -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(3 - 2*p))}
+# {(a + b*x^2)^p/x^(2*p - 3), x, 2, (x^(4 - 2*p)*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 3, 3 - p, -((b*x^2)/a)])/(2*a*(2 - p)), (x^(4 - 2*p)*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[2 - p, -p, 3 - p, -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(2*(2 - p)))}
+]
+# Total integrals translated: 1035
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.3 (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.3 (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q.jl
new file mode 100644
index 00000000..d5f79bbd
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.3 (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q.jl	
@@ -0,0 +1,596 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^4, a*c^4*x + (1//3)*c^3*(b*c + 4*a*d)*x^3 + (2//5)*c^2*d*(2*b*c + 3*a*d)*x^5 + (2//7)*c*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^7 + (1//9)*d^3*(4*b*c + a*d)*x^9 + (1//11)*b*d^4*x^11, x, 2),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3, a*c^3*x + (1//3)*c^2*(b*c + 3*a*d)*x^3 + (3//5)*c*d*(b*c + a*d)*x^5 + (1//7)*d^2*(3*b*c + a*d)*x^7 + (1//9)*b*d^3*x^9, x, 2),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2, a*c^2*x + (1//3)*c*(b*c + 2*a*d)*x^3 + (1//5)*d*(2*b*c + a*d)*x^5 + (1//7)*b*d^2*x^7, x, 2),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^1, a*c*x + (1//3)*(b*c + a*d)*x^3 + (1//5)*b*d*x^5, x, 2),
+((a + b*x^2)/(c + d*x^2)^1, (b*x)/d - ((b*c - a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(sqrt(c)*d^(3//2)), x, 2),
+((a + b*x^2)/(c + d*x^2)^2, -(((b*c - a*d)*x)/(2*c*d*(c + d*x^2))) + ((b*c + a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*c^(3//2)*d^(3//2)), x, 2),
+((a + b*x^2)/(c + d*x^2)^3, -(((b*c - a*d)*x)/(4*c*d*(c + d*x^2)^2)) + ((b*c + 3*a*d)*x)/(8*c^2*d*(c + d*x^2)) + ((b*c + 3*a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*c^(5//2)*d^(3//2)), x, 3),
+
+
+((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3, a^2*c^3*x + (1//3)*a*c^2*(2*b*c + 3*a*d)*x^3 + (1//5)*c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^5 + (1//7)*d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^7 + (1//9)*b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^9 + (1//11)*b^2*d^3*x^11, x, 2),
+((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2, a^2*c^2*x + (2//3)*a*c*(b*c + a*d)*x^3 + (1//5)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^5 + (2//7)*b*d*(b*c + a*d)*x^7 + (1//9)*b^2*d^2*x^9, x, 2),
+((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^1, a^2*c*x + (1//3)*a*(2*b*c + a*d)*x^3 + (1//5)*b*(b*c + 2*a*d)*x^5 + (1//7)*b^2*d*x^7, x, 2),
+((a + b*x^2)^2/(c + d*x^2)^1, -((b*(b*c - 2*a*d)*x)/d^2) + (b^2*x^3)/(3*d) + ((b*c - a*d)^2*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(sqrt(c)*d^(5//2)), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(c + d*x^2)^2, (b^2*x)/d^2 + ((b*c - a*d)^2*x)/(2*c*d^2*(c + d*x^2)) - ((b*c - a*d)*(3*b*c + a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*c^(3//2)*d^(5//2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^2/(c + d*x^2)^3, -(((b*c - a*d)*x*(a + b*x^2))/(4*c*d*(c + d*x^2)^2)) + (3*(a^2/c^2 - b^2/d^2)*x)/(8*(c + d*x^2)) + ((3*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*c^(5//2)*d^(5//2)), x, 3),
+
+
+((a + b*x^2)^3*(c + d*x^2)^3, a^3*c^3*x + a^2*c^2*(b*c + a*d)*x^3 + (3//5)*a*c*(b^2*c^2 + 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^5 + (1//7)*(b*c + a*d)*(b^2*c^2 + 8*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^7 + (1//3)*b*d*(b^2*c^2 + 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^9 + (3//11)*b^2*d^2*(b*c + a*d)*x^11 + (1//13)*b^3*d^3*x^13, x, 2),
+((a + b*x^2)^3*(c + d*x^2)^2, a^3*c^2*x + (1//3)*a^2*c*(3*b*c + 2*a*d)*x^3 + (1//5)*a*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^5 + (1//7)*b*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^7 + (1//9)*b^2*d*(2*b*c + 3*a*d)*x^9 + (1//11)*b^3*d^2*x^11, x, 2),
+((a + b*x^2)^3*(c + d*x^2)^1, a^3*c*x + (1//3)*a^2*(3*b*c + a*d)*x^3 + (3//5)*a*b*(b*c + a*d)*x^5 + (1//7)*b^2*(b*c + 3*a*d)*x^7 + (1//9)*b^3*d*x^9, x, 2),
+((a + b*x^2)^3/(c + d*x^2)^1, (b*(b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x)/d^3 - (b^2*(b*c - 3*a*d)*x^3)/(3*d^2) + (b^3*x^5)/(5*d) - ((b*c - a*d)^3*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(sqrt(c)*d^(7//2)), x, 3),
+((a + b*x^2)^3/(c + d*x^2)^2, -((b^2*(2*b*c - 3*a*d)*x)/d^3) + (b^3*x^3)/(3*d^2) - ((b*c - a*d)^3*x)/(2*c*d^3*(c + d*x^2)) + ((b*c - a*d)^2*(5*b*c + a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*c^(3//2)*d^(7//2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^3/(c + d*x^2)^3, (b^3*x)/d^3 - ((b*c - a*d)^3*x)/(4*c*d^3*(c + d*x^2)^2) + (3*(b*c - a*d)^2*(3*b*c + a*d)*x)/(8*c^2*d^3*(c + d*x^2)) - (3*(b*c - a*d)*(4*b^2*c^2 + (b*c + a*d)^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*c^(5//2)*d^(7//2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^4, (d*(2*b*c - a*d)*(2*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*x)/b^4 + (d^2*(6*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^3)/(3*b^3) + (d^3*(4*b*c - a*d)*x^5)/(5*b^2) + (d^4*x^7)/(7*b) + ((b*c - a*d)^4*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*b^(9//2)), x, 3),
+(1/(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3, (d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x)/b^3 + (d^2*(3*b*c - a*d)*x^3)/(3*b^2) + (d^3*x^5)/(5*b) + ((b*c - a*d)^3*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*b^(7//2)), x, 3),
+(1/(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2, (d*(2*b*c - a*d)*x)/b^2 + (d^2*x^3)/(3*b) + ((b*c - a*d)^2*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*b^(5//2)), x, 3),
+(1/(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^1, (d*x)/b + ((b*c - a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*b^(3//2)), x, 2),
+(1/(a + b*x^2)/(c + d*x^2)^1, (sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(b*c - a*d)) - (sqrt(d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(sqrt(c)*(b*c - a*d)), x, 3),
+(1/(a + b*x^2)/(c + d*x^2)^2, -((d*x)/(2*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2))) + (b^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(b*c - a*d)^2) - (sqrt(d)*(3*b*c - a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*c^(3//2)*(b*c - a*d)^2), x, 4),
+(1/(a + b*x^2)/(c + d*x^2)^3, -((d*x)/(4*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2)) - (d*(7*b*c - 3*a*d)*x)/(8*c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + (b^(5//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(b*c - a*d)^3) - (sqrt(d)*(15*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*c^(5//2)*(b*c - a*d)^3), x, 5),
+
+
+(1/(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^5, (d^2*(10*b^3*c^3 - 20*a*b^2*c^2*d + 15*a^2*b*c*d^2 - 4*a^3*d^3)*x)/b^5 + (d^3*(10*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^3)/(3*b^4) + (d^4*(5*b*c - 2*a*d)*x^5)/(5*b^3) + (d^5*x^7)/(7*b^2) + ((b*c - a*d)^5*x)/(2*a*b^5*(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)^4*(b*c + 9*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*b^(11//2)), x, 4),
+(1/(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^4, (d^2*(6*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x)/b^4 + (2*d^3*(2*b*c - a*d)*x^3)/(3*b^3) + (d^4*x^5)/(5*b^2) + ((b*c - a*d)^4*x)/(2*a*b^4*(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)^3*(b*c + 7*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*b^(9//2)), x, 4),
+(1/(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3, (d^2*(3*b*c - 2*a*d)*x)/b^3 + (d^3*x^3)/(3*b^2) + ((b*c - a*d)^3*x)/(2*a*b^3*(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)^2*(b*c + 5*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*b^(7//2)), x, 4),
+(1/(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2, (d^2*x)/b^2 + ((b*c - a*d)^2*x)/(2*a*b^2*(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)*(b*c + 3*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*b^(5//2)), x, 4),
+(1/(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^1, ((b*c - a*d)*x)/(2*a*b*(a + b*x^2)) + ((b*c + a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*b^(3//2)), x, 2),
+(1/(a + b*x^2)^2/(c + d*x^2)^1, (b*x)/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) + (sqrt(b)*(b*c - 3*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*(b*c - a*d)^2) + (d^(3//2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(sqrt(c)*(b*c - a*d)^2), x, 4),
+(1/(a + b*x^2)^2/(c + d*x^2)^2, (d*(b*c + a*d)*x)/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + (b*x)/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) + (b^(3//2)*(b*c - 5*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*(b*c - a*d)^3) + (d^(3//2)*(5*b*c - a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*c^(3//2)*(b*c - a*d)^3), x, 5),
+(1/(a + b*x^2)^2/(c + d*x^2)^3, (d*(2*b*c + a*d)*x)/(4*a*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^2) + (b*x)/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2) + (d*(4*b*c - a*d)*(b*c + 3*a*d)*x)/(8*a*c^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x^2)) + (b^(5//2)*(b*c - 7*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*(b*c - a*d)^4) + (d^(3//2)*(35*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*c^(5//2)*(b*c - a*d)^4), x, 6),
+
+
+(1/(a + b*x^2)^3*(c + d*x^2)^5, (d^3*(10*b^2*c^2 - 15*a*b*c*d + 6*a^2*d^2)*x)/b^5 + (d^4*(5*b*c - 3*a*d)*x^3)/(3*b^4) + (d^5*x^5)/(5*b^3) + ((b*c - a*d)^5*x)/(4*a*b^5*(a + b*x^2)^2) + ((b*c - a*d)^4*(3*b*c + 17*a*d)*x)/(8*a^2*b^5*(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)^3*(3*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 63*a^2*d^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*b^(11//2)), x, 5),
+(1/(a + b*x^2)^3*(c + d*x^2)^4, (d^3*(4*b*c - 3*a*d)*x)/b^4 + (d^4*x^3)/(3*b^3) + ((b*c - a*d)^4*x)/(4*a*b^4*(a + b*x^2)^2) + ((b*c - a*d)^3*(3*b*c + 13*a*d)*x)/(8*a^2*b^4*(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)^2*(3*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 35*a^2*d^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*b^(9//2)), x, 5),
+(1/(a + b*x^2)^3*(c + d*x^2)^3, (d^3*x)/b^3 + ((b*c - a*d)^3*x)/(4*a*b^3*(a + b*x^2)^2) + (3*(b*c - a*d)^2*(b*c + 3*a*d)*x)/(8*a^2*b^3*(a + b*x^2)) + (3*(b*c - a*d)*(4*a^2*d^2 + (b*c + a*d)^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*b^(7//2)), x, 5),
+(1/(a + b*x^2)^3*(c + d*x^2)^2, (3*(c^2/a^2 - d^2/b^2)*x)/(8*(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)*x*(c + d*x^2))/(4*a*b*(a + b*x^2)^2) + ((3*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*b^(5//2)), x, 3),
+(1/(a + b*x^2)^3*(c + d*x^2)^1, ((b*c - a*d)*x)/(4*a*b*(a + b*x^2)^2) + ((3*b*c + a*d)*x)/(8*a^2*b*(a + b*x^2)) + ((3*b*c + a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*b^(3//2)), x, 3),
+(1/(a + b*x^2)^3/(c + d*x^2)^1, (b*x)/(4*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^2) + (b*(3*b*c - 7*a*d)*x)/(8*a^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)) + (sqrt(b)*(3*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*(b*c - a*d)^3) - (d^(5//2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(sqrt(c)*(b*c - a*d)^3), x, 5),
+(1/(a + b*x^2)^3/(c + d*x^2)^2, (d*(b*c - 4*a*d)*(3*b*c + a*d)*x)/(8*a^2*c*(b*c - a*d)^3*(c + d*x^2)) + (b*x)/(4*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)) + (3*b*(b*c - 3*a*d)*x)/(8*a^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) + (b^(3//2)*(3*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + 35*a^2*d^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*(b*c - a*d)^4) - (d^(5//2)*(7*b*c - a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*c^(3//2)*(b*c - a*d)^4), x, 6),
+(1/(a + b*x^2)^3/(c + d*x^2)^3, (d*(3*b^2*c^2 - 13*a*b*c*d - 2*a^2*d^2)*x)/(8*a^2*c*(b*c - a*d)^3*(c + d*x^2)^2) + (b*x)/(4*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2) + (b*(3*b*c - 11*a*d)*x)/(8*a^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2) + (3*d*(b*c + a*d)*(b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x)/(8*a^2*c^2*(b*c - a*d)^4*(c + d*x^2)) + (3*b^(5//2)*(b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*(b*c - a*d)^5) - (3*d^(5//2)*(21*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*c^(5//2)*(b*c - a*d)^5), x, 7),
+
+
+((-1 + x^2)^3/(1 + x^2)^4, -((x*(1 - x^2)^2)/(3*(1 + x^2)^3)) - (2*x)/(3*(1 + x^2)), x, 3),
+((-1 + x^2)^4/(1 + x^2)^5, (x*(1 - x^2)^3)/(4*(1 + x^2)^4) + (3*x*(1 - x^2))/(8*(1 + x^2)^2) + (3*atan(x))/8, x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^q
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*x^2)^(1//2)*(c + d*x^2)^3, ((64*b^3*c^3 - 48*a*b^2*c^2*d + 24*a^2*b*c*d^2 - 5*a^3*d^3)*x*sqrt(a + b*x^2))/(128*b^3) + (d*(72*b^2*c^2 - 52*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(192*b^3) + (d*(12*b*c - 5*a*d)*x*(a + b*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2))/(48*b^2) + (d*x*(a + b*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2)^2)/(8*b) + (a*(64*b^3*c^3 - 48*a*b^2*c^2*d + 24*a^2*b*c*d^2 - 5*a^3*d^3)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(128*b^(7//2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^(1//2)*(c + d*x^2)^2, ((8*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2))/(16*b^2) + (d*(8*b*c - 3*a*d)*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(24*b^2) + (d*x*(a + b*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2))/(6*b) + (a*(8*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*b^(5//2)), x, 5),
+((a + b*x^2)^(1//2)*(c + d*x^2)^1, ((4*b*c - a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*b) + (d*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(4*b) + (a*(4*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*b^(3//2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^(1//2)*(c + d*x^2)^0, (1//2)*x*sqrt(a + b*x^2) + (a*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*sqrt(b)), x, 3),
+((a + b*x^2)^(1//2)/(c + d*x^2)^1, (sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/d - (sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(sqrt(c)*d), x, 5),
+((a + b*x^2)^(1//2)/(c + d*x^2)^2, (x*sqrt(a + b*x^2))/(2*c*(c + d*x^2)) + (a*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(2*c^(3//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 3),
+((a + b*x^2)^(1//2)/(c + d*x^2)^3, -((d*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(4*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2)) + ((4*b*c - 3*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*c^2*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)) + (a*(4*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(8*c^(5//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^(1//2)/(c + d*x^2)^4, (x*sqrt(a + b*x^2))/(6*c*(c + d*x^2)^3) + ((4*b*c - 5*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(24*c^2*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2) + ((2*b*c - 5*a*d)*(4*b*c - 3*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(48*c^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + (a*(8*b^2*c^2 - 12*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(16*c^(7//2)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 6),
+
+
+((a + b*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2)^3, (3*a*(4*b*c - a*d)*(8*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2))/(256*b^3) + ((4*b*c - a*d)*(8*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(128*b^3) + (d*(36*b^2*c^2 - 20*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*x*(a + b*x^2)^(5//2))/(160*b^3) + (d*(14*b*c - 5*a*d)*x*(a + b*x^2)^(5//2)*(c + d*x^2))/(80*b^2) + (d*x*(a + b*x^2)^(5//2)*(c + d*x^2)^2)/(10*b) + (3*a^2*(4*b*c - a*d)*(8*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(256*b^(7//2)), x, 7),
+((a + b*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2)^2, (a*(48*b^2*c^2 - 16*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2))/(128*b^2) + ((48*b^2*c^2 - 16*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(192*b^2) + (d*(10*b*c - 3*a*d)*x*(a + b*x^2)^(5//2))/(48*b^2) + (d*x*(a + b*x^2)^(5//2)*(c + d*x^2))/(8*b) + (a^2*(48*b^2*c^2 - 16*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(128*b^(5//2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2)^1, (a*(6*b*c - a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(16*b) + ((6*b*c - a*d)*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(24*b) + (d*x*(a + b*x^2)^(5//2))/(6*b) + (a^2*(6*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*b^(3//2)), x, 5),
+((a + b*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2)^0, (3//8)*a*x*sqrt(a + b*x^2) + (1//4)*x*(a + b*x^2)^(3//2) + (3*a^2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*sqrt(b)), x, 4),
+((a + b*x^2)^(3//2)/(c + d*x^2)^1, (b*x*sqrt(a + b*x^2))/(2*d) - (sqrt(b)*(2*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*d^2) + ((b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(sqrt(c)*d^2), x, 6),
+((a + b*x^2)^(3//2)/(c + d*x^2)^2, -(((b*c - a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(2*c*d*(c + d*x^2))) + (b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/d^2 - (sqrt(b*c - a*d)*(2*b*c + a*d)*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(2*c^(3//2)*d^2), x, 6),
+((a + b*x^2)^(3//2)/(c + d*x^2)^3, (x*(a + b*x^2)^(3//2))/(4*c*(c + d*x^2)^2) + (3*a*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*c^2*(c + d*x^2)) + (3*a^2*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(8*c^(5//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 4),
+((a + b*x^2)^(3//2)/(c + d*x^2)^4, -((d*x*(a + b*x^2)^(5//2))/(6*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^3)) + ((6*b*c - 5*a*d)*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(24*c^2*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2) + (a*(6*b*c - 5*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(16*c^3*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)) + (a^2*(6*b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(16*c^(7//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 5),
+((a + b*x^2)^(3//2)/(c + d*x^2)^5, -(((b*c - a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*c*d*(c + d*x^2)^4)) + ((2*b*c + 7*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(48*c^2*d*(c + d*x^2)^3) + ((8*b^2*c^2 + 24*a*b*c*d - 35*a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2))/(192*c^3*d*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2) + ((16*b^3*c^3 + 40*a*b^2*c^2*d - 170*a^2*b*c*d^2 + 105*a^3*d^3)*x*sqrt(a + b*x^2))/(384*c^4*d*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + (a^2*(48*b^2*c^2 - 80*a*b*c*d + 35*a^2*d^2)*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(128*c^(9//2)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 7),
+
+
+((a + b*x^2)^(5//2)*(c + d*x^2)^3, (a^2*(320*b^3*c^3 - 120*a*b^2*c^2*d + 36*a^2*b*c*d^2 - 5*a^3*d^3)*x*sqrt(a + b*x^2))/(1024*b^3) + (a*(320*b^3*c^3 - 120*a*b^2*c^2*d + 36*a^2*b*c*d^2 - 5*a^3*d^3)*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(1536*b^3) + ((320*b^3*c^3 - 120*a*b^2*c^2*d + 36*a^2*b*c*d^2 - 5*a^3*d^3)*x*(a + b*x^2)^(5//2))/(1920*b^3) + (d*(152*b^2*c^2 - 68*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*x*(a + b*x^2)^(7//2))/(960*b^3) + (d*(16*b*c - 5*a*d)*x*(a + b*x^2)^(7//2)*(c + d*x^2))/(120*b^2) + (d*x*(a + b*x^2)^(7//2)*(c + d*x^2)^2)/(12*b) + (a^3*(320*b^3*c^3 - 120*a*b^2*c^2*d + 36*a^2*b*c*d^2 - 5*a^3*d^3)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(1024*b^(7//2)), x, 8),
+((a + b*x^2)^(5//2)*(c + d*x^2)^2, (a^2*(80*b^2*c^2 - 20*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2))/(256*b^2) + (a*(80*b^2*c^2 - 20*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(384*b^2) + ((80*b^2*c^2 - 20*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x*(a + b*x^2)^(5//2))/(480*b^2) + (3*d*(4*b*c - a*d)*x*(a + b*x^2)^(7//2))/(80*b^2) + (d*x*(a + b*x^2)^(7//2)*(c + d*x^2))/(10*b) + (a^3*(80*b^2*c^2 - 20*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(256*b^(5//2)), x, 7),
+((a + b*x^2)^(5//2)*(c + d*x^2)^1, (5*a^2*(8*b*c - a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(128*b) + (5*a*(8*b*c - a*d)*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(192*b) + ((8*b*c - a*d)*x*(a + b*x^2)^(5//2))/(48*b) + (d*x*(a + b*x^2)^(7//2))/(8*b) + (5*a^3*(8*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(128*b^(3//2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^(5//2)*(c + d*x^2)^0, (5//16)*a^2*x*sqrt(a + b*x^2) + (5//24)*a*x*(a + b*x^2)^(3//2) + (1//6)*x*(a + b*x^2)^(5//2) + (5*a^3*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*sqrt(b)), x, 5),
+((a + b*x^2)^(5//2)/(c + d*x^2)^1, -((b*(4*b*c - 7*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*d^2)) + (b*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(4*d) + (sqrt(b)*(8*b^2*c^2 - 20*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*d^3) - ((b*c - a*d)^(5//2)*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(sqrt(c)*d^3), x, 7),
+((a + b*x^2)^(5//2)/(c + d*x^2)^2, (b*(2*b*c - a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(2*c*d^2) - ((b*c - a*d)*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(2*c*d*(c + d*x^2)) - (b^(3//2)*(4*b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*d^3) + ((b*c - a*d)^(3//2)*(4*b*c + a*d)*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(2*c^(3//2)*d^3), x, 7),
+((a + b*x^2)^(5//2)/(c + d*x^2)^3, -(((b*c - a*d)*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(4*c*d*(c + d*x^2)^2)) - ((b*c - a*d)*(4*b*c + 3*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*c^2*d^2*(c + d*x^2)) + (b^(5//2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/d^3 - (sqrt(b*c - a*d)*(8*b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(8*c^(5//2)*d^3), x, 7),
+((a + b*x^2)^(5//2)/(c + d*x^2)^4, (x*(a + b*x^2)^(5//2))/(6*c*(c + d*x^2)^3) + (5*a*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(24*c^2*(c + d*x^2)^2) + (5*a^2*x*sqrt(a + b*x^2))/(16*c^3*(c + d*x^2)) + (5*a^3*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(16*c^(7//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 5),
+((a + b*x^2)^(5//2)/(c + d*x^2)^5, -((d*x*(a + b*x^2)^(7//2))/(8*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^4)) + ((8*b*c - 7*a*d)*x*(a + b*x^2)^(5//2))/(48*c^2*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^3) + (5*a*(8*b*c - 7*a*d)*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(192*c^3*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2) + (5*a^2*(8*b*c - 7*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(128*c^4*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)) + (5*a^3*(8*b*c - 7*a*d)*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(128*c^(9//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 6),
+
+
+(sqrt(1 - x^2)/(1 + x^2), -asin(x) + sqrt(2)*atan((sqrt(2)*x)/sqrt(1 - x^2)), x, 4),
+(sqrt(1 + x^2)/(-1 + x^2), asinh(x) - sqrt(2)*atanh((sqrt(2)*x)/sqrt(1 + x^2)), x, 4),
+(sqrt(1 - x^2)/(-1 + 2*x^2), -(asin(x)/2) - (1//2)*atanh(x/sqrt(1 - x^2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/(a + b*x^2)^(1//2)*(c + d*x^2)^3, (d*(44*b^2*c^2 - 44*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2))/(48*b^3) + (5*d*(2*b*c - a*d)*x*sqrt(a + b*x^2)*(c + d*x^2))/(24*b^2) + (d*x*sqrt(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2)/(6*b) + ((2*b*c - a*d)*(8*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*b^(7//2)), x, 5),
+(1/(a + b*x^2)^(1//2)*(c + d*x^2)^2, (3*d*(2*b*c - a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*b^2) + (d*x*sqrt(a + b*x^2)*(c + d*x^2))/(4*b) + ((8*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*b^(5//2)), x, 4),
+(1/(a + b*x^2)^(1//2)*(c + d*x^2)^1, (d*x*sqrt(a + b*x^2))/(2*b) + ((2*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*b^(3//2)), x, 3),
+(1/(a + b*x^2)^(1//2)*(c + d*x^2)^0, atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2))/sqrt(b), x, 2),
+(1/(a + b*x^2)^(1//2)/(c + d*x^2)^1, atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)))/(sqrt(c)*sqrt(b*c - a*d)), x, 2),
+(1/(a + b*x^2)^(1//2)/(c + d*x^2)^2, -((d*x*sqrt(a + b*x^2))/(2*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2))) + ((2*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(2*c^(3//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 3),
+(1/(a + b*x^2)^(1//2)/(c + d*x^2)^3, -((d*x*sqrt(a + b*x^2))/(4*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2)) - (3*d*(2*b*c - a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + ((8*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(8*c^(5//2)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 5),
+
+
+(1/(a + b*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2)^4, -((d*(48*b^3*c^3 - 248*a*b^2*c^2*d + 290*a^2*b*c*d^2 - 105*a^3*d^3)*x*sqrt(a + b*x^2))/(48*a*b^4)) - (d*(24*b^2*c^2 - 64*a*b*c*d + 35*a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2)*(c + d*x^2))/(24*a*b^3) - (d*(6*b*c - 7*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2)/(6*a*b^2) + ((b*c - a*d)*x*(c + d*x^2)^3)/(a*b*sqrt(a + b*x^2)) + (d*(64*b^3*c^3 - 144*a*b^2*c^2*d + 120*a^2*b*c*d^2 - 35*a^3*d^3)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*b^(9//2)), x, 6),
+(1/(a + b*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2)^3, -((d*(2*b*c - 5*a*d)*(4*b*c - 3*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*a*b^3)) - (d*(4*b*c - 5*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2)*(c + d*x^2))/(4*a*b^2) + ((b*c - a*d)*x*(c + d*x^2)^2)/(a*b*sqrt(a + b*x^2)) + (3*d*(8*b^2*c^2 - 12*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*b^(7//2)), x, 5),
+# {1/(a + b*x^2)^(3/2)*(c + d*x^2)^2, x, 4, ((b*c - a*d)^2*x)/(a*b^2*Sqrt[a + b*x^2]) + (d^2*x*Sqrt[a + b*x^2])/(2*b^2) + (d*(4*b*c - 3*a*d)*ArcTanh[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a + b*x^2]])/(2*b^(5/2)), -((d*(2*b*c - 3*a*d)*x*Sqrt[a + b*x^2])/(2*a*b^2)) + ((b*c - a*d)*x*(c + d*x^2))/(a*b*Sqrt[a + b*x^2]) + (d*(4*b*c - 3*a*d)*ArcTanh[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a + b*x^2]])/(2*b^(5/2))}
+(1/(a + b*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2)^1, ((b*c - a*d)*x)/(a*b*sqrt(a + b*x^2)) + (d*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/b^(3//2), x, 3),
+(1/(a + b*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2)^0, x/(a*sqrt(a + b*x^2)), x, 1),
+(1/(a + b*x^2)^(3//2)/(c + d*x^2)^1, (b*x)/(a*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)) - (d*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(sqrt(c)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 3),
+(1/(a + b*x^2)^(3//2)/(c + d*x^2)^2, (b*(2*b*c + a*d)*x)/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x^2)) - (d*x)/(2*c*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) - (d*(4*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(2*c^(3//2)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 5),
+(1/(a + b*x^2)^(3//2)/(c + d*x^2)^3, -((d*x)/(4*c*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2)) + (b*(4*b*c + a*d)*x)/(4*a*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) + (d*(4*b*c - a*d)*(2*b*c + 3*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*a*c^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x^2)) - (3*d*(8*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(8*c^(5//2)*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 6),
+
+
+(1/(a + b*x^2)^(5//2)*(c + d*x^2)^4, -((d*(16*b^3*c^3 + 40*a*b^2*c^2*d - 170*a^2*b*c*d^2 + 105*a^3*d^3)*x*sqrt(a + b*x^2))/(24*a^2*b^4)) - (d*(8*b^2*c^2 + 24*a*b*c*d - 35*a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2)*(c + d*x^2))/(12*a^2*b^3) + ((b*c - a*d)*(2*b*c + 7*a*d)*x*(c + d*x^2)^2)/(3*a^2*b^2*sqrt(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)*x*(c + d*x^2)^3)/(3*a*b*(a + b*x^2)^(3//2)) + (d^2*(48*b^2*c^2 - 80*a*b*c*d + 35*a^2*d^2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*b^(9//2)), x, 6),
+(1/(a + b*x^2)^(5//2)*(c + d*x^2)^3, -((d*(4*b^2*c^2 + 8*a*b*c*d - 15*a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2))/(6*a^2*b^3)) + ((b*c - a*d)*(2*b*c + 5*a*d)*x*(c + d*x^2))/(3*a^2*b^2*sqrt(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)*x*(c + d*x^2)^2)/(3*a*b*(a + b*x^2)^(3//2)) + (d^2*(6*b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*b^(7//2)), x, 5),
+(1/(a + b*x^2)^(5//2)*(c + d*x^2)^2, ((b*c - a*d)*(2*b*c + 3*a*d)*x)/(3*a^2*b^2*sqrt(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)*x*(c + d*x^2))/(3*a*b*(a + b*x^2)^(3//2)) + (d^2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/b^(5//2), x, 4),
+(1/(a + b*x^2)^(5//2)*(c + d*x^2)^1, (2*c*x)/(3*a^2*sqrt(a + b*x^2)) + (x*(c + d*x^2))/(3*a*(a + b*x^2)^(3//2)), x, 2),
+(1/(a + b*x^2)^(5//2)*(c + d*x^2)^0, x/(3*a*(a + b*x^2)^(3//2)) + (2*x)/(3*a^2*sqrt(a + b*x^2)), x, 2),
+(1/(a + b*x^2)^(5//2)/(c + d*x^2)^1, (b*x)/(3*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(3//2)) + (b*(2*b*c - 5*a*d)*x)/(3*a^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x^2)) + (d^2*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(sqrt(c)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 5),
+(1/(a + b*x^2)^(5//2)/(c + d*x^2)^2, (b*(2*b*c + 3*a*d)*x)/(6*a*c*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)^(3//2)) + (b*(4*b^2*c^2 - 16*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*x)/(6*a^2*c*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x^2)) - (d*x)/(2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2)) + (d^2*(6*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(2*c^(3//2)*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 6),
+(1/(a + b*x^2)^(5//2)/(c + d*x^2)^3, -((d*x)/(4*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2)^2)) + (b*(4*b*c + 3*a*d)*x)/(12*a*c*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2)) + (b*(8*b^2*c^2 - 40*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*x)/(12*a^2*c*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) + (d*(16*b^3*c^3 - 88*a*b^2*c^2*d - 42*a^2*b*c*d^2 + 9*a^3*d^3)*x*sqrt(a + b*x^2))/(24*a^2*c^2*(b*c - a*d)^4*(c + d*x^2)) + (d^2*(48*b^2*c^2 - 16*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))))/(8*c^(5//2)*(b*c - a*d)^(9//2)), x, 7),
+
+
+((a + b*x^2)^3/(c + d*x^2)^(11//2), -((d*x*(a + b*x^2)^4)/(9*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(9//2))) + ((9*b*c - 8*a*d)*x*(a + b*x^2)^3)/(63*c^2*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(7//2)) + (2*a*(9*b*c - 8*a*d)*x*(a + b*x^2)^2)/(105*c^3*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(5//2)) + (8*a^2*(9*b*c - 8*a*d)*x*(a + b*x^2))/(315*c^4*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2)) + (16*a^3*(9*b*c - 8*a*d)*x)/(315*c^5*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+((a + b*x^2)^2/(c + d*x^2)^(9//2), -((d*x*(a + b*x^2)^3)/(7*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(7//2))) + ((7*b*c - 6*a*d)*x*(a + b*x^2)^2)/(35*c^2*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(5//2)) + (4*a*(7*b*c - 6*a*d)*x*(a + b*x^2))/(105*c^3*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2)) + (8*a^2*(7*b*c - 6*a*d)*x)/(105*c^4*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^1/(c + d*x^2)^(7//2), -(((b*c - a*d)*x)/(5*c*d*(c + d*x^2)^(5//2))) + ((b*c + 4*a*d)*x)/(15*c^2*d*(c + d*x^2)^(3//2)) + (2*(b*c + 4*a*d)*x)/(15*c^3*d*sqrt(c + d*x^2)), x, 3),
+((a + b*x^2)^0/(c + d*x^2)^(5//2), x/(3*c*(c + d*x^2)^(3//2)) + (2*x)/(3*c^2*sqrt(c + d*x^2)), x, 2),
+(1/((a + b*x^2)^1*(c + d*x^2)^(3//2)), -((d*x)/(c*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))) + (b*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(sqrt(a)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 3),
+(1/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(1//2)), (b*x*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) + ((b*c - 2*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(3//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 3),
+((c + d*x^2)^(1//2)/(a + b*x^2)^3, ((3*b*c - 4*a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(8*a^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) + (b*x*(c + d*x^2)^(3//2))/(4*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^2) + (c*(3*b*c - 4*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(8*a^(5//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+((c + d*x^2)^(3//2)/(a + b*x^2)^4, (c*(5*b*c - 6*a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(16*a^3*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) + ((5*b*c - 6*a*d)*x*(c + d*x^2)^(3//2))/(24*a^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^2) + (b*x*(c + d*x^2)^(5//2))/(6*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^3) + (c^2*(5*b*c - 6*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(16*a^(7//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 5),
+
+
+(1/((b*c/d + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), (d*x)/(b*c*sqrt(c + d*x^2)), x, 2),
+(1/((1 + x^2)*sqrt(1 - x^2)), atan((sqrt(2)*x)/sqrt(1 - x^2))/sqrt(2), x, 2),
+(1/((a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2)))/(sqrt(a)*sqrt(b*c - a*d)), x, 2),
+
+((-1 + x^2)/(1 + x^2)^(3//2), (-2*x)/sqrt(1 + x^2) + asinh(x), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^(p/3) (c+d x^2)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^(p/3) (c+d x^2)^q when b c+3 a d=0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a - b*x^2)^(2//3)*(3*a + b*x^2)^3, (18144*a^3*x*(a - b*x^2)^(2//3))/1235 - (23544*a^2*x*(a - b*x^2)^(5//3))/6175 - (378//475)*a*x*(a - b*x^2)^(5//3)*(3*a + b*x^2) - (3//25)*x*(a - b*x^2)^(5//3)*(3*a + b*x^2)^2 - (72576*a^4*x)/(1235*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) - (36288*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(13//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(1235*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) + (24192*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(13//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(1235*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 8),
+((a - b*x^2)^(2//3)*(3*a + b*x^2)^2, (7776*a^2*x*(a - b*x^2)^(2//3))/1729 - (252//247)*a*x*(a - b*x^2)^(5//3) - (3//19)*x*(a - b*x^2)^(5//3)*(3*a + b*x^2) - (31104*a^3*x)/(1729*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) - (15552*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(10//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(1729*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) + (10368*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(10//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(1729*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 7),
+((a - b*x^2)^(2//3)*(3*a + b*x^2)^1, (18//13)*a*x*(a - b*x^2)^(2//3) - (3//13)*x*(a - b*x^2)^(5//3) - (72*a^2*x)/(13*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) - (36*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(7//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(13*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) + (24*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(7//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(13*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 6),
+((a - b*x^2)^(2//3)/(3*a + b*x^2)^1, (3*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)) + (2^(1//3)*a^(1//6)*atan((sqrt(3)*sqrt(a))/(sqrt(b)*x)))/(sqrt(3)*sqrt(b)) + (2^(1//3)*a^(1//6)*atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x)))/(sqrt(3)*sqrt(b)) - (2^(1//3)*a^(1//6)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(3*sqrt(b)) + (2^(1//3)*a^(1//6)*atanh((sqrt(b)*x)/(a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))))/sqrt(b) + (3*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(2*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) - (sqrt(2)*3^(3//4)*a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 6),
+((a - b*x^2)^(2//3)/(3*a + b*x^2)^2, (x*(a - b*x^2)^(2//3))/(6*a*(3*a + b*x^2)) - x/(6*a*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) - (sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(4*3^(3//4)*a^(2//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) + ((a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(2//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 6),
+((a - b*x^2)^(2//3)/(3*a + b*x^2)^3, (x*(a - b*x^2)^(2//3))/(12*a*(3*a + b*x^2)^2) + (x*(a - b*x^2)^(2//3))/(36*a^2*(3*a + b*x^2)) - x/(36*a^2*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) + atan((sqrt(3)*sqrt(a))/(sqrt(b)*x))/(72*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(11//6)*sqrt(b)) + atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x))/(72*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(11//6)*sqrt(b)) - atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(216*2^(2//3)*a^(11//6)*sqrt(b)) + atanh((sqrt(b)*x)/(a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3))))/(72*2^(2//3)*a^(11//6)*sqrt(b)) - (sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(24*3^(3//4)*a^(5//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) + ((a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(18*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 8),
+((a - b*x^2)^(2//3)/(3*a + b*x^2)^4, (x*(a - b*x^2)^(2//3))/(18*a*(3*a + b*x^2)^3) + (x*(a - b*x^2)^(2//3))/(54*a^2*(3*a + b*x^2)^2) + (x*(a - b*x^2)^(2//3))/(144*a^3*(3*a + b*x^2)) - x/(144*a^3*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) + (7*atan((sqrt(3)*sqrt(a))/(sqrt(b)*x)))/(1296*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(17//6)*sqrt(b)) + (7*atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x)))/(1296*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(17//6)*sqrt(b)) - (7*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(3888*2^(2//3)*a^(17//6)*sqrt(b)) + (7*atanh((sqrt(b)*x)/(a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))))/(1296*2^(2//3)*a^(17//6)*sqrt(b)) - (sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(96*3^(3//4)*a^(8//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) + ((a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(72*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(8//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 9),
+
+
+((a - b*x^2)^(5//3)*(3*a + b*x^2)^3, (2809728*a^4*x*(a - b*x^2)^(2//3))/267995 + (1404864*a^3*x*(a - b*x^2)^(5//3))/191425 - (33264*a^2*x*(a - b*x^2)^(8//3))/14725 - (432//775)*a*x*(a - b*x^2)^(8//3)*(3*a + b*x^2) - (3//31)*x*(a - b*x^2)^(8//3)*(3*a + b*x^2)^2 - (11238912*a^5*x)/(267995*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) - (5619456*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(16//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(267995*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) + (3746304*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(16//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(267995*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 9),
+((a - b*x^2)^(5//3)*(3*a + b*x^2)^2, (28512*a^3*x*(a - b*x^2)^(2//3))/8645 + (14256*a^2*x*(a - b*x^2)^(5//3))/6175 - (306//475)*a*x*(a - b*x^2)^(8//3) - (3//25)*x*(a - b*x^2)^(8//3)*(3*a + b*x^2) - (114048*a^4*x)/(8645*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) - (57024*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(13//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(8645*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) + (38016*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(13//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(8645*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 8),
+((a - b*x^2)^(5//3)*(3*a + b*x^2)^1, (1800*a^2*x*(a - b*x^2)^(2//3))/1729 + (180//247)*a*x*(a - b*x^2)^(5//3) - (3//19)*x*(a - b*x^2)^(8//3) - (7200*a^3*x)/(1729*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) - (3600*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(10//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(1729*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) + (2400*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(10//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(1729*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 7),
+((a - b*x^2)^(5//3)/(3*a + b*x^2)^1, (-(3//7))*x*(a - b*x^2)^(2//3) + (96*a*x)/(7*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) + (4*2^(1//3)*a^(7//6)*atan((sqrt(3)*sqrt(a))/(sqrt(b)*x)))/(sqrt(3)*sqrt(b)) + (4*2^(1//3)*a^(7//6)*atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x)))/(sqrt(3)*sqrt(b)) - (4*2^(1//3)*a^(7//6)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(3*sqrt(b)) + (4*2^(1//3)*a^(7//6)*atanh((sqrt(b)*x)/(a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))))/sqrt(b) + (48*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(4//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) - (32*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(4//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 7),
+((a - b*x^2)^(5//3)/(3*a + b*x^2)^2, (2*x*(a - b*x^2)^(2//3))/(3*(3*a + b*x^2)) - (11*x)/(3*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) - (2^(1//3)*a^(1//6)*atan((sqrt(3)*sqrt(a))/(sqrt(b)*x)))/(sqrt(3)*sqrt(b)) - (2^(1//3)*a^(1//6)*atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x)))/(sqrt(3)*sqrt(b)) + (2^(1//3)*a^(1//6)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(3*sqrt(b)) - (2^(1//3)*a^(1//6)*atanh((sqrt(b)*x)/(a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))))/sqrt(b) - (11*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(2*3^(3//4)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) + (11*sqrt(2)*a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 7),
+((a - b*x^2)^(5//3)/(3*a + b*x^2)^3, (x*(a - b*x^2)^(2//3))/(3*(3*a + b*x^2)^2) - (x*(a - b*x^2)^(2//3))/(18*a*(3*a + b*x^2)) + x/(18*a*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) + atan((sqrt(3)*sqrt(a))/(sqrt(b)*x))/(18*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(5//6)*sqrt(b)) + atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x))/(18*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(5//6)*sqrt(b)) - atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(54*2^(2//3)*a^(5//6)*sqrt(b)) + atanh((sqrt(b)*x)/(a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3))))/(18*2^(2//3)*a^(5//6)*sqrt(b)) + (sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(12*3^(3//4)*a^(2//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) - ((a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(9*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(2//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 9),
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+((3*a + b*x^2)^4/(a - b*x^2)^(1//3), -((1552608*a^3*x*(a - b*x^2)^(2//3))/43225) - (36288*a^2*x*(a - b*x^2)^(2//3)*(3*a + b*x^2))/6175 - (18//19)*a*x*(a - b*x^2)^(2//3)*(3*a + b*x^2)^2 - (3//25)*x*(a - b*x^2)^(2//3)*(3*a + b*x^2)^3 - (3794688*a^4*x)/(8645*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) - (1897344*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(13//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(8645*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) + (1264896*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(13//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(8645*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 8),
+((3*a + b*x^2)^3/(a - b*x^2)^(1//3), -((15768*a^2*x*(a - b*x^2)^(2//3))/1729) - (324//247)*a*x*(a - b*x^2)^(2//3)*(3*a + b*x^2) - (3//19)*x*(a - b*x^2)^(2//3)*(3*a + b*x^2)^2 - (215136*a^3*x)/(1729*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) - (107568*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(10//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(1729*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) + (71712*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(10//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(1729*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 7),
+((3*a + b*x^2)^2/(a - b*x^2)^(1//3), (-(198//91))*a*x*(a - b*x^2)^(2//3) - (3//13)*x*(a - b*x^2)^(2//3)*(3*a + b*x^2) - (3240*a^2*x)/(91*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) - (1620*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(7//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(91*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) + (1080*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(7//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(91*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 6),
+((3*a + b*x^2)^1/(a - b*x^2)^(1//3), (-(3//7))*x*(a - b*x^2)^(2//3) - (72*a*x)/(7*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) - (36*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(4//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) + (24*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(4//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 5),
+(1/((3*a + b*x^2)^1*(a - b*x^2)^(1//3)), atan((sqrt(3)*sqrt(a))/(sqrt(b)*x))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(5//6)*sqrt(b)) + atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(5//6)*sqrt(b)) - atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(6*2^(2//3)*a^(5//6)*sqrt(b)) + atanh((sqrt(b)*x)/(a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3))))/(2*2^(2//3)*a^(5//6)*sqrt(b)), x, 1),
+(1/((3*a + b*x^2)^2*(a - b*x^2)^(1//3)), (x*(a - b*x^2)^(2//3))/(24*a^2*(3*a + b*x^2)) - x/(24*a^2*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) + atan((sqrt(3)*sqrt(a))/(sqrt(b)*x))/(8*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(11//6)*sqrt(b)) + atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x))/(8*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(11//6)*sqrt(b)) - atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(24*2^(2//3)*a^(11//6)*sqrt(b)) + atanh((sqrt(b)*x)/(a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3))))/(8*2^(2//3)*a^(11//6)*sqrt(b)) - (sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(16*3^(3//4)*a^(5//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) + ((a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(12*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 7),
+(1/((3*a + b*x^2)^3*(a - b*x^2)^(1//3)), (x*(a - b*x^2)^(2//3))/(48*a^2*(3*a + b*x^2)^2) + (5*x*(a - b*x^2)^(2//3))/(288*a^3*(3*a + b*x^2)) - (5*x)/(288*a^3*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) + (5*atan((sqrt(3)*sqrt(a))/(sqrt(b)*x)))/(144*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(17//6)*sqrt(b)) + (5*atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x)))/(144*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(17//6)*sqrt(b)) - (5*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(432*2^(2//3)*a^(17//6)*sqrt(b)) + (5*atanh((sqrt(b)*x)/(a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))))/(144*2^(2//3)*a^(17//6)*sqrt(b)) - (5*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(192*3^(3//4)*a^(8//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) + (5*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(144*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(8//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 8),
+
+
+((3*a + b*x^2)^3/(a - b*x^2)^(4//3), (2538//91)*a*x*(a - b*x^2)^(2//3) + (81//13)*x*(a - b*x^2)^(2//3)*(3*a + b*x^2) + (6*x*(3*a + b*x^2)^2)/(a - b*x^2)^(1//3) + (20088*a^2*x)/(91*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) + (10044*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(7//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(91*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) - (6696*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(7//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(91*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 7),
+((3*a + b*x^2)^2/(a - b*x^2)^(4//3), (45//7)*x*(a - b*x^2)^(2//3) + (6*x*(3*a + b*x^2))/(a - b*x^2)^(1//3) + (324*a*x)/(7*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) + (162*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(4//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) - (108*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(4//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 6),
+((3*a + b*x^2)^1/(a - b*x^2)^(4//3), (6*x)/(a - b*x^2)^(1//3) + (9*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)) + (9*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(2*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) - (3*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 5),
+(1/((3*a + b*x^2)^1*(a - b*x^2)^(4//3)), (3*x)/(8*a^2*(a - b*x^2)^(1//3)) + (3*x)/(8*a^2*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) + atan((sqrt(3)*sqrt(a))/(sqrt(b)*x))/(8*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(11//6)*sqrt(b)) + atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x))/(8*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(11//6)*sqrt(b)) - atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(24*2^(2//3)*a^(11//6)*sqrt(b)) + atanh((sqrt(b)*x)/(a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3))))/(8*2^(2//3)*a^(11//6)*sqrt(b)) + (3*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(16*a^(5//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) - (3^(3//4)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*a^(5//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 7),
+(1/((3*a + b*x^2)^2*(a - b*x^2)^(4//3)), x/(12*a^3*(a - b*x^2)^(1//3)) + x/(24*a^2*(a - b*x^2)^(1//3)*(3*a + b*x^2)) + x/(12*a^3*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) + atan((sqrt(3)*sqrt(a))/(sqrt(b)*x))/(16*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(17//6)*sqrt(b)) + atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x))/(16*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(17//6)*sqrt(b)) - atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(48*2^(2//3)*a^(17//6)*sqrt(b)) + atanh((sqrt(b)*x)/(a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3))))/(16*2^(2//3)*a^(17//6)*sqrt(b)) + (sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(8*3^(3//4)*a^(8//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) - ((a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(6*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(8//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 8),
+(1/((3*a + b*x^2)^3*(a - b*x^2)^(4//3)), x/(48*a^2*(a - b*x^2)^(1//3)*(3*a + b*x^2)^2) + (17*x)/(192*a^3*(a - b*x^2)^(1//3)*(3*a + b*x^2)) - (19*x*(a - b*x^2)^(2//3))/(1152*a^4*(3*a + b*x^2)) + (19*x)/(1152*a^4*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) + (7*atan((sqrt(3)*sqrt(a))/(sqrt(b)*x)))/(288*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(23//6)*sqrt(b)) + (7*atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x)))/(288*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(23//6)*sqrt(b)) - (7*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(864*2^(2//3)*a^(23//6)*sqrt(b)) + (7*atanh((sqrt(b)*x)/(a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))))/(288*2^(2//3)*a^(23//6)*sqrt(b)) + (19*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(768*3^(3//4)*a^(11//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) - (19*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(576*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(11//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 9),
+
+
+((3*a + b*x^2)^4/(a - b*x^2)^(7//3), (-(3240//91))*a*x*(a - b*x^2)^(2//3) - (81//13)*x*(a - b*x^2)^(2//3)*(3*a + b*x^2) - (9*x*(3*a + b*x^2)^2)/(2*(a - b*x^2)^(1//3)) + (3*x*(3*a + b*x^2)^3)/(2*(a - b*x^2)^(4//3)) - (36936*a^2*x)/(91*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) - (18468*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(7//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(91*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) + (12312*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(7//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(91*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 8),
+((3*a + b*x^2)^3/(a - b*x^2)^(7//3), (-(27//14))*x*(a - b*x^2)^(2//3) + (3*x*(3*a + b*x^2)^2)/(2*(a - b*x^2)^(4//3)) - (324*a*x)/(7*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) - (162*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(4//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) + (108*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(4//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 7),
+((3*a + b*x^2)^2/(a - b*x^2)^(7//3), (9*x)/(2*(a - b*x^2)^(1//3)) + (3*x*(3*a + b*x^2))/(2*(a - b*x^2)^(4//3)), x, 2),
+((3*a + b*x^2)^1/(a - b*x^2)^(7//3), (3*x)/(2*(a - b*x^2)^(4//3)) + (9*x)/(4*a*(a - b*x^2)^(1//3)) + (9*x)/(4*a*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) + (9*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(8*a^(2//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) - (3*3^(3//4)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(2*sqrt(2)*a^(2//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 6),
+(1/((3*a + b*x^2)^1*(a - b*x^2)^(7//3)), (3*x)/(32*a^2*(a - b*x^2)^(4//3)) + (21*x)/(64*a^3*(a - b*x^2)^(1//3)) + (21*x)/(64*a^3*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) + atan((sqrt(3)*sqrt(a))/(sqrt(b)*x))/(32*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(17//6)*sqrt(b)) + atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x))/(32*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(17//6)*sqrt(b)) - atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(96*2^(2//3)*a^(17//6)*sqrt(b)) + atanh((sqrt(b)*x)/(a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3))))/(32*2^(2//3)*a^(17//6)*sqrt(b)) + (21*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(128*a^(8//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) - (7*3^(3//4)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(32*sqrt(2)*a^(8//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 8),
+(1/((3*a + b*x^2)^2*(a - b*x^2)^(7//3)), (5*x)/(384*a^3*(a - b*x^2)^(4//3)) + (79*x)/(768*a^4*(a - b*x^2)^(1//3)) + x/(24*a^2*(a - b*x^2)^(4//3)*(3*a + b*x^2)) + (79*x)/(768*a^4*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))) + (sqrt(3)*atan((sqrt(3)*sqrt(a))/(sqrt(b)*x)))/(128*2^(2//3)*a^(23//6)*sqrt(b)) + (sqrt(3)*atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x)))/(128*2^(2//3)*a^(23//6)*sqrt(b)) - atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(128*2^(2//3)*a^(23//6)*sqrt(b)) + (3*atanh((sqrt(b)*x)/(a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))))/(128*2^(2//3)*a^(23//6)*sqrt(b)) + (79*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(512*3^(3//4)*a^(11//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))) - (79*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3) + (a - b*x^2)^(2//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(384*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(11//3)*b*x*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2))), x, 9),
+
+
+(1/((-a + b*x^2)^(1//3)*(-3*a - b*x^2)), -(atan((sqrt(3)*sqrt(a))/(sqrt(b)*x))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)*(-a)^(1//3)*sqrt(a)*sqrt(b))) - atan((sqrt(3)*sqrt(a)*((-a)^(1//3) - 2^(1//3)*(-a + b*x^2)^(1//3)))/((-a)^(1//3)*sqrt(b)*x))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)*(-a)^(1//3)*sqrt(a)*sqrt(b)) + atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(6*2^(2//3)*(-a)^(1//3)*sqrt(a)*sqrt(b)) - atanh(((-a)^(1//3)*sqrt(b)*x)/(sqrt(a)*((-a)^(1//3) + 2^(1//3)*(-a + b*x^2)^(1//3))))/(2*2^(2//3)*(-a)^(1//3)*sqrt(a)*sqrt(b)), x, 1),
+(1/((a + b*x^2)^(1//3)*(3*a - b*x^2)), -(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(6*2^(2//3)*a^(5//6)*sqrt(b))) + atan((sqrt(b)*x)/(a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3))))/(2*2^(2//3)*a^(5//6)*sqrt(b)) - atanh((sqrt(3)*sqrt(a))/(sqrt(b)*x))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(5//6)*sqrt(b)) - atanh((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*(a + b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(5//6)*sqrt(b)), x, 1),
+
+
+(1/((c + 3*d*x^2)^(1//3)*(c - d*x^2)), -(atan((sqrt(3)*sqrt(d)*x)/sqrt(c))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)*c^(5//6)*sqrt(d))) + (sqrt(3)*atan((sqrt(3)*sqrt(d)*x)/(c^(1//6)*(c^(1//3) + 2^(1//3)*(c + 3*d*x^2)^(1//3)))))/(2*2^(2//3)*c^(5//6)*sqrt(d)) - atanh(sqrt(c)/(sqrt(d)*x))/(2*2^(2//3)*c^(5//6)*sqrt(d)) - atanh((c^(1//6)*(c^(1//3) - 2^(1//3)*(c + 3*d*x^2)^(1//3)))/(sqrt(d)*x))/(2*2^(2//3)*c^(5//6)*sqrt(d)), x, 1),
+
+
+(1/((a - b*x^2)^(1//3)*(3*a + b*x^2)), atan((sqrt(3)*sqrt(a))/(sqrt(b)*x))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(5//6)*sqrt(b)) + atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(5//6)*sqrt(b)) - atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(6*2^(2//3)*a^(5//6)*sqrt(b)) + atanh((sqrt(b)*x)/(a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*(a - b*x^2)^(1//3))))/(2*2^(2//3)*a^(5//6)*sqrt(b)), x, 1),
+(1/((c - 3*d*x^2)^(1//3)*(c + d*x^2)), atan(sqrt(c)/(sqrt(d)*x))/(2*2^(2//3)*c^(5//6)*sqrt(d)) + atan((c^(1//6)*(c^(1//3) - 2^(1//3)*(c - 3*d*x^2)^(1//3)))/(sqrt(d)*x))/(2*2^(2//3)*c^(5//6)*sqrt(d)) - atanh((sqrt(3)*sqrt(d)*x)/sqrt(c))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)*c^(5//6)*sqrt(d)) + (sqrt(3)*atanh((sqrt(3)*sqrt(d)*x)/(c^(1//6)*(c^(1//3) + 2^(1//3)*(c - 3*d*x^2)^(1//3)))))/(2*2^(2//3)*c^(5//6)*sqrt(d)), x, 1),
+
+
+(1/((1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)), atan(sqrt(3)/x)/(2*2^(2//3)*sqrt(3)) + atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/x)/(2*2^(2//3)*sqrt(3)) - atanh(x)/(6*2^(2//3)) + atanh(x/(1 + 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/(2*2^(2//3)), x, 1),
+
+
+(1/((3 - x^2)*(1 + x^2)^(1//3)), -(atan(x)/(6*2^(2//3))) + atan(x/(1 + 2^(1//3)*(1 + x^2)^(1//3)))/(2*2^(2//3)) - atanh(sqrt(3)/x)/(2*2^(2//3)*sqrt(3)) - atanh((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*(1 + x^2)^(1//3)))/x)/(2*2^(2//3)*sqrt(3)), x, 1),
+
+
+((3 - x)/((1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)), -((sqrt(3)*atan(1/sqrt(3) - (2^(2//3)*(1 + x)^(2//3))/(sqrt(3)*(1 - x)^(1//3))))/2^(2//3)) - log(3 + x^2)/(2*2^(2//3)) + (3*log(2^(1//3)*(1 - x)^(1//3) + (1 + x)^(2//3)))/(2*2^(2//3)), x, 1),
+((3 + x)/((1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)), (sqrt(3)*atan(1/sqrt(3) - (2^(2//3)*(1 - x)^(2//3))/(sqrt(3)*(1 + x)^(1//3))))/2^(2//3) + log(3 + x^2)/(2*2^(2//3)) - (3*log((1 - x)^(2//3) + 2^(1//3)*(1 + x)^(1//3)))/(2*2^(2//3)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^(p/3) (c+d x^2)^q when b c-9 a d=0
+
+
+(1/((a + b*x^2)^(1//3)*(9*a*d/b + d*x^2)), (sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x)/(3*sqrt(a))))/(12*a^(5//6)*d) + (sqrt(b)*atan((a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3))^2/(3*a^(1//6)*sqrt(b)*x)))/(12*a^(5//6)*d) - (sqrt(b)*atanh((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - (a + b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x)))/(4*sqrt(3)*a^(5//6)*d), x, 1),
+(1/((a - b*x^2)^(1//3)*(-9*a*d/b + d*x^2)), -((sqrt(b)*atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x)))/(4*sqrt(3)*a^(5//6)*d)) - (sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*x)/(3*sqrt(a))))/(12*a^(5//6)*d) + (sqrt(b)*atanh((a^(1//3) - (a - b*x^2)^(1//3))^2/(3*a^(1//6)*sqrt(b)*x)))/(12*a^(5//6)*d), x, 1),
+(1/((-a + b*x^2)^(1//3)*(-9*a*d/b + d*x^2)), (sqrt(b)*atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) + (-a + b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x)))/(4*sqrt(3)*a^(5//6)*d) + (sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*x)/(3*sqrt(a))))/(12*a^(5//6)*d) - (sqrt(b)*atanh((a^(1//3) + (-a + b*x^2)^(1//3))^2/(3*a^(1//6)*sqrt(b)*x)))/(12*a^(5//6)*d), x, 1),
+(1/((-a - b*x^2)^(1//3)*(9*a*d/b + d*x^2)), -((sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x)/(3*sqrt(a))))/(12*a^(5//6)*d)) - (sqrt(b)*atan((a^(1//3) + (-a - b*x^2)^(1//3))^2/(3*a^(1//6)*sqrt(b)*x)))/(12*a^(5//6)*d) + (sqrt(b)*atanh((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) + (-a - b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x)))/(4*sqrt(3)*a^(5//6)*d), x, 1),
+
+
+(1/((2 + b*x^2)^(1//3)*((18*d)/b + d*x^2)), (sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x)/(3*sqrt(2))))/(12*2^(5//6)*d) + (sqrt(b)*atan((2^(1//3) - (2 + b*x^2)^(1//3))^2/(3*2^(1//6)*sqrt(b)*x)))/(12*2^(5//6)*d) - (sqrt(b)*atanh((2^(1//6)*sqrt(3)*(2^(1//3) - (2 + b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x)))/(4*2^(5//6)*sqrt(3)*d), x, 1),
+(1/((-2 + b*x^2)^(1//3)*(-((18*d)/b) + d*x^2)), (sqrt(b)*atan((2^(1//6)*sqrt(3)*(2^(1//3) + (-2 + b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x)))/(4*2^(5//6)*sqrt(3)*d) + (sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*x)/(3*sqrt(2))))/(12*2^(5//6)*d) - (sqrt(b)*atanh((2^(1//3) + (-2 + b*x^2)^(1//3))^2/(3*2^(1//6)*sqrt(b)*x)))/(12*2^(5//6)*d), x, 1),
+
+
+(1/((2 + 3*x^2)^(1//3)*((18*d)/3 + d*x^2)), atan(x/sqrt(6))/(4*2^(5//6)*sqrt(3)*d) + atan((2^(1//3) - (2 + 3*x^2)^(1//3))^2/(3*2^(1//6)*sqrt(3)*x))/(4*2^(5//6)*sqrt(3)*d) - atanh((2^(1//6)*(2^(1//3) - (2 + 3*x^2)^(1//3)))/x)/(4*2^(5//6)*d), x, 1),
+(1/((2 - 3*x^2)^(1//3)*(-((18*d)/3) + d*x^2)), -(atan((2^(1//6)*(2^(1//3) - (2 - 3*x^2)^(1//3)))/x)/(4*2^(5//6)*d)) - atanh(x/sqrt(6))/(4*2^(5//6)*sqrt(3)*d) + atanh((2^(1//3) - (2 - 3*x^2)^(1//3))^2/(3*2^(1//6)*sqrt(3)*x))/(4*2^(5//6)*sqrt(3)*d), x, 1),
+(1/((-2 + 3*x^2)^(1//3)*(-((18*d)/3) + d*x^2)), atan((2^(1//6)*(2^(1//3) + (-2 + 3*x^2)^(1//3)))/x)/(4*2^(5//6)*d) + atanh(x/sqrt(6))/(4*2^(5//6)*sqrt(3)*d) - atanh((2^(1//3) + (-2 + 3*x^2)^(1//3))^2/(3*2^(1//6)*sqrt(3)*x))/(4*2^(5//6)*sqrt(3)*d), x, 1),
+(1/((-2 - 3*x^2)^(1//3)*((18*d)/3 + d*x^2)), -(atan(x/sqrt(6))/(4*2^(5//6)*sqrt(3)*d)) - atan((2^(1//3) + (-2 - 3*x^2)^(1//3))^2/(3*2^(1//6)*sqrt(3)*x))/(4*2^(5//6)*sqrt(3)*d) + atanh((2^(1//6)*(2^(1//3) + (-2 - 3*x^2)^(1//3)))/x)/(4*2^(5//6)*d), x, 1),
+
+
+(1/((1 + x^2)^(1//3)*(9 + x^2)), (1//12)*atan(x/3) + (1//12)*atan((1 - (1 + x^2)^(1//3))^2/(3*x)) - atanh((sqrt(3)*(1 - (1 + x^2)^(1//3)))/x)/(4*sqrt(3)), x, 1),
+(1/((1 + b*x^2)^(1//3)*(9 + b*x^2)), atan((sqrt(b)*x)/3)/(12*sqrt(b)) + atan((1 - (1 + b*x^2)^(1//3))^2/(3*sqrt(b)*x))/(12*sqrt(b)) - atanh((sqrt(3)*(1 - (1 + b*x^2)^(1//3)))/(sqrt(b)*x))/(4*sqrt(3)*sqrt(b)), x, 1),
+
+
+(1/((1 - x^2)^(1//3)*(9 - x^2)), atan((sqrt(3)*(1 - (1 - x^2)^(1//3)))/x)/(4*sqrt(3)) + (1//12)*atanh(x/3) - (1//12)*atanh((1 - (1 - x^2)^(1//3))^2/(3*x)), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^(q/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^(q/2) when b c-a d=0
+
+
+# {Sqrt[-1 + c^2*x^2]/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 3, (x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[c*x])/(2*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), (x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[c*x])/(2*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+# {1/((-1 + c^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x, 3, (d*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[c*x])/(2*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), (x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2))/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)*(-1 + c^2*x^2)^(3/2)) + ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*ArcTanh[c*x])/(2*c*d^2*(-1 + c^2*x^2)^(3/2))}
+# {1/((-1 + c^2*x^2)^(1/2)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 3, -((x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2))) - (Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[c*x])/(2*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), (x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]) + (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTanh[c*x])/(2*c*d^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^(q/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
+
+
+((a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2), ((7*a*c - (2*b*c^2)/d + (3*a^2*d)/b)*x*sqrt(a + b*x^2))/(15*sqrt(c + d*x^2)) - (2*(b*c - 3*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(15*d) + (b*x*sqrt(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2))/(5*d) + (sqrt(c)*(2*b^2*c^2 - 7*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*b*d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) - (c^(3//2)*(b*c - 9*a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^(1//2)*sqrt(c + d*x^2), ((b*c + a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(3*b*sqrt(c + d*x^2)) + (1//3)*x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2) - (sqrt(c)*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*b*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (2*c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+(sqrt(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(1//2), (d*x*sqrt(a + b*x^2))/(b*sqrt(c + d*x^2)) - (sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(b*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+(sqrt(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(3//2), (sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 1 - (a*d)/(b*c)))/(sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt((a*(c + d*x^2))/(c*(a + b*x^2)))), x, 1),
+(sqrt(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(5//2), (x*sqrt(c + d*x^2))/(3*a*(a + b*x^2)^(3//2)) + ((2*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 1 - (a*d)/(b*c)))/(3*a^(3//2)*sqrt(b)*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt((a*(c + d*x^2))/(c*(a + b*x^2)))) - (c^(3//2)*sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a^2*(b*c - a*d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+(sqrt(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(7//2), (x*sqrt(c + d*x^2))/(5*a*(a + b*x^2)^(5//2)) + ((4*b*c - 3*a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(15*a^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(3//2)) + ((8*b^2*c^2 - 13*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 1 - (a*d)/(b*c)))/(15*a^(5//2)*sqrt(b)*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x^2)*sqrt((a*(c + d*x^2))/(c*(a + b*x^2)))) - (2*c^(3//2)*sqrt(d)*(2*b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*a^3*(b*c - a*d)^2*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+
+
+((a + b*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2)^(3//2), -((2*(b*c + a*d)*(b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2))/(35*b^2*d*sqrt(c + d*x^2))) + (1//35)*(9*a*c + (b*c^2)/d - (2*a^2*d)/b)*x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2) + (2*(4*b*c - a*d)*x*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(35*b) + (d*x*(a + b*x^2)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2))/(7*b) + (2*sqrt(c)*(b*c + a*d)*(b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(35*b^2*d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) - (c^(3//2)*(b^2*c^2 - 18*a*b*c*d + a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(35*b*d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+((a + b*x^2)^(1//2)*(c + d*x^2)^(3//2), ((3*b^2*c^2 + 7*a*b*c*d - 2*a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2))/(15*b^2*sqrt(c + d*x^2)) + (2*(3*b*c - a*d)*x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(15*b) + (d*x*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(5*b) - (sqrt(c)*(3*b^2*c^2 + 7*a*b*c*d - 2*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*b^2*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (c^(3//2)*(9*b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*b*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+((c + d*x^2)^(3//2)/(a + b*x^2)^(1//2), (2*d*(2*b*c - a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(3*b^2*sqrt(c + d*x^2)) + (d*x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(3*b) - (2*sqrt(c)*sqrt(d)*(2*b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*b^2*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (c^(3//2)*(3*b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a*b*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+((c + d*x^2)^(3//2)/(a + b*x^2)^(3//2), -((d*(b*c - 2*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(a*b^2*sqrt(c + d*x^2))) + ((b*c - a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(a*b*sqrt(a + b*x^2)) + (sqrt(c)*sqrt(d)*(b*c - 2*a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*b^2*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (c^(3//2)*sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*b*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+((c + d*x^2)^(3//2)/(a + b*x^2)^(5//2), ((b*c - a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(3*a*b*(a + b*x^2)^(3//2)) + (2*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 1 - (a*d)/(b*c)))/(3*a^(3//2)*b^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt((a*(c + d*x^2))/(c*(a + b*x^2)))) - (c^(3//2)*sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a^2*b*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+((c + d*x^2)^(3//2)/(a + b*x^2)^(7//2), ((b*c - a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(5*a*b*(a + b*x^2)^(5//2)) + (2*(2*b*c + a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(15*a^2*b*(a + b*x^2)^(3//2)) + ((8*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d - 2*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 1 - (a*d)/(b*c)))/(15*a^(5//2)*b^(3//2)*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt((a*(c + d*x^2))/(c*(a + b*x^2)))) - (c^(3//2)*sqrt(d)*(4*b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*a^3*b*(b*c - a*d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+
+
+(sqrt(2 + b*x^2)*sqrt(3 + d*x^2), ((3*b + 2*d)*x*sqrt(2 + b*x^2))/(3*b*sqrt(3 + d*x^2)) + (1//3)*x*sqrt(2 + b*x^2)*sqrt(3 + d*x^2) - (sqrt(2)*(3*b + 2*d)*sqrt(2 + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*b)/(2*d)))/(3*b*sqrt(d)*sqrt((2 + b*x^2)/(3 + d*x^2))*sqrt(3 + d*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(2 + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*b)/(2*d)))/(sqrt(d)*sqrt((2 + b*x^2)/(3 + d*x^2))*sqrt(3 + d*x^2)), x, 5),
+(sqrt(2 + 4*x^2)*sqrt(3 - 6*x^2), sqrt(2//3)*x*sqrt(1 - 4*x^4) + (2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(2)*x), -1))/sqrt(3), x, 3),
+(sqrt(2 + 4*x^2)*sqrt(3 + 6*x^2), sqrt(6)*x + 2*sqrt(2//3)*x^3, x, 2),
+
+
+(sqrt(2 + b*x^2)/sqrt(3 + d*x^2), (x*sqrt(2 + b*x^2))/sqrt(3 + d*x^2) - (sqrt(2)*sqrt(2 + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*b)/(2*d)))/(sqrt(d)*sqrt((2 + b*x^2)/(3 + d*x^2))*sqrt(3 + d*x^2)) + (sqrt(2)*sqrt(2 + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*b)/(2*d)))/(sqrt(d)*sqrt((2 + b*x^2)/(3 + d*x^2))*sqrt(3 + d*x^2)), x, 4),
+(sqrt(4 - x^2)/sqrt(c + d*x^2), -((sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/2), -((4*d)/c)))/(d*sqrt(1 + (d*x^2)/c))) + ((c + 4*d)*sqrt(1 + (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/2), -((4*d)/c)))/(d*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+(sqrt(4 + x^2)/sqrt(c + d*x^2), (x*sqrt(c + d*x^2))/(d*sqrt(4 + x^2)) - (sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x/2), 1 - (4*d)/c))/(d*sqrt(4 + x^2)*sqrt((c + d*x^2)/(c*(4 + x^2)))) + (4*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x/2), 1 - (4*d)/c))/(c*sqrt(4 + x^2)*sqrt((c + d*x^2)/(c*(4 + x^2)))), x, 4),
+
+(sqrt(1 - x^2)/sqrt(2 - 3*x^2), SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//2)*x), 2//3)/sqrt(3), x, 1),
+(sqrt(4 - x^2)/sqrt(2 - 3*x^2), (2*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//2)*x), 1//6))/sqrt(3), x, 1),
+(sqrt(1 - 4*x^2)/sqrt(2 - 3*x^2), SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//2)*x), 8//3)/sqrt(3), x, 1),
+
+(sqrt(1 + x^2)/sqrt(1 - x^2), SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -1), x, 1),
+(sqrt(1 + x^2)/sqrt(2 - 3*x^2), SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//2)*x), -2//3)/sqrt(3), x, 1),
+(sqrt(4 + x^2)/sqrt(2 - 3*x^2), (2*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//2)*x), -1//6))/sqrt(3), x, 1),
+(sqrt(1 + 4*x^2)/sqrt(2 - 3*x^2), SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//2)*x), -8//3)/sqrt(3), x, 1),
+
+(sqrt(1 - x^2)/sqrt(1 + x^2), -SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -1) + 2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1), x, 4),
+(sqrt(1 - x^2)/sqrt(2 + 3*x^2), (-(1//3))*sqrt(2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -(3//2)) + (5*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -(3//2)))/(3*sqrt(2)), x, 3),
+(sqrt(4 - x^2)/sqrt(2 + 3*x^2), (-(1//3))*sqrt(2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/2), -6) + (7//3)*sqrt(2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/2), -6), x, 3),
+(sqrt(1 - 4*x^2)/sqrt(2 + 3*x^2), (-(2//3))*sqrt(2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(2*x), -(3//8)) + (11*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(2*x), -(3//8)))/(6*sqrt(2)), x, 3),
+
+(sqrt(1 + x^2)/sqrt(2 + 3*x^2), (x*sqrt(2 + 3*x^2))/(3*sqrt(1 + x^2)) - (sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), -(1//2)))/(3*sqrt(1 + x^2)*sqrt((2 + 3*x^2)/(1 + x^2))) + (sqrt(2 + 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), -(1//2)))/(sqrt(2)*sqrt(1 + x^2)*sqrt((2 + 3*x^2)/(1 + x^2))), x, 4),
+(sqrt(4 + x^2)/sqrt(2 + 3*x^2), (x*sqrt(2 + 3*x^2))/(3*sqrt(4 + x^2)) - (sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x/2), -5))/(3*sqrt(4 + x^2)*sqrt((2 + 3*x^2)/(4 + x^2))) + (2*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x/2), -5))/(sqrt(4 + x^2)*sqrt((2 + 3*x^2)/(4 + x^2))), x, 4),
+(sqrt(1 + 4*x^2)/sqrt(2 + 3*x^2), (4*x*sqrt(2 + 3*x^2))/(3*sqrt(1 + 4*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(2*x), 5//8))/(3*sqrt((2 + 3*x^2)/(1 + 4*x^2))*sqrt(1 + 4*x^2)) + (sqrt(2 + 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(2*x), 5//8))/(2*sqrt(2)*sqrt((2 + 3*x^2)/(1 + 4*x^2))*sqrt(1 + 4*x^2)), x, 4),
+
+(sqrt(1 - x^2)/sqrt(-1 + 2*x^2), (sqrt(1 - 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(2)*x), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(-1 + 2*x^2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+((a + b*x^2)^(7//2)/sqrt(c + d*x^2), -((8*(b*c - 2*a*d)*(6*b^2*c^2 - 11*a*b*c*d + 11*a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2))/(105*d^3*sqrt(c + d*x^2))) + (b*(24*b^2*c^2 - 71*a*b*c*d + 71*a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(105*d^3) - (6*b*(b*c - 2*a*d)*x*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(35*d^2) + (b*x*(a + b*x^2)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2))/(7*d) + (8*sqrt(c)*(b*c - 2*a*d)*(6*b^2*c^2 - 11*a*b*c*d + 11*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(105*d^(7//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) - (sqrt(c)*(3*b*c - 7*a*d)*(8*b^2*c^2 - 11*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(105*d^(7//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+((a + b*x^2)^(5//2)/sqrt(c + d*x^2), ((8*b^2*c^2 - 23*a*b*c*d + 23*a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2))/(15*d^2*sqrt(c + d*x^2)) - (4*b*(b*c - 2*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(15*d^2) + (b*x*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(5*d) - (sqrt(c)*(8*b^2*c^2 - 23*a*b*c*d + 23*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*d^(5//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (sqrt(c)*(4*b^2*c^2 - 11*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*d^(5//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^(3//2)/sqrt(c + d*x^2), -((2*(b*c - 2*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(3*d*sqrt(c + d*x^2))) + (b*x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(3*d) + (2*sqrt(c)*(b*c - 2*a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) - (sqrt(c)*(b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+((a + b*x^2)^(1//2)/sqrt(c + d*x^2), (x*sqrt(a + b*x^2))/sqrt(c + d*x^2) - (sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+(1/((a + b*x^2)^(1//2)*sqrt(c + d*x^2)), (sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 1),
+(1/((a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)), -((d*x*sqrt(a + b*x^2))/(a*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))) + (b*x*sqrt(c + d*x^2))/(a*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)) + (sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*(b*c - a*d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) - (sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*(b*c - a*d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+(1/((a + b*x^2)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2)), (b*x*sqrt(c + d*x^2))/(3*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(3//2)) + (2*sqrt(b)*(b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 1 - (a*d)/(b*c)))/(3*a^(3//2)*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x^2)*sqrt((a*(c + d*x^2))/(c*(a + b*x^2)))) - (sqrt(c)*sqrt(d)*(b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a^2*(b*c - a*d)^2*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+(1/((a + b*x^2)^(7//2)*sqrt(c + d*x^2)), (b*x*sqrt(c + d*x^2))/(5*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(5//2)) + (4*b*(b*c - 2*a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(15*a^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)^(3//2)) + (sqrt(b)*(8*b^2*c^2 - 23*a*b*c*d + 23*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 1 - (a*d)/(b*c)))/(15*a^(5//2)*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x^2)*sqrt((a*(c + d*x^2))/(c*(a + b*x^2)))) - (sqrt(c)*sqrt(d)*(4*b^2*c^2 - 11*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*a^3*(b*c - a*d)^3*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+
+
+((a + b*x^2)^(7//2)/(c + d*x^2)^(3//2), ((48*b^3*c^3 - 128*a*b^2*c^2*d + 103*a^2*b*c*d^2 - 15*a^3*d^3)*x*sqrt(a + b*x^2))/(15*c*d^3*sqrt(c + d*x^2)) - ((b*c - a*d)*x*(a + b*x^2)^(5//2))/(c*d*sqrt(c + d*x^2)) - (b*(24*b^2*c^2 - 43*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(15*c*d^3) + (b*(6*b*c - 5*a*d)*x*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(5*c*d^2) - ((48*b^3*c^3 - 128*a*b^2*c^2*d + 103*a^2*b*c*d^2 - 15*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*sqrt(c)*d^(7//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (b*sqrt(c)*(24*b^2*c^2 - 61*a*b*c*d + 45*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*d^(7//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+((a + b*x^2)^(5//2)/(c + d*x^2)^(3//2), -(((8*b^2*c^2 - 13*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2))/(3*c*d^2*sqrt(c + d*x^2))) - ((b*c - a*d)*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(c*d*sqrt(c + d*x^2)) + (b*(4*b*c - 3*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(3*c*d^2) + ((8*b^2*c^2 - 13*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*sqrt(c)*d^(5//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) - (2*b*sqrt(c)*(2*b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*d^(5//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^(3//2)/(c + d*x^2)^(3//2), -(((b*c - a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(c*d*sqrt(c + d*x^2))) + ((2*b*c - a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(c*d*sqrt(c + d*x^2)) - ((2*b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(c)*d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (b*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+((a + b*x^2)^(1//2)/(c + d*x^2)^(3//2), (sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 1),
+(1/((a + b*x^2)^(1//2)*(c + d*x^2)^(3//2)), -((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(c)*(b*c - a*d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2))) + (b*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt(d)*(b*c - a*d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+(1/((a + b*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2)^(3//2)), (b*x)/(a*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)) + (sqrt(d)*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt(c)*(b*c - a*d)^2*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) - (2*b*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*(b*c - a*d)^2*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+(1/((a + b*x^2)^(5//2)*(c + d*x^2)^(3//2)), (b*x)/(3*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)) + (2*b*(b*c - 3*a*d)*x)/(3*a^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)) + (sqrt(d)*(2*b^2*c^2 - 7*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a^2*sqrt(c)*(b*c - a*d)^3*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) - (b*sqrt(c)*sqrt(d)*(b*c - 9*a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a^2*(b*c - a*d)^3*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+
+
+(1/(sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), (sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 1),
+(1/(sqrt(a - b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), (sqrt(a)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(1 + (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), -((a*d)/(b*c))))/(sqrt(b)*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 3),
+(1/(sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)), (sqrt(c)*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((b*c)/(a*d))))/(sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 3),
+(1/(sqrt(a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)), (sqrt(c)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), (b*c)/(a*d)))/(sqrt(d)*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 3),
+
+
+(1/(sqrt(1 - x^2)*sqrt(2 + 5*x^2)), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -(5//2))/sqrt(2), x, 1),
+(1/(sqrt(1 - x^2)*sqrt(2 + 4*x^2)), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -2)/sqrt(2), x, 1),
+(1/(sqrt(1 - x^2)*sqrt(2 + 3*x^2)), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -(3//2))/sqrt(2), x, 1),
+(1/(sqrt(1 - x^2)*sqrt(2 + 2*x^2)), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1)/sqrt(2), x, 2),
+(1/(sqrt(1 - x^2)*sqrt(2 + 1*x^2)), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -(1//2))/sqrt(2), x, 1),
+(1/(sqrt(1 - x^2)*sqrt(2 - 1*x^2)), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), 1//2)/sqrt(2), x, 1),
+(1/(sqrt(1 - x^2)*sqrt(2 - 2*x^2)), atanh(x)/sqrt(2), x, 2),
+(1/(sqrt(1 - x^2)*sqrt(2 - 3*x^2)), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), 3//2)/sqrt(2), x, 1),
+(1/(sqrt(1 - x^2)*sqrt(2 - 4*x^2)), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), 2)/sqrt(2), x, 1),
+(1/(sqrt(1 - x^2)*sqrt(2 - 5*x^2)), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), 5//2)/sqrt(2), x, 1),
+
+
+(1/(sqrt(1 + x^2)*sqrt(2 + 5*x^2)), (sqrt(2 + 5*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), -(3//2)))/(sqrt(2)*sqrt(1 + x^2)*sqrt((2 + 5*x^2)/(1 + x^2))), x, 1),
+(1/(sqrt(1 + x^2)*sqrt(2 + 4*x^2)), (sqrt(1 + 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), -1))/(sqrt(2)*sqrt(1 + x^2)*sqrt((1 + 2*x^2)/(1 + x^2))), x, 1),
+(1/(sqrt(1 + x^2)*sqrt(2 + 3*x^2)), (sqrt(2 + 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), -(1//2)))/(sqrt(2)*sqrt(1 + x^2)*sqrt((2 + 3*x^2)/(1 + x^2))), x, 1),
+(1/(sqrt(1 + x^2)*sqrt(2 + 2*x^2)), atan(x)/sqrt(2), x, 2),
+(1/(sqrt(1 + x^2)*sqrt(2 + 1*x^2)), (sqrt(2 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))), x, 1),
+(1/(sqrt(1 + x^2)*sqrt(2 - 1*x^2)), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 1),
+(1/(sqrt(1 + x^2)*sqrt(2 - 2*x^2)), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1)/sqrt(2), x, 2),
+(1/(sqrt(1 + x^2)*sqrt(2 - 3*x^2)), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//2)*x), -(2//3))/sqrt(3), x, 1),
+(1/(sqrt(1 + x^2)*sqrt(2 - 4*x^2)), (1//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(2)*x), -(1//2)), x, 1),
+(1/(sqrt(1 + x^2)*sqrt(2 - 5*x^2)), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(5//2)*x), -(2//5))/sqrt(5), x, 1),
+
+
+(1/(sqrt(-1 + x^2)*sqrt(2 + 5*x^2)), (sqrt(1 - x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -(5//2)))/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x^2)), x, 2),
+(1/(sqrt(-1 + x^2)*sqrt(2 + 4*x^2)), (sqrt(1 - x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -2))/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x^2)), x, 2),
+(1/(sqrt(-1 + x^2)*sqrt(2 + 3*x^2)), (sqrt(1 - x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -(3//2)))/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x^2)), x, 2),
+(1/(sqrt(-1 + x^2)*sqrt(2 + 2*x^2)), (1//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*x)/sqrt(-1 + x^2)), 1//2), x, 2),
+(1/(sqrt(-1 + x^2)*sqrt(2 + 1*x^2)), (sqrt(1 - x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -(1//2)))/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x^2)), x, 2),
+(1/(sqrt(-1 + x^2)*sqrt(2 - 1*x^2)), -SymbolicIntegration.elliptic_f(acos(x/sqrt(2)), 2), x, 1),
+(1/(sqrt(-1 + x^2)*sqrt(2 - 2*x^2)), -((sqrt(-1 + x^2)*atanh(x))/(sqrt(2)*sqrt(1 - x^2))), x, 2),
+(1/(sqrt(-1 + x^2)*sqrt(2 - 3*x^2)), (sqrt(1 - x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), 3//2))/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x^2)), x, 2),
+(1/(sqrt(-1 + x^2)*sqrt(2 - 4*x^2)), (sqrt(1 - x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), 2))/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x^2)), x, 2),
+(1/(sqrt(-1 + x^2)*sqrt(2 - 5*x^2)), (sqrt(1 - x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), 5//2))/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x^2)), x, 2),
+
+
+(1/(sqrt(-1 - x^2)*sqrt(2 + 5*x^2)), (sqrt(2 + 5*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), -(3//2)))/(sqrt(2)*sqrt(-1 - x^2)*sqrt((2 + 5*x^2)/(1 + x^2))), x, 1),
+(1/(sqrt(-1 - x^2)*sqrt(2 + 4*x^2)), (sqrt(1 + 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), -1))/(sqrt(2)*sqrt(-1 - x^2)*sqrt((1 + 2*x^2)/(1 + x^2))), x, 1),
+(1/(sqrt(-1 - x^2)*sqrt(2 + 3*x^2)), (sqrt(2 + 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), -(1//2)))/(sqrt(2)*sqrt(-1 - x^2)*sqrt((2 + 3*x^2)/(1 + x^2))), x, 1),
+(1/(sqrt(-1 - x^2)*sqrt(2 + 2*x^2)), (sqrt(1 + x^2)*atan(x))/(sqrt(2)*sqrt(-1 - x^2)), x, 2),
+(1/(sqrt(-1 - x^2)*sqrt(2 + 1*x^2)), (sqrt(2 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(-1 - x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))), x, 1),
+(1/(sqrt(-1 - x^2)*sqrt(2 - 1*x^2)), (sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2))/sqrt(-1 - x^2), x, 2),
+# {1/(Sqrt[-1 - x^2]*Sqrt[2 - 2*x^2]), x, 2, -((Sqrt[1 - 1/x^4]*x^2*EllipticF[ArcCsc[x], -1])/(Sqrt[2 - 2*x^2]*Sqrt[-1 - x^2])), (Sqrt[-1 + x^2]*Sqrt[1 + x^2]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[2]*x)/Sqrt[-1 + x^2]], 1/2])/(2*Sqrt[-1 - x^2]*Sqrt[1 - x^2])}
+(1/(sqrt(-1 - x^2)*sqrt(2 - 3*x^2)), (sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//2)*x), -(2//3)))/(sqrt(3)*sqrt(-1 - x^2)), x, 2),
+(1/(sqrt(-1 - x^2)*sqrt(2 - 4*x^2)), (sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(2)*x), -(1//2)))/(2*sqrt(-1 - x^2)), x, 2),
+(1/(sqrt(-1 - x^2)*sqrt(2 - 5*x^2)), (sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(5//2)*x), -(2//5)))/(sqrt(5)*sqrt(-1 - x^2)), x, 2),
+
+
+(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(c - d*x^2), (sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((b*c)/(a*d))))/(sqrt(d)*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*sqrt(c - d*x^2)), x, 3),
+(sqrt(-a - b*x^2)/sqrt(c - d*x^2), (sqrt(c)*sqrt(-a - b*x^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((b*c)/(a*d))))/(sqrt(d)*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*sqrt(c - d*x^2)), x, 3),
+(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(-c + d*x^2), (sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((b*c)/(a*d))))/(sqrt(d)*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*sqrt(-c + d*x^2)), x, 3),
+(sqrt(-a - b*x^2)/sqrt(-c + d*x^2), (sqrt(c)*sqrt(-a - b*x^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((b*c)/(a*d))))/(sqrt(d)*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*sqrt(-c + d*x^2)), x, 3),
+
+(sqrt(a - b*x^2)/sqrt(c - d*x^2), (sqrt(c)*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), (b*c)/(a*d)))/(sqrt(d)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(c - d*x^2)), x, 3),
+(sqrt(-a + b*x^2)/sqrt(c - d*x^2), (sqrt(c)*sqrt(-a + b*x^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), (b*c)/(a*d)))/(sqrt(d)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(c - d*x^2)), x, 3),
+(sqrt(a - b*x^2)/sqrt(-c + d*x^2), (sqrt(c)*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), (b*c)/(a*d)))/(sqrt(d)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(-c + d*x^2)), x, 3),
+(sqrt(-a + b*x^2)/sqrt(-c + d*x^2), (sqrt(c)*sqrt(-a + b*x^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), (b*c)/(a*d)))/(sqrt(d)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(-c + d*x^2)), x, 3),
+
+(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(c + d*x^2), (x*sqrt(a + b*x^2))/sqrt(c + d*x^2) - (sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+(sqrt(-a - b*x^2)/sqrt(c + d*x^2), (x*sqrt(-a - b*x^2))/sqrt(c + d*x^2) - (sqrt(c)*sqrt(-a - b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (sqrt(c)*sqrt(-a - b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(-c - d*x^2), (x*sqrt(a + b*x^2))/sqrt(-c - d*x^2) - (sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(d)*sqrt(-c - d*x^2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))) + (sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(d)*sqrt(-c - d*x^2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))), x, 4),
+(sqrt(-a - b*x^2)/sqrt(-c - d*x^2), (x*sqrt(-a - b*x^2))/sqrt(-c - d*x^2) - (sqrt(c)*sqrt(-a - b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(d)*sqrt(-c - d*x^2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))) + (sqrt(c)*sqrt(-a - b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(d)*sqrt(-c - d*x^2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))), x, 4),
+
+(sqrt(a - b*x^2)/sqrt(c + d*x^2), -((sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), -((a*d)/(b*c))))/(d*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(1 + (d*x^2)/c))) + (sqrt(a)*(b*c + a*d)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(1 + (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), -((a*d)/(b*c))))/(sqrt(b)*d*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+(sqrt(-a + b*x^2)/sqrt(c + d*x^2), (sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), -((a*d)/(b*c))))/(d*sqrt(-a + b*x^2)*sqrt(1 + (d*x^2)/c)) - (sqrt(a)*(b*c + a*d)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(1 + (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), -((a*d)/(b*c))))/(sqrt(b)*d*sqrt(-a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+(sqrt(a - b*x^2)/sqrt(-c - d*x^2), (sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(-c - d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), -((a*d)/(b*c))))/(d*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(1 + (d*x^2)/c)) + (sqrt(a)*(b*c + a*d)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(1 + (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), -((a*d)/(b*c))))/(sqrt(b)*d*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(-c - d*x^2)), x, 7),
+(sqrt(-a + b*x^2)/sqrt(-c - d*x^2), -((sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(-c - d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), -((a*d)/(b*c))))/(d*sqrt(-a + b*x^2)*sqrt(1 + (d*x^2)/c))) - (sqrt(a)*(b*c + a*d)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(1 + (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), -((a*d)/(b*c))))/(sqrt(b)*d*sqrt(-a + b*x^2)*sqrt(-c - d*x^2)), x, 7),
+
+
+(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(a - b*x^2), (sqrt(a)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), -((a*d)/(b*c))))/(sqrt(b)*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(1 + (d*x^2)/c)), x, 3),
+(sqrt(-c - d*x^2)/sqrt(a - b*x^2), (sqrt(a)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(-c - d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), -((a*d)/(b*c))))/(sqrt(b)*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(1 + (d*x^2)/c)), x, 3),
+(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(-a + b*x^2), (sqrt(a)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), -((a*d)/(b*c))))/(sqrt(b)*sqrt(-a + b*x^2)*sqrt(1 + (d*x^2)/c)), x, 3),
+(sqrt(-c - d*x^2)/sqrt(-a + b*x^2), (sqrt(a)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(-c - d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), -((a*d)/(b*c))))/(sqrt(b)*sqrt(-a + b*x^2)*sqrt(1 + (d*x^2)/c)), x, 3),
+
+(sqrt(c - d*x^2)/sqrt(a - b*x^2), (sqrt(a)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(c - d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), (a*d)/(b*c)))/(sqrt(b)*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)), x, 3),
+(sqrt(-c + d*x^2)/sqrt(a - b*x^2), (sqrt(a)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(-c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), (a*d)/(b*c)))/(sqrt(b)*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)), x, 3),
+(sqrt(c - d*x^2)/sqrt(-a + b*x^2), (sqrt(a)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(c - d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), (a*d)/(b*c)))/(sqrt(b)*sqrt(-a + b*x^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)), x, 3),
+(sqrt(-c + d*x^2)/sqrt(-a + b*x^2), (sqrt(a)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(-c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), (a*d)/(b*c)))/(sqrt(b)*sqrt(-a + b*x^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)), x, 3),
+
+(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(a + b*x^2), (d*x*sqrt(a + b*x^2))/(b*sqrt(c + d*x^2)) - (sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(b*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+(sqrt(-c - d*x^2)/sqrt(a + b*x^2), -((d*x*sqrt(a + b*x^2))/(b*sqrt(-c - d*x^2))) + (sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(b*sqrt(-c - d*x^2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))) - (c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt(d)*sqrt(-c - d*x^2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))), x, 4),
+(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(-a - b*x^2), -((d*x*sqrt(-a - b*x^2))/(b*sqrt(c + d*x^2))) + (sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(-a - b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(b*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) - (c^(3//2)*sqrt(-a - b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+(sqrt(-c - d*x^2)/sqrt(-a - b*x^2), (d*x*sqrt(-a - b*x^2))/(b*sqrt(-c - d*x^2)) - (sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(-a - b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(b*sqrt(-c - d*x^2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))) + (c^(3//2)*sqrt(-a - b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt(d)*sqrt(-c - d*x^2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))), x, 4),
+
+(sqrt(c - d*x^2)/sqrt(a + b*x^2), -((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((b*c)/(a*d))))/(b*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*sqrt(c - d*x^2))) + (sqrt(c)*(b*c + a*d)*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((b*c)/(a*d))))/(b*sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 7),
+(sqrt(-c + d*x^2)/sqrt(a + b*x^2), (sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((b*c)/(a*d))))/(b*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*sqrt(-c + d*x^2)) - (sqrt(c)*(b*c + a*d)*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((b*c)/(a*d))))/(b*sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(-c + d*x^2)), x, 7),
+(sqrt(c - d*x^2)/sqrt(-a - b*x^2), (sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(-a - b*x^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((b*c)/(a*d))))/(b*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*sqrt(c - d*x^2)) + (sqrt(c)*(b*c + a*d)*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((b*c)/(a*d))))/(b*sqrt(d)*sqrt(-a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 7),
+(sqrt(-c + d*x^2)/sqrt(-a - b*x^2), -((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(-a - b*x^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((b*c)/(a*d))))/(b*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*sqrt(-c + d*x^2))) - (sqrt(c)*(b*c + a*d)*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((b*c)/(a*d))))/(b*sqrt(d)*sqrt(-a - b*x^2)*sqrt(-c + d*x^2)), x, 7),
+
+
+(1/(sqrt(2 + b*x^2)*sqrt(3 + d*x^2)), (sqrt(2 + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*b)/(2*d)))/(sqrt(2)*sqrt(d)*sqrt((2 + b*x^2)/(3 + d*x^2))*sqrt(3 + d*x^2)), x, 1),
+(1/(sqrt(4 - x^2)*sqrt(c + d*x^2)), (sqrt(1 + (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/2), -((4*d)/c)))/sqrt(c + d*x^2), x, 2),
+(1/(sqrt(4 + x^2)*sqrt(c + d*x^2)), (sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x/2), 1 - (4*d)/c))/(c*sqrt(4 + x^2)*sqrt((c + d*x^2)/(c*(4 + x^2)))), x, 1),
+
+(1/(sqrt(1 - x^2)*sqrt(-1 + 2*x^2)), -SymbolicIntegration.elliptic_f(acos(x), 2), x, 1),
+
+
+(sqrt(1 - c^2*x^2)/sqrt(1 + c^2*x^2), -(SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(c*x), -1)/c) + (2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(c*x), -1))/c, x, 4),
+
+
+(sqrt(2 + b*x^2)/sqrt(3 + d*x^2), (x*sqrt(2 + b*x^2))/sqrt(3 + d*x^2) - (sqrt(2)*sqrt(2 + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*b)/(2*d)))/(sqrt(d)*sqrt((2 + b*x^2)/(3 + d*x^2))*sqrt(3 + d*x^2)) + (sqrt(2)*sqrt(2 + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*b)/(2*d)))/(sqrt(d)*sqrt((2 + b*x^2)/(3 + d*x^2))*sqrt(3 + d*x^2)), x, 4),
+(sqrt(-1 + 3*x^2)/sqrt(2 - 3*x^2), -(SymbolicIntegration.elliptic_e(acos(sqrt(3//2)*x), 2)/sqrt(3)), x, 1),
+
+
+(sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))/sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), (sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(2)*sqrt(c)), x, 1),
+(sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))/sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), (sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)), x, 1),
+(sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))/sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), (x*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt((1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))) + (sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt((1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 4),
+(sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))/sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -(((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))) + (sqrt(2)*b*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 3),
+
+
+((1 - 2*x^2)^m/sqrt(1 - x^2), -((2^(-2 - m)*sqrt(x^2)*(2 - 4*x^2)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (1 - 2*x^2)^2))/((1 + m)*x)), x, -1),
+
+
+(1/(sqrt(-1 + x^2)*sqrt(7 - 4*sqrt(3) + x^2)), (sqrt(1 - x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt(7 - 4*sqrt(3))*sqrt(-1 + x^2)), x, 2),
+
+
+(1/(sqrt(3 - 3*sqrt(3) + 2*sqrt(3)*x^2)*sqrt(3 + (-3 + sqrt(3))*x^2)), (-(1//6))*sqrt(3 + sqrt(3))*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos(sqrt((1//3)*(3 - sqrt(3)))*x), (1//2)*(1 + sqrt(3))), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^(p/4) (c+d x^2)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^(p/4) (c+d x^2)^q when b c-2 a d=0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# a>0
+
+
+(1/((2 + 3*x^2)^(1//4)*(4 + 3*x^2)), -(atan((2*2^(3//4) + 2*2^(1//4)*sqrt(2 + 3*x^2))/(2*sqrt(3)*x*(2 + 3*x^2)^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(3))) - atanh((2*2^(3//4) - 2*2^(1//4)*sqrt(2 + 3*x^2))/(2*sqrt(3)*x*(2 + 3*x^2)^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(3)), x, 1),
+(1/((2 - 3*x^2)^(1//4)*(4 - 3*x^2)), atan((2 - sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(1//4)*sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(3)) + atanh((2 + sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(1//4)*sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(3)), x, 1),
+
+(1/((2 + b*x^2)^(1//4)*(4 + b*x^2)), -(atan((2*2^(3//4) + 2*2^(1//4)*sqrt(2 + b*x^2))/(2*sqrt(b)*x*(2 + b*x^2)^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(b))) - atanh((2*2^(3//4) - 2*2^(1//4)*sqrt(2 + b*x^2))/(2*sqrt(b)*x*(2 + b*x^2)^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(b)), x, 1),
+(1/((2 - b*x^2)^(1//4)*(4 - b*x^2)), atan((2 - sqrt(2)*sqrt(2 - b*x^2))/(2^(1//4)*sqrt(b)*x*(2 - b*x^2)^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(b)) + atanh((2 + sqrt(2)*sqrt(2 - b*x^2))/(2^(1//4)*sqrt(b)*x*(2 - b*x^2)^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(b)), x, 1),
+
+
+(1/((a + 3*x^2)^(1//4)*(2*a + 3*x^2)), -(atan((a^(3//4)*(1 + sqrt(a + 3*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(3)*x*(a + 3*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(3)*a^(3//4))) - atanh((a^(3//4)*(1 - sqrt(a + 3*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(3)*x*(a + 3*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(3)*a^(3//4)), x, 1),
+(1/((a - 3*x^2)^(1//4)*(2*a - 3*x^2)), atan((a^(3//4)*(1 - sqrt(a - 3*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(3)*x*(a - 3*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(3)*a^(3//4)) + atanh((a^(3//4)*(1 + sqrt(a - 3*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(3)*x*(a - 3*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(3)*a^(3//4)), x, 1),
+
+(1/((a + b*x^2)^(1//4)*(2*a + b*x^2)), -(atan((a^(3//4)*(1 + sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(b)*x*(a + b*x^2)^(1//4)))/(2*a^(3//4)*sqrt(b))) - atanh((a^(3//4)*(1 - sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(b)*x*(a + b*x^2)^(1//4)))/(2*a^(3//4)*sqrt(b)), x, 1),
+(1/((a - b*x^2)^(1//4)*(2*a - b*x^2)), atan((a^(3//4)*(1 - sqrt(a - b*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(b)*x*(a - b*x^2)^(1//4)))/(2*a^(3//4)*sqrt(b)) + atanh((a^(3//4)*(1 + sqrt(a - b*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(b)*x*(a - b*x^2)^(1//4)))/(2*a^(3//4)*sqrt(b)), x, 1),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# a<0
+
+
+(1/((-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4)), -(atan((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(2*sqrt(6))) - atanh((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(2*sqrt(6)), x, 1),
+(1/((-2 - 3*x^2)*(-1 - 3*x^2)^(1//4)), -(atan((sqrt(3//2)*x)/(-1 - 3*x^2)^(1//4))/(2*sqrt(6))) - atanh((sqrt(3//2)*x)/(-1 - 3*x^2)^(1//4))/(2*sqrt(6)), x, 1),
+
+(1/((-2 + b*x^2)*(-1 + b*x^2)^(1//4)), -(atan((sqrt(b)*x)/(sqrt(2)*(-1 + b*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(2)*sqrt(b))) - atanh((sqrt(b)*x)/(sqrt(2)*(-1 + b*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(2)*sqrt(b)), x, 1),
+(1/((-2 - b*x^2)*(-1 - b*x^2)^(1//4)), -(atan((sqrt(b)*x)/(sqrt(2)*(-1 - b*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(2)*sqrt(b))) - atanh((sqrt(b)*x)/(sqrt(2)*(-1 - b*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(2)*sqrt(b)), x, 1),
+
+
+(1/((-a + 3*x^2)^(1//4)*(-2*a + 3*x^2)), -(atan((sqrt(3//2)*x)/(a^(1//4)*(-a + 3*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(6)*a^(3//4))) - atanh((sqrt(3//2)*x)/(a^(1//4)*(-a + 3*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(6)*a^(3//4)), x, 1),
+(1/((-a - 3*x^2)^(1//4)*(-2*a - 3*x^2)), -(atan((sqrt(3//2)*x)/(a^(1//4)*(-a - 3*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(6)*a^(3//4))) - atanh((sqrt(3//2)*x)/(a^(1//4)*(-a - 3*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(6)*a^(3//4)), x, 1),
+
+(1/((-a + b*x^2)^(1//4)*(-2*a + b*x^2)), -(atan((sqrt(b)*x)/(sqrt(2)*a^(1//4)*(-a + b*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*sqrt(b))) - atanh((sqrt(b)*x)/(sqrt(2)*a^(1//4)*(-a + b*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*sqrt(b)), x, 1),
+(1/((-a - b*x^2)^(1//4)*(-2*a - b*x^2)), -(atan((sqrt(b)*x)/(sqrt(2)*a^(1//4)*(-a - b*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*sqrt(b))) - atanh((sqrt(b)*x)/(sqrt(2)*a^(1//4)*(-a - b*x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*sqrt(b)), x, 1),
+
+
+(1/((2 - x^2)*(x^2 - 1)^(1//4)), atan(x/(sqrt(2)*(-1 + x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(2)) + atanh(x/(sqrt(2)*(-1 + x^2)^(1//4)))/(2*sqrt(2)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^(p/4) (c+d x^2)^q
+
+
+# ::Subsubsection::
+# q>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+((a + b*x^2)^(7//4)/(c + d*x^2), (6*a*b*x)/(5*d*(a + b*x^2)^(1//4)) - (2*b*(b*c - a*d)*x)/(d^2*(a + b*x^2)^(1//4)) + (2*b*x*(a + b*x^2)^(3//4))/(5*d) - (6*a^(3//2)*sqrt(b)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(5*d*(a + b*x^2)^(1//4)) + (2*sqrt(a)*sqrt(b)*(b*c - a*d)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(d^2*(a + b*x^2)^(1//4)) + (a^(1//4)*((-b)*c + a*d)^(3//2)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(d^(5//2)*x) - (a^(1//4)*((-b)*c + a*d)^(3//2)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(d^(5//2)*x), x, 13),
+((a + b*x^2)^(5//4)/(c + d*x^2), (2*b*x*(a + b*x^2)^(1//4))/(3*d) + (2*a^(3//2)*sqrt(b)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(3*d*(a + b*x^2)^(3//4)) - (2*sqrt(a)*sqrt(b)*(b*c - a*d)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(d^2*(a + b*x^2)^(3//4)) + (a^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(d^2*x) + (a^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(d^2*x), x, 12),
+((a + b*x^2)^(3//4)/(c + d*x^2), (2*b*x)/(d*(a + b*x^2)^(1//4)) - (2*sqrt(a)*sqrt(b)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(d*(a + b*x^2)^(1//4)) + (a^(1//4)*sqrt((-b)*c + a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(d^(3//2)*x) - (a^(1//4)*sqrt((-b)*c + a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(d^(3//2)*x), x, 8),
+((a + b*x^2)^(1//4)/(c + d*x^2), (2*sqrt(a)*sqrt(b)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(d*(a + b*x^2)^(3//4)) - (a^(1//4)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(d*x) - (a^(1//4)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(d*x), x, 8),
+(1/((a + b*x^2)^(1//4)*(c + d*x^2)), (a^(1//4)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(sqrt(d)*sqrt((-b)*c + a*d)*x) - (a^(1//4)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(sqrt(d)*sqrt((-b)*c + a*d)*x), x, 4),
+(1/((a + b*x^2)^(3//4)*(c + d*x^2)), (a^(1//4)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/((b*c - a*d)*x) + (a^(1//4)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/((b*c - a*d)*x), x, 5),
+(1/((a + b*x^2)^(5//4)*(c + d*x^2)), (2*sqrt(b)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(a)*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(1//4)) + (a^(1//4)*sqrt(d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(((-b)*c + a*d)^(3//2)*x) - (a^(1//4)*sqrt(d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(((-b)*c + a*d)^(3//2)*x), x, 7),
+(1/((a + b*x^2)^(7//4)*(c + d*x^2)), (2*b*x)/(3*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(3//4)) + (2*sqrt(b)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(3*sqrt(a)*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(3//4)) - (a^(1//4)*d*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/((b*c - a*d)^2*x) - (a^(1//4)*d*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/((b*c - a*d)^2*x), x, 9),
+(1/((a + b*x^2)^(9//4)*(c + d*x^2)), (2*b*x)/(5*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(5//4)) + (2*sqrt(b)*(3*b*c - 8*a*d)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(5*a^(3//2)*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)^(1//4)) + (a^(1//4)*d^(3//2)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(((-b)*c + a*d)^(5//2)*x) - (a^(1//4)*d^(3//2)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(((-b)*c + a*d)^(5//2)*x), x, 10),
+(1/((a + b*x^2)^(11//4)*(c + d*x^2)), (2*b*x)/(7*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(7//4)) + (2*b*(5*b*c - 12*a*d)*x)/(21*a^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)^(3//4)) + (2*sqrt(b)*(5*b*c - 12*a*d)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(21*a^(3//2)*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)^(3//4)) + (a^(1//4)*d^2*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/((b*c - a*d)^3*x) + (a^(1//4)*d^2*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/((b*c - a*d)^3*x), x, 10),
+
+
+((a + b*x^2)^(7//4)/(c + d*x^2)^2, (b*(5*b*c - a*d)*x)/(2*c*d^2*(a + b*x^2)^(1//4)) - ((b*c - a*d)*x*(a + b*x^2)^(3//4))/(2*c*d*(c + d*x^2)) - (sqrt(a)*sqrt(b)*(5*b*c - a*d)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(2*c*d^2*(a + b*x^2)^(1//4)) + (a^(1//4)*sqrt((-b)*c + a*d)*(5*b*c + 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*d^(5//2)*x) - (a^(1//4)*sqrt((-b)*c + a*d)*(5*b*c + 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*d^(5//2)*x), x, 9),
+((a + b*x^2)^(5//4)/(c + d*x^2)^2, -(((b*c - a*d)*x*(a + b*x^2)^(1//4))/(2*c*d*(c + d*x^2))) + (sqrt(a)*sqrt(b)*(3*b*c + a*d)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(2*c*d^2*(a + b*x^2)^(3//4)) - (a^(1//4)*(3*b*c + 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*d^2*x) - (a^(1//4)*(3*b*c + 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*d^2*x), x, 9),
+((a + b*x^2)^(3//4)/(c + d*x^2)^2, -((b*x)/(2*c*d*(a + b*x^2)^(1//4))) + (x*(a + b*x^2)^(3//4))/(2*c*(c + d*x^2)) + (sqrt(a)*sqrt(b)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(2*c*d*(a + b*x^2)^(1//4)) + (a^(1//4)*(b*c + 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*d^(3//2)*sqrt((-b)*c + a*d)*x) - (a^(1//4)*(b*c + 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*d^(3//2)*sqrt((-b)*c + a*d)*x), x, 9),
+((a + b*x^2)^(1//4)/(c + d*x^2)^2, (x*(a + b*x^2)^(1//4))/(2*c*(c + d*x^2)) + (sqrt(a)*sqrt(b)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(2*c*d*(a + b*x^2)^(3//4)) - (a^(1//4)*(b*c - 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*d*(b*c - a*d)*x) - (a^(1//4)*(b*c - 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*d*(b*c - a*d)*x), x, 9),
+(1/((a + b*x^2)^(1//4)*(c + d*x^2)^2), (b*x)/(2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(1//4)) - (d*x*(a + b*x^2)^(3//4))/(2*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)) - (sqrt(a)*sqrt(b)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(1//4)) - (a^(1//4)*(3*b*c - 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*sqrt(d)*((-b)*c + a*d)^(3//2)*x) + (a^(1//4)*(3*b*c - 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*sqrt(d)*((-b)*c + a*d)^(3//2)*x), x, 9),
+(1/((a + b*x^2)^(3//4)*(c + d*x^2)^2), -((d*x*(a + b*x^2)^(1//4))/(2*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2))) - (sqrt(a)*sqrt(b)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(3//4)) + (a^(1//4)*(5*b*c - 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*(b*c - a*d)^2*x) + (a^(1//4)*(5*b*c - 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*(b*c - a*d)^2*x), x, 9),
+(1/((a + b*x^2)^(5//4)*(c + d*x^2)^2), -((d*x)/(2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(1//4)*(c + d*x^2))) + (sqrt(b)*(4*b*c + a*d)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(2*sqrt(a)*c*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)^(1//4)) - (a^(1//4)*sqrt(d)*(7*b*c - 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*((-b)*c + a*d)^(5//2)*x) + (a^(1//4)*sqrt(d)*(7*b*c - 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*((-b)*c + a*d)^(5//2)*x), x, 10),
+(1/((a + b*x^2)^(7//4)*(c + d*x^2)^2), (b*(4*b*c + 3*a*d)*x)/(6*a*c*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)^(3//4)) - (d*x)/(2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(3//4)*(c + d*x^2)) + (sqrt(b)*(4*b*c + 3*a*d)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(6*sqrt(a)*c*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)^(3//4)) - (a^(1//4)*d*(9*b*c - 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*(b*c - a*d)^3*x) - (a^(1//4)*d*(9*b*c - 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*(b*c - a*d)^3*x), x, 10),
+(1/((a + b*x^2)^(9//4)*(c + d*x^2)^2), (b*(4*b*c + 5*a*d)*x)/(10*a*c*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)^(5//4)) - (d*x)/(2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(5//4)*(c + d*x^2)) + (sqrt(b)*(12*b^2*c^2 - 52*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*(1 + (b*x^2)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(10*a^(3//2)*c*(b*c - a*d)^3*(a + b*x^2)^(1//4)) - (a^(1//4)*d^(3//2)*(11*b*c - 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*((-b)*c + a*d)^(7//2)*x) + (a^(1//4)*d^(3//2)*(11*b*c - 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*((-b)*c + a*d)^(7//2)*x), x, 11),
+(1/((a + b*x^2)^(11//4)*(c + d*x^2)^2), (b*(4*b*c + 7*a*d)*x)/(14*a*c*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)^(7//4)) + (b*(20*b^2*c^2 - 76*a*b*c*d - 21*a^2*d^2)*x)/(42*a^2*c*(b*c - a*d)^3*(a + b*x^2)^(3//4)) - (d*x)/(2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(7//4)*(c + d*x^2)) + (sqrt(b)*(20*b^2*c^2 - 76*a*b*c*d - 21*a^2*d^2)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(42*a^(3//2)*c*(b*c - a*d)^3*(a + b*x^2)^(3//4)) + (a^(1//4)*d^2*(13*b*c - 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d)), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*(b*c - a*d)^4*x) + (a^(1//4)*d^2*(13*b*c - 2*a*d)*sqrt(-((b*x^2)/a))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt((-b)*c + a*d), asin((a + b*x^2)^(1//4)/a^(1//4)), -1))/(4*c*(b*c - a*d)^4*x), x, 11),
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+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q with p symbolic
+
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+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q, (x*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, -q, 3//2, -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(1 + (d*x^2)/c)^q), x, 3),
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+
+# {(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^3, x, 5, If[$VersionNumber>=8, (d*(15*a^2*d^2 - 8*a*b*c*d*(6 + p) + b^2*c^2*(57 + 28*p + 4*p^2))*x*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b^3*(3 + 2*p)*(5 + 2*p)*(7 + 2*p)) - (d*(5*a*d - b*c*(11 + 2*p))*x*(a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2))/(b^2*(5 + 2*p)*(7 + 2*p)) + (d*x*(a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2)^2)/(b*(7 + 2*p)) - ((15*a^3*d^3 - 9*a^2*b*c*d^2*(7 + 2*p) + 3*a*b^2*c^2*d*(35 + 24*p + 4*p^2) - b^3*c^3*(105 + 142*p + 60*p^2 + 8*p^3))*x*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(b^3*(3 + 2*p)*(5 + 2*p)*(7 + 2*p))), (d*(15*a^2*d^2 - 8*a*b*c*d*(6 + p) + b^2*c^2*(57 + 28*p + 4*p^2))*x*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b^3*(105 + 142*p + 60*p^2 + 8*p^3)) - (d*(5*a*d - b*c*(11 + 2*p))*x*(a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2))/(b^2*(35 + 24*p + 4*p^2)) + (d*x*(a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2)^2)/(b*(7 + 2*p)) - ((15*a^3*d^3 - 9*a^2*b*c*d^2*(7 + 2*p) + 3*a*b^2*c^2*d*(35 + 24*p + 4*p^2) - b^3*c^3*(105 + 142*p + 60*p^2 + 8*p^3))*x*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*x^2)/a)])/(1 + (b*x^2)/a)^p/(b^3*(105 + 142*p + 60*p^2 + 8*p^3))]}
+# {(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^2, x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((d*(3*a*d - b*c*(7 + 2*p))*x*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b^2*(3 + 2*p)*(5 + 2*p))) + (d*x*(a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2))/(b*(5 + 2*p)) + ((3*a^2*d^2 - 2*a*b*c*d*(5 + 2*p) + b^2*c^2*(15 + 16*p + 4*p^2))*x*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(b^2*(3 + 2*p)*(5 + 2*p))), -((d*(3*a*d - b*c*(7 + 2*p))*x*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b^2*(15 + 16*p + 4*p^2))) + (d*x*(a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2))/(b*(5 + 2*p)) + ((3*a^2*d^2 - 2*a*b*c*d*(5 + 2*p) + b^2*c^2*(15 + 16*p + 4*p^2))*x*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(b^2*(15 + 16*p + 4*p^2)))]}
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^1, (d*x*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b*(3 + 2*p)) - ((a*d - b*c*(3 + 2*p))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(b*(3 + 2*p))), x, 3),
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^0, (x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/(1 + (b*x^2)/a)^p, x, 2),
+((a + b*x^2)^p/(c + d*x^2)^1, (x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 1, 3//2, -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*c), x, 2),
+((a + b*x^2)^p/(c + d*x^2)^2, (x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 2, 3//2, -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*c^2), x, 2),
+((a + b*x^2)^p/(c + d*x^2)^3, (x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 3, 3//2, -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*c^3), x, 2),
+
+
+((a + b*x^2)^(-1 - (b*c)/(2*b*c - 2*a*d))*(c + d*x^2)^(-1 + (a*d)/(2*b*c - 2*a*d)), (x*(c + d*x^2)^((a*d)/(2*b*c - 2*a*d)))/((a + b*x^2)^((b*c)/(2*b*c - 2*a*d))*(a*c)), x, 1),
+]
+# Total integrals translated: 342
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.4 (e x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.4 (e x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q.jl
new file mode 100644
index 00000000..59b0e3e1
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.4 (e x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q.jl	
@@ -0,0 +1,1839 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^1
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^2*(a + b*x^2)*(A + B*x^2), (a*A*x^3)/3 + ((A*b + a*B)*x^5)/5 + (b*B*x^7)/7, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^2)*(A + B*x^2), (a*A*x^2)/2 + ((A*b + a*B)*x^4)/4 + (b*B*x^6)/6, x, 3),
+(x^0*(a + b*x^2)*(A + B*x^2), a*A*x + (1//3)*(A*b + a*B)*x^3 + (1//5)*b*B*x^5, x, 2),
+
+(((a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^1, ((A*b + a*B)*x^2)/2 + (b*B*x^4)/4 + a*A*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^2, -((a*A)/x) + (A*b + a*B)*x + (b*B*x^3)/3, x, 2),
+(((a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^3, -(a*A)/(2*x^2) + (b*B*x^2)/2 + (A*b + a*B)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^4, -(a*A)/(3*x^3) - (A*b + a*B)/x + b*B*x, x, 2),
+(((a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^5, -((a*A)/(4*x^4)) - (A*b + a*B)/(2*x^2) + b*B*log(x), x, 3),
+
+(((a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^6, -(a*A)/(5*x^5) - (A*b + a*B)/(3*x^3) - (b*B)/x, x, 2),
+(((a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^7, -(a*A)/(6*x^6) - (A*b + a*B)/(4*x^4) - (b*B)/(2*x^2), x, 3),
+
+
+(x^2*(a + b*x^2)^2*(A + B*x^2), (a^2*A*x^3)/3 + (a*(2*A*b + a*B)*x^5)/5 + (b*(A*b + 2*a*B)*x^7)/7 + (b^2*B*x^9)/9, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^2)^2*(A + B*x^2), ((A*b - a*B)*(a + b*x^2)^3)/(6*b^2) + (B*(a + b*x^2)^4)/(8*b^2), x, 3),
+(x^0*(a + b*x^2)^2*(A + B*x^2), a^2*A*x + (1//3)*a*(2*A*b + a*B)*x^3 + (1//5)*b*(A*b + 2*a*B)*x^5 + (1//7)*b^2*B*x^7, x, 2),
+
+(((a + b*x^2)^2*(A + B*x^2))/x^1, a*A*b*x^2 + (1//4)*A*b^2*x^4 + (B*(a + b*x^2)^3)/(6*b) + a^2*A*log(x), x, 4),
+(((a + b*x^2)^2*(A + B*x^2))/x^2, -(a^2*A)/x + a*(2*A*b + a*B)*x + (b*(A*b + 2*a*B)*x^3)/3 + (b^2*B*x^5)/5, x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(A + B*x^2))/x^3, -(a^2*A)/(2*x^2) + (1//2)*b*(A*b + 2*a*B)*x^2 + (1//4)*b^2*B*x^4 + a*(2*A*b + a*B)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^2)^2*(A + B*x^2))/x^4, -(a^2*A)/(3*x^3) - (a*(2*A*b + a*B))/x + b*(A*b + 2*a*B)*x + (1//3)*b^2*B*x^3, x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(A + B*x^2))/x^5, -(a^2*A)/(4*x^4) - (a*(2*A*b + a*B))/(2*x^2) + (1//2)*b^2*B*x^2 + b*(A*b + 2*a*B)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^2)^2*(A + B*x^2))/x^6, -(a^2*A)/(5*x^5) - (a*(2*A*b + a*B))/(3*x^3) - (b*(A*b + 2*a*B))/x + b^2*B*x, x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(A + B*x^2))/x^7, -((a^2*A)/(6*x^6)) - (a*(2*A*b + a*B))/(4*x^4) - (b*(A*b + 2*a*B))/(2*x^2) + b^2*B*log(x), x, 3),
+
+(((a + b*x^2)^2*(A + B*x^2))/x^8, -((a^2*A)/(7*x^7)) - (a*(2*A*b + a*B))/(5*x^5) - (b*(A*b + 2*a*B))/(3*x^3) - (b^2*B)/x, x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(A + B*x^2))/x^9, -((A*(a + b*x^2)^3)/(8*a*x^8)) + ((A*b - 4*a*B)*(a + b*x^2)^3)/(24*a^2*x^6), x, 3),
+
+
+(x^9*(a + b*x^2)^5*(A + B*x^2), (a^5*A*x^10)/10 + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^12)/12 + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^14)/14 + (5*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^16)/8 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^18)/18 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^20)/20 + (b^5*B*x^22)/22, x, 3),
+(x^8*(a + b*x^2)^5*(A + B*x^2), (a^5*A*x^9)/9 + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^11)/11 + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^13)/13 + (2*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^15)/3 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^17)/17 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^19)/19 + (b^5*B*x^21)/21, x, 2),
+(x^7*(a + b*x^2)^5*(A + B*x^2), -((a^3*(A*b - a*B)*(a + b*x^2)^6)/(12*b^5)) + (a^2*(3*A*b - 4*a*B)*(a + b*x^2)^7)/(14*b^5) - (3*a*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x^2)^8)/(16*b^5) + ((A*b - 4*a*B)*(a + b*x^2)^9)/(18*b^5) + (B*(a + b*x^2)^10)/(20*b^5), x, 3),
+
+(x^6*(a + b*x^2)^5*(A + B*x^2), (a^5*A*x^7)/7 + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^9)/9 + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^11)/11 + (10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^13)/13 + (a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^15)/3 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^17)/17 + (b^5*B*x^19)/19, x, 2),
+(x^5*(a + b*x^2)^5*(A + B*x^2), (a^2*(A*b - a*B)*(a + b*x^2)^6)/(12*b^4) - (a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x^2)^7)/(14*b^4) + ((A*b - 3*a*B)*(a + b*x^2)^8)/(16*b^4) + (B*(a + b*x^2)^9)/(18*b^4), x, 3),
+(x^4*(a + b*x^2)^5*(A + B*x^2), (a^5*A*x^5)/5 + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^7)/7 + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^9)/9 + (10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^11)/11 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^13)/13 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^15)/15 + (b^5*B*x^17)/17, x, 2),
+(x^3*(a + b*x^2)^5*(A + B*x^2), -(a*(A*b - a*B)*(a + b*x^2)^6)/(12*b^3) + ((A*b - 2*a*B)*(a + b*x^2)^7)/(14*b^3) + (B*(a + b*x^2)^8)/(16*b^3), x, 3),
+(x^2*(a + b*x^2)^5*(A + B*x^2), (a^5*A*x^3)/3 + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^5)/5 + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^7)/7 + (10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^9)/9 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^11)/11 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^13)/13 + (b^5*B*x^15)/15, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^2)^5*(A + B*x^2), ((A*b - a*B)*(a + b*x^2)^6)/(12*b^2) + (B*(a + b*x^2)^7)/(14*b^2), x, 3),
+(x^0*(a + b*x^2)^5*(A + B*x^2), a^5*A*x + (1//3)*a^4*(5*A*b + a*B)*x^3 + a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^5 + (10//7)*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^7 + (5//9)*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^9 + (1//11)*b^4*(A*b + 5*a*B)*x^11 + (1//13)*b^5*B*x^13, x, 2),
+
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^1, (5*a^4*A*b*x^2)/2 + (5*a^3*A*b^2*x^4)/2 + (5*a^2*A*b^3*x^6)/3 + (5*a*A*b^4*x^8)/8 + (A*b^5*x^10)/10 + (B*(a + b*x^2)^6)/(12*b) + a^5*A*log(x), x, 4),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^2, -((a^5*A)/x) + a^4*(5*A*b + a*B)*x + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^3)/3 + 2*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^5 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^7)/7 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^9)/9 + (b^5*B*x^11)/11, x, 2),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^3, -(a^5*A)/(2*x^2) + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^2)/2 + (5*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^4)/2 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^6)/6 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^8)/8 + (b^5*B*x^10)/10 + a^4*(5*A*b + a*B)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^4, -(a^5*A)/(3*x^3) - (a^4*(5*A*b + a*B))/x + 5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x + (10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^3)/3 + a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^5 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^7)/7 + (b^5*B*x^9)/9, x, 2),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^5, -(a^5*A)/(4*x^4) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(2*x^2) + 5*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^2 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^4)/4 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^6)/6 + (b^5*B*x^8)/8 + 5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^6, -(a^5*A)/(5*x^5) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(3*x^3) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/x + 10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^3)/3 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^5)/5 + (b^5*B*x^7)/7, x, 2),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^7, -(a^5*A)/(6*x^6) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(4*x^4) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(2*x^2) + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^2)/2 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^4)/4 + (b^5*B*x^6)/6 + 10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^8, -(a^5*A)/(7*x^7) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(5*x^5) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(3*x^3) - (10*a^2*b^2*(A*b + a*B))/x + 5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^3)/3 + (b^5*B*x^5)/5, x, 2),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^9, -(a^5*A)/(8*x^8) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(6*x^6) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(4*x^4) - (5*a^2*b^2*(A*b + a*B))/x^2 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^2)/2 + (b^5*B*x^4)/4 + 5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^10, -(a^5*A)/(9*x^9) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(7*x^7) - (a^3*b*(2*A*b + a*B))/x^5 - (10*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(3*x^3) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B))/x + b^4*(A*b + 5*a*B)*x + (b^5*B*x^3)/3, x, 2),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^11, -(a^5*A)/(10*x^10) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(8*x^8) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(6*x^6) - (5*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(2*x^4) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B))/(2*x^2) + (b^5*B*x^2)/2 + b^4*(A*b + 5*a*B)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^12, -(a^5*A)/(11*x^11) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(9*x^9) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(7*x^7) - (2*a^2*b^2*(A*b + a*B))/x^5 - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B))/(3*x^3) - (b^4*(A*b + 5*a*B))/x + b^5*B*x, x, 2),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^13, -((a^5*B)/(10*x^10)) - (5*a^4*b*B)/(8*x^8) - (5*a^3*b^2*B)/(3*x^6) - (5*a^2*b^3*B)/(2*x^4) - (5*a*b^4*B)/(2*x^2) - (A*(a + b*x^2)^6)/(12*a*x^12) + b^5*B*log(x), x, 4),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^14, -(a^5*A)/(13*x^13) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(11*x^11) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(9*x^9) - (10*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(7*x^7) - (a*b^3*(A*b + 2*a*B))/x^5 - (b^4*(A*b + 5*a*B))/(3*x^3) - (b^5*B)/x, x, 2),
+
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^15, -(A*(a + b*x^2)^6)/(14*a*x^14) + ((A*b - 7*a*B)*(a + b*x^2)^6)/(84*a^2*x^12), x, 3),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^16, -(a^5*A)/(15*x^15) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(13*x^13) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(11*x^11) - (10*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(9*x^9) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B))/(7*x^7) - (b^4*(A*b + 5*a*B))/(5*x^5) - (b^5*B)/(3*x^3), x, 2),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^17, -(A*(a + b*x^2)^6)/(16*a*x^16) + ((A*b - 4*a*B)*(a + b*x^2)^6)/(56*a^2*x^14) - (b*(A*b - 4*a*B)*(a + b*x^2)^6)/(336*a^3*x^12), x, 4),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^18, -(a^5*A)/(17*x^17) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(15*x^15) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(13*x^13) - (10*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(11*x^11) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B))/(9*x^9) - (b^4*(A*b + 5*a*B))/(7*x^7) - (b^5*B)/(5*x^5), x, 2),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^19, -(a^5*A)/(18*x^18) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(16*x^16) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(14*x^14) - (5*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(6*x^12) - (a*b^3*(A*b + 2*a*B))/(2*x^10) - (b^4*(A*b + 5*a*B))/(8*x^8) - (b^5*B)/(6*x^6), x, 3),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^20, -(a^5*A)/(19*x^19) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(17*x^17) - (a^3*b*(2*A*b + a*B))/(3*x^15) - (10*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(13*x^13) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B))/(11*x^11) - (b^4*(A*b + 5*a*B))/(9*x^9) - (b^5*B)/(7*x^7), x, 2),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^21, -(a^5*A)/(20*x^20) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(18*x^18) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(16*x^16) - (5*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(7*x^14) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B))/(12*x^12) - (b^4*(A*b + 5*a*B))/(10*x^10) - (b^5*B)/(8*x^8), x, 3),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^22, -(a^5*A)/(21*x^21) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(19*x^19) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(17*x^17) - (2*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(3*x^15) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B))/(13*x^13) - (b^4*(A*b + 5*a*B))/(11*x^11) - (b^5*B)/(9*x^9), x, 2),
+(((a + b*x^2)^5*(A + B*x^2))/x^23, -(a^5*A)/(22*x^22) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(20*x^20) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(18*x^18) - (5*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(8*x^16) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B))/(14*x^14) - (b^4*(A*b + 5*a*B))/(12*x^12) - (b^5*B)/(10*x^10), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^6*(A + B*x^2))/(a + b*x^2), (a^2*(A*b - a*B)*x)/b^4 - (a*(A*b - a*B)*x^3)/(3*b^3) + ((A*b - a*B)*x^5)/(5*b^2) + (B*x^7)/(7*b) - (a^(5//2)*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(9//2), x, 4),
+((x^5*(A + B*x^2))/(a + b*x^2), -((a*(A*b - a*B)*x^2)/(2*b^3)) + ((A*b - a*B)*x^4)/(4*b^2) + (B*x^6)/(6*b) + (a^2*(A*b - a*B)*log(a + b*x^2))/(2*b^4), x, 3),
+((x^4*(A + B*x^2))/(a + b*x^2), -((a*(A*b - a*B)*x)/b^3) + ((A*b - a*B)*x^3)/(3*b^2) + (B*x^5)/(5*b) + (a^(3//2)*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(7//2), x, 4),
+((x^3*(A + B*x^2))/(a + b*x^2), ((A*b - a*B)*x^2)/(2*b^2) + (B*x^4)/(4*b) - (a*(A*b - a*B)*log(a + b*x^2))/(2*b^3), x, 3),
+((x^2*(A + B*x^2))/(a + b*x^2), ((A*b - a*B)*x)/b^2 + (B*x^3)/(3*b) - (sqrt(a)*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(5//2), x, 3),
+((x^1*(A + B*x^2))/(a + b*x^2), (B*x^2)/(2*b) + ((A*b - a*B)*log(a + b*x^2))/(2*b^2), x, 3),
+((A + B*x^2)/(a + b*x^2), (B*x)/b + ((A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*b^(3//2)), x, 2),
+((A + B*x^2)/(x^1*(a + b*x^2)), (A*log(x))/a - ((A*b - a*B)*log(a + b*x^2))/(2*a*b), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^2*(a + b*x^2)), -(A/(a*x)) - ((A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*sqrt(b)), x, 2),
+((A + B*x^2)/(x^3*(a + b*x^2)), -A/(2*a*x^2) - ((A*b - a*B)*log(x))/a^2 + ((A*b - a*B)*log(a + b*x^2))/(2*a^2), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^4*(a + b*x^2)), -A/(3*a*x^3) + (A*b - a*B)/(a^2*x) + (sqrt(b)*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^5*(a + b*x^2)), -A/(4*a*x^4) + (A*b - a*B)/(2*a^2*x^2) + (b*(A*b - a*B)*log(x))/a^3 - (b*(A*b - a*B)*log(a + b*x^2))/(2*a^3), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^6*(a + b*x^2)), -A/(5*a*x^5) + (A*b - a*B)/(3*a^2*x^3) - (b*(A*b - a*B))/(a^3*x) - (b^(3//2)*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/a^(7//2), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^7*(a + b*x^2)), -A/(6*a*x^6) + (A*b - a*B)/(4*a^2*x^4) - (b*(A*b - a*B))/(2*a^3*x^2) - (b^2*(A*b - a*B)*log(x))/a^4 + (b^2*(A*b - a*B)*log(a + b*x^2))/(2*a^4), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^8*(a + b*x^2)), -A/(7*a*x^7) + (A*b - a*B)/(5*a^2*x^5) - (b*(A*b - a*B))/(3*a^3*x^3) + (b^2*(A*b - a*B))/(a^4*x) + (b^(5//2)*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/a^(9//2), x, 5),
+
+
+((x^9*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^2, (a^2*(3*A*b - 4*a*B)*x^2)/(2*b^5) - (a*(2*A*b - 3*a*B)*x^4)/(4*b^4) + ((A*b - 2*a*B)*x^6)/(6*b^3) + (B*x^8)/(8*b^2) - (a^4*(A*b - a*B))/(2*b^6*(a + b*x^2)) - (a^3*(4*A*b - 5*a*B)*log(a + b*x^2))/(2*b^6), x, 3),
+((x^8*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^2, (a^2*(3*A*b - 4*a*B)*x)/b^5 - (a*(2*A*b - 3*a*B)*x^3)/(3*b^4) + ((A*b - 2*a*B)*x^5)/(5*b^3) + (B*x^7)/(7*b^2) + (a^3*(A*b - a*B)*x)/(2*b^5*(a + b*x^2)) - (a^(5//2)*(7*A*b - 9*a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(11//2)), x, 4),
+((x^7*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^2, -((a*(2*A*b - 3*a*B)*x^2)/(2*b^4)) + ((A*b - 2*a*B)*x^4)/(4*b^3) + (B*x^6)/(6*b^2) + (a^3*(A*b - a*B))/(2*b^5*(a + b*x^2)) + (a^2*(3*A*b - 4*a*B)*log(a + b*x^2))/(2*b^5), x, 3),
+((x^6*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^2, -((a*(2*A*b - 3*a*B)*x)/b^4) + ((A*b - 2*a*B)*x^3)/(3*b^3) + (B*x^5)/(5*b^2) - (a^2*(A*b - a*B)*x)/(2*b^4*(a + b*x^2)) + (a^(3//2)*(5*A*b - 7*a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(9//2)), x, 4),
+((x^5*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^2, ((A*b - 2*a*B)*x^2)/(2*b^3) + (B*x^4)/(4*b^2) - (a^2*(A*b - a*B))/(2*b^4*(a + b*x^2)) - (a*(2*A*b - 3*a*B)*log(a + b*x^2))/(2*b^4), x, 3),
+((x^4*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^2, ((A*b - 2*a*B)*x)/b^3 + (B*x^3)/(3*b^2) + (a*(A*b - a*B)*x)/(2*b^3*(a + b*x^2)) - (sqrt(a)*(3*A*b - 5*a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(7//2)), x, 4),
+((x^3*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^2, (B*x^2)/(2*b^2) + (a*(A*b - a*B))/(2*b^3*(a + b*x^2)) + ((A*b - 2*a*B)*log(a + b*x^2))/(2*b^3), x, 3),
+((x^2*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^2, (B*x)/b^2 - ((A*b - a*B)*x)/(2*b^2*(a + b*x^2)) + ((A*b - 3*a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*b^(5//2)), x, 3),
+((x^1*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^2, -((A*b - a*B)/(2*b^2*(a + b*x^2))) + (B*log(a + b*x^2))/(2*b^2), x, 3),
+((A + B*x^2)/(a + b*x^2)^2, ((A*b - a*B)*x)/(2*a*b*(a + b*x^2)) + ((A*b + a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*b^(3//2)), x, 2),
+((A + B*x^2)/(x^1*(a + b*x^2)^2), (A*b - a*B)/(2*a*b*(a + b*x^2)) + (A*log(x))/a^2 - (A*log(a + b*x^2))/(2*a^2), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^2*(a + b*x^2)^2), -(A/(a^2*x)) - ((A*b - a*B)*x)/(2*a^2*(a + b*x^2)) - ((3*A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)*sqrt(b)), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^3*(a + b*x^2)^2), -(A/(2*a^2*x^2)) - (A*b - a*B)/(2*a^2*(a + b*x^2)) - ((2*A*b - a*B)*log(x))/a^3 + ((2*A*b - a*B)*log(a + b*x^2))/(2*a^3), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^4*(a + b*x^2)^2), -(A/(3*a^2*x^3)) + (2*A*b - a*B)/(a^3*x) + (b*(A*b - a*B)*x)/(2*a^3*(a + b*x^2)) + (sqrt(b)*(5*A*b - 3*a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(7//2)), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^5*(a + b*x^2)^2), -(A/(4*a^2*x^4)) + (2*A*b - a*B)/(2*a^3*x^2) + (b*(A*b - a*B))/(2*a^3*(a + b*x^2)) + (b*(3*A*b - 2*a*B)*log(x))/a^4 - (b*(3*A*b - 2*a*B)*log(a + b*x^2))/(2*a^4), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^6*(a + b*x^2)^2), -(A/(5*a^2*x^5)) + (2*A*b - a*B)/(3*a^3*x^3) - (b*(3*A*b - 2*a*B))/(a^4*x) - (b^2*(A*b - a*B)*x)/(2*a^4*(a + b*x^2)) - (b^(3//2)*(7*A*b - 5*a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(9//2)), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^7*(a + b*x^2)^2), -(A/(6*a^2*x^6)) + (2*A*b - a*B)/(4*a^3*x^4) - (b*(3*A*b - 2*a*B))/(2*a^4*x^2) - (b^2*(A*b - a*B))/(2*a^4*(a + b*x^2)) - (b^2*(4*A*b - 3*a*B)*log(x))/a^5 + (b^2*(4*A*b - 3*a*B)*log(a + b*x^2))/(2*a^5), x, 3),
+
+
+((x^11*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^3, (a^2*(3*A*b - 5*a*B)*x^2)/b^6 - (3*a*(A*b - 2*a*B)*x^4)/(4*b^5) + ((A*b - 3*a*B)*x^6)/(6*b^4) + (B*x^8)/(8*b^3) + (a^5*(A*b - a*B))/(4*b^7*(a + b*x^2)^2) - (a^4*(5*A*b - 6*a*B))/(2*b^7*(a + b*x^2)) - (5*a^3*(2*A*b - 3*a*B)*log(a + b*x^2))/(2*b^7), x, 3),
+((x^9*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^3, (-3*a*(A*b - 2*a*B)*x^2)/(2*b^5) + ((A*b - 3*a*B)*x^4)/(4*b^4) + (B*x^6)/(6*b^3) - (a^4*(A*b - a*B))/(4*b^6*(a + b*x^2)^2) + (a^3*(4*A*b - 5*a*B))/(2*b^6*(a + b*x^2)) + (a^2*(3*A*b - 5*a*B)*log(a + b*x^2))/b^6, x, 3),
+((x^7*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^3, ((A*b - 3*a*B)*x^2)/(2*b^4) + (B*x^4)/(4*b^3) + (a^3*(A*b - a*B))/(4*b^5*(a + b*x^2)^2) - (a^2*(3*A*b - 4*a*B))/(2*b^5*(a + b*x^2)) - (3*a*(A*b - 2*a*B)*log(a + b*x^2))/(2*b^5), x, 3),
+((x^5*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^3, (B*x^2)/(2*b^3) - (a^2*(A*b - a*B))/(4*b^4*(a + b*x^2)^2) + (a*(2*A*b - 3*a*B))/(2*b^4*(a + b*x^2)) + ((A*b - 3*a*B)*log(a + b*x^2))/(2*b^4), x, 3),
+((x^3*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^3, (a*(A*b - a*B))/(4*b^3*(a + b*x^2)^2) - (A*b - 2*a*B)/(2*b^3*(a + b*x^2)) + (B*log(a + b*x^2))/(2*b^3), x, 3),
+((x^1*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^3, -(A + B*x^2)^2/(4*(A*b - a*B)*(a + b*x^2)^2), x, 2),
+((A + B*x^2)/(x^1*(a + b*x^2)^3), (A*b - a*B)/(4*a*b*(a + b*x^2)^2) + A/(2*a^2*(a + b*x^2)) + (A*log(x))/a^3 - (A*log(a + b*x^2))/(2*a^3), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^3*(a + b*x^2)^3), -(A/(2*a^3*x^2)) - (A*b - a*B)/(4*a^2*(a + b*x^2)^2) - (2*A*b - a*B)/(2*a^3*(a + b*x^2)) - ((3*A*b - a*B)*log(x))/a^4 + ((3*A*b - a*B)*log(a + b*x^2))/(2*a^4), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^5*(a + b*x^2)^3), -(A/(4*a^3*x^4)) + (3*A*b - a*B)/(2*a^4*x^2) + (b*(A*b - a*B))/(4*a^3*(a + b*x^2)^2) + (b*(3*A*b - 2*a*B))/(2*a^4*(a + b*x^2)) + (3*b*(2*A*b - a*B)*log(x))/a^5 - (3*b*(2*A*b - a*B)*log(a + b*x^2))/(2*a^5), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^7*(a + b*x^2)^3), -(A/(6*a^3*x^6)) + (3*A*b - a*B)/(4*a^4*x^4) - (3*b*(2*A*b - a*B))/(2*a^5*x^2) - (b^2*(A*b - a*B))/(4*a^4*(a + b*x^2)^2) - (b^2*(4*A*b - 3*a*B))/(2*a^5*(a + b*x^2)) - (2*b^2*(5*A*b - 3*a*B)*log(x))/a^6 + (b^2*(5*A*b - 3*a*B)*log(a + b*x^2))/a^6, x, 3),
+
+((x^10*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^3, (2*a^2*(3*A*b - 5*a*B)*x)/b^6 - (a*(A*b - 2*a*B)*x^3)/b^5 + ((A*b - 3*a*B)*x^5)/(5*b^4) + (B*x^7)/(7*b^3) - (a^4*(A*b - a*B)*x)/(4*b^6*(a + b*x^2)^2) + (a^3*(17*A*b - 21*a*B)*x)/(8*b^6*(a + b*x^2)) - (9*a^(5//2)*(7*A*b - 11*a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*b^(13//2)), x, 5),
+((x^8*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^3, -((3*a*(A*b - 2*a*B)*x)/b^5) + ((A*b - 3*a*B)*x^3)/(3*b^4) + (B*x^5)/(5*b^3) + (a^3*(A*b - a*B)*x)/(4*b^5*(a + b*x^2)^2) - (a^2*(13*A*b - 17*a*B)*x)/(8*b^5*(a + b*x^2)) + (7*a^(3//2)*(5*A*b - 9*a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*b^(11//2)), x, 5),
+((x^6*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^3, ((A*b - 3*a*B)*x)/b^4 + (B*x^3)/(3*b^3) - (a^2*(A*b - a*B)*x)/(4*b^4*(a + b*x^2)^2) + (a*(9*A*b - 13*a*B)*x)/(8*b^4*(a + b*x^2)) - (5*sqrt(a)*(3*A*b - 7*a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*b^(9//2)), x, 5),
+((x^4*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^3, (B*x)/b^3 + (a*(A*b - a*B)*x)/(4*b^3*(a + b*x^2)^2) - ((5*A*b - 9*a*B)*x)/(8*b^3*(a + b*x^2)) + (3*(A*b - 5*a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*sqrt(a)*b^(7//2)), x, 4),
+((x^2*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^3, -(((A*b - a*B)*x)/(4*b^2*(a + b*x^2)^2)) + ((A*b - 5*a*B)*x)/(8*a*b^2*(a + b*x^2)) + ((A*b + 3*a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(3//2)*b^(5//2)), x, 3),
+((x^0*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^3, ((A*b - a*B)*x)/(4*a*b*(a + b*x^2)^2) + ((3*A*b + a*B)*x)/(8*a^2*b*(a + b*x^2)) + ((3*A*b + a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*b^(3//2)), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^2*(a + b*x^2)^3), -(A/(a^3*x)) - ((A*b - a*B)*x)/(4*a^2*(a + b*x^2)^2) - ((7*A*b - 3*a*B)*x)/(8*a^3*(a + b*x^2)) - (3*(5*A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(7//2)*sqrt(b)), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^4*(a + b*x^2)^3), -(A/(3*a^3*x^3)) + (3*A*b - a*B)/(a^4*x) + (b*(A*b - a*B)*x)/(4*a^3*(a + b*x^2)^2) + (b*(11*A*b - 7*a*B)*x)/(8*a^4*(a + b*x^2)) + (5*sqrt(b)*(7*A*b - 3*a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(9//2)), x, 5),
+((A + B*x^2)/(x^6*(a + b*x^2)^3), -(A/(5*a^3*x^5)) + (3*A*b - a*B)/(3*a^4*x^3) - (3*b*(2*A*b - a*B))/(a^5*x) - (b^2*(A*b - a*B)*x)/(4*a^4*(a + b*x^2)^2) - (b^2*(15*A*b - 11*a*B)*x)/(8*a^5*(a + b*x^2)) - (7*b^(3//2)*(9*A*b - 5*a*B)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(11//2)), x, 5),
+
+
+((a + b*x^2)/(1 + x^2), b*x + (a - b)*atan(x), x, 2),
+((a + b*x^2)/(1 - x^2), (-b)*x + (a + b)*atanh(x), x, 2),
+
+
+((1 + x^2)/(-1 + x^2)^2, x/(1 - x^2), x, 1),
+((1 - x^2)/(1 + x^2)^2, x/(1 + x^2), x, 1),
+((3 + 2*x^2)/(1 + x^2)^2, x/(2*(1 + x^2)) + (5*atan(x))/2, x, 2),
+((-2 + x^2)/(1 + x^2)^2, (-3*x)/(2*(1 + x^2)) - atan(x)/2, x, 2),
+((3 + x^2)/(1 + x^2)^2, x/(1 + x^2) + 2*atan(x), x, 2),
+((a + b*x^2)/(-a + b*x^2)^2, x/(a - b*x^2), x, 1),
+((a + b*x^2)/(a - b*x^2)^2, x/(a - b*x^2), x, 1),
+
+
+((A + B*x^2)/(a - b*x^2), -((B*x)/b) + ((A*b + a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*b^(3//2)), x, 2),
+
+
+((1 + x^2)/(16 + x^2)^3, -((15*x)/(64*(16 + x^2)^2)) + (19*x)/(2048*(16 + x^2)) + (19*atan(x/4))/8192, x, 3),
+
+((1 + 2*x^2)/(x^5*(1 + x^2)^3), -1/(4*x^4*(1 + x^2)^2), x, 2),
+
+
+((1 - x^2)^2/(-1 + x^2)^2, x, x, 2),
+
+
+((x^3*(a*c + b*c*x^2))/(a + b*x^2), (c*x^4)/4, x, 2),
+((x^2*(a*c + b*c*x^2))/(a + b*x^2), (c*x^3)/3, x, 2),
+((x*(a*c + b*c*x^2))/(a + b*x^2), (c*x^2)/2, x, 2),
+((a*c + b*c*x^2)/(a + b*x^2), c*x, x, 2),
+((a*c + b*c*x^2)/(x*(a + b*x^2)), c*log(x), x, 2),
+((a*c + b*c*x^2)/(x^2*(a + b*x^2)), -(c/x), x, 2),
+((a*c + b*c*x^2)/(x^3*(a + b*x^2)), -c/(2*x^2), x, 2),
+
+
+((x^3*(a*c + b*c*x^2))/(a + b*x^2)^2, (c*x^2)/(2*b) - (a*c*log(a + b*x^2))/(2*b^2), x, 4),
+((x^2*(a*c + b*c*x^2))/(a + b*x^2)^2, (c*x)/b - (sqrt(a)*c*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(3//2), x, 3),
+((x*(a*c + b*c*x^2))/(a + b*x^2)^2, (c*log(a + b*x^2))/(2*b), x, 2),
+((a*c + b*c*x^2)/(a + b*x^2)^2, (c*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*sqrt(b)), x, 2),
+((a*c + b*c*x^2)/(x*(a + b*x^2)^2), (c*log(x))/a - (c*log(a + b*x^2))/(2*a), x, 5),
+((a*c + b*c*x^2)/(x^2*(a + b*x^2)^2), -(c/(a*x)) - (sqrt(b)*c*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 3),
+((a*c + b*c*x^2)/(x^3*(a + b*x^2)^2), -c/(2*a*x^2) - (b*c*log(x))/a^2 + (b*c*log(a + b*x^2))/(2*a^2), x, 4),
+
+
+((x^3*(a*c + b*c*x^2))/(a + b*x^2)^3, (a*c)/(2*b^2*(a + b*x^2)) + (c*log(a + b*x^2))/(2*b^2), x, 4),
+((x^2*(a*c + b*c*x^2))/(a + b*x^2)^3, -(c*x)/(2*b*(a + b*x^2)) + (c*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*b^(3//2)), x, 3),
+((x*(a*c + b*c*x^2))/(a + b*x^2)^3, -c/(2*b*(a + b*x^2)), x, 2),
+((a*c + b*c*x^2)/(a + b*x^2)^3, (c*x)/(2*a*(a + b*x^2)) + (c*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*sqrt(b)), x, 3),
+((a*c + b*c*x^2)/(x*(a + b*x^2)^3), c/(2*a*(a + b*x^2)) + (c*log(x))/a^2 - (c*log(a + b*x^2))/(2*a^2), x, 4),
+((a*c + b*c*x^2)/(x^2*(a + b*x^2)^3), (-3*c)/(2*a^2*x) + c/(2*a*x*(a + b*x^2)) - (3*sqrt(b)*c*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)), x, 4),
+((a*c + b*c*x^2)/(x^3*(a + b*x^2)^3), -(c/(2*a^2*x^2)) - (b*c)/(2*a^2*(a + b*x^2)) - (2*b*c*log(x))/a^3 + (b*c*log(a + b*x^2))/a^3, x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^2
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^4*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2), (a^2*c*x^5)/5 + (a*(2*b*c + a*d)*x^7)/7 + (b*(b*c + 2*a*d)*x^9)/9 + (b^2*d*x^11)/11, x, 2),
+(x^3*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2), (a^2*c*x^4)/4 + (a*(2*b*c + a*d)*x^6)/6 + (b*(b*c + 2*a*d)*x^8)/8 + (b^2*d*x^10)/10, x, 3),
+(x^2*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2), (a^2*c*x^3)/3 + (a*(2*b*c + a*d)*x^5)/5 + (b*(b*c + 2*a*d)*x^7)/7 + (b^2*d*x^9)/9, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2), ((b*c - a*d)*(a + b*x^2)^3)/(6*b^2) + (d*(a + b*x^2)^4)/(8*b^2), x, 3),
+((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2), a^2*c*x + (a*(2*b*c + a*d)*x^3)/3 + (b*(b*c + 2*a*d)*x^5)/5 + (b^2*d*x^7)/7, x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2))/x^1, a*b*c*x^2 + (b^2*c*x^4)/4 + (d*(a + b*x^2)^3)/(6*b) + a^2*c*log(x), x, 4),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2))/x^2, -((a^2*c)/x) + a*(2*b*c + a*d)*x + (b*(b*c + 2*a*d)*x^3)/3 + (b^2*d*x^5)/5, x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2))/x^3, -(a^2*c)/(2*x^2) + (b*(b*c + 2*a*d)*x^2)/2 + (b^2*d*x^4)/4 + a*(2*b*c + a*d)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2))/x^4, -(a^2*c)/(3*x^3) - (a*(2*b*c + a*d))/x + b*(b*c + 2*a*d)*x + (b^2*d*x^3)/3, x, 2),
+
+
+(x^4*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2, (1//5)*a^2*c^2*x^5 + (2//7)*a*c*(b*c + a*d)*x^7 + (1//9)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^9 + (2//11)*b*d*(b*c + a*d)*x^11 + (1//13)*b^2*d^2*x^13, x, 2),
+(x^3*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2, (1//4)*a^2*c^2*x^4 + (1//3)*a*c*(b*c + a*d)*x^6 + (1//8)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^8 + (1//5)*b*d*(b*c + a*d)*x^10 + (1//12)*b^2*d^2*x^12, x, 3),
+(x^2*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2, (1//3)*a^2*c^2*x^3 + (2//5)*a*c*(b*c + a*d)*x^5 + (1//7)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^7 + (2//9)*b*d*(b*c + a*d)*x^9 + (1//11)*b^2*d^2*x^11, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2, ((b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)^3)/(6*b^3) + (d*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^4)/(4*b^3) + (d^2*(a + b*x^2)^5)/(10*b^3), x, 3),
+((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2, a^2*c^2*x + (2*a*c*(b*c + a*d)*x^3)/3 + ((b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^5)/5 + (2*b*d*(b*c + a*d)*x^7)/7 + (b^2*d^2*x^9)/9, x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2)/x^1, a*c*(b*c + a*d)*x^2 + (1//4)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^4 + (1//3)*b*d*(b*c + a*d)*x^6 + (1//8)*b^2*d^2*x^8 + a^2*c^2*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2)/x^2, -((a^2*c^2)/x) + 2*a*c*(b*c + a*d)*x + (1//3)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^3 + (2//5)*b*d*(b*c + a*d)*x^5 + (1//7)*b^2*d^2*x^7, x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2)/x^3, -((a^2*c^2)/(2*x^2)) + (1//2)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^2 + (1//2)*b*d*(b*c + a*d)*x^4 + (1//6)*b^2*d^2*x^6 + 2*a*c*(b*c + a*d)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2)/x^4, -((a^2*c^2)/(3*x^3)) - (2*a*c*(b*c + a*d))/x + (b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x + (2//3)*b*d*(b*c + a*d)*x^3 + (1//5)*b^2*d^2*x^5, x, 2),
+
+
+(x^4*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3, (1//5)*a^2*c^3*x^5 + (1//7)*a*c^2*(2*b*c + 3*a*d)*x^7 + (1//9)*c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^9 + (1//11)*d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^11 + (1//13)*b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^13 + (1//15)*b^2*d^3*x^15, x, 2),
+(x^3*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3, -((c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^4)/(8*d^4)) + ((b*c - a*d)*(3*b*c - a*d)*(c + d*x^2)^5)/(10*d^4) - (b*(3*b*c - 2*a*d)*(c + d*x^2)^6)/(12*d^4) + (b^2*(c + d*x^2)^7)/(14*d^4), x, 3),
+(x^2*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3, (1//3)*a^2*c^3*x^3 + (1//5)*a*c^2*(2*b*c + 3*a*d)*x^5 + (1//7)*c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^7 + (1//9)*d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^9 + (1//11)*b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^11 + (1//13)*b^2*d^3*x^13, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3, ((b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^4)/(8*d^3) - (b*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^5)/(5*d^3) + (b^2*(c + d*x^2)^6)/(12*d^3), x, 3),
+((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3, a^2*c^3*x + (a*c^2*(2*b*c + 3*a*d)*x^3)/3 + (c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^5)/5 + (d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^7)/7 + (b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^9)/9 + (b^2*d^3*x^11)/11, x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3)/x^1, (1//2)*a*c^2*(2*b*c + 3*a*d)*x^2 + (1//4)*c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^4 + (1//6)*d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^6 + (1//8)*b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^8 + (1//10)*b^2*d^3*x^10 + a^2*c^3*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3)/x^2, -((a^2*c^3)/x) + a*c^2*(2*b*c + 3*a*d)*x + (1//3)*c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^3 + (1//5)*d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^5 + (1//7)*b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^7 + (1//9)*b^2*d^3*x^9, x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3)/x^3, -((a^2*c^3)/(2*x^2)) + (1//2)*c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^2 + (1//4)*d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^4 + (1//6)*b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^6 + (1//8)*b^2*d^3*x^8 + a*c^2*(2*b*c + 3*a*d)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3)/x^4, -((a^2*c^3)/(3*x^3)) - (a*c^2*(2*b*c + 3*a*d))/x + c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x + (1//3)*d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^3 + (1//5)*b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^5 + (1//7)*b^2*d^3*x^7, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^4*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2), -((c*(b*c - a*d)^2*x)/d^4) + ((b*c - a*d)^2*x^3)/(3*d^3) - (b*(b*c - 2*a*d)*x^5)/(5*d^2) + (b^2*x^7)/(7*d) + (c^(3//2)*(b*c - a*d)^2*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/d^(9//2), x, 3),
+((x^3*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2), ((b*c - a*d)^2*x^2)/(2*d^3) - (b*(b*c - 2*a*d)*x^4)/(4*d^2) + (b^2*x^6)/(6*d) - (c*(b*c - a*d)^2*log(c + d*x^2))/(2*d^4), x, 3),
+((x^2*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2), ((b*c - a*d)^2*x)/d^3 - (b*(b*c - 2*a*d)*x^3)/(3*d^2) + (b^2*x^5)/(5*d) - (sqrt(c)*(b*c - a*d)^2*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/d^(7//2), x, 3),
+((x^1*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2), -((b*(b*c - a*d)*x^2)/(2*d^2)) + (a + b*x^2)^2/(4*d) + ((b*c - a*d)^2*log(c + d*x^2))/(2*d^3), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(c + d*x^2), -((b*(b*c - 2*a*d)*x)/d^2) + (b^2*x^3)/(3*d) + ((b*c - a*d)^2*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(sqrt(c)*d^(5//2)), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(x^1*(c + d*x^2)), (b^2*x^2)/(2*d) + (a^2*log(x))/c - ((b*c - a*d)^2*log(c + d*x^2))/(2*c*d^2), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(x^2*(c + d*x^2)), -(a^2/(c*x)) + (b^2*x)/d - ((b*c - a*d)^2*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(c^(3//2)*d^(3//2)), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(x^3*(c + d*x^2)), -(a^2/(2*c*x^2)) + (a*(2*b*c - a*d)*log(x))/c^2 + ((b*c - a*d)^2*log(c + d*x^2))/(2*c^2*d), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(x^4*(c + d*x^2)), -(a^2/(3*c*x^3)) - (a*(2*b*c - a*d))/(c^2*x) + ((b*c - a*d)^2*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(c^(5//2)*sqrt(d)), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(x^5*(c + d*x^2)), -(a^2/(4*c*x^4)) - (a*(2*b*c - a*d))/(2*c^2*x^2) + ((b*c - a*d)^2*log(x))/c^3 - ((b*c - a*d)^2*log(c + d*x^2))/(2*c^3), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(x^6*(c + d*x^2)), -(a^2/(5*c*x^5)) - (a*(2*b*c - a*d))/(3*c^2*x^3) - (b*c - a*d)^2/(c^3*x) - (sqrt(d)*(b*c - a*d)^2*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/c^(7//2), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(x^7*(c + d*x^2)), -(a^2/(6*c*x^6)) - (a*(2*b*c - a*d))/(4*c^2*x^4) - (b*c - a*d)^2/(2*c^3*x^2) - (d*(b*c - a*d)^2*log(x))/c^4 + (d*(b*c - a*d)^2*log(c + d*x^2))/(2*c^4), x, 3),
+
+
+((x^4*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^2, ((7*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*x)/(2*d^4) - ((7*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*x^3)/(6*c*d^3) + (b^2*x^5)/(5*d^2) + ((b*c - a*d)^2*x^5)/(2*c*d^2*(c + d*x^2)) - (sqrt(c)*(7*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*d^(9//2)), x, 5),
+((x^3*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^2, -((b*(b*c - a*d)*x^2)/d^3) + (b^2*x^4)/(4*d^2) + (c*(b*c - a*d)^2)/(2*d^4*(c + d*x^2)) + ((b*c - a*d)*(3*b*c - a*d)*log(c + d*x^2))/(2*d^4), x, 3),
+((x^2*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^2, -(((b*c - a*d)*(5*b*c - a*d)*x)/(2*c*d^3)) + (b^2*x^3)/(3*d^2) + ((b*c - a*d)^2*x^3)/(2*c*d^2*(c + d*x^2)) + ((b*c - a*d)*(5*b*c - a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*sqrt(c)*d^(7//2)), x, 4),
+((x^1*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^2, (b^2*x^2)/(2*d^2) - (b*c - a*d)^2/(2*d^3*(c + d*x^2)) - (b*(b*c - a*d)*log(c + d*x^2))/d^3, x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(c + d*x^2)^2, (b^2*x)/d^2 + ((b*c - a*d)^2*x)/(2*c*d^2*(c + d*x^2)) - ((b*c - a*d)*(3*b*c + a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*c^(3//2)*d^(5//2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^2/(x^1*(c + d*x^2)^2), (b*c - a*d)^2/(2*c*d^2*(c + d*x^2)) + (a^2*log(x))/c^2 - (1//2)*(a^2/c^2 - b^2/d^2)*log(c + d*x^2), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(x^2*(c + d*x^2)^2), -(a^2/(c*x*(c + d*x^2))) - ((b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x)/(2*c^2*d*(c + d*x^2)) + ((b*c - a*d)*(b*c + 3*a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*c^(5//2)*d^(3//2)), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(x^3*(c + d*x^2)^2), -(a^2/(2*c^2*x^2)) - (b*c - a*d)^2/(2*c^2*d*(c + d*x^2)) + (2*a*(b*c - a*d)*log(x))/c^3 - (a*(b*c - a*d)*log(c + d*x^2))/c^3, x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(x^4*(c + d*x^2)^2), -((a*(6*b*c - 5*a*d))/(3*c^3*x)) - a^2/(3*c*x^3*(c + d*x^2)) + ((3*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*x)/(6*c^3*(c + d*x^2)) + ((b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*c^(7//2)*sqrt(d)), x, 4),
+
+
+((x^4*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^3, -(((13*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + a^2*d^2)*x)/(4*c*d^4)) + (b^2*x^3)/(3*d^3) + ((b*c - a*d)^2*x^5)/(4*c*d^2*(c + d*x^2)^2) - ((b*c - a*d)*(9*b*c - a*d)*x)/(8*d^4*(c + d*x^2)) + ((35*b^2*c^2 - 30*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*sqrt(c)*d^(9//2)), x, 5),
+((x^3*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^3, (b^2*x^2)/(2*d^3) + (c*(b*c - a*d)^2)/(4*d^4*(c + d*x^2)^2) - ((b*c - a*d)*(3*b*c - a*d))/(2*d^4*(c + d*x^2)) - (b*(3*b*c - 2*a*d)*log(c + d*x^2))/(2*d^4), x, 3),
+((x^2*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^3, (b^2*x)/d^3 + ((b*c - a*d)^2*x^3)/(4*c*d^2*(c + d*x^2)^2) + ((b*c - a*d)*(7*b*c + a*d)*x)/(8*c*d^3*(c + d*x^2)) - ((15*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d - a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*c^(3//2)*d^(7//2)), x, 4),
+((x^1*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^3, -((b*c - a*d)^2/(4*d^3*(c + d*x^2)^2)) + (b*(b*c - a*d))/(d^3*(c + d*x^2)) + (b^2*log(c + d*x^2))/(2*d^3), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(c + d*x^2)^3, -(((b*c - a*d)*x*(a + b*x^2))/(4*c*d*(c + d*x^2)^2)) + (3*(a^2/c^2 - b^2/d^2)*x)/(8*(c + d*x^2)) + ((3*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*c^(5//2)*d^(5//2)), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(x^1*(c + d*x^2)^3), (b*c - a*d)^2/(4*c*d^2*(c + d*x^2)^2) + (a^2/c^2 - b^2/d^2)/(2*(c + d*x^2)) + (a^2*log(x))/c^3 - (a^2*log(c + d*x^2))/(2*c^3), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(x^2*(c + d*x^2)^3), -(a^2/(c*x*(c + d*x^2)^2)) - ((b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*x)/(4*c^2*d*(c + d*x^2)^2) + ((b^2*c^2 + 3*a*d*(2*b*c - 5*a*d))*x)/(8*c^3*d*(c + d*x^2)) + ((b^2*c^2 + 3*a*d*(2*b*c - 5*a*d))*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*c^(7//2)*d^(3//2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^2/(x^3*(c + d*x^2)^3), -(a^2/(2*c^3*x^2)) - (b*c - a*d)^2/(4*c^2*d*(c + d*x^2)^2) + (a*(b*c - a*d))/(c^3*(c + d*x^2)) + (a*(2*b*c - 3*a*d)*log(x))/c^4 - (a*(2*b*c - 3*a*d)*log(c + d*x^2))/(2*c^4), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(x^4*(c + d*x^2)^3), -((a*(6*b*c - 7*a*d))/(3*c^4*x)) - a^2/(3*c*x^3*(c + d*x^2)^2) + ((3*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*x)/(12*c^3*(c + d*x^2)^2) + ((3*b*c - 7*a*d)^2*x)/(24*c^4*(c + d*x^2)) + ((3*b^2*c^2 - 30*a*b*c*d + 35*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*c^(9//2)*sqrt(d)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^3
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^p / (c+d x^2)^1
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((x^5*(c + d*x^2))/(a + b*x^2), -((a*(b*c - a*d)*x^2)/(2*b^3)) + ((b*c - a*d)*x^4)/(4*b^2) + (d*x^6)/(6*b) + (a^2*(b*c - a*d)*log(a + b*x^2))/(2*b^4), x, 3),
+((x^4*(c + d*x^2))/(a + b*x^2), -((a*(b*c - a*d)*x)/b^3) + ((b*c - a*d)*x^3)/(3*b^2) + (d*x^5)/(5*b) + (a^(3//2)*(b*c - a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(7//2), x, 4),
+((x^3*(c + d*x^2))/(a + b*x^2), ((b*c - a*d)*x^2)/(2*b^2) + (d*x^4)/(4*b) - (a*(b*c - a*d)*log(a + b*x^2))/(2*b^3), x, 3),
+((x^2*(c + d*x^2))/(a + b*x^2), ((b*c - a*d)*x)/b^2 + (d*x^3)/(3*b) - (sqrt(a)*(b*c - a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(5//2), x, 3),
+((x^1*(c + d*x^2))/(a + b*x^2), (d*x^2)/(2*b) + ((b*c - a*d)*log(a + b*x^2))/(2*b^2), x, 3),
+((c + d*x^2)/(a + b*x^2), (d*x)/b + ((b*c - a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*b^(3//2)), x, 2),
+((c + d*x^2)/(x^1*(a + b*x^2)), (c*log(x))/a - ((b*c - a*d)*log(a + b*x^2))/(2*a*b), x, 3),
+((c + d*x^2)/(x^2*(a + b*x^2)), -(c/(a*x)) - ((b*c - a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*sqrt(b)), x, 2),
+((c + d*x^2)/(x^3*(a + b*x^2)), -c/(2*a*x^2) - ((b*c - a*d)*log(x))/a^2 + ((b*c - a*d)*log(a + b*x^2))/(2*a^2), x, 3),
+((c + d*x^2)/(x^4*(a + b*x^2)), -c/(3*a*x^3) + (b*c - a*d)/(a^2*x) + (sqrt(b)*(b*c - a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 3),
+
+
+((x^5*(c + d*x^2)^2)/(a + b*x^2), -((a*(b*c - a*d)^2*x^2)/(2*b^4)) + ((b*c - a*d)^2*x^4)/(4*b^3) + (d*(2*b*c - a*d)*x^6)/(6*b^2) + (d^2*x^8)/(8*b) + (a^2*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x^2))/(2*b^5), x, 3),
+((x^4*(c + d*x^2)^2)/(a + b*x^2), -((a*(b*c - a*d)^2*x)/b^4) + ((b*c - a*d)^2*x^3)/(3*b^3) + (d*(2*b*c - a*d)*x^5)/(5*b^2) + (d^2*x^7)/(7*b) + (a^(3//2)*(b*c - a*d)^2*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(9//2), x, 3),
+((x^3*(c + d*x^2)^2)/(a + b*x^2), ((b*c - a*d)^2*x^2)/(2*b^3) + (d*(2*b*c - a*d)*x^4)/(4*b^2) + (d^2*x^6)/(6*b) - (a*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x^2))/(2*b^4), x, 3),
+((x^2*(c + d*x^2)^2)/(a + b*x^2), ((b*c - a*d)^2*x)/b^3 + (d*(2*b*c - a*d)*x^3)/(3*b^2) + (d^2*x^5)/(5*b) - (sqrt(a)*(b*c - a*d)^2*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(7//2), x, 3),
+((x^1*(c + d*x^2)^2)/(a + b*x^2), (d*(b*c - a*d)*x^2)/(2*b^2) + (c + d*x^2)^2/(4*b) + ((b*c - a*d)^2*log(a + b*x^2))/(2*b^3), x, 3),
+((c + d*x^2)^2/(a + b*x^2), (d*(2*b*c - a*d)*x)/b^2 + (d^2*x^3)/(3*b) + ((b*c - a*d)^2*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*b^(5//2)), x, 3),
+((c + d*x^2)^2/(x^1*(a + b*x^2)), (d^2*x^2)/(2*b) + (c^2*log(x))/a - ((b*c - a*d)^2*log(a + b*x^2))/(2*a*b^2), x, 3),
+((c + d*x^2)^2/(x^2*(a + b*x^2)), -(c^2/(a*x)) + (d^2*x)/b - ((b*c - a*d)^2*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*b^(3//2)), x, 3),
+((c + d*x^2)^2/(x^3*(a + b*x^2)), -c^2/(2*a*x^2) - (c*(b*c - 2*a*d)*log(x))/a^2 + ((b*c - a*d)^2*log(a + b*x^2))/(2*a^2*b), x, 3),
+((c + d*x^2)^2/(x^4*(a + b*x^2)), -c^2/(3*a*x^3) + (c*(b*c - 2*a*d))/(a^2*x) + ((b*c - a*d)^2*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(5//2)*sqrt(b)), x, 3),
+
+
+((x^5*(c + d*x^2)^3)/(a + b*x^2), -((a*(b*c - a*d)^3*x^2)/(2*b^5)) + ((b*c - a*d)^3*x^4)/(4*b^4) + (d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^6)/(6*b^3) + (d^2*(3*b*c - a*d)*x^8)/(8*b^2) + (d^3*x^10)/(10*b) + (a^2*(b*c - a*d)^3*log(a + b*x^2))/(2*b^6), x, 3),
+((x^4*(c + d*x^2)^3)/(a + b*x^2), -((a*(b*c - a*d)^3*x)/b^5) + ((b*c - a*d)^3*x^3)/(3*b^4) + (d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^5)/(5*b^3) + (d^2*(3*b*c - a*d)*x^7)/(7*b^2) + (d^3*x^9)/(9*b) + (a^(3//2)*(b*c - a*d)^3*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(11//2), x, 3),
+((x^3*(c + d*x^2)^3)/(a + b*x^2), ((b*c - a*d)^3*x^2)/(2*b^4) + (d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^4)/(4*b^3) + (d^2*(3*b*c - a*d)*x^6)/(6*b^2) + (d^3*x^8)/(8*b) - (a*(b*c - a*d)^3*log(a + b*x^2))/(2*b^5), x, 3),
+((x^2*(c + d*x^2)^3)/(a + b*x^2), ((b*c - a*d)^3*x)/b^4 + (d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^3)/(3*b^3) + (d^2*(3*b*c - a*d)*x^5)/(5*b^2) + (d^3*x^7)/(7*b) - (sqrt(a)*(b*c - a*d)^3*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(9//2), x, 3),
+((x^1*(c + d*x^2)^3)/(a + b*x^2), (d*(b*c - a*d)^2*x^2)/(2*b^3) + ((b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2)/(4*b^2) + (c + d*x^2)^3/(6*b) + ((b*c - a*d)^3*log(a + b*x^2))/(2*b^4), x, 3),
+((c + d*x^2)^3/(a + b*x^2), (d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x)/b^3 + (d^2*(3*b*c - a*d)*x^3)/(3*b^2) + (d^3*x^5)/(5*b) + ((b*c - a*d)^3*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*b^(7//2)), x, 3),
+((c + d*x^2)^3/(x^1*(a + b*x^2)), (d^2*(3*b*c - a*d)*x^2)/(2*b^2) + (d^3*x^4)/(4*b) + (c^3*log(x))/a - ((b*c - a*d)^3*log(a + b*x^2))/(2*a*b^3), x, 3),
+((c + d*x^2)^3/(x^2*(a + b*x^2)), -(c^3/(a*x)) + (d^2*(3*b*c - a*d)*x)/b^2 + (d^3*x^3)/(3*b) - ((b*c - a*d)^3*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*b^(5//2)), x, 3),
+((c + d*x^2)^3/(x^3*(a + b*x^2)), -c^3/(2*a*x^2) + (d^3*x^2)/(2*b) - (c^2*(b*c - 3*a*d)*log(x))/a^2 + ((b*c - a*d)^3*log(a + b*x^2))/(2*a^2*b^2), x, 3),
+((c + d*x^2)^3/(x^4*(a + b*x^2)), -c^3/(3*a*x^3) + (c^2*(b*c - 3*a*d))/(a^2*x) + (d^3*x)/b + ((b*c - a*d)^3*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(5//2)*b^(3//2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)), x^2/(2*b*d) + (a^2*log(a + b*x^2))/(2*b^2*(b*c - a*d)) - (c^2*log(c + d*x^2))/(2*d^2*(b*c - a*d)), x, 3),
+(x^4/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)), x/(b*d) + (a^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(b^(3//2)*(b*c - a*d)) - (c^(3//2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(d^(3//2)*(b*c - a*d)), x, 4),
+(x^3/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)), -(a*log(a + b*x^2))/(2*b*(b*c - a*d)) + (c*log(c + d*x^2))/(2*d*(b*c - a*d)), x, 3),
+(x^2/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)), -((sqrt(a)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(b)*(b*c - a*d))) + (sqrt(c)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(sqrt(d)*(b*c - a*d)), x, 3),
+(x^1/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)), log(a + b*x^2)/(2*(b*c - a*d)) - log(c + d*x^2)/(2*(b*c - a*d)), x, 4),
+(1/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)), (sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(b*c - a*d)) - (sqrt(d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(sqrt(c)*(b*c - a*d)), x, 3),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)), log(x)/(a*c) - (b*log(a + b*x^2))/(2*a*(b*c - a*d)) + (d*log(c + d*x^2))/(2*c*(b*c - a*d)), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)), -(1/(a*c*x)) - (b^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*(b*c - a*d)) + (d^(3//2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(c^(3//2)*(b*c - a*d)), x, 4),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)), -1/(2*a*c*x^2) - ((b*c + a*d)*log(x))/(a^2*c^2) + (b^2*log(a + b*x^2))/(2*a^2*(b*c - a*d)) - (d^2*log(c + d*x^2))/(2*c^2*(b*c - a*d)), x, 3),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)), -(1/(3*a*c*x^3)) + (b*c + a*d)/(a^2*c^2*x) + (b^(5//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(5//2)*(b*c - a*d)) - (d^(5//2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(c^(5//2)*(b*c - a*d)), x, 5),
+(1/(x^5*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)), -1/(4*a*c*x^4) + (b*c + a*d)/(2*a^2*c^2*x^2) + ((b^2*c^2 + a*b*c*d + a^2*d^2)*log(x))/(a^3*c^3) - (b^3*log(a + b*x^2))/(2*a^3*(b*c - a*d)) + (d^3*log(c + d*x^2))/(2*c^3*(b*c - a*d)), x, 3),
+(1/(x^6*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)), -(1/(5*a*c*x^5)) + (b*c + a*d)/(3*a^2*c^2*x^3) - (b^2*c^2 + a*b*c*d + a^2*d^2)/(a^3*c^3*x) - (b^(7//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(7//2)*(b*c - a*d)) + (d^(7//2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(c^(7//2)*(b*c - a*d)), x, 6),
+(1/(x^7*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)), -(1/(6*a*c*x^6)) + (b*c + a*d)/(4*a^2*c^2*x^4) - (b^2*c^2 + a*b*c*d + a^2*d^2)/(2*a^3*c^3*x^2) - ((b*c + a*d)*(b^2*c^2 + a^2*d^2)*log(x))/(a^4*c^4) + (b^4*log(a + b*x^2))/(2*a^4*(b*c - a*d)) - (d^4*log(c + d*x^2))/(2*c^4*(b*c - a*d)), x, 3),
+
+
+(x^5/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)), -a^2/(2*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) - (a*(2*b*c - a*d)*log(a + b*x^2))/(2*b^2*(b*c - a*d)^2) + (c^2*log(c + d*x^2))/(2*d*(b*c - a*d)^2), x, 3),
+(x^4/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), -((c*x)/(2*d*(b*c - a*d)*(c + d*x^2))) + (a^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(b)*(b*c - a*d)^2) + (sqrt(c)*(b*c - 3*a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*d^(3//2)*(b*c - a*d)^2), x, 4),
+(x^3/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), -c/(2*d*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)) - (a*log(a + b*x^2))/(2*(b*c - a*d)^2) + (a*log(c + d*x^2))/(2*(b*c - a*d)^2), x, 3),
+(x^2/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), x/(2*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)) - (sqrt(a)*sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(b*c - a*d)^2 + ((b*c + a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*(b*c - a*d)^2), x, 4),
+(x^1/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), 1/(2*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)) + (b*log(a + b*x^2))/(2*(b*c - a*d)^2) - (b*log(c + d*x^2))/(2*(b*c - a*d)^2), x, 3),
+(1/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), -((d*x)/(2*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2))) + (b^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(b*c - a*d)^2) - (sqrt(d)*(3*b*c - a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*c^(3//2)*(b*c - a*d)^2), x, 4),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), -d/(2*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)) + log(x)/(a*c^2) - (b^2*log(a + b*x^2))/(2*a*(b*c - a*d)^2) + (d*(2*b*c - a*d)*log(c + d*x^2))/(2*c^2*(b*c - a*d)^2), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), -((2*b*c - 3*a*d)/(2*a*c^2*(b*c - a*d)*x)) - d/(2*c*(b*c - a*d)*x*(c + d*x^2)) - (b^(5//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*(b*c - a*d)^2) + (d^(3//2)*(5*b*c - 3*a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*c^(5//2)*(b*c - a*d)^2), x, 5),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), -1/(2*a*c^2*x^2) + d^2/(2*c^2*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)) - ((b*c + 2*a*d)*log(x))/(a^2*c^3) + (b^3*log(a + b*x^2))/(2*a^2*(b*c - a*d)^2) - (d^2*(3*b*c - 2*a*d)*log(c + d*x^2))/(2*c^3*(b*c - a*d)^2), x, 3),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), -((2*b*c - 5*a*d)/(6*a*c^2*(b*c - a*d)*x^3)) + (2*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)/(2*a^2*c^3*(b*c - a*d)*x) - d/(2*c*(b*c - a*d)*x^3*(c + d*x^2)) + (b^(7//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(5//2)*(b*c - a*d)^2) - (d^(5//2)*(7*b*c - 5*a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*c^(7//2)*(b*c - a*d)^2), x, 6),
+
+
+(x^5/((a + b*x^2)^3*(c + d*x^2)), -a^2/(4*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^2) + (a*(2*b*c - a*d))/(2*b^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)) + (c^2*log(a + b*x^2))/(2*(b*c - a*d)^3) - (c^2*log(c + d*x^2))/(2*(b*c - a*d)^3), x, 3),
+(x^4/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3), -((c*x)/(4*d*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2)) + ((b*c - 5*a*d)*x)/(8*d*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + (a^(3//2)*sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(b*c - a*d)^3 + ((b^2*c^2 - 6*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*sqrt(c)*d^(3//2)*(b*c - a*d)^3), x, 5),
+(x^3/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3), -c/(4*d*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2) - a/(2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) - (a*b*log(a + b*x^2))/(2*(b*c - a*d)^3) + (a*b*log(c + d*x^2))/(2*(b*c - a*d)^3), x, 3),
+(x^2/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3), x/(4*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2) + ((3*b*c + a*d)*x)/(8*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) - (sqrt(a)*b^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(b*c - a*d)^3 + ((3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d - a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*c^(3//2)*sqrt(d)*(b*c - a*d)^3), x, 5),
+(x^1/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3), 1/(4*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2) + b/(2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + (b^2*log(a + b*x^2))/(2*(b*c - a*d)^3) - (b^2*log(c + d*x^2))/(2*(b*c - a*d)^3), x, 3),
+(1/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3), -((d*x)/(4*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2)) - (d*(7*b*c - 3*a*d)*x)/(8*c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + (b^(5//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(b*c - a*d)^3) - (sqrt(d)*(15*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*c^(5//2)*(b*c - a*d)^3), x, 5),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3), -d/(4*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2) - (d*(2*b*c - a*d))/(2*c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + log(x)/(a*c^3) - (b^3*log(a + b*x^2))/(2*a*(b*c - a*d)^3) + (d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*log(c + d*x^2))/(2*c^3*(b*c - a*d)^3), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3), -((8*b^2*c^2 - 27*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)/(8*a*c^3*(b*c - a*d)^2*x)) - d/(4*c*(b*c - a*d)*x*(c + d*x^2)^2) - (d*(9*b*c - 5*a*d))/(8*c^2*(b*c - a*d)^2*x*(c + d*x^2)) - (b^(7//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*(b*c - a*d)^3) + (d^(3//2)*(35*b^2*c^2 - 42*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*c^(7//2)*(b*c - a*d)^3), x, 6),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3), -1/(2*a*c^3*x^2) + d^2/(4*c^2*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2) + (d^2*(3*b*c - 2*a*d))/(2*c^3*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) - ((b*c + 3*a*d)*log(x))/(a^2*c^4) + (b^4*log(a + b*x^2))/(2*a^2*(b*c - a*d)^3) - (d^2*(6*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*log(c + d*x^2))/(2*c^4*(b*c - a*d)^3), x, 3),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3), -((8*b^2*c^2 - 55*a*b*c*d + 35*a^2*d^2)/(24*a*c^3*(b*c - a*d)^2*x^3)) + (8*b^3*c^3 + 8*a*b^2*c^2*d - 55*a^2*b*c*d^2 + 35*a^3*d^3)/(8*a^2*c^4*(b*c - a*d)^2*x) - d/(4*c*(b*c - a*d)*x^3*(c + d*x^2)^2) - (d*(11*b*c - 7*a*d))/(8*c^2*(b*c - a*d)^2*x^3*(c + d*x^2)) + (b^(9//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(5//2)*(b*c - a*d)^3) - (d^(5//2)*(63*b^2*c^2 - 90*a*b*c*d + 35*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*c^(9//2)*(b*c - a*d)^3), x, 7),
+
+
+(x/((1 + x^2)*(4 + x^2)), (1//6)*log(1 + x^2) - (1//6)*log(4 + x^2), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^p / (c+d x^2)^2
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((x^4*(c + d*x^2))/(a + b*x^2)^2, ((b*c - 2*a*d)*x)/b^3 + (d*x^3)/(3*b^2) + (a*(b*c - a*d)*x)/(2*b^3*(a + b*x^2)) - (sqrt(a)*(3*b*c - 5*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(7//2)), x, 4),
+((x^3*(c + d*x^2))/(a + b*x^2)^2, (d*x^2)/(2*b^2) + (a*(b*c - a*d))/(2*b^3*(a + b*x^2)) + ((b*c - 2*a*d)*log(a + b*x^2))/(2*b^3), x, 3),
+((x^2*(c + d*x^2))/(a + b*x^2)^2, (d*x)/b^2 - ((b*c - a*d)*x)/(2*b^2*(a + b*x^2)) + ((b*c - 3*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*b^(5//2)), x, 3),
+((x^1*(c + d*x^2))/(a + b*x^2)^2, -(b*c - a*d)/(2*b^2*(a + b*x^2)) + (d*log(a + b*x^2))/(2*b^2), x, 3),
+((c + d*x^2)/(a + b*x^2)^2, ((b*c - a*d)*x)/(2*a*b*(a + b*x^2)) + ((b*c + a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*b^(3//2)), x, 2),
+((c + d*x^2)/(x^1*(a + b*x^2)^2), (b*c - a*d)/(2*a*b*(a + b*x^2)) + (c*log(x))/a^2 - (c*log(a + b*x^2))/(2*a^2), x, 3),
+((c + d*x^2)/(x^2*(a + b*x^2)^2), -(c/(a^2*x)) - ((b*c - a*d)*x)/(2*a^2*(a + b*x^2)) - ((3*b*c - a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)*sqrt(b)), x, 3),
+((c + d*x^2)/(x^3*(a + b*x^2)^2), -(c/(2*a^2*x^2)) - (b*c - a*d)/(2*a^2*(a + b*x^2)) - ((2*b*c - a*d)*log(x))/a^3 + ((2*b*c - a*d)*log(a + b*x^2))/(2*a^3), x, 3),
+((c + d*x^2)/(x^4*(a + b*x^2)^2), -(c/(3*a^2*x^3)) + (2*b*c - a*d)/(a^3*x) + (b*(b*c - a*d)*x)/(2*a^3*(a + b*x^2)) + (sqrt(b)*(5*b*c - 3*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(7//2)), x, 4),
+
+
+((x^4*(c + d*x^2)^2)/(a + b*x^2)^2, ((3*b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)*x)/(2*b^4) - ((3*b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)*x^3)/(6*a*b^3) + (d^2*x^5)/(5*b^2) + ((b*c - a*d)^2*x^5)/(2*a*b^2*(a + b*x^2)) - (sqrt(a)*(3*b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(9//2)), x, 5),
+((x^3*(c + d*x^2)^2)/(a + b*x^2)^2, (d*(b*c - a*d)*x^2)/b^3 + (d^2*x^4)/(4*b^2) + (a*(b*c - a*d)^2)/(2*b^4*(a + b*x^2)) + ((b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*log(a + b*x^2))/(2*b^4), x, 3),
+((x^2*(c + d*x^2)^2)/(a + b*x^2)^2, -(((b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)*x)/(2*a*b^3)) + (d^2*x^3)/(3*b^2) + ((b*c - a*d)^2*x^3)/(2*a*b^2*(a + b*x^2)) + ((b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*b^(7//2)), x, 4),
+((x^1*(c + d*x^2)^2)/(a + b*x^2)^2, (d^2*x^2)/(2*b^2) - (b*c - a*d)^2/(2*b^3*(a + b*x^2)) + (d*(b*c - a*d)*log(a + b*x^2))/b^3, x, 3),
+((c + d*x^2)^2/(a + b*x^2)^2, (d^2*x)/b^2 + ((b*c - a*d)^2*x)/(2*a*b^2*(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)*(b*c + 3*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*b^(5//2)), x, 4),
+((c + d*x^2)^2/(x^1*(a + b*x^2)^2), (b*c - a*d)^2/(2*a*b^2*(a + b*x^2)) + (c^2*log(x))/a^2 - (1//2)*(c^2/a^2 - d^2/b^2)*log(a + b*x^2), x, 3),
+((c + d*x^2)^2/(x^2*(a + b*x^2)^2), -(c^2/(a*x*(a + b*x^2))) - (((3*b*c^2)/a - 2*c*d + (a*d^2)/b)*x)/(2*a*(a + b*x^2)) - ((b*c - a*d)*(3*b*c + a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)*b^(3//2)), x, 3),
+((c + d*x^2)^2/(x^3*(a + b*x^2)^2), -(c^2/(2*a^2*x^2)) - (b*c - a*d)^2/(2*a^2*b*(a + b*x^2)) - (2*c*(b*c - a*d)*log(x))/a^3 + (c*(b*c - a*d)*log(a + b*x^2))/a^3, x, 3),
+((c + d*x^2)^2/(x^4*(a + b*x^2)^2), (c*(5*b*c - 6*a*d))/(3*a^3*x) - c^2/(3*a*x^3*(a + b*x^2)) + ((5*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x)/(6*a^3*(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)*(5*b*c - a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(7//2)*sqrt(b)), x, 4),
+
+
+((x^4*(c + d*x^2)^3)/(a + b*x^2)^2, (3*(b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)^2*x)/(2*b^5) + (d*(5*b^2*c^2 - 7*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^3)/(2*b^4) + (3*d^2*(7*b*c - 3*a*d)*x^5)/(10*b^3) + (9*d^3*x^7)/(14*b^2) - (x^3*(c + d*x^2)^3)/(2*b*(a + b*x^2)) - (3*sqrt(a)*(b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)^2*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(11//2)), x, 4),
+((x^3*(c + d*x^2)^3)/(a + b*x^2)^2, (3*d*(b*c - a*d)^2*x^2)/(2*b^4) + (d^2*(3*b*c - 2*a*d)*x^4)/(4*b^3) + (d^3*x^6)/(6*b^2) + (a*(b*c - a*d)^3)/(2*b^5*(a + b*x^2)) + ((b*c - 4*a*d)*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x^2))/(2*b^5), x, 3),
+((x^2*(c + d*x^2)^3)/(a + b*x^2)^2, (d*(81*b^2*c^2 - 190*a*b*c*d + 105*a^2*d^2)*x)/(30*b^4) + (d*(33*b*c - 35*a*d)*x*(c + d*x^2))/(30*b^3) + (7*d*x*(c + d*x^2)^2)/(10*b^2) - (x*(c + d*x^2)^3)/(2*b*(a + b*x^2)) + ((b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)^2*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*b^(9//2)), x, 5),
+((x^1*(c + d*x^2)^3)/(a + b*x^2)^2, (d^2*(3*b*c - 2*a*d)*x^2)/(2*b^3) + (d^3*x^4)/(4*b^2) - (b*c - a*d)^3/(2*b^4*(a + b*x^2)) + (3*d*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x^2))/(2*b^4), x, 3),
+((c + d*x^2)^3/(a + b*x^2)^2, (d^2*(3*b*c - 2*a*d)*x)/b^3 + (d^3*x^3)/(3*b^2) + ((b*c - a*d)^3*x)/(2*a*b^3*(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)^2*(b*c + 5*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*b^(7//2)), x, 4),
+((c + d*x^2)^3/(x^1*(a + b*x^2)^2), (d^3*x^2)/(2*b^2) + (b*c - a*d)^3/(2*a*b^3*(a + b*x^2)) + (c^3*log(x))/a^2 - ((b*c - a*d)^2*(b*c + 2*a*d)*log(a + b*x^2))/(2*a^2*b^3), x, 3),
+((c + d*x^2)^3/(x^2*(a + b*x^2)^2), -((c^2*(3*b*c - a*d))/(2*a^2*b*x)) - (d^2*(b*c - 3*a*d)*x)/(2*a*b^2) + ((b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2)/(2*a*b*x*(a + b*x^2)) - (3*(b*c - a*d)^2*(b*c + a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)*b^(5//2)), x, 4),
+((c + d*x^2)^3/(x^3*(a + b*x^2)^2), -c^3/(2*a^2*x^2) - (b*c - a*d)^3/(2*a^2*b^2*(a + b*x^2)) - (c^2*(2*b*c - 3*a*d)*log(x))/a^3 + ((b*c - a*d)^2*(2*b*c + a*d)*log(a + b*x^2))/(2*a^3*b^2), x, 3),
+((c + d*x^2)^3/(x^4*(a + b*x^2)^2), -((c^2*(5*b*c - 3*a*d))/(6*a^2*b*x^3)) + (c*(5*b^2*c^2 - 9*a*b*c*d + 2*a^2*d^2))/(2*a^3*b*x) + ((b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2)/(2*a*b*x^3*(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)^2*(5*b*c + a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(7//2)*b^(3//2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)), (a*x)/(2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) - (sqrt(a)*(3*b*c - a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(3//2)*(b*c - a*d)^2) + (c^(3//2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(sqrt(d)*(b*c - a*d)^2), x, 4),
+(x^3/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)), a/(2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) + (c*log(a + b*x^2))/(2*(b*c - a*d)^2) - (c*log(c + d*x^2))/(2*(b*c - a*d)^2), x, 3),
+(x^2/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)), -(x/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2))) + ((b*c + a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*sqrt(b)*(b*c - a*d)^2) - (sqrt(c)*sqrt(d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(b*c - a*d)^2, x, 4),
+(x^1/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)), -1/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) - (d*log(a + b*x^2))/(2*(b*c - a*d)^2) + (d*log(c + d*x^2))/(2*(b*c - a*d)^2), x, 3),
+(1/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)), (b*x)/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) + (sqrt(b)*(b*c - 3*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*(b*c - a*d)^2) + (d^(3//2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(sqrt(c)*(b*c - a*d)^2), x, 4),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)), b/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) + log(x)/(a^2*c) - (b*(b*c - 2*a*d)*log(a + b*x^2))/(2*a^2*(b*c - a*d)^2) - (d^2*log(c + d*x^2))/(2*c*(b*c - a*d)^2), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)), -((3*b*c - 2*a*d)/(2*a^2*c*(b*c - a*d)*x)) + b/(2*a*(b*c - a*d)*x*(a + b*x^2)) - (b^(3//2)*(3*b*c - 5*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)*(b*c - a*d)^2) - (d^(5//2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(c^(3//2)*(b*c - a*d)^2), x, 5),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)), -1/(2*a^2*c*x^2) - b^2/(2*a^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) - ((2*b*c + a*d)*log(x))/(a^3*c^2) + (b^2*(2*b*c - 3*a*d)*log(a + b*x^2))/(2*a^3*(b*c - a*d)^2) + (d^3*log(c + d*x^2))/(2*c^2*(b*c - a*d)^2), x, 3),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)), -((5*b*c - 2*a*d)/(6*a^2*c*(b*c - a*d)*x^3)) + (5*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d - 2*a^2*d^2)/(2*a^3*c^2*(b*c - a*d)*x) + b/(2*a*(b*c - a*d)*x^3*(a + b*x^2)) + (b^(5//2)*(5*b*c - 7*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(7//2)*(b*c - a*d)^2) + (d^(7//2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(c^(5//2)*(b*c - a*d)^2), x, 6),
+(1/(x^5*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)), -1/(4*a^2*c*x^4) + (2*b*c + a*d)/(2*a^3*c^2*x^2) + b^3/(2*a^3*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) + ((3*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*log(x))/(a^4*c^3) - (b^3*(3*b*c - 4*a*d)*log(a + b*x^2))/(2*a^4*(b*c - a*d)^2) - (d^4*log(c + d*x^2))/(2*c^3*(b*c - a*d)^2), x, 3),
+(1/(x^6*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)), -((7*b*c - 2*a*d)/(10*a^2*c*(b*c - a*d)*x^5)) + (7*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d - 2*a^2*d^2)/(6*a^3*c^2*(b*c - a*d)*x^3) - (7*b^3*c^3 - 2*a*b^2*c^2*d - 2*a^2*b*c*d^2 - 2*a^3*d^3)/(2*a^4*c^3*(b*c - a*d)*x) + b/(2*a*(b*c - a*d)*x^5*(a + b*x^2)) - (b^(7//2)*(7*b*c - 9*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(9//2)*(b*c - a*d)^2) - (d^(9//2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(c^(7//2)*(b*c - a*d)^2), x, 7),
+(1/(x^7*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)), -1/(6*a^2*c*x^6) + (2*b*c + a*d)/(4*a^3*c^2*x^4) - (3*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + a^2*d^2)/(2*a^4*c^3*x^2) - b^4/(2*a^4*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) - ((4*b^3*c^3 + 3*a*b^2*c^2*d + 2*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3)*log(x))/(a^5*c^4) + (b^4*(4*b*c - 5*a*d)*log(a + b*x^2))/(2*a^5*(b*c - a*d)^2) + (d^5*log(c + d*x^2))/(2*c^4*(b*c - a*d)^2), x, 3),
+
+
+(x^4/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2), ((b*c + a*d)*x)/(2*b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + (a*x)/(2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) - (sqrt(a)*(3*b*c + a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*sqrt(b)*(b*c - a*d)^3) + (sqrt(c)*(b*c + 3*a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*sqrt(d)*(b*c - a*d)^3), x, 5),
+(x^3/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2), a/(2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)) + c/(2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + ((b*c + a*d)*log(a + b*x^2))/(2*(b*c - a*d)^3) - ((b*c + a*d)*log(c + d*x^2))/(2*(b*c - a*d)^3), x, 3),
+(x^2/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2), -((d*x)/((b*c - a*d)^2*(c + d*x^2))) - x/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) + (sqrt(b)*(b*c + 3*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*(b*c - a*d)^3) - (sqrt(d)*(3*b*c + a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*sqrt(c)*(b*c - a*d)^3), x, 5),
+(x^1/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2), -b/(2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)) - d/(2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) - (b*d*log(a + b*x^2))/(b*c - a*d)^3 + (b*d*log(c + d*x^2))/(b*c - a*d)^3, x, 3),
+(1/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2), (d*(b*c + a*d)*x)/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + (b*x)/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) + (b^(3//2)*(b*c - 5*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*(b*c - a*d)^3) + (d^(3//2)*(5*b*c - a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*c^(3//2)*(b*c - a*d)^3), x, 5),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2), b^2/(2*a*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)) + d^2/(2*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + log(x)/(a^2*c^2) - (b^2*(b*c - 3*a*d)*log(a + b*x^2))/(2*a^2*(b*c - a*d)^3) - (d^2*(3*b*c - a*d)*log(c + d*x^2))/(2*c^2*(b*c - a*d)^3), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2), -((3*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)/(2*a^2*c^2*(b*c - a*d)^2*x)) + (d*(b*c + a*d))/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*x*(c + d*x^2)) + b/(2*a*(b*c - a*d)*x*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) - (b^(5//2)*(3*b*c - 7*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)*(b*c - a*d)^3) - (d^(5//2)*(7*b*c - 3*a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*c^(5//2)*(b*c - a*d)^3), x, 6),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2), -1/(2*a^2*c^2*x^2) - b^3/(2*a^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)) - d^3/(2*c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) - (2*(b*c + a*d)*log(x))/(a^3*c^3) + (b^3*(b*c - 2*a*d)*log(a + b*x^2))/(a^3*(b*c - a*d)^3) + (d^3*(2*b*c - a*d)*log(c + d*x^2))/(c^3*(b*c - a*d)^3), x, 3),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2), -((5*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)/(6*a^2*c^2*(b*c - a*d)^2*x^3)) + ((b*c + a*d)*(5*b^2*c^2 - 9*a*b*c*d + 5*a^2*d^2))/(2*a^3*c^3*(b*c - a*d)^2*x) + (d*(b*c + a*d))/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*x^3*(c + d*x^2)) + b/(2*a*(b*c - a*d)*x^3*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) + (b^(7//2)*(5*b*c - 9*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(7//2)*(b*c - a*d)^3) + (d^(7//2)*(9*b*c - 5*a*d)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(2*c^(7//2)*(b*c - a*d)^3), x, 7),
+
+
+(x^4/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3), ((b*c + 2*a*d)*x)/(4*b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^2) + (a*x)/(2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2) + (3*(b*c + 3*a*d)*x)/(8*(b*c - a*d)^3*(c + d*x^2)) - (3*sqrt(a)*sqrt(b)*(b*c + a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*(b*c - a*d)^4) + (3*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*sqrt(c)*sqrt(d)*(b*c - a*d)^4), x, 6),
+(x^3/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3), (a*b)/(2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x^2)) + c/(4*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^2) + (b*c + a*d)/(2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x^2)) + (b*(b*c + 2*a*d)*log(a + b*x^2))/(2*(b*c - a*d)^4) - (b*(b*c + 2*a*d)*log(c + d*x^2))/(2*(b*c - a*d)^4), x, 3),
+(x^2/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3), -((3*d*x)/(4*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^2)) - x/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2) - (d*(11*b*c + a*d)*x)/(8*c*(b*c - a*d)^3*(c + d*x^2)) + (b^(3//2)*(b*c + 5*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*(b*c - a*d)^4) - (sqrt(d)*(15*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d - a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*c^(3//2)*(b*c - a*d)^4), x, 6),
+(x^1/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3), -b^2/(2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x^2)) - d/(4*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^2) - (b*d)/((b*c - a*d)^3*(c + d*x^2)) - (3*b^2*d*log(a + b*x^2))/(2*(b*c - a*d)^4) + (3*b^2*d*log(c + d*x^2))/(2*(b*c - a*d)^4), x, 3),
+(1/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3), (d*(2*b*c + a*d)*x)/(4*a*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^2) + (b*x)/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2) + (d*(4*b*c - a*d)*(b*c + 3*a*d)*x)/(8*a*c^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x^2)) + (b^(5//2)*(b*c - 7*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*(b*c - a*d)^4) + (d^(3//2)*(35*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*c^(5//2)*(b*c - a*d)^4), x, 6),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3), b^3/(2*a*(b*c - a*d)^3*(a + b*x^2)) + d^2/(4*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^2) + (d^2*(3*b*c - a*d))/(2*c^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x^2)) + log(x)/(a^2*c^3) - (b^3*(b*c - 4*a*d)*log(a + b*x^2))/(2*a^2*(b*c - a*d)^4) - (d^2*(6*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*log(c + d*x^2))/(2*c^3*(b*c - a*d)^4), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3), -((3*(2*b*c - a*d)*(2*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + 5*a^2*d^2))/(8*a^2*c^3*(b*c - a*d)^3*x)) + (d*(2*b*c + a*d))/(4*a*c*(b*c - a*d)^2*x*(c + d*x^2)^2) + b/(2*a*(b*c - a*d)*x*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2) + (d*(4*b^2*c^2 + 13*a*b*c*d - 5*a^2*d^2))/(8*a*c^2*(b*c - a*d)^3*x*(c + d*x^2)) - (3*b^(7//2)*(b*c - 3*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)*(b*c - a*d)^4) - (3*d^(5//2)*(21*b^2*c^2 - 18*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*c^(7//2)*(b*c - a*d)^4), x, 7),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3), -1/(2*a^2*c^3*x^2) - b^4/(2*a^2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x^2)) - d^3/(4*c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^2) - (d^3*(2*b*c - a*d))/(c^3*(b*c - a*d)^3*(c + d*x^2)) - ((2*b*c + 3*a*d)*log(x))/(a^3*c^4) + (b^4*(2*b*c - 5*a*d)*log(a + b*x^2))/(2*a^3*(b*c - a*d)^4) + (d^3*(10*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*log(c + d*x^2))/(2*c^4*(b*c - a*d)^4), x, 3),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3), -((20*b^3*c^3 - 24*a*b^2*c^2*d + 75*a^2*b*c*d^2 - 35*a^3*d^3)/(24*a^2*c^3*(b*c - a*d)^3*x^3)) + (20*b^4*c^4 - 24*a*b^3*c^3*d - 24*a^2*b^2*c^2*d^2 + 75*a^3*b*c*d^3 - 35*a^4*d^4)/(8*a^3*c^4*(b*c - a*d)^3*x) + (d*(2*b*c + a*d))/(4*a*c*(b*c - a*d)^2*x^3*(c + d*x^2)^2) + b/(2*a*(b*c - a*d)*x^3*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2) + (d*(4*b^2*c^2 + 15*a*b*c*d - 7*a^2*d^2))/(8*a*c^2*(b*c - a*d)^3*x^3*(c + d*x^2)) + (b^(9//2)*(5*b*c - 11*a*d)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(7//2)*(b*c - a*d)^4) + (d^(7//2)*(99*b^2*c^2 - 110*a*b*c*d + 35*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)))/(8*c^(9//2)*(b*c - a*d)^4), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^p / (c+d x^2)^3
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q with m symbolic
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
+
+
+(x^m*(a + b*x^2)^3*(A + B*x^2), (a^3*A*x^(1 + m))/(1 + m) + (a^2*(3*A*b + a*B)*x^(3 + m))/(3 + m) + (3*a*b*(A*b + a*B)*x^(5 + m))/(5 + m) + (b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(7 + m))/(7 + m) + (b^3*B*x^(9 + m))/(9 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^2)^2*(A + B*x^2), (a^2*A*x^(1 + m))/(1 + m) + (a*(2*A*b + a*B)*x^(3 + m))/(3 + m) + (b*(A*b + 2*a*B)*x^(5 + m))/(5 + m) + (b^2*B*x^(7 + m))/(7 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^2)^1*(A + B*x^2), (a*A*x^(1 + m))/(1 + m) + ((A*b + a*B)*x^(3 + m))/(3 + m) + (b*B*x^(5 + m))/(5 + m), x, 2),
+(x^m*(A + B*x^2)/(a + b*x^2)^1, (B*x^(1 + m))/(b*(1 + m)) + ((A*b - a*B)*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*b*(1 + m)), x, 2),
+(x^m*(A + B*x^2)/(a + b*x^2)^2, ((A*b - a*B)*x^(1 + m))/(2*a*b*(a + b*x^2)) + ((a*B*(1 + m) + A*(b - b*m))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(2*a^2*b*(1 + m)), x, 2),
+(x^m*(A + B*x^2)/(a + b*x^2)^3, ((A*b - a*B)*x^(1 + m))/(4*a*b*(a + b*x^2)^2) + ((A*b*(3 - m) + a*B*(1 + m))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(4*a^3*b*(1 + m)), x, 2),
+
+
+(x^m*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3, (a^2*c^3*x^(1 + m))/(1 + m) + (a*c^2*(2*b*c + 3*a*d)*x^(3 + m))/(3 + m) + (c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^(5 + m))/(5 + m) + (d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(7 + m))/(7 + m) + (b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^(9 + m))/(9 + m) + (b^2*d^3*x^(11 + m))/(11 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2, (a^2*c^2*x^(1 + m))/(1 + m) + (2*a*c*(b*c + a*d)*x^(3 + m))/(3 + m) + ((b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(5 + m))/(5 + m) + (2*b*d*(b*c + a*d)*x^(7 + m))/(7 + m) + (b^2*d^2*x^(9 + m))/(9 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^1, (a^2*c*x^(1 + m))/(1 + m) + (a*(2*b*c + a*d)*x^(3 + m))/(3 + m) + (b*(b*c + 2*a*d)*x^(5 + m))/(5 + m) + (b^2*d*x^(7 + m))/(7 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^2)^2/(c + d*x^2)^1, -((b*(b*c - 2*a*d)*x^(1 + m))/(d^2*(1 + m))) + (b^2*x^(3 + m))/(d*(3 + m)) + ((b*c - a*d)^2*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(c*d^2*(1 + m)), x, 3),
+(x^m*(a + b*x^2)^2/(c + d*x^2)^2, (b^2*x^(1 + m))/(d^2*(1 + m)) + ((b*c - a*d)^2*x^(1 + m))/(2*c*d^2*(c + d*x^2)) - ((b*c - a*d)*(a*d*(1 - m) + b*c*(3 + m))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(2*c^2*d^2*(1 + m)), x, 3),
+(x^m*(a + b*x^2)^2/(c + d*x^2)^3, ((b*c - a*d)^2*x^(1 + m))/(4*c*d^2*(c + d*x^2)^2) - ((b*c - a*d)*(a*d*(3 - m) + b*c*(5 + m))*x^(1 + m))/(8*c^2*d^2*(c + d*x^2)) + ((2*a*b*c*d*(1 - m^2) + a^2*d^2*(3 - 4*m + m^2) + b^2*c^2*(3 + 4*m + m^2))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(8*c^3*d^2*(1 + m)), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+(x^m*(c + d*x^2)^3/(a + b*x^2), (d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(1 + m))/(b^3*(1 + m)) + (d^2*(3*b*c - a*d)*x^(3 + m))/(b^2*(3 + m)) + (d^3*x^(5 + m))/(b*(5 + m)) + ((b*c - a*d)^3*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*b^3*(1 + m)), x, 3),
+(x^m*(c + d*x^2)^2/(a + b*x^2), (d*(2*b*c - a*d)*x^(1 + m))/(b^2*(1 + m)) + (d^2*x^(3 + m))/(b*(3 + m)) + ((b*c - a*d)^2*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*b^2*(1 + m)), x, 3),
+(x^m*(c + d*x^2)^1/(a + b*x^2), (d*x^(1 + m))/(b*(1 + m)) + ((b*c - a*d)*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*b*(1 + m)), x, 2),
+(x^m/((a + b*x^2)^1*(c + d*x^2)), (b*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*(b*c - a*d)*(1 + m)) - (d*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(c*(b*c - a*d)*(1 + m)), x, 3),
+(x^m/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)), (b*x^(1 + m))/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) + (b*(b*c*(1 - m) - a*d*(3 - m))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(2*a^2*(b*c - a*d)^2*(1 + m)) + (d^2*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(c*(b*c - a*d)^2*(1 + m)), x, 5),
+(x^m/((a + b*x^2)^3*(c + d*x^2)), (b*x^(1 + m))/(4*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^2) + (b*(b*c*(3 - m) - a*d*(7 - m))*x^(1 + m))/(8*a^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)) + (b*(a^2*d^2*(15 - 8*m + m^2) - 2*a*b*c*d*(5 - 6*m + m^2) + b^2*c^2*(3 - 4*m + m^2))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(8*a^3*(b*c - a*d)^3*(1 + m)) - (d^3*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(c*(b*c - a*d)^3*(1 + m)), x, 6),
+
+
+(x^m*(c + d*x^2)^3/(a + b*x^2)^2, -((d*(2*b^2*c^2*(1 + m) - 3*a*b*c*d*(3 + m) + a^2*d^2*(5 + m))*x^(1 + m))/(2*a*b^3*(1 + m))) - (d^2*(b*c*(3 + m) - a*d*(5 + m))*x^(3 + m))/(2*a*b^2*(3 + m)) + ((b*c - a*d)*x^(1 + m)*(c + d*x^2)^2)/(2*a*b*(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)^2*(a*d*(5 + m) + b*(c - c*m))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(2*a^2*b^3*(1 + m)), x, 4),
+(x^m*(c + d*x^2)^2/(a + b*x^2)^2, (d^2*x^(1 + m))/(b^2*(1 + m)) + ((b*c - a*d)^2*x^(1 + m))/(2*a*b^2*(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)*(a*d*(3 + m) + b*(c - c*m))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(2*a^2*b^2*(1 + m)), x, 3),
+(x^m*(c + d*x^2)^1/(a + b*x^2)^2, ((b*c - a*d)*x^(1 + m))/(2*a*b*(a + b*x^2)) + ((a*d*(1 + m) + b*(c - c*m))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(2*a^2*b*(1 + m)), x, 2),
+(x^m/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^1), (b*x^(1 + m))/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) + (b*(b*c*(1 - m) - a*d*(3 - m))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(2*a^2*(b*c - a*d)^2*(1 + m)) + (d^2*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(c*(b*c - a*d)^2*(1 + m)), x, 5),
+(x^m/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2), (d*(b*c + a*d)*x^(1 + m))/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + (b*x^(1 + m))/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) - (b^2*(a*d*(5 - m) - b*(c - c*m))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(2*a^2*(b*c - a*d)^3*(1 + m)) - (d^2*(a*d*(1 - m) - b*c*(5 - m))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(2*c^2*(b*c - a*d)^3*(1 + m)), x, 6),
+(x^m/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3), (d*(2*b*c + a*d)*x^(1 + m))/(4*a*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^2) + (b*x^(1 + m))/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2) + (d*(4*b^2*c^2 - a^2*d^2*(3 - m) + a*b*c*d*(11 - m))*x^(1 + m))/(8*a*c^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x^2)) - (b^3*(a*d*(7 - m) - b*(c - c*m))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(2*a^2*(b*c - a*d)^4*(1 + m)) + (d^2*(b^2*c^2*(35 - 12*m + m^2) - 2*a*b*c*d*(7 - 8*m + m^2) + a^2*d^2*(3 - 4*m + m^2))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(8*c^3*(b*c - a*d)^4*(1 + m)), x, 7),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^2)^p (c+d x^2)^1
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(7//2)*(a + b*x^2)*(A + B*x^2), (2*a*A*x^(9//2))/9 + (2*(A*b + a*B)*x^(13//2))/13 + (2*b*B*x^(17//2))/17, x, 2),
+(x^(5//2)*(a + b*x^2)*(A + B*x^2), (2*a*A*x^(7//2))/7 + (2*(A*b + a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b*B*x^(15//2))/15, x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x^2)*(A + B*x^2), (2*a*A*x^(5//2))/5 + (2*(A*b + a*B)*x^(9//2))/9 + (2*b*B*x^(13//2))/13, x, 2),
+(sqrt(x)*(a + b*x^2)*(A + B*x^2), (2*a*A*x^(3//2))/3 + (2*(A*b + a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b*B*x^(11//2))/11, x, 2),
+(((a + b*x^2)*(A + B*x^2))/sqrt(x), 2*a*A*sqrt(x) + (2*(A*b + a*B)*x^(5//2))/5 + (2*b*B*x^(9//2))/9, x, 2),
+(((a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^(3//2), (-2*a*A)/sqrt(x) + (2*(A*b + a*B)*x^(3//2))/3 + (2*b*B*x^(7//2))/7, x, 2),
+(((a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^(5//2), (-2*a*A)/(3*x^(3//2)) + 2*(A*b + a*B)*sqrt(x) + (2*b*B*x^(5//2))/5, x, 2),
+(((a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^(7//2), (-2*a*A)/(5*x^(5//2)) - (2*(A*b + a*B))/sqrt(x) + (2*b*B*x^(3//2))/3, x, 2),
+
+
+(x^(7//2)*(a + b*x^2)^2*(A + B*x^2), (2*a^2*A*x^(9//2))/9 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(13//2))/13 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(17//2))/17 + (2*b^2*B*x^(21//2))/21, x, 2),
+(x^(5//2)*(a + b*x^2)^2*(A + B*x^2), (2*a^2*A*x^(7//2))/7 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(15//2))/15 + (2*b^2*B*x^(19//2))/19, x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x^2)^2*(A + B*x^2), (2*a^2*A*x^(5//2))/5 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(9//2))/9 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(13//2))/13 + (2*b^2*B*x^(17//2))/17, x, 2),
+(sqrt(x)*(a + b*x^2)^2*(A + B*x^2), (2*a^2*A*x^(3//2))/3 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b^2*B*x^(15//2))/15, x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(A + B*x^2))/sqrt(x), 2*a^2*A*sqrt(x) + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(5//2))/5 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(9//2))/9 + (2*b^2*B*x^(13//2))/13, x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(A + B*x^2))/x^(3//2), (-2*a^2*A)/sqrt(x) + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(3//2))/3 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b^2*B*x^(11//2))/11, x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(A + B*x^2))/x^(5//2), (-2*a^2*A)/(3*x^(3//2)) + 2*a*(2*A*b + a*B)*sqrt(x) + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(5//2))/5 + (2*b^2*B*x^(9//2))/9, x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(A + B*x^2))/x^(7//2), (-2*a^2*A)/(5*x^(5//2)) - (2*a*(2*A*b + a*B))/sqrt(x) + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(3//2))/3 + (2*b^2*B*x^(7//2))/7, x, 2),
+
+
+(x^(7//2)*(a + b*x^2)^3*(A + B*x^2), (2*a^3*A*x^(9//2))/9 + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(13//2))/13 + (6*a*b*(A*b + a*B)*x^(17//2))/17 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(21//2))/21 + (2*b^3*B*x^(25//2))/25, x, 2),
+(x^(5//2)*(a + b*x^2)^3*(A + B*x^2), (2*a^3*A*x^(7//2))/7 + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(11//2))/11 + (2*a*b*(A*b + a*B)*x^(15//2))/5 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(19//2))/19 + (2*b^3*B*x^(23//2))/23, x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x^2)^3*(A + B*x^2), (2*a^3*A*x^(5//2))/5 + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(9//2))/9 + (6*a*b*(A*b + a*B)*x^(13//2))/13 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(17//2))/17 + (2*b^3*B*x^(21//2))/21, x, 2),
+(sqrt(x)*(a + b*x^2)^3*(A + B*x^2), (2*a^3*A*x^(3//2))/3 + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(7//2))/7 + (6*a*b*(A*b + a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(15//2))/15 + (2*b^3*B*x^(19//2))/19, x, 2),
+(((a + b*x^2)^3*(A + B*x^2))/sqrt(x), 2*a^3*A*sqrt(x) + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(5//2))/5 + (2*a*b*(A*b + a*B)*x^(9//2))/3 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(13//2))/13 + (2*b^3*B*x^(17//2))/17, x, 2),
+(((a + b*x^2)^3*(A + B*x^2))/x^(3//2), (-2*a^3*A)/sqrt(x) + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(3//2))/3 + (6*a*b*(A*b + a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b^3*B*x^(15//2))/15, x, 2),
+(((a + b*x^2)^3*(A + B*x^2))/x^(5//2), (-2*a^3*A)/(3*x^(3//2)) + 2*a^2*(3*A*b + a*B)*sqrt(x) + (6*a*b*(A*b + a*B)*x^(5//2))/5 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(9//2))/9 + (2*b^3*B*x^(13//2))/13, x, 2),
+(((a + b*x^2)^3*(A + B*x^2))/x^(7//2), (-2*a^3*A)/(5*x^(5//2)) - (2*a^2*(3*A*b + a*B))/sqrt(x) + 2*a*b*(A*b + a*B)*x^(3//2) + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b^3*B*x^(11//2))/11, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2), -((2*a*(A*b - a*B)*sqrt(x))/b^3) + (2*(A*b - a*B)*x^(5//2))/(5*b^2) + (2*B*x^(9//2))/(9*b) - (a^(5//4)*(A*b - a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(13//4)) + (a^(5//4)*(A*b - a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(13//4)) - (a^(5//4)*(A*b - a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(13//4)) + (a^(5//4)*(A*b - a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(13//4)), x, 13),
+((x^(5//2)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2), (2*(A*b - a*B)*x^(3//2))/(3*b^2) + (2*B*x^(7//2))/(7*b) + (a^(3//4)*(A*b - a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(11//4)) - (a^(3//4)*(A*b - a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(11//4)) - (a^(3//4)*(A*b - a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(11//4)) + (a^(3//4)*(A*b - a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(11//4)), x, 12),
+((x^(3//2)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2), (2*(A*b - a*B)*sqrt(x))/b^2 + (2*B*x^(5//2))/(5*b) + (a^(1//4)*(A*b - a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(9//4)) - (a^(1//4)*(A*b - a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(9//4)) + (a^(1//4)*(A*b - a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(9//4)) - (a^(1//4)*(A*b - a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(9//4)), x, 12),
+((sqrt(x)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2), (2*B*x^(3//2))/(3*b) - ((A*b - a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(1//4)*b^(7//4)) + ((A*b - a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(1//4)*b^(7//4)) + ((A*b - a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(7//4)) - ((A*b - a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(7//4)), x, 11),
+((A + B*x^2)/(sqrt(x)*(a + b*x^2)), (2*B*sqrt(x))/b - ((A*b - a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) + ((A*b - a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) - ((A*b - a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) + ((A*b - a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)), x, 11),
+((A + B*x^2)/(x^(3//2)*(a + b*x^2)), -((2*A)/(a*sqrt(x))) + ((A*b - a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(5//4)*b^(3//4)) - ((A*b - a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(5//4)*b^(3//4)) - ((A*b - a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(3//4)) + ((A*b - a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(3//4)), x, 11),
+((A + B*x^2)/(x^(5//2)*(a + b*x^2)), -((2*A)/(3*a*x^(3//2))) + ((A*b - a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(7//4)*b^(1//4)) - ((A*b - a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(7//4)*b^(1//4)) + ((A*b - a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(1//4)) - ((A*b - a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(1//4)), x, 11),
+((A + B*x^2)/(x^(7//2)*(a + b*x^2)), -((2*A)/(5*a*x^(5//2))) + (2*(A*b - a*B))/(a^2*sqrt(x)) - (b^(1//4)*(A*b - a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(9//4)) + (b^(1//4)*(A*b - a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(9//4)) + (b^(1//4)*(A*b - a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)) - (b^(1//4)*(A*b - a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)), x, 12),
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^2, ((5*A*b - 9*a*B)*sqrt(x))/(2*b^3) - ((5*A*b - 9*a*B)*x^(5//2))/(10*a*b^2) + ((A*b - a*B)*x^(9//2))/(2*a*b*(a + b*x^2)) + (a^(1//4)*(5*A*b - 9*a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(13//4)) - (a^(1//4)*(5*A*b - 9*a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(13//4)) + (a^(1//4)*(5*A*b - 9*a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*b^(13//4)) - (a^(1//4)*(5*A*b - 9*a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*b^(13//4)), x, 13),
+((x^(5//2)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^2, -(((3*A*b - 7*a*B)*x^(3//2))/(6*a*b^2)) + ((A*b - a*B)*x^(7//2))/(2*a*b*(a + b*x^2)) - ((3*A*b - 7*a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(11//4)) + ((3*A*b - 7*a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(11//4)) + ((3*A*b - 7*a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(11//4)) - ((3*A*b - 7*a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(11//4)), x, 12),
+((x^(3//2)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^2, -(((A*b - 5*a*B)*sqrt(x))/(2*a*b^2)) + ((A*b - a*B)*x^(5//2))/(2*a*b*(a + b*x^2)) - ((A*b - 5*a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(9//4)) + ((A*b - 5*a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(9//4)) - ((A*b - 5*a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(9//4)) + ((A*b - 5*a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(9//4)), x, 12),
+((sqrt(x)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^2, ((A*b - a*B)*x^(3//2))/(2*a*b*(a + b*x^2)) - ((A*b + 3*a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(7//4)) + ((A*b + 3*a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(7//4)) + ((A*b + 3*a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(7//4)) - ((A*b + 3*a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(7//4)), x, 11),
+((A + B*x^2)/(sqrt(x)*(a + b*x^2)^2), ((A*b - a*B)*sqrt(x))/(2*a*b*(a + b*x^2)) - ((3*A*b + a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)) + ((3*A*b + a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)) - ((3*A*b + a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)) + ((3*A*b + a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)), x, 11),
+((A + B*x^2)/(x^(3//2)*(a + b*x^2)^2), -((5*A*b - a*B)/(2*a^2*b*sqrt(x))) + (A*b - a*B)/(2*a*b*sqrt(x)*(a + b*x^2)) + ((5*A*b - a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(3//4)) - ((5*A*b - a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(3//4)) - ((5*A*b - a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(3//4)) + ((5*A*b - a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(3//4)), x, 12),
+((A + B*x^2)/(x^(5//2)*(a + b*x^2)^2), -((7*A*b - 3*a*B)/(6*a^2*b*x^(3//2))) + (A*b - a*B)/(2*a*b*x^(3//2)*(a + b*x^2)) + ((7*A*b - 3*a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(1//4)) - ((7*A*b - 3*a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(1//4)) + ((7*A*b - 3*a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(1//4)) - ((7*A*b - 3*a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(1//4)), x, 12),
+((A + B*x^2)/(x^(7//2)*(a + b*x^2)^2), -((9*A*b - 5*a*B)/(10*a^2*b*x^(5//2))) + (9*A*b - 5*a*B)/(2*a^3*sqrt(x)) + (A*b - a*B)/(2*a*b*x^(5//2)*(a + b*x^2)) - (b^(1//4)*(9*A*b - 5*a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(13//4)) + (b^(1//4)*(9*A*b - 5*a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(13//4)) + (b^(1//4)*(9*A*b - 5*a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(13//4)) - (b^(1//4)*(9*A*b - 5*a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(13//4)), x, 13),
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^3, -((5*(A*b - 9*a*B)*sqrt(x))/(16*a*b^3)) + ((A*b - a*B)*x^(9//2))/(4*a*b*(a + b*x^2)^2) + ((A*b - 9*a*B)*x^(5//2))/(16*a*b^2*(a + b*x^2)) - (5*(A*b - 9*a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(13//4)) + (5*(A*b - 9*a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(13//4)) - (5*(A*b - 9*a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(13//4)) + (5*(A*b - 9*a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(13//4)), x, 13),
+((x^(5//2)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^3, ((A*b - a*B)*x^(7//2))/(4*a*b*(a + b*x^2)^2) - ((A*b + 7*a*B)*x^(3//2))/(16*a*b^2*(a + b*x^2)) - (3*(A*b + 7*a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(11//4)) + (3*(A*b + 7*a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(11//4)) + (3*(A*b + 7*a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(11//4)) - (3*(A*b + 7*a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(11//4)), x, 12),
+((x^(3//2)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^3, ((A*b - a*B)*x^(5//2))/(4*a*b*(a + b*x^2)^2) - ((3*A*b + 5*a*B)*sqrt(x))/(16*a*b^2*(a + b*x^2)) - ((3*A*b + 5*a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(9//4)) + ((3*A*b + 5*a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(9//4)) - ((3*A*b + 5*a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(9//4)) + ((3*A*b + 5*a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(9//4)), x, 12),
+((sqrt(x)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^3, ((A*b - a*B)*x^(3//2))/(4*a*b*(a + b*x^2)^2) + ((5*A*b + 3*a*B)*x^(3//2))/(16*a^2*b*(a + b*x^2)) - ((5*A*b + 3*a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(7//4)) + ((5*A*b + 3*a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(7//4)) + ((5*A*b + 3*a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(7//4)) - ((5*A*b + 3*a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(7//4)), x, 12),
+((A + B*x^2)/(sqrt(x)*(a + b*x^2)^3), ((A*b - a*B)*sqrt(x))/(4*a*b*(a + b*x^2)^2) + ((7*A*b + a*B)*sqrt(x))/(16*a^2*b*(a + b*x^2)) - (3*(7*A*b + a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)) + (3*(7*A*b + a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)) - (3*(7*A*b + a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)) + (3*(7*A*b + a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)), x, 12),
+((A + B*x^2)/(x^(3//2)*(a + b*x^2)^3), -((5*(9*A*b - a*B))/(16*a^3*b*sqrt(x))) + (A*b - a*B)/(4*a*b*sqrt(x)*(a + b*x^2)^2) + (9*A*b - a*B)/(16*a^2*b*sqrt(x)*(a + b*x^2)) + (5*(9*A*b - a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(3//4)) - (5*(9*A*b - a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(3//4)) - (5*(9*A*b - a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(3//4)) + (5*(9*A*b - a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(3//4)), x, 13),
+((A + B*x^2)/(x^(5//2)*(a + b*x^2)^3), -((7*(11*A*b - 3*a*B))/(48*a^3*b*x^(3//2))) + (A*b - a*B)/(4*a*b*x^(3//2)*(a + b*x^2)^2) + (11*A*b - 3*a*B)/(16*a^2*b*x^(3//2)*(a + b*x^2)) + (7*(11*A*b - 3*a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(1//4)) - (7*(11*A*b - 3*a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(1//4)) + (7*(11*A*b - 3*a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(1//4)) - (7*(11*A*b - 3*a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(1//4)), x, 13),
+((A + B*x^2)/(x^(7//2)*(a + b*x^2)^3), -((9*(13*A*b - 5*a*B))/(80*a^3*b*x^(5//2))) + (9*(13*A*b - 5*a*B))/(16*a^4*sqrt(x)) + (A*b - a*B)/(4*a*b*x^(5//2)*(a + b*x^2)^2) + (13*A*b - 5*a*B)/(16*a^2*b*x^(5//2)*(a + b*x^2)) - (9*b^(1//4)*(13*A*b - 5*a*B)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(17//4)) + (9*b^(1//4)*(13*A*b - 5*a*B)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(17//4)) + (9*b^(1//4)*(13*A*b - 5*a*B)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(17//4)) - (9*b^(1//4)*(13*A*b - 5*a*B)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(64*sqrt(2)*a^(17//4)), x, 14),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^2)^p (c+d x^2)^2
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(7//2)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2), (2*a^2*c*x^(9//2))/9 + (2*a*(2*b*c + a*d)*x^(13//2))/13 + (2*b*(b*c + 2*a*d)*x^(17//2))/17 + (2*b^2*d*x^(21//2))/21, x, 2),
+(x^(5//2)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2), (2*a^2*c*x^(7//2))/7 + (2*a*(2*b*c + a*d)*x^(11//2))/11 + (2*b*(b*c + 2*a*d)*x^(15//2))/15 + (2*b^2*d*x^(19//2))/19, x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2), (2*a^2*c*x^(5//2))/5 + (2*a*(2*b*c + a*d)*x^(9//2))/9 + (2*b*(b*c + 2*a*d)*x^(13//2))/13 + (2*b^2*d*x^(17//2))/17, x, 2),
+(sqrt(x)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2), (2*a^2*c*x^(3//2))/3 + (2*a*(2*b*c + a*d)*x^(7//2))/7 + (2*b*(b*c + 2*a*d)*x^(11//2))/11 + (2*b^2*d*x^(15//2))/15, x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2))/sqrt(x), 2*a^2*c*sqrt(x) + (2*a*(2*b*c + a*d)*x^(5//2))/5 + (2*b*(b*c + 2*a*d)*x^(9//2))/9 + (2*b^2*d*x^(13//2))/13, x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2))/x^(3//2), (-2*a^2*c)/sqrt(x) + (2*a*(2*b*c + a*d)*x^(3//2))/3 + (2*b*(b*c + 2*a*d)*x^(7//2))/7 + (2*b^2*d*x^(11//2))/11, x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2))/x^(5//2), (-2*a^2*c)/(3*x^(3//2)) + 2*a*(2*b*c + a*d)*sqrt(x) + (2*b*(b*c + 2*a*d)*x^(5//2))/5 + (2*b^2*d*x^(9//2))/9, x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2))/x^(7//2), (-2*a^2*c)/(5*x^(5//2)) - (2*a*(2*b*c + a*d))/sqrt(x) + (2*b*(b*c + 2*a*d)*x^(3//2))/3 + (2*b^2*d*x^(7//2))/7, x, 2),
+
+
+(x^(7//2)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2, (2//9)*a^2*c^2*x^(9//2) + (4//13)*a*c*(b*c + a*d)*x^(13//2) + (2//17)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(17//2) + (4//21)*b*d*(b*c + a*d)*x^(21//2) + (2//25)*b^2*d^2*x^(25//2), x, 2),
+(x^(5//2)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2, (2//7)*a^2*c^2*x^(7//2) + (4//11)*a*c*(b*c + a*d)*x^(11//2) + (2//15)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(15//2) + (4//19)*b*d*(b*c + a*d)*x^(19//2) + (2//23)*b^2*d^2*x^(23//2), x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2, (2//5)*a^2*c^2*x^(5//2) + (4//9)*a*c*(b*c + a*d)*x^(9//2) + (2//13)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(13//2) + (4//17)*b*d*(b*c + a*d)*x^(17//2) + (2//21)*b^2*d^2*x^(21//2), x, 2),
+(sqrt(x)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2, (2//3)*a^2*c^2*x^(3//2) + (4//7)*a*c*(b*c + a*d)*x^(7//2) + (2//11)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(11//2) + (4//15)*b*d*(b*c + a*d)*x^(15//2) + (2//19)*b^2*d^2*x^(19//2), x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2)/sqrt(x), 2*a^2*c^2*sqrt(x) + (4//5)*a*c*(b*c + a*d)*x^(5//2) + (2//9)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(9//2) + (4//13)*b*d*(b*c + a*d)*x^(13//2) + (2//17)*b^2*d^2*x^(17//2), x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2)/x^(3//2), -((2*a^2*c^2)/sqrt(x)) + (4//3)*a*c*(b*c + a*d)*x^(3//2) + (2//7)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(7//2) + (4//11)*b*d*(b*c + a*d)*x^(11//2) + (2//15)*b^2*d^2*x^(15//2), x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2)/x^(5//2), -((2*a^2*c^2)/(3*x^(3//2))) + 4*a*c*(b*c + a*d)*sqrt(x) + (2//5)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(5//2) + (4//9)*b*d*(b*c + a*d)*x^(9//2) + (2//13)*b^2*d^2*x^(13//2), x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2)/x^(7//2), -((2*a^2*c^2)/(5*x^(5//2))) - (4*a*c*(b*c + a*d))/sqrt(x) + (2//3)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(3//2) + (4//7)*b*d*(b*c + a*d)*x^(7//2) + (2//11)*b^2*d^2*x^(11//2), x, 2),
+
+
+(x^(7//2)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3, (2//9)*a^2*c^3*x^(9//2) + (2//13)*a*c^2*(2*b*c + 3*a*d)*x^(13//2) + (2//17)*c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^(17//2) + (2//21)*d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(21//2) + (2//25)*b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^(25//2) + (2//29)*b^2*d^3*x^(29//2), x, 2),
+(x^(5//2)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3, (2//7)*a^2*c^3*x^(7//2) + (2//11)*a*c^2*(2*b*c + 3*a*d)*x^(11//2) + (2//15)*c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^(15//2) + (2//19)*d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(19//2) + (2//23)*b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^(23//2) + (2//27)*b^2*d^3*x^(27//2), x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3, (2//5)*a^2*c^3*x^(5//2) + (2//9)*a*c^2*(2*b*c + 3*a*d)*x^(9//2) + (2//13)*c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^(13//2) + (2//17)*d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(17//2) + (2//21)*b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^(21//2) + (2//25)*b^2*d^3*x^(25//2), x, 2),
+(sqrt(x)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3, (2//3)*a^2*c^3*x^(3//2) + (2//7)*a*c^2*(2*b*c + 3*a*d)*x^(7//2) + (2//11)*c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^(11//2) + (2//15)*d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(15//2) + (2//19)*b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^(19//2) + (2//23)*b^2*d^3*x^(23//2), x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3)/sqrt(x), 2*a^2*c^3*sqrt(x) + (2//5)*a*c^2*(2*b*c + 3*a*d)*x^(5//2) + (2//9)*c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^(9//2) + (2//13)*d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(13//2) + (2//17)*b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^(17//2) + (2//21)*b^2*d^3*x^(21//2), x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3)/x^(3//2), -((2*a^2*c^3)/sqrt(x)) + (2//3)*a*c^2*(2*b*c + 3*a*d)*x^(3//2) + (2//7)*c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^(7//2) + (2//11)*d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(11//2) + (2//15)*b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^(15//2) + (2//19)*b^2*d^3*x^(19//2), x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3)/x^(5//2), -((2*a^2*c^3)/(3*x^(3//2))) + 2*a*c^2*(2*b*c + 3*a*d)*sqrt(x) + (2//5)*c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^(5//2) + (2//9)*d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(9//2) + (2//13)*b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^(13//2) + (2//17)*b^2*d^3*x^(17//2), x, 2),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3)/x^(7//2), -((2*a^2*c^3)/(5*x^(5//2))) - (2*a*c^2*(2*b*c + 3*a*d))/sqrt(x) + (2//3)*c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^(3//2) + (2//7)*d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(7//2) + (2//11)*b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^(11//2) + (2//15)*b^2*d^3*x^(15//2), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^(7//2)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2), -((2*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(x))/d^4) + (2*(b*c - a*d)^2*x^(5//2))/(5*d^3) - (2*b*(b*c - 2*a*d)*x^(9//2))/(9*d^2) + (2*b^2*x^(13//2))/(13*d) - (c^(5//4)*(b*c - a*d)^2*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*d^(17//4)) + (c^(5//4)*(b*c - a*d)^2*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*d^(17//4)) - (c^(5//4)*(b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*d^(17//4)) + (c^(5//4)*(b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*d^(17//4)), x, 14),
+((x^(5//2)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2), (2*(b*c - a*d)^2*x^(3//2))/(3*d^3) - (2*b*(b*c - 2*a*d)*x^(7//2))/(7*d^2) + (2*b^2*x^(11//2))/(11*d) + (c^(3//4)*(b*c - a*d)^2*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*d^(15//4)) - (c^(3//4)*(b*c - a*d)^2*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*d^(15//4)) - (c^(3//4)*(b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*d^(15//4)) + (c^(3//4)*(b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*d^(15//4)), x, 13),
+((x^(3//2)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2), (2*(b*c - a*d)^2*sqrt(x))/d^3 - (2*b*(b*c - 2*a*d)*x^(5//2))/(5*d^2) + (2*b^2*x^(9//2))/(9*d) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*d^(13//4)) - (c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*d^(13//4)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*d^(13//4)) - (c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*d^(13//4)), x, 13),
+((sqrt(x)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2), -((2*b*(b*c - 2*a*d)*x^(3//2))/(3*d^2)) + (2*b^2*x^(7//2))/(7*d) - ((b*c - a*d)^2*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(1//4)*d^(11//4)) + ((b*c - a*d)^2*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(1//4)*d^(11//4)) + ((b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(1//4)*d^(11//4)) - ((b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(1//4)*d^(11//4)), x, 12),
+((a + b*x^2)^2/(sqrt(x)*(c + d*x^2)), -((2*b*(b*c - 2*a*d)*sqrt(x))/d^2) + (2*b^2*x^(5//2))/(5*d) - ((b*c - a*d)^2*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(3//4)*d^(9//4)) + ((b*c - a*d)^2*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(3//4)*d^(9//4)) - ((b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(9//4)) + ((b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(9//4)), x, 12),
+((a + b*x^2)^2/(x^(3//2)*(c + d*x^2)), -((2*a^2)/(c*sqrt(x))) + (2*b^2*x^(3//2))/(3*d) + ((b*c - a*d)^2*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(5//4)*d^(7//4)) - ((b*c - a*d)^2*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(5//4)*d^(7//4)) - ((b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(5//4)*d^(7//4)) + ((b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(5//4)*d^(7//4)), x, 12),
+((a + b*x^2)^2/(x^(5//2)*(c + d*x^2)), -((2*a^2)/(3*c*x^(3//2))) + (2*b^2*sqrt(x))/d + ((b*c - a*d)^2*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(7//4)*d^(5//4)) - ((b*c - a*d)^2*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(7//4)*d^(5//4)) + ((b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(5//4)) - ((b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(5//4)), x, 12),
+((a + b*x^2)^2/(x^(7//2)*(c + d*x^2)), -((2*a^2)/(5*c*x^(5//2))) - (2*a*(2*b*c - a*d))/(c^2*sqrt(x)) - ((b*c - a*d)^2*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(9//4)*d^(3//4)) + ((b*c - a*d)^2*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(9//4)*d^(3//4)) + ((b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(9//4)*d^(3//4)) - ((b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(9//4)*d^(3//4)), x, 12),
+((a + b*x^2)^2/(x^(9//2)*(c + d*x^2)), -((2*a^2)/(7*c*x^(7//2))) - (2*a*(2*b*c - a*d))/(3*c^2*x^(3//2)) - ((b*c - a*d)^2*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(11//4)*d^(1//4)) + ((b*c - a*d)^2*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(11//4)*d^(1//4)) - ((b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(11//4)*d^(1//4)) + ((b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(11//4)*d^(1//4)), x, 12),
+((c + d*x^2)^2/(x^(11//2)*(a + b*x^2)), -((2*c^2)/(9*a*x^(9//2))) + (2*c*(b*c - 2*a*d))/(5*a^2*x^(5//2)) - (2*(b*c - a*d)^2)/(a^3*sqrt(x)) + (b^(1//4)*(b*c - a*d)^2*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(13//4)) - (b^(1//4)*(b*c - a*d)^2*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(13//4)) - (b^(1//4)*(b*c - a*d)^2*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(13//4)) + (b^(1//4)*(b*c - a*d)^2*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(13//4)), x, 13),
+
+
+((x^(7//2)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^2, ((13*b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(x))/(2*d^4) - ((13*b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)*x^(5//2))/(10*c*d^3) + (2*b^2*x^(9//2))/(9*d^2) + ((b*c - a*d)^2*x^(9//2))/(2*c*d^2*(c + d*x^2)) + (c^(1//4)*(13*b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*d^(17//4)) - (c^(1//4)*(13*b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*d^(17//4)) + (c^(1//4)*(13*b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*d^(17//4)) - (c^(1//4)*(13*b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*d^(17//4)), x, 14),
+((x^(5//2)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^2, -(((11*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*x^(3//2))/(6*c*d^3)) + (2*b^2*x^(7//2))/(7*d^2) + ((b*c - a*d)^2*x^(7//2))/(2*c*d^2*(c + d*x^2)) - ((11*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(1//4)*d^(15//4)) + ((11*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(1//4)*d^(15//4)) + ((11*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(1//4)*d^(15//4)) - ((11*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(1//4)*d^(15//4)), x, 13),
+((x^(3//2)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^2, -(((b*c - a*d)*(9*b*c - a*d)*sqrt(x))/(2*c*d^3)) + (2*b^2*x^(5//2))/(5*d^2) + ((b*c - a*d)^2*x^(5//2))/(2*c*d^2*(c + d*x^2)) - ((b*c - a*d)*(9*b*c - a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(13//4)) + ((b*c - a*d)*(9*b*c - a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(13//4)) - ((b*c - a*d)*(9*b*c - a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(13//4)) + ((b*c - a*d)*(9*b*c - a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(13//4)), x, 13),
+((sqrt(x)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^2, (2*b^2*x^(3//2))/(3*d^2) + ((b*c - a*d)^2*x^(3//2))/(2*c*d^2*(c + d*x^2)) + ((b*c - a*d)*(7*b*c + a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(5//4)*d^(11//4)) - ((b*c - a*d)*(7*b*c + a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(5//4)*d^(11//4)) - ((b*c - a*d)*(7*b*c + a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(5//4)*d^(11//4)) + ((b*c - a*d)*(7*b*c + a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(5//4)*d^(11//4)), x, 12),
+((a + b*x^2)^2/(sqrt(x)*(c + d*x^2)^2), (2*b^2*sqrt(x))/d^2 + ((b*c - a*d)^2*sqrt(x))/(2*c*d^2*(c + d*x^2)) + ((b*c - a*d)*(5*b*c + 3*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(9//4)) - ((b*c - a*d)*(5*b*c + 3*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(9//4)) + ((b*c - a*d)*(5*b*c + 3*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(9//4)) - ((b*c - a*d)*(5*b*c + 3*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(9//4)), x, 12),
+((a + b*x^2)^2/(x^(3//2)*(c + d*x^2)^2), -((2*a^2)/(c*sqrt(x)*(c + d*x^2))) - ((b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*x^(3//2))/(2*c^2*d*(c + d*x^2)) - ((b*c - a*d)*(3*b*c + 5*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(9//4)*d^(7//4)) + ((b*c - a*d)*(3*b*c + 5*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(9//4)*d^(7//4)) + ((b*c - a*d)*(3*b*c + 5*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(9//4)*d^(7//4)) - ((b*c - a*d)*(3*b*c + 5*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(9//4)*d^(7//4)), x, 12),
+((a + b*x^2)^2/(x^(5//2)*(c + d*x^2)^2), -((2*a^2)/(3*c*x^(3//2)*(c + d*x^2))) - ((3*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*sqrt(x))/(6*c^2*d*(c + d*x^2)) - ((b*c - a*d)*(b*c + 7*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(11//4)*d^(5//4)) + ((b*c - a*d)*(b*c + 7*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(11//4)*d^(5//4)) - ((b*c - a*d)*(b*c + 7*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(11//4)*d^(5//4)) + ((b*c - a*d)*(b*c + 7*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(11//4)*d^(5//4)), x, 12),
+((a + b*x^2)^2/(x^(7//2)*(c + d*x^2)^2), ((b*c - 9*a*d)*(b*c - a*d))/(2*c^3*d*sqrt(x)) - (2*a^2)/(5*c*x^(5//2)*(c + d*x^2)) - (5*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 9*a^2*d^2)/(10*c^2*d*sqrt(x)*(c + d*x^2)) - ((b*c - 9*a*d)*(b*c - a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(13//4)*d^(3//4)) + ((b*c - 9*a*d)*(b*c - a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(13//4)*d^(3//4)) + ((b*c - 9*a*d)*(b*c - a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(13//4)*d^(3//4)) - ((b*c - 9*a*d)*(b*c - a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(13//4)*d^(3//4)), x, 13),
+
+
+((x^(7//2)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^3, -(((117*b^2*c^2 - 90*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*sqrt(x))/(16*c*d^4)) + ((117*b^2*c^2 - 90*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*x^(5//2))/(80*c^2*d^3) + ((b*c - a*d)^2*x^(9//2))/(4*c*d^2*(c + d*x^2)^2) - ((b*c - a*d)*(17*b*c - a*d)*x^(9//2))/(16*c^2*d^2*(c + d*x^2)) - ((117*b^2*c^2 - 90*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(17//4)) + ((117*b^2*c^2 - 90*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(17//4)) - ((117*b^2*c^2 - 90*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(17//4)) + ((117*b^2*c^2 - 90*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(17//4)), x, 14),
+((x^(5//2)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^3, -(((42*a*b - (77*b^2*c)/d + (3*a^2*d)/c)*x^(3//2))/(48*c*d^2)) + ((b*c - a*d)^2*x^(7//2))/(4*c*d^2*(c + d*x^2)^2) - ((b*c - a*d)*(15*b*c + a*d)*x^(7//2))/(16*c^2*d^2*(c + d*x^2)) + ((77*b^2*c^2 - 42*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(5//4)*d^(15//4)) - ((77*b^2*c^2 - 42*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(5//4)*d^(15//4)) - ((77*b^2*c^2 - 42*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(5//4)*d^(15//4)) + ((77*b^2*c^2 - 42*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(5//4)*d^(15//4)), x, 13),
+((x^(3//2)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^3, -(((10*a*b - (45*b^2*c)/d + (3*a^2*d)/c)*sqrt(x))/(16*c*d^2)) + ((b*c - a*d)^2*x^(5//2))/(4*c*d^2*(c + d*x^2)^2) - ((b*c - a*d)*(13*b*c + 3*a*d)*x^(5//2))/(16*c^2*d^2*(c + d*x^2)) + ((45*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(13//4)) - ((45*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(13//4)) + ((45*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(13//4)) - ((45*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(13//4)), x, 13),
+((sqrt(x)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^3, ((b*c - a*d)^2*x^(3//2))/(4*c*d^2*(c + d*x^2)^2) - ((b*c - a*d)*(11*b*c + 5*a*d)*x^(3//2))/(16*c^2*d^2*(c + d*x^2)) - ((21*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(9//4)*d^(11//4)) + ((21*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(9//4)*d^(11//4)) + ((21*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(9//4)*d^(11//4)) - ((21*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(9//4)*d^(11//4)), x, 12),
+((a + b*x^2)^2/(sqrt(x)*(c + d*x^2)^3), ((b*c - a*d)^2*sqrt(x))/(4*c*d^2*(c + d*x^2)^2) - ((b*c - a*d)*(9*b*c + 7*a*d)*sqrt(x))/(16*c^2*d^2*(c + d*x^2)) - ((5*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(11//4)*d^(9//4)) + ((5*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(11//4)*d^(9//4)) - ((5*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(11//4)*d^(9//4)) + ((5*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(11//4)*d^(9//4)), x, 12),
+((a + b*x^2)^2/(x^(3//2)*(c + d*x^2)^3), -((2*a^2)/(c*sqrt(x)*(c + d*x^2)^2)) - ((b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 9*a^2*d^2)*x^(3//2))/(4*c^2*d*(c + d*x^2)^2) + ((3*b^2*c^2 + 5*a*d*(2*b*c - 9*a*d))*x^(3//2))/(16*c^3*d*(c + d*x^2)) - ((3*b^2*c^2 + 5*a*d*(2*b*c - 9*a*d))*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(13//4)*d^(7//4)) + ((3*b^2*c^2 + 5*a*d*(2*b*c - 9*a*d))*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(13//4)*d^(7//4)) + ((3*b^2*c^2 + 5*a*d*(2*b*c - 9*a*d))*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(13//4)*d^(7//4)) - ((3*b^2*c^2 + 5*a*d*(2*b*c - 9*a*d))*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(13//4)*d^(7//4)), x, 13),
+((a + b*x^2)^2/(x^(5//2)*(c + d*x^2)^3), -((2*a^2)/(3*c*x^(3//2)*(c + d*x^2)^2)) - ((3*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 11*a^2*d^2)*sqrt(x))/(12*c^2*d*(c + d*x^2)^2) + ((3*b^2*c^2 + 7*a*d*(6*b*c - 11*a*d))*sqrt(x))/(48*c^3*d*(c + d*x^2)) - ((3*b^2*c^2 + 7*a*d*(6*b*c - 11*a*d))*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(15//4)*d^(5//4)) + ((3*b^2*c^2 + 7*a*d*(6*b*c - 11*a*d))*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(15//4)*d^(5//4)) - ((3*b^2*c^2 + 7*a*d*(6*b*c - 11*a*d))*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(15//4)*d^(5//4)) + ((3*b^2*c^2 + 7*a*d*(6*b*c - 11*a*d))*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(15//4)*d^(5//4)), x, 13),
+((a + b*x^2)^2/(x^(7//2)*(c + d*x^2)^3), (5*b^2*c^2 - 9*a*d*(10*b*c - 13*a*d))/(16*c^4*d*sqrt(x)) - (2*a^2)/(5*c*x^(5//2)*(c + d*x^2)^2) - (5*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 13*a^2*d^2)/(20*c^2*d*sqrt(x)*(c + d*x^2)^2) - (5*b^2*c^2 - 9*a*d*(10*b*c - 13*a*d))/(80*c^3*d*sqrt(x)*(c + d*x^2)) - ((5*b^2*c^2 - 9*a*d*(10*b*c - 13*a*d))*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(17//4)*d^(3//4)) + ((5*b^2*c^2 - 9*a*d*(10*b*c - 13*a*d))*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(17//4)*d^(3//4)) + ((5*b^2*c^2 - 9*a*d*(10*b*c - 13*a*d))*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(17//4)*d^(3//4)) - ((5*b^2*c^2 - 9*a*d*(10*b*c - 13*a*d))*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(17//4)*d^(3//4)), x, 14),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^2)^p (c+d x^2)^3
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+((x^(5//2)*(c + d*x^2)^3)/(a + b*x^2), (2*(b*c - a*d)^3*x^(3//2))/(3*b^4) + (2*d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(7//2))/(7*b^3) + (2*d^2*(3*b*c - a*d)*x^(11//2))/(11*b^2) + (2*d^3*x^(15//2))/(15*b) + (a^(3//4)*(b*c - a*d)^3*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(19//4)) - (a^(3//4)*(b*c - a*d)^3*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(19//4)) - (a^(3//4)*(b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(19//4)) + (a^(3//4)*(b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(19//4)), x, 13),
+((x^(3//2)*(c + d*x^2)^3)/(a + b*x^2), (2*(b*c - a*d)^3*sqrt(x))/b^4 + (2*d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(5//2))/(5*b^3) + (2*d^2*(3*b*c - a*d)*x^(9//2))/(9*b^2) + (2*d^3*x^(13//2))/(13*b) + (a^(1//4)*(b*c - a*d)^3*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(17//4)) - (a^(1//4)*(b*c - a*d)^3*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(17//4)) + (a^(1//4)*(b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(17//4)) - (a^(1//4)*(b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(17//4)), x, 13),
+((sqrt(x)*(c + d*x^2)^3)/(a + b*x^2), (2*d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^(3//2))/(3*b^3) + (2*d^2*(3*b*c - a*d)*x^(7//2))/(7*b^2) + (2*d^3*x^(11//2))/(11*b) - ((b*c - a*d)^3*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(1//4)*b^(15//4)) + ((b*c - a*d)^3*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(1//4)*b^(15//4)) + ((b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(15//4)) - ((b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(15//4)), x, 12),
+((c + d*x^2)^3/(sqrt(x)*(a + b*x^2)), (2*d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*sqrt(x))/b^3 + (2*d^2*(3*b*c - a*d)*x^(5//2))/(5*b^2) + (2*d^3*x^(9//2))/(9*b) - ((b*c - a*d)^3*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(3//4)*b^(13//4)) + ((b*c - a*d)^3*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(3//4)*b^(13//4)) - ((b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(13//4)) + ((b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(13//4)), x, 12),
+((c + d*x^2)^3/(x^(3//2)*(a + b*x^2)), -((2*c^3)/(a*sqrt(x))) + (2*d^2*(3*b*c - a*d)*x^(3//2))/(3*b^2) + (2*d^3*x^(7//2))/(7*b) + ((b*c - a*d)^3*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(5//4)*b^(11//4)) - ((b*c - a*d)^3*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(5//4)*b^(11//4)) - ((b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(11//4)) + ((b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(11//4)), x, 12),
+((c + d*x^2)^3/(x^(5//2)*(a + b*x^2)), -((2*c^3)/(3*a*x^(3//2))) + (2*d^2*(3*b*c - a*d)*sqrt(x))/b^2 + (2*d^3*x^(5//2))/(5*b) + ((b*c - a*d)^3*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(7//4)*b^(9//4)) - ((b*c - a*d)^3*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(7//4)*b^(9//4)) + ((b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(9//4)) - ((b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(9//4)), x, 12),
+((c + d*x^2)^3/(x^(7//2)*(a + b*x^2)), -((2*c^3)/(5*a*x^(5//2))) + (2*c^2*(b*c - 3*a*d))/(a^2*sqrt(x)) + (2*d^3*x^(3//2))/(3*b) - ((b*c - a*d)^3*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(9//4)*b^(7//4)) + ((b*c - a*d)^3*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(9//4)*b^(7//4)) + ((b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(7//4)) - ((b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(7//4)), x, 12),
+((c + d*x^2)^3/(x^(9//2)*(a + b*x^2)), -((2*c^3)/(7*a*x^(7//2))) + (2*c^2*(b*c - 3*a*d))/(3*a^2*x^(3//2)) + (2*d^3*sqrt(x))/b - ((b*c - a*d)^3*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)) + ((b*c - a*d)^3*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)) - ((b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)) + ((b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)), x, 12),
+((c + d*x^2)^3/(x^(11//2)*(a + b*x^2)), -((2*c^3)/(9*a*x^(9//2))) + (2*c^2*(b*c - 3*a*d))/(5*a^2*x^(5//2)) - (2*c*(b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + 3*a^2*d^2))/(a^3*sqrt(x)) + ((b*c - a*d)^3*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(13//4)*b^(3//4)) - ((b*c - a*d)^3*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(13//4)*b^(3//4)) - ((b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(3//4)) + ((b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(3//4)), x, 12),
+((c + d*x^2)^3/(x^(13//2)*(a + b*x^2)), -((2*c^3)/(11*a*x^(11//2))) + (2*c^2*(b*c - 3*a*d))/(7*a^2*x^(7//2)) - (2*c*(b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + 3*a^2*d^2))/(3*a^3*x^(3//2)) + ((b*c - a*d)^3*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(15//4)*b^(1//4)) - ((b*c - a*d)^3*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(15//4)*b^(1//4)) + ((b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(1//4)) - ((b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(1//4)), x, 12),
+((c + d*x^2)^3/(x^(15//2)*(a + b*x^2)), -((2*c^3)/(13*a*x^(13//2))) + (2*c^2*(b*c - 3*a*d))/(9*a^2*x^(9//2)) - (2*c*(b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + 3*a^2*d^2))/(5*a^3*x^(5//2)) + (2*(b*c - a*d)^3)/(a^4*sqrt(x)) - (b^(1//4)*(b*c - a*d)^3*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(17//4)) + (b^(1//4)*(b*c - a*d)^3*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(17//4)) + (b^(1//4)*(b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(17//4)) - (b^(1//4)*(b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(17//4)), x, 12),
+
+
+((x^(7//2)*(c + d*x^2)^3)/(a + b*x^2)^2, ((5*b*c - 17*a*d)*(b*c - a*d)^2*sqrt(x))/(2*b^5) + (d*(27*b^2*c^2 - 39*a*b*c*d + 17*a^2*d^2)*x^(5//2))/(10*b^4) + (d^2*(39*b*c - 17*a*d)*x^(9//2))/(18*b^3) + (17*d^3*x^(13//2))/(26*b^2) - (x^(5//2)*(c + d*x^2)^3)/(2*b*(a + b*x^2)) + (a^(1//4)*(5*b*c - 17*a*d)*(b*c - a*d)^2*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(21//4)) - (a^(1//4)*(5*b*c - 17*a*d)*(b*c - a*d)^2*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(21//4)) + (a^(1//4)*(5*b*c - 17*a*d)*(b*c - a*d)^2*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*b^(21//4)) - (a^(1//4)*(5*b*c - 17*a*d)*(b*c - a*d)^2*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*b^(21//4)), x, 13),
+((x^(5//2)*(c + d*x^2)^3)/(a + b*x^2)^2, (d*(7*b^2*c^2 - 11*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*x^(3//2))/(2*b^4) + (3*d^2*(11*b*c - 5*a*d)*x^(7//2))/(14*b^3) + (15*d^3*x^(11//2))/(22*b^2) - (x^(3//2)*(c + d*x^2)^3)/(2*b*(a + b*x^2)) - (3*(b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)^2*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(19//4)) + (3*(b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)^2*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(19//4)) + (3*(b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)^2*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(19//4)) - (3*(b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)^2*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(19//4)), x, 13),
+((x^(3//2)*(c + d*x^2)^3)/(a + b*x^2)^2, (d*(497*b^2*c^2 - 1098*a*b*c*d + 585*a^2*d^2)*sqrt(x))/(90*b^4) + (d*(113*b*c - 117*a*d)*sqrt(x)*(c + d*x^2))/(90*b^3) + (13*d*sqrt(x)*(c + d*x^2)^2)/(18*b^2) - (sqrt(x)*(c + d*x^2)^3)/(2*b*(a + b*x^2)) - ((b*c - 13*a*d)*(b*c - a*d)^2*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(17//4)) + ((b*c - 13*a*d)*(b*c - a*d)^2*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(17//4)) - ((b*c - 13*a*d)*(b*c - a*d)^2*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(17//4)) + ((b*c - 13*a*d)*(b*c - a*d)^2*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(17//4)), x, 14),
+((sqrt(x)*(c + d*x^2)^3)/(a + b*x^2)^2, -((d*(6*b^2*c^2 - 21*a*b*c*d + 11*a^2*d^2)*x^(3//2))/(6*a*b^3)) - (d^2*(7*b*c - 11*a*d)*x^(7//2))/(14*a*b^2) + ((b*c - a*d)*x^(3//2)*(c + d*x^2)^2)/(2*a*b*(a + b*x^2)) - ((b*c - a*d)^2*(b*c + 11*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(15//4)) + ((b*c - a*d)^2*(b*c + 11*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(15//4)) + ((b*c - a*d)^2*(b*c + 11*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(15//4)) - ((b*c - a*d)^2*(b*c + 11*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(15//4)), x, 13),
+((c + d*x^2)^3/(sqrt(x)*(a + b*x^2)^2), (2*d^2*(3*b*c - 2*a*d)*sqrt(x))/b^3 + (2*d^3*x^(5//2))/(5*b^2) + ((b*c - a*d)^3*sqrt(x))/(2*a*b^3*(a + b*x^2)) - (3*(b*c - a*d)^2*(b*c + 3*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(13//4)) + (3*(b*c - a*d)^2*(b*c + 3*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(13//4)) - (3*(b*c - a*d)^2*(b*c + 3*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(13//4)) + (3*(b*c - a*d)^2*(b*c + 3*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(13//4)), x, 13),
+((c + d*x^2)^3/(x^(3//2)*(a + b*x^2)^2), -((c^2*(5*b*c - a*d))/(2*a^2*b*sqrt(x))) - (d^2*(3*b*c - 7*a*d)*x^(3//2))/(6*a*b^2) + ((b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2)/(2*a*b*sqrt(x)*(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)^2*(5*b*c + 7*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(11//4)) - ((b*c - a*d)^2*(5*b*c + 7*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(11//4)) - ((b*c - a*d)^2*(5*b*c + 7*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(11//4)) + ((b*c - a*d)^2*(5*b*c + 7*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(11//4)), x, 13),
+((c + d*x^2)^3/(x^(5//2)*(a + b*x^2)^2), -((c^2*(7*b*c - 3*a*d))/(6*a^2*b*x^(3//2))) - (d^2*(b*c - 5*a*d)*sqrt(x))/(2*a*b^2) + ((b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2)/(2*a*b*x^(3//2)*(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)^2*(7*b*c + 5*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(9//4)) - ((b*c - a*d)^2*(7*b*c + 5*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(9//4)) + ((b*c - a*d)^2*(7*b*c + 5*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(9//4)) - ((b*c - a*d)^2*(7*b*c + 5*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(9//4)), x, 13),
+((c + d*x^2)^3/(x^(7//2)*(a + b*x^2)^2), -((c^2*(9*b*c - 5*a*d))/(10*a^2*b*x^(5//2))) + (c*(9*b^2*c^2 - 15*a*b*c*d + 2*a^2*d^2))/(2*a^3*b*sqrt(x)) + ((b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2)/(2*a*b*x^(5//2)*(a + b*x^2)) - (3*(b*c - a*d)^2*(3*b*c + a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(7//4)) + (3*(b*c - a*d)^2*(3*b*c + a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(7//4)) + (3*(b*c - a*d)^2*(3*b*c + a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(7//4)) - (3*(b*c - a*d)^2*(3*b*c + a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(7//4)), x, 13),
+((c + d*x^2)^3/(x^(9//2)*(a + b*x^2)^2), -((c^2*(11*b*c - 7*a*d))/(14*a^2*b*x^(7//2))) + (c*(11*b^2*c^2 - 21*a*b*c*d + 6*a^2*d^2))/(6*a^3*b*x^(3//2)) + ((b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2)/(2*a*b*x^(7//2)*(a + b*x^2)) - ((b*c - a*d)^2*(11*b*c + a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(5//4)) + ((b*c - a*d)^2*(11*b*c + a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(5//4)) - ((b*c - a*d)^2*(11*b*c + a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(5//4)) + ((b*c - a*d)^2*(11*b*c + a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(5//4)), x, 13),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^2)^p / (c+d x^2)^1
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(x^(9//2)/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)), (2*x^(3//2))/(3*b*d) - (a^(7//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(7//4)*(b*c - a*d)) + (a^(7//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(7//4)*(b*c - a*d)) + (c^(7//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*d^(7//4)*(b*c - a*d)) - (c^(7//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*d^(7//4)*(b*c - a*d)) + (a^(7//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(7//4)*(b*c - a*d)) - (a^(7//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(7//4)*(b*c - a*d)) - (c^(7//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*d^(7//4)*(b*c - a*d)) + (c^(7//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*d^(7//4)*(b*c - a*d)), x, 22),
+(x^(7//2)/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)), (2*sqrt(x))/(b*d) - (a^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(5//4)*(b*c - a*d)) + (a^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(5//4)*(b*c - a*d)) + (c^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*d^(5//4)*(b*c - a*d)) - (c^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*d^(5//4)*(b*c - a*d)) - (a^(5//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(5//4)*(b*c - a*d)) + (a^(5//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(5//4)*(b*c - a*d)) + (c^(5//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*d^(5//4)*(b*c - a*d)) - (c^(5//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*d^(5//4)*(b*c - a*d)), x, 21),
+(x^(5//2)/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)), (a^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(3//4)*(b*c - a*d)) - (a^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(3//4)*(b*c - a*d)) - (c^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*d^(3//4)*(b*c - a*d)) + (c^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*d^(3//4)*(b*c - a*d)) - (a^(3//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(3//4)*(b*c - a*d)) + (a^(3//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(3//4)*(b*c - a*d)) + (c^(3//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*d^(3//4)*(b*c - a*d)) - (c^(3//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*d^(3//4)*(b*c - a*d)), x, 20),
+(x^(3//2)/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)), (a^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(1//4)*(b*c - a*d)) - (a^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(1//4)*(b*c - a*d)) - (c^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)) + (c^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)) + (a^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(1//4)*(b*c - a*d)) - (a^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(1//4)*(b*c - a*d)) - (c^(1//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)) + (c^(1//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)), x, 20),
+(sqrt(x)/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)), -((b^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d))) + (b^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)) + (d^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(b*c - a*d)) - (d^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(b*c - a*d)) + (b^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)) - (b^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)) - (d^(1//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(1//4)*(b*c - a*d)) + (d^(1//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(1//4)*(b*c - a*d)), x, 20),
+(1/(sqrt(x)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)), -((b^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d))) + (b^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)) + (d^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)) - (d^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)) - (b^(3//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)) + (b^(3//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)) + (d^(3//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)) - (d^(3//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)), x, 20),
+(1/(x^(3//2)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)), -(2/(a*c*sqrt(x))) + (b^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)) - (b^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)) - (d^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)) + (d^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)) - (b^(5//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)) + (b^(5//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)) + (d^(5//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)) - (d^(5//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)), x, 22),
+(1/(x^(5//2)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)), -(2/(3*a*c*x^(3//2))) + (b^(7//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)) - (b^(7//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)) - (d^(7//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)) + (d^(7//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)) + (b^(7//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)) - (b^(7//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)) - (d^(7//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)) + (d^(7//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)), x, 21),
+(1/(x^(7//2)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)), -(2/(5*a*c*x^(5//2))) + (2*(b*c + a*d))/(a^2*c^2*sqrt(x)) - (b^(9//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)) + (b^(9//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)) + (d^(9//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)) - (d^(9//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)) + (b^(9//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)) - (b^(9//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)) - (d^(9//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)) + (d^(9//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(2*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)), x, 23),
+
+
+(x^(11//2)/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), ((5*b*c - 4*a*d)*sqrt(x))/(2*b*d^2*(b*c - a*d)) - (c*x^(5//2))/(2*d*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)) + (a^(9//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(5//4)*(b*c - a*d)^2) - (a^(9//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(5//4)*(b*c - a*d)^2) + (c^(5//4)*(5*b*c - 9*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*d^(9//4)*(b*c - a*d)^2) - (c^(5//4)*(5*b*c - 9*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*d^(9//4)*(b*c - a*d)^2) + (a^(9//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(5//4)*(b*c - a*d)^2) - (a^(9//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(5//4)*(b*c - a*d)^2) + (c^(5//4)*(5*b*c - 9*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*d^(9//4)*(b*c - a*d)^2) - (c^(5//4)*(5*b*c - 9*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*d^(9//4)*(b*c - a*d)^2), x, 22),
+(x^(9//2)/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), -((c*x^(3//2))/(2*d*(b*c - a*d)*(c + d*x^2))) - (a^(7//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(3//4)*(b*c - a*d)^2) + (a^(7//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(3//4)*(b*c - a*d)^2) - (c^(3//4)*(3*b*c - 7*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*d^(7//4)*(b*c - a*d)^2) + (c^(3//4)*(3*b*c - 7*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*d^(7//4)*(b*c - a*d)^2) + (a^(7//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(3//4)*(b*c - a*d)^2) - (a^(7//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(3//4)*(b*c - a*d)^2) + (c^(3//4)*(3*b*c - 7*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*d^(7//4)*(b*c - a*d)^2) - (c^(3//4)*(3*b*c - 7*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*d^(7//4)*(b*c - a*d)^2), x, 22),
+(x^(7//2)/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), -((c*sqrt(x))/(2*d*(b*c - a*d)*(c + d*x^2))) - (a^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(1//4)*(b*c - a*d)^2) + (a^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(1//4)*(b*c - a*d)^2) - (c^(1//4)*(b*c - 5*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*d^(5//4)*(b*c - a*d)^2) + (c^(1//4)*(b*c - 5*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*d^(5//4)*(b*c - a*d)^2) - (a^(5//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(1//4)*(b*c - a*d)^2) + (a^(5//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*b^(1//4)*(b*c - a*d)^2) - (c^(1//4)*(b*c - 5*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*d^(5//4)*(b*c - a*d)^2) + (c^(1//4)*(b*c - 5*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*d^(5//4)*(b*c - a*d)^2), x, 21),
+(x^(5//2)/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), x^(3//2)/(2*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)) + (a^(3//4)*b^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*(b*c - a*d)^2) - (a^(3//4)*b^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*(b*c - a*d)^2) - ((b*c + 3*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(1//4)*d^(3//4)*(b*c - a*d)^2) + ((b*c + 3*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(1//4)*d^(3//4)*(b*c - a*d)^2) - (a^(3//4)*b^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*(b*c - a*d)^2) + (a^(3//4)*b^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*(b*c - a*d)^2) + ((b*c + 3*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(1//4)*d^(3//4)*(b*c - a*d)^2) - ((b*c + 3*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(1//4)*d^(3//4)*(b*c - a*d)^2), x, 22),
+(x^(3//2)/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), sqrt(x)/(2*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)) + (a^(1//4)*b^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*(b*c - a*d)^2) - (a^(1//4)*b^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*(b*c - a*d)^2) - ((3*b*c + a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2) + ((3*b*c + a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2) + (a^(1//4)*b^(3//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*(b*c - a*d)^2) - (a^(1//4)*b^(3//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*(b*c - a*d)^2) - ((3*b*c + a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2) + ((3*b*c + a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2), x, 21),
+(sqrt(x)/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), -((d*x^(3//2))/(2*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2))) - (b^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)^2) + (b^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)^2) + (d^(1//4)*(5*b*c - a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)^2) - (d^(1//4)*(5*b*c - a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)^2) + (b^(5//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)^2) - (b^(5//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)^2) - (d^(1//4)*(5*b*c - a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)^2) + (d^(1//4)*(5*b*c - a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)^2), x, 22),
+(1/(sqrt(x)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), -((d*sqrt(x))/(2*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2))) - (b^(7//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^2) + (b^(7//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^2) + (d^(3//4)*(7*b*c - 3*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^2) - (d^(3//4)*(7*b*c - 3*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^2) - (b^(7//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^2) + (b^(7//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^2) + (d^(3//4)*(7*b*c - 3*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^2) - (d^(3//4)*(7*b*c - 3*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^2), x, 21),
+(1/(x^(3//2)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), -((4*b*c - 5*a*d)/(2*a*c^2*(b*c - a*d)*sqrt(x))) - d/(2*c*(b*c - a*d)*sqrt(x)*(c + d*x^2)) + (b^(9//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)^2) - (b^(9//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)^2) - (d^(5//4)*(9*b*c - 5*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)^2) + (d^(5//4)*(9*b*c - 5*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)^2) - (b^(9//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)^2) + (b^(9//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)^2) + (d^(5//4)*(9*b*c - 5*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)^2) - (d^(5//4)*(9*b*c - 5*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)^2), x, 23),
+(1/(x^(5//2)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), -((4*b*c - 7*a*d)/(6*a*c^2*(b*c - a*d)*x^(3//2))) - d/(2*c*(b*c - a*d)*x^(3//2)*(c + d*x^2)) + (b^(11//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^2) - (b^(11//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^2) - (d^(7//4)*(11*b*c - 7*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(11//4)*(b*c - a*d)^2) + (d^(7//4)*(11*b*c - 7*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(11//4)*(b*c - a*d)^2) + (b^(11//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^2) - (b^(11//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^2) - (d^(7//4)*(11*b*c - 7*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(11//4)*(b*c - a*d)^2) + (d^(7//4)*(11*b*c - 7*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(11//4)*(b*c - a*d)^2), x, 22),
+(1/(x^(7//2)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2), -((4*b*c - 9*a*d)/(10*a*c^2*(b*c - a*d)*x^(5//2))) + (4*b^2*c^2 + 4*a*b*c*d - 9*a^2*d^2)/(2*a^2*c^3*(b*c - a*d)*sqrt(x)) - d/(2*c*(b*c - a*d)*x^(5//2)*(c + d*x^2)) - (b^(13//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)^2) + (b^(13//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)^2) + (d^(9//4)*(13*b*c - 9*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(13//4)*(b*c - a*d)^2) - (d^(9//4)*(13*b*c - 9*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(13//4)*(b*c - a*d)^2) + (b^(13//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)^2) - (b^(13//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)^2) - (d^(9//4)*(13*b*c - 9*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(13//4)*(b*c - a*d)^2) + (d^(9//4)*(13*b*c - 9*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(13//4)*(b*c - a*d)^2), x, 24),
+
+
+(x^(7//2)/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3), -((c*sqrt(x))/(4*d*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2)) + ((b*c - 9*a*d)*sqrt(x))/(16*d*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) - (a^(5//4)*b^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*(b*c - a*d)^3) + (a^(5//4)*b^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*(b*c - a*d)^3) - ((3*b^2*c^2 - 30*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(5//4)*(b*c - a*d)^3) + ((3*b^2*c^2 - 30*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(5//4)*(b*c - a*d)^3) - (a^(5//4)*b^(3//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*(b*c - a*d)^3) + (a^(5//4)*b^(3//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*(b*c - a*d)^3) - ((3*b^2*c^2 - 30*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(5//4)*(b*c - a*d)^3) + ((3*b^2*c^2 - 30*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(5//4)*(b*c - a*d)^3), x, 22),
+(x^(5//2)/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3), x^(3//2)/(4*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2) + ((5*b*c + 3*a*d)*x^(3//2))/(16*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + (a^(3//4)*b^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*(b*c - a*d)^3) - (a^(3//4)*b^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*(b*c - a*d)^3) - ((5*b^2*c^2 + 30*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(5//4)*d^(3//4)*(b*c - a*d)^3) + ((5*b^2*c^2 + 30*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(5//4)*d^(3//4)*(b*c - a*d)^3) - (a^(3//4)*b^(5//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*(b*c - a*d)^3) + (a^(3//4)*b^(5//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*(b*c - a*d)^3) + ((5*b^2*c^2 + 30*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(5//4)*d^(3//4)*(b*c - a*d)^3) - ((5*b^2*c^2 + 30*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(5//4)*d^(3//4)*(b*c - a*d)^3), x, 23),
+(x^(3//2)/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3), sqrt(x)/(4*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2) + ((7*b*c + a*d)*sqrt(x))/(16*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + (a^(1//4)*b^(7//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*(b*c - a*d)^3) - (a^(1//4)*b^(7//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*(b*c - a*d)^3) - ((21*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3) + ((21*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3) + (a^(1//4)*b^(7//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*(b*c - a*d)^3) - (a^(1//4)*b^(7//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*(b*c - a*d)^3) - ((21*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3) + ((21*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3), x, 22),
+(sqrt(x)/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3), -((d*x^(3//2))/(4*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2)) - (d*(13*b*c - 5*a*d)*x^(3//2))/(16*c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) - (b^(9//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(9//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(1//4)*(45*b^2*c^2 - 18*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(1//4)*(45*b^2*c^2 - 18*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(9//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)^3) - (b^(9//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(1//4)*(45*b^2*c^2 - 18*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(1//4)*(45*b^2*c^2 - 18*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)^3), x, 23),
+(1/(sqrt(x)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3), -((d*sqrt(x))/(4*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^2)) - (d*(15*b*c - 7*a*d)*sqrt(x))/(16*c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) - (b^(11//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(11//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(3//4)*(77*b^2*c^2 - 66*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(11//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(3//4)*(77*b^2*c^2 - 66*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(11//4)*(b*c - a*d)^3) - (b^(11//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(11//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(3//4)*(77*b^2*c^2 - 66*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(11//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(3//4)*(77*b^2*c^2 - 66*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(11//4)*(b*c - a*d)^3), x, 22),
+(1/(x^(3//2)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3), -((32*b^2*c^2 - 85*a*b*c*d + 45*a^2*d^2)/(16*a*c^3*(b*c - a*d)^2*sqrt(x))) - d/(4*c*(b*c - a*d)*sqrt(x)*(c + d*x^2)^2) - (d*(17*b*c - 9*a*d))/(16*c^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(x)*(c + d*x^2)) + (b^(13//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)^3) - (b^(13//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(5//4)*(117*b^2*c^2 - 130*a*b*c*d + 45*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(13//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(5//4)*(117*b^2*c^2 - 130*a*b*c*d + 45*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(13//4)*(b*c - a*d)^3) - (b^(13//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(13//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(5//4)*(117*b^2*c^2 - 130*a*b*c*d + 45*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(13//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(5//4)*(117*b^2*c^2 - 130*a*b*c*d + 45*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(13//4)*(b*c - a*d)^3), x, 24),
+(1/(x^(5//2)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3), -((32*b^2*c^2 - 133*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)/(48*a*c^3*(b*c - a*d)^2*x^(3//2))) - d/(4*c*(b*c - a*d)*x^(3//2)*(c + d*x^2)^2) - (d*(19*b*c - 11*a*d))/(16*c^2*(b*c - a*d)^2*x^(3//2)*(c + d*x^2)) + (b^(15//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^3) - (b^(15//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(7//4)*(165*b^2*c^2 - 210*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(15//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(7//4)*(165*b^2*c^2 - 210*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(15//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(15//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^3) - (b^(15//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(7//4)*(165*b^2*c^2 - 210*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(15//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(7//4)*(165*b^2*c^2 - 210*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(15//4)*(b*c - a*d)^3), x, 23),
+(1/(x^(7//2)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3), -((32*b^2*c^2 - 189*a*b*c*d + 117*a^2*d^2)/(80*a*c^3*(b*c - a*d)^2*x^(5//2))) + (32*b^3*c^3 + 32*a*b^2*c^2*d - 189*a^2*b*c*d^2 + 117*a^3*d^3)/(16*a^2*c^4*(b*c - a*d)^2*sqrt(x)) - d/(4*c*(b*c - a*d)*x^(5//2)*(c + d*x^2)^2) - (d*(21*b*c - 13*a*d))/(16*c^2*(b*c - a*d)^2*x^(5//2)*(c + d*x^2)) - (b^(17//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(17//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(9//4)*(221*b^2*c^2 - 306*a*b*c*d + 117*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(17//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(9//4)*(221*b^2*c^2 - 306*a*b*c*d + 117*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(17//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(17//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)^3) - (b^(17//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(9//4)*(221*b^2*c^2 - 306*a*b*c*d + 117*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(17//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(9//4)*(221*b^2*c^2 - 306*a*b*c*d + 117*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(17//4)*(b*c - a*d)^3), x, 25),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^2)^p / (c+d x^2)^2
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(x^(7//2)/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2), ((b*c + a*d)*sqrt(x))/(2*b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + (a*sqrt(x))/(2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) + (a^(1//4)*(5*b*c + 3*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(1//4)*(b*c - a*d)^3) - (a^(1//4)*(5*b*c + 3*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(1//4)*(b*c - a*d)^3) - (c^(1//4)*(3*b*c + 5*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3) + (c^(1//4)*(3*b*c + 5*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3) + (a^(1//4)*(5*b*c + 3*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*b^(1//4)*(b*c - a*d)^3) - (a^(1//4)*(5*b*c + 3*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*b^(1//4)*(b*c - a*d)^3) - (c^(1//4)*(3*b*c + 5*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3) + (c^(1//4)*(3*b*c + 5*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3), x, 22),
+(x^(5//2)/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2), -((d*x^(3//2))/((b*c - a*d)^2*(c + d*x^2))) - x^(3//2)/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) - (b^(1//4)*(3*b*c + 5*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(1//4)*(3*b*c + 5*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(1//4)*(5*b*c + 3*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(1//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(1//4)*(5*b*c + 3*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(1//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(1//4)*(3*b*c + 5*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)^3) - (b^(1//4)*(3*b*c + 5*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(1//4)*(5*b*c + 3*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(1//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(1//4)*(5*b*c + 3*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(1//4)*(b*c - a*d)^3), x, 23),
+(x^(3//2)/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2), -((d*sqrt(x))/((b*c - a*d)^2*(c + d*x^2))) - sqrt(x)/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) - (b^(3//4)*(b*c + 7*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(3//4)*(b*c + 7*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(3//4)*(7*b*c + a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(3//4)*(7*b*c + a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)^3) - (b^(3//4)*(b*c + 7*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(3//4)*(b*c + 7*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(3//4)*(7*b*c + a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(3//4)*(7*b*c + a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)^3), x, 22),
+(sqrt(x)/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2), (d*(b*c + a*d)*x^(3//2))/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + (b*x^(3//2))/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) - (b^(5//4)*(b*c - 9*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(5//4)*(b*c - 9*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(5//4)*(9*b*c - a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(5//4)*(9*b*c - a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(5//4)*(b*c - 9*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)^3) - (b^(5//4)*(b*c - 9*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(5//4)*(9*b*c - a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(5//4)*(9*b*c - a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)^3), x, 23),
+(1/(sqrt(x)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2), (d*(b*c + a*d)*sqrt(x))/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)) + (b*sqrt(x))/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) - (b^(7//4)*(3*b*c - 11*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(7//4)*(3*b*c - 11*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(7//4)*(11*b*c - 3*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(7//4)*(11*b*c - 3*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^3) - (b^(7//4)*(3*b*c - 11*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(7//4)*(3*b*c - 11*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(7//4)*(11*b*c - 3*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(7//4)*(11*b*c - 3*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^3), x, 22),
+(1/(x^(3//2)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2), -(5*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)/(2*a^2*c^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(x)) + (d*(b*c + a*d))/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(x)*(c + d*x^2)) + b/(2*a*(b*c - a*d)*sqrt(x)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) + (b^(9//4)*(5*b*c - 13*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)^3) - (b^(9//4)*(5*b*c - 13*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(9//4)*(13*b*c - 5*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(9//4)*(13*b*c - 5*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)^3) - (b^(9//4)*(5*b*c - 13*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(9//4)*(5*b*c - 13*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(9//4)*(13*b*c - 5*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(9//4)*(13*b*c - 5*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)^3), x, 24),
+(1/(x^(5//2)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2), -(7*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)/(6*a^2*c^2*(b*c - a*d)^2*x^(3//2)) + (d*(b*c + a*d))/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*x^(3//2)*(c + d*x^2)) + b/(2*a*(b*c - a*d)*x^(3//2)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) + (b^(11//4)*(7*b*c - 15*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(11//4)*(b*c - a*d)^3) - (b^(11//4)*(7*b*c - 15*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(11//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(11//4)*(15*b*c - 7*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(11//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(11//4)*(15*b*c - 7*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(11//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(11//4)*(7*b*c - 15*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(11//4)*(b*c - a*d)^3) - (b^(11//4)*(7*b*c - 15*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(11//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(11//4)*(15*b*c - 7*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(11//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(11//4)*(15*b*c - 7*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(11//4)*(b*c - a*d)^3), x, 23),
+(1/(x^(7//2)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2), -(9*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 9*a^2*d^2)/(10*a^2*c^2*(b*c - a*d)^2*x^(5//2)) + ((b*c + a*d)*(9*b^2*c^2 - 17*a*b*c*d + 9*a^2*d^2))/(2*a^3*c^3*(b*c - a*d)^2*sqrt(x)) + (d*(b*c + a*d))/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*x^(5//2)*(c + d*x^2)) + b/(2*a*(b*c - a*d)*x^(5//2)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) - (b^(13//4)*(9*b*c - 17*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(13//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(13//4)*(9*b*c - 17*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(13//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(13//4)*(17*b*c - 9*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(13//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(13//4)*(17*b*c - 9*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(13//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(13//4)*(9*b*c - 17*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(13//4)*(b*c - a*d)^3) - (b^(13//4)*(9*b*c - 17*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(13//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(13//4)*(17*b*c - 9*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(13//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(13//4)*(17*b*c - 9*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(8*sqrt(2)*c^(13//4)*(b*c - a*d)^3), x, 25),
+
+
+(x^(7//2)/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3), ((b*c + 2*a*d)*sqrt(x))/(4*b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^2) + (a*sqrt(x))/(2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2) + ((7*b*c + 17*a*d)*sqrt(x))/(16*(b*c - a*d)^3*(c + d*x^2)) + (a^(1//4)*b^(3//4)*(5*b*c + 7*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*(b*c - a*d)^4) - (a^(1//4)*b^(3//4)*(5*b*c + 7*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*(b*c - a*d)^4) - ((21*b^2*c^2 + 70*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^4) + ((21*b^2*c^2 + 70*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^4) + (a^(1//4)*b^(3//4)*(5*b*c + 7*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*(b*c - a*d)^4) - (a^(1//4)*b^(3//4)*(5*b*c + 7*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*(b*c - a*d)^4) - ((21*b^2*c^2 + 70*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^4) + ((21*b^2*c^2 + 70*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^4), x, 23),
+(x^(5//2)/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3), (-3*d*x^(3//2))/(4*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^2) - x^(3//2)/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2) - (3*d*(7*b*c + a*d)*x^(3//2))/(16*c*(b*c - a*d)^3*(c + d*x^2)) - (3*b^(5//4)*(b*c + 3*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)^4) + (3*b^(5//4)*(b*c + 3*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)^4) + (3*d^(1//4)*(15*b^2*c^2 + 18*a*b*c*d - a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)^4) - (3*d^(1//4)*(15*b^2*c^2 + 18*a*b*c*d - a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)^4) + (3*b^(5//4)*(b*c + 3*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)^4) - (3*b^(5//4)*(b*c + 3*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)^4) - (3*d^(1//4)*(15*b^2*c^2 + 18*a*b*c*d - a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)^4) + (3*d^(1//4)*(15*b^2*c^2 + 18*a*b*c*d - a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)^4), x, 24),
+(x^(3//2)/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3), (-3*d*sqrt(x))/(4*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^2) - sqrt(x)/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2) - (d*(23*b*c + a*d)*sqrt(x))/(16*c*(b*c - a*d)^3*(c + d*x^2)) - (b^(7//4)*(b*c + 11*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^4) + (b^(7//4)*(b*c + 11*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^4) + (d^(3//4)*(77*b^2*c^2 + 22*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^4) - (d^(3//4)*(77*b^2*c^2 + 22*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^4) - (b^(7//4)*(b*c + 11*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^4) + (b^(7//4)*(b*c + 11*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^4) + (d^(3//4)*(77*b^2*c^2 + 22*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^4) - (d^(3//4)*(77*b^2*c^2 + 22*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^4), x, 23),
+(sqrt(x)/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3), (d*(2*b*c + a*d)*x^(3//2))/(4*a*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^2) + (b*x^(3//2))/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2) + (d*(8*b^2*c^2 + 21*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*x^(3//2))/(16*a*c^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x^2)) - (b^(9//4)*(b*c - 13*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)^4) + (b^(9//4)*(b*c - 13*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)^4) - (d^(5//4)*(117*b^2*c^2 - 26*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)^4) + (d^(5//4)*(117*b^2*c^2 - 26*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)^4) + (b^(9//4)*(b*c - 13*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)^4) - (b^(9//4)*(b*c - 13*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)^4) + (d^(5//4)*(117*b^2*c^2 - 26*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)^4) - (d^(5//4)*(117*b^2*c^2 - 26*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)^4), x, 24),
+(1/(sqrt(x)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3), (d*(2*b*c + a*d)*sqrt(x))/(4*a*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^2) + (b*sqrt(x))/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2) + (d*(8*b^2*c^2 + 23*a*b*c*d - 7*a^2*d^2)*sqrt(x))/(16*a*c^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x^2)) - (3*b^(11//4)*(b*c - 5*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^4) + (3*b^(11//4)*(b*c - 5*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^4) - (3*d^(7//4)*(55*b^2*c^2 - 30*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(11//4)*(b*c - a*d)^4) + (3*d^(7//4)*(55*b^2*c^2 - 30*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(11//4)*(b*c - a*d)^4) - (3*b^(11//4)*(b*c - 5*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^4) + (3*b^(11//4)*(b*c - 5*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^4) - (3*d^(7//4)*(55*b^2*c^2 - 30*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(11//4)*(b*c - a*d)^4) + (3*d^(7//4)*(55*b^2*c^2 - 30*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(11//4)*(b*c - a*d)^4), x, 23),
+(1/(x^(3//2)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3), -(40*b^3*c^3 - 96*a*b^2*c^2*d + 125*a^2*b*c*d^2 - 45*a^3*d^3)/(16*a^2*c^3*(b*c - a*d)^3*sqrt(x)) + (d*(2*b*c + a*d))/(4*a*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(x)*(c + d*x^2)^2) + b/(2*a*(b*c - a*d)*sqrt(x)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2) + (d*(8*b^2*c^2 + 25*a*b*c*d - 9*a^2*d^2))/(16*a*c^2*(b*c - a*d)^3*sqrt(x)*(c + d*x^2)) + (b^(13//4)*(5*b*c - 17*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)^4) - (b^(13//4)*(5*b*c - 17*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)^4) + (d^(9//4)*(221*b^2*c^2 - 170*a*b*c*d + 45*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(13//4)*(b*c - a*d)^4) - (d^(9//4)*(221*b^2*c^2 - 170*a*b*c*d + 45*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(13//4)*(b*c - a*d)^4) - (b^(13//4)*(5*b*c - 17*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)^4) + (b^(13//4)*(5*b*c - 17*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)^4) - (d^(9//4)*(221*b^2*c^2 - 170*a*b*c*d + 45*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(13//4)*(b*c - a*d)^4) + (d^(9//4)*(221*b^2*c^2 - 170*a*b*c*d + 45*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(13//4)*(b*c - a*d)^4), x, 25),
+(1/(x^(5//2)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3), -(56*b^3*c^3 - 96*a*b^2*c^2*d + 189*a^2*b*c*d^2 - 77*a^3*d^3)/(48*a^2*c^3*(b*c - a*d)^3*x^(3//2)) + (d*(2*b*c + a*d))/(4*a*c*(b*c - a*d)^2*x^(3//2)*(c + d*x^2)^2) + b/(2*a*(b*c - a*d)*x^(3//2)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2) + (d*(8*b^2*c^2 + 27*a*b*c*d - 11*a^2*d^2))/(16*a*c^2*(b*c - a*d)^3*x^(3//2)*(c + d*x^2)) + (b^(15//4)*(7*b*c - 19*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(11//4)*(b*c - a*d)^4) - (b^(15//4)*(7*b*c - 19*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(11//4)*(b*c - a*d)^4) + (d^(11//4)*(285*b^2*c^2 - 266*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(15//4)*(b*c - a*d)^4) - (d^(11//4)*(285*b^2*c^2 - 266*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(15//4)*(b*c - a*d)^4) + (b^(15//4)*(7*b*c - 19*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(11//4)*(b*c - a*d)^4) - (b^(15//4)*(7*b*c - 19*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(11//4)*(b*c - a*d)^4) + (d^(11//4)*(285*b^2*c^2 - 266*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(15//4)*(b*c - a*d)^4) - (d^(11//4)*(285*b^2*c^2 - 266*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(15//4)*(b*c - a*d)^4), x, 24),
+(1/(x^(7//2)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3), (-3*(24*b^3*c^3 - 32*a*b^2*c^2*d + 87*a^2*b*c*d^2 - 39*a^3*d^3))/(80*a^2*c^3*(b*c - a*d)^3*x^(5//2)) + (3*(24*b^4*c^4 - 32*a*b^3*c^3*d - 32*a^2*b^2*c^2*d^2 + 87*a^3*b*c*d^3 - 39*a^4*d^4))/(16*a^3*c^4*(b*c - a*d)^3*sqrt(x)) + (d*(2*b*c + a*d))/(4*a*c*(b*c - a*d)^2*x^(5//2)*(c + d*x^2)^2) + b/(2*a*(b*c - a*d)*x^(5//2)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2) + (d*(8*b^2*c^2 + 29*a*b*c*d - 13*a^2*d^2))/(16*a*c^2*(b*c - a*d)^3*x^(5//2)*(c + d*x^2)) - (3*b^(17//4)*(3*b*c - 7*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(13//4)*(b*c - a*d)^4) + (3*b^(17//4)*(3*b*c - 7*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(13//4)*(b*c - a*d)^4) - (3*d^(13//4)*(119*b^2*c^2 - 126*a*b*c*d + 39*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(17//4)*(b*c - a*d)^4) + (3*d^(13//4)*(119*b^2*c^2 - 126*a*b*c*d + 39*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(17//4)*(b*c - a*d)^4) + (3*b^(17//4)*(3*b*c - 7*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(13//4)*(b*c - a*d)^4) - (3*b^(17//4)*(3*b*c - 7*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(b)*x))/(8*sqrt(2)*a^(13//4)*(b*c - a*d)^4) + (3*d^(13//4)*(119*b^2*c^2 - 126*a*b*c*d + 39*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(17//4)*(b*c - a*d)^4) - (3*d^(13//4)*(119*b^2*c^2 - 126*a*b*c*d + 39*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(d)*x))/(64*sqrt(2)*c^(17//4)*(b*c - a*d)^4), x, 26),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^1
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^5*sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2), (a^2*(A*b - a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^4) - (a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^4) + ((A*b - 3*a*B)*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^4) + (B*(a + b*x^2)^(9//2))/(9*b^4), x, 3),
+(x^4*sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2), -((a^2*(8*A*b - 5*a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/(128*b^3)) + (a*(8*A*b - 5*a*B)*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(192*b^2) + ((8*A*b - 5*a*B)*x^5*sqrt(a + b*x^2))/(48*b) + (B*x^5*(a + b*x^2)^(3//2))/(8*b) + (a^3*(8*A*b - 5*a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(128*b^(7//2)), x, 6),
+(x^3*sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2), -((a*(A*b - a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^3)) + ((A*b - 2*a*B)*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^3) + (B*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^3), x, 3),
+(x^2*sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2), (a*(2*A*b - a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/(16*b^2) + ((2*A*b - a*B)*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(8*b) + (B*x^3*(a + b*x^2)^(3//2))/(6*b) - (a^2*(2*A*b - a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*b^(5//2)), x, 5),
+(x*sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2), ((A*b - a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^2) + (B*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^2), x, 3),
+(sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2), ((4*A*b - a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*b) + (B*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(4*b) + (a*(4*A*b - a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*b^(3//2)), x, 4),
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x, A*sqrt(a + b*x^2) + (B*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b) - sqrt(a)*A*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)), x, 5),
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^2, ((2*A*b + a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/(2*a) - (A*(a + b*x^2)^(3//2))/(a*x) + ((2*A*b + a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*sqrt(b)), x, 4),
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^3, ((A*b + 2*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(2*a) - (A*(a + b*x^2)^(3//2))/(2*a*x^2) - ((A*b + 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)), x, 5),
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^4, -((B*sqrt(a + b*x^2))/x) - (A*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*a*x^3) + sqrt(b)*B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^5, ((A*b - 4*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(8*a*x^2) - (A*(a + b*x^2)^(3//2))/(4*a*x^4) + (b*(A*b - 4*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(8*a^(3//2)), x, 5),
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^6, -(A*(a + b*x^2)^(3//2))/(5*a*x^5) + ((2*A*b - 5*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(15*a^2*x^3), x, 2),
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^7, ((A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(8*a*x^4) + (b*(A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(16*a^2*x^2) - (A*(a + b*x^2)^(3//2))/(6*a*x^6) - (b^2*(A*b - 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)), x, 6),
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^8, -((A*(a + b*x^2)^(3//2))/(7*a*x^7)) + ((4*A*b - 7*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(35*a^2*x^5) - (2*b*(4*A*b - 7*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(105*a^3*x^3), x, 3),
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^9, ((5*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(48*a*x^6) + (b*(5*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(192*a^2*x^4) - (b^2*(5*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(128*a^3*x^2) - (A*(a + b*x^2)^(3//2))/(8*a*x^8) + (b^3*(5*A*b - 8*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(128*a^(7//2)), x, 7),
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^10, -((A*(a + b*x^2)^(3//2))/(9*a*x^9)) + ((2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(21*a^2*x^7) - (4*b*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(105*a^3*x^5) + (8*b^2*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(315*a^4*x^3), x, 4),
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^11, ((7*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(80*a*x^8) + (b*(7*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(480*a^2*x^6) - (b^2*(7*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(384*a^3*x^4) + (b^3*(7*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(256*a^4*x^2) - (A*(a + b*x^2)^(3//2))/(10*a*x^10) - (b^4*(7*A*b - 10*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(256*a^(9//2)), x, 8),
+
+
+(x^5*(A + B*x^2)*(a + b*x^2)^(3//2), (a^2*(A*b - a*B)*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^4) - (a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^4) + ((A*b - 3*a*B)*(a + b*x^2)^(9//2))/(9*b^4) + (B*(a + b*x^2)^(11//2))/(11*b^4), x, 3),
+(x^4*(A + B*x^2)*(a + b*x^2)^(3//2), -((3*a^3*(2*A*b - a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/(256*b^3)) + (a^2*(2*A*b - a*B)*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(128*b^2) + (a*(2*A*b - a*B)*x^5*sqrt(a + b*x^2))/(32*b) + ((2*A*b - a*B)*x^5*(a + b*x^2)^(3//2))/(16*b) + (B*x^5*(a + b*x^2)^(5//2))/(10*b) + (3*a^4*(2*A*b - a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(256*b^(7//2)), x, 7),
+(x^3*(A + B*x^2)*(a + b*x^2)^(3//2), -((a*(A*b - a*B)*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^3)) + ((A*b - 2*a*B)*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^3) + (B*(a + b*x^2)^(9//2))/(9*b^3), x, 3),
+(x^2*(A + B*x^2)*(a + b*x^2)^(3//2), (a^2*(8*A*b - 3*a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/(128*b^2) + (a*(8*A*b - 3*a*B)*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(64*b) + ((8*A*b - 3*a*B)*x^3*(a + b*x^2)^(3//2))/(48*b) + (B*x^3*(a + b*x^2)^(5//2))/(8*b) - (a^3*(8*A*b - 3*a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(128*b^(5//2)), x, 6),
+(x^1*(A + B*x^2)*(a + b*x^2)^(3//2), ((A*b - a*B)*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^2) + (B*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^2), x, 3),
+(x^0*(A + B*x^2)*(a + b*x^2)^(3//2), (a*(6*A*b - a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/(16*b) + ((6*A*b - a*B)*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(24*b) + (B*x*(a + b*x^2)^(5//2))/(6*b) + (a^2*(6*A*b - a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*b^(3//2)), x, 5),
+((A + B*x^2)*(a + b*x^2)^(3//2)/x^1, a*A*sqrt(a + b*x^2) + (1//3)*A*(a + b*x^2)^(3//2) + (B*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b) - a^(3//2)*A*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)), x, 6),
+((A + B*x^2)*(a + b*x^2)^(3//2)/x^2, (3//8)*(4*A*b + a*B)*x*sqrt(a + b*x^2) + ((4*A*b + a*B)*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(4*a) - (A*(a + b*x^2)^(5//2))/(a*x) + (3*a*(4*A*b + a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*sqrt(b)), x, 5),
+((A + B*x^2)*(a + b*x^2)^(3//2)/x^3, (1//2)*(3*A*b + 2*a*B)*sqrt(a + b*x^2) + ((3*A*b + 2*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(6*a) - (A*(a + b*x^2)^(5//2))/(2*a*x^2) - (1//2)*sqrt(a)*(3*A*b + 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)), x, 6),
+((A + B*x^2)*(a + b*x^2)^(3//2)/x^4, (b*(2*A*b + 3*a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/(2*a) - ((2*A*b + 3*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*a*x) - (A*(a + b*x^2)^(5//2))/(3*a*x^3) + (1//2)*sqrt(b)*(2*A*b + 3*a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+((A + B*x^2)*(a + b*x^2)^(3//2)/x^5, (3*b*(A*b + 4*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(8*a) - ((A*b + 4*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(8*a*x^2) - (A*(a + b*x^2)^(5//2))/(4*a*x^4) - (3*b*(A*b + 4*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(8*sqrt(a)), x, 6),
+((A + B*x^2)*(a + b*x^2)^(3//2)/x^6, -((b*B*sqrt(a + b*x^2))/x) - (B*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*x^3) - (A*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*a*x^5) + b^(3//2)*B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+((A + B*x^2)*(a + b*x^2)^(3//2)/x^7, (b*(A*b - 6*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(16*a*x^2) + ((A*b - 6*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(24*a*x^4) - (A*(a + b*x^2)^(5//2))/(6*a*x^6) + (b^2*(A*b - 6*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(3//2)), x, 6),
+((A + B*x^2)*(a + b*x^2)^(3//2)/x^8, -((A*(a + b*x^2)^(5//2))/(7*a*x^7)) + ((2*A*b - 7*a*B)*(a + b*x^2)^(5//2))/(35*a^2*x^5), x, 2),
+((A + B*x^2)*(a + b*x^2)^(3//2)/x^9, (b*(3*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(64*a*x^4) + (b^2*(3*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(128*a^2*x^2) + ((3*A*b - 8*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(48*a*x^6) - (A*(a + b*x^2)^(5//2))/(8*a*x^8) - (b^3*(3*A*b - 8*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(128*a^(5//2)), x, 7),
+((A + B*x^2)*(a + b*x^2)^(3//2)/x^10, -((A*(a + b*x^2)^(5//2))/(9*a*x^9)) + ((4*A*b - 9*a*B)*(a + b*x^2)^(5//2))/(63*a^2*x^7) - (2*b*(4*A*b - 9*a*B)*(a + b*x^2)^(5//2))/(315*a^3*x^5), x, 3),
+((A + B*x^2)*(a + b*x^2)^(3//2)/x^11, (b*(A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(32*a*x^6) + (b^2*(A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(128*a^2*x^4) - (3*b^3*(A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(256*a^3*x^2) + ((A*b - 2*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(16*a*x^8) - (A*(a + b*x^2)^(5//2))/(10*a*x^10) + (3*b^4*(A*b - 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(256*a^(7//2)), x, 8),
+
+
+(x^5*(a + b*x^2)^(5//2)*(A + B*x^2), (a^2*(A*b - a*B)*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^4) - (a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x^2)^(9//2))/(9*b^4) + ((A*b - 3*a*B)*(a + b*x^2)^(11//2))/(11*b^4) + (B*(a + b*x^2)^(13//2))/(13*b^4), x, 3),
+(x^4*(a + b*x^2)^(5//2)*(A + B*x^2), -(a^4*(12*A*b - 5*a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/(1024*b^3) + (a^3*(12*A*b - 5*a*B)*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(1536*b^2) + (a^2*(12*A*b - 5*a*B)*x^5*sqrt(a + b*x^2))/(384*b) + (a*(12*A*b - 5*a*B)*x^5*(a + b*x^2)^(3//2))/(192*b) + ((12*A*b - 5*a*B)*x^5*(a + b*x^2)^(5//2))/(120*b) + (B*x^5*(a + b*x^2)^(7//2))/(12*b) + (a^5*(12*A*b - 5*a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(1024*b^(7//2)), x, 8),
+(x^3*(a + b*x^2)^(5//2)*(A + B*x^2), -(a*(A*b - a*B)*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^3) + ((A*b - 2*a*B)*(a + b*x^2)^(9//2))/(9*b^3) + (B*(a + b*x^2)^(11//2))/(11*b^3), x, 3),
+(x^2*(a + b*x^2)^(5//2)*(A + B*x^2), (a^3*(10*A*b - 3*a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/(256*b^2) + (a^2*(10*A*b - 3*a*B)*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(128*b) + (a*(10*A*b - 3*a*B)*x^3*(a + b*x^2)^(3//2))/(96*b) + ((10*A*b - 3*a*B)*x^3*(a + b*x^2)^(5//2))/(80*b) + (B*x^3*(a + b*x^2)^(7//2))/(10*b) - (a^4*(10*A*b - 3*a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(256*b^(5//2)), x, 7),
+(x*(a + b*x^2)^(5//2)*(A + B*x^2), ((A*b - a*B)*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^2) + (B*(a + b*x^2)^(9//2))/(9*b^2), x, 3),
+((a + b*x^2)^(5//2)*(A + B*x^2), (5*a^2*(8*A*b - a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/(128*b) + (5*a*(8*A*b - a*B)*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(192*b) + ((8*A*b - a*B)*x*(a + b*x^2)^(5//2))/(48*b) + (B*x*(a + b*x^2)^(7//2))/(8*b) + (5*a^3*(8*A*b - a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(128*b^(3//2)), x, 6),
+(((a + b*x^2)^(5//2)*(A + B*x^2))/x, a^2*A*sqrt(a + b*x^2) + (a*A*(a + b*x^2)^(3//2))/3 + (A*(a + b*x^2)^(5//2))/5 + (B*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b) - a^(5//2)*A*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)), x, 7),
+(((a + b*x^2)^(5//2)*(A + B*x^2))/x^2, (5*a*(6*A*b + a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/16 + (5*(6*A*b + a*B)*x*(a + b*x^2)^(3//2))/24 + ((6*A*b + a*B)*x*(a + b*x^2)^(5//2))/(6*a) - (A*(a + b*x^2)^(7//2))/(a*x) + (5*a^2*(6*A*b + a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*sqrt(b)), x, 6),
+(((a + b*x^2)^(5//2)*(A + B*x^2))/x^3, (a*(5*A*b + 2*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/2 + ((5*A*b + 2*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/6 + ((5*A*b + 2*a*B)*(a + b*x^2)^(5//2))/(10*a) - (A*(a + b*x^2)^(7//2))/(2*a*x^2) - (a^(3//2)*(5*A*b + 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/2, x, 7),
+(((a + b*x^2)^(5//2)*(A + B*x^2))/x^4, (5*b*(4*A*b + 3*a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/8 + (5*b*(4*A*b + 3*a*B)*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(12*a) - ((4*A*b + 3*a*B)*(a + b*x^2)^(5//2))/(3*a*x) - (A*(a + b*x^2)^(7//2))/(3*a*x^3) + (5*a*sqrt(b)*(4*A*b + 3*a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/8, x, 6),
+(((a + b*x^2)^(5//2)*(A + B*x^2))/x^5, (5*b*(3*A*b + 4*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/8 + (5*b*(3*A*b + 4*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(24*a) - ((3*A*b + 4*a*B)*(a + b*x^2)^(5//2))/(8*a*x^2) - (A*(a + b*x^2)^(7//2))/(4*a*x^4) - (5*sqrt(a)*b*(3*A*b + 4*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/8, x, 7),
+(((a + b*x^2)^(5//2)*(A + B*x^2))/x^6, (b^2*(2*A*b + 5*a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/(2*a) - (b*(2*A*b + 5*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*a*x) - ((2*A*b + 5*a*B)*(a + b*x^2)^(5//2))/(15*a*x^3) - (A*(a + b*x^2)^(7//2))/(5*a*x^5) + (b^(3//2)*(2*A*b + 5*a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/2, x, 6),
+(((a + b*x^2)^(5//2)*(A + B*x^2))/x^7, (5*b^2*(A*b + 6*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(16*a) - (5*b*(A*b + 6*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(48*a*x^2) - ((A*b + 6*a*B)*(a + b*x^2)^(5//2))/(24*a*x^4) - (A*(a + b*x^2)^(7//2))/(6*a*x^6) - (5*b^2*(A*b + 6*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(16*sqrt(a)), x, 7),
+(((a + b*x^2)^(5//2)*(A + B*x^2))/x^8, -((b^2*B*sqrt(a + b*x^2))/x) - (b*B*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*x^3) - (B*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*x^5) - (A*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*a*x^7) + b^(5//2)*B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+(((a + b*x^2)^(5//2)*(A + B*x^2))/x^9, (5*b^2*(A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(128*a*x^2) + (5*b*(A*b - 8*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(192*a*x^4) + ((A*b - 8*a*B)*(a + b*x^2)^(5//2))/(48*a*x^6) - (A*(a + b*x^2)^(7//2))/(8*a*x^8) + (5*b^3*(A*b - 8*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(128*a^(3//2)), x, 7),
+(((a + b*x^2)^(5//2)*(A + B*x^2))/x^10, -(A*(a + b*x^2)^(7//2))/(9*a*x^9) + ((2*A*b - 9*a*B)*(a + b*x^2)^(7//2))/(63*a^2*x^7), x, 2),
+(((a + b*x^2)^(5//2)*(A + B*x^2))/x^11, (b^2*(3*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(128*a*x^4) + (b^3*(3*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(256*a^2*x^2) + (b*(3*A*b - 10*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(96*a*x^6) + ((3*A*b - 10*a*B)*(a + b*x^2)^(5//2))/(80*a*x^8) - (A*(a + b*x^2)^(7//2))/(10*a*x^10) - (b^4*(3*A*b - 10*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(256*a^(5//2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^5*(A + B*x^2))/sqrt(a + b*x^2), (a^2*(A*b - a*B)*sqrt(a + b*x^2))/b^4 - (a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^4) + ((A*b - 3*a*B)*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^4) + (B*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^4), x, 3),
+((x^4*(A + B*x^2))/sqrt(a + b*x^2), -((a*(6*A*b - 5*a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/(16*b^3)) + ((6*A*b - 5*a*B)*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(24*b^2) + (B*x^5*sqrt(a + b*x^2))/(6*b) + (a^2*(6*A*b - 5*a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*b^(7//2)), x, 5),
+((x^3*(A + B*x^2))/sqrt(a + b*x^2), -((a*(A*b - a*B)*sqrt(a + b*x^2))/b^3) + ((A*b - 2*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^3) + (B*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^3), x, 3),
+((x^2*(A + B*x^2))/sqrt(a + b*x^2), ((4*A*b - 3*a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*b^2) + (B*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(4*b) - (a*(4*A*b - 3*a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*b^(5//2)), x, 4),
+((x*(A + B*x^2))/sqrt(a + b*x^2), ((A*b - a*B)*sqrt(a + b*x^2))/b^2 + (B*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^2), x, 3),
+((A + B*x^2)/sqrt(a + b*x^2), (B*x*sqrt(a + b*x^2))/(2*b) + ((2*A*b - a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*b^(3//2)), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x*sqrt(a + b*x^2)), (B*sqrt(a + b*x^2))/b - (A*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^2*sqrt(a + b*x^2)), -((A*sqrt(a + b*x^2))/(a*x)) + (B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/sqrt(b), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^3*sqrt(a + b*x^2)), -(A*sqrt(a + b*x^2))/(2*a*x^2) + ((A*b - 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^4*sqrt(a + b*x^2)), -(A*sqrt(a + b*x^2))/(3*a*x^3) + ((2*A*b - 3*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(3*a^2*x), x, 2),
+((A + B*x^2)/(x^5*sqrt(a + b*x^2)), -(A*sqrt(a + b*x^2))/(4*a*x^4) + ((3*A*b - 4*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(8*a^2*x^2) - (b*(3*A*b - 4*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)), x, 5),
+((A + B*x^2)/(x^6*sqrt(a + b*x^2)), -(A*sqrt(a + b*x^2))/(5*a*x^5) + ((4*A*b - 5*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(15*a^2*x^3) - (2*b*(4*A*b - 5*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(15*a^3*x), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^7*sqrt(a + b*x^2)), -(A*sqrt(a + b*x^2))/(6*a*x^6) + ((5*A*b - 6*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(24*a^2*x^4) - (b*(5*A*b - 6*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(16*a^3*x^2) + (b^2*(5*A*b - 6*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(7//2)), x, 6),
+((A + B*x^2)/(x^8*sqrt(a + b*x^2)), -(A*sqrt(a + b*x^2))/(7*a*x^7) + ((6*A*b - 7*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(35*a^2*x^5) - (4*b*(6*A*b - 7*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(105*a^3*x^3) + (8*b^2*(6*A*b - 7*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(105*a^4*x), x, 4),
+
+
+(x^6*(A + B*x^2)/(a + b*x^2)^(3//2), -(((6*A*b - 7*a*B)*x^5)/(6*b^2*sqrt(a + b*x^2))) + (B*x^7)/(6*b*sqrt(a + b*x^2)) - (5*a*(6*A*b - 7*a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/(16*b^4) + (5*(6*A*b - 7*a*B)*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(24*b^3) + (5*a^2*(6*A*b - 7*a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*b^(9//2)), x, 6),
+(x^5*(A + B*x^2)/(a + b*x^2)^(3//2), -((a^2*(A*b - a*B))/(b^4*sqrt(a + b*x^2))) - (a*(2*A*b - 3*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/b^4 + ((A*b - 3*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^4) + (B*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^4), x, 3),
+(x^4*(A + B*x^2)/(a + b*x^2)^(3//2), -(((4*A*b - 5*a*B)*x^3)/(4*b^2*sqrt(a + b*x^2))) + (B*x^5)/(4*b*sqrt(a + b*x^2)) + (3*(4*A*b - 5*a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*b^3) - (3*a*(4*A*b - 5*a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*b^(7//2)), x, 5),
+(x^3*(A + B*x^2)/(a + b*x^2)^(3//2), (a*(A*b - a*B))/(b^3*sqrt(a + b*x^2)) + ((A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/b^3 + (B*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^3), x, 3),
+(x^2*(A + B*x^2)/(a + b*x^2)^(3//2), -(((A*b - a*B)*x)/(b^2*sqrt(a + b*x^2))) + (B*x*sqrt(a + b*x^2))/(2*b^2) + ((2*A*b - 3*a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*b^(5//2)), x, 4),
+(x^1*(A + B*x^2)/(a + b*x^2)^(3//2), -((A*b - a*B)/(b^2*sqrt(a + b*x^2))) + (B*sqrt(a + b*x^2))/b^2, x, 3),
+(x^0*(A + B*x^2)/(a + b*x^2)^(3//2), ((A*b - a*B)*x)/(a*b*sqrt(a + b*x^2)) + (B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/b^(3//2), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^1*(a + b*x^2)^(3//2)), (A*b - a*B)/(a*b*sqrt(a + b*x^2)) - (A*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^2*(a + b*x^2)^(3//2)), -(A/(a*x*sqrt(a + b*x^2))) - ((2*A*b - a*B)*x)/(a^2*sqrt(a + b*x^2)), x, 2),
+((A + B*x^2)/(x^3*(a + b*x^2)^(3//2)), -((3*A*b - 2*a*B)/(2*a^2*sqrt(a + b*x^2))) - A/(2*a*x^2*sqrt(a + b*x^2)) + ((3*A*b - 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)), x, 5),
+((A + B*x^2)/(x^4*(a + b*x^2)^(3//2)), -(A/(3*a*x^3*sqrt(a + b*x^2))) + (4*A*b - 3*a*B)/(3*a^2*x*sqrt(a + b*x^2)) + (2*b*(4*A*b - 3*a*B)*x)/(3*a^3*sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^5*(a + b*x^2)^(3//2)), (3*b*(5*A*b - 4*a*B))/(8*a^3*sqrt(a + b*x^2)) - A/(4*a*x^4*sqrt(a + b*x^2)) + (5*A*b - 4*a*B)/(8*a^2*x^2*sqrt(a + b*x^2)) - (3*b*(5*A*b - 4*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(8*a^(7//2)), x, 6),
+((A + B*x^2)/(x^6*(a + b*x^2)^(3//2)), -(A/(5*a*x^5*sqrt(a + b*x^2))) + (6*A*b - 5*a*B)/(15*a^2*x^3*sqrt(a + b*x^2)) - (4*b*(6*A*b - 5*a*B))/(15*a^3*x*sqrt(a + b*x^2)) - (8*b^2*(6*A*b - 5*a*B)*x)/(15*a^4*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^7*(a + b*x^2)^(3//2)), -((5*b^2*(7*A*b - 6*a*B))/(16*a^4*sqrt(a + b*x^2))) - A/(6*a*x^6*sqrt(a + b*x^2)) + (7*A*b - 6*a*B)/(24*a^2*x^4*sqrt(a + b*x^2)) - (5*b*(7*A*b - 6*a*B))/(48*a^3*x^2*sqrt(a + b*x^2)) + (5*b^2*(7*A*b - 6*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(9//2)), x, 7),
+((A + B*x^2)/(x^8*(a + b*x^2)^(3//2)), -(A/(7*a*x^7*sqrt(a + b*x^2))) + (8*A*b - 7*a*B)/(35*a^2*x^5*sqrt(a + b*x^2)) - (2*b*(8*A*b - 7*a*B))/(35*a^3*x^3*sqrt(a + b*x^2)) + (8*b^2*(8*A*b - 7*a*B))/(35*a^4*x*sqrt(a + b*x^2)) + (16*b^3*(8*A*b - 7*a*B)*x)/(35*a^5*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+
+
+((x^7*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^(5//2), (a^3*(A*b - a*B))/(3*b^5*(a + b*x^2)^(3//2)) - (a^2*(3*A*b - 4*a*B))/(b^5*sqrt(a + b*x^2)) - (3*a*(A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/b^5 + ((A*b - 4*a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^5) + (B*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^5), x, 3),
+((x^6*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^(5//2), -(((4*A*b - 7*a*B)*x^5)/(12*b^2*(a + b*x^2)^(3//2))) + (B*x^7)/(4*b*(a + b*x^2)^(3//2)) - (5*(4*A*b - 7*a*B)*x^3)/(12*b^3*sqrt(a + b*x^2)) + (5*(4*A*b - 7*a*B)*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*b^4) - (5*a*(4*A*b - 7*a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*b^(9//2)), x, 6),
+((x^5*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^(5//2), -(a^2*(A*b - a*B))/(3*b^4*(a + b*x^2)^(3//2)) + (a*(2*A*b - 3*a*B))/(b^4*sqrt(a + b*x^2)) + ((A*b - 3*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/b^4 + (B*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^4), x, 3),
+((x^4*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^(5//2), (a*(A*b - a*B)*x)/(3*b^3*(a + b*x^2)^(3//2)) - ((4*A*b - 7*a*B)*x)/(3*b^3*sqrt(a + b*x^2)) + (B*x*sqrt(a + b*x^2))/(2*b^3) + ((2*A*b - 5*a*B)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*b^(7//2)), x, 5),
+((x^3*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^(5//2), (a*(A*b - a*B))/(3*b^3*(a + b*x^2)^(3//2)) - (A*b - 2*a*B)/(b^3*sqrt(a + b*x^2)) + (B*sqrt(a + b*x^2))/b^3, x, 3),
+((x^2*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^(5//2), ((A*b - a*B)*x^3)/(3*a*b*(a + b*x^2)^(3//2)) - (B*x)/(b^2*sqrt(a + b*x^2)) + (B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/b^(5//2), x, 4),
+((x*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^(5//2), -(A*b - a*B)/(3*b^2*(a + b*x^2)^(3//2)) - B/(b^2*sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+((A + B*x^2)/(a + b*x^2)^(5//2), (2*A*x)/(3*a^2*sqrt(a + b*x^2)) + (x*(A + B*x^2))/(3*a*(a + b*x^2)^(3//2)), x, 2),
+((A + B*x^2)/(x*(a + b*x^2)^(5//2)), (A*b - a*B)/(3*a*b*(a + b*x^2)^(3//2)) + A/(a^2*sqrt(a + b*x^2)) - (A*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 5),
+((A + B*x^2)/(x^2*(a + b*x^2)^(5//2)), -(A/(a*x*(a + b*x^2)^(3//2))) - ((4*A*b - a*B)*x)/(3*a^2*(a + b*x^2)^(3//2)) - (2*(4*A*b - a*B)*x)/(3*a^3*sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^3*(a + b*x^2)^(5//2)), -(5*A*b - 2*a*B)/(6*a^2*(a + b*x^2)^(3//2)) - A/(2*a*x^2*(a + b*x^2)^(3//2)) - (5*A*b - 2*a*B)/(2*a^3*sqrt(a + b*x^2)) + ((5*A*b - 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(7//2)), x, 6),
+((A + B*x^2)/(x^4*(a + b*x^2)^(5//2)), -(A/(3*a*x^3*(a + b*x^2)^(3//2))) + (2*A*b - a*B)/(a^2*x*(a + b*x^2)^(3//2)) + (4*b*(2*A*b - a*B)*x)/(3*a^3*(a + b*x^2)^(3//2)) + (8*b*(2*A*b - a*B)*x)/(3*a^4*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^5*(a + b*x^2)^(5//2)), (5*b*(7*A*b - 4*a*B))/(24*a^3*(a + b*x^2)^(3//2)) - A/(4*a*x^4*(a + b*x^2)^(3//2)) + (7*A*b - 4*a*B)/(8*a^2*x^2*(a + b*x^2)^(3//2)) + (5*b*(7*A*b - 4*a*B))/(8*a^4*sqrt(a + b*x^2)) - (5*b*(7*A*b - 4*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(8*a^(9//2)), x, 7),
+((A + B*x^2)/(x^6*(a + b*x^2)^(5//2)), -(A/(5*a*x^5*(a + b*x^2)^(3//2))) + (8*A*b - 5*a*B)/(15*a^2*x^3*(a + b*x^2)^(3//2)) - (2*b*(8*A*b - 5*a*B))/(5*a^3*x*(a + b*x^2)^(3//2)) - (8*b^2*(8*A*b - 5*a*B)*x)/(15*a^4*(a + b*x^2)^(3//2)) - (16*b^2*(8*A*b - 5*a*B)*x)/(15*a^5*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^2
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^5*(a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2), (c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*d^5) - (2*c*(b*c - a*d)*(2*b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(5//2))/(5*d^5) + ((6*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*(c + d*x^2)^(7//2))/(7*d^5) - (2*b*(2*b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(9//2))/(9*d^5) + (b^2*(c + d*x^2)^(11//2))/(11*d^5), x, 3),
+(x^3*(a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2), -((c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*d^4)) + ((b*c - a*d)*(3*b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(5//2))/(5*d^4) - (b*(3*b*c - 2*a*d)*(c + d*x^2)^(7//2))/(7*d^4) + (b^2*(c + d*x^2)^(9//2))/(9*d^4), x, 3),
+(x^1*(a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2), ((b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*d^3) - (2*b*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(5//2))/(5*d^3) + (b^2*(c + d*x^2)^(7//2))/(7*d^3), x, 3),
+(((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2))/x^1, a^2*sqrt(c + d*x^2) - (b*(b*c - 2*a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*d^2) + (b^2*(c + d*x^2)^(5//2))/(5*d^2) - a^2*sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)), x, 6),
+(((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2))/x^3, (a*(4*b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(2*c) + (b^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*d) - (a^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(2*c*x^2) - (a*(4*b*c + a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(2*sqrt(c)), x, 6),
+(((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2))/x^5, ((8*b^2*c^2 + a*d*(8*b*c - a*d))*sqrt(c + d*x^2))/(8*c^2) - (a^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(4*c*x^4) - (a*(8*b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(8*c^2*x^2) - ((8*b^2*c^2 + a*d*(8*b*c - a*d))*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(8*c^(3//2)), x, 6),
+(((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2))/x^7, -(((8*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^2))/(16*c^2*x^2)) - (a^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(6*c*x^6) - (a*(4*b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(8*c^2*x^4) - (d*(8*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(16*c^(5//2)), x, 6),
+
+(x^2*(a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2), (c*(16*a^2*d^2 + b*c*(5*b*c - 16*a*d))*x*sqrt(c + d*x^2))/(128*d^3) + ((16*a^2*d^2 + b*c*(5*b*c - 16*a*d))*x^3*sqrt(c + d*x^2))/(64*d^2) - (b*(5*b*c - 16*a*d)*x^3*(c + d*x^2)^(3//2))/(48*d^2) + (b^2*x^5*(c + d*x^2)^(3//2))/(8*d) - (c^2*(16*a^2*d^2 + b*c*(5*b*c - 16*a*d))*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(128*d^(7//2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2), ((b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*x*sqrt(c + d*x^2))/(16*d^2) - (b*(3*b*c - 8*a*d)*x*(c + d*x^2)^(3//2))/(24*d^2) + (b*x*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2))/(6*d) + (c*(b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(16*d^(5//2)), x, 5),
+(((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2))/x^2, -(((b^2*c^2 - 8*a*d*(b*c + a*d))*x*sqrt(c + d*x^2))/(8*c*d)) - (a^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(c*x) + (b^2*x*(c + d*x^2)^(3//2))/(4*d) - ((b^2*c^2 - 8*a*d*(b*c + a*d))*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(8*d^(3//2)), x, 5),
+(((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2))/x^4, (b*(b*c + 4*a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(2*c) - (a^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*c*x^3) - (2*a*b*(c + d*x^2)^(3//2))/(c*x) + (b*(b*c + 4*a*d)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(2*sqrt(d)), x, 5),
+(((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2))/x^6, -((b^2*sqrt(c + d*x^2))/x) - (a^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(5*c*x^5) - (2*a*(5*b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(15*c^2*x^3) + b^2*sqrt(d)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+(((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2))/x^8, -((a^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(7*c*x^7)) - (2*a*(7*b*c - 2*a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(35*c^2*x^5) - ((35*b^2*c^2 - 4*a*d*(7*b*c - 2*a*d))*(c + d*x^2)^(3//2))/(105*c^3*x^3), x, 3),
+(((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2))/x^10, -((a^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(9*c*x^9)) - (2*a*(3*b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(21*c^2*x^7) - ((21*b^2*c^2 - 8*a*d*(3*b*c - a*d))*(c + d*x^2)^(3//2))/(105*c^3*x^5) + (2*d*(21*b^2*c^2 - 8*a*d*(3*b*c - a*d))*(c + d*x^2)^(3//2))/(315*c^4*x^3), x, 4),
+(((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2))/x^12, -((a^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(11*c*x^11)) - (2*a*(11*b*c - 4*a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(99*c^2*x^9) - ((33*b^2*c^2 - 4*a*d*(11*b*c - 4*a*d))*(c + d*x^2)^(3//2))/(231*c^3*x^7) + (4*d*(33*b^2*c^2 - 4*a*d*(11*b*c - 4*a*d))*(c + d*x^2)^(3//2))/(1155*c^4*x^5) - (8*d^2*(33*b^2*c^2 - 4*a*d*(11*b*c - 4*a*d))*(c + d*x^2)^(3//2))/(3465*c^5*x^3), x, 5),
+
+
+(x^4*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2), -((c^3*(24*a^2*d^2 + b*c*(7*b*c - 24*a*d))*x*sqrt(c + d*x^2))/(1024*d^4)) + (c^2*(24*a^2*d^2 + b*c*(7*b*c - 24*a*d))*x^3*sqrt(c + d*x^2))/(1536*d^3) + (c*(24*a^2*d^2 + b*c*(7*b*c - 24*a*d))*x^5*sqrt(c + d*x^2))/(384*d^2) + ((24*a^2*d^2 + b*c*(7*b*c - 24*a*d))*x^5*(c + d*x^2)^(3//2))/(192*d^2) - (b*(7*b*c - 24*a*d)*x^5*(c + d*x^2)^(5//2))/(120*d^2) + (b^2*x^7*(c + d*x^2)^(5//2))/(12*d) + (c^4*(24*a^2*d^2 + b*c*(7*b*c - 24*a*d))*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(1024*d^(9//2)), x, 8),
+(x^3*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2), -((c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^(5//2))/(5*d^4)) + ((b*c - a*d)*(3*b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(7//2))/(7*d^4) - (b*(3*b*c - 2*a*d)*(c + d*x^2)^(9//2))/(9*d^4) + (b^2*(c + d*x^2)^(11//2))/(11*d^4), x, 3),
+(x^2*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2), (c^2*(16*a^2*d^2 + 3*b*c*(b*c - 4*a*d))*x*sqrt(c + d*x^2))/(256*d^3) + (c*(16*a^2*d^2 + 3*b*c*(b*c - 4*a*d))*x^3*sqrt(c + d*x^2))/(128*d^2) + ((16*a^2*d^2 + 3*b*c*(b*c - 4*a*d))*x^3*(c + d*x^2)^(3//2))/(96*d^2) - (b*(b*c - 4*a*d)*x^3*(c + d*x^2)^(5//2))/(16*d^2) + (b^2*x^5*(c + d*x^2)^(5//2))/(10*d) - (c^3*(16*a^2*d^2 + 3*b*c*(b*c - 4*a*d))*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(256*d^(7//2)), x, 7),
+(x*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2), ((b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^(5//2))/(5*d^3) - (2*b*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(7//2))/(7*d^3) + (b^2*(c + d*x^2)^(9//2))/(9*d^3), x, 3),
+((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2), (c*(3*b^2*c^2 - 16*a*b*c*d + 48*a^2*d^2)*x*sqrt(c + d*x^2))/(128*d^2) + ((3*b^2*c^2 - 16*a*b*c*d + 48*a^2*d^2)*x*(c + d*x^2)^(3//2))/(192*d^2) - (b*(3*b*c - 10*a*d)*x*(c + d*x^2)^(5//2))/(48*d^2) + (b*x*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(5//2))/(8*d) + (c^2*(3*b^2*c^2 - 16*a*b*c*d + 48*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(128*d^(5//2)), x, 6),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2))/x, a^2*c*sqrt(c + d*x^2) + (1//3)*a^2*(c + d*x^2)^(3//2) - (b*(b*c - 2*a*d)*(c + d*x^2)^(5//2))/(5*d^2) + (b^2*(c + d*x^2)^(7//2))/(7*d^2) - a^2*c^(3//2)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)), x, 7),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2))/x^2, -(((b^2*c^2 - 12*a*d*(b*c + 2*a*d))*x*sqrt(c + d*x^2))/(16*d)) - ((b^2*c^2 - 12*a*d*(b*c + 2*a*d))*x*(c + d*x^2)^(3//2))/(24*c*d) - (a^2*(c + d*x^2)^(5//2))/(c*x) + (b^2*x*(c + d*x^2)^(5//2))/(6*d) - (c*(b^2*c^2 - 12*a*d*(b*c + 2*a*d))*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(16*d^(3//2)), x, 6),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2))/x^3, (1//2)*a*(4*b*c + 3*a*d)*sqrt(c + d*x^2) + (a*(4*b*c + 3*a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(6*c) + (b^2*(c + d*x^2)^(5//2))/(5*d) - (a^2*(c + d*x^2)^(5//2))/(2*c*x^2) - (1//2)*a*sqrt(c)*(4*b*c + 3*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)), x, 7),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2))/x^4, ((3*b^2*c^2 + 8*a*d*(3*b*c + a*d))*x*sqrt(c + d*x^2))/(8*c) + ((3*b^2*c^2 + 8*a*d*(3*b*c + a*d))*x*(c + d*x^2)^(3//2))/(12*c^2) - (a^2*(c + d*x^2)^(5//2))/(3*c*x^3) - (2*a*(3*b*c + a*d)*(c + d*x^2)^(5//2))/(3*c^2*x) + ((3*b^2*c^2 + 8*a*d*(3*b*c + a*d))*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(8*sqrt(d)), x, 6),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2))/x^5, ((8*b^2*c^2 + 3*a*d*(8*b*c + a*d))*sqrt(c + d*x^2))/(8*c) + ((8*b^2*c^2 + 3*a*d*(8*b*c + a*d))*(c + d*x^2)^(3//2))/(24*c^2) - (a^2*(c + d*x^2)^(5//2))/(4*c*x^4) - (a*(8*b*c + a*d)*(c + d*x^2)^(5//2))/(8*c^2*x^2) - ((8*b^2*c^2 + 3*a*d*(8*b*c + a*d))*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(8*sqrt(c)), x, 7),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2))/x^6, (b*d*(3*b*c + 4*a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(2*c) - (b*(3*b*c + 4*a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*c*x) - (a^2*(c + d*x^2)^(5//2))/(5*c*x^5) - (2*a*b*(c + d*x^2)^(5//2))/(3*c*x^3) + (1//2)*b*sqrt(d)*(3*b*c + 4*a*d)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2))/x^7, (d*(24*b^2*c^2 + a*d*(12*b*c - a*d))*sqrt(c + d*x^2))/(16*c^2) - ((24*b^2*c^2 + a*d*(12*b*c - a*d))*(c + d*x^2)^(3//2))/(48*c^2*x^2) - (a^2*(c + d*x^2)^(5//2))/(6*c*x^6) - (a*(12*b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(5//2))/(24*c^2*x^4) - (d*(24*b^2*c^2 + a*d*(12*b*c - a*d))*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(16*c^(3//2)), x, 7),
+
+
+(x^3*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2), -((c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^(7//2))/(7*d^4)) + ((b*c - a*d)*(3*b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(9//2))/(9*d^4) - (b*(3*b*c - 2*a*d)*(c + d*x^2)^(11//2))/(11*d^4) + (b^2*(c + d*x^2)^(13//2))/(13*d^4), x, 3),
+(x^2*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2), (c^3*(40*a^2*d^2 + b*c*(5*b*c - 24*a*d))*x*sqrt(c + d*x^2))/(1024*d^3) + (c^2*(40*a^2*d^2 + b*c*(5*b*c - 24*a*d))*x^3*sqrt(c + d*x^2))/(512*d^2) + (c*(40*a^2*d^2 + b*c*(5*b*c - 24*a*d))*x^3*(c + d*x^2)^(3//2))/(384*d^2) + ((40*a^2*d^2 + b*c*(5*b*c - 24*a*d))*x^3*(c + d*x^2)^(5//2))/(320*d^2) - (b*(5*b*c - 24*a*d)*x^3*(c + d*x^2)^(7//2))/(120*d^2) + (b^2*x^5*(c + d*x^2)^(7//2))/(12*d) - (c^4*(40*a^2*d^2 + b*c*(5*b*c - 24*a*d))*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(1024*d^(7//2)), x, 8),
+(x*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2), ((b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^(7//2))/(7*d^3) - (2*b*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(9//2))/(9*d^3) + (b^2*(c + d*x^2)^(11//2))/(11*d^3), x, 3),
+((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2), (c^2*(3*b^2*c^2 - 20*a*b*c*d + 80*a^2*d^2)*x*sqrt(c + d*x^2))/(256*d^2) + (c*(3*b^2*c^2 - 20*a*b*c*d + 80*a^2*d^2)*x*(c + d*x^2)^(3//2))/(384*d^2) + ((3*b^2*c^2 - 20*a*b*c*d + 80*a^2*d^2)*x*(c + d*x^2)^(5//2))/(480*d^2) - (3*b*(b*c - 4*a*d)*x*(c + d*x^2)^(7//2))/(80*d^2) + (b*x*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(7//2))/(10*d) + (c^3*(3*b^2*c^2 - 20*a*b*c*d + 80*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(256*d^(5//2)), x, 7),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2))/x, a^2*c^2*sqrt(c + d*x^2) + (1//3)*a^2*c*(c + d*x^2)^(3//2) + (1//5)*a^2*(c + d*x^2)^(5//2) - (b*(b*c - 2*a*d)*(c + d*x^2)^(7//2))/(7*d^2) + (b^2*(c + d*x^2)^(9//2))/(9*d^2) - a^2*c^(5//2)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)), x, 8),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2))/x^2, -((5*c*(b^2*c^2 - 16*a*d*(b*c + 3*a*d))*x*sqrt(c + d*x^2))/(128*d)) - (5*(b^2*c^2 - 16*a*d*(b*c + 3*a*d))*x*(c + d*x^2)^(3//2))/(192*d) - ((b^2*c^2 - 16*a*d*(b*c + 3*a*d))*x*(c + d*x^2)^(5//2))/(48*c*d) - (a^2*(c + d*x^2)^(7//2))/(c*x) + (b^2*x*(c + d*x^2)^(7//2))/(8*d) - (5*c^2*(b^2*c^2 - 16*a*d*(b*c + 3*a*d))*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(128*d^(3//2)), x, 7),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2))/x^3, (1//2)*a*c*(4*b*c + 5*a*d)*sqrt(c + d*x^2) + (1//6)*a*(4*b*c + 5*a*d)*(c + d*x^2)^(3//2) + (a*(4*b*c + 5*a*d)*(c + d*x^2)^(5//2))/(10*c) + (b^2*(c + d*x^2)^(7//2))/(7*d) - (a^2*(c + d*x^2)^(7//2))/(2*c*x^2) - (1//2)*a*c^(3//2)*(4*b*c + 5*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)), x, 8),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2))/x^4, (5//16)*(b^2*c^2 + 4*a*d*(3*b*c + 2*a*d))*x*sqrt(c + d*x^2) + (5*(b^2*c^2 + 4*a*d*(3*b*c + 2*a*d))*x*(c + d*x^2)^(3//2))/(24*c) + ((b^2*c^2 + 4*a*d*(3*b*c + 2*a*d))*x*(c + d*x^2)^(5//2))/(6*c^2) - (a^2*(c + d*x^2)^(7//2))/(3*c*x^3) - (2*a*(3*b*c + 2*a*d)*(c + d*x^2)^(7//2))/(3*c^2*x) + (5*c*(b^2*c^2 + 4*a*d*(3*b*c + 2*a*d))*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(16*sqrt(d)), x, 7),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2))/x^5, (1//8)*(8*b^2*c^2 + 5*a*d*(8*b*c + 3*a*d))*sqrt(c + d*x^2) + ((8*b^2*c^2 + 5*a*d*(8*b*c + 3*a*d))*(c + d*x^2)^(3//2))/(24*c) + ((8*b^2*c^2 + 5*a*d*(8*b*c + 3*a*d))*(c + d*x^2)^(5//2))/(40*c^2) - (a^2*(c + d*x^2)^(7//2))/(4*c*x^4) - (a*(8*b*c + 3*a*d)*(c + d*x^2)^(7//2))/(8*c^2*x^2) - (1//8)*sqrt(c)*(8*b^2*c^2 + 5*a*d*(8*b*c + 3*a*d))*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)), x, 8),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2))/x^6, (d*(15*b^2*c^2 + 8*a*d*(5*b*c + a*d))*x*sqrt(c + d*x^2))/(8*c) + (d*(15*b^2*c^2 + 8*a*d*(5*b*c + a*d))*x*(c + d*x^2)^(3//2))/(12*c^2) - ((15*b^2*c^2 + 8*a*d*(5*b*c + a*d))*(c + d*x^2)^(5//2))/(15*c^2*x) - (a^2*(c + d*x^2)^(7//2))/(5*c*x^5) - (2*a*(5*b*c + a*d)*(c + d*x^2)^(7//2))/(15*c^2*x^3) + (1//8)*sqrt(d)*(15*b^2*c^2 + 8*a*d*(5*b*c + a*d))*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2))/x^7, (5*d*(8*b^2*c^2 + a*d*(12*b*c + a*d))*sqrt(c + d*x^2))/(16*c) + (5*d*(8*b^2*c^2 + a*d*(12*b*c + a*d))*(c + d*x^2)^(3//2))/(48*c^2) - ((8*b^2*c^2 + a*d*(12*b*c + a*d))*(c + d*x^2)^(5//2))/(16*c^2*x^2) - (a^2*(c + d*x^2)^(7//2))/(6*c*x^6) - (a*(12*b*c + a*d)*(c + d*x^2)^(7//2))/(24*c^2*x^4) - (5*d*(8*b^2*c^2 + a*d*(12*b*c + a*d))*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(16*sqrt(c)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^4*(a + b*x^2)^2)/sqrt(c + d*x^2), -((c*(48*a^2*d^2 + 5*b*c*(7*b*c - 16*a*d))*x*sqrt(c + d*x^2))/(128*d^4)) + ((48*a^2*d^2 + 5*b*c*(7*b*c - 16*a*d))*x^3*sqrt(c + d*x^2))/(192*d^3) - (b*(7*b*c - 16*a*d)*x^5*sqrt(c + d*x^2))/(48*d^2) + (b^2*x^7*sqrt(c + d*x^2))/(8*d) + (c^2*(48*a^2*d^2 + 5*b*c*(7*b*c - 16*a*d))*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(128*d^(9//2)), x, 6),
+((x^3*(a + b*x^2)^2)/sqrt(c + d*x^2), -((c*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2))/d^4) + ((b*c - a*d)*(3*b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*d^4) - (b*(3*b*c - 2*a*d)*(c + d*x^2)^(5//2))/(5*d^4) + (b^2*(c + d*x^2)^(7//2))/(7*d^4), x, 3),
+((x^2*(a + b*x^2)^2)/sqrt(c + d*x^2), ((8*a^2*d^2 + b*c*(5*b*c - 12*a*d))*x*sqrt(c + d*x^2))/(16*d^3) - (b*(5*b*c - 12*a*d)*x^3*sqrt(c + d*x^2))/(24*d^2) + (b^2*x^5*sqrt(c + d*x^2))/(6*d) - (c*(8*a^2*d^2 + b*c*(5*b*c - 12*a*d))*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(16*d^(7//2)), x, 5),
+((x*(a + b*x^2)^2)/sqrt(c + d*x^2), ((b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2))/d^3 - (2*b*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*d^3) + (b^2*(c + d*x^2)^(5//2))/(5*d^3), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/sqrt(c + d*x^2), (-3*b*(b*c - 2*a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(8*d^2) + (b*x*(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(4*d) + ((3*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(8*d^(5//2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^2/(x*sqrt(c + d*x^2)), -((b*(b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/d^2) + (b^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*d^2) - (a^2*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/sqrt(c), x, 5),
+((a + b*x^2)^2/(x^2*sqrt(c + d*x^2)), -((a^2*sqrt(c + d*x^2))/(c*x)) + (b^2*x*sqrt(c + d*x^2))/(2*d) - (b*(b*c - 4*a*d)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(2*d^(3//2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^2/(x^3*sqrt(c + d*x^2)), (b^2*sqrt(c + d*x^2))/d - (a^2*sqrt(c + d*x^2))/(2*c*x^2) - (a*(4*b*c - a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(2*c^(3//2)), x, 5),
+((a + b*x^2)^2/(x^4*sqrt(c + d*x^2)), -((a^2*sqrt(c + d*x^2))/(3*c*x^3)) - (2*a*(3*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(3*c^2*x) + (b^2*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/sqrt(d), x, 4),
+((a + b*x^2)^2/(x^5*sqrt(c + d*x^2)), -((a^2*sqrt(c + d*x^2))/(4*c*x^4)) - (a*(8*b*c - 3*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(8*c^2*x^2) - ((8*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(8*c^(5//2)), x, 5),
+((a + b*x^2)^2/(x^6*sqrt(c + d*x^2)), -((a^2*sqrt(c + d*x^2))/(5*c*x^5)) - (2*a*(5*b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(15*c^2*x^3) - ((15*b^2*c^2 - 4*a*d*(5*b*c - 2*a*d))*sqrt(c + d*x^2))/(15*c^3*x), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(x^7*sqrt(c + d*x^2)), -((a^2*sqrt(c + d*x^2))/(6*c*x^6)) - (a*(12*b*c - 5*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(24*c^2*x^4) - ((8*b^2*c^2 - 12*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^2))/(16*c^3*x^2) + (d*(8*b^2*c^2 - 12*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(16*c^(7//2)), x, 6),
+
+
+((x^4*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^(3//2), ((b*c - a*d)^2*x^5)/(c*d^2*sqrt(c + d*x^2)) + ((35*b^2*c^2 - 60*a*b*c*d + 24*a^2*d^2)*x*sqrt(c + d*x^2))/(16*d^4) - ((35*b^2*c^2 - 60*a*b*c*d + 24*a^2*d^2)*x^3*sqrt(c + d*x^2))/(24*c*d^3) + (b^2*x^5*sqrt(c + d*x^2))/(6*d^2) - (c*(35*b^2*c^2 - 60*a*b*c*d + 24*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(16*d^(9//2)), x, 6),
+((x^3*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^(3//2), (c*(b*c - a*d)^2)/(d^4*sqrt(c + d*x^2)) + ((b*c - a*d)*(3*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/d^4 - (b*(3*b*c - 2*a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*d^4) + (b^2*(c + d*x^2)^(5//2))/(5*d^4), x, 3),
+((x^2*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^(3//2), ((b*c - a*d)^2*x^3)/(c*d^2*sqrt(c + d*x^2)) - ((15*b^2*c^2 - 24*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*x*sqrt(c + d*x^2))/(8*c*d^3) + (b^2*x^3*sqrt(c + d*x^2))/(4*d^2) + ((15*b^2*c^2 - 24*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(8*d^(7//2)), x, 5),
+((x*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^(3//2), -((b*c - a*d)^2/(d^3*sqrt(c + d*x^2))) - (2*b*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/d^3 + (b^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*d^3), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(c + d*x^2)^(3//2), -(((b*c - a*d)*x*(a + b*x^2))/(c*d*sqrt(c + d*x^2))) + (b*(3*b*c - 2*a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(2*c*d^2) - (b*(3*b*c - 4*a*d)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(2*d^(5//2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^2/(x*(c + d*x^2)^(3//2)), (b*c - a*d)^2/(c*d^2*sqrt(c + d*x^2)) + (b^2*sqrt(c + d*x^2))/d^2 - (a^2*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/c^(3//2), x, 5),
+((a + b*x^2)^2/(x^2*(c + d*x^2)^(3//2)), -(a^2/(c*x*sqrt(c + d*x^2))) - ((b^2*c^2 - 2*a*d*(b*c - a*d))*x)/(c^2*d*sqrt(c + d*x^2)) + (b^2*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/d^(3//2), x, 4),
+((a + b*x^2)^2/(x^3*(c + d*x^2)^(3//2)), (4*a*b - (2*b^2*c)/d - (3*a^2*d)/c)/(2*c*sqrt(c + d*x^2)) - a^2/(2*c*x^2*sqrt(c + d*x^2)) - (a*(4*b*c - 3*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(2*c^(5//2)), x, 5),
+((a + b*x^2)^2/(x^4*(c + d*x^2)^(3//2)), -(a^2/(3*c*x^3*sqrt(c + d*x^2))) - (2*a*(3*b*c - 2*a*d))/(3*c^2*x*sqrt(c + d*x^2)) + ((3*b^2*c^2 - 4*a*d*(3*b*c - 2*a*d))*x)/(3*c^3*sqrt(c + d*x^2)), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(x^5*(c + d*x^2)^(3//2)), (8*b^2*c^2 - 3*a*d*(8*b*c - 5*a*d))/(8*c^3*sqrt(c + d*x^2)) - a^2/(4*c*x^4*sqrt(c + d*x^2)) - (a*(8*b*c - 5*a*d))/(8*c^2*x^2*sqrt(c + d*x^2)) - ((8*b^2*c^2 - 3*a*d*(8*b*c - 5*a*d))*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(8*c^(7//2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^2/(x^6*(c + d*x^2)^(3//2)), -(a^2/(5*c*x^5*sqrt(c + d*x^2))) - (2*a*(5*b*c - 3*a*d))/(15*c^2*x^3*sqrt(c + d*x^2)) - (15*b^2*c^2 - 8*a*d*(5*b*c - 3*a*d))/(15*c^3*x*sqrt(c + d*x^2)) - (2*d*(15*b^2*c^2 - 8*a*d*(5*b*c - 3*a*d))*x)/(15*c^4*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^2/(x^7*(c + d*x^2)^(3//2)), -((d*(24*b^2*c^2 - 5*a*d*(12*b*c - 7*a*d)))/(16*c^4*sqrt(c + d*x^2))) - a^2/(6*c*x^6*sqrt(c + d*x^2)) - (a*(12*b*c - 7*a*d))/(24*c^2*x^4*sqrt(c + d*x^2)) - (24*b^2*c^2 - 5*a*d*(12*b*c - 7*a*d))/(48*c^3*x^2*sqrt(c + d*x^2)) + (d*(24*b^2*c^2 - 5*a*d*(12*b*c - 7*a*d))*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(16*c^(9//2)), x, 7),
+
+
+((x^4*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^(5//2), ((b*c - a*d)^2*x^5)/(3*c*d^2*(c + d*x^2)^(3//2)) + ((35*b^2*c^2 - 40*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*x^3)/(12*c*d^3*sqrt(c + d*x^2)) + (b^2*x^5)/(4*d^2*sqrt(c + d*x^2)) - ((35*b^2*c^2 - 40*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*x*sqrt(c + d*x^2))/(8*c*d^4) + ((35*b^2*c^2 - 40*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(8*d^(9//2)), x, 6),
+((x^3*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^(5//2), (c*(b*c - a*d)^2)/(3*d^4*(c + d*x^2)^(3//2)) - ((b*c - a*d)*(3*b*c - a*d))/(d^4*sqrt(c + d*x^2)) - (b*(3*b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/d^4 + (b^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*d^4), x, 3),
+((x^2*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^(5//2), ((b*c - a*d)^2*x^3)/(3*c*d^2*(c + d*x^2)^(3//2)) + (2*b*(b*c - a*d)*x)/(d^3*sqrt(c + d*x^2)) + (b^2*x*sqrt(c + d*x^2))/(2*d^3) - (b*(5*b*c - 4*a*d)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(2*d^(7//2)), x, 5),
+((x*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^(5//2), -((b*c - a*d)^2/(3*d^3*(c + d*x^2)^(3//2))) + (2*b*(b*c - a*d))/(d^3*sqrt(c + d*x^2)) + (b^2*sqrt(c + d*x^2))/d^3, x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(c + d*x^2)^(5//2), -(((b*c - a*d)*x*(a + b*x^2))/(3*c*d*(c + d*x^2)^(3//2))) - ((b*c - a*d)*(3*b*c + 2*a*d)*x)/(3*c^2*d^2*sqrt(c + d*x^2)) + (b^2*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/d^(5//2), x, 4),
+((a + b*x^2)^2/(x*(c + d*x^2)^(5//2)), (b*c - a*d)^2/(3*c*d^2*(c + d*x^2)^(3//2)) + (a^2/c^2 - b^2/d^2)/sqrt(c + d*x^2) - (a^2*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/c^(5//2), x, 5),
+((a + b*x^2)^2/(x^2*(c + d*x^2)^(5//2)), -(a^2/(c*x*(c + d*x^2)^(3//2))) + (x*(2*a*(b*c - 2*a*d) + b^2*c*x^2))/(3*c^2*(c + d*x^2)^(3//2)) + (4*a*(b*c - 2*a*d)*x)/(3*c^3*sqrt(c + d*x^2)), x, 3),
+((a + b*x^2)^2/(x^3*(c + d*x^2)^(5//2)), (4*a*b - (2*b^2*c)/d - (5*a^2*d)/c)/(6*c*(c + d*x^2)^(3//2)) - a^2/(2*c*x^2*(c + d*x^2)^(3//2)) + (a*(4*b*c - 5*a*d))/(2*c^3*sqrt(c + d*x^2)) - (a*(4*b*c - 5*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(2*c^(7//2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^2/(x^4*(c + d*x^2)^(5//2)), -(a^2/(3*c*x^3*(c + d*x^2)^(3//2))) - (2*a*(b*c - a*d))/(c^2*x*(c + d*x^2)^(3//2)) + ((b^2*c^2 - 8*a*d*(b*c - a*d))*x)/(3*c^3*(c + d*x^2)^(3//2)) + (2*(b^2*c^2 - 8*a*d*(b*c - a*d))*x)/(3*c^4*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^2/(x^5*(c + d*x^2)^(5//2)), (8*b^2*c^2 - 5*a*d*(8*b*c - 7*a*d))/(24*c^3*(c + d*x^2)^(3//2)) - a^2/(4*c*x^4*(c + d*x^2)^(3//2)) - (a*(8*b*c - 7*a*d))/(8*c^2*x^2*(c + d*x^2)^(3//2)) + (8*b^2*c^2 - 5*a*d*(8*b*c - 7*a*d))/(8*c^4*sqrt(c + d*x^2)) - ((8*b^2*c^2 - 5*a*d*(8*b*c - 7*a*d))*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(8*c^(9//2)), x, 7),
+((a + b*x^2)^2/(x^6*(c + d*x^2)^(5//2)), -(a^2/(5*c*x^5*(c + d*x^2)^(3//2))) - (2*a*(5*b*c - 4*a*d))/(15*c^2*x^3*(c + d*x^2)^(3//2)) - (5*b^2*c^2 - 4*a*d*(5*b*c - 4*a*d))/(5*c^3*x*(c + d*x^2)^(3//2)) - (4*d*(5*b^2*c^2 - 4*a*d*(5*b*c - 4*a*d))*x)/(15*c^4*(c + d*x^2)^(3//2)) - (8*d*(5*b^2*c^2 - 4*a*d*(5*b*c - 4*a*d))*x)/(15*c^5*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^3
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (b x^2)^(p/2) / (c+d x^2)^1
+
+
+(x^5/((a + b*x^2)*sqrt(d*x^2)), -((a*x^2)/(b^2*sqrt(d*x^2))) + x^4/(3*b*sqrt(d*x^2)) + (a^(3//2)*x*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(b^(5//2)*sqrt(d*x^2)), x, 4),
+(x^3/((a + b*x^2)*sqrt(d*x^2)), x^2/(b*sqrt(d*x^2)) - (sqrt(a)*x*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(b^(3//2)*sqrt(d*x^2)), x, 3),
+(x^1/((a + b*x^2)*sqrt(d*x^2)), (x*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(d*x^2)), x, 2),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)*sqrt(d*x^2)), -(1/(a*sqrt(d*x^2))) - (sqrt(b)*x*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*sqrt(d*x^2)), x, 3),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)*sqrt(d*x^2)), b/(a^2*sqrt(d*x^2)) - 1/(3*a*x^2*sqrt(d*x^2)) + (b^(3//2)*x*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(5//2)*sqrt(d*x^2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^(p/2) / (c+d x^2)^1
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((x^4*sqrt(c + d*x^2))/(a + b*x^2), ((b*c - 4*a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(8*b^2*d) + (x^3*sqrt(c + d*x^2))/(4*b) + (a^(3//2)*sqrt(b*c - a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/b^3 - ((b^2*c^2 + 4*a*b*c*d - 8*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(8*b^3*d^(3//2)), x, 7),
+((x^3*sqrt(c + d*x^2))/(a + b*x^2), -((a*sqrt(c + d*x^2))/b^2) + (c + d*x^2)^(3//2)/(3*b*d) + (a*sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(5//2), x, 5),
+((x^2*sqrt(c + d*x^2))/(a + b*x^2), (x*sqrt(c + d*x^2))/(2*b) - (sqrt(a)*sqrt(b*c - a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/b^2 + ((b*c - 2*a*d)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(2*b^2*sqrt(d)), x, 6),
+((x*sqrt(c + d*x^2))/(a + b*x^2), sqrt(c + d*x^2)/b - (sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(3//2), x, 4),
+(sqrt(c + d*x^2)/(a + b*x^2), (sqrt(b*c - a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(sqrt(a)*b) + (sqrt(d)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/b, x, 5),
+(sqrt(c + d*x^2)/(x*(a + b*x^2)), -((sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/a) + (sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(a*sqrt(b)), x, 6),
+(sqrt(c + d*x^2)/(x^2*(a + b*x^2)), -(sqrt(c + d*x^2)/(a*x)) - (sqrt(b*c - a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/a^(3//2), x, 4),
+(sqrt(c + d*x^2)/(x^3*(a + b*x^2)), -sqrt(c + d*x^2)/(2*a*x^2) + ((2*b*c - a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(2*a^2*sqrt(c)) - (sqrt(b)*sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/a^2, x, 7),
+(sqrt(c + d*x^2)/(x^4*(a + b*x^2)), -sqrt(c + d*x^2)/(3*a*x^3) + ((3*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(3*a^2*c*x) + (b*sqrt(b*c - a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/a^(5//2), x, 5),
+
+
+((x^4*(c + d*x^2)^(3//2))/(a + b*x^2), ((b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*x*sqrt(c + d*x^2))/(16*b^3*d) + ((7*b*c - 6*a*d)*x^3*sqrt(c + d*x^2))/(24*b^2) + (d*x^5*sqrt(c + d*x^2))/(6*b) + (a^(3//2)*(b*c - a*d)^(3//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/b^4 - ((b*c - 2*a*d)*(b^2*c^2 + 8*a*b*c*d - 8*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(16*b^4*d^(3//2)), x, 8),
+((x^3*(c + d*x^2)^(3//2))/(a + b*x^2), -((a*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/b^3) - (a*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*b^2) + (c + d*x^2)^(5//2)/(5*b*d) + (a*(b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(7//2), x, 6),
+((x^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(a + b*x^2), ((5*b*c - 4*a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(8*b^2) + (d*x^3*sqrt(c + d*x^2))/(4*b) - (sqrt(a)*(b*c - a*d)^(3//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/b^3 + ((3*b^2*c^2 - 12*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(8*b^3*sqrt(d)), x, 7),
+((x*(c + d*x^2)^(3//2))/(a + b*x^2), ((b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/b^2 + (c + d*x^2)^(3//2)/(3*b) - ((b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(5//2), x, 5),
+((c + d*x^2)^(3//2)/(a + b*x^2), (d*x*sqrt(c + d*x^2))/(2*b) + ((b*c - a*d)^(3//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(sqrt(a)*b^2) + (sqrt(d)*(3*b*c - 2*a*d)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(2*b^2), x, 6),
+((c + d*x^2)^(3//2)/(x*(a + b*x^2)), (d*sqrt(c + d*x^2))/b - (c^(3//2)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/a + ((b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(a*b^(3//2)), x, 7),
+((c + d*x^2)^(3//2)/(x^2*(a + b*x^2)), -((c*sqrt(c + d*x^2))/(a*x)) - ((b*c - a*d)^(3//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(a^(3//2)*b) + (d^(3//2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/b, x, 6),
+((c + d*x^2)^(3//2)/(x^3*(a + b*x^2)), -((c*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*x^2)) + (sqrt(c)*(2*b*c - 3*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(2*a^2) - ((b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(a^2*sqrt(b)), x, 7),
+((c + d*x^2)^(3//2)/(x^4*(a + b*x^2)), -(c*sqrt(c + d*x^2))/(3*a*x^3) + ((3*b*c - 4*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(3*a^2*x) + ((b*c - a*d)^(3//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/a^(5//2), x, 5),
+
+
+((x^4*(c + d*x^2)^(5//2))/(a + b*x^2), ((5*b^3*c^3 - 88*a*b^2*c^2*d + 144*a^2*b*c*d^2 - 64*a^3*d^3)*x*sqrt(c + d*x^2))/(128*b^4*d) + ((59*b^2*c^2 - 104*a*b*c*d + 48*a^2*d^2)*x^3*sqrt(c + d*x^2))/(192*b^3) + (d*(11*b*c - 8*a*d)*x^5*sqrt(c + d*x^2))/(48*b^2) + (d*x^5*(c + d*x^2)^(3//2))/(8*b) + (a^(3//2)*(b*c - a*d)^(5//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/b^5 - ((5*b^4*c^4 + 40*a*b^3*c^3*d - 240*a^2*b^2*c^2*d^2 + 320*a^3*b*c*d^3 - 128*a^4*d^4)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(128*b^5*d^(3//2)), x, 9),
+((x^3*(c + d*x^2)^(5//2))/(a + b*x^2), -((a*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2))/b^4) - (a*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*b^3) - (a*(c + d*x^2)^(5//2))/(5*b^2) + (c + d*x^2)^(7//2)/(7*b*d) + (a*(b*c - a*d)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(9//2), x, 7),
+((x^2*(c + d*x^2)^(5//2))/(a + b*x^2), ((11*b^2*c^2 - 18*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*x*sqrt(c + d*x^2))/(16*b^3) + (d*(3*b*c - 2*a*d)*x^3*sqrt(c + d*x^2))/(8*b^2) + (d*x^3*(c + d*x^2)^(3//2))/(6*b) - (sqrt(a)*(b*c - a*d)^(5//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/b^4 + ((5*b^3*c^3 - 30*a*b^2*c^2*d + 40*a^2*b*c*d^2 - 16*a^3*d^3)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(16*b^4*sqrt(d)), x, 8),
+((x*(c + d*x^2)^(5//2))/(a + b*x^2), ((b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2))/b^3 + ((b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*b^2) + (c + d*x^2)^(5//2)/(5*b) - ((b*c - a*d)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(7//2), x, 6),
+((c + d*x^2)^(5//2)/(a + b*x^2), (d*(7*b*c - 4*a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(8*b^2) + (d*x*(c + d*x^2)^(3//2))/(4*b) + ((b*c - a*d)^(5//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(sqrt(a)*b^3) + (sqrt(d)*(15*b^2*c^2 - 20*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(8*b^3), x, 7),
+((c + d*x^2)^(5//2)/(x*(a + b*x^2)), (d*(2*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/b^2 + (d*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*b) - (c^(5//2)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/a + ((b*c - a*d)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(a*b^(5//2)), x, 8),
+((c + d*x^2)^(5//2)/(x^2*(a + b*x^2)), (d*(2*b*c + a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*b) - (c*(c + d*x^2)^(3//2))/(a*x) - ((b*c - a*d)^(5//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(a^(3//2)*b^2) + (d^(3//2)*(5*b*c - 2*a*d)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(2*b^2), x, 7),
+((c + d*x^2)^(5//2)/(x^3*(a + b*x^2)), (d*(b*c + 2*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*b) - (c*(c + d*x^2)^(3//2))/(2*a*x^2) + (c^(3//2)*(2*b*c - 5*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(2*a^2) - ((b*c - a*d)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(a^2*b^(3//2)), x, 8),
+((c + d*x^2)^(5//2)/(x^4*(a + b*x^2)), (c*(b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(a^2*x) - (c*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*a*x^3) + ((b*c - a*d)^(5//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(a^(5//2)*b) + (d^(5//2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/b, x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5/((a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), -(((b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(b^2*d^2)) + (c + d*x^2)^(3//2)/(3*b*d^2) - (a^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(b^(5//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 5),
+(x^3/((a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), sqrt(c + d*x^2)/(b*d) + (a*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(b^(3//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 4),
+(x^1/((a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), -(atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d))/(sqrt(b)*sqrt(b*c - a*d))), x, 3),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), -(atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c))/(a*sqrt(c))) + (sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(a*sqrt(b*c - a*d)), x, 6),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), -sqrt(c + d*x^2)/(2*a*c*x^2) + ((2*b*c + a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(2*a^2*c^(3//2)) - (b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(a^2*sqrt(b*c - a*d)), x, 7),
+
+(x^4/((a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), (x*sqrt(c + d*x^2))/(2*b*d) + (a^(3//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(b^2*sqrt(b*c - a*d)) - ((b*c + 2*a*d)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(2*b^2*d^(3//2)), x, 6),
+(x^2/((a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), -((sqrt(a)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(b*sqrt(b*c - a*d))) + atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2))/(b*sqrt(d)), x, 5),
+(x^0/((a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2)))/(sqrt(a)*sqrt(b*c - a*d)), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), -(sqrt(c + d*x^2)/(a*c*x)) - (b*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(a^(3//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 4),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), -sqrt(c + d*x^2)/(3*a*c*x^3) + ((3*b*c + 2*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(3*a^2*c^2*x) + (b^2*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(a^(5//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 5),
+
+
+(x^4/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)), -((c*x)/(d*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))) + (a^(3//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(b*(b*c - a*d)^(3//2)) + atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2))/(b*d^(3//2)), x, 6),
+(x^3/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)), -(c/(d*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))) + (a*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(sqrt(b)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+(x^2/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)), x/((b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2)) - (sqrt(a)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(b*c - a*d)^(3//2), x, 4),
+(x^1/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)), 1/((b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2)) - (sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(b*c - a*d)^(3//2), x, 4),
+(x^0/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)), -((d*x)/(c*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))) + (b*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(sqrt(a)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 3),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)), -(d/(c*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))) - atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c))/(a*c^(3//2)) + (b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(a*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 7),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)), -(d/(c*(b*c - a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))) - ((b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(a*c^2*(b*c - a*d)*x) - (b^2*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(a^(3//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 5),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)), -(d*(b*c - 3*a*d))/(2*a*c^2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2)) - 1/(2*a*c*x^2*sqrt(c + d*x^2)) + ((2*b*c + 3*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(2*a^2*c^(5//2)) - (b^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(a^2*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 8),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)), -(d/(c*(b*c - a*d)*x^3*sqrt(c + d*x^2))) - ((b*c - 4*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(3*a*c^2*(b*c - a*d)*x^3) + ((3*b*c - 4*a*d)*(b*c + 2*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(3*a^2*c^3*(b*c - a*d)*x) + (b^3*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(a^(5//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 6),
+
+
+(x^4/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(5//2)), -(c*x)/(3*d*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2)) + ((b*c - 4*a*d)*x)/(3*d*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2)) + (a^(3//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(b*c - a*d)^(5//2), x, 5),
+(x^3/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(5//2)), -c/(3*d*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2)) - a/((b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2)) + (a*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(b*c - a*d)^(5//2), x, 5),
+(x^2/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(5//2)), x/(3*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2)) + ((2*b*c + a*d)*x)/(3*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2)) - (sqrt(a)*b*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(b*c - a*d)^(5//2), x, 5),
+(x^1/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(5//2)), 1/(3*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2)) + b/((b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2)) - (b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(b*c - a*d)^(5//2), x, 5),
+(x^0/((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(5//2)), -(d*x)/(3*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2)) - (d*(5*b*c - 2*a*d)*x)/(3*c^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2)) + (b^2*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(sqrt(a)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 5),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(5//2)), -d/(3*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2)) - (d*(2*b*c - a*d))/(c^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2)) - atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c))/(a*c^(5//2)) + (b^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(a*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 8),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(5//2)), -(d/(3*c*(b*c - a*d)*x*(c + d*x^2)^(3//2))) - (d*(7*b*c - 4*a*d))/(3*c^2*(b*c - a*d)^2*x*sqrt(c + d*x^2)) - ((b*c - 4*a*d)*(3*b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(3*a*c^3*(b*c - a*d)^2*x) - (b^3*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(a^(3//2)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 6),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(5//2)), -(d*(3*b*c - 5*a*d))/(6*a*c^2*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2)) - 1/(2*a*c*x^2*(c + d*x^2)^(3//2)) - (d*(b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 5*a^2*d^2))/(2*a*c^3*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2)) + ((2*b*c + 5*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(2*a^2*c^(7//2)) - (b^(7//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(a^2*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 9),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(5//2)), -(d/(3*c*(b*c - a*d)*x^3*(c + d*x^2)^(3//2))) - (d*(3*b*c - 2*a*d))/(c^2*(b*c - a*d)^2*x^3*sqrt(c + d*x^2)) - ((b^2*c^2 - 12*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^2))/(3*a*c^3*(b*c - a*d)^2*x^3) + ((b*c - 2*a*d)*(3*b^2*c^2 + 8*a*b*c*d - 8*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^2))/(3*a^2*c^4*(b*c - a*d)^2*x) + (b^4*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(a^(5//2)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^(p/2) / (c+d x^2)^2
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((x^4*sqrt(c + d*x^2))/(a + b*x^2)^2, (x*sqrt(c + d*x^2))/b^2 - (x^3*sqrt(c + d*x^2))/(2*b*(a + b*x^2)) - (sqrt(a)*(3*b*c - 4*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*b^3*sqrt(b*c - a*d)) + ((b*c - 4*a*d)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(2*b^3*sqrt(d)), x, 7),
+((x^3*sqrt(c + d*x^2))/(a + b*x^2)^2, ((2*b*c - 3*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(2*b^2*(b*c - a*d)) + (a*(c + d*x^2)^(3//2))/(2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) - ((2*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*b^(5//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 5),
+((x^2*sqrt(c + d*x^2))/(a + b*x^2)^2, -(x*sqrt(c + d*x^2))/(2*b*(a + b*x^2)) + ((b*c - 2*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*sqrt(a)*b^2*sqrt(b*c - a*d)) + (sqrt(d)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/b^2, x, 6),
+((x*sqrt(c + d*x^2))/(a + b*x^2)^2, -sqrt(c + d*x^2)/(2*b*(a + b*x^2)) - (d*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*b^(3//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 4),
+(sqrt(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^2, (x*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*(a + b*x^2)) + (c*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(3//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 3),
+(sqrt(c + d*x^2)/(x*(a + b*x^2)^2), sqrt(c + d*x^2)/(2*a*(a + b*x^2)) - (sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/a^2 + ((2*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*a^2*sqrt(b)*sqrt(b*c - a*d)), x, 7),
+(sqrt(c + d*x^2)/(x^2*(a + b*x^2)^2), (-3*sqrt(c + d*x^2))/(2*a^2*x) + sqrt(c + d*x^2)/(2*a*x*(a + b*x^2)) - ((3*b*c - 2*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(5//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 5),
+(sqrt(c + d*x^2)/(x^3*(a + b*x^2)^2), -((b*sqrt(c + d*x^2))/(a^2*(a + b*x^2))) - sqrt(c + d*x^2)/(2*a*x^2*(a + b*x^2)) + ((4*b*c - a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(2*a^3*sqrt(c)) - (sqrt(b)*(4*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*a^3*sqrt(b*c - a*d)), x, 8),
+(sqrt(c + d*x^2)/(x^4*(a + b*x^2)^2), (-5*sqrt(c + d*x^2))/(6*a^2*x^3) + ((15*b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(6*a^3*c*x) + sqrt(c + d*x^2)/(2*a*x^3*(a + b*x^2)) + (b*(5*b*c - 4*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(7//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 6),
+
+
+((x^4*(c + d*x^2)^(3//2))/(a + b*x^2)^2, (3*(3*b*c - 4*a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(8*b^3) + (3*d*x^3*sqrt(c + d*x^2))/(4*b^2) - (x^3*(c + d*x^2)^(3//2))/(2*b*(a + b*x^2)) - (3*sqrt(a)*(b*c - 2*a*d)*sqrt(b*c - a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*b^4) + (3*(b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(8*b^4*sqrt(d)), x, 8),
+((x^3*(c + d*x^2)^(3//2))/(a + b*x^2)^2, ((2*b*c - 5*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(2*b^3) + ((2*b*c - 5*a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(6*b^2*(b*c - a*d)) + (a*(c + d*x^2)^(5//2))/(2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) - ((2*b*c - 5*a*d)*sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*b^(7//2)), x, 6),
+((x^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(a + b*x^2)^2, (d*x*sqrt(c + d*x^2))/b^2 - (x*(c + d*x^2)^(3//2))/(2*b*(a + b*x^2)) + ((b*c - 4*a*d)*sqrt(b*c - a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*sqrt(a)*b^3) + (sqrt(d)*(3*b*c - 4*a*d)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(2*b^3), x, 7),
+((x*(c + d*x^2)^(3//2))/(a + b*x^2)^2, (3*d*sqrt(c + d*x^2))/(2*b^2) - (c + d*x^2)^(3//2)/(2*b*(a + b*x^2)) - (3*d*sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*b^(5//2)), x, 5),
+((c + d*x^2)^(3//2)/(a + b*x^2)^2, ((b*c - a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*b*(a + b*x^2)) + (sqrt(b*c - a*d)*(b*c + 2*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(3//2)*b^2) + (d^(3//2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/b^2, x, 6),
+((c + d*x^2)^(3//2)/(x*(a + b*x^2)^2), ((b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*b*(a + b*x^2)) - (c^(3//2)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/a^2 + (sqrt(b*c - a*d)*(2*b*c + a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*a^2*b^(3//2)), x, 7),
+((c + d*x^2)^(3//2)/(x^2*(a + b*x^2)^2), -((3*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(2*a^2*b*x) + ((b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*b*x*(a + b*x^2)) - (3*c*sqrt(b*c - a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(5//2)), x, 5),
+((c + d*x^2)^(3//2)/(x^3*(a + b*x^2)^2), -(((2*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(2*a^2*(a + b*x^2))) - (c*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*x^2*(a + b*x^2)) + (sqrt(c)*(4*b*c - 3*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(2*a^3) - (sqrt(b*c - a*d)*(4*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*a^3*sqrt(b)), x, 8),
+((c + d*x^2)^(3//2)/(x^4*(a + b*x^2)^2), -(((5*b*c - 3*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(6*a^2*b*x^3)) + ((15*b*c - 11*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(6*a^3*x) + ((b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*b*x^3*(a + b*x^2)) + ((5*b*c - 2*a*d)*sqrt(b*c - a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(7//2)), x, 6),
+
+
+((x^4*(c + d*x^2)^(5//2))/(a + b*x^2)^2, ((19*b^2*c^2 - 52*a*b*c*d + 32*a^2*d^2)*x*sqrt(c + d*x^2))/(16*b^4) + (d*(7*b*c - 8*a*d)*x^3*sqrt(c + d*x^2))/(8*b^3) + (2*d*x^3*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*b^2) - (x^3*(c + d*x^2)^(5//2))/(2*b*(a + b*x^2)) - (sqrt(a)*(3*b*c - 8*a*d)*(b*c - a*d)^(3//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*b^5) + ((5*b^3*c^3 - 60*a*b^2*c^2*d + 120*a^2*b*c*d^2 - 64*a^3*d^3)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(16*b^5*sqrt(d)), x, 9),
+((x^3*(c + d*x^2)^(5//2))/(a + b*x^2)^2, ((2*b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(2*b^4) + ((2*b*c - 7*a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(6*b^3) + ((2*b*c - 7*a*d)*(c + d*x^2)^(5//2))/(10*b^2*(b*c - a*d)) + (a*(c + d*x^2)^(7//2))/(2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) - ((2*b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*b^(9//2)), x, 7),
+((x^2*(c + d*x^2)^(5//2))/(a + b*x^2)^2, (d*(11*b*c - 12*a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(8*b^3) + (3*d*x*(c + d*x^2)^(3//2))/(4*b^2) - (x*(c + d*x^2)^(5//2))/(2*b*(a + b*x^2)) + ((b*c - 6*a*d)*(b*c - a*d)^(3//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*sqrt(a)*b^4) + (sqrt(d)*(15*b^2*c^2 - 40*a*b*c*d + 24*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(8*b^4), x, 8),
+((x*(c + d*x^2)^(5//2))/(a + b*x^2)^2, (5*d*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(2*b^3) + (5*d*(c + d*x^2)^(3//2))/(6*b^2) - (c + d*x^2)^(5//2)/(2*b*(a + b*x^2)) - (5*d*(b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*b^(7//2)), x, 6),
+((c + d*x^2)^(5//2)/(a + b*x^2)^2, -(d*(b*c - 2*a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*b^2) + ((b*c - a*d)*x*(c + d*x^2)^(3//2))/(2*a*b*(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)^(3//2)*(b*c + 4*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(3//2)*b^3) + (d^(3//2)*(5*b*c - 4*a*d)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(2*b^3), x, 7),
+((c + d*x^2)^(5//2)/(x*(a + b*x^2)^2), -((d*(b*c - 3*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*b^2)) + ((b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(2*a*b*(a + b*x^2)) - (c^(5//2)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/a^2 + ((b*c - a*d)^(3//2)*(2*b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*a^2*b^(5//2)), x, 8),
+((c + d*x^2)^(5//2)/(x^2*(a + b*x^2)^2), -(c*(3*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(2*a^2*b*x) + ((b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(2*a*b*x*(a + b*x^2)) - ((b*c - a*d)^(3//2)*(3*b*c + 2*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(5//2)*b^2) + (d^(5//2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/b^2, x, 7),
+((c + d*x^2)^(5//2)/(x^3*(a + b*x^2)^2), -(((b*c - a*d)*(2*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(2*a^2*b*(a + b*x^2))) - (c*(c + d*x^2)^(3//2))/(2*a*x^2*(a + b*x^2)) + (c^(3//2)*(4*b*c - 5*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(2*a^3) - ((b*c - a*d)^(3//2)*(4*b*c + a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*a^3*b^(3//2)), x, 8),
+((c + d*x^2)^(5//2)/(x^4*(a + b*x^2)^2), -(c*(5*b*c - 3*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(6*a^2*b*x^3) + ((15*b^2*c^2 - 20*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^2))/(6*a^3*b*x) + ((b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(2*a*b*x^3*(a + b*x^2)) + (5*c*(b*c - a*d)^(3//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(7//2)), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4/((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2)), (a*x*sqrt(c + d*x^2))/(2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) - (sqrt(a)*(3*b*c - 2*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*b^2*(b*c - a*d)^(3//2)) + atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2))/(b^2*sqrt(d)), x, 6),
+(x^3/((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2)), (a*sqrt(c + d*x^2))/(2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) - ((2*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*b^(3//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+(x^2/((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2)), -(x*sqrt(c + d*x^2))/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) + (c*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*sqrt(a)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+(x^1/((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2)), -sqrt(c + d*x^2)/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) + (d*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*sqrt(b)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+(x^0/((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2)), (b*x*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) + ((b*c - 2*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(3//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 3),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2)), (b*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) - atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c))/(a^2*sqrt(c)) + (sqrt(b)*(2*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*a^2*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 7),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2)), -((3*b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(2*a^2*c*(b*c - a*d)*x) + (b*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*(b*c - a*d)*x*(a + b*x^2)) - (b*(3*b*c - 4*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(5//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 5),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2)), -(b*(2*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(2*a^2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)) - sqrt(c + d*x^2)/(2*a*c*x^2*(a + b*x^2)) + ((4*b*c + a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(2*a^3*c^(3//2)) - (b^(3//2)*(4*b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*a^3*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 8),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2)), -((5*b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(6*a^2*c*(b*c - a*d)*x^3) + ((15*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d - 4*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^2))/(6*a^3*c^2*(b*c - a*d)*x) + (b*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*(b*c - a*d)*x^3*(a + b*x^2)) + (b^2*(5*b*c - 6*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(7//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 6),
+
+
+(x^4/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2)), ((2*b*c + a*d)*x)/(2*b*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2)) + (a*x)/(2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)) - (3*sqrt(a)*c*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 5),
+(x^3/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2)), (2*b*c + a*d)/(2*b*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2)) + a/(2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)) - ((2*b*c + a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*sqrt(b)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 5),
+(x^2/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2)), (-3*d*x)/(2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2)) - x/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)) + ((b*c + 2*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*sqrt(a)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 5),
+(x^1/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2)), (-3*d)/(2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2)) - 1/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)) + (3*sqrt(b)*d*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 5),
+(x^0/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2)), (d*(b*c + 2*a*d)*x)/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2)) + (b*x)/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)) + (b*(b*c - 4*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(3//2)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 5),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2)), (d*(b*c + 2*a*d))/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2)) + b/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)) - atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c))/(a^2*c^(3//2)) + (b^(3//2)*(2*b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*a^2*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 8),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2)), (d*(b*c + 2*a*d))/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*x*sqrt(c + d*x^2)) + b/(2*a*(b*c - a*d)*x*(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)) - ((3*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + 4*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^2))/(2*a^2*c^2*(b*c - a*d)^2*x) - (3*b^2*(b*c - 2*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(5//2)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 6),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2)), -(d*(2*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2))/(2*a^2*c^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2)) - (b*(2*b*c - a*d))/(2*a^2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)) - 1/(2*a*c*x^2*(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)) + ((4*b*c + 3*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(2*a^3*c^(5//2)) - (b^(5//2)*(4*b*c - 7*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*a^3*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 9),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2)), (d*(b*c + 2*a*d))/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*x^3*sqrt(c + d*x^2)) + b/(2*a*(b*c - a*d)*x^3*(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)) - ((5*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^2))/(6*a^2*c^2*(b*c - a*d)^2*x^3) + ((15*b^3*c^3 - 14*a*b^2*c^2*d - 8*a^2*b*c*d^2 + 16*a^3*d^3)*sqrt(c + d*x^2))/(6*a^3*c^3*(b*c - a*d)^2*x) + (b^3*(5*b*c - 8*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(7//2)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 7),
+
+
+(x^4/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2)), ((2*b*c + 3*a*d)*x)/(6*b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^(3//2)) + (a*x)/(2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)) + ((4*b*c + 11*a*d)*x)/(6*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x^2)) - (sqrt(a)*(3*b*c + 2*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 6),
+(x^3/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2)), (2*b*c + 3*a*d)/(6*b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^(3//2)) + a/(2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)) + (2*b*c + 3*a*d)/(2*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x^2)) - (sqrt(b)*(2*b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 6),
+(x^2/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2)), (-5*d*x)/(6*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^(3//2)) - x/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)) - (d*(13*b*c + 2*a*d)*x)/(6*c*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x^2)) + (b*(b*c + 4*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*sqrt(a)*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 6),
+(x^1/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2)), (-5*d)/(6*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^(3//2)) - 1/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)) - (5*b*d)/(2*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x^2)) + (5*b^(3//2)*d*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 6),
+(x^0/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2)), (d*(3*b*c + 2*a*d)*x)/(6*a*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^(3//2)) + (b*x)/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)) + (d*(3*b^2*c^2 + 16*a*b*c*d - 4*a^2*d^2)*x)/(6*a*c^2*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x^2)) + (b^2*(b*c - 6*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(3//2)*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 6),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2)), (d*(3*b*c + 2*a*d))/(6*a*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^(3//2)) + b/(2*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)) + (d*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d - 2*a^2*d^2))/(2*a*c^2*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x^2)) - atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c))/(a^2*c^(5//2)) + (b^(5//2)*(2*b*c - 7*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*a^2*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 9),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2)), (d*(3*b*c + 2*a*d))/(6*a*c*(b*c - a*d)^2*x*(c + d*x^2)^(3//2)) + b/(2*a*(b*c - a*d)*x*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)) + (d*(3*b^2*c^2 + 20*a*b*c*d - 8*a^2*d^2))/(6*a*c^2*(b*c - a*d)^3*x*sqrt(c + d*x^2)) - ((9*b^3*c^3 - 18*a*b^2*c^2*d + 40*a^2*b*c*d^2 - 16*a^3*d^3)*sqrt(c + d*x^2))/(6*a^2*c^3*(b*c - a*d)^3*x) - (b^3*(3*b*c - 8*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(5//2)*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 7),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2)), -((d*(6*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 5*a^2*d^2))/(6*a^2*c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^(3//2))) - (b*(2*b*c - a*d))/(2*a^2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)) - 1/(2*a*c*x^2*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)) - (d*(2*b*c - a*d)*(b^2*c^2 - a*b*c*d + 5*a^2*d^2))/(2*a^2*c^3*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x^2)) + ((4*b*c + 5*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(2*a^3*c^(7//2)) - (b^(7//2)*(4*b*c - 9*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*a^3*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 10),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(5//2)), (d*(3*b*c + 2*a*d))/(6*a*c*(b*c - a*d)^2*x^3*(c + d*x^2)^(3//2)) + b/(2*a*(b*c - a*d)*x^3*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)) + (d*(b^2*c^2 + 8*a*b*c*d - 4*a^2*d^2))/(2*a*c^2*(b*c - a*d)^3*x^3*sqrt(c + d*x^2)) - ((5*b^3*c^3 - 6*a*b^2*c^2*d + 32*a^2*b*c*d^2 - 16*a^3*d^3)*sqrt(c + d*x^2))/(6*a^2*c^3*(b*c - a*d)^3*x^3) + ((15*b^4*c^4 - 20*a*b^3*c^3*d - 12*a^2*b^2*c^2*d^2 + 64*a^3*b*c*d^3 - 32*a^4*d^4)*sqrt(c + d*x^2))/(6*a^3*c^4*(b*c - a*d)^3*x) + (5*b^4*(b*c - 2*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(7//2)*(b*c - a*d)^(7//2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^(p/2) / (c+d x^2)^3
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^1
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2), (4*a*(11*A*b - 5*a*B)*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(231*b^2) + (2*(11*A*b - 5*a*B)*(e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2))/(77*b*e) + (2*B*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(3//2))/(11*b*e) - (2*a^(7//4)*(11*A*b - 5*a*B)*e^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(231*b^(9//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+(sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2), (2*(3*A*b - a*B)*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2))/(15*b*e) + (4*a*(3*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(15*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + (2*B*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//2))/(9*b*e) - (4*a^(5//4)*(3*A*b - a*B)*sqrt(e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(15*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)) + (2*a^(5//4)*(3*A*b - a*B)*sqrt(e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(15*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2))/sqrt(e*x), (2*(7*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(21*b*e) + (2*B*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(3//2))/(7*b*e) + (2*a^(3//4)*(7*A*b - a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(21*b^(5//4)*sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2))/(e*x)^(3//2), (2*(5*A*b + a*B)*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2))/(5*a*e^3) + (4*(5*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(5*sqrt(b)*e^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - (2*A*(a + b*x^2)^(3//2))/(a*e*sqrt(e*x)) - (4*a^(1//4)*(5*A*b + a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*b^(3//4)*e^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)) + (2*a^(1//4)*(5*A*b + a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*b^(3//4)*e^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2))/(e*x)^(5//2), (2*(A*b + a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(3*a*e^3) - (2*A*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*a*e*(e*x)^(3//2)) + (2*(A*b + a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(3*a^(1//4)*b^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2))/(e*x)^(7//2), -((2*(A*b + 5*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(5*a*e^3*sqrt(e*x))) + (4*sqrt(b)*(A*b + 5*a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(5*a*e^4*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - (2*A*(a + b*x^2)^(3//2))/(5*a*e*(e*x)^(5//2)) - (4*b^(1//4)*(A*b + 5*a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*a^(3//4)*e^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)) + (2*b^(1//4)*(A*b + 5*a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*a^(3//4)*e^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^(9//2), (2*(A*b - 7*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(21*a*x^(3//2)) - (2*A*(a + b*x^2)^(3//2))/(7*a*x^(7//2)) - (2*b^(3//4)*(A*b - 7*a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(21*a^(5//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^(11//2), (2*(A*b - 3*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(15*a*x^(5//2)) + (4*b*(A*b - 3*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(15*a^2*sqrt(x)) - (4*b^(3//2)*(A*b - 3*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x^2))/(15*a^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - (2*A*(a + b*x^2)^(3//2))/(9*a*x^(9//2)) + (4*b^(5//4)*(A*b - 3*a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)) - (2*b^(5//4)*(A*b - 3*a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 7),
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2))/x^(13//2), (2*(5*A*b - 11*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(77*a*x^(7//2)) + (4*b*(5*A*b - 11*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(231*a^2*x^(3//2)) - (2*A*(a + b*x^2)^(3//2))/(11*a*x^(11//2)) + (2*b^(7//4)*(5*A*b - 11*a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(231*a^(9//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+
+
+((e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//2)*(A + B*x^2), (8*a^2*(3*A*b - a*B)*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(231*b^2) + (4*a*(3*A*b - a*B)*(e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2))/(77*b*e) + (2*(3*A*b - a*B)*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(3//2))/(33*b*e) + (2*B*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(5//2))/(15*b*e) - (4*a^(11//4)*(3*A*b - a*B)*e^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(231*b^(9//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+(sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(3//2)*(A + B*x^2), (4*a*(13*A*b - 3*a*B)*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2))/(195*b*e) + (8*a^2*(13*A*b - 3*a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(195*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + (2*(13*A*b - 3*a*B)*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//2))/(117*b*e) + (2*B*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(5//2))/(13*b*e) - (8*a^(9//4)*(13*A*b - 3*a*B)*sqrt(e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(195*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)) + (4*a^(9//4)*(13*A*b - 3*a*B)*sqrt(e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(195*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 7),
+(((a + b*x^2)^(3//2)*(A + B*x^2))/sqrt(e*x), (4*a*(11*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(77*b*e) + (2*(11*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(3//2))/(77*b*e) + (2*B*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(5//2))/(11*b*e) + (4*a^(7//4)*(11*A*b - a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(77*b^(5//4)*sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+(((a + b*x^2)^(3//2)*(A + B*x^2))/(e*x)^(3//2), (4*(9*A*b + a*B)*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2))/(15*e^3) + (8*a*(9*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(15*sqrt(b)*e^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + (2*(9*A*b + a*B)*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//2))/(9*a*e^3) - (2*A*(a + b*x^2)^(5//2))/(a*e*sqrt(e*x)) - (8*a^(5//4)*(9*A*b + a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(15*b^(3//4)*e^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)) + (4*a^(5//4)*(9*A*b + a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(15*b^(3//4)*e^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 7),
+(((a + b*x^2)^(3//2)*(A + B*x^2))/(e*x)^(5//2), (4*(7*A*b + 3*a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(21*e^3) + (2*(7*A*b + 3*a*B)*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(3//2))/(21*a*e^3) - (2*A*(a + b*x^2)^(5//2))/(3*a*e*(e*x)^(3//2)) + (4*a^(3//4)*(7*A*b + 3*a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(21*b^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+(((a + b*x^2)^(3//2)*(A + B*x^2))/(e*x)^(7//2), (12*b*(A*b + a*B)*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2))/(5*a*e^5) + (24*sqrt(b)*(A*b + a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(5*e^4*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - (2*(A*b + a*B)*(a + b*x^2)^(3//2))/(a*e^3*sqrt(e*x)) - (2*A*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*a*e*(e*x)^(5//2)) - (24*a^(1//4)*b^(1//4)*(A*b + a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*e^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)) + (12*a^(1//4)*b^(1//4)*(A*b + a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*e^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((e*x)^(5//2)*(A + B*x^2))/sqrt(a + b*x^2), (2*(9*A*b - 7*a*B)*e*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2))/(45*b^2) + (2*B*(e*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x^2))/(9*b*e) - (2*a*(9*A*b - 7*a*B)*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(15*b^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + (2*a^(5//4)*(9*A*b - 7*a*B)*e^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(15*b^(11//4)*sqrt(a + b*x^2)) - (a^(5//4)*(9*A*b - 7*a*B)*e^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(15*b^(11//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+(((e*x)^(3//2)*(A + B*x^2))/sqrt(a + b*x^2), (2*(7*A*b - 5*a*B)*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(21*b^2) + (2*B*(e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2))/(7*b*e) - (a^(3//4)*(7*A*b - 5*a*B)*e^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(21*b^(9//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((sqrt(e*x)*(A + B*x^2))/sqrt(a + b*x^2), (2*B*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2))/(5*b*e) + (2*(5*A*b - 3*a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(5*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - (2*a^(1//4)*(5*A*b - 3*a*B)*sqrt(e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)) + (a^(1//4)*(5*A*b - 3*a*B)*sqrt(e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+((A + B*x^2)/(sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2)), (2*B*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(3*b*e) + ((3*A*b - a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(3*a^(1//4)*b^(5//4)*sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+((A + B*x^2)/((e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)), -((2*A*sqrt(a + b*x^2))/(a*e*sqrt(e*x))) + (2*(A*b + a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(a*sqrt(b)*e^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - (2*(A*b + a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(a^(3//4)*b^(3//4)*e^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)) + ((A*b + a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(a^(3//4)*b^(3//4)*e^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+((A + B*x^2)/((e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2)), -((2*A*sqrt(a + b*x^2))/(3*a*e*(e*x)^(3//2))) - ((A*b - 3*a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(3*a^(5//4)*b^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+((A + B*x^2)/((e*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)), -((2*A*sqrt(a + b*x^2))/(5*a*e*(e*x)^(5//2))) + (2*(3*A*b - 5*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(5*a^2*e^3*sqrt(e*x)) - (2*sqrt(b)*(3*A*b - 5*a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(5*a^2*e^4*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + (2*b^(1//4)*(3*A*b - 5*a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*a^(7//4)*e^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)) - (b^(1//4)*(3*A*b - 5*a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*a^(7//4)*e^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+
+
+(((e*x)^(7//2)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^(3//2), -(((7*A*b - 9*a*B)*e*(e*x)^(5//2))/(7*b^2*sqrt(a + b*x^2))) + (2*B*(e*x)^(9//2))/(7*b*e*sqrt(a + b*x^2)) + (5*(7*A*b - 9*a*B)*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(21*b^3) - (5*a^(3//4)*(7*A*b - 9*a*B)*e^(7//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(42*b^(13//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+(((e*x)^(5//2)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^(3//2), -(((5*A*b - 7*a*B)*e*(e*x)^(3//2))/(5*b^2*sqrt(a + b*x^2))) + (2*B*(e*x)^(7//2))/(5*b*e*sqrt(a + b*x^2)) + (3*(5*A*b - 7*a*B)*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(5*b^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - (3*a^(1//4)*(5*A*b - 7*a*B)*e^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*b^(11//4)*sqrt(a + b*x^2)) + (3*a^(1//4)*(5*A*b - 7*a*B)*e^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(10*b^(11//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+(((e*x)^(3//2)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^(3//2), -(((3*A*b - 5*a*B)*e*sqrt(e*x))/(3*b^2*sqrt(a + b*x^2))) + (2*B*(e*x)^(5//2))/(3*b*e*sqrt(a + b*x^2)) + ((3*A*b - 5*a*B)*e^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(6*a^(1//4)*b^(9//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((sqrt(e*x)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^(3//2), ((A*b - a*B)*(e*x)^(3//2))/(a*b*e*sqrt(a + b*x^2)) - ((A*b - 3*a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(a*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + ((A*b - 3*a*B)*sqrt(e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(a^(3//4)*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)) - ((A*b - 3*a*B)*sqrt(e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(2*a^(3//4)*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+((A + B*x^2)/(sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(3//2)), ((A*b - a*B)*sqrt(e*x))/(a*b*e*sqrt(a + b*x^2)) + ((A*b + a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(2*a^(5//4)*b^(5//4)*sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+((A + B*x^2)/((e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//2)), -((2*A)/(a*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))) - ((3*A*b - a*B)*(e*x)^(3//2))/(a^2*e^3*sqrt(a + b*x^2)) + ((3*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(a^2*sqrt(b)*e^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - ((3*A*b - a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(a^(7//4)*b^(3//4)*e^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)) + ((3*A*b - a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(2*a^(7//4)*b^(3//4)*e^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+((A + B*x^2)/((e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(3//2)), -((2*A)/(3*a*e*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2))) - ((5*A*b - 3*a*B)*sqrt(e*x))/(3*a^2*e^3*sqrt(a + b*x^2)) - ((5*A*b - 3*a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(6*a^(9//4)*b^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((A + B*x^2)/((e*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(3//2)), -((2*A)/(5*a*e*(e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2))) - (7*A*b - 5*a*B)/(5*a^2*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2)) + (3*(7*A*b - 5*a*B)*sqrt(a + b*x^2))/(5*a^3*e^3*sqrt(e*x)) - (3*sqrt(b)*(7*A*b - 5*a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(5*a^3*e^4*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + (3*b^(1//4)*(7*A*b - 5*a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*a^(11//4)*e^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)) - (3*b^(1//4)*(7*A*b - 5*a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(10*a^(11//4)*e^(7//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 7),
+
+
+(((e*x)^(7//2)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^(5//2), -(((A*b - 3*a*B)*e*(e*x)^(5//2))/(3*b^2*(a + b*x^2)^(3//2))) + (2*B*(e*x)^(9//2))/(3*b*e*(a + b*x^2)^(3//2)) - (5*(A*b - 3*a*B)*e^3*sqrt(e*x))/(6*b^3*sqrt(a + b*x^2)) + (5*(A*b - 3*a*B)*e^(7//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(12*a^(1//4)*b^(13//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+(((e*x)^(5//2)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^(5//2), ((A*b - a*B)*(e*x)^(7//2))/(3*a*b*e*(a + b*x^2)^(3//2)) + ((A*b - 7*a*B)*e*(e*x)^(3//2))/(6*a*b^2*sqrt(a + b*x^2)) - ((A*b - 7*a*B)*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(2*a*b^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + ((A*b - 7*a*B)*e^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(2*a^(3//4)*b^(11//4)*sqrt(a + b*x^2)) - ((A*b - 7*a*B)*e^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(4*a^(3//4)*b^(11//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+(((e*x)^(3//2)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^(5//2), ((A*b - a*B)*(e*x)^(5//2))/(3*a*b*e*(a + b*x^2)^(3//2)) - ((A*b + 5*a*B)*e*sqrt(e*x))/(6*a*b^2*sqrt(a + b*x^2)) + ((A*b + 5*a*B)*e^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(12*a^(5//4)*b^(9//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((sqrt(e*x)*(A + B*x^2))/(a + b*x^2)^(5//2), ((A*b - a*B)*(e*x)^(3//2))/(3*a*b*e*(a + b*x^2)^(3//2)) + ((A*b + a*B)*(e*x)^(3//2))/(2*a^2*b*e*sqrt(a + b*x^2)) - ((A*b + a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(2*a^2*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) + ((A*b + a*B)*sqrt(e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(2*a^(7//4)*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)) - ((A*b + a*B)*sqrt(e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(4*a^(7//4)*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^2)), x, 6),
+((A + B*x^2)/(sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(5//2)), ((A*b - a*B)*sqrt(e*x))/(3*a*b*e*(a + b*x^2)^(3//2)) + ((5*A*b + a*B)*sqrt(e*x))/(6*a^2*b*e*sqrt(a + b*x^2)) + ((5*A*b + a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(12*a^(9//4)*b^(5//4)*sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+((A + B*x^2)/((e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(5//2)), -((2*A)/(a*e*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(3//2))) - ((7*A*b - a*B)*(e*x)^(3//2))/(3*a^2*e^3*(a + b*x^2)^(3//2)) - ((7*A*b - a*B)*(e*x)^(3//2))/(2*a^3*e^3*sqrt(a + b*x^2)) + ((7*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^2))/(2*a^3*sqrt(b)*e^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)) - ((7*A*b - a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(2*a^(11//4)*b^(3//4)*e^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)) + ((7*A*b - a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(4*a^(11//4)*b^(3//4)*e^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 7),
+((A + B*x^2)/((e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(5//2)), -((2*A)/(3*a*e*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//2))) - ((3*A*b - a*B)*sqrt(e*x))/(3*a^2*e^3*(a + b*x^2)^(3//2)) - (5*(3*A*b - a*B)*sqrt(e*x))/(6*a^3*e^3*sqrt(a + b*x^2)) - (5*(3*A*b - a*B)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(a^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(12*a^(13//4)*b^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^2
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2), (4*c*(11*a^2*d^2 + b*c*(3*b*c - 10*a*d))*e*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(231*d^3) + (2*(11*a^2*d^2 + b*c*(3*b*c - 10*a*d))*(e*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2))/(77*d^2*e) - (2*b*(3*b*c - 10*a*d)*(e*x)^(5//2)*(c + d*x^2)^(3//2))/(55*d^2*e) + (2*b^2*(e*x)^(9//2)*(c + d*x^2)^(3//2))/(15*d*e^3) - (2*c^(7//4)*(11*a^2*d^2 + b*c*(3*b*c - 10*a*d))*e^(3//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(231*d^(13//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+(sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2), (2*(39*a^2*d^2 + b*c*(7*b*c - 26*a*d))*(e*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(195*d^2*e) + (4*c*(39*a^2*d^2 + b*c*(7*b*c - 26*a*d))*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(195*d^(5//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) - (2*b*(7*b*c - 26*a*d)*(e*x)^(3//2)*(c + d*x^2)^(3//2))/(117*d^2*e) + (2*b^2*(e*x)^(7//2)*(c + d*x^2)^(3//2))/(13*d*e^3) - (4*c^(5//4)*(39*a^2*d^2 + b*c*(7*b*c - 26*a*d))*sqrt(e)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(195*d^(11//4)*sqrt(c + d*x^2)) + (2*c^(5//4)*(39*a^2*d^2 + b*c*(7*b*c - 26*a*d))*sqrt(e)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(195*d^(11//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+(((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(e*x), (2*(5*b^2*c^2 - 22*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(231*d^2*e) - (2*b*(5*b*c - 22*a*d)*sqrt(e*x)*(c + d*x^2)^(3//2))/(77*d^2*e) + (2*b^2*(e*x)^(5//2)*(c + d*x^2)^(3//2))/(11*d*e^3) + (2*c^(3//4)*(5*b^2*c^2 - 22*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(231*d^(9//4)*sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+(((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2))/(e*x)^(3//2), -((2*(b^2*c^2 - 3*a*d*(2*b*c + 5*a*d))*(e*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(15*c*d*e^3)) - (4*(b^2*c^2 - 3*a*d*(2*b*c + 5*a*d))*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(15*d^(3//2)*e^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) - (2*a^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(c*e*sqrt(e*x)) + (2*b^2*(e*x)^(3//2)*(c + d*x^2)^(3//2))/(9*d*e^3) + (4*c^(1//4)*(b^2*c^2 - 3*a*d*(2*b*c + 5*a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(15*d^(7//4)*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)) - (2*c^(1//4)*(b^2*c^2 - 3*a*d*(2*b*c + 5*a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(15*d^(7//4)*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+(((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2))/(e*x)^(5//2), -((2*(b^2*c^2 - 7*a*d*(2*b*c + a*d))*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(21*c*d*e^3)) - (2*a^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*c*e*(e*x)^(3//2)) + (2*b^2*sqrt(e*x)*(c + d*x^2)^(3//2))/(7*d*e^3) - (2*(b^2*c^2 - 7*a*d*(2*b*c + a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(21*c^(1//4)*d^(5//4)*e^(5//2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+(((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2))/(e*x)^(7//2), (2*(b^2*c^2 + a*d*(10*b*c + a*d))*(e*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(5*c^2*e^5) + (4*(b^2*c^2 + a*d*(10*b*c + a*d))*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(5*c*sqrt(d)*e^4*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) - (2*a^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(5*c*e*(e*x)^(5//2)) - (2*a*(10*b*c + a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(5*c^2*e^3*sqrt(e*x)) - (4*(b^2*c^2 + a*d*(10*b*c + a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*c^(3//4)*d^(3//4)*e^(7//2)*sqrt(c + d*x^2)) + (2*(b^2*c^2 + a*d*(10*b*c + a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*c^(3//4)*d^(3//4)*e^(7//2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+(((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2))/x^(9//2), (2*(7*b^2*c^2 + a*d*(14*b*c - a*d))*sqrt(x)*sqrt(c + d*x^2))/(21*c^2) - (2*a^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(7*c*x^(7//2)) - (2*a*(14*b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(21*c^2*x^(3//2)) + (2*(7*b^2*c^2 + a*d*(14*b*c - a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)), 1//2))/(21*c^(5//4)*d^(1//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+(((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2))/x^(11//2), -((2*(15*b^2*c^2 + a*d*(6*b*c - a*d))*sqrt(c + d*x^2))/(15*c^2*sqrt(x))) + (4*sqrt(d)*(15*b^2*c^2 + a*d*(6*b*c - a*d))*sqrt(x)*sqrt(c + d*x^2))/(15*c^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) - (2*a^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(9*c*x^(9//2)) - (2*a*(6*b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(15*c^2*x^(5//2)) - (4*d^(1//4)*(15*b^2*c^2 + a*d*(6*b*c - a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)), 1//2))/(15*c^(7//4)*sqrt(c + d*x^2)) + (2*d^(1//4)*(15*b^2*c^2 + a*d*(6*b*c - a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)), 1//2))/(15*c^(7//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+(((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2))/x^(13//2), -((2*(77*b^2*c^2 - 22*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^2))/(231*c^2*x^(3//2))) - (2*a^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(11*c*x^(11//2)) - (2*a*(22*b*c - 5*a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(77*c^2*x^(7//2)) + (2*d^(3//4)*(77*b^2*c^2 - 22*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)), 1//2))/(231*c^(9//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+(((a + b*x^2)^2*sqrt(c + d*x^2))/x^(15//2), -((2*(39*b^2*c^2 - 26*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^2))/(195*c^2*x^(5//2))) - (4*d*(39*b^2*c^2 - 26*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^2))/(195*c^3*sqrt(x)) + (4*d^(3//2)*(39*b^2*c^2 - 26*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*sqrt(x)*sqrt(c + d*x^2))/(195*c^3*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) - (2*a^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(13*c*x^(13//2)) - (2*a*(26*b*c - 7*a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))/(117*c^2*x^(9//2)) - (4*d^(5//4)*(39*b^2*c^2 - 26*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)), 1//2))/(195*c^(11//4)*sqrt(c + d*x^2)) + (2*d^(5//4)*(39*b^2*c^2 - 26*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(x))/c^(1//4)), 1//2))/(195*c^(11//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 8),
+
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+((e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2), (8*c^2*(51*a^2*d^2 + b*c*(11*b*c - 42*a*d))*e*(e*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(9945*d^3) + (4*c*(51*a^2*d^2 + b*c*(11*b*c - 42*a*d))*(e*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x^2))/(1989*d^2*e) - (8*c^3*(51*a^2*d^2 + b*c*(11*b*c - 42*a*d))*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(3315*d^(7//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) + (2*(51*a^2*d^2 + b*c*(11*b*c - 42*a*d))*(e*x)^(7//2)*(c + d*x^2)^(3//2))/(663*d^2*e) - (2*b*(11*b*c - 42*a*d)*(e*x)^(7//2)*(c + d*x^2)^(5//2))/(357*d^2*e) + (2*b^2*(e*x)^(11//2)*(c + d*x^2)^(5//2))/(21*d*e^3) + (8*c^(13//4)*(51*a^2*d^2 + b*c*(11*b*c - 42*a*d))*e^(5//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(3315*d^(15//4)*sqrt(c + d*x^2)) - (4*c^(13//4)*(51*a^2*d^2 + b*c*(11*b*c - 42*a*d))*e^(5//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(3315*d^(15//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 9),
+((e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2), (8*c^2*(57*a^2*d^2 + b*c*(9*b*c - 38*a*d))*e*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(4389*d^3) + (4*c*(57*a^2*d^2 + b*c*(9*b*c - 38*a*d))*(e*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2))/(1463*d^2*e) + (2*(57*a^2*d^2 + b*c*(9*b*c - 38*a*d))*(e*x)^(5//2)*(c + d*x^2)^(3//2))/(627*d^2*e) - (2*b*(9*b*c - 38*a*d)*(e*x)^(5//2)*(c + d*x^2)^(5//2))/(285*d^2*e) + (2*b^2*(e*x)^(9//2)*(c + d*x^2)^(5//2))/(19*d*e^3) - (4*c^(11//4)*(57*a^2*d^2 + b*c*(9*b*c - 38*a*d))*e^(3//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(4389*d^(13//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+(sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2), (4*c*(221*a^2*d^2 + 3*b*c*(7*b*c - 34*a*d))*(e*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(3315*d^2*e) + (8*c^2*(221*a^2*d^2 + 3*b*c*(7*b*c - 34*a*d))*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(3315*d^(5//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) + (2*(221*a^2*d^2 + 3*b*c*(7*b*c - 34*a*d))*(e*x)^(3//2)*(c + d*x^2)^(3//2))/(1989*d^2*e) - (2*b*(7*b*c - 34*a*d)*(e*x)^(3//2)*(c + d*x^2)^(5//2))/(221*d^2*e) + (2*b^2*(e*x)^(7//2)*(c + d*x^2)^(5//2))/(17*d*e^3) - (8*c^(9//4)*(221*a^2*d^2 + 3*b*c*(7*b*c - 34*a*d))*sqrt(e)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(3315*d^(11//4)*sqrt(c + d*x^2)) + (4*c^(9//4)*(221*a^2*d^2 + 3*b*c*(7*b*c - 34*a*d))*sqrt(e)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(3315*d^(11//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 8),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2))/sqrt(e*x), (4*c*(33*a^2*d^2 + b*c*(b*c - 6*a*d))*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(231*d^2*e) + (2*(33*a^2*d^2 + b*c*(b*c - 6*a*d))*sqrt(e*x)*(c + d*x^2)^(3//2))/(231*d^2*e) - (2*b*(b*c - 6*a*d)*sqrt(e*x)*(c + d*x^2)^(5//2))/(33*d^2*e) + (2*b^2*(e*x)^(5//2)*(c + d*x^2)^(5//2))/(15*d*e^3) + (4*c^(7//4)*(33*a^2*d^2 + b*c*(b*c - 6*a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(231*d^(9//4)*sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(e*x)^(3//2), -((4*(3*b^2*c^2 - 13*a*d*(2*b*c + 9*a*d))*(e*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(195*d*e^3)) - (8*c*(3*b^2*c^2 - 13*a*d*(2*b*c + 9*a*d))*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(195*d^(3//2)*e^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) - (2*(3*b^2*c^2 - 13*a*d*(2*b*c + 9*a*d))*(e*x)^(3//2)*(c + d*x^2)^(3//2))/(117*c*d*e^3) - (2*a^2*(c + d*x^2)^(5//2))/(c*e*sqrt(e*x)) + (2*b^2*(e*x)^(3//2)*(c + d*x^2)^(5//2))/(13*d*e^3) + (8*c^(5//4)*(3*b^2*c^2 - 13*a*d*(2*b*c + 9*a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(195*d^(7//4)*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)) - (4*c^(5//4)*(3*b^2*c^2 - 13*a*d*(2*b*c + 9*a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(195*d^(7//4)*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 8),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(e*x)^(5//2), -((4*(3*b^2*c^2 - 11*a*d*(6*b*c + 7*a*d))*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(231*d*e^3)) - (2*(3*b^2*c^2 - 11*a*d*(6*b*c + 7*a*d))*sqrt(e*x)*(c + d*x^2)^(3//2))/(231*c*d*e^3) - (2*a^2*(c + d*x^2)^(5//2))/(3*c*e*(e*x)^(3//2)) + (2*b^2*sqrt(e*x)*(c + d*x^2)^(5//2))/(11*d*e^3) - (4*c^(3//4)*(3*b^2*c^2 - 11*a*d*(6*b*c + 7*a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(231*d^(5//4)*e^(5//2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+(((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^(3//2))/(e*x)^(7//2), (4*(b^2*c^2 + 9*a*d*(2*b*c + a*d))*(e*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(15*c*e^5) + (8*(b^2*c^2 + 9*a*d*(2*b*c + a*d))*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(15*sqrt(d)*e^4*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) + (2*(b^2*c^2 + 9*a*d*(2*b*c + a*d))*(e*x)^(3//2)*(c + d*x^2)^(3//2))/(9*c^2*e^5) - (2*a^2*(c + d*x^2)^(5//2))/(5*c*e*(e*x)^(5//2)) - (2*a*(2*b*c + a*d)*(c + d*x^2)^(5//2))/(c^2*e^3*sqrt(e*x)) - (8*c^(1//4)*(b^2*c^2 + 9*a*d*(2*b*c + a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(15*d^(3//4)*e^(7//2)*sqrt(c + d*x^2)) + (4*c^(1//4)*(b^2*c^2 + 9*a*d*(2*b*c + a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(15*d^(3//4)*e^(7//2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 8),
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(((e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^2)/sqrt(c + d*x^2), (2*(117*a^2*d^2 + 7*b*c*(11*b*c - 26*a*d))*e*(e*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(585*d^3) - (2*b*(11*b*c - 26*a*d)*(e*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x^2))/(117*d^2*e) + (2*b^2*(e*x)^(11//2)*sqrt(c + d*x^2))/(13*d*e^3) - (2*c*(117*a^2*d^2 + 7*b*c*(11*b*c - 26*a*d))*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(195*d^(7//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) + (2*c^(5//4)*(117*a^2*d^2 + 7*b*c*(11*b*c - 26*a*d))*e^(5//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(195*d^(15//4)*sqrt(c + d*x^2)) - (c^(5//4)*(117*a^2*d^2 + 7*b*c*(11*b*c - 26*a*d))*e^(5//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(195*d^(15//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+(((e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^2)/sqrt(c + d*x^2), (2*(77*a^2*d^2 + 5*b*c*(9*b*c - 22*a*d))*e*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(231*d^3) - (2*b*(9*b*c - 22*a*d)*(e*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2))/(77*d^2*e) + (2*b^2*(e*x)^(9//2)*sqrt(c + d*x^2))/(11*d*e^3) - (c^(3//4)*(77*a^2*d^2 + 5*b*c*(9*b*c - 22*a*d))*e^(3//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(231*d^(13//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+((sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^2)/sqrt(c + d*x^2), -((2*b*(7*b*c - 18*a*d)*(e*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(45*d^2*e)) + (2*b^2*(e*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x^2))/(9*d*e^3) + (2*(15*a^2*d^2 + b*c*(7*b*c - 18*a*d))*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(15*d^(5//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) - (2*c^(1//4)*(15*a^2*d^2 + b*c*(7*b*c - 18*a*d))*sqrt(e)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(15*d^(11//4)*sqrt(c + d*x^2)) + (c^(1//4)*(15*a^2*d^2 + b*c*(7*b*c - 18*a*d))*sqrt(e)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(15*d^(11//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^2/(sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2)), -((2*b*(5*b*c - 14*a*d)*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(21*d^2*e)) + (2*b^2*(e*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2))/(7*d*e^3) + ((5*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(21*c^(1//4)*d^(9//4)*sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^2/((e*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)), -((2*a^2*sqrt(c + d*x^2))/(c*e*sqrt(e*x))) + (2*b^2*(e*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(5*d*e^3) - (2*(3*b^2*c^2 - 5*a*d*(2*b*c + a*d))*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(5*c*d^(3//2)*e^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) + (2*(3*b^2*c^2 - 5*a*d*(2*b*c + a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*c^(3//4)*d^(7//4)*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)) - ((3*b^2*c^2 - 5*a*d*(2*b*c + a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*c^(3//4)*d^(7//4)*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^2/((e*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2)), -((2*a^2*sqrt(c + d*x^2))/(3*c*e*(e*x)^(3//2))) + (2*b^2*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(3*d*e^3) - ((b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(3*c^(5//4)*d^(5//4)*e^(5//2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^2/((e*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x^2)), -((2*a^2*sqrt(c + d*x^2))/(5*c*e*(e*x)^(5//2))) - (2*a*(10*b*c - 3*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(5*c^2*e^3*sqrt(e*x)) + (2*(5*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(5*c^2*sqrt(d)*e^4*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) - (2*(5*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*c^(7//4)*d^(3//4)*e^(7//2)*sqrt(c + d*x^2)) + ((5*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*c^(7//4)*d^(3//4)*e^(7//2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^2/((e*x)^(9//2)*sqrt(c + d*x^2)), -((2*a^2*sqrt(c + d*x^2))/(7*c*e*(e*x)^(7//2))) - (2*a*(14*b*c - 5*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(21*c^2*e^3*(e*x)^(3//2)) + ((21*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(21*c^(9//4)*d^(1//4)*e^(9//2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^2/((e*x)^(11//2)*sqrt(c + d*x^2)), -((2*a^2*sqrt(c + d*x^2))/(9*c*e*(e*x)^(9//2))) - (2*a*(18*b*c - 7*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(45*c^2*e^3*(e*x)^(5//2)) - (2*(15*b^2*c^2 - 18*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^2))/(15*c^3*e^5*sqrt(e*x)) + (2*sqrt(d)*(15*b^2*c^2 - 18*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(15*c^3*e^6*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) - (2*d^(1//4)*(15*b^2*c^2 - 18*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(15*c^(11//4)*e^(11//2)*sqrt(c + d*x^2)) + (d^(1//4)*(15*b^2*c^2 - 18*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(15*c^(11//4)*e^(11//2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+((a + b*x^2)^2/((e*x)^(13//2)*sqrt(c + d*x^2)), -((2*a^2*sqrt(c + d*x^2))/(11*c*e*(e*x)^(11//2))) - (2*a*(22*b*c - 9*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(77*c^2*e^3*(e*x)^(7//2)) - (2*(77*b^2*c^2 - 5*a*d*(22*b*c - 9*a*d))*sqrt(c + d*x^2))/(231*c^3*e^5*(e*x)^(3//2)) - (d^(3//4)*(77*b^2*c^2 - 5*a*d*(22*b*c - 9*a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(231*c^(13//4)*e^(13//2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+
+
+(((e*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^(3//2), ((b*c - a*d)^2*(e*x)^(9//2))/(c*d^2*e*sqrt(c + d*x^2)) + (5*(117*b^2*c^2 - 198*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(231*d^4) - ((117*b^2*c^2 - 198*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*e*(e*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2))/(77*c*d^3) + (2*b^2*(e*x)^(9//2)*sqrt(c + d*x^2))/(11*d^2*e) - (5*c^(3//4)*(117*b^2*c^2 - 198*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*e^(7//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(462*d^(17//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+(((e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^(3//2), ((b*c - a*d)^2*(e*x)^(7//2))/(c*d^2*e*sqrt(c + d*x^2)) - ((77*b^2*c^2 - 126*a*b*c*d + 45*a^2*d^2)*e*(e*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(45*c*d^3) + (2*b^2*(e*x)^(7//2)*sqrt(c + d*x^2))/(9*d^2*e) + ((77*b^2*c^2 - 126*a*b*c*d + 45*a^2*d^2)*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(15*d^(7//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) - (c^(1//4)*(77*b^2*c^2 - 126*a*b*c*d + 45*a^2*d^2)*e^(5//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(15*d^(15//4)*sqrt(c + d*x^2)) + (c^(1//4)*(77*b^2*c^2 - 126*a*b*c*d + 45*a^2*d^2)*e^(5//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(30*d^(15//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+(((e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^(3//2), ((b*c - a*d)^2*(e*x)^(5//2))/(c*d^2*e*sqrt(c + d*x^2)) - ((45*b^2*c^2 - 70*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*e*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(21*c*d^3) + (2*b^2*(e*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2))/(7*d^2*e) + ((45*b^2*c^2 - 70*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*e^(3//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(42*c^(1//4)*d^(13//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+((sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^(3//2), ((b*c - a*d)^2*(e*x)^(3//2))/(c*d^2*e*sqrt(c + d*x^2)) + (2*b^2*(e*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(5*d^2*e) - ((21*b^2*c^2 - 30*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(5*c*d^(5//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) + ((21*b^2*c^2 - 30*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*sqrt(e)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*c^(3//4)*d^(11//4)*sqrt(c + d*x^2)) - ((21*b^2*c^2 - 30*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*sqrt(e)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(10*c^(3//4)*d^(11//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^2/(sqrt(e*x)*(c + d*x^2)^(3//2)), ((b*c - a*d)^2*sqrt(e*x))/(c*d^2*e*sqrt(c + d*x^2)) + (2*b^2*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(3*d^2*e) - ((5*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(6*c^(5//4)*d^(9//4)*sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^2/((e*x)^(3//2)*(c + d*x^2)^(3//2)), -((2*a^2)/(c*e*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))) - ((b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*(e*x)^(3//2))/(c^2*d*e^3*sqrt(c + d*x^2)) + ((3*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(c^2*d^(3//2)*e^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) - ((3*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(c^(7//4)*d^(7//4)*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)) + ((3*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(2*c^(7//4)*d^(7//4)*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^2/((e*x)^(5//2)*(c + d*x^2)^(3//2)), -((2*a^2)/(3*c*e*(e*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))) - ((3*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*sqrt(e*x))/(3*c^2*d*e^3*sqrt(c + d*x^2)) + ((3*b^2*c^2 + a*d*(6*b*c - 5*a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(6*c^(9//4)*d^(5//4)*e^(5//2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^2/((e*x)^(7//2)*(c + d*x^2)^(3//2)), -((2*a^2)/(5*c*e*(e*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2))) - (2*a*(10*b*c - 7*a*d))/(5*c^2*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2)) + ((5*b^2*c^2 - 3*a*d*(10*b*c - 7*a*d))*(e*x)^(3//2))/(5*c^3*e^5*sqrt(c + d*x^2)) - ((5*b^2*c^2 - 3*a*d*(10*b*c - 7*a*d))*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(5*c^3*sqrt(d)*e^4*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) + ((5*b^2*c^2 - 3*a*d*(10*b*c - 7*a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(5*c^(11//4)*d^(3//4)*e^(7//2)*sqrt(c + d*x^2)) - ((5*b^2*c^2 - 3*a*d*(10*b*c - 7*a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(10*c^(11//4)*d^(3//4)*e^(7//2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+
+
+(((e*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^(5//2), ((b*c - a*d)^2*(e*x)^(9//2))/(3*c*d^2*e*(c + d*x^2)^(3//2)) + ((39*b^2*c^2 - 42*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*e*(e*x)^(5//2))/(14*c*d^3*sqrt(c + d*x^2)) + (2*b^2*(e*x)^(9//2))/(7*d^2*e*sqrt(c + d*x^2)) - (5*(39*b^2*c^2 - 42*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(42*c*d^4) + (5*(39*b^2*c^2 - 42*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*e^(7//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(84*c^(1//4)*d^(17//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+(((e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^(5//2), ((b*c - a*d)^2*(e*x)^(7//2))/(3*c*d^2*e*(c + d*x^2)^(3//2)) + ((77*b^2*c^2 - 70*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*e*(e*x)^(3//2))/(30*c*d^3*sqrt(c + d*x^2)) + (2*b^2*(e*x)^(7//2))/(5*d^2*e*sqrt(c + d*x^2)) - ((77*b^2*c^2 - 70*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(10*c*d^(7//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) + ((77*b^2*c^2 - 70*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*e^(5//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(10*c^(3//4)*d^(15//4)*sqrt(c + d*x^2)) - ((77*b^2*c^2 - 70*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*e^(5//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(20*c^(3//4)*d^(15//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+(((e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^(5//2), ((b*c - a*d)^2*(e*x)^(5//2))/(3*c*d^2*e*(c + d*x^2)^(3//2)) + ((15*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d - a^2*d^2)*e*sqrt(e*x))/(6*c*d^3*sqrt(c + d*x^2)) + (2*b^2*(e*x)^(5//2))/(3*d^2*e*sqrt(c + d*x^2)) - ((15*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d - a^2*d^2)*e^(3//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(12*c^(5//4)*d^(13//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+((sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^2)/(c + d*x^2)^(5//2), ((b*c - a*d)^2*(e*x)^(3//2))/(3*c*d^2*e*(c + d*x^2)^(3//2)) - ((b*c - a*d)*(3*b*c + a*d)*(e*x)^(3//2))/(2*c^2*d^2*e*sqrt(c + d*x^2)) + ((7*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d - a^2*d^2)*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(2*c^2*d^(5//2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) - ((7*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d - a^2*d^2)*sqrt(e)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(2*c^(7//4)*d^(11//4)*sqrt(c + d*x^2)) + ((7*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d - a^2*d^2)*sqrt(e)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(4*c^(7//4)*d^(11//4)*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+((a + b*x^2)^2/(sqrt(e*x)*(c + d*x^2)^(5//2)), ((b*c - a*d)^2*sqrt(e*x))/(3*c*d^2*e*(c + d*x^2)^(3//2)) - ((b*c - a*d)*(7*b*c + 5*a*d)*sqrt(e*x))/(6*c^2*d^2*e*sqrt(c + d*x^2)) + ((5*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(12*c^(9//4)*d^(9//4)*sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+((a + b*x^2)^2/((e*x)^(3//2)*(c + d*x^2)^(5//2)), -((2*a^2)/(c*e*sqrt(e*x)*(c + d*x^2)^(3//2))) - ((b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*(e*x)^(3//2))/(3*c^2*d*e^3*(c + d*x^2)^(3//2)) + ((b^2*c^2 + a*d*(2*b*c - 7*a*d))*(e*x)^(3//2))/(2*c^3*d*e^3*sqrt(c + d*x^2)) - ((b^2*c^2 + a*d*(2*b*c - 7*a*d))*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(2*c^3*d^(3//2)*e^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) + ((b^2*c^2 + a*d*(2*b*c - 7*a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(2*c^(11//4)*d^(7//4)*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)) - ((b^2*c^2 + a*d*(2*b*c - 7*a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(4*c^(11//4)*d^(7//4)*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+((a + b*x^2)^2/((e*x)^(5//2)*(c + d*x^2)^(5//2)), -((2*a^2)/(3*c*e*(e*x)^(3//2)*(c + d*x^2)^(3//2))) - ((b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(e*x))/(3*c^2*d*e^3*(c + d*x^2)^(3//2)) + ((b^2*c^2 + 5*a*d*(2*b*c - 3*a*d))*sqrt(e*x))/(6*c^3*d*e^3*sqrt(c + d*x^2)) + ((b^2*c^2 + 5*a*d*(2*b*c - 3*a*d))*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(12*c^(13//4)*d^(5//4)*e^(5//2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+((a + b*x^2)^2/((e*x)^(7//2)*(c + d*x^2)^(5//2)), -((2*a^2)/(5*c*e*(e*x)^(5//2)*(c + d*x^2)^(3//2))) - (2*a*(10*b*c - 11*a*d))/(5*c^2*e^3*sqrt(e*x)*(c + d*x^2)^(3//2)) + ((5*b^2*c^2 - 70*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*(e*x)^(3//2))/(15*c^3*e^5*(c + d*x^2)^(3//2)) + ((5*b^2*c^2 - 70*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*(e*x)^(3//2))/(10*c^4*e^5*sqrt(c + d*x^2)) - ((5*b^2*c^2 - 70*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^2))/(10*c^4*sqrt(d)*e^4*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)) + ((5*b^2*c^2 - 70*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(10*c^(15//4)*d^(3//4)*e^(7//2)*sqrt(c + d*x^2)) - ((5*b^2*c^2 - 70*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x)*sqrt((c + d*x^2)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), 1//2))/(20*c^(15//4)*d^(3//4)*e^(7//2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 8),
+
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+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^3
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^2)^(p/2) / (c+d x^2)^1
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+
+(((e*x)^(7//2)*sqrt(c - d*x^2))/(a - b*x^2), (2*(2*b*c - 7*a*d)*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(c - d*x^2))/(21*b^2*d) - (2*e*(e*x)^(5//2)*sqrt(c - d*x^2))/(7*b) - (2*c^(1//4)*(2*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d - 21*a^2*d^2)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(21*b^3*d^(5//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (a*c^(1//4)*(b*c - a*d)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b^3*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (a*c^(1//4)*(b*c - a*d)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b^3*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 11),
+(((e*x)^(5//2)*sqrt(c - d*x^2))/(a - b*x^2), (-2*e*(e*x)^(3//2)*sqrt(c - d*x^2))/(5*b) - (2*c^(3//4)*(2*b*c - 5*a*d)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(5*b^2*d^(3//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (2*c^(3//4)*(2*b*c - 5*a*d)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(5*b^2*d^(3//4)*sqrt(c - d*x^2)) - (sqrt(a)*c^(1//4)*(b*c - a*d)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b^(5//2)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (sqrt(a)*c^(1//4)*(b*c - a*d)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b^(5//2)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 15),
+(((e*x)^(3//2)*sqrt(c - d*x^2))/(a - b*x^2), (-2*e*sqrt(e*x)*sqrt(c - d*x^2))/(3*b) - (2*c^(1//4)*(2*b*c - 3*a*d)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(3*b^2*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b^2*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b^2*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 10),
+((sqrt(e*x)*sqrt(c - d*x^2))/(a - b*x^2), (2*c^(3//4)*d^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b*sqrt(c - d*x^2)) - (2*c^(3//4)*d^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(sqrt(a)*b^(3//2)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(sqrt(a)*b^(3//2)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 13),
+(sqrt(c - d*x^2)/(sqrt(e*x)*(a - b*x^2)), (2*c^(1//4)*d^(3//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a*b*d^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a*b*d^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)), x, 9),
+(sqrt(c - d*x^2)/((e*x)^(3//2)*(a - b*x^2)), (-2*sqrt(c - d*x^2))/(a*e*sqrt(e*x)) - (2*c^(3//4)*d^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (2*c^(3//4)*d^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^(3//2)*sqrt(b)*d^(1//4)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^(3//2)*sqrt(b)*d^(1//4)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 15),
+(sqrt(c - d*x^2)/((e*x)^(5//2)*(a - b*x^2)), (-2*sqrt(c - d*x^2))/(3*a*e*(e*x)^(3//2)) + (2*c^(1//4)*d^(3//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(3*a*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^2*d^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^2*d^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 10),
+(sqrt(c - d*x^2)/((e*x)^(7//2)*(a - b*x^2)), (-2*sqrt(c - d*x^2))/(5*a*e*(e*x)^(5//2)) - (2*(5*b*c - 2*a*d)*sqrt(c - d*x^2))/(5*a^2*c*e^3*sqrt(e*x)) - (2*d^(1//4)*(5*b*c - 2*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(5*a^2*c^(1//4)*e^(7//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (2*d^(1//4)*(5*b*c - 2*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(5*a^2*c^(1//4)*e^(7//2)*sqrt(c - d*x^2)) - (sqrt(b)*c^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^(5//2)*d^(1//4)*e^(7//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (sqrt(b)*c^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^(5//2)*d^(1//4)*e^(7//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 16),
+
+
+(((e*x)^(5//2)*(c - d*x^2)^(3//2))/(a - b*x^2), (-2*(11*b*c - 9*a*d)*e*(e*x)^(3//2)*sqrt(c - d*x^2))/(45*b^2) + (2*d*(e*x)^(7//2)*sqrt(c - d*x^2))/(9*b*e) - (2*c^(3//4)*(4*b^2*c^2 - 21*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(15*b^3*d^(3//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (2*c^(3//4)*(4*b^2*c^2 - 21*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(15*b^3*d^(3//4)*sqrt(c - d*x^2)) - (sqrt(a)*c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b^(7//2)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (sqrt(a)*c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b^(7//2)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 16),
+(((e*x)^(3//2)*(c - d*x^2)^(3//2))/(a - b*x^2), (-2*(9*b*c - 7*a*d)*e*sqrt(e*x)*sqrt(c - d*x^2))/(21*b^2) + (2*d*(e*x)^(5//2)*sqrt(c - d*x^2))/(7*b*e) - (2*c^(1//4)*(12*b^2*c^2 - 35*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(21*b^3*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b^3*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b^3*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 11),
+((sqrt(e*x)*(c - d*x^2)^(3//2))/(a - b*x^2), (2*d*(e*x)^(3//2)*sqrt(c - d*x^2))/(5*b*e) + (2*c^(3//4)*d^(1//4)*(7*b*c - 5*a*d)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(5*b^2*sqrt(c - d*x^2)) - (2*c^(3//4)*d^(1//4)*(7*b*c - 5*a*d)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(5*b^2*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(sqrt(a)*b^(5//2)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(sqrt(a)*b^(5//2)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 15),
+((c - d*x^2)^(3//2)/(sqrt(e*x)*(a - b*x^2)), (2*d*sqrt(e*x)*sqrt(c - d*x^2))/(3*b*e) + (2*c^(1//4)*d^(3//4)*(5*b*c - 3*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(3*b^2*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a*b^2*d^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a*b^2*d^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)), x, 10),
+((c - d*x^2)^(3//2)/((e*x)^(3//2)*(a - b*x^2)), (-2*c*sqrt(c - d*x^2))/(a*e*sqrt(e*x)) - (2*c^(3//4)*d^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a*b*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (2*c^(3//4)*d^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a*b*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^(3//2)*b^(3//2)*d^(1//4)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^(3//2)*b^(3//2)*d^(1//4)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 15),
+((c - d*x^2)^(3//2)/((e*x)^(5//2)*(a - b*x^2)), (-2*c*sqrt(c - d*x^2))/(3*a*e*(e*x)^(3//2)) + (2*c^(1//4)*d^(3//4)*(b*c - 3*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(3*a*b*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^2*b*d^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^2*b*d^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 10),
+((c - d*x^2)^(3//2)/((e*x)^(7//2)*(a - b*x^2)), (-2*c*sqrt(c - d*x^2))/(5*a*e*(e*x)^(5//2)) - (2*(5*b*c - 7*a*d)*sqrt(c - d*x^2))/(5*a^2*e^3*sqrt(e*x)) - (2*c^(3//4)*d^(1//4)*(5*b*c - 7*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(5*a^2*e^(7//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (2*c^(3//4)*d^(1//4)*(5*b*c - 7*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(5*a^2*e^(7//2)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^(5//2)*sqrt(b)*d^(1//4)*e^(7//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^(5//2)*sqrt(b)*d^(1//4)*e^(7//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 16),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((e*x)^(7//2)/((a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)), (2*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(c - d*x^2))/(3*b*d) - (2*c^(1//4)*(b*c + 3*a*d)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(3*b^2*d^(5//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (a*c^(1//4)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b^2*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (a*c^(1//4)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b^2*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 10),
+((e*x)^(5//2)/((a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)), (-2*c^(3//4)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b*d^(3//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (2*c^(3//4)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b*d^(3//4)*sqrt(c - d*x^2)) - (sqrt(a)*c^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b^(3//2)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (sqrt(a)*c^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b^(3//2)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 13),
+((e*x)^(3//2)/((a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)), (-2*c^(1//4)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 9),
+(sqrt(e*x)/((a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)), -((c^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(sqrt(a)*sqrt(b)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2))) + (c^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(sqrt(a)*sqrt(b)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 6),
+(1/(sqrt(e*x)*(a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)), (c^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a*d^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a*d^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)), x, 6),
+(1/((e*x)^(3//2)*(a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)), (-2*sqrt(c - d*x^2))/(a*c*e*sqrt(e*x)) - (2*d^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a*c^(1//4)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (2*d^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a*c^(1//4)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) - (sqrt(b)*c^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^(3//2)*d^(1//4)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (sqrt(b)*c^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^(3//2)*d^(1//4)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 15),
+(1/((e*x)^(5//2)*(a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)), (-2*sqrt(c - d*x^2))/(3*a*c*e*(e*x)^(3//2)) + (2*d^(3//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(3*a*c^(3//4)*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (b*c^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^2*d^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (b*c^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^2*d^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 10),
+(1/((e*x)^(7//2)*(a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)), (-2*sqrt(c - d*x^2))/(5*a*c*e*(e*x)^(5//2)) - (2*(5*b*c + 3*a*d)*sqrt(c - d*x^2))/(5*a^2*c^2*e^3*sqrt(e*x)) - (2*d^(1//4)*(5*b*c + 3*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(5*a^2*c^(5//4)*e^(7//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (2*d^(1//4)*(5*b*c + 3*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(5*a^2*c^(5//4)*e^(7//2)*sqrt(c - d*x^2)) - (b^(3//2)*c^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^(5//2)*d^(1//4)*e^(7//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (b^(3//2)*c^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^(5//2)*d^(1//4)*e^(7//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 16),
+
+
+((e*x)^(9//2)/((a - b*x^2)*(c - d*x^2)^(3//2)), -((c*e^3*(e*x)^(3//2))/(d*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2))) + (c^(3//4)*(3*b*c - 2*a*d)*e^(9//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b*d^(7//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(3//4)*(3*b*c - 2*a*d)*e^(9//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b*d^(7//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) - (a^(3//2)*c^(1//4)*e^(9//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b^(3//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) + (a^(3//2)*c^(1//4)*e^(9//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b^(3//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)), x, 15),
+((e*x)^(7//2)/((a - b*x^2)*(c - d*x^2)^(3//2)), -((c*e^3*sqrt(e*x))/(d*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2))) + (c^(1//4)*(b*c - 2*a*d)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b*d^(5//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) + (a*c^(1//4)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) + (a*c^(1//4)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(b*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)), x, 10),
+((e*x)^(5//2)/((a - b*x^2)*(c - d*x^2)^(3//2)), -((e*(e*x)^(3//2))/((b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2))) + (c^(3//4)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(d^(3//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(3//4)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(d^(3//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) - (sqrt(a)*c^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(sqrt(b)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) + (sqrt(a)*c^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(sqrt(b)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)), x, 15),
+((e*x)^(3//2)/((a - b*x^2)*(c - d*x^2)^(3//2)), -((e*sqrt(e*x))/((b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2))) - (c^(1//4)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)), x, 10),
+(sqrt(e*x)/((a - b*x^2)*(c - d*x^2)^(3//2)), -((d*(e*x)^(3//2))/(c*(b*c - a*d)*e*sqrt(c - d*x^2))) + (d^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(c^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) - (d^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(c^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) - (sqrt(b)*c^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(sqrt(a)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) + (sqrt(b)*c^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(sqrt(a)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)), x, 15),
+(1/(sqrt(e*x)*(a - b*x^2)*(c - d*x^2)^(3//2)), -((d*sqrt(e*x))/(c*(b*c - a*d)*e*sqrt(c - d*x^2))) - (d^(3//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(c^(3//4)*(b*c - a*d)*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)) + (b*c^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)) + (b*c^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)), x, 10),
+(1/((e*x)^(3//2)*(a - b*x^2)*(c - d*x^2)^(3//2)), -(d/(c*(b*c - a*d)*e*sqrt(e*x)*sqrt(c - d*x^2))) - ((2*b*c - 3*a*d)*sqrt(c - d*x^2))/(a*c^2*(b*c - a*d)*e*sqrt(e*x)) - (d^(1//4)*(2*b*c - 3*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a*c^(5//4)*(b*c - a*d)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (d^(1//4)*(2*b*c - 3*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a*c^(5//4)*(b*c - a*d)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) - (b^(3//2)*c^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^(3//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (b^(3//2)*c^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^(3//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 16),
+(1/((e*x)^(5//2)*(a - b*x^2)*(c - d*x^2)^(3//2)), -(d/(c*(b*c - a*d)*e*(e*x)^(3//2)*sqrt(c - d*x^2))) - ((2*b*c - 5*a*d)*sqrt(c - d*x^2))/(3*a*c^2*(b*c - a*d)*e*(e*x)^(3//2)) + (d^(3//4)*(2*b*c - 5*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(3*a*c^(7//4)*(b*c - a*d)*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (b^2*c^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^2*d^(1//4)*(b*c - a*d)*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (b^2*c^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(a^2*d^(1//4)*(b*c - a*d)*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 11),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^2)^(p/2) / (c+d x^2)^2
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(((e*x)^(7//2)*sqrt(c - d*x^2))/(a - b*x^2)^2, (7*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(c - d*x^2))/(6*b^2) + (e*(e*x)^(5//2)*sqrt(c - d*x^2))/(2*b*(a - b*x^2)) + (c^(1//4)*(8*b*c - 21*a*d)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(6*b^3*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(5*b*c - 7*a*d)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*b^3*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(5*b*c - 7*a*d)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*b^3*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 11),
+(((e*x)^(5//2)*sqrt(c - d*x^2))/(a - b*x^2)^2, (e*(e*x)^(3//2)*sqrt(c - d*x^2))/(2*b*(a - b*x^2)) - (5*c^(3//4)*d^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*b^2*sqrt(c - d*x^2)) + (5*c^(3//4)*d^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*b^2*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(3*b*c - 5*a*d)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*sqrt(a)*b^(5//2)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(3*b*c - 5*a*d)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*sqrt(a)*b^(5//2)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 15),
+(((e*x)^(3//2)*sqrt(c - d*x^2))/(a - b*x^2)^2, (e*sqrt(e*x)*sqrt(c - d*x^2))/(2*b*(a - b*x^2)) - (3*c^(1//4)*d^(3//4)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*b^2*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(b*c - 3*a*d)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a*b^2*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(b*c - 3*a*d)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a*b^2*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 10),
+(((e*x)^(1//2)*sqrt(c - d*x^2))/(a - b*x^2)^2, ((e*x)^(3//2)*sqrt(c - d*x^2))/(2*a*e*(a - b*x^2)) - (c^(3//4)*d^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a*b*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(3//4)*d^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a*b*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(3//2)*b^(3//2)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(3//2)*b^(3//2)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 15),
+(sqrt(c - d*x^2)/((e*x)^(1//2)*(a - b*x^2)^2), (sqrt(e*x)*sqrt(c - d*x^2))/(2*a*e*(a - b*x^2)) + (c^(1//4)*d^(3//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a*b*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(3*b*c - a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^2*b*d^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(3*b*c - a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^2*b*d^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)), x, 10),
+(sqrt(c - d*x^2)/((e*x)^(3//2)*(a - b*x^2)^2), (-5*sqrt(c - d*x^2))/(2*a^2*e*sqrt(e*x)) + sqrt(c - d*x^2)/(2*a*e*sqrt(e*x)*(a - b*x^2)) - (5*c^(3//4)*d^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a^2*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (5*c^(3//4)*d^(1//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a^2*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(5*b*c - 3*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(5//2)*sqrt(b)*d^(1//4)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(5*b*c - 3*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(5//2)*sqrt(b)*d^(1//4)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 16),
+(sqrt(c - d*x^2)/((e*x)^(5//2)*(a - b*x^2)^2), (-7*sqrt(c - d*x^2))/(6*a^2*e*(e*x)^(3//2)) + sqrt(c - d*x^2)/(2*a*e*(e*x)^(3//2)*(a - b*x^2)) + (7*c^(1//4)*d^(3//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(6*a^2*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(7*b*c - 5*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^3*d^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(7*b*c - 5*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^3*d^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 11),
+
+
+(((e*x)^(7//2)*(c - d*x^2)^(3//2))/(a - b*x^2)^2, ((57*b*c - 77*a*d)*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(c - d*x^2))/(42*b^3) - (11*d*e*(e*x)^(5//2)*sqrt(c - d*x^2))/(14*b^2) + (e*(e*x)^(5//2)*(c - d*x^2)^(3//2))/(2*b*(a - b*x^2)) + (c^(1//4)*(48*b^2*c^2 - 259*a*b*c*d + 231*a^2*d^2)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(42*b^4*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(5*b*c - 11*a*d)*(b*c - a*d)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*b^4*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(5*b*c - 11*a*d)*(b*c - a*d)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*b^4*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 12),
+(((e*x)^(5//2)*(c - d*x^2)^(3//2))/(a - b*x^2)^2, (-9*d*e*(e*x)^(3//2)*sqrt(c - d*x^2))/(10*b^2) + (e*(e*x)^(3//2)*(c - d*x^2)^(3//2))/(2*b*(a - b*x^2)) - (3*c^(3//4)*d^(1//4)*(11*b*c - 15*a*d)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(10*b^3*sqrt(c - d*x^2)) + (3*c^(3//4)*d^(1//4)*(11*b*c - 15*a*d)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(10*b^3*sqrt(c - d*x^2)) + (3*c^(1//4)*(b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*sqrt(a)*b^(7//2)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) - (3*c^(1//4)*(b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*sqrt(a)*b^(7//2)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 16),
+(((e*x)^(3//2)*(c - d*x^2)^(3//2))/(a - b*x^2)^2, (-7*d*e*sqrt(e*x)*sqrt(c - d*x^2))/(6*b^2) + (e*sqrt(e*x)*(c - d*x^2)^(3//2))/(2*b*(a - b*x^2)) - (c^(1//4)*d^(3//4)*(17*b*c - 21*a*d)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(6*b^3*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a*b^3*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(b*c - 7*a*d)*(b*c - a*d)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a*b^3*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 11),
+(((e*x)^(1//2)*(c - d*x^2)^(3//2))/(a - b*x^2)^2, ((b*c - a*d)*(e*x)^(3//2)*sqrt(c - d*x^2))/(2*a*b*e*(a - b*x^2)) - (c^(3//4)*d^(1//4)*(b*c - 5*a*d)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a*b^2*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(3//4)*d^(1//4)*(b*c - 5*a*d)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a*b^2*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(3//2)*b^(5//2)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(3//2)*b^(5//2)*d^(1//4)*sqrt(c - d*x^2)), x, 15),
+((c - d*x^2)^(3//2)/((e*x)^(1//2)*(a - b*x^2)^2), ((b*c - a*d)*sqrt(e*x)*sqrt(c - d*x^2))/(2*a*b*e*(a - b*x^2)) + (c^(1//4)*d^(3//4)*(b*c + 3*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a*b^2*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)) + (3*c^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^2*b^2*d^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)) + (3*c^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^2*b^2*d^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)), x, 10),
+((c - d*x^2)^(3//2)/((e*x)^(3//2)*(a - b*x^2)^2), -((5*b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2))/(2*a^2*b*e*sqrt(e*x)) + ((b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2))/(2*a*b*e*sqrt(e*x)*(a - b*x^2)) - (c^(3//4)*d^(1//4)*(5*b*c - a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a^2*b*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(3//4)*d^(1//4)*(5*b*c - a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a^2*b*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(5*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d - a^2*d^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(5//2)*b^(3//2)*d^(1//4)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(5*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d - a^2*d^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(5//2)*b^(3//2)*d^(1//4)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 16),
+((c - d*x^2)^(3//2)/((e*x)^(5//2)*(a - b*x^2)^2), -((7*b*c - 3*a*d)*sqrt(c - d*x^2))/(6*a^2*b*e*(e*x)^(3//2)) + ((b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2))/(2*a*b*e*(e*x)^(3//2)*(a - b*x^2)) + (c^(1//4)*d^(3//4)*(7*b*c - 3*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(6*a^2*b*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)*(7*b*c - a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^3*b*d^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - a*d)*(7*b*c - a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^3*b*d^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 11),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((e*x)^(9//2)/((a - b*x^2)^2*sqrt(c - d*x^2)), (a*e^3*(e*x)^(3//2)*sqrt(c - d*x^2))/(2*b*(b*c - a*d)*(a - b*x^2)) + (c^(3//4)*(4*b*c - 5*a*d)*e^(9//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*b^2*d^(3//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(3//4)*(4*b*c - 5*a*d)*e^(9//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*b^2*d^(3//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) + (sqrt(a)*c^(1//4)*(7*b*c - 5*a*d)*e^(9//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*b^(5//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) - (sqrt(a)*c^(1//4)*(7*b*c - 5*a*d)*e^(9//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*b^(5//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)), x, 15),
+((e*x)^(7//2)/((a - b*x^2)^2*sqrt(c - d*x^2)), (a*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(c - d*x^2))/(2*b*(b*c - a*d)*(a - b*x^2)) + (c^(1//4)*(4*b*c - 3*a*d)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*b^2*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(5*b*c - 3*a*d)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*b^2*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(5*b*c - 3*a*d)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*b^2*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)), x, 10),
+((e*x)^(5//2)/((a - b*x^2)^2*sqrt(c - d*x^2)), (e*(e*x)^(3//2)*sqrt(c - d*x^2))/(2*(b*c - a*d)*(a - b*x^2)) - (c^(3//4)*d^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*b*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(3//4)*d^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*b*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(3*b*c - a*d)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*sqrt(a)*b^(3//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(3*b*c - a*d)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*sqrt(a)*b^(3//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)), x, 15),
+((e*x)^(3//2)/((a - b*x^2)^2*sqrt(c - d*x^2)), (e*sqrt(e*x)*sqrt(c - d*x^2))/(2*(b*c - a*d)*(a - b*x^2)) + (c^(1//4)*d^(3//4)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*b*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(b*c + a*d)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a*b*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(b*c + a*d)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a*b*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)), x, 10),
+((e*x)^(1//2)/((a - b*x^2)^2*sqrt(c - d*x^2)), (b*(e*x)^(3//2)*sqrt(c - d*x^2))/(2*a*(b*c - a*d)*e*(a - b*x^2)) - (c^(3//4)*d^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(3//4)*d^(1//4)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(b*c - 3*a*d)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(3//2)*sqrt(b)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(b*c - 3*a*d)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(3//2)*sqrt(b)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2)), x, 15),
+(1/((e*x)^(1//2)*(a - b*x^2)^2*sqrt(c - d*x^2)), (b*sqrt(e*x)*sqrt(c - d*x^2))/(2*a*(b*c - a*d)*e*(a - b*x^2)) + (c^(1//4)*d^(3//4)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a*(b*c - a*d)*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(3*b*c - 5*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^2*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(3*b*c - 5*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^2*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)), x, 10),
+(1/((e*x)^(3//2)*(a - b*x^2)^2*sqrt(c - d*x^2)), -((5*b*c - 4*a*d)*sqrt(c - d*x^2))/(2*a^2*c*(b*c - a*d)*e*sqrt(e*x)) + (b*sqrt(c - d*x^2))/(2*a*(b*c - a*d)*e*sqrt(e*x)*(a - b*x^2)) - (d^(1//4)*(5*b*c - 4*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a^2*c^(1//4)*(b*c - a*d)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (d^(1//4)*(5*b*c - 4*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a^2*c^(1//4)*(b*c - a*d)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) - (sqrt(b)*c^(1//4)*(5*b*c - 7*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(5//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (sqrt(b)*c^(1//4)*(5*b*c - 7*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(5//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 16),
+(1/((e*x)^(5//2)*(a - b*x^2)^2*sqrt(c - d*x^2)), -((7*b*c - 4*a*d)*sqrt(c - d*x^2))/(6*a^2*c*(b*c - a*d)*e*(e*x)^(3//2)) + (b*sqrt(c - d*x^2))/(2*a*(b*c - a*d)*e*(e*x)^(3//2)*(a - b*x^2)) + (d^(3//4)*(7*b*c - 4*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(6*a^2*c^(3//4)*(b*c - a*d)*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (b*c^(1//4)*(7*b*c - 9*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^3*d^(1//4)*(b*c - a*d)*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (b*c^(1//4)*(7*b*c - 9*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^3*d^(1//4)*(b*c - a*d)*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 11),
+
+
+((e*x)^(9//2)/((a - b*x^2)^2*(c - d*x^2)^(3//2)), ((2*b*c + a*d)*e^3*(e*x)^(3//2))/(2*b*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)) + (a*e^3*(e*x)^(3//2))/(2*b*(b*c - a*d)*(a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(3//4)*(2*b*c + a*d)*e^(9//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*b*d^(3//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(3//4)*(2*b*c + a*d)*e^(9//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*b*d^(3//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)) + (sqrt(a)*c^(1//4)*(7*b*c - a*d)*e^(9//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*b^(3//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)) - (sqrt(a)*c^(1//4)*(7*b*c - a*d)*e^(9//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*b^(3//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)), x, 16),
+((e*x)^(7//2)/((a - b*x^2)^2*(c - d*x^2)^(3//2)), ((2*b*c + a*d)*e^3*sqrt(e*x))/(2*b*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)) + (a*e^3*sqrt(e*x))/(2*b*(b*c - a*d)*(a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(1//4)*(2*b*c + a*d)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*b*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(5*b*c + a*d)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*b*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(5*b*c + a*d)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*b*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)), x, 11),
+((e*x)^(5//2)/((a - b*x^2)^2*(c - d*x^2)^(3//2)), (3*d*e*(e*x)^(3//2))/(2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)) + (e*(e*x)^(3//2))/(2*(b*c - a*d)*(a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)) - (3*c^(3//4)*d^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)) + (3*c^(3//4)*d^(1//4)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)) + (3*c^(1//4)*(b*c + a*d)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*sqrt(a)*sqrt(b)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)) - (3*c^(1//4)*(b*c + a*d)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*sqrt(a)*sqrt(b)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)), x, 16),
+((e*x)^(3//2)/((a - b*x^2)^2*(c - d*x^2)^(3//2)), (3*d*e*sqrt(e*x))/(2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)) + (e*sqrt(e*x))/(2*(b*c - a*d)*(a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)) + (3*c^(1//4)*d^(3//4)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(b*c + 5*a*d)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(1//4)*(b*c + 5*a*d)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)), x, 11),
+((e*x)^(1//2)/((a - b*x^2)^2*(c - d*x^2)^(3//2)), (d*(b*c + 2*a*d)*(e*x)^(3//2))/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*e*sqrt(c - d*x^2)) + (b*(e*x)^(3//2))/(2*a*(b*c - a*d)*e*(a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)) - (d^(1//4)*(b*c + 2*a*d)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a*c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)) + (d^(1//4)*(b*c + 2*a*d)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a*c^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)) - (sqrt(b)*c^(1//4)*(b*c - 7*a*d)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(3//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)) + (sqrt(b)*c^(1//4)*(b*c - 7*a*d)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(3//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(c - d*x^2)), x, 16),
+(1/((e*x)^(1//2)*(a - b*x^2)^2*(c - d*x^2)^(3//2)), (d*(b*c + 2*a*d)*sqrt(e*x))/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*e*sqrt(c - d*x^2)) + (b*sqrt(e*x))/(2*a*(b*c - a*d)*e*(a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)) + (d^(3//4)*(b*c + 2*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a*c^(3//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)) + (3*b*c^(1//4)*(b*c - 3*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^2*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)) + (3*b*c^(1//4)*(b*c - 3*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^2*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)), x, 11),
+(1/((e*x)^(3//2)*(a - b*x^2)^2*(c - d*x^2)^(3//2)), (d*(b*c + 2*a*d))/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*e*sqrt(e*x)*sqrt(c - d*x^2)) + b/(2*a*(b*c - a*d)*e*sqrt(e*x)*(a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)) - ((5*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 6*a^2*d^2)*sqrt(c - d*x^2))/(2*a^2*c^2*(b*c - a*d)^2*e*sqrt(e*x)) - (d^(1//4)*(5*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 6*a^2*d^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a^2*c^(5//4)*(b*c - a*d)^2*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (d^(1//4)*(5*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 6*a^2*d^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a^2*c^(5//4)*(b*c - a*d)^2*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) - (b^(3//2)*c^(1//4)*(5*b*c - 11*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(5//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (b^(3//2)*c^(1//4)*(5*b*c - 11*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(5//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 17),
+(1/((e*x)^(5//2)*(a - b*x^2)^2*(c - d*x^2)^(3//2)), (d*(b*c + 2*a*d))/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*e*(e*x)^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + b/(2*a*(b*c - a*d)*e*(e*x)^(3//2)*(a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)) - ((7*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 10*a^2*d^2)*sqrt(c - d*x^2))/(6*a^2*c^2*(b*c - a*d)^2*e*(e*x)^(3//2)) + (d^(3//4)*(7*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 10*a^2*d^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(6*a^2*c^(7//4)*(b*c - a*d)^2*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (b^2*c^(1//4)*(7*b*c - 13*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^3*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (b^2*c^(1//4)*(7*b*c - 13*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^3*d^(1//4)*(b*c - a*d)^2*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 12),
+
+
+((e*x)^(9//2)/((a - b*x^2)^2*(c - d*x^2)^(5//2)), ((2*b*c + 3*a*d)*e^3*(e*x)^(3//2))/(6*b*(b*c - a*d)^2*(c - d*x^2)^(3//2)) + (a*e^3*(e*x)^(3//2))/(2*b*(b*c - a*d)*(a - b*x^2)*(c - d*x^2)^(3//2)) + ((b*c + 4*a*d)*e^3*(e*x)^(3//2))/(2*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)) - (c^(3//4)*(b*c + 4*a*d)*e^(9//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*d^(3//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)) + (c^(3//4)*(b*c + 4*a*d)*e^(9//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*d^(3//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)) + (sqrt(a)*c^(1//4)*(7*b*c + 3*a*d)*e^(9//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*sqrt(b)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)) - (sqrt(a)*c^(1//4)*(7*b*c + 3*a*d)*e^(9//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*sqrt(b)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)), x, 17),
+((e*x)^(7//2)/((a - b*x^2)^2*(c - d*x^2)^(5//2)), ((2*b*c + 3*a*d)*e^3*sqrt(e*x))/(6*b*(b*c - a*d)^2*(c - d*x^2)^(3//2)) + (a*e^3*sqrt(e*x))/(2*b*(b*c - a*d)*(a - b*x^2)*(c - d*x^2)^(3//2)) + (5*(b*c + 2*a*d)*e^3*sqrt(e*x))/(6*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)) + (5*c^(1//4)*(b*c + 2*a*d)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(6*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)) - (5*c^(1//4)*(b*c + a*d)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)) - (5*c^(1//4)*(b*c + a*d)*e^(7//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)), x, 12),
+((e*x)^(5//2)/((a - b*x^2)^2*(c - d*x^2)^(5//2)), (5*d*e*(e*x)^(3//2))/(6*(b*c - a*d)^2*(c - d*x^2)^(3//2)) + (e*(e*x)^(3//2))/(2*(b*c - a*d)*(a - b*x^2)*(c - d*x^2)^(3//2)) + (d*(4*b*c + a*d)*e*(e*x)^(3//2))/(2*c*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)) - (d^(1//4)*(4*b*c + a*d)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*c^(1//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)) + (d^(1//4)*(4*b*c + a*d)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*c^(1//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)) + (sqrt(b)*c^(1//4)*(3*b*c + 7*a*d)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*sqrt(a)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)) - (sqrt(b)*c^(1//4)*(3*b*c + 7*a*d)*e^(5//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*sqrt(a)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)), x, 17),
+((e*x)^(3//2)/((a - b*x^2)^2*(c - d*x^2)^(5//2)), (5*d*e*sqrt(e*x))/(6*(b*c - a*d)^2*(c - d*x^2)^(3//2)) + (e*sqrt(e*x))/(2*(b*c - a*d)*(a - b*x^2)*(c - d*x^2)^(3//2)) + (d*(14*b*c + a*d)*e*sqrt(e*x))/(6*c*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)) + (d^(3//4)*(14*b*c + a*d)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(6*c^(3//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)) - (b*c^(1//4)*(b*c + 9*a*d)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)) - (b*c^(1//4)*(b*c + 9*a*d)*e^(3//2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)), x, 12),
+((e*x)^(1//2)/((a - b*x^2)^2*(c - d*x^2)^(5//2)), (d*(3*b*c + 2*a*d)*(e*x)^(3//2))/(6*a*c*(b*c - a*d)^2*e*(c - d*x^2)^(3//2)) + (b*(e*x)^(3//2))/(2*a*(b*c - a*d)*e*(a - b*x^2)*(c - d*x^2)^(3//2)) + (d*(b^2*c^2 + 5*a*b*c*d - a^2*d^2)*(e*x)^(3//2))/(2*a*c^2*(b*c - a*d)^3*e*sqrt(c - d*x^2)) - (d^(1//4)*(b^2*c^2 + 5*a*b*c*d - a^2*d^2)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a*c^(5//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)) + (d^(1//4)*(b^2*c^2 + 5*a*b*c*d - a^2*d^2)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a*c^(5//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)) - (b^(3//2)*c^(1//4)*(b*c - 11*a*d)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(3//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)) + (b^(3//2)*c^(1//4)*(b*c - 11*a*d)*sqrt(e)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(3//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c - d*x^2)), x, 17),
+(1/((e*x)^(1//2)*(a - b*x^2)^2*(c - d*x^2)^(5//2)), (d*(3*b*c + 2*a*d)*sqrt(e*x))/(6*a*c*(b*c - a*d)^2*e*(c - d*x^2)^(3//2)) + (b*sqrt(e*x))/(2*a*(b*c - a*d)*e*(a - b*x^2)*(c - d*x^2)^(3//2)) + (d*(3*b^2*c^2 + 17*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*sqrt(e*x))/(6*a*c^2*(b*c - a*d)^3*e*sqrt(c - d*x^2)) + (d^(3//4)*(3*b^2*c^2 + 17*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(6*a*c^(7//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)) + (b^2*c^(1//4)*(3*b*c - 13*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^2*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)) + (b^2*c^(1//4)*(3*b*c - 13*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^2*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(e)*sqrt(c - d*x^2)), x, 12),
+(1/((e*x)^(3//2)*(a - b*x^2)^2*(c - d*x^2)^(5//2)), (d*(3*b*c + 2*a*d))/(6*a*c*(b*c - a*d)^2*e*sqrt(e*x)*(c - d*x^2)^(3//2)) + b/(2*a*(b*c - a*d)*e*sqrt(e*x)*(a - b*x^2)*(c - d*x^2)^(3//2)) + (d*(3*b^2*c^2 + 19*a*b*c*d - 7*a^2*d^2))/(6*a*c^2*(b*c - a*d)^3*e*sqrt(e*x)*sqrt(c - d*x^2)) - ((5*b^3*c^3 - 12*a*b^2*c^2*d + 19*a^2*b*c*d^2 - 7*a^3*d^3)*sqrt(c - d*x^2))/(2*a^2*c^3*(b*c - a*d)^3*e*sqrt(e*x)) - (d^(1//4)*(5*b^3*c^3 - 12*a*b^2*c^2*d + 19*a^2*b*c*d^2 - 7*a^3*d^3)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a^2*c^(9//4)*(b*c - a*d)^3*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (d^(1//4)*(5*b^3*c^3 - 12*a*b^2*c^2*d + 19*a^2*b*c*d^2 - 7*a^3*d^3)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(2*a^2*c^(9//4)*(b*c - a*d)^3*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) - (5*b^(5//2)*c^(1//4)*(b*c - 3*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(5//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (5*b^(5//2)*c^(1//4)*(b*c - 3*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^(5//2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3*e^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 18),
+(1/((e*x)^(5//2)*(a - b*x^2)^2*(c - d*x^2)^(5//2)), (d*(3*b*c + 2*a*d))/(6*a*c*(b*c - a*d)^2*e*(e*x)^(3//2)*(c - d*x^2)^(3//2)) + b/(2*a*(b*c - a*d)*e*(e*x)^(3//2)*(a - b*x^2)*(c - d*x^2)^(3//2)) + (d*(b^2*c^2 + 7*a*b*c*d - 3*a^2*d^2))/(2*a*c^2*(b*c - a*d)^3*e*(e*x)^(3//2)*sqrt(c - d*x^2)) - ((7*b^3*c^3 - 12*a*b^2*c^2*d + 35*a^2*b*c*d^2 - 15*a^3*d^3)*sqrt(c - d*x^2))/(6*a^2*c^3*(b*c - a*d)^3*e*(e*x)^(3//2)) + (d^(3//4)*(7*b^3*c^3 - 12*a*b^2*c^2*d + 35*a^2*b*c*d^2 - 15*a^3*d^3)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(6*a^2*c^(11//4)*(b*c - a*d)^3*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (b^3*c^(1//4)*(7*b*c - 17*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^3*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)) + (b^3*c^(1//4)*(7*b*c - 17*a*d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c))/(sqrt(a)*sqrt(d)), asin((d^(1//4)*sqrt(e*x))/(c^(1//4)*sqrt(e))), -1))/(4*a^3*d^(1//4)*(b*c - a*d)^3*e^(5//2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 13),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^2)^(p/2) / (c+d x^2)^1
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+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^2)^(p/2) / (c+d x^2)^3
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^(q/2)
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+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^(1/2)
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+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^(3/2)
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+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^(5/2)
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^(p/2) / (c+d x^2)^(1/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^5*(a + b*x^2)^(1//2)/sqrt(c + d*x^2), ((5*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(16*b^2*d^3) - ((5*b*c + 3*a*d)*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(24*b^2*d^2) + (x^2*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(6*b*d) - ((b*c - a*d)*(5*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))))/(16*b^(5//2)*d^(7//2)), x, 7),
+(x^3*(a + b*x^2)^(1//2)/sqrt(c + d*x^2), -((3*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(8*b*d^2) + ((a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(4*b*d) + ((b*c - a*d)*(3*b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))))/(8*b^(3//2)*d^(5//2)), x, 6),
+(x^1*(a + b*x^2)^(1//2)/sqrt(c + d*x^2), (sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(2*d) - ((b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*sqrt(b)*d^(3//2)), x, 5),
+(1/x^1*(a + b*x^2)^(1//2)/sqrt(c + d*x^2), -((sqrt(a)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/sqrt(c)) + (sqrt(b)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))))/sqrt(d), x, 8),
+(1/x^3*(a + b*x^2)^(1//2)/sqrt(c + d*x^2), -((sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(2*c*x^2)) - ((b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*sqrt(a)*c^(3//2)), x, 4),
+(1/x^5*(a + b*x^2)^(1//2)/sqrt(c + d*x^2), ((b*c + 3*a*d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(8*a*c^2*x^2) - ((a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(4*a*c*x^4) + ((b*c - a*d)*(b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(8*a^(3//2)*c^(5//2)), x, 5),
+
+(x^4*(a + b*x^2)^(1//2)/sqrt(c + d*x^2), ((8*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d - 2*a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2))/(15*b^2*d^2*sqrt(c + d*x^2)) - ((4*b*c - a*d)*x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(15*b*d^2) + (x^3*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(5*d) - (sqrt(c)*(8*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d - 2*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*b^2*d^(5//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (c^(3//2)*(4*b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*b*d^(5//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+(x^2*(a + b*x^2)^(1//2)/sqrt(c + d*x^2), -(((2*b*c - a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(3*b*d*sqrt(c + d*x^2))) + (x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(3*d) + (sqrt(c)*(2*b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*b*d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) - (c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+(1/x^2*(a + b*x^2)^(1//2)/sqrt(c + d*x^2), (d*x*sqrt(a + b*x^2))/(c*sqrt(c + d*x^2)) - (sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(c*x) - (sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(c)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (b*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+(1/x^4*(a + b*x^2)^(1//2)/sqrt(c + d*x^2), (d*(b*c - 2*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(3*a*c^2*sqrt(c + d*x^2)) - (sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(3*c*x^3) - ((b*c - 2*a*d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(3*a*c^2*x) - (sqrt(d)*(b*c - 2*a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a*c^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) - (b*sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a*sqrt(c)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+
+
+(x^5*(a + b*x^2)^(3//2)/sqrt(c + d*x^2), -(((b*c - a*d)*(35*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(128*b^2*d^4)) + ((35*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(192*b^2*d^3) - ((7*b*c + 3*a*d)*(a + b*x^2)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2))/(48*b^2*d^2) + (x^2*(a + b*x^2)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2))/(8*b*d) + ((b*c - a*d)^2*(35*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))))/(128*b^(5//2)*d^(9//2)), x, 8),
+(x^3*(a + b*x^2)^(3//2)/sqrt(c + d*x^2), ((b*c - a*d)*(5*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(16*b*d^3) - ((5*b*c + a*d)*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(24*b*d^2) + ((a + b*x^2)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2))/(6*b*d) - ((b*c - a*d)^2*(5*b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))))/(16*b^(3//2)*d^(7//2)), x, 7),
+(x^1*(a + b*x^2)^(3//2)/sqrt(c + d*x^2), -((3*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(8*d^2)) + ((a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(4*d) + (3*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))))/(8*sqrt(b)*d^(5//2)), x, 6),
+(1/x^1*(a + b*x^2)^(3//2)/sqrt(c + d*x^2), (b*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(2*d) - (a^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/sqrt(c) - (sqrt(b)*(b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*d^(3//2)), x, 8),
+(1/x^3*(a + b*x^2)^(3//2)/sqrt(c + d*x^2), -((a*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(2*c*x^2)) - (sqrt(a)*(3*b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*c^(3//2)) + (b^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))))/sqrt(d), x, 8),
+(1/x^5*(a + b*x^2)^(3//2)/sqrt(c + d*x^2), -((3*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(8*c^2*x^2)) - ((a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(4*c*x^4) - (3*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(8*sqrt(a)*c^(5//2)), x, 5),
+
+(x^4*(a + b*x^2)^(3//2)/sqrt(c + d*x^2), -((2*(2*b*c - a*d)*(4*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d - a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2))/(35*b^2*d^3*sqrt(c + d*x^2))) + ((8*b^2*c^2 - 11*a*b*c*d + a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(35*b*d^3) - (2*(3*b*c - 4*a*d)*x^3*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(35*d^2) + (b*x^5*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(7*d) + (2*sqrt(c)*(2*b*c - a*d)*(4*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d - a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(35*b^2*d^(7//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) - (c^(3//2)*(8*b^2*c^2 - 11*a*b*c*d + a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(35*b*d^(7//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+(x^2*(a + b*x^2)^(3//2)/sqrt(c + d*x^2), -(((13*a*c - (8*b*c^2)/d - (3*a^2*d)/b)*x*sqrt(a + b*x^2))/(15*d*sqrt(c + d*x^2))) - (2*(2*b*c - 3*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(15*d^2) + (b*x^3*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(5*d) - (sqrt(c)*(8*b^2*c^2 - 13*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*b*d^(5//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (2*c^(3//2)*(2*b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*d^(5//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+(1/x^2*(a + b*x^2)^(3//2)/sqrt(c + d*x^2), ((b*c + a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(c*sqrt(c + d*x^2)) - (a*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(c*x) - ((b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (2*b*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+(1/x^4*(a + b*x^2)^(3//2)/sqrt(c + d*x^2), (2*d*(2*b*c - a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(3*c^2*sqrt(c + d*x^2)) - (a*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(3*c*x^3) - (2*(2*b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(3*c^2*x) - (2*sqrt(d)*(2*b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*c^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (b*(3*b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+
+
+(x^5*(a + b*x^2)^(5//2)/sqrt(c + d*x^2), ((b*c - a*d)^2*(63*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(256*b^2*d^5) - ((b*c - a*d)*(63*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(384*b^2*d^4) + ((63*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*(a + b*x^2)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2))/(480*b^2*d^3) - (3*(3*b*c + a*d)*(a + b*x^2)^(7//2)*sqrt(c + d*x^2))/(80*b^2*d^2) + (x^2*(a + b*x^2)^(7//2)*sqrt(c + d*x^2))/(10*b*d) - ((b*c - a*d)^3*(63*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))))/(256*b^(5//2)*d^(11//2)), x, 9),
+(x^3*(a + b*x^2)^(5//2)/sqrt(c + d*x^2), (-5*(b*c - a*d)^2*(7*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(128*b*d^4) + (5*(b*c - a*d)*(7*b*c + a*d)*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(192*b*d^3) - ((7*b*c + a*d)*(a + b*x^2)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2))/(48*b*d^2) + ((a + b*x^2)^(7//2)*sqrt(c + d*x^2))/(8*b*d) + (5*(b*c - a*d)^3*(7*b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))))/(128*b^(3//2)*d^(9//2)), x, 8),
+(x^1*(a + b*x^2)^(5//2)/sqrt(c + d*x^2), (5*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(16*d^3) - (5*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(24*d^2) + ((a + b*x^2)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2))/(6*d) - (5*(b*c - a*d)^3*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))))/(16*sqrt(b)*d^(7//2)), x, 7),
+(1/x^1*(a + b*x^2)^(5//2)/sqrt(c + d*x^2), -((b*(3*b*c - 7*a*d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(8*d^2)) + (b*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(4*d) - (a^(5//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/sqrt(c) + (sqrt(b)*(3*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 15*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))))/(8*d^(5//2)), x, 9),
+(1/x^3*(a + b*x^2)^(5//2)/sqrt(c + d*x^2), (b*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(2*c*d) - (a*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(2*c*x^2) - (a^(3//2)*(5*b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*c^(3//2)) - (b^(3//2)*(b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*d^(3//2)), x, 9),
+(1/x^5*(a + b*x^2)^(5//2)/sqrt(c + d*x^2), -((a*(7*b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(8*c^2*x^2)) - (a*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(4*c*x^4) - (sqrt(a)*(15*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(8*c^(5//2)) + (b^(5//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))))/sqrt(d), x, 9),
+
+(x^4*(a + b*x^2)^(5//2)/sqrt(c + d*x^2), ((128*b^4*c^4 - 328*a*b^3*c^3*d + 243*a^2*b^2*c^2*d^2 - 25*a^3*b*c*d^3 - 10*a^4*d^4)*x*sqrt(a + b*x^2))/(315*b^2*d^4*sqrt(c + d*x^2)) - ((64*b^3*c^3 - 156*a*b^2*c^2*d + 105*a^2*b*c*d^2 - 5*a^3*d^3)*x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(315*b*d^4) + ((48*b^2*c^2 - 115*a*b*c*d + 75*a^2*d^2)*x^3*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(315*d^3) - (4*b*(2*b*c - 3*a*d)*x^5*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(63*d^2) + (b*x^5*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(9*d) - (sqrt(c)*(128*b^4*c^4 - 328*a*b^3*c^3*d + 243*a^2*b^2*c^2*d^2 - 25*a^3*b*c*d^3 - 10*a^4*d^4)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(315*b^2*d^(9//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (c^(3//2)*(64*b^3*c^3 - 156*a*b^2*c^2*d + 105*a^2*b*c*d^2 - 5*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(315*b*d^(9//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 8),
+(x^2*(a + b*x^2)^(5//2)/sqrt(c + d*x^2), -(((48*b^3*c^3 - 128*a*b^2*c^2*d + 103*a^2*b*c*d^2 - 15*a^3*d^3)*x*sqrt(a + b*x^2))/(105*b*d^3*sqrt(c + d*x^2))) + ((24*b^2*c^2 - 61*a*b*c*d + 45*a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(105*d^3) - (2*b*(3*b*c - 5*a*d)*x^3*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(35*d^2) + (b*x^3*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(7*d) + (sqrt(c)*(48*b^3*c^3 - 128*a*b^2*c^2*d + 103*a^2*b*c*d^2 - 15*a^3*d^3)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(105*b*d^(7//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) - (c^(3//2)*(24*b^2*c^2 - 61*a*b*c*d + 45*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(105*d^(7//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 7),
+(1/x^2*(a + b*x^2)^(5//2)/sqrt(c + d*x^2), ((7*a*b - (2*b^2*c)/d + (3*a^2*d)/c)*x*sqrt(a + b*x^2))/(3*sqrt(c + d*x^2)) + (b*(b*c + 3*a*d)*x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(3*c*d) - (a*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(c*x) + ((2*b^2*c^2 - 7*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*sqrt(c)*d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) - (b*sqrt(c)*(b*c - 9*a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+(1/x^4*(a + b*x^2)^(5//2)/sqrt(c + d*x^2), ((3*b^2*c^2 + 7*a*b*c*d - 2*a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2))/(3*c^2*sqrt(c + d*x^2)) - (2*a*(3*b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(3*c^2*x) - (a*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(3*c*x^3) - ((3*b^2*c^2 + 7*a*b*c*d - 2*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*c^(3//2)*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (b*(9*b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+
+
+(x^4*sqrt(-1 + 3*x^2)/sqrt(2 - 3*x^2), (-(7//135))*x*sqrt(2 - 3*x^2)*sqrt(-1 + 3*x^2) - (1//15)*x^3*sqrt(2 - 3*x^2)*sqrt(-1 + 3*x^2) - (8*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos(sqrt(3//2)*x), 2))/(45*sqrt(3)) - (2*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos(sqrt(3//2)*x), 2))/(27*sqrt(3)), x, 5),
+(x^3*sqrt(-1 + 3*x^2)/sqrt(2 - 3*x^2), (-(7//72))*sqrt(2 - 3*x^2)*sqrt(-1 + 3*x^2) - (1//36)*sqrt(2 - 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(3//2) - (7//144)*asin(3 - 6*x^2), x, 6),
+(x^2*sqrt(-1 + 3*x^2)/sqrt(2 - 3*x^2), (-(1//9))*x*sqrt(2 - 3*x^2)*sqrt(-1 + 3*x^2) - SymbolicIntegration.elliptic_e(acos(sqrt(3//2)*x), 2)/(3*sqrt(3)) - SymbolicIntegration.elliptic_f(acos(sqrt(3//2)*x), 2)/(9*sqrt(3)), x, 4),
+(x^1*sqrt(-1 + 3*x^2)/sqrt(2 - 3*x^2), (-(1//6))*sqrt(2 - 3*x^2)*sqrt(-1 + 3*x^2) - (1//12)*asin(3 - 6*x^2), x, 5),
+
+(x^2*sqrt(2 + b*x^2)/sqrt(3 + d*x^2), -((2*(3*b - d)*x*sqrt(2 + b*x^2))/(3*b*d*sqrt(3 + d*x^2))) + (x*sqrt(2 + b*x^2)*sqrt(3 + d*x^2))/(3*d) + (2*sqrt(2)*(3*b - d)*sqrt(2 + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*b)/(2*d)))/(3*b*d^(3//2)*sqrt((2 + b*x^2)/(3 + d*x^2))*sqrt(3 + d*x^2)) - (sqrt(2)*sqrt(2 + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*b)/(2*d)))/(d^(3//2)*sqrt((2 + b*x^2)/(3 + d*x^2))*sqrt(3 + d*x^2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5/((a + b*x^2)^(1//2)*sqrt(c + d*x^2)), -((3*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(8*b^2*d^2)) + (x^2*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(4*b*d) - ((4*a*b*c*d - 3*(b*c + a*d)^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))))/(8*b^(5//2)*d^(5//2)), x, 6),
+(x^3/((a + b*x^2)^(1//2)*sqrt(c + d*x^2)), (sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(2*b*d) - ((b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*b^(3//2)*d^(3//2)), x, 5),
+(x^1/((a + b*x^2)^(1//2)*sqrt(c + d*x^2)), atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(d)), x, 4),
+(1/(x^1*(a + b*x^2)^(1//2)*sqrt(c + d*x^2)), -(atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2)))/(sqrt(a)*sqrt(c))), x, 3),
+(1/(x^3*(a + b*x^2)^(1//2)*sqrt(c + d*x^2)), -((sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*c*x^2)) + ((b*c + a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*a^(3//2)*c^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^5*(a + b*x^2)^(1//2)*sqrt(c + d*x^2)), -((sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(4*a*c*x^4)) + (3*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(8*a^2*c^2*x^2) - ((3*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(8*a^(5//2)*c^(5//2)), x, 6),
+
+(x^6/((a + b*x^2)^(1//2)*sqrt(c + d*x^2)), ((8*b^2*c^2 + 7*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*x*sqrt(a + b*x^2))/(15*b^3*d^2*sqrt(c + d*x^2)) - (4*(b*c + a*d)*x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(15*b^2*d^2) + (x^3*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(5*b*d) - (sqrt(c)*(8*b^2*c^2 + 7*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*b^3*d^(5//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (4*c^(3//2)*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*b^2*d^(5//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+(x^4/((a + b*x^2)^(1//2)*sqrt(c + d*x^2)), -((2*(b*c + a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(3*b^2*d*sqrt(c + d*x^2))) + (x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(3*b*d) + (2*sqrt(c)*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*b^2*d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) - (c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*b*d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+(x^2/((a + b*x^2)^(1//2)*sqrt(c + d*x^2)), (x*sqrt(a + b*x^2))/(b*sqrt(c + d*x^2)) - (sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(b*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x^2)^(1//2)*sqrt(c + d*x^2)), (d*x*sqrt(a + b*x^2))/(a*c*sqrt(c + d*x^2)) - (sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(a*c*x) - (sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt(c)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 4),
+(1/(x^4*(a + b*x^2)^(1//2)*sqrt(c + d*x^2)), -((2*d*(b*c + a*d)*x*sqrt(a + b*x^2))/(3*a^2*c^2*sqrt(c + d*x^2))) - (sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(3*a*c*x^3) + (2*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(3*a^2*c^2*x) + (2*sqrt(d)*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a^2*c^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) - (b*sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a^2*sqrt(c)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 6),
+
+
+(x^5/((a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)), -((a^2*sqrt(c + d*x^2))/(b^2*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2))) + (sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(2*b^2*d) - ((b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*b^(5//2)*d^(3//2)), x, 6),
+(x^3/((a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)), (a*sqrt(c + d*x^2))/(b*(b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2)) + atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2)))/(b^(3//2)*sqrt(d)), x, 5),
+(x^1/((a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)), -(sqrt(c + d*x^2)/((b*c - a*d)*sqrt(a + b*x^2))), x, 2),
+
+
+(x^5/((a + b*x^2)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2)), -((a^2*sqrt(c + d*x^2))/(3*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(3//2))) + (2*a*(3*b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(3*b^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x^2)) + atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2)))/(b^(5//2)*sqrt(d)), x, 6),
+(x^3/((a + b*x^2)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2)), (a*sqrt(c + d*x^2))/(3*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(3//2)) - ((3*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(3*b*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+(x^1/((a + b*x^2)^(5//2)*sqrt(c + d*x^2)), -(sqrt(c + d*x^2)/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(3//2))) + (2*d*sqrt(c + d*x^2))/(3*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+
+
+(x^5/((a + b*x^2)^(7//2)*sqrt(c + d*x^2)), -((a^2*sqrt(c + d*x^2))/(5*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(5//2))) + (2*a*(5*b*c - 3*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(15*b^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)^(3//2)) - ((15*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^2))/(15*b^2*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+(x^3/((a + b*x^2)^(7//2)*sqrt(c + d*x^2)), (a*sqrt(c + d*x^2))/(5*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(5//2)) - ((5*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(15*b*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)^(3//2)) + (2*d*(5*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(15*b*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+(x^1/((a + b*x^2)^(7//2)*sqrt(c + d*x^2)), -(sqrt(c + d*x^2)/(5*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(5//2))) + (4*d*sqrt(c + d*x^2))/(15*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)^(3//2)) - (8*d^2*sqrt(c + d*x^2))/(15*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+
+
+(x^5/((a + b*x^2)^(9//2)*sqrt(c + d*x^2)), -((a^2*sqrt(c + d*x^2))/(7*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^2)^(7//2))) + (2*a*(7*b*c - 4*a*d)*sqrt(c + d*x^2))/(35*b^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^2)^(5//2)) - ((35*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^2))/(105*b^2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x^2)^(3//2)) + (2*d*(35*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^2))/(105*b^2*(b*c - a*d)^4*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+
+
+(x/(sqrt(a - b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), -(atan((sqrt(d)*sqrt(a - b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(d))), x, 4),
+(x/(sqrt(a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)), -(atanh((sqrt(d)*sqrt(a - b*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(c - d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(d))), x, 4),
+
+
+(x^2/(sqrt(2 + b*x^2)*sqrt(3 + d*x^2)), (x*sqrt(2 + b*x^2))/(b*sqrt(3 + d*x^2)) - (sqrt(2)*sqrt(2 + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*b)/(2*d)))/(b*sqrt(d)*sqrt((2 + b*x^2)/(3 + d*x^2))*sqrt(3 + d*x^2)), x, 2),
+(x^2/(sqrt(4 - x^2)*sqrt(c + d*x^2)), (sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/2), -((4*d)/c)))/(d*sqrt(1 + (d*x^2)/c)) - (c*sqrt(1 + (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/2), -((4*d)/c)))/(d*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+(x^2/(sqrt(4 + x^2)*sqrt(c + d*x^2)), (x*sqrt(c + d*x^2))/(d*sqrt(4 + x^2)) - (sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x/2), 1 - (4*d)/c))/(d*sqrt(4 + x^2)*sqrt((c + d*x^2)/(c*(4 + x^2)))), x, 2),
+
+(x^2/(sqrt(1 - x^2)*sqrt(2 + 3*x^2)), (1//3)*sqrt(2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -(3//2)) - (1//3)*sqrt(2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -(3//2)), x, 3),
+(x^2/(sqrt(1 - x^2)*sqrt(2 - 3*x^2)), (-(1//3))*sqrt(2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), 3//2) + (1//3)*sqrt(2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), 3//2), x, 3),
+(x^2/(sqrt(4 - x^2)*sqrt(2 + 3*x^2)), (1//3)*sqrt(2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/2), -6) - (1//3)*sqrt(2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/2), -6), x, 3),
+(x^2/(sqrt(4 - x^2)*sqrt(2 - 3*x^2)), (-(1//3))*sqrt(2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/2), 6) + (1//3)*sqrt(2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/2), 6), x, 3),
+(x^2/(sqrt(1 - 4*x^2)*sqrt(2 + 3*x^2)), SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(2*x), -(3//8))/(3*sqrt(2)) - SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(2*x), -(3//8))/(3*sqrt(2)), x, 3),
+(x^2/(sqrt(1 - 4*x^2)*sqrt(2 - 3*x^2)), -(SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(2*x), 3//8)/(3*sqrt(2))) + SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(2*x), 3//8)/(3*sqrt(2)), x, 3),
+
+(x^2/(sqrt(1 + x^2)*sqrt(2 - 3*x^2)), SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//2)*x), -(2//3))/sqrt(3) - SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//2)*x), -(2//3))/sqrt(3), x, 3),
+(x^2/(sqrt(4 + x^2)*sqrt(2 - 3*x^2)), (2*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//2)*x), -(1//6)))/sqrt(3) - (2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//2)*x), -(1//6)))/sqrt(3), x, 3),
+(x^2/(sqrt(1 + 4*x^2)*sqrt(2 - 3*x^2)), SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//2)*x), -(8//3))/(4*sqrt(3)) - SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//2)*x), -(8//3))/(4*sqrt(3)), x, 3),
+
+(x^2/(sqrt(1 + x^2)*sqrt(2 + 3*x^2)), (x*sqrt(2 + 3*x^2))/(3*sqrt(1 + x^2)) - (sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), -(1//2)))/(3*sqrt(1 + x^2)*sqrt((2 + 3*x^2)/(1 + x^2))), x, 2),
+(x^2/(sqrt(4 + x^2)*sqrt(2 + 3*x^2)), (x*sqrt(2 + 3*x^2))/(3*sqrt(4 + x^2)) - (sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x/2), -5))/(3*sqrt(4 + x^2)*sqrt((2 + 3*x^2)/(4 + x^2))), x, 2),
+(x^2/(sqrt(1 + 4*x^2)*sqrt(2 + 3*x^2)), (x*sqrt(2 + 3*x^2))/(3*sqrt(1 + 4*x^2)) - (sqrt(2 + 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(2*x), 5//8))/(3*sqrt(2)*sqrt((2 + 3*x^2)/(1 + 4*x^2))*sqrt(1 + 4*x^2)), x, 2),
+
+(x^2/(sqrt(1 - x^2)*sqrt(-1 + 2*x^2)), (-(1//2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos(x), 2) - (1//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos(x), 2), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^(p/2) / (c+d x^2)^(3/2)
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2)^(p/2) / (c+d x^2)^(5/2)
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^(q/2)
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^(1/2)
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^(3/2)
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^(5/2)
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^2)^(p/2) / (c+d x^2)^(1/2)
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^2)^(p/2) / (c+d x^2)^(3/2)
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^2)^(p/2) / (c+d x^2)^(5/2)
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^2)^(p/3) (c+d x^2)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m / (a+b x^2)^(1/3) (c+d x^2)^q when b c+3 a d=0
+
+
+# ::Subsubsection::
+# q>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+(x^5/((1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)), (3//2)*(1 - x^2)^(2//3) + (3//10)*(1 - x^2)^(5//3) + (9*sqrt(3)*atan((1 + (2 - 2*x^2)^(1//3))/sqrt(3)))/(2*2^(2//3)) - (9*log(3 + x^2))/(4*2^(2//3)) + (27*log(2^(2//3) - (1 - x^2)^(1//3)))/(4*2^(2//3)), x, 7),
+(x^3/((1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)), (-(3//4))*(1 - x^2)^(2//3) - (3*sqrt(3)*atan((1 + (2 - 2*x^2)^(1//3))/sqrt(3)))/(2*2^(2//3)) + (3*log(3 + x^2))/(4*2^(2//3)) - (9*log(2^(2//3) - (1 - x^2)^(1//3)))/(4*2^(2//3)), x, 6),
+(x^1/((1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)), (sqrt(3)*atan((1 + (2 - 2*x^2)^(1//3))/sqrt(3)))/(2*2^(2//3)) - log(3 + x^2)/(4*2^(2//3)) + (3*log(2^(2//3) - (1 - x^2)^(1//3)))/(4*2^(2//3)), x, 5),
+(1/(x^1*(1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)), -(atan((1 + (2 - 2*x^2)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(2//3)*sqrt(3))) + atan((1 + 2*(1 - x^2)^(1//3))/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - log(x)/6 + log(3 + x^2)/(12*2^(2//3)) + (1//4)*log(1 - (1 - x^2)^(1//3)) - log(2^(2//3) - (1 - x^2)^(1//3))/(4*2^(2//3)), x, 10),
+(1/(x^3*(1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)), -((1 - x^2)^(2//3)/(6*x^2)) + atan((1 + (2 - 2*x^2)^(1//3))/sqrt(3))/(6*2^(2//3)*sqrt(3)) - log(3 + x^2)/(36*2^(2//3)) + log(2^(2//3) - (1 - x^2)^(1//3))/(12*2^(2//3)), x, 7),
+(1/(x^5*(1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)), -((1 - x^2)^(2//3)/(12*x^4)) - (1 - x^2)^(2//3)/(18*x^2) - atan((1 + (2 - 2*x^2)^(1//3))/sqrt(3))/(18*2^(2//3)*sqrt(3)) + atan((1 + 2*(1 - x^2)^(1//3))/sqrt(3))/(9*sqrt(3)) - log(x)/27 + log(3 + x^2)/(108*2^(2//3)) + (1//18)*log(1 - (1 - x^2)^(1//3)) - log(2^(2//3) - (1 - x^2)^(1//3))/(36*2^(2//3)), x, 12),
+
+(x^4/((1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)), (-(3//7))*x*(1 - x^2)^(2//3) + (54*x)/(7*(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))) + (3*sqrt(3)*atan(sqrt(3)/x))/(2*2^(2//3)) + (3*sqrt(3)*atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/x))/(2*2^(2//3)) - (3*atanh(x))/(2*2^(2//3)) + (9*atanh(x/(1 + 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3))))/(2*2^(2//3)) + (27*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - (1 - x^2)^(1//3))*sqrt((1 + (1 - x^2)^(1//3) + (1 - x^2)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*x*sqrt(-((1 - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2))) - (18*sqrt(2)*3^(3//4)*(1 - (1 - x^2)^(1//3))*sqrt((1 + (1 - x^2)^(1//3) + (1 - x^2)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*x*sqrt(-((1 - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2))), x, 7),
+(x^2/((1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)), -((3*x)/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))) - (sqrt(3)*atan(sqrt(3)/x))/(2*2^(2//3)) - (sqrt(3)*atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/x))/(2*2^(2//3)) + atanh(x)/(2*2^(2//3)) - (3*atanh(x/(1 + 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3))))/(2*2^(2//3)) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - (1 - x^2)^(1//3))*sqrt((1 + (1 - x^2)^(1//3) + (1 - x^2)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(2*x*sqrt(-((1 - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2))) + (sqrt(2)*3^(3//4)*(1 - (1 - x^2)^(1//3))*sqrt((1 + (1 - x^2)^(1//3) + (1 - x^2)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(x*sqrt(-((1 - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2))), x, 6),
+(x^0/((1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)), atan(sqrt(3)/x)/(2*2^(2//3)*sqrt(3)) + atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/x)/(2*2^(2//3)*sqrt(3)) - atanh(x)/(6*2^(2//3)) + atanh(x/(1 + 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/(2*2^(2//3)), x, 1),
+(1/(x^2*(1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)), -((1 - x^2)^(2//3)/(3*x)) + x/(3*(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))) - atan(sqrt(3)/x)/(6*2^(2//3)*sqrt(3)) - atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/x)/(6*2^(2//3)*sqrt(3)) + atanh(x)/(18*2^(2//3)) - atanh(x/(1 + 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/(6*2^(2//3)) + (sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - (1 - x^2)^(1//3))*sqrt((1 + (1 - x^2)^(1//3) + (1 - x^2)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(2*3^(3//4)*x*sqrt(-((1 - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2))) - (sqrt(2)*(1 - (1 - x^2)^(1//3))*sqrt((1 + (1 - x^2)^(1//3) + (1 - x^2)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*x*sqrt(-((1 - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2))), x, 7),
+(1/(x^4*(1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)), -((1 - x^2)^(2//3)/(9*x^3)) - (2*(1 - x^2)^(2//3))/(27*x) + (2*x)/(27*(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))) + atan(sqrt(3)/x)/(18*2^(2//3)*sqrt(3)) + atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/x)/(18*2^(2//3)*sqrt(3)) - atanh(x)/(54*2^(2//3)) + atanh(x/(1 + 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/(18*2^(2//3)) + (sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - (1 - x^2)^(1//3))*sqrt((1 + (1 - x^2)^(1//3) + (1 - x^2)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(9*3^(3//4)*x*sqrt(-((1 - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2))) - (2*sqrt(2)*(1 - (1 - x^2)^(1//3))*sqrt((1 + (1 - x^2)^(1//3) + (1 - x^2)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*x*sqrt(-((1 - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2))), x, 8),
+
+
+(x^7/((1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)^2), -((3*x^4*(1 - x^2)^(2//3))/(10*(3 + x^2))) + (9*(1 - x^2)^(2//3)*(69 + 14*x^2))/(40*(3 + x^2)) + (99*sqrt(3)*atan((1 + (2 - 2*x^2)^(1//3))/sqrt(3)))/(8*2^(2//3)) - (99*log(3 + x^2))/(16*2^(2//3)) + (297*log(2^(2//3) - (1 - x^2)^(1//3)))/(16*2^(2//3)), x, 7),
+(x^5/((1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)^2), (-(3//4))*(1 - x^2)^(2//3) - (9*(1 - x^2)^(2//3))/(8*(3 + x^2)) - (21*sqrt(3)*atan((1 + (2 - 2*x^2)^(1//3))/sqrt(3)))/(8*2^(2//3)) + (21*log(3 + x^2))/(16*2^(2//3)) - (63*log(2^(2//3) - (1 - x^2)^(1//3)))/(16*2^(2//3)), x, 7),
+(x^3/((1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)^2), (3*(1 - x^2)^(2//3))/(8*(3 + x^2)) + (3*sqrt(3)*atan((1 + (2 - 2*x^2)^(1//3))/sqrt(3)))/(8*2^(2//3)) - (3*log(3 + x^2))/(16*2^(2//3)) + (9*log(2^(2//3) - (1 - x^2)^(1//3)))/(16*2^(2//3)), x, 6),
+(x^1/((1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)^2), -((1 - x^2)^(2//3)/(8*(3 + x^2))) + atan((1 + (2 - 2*x^2)^(1//3))/sqrt(3))/(8*2^(2//3)*sqrt(3)) - log(3 + x^2)/(48*2^(2//3)) + log(2^(2//3) - (1 - x^2)^(1//3))/(16*2^(2//3)), x, 6),
+(1/(x^1*(1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)^2), (1 - x^2)^(2//3)/(24*(3 + x^2)) - (5*atan((1 + (2 - 2*x^2)^(1//3))/sqrt(3)))/(24*2^(2//3)*sqrt(3)) + atan((1 + 2*(1 - x^2)^(1//3))/sqrt(3))/(6*sqrt(3)) - log(x)/18 + (5*log(3 + x^2))/(144*2^(2//3)) + (1//12)*log(1 - (1 - x^2)^(1//3)) - (5*log(2^(2//3) - (1 - x^2)^(1//3)))/(48*2^(2//3)), x, 11),
+(1/(x^3*(1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)^2), -((5*(1 - x^2)^(2//3))/(72*(3 + x^2))) - (1 - x^2)^(2//3)/(6*x^2*(3 + x^2)) + atan((1 + (2 - 2*x^2)^(1//3))/sqrt(3))/(8*2^(2//3)*sqrt(3)) - atan((1 + 2*(1 - x^2)^(1//3))/sqrt(3))/(18*sqrt(3)) + log(x)/54 - log(3 + x^2)/(48*2^(2//3)) - (1//36)*log(1 - (1 - x^2)^(1//3)) + log(2^(2//3) - (1 - x^2)^(1//3))/(16*2^(2//3)), x, 12),
+(1/(x^5*(1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)^2), (1 - x^2)^(2//3)/(216*(3 + x^2)) - (1 - x^2)^(2//3)/(12*x^4*(3 + x^2)) - (1 - x^2)^(2//3)/(36*x^2*(3 + x^2)) - (13*atan((1 + (2 - 2*x^2)^(1//3))/sqrt(3)))/(216*2^(2//3)*sqrt(3)) + atan((1 + 2*(1 - x^2)^(1//3))/sqrt(3))/(18*sqrt(3)) - log(x)/54 + (13*log(3 + x^2))/(1296*2^(2//3)) + (1//36)*log(1 - (1 - x^2)^(1//3)) - (13*log(2^(2//3) - (1 - x^2)^(1//3)))/(432*2^(2//3)), x, 13),
+
+(x^4/((1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)^2), (3*x*(1 - x^2)^(2//3))/(8*(3 + x^2)) - (27*x)/(8*(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))) - (5*sqrt(3)*atan(sqrt(3)/x))/(8*2^(2//3)) - (5*sqrt(3)*atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/x))/(8*2^(2//3)) + (5*atanh(x))/(8*2^(2//3)) - (15*atanh(x/(1 + 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3))))/(8*2^(2//3)) - (27*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - (1 - x^2)^(1//3))*sqrt((1 + (1 - x^2)^(1//3) + (1 - x^2)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(16*x*sqrt(-((1 - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2))) + (9*3^(3//4)*(1 - (1 - x^2)^(1//3))*sqrt((1 + (1 - x^2)^(1//3) + (1 - x^2)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*x*sqrt(-((1 - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2))), x, 7),
+(x^2/((1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)^2), -((x*(1 - x^2)^(2//3))/(8*(3 + x^2))) + x/(8*(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))) + atan(sqrt(3)/x)/(8*2^(2//3)*sqrt(3)) + atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/x)/(8*2^(2//3)*sqrt(3)) - atanh(x)/(24*2^(2//3)) + atanh(x/(1 + 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/(8*2^(2//3)) + (3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - (1 - x^2)^(1//3))*sqrt((1 + (1 - x^2)^(1//3) + (1 - x^2)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(16*x*sqrt(-((1 - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2))) - ((1 - (1 - x^2)^(1//3))*sqrt((1 + (1 - x^2)^(1//3) + (1 - x^2)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*3^(1//4)*x*sqrt(-((1 - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2))), x, 7),
+(x^0/((1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)^2), (x*(1 - x^2)^(2//3))/(24*(3 + x^2)) - x/(24*(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))) + atan(sqrt(3)/x)/(8*2^(2//3)*sqrt(3)) + atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/x)/(8*2^(2//3)*sqrt(3)) - atanh(x)/(24*2^(2//3)) + atanh(x/(1 + 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/(8*2^(2//3)) - (sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - (1 - x^2)^(1//3))*sqrt((1 + (1 - x^2)^(1//3) + (1 - x^2)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(16*3^(3//4)*x*sqrt(-((1 - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2))) + ((1 - (1 - x^2)^(1//3))*sqrt((1 + (1 - x^2)^(1//3) + (1 - x^2)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(12*sqrt(2)*3^(1//4)*x*sqrt(-((1 - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2))), x, 7),
+(1/(x^2*(1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)^2), -((1 - x^2)^(2//3)/(8*x)) + (1 - x^2)^(2//3)/(24*x*(3 + x^2)) + x/(8*(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))) - (7*atan(sqrt(3)/x))/(72*2^(2//3)*sqrt(3)) - (7*atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/x))/(72*2^(2//3)*sqrt(3)) + (7*atanh(x))/(216*2^(2//3)) - (7*atanh(x/(1 + 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3))))/(72*2^(2//3)) + (3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - (1 - x^2)^(1//3))*sqrt((1 + (1 - x^2)^(1//3) + (1 - x^2)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(16*x*sqrt(-((1 - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2))) - ((1 - (1 - x^2)^(1//3))*sqrt((1 + (1 - x^2)^(1//3) + (1 - x^2)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*3^(1//4)*x*sqrt(-((1 - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2))), x, 8),
+(1/(x^4*(1 - x^2)^(1//3)*(3 + x^2)^2), -((11*(1 - x^2)^(2//3))/(216*x^3)) + (11*(1 - x^2)^(2//3))/(648*x) + (1 - x^2)^(2//3)/(24*x^3*(3 + x^2)) - (11*x)/(648*(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))) + (11*atan(sqrt(3)/x))/(216*2^(2//3)*sqrt(3)) + (11*atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3)))/x))/(216*2^(2//3)*sqrt(3)) - (11*atanh(x))/(648*2^(2//3)) + (11*atanh(x/(1 + 2^(1//3)*(1 - x^2)^(1//3))))/(216*2^(2//3)) - (11*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - (1 - x^2)^(1//3))*sqrt((1 + (1 - x^2)^(1//3) + (1 - x^2)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(432*3^(3//4)*x*sqrt(-((1 - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2))) + (11*(1 - (1 - x^2)^(1//3))*sqrt((1 + (1 - x^2)^(1//3) + (1 - x^2)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(324*sqrt(2)*3^(1//4)*x*sqrt(-((1 - (1 - x^2)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 - x^2)^(1//3))^2))), x, 9),
+
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^2)^(p/4) (c+d x^2)^q
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+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form e^m (a+b x^2)^(1/4) (c+d x^2)^q when b c-2 a d=0
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# a>0
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+(x^7/((2 - 3*x^2)^(1//4)*(4 - 3*x^2)), (56//243)*(2 - 3*x^2)^(3//4) - (16//567)*(2 - 3*x^2)^(7//4) + (2//891)*(2 - 3*x^2)^(11//4) + (32//81)*2^(1//4)*atan((sqrt(2) - sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4))) + (32//81)*2^(1//4)*atanh((sqrt(2) + sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4))), x, 10),
+(x^5/((2 - 3*x^2)^(1//4)*(4 - 3*x^2)), (4//27)*(2 - 3*x^2)^(3//4) - (2//189)*(2 - 3*x^2)^(7//4) + (8//27)*2^(1//4)*atan((sqrt(2) - sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4))) + (8//27)*2^(1//4)*atanh((sqrt(2) + sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4))), x, 7),
+(x^3/((2 - 3*x^2)^(1//4)*(4 - 3*x^2)), (2//27)*(2 - 3*x^2)^(3//4) + (2//9)*2^(1//4)*atan((sqrt(2) - sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4))) + (2//9)*2^(1//4)*atanh((sqrt(2) + sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4))), x, 4),
+(x^1/((2 - 3*x^2)^(1//4)*(4 - 3*x^2)), atan((sqrt(2) - sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4)))/(3*2^(3//4)) + atanh((sqrt(2) + sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4)))/(3*2^(3//4)), x, 1),
+(1/(x^1*(2 - 3*x^2)^(1//4)*(4 - 3*x^2)), atan((2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4))/(4*2^(1//4)) + atan((sqrt(2) - sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4)))/(4*2^(3//4)) - atanh((2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4))/(4*2^(1//4)) + atanh((sqrt(2) + sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4)))/(4*2^(3//4)), x, 8),
+(1/(x^3*(2 - 3*x^2)^(1//4)*(4 - 3*x^2)), -((2 - 3*x^2)^(3//4)/(16*x^2)) + (9*atan((2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)))/(32*2^(1//4)) + (3*atan((sqrt(2) - sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4))))/(16*2^(3//4)) - (9*atanh((2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)))/(32*2^(1//4)) + (3*atanh((sqrt(2) + sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4))))/(16*2^(3//4)), x, 14),
+
+(x^4/((2 - 3*x^2)^(1//4)*(4 - 3*x^2)), (2//45)*x*(2 - 3*x^2)^(3//4) + (4*2^(1//4)*atan((2^(3//4) - 2^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2))/(sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))))/(9*sqrt(3)) + (4*2^(1//4)*atanh((2^(3//4) + 2^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2))/(sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))))/(9*sqrt(3)) - (16*2^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*asin(sqrt(3//2)*x), 2))/(15*sqrt(3)), x, 6),
+(x^2/((2 - 3*x^2)^(1//4)*(4 - 3*x^2)), (2^(1//4)*atan((2^(3//4) - 2^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2))/(sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))))/(3*sqrt(3)) + (2^(1//4)*atanh((2^(3//4) + 2^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2))/(sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))))/(3*sqrt(3)) - (2*2^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*asin(sqrt(3//2)*x), 2))/(3*sqrt(3)), x, 4),
+(x^0/((2 - 3*x^2)^(1//4)*(4 - 3*x^2)), atan((2 - sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(1//4)*sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(3)) + atanh((2 + sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(1//4)*sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(3)), x, 1),
+(1/(x^2*(2 - 3*x^2)^(1//4)*(4 - 3*x^2)), -((2 - 3*x^2)^(3//4)/(8*x)) + (sqrt(3)*atan((2^(3//4) - 2^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2))/(sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))))/(8*2^(3//4)) + (sqrt(3)*atanh((2^(3//4) + 2^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2))/(sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))))/(8*2^(3//4)) - (sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*asin(sqrt(3//2)*x), 2))/(4*2^(3//4)), x, 5),
+(1/(x^4*(2 - 3*x^2)^(1//4)*(4 - 3*x^2)), -((2 - 3*x^2)^(3//4)/(24*x^3)) - (3*(2 - 3*x^2)^(3//4))/(16*x) + (3*sqrt(3)*atan((2^(3//4) - 2^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2))/(sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))))/(32*2^(3//4)) + (3*sqrt(3)*atanh((2^(3//4) + 2^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2))/(sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))))/(32*2^(3//4)) - (3*sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*asin(sqrt(3//2)*x), 2))/(8*2^(3//4)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# a<0
+
+
+(x^7/((-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4)), (14//243)*(-1 + 3*x^2)^(3//4) + (8//567)*(-1 + 3*x^2)^(7//4) + (2//891)*(-1 + 3*x^2)^(11//4) + (8//81)*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (8//81)*atanh((-1 + 3*x^2)^(1//4)), x, 7),
+(x^5/((-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4)), (2//27)*(-1 + 3*x^2)^(3//4) + (2//189)*(-1 + 3*x^2)^(7//4) + (4//27)*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (4//27)*atanh((-1 + 3*x^2)^(1//4)), x, 7),
+(x^3/((-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4)), (2//27)*(-1 + 3*x^2)^(3//4) + (2//9)*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (2//9)*atanh((-1 + 3*x^2)^(1//4)), x, 6),
+(x^1/((-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4)), (1//3)*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (1//3)*atanh((-1 + 3*x^2)^(1//4)), x, 5),
+(1/(x^1*(-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4)), (1//2)*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)) + atan(1 - sqrt(2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(2*sqrt(2)) - atan(1 + sqrt(2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(2*sqrt(2)) - (1//2)*atanh((-1 + 3*x^2)^(1//4)) - log(1 - sqrt(2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4) + sqrt(-1 + 3*x^2))/(4*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4) + sqrt(-1 + 3*x^2))/(4*sqrt(2)), x, 16),
+(1/(x^3*(-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4)), -((-1 + 3*x^2)^(3//4)/(4*x^2)) + (3//4)*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)) + (9*atan(1 - sqrt(2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4)))/(8*sqrt(2)) - (9*atan(1 + sqrt(2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4)))/(8*sqrt(2)) - (3//4)*atanh((-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (9*log(1 - sqrt(2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4) + sqrt(-1 + 3*x^2)))/(16*sqrt(2)) + (9*log(1 + sqrt(2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4) + sqrt(-1 + 3*x^2)))/(16*sqrt(2)), x, 17),
+
+(x^4/((-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4)), (2//45)*x*(-1 + 3*x^2)^(3//4) + (8*x*(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(15*(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))) - (1//9)*sqrt(2//3)*atan((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (1//9)*sqrt(2//3)*atanh((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (8*sqrt(x^2/(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))^2)*(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)), 1//2))/(15*sqrt(3)*x) + (4*sqrt(x^2/(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))^2)*(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)), 1//2))/(15*sqrt(3)*x), x, 12),
+(x^2/((-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4)), (2*x*(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(3*(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))) - atan((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(3*sqrt(6)) - atanh((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(3*sqrt(6)) - (2*sqrt(x^2/(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))^2)*(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)), 1//2))/(3*sqrt(3)*x) + (sqrt(x^2/(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))^2)*(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)), 1//2))/(3*sqrt(3)*x), x, 7),
+(x^0/((-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4)), -(atan((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(2*sqrt(6))) - atanh((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(2*sqrt(6)), x, 1),
+(1/(x^2*(-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4)), -((-1 + 3*x^2)^(3//4)/(2*x)) + (3*x*(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(2*(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))) - (1//4)*sqrt(3//2)*atan((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (1//4)*sqrt(3//2)*atanh((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (sqrt(3)*sqrt(x^2/(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))^2)*(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)), 1//2))/(2*x) + (sqrt(3)*sqrt(x^2/(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))^2)*(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)), 1//2))/(4*x), x, 8),
+(1/(x^4*(-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4)), -((-1 + 3*x^2)^(3//4)/(6*x^3)) - (3*(-1 + 3*x^2)^(3//4))/(2*x) + (9*x*(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(2*(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))) - (3//8)*sqrt(3//2)*atan((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (3//8)*sqrt(3//2)*atanh((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (3*sqrt(3)*sqrt(x^2/(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))^2)*(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)), 1//2))/(2*x) + (3*sqrt(3)*sqrt(x^2/(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))^2)*(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)), 1//2))/(4*x), x, 14),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form e^m (a+b x^2)^(3/4) (c+d x^2)^q when b c-2 a d=0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# a>0
+
+
+(x^2/((2 + 3*x^2)^(3//4)*(4 + 3*x^2)), -(atan((2*2^(3//4) + 2*2^(1//4)*sqrt(2 + 3*x^2))/(2*sqrt(3)*x*(2 + 3*x^2)^(1//4)))/(3*2^(1//4)*sqrt(3))) + atanh((2*2^(3//4) - 2*2^(1//4)*sqrt(2 + 3*x^2))/(2*sqrt(3)*x*(2 + 3*x^2)^(1//4)))/(3*2^(1//4)*sqrt(3)), x, 1),
+(x^2/((2 - 3*x^2)^(3//4)*(4 - 3*x^2)), atan((2 - sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(1//4)*sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4)))/(3*2^(1//4)*sqrt(3)) - atanh((2 + sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(1//4)*sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4)))/(3*2^(1//4)*sqrt(3)), x, 1),
+
+(x^2/((2 + b*x^2)^(3//4)*(4 + b*x^2)), -(atan((2*2^(3//4) + 2*2^(1//4)*sqrt(2 + b*x^2))/(2*sqrt(b)*x*(2 + b*x^2)^(1//4)))/(2^(1//4)*b^(3//2))) + atanh((2*2^(3//4) - 2*2^(1//4)*sqrt(2 + b*x^2))/(2*sqrt(b)*x*(2 + b*x^2)^(1//4)))/(2^(1//4)*b^(3//2)), x, 1),
+(x^2/((2 - b*x^2)^(3//4)*(4 - b*x^2)), atan((2 - sqrt(2)*sqrt(2 - b*x^2))/(2^(1//4)*sqrt(b)*x*(2 - b*x^2)^(1//4)))/(2^(1//4)*b^(3//2)) - atanh((2 + sqrt(2)*sqrt(2 - b*x^2))/(2^(1//4)*sqrt(b)*x*(2 - b*x^2)^(1//4)))/(2^(1//4)*b^(3//2)), x, 1),
+
+
+(x^2/((a + 3*x^2)^(3//4)*(2*a + 3*x^2)), -(atan((a^(3//4)*(1 + sqrt(a + 3*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(3)*x*(a + 3*x^2)^(1//4)))/(3*sqrt(3)*a^(1//4))) + atanh((a^(3//4)*(1 - sqrt(a + 3*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(3)*x*(a + 3*x^2)^(1//4)))/(3*sqrt(3)*a^(1//4)), x, 1),
+(x^2/((a - 3*x^2)^(3//4)*(2*a - 3*x^2)), atan((a^(3//4)*(1 - sqrt(a - 3*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(3)*x*(a - 3*x^2)^(1//4)))/(3*sqrt(3)*a^(1//4)) - atanh((a^(3//4)*(1 + sqrt(a - 3*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(3)*x*(a - 3*x^2)^(1//4)))/(3*sqrt(3)*a^(1//4)), x, 1),
+
+(x^2/((a + b*x^2)^(3//4)*(2*a + b*x^2)), -(atan((a^(3//4)*(1 + sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(b)*x*(a + b*x^2)^(1//4)))/(a^(1//4)*b^(3//2))) + atanh((a^(3//4)*(1 - sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(b)*x*(a + b*x^2)^(1//4)))/(a^(1//4)*b^(3//2)), x, 1),
+(x^2/((a - b*x^2)^(3//4)*(2*a - b*x^2)), atan((a^(3//4)*(1 - sqrt(a - b*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(b)*x*(a - b*x^2)^(1//4)))/(a^(1//4)*b^(3//2)) - atanh((a^(3//4)*(1 + sqrt(a - b*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(b)*x*(a - b*x^2)^(1//4)))/(a^(1//4)*b^(3//2)), x, 1),
+
+
+(x^7/((2 - 3*x^2)^(3//4)*(4 - 3*x^2)), (56//81)*(2 - 3*x^2)^(1//4) - (16//405)*(2 - 3*x^2)^(5//4) + (2//729)*(2 - 3*x^2)^(9//4) - (16//81)*2^(3//4)*atan(1 + (4 - 6*x^2)^(1//4)) + (16//81)*2^(3//4)*atan(1 - 2^(1//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4)) + (8//81)*2^(3//4)*log(sqrt(2) - 2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4) + sqrt(2 - 3*x^2)) - (8//81)*2^(3//4)*log(sqrt(2) + 2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4) + sqrt(2 - 3*x^2)), x, 20),
+(x^5/((2 - 3*x^2)^(3//4)*(4 - 3*x^2)), (4//9)*(2 - 3*x^2)^(1//4) - (2//135)*(2 - 3*x^2)^(5//4) - (4//27)*2^(3//4)*atan(1 + (4 - 6*x^2)^(1//4)) + (4//27)*2^(3//4)*atan(1 - 2^(1//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4)) + (2//27)*2^(3//4)*log(sqrt(2) - 2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4) + sqrt(2 - 3*x^2)) - (2//27)*2^(3//4)*log(sqrt(2) + 2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4) + sqrt(2 - 3*x^2)), x, 17),
+(x^3/((2 - 3*x^2)^(3//4)*(4 - 3*x^2)), (2//9)*(2 - 3*x^2)^(1//4) - (1//9)*2^(3//4)*atan(1 + (4 - 6*x^2)^(1//4)) + (1//9)*2^(3//4)*atan(1 - 2^(1//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4)) + log(sqrt(2) - 2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4) + sqrt(2 - 3*x^2))/(9*2^(1//4)) - log(sqrt(2) + 2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4) + sqrt(2 - 3*x^2))/(9*2^(1//4)), x, 14),
+(x^1/((2 - 3*x^2)^(3//4)*(4 - 3*x^2)), -(atan(1 + (4 - 6*x^2)^(1//4))/(6*2^(1//4))) + atan(1 - 2^(1//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4))/(6*2^(1//4)) + log(sqrt(2) - 2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4) + sqrt(2 - 3*x^2))/(12*2^(1//4)) - log(sqrt(2) + 2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4) + sqrt(2 - 3*x^2))/(12*2^(1//4)), x, 11),
+(1/(x^1*(2 - 3*x^2)^(3//4)*(4 - 3*x^2)), -(atan((2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4))/(4*2^(3//4))) - atan(1 + (4 - 6*x^2)^(1//4))/(8*2^(1//4)) + atan(1 - 2^(1//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4))/(8*2^(1//4)) - atanh((2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4))/(4*2^(3//4)) + log(sqrt(2) - 2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4) + sqrt(2 - 3*x^2))/(16*2^(1//4)) - log(sqrt(2) + 2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4) + sqrt(2 - 3*x^2))/(16*2^(1//4)), x, 18),
+(1/(x^3*(2 - 3*x^2)^(3//4)*(4 - 3*x^2)), -((2 - 3*x^2)^(1//4)/(16*x^2)) - (15*atan((2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)))/(32*2^(3//4)) - (3*atan(1 + (4 - 6*x^2)^(1//4)))/(32*2^(1//4)) + (3*atan(1 - 2^(1//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4)))/(32*2^(1//4)) - (15*atanh((2 - 3*x^2)^(1//4)/2^(1//4)))/(32*2^(3//4)) + (3*log(sqrt(2) - 2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4) + sqrt(2 - 3*x^2)))/(64*2^(1//4)) - (3*log(sqrt(2) + 2^(3//4)*(2 - 3*x^2)^(1//4) + sqrt(2 - 3*x^2)))/(64*2^(1//4)), x, 24),
+
+(x^6/((2 - 3*x^2)^(3//4)*(4 - 3*x^2)), (80//567)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4) + (2//63)*x^3*(2 - 3*x^2)^(1//4) + (8*2^(3//4)*atan((2^(3//4) - 2^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2))/(sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))))/(27*sqrt(3)) - (8*2^(3//4)*atanh((2^(3//4) + 2^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2))/(sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))))/(27*sqrt(3)) - (160*2^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin(sqrt(3//2)*x), 2))/(567*sqrt(3)), x, 11),
+(x^4/((2 - 3*x^2)^(3//4)*(4 - 3*x^2)), (2//27)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4) + (2*2^(3//4)*atan((2^(3//4) - 2^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2))/(sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))))/(9*sqrt(3)) - (2*2^(3//4)*atanh((2^(3//4) + 2^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2))/(sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))))/(9*sqrt(3)) - (4*2^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin(sqrt(3//2)*x), 2))/(27*sqrt(3)), x, 8),
+(x^2/((2 - 3*x^2)^(3//4)*(4 - 3*x^2)), atan((2 - sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(1//4)*sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4)))/(3*2^(1//4)*sqrt(3)) - atanh((2 + sqrt(2)*sqrt(2 - 3*x^2))/(2^(1//4)*sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4)))/(3*2^(1//4)*sqrt(3)), x, 1),
+(x^0/((2 - 3*x^2)^(3//4)*(4 - 3*x^2)), atan((2^(3//4) - 2^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2))/(sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4)))/(4*2^(1//4)*sqrt(3)) - atanh((2^(3//4) + 2^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2))/(sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4)))/(4*2^(1//4)*sqrt(3)) + SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin(sqrt(3//2)*x), 2)/(2*2^(1//4)*sqrt(3)), x, 3),
+(1/(x^2*(2 - 3*x^2)^(3//4)*(4 - 3*x^2)), -((2 - 3*x^2)^(1//4)/(8*x)) + (sqrt(3)*atan((2^(3//4) - 2^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2))/(sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))))/(16*2^(1//4)) - (sqrt(3)*atanh((2^(3//4) + 2^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2))/(sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))))/(16*2^(1//4)) + (sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin(sqrt(3//2)*x), 2))/(4*2^(1//4)), x, 7),
+(1/(x^4*(2 - 3*x^2)^(3//4)*(4 - 3*x^2)), -((2 - 3*x^2)^(1//4)/(24*x^3)) - (2 - 3*x^2)^(1//4)/(4*x) + (3*sqrt(3)*atan((2^(3//4) - 2^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2))/(sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))))/(64*2^(1//4)) - (3*sqrt(3)*atanh((2^(3//4) + 2^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2))/(sqrt(3)*x*(2 - 3*x^2)^(1//4))))/(64*2^(1//4)) + (11*sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin(sqrt(3//2)*x), 2))/(32*2^(1//4)), x, 10),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# a<0
+
+
+(x^2/((-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(3//4)), atan((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(3*sqrt(6)) - atanh((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(3*sqrt(6)), x, 1),
+(x^2/((-2 - 3*x^2)*(-1 - 3*x^2)^(3//4)), atan((sqrt(3//2)*x)/(-1 - 3*x^2)^(1//4))/(3*sqrt(6)) - atanh((sqrt(3//2)*x)/(-1 - 3*x^2)^(1//4))/(3*sqrt(6)), x, 1),
+
+(x^2/((-2 + b*x^2)*(-1 + b*x^2)^(3//4)), atan((sqrt(b)*x)/(sqrt(2)*(-1 + b*x^2)^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(3//2)) - atanh((sqrt(b)*x)/(sqrt(2)*(-1 + b*x^2)^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(3//2)), x, 1),
+(x^2/((-2 - b*x^2)*(-1 - b*x^2)^(3//4)), atan((sqrt(b)*x)/(sqrt(2)*(-1 - b*x^2)^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(3//2)) - atanh((sqrt(b)*x)/(sqrt(2)*(-1 - b*x^2)^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(3//2)), x, 1),
+
+
+(x^2/((-a + 3*x^2)^(3//4)*(-2*a + 3*x^2)), atan((sqrt(3//2)*x)/(a^(1//4)*(-a + 3*x^2)^(1//4)))/(3*sqrt(6)*a^(1//4)) - atanh((sqrt(3//2)*x)/(a^(1//4)*(-a + 3*x^2)^(1//4)))/(3*sqrt(6)*a^(1//4)), x, 1),
+(x^2/((-a - 3*x^2)^(3//4)*(-2*a - 3*x^2)), atan((sqrt(3//2)*x)/(a^(1//4)*(-a - 3*x^2)^(1//4)))/(3*sqrt(6)*a^(1//4)) - atanh((sqrt(3//2)*x)/(a^(1//4)*(-a - 3*x^2)^(1//4)))/(3*sqrt(6)*a^(1//4)), x, 1),
+
+(x^2/((-a + b*x^2)^(3//4)*(-2*a + b*x^2)), atan((sqrt(b)*x)/(sqrt(2)*a^(1//4)*(-a + b*x^2)^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(1//4)*b^(3//2)) - atanh((sqrt(b)*x)/(sqrt(2)*a^(1//4)*(-a + b*x^2)^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(1//4)*b^(3//2)), x, 1),
+(x^2/((-a - b*x^2)^(3//4)*(-2*a - b*x^2)), atan((sqrt(b)*x)/(sqrt(2)*a^(1//4)*(-a - b*x^2)^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(1//4)*b^(3//2)) - atanh((sqrt(b)*x)/(sqrt(2)*a^(1//4)*(-a - b*x^2)^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(1//4)*b^(3//2)), x, 1),
+
+
+(x^7/((-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(3//4)), (14//81)*(-1 + 3*x^2)^(1//4) + (8//405)*(-1 + 3*x^2)^(5//4) + (2//729)*(-1 + 3*x^2)^(9//4) - (8//81)*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (8//81)*atanh((-1 + 3*x^2)^(1//4)), x, 7),
+(x^5/((-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(3//4)), (2//9)*(-1 + 3*x^2)^(1//4) + (2//135)*(-1 + 3*x^2)^(5//4) - (4//27)*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (4//27)*atanh((-1 + 3*x^2)^(1//4)), x, 7),
+(x^3/((-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(3//4)), (2//9)*(-1 + 3*x^2)^(1//4) - (2//9)*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (2//9)*atanh((-1 + 3*x^2)^(1//4)), x, 6),
+(x^1/((-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(3//4)), (-(1//3))*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (1//3)*atanh((-1 + 3*x^2)^(1//4)), x, 5),
+(1/(x^1*(-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(3//4)), (-(1//2))*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)) + atan(1 - sqrt(2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(2*sqrt(2)) - atan(1 + sqrt(2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(2*sqrt(2)) - (1//2)*atanh((-1 + 3*x^2)^(1//4)) + log(1 - sqrt(2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4) + sqrt(-1 + 3*x^2))/(4*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4) + sqrt(-1 + 3*x^2))/(4*sqrt(2)), x, 16),
+(1/(x^3*(-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(3//4)), -((-1 + 3*x^2)^(1//4)/(4*x^2)) - (3//4)*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)) + (15*atan(1 - sqrt(2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4)))/(8*sqrt(2)) - (15*atan(1 + sqrt(2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4)))/(8*sqrt(2)) - (3//4)*atanh((-1 + 3*x^2)^(1//4)) + (15*log(1 - sqrt(2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4) + sqrt(-1 + 3*x^2)))/(16*sqrt(2)) - (15*log(1 + sqrt(2)*(-1 + 3*x^2)^(1//4) + sqrt(-1 + 3*x^2)))/(16*sqrt(2)), x, 17),
+
+(x^6/((-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(3//4)), (40//567)*x*(-1 + 3*x^2)^(1//4) + (2//63)*x^3*(-1 + 3*x^2)^(1//4) + (2//27)*sqrt(2//3)*atan((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (2//27)*sqrt(2//3)*atanh((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4)) + (40*sqrt(x^2/(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))^2)*(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)), 1//2))/(567*sqrt(3)*x), x, 15),
+(x^4/((-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(3//4)), (2//27)*x*(-1 + 3*x^2)^(1//4) + (1//9)*sqrt(2//3)*atan((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (1//9)*sqrt(2//3)*atanh((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4)) + (2*sqrt(x^2/(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))^2)*(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)), 1//2))/(27*sqrt(3)*x), x, 11),
+(x^2/((-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(3//4)), atan((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(3*sqrt(6)) - atanh((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(3*sqrt(6)), x, 1),
+(x^0/((-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(3//4)), atan((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(2*sqrt(6)) - atanh((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4))/(2*sqrt(6)) - (sqrt(x^2/(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))^2)*(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)), 1//2))/(2*sqrt(3)*x), x, 4),
+(1/(x^2*(-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(3//4)), -((-1 + 3*x^2)^(1//4)/(2*x)) + (1//4)*sqrt(3//2)*atan((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (1//4)*sqrt(3//2)*atanh((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (sqrt(3)*sqrt(x^2/(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))^2)*(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)), 1//2))/(2*x), x, 9),
+(1/(x^4*(-2 + 3*x^2)*(-1 + 3*x^2)^(3//4)), -((-1 + 3*x^2)^(1//4)/(6*x^3)) - (2*(-1 + 3*x^2)^(1//4))/x + (3//8)*sqrt(3//2)*atan((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (3//8)*sqrt(3//2)*atanh((sqrt(3//2)*x)/(-1 + 3*x^2)^(1//4)) - (11*sqrt(3)*sqrt(x^2/(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))^2)*(1 + sqrt(-1 + 3*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((-1 + 3*x^2)^(1//4)), 1//2))/(8*x), x, 13),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b x^2)^(p/4) (c+d x^2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+((e*x)^(5//2)*(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(3//4), ((8*b*c - 7*a*d)*e*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4))/(16*b^2) + (d*(e*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(1//4))/(4*b*e) + (3*a*(8*b*c - 7*a*d)*e^(5//2)*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(32*b^(11//4)) - (3*a*(8*b*c - 7*a*d)*e^(5//2)*atanh((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(32*b^(11//4)), x, 7),
+((e*x)^(1//2)*(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(3//4), (d*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4))/(2*b*e) - ((4*b*c - 3*a*d)*sqrt(e)*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(4*b^(7//4)) + ((4*b*c - 3*a*d)*sqrt(e)*atanh((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(4*b^(7//4)), x, 6),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), -((2*c*(a + b*x^2)^(1//4))/(a*e*sqrt(e*x))) - (d*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(b^(3//4)*e^(3//2)) + (d*atanh((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(b^(3//4)*e^(3//2)), x, 6),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), -((2*c*(a + b*x^2)^(1//4))/(5*a*e*(e*x)^(5//2))) + (2*(4*b*c - 5*a*d)*(a + b*x^2)^(1//4))/(5*a^2*e^3*sqrt(e*x)), x, 2),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(11//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), -((2*c*(a + b*x^2)^(1//4))/(9*a*e*(e*x)^(9//2))) + (2*(8*b*c - 9*a*d)*(a + b*x^2)^(1//4))/(9*a^2*e^3*(e*x)^(5//2)) - (8*(8*b*c - 9*a*d)*(a + b*x^2)^(5//4))/(45*a^3*e^3*(e*x)^(5//2)), x, 3),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(15//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), -((2*c*(a + b*x^2)^(1//4))/(13*a*e*(e*x)^(13//2))) + (2*(12*b*c - 13*a*d)*(a + b*x^2)^(1//4))/(13*a^2*e^3*(e*x)^(9//2)) - (16*(12*b*c - 13*a*d)*(a + b*x^2)^(5//4))/(65*a^3*e^3*(e*x)^(9//2)) + (64*(12*b*c - 13*a*d)*(a + b*x^2)^(9//4))/(585*a^4*e^3*(e*x)^(9//2)), x, 4),
+
+((e*x)^(7//2)*(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(3//4), -((a*(10*b*c - 9*a*d)*e^3*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(1//4))/(12*b^3)) + ((10*b*c - 9*a*d)*e*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4))/(30*b^2) + (d*(e*x)^(9//2)*(a + b*x^2)^(1//4))/(5*b*e) - (a^(3//2)*(10*b*c - 9*a*d)*e^2*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(e*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(12*b^(5//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 8),
+((e*x)^(3//2)*(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(3//4), ((6*b*c - 5*a*d)*e*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(1//4))/(6*b^2) + (d*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4))/(3*b*e) + (sqrt(a)*(6*b*c - 5*a*d)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(e*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(6*b^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 7),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(1//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), (d*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(1//4))/(b*e) - ((2*b*c - a*d)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(e*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(a)*sqrt(b)*e^2*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 6),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), -((2*c*(a + b*x^2)^(1//4))/(3*a*e*(e*x)^(3//2))) + (2*sqrt(b)*(2*b*c - 3*a*d)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(e*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(3*a^(3//2)*e^4*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 6),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(9//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), -((2*c*(a + b*x^2)^(1//4))/(7*a*e*(e*x)^(7//2))) + (2*(6*b*c - 7*a*d)*(a + b*x^2)^(1//4))/(21*a^2*e^3*(e*x)^(3//2)) - (4*b^(3//2)*(6*b*c - 7*a*d)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(e*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(21*a^(5//2)*e^6*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 7),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(13//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), -((2*c*(a + b*x^2)^(1//4))/(11*a*e*(e*x)^(11//2))) + (2*(10*b*c - 11*a*d)*(a + b*x^2)^(1//4))/(77*a^2*e^3*(e*x)^(7//2)) - (4*b*(10*b*c - 11*a*d)*(a + b*x^2)^(1//4))/(77*a^3*e^5*(e*x)^(3//2)) + (8*b^(5//2)*(10*b*c - 11*a*d)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(e*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(77*a^(7//2)*e^8*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 8),
+
+
+((e*x)^(3//2)*(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(5//4), -(((4*b*c - 5*a*d)*e*sqrt(e*x))/(2*b^2*(a + b*x^2)^(1//4))) + (d*(e*x)^(5//2))/(2*b*e*(a + b*x^2)^(1//4)) + ((4*b*c - 5*a*d)*e^(3//2)*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(4*b^(9//4)) + ((4*b*c - 5*a*d)*e^(3//2)*atanh((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(4*b^(9//4)), x, 7),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(1//2)*(a + b*x^2)^(5//4)), (2*(b*c - a*d)*sqrt(e*x))/(a*b*e*(a + b*x^2)^(1//4)) + (d*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(b^(5//4)*sqrt(e)) + (d*atanh((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(b^(5//4)*sqrt(e)), x, 6),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(5//4)), -((2*c)/(3*a*e*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4))) - (2*(4*b*c - 3*a*d)*sqrt(e*x))/(3*a^2*e^3*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 2),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(9//2)*(a + b*x^2)^(5//4)), -((2*c)/(7*a*e*(e*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(1//4))) - (2*(8*b*c - 7*a*d))/(7*a^2*e^3*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4)) + (8*(8*b*c - 7*a*d)*(a + b*x^2)^(3//4))/(21*a^3*e^3*(e*x)^(3//2)), x, 3),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(13//2)*(a + b*x^2)^(5//4)), -((2*c)/(11*a*e*(e*x)^(11//2)*(a + b*x^2)^(1//4))) - (2*(12*b*c - 11*a*d))/(11*a^2*e^3*(e*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(1//4)) + (16*(12*b*c - 11*a*d)*(a + b*x^2)^(3//4))/(33*a^3*e^3*(e*x)^(7//2)) - (64*(12*b*c - 11*a*d)*(a + b*x^2)^(7//4))/(231*a^4*e^3*(e*x)^(7//2)), x, 4),
+
+((e*x)^(9//2)*(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(5//4), -((7*a*(10*b*c - 11*a*d)*e^3*(e*x)^(3//2))/(60*b^3*(a + b*x^2)^(1//4))) + ((10*b*c - 11*a*d)*e*(e*x)^(7//2))/(30*b^2*(a + b*x^2)^(1//4)) + (d*(e*x)^(11//2))/(5*b*e*(a + b*x^2)^(1//4)) - (7*a^(3//2)*(10*b*c - 11*a*d)*e^4*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(20*b^(7//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 6),
+((e*x)^(5//2)*(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(5//4), ((6*b*c - 7*a*d)*e*(e*x)^(3//2))/(6*b^2*(a + b*x^2)^(1//4)) + (d*(e*x)^(7//2))/(3*b*e*(a + b*x^2)^(1//4)) + (sqrt(a)*(6*b*c - 7*a*d)*e^2*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(2*b^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+((e*x)^(1//2)*(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(5//4), (d*(e*x)^(3//2))/(b*e*(a + b*x^2)^(1//4)) - ((2*b*c - 3*a*d)*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(a)*b^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(5//4)), -((2*c)/(a*e*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(1//4))) + (2*(2*b*c - a*d)*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(a^(3//2)*sqrt(b)*e^2*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(5//4)), -((2*c)/(5*a*e*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4))) + (2*(6*b*c - 5*a*d))/(5*a^2*e^3*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(1//4)) - (4*sqrt(b)*(6*b*c - 5*a*d)*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(5*a^(5//2)*e^4*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(11//2)*(a + b*x^2)^(5//4)), -((2*c)/(9*a*e*(e*x)^(9//2)*(a + b*x^2)^(1//4))) + (2*(10*b*c - 9*a*d))/(45*a^2*e^3*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4)) - (4*b*(10*b*c - 9*a*d))/(15*a^3*e^5*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(1//4)) + (8*b^(3//2)*(10*b*c - 9*a*d)*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(15*a^(7//2)*e^6*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 6),
+
+
+((e*x)^(5//2)*(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(7//4), (2*(b*c - a*d)*(e*x)^(7//2))/(3*a*b*e*(a + b*x^2)^(3//4)) - ((4*b*c - 7*a*d)*e*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4))/(6*a*b^2) - ((4*b*c - 7*a*d)*e^(5//2)*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(4*b^(11//4)) + ((4*b*c - 7*a*d)*e^(5//2)*atanh((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(4*b^(11//4)), x, 7),
+((e*x)^(1//2)*(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(7//4), (2*(b*c - a*d)*(e*x)^(3//2))/(3*a*b*e*(a + b*x^2)^(3//4)) - (d*sqrt(e)*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(a + b*x^2)^(1//4))))/b^(7//4) + (d*sqrt(e)*atanh((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(a + b*x^2)^(1//4))))/b^(7//4), x, 6),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(7//4)), -((2*c)/(a*e*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(3//4))) - (2*(4*b*c - a*d)*(e*x)^(3//2))/(3*a^2*e^3*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 2),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(7//4)), -((2*c)/(5*a*e*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(3//4))) - (2*(8*b*c - 5*a*d))/(15*a^2*e^3*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(3//4)) + (8*(8*b*c - 5*a*d)*(a + b*x^2)^(1//4))/(15*a^3*e^3*sqrt(e*x)), x, 3),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(11//2)*(a + b*x^2)^(7//4)), -((2*c)/(9*a*e*(e*x)^(9//2)*(a + b*x^2)^(3//4))) - (2*(4*b*c - 3*a*d))/(9*a^2*e^3*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(3//4)) + (16*(4*b*c - 3*a*d)*(a + b*x^2)^(1//4))/(9*a^3*e^3*(e*x)^(5//2)) - (64*(4*b*c - 3*a*d)*(a + b*x^2)^(5//4))/(45*a^4*e^3*(e*x)^(5//2)), x, 4),
+
+((e*x)^(7//2)*(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(7//4), (2*(b*c - a*d)*(e*x)^(9//2))/(3*a*b*e*(a + b*x^2)^(3//4)) + (5*(2*b*c - 3*a*d)*e^3*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(1//4))/(6*b^3) - ((2*b*c - 3*a*d)*e*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4))/(3*a*b^2) + (5*sqrt(a)*(2*b*c - 3*a*d)*e^2*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(e*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(6*b^(5//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 8),
+((e*x)^(3//2)*(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(7//4), (2*(b*c - a*d)*(e*x)^(5//2))/(3*a*b*e*(a + b*x^2)^(3//4)) - ((2*b*c - 5*a*d)*e*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(1//4))/(3*a*b^2) - ((2*b*c - 5*a*d)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(e*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(3*sqrt(a)*b^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 7),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(1//2)*(a + b*x^2)^(7//4)), (2*(b*c - a*d)*sqrt(e*x))/(3*a*b*e*(a + b*x^2)^(3//4)) - (2*(2*b*c + a*d)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(e*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(3*a^(3//2)*sqrt(b)*e^2*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 6),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(7//4)), -((2*c)/(3*a*e*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//4))) - (2*(2*b*c - a*d)*sqrt(e*x))/(3*a^2*e^3*(a + b*x^2)^(3//4)) + (4*sqrt(b)*(2*b*c - a*d)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(e*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(3*a^(5//2)*e^4*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 7),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(9//2)*(a + b*x^2)^(7//4)), -((2*c)/(7*a*e*(e*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(3//4))) - (2*(10*b*c - 7*a*d))/(21*a^2*e^3*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(3//4)) + (4*(10*b*c - 7*a*d)*(a + b*x^2)^(1//4))/(21*a^3*e^3*(e*x)^(3//2)) - (8*b^(3//2)*(10*b*c - 7*a*d)*(1 + a/(b*x^2))^(3//4)*(e*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(21*a^(7//2)*e^6*(a + b*x^2)^(3//4)), x, 8),
+
+
+((e*x)^(7//2)*(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(9//4), (2*(b*c - a*d)*(e*x)^(9//2))/(5*a*b*e*(a + b*x^2)^(5//4)) - ((4*b*c - 9*a*d)*e^3*sqrt(e*x))/(2*b^3*(a + b*x^2)^(1//4)) - ((4*b*c - 9*a*d)*e*(e*x)^(5//2))/(10*a*b^2*(a + b*x^2)^(1//4)) + ((4*b*c - 9*a*d)*e^(7//2)*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(4*b^(13//4)) + ((4*b*c - 9*a*d)*e^(7//2)*atanh((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(a + b*x^2)^(1//4))))/(4*b^(13//4)), x, 8),
+((e*x)^(3//2)*(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(9//4), (2*(b*c - a*d)*(e*x)^(5//2))/(5*a*b*e*(a + b*x^2)^(5//4)) - (2*d*e*sqrt(e*x))/(b^2*(a + b*x^2)^(1//4)) + (d*e^(3//2)*atan((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(a + b*x^2)^(1//4))))/b^(9//4) + (d*e^(3//2)*atanh((b^(1//4)*sqrt(e*x))/(sqrt(e)*(a + b*x^2)^(1//4))))/b^(9//4), x, 7),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(1//2)*(a + b*x^2)^(9//4)), (2*(b*c - a*d)*sqrt(e*x))/(5*a*b*e*(a + b*x^2)^(5//4)) + (2*(4*b*c + a*d)*sqrt(e*x))/(5*a^2*b*e*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 2),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(9//4)), -((2*c)/(3*a*e*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(5//4))) - (2*(8*b*c - 3*a*d)*sqrt(e*x))/(15*a^2*e^3*(a + b*x^2)^(5//4)) - (8*(8*b*c - 3*a*d)*sqrt(e*x))/(15*a^3*e^3*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 3),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(9//2)*(a + b*x^2)^(9//4)), -((2*c)/(7*a*e*(e*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(5//4))) - (2*(12*b*c - 7*a*d))/(35*a^2*e^3*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(5//4)) - (16*(12*b*c - 7*a*d))/(35*a^3*e^3*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4)) + (64*(12*b*c - 7*a*d)*(a + b*x^2)^(3//4))/(105*a^4*e^3*(e*x)^(3//2)), x, 4),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(13//2)*(a + b*x^2)^(9//4)), -((2*c)/(11*a*e*(e*x)^(11//2)*(a + b*x^2)^(5//4))) - (2*(16*b*c - 11*a*d))/(55*a^2*e^3*(e*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(5//4)) - (24*(16*b*c - 11*a*d))/(55*a^3*e^3*(e*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(1//4)) + (64*(16*b*c - 11*a*d)*(a + b*x^2)^(3//4))/(55*a^4*e^3*(e*x)^(7//2)) - (256*(16*b*c - 11*a*d)*(a + b*x^2)^(7//4))/(385*a^5*e^3*(e*x)^(7//2)), x, 5),
+
+((e*x)^(13//2)*(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(9//4), (2*(b*c - a*d)*(e*x)^(15//2))/(5*a*b*e*(a + b*x^2)^(5//4)) - (77*a*(2*b*c - 3*a*d)*e^5*(e*x)^(3//2))/(60*b^4*(a + b*x^2)^(1//4)) + (11*(2*b*c - 3*a*d)*e^3*(e*x)^(7//2))/(30*b^3*(a + b*x^2)^(1//4)) - ((2*b*c - 3*a*d)*e*(e*x)^(11//2))/(5*a*b^2*(a + b*x^2)^(1//4)) - (77*a^(3//2)*(2*b*c - 3*a*d)*e^6*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(20*b^(9//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 7),
+((e*x)^(9//2)*(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(9//4), (2*(b*c - a*d)*(e*x)^(11//2))/(5*a*b*e*(a + b*x^2)^(5//4)) + (7*(6*b*c - 11*a*d)*e^3*(e*x)^(3//2))/(30*b^3*(a + b*x^2)^(1//4)) - ((6*b*c - 11*a*d)*e*(e*x)^(7//2))/(15*a*b^2*(a + b*x^2)^(1//4)) + (7*sqrt(a)*(6*b*c - 11*a*d)*e^4*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(10*b^(7//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 6),
+((e*x)^(5//2)*(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(9//4), (2*(b*c - a*d)*(e*x)^(7//2))/(5*a*b*e*(a + b*x^2)^(5//4)) - ((2*b*c - 7*a*d)*e*(e*x)^(3//2))/(5*a*b^2*(a + b*x^2)^(1//4)) - (3*(2*b*c - 7*a*d)*e^2*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(5*sqrt(a)*b^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+((e*x)^(1//2)*(c + d*x^2)/(a + b*x^2)^(9//4), (2*(b*c - a*d)*(e*x)^(3//2))/(5*a*b*e*(a + b*x^2)^(5//4)) - (2*(2*b*c + 3*a*d)*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(5*a^(3//2)*b^(3//2)*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 4),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^(9//4)), -((2*c)/(a*e*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(5//4))) - (2*(6*b*c - a*d)*(e*x)^(3//2))/(5*a^2*e^3*(a + b*x^2)^(5//4)) + (4*(6*b*c - a*d)*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(5*a^(5//2)*sqrt(b)*e^2*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 5),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^(9//4)), -((2*c)/(5*a*e*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(5//4))) - (2*(2*b*c - a*d))/(5*a^2*e^3*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(5//4)) + (12*(2*b*c - a*d))/(5*a^3*e^3*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(1//4)) - (24*sqrt(b)*(2*b*c - a*d)*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(5*a^(7//2)*e^4*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 6),
+((c + d*x^2)/((e*x)^(11//2)*(a + b*x^2)^(9//4)), -((2*c)/(9*a*e*(e*x)^(9//2)*(a + b*x^2)^(5//4))) - (2*(14*b*c - 9*a*d))/(45*a^2*e^3*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(5//4)) + (4*(14*b*c - 9*a*d))/(45*a^3*e^3*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^(1//4)) - (8*b*(14*b*c - 9*a*d))/(15*a^4*e^5*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^(1//4)) + (16*b^(3//2)*(14*b*c - 9*a*d)*(1 + a/(b*x^2))^(1//4)*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(15*a^(9//2)*e^6*(a + b*x^2)^(1//4)), x, 7),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q with p and/or q symbolic
+
+
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*(e*x)^m, ((e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/2, -p, -q, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(1 + (d*x^2)/c)^q*(e*(1 + m))), x, 3),
+
+
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*x^4, ((1//5)*x^5*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(5//2, -p, -q, 7//2, -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(1 + (d*x^2)/c)^q), x, 3),
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*x^2, ((1//3)*x^3*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -p, -q, 5//2, -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(1 + (d*x^2)/c)^q), x, 3),
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*x^0, (x*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, -q, 3//2, -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(1 + (d*x^2)/c)^q), x, 3),
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q/x^2, -(((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//2), -p, -q, 1//2, -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(1 + (d*x^2)/c)^q*x)), x, 3),
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q/x^4, -(((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(-(3//2), -p, -q, -(1//2), -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(1 + (d*x^2)/c)^q*(3*x^3))), x, 3),
+
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*x^5, -(((b*c*(2 + p) + a*d*(2 + q))*(a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2)^(1 + q))/(2*b^2*d^2*(2 + p + q)*(3 + p + q))) + (x^2*(a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2)^(1 + q))/(2*b*d*(3 + p + q)) + ((b^2*c^2*(2 + 3*p + p^2) + 2*a*b*c*d*(1 + p)*(1 + q) + a^2*d^2*(2 + 3*q + q^2))*(a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + p, -q, 2 + p, -((d*(a + b*x^2))/(b*c - a*d))))/(((b*(c + d*x^2))/(b*c - a*d))^q*(2*b^3*d^2*(1 + p)*(2 + p + q)*(3 + p + q))), x, 5),
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*x^3, ((a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2)^(1 + q))/(2*b*d*(2 + p + q)) - ((b*c*(1 + p) + a*d*(1 + q))*(a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + p, -q, 2 + p, -((d*(a + b*x^2))/(b*c - a*d))))/(((b*(c + d*x^2))/(b*c - a*d))^q*(2*b^2*d*(1 + p)*(2 + p + q))), x, 4),
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*x^1, ((a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + p, -q, 2 + p, -((d*(a + b*x^2))/(b*c - a*d))))/(((b*(c + d*x^2))/(b*c - a*d))^q*(2*b*(1 + p))), x, 3),
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q/x^1, -(((a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + p, -q, 1, 2 + p, -((d*(a + b*x^2))/(b*c - a*d)), (a + b*x^2)/a))/(((b*(c + d*x^2))/(b*c - a*d))^q*(2*a*(1 + p)))), x, 3),
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q/x^3, (b*(a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + p, -q, 2, 2 + p, -((d*(a + b*x^2))/(b*c - a*d)), (a + b*x^2)/a))/(((b*(c + d*x^2))/(b*c - a*d))^q*(2*a^2*(1 + p))), x, 3),
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q/x^5, -((b^2*(a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + p, -q, 3, 2 + p, -((d*(a + b*x^2))/(b*c - a*d)), (a + b*x^2)/a))/(((b*(c + d*x^2))/(b*c - a*d))^q*(2*a^3*(1 + p)))), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q with p and/or q symbolic
+
+
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*(e*x)^(5//2), (2*(e*x)^(7//2)*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(7//4, -p, -q, 11//4, -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(1 + (d*x^2)/c)^q*(7*e)), x, 3),
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*(e*x)^(3//2), (2*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(5//4, -p, -q, 9//4, -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(1 + (d*x^2)/c)^q*(5*e)), x, 3),
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*(e*x)^(1//2), (2*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, -p, -q, 7//4, -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(1 + (d*x^2)/c)^q*(3*e)), x, 3),
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q/(e*x)^(1//2), (2*sqrt(e*x)*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//4, -p, -q, 5//4, -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(1 + (d*x^2)/c)^q*e), x, 3),
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q/(e*x)^(3//2), -((2*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//4), -p, -q, 3//4, -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(1 + (d*x^2)/c)^q*(e*sqrt(e*x)))), x, 3),
+((a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q/(e*x)^(5//2), -((2*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(-(3//4), -p, -q, 1//4, -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(1 + (d*x^2)/c)^q*(3*e*(e*x)^(3//2)))), x, 3),
+]
+# Total integrals translated: 1156
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.5 (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q (e+f x^2)^r.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.5 (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q (e+f x^2)^r.jl
new file mode 100644
index 00000000..727943ef
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.5 (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q (e+f x^2)^r.jl	
@@ -0,0 +1,287 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q (e+f x^2)^r
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q (e+f x^2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2) (c+d x^2)^q (e+f x^2)^r
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
+
+
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)*(e + f*x^2)^4, a*c*e^4*x + (1//3)*e^3*(b*c*e + a*d*e + 4*a*c*f)*x^3 + (1//5)*e^2*(2*a*f*(2*d*e + 3*c*f) + b*e*(d*e + 4*c*f))*x^5 + (2//7)*e*f*(a*f*(3*d*e + 2*c*f) + b*e*(2*d*e + 3*c*f))*x^7 + (1//9)*f^2*(a*f*(4*d*e + c*f) + 2*b*e*(3*d*e + 2*c*f))*x^9 + (1//11)*f^3*(4*b*d*e + b*c*f + a*d*f)*x^11 + (1//13)*b*d*f^4*x^13, x, 2),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)*(e + f*x^2)^3, a*c*e^3*x + (1//3)*e^2*(b*c*e + a*d*e + 3*a*c*f)*x^3 + (1//5)*e*(3*a*f*(d*e + c*f) + b*e*(d*e + 3*c*f))*x^5 + (1//7)*f*(3*b*e*(d*e + c*f) + a*f*(3*d*e + c*f))*x^7 + (1//9)*f^2*(3*b*d*e + b*c*f + a*d*f)*x^9 + (1//11)*b*d*f^3*x^11, x, 2),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)*(e + f*x^2)^2, a*c*e^2*x + (1//3)*e*(b*c*e + a*d*e + 2*a*c*f)*x^3 + (1//5)*(a*f*(2*d*e + c*f) + b*e*(d*e + 2*c*f))*x^5 + (1//7)*f*(2*b*d*e + b*c*f + a*d*f)*x^7 + (1//9)*b*d*f^2*x^9, x, 2),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)*(e + f*x^2)^1, a*c*e*x + (1//3)*(b*c*e + a*d*e + a*c*f)*x^3 + (1//5)*(b*d*e + b*c*f + a*d*f)*x^5 + (1//7)*b*d*f*x^7, x, 2),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)/(e + f*x^2)^1, -(((3*b*d*e - 3*b*c*f - 2*a*d*f)*x)/(3*f^2)) + (d*x*(a + b*x^2))/(3*f) + ((b*e - a*f)*(d*e - c*f)*atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)))/(sqrt(e)*f^(5//2)), x, 3),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)/(e + f*x^2)^2, (b*(3*d*e - c*f)*x)/(2*e*f^2) - ((d*e - c*f)*x*(a + b*x^2))/(2*e*f*(e + f*x^2)) - ((b*e*(3*d*e - c*f) - a*f*(d*e + c*f))*atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)))/(2*e^(3//2)*f^(5//2)), x, 3),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)/(e + f*x^2)^3, -(((d*e - c*f)*x*(a + b*x^2))/(4*e*f*(e + f*x^2)^2)) - ((b*e*(3*d*e + c*f) - a*f*(d*e + 3*c*f))*x)/(8*e^2*f^2*(e + f*x^2)) + ((b*e*(3*d*e + c*f) + a*f*(d*e + 3*c*f))*atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)))/(8*e^(5//2)*f^(5//2)), x, 3),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)/(e + f*x^2)^4, -(((d*e - c*f)*x*(a + b*x^2))/(6*e*f*(e + f*x^2)^3)) - ((3*b*e*(d*e + c*f) - a*f*(d*e + 5*c*f))*x)/(24*e^2*f^2*(e + f*x^2)^2) + ((b*e*(d*e + c*f) + a*f*(d*e + 5*c*f))*x)/(16*e^3*f^2*(e + f*x^2)) + ((b*e*(d*e + c*f) + a*f*(d*e + 5*c*f))*atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)))/(16*e^(7//2)*f^(5//2)), x, 4),
+
+
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2*(e + f*x^2)^3, a*c^2*e^3*x + (1//3)*c*e^2*(b*c*e + 2*a*d*e + 3*a*c*f)*x^3 + (1//5)*e*(b*c*e*(2*d*e + 3*c*f) + a*(d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 3*c^2*f^2))*x^5 + (1//7)*(a*f*(3*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + c^2*f^2) + b*e*(d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 3*c^2*f^2))*x^7 + (1//9)*f*(a*d*f*(3*d*e + 2*c*f) + b*(3*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + c^2*f^2))*x^9 + (1//11)*d*f^2*(3*b*d*e + 2*b*c*f + a*d*f)*x^11 + (1//13)*b*d^2*f^3*x^13, x, 2),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2*(e + f*x^2)^2, a*c^2*e^2*x + (1//3)*c*e*(b*c*e + 2*a*(d*e + c*f))*x^3 + (1//5)*(2*b*c*e*(d*e + c*f) + a*(d^2*e^2 + 4*c*d*e*f + c^2*f^2))*x^5 + (1//7)*(2*a*d*f*(d*e + c*f) + b*(d^2*e^2 + 4*c*d*e*f + c^2*f^2))*x^7 + (1//9)*d*f*(a*d*f + 2*b*(d*e + c*f))*x^9 + (1//11)*b*d^2*f^2*x^11, x, 2),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2*(e + f*x^2)^1, a*c^2*e*x + (1//3)*c*(b*c*e + 2*a*d*e + a*c*f)*x^3 + (1//5)*(b*c*(2*d*e + c*f) + a*d*(d*e + 2*c*f))*x^5 + (1//7)*d*(b*d*e + 2*b*c*f + a*d*f)*x^7 + (1//9)*b*d^2*f*x^9, x, 2),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2/(e + f*x^2)^1, -(((5*a*d*f*(3*d*e - 5*c*f) - b*(15*d^2*e^2 - 25*c*d*e*f + 8*c^2*f^2))*x)/(15*f^3)) - ((5*b*d*e - 4*b*c*f - 5*a*d*f)*x*(c + d*x^2))/(15*f^2) + (b*x*(c + d*x^2)^2)/(5*f) - ((b*e - a*f)*(d*e - c*f)^2*atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)))/(sqrt(e)*f^(7//2)), x, 4),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2/(e + f*x^2)^2, -((d*(b*e*(15*d*e - 13*c*f) - 3*a*f*(3*d*e - c*f))*x)/(6*e*f^3)) + (d*(5*b*e - 3*a*f)*x*(c + d*x^2))/(6*e*f^2) - ((b*e - a*f)*x*(c + d*x^2)^2)/(2*e*f*(e + f*x^2)) + ((d*e - c*f)*(b*e*(5*d*e - c*f) - a*f*(3*d*e + c*f))*atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)))/(2*e^(3//2)*f^(7//2)), x, 4),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2/(e + f*x^2)^3, (d*(b*e*(15*d*e - c*f) - 3*a*f*(d*e + c*f))*x)/(8*e^2*f^3) - ((b*e - a*f)*x*(c + d*x^2)^2)/(4*e*f*(e + f*x^2)^2) - ((b*e*(5*d*e - c*f) - a*f*(d*e + 3*c*f))*x*(c + d*x^2))/(8*e^2*f^2*(e + f*x^2)) - ((b*e*(15*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f - c^2*f^2) - a*f*(3*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + 3*c^2*f^2))*atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)))/(8*e^(5//2)*f^(7//2)), x, 4),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2/(e + f*x^2)^4, -(((b*e - a*f)*x*(c + d*x^2)^2)/(6*e*f*(e + f*x^2)^3)) - ((d*e*(5*b*e + a*f) - c*f*(b*e + 5*a*f))*x*(c + d*x^2))/(24*e^2*f^2*(e + f*x^2)^2) - ((a*f*(3*d^2*e^2 + 4*c*d*e*f - 15*c^2*f^2) + b*e*(15*d^2*e^2 - 4*c*d*e*f - 3*c^2*f^2))*x)/(48*e^3*f^3*(e + f*x^2)) + ((b*e*(5*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + c^2*f^2) + a*f*(d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + 5*c^2*f^2))*atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)))/(16*e^(7//2)*f^(7//2)), x, 4),
+
+
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3*(e + f*x^2)^3, a*c^3*e^3*x + (1//3)*c^2*e^2*(b*c*e + 3*a*(d*e + c*f))*x^3 + (3//5)*c*e*(b*c*e*(d*e + c*f) + a*(d^2*e^2 + 3*c*d*e*f + c^2*f^2))*x^5 + (1//7)*(3*b*c*e*(d^2*e^2 + 3*c*d*e*f + c^2*f^2) + a*(d^3*e^3 + 9*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 + c^3*f^3))*x^7 + (1//9)*(3*a*d*f*(d^2*e^2 + 3*c*d*e*f + c^2*f^2) + b*(d^3*e^3 + 9*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 + c^3*f^3))*x^9 + (3//11)*d*f*(a*d*f*(d*e + c*f) + b*(d^2*e^2 + 3*c*d*e*f + c^2*f^2))*x^11 + (1//13)*d^2*f^2*(a*d*f + 3*b*(d*e + c*f))*x^13 + (1//15)*b*d^3*f^3*x^15, x, 2),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3*(e + f*x^2)^2, a*c^3*e^2*x + (1//3)*c^2*e*(b*c*e + 3*a*d*e + 2*a*c*f)*x^3 + (1//5)*c*(b*c*e*(3*d*e + 2*c*f) + a*(3*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + c^2*f^2))*x^5 + (1//7)*(b*c*(3*d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + c^2*f^2) + a*d*(d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 3*c^2*f^2))*x^7 + (1//9)*d*(a*d*f*(2*d*e + 3*c*f) + b*(d^2*e^2 + 6*c*d*e*f + 3*c^2*f^2))*x^9 + (1//11)*d^2*f*(2*b*d*e + 3*b*c*f + a*d*f)*x^11 + (1//13)*b*d^3*f^2*x^13, x, 2),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3*(e + f*x^2)^1, a*c^3*e*x + (1//3)*c^2*(b*c*e + 3*a*d*e + a*c*f)*x^3 + (1//5)*c*(3*a*d*(d*e + c*f) + b*c*(3*d*e + c*f))*x^5 + (1//7)*d*(3*b*c*(d*e + c*f) + a*d*(d*e + 3*c*f))*x^7 + (1//9)*d^2*(b*d*e + 3*b*c*f + a*d*f)*x^9 + (1//11)*b*d^3*f*x^11, x, 2),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3/(e + f*x^2)^1, ((7*a*d*f*(15*d^2*e^2 - 40*c*d*e*f + 33*c^2*f^2) - b*(105*d^3*e^3 - 280*c*d^2*e^2*f + 231*c^2*d*e*f^2 - 48*c^3*f^3))*x)/(105*f^4) - ((7*a*d*f*(5*d*e - 9*c*f) - b*(35*d^2*e^2 - 63*c*d*e*f + 24*c^2*f^2))*x*(c + d*x^2))/(105*f^3) - ((7*b*d*e - 6*b*c*f - 7*a*d*f)*x*(c + d*x^2)^2)/(35*f^2) + (b*x*(c + d*x^2)^3)/(7*f) + ((b*e - a*f)*(d*e - c*f)^3*atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)))/(sqrt(e)*f^(9//2)), x, 5),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3/(e + f*x^2)^2, -((d*(5*a*f*(15*d^2*e^2 - 22*c*d*e*f + 3*c^2*f^2) - b*e*(105*d^2*e^2 - 190*c*d*e*f + 81*c^2*f^2))*x)/(30*e*f^4)) - (d*(b*e*(35*d*e - 33*c*f) - 5*a*f*(5*d*e - 3*c*f))*x*(c + d*x^2))/(30*e*f^3) + (d*(7*b*e - 5*a*f)*x*(c + d*x^2)^2)/(10*e*f^2) - ((b*e - a*f)*x*(c + d*x^2)^3)/(2*e*f*(e + f*x^2)) - ((d*e - c*f)^2*(b*e*(7*d*e - c*f) - a*f*(5*d*e + c*f))*atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)))/(2*e^(3//2)*f^(9//2)), x, 5),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3/(e + f*x^2)^3, (d*(3*a*f*(15*d^2*e^2 - 4*c*d*e*f - 3*c^2*f^2) - b*e*(105*d^2*e^2 - 100*c*d*e*f + 3*c^2*f^2))*x)/(24*e^2*f^4) + (d*(b*e*(35*d*e - 3*c*f) - 3*a*f*(5*d*e + 3*c*f))*x*(c + d*x^2))/(24*e^2*f^3) - ((b*e - a*f)*x*(c + d*x^2)^3)/(4*e*f*(e + f*x^2)^2) - ((b*e*(7*d*e - c*f) - 3*a*f*(d*e + c*f))*x*(c + d*x^2)^2)/(8*e^2*f^2*(e + f*x^2)) + ((d*e - c*f)*(b*e*(35*d^2*e^2 - 10*c*d*e*f - c^2*f^2) - 3*a*f*(5*d^2*e^2 + 2*c*d*e*f + c^2*f^2))*atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)))/(8*e^(5//2)*f^(9//2)), x, 5),
+((a + b*x^2)*(c + d*x^2)^3/(e + f*x^2)^4, (d*(b*e*(105*d^2*e^2 - 10*c*d*e*f - 3*c^2*f^2) - a*f*(15*d^2*e^2 + 14*c*d*e*f + 15*c^2*f^2))*x)/(48*e^3*f^4) - ((b*e - a*f)*x*(c + d*x^2)^3)/(6*e*f*(e + f*x^2)^3) - ((b*e*(7*d*e - c*f) - a*f*(d*e + 5*c*f))*x*(c + d*x^2)^2)/(24*e^2*f^2*(e + f*x^2)^2) - ((b*e*(35*d^2*e^2 - 8*c*d*e*f - 3*c^2*f^2) - a*f*(5*d^2*e^2 + 4*c*d*e*f + 15*c^2*f^2))*x*(c + d*x^2))/(48*e^3*f^3*(e + f*x^2)) - ((b*e*(35*d^3*e^3 - 15*c*d^2*e^2*f - 3*c^2*d*e*f^2 - c^3*f^3) - a*f*(5*d^3*e^3 + 3*c*d^2*e^2*f + 3*c^2*d*e*f^2 + 5*c^3*f^3))*atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)))/(16*e^(7//2)*f^(9//2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# q<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^(q/2) (e+f x^2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(1//2)*(c + d*x^2)^(3//2), -(((7*a*d*f*(2*d^2*e^2 - 7*c*d*e*f - 3*c^2*f^2) - b*(8*d^3*e^3 - 19*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 - 6*c^3*f^3))*x*sqrt(c + d*x^2))/(105*d^2*f^2*sqrt(e + f*x^2))) + ((7*a*d*f*(d*e + 3*c*f) - b*(4*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + 6*c^2*f^2))*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(105*d*f^2) + ((b*d*e - 2*b*c*f + 7*a*d*f)*x*(c + d*x^2)^(3//2)*sqrt(e + f*x^2))/(35*d*f) + (b*x*(c + d*x^2)^(5//2)*sqrt(e + f*x^2))/(7*d) + (sqrt(e)*(7*a*d*f*(2*d^2*e^2 - 7*c*d*e*f - 3*c^2*f^2) - b*(8*d^3*e^3 - 19*c*d^2*e^2*f + 9*c^2*d*e*f^2 - 6*c^3*f^3))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(105*d^2*f^(5//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - (e^(3//2)*(7*a*d*f*(d*e - 9*c*f) - b*(4*d^2*e^2 - 9*c*d*e*f - 3*c^2*f^2))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(105*d*f^(5//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 7),
+((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(1//2)*(c + d*x^2)^(1//2), ((5*a*d*f*(d*e + c*f) - 2*b*(d^2*e^2 - c*d*e*f + c^2*f^2))*x*sqrt(c + d*x^2))/(15*d^2*f*sqrt(e + f*x^2)) + ((b*d*e - 2*b*c*f + 5*a*d*f)*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(15*d*f) + (b*x*(c + d*x^2)^(3//2)*sqrt(e + f*x^2))/(5*d) - (sqrt(e)*(5*a*d*f*(d*e + c*f) - 2*b*(d^2*e^2 - c*d*e*f + c^2*f^2))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(15*d^2*f^(3//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - (e^(3//2)*(b*d*e + b*c*f - 10*a*d*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(15*d*f^(3//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 6),
+((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(1//2)/(c + d*x^2)^(1//2), ((b*d*e - 2*b*c*f + 3*a*d*f)*x*sqrt(c + d*x^2))/(3*d^2*sqrt(e + f*x^2)) + (b*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(3*d) - (sqrt(e)*(b*d*e - 2*b*c*f + 3*a*d*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*d^2*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - ((b*c - 3*a*d)*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*c*d*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 5),
+((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(1//2)/(c + d*x^2)^(3//2), ((2*b*c - a*d)*f*x*sqrt(c + d*x^2))/(c*d^2*sqrt(e + f*x^2)) - ((b*c - a*d)*x*sqrt(e + f*x^2))/(c*d*sqrt(c + d*x^2)) - ((2*b*c - a*d)*sqrt(e)*sqrt(f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(c*d^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (b*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(c*d*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 5),
+((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(1//2)/(c + d*x^2)^(5//2), -(((b*c - a*d)*x*sqrt(e + f*x^2))/(3*c*d*(c + d*x^2)^(3//2))) + ((d*(b*c + 2*a*d)*e - c*(2*b*c + a*d)*f)*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(3*c^(3//2)*d^(3//2)*(d*e - c*f)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))) + ((b*c - a*d)*e^(3//2)*sqrt(f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*c^2*d*(d*e - c*f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 4),
+((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(1//2)/(c + d*x^2)^(7//2), -(((b*c - a*d)*x*sqrt(e + f*x^2))/(5*c*d*(c + d*x^2)^(5//2))) + ((a*d*(4*d*e - 3*c*f) + b*c*(d*e - 2*c*f))*x*sqrt(e + f*x^2))/(15*c^2*d*(d*e - c*f)*(c + d*x^2)^(3//2)) + ((2*b*c*(d^2*e^2 - c*d*e*f + c^2*f^2) + a*d*(8*d^2*e^2 - 13*c*d*e*f + 3*c^2*f^2))*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(15*c^(5//2)*d^(3//2)*(d*e - c*f)^2*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))) - (e^(3//2)*sqrt(f)*(2*a*d*(2*d*e - 3*c*f) + b*c*(d*e + c*f))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(15*c^3*d*(d*e - c*f)^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 5),
+
+
+((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2)^(1//2), ((7*a*d*f*(3*d^2*e^2 + 7*c*d*e*f - 2*c^2*f^2) - b*(6*d^3*e^3 - 9*c*d^2*e^2*f + 19*c^2*d*e*f^2 - 8*c^3*f^3))*x*sqrt(c + d*x^2))/(105*d^3*f*sqrt(e + f*x^2)) + ((14*a*d*f*(3*d*e - c*f) + b*(3*d^2*e^2 - 15*c*d*e*f + 8*c^2*f^2))*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(105*d^2*f) + ((3*b*d*e - 4*b*c*f + 7*a*d*f)*x*(c + d*x^2)^(3//2)*sqrt(e + f*x^2))/(35*d^2) + (b*x*(c + d*x^2)^(3//2)*(e + f*x^2)^(3//2))/(7*d) - (sqrt(e)*(7*a*d*f*(3*d^2*e^2 + 7*c*d*e*f - 2*c^2*f^2) - b*(6*d^3*e^3 - 9*c*d^2*e^2*f + 19*c^2*d*e*f^2 - 8*c^3*f^3))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(105*d^3*f^(3//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (e^(3//2)*(7*a*d*f*(9*d*e - c*f) - b*(3*d^2*e^2 + 9*c*d*e*f - 4*c^2*f^2))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(105*d^2*f^(3//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 7),
+((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(3//2)/(c + d*x^2)^(1//2), ((10*a*d*f*(2*d*e - c*f) + b*(3*d^2*e^2 - 13*c*d*e*f + 8*c^2*f^2))*x*sqrt(c + d*x^2))/(15*d^3*sqrt(e + f*x^2)) + ((3*b*d*e - 4*b*c*f + 5*a*d*f)*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(15*d^2) + (b*x*sqrt(c + d*x^2)*(e + f*x^2)^(3//2))/(5*d) - (sqrt(e)*(10*a*d*f*(2*d*e - c*f) + b*(3*d^2*e^2 - 13*c*d*e*f + 8*c^2*f^2))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(15*d^3*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (e^(3//2)*(5*a*d*(3*d*e - c*f) - b*(6*c*d*e - 4*c^2*f))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(15*c*d^2*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 6),
+((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(3//2)/(c + d*x^2)^(3//2), (f*(b*c*(7*d*e - 8*c*f) - 3*a*d*(d*e - 2*c*f))*x*sqrt(c + d*x^2))/(3*c*d^3*sqrt(e + f*x^2)) + ((4*b*c - 3*a*d)*f*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(3*c*d^2) - ((b*c - a*d)*x*(e + f*x^2)^(3//2))/(c*d*sqrt(c + d*x^2)) - (sqrt(e)*sqrt(f)*(b*c*(7*d*e - 8*c*f) - 3*a*d*(d*e - 2*c*f))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*c*d^3*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (e^(3//2)*(3*b*d*e - 4*b*c*f + 3*a*d*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*c*d^2*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 6),
+((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(3//2)/(c + d*x^2)^(5//2), -((f*(b*c*(d*e - 8*c*f) + 2*a*d*(d*e + c*f))*x*sqrt(c + d*x^2))/(3*c^2*d^3*sqrt(e + f*x^2))) + ((b*c*(d*e - 4*c*f) + a*d*(2*d*e + c*f))*x*sqrt(e + f*x^2))/(3*c^2*d^2*sqrt(c + d*x^2)) - ((b*c - a*d)*x*(e + f*x^2)^(3//2))/(3*c*d*(c + d*x^2)^(3//2)) + (sqrt(e)*sqrt(f)*(b*c*(d*e - 8*c*f) + 2*a*d*(d*e + c*f))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*c^2*d^3*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + ((4*b*c - a*d)*e^(3//2)*sqrt(f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*c^2*d^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 6),
+((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(3//2)/(c + d*x^2)^(7//2), ((d*(b*c + 4*a*d)*e - c*(4*b*c + a*d)*f)*x*sqrt(e + f*x^2))/(15*c^2*d^2*(c + d*x^2)^(3//2)) - ((b*c - a*d)*x*(e + f*x^2)^(3//2))/(5*c*d*(c + d*x^2)^(5//2)) + ((b*c*(2*d^2*e^2 + 3*c*d*e*f - 8*c^2*f^2) + a*d*(8*d^2*e^2 - 3*c*d*e*f - 2*c^2*f^2))*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(15*c^(5//2)*d^(5//2)*(d*e - c*f)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))) - (e^(3//2)*sqrt(f)*(b*c*(d*e - 4*c*f) + a*d*(4*d*e - c*f))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(15*c^3*d^2*(d*e - c*f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 5),
+((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(3//2)/(c + d*x^2)^(9//2), ((d*(b*c + 6*a*d)*e - c*(4*b*c + 3*a*d)*f)*x*sqrt(e + f*x^2))/(35*c^2*d^2*(c + d*x^2)^(5//2)) + ((b*c*(4*d^2*e^2 + c*d*e*f - 8*c^2*f^2) + 3*a*d*(8*d^2*e^2 - 5*c*d*e*f - 2*c^2*f^2))*x*sqrt(e + f*x^2))/(105*c^3*d^2*(d*e - c*f)*(c + d*x^2)^(3//2)) - ((b*c - a*d)*x*(e + f*x^2)^(3//2))/(7*c*d*(c + d*x^2)^(7//2)) + ((6*a*d*(8*d^3*e^3 - 12*c*d^2*e^2*f + 2*c^2*d*e*f^2 + c^3*f^3) + b*c*(8*d^3*e^3 - 5*c*d^2*e^2*f - 5*c^2*d*e*f^2 + 8*c^3*f^3))*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(105*c^(7//2)*d^(5//2)*(d*e - c*f)^2*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))) - (e^(3//2)*sqrt(f)*(3*a*d*(8*d^2*e^2 - 11*c*d*e*f + c^2*f^2) + 2*b*c*(2*d^2*e^2 - c*d*e*f + 2*c^2*f^2))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(105*c^4*d^2*(d*e - c*f)^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+((a + b*x^2)/(e + f*x^2)^(1//2)*(c + d*x^2)^(5//2), ((7*a*d*f*(8*d^2*e^2 - 23*c*d*e*f + 23*c^2*f^2) - b*(48*d^3*e^3 - 128*c*d^2*e^2*f + 103*c^2*d*e*f^2 - 15*c^3*f^3))*x*sqrt(c + d*x^2))/(105*d*f^3*sqrt(e + f*x^2)) - ((28*a*d*f*(d*e - 2*c*f) - b*(24*d^2*e^2 - 43*c*d*e*f + 15*c^2*f^2))*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(105*f^3) - ((6*b*d*e - 5*b*c*f - 7*a*d*f)*x*(c + d*x^2)^(3//2)*sqrt(e + f*x^2))/(35*f^2) + (b*x*(c + d*x^2)^(5//2)*sqrt(e + f*x^2))/(7*f) - (sqrt(e)*(7*a*d*f*(8*d^2*e^2 - 23*c*d*e*f + 23*c^2*f^2) - b*(48*d^3*e^3 - 128*c*d^2*e^2*f + 103*c^2*d*e*f^2 - 15*c^3*f^3))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(105*d*f^(7//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (sqrt(e)*(7*a*f*(4*d^2*e^2 - 11*c*d*e*f + 15*c^2*f^2) - b*e*(24*d^2*e^2 - 61*c*d*e*f + 45*c^2*f^2))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(105*f^(7//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 7),
+((a + b*x^2)/(e + f*x^2)^(1//2)*(c + d*x^2)^(3//2), -(((10*a*d*f*(d*e - 2*c*f) - b*(8*d^2*e^2 - 13*c*d*e*f + 3*c^2*f^2))*x*sqrt(c + d*x^2))/(15*d*f^2*sqrt(e + f*x^2))) - ((4*b*d*e - 3*b*c*f - 5*a*d*f)*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(15*f^2) + (b*x*(c + d*x^2)^(3//2)*sqrt(e + f*x^2))/(5*f) + (sqrt(e)*(10*a*d*f*(d*e - 2*c*f) - b*(8*d^2*e^2 - 13*c*d*e*f + 3*c^2*f^2))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(15*d*f^(5//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - (sqrt(e)*(5*a*f*(d*e - 3*c*f) - b*(4*d*e^2 - 6*c*e*f))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(15*f^(5//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 6),
+((a + b*x^2)/(e + f*x^2)^(1//2)*(c + d*x^2)^(1//2), -(((2*b*d*e - b*c*f - 3*a*d*f)*x*sqrt(c + d*x^2))/(3*d*f*sqrt(e + f*x^2))) + (b*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(3*f) + (sqrt(e)*(2*b*d*e - b*c*f - 3*a*d*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*d*f^(3//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - (sqrt(e)*(b*e - 3*a*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*f^(3//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 5),
+((a + b*x^2)/(e + f*x^2)^(1//2)/(c + d*x^2)^(1//2), (b*x*sqrt(c + d*x^2))/(d*sqrt(e + f*x^2)) - (b*sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(d*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (a*sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(c*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 4),
+((a + b*x^2)/(e + f*x^2)^(1//2)/(c + d*x^2)^(3//2), -(((b*c - a*d)*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(sqrt(c)*sqrt(d)*(d*e - c*f)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2))))) + (sqrt(e)*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(c*sqrt(f)*(d*e - c*f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 3),
+((a + b*x^2)/(e + f*x^2)^(1//2)/(c + d*x^2)^(5//2), -(((b*c - a*d)*x*sqrt(e + f*x^2))/(3*c*(d*e - c*f)*(c + d*x^2)^(3//2))) + ((2*a*d*(d*e - 2*c*f) + b*c*(d*e + c*f))*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(3*c^(3//2)*sqrt(d)*(d*e - c*f)^2*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))) - (sqrt(e)*sqrt(f)*(2*b*c*e + a*d*e - 3*a*c*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*c^2*(d*e - c*f)^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 4),
+((a + b*x^2)/(e + f*x^2)^(1//2)/(c + d*x^2)^(7//2), -(((b*c - a*d)*x*sqrt(e + f*x^2))/(5*c*(d*e - c*f)*(c + d*x^2)^(5//2))) + ((4*a*d*(d*e - 2*c*f) + b*c*(d*e + 3*c*f))*x*sqrt(e + f*x^2))/(15*c^2*(d*e - c*f)^2*(c + d*x^2)^(3//2)) + ((b*c*(2*d^2*e^2 - 7*c*d*e*f - 3*c^2*f^2) + a*d*(8*d^2*e^2 - 23*c*d*e*f + 23*c^2*f^2))*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(15*c^(5//2)*sqrt(d)*(d*e - c*f)^3*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))) - (sqrt(e)*sqrt(f)*(b*c*e*(d*e - 9*c*f) + a*(4*d^2*e^2 - 11*c*d*e*f + 15*c^2*f^2))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(15*c^3*(d*e - c*f)^3*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 5),
+
+
+((a + b*x^2)/(e + f*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2)^(5//2), -(((5*a*f*(8*d^2*e^2 - 13*c*d*e*f + 3*c^2*f^2) - 2*b*e*(24*d^2*e^2 - 44*c*d*e*f + 19*c^2*f^2))*x*sqrt(c + d*x^2))/(15*e*f^3*sqrt(e + f*x^2))) - ((b*e - a*f)*x*(c + d*x^2)^(5//2))/(e*f*sqrt(e + f*x^2)) - (d*(b*e*(24*d*e - 23*c*f) - 5*a*f*(4*d*e - 3*c*f))*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(15*e*f^3) + (d*(6*b*e - 5*a*f)*x*(c + d*x^2)^(3//2)*sqrt(e + f*x^2))/(5*e*f^2) + ((5*a*f*(8*d^2*e^2 - 13*c*d*e*f + 3*c^2*f^2) - 2*b*e*(24*d^2*e^2 - 44*c*d*e*f + 19*c^2*f^2))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(15*sqrt(e)*f^(7//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - (sqrt(e)*(10*a*d*f*(2*d*e - 3*c*f) - b*(24*d^2*e^2 - 41*c*d*e*f + 15*c^2*f^2))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(15*f^(7//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 7),
+((a + b*x^2)/(e + f*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2)^(3//2), -(((b*e*(8*d*e - 7*c*f) - 3*a*f*(2*d*e - c*f))*x*sqrt(c + d*x^2))/(3*e*f^2*sqrt(e + f*x^2))) - ((b*e - a*f)*x*(c + d*x^2)^(3//2))/(e*f*sqrt(e + f*x^2)) + (d*(4*b*e - 3*a*f)*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(3*e*f^2) + ((b*e*(8*d*e - 7*c*f) - 3*a*f*(2*d*e - c*f))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*sqrt(e)*f^(5//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - (sqrt(e)*(4*b*d*e - 3*b*c*f - 3*a*d*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*f^(5//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 6),
+((a + b*x^2)/(e + f*x^2)^(3//2)*(c + d*x^2)^(1//2), -(((b*e - a*f)*x*sqrt(c + d*x^2))/(e*f*sqrt(e + f*x^2))) + ((2*b*e - a*f)*x*sqrt(c + d*x^2))/(e*f*sqrt(e + f*x^2)) - ((2*b*e - a*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(sqrt(e)*f^(3//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (b*sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(f^(3//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 5),
+((a + b*x^2)/(e + f*x^2)^(3//2)/(c + d*x^2)^(1//2), ((b*e - a*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(sqrt(e)*sqrt(f)*(d*e - c*f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - ((b*c - a*d)*sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(c*sqrt(f)*(d*e - c*f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 3),
+((a + b*x^2)/(e + f*x^2)^(3//2)/(c + d*x^2)^(3//2), -(((b*c - a*d)*x)/(c*(d*e - c*f)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))) - (sqrt(f)*(2*b*c*e - a*d*e - a*c*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(c*sqrt(e)*(d*e - c*f)^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (sqrt(e)*(b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(c*sqrt(f)*(d*e - c*f)^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 4),
+((a + b*x^2)/(e + f*x^2)^(3//2)/(c + d*x^2)^(5//2), -(((b*c - a*d)*x)/(3*c*(d*e - c*f)*(c + d*x^2)^(3//2)*sqrt(e + f*x^2))) + ((2*a*d*(d*e - 3*c*f) + b*c*(d*e + 3*c*f))*x)/(3*c^2*(d*e - c*f)^2*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)) + (sqrt(f)*(b*c*e*(d*e + 7*c*f) + a*(2*d^2*e^2 - 7*c*d*e*f - 3*c^2*f^2))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*c^2*sqrt(e)*(d*e - c*f)^3*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - (sqrt(e)*sqrt(f)*(a*d*(d*e - 9*c*f) + b*c*(5*d*e + 3*c*f))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*c^2*(d*e - c*f)^3*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 5),
+
+
+((e + f*x^2)/(sqrt(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)), -(((d*e - c*f)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(c)*sqrt(d)*(b*c - a*d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2))) + (sqrt(c)*(b*e - a*f)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt(d)*(b*c - a*d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 3),
+((e + f*x^2)/(sqrt(a - b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2)), ((d*e - c*f)*x*sqrt(a - b*x^2))/(c*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^2)) + (sqrt(a)*sqrt(b)*(d*e - c*f)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), -((a*d)/(b*c))))/(c*d*(b*c + a*d)*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(1 + (d*x^2)/c)) + (sqrt(a)*f*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(1 + (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), -((a*d)/(b*c))))/(sqrt(b)*d*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), x, 8),
+((e + f*x^2)/(sqrt(a + b*x^2)*(c - d*x^2)^(3//2)), ((d*e + c*f)*x*sqrt(a + b*x^2))/(c*(b*c + a*d)*sqrt(c - d*x^2)) - ((d*e + c*f)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((b*c)/(a*d))))/(sqrt(c)*sqrt(d)*(b*c + a*d)*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*sqrt(c - d*x^2)) + (e*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((b*c)/(a*d))))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 8),
+((e + f*x^2)/(sqrt(a - b*x^2)*(c - d*x^2)^(3//2)), -(((d*e + c*f)*x*sqrt(a - b*x^2))/(c*(b*c - a*d)*sqrt(c - d*x^2))) + ((d*e + c*f)*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), (b*c)/(a*d)))/(sqrt(c)*sqrt(d)*(b*c - a*d)*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(c - d*x^2)) + (e*sqrt(1 - (b*x^2)/a)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), (b*c)/(a*d)))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(c - d*x^2)), x, 8),
+
+
+((a + b*x^2)/(sqrt(2 + d*x^2)*sqrt(3 + f*x^2)), (b*x*sqrt(2 + d*x^2))/(d*sqrt(3 + f*x^2)) - (sqrt(2)*b*sqrt(2 + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*d)/(2*f)))/(d*sqrt(f)*sqrt((2 + d*x^2)/(3 + f*x^2))*sqrt(3 + f*x^2)) + (a*sqrt(2 + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*d)/(2*f)))/(sqrt(2)*sqrt(f)*sqrt((2 + d*x^2)/(3 + f*x^2))*sqrt(3 + f*x^2)), x, 4),
+((a + b*x^2)*sqrt(2 + d*x^2)/sqrt(3 + f*x^2), -(((6*b*d - 2*b*f - 3*a*d*f)*x*sqrt(2 + d*x^2))/(3*d*f*sqrt(3 + f*x^2))) + (b*x*sqrt(2 + d*x^2)*sqrt(3 + f*x^2))/(3*f) + (sqrt(2)*(6*b*d - 2*b*f - 3*a*d*f)*sqrt(2 + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*d)/(2*f)))/(3*d*f^(3//2)*sqrt((2 + d*x^2)/(3 + f*x^2))*sqrt(3 + f*x^2)) - (sqrt(2)*(b - a*f)*sqrt(2 + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*d)/(2*f)))/(f^(3//2)*sqrt((2 + d*x^2)/(3 + f*x^2))*sqrt(3 + f*x^2)), x, 5),
+((a + b*x^2)*sqrt(2 + d*x^2)*sqrt(3 + f*x^2), ((5*a*d*f*(3*d + 2*f) - 2*b*(9*d^2 - 6*d*f + 4*f^2))*x*sqrt(2 + d*x^2))/(15*d^2*f*sqrt(3 + f*x^2)) + ((3*b*d - 4*b*f + 5*a*d*f)*x*sqrt(2 + d*x^2)*sqrt(3 + f*x^2))/(15*d*f) + (b*x*(2 + d*x^2)^(3//2)*sqrt(3 + f*x^2))/(5*d) - (sqrt(2)*(5*a*d*f*(3*d + 2*f) - 2*b*(9*d^2 - 6*d*f + 4*f^2))*sqrt(2 + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*d)/(2*f)))/(15*d^2*f^(3//2)*sqrt((2 + d*x^2)/(3 + f*x^2))*sqrt(3 + f*x^2)) - (sqrt(2)*(3*b*d + 2*b*f - 10*a*d*f)*sqrt(2 + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*d)/(2*f)))/(5*d*f^(3//2)*sqrt((2 + d*x^2)/(3 + f*x^2))*sqrt(3 + f*x^2)), x, 6),
+
+
+((-b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^2)/(sqrt(1 + (2*c*x^2)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), -((sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c))), x, 2),
+((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^2)/(sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), ((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt((1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))) + ((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt((1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 5),
+
+
+# ::Section::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q (e+f x^2)^2
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q / (e+f x^2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^p (c+d x^2)^(q/2) / (e+f x^2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
+
+
+((a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)/(e + f*x^2), (b*x*sqrt(c + d*x^2))/(2*f) - ((2*b*d*e - b*c*f - 2*a*d*f)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(2*sqrt(d)*f^2) + ((b*e - a*f)*sqrt(d*e - c*f)*atanh((sqrt(d*e - c*f)*x)/(sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2))))/(sqrt(e)*f^2), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+((a + b*x^2)^3/((c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), -((b^2*(b*c - a*d)*x*sqrt(e + f*x^2))/(2*d^2*f)) - (3*b^2*(b*e - 2*a*f)*x*sqrt(e + f*x^2))/(8*d*f^2) + (b^2*x*(a + b*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(4*d*f) - ((b*c - a*d)^3*atan((sqrt(d*e - c*f)*x)/(sqrt(c)*sqrt(e + f*x^2))))/(sqrt(c)*d^3*sqrt(d*e - c*f)) + (b*(b*c - a*d)^2*atanh((sqrt(f)*x)/sqrt(e + f*x^2)))/(d^3*sqrt(f)) + (b*(b*c - a*d)*(b*e - 2*a*f)*atanh((sqrt(f)*x)/sqrt(e + f*x^2)))/(2*d^2*f^(3//2)) + (b*(3*b^2*e^2 - 8*a*b*e*f + 8*a^2*f^2)*atanh((sqrt(f)*x)/sqrt(e + f*x^2)))/(8*d*f^(5//2)), x, 14),
+((a + b*x^2)^2/((c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), (b^2*x*sqrt(e + f*x^2))/(2*d*f) + ((b*c - a*d)^2*atan((sqrt(d*e - c*f)*x)/(sqrt(c)*sqrt(e + f*x^2))))/(sqrt(c)*d^2*sqrt(d*e - c*f)) - (b*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(f)*x)/sqrt(e + f*x^2)))/(d^2*sqrt(f)) - (b*(b*e - 2*a*f)*atanh((sqrt(f)*x)/sqrt(e + f*x^2)))/(2*d*f^(3//2)), x, 9),
+((a + b*x^2)^1/((c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), -(((b*c - a*d)*atan((sqrt(d*e - c*f)*x)/(sqrt(c)*sqrt(e + f*x^2))))/(sqrt(c)*d*sqrt(d*e - c*f))) + (b*atanh((sqrt(f)*x)/sqrt(e + f*x^2)))/(d*sqrt(f)), x, 5),
+((a + b*x^2)^0/((c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), atan((sqrt(d*e - c*f)*x)/(sqrt(c)*sqrt(e + f*x^2)))/(sqrt(c)*sqrt(d*e - c*f)), x, 2),
+(1/((a + b*x^2)^1*(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), (b*atan((sqrt(b*e - a*f)*x)/(sqrt(a)*sqrt(e + f*x^2))))/(sqrt(a)*(b*c - a*d)*sqrt(b*e - a*f)) - (d*atan((sqrt(d*e - c*f)*x)/(sqrt(c)*sqrt(e + f*x^2))))/(sqrt(c)*(b*c - a*d)*sqrt(d*e - c*f)), x, 5),
+(1/((a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), (b^2*x*sqrt(e + f*x^2))/(2*a*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(a + b*x^2)) + (b*(b^2*c*e - 3*a*b*d*e - 2*a*b*c*f + 4*a^2*d*f)*atan((sqrt(b*e - a*f)*x)/(sqrt(a)*sqrt(e + f*x^2))))/(2*a^(3//2)*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^(3//2)) + (d^2*atan((sqrt(d*e - c*f)*x)/(sqrt(c)*sqrt(e + f*x^2))))/(sqrt(c)*(b*c - a*d)^2*sqrt(d*e - c*f)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^(q/2) / (e+f x^2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
+
+
+# {(e + f*x^2)^(1/2)/(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(5/2), x, 14, (d*(7*c*e - (2*d*e^2)/f + (3*c^2*f)/d)*x*Sqrt[c + d*x^2])/(15*b*Sqrt[e + f*x^2]) + ((b*c - a*d)*(b*d*e + 4*b*c*f - 3*a*d*f)*x*Sqrt[c + d*x^2])/(3*b^3*Sqrt[e + f*x^2]) + (d*(b*c - a*d)*x*Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[e + f*x^2])/(3*b^2) - (2*d*(d*e - 3*c*f)*x*Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[e + f*x^2])/(15*b*f) + (d^2*x*Sqrt[c + d*x^2]*(e + f*x^2)^(3/2))/(5*b*f) - (Sqrt[e]*(15*a^2*d^2*f^2 - 5*a*b*d*f*(d*e + 7*c*f) + b^2*(-2*d^2*e^2 + 12*c*d*e*f + 23*c^2*f^2))*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(15*b^3*f^(3/2)*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]) + (d*e^(3/2)*(-40*a*b*c*d*f + 15*a^2*d^2*f + b^2*c*((-d)*e + 34*c*f))*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticF[ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(15*b^3*c*f^(3/2)*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]) + ((b*c - a*d)^3*e^(3/2)*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticPi[1 - (b*e)/(a*f), ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(a*b^3*c*Sqrt[f]*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]), (d*(7*c*e - (2*d*e^2)/f + (3*c^2*f)/d)*x*Sqrt[c + d*x^2])/(15*b*Sqrt[e + f*x^2]) + ((b*c - a*d)*(b*d*e + 4*b*c*f - 3*a*d*f)*x*Sqrt[c + d*x^2])/(3*b^3*Sqrt[e + f*x^2]) + (d*(b*c - a*d)*x*Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[e + f*x^2])/(3*b^2) - (2*d*(d*e - 3*c*f)*x*Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[e + f*x^2])/(15*b*f) + (d^2*x*Sqrt[c + d*x^2]*(e + f*x^2)^(3/2))/(5*b*f) - ((b*c - a*d)*Sqrt[e]*(b*d*e + 4*b*c*f - 3*a*d*f)*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(3*b^3*Sqrt[f]*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]) + (Sqrt[e]*(2*d^2*e^2 - 7*c*d*e*f - 3*c^2*f^2)*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(15*b*f^(3/2)*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]) + (d*(5*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*e^(3/2)*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticF[ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(3*b^3*c*Sqrt[f]*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]) - (d*e^(3/2)*(d*e - 9*c*f)*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticF[ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(15*b*f^(3/2)*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]) + ((b*c - a*d)^3*e^(3/2)*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticPi[1 - (b*e)/(a*f), ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(a*b^3*c*Sqrt[f]*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2])}
+((e + f*x^2)^(1//2)/(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2), ((b*d*e + 4*b*c*f - 3*a*d*f)*x*sqrt(c + d*x^2))/(3*b^2*sqrt(e + f*x^2)) + (d*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(3*b) - (sqrt(e)*(b*d*e + 4*b*c*f - 3*a*d*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*b^2*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (d*(5*b*c - 3*a*d)*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*b^2*c*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + ((b*c - a*d)^2*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*e)/(a*f), atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(a*b^2*c*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 7),
+((e + f*x^2)^(1//2)/(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(1//2), (f*x*sqrt(c + d*x^2))/(b*sqrt(e + f*x^2)) - (sqrt(e)*sqrt(f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(b*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (d*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(b*c*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + ((b*c - a*d)*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*e)/(a*f), atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(a*b*c*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 6),
+((e + f*x^2)^(1//2)/(a + b*x^2)/(c + d*x^2)^(1//2), (e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*e)/(a*f), atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(a*c*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 1),
+((e + f*x^2)^(1//2)/(a + b*x^2)/(c + d*x^2)^(3//2), -((sqrt(d)*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(sqrt(c)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2))))) + (b*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*e)/(a*f), atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(a*c*(b*c - a*d)*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 3),
+((e + f*x^2)^(1//2)/(a + b*x^2)/(c + d*x^2)^(5//2), -((d*x*sqrt(e + f*x^2))/(3*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))) - (sqrt(d)*(b*c*(5*d*e - 4*c*f) - a*d*(2*d*e - c*f))*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(3*c^(3//2)*(b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))) + (d*e^(3//2)*sqrt(f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*c^2*(b*c - a*d)*(d*e - c*f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (b^2*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*e)/(a*f), atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(a*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 6),
+((e + f*x^2)^(1//2)/(a + b*x^2)/(c + d*x^2)^(7//2), -((d*x*sqrt(e + f*x^2))/(5*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(5//2))) - (d*(b*c*(9*d*e - 8*c*f) - a*d*(4*d*e - 3*c*f))*x*sqrt(e + f*x^2))/(15*c^2*(b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)*(c + d*x^2)^(3//2)) - (b^2*sqrt(d)*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(sqrt(c)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))) + (sqrt(d)*(a*d*(8*d^2*e^2 - 13*c*d*e*f + 3*c^2*f^2) - 2*b*c*(9*d^2*e^2 - 14*c*d*e*f + 4*c^2*f^2))*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(15*c^(5//2)*(b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)^2*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))) + (d*e^(3//2)*sqrt(f)*(b*c*(9*d*e - 11*c*f) - 2*a*d*(2*d*e - 3*c*f))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(15*c^3*(b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (b^3*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*e)/(a*f), atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(a*c*(b*c - a*d)^3*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 9),
+
+
+# {(e + f*x^2)^(3/2)/(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(5/2), x, 22, ((b*c - a*d)^2*f*(4*b*d*e + b*c*f - 3*a*d*f)*x*Sqrt[c + d*x^2])/(3*b^4*d*Sqrt[e + f*x^2]) + ((b*c - a*d)*(3*d^2*e^2 + 7*c*d*e*f - 2*c^2*f^2)*x*Sqrt[c + d*x^2])/(15*b^2*d*Sqrt[e + f*x^2]) - (2*(d*e + c*f)*(d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + c^2*f^2)*x*Sqrt[c + d*x^2])/(35*b*d*f*Sqrt[e + f*x^2]) + ((b*c - a*d)^2*f*x*Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[e + f*x^2])/(3*b^3) + (2*(b*c - a*d)*(3*d*e - c*f)*x*Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[e + f*x^2])/(15*b^2) + (d*(9*c*e + (d*e^2)/f - (2*c^2*f)/d)*x*Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[e + f*x^2])/(35*b) + ((b*c - a*d)*f*x*(c + d*x^2)^(3/2)*Sqrt[e + f*x^2])/(5*b^2) + (2*(4*d*e - c*f)*x*(c + d*x^2)^(3/2)*Sqrt[e + f*x^2])/(35*b) + (f*x*(c + d*x^2)^(5/2)*Sqrt[e + f*x^2])/(7*b) - ((b*c - a*d)^2*Sqrt[e]*Sqrt[f]*(4*b*d*e + b*c*f - 3*a*d*f)*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(3*b^4*d*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]) - ((b*c - a*d)*Sqrt[e]*(3*d^2*e^2 + 7*c*d*e*f - 2*c^2*f^2)*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(15*b^2*d*Sqrt[f]*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]) + (2*Sqrt[e]*(d*e + c*f)*(d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + c^2*f^2)*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(35*b*d*f^(3/2)*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]) + ((b*c - a*d)^2*Sqrt[e]*Sqrt[f]*(5*b*e - 3*a*f)*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticF[ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(3*b^4*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]) + ((b*c - a*d)*e^(3/2)*(9*d*e - c*f)*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticF[ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(15*b^2*Sqrt[f]*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]) - (e^(3/2)*(d^2*e^2 - 18*c*d*e*f + c^2*f^2)*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticF[ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(35*b*f^(3/2)*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]) + (c^(3/2)*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*Sqrt[e + f*x^2]*EllipticPi[1 - (b*c)/(a*d), ArcTan[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]], 1 - (c*f)/(d*e)])/(a*b^4*Sqrt[d]*e*Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[(c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2))])}
+# {(e + f*x^2)^(3/2)/(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(3/2), x, 14, ((b*c - a*d)^2*f^2*x*Sqrt[c + d*x^2])/(b^3*d*Sqrt[e + f*x^2]) + (2*(b*c - a*d)*f*(2*d*e - c*f)*x*Sqrt[c + d*x^2])/(3*b^2*d*Sqrt[e + f*x^2]) + ((3*d^2*e^2 + 7*c*d*e*f - 2*c^2*f^2)*x*Sqrt[c + d*x^2])/(15*b*d*Sqrt[e + f*x^2]) + ((b*c - a*d)*f*x*Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[e + f*x^2])/(3*b^2) + (2*(3*d*e - c*f)*x*Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[e + f*x^2])/(15*b) + (f*x*(c + d*x^2)^(3/2)*Sqrt[e + f*x^2])/(5*b) - (Sqrt[e]*(15*a^2*d^2*f^2 - 20*a*b*d*f*(d*e + c*f) + 3*b^2*(d^2*e^2 + 9*c*d*e*f + c^2*f^2))*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(15*b^3*d*Sqrt[f]*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]) + (e^(3/2)*(15*a^2*d^2*f + 3*b^2*c*(8*d*e + 3*c*f) - 5*a*b*d*(3*d*e + 5*c*f))*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticF[ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(15*b^3*c*Sqrt[f]*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]) + ((b*c - a*d)^2*e^(3/2)*(b*e - a*f)*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticPi[1 - (b*e)/(a*f), ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(a*b^3*c*Sqrt[f]*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]), ((b*c - a*d)*f*(4*b*d*e + b*c*f - 3*a*d*f)*x*Sqrt[c + d*x^2])/(3*b^3*d*Sqrt[e + f*x^2]) + ((3*d^2*e^2 + 7*c*d*e*f - 2*c^2*f^2)*x*Sqrt[c + d*x^2])/(15*b*d*Sqrt[e + f*x^2]) + ((b*c - a*d)*f*x*Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[e + f*x^2])/(3*b^2) + (2*(3*d*e - c*f)*x*Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[e + f*x^2])/(15*b) + (f*x*(c + d*x^2)^(3/2)*Sqrt[e + f*x^2])/(5*b) - ((b*c - a*d)*Sqrt[e]*Sqrt[f]*(4*b*d*e + b*c*f - 3*a*d*f)*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(3*b^3*d*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]) - (Sqrt[e]*(3*d^2*e^2 + 7*c*d*e*f - 2*c^2*f^2)*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(15*b*d*Sqrt[f]*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]) + ((b*c - a*d)*Sqrt[e]*Sqrt[f]*(5*b*e - 3*a*f)*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticF[ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(3*b^3*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]) + (e^(3/2)*(9*d*e - c*f)*Sqrt[c + d*x^2]*EllipticF[ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]], 1 - (d*e)/(c*f)])/(15*b*Sqrt[f]*Sqrt[(e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2))]*Sqrt[e + f*x^2]) + (c^(3/2)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)^2*Sqrt[e + f*x^2]*EllipticPi[1 - (b*c)/(a*d), ArcTan[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]], 1 - (c*f)/(d*e)])/(a*b^3*Sqrt[d]*e*Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[(c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2))])}
+((e + f*x^2)^(3//2)/(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^(1//2), (f*(4*b*d*e + b*c*f - 3*a*d*f)*x*sqrt(c + d*x^2))/(3*b^2*d*sqrt(e + f*x^2)) + (f*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(3*b) - (sqrt(e)*sqrt(f)*(4*b*d*e + b*c*f - 3*a*d*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*b^2*d*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (sqrt(e)*sqrt(f)*(5*b*e - 3*a*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*b^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (c^(3//2)*(b*e - a*f)^2*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*c)/(a*d), atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(a*b^2*sqrt(d)*e*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))), x, 7),
+((e + f*x^2)^(3//2)/(a + b*x^2)/(c + d*x^2)^(1//2), (f^2*x*sqrt(c + d*x^2))/(b*d*sqrt(e + f*x^2)) - (sqrt(e)*f^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(b*d*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (e^(3//2)*sqrt(f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(b*c*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (e^(3//2)*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*e)/(a*f), atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(a*b*c*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 6),
+((e + f*x^2)^(3//2)/(a + b*x^2)/(c + d*x^2)^(3//2), -(((d*e - c*f)*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(sqrt(c)*sqrt(d)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2))))) + (e^(3//2)*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*e)/(a*f), atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(a*c*(b*c - a*d)*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 3),
+((e + f*x^2)^(3//2)/(a + b*x^2)/(c + d*x^2)^(5//2), -(((d*e - c*f)*x*sqrt(e + f*x^2))/(3*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2))) - ((b*c*(5*d*e - c*f) - 2*a*d*(d*e + c*f))*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(3*c^(3//2)*sqrt(d)*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))) + (e^(3//2)*sqrt(f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*c^2*(b*c - a*d)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (b*e^(3//2)*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*e)/(a*f), atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(a*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 6),
+((e + f*x^2)^(3//2)/(a + b*x^2)/(c + d*x^2)^(7//2), -(((d*e - c*f)*x*sqrt(e + f*x^2))/(5*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(5//2))) - ((3*b*c*(3*d*e - c*f) - 2*a*d*(2*d*e + c*f))*x*sqrt(e + f*x^2))/(15*c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^2)^(3//2)) - (b*sqrt(d)*(b*e - a*f)*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(sqrt(c)*(b*c - a*d)^3*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))) + ((a*d*(8*d^2*e^2 - 3*c*d*e*f - 2*c^2*f^2) - 3*b*c*(6*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + c^2*f^2))*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(15*c^(5//2)*sqrt(d)*(b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))) + (e^(3//2)*sqrt(f)*(3*b*c*(3*d*e - 2*c*f) - a*d*(4*d*e - c*f))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(15*c^3*(b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (b^2*e^(3//2)*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*e)/(a*f), atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(a*c*(b*c - a*d)^3*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+(1/((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(1//2))*(c + d*x^2)^(5//2), (d*(b*c - a*d)*x*sqrt(c + d*x^2))/(b^2*sqrt(e + f*x^2)) - (2*d*(d*e - 2*c*f)*x*sqrt(c + d*x^2))/(3*b*f*sqrt(e + f*x^2)) + (d^2*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(3*b*f) - (d*(b*c - a*d)*sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(b^2*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (2*d*sqrt(e)*(d*e - 2*c*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*b*f^(3//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (d*(b*c - a*d)*sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(b^2*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - (d*sqrt(e)*(d*e - 3*c*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*b*f^(3//2)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (c^(3//2)*(b*c - a*d)^2*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*c)/(a*d), atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(a*b^2*sqrt(d)*e*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))), x, 12),
+(1/((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(1//2))*(c + d*x^2)^(3//2), (d*x*sqrt(c + d*x^2))/(b*sqrt(e + f*x^2)) - (d*sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(b*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (d*sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(b*sqrt(f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (c^(3//2)*(b*c - a*d)*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*c)/(a*d), atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(a*b*sqrt(d)*e*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))), x, 6),
+(1/((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(1//2))*(c + d*x^2)^(1//2), (c^(3//2)*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*c)/(a*d), atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(a*sqrt(d)*e*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))), x, 1),
+(1/((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(1//2))/(c + d*x^2)^(1//2), (sqrt(-c)*sqrt(1 + (d*x^2)/c)*sqrt(1 + (f*x^2)/e)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((b*c)/(a*d), asin((sqrt(d)*x)/sqrt(-c)), (c*f)/(d*e)))/(a*sqrt(d)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), x, 3),
+(1/((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(1//2))/(c + d*x^2)^(3//2), -((d^(3//2)*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(sqrt(c)*(b*c - a*d)*(d*e - c*f)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2))))) - (d*sqrt(e)*(b*d*e - 2*b*c*f + a*d*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(c*(b*c - a*d)^2*sqrt(f)*(d*e - c*f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (b^2*c^(3//2)*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*c)/(a*d), atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(a*sqrt(d)*(b*c - a*d)^2*e*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))), x, 5),
+(1/((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(1//2))/(c + d*x^2)^(5//2), -((d^2*x*sqrt(e + f*x^2))/(3*c*(b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(c + d*x^2)^(3//2))) - (d^(3//2)*(b*c*(5*d*e - 7*c*f) - 2*a*d*(d*e - 2*c*f))*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(3*c^(3//2)*(b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)^2*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))) - (d*sqrt(e)*sqrt(f)*(a*d*(d*e - 3*c*f) - 2*b*c*(2*d*e - 3*c*f))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*c^2*(b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (b^2*sqrt(-c)*sqrt(1 + (d*x^2)/c)*sqrt(1 + (f*x^2)/e)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((b*c)/(a*d), asin((sqrt(d)*x)/sqrt(-c)), (c*f)/(d*e)))/(a*sqrt(d)*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), x, 8),
+
+
+(1/((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(3//2))*(c + d*x^2)^(5//2), ((b*c - a*d)*(b*d*e + 4*b*c*f - 3*a*d*f)*x*sqrt(c + d*x^2))/(3*b*(b*e - a*f)^2*sqrt(e + f*x^2)) + ((b*e*(6*d^2*e^2 - 7*c*d*e*f - c^2*f^2) - a*f*(8*d^2*e^2 - 13*c*d*e*f + 3*c^2*f^2))*x*sqrt(c + d*x^2))/(3*e*f*(b*e - a*f)^2*sqrt(e + f*x^2)) + ((d*e - c*f)*x*(c + d*x^2)^(3//2))/(e*(b*e - a*f)*sqrt(e + f*x^2)) + (d*(b*c - a*d)*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(3*(b*e - a*f)^2) + (d*(a*f*(4*d*e - 3*c*f) - b*e*(3*d*e - 2*c*f))*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(3*e*f*(b*e - a*f)^2) - ((b*c - a*d)*sqrt(e)*(b*d*e + 4*b*c*f - 3*a*d*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*b*sqrt(f)*(b*e - a*f)^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - ((b*e*(6*d^2*e^2 - 7*c*d*e*f - c^2*f^2) - a*f*(8*d^2*e^2 - 13*c*d*e*f + 3*c^2*f^2))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*sqrt(e)*f^(3//2)*(b*e - a*f)^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (d*(5*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*b*c*sqrt(f)*(b*e - a*f)^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - (sqrt(e)*(2*a*d*f*(2*d*e - 3*c*f) - b*(3*d^2*e^2 - 2*c*d*e*f - 3*c^2*f^2))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*f^(3//2)*(b*e - a*f)^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + ((b*c - a*d)^3*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*e)/(a*f), atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(a*b*c*sqrt(f)*(b*e - a*f)^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 14),
+(1/((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(3//2))*(c + d*x^2)^(3//2), ((d*e - c*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(sqrt(e)*sqrt(f)*(b*e - a*f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (c^(3//2)*(b*c - a*d)*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*c)/(a*d), atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(a*sqrt(d)*e*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))), x, 3),
+(1/((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(3//2))*(c + d*x^2)^(1//2), -((sqrt(f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(sqrt(e)*(b*e - a*f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2))) + (b*c^(3//2)*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*c)/(a*d), atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(a*sqrt(d)*e*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))), x, 3),
+(1/((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(3//2))/(c + d*x^2)^(1//2), (f^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(sqrt(e)*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - (sqrt(e)*sqrt(f)*(2*b*d*e - b*c*f - a*d*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(c*(b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (b^2*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*e)/(a*f), atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(a*c*sqrt(f)*(b*e - a*f)^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 5),
+(1/((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(3//2))/(c + d*x^2)^(3//2), -((d^2*x)/(c*(b*c - a*d)*(d*e - c*f)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))) - (b^2*sqrt(f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/((b*c - a*d)^2*sqrt(e)*(b*e - a*f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - (d*sqrt(f)*(2*b*c^2*f - a*d*(d*e + c*f))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(c*(b*c - a*d)^2*sqrt(e)*(d*e - c*f)^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - (d^2*sqrt(e)*(b*d*e - 3*b*c*f + 2*a*d*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(c*(b*c - a*d)^2*sqrt(f)*(d*e - c*f)^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (b^3*c^(3//2)*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*c)/(a*d), atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (c*f)/(d*e)))/(a*sqrt(d)*(b*c - a*d)^2*e*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))), x, 8),
+(1/((a + b*x^2)*(e + f*x^2)^(3//2))/(c + d*x^2)^(5//2), -((d^2*x)/(3*c*(b*c - a*d)*(d*e - c*f)*(c + d*x^2)^(3//2)*sqrt(e + f*x^2))) - (d^2*(b*c*(5*d*e - 9*c*f) - 2*a*d*(d*e - 3*c*f))*x)/(3*c^2*(b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)^2*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)) + (b^2*f^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/((b*c - a*d)^2*sqrt(e)*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - (d*sqrt(f)*(b*c*(5*d^2*e^2 - 7*c*d*e*f - 6*c^2*f^2) - a*d*(2*d^2*e^2 - 7*c*d*e*f - 3*c^2*f^2))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*c^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(e)*(d*e - c*f)^3*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - (b^2*sqrt(e)*sqrt(f)*(2*b*d*e - b*c*f - a*d*f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(c*(b*c - a*d)^2*(b*e - a*f)^2*(d*e - c*f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (d^2*sqrt(e)*sqrt(f)*(b*c*(7*d*e - 15*c*f) - a*d*(d*e - 9*c*f))*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(3*c^2*(b*c - a*d)^2*(d*e - c*f)^3*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (b^4*e^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (b*e)/(a*f), atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(a*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(f)*(b*e - a*f)^2*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 11),
+
+
+# {(1 + x^2)^(3/2)*Sqrt[2 + x^2]/(a + b*x^2), x, 7, -(((a - 2*b)*x*Sqrt[2 + x^2])/(b^2*Sqrt[1 + x^2])) + (x*Sqrt[1 + x^2]*Sqrt[2 + x^2])/(3*b) + (Sqrt[2]*(a - 2*b)*Sqrt[2 + x^2]*EllipticE[ArcTan[x], 1/2])/(b^2*Sqrt[1 + x^2]*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]) - ((3*a - 7*b)*Sqrt[2 + x^2]*EllipticF[ArcTan[x], 1/2])/(3*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[1 + x^2]*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]) + ((a - 2*b)*(a - b)*Sqrt[2 + x^2]*EllipticPi[1 - b/a, ArcTan[x], 1/2])/(Sqrt[2]*a*b^2*Sqrt[1 + x^2]*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]), -(((a - 2*b)*x*Sqrt[2 + x^2])/(b^2*Sqrt[1 + x^2])) + (x*Sqrt[1 + x^2]*Sqrt[2 + x^2])/(3*b) + (Sqrt[2]*(a - 2*b)*Sqrt[2 + x^2]*EllipticE[ArcTan[x], 1/2])/(b^2*Sqrt[1 + x^2]*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]) - (Sqrt[2]*(3*a - 5*b)*Sqrt[2 + x^2]*EllipticF[ArcTan[x], 1/2])/(3*b^2*Sqrt[1 + x^2]*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]) + (2*(a - b)^2*Sqrt[1 + x^2]*EllipticPi[1 - (2*b)/a, ArcTan[x/Sqrt[2]], -1])/(a*b^2*Sqrt[(1 + x^2)/(2 + x^2)]*Sqrt[2 + x^2])}
+((1 + x^2)^(1//2)*sqrt(2 + x^2)/(a + b*x^2), (x*sqrt(2 + x^2))/(b*sqrt(1 + x^2)) - (sqrt(2)*sqrt(2 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(b*sqrt(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))) + (sqrt(2 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(sqrt(2)*b*sqrt(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))) - ((a - 2*b)*sqrt(2 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - b/a, atan(x), 1//2))/(sqrt(2)*a*b*sqrt(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))), x, 6),
+(sqrt(2 + x^2)/((1 + x^2)^(1//2)*(a + b*x^2)), (2*sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (2*b)/a, atan(x/sqrt(2)), -1))/(a*sqrt((1 + x^2)/(2 + x^2))*sqrt(2 + x^2)), x, 1),
+(sqrt(2 + x^2)/((1 + x^2)^(3//2)*(a + b*x^2)), (sqrt(2)*sqrt(2 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/((a - b)*sqrt(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))) - (2*b*sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (2*b)/a, atan(x/sqrt(2)), -1))/(a*(a - b)*sqrt((1 + x^2)/(2 + x^2))*sqrt(2 + x^2)), x, 3),
+(sqrt(2 + x^2)/((1 + x^2)^(5//2)*(a + b*x^2)), (x*sqrt(2 + x^2))/(3*(a - b)*(1 + x^2)^(3//2)) + (sqrt(2)*(a - 2*b)*sqrt(2 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/((a - b)^2*sqrt(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))) - (sqrt(2)*sqrt(2 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(3*(a - b)*sqrt(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))) + (2*b^2*sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (2*b)/a, atan(x/sqrt(2)), -1))/(a*(a - b)^2*sqrt((1 + x^2)/(2 + x^2))*sqrt(2 + x^2)), x, 6),
+
+
+(sqrt(2 + d*x^2)*sqrt(3 + f*x^2)/(a + b*x^2), (f*x*sqrt(2 + d*x^2))/(b*sqrt(3 + f*x^2)) - (sqrt(2)*sqrt(f)*sqrt(2 + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*d)/(2*f)))/(b*sqrt((2 + d*x^2)/(3 + f*x^2))*sqrt(3 + f*x^2)) + (3*d*sqrt(2 + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*d)/(2*f)))/(sqrt(2)*b*sqrt(f)*sqrt((2 + d*x^2)/(3 + f*x^2))*sqrt(3 + f*x^2)) + (3*(2*b - a*d)*sqrt(2 + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (3*b)/(a*f), atan((sqrt(f)*x)/sqrt(3)), 1 - (3*d)/(2*f)))/(sqrt(2)*a*b*sqrt(f)*sqrt((2 + d*x^2)/(3 + f*x^2))*sqrt(3 + f*x^2)), x, 6),
+(sqrt(2 + d*x^2)/((a + b*x^2)*sqrt(3 + f*x^2)), (2*sqrt(3 + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(1 - (2*b)/(a*d), atan((sqrt(d)*x)/sqrt(2)), 1 - (2*f)/(3*d)))/(sqrt(3)*a*sqrt(d)*sqrt(2 + d*x^2)*sqrt((3 + f*x^2)/(2 + d*x^2))), x, 1),
+(1/((a + b*x^2)*sqrt(2 + d*x^2)*sqrt(3 + f*x^2)), SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*b)/(a*d), asin((sqrt(-d)*x)/sqrt(2)), (2*f)/(3*d))/(sqrt(3)*a*sqrt(-d)), x, 1),
+
+
+(sqrt(1 - x^2)/((x^2 - 1)*sqrt(a + b*x^2)), -((sqrt(1 + (b*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -(b/a)))/sqrt(a + b*x^2)), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q / (e+f x^2)^2
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^p (c+d x^2)^(q/2) / (e+f x^2)^2
+
+
+# ::Subsubsection::
+# q>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+((a + b*x^2)/(sqrt(c + d*x^2)*(e + f*x^2)^2), ((b*e - a*f)*x*sqrt(c + d*x^2))/(2*e*(d*e - c*f)*(e + f*x^2)) - ((b*c*e - 2*a*d*e + a*c*f)*atanh((sqrt(d*e - c*f)*x)/(sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2))))/(2*e^(3//2)*(d*e - c*f)^(3//2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^(q/2) / (e+f x^2)^2
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
+
+
+(sqrt(c - d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)/(a + b*x^2)^2, (x*sqrt(c - d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(2*a*(a + b*x^2)) + (sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((c*f)/(d*e))))/(2*a*b*sqrt(c - d*x^2)*sqrt(1 + (f*x^2)/e)) - (sqrt(c)*sqrt(d)*(b*e + a*f)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*sqrt(1 + (f*x^2)/e)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((c*f)/(d*e))))/(2*a*b^2*sqrt(c - d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)) + (sqrt(c)*(b^2*c*e + a^2*d*f)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*sqrt(1 + (f*x^2)/e)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*c)/(a*d)), asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((c*f)/(d*e))))/(2*a^2*b^2*sqrt(d)*sqrt(c - d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), x, 11),
+(sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)/(a + b*x^2)^2, -((f*x*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*b*sqrt(e + f*x^2))) + (x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(2*a*(a + b*x^2)) + (sqrt(e)*sqrt(f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(2*a*b*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (d*sqrt(e)*sqrt(f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(2*b^2*c*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (sqrt(-c)*(b^2*c*e - a^2*d*f)*sqrt(1 + (d*x^2)/c)*sqrt(1 + (f*x^2)/e)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((b*c)/(a*d), asin((sqrt(d)*x)/sqrt(-c)), (c*f)/(d*e)))/(2*a^2*b^2*sqrt(d)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+(1/(sqrt(c - d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)*(a + b*x^2)^2), (b^2*x*sqrt(c - d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(2*a*(b*c + a*d)*(b*e - a*f)*(a + b*x^2)) + (b*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((c*f)/(d*e))))/(2*a*(b*c + a*d)*(b*e - a*f)*sqrt(c - d*x^2)*sqrt(1 + (f*x^2)/e)) - (sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*sqrt(1 + (f*x^2)/e)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((c*f)/(d*e))))/(2*a*(b*c + a*d)*sqrt(c - d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)) + (sqrt(c)*(b^2*c*e - 3*a^2*d*f + a*b*(2*d*e - 2*c*f))*sqrt(1 - (d*x^2)/c)*sqrt(1 + (f*x^2)/e)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*c)/(a*d)), asin((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), -((c*f)/(d*e))))/(2*a^2*sqrt(d)*(b*c + a*d)*(b*e - a*f)*sqrt(c - d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), x, 11),
+(1/(sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)*(a + b*x^2)^2), -((b*f*x*sqrt(c + d*x^2))/(2*a*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*sqrt(e + f*x^2))) + (b^2*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(2*a*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(a + b*x^2)) + (b*sqrt(e)*sqrt(f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(2*a*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - (d*sqrt(e)*sqrt(f)*sqrt(c + d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(f)*x)/sqrt(e)), 1 - (d*e)/(c*f)))/(2*c*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*sqrt((e*(c + d*x^2))/(c*(e + f*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (sqrt(-c)*(b^2*c*e + 3*a^2*d*f - 2*a*b*(d*e + c*f))*sqrt(1 + (d*x^2)/c)*sqrt(1 + (f*x^2)/e)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((b*c)/(a*d), asin((sqrt(d)*x)/sqrt(-c)), (c*f)/(d*e)))/(2*a^2*sqrt(d)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), x, 8),
+
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^(q/2) (e+f x^2)^(r/2)
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^(q/2) / (e+f x^2)^(1/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^(q/2) / (e+f x^2)^(1/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
+
+
+# Not sure this is not integrable.
+((a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)/sqrt(e + f*x^2), Unintegrable(((a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/sqrt(e + f*x^2), x), x, 0),
+((a + b*x^2)^(1//2)*sqrt(c + d*x^2)/sqrt(e + f*x^2), (d*x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(2*f*sqrt(c + d*x^2)) - (sqrt(e)*sqrt(d*e - c*f)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(d*e - c*f)*x)/(sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2))), -(((b*c - a*d)*e)/(a*(d*e - c*f)))))/(2*f*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) + (b*sqrt(e)*(d*e - c*f)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((a*(e + f*x^2))/(e*(a + b*x^2)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*e - a*f)*x)/(sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2))), ((b*c - a*d)*e)/(c*(b*e - a*f))))/(2*d*f*sqrt(b*e - a*f)*sqrt((a*(c + d*x^2))/(c*(a + b*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - (c*sqrt(e)*(b*d*e - b*c*f - a*d*f)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((d*e)/(d*e - c*f), asin((sqrt(d*e - c*f)*x)/(sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2))), -(((b*c - a*d)*e)/(a*(d*e - c*f)))))/(2*a*d*f*sqrt(d*e - c*f)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 7),
+(sqrt(c + d*x^2)/((a + b*x^2)^(1//2)*sqrt(e + f*x^2)), (c*sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((d*e)/(d*e - c*f), asin((sqrt(d*e - c*f)*x)/(sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2))), -(((b*c - a*d)*e)/(a*(d*e - c*f)))))/(a*sqrt(d*e - c*f)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 2),
+(sqrt(c + d*x^2)/((a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(e + f*x^2)), (sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((a*(e + f*x^2))/(e*(a + b*x^2)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b*e - a*f)*x)/(sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2))), ((b*c - a*d)*e)/(c*(b*e - a*f))))/(a*sqrt(b*e - a*f)*sqrt((a*(c + d*x^2))/(c*(a + b*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 2),
+
+
+# Not sure this is not integrable.
+((a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)/(e + f*x^2)^(3//2), Unintegrable(((a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2))/(e + f*x^2)^(3//2), x), x, 0),
+((a + b*x^2)^(1//2)*sqrt(c + d*x^2)/(e + f*x^2)^(3//2), -(((d*e - c*f)*x*sqrt(a + b*x^2))/(e*f*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))) + (sqrt(c)*sqrt(d*e - c*f)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d*e - c*f)*x)/(sqrt(c)*sqrt(e + f*x^2))), -(((b*c - a*d)*e)/(a*(d*e - c*f)))))/(e*f*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) - (c^(3//2)*(b*e - a*f)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d*e - c*f)*x)/(sqrt(c)*sqrt(e + f*x^2))), -(((b*c - a*d)*e)/(a*(d*e - c*f)))))/(a*e*f*sqrt(d*e - c*f)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (b*c*sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2)*sqrt((c*(e + f*x^2))/(e*(c + d*x^2)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((d*e)/(d*e - c*f), asin((sqrt(d*e - c*f)*x)/(sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2))), -(((b*c - a*d)*e)/(a*(d*e - c*f)))))/(a*f*sqrt(d*e - c*f)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 8),
+(sqrt(c + d*x^2)/((a + b*x^2)^(1//2)*(e + f*x^2)^(3//2)), ((d*e - c*f)*x*sqrt(a + b*x^2))/(e*(b*e - a*f)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)) - (sqrt(c)*sqrt(d*e - c*f)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d*e - c*f)*x)/(sqrt(c)*sqrt(e + f*x^2))), -(((b*c - a*d)*e)/(a*(d*e - c*f)))))/(e*(b*e - a*f)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)) + (c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d*e - c*f)*x)/(sqrt(c)*sqrt(e + f*x^2))), -(((b*c - a*d)*e)/(a*(d*e - c*f)))))/(a*e*sqrt(d*e - c*f)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt(c + d*x^2)), x, 5),
+(sqrt(c + d*x^2)/((a + b*x^2)^(3//2)*(e + f*x^2)^(3//2)), Unintegrable(sqrt(c + d*x^2)/((a + b*x^2)^(3//2)*(e + f*x^2)^(3//2)), x), x, 0),
+
+
+(sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)/sqrt(a + b*x^2), (x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2))/(2*sqrt(a + b*x^2)) - (sqrt(c)*sqrt(b*c - a*d)*sqrt((a*(c + d*x^2))/(c*(a + b*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))), (c*(b*e - a*f))/((b*c - a*d)*e)))/(2*b*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((a*(e + f*x^2))/(e*(a + b*x^2)))) + ((b*c - a*d)*sqrt(e)*(2*b*e - a*f)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((a*(e + f*x^2))/(e*(a + b*x^2)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*e - a*f)*x)/(sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2))), ((b*c - a*d)*e)/(c*(b*e - a*f))))/(2*b^2*c*sqrt(b*e - a*f)*sqrt((a*(c + d*x^2))/(c*(a + b*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)) - (a*(a*d*f - b*(d*e + c*f))*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((a*(e + f*x^2))/(e*(a + b*x^2)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((b*c)/(b*c - a*d), asin((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))), (c*(b*e - a*f))/((b*c - a*d)*e)))/(2*b^2*sqrt(c)*sqrt(b*c - a*d)*sqrt((a*(c + d*x^2))/(c*(a + b*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+# Not sure this is not integrable.
+((a + b*x^2)^(3//2)/(sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), Unintegrable((a + b*x^2)^(3//2)/(sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), x), x, 0),
+((a + b*x^2)^(1//2)/(sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), (a*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((a*(e + f*x^2))/(e*(a + b*x^2)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((b*c)/(b*c - a*d), asin((sqrt(b*c - a*d)*x)/(sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2))), (c*(b*e - a*f))/((b*c - a*d)*e)))/(sqrt(c)*sqrt(b*c - a*d)*sqrt((a*(c + d*x^2))/(c*(a + b*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 2),
+(1/((a + b*x^2)^(1//2)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), (sqrt(e)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt((a*(e + f*x^2))/(e*(a + b*x^2)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(b*e - a*f)*x)/(sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2))), ((b*c - a*d)*e)/(c*(b*e - a*f))))/(c*sqrt(b*e - a*f)*sqrt((a*(c + d*x^2))/(c*(a + b*x^2)))*sqrt(e + f*x^2)), x, 2),
+(1/((a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), Unintegrable(1/((a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), x), x, 0),
+]
+# Total integrals translated: 112
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.6 (g x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q (e+f x^2)^r.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.6 (g x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q (e+f x^2)^r.jl
new file mode 100644
index 00000000..7f7ac2de
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.6 (g x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q (e+f x^2)^r.jl	
@@ -0,0 +1,99 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (g x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q (e+f x^2)^r
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q (A+B x^2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q (A+B x^2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
+
+
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^3*(c + d*x^2)*(A + B*x^2), (a^3*A*c*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (a^2*(3*A*b*c + a*B*c + a*A*d)*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + (a*(3*A*b*(b*c + a*d) + a*B*(3*b*c + a*d))*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + (b*(3*a*B*(b*c + a*d) + A*b*(b*c + 3*a*d))*(e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)) + (b^2*(b*B*c + A*b*d + 3*a*B*d)*(e*x)^(9 + m))/(e^9*(9 + m)) + (b^3*B*d*(e*x)^(11 + m))/(e^11*(11 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)*(A + B*x^2), (a^2*A*c*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (a*(2*A*b*c + a*B*c + a*A*d)*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + ((a*B*(2*b*c + a*d) + A*b*(b*c + 2*a*d))*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + (b*(b*B*c + A*b*d + 2*a*B*d)*(e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)) + (b^2*B*d*(e*x)^(9 + m))/(e^9*(9 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^1*(c + d*x^2)*(A + B*x^2), (a*A*c*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + ((A*b*c + a*B*c + a*A*d)*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + ((b*B*c + A*b*d + a*B*d)*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + (b*B*d*(e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^0*(c + d*x^2)*(A + B*x^2), (A*c*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + ((B*c + A*d)*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + (B*d*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)), x, 2),
+((e*x)^m/(a + b*x^2)^1*(c + d*x^2)*(A + B*x^2), ((b*B*c + A*b*d - a*B*d)*(e*x)^(1 + m))/(b^2*e*(1 + m)) + (B*d*(e*x)^(3 + m))/(b*e^3*(3 + m)) + ((A*b - a*B)*(b*c - a*d)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*b^2*e*(1 + m)), x, 3),
+((e*x)^m/(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)*(A + B*x^2), -((d*(A*b*(1 + m) - a*B*(3 + m))*(e*x)^(1 + m))/(2*a*b^2*e*(1 + m))) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*(c + d*x^2))/(2*a*b*e*(a + b*x^2)) + ((a*B*(b*c*(1 + m) - a*d*(3 + m)) + A*b*(a*d*(1 + m) + b*(c - c*m)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(2*a^2*b^2*e*(1 + m)), x, 3),
+((e*x)^m/(a + b*x^2)^3*(c + d*x^2)*(A + B*x^2), -(((A*b*(a*d*(1 - m) - b*c*(3 - m)) - a*B*(b*c*(1 + m) - a*d*(3 + m)))*(e*x)^(1 + m))/(8*a^2*b^2*e*(a + b*x^2))) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*(c + d*x^2))/(4*a*b*e*(a + b*x^2)^2) + ((A*b*(1 - m)*(b*c*(3 - m) + a*d*(1 + m)) + a*B*(1 + m)*(a*d*(3 + m) + b*(c - c*m)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(8*a^3*b^2*e*(1 + m)), x, 3),
+
+
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^3*(c + d*x^2)^2*(A + B*x^2), (a^3*A*c^2*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (a^2*c*(3*A*b*c + a*B*c + 2*a*A*d)*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + (a*(a*B*c*(3*b*c + 2*a*d) + A*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2))*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + ((a*B*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2) + A*b*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2))*(e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)) + (b*(3*a^2*B*d^2 + 3*a*b*d*(2*B*c + A*d) + b^2*c*(B*c + 2*A*d))*(e*x)^(9 + m))/(e^9*(9 + m)) + (b^2*d*(2*b*B*c + A*b*d + 3*a*B*d)*(e*x)^(11 + m))/(e^11*(11 + m)) + (b^3*B*d^2*(e*x)^(13 + m))/(e^13*(13 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2*(A + B*x^2), (a^2*A*c^2*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (a*c*(a*B*c + 2*A*(b*c + a*d))*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + ((2*a*B*c*(b*c + a*d) + A*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2))*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + ((a^2*B*d^2 + 2*a*b*d*(2*B*c + A*d) + b^2*c*(B*c + 2*A*d))*(e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)) + (b*d*(2*b*B*c + A*b*d + 2*a*B*d)*(e*x)^(9 + m))/(e^9*(9 + m)) + (b^2*B*d^2*(e*x)^(11 + m))/(e^11*(11 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^1*(c + d*x^2)^2*(A + B*x^2), (a*A*c^2*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (c*(A*b*c + a*B*c + 2*a*A*d)*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + ((a*d*(2*B*c + A*d) + b*c*(B*c + 2*A*d))*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + (d*(2*b*B*c + A*b*d + a*B*d)*(e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)) + (b*B*d^2*(e*x)^(9 + m))/(e^9*(9 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^0*(c + d*x^2)^2*(A + B*x^2), (A*c^2*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (c*(B*c + 2*A*d)*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + (d*(2*B*c + A*d)*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + (B*d^2*(e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)), x, 2),
+((e*x)^m/(a + b*x^2)^1*(c + d*x^2)^2*(A + B*x^2), ((a^2*B*d^2 - a*b*d*(2*B*c + A*d) + b^2*c*(B*c + 2*A*d))*(e*x)^(1 + m))/(b^3*e*(1 + m)) + (d*(2*b*B*c + A*b*d - a*B*d)*(e*x)^(3 + m))/(b^2*e^3*(3 + m)) + (B*d^2*(e*x)^(5 + m))/(b*e^5*(5 + m)) + ((A*b - a*B)*(b*c - a*d)^2*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*b^3*e*(1 + m)), x, 3),
+((e*x)^m/(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2*(A + B*x^2), -((d*(A*b*(2*b*c*(1 + m) - a*d*(3 + m)) - a*B*(2*b*c*(3 + m) - a*d*(5 + m)))*(e*x)^(1 + m))/(2*a*b^3*e*(1 + m))) - (d^2*(A*b*(3 + m) - a*B*(5 + m))*(e*x)^(3 + m))/(2*a*b^2*e^3*(3 + m)) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*(c + d*x^2)^2)/(2*a*b*e*(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)*(a*B*(b*c*(1 + m) - a*d*(5 + m)) + A*b*(a*d*(3 + m) + b*(c - c*m)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(2*a^2*b^3*e*(1 + m)), x, 4),
+((e*x)^m/(a + b*x^2)^3*(c + d*x^2)^2*(A + B*x^2), (d*(b*c*(1 + m) - a*d*(3 + m))*(A*b*(1 + m) - a*B*(5 + m))*(e*x)^(1 + m))/(8*a^2*b^3*e*(1 + m)) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*(c + d*x^2)^2)/(4*a*b*e*(a + b*x^2)^2) + ((b*c - a*d)*(e*x)^(1 + m)*(c*(A*b*(3 - m) + a*B*(1 + m)) - d*(A*b*(1 + m) - a*B*(5 + m))*x^2))/(8*a^2*b^2*e*(a + b*x^2)) - ((a*d*(b*c*(1 + m) - a*d*(3 + m))*(A*b*(1 + m) - a*B*(5 + m)) - b*c*(A*b*(3 - m) + a*B*(1 + m))*(a*d*(1 + m) + b*(c - c*m)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(8*a^3*b^3*e*(1 + m)), x, 4),
+
+
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^3*(c + d*x^2)^3*(A + B*x^2), (a^3*A*c^3*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (a^2*c^2*(a*B*c + 3*A*(b*c + a*d))*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + (3*a*c*(a*B*c*(b*c + a*d) + A*(b^2*c^2 + 3*a*b*c*d + a^2*d^2))*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + ((3*a*B*c*(b^2*c^2 + 3*a*b*c*d + a^2*d^2) + A*(b^3*c^3 + 9*a*b^2*c^2*d + 9*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3))*(e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)) + ((a^3*B*d^3 + 9*a*b^2*c*d*(B*c + A*d) + 3*a^2*b*d^2*(3*B*c + A*d) + b^3*c^2*(B*c + 3*A*d))*(e*x)^(9 + m))/(e^9*(9 + m)) + (3*b*d*(a^2*B*d^2 + b^2*c*(B*c + A*d) + a*b*d*(3*B*c + A*d))*(e*x)^(11 + m))/(e^11*(11 + m)) + (b^2*d^2*(3*b*B*c + A*b*d + 3*a*B*d)*(e*x)^(13 + m))/(e^13*(13 + m)) + (b^3*B*d^3*(e*x)^(15 + m))/(e^15*(15 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3*(A + B*x^2), (a^2*A*c^3*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (a*c^2*(2*A*b*c + a*B*c + 3*a*A*d)*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + (c*(a*B*c*(2*b*c + 3*a*d) + A*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2))*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + ((6*a*b*c*d*(B*c + A*d) + a^2*d^2*(3*B*c + A*d) + b^2*c^2*(B*c + 3*A*d))*(e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)) + (d*(a^2*B*d^2 + 3*b^2*c*(B*c + A*d) + 2*a*b*d*(3*B*c + A*d))*(e*x)^(9 + m))/(e^9*(9 + m)) + (b*d^2*(3*b*B*c + A*b*d + 2*a*B*d)*(e*x)^(11 + m))/(e^11*(11 + m)) + (b^2*B*d^3*(e*x)^(13 + m))/(e^13*(13 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^1*(c + d*x^2)^3*(A + B*x^2), (a*A*c^3*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (c^2*(A*b*c + a*B*c + 3*a*A*d)*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + (c*(3*a*d*(B*c + A*d) + b*c*(B*c + 3*A*d))*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + (d*(3*b*c*(B*c + A*d) + a*d*(3*B*c + A*d))*(e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)) + (d^2*(3*b*B*c + A*b*d + a*B*d)*(e*x)^(9 + m))/(e^9*(9 + m)) + (b*B*d^3*(e*x)^(11 + m))/(e^11*(11 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^0*(c + d*x^2)^3*(A + B*x^2), (A*c^3*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (c^2*(B*c + 3*A*d)*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + (3*c*d*(B*c + A*d)*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + (d^2*(3*B*c + A*d)*(e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)) + (B*d^3*(e*x)^(9 + m))/(e^9*(9 + m)), x, 2),
+((e*x)^m/(a + b*x^2)^1*(c + d*x^2)^3*(A + B*x^2), -(((a^3*B*d^3 + 3*a*b^2*c*d*(B*c + A*d) - a^2*b*d^2*(3*B*c + A*d) - b^3*c^2*(B*c + 3*A*d))*(e*x)^(1 + m))/(b^4*e*(1 + m))) + (d*(a^2*B*d^2 + 3*b^2*c*(B*c + A*d) - a*b*d*(3*B*c + A*d))*(e*x)^(3 + m))/(b^3*e^3*(3 + m)) + (d^2*(3*b*B*c + A*b*d - a*B*d)*(e*x)^(5 + m))/(b^2*e^5*(5 + m)) + (B*d^3*(e*x)^(7 + m))/(b*e^7*(7 + m)) + ((A*b - a*B)*(b*c - a*d)^3*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*b^4*e*(1 + m)), x, 3),
+((e*x)^m/(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^3*(A + B*x^2), -((d*(A*b*(3*b^2*c^2*(1 + m) - 3*a*b*c*d*(3 + m) + a^2*d^2*(5 + m)) - a*B*(3*b^2*c^2*(3 + m) - 3*a*b*c*d*(5 + m) + a^2*d^2*(7 + m)))*(e*x)^(1 + m))/(2*a*b^4*e*(1 + m))) - (d^2*(A*b*(3*b*c*(3 + m) - a*d*(5 + m)) - a*B*(3*b*c*(5 + m) - a*d*(7 + m)))*(e*x)^(3 + m))/(2*a*b^3*e^3*(3 + m)) - (d^3*(A*b*(5 + m) - a*B*(7 + m))*(e*x)^(5 + m))/(2*a*b^2*e^5*(5 + m)) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*(c + d*x^2)^3)/(2*a*b*e*(a + b*x^2)) + ((b*c - a*d)^2*(a*B*(b*c*(1 + m) - a*d*(7 + m)) + A*b*(a*d*(5 + m) + b*(c - c*m)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(2*a^2*b^4*e*(1 + m)), x, 4),
+((e*x)^m/(a + b*x^2)^3*(c + d*x^2)^3*(A + B*x^2), -((d*(A*b*(2*b^2*c^2*(3 + 2*m - m^2) + 3*a*b*c*d*(3 + 4*m + m^2) - a^2*d^2*(15 + 8*m + m^2)) + a*B*(2*b^2*c^2*(1 + m)^2 - 3*a*b*c*d*(15 + 8*m + m^2) + a^2*d^2*(35 + 12*m + m^2)))*(e*x)^(1 + m))/(8*a^2*b^4*e*(1 + m))) - (d^2*(A*b*(3 + m)*(b*c*(3 - m) + a*d*(5 + m)) + a*B*(b*c*(3 + 4*m + m^2) - a*d*(35 + 12*m + m^2)))*(e*x)^(3 + m))/(8*a^2*b^3*e^3*(3 + m)) + ((A*b*(b*c*(3 - m) + a*d*(3 + m)) + a*B*(b*c*(1 + m) - a*d*(7 + m)))*(e*x)^(1 + m)*(c + d*x^2)^2)/(8*a^2*b^2*e*(a + b*x^2)) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*(c + d*x^2)^3)/(4*a*b*e*(a + b*x^2)^2) + ((b*c - a*d)*(A*b*(2*a*b*c*d*(3 - 2*m - m^2) + b^2*c^2*(3 - 4*m + m^2) + a^2*d^2*(15 + 8*m + m^2)) + a*B*(b^2*c^2*(1 - m^2) + 2*a*b*c*d*(5 + 6*m + m^2) - a^2*d^2*(35 + 12*m + m^2)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(8*a^3*b^4*e*(1 + m)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^4*(A + B*x^2)/(c + d*x^2), ((a^4*B*d^4 + b^4*c^3*(B*c - A*d) - 4*a*b^3*c^2*d*(B*c - A*d) + 6*a^2*b^2*c*d^2*(B*c - A*d) - 4*a^3*b*d^3*(B*c - A*d))*(e*x)^(1 + m))/(d^5*e*(1 + m)) + (b*(4*a^3*B*d^3 - b^3*c^2*(B*c - A*d) + 4*a*b^2*c*d*(B*c - A*d) - 6*a^2*b*d^2*(B*c - A*d))*(e*x)^(3 + m))/(d^4*e^3*(3 + m)) + (b^2*(6*a^2*B*d^2 + b^2*c*(B*c - A*d) - 4*a*b*d*(B*c - A*d))*(e*x)^(5 + m))/(d^3*e^5*(5 + m)) - (b^3*(b*B*c - A*b*d - 4*a*B*d)*(e*x)^(7 + m))/(d^2*e^7*(7 + m)) + (b^4*B*(e*x)^(9 + m))/(d*e^9*(9 + m)) - ((b*c - a*d)^4*(B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(c*d^5*e*(1 + m)), x, 3),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^3*(A + B*x^2)/(c + d*x^2), ((a^3*B*d^3 - b^3*c^2*(B*c - A*d) + 3*a*b^2*c*d*(B*c - A*d) - 3*a^2*b*d^2*(B*c - A*d))*(e*x)^(1 + m))/(d^4*e*(1 + m)) + (b*(3*a^2*B*d^2 + b^2*c*(B*c - A*d) - 3*a*b*d*(B*c - A*d))*(e*x)^(3 + m))/(d^3*e^3*(3 + m)) - (b^2*(b*B*c - A*b*d - 3*a*B*d)*(e*x)^(5 + m))/(d^2*e^5*(5 + m)) + (b^3*B*(e*x)^(7 + m))/(d*e^7*(7 + m)) + ((b*c - a*d)^3*(B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(c*d^4*e*(1 + m)), x, 3),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^2*(A + B*x^2)/(c + d*x^2), ((a^2*B*d^2 + b^2*c*(B*c - A*d) - 2*a*b*d*(B*c - A*d))*(e*x)^(1 + m))/(d^3*e*(1 + m)) - (b*(b*B*c - A*b*d - 2*a*B*d)*(e*x)^(3 + m))/(d^2*e^3*(3 + m)) + (b^2*B*(e*x)^(5 + m))/(d*e^5*(5 + m)) - ((b*c - a*d)^2*(B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(c*d^3*e*(1 + m)), x, 3),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^1*(A + B*x^2)/(c + d*x^2), -(((b*B*c - A*b*d - a*B*d)*(e*x)^(1 + m))/(d^2*e*(1 + m))) + (b*B*(e*x)^(3 + m))/(d*e^3*(3 + m)) + ((b*c - a*d)*(B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(c*d^2*e*(1 + m)), x, 3),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^0*(A + B*x^2)/(c + d*x^2), (B*(e*x)^(1 + m))/(d*e*(1 + m)) - ((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (1 + m + 2)/2, -((d*x^2)/c)))/(c*d*e*(1 + m)), x, 2),
+((e*x)^m/(a + b*x^2)^1*(A + B*x^2)/(c + d*x^2), ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (1 + m + 2)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*(b*c - a*d)*e*(1 + m)) + ((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (1 + m + 2)/2, -((d*x^2)/c)))/(c*(b*c - a*d)*e*(1 + m)), x, 4),
+((e*x)^m/(a + b*x^2)^2*(A + B*x^2)/(c + d*x^2), ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m))/(2*a*(b*c - a*d)*e*(a + b*x^2)) + ((A*b*(b*c*(1 - m) - a*d*(3 - m)) + a*B*(a*d*(1 - m) + b*c*(1 + m)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(2*a^2*(b*c - a*d)^2*e*(1 + m)) - (d*(B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(c*(b*c - a*d)^2*e*(1 + m)), x, 5),
+((e*x)^m/(a + b*x^2)^3*(A + B*x^2)/(c + d*x^2), ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m))/(4*a*(b*c - a*d)*e*(a + b*x^2)^2) + ((A*b*(b*c*(3 - m) - a*d*(7 - m)) + a*B*(a*d*(3 - m) + b*c*(1 + m)))*(e*x)^(1 + m))/(8*a^2*(b*c - a*d)^2*e*(a + b*x^2)) + ((A*b*(a^2*d^2*(15 - 8*m + m^2) - 2*a*b*c*d*(5 - 6*m + m^2) + b^2*c^2*(3 - 4*m + m^2)) + a*B*(b^2*c^2*(1 - m^2) - 2*a*b*c*d*(3 + 2*m - m^2) - a^2*d^2*(3 - 4*m + m^2)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(8*a^3*(b*c - a*d)^3*e*(1 + m)) + (d^2*(B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(c*(b*c - a*d)^3*e*(1 + m)), x, 6),
+
+
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+((e*x)^m*(a + b*x^2)^2*(A + B*x^2)/(c + d*x^2)^2, -((b*(2*a*d*(A*d*(1 + m) - B*c*(3 + m)) - b*c*(A*d*(3 + m) - B*c*(5 + m)))*(e*x)^(1 + m))/(2*c*d^3*e*(1 + m))) - (b^2*(A*d*(3 + m) - B*c*(5 + m))*(e*x)^(3 + m))/(2*c*d^2*e^3*(3 + m)) - ((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^2)/(2*c*d*e*(c + d*x^2)) - ((b*c - a*d)*(a*d*(A*d*(1 - m) + B*c*(1 + m)) + b*c*(A*d*(3 + m) - B*c*(5 + m)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(2*c^2*d^3*e*(1 + m)), x, 4),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^1*(A + B*x^2)/(c + d*x^2)^2, -((B*(a*d*(1 + m) - b*c*(3 + m))*(e*x)^(1 + m))/(2*c*d^2*e*(1 + m))) - ((b*c - a*d)*(e*x)^(1 + m)*(A + B*x^2))/(2*c*d*e*(c + d*x^2)) + ((a*d*(A*d*(1 - m) + B*c*(1 + m)) + b*c*(A*d*(1 + m) - B*c*(3 + m)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(2*c^2*d^2*e*(1 + m)), x, 3),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^0*(A + B*x^2)/(c + d*x^2)^2, -(((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m))/(2*c*d*e*(c + d*x^2))) + ((A*d*(1 - m) + B*c*(1 + m))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(2*c^2*d*e*(1 + m)), x, 2),
+((e*x)^m/(a + b*x^2)^1*(A + B*x^2)/(c + d*x^2)^2, ((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m))/(2*c*(b*c - a*d)*e*(c + d*x^2)) + (b*(A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*(b*c - a*d)^2*e*(1 + m)) + ((b*c*(B*c*(1 - m) - A*d*(3 - m)) + a*d*(A*d*(1 - m) + B*c*(1 + m)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(2*c^2*(b*c - a*d)^2*e*(1 + m)), x, 5),
+((e*x)^m/(a + b*x^2)^2*(A + B*x^2)/(c + d*x^2)^2, (d*(A*b*c - 2*a*B*c + a*A*d)*(e*x)^(1 + m))/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*e*(c + d*x^2)) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m))/(2*a*(b*c - a*d)*e*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) + (b*(A*b*(b*c*(1 - m) - a*d*(5 - m)) + a*B*(a*d*(3 - m) + b*c*(1 + m)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(2*a^2*(b*c - a*d)^3*e*(1 + m)) - (d*(b*c*(B*c*(3 - m) - A*d*(5 - m)) + a*d*(A*d*(1 - m) + B*c*(1 + m)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(2*c^2*(b*c - a*d)^3*e*(1 + m)), x, 6),
+((e*x)^m/(a + b*x^2)^3*(A + B*x^2)/(c + d*x^2)^2, -((d*(A*(4*a^2*d^2 - b^2*c^2*(3 - m) + a*b*c*d*(11 - m)) - a*B*c*(a*d*(11 - m) + b*c*(1 + m)))*(e*x)^(1 + m))/(8*a^2*c*(b*c - a*d)^3*e*(c + d*x^2))) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m))/(4*a*(b*c - a*d)*e*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)) + ((A*b*(b*c*(3 - m) - a*d*(9 - m)) + a*B*(a*d*(5 - m) + b*c*(1 + m)))*(e*x)^(1 + m))/(8*a^2*(b*c - a*d)^2*e*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)) + (b*(a*B*(b^2*c^2*(1 - m^2) - 2*a*b*c*d*(5 + 4*m - m^2) - a^2*d^2*(15 - 8*m + m^2)) + A*b*(a^2*d^2*(35 - 12*m + m^2) - 2*a*b*c*d*(7 - 8*m + m^2) + b^2*c^2*(3 - 4*m + m^2)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(8*a^3*(b*c - a*d)^4*e*(1 + m)) + (d^2*(b*c*(B*c*(5 - m) - A*d*(7 - m)) + a*d*(A*d*(1 - m) + B*c*(1 + m)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(2*c^2*(b*c - a*d)^4*e*(1 + m)), x, 7),
+
+
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^3*(A + B*x^2)/(c + d*x^2)^3, -((b*(2*a^2*d^2*(1 + m)*(A*d*(3 - m) + B*c*(1 + m)) + 3*a*b*c*d*(3 + m)*(A*d*(1 + m) - B*c*(5 + m)) - b^2*c^2*(5 + m)*(A*d*(3 + m) - B*c*(7 + m)))*(e*x)^(1 + m))/(8*c^2*d^4*e*(1 + m))) - (b^2*(a*d*(3 + m)*(A*d*(3 - m) + B*c*(1 + m)) + b*c*(5 + m)*(A*d*(3 + m) - B*c*(7 + m)))*(e*x)^(3 + m))/(8*c^2*d^3*e^3*(3 + m)) - ((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^3)/(4*c*d*e*(c + d*x^2)^2) + ((a*d*(A*d*(3 - m) + B*c*(1 + m)) + b*c*(A*d*(3 + m) - B*c*(7 + m)))*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^2)/(8*c^2*d^2*e*(c + d*x^2)) - ((b*c - a*d)*(a^2*d^2*(1 - m)*(A*d*(3 - m) + B*c*(1 + m)) + b^2*c^2*(5 + m)*(A*d*(3 + m) - B*c*(7 + m)) + 2*a*b*c*d*(A*d*(3 - 2*m - m^2) + B*c*(5 + 6*m + m^2)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(8*c^3*d^4*e*(1 + m)), x, 5),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^2*(A + B*x^2)/(c + d*x^2)^3, (b*(a*d*(1 + m) - b*c*(3 + m))*(A*d*(1 + m) - B*c*(5 + m))*(e*x)^(1 + m))/(8*c^2*d^3*e*(1 + m)) - ((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^2)/(4*c*d*e*(c + d*x^2)^2) - ((b*c - a*d)*(e*x)^(1 + m)*(a*(A*d*(3 - m) + B*c*(1 + m)) - b*(A*d*(1 + m) - B*c*(5 + m))*x^2))/(8*c^2*d^2*e*(c + d*x^2)) + ((a*d*(a*d*(1 - m) + b*c*(1 + m))*(A*d*(3 - m) + B*c*(1 + m)) - b*c*(a*d*(1 + m) - b*c*(3 + m))*(A*d*(1 + m) - B*c*(5 + m)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(8*c^3*d^3*e*(1 + m)), x, 4),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^1*(A + B*x^2)/(c + d*x^2)^3, -(((b*c - a*d)*(e*x)^(1 + m)*(A + B*x^2))/(4*c*d*e*(c + d*x^2)^2)) + ((b*c*(A*d*(1 + m) - B*c*(3 + m)) + a*d*(A*d*(3 - m) - B*(c - c*m)))*(e*x)^(1 + m))/(8*c^2*d^2*e*(c + d*x^2)) + ((a*d*(1 - m)*(A*d*(3 - m) + B*c*(1 + m)) + b*c*(1 + m)*(A*d*(1 - m) + B*c*(3 + m)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(8*c^3*d^2*e*(1 + m)), x, 3),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^0*(A + B*x^2)/(c + d*x^2)^3, -(((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m))/(4*c*d*e*(c + d*x^2)^2)) + ((A*d*(3 - m) + B*c*(1 + m))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(4*c^3*d*e*(1 + m)), x, 2),
+((e*x)^m/(a + b*x^2)^1*(A + B*x^2)/(c + d*x^2)^3, ((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m))/(4*c*(b*c - a*d)*e*(c + d*x^2)^2) + ((b*c*(B*c*(3 - m) - A*d*(7 - m)) + a*d*(A*d*(3 - m) + B*c*(1 + m)))*(e*x)^(1 + m))/(8*c^2*(b*c - a*d)^2*e*(c + d*x^2)) + (b^2*(A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*(b*c - a*d)^3*e*(1 + m)) + ((b^2*c^2*(B*c*(1 - m) - A*d*(5 - m))*(3 - m) - a^2*d^2*(1 - m)*(A*d*(3 - m) + B*c*(1 + m)) + 2*a*b*c*d*(B*c*(3 + 2*m - m^2) + A*d*(5 - 6*m + m^2)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(8*c^3*(b*c - a*d)^3*e*(1 + m)), x, 6),
+((e*x)^m/(a + b*x^2)^2*(A + B*x^2)/(c + d*x^2)^3, (d*(2*A*b*c - 3*a*B*c + a*A*d)*(e*x)^(1 + m))/(4*a*c*(b*c - a*d)^2*e*(c + d*x^2)^2) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m))/(2*a*(b*c - a*d)*e*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2) + (d*(A*(4*b^2*c^2 - a^2*d^2*(3 - m) + a*b*c*d*(11 - m)) - a*B*c*(b*c*(11 - m) + a*d*(1 + m)))*(e*x)^(1 + m))/(8*a*c^2*(b*c - a*d)^3*e*(c + d*x^2)) + (b^2*(A*b*(b*c*(1 - m) - a*d*(7 - m)) + a*B*(a*d*(5 - m) + b*c*(1 + m)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(2*a^2*(b*c - a*d)^4*e*(1 + m)) - (d*(b^2*c^2*(B*c*(3 - m) - A*d*(7 - m))*(5 - m) - a^2*d^2*(1 - m)*(A*d*(3 - m) + B*c*(1 + m)) + 2*a*b*c*d*(B*c*(5 + 4*m - m^2) + A*d*(7 - 8*m + m^2)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(8*c^3*(b*c - a*d)^4*e*(1 + m)), x, 7),
+((e*x)^m/(a + b*x^2)^3*(A + B*x^2)/(c + d*x^2)^3, -((d*(A*(2*a^2*d^2 - b^2*c^2*(3 - m) + a*b*c*d*(13 - m)) - a*B*c*(a*d*(11 - m) + b*c*(1 + m)))*(e*x)^(1 + m))/(8*a^2*c*(b*c - a*d)^3*e*(c + d*x^2)^2)) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m))/(4*a*(b*c - a*d)*e*(a + b*x^2)^2*(c + d*x^2)^2) + ((A*b*(b*c*(3 - m) - a*d*(11 - m)) + a*B*(a*d*(7 - m) + b*c*(1 + m)))*(e*x)^(1 + m))/(8*a^2*(b*c - a*d)^2*e*(a + b*x^2)*(c + d*x^2)^2) + (d*(A*(b*c + a*d)*(b^2*c^2*(3 - m) + a^2*d^2*(3 - m) - 2*a*b*c*d*(9 - m)) + a*B*c*(2*a*b*c*d*(11 - m) + b^2*c^2*(1 + m) + a^2*d^2*(1 + m)))*(e*x)^(1 + m))/(8*a^2*c^2*(b*c - a*d)^4*e*(c + d*x^2)) + (b^2*(a*B*(b^2*c^2*(1 - m^2) - 2*a*b*c*d*(7 + 6*m - m^2) - a^2*d^2*(35 - 12*m + m^2)) + A*b*(a^2*d^2*(63 - 16*m + m^2) - 2*a*b*c*d*(9 - 10*m + m^2) + b^2*c^2*(3 - 4*m + m^2)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(8*a^3*(b*c - a*d)^5*e*(1 + m)) + (d^2*(b^2*c^2*(B*c*(5 - m) - A*d*(9 - m))*(7 - m) - a^2*d^2*(1 - m)*(A*d*(3 - m) + B*c*(1 + m)) + 2*a*b*c*d*(B*c*(7 + 6*m - m^2) + A*d*(9 - 10*m + m^2)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((d*x^2)/c)))/(8*c^3*(b*c - a*d)^5*e*(1 + m)), x, 8),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^2)^p (c+d x^2)^q (A+B x^2) with p symbolic
+
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+((e*x)^m*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^3*(A + B*x^2), -((1/(b^4*e*(3 + m + 2*p)*(5 + m + 2*p)*(7 + m + 2*p)*(9 + m + 2*p)))*((a^3*B*d^3*(105 + 71*m + 15*m^2 + m^3) - a^2*b*d^2*(5 + m)*(A*d*(3 + m)*(9 + m + 2*p) + 2*B*c*(30 + 13*m + m^2 + 2*p + 2*m*p)) + a*b^2*c*d*(2*A*d*(216 + m^3 + 84*p + 8*p^2 + 4*m^2*(5 + p) + m*(123 + 44*p + 4*p^2)) + B*c*(267 + m^3 + 40*p + 4*p^2 + m^2*(21 + 4*p) + m*(143 + 44*p + 4*p^2))) - b^3*c^2*(48*B*c + A*d*(513 + m^3 + 366*p + 92*p^2 + 8*p^3 + m^2*(23 + 6*p) + m*(183 + 92*p + 12*p^2))))*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^(1 + p))) + ((a^2*B*d^2*(35 + 12*m + m^2) + b^2*c*(24*B*c + A*d*(99 + m^2 + 40*p + 4*p^2 + 4*m*(5 + p))) - a*b*d*(A*d*(5 + m)*(9 + m + 2*p) + B*c*(65 + m^2 + 2*p + 2*m*(9 + p))))*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2))/(b^3*e*(5 + m + 2*p)*(7 + m + 2*p)*(9 + m + 2*p)) - ((a*B*d*(7 + m) - b*(6*B*c + A*d*(9 + m + 2*p)))*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2)^2)/(b^2*e*(7 + m + 2*p)*(9 + m + 2*p)) + (B*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2)^3)/(b*e*(9 + m + 2*p)) + (1/(b^4*e*(1 + m)*(3 + m + 2*p)*(5 + m + 2*p)*(7 + m + 2*p)*(9 + m + 2*p)))*(((a*(1 + m)*(a^3*B*d^3*(105 + 71*m + 15*m^2 + m^3) - a^2*b*d^2*(5 + m)*(A*d*(3 + m)*(9 + m + 2*p) + 2*B*c*(30 + 13*m + m^2 + 2*p + 2*m*p)) + a*b^2*c*d*(2*A*d*(216 + m^3 + 84*p + 8*p^2 + 4*m^2*(5 + p) + m*(123 + 44*p + 4*p^2)) + B*c*(267 + m^3 + 40*p + 4*p^2 + m^2*(21 + 4*p) + m*(143 + 44*p + 4*p^2))) - b^3*c^2*(48*B*c + A*d*(513 + m^3 + 366*p + 92*p^2 + 8*p^3 + m^2*(23 + 6*p) + m*(183 + 92*p + 12*p^2)))) - b*c*(3 + m + 2*p)*(2*b*c*(2 + p)*(2*b*c*(3 + p)*(a*B*(1 + m) - A*b*(9 + m + 2*p)) + (b*c - a*d)*(1 + m)*(a*B*(7 + m) - A*b*(9 + m + 2*p))) + (1 + m)*(b*c*(2*b*c*(3 + p)*(a*B*(1 + m) - A*b*(9 + m + 2*p)) + (b*c - a*d)*(1 + m)*(a*B*(7 + m) - A*b*(9 + m + 2*p))) - a*(2*b*c*d*(3 + p)*(a*B*(1 + m) - A*b*(9 + m + 2*p)) + d*(b*c - a*d)*(1 + m)*(a*B*(7 + m) - A*b*(9 + m + 2*p)) + 4*(b*c - a*d)*(a*B*d*(7 + m) - b*(6*B*c + A*d*(9 + m + 2*p)))))))*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(1 + (b*x^2)/a)^p), x, 6),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^2*(A + B*x^2), ((a^2*B*d^2*(15 + 8*m + m^2) + b^2*c*(8*B*c + A*d*(7 + m + 2*p)^2) - a*b*d*(A*d*(3 + m)*(7 + m + 2*p) + B*c*(27 + m^2 + 2*p + 2*m*(6 + p))))*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b^3*e*(3 + m + 2*p)*(5 + m + 2*p)*(7 + m + 2*p)) - ((a*B*d*(5 + m) - b*(4*B*c + A*d*(7 + m + 2*p)))*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2))/(b^2*e*(5 + m + 2*p)*(7 + m + 2*p)) + (B*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^(1 + p)*(c + d*x^2)^2)/(b*e*(7 + m + 2*p)) - (1/(b^3*e*(1 + m)*(3 + m + 2*p)*(5 + m + 2*p)*(7 + m + 2*p)))*(((b*c*(3 + m + 2*p)*(2*b*c*(2 + p)*(a*B*(1 + m) - A*b*(7 + m + 2*p)) + (b*c - a*d)*(1 + m)*(a*B*(5 + m) - A*b*(7 + m + 2*p))) - a*(1 + m)*(2*b*c*d*(2 + p)*(a*B*(1 + m) - A*b*(7 + m + 2*p)) + d*(b*c - a*d)*(1 + m)*(a*B*(5 + m) - A*b*(7 + m + 2*p)) + 2*(b*c - a*d)*(a*B*d*(5 + m) - b*(4*B*c + A*d*(7 + m + 2*p)))))*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(1 + (b*x^2)/a)^p), x, 5),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^1*(A + B*x^2), -(((a*B*d*(3 + m) - b*(2*A*d + B*c*(5 + m + 2*p)))*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b^2*e*(3 + m + 2*p)*(5 + m + 2*p))) + (d*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^(1 + p)*(A + B*x^2))/(b*e*(5 + m + 2*p)) - ((A*b*(3 + m + 2*p)*(a*d*(1 + m) - b*c*(5 + m + 2*p)) - a*(1 + m)*(a*B*d*(3 + m) - b*(2*A*d + B*c*(5 + m + 2*p))))*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(1 + (b*x^2)/a)^p/(b^2*e*(1 + m)*(3 + m + 2*p)*(5 + m + 2*p)), x, 4),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^p*(A + B*x^2)/(c + d*x^2)^1, -(((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/2, -p, 1, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(c*d*e*(1 + m)))) + (B*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(d*e*(1 + m))), x, 6),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^p*(A + B*x^2)/(c + d*x^2)^2, ((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*c*(b*c - a*d)*e*(c + d*x^2)) - ((a*d*(A*d*(1 - m) + B*c*(1 + m)) - b*c*(A*d*(1 - m - 2*p) + B*c*(1 + m + 2*p)))*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/2, -p, 1, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(2*c^2*d*(b*c - a*d)*e*(1 + m))) - (b*(B*c - A*d)*(1 + m + 2*p)*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(2*c*d*(b*c - a*d)*e*(1 + m))), x, 7),
+((e*x)^m*(a + b*x^2)^p*(A + B*x^2)/(c + d*x^2)^3, ((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(4*c*(b*c - a*d)*e*(c + d*x^2)^2) + ((a*d*(A*d*(3 - m) + B*c*(1 + m)) + b*c*(B*c*(1 - m - 2*p) - A*d*(5 - m - 2*p)))*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(8*c^2*(b*c - a*d)^2*e*(c + d*x^2)) + (1/(8*c^3*d*(b*c - a*d)^2*e*(1 + m)))*(((a^2*d^2*(1 - m)*(A*d*(3 - m) + B*c*(1 + m)) - 2*a*b*c*d*(B*c*(1 + m)*(1 - m - 2*p) + A*d*(1 - m)*(3 - m - 2*p)) + b^2*c^2*(1 - m - 2*p)*(A*d*(3 - m - 2*p) + B*c*(1 + m + 2*p)))*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/2, -p, 1, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a), -((d*x^2)/c)))/(1 + (b*x^2)/a)^p) - (b*(a*d*(A*d*(3 - m) + B*c*(1 + m)) + b*c*(B*c*(1 - m - 2*p) - A*d*(5 - m - 2*p)))*(1 + m + 2*p)*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(8*c^2*d*(b*c - a*d)^2*e*(1 + m))), x, 8),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^2)^(p/2) (c+d x^2)^q (A+B x^2)
+
+
+((sqrt(a + b*x^2)*(A + B*x^2)*(c + d*x^2))/x, A*c*sqrt(a + b*x^2) - ((a + b*x^2)^(3//2)*(2*a*B*d - 5*b*(B*c + A*d) - 3*b*B*d*x^2))/(15*b^2) - sqrt(a)*A*c*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)), x, 5),
+(((a + b*x^2)*(A + B*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/x, a*A*sqrt(c + d*x^2) - ((c + d*x^2)^(3//2)*(2*b*B*c - 5*(A*b + a*B)*d - 3*b*B*d*x^2))/(15*d^2) - a*A*sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)), x, 5),
+]
+# Total integrals translated: 51
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.8 P(x) (c x)^m (a+b x^2)^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.8 P(x) (c x)^m (a+b x^2)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..4d36d643
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.2 Quadratic/1.1.2.8 P(x) (c x)^m (a+b x^2)^p.jl	
@@ -0,0 +1,395 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (c x)^m Pq(x) (a+b x^2)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m P1(x) (a+b x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (A+B x) (a+b x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (A+B x) (a+b x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(A + B*x)*sqrt(a + b*x^2), (a^2*B*x*sqrt(a + b*x^2))/(16*b^2) + (A*x^2*(a + b*x^2)^(3//2))/(5*b) + (B*x^3*(a + b*x^2)^(3//2))/(6*b) - (a*(16*A + 15*B*x)*(a + b*x^2)^(3//2))/(120*b^2) + (a^3*B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*b^(5//2)), x, 6),
+(x^2*(A + B*x)*sqrt(a + b*x^2), -(a*A*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*b) + (B*x^2*(a + b*x^2)^(3//2))/(5*b) - ((8*a*B - 15*A*b*x)*(a + b*x^2)^(3//2))/(60*b^2) - (a^2*A*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*b^(3//2)), x, 5),
+(x^1*(A + B*x)*sqrt(a + b*x^2), -(a*B*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*b) + ((4*A + 3*B*x)*(a + b*x^2)^(3//2))/(12*b) - (a^2*B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*b^(3//2)), x, 4),
+(x^0*(A + B*x)*sqrt(a + b*x^2), (A*x*sqrt(a + b*x^2))/2 + (B*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b) + (a*A*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*sqrt(b)), x, 4),
+((A + B*x)*sqrt(a + b*x^2)/x^1, ((2*A + B*x)*sqrt(a + b*x^2))/2 + (a*B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*sqrt(b)) - sqrt(a)*A*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)), x, 7),
+((A + B*x)*sqrt(a + b*x^2)/x^2, -(((A - B*x)*sqrt(a + b*x^2))/x) + A*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)) - sqrt(a)*B*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)), x, 7),
+((A + B*x)*sqrt(a + b*x^2)/x^3, -((A + 2*B*x)*sqrt(a + b*x^2))/(2*x^2) + sqrt(b)*B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)) - (A*b*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)), x, 7),
+
+
+(x^3*(A + B*x)*(a + b*x^2)^(3//2), (3*a^3*B*x*sqrt(a + b*x^2))/(128*b^2) + (a^2*B*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(64*b^2) + (A*x^2*(a + b*x^2)^(5//2))/(7*b) + (B*x^3*(a + b*x^2)^(5//2))/(8*b) - (a*(32*A + 35*B*x)*(a + b*x^2)^(5//2))/(560*b^2) + (3*a^4*B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(128*b^(5//2)), x, 7),
+(x^2*(A + B*x)*(a + b*x^2)^(3//2), -(a^2*A*x*sqrt(a + b*x^2))/(16*b) - (a*A*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(24*b) + (B*x^2*(a + b*x^2)^(5//2))/(7*b) - ((12*a*B - 35*A*b*x)*(a + b*x^2)^(5//2))/(210*b^2) - (a^3*A*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*b^(3//2)), x, 6),
+(x^1*(A + B*x)*(a + b*x^2)^(3//2), -(a^2*B*x*sqrt(a + b*x^2))/(16*b) - (a*B*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(24*b) + ((6*A + 5*B*x)*(a + b*x^2)^(5//2))/(30*b) - (a^3*B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*b^(3//2)), x, 5),
+(x^0*(A + B*x)*(a + b*x^2)^(3//2), (3*a*A*x*sqrt(a + b*x^2))/8 + (A*x*(a + b*x^2)^(3//2))/4 + (B*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b) + (3*a^2*A*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*sqrt(b)), x, 5),
+((A + B*x)*(a + b*x^2)^(3//2)/x^1, (a*(8*A + 3*B*x)*sqrt(a + b*x^2))/8 + ((4*A + 3*B*x)*(a + b*x^2)^(3//2))/12 + (3*a^2*B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*sqrt(b)) - a^(3//2)*A*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)), x, 8),
+((A + B*x)*(a + b*x^2)^(3//2)/x^2, ((2*a*B + 3*A*b*x)*sqrt(a + b*x^2))/2 - ((3*A - B*x)*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*x) + (3*a*A*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/2 - a^(3//2)*B*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)), x, 8),
+((A + B*x)*(a + b*x^2)^(3//2)/x^3, (-3*(a*B - A*b*x)*sqrt(a + b*x^2))/(2*x) - ((A - B*x)*(a + b*x^2)^(3//2))/(2*x^2) + (3*a*sqrt(b)*B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/2 - (3*sqrt(a)*A*b*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/2, x, 8),
+
+
+(x^3*(A + B*x)*(a + b*x^2)^(5//2), (3*a^4*B*x*sqrt(a + b*x^2))/(256*b^2) + (a^3*B*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(128*b^2) + (a^2*B*x*(a + b*x^2)^(5//2))/(160*b^2) + (A*x^2*(a + b*x^2)^(7//2))/(9*b) + (B*x^3*(a + b*x^2)^(7//2))/(10*b) - (a*(160*A + 189*B*x)*(a + b*x^2)^(7//2))/(5040*b^2) + (3*a^5*B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(256*b^(5//2)), x, 8),
+(x^2*(A + B*x)*(a + b*x^2)^(5//2), (-5*a^3*A*x*sqrt(a + b*x^2))/(128*b) - (5*a^2*A*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(192*b) - (a*A*x*(a + b*x^2)^(5//2))/(48*b) + (B*x^2*(a + b*x^2)^(7//2))/(9*b) - ((16*a*B - 63*A*b*x)*(a + b*x^2)^(7//2))/(504*b^2) - (5*a^4*A*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(128*b^(3//2)), x, 7),
+(x^1*(A + B*x)*(a + b*x^2)^(5//2), (-5*a^3*B*x*sqrt(a + b*x^2))/(128*b) - (5*a^2*B*x*(a + b*x^2)^(3//2))/(192*b) - (a*B*x*(a + b*x^2)^(5//2))/(48*b) + ((8*A + 7*B*x)*(a + b*x^2)^(7//2))/(56*b) - (5*a^4*B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(128*b^(3//2)), x, 6),
+(x^0*(A + B*x)*(a + b*x^2)^(5//2), (5*a^2*A*x*sqrt(a + b*x^2))/16 + (5*a*A*x*(a + b*x^2)^(3//2))/24 + (A*x*(a + b*x^2)^(5//2))/6 + (B*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b) + (5*a^3*A*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*sqrt(b)), x, 6),
+((A + B*x)*(a + b*x^2)^(5//2)/x^1, (a^2*(16*A + 5*B*x)*sqrt(a + b*x^2))/16 + (a*(8*A + 5*B*x)*(a + b*x^2)^(3//2))/24 + ((6*A + 5*B*x)*(a + b*x^2)^(5//2))/30 + (5*a^3*B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*sqrt(b)) - a^(5//2)*A*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)), x, 9),
+((A + B*x)*(a + b*x^2)^(5//2)/x^2, (a*(8*a*B + 15*A*b*x)*sqrt(a + b*x^2))/8 + ((4*a*B + 15*A*b*x)*(a + b*x^2)^(3//2))/12 - ((5*A - B*x)*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*x) + (15*a^2*A*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/8 - a^(5//2)*B*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)), x, 9),
+((A + B*x)*(a + b*x^2)^(5//2)/x^3, (5*a*b*(4*A + 3*B*x)*sqrt(a + b*x^2))/8 - (5*(3*a*B - 2*A*b*x)*(a + b*x^2)^(3//2))/(12*x) - ((2*A - B*x)*(a + b*x^2)^(5//2))/(4*x^2) + (15*a^2*sqrt(b)*B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/8 - (5*a^(3//2)*A*b*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/2, x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^3*(A + B*x)/sqrt(a + b*x^2), (A*x^2*sqrt(a + b*x^2))/(3*b) + (B*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(4*b) - (a*(16*A + 9*B*x)*sqrt(a + b*x^2))/(24*b^2) + (3*a^2*B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*b^(5//2)), x, 5),
+(x^2*(A + B*x)/sqrt(a + b*x^2), (B*x^2*sqrt(a + b*x^2))/(3*b) - ((4*a*B - 3*A*b*x)*sqrt(a + b*x^2))/(6*b^2) - (a*A*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*b^(3//2)), x, 4),
+(x^1*(A + B*x)/sqrt(a + b*x^2), ((2*A + B*x)*sqrt(a + b*x^2))/(2*b) - (a*B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*b^(3//2)), x, 3),
+(x^0*(A + B*x)/sqrt(a + b*x^2), (B*sqrt(a + b*x^2))/b + (A*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/sqrt(b), x, 3),
+((A + B*x)/(x^1*sqrt(a + b*x^2)), (B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/sqrt(b) - (A*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 6),
+((A + B*x)/(x^2*sqrt(a + b*x^2)), -((A*sqrt(a + b*x^2))/(a*x)) - (B*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 4),
+((A + B*x)/(x^3*sqrt(a + b*x^2)), -(A*sqrt(a + b*x^2))/(2*a*x^2) - (B*sqrt(a + b*x^2))/(a*x) + (A*b*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)), x, 5),
+
+
+(x^3*(A + B*x)/(a + b*x^2)^(3//2), -((x^2*(A + B*x))/(b*sqrt(a + b*x^2))) + ((4*A + 3*B*x)*sqrt(a + b*x^2))/(2*b^2) - (3*a*B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*b^(5//2)), x, 4),
+(x^2*(A + B*x)/(a + b*x^2)^(3//2), -((x*(A + B*x))/(b*sqrt(a + b*x^2))) + (2*B*sqrt(a + b*x^2))/b^2 + (A*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/b^(3//2), x, 4),
+(x^1*(A + B*x)/(a + b*x^2)^(3//2), -((A + B*x)/(b*sqrt(a + b*x^2))) + (B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/b^(3//2), x, 3),
+(x^0*(A + B*x)/(a + b*x^2)^(3//2), -((a*B - A*b*x)/(a*b*sqrt(a + b*x^2))), x, 1),
+((A + B*x)/(x^1*(a + b*x^2)^(3//2)), (A + B*x)/(a*sqrt(a + b*x^2)) - (A*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 5),
+((A + B*x)/(x^2*(a + b*x^2)^(3//2)), (A + B*x)/(a*x*sqrt(a + b*x^2)) - (2*A*sqrt(a + b*x^2))/(a^2*x) - (B*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 5),
+((A + B*x)/(x^3*(a + b*x^2)^(3//2)), (A + B*x)/(a*x^2*sqrt(a + b*x^2)) - (3*A*sqrt(a + b*x^2))/(2*a^2*x^2) - (2*B*sqrt(a + b*x^2))/(a^2*x) + (3*A*b*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)), x, 6),
+
+
+(x^3*(A + B*x)/(a + b*x^2)^(5//2), -(x^2*(A + B*x))/(3*b*(a + b*x^2)^(3//2)) - (2*A + 3*B*x)/(3*b^2*sqrt(a + b*x^2)) + (B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/b^(5//2), x, 4),
+(x^2*(A + B*x)/(a + b*x^2)^(5//2), -(x^2*(a*B - A*b*x))/(3*a*b*(a + b*x^2)^(3//2)) - (2*B)/(3*b^2*sqrt(a + b*x^2)), x, 2),
+(x^1*(A + B*x)/(a + b*x^2)^(5//2), -(A + B*x)/(3*b*(a + b*x^2)^(3//2)) + (B*x)/(3*a*b*sqrt(a + b*x^2)), x, 2),
+(x^0*(A + B*x)/(a + b*x^2)^(5//2), -(a*B - A*b*x)/(3*a*b*(a + b*x^2)^(3//2)) + (2*A*x)/(3*a^2*sqrt(a + b*x^2)), x, 2),
+((A + B*x)/(x^1*(a + b*x^2)^(5//2)), (A + B*x)/(3*a*(a + b*x^2)^(3//2)) + (3*A + 2*B*x)/(3*a^2*sqrt(a + b*x^2)) - (A*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 6),
+((A + B*x)/(x^2*(a + b*x^2)^(5//2)), (A + B*x)/(3*a*x*(a + b*x^2)^(3//2)) + (4*A + 3*B*x)/(3*a^2*x*sqrt(a + b*x^2)) - (8*A*sqrt(a + b*x^2))/(3*a^3*x) - (B*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 6),
+((A + B*x)/(x^3*(a + b*x^2)^(5//2)), (A + B*x)/(3*a*x^2*(a + b*x^2)^(3//2)) + (5*A + 4*B*x)/(3*a^2*x^2*sqrt(a + b*x^2)) - (5*A*sqrt(a + b*x^2))/(2*a^3*x^2) - (8*B*sqrt(a + b*x^2))/(3*a^3*x) + (5*A*b*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(7//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (A+B x) (A^2-B^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x*(1 - x)/sqrt(1 - x^2), (-(1//2))*(2 - x)*sqrt(1 - x^2) - asin(x)/2, x, 2),
+((x - x^2)/sqrt(1 - x^2), (-(1//2))*(2 - x)*sqrt(1 - x^2) - asin(x)/2, x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m P2(x) (a+b x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (A+B x+C x^2) (a+b x^2)^p
+
+
+((3 + x^2)/(-3 + x^2), x - 2*sqrt(3)*atanh(x/sqrt(3)), x, 2),
+((-1 + x^2)/(1 + x^2), x - 2*atan(x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (A+B x+C x^2) (a+b x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^7*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2)^(9//2), -((x^7*(a*B - (A*b - a*C)*x))/(7*a*b*(a + b*x^2)^(7//2))) - (x^5*(7*a*B - (A*b - 8*a*C)*x))/(35*a*b^2*(a + b*x^2)^(5//2)) - (x^3*(35*a*B - 6*(A*b - 8*a*C)*x))/(105*a*b^3*(a + b*x^2)^(3//2)) - (x*(35*a*B - 8*(A*b - 8*a*C)*x))/(35*a*b^4*sqrt(a + b*x^2)) - (16*(A*b - 8*a*C)*sqrt(a + b*x^2))/(35*a*b^5) + (B*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/b^(9//2), x, 7),
+(x^6*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2)^(9//2), -((x^6*(a*B - (A*b - a*C)*x))/(7*a*b*(a + b*x^2)^(7//2))) - (x^4*(6*B + 7*C*x))/(35*b^2*(a + b*x^2)^(5//2)) - (x^2*(24*B + 35*C*x))/(105*b^3*(a + b*x^2)^(3//2)) - (16*B + 35*C*x)/(35*b^4*sqrt(a + b*x^2)) + (C*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/b^(9//2), x, 6),
+(x^5*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2)^(9//2), -((x^5*(a*B - (A*b - a*C)*x))/(7*a*b*(a + b*x^2)^(7//2))) - (x^4*(A*b + 6*a*C - 5*b*B*x))/(35*a*b^2*(a + b*x^2)^(5//2)) + (4*(A*b + 6*a*C))/(105*b^4*(a + b*x^2)^(3//2)) - (4*(A*b + 6*a*C))/(35*a*b^4*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+(x^4*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2)^(9//2), -((x^4*(a*B - (A*b - a*C)*x))/(7*a*b*(a + b*x^2)^(7//2))) - (x^2*(4*a*B + (2*A*b + 5*a*C)*x))/(35*a*b^2*(a + b*x^2)^(5//2)) - (8*a*B + 3*(2*A*b + 5*a*C)*x)/(105*a*b^3*(a + b*x^2)^(3//2)) + ((2*A*b + 5*a*C)*x)/(35*a^2*b^3*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+(x^3*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2)^(9//2), -((x^3*(a*B - (A*b - a*C)*x))/(7*a*b*(a + b*x^2)^(7//2))) - (x*(3*a*B + (3*A*b + 4*a*C)*x))/(35*a*b^2*(a + b*x^2)^(5//2)) - (2*(3*A*b + 4*a*C) - 3*b*B*x)/(105*a*b^3*(a + b*x^2)^(3//2)) + (2*B*x)/(35*a^2*b^2*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+(x^2*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2)^(9//2), -((x^2*(a*B - (A*b - a*C)*x))/(7*a*b*(a + b*x^2)^(7//2))) - (2*a*B + (4*A*b + 3*a*C)*x)/(35*a*b^2*(a + b*x^2)^(5//2)) + ((4*A*b + 3*a*C)*x)/(105*a^2*b^2*(a + b*x^2)^(3//2)) + (2*(4*A*b + 3*a*C)*x)/(105*a^3*b^2*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+(x^1*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2)^(9//2), -((x*(a*B - (A*b - a*C)*x))/(7*a*b*(a + b*x^2)^(7//2))) - (5*A*b + 2*a*C - b*B*x)/(35*a*b^2*(a + b*x^2)^(5//2)) + (4*B*x)/(105*a^2*b*(a + b*x^2)^(3//2)) + (8*B*x)/(105*a^3*b*sqrt(a + b*x^2)), x, 4),
+(x^0*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2)^(9//2), -((a*B - (A*b - a*C)*x)/(7*a*b*(a + b*x^2)^(7//2))) + ((6*A*b + a*C)*x)/(35*a^2*b*(a + b*x^2)^(5//2)) + (4*(6*A*b + a*C)*x)/(105*a^3*b*(a + b*x^2)^(3//2)) + (8*(6*A*b + a*C)*x)/(105*a^4*b*sqrt(a + b*x^2)), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2)/(x^1*(a + b*x^2)^(9//2)), (A*b - a*C + b*B*x)/(7*a*b*(a + b*x^2)^(7//2)) + (7*A + 6*B*x)/(35*a^2*(a + b*x^2)^(5//2)) + (35*A + 24*B*x)/(105*a^3*(a + b*x^2)^(3//2)) + (35*A + 16*B*x)/(35*a^4*sqrt(a + b*x^2)) - (A*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/a^(9//2), x, 8),
+((A + B*x + C*x^2)/(x^2*(a + b*x^2)^(9//2)), (B - ((A*b)/a - C)*x)/(7*a*(a + b*x^2)^(7//2)) + (7*B - ((13*A*b)/a - 6*C)*x)/(35*a^2*(a + b*x^2)^(5//2)) + (35*B - 3*((29*A*b)/a - 8*C)*x)/(105*a^3*(a + b*x^2)^(3//2)) + (35*B - ((93*A*b)/a - 16*C)*x)/(35*a^4*sqrt(a + b*x^2)) - (A*sqrt(a + b*x^2))/(a^5*x) - (B*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/a^(9//2), x, 8),
+((A + B*x + C*x^2)/(x^3*(a + b*x^2)^(9//2)), -((a*((A*b)/a - C) + b*B*x)/(7*a^2*(a + b*x^2)^(7//2))) - (7*(2*A*b - a*C) + 13*b*B*x)/(35*a^3*(a + b*x^2)^(5//2)) - (35*(3*A*b - a*C) + 87*b*B*x)/(105*a^4*(a + b*x^2)^(3//2)) - (35*(4*A*b - a*C) + 93*b*B*x)/(35*a^5*sqrt(a + b*x^2)) - (A*sqrt(a + b*x^2))/(2*a^5*x^2) - (B*sqrt(a + b*x^2))/(a^5*x) + ((9*A*b - 2*a*C)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(11//2)), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (A+B x+C x^2) (a+b x^2)^p when m symbolic
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((c*x)^m*(A + 0*x + 0*x^2)/(a + b*x^2), (A*(c*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*c*(1 + m)), x, 2),
+((c*x)^m*(A + B*x + 0*x^2)/(a + b*x^2), (A*(c*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*c*(1 + m)) + (B*(c*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*c^2*(2 + m)), x, 3),
+((c*x)^m*(A + 0*x + C*x^2)/(a + b*x^2), (C*(c*x)^(1 + m))/(b*c*(1 + m)) + ((A*b - a*C)*(c*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*b*c*(1 + m)), x, 2),
+((c*x)^m*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2), (C*(c*x)^(1 + m))/(b*c*(1 + m)) + ((A*b - a*C)*(c*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*b*c*(1 + m)) + (B*(c*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*c^2*(2 + m)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m P3(x) (a+b x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (A+B x+C x^2+D x^3) (a+b x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(a + b*x^2)*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3), (a*A*x^4)/4 + (a*B*x^5)/5 + ((A*b + a*C)*x^6)/6 + ((b*B + a*D)*x^7)/7 + (b*C*x^8)/8 + (b*D*x^9)/9, x, 2),
+(x^2*(a + b*x^2)*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3), (a*A*x^3)/3 + (a*B*x^4)/4 + ((A*b + a*C)*x^5)/5 + ((b*B + a*D)*x^6)/6 + (b*C*x^7)/7 + (b*D*x^8)/8, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^2)*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3), (a*A*x^2)/2 + (a*B*x^3)/3 + ((A*b + a*C)*x^4)/4 + ((b*B + a*D)*x^5)/5 + (b*C*x^6)/6 + (b*D*x^7)/7, x, 2),
+(x^0*(a + b*x^2)*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3), a*A*x + (a*B*x^2)/2 + ((A*b + a*C)*x^3)/3 + ((b*B + a*D)*x^4)/4 + (b*C*x^5)/5 + (b*D*x^6)/6, x, 2),
+((a + b*x^2)*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/x^1, a*B*x + ((A*b + a*C)*x^2)/2 + ((b*B + a*D)*x^3)/3 + (b*C*x^4)/4 + (b*D*x^5)/5 + a*A*log(x), x, 2),
+((a + b*x^2)*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/x^2, -((a*A)/x) + (A*b + a*C)*x + ((b*B + a*D)*x^2)/2 + (b*C*x^3)/3 + (b*D*x^4)/4 + a*B*log(x), x, 2),
+((a + b*x^2)*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/x^3, -(a*A)/(2*x^2) - (a*B)/x + (b*B + a*D)*x + (b*C*x^2)/2 + (b*D*x^3)/3 + (A*b + a*C)*log(x), x, 2),
+((a + b*x^2)*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/x^4, -(a*A)/(3*x^3) - (a*B)/(2*x^2) - (A*b + a*C)/x + b*C*x + (b*D*x^2)/2 + (b*B + a*D)*log(x), x, 2),
+
+
+(x^3*(a + b*x^2)^2*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3), (a^2*A*x^4)/4 + (a^2*B*x^5)/5 + (a*(2*A*b + a*C)*x^6)/6 + (a*(2*b*B + a*D)*x^7)/7 + (b*(A*b + 2*a*C)*x^8)/8 + (b*(b*B + 2*a*D)*x^9)/9 + (b^2*C*x^10)/10 + (b^2*D*x^11)/11, x, 2),
+(x^2*(a + b*x^2)^2*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3), (a^2*A*x^3)/3 + (a^2*B*x^4)/4 + (a*(2*A*b + a*C)*x^5)/5 + (a*(2*b*B + a*D)*x^6)/6 + (b*(A*b + 2*a*C)*x^7)/7 + (b*(b*B + 2*a*D)*x^8)/8 + (b^2*C*x^9)/9 + (b^2*D*x^10)/10, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^2)^2*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3), (a^2*B*x^3)/3 + (a^2*C*x^4)/4 + (a*(2*b*B + a*D)*x^5)/5 + (a*b*C*x^6)/3 + (b*(b*B + 2*a*D)*x^7)/7 + (b^2*C*x^8)/8 + (b^2*D*x^9)/9 + (A*(a + b*x^2)^3)/(6*b), x, 3),
+(x^0*(a + b*x^2)^2*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3), a^2*A*x + (a*(2*A*b + a*C)*x^3)/3 + (a^2*D*x^4)/4 + (b*(A*b + 2*a*C)*x^5)/5 + (a*b*D*x^6)/3 + (b^2*C*x^7)/7 + (b^2*D*x^8)/8 + (B*(a + b*x^2)^3)/(6*b), x, 3),
+((a + b*x^2)^2*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/x^1, a^2*B*x + a*A*b*x^2 + (a*(2*b*B + a*D)*x^3)/3 + (A*b^2*x^4)/4 + (b*(b*B + 2*a*D)*x^5)/5 + (b^2*D*x^7)/7 + (C*(a + b*x^2)^3)/(6*b) + a^2*A*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^2*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/x^2, -((a^2*A)/x) + a*(2*A*b + a*C)*x + a*b*B*x^2 + (b*(A*b + 2*a*C)*x^3)/3 + (b^2*B*x^4)/4 + (b^2*C*x^5)/5 + (D*(a + b*x^2)^3)/(6*b) + a^2*B*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^2*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/x^3, -(a^2*A)/(2*x^2) - (a^2*B)/x + a*(2*b*B + a*D)*x + (b*(A*b + 2*a*C)*x^2)/2 + (b*(b*B + 2*a*D)*x^3)/3 + (b^2*C*x^4)/4 + (b^2*D*x^5)/5 + a*(2*A*b + a*C)*log(x), x, 2),
+((a + b*x^2)^2*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/x^4, -(a^2*A)/(3*x^3) - (a^2*B)/(2*x^2) - (a*(2*A*b + a*C))/x + b*(A*b + 2*a*C)*x + (b*(b*B + 2*a*D)*x^2)/2 + (b^2*C*x^3)/3 + (b^2*D*x^4)/4 + a*(2*b*B + a*D)*log(x), x, 2),
+
+
+(x^3*(a + b*x^2)^3*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3), (a^3*A*x^4)/4 + (a^3*B*x^5)/5 + (a^2*(3*A*b + a*C)*x^6)/6 + (a^2*(3*b*B + a*D)*x^7)/7 + (3*a*b*(A*b + a*C)*x^8)/8 + (a*b*(b*B + a*D)*x^9)/3 + (b^2*(A*b + 3*a*C)*x^10)/10 + (b^2*(b*B + 3*a*D)*x^11)/11 + (b^3*C*x^12)/12 + (b^3*D*x^13)/13, x, 2),
+(x^2*(a + b*x^2)^3*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3), (a^3*A*x^3)/3 + (a^3*B*x^4)/4 + (a^2*(3*A*b + a*C)*x^5)/5 + (a^2*(3*b*B + a*D)*x^6)/6 + (3*a*b*(A*b + a*C)*x^7)/7 + (3*a*b*(b*B + a*D)*x^8)/8 + (b^2*(A*b + 3*a*C)*x^9)/9 + (b^2*(b*B + 3*a*D)*x^10)/10 + (b^3*C*x^11)/11 + (b^3*D*x^12)/12, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^2)^3*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3), (a^3*B*x^3)/3 + (a^3*C*x^4)/4 + (a^2*(3*b*B + a*D)*x^5)/5 + (a^2*b*C*x^6)/2 + (3*a*b*(b*B + a*D)*x^7)/7 + (3*a*b^2*C*x^8)/8 + (b^2*(b*B + 3*a*D)*x^9)/9 + (b^3*C*x^10)/10 + (b^3*D*x^11)/11 + (A*(a + b*x^2)^4)/(8*b), x, 3),
+(x^0*(a + b*x^2)^3*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3), a^3*A*x + (a^2*(3*A*b + a*C)*x^3)/3 + (a^3*D*x^4)/4 + (3*a*b*(A*b + a*C)*x^5)/5 + (a^2*b*D*x^6)/2 + (b^2*(A*b + 3*a*C)*x^7)/7 + (3*a*b^2*D*x^8)/8 + (b^3*C*x^9)/9 + (b^3*D*x^10)/10 + (B*(a + b*x^2)^4)/(8*b), x, 3),
+((a + b*x^2)^3*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/x^1, a^3*B*x + (3*a^2*A*b*x^2)/2 + (a^2*(3*b*B + a*D)*x^3)/3 + (3*a*A*b^2*x^4)/4 + (3*a*b*(b*B + a*D)*x^5)/5 + (A*b^3*x^6)/6 + (b^2*(b*B + 3*a*D)*x^7)/7 + (b^3*D*x^9)/9 + (C*(a + b*x^2)^4)/(8*b) + a^3*A*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^3*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/x^2, -((a^3*A)/x) + a^2*(3*A*b + a*C)*x + (3*a^2*b*B*x^2)/2 + a*b*(A*b + a*C)*x^3 + (3*a*b^2*B*x^4)/4 + (b^2*(A*b + 3*a*C)*x^5)/5 + (b^3*B*x^6)/6 + (b^3*C*x^7)/7 + (D*(a + b*x^2)^4)/(8*b) + a^3*B*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2)^3*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/x^3, -(a^3*A)/(2*x^2) - (a^3*B)/x + a^2*(3*b*B + a*D)*x + (3*a*b*(A*b + a*C)*x^2)/2 + a*b*(b*B + a*D)*x^3 + (b^2*(A*b + 3*a*C)*x^4)/4 + (b^2*(b*B + 3*a*D)*x^5)/5 + (b^3*C*x^6)/6 + (b^3*D*x^7)/7 + a^2*(3*A*b + a*C)*log(x), x, 2),
+((a + b*x^2)^3*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/x^4, -(a^3*A)/(3*x^3) - (a^3*B)/(2*x^2) - (a^2*(3*A*b + a*C))/x + 3*a*b*(A*b + a*C)*x + (3*a*b*(b*B + a*D)*x^2)/2 + (b^2*(A*b + 3*a*C)*x^3)/3 + (b^2*(b*B + 3*a*D)*x^4)/4 + (b^3*C*x^5)/5 + (b^3*D*x^6)/6 + a^2*(3*b*B + a*D)*log(x), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x^2), -((a*(A*b - a*C)*x)/b^3) - (a*(b*B - a*D)*x^2)/(2*b^3) + ((A*b - a*C)*x^3)/(3*b^2) + ((b*B - a*D)*x^4)/(4*b^2) + (C*x^5)/(5*b) + (D*x^6)/(6*b) + (a^(3//2)*(A*b - a*C)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(7//2) + (a^2*(b*B - a*D)*log(a + b*x^2))/(2*b^4), x, 5),
+(x^3*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x^2), -((a*(b*B - a*D)*x)/b^3) + ((A*b - a*C)*x^2)/(2*b^2) + ((b*B - a*D)*x^3)/(3*b^2) + (C*x^4)/(4*b) + (D*x^5)/(5*b) + (a^(3//2)*(b*B - a*D)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(7//2) - (a*(A*b - a*C)*log(a + b*x^2))/(2*b^3), x, 5),
+(x^2*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x^2), ((A*b - a*C)*x)/b^2 + ((b*B - a*D)*x^2)/(2*b^2) + (C*x^3)/(3*b) + (D*x^4)/(4*b) - (sqrt(a)*(A*b - a*C)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(5//2) - (a*(b*B - a*D)*log(a + b*x^2))/(2*b^3), x, 5),
+(x^1*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x^2), ((b*B - a*D)*x)/b^2 + (C*x^2)/(2*b) + (D*x^3)/(3*b) - (sqrt(a)*(b*B - a*D)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(5//2) + ((A*b - a*C)*log(a + b*x^2))/(2*b^2), x, 5),
+(x^0*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x^2), (C*x)/b + (D*x^2)/(2*b) + ((A*b - a*C)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*b^(3//2)) + ((b*B - a*D)*log(a + b*x^2))/(2*b^2), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(x^1*(a + b*x^2)), (D*x)/b + ((b*B - a*D)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*b^(3//2)) + (A*log(x))/a - ((A*b - a*C)*log(a + b*x^2))/(2*a*b), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(x^2*(a + b*x^2)), -(A/(a*x)) - ((A*b - a*C)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*sqrt(b)) + (B*log(x))/a - ((b*B - a*D)*log(a + b*x^2))/(2*a*b), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(x^3*(a + b*x^2)), -A/(2*a*x^2) - B/(a*x) - ((b*B - a*D)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*sqrt(b)) - ((A*b - a*C)*log(x))/a^2 + ((A*b - a*C)*log(a + b*x^2))/(2*a^2), x, 5),
+
+
+(x^4*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x^2)^2, ((3*A*b - 5*a*C)*x)/(2*b^3) + ((2*b*B - 3*a*D)*x^2)/(2*b^3) - ((3*A*b - 5*a*C)*x^3)/(6*a*b^2) + (D*x^4)/(4*b^2) - (x^4*(a*(B - (a*D)/b) - (A*b - a*C)*x))/(2*a*b*(a + b*x^2)) - (sqrt(a)*(3*A*b - 5*a*C)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(7//2)) - (a*(2*b*B - 3*a*D)*log(a + b*x^2))/(2*b^4), x, 6),
+(x^3*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x^2)^2, ((3*b*B - 5*a*D)*x)/(2*b^3) - ((A*b - 2*a*C)*x^2)/(2*a*b^2) + (D*x^3)/(3*b^2) - (x^3*(a*(B - (a*D)/b) - (A*b - a*C)*x))/(2*a*b*(a + b*x^2)) - (sqrt(a)*(3*b*B - 5*a*D)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(7//2)) + ((A*b - 2*a*C)*log(a + b*x^2))/(2*b^3), x, 6),
+(x^2*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x^2)^2, -((A*b - 3*a*C)*x)/(2*a*b^2) + (D*x^2)/(2*b^2) - (x^2*(a*(B - (a*D)/b) - (A*b - a*C)*x))/(2*a*b*(a + b*x^2)) + ((A*b - 3*a*C)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*b^(5//2)) + ((b*B - 2*a*D)*log(a + b*x^2))/(2*b^3), x, 6),
+(x^1*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x^2)^2, (D*x)/b^2 - (x*(a*(B - (a*D)/b) - (A*b - a*C)*x))/(2*a*b*(a + b*x^2)) + ((b*B - 3*a*D)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*b^(5//2)) + (C*log(a + b*x^2))/(2*b^2), x, 6),
+(x^0*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x^2)^2, -(a*(B - (a*D)/b) - (A*b - a*C)*x)/(2*a*b*(a + b*x^2)) + ((A*b + a*C)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*b^(3//2)) + (D*log(a + b*x^2))/(2*b^2), x, 4),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(x^1*(a + b*x^2)^2), (A*b - a*C + (b*B - a*D)*x)/(2*a*b*(a + b*x^2)) + ((b*B + a*D)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*b^(3//2)) + (A*log(x))/a^2 - (A*log(a + b*x^2))/(2*a^2), x, 6),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(x^2*(a + b*x^2)^2), -(A/(a^2*x)) + (b*B - a*D - b*((A*b)/a - C)*x)/(2*a*b*(a + b*x^2)) - ((3*A*b - a*C)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)*sqrt(b)) + (B*log(x))/a^2 - (B*log(a + b*x^2))/(2*a^2), x, 6),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(x^3*(a + b*x^2)^2), -A/(2*a^2*x^2) - B/(a^2*x) - ((A*b)/a - C + ((b*B)/a - D)*x)/(2*a*(a + b*x^2)) - ((3*b*B - a*D)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)*sqrt(b)) - ((2*A*b - a*C)*log(x))/a^3 + ((2*A*b - a*C)*log(a + b*x^2))/(2*a^3), x, 6),
+
+
+(x^4*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x^2)^3, (-3*(A*b - 5*a*C)*x)/(8*a*b^3) - ((b*B - 3*a*D)*x^2)/(2*a*b^3) - (x^4*(a*(B - (a*D)/b) - (A*b - a*C)*x))/(4*a*b*(a + b*x^2)^2) + (x^3*(A*b - 5*a*C + 4*(b*B - 2*a*D)*x))/(8*a*b^2*(a + b*x^2)) + (3*(A*b - 5*a*C)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*sqrt(a)*b^(7//2)) + ((b*B - 3*a*D)*log(a + b*x^2))/(2*b^4), x, 7),
+(x^3*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x^2)^3, (-3*(b*B - 5*a*D)*x)/(8*a*b^3) - (x^3*(a*(B - (a*D)/b) - (A*b - a*C)*x))/(4*a*b*(a + b*x^2)^2) - (x^2*(4*a*C - (3*b*B - 7*a*D)*x))/(8*a*b^2*(a + b*x^2)) + (3*(b*B - 5*a*D)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*sqrt(a)*b^(7//2)) + (C*log(a + b*x^2))/(2*b^3), x, 6),
+(x^2*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x^2)^3, -(x^2*(a*(B - (a*D)/b) - (A*b - a*C)*x))/(4*a*b*(a + b*x^2)^2) - (x*(A*b + 3*a*C - 2*(b*B - 3*a*D)*x))/(8*a*b^2*(a + b*x^2)) + ((A*b + 3*a*C)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(3//2)*b^(5//2)) + (D*log(a + b*x^2))/(2*b^3), x, 5),
+(x^1*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x^2)^3, -(x*(a*(B - (a*D)/b) - (A*b - a*C)*x))/(4*a*b*(a + b*x^2)^2) - (2*(A*b + a*C) - (b*B - 5*a*D)*x)/(8*a*b^2*(a + b*x^2)) + ((b*B + 3*a*D)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(3//2)*b^(5//2)), x, 4),
+(x^0*(A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x^2)^3, -(a*(B - (a*D)/b) - (A*b - a*C)*x)/(4*a*b*(a + b*x^2)^2) - (4*a^2*D - b*(3*A*b + a*C)*x)/(8*a^2*b^2*(a + b*x^2)) + ((3*A*b + a*C)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*b^(3//2)), x, 3),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(x^1*(a + b*x^2)^3), (A*b - a*C + (b*B - a*D)*x)/(4*a*b*(a + b*x^2)^2) + (4*A*b + (3*b*B + a*D)*x)/(8*a^2*b*(a + b*x^2)) + ((3*b*B + a*D)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*b^(3//2)) + (A*log(x))/a^3 - (A*log(a + b*x^2))/(2*a^3), x, 7),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(x^2*(a + b*x^2)^3), -(A/(a^3*x)) + (b*B - a*D - b*((A*b)/a - C)*x)/(4*a*b*(a + b*x^2)^2) + (4*B - ((7*A*b)/a - 3*C)*x)/(8*a^2*(a + b*x^2)) - (3*(5*A*b - a*C)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(7//2)*sqrt(b)) + (B*log(x))/a^3 - (B*log(a + b*x^2))/(2*a^3), x, 7),
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(x^3*(a + b*x^2)^3), -A/(2*a^3*x^2) - B/(a^3*x) - ((A*b)/a - C + ((b*B)/a - D)*x)/(4*a*(a + b*x^2)^2) - (4*(2*A*b - a*C) + (7*b*B - 3*a*D)*x)/(8*a^3*(a + b*x^2)) - (3*(5*b*B - a*D)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(7//2)*sqrt(b)) - ((3*A*b - a*C)*log(x))/a^4 + ((3*A*b - a*C)*log(a + b*x^2))/(2*a^4), x, 7),
+
+
+((-x + 4*x^3)/(5 + x^2)^2, 21/(2*(5 + x^2)) + 2*log(5 + x^2), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m P3(x^2) (a+b x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((-x + x^3)/sqrt(-2 + x^2), sqrt(-2 + x^2) + (1//3)*(-2 + x^2)^(3//2), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m P4(x) (a+b x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m P4(x) (a+b x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((-x^2 + 2*x^4)/(1 + 2*x^2), -x + x^3//3 + atan(sqrt(2)*x)/sqrt(2), x, 4),
+((x^3 + x^4)/(1 + x^2), -x + x^2//2 + x^3//3 + atan(x) - (1//2)*log(1 + x^2), x, 6),
+
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (c x)^m Pq(x^2) (a+b x^2)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m P3(x^2) (a+b x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m P3(x^2) (a+b x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^6*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2), (a^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/b^6 - (a*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^3)/(3*b^5) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^5)/(5*b^4) + ((b^2*d - a*b*e + a^2*f)*x^7)/(7*b^3) + ((b*e - a*f)*x^9)/(9*b^2) + (f*x^11)/(11*b) - (a^(5//2)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(13//2), x, 3),
+(x^4*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2), -((a*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/b^5) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^3)/(3*b^4) + ((b^2*d - a*b*e + a^2*f)*x^5)/(5*b^3) + ((b*e - a*f)*x^7)/(7*b^2) + (f*x^9)/(9*b) + (a^(3//2)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(11//2), x, 3),
+(x^2*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2), ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/b^4 + ((b^2*d - a*b*e + a^2*f)*x^3)/(3*b^3) + ((b*e - a*f)*x^5)/(5*b^2) + (f*x^7)/(7*b) - (sqrt(a)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(9//2), x, 3),
+(x^0*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2), ((b^2*d - a*b*e + a^2*f)*x)/b^3 + ((b*e - a*f)*x^3)/(3*b^2) + (f*x^5)/(5*b) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*b^(7//2)), x, 3),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)/x^2, -(c/(a*x)) + ((b*e - a*f)*x)/b^2 + (f*x^3)/(3*b) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*b^(5//2)), x, 3),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)/x^4, -(c/(3*a*x^3)) + (b*c - a*d)/(a^2*x) + (f*x)/b + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(5//2)*b^(3//2)), x, 3),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)/x^6, -(c/(5*a*x^5)) + (b*c - a*d)/(3*a^2*x^3) - (b^2*c - a*b*d + a^2*e)/(a^3*x) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(7//2)*sqrt(b)), x, 3),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)/x^8, -(c/(7*a*x^7)) + (b*c - a*d)/(5*a^2*x^5) - (b^2*c - a*b*d + a^2*e)/(3*a^3*x^3) + (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(a^4*x) + (sqrt(b)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/a^(9//2), x, 3),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)/x^10, -(c/(9*a*x^9)) + (b*c - a*d)/(7*a^2*x^7) - (b^2*c - a*b*d + a^2*e)/(5*a^3*x^5) + (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(3*a^4*x^3) - (b*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f))/(a^5*x) - (b^(3//2)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/a^(11//2), x, 3),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)/x^12, -(c/(11*a*x^11)) + (b*c - a*d)/(9*a^2*x^9) - (b^2*c - a*b*d + a^2*e)/(7*a^3*x^7) + (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(5*a^4*x^5) - (b*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f))/(3*a^5*x^3) + (b^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f))/(a^6*x) + (b^(5//2)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/a^(13//2), x, 3),
+
+
+(x^6*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^2, -((a*(5*b^3*c - 7*a*b^2*d + 9*a^2*b*e - 11*a^3*f)*x)/(2*b^6)) + ((5*b^3*c - 7*a*b^2*d + 9*a^2*b*e - 11*a^3*f)*x^3)/(6*b^5) - ((5*b^3*c - 7*a*b^2*d + 9*a^2*b*e - 11*a^3*f)*x^5)/(10*a*b^4) + ((b*e - 2*a*f)*x^7)/(7*b^3) + (f*x^9)/(9*b^2) + ((c - (a*(b^2*d - a*b*e + a^2*f))/b^3)*x^7)/(2*a*(a + b*x^2)) + (a^(3//2)*(5*b^3*c - 7*a*b^2*d + 9*a^2*b*e - 11*a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(13//2)), x, 5),
+(x^4*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^2, ((3*b^3*c - 5*a*b^2*d + 7*a^2*b*e - 9*a^3*f)*x)/(2*b^5) - ((3*b^3*c - 5*a*b^2*d + 7*a^2*b*e - 9*a^3*f)*x^3)/(6*a*b^4) + ((b*e - 2*a*f)*x^5)/(5*b^3) + (f*x^7)/(7*b^2) + ((c - (a*(b^2*d - a*b*e + a^2*f))/b^3)*x^5)/(2*a*(a + b*x^2)) - (sqrt(a)*(3*b^3*c - 5*a*b^2*d + 7*a^2*b*e - 9*a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(11//2)), x, 5),
+(x^2*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^2, -(((b^3*c - 3*a*b^2*d + 5*a^2*b*e - 7*a^3*f)*x)/(2*a*b^4)) + ((b*e - 2*a*f)*x^3)/(3*b^3) + (f*x^5)/(5*b^2) + ((c - (a*(b^2*d - a*b*e + a^2*f))/b^3)*x^3)/(2*a*(a + b*x^2)) + ((b^3*c - 3*a*b^2*d + 5*a^2*b*e - 7*a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*b^(9//2)), x, 5),
+(x^0*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^2, ((b*e - 2*a*f)*x)/b^3 + (f*x^3)/(3*b^2) + ((c - (a*(b^2*d - a*b*e + a^2*f))/b^3)*x)/(2*a*(a + b*x^2)) + ((b^3*c + a*b^2*d - 3*a^2*b*e + 5*a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*b^(7//2)), x, 4),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^2/x^2, -(c/(a^2*x)) + (f*x)/b^2 - (((b*c)/a - d + (a*e)/b - (a^2*f)/b^2)*x)/(2*a*(a + b*x^2)) - ((3*b^3*c - a*b^2*d - a^2*b*e + 3*a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)*b^(5//2)), x, 4),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^2/x^4, -(c/(3*a^2*x^3)) + (2*b*c - a*d)/(a^3*x) + (((b^2*c)/a^2 - (b*d)/a + e - (a*f)/b)*x)/(2*a*(a + b*x^2)) + ((5*b^3*c - 3*a*b^2*d + a^2*b*e + a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(7//2)*b^(3//2)), x, 4),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^2/x^6, -(c/(5*a^2*x^5)) + (2*b*c - a*d)/(3*a^3*x^3) - (3*b^2*c - 2*a*b*d + a^2*e)/(a^4*x) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(2*a^4*(a + b*x^2)) - ((7*b^3*c - 5*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(9//2)*sqrt(b)), x, 4),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^2/x^8, -(c/(7*a^2*x^7)) + (2*b*c - a*d)/(5*a^3*x^5) - (3*b^2*c - 2*a*b*d + a^2*e)/(3*a^4*x^3) + (4*b^3*c - 3*a*b^2*d + 2*a^2*b*e - a^3*f)/(a^5*x) + (b*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(2*a^5*(a + b*x^2)) + (sqrt(b)*(9*b^3*c - 7*a*b^2*d + 5*a^2*b*e - 3*a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(11//2)), x, 4),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^2/x^10, -(c/(9*a^2*x^9)) + (2*b*c - a*d)/(7*a^3*x^7) - (3*b^2*c - 2*a*b*d + a^2*e)/(5*a^4*x^5) + (4*b^3*c - 3*a*b^2*d + 2*a^2*b*e - a^3*f)/(3*a^5*x^3) - (b*(5*b^3*c - 4*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - 2*a^3*f))/(a^6*x) - (b^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(2*a^6*(a + b*x^2)) - (b^(3//2)*(11*b^3*c - 9*a*b^2*d + 7*a^2*b*e - 5*a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(13//2)), x, 4),
+
+
+(x^8*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^3, -((a*(15*b^3*c - 27*a*b^2*d + 43*a^2*b*e - 63*a^3*f)*x)/(4*b^7)) + ((5*b^3*c - 9*a*b^2*d + 15*a^2*b*e - 23*a^3*f)*x^3)/(6*b^6) - ((5*b^3*c - 9*a*b^2*d + 17*a^2*b*e - 29*a^3*f)*x^5)/(20*a*b^5) + ((b*e - 3*a*f)*x^7)/(7*b^4) + (f*x^9)/(9*b^3) + ((c - (a*(b^2*d - a*b*e + a^2*f))/b^3)*x^9)/(4*a*(a + b*x^2)^2) - (a^2*(5*b^3*c - 9*a*b^2*d + 13*a^2*b*e - 17*a^3*f)*x)/(8*b^7*(a + b*x^2)) + (a^(3//2)*(35*b^3*c - 63*a*b^2*d + 99*a^2*b*e - 143*a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*b^(15//2)), x, 6),
+(x^6*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^3, ((3*b^3*c - 7*a*b^2*d + 13*a^2*b*e - 21*a^3*f)*x)/(2*b^6) - ((3*b^3*c - 7*a*b^2*d + 15*a^2*b*e - 27*a^3*f)*x^3)/(12*a*b^5) + ((b*e - 3*a*f)*x^5)/(5*b^4) + (f*x^7)/(7*b^3) + ((c - (a*(b^2*d - a*b*e + a^2*f))/b^3)*x^7)/(4*a*(a + b*x^2)^2) + (a*(3*b^3*c - 7*a*b^2*d + 11*a^2*b*e - 15*a^3*f)*x)/(8*b^6*(a + b*x^2)) - (sqrt(a)*(15*b^3*c - 35*a*b^2*d + 63*a^2*b*e - 99*a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*b^(13//2)), x, 6),
+(x^4*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^3, -(((b^3*c - 5*a*b^2*d + 13*a^2*b*e - 25*a^3*f)*x)/(4*a*b^5)) + ((b*e - 3*a*f)*x^3)/(3*b^4) + (f*x^5)/(5*b^3) + ((c - (a*(b^2*d - a*b*e + a^2*f))/b^3)*x^5)/(4*a*(a + b*x^2)^2) - ((b^3*c - 5*a*b^2*d + 9*a^2*b*e - 13*a^3*f)*x)/(8*b^5*(a + b*x^2)) + ((3*b^3*c - 15*a*b^2*d + 35*a^2*b*e - 63*a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*sqrt(a)*b^(11//2)), x, 6),
+(x^2*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^3, ((b*e - 3*a*f)*x)/b^4 + (f*x^3)/(3*b^3) + ((c - (a*(b^2*d - a*b*e + a^2*f))/b^3)*x^3)/(4*a*(a + b*x^2)^2) - ((b^3*c + 3*a*b^2*d - 7*a^2*b*e + 11*a^3*f)*x)/(8*a*b^4*(a + b*x^2)) + ((b^3*c + 3*a*b^2*d - 15*a^2*b*e + 35*a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(3//2)*b^(9//2)), x, 6),
+(x^0*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^3, (f*x)/b^3 + ((c - (a*(b^2*d - a*b*e + a^2*f))/b^3)*x)/(4*a*(a + b*x^2)^2) + ((3*b^3*c + a*b^2*d - 5*a^2*b*e + 9*a^3*f)*x)/(8*a^2*b^3*(a + b*x^2)) + ((3*b^3*c + a*b^2*d + 3*a^2*b*e - 15*a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*b^(7//2)), x, 4),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^3/x^2, -(c/(a^3*x)) - (((b*c)/a - d + (a*e)/b - (a^2*f)/b^2)*x)/(4*a*(a + b*x^2)^2) - ((7*b^3*c - 3*a*b^2*d - a^2*b*e + 5*a^3*f)*x)/(8*a^3*b^2*(a + b*x^2)) - ((15*b^3*c - 3*a*b^2*d - a^2*b*e - 3*a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(7//2)*b^(5//2)), x, 4),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^3/x^4, -(c/(3*a^3*x^3)) + (3*b*c - a*d)/(a^4*x) + (((b^2*c)/a^2 - (b*d)/a + e - (a*f)/b)*x)/(4*a*(a + b*x^2)^2) + ((11*b^3*c - 7*a*b^2*d + 3*a^2*b*e + a^3*f)*x)/(8*a^4*b*(a + b*x^2)) + ((35*b^3*c - 15*a*b^2*d + 3*a^2*b*e + a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(9//2)*b^(3//2)), x, 5),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^3/x^6, -(c/(5*a^3*x^5)) + (3*b*c - a*d)/(3*a^4*x^3) - (6*b^2*c - 3*a*b*d + a^2*e)/(a^5*x) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(4*a^4*(a + b*x^2)^2) - ((15*b^3*c - 11*a*b^2*d + 7*a^2*b*e - 3*a^3*f)*x)/(8*a^5*(a + b*x^2)) - ((63*b^3*c - 35*a*b^2*d + 15*a^2*b*e - 3*a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(11//2)*sqrt(b)), x, 5),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^3/x^8, -(c/(7*a^3*x^7)) + (3*b*c - a*d)/(5*a^4*x^5) - (6*b^2*c - 3*a*b*d + a^2*e)/(3*a^5*x^3) + (10*b^3*c - 6*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - a^3*f)/(a^6*x) + (b*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(4*a^5*(a + b*x^2)^2) + (b*(19*b^3*c - 15*a*b^2*d + 11*a^2*b*e - 7*a^3*f)*x)/(8*a^6*(a + b*x^2)) + (sqrt(b)*(99*b^3*c - 63*a*b^2*d + 35*a^2*b*e - 15*a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(13//2)), x, 5),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(a + b*x^2)^3/x^10, -(c/(9*a^3*x^9)) + (3*b*c - a*d)/(7*a^4*x^7) - (6*b^2*c - 3*a*b*d + a^2*e)/(5*a^5*x^5) + (10*b^3*c - 6*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - a^3*f)/(3*a^6*x^3) - (b*(15*b^3*c - 10*a*b^2*d + 6*a^2*b*e - 3*a^3*f))/(a^7*x) - (b^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(4*a^6*(a + b*x^2)^2) - (b^2*(23*b^3*c - 19*a*b^2*d + 15*a^2*b*e - 11*a^3*f)*x)/(8*a^7*(a + b*x^2)) - (b^(3//2)*(143*b^3*c - 99*a*b^2*d + 63*a^2*b*e - 35*a^3*f)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(15//2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m P3(x^2) (a+b x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/sqrt(a + b*x^2), (a^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*sqrt(a + b*x^2))/b^6 - (a*(2*b^3*c - 3*a*b^2*d + 4*a^2*b*e - 5*a^3*f)*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^6) + ((b^3*c - 3*a*b^2*d + 6*a^2*b*e - 10*a^3*f)*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^6) + ((b^2*d - 4*a*b*e + 10*a^2*f)*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^6) + ((b*e - 5*a*f)*(a + b*x^2)^(9//2))/(9*b^6) + (f*(a + b*x^2)^(11//2))/(11*b^6), x, 3),
+(x^3*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/sqrt(a + b*x^2), -((a*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*sqrt(a + b*x^2))/b^5) + ((b^3*c - 2*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - 4*a^3*f)*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^5) + ((b^2*d - 3*a*b*e + 6*a^2*f)*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^5) + ((b*e - 4*a*f)*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^5) + (f*(a + b*x^2)^(9//2))/(9*b^5), x, 3),
+(x^1*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/sqrt(a + b*x^2), ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*sqrt(a + b*x^2))/b^4 + ((b^2*d - 2*a*b*e + 3*a^2*f)*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^4) + ((b*e - 3*a*f)*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^4) + (f*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^4), x, 3),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(x^1*sqrt(a + b*x^2)), ((b^2*d - a*b*e + a^2*f)*sqrt(a + b*x^2))/b^3 + ((b*e - 2*a*f)*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^3) + (f*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^3) - (c*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 5),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(x^3*sqrt(a + b*x^2)), ((b*e - a*f)*sqrt(a + b*x^2))/b^2 - (c*sqrt(a + b*x^2))/(2*a*x^2) + (f*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^2) + ((b*c - 2*a*d)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)), x, 6),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(x^5*sqrt(a + b*x^2)), (f*sqrt(a + b*x^2))/b - (c*sqrt(a + b*x^2))/(4*a*x^4) + ((3*b*c - 4*a*d)*sqrt(a + b*x^2))/(8*a^2*x^2) - ((3*b^2*c - 4*a*b*d + 8*a^2*e)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)), x, 6),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(x^7*sqrt(a + b*x^2)), -((c*sqrt(a + b*x^2))/(6*a*x^6)) + ((5*b*c - 6*a*d)*sqrt(a + b*x^2))/(24*a^2*x^4) - ((5*b^2*c - 6*a*b*d + 8*a^2*e)*sqrt(a + b*x^2))/(16*a^3*x^2) + ((5*b^3*c - 6*a*b^2*d + 8*a^2*b*e - 16*a^3*f)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(7//2)), x, 6),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(x^9*sqrt(a + b*x^2)), -((c*sqrt(a + b*x^2))/(8*a*x^8)) + ((7*b*c - 8*a*d)*sqrt(a + b*x^2))/(48*a^2*x^6) - ((35*b^2*c - 40*a*b*d + 48*a^2*e)*sqrt(a + b*x^2))/(192*a^3*x^4) + ((35*b^3*c - 40*a*b^2*d + 48*a^2*b*e - 64*a^3*f)*sqrt(a + b*x^2))/(128*a^4*x^2) - (b*(35*b^3*c - 40*a*b^2*d + 48*a^2*b*e - 64*a^3*f)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(128*a^(9//2)), x, 7),
+
+(x^4*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/sqrt(a + b*x^2), -((a*(96*b^3*c - 80*a*b^2*d + 70*a^2*b*e - 63*a^3*f)*x*sqrt(a + b*x^2))/(256*b^5)) + ((96*b^3*c - 80*a*b^2*d + 70*a^2*b*e - 63*a^3*f)*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(384*b^4) + ((80*b^2*d - 70*a*b*e + 63*a^2*f)*x^5*sqrt(a + b*x^2))/(480*b^3) + ((10*b*e - 9*a*f)*x^7*sqrt(a + b*x^2))/(80*b^2) + (f*x^9*sqrt(a + b*x^2))/(10*b) + (a^2*(96*b^3*c - 80*a*b^2*d + 70*a^2*b*e - 63*a^3*f)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(256*b^(11//2)), x, 7),
+(x^2*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/sqrt(a + b*x^2), ((64*b^3*c - 48*a*b^2*d + 40*a^2*b*e - 35*a^3*f)*x*sqrt(a + b*x^2))/(128*b^4) + ((48*b^2*d - 40*a*b*e + 35*a^2*f)*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(192*b^3) + ((8*b*e - 7*a*f)*x^5*sqrt(a + b*x^2))/(48*b^2) + (f*x^7*sqrt(a + b*x^2))/(8*b) - (a*(64*b^3*c - 48*a*b^2*d + 40*a^2*b*e - 35*a^3*f)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(128*b^(9//2)), x, 6),
+(x^0*(c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/sqrt(a + b*x^2), ((8*b^2*d - 6*a*b*e + 5*a^2*f)*x*sqrt(a + b*x^2))/(16*b^3) + ((6*b*e - 5*a*f)*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(24*b^2) + (f*x^5*sqrt(a + b*x^2))/(6*b) + ((16*b^3*c - 8*a*b^2*d + 6*a^2*b*e - 5*a^3*f)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*b^(7//2)), x, 5),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(x^2*sqrt(a + b*x^2)), -((c*sqrt(a + b*x^2))/(a*x)) + ((4*b*e - 3*a*f)*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*b^2) + (f*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(4*b) + ((8*b^2*d - 4*a*b*e + 3*a^2*f)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*b^(5//2)), x, 6),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(x^4*sqrt(a + b*x^2)), -((c*sqrt(a + b*x^2))/(3*a*x^3)) + ((2*b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b*x^2))/(3*a^2*x) + (f*x*sqrt(a + b*x^2))/(2*b) + ((2*b*e - a*f)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*b^(3//2)), x, 6),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(x^6*sqrt(a + b*x^2)), -((c*sqrt(a + b*x^2))/(5*a*x^5)) + ((4*b*c - 5*a*d)*sqrt(a + b*x^2))/(15*a^2*x^3) - ((8*b^2*c - 10*a*b*d + 15*a^2*e)*sqrt(a + b*x^2))/(15*a^3*x) + (f*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/sqrt(b), x, 6),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(x^8*sqrt(a + b*x^2)), -((c*sqrt(a + b*x^2))/(7*a*x^7)) + ((6*b*c - 7*a*d)*sqrt(a + b*x^2))/(35*a^2*x^5) - ((24*b^2*c - 28*a*b*d + 35*a^2*e)*sqrt(a + b*x^2))/(105*a^3*x^3) + ((48*b^3*c - 56*a*b^2*d + 70*a^2*b*e - 105*a^3*f)*sqrt(a + b*x^2))/(105*a^4*x), x, 5),
+((c + d*x^2 + e*x^4 + f*x^6)/(x^10*sqrt(a + b*x^2)), -((c*sqrt(a + b*x^2))/(9*a*x^9)) + ((8*b*c - 9*a*d)*sqrt(a + b*x^2))/(63*a^2*x^7) - ((16*b^2*c - 18*a*b*d + 21*a^2*e)*sqrt(a + b*x^2))/(105*a^3*x^5) + ((64*b^3*c - 72*a*b^2*d + 84*a^2*b*e - 105*a^3*f)*sqrt(a + b*x^2))/(315*a^4*x^3) - (2*b*(64*b^3*c - 72*a*b^2*d + 84*a^2*b*e - 105*a^3*f)*sqrt(a + b*x^2))/(315*a^5*x), x, 6),
+
+
+(x^8*(A + B*x^2 + C*x^4 + D*x^6)/(a + b*x^2)^(9//2), ((A - (a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))/b^3)*x^9)/(7*a*(a + b*x^2)^(7//2)) - ((2*A*b^3 - a*(9*b^2*B - 16*a*b*C + 23*a^2*D))*x^9)/(35*a^2*b^3*(a + b*x^2)^(5//2)) - ((16*A*b^3 - 3*a*(24*b^2*B - 66*a*b*C + 143*a^2*D))*x^7)/(210*a^2*b^4*(a + b*x^2)^(3//2)) + (D*x^9)/(6*b^3*(a + b*x^2)^(3//2)) - ((16*A*b^3 - 3*a*(24*b^2*B - 66*a*b*C + 143*a^2*D))*x^5)/(30*a^2*b^5*sqrt(a + b*x^2)) - ((16*A*b^3 - 3*a*(24*b^2*B - 66*a*b*C + 143*a^2*D))*x*sqrt(a + b*x^2))/(16*a*b^7) + ((16*A*b^3 - 3*a*(24*b^2*B - 66*a*b*C + 143*a^2*D))*x^3*sqrt(a + b*x^2))/(24*a^2*b^6) + ((16*A*b^3 - 72*a*b^2*B + 198*a^2*b*C - 429*a^3*D)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(16*b^(15//2)), x, 11),
+(x^6*(A + B*x^2 + C*x^4 + D*x^6)/(a + b*x^2)^(9//2), ((A - (a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))/b^3)*x^7)/(7*a*(a + b*x^2)^(7//2)) + ((b^2*B - 2*a*b*C + 3*a^2*D)*x^7)/(5*a*b^3*(a + b*x^2)^(5//2)) + ((8*b^2*B - 36*a*b*C + 99*a^2*D)*x^5)/(60*a*b^4*(a + b*x^2)^(3//2)) + (D*x^7)/(4*b^3*(a + b*x^2)^(3//2)) + ((8*b^2*B - 36*a*b*C + 99*a^2*D)*x^3)/(12*a*b^5*sqrt(a + b*x^2)) - ((8*b^2*B - 36*a*b*C + 99*a^2*D)*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*a*b^6) + ((8*b^2*B - 36*a*b*C + 99*a^2*D)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*b^(13//2)), x, 10),
+(x^4*(A + B*x^2 + C*x^4 + D*x^6)/(a + b*x^2)^(9//2), ((A - (a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))/b^3)*x^5)/(7*a*(a + b*x^2)^(7//2)) + ((2*A*b^3 + a*(5*b^2*B - 12*a*b*C + 19*a^2*D))*x^5)/(35*a^2*b^3*(a + b*x^2)^(5//2)) + (a*(b*C - 3*a*D)*x)/(3*b^5*(a + b*x^2)^(3//2)) - ((4*b*C - 15*a*D)*x)/(3*b^5*sqrt(a + b*x^2)) + (D*x*sqrt(a + b*x^2))/(2*b^5) + ((2*b*C - 9*a*D)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*b^(11//2)), x, 9),
+# {x^2*(A + B*x^2 + C*x^4 + D*x^6)/(a + b*x^2)^(9/2), x, 8, -((a^3*D*x)/(b^4*(a + b*x^2)^(7/2))) + ((A*b^3 - 10*a^3*D)*x^3)/(3*a*b^3*(a + b*x^2)^(7/2)) + ((4*A*b^3 + 3*a*b^2*B - 58*a^3*D)*x^5)/(15*a^2*b^2*(a + b*x^2)^(7/2)) + ((8*A*b^3 + 6*a*b^2*B + 15*a^2*b*C - 176*a^3*D)*x^7)/(105*a^3*b*(a + b*x^2)^(7/2)) + (D*ArcTanh[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a + b*x^2]])/b^(9/2), ((A - (a*(b^2*B - a*b*C + a^2*D))/b^3)*x^3)/(7*a*(a + b*x^2)^(7/2)) + ((4*A*b^3 + a*(3*b^2*B - 10*a*b*C + 17*a^2*D))*x^3)/(35*a^2*b^3*(a + b*x^2)^(5/2)) + ((8*A*b^3 + a*(6*b^2*B + 15*a*b*C - 71*a^2*D))*x^3)/(105*a^3*b^3*(a + b*x^2)^(3/2)) - (D*x)/(b^4*Sqrt[a + b*x^2]) + (D*ArcTanh[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a + b*x^2]])/b^(9/2)}
+(x^0*(A + B*x^2 + C*x^4 + D*x^6)/(a + b*x^2)^(9//2), (A*x)/(a*(a + b*x^2)^(7//2)) + ((6*A*b + a*B)*x^3)/(3*a^2*(a + b*x^2)^(7//2)) + ((24*A*b^2 + a*(4*b*B + 3*a*C))*x^5)/(15*a^3*(a + b*x^2)^(7//2)) + ((48*A*b^3 + a*(8*b^2*B + 6*a*b*C + 15*a^2*D))*x^7)/(105*a^4*(a + b*x^2)^(7//2)), x, 5),
+((A + B*x^2 + C*x^4 + D*x^6)/(x^2*(a + b*x^2)^(9//2)), -(A/(a*x*(a + b*x^2)^(7//2))) - ((8*A*b - a*B)*x)/(a^2*(a + b*x^2)^(7//2)) - ((48*A*b^2 - a*(6*b*B + a*C))*x^3)/(3*a^3*(a + b*x^2)^(7//2)) - ((4*b*(48*A*b^2 - a*(6*b*B + a*C)) - 3*a^3*D)*x^5)/(15*a^4*(a + b*x^2)^(7//2)) - (2*b*(4*b*(48*A*b^2 - a*(6*b*B + a*C)) - 3*a^3*D)*x^7)/(105*a^5*(a + b*x^2)^(7//2)), x, 6),
+((A + B*x^2 + C*x^4 + D*x^6)/(x^4*(a + b*x^2)^(9//2)), -(A/(3*a*x^3*(a + b*x^2)^(7//2))) + (10*A*b - 3*a*B)/(3*a^2*x*(a + b*x^2)^(7//2)) + ((80*A*b^2 - 3*a*(8*b*B - a*C))*x)/(3*a^3*(a + b*x^2)^(7//2)) + ((160*A*b^3 - a*(48*b^2*B - 6*a*b*C - a^2*D))*x^3)/(3*a^4*(a + b*x^2)^(7//2)) + (4*b*(160*A*b^3 - a*(48*b^2*B - 6*a*b*C - a^2*D))*x^5)/(15*a^5*(a + b*x^2)^(7//2)) + (8*b^2*(160*A*b^3 - a*(48*b^2*B - 6*a*b*C - a^2*D))*x^7)/(105*a^6*(a + b*x^2)^(7//2)), x, 7),
+((A + B*x^2 + C*x^4 + D*x^6)/(x^6*(a + b*x^2)^(9//2)), -(A/(5*a*x^5*(a + b*x^2)^(7//2))) + (12*A*b - 5*a*B)/(15*a^2*x^3*(a + b*x^2)^(7//2)) - (24*A*b^2 - a*(10*b*B - 3*a*C))/(3*a^3*x*(a + b*x^2)^(7//2)) - ((192*A*b^3 - a*(80*b^2*B - 24*a*b*C + 3*a^2*D))*x)/(21*a^4*(a + b*x^2)^(7//2)) - (2*(192*A*b^3 - a*(80*b^2*B - 24*a*b*C + 3*a^2*D))*x)/(35*a^5*(a + b*x^2)^(5//2)) - (8*(192*A*b^3 - a*(80*b^2*B - 24*a*b*C + 3*a^2*D))*x)/(105*a^6*(a + b*x^2)^(3//2)) - (16*(192*A*b^3 - a*(80*b^2*B - 24*a*b*C + 3*a^2*D))*x)/(105*a^7*sqrt(a + b*x^2)), x, 8),
+((A + B*x^2 + C*x^4 + D*x^6)/(x^8*(a + b*x^2)^(9//2)), -(A/(7*a*x^7*(a + b*x^2)^(7//2))) + (2*A*b - a*B)/(5*a^2*x^5*(a + b*x^2)^(7//2)) - (24*A*b^2 - a*(12*b*B - 5*a*C))/(15*a^3*x^3*(a + b*x^2)^(7//2)) + (48*A*b^3 - a*(24*b^2*B - 10*a*b*C + 3*a^2*D))/(3*a^4*x*(a + b*x^2)^(7//2)) + (8*b*(48*A*b^3 - a*(24*b^2*B - 10*a*b*C + 3*a^2*D))*x)/(21*a^5*(a + b*x^2)^(7//2)) + (16*b*(48*A*b^3 - a*(24*b^2*B - 10*a*b*C + 3*a^2*D))*x)/(35*a^6*(a + b*x^2)^(5//2)) + (64*b*(48*A*b^3 - a*(24*b^2*B - 10*a*b*C + 3*a^2*D))*x)/(105*a^7*(a + b*x^2)^(3//2)) + (128*b*(48*A*b^3 - a*(24*b^2*B - 10*a*b*C + 3*a^2*D))*x)/(105*a^8*sqrt(a + b*x^2)), x, 9),
+((A + B*x^2 + C*x^4 + D*x^6)/(x^10*(a + b*x^2)^(9//2)), -(A/(9*a*x^9*(a + b*x^2)^(7//2))) + (16*A*b - 9*a*B)/(63*a^2*x^7*(a + b*x^2)^(7//2)) - (32*A*b^2 - 9*a*(2*b*B - a*C))/(45*a^3*x^5*(a + b*x^2)^(7//2)) + (128*A*b^3 - 3*a*(24*b^2*B - 12*a*b*C + 5*a^2*D))/(45*a^4*x^3*(a + b*x^2)^(7//2)) - (2*b*(128*A*b^3 - 3*a*(24*b^2*B - 12*a*b*C + 5*a^2*D)))/(9*a^5*x*(a + b*x^2)^(7//2)) - (16*b^2*(128*A*b^3 - 3*a*(24*b^2*B - 12*a*b*C + 5*a^2*D))*x)/(63*a^6*(a + b*x^2)^(7//2)) - (32*b^2*(128*A*b^3 - 3*a*(24*b^2*B - 12*a*b*C + 5*a^2*D))*x)/(105*a^7*(a + b*x^2)^(5//2)) - (128*b^2*(128*A*b^3 - 3*a*(24*b^2*B - 12*a*b*C + 5*a^2*D))*x)/(315*a^8*(a + b*x^2)^(3//2)) - (256*b^2*(128*A*b^3 - 3*a*(24*b^2*B - 12*a*b*C + 5*a^2*D))*x)/(315*a^9*sqrt(a + b*x^2)), x, 10),
+
+
+((c*x^5 + d*x^7 + e*x^9 + f*x^11)/sqrt(a + b*x^2), (a^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*sqrt(a + b*x^2))/b^6 - (a*(2*b^3*c - 3*a*b^2*d + 4*a^2*b*e - 5*a^3*f)*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^6) + ((b^3*c - 3*a*b^2*d + 6*a^2*b*e - 10*a^3*f)*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^6) + ((b^2*d - 4*a*b*e + 10*a^2*f)*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^6) + ((b*e - 5*a*f)*(a + b*x^2)^(9//2))/(9*b^6) + (f*(a + b*x^2)^(11//2))/(11*b^6), x, 4),
+((c*x^3 + d*x^5 + e*x^7 + f*x^9)/sqrt(a + b*x^2), -((a*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*sqrt(a + b*x^2))/b^5) + ((b^3*c - 2*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - 4*a^3*f)*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^5) + ((b^2*d - 3*a*b*e + 6*a^2*f)*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^5) + ((b*e - 4*a*f)*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^5) + (f*(a + b*x^2)^(9//2))/(9*b^5), x, 4),
+((c*x + d*x^3 + e*x^5 + f*x^7)/sqrt(a + b*x^2), ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*sqrt(a + b*x^2))/b^4 + ((b^2*d - 2*a*b*e + 3*a^2*f)*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^4) + ((b*e - 3*a*f)*(a + b*x^2)^(5//2))/(5*b^4) + (f*(a + b*x^2)^(7//2))/(7*b^4), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m P4(x^2) (a+b x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (c x)^m P4(x^2) (a+b x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m P4(x^2) (a+b x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^2*(A + B*x^2 + C*x^4 + D*x^6 + F*x^8)/(a + b*x^2)^(9//2), ((A*b^4 - a*(b^3*B - a*b^2*C + a^2*b*D - a^3*F))*x^3)/(7*a*b^4*(a + b*x^2)^(7//2)) + ((4*A*b^4 + a*(3*b^3*B - 10*a*b^2*C + 17*a^2*b*D - 24*a^3*F))*x^3)/(35*a^2*b^4*(a + b*x^2)^(5//2)) + ((8*A*b^4 + a*(6*b^3*B + 15*a*b^2*C - 71*a^2*b*D + 162*a^3*F))*x^3)/(105*a^3*b^4*(a + b*x^2)^(3//2)) - ((b*D - 4*a*F)*x)/(b^5*sqrt(a + b*x^2)) + (F*x*sqrt(a + b*x^2))/(2*b^5) + ((2*b*D - 9*a*F)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*b^(11//2)), x, 10),
+# {x^0*(A + B*x^2 + C*x^4 + D*x^6 + F*x^8)/(a + b*x^2)^(9/2), x, 6, ((A*b^4 - a^4*F)*x)/(a*b^4*(a + b*x^2)^(7/2)) + ((6*A*b^4 + a*b^3*B - 10*a^4*F)*x^3)/(3*a^2*b^3*(a + b*x^2)^(7/2)) + ((24*A*b^4 + a*(4*b^3*B + 3*a*b^2*C - 58*a^3*F))*x^5)/(15*a^3*b^2*(a + b*x^2)^(7/2)) + ((48*A*b^4 + a*(8*b^3*B + 6*a*b^2*C + 15*a^2*b*D - 176*a^3*F))*x^7)/(105*a^4*b*(a + b*x^2)^(7/2)) + (F*ArcTanh[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a + b*x^2]])/b^(9/2), ((A*b^4 - a*(b^3*B - a*b^2*C + a^2*b*D - a^3*F))*x)/(7*a*b^4*(a + b*x^2)^(7/2)) + ((6*A*b^4 + a*(b^3*B - 8*a*b^2*C + 15*a^2*b*D - 22*a^3*F))*x)/(35*a^2*b^4*(a + b*x^2)^(5/2)) + ((24*A*b^4 + a*(4*b^3*B + 3*a*b^2*C - 45*a^2*b*D + 122*a^3*F))*x)/(105*a^3*b^4*(a + b*x^2)^(3/2)) + ((48*A*b^4 + a*(8*b^3*B + 6*a*b^2*C + 15*a^2*b*D - 176*a^3*F))*x)/(105*a^4*b^4*Sqrt[a + b*x^2]) + (F*ArcTanh[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a + b*x^2]])/b^(9/2)}
+((A + B*x^2 + C*x^4 + D*x^6 + F*x^8)/(x^2*(a + b*x^2)^(9//2)), -(A/(a*x*(a + b*x^2)^(7//2))) - ((8*A*b - a*B)*x)/(a^2*(a + b*x^2)^(7//2)) - ((48*A*b^2 - a*(6*b*B + a*C))*x^3)/(3*a^3*(a + b*x^2)^(7//2)) - ((192*A*b^3 - a*(24*b^2*B + 4*a*b*C + 3*a^2*D))*x^5)/(15*a^4*(a + b*x^2)^(7//2)) - ((384*A*b^4 - a*(48*b^3*B + 8*a*b^2*C + 6*a^2*b*D + 15*a^3*F))*x^7)/(105*a^5*(a + b*x^2)^(7//2)), x, 6),
+]
+# Total integrals translated: 172
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.2 (c x)^m (a+b x^n)^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.2 (c x)^m (a+b x^n)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..06ef0b52
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.2 (c x)^m (a+b x^n)^p.jl	
@@ -0,0 +1,5423 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (b x^n)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (b x^1)^p
+
+
+((c*x)^m*(b*x)^p, ((b*x)^(1 + p)*(c*x)^m)/(b*(1 + m + p)), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (b x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (b x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(b*x^2)*x^3, (1//5)*x^4*sqrt(b*x^2), x, 2),
+(sqrt(b*x^2)*x^2, (1//4)*x^3*sqrt(b*x^2), x, 2),
+(sqrt(b*x^2)*x^1, (1//3)*x^2*sqrt(b*x^2), x, 2),
+(sqrt(b*x^2)*x^0, (1//2)*x*sqrt(b*x^2), x, 2),
+(sqrt(b*x^2)/x^1, sqrt(b*x^2), x, 2),
+(sqrt(b*x^2)/x^2, (sqrt(b*x^2)*log(x))/x, x, 2),
+(sqrt(b*x^2)/x^3, -(sqrt(b*x^2)/x^2), x, 2),
+(sqrt(b*x^2)/x^4, -(sqrt(b*x^2)/(2*x^3)), x, 2),
+(sqrt(b*x^2)/x^5, -(sqrt(b*x^2)/(3*x^4)), x, 2),
+
+(sqrt(x^2)*x^2, (1//4)*x^3*sqrt(x^2), x, 2),
+
+
+((b*x^2)^(3//2)*x^2, (1//6)*b*x^5*sqrt(b*x^2), x, 2),
+((b*x^2)^(3//2)*x^1, (1//5)*b*x^4*sqrt(b*x^2), x, 2),
+((b*x^2)^(3//2)*x^0, (1//4)*b*x^3*sqrt(b*x^2), x, 2),
+((b*x^2)^(3//2)/x^1, (1//3)*b*x^2*sqrt(b*x^2), x, 2),
+((b*x^2)^(3//2)/x^2, (1//2)*b*x*sqrt(b*x^2), x, 2),
+((b*x^2)^(3//2)/x^3, b*sqrt(b*x^2), x, 2),
+((b*x^2)^(3//2)/x^4, (b*sqrt(b*x^2)*log(x))/x, x, 2),
+((b*x^2)^(3//2)/x^5, -((b*sqrt(b*x^2))/x^2), x, 2),
+((b*x^2)^(3//2)/x^6, -((b*sqrt(b*x^2))/(2*x^3)), x, 2),
+((b*x^2)^(3//2)/x^7, -((b*sqrt(b*x^2))/(3*x^4)), x, 2),
+
+((x^2)^(3//2)*x^2, (1//6)*x^5*sqrt(x^2), x, 2),
+
+
+((b*x^2)^(5//2)*x^1, (1//7)*b^2*x^6*sqrt(b*x^2), x, 2),
+((b*x^2)^(5//2)*x^0, (1//6)*b^2*x^5*sqrt(b*x^2), x, 2),
+((b*x^2)^(5//2)/x^1, (1//5)*b^2*x^4*sqrt(b*x^2), x, 2),
+((b*x^2)^(5//2)/x^2, (1//4)*b^2*x^3*sqrt(b*x^2), x, 2),
+((b*x^2)^(5//2)/x^3, (1//3)*b^2*x^2*sqrt(b*x^2), x, 2),
+((b*x^2)^(5//2)/x^4, (1//2)*b^2*x*sqrt(b*x^2), x, 2),
+((b*x^2)^(5//2)/x^5, b^2*sqrt(b*x^2), x, 2),
+((b*x^2)^(5//2)/x^6, (b^2*sqrt(b*x^2)*log(x))/x, x, 2),
+((b*x^2)^(5//2)/x^7, -((b^2*sqrt(b*x^2))/x^2), x, 2),
+((b*x^2)^(5//2)/x^8, -((b^2*sqrt(b*x^2))/(2*x^3)), x, 2),
+((b*x^2)^(5//2)/x^9, -((b^2*sqrt(b*x^2))/(3*x^4)), x, 2),
+
+((x^2)^(5//2)*x^2, (1//8)*x^7*sqrt(x^2), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/sqrt(b*x^2)*x^3, x^4/(3*sqrt(b*x^2)), x, 2),
+(1/sqrt(b*x^2)*x^1, x^2/sqrt(b*x^2), x, 2),
+(1/sqrt(b*x^2)/x^1, -(1/sqrt(b*x^2)), x, 2),
+(1/sqrt(b*x^2)/x^3, -(1/(3*x^2*sqrt(b*x^2))), x, 2),
+
+(1/sqrt(b*x^2)*x^2, x^3/(2*sqrt(b*x^2)), x, 2),
+(1/sqrt(b*x^2)*x^0, (x*log(x))/sqrt(b*x^2), x, 2),
+(1/sqrt(b*x^2)/x^2, -(1/(2*x*sqrt(b*x^2))), x, 2),
+
+
+(1/(b*x^2)^(3//2)*x^5, x^4/(3*b*sqrt(b*x^2)), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(3//2)*x^3, x^2/(b*sqrt(b*x^2)), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(3//2)*x^1, -(1/(b*sqrt(b*x^2))), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(3//2)/x^1, -(1/(3*b*x^2*sqrt(b*x^2))), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(3//2)/x^3, -(1/(5*b*x^4*sqrt(b*x^2))), x, 2),
+
+(1/(b*x^2)^(3//2)*x^6, x^5/(4*b*sqrt(b*x^2)), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(3//2)*x^4, x^3/(2*b*sqrt(b*x^2)), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(3//2)*x^2, (x*log(x))/(b*sqrt(b*x^2)), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(3//2)*x^0, -(1/(2*b*x*sqrt(b*x^2))), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(3//2)/x^2, -(1/(4*b*x^3*sqrt(b*x^2))), x, 2),
+
+
+(1/(b*x^2)^(5//2)*x^7, x^4/(3*b^2*sqrt(b*x^2)), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(5//2)*x^5, x^2/(b^2*sqrt(b*x^2)), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(5//2)*x^3, -(1/(b^2*sqrt(b*x^2))), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(5//2)*x^1, -(1/(3*b^2*x^2*sqrt(b*x^2))), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(5//2)/x^1, -(1/(5*b^2*x^4*sqrt(b*x^2))), x, 2),
+
+(1/(b*x^2)^(5//2)*x^6, x^3/(2*b^2*sqrt(b*x^2)), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(5//2)*x^4, (x*log(x))/(b^2*sqrt(b*x^2)), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(5//2)*x^2, -(1/(2*b^2*x*sqrt(b*x^2))), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(5//2)*x^0, -(1/(4*b^2*x^3*sqrt(b*x^2))), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(5//2)/x^2, -(1/(6*b^2*x^5*sqrt(b*x^2))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (c x)^(m/2) (b x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (b x^2)^(p/2) with m symbolic
+
+
+((c*x)^m*(b*x^2)^(3//2), (b*(c*x)^(4 + m)*sqrt(b*x^2))/(c^4*(4 + m)*x), x, 3),
+((c*x)^m*(b*x^2)^(1//2), ((c*x)^(2 + m)*sqrt(b*x^2))/(c^2*(2 + m)*x), x, 3),
+((c*x)^m/(b*x^2)^(1//2), (x*(c*x)^m)/(m*sqrt(b*x^2)), x, 3),
+((c*x)^m/(b*x^2)^(3//2), -((c^2*x*(c*x)^(-2 + m))/(b*(2 - m)*sqrt(b*x^2))), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (b x^2)^p with p symbolic
+
+
+(x^m*(b*x^2)^p, (x^(1 + m)*(b*x^2)^p)/(1 + m + 2*p), x, 2),
+((c*x)^m*(b*x^2)^p, (x*(c*x)^m*(b*x^2)^p)/(1 + m + 2*p), x, 3),
+
+
+((x^2)^p/x^(2*p + 1), ((x^2)^p*log(x))/x^(2*p), x, 2),
+
+
+((b*x^2)^p*x^3, (x^4*(b*x^2)^p)/(2*(2 + p)), x, 2),
+((b*x^2)^p*x^2, (x^3*(b*x^2)^p)/(3 + 2*p), x, 2),
+((b*x^2)^p*x^1, (x^2*(b*x^2)^p)/(2*(1 + p)), x, 2),
+((b*x^2)^p*x^0, (x*(b*x^2)^p)/(1 + 2*p), x, 2),
+((b*x^2)^p/x^1, (b*x^2)^p/(2*p), x, 2),
+((b*x^2)^p/x^2, -((b*x^2)^p/((1 - 2*p)*x)), x, 2),
+((b*x^2)^p/x^3, -((b*x^2)^p/(2*(1 - p)*x^2)), x, 2),
+((b*x^2)^p/x^4, -((b*x^2)^p/((3 - 2*p)*x^3)), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (b x^n)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (b x^n)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(b*x^3), (2//5)*x*sqrt(b*x^3), x, 2),
+(sqrt(b*x^2), (1//2)*x*sqrt(b*x^2), x, 2),
+(sqrt(b*x^1), (2*(b*x)^(3//2))/(3*b), x, 1),
+(sqrt(b/x^1), 2*sqrt(b/x)*x, x, 2),
+(sqrt(b/x^2), sqrt(b/x^2)*x*log(x), x, 2),
+(sqrt(b/x^3), -2*sqrt(b/x^3)*x, x, 2),
+
+
+((b*x^3)^(3//2), (2//11)*b*x^4*sqrt(b*x^3), x, 2),
+((b*x^2)^(3//2), (1//4)*b*x^3*sqrt(b*x^2), x, 2),
+((b*x^1)^(3//2), (2*(b*x)^(5//2))/(5*b), x, 1),
+((b/x^1)^(3//2), -2*b*sqrt(b/x), x, 2),
+((b/x^2)^(3//2), -((b*sqrt(b/x^2))/(2*x)), x, 2),
+((b/x^3)^(3//2), -((2*b*sqrt(b/x^3))/(7*x^2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/sqrt(b*x^3), -((2*x)/sqrt(b*x^3)), x, 2),
+(1/sqrt(b*x^2), (x*log(x))/sqrt(b*x^2), x, 2),
+(1/sqrt(b*x^1), (2*sqrt(b*x))/b, x, 1),
+(1/sqrt(b/x^1), (2*x)/(3*sqrt(b/x)), x, 2),
+(1/sqrt(b/x^2), x/(2*sqrt(b/x^2)), x, 2),
+(1/sqrt(b/x^3), (2*x)/(5*sqrt(b/x^3)), x, 2),
+
+
+(1/(b*x^3)^(3//2), -(2/(7*b*x^2*sqrt(b*x^3))), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(3//2), -(1/(2*b*x*sqrt(b*x^2))), x, 2),
+(1/(b*x^1)^(3//2), -(2/(b*sqrt(b*x))), x, 1),
+(1/(b/x^1)^(3//2), (2*x^2)/(5*b*sqrt(b/x)), x, 2),
+(1/(b/x^2)^(3//2), x^3/(4*b*sqrt(b/x^2)), x, 2),
+(1/(b/x^3)^(3//2), (2*x^4)/(11*b*sqrt(b/x^3)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (b x^n)^(p/3)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((b*x^n)^(1//3), (3*x*(b*x^n)^(1//3))/(3 + n), x, 2),
+
+((b*x^3)^(1//3), (1//2)*x*(b*x^3)^(1//3), x, 2),
+((b*x^2)^(1//3), (3//5)*x*(b*x^2)^(1//3), x, 2),
+((b*x^1)^(1//3), (3*(b*x)^(4//3))/(4*b), x, 1),
+((b/x^1)^(1//3), (3//2)*(b/x)^(1//3)*x, x, 2),
+((b/x^2)^(1//3), 3*(b/x^2)^(1//3)*x, x, 2),
+((b/x^3)^(1//3), (b/x^3)^(1//3)*x*log(x), x, 2),
+((b/x^4)^(1//3), -3*(b/x^4)^(1//3)*x, x, 2),
+
+
+((b*x^n)^(2//3), (3*x*(b*x^n)^(2//3))/(3 + 2*n), x, 2),
+
+((b*x^2)^(2//3), (3//7)*x*(b*x^2)^(2//3), x, 2),
+((b*x^1)^(2//3), (3*(b*x)^(5//3))/(5*b), x, 1),
+((b/x^1)^(2//3), 3*(b/x)^(2//3)*x, x, 2),
+((b/x^2)^(2//3), -3*(b/x^2)^(2//3)*x, x, 2),
+((b/x^3)^(2//3), (-(b/x^3)^(2//3))*x, x, 2),
+((b/x^4)^(2//3), (-(3//5))*(b/x^4)^(2//3)*x, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/(b*x^n)^(1//3), (3*x)/((3 - n)*(b*x^n)^(1//3)), x, 2),
+
+(1/(b*x^4)^(1//3), -((3*x)/(b*x^4)^(1//3)), x, 2),
+(1/(b*x^3)^(1//3), (x*log(x))/(b*x^3)^(1//3), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(1//3), (3*x)/(b*x^2)^(1//3), x, 2),
+(1/(b*x^1)^(1//3), (3*(b*x)^(2//3))/(2*b), x, 1),
+(1/(b/x^1)^(1//3), (3*x)/(4*(b/x)^(1//3)), x, 2),
+(1/(b/x^2)^(1//3), (3*x)/(5*(b/x^2)^(1//3)), x, 2),
+(1/(b/x^3)^(1//3), x/(2*(b/x^3)^(1//3)), x, 2),
+
+
+(1/(b*x^n)^(2//3), (3*x)/((3 - 2*n)*(b*x^n)^(2//3)), x, 2),
+
+(1/(b*x^3)^(2//3), -(x/(b*x^3)^(2//3)), x, 2),
+(1/(b*x^2)^(2//3), -((3*x)/(b*x^2)^(2//3)), x, 2),
+(1/(b*x^1)^(2//3), (3*(b*x)^(1//3))/b, x, 1),
+(1/(b/x^1)^(2//3), (3*x)/(5*(b/x)^(2//3)), x, 2),
+(1/(b/x^2)^(2//3), (3*x)/(7*(b/x^2)^(2//3)), x, 2),
+(1/(b/x^3)^(2//3), x/(3*(b/x^3)^(2//3)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (b x^n)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^2*sqrt(b*x^n), (2*x^3*sqrt(b*x^n))/(6 + n), x, 2),
+(x^1*sqrt(b*x^n), (2*x^2*sqrt(b*x^n))/(4 + n), x, 2),
+(x^0*sqrt(b*x^n), (2*x*sqrt(b*x^n))/(2 + n), x, 2),
+(sqrt(b*x^n)/x^1, (2*sqrt(b*x^n))/n, x, 2),
+(sqrt(b*x^n)/x^2, -((2*sqrt(b*x^n))/((2 - n)*x)), x, 2),
+(sqrt(b*x^n)/x^3, -((2*sqrt(b*x^n))/((4 - n)*x^2)), x, 2),
+
+
+((b*x^n)^(3//2)*x^1, (2*b*x^(2 + n)*sqrt(b*x^n))/(4 + 3*n), x, 2),
+((b*x^n)^(3//2)*x^0, (2*b*x^(1 + n)*sqrt(b*x^n))/(2 + 3*n), x, 2),
+((b*x^n)^(3//2)/x^1, (2*b*x^n*sqrt(b*x^n))/(3*n), x, 2),
+((b*x^n)^(3//2)/x^2, -((2*b*x^(-1 + n)*sqrt(b*x^n))/(2 - 3*n)), x, 2),
+((b*x^n)^(3//2)/x^3, -((2*b*x^(-2 + n)*sqrt(b*x^n))/(4 - 3*n)), x, 2),
+((b*x^n)^(3//2)/x^4, -((2*b*x^(-3 + n)*sqrt(b*x^n))/(3*(2 - n))), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^2/sqrt(b*x^n), (2*x^3)/((6 - n)*sqrt(b*x^n)), x, 2),
+(x^1/sqrt(b*x^n), (2*x^2)/((4 - n)*sqrt(b*x^n)), x, 2),
+(x^0/sqrt(b*x^n), (2*x)/((2 - n)*sqrt(b*x^n)), x, 2),
+(1/(x^1*sqrt(b*x^n)), -(2/(n*sqrt(b*x^n))), x, 2),
+(1/(x^2*sqrt(b*x^n)), -(2/((2 + n)*x*sqrt(b*x^n))), x, 2),
+(1/(x^3*sqrt(b*x^n)), -(2/((4 + n)*x^2*sqrt(b*x^n))), x, 2),
+
+
+(1/(b*x^n)^(3//2)*x^2, (2*x^(3 - n))/(3*b*(2 - n)*sqrt(b*x^n)), x, 2),
+(1/(b*x^n)^(3//2)*x^1, (2*x^(2 - n))/(b*(4 - 3*n)*sqrt(b*x^n)), x, 2),
+(1/(b*x^n)^(3//2)*x^0, (2*x^(1 - n))/(b*(2 - 3*n)*sqrt(b*x^n)), x, 2),
+(1/(b*x^n)^(3//2)/x^1, -(2/(x^n*(3*b*n*sqrt(b*x^n)))), x, 2),
+(1/(b*x^n)^(3//2)/x^2, -((2*x^(-1 - n))/(b*(2 + 3*n)*sqrt(b*x^n))), x, 2),
+(1/(b*x^n)^(3//2)/x^3, -((2*x^(-2 - n))/(b*(4 + 3*n)*sqrt(b*x^n))), x, 2),
+(1/(b*x^n)^(3//2)/x^4, -((2*x^(-3 - n))/(3*b*(2 + n)*sqrt(b*x^n))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (b x^n)^(p/2) with m symbolic
+
+
+(x^m/(a*x^n)^(3//2), (2*x^(1 + m - n))/(a*(2 + 2*m - 3*n)*sqrt(a*x^n)), x, 2),
+((c*x)^m/(a*x^n)^(3//2), (2*x^(1 - n)*(c*x)^m)/(a*(2 + 2*m - 3*n)*sqrt(a*x^n)), x, 3),
+
+
+(x^m*(b*x^n)^(3//2), (2*b*x^(1 + m + n)*sqrt(b*x^n))/(2 + 2*m + 3*n), x, 2),
+(x^m*(b*x^n)^(1//2), (2*x^(1 + m)*sqrt(b*x^n))/(2 + 2*m + n), x, 2),
+(x^m/(b*x^n)^(1//2), (2*x^(1 + m))/((2 + 2*m - n)*sqrt(b*x^n)), x, 2),
+(x^m/(b*x^n)^(3//2), (2*x^(1 + m - n))/(b*(2 + 2*m - 3*n)*sqrt(b*x^n)), x, 2),
+
+
+# {(c*x)^m*(b*x^n)^(5/2), x, 3, (2*(c*x)^(1 + m)*(b*x^n)^(5/2))/(c*(2 + 2*m + 5*n)), (2*b^2*x^(1 + 2*n)*(c*x)^m*Sqrt[b*x^n])/(2 + 2*m + 5*n)}
+((c*x)^m*(b*x^n)^(3//2), (2*b*x^(1 + n)*(c*x)^m*sqrt(b*x^n))/(2 + 2*m + 3*n), x, 3),
+# {(c*x)^m*(b*x^n)^(1/2), x, 3, (2*(c*x)^(1 + m)*Sqrt[b*x^n])/(c*(2 + 2*m + n)), (2*x*(c*x)^m*Sqrt[b*x^n])/(2 + 2*m + n)}
+((c*x)^m/(b*x^n)^(1//2), (2*x*(c*x)^m)/((2 + 2*m - n)*sqrt(b*x^n)), x, 3),
+((c*x)^m/(b*x^n)^(3//2), (2*x^(1 - n)*(c*x)^m)/(b*(2 + 2*m - 3*n)*sqrt(b*x^n)), x, 3),
+((c*x)^m/(b*x^n)^(5//2), (2*x^(1 - 2*n)*(c*x)^m)/(b^2*(2 + 2*m - 5*n)*sqrt(b*x^n)), x, 3),
+
+
+((b*x^n)^(3//2)/x^(3*n/2+1), (b*sqrt(b*x^n)*log(x))/x^(n/2), x, 2),
+((b*x^n)^(1//2)/x^(n/2+1), (sqrt(b*x^n)*log(x))/x^(n/2), x, 2),
+(x^(n/2-1)/(b*x^n)^(1//2), (x^(n/2)*log(x))/sqrt(b*x^n), x, 2),
+(x^(3*n/2-1)/(b*x^n)^(3//2), (x^(n/2)*log(x))/(b*sqrt(b*x^n)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (b x^n)^p with p symbolic
+
+
+(x^m*(b*x^n)^p, (x^(1 + m)*(b*x^n)^p)/(1 + m + n*p), x, 2),
+# {(c*x)^m*(b*x^n)^p, x, 3, ((c*x)^(m + 1)*(b*x^n)^p)/(c*(1 + m + n*p)), (x*(c*x)^m*(b*x^n)^p)/(1 + m + n*p)}
+
+
+((b*x^n)^p*x^2, (x^3*(b*x^n)^p)/(3 + n*p), x, 2),
+((b*x^n)^p*x^1, (x^2*(b*x^n)^p)/(2 + n*p), x, 2),
+((b*x^n)^p*x^0, (x*(b*x^n)^p)/(1 + n*p), x, 2),
+((b*x^n)^p/x^1, (b*x^n)^p/(n*p), x, 2),
+((b*x^n)^p/x^2, -((b*x^n)^p/((1 - n*p)*x)), x, 2),
+((b*x^n)^p/x^3, -((b*x^n)^p/((2 - n*p)*x^2)), x, 2),
+
+
+(x^m/(a*x^n)^(1/n), x^(1 + m)/((a*x^n)^(1/n)*m), x, 2),
+((c*x)^m/(a*x^n)^(1/n), (x*(c*x)^m)/((a*x^n)^n^(-1)*m), x, 3),
+
+
+(x^2/(a*x^n)^(1/n), ((1//2)*x^3)/(a*x^n)^(1/n), x, 2),
+(x^1/(a*x^n)^(1/n), x^2/(a*x^n)^(1/n), x, 2),
+(x^0/(a*x^n)^(1/n), (x*log(x))/(a*x^n)^(1/n), x, 2),
+(1/(x^1*(a*x^n)^(1/n)), -(a*x^n)^(-n^(-1)), x, 2),
+(1/(x^2*(a*x^n)^(1/n)), -(1/((a*x^n)^(1/n)*(2*x))), x, 2),
+
+
+(x^m/(a*x^n)^((1 + m)/n), (x^(1 + m)*log(x))/(a*x^n)^((1 + m)/n), x, 2),
+((a*x^n)^p/x^(n*p+1), ((a*x^n)^p*log(x))/x^(n*p), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a (b x^n)^p)^q
+
+
+(x^m*(a*(b*x^n)^p)^q, (x^(1 + m)*(a*(b*x^n)^p)^q)/(1 + m + n*p*q), x, 2),
+
+(x^2*(a*(b*x^n)^p)^q, (x^3*(a*(b*x^n)^p)^q)/(3 + n*p*q), x, 2),
+(x^1*(a*(b*x^n)^p)^q, (x^2*(a*(b*x^n)^p)^q)/(2 + n*p*q), x, 2),
+(x^0*(a*(b*x^n)^p)^q, (x*(a*(b*x^n)^p)^q)/(1 + n*p*q), x, 2),
+((a*(b*x^n)^p)^q/x^1, (a*(b*x^n)^p)^q/(n*p*q), x, 2),
+((a*(b*x^n)^p)^q/x^2, -((a*(b*x^n)^p)^q/((1 - n*p*q)*x)), x, 2),
+((a*(b*x^n)^p)^q/x^3, -((a*(b*x^n)^p)^q/((2 - n*p*q)*x^2)), x, 2),
+
+
+(x^2/(a*(b*x^m)^n)^(1/(m*n)), ((1//2)*x^3)/(a*(b*x^m)^n)^(1/(m*n)), x, 2),
+(x^1/(a*(b*x^m)^n)^(1/(m*n)), x^2/(a*(b*x^m)^n)^(1/(m*n)), x, 2),
+(x^0/(a*(b*x^m)^n)^(1/(m*n)), (x*log(x))/(a*(b*x^m)^n)^(1/(m*n)), x, 2),
+(1/(x^1*(a*(b*x^m)^n)^(1/(m*n))), -(a*(b*x^m)^n)^(-(1/(m*n))), x, 2),
+(1/(x^2*(a*(b*x^m)^n)^(1/(m*n))), -(1/((a*(b*x^m)^n)^(1/(m*n))*(2*x))), x, 2),
+
+
+(x^(2-n*p*q)*(a*(b*x^n)^p)^q, (1//3)*x^(3 - n*p*q)*(a*(b*x^n)^p)^q, x, 2),
+(x^(1-n*p*q)*(a*(b*x^n)^p)^q, (1//2)*x^(2 - n*p*q)*(a*(b*x^n)^p)^q, x, 2),
+(x^(0-n*p*q)*(a*(b*x^n)^p)^q, x^(1 - n*p*q)*(a*(b*x^n)^p)^q, x, 2),
+(x^(-1-n*p*q)*(a*(b*x^n)^p)^q, ((a*(b*x^n)^p)^q*log(x))/x^(n*p*q), x, 2),
+(x^(-2-n*p*q)*(a*(b*x^n)^p)^q, (-x^(-1 - n*p*q))*(a*(b*x^n)^p)^q, x, 2),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^n)^p when n>2 is an integer
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^3)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^3)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(a + b*x^3), (a*x^4)/4 + (b*x^7)/7, x, 2),
+(x^2*(a + b*x^3), (a*x^3)/3 + (b*x^6)/6, x, 2),
+(x*(a + b*x^3), (a*x^2)/2 + (b*x^5)/5, x, 2),
+((a + b*x^3), a*x + (b*x^4)/4, x, 1),
+((a + b*x^3)/x, (b*x^3)/3 + a*log(x), x, 2),
+((a + b*x^3)/x^2, -(a/x) + (b*x^2)/2, x, 2),
+((a + b*x^3)/x^3, -(a/(2*x^2)) + b*x, x, 2),
+((a + b*x^3)/x^4, -(a/(3*x^3)) + b*log(x), x, 2),
+((a + b*x^3)/x^5, -(a/(4*x^4)) - b/x, x, 2),
+((a + b*x^3)/x^6, -(a/(5*x^5)) - b/(2*x^2), x, 2),
+((a + b*x^3)/x^7, -(a/(6*x^6)) - b/(3*x^3), x, 2),
+((a + b*x^3)/x^8, -(a/(7*x^7)) - b/(4*x^4), x, 2),
+
+
+(x^4*(a + b*x^3)^2, (a^2*x^5)/5 + (1//4)*a*b*x^8 + (b^2*x^11)/11, x, 2),
+(x^3*(a + b*x^3)^2, (a^2*x^4)/4 + (2//7)*a*b*x^7 + (b^2*x^10)/10, x, 2),
+(x^2*(a + b*x^3)^2, (a + b*x^3)^3/(9*b), x, 1),
+(x*(a + b*x^3)^2, (a^2*x^2)/2 + (2//5)*a*b*x^5 + (b^2*x^8)/8, x, 2),
+((a + b*x^3)^2, a^2*x + (1//2)*a*b*x^4 + (b^2*x^7)/7, x, 2),
+((a + b*x^3)^2/x, (2//3)*a*b*x^3 + (b^2*x^6)/6 + a^2*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^2/x^2, -(a^2/x) + a*b*x^2 + (b^2*x^5)/5, x, 2),
+((a + b*x^3)^2/x^3, -(a^2/(2*x^2)) + 2*a*b*x + (b^2*x^4)/4, x, 2),
+((a + b*x^3)^2/x^4, -(a^2/(3*x^3)) + (b^2*x^3)/3 + 2*a*b*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^2/x^5, -(a^2/(4*x^4)) - (2*a*b)/x + (b^2*x^2)/2, x, 2),
+((a + b*x^3)^2/x^6, -(a^2/(5*x^5)) - (a*b)/x^2 + b^2*x, x, 2),
+((a + b*x^3)^2/x^7, -(a^2/(6*x^6)) - (2*a*b)/(3*x^3) + b^2*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^2/x^8, -(a^2/(7*x^7)) - (a*b)/(2*x^4) - b^2/x, x, 2),
+((a + b*x^3)^2/x^9, -(a^2/(8*x^8)) - (2*a*b)/(5*x^5) - b^2/(2*x^2), x, 2),
+((a + b*x^3)^2/x^10, -((a + b*x^3)^3/(9*a*x^9)), x, 1),
+((a + b*x^3)^2/x^11, -(a^2/(10*x^10)) - (2*a*b)/(7*x^7) - b^2/(4*x^4), x, 2),
+((a + b*x^3)^2/x^12, -(a^2/(11*x^11)) - (a*b)/(4*x^8) - b^2/(5*x^5), x, 2),
+((a + b*x^3)^2/x^13, -(a^2/(12*x^12)) - (2*a*b)/(9*x^9) - b^2/(6*x^6), x, 3),
+
+
+(x^14*(a + b*x^3)^3, (a^3*x^15)/15 + (1//6)*a^2*b*x^18 + (1//7)*a*b^2*x^21 + (b^3*x^24)/24, x, 3),
+(x^11*(a + b*x^3)^3, (a^3*x^12)/12 + (1//5)*a^2*b*x^15 + (1//6)*a*b^2*x^18 + (b^3*x^21)/21, x, 3),
+(x^8*(a + b*x^3)^3, (a^3*x^9)/9 + (1//4)*a^2*b*x^12 + (1//5)*a*b^2*x^15 + (b^3*x^18)/18, x, 3),
+(x^5*(a + b*x^3)^3, -((a*(a + b*x^3)^4)/(12*b^2)) + (a + b*x^3)^5/(15*b^2), x, 3),
+(x^2*(a + b*x^3)^3, (a + b*x^3)^4/(12*b), x, 1),
+((a + b*x^3)^3/x, a^2*b*x^3 + (1//2)*a*b^2*x^6 + (b^3*x^9)/9 + a^3*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^3/x^4, -(a^3/(3*x^3)) + a*b^2*x^3 + (b^3*x^6)/6 + 3*a^2*b*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^3/x^7, -(a^3/(6*x^6)) - (a^2*b)/x^3 + (b^3*x^3)/3 + 3*a*b^2*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^3/x^10, -(a^3/(9*x^9)) - (a^2*b)/(2*x^6) - (a*b^2)/x^3 + b^3*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^3/x^13, -((a + b*x^3)^4/(12*a*x^12)), x, 1),
+((a + b*x^3)^3/x^16, -((a + b*x^3)^4/(15*a*x^15)) + (b*(a + b*x^3)^4)/(60*a^2*x^12), x, 3),
+((a + b*x^3)^3/x^19, -(a^3/(18*x^18)) - (a^2*b)/(5*x^15) - (a*b^2)/(4*x^12) - b^3/(9*x^9), x, 3),
+((a + b*x^3)^3/x^22, -(a^3/(21*x^21)) - (a^2*b)/(6*x^18) - (a*b^2)/(5*x^15) - b^3/(12*x^12), x, 3),
+
+(x^4*(a + b*x^3)^3, (a^3*x^5)/5 + (3//8)*a^2*b*x^8 + (3//11)*a*b^2*x^11 + (b^3*x^14)/14, x, 2),
+(x^3*(a + b*x^3)^3, (a^3*x^4)/4 + (3//7)*a^2*b*x^7 + (3//10)*a*b^2*x^10 + (b^3*x^13)/13, x, 2),
+(x*(a + b*x^3)^3, (a^3*x^2)/2 + (3//5)*a^2*b*x^5 + (3//8)*a*b^2*x^8 + (b^3*x^11)/11, x, 2),
+((a + b*x^3)^3, a^3*x + (3//4)*a^2*b*x^4 + (3//7)*a*b^2*x^7 + (b^3*x^10)/10, x, 2),
+((a + b*x^3)^3/x^2, -(a^3/x) + (3//2)*a^2*b*x^2 + (3//5)*a*b^2*x^5 + (b^3*x^8)/8, x, 2),
+((a + b*x^3)^3/x^3, -(a^3/(2*x^2)) + 3*a^2*b*x + (3//4)*a*b^2*x^4 + (b^3*x^7)/7, x, 2),
+((a + b*x^3)^3/x^5, -(a^3/(4*x^4)) - (3*a^2*b)/x + (3//2)*a*b^2*x^2 + (b^3*x^5)/5, x, 2),
+((a + b*x^3)^3/x^6, -(a^3/(5*x^5)) - (3*a^2*b)/(2*x^2) + 3*a*b^2*x + (b^3*x^4)/4, x, 2),
+((a + b*x^3)^3/x^8, -(a^3/(7*x^7)) - (3*a^2*b)/(4*x^4) - (3*a*b^2)/x + (b^3*x^2)/2, x, 2),
+
+
+(x^17*(a + b*x^3)^5, (a^5*x^18)/18 + (5*a^4*b*x^21)/21 + (5*a^3*b^2*x^24)/12 + (10*a^2*b^3*x^27)/27 + (a*b^4*x^30)/6 + (b^5*x^33)/33, x, 3),
+(x^14*(a + b*x^3)^5, (a^5*x^15)/15 + (5//18)*a^4*b*x^18 + (10//21)*a^3*b^2*x^21 + (5//12)*a^2*b^3*x^24 + (5//27)*a*b^4*x^27 + (b^5*x^30)/30, x, 3),
+(x^11*(a + b*x^3)^5, -((a^3*(a + b*x^3)^6)/(18*b^4)) + (a^2*(a + b*x^3)^7)/(7*b^4) - (a*(a + b*x^3)^8)/(8*b^4) + (a + b*x^3)^9/(27*b^4), x, 3),
+(x^8*(a + b*x^3)^5, (a^2*(a + b*x^3)^6)/(18*b^3) - (2*a*(a + b*x^3)^7)/(21*b^3) + (a + b*x^3)^8/(24*b^3), x, 3),
+(x^5*(a + b*x^3)^5, -((a*(a + b*x^3)^6)/(18*b^2)) + (a + b*x^3)^7/(21*b^2), x, 3),
+(x^2*(a + b*x^3)^5, (a + b*x^3)^6/(18*b), x, 1),
+((a + b*x^3)^5/x^1, (5*a^4*b*x^3)/3 + (5*a^3*b^2*x^6)/3 + (10*a^2*b^3*x^9)/9 + (5*a*b^4*x^12)/12 + (b^5*x^15)/15 + a^5*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^5/x^4, -a^5/(3*x^3) + (10*a^3*b^2*x^3)/3 + (5*a^2*b^3*x^6)/3 + (5*a*b^4*x^9)/9 + (b^5*x^12)/12 + 5*a^4*b*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^5/x^7, -a^5/(6*x^6) - (5*a^4*b)/(3*x^3) + (10*a^2*b^3*x^3)/3 + (5*a*b^4*x^6)/6 + (b^5*x^9)/9 + 10*a^3*b^2*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^5/x^10, -a^5/(9*x^9) - (5*a^4*b)/(6*x^6) - (10*a^3*b^2)/(3*x^3) + (5*a*b^4*x^3)/3 + (b^5*x^6)/6 + 10*a^2*b^3*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^5/x^13, -a^5/(12*x^12) - (5*a^4*b)/(9*x^9) - (5*a^3*b^2)/(3*x^6) - (10*a^2*b^3)/(3*x^3) + (b^5*x^3)/3 + 5*a*b^4*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^5/x^16, -a^5/(15*x^15) - (5*a^4*b)/(12*x^12) - (10*a^3*b^2)/(9*x^9) - (5*a^2*b^3)/(3*x^6) - (5*a*b^4)/(3*x^3) + b^5*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^5/x^19, -(a + b*x^3)^6/(18*a*x^18), x, 1),
+((a + b*x^3)^5/x^22, -(a + b*x^3)^6/(21*a*x^21) + (b*(a + b*x^3)^6)/(126*a^2*x^18), x, 3),
+((a + b*x^3)^5/x^25, -((a + b*x^3)^6/(24*a*x^24)) + (b*(a + b*x^3)^6)/(84*a^2*x^21) - (b^2*(a + b*x^3)^6)/(504*a^3*x^18), x, 4),
+((a + b*x^3)^5/x^28, -a^5/(27*x^27) - (5*a^4*b)/(24*x^24) - (10*a^3*b^2)/(21*x^21) - (5*a^2*b^3)/(9*x^18) - (a*b^4)/(3*x^15) - b^5/(12*x^12), x, 3),
+((a + b*x^3)^5/x^31, -a^5/(30*x^30) - (5*a^4*b)/(27*x^27) - (5*a^3*b^2)/(12*x^24) - (10*a^2*b^3)/(21*x^21) - (5*a*b^4)/(18*x^18) - b^5/(15*x^15), x, 3),
+
+(x^4*(a + b*x^3)^5, (a^5*x^5)/5 + (5*a^4*b*x^8)/8 + (10*a^3*b^2*x^11)/11 + (5*a^2*b^3*x^14)/7 + (5*a*b^4*x^17)/17 + (b^5*x^20)/20, x, 2),
+(x^3*(a + b*x^3)^5, (a^5*x^4)/4 + (5*a^4*b*x^7)/7 + a^3*b^2*x^10 + (10*a^2*b^3*x^13)/13 + (5*a*b^4*x^16)/16 + (b^5*x^19)/19, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^3)^5, (a^5*x^2)/2 + a^4*b*x^5 + (5*a^3*b^2*x^8)/4 + (10*a^2*b^3*x^11)/11 + (5*a*b^4*x^14)/14 + (b^5*x^17)/17, x, 2),
+(x^0*(a + b*x^3)^5, a^5*x + (5*a^4*b*x^4)/4 + (10*a^3*b^2*x^7)/7 + a^2*b^3*x^10 + (5*a*b^4*x^13)/13 + (b^5*x^16)/16, x, 2),
+((a + b*x^3)^5/x^2, -(a^5/x) + (5*a^4*b*x^2)/2 + 2*a^3*b^2*x^5 + (5*a^2*b^3*x^8)/4 + (5*a*b^4*x^11)/11 + (b^5*x^14)/14, x, 2),
+((a + b*x^3)^5/x^3, -a^5/(2*x^2) + 5*a^4*b*x + (5*a^3*b^2*x^4)/2 + (10*a^2*b^3*x^7)/7 + (a*b^4*x^10)/2 + (b^5*x^13)/13, x, 2),
+((a + b*x^3)^5/x^5, -a^5/(4*x^4) - (5*a^4*b)/x + 5*a^3*b^2*x^2 + 2*a^2*b^3*x^5 + (5*a*b^4*x^8)/8 + (b^5*x^11)/11, x, 2),
+((a + b*x^3)^5/x^6, -a^5/(5*x^5) - (5*a^4*b)/(2*x^2) + 10*a^3*b^2*x + (5*a^2*b^3*x^4)/2 + (5*a*b^4*x^7)/7 + (b^5*x^10)/10, x, 2),
+((a + b*x^3)^5/x^8, -a^5/(7*x^7) - (5*a^4*b)/(4*x^4) - (10*a^3*b^2)/x + 5*a^2*b^3*x^2 + a*b^4*x^5 + (b^5*x^8)/8, x, 2),
+((a + b*x^3)^5/x^9, -a^5/(8*x^8) - (a^4*b)/x^5 - (5*a^3*b^2)/x^2 + 10*a^2*b^3*x + (5*a*b^4*x^4)/4 + (b^5*x^7)/7, x, 2),
+
+
+(x^20*(a + b*x^3)^8, (a^6*(a + b*x^3)^9)/(27*b^7) - (a^5*(a + b*x^3)^10)/(5*b^7) + (5*a^4*(a + b*x^3)^11)/(11*b^7) - (5*a^3*(a + b*x^3)^12)/(9*b^7) + (5*a^2*(a + b*x^3)^13)/(13*b^7) - (a*(a + b*x^3)^14)/(7*b^7) + (a + b*x^3)^15/(45*b^7), x, 3),
+(x^17*(a + b*x^3)^8, -((a^5*(a + b*x^3)^9)/(27*b^6)) + (a^4*(a + b*x^3)^10)/(6*b^6) - (10*a^3*(a + b*x^3)^11)/(33*b^6) + (5*a^2*(a + b*x^3)^12)/(18*b^6) - (5*a*(a + b*x^3)^13)/(39*b^6) + (a + b*x^3)^14/(42*b^6), x, 3),
+(x^14*(a + b*x^3)^8, (a^4*(a + b*x^3)^9)/(27*b^5) - (2*a^3*(a + b*x^3)^10)/(15*b^5) + (2*a^2*(a + b*x^3)^11)/(11*b^5) - (a*(a + b*x^3)^12)/(9*b^5) + (a + b*x^3)^13/(39*b^5), x, 3),
+(x^11*(a + b*x^3)^8, -((a^3*(a + b*x^3)^9)/(27*b^4)) + (a^2*(a + b*x^3)^10)/(10*b^4) - (a*(a + b*x^3)^11)/(11*b^4) + (a + b*x^3)^12/(36*b^4), x, 3),
+(x^8*(a + b*x^3)^8, (a^2*(a + b*x^3)^9)/(27*b^3) - (a*(a + b*x^3)^10)/(15*b^3) + (a + b*x^3)^11/(33*b^3), x, 3),
+(x^5*(a + b*x^3)^8, -((a*(a + b*x^3)^9)/(27*b^2)) + (a + b*x^3)^10/(30*b^2), x, 3),
+(x^2*(a + b*x^3)^8, (a + b*x^3)^9/(27*b), x, 1),
+((a + b*x^3)^8/x^1, (8*a^7*b*x^3)/3 + (14*a^6*b^2*x^6)/3 + (56*a^5*b^3*x^9)/9 + (35*a^4*b^4*x^12)/6 + (56*a^3*b^5*x^15)/15 + (14*a^2*b^6*x^18)/9 + (8*a*b^7*x^21)/21 + (b^8*x^24)/24 + a^8*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^8/x^4, -a^8/(3*x^3) + (28*a^6*b^2*x^3)/3 + (28*a^5*b^3*x^6)/3 + (70*a^4*b^4*x^9)/9 + (14*a^3*b^5*x^12)/3 + (28*a^2*b^6*x^15)/15 + (4*a*b^7*x^18)/9 + (b^8*x^21)/21 + 8*a^7*b*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^8/x^7, -a^8/(6*x^6) - (8*a^7*b)/(3*x^3) + (56*a^5*b^3*x^3)/3 + (35*a^4*b^4*x^6)/3 + (56*a^3*b^5*x^9)/9 + (7*a^2*b^6*x^12)/3 + (8*a*b^7*x^15)/15 + (b^8*x^18)/18 + 28*a^6*b^2*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^8/x^10, -a^8/(9*x^9) - (4*a^7*b)/(3*x^6) - (28*a^6*b^2)/(3*x^3) + (70*a^4*b^4*x^3)/3 + (28*a^3*b^5*x^6)/3 + (28*a^2*b^6*x^9)/9 + (2*a*b^7*x^12)/3 + (b^8*x^15)/15 + 56*a^5*b^3*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^8/x^13, -a^8/(12*x^12) - (8*a^7*b)/(9*x^9) - (14*a^6*b^2)/(3*x^6) - (56*a^5*b^3)/(3*x^3) + (56*a^3*b^5*x^3)/3 + (14*a^2*b^6*x^6)/3 + (8*a*b^7*x^9)/9 + (b^8*x^12)/12 + 70*a^4*b^4*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^8/x^16, -a^8/(15*x^15) - (2*a^7*b)/(3*x^12) - (28*a^6*b^2)/(9*x^9) - (28*a^5*b^3)/(3*x^6) - (70*a^4*b^4)/(3*x^3) + (28*a^2*b^6*x^3)/3 + (4*a*b^7*x^6)/3 + (b^8*x^9)/9 + 56*a^3*b^5*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^8/x^19, -a^8/(18*x^18) - (8*a^7*b)/(15*x^15) - (7*a^6*b^2)/(3*x^12) - (56*a^5*b^3)/(9*x^9) - (35*a^4*b^4)/(3*x^6) - (56*a^3*b^5)/(3*x^3) + (8*a*b^7*x^3)/3 + (b^8*x^6)/6 + 28*a^2*b^6*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^8/x^22, -a^8/(21*x^21) - (4*a^7*b)/(9*x^18) - (28*a^6*b^2)/(15*x^15) - (14*a^5*b^3)/(3*x^12) - (70*a^4*b^4)/(9*x^9) - (28*a^3*b^5)/(3*x^6) - (28*a^2*b^6)/(3*x^3) + (b^8*x^3)/3 + 8*a*b^7*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^8/x^25, -a^8/(24*x^24) - (8*a^7*b)/(21*x^21) - (14*a^6*b^2)/(9*x^18) - (56*a^5*b^3)/(15*x^15) - (35*a^4*b^4)/(6*x^12) - (56*a^3*b^5)/(9*x^9) - (14*a^2*b^6)/(3*x^6) - (8*a*b^7)/(3*x^3) + b^8*log(x), x, 3),
+((a + b*x^3)^8/x^28, -(a + b*x^3)^9/(27*a*x^27), x, 1),
+((a + b*x^3)^8/x^31, -(a + b*x^3)^9/(30*a*x^30) + (b*(a + b*x^3)^9)/(270*a^2*x^27), x, 3),
+((a + b*x^3)^8/x^34, -(a + b*x^3)^9/(33*a*x^33) + (b*(a + b*x^3)^9)/(165*a^2*x^30) - (b^2*(a + b*x^3)^9)/(1485*a^3*x^27), x, 4),
+((a + b*x^3)^8/x^37, -((a + b*x^3)^9/(36*a*x^36)) + (b*(a + b*x^3)^9)/(132*a^2*x^33) - (b^2*(a + b*x^3)^9)/(660*a^3*x^30) + (b^3*(a + b*x^3)^9)/(5940*a^4*x^27), x, 5),
+((a + b*x^3)^8/x^40, -((a + b*x^3)^9/(39*a*x^39)) + (b*(a + b*x^3)^9)/(117*a^2*x^36) - (b^2*(a + b*x^3)^9)/(429*a^3*x^33) + (b^3*(a + b*x^3)^9)/(2145*a^4*x^30) - (b^4*(a + b*x^3)^9)/(19305*a^5*x^27), x, 6),
+((a + b*x^3)^8/x^43, -a^8/(42*x^42) - (8*a^7*b)/(39*x^39) - (7*a^6*b^2)/(9*x^36) - (56*a^5*b^3)/(33*x^33) - (7*a^4*b^4)/(3*x^30) - (56*a^3*b^5)/(27*x^27) - (7*a^2*b^6)/(6*x^24) - (8*a*b^7)/(21*x^21) - b^8/(18*x^18), x, 3),
+((a + b*x^3)^8/x^46, -a^8/(45*x^45) - (4*a^7*b)/(21*x^42) - (28*a^6*b^2)/(39*x^39) - (14*a^5*b^3)/(9*x^36) - (70*a^4*b^4)/(33*x^33) - (28*a^3*b^5)/(15*x^30) - (28*a^2*b^6)/(27*x^27) - (a*b^7)/(3*x^24) - b^8/(21*x^21), x, 3),
+
+(x^4*(a + b*x^3)^8, (a^8*x^5)/5 + a^7*b*x^8 + (28*a^6*b^2*x^11)/11 + 4*a^5*b^3*x^14 + (70*a^4*b^4*x^17)/17 + (14*a^3*b^5*x^20)/5 + (28*a^2*b^6*x^23)/23 + (4*a*b^7*x^26)/13 + (b^8*x^29)/29, x, 2),
+(x^3*(a + b*x^3)^8, (a^8*x^4)/4 + (8*a^7*b*x^7)/7 + (14*a^6*b^2*x^10)/5 + (56*a^5*b^3*x^13)/13 + (35*a^4*b^4*x^16)/8 + (56*a^3*b^5*x^19)/19 + (14*a^2*b^6*x^22)/11 + (8*a*b^7*x^25)/25 + (b^8*x^28)/28, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^3)^8, (a^8*x^2)/2 + (8*a^7*b*x^5)/5 + (7*a^6*b^2*x^8)/2 + (56*a^5*b^3*x^11)/11 + 5*a^4*b^4*x^14 + (56*a^3*b^5*x^17)/17 + (7*a^2*b^6*x^20)/5 + (8*a*b^7*x^23)/23 + (b^8*x^26)/26, x, 2),
+(x^0*(a + b*x^3)^8, a^8*x + 2*a^7*b*x^4 + 4*a^6*b^2*x^7 + (28*a^5*b^3*x^10)/5 + (70*a^4*b^4*x^13)/13 + (7*a^3*b^5*x^16)/2 + (28*a^2*b^6*x^19)/19 + (4*a*b^7*x^22)/11 + (b^8*x^25)/25, x, 2),
+((a + b*x^3)^8/x^2, -(a^8/x) + 4*a^7*b*x^2 + (28*a^6*b^2*x^5)/5 + 7*a^5*b^3*x^8 + (70*a^4*b^4*x^11)/11 + 4*a^3*b^5*x^14 + (28*a^2*b^6*x^17)/17 + (2*a*b^7*x^20)/5 + (b^8*x^23)/23, x, 2),
+((a + b*x^3)^8/x^3, -a^8/(2*x^2) + 8*a^7*b*x + 7*a^6*b^2*x^4 + 8*a^5*b^3*x^7 + 7*a^4*b^4*x^10 + (56*a^3*b^5*x^13)/13 + (7*a^2*b^6*x^16)/4 + (8*a*b^7*x^19)/19 + (b^8*x^22)/22, x, 2),
+((a + b*x^3)^8/x^5, -a^8/(4*x^4) - (8*a^7*b)/x + 14*a^6*b^2*x^2 + (56*a^5*b^3*x^5)/5 + (35*a^4*b^4*x^8)/4 + (56*a^3*b^5*x^11)/11 + 2*a^2*b^6*x^14 + (8*a*b^7*x^17)/17 + (b^8*x^20)/20, x, 2),
+((a + b*x^3)^8/x^6, -a^8/(5*x^5) - (4*a^7*b)/x^2 + 28*a^6*b^2*x + 14*a^5*b^3*x^4 + 10*a^4*b^4*x^7 + (28*a^3*b^5*x^10)/5 + (28*a^2*b^6*x^13)/13 + (a*b^7*x^16)/2 + (b^8*x^19)/19, x, 2),
+((a + b*x^3)^8/x^8, -a^8/(7*x^7) - (2*a^7*b)/x^4 - (28*a^6*b^2)/x + 28*a^5*b^3*x^2 + 14*a^4*b^4*x^5 + 7*a^3*b^5*x^8 + (28*a^2*b^6*x^11)/11 + (4*a*b^7*x^14)/7 + (b^8*x^17)/17, x, 2),
+((a + b*x^3)^8/x^9, -a^8/(8*x^8) - (8*a^7*b)/(5*x^5) - (14*a^6*b^2)/x^2 + 56*a^5*b^3*x + (35*a^4*b^4*x^4)/2 + 8*a^3*b^5*x^7 + (14*a^2*b^6*x^10)/5 + (8*a*b^7*x^13)/13 + (b^8*x^16)/16, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^8/(a + b*x^3), -((a*x^3)/(3*b^2)) + x^6/(6*b) + (a^2*log(a + b*x^3))/(3*b^3), x, 3),
+(x^5/(a + b*x^3), x^3/(3*b) - (a*log(a + b*x^3))/(3*b^2), x, 3),
+(x^2/(a + b*x^3), log(a + b*x^3)/(3*b), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^3)), log(x)/a - log(a + b*x^3)/(3*a), x, 4),
+(1/(x^4*(a + b*x^3)), -(1/(3*a*x^3)) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x^3))/(3*a^2), x, 3),
+
+(x^4/(a + b*x^3), x^2/(2*b) + (a^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(5//3)) + (a^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(5//3)) - (a^(2//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(5//3)), x, 7),
+(x^3/(a + b*x^3), x/b + (a^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(4//3)) - (a^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(4//3)) + (a^(1//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(4//3)), x, 7),
+(x^1/(a + b*x^3), -(atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(1//3)*b^(2//3))) - log(a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(3*a^(1//3)*b^(2//3)) + log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(6*a^(1//3)*b^(2//3)), x, 6),
+(x^0/(a + b*x^3), -(atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(1//3))) + log(a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(3*a^(2//3)*b^(1//3)) - log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(6*a^(2//3)*b^(1//3)), x, 6),
+(1/(x^2*(a + b*x^3)), -(1/(a*x)) + (b^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(4//3)) + (b^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(4//3)) - (b^(1//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(4//3)), x, 7),
+(1/(x^3*(a + b*x^3)), -(1/(2*a*x^2)) + (b^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(5//3)) - (b^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(5//3)) + (b^(2//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(5//3)), x, 7),
+
+
+(x^8/(a + b*x^3)^2, x^3/(3*b^2) - a^2/(3*b^3*(a + b*x^3)) - (2*a*log(a + b*x^3))/(3*b^3), x, 3),
+(x^5/(a + b*x^3)^2, a/(3*b^2*(a + b*x^3)) + log(a + b*x^3)/(3*b^2), x, 3),
+(x^2/(a + b*x^3)^2, -(1/(3*b*(a + b*x^3))), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^3)^2), 1/(3*a*(a + b*x^3)) + log(x)/a^2 - log(a + b*x^3)/(3*a^2), x, 3),
+(1/(x^4*(a + b*x^3)^2), -(1/(3*a^2*x^3)) - b/(3*a^2*(a + b*x^3)) - (2*b*log(x))/a^3 + (2*b*log(a + b*x^3))/(3*a^3), x, 3),
+
+(x^4/(a + b*x^3)^2, -(x^2/(3*b*(a + b*x^3))) - (2*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(1//3)*b^(5//3)) - (2*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(1//3)*b^(5//3)) + log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(9*a^(1//3)*b^(5//3)), x, 7),
+(x^3/(a + b*x^3)^2, -(x/(3*b*(a + b*x^3))) - atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(3*sqrt(3)*a^(2//3)*b^(4//3)) + log(a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(9*a^(2//3)*b^(4//3)) - log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(18*a^(2//3)*b^(4//3)), x, 7),
+(x^1/(a + b*x^3)^2, x^2/(3*a*(a + b*x^3)) - atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(3*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(2//3)) - log(a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(9*a^(4//3)*b^(2//3)) + log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(18*a^(4//3)*b^(2//3)), x, 7),
+(x^0/(a + b*x^3)^2, x/(3*a*(a + b*x^3)) - (2*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(1//3)) + (2*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(5//3)*b^(1//3)) - log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(9*a^(5//3)*b^(1//3)), x, 7),
+(1/(x^2*(a + b*x^3)^2), -(4/(3*a^2*x)) + 1/(3*a*x*(a + b*x^3)) + (4*b^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(7//3)) + (4*b^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(7//3)) - (2*b^(1//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(9*a^(7//3)), x, 8),
+(1/(x^3*(a + b*x^3)^2), -(5/(6*a^2*x^2)) + 1/(3*a*x^2*(a + b*x^3)) + (5*b^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(8//3)) - (5*b^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(8//3)) + (5*b^(2//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(8//3)), x, 8),
+
+
+(x^11/(a + b*x^3)^3, x^3/(3*b^3) + a^3/(6*b^4*(a + b*x^3)^2) - a^2/(b^4*(a + b*x^3)) - (a*log(a + b*x^3))/b^4, x, 3),
+(x^8/(a + b*x^3)^3, -(a^2/(6*b^3*(a + b*x^3)^2)) + (2*a)/(3*b^3*(a + b*x^3)) + log(a + b*x^3)/(3*b^3), x, 3),
+(x^5/(a + b*x^3)^3, x^6/(6*a*(a + b*x^3)^2), x, 1),
+(x^2/(a + b*x^3)^3, -(1/(6*b*(a + b*x^3)^2)), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^3)^3), 1/(6*a*(a + b*x^3)^2) + 1/(3*a^2*(a + b*x^3)) + log(x)/a^3 - log(a + b*x^3)/(3*a^3), x, 3),
+(1/(x^4*(a + b*x^3)^3), -(1/(3*a^3*x^3)) - b/(6*a^2*(a + b*x^3)^2) - (2*b)/(3*a^3*(a + b*x^3)) - (3*b*log(x))/a^4 + (b*log(a + b*x^3))/a^4, x, 3),
+
+(x^7/(a + b*x^3)^3, -(x^5/(6*b*(a + b*x^3)^2)) - (5*x^2)/(18*b^2*(a + b*x^3)) - (5*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(1//3)*b^(8//3)) - (5*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(1//3)*b^(8//3)) + (5*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(1//3)*b^(8//3)), x, 8),
+(x^6/(a + b*x^3)^3, -(x^4/(6*b*(a + b*x^3)^2)) - (2*x)/(9*b^2*(a + b*x^3)) - (2*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(2//3)*b^(7//3)) + (2*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(2//3)*b^(7//3)) - log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(27*a^(2//3)*b^(7//3)), x, 8),
+(x^4/(a + b*x^3)^3, -(x^2/(6*b*(a + b*x^3)^2)) + x^2/(9*a*b*(a + b*x^3)) - atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(9*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(5//3)) - log(a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(27*a^(4//3)*b^(5//3)) + log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(54*a^(4//3)*b^(5//3)), x, 8),
+(x^3/(a + b*x^3)^3, -(x/(6*b*(a + b*x^3)^2)) + x/(18*a*b*(a + b*x^3)) - atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(9*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(4//3)) + log(a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(27*a^(5//3)*b^(4//3)) - log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(54*a^(5//3)*b^(4//3)), x, 8),
+(x/(a + b*x^3)^3, x^2/(6*a*(a + b*x^3)^2) + (2*x^2)/(9*a^2*(a + b*x^3)) - (2*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(7//3)*b^(2//3)) - (2*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(7//3)*b^(2//3)) + log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(27*a^(7//3)*b^(2//3)), x, 8),
+(1/(a + b*x^3)^3, x/(6*a*(a + b*x^3)^2) + (5*x)/(18*a^2*(a + b*x^3)) - (5*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(8//3)*b^(1//3)) + (5*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(8//3)*b^(1//3)) - (5*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(8//3)*b^(1//3)), x, 8),
+
+
+(x^8/(a - b*x^3), -((a*x^3)/(3*b^2)) - x^6/(6*b) - (a^2*log(a - b*x^3))/(3*b^3), x, 3),
+(x^5/(a - b*x^3), -(x^3/(3*b)) - (a*log(a - b*x^3))/(3*b^2), x, 3),
+(x^2/(a - b*x^3), -(log(a - b*x^3)/(3*b)), x, 1),
+(1/(x^1*(a - b*x^3)), log(x)/a - log(a - b*x^3)/(3*a), x, 4),
+(1/(x^4*(a - b*x^3)), -(1/(3*a*x^3)) + (b*log(x))/a^2 - (b*log(a - b*x^3))/(3*a^2), x, 3),
+
+(x^4/(a - b*x^3), -(x^2/(2*b)) - (a^(2//3)*atan((a^(1//3) + 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(5//3)) - (a^(2//3)*log(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/(3*b^(5//3)) + (a^(2//3)*log(a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(5//3)), x, 7),
+(x^3/(a - b*x^3), -(x/b) + (a^(1//3)*atan((a^(1//3) + 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(4//3)) - (a^(1//3)*log(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/(3*b^(4//3)) + (a^(1//3)*log(a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(4//3)), x, 7),
+(x^1/(a - b*x^3), -(atan((a^(1//3) + 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(1//3)*b^(2//3))) - log(a^(1//3) - b^(1//3)*x)/(3*a^(1//3)*b^(2//3)) + log(a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(6*a^(1//3)*b^(2//3)), x, 6),
+(x^0/(a - b*x^3), atan((a^(1//3) + 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(1//3)) - log(a^(1//3) - b^(1//3)*x)/(3*a^(2//3)*b^(1//3)) + log(a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(6*a^(2//3)*b^(1//3)), x, 6),
+(1/(x^2*(a - b*x^3)), -(1/(a*x)) - (b^(1//3)*atan((a^(1//3) + 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(4//3)) - (b^(1//3)*log(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/(3*a^(4//3)) + (b^(1//3)*log(a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(4//3)), x, 7),
+(1/(x^3*(a - b*x^3)), -(1/(2*a*x^2)) + (b^(2//3)*atan((a^(1//3) + 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(5//3)) - (b^(2//3)*log(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/(3*a^(5//3)) + (b^(2//3)*log(a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(5//3)), x, 7),
+
+
+(1/(1 + a + b*x^3), -(atan((1 - (2*b^(1//3)*x)/(1 + a)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*(1 + a)^(2//3)*b^(1//3))) + log((1 + a)^(1//3) + b^(1//3)*x)/(3*(1 + a)^(2//3)*b^(1//3)) - log((1 + a)^(2//3) - (1 + a)^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(6*(1 + a)^(2//3)*b^(1//3)), x, 6),
+(1/(1 + a - b*x^3), atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(1 + a)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*(1 + a)^(2//3)*b^(1//3)) - log((1 + a)^(1//3) - b^(1//3)*x)/(3*(1 + a)^(2//3)*b^(1//3)) + log((1 + a)^(2//3) + (1 + a)^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(6*(1 + a)^(2//3)*b^(1//3)), x, 6),
+(1/(-1 + a + b*x^3), -(atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(1 - a)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*(1 - a)^(2//3)*b^(1//3))) + log((1 - a)^(1//3) - b^(1//3)*x)/(3*(1 - a)^(2//3)*b^(1//3)) - log((1 - a)^(2//3) + (1 - a)^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(6*(1 - a)^(2//3)*b^(1//3)), x, 6),
+(1/(-1 + a - b*x^3), atan((1 - (2*b^(1//3)*x)/(1 - a)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*(1 - a)^(2//3)*b^(1//3)) - log((1 - a)^(1//3) + b^(1//3)*x)/(3*(1 - a)^(2//3)*b^(1//3)) + log((1 - a)^(2//3) - (1 - a)^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(6*(1 - a)^(2//3)*b^(1//3)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^3)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(sqrt(x)/(1 + x^3), (2*atan(x^(3//2)))/3, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^3)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^11*sqrt(a + b*x^3), (-2*a^3*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b^4) + (2*a^2*(a + b*x^3)^(5//2))/(5*b^4) - (2*a*(a + b*x^3)^(7//2))/(7*b^4) + (2*(a + b*x^3)^(9//2))/(27*b^4), x, 3),
+(x^8*sqrt(a + b*x^3), (2*a^2*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b^3) - (4*a*(a + b*x^3)^(5//2))/(15*b^3) + (2*(a + b*x^3)^(7//2))/(21*b^3), x, 3),
+(x^5*sqrt(a + b*x^3), (-2*a*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b^2) + (2*(a + b*x^3)^(5//2))/(15*b^2), x, 3),
+(x^2*sqrt(a + b*x^3), (2*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b), x, 1),
+(sqrt(a + b*x^3)/x^1, (2*sqrt(a + b*x^3))/3 - (2*sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/3, x, 4),
+(sqrt(a + b*x^3)/x^4, -sqrt(a + b*x^3)/(3*x^3) - (b*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*sqrt(a)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x^3)/x^7, -sqrt(a + b*x^3)/(6*x^6) - (b*sqrt(a + b*x^3))/(12*a*x^3) + (b^2*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(12*a^(3//2)), x, 5),
+(sqrt(a + b*x^3)/x^10, -sqrt(a + b*x^3)/(9*x^9) - (b*sqrt(a + b*x^3))/(36*a*x^6) + (b^2*sqrt(a + b*x^3))/(24*a^2*x^3) - (b^3*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(24*a^(5//2)), x, 6),
+
+(x^6*sqrt(a + b*x^3), (-48*a^2*x*sqrt(a + b*x^3))/(935*b^2) + (6*a*x^4*sqrt(a + b*x^3))/(187*b) + (2*x^7*sqrt(a + b*x^3))/17 + (32*3^(3//4)*sqrt(2+sqrt(3))*a^3*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(935*b^(7//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(x^3*sqrt(a + b*x^3), (6*a*x*sqrt(a + b*x^3))/(55*b) + (2*x^4*sqrt(a + b*x^3))/11 - (4*3^(3//4)*sqrt(2+sqrt(3))*a^2*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(55*b^(4//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^0*sqrt(a + b*x^3), (2*x*sqrt(a + b*x^3))/5 + (2*3^(3//4)*sqrt(2+sqrt(3))*a*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(5*b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 2),
+(sqrt(a + b*x^3)/x^3, -sqrt(a + b*x^3)/(2*x^2) + (3^(3//4)*sqrt(2+sqrt(3))*b^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 2),
+(sqrt(a + b*x^3)/x^6, -sqrt(a + b*x^3)/(5*x^5) - (3*b*sqrt(a + b*x^3))/(20*a*x^2) - (3^(3//4)*sqrt(2+sqrt(3))*b^(5//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(20*a*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+(sqrt(a + b*x^3)/x^9, -sqrt(a + b*x^3)/(8*x^8) - (3*b*sqrt(a + b*x^3))/(80*a*x^5) + (21*b^2*sqrt(a + b*x^3))/(320*a^2*x^2) + (7*3^(3//4)*sqrt(2+sqrt(3))*b^(8//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(320*a^2*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+
+(x^7*sqrt(a + b*x^3), (-60*a^2*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(1729*b^2) + (6*a*x^5*sqrt(a + b*x^3))/(247*b) + (2*x^8*sqrt(a + b*x^3))/19 + (240*a^3*sqrt(a + b*x^3))/(1729*b^(8//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (120*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(10//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (80*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(10//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+(x^4*sqrt(a + b*x^3), (6*a*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(91*b) + (2*x^5*sqrt(a + b*x^3))/13 - (24*a^2*sqrt(a + b*x^3))/(91*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (12*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(7//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (8*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(7//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+(x^1*sqrt(a + b*x^3), (2*x^2*sqrt(a + b*x^3))/7 + (6*a*sqrt(a + b*x^3))/(7*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x^3)/x^2, -(sqrt(a + b*x^3)/x) + (3*b^(1//3)*sqrt(a + b*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (sqrt(2)*3^(3//4)*a^(1//3)*b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x^3)/x^5, -sqrt(a + b*x^3)/(4*x^4) - (3*b*sqrt(a + b*x^3))/(8*a*x) + (3*b^(4//3)*sqrt(a + b*x^3))/(8*a*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (3^(3//4)*b^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+
+
+(x^11*(a + b*x^3)^(3//2), (-2*a^3*(a + b*x^3)^(5//2))/(15*b^4) + (2*a^2*(a + b*x^3)^(7//2))/(7*b^4) - (2*a*(a + b*x^3)^(9//2))/(9*b^4) + (2*(a + b*x^3)^(11//2))/(33*b^4), x, 3),
+(x^8*(a + b*x^3)^(3//2), (2*a^2*(a + b*x^3)^(5//2))/(15*b^3) - (4*a*(a + b*x^3)^(7//2))/(21*b^3) + (2*(a + b*x^3)^(9//2))/(27*b^3), x, 3),
+(x^5*(a + b*x^3)^(3//2), (-2*a*(a + b*x^3)^(5//2))/(15*b^2) + (2*(a + b*x^3)^(7//2))/(21*b^2), x, 3),
+(x^2*(a + b*x^3)^(3//2), (2*(a + b*x^3)^(5//2))/(15*b), x, 1),
+((a + b*x^3)^(3//2)/x^1, (2*a*sqrt(a + b*x^3))/3 + (2*(a + b*x^3)^(3//2))/9 - (2*a^(3//2)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/3, x, 5),
+((a + b*x^3)^(3//2)/x^4, b*sqrt(a + b*x^3) - (a + b*x^3)^(3//2)/(3*x^3) - sqrt(a)*b*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)), x, 5),
+((a + b*x^3)^(3//2)/x^7, -(b*sqrt(a + b*x^3))/(4*x^3) - (a + b*x^3)^(3//2)/(6*x^6) - (b^2*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)), x, 5),
+
+(x^6*(a + b*x^3)^(3//2), (-432*a^3*x*sqrt(a + b*x^3))/(21505*b^2) + (54*a^2*x^4*sqrt(a + b*x^3))/(4301*b) + (18*a*x^7*sqrt(a + b*x^3))/391 + (2*x^7*(a + b*x^3)^(3//2))/23 + (288*3^(3//4)*sqrt(2+sqrt(3))*a^4*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(21505*b^(7//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+(x^3*(a + b*x^3)^(3//2), (54*a^2*x*sqrt(a + b*x^3))/(935*b) + (18*a*x^4*sqrt(a + b*x^3))/187 + (2*x^4*(a + b*x^3)^(3//2))/17 - (36*3^(3//4)*sqrt(2+sqrt(3))*a^3*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(935*b^(4//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(x^0*(a + b*x^3)^(3//2), (18*a*x*sqrt(a + b*x^3))/55 + (2*x*(a + b*x^3)^(3//2))/11 + (18*3^(3//4)*sqrt(2+sqrt(3))*a^2*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(55*b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+((a + b*x^3)^(3//2)/x^3, (9*b*x*sqrt(a + b*x^3))/10 - (a + b*x^3)^(3//2)/(2*x^2) + (9*3^(3//4)*sqrt(2+sqrt(3))*a*b^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(10*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+((a + b*x^3)^(3//2)/x^6, (-9*b*sqrt(a + b*x^3))/(20*x^2) - (a + b*x^3)^(3//2)/(5*x^5) + (9*3^(3//4)*sqrt(2+sqrt(3))*b^(5//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(20*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+
+(x^7*(a + b*x^3)^(3//2), (-108*a^3*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(8645*b^2) + (54*a^2*x^5*sqrt(a + b*x^3))/(6175*b) + (18*a*x^8*sqrt(a + b*x^3))/475 + (432*a^4*sqrt(a + b*x^3))/(8645*b^(8//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*x^8*(a + b*x^3)^(3//2))/25 - (216*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(13//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(8645*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (144*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(13//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(8645*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 7),
+(x^4*(a + b*x^3)^(3//2), (54*a^2*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(1729*b) + (18*a*x^5*sqrt(a + b*x^3))/247 - (216*a^3*sqrt(a + b*x^3))/(1729*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*x^5*(a + b*x^3)^(3//2))/19 + (108*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(10//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (72*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(10//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+(x^1*(a + b*x^3)^(3//2), (18*a*x^2*sqrt(a + b*x^3))/91 + (54*a^2*sqrt(a + b*x^3))/(91*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*x^2*(a + b*x^3)^(3//2))/13 - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(7//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (18*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(7//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((a + b*x^3)^(3//2)/x^2, (9*b*x^2*sqrt(a + b*x^3))/7 + (27*a*b^(1//3)*sqrt(a + b*x^3))/(7*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (a + b*x^3)^(3//2)/x - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(14*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (9*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(4//3)*b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((a + b*x^3)^(3//2)/x^5, (-9*b*sqrt(a + b*x^3))/(8*x) + (27*b^(4//3)*sqrt(a + b*x^3))/(8*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (a + b*x^3)^(3//2)/(4*x^4) - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*b^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (9*3^(3//4)*a^(1//3)*b^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^11/sqrt(a + b*x^3), (-2*a^3*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^4) + (2*a^2*(a + b*x^3)^(3//2))/(3*b^4) - (2*a*(a + b*x^3)^(5//2))/(5*b^4) + (2*(a + b*x^3)^(7//2))/(21*b^4), x, 3),
+(x^8/sqrt(a + b*x^3), (2*a^2*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^3) - (4*a*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b^3) + (2*(a + b*x^3)^(5//2))/(15*b^3), x, 3),
+(x^5/sqrt(a + b*x^3), (-2*a*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^2) + (2*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b^2), x, 3),
+(x^2/sqrt(a + b*x^3), (2*sqrt(a + b*x^3))/(3*b), x, 1),
+(1/(x^1*sqrt(a + b*x^3)), (-2*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*sqrt(a)), x, 3),
+(1/(x^4*sqrt(a + b*x^3)), -sqrt(a + b*x^3)/(3*a*x^3) + (b*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*a^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^7*sqrt(a + b*x^3)), -sqrt(a + b*x^3)/(6*a*x^6) + (b*sqrt(a + b*x^3))/(4*a^2*x^3) - (b^2*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(4*a^(5//2)), x, 5),
+
+(x^6/sqrt(a + b*x^3), (-16*a*x*sqrt(a + b*x^3))/(55*b^2) + (2*x^4*sqrt(a + b*x^3))/(11*b) + (32*sqrt(2+sqrt(3))/3^(1//4)*a^2*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(55*b^(7//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^3/sqrt(a + b*x^3), (2*x*sqrt(a + b*x^3))/(5*b) - (4*sqrt(2+sqrt(3))/3^(1//4)*a*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(5*b^(4//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 2),
+(x^0/sqrt(a + b*x^3), (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 1),
+(1/(x^3*sqrt(a + b*x^3)), -sqrt(a + b*x^3)/(2*a*x^2) - (sqrt(2+sqrt(3))/3^(1//4)*b^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*a*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 2),
+(1/(x^6*sqrt(a + b*x^3)), -sqrt(a + b*x^3)/(5*a*x^5) + (7*b*sqrt(a + b*x^3))/(20*a^2*x^2) + (7*sqrt(2+sqrt(3))/3^(1//4)*b^(5//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(20*a^2*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+
+(x^7/sqrt(a + b*x^3), (-20*a*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(91*b^2) + (2*x^5*sqrt(a + b*x^3))/(13*b) + (80*a^2*sqrt(a + b*x^3))/(91*b^(8//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (40*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(7//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (80*sqrt(2)*a^(7//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*3^(1//4)*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+(x^4/sqrt(a + b*x^3), (2*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(7*b) - (8*a*sqrt(a + b*x^3))/(7*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (8*sqrt(2)*a^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*3^(1//4)*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(x^1/sqrt(a + b*x^3), (2*sqrt(a + b*x^3))/(b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2)*a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(a + b*x^3)), -(sqrt(a + b*x^3)/(a*x)) + (b^(1//3)*sqrt(a + b*x^3))/(a*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (sqrt(2)*b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(1/(x^5*sqrt(a + b*x^3)), -sqrt(a + b*x^3)/(4*a*x^4) + (5*b*sqrt(a + b*x^3))/(8*a^2*x) - (5*b^(4//3)*sqrt(a + b*x^3))/(8*a^2*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (5*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*a^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (5*b^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+
+
+(x^11/(a + b*x^3)^(3//2), (2*a^3)/(3*b^4*sqrt(a + b*x^3)) + (2*a^2*sqrt(a + b*x^3))/b^4 - (2*a*(a + b*x^3)^(3//2))/(3*b^4) + (2*(a + b*x^3)^(5//2))/(15*b^4), x, 3),
+(x^8/(a + b*x^3)^(3//2), (-2*a^2)/(3*b^3*sqrt(a + b*x^3)) - (4*a*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^3) + (2*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b^3), x, 3),
+(x^5/(a + b*x^3)^(3//2), (2*a)/(3*b^2*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^2), x, 3),
+(x^2/(a + b*x^3)^(3//2), -2/(3*b*sqrt(a + b*x^3)), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^3)^(3//2)), 2/(3*a*sqrt(a + b*x^3)) - (2*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*a^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^4*(a + b*x^3)^(3//2)), -(b/(a^2*sqrt(a + b*x^3))) - 1/(3*a*x^3*sqrt(a + b*x^3)) + (b*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 5),
+(1/(x^7*(a + b*x^3)^(3//2)), (5*b^2)/(4*a^3*sqrt(a + b*x^3)) - 1/(6*a*x^6*sqrt(a + b*x^3)) + (5*b)/(12*a^2*x^3*sqrt(a + b*x^3)) - (5*b^2*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(4*a^(7//2)), x, 6),
+
+(x^6/(a + b*x^3)^(3//2), (-2*x^4)/(3*b*sqrt(a + b*x^3)) + (16*x*sqrt(a + b*x^3))/(15*b^2) - (32*sqrt(2+sqrt(3))/3^(1//4)*a*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(15*b^(7//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^3/(a + b*x^3)^(3//2), (-2*x)/(3*b*sqrt(a + b*x^3)) + (4*sqrt(2+sqrt(3))/3^(1//4)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*b^(4//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 2),
+(x^0/(a + b*x^3)^(3//2), (2*x)/(3*a*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a*b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x^3)^(3//2)), 2/(3*a*x^2*sqrt(a + b*x^3)) - (7*sqrt(a + b*x^3))/(6*a^2*x^2) - (7*sqrt(2+sqrt(3))/3^(1//4)*b^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(6*a^2*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+(1/(x^6*(a + b*x^3)^(3//2)), 2/(3*a*x^5*sqrt(a + b*x^3)) - (13*sqrt(a + b*x^3))/(15*a^2*x^5) + (91*b*sqrt(a + b*x^3))/(60*a^3*x^2) + (91*sqrt(2+sqrt(3))/3^(1//4)*b^(5//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(60*a^3*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+
+(x^7/(a + b*x^3)^(3//2), (-2*x^5)/(3*b*sqrt(a + b*x^3)) + (20*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(21*b^2) - (80*a*sqrt(a + b*x^3))/(21*b^(8//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (40*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(21*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (80*sqrt(2)*a^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(21*3^(1//4)*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+(x^4/(a + b*x^3)^(3//2), (-2*x^2)/(3*b*sqrt(a + b*x^3)) + (8*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (8*sqrt(2)*a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(x^1/(a + b*x^3)^(3//2), (2*x^2)/(3*a*sqrt(a + b*x^3)) - (2*sqrt(a + b*x^3))/(3*a*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*a^(2//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (2*sqrt(2)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(2//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(1/(x^2*(a + b*x^3)^(3//2)), 2/(3*a*x*sqrt(a + b*x^3)) - (5*sqrt(a + b*x^3))/(3*a^2*x) + (5*b^(1//3)*sqrt(a + b*x^3))/(3*a^2*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (5*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(6*a^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (5*sqrt(2)*b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+(1/(x^5*(a + b*x^3)^(3//2)), 2/(3*a*x^4*sqrt(a + b*x^3)) - (11*sqrt(a + b*x^3))/(12*a^2*x^4) + (55*b*sqrt(a + b*x^3))/(24*a^3*x) - (55*b^(4//3)*sqrt(a + b*x^3))/(24*a^3*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (55*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(48*a^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (55*b^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(12*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+
+
+(x^11/sqrt(1 + x^3), (-(2//3))*sqrt(1 + x^3) + (2//3)*(1 + x^3)^(3//2) - (2//5)*(1 + x^3)^(5//2) + (2//21)*(1 + x^3)^(7//2), x, 3),
+(x^8/sqrt(1 + x^3), (2*sqrt(1 + x^3))/3 - (4//9)*(1 + x^3)^(3//2) + (2//15)*(1 + x^3)^(5//2), x, 3),
+(x^5/sqrt(1 + x^3), (-(2//3))*sqrt(1 + x^3) + (2//9)*(1 + x^3)^(3//2), x, 3),
+(x^2/sqrt(1 + x^3), (2*sqrt(1 + x^3))/3, x, 1),
+(1/(x^1*sqrt(1 + x^3)), (-(2//3))*atanh(sqrt(1 + x^3)), x, 3),
+(1/(x^4*sqrt(1 + x^3)), -(sqrt(1 + x^3)/(3*x^3)) + (1//3)*atanh(sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+(1/(x^7*sqrt(1 + x^3)), -(sqrt(1 + x^3)/(6*x^6)) + sqrt(1 + x^3)/(4*x^3) - (1//4)*atanh(sqrt(1 + x^3)), x, 5),
+(1/(x^10*sqrt(1 + x^3)), -(sqrt(1 + x^3)/(9*x^9)) + (5*sqrt(1 + x^3))/(36*x^6) - (5*sqrt(1 + x^3))/(24*x^3) + (5//24)*atanh(sqrt(1 + x^3)), x, 6),
+
+(x^6/sqrt(1 + x^3), (-(16//55))*x*sqrt(1 + x^3) + (2//11)*x^4*sqrt(1 + x^3) + (32*sqrt(2+sqrt(3))/3^(1//4)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(55*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 3),
+(x^3/sqrt(1 + x^3), (2//5)*x*sqrt(1 + x^3) - (4*sqrt(2+sqrt(3))/3^(1//4)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(5*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 2),
+(x^0/sqrt(1 + x^3), (2*sqrt(2+sqrt(3))/3^(1//4)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 1),
+(1/(x^3*sqrt(1 + x^3)), -(sqrt(1 + x^3)/(2*x^2)) - (sqrt(2+sqrt(3))/3^(1//4)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 2),
+(1/(x^6*sqrt(1 + x^3)), -(sqrt(1 + x^3)/(5*x^5)) + (7*sqrt(1 + x^3))/(20*x^2) + (7*sqrt(2+sqrt(3))/3^(1//4)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(20*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 3),
+
+(x^7/sqrt(1 + x^3), (-(20//91))*x^2*sqrt(1 + x^3) + (2//13)*x^5*sqrt(1 + x^3) + (80*sqrt(1 + x^3))/(91*(1 + sqrt(3) + x)) - (40*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)) + (80*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 5),
+(x^4/sqrt(1 + x^3), (2//7)*x^2*sqrt(1 + x^3) - (8*sqrt(1 + x^3))/(7*(1 + sqrt(3) + x)) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)) - (8*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+(x^1/sqrt(1 + x^3), (2*sqrt(1 + x^3))/(1 + sqrt(3) + x) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)) + (2*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(1 + x^3)), -(sqrt(1 + x^3)/x) + sqrt(1 + x^3)/(1 + sqrt(3) + x) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)) + (sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+(1/(x^5*sqrt(1 + x^3)), -(sqrt(1 + x^3)/(4*x^4)) + (5*sqrt(1 + x^3))/(8*x) - (5*sqrt(1 + x^3))/(8*(1 + sqrt(3) + x)) + (5*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)) - (5*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 5),
+
+
+(x^11/sqrt(1 - x^3), (-(2//3))*sqrt(1 - x^3) + (2//3)*(1 - x^3)^(3//2) - (2//5)*(1 - x^3)^(5//2) + (2//21)*(1 - x^3)^(7//2), x, 3),
+(x^8/sqrt(1 - x^3), (-(2//3))*sqrt(1 - x^3) + (4//9)*(1 - x^3)^(3//2) - (2//15)*(1 - x^3)^(5//2), x, 3),
+(x^5/sqrt(1 - x^3), (-(2//3))*sqrt(1 - x^3) + (2//9)*(1 - x^3)^(3//2), x, 3),
+(x^2/sqrt(1 - x^3), (-(2//3))*sqrt(1 - x^3), x, 1),
+(1/(x^1*sqrt(1 - x^3)), (-(2//3))*atanh(sqrt(1 - x^3)), x, 3),
+(1/(x^4*sqrt(1 - x^3)), -(sqrt(1 - x^3)/(3*x^3)) - (1//3)*atanh(sqrt(1 - x^3)), x, 4),
+(1/(x^7*sqrt(1 - x^3)), -(sqrt(1 - x^3)/(6*x^6)) - sqrt(1 - x^3)/(4*x^3) - (1//4)*atanh(sqrt(1 - x^3)), x, 5),
+(1/(x^10*sqrt(1 - x^3)), -(sqrt(1 - x^3)/(9*x^9)) - (5*sqrt(1 - x^3))/(36*x^6) - (5*sqrt(1 - x^3))/(24*x^3) - (5//24)*atanh(sqrt(1 - x^3)), x, 6),
+
+(x^6/sqrt(1 - x^3), (-(16//55))*x*sqrt(1 - x^3) - (2//11)*x^4*sqrt(1 - x^3) - (32*sqrt(2+sqrt(3))/3^(1//4)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(55*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 3),
+(x^3/sqrt(1 - x^3), (-(2//5))*x*sqrt(1 - x^3) - (4*sqrt(2+sqrt(3))/3^(1//4)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(5*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 2),
+(x^0/sqrt(1 - x^3), -((2*sqrt(2+sqrt(3))/3^(1//4)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3))), x, 1),
+(1/(x^3*sqrt(1 - x^3)), -(sqrt(1 - x^3)/(2*x^2)) - (sqrt(2+sqrt(3))/3^(1//4)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 2),
+(1/(x^6*sqrt(1 - x^3)), -(sqrt(1 - x^3)/(5*x^5)) - (7*sqrt(1 - x^3))/(20*x^2) - (7*sqrt(2+sqrt(3))/3^(1//4)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(20*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 3),
+
+(x^7/sqrt(1 - x^3), (80*sqrt(1 - x^3))/(91*(1 + sqrt(3) - x)) - (20//91)*x^2*sqrt(1 - x^3) - (2//13)*x^5*sqrt(1 - x^3) - (40*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)) + (80*sqrt(2)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*3^(1//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 5),
+(x^4/sqrt(1 - x^3), (8*sqrt(1 - x^3))/(7*(1 + sqrt(3) - x)) - (2//7)*x^2*sqrt(1 - x^3) - (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)) + (8*sqrt(2)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*3^(1//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 4),
+(x^1/sqrt(1 - x^3), (2*sqrt(1 - x^3))/(1 + sqrt(3) - x) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)) + (2*sqrt(2)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(1 - x^3)), -(sqrt(1 - x^3)/(1 + sqrt(3) - x)) - sqrt(1 - x^3)/x + (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)) - (sqrt(2)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 4),
+(1/(x^5*sqrt(1 - x^3)), -((5*sqrt(1 - x^3))/(8*(1 + sqrt(3) - x))) - sqrt(1 - x^3)/(4*x^4) - (5*sqrt(1 - x^3))/(8*x) + (5*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)) - (5*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*3^(1//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 5),
+
+
+(x^11/sqrt(-1 + x^3), (2//3)*sqrt(-1 + x^3) + (2//3)*(-1 + x^3)^(3//2) + (2//5)*(-1 + x^3)^(5//2) + (2//21)*(-1 + x^3)^(7//2), x, 3),
+(x^8/sqrt(-1 + x^3), (2//3)*sqrt(-1 + x^3) + (4//9)*(-1 + x^3)^(3//2) + (2//15)*(-1 + x^3)^(5//2), x, 3),
+(x^5/sqrt(-1 + x^3), (2//3)*sqrt(-1 + x^3) + (2//9)*(-1 + x^3)^(3//2), x, 3),
+(x^2/sqrt(-1 + x^3), (2//3)*sqrt(-1 + x^3), x, 1),
+(1/(x^1*sqrt(-1 + x^3)), (2//3)*atan(sqrt(-1 + x^3)), x, 3),
+(1/(x^4*sqrt(-1 + x^3)), sqrt(-1 + x^3)/(3*x^3) + (1//3)*atan(sqrt(-1 + x^3)), x, 4),
+(1/(x^7*sqrt(-1 + x^3)), sqrt(-1 + x^3)/(6*x^6) + sqrt(-1 + x^3)/(4*x^3) + (1//4)*atan(sqrt(-1 + x^3)), x, 5),
+(1/(x^10*sqrt(-1 + x^3)), sqrt(-1 + x^3)/(9*x^9) + (5*sqrt(-1 + x^3))/(36*x^6) + (5*sqrt(-1 + x^3))/(24*x^3) + (5//24)*atan(sqrt(-1 + x^3)), x, 6),
+
+(x^6/sqrt(-1 + x^3), (16//55)*x*sqrt(-1 + x^3) + (2//11)*x^4*sqrt(-1 + x^3) - (32*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(55*3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 3),
+(x^3/sqrt(-1 + x^3), (2//5)*x*sqrt(-1 + x^3) - (4*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(5*3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 2),
+(x^0/sqrt(-1 + x^3), -((2*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3))), x, 1),
+(1/(x^3*sqrt(-1 + x^3)), sqrt(-1 + x^3)/(2*x^2) - (sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(2*3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 2),
+(1/(x^6*sqrt(-1 + x^3)), sqrt(-1 + x^3)/(5*x^5) + (7*sqrt(-1 + x^3))/(20*x^2) - (7*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(20*3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 3),
+
+(x^7/sqrt(-1 + x^3), -((80*sqrt(-1 + x^3))/(91*(1 - sqrt(3) - x))) + (20//91)*x^2*sqrt(-1 + x^3) + (2//13)*x^5*sqrt(-1 + x^3) + (40*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(91*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)) - (80*sqrt(2)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(91*3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 5),
+(x^4/sqrt(-1 + x^3), -((8*sqrt(-1 + x^3))/(7*(1 - sqrt(3) - x))) + (2//7)*x^2*sqrt(-1 + x^3) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)) - (8*sqrt(2)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 4),
+(x^1/sqrt(-1 + x^3), -((2*sqrt(-1 + x^3))/(1 - sqrt(3) - x)) + (3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)) - (2*sqrt(2)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(-1 + x^3)), sqrt(-1 + x^3)/(1 - sqrt(3) - x) + sqrt(-1 + x^3)/x - (3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(2*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)) + (sqrt(2)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 4),
+(1/(x^5*sqrt(-1 + x^3)), (5*sqrt(-1 + x^3))/(8*(1 - sqrt(3) - x)) + sqrt(-1 + x^3)/(4*x^4) + (5*sqrt(-1 + x^3))/(8*x) - (5*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(16*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)) + (5*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 5),
+
+
+(x^11/sqrt(-1 - x^3), (2//3)*sqrt(-1 - x^3) + (2//3)*(-1 - x^3)^(3//2) + (2//5)*(-1 - x^3)^(5//2) + (2//21)*(-1 - x^3)^(7//2), x, 3),
+(x^8/sqrt(-1 - x^3), (-(2//3))*sqrt(-1 - x^3) - (4//9)*(-1 - x^3)^(3//2) - (2//15)*(-1 - x^3)^(5//2), x, 3),
+(x^5/sqrt(-1 - x^3), (2//3)*sqrt(-1 - x^3) + (2//9)*(-1 - x^3)^(3//2), x, 3),
+(x^2/sqrt(-1 - x^3), (-(2//3))*sqrt(-1 - x^3), x, 1),
+(1/(x^1*sqrt(-1 - x^3)), (2//3)*atan(sqrt(-1 - x^3)), x, 3),
+(1/(x^4*sqrt(-1 - x^3)), sqrt(-1 - x^3)/(3*x^3) - (1//3)*atan(sqrt(-1 - x^3)), x, 4),
+(1/(x^7*sqrt(-1 - x^3)), sqrt(-1 - x^3)/(6*x^6) - sqrt(-1 - x^3)/(4*x^3) + (1//4)*atan(sqrt(-1 - x^3)), x, 5),
+(1/(x^10*sqrt(-1 - x^3)), sqrt(-1 - x^3)/(9*x^9) - (5*sqrt(-1 - x^3))/(36*x^6) + (5*sqrt(-1 - x^3))/(24*x^3) - (5//24)*atan(sqrt(-1 - x^3)), x, 6),
+
+(x^6/sqrt(-1 - x^3), (16//55)*x*sqrt(-1 - x^3) - (2//11)*x^4*sqrt(-1 - x^3) + (32*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(55*3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 3),
+(x^3/sqrt(-1 - x^3), (-(2//5))*x*sqrt(-1 - x^3) - (4*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(5*3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 2),
+(x^0/sqrt(-1 - x^3), (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 1),
+(1/(x^3*sqrt(-1 - x^3)), sqrt(-1 - x^3)/(2*x^2) - (sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(2*3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 2),
+(1/(x^6*sqrt(-1 - x^3)), sqrt(-1 - x^3)/(5*x^5) - (7*sqrt(-1 - x^3))/(20*x^2) + (7*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(20*3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 3),
+
+(x^7/sqrt(-1 - x^3), (20//91)*x^2*sqrt(-1 - x^3) - (2//13)*x^5*sqrt(-1 - x^3) - (80*sqrt(-1 - x^3))/(91*(1 - sqrt(3) + x)) + (40*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(91*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)) - (80*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(91*3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 5),
+(x^4/sqrt(-1 - x^3), (-(2//7))*x^2*sqrt(-1 - x^3) + (8*sqrt(-1 - x^3))/(7*(1 - sqrt(3) + x)) - (4*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)) + (8*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 4),
+(x^1/sqrt(-1 - x^3), -((2*sqrt(-1 - x^3))/(1 - sqrt(3) + x)) + (3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)) - (2*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(-1 - x^3)), sqrt(-1 - x^3)/x - sqrt(-1 - x^3)/(1 - sqrt(3) + x) + (3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(2*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)) - (sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 4),
+(1/(x^5*sqrt(-1 - x^3)), sqrt(-1 - x^3)/(4*x^4) - (5*sqrt(-1 - x^3))/(8*x) + (5*sqrt(-1 - x^3))/(8*(1 - sqrt(3) + x)) - (5*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(16*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)) + (5*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^3)^(p/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^3)^(p/3)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^11*(a + b*x^3)^(1//3), -((a^3*(a + b*x^3)^(4//3))/(4*b^4)) + (3*a^2*(a + b*x^3)^(7//3))/(7*b^4) - (3*a*(a + b*x^3)^(10//3))/(10*b^4) + (a + b*x^3)^(13//3)/(13*b^4), x, 3),
+(x^8*(a + b*x^3)^(1//3), (a^2*(a + b*x^3)^(4//3))/(4*b^3) - (2*a*(a + b*x^3)^(7//3))/(7*b^3) + (a + b*x^3)^(10//3)/(10*b^3), x, 3),
+(x^5*(a + b*x^3)^(1//3), -((a*(a + b*x^3)^(4//3))/(4*b^2)) + (a + b*x^3)^(7//3)/(7*b^2), x, 3),
+(x^2*(a + b*x^3)^(1//3), (a + b*x^3)^(4//3)/(4*b), x, 1),
+((a + b*x^3)^(1//3)/x^1, (a + b*x^3)^(1//3) - (a^(1//3)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/sqrt(3) - (1//2)*a^(1//3)*log(x) + (1//2)*a^(1//3)*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)), x, 6),
+((a + b*x^3)^(1//3)/x^4, -((a + b*x^3)^(1//3)/(3*x^3)) - (b*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(2//3)) - (b*log(x))/(6*a^(2//3)) + (b*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*a^(2//3)), x, 6),
+
+(x^4*(a + b*x^3)^(1//3), (a*x^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(18*b) + (1//6)*x^5*(a + b*x^3)^(1//3) + (a^2*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*b^(5//3)) + (a^2*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*b^(5//3)), x, 3),
+(x^1*(a + b*x^3)^(1//3), (1//3)*x^2*(a + b*x^3)^(1//3) - (a*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(2//3)) - (a*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*b^(2//3)), x, 2),
+((a + b*x^3)^(1//3)/x^2, -((a + b*x^3)^(1//3)/x) - (b^(1//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/sqrt(3) - (1//2)*b^(1//3)*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)), x, 2),
+((a + b*x^3)^(1//3)/x^5, -((a + b*x^3)^(4//3)/(4*a*x^4)), x, 1),
+((a + b*x^3)^(1//3)/x^8, -((a + b*x^3)^(4//3)/(7*a*x^7)) + (3*b*(a + b*x^3)^(4//3))/(28*a^2*x^4), x, 2),
+((a + b*x^3)^(1//3)/x^11, -((a + b*x^3)^(4//3)/(10*a*x^10)) + (3*b*(a + b*x^3)^(4//3))/(35*a^2*x^7) - (9*b^2*(a + b*x^3)^(4//3))/(140*a^3*x^4), x, 3),
+((a + b*x^3)^(1//3)/x^14, -((a + b*x^3)^(4//3)/(13*a*x^13)) + (9*b*(a + b*x^3)^(4//3))/(130*a^2*x^10) - (27*b^2*(a + b*x^3)^(4//3))/(455*a^3*x^7) + (81*b^3*(a + b*x^3)^(4//3))/(1820*a^4*x^4), x, 4),
+
+# {x^3*(a + b*x^3)^(1/3), x, 2, (x^4*(a + b*x^3)^(4/3)*Hypergeometric2F1[1, 8/3, 7/3, -((b*x^3)/a)])/(4*a), (x^4*(a + b*x^3)^(1/3)*Hypergeometric2F1[-(1/3), 4/3, 7/3, -((b*x^3)/a)])/(4*(1 + (b*x^3)/a)^(1/3))}
+# {x^0*(a + b*x^3)^(1/3), x, 2, (x*(a + b*x^3)^(4/3)*Hypergeometric2F1[1, 5/3, 4/3, -((b*x^3)/a)])/a, (x*(a + b*x^3)^(1/3)*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/3, 4/3, -((b*x^3)/a)])/(1 + (b*x^3)/a)^(1/3)}
+# {(a + b*x^3)^(1/3)/x^3, x, 2, -(((a + b*x^3)^(4/3)*Hypergeometric2F1[2/3, 1, 1/3, -((b*x^3)/a)])/(2*a*x^2)), -(((a + b*x^3)^(1/3)*Hypergeometric2F1[-(2/3), -(1/3), 1/3, -((b*x^3)/a)])/(2*x^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1/3)))}
+# {(a + b*x^3)^(1/3)/x^6, x, 2, -(((a + b*x^3)^(4/3)*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1, -(2/3), -((b*x^3)/a)])/(5*a*x^5)), -(((a + b*x^3)^(1/3)*Hypergeometric2F1[-(5/3), -(1/3), -(2/3), -((b*x^3)/a)])/(5*x^5*(1 + (b*x^3)/a)^(1/3)))}
+
+
+(x^11*(a + b*x^3)^(2//3), -((a^3*(a + b*x^3)^(5//3))/(5*b^4)) + (3*a^2*(a + b*x^3)^(8//3))/(8*b^4) - (3*a*(a + b*x^3)^(11//3))/(11*b^4) + (a + b*x^3)^(14//3)/(14*b^4), x, 3),
+(x^8*(a + b*x^3)^(2//3), (a^2*(a + b*x^3)^(5//3))/(5*b^3) - (a*(a + b*x^3)^(8//3))/(4*b^3) + (a + b*x^3)^(11//3)/(11*b^3), x, 3),
+(x^5*(a + b*x^3)^(2//3), -((a*(a + b*x^3)^(5//3))/(5*b^2)) + (a + b*x^3)^(8//3)/(8*b^2), x, 3),
+(x^2*(a + b*x^3)^(2//3), (a + b*x^3)^(5//3)/(5*b), x, 1),
+((a + b*x^3)^(2//3)/x^1, (1//2)*(a + b*x^3)^(2//3) + (a^(2//3)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/sqrt(3) - (1//2)*a^(2//3)*log(x) + (1//2)*a^(2//3)*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)), x, 6),
+((a + b*x^3)^(2//3)/x^4, -((a + b*x^3)^(2//3)/(3*x^3)) + (2*b*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(1//3)) - (b*log(x))/(3*a^(1//3)) + (b*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*a^(1//3)), x, 6),
+
+# {x^4*(a + b*x^3)^(2/3), x, 2, (x^5*(a + b*x^3)^(5/3)*Hypergeometric2F1[1, 10/3, 8/3, -((b*x^3)/a)])/(5*a), (x^5*(a + b*x^3)^(2/3)*Hypergeometric2F1[-(2/3), 5/3, 8/3, -((b*x^3)/a)])/(5*(1 + (b*x^3)/a)^(2/3))}
+# {x^1*(a + b*x^3)^(2/3), x, 2, (x^2*(a + b*x^3)^(5/3)*Hypergeometric2F1[1, 7/3, 5/3, -((b*x^3)/a)])/(2*a), (x^2*(a + b*x^3)^(2/3)*Hypergeometric2F1[-(2/3), 2/3, 5/3, -((b*x^3)/a)])/(2*(1 + (b*x^3)/a)^(2/3))}
+# {(a + b*x^3)^(2/3)/x^2, x, 2, -(((a + b*x^3)^(5/3)*Hypergeometric2F1[1, 4/3, 2/3, -((b*x^3)/a)])/(a*x)), -(((a + b*x^3)^(2/3)*Hypergeometric2F1[-(2/3), -(1/3), 2/3, -((b*x^3)/a)])/(x*(1 + (b*x^3)/a)^(2/3)))}
+# {(a + b*x^3)^(2/3)/x^5, x, 2, -(((a + b*x^3)^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1, -(1/3), -((b*x^3)/a)])/(4*a*x^4)), -(((a + b*x^3)^(2/3)*Hypergeometric2F1[-(4/3), -(2/3), -(1/3), -((b*x^3)/a)])/(4*x^4*(1 + (b*x^3)/a)^(2/3)))}
+
+(x^3*(a + b*x^3)^(2//3), (a*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(9*b) + (1//6)*x^4*(a + b*x^3)^(2//3) - (a^2*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*b^(4//3)) + (a^2*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*b^(4//3)), x, 3),
+(x^0*(a + b*x^3)^(2//3), (1//3)*x*(a + b*x^3)^(2//3) + (2*a*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(1//3)) - (a*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(1//3)), x, 2),
+((a + b*x^3)^(2//3)/x^3, -((a + b*x^3)^(2//3)/(2*x^2)) + (b^(2//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/sqrt(3) - (1//2)*b^(2//3)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)), x, 2),
+((a + b*x^3)^(2//3)/x^6, -((a + b*x^3)^(5//3)/(5*a*x^5)), x, 1),
+((a + b*x^3)^(2//3)/x^9, -((a + b*x^3)^(5//3)/(8*a*x^8)) + (3*b*(a + b*x^3)^(5//3))/(40*a^2*x^5), x, 2),
+((a + b*x^3)^(2//3)/x^12, -((a + b*x^3)^(5//3)/(11*a*x^11)) + (3*b*(a + b*x^3)^(5//3))/(44*a^2*x^8) - (9*b^2*(a + b*x^3)^(5//3))/(220*a^3*x^5), x, 3),
+
+
+(x^8*(1 - x^3)^(6//5), (-(5//33))*(1 - x^3)^(11//5) + (5//24)*(1 - x^3)^(16//5) - (5//63)*(1 - x^3)^(21//5), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^11/(a + b*x^3)^(1//3), -((a^3*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*b^4)) + (3*a^2*(a + b*x^3)^(5//3))/(5*b^4) - (3*a*(a + b*x^3)^(8//3))/(8*b^4) + (a + b*x^3)^(11//3)/(11*b^4), x, 3),
+(x^8/(a + b*x^3)^(1//3), (a^2*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*b^3) - (2*a*(a + b*x^3)^(5//3))/(5*b^3) + (a + b*x^3)^(8//3)/(8*b^3), x, 3),
+(x^5/(a + b*x^3)^(1//3), -((a*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*b^2)) + (a + b*x^3)^(5//3)/(5*b^2), x, 3),
+(x^2/(a + b*x^3)^(1//3), (a + b*x^3)^(2//3)/(2*b), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^3)^(1//3)), atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(1//3)) - log(x)/(2*a^(1//3)) + log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3))/(2*a^(1//3)), x, 5),
+(1/(x^4*(a + b*x^3)^(1//3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(3*a*x^3)) - (b*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(4//3)) + (b*log(x))/(6*a^(4//3)) - (b*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*a^(4//3)), x, 6),
+
+# {x^7/(a + b*x^3)^(1/3), x, 2, (x^8*(a + b*x^3)^(2/3)*Hypergeometric2F1[1, 10/3, 11/3, -((b*x^3)/a)])/(8*a), (x^8*(1 + (b*x^3)/a)^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 8/3, 11/3, -((b*x^3)/a)])/(8*(a + b*x^3)^(1/3))}
+# {x^4/(a + b*x^3)^(1/3), x, 2, (x^5*(a + b*x^3)^(2/3)*Hypergeometric2F1[1, 7/3, 8/3, -((b*x^3)/a)])/(5*a), (x^5*(1 + (b*x^3)/a)^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 5/3, 8/3, -((b*x^3)/a)])/(5*(a + b*x^3)^(1/3))}
+# {x^1/(a + b*x^3)^(1/3), x, 2, (x^2*(a + b*x^3)^(2/3)*Hypergeometric2F1[1, 4/3, 5/3, -((b*x^3)/a)])/(2*a), (x^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 2/3, 5/3, -((b*x^3)/a)])/(2*(a + b*x^3)^(1/3))}
+# {1/(x^2*(a + b*x^3)^(1/3)), x, 2, -(((a + b*x^3)^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1, 2/3, -((b*x^3)/a)])/(a*x)), -(((1 + (b*x^3)/a)^(1/3)*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/3, 2/3, -((b*x^3)/a)])/(x*(a + b*x^3)^(1/3)))}
+# {1/(x^5*(a + b*x^3)^(1/3)), x, 2, -(((a + b*x^3)^(2/3)*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1, -(1/3), -((b*x^3)/a)])/(4*a*x^4)), -(((1 + (b*x^3)/a)^(1/3)*Hypergeometric2F1[-(4/3), 1/3, -(1/3), -((b*x^3)/a)])/(4*x^4*(a + b*x^3)^(1/3)))}
+
+(x^3/(a + b*x^3)^(1//3), (x*(a + b*x^3)^(2//3))/(3*b) - (a*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(4//3)) + (a*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*b^(4//3)), x, 2),
+(x^0/(a + b*x^3)^(1//3), atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*b^(1//3)) - log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3))/(2*b^(1//3)), x, 1),
+(1/(x^3*(a + b*x^3)^(1//3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(2*a*x^2)), x, 1),
+(1/(x^6*(a + b*x^3)^(1//3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(5*a*x^5)) + (3*b*(a + b*x^3)^(2//3))/(10*a^2*x^2), x, 2),
+(1/(x^9*(a + b*x^3)^(1//3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(8*a*x^8)) + (3*b*(a + b*x^3)^(2//3))/(20*a^2*x^5) - (9*b^2*(a + b*x^3)^(2//3))/(40*a^3*x^2), x, 3),
+(1/(x^12*(a + b*x^3)^(1//3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(11*a*x^11)) + (9*b*(a + b*x^3)^(2//3))/(88*a^2*x^8) - (27*b^2*(a + b*x^3)^(2//3))/(220*a^3*x^5) + (81*b^3*(a + b*x^3)^(2//3))/(440*a^4*x^2), x, 4),
+
+
+(x^11/(a + b*x^3)^(2//3), -((a^3*(a + b*x^3)^(1//3))/b^4) + (3*a^2*(a + b*x^3)^(4//3))/(4*b^4) - (3*a*(a + b*x^3)^(7//3))/(7*b^4) + (a + b*x^3)^(10//3)/(10*b^4), x, 3),
+(x^8/(a + b*x^3)^(2//3), (a^2*(a + b*x^3)^(1//3))/b^3 - (a*(a + b*x^3)^(4//3))/(2*b^3) + (a + b*x^3)^(7//3)/(7*b^3), x, 3),
+(x^5/(a + b*x^3)^(2//3), -((a*(a + b*x^3)^(1//3))/b^2) + (a + b*x^3)^(4//3)/(4*b^2), x, 3),
+(x^2/(a + b*x^3)^(2//3), (a + b*x^3)^(1//3)/b, x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^3)^(2//3)), -(atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(2//3))) - log(x)/(2*a^(2//3)) + log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3))/(2*a^(2//3)), x, 5),
+(1/(x^4*(a + b*x^3)^(2//3)), -((a + b*x^3)^(1//3)/(3*a*x^3)) + (2*b*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)) + (b*log(x))/(3*a^(5//3)) - (b*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*a^(5//3)), x, 6),
+
+(x^7/(a + b*x^3)^(2//3), -((5*a*x^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(18*b^2)) + (x^5*(a + b*x^3)^(1//3))/(6*b) - (5*a^2*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*b^(8//3)) - (5*a^2*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*b^(8//3)), x, 3),
+(x^4/(a + b*x^3)^(2//3), (x^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(3*b) + (2*a*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(5//3)) + (a*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(5//3)), x, 2),
+(x^1/(a + b*x^3)^(2//3), -(atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*b^(2//3))) - log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3))/(2*b^(2//3)), x, 1),
+(1/(x^2*(a + b*x^3)^(2//3)), -((a + b*x^3)^(1//3)/(a*x)), x, 1),
+(1/(x^5*(a + b*x^3)^(2//3)), -((a + b*x^3)^(1//3)/(4*a*x^4)) + (3*b*(a + b*x^3)^(1//3))/(4*a^2*x), x, 2),
+(1/(x^8*(a + b*x^3)^(2//3)), -((a + b*x^3)^(1//3)/(7*a*x^7)) + (3*b*(a + b*x^3)^(1//3))/(14*a^2*x^4) - (9*b^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(14*a^3*x), x, 3),
+(1/(x^11*(a + b*x^3)^(2//3)), -((a + b*x^3)^(1//3)/(10*a*x^10)) + (9*b*(a + b*x^3)^(1//3))/(70*a^2*x^7) - (27*b^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(140*a^3*x^4) + (81*b^3*(a + b*x^3)^(1//3))/(140*a^4*x), x, 4),
+
+# {x^6/(a + b*x^3)^(2/3), x, 2, (x^7*(a + b*x^3)^(1/3)*Hypergeometric2F1[1, 8/3, 10/3, -((b*x^3)/a)])/(7*a), (x^7*(1 + (b*x^3)/a)^(2/3)*Hypergeometric2F1[2/3, 7/3, 10/3, -((b*x^3)/a)])/(7*(a + b*x^3)^(2/3))}
+# {x^3/(a + b*x^3)^(2/3), x, 2, (x^4*(a + b*x^3)^(1/3)*Hypergeometric2F1[1, 5/3, 7/3, -((b*x^3)/a)])/(4*a), (x^4*(1 + (b*x^3)/a)^(2/3)*Hypergeometric2F1[2/3, 4/3, 7/3, -((b*x^3)/a)])/(4*(a + b*x^3)^(2/3))}
+# {x^0/(a + b*x^3)^(2/3), x, 2, (x*(a + b*x^3)^(1/3)*Hypergeometric2F1[2/3, 1, 4/3, -((b*x^3)/a)])/a, (x*(1 + (b*x^3)/a)^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 2/3, 4/3, -((b*x^3)/a)])/(a + b*x^3)^(2/3)}
+# {1/(x^3*(a + b*x^3)^(2/3)), x, 2, -(((a + b*x^3)^(1/3)*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1, 1/3, -((b*x^3)/a)])/(2*a*x^2)), -(((1 + (b*x^3)/a)^(2/3)*Hypergeometric2F1[-(2/3), 2/3, 1/3, -((b*x^3)/a)])/(2*x^2*(a + b*x^3)^(2/3)))}
+# {1/(x^6*(a + b*x^3)^(2/3)), x, 2, -(((a + b*x^3)^(1/3)*Hypergeometric2F1[-(4/3), 1, -(2/3), -((b*x^3)/a)])/(5*a*x^5)), -(((1 + (b*x^3)/a)^(2/3)*Hypergeometric2F1[-(5/3), 2/3, -(2/3), -((b*x^3)/a)])/(5*x^5*(a + b*x^3)^(2/3)))}
+
+
+(x^0/(a - b*x^3)^(1//3), -(atan((1 - (2*b^(1//3)*x)/(a - b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*b^(1//3))) + log(b^(1//3)*x + (a - b*x^3)^(1//3))/(2*b^(1//3)), x, 1),
+
+(x^0/(2 + x^3)^(1//3), atan((1 + (2*x)/(2 + x^3)^(1//3))/sqrt(3))/sqrt(3) - (1//2)*log(-x + (2 + x^3)^(1//3)), x, 1),
+
+
+(x^1/(1 - x^3)^(2//3), -(atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/sqrt(3)) - (1//2)*log(-x - (1 - x^3)^(1//3)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^3)^(p/4)
+
+
+(x^2/(2 + x^3)^(1//4), (4*(2 + x^3)^(3//4))/9, x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^3)^p with m symbolic
+
+
+(x^m*(a + b*x^3)^8, (a^8*x^(1 + m))/(1 + m) + (8*a^7*b*x^(4 + m))/(4 + m) + (28*a^6*b^2*x^(7 + m))/(7 + m) + (56*a^5*b^3*x^(10 + m))/(10 + m) + (70*a^4*b^4*x^(13 + m))/(13 + m) + (56*a^3*b^5*x^(16 + m))/(16 + m) + (28*a^2*b^6*x^(19 + m))/(19 + m) + (8*a*b^7*x^(22 + m))/(22 + m) + (b^8*x^(25 + m))/(25 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^3)^5, (a^5*x^(1 + m))/(1 + m) + (5*a^4*b*x^(4 + m))/(4 + m) + (10*a^3*b^2*x^(7 + m))/(7 + m) + (10*a^2*b^3*x^(10 + m))/(10 + m) + (5*a*b^4*x^(13 + m))/(13 + m) + (b^5*x^(16 + m))/(16 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^3)^3, (a^3*x^(1 + m))/(1 + m) + (3*a^2*b*x^(4 + m))/(4 + m) + (3*a*b^2*x^(7 + m))/(7 + m) + (b^3*x^(10 + m))/(10 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^3)^2, (a^2*x^(1 + m))/(1 + m) + (2*a*b*x^(4 + m))/(4 + m) + (b^2*x^(7 + m))/(7 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^3), (a*x^(1 + m))/(1 + m) + (b*x^(4 + m))/(4 + m), x, 2),
+(x^m/(a + b*x^3), (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/(a*(1 + m)), x, 1),
+(x^m/(a + b*x^3)^2, (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/(a^2*(1 + m)), x, 1),
+(x^m/(a + b*x^3)^3, (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/(a^3*(1 + m)), x, 1),
+
+
+(x^m*(a + b*x^3)^(3//2), (a*x^(1 + m)*sqrt(a + b*x^3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/((1 + m)*sqrt(1 + (b*x^3)/a)), x, 2),
+(x^m*sqrt(a + b*x^3), (x^(1 + m)*sqrt(a + b*x^3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/((1 + m)*sqrt(1 + (b*x^3)/a)), x, 2),
+# {x^m/Sqrt[a + b*x^3], x, 2, (x^(1 + m)*Sqrt[a + b*x^3]*Hypergeometric2F1[1, (1/6)*(5 + 2*m), (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)])/(a*(1 + m)), (x^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*x^3)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)])/((1 + m)*Sqrt[a + b*x^3])}
+(x^m/(a + b*x^3)^(3//2), (x^(1 + m)*sqrt(1 + (b*x^3)/a)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/(a*(1 + m)*sqrt(a + b*x^3)), x, 2),
+
+
+((c*x)^m*(a + b*x^3)^(4//3), (a*(c*x)^(1 + m)*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(4//3), (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/(c*(1 + m)*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 2),
+# {(c*x)^m*(a + b*x^3)^(2/3), x, 2, ((c*x)^(1 + m)*(a + b*c^3*x^3)^(5/3)*Hypergeometric2F1[1, (6 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*c^3*x^3)/a)])/(a*c*(1 + m)), ((c*x)^(1 + m)*(a + b*x^3)^(2/3)*Hypergeometric2F1[-(2/3), (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)])/(c*(1 + m)*(1 + (b*x^3)/a)^(2/3))}
+# {(c*x)^m*(a + b*x^3)^(1/3), x, 2, ((c*x)^(1 + m)*(a + b*c^3*x^3)^(4/3)*Hypergeometric2F1[1, (5 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*c^3*x^3)/a)])/(a*c*(1 + m)), ((c*x)^(1 + m)*(a + b*x^3)^(1/3)*Hypergeometric2F1[-(1/3), (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)])/(c*(1 + m)*(1 + (b*x^3)/a)^(1/3))}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^3)^p with p symbolic
+
+
+((c*x)^m*(a + b*x^3)^p, ((c*x)^(1 + m)*(a + b*x^3)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/3, -p, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/((1 + (b*x^3)/a)^p*(c*(1 + m))), x, 2),
+
+
+(x^2*(a + b*x^3)^p, (a + b*x^3)^(1 + p)/(3*b*(1 + p)), x, 1),
+(x^5*(a + b*x^3)^p, -((a*(a + b*x^3)^(1 + p))/(3*b^2*(1 + p))) + (a + b*x^3)^(2 + p)/(3*b^2*(2 + p)), x, 3),
+(x^8*(a + b*x^3)^p, (a^2*(a + b*x^3)^(1 + p))/(3*b^3*(1 + p)) - (2*a*(a + b*x^3)^(2 + p))/(3*b^3*(2 + p)) + (a + b*x^3)^(3 + p)/(3*b^3*(3 + p)), x, 3),
+(x^11*(a + b*x^3)^p, -((a^3*(a + b*x^3)^(1 + p))/(3*b^4*(1 + p))) + (a^2*(a + b*x^3)^(2 + p))/(b^4*(2 + p)) - (a*(a + b*x^3)^(3 + p))/(b^4*(3 + p)) + (a + b*x^3)^(4 + p)/(3*b^4*(4 + p)), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^4)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^m*(a + b*x^4), (a*x^(1 + m))/(1 + m) + (b*x^(5 + m))/(5 + m), x, 2),
+
+(x^5*(a + b*x^4), (a*x^6)/6 + (b*x^10)/10, x, 2),
+(x^4*(a + b*x^4), (a*x^5)/5 + (b*x^9)/9, x, 2),
+(x^3*(a + b*x^4), (a*x^4)/4 + (b*x^8)/8, x, 2),
+(x^2*(a + b*x^4), (a*x^3)/3 + (b*x^7)/7, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^4), (a*x^2)/2 + (b*x^6)/6, x, 2),
+(x^0*(a + b*x^4), a*x + (b*x^5)/5, x, 1),
+((a + b*x^4)/x^1, (b*x^4)/4 + a*log(x), x, 2),
+((a + b*x^4)/x^2, -(a/x) + (b*x^3)/3, x, 2),
+((a + b*x^4)/x^3, -(a/(2*x^2)) + (b*x^2)/2, x, 2),
+((a + b*x^4)/x^4, -(a/(3*x^3)) + b*x, x, 2),
+((a + b*x^4)/x^5, -(a/(4*x^4)) + b*log(x), x, 2),
+((a + b*x^4)/x^6, -(a/(5*x^5)) - b/x, x, 2),
+((a + b*x^4)/x^7, -(a/(6*x^6)) - b/(2*x^2), x, 2),
+((a + b*x^4)/x^8, -(a/(7*x^7)) - b/(3*x^3), x, 2),
+((a + b*x^4)/x^9, -(a/(8*x^8)) - b/(4*x^4), x, 2),
+((a + b*x^4)/x^10, -(a/(9*x^9)) - b/(5*x^5), x, 2),
+
+
+(x^m*(a + b*x^4)^2, (a^2*x^(1 + m))/(1 + m) + (2*a*b*x^(5 + m))/(5 + m) + (b^2*x^(9 + m))/(9 + m), x, 2),
+
+(x^5*(a + b*x^4)^2, (a^2*x^6)/6 + (1//5)*a*b*x^10 + (b^2*x^14)/14, x, 2),
+(x^4*(a + b*x^4)^2, (a^2*x^5)/5 + (2//9)*a*b*x^9 + (b^2*x^13)/13, x, 2),
+(x^3*(a + b*x^4)^2, (a + b*x^4)^3/(12*b), x, 1),
+(x^2*(a + b*x^4)^2, (a^2*x^3)/3 + (2//7)*a*b*x^7 + (b^2*x^11)/11, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^4)^2, (a^2*x^2)/2 + (1//3)*a*b*x^6 + (b^2*x^10)/10, x, 2),
+(x^0*(a + b*x^4)^2, a^2*x + (2//5)*a*b*x^5 + (b^2*x^9)/9, x, 2),
+((a + b*x^4)^2/x^1, (1//2)*a*b*x^4 + (b^2*x^8)/8 + a^2*log(x), x, 3),
+((a + b*x^4)^2/x^2, -(a^2/x) + (2//3)*a*b*x^3 + (b^2*x^7)/7, x, 2),
+((a + b*x^4)^2/x^3, -(a^2/(2*x^2)) + a*b*x^2 + (b^2*x^6)/6, x, 2),
+((a + b*x^4)^2/x^4, -(a^2/(3*x^3)) + 2*a*b*x + (b^2*x^5)/5, x, 2),
+((a + b*x^4)^2/x^5, -(a^2/(4*x^4)) + (b^2*x^4)/4 + 2*a*b*log(x), x, 3),
+
+
+(x^m*(a + b*x^4)^3, (a^3*x^(1 + m))/(1 + m) + (3*a^2*b*x^(5 + m))/(5 + m) + (3*a*b^2*x^(9 + m))/(9 + m) + (b^3*x^(13 + m))/(13 + m), x, 2),
+
+(x^5*(a + b*x^4)^3, (a^3*x^6)/6 + (3//10)*a^2*b*x^10 + (3//14)*a*b^2*x^14 + (b^3*x^18)/18, x, 2),
+(x^4*(a + b*x^4)^3, (a^3*x^5)/5 + (1//3)*a^2*b*x^9 + (3//13)*a*b^2*x^13 + (b^3*x^17)/17, x, 2),
+(x^3*(a + b*x^4)^3, (a + b*x^4)^4/(16*b), x, 1),
+(x^2*(a + b*x^4)^3, (a^3*x^3)/3 + (3//7)*a^2*b*x^7 + (3//11)*a*b^2*x^11 + (b^3*x^15)/15, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^4)^3, (a^3*x^2)/2 + (1//2)*a^2*b*x^6 + (3//10)*a*b^2*x^10 + (b^3*x^14)/14, x, 2),
+(x^0*(a + b*x^4)^3, a^3*x + (3//5)*a^2*b*x^5 + (1//3)*a*b^2*x^9 + (b^3*x^13)/13, x, 2),
+((a + b*x^4)^3/x^1, (3//4)*a^2*b*x^4 + (3//8)*a*b^2*x^8 + (b^3*x^12)/12 + a^3*log(x), x, 3),
+((a + b*x^4)^3/x^2, -(a^3/x) + a^2*b*x^3 + (3//7)*a*b^2*x^7 + (b^3*x^11)/11, x, 2),
+((a + b*x^4)^3/x^3, -(a^3/(2*x^2)) + (3//2)*a^2*b*x^2 + (1//2)*a*b^2*x^6 + (b^3*x^10)/10, x, 2),
+((a + b*x^4)^3/x^4, -(a^3/(3*x^3)) + 3*a^2*b*x + (3//5)*a*b^2*x^5 + (b^3*x^9)/9, x, 2),
+((a + b*x^4)^3/x^5, -(a^3/(4*x^4)) + (3//4)*a*b^2*x^4 + (b^3*x^8)/8 + 3*a^2*b*log(x), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^9/(a + c*x^4), -((a*x^2)/(2*c^2)) + x^6/(6*c) + (a^(3//2)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*c^(5//2)), x, 4),
+(x^7/(a + c*x^4), x^4/(4*c) - (a*log(a + c*x^4))/(4*c^2), x, 3),
+(x^5/(a + c*x^4), x^2/(2*c) - (sqrt(a)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*c^(3//2)), x, 3),
+(x^3/(a + c*x^4), log(a + c*x^4)/(4*c), x, 1),
+(x^1/(a + c*x^4), atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a))/(2*sqrt(a)*sqrt(c)), x, 2),
+(1/(x^1*(a + c*x^4)), log(x)/a - log(a + c*x^4)/(4*a), x, 4),
+(1/(x^3*(a + c*x^4)), -1/(2*a*x^2) - (sqrt(c)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)), x, 3),
+(1/(x^5*(a + c*x^4)), -1/(4*a*x^4) - (c*log(x))/a^2 + (c*log(a + c*x^4))/(4*a^2), x, 3),
+(1/(x^7*(a + c*x^4)), -(1/(6*a*x^6)) + c/(2*a^2*x^2) + (c^(3//2)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)), x, 4),
+
+(x^4/(a + c*x^4), x/c + (a^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(5//4)) - (a^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(5//4)) + (a^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(5//4)) - (a^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(5//4)), x, 10),
+(x^2/(a + c*x^4), -(atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(3//4))) + atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(3//4)) + log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2)/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(3//4)) - log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2)/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(3//4)), x, 9),
+(x^0/(a + c*x^4), -(atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(1//4))) + atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(1//4)) - log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2)/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(1//4)) + log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2)/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(1//4)), x, 9),
+(1/(x^2*(a + c*x^4)), -(1/(a*x)) + (c^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)) - (c^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)) - (c^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)) + (c^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)), x, 10),
+(1/(x^4*(a + c*x^4)), -(1/(3*a*x^3)) + (c^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)) - (c^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)) + (c^(3//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)) - (c^(3//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)), x, 10),
+
+
+(x^11/(a + c*x^4)^2, x^4/(4*c^2) - a^2/(4*c^3*(a + c*x^4)) - (a*log(a + c*x^4))/(2*c^3), x, 3),
+(x^9/(a + c*x^4)^2, (3*x^2)/(4*c^2) - x^6/(4*c*(a + c*x^4)) - (3*sqrt(a)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(4*c^(5//2)), x, 4),
+(x^7/(a + c*x^4)^2, a/(4*c^2*(a + c*x^4)) + log(a + c*x^4)/(4*c^2), x, 3),
+(x^5/(a + c*x^4)^2, -x^2/(4*c*(a + c*x^4)) + atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a))/(4*sqrt(a)*c^(3//2)), x, 3),
+(x^3/(a + c*x^4)^2, -1/(4*c*(a + c*x^4)), x, 1),
+(x^1/(a + c*x^4)^2, x^2/(4*a*(a + c*x^4)) + atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a))/(4*a^(3//2)*sqrt(c)), x, 3),
+(1/(x^1*(a + c*x^4)^2), 1/(4*a*(a + c*x^4)) + log(x)/a^2 - log(a + c*x^4)/(4*a^2), x, 3),
+(1/(x^3*(a + c*x^4)^2), -3/(4*a^2*x^2) + 1/(4*a*x^2*(a + c*x^4)) - (3*sqrt(c)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(5//2)), x, 4),
+
+(x^6/(a + c*x^4)^2, -(x^3/(4*c*(a + c*x^4))) - (3*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(7//4)) + (3*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(7//4)) + (3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(7//4)) - (3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(7//4)), x, 10),
+(x^4/(a + c*x^4)^2, -(x/(4*c*(a + c*x^4))) - atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4))/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(5//4)) + atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4))/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(5//4)) - log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2)/(16*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(5//4)) + log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2)/(16*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(5//4)), x, 10),
+(x^2/(a + c*x^4)^2, x^3/(4*a*(a + c*x^4)) - atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4))/(8*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(3//4)) + atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4))/(8*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(3//4)) + log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2)/(16*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(3//4)) - log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2)/(16*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(3//4)), x, 10),
+(x^0/(a + c*x^4)^2, x/(4*a*(a + c*x^4)) - (3*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(1//4)) + (3*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(1//4)) - (3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(1//4)) + (3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(1//4)), x, 10),
+(1/(x^2*(a + c*x^4)^2), -(5/(4*a^2*x)) + 1/(4*a*x*(a + c*x^4)) + (5*c^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(9//4)) - (5*c^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(9//4)) - (5*c^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(9//4)) + (5*c^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(9//4)), x, 11),
+(1/(x^4*(a + c*x^4)^2), -(7/(12*a^2*x^3)) + 1/(4*a*x^3*(a + c*x^4)) + (7*c^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(11//4)) - (7*c^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(11//4)) + (7*c^(3//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(11//4)) - (7*c^(3//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(11//4)), x, 11),
+
+
+(x^11/(a + c*x^4)^3, -(a^2/(8*c^3*(a + c*x^4)^2)) + a/(2*c^3*(a + c*x^4)) + log(a + c*x^4)/(4*c^3), x, 3),
+(x^9/(a + c*x^4)^3, -x^6/(8*c*(a + c*x^4)^2) - (3*x^2)/(16*c^2*(a + c*x^4)) + (3*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(16*sqrt(a)*c^(5//2)), x, 4),
+(x^7/(a + c*x^4)^3, x^8/(8*a*(a + c*x^4)^2), x, 1),
+(x^5/(a + c*x^4)^3, -x^2/(8*c*(a + c*x^4)^2) + x^2/(16*a*c*(a + c*x^4)) + atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a))/(16*a^(3//2)*c^(3//2)), x, 4),
+(x^3/(a + c*x^4)^3, -1/(8*c*(a + c*x^4)^2), x, 1),
+(x^1/(a + c*x^4)^3, x^2/(8*a*(a + c*x^4)^2) + (3*x^2)/(16*a^2*(a + c*x^4)) + (3*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*sqrt(c)), x, 4),
+(1/(x^1*(a + c*x^4)^3), 1/(8*a*(a + c*x^4)^2) + 1/(4*a^2*(a + c*x^4)) + log(x)/a^3 - log(a + c*x^4)/(4*a^3), x, 3),
+(1/(x^3*(a + c*x^4)^3), -15/(16*a^3*x^2) + 1/(8*a*x^2*(a + c*x^4)^2) + 5/(16*a^2*x^2*(a + c*x^4)) - (15*sqrt(c)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(7//2)), x, 5),
+
+(x^10/(a + c*x^4)^3, -(x^7/(8*c*(a + c*x^4)^2)) - (7*x^3)/(32*c^2*(a + c*x^4)) - (21*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(11//4)) + (21*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(11//4)) + (21*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(11//4)) - (21*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(11//4)), x, 11),
+(x^8/(a + c*x^4)^3, -(x^5/(8*c*(a + c*x^4)^2)) - (5*x)/(32*c^2*(a + c*x^4)) - (5*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(9//4)) + (5*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(9//4)) - (5*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(9//4)) + (5*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(9//4)), x, 11),
+(x^6/(a + c*x^4)^3, -(x^3/(8*c*(a + c*x^4)^2)) + (3*x^3)/(32*a*c*(a + c*x^4)) - (3*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(7//4)) + (3*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(7//4)) + (3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(7//4)) - (3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(7//4)), x, 11),
+(x^4/(a + c*x^4)^3, -(x/(8*c*(a + c*x^4)^2)) + x/(32*a*c*(a + c*x^4)) - (3*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(5//4)) + (3*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(5//4)) - (3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(5//4)) + (3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(5//4)), x, 11),
+(x^2/(a + c*x^4)^3, x^3/(8*a*(a + c*x^4)^2) + (5*x^3)/(32*a^2*(a + c*x^4)) - (5*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(9//4)*c^(3//4)) + (5*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(9//4)*c^(3//4)) + (5*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(9//4)*c^(3//4)) - (5*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(9//4)*c^(3//4)), x, 11),
+(x^0/(a + c*x^4)^3, x/(8*a*(a + c*x^4)^2) + (7*x)/(32*a^2*(a + c*x^4)) - (21*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(1//4)) + (21*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(1//4)) - (21*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(1//4)) + (21*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(1//4)), x, 11),
+(1/(x^2*(a + c*x^4)^3), -(45/(32*a^3*x)) + 1/(8*a*x*(a + c*x^4)^2) + 9/(32*a^2*x*(a + c*x^4)) + (45*c^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(13//4)) - (45*c^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(13//4)) - (45*c^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(13//4)) + (45*c^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(13//4)), x, 12),
+
+
+(x^9/(2 + 3*x^4), -(x^2//9) + x^6//18 + (1//9)*sqrt(2//3)*atan(sqrt(3//2)*x^2), x, 4),
+(x^7/(2 + 3*x^4), x^4//12 - (1//18)*log(2 + 3*x^4), x, 3),
+(x^5/(2 + 3*x^4), x^2//6 - atan(sqrt(3//2)*x^2)/(3*sqrt(6)), x, 3),
+(x^3/(2 + 3*x^4), (1//12)*log(2 + 3*x^4), x, 1),
+(x^1/(2 + 3*x^4), atan(sqrt(3//2)*x^2)/(2*sqrt(6)), x, 2),
+(1/(x^1*(2 + 3*x^4)), log(x)/2 - (1//8)*log(2 + 3*x^4), x, 4),
+(1/(x^3*(2 + 3*x^4)), -(1/(4*x^2)) - (1//4)*sqrt(3//2)*atan(sqrt(3//2)*x^2), x, 3),
+
+(x^6/(2 + 3*x^4), x^3//9 + atan(1 - 6^(1//4)*x)/(3*6^(3//4)) - atan(1 + 6^(1//4)*x)/(3*6^(3//4)) - log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2)/(6*6^(3//4)) + log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2)/(6*6^(3//4)), x, 10),
+(x^4/(2 + 3*x^4), x/3 + atan(1 - 6^(1//4)*x)/(6*6^(1//4)) - atan(1 + 6^(1//4)*x)/(6*6^(1//4)) + log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2)/(12*6^(1//4)) - log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2)/(12*6^(1//4)), x, 10),
+(x^2/(2 + 3*x^4), -(atan(1 - 6^(1//4)*x)/(2*6^(3//4))) + atan(1 + 6^(1//4)*x)/(2*6^(3//4)) + log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2)/(4*6^(3//4)) - log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2)/(4*6^(3//4)), x, 9),
+(x^0/(2 + 3*x^4), -(atan(1 - 6^(1//4)*x)/(4*6^(1//4))) + atan(1 + 6^(1//4)*x)/(4*6^(1//4)) - log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2)/(8*6^(1//4)) + log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2)/(8*6^(1//4)), x, 9),
+(1/(x^2*(2 + 3*x^4)), -(1/(2*x)) + (3^(1//4)*atan(1 - 6^(1//4)*x))/(4*2^(3//4)) - (3^(1//4)*atan(1 + 6^(1//4)*x))/(4*2^(3//4)) - (3^(1//4)*log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(8*2^(3//4)) + (3^(1//4)*log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(8*2^(3//4)), x, 10),
+
+
+(x^3/(2 + 3*x^4)^2, -(1/(12*(2 + 3*x^4))), x, 1),
+(x^1/(2 + 3*x^4)^2, x^2/(8*(2 + 3*x^4)) + atan(sqrt(3//2)*x^2)/(8*sqrt(6)), x, 3),
+(1/(x^1*(2 + 3*x^4)^2), 1/(8*(2 + 3*x^4)) + log(x)/4 - (1//16)*log(2 + 3*x^4), x, 3),
+(1/(x^3*(2 + 3*x^4)^2), -(3/(16*x^2)) + 1/(8*x^2*(2 + 3*x^4)) - (3//16)*sqrt(3//2)*atan(sqrt(3//2)*x^2), x, 4),
+
+(x^4/(2 + 3*x^4)^2, -(x/(12*(2 + 3*x^4))) - atan(1 - 6^(1//4)*x)/(48*6^(1//4)) + atan(1 + 6^(1//4)*x)/(48*6^(1//4)) - log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2)/(96*6^(1//4)) + log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2)/(96*6^(1//4)), x, 10),
+(x^2/(2 + 3*x^4)^2, x^3/(8*(2 + 3*x^4)) - atan(1 - 6^(1//4)*x)/(16*6^(3//4)) + atan(1 + 6^(1//4)*x)/(16*6^(3//4)) + log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2)/(32*6^(3//4)) - log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2)/(32*6^(3//4)), x, 10),
+(x^0/(2 + 3*x^4)^2, x/(8*(2 + 3*x^4)) - (3^(3//4)*atan(1 - 6^(1//4)*x))/(32*2^(1//4)) + (3^(3//4)*atan(1 + 6^(1//4)*x))/(32*2^(1//4)) - (3^(3//4)*log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(64*2^(1//4)) + (3^(3//4)*log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(64*2^(1//4)), x, 10),
+(1/(x^2*(2 + 3*x^4)^2), -(5/(16*x)) + 1/(8*x*(2 + 3*x^4)) + (5*3^(1//4)*atan(1 - 6^(1//4)*x))/(32*2^(3//4)) - (5*3^(1//4)*atan(1 + 6^(1//4)*x))/(32*2^(3//4)) - (5*3^(1//4)*log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(64*2^(3//4)) + (5*3^(1//4)*log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(64*2^(3//4)), x, 11),
+
+
+(x^2/(3 + x^4), -(atan(1 - (sqrt(2)*x)/3^(1//4))/(2*sqrt(2)*3^(1//4))) + atan(1 + (sqrt(2)*x)/3^(1//4))/(2*sqrt(2)*3^(1//4)) + log(sqrt(3) - sqrt(2)*3^(1//4)*x + x^2)/(4*sqrt(2)*3^(1//4)) - log(sqrt(3) + sqrt(2)*3^(1//4)*x + x^2)/(4*sqrt(2)*3^(1//4)), x, 9),
+
+
+(1/(1 + a + (-1 + a)*x^4), atan(((1 - a)^(1//4)*x)/(1 + a)^(1//4))/(2*sqrt(1 + a)*(1 - a^2)^(1//4)) + atanh(((1 - a)^(1//4)*x)/(1 + a)^(1//4))/(2*sqrt(1 + a)*(1 - a^2)^(1//4)), x, 3),
+
+
+# Following pairs of integrands are equal.
+(1/(2*a + 2*b + x^4), -(atan(x/(2^(1//4)*(-a - b)^(1//4)))/(2*2^(3//4)*(-a - b)^(3//4))) - atanh(x/(2^(1//4)*(-a - b)^(1//4)))/(2*2^(3//4)*(-a - b)^(3//4)), x, 3),
+(1/(2*(a + b) + x^4), -(atan(x/(2^(1//4)*(-a - b)^(1//4)))/(2*2^(3//4)*(-a - b)^(3//4))) - atanh(x/(2^(1//4)*(-a - b)^(1//4)))/(2*2^(3//4)*(-a - b)^(3//4)), x, 3),
+
+(x/(2*a + 2*b + x^4), atan(x^2/(sqrt(2)*sqrt(a + b)))/(2*sqrt(2)*sqrt(a + b)), x, 2),
+(x/(2*(a + b) + x^4), atan(x^2/(sqrt(2)*sqrt(a + b)))/(2*sqrt(2)*sqrt(a + b)), x, 2),
+
+(x^2/(2*a + 2*b + x^4), atan(x/(2^(1//4)*(-a - b)^(1//4)))/(2*2^(1//4)*(-a - b)^(1//4)) - atanh(x/(2^(1//4)*(-a - b)^(1//4)))/(2*2^(1//4)*(-a - b)^(1//4)), x, 3),
+(x^2/(2*(a + b) + x^4), atan(x/(2^(1//4)*(-a - b)^(1//4)))/(2*2^(1//4)*(-a - b)^(1//4)) - atanh(x/(2^(1//4)*(-a - b)^(1//4)))/(2*2^(1//4)*(-a - b)^(1//4)), x, 3),
+
+(x^3/(2*a + 2*b + x^4), (1//4)*log(2*(a + b) + x^4), x, 1),
+(x^3/(2*(a + b) + x^4), (1//4)*log(2*(a + b) + x^4), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(5//2)*(a + c*x^4), (2*a*x^(7//2))/7 + (2*c*x^(15//2))/15, x, 2),
+(x^(3//2)*(a + c*x^4), (2*a*x^(5//2))/5 + (2*c*x^(13//2))/13, x, 2),
+(sqrt(x)*(a + c*x^4), (2*a*x^(3//2))/3 + (2*c*x^(11//2))/11, x, 2),
+((a + c*x^4)/sqrt(x), 2*a*sqrt(x) + (2*c*x^(9//2))/9, x, 2),
+((a + c*x^4)/x^(3//2), (-2*a)/sqrt(x) + (2*c*x^(7//2))/7, x, 2),
+((a + c*x^4)/x^(5//2), (-2*a)/(3*x^(3//2)) + (2*c*x^(5//2))/5, x, 2),
+((a + c*x^4)/x^(7//2), (-2*a)/(5*x^(5//2)) + (2*c*x^(3//2))/3, x, 2),
+
+
+(x^(5//2)*(a + c*x^4)^2, (2*a^2*x^(7//2))/7 + (4*a*c*x^(15//2))/15 + (2*c^2*x^(23//2))/23, x, 2),
+(x^(3//2)*(a + c*x^4)^2, (2*a^2*x^(5//2))/5 + (4*a*c*x^(13//2))/13 + (2*c^2*x^(21//2))/21, x, 2),
+(sqrt(x)*(a + c*x^4)^2, (2*a^2*x^(3//2))/3 + (4*a*c*x^(11//2))/11 + (2*c^2*x^(19//2))/19, x, 2),
+((a + c*x^4)^2/sqrt(x), 2*a^2*sqrt(x) + (4*a*c*x^(9//2))/9 + (2*c^2*x^(17//2))/17, x, 2),
+((a + c*x^4)^2/x^(3//2), (-2*a^2)/sqrt(x) + (4*a*c*x^(7//2))/7 + (2*c^2*x^(15//2))/15, x, 2),
+((a + c*x^4)^2/x^(5//2), (-2*a^2)/(3*x^(3//2)) + (4*a*c*x^(5//2))/5 + (2*c^2*x^(13//2))/13, x, 2),
+((a + c*x^4)^2/x^(7//2), (-2*a^2)/(5*x^(5//2)) + (4*a*c*x^(3//2))/3 + (2*c^2*x^(11//2))/11, x, 2),
+
+
+(x^(5//2)*(a + c*x^4)^3, (2*a^3*x^(7//2))/7 + (2*a^2*c*x^(15//2))/5 + (6*a*c^2*x^(23//2))/23 + (2*c^3*x^(31//2))/31, x, 2),
+(x^(3//2)*(a + c*x^4)^3, (2*a^3*x^(5//2))/5 + (6*a^2*c*x^(13//2))/13 + (2*a*c^2*x^(21//2))/7 + (2*c^3*x^(29//2))/29, x, 2),
+(sqrt(x)*(a + c*x^4)^3, (2*a^3*x^(3//2))/3 + (6*a^2*c*x^(11//2))/11 + (6*a*c^2*x^(19//2))/19 + (2*c^3*x^(27//2))/27, x, 2),
+((a + c*x^4)^3/sqrt(x), 2*a^3*sqrt(x) + (2*a^2*c*x^(9//2))/3 + (6*a*c^2*x^(17//2))/17 + (2*c^3*x^(25//2))/25, x, 2),
+((a + c*x^4)^3/x^(3//2), (-2*a^3)/sqrt(x) + (6*a^2*c*x^(7//2))/7 + (2*a*c^2*x^(15//2))/5 + (2*c^3*x^(23//2))/23, x, 2),
+((a + c*x^4)^3/x^(5//2), (-2*a^3)/(3*x^(3//2)) + (6*a^2*c*x^(5//2))/5 + (6*a*c^2*x^(13//2))/13 + (2*c^3*x^(21//2))/21, x, 2),
+((a + c*x^4)^3/x^(7//2), (-2*a^3)/(5*x^(5//2)) + 2*a^2*c*x^(3//2) + (6*a*c^2*x^(11//2))/11 + (2*c^3*x^(19//2))/19, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^(9//2)/(a + c*x^4), (2*x^(3//2))/(3*c) + ((-a)^(3//8)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(2*sqrt(2)*c^(11//8)) - ((-a)^(3//8)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(2*sqrt(2)*c^(11//8)) + ((-a)^(3//8)*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(2*c^(11//8)) - ((-a)^(3//8)*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(2*c^(11//8)) - ((-a)^(3//8)*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(4*sqrt(2)*c^(11//8)) + ((-a)^(3//8)*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(4*sqrt(2)*c^(11//8)), x, 15),
+(x^(7//2)/(a + c*x^4), (2*sqrt(x))/c + ((-a)^(1//8)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(2*sqrt(2)*c^(9//8)) - ((-a)^(1//8)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(2*sqrt(2)*c^(9//8)) - ((-a)^(1//8)*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(2*c^(9//8)) - ((-a)^(1//8)*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(2*c^(9//8)) + ((-a)^(1//8)*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(4*sqrt(2)*c^(9//8)) - ((-a)^(1//8)*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(4*sqrt(2)*c^(9//8)), x, 15),
+(x^(5//2)/(a + c*x^4), -(atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(2*sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(7//8))) + atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(2*sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(7//8)) + atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(2*(-a)^(1//8)*c^(7//8)) - atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(2*(-a)^(1//8)*c^(7//8)) + log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x)/(4*sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(7//8)) - log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x)/(4*sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(7//8)), x, 14),
+(x^(3//2)/(a + c*x^4), -(atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(2*sqrt(2)*(-a)^(3//8)*c^(5//8))) + atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(2*sqrt(2)*(-a)^(3//8)*c^(5//8)) - atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(2*(-a)^(3//8)*c^(5//8)) - atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(2*(-a)^(3//8)*c^(5//8)) - log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x)/(4*sqrt(2)*(-a)^(3//8)*c^(5//8)) + log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x)/(4*sqrt(2)*(-a)^(3//8)*c^(5//8)), x, 14),
+(sqrt(x)/(a + c*x^4), atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(2*sqrt(2)*(-a)^(5//8)*c^(3//8)) - atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(2*sqrt(2)*(-a)^(5//8)*c^(3//8)) + atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(2*(-a)^(5//8)*c^(3//8)) - atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(2*(-a)^(5//8)*c^(3//8)) - log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x)/(4*sqrt(2)*(-a)^(5//8)*c^(3//8)) + log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x)/(4*sqrt(2)*(-a)^(5//8)*c^(3//8)), x, 14),
+(1/(sqrt(x)*(a + c*x^4)), atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(2*sqrt(2)*(-a)^(7//8)*c^(1//8)) - atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(2*sqrt(2)*(-a)^(7//8)*c^(1//8)) - atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(2*(-a)^(7//8)*c^(1//8)) - atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(2*(-a)^(7//8)*c^(1//8)) + log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x)/(4*sqrt(2)*(-a)^(7//8)*c^(1//8)) - log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x)/(4*sqrt(2)*(-a)^(7//8)*c^(1//8)), x, 14),
+(1/(x^(3//2)*(a + c*x^4)), -(2/(a*sqrt(x))) - (c^(1//8)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(2*sqrt(2)*(-a)^(9//8)) + (c^(1//8)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(2*sqrt(2)*(-a)^(9//8)) + (c^(1//8)*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(2*(-a)^(9//8)) - (c^(1//8)*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(2*(-a)^(9//8)) + (c^(1//8)*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(4*sqrt(2)*(-a)^(9//8)) - (c^(1//8)*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(4*sqrt(2)*(-a)^(9//8)), x, 15),
+(1/(x^(5//2)*(a + c*x^4)), -(2/(3*a*x^(3//2))) - (c^(3//8)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(2*sqrt(2)*(-a)^(11//8)) + (c^(3//8)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(2*sqrt(2)*(-a)^(11//8)) - (c^(3//8)*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(2*(-a)^(11//8)) - (c^(3//8)*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(2*(-a)^(11//8)) - (c^(3//8)*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(4*sqrt(2)*(-a)^(11//8)) + (c^(3//8)*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(4*sqrt(2)*(-a)^(11//8)), x, 15),
+
+
+(x^(13//2)/(a + c*x^4)^2, -(x^(7//2)/(4*c*(a + c*x^4))) - (7*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(15//8)) + (7*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(15//8)) + (7*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*(-a)^(1//8)*c^(15//8)) - (7*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*(-a)^(1//8)*c^(15//8)) + (7*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(32*sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(15//8)) - (7*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(32*sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(15//8)), x, 15),
+(x^(11//2)/(a + c*x^4)^2, -(x^(5//2)/(4*c*(a + c*x^4))) - (5*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*sqrt(2)*(-a)^(3//8)*c^(13//8)) + (5*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*sqrt(2)*(-a)^(3//8)*c^(13//8)) - (5*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*(-a)^(3//8)*c^(13//8)) - (5*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*(-a)^(3//8)*c^(13//8)) - (5*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(32*sqrt(2)*(-a)^(3//8)*c^(13//8)) + (5*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(32*sqrt(2)*(-a)^(3//8)*c^(13//8)), x, 15),
+(x^(9//2)/(a + c*x^4)^2, -(x^(3//2)/(4*c*(a + c*x^4))) + (3*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*sqrt(2)*(-a)^(5//8)*c^(11//8)) - (3*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*sqrt(2)*(-a)^(5//8)*c^(11//8)) + (3*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*(-a)^(5//8)*c^(11//8)) - (3*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*(-a)^(5//8)*c^(11//8)) - (3*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(32*sqrt(2)*(-a)^(5//8)*c^(11//8)) + (3*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(32*sqrt(2)*(-a)^(5//8)*c^(11//8)), x, 15),
+(x^(7//2)/(a + c*x^4)^2, -(sqrt(x)/(4*c*(a + c*x^4))) + atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(16*sqrt(2)*(-a)^(7//8)*c^(9//8)) - atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(16*sqrt(2)*(-a)^(7//8)*c^(9//8)) - atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(16*(-a)^(7//8)*c^(9//8)) - atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(16*(-a)^(7//8)*c^(9//8)) + log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x)/(32*sqrt(2)*(-a)^(7//8)*c^(9//8)) - log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x)/(32*sqrt(2)*(-a)^(7//8)*c^(9//8)), x, 15),
+(x^(5//2)/(a + c*x^4)^2, x^(7//2)/(4*a*(a + c*x^4)) + atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(16*sqrt(2)*(-a)^(9//8)*c^(7//8)) - atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(16*sqrt(2)*(-a)^(9//8)*c^(7//8)) - atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(16*(-a)^(9//8)*c^(7//8)) + atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8))/(16*(-a)^(9//8)*c^(7//8)) - log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x)/(32*sqrt(2)*(-a)^(9//8)*c^(7//8)) + log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x)/(32*sqrt(2)*(-a)^(9//8)*c^(7//8)), x, 15),
+(x^(3//2)/(a + c*x^4)^2, x^(5//2)/(4*a*(a + c*x^4)) + (3*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*sqrt(2)*(-a)^(11//8)*c^(5//8)) - (3*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*sqrt(2)*(-a)^(11//8)*c^(5//8)) + (3*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*(-a)^(11//8)*c^(5//8)) + (3*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*(-a)^(11//8)*c^(5//8)) + (3*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(32*sqrt(2)*(-a)^(11//8)*c^(5//8)) - (3*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(32*sqrt(2)*(-a)^(11//8)*c^(5//8)), x, 15),
+(sqrt(x)/(a + c*x^4)^2, x^(3//2)/(4*a*(a + c*x^4)) - (5*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*sqrt(2)*(-a)^(13//8)*c^(3//8)) + (5*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*sqrt(2)*(-a)^(13//8)*c^(3//8)) - (5*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*(-a)^(13//8)*c^(3//8)) + (5*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*(-a)^(13//8)*c^(3//8)) + (5*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(32*sqrt(2)*(-a)^(13//8)*c^(3//8)) - (5*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(32*sqrt(2)*(-a)^(13//8)*c^(3//8)), x, 15),
+(1/(sqrt(x)*(a + c*x^4)^2), sqrt(x)/(4*a*(a + c*x^4)) - (7*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*sqrt(2)*(-a)^(15//8)*c^(1//8)) + (7*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*sqrt(2)*(-a)^(15//8)*c^(1//8)) + (7*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*(-a)^(15//8)*c^(1//8)) + (7*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*(-a)^(15//8)*c^(1//8)) - (7*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(32*sqrt(2)*(-a)^(15//8)*c^(1//8)) + (7*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(32*sqrt(2)*(-a)^(15//8)*c^(1//8)), x, 15),
+(1/(x^(3//2)*(a + c*x^4)^2), -(9/(4*a^2*sqrt(x))) + 1/(4*a*sqrt(x)*(a + c*x^4)) + (9*c^(1//8)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*sqrt(2)*(-a)^(17//8)) - (9*c^(1//8)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*sqrt(2)*(-a)^(17//8)) - (9*c^(1//8)*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*(-a)^(17//8)) + (9*c^(1//8)*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(16*(-a)^(17//8)) - (9*c^(1//8)*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(32*sqrt(2)*(-a)^(17//8)) + (9*c^(1//8)*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(32*sqrt(2)*(-a)^(17//8)), x, 16),
+
+
+(x^(15//2)/(a + c*x^4)^3, -(x^(9//2)/(8*c*(a + c*x^4)^2)) - (9*sqrt(x))/(64*c^2*(a + c*x^4)) + (9*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*sqrt(2)*(-a)^(7//8)*c^(17//8)) - (9*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*sqrt(2)*(-a)^(7//8)*c^(17//8)) - (9*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*(-a)^(7//8)*c^(17//8)) - (9*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*(-a)^(7//8)*c^(17//8)) + (9*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(512*sqrt(2)*(-a)^(7//8)*c^(17//8)) - (9*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(512*sqrt(2)*(-a)^(7//8)*c^(17//8)), x, 16),
+(x^(13//2)/(a + c*x^4)^3, -(x^(7//2)/(8*c*(a + c*x^4)^2)) + (7*x^(7//2))/(64*a*c*(a + c*x^4)) + (7*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*sqrt(2)*(-a)^(9//8)*c^(15//8)) - (7*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*sqrt(2)*(-a)^(9//8)*c^(15//8)) - (7*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*(-a)^(9//8)*c^(15//8)) + (7*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*(-a)^(9//8)*c^(15//8)) - (7*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(512*sqrt(2)*(-a)^(9//8)*c^(15//8)) + (7*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(512*sqrt(2)*(-a)^(9//8)*c^(15//8)), x, 16),
+(x^(11//2)/(a + c*x^4)^3, -(x^(5//2)/(8*c*(a + c*x^4)^2)) + (5*x^(5//2))/(64*a*c*(a + c*x^4)) + (15*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*sqrt(2)*(-a)^(11//8)*c^(13//8)) - (15*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*sqrt(2)*(-a)^(11//8)*c^(13//8)) + (15*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*(-a)^(11//8)*c^(13//8)) + (15*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*(-a)^(11//8)*c^(13//8)) + (15*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(512*sqrt(2)*(-a)^(11//8)*c^(13//8)) - (15*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(512*sqrt(2)*(-a)^(11//8)*c^(13//8)), x, 16),
+(x^(9//2)/(a + c*x^4)^3, -(x^(3//2)/(8*c*(a + c*x^4)^2)) + (3*x^(3//2))/(64*a*c*(a + c*x^4)) - (15*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*sqrt(2)*(-a)^(13//8)*c^(11//8)) + (15*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*sqrt(2)*(-a)^(13//8)*c^(11//8)) - (15*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*(-a)^(13//8)*c^(11//8)) + (15*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*(-a)^(13//8)*c^(11//8)) + (15*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(512*sqrt(2)*(-a)^(13//8)*c^(11//8)) - (15*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(512*sqrt(2)*(-a)^(13//8)*c^(11//8)), x, 16),
+(x^(7//2)/(a + c*x^4)^3, -(sqrt(x)/(8*c*(a + c*x^4)^2)) + sqrt(x)/(64*a*c*(a + c*x^4)) - (7*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*sqrt(2)*(-a)^(15//8)*c^(9//8)) + (7*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*sqrt(2)*(-a)^(15//8)*c^(9//8)) + (7*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*(-a)^(15//8)*c^(9//8)) + (7*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*(-a)^(15//8)*c^(9//8)) - (7*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(512*sqrt(2)*(-a)^(15//8)*c^(9//8)) + (7*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(512*sqrt(2)*(-a)^(15//8)*c^(9//8)), x, 16),
+(x^(5//2)/(a + c*x^4)^3, x^(7//2)/(8*a*(a + c*x^4)^2) + (9*x^(7//2))/(64*a^2*(a + c*x^4)) - (9*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*sqrt(2)*(-a)^(17//8)*c^(7//8)) + (9*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*sqrt(2)*(-a)^(17//8)*c^(7//8)) + (9*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*(-a)^(17//8)*c^(7//8)) - (9*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*(-a)^(17//8)*c^(7//8)) + (9*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(512*sqrt(2)*(-a)^(17//8)*c^(7//8)) - (9*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(512*sqrt(2)*(-a)^(17//8)*c^(7//8)), x, 16),
+(x^(3//2)/(a + c*x^4)^3, x^(5//2)/(8*a*(a + c*x^4)^2) + (11*x^(5//2))/(64*a^2*(a + c*x^4)) - (33*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*sqrt(2)*(-a)^(19//8)*c^(5//8)) + (33*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*sqrt(2)*(-a)^(19//8)*c^(5//8)) - (33*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*(-a)^(19//8)*c^(5//8)) - (33*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*(-a)^(19//8)*c^(5//8)) - (33*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(512*sqrt(2)*(-a)^(19//8)*c^(5//8)) + (33*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(512*sqrt(2)*(-a)^(19//8)*c^(5//8)), x, 16),
+(sqrt(x)/(a + c*x^4)^3, x^(3//2)/(8*a*(a + c*x^4)^2) + (13*x^(3//2))/(64*a^2*(a + c*x^4)) + (65*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*sqrt(2)*(-a)^(21//8)*c^(3//8)) - (65*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*sqrt(2)*(-a)^(21//8)*c^(3//8)) + (65*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*(-a)^(21//8)*c^(3//8)) - (65*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*(-a)^(21//8)*c^(3//8)) - (65*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(512*sqrt(2)*(-a)^(21//8)*c^(3//8)) + (65*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(512*sqrt(2)*(-a)^(21//8)*c^(3//8)), x, 16),
+(1/(sqrt(x)*(a + c*x^4)^3), sqrt(x)/(8*a*(a + c*x^4)^2) + (15*sqrt(x))/(64*a^2*(a + c*x^4)) + (105*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*sqrt(2)*(-a)^(23//8)*c^(1//8)) - (105*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*sqrt(2)*(-a)^(23//8)*c^(1//8)) - (105*atan((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*(-a)^(23//8)*c^(1//8)) - (105*atanh((c^(1//8)*sqrt(x))/(-a)^(1//8)))/(256*(-a)^(23//8)*c^(1//8)) + (105*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(512*sqrt(2)*(-a)^(23//8)*c^(1//8)) - (105*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*c^(1//8)*sqrt(x) + c^(1//4)*x))/(512*sqrt(2)*(-a)^(23//8)*c^(1//8)), x, 16),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^11*sqrt(a + c*x^4), (a^2*(a + c*x^4)^(3//2))/(6*c^3) - (a*(a + c*x^4)^(5//2))/(5*c^3) + (a + c*x^4)^(7//2)/(14*c^3), x, 3),
+(x^7*sqrt(a + c*x^4), -(a*(a + c*x^4)^(3//2))/(6*c^2) + (a + c*x^4)^(5//2)/(10*c^2), x, 3),
+(x^3*sqrt(a + c*x^4), (a + c*x^4)^(3//2)/(6*c), x, 1),
+(sqrt(a + c*x^4)/x^1, sqrt(a + c*x^4)/2 - (sqrt(a)*atanh(sqrt(a + c*x^4)/sqrt(a)))/2, x, 4),
+(sqrt(a + c*x^4)/x^5, -sqrt(a + c*x^4)/(4*x^4) - (c*atanh(sqrt(a + c*x^4)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)), x, 4),
+(sqrt(a + c*x^4)/x^9, -sqrt(a + c*x^4)/(8*x^8) - (c*sqrt(a + c*x^4))/(16*a*x^4) + (c^2*atanh(sqrt(a + c*x^4)/sqrt(a)))/(16*a^(3//2)), x, 5),
+
+(x^5*sqrt(a + c*x^4), (a*x^2*sqrt(a + c*x^4))/(16*c) + (x^6*sqrt(a + c*x^4))/8 - (a^2*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a + c*x^4)))/(16*c^(3//2)), x, 5),
+(x^1*sqrt(a + c*x^4), (x^2*sqrt(a + c*x^4))/4 + (a*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a + c*x^4)))/(4*sqrt(c)), x, 4),
+(sqrt(a + c*x^4)/x^3, -sqrt(a + c*x^4)/(2*x^2) + (sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a + c*x^4)))/2, x, 4),
+(sqrt(a + c*x^4)/x^7, -(a + c*x^4)^(3//2)/(6*a*x^6), x, 1),
+(sqrt(a + c*x^4)/x^11, -(a + c*x^4)^(3//2)/(10*a*x^10) + (c*(a + c*x^4)^(3//2))/(15*a^2*x^6), x, 2),
+(sqrt(a + c*x^4)/x^15, -((a + c*x^4)^(3//2)/(14*a*x^14)) + (2*c*(a + c*x^4)^(3//2))/(35*a^2*x^10) - (4*c^2*(a + c*x^4)^(3//2))/(105*a^3*x^6), x, 3),
+
+(x^4*sqrt(a + c*x^4), (2*a*x*sqrt(a + c*x^4))/(21*c) + (1//7)*x^5*sqrt(a + c*x^4) - (a^(7//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(21*c^(5//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 3),
+(x^0*sqrt(a + c*x^4), (1//3)*x*sqrt(a + c*x^4) + (a^(3//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(3*c^(1//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 2),
+(sqrt(a + c*x^4)/x^4, -(sqrt(a + c*x^4)/(3*x^3)) + (c^(3//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(3*a^(1//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 2),
+(sqrt(a + c*x^4)/x^8, -(sqrt(a + c*x^4)/(7*x^7)) - (2*c*sqrt(a + c*x^4))/(21*a*x^3) - (c^(7//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(21*a^(5//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 3),
+
+(x^2*sqrt(a + c*x^4), (1//5)*x^3*sqrt(a + c*x^4) + (2*a*x*sqrt(a + c*x^4))/(5*sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (2*a^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)) + (a^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 4),
+(sqrt(a + c*x^4)/x^2, -(sqrt(a + c*x^4)/x) + (2*sqrt(c)*x*sqrt(a + c*x^4))/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2) - (2*a^(1//4)*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/sqrt(a + c*x^4) + (a^(1//4)*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/sqrt(a + c*x^4), x, 4),
+(sqrt(a + c*x^4)/x^6, -(sqrt(a + c*x^4)/(5*x^5)) - (2*c*sqrt(a + c*x^4))/(5*a*x) + (2*c^(3//2)*x*sqrt(a + c*x^4))/(5*a*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (2*c^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*a^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)) + (c^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*a^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 5),
+
+
+(x^11*(a + c*x^4)^(3//2), (a^2*(a + c*x^4)^(5//2))/(10*c^3) - (a*(a + c*x^4)^(7//2))/(7*c^3) + (a + c*x^4)^(9//2)/(18*c^3), x, 3),
+(x^7*(a + c*x^4)^(3//2), -(a*(a + c*x^4)^(5//2))/(10*c^2) + (a + c*x^4)^(7//2)/(14*c^2), x, 3),
+(x^3*(a + c*x^4)^(3//2), (a + c*x^4)^(5//2)/(10*c), x, 1),
+((a + c*x^4)^(3//2)/x^1, (a*sqrt(a + c*x^4))/2 + (a + c*x^4)^(3//2)/6 - (a^(3//2)*atanh(sqrt(a + c*x^4)/sqrt(a)))/2, x, 5),
+((a + c*x^4)^(3//2)/x^5, (3*c*sqrt(a + c*x^4))/4 - (a + c*x^4)^(3//2)/(4*x^4) - (3*sqrt(a)*c*atanh(sqrt(a + c*x^4)/sqrt(a)))/4, x, 5),
+((a + c*x^4)^(3//2)/x^9, (-3*c*sqrt(a + c*x^4))/(16*x^4) - (a + c*x^4)^(3//2)/(8*x^8) - (3*c^2*atanh(sqrt(a + c*x^4)/sqrt(a)))/(16*sqrt(a)), x, 5),
+
+(x^5*(a + c*x^4)^(3//2), (a^2*x^2*sqrt(a + c*x^4))/(32*c) + (a*x^6*sqrt(a + c*x^4))/16 + (x^6*(a + c*x^4)^(3//2))/12 - (a^3*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a + c*x^4)))/(32*c^(3//2)), x, 6),
+(x^1*(a + c*x^4)^(3//2), (3*a*x^2*sqrt(a + c*x^4))/16 + (x^2*(a + c*x^4)^(3//2))/8 + (3*a^2*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a + c*x^4)))/(16*sqrt(c)), x, 5),
+((a + c*x^4)^(3//2)/x^3, (3*c*x^2*sqrt(a + c*x^4))/4 - (a + c*x^4)^(3//2)/(2*x^2) + (3*a*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a + c*x^4)))/4, x, 5),
+((a + c*x^4)^(3//2)/x^7, -(c*sqrt(a + c*x^4))/(2*x^2) - (a + c*x^4)^(3//2)/(6*x^6) + (c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a + c*x^4)))/2, x, 5),
+((a + c*x^4)^(3//2)/x^11, -(a + c*x^4)^(5//2)/(10*a*x^10), x, 1),
+((a + c*x^4)^(3//2)/x^15, -(a + c*x^4)^(5//2)/(14*a*x^14) + (c*(a + c*x^4)^(5//2))/(35*a^2*x^10), x, 2),
+((a + c*x^4)^(3//2)/x^19, -((a + c*x^4)^(5//2)/(18*a*x^18)) + (2*c*(a + c*x^4)^(5//2))/(63*a^2*x^14) - (4*c^2*(a + c*x^4)^(5//2))/(315*a^3*x^10), x, 3),
+
+(x^4*(a + c*x^4)^(3//2), (4*a^2*x*sqrt(a + c*x^4))/(77*c) + (6//77)*a*x^5*sqrt(a + c*x^4) + (1//11)*x^5*(a + c*x^4)^(3//2) - (2*a^(11//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(77*c^(5//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 4),
+(x^0*(a + c*x^4)^(3//2), (2//7)*a*x*sqrt(a + c*x^4) + (1//7)*x*(a + c*x^4)^(3//2) + (2*a^(7//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(7*c^(1//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 3),
+((a + c*x^4)^(3//2)/x^4, (2//3)*c*x*sqrt(a + c*x^4) - (a + c*x^4)^(3//2)/(3*x^3) + (2*a^(3//4)*c^(3//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(3*sqrt(a + c*x^4)), x, 3),
+((a + c*x^4)^(3//2)/x^8, -((2*c*sqrt(a + c*x^4))/(7*x^3)) - (a + c*x^4)^(3//2)/(7*x^7) + (2*c^(7//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(7*a^(1//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 3),
+
+(x^2*(a + c*x^4)^(3//2), (2//15)*a*x^3*sqrt(a + c*x^4) + (4*a^2*x*sqrt(a + c*x^4))/(15*sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (1//9)*x^3*(a + c*x^4)^(3//2) - (4*a^(9//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)) + (2*a^(9//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 5),
+((a + c*x^4)^(3//2)/x^2, (6//5)*c*x^3*sqrt(a + c*x^4) + (12*a*sqrt(c)*x*sqrt(a + c*x^4))/(5*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (a + c*x^4)^(3//2)/x - (12*a^(5//4)*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(a + c*x^4)) + (6*a^(5//4)*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(a + c*x^4)), x, 5),
+((a + c*x^4)^(3//2)/x^6, -((6*c*sqrt(a + c*x^4))/(5*x)) + (12*c^(3//2)*x*sqrt(a + c*x^4))/(5*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (a + c*x^4)^(3//2)/(5*x^5) - (12*a^(1//4)*c^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(a + c*x^4)) + (6*a^(1//4)*c^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(a + c*x^4)), x, 5),
+
+
+((1 + x^4)^(3//2), (2//7)*x*sqrt(1 + x^4) + (1//7)*x*(1 + x^4)^(3//2) + (2*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(7*sqrt(1 + x^4)), x, 3),
+((1 - x^4)^(3//2), (2//7)*x*sqrt(1 - x^4) + (1//7)*x*(1 - x^4)^(3//2) + (4//7)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1), x, 3),
+
+
+(x^7*sqrt(5 + 3*x^4), (-(5//54))*(5 + 3*x^4)^(3//2) + (1//90)*(5 + 3*x^4)^(5//2), x, 3),
+(x^3*sqrt(5 + x^4), (1//6)*(5 + x^4)^(3//2), x, 1),
+(x*sqrt(3 + 2*x^4), (1//4)*x^2*sqrt(3 + 2*x^4) + (3*asinh(sqrt(2//3)*x^2))/(4*sqrt(2)), x, 3),
+(x*sqrt(-2 + x^4), (1//4)*x^2*sqrt(-2 + x^4) - (1//2)*atanh(x^2/sqrt(-2 + x^4)), x, 4),
+((1 + x^4)^(1//2), (1//3)*x*sqrt(1 + x^4) + ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(3*sqrt(1 + x^4)), x, 2),
+((1 - x^4)^(1//2), (1//3)*x*sqrt(1 - x^4) + (2//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^11/sqrt(a + b*x^4), (a^2*sqrt(a + b*x^4))/(2*b^3) - (a*(a + b*x^4)^(3//2))/(3*b^3) + (a + b*x^4)^(5//2)/(10*b^3), x, 3),
+(x^7/sqrt(a + b*x^4), -((a*sqrt(a + b*x^4))/(2*b^2)) + (a + b*x^4)^(3//2)/(6*b^2), x, 3),
+(x^3/sqrt(a + b*x^4), sqrt(a + b*x^4)/(2*b), x, 1),
+(1/(x^1*sqrt(a + b*x^4)), -atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a))/(2*sqrt(a)), x, 3),
+(1/(x^5*sqrt(a + b*x^4)), -sqrt(a + b*x^4)/(4*a*x^4) + (b*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)), x, 4),
+
+(x^5/sqrt(a + b*x^4), (x^2*sqrt(a + b*x^4))/(4*b) - (a*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(4*b^(3//2)), x, 4),
+(x^1/sqrt(a + b*x^4), atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4))/(2*sqrt(b)), x, 3),
+(1/(x^3*sqrt(a + b*x^4)), -sqrt(a + b*x^4)/(2*a*x^2), x, 1),
+(1/(x^7*sqrt(a + b*x^4)), -sqrt(a + b*x^4)/(6*a*x^6) + (b*sqrt(a + b*x^4))/(3*a^2*x^2), x, 2),
+(1/(x^11*sqrt(a + b*x^4)), -(sqrt(a + b*x^4)/(10*a*x^10)) + (2*b*sqrt(a + b*x^4))/(15*a^2*x^6) - (4*b^2*sqrt(a + b*x^4))/(15*a^3*x^2), x, 3),
+
+(x^8/sqrt(a + b*x^4), -((5*a*x*sqrt(a + b*x^4))/(21*b^2)) + (x^5*sqrt(a + b*x^4))/(7*b) + (5*a^(7//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(42*b^(9//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 3),
+(x^4/sqrt(a + b*x^4), (x*sqrt(a + b*x^4))/(3*b) - (a^(3//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(6*b^(5//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 2),
+(x^0/sqrt(a + b*x^4), ((sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 1),
+(1/(x^4*sqrt(a + b*x^4)), -(sqrt(a + b*x^4)/(3*a*x^3)) - (b^(3//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(6*a^(5//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 2),
+(1/(x^8*sqrt(a + b*x^4)), -(sqrt(a + b*x^4)/(7*a*x^7)) + (5*b*sqrt(a + b*x^4))/(21*a^2*x^3) + (5*b^(7//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(42*a^(9//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 3),
+
+(x^10/sqrt(a + b*x^4), -((7*a*x^3*sqrt(a + b*x^4))/(45*b^2)) + (x^7*sqrt(a + b*x^4))/(9*b) + (7*a^2*x*sqrt(a + b*x^4))/(15*b^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (7*a^(9//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*b^(11//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (7*a^(9//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(30*b^(11//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 5),
+(x^6/sqrt(a + b*x^4), (x^3*sqrt(a + b*x^4))/(5*b) - (3*a*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (3*a^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (3*a^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(10*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 4),
+(x^2/sqrt(a + b*x^4), (x*sqrt(a + b*x^4))/(sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (a^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (a^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(a + b*x^4)), -(sqrt(a + b*x^4)/(a*x)) + (sqrt(b)*x*sqrt(a + b*x^4))/(a*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (b^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(a^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (b^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 4),
+(1/(x^6*sqrt(a + b*x^4)), -(sqrt(a + b*x^4)/(5*a*x^5)) + (3*b*sqrt(a + b*x^4))/(5*a^2*x) - (3*b^(3//2)*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*a^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (3*b^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (3*b^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(10*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 5),
+
+
+(x^11/sqrt(a - b*x^4), -((a^2*sqrt(a - b*x^4))/(2*b^3)) + (a*(a - b*x^4)^(3//2))/(3*b^3) - (a - b*x^4)^(5//2)/(10*b^3), x, 3),
+(x^7/sqrt(a - b*x^4), -((a*sqrt(a - b*x^4))/(2*b^2)) + (a - b*x^4)^(3//2)/(6*b^2), x, 3),
+(x^3/sqrt(a - b*x^4), -(sqrt(a - b*x^4)/(2*b)), x, 1),
+(1/(x^1*sqrt(a - b*x^4)), -atanh(sqrt(a - b*x^4)/sqrt(a))/(2*sqrt(a)), x, 3),
+(1/(x^5*sqrt(a - b*x^4)), -(sqrt(a - b*x^4)/(4*a*x^4)) - (b*atanh(sqrt(a - b*x^4)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)), x, 4),
+
+(x^5/sqrt(a - b*x^4), -((x^2*sqrt(a - b*x^4))/(4*b)) + (a*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4)))/(4*b^(3//2)), x, 4),
+(x^1/sqrt(a - b*x^4), atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4))/(2*sqrt(b)), x, 3),
+(1/(x^3*sqrt(a - b*x^4)), -sqrt(a - b*x^4)/(2*a*x^2), x, 1),
+(1/(x^7*sqrt(a - b*x^4)), -(sqrt(a - b*x^4)/(6*a*x^6)) - (b*sqrt(a - b*x^4))/(3*a^2*x^2), x, 2),
+(1/(x^11*sqrt(a - b*x^4)), -(sqrt(a - b*x^4)/(10*a*x^10)) - (2*b*sqrt(a - b*x^4))/(15*a^2*x^6) - (4*b^2*sqrt(a - b*x^4))/(15*a^3*x^2), x, 3),
+
+(x^8/sqrt(a - b*x^4), -((5*a*x*sqrt(a - b*x^4))/(21*b^2)) - (x^5*sqrt(a - b*x^4))/(7*b) + (5*a^(9//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(21*b^(9//4)*sqrt(a - b*x^4)), x, 4),
+(x^4/sqrt(a - b*x^4), -((x*sqrt(a - b*x^4))/(3*b)) + (a^(5//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(3*b^(5//4)*sqrt(a - b*x^4)), x, 3),
+(x^0/sqrt(a - b*x^4), (a^(1//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(b^(1//4)*sqrt(a - b*x^4)), x, 2),
+(1/(x^4*sqrt(a - b*x^4)), -(sqrt(a - b*x^4)/(3*a*x^3)) + (b^(3//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(3*a^(3//4)*sqrt(a - b*x^4)), x, 3),
+(1/(x^8*sqrt(a - b*x^4)), -(sqrt(a - b*x^4)/(7*a*x^7)) - (5*b*sqrt(a - b*x^4))/(21*a^2*x^3) + (5*b^(7//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(21*a^(7//4)*sqrt(a - b*x^4)), x, 4),
+
+(x^10/sqrt(a - b*x^4), -((7*a*x^3*sqrt(a - b*x^4))/(45*b^2)) - (x^7*sqrt(a - b*x^4))/(9*b) + (7*a^(11//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(15*b^(11//4)*sqrt(a - b*x^4)) - (7*a^(11//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(15*b^(11//4)*sqrt(a - b*x^4)), x, 8),
+(x^6/sqrt(a - b*x^4), -((x^3*sqrt(a - b*x^4))/(5*b)) + (3*a^(7//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(5*b^(7//4)*sqrt(a - b*x^4)) - (3*a^(7//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(5*b^(7//4)*sqrt(a - b*x^4)), x, 7),
+(x^2/sqrt(a - b*x^4), (a^(3//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(b^(3//4)*sqrt(a - b*x^4)) - (a^(3//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(b^(3//4)*sqrt(a - b*x^4)), x, 6),
+(1/(x^2*sqrt(a - b*x^4)), -(sqrt(a - b*x^4)/(a*x)) - (b^(1//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(a^(1//4)*sqrt(a - b*x^4)) + (b^(1//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(a^(1//4)*sqrt(a - b*x^4)), x, 7),
+(1/(x^6*sqrt(a - b*x^4)), -(sqrt(a - b*x^4)/(5*a*x^5)) - (3*b*sqrt(a - b*x^4))/(5*a^2*x) - (3*b^(5//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(5*a^(5//4)*sqrt(a - b*x^4)) + (3*b^(5//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(5*a^(5//4)*sqrt(a - b*x^4)), x, 8),
+
+
+(x^11/(a + b*x^4)^(3//2), -(a^2/(2*b^3*sqrt(a + b*x^4))) - (a*sqrt(a + b*x^4))/b^3 + (a + b*x^4)^(3//2)/(6*b^3), x, 3),
+(x^7/(a + b*x^4)^(3//2), a/(2*b^2*sqrt(a + b*x^4)) + sqrt(a + b*x^4)/(2*b^2), x, 3),
+(x^3/(a + b*x^4)^(3//2), -1/(2*b*sqrt(a + b*x^4)), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^4)^(3//2)), 1/(2*a*sqrt(a + b*x^4)) - atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a))/(2*a^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^5*(a + b*x^4)^(3//2)), -((3*b)/(4*a^2*sqrt(a + b*x^4))) - 1/(4*a*x^4*sqrt(a + b*x^4)) + (3*b*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(4*a^(5//2)), x, 5),
+
+(x^9/(a + b*x^4)^(3//2), -x^6/(2*b*sqrt(a + b*x^4)) + (3*x^2*sqrt(a + b*x^4))/(4*b^2) - (3*a*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(4*b^(5//2)), x, 5),
+(x^5/(a + b*x^4)^(3//2), -x^2/(2*b*sqrt(a + b*x^4)) + atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4))/(2*b^(3//2)), x, 4),
+(x^1/(a + b*x^4)^(3//2), x^2/(2*a*sqrt(a + b*x^4)), x, 1),
+(1/(x^3*(a + b*x^4)^(3//2)), -(1/(2*a*x^2*sqrt(a + b*x^4))) - (b*x^2)/(a^2*sqrt(a + b*x^4)), x, 2),
+(1/(x^7*(a + b*x^4)^(3//2)), -(1/(6*a*x^6*sqrt(a + b*x^4))) + (2*b)/(3*a^2*x^2*sqrt(a + b*x^4)) + (4*b^2*x^2)/(3*a^3*sqrt(a + b*x^4)), x, 3),
+
+(x^12/(a + b*x^4)^(3//2), -(x^9/(2*b*sqrt(a + b*x^4))) - (15*a*x*sqrt(a + b*x^4))/(14*b^3) + (9*x^5*sqrt(a + b*x^4))/(14*b^2) + (15*a^(7//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(28*b^(13//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 4),
+(x^8/(a + b*x^4)^(3//2), -(x^5/(2*b*sqrt(a + b*x^4))) + (5*x*sqrt(a + b*x^4))/(6*b^2) - (5*a^(3//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(12*b^(9//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 3),
+(x^4/(a + b*x^4)^(3//2), -(x/(2*b*sqrt(a + b*x^4))) + ((sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*b^(5//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 2),
+(x^0/(a + b*x^4)^(3//2), x/(2*a*sqrt(a + b*x^4)) + ((sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(5//4)*b^(1//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 2),
+(1/(x^4*(a + b*x^4)^(3//2)), 1/(2*a*x^3*sqrt(a + b*x^4)) - (5*sqrt(a + b*x^4))/(6*a^2*x^3) - (5*b^(3//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(12*a^(9//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 3),
+(1/(x^8*(a + b*x^4)^(3//2)), 1/(2*a*x^7*sqrt(a + b*x^4)) - (9*sqrt(a + b*x^4))/(14*a^2*x^7) + (15*b*sqrt(a + b*x^4))/(14*a^3*x^3) + (15*b^(7//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(28*a^(13//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 4),
+
+(x^14/(a + b*x^4)^(3//2), -(x^11/(2*b*sqrt(a + b*x^4))) - (77*a*x^3*sqrt(a + b*x^4))/(90*b^3) + (11*x^7*sqrt(a + b*x^4))/(18*b^2) + (77*a^2*x*sqrt(a + b*x^4))/(30*b^(7//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (77*a^(9//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(30*b^(15//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (77*a^(9//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(60*b^(15//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 6),
+(x^10/(a + b*x^4)^(3//2), -(x^7/(2*b*sqrt(a + b*x^4))) + (7*x^3*sqrt(a + b*x^4))/(10*b^2) - (21*a*x*sqrt(a + b*x^4))/(10*b^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (21*a^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(10*b^(11//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (21*a^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(20*b^(11//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 5),
+(x^6/(a + b*x^4)^(3//2), -(x^3/(2*b*sqrt(a + b*x^4))) + (3*x*sqrt(a + b*x^4))/(2*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (3*a^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (3*a^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 4),
+(x^2/(a + b*x^4)^(3//2), x^3/(2*a*sqrt(a + b*x^4)) - (x*sqrt(a + b*x^4))/(2*a*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + ((sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) - ((sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(3//4)*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 4),
+(1/(x^2*(a + b*x^4)^(3//2)), 1/(2*a*x*sqrt(a + b*x^4)) - (3*sqrt(a + b*x^4))/(2*a^2*x) + (3*sqrt(b)*x*sqrt(a + b*x^4))/(2*a^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (3*b^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (3*b^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 5),
+(1/(x^6*(a + b*x^4)^(3//2)), 1/(2*a*x^5*sqrt(a + b*x^4)) - (7*sqrt(a + b*x^4))/(10*a^2*x^5) + (21*b*sqrt(a + b*x^4))/(10*a^3*x) - (21*b^(3//2)*x*sqrt(a + b*x^4))/(10*a^3*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (21*b^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(10*a^(11//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (21*b^(5//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(20*a^(11//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 6),
+
+
+(1/(a + b*x^4)^(5//2), x/(6*a*(a + b*x^4)^(3//2)) + (5*x)/(12*a^2*sqrt(a + b*x^4)) + (5*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(24*a^(9//4)*b^(1//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 3),
+
+
+(x^11/sqrt(1 - x^4), -sqrt(1 - x^4)/2 + (1 - x^4)^(3//2)/3 - (1 - x^4)^(5//2)/10, x, 3),
+(x^7/sqrt(1 - x^4), -sqrt(1 - x^4)/2 + (1 - x^4)^(3//2)/6, x, 3),
+(x^3/sqrt(1 - x^4), -sqrt(1 - x^4)/2, x, 1),
+(1/(x^1*sqrt(1 - x^4)), -atanh(sqrt(1 - x^4))/2, x, 3),
+(1/(x^5*sqrt(1 - x^4)), -sqrt(1 - x^4)/(4*x^4) - atanh(sqrt(1 - x^4))/4, x, 4),
+
+(x^5/sqrt(1 - x^4), -(x^2*sqrt(1 - x^4))/4 + asin(x^2)/4, x, 3),
+(x^1/sqrt(1 - x^4), asin(x^2)/2, x, 2),
+(1/(x^3*sqrt(1 - x^4)), -sqrt(1 - x^4)/(2*x^2), x, 1),
+(1/(x^7*sqrt(1 - x^4)), -sqrt(1 - x^4)/(6*x^6) - sqrt(1 - x^4)/(3*x^2), x, 2),
+(1/(x^11*sqrt(1 - x^4)), -sqrt(1 - x^4)/(10*x^10) - (2*sqrt(1 - x^4))/(15*x^6) - (4*sqrt(1 - x^4))/(15*x^2), x, 3),
+
+(x^8/sqrt(1 - x^4), (-5*x*sqrt(1 - x^4))/21 - (x^5*sqrt(1 - x^4))/7 + (5*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1))/21, x, 3),
+(x^4/sqrt(1 - x^4), -(x*sqrt(1 - x^4))/3 + SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1)/3, x, 2),
+(x^0/sqrt(1 - x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1), x, 1),
+(1/(x^4*sqrt(1 - x^4)), -sqrt(1 - x^4)/(3*x^3) + SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1)/3, x, 2),
+(1/(x^8*sqrt(1 - x^4)), -sqrt(1 - x^4)/(7*x^7) - (5*sqrt(1 - x^4))/(21*x^3) + (5*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1))/21, x, 3),
+
+(x^10/sqrt(1 - x^4), (-7*x^3*sqrt(1 - x^4))/45 - (x^7*sqrt(1 - x^4))/9 + (7*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -1))/15 - (7*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1))/15, x, 6),
+(x^6/sqrt(1 - x^4), -(x^3*sqrt(1 - x^4))/5 + (3*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -1))/5 - (3*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1))/5, x, 5),
+(x^2/sqrt(1 - x^4), SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -1) - SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1), x, 4),
+(1/(x^2*sqrt(1 - x^4)), -(sqrt(1 - x^4)/x) - SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -1) + SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1), x, 5),
+(1/(x^6*sqrt(1 - x^4)), -sqrt(1 - x^4)/(5*x^5) - (3*sqrt(1 - x^4))/(5*x) - (3*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -1))/5 + (3*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1))/5, x, 6),
+
+
+(x^11/(1 - x^4)^(3//2), 1/(2*sqrt(1 - x^4)) + sqrt(1 - x^4) - (1 - x^4)^(3//2)/6, x, 3),
+(x^7/(1 - x^4)^(3//2), 1/(2*sqrt(1 - x^4)) + sqrt(1 - x^4)/2, x, 3),
+(x^3/(1 - x^4)^(3//2), 1/(2*sqrt(1 - x^4)), x, 1),
+(1/(x^1*(1 - x^4)^(3//2)), 1/(2*sqrt(1 - x^4)) - atanh(sqrt(1 - x^4))/2, x, 4),
+(1/(x^5*(1 - x^4)^(3//2)), 3/(4*sqrt(1 - x^4)) - 1/(4*x^4*sqrt(1 - x^4)) - (3//4)*atanh(sqrt(1 - x^4)), x, 5),
+
+(x^9/(1 - x^4)^(3//2), x^6/(2*sqrt(1 - x^4)) + (3*x^2*sqrt(1 - x^4))/4 - (3*asin(x^2))/4, x, 4),
+(x^5/(1 - x^4)^(3//2), x^2/(2*sqrt(1 - x^4)) - asin(x^2)/2, x, 3),
+(x^1/(1 - x^4)^(3//2), x^2/(2*sqrt(1 - x^4)), x, 1),
+(1/(x^3*(1 - x^4)^(3//2)), -1/(2*x^2*sqrt(1 - x^4)) + x^2/sqrt(1 - x^4), x, 2),
+(1/(x^7*(1 - x^4)^(3//2)), -1/(6*x^6*sqrt(1 - x^4)) - 2/(3*x^2*sqrt(1 - x^4)) + (4*x^2)/(3*sqrt(1 - x^4)), x, 3),
+
+(x^12/(1 - x^4)^(3//2), x^9/(2*sqrt(1 - x^4)) + (15*x*sqrt(1 - x^4))/14 + (9*x^5*sqrt(1 - x^4))/14 - (15*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1))/14, x, 4),
+(x^8/(1 - x^4)^(3//2), x^5/(2*sqrt(1 - x^4)) + (5*x*sqrt(1 - x^4))/6 - (5*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1))/6, x, 3),
+(x^4/(1 - x^4)^(3//2), x/(2*sqrt(1 - x^4)) - SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1)/2, x, 2),
+(x^0/(1 - x^4)^(3//2), x/(2*sqrt(1 - x^4)) + SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1)/2, x, 2),
+(1/(x^4*(1 - x^4)^(3//2)), 1/(2*x^3*sqrt(1 - x^4)) - (5*sqrt(1 - x^4))/(6*x^3) + (5*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1))/6, x, 3),
+(1/(x^8*(1 - x^4)^(3//2)), 1/(2*x^7*sqrt(1 - x^4)) - (9*sqrt(1 - x^4))/(14*x^7) - (15*sqrt(1 - x^4))/(14*x^3) + (15*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1))/14, x, 4),
+
+(x^14/(1 - x^4)^(3//2), x^11/(2*sqrt(1 - x^4)) + (77*x^3*sqrt(1 - x^4))/90 + (11*x^7*sqrt(1 - x^4))/18 - (77*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -1))/30 + (77*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1))/30, x, 7),
+(x^10/(1 - x^4)^(3//2), x^7/(2*sqrt(1 - x^4)) + (7*x^3*sqrt(1 - x^4))/10 - (21*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -1))/10 + (21*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1))/10, x, 6),
+(x^6/(1 - x^4)^(3//2), x^3/(2*sqrt(1 - x^4)) - (3*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -1))/2 + (3*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1))/2, x, 5),
+(x^2/(1 - x^4)^(3//2), x^3/(2*sqrt(1 - x^4)) - SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -1)/2 + SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1)/2, x, 5),
+(1/(x^2*(1 - x^4)^(3//2)), 1/(2*x*sqrt(1 - x^4)) - (3*sqrt(1 - x^4))/(2*x) - (3*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -1))/2 + (3*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1))/2, x, 6),
+(1/(x^6*(1 - x^4)^(3//2)), 1/(2*x^5*sqrt(1 - x^4)) - (7*sqrt(1 - x^4))/(10*x^5) - (21*sqrt(1 - x^4))/(10*x) - (21*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -1))/10 + (21*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1))/10, x, 7),
+
+
+(1/(1 - x^4)^(5//2), x/(6*(1 - x^4)^(3//2)) + (5*x)/(12*sqrt(1 - x^4)) + (5//12)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1), x, 3),
+
+
+(x^11/sqrt(1 + x^4), sqrt(1 + x^4)/2 - (1 + x^4)^(3//2)/3 + (1 + x^4)^(5//2)/10, x, 3),
+(x^7/sqrt(1 + x^4), -sqrt(1 + x^4)/2 + (1 + x^4)^(3//2)/6, x, 3),
+(x^3/sqrt(1 + x^4), sqrt(1 + x^4)/2, x, 1),
+(1/(x^1*sqrt(1 + x^4)), -atanh(sqrt(1 + x^4))/2, x, 3),
+(1/(x^5*sqrt(1 + x^4)), -sqrt(1 + x^4)/(4*x^4) + atanh(sqrt(1 + x^4))/4, x, 4),
+
+(x^5/sqrt(1 + x^4), (x^2*sqrt(1 + x^4))/4 - asinh(x^2)/4, x, 3),
+(x^1/sqrt(1 + x^4), asinh(x^2)/2, x, 2),
+(1/(x^3*sqrt(1 + x^4)), -sqrt(1 + x^4)/(2*x^2), x, 1),
+(1/(x^7*sqrt(1 + x^4)), -sqrt(1 + x^4)/(6*x^6) + sqrt(1 + x^4)/(3*x^2), x, 2),
+(1/(x^11*sqrt(1 + x^4)), -sqrt(1 + x^4)/(10*x^10) + (2*sqrt(1 + x^4))/(15*x^6) - (4*sqrt(1 + x^4))/(15*x^2), x, 3),
+
+(x^8/sqrt(1 + x^4), (-5*x*sqrt(1 + x^4))/21 + (x^5*sqrt(1 + x^4))/7 + (5*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(42*sqrt(1 + x^4)), x, 3),
+(x^4/sqrt(1 + x^4), (x*sqrt(1 + x^4))/3 - ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(6*sqrt(1 + x^4)), x, 2),
+(x^0/sqrt(1 + x^4), ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(2*sqrt(1 + x^4)), x, 1),
+(1/(x^4*sqrt(1 + x^4)), -sqrt(1 + x^4)/(3*x^3) - ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(6*sqrt(1 + x^4)), x, 2),
+(1/(x^8*sqrt(1 + x^4)), -sqrt(1 + x^4)/(7*x^7) + (5*sqrt(1 + x^4))/(21*x^3) + (5*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(42*sqrt(1 + x^4)), x, 3),
+
+(x^10/sqrt(1 + x^4), (-(7//45))*x^3*sqrt(1 + x^4) + (1//9)*x^7*sqrt(1 + x^4) + (7*x*sqrt(1 + x^4))/(15*(1 + x^2)) - (7*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//2))/(15*sqrt(1 + x^4)) + (7*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(30*sqrt(1 + x^4)), x, 5),
+(x^6/sqrt(1 + x^4), (1//5)*x^3*sqrt(1 + x^4) - (3*x*sqrt(1 + x^4))/(5*(1 + x^2)) + (3*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//2))/(5*sqrt(1 + x^4)) - (3*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(10*sqrt(1 + x^4)), x, 4),
+(x^2/sqrt(1 + x^4), (x*sqrt(1 + x^4))/(1 + x^2) - ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//2))/sqrt(1 + x^4) + ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(2*sqrt(1 + x^4)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(1 + x^4)), -(sqrt(1 + x^4)/x) + (x*sqrt(1 + x^4))/(1 + x^2) - ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//2))/sqrt(1 + x^4) + ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(2*sqrt(1 + x^4)), x, 4),
+(1/(x^6*sqrt(1 + x^4)), -(sqrt(1 + x^4)/(5*x^5)) + (3*sqrt(1 + x^4))/(5*x) - (3*x*sqrt(1 + x^4))/(5*(1 + x^2)) + (3*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//2))/(5*sqrt(1 + x^4)) - (3*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(10*sqrt(1 + x^4)), x, 5),
+
+
+(x^11/(1 + x^4)^(3//2), -1/(2*sqrt(1 + x^4)) - sqrt(1 + x^4) + (1 + x^4)^(3//2)/6, x, 3),
+(x^7/(1 + x^4)^(3//2), 1/(2*sqrt(1 + x^4)) + sqrt(1 + x^4)/2, x, 3),
+(x^3/(1 + x^4)^(3//2), -1/(2*sqrt(1 + x^4)), x, 1),
+(1/(x^1*(1 + x^4)^(3//2)), 1/(2*sqrt(1 + x^4)) - atanh(sqrt(1 + x^4))/2, x, 4),
+(1/(x^5*(1 + x^4)^(3//2)), -(3/(4*sqrt(1 + x^4))) - 1/(4*x^4*sqrt(1 + x^4)) + (3//4)*atanh(sqrt(1 + x^4)), x, 5),
+
+(x^9/(1 + x^4)^(3//2), -x^6/(2*sqrt(1 + x^4)) + (3*x^2*sqrt(1 + x^4))/4 - (3*asinh(x^2))/4, x, 4),
+(x^5/(1 + x^4)^(3//2), -x^2/(2*sqrt(1 + x^4)) + asinh(x^2)/2, x, 3),
+(x^1/(1 + x^4)^(3//2), x^2/(2*sqrt(1 + x^4)), x, 1),
+(1/(x^3*(1 + x^4)^(3//2)), -1/(2*x^2*sqrt(1 + x^4)) - x^2/sqrt(1 + x^4), x, 2),
+(1/(x^7*(1 + x^4)^(3//2)), -1/(6*x^6*sqrt(1 + x^4)) + 2/(3*x^2*sqrt(1 + x^4)) + (4*x^2)/(3*sqrt(1 + x^4)), x, 3),
+
+(x^12/(1 + x^4)^(3//2), -x^9/(2*sqrt(1 + x^4)) - (15*x*sqrt(1 + x^4))/14 + (9*x^5*sqrt(1 + x^4))/14 + (15*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(28*sqrt(1 + x^4)), x, 4),
+(x^8/(1 + x^4)^(3//2), -x^5/(2*sqrt(1 + x^4)) + (5*x*sqrt(1 + x^4))/6 - (5*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(12*sqrt(1 + x^4)), x, 3),
+(x^4/(1 + x^4)^(3//2), -x/(2*sqrt(1 + x^4)) + ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(4*sqrt(1 + x^4)), x, 2),
+(x^0/(1 + x^4)^(3//2), x/(2*sqrt(1 + x^4)) + ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(4*sqrt(1 + x^4)), x, 2),
+(1/(x^4*(1 + x^4)^(3//2)), 1/(2*x^3*sqrt(1 + x^4)) - (5*sqrt(1 + x^4))/(6*x^3) - (5*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(12*sqrt(1 + x^4)), x, 3),
+(1/(x^8*(1 + x^4)^(3//2)), 1/(2*x^7*sqrt(1 + x^4)) - (9*sqrt(1 + x^4))/(14*x^7) + (15*sqrt(1 + x^4))/(14*x^3) + (15*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(28*sqrt(1 + x^4)), x, 4),
+
+(x^14/(1 + x^4)^(3//2), -(x^11/(2*sqrt(1 + x^4))) - (77//90)*x^3*sqrt(1 + x^4) + (11//18)*x^7*sqrt(1 + x^4) + (77*x*sqrt(1 + x^4))/(30*(1 + x^2)) - (77*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//2))/(30*sqrt(1 + x^4)) + (77*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(60*sqrt(1 + x^4)), x, 6),
+(x^10/(1 + x^4)^(3//2), -(x^7/(2*sqrt(1 + x^4))) + (7//10)*x^3*sqrt(1 + x^4) - (21*x*sqrt(1 + x^4))/(10*(1 + x^2)) + (21*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//2))/(10*sqrt(1 + x^4)) - (21*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(20*sqrt(1 + x^4)), x, 5),
+(x^6/(1 + x^4)^(3//2), -(x^3/(2*sqrt(1 + x^4))) + (3*x*sqrt(1 + x^4))/(2*(1 + x^2)) - (3*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//2))/(2*sqrt(1 + x^4)) + (3*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(4*sqrt(1 + x^4)), x, 4),
+(x^2/(1 + x^4)^(3//2), x^3/(2*sqrt(1 + x^4)) - (x*sqrt(1 + x^4))/(2*(1 + x^2)) + ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//2))/(2*sqrt(1 + x^4)) - ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(4*sqrt(1 + x^4)), x, 4),
+(1/(x^2*(1 + x^4)^(3//2)), 1/(2*x*sqrt(1 + x^4)) - (3*sqrt(1 + x^4))/(2*x) + (3*x*sqrt(1 + x^4))/(2*(1 + x^2)) - (3*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//2))/(2*sqrt(1 + x^4)) + (3*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(4*sqrt(1 + x^4)), x, 5),
+(1/(x^6*(1 + x^4)^(3//2)), 1/(2*x^5*sqrt(1 + x^4)) - (7*sqrt(1 + x^4))/(10*x^5) + (21*sqrt(1 + x^4))/(10*x) - (21*x*sqrt(1 + x^4))/(10*(1 + x^2)) + (21*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//2))/(10*sqrt(1 + x^4)) - (21*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(20*sqrt(1 + x^4)), x, 6),
+
+
+(1/(1 + x^4)^(5//2), x/(6*(1 + x^4)^(3//2)) + (5*x)/(12*sqrt(1 + x^4)) + (5*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(24*sqrt(1 + x^4)), x, 3),
+
+
+(x^7/sqrt(16 - x^4), -8*sqrt(16 - x^4) + (1//6)*(16 - x^4)^(3//2), x, 3),
+(x^5/sqrt(16 - x^4), (-(1//4))*x^2*sqrt(16 - x^4) + 4*asin(x^2//4), x, 3),
+(x^3/sqrt(16 - x^4), (-(1//2))*sqrt(16 - x^4), x, 1),
+(x^1/sqrt(16 - x^4), (1//2)*asin(x^2//4), x, 2),
+(1/(x^1*sqrt(16 - x^4)), (-(1//8))*atanh(sqrt(16 - x^4)/4), x, 3),
+(1/(x^3*sqrt(16 - x^4)), -(sqrt(16 - x^4)/(32*x^2)), x, 1),
+(1/(x^5*sqrt(16 - x^4)), -(sqrt(16 - x^4)/(64*x^4)) - (1//256)*atanh(sqrt(16 - x^4)/4), x, 4),
+(1/(x^7*sqrt(16 - x^4)), -(sqrt(16 - x^4)/(96*x^6)) - sqrt(16 - x^4)/(768*x^2), x, 2),
+
+(x^6/sqrt(16 - x^4), (-(1//5))*x^3*sqrt(16 - x^4) + (96//5)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/2), -1) - (96//5)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/2), -1), x, 6),
+(x^4/sqrt(16 - x^4), (-(1//3))*x*sqrt(16 - x^4) + (8//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/2), -1), x, 2),
+(x^2/sqrt(16 - x^4), 2*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/2), -1) - 2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/2), -1), x, 5),
+(x^0/sqrt(16 - x^4), (1//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/2), -1), x, 1),
+(1/(x^2*sqrt(16 - x^4)), -(sqrt(16 - x^4)/(16*x)) - (1//8)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/2), -1) + (1//8)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/2), -1), x, 6),
+(1/(x^4*sqrt(16 - x^4)), -(sqrt(16 - x^4)/(48*x^3)) + (1//96)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/2), -1), x, 2),
+
+
+(x/sqrt(-4 + x^4), (1//2)*atanh(x^2/sqrt(-4 + x^4)), x, 3),
+(x/sqrt(4 + x^4), asinh(x^2//2)/2, x, 2),
+
+
+(1/(x*sqrt(-1 + x^4)), atan(sqrt(-1 + x^4))/2, x, 3),
+
+(x^4/sqrt(-1 + x^4), (1//3)*x*sqrt(-1 + x^4) + (sqrt(-1 + x^2)*sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*x)/sqrt(-1 + x^2)), 1//2))/(3*sqrt(2)*sqrt(-1 + x^4)), x, 2),
+(x^0/sqrt(-1 + x^4), (sqrt(-1 + x^2)*sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*x)/sqrt(-1 + x^2)), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x^4)), x, 1),
+(1/(x^4*sqrt(-1 + x^4)), sqrt(-1 + x^4)/(3*x^3) + (sqrt(-1 + x^2)*sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*x)/sqrt(-1 + x^2)), 1//2))/(3*sqrt(2)*sqrt(-1 + x^4)), x, 2),
+
+(x^6/sqrt(-1 + x^4), (3*x*(1 + x^2))/(5*sqrt(-1 + x^4)) + (1//5)*x^3*sqrt(-1 + x^4) - (3*sqrt(2)*sqrt(-1 + x^2)*sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(2)*x)/sqrt(-1 + x^2)), 1//2))/(5*sqrt(-1 + x^4)) + (3*sqrt(-1 + x^2)*sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*x)/sqrt(-1 + x^2)), 1//2))/(5*sqrt(2)*sqrt(-1 + x^4)), x, 4),
+(x^2/sqrt(-1 + x^4), (x*(1 + x^2))/sqrt(-1 + x^4) - (sqrt(2)*sqrt(-1 + x^2)*sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(2)*x)/sqrt(-1 + x^2)), 1//2))/sqrt(-1 + x^4) + (sqrt(-1 + x^2)*sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*x)/sqrt(-1 + x^2)), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x^4)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(-1 + x^4)), -((x*(1 + x^2))/sqrt(-1 + x^4)) + sqrt(-1 + x^4)/x + (sqrt(2)*sqrt(-1 + x^2)*sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(2)*x)/sqrt(-1 + x^2)), 1//2))/sqrt(-1 + x^4) - (sqrt(-1 + x^2)*sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*x)/sqrt(-1 + x^2)), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x^4)), x, 4),
+
+
+(x^2/sqrt(3 - 2*x^4), (3^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2//3)^(1//4)*x), -1))/2^(3//4) - (3^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2//3)^(1//4)*x), -1))/2^(3//4), x, 5),
+(x^2/sqrt(3 - b*x^4), (3^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((b^(1//4)*x)/3^(1//4)), -1))/b^(3//4) - (3^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/3^(1//4)), -1))/b^(3//4), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^4)^(p/3)
+
+
+(x^7*(1 + x^4)^(1//3), (-(3//16))*(1 + x^4)^(4//3) + (3//28)*(1 + x^4)^(7//3), x, 3),
+
+
+(x^3/(1 + x^4)^(4//3), -3/(4*(1 + x^4)^(1//3)), x, 1),
+(x^3/(1 + x^4)^(1//3), (3*(1 + x^4)^(2//3))/8, x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^4)^(p/4)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^19*(a + b*x^4)^(1//4), (a^4*(a + b*x^4)^(5//4))/(5*b^5) - (4*a^3*(a + b*x^4)^(9//4))/(9*b^5) + (6*a^2*(a + b*x^4)^(13//4))/(13*b^5) - (4*a*(a + b*x^4)^(17//4))/(17*b^5) + (a + b*x^4)^(21//4)/(21*b^5), x, 3),
+(x^15*(a + b*x^4)^(1//4), -(a^3*(a + b*x^4)^(5//4))/(5*b^4) + (a^2*(a + b*x^4)^(9//4))/(3*b^4) - (3*a*(a + b*x^4)^(13//4))/(13*b^4) + (a + b*x^4)^(17//4)/(17*b^4), x, 3),
+(x^11*(a + b*x^4)^(1//4), (a^2*(a + b*x^4)^(5//4))/(5*b^3) - (2*a*(a + b*x^4)^(9//4))/(9*b^3) + (a + b*x^4)^(13//4)/(13*b^3), x, 3),
+(x^7*(a + b*x^4)^(1//4), -(a*(a + b*x^4)^(5//4))/(5*b^2) + (a + b*x^4)^(9//4)/(9*b^2), x, 3),
+(x^3*(a + b*x^4)^(1//4), (a + b*x^4)^(5//4)/(5*b), x, 1),
+((a + b*x^4)^(1//4)/x^1, (a + b*x^4)^(1//4) - (a^(1//4)*atan((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/2 - (a^(1//4)*atanh((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/2, x, 6),
+((a + b*x^4)^(1//4)/x^5, -(a + b*x^4)^(1//4)/(4*x^4) - (b*atan((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(8*a^(3//4)) - (b*atanh((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(8*a^(3//4)), x, 6),
+((a + b*x^4)^(1//4)/x^9, -(a + b*x^4)^(1//4)/(8*x^8) - (b*(a + b*x^4)^(1//4))/(32*a*x^4) + (3*b^2*atan((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(64*a^(7//4)) + (3*b^2*atanh((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(64*a^(7//4)), x, 7),
+
+(x^9*(a + b*x^4)^(1//4), -((2*a^2*x^2*(a + b*x^4)^(1//4))/(77*b^2)) + (a*x^6*(a + b*x^4)^(1//4))/(77*b) + (1//11)*x^10*(a + b*x^4)^(1//4) + (4*a^(7//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(77*b^(5//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+(x^5*(a + b*x^4)^(1//4), (a*x^2*(a + b*x^4)^(1//4))/(21*b) + (1//7)*x^6*(a + b*x^4)^(1//4) - (2*a^(5//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(21*b^(3//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+(x^1*(a + b*x^4)^(1//4), (1//3)*x^2*(a + b*x^4)^(1//4) + (a^(3//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(3*sqrt(b)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 4),
+((a + b*x^4)^(1//4)/x^3, -((a + b*x^4)^(1//4)/(2*x^2)) + (sqrt(a)*sqrt(b)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(2*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 4),
+((a + b*x^4)^(1//4)/x^7, -((a + b*x^4)^(1//4)/(6*x^6)) - (b*(a + b*x^4)^(1//4))/(12*a*x^2) - (b^(3//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(12*sqrt(a)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+((a + b*x^4)^(1//4)/x^11, -((a + b*x^4)^(1//4)/(10*x^10)) - (b*(a + b*x^4)^(1//4))/(60*a*x^6) + (b^2*(a + b*x^4)^(1//4))/(24*a^2*x^2) + (b^(5//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(24*a^(3//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+
+(x^6*(a + b*x^4)^(1//4), (a*x^3*(a + b*x^4)^(1//4))/(32*b) + (x^7*(a + b*x^4)^(1//4))/8 + (3*a^2*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(64*b^(7//4)) - (3*a^2*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(64*b^(7//4)), x, 6),
+(x^2*(a + b*x^4)^(1//4), (x^3*(a + b*x^4)^(1//4))/4 - (a*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(8*b^(3//4)) + (a*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(8*b^(3//4)), x, 5),
+((a + b*x^4)^(1//4)/x^2, -((a + b*x^4)^(1//4)/x) - (b^(1//4)*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/2 + (b^(1//4)*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/2, x, 5),
+((a + b*x^4)^(1//4)/x^6, -(a + b*x^4)^(5//4)/(5*a*x^5), x, 1),
+((a + b*x^4)^(1//4)/x^10, -(a + b*x^4)^(5//4)/(9*a*x^9) + (4*b*(a + b*x^4)^(5//4))/(45*a^2*x^5), x, 2),
+((a + b*x^4)^(1//4)/x^14, -(a + b*x^4)^(5//4)/(13*a*x^13) + (8*b*(a + b*x^4)^(5//4))/(117*a^2*x^9) - (32*b^2*(a + b*x^4)^(5//4))/(585*a^3*x^5), x, 3),
+((a + b*x^4)^(1//4)/x^18, -(a + b*x^4)^(5//4)/(17*a*x^17) + (12*b*(a + b*x^4)^(5//4))/(221*a^2*x^13) - (32*b^2*(a + b*x^4)^(5//4))/(663*a^3*x^9) + (128*b^3*(a + b*x^4)^(5//4))/(3315*a^4*x^5), x, 4),
+
+(x^12*(a + b*x^4)^(1//4), (3*a^3*x*(a + b*x^4)^(1//4))/(112*b^3) - (3*a^2*x^5*(a + b*x^4)^(1//4))/(280*b^2) + (a*x^9*(a + b*x^4)^(1//4))/(140*b) + (1//14)*x^13*(a + b*x^4)^(1//4) + (3*a^(7//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(112*b^(5//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 8),
+(x^8*(a + b*x^4)^(1//4), -((a^2*x*(a + b*x^4)^(1//4))/(24*b^2)) + (a*x^5*(a + b*x^4)^(1//4))/(60*b) + (1//10)*x^9*(a + b*x^4)^(1//4) - (a^(5//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(24*b^(3//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 7),
+(x^4*(a + b*x^4)^(1//4), (a*x*(a + b*x^4)^(1//4))/(12*b) + (1//6)*x^5*(a + b*x^4)^(1//4) + (a^(3//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(12*sqrt(b)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+(x^0*(a + b*x^4)^(1//4), (1//2)*x*(a + b*x^4)^(1//4) - (sqrt(a)*sqrt(b)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(2*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+((a + b*x^4)^(1//4)/x^4, -((a + b*x^4)^(1//4)/(3*x^3)) - (b^(3//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(3*sqrt(a)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+((a + b*x^4)^(1//4)/x^8, -((a + b*x^4)^(1//4)/(7*x^7)) - (b*(a + b*x^4)^(1//4))/(21*a*x^3) + (2*b^(5//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(21*a^(3//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+((a + b*x^4)^(1//4)/x^12, -((a + b*x^4)^(1//4)/(11*x^11)) - (b*(a + b*x^4)^(1//4))/(77*a*x^7) + (2*b^2*(a + b*x^4)^(1//4))/(77*a^2*x^3) - (4*b^(7//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(77*a^(5//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 7),
+((a + b*x^4)^(1//4)/x^16, -((a + b*x^4)^(1//4)/(15*x^15)) - (b*(a + b*x^4)^(1//4))/(165*a*x^11) + (2*b^2*(a + b*x^4)^(1//4))/(231*a^2*x^7) - (4*b^3*(a + b*x^4)^(1//4))/(231*a^3*x^3) + (8*b^(9//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(231*a^(7//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 8),
+
+
+(x^19*(a + b*x^4)^(3//4), (a^4*(a + b*x^4)^(7//4))/(7*b^5) - (4*a^3*(a + b*x^4)^(11//4))/(11*b^5) + (2*a^2*(a + b*x^4)^(15//4))/(5*b^5) - (4*a*(a + b*x^4)^(19//4))/(19*b^5) + (a + b*x^4)^(23//4)/(23*b^5), x, 3),
+(x^15*(a + b*x^4)^(3//4), -(a^3*(a + b*x^4)^(7//4))/(7*b^4) + (3*a^2*(a + b*x^4)^(11//4))/(11*b^4) - (a*(a + b*x^4)^(15//4))/(5*b^4) + (a + b*x^4)^(19//4)/(19*b^4), x, 3),
+(x^11*(a + b*x^4)^(3//4), (a^2*(a + b*x^4)^(7//4))/(7*b^3) - (2*a*(a + b*x^4)^(11//4))/(11*b^3) + (a + b*x^4)^(15//4)/(15*b^3), x, 3),
+(x^7*(a + b*x^4)^(3//4), -(a*(a + b*x^4)^(7//4))/(7*b^2) + (a + b*x^4)^(11//4)/(11*b^2), x, 3),
+(x^3*(a + b*x^4)^(3//4), (a + b*x^4)^(7//4)/(7*b), x, 1),
+((a + b*x^4)^(3//4)/x^1, (a + b*x^4)^(3//4)/3 + (a^(3//4)*atan((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/2 - (a^(3//4)*atanh((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/2, x, 6),
+((a + b*x^4)^(3//4)/x^5, -(a + b*x^4)^(3//4)/(4*x^4) + (3*b*atan((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(8*a^(1//4)) - (3*b*atanh((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(8*a^(1//4)), x, 6),
+((a + b*x^4)^(3//4)/x^9, -(a + b*x^4)^(3//4)/(8*x^8) - (3*b*(a + b*x^4)^(3//4))/(32*a*x^4) - (3*b^2*atan((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(64*a^(5//4)) + (3*b^2*atanh((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(64*a^(5//4)), x, 7),
+
+(x^9*(a + b*x^4)^(3//4), (4*a^3*x^2)/(65*b^2*(a + b*x^4)^(1//4)) - (2*a^2*x^2*(a + b*x^4)^(3//4))/(65*b^2) + (a*x^6*(a + b*x^4)^(3//4))/(39*b) + (1//13)*x^10*(a + b*x^4)^(3//4) - (4*a^(7//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(65*b^(5//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 7),
+(x^5*(a + b*x^4)^(3//4), -((2*a^2*x^2)/(15*b*(a + b*x^4)^(1//4))) + (a*x^2*(a + b*x^4)^(3//4))/(15*b) + (1//9)*x^6*(a + b*x^4)^(3//4) + (2*a^(5//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(15*b^(3//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 6),
+(x^1*(a + b*x^4)^(3//4), (3*a*x^2)/(5*(a + b*x^4)^(1//4)) + (1//5)*x^2*(a + b*x^4)^(3//4) - (3*a^(3//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(5*sqrt(b)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 5),
+((a + b*x^4)^(3//4)/x^3, (3*b*x^2)/(2*(a + b*x^4)^(1//4)) - (a + b*x^4)^(3//4)/(2*x^2) - (3*sqrt(a)*sqrt(b)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(2*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 5),
+((a + b*x^4)^(3//4)/x^7, (b^2*x^2)/(4*a*(a + b*x^4)^(1//4)) - (a + b*x^4)^(3//4)/(6*x^6) - (b*(a + b*x^4)^(3//4))/(4*a*x^2) - (b^(3//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(4*sqrt(a)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 6),
+((a + b*x^4)^(3//4)/x^11, -((3*b^3*x^2)/(40*a^2*(a + b*x^4)^(1//4))) - (a + b*x^4)^(3//4)/(10*x^10) - (b*(a + b*x^4)^(3//4))/(20*a*x^6) + (3*b^2*(a + b*x^4)^(3//4))/(40*a^2*x^2) + (3*b^(5//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(40*a^(3//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 7),
+
+(x^12*(a + b*x^4)^(3//4), (45*a^3*x*(a + b*x^4)^(3//4))/(2048*b^3) - (9*a^2*x^5*(a + b*x^4)^(3//4))/(512*b^2) + (a*x^9*(a + b*x^4)^(3//4))/(64*b) + (x^13*(a + b*x^4)^(3//4))/16 - (45*a^4*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(4096*b^(13//4)) - (45*a^4*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(4096*b^(13//4)), x, 8),
+(x^8*(a + b*x^4)^(3//4), (-5*a^2*x*(a + b*x^4)^(3//4))/(128*b^2) + (a*x^5*(a + b*x^4)^(3//4))/(32*b) + (x^9*(a + b*x^4)^(3//4))/12 + (5*a^3*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(256*b^(9//4)) + (5*a^3*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(256*b^(9//4)), x, 7),
+(x^4*(a + b*x^4)^(3//4), (3*a*x*(a + b*x^4)^(3//4))/(32*b) + (x^5*(a + b*x^4)^(3//4))/8 - (3*a^2*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(64*b^(5//4)) - (3*a^2*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(64*b^(5//4)), x, 6),
+(x^0*(a + b*x^4)^(3//4), (x*(a + b*x^4)^(3//4))/4 + (3*a*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(8*b^(1//4)) + (3*a*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(8*b^(1//4)), x, 5),
+((a + b*x^4)^(3//4)/x^4, -(a + b*x^4)^(3//4)/(3*x^3) + (b^(3//4)*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/2 + (b^(3//4)*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/2, x, 5),
+((a + b*x^4)^(3//4)/x^8, -(a + b*x^4)^(7//4)/(7*a*x^7), x, 1),
+((a + b*x^4)^(3//4)/x^12, -(a + b*x^4)^(7//4)/(11*a*x^11) + (4*b*(a + b*x^4)^(7//4))/(77*a^2*x^7), x, 2),
+((a + b*x^4)^(3//4)/x^16, -(a + b*x^4)^(7//4)/(15*a*x^15) + (8*b*(a + b*x^4)^(7//4))/(165*a^2*x^11) - (32*b^2*(a + b*x^4)^(7//4))/(1155*a^3*x^7), x, 3),
+((a + b*x^4)^(3//4)/x^20, -(a + b*x^4)^(7//4)/(19*a*x^19) + (4*b*(a + b*x^4)^(7//4))/(95*a^2*x^15) - (32*b^2*(a + b*x^4)^(7//4))/(1045*a^3*x^11) + (128*b^3*(a + b*x^4)^(7//4))/(7315*a^4*x^7), x, 4),
+
+(x^10*(a + b*x^4)^(3//4), (3*a^3*x^3)/(80*b^2*(a + b*x^4)^(1//4)) - (a^2*x^3*(a + b*x^4)^(3//4))/(40*b^2) + (3*a*x^7*(a + b*x^4)^(3//4))/(140*b) + (1//14)*x^11*(a + b*x^4)^(3//4) + (3*a^(7//2)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(80*b^(5//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 8),
+(x^6*(a + b*x^4)^(3//4), -((3*a^2*x^3)/(40*b*(a + b*x^4)^(1//4))) + (a*x^3*(a + b*x^4)^(3//4))/(20*b) + (1//10)*x^7*(a + b*x^4)^(3//4) - (3*a^(5//2)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(40*b^(3//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 7),
+(x^2*(a + b*x^4)^(3//4), (a*x^3)/(4*(a + b*x^4)^(1//4)) + (1//6)*x^3*(a + b*x^4)^(3//4) + (a^(3//2)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(4*sqrt(b)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 6),
+((a + b*x^4)^(3//4)/x^2, (3*b*x^3)/(2*(a + b*x^4)^(1//4)) - (a + b*x^4)^(3//4)/x + (3*sqrt(a)*sqrt(b)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(2*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 6),
+((a + b*x^4)^(3//4)/x^6, -((3*b)/(5*x*(a + b*x^4)^(1//4))) - (a + b*x^4)^(3//4)/(5*x^5) + (3*b^(3//2)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(5*sqrt(a)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 6),
+((a + b*x^4)^(3//4)/x^10, (2*b^2)/(15*a*x*(a + b*x^4)^(1//4)) - (a + b*x^4)^(3//4)/(9*x^9) - (b*(a + b*x^4)^(3//4))/(15*a*x^5) - (2*b^(5//2)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(15*a^(3//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 7),
+((a + b*x^4)^(3//4)/x^14, -((4*b^3)/(65*a^2*x*(a + b*x^4)^(1//4))) - (a + b*x^4)^(3//4)/(13*x^13) - (b*(a + b*x^4)^(3//4))/(39*a*x^9) + (2*b^2*(a + b*x^4)^(3//4))/(65*a^2*x^5) + (4*b^(7//2)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(65*a^(5//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 8),
+
+
+(x^19*(a + b*x^4)^(5//4), (a^4*(a + b*x^4)^(9//4))/(9*b^5) - (4*a^3*(a + b*x^4)^(13//4))/(13*b^5) + (6*a^2*(a + b*x^4)^(17//4))/(17*b^5) - (4*a*(a + b*x^4)^(21//4))/(21*b^5) + (a + b*x^4)^(25//4)/(25*b^5), x, 3),
+(x^15*(a + b*x^4)^(5//4), -(a^3*(a + b*x^4)^(9//4))/(9*b^4) + (3*a^2*(a + b*x^4)^(13//4))/(13*b^4) - (3*a*(a + b*x^4)^(17//4))/(17*b^4) + (a + b*x^4)^(21//4)/(21*b^4), x, 3),
+(x^11*(a + b*x^4)^(5//4), (a^2*(a + b*x^4)^(9//4))/(9*b^3) - (2*a*(a + b*x^4)^(13//4))/(13*b^3) + (a + b*x^4)^(17//4)/(17*b^3), x, 3),
+(x^7*(a + b*x^4)^(5//4), -(a*(a + b*x^4)^(9//4))/(9*b^2) + (a + b*x^4)^(13//4)/(13*b^2), x, 3),
+(x^3*(a + b*x^4)^(5//4), (a + b*x^4)^(9//4)/(9*b), x, 1),
+((a + b*x^4)^(5//4)/x^1, a*(a + b*x^4)^(1//4) + (a + b*x^4)^(5//4)/5 - (a^(5//4)*atan((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/2 - (a^(5//4)*atanh((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/2, x, 7),
+((a + b*x^4)^(5//4)/x^5, (5*b*(a + b*x^4)^(1//4))/4 - (a + b*x^4)^(5//4)/(4*x^4) - (5*a^(1//4)*b*atan((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/8 - (5*a^(1//4)*b*atanh((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/8, x, 7),
+((a + b*x^4)^(5//4)/x^9, (-5*b*(a + b*x^4)^(1//4))/(32*x^4) - (a + b*x^4)^(5//4)/(8*x^8) - (5*b^2*atan((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(64*a^(3//4)) - (5*b^2*atanh((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(64*a^(3//4)), x, 7),
+
+(x^9*(a + b*x^4)^(5//4), -((2*a^3*x^2*(a + b*x^4)^(1//4))/(231*b^2)) + (a^2*x^6*(a + b*x^4)^(1//4))/(231*b) + (1//33)*a*x^10*(a + b*x^4)^(1//4) + (1//15)*x^10*(a + b*x^4)^(5//4) + (4*a^(9//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(231*b^(5//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 7),
+(x^5*(a + b*x^4)^(5//4), (5*a^2*x^2*(a + b*x^4)^(1//4))/(231*b) + (5//77)*a*x^6*(a + b*x^4)^(1//4) + (1//11)*x^6*(a + b*x^4)^(5//4) - (10*a^(7//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(231*b^(3//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+(x^1*(a + b*x^4)^(5//4), (5//21)*a*x^2*(a + b*x^4)^(1//4) + (1//7)*x^2*(a + b*x^4)^(5//4) + (5*a^(5//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(21*sqrt(b)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+((a + b*x^4)^(5//4)/x^3, (5//6)*b*x^2*(a + b*x^4)^(1//4) - (a + b*x^4)^(5//4)/(2*x^2) + (5*a^(3//2)*sqrt(b)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(6*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+((a + b*x^4)^(5//4)/x^7, -((5*b*(a + b*x^4)^(1//4))/(12*x^2)) - (a + b*x^4)^(5//4)/(6*x^6) + (5*sqrt(a)*b^(3//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(12*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+((a + b*x^4)^(5//4)/x^11, -((b*(a + b*x^4)^(1//4))/(12*x^6)) - (b^2*(a + b*x^4)^(1//4))/(24*a*x^2) - (a + b*x^4)^(5//4)/(10*x^10) - (b^(5//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(24*sqrt(a)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+((a + b*x^4)^(5//4)/x^15, -((b*(a + b*x^4)^(1//4))/(28*x^10)) - (b^2*(a + b*x^4)^(1//4))/(168*a*x^6) + (5*b^3*(a + b*x^4)^(1//4))/(336*a^2*x^2) - (a + b*x^4)^(5//4)/(14*x^14) + (5*b^(7//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(336*a^(3//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 7),
+
+(x^10*(a + b*x^4)^(5//4), (-35*a^3*x^3*(a + b*x^4)^(1//4))/(6144*b^2) + (5*a^2*x^7*(a + b*x^4)^(1//4))/(1536*b) + (5*a*x^11*(a + b*x^4)^(1//4))/192 + (x^11*(a + b*x^4)^(5//4))/16 - (35*a^4*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(4096*b^(11//4)) + (35*a^4*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(4096*b^(11//4)), x, 8),
+(x^6*(a + b*x^4)^(5//4), (5*a^2*x^3*(a + b*x^4)^(1//4))/(384*b) + (5*a*x^7*(a + b*x^4)^(1//4))/96 + (x^7*(a + b*x^4)^(5//4))/12 + (5*a^3*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(256*b^(7//4)) - (5*a^3*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(256*b^(7//4)), x, 7),
+(x^2*(a + b*x^4)^(5//4), (5*a*x^3*(a + b*x^4)^(1//4))/32 + (x^3*(a + b*x^4)^(5//4))/8 - (5*a^2*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(64*b^(3//4)) + (5*a^2*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(64*b^(3//4)), x, 6),
+((a + b*x^4)^(5//4)/x^2, (5*b*x^3*(a + b*x^4)^(1//4))/4 - (a + b*x^4)^(5//4)/x - (5*a*b^(1//4)*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/8 + (5*a*b^(1//4)*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/8, x, 6),
+((a + b*x^4)^(5//4)/x^6, -((b*(a + b*x^4)^(1//4))/x) - (a + b*x^4)^(5//4)/(5*x^5) - (b^(5//4)*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/2 + (b^(5//4)*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/2, x, 6),
+((a + b*x^4)^(5//4)/x^10, -(a + b*x^4)^(9//4)/(9*a*x^9), x, 1),
+((a + b*x^4)^(5//4)/x^14, -(a + b*x^4)^(9//4)/(13*a*x^13) + (4*b*(a + b*x^4)^(9//4))/(117*a^2*x^9), x, 2),
+((a + b*x^4)^(5//4)/x^18, -(a + b*x^4)^(9//4)/(17*a*x^17) + (8*b*(a + b*x^4)^(9//4))/(221*a^2*x^13) - (32*b^2*(a + b*x^4)^(9//4))/(1989*a^3*x^9), x, 3),
+((a + b*x^4)^(5//4)/x^22, -(a + b*x^4)^(9//4)/(21*a*x^21) + (4*b*(a + b*x^4)^(9//4))/(119*a^2*x^17) - (32*b^2*(a + b*x^4)^(9//4))/(1547*a^3*x^13) + (128*b^3*(a + b*x^4)^(9//4))/(13923*a^4*x^9), x, 4),
+
+(x^12*(a + b*x^4)^(5//4), (5*a^4*x*(a + b*x^4)^(1//4))/(672*b^3) - (a^3*x^5*(a + b*x^4)^(1//4))/(336*b^2) + (a^2*x^9*(a + b*x^4)^(1//4))/(504*b) + (5//252)*a*x^13*(a + b*x^4)^(1//4) + (1//18)*x^13*(a + b*x^4)^(5//4) + (5*a^(9//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(672*b^(5//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 9),
+(x^8*(a + b*x^4)^(5//4), -((5*a^3*x*(a + b*x^4)^(1//4))/(336*b^2)) + (a^2*x^5*(a + b*x^4)^(1//4))/(168*b) + (1//28)*a*x^9*(a + b*x^4)^(1//4) + (1//14)*x^9*(a + b*x^4)^(5//4) - (5*a^(7//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(336*b^(3//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 8),
+(x^4*(a + b*x^4)^(5//4), (a^2*x*(a + b*x^4)^(1//4))/(24*b) + (1//12)*a*x^5*(a + b*x^4)^(1//4) + (1//10)*x^5*(a + b*x^4)^(5//4) + (a^(5//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(24*sqrt(b)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 7),
+(x^0*(a + b*x^4)^(5//4), (5//12)*a*x*(a + b*x^4)^(1//4) + (1//6)*x*(a + b*x^4)^(5//4) - (5*a^(3//2)*sqrt(b)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(12*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+((a + b*x^4)^(5//4)/x^4, (5//6)*b*x*(a + b*x^4)^(1//4) - (a + b*x^4)^(5//4)/(3*x^3) - (5*sqrt(a)*b^(3//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(6*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+((a + b*x^4)^(5//4)/x^8, -((5*b*(a + b*x^4)^(1//4))/(21*x^3)) - (a + b*x^4)^(5//4)/(7*x^7) - (5*b^(5//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(21*sqrt(a)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+((a + b*x^4)^(5//4)/x^12, -((5*b*(a + b*x^4)^(1//4))/(77*x^7)) - (5*b^2*(a + b*x^4)^(1//4))/(231*a*x^3) - (a + b*x^4)^(5//4)/(11*x^11) + (10*b^(7//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(231*a^(3//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 7),
+((a + b*x^4)^(5//4)/x^16, -((b*(a + b*x^4)^(1//4))/(33*x^11)) - (b^2*(a + b*x^4)^(1//4))/(231*a*x^7) + (2*b^3*(a + b*x^4)^(1//4))/(231*a^2*x^3) - (a + b*x^4)^(5//4)/(15*x^15) - (4*b^(9//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(231*a^(5//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 8),
+
+
+((a + b*x^4)^(7//4), (7//32)*a*x*(a + b*x^4)^(3//4) + (1//8)*x*(a + b*x^4)^(7//4) + (21*a^2*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(64*b^(1//4)) + (21*a^2*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(64*b^(1//4)), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^19/(a + b*x^4)^(1//4), (a^4*(a + b*x^4)^(3//4))/(3*b^5) - (4*a^3*(a + b*x^4)^(7//4))/(7*b^5) + (6*a^2*(a + b*x^4)^(11//4))/(11*b^5) - (4*a*(a + b*x^4)^(15//4))/(15*b^5) + (a + b*x^4)^(19//4)/(19*b^5), x, 3),
+(x^15/(a + b*x^4)^(1//4), -(a^3*(a + b*x^4)^(3//4))/(3*b^4) + (3*a^2*(a + b*x^4)^(7//4))/(7*b^4) - (3*a*(a + b*x^4)^(11//4))/(11*b^4) + (a + b*x^4)^(15//4)/(15*b^4), x, 3),
+(x^11/(a + b*x^4)^(1//4), (a^2*(a + b*x^4)^(3//4))/(3*b^3) - (2*a*(a + b*x^4)^(7//4))/(7*b^3) + (a + b*x^4)^(11//4)/(11*b^3), x, 3),
+(x^7/(a + b*x^4)^(1//4), -(a*(a + b*x^4)^(3//4))/(3*b^2) + (a + b*x^4)^(7//4)/(7*b^2), x, 3),
+(x^3/(a + b*x^4)^(1//4), (a + b*x^4)^(3//4)/(3*b), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^4)^(1//4)), atan((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4))/(2*a^(1//4)) - atanh((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4))/(2*a^(1//4)), x, 5),
+(1/(x^5*(a + b*x^4)^(1//4)), -(a + b*x^4)^(3//4)/(4*a*x^4) - (b*atan((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(8*a^(5//4)) + (b*atanh((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(8*a^(5//4)), x, 6),
+(1/(x^9*(a + b*x^4)^(1//4)), -(a + b*x^4)^(3//4)/(8*a*x^8) + (5*b*(a + b*x^4)^(3//4))/(32*a^2*x^4) + (5*b^2*atan((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(64*a^(9//4)) - (5*b^2*atanh((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(64*a^(9//4)), x, 7),
+
+(x^13/(a + b*x^4)^(1//4), -((8*a^3*x^2)/(39*b^3*(a + b*x^4)^(1//4))) + (4*a^2*x^2*(a + b*x^4)^(3//4))/(39*b^3) - (10*a*x^6*(a + b*x^4)^(3//4))/(117*b^2) + (x^10*(a + b*x^4)^(3//4))/(13*b) + (8*a^(7//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(39*b^(7//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 7),
+(x^9/(a + b*x^4)^(1//4), (4*a^2*x^2)/(15*b^2*(a + b*x^4)^(1//4)) - (2*a*x^2*(a + b*x^4)^(3//4))/(15*b^2) + (x^6*(a + b*x^4)^(3//4))/(9*b) - (4*a^(5//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(15*b^(5//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 6),
+(x^5/(a + b*x^4)^(1//4), -((2*a*x^2)/(5*b*(a + b*x^4)^(1//4))) + (x^2*(a + b*x^4)^(3//4))/(5*b) + (2*a^(3//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(5*b^(3//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 5),
+(x^1/(a + b*x^4)^(1//4), x^2/(a + b*x^4)^(1//4) - (sqrt(a)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(b)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 4),
+(1/(x^3*(a + b*x^4)^(1//4)), (b*x^2)/(2*a*(a + b*x^4)^(1//4)) - (a + b*x^4)^(3//4)/(2*a*x^2) - (sqrt(b)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(2*sqrt(a)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 5),
+(1/(x^7*(a + b*x^4)^(1//4)), -((b^2*x^2)/(4*a^2*(a + b*x^4)^(1//4))) - (a + b*x^4)^(3//4)/(6*a*x^6) + (b*(a + b*x^4)^(3//4))/(4*a^2*x^2) + (b^(3//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(4*a^(3//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 6),
+(1/(x^11*(a + b*x^4)^(1//4)), (7*b^3*x^2)/(40*a^3*(a + b*x^4)^(1//4)) - (a + b*x^4)^(3//4)/(10*a*x^10) + (7*b*(a + b*x^4)^(3//4))/(60*a^2*x^6) - (7*b^2*(a + b*x^4)^(3//4))/(40*a^3*x^2) - (7*b^(5//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(40*a^(5//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 7),
+
+(x^8/(a + b*x^4)^(1//4), (-5*a*x*(a + b*x^4)^(3//4))/(32*b^2) + (x^5*(a + b*x^4)^(3//4))/(8*b) + (5*a^2*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(64*b^(9//4)) + (5*a^2*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(64*b^(9//4)), x, 6),
+(x^4/(a + b*x^4)^(1//4), (x*(a + b*x^4)^(3//4))/(4*b) - (a*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(8*b^(5//4)) - (a*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(8*b^(5//4)), x, 5),
+(x^0/(a + b*x^4)^(1//4), atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4))/(2*b^(1//4)) + atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4))/(2*b^(1//4)), x, 4),
+(1/(x^4*(a + b*x^4)^(1//4)), -(a + b*x^4)^(3//4)/(3*a*x^3), x, 1),
+(1/(x^8*(a + b*x^4)^(1//4)), -(a + b*x^4)^(3//4)/(7*a*x^7) + (4*b*(a + b*x^4)^(3//4))/(21*a^2*x^3), x, 2),
+(1/(x^12*(a + b*x^4)^(1//4)), -(a + b*x^4)^(3//4)/(11*a*x^11) + (8*b*(a + b*x^4)^(3//4))/(77*a^2*x^7) - (32*b^2*(a + b*x^4)^(3//4))/(231*a^3*x^3), x, 3),
+(1/(x^16*(a + b*x^4)^(1//4)), -(a + b*x^4)^(3//4)/(15*a*x^15) + (4*b*(a + b*x^4)^(3//4))/(55*a^2*x^11) - (32*b^2*(a + b*x^4)^(3//4))/(385*a^3*x^7) + (128*b^3*(a + b*x^4)^(3//4))/(1155*a^4*x^3), x, 4),
+(1/(x^20*(a + b*x^4)^(1//4)), -(a + b*x^4)^(3//4)/(19*a*x^19) + (16*b*(a + b*x^4)^(3//4))/(285*a^2*x^15) - (64*b^2*(a + b*x^4)^(3//4))/(1045*a^3*x^11) + (512*b^3*(a + b*x^4)^(3//4))/(7315*a^4*x^7) - (2048*b^4*(a + b*x^4)^(3//4))/(21945*a^5*x^3), x, 5),
+
+(x^10/(a + b*x^4)^(1//4), (7*a^2*x^3)/(40*b^2*(a + b*x^4)^(1//4)) - (7*a*x^3*(a + b*x^4)^(3//4))/(60*b^2) + (x^7*(a + b*x^4)^(3//4))/(10*b) + (7*a^(5//2)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(40*b^(5//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 7),
+(x^6/(a + b*x^4)^(1//4), -((a*x^3)/(4*b*(a + b*x^4)^(1//4))) + (x^3*(a + b*x^4)^(3//4))/(6*b) - (a^(3//2)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(4*b^(3//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 6),
+(x^2/(a + b*x^4)^(1//4), x^3/(2*(a + b*x^4)^(1//4)) + (sqrt(a)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(2*sqrt(b)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 5),
+(1/(x^2*(a + b*x^4)^(1//4)), -(1/(x*(a + b*x^4)^(1//4))) + (sqrt(b)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(a)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 5),
+(1/(x^6*(a + b*x^4)^(1//4)), (2*b)/(5*a*x*(a + b*x^4)^(1//4)) - (a + b*x^4)^(3//4)/(5*a*x^5) - (2*b^(3//2)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(5*a^(3//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 6),
+(1/(x^10*(a + b*x^4)^(1//4)), -((4*b^2)/(15*a^2*x*(a + b*x^4)^(1//4))) - (a + b*x^4)^(3//4)/(9*a*x^9) + (2*b*(a + b*x^4)^(3//4))/(15*a^2*x^5) + (4*b^(5//2)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(15*a^(5//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 7),
+(1/(x^14*(a + b*x^4)^(1//4)), (8*b^3)/(39*a^3*x*(a + b*x^4)^(1//4)) - (a + b*x^4)^(3//4)/(13*a*x^13) + (10*b*(a + b*x^4)^(3//4))/(117*a^2*x^9) - (4*b^2*(a + b*x^4)^(3//4))/(39*a^3*x^5) - (8*b^(7//2)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(39*a^(7//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 8),
+
+
+(x^19/(a + b*x^4)^(3//4), (a^4*(a + b*x^4)^(1//4))/b^5 - (4*a^3*(a + b*x^4)^(5//4))/(5*b^5) + (2*a^2*(a + b*x^4)^(9//4))/(3*b^5) - (4*a*(a + b*x^4)^(13//4))/(13*b^5) + (a + b*x^4)^(17//4)/(17*b^5), x, 3),
+(x^15/(a + b*x^4)^(3//4), -((a^3*(a + b*x^4)^(1//4))/b^4) + (3*a^2*(a + b*x^4)^(5//4))/(5*b^4) - (a*(a + b*x^4)^(9//4))/(3*b^4) + (a + b*x^4)^(13//4)/(13*b^4), x, 3),
+(x^11/(a + b*x^4)^(3//4), (a^2*(a + b*x^4)^(1//4))/b^3 - (2*a*(a + b*x^4)^(5//4))/(5*b^3) + (a + b*x^4)^(9//4)/(9*b^3), x, 3),
+(x^7/(a + b*x^4)^(3//4), -((a*(a + b*x^4)^(1//4))/b^2) + (a + b*x^4)^(5//4)/(5*b^2), x, 3),
+(x^3/(a + b*x^4)^(3//4), (a + b*x^4)^(1//4)/b, x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^4)^(3//4)), -atan((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4))/(2*a^(3//4)) - atanh((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4))/(2*a^(3//4)), x, 5),
+(1/(x^5*(a + b*x^4)^(3//4)), -(a + b*x^4)^(1//4)/(4*a*x^4) + (3*b*atan((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(8*a^(7//4)) + (3*b*atanh((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(8*a^(7//4)), x, 6),
+(1/(x^9*(a + b*x^4)^(3//4)), -(a + b*x^4)^(1//4)/(8*a*x^8) + (7*b*(a + b*x^4)^(1//4))/(32*a^2*x^4) - (21*b^2*atan((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(64*a^(11//4)) - (21*b^2*atanh((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(64*a^(11//4)), x, 7),
+
+(x^13/(a + b*x^4)^(3//4), (20*a^2*x^2*(a + b*x^4)^(1//4))/(77*b^3) - (10*a*x^6*(a + b*x^4)^(1//4))/(77*b^2) + (x^10*(a + b*x^4)^(1//4))/(11*b) - (40*a^(7//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(77*b^(7//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+(x^9/(a + b*x^4)^(3//4), -((2*a*x^2*(a + b*x^4)^(1//4))/(7*b^2)) + (x^6*(a + b*x^4)^(1//4))/(7*b) + (4*a^(5//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(7*b^(5//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+(x^5/(a + b*x^4)^(3//4), (x^2*(a + b*x^4)^(1//4))/(3*b) - (2*a^(3//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(3*b^(3//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 4),
+(x^1/(a + b*x^4)^(3//4), (sqrt(a)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(b)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 3),
+(1/(x^3*(a + b*x^4)^(3//4)), -((a + b*x^4)^(1//4)/(2*a*x^2)) - (sqrt(b)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(2*sqrt(a)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 4),
+(1/(x^7*(a + b*x^4)^(3//4)), -((a + b*x^4)^(1//4)/(6*a*x^6)) + (5*b*(a + b*x^4)^(1//4))/(12*a^2*x^2) + (5*b^(3//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(12*a^(3//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+(1/(x^11*(a + b*x^4)^(3//4)), -((a + b*x^4)^(1//4)/(10*a*x^10)) + (3*b*(a + b*x^4)^(1//4))/(20*a^2*x^6) - (3*b^2*(a + b*x^4)^(1//4))/(8*a^3*x^2) - (3*b^(5//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(8*a^(5//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+
+(x^10/(a + b*x^4)^(3//4), (-7*a*x^3*(a + b*x^4)^(1//4))/(32*b^2) + (x^7*(a + b*x^4)^(1//4))/(8*b) - (21*a^2*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(64*b^(11//4)) + (21*a^2*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(64*b^(11//4)), x, 6),
+(x^6/(a + b*x^4)^(3//4), (x^3*(a + b*x^4)^(1//4))/(4*b) + (3*a*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(8*b^(7//4)) - (3*a*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(8*b^(7//4)), x, 5),
+(x^2/(a + b*x^4)^(3//4), -atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4))/(2*b^(3//4)) + atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4))/(2*b^(3//4)), x, 4),
+(1/(x^2*(a + b*x^4)^(3//4)), -((a + b*x^4)^(1//4)/(a*x)), x, 1),
+(1/(x^6*(a + b*x^4)^(3//4)), -(a + b*x^4)^(1//4)/(5*a*x^5) + (4*b*(a + b*x^4)^(1//4))/(5*a^2*x), x, 2),
+(1/(x^10*(a + b*x^4)^(3//4)), -(a + b*x^4)^(1//4)/(9*a*x^9) + (8*b*(a + b*x^4)^(1//4))/(45*a^2*x^5) - (32*b^2*(a + b*x^4)^(1//4))/(45*a^3*x), x, 3),
+(1/(x^14*(a + b*x^4)^(3//4)), -(a + b*x^4)^(1//4)/(13*a*x^13) + (4*b*(a + b*x^4)^(1//4))/(39*a^2*x^9) - (32*b^2*(a + b*x^4)^(1//4))/(195*a^3*x^5) + (128*b^3*(a + b*x^4)^(1//4))/(195*a^4*x), x, 4),
+
+(x^12/(a + b*x^4)^(3//4), (3*a^2*x*(a + b*x^4)^(1//4))/(8*b^3) - (3*a*x^5*(a + b*x^4)^(1//4))/(20*b^2) + (x^9*(a + b*x^4)^(1//4))/(10*b) + (3*a^(5//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(8*b^(5//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 7),
+(x^8/(a + b*x^4)^(3//4), -((5*a*x*(a + b*x^4)^(1//4))/(12*b^2)) + (x^5*(a + b*x^4)^(1//4))/(6*b) - (5*a^(3//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(12*b^(3//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+(x^4/(a + b*x^4)^(3//4), (x*(a + b*x^4)^(1//4))/(2*b) + (sqrt(a)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(2*sqrt(b)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+(x^0/(a + b*x^4)^(3//4), -((sqrt(b)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(a)*(a + b*x^4)^(3//4))), x, 4),
+(1/(x^4*(a + b*x^4)^(3//4)), -((a + b*x^4)^(1//4)/(3*a*x^3)) + (2*b^(3//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(3*a^(3//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+(1/(x^8*(a + b*x^4)^(3//4)), -((a + b*x^4)^(1//4)/(7*a*x^7)) + (2*b*(a + b*x^4)^(1//4))/(7*a^2*x^3) - (4*b^(5//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(7*a^(5//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+(1/(x^12*(a + b*x^4)^(3//4)), -((a + b*x^4)^(1//4)/(11*a*x^11)) + (10*b*(a + b*x^4)^(1//4))/(77*a^2*x^7) - (20*b^2*(a + b*x^4)^(1//4))/(77*a^3*x^3) + (40*b^(7//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(77*a^(7//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 7),
+
+
+(x^19/(a + b*x^4)^(5//4), -(a^4/(b^5*(a + b*x^4)^(1//4))) - (4*a^3*(a + b*x^4)^(3//4))/(3*b^5) + (6*a^2*(a + b*x^4)^(7//4))/(7*b^5) - (4*a*(a + b*x^4)^(11//4))/(11*b^5) + (a + b*x^4)^(15//4)/(15*b^5), x, 3),
+(x^15/(a + b*x^4)^(5//4), a^3/(b^4*(a + b*x^4)^(1//4)) + (a^2*(a + b*x^4)^(3//4))/b^4 - (3*a*(a + b*x^4)^(7//4))/(7*b^4) + (a + b*x^4)^(11//4)/(11*b^4), x, 3),
+(x^11/(a + b*x^4)^(5//4), -(a^2/(b^3*(a + b*x^4)^(1//4))) - (2*a*(a + b*x^4)^(3//4))/(3*b^3) + (a + b*x^4)^(7//4)/(7*b^3), x, 3),
+(x^7/(a + b*x^4)^(5//4), a/(b^2*(a + b*x^4)^(1//4)) + (a + b*x^4)^(3//4)/(3*b^2), x, 3),
+(x^3/(a + b*x^4)^(5//4), -(1/(b*(a + b*x^4)^(1//4))), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^4)^(5//4)), 1/(a*(a + b*x^4)^(1//4)) + atan((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4))/(2*a^(5//4)) - atanh((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4))/(2*a^(5//4)), x, 6),
+(1/(x^5*(a + b*x^4)^(5//4)), -((5*b)/(4*a^2*(a + b*x^4)^(1//4))) - 1/(4*a*x^4*(a + b*x^4)^(1//4)) - (5*b*atan((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(8*a^(9//4)) + (5*b*atanh((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(8*a^(9//4)), x, 7),
+(1/(x^9*(a + b*x^4)^(5//4)), (45*b^2)/(32*a^3*(a + b*x^4)^(1//4)) - 1/(8*a*x^8*(a + b*x^4)^(1//4)) + (9*b)/(32*a^2*x^4*(a + b*x^4)^(1//4)) + (45*b^2*atan((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(64*a^(13//4)) - (45*b^2*atanh((a + b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(64*a^(13//4)), x, 8),
+
+(x^13/(a + b*x^4)^(5//4), (4*a^2*x^2)/(3*b^3*(a + b*x^4)^(1//4)) - (2*a*x^6)/(9*b^2*(a + b*x^4)^(1//4)) + x^10/(9*b*(a + b*x^4)^(1//4)) - (8*a^(5//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(3*b^(7//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 6),
+(x^9/(a + b*x^4)^(5//4), -((6*a*x^2)/(5*b^2*(a + b*x^4)^(1//4))) + x^6/(5*b*(a + b*x^4)^(1//4)) + (12*a^(3//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(5*b^(5//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 5),
+(x^5/(a + b*x^4)^(5//4), x^2/(b*(a + b*x^4)^(1//4)) - (2*sqrt(a)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(b^(3//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 4),
+(x^1/(a + b*x^4)^(5//4), ((1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(a)*sqrt(b)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 3),
+(1/(x^3*(a + b*x^4)^(5//4)), -(1/(2*a*x^2*(a + b*x^4)^(1//4))) - (3*sqrt(b)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(2*a^(3//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 4),
+(1/(x^7*(a + b*x^4)^(5//4)), -(1/(6*a*x^6*(a + b*x^4)^(1//4))) + (7*b)/(12*a^2*x^2*(a + b*x^4)^(1//4)) + (7*b^(3//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(4*a^(5//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 5),
+(1/(x^11*(a + b*x^4)^(5//4)), -(1/(10*a*x^10*(a + b*x^4)^(1//4))) + (11*b)/(60*a^2*x^6*(a + b*x^4)^(1//4)) - (77*b^2)/(120*a^3*x^2*(a + b*x^4)^(1//4)) - (77*b^(5//2)*(1 + (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(40*a^(7//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 6),
+
+(x^12/(a + b*x^4)^(5//4), -(x^9/(b*(a + b*x^4)^(1//4))) - (45*a*x*(a + b*x^4)^(3//4))/(32*b^3) + (9*x^5*(a + b*x^4)^(3//4))/(8*b^2) + (45*a^2*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(64*b^(13//4)) + (45*a^2*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(64*b^(13//4)), x, 7),
+(x^8/(a + b*x^4)^(5//4), -(x^5/(b*(a + b*x^4)^(1//4))) + (5*x*(a + b*x^4)^(3//4))/(4*b^2) - (5*a*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(8*b^(9//4)) - (5*a*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(8*b^(9//4)), x, 6),
+(x^4/(a + b*x^4)^(5//4), -(x/(b*(a + b*x^4)^(1//4))) + atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4))/(2*b^(5//4)) + atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4))/(2*b^(5//4)), x, 5),
+(x^0/(a + b*x^4)^(5//4), x/(a*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 1),
+(1/(x^4*(a + b*x^4)^(5//4)), -1/(3*a*x^3*(a + b*x^4)^(1//4)) - (4*b*x)/(3*a^2*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 2),
+(1/(x^8*(a + b*x^4)^(5//4)), -1/(7*a*x^7*(a + b*x^4)^(1//4)) + (8*b)/(21*a^2*x^3*(a + b*x^4)^(1//4)) + (32*b^2*x)/(21*a^3*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 3),
+(1/(x^12*(a + b*x^4)^(5//4)), -1/(11*a*x^11*(a + b*x^4)^(1//4)) + (12*b)/(77*a^2*x^7*(a + b*x^4)^(1//4)) - (32*b^2)/(77*a^3*x^3*(a + b*x^4)^(1//4)) - (128*b^3*x)/(77*a^4*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 4),
+(1/(x^16*(a + b*x^4)^(5//4)), -1/(15*a*x^15*(a + b*x^4)^(1//4)) + (16*b)/(165*a^2*x^11*(a + b*x^4)^(1//4)) - (64*b^2)/(385*a^3*x^7*(a + b*x^4)^(1//4)) + (512*b^3)/(1155*a^4*x^3*(a + b*x^4)^(1//4)) + (2048*b^4*x)/(1155*a^5*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 5),
+
+(x^14/(a + b*x^4)^(5//4), (77*a^2*x^3)/(120*b^3*(a + b*x^4)^(1//4)) - (11*a*x^7)/(60*b^2*(a + b*x^4)^(1//4)) + x^11/(10*b*(a + b*x^4)^(1//4)) + (77*a^(5//2)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(40*b^(7//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 7),
+(x^10/(a + b*x^4)^(5//4), -((7*a*x^3)/(12*b^2*(a + b*x^4)^(1//4))) + x^7/(6*b*(a + b*x^4)^(1//4)) - (7*a^(3//2)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(4*b^(5//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 6),
+(x^6/(a + b*x^4)^(5//4), x^3/(2*b*(a + b*x^4)^(1//4)) + (3*sqrt(a)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(2*b^(3//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 5),
+(x^2/(a + b*x^4)^(5//4), -(((1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(a)*sqrt(b)*(a + b*x^4)^(1//4))), x, 4),
+(1/(x^2*(a + b*x^4)^(5//4)), -(1/(a*x*(a + b*x^4)^(1//4))) + (2*sqrt(b)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(a^(3//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 5),
+(1/(x^6*(a + b*x^4)^(5//4)), -(1/(5*a*x^5*(a + b*x^4)^(1//4))) + (6*b)/(5*a^2*x*(a + b*x^4)^(1//4)) - (12*b^(3//2)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(5*a^(5//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 6),
+(1/(x^10*(a + b*x^4)^(5//4)), -(1/(9*a*x^9*(a + b*x^4)^(1//4))) + (2*b)/(9*a^2*x^5*(a + b*x^4)^(1//4)) - (4*b^2)/(3*a^3*x*(a + b*x^4)^(1//4)) + (8*b^(5//2)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(3*a^(7//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 7),
+(1/(x^14*(a + b*x^4)^(5//4)), -(1/(13*a*x^13*(a + b*x^4)^(1//4))) + (14*b)/(117*a^2*x^9*(a + b*x^4)^(1//4)) - (28*b^2)/(117*a^3*x^5*(a + b*x^4)^(1//4)) + (56*b^3)/(39*a^4*x*(a + b*x^4)^(1//4)) - (112*b^(7//2)*(1 + a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(39*a^(9//2)*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 8),
+
+
+(1/(a + b*x^4)^(7//4), x/(3*a*(a + b*x^4)^(3//4)) - (2*sqrt(b)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(3*a^(3//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+
+
+(1/(a + b*x^4)^(9//4), x/(5*a*(a + b*x^4)^(5//4)) + (4*x)/(5*a^2*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 2),
+
+
+(1/(a + b*x^4)^(11//4), x/(7*a*(a + b*x^4)^(7//4)) + (2*x)/(7*a^2*(a + b*x^4)^(3//4)) - (4*sqrt(b)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(7*a^(5//2)*(a + b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+
+
+(1/(a + b*x^4)^(13//4), x/(9*a*(a + b*x^4)^(9//4)) + (8*x)/(45*a^2*(a + b*x^4)^(5//4)) + (32*x)/(45*a^3*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 3),
+(1/(a + b*x^4)^(17//4), x/(13*a*(a + b*x^4)^(13//4)) + (4*x)/(39*a^2*(a + b*x^4)^(9//4)) + (32*x)/(195*a^3*(a + b*x^4)^(5//4)) + (128*x)/(195*a^4*(a + b*x^4)^(1//4)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a-b x^4)^(p/4)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^19*(a - b*x^4)^(1//4), -((a^4*(a - b*x^4)^(5//4))/(5*b^5)) + (4*a^3*(a - b*x^4)^(9//4))/(9*b^5) - (6*a^2*(a - b*x^4)^(13//4))/(13*b^5) + (4*a*(a - b*x^4)^(17//4))/(17*b^5) - (a - b*x^4)^(21//4)/(21*b^5), x, 3),
+(x^15*(a - b*x^4)^(1//4), -((a^3*(a - b*x^4)^(5//4))/(5*b^4)) + (a^2*(a - b*x^4)^(9//4))/(3*b^4) - (3*a*(a - b*x^4)^(13//4))/(13*b^4) + (a - b*x^4)^(17//4)/(17*b^4), x, 3),
+(x^11*(a - b*x^4)^(1//4), -((a^2*(a - b*x^4)^(5//4))/(5*b^3)) + (2*a*(a - b*x^4)^(9//4))/(9*b^3) - (a - b*x^4)^(13//4)/(13*b^3), x, 3),
+(x^7*(a - b*x^4)^(1//4), -((a*(a - b*x^4)^(5//4))/(5*b^2)) + (a - b*x^4)^(9//4)/(9*b^2), x, 3),
+(x^3*(a - b*x^4)^(1//4), -((a - b*x^4)^(5//4)/(5*b)), x, 1),
+((a - b*x^4)^(1//4)/x^1, (a - b*x^4)^(1//4) - (1//2)*a^(1//4)*atan((a - b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)) - (1//2)*a^(1//4)*atanh((a - b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)), x, 6),
+((a - b*x^4)^(1//4)/x^5, -((a - b*x^4)^(1//4)/(4*x^4)) + (b*atan((a - b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(8*a^(3//4)) + (b*atanh((a - b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(8*a^(3//4)), x, 6),
+((a - b*x^4)^(1//4)/x^9, -((a - b*x^4)^(1//4)/(8*x^8)) + (b*(a - b*x^4)^(1//4))/(32*a*x^4) + (3*b^2*atan((a - b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(64*a^(7//4)) + (3*b^2*atanh((a - b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(64*a^(7//4)), x, 7),
+
+(x^9*(a - b*x^4)^(1//4), -((2*a^2*x^2*(a - b*x^4)^(1//4))/(77*b^2)) - (a*x^6*(a - b*x^4)^(1//4))/(77*b) + (1//11)*x^10*(a - b*x^4)^(1//4) + (4*a^(7//2)*(1 - (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(77*b^(5//2)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+(x^5*(a - b*x^4)^(1//4), -((a*x^2*(a - b*x^4)^(1//4))/(21*b)) + (1//7)*x^6*(a - b*x^4)^(1//4) + (2*a^(5//2)*(1 - (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(21*b^(3//2)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+(x^1*(a - b*x^4)^(1//4), (1//3)*x^2*(a - b*x^4)^(1//4) + (a^(3//2)*(1 - (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(3*sqrt(b)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 4),
+((a - b*x^4)^(1//4)/x^3, -((a - b*x^4)^(1//4)/(2*x^2)) - (sqrt(a)*sqrt(b)*(1 - (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(2*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 4),
+((a - b*x^4)^(1//4)/x^7, -((a - b*x^4)^(1//4)/(6*x^6)) + (b*(a - b*x^4)^(1//4))/(12*a*x^2) - (b^(3//2)*(1 - (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(12*sqrt(a)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+((a - b*x^4)^(1//4)/x^11, -((a - b*x^4)^(1//4)/(10*x^10)) + (b*(a - b*x^4)^(1//4))/(60*a*x^6) + (b^2*(a - b*x^4)^(1//4))/(24*a^2*x^2) - (b^(5//2)*(1 - (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(24*a^(3//2)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+
+(x^6*(a - b*x^4)^(1//4), -((a*x^3*(a - b*x^4)^(1//4))/(32*b)) + (1//8)*x^7*(a - b*x^4)^(1//4) - (3*a^2*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(64*sqrt(2)*b^(7//4)) + (3*a^2*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(64*sqrt(2)*b^(7//4)) + (3*a^2*log(1 + (sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4) - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(128*sqrt(2)*b^(7//4)) - (3*a^2*log(1 + (sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4) + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(128*sqrt(2)*b^(7//4)), x, 12),
+(x^2*(a - b*x^4)^(1//4), (1//4)*x^3*(a - b*x^4)^(1//4) - (a*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(8*sqrt(2)*b^(3//4)) + (a*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(8*sqrt(2)*b^(3//4)) + (a*log(1 + (sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4) - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(16*sqrt(2)*b^(3//4)) - (a*log(1 + (sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4) + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(16*sqrt(2)*b^(3//4)), x, 11),
+((a - b*x^4)^(1//4)/x^2, -((a - b*x^4)^(1//4)/x) + (b^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(2*sqrt(2)) - (b^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(2*sqrt(2)) - (b^(1//4)*log(1 + (sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4) - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(4*sqrt(2)) + (b^(1//4)*log(1 + (sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4) + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(4*sqrt(2)), x, 11),
+((a - b*x^4)^(1//4)/x^6, -((a - b*x^4)^(5//4)/(5*a*x^5)), x, 1),
+((a - b*x^4)^(1//4)/x^10, -((a - b*x^4)^(5//4)/(9*a*x^9)) - (4*b*(a - b*x^4)^(5//4))/(45*a^2*x^5), x, 2),
+((a - b*x^4)^(1//4)/x^14, -((a - b*x^4)^(5//4)/(13*a*x^13)) - (8*b*(a - b*x^4)^(5//4))/(117*a^2*x^9) - (32*b^2*(a - b*x^4)^(5//4))/(585*a^3*x^5), x, 3),
+((a - b*x^4)^(1//4)/x^18, -((a - b*x^4)^(5//4)/(17*a*x^17)) - (12*b*(a - b*x^4)^(5//4))/(221*a^2*x^13) - (32*b^2*(a - b*x^4)^(5//4))/(663*a^3*x^9) - (128*b^3*(a - b*x^4)^(5//4))/(3315*a^4*x^5), x, 4),
+
+(x^12*(a - b*x^4)^(1//4), -((3*a^3*x*(a - b*x^4)^(1//4))/(112*b^3)) - (3*a^2*x^5*(a - b*x^4)^(1//4))/(280*b^2) - (a*x^9*(a - b*x^4)^(1//4))/(140*b) + (1//14)*x^13*(a - b*x^4)^(1//4) - (3*a^(7//2)*(1 - a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(112*b^(5//2)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 8),
+(x^8*(a - b*x^4)^(1//4), -((a^2*x*(a - b*x^4)^(1//4))/(24*b^2)) - (a*x^5*(a - b*x^4)^(1//4))/(60*b) + (1//10)*x^9*(a - b*x^4)^(1//4) - (a^(5//2)*(1 - a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(24*b^(3//2)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 7),
+(x^4*(a - b*x^4)^(1//4), -((a*x*(a - b*x^4)^(1//4))/(12*b)) + (1//6)*x^5*(a - b*x^4)^(1//4) - (a^(3//2)*(1 - a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(12*sqrt(b)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+(x^0*(a - b*x^4)^(1//4), (1//2)*x*(a - b*x^4)^(1//4) - (sqrt(a)*sqrt(b)*(1 - a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(2*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+((a - b*x^4)^(1//4)/x^4, -((a - b*x^4)^(1//4)/(3*x^3)) + (b^(3//2)*(1 - a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(3*sqrt(a)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+((a - b*x^4)^(1//4)/x^8, -((a - b*x^4)^(1//4)/(7*x^7)) + (b*(a - b*x^4)^(1//4))/(21*a*x^3) + (2*b^(5//2)*(1 - a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(21*a^(3//2)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+((a - b*x^4)^(1//4)/x^12, -((a - b*x^4)^(1//4)/(11*x^11)) + (b*(a - b*x^4)^(1//4))/(77*a*x^7) + (2*b^2*(a - b*x^4)^(1//4))/(77*a^2*x^3) + (4*b^(7//2)*(1 - a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(77*a^(5//2)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 7),
+((a - b*x^4)^(1//4)/x^16, -((a - b*x^4)^(1//4)/(15*x^15)) + (b*(a - b*x^4)^(1//4))/(165*a*x^11) + (2*b^2*(a - b*x^4)^(1//4))/(231*a^2*x^7) + (4*b^3*(a - b*x^4)^(1//4))/(231*a^3*x^3) + (8*b^(9//2)*(1 - a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(231*a^(7//2)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^19/(a - b*x^4)^(1//4), -((a^4*(a - b*x^4)^(3//4))/(3*b^5)) + (4*a^3*(a - b*x^4)^(7//4))/(7*b^5) - (6*a^2*(a - b*x^4)^(11//4))/(11*b^5) + (4*a*(a - b*x^4)^(15//4))/(15*b^5) - (a - b*x^4)^(19//4)/(19*b^5), x, 3),
+(x^15/(a - b*x^4)^(1//4), -((a^3*(a - b*x^4)^(3//4))/(3*b^4)) + (3*a^2*(a - b*x^4)^(7//4))/(7*b^4) - (3*a*(a - b*x^4)^(11//4))/(11*b^4) + (a - b*x^4)^(15//4)/(15*b^4), x, 3),
+(x^11/(a - b*x^4)^(1//4), -((a^2*(a - b*x^4)^(3//4))/(3*b^3)) + (2*a*(a - b*x^4)^(7//4))/(7*b^3) - (a - b*x^4)^(11//4)/(11*b^3), x, 3),
+(x^7/(a - b*x^4)^(1//4), -((a*(a - b*x^4)^(3//4))/(3*b^2)) + (a - b*x^4)^(7//4)/(7*b^2), x, 3),
+(x^3/(a - b*x^4)^(1//4), -((a - b*x^4)^(3//4)/(3*b)), x, 1),
+(1/(x^1*(a - b*x^4)^(1//4)), atan((a - b*x^4)^(1//4)/a^(1//4))/(2*a^(1//4)) - atanh((a - b*x^4)^(1//4)/a^(1//4))/(2*a^(1//4)), x, 5),
+(1/(x^5*(a - b*x^4)^(1//4)), -((a - b*x^4)^(3//4)/(4*a*x^4)) + (b*atan((a - b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(8*a^(5//4)) - (b*atanh((a - b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(8*a^(5//4)), x, 6),
+(1/(x^9*(a - b*x^4)^(1//4)), -((a - b*x^4)^(3//4)/(8*a*x^8)) - (5*b*(a - b*x^4)^(3//4))/(32*a^2*x^4) + (5*b^2*atan((a - b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(64*a^(9//4)) - (5*b^2*atanh((a - b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(64*a^(9//4)), x, 7),
+
+(x^13/(a - b*x^4)^(1//4), -((4*a^2*x^2*(a - b*x^4)^(3//4))/(39*b^3)) - (10*a*x^6*(a - b*x^4)^(3//4))/(117*b^2) - (x^10*(a - b*x^4)^(3//4))/(13*b) + (8*a^(7//2)*(1 - (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(39*b^(7//2)*(a - b*x^4)^(1//4)), x, 6),
+(x^9/(a - b*x^4)^(1//4), -((2*a*x^2*(a - b*x^4)^(3//4))/(15*b^2)) - (x^6*(a - b*x^4)^(3//4))/(9*b) + (4*a^(5//2)*(1 - (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(15*b^(5//2)*(a - b*x^4)^(1//4)), x, 5),
+(x^5/(a - b*x^4)^(1//4), -((x^2*(a - b*x^4)^(3//4))/(5*b)) + (2*a^(3//2)*(1 - (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(5*b^(3//2)*(a - b*x^4)^(1//4)), x, 4),
+(x^1/(a - b*x^4)^(1//4), (sqrt(a)*(1 - (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(b)*(a - b*x^4)^(1//4)), x, 3),
+(1/(x^3*(a - b*x^4)^(1//4)), -((a - b*x^4)^(3//4)/(2*a*x^2)) - (sqrt(b)*(1 - (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(2*sqrt(a)*(a - b*x^4)^(1//4)), x, 4),
+(1/(x^7*(a - b*x^4)^(1//4)), -((a - b*x^4)^(3//4)/(6*a*x^6)) - (b*(a - b*x^4)^(3//4))/(4*a^2*x^2) - (b^(3//2)*(1 - (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(4*a^(3//2)*(a - b*x^4)^(1//4)), x, 5),
+(1/(x^11*(a - b*x^4)^(1//4)), -((a - b*x^4)^(3//4)/(10*a*x^10)) - (7*b*(a - b*x^4)^(3//4))/(60*a^2*x^6) - (7*b^2*(a - b*x^4)^(3//4))/(40*a^3*x^2) - (7*b^(5//2)*(1 - (b*x^4)/a)^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(40*a^(5//2)*(a - b*x^4)^(1//4)), x, 6),
+
+(x^8/(a - b*x^4)^(1//4), -((5*a*x*(a - b*x^4)^(3//4))/(32*b^2)) - (x^5*(a - b*x^4)^(3//4))/(8*b) - (5*a^2*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(64*sqrt(2)*b^(9//4)) + (5*a^2*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(64*sqrt(2)*b^(9//4)) - (5*a^2*log(1 + (sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4) - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(128*sqrt(2)*b^(9//4)) + (5*a^2*log(1 + (sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4) + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(128*sqrt(2)*b^(9//4)), x, 12),
+(x^4/(a - b*x^4)^(1//4), -((x*(a - b*x^4)^(3//4))/(4*b)) - (a*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(8*sqrt(2)*b^(5//4)) + (a*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(8*sqrt(2)*b^(5//4)) - (a*log(1 + (sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4) - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(16*sqrt(2)*b^(5//4)) + (a*log(1 + (sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4) + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(16*sqrt(2)*b^(5//4)), x, 11),
+(x^0/(a - b*x^4)^(1//4), -(atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4))/(2*sqrt(2)*b^(1//4))) + atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4))/(2*sqrt(2)*b^(1//4)) - log(1 + (sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4) - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4))/(4*sqrt(2)*b^(1//4)) + log(1 + (sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4) + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4))/(4*sqrt(2)*b^(1//4)), x, 10),
+(1/(x^4*(a - b*x^4)^(1//4)), -((a - b*x^4)^(3//4)/(3*a*x^3)), x, 1),
+(1/(x^8*(a - b*x^4)^(1//4)), -((a - b*x^4)^(3//4)/(7*a*x^7)) - (4*b*(a - b*x^4)^(3//4))/(21*a^2*x^3), x, 2),
+(1/(x^12*(a - b*x^4)^(1//4)), -((a - b*x^4)^(3//4)/(11*a*x^11)) - (8*b*(a - b*x^4)^(3//4))/(77*a^2*x^7) - (32*b^2*(a - b*x^4)^(3//4))/(231*a^3*x^3), x, 3),
+(1/(x^16*(a - b*x^4)^(1//4)), -((a - b*x^4)^(3//4)/(15*a*x^15)) - (4*b*(a - b*x^4)^(3//4))/(55*a^2*x^11) - (32*b^2*(a - b*x^4)^(3//4))/(385*a^3*x^7) - (128*b^3*(a - b*x^4)^(3//4))/(1155*a^4*x^3), x, 4),
+(1/(x^20*(a - b*x^4)^(1//4)), -((a - b*x^4)^(3//4)/(19*a*x^19)) - (16*b*(a - b*x^4)^(3//4))/(285*a^2*x^15) - (64*b^2*(a - b*x^4)^(3//4))/(1045*a^3*x^11) - (512*b^3*(a - b*x^4)^(3//4))/(7315*a^4*x^7) - (2048*b^4*(a - b*x^4)^(3//4))/(21945*a^5*x^3), x, 5),
+
+(x^10/(a - b*x^4)^(1//4), -((7*a^2*(a - b*x^4)^(3//4))/(40*b^3*x)) - (7*a*x^3*(a - b*x^4)^(3//4))/(60*b^2) - (x^7*(a - b*x^4)^(3//4))/(10*b) + (7*a^(5//2)*(1 - a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(40*b^(5//2)*(a - b*x^4)^(1//4)), x, 7),
+(x^6/(a - b*x^4)^(1//4), -((a*(a - b*x^4)^(3//4))/(4*b^2*x)) - (x^3*(a - b*x^4)^(3//4))/(6*b) + (a^(3//2)*(1 - a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(4*b^(3//2)*(a - b*x^4)^(1//4)), x, 6),
+(x^2/(a - b*x^4)^(1//4), -((a - b*x^4)^(3//4)/(2*b*x)) + (sqrt(a)*(1 - a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(2*sqrt(b)*(a - b*x^4)^(1//4)), x, 5),
+(1/(x^2*(a - b*x^4)^(1//4)), -((sqrt(b)*(1 - a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(a)*(a - b*x^4)^(1//4))), x, 4),
+(1/(x^6*(a - b*x^4)^(1//4)), -((a - b*x^4)^(3//4)/(5*a*x^5)) - (2*b^(3//2)*(1 - a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(5*a^(3//2)*(a - b*x^4)^(1//4)), x, 5),
+(1/(x^10*(a - b*x^4)^(1//4)), -((a - b*x^4)^(3//4)/(9*a*x^9)) - (2*b*(a - b*x^4)^(3//4))/(15*a^2*x^5) - (4*b^(5//2)*(1 - a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(15*a^(5//2)*(a - b*x^4)^(1//4)), x, 6),
+(1/(x^14*(a - b*x^4)^(1//4)), -((a - b*x^4)^(3//4)/(13*a*x^13)) - (10*b*(a - b*x^4)^(3//4))/(117*a^2*x^9) - (4*b^2*(a - b*x^4)^(3//4))/(39*a^3*x^5) - (8*b^(7//2)*(1 - a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(39*a^(7//2)*(a - b*x^4)^(1//4)), x, 7),
+
+
+(x^19/(a - b*x^4)^(3//4), -((a^4*(a - b*x^4)^(1//4))/b^5) + (4*a^3*(a - b*x^4)^(5//4))/(5*b^5) - (2*a^2*(a - b*x^4)^(9//4))/(3*b^5) + (4*a*(a - b*x^4)^(13//4))/(13*b^5) - (a - b*x^4)^(17//4)/(17*b^5), x, 3),
+(x^15/(a - b*x^4)^(3//4), -((a^3*(a - b*x^4)^(1//4))/b^4) + (3*a^2*(a - b*x^4)^(5//4))/(5*b^4) - (a*(a - b*x^4)^(9//4))/(3*b^4) + (a - b*x^4)^(13//4)/(13*b^4), x, 3),
+(x^11/(a - b*x^4)^(3//4), -((a^2*(a - b*x^4)^(1//4))/b^3) + (2*a*(a - b*x^4)^(5//4))/(5*b^3) - (a - b*x^4)^(9//4)/(9*b^3), x, 3),
+(x^7/(a - b*x^4)^(3//4), -((a*(a - b*x^4)^(1//4))/b^2) + (a - b*x^4)^(5//4)/(5*b^2), x, 3),
+(x^3/(a - b*x^4)^(3//4), -((a - b*x^4)^(1//4)/b), x, 1),
+(1/(x^1*(a - b*x^4)^(3//4)), -(atan((a - b*x^4)^(1//4)/a^(1//4))/(2*a^(3//4))) - atanh((a - b*x^4)^(1//4)/a^(1//4))/(2*a^(3//4)), x, 5),
+(1/(x^5*(a - b*x^4)^(3//4)), -((a - b*x^4)^(1//4)/(4*a*x^4)) - (3*b*atan((a - b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(8*a^(7//4)) - (3*b*atanh((a - b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(8*a^(7//4)), x, 6),
+(1/(x^9*(a - b*x^4)^(3//4)), -((a - b*x^4)^(1//4)/(8*a*x^8)) - (7*b*(a - b*x^4)^(1//4))/(32*a^2*x^4) - (21*b^2*atan((a - b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(64*a^(11//4)) - (21*b^2*atanh((a - b*x^4)^(1//4)/a^(1//4)))/(64*a^(11//4)), x, 7),
+
+(x^13/(a - b*x^4)^(3//4), -((20*a^2*x^2*(a - b*x^4)^(1//4))/(77*b^3)) - (10*a*x^6*(a - b*x^4)^(1//4))/(77*b^2) - (x^10*(a - b*x^4)^(1//4))/(11*b) + (40*a^(7//2)*(1 - (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(77*b^(7//2)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+(x^9/(a - b*x^4)^(3//4), -((2*a*x^2*(a - b*x^4)^(1//4))/(7*b^2)) - (x^6*(a - b*x^4)^(1//4))/(7*b) + (4*a^(5//2)*(1 - (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(7*b^(5//2)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+(x^5/(a - b*x^4)^(3//4), -((x^2*(a - b*x^4)^(1//4))/(3*b)) + (2*a^(3//2)*(1 - (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(3*b^(3//2)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 4),
+(x^1/(a - b*x^4)^(3//4), (sqrt(a)*(1 - (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(b)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 3),
+(1/(x^3*(a - b*x^4)^(3//4)), -((a - b*x^4)^(1//4)/(2*a*x^2)) + (sqrt(b)*(1 - (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(2*sqrt(a)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 4),
+(1/(x^7*(a - b*x^4)^(3//4)), -((a - b*x^4)^(1//4)/(6*a*x^6)) - (5*b*(a - b*x^4)^(1//4))/(12*a^2*x^2) + (5*b^(3//2)*(1 - (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(12*a^(3//2)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+(1/(x^11*(a - b*x^4)^(3//4)), -((a - b*x^4)^(1//4)/(10*a*x^10)) - (3*b*(a - b*x^4)^(1//4))/(20*a^2*x^6) - (3*b^2*(a - b*x^4)^(1//4))/(8*a^3*x^2) + (3*b^(5//2)*(1 - (b*x^4)/a)^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*asin((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(8*a^(5//2)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+
+(x^10/(a - b*x^4)^(3//4), -((7*a*x^3*(a - b*x^4)^(1//4))/(32*b^2)) - (x^7*(a - b*x^4)^(1//4))/(8*b) - (21*a^2*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(64*sqrt(2)*b^(11//4)) + (21*a^2*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(64*sqrt(2)*b^(11//4)) + (21*a^2*log(1 + (sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4) - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(128*sqrt(2)*b^(11//4)) - (21*a^2*log(1 + (sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4) + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(128*sqrt(2)*b^(11//4)), x, 12),
+(x^6/(a - b*x^4)^(3//4), -((x^3*(a - b*x^4)^(1//4))/(4*b)) - (3*a*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(8*sqrt(2)*b^(7//4)) + (3*a*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(8*sqrt(2)*b^(7//4)) + (3*a*log(1 + (sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4) - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(16*sqrt(2)*b^(7//4)) - (3*a*log(1 + (sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4) + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4)))/(16*sqrt(2)*b^(7//4)), x, 11),
+(x^2/(a - b*x^4)^(3//4), -(atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4))/(2*sqrt(2)*b^(3//4))) + atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4))/(2*sqrt(2)*b^(3//4)) + log(1 + (sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4) - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4))/(4*sqrt(2)*b^(3//4)) - log(1 + (sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4) + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/(a - b*x^4)^(1//4))/(4*sqrt(2)*b^(3//4)), x, 10),
+(1/(x^2*(a - b*x^4)^(3//4)), -((a - b*x^4)^(1//4)/(a*x)), x, 1),
+(1/(x^6*(a - b*x^4)^(3//4)), -((a - b*x^4)^(1//4)/(5*a*x^5)) - (4*b*(a - b*x^4)^(1//4))/(5*a^2*x), x, 2),
+(1/(x^10*(a - b*x^4)^(3//4)), -((a - b*x^4)^(1//4)/(9*a*x^9)) - (8*b*(a - b*x^4)^(1//4))/(45*a^2*x^5) - (32*b^2*(a - b*x^4)^(1//4))/(45*a^3*x), x, 3),
+(1/(x^14*(a - b*x^4)^(3//4)), -((a - b*x^4)^(1//4)/(13*a*x^13)) - (4*b*(a - b*x^4)^(1//4))/(39*a^2*x^9) - (32*b^2*(a - b*x^4)^(1//4))/(195*a^3*x^5) - (128*b^3*(a - b*x^4)^(1//4))/(195*a^4*x), x, 4),
+
+(x^12/(a - b*x^4)^(3//4), -((3*a^2*x*(a - b*x^4)^(1//4))/(8*b^3)) - (3*a*x^5*(a - b*x^4)^(1//4))/(20*b^2) - (x^9*(a - b*x^4)^(1//4))/(10*b) - (3*a^(5//2)*(1 - a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(8*b^(5//2)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 7),
+(x^8/(a - b*x^4)^(3//4), -((5*a*x*(a - b*x^4)^(1//4))/(12*b^2)) - (x^5*(a - b*x^4)^(1//4))/(6*b) - (5*a^(3//2)*(1 - a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(12*b^(3//2)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+(x^4/(a - b*x^4)^(3//4), -((x*(a - b*x^4)^(1//4))/(2*b)) - (sqrt(a)*(1 - a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(2*sqrt(b)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+(x^0/(a - b*x^4)^(3//4), -((sqrt(b)*(1 - a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(a)*(a - b*x^4)^(3//4))), x, 4),
+(1/(x^4*(a - b*x^4)^(3//4)), -((a - b*x^4)^(1//4)/(3*a*x^3)) - (2*b^(3//2)*(1 - a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(3*a^(3//2)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 5),
+(1/(x^8*(a - b*x^4)^(3//4)), -((a - b*x^4)^(1//4)/(7*a*x^7)) - (2*b*(a - b*x^4)^(1//4))/(7*a^2*x^3) - (4*b^(5//2)*(1 - a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(7*a^(5//2)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 6),
+(1/(x^12*(a - b*x^4)^(3//4)), -((a - b*x^4)^(1//4)/(11*a*x^11)) - (10*b*(a - b*x^4)^(1//4))/(77*a^2*x^7) - (20*b^2*(a - b*x^4)^(1//4))/(77*a^3*x^3) - (40*b^(7//2)*(1 - a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(77*a^(7//2)*(a - b*x^4)^(3//4)), x, 7),
+
+
+(x^2/(a - b*x^4)^(5//4), 1/(b*x*(a - b*x^4)^(1//4)) - ((1 - a/(b*x^4))^(1//4)*x*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*acsc((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(a)*sqrt(b)*(a - b*x^4)^(1//4)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^4)^p with p symbolic
+
+
+(x^7*(a + b*x^4)^p, -((a*(a + b*x^4)^(1 + p))/(4*b^2*(1 + p))) + (a + b*x^4)^(2 + p)/(4*b^2*(2 + p)), x, 3),
+(x^3*(a + b*x^4)^p, (a + b*x^4)^(1 + p)/(4*b*(1 + p)), x, 1),
+((a + b*x^4)^p/x^1, -(((a + b*x^4)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^4)/a))/(4*a*(1 + p))), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^5)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^5)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^24/(a + b*x^5), -((a^3*x^5)/(5*b^4)) + (a^2*x^10)/(10*b^3) - (a*x^15)/(15*b^2) + x^20/(20*b) + (a^4*log(a + b*x^5))/(5*b^5), x, 3),
+(x^19/(a + b*x^5), (a^2*x^5)/(5*b^3) - (a*x^10)/(10*b^2) + x^15/(15*b) - (a^3*log(a + b*x^5))/(5*b^4), x, 3),
+(x^14/(a + b*x^5), -((a*x^5)/(5*b^2)) + x^10/(10*b) + (a^2*log(a + b*x^5))/(5*b^3), x, 3),
+(x^9/(a + b*x^5), x^5/(5*b) - (a*log(a + b*x^5))/(5*b^2), x, 3),
+(x^4/(a + b*x^5), log(a + b*x^5)/(5*b), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^5)), log(x)/a - log(a + b*x^5)/(5*a), x, 4),
+(1/(x^6*(a + b*x^5)), -(1/(5*a*x^5)) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x^5))/(5*a^2), x, 3),
+(1/(x^11*(a + b*x^5)), -(1/(10*a*x^10)) + b/(5*a^2*x^5) + (b^2*log(x))/a^3 - (b^2*log(a + b*x^5))/(5*a^3), x, 3),
+(1/(x^16*(a + b*x^5)), -(1/(15*a*x^15)) + b/(10*a^2*x^10) - b^2/(5*a^3*x^5) - (b^3*log(x))/a^4 + (b^3*log(a + b*x^5))/(5*a^4), x, 3),
+
+# {1/(a + b*x^5), x, 6, -((Sqrt[(1/2)*(5 + Sqrt[5])]*ArcTan[((1 - Sqrt[5])*a^(1/5) - 4*b^(1/5)*x)/(Sqrt[2*(5 + Sqrt[5])]*a^(1/5))])/(5*a^(4/5)*b^(1/5))) - (Sqrt[(1/2)*(5 - Sqrt[5])]*ArcTan[((1 + Sqrt[5])*a^(1/5) - 4*b^(1/5)*x)/(Sqrt[2*(5 - Sqrt[5])]*a^(1/5))])/(5*a^(4/5)*b^(1/5)) + Log[a^(1/5) + b^(1/5)*x]/(5*a^(4/5)*b^(1/5)) - ((1 - Sqrt[5])*Log[2*a^(2/5) - (1 - Sqrt[5])*a^(1/5)*b^(1/5)*x + 2*b^(2/5)*x^2])/(20*a^(4/5)*b^(1/5)) - ((1 + Sqrt[5])*Log[2*a^(2/5) - (1 + Sqrt[5])*a^(1/5)*b^(1/5)*x + 2*b^(2/5)*x^2])/(20*a^(4/5)*b^(1/5)), (Sqrt[(1/2)*(5 + Sqrt[5])]*ArcTan[Sqrt[(1/5)*(5 - 2*Sqrt[5])] + (2*Sqrt[2/(5 + Sqrt[5])]*b^(1/5)*x)/a^(1/5)])/(5*a^(4/5)*b^(1/5)) - (Sqrt[(1/2)*(5 - Sqrt[5])]*ArcTan[Sqrt[(1/5)*(5 + 2*Sqrt[5])] - (Sqrt[(2/5)*(5 + Sqrt[5])]*b^(1/5)*x)/a^(1/5)])/(5*a^(4/5)*b^(1/5)) + Log[a^(1/5) + b^(1/5)*x]/(5*a^(4/5)*b^(1/5)) - ((1 - Sqrt[5])*Log[a^(2/5) - (1/2)*(1 - Sqrt[5])*a^(1/5)*b^(1/5)*x + b^(2/5)*x^2])/(20*a^(4/5)*b^(1/5)) - ((1 + Sqrt[5])*Log[a^(2/5) - (1/2)*(1 + Sqrt[5])*a^(1/5)*b^(1/5)*x + b^(2/5)*x^2])/(20*a^(4/5)*b^(1/5))}
+
+
+(x^24/(a + b*x^5)^2, (3*a^2*x^5)/(5*b^4) - (a*x^10)/(5*b^3) + x^15/(15*b^2) - a^4/(5*b^5*(a + b*x^5)) - (4*a^3*log(a + b*x^5))/(5*b^5), x, 3),
+(x^19/(a + b*x^5)^2, -((2*a*x^5)/(5*b^3)) + x^10/(10*b^2) + a^3/(5*b^4*(a + b*x^5)) + (3*a^2*log(a + b*x^5))/(5*b^4), x, 3),
+(x^14/(a + b*x^5)^2, x^5/(5*b^2) - a^2/(5*b^3*(a + b*x^5)) - (2*a*log(a + b*x^5))/(5*b^3), x, 3),
+(x^9/(a + b*x^5)^2, a/(5*b^2*(a + b*x^5)) + log(a + b*x^5)/(5*b^2), x, 3),
+(x^4/(a + b*x^5)^2, -(1/(5*b*(a + b*x^5))), x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^5)^2), 1/(5*a*(a + b*x^5)) + log(x)/a^2 - log(a + b*x^5)/(5*a^2), x, 3),
+(1/(x^6*(a + b*x^5)^2), -(1/(5*a^2*x^5)) - b/(5*a^2*(a + b*x^5)) - (2*b*log(x))/a^3 + (2*b*log(a + b*x^5))/(5*a^3), x, 3),
+(1/(x^11*(a + b*x^5)^2), -(1/(10*a^2*x^10)) + (2*b)/(5*a^3*x^5) + b^2/(5*a^3*(a + b*x^5)) + (3*b^2*log(x))/a^4 - (3*b^2*log(a + b*x^5))/(5*a^4), x, 3),
+
+
+(x^14/(2*b + b*x^5), -((2*x^5)/(5*b)) + x^10/(10*b) + (4*log(2 + x^5))/(5*b), x, 3),
+(x^9/(2*b + b*x^5), x^5/(5*b) - (2*log(2 + x^5))/(5*b), x, 3),
+(x^4/(2*b + b*x^5), log(2 + x^5)/(5*b), x, 1),
+(1/(x^1*(2*b + b*x^5)), log(x)/(2*b) - log(2 + x^5)/(10*b), x, 4),
+(1/(x^6*(2*b + b*x^5)), -(1/(10*b*x^5)) - log(x)/(4*b) + log(2 + x^5)/(20*b), x, 3),
+
+(x^14/(3 + b*x^5), -((3*x^5)/(5*b^2)) + x^10/(10*b) + (9*log(3 + b*x^5))/(5*b^3), x, 3),
+(x^9/(3 + b*x^5), x^5/(5*b) - (3*log(3 + b*x^5))/(5*b^2), x, 3),
+(x^4/(3 + b*x^5), log(3 + b*x^5)/(5*b), x, 1),
+(1/(x^1*(3 + b*x^5)), log(x)/3 - (1//15)*log(3 + b*x^5), x, 4),
+(1/(x^6*(3 + b*x^5)), -(1/(15*x^5)) - (1//9)*b*log(x) + (1//45)*b*log(3 + b*x^5), x, 3),
+
+
+(x^14/(1 + x^5), -(x^5//5) + x^10//10 + (1//5)*log(1 + x^5), x, 3),
+(x^9/(1 + x^5), x^5//5 - (1//5)*log(1 + x^5), x, 3),
+(x^4/(1 + x^5), (1//5)*log(1 + x^5), x, 1),
+(1/(x^1*(1 + x^5)), log(x) - (1//5)*log(1 + x^5), x, 4),
+(1/(x^6*(1 + x^5)), -(1/(5*x^5)) - log(x) + (1//5)*log(1 + x^5), x, 3),
+
+(x^5/(1 + x^5), x - (1//5)*sqrt((1//2)*(5 + sqrt(5)))*atan(sqrt((1//5)*(5 - 2*sqrt(5))) + 2*sqrt(2/(5 + sqrt(5)))*x) + (1//5)*sqrt((1//2)*(5 - sqrt(5)))*atan(sqrt((1//5)*(5 + 2*sqrt(5))) - sqrt((2//5)*(5 + sqrt(5)))*x) - (1//5)*log(1 + x) + (1//20)*(1 - sqrt(5))*log(1 - (1//2)*(1 - sqrt(5))*x + x^2) + (1//20)*(1 + sqrt(5))*log(1 - (1//2)*(1 + sqrt(5))*x + x^2), x, 7),
+(x^3/(1 + x^5), (1//5)*sqrt((1//2)*(5 + sqrt(5)))*atan(sqrt((1//5)*(5 - 2*sqrt(5))) + 2*sqrt(2/(5 + sqrt(5)))*x) - (1//5)*sqrt((1//2)*(5 - sqrt(5)))*atan(sqrt((1//5)*(5 + 2*sqrt(5))) - sqrt((2//5)*(5 + sqrt(5)))*x) - (1//5)*log(1 + x) + (1//20)*(1 - sqrt(5))*log(1 - (1//2)*(1 - sqrt(5))*x + x^2) + (1//20)*(1 + sqrt(5))*log(1 - (1//2)*(1 + sqrt(5))*x + x^2), x, 6),
+(x^2/(1 + x^5), (-(1//5))*sqrt((1//2)*(5 - sqrt(5)))*atan(sqrt((1//5)*(5 - 2*sqrt(5))) + 2*sqrt(2/(5 + sqrt(5)))*x) - (1//5)*sqrt((1//2)*(5 + sqrt(5)))*atan(sqrt((1//5)*(5 + 2*sqrt(5))) - sqrt((2//5)*(5 + sqrt(5)))*x) + (1//5)*log(1 + x) - (1//20)*(1 + sqrt(5))*log(1 - (1//2)*(1 - sqrt(5))*x + x^2) - (1//20)*(1 - sqrt(5))*log(1 - (1//2)*(1 + sqrt(5))*x + x^2), x, 6),
+(x^1/(1 + x^5), (-(1//5))*sqrt((1//2)*(5 - sqrt(5)))*atan(sqrt((1//5)*(5 - 2*sqrt(5))) + 2*sqrt(2/(5 + sqrt(5)))*x) - (1//5)*sqrt((1//2)*(5 + sqrt(5)))*atan(sqrt((1//5)*(5 + 2*sqrt(5))) - sqrt((2//5)*(5 + sqrt(5)))*x) - (1//5)*log(1 + x) + (1//20)*(1 + sqrt(5))*log(1 - (1//2)*(1 - sqrt(5))*x + x^2) + (1//20)*(1 - sqrt(5))*log(1 - (1//2)*(1 + sqrt(5))*x + x^2), x, 6),
+# {x^0/(1 + x^5), x, 6, (-(1/5))*Sqrt[(1/2)*(5 + Sqrt[5])]*ArcTan[(1 - Sqrt[5] - 4*x)/Sqrt[2*(5 + Sqrt[5])]] - (1/5)*Sqrt[(1/2)*(5 - Sqrt[5])]*ArcTan[(1/2)*Sqrt[(1/10)*(5 + Sqrt[5])]*(1 + Sqrt[5] - 4*x)] + (1/5)*Log[1 + x] - (1/20)*(1 - Sqrt[5])*Log[1 - (1/2)*(1 - Sqrt[5])*x + x^2] - (1/20)*(1 + Sqrt[5])*Log[1 - (1/2)*(1 + Sqrt[5])*x + x^2], (1/5)*Sqrt[(1/2)*(5 + Sqrt[5])]*ArcTan[Sqrt[(1/5)*(5 - 2*Sqrt[5])] + 2*Sqrt[2/(5 + Sqrt[5])]*x] - (1/5)*Sqrt[(1/2)*(5 - Sqrt[5])]*ArcTan[Sqrt[(1/5)*(5 + 2*Sqrt[5])] - Sqrt[(2/5)*(5 + Sqrt[5])]*x] + (1/5)*Log[1 + x] - (1/20)*(1 - Sqrt[5])*Log[1 - (1/2)*(1 - Sqrt[5])*x + x^2] - (1/20)*(1 + Sqrt[5])*Log[1 - (1/2)*(1 + Sqrt[5])*x + x^2]}
+(1/(x^2*(1 + x^5)), -(1/x) - (1//5)*sqrt((1//2)*(5 + sqrt(5)))*atan(sqrt((1//5)*(5 - 2*sqrt(5))) + 2*sqrt(2/(5 + sqrt(5)))*x) + (1//5)*sqrt((1//2)*(5 - sqrt(5)))*atan(sqrt((1//5)*(5 + 2*sqrt(5))) - sqrt((2//5)*(5 + sqrt(5)))*x) + (1//5)*log(1 + x) - (1//20)*(1 - sqrt(5))*log(1 - (1//2)*(1 - sqrt(5))*x + x^2) - (1//20)*(1 + sqrt(5))*log(1 - (1//2)*(1 + sqrt(5))*x + x^2), x, 7),
+(1/(x^3*(1 + x^5)), -(1/(2*x^2)) + (1//5)*sqrt((1//2)*(5 - sqrt(5)))*atan(sqrt((1//5)*(5 - 2*sqrt(5))) + 2*sqrt(2/(5 + sqrt(5)))*x) + (1//5)*sqrt((1//2)*(5 + sqrt(5)))*atan(sqrt((1//5)*(5 + 2*sqrt(5))) - sqrt((2//5)*(5 + sqrt(5)))*x) - (1//5)*log(1 + x) + (1//20)*(1 + sqrt(5))*log(1 - (1//2)*(1 - sqrt(5))*x + x^2) + (1//20)*(1 - sqrt(5))*log(1 - (1//2)*(1 + sqrt(5))*x + x^2), x, 7),
+(1/(x^4*(1 + x^5)), -(1/(3*x^3)) + (1//5)*sqrt((1//2)*(5 - sqrt(5)))*atan(sqrt((1//5)*(5 - 2*sqrt(5))) + 2*sqrt(2/(5 + sqrt(5)))*x) + (1//5)*sqrt((1//2)*(5 + sqrt(5)))*atan(sqrt((1//5)*(5 + 2*sqrt(5))) - sqrt((2//5)*(5 + sqrt(5)))*x) + (1//5)*log(1 + x) - (1//20)*(1 + sqrt(5))*log(1 - (1//2)*(1 - sqrt(5))*x + x^2) - (1//20)*(1 - sqrt(5))*log(1 - (1//2)*(1 + sqrt(5))*x + x^2), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^5)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
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+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^5)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
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+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^5)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+# Integrands of the form x^(n/2)/Sqrt[a+b*x^5] where n mod 10 = 0
+(x^(23//2)/sqrt(a + b*x^5), -((3*a*x^(5//2)*sqrt(a + b*x^5))/(20*b^2)) + (x^(15//2)*sqrt(a + b*x^5))/(10*b) + (3*a^2*atanh((sqrt(b)*x^(5//2))/sqrt(a + b*x^5)))/(20*b^(5//2)), x, 6),
+(x^(13//2)/sqrt(a + b*x^5), (x^(5//2)*sqrt(a + b*x^5))/(5*b) - (a*atanh((sqrt(b)*x^(5//2))/sqrt(a + b*x^5)))/(5*b^(3//2)), x, 5),
+(x^(3//2)/sqrt(a + b*x^5), (2*atanh((sqrt(b)*x^(5//2))/sqrt(a + b*x^5)))/(5*sqrt(b)), x, 4),
+(x^(-7//2)/sqrt(a + b*x^5), -((2*sqrt(a + b*x^5))/(5*a*x^(5//2))), x, 1),
+(x^(-17//2)/sqrt(a + b*x^5), -((2*sqrt(a + b*x^5))/(15*a*x^(15//2))) + (4*b*sqrt(a + b*x^5))/(15*a^2*x^(5//2)), x, 2),
+
+
+# Integrands of the form x^(n/2)/Sqrt[1+x^5] where n mod 10 = 0
+(x^(23//2)/sqrt(1 + x^5), (-(3//20))*x^(5//2)*sqrt(1 + x^5) + (1//10)*x^(15//2)*sqrt(1 + x^5) + (3//20)*asinh(x^(5//2)), x, 5),
+(x^(13//2)/sqrt(1 + x^5), (1//5)*x^(5//2)*sqrt(1 + x^5) - (1//5)*asinh(x^(5//2)), x, 4),
+(x^(3//2)/sqrt(1 + x^5), (2//5)*asinh(x^(5//2)), x, 3),
+(x^(-7//2)/sqrt(1 + x^5), -((2*sqrt(1 + x^5))/(5*x^(5//2))), x, 1),
+(x^(-17//2)/sqrt(1 + x^5), -((2*sqrt(1 + x^5))/(15*x^(15//2))) + (4*sqrt(1 + x^5))/(15*x^(5//2)), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^6)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^6)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^8/(a + b*x^6), x^3/(3*b) - (sqrt(a)*atan((sqrt(b)*x^3)/sqrt(a)))/(3*b^(3//2)), x, 3),
+(x^7/(a + b*x^6), x^2/(2*b) + (a^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^2)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(2*sqrt(3)*b^(4//3)) - (a^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^2))/(6*b^(4//3)) + (a^(1//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x^2 + b^(2//3)*x^4))/(12*b^(4//3)), x, 8),
+(x^6/(a + b*x^6), x/b - (a^(1//6)*atan((b^(1//6)*x)/a^(1//6)))/(3*b^(7//6)) + (a^(1//6)*atan((sqrt(3)*a^(1//6) - 2*b^(1//6)*x)/a^(1//6)))/(6*b^(7//6)) - (a^(1//6)*atan((sqrt(3)*a^(1//6) + 2*b^(1//6)*x)/a^(1//6)))/(6*b^(7//6)) + (a^(1//6)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*x + b^(1//3)*x^2))/(4*sqrt(3)*b^(7//6)) - (a^(1//6)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*x + b^(1//3)*x^2))/(4*sqrt(3)*b^(7//6)), x, 11),
+(x^5/(a + b*x^6), log(a + b*x^6)/(6*b), x, 1),
+(x^4/(a + b*x^6), atan((b^(1//6)*x)/a^(1//6))/(3*a^(1//6)*b^(5//6)) - atan((sqrt(3)*a^(1//6) - 2*b^(1//6)*x)/a^(1//6))/(6*a^(1//6)*b^(5//6)) + atan((sqrt(3)*a^(1//6) + 2*b^(1//6)*x)/a^(1//6))/(6*a^(1//6)*b^(5//6)) + log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*x + b^(1//3)*x^2)/(4*sqrt(3)*a^(1//6)*b^(5//6)) - log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*x + b^(1//3)*x^2)/(4*sqrt(3)*a^(1//6)*b^(5//6)), x, 10),
+(x^3/(a + b*x^6), -(atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^2)/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(2*sqrt(3)*a^(1//3)*b^(2//3))) - log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^2)/(6*a^(1//3)*b^(2//3)) + log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x^2 + b^(2//3)*x^4)/(12*a^(1//3)*b^(2//3)), x, 7),
+(x^2/(a + b*x^6), atan((sqrt(b)*x^3)/sqrt(a))/(3*sqrt(a)*sqrt(b)), x, 2),
+(x^1/(a + b*x^6), -(atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^2)/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(2*sqrt(3)*a^(2//3)*b^(1//3))) + log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^2)/(6*a^(2//3)*b^(1//3)) - log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x^2 + b^(2//3)*x^4)/(12*a^(2//3)*b^(1//3)), x, 7),
+(x^0/(a + b*x^6), atan((b^(1//6)*x)/a^(1//6))/(3*a^(5//6)*b^(1//6)) - atan((sqrt(3)*a^(1//6) - 2*b^(1//6)*x)/a^(1//6))/(6*a^(5//6)*b^(1//6)) + atan((sqrt(3)*a^(1//6) + 2*b^(1//6)*x)/a^(1//6))/(6*a^(5//6)*b^(1//6)) - log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*x + b^(1//3)*x^2)/(4*sqrt(3)*a^(5//6)*b^(1//6)) + log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*x + b^(1//3)*x^2)/(4*sqrt(3)*a^(5//6)*b^(1//6)), x, 10),
+(1/(x^1*(a + b*x^6)), log(x)/a - log(a + b*x^6)/(6*a), x, 4),
+(1/(x^2*(a + b*x^6)), -(1/(a*x)) - (b^(1//6)*atan((b^(1//6)*x)/a^(1//6)))/(3*a^(7//6)) + (b^(1//6)*atan((sqrt(3)*a^(1//6) - 2*b^(1//6)*x)/a^(1//6)))/(6*a^(7//6)) - (b^(1//6)*atan((sqrt(3)*a^(1//6) + 2*b^(1//6)*x)/a^(1//6)))/(6*a^(7//6)) - (b^(1//6)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*x + b^(1//3)*x^2))/(4*sqrt(3)*a^(7//6)) + (b^(1//6)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*x + b^(1//3)*x^2))/(4*sqrt(3)*a^(7//6)), x, 11),
+(1/(x^3*(a + b*x^6)), -(1/(2*a*x^2)) + (b^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^2)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(2*sqrt(3)*a^(4//3)) + (b^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^2))/(6*a^(4//3)) - (b^(1//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x^2 + b^(2//3)*x^4))/(12*a^(4//3)), x, 8),
+(1/(x^4*(a + b*x^6)), -(1/(3*a*x^3)) - (sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x^3)/sqrt(a)))/(3*a^(3//2)), x, 3),
+
+
+(x^8/(a + b*x^6)^2, -x^3/(6*b*(a + b*x^6)) + atan((sqrt(b)*x^3)/sqrt(a))/(6*sqrt(a)*b^(3//2)), x, 3),
+(x^7/(a + b*x^6)^2, -(x^2/(6*b*(a + b*x^6))) - atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^2)/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(6*sqrt(3)*a^(2//3)*b^(4//3)) + log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^2)/(18*a^(2//3)*b^(4//3)) - log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x^2 + b^(2//3)*x^4)/(36*a^(2//3)*b^(4//3)), x, 8),
+(x^6/(a + b*x^6)^2, -(x/(6*b*(a + b*x^6))) + atan((b^(1//6)*x)/a^(1//6))/(18*a^(5//6)*b^(7//6)) - atan((sqrt(3)*a^(1//6) - 2*b^(1//6)*x)/a^(1//6))/(36*a^(5//6)*b^(7//6)) + atan((sqrt(3)*a^(1//6) + 2*b^(1//6)*x)/a^(1//6))/(36*a^(5//6)*b^(7//6)) - log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*x + b^(1//3)*x^2)/(24*sqrt(3)*a^(5//6)*b^(7//6)) + log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*x + b^(1//3)*x^2)/(24*sqrt(3)*a^(5//6)*b^(7//6)), x, 11),
+(x^5/(a + b*x^6)^2, -(1/(6*b*(a + b*x^6))), x, 1),
+(x^4/(a + b*x^6)^2, x^5/(6*a*(a + b*x^6)) + atan((b^(1//6)*x)/a^(1//6))/(18*a^(7//6)*b^(5//6)) - atan((sqrt(3)*a^(1//6) - 2*b^(1//6)*x)/a^(1//6))/(36*a^(7//6)*b^(5//6)) + atan((sqrt(3)*a^(1//6) + 2*b^(1//6)*x)/a^(1//6))/(36*a^(7//6)*b^(5//6)) + log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*x + b^(1//3)*x^2)/(24*sqrt(3)*a^(7//6)*b^(5//6)) - log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*x + b^(1//3)*x^2)/(24*sqrt(3)*a^(7//6)*b^(5//6)), x, 11),
+(x^3/(a + b*x^6)^2, x^4/(6*a*(a + b*x^6)) - atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^2)/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(6*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(2//3)) - log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^2)/(18*a^(4//3)*b^(2//3)) + log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x^2 + b^(2//3)*x^4)/(36*a^(4//3)*b^(2//3)), x, 8),
+(x^2/(a + b*x^6)^2, x^3/(6*a*(a + b*x^6)) + atan((sqrt(b)*x^3)/sqrt(a))/(6*a^(3//2)*sqrt(b)), x, 3),
+(x^1/(a + b*x^6)^2, x^2/(6*a*(a + b*x^6)) - atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^2)/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(1//3)) + log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^2)/(9*a^(5//3)*b^(1//3)) - log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x^2 + b^(2//3)*x^4)/(18*a^(5//3)*b^(1//3)), x, 8),
+(x^0/(a + b*x^6)^2, x/(6*a*(a + b*x^6)) + (5*atan((b^(1//6)*x)/a^(1//6)))/(18*a^(11//6)*b^(1//6)) - (5*atan((sqrt(3)*a^(1//6) - 2*b^(1//6)*x)/a^(1//6)))/(36*a^(11//6)*b^(1//6)) + (5*atan((sqrt(3)*a^(1//6) + 2*b^(1//6)*x)/a^(1//6)))/(36*a^(11//6)*b^(1//6)) - (5*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*x + b^(1//3)*x^2))/(24*sqrt(3)*a^(11//6)*b^(1//6)) + (5*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*x + b^(1//3)*x^2))/(24*sqrt(3)*a^(11//6)*b^(1//6)), x, 11),
+(1/(x^1*(a + b*x^6)^2), 1/(6*a*(a + b*x^6)) + log(x)/a^2 - log(a + b*x^6)/(6*a^2), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x^6)^2), -(7/(6*a^2*x)) + 1/(6*a*x*(a + b*x^6)) - (7*b^(1//6)*atan((b^(1//6)*x)/a^(1//6)))/(18*a^(13//6)) + (7*b^(1//6)*atan((sqrt(3)*a^(1//6) - 2*b^(1//6)*x)/a^(1//6)))/(36*a^(13//6)) - (7*b^(1//6)*atan((sqrt(3)*a^(1//6) + 2*b^(1//6)*x)/a^(1//6)))/(36*a^(13//6)) - (7*b^(1//6)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*x + b^(1//3)*x^2))/(24*sqrt(3)*a^(13//6)) + (7*b^(1//6)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*x + b^(1//3)*x^2))/(24*sqrt(3)*a^(13//6)), x, 12),
+(1/(x^3*(a + b*x^6)^2), -(2/(3*a^2*x^2)) + 1/(6*a*x^2*(a + b*x^6)) + (2*b^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^2)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(7//3)) + (2*b^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^2))/(9*a^(7//3)) - (b^(1//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x^2 + b^(2//3)*x^4))/(9*a^(7//3)), x, 9),
+(1/(x^4*(a + b*x^6)^2), -(1/(2*a^2*x^3)) + 1/(6*a*x^3*(a + b*x^6)) - (sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x^3)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)), x, 4),
+
+
+(x^8/(1 - x^6), -(x^3//3) + atanh(x^3)/3, x, 3),
+(x^7/(1 - x^6), -(x^2//2) + atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - (1//6)*log(1 - x^2) + (1//12)*log(1 + x^2 + x^4), x, 8),
+# {x^6/(1 - x^6), x, 11, -x + ArcTan[(Sqrt[3]*x)/(1 - x^2)]/(2*Sqrt[3]) + ArcTanh[x]/3 + (1/6)*ArcTanh[x/(1 + x^2)], -x - ArcTan[(1 - 2*x)/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3]) + ArcTan[(1 + 2*x)/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3]) + ArcTanh[x]/3 - (1/12)*Log[1 - x + x^2] + (1/12)*Log[1 + x + x^2]}
+(x^5/(1 - x^6), (-(1//6))*log(1 - x^6), x, 1),
+# {x^4/(1 - x^6), x, 10, -(ArcTan[(Sqrt[3]*x)/(1 - x^2)]/(2*Sqrt[3])) + ArcTanh[x]/3 + (1/6)*ArcTanh[x/(1 + x^2)], ArcTan[(1 - 2*x)/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3]) - ArcTan[(1 + 2*x)/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3]) + ArcTanh[x]/3 - (1/12)*Log[1 - x + x^2] + (1/12)*Log[1 + x + x^2]}
+(x^3/(1 - x^6), -(atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3))/(2*sqrt(3))) - (1//6)*log(1 - x^2) + (1//12)*log(1 + x^2 + x^4), x, 7),
+(x^2/(1 - x^6), atanh(x^3)/3, x, 2),
+(x^1/(1 - x^6), atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - (1//6)*log(1 - x^2) + (1//12)*log(1 + x^2 + x^4), x, 7),
+# {1/(1 - x^6), x, 10, ArcTan[(Sqrt[3]*x)/(1 - x^2)]/(2*Sqrt[3]) + ArcTanh[x]/3 + (1/6)*ArcTanh[x/(1 + x^2)], -(ArcTan[(1 - 2*x)/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3])) + ArcTan[(1 + 2*x)/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3]) + ArcTanh[x]/3 - (1/12)*Log[1 - x + x^2] + (1/12)*Log[1 + x + x^2]}
+(1/(x^1*(1 - x^6)), log(x) - (1//6)*log(1 - x^6), x, 4),
+# {1/(x^2*(1 - x^6)), x, 11, -(1/x) - ArcTan[(Sqrt[3]*x)/(1 - x^2)]/(2*Sqrt[3]) + ArcTanh[x]/3 + (1/6)*ArcTanh[x/(1 + x^2)], -(1/x) + ArcTan[(1 - 2*x)/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3]) - ArcTan[(1 + 2*x)/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3]) + ArcTanh[x]/3 - (1/12)*Log[1 - x + x^2] + (1/12)*Log[1 + x + x^2]}
+(1/(x^3*(1 - x^6)), -(1/(2*x^2)) - atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - (1//6)*log(1 - x^2) + (1//12)*log(1 + x^2 + x^4), x, 8),
+(1/(x^4*(1 - x^6)), -(1/(3*x^3)) + atanh(x^3)/3, x, 3),
+(1/(x^5*(1 - x^6)), -(1/(4*x^4)) + atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - (1//6)*log(1 - x^2) + (1//12)*log(1 + x^2 + x^4), x, 8),
+(1/(x^6*(1 - x^6)), -(1/(5*x^5)) - atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) + atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) + atanh(x)/3 - (1//12)*log(1 - x + x^2) + (1//12)*log(1 + x + x^2), x, 11),
+(1/(x^7*(1 - x^6)), -(1/(6*x^6)) + log(x) - (1//6)*log(1 - x^6), x, 3),
+(1/(x^8*(1 - x^6)), -(1/(7*x^7)) - 1/x + atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) + atanh(x)/3 - (1//12)*log(1 - x + x^2) + (1//12)*log(1 + x + x^2), x, 12),
+
+
+(x^8/(1 + x^6), x^3//3 - atan(x^3)/3, x, 3),
+(x^7/(1 + x^6), x^2//2 + atan((1 - 2*x^2)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - (1//6)*log(1 + x^2) + (1//12)*log(1 - x^2 + x^4), x, 8),
+(x^6/(1 + x^6), x + (1//6)*atan(sqrt(3) - 2*x) - atan(x)/3 - (1//6)*atan(sqrt(3) + 2*x) + log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)) - log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)), x, 11),
+(x^5/(1 + x^6), (1//6)*log(1 + x^6), x, 1),
+(x^4/(1 + x^6), (-(1//6))*atan(sqrt(3) - 2*x) + atan(x)/3 + (1//6)*atan(sqrt(3) + 2*x) + log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)) - log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)), x, 10),
+(x^3/(1 + x^6), -(atan((1 - 2*x^2)/sqrt(3))/(2*sqrt(3))) - (1//6)*log(1 + x^2) + (1//12)*log(1 - x^2 + x^4), x, 7),
+(x^2/(1 + x^6), atan(x^3)/3, x, 2),
+(x^1/(1 + x^6), -(atan((1 - 2*x^2)/sqrt(3))/(2*sqrt(3))) + (1//6)*log(1 + x^2) - (1//12)*log(1 - x^2 + x^4), x, 7),
+(1/(1 + x^6), (-(1//6))*atan(sqrt(3) - 2*x) + atan(x)/3 + (1//6)*atan(sqrt(3) + 2*x) - log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)) + log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)), x, 10),
+(1/(x^1*(1 + x^6)), log(x) - (1//6)*log(1 + x^6), x, 4),
+(1/(x^2*(1 + x^6)), -(1/x) + (1//6)*atan(sqrt(3) - 2*x) - atan(x)/3 - (1//6)*atan(sqrt(3) + 2*x) - log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)) + log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)), x, 11),
+(1/(x^3*(1 + x^6)), -(1/(2*x^2)) + atan((1 - 2*x^2)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) + (1//6)*log(1 + x^2) - (1//12)*log(1 - x^2 + x^4), x, 8),
+(1/(x^4*(1 + x^6)), -(1/(3*x^3)) - atan(x^3)/3, x, 3),
+(1/(x^5*(1 + x^6)), -(1/(4*x^4)) + atan((1 - 2*x^2)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - (1//6)*log(1 + x^2) + (1//12)*log(1 - x^2 + x^4), x, 8),
+(1/(x^6*(1 + x^6)), -(1/(5*x^5)) + (1//6)*atan(sqrt(3) - 2*x) - atan(x)/3 - (1//6)*atan(sqrt(3) + 2*x) + log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)) - log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)), x, 11),
+(1/(x^7*(1 + x^6)), -(1/(6*x^6)) - log(x) + (1//6)*log(1 + x^6), x, 3),
+(1/(x^8*(1 + x^6)), -(1/(7*x^7)) + 1/x - (1//6)*atan(sqrt(3) - 2*x) + atan(x)/3 + (1//6)*atan(sqrt(3) + 2*x) + log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)) - log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)), x, 12),
+
+
+# {1/(2 - 3*x^6), x, 10, If[$VersionNumber<9, -(ArcTan[1/Sqrt[3] - (2^(5/6)*x)/3^(1/3)]/(2*2^(5/6)*3^(2/3))) + ArcTan[1/Sqrt[3] + (2^(5/6)*x)/3^(1/3)]/(2*2^(5/6)*3^(2/3)) + ArcTanh[(3/2)^(1/6)*x]/(3*2^(5/6)*3^(1/6)) - Log[2^(1/3) - 6^(1/6)*x + 3^(1/3)*x^2]/(12*2^(5/6)*3^(1/6)) + Log[2^(1/3) + 6^(1/6)*x + 3^(1/3)*x^2]/(12*2^(5/6)*3^(1/6)), -(ArcTan[(6^(1/6) - 2*3^(1/3)*x)/(2^(1/6)*3^(2/3))]/(2*2^(5/6)*3^(2/3))) + ArcTan[(6^(1/6) + 2*3^(1/3)*x)/(2^(1/6)*3^(2/3))]/(2*2^(5/6)*3^(2/3)) + ArcTanh[(3/2)^(1/6)*x]/(3*2^(5/6)*3^(1/6)) - Log[2^(1/3) - 6^(1/6)*x + 3^(1/3)*x^2]/(12*2^(5/6)*3^(1/6)) + Log[2^(1/3) + 6^(1/6)*x + 3^(1/3)*x^2]/(12*2^(5/6)*3^(1/6))]}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/3) (a+b x^6)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+(x^(1//3)/(1 - x^6), -(atan((1 + 2*x^(2//3))/sqrt(3))/(2*sqrt(3))) + (1//3)*atan((x^(2//3) - cos((2*π)/9))*csc((2*π)/9))*cos(π/18) - (1//6)*log(1 - x^(2//3)) + (1//12)*log(1 + x^(2//3) + x^(4//3)) - (1//6)*cos((2*π)/9)*log(1 + x^(4//3) + 2*x^(2//3)*cos(π/9)) + (1//6)*cos(π/9)*log(1 + x^(4//3) - 2*x^(2//3)*sin(π/18)) - (1//6)*log(1 + x^(4//3) - 2*x^(2//3)*cos((2*π)/9))*sin(π/18) + (1//3)*atan(sec(π/18)*(x^(2//3) - sin(π/18)))*sin(π/9) - (1//3)*atan((x^(2//3) + cos(π/9))*csc(π/9))*sin((2*π)/9), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^6)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^8*sqrt(-1 + 4*x^6), (-(1//96))*x^3*sqrt(-1 + 4*x^6) + (1//12)*x^9*sqrt(-1 + 4*x^6) - (1//192)*atanh((2*x^3)/sqrt(-1 + 4*x^6)), x, 5),
+(x^5*sqrt(a^6 - x^6), -(a^6 - x^6)^(3//2)/9, x, 1),
+(x^2*sqrt(-2 + x^6), (1//6)*x^3*sqrt(-2 + x^6) - (1//3)*atanh(x^3/sqrt(-2 + x^6)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^23/sqrt(2 + x^6), (-(8//3))*sqrt(2 + x^6) + (4//3)*(2 + x^6)^(3//2) - (2//5)*(2 + x^6)^(5//2) + (1//21)*(2 + x^6)^(7//2), x, 3),
+(x^17/sqrt(2 + x^6), (4*sqrt(2 + x^6))/3 - (4//9)*(2 + x^6)^(3//2) + (1//15)*(2 + x^6)^(5//2), x, 3),
+(x^11/sqrt(2 + x^6), (-(2//3))*sqrt(2 + x^6) + (1//9)*(2 + x^6)^(3//2), x, 3),
+(x^5/sqrt(2 + x^6), sqrt(2 + x^6)/3, x, 1),
+(1/(x^1*sqrt(2 + x^6)), -(atanh(sqrt(2 + x^6)/sqrt(2))/(3*sqrt(2))), x, 3),
+(1/(x^7*sqrt(2 + x^6)), -(sqrt(2 + x^6)/(12*x^6)) + atanh(sqrt(2 + x^6)/sqrt(2))/(12*sqrt(2)), x, 4),
+(1/(x^13*sqrt(2 + x^6)), -(sqrt(2 + x^6)/(24*x^12)) + sqrt(2 + x^6)/(32*x^6) - atanh(sqrt(2 + x^6)/sqrt(2))/(32*sqrt(2)), x, 5),
+
+(x^14/sqrt(2 + x^6), (-(1//4))*x^3*sqrt(2 + x^6) + (1//12)*x^9*sqrt(2 + x^6) + (1//2)*asinh(x^3/sqrt(2)), x, 4),
+(x^8/sqrt(2 + x^6), (1//6)*x^3*sqrt(2 + x^6) - (1//3)*asinh(x^3/sqrt(2)), x, 3),
+(x^2/sqrt(2 + x^6), (1//3)*asinh(x^3/sqrt(2)), x, 2),
+(1/(x^4*sqrt(2 + x^6)), -(sqrt(2 + x^6)/(6*x^3)), x, 1),
+(1/(x^10*sqrt(2 + x^6)), -(sqrt(2 + x^6)/(18*x^9)) + sqrt(2 + x^6)/(18*x^3), x, 2),
+(1/(x^16*sqrt(2 + x^6)), -(sqrt(2 + x^6)/(30*x^15)) + sqrt(2 + x^6)/(45*x^9) - sqrt(2 + x^6)/(45*x^3), x, 3),
+
+(x^7/sqrt(2 + x^6), (1//5)*x^2*sqrt(2 + x^6) - (2*2^(5//6)*sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(5*3^(1//4)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 3),
+(x^1/sqrt(2 + x^6), (sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2^(1//6)*3^(1//4)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 2),
+(1/(x^5*sqrt(2 + x^6)), -(sqrt(2 + x^6)/(8*x^4)) - (sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(8*2^(1//6)*3^(1//4)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 3),
+
+(x^6/sqrt(2 + x^6), (1//4)*x*sqrt(2 + x^6) - (x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(4*2^(1//3)*3^(1//4)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 2),
+(x^0/sqrt(2 + x^6), (x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(2*2^(1//3)*3^(1//4)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 1),
+(1/(x^6*sqrt(2 + x^6)), -(sqrt(2 + x^6)/(10*x^5)) - (x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(10*2^(1//3)*3^(1//4)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 2),
+
+(x^9/sqrt(2 + x^6), (1//7)*x^4*sqrt(2 + x^6) - (8*sqrt(2 + x^6))/(7*(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)) + (4*2^(1//6)*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)) - (8*2^(2//3)*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*3^(1//4)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 5),
+(x^3/sqrt(2 + x^6), sqrt(2 + x^6)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2^(5//6)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)) + (2^(2//3)*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 4),
+(1/(x^3*sqrt(2 + x^6)), -(sqrt(2 + x^6)/(4*x^2)) + sqrt(2 + x^6)/(4*(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*2^(5//6)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)) + ((2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*2^(1//3)*3^(1//4)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 5),
+
+(x^10/sqrt(2 + x^6), (1//8)*x^5*sqrt(2 + x^6) - (5*(1 + sqrt(3))*x*sqrt(2 + x^6))/(8*(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)) + (5*3^(1//4)*x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(4*2^(2//3)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)) + (5*(1 - sqrt(3))*x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(8*2^(2//3)*3^(1//4)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 4),
+(x^4/sqrt(2 + x^6), ((1 + sqrt(3))*x*sqrt(2 + x^6))/(2*(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)) - (3^(1//4)*x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(2^(2//3)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)) - ((1 - sqrt(3))*x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(2*2^(2//3)*3^(1//4)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(2 + x^6)), -(sqrt(2 + x^6)/(2*x)) + ((1 + sqrt(3))*x*sqrt(2 + x^6))/(2*(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)) - (3^(1//4)*x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(2^(2//3)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)) - ((1 - sqrt(3))*x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(2*2^(2//3)*3^(1//4)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 4),
+
+
+(x^23/(2 + x^6)^(3//2), 8/(3*sqrt(2 + x^6)) + 4*sqrt(2 + x^6) - (2//3)*(2 + x^6)^(3//2) + (1//15)*(2 + x^6)^(5//2), x, 3),
+(x^17/(2 + x^6)^(3//2), -(4/(3*sqrt(2 + x^6))) - (4*sqrt(2 + x^6))/3 + (1//9)*(2 + x^6)^(3//2), x, 3),
+(x^11/(2 + x^6)^(3//2), 2/(3*sqrt(2 + x^6)) + sqrt(2 + x^6)/3, x, 3),
+(x^5/(2 + x^6)^(3//2), -(1/(3*sqrt(2 + x^6))), x, 1),
+(1/(x^1*(2 + x^6)^(3//2)), 1/(6*sqrt(2 + x^6)) - atanh(sqrt(2 + x^6)/sqrt(2))/(6*sqrt(2)), x, 4),
+(1/(x^7*(2 + x^6)^(3//2)), -(1/(8*sqrt(2 + x^6))) - 1/(12*x^6*sqrt(2 + x^6)) + atanh(sqrt(2 + x^6)/sqrt(2))/(8*sqrt(2)), x, 5),
+(1/(x^13*(2 + x^6)^(3//2)), 5/(64*sqrt(2 + x^6)) - 1/(24*x^12*sqrt(2 + x^6)) + 5/(96*x^6*sqrt(2 + x^6)) - (5*atanh(sqrt(2 + x^6)/sqrt(2)))/(64*sqrt(2)), x, 6),
+
+(x^14/(2 + x^6)^(3//2), -(x^9/(3*sqrt(2 + x^6))) + (1//2)*x^3*sqrt(2 + x^6) - asinh(x^3/sqrt(2)), x, 4),
+(x^8/(2 + x^6)^(3//2), -(x^3/(3*sqrt(2 + x^6))) + (1//3)*asinh(x^3/sqrt(2)), x, 3),
+(x^2/(2 + x^6)^(3//2), x^3/(6*sqrt(2 + x^6)), x, 1),
+(1/(x^4*(2 + x^6)^(3//2)), -(1/(6*x^3*sqrt(2 + x^6))) - x^3/(6*sqrt(2 + x^6)), x, 2),
+(1/(x^10*(2 + x^6)^(3//2)), -(1/(18*x^9*sqrt(2 + x^6))) + 1/(9*x^3*sqrt(2 + x^6)) + x^3/(9*sqrt(2 + x^6)), x, 3),
+
+(x^13/(2 + x^6)^(3//2), -(x^8/(3*sqrt(2 + x^6))) + (8//15)*x^2*sqrt(2 + x^6) - (16*2^(5//6)*sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(15*3^(1//4)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 4),
+(x^7/(2 + x^6)^(3//2), -(x^2/(3*sqrt(2 + x^6))) + (2^(5//6)*sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 3),
+(x^1/(2 + x^6)^(3//2), x^2/(6*sqrt(2 + x^6)) + (sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(6*2^(1//6)*3^(1//4)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 3),
+(1/(x^5*(2 + x^6)^(3//2)), 1/(6*x^4*sqrt(2 + x^6)) - (7*sqrt(2 + x^6))/(48*x^4) - (7*sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(48*2^(1//6)*3^(1//4)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 4),
+
+(x^12/(2 + x^6)^(3//2), -(x^7/(3*sqrt(2 + x^6))) + (7//12)*x*sqrt(2 + x^6) - (7*x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(12*2^(1//3)*3^(1//4)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 3),
+(x^6/(2 + x^6)^(3//2), -(x/(3*sqrt(2 + x^6))) + (x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(6*2^(1//3)*3^(1//4)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 2),
+(x^0/(2 + x^6)^(3//2), x/(6*sqrt(2 + x^6)) + (x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(6*2^(1//3)*3^(1//4)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 2),
+(1/(x^6*(2 + x^6)^(3//2)), 1/(6*x^5*sqrt(2 + x^6)) - (2*sqrt(2 + x^6))/(15*x^5) - (2^(2//3)*x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(15*3^(1//4)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 3),
+
+(x^15/(2 + x^6)^(3//2), -(x^10/(3*sqrt(2 + x^6))) + (10//21)*x^4*sqrt(2 + x^6) - (80*sqrt(2 + x^6))/(21*(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)) + (40*2^(1//6)*sqrt(2 - sqrt(3))*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*3^(3//4)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)) - (80*2^(2//3)*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(21*3^(1//4)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 6),
+(x^9/(2 + x^6)^(3//2), -(x^4/(3*sqrt(2 + x^6))) + (4*sqrt(2 + x^6))/(3*(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)) - (2*2^(1//6)*sqrt(2 - sqrt(3))*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)) + (4*2^(2//3)*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 5),
+(x^3/(2 + x^6)^(3//2), x^4/(6*sqrt(2 + x^6)) - sqrt(2 + x^6)/(6*(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)) + (sqrt(2 - sqrt(3))*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*2^(5//6)*3^(3//4)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)) - ((2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*2^(1//3)*3^(1//4)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 5),
+(1/(x^3*(2 + x^6)^(3//2)), 1/(6*x^2*sqrt(2 + x^6)) - (5*sqrt(2 + x^6))/(24*x^2) + (5*sqrt(2 + x^6))/(24*(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)) - (5*sqrt(2 - sqrt(3))*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(8*2^(5//6)*3^(3//4)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)) + (5*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(1//3)*(1 - sqrt(3)) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)), -7 - 4*sqrt(3)))/(12*2^(1//3)*3^(1//4)*sqrt((2^(1//3) + x^2)/(2^(1//3)*(1 + sqrt(3)) + x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 6),
+
+(x^10/(2 + x^6)^(3//2), -(x^5/(3*sqrt(2 + x^6))) + (5*(1 + sqrt(3))*x*sqrt(2 + x^6))/(6*(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)) - (5*x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(2^(2//3)*3^(3//4)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)) - (5*(1 - sqrt(3))*x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(6*2^(2//3)*3^(1//4)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 4),
+(x^4/(2 + x^6)^(3//2), x^5/(6*sqrt(2 + x^6)) - ((1 + sqrt(3))*x*sqrt(2 + x^6))/(6*(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)) + (x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(2^(2//3)*3^(3//4)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)) + ((1 - sqrt(3))*x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(6*2^(2//3)*3^(1//4)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 4),
+(1/(x^2*(2 + x^6)^(3//2)), 1/(6*x*sqrt(2 + x^6)) - sqrt(2 + x^6)/(3*x) + ((1 + sqrt(3))*x*sqrt(2 + x^6))/(3*(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)) - (2^(1//3)*x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(3^(3//4)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)) - ((1 - sqrt(3))*x*(2^(1//3) + x^2)*sqrt((2^(2//3) - 2^(1//3)*x^2 + x^4)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((2^(1//3) + (1 - sqrt(3))*x^2)/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(3*2^(2//3)*3^(1//4)*sqrt((x^2*(2^(1//3) + x^2))/(2^(1//3) + (1 + sqrt(3))*x^2)^2)*sqrt(2 + x^6)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^6)^(p/2)
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^7)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^7)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*x^7)*x^m, (a*x^(1 + m))/(1 + m) + (b*x^(8 + m))/(8 + m), x, 2),
+
+((a + b*x^7)*x^8, (a*x^9)/9 + (b*x^16)/16, x, 2),
+((a + b*x^7)/x^8, -(a/(7*x^7)) + b*log(x), x, 2),
+
+
+((a + b*x^7)^2*x^m, (a^2*x^(1 + m))/(1 + m) + (2*a*b*x^(8 + m))/(8 + m) + (b^2*x^(15 + m))/(15 + m), x, 2),
+
+((a + b*x^7)^2*x^8, (a^2*x^9)/9 + (1//8)*a*b*x^16 + (b^2*x^23)/23, x, 2),
+((a + b*x^7)^2/x^8, -(a^2/(7*x^7)) + (b^2*x^7)/7 + 2*a*b*log(x), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^m/(a + b*x^7), (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/7, (8 + m)/7, -((b*x^7)/a)))/(a*(1 + m)), x, 1),
+
+(x^6/(a + b*x^7), log(a + b*x^7)/(7*b), x, 1),
+(x^0/(a + b*x^7), (2*atan((b^(1//7)*x*sec(π/14))/a^(1//7) - tan(π/14))*cos(π/14))/(7*a^(6//7)*b^(1//7)) + (2*atan((b^(1//7)*x*sec((3*π)/14))/a^(1//7) + tan((3*π)/14))*cos((3*π)/14))/(7*a^(6//7)*b^(1//7)) + log(a^(1//7) + b^(1//7)*x)/(7*a^(6//7)*b^(1//7)) - (cos(π/7)*log(a^(2//7) + b^(2//7)*x^2 - 2*a^(1//7)*b^(1//7)*x*cos(π/7)))/(7*a^(6//7)*b^(1//7)) - (log(a^(2//7) + b^(2//7)*x^2 - 2*a^(1//7)*b^(1//7)*x*sin(π/14))*sin(π/14))/(7*a^(6//7)*b^(1//7)) - (2*atan(cot(π/7) - (b^(1//7)*x*csc(π/7))/a^(1//7))*sin(π/7))/(7*a^(6//7)*b^(1//7)) + (log(a^(2//7) + b^(2//7)*x^2 + 2*a^(1//7)*b^(1//7)*x*sin((3*π)/14))*sin((3*π)/14))/(7*a^(6//7)*b^(1//7)), x, 6),
+(1/(x^1*(a + b*x^7)), log(x)/a - log(a + b*x^7)/(7*a), x, 4),
+
+
+(x^m/(a - b*x^7), (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/7, (8 + m)/7, (b*x^7)/a))/(a*(1 + m)), x, 1),
+
+(x^6/(a - b*x^7), -(log(a - b*x^7)/(7*b)), x, 1),
+(x^0/(a - b*x^7), (2*atan((b^(1//7)*x*sec(π/14))/a^(1//7) + tan(π/14))*cos(π/14))/(7*a^(6//7)*b^(1//7)) + (2*atan((b^(1//7)*x*sec((3*π)/14))/a^(1//7) - tan((3*π)/14))*cos((3*π)/14))/(7*a^(6//7)*b^(1//7)) - log(a^(1//7) - b^(1//7)*x)/(7*a^(6//7)*b^(1//7)) + (cos(π/7)*log(a^(2//7) + b^(2//7)*x^2 + 2*a^(1//7)*b^(1//7)*x*cos(π/7)))/(7*a^(6//7)*b^(1//7)) + (log(a^(2//7) + b^(2//7)*x^2 + 2*a^(1//7)*b^(1//7)*x*sin(π/14))*sin(π/14))/(7*a^(6//7)*b^(1//7)) + (2*atan(cot(π/7) + (b^(1//7)*x*csc(π/7))/a^(1//7))*sin(π/7))/(7*a^(6//7)*b^(1//7)) - (log(a^(2//7) + b^(2//7)*x^2 - 2*a^(1//7)*b^(1//7)*x*sin((3*π)/14))*sin((3*π)/14))/(7*a^(6//7)*b^(1//7)), x, 6),
+(1/(x^1*(a - b*x^7)), log(x)/a - log(a - b*x^7)/(7*a), x, 4),
+
+
+(1/(1 - x^7), (2//7)*atan(sec(π/14)*(x + sin(π/14)))*cos(π/14) + (2//7)*atan(sec((3*π)/14)*(x - sin((3*π)/14)))*cos((3*π)/14) - (1//7)*log(1 - x) + (1//7)*cos(π/7)*log(1 + x^2 + 2*x*cos(π/7)) + (1//7)*log(1 + x^2 + 2*x*sin(π/14))*sin(π/14) + (2//7)*atan((x + cos(π/7))*csc(π/7))*sin(π/7) - (1//7)*log(1 + x^2 - 2*x*sin((3*π)/14))*sin((3*π)/14), x, 6),
+(1/(1 + x^7), (2//7)*atan(x*sec(π/14) - tan(π/14))*cos(π/14) + (2//7)*atan(x*sec((3*π)/14) + tan((3*π)/14))*cos((3*π)/14) + (1//7)*log(1 + x) - (1//7)*cos(π/7)*log(1 + x^2 - 2*x*cos(π/7)) - (1//7)*log(1 + x^2 - 2*x*sin(π/14))*sin(π/14) - (2//7)*atan(cot(π/7) - x*csc(π/7))*sin(π/7) + (1//7)*log(1 + x^2 + 2*x*sin((3*π)/14))*sin((3*π)/14), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^7)^p
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^7)^(p/2)
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^7)^(p/2)
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^8)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^8)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^9/(a + b*x^8), x^2/(2*b) + (a^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x^2)/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(5//4)) - (a^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x^2)/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(5//4)) + (a^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x^2 + sqrt(b)*x^4))/(8*sqrt(2)*b^(5//4)) - (a^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x^2 + sqrt(b)*x^4))/(8*sqrt(2)*b^(5//4)), x, 11),
+(x^7/(a + b*x^8), log(a + b*x^8)/(8*b), x, 1),
+(x^5/(a + b*x^8), -(atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x^2)/a^(1//4))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(3//4))) + atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x^2)/a^(1//4))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(3//4)) + log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x^2 + sqrt(b)*x^4)/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(3//4)) - log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x^2 + sqrt(b)*x^4)/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(3//4)), x, 10),
+(x^3/(a + b*x^8), atan((sqrt(b)*x^4)/sqrt(a))/(4*sqrt(a)*sqrt(b)), x, 2),
+(x^1/(a + b*x^8), -(atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x^2)/a^(1//4))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4))) + atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x^2)/a^(1//4))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)) - log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x^2 + sqrt(b)*x^4)/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)) + log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x^2 + sqrt(b)*x^4)/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)), x, 10),
+(1/(x^1*(a + b*x^8)), log(x)/a - log(a + b*x^8)/(8*a), x, 4),
+(1/(x^3*(a + b*x^8)), -(1/(2*a*x^2)) + (b^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x^2)/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)) - (b^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x^2)/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)) - (b^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x^2 + sqrt(b)*x^4))/(8*sqrt(2)*a^(5//4)) + (b^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x^2 + sqrt(b)*x^4))/(8*sqrt(2)*a^(5//4)), x, 11),
+(1/(x^5*(a + b*x^8)), -1/(4*a*x^4) - (sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x^4)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)), x, 3),
+(1/(x^7*(a + b*x^8)), -(1/(6*a*x^6)) + (b^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x^2)/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)) - (b^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x^2)/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)) + (b^(3//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x^2 + sqrt(b)*x^4))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)) - (b^(3//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x^2 + sqrt(b)*x^4))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)), x, 11),
+(1/(x^9*(a + b*x^8)), -1/(8*a*x^8) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x^8))/(8*a^2), x, 3),
+
+(x^8/(a + b*x^8), x/b - ((-a)^(1//8)*atan((b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*b^(9//8)) + ((-a)^(1//8)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*sqrt(2)*b^(9//8)) - ((-a)^(1//8)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*sqrt(2)*b^(9//8)) - ((-a)^(1//8)*atanh((b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*b^(9//8)) + ((-a)^(1//8)*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2)*b^(9//8)) - ((-a)^(1//8)*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2)*b^(9//8)), x, 14),
+(x^6/(a + b*x^8), atan((b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8))/(4*(-a)^(1//8)*b^(7//8)) - atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8))/(4*sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(7//8)) + atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8))/(4*sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(7//8)) - atanh((b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8))/(4*(-a)^(1//8)*b^(7//8)) + log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2)/(8*sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(7//8)) - log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2)/(8*sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(7//8)), x, 13),
+(x^4/(a + b*x^8), -(atan((b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8))/(4*(-a)^(3//8)*b^(5//8))) - atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8))/(4*sqrt(2)*(-a)^(3//8)*b^(5//8)) + atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8))/(4*sqrt(2)*(-a)^(3//8)*b^(5//8)) - atanh((b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8))/(4*(-a)^(3//8)*b^(5//8)) - log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2)/(8*sqrt(2)*(-a)^(3//8)*b^(5//8)) + log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2)/(8*sqrt(2)*(-a)^(3//8)*b^(5//8)), x, 13),
+(x^2/(a + b*x^8), atan((b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8))/(4*(-a)^(5//8)*b^(3//8)) + atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8))/(4*sqrt(2)*(-a)^(5//8)*b^(3//8)) - atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8))/(4*sqrt(2)*(-a)^(5//8)*b^(3//8)) - atanh((b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8))/(4*(-a)^(5//8)*b^(3//8)) - log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2)/(8*sqrt(2)*(-a)^(5//8)*b^(3//8)) + log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2)/(8*sqrt(2)*(-a)^(5//8)*b^(3//8)), x, 13),
+(x^0/(a + b*x^8), -(atan((b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8))/(4*(-a)^(7//8)*b^(1//8))) + atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8))/(4*sqrt(2)*(-a)^(7//8)*b^(1//8)) - atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8))/(4*sqrt(2)*(-a)^(7//8)*b^(1//8)) - atanh((b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8))/(4*(-a)^(7//8)*b^(1//8)) + log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2)/(8*sqrt(2)*(-a)^(7//8)*b^(1//8)) - log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2)/(8*sqrt(2)*(-a)^(7//8)*b^(1//8)), x, 13),
+(1/(x^2*(a + b*x^8)), -(1/(a*x)) + (b^(1//8)*atan((b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*(-a)^(9//8)) - (b^(1//8)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*sqrt(2)*(-a)^(9//8)) + (b^(1//8)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*sqrt(2)*(-a)^(9//8)) - (b^(1//8)*atanh((b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*(-a)^(9//8)) + (b^(1//8)*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2)*(-a)^(9//8)) - (b^(1//8)*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2)*(-a)^(9//8)), x, 14),
+(1/(x^4*(a + b*x^8)), -(1/(3*a*x^3)) - (b^(3//8)*atan((b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*(-a)^(11//8)) - (b^(3//8)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*sqrt(2)*(-a)^(11//8)) + (b^(3//8)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*sqrt(2)*(-a)^(11//8)) - (b^(3//8)*atanh((b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*(-a)^(11//8)) - (b^(3//8)*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2)*(-a)^(11//8)) + (b^(3//8)*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2)*(-a)^(11//8)), x, 14),
+(1/(x^6*(a + b*x^8)), -(1/(5*a*x^5)) + (b^(5//8)*atan((b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*(-a)^(13//8)) + (b^(5//8)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*sqrt(2)*(-a)^(13//8)) - (b^(5//8)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*sqrt(2)*(-a)^(13//8)) - (b^(5//8)*atanh((b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*(-a)^(13//8)) - (b^(5//8)*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2)*(-a)^(13//8)) + (b^(5//8)*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2)*(-a)^(13//8)), x, 14),
+(1/(x^8*(a + b*x^8)), -(1/(7*a*x^7)) - (b^(7//8)*atan((b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*(-a)^(15//8)) + (b^(7//8)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*sqrt(2)*(-a)^(15//8)) - (b^(7//8)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*sqrt(2)*(-a)^(15//8)) - (b^(7//8)*atanh((b^(1//8)*x)/(-a)^(1//8)))/(4*(-a)^(15//8)) + (b^(7//8)*log((-a)^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2)*(-a)^(15//8)) - (b^(7//8)*log((-a)^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2)*(-a)^(15//8)), x, 14),
+
+
+(1/(a - b*x^8), atan((b^(1//8)*x)/a^(1//8))/(4*a^(7//8)*b^(1//8)) - atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/a^(1//8))/(4*sqrt(2)*a^(7//8)*b^(1//8)) + atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//8)*x)/a^(1//8))/(4*sqrt(2)*a^(7//8)*b^(1//8)) + atanh((b^(1//8)*x)/a^(1//8))/(4*a^(7//8)*b^(1//8)) - log(a^(1//4) - sqrt(2)*a^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2)/(8*sqrt(2)*a^(7//8)*b^(1//8)) + log(a^(1//4) + sqrt(2)*a^(1//8)*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2)/(8*sqrt(2)*a^(7//8)*b^(1//8)), x, 13),
+
+
+(x^9/(1 - x^8), -(x^2//2) + atan(x^2)/4 + atanh(x^2)/4, x, 5),
+(x^7/(1 - x^8), (-(1//8))*log(1 - x^8), x, 1),
+(x^5/(1 - x^8), (-(1//4))*atan(x^2) + atanh(x^2)/4, x, 4),
+(x^3/(1 - x^8), atanh(x^4)/4, x, 2),
+(x^1/(1 - x^8), atan(x^2)/4 + atanh(x^2)/4, x, 4),
+(1/(x^1*(1 - x^8)), log(x) - (1//8)*log(1 - x^8), x, 4),
+(1/(x^3*(1 - x^8)), -(1/(2*x^2)) - atan(x^2)/4 + atanh(x^2)/4, x, 5),
+(1/(x^5*(1 - x^8)), -(1/(4*x^4)) + atanh(x^4)/4, x, 3),
+(1/(x^7*(1 - x^8)), -(1/(6*x^6)) + atan(x^2)/4 + atanh(x^2)/4, x, 5),
+(1/(x^9*(1 - x^8)), -(1/(8*x^8)) + log(x) - (1//8)*log(1 - x^8), x, 3),
+
+(x^8/(1 - x^8), -x + atan(x)/4 - atan(1 - sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) + atan(1 + sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) + atanh(x)/4 - log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)), x, 14),
+(x^6/(1 - x^8), -(atan(x)/4) + atan(1 - sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) - atan(1 + sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) + atanh(x)/4 - log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)), x, 13),
+(x^4/(1 - x^8), atan(x)/4 + atan(1 - sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) - atan(1 + sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) + atanh(x)/4 + log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)), x, 13),
+(x^2/(1 - x^8), -(atan(x)/4) - atan(1 - sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) + atan(1 + sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) + atanh(x)/4 + log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)), x, 13),
+(x^0/(1 - x^8), atan(x)/4 - atan(1 - sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) + atan(1 + sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) + atanh(x)/4 - log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)), x, 13),
+(1/(x^2*(1 - x^8)), -(1/x) - atan(x)/4 + atan(1 - sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) - atan(1 + sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) + atanh(x)/4 - log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)), x, 14),
+(1/(x^4*(1 - x^8)), -(1/(3*x^3)) + atan(x)/4 + atan(1 - sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) - atan(1 + sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) + atanh(x)/4 + log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)), x, 14),
+(1/(x^6*(1 - x^8)), -(1/(5*x^5)) - atan(x)/4 - atan(1 - sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) + atan(1 + sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) + atanh(x)/4 + log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)), x, 14),
+(1/(x^8*(1 - x^8)), -(1/(7*x^7)) + atan(x)/4 - atan(1 - sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) + atan(1 + sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) + atanh(x)/4 - log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)), x, 14),
+
+
+(x^9/(1 + x^8), x^2//2 + atan(1 - sqrt(2)*x^2)/(4*sqrt(2)) - atan(1 + sqrt(2)*x^2)/(4*sqrt(2)) + log(1 - sqrt(2)*x^2 + x^4)/(8*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(2)*x^2 + x^4)/(8*sqrt(2)), x, 11),
+(x^7/(1 + x^8), (1//8)*log(1 + x^8), x, 1),
+(x^5/(1 + x^8), -(atan(1 - sqrt(2)*x^2)/(4*sqrt(2))) + atan(1 + sqrt(2)*x^2)/(4*sqrt(2)) + log(1 - sqrt(2)*x^2 + x^4)/(8*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(2)*x^2 + x^4)/(8*sqrt(2)), x, 10),
+(x^3/(1 + x^8), atan(x^4)/4, x, 2),
+(x^1/(1 + x^8), -(atan(1 - sqrt(2)*x^2)/(4*sqrt(2))) + atan(1 + sqrt(2)*x^2)/(4*sqrt(2)) - log(1 - sqrt(2)*x^2 + x^4)/(8*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*x^2 + x^4)/(8*sqrt(2)), x, 10),
+(1/(x^1*(1 + x^8)), log(x) - (1//8)*log(1 + x^8), x, 4),
+(1/(x^3*(1 + x^8)), -(1/(2*x^2)) + atan(1 - sqrt(2)*x^2)/(4*sqrt(2)) - atan(1 + sqrt(2)*x^2)/(4*sqrt(2)) - log(1 - sqrt(2)*x^2 + x^4)/(8*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*x^2 + x^4)/(8*sqrt(2)), x, 11),
+(1/(x^5*(1 + x^8)), -(1/(4*x^4)) - atan(x^4)/4, x, 3),
+(1/(x^7*(1 + x^8)), -(1/(6*x^6)) + atan(1 - sqrt(2)*x^2)/(4*sqrt(2)) - atan(1 + sqrt(2)*x^2)/(4*sqrt(2)) + log(1 - sqrt(2)*x^2 + x^4)/(8*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(2)*x^2 + x^4)/(8*sqrt(2)), x, 11),
+(1/(x^9*(1 + x^8)), -(1/(8*x^8)) - log(x) + (1//8)*log(1 + x^8), x, 3),
+
+(x^8/(1 + x^8), x + atan((sqrt(2 - sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) + atan((sqrt(2 + sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) - atan((sqrt(2 - sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) - atan((sqrt(2 + sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) + (1//16)*sqrt(2 - sqrt(2))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2) - (1//16)*sqrt(2 - sqrt(2))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2) + (1//16)*sqrt(2 + sqrt(2))*log(1 - sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2) - (1//16)*sqrt(2 + sqrt(2))*log(1 + sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2), x, 20),
+(x^6/(1 + x^8), -(atan((sqrt(2 - sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 - sqrt(2))))) - atan((sqrt(2 + sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) + atan((sqrt(2 - sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) + atan((sqrt(2 + sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) + (1//16)*sqrt(2 - sqrt(2))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2) - (1//16)*sqrt(2 - sqrt(2))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2) + (1//16)*sqrt(2 + sqrt(2))*log(1 - sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2) - (1//16)*sqrt(2 + sqrt(2))*log(1 + sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2), x, 21),
+(x^4/(1 + x^8), atan((sqrt(2 - sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) - atan((sqrt(2 + sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) - atan((sqrt(2 - sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) + atan((sqrt(2 + sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) - log(1 - sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) + log(1 + sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) + log(1 - sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) - log(1 + sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))), x, 19),
+(x^2/(1 + x^8), (1//8)*sqrt(2 - sqrt(2))*atan((sqrt(2 - sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2))) - (1//8)*sqrt(2 + sqrt(2))*atan((sqrt(2 + sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2))) - (1//8)*sqrt(2 - sqrt(2))*atan((sqrt(2 - sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2))) + (1//8)*sqrt(2 + sqrt(2))*atan((sqrt(2 + sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2))) + log(1 - sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) - log(1 + sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) - log(1 - sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) + log(1 + sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))), x, 19),
+(x^0/(1 + x^8), -(atan((sqrt(2 - sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 - sqrt(2))))) - atan((sqrt(2 + sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) + atan((sqrt(2 - sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) + atan((sqrt(2 + sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) - (1//16)*sqrt(2 - sqrt(2))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2) + (1//16)*sqrt(2 - sqrt(2))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2) - (1//16)*sqrt(2 + sqrt(2))*log(1 - sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2) + (1//16)*sqrt(2 + sqrt(2))*log(1 + sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2), x, 19),
+(1/(x^2*(1 + x^8)), -(1/x) + atan((sqrt(2 - sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) + atan((sqrt(2 + sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) - atan((sqrt(2 - sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) - atan((sqrt(2 + sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) - (1//16)*sqrt(2 - sqrt(2))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2) + (1//16)*sqrt(2 - sqrt(2))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2) - (1//16)*sqrt(2 + sqrt(2))*log(1 - sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2) + (1//16)*sqrt(2 + sqrt(2))*log(1 + sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2), x, 22),
+(1/(x^4*(1 + x^8)), -(1/(3*x^3)) - atan((sqrt(2 - sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) + atan((sqrt(2 + sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) + atan((sqrt(2 - sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) - atan((sqrt(2 + sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) + log(1 - sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) - log(1 + sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) - log(1 - sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) + log(1 + sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))), x, 20),
+(1/(x^6*(1 + x^8)), -(1/(5*x^5)) - (1//8)*sqrt(2 - sqrt(2))*atan((sqrt(2 - sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2))) + (1//8)*sqrt(2 + sqrt(2))*atan((sqrt(2 + sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2))) + (1//8)*sqrt(2 - sqrt(2))*atan((sqrt(2 - sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2))) - (1//8)*sqrt(2 + sqrt(2))*atan((sqrt(2 + sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2))) - log(1 - sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) + log(1 + sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) + log(1 - sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) - log(1 + sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))), x, 20),
+(1/(x^8*(1 + x^8)), -(1/(7*x^7)) + atan((sqrt(2 - sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) + atan((sqrt(2 + sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) - atan((sqrt(2 - sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))) - atan((sqrt(2 + sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))) + (1//16)*sqrt(2 - sqrt(2))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2) - (1//16)*sqrt(2 - sqrt(2))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2) + (1//16)*sqrt(2 + sqrt(2))*log(1 - sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2) - (1//16)*sqrt(2 + sqrt(2))*log(1 + sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2), x, 20),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^8)^p
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+# ::Subsubsection::
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+# ::Subsubsection::
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^8)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+(x^3*sqrt(1 + x^8), (1//8)*x^4*sqrt(1 + x^8) + asinh(x^4)/8, x, 3),
+(x^1*sqrt(1 + x^8), (1//6)*x^2*sqrt(1 + x^8) + ((1 + x^4)*sqrt((1 + x^8)/(1 + x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x^2), 1//2))/(6*sqrt(1 + x^8)), x, 3),
+(sqrt(1 + x^8)/x^1, sqrt(1 + x^8)/4 - (1//4)*atanh(sqrt(1 + x^8)), x, 4),
+(sqrt(1 + x^8)/x^3, -(sqrt(1 + x^8)/(2*x^2)) + (x^2*sqrt(1 + x^8))/(1 + x^4) - ((1 + x^4)*sqrt((1 + x^8)/(1 + x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x^2), 1//2))/sqrt(1 + x^8) + ((1 + x^4)*sqrt((1 + x^8)/(1 + x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x^2), 1//2))/(2*sqrt(1 + x^8)), x, 5),
+
+
+(x^3*sqrt(-2 + x^8), (1//8)*x^4*sqrt(-2 + x^8) - (1//4)*atanh(x^4/sqrt(-2 + x^8)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+(x^19/sqrt(1 + x^8), (-(3//32))*x^4*sqrt(1 + x^8) + (1//16)*x^12*sqrt(1 + x^8) + (3*asinh(x^4))/32, x, 4),
+(x^15/sqrt(1 + x^8), (-(1//4))*sqrt(1 + x^8) + (1//12)*(1 + x^8)^(3//2), x, 3),
+(x^11/sqrt(1 + x^8), (1//8)*x^4*sqrt(1 + x^8) - asinh(x^4)/8, x, 3),
+(x^7/sqrt(1 + x^8), sqrt(1 + x^8)/4, x, 1),
+(x^3/sqrt(1 + x^8), asinh(x^4)/4, x, 2),
+(1/(x^1*sqrt(1 + x^8)), -atanh(sqrt(1 + x^8))/4, x, 3),
+(1/(x^5*sqrt(1 + x^8)), -(sqrt(1 + x^8)/(4*x^4)), x, 1),
+(1/(x^9*sqrt(1 + x^8)), -(sqrt(1 + x^8)/(8*x^8)) + (1//8)*atanh(sqrt(1 + x^8)), x, 4),
+(1/(x^13*sqrt(1 + x^8)), -(sqrt(1 + x^8)/(12*x^12)) + sqrt(1 + x^8)/(6*x^4), x, 2),
+(1/(x^17*sqrt(1 + x^8)), -(sqrt(1 + x^8)/(16*x^16)) + (3*sqrt(1 + x^8))/(32*x^8) - (3//32)*atanh(sqrt(1 + x^8)), x, 5),
+
+(x^13/sqrt(1 + x^8), (1//10)*x^6*sqrt(1 + x^8) - (3*x^2*sqrt(1 + x^8))/(10*(1 + x^4)) + (3*(1 + x^4)*sqrt((1 + x^8)/(1 + x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x^2), 1//2))/(10*sqrt(1 + x^8)) - (3*(1 + x^4)*sqrt((1 + x^8)/(1 + x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x^2), 1//2))/(20*sqrt(1 + x^8)), x, 5),
+(x^9/sqrt(1 + x^8), (1//6)*x^2*sqrt(1 + x^8) - ((1 + x^4)*sqrt((1 + x^8)/(1 + x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x^2), 1//2))/(12*sqrt(1 + x^8)), x, 3),
+(x^5/sqrt(1 + x^8), (x^2*sqrt(1 + x^8))/(2*(1 + x^4)) - ((1 + x^4)*sqrt((1 + x^8)/(1 + x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x^2), 1//2))/(2*sqrt(1 + x^8)) + ((1 + x^4)*sqrt((1 + x^8)/(1 + x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x^2), 1//2))/(4*sqrt(1 + x^8)), x, 4),
+(x^1/sqrt(1 + x^8), ((1 + x^4)*sqrt((1 + x^8)/(1 + x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x^2), 1//2))/(4*sqrt(1 + x^8)), x, 2),
+(1/(x^3*sqrt(1 + x^8)), -(sqrt(1 + x^8)/(2*x^2)) + (x^2*sqrt(1 + x^8))/(2*(1 + x^4)) - ((1 + x^4)*sqrt((1 + x^8)/(1 + x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x^2), 1//2))/(2*sqrt(1 + x^8)) + ((1 + x^4)*sqrt((1 + x^8)/(1 + x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x^2), 1//2))/(4*sqrt(1 + x^8)), x, 5),
+(1/(x^7*sqrt(1 + x^8)), -(sqrt(1 + x^8)/(6*x^6)) - ((1 + x^4)*sqrt((1 + x^8)/(1 + x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x^2), 1//2))/(12*sqrt(1 + x^8)), x, 3),
+
+(x^10/sqrt(1 + x^8), (1//7)*x^3*sqrt(1 + x^8) + (3*x^3*sqrt((1 + x^2)^2/x^2)*sqrt(-((1 + x^8)/x^4))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1//2)*sqrt(-((sqrt(2) - 2*x^2 + sqrt(2)*x^4)/x^2))), -2*(1 - sqrt(2))))/(14*sqrt(2 + sqrt(2))*(1 + x^2)*sqrt(1 + x^8)) + (3*x^3*sqrt(-((1 - x^2)^2/x^2))*sqrt(-((1 + x^8)/x^4))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1//2)*sqrt((sqrt(2) + 2*x^2 + sqrt(2)*x^4)/x^2)), -2*(1 - sqrt(2))))/(14*sqrt(2 + sqrt(2))*(1 - x^2)*sqrt(1 + x^8)), x, 4),
+(x^8/sqrt(1 + x^8), (1//5)*x*sqrt(1 + x^8) - (x^3*sqrt((1 + x^2)^2/x^2)*sqrt(-((1 + x^8)/x^4))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1//2)*sqrt(-((sqrt(2) - 2*x^2 + sqrt(2)*x^4)/x^2))), -2*(1 - sqrt(2))))/(10*sqrt(2 + sqrt(2))*(1 + x^2)*sqrt(1 + x^8)) + (x^3*sqrt(-((1 - x^2)^2/x^2))*sqrt(-((1 + x^8)/x^4))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1//2)*sqrt((sqrt(2) + 2*x^2 + sqrt(2)*x^4)/x^2)), -2*(1 - sqrt(2))))/(10*sqrt(2 + sqrt(2))*(1 - x^2)*sqrt(1 + x^8)), x, 4),
+(x^6/sqrt(1 + x^8), (1//7)*x^7*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 7//8, 15//8, -x^8), x, 1),
+(x^4/sqrt(1 + x^8), (1//5)*x^5*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 5//8, 13//8, -x^8), x, 1),
+(x^2/sqrt(1 + x^8), -((x^3*sqrt((1 + x^2)^2/x^2)*sqrt(-((1 + x^8)/x^4))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1//2)*sqrt(-((sqrt(2) - 2*x^2 + sqrt(2)*x^4)/x^2))), -2*(1 - sqrt(2))))/(2*sqrt(2 + sqrt(2))*(1 + x^2)*sqrt(1 + x^8))) - (x^3*sqrt(-((1 - x^2)^2/x^2))*sqrt(-((1 + x^8)/x^4))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1//2)*sqrt((sqrt(2) + 2*x^2 + sqrt(2)*x^4)/x^2)), -2*(1 - sqrt(2))))/(2*sqrt(2 + sqrt(2))*(1 - x^2)*sqrt(1 + x^8)), x, 3),
+(x^0/sqrt(1 + x^8), (x^3*sqrt((1 + x^2)^2/x^2)*sqrt(-((1 + x^8)/x^4))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1//2)*sqrt(-((sqrt(2) - 2*x^2 + sqrt(2)*x^4)/x^2))), -2*(1 - sqrt(2))))/(2*sqrt(2 + sqrt(2))*(1 + x^2)*sqrt(1 + x^8)) - (x^3*sqrt(-((1 - x^2)^2/x^2))*sqrt(-((1 + x^8)/x^4))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1//2)*sqrt((sqrt(2) + 2*x^2 + sqrt(2)*x^4)/x^2)), -2*(1 - sqrt(2))))/(2*sqrt(2 + sqrt(2))*(1 - x^2)*sqrt(1 + x^8)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(1 + x^8)), -(sqrt(1 + x^8)/x) + (3//7)*x^7*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 7//8, 15//8, -x^8), x, 2),
+(1/(x^4*sqrt(1 + x^8)), -(sqrt(1 + x^8)/(3*x^3)) + (1//15)*x^5*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 5//8, 13//8, -x^8), x, 2),
+(1/(x^6*sqrt(1 + x^8)), -(sqrt(1 + x^8)/(5*x^5)) + (x^3*sqrt((1 + x^2)^2/x^2)*sqrt(-((1 + x^8)/x^4))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1//2)*sqrt(-((sqrt(2) - 2*x^2 + sqrt(2)*x^4)/x^2))), -2*(1 - sqrt(2))))/(10*sqrt(2 + sqrt(2))*(1 + x^2)*sqrt(1 + x^8)) + (x^3*sqrt(-((1 - x^2)^2/x^2))*sqrt(-((1 + x^8)/x^4))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1//2)*sqrt((sqrt(2) + 2*x^2 + sqrt(2)*x^4)/x^2)), -2*(1 - sqrt(2))))/(10*sqrt(2 + sqrt(2))*(1 - x^2)*sqrt(1 + x^8)), x, 4),
+(1/(x^8*sqrt(1 + x^8)), -(sqrt(1 + x^8)/(7*x^7)) - (3*x^3*sqrt((1 + x^2)^2/x^2)*sqrt(-((1 + x^8)/x^4))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1//2)*sqrt(-((sqrt(2) - 2*x^2 + sqrt(2)*x^4)/x^2))), -2*(1 - sqrt(2))))/(14*sqrt(2 + sqrt(2))*(1 + x^2)*sqrt(1 + x^8)) + (3*x^3*sqrt(-((1 - x^2)^2/x^2))*sqrt(-((1 + x^8)/x^4))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1//2)*sqrt((sqrt(2) + 2*x^2 + sqrt(2)*x^4)/x^2)), -2*(1 - sqrt(2))))/(14*sqrt(2 + sqrt(2))*(1 - x^2)*sqrt(1 + x^8)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^8)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^10)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^10)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+# {1/(1 - x^10), x, 10, (1/20)*Sqrt[10 - 2*Sqrt[5]]*ArcTan[(Sqrt[10 - 2*Sqrt[5]]*x)/(2*(1 - x^2))] + (1/20)*Sqrt[10 + 2*Sqrt[5]]*ArcTan[(Sqrt[10 + 2*Sqrt[5]]*x)/(2*(1 - x^2))] + ArcTanh[x]/5 + (1/20)*(1 - Sqrt[5])*ArcTanh[((1 - Sqrt[5])*x)/(2*(1 + x^2))] + (1/20)*(1 + Sqrt[5])*ArcTanh[((1 + Sqrt[5])*x)/(2*(1 + x^2))], (-(1/10))*Sqrt[(1/2)*(5 + Sqrt[5])]*ArcTan[(1 - Sqrt[5] - 4*x)/Sqrt[2*(5 + Sqrt[5])]] - (1/10)*Sqrt[(1/2)*(5 - Sqrt[5])]*ArcTan[(1/2)*Sqrt[(1/10)*(5 + Sqrt[5])]*(1 + Sqrt[5] - 4*x)] + (1/10)*Sqrt[(1/2)*(5 + Sqrt[5])]*ArcTan[(1 - Sqrt[5] + 4*x)/Sqrt[2*(5 + Sqrt[5])]] + (1/10)*Sqrt[(1/2)*(5 - Sqrt[5])]*ArcTan[(1/2)*Sqrt[(1/10)*(5 + Sqrt[5])]*(1 + Sqrt[5] + 4*x)] + ArcTanh[x]/5 - (1/40)*(1 - Sqrt[5])*Log[1 - (1/2)*(1 - Sqrt[5])*x + x^2] + (1/40)*(1 - Sqrt[5])*Log[1 + (1/2)*(1 - Sqrt[5])*x + x^2] - (1/40)*(1 + Sqrt[5])*Log[1 - (1/2)*(1 + Sqrt[5])*x + x^2] + (1/40)*(1 + Sqrt[5])*Log[1 + (1/2)*(1 + Sqrt[5])*x + x^2]}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^10)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^10)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4/sqrt(1 - x^10), asin(x^5)/5, x, 2),
+(x^4/sqrt(-2 + x^10), (1//5)*atanh(x^5/sqrt(-2 + x^10)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^10)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
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+# p<0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^12)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^12)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5/(9 + x^12), atan(x^6//3)/18, x, 2),
+(x^5/(9 - x^12), atanh(x^6//3)/18, x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^12)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^12)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^5*sqrt(9 + x^12), (1//12)*x^6*sqrt(9 + x^12) + (3//4)*asinh(x^6//3), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^12)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^n)^p when n<0 is an integer
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b/x)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b/x)*x^6, (b*x^6)/6 + (a*x^7)/7, x, 2),
+((a + b/x)*x^5, (b*x^5)/5 + (a*x^6)/6, x, 2),
+((a + b/x)*x^4, (b*x^4)/4 + (a*x^5)/5, x, 2),
+((a + b/x)*x^3, (b*x^3)/3 + (a*x^4)/4, x, 2),
+((a + b/x)*x^2, (b*x^2)/2 + (a*x^3)/3, x, 2),
+((a + b/x)*x, b*x + (a*x^2)/2, x, 2),
+(a + b/x, a*x + b*log(x), x, 1),
+((a + b/x)/x, -(b/x) + a*log(x), x, 2),
+((a + b/x)/x^2, -(b/(2*x^2)) - a/x, x, 2),
+((a + b/x)/x^3, -b/(3*x^3) - a/(2*x^2), x, 2),
+((a + b/x)/x^4, -b/(4*x^4) - a/(3*x^3), x, 2),
+((a + b/x)/x^5, -b/(5*x^5) - a/(4*x^4), x, 2),
+((a + b/x)/x^6, -b/(6*x^6) - a/(5*x^5), x, 2),
+
+
+((a + b/x)^2*x^5, (b^2*x^4)/4 + (2*a*b*x^5)/5 + (a^2*x^6)/6, x, 3),
+((a + b/x)^2*x^4, (b^2*x^3)/3 + (a*b*x^4)/2 + (a^2*x^5)/5, x, 3),
+((a + b/x)^2*x^3, (b^2*x^2)/2 + (2//3)*a*b*x^3 + (a^2*x^4)/4, x, 3),
+((a + b/x)^2*x^2, (b + a*x)^3/(3*a), x, 2),
+((a + b/x)^2*x, 2*a*b*x + (a^2*x^2)/2 + b^2*log(x), x, 3),
+((a + b/x)^2, -(b^2/x) + a^2*x + 2*a*b*log(x), x, 3),
+((a + b/x)^2/x, -b^2/(2*x^2) - (2*a*b)/x + a^2*log(x), x, 3),
+((a + b/x)^2/x^2, -(a + b/x)^3/(3*b), x, 1),
+((a + b/x)^2/x^3, -b^2/(4*x^4) - (2*a*b)/(3*x^3) - a^2/(2*x^2), x, 3),
+((a + b/x)^2/x^4, -b^2/(5*x^5) - (a*b)/(2*x^4) - a^2/(3*x^3), x, 3),
+((a + b/x)^2/x^5, -b^2/(6*x^6) - (2*a*b)/(5*x^5) - a^2/(4*x^4), x, 3),
+
+
+((a + b/x)^3*x^6, (b^3*x^4)/4 + (3*a*b^2*x^5)/5 + (a^2*b*x^6)/2 + (a^3*x^7)/7, x, 3),
+((a + b/x)^3*x^5, (b^3*x^3)/3 + (3//4)*a*b^2*x^4 + (3//5)*a^2*b*x^5 + (a^3*x^6)/6, x, 3),
+((a + b/x)^3*x^4, -(b*(b + a*x)^4)/(4*a^2) + (b + a*x)^5/(5*a^2), x, 3),
+((a + b/x)^3*x^3, (b + a*x)^4/(4*a), x, 2),
+((a + b/x)^3*x^2, 3*a*b^2*x + (3*a^2*b*x^2)/2 + (a^3*x^3)/3 + b^3*log(x), x, 3),
+((a + b/x)^3*x, -(b^3/x) + 3*a^2*b*x + (a^3*x^2)/2 + 3*a*b^2*log(x), x, 3),
+((a + b/x)^3, -b^3/(2*x^2) - (3*a*b^2)/x + a^3*x + 3*a^2*b*log(x), x, 3),
+((a + b/x)^3/x, -b^3/(3*x^3) - (3*a*b^2)/(2*x^2) - (3*a^2*b)/x + a^3*log(x), x, 3),
+((a + b/x)^3/x^2, -(a + b/x)^4/(4*b), x, 1),
+((a + b/x)^3/x^3, -((b + a*x)^4/(5*b*x^5)) + (a*(b + a*x)^4)/(20*b^2*x^4), x, 3),
+((a + b/x)^3/x^4, -b^3/(6*x^6) - (3*a*b^2)/(5*x^5) - (3*a^2*b)/(4*x^4) - a^3/(3*x^3), x, 3),
+((a + b/x)^3/x^5, -b^3/(7*x^7) - (a*b^2)/(2*x^6) - (3*a^2*b)/(5*x^5) - a^3/(4*x^4), x, 3),
+((a + b/x)^3/x^6, -b^3/(8*x^8) - (3*a*b^2)/(7*x^7) - (a^2*b)/(2*x^6) - a^3/(5*x^5), x, 3),
+
+
+((a + b/x)^8*x^16, (b^8*x^9)/9 + (4//5)*a*b^7*x^10 + (28//11)*a^2*b^6*x^11 + (14//3)*a^3*b^5*x^12 + (70//13)*a^4*b^4*x^13 + 4*a^5*b^3*x^14 + (28//15)*a^6*b^2*x^15 + (1//2)*a^7*b*x^16 + (a^8*x^17)/17, x, 3),
+((a + b/x)^8*x^15, (b^8*x^8)/8 + (8//9)*a*b^7*x^9 + (14//5)*a^2*b^6*x^10 + (56//11)*a^3*b^5*x^11 + (35//6)*a^4*b^4*x^12 + (56//13)*a^5*b^3*x^13 + 2*a^6*b^2*x^14 + (8//15)*a^7*b*x^15 + (a^8*x^16)/16, x, 3),
+((a + b/x)^8*x^13, -((b^5*(b + a*x)^9)/(9*a^6)) + (b^4*(b + a*x)^10)/(2*a^6) - (10*b^3*(b + a*x)^11)/(11*a^6) + (5*b^2*(b + a*x)^12)/(6*a^6) - (5*b*(b + a*x)^13)/(13*a^6) + (b + a*x)^14/(14*a^6), x, 3),
+((a + b/x)^8*x^12, (b^4*(b + a*x)^9)/(9*a^5) - (2*b^3*(b + a*x)^10)/(5*a^5) + (6*b^2*(b + a*x)^11)/(11*a^5) - (b*(b + a*x)^12)/(3*a^5) + (b + a*x)^13/(13*a^5), x, 3),
+((a + b/x)^8*x^11, -((b^3*(b + a*x)^9)/(9*a^4)) + (3*b^2*(b + a*x)^10)/(10*a^4) - (3*b*(b + a*x)^11)/(11*a^4) + (b + a*x)^12/(12*a^4), x, 3),
+((a + b/x)^8*x^10, (b^2*(b + a*x)^9)/(9*a^3) - (b*(b + a*x)^10)/(5*a^3) + (b + a*x)^11/(11*a^3), x, 3),
+((a + b/x)^8*x^9, -((b*(b + a*x)^9)/(9*a^2)) + (b + a*x)^10/(10*a^2), x, 3),
+((a + b/x)^8*x^8, (b + a*x)^9/(9*a), x, 2),
+((a + b/x)^8*x^7, 8*a*b^7*x + 14*a^2*b^6*x^2 + (56//3)*a^3*b^5*x^3 + (35//2)*a^4*b^4*x^4 + (56//5)*a^5*b^3*x^5 + (14//3)*a^6*b^2*x^6 + (8//7)*a^7*b*x^7 + (a^8*x^8)/8 + b^8*log(x), x, 3),
+((a + b/x)^8*x^6, -(b^8/x) + 28*a^2*b^6*x + 28*a^3*b^5*x^2 + (70//3)*a^4*b^4*x^3 + 14*a^5*b^3*x^4 + (28//5)*a^6*b^2*x^5 + (4//3)*a^7*b*x^6 + (a^8*x^7)/7 + 8*a*b^7*log(x), x, 3),
+((a + b/x)^8*x^5, -(b^8/(2*x^2)) - (8*a*b^7)/x + 56*a^3*b^5*x + 35*a^4*b^4*x^2 + (56//3)*a^5*b^3*x^3 + 7*a^6*b^2*x^4 + (8//5)*a^7*b*x^5 + (a^8*x^6)/6 + 28*a^2*b^6*log(x), x, 3),
+((a + b/x)^8*x^4, -(b^8/(3*x^3)) - (4*a*b^7)/x^2 - (28*a^2*b^6)/x + 70*a^4*b^4*x + 28*a^5*b^3*x^2 + (28//3)*a^6*b^2*x^3 + 2*a^7*b*x^4 + (a^8*x^5)/5 + 56*a^3*b^5*log(x), x, 3),
+((a + b/x)^8*x^3, -(b^8/(4*x^4)) - (8*a*b^7)/(3*x^3) - (14*a^2*b^6)/x^2 - (56*a^3*b^5)/x + 56*a^5*b^3*x + 14*a^6*b^2*x^2 + (8//3)*a^7*b*x^3 + (a^8*x^4)/4 + 70*a^4*b^4*log(x), x, 3),
+((a + b/x)^8*x^2, -(b^8/(5*x^5)) - (2*a*b^7)/x^4 - (28*a^2*b^6)/(3*x^3) - (28*a^3*b^5)/x^2 - (70*a^4*b^4)/x + 28*a^6*b^2*x + 4*a^7*b*x^2 + (a^8*x^3)/3 + 56*a^5*b^3*log(x), x, 3),
+((a + b/x)^8*x^1, -(b^8/(6*x^6)) - (8*a*b^7)/(5*x^5) - (7*a^2*b^6)/x^4 - (56*a^3*b^5)/(3*x^3) - (35*a^4*b^4)/x^2 - (56*a^5*b^3)/x + 8*a^7*b*x + (a^8*x^2)/2 + 28*a^6*b^2*log(x), x, 3),
+((a + b/x)^8*x^0, -(b^8/(7*x^7)) - (4*a*b^7)/(3*x^6) - (28*a^2*b^6)/(5*x^5) - (14*a^3*b^5)/x^4 - (70*a^4*b^4)/(3*x^3) - (28*a^5*b^3)/x^2 - (28*a^6*b^2)/x + a^8*x + 8*a^7*b*log(x), x, 3),
+((a + b/x)^8/x^1, -(b^8/(8*x^8)) - (8*a*b^7)/(7*x^7) - (14*a^2*b^6)/(3*x^6) - (56*a^3*b^5)/(5*x^5) - (35*a^4*b^4)/(2*x^4) - (56*a^5*b^3)/(3*x^3) - (14*a^6*b^2)/x^2 - (8*a^7*b)/x + a^8*log(x), x, 3),
+((a + b/x)^8/x^2, -((a + b/x)^9/(9*b)), x, 1),
+((a + b/x)^8/x^3, -((b + a*x)^9/(10*b*x^10)) + (a*(b + a*x)^9)/(90*b^2*x^9), x, 3),
+((a + b/x)^8/x^4, -((b + a*x)^9/(11*b*x^11)) + (a*(b + a*x)^9)/(55*b^2*x^10) - (a^2*(b + a*x)^9)/(495*b^3*x^9), x, 4),
+((a + b/x)^8/x^5, -((b + a*x)^9/(12*b*x^12)) + (a*(b + a*x)^9)/(44*b^2*x^11) - (a^2*(b + a*x)^9)/(220*b^3*x^10) + (a^3*(b + a*x)^9)/(1980*b^4*x^9), x, 5),
+((a + b/x)^8/x^6, -((b + a*x)^9/(13*b*x^13)) + (a*(b + a*x)^9)/(39*b^2*x^12) - (a^2*(b + a*x)^9)/(143*b^3*x^11) + (a^3*(b + a*x)^9)/(715*b^4*x^10) - (a^4*(b + a*x)^9)/(6435*b^5*x^9), x, 6),
+((a + b/x)^8/x^7, -(b^8/(14*x^14)) - (8*a*b^7)/(13*x^13) - (7*a^2*b^6)/(3*x^12) - (56*a^3*b^5)/(11*x^11) - (7*a^4*b^4)/x^10 - (56*a^5*b^3)/(9*x^9) - (7*a^6*b^2)/(2*x^8) - (8*a^7*b)/(7*x^7) - a^8/(6*x^6), x, 3),
+((a + b/x)^8/x^8, -(b^8/(15*x^15)) - (4*a*b^7)/(7*x^14) - (28*a^2*b^6)/(13*x^13) - (14*a^3*b^5)/(3*x^12) - (70*a^4*b^4)/(11*x^11) - (28*a^5*b^3)/(5*x^10) - (28*a^6*b^2)/(9*x^9) - (a^7*b)/x^8 - a^8/(7*x^7), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4/(a + b/x), (b^4*x)/a^5 - (b^3*x^2)/(2*a^4) + (b^2*x^3)/(3*a^3) - (b*x^4)/(4*a^2) + x^5/(5*a) - (b^5*log(b + a*x))/a^6, x, 3),
+(x^3/(a + b/x), -((b^3*x)/a^4) + (b^2*x^2)/(2*a^3) - (b*x^3)/(3*a^2) + x^4/(4*a) + (b^4*log(b + a*x))/a^5, x, 3),
+(x^2/(a + b/x), (b^2*x)/a^3 - (b*x^2)/(2*a^2) + x^3/(3*a) - (b^3*log(b + a*x))/a^4, x, 3),
+(x/(a + b/x), -((b*x)/a^2) + x^2/(2*a) + (b^2*log(b + a*x))/a^3, x, 3),
+(1/(a + b/x), x/a - (b*log(b + a*x))/a^2, x, 3),
+(1/((a + b/x)*x), log(b + a*x)/a, x, 2),
+(1/((a + b/x)*x^2), -(log(a + b/x)/b), x, 1),
+(1/((a + b/x)*x^3), -(1/(b*x)) - (a*log(x))/b^2 + (a*log(b + a*x))/b^2, x, 3),
+(1/((a + b/x)*x^4), -(1/(2*b*x^2)) + a/(b^2*x) + (a^2*log(x))/b^3 - (a^2*log(b + a*x))/b^3, x, 3),
+(1/((a + b/x)*x^5), -(1/(3*b*x^3)) + a/(2*b^2*x^2) - a^2/(b^3*x) - (a^3*log(x))/b^4 + (a^3*log(b + a*x))/b^4, x, 3),
+(1/((a + b/x)*x^6), -(1/(4*b*x^4)) + a/(3*b^2*x^3) - a^2/(2*b^3*x^2) + a^3/(b^4*x) + (a^4*log(x))/b^5 - (a^4*log(b + a*x))/b^5, x, 3),
+(1/((a + b/x)*x^7), -(1/(5*b*x^5)) + a/(4*b^2*x^4) - a^2/(3*b^3*x^3) + a^3/(2*b^4*x^2) - a^4/(b^5*x) - (a^5*log(x))/b^6 + (a^5*log(b + a*x))/b^6, x, 3),
+
+
+(x^5/(a + b/x)^2, (-6*b^5*x)/a^7 + (5*b^4*x^2)/(2*a^6) - (4*b^3*x^3)/(3*a^5) + (3*b^2*x^4)/(4*a^4) - (2*b*x^5)/(5*a^3) + x^6/(6*a^2) + b^7/(a^8*(b + a*x)) + (7*b^6*log(b + a*x))/a^8, x, 3),
+(x^4/(a + b/x)^2, (5*b^4*x)/a^6 - (2*b^3*x^2)/a^5 + (b^2*x^3)/a^4 - (b*x^4)/(2*a^3) + x^5/(5*a^2) - b^6/(a^7*(b + a*x)) - (6*b^5*log(b + a*x))/a^7, x, 3),
+(x^3/(a + b/x)^2, (-4*b^3*x)/a^5 + (3*b^2*x^2)/(2*a^4) - (2*b*x^3)/(3*a^3) + x^4/(4*a^2) + b^5/(a^6*(b + a*x)) + (5*b^4*log(b + a*x))/a^6, x, 3),
+(x^2/(a + b/x)^2, (3*b^2*x)/a^4 - (b*x^2)/a^3 + x^3/(3*a^2) - b^4/(a^5*(b + a*x)) - (4*b^3*log(b + a*x))/a^5, x, 3),
+(x/(a + b/x)^2, (-2*b*x)/a^3 + x^2/(2*a^2) + b^3/(a^4*(b + a*x)) + (3*b^2*log(b + a*x))/a^4, x, 3),
+(1/(a + b/x)^2, (2*x)/a^2 - x/(a*(a + b/x)) - (2*b*log(b + a*x))/a^3, x, 4),
+(1/((a + b/x)^2*x), b/(a^2*(b + a*x)) + log(b + a*x)/a^2, x, 3),
+(1/((a + b/x)^2*x^2), 1/(b*(a + b/x)), x, 1),
+(1/((a + b/x)^2*x^3), 1/(b*(b + a*x)) + log(x)/b^2 - log(b + a*x)/b^2, x, 3),
+(1/((a + b/x)^2*x^4), -(1/(b^2*x)) - a/(b^2*(b + a*x)) - (2*a*log(x))/b^3 + (2*a*log(b + a*x))/b^3, x, 3),
+(1/((a + b/x)^2*x^5), -(1/(2*b^2*x^2)) + (2*a)/(b^3*x) + a^2/(b^3*(b + a*x)) + (3*a^2*log(x))/b^4 - (3*a^2*log(b + a*x))/b^4, x, 3),
+(1/((a + b/x)^2*x^6), -(1/(3*b^2*x^3)) + a/(b^3*x^2) - (3*a^2)/(b^4*x) - a^3/(b^4*(b + a*x)) - (4*a^3*log(x))/b^5 + (4*a^3*log(b + a*x))/b^5, x, 3),
+(1/((a + b/x)^2*x^7), -(1/(4*b^2*x^4)) + (2*a)/(3*b^3*x^3) - (3*a^2)/(2*b^4*x^2) + (4*a^3)/(b^5*x) + a^4/(b^5*(b + a*x)) + (5*a^4*log(x))/b^6 - (5*a^4*log(b + a*x))/b^6, x, 3),
+(1/((a + b/x)^2*x^8), -(1/(5*b^2*x^5)) + a/(2*b^3*x^4) - a^2/(b^4*x^3) + (2*a^3)/(b^5*x^2) - (5*a^4)/(b^6*x) - a^5/(b^6*(b + a*x)) - (6*a^5*log(x))/b^7 + (6*a^5*log(b + a*x))/b^7, x, 3),
+
+
+(x^4/(a + b/x)^3, (15*b^4*x)/a^7 - (5*b^3*x^2)/a^6 + (2*b^2*x^3)/a^5 - (3*b*x^4)/(4*a^4) + x^5/(5*a^3) + b^7/(2*a^8*(b + a*x)^2) - (7*b^6)/(a^8*(b + a*x)) - (21*b^5*log(b + a*x))/a^8, x, 3),
+(x^3/(a + b/x)^3, (-10*b^3*x)/a^6 + (3*b^2*x^2)/a^5 - (b*x^3)/a^4 + x^4/(4*a^3) - b^6/(2*a^7*(b + a*x)^2) + (6*b^5)/(a^7*(b + a*x)) + (15*b^4*log(b + a*x))/a^7, x, 3),
+(x^2/(a + b/x)^3, (6*b^2*x)/a^5 - (3*b*x^2)/(2*a^4) + x^3/(3*a^3) + b^5/(2*a^6*(b + a*x)^2) - (5*b^4)/(a^6*(b + a*x)) - (10*b^3*log(b + a*x))/a^6, x, 3),
+(x/(a + b/x)^3, (-3*b*x)/a^4 + x^2/(2*a^3) - b^4/(2*a^5*(b + a*x)^2) + (4*b^3)/(a^5*(b + a*x)) + (6*b^2*log(b + a*x))/a^5, x, 3),
+(1/(a + b/x)^3, (3*x)/a^3 - x/(2*a*(a + b/x)^2) - (3*x)/(2*a^2*(a + b/x)) - (3*b*log(b + a*x))/a^4, x, 5),
+(1/((a + b/x)^3*x), -(b^2/(2*a^3*(b + a*x)^2)) + (2*b)/(a^3*(b + a*x)) + log(b + a*x)/a^3, x, 3),
+(1/((a + b/x)^3*x^2), 1/(2*b*(a + b/x)^2), x, 1),
+(1/((a + b/x)^3*x^3), -(1/(2*a*(b + a*x)^2)), x, 2),
+(1/((a + b/x)^3*x^4), 1/(2*b*(b + a*x)^2) + 1/(b^2*(b + a*x)) + log(x)/b^3 - log(b + a*x)/b^3, x, 3),
+(1/((a + b/x)^3*x^5), -(1/(b^3*x)) - a/(2*b^2*(b + a*x)^2) - (2*a)/(b^3*(b + a*x)) - (3*a*log(x))/b^4 + (3*a*log(b + a*x))/b^4, x, 3),
+(1/((a + b/x)^3*x^6), -(1/(2*b^3*x^2)) + (3*a)/(b^4*x) + a^2/(2*b^3*(b + a*x)^2) + (3*a^2)/(b^4*(b + a*x)) + (6*a^2*log(x))/b^5 - (6*a^2*log(b + a*x))/b^5, x, 3),
+(1/((a + b/x)^3*x^7), -(1/(3*b^3*x^3)) + (3*a)/(2*b^4*x^2) - (6*a^2)/(b^5*x) - a^3/(2*b^4*(b + a*x)^2) - (4*a^3)/(b^5*(b + a*x)) - (10*a^3*log(x))/b^6 + (10*a^3*log(b + a*x))/b^6, x, 3),
+(1/((a + b/x)^3*x^8), -(1/(4*b^3*x^4)) + a/(b^4*x^3) - (3*a^2)/(b^5*x^2) + (10*a^3)/(b^6*x) + a^4/(2*b^5*(b + a*x)^2) + (5*a^4)/(b^6*(b + a*x)) + (15*a^4*log(x))/b^7 - (15*a^4*log(b + a*x))/b^7, x, 3),
+(1/((a + b/x)^3*x^9), -(1/(5*b^3*x^5)) + (3*a)/(4*b^4*x^4) - (2*a^2)/(b^5*x^3) + (5*a^3)/(b^6*x^2) - (15*a^4)/(b^7*x) - a^5/(2*b^6*(b + a*x)^2) - (6*a^5)/(b^7*(b + a*x)) - (21*a^5*log(x))/b^8 + (21*a^5*log(b + a*x))/b^8, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b/x)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b/x)*x^(5//2), (2//5)*b*x^(5//2) + (2//7)*a*x^(7//2), x, 2),
+((a + b/x)*x^(3//2), (2//3)*b*x^(3//2) + (2//5)*a*x^(5//2), x, 2),
+((a + b/x)*x^(1//2), 2*b*sqrt(x) + (2//3)*a*x^(3//2), x, 2),
+((a + b/x)/x^(1//2), -((2*b)/sqrt(x)) + 2*a*sqrt(x), x, 2),
+((a + b/x)/x^(3//2), -((2*b)/(3*x^(3//2))) - (2*a)/sqrt(x), x, 2),
+((a + b/x)/x^(5//2), -((2*b)/(5*x^(5//2))) - (2*a)/(3*x^(3//2)), x, 2),
+
+
+((a + b/x)^2*x^(5//2), (2//3)*b^2*x^(3//2) + (4//5)*a*b*x^(5//2) + (2//7)*a^2*x^(7//2), x, 3),
+((a + b/x)^2*x^(3//2), 2*b^2*sqrt(x) + (4//3)*a*b*x^(3//2) + (2//5)*a^2*x^(5//2), x, 3),
+((a + b/x)^2*x^(1//2), -((2*b^2)/sqrt(x)) + 4*a*b*sqrt(x) + (2//3)*a^2*x^(3//2), x, 3),
+((a + b/x)^2/x^(1//2), -((2*b^2)/(3*x^(3//2))) - (4*a*b)/sqrt(x) + 2*a^2*sqrt(x), x, 3),
+((a + b/x)^2/x^(3//2), -((2*b^2)/(5*x^(5//2))) - (4*a*b)/(3*x^(3//2)) - (2*a^2)/sqrt(x), x, 3),
+((a + b/x)^2/x^(5//2), -((2*b^2)/(7*x^(7//2))) - (4*a*b)/(5*x^(5//2)) - (2*a^2)/(3*x^(3//2)), x, 3),
+
+
+((a + b/x)^3*x^(5//2), 2*b^3*sqrt(x) + 2*a*b^2*x^(3//2) + (6//5)*a^2*b*x^(5//2) + (2//7)*a^3*x^(7//2), x, 3),
+((a + b/x)^3*x^(3//2), -((2*b^3)/sqrt(x)) + 6*a*b^2*sqrt(x) + 2*a^2*b*x^(3//2) + (2//5)*a^3*x^(5//2), x, 3),
+((a + b/x)^3*x^(1//2), -((2*b^3)/(3*x^(3//2))) - (6*a*b^2)/sqrt(x) + 6*a^2*b*sqrt(x) + (2//3)*a^3*x^(3//2), x, 3),
+((a + b/x)^3/x^(1//2), -((2*b^3)/(5*x^(5//2))) - (2*a*b^2)/x^(3//2) - (6*a^2*b)/sqrt(x) + 2*a^3*sqrt(x), x, 3),
+((a + b/x)^3/x^(3//2), -((2*b^3)/(7*x^(7//2))) - (6*a*b^2)/(5*x^(5//2)) - (2*a^2*b)/x^(3//2) - (2*a^3)/sqrt(x), x, 3),
+((a + b/x)^3/x^(5//2), -((2*b^3)/(9*x^(9//2))) - (6*a*b^2)/(7*x^(7//2)) - (6*a^2*b)/(5*x^(5//2)) - (2*a^3)/(3*x^(3//2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/(a + b/x)*x^(5//2), -((2*b^3*sqrt(x))/a^4) + (2*b^2*x^(3//2))/(3*a^3) - (2*b*x^(5//2))/(5*a^2) + (2*x^(7//2))/(7*a) + (2*b^(7//2)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/a^(9//2), x, 7),
+(1/(a + b/x)*x^(3//2), (2*b^2*sqrt(x))/a^3 - (2*b*x^(3//2))/(3*a^2) + (2*x^(5//2))/(5*a) - (2*b^(5//2)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/a^(7//2), x, 6),
+(1/(a + b/x)*x^(1//2), -((2*b*sqrt(x))/a^2) + (2*x^(3//2))/(3*a) + (2*b^(3//2)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/a^(5//2), x, 5),
+(1/(a + b/x)/x^(1//2), (2*sqrt(x))/a - (2*sqrt(b)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/a^(3//2), x, 4),
+(1/(a + b/x)/x^(3//2), (2*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(sqrt(a)*sqrt(b)), x, 3),
+(1/(a + b/x)/x^(5//2), -(2/(b*sqrt(x))) - (2*sqrt(a)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/b^(3//2), x, 4),
+(1/(a + b/x)/x^(7//2), -(2/(3*b*x^(3//2))) + (2*a)/(b^2*sqrt(x)) + (2*a^(3//2)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/b^(5//2), x, 5),
+(1/(a + b/x)/x^(9//2), -(2/(5*b*x^(5//2))) + (2*a)/(3*b^2*x^(3//2)) - (2*a^2)/(b^3*sqrt(x)) - (2*a^(5//2)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/b^(7//2), x, 6),
+
+
+(1/(a + b/x)^2*x^(5//2), -((9*b^3*sqrt(x))/a^5) + (3*b^2*x^(3//2))/a^4 - (9*b*x^(5//2))/(5*a^3) + (9*x^(7//2))/(7*a^2) - x^(9//2)/(a*(b + a*x)) + (9*b^(7//2)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/a^(11//2), x, 8),
+(1/(a + b/x)^2*x^(3//2), (7*b^2*sqrt(x))/a^4 - (7*b*x^(3//2))/(3*a^3) + (7*x^(5//2))/(5*a^2) - x^(7//2)/(a*(b + a*x)) - (7*b^(5//2)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/a^(9//2), x, 7),
+(1/(a + b/x)^2*x^(1//2), -((5*b*sqrt(x))/a^3) + (5*x^(3//2))/(3*a^2) - x^(5//2)/(a*(b + a*x)) + (5*b^(3//2)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/a^(7//2), x, 6),
+(1/(a + b/x)^2/x^(1//2), (3*sqrt(x))/a^2 - x^(3//2)/(a*(b + a*x)) - (3*sqrt(b)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/a^(5//2), x, 5),
+(1/(a + b/x)^2/x^(3//2), -(sqrt(x)/(a*(b + a*x))) + atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b))/(a^(3//2)*sqrt(b)), x, 4),
+(1/(a + b/x)^2/x^(5//2), sqrt(x)/(b*(b + a*x)) + atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b))/(sqrt(a)*b^(3//2)), x, 4),
+(1/(a + b/x)^2/x^(7//2), -(3/(b^2*sqrt(x))) + 1/(b*sqrt(x)*(b + a*x)) - (3*sqrt(a)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/b^(5//2), x, 5),
+(1/(a + b/x)^2/x^(9//2), -(5/(3*b^2*x^(3//2))) + (5*a)/(b^3*sqrt(x)) + 1/(b*x^(3//2)*(b + a*x)) + (5*a^(3//2)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/b^(7//2), x, 6),
+(1/(a + b/x)^2/x^(11//2), -(7/(5*b^2*x^(5//2))) + (7*a)/(3*b^3*x^(3//2)) - (7*a^2)/(b^4*sqrt(x)) + 1/(b*x^(5//2)*(b + a*x)) - (7*a^(5//2)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/b^(9//2), x, 7),
+
+
+(1/(a + b/x)^3*x^(3//2), (63*b^2*sqrt(x))/(4*a^5) - (21*b*x^(3//2))/(4*a^4) + (63*x^(5//2))/(20*a^3) - x^(9//2)/(2*a*(b + a*x)^2) - (9*x^(7//2))/(4*a^2*(b + a*x)) - (63*b^(5//2)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(4*a^(11//2)), x, 8),
+(1/(a + b/x)^3*x^(1//2), -((35*b*sqrt(x))/(4*a^4)) + (35*x^(3//2))/(12*a^3) - x^(7//2)/(2*a*(b + a*x)^2) - (7*x^(5//2))/(4*a^2*(b + a*x)) + (35*b^(3//2)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(4*a^(9//2)), x, 7),
+(1/(a + b/x)^3/x^(1//2), (15*sqrt(x))/(4*a^3) - x^(5//2)/(2*a*(b + a*x)^2) - (5*x^(3//2))/(4*a^2*(b + a*x)) - (15*sqrt(b)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(4*a^(7//2)), x, 6),
+(1/(a + b/x)^3/x^(3//2), -(x^(3//2)/(2*a*(b + a*x)^2)) - (3*sqrt(x))/(4*a^2*(b + a*x)) + (3*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(4*a^(5//2)*sqrt(b)), x, 5),
+(1/(a + b/x)^3/x^(5//2), -(sqrt(x)/(2*a*(b + a*x)^2)) + sqrt(x)/(4*a*b*(b + a*x)) + atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b))/(4*a^(3//2)*b^(3//2)), x, 5),
+(1/(a + b/x)^3/x^(7//2), sqrt(x)/(2*b*(b + a*x)^2) + (3*sqrt(x))/(4*b^2*(b + a*x)) + (3*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(4*sqrt(a)*b^(5//2)), x, 5),
+(1/(a + b/x)^3/x^(9//2), -(15/(4*b^3*sqrt(x))) + 1/(2*b*sqrt(x)*(b + a*x)^2) + 5/(4*b^2*sqrt(x)*(b + a*x)) - (15*sqrt(a)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(4*b^(7//2)), x, 6),
+(1/(a + b/x)^3/x^(11//2), -(35/(12*b^3*x^(3//2))) + (35*a)/(4*b^4*sqrt(x)) + 1/(2*b*x^(3//2)*(b + a*x)^2) + 7/(4*b^2*x^(3//2)*(b + a*x)) + (35*a^(3//2)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(4*b^(9//2)), x, 7),
+(1/(a + b/x)^3/x^(13//2), -(63/(20*b^3*x^(5//2))) + (21*a)/(4*b^4*x^(3//2)) - (63*a^2)/(4*b^5*sqrt(x)) + 1/(2*b*x^(5//2)*(b + a*x)^2) + 9/(4*b^2*x^(5//2)*(b + a*x)) - (63*a^(5//2)*atan((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(4*b^(11//2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*sqrt(a + b/x), (5*b^3*sqrt(a + b/x)*x)/(64*a^3) - (5*b^2*sqrt(a + b/x)*x^2)/(96*a^2) + (b*sqrt(a + b/x)*x^3)/(24*a) + (1//4)*sqrt(a + b/x)*x^4 - (5*b^4*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(64*a^(7//2)), x, 7),
+(x^2*sqrt(a + b/x), -((b^2*sqrt(a + b/x)*x)/(8*a^2)) + (b*sqrt(a + b/x)*x^2)/(12*a) + (1//3)*sqrt(a + b/x)*x^3 + (b^3*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)), x, 6),
+(x^1*sqrt(a + b/x), (b*sqrt(a + b/x)*x)/(4*a) + (1//2)*sqrt(a + b/x)*x^2 - (b^2*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)), x, 5),
+(x^0*sqrt(a + b/x), sqrt(a + b/x)*x + (b*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 4),
+(sqrt(a + b/x)/x^1, -2*sqrt(a + b/x) + 2*sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)), x, 4),
+(sqrt(a + b/x)/x^2, -((2*(a + b/x)^(3//2))/(3*b)), x, 1),
+(sqrt(a + b/x)/x^3, (2*a*(a + b/x)^(3//2))/(3*b^2) - (2*(a + b/x)^(5//2))/(5*b^2), x, 3),
+(sqrt(a + b/x)/x^4, -((2*a^2*(a + b/x)^(3//2))/(3*b^3)) + (4*a*(a + b/x)^(5//2))/(5*b^3) - (2*(a + b/x)^(7//2))/(7*b^3), x, 3),
+(sqrt(a + b/x)/x^5, (2*a^3*(a + b/x)^(3//2))/(3*b^4) - (6*a^2*(a + b/x)^(5//2))/(5*b^4) + (6*a*(a + b/x)^(7//2))/(7*b^4) - (2*(a + b/x)^(9//2))/(9*b^4), x, 3),
+(sqrt(a + b/x)/x^6, -((2*a^4*(a + b/x)^(3//2))/(3*b^5)) + (8*a^3*(a + b/x)^(5//2))/(5*b^5) - (12*a^2*(a + b/x)^(7//2))/(7*b^5) + (8*a*(a + b/x)^(9//2))/(9*b^5) - (2*(a + b/x)^(11//2))/(11*b^5), x, 3),
+
+
+(x^3*(a + b/x)^(3//2), -((3*b^3*sqrt(a + b/x)*x)/(64*a^2)) + (b^2*sqrt(a + b/x)*x^2)/(32*a) + (1//8)*b*sqrt(a + b/x)*x^3 + (1//4)*(a + b/x)^(3//2)*x^4 + (3*b^4*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(64*a^(5//2)), x, 7),
+(x^2*(a + b/x)^(3//2), (b^2*sqrt(a + b/x)*x)/(8*a) + (1//4)*b*sqrt(a + b/x)*x^2 + (1//3)*(a + b/x)^(3//2)*x^3 - (b^3*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(8*a^(3//2)), x, 6),
+(x^1*(a + b/x)^(3//2), (3//4)*b*sqrt(a + b/x)*x + (1//2)*(a + b/x)^(3//2)*x^2 + (3*b^2*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)), x, 5),
+(x^0*(a + b/x)^(3//2), -3*b*sqrt(a + b/x) + (a + b/x)^(3//2)*x + 3*sqrt(a)*b*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)), x, 5),
+((a + b/x)^(3//2)/x^1, -2*a*sqrt(a + b/x) - (2//3)*(a + b/x)^(3//2) + 2*a^(3//2)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)), x, 5),
+((a + b/x)^(3//2)/x^2, -((2*(a + b/x)^(5//2))/(5*b)), x, 1),
+((a + b/x)^(3//2)/x^3, (2*a*(a + b/x)^(5//2))/(5*b^2) - (2*(a + b/x)^(7//2))/(7*b^2), x, 3),
+((a + b/x)^(3//2)/x^4, -((2*a^2*(a + b/x)^(5//2))/(5*b^3)) + (4*a*(a + b/x)^(7//2))/(7*b^3) - (2*(a + b/x)^(9//2))/(9*b^3), x, 3),
+((a + b/x)^(3//2)/x^5, (2*a^3*(a + b/x)^(5//2))/(5*b^4) - (6*a^2*(a + b/x)^(7//2))/(7*b^4) + (2*a*(a + b/x)^(9//2))/(3*b^4) - (2*(a + b/x)^(11//2))/(11*b^4), x, 3),
+((a + b/x)^(3//2)/x^6, -((2*a^4*(a + b/x)^(5//2))/(5*b^5)) + (8*a^3*(a + b/x)^(7//2))/(7*b^5) - (4*a^2*(a + b/x)^(9//2))/(3*b^5) + (8*a*(a + b/x)^(11//2))/(11*b^5) - (2*(a + b/x)^(13//2))/(13*b^5), x, 3),
+((a + b/x)^(3//2)/x^7, (2*a^5*(a + b/x)^(5//2))/(5*b^6) - (10*a^4*(a + b/x)^(7//2))/(7*b^6) + (20*a^3*(a + b/x)^(9//2))/(9*b^6) - (20*a^2*(a + b/x)^(11//2))/(11*b^6) + (10*a*(a + b/x)^(13//2))/(13*b^6) - (2*(a + b/x)^(15//2))/(15*b^6), x, 3),
+
+
+(x^3*(a + b/x)^(5//2), (5*b^3*sqrt(a + b/x)*x)/(64*a) + (5//32)*b^2*sqrt(a + b/x)*x^2 + (5//24)*b*(a + b/x)^(3//2)*x^3 + (1//4)*(a + b/x)^(5//2)*x^4 - (5*b^4*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(64*a^(3//2)), x, 7),
+(x^2*(a + b/x)^(5//2), (5//8)*b^2*sqrt(a + b/x)*x + (5//12)*b*(a + b/x)^(3//2)*x^2 + (1//3)*(a + b/x)^(5//2)*x^3 + (5*b^3*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(8*sqrt(a)), x, 6),
+(x^1*(a + b/x)^(5//2), (-(15//4))*b^2*sqrt(a + b/x) + (5//4)*b*(a + b/x)^(3//2)*x + (1//2)*(a + b/x)^(5//2)*x^2 + (15//4)*sqrt(a)*b^2*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)), x, 6),
+(x^0*(a + b/x)^(5//2), -5*a*b*sqrt(a + b/x) - (5//3)*b*(a + b/x)^(3//2) + (a + b/x)^(5//2)*x + 5*a^(3//2)*b*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)), x, 6),
+((a + b/x)^(5//2)/x^1, -2*a^2*sqrt(a + b/x) - (2//3)*a*(a + b/x)^(3//2) - (2//5)*(a + b/x)^(5//2) + 2*a^(5//2)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)), x, 6),
+((a + b/x)^(5//2)/x^2, -((2*(a + b/x)^(7//2))/(7*b)), x, 1),
+((a + b/x)^(5//2)/x^3, (2*a*(a + b/x)^(7//2))/(7*b^2) - (2*(a + b/x)^(9//2))/(9*b^2), x, 3),
+((a + b/x)^(5//2)/x^4, -((2*a^2*(a + b/x)^(7//2))/(7*b^3)) + (4*a*(a + b/x)^(9//2))/(9*b^3) - (2*(a + b/x)^(11//2))/(11*b^3), x, 3),
+((a + b/x)^(5//2)/x^5, (2*a^3*(a + b/x)^(7//2))/(7*b^4) - (2*a^2*(a + b/x)^(9//2))/(3*b^4) + (6*a*(a + b/x)^(11//2))/(11*b^4) - (2*(a + b/x)^(13//2))/(13*b^4), x, 3),
+((a + b/x)^(5//2)/x^6, -((2*a^4*(a + b/x)^(7//2))/(7*b^5)) + (8*a^3*(a + b/x)^(9//2))/(9*b^5) - (12*a^2*(a + b/x)^(11//2))/(11*b^5) + (8*a*(a + b/x)^(13//2))/(13*b^5) - (2*(a + b/x)^(15//2))/(15*b^5), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^3/sqrt(a + b/x), -((35*b^3*sqrt(a + b/x)*x)/(64*a^4)) + (35*b^2*sqrt(a + b/x)*x^2)/(96*a^3) - (7*b*sqrt(a + b/x)*x^3)/(24*a^2) + (sqrt(a + b/x)*x^4)/(4*a) + (35*b^4*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(64*a^(9//2)), x, 7),
+(x^2/sqrt(a + b/x), (5*b^2*sqrt(a + b/x)*x)/(8*a^3) - (5*b*sqrt(a + b/x)*x^2)/(12*a^2) + (sqrt(a + b/x)*x^3)/(3*a) - (5*b^3*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(8*a^(7//2)), x, 6),
+(x^1/sqrt(a + b/x), -((3*b*sqrt(a + b/x)*x)/(4*a^2)) + (sqrt(a + b/x)*x^2)/(2*a) + (3*b^2*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(4*a^(5//2)), x, 5),
+(x^0/sqrt(a + b/x), (sqrt(a + b/x)*x)/a - (b*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 4),
+(1/(x^1*sqrt(a + b/x)), (2*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(a + b/x)), -((2*sqrt(a + b/x))/b), x, 1),
+(1/(x^3*sqrt(a + b/x)), (2*a*sqrt(a + b/x))/b^2 - (2*(a + b/x)^(3//2))/(3*b^2), x, 3),
+(1/(x^4*sqrt(a + b/x)), -((2*a^2*sqrt(a + b/x))/b^3) + (4*a*(a + b/x)^(3//2))/(3*b^3) - (2*(a + b/x)^(5//2))/(5*b^3), x, 3),
+(1/(x^5*sqrt(a + b/x)), (2*a^3*sqrt(a + b/x))/b^4 - (2*a^2*(a + b/x)^(3//2))/b^4 + (6*a*(a + b/x)^(5//2))/(5*b^4) - (2*(a + b/x)^(7//2))/(7*b^4), x, 3),
+(1/(x^6*sqrt(a + b/x)), -((2*a^4*sqrt(a + b/x))/b^5) + (8*a^3*(a + b/x)^(3//2))/(3*b^5) - (12*a^2*(a + b/x)^(5//2))/(5*b^5) + (8*a*(a + b/x)^(7//2))/(7*b^5) - (2*(a + b/x)^(9//2))/(9*b^5), x, 3),
+
+
+(x^2/(a + b/x)^(3//2), (35*b^3)/(8*a^4*sqrt(a + b/x)) + (35*b^2*x)/(24*a^3*sqrt(a + b/x)) - (7*b*x^2)/(12*a^2*sqrt(a + b/x)) + x^3/(3*a*sqrt(a + b/x)) - (35*b^3*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(8*a^(9//2)), x, 7),
+(x^1/(a + b/x)^(3//2), -((15*b^2)/(4*a^3*sqrt(a + b/x))) - (5*b*x)/(4*a^2*sqrt(a + b/x)) + x^2/(2*a*sqrt(a + b/x)) + (15*b^2*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(4*a^(7//2)), x, 6),
+(x^0/(a + b/x)^(3//2), (3*b)/(a^2*sqrt(a + b/x)) + x/(a*sqrt(a + b/x)) - (3*b*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 5),
+(1/(x^1*(a + b/x)^(3//2)), -(2/(a*sqrt(a + b/x))) + (2*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 4),
+(1/(x^2*(a + b/x)^(3//2)), 2/(b*sqrt(a + b/x)), x, 1),
+(1/(x^3*(a + b/x)^(3//2)), -((2*a)/(b^2*sqrt(a + b/x))) - (2*sqrt(a + b/x))/b^2, x, 3),
+(1/(x^4*(a + b/x)^(3//2)), (2*a^2)/(b^3*sqrt(a + b/x)) + (4*a*sqrt(a + b/x))/b^3 - (2*(a + b/x)^(3//2))/(3*b^3), x, 3),
+(1/(x^5*(a + b/x)^(3//2)), -((2*a^3)/(b^4*sqrt(a + b/x))) - (6*a^2*sqrt(a + b/x))/b^4 + (2*a*(a + b/x)^(3//2))/b^4 - (2*(a + b/x)^(5//2))/(5*b^4), x, 3),
+(1/(x^6*(a + b/x)^(3//2)), (2*a^4)/(b^5*sqrt(a + b/x)) + (8*a^3*sqrt(a + b/x))/b^5 - (4*a^2*(a + b/x)^(3//2))/b^5 + (8*a*(a + b/x)^(5//2))/(5*b^5) - (2*(a + b/x)^(7//2))/(7*b^5), x, 3),
+(1/(x^7*(a + b/x)^(3//2)), -((2*a^5)/(b^6*sqrt(a + b/x))) - (10*a^4*sqrt(a + b/x))/b^6 + (20*a^3*(a + b/x)^(3//2))/(3*b^6) - (4*a^2*(a + b/x)^(5//2))/b^6 + (10*a*(a + b/x)^(7//2))/(7*b^6) - (2*(a + b/x)^(9//2))/(9*b^6), x, 3),
+
+
+(x^2/(a + b/x)^(5//2), (35*b^3)/(8*a^4*(a + b/x)^(3//2)) + (105*b^3)/(8*a^5*sqrt(a + b/x)) + (21*b^2*x)/(8*a^3*(a + b/x)^(3//2)) - (3*b*x^2)/(4*a^2*(a + b/x)^(3//2)) + x^3/(3*a*(a + b/x)^(3//2)) - (105*b^3*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(8*a^(11//2)), x, 8),
+(x^1/(a + b/x)^(5//2), -((35*b^2)/(12*a^3*(a + b/x)^(3//2))) - (35*b^2)/(4*a^4*sqrt(a + b/x)) - (7*b*x)/(4*a^2*(a + b/x)^(3//2)) + x^2/(2*a*(a + b/x)^(3//2)) + (35*b^2*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(4*a^(9//2)), x, 7),
+(x^0/(a + b/x)^(5//2), (5*b)/(3*a^2*(a + b/x)^(3//2)) + (5*b)/(a^3*sqrt(a + b/x)) + x/(a*(a + b/x)^(3//2)) - (5*b*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/a^(7//2), x, 6),
+(1/(x^1*(a + b/x)^(5//2)), -(2/(3*a*(a + b/x)^(3//2))) - 2/(a^2*sqrt(a + b/x)) + (2*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 5),
+(1/(x^2*(a + b/x)^(5//2)), 2/(3*b*(a + b/x)^(3//2)), x, 1),
+(1/(x^3*(a + b/x)^(5//2)), -((2*a)/(3*b^2*(a + b/x)^(3//2))) + 2/(b^2*sqrt(a + b/x)), x, 3),
+(1/(x^4*(a + b/x)^(5//2)), (2*a^2)/(3*b^3*(a + b/x)^(3//2)) - (4*a)/(b^3*sqrt(a + b/x)) - (2*sqrt(a + b/x))/b^3, x, 3),
+(1/(x^5*(a + b/x)^(5//2)), -((2*a^3)/(3*b^4*(a + b/x)^(3//2))) + (6*a^2)/(b^4*sqrt(a + b/x)) + (6*a*sqrt(a + b/x))/b^4 - (2*(a + b/x)^(3//2))/(3*b^4), x, 3),
+(1/(x^6*(a + b/x)^(5//2)), (2*a^4)/(3*b^5*(a + b/x)^(3//2)) - (8*a^3)/(b^5*sqrt(a + b/x)) - (12*a^2*sqrt(a + b/x))/b^5 + (8*a*(a + b/x)^(3//2))/(3*b^5) - (2*(a + b/x)^(5//2))/(5*b^5), x, 3),
+(1/(x^7*(a + b/x)^(5//2)), -((2*a^5)/(3*b^6*(a + b/x)^(3//2))) + (10*a^4)/(b^6*sqrt(a + b/x)) + (20*a^3*sqrt(a + b/x))/b^6 - (20*a^2*(a + b/x)^(3//2))/(3*b^6) + (2*a*(a + b/x)^(5//2))/b^6 - (2*(a + b/x)^(7//2))/(7*b^6), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b/x)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b/x)^(1//2)*x^(7//2), -((32*b^3*(a + b/x)^(3//2)*x^(3//2))/(315*a^4)) + (16*b^2*(a + b/x)^(3//2)*x^(5//2))/(105*a^3) - (4*b*(a + b/x)^(3//2)*x^(7//2))/(21*a^2) + (2*(a + b/x)^(3//2)*x^(9//2))/(9*a), x, 4),
+((a + b/x)^(1//2)*x^(5//2), (16*b^2*(a + b/x)^(3//2)*x^(3//2))/(105*a^3) - (8*b*(a + b/x)^(3//2)*x^(5//2))/(35*a^2) + (2*(a + b/x)^(3//2)*x^(7//2))/(7*a), x, 3),
+((a + b/x)^(1//2)*x^(3//2), -((4*b*(a + b/x)^(3//2)*x^(3//2))/(15*a^2)) + (2*(a + b/x)^(3//2)*x^(5//2))/(5*a), x, 2),
+((a + b/x)^(1//2)*x^(1//2), (2*(a + b/x)^(3//2)*x^(3//2))/(3*a), x, 1),
+((a + b/x)^(1//2)/x^(1//2), 2*sqrt(a + b/x)*sqrt(x) - 2*sqrt(b)*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))), x, 4),
+((a + b/x)^(1//2)/x^(3//2), -(sqrt(a + b/x)/sqrt(x)) - (a*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))))/sqrt(b), x, 4),
+((a + b/x)^(1//2)/x^(5//2), -(sqrt(a + b/x)/(2*x^(3//2))) - (a*sqrt(a + b/x))/(4*b*sqrt(x)) + (a^2*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))))/(4*b^(3//2)), x, 5),
+((a + b/x)^(1//2)/x^(7//2), -(sqrt(a + b/x)/(3*x^(5//2))) - (a*sqrt(a + b/x))/(12*b*x^(3//2)) + (a^2*sqrt(a + b/x))/(8*b^2*sqrt(x)) - (a^3*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))))/(8*b^(5//2)), x, 6),
+
+
+((a + b/x)^(3//2)*x^(9//2), -((32*b^3*(a + b/x)^(5//2)*x^(5//2))/(1155*a^4)) + (16*b^2*(a + b/x)^(5//2)*x^(7//2))/(231*a^3) - (4*b*(a + b/x)^(5//2)*x^(9//2))/(33*a^2) + (2*(a + b/x)^(5//2)*x^(11//2))/(11*a), x, 4),
+((a + b/x)^(3//2)*x^(7//2), (16*b^2*(a + b/x)^(5//2)*x^(5//2))/(315*a^3) - (8*b*(a + b/x)^(5//2)*x^(7//2))/(63*a^2) + (2*(a + b/x)^(5//2)*x^(9//2))/(9*a), x, 3),
+((a + b/x)^(3//2)*x^(5//2), -((4*b*(a + b/x)^(5//2)*x^(5//2))/(35*a^2)) + (2*(a + b/x)^(5//2)*x^(7//2))/(7*a), x, 2),
+((a + b/x)^(3//2)*x^(3//2), (2*(a + b/x)^(5//2)*x^(5//2))/(5*a), x, 1),
+((a + b/x)^(3//2)*x^(1//2), 2*b*sqrt(a + b/x)*sqrt(x) + (2//3)*(a + b/x)^(3//2)*x^(3//2) - 2*b^(3//2)*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))), x, 5),
+((a + b/x)^(3//2)/x^(1//2), -((3*b*sqrt(a + b/x))/sqrt(x)) + 2*(a + b/x)^(3//2)*sqrt(x) - 3*a*sqrt(b)*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))), x, 5),
+((a + b/x)^(3//2)/x^(3//2), -((3*a*sqrt(a + b/x))/(4*sqrt(x))) - (a + b/x)^(3//2)/(2*sqrt(x)) - (3*a^2*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))))/(4*sqrt(b)), x, 5),
+((a + b/x)^(3//2)/x^(5//2), -((a*sqrt(a + b/x))/(4*x^(3//2))) - (a + b/x)^(3//2)/(3*x^(3//2)) - (a^2*sqrt(a + b/x))/(8*b*sqrt(x)) + (a^3*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))))/(8*b^(3//2)), x, 6),
+
+
+((a + b/x)^(5//2)*x^(11//2), -((32*b^3*(a + b/x)^(7//2)*x^(7//2))/(3003*a^4)) + (16*b^2*(a + b/x)^(7//2)*x^(9//2))/(429*a^3) - (12*b*(a + b/x)^(7//2)*x^(11//2))/(143*a^2) + (2*(a + b/x)^(7//2)*x^(13//2))/(13*a), x, 4),
+((a + b/x)^(5//2)*x^(9//2), (16*b^2*(a + b/x)^(7//2)*x^(7//2))/(693*a^3) - (8*b*(a + b/x)^(7//2)*x^(9//2))/(99*a^2) + (2*(a + b/x)^(7//2)*x^(11//2))/(11*a), x, 3),
+((a + b/x)^(5//2)*x^(7//2), -((4*b*(a + b/x)^(7//2)*x^(7//2))/(63*a^2)) + (2*(a + b/x)^(7//2)*x^(9//2))/(9*a), x, 2),
+((a + b/x)^(5//2)*x^(5//2), (2*(a + b/x)^(7//2)*x^(7//2))/(7*a), x, 1),
+((a + b/x)^(5//2)*x^(3//2), 2*b^2*sqrt(a + b/x)*sqrt(x) + (2//3)*b*(a + b/x)^(3//2)*x^(3//2) + (2//5)*(a + b/x)^(5//2)*x^(5//2) - 2*b^(5//2)*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))), x, 6),
+((a + b/x)^(5//2)*x^(1//2), -((5*b^2*sqrt(a + b/x))/sqrt(x)) + (10//3)*b*(a + b/x)^(3//2)*sqrt(x) + (2//3)*(a + b/x)^(5//2)*x^(3//2) - 5*a*b^(3//2)*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))), x, 6),
+((a + b/x)^(5//2)/x^(1//2), -((15*a*b*sqrt(a + b/x))/(4*sqrt(x))) - (5*b*(a + b/x)^(3//2))/(2*sqrt(x)) + 2*(a + b/x)^(5//2)*sqrt(x) - (15//4)*a^2*sqrt(b)*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))), x, 6),
+((a + b/x)^(5//2)/x^(3//2), -((5*a^2*sqrt(a + b/x))/(8*sqrt(x))) - (5*a*(a + b/x)^(3//2))/(12*sqrt(x)) - (a + b/x)^(5//2)/(3*sqrt(x)) - (5*a^3*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))))/(8*sqrt(b)), x, 6),
+((a + b/x)^(5//2)/x^(5//2), -((5*a^2*sqrt(a + b/x))/(32*x^(3//2))) - (5*a*(a + b/x)^(3//2))/(24*x^(3//2)) - (a + b/x)^(5//2)/(4*x^(3//2)) - (5*a^3*sqrt(a + b/x))/(64*b*sqrt(x)) + (5*a^4*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))))/(64*b^(3//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/(a + b/x)^(1//2)*x^(7//2), (256*b^4*sqrt(a + b/x)*sqrt(x))/(315*a^5) - (128*b^3*sqrt(a + b/x)*x^(3//2))/(315*a^4) + (32*b^2*sqrt(a + b/x)*x^(5//2))/(105*a^3) - (16*b*sqrt(a + b/x)*x^(7//2))/(63*a^2) + (2*sqrt(a + b/x)*x^(9//2))/(9*a), x, 5),
+(1/(a + b/x)^(1//2)*x^(5//2), -((32*b^3*sqrt(a + b/x)*sqrt(x))/(35*a^4)) + (16*b^2*sqrt(a + b/x)*x^(3//2))/(35*a^3) - (12*b*sqrt(a + b/x)*x^(5//2))/(35*a^2) + (2*sqrt(a + b/x)*x^(7//2))/(7*a), x, 4),
+(1/(a + b/x)^(1//2)*x^(3//2), (16*b^2*sqrt(a + b/x)*sqrt(x))/(15*a^3) - (8*b*sqrt(a + b/x)*x^(3//2))/(15*a^2) + (2*sqrt(a + b/x)*x^(5//2))/(5*a), x, 3),
+(1/(a + b/x)^(1//2)*x^(1//2), -((4*b*sqrt(a + b/x)*sqrt(x))/(3*a^2)) + (2*sqrt(a + b/x)*x^(3//2))/(3*a), x, 2),
+(1/(a + b/x)^(1//2)/x^(1//2), (2*sqrt(a + b/x)*sqrt(x))/a, x, 1),
+(1/(a + b/x)^(1//2)/x^(3//2), -((2*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))))/sqrt(b)), x, 3),
+(1/(a + b/x)^(1//2)/x^(5//2), -(sqrt(a + b/x)/(b*sqrt(x))) + (a*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))))/b^(3//2), x, 4),
+(1/(a + b/x)^(1//2)/x^(7//2), -(sqrt(a + b/x)/(2*b*x^(3//2))) + (3*a*sqrt(a + b/x))/(4*b^2*sqrt(x)) - (3*a^2*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))))/(4*b^(5//2)), x, 5),
+(1/(a + b/x)^(1//2)/x^(9//2), -(sqrt(a + b/x)/(3*b*x^(5//2))) + (5*a*sqrt(a + b/x))/(12*b^2*x^(3//2)) - (5*a^2*sqrt(a + b/x))/(8*b^3*sqrt(x)) + (5*a^3*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))))/(8*b^(7//2)), x, 6),
+
+
+(1/(a + b/x)^(3//2)*x^(5//2), -((256*b^4)/(35*a^5*sqrt(a + b/x)*sqrt(x))) - (128*b^3*sqrt(x))/(35*a^4*sqrt(a + b/x)) + (32*b^2*x^(3//2))/(35*a^3*sqrt(a + b/x)) - (16*b*x^(5//2))/(35*a^2*sqrt(a + b/x)) + (2*x^(7//2))/(7*a*sqrt(a + b/x)), x, 5),
+(1/(a + b/x)^(3//2)*x^(3//2), (32*b^3)/(5*a^4*sqrt(a + b/x)*sqrt(x)) + (16*b^2*sqrt(x))/(5*a^3*sqrt(a + b/x)) - (4*b*x^(3//2))/(5*a^2*sqrt(a + b/x)) + (2*x^(5//2))/(5*a*sqrt(a + b/x)), x, 4),
+(1/(a + b/x)^(3//2)*x^(1//2), -((16*b^2)/(3*a^3*sqrt(a + b/x)*sqrt(x))) - (8*b*sqrt(x))/(3*a^2*sqrt(a + b/x)) + (2*x^(3//2))/(3*a*sqrt(a + b/x)), x, 3),
+(1/(a + b/x)^(3//2)/x^(1//2), (4*b)/(a^2*sqrt(a + b/x)*sqrt(x)) + (2*sqrt(x))/(a*sqrt(a + b/x)), x, 2),
+(1/(a + b/x)^(3//2)/x^(3//2), -(2/(a*sqrt(a + b/x)*sqrt(x))), x, 1),
+(1/(a + b/x)^(3//2)/x^(5//2), 2/(b*sqrt(a + b/x)*sqrt(x)) - (2*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))))/b^(3//2), x, 4),
+(1/(a + b/x)^(3//2)/x^(7//2), 2/(b*sqrt(a + b/x)*x^(3//2)) - (3*sqrt(a + b/x))/(b^2*sqrt(x)) + (3*a*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))))/b^(5//2), x, 5),
+(1/(a + b/x)^(3//2)/x^(9//2), 2/(b*sqrt(a + b/x)*x^(5//2)) - (5*sqrt(a + b/x))/(2*b^2*x^(3//2)) + (15*a*sqrt(a + b/x))/(4*b^3*sqrt(x)) - (15*a^2*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))))/(4*b^(7//2)), x, 6),
+(1/(a + b/x)^(3//2)/x^(11//2), 2/(b*sqrt(a + b/x)*x^(7//2)) - (7*sqrt(a + b/x))/(3*b^2*x^(5//2)) + (35*a*sqrt(a + b/x))/(12*b^3*x^(3//2)) - (35*a^2*sqrt(a + b/x))/(8*b^4*sqrt(x)) + (35*a^3*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))))/(8*b^(9//2)), x, 7),
+
+
+(1/(a + b/x)^(5//2)*x^(5//2), -((512*b^5)/(21*a^6*(a + b/x)^(3//2)*x^(3//2))) - (256*b^4)/(7*a^5*(a + b/x)^(3//2)*sqrt(x)) - (64*b^3*sqrt(x))/(7*a^4*(a + b/x)^(3//2)) + (32*b^2*x^(3//2))/(21*a^3*(a + b/x)^(3//2)) - (4*b*x^(5//2))/(7*a^2*(a + b/x)^(3//2)) + (2*x^(7//2))/(7*a*(a + b/x)^(3//2)), x, 6),
+(1/(a + b/x)^(5//2)*x^(3//2), (256*b^4)/(15*a^5*(a + b/x)^(3//2)*x^(3//2)) + (128*b^3)/(5*a^4*(a + b/x)^(3//2)*sqrt(x)) + (32*b^2*sqrt(x))/(5*a^3*(a + b/x)^(3//2)) - (16*b*x^(3//2))/(15*a^2*(a + b/x)^(3//2)) + (2*x^(5//2))/(5*a*(a + b/x)^(3//2)), x, 5),
+(1/(a + b/x)^(5//2)*x^(1//2), -((32*b^3)/(3*a^4*(a + b/x)^(3//2)*x^(3//2))) - (16*b^2)/(a^3*(a + b/x)^(3//2)*sqrt(x)) - (4*b*sqrt(x))/(a^2*(a + b/x)^(3//2)) + (2*x^(3//2))/(3*a*(a + b/x)^(3//2)), x, 4),
+(1/(a + b/x)^(5//2)/x^(1//2), (16*b^2)/(3*a^3*(a + b/x)^(3//2)*x^(3//2)) + (8*b)/(a^2*(a + b/x)^(3//2)*sqrt(x)) + (2*sqrt(x))/(a*(a + b/x)^(3//2)), x, 3),
+(1/(a + b/x)^(5//2)/x^(3//2), -((4*b)/(3*a^2*(a + b/x)^(3//2)*x^(3//2))) - 2/(a*(a + b/x)^(3//2)*sqrt(x)), x, 2),
+(1/(a + b/x)^(5//2)/x^(5//2), -(2/(3*a*(a + b/x)^(3//2)*x^(3//2))), x, 1),
+(1/(a + b/x)^(5//2)/x^(7//2), 2/(3*b*(a + b/x)^(3//2)*x^(3//2)) + 2/(b^2*sqrt(a + b/x)*sqrt(x)) - (2*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))))/b^(5//2), x, 5),
+(1/(a + b/x)^(5//2)/x^(9//2), 2/(3*b*(a + b/x)^(3//2)*x^(5//2)) + 10/(3*b^2*sqrt(a + b/x)*x^(3//2)) - (5*sqrt(a + b/x))/(b^3*sqrt(x)) + (5*a*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))))/b^(7//2), x, 6),
+(1/(a + b/x)^(5//2)/x^(11//2), 2/(3*b*(a + b/x)^(3//2)*x^(7//2)) + 14/(3*b^2*sqrt(a + b/x)*x^(5//2)) - (35*sqrt(a + b/x))/(6*b^3*x^(3//2)) + (35*a*sqrt(a + b/x))/(4*b^4*sqrt(x)) - (35*a^2*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x)*sqrt(x))))/(4*b^(9//2)), x, 7),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b/x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b/x^2)*x^6, (b*x^5)/5 + (a*x^7)/7, x, 2),
+((a + b/x^2)*x^5, (b*x^4)/4 + (a*x^6)/6, x, 2),
+((a + b/x^2)*x^4, (b*x^3)/3 + (a*x^5)/5, x, 2),
+((a + b/x^2)*x^3, (b*x^2)/2 + (a*x^4)/4, x, 2),
+((a + b/x^2)*x^2, b*x + (a*x^3)/3, x, 2),
+((a + b/x^2)*x, (a*x^2)/2 + b*log(x), x, 2),
+(a + b/x^2, -(b/x) + a*x, x, 1),
+((a + b/x^2)/x, -b/(2*x^2) + a*log(x), x, 2),
+((a + b/x^2)/x^2, -b/(3*x^3) - a/x, x, 2),
+((a + b/x^2)/x^3, -b/(4*x^4) - a/(2*x^2), x, 2),
+((a + b/x^2)/x^4, -b/(5*x^5) - a/(3*x^3), x, 2),
+((a + b/x^2)/x^5, -b/(6*x^6) - a/(4*x^4), x, 2),
+((a + b/x^2)/x^6, -b/(7*x^7) - a/(5*x^5), x, 2),
+
+
+((a + b/x^2)^2*x^6, (b^2*x^3)/3 + (2*a*b*x^5)/5 + (a^2*x^7)/7, x, 3),
+((a + b/x^2)^2*x^5, (b + a*x^2)^3/(6*a), x, 2),
+((a + b/x^2)^2*x^4, b^2*x + (2*a*b*x^3)/3 + (a^2*x^5)/5, x, 3),
+((a + b/x^2)^2*x^3, a*b*x^2 + (a^2*x^4)/4 + b^2*log(x), x, 4),
+((a + b/x^2)^2*x^2, -(b^2/x) + 2*a*b*x + (a^2*x^3)/3, x, 3),
+((a + b/x^2)^2*x^1, -b^2/(2*x^2) + (a^2*x^2)/2 + 2*a*b*log(x), x, 4),
+((a + b/x^2)^2*x^0, -b^2/(3*x^3) - (2*a*b)/x + a^2*x, x, 3),
+((a + b/x^2)^2/x^1, -b^2/(4*x^4) - (a*b)/x^2 + a^2*log(x), x, 4),
+((a + b/x^2)^2/x^2, -b^2/(5*x^5) - (2*a*b)/(3*x^3) - a^2/x, x, 3),
+((a + b/x^2)^2/x^3, -(a + b/x^2)^3/(6*b), x, 1),
+((a + b/x^2)^2/x^4, -b^2/(7*x^7) - (2*a*b)/(5*x^5) - a^2/(3*x^3), x, 3),
+((a + b/x^2)^2/x^5, -b^2/(8*x^8) - (a*b)/(3*x^6) - a^2/(4*x^4), x, 4),
+((a + b/x^2)^2/x^6, -b^2/(9*x^9) - (2*a*b)/(7*x^7) - a^2/(5*x^5), x, 3),
+
+
+((a + b/x^2)^3*x^6, b^3*x + a*b^2*x^3 + (3*a^2*b*x^5)/5 + (a^3*x^7)/7, x, 3),
+((a + b/x^2)^3*x^5, (3*a*b^2*x^2)/2 + (3*a^2*b*x^4)/4 + (a^3*x^6)/6 + b^3*log(x), x, 4),
+((a + b/x^2)^3*x^4, -(b^3/x) + 3*a*b^2*x + a^2*b*x^3 + (a^3*x^5)/5, x, 3),
+((a + b/x^2)^3*x^3, -b^3/(2*x^2) + (3*a^2*b*x^2)/2 + (a^3*x^4)/4 + 3*a*b^2*log(x), x, 4),
+((a + b/x^2)^3*x^2, -b^3/(3*x^3) - (3*a*b^2)/x + 3*a^2*b*x + (a^3*x^3)/3, x, 3),
+((a + b/x^2)^3*x, -b^3/(4*x^4) - (3*a*b^2)/(2*x^2) + (a^3*x^2)/2 + 3*a^2*b*log(x), x, 4),
+((a + b/x^2)^3, -b^3/(5*x^5) - (a*b^2)/x^3 - (3*a^2*b)/x + a^3*x, x, 3),
+((a + b/x^2)^3/x, -b^3/(6*x^6) - (3*a*b^2)/(4*x^4) - (3*a^2*b)/(2*x^2) + a^3*log(x), x, 4),
+((a + b/x^2)^3/x^2, -b^3/(7*x^7) - (3*a*b^2)/(5*x^5) - (a^2*b)/x^3 - a^3/x, x, 3),
+((a + b/x^2)^3/x^3, -(a + b/x^2)^4/(8*b), x, 1),
+((a + b/x^2)^3/x^4, -b^3/(9*x^9) - (3*a*b^2)/(7*x^7) - (3*a^2*b)/(5*x^5) - a^3/(3*x^3), x, 3),
+((a + b/x^2)^3/x^5, -((b + a*x^2)^4/(10*b*x^10)) + (a*(b + a*x^2)^4)/(40*b^2*x^8), x, 4),
+((a + b/x^2)^3/x^6, -b^3/(11*x^11) - (a*b^2)/(3*x^9) - (3*a^2*b)/(7*x^7) - a^3/(5*x^5), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^6/(a + b/x^2), -((b^3*x)/a^4) + (b^2*x^3)/(3*a^3) - (b*x^5)/(5*a^2) + x^7/(7*a) + (b^(7//2)*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/a^(9//2), x, 4),
+(x^5/(a + b/x^2), (b^2*x^2)/(2*a^3) - (b*x^4)/(4*a^2) + x^6/(6*a) - (b^3*log(b + a*x^2))/(2*a^4), x, 4),
+(x^4/(a + b/x^2), (b^2*x)/a^3 - (b*x^3)/(3*a^2) + x^5/(5*a) - (b^(5//2)*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/a^(7//2), x, 4),
+(x^3/(a + b/x^2), -(b*x^2)/(2*a^2) + x^4/(4*a) + (b^2*log(b + a*x^2))/(2*a^3), x, 4),
+(x^2/(a + b/x^2), -((b*x)/a^2) + x^3/(3*a) + (b^(3//2)*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/a^(5//2), x, 4),
+(x/(a + b/x^2), x^2/(2*a) - (b*log(b + a*x^2))/(2*a^2), x, 4),
+(1/(a + b/x^2), x/a - (sqrt(b)*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/a^(3//2), x, 3),
+(1/((a + b/x^2)*x), log(b + a*x^2)/(2*a), x, 2),
+(1/((a + b/x^2)*x^2), atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b))/(sqrt(a)*sqrt(b)), x, 2),
+(1/((a + b/x^2)*x^3), -log(a + b/x^2)/(2*b), x, 1),
+(1/((a + b/x^2)*x^4), -(1/(b*x)) - (sqrt(a)*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/b^(3//2), x, 3),
+(1/((a + b/x^2)*x^5), -(1/(2*b*x^2)) - (a*log(x))/b^2 + (a*log(b + a*x^2))/(2*b^2), x, 4),
+(1/((a + b/x^2)*x^6), -(1/(3*b*x^3)) + a/(b^2*x) + (a^(3//2)*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/b^(5//2), x, 4),
+(1/((a + b/x^2)*x^7), -(1/(4*b*x^4)) + a/(2*b^2*x^2) + (a^2*log(x))/b^3 - (a^2*log(b + a*x^2))/(2*b^3), x, 4),
+(1/((a + b/x^2)*x^8), -(1/(5*b*x^5)) + a/(3*b^2*x^3) - a^2/(b^3*x) - (a^(5//2)*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/b^(7//2), x, 5),
+
+
+(x^6/(a + b/x^2)^2, (-9*b^3*x)/(2*a^5) + (3*b^2*x^3)/(2*a^4) - (9*b*x^5)/(10*a^3) + (9*x^7)/(14*a^2) - x^9/(2*a*(b + a*x^2)) + (9*b^(7//2)*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/(2*a^(11//2)), x, 5),
+(x^5/(a + b/x^2)^2, (3*b^2*x^2)/(2*a^4) - (b*x^4)/(2*a^3) + x^6/(6*a^2) - b^4/(2*a^5*(b + a*x^2)) - (2*b^3*log(b + a*x^2))/a^5, x, 4),
+(x^4/(a + b/x^2)^2, (7*b^2*x)/(2*a^4) - (7*b*x^3)/(6*a^3) + (7*x^5)/(10*a^2) - x^7/(2*a*(b + a*x^2)) - (7*b^(5//2)*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/(2*a^(9//2)), x, 5),
+(x^3/(a + b/x^2)^2, -((b*x^2)/a^3) + x^4/(4*a^2) + b^3/(2*a^4*(b + a*x^2)) + (3*b^2*log(b + a*x^2))/(2*a^4), x, 4),
+(x^2/(a + b/x^2)^2, (-5*b*x)/(2*a^3) + (5*x^3)/(6*a^2) - x^5/(2*a*(b + a*x^2)) + (5*b^(3//2)*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/(2*a^(7//2)), x, 5),
+(x/(a + b/x^2)^2, x^2/(2*a^2) - b^2/(2*a^3*(b + a*x^2)) - (b*log(b + a*x^2))/a^3, x, 4),
+((a + b/x^2)^(-2), (3*x)/(2*a^2) - x^3/(2*a*(b + a*x^2)) - (3*sqrt(b)*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/(2*a^(5//2)), x, 4),
+(1/((a + b/x^2)^2*x), b/(2*a^2*(b + a*x^2)) + log(b + a*x^2)/(2*a^2), x, 4),
+(1/((a + b/x^2)^2*x^2), -(x/(2*a*(b + a*x^2))) + atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b))/(2*a^(3//2)*sqrt(b)), x, 3),
+(1/((a + b/x^2)^2*x^3), 1/(2*b*(a + b/x^2)), x, 1),
+(1/((a + b/x^2)^2*x^4), x/(2*b*(b + a*x^2)) + atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b))/(2*sqrt(a)*b^(3//2)), x, 3),
+(1/((a + b/x^2)^2*x^5), 1/(2*b*(b + a*x^2)) + log(x)/b^2 - log(b + a*x^2)/(2*b^2), x, 4),
+(1/((a + b/x^2)^2*x^6), -(3/(2*b^2*x)) + 1/(2*b*x*(b + a*x^2)) - (3*sqrt(a)*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/(2*b^(5//2)), x, 4),
+(1/((a + b/x^2)^2*x^7), -(1/(2*b^2*x^2)) - a/(2*b^2*(b + a*x^2)) - (2*a*log(x))/b^3 + (a*log(b + a*x^2))/b^3, x, 4),
+(1/((a + b/x^2)^2*x^8), -(5/(6*b^2*x^3)) + (5*a)/(2*b^3*x) + 1/(2*b*x^3*(b + a*x^2)) + (5*a^(3//2)*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/(2*b^(7//2)), x, 5),
+(1/((a + b/x^2)^2*x^9), -(1/(4*b^2*x^4)) + a/(b^3*x^2) + a^2/(2*b^3*(b + a*x^2)) + (3*a^2*log(x))/b^4 - (3*a^2*log(b + a*x^2))/(2*b^4), x, 4),
+
+
+(x^5/(a + b/x^2)^3, (3*b^2*x^2)/a^5 - (3*b*x^4)/(4*a^4) + x^6/(6*a^3) + b^5/(4*a^6*(b + a*x^2)^2) - (5*b^4)/(2*a^6*(b + a*x^2)) - (5*b^3*log(b + a*x^2))/a^6, x, 4),
+(x^4/(a + b/x^2)^3, (63*b^2*x)/(8*a^5) - (21*b*x^3)/(8*a^4) + (63*x^5)/(40*a^3) - x^9/(4*a*(b + a*x^2)^2) - (9*x^7)/(8*a^2*(b + a*x^2)) - (63*b^(5//2)*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/(8*a^(11//2)), x, 6),
+(x^3/(a + b/x^2)^3, (-3*b*x^2)/(2*a^4) + x^4/(4*a^3) - b^4/(4*a^5*(b + a*x^2)^2) + (2*b^3)/(a^5*(b + a*x^2)) + (3*b^2*log(b + a*x^2))/a^5, x, 4),
+(x^2/(a + b/x^2)^3, (-35*b*x)/(8*a^4) + (35*x^3)/(24*a^3) - x^7/(4*a*(b + a*x^2)^2) - (7*x^5)/(8*a^2*(b + a*x^2)) + (35*b^(3//2)*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/(8*a^(9//2)), x, 6),
+(x/(a + b/x^2)^3, x^2/(2*a^3) + b^3/(4*a^4*(b + a*x^2)^2) - (3*b^2)/(2*a^4*(b + a*x^2)) - (3*b*log(b + a*x^2))/(2*a^4), x, 4),
+((a + b/x^2)^(-3), (15*x)/(8*a^3) - x^5/(4*a*(b + a*x^2)^2) - (5*x^3)/(8*a^2*(b + a*x^2)) - (15*sqrt(b)*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/(8*a^(7//2)), x, 5),
+(1/((a + b/x^2)^3*x), -(b^2/(4*a^3*(b + a*x^2)^2)) + b/(a^3*(b + a*x^2)) + log(b + a*x^2)/(2*a^3), x, 4),
+(1/((a + b/x^2)^3*x^2), -(x^3/(4*a*(b + a*x^2)^2)) - (3*x)/(8*a^2*(b + a*x^2)) + (3*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/(8*a^(5//2)*sqrt(b)), x, 4),
+(1/((a + b/x^2)^3*x^3), 1/(4*b*(a + b/x^2)^2), x, 1),
+(1/((a + b/x^2)^3*x^4), -(x/(4*a*(b + a*x^2)^2)) + x/(8*a*b*(b + a*x^2)) + atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b))/(8*a^(3//2)*b^(3//2)), x, 4),
+(1/((a + b/x^2)^3*x^5), -(1/(4*a*(b + a*x^2)^2)), x, 2),
+(1/((a + b/x^2)^3*x^6), x/(4*b*(b + a*x^2)^2) + (3*x)/(8*b^2*(b + a*x^2)) + (3*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/(8*sqrt(a)*b^(5//2)), x, 4),
+(1/((a + b/x^2)^3*x^7), 1/(4*b*(b + a*x^2)^2) + 1/(2*b^2*(b + a*x^2)) + log(x)/b^3 - log(b + a*x^2)/(2*b^3), x, 4),
+(1/((a + b/x^2)^3*x^8), -(15/(8*b^3*x)) + 1/(4*b*x*(b + a*x^2)^2) + 5/(8*b^2*x*(b + a*x^2)) - (15*sqrt(a)*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/(8*b^(7//2)), x, 5),
+(1/((a + b/x^2)^3*x^9), -(1/(2*b^3*x^2)) - a/(4*b^2*(b + a*x^2)^2) - a/(b^3*(b + a*x^2)) - (3*a*log(x))/b^4 + (3*a*log(b + a*x^2))/(2*b^4), x, 4),
+(1/((a + b/x^2)^3*x^10), -(35/(24*b^3*x^3)) + (35*a)/(8*b^4*x) + 1/(4*b*x^3*(b + a*x^2)^2) + 7/(8*b^2*x^3*(b + a*x^2)) + (35*a^(3//2)*atan((sqrt(a)*x)/sqrt(b)))/(8*b^(9//2)), x, 6),
+(1/((a + b/x^2)^3*x^11), -(1/(4*b^3*x^4)) + (3*a)/(2*b^4*x^2) + a^2/(4*b^3*(b + a*x^2)^2) + (3*a^2)/(2*b^4*(b + a*x^2)) + (6*a^2*log(x))/b^5 - (3*a^2*log(b + a*x^2))/b^5, x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(a + b/x^2)^(1//2), (b*sqrt(a + b/x^2)*x^2)/(8*a) + (1//4)*sqrt(a + b/x^2)*x^4 - (b^2*atanh(sqrt(a + b/x^2)/sqrt(a)))/(8*a^(3//2)), x, 5),
+(x^2*(a + b/x^2)^(1//2), ((a + b/x^2)^(3//2)*x^3)/(3*a), x, 1),
+(x^1*(a + b/x^2)^(1//2), (1//2)*sqrt(a + b/x^2)*x^2 + (b*atanh(sqrt(a + b/x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)), x, 4),
+(x^0*(a + b/x^2)^(1//2), sqrt(a + b/x^2)*x - sqrt(b)*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^2)*x)), x, 4),
+((a + b/x^2)^(1//2)/x^1, -sqrt(a + b/x^2) + sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b/x^2)/sqrt(a)), x, 4),
+((a + b/x^2)^(1//2)/x^2, -(sqrt(a + b/x^2)/(2*x)) - (a*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^2)*x)))/(2*sqrt(b)), x, 4),
+((a + b/x^2)^(1//2)/x^3, -((a + b/x^2)^(3//2)/(3*b)), x, 1),
+((a + b/x^2)^(1//2)/x^4, -(sqrt(a + b/x^2)/(4*x^3)) - (a*sqrt(a + b/x^2))/(8*b*x) + (a^2*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^2)*x)))/(8*b^(3//2)), x, 5),
+
+
+(x^3*(a + b/x^2)^(3//2), (3//8)*b*sqrt(a + b/x^2)*x^2 + (1//4)*(a + b/x^2)^(3//2)*x^4 + (3*b^2*atanh(sqrt(a + b/x^2)/sqrt(a)))/(8*sqrt(a)), x, 5),
+(x^2*(a + b/x^2)^(3//2), b*sqrt(a + b/x^2)*x + (1//3)*(a + b/x^2)^(3//2)*x^3 - b^(3//2)*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^2)*x)), x, 5),
+(x^1*(a + b/x^2)^(3//2), (-(3//2))*b*sqrt(a + b/x^2) + (1//2)*(a + b/x^2)^(3//2)*x^2 + (3//2)*sqrt(a)*b*atanh(sqrt(a + b/x^2)/sqrt(a)), x, 5),
+(x^0*(a + b/x^2)^(3//2), -((3*b*sqrt(a + b/x^2))/(2*x)) + (a + b/x^2)^(3//2)*x - (3//2)*a*sqrt(b)*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^2)*x)), x, 5),
+((a + b/x^2)^(3//2)/x^1, (-a)*sqrt(a + b/x^2) - (1//3)*(a + b/x^2)^(3//2) + a^(3//2)*atanh(sqrt(a + b/x^2)/sqrt(a)), x, 5),
+((a + b/x^2)^(3//2)/x^2, -((3*a*sqrt(a + b/x^2))/(8*x)) - (a + b/x^2)^(3//2)/(4*x) - (3*a^2*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^2)*x)))/(8*sqrt(b)), x, 5),
+((a + b/x^2)^(3//2)/x^3, -((a + b/x^2)^(5//2)/(5*b)), x, 1),
+((a + b/x^2)^(3//2)/x^4, -((a*sqrt(a + b/x^2))/(8*x^3)) - (a + b/x^2)^(3//2)/(6*x^3) - (a^2*sqrt(a + b/x^2))/(16*b*x) + (a^3*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^2)*x)))/(16*b^(3//2)), x, 6),
+
+
+(x^3*(a + b/x^2)^(5//2), (-(15//8))*b^2*sqrt(a + b/x^2) + (5//8)*b*(a + b/x^2)^(3//2)*x^2 + (1//4)*(a + b/x^2)^(5//2)*x^4 + (15//8)*sqrt(a)*b^2*atanh(sqrt(a + b/x^2)/sqrt(a)), x, 6),
+(x^2*(a + b/x^2)^(5//2), -((5*b^2*sqrt(a + b/x^2))/(2*x)) + (5//3)*b*(a + b/x^2)^(3//2)*x + (1//3)*(a + b/x^2)^(5//2)*x^3 - (5//2)*a*b^(3//2)*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^2)*x)), x, 6),
+(x^1*(a + b/x^2)^(5//2), (-(5//2))*a*b*sqrt(a + b/x^2) - (5//6)*b*(a + b/x^2)^(3//2) + (1//2)*(a + b/x^2)^(5//2)*x^2 + (5//2)*a^(3//2)*b*atanh(sqrt(a + b/x^2)/sqrt(a)), x, 6),
+(x^0*(a + b/x^2)^(5//2), -((15*a*b*sqrt(a + b/x^2))/(8*x)) - (5*b*(a + b/x^2)^(3//2))/(4*x) + (a + b/x^2)^(5//2)*x - (15//8)*a^2*sqrt(b)*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^2)*x)), x, 6),
+((a + b/x^2)^(5//2)/x^1, (-a^2)*sqrt(a + b/x^2) - (1//3)*a*(a + b/x^2)^(3//2) - (1//5)*(a + b/x^2)^(5//2) + a^(5//2)*atanh(sqrt(a + b/x^2)/sqrt(a)), x, 6),
+((a + b/x^2)^(5//2)/x^2, -((5*a^2*sqrt(a + b/x^2))/(16*x)) - (5*a*(a + b/x^2)^(3//2))/(24*x) - (a + b/x^2)^(5//2)/(6*x) - (5*a^3*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^2)*x)))/(16*sqrt(b)), x, 6),
+((a + b/x^2)^(5//2)/x^3, -((a + b/x^2)^(7//2)/(7*b)), x, 1),
+((a + b/x^2)^(5//2)/x^4, -((5*a^2*sqrt(a + b/x^2))/(64*x^3)) - (5*a*(a + b/x^2)^(3//2))/(48*x^3) - (a + b/x^2)^(5//2)/(8*x^3) - (5*a^3*sqrt(a + b/x^2))/(128*b*x) + (5*a^4*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^2)*x)))/(128*b^(3//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^3/(a + b/x^2)^(1//2), -((3*b*sqrt(a + b/x^2)*x^2)/(8*a^2)) + (sqrt(a + b/x^2)*x^4)/(4*a) + (3*b^2*atanh(sqrt(a + b/x^2)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)), x, 5),
+(x^1/(a + b/x^2)^(1//2), (sqrt(a + b/x^2)*x^2)/(2*a) - (b*atanh(sqrt(a + b/x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^1*(a + b/x^2)^(1//2)), atanh(sqrt(a + b/x^2)/sqrt(a))/sqrt(a), x, 3),
+(1/(x^3*(a + b/x^2)^(1//2)), -(sqrt(a + b/x^2)/b), x, 1),
+(1/(x^5*(a + b/x^2)^(1//2)), (a*sqrt(a + b/x^2))/b^2 - (a + b/x^2)^(3//2)/(3*b^2), x, 3),
+(1/(x^7*(a + b/x^2)^(1//2)), -((a^2*sqrt(a + b/x^2))/b^3) + (2*a*(a + b/x^2)^(3//2))/(3*b^3) - (a + b/x^2)^(5//2)/(5*b^3), x, 3),
+(1/(x^9*(a + b/x^2)^(1//2)), (a^3*sqrt(a + b/x^2))/b^4 - (a^2*(a + b/x^2)^(3//2))/b^4 + (3*a*(a + b/x^2)^(5//2))/(5*b^4) - (a + b/x^2)^(7//2)/(7*b^4), x, 3),
+
+(x^4/(a + b/x^2)^(1//2), (8*b^2*sqrt(a + b/x^2)*x)/(15*a^3) - (4*b*sqrt(a + b/x^2)*x^3)/(15*a^2) + (sqrt(a + b/x^2)*x^5)/(5*a), x, 3),
+(x^2/(a + b/x^2)^(1//2), -((2*b*sqrt(a + b/x^2)*x)/(3*a^2)) + (sqrt(a + b/x^2)*x^3)/(3*a), x, 2),
+(x^0/(a + b/x^2)^(1//2), (sqrt(a + b/x^2)*x)/a, x, 1),
+(1/(x^2*(a + b/x^2)^(1//2)), -(atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^2)*x))/sqrt(b)), x, 3),
+(1/(x^4*(a + b/x^2)^(1//2)), -(sqrt(a + b/x^2)/(2*b*x)) + (a*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^2)*x)))/(2*b^(3//2)), x, 4),
+
+(1/(x^1*sqrt(-a + b/x^2)), -(atan(sqrt(-a + b/x^2)/sqrt(a))/sqrt(a)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(2 + b/x^2)), -(acsch((sqrt(2)*x)/sqrt(b))/sqrt(b)), x, 2),
+(1/(x^2*sqrt(2 - b/x^2)), -(acsc((sqrt(2)*x)/sqrt(b))/sqrt(b)), x, 2),
+
+
+(x^3/(a + b/x^2)^(3//2), -((15*b^2)/(8*a^3*sqrt(a + b/x^2))) - (5*b*x^2)/(8*a^2*sqrt(a + b/x^2)) + x^4/(4*a*sqrt(a + b/x^2)) + (15*b^2*atanh(sqrt(a + b/x^2)/sqrt(a)))/(8*a^(7//2)), x, 6),
+(x^1/(a + b/x^2)^(3//2), (3*b)/(2*a^2*sqrt(a + b/x^2)) + x^2/(2*a*sqrt(a + b/x^2)) - (3*b*atanh(sqrt(a + b/x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)), x, 5),
+(1/(x^1*(a + b/x^2)^(3//2)), -(1/(a*sqrt(a + b/x^2))) + atanh(sqrt(a + b/x^2)/sqrt(a))/a^(3//2), x, 4),
+(1/(x^3*(a + b/x^2)^(3//2)), 1/(b*sqrt(a + b/x^2)), x, 1),
+(1/(x^5*(a + b/x^2)^(3//2)), -(a/(b^2*sqrt(a + b/x^2))) - sqrt(a + b/x^2)/b^2, x, 3),
+(1/(x^7*(a + b/x^2)^(3//2)), a^2/(b^3*sqrt(a + b/x^2)) + (2*a*sqrt(a + b/x^2))/b^3 - (a + b/x^2)^(3//2)/(3*b^3), x, 3),
+(1/(x^9*(a + b/x^2)^(3//2)), -(a^3/(b^4*sqrt(a + b/x^2))) - (3*a^2*sqrt(a + b/x^2))/b^4 + (a*(a + b/x^2)^(3//2))/b^4 - (a + b/x^2)^(5//2)/(5*b^4), x, 3),
+
+(x^4/(a + b/x^2)^(3//2), -((8*b^2*x)/(5*a^3*sqrt(a + b/x^2))) + (16*b^2*sqrt(a + b/x^2)*x)/(5*a^4) - (2*b*x^3)/(5*a^2*sqrt(a + b/x^2)) + x^5/(5*a*sqrt(a + b/x^2)), x, 4),
+(x^2/(a + b/x^2)^(3//2), (4*b*x)/(3*a^2*sqrt(a + b/x^2)) - (8*b*sqrt(a + b/x^2)*x)/(3*a^3) + x^3/(3*a*sqrt(a + b/x^2)), x, 3),
+(x^0/(a + b/x^2)^(3//2), -(x/(a*sqrt(a + b/x^2))) + (2*sqrt(a + b/x^2)*x)/a^2, x, 2),
+(1/(x^2*(a + b/x^2)^(3//2)), -(1/(a*sqrt(a + b/x^2)*x)), x, 1),
+(1/(x^4*(a + b/x^2)^(3//2)), 1/(b*sqrt(a + b/x^2)*x) - atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^2)*x))/b^(3//2), x, 4),
+(1/(x^6*(a + b/x^2)^(3//2)), 1/(b*sqrt(a + b/x^2)*x^3) - (3*sqrt(a + b/x^2))/(2*b^2*x) + (3*a*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^2)*x)))/(2*b^(5//2)), x, 5),
+(1/(x^8*(a + b/x^2)^(3//2)), 1/(b*sqrt(a + b/x^2)*x^5) - (5*sqrt(a + b/x^2))/(4*b^2*x^3) + (15*a*sqrt(a + b/x^2))/(8*b^3*x) - (15*a^2*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^2)*x)))/(8*b^(7//2)), x, 6),
+
+
+(x^3/(a + b/x^2)^(5//2), -((35*b^2)/(24*a^3*(a + b/x^2)^(3//2))) - (35*b^2)/(8*a^4*sqrt(a + b/x^2)) - (7*b*x^2)/(8*a^2*(a + b/x^2)^(3//2)) + x^4/(4*a*(a + b/x^2)^(3//2)) + (35*b^2*atanh(sqrt(a + b/x^2)/sqrt(a)))/(8*a^(9//2)), x, 7),
+(x^1/(a + b/x^2)^(5//2), (5*b)/(6*a^2*(a + b/x^2)^(3//2)) + (5*b)/(2*a^3*sqrt(a + b/x^2)) + x^2/(2*a*(a + b/x^2)^(3//2)) - (5*b*atanh(sqrt(a + b/x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(7//2)), x, 6),
+(1/(x^1*(a + b/x^2)^(5//2)), -(1/(3*a*(a + b/x^2)^(3//2))) - 1/(a^2*sqrt(a + b/x^2)) + atanh(sqrt(a + b/x^2)/sqrt(a))/a^(5//2), x, 5),
+(1/(x^3*(a + b/x^2)^(5//2)), 1/(3*b*(a + b/x^2)^(3//2)), x, 1),
+(1/(x^5*(a + b/x^2)^(5//2)), -(a/(3*b^2*(a + b/x^2)^(3//2))) + 1/(b^2*sqrt(a + b/x^2)), x, 3),
+(1/(x^7*(a + b/x^2)^(5//2)), a^2/(3*b^3*(a + b/x^2)^(3//2)) - (2*a)/(b^3*sqrt(a + b/x^2)) - sqrt(a + b/x^2)/b^3, x, 3),
+(1/(x^9*(a + b/x^2)^(5//2)), -(a^3/(3*b^4*(a + b/x^2)^(3//2))) + (3*a^2)/(b^4*sqrt(a + b/x^2)) + (3*a*sqrt(a + b/x^2))/b^4 - (a + b/x^2)^(3//2)/(3*b^4), x, 3),
+
+(x^2/(a + b/x^2)^(5//2), (2*b*x)/(3*a^2*(a + b/x^2)^(3//2)) + (8*b*x)/(3*a^3*sqrt(a + b/x^2)) - (16*b*sqrt(a + b/x^2)*x)/(3*a^4) + x^3/(3*a*(a + b/x^2)^(3//2)), x, 4),
+(x^0/(a + b/x^2)^(5//2), -(x/(3*a*(a + b/x^2)^(3//2))) - (4*x)/(3*a^2*sqrt(a + b/x^2)) + (8*sqrt(a + b/x^2)*x)/(3*a^3), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b/x^2)^(5//2)), -((2*b)/(3*a^2*(a + b/x^2)^(3//2)*x^3)) - 1/(a*(a + b/x^2)^(3//2)*x), x, 2),
+(1/(x^4*(a + b/x^2)^(5//2)), -(1/(3*a*(a + b/x^2)^(3//2)*x^3)), x, 1),
+(1/(x^6*(a + b/x^2)^(5//2)), 1/(3*b*(a + b/x^2)^(3//2)*x^3) + 1/(b^2*sqrt(a + b/x^2)*x) - atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^2)*x))/b^(5//2), x, 5),
+(1/(x^8*(a + b/x^2)^(5//2)), 1/(3*b*(a + b/x^2)^(3//2)*x^5) + 5/(3*b^2*sqrt(a + b/x^2)*x^3) - (5*sqrt(a + b/x^2))/(2*b^3*x) + (5*a*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^2)*x)))/(2*b^(7//2)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x^2)^(p/3)
+
+
+((1 + 1/x^2)^(1//3)/x^3, (-3*(1 + x^(-2))^(4//3))/8, x, 1),
+((1 + 1/x^2)^(5//3)/x^3, (-3*(1 + x^(-2))^(8//3))/16, x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b/x^2)^p with m symbolic
+
+
+((c*x)^m*(1 + b/x^2)^(3//2), ((c*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), (1//2)*(-1 - m), (1 - m)/2, -(b/x^2)))/(c*(1 + m)), x, 2),
+((c*x)^m*(1 + b/x^2)^(1//2), ((c*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (1//2)*(-1 - m), (1 - m)/2, -(b/x^2)))/(c*(1 + m)), x, 2),
+((c*x)^m/(1 + b/x^2)^(1//2), ((c*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1//2)*(-1 - m), (1 - m)/2, -(b/x^2)))/(c*(1 + m)), x, 2),
+((c*x)^m/(1 + b/x^2)^(3//2), ((c*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, (1//2)*(-1 - m), (1 - m)/2, -(b/x^2)))/(c*(1 + m)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b/x^2)^p with p symbolic
+
+
+((c*x)^m*(1 + b/x^2)^p, ((c*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1//2)*(-1 - m), -p, (1 - m)/2, -(b/x^2)))/(c*(1 + m)), x, 2),
+((c*x)^m*(a + b/x^2)^p, ((a + b/x^2)^p*(c*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1//2)*(-1 - m), -p, (1 - m)/2, -(b/(a*x^2))))/((1 + b/(a*x^2))^p*(c*(1 + m))), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b/x^3)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x^3)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5/(a + b/x^3), -((b*x^3)/(3*a^2)) + x^6/(6*a) + (b^2*log(b + a*x^3))/(3*a^3), x, 4),
+(x^4/(a + b/x^3), -((b*x^2)/(2*a^2)) + x^5/(5*a) - (b^(5//3)*atan((b^(1//3) - 2*a^(1//3)*x)/(sqrt(3)*b^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(8//3)) - (b^(5//3)*log(b^(1//3) + a^(1//3)*x))/(3*a^(8//3)) + (b^(5//3)*log(b^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + a^(2//3)*x^2))/(6*a^(8//3)), x, 9),
+(x^3/(a + b/x^3), -((b*x)/a^2) + x^4/(4*a) - (b^(4//3)*atan((b^(1//3) - 2*a^(1//3)*x)/(sqrt(3)*b^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(7//3)) + (b^(4//3)*log(b^(1//3) + a^(1//3)*x))/(3*a^(7//3)) - (b^(4//3)*log(b^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + a^(2//3)*x^2))/(6*a^(7//3)), x, 9),
+(x^2/(a + b/x^3), x^3/(3*a) - (b*log(b + a*x^3))/(3*a^2), x, 4),
+(x^1/(a + b/x^3), x^2/(2*a) + (b^(2//3)*atan((b^(1//3) - 2*a^(1//3)*x)/(sqrt(3)*b^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(5//3)) + (b^(2//3)*log(b^(1//3) + a^(1//3)*x))/(3*a^(5//3)) - (b^(2//3)*log(b^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + a^(2//3)*x^2))/(6*a^(5//3)), x, 8),
+(x^0/(a + b/x^3), x/a + (b^(1//3)*atan((b^(1//3) - 2*a^(1//3)*x)/(sqrt(3)*b^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(4//3)) - (b^(1//3)*log(b^(1//3) + a^(1//3)*x))/(3*a^(4//3)) + (b^(1//3)*log(b^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + a^(2//3)*x^2))/(6*a^(4//3)), x, 8),
+(1/(x^1*(a + b/x^3)), log(b + a*x^3)/(3*a), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b/x^3)), -(atan((b^(1//3) - 2*a^(1//3)*x)/(sqrt(3)*b^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(1//3))) - log(b^(1//3) + a^(1//3)*x)/(3*a^(2//3)*b^(1//3)) + log(b^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + a^(2//3)*x^2)/(6*a^(2//3)*b^(1//3)), x, 7),
+(1/(x^3*(a + b/x^3)), -(atan((b^(1//3) - 2*a^(1//3)*x)/(sqrt(3)*b^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(1//3)*b^(2//3))) + log(b^(1//3) + a^(1//3)*x)/(3*a^(1//3)*b^(2//3)) - log(b^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + a^(2//3)*x^2)/(6*a^(1//3)*b^(2//3)), x, 7),
+(1/(x^4*(a + b/x^3)), -(log(a + b/x^3)/(3*b)), x, 1),
+(1/(x^5*(a + b/x^3)), -(1/(b*x)) + (a^(1//3)*atan((b^(1//3) - 2*a^(1//3)*x)/(sqrt(3)*b^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(4//3)) + (a^(1//3)*log(b^(1//3) + a^(1//3)*x))/(3*b^(4//3)) - (a^(1//3)*log(b^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + a^(2//3)*x^2))/(6*b^(4//3)), x, 8),
+(1/(x^6*(a + b/x^3)), -(1/(2*b*x^2)) + (a^(2//3)*atan((b^(1//3) - 2*a^(1//3)*x)/(sqrt(3)*b^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(5//3)) - (a^(2//3)*log(b^(1//3) + a^(1//3)*x))/(3*b^(5//3)) + (a^(2//3)*log(b^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + a^(2//3)*x^2))/(6*b^(5//3)), x, 8),
+(1/(x^7*(a + b/x^3)), -(1/(3*b*x^3)) - (a*log(x))/b^2 + (a*log(b + a*x^3))/(3*b^2), x, 4),
+
+
+(x^5/(a + b/x^3)^2, -((2*b*x^3)/(3*a^3)) + x^6/(6*a^2) + b^3/(3*a^4*(b + a*x^3)) + (b^2*log(b + a*x^3))/a^4, x, 4),
+(x^4/(a + b/x^3)^2, -((4*b*x^2)/(3*a^3)) + (8*x^5)/(15*a^2) - x^8/(3*a*(b + a*x^3)) - (8*b^(5//3)*atan((b^(1//3) - 2*a^(1//3)*x)/(sqrt(3)*b^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(11//3)) - (8*b^(5//3)*log(b^(1//3) + a^(1//3)*x))/(9*a^(11//3)) + (4*b^(5//3)*log(b^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + a^(2//3)*x^2))/(9*a^(11//3)), x, 10),
+(x^3/(a + b/x^3)^2, -((7*b*x)/(3*a^3)) + (7*x^4)/(12*a^2) - x^7/(3*a*(b + a*x^3)) - (7*b^(4//3)*atan((b^(1//3) - 2*a^(1//3)*x)/(sqrt(3)*b^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(10//3)) + (7*b^(4//3)*log(b^(1//3) + a^(1//3)*x))/(9*a^(10//3)) - (7*b^(4//3)*log(b^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + a^(2//3)*x^2))/(18*a^(10//3)), x, 10),
+(x^2/(a + b/x^3)^2, x^3/(3*a^2) - b^2/(3*a^3*(b + a*x^3)) - (2*b*log(b + a*x^3))/(3*a^3), x, 4),
+(x^1/(a + b/x^3)^2, (5*x^2)/(6*a^2) - x^5/(3*a*(b + a*x^3)) + (5*b^(2//3)*atan((b^(1//3) - 2*a^(1//3)*x)/(sqrt(3)*b^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(8//3)) + (5*b^(2//3)*log(b^(1//3) + a^(1//3)*x))/(9*a^(8//3)) - (5*b^(2//3)*log(b^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + a^(2//3)*x^2))/(18*a^(8//3)), x, 9),
+(x^0/(a + b/x^3)^2, (4*x)/(3*a^2) - x^4/(3*a*(b + a*x^3)) + (4*b^(1//3)*atan((b^(1//3) - 2*a^(1//3)*x)/(sqrt(3)*b^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(7//3)) - (4*b^(1//3)*log(b^(1//3) + a^(1//3)*x))/(9*a^(7//3)) + (2*b^(1//3)*log(b^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + a^(2//3)*x^2))/(9*a^(7//3)), x, 9),
+(1/(x^1*(a + b/x^3)^2), b/(3*a^2*(b + a*x^3)) + log(b + a*x^3)/(3*a^2), x, 4),
+(1/(x^2*(a + b/x^3)^2), -(x^2/(3*a*(b + a*x^3))) - (2*atan((b^(1//3) - 2*a^(1//3)*x)/(sqrt(3)*b^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(1//3)) - (2*log(b^(1//3) + a^(1//3)*x))/(9*a^(5//3)*b^(1//3)) + log(b^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + a^(2//3)*x^2)/(9*a^(5//3)*b^(1//3)), x, 8),
+(1/(x^3*(a + b/x^3)^2), -(x/(3*a*(b + a*x^3))) - atan((b^(1//3) - 2*a^(1//3)*x)/(sqrt(3)*b^(1//3)))/(3*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(2//3)) + log(b^(1//3) + a^(1//3)*x)/(9*a^(4//3)*b^(2//3)) - log(b^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + a^(2//3)*x^2)/(18*a^(4//3)*b^(2//3)), x, 8),
+(1/(x^4*(a + b/x^3)^2), 1/(3*b*(a + b/x^3)), x, 1),
+(1/(x^5*(a + b/x^3)^2), x^2/(3*b*(b + a*x^3)) - atan((b^(1//3) - 2*a^(1//3)*x)/(sqrt(3)*b^(1//3)))/(3*sqrt(3)*a^(2//3)*b^(4//3)) - log(b^(1//3) + a^(1//3)*x)/(9*a^(2//3)*b^(4//3)) + log(b^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + a^(2//3)*x^2)/(18*a^(2//3)*b^(4//3)), x, 8),
+(1/(x^6*(a + b/x^3)^2), x/(3*b*(b + a*x^3)) - (2*atan((b^(1//3) - 2*a^(1//3)*x)/(sqrt(3)*b^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(1//3)*b^(5//3)) + (2*log(b^(1//3) + a^(1//3)*x))/(9*a^(1//3)*b^(5//3)) - log(b^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + a^(2//3)*x^2)/(9*a^(1//3)*b^(5//3)), x, 8),
+(1/(x^7*(a + b/x^3)^2), 1/(3*b*(b + a*x^3)) + log(x)/b^2 - log(b + a*x^3)/(3*b^2), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x^3)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(a + b/x^3)*x^5, (b*sqrt(a + b/x^3)*x^3)/(12*a) + (sqrt(a + b/x^3)*x^6)/6 - (b^2*atanh(sqrt(a + b/x^3)/sqrt(a)))/(12*a^(3//2)), x, 5),
+(sqrt(a + b/x^3)*x^2, (sqrt(a + b/x^3)*x^3)/3 + (b*atanh(sqrt(a + b/x^3)/sqrt(a)))/(3*sqrt(a)), x, 4),
+(sqrt(a + b/x^3)/x^1, (-2*sqrt(a + b/x^3))/3 + (2*sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b/x^3)/sqrt(a)))/3, x, 4),
+(sqrt(a + b/x^3)/x^4, (-2*(a + b/x^3)^(3//2))/(9*b), x, 1),
+(sqrt(a + b/x^3)/x^7, (2*a*(a + b/x^3)^(3//2))/(9*b^2) - (2*(a + b/x^3)^(5//2))/(15*b^2), x, 3),
+(sqrt(a + b/x^3)/x^10, (-2*a^2*(a + b/x^3)^(3//2))/(9*b^3) + (4*a*(a + b/x^3)^(5//2))/(15*b^3) - (2*(a + b/x^3)^(7//2))/(21*b^3), x, 3),
+(sqrt(a + b/x^3)/x^13, (2*a^3*(a + b/x^3)^(3//2))/(9*b^4) - (2*a^2*(a + b/x^3)^(5//2))/(5*b^4) + (2*a*(a + b/x^3)^(7//2))/(7*b^4) - (2*(a + b/x^3)^(9//2))/(27*b^4), x, 3),
+
+(sqrt(a + b/x^3)*x^7, -((21*b^2*sqrt(a + b/x^3)*x^2)/(320*a^2)) + (3*b*sqrt(a + b/x^3)*x^5)/(80*a) + (1//8)*sqrt(a + b/x^3)*x^8 - (7*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(8//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(320*a^2*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 5),
+(sqrt(a + b/x^3)*x^4, (3*b*sqrt(a + b/x^3)*x^2)/(20*a) + (1//5)*sqrt(a + b/x^3)*x^5 + (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(5//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(20*a*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 4),
+(sqrt(a + b/x^3)*x^1, (1//2)*sqrt(a + b/x^3)*x^2 - (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 3),
+(sqrt(a + b/x^3)/x^2, -((2*sqrt(a + b/x^3))/(5*x)) - (2*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(5*b^(1//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 3),
+(sqrt(a + b/x^3)/x^5, -((2*sqrt(a + b/x^3))/(11*x^4)) - (6*a*sqrt(a + b/x^3))/(55*b*x) + (4*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^2*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(55*b^(4//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 4),
+(sqrt(a + b/x^3)/x^8, -((2*sqrt(a + b/x^3))/(17*x^7)) - (6*a*sqrt(a + b/x^3))/(187*b*x^4) + (48*a^2*sqrt(a + b/x^3))/(935*b^2*x) - (32*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^3*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(935*b^(7//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 5),
+
+(sqrt(a + b/x^3)*x^6, (15*b^(7//3)*sqrt(a + b/x^3))/(112*a^2*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)) - (15*b^2*sqrt(a + b/x^3)*x)/(112*a^2) + (3*b*sqrt(a + b/x^3)*x^4)/(56*a) + (1//7)*sqrt(a + b/x^3)*x^7 - (15*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(7//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(224*a^(5//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) + (5*3^(3//4)*b^(7//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(56*sqrt(2)*a^(5//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 7),
+(sqrt(a + b/x^3)*x^3, -((3*b^(4//3)*sqrt(a + b/x^3))/(8*a*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x))) + (3*b*sqrt(a + b/x^3)*x)/(8*a) + (1//4)*sqrt(a + b/x^3)*x^4 + (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*a^(2//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) - (3^(3//4)*b^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*a^(2//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 6),
+(sqrt(a + b/x^3)*x^0, -((3*b^(1//3)*sqrt(a + b/x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)) + sqrt(a + b/x^3)*x + (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) - (sqrt(2)*3^(3//4)*a^(1//3)*b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 5),
+(sqrt(a + b/x^3)/x^3, -((6*a*sqrt(a + b/x^3))/(7*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x))) - (2*sqrt(a + b/x^3))/(7*x^2) + (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(2//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) - (2*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(2//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 5),
+(sqrt(a + b/x^3)/x^6, (24*a^2*sqrt(a + b/x^3))/(91*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)) - (2*sqrt(a + b/x^3))/(13*x^5) - (6*a*sqrt(a + b/x^3))/(91*b*x^2) - (12*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(7//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(5//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) + (8*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(7//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(5//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 6),
+(sqrt(a + b/x^3)/x^9, -((240*a^3*sqrt(a + b/x^3))/(1729*b^(8//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x))) - (2*sqrt(a + b/x^3))/(19*x^8) - (6*a*sqrt(a + b/x^3))/(247*b*x^5) + (60*a^2*sqrt(a + b/x^3))/(1729*b^2*x^2) + (120*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(10//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*b^(8//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) - (80*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(10//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*b^(8//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 7),
+
+
+((a + b/x^3)^(3//2)*x^5, (b*sqrt(a + b/x^3)*x^3)/4 + ((a + b/x^3)^(3//2)*x^6)/6 + (b^2*atanh(sqrt(a + b/x^3)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)), x, 5),
+((a + b/x^3)^(3//2)*x^2, -(b*sqrt(a + b/x^3)) + ((a + b/x^3)^(3//2)*x^3)/3 + sqrt(a)*b*atanh(sqrt(a + b/x^3)/sqrt(a)), x, 5),
+((a + b/x^3)^(3//2)/x^1, (-2*a*sqrt(a + b/x^3))/3 - (2*(a + b/x^3)^(3//2))/9 + (2*a^(3//2)*atanh(sqrt(a + b/x^3)/sqrt(a)))/3, x, 5),
+((a + b/x^3)^(3//2)/x^4, (-2*(a + b/x^3)^(5//2))/(15*b), x, 1),
+((a + b/x^3)^(3//2)/x^7, (2*a*(a + b/x^3)^(5//2))/(15*b^2) - (2*(a + b/x^3)^(7//2))/(21*b^2), x, 3),
+((a + b/x^3)^(3//2)/x^10, (-2*a^2*(a + b/x^3)^(5//2))/(15*b^3) + (4*a*(a + b/x^3)^(7//2))/(21*b^3) - (2*(a + b/x^3)^(9//2))/(27*b^3), x, 3),
+((a + b/x^3)^(3//2)/x^13, (2*a^3*(a + b/x^3)^(5//2))/(15*b^4) - (2*a^2*(a + b/x^3)^(7//2))/(7*b^4) + (2*a*(a + b/x^3)^(9//2))/(9*b^4) - (2*(a + b/x^3)^(11//2))/(33*b^4), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5/sqrt(a + b/x^3), -((b*sqrt(a + b/x^3)*x^3)/(4*a^2)) + (sqrt(a + b/x^3)*x^6)/(6*a) + (b^2*atanh(sqrt(a + b/x^3)/sqrt(a)))/(4*a^(5//2)), x, 5),
+(x^2/sqrt(a + b/x^3), (sqrt(a + b/x^3)*x^3)/(3*a) - (b*atanh(sqrt(a + b/x^3)/sqrt(a)))/(3*a^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^1*sqrt(a + b/x^3)), (2*atanh(sqrt(a + b/x^3)/sqrt(a)))/(3*sqrt(a)), x, 3),
+(1/(x^4*sqrt(a + b/x^3)), -((2*sqrt(a + b/x^3))/(3*b)), x, 1),
+(1/(x^7*sqrt(a + b/x^3)), (2*a*sqrt(a + b/x^3))/(3*b^2) - (2*(a + b/x^3)^(3//2))/(9*b^2), x, 3),
+(1/(x^10*sqrt(a + b/x^3)), -((2*a^2*sqrt(a + b/x^3))/(3*b^3)) + (4*a*(a + b/x^3)^(3//2))/(9*b^3) - (2*(a + b/x^3)^(5//2))/(15*b^3), x, 3),
+(1/(x^13*sqrt(a + b/x^3)), (2*a^3*sqrt(a + b/x^3))/(3*b^4) - (2*a^2*(a + b/x^3)^(3//2))/(3*b^4) + (2*a*(a + b/x^3)^(5//2))/(5*b^4) - (2*(a + b/x^3)^(7//2))/(21*b^4), x, 3),
+
+(x^7/sqrt(a + b/x^3), (91*b^2*sqrt(a + b/x^3)*x^2)/(320*a^3) - (13*b*sqrt(a + b/x^3)*x^5)/(80*a^2) + (sqrt(a + b/x^3)*x^8)/(8*a) + (91*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(8//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(320*3^(1//4)*a^3*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 5),
+(x^4/sqrt(a + b/x^3), -((7*b*sqrt(a + b/x^3)*x^2)/(20*a^2)) + (sqrt(a + b/x^3)*x^5)/(5*a) - (7*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(5//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(20*3^(1//4)*a^2*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 4),
+(x^1/sqrt(a + b/x^3), (sqrt(a + b/x^3)*x^2)/(2*a) + (sqrt(2 + sqrt(3))*b^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*3^(1//4)*a*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(a + b/x^3)), -((2*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*b^(1//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2))), x, 2),
+(1/(x^5*sqrt(a + b/x^3)), -((2*sqrt(a + b/x^3))/(5*b*x)) + (4*sqrt(2 + sqrt(3))*a*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(5*3^(1//4)*b^(4//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 3),
+(1/(x^8*sqrt(a + b/x^3)), -((2*sqrt(a + b/x^3))/(11*b*x^4)) + (16*a*sqrt(a + b/x^3))/(55*b^2*x) - (32*sqrt(2 + sqrt(3))*a^2*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(55*3^(1//4)*b^(7//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 4),
+
+(x^6/sqrt(a + b/x^3), -((55*b^(7//3)*sqrt(a + b/x^3))/(112*a^3*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x))) + (55*b^2*sqrt(a + b/x^3)*x)/(112*a^3) - (11*b*sqrt(a + b/x^3)*x^4)/(56*a^2) + (sqrt(a + b/x^3)*x^7)/(7*a) + (55*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(7//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(224*a^(8//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) - (55*b^(7//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(56*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(8//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 7),
+(x^3/sqrt(a + b/x^3), (5*b^(4//3)*sqrt(a + b/x^3))/(8*a^2*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)) - (5*b*sqrt(a + b/x^3)*x)/(8*a^2) + (sqrt(a + b/x^3)*x^4)/(4*a) - (5*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*a^(5//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) + (5*b^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 6),
+(x^0/sqrt(a + b/x^3), -((b^(1//3)*sqrt(a + b/x^3))/(a*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x))) + (sqrt(a + b/x^3)*x)/a + (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*a^(2//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) - (sqrt(2)*b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*a^(2//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 5),
+(1/(x^3*sqrt(a + b/x^3)), -((2*sqrt(a + b/x^3))/(b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x))) + (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(2//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) - (2*sqrt(2)*a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 4),
+(1/(x^6*sqrt(a + b/x^3)), (8*a*sqrt(a + b/x^3))/(7*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)) - (2*sqrt(a + b/x^3))/(7*b*x^2) - (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(5//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) + (8*sqrt(2)*a^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*3^(1//4)*b^(5//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 5),
+(1/(x^9*sqrt(a + b/x^3)), -((80*a^2*sqrt(a + b/x^3))/(91*b^(8//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x))) - (2*sqrt(a + b/x^3))/(13*b*x^5) + (20*a*sqrt(a + b/x^3))/(91*b^2*x^2) + (40*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(7//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(8//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) - (80*sqrt(2)*a^(7//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*3^(1//4)*b^(8//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 6),
+(1/(x^12*sqrt(a + b/x^3)), (1280*a^3*sqrt(a + b/x^3))/(1729*b^(11//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)) - (2*sqrt(a + b/x^3))/(19*b*x^8) + (32*a*sqrt(a + b/x^3))/(247*b^2*x^5) - (320*a^2*sqrt(a + b/x^3))/(1729*b^3*x^2) - (640*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(10//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*b^(11//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) + (1280*sqrt(2)*a^(10//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*3^(1//4)*b^(11//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 7),
+
+
+(x^5/(a + b/x^3)^(3//2), -((5*b^2)/(4*a^3*sqrt(a + b/x^3))) - (5*b*x^3)/(12*a^2*sqrt(a + b/x^3)) + x^6/(6*a*sqrt(a + b/x^3)) + (5*b^2*atanh(sqrt(a + b/x^3)/sqrt(a)))/(4*a^(7//2)), x, 6),
+(x^2/(a + b/x^3)^(3//2), b/(a^2*sqrt(a + b/x^3)) + x^3/(3*a*sqrt(a + b/x^3)) - (b*atanh(sqrt(a + b/x^3)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 5),
+(1/(x^1*(a + b/x^3)^(3//2)), -(2/(3*a*sqrt(a + b/x^3))) + (2*atanh(sqrt(a + b/x^3)/sqrt(a)))/(3*a^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^4*(a + b/x^3)^(3//2)), 2/(3*b*sqrt(a + b/x^3)), x, 1),
+(1/(x^7*(a + b/x^3)^(3//2)), -((2*a)/(3*b^2*sqrt(a + b/x^3))) - (2*sqrt(a + b/x^3))/(3*b^2), x, 3),
+(1/(x^10*(a + b/x^3)^(3//2)), (2*a^2)/(3*b^3*sqrt(a + b/x^3)) + (4*a*sqrt(a + b/x^3))/(3*b^3) - (2*(a + b/x^3)^(3//2))/(9*b^3), x, 3),
+(1/(x^13*(a + b/x^3)^(3//2)), -((2*a^3)/(3*b^4*sqrt(a + b/x^3))) - (2*a^2*sqrt(a + b/x^3))/b^4 + (2*a*(a + b/x^3)^(3//2))/(3*b^4) - (2*(a + b/x^3)^(5//2))/(15*b^4), x, 3),
+
+(x^7/(a + b/x^3)^(3//2), (1729*b^2*sqrt(a + b/x^3)*x^2)/(960*a^4) - (247*b*sqrt(a + b/x^3)*x^5)/(240*a^3) - (2*x^8)/(3*a*sqrt(a + b/x^3)) + (19*sqrt(a + b/x^3)*x^8)/(24*a^2) + (1729*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(8//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(960*3^(1//4)*a^4*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 6),
+(x^4/(a + b/x^3)^(3//2), -((91*b*sqrt(a + b/x^3)*x^2)/(60*a^3)) - (2*x^5)/(3*a*sqrt(a + b/x^3)) + (13*sqrt(a + b/x^3)*x^5)/(15*a^2) - (91*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(5//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(60*3^(1//4)*a^3*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 5),
+(x^1/(a + b/x^3)^(3//2), -((2*x^2)/(3*a*sqrt(a + b/x^3))) + (7*sqrt(a + b/x^3)*x^2)/(6*a^2) + (7*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(6*3^(1//4)*a^2*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 4),
+(1/(x^2*(a + b/x^3)^(3//2)), -(2/(3*a*sqrt(a + b/x^3)*x)) - (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a*b^(1//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 3),
+(1/(x^5*(a + b/x^3)^(3//2)), 2/(3*b*sqrt(a + b/x^3)*x) - (4*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*b^(4//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 3),
+(1/(x^8*(a + b/x^3)^(3//2)), 2/(3*b*sqrt(a + b/x^3)*x^4) - (16*sqrt(a + b/x^3))/(15*b^2*x) + (32*sqrt(2 + sqrt(3))*a*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(15*3^(1//4)*b^(7//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 4),
+
+(x^6/(a + b/x^3)^(3//2), -((935*b^(7//3)*sqrt(a + b/x^3))/(336*a^4*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x))) + (935*b^2*sqrt(a + b/x^3)*x)/(336*a^4) - (187*b*sqrt(a + b/x^3)*x^4)/(168*a^3) - (2*x^7)/(3*a*sqrt(a + b/x^3)) + (17*sqrt(a + b/x^3)*x^7)/(21*a^2) + (935*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(7//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(672*a^(11//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) - (935*b^(7//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(168*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(11//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 8),
+(x^3/(a + b/x^3)^(3//2), (55*b^(4//3)*sqrt(a + b/x^3))/(24*a^3*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)) - (55*b*sqrt(a + b/x^3)*x)/(24*a^3) - (2*x^4)/(3*a*sqrt(a + b/x^3)) + (11*sqrt(a + b/x^3)*x^4)/(12*a^2) - (55*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(48*a^(8//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) + (55*b^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(12*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(8//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 7),
+(x^0/(a + b/x^3)^(3//2), -((5*b^(1//3)*sqrt(a + b/x^3))/(3*a^2*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x))) - (2*x)/(3*a*sqrt(a + b/x^3)) + (5*sqrt(a + b/x^3)*x)/(3*a^2) + (5*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(6*a^(5//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) - (5*sqrt(2)*b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(5//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 6),
+(1/(x^3*(a + b/x^3)^(3//2)), (2*sqrt(a + b/x^3))/(3*a*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)) - 2/(3*a*sqrt(a + b/x^3)*x^2) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*a^(2//3)*b^(2//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) + (2*sqrt(2)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(2//3)*b^(2//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 5),
+(1/(x^6*(a + b/x^3)^(3//2)), -((8*sqrt(a + b/x^3))/(3*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x))) + 2/(3*b*sqrt(a + b/x^3)*x^2) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*b^(5//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) - (8*sqrt(2)*a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*b^(5//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 5),
+(1/(x^9*(a + b/x^3)^(3//2)), (80*a*sqrt(a + b/x^3))/(21*b^(8//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)) + 2/(3*b*sqrt(a + b/x^3)*x^5) - (20*sqrt(a + b/x^3))/(21*b^2*x^2) - (40*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(21*b^(8//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) + (80*sqrt(2)*a^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(21*3^(1//4)*b^(8//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 6),
+(1/(x^12*(a + b/x^3)^(3//2)), -((1280*a^2*sqrt(a + b/x^3))/(273*b^(11//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x))) + 2/(3*b*sqrt(a + b/x^3)*x^8) - (32*sqrt(a + b/x^3))/(39*b^2*x^5) + (320*a*sqrt(a + b/x^3))/(273*b^3*x^2) + (640*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(7//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(273*b^(11//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)) - (1280*sqrt(2)*a^(7//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x)*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)/x^2 - (a^(1//3)*b^(1//3))/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(273*3^(1//4)*b^(11//3)*sqrt(a + b/x^3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)/x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)/x)^2)), x, 7),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b/x^4)^p
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x^4)^p
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+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(1/(a + b/x^4), x/a + (b^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*a^(1//4)*x)/b^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)) - (b^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*a^(1//4)*x)/b^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)) + (b^(1//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(a)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)) - (b^(1//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(a)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)), x, 11),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+
+(sqrt(a + b/x^4)*x^3, (sqrt(a + b/x^4)*x^4)/4 + (b*atanh(sqrt(a + b/x^4)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)), x, 4),
+(sqrt(a + b/x^4)*x^1, (sqrt(a + b/x^4)*x^2)/2 - (sqrt(b)*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^4)*x^2)))/2, x, 5),
+(sqrt(a + b/x^4)/x^1, -sqrt(a + b/x^4)/2 + (sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b/x^4)/sqrt(a)))/2, x, 4),
+(sqrt(a + b/x^4)/x^3, -sqrt(a + b/x^4)/(4*x^2) - (a*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^4)*x^2)))/(4*sqrt(b)), x, 5),
+
+(sqrt(a + b/x^4)*x^2, (1//3)*sqrt(a + b/x^4)*x^3 - (b^(3//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(3*a^(1//4)*sqrt(a + b/x^4)), x, 3),
+(sqrt(a + b/x^4)*x^0, -((2*sqrt(b)*sqrt(a + b/x^4))/((sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*x)) + sqrt(a + b/x^4)*x + (2*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/sqrt(a + b/x^4) - (a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/sqrt(a + b/x^4), x, 5),
+(sqrt(a + b/x^4)/x^2, -(sqrt(a + b/x^4)/(3*x)) - (a^(3//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(3*b^(1//4)*sqrt(a + b/x^4)), x, 3),
+(sqrt(a + b/x^4)/x^4, -(sqrt(a + b/x^4)/(5*x^3)) - (2*a*sqrt(a + b/x^4))/(5*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*x) + (2*a^(5//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(a + b/x^4)) - (a^(5//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(a + b/x^4)), x, 5),
+
+
+((a + b/x^4)^(3//2)*x^3, (-3*b*sqrt(a + b/x^4))/4 + ((a + b/x^4)^(3//2)*x^4)/4 + (3*sqrt(a)*b*atanh(sqrt(a + b/x^4)/sqrt(a)))/4, x, 5),
+((a + b/x^4)^(3//2)*x^1, (-3*b*sqrt(a + b/x^4))/(4*x^2) + ((a + b/x^4)^(3//2)*x^2)/2 - (3*a*sqrt(b)*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^4)*x^2)))/4, x, 6),
+((a + b/x^4)^(3//2)/x^1, -(a*sqrt(a + b/x^4))/2 - (a + b/x^4)^(3//2)/6 + (a^(3//2)*atanh(sqrt(a + b/x^4)/sqrt(a)))/2, x, 5),
+((a + b/x^4)^(3//2)/x^3, (-3*a*sqrt(a + b/x^4))/(16*x^2) - (a + b/x^4)^(3//2)/(8*x^2) - (3*a^2*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^4)*x^2)))/(16*sqrt(b)), x, 6),
+
+((a + b/x^4)^(3//2)*x^2, -((2*b*sqrt(a + b/x^4))/(3*x)) + (1//3)*(a + b/x^4)^(3//2)*x^3 - (2*a^(3//4)*b^(3//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(3*sqrt(a + b/x^4)), x, 4),
+((a + b/x^4)^(3//2)*x^0, -((6*b*sqrt(a + b/x^4))/(5*x^3)) - (12*a*sqrt(b)*sqrt(a + b/x^4))/(5*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*x) + (a + b/x^4)^(3//2)*x + (12*a^(5//4)*b^(1//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(a + b/x^4)) - (6*a^(5//4)*b^(1//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(a + b/x^4)), x, 6),
+((a + b/x^4)^(3//2)/x^2, -((2*a*sqrt(a + b/x^4))/(7*x)) - (a + b/x^4)^(3//2)/(7*x) - (2*a^(7//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(7*b^(1//4)*sqrt(a + b/x^4)), x, 4),
+((a + b/x^4)^(3//2)/x^4, -((2*a*sqrt(a + b/x^4))/(15*x^3)) - (a + b/x^4)^(3//2)/(9*x^3) - (4*a^2*sqrt(a + b/x^4))/(15*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*x) + (4*a^(9//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(15*b^(3//4)*sqrt(a + b/x^4)) - (2*a^(9//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(15*b^(3//4)*sqrt(a + b/x^4)), x, 6),
+
+
+((a + b/x^4)^(5//2)*x^3, (-5*a*b*sqrt(a + b/x^4))/4 - (5*b*(a + b/x^4)^(3//2))/12 + ((a + b/x^4)^(5//2)*x^4)/4 + (5*a^(3//2)*b*atanh(sqrt(a + b/x^4)/sqrt(a)))/4, x, 6),
+((a + b/x^4)^(5//2)*x^1, (-15*a*b*sqrt(a + b/x^4))/(16*x^2) - (5*b*(a + b/x^4)^(3//2))/(8*x^2) + ((a + b/x^4)^(5//2)*x^2)/2 - (15*a^2*sqrt(b)*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^4)*x^2)))/16, x, 7),
+((a + b/x^4)^(5//2)/x^1, -(a^2*sqrt(a + b/x^4))/2 - (a*(a + b/x^4)^(3//2))/6 - (a + b/x^4)^(5//2)/10 + (a^(5//2)*atanh(sqrt(a + b/x^4)/sqrt(a)))/2, x, 6),
+((a + b/x^4)^(5//2)/x^3, (-5*a^2*sqrt(a + b/x^4))/(32*x^2) - (5*a*(a + b/x^4)^(3//2))/(48*x^2) - (a + b/x^4)^(5//2)/(12*x^2) - (5*a^3*atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^4)*x^2)))/(32*sqrt(b)), x, 7),
+
+((a + b/x^4)^(5//2)*x^2, -((20*a*b*sqrt(a + b/x^4))/(21*x)) - (10*b*(a + b/x^4)^(3//2))/(21*x) + (1//3)*(a + b/x^4)^(5//2)*x^3 - (20*a^(7//4)*b^(3//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(21*sqrt(a + b/x^4)), x, 5),
+((a + b/x^4)^(5//2)*x^0, -((4*a*b*sqrt(a + b/x^4))/(3*x^3)) - (10*b*(a + b/x^4)^(3//2))/(9*x^3) - (8*a^2*sqrt(b)*sqrt(a + b/x^4))/(3*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*x) + (a + b/x^4)^(5//2)*x + (8*a^(9//4)*b^(1//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(3*sqrt(a + b/x^4)) - (4*a^(9//4)*b^(1//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(3*sqrt(a + b/x^4)), x, 7),
+((a + b/x^4)^(5//2)/x^2, -((20*a^2*sqrt(a + b/x^4))/(77*x)) - (10*a*(a + b/x^4)^(3//2))/(77*x) - (a + b/x^4)^(5//2)/(11*x) - (20*a^(11//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(77*b^(1//4)*sqrt(a + b/x^4)), x, 5),
+((a + b/x^4)^(5//2)/x^4, -((4*a^2*sqrt(a + b/x^4))/(39*x^3)) - (10*a*(a + b/x^4)^(3//2))/(117*x^3) - (a + b/x^4)^(5//2)/(13*x^3) - (8*a^3*sqrt(a + b/x^4))/(39*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*x) + (8*a^(13//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(39*b^(3//4)*sqrt(a + b/x^4)) - (4*a^(13//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(39*b^(3//4)*sqrt(a + b/x^4)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^3/sqrt(a + b/x^4), (sqrt(a + b/x^4)*x^4)/(4*a) - (b*atanh(sqrt(a + b/x^4)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)), x, 4),
+(x^1/sqrt(a + b/x^4), (sqrt(a + b/x^4)*x^2)/(2*a), x, 1),
+(1/(sqrt(a + b/x^4)*x^1), atanh(sqrt(a + b/x^4)/sqrt(a))/(2*sqrt(a)), x, 3),
+(1/(sqrt(a + b/x^4)*x^3), -atanh(sqrt(b)/(sqrt(a + b/x^4)*x^2))/(2*sqrt(b)), x, 4),
+
+(x^2/sqrt(a + b/x^4), (sqrt(a + b/x^4)*x^3)/(3*a) + (b^(3//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(6*a^(5//4)*sqrt(a + b/x^4)), x, 3),
+(x^0/sqrt(a + b/x^4), -((sqrt(b)*sqrt(a + b/x^4))/(a*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*x)) + (sqrt(a + b/x^4)*x)/a + (b^(1//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(a^(3//4)*sqrt(a + b/x^4)) - (b^(1//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*sqrt(a + b/x^4)), x, 5),
+(1/(sqrt(a + b/x^4)*x^2), -((sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(a + b/x^4))), x, 2),
+(1/(sqrt(a + b/x^4)*x^4), -(sqrt(a + b/x^4)/(sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*x)) + (a^(1//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(b^(3//4)*sqrt(a + b/x^4)) - (a^(1//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(2*b^(3//4)*sqrt(a + b/x^4)), x, 4),
+
+
+(x^3/(a + b/x^4)^(3//2), (3*b)/(4*a^2*sqrt(a + b/x^4)) + x^4/(4*a*sqrt(a + b/x^4)) - (3*b*atanh(sqrt(a + b/x^4)/sqrt(a)))/(4*a^(5//2)), x, 5),
+(x^1/(a + b/x^4)^(3//2), -(x^2/(2*a*sqrt(a + b/x^4))) + (sqrt(a + b/x^4)*x^2)/a^2, x, 2),
+(1/((a + b/x^4)^(3//2)*x^1), -1/(2*a*sqrt(a + b/x^4)) + atanh(sqrt(a + b/x^4)/sqrt(a))/(2*a^(3//2)), x, 4),
+(1/((a + b/x^4)^(3//2)*x^3), -1/(2*a*sqrt(a + b/x^4)*x^2), x, 1),
+
+(x^2/(a + b/x^4)^(3//2), -(x^3/(2*a*sqrt(a + b/x^4))) + (5*sqrt(a + b/x^4)*x^3)/(6*a^2) + (5*b^(3//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(12*a^(9//4)*sqrt(a + b/x^4)), x, 4),
+(x^0/(a + b/x^4)^(3//2), -((3*sqrt(b)*sqrt(a + b/x^4))/(2*a^2*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*x)) - x/(2*a*sqrt(a + b/x^4)) + (3*sqrt(a + b/x^4)*x)/(2*a^2) + (3*b^(1//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(2*a^(7//4)*sqrt(a + b/x^4)) - (3*b^(1//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(4*a^(7//4)*sqrt(a + b/x^4)), x, 6),
+(1/((a + b/x^4)^(3//2)*x^2), -(1/(2*a*sqrt(a + b/x^4)*x)) - (sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(4*a^(5//4)*b^(1//4)*sqrt(a + b/x^4)), x, 3),
+(1/((a + b/x^4)^(3//2)*x^4), -(1/(2*a*sqrt(a + b/x^4)*x^3)) + sqrt(a + b/x^4)/(2*a*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*x) - (sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*b^(3//4)*sqrt(a + b/x^4)) + (sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(4*a^(3//4)*b^(3//4)*sqrt(a + b/x^4)), x, 5),
+
+
+(x^3/(a + b/x^4)^(5//2), (5*b)/(12*a^2*(a + b/x^4)^(3//2)) + (5*b)/(4*a^3*sqrt(a + b/x^4)) + x^4/(4*a*(a + b/x^4)^(3//2)) - (5*b*atanh(sqrt(a + b/x^4)/sqrt(a)))/(4*a^(7//2)), x, 6),
+(x^1/(a + b/x^4)^(5//2), -(x^2/(6*a*(a + b/x^4)^(3//2))) - (2*x^2)/(3*a^2*sqrt(a + b/x^4)) + (4*sqrt(a + b/x^4)*x^2)/(3*a^3), x, 3),
+(1/((a + b/x^4)^(5//2)*x^1), -1/(6*a*(a + b/x^4)^(3//2)) - 1/(2*a^2*sqrt(a + b/x^4)) + atanh(sqrt(a + b/x^4)/sqrt(a))/(2*a^(5//2)), x, 5),
+(1/((a + b/x^4)^(5//2)*x^3), -(b/(3*a^2*(a + b/x^4)^(3//2)*x^6)) - 1/(2*a*(a + b/x^4)^(3//2)*x^2), x, 2),
+
+(x^2/(a + b/x^4)^(5//2), -(x^3/(6*a*(a + b/x^4)^(3//2))) - (3*x^3)/(4*a^2*sqrt(a + b/x^4)) + (5*sqrt(a + b/x^4)*x^3)/(4*a^3) + (5*b^(3//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(8*a^(13//4)*sqrt(a + b/x^4)), x, 5),
+(x^0/(a + b/x^4)^(5//2), -((7*sqrt(b)*sqrt(a + b/x^4))/(4*a^3*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*x)) - x/(6*a*(a + b/x^4)^(3//2)) - (7*x)/(12*a^2*sqrt(a + b/x^4)) + (7*sqrt(a + b/x^4)*x)/(4*a^3) + (7*b^(1//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(4*a^(11//4)*sqrt(a + b/x^4)) - (7*b^(1//4)*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(8*a^(11//4)*sqrt(a + b/x^4)), x, 7),
+(1/((a + b/x^4)^(5//2)*x^2), -(1/(6*a*(a + b/x^4)^(3//2)*x)) - 5/(12*a^2*sqrt(a + b/x^4)*x) - (5*sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(24*a^(9//4)*b^(1//4)*sqrt(a + b/x^4)), x, 4),
+(1/((a + b/x^4)^(5//2)*x^4), -(1/(6*a*(a + b/x^4)^(3//2)*x^3)) - 1/(4*a^2*sqrt(a + b/x^4)*x^3) + sqrt(a + b/x^4)/(4*a^2*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*x) - (sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(4*a^(7//4)*b^(3//4)*sqrt(a + b/x^4)) + (sqrt((a + b/x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)^2)*(sqrt(a) + sqrt(b)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*acot((a^(1//4)*x)/b^(1//4)), 1//2))/(8*a^(7//4)*b^(3//4)*sqrt(a + b/x^4)), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b/x^5)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x^5)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/(a + b/x^5), x/a - (sqrt((1//2)*(5 + sqrt(5)))*b^(1//5)*atan(sqrt((1//5)*(5 - 2*sqrt(5))) + (2*sqrt(2/(5 + sqrt(5)))*a^(1//5)*x)/b^(1//5)))/(5*a^(6//5)) + (sqrt((1//2)*(5 - sqrt(5)))*b^(1//5)*atan(sqrt((1//5)*(5 + 2*sqrt(5))) - (sqrt((2//5)*(5 + sqrt(5)))*a^(1//5)*x)/b^(1//5)))/(5*a^(6//5)) - (b^(1//5)*log(b^(1//5) + a^(1//5)*x))/(5*a^(6//5)) + ((1 - sqrt(5))*b^(1//5)*log(b^(2//5) - (1//2)*(1 - sqrt(5))*a^(1//5)*b^(1//5)*x + a^(2//5)*x^2))/(20*a^(6//5)) + ((1 + sqrt(5))*b^(1//5)*log(b^(2//5) - (1//2)*(1 + sqrt(5))*a^(1//5)*b^(1//5)*x + a^(2//5)*x^2))/(20*a^(6//5)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x^5)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+(1/(sqrt(a + b/x^5)*x), (2*atanh(sqrt(a + b/x^5)/sqrt(a)))/(5*sqrt(a)), x, 3),
+(1/(sqrt(-a + b/x^5)*x), (-2*atan(sqrt(-a + b/x^5)/sqrt(a)))/(5*sqrt(a)), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b/x^6)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x^6)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/(a + b/x^6), x/a - (b^(1//6)*atan((a^(1//6)*x)/b^(1//6)))/(3*a^(7//6)) + (b^(1//6)*atan((sqrt(3)*b^(1//6) - 2*a^(1//6)*x)/b^(1//6)))/(6*a^(7//6)) - (b^(1//6)*atan((sqrt(3)*b^(1//6) + 2*a^(1//6)*x)/b^(1//6)))/(6*a^(7//6)) + (b^(1//6)*log(b^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*x + a^(1//3)*x^2))/(4*sqrt(3)*a^(7//6)) - (b^(1//6)*log(b^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*x + a^(1//3)*x^2))/(4*sqrt(3)*a^(7//6)), x, 12),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x^6)^(p/2)
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b/x^8)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x^8)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+(1/(a + b/x^8), x/a + (b^(1//8)*atan(((-a)^(1//8)*x)/b^(1//8)))/(4*(-a)^(9//8)) - (b^(1//8)*atan(1 - (sqrt(2)*(-a)^(1//8)*x)/b^(1//8)))/(4*sqrt(2)*(-a)^(9//8)) + (b^(1//8)*atan(1 + (sqrt(2)*(-a)^(1//8)*x)/b^(1//8)))/(4*sqrt(2)*(-a)^(9//8)) + (b^(1//8)*atanh(((-a)^(1//8)*x)/b^(1//8)))/(4*(-a)^(9//8)) - (b^(1//8)*log(b^(1//4) - sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + (-a)^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2)*(-a)^(9//8)) + (b^(1//8)*log(b^(1//4) + sqrt(2)*(-a)^(1//8)*b^(1//8)*x + (-a)^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2)*(-a)^(9//8)), x, 15),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x^8)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^n)^p when n>0 is a fraction
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^(1/2))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b Sqrt[x])^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*sqrt(x))*x^4, (a*x^5)/5 + (2*b*x^(11//2))/11, x, 2),
+((a + b*sqrt(x))*x^3, (a*x^4)/4 + (2*b*x^(9//2))/9, x, 2),
+((a + b*sqrt(x))*x^2, (a*x^3)/3 + (2*b*x^(7//2))/7, x, 2),
+((a + b*sqrt(x))*x^1, (a*x^2)/2 + (2*b*x^(5//2))/5, x, 2),
+((a + b*sqrt(x))*x^0, a*x + (2*b*x^(3//2))/3, x, 1),
+
+((a + b*sqrt(x))/x^1, 2*b*sqrt(x) + a*log(x), x, 2),
+
+((a + b*sqrt(x))/x^2, -(a/x) - (2*b)/sqrt(x), x, 2),
+((a + b*sqrt(x))/x^3, -a/(2*x^2) - (2*b)/(3*x^(3//2)), x, 2),
+((a + b*sqrt(x))/x^4, -a/(3*x^3) - (2*b)/(5*x^(5//2)), x, 2),
+
+
+((a + b*sqrt(x))^2*x^4, (a^2*x^5)/5 + (4*a*b*x^(11//2))/11 + (b^2*x^6)/6, x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^2*x^3, (a^2*x^4)/4 + (4*a*b*x^(9//2))/9 + (b^2*x^5)/5, x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^2*x^2, (a^2*x^3)/3 + (4*a*b*x^(7//2))/7 + (b^2*x^4)/4, x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^2*x^1, (a^2*x^2)/2 + (4*a*b*x^(5//2))/5 + (b^2*x^3)/3, x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^2*x^0, a^2*x + (4*a*b*x^(3//2))/3 + (b^2*x^2)/2, x, 3),
+
+((a + b*sqrt(x))^2/x^1, 4*a*b*sqrt(x) + b^2*x + a^2*log(x), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^2/x^2, -(a^2/x) - (4*a*b)/sqrt(x) + b^2*log(x), x, 3),
+
+((a + b*sqrt(x))^2/x^3, -a^2/(2*x^2) - (4*a*b)/(3*x^(3//2)) - b^2/x, x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^2/x^4, -a^2/(3*x^3) - (4*a*b)/(5*x^(5//2)) - b^2/(2*x^2), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^2/x^5, -a^2/(4*x^4) - (4*a*b)/(7*x^(7//2)) - b^2/(3*x^3), x, 3),
+
+
+((a + b*sqrt(x))^3*x^4, (a^3*x^5)/5 + (6*a^2*b*x^(11//2))/11 + (a*b^2*x^6)/2 + (2*b^3*x^(13//2))/13, x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^3*x^3, (a^3*x^4)/4 + (2*a^2*b*x^(9//2))/3 + (3*a*b^2*x^5)/5 + (2*b^3*x^(11//2))/11, x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^3*x^2, (a^3*x^3)/3 + (6*a^2*b*x^(7//2))/7 + (3*a*b^2*x^4)/4 + (2*b^3*x^(9//2))/9, x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^3*x^1, (a^3*x^2)/2 + (6*a^2*b*x^(5//2))/5 + a*b^2*x^3 + (2*b^3*x^(7//2))/7, x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^3*x^0, -(a*(a + b*sqrt(x))^4)/(2*b^2) + (2*(a + b*sqrt(x))^5)/(5*b^2), x, 3),
+
+((a + b*sqrt(x))^3/x^1, 6*a^2*b*sqrt(x) + 3*a*b^2*x + (2*b^3*x^(3//2))/3 + a^3*log(x), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^3/x^2, -(a^3/x) - (6*a^2*b)/sqrt(x) + 2*b^3*sqrt(x) + 3*a*b^2*log(x), x, 3),
+
+((a + b*sqrt(x))^3/x^3, -(a + b*sqrt(x))^4/(2*a*x^2), x, 1),
+((a + b*sqrt(x))^3/x^4, -a^3/(3*x^3) - (6*a^2*b)/(5*x^(5//2)) - (3*a*b^2)/(2*x^2) - (2*b^3)/(3*x^(3//2)), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^3/x^5, -a^3/(4*x^4) - (6*a^2*b)/(7*x^(7//2)) - (a*b^2)/x^3 - (2*b^3)/(5*x^(5//2)), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^3/x^6, -a^3/(5*x^5) - (2*a^2*b)/(3*x^(9//2)) - (3*a*b^2)/(4*x^4) - (2*b^3)/(7*x^(7//2)), x, 3),
+
+
+((a + b*sqrt(x))^5*x^4, (a^5*x^5)/5 + (10*a^4*b*x^(11//2))/11 + (5*a^3*b^2*x^6)/3 + (20*a^2*b^3*x^(13//2))/13 + (5*a*b^4*x^7)/7 + (2*b^5*x^(15//2))/15, x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^5*x^3, (a^5*x^4)/4 + (10*a^4*b*x^(9//2))/9 + 2*a^3*b^2*x^5 + (20*a^2*b^3*x^(11//2))/11 + (5*a*b^4*x^6)/6 + (2*b^5*x^(13//2))/13, x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^5*x^2, (a^5*x^3)/3 + (10*a^4*b*x^(7//2))/7 + (5*a^3*b^2*x^4)/2 + (20*a^2*b^3*x^(9//2))/9 + a*b^4*x^5 + (2*b^5*x^(11//2))/11, x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^5*x^1, -((a^3*(a + b*sqrt(x))^6)/(3*b^4)) + (6*a^2*(a + b*sqrt(x))^7)/(7*b^4) - (3*a*(a + b*sqrt(x))^8)/(4*b^4) + (2*(a + b*sqrt(x))^9)/(9*b^4), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^5*x^0, -(a*(a + b*sqrt(x))^6)/(3*b^2) + (2*(a + b*sqrt(x))^7)/(7*b^2), x, 3),
+
+((a + b*sqrt(x))^5/x^1, 10*a^4*b*sqrt(x) + 10*a^3*b^2*x + (20*a^2*b^3*x^(3//2))/3 + (5*a*b^4*x^2)/2 + (2*b^5*x^(5//2))/5 + a^5*log(x), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^5/x^2, -(a^5/x) - (10*a^4*b)/sqrt(x) + 20*a^2*b^3*sqrt(x) + 5*a*b^4*x + (2*b^5*x^(3//2))/3 + 10*a^3*b^2*log(x), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^5/x^3, -a^5/(2*x^2) - (10*a^4*b)/(3*x^(3//2)) - (10*a^3*b^2)/x - (20*a^2*b^3)/sqrt(x) + 2*b^5*sqrt(x) + 5*a*b^4*log(x), x, 3),
+
+((a + b*sqrt(x))^5/x^4, -(a + b*sqrt(x))^6/(3*a*x^3), x, 1),
+((a + b*sqrt(x))^5/x^5, -((a + b*sqrt(x))^6/(4*a*x^4)) + (b*(a + b*sqrt(x))^6)/(14*a^2*x^(7//2)) - (b^2*(a + b*sqrt(x))^6)/(84*a^3*x^3), x, 4),
+
+((a + b*sqrt(x))^5/x^6, -a^5/(5*x^5) - (10*a^4*b)/(9*x^(9//2)) - (5*a^3*b^2)/(2*x^4) - (20*a^2*b^3)/(7*x^(7//2)) - (5*a*b^4)/(3*x^3) - (2*b^5)/(5*x^(5//2)), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^5/x^7, -a^5/(6*x^6) - (10*a^4*b)/(11*x^(11//2)) - (2*a^3*b^2)/x^5 - (20*a^2*b^3)/(9*x^(9//2)) - (5*a*b^4)/(4*x^4) - (2*b^5)/(7*x^(7//2)), x, 3),
+
+
+((a + b*sqrt(x))^10*x^4, (a^10*x^5)/5 + (20//11)*a^9*b*x^(11//2) + (15//2)*a^8*b^2*x^6 + (240//13)*a^7*b^3*x^(13//2) + 30*a^6*b^4*x^7 + (168//5)*a^5*b^5*x^(15//2) + (105//4)*a^4*b^6*x^8 + (240//17)*a^3*b^7*x^(17//2) + 5*a^2*b^8*x^9 + (20//19)*a*b^9*x^(19//2) + (b^10*x^10)/10, x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^10*x^3, -((2*a^7*(a + b*sqrt(x))^11)/(11*b^8)) + (7*a^6*(a + b*sqrt(x))^12)/(6*b^8) - (42*a^5*(a + b*sqrt(x))^13)/(13*b^8) + (5*a^4*(a + b*sqrt(x))^14)/b^8 - (14*a^3*(a + b*sqrt(x))^15)/(3*b^8) + (21*a^2*(a + b*sqrt(x))^16)/(8*b^8) - (14*a*(a + b*sqrt(x))^17)/(17*b^8) + (a + b*sqrt(x))^18/(9*b^8), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^10*x^2, (-2*a^5*(a + b*sqrt(x))^11)/(11*b^6) + (5*a^4*(a + b*sqrt(x))^12)/(6*b^6) - (20*a^3*(a + b*sqrt(x))^13)/(13*b^6) + (10*a^2*(a + b*sqrt(x))^14)/(7*b^6) - (2*a*(a + b*sqrt(x))^15)/(3*b^6) + (a + b*sqrt(x))^16/(8*b^6), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^10*x^1, (-2*a^3*(a + b*sqrt(x))^11)/(11*b^4) + (a^2*(a + b*sqrt(x))^12)/(2*b^4) - (6*a*(a + b*sqrt(x))^13)/(13*b^4) + (a + b*sqrt(x))^14/(7*b^4), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^10*x^0, (-2*a*(a + b*sqrt(x))^11)/(11*b^2) + (a + b*sqrt(x))^12/(6*b^2), x, 3),
+
+((a + b*sqrt(x))^10/x^1, 20*a^9*b*sqrt(x) + 45*a^8*b^2*x + 80*a^7*b^3*x^(3//2) + 105*a^6*b^4*x^2 + (504*a^5*b^5*x^(5//2))/5 + 70*a^4*b^6*x^3 + (240*a^3*b^7*x^(7//2))/7 + (45*a^2*b^8*x^4)/4 + (20*a*b^9*x^(9//2))/9 + (b^10*x^5)/5 + a^10*log(x), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^10/x^2, -(a^10/x) - (20*a^9*b)/sqrt(x) + 240*a^7*b^3*sqrt(x) + 210*a^6*b^4*x + 168*a^5*b^5*x^(3//2) + 105*a^4*b^6*x^2 + 48*a^3*b^7*x^(5//2) + 15*a^2*b^8*x^3 + (20*a*b^9*x^(7//2))/7 + (b^10*x^4)/4 + 45*a^8*b^2*log(x), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^10/x^3, -a^10/(2*x^2) - (20*a^9*b)/(3*x^(3//2)) - (45*a^8*b^2)/x - (240*a^7*b^3)/sqrt(x) + 504*a^5*b^5*sqrt(x) + 210*a^4*b^6*x + 80*a^3*b^7*x^(3//2) + (45*a^2*b^8*x^2)/2 + 4*a*b^9*x^(5//2) + (b^10*x^3)/3 + 210*a^6*b^4*log(x), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^10/x^4, -a^10/(3*x^3) - (4*a^9*b)/x^(5//2) - (45*a^8*b^2)/(2*x^2) - (80*a^7*b^3)/x^(3//2) - (210*a^6*b^4)/x - (504*a^5*b^5)/sqrt(x) + 240*a^3*b^7*sqrt(x) + 45*a^2*b^8*x + (20*a*b^9*x^(3//2))/3 + (b^10*x^2)/2 + 210*a^4*b^6*log(x), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^10/x^5, -a^10/(4*x^4) - (20*a^9*b)/(7*x^(7//2)) - (15*a^8*b^2)/x^3 - (48*a^7*b^3)/x^(5//2) - (105*a^6*b^4)/x^2 - (168*a^5*b^5)/x^(3//2) - (210*a^4*b^6)/x - (240*a^3*b^7)/sqrt(x) + 20*a*b^9*sqrt(x) + b^10*x + 45*a^2*b^8*log(x), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^10/x^6, -a^10/(5*x^5) - (20*a^9*b)/(9*x^(9//2)) - (45*a^8*b^2)/(4*x^4) - (240*a^7*b^3)/(7*x^(7//2)) - (70*a^6*b^4)/x^3 - (504*a^5*b^5)/(5*x^(5//2)) - (105*a^4*b^6)/x^2 - (80*a^3*b^7)/x^(3//2) - (45*a^2*b^8)/x - (20*a*b^9)/sqrt(x) + b^10*log(x), x, 3),
+
+((a + b*sqrt(x))^10/x^7, -(a + b*sqrt(x))^11/(6*a*x^6) + (b*(a + b*sqrt(x))^11)/(66*a^2*x^(11//2)), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^10/x^8, -(a + b*sqrt(x))^11/(7*a*x^7) + (3*b*(a + b*sqrt(x))^11)/(91*a^2*x^(13//2)) - (b^2*(a + b*sqrt(x))^11)/(182*a^3*x^6) + (b^3*(a + b*sqrt(x))^11)/(2002*a^4*x^(11//2)), x, 5),
+((a + b*sqrt(x))^10/x^9, -(a + b*sqrt(x))^11/(8*a*x^8) + (b*(a + b*sqrt(x))^11)/(24*a^2*x^(15//2)) - (b^2*(a + b*sqrt(x))^11)/(84*a^3*x^7) + (b^3*(a + b*sqrt(x))^11)/(364*a^4*x^(13//2)) - (b^4*(a + b*sqrt(x))^11)/(2184*a^5*x^6) + (b^5*(a + b*sqrt(x))^11)/(24024*a^6*x^(11//2)), x, 7),
+
+((a + b*sqrt(x))^10/x^10, -a^10/(9*x^9) - (20*a^9*b)/(17*x^(17//2)) - (45*a^8*b^2)/(8*x^8) - (16*a^7*b^3)/x^(15//2) - (30*a^6*b^4)/x^7 - (504*a^5*b^5)/(13*x^(13//2)) - (35*a^4*b^6)/x^6 - (240*a^3*b^7)/(11*x^(11//2)) - (9*a^2*b^8)/x^5 - (20*a*b^9)/(9*x^(9//2)) - b^10/(4*x^4), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^10/x^11, -a^10/(10*x^10) - (20*a^9*b)/(19*x^(19//2)) - (5*a^8*b^2)/x^9 - (240*a^7*b^3)/(17*x^(17//2)) - (105*a^6*b^4)/(4*x^8) - (168*a^5*b^5)/(5*x^(15//2)) - (30*a^4*b^6)/x^7 - (240*a^3*b^7)/(13*x^(13//2)) - (15*a^2*b^8)/(2*x^6) - (20*a*b^9)/(11*x^(11//2)) - b^10/(5*x^5), x, 3),
+
+
+((a + b*sqrt(x))^15*x^5, -((a^11*(a + b*sqrt(x))^16)/(8*b^12)) + (22*a^10*(a + b*sqrt(x))^17)/(17*b^12) - (55*a^9*(a + b*sqrt(x))^18)/(9*b^12) + (330*a^8*(a + b*sqrt(x))^19)/(19*b^12) - (33*a^7*(a + b*sqrt(x))^20)/b^12 + (44*a^6*(a + b*sqrt(x))^21)/b^12 - (42*a^5*(a + b*sqrt(x))^22)/b^12 + (660*a^4*(a + b*sqrt(x))^23)/(23*b^12) - (55*a^3*(a + b*sqrt(x))^24)/(4*b^12) + (22*a^2*(a + b*sqrt(x))^25)/(5*b^12) - (11*a*(a + b*sqrt(x))^26)/(13*b^12) + (2*(a + b*sqrt(x))^27)/(27*b^12), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^15*x^4, -(a^9*(a + b*sqrt(x))^16)/(8*b^10) + (18*a^8*(a + b*sqrt(x))^17)/(17*b^10) - (4*a^7*(a + b*sqrt(x))^18)/b^10 + (168*a^6*(a + b*sqrt(x))^19)/(19*b^10) - (63*a^5*(a + b*sqrt(x))^20)/(5*b^10) + (12*a^4*(a + b*sqrt(x))^21)/b^10 - (84*a^3*(a + b*sqrt(x))^22)/(11*b^10) + (72*a^2*(a + b*sqrt(x))^23)/(23*b^10) - (3*a*(a + b*sqrt(x))^24)/(4*b^10) + (2*(a + b*sqrt(x))^25)/(25*b^10), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^15*x^3, -(a^7*(a + b*sqrt(x))^16)/(8*b^8) + (14*a^6*(a + b*sqrt(x))^17)/(17*b^8) - (7*a^5*(a + b*sqrt(x))^18)/(3*b^8) + (70*a^4*(a + b*sqrt(x))^19)/(19*b^8) - (7*a^3*(a + b*sqrt(x))^20)/(2*b^8) + (2*a^2*(a + b*sqrt(x))^21)/b^8 - (7*a*(a + b*sqrt(x))^22)/(11*b^8) + (2*(a + b*sqrt(x))^23)/(23*b^8), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^15*x^2, -(a^5*(a + b*sqrt(x))^16)/(8*b^6) + (10*a^4*(a + b*sqrt(x))^17)/(17*b^6) - (10*a^3*(a + b*sqrt(x))^18)/(9*b^6) + (20*a^2*(a + b*sqrt(x))^19)/(19*b^6) - (a*(a + b*sqrt(x))^20)/(2*b^6) + (2*(a + b*sqrt(x))^21)/(21*b^6), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^15*x^1, -(a^3*(a + b*sqrt(x))^16)/(8*b^4) + (6*a^2*(a + b*sqrt(x))^17)/(17*b^4) - (a*(a + b*sqrt(x))^18)/(3*b^4) + (2*(a + b*sqrt(x))^19)/(19*b^4), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^15*x^0, -(a*(a + b*sqrt(x))^16)/(8*b^2) + (2*(a + b*sqrt(x))^17)/(17*b^2), x, 3),
+
+((a + b*sqrt(x))^15/x^1, 30*a^14*b*sqrt(x) + 105*a^13*b^2*x + (910*a^12*b^3*x^(3//2))/3 + (1365*a^11*b^4*x^2)/2 + (6006*a^10*b^5*x^(5//2))/5 + (5005*a^9*b^6*x^3)/3 + (12870*a^8*b^7*x^(7//2))/7 + (6435*a^7*b^8*x^4)/4 + (10010*a^6*b^9*x^(9//2))/9 + (3003*a^5*b^10*x^5)/5 + (2730*a^4*b^11*x^(11//2))/11 + (455*a^3*b^12*x^6)/6 + (210*a^2*b^13*x^(13//2))/13 + (15*a*b^14*x^7)/7 + (2*b^15*x^(15//2))/15 + a^15*log(x), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^15/x^2, -(a^15/x) - (30*a^14*b)/sqrt(x) + 910*a^12*b^3*sqrt(x) + 1365*a^11*b^4*x + 2002*a^10*b^5*x^(3//2) + (5005*a^9*b^6*x^2)/2 + 2574*a^8*b^7*x^(5//2) + 2145*a^7*b^8*x^3 + 1430*a^6*b^9*x^(7//2) + (3003*a^5*b^10*x^4)/4 + (910*a^4*b^11*x^(9//2))/3 + 91*a^3*b^12*x^5 + (210*a^2*b^13*x^(11//2))/11 + (5*a*b^14*x^6)/2 + (2*b^15*x^(13//2))/13 + 105*a^13*b^2*log(x), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^15/x^3, -a^15/(2*x^2) - (10*a^14*b)/x^(3//2) - (105*a^13*b^2)/x - (910*a^12*b^3)/sqrt(x) + 6006*a^10*b^5*sqrt(x) + 5005*a^9*b^6*x + 4290*a^8*b^7*x^(3//2) + (6435*a^7*b^8*x^2)/2 + 2002*a^6*b^9*x^(5//2) + 1001*a^5*b^10*x^3 + 390*a^4*b^11*x^(7//2) + (455*a^3*b^12*x^4)/4 + (70*a^2*b^13*x^(9//2))/3 + 3*a*b^14*x^5 + (2*b^15*x^(11//2))/11 + 1365*a^11*b^4*log(x), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^15/x^4, -a^15/(3*x^3) - (6*a^14*b)/x^(5//2) - (105*a^13*b^2)/(2*x^2) - (910*a^12*b^3)/(3*x^(3//2)) - (1365*a^11*b^4)/x - (6006*a^10*b^5)/sqrt(x) + 12870*a^8*b^7*sqrt(x) + 6435*a^7*b^8*x + (10010*a^6*b^9*x^(3//2))/3 + (3003*a^5*b^10*x^2)/2 + 546*a^4*b^11*x^(5//2) + (455*a^3*b^12*x^3)/3 + 30*a^2*b^13*x^(7//2) + (15*a*b^14*x^4)/4 + (2*b^15*x^(9//2))/9 + 5005*a^9*b^6*log(x), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^15/x^6, -a^15/(5*x^5) - (10*a^14*b)/(3*x^(9//2)) - (105*a^13*b^2)/(4*x^4) - (130*a^12*b^3)/x^(7//2) - (455*a^11*b^4)/x^3 - (6006*a^10*b^5)/(5*x^(5//2)) - (5005*a^9*b^6)/(2*x^2) - (4290*a^8*b^7)/x^(3//2) - (6435*a^7*b^8)/x - (10010*a^6*b^9)/sqrt(x) + 2730*a^4*b^11*sqrt(x) + 455*a^3*b^12*x + 70*a^2*b^13*x^(3//2) + (15*a*b^14*x^2)/2 + (2*b^15*x^(5//2))/5 + 3003*a^5*b^10*log(x), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^15/x^7, -a^15/(6*x^6) - (30*a^14*b)/(11*x^(11//2)) - (21*a^13*b^2)/x^5 - (910*a^12*b^3)/(9*x^(9//2)) - (1365*a^11*b^4)/(4*x^4) - (858*a^10*b^5)/x^(7//2) - (5005*a^9*b^6)/(3*x^3) - (2574*a^8*b^7)/x^(5//2) - (6435*a^7*b^8)/(2*x^2) - (10010*a^6*b^9)/(3*x^(3//2)) - (3003*a^5*b^10)/x - (2730*a^4*b^11)/sqrt(x) + 210*a^2*b^13*sqrt(x) + 15*a*b^14*x + (2*b^15*x^(3//2))/3 + 455*a^3*b^12*log(x), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^15/x^8, -a^15/(7*x^7) - (30*a^14*b)/(13*x^(13//2)) - (35*a^13*b^2)/(2*x^6) - (910*a^12*b^3)/(11*x^(11//2)) - (273*a^11*b^4)/x^5 - (2002*a^10*b^5)/(3*x^(9//2)) - (5005*a^9*b^6)/(4*x^4) - (12870*a^8*b^7)/(7*x^(7//2)) - (2145*a^7*b^8)/x^3 - (2002*a^6*b^9)/x^(5//2) - (3003*a^5*b^10)/(2*x^2) - (910*a^4*b^11)/x^(3//2) - (455*a^3*b^12)/x - (210*a^2*b^13)/sqrt(x) + 2*b^15*sqrt(x) + 15*a*b^14*log(x), x, 3),
+
+((a + b*sqrt(x))^15/x^9, -(a + b*sqrt(x))^16/(8*a*x^8), x, 1),
+((a + b*sqrt(x))^15/x^10, -(a + b*sqrt(x))^16/(9*a*x^9) + (2*b*(a + b*sqrt(x))^16)/(153*a^2*x^(17//2)) - (b^2*(a + b*sqrt(x))^16)/(1224*a^3*x^8), x, 4),
+((a + b*sqrt(x))^15/x^11, -(a + b*sqrt(x))^16/(10*a*x^10) + (2*b*(a + b*sqrt(x))^16)/(95*a^2*x^(19//2)) - (b^2*(a + b*sqrt(x))^16)/(285*a^3*x^9) + (2*b^3*(a + b*sqrt(x))^16)/(4845*a^4*x^(17//2)) - (b^4*(a + b*sqrt(x))^16)/(38760*a^5*x^8), x, 6),
+((a + b*sqrt(x))^15/x^12, -(a + b*sqrt(x))^16/(11*a*x^11) + (2*b*(a + b*sqrt(x))^16)/(77*a^2*x^(21//2)) - (b^2*(a + b*sqrt(x))^16)/(154*a^3*x^10) + (2*b^3*(a + b*sqrt(x))^16)/(1463*a^4*x^(19//2)) - (b^4*(a + b*sqrt(x))^16)/(4389*a^5*x^9) + (2*b^5*(a + b*sqrt(x))^16)/(74613*a^6*x^(17//2)) - (b^6*(a + b*sqrt(x))^16)/(596904*a^7*x^8), x, 8),
+((a + b*sqrt(x))^15/x^13, -(a + b*sqrt(x))^16/(12*a*x^12) + (2*b*(a + b*sqrt(x))^16)/(69*a^2*x^(23//2)) - (7*b^2*(a + b*sqrt(x))^16)/(759*a^3*x^11) + (2*b^3*(a + b*sqrt(x))^16)/(759*a^4*x^(21//2)) - (b^4*(a + b*sqrt(x))^16)/(1518*a^5*x^10) + (2*b^5*(a + b*sqrt(x))^16)/(14421*a^6*x^(19//2)) - (b^6*(a + b*sqrt(x))^16)/(43263*a^7*x^9) + (2*b^7*(a + b*sqrt(x))^16)/(735471*a^8*x^(17//2)) - (b^8*(a + b*sqrt(x))^16)/(5883768*a^9*x^8), x, 10),
+((a + b*sqrt(x))^15/x^14, -((a + b*sqrt(x))^16/(13*a*x^13)) + (2*b*(a + b*sqrt(x))^16)/(65*a^2*x^(25//2)) - (3*b^2*(a + b*sqrt(x))^16)/(260*a^3*x^12) + (6*b^3*(a + b*sqrt(x))^16)/(1495*a^4*x^(23//2)) - (21*b^4*(a + b*sqrt(x))^16)/(16445*a^5*x^11) + (6*b^5*(a + b*sqrt(x))^16)/(16445*a^6*x^(21//2)) - (3*b^6*(a + b*sqrt(x))^16)/(32890*a^7*x^10) + (6*b^7*(a + b*sqrt(x))^16)/(312455*a^8*x^(19//2)) - (b^8*(a + b*sqrt(x))^16)/(312455*a^9*x^9) + (2*b^9*(a + b*sqrt(x))^16)/(5311735*a^10*x^(17//2)) - (b^10*(a + b*sqrt(x))^16)/(42493880*a^11*x^8), x, 12),
+
+((a + b*sqrt(x))^15/x^15, -a^15/(14*x^14) - (10*a^14*b)/(9*x^(27//2)) - (105*a^13*b^2)/(13*x^13) - (182*a^12*b^3)/(5*x^(25//2)) - (455*a^11*b^4)/(4*x^12) - (6006*a^10*b^5)/(23*x^(23//2)) - (455*a^9*b^6)/x^11 - (4290*a^8*b^7)/(7*x^(21//2)) - (1287*a^7*b^8)/(2*x^10) - (10010*a^6*b^9)/(19*x^(19//2)) - (1001*a^5*b^10)/(3*x^9) - (2730*a^4*b^11)/(17*x^(17//2)) - (455*a^3*b^12)/(8*x^8) - (14*a^2*b^13)/x^(15//2) - (15*a*b^14)/(7*x^7) - (2*b^15)/(13*x^(13//2)), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^15/x^16, -a^15/(15*x^15) - (30*a^14*b)/(29*x^(29//2)) - (15*a^13*b^2)/(2*x^14) - (910*a^12*b^3)/(27*x^(27//2)) - (105*a^11*b^4)/x^13 - (6006*a^10*b^5)/(25*x^(25//2)) - (5005*a^9*b^6)/(12*x^12) - (12870*a^8*b^7)/(23*x^(23//2)) - (585*a^7*b^8)/x^11 - (1430*a^6*b^9)/(3*x^(21//2)) - (3003*a^5*b^10)/(10*x^10) - (2730*a^4*b^11)/(19*x^(19//2)) - (455*a^3*b^12)/(9*x^9) - (210*a^2*b^13)/(17*x^(17//2)) - (15*a*b^14)/(8*x^8) - (2*b^15)/(15*x^(15//2)), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^15/x^17, -a^15/(16*x^16) - (30*a^14*b)/(31*x^(31//2)) - (7*a^13*b^2)/x^15 - (910*a^12*b^3)/(29*x^(29//2)) - (195*a^11*b^4)/(2*x^14) - (2002*a^10*b^5)/(9*x^(27//2)) - (385*a^9*b^6)/x^13 - (2574*a^8*b^7)/(5*x^(25//2)) - (2145*a^7*b^8)/(4*x^12) - (10010*a^6*b^9)/(23*x^(23//2)) - (273*a^5*b^10)/x^11 - (130*a^4*b^11)/x^(21//2) - (91*a^3*b^12)/(2*x^10) - (210*a^2*b^13)/(19*x^(19//2)) - (5*a*b^14)/(3*x^9) - (2*b^15)/(17*x^(17//2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^3/(a + b*sqrt(x)), (2*a^6*sqrt(x))/b^7 - (a^5*x)/b^6 + (2*a^4*x^(3//2))/(3*b^5) - (a^3*x^2)/(2*b^4) + (2*a^2*x^(5//2))/(5*b^3) - (a*x^3)/(3*b^2) + (2*x^(7//2))/(7*b) - (2*a^7*log(a + b*sqrt(x)))/b^8, x, 3),
+(x^2/(a + b*sqrt(x)), (2*a^4*sqrt(x))/b^5 - (a^3*x)/b^4 + (2*a^2*x^(3//2))/(3*b^3) - (a*x^2)/(2*b^2) + (2*x^(5//2))/(5*b) - (2*a^5*log(a + b*sqrt(x)))/b^6, x, 3),
+(x^1/(a + b*sqrt(x)), (2*a^2*sqrt(x))/b^3 - (a*x)/b^2 + (2*x^(3//2))/(3*b) - (2*a^3*log(a + b*sqrt(x)))/b^4, x, 3),
+(x^0/(a + b*sqrt(x)), (2*sqrt(x))/b - (2*a*log(a + b*sqrt(x)))/b^2, x, 3),
+(1/(x^1*(a + b*sqrt(x))), (-2*log(a + b*sqrt(x)))/a + log(x)/a, x, 4),
+(1/(x^2*(a + b*sqrt(x))), -(1/(a*x)) + (2*b)/(a^2*sqrt(x)) - (2*b^2*log(a + b*sqrt(x)))/a^3 + (b^2*log(x))/a^3, x, 3),
+(1/(x^3*(a + b*sqrt(x))), -1/(2*a*x^2) + (2*b)/(3*a^2*x^(3//2)) - b^2/(a^3*x) + (2*b^3)/(a^4*sqrt(x)) - (2*b^4*log(a + b*sqrt(x)))/a^5 + (b^4*log(x))/a^5, x, 3),
+(1/(x^4*(a + b*sqrt(x))), -1/(3*a*x^3) + (2*b)/(5*a^2*x^(5//2)) - b^2/(2*a^3*x^2) + (2*b^3)/(3*a^4*x^(3//2)) - b^4/(a^5*x) + (2*b^5)/(a^6*sqrt(x)) - (2*b^6*log(a + b*sqrt(x)))/a^7 + (b^6*log(x))/a^7, x, 3),
+
+
+(x^3/(a + b*sqrt(x))^2, (2*a^7)/(b^8*(a + b*sqrt(x))) - (12*a^5*sqrt(x))/b^7 + (5*a^4*x)/b^6 - (8*a^3*x^(3//2))/(3*b^5) + (3*a^2*x^2)/(2*b^4) - (4*a*x^(5//2))/(5*b^3) + x^3/(3*b^2) + (14*a^6*log(a + b*sqrt(x)))/b^8, x, 3),
+(x^2/(a + b*sqrt(x))^2, (2*a^5)/(b^6*(a + b*sqrt(x))) - (8*a^3*sqrt(x))/b^5 + (3*a^2*x)/b^4 - (4*a*x^(3//2))/(3*b^3) + x^2/(2*b^2) + (10*a^4*log(a + b*sqrt(x)))/b^6, x, 3),
+(x^1/(a + b*sqrt(x))^2, (2*a^3)/(b^4*(a + b*sqrt(x))) - (4*a*sqrt(x))/b^3 + x/b^2 + (6*a^2*log(a + b*sqrt(x)))/b^4, x, 3),
+(x^0/(a + b*sqrt(x))^2, (2*a)/(b^2*(a + b*sqrt(x))) + (2*log(a + b*sqrt(x)))/b^2, x, 3),
+(1/(x^1*(a + b*sqrt(x))^2), 2/(a*(a + b*sqrt(x))) - (2*log(a + b*sqrt(x)))/a^2 + log(x)/a^2, x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*sqrt(x))^2), (2*b^2)/(a^3*(a + b*sqrt(x))) - 1/(a^2*x) + (4*b)/(a^3*sqrt(x)) - (6*b^2*log(a + b*sqrt(x)))/a^4 + (3*b^2*log(x))/a^4, x, 3),
+(1/(x^3*(a + b*sqrt(x))^2), (2*b^4)/(a^5*(a + b*sqrt(x))) - 1/(2*a^2*x^2) + (4*b)/(3*a^3*x^(3//2)) - (3*b^2)/(a^4*x) + (8*b^3)/(a^5*sqrt(x)) - (10*b^4*log(a + b*sqrt(x)))/a^6 + (5*b^4*log(x))/a^6, x, 3),
+(1/(x^4*(a + b*sqrt(x))^2), (2*b^6)/(a^7*(a + b*sqrt(x))) - 1/(3*a^2*x^3) + (4*b)/(5*a^3*x^(5//2)) - (3*b^2)/(2*a^4*x^2) + (8*b^3)/(3*a^5*x^(3//2)) - (5*b^4)/(a^6*x) + (12*b^5)/(a^7*sqrt(x)) - (14*b^6*log(a + b*sqrt(x)))/a^8 + (7*b^6*log(x))/a^8, x, 3),
+
+
+(x^3/(a + b*sqrt(x))^3, a^7/(b^8*(a + b*sqrt(x))^2) - (14*a^6)/(b^8*(a + b*sqrt(x))) + (30*a^4*sqrt(x))/b^7 - (10*a^3*x)/b^6 + (4*a^2*x^(3//2))/b^5 - (3*a*x^2)/(2*b^4) + (2*x^(5//2))/(5*b^3) - (42*a^5*log(a + b*sqrt(x)))/b^8, x, 3),
+(x^2/(a + b*sqrt(x))^3, a^5/(b^6*(a + b*sqrt(x))^2) - (10*a^4)/(b^6*(a + b*sqrt(x))) + (12*a^2*sqrt(x))/b^5 - (3*a*x)/b^4 + (2*x^(3//2))/(3*b^3) - (20*a^3*log(a + b*sqrt(x)))/b^6, x, 3),
+(x^1/(a + b*sqrt(x))^3, a^3/(b^4*(a + b*sqrt(x))^2) - (6*a^2)/(b^4*(a + b*sqrt(x))) + (2*sqrt(x))/b^3 - (6*a*log(a + b*sqrt(x)))/b^4, x, 3),
+(x^0/(a + b*sqrt(x))^3, x/(a*(a + b*sqrt(x))^2), x, 2),
+(1/(x^1*(a + b*sqrt(x))^3), 1/(a*(a + b*sqrt(x))^2) + 2/(a^2*(a + b*sqrt(x))) - (2*log(a + b*sqrt(x)))/a^3 + log(x)/a^3, x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*sqrt(x))^3), b^2/(a^3*(a + b*sqrt(x))^2) + (6*b^2)/(a^4*(a + b*sqrt(x))) - 1/(a^3*x) + (6*b)/(a^4*sqrt(x)) - (12*b^2*log(a + b*sqrt(x)))/a^5 + (6*b^2*log(x))/a^5, x, 3),
+(1/(x^3*(a + b*sqrt(x))^3), b^4/(a^5*(a + b*sqrt(x))^2) + (10*b^4)/(a^6*(a + b*sqrt(x))) - 1/(2*a^3*x^2) + (2*b)/(a^4*x^(3//2)) - (6*b^2)/(a^5*x) + (20*b^3)/(a^6*sqrt(x)) - (30*b^4*log(a + b*sqrt(x)))/a^7 + (15*b^4*log(x))/a^7, x, 3),
+(1/(x^4*(a + b*sqrt(x))^3), b^6/(a^7*(a + b*sqrt(x))^2) + (14*b^6)/(a^8*(a + b*sqrt(x))) - 1/(3*a^3*x^3) + (6*b)/(5*a^4*x^(5//2)) - (3*b^2)/(a^5*x^2) + (20*b^3)/(3*a^6*x^(3//2)) - (15*b^4)/(a^7*x) + (42*b^5)/(a^8*sqrt(x)) - (56*b^6*log(a + b*sqrt(x)))/a^9 + (28*b^6*log(x))/a^9, x, 3),
+
+
+(x^4/(a + b*sqrt(x))^5, a^9/(2*b^10*(a + b*sqrt(x))^4) - (6*a^8)/(b^10*(a + b*sqrt(x))^3) + (36*a^7)/(b^10*(a + b*sqrt(x))^2) - (168*a^6)/(b^10*(a + b*sqrt(x))) + (140*a^4*sqrt(x))/b^9 - (35*a^3*x)/b^8 + (10*a^2*x^(3//2))/b^7 - (5*a*x^2)/(2*b^6) + (2*x^(5//2))/(5*b^5) - (252*a^5*log(a + b*sqrt(x)))/b^10, x, 3),
+(x^3/(a + b*sqrt(x))^5, a^7/(2*b^8*(a + b*sqrt(x))^4) - (14*a^6)/(3*b^8*(a + b*sqrt(x))^3) + (21*a^5)/(b^8*(a + b*sqrt(x))^2) - (70*a^4)/(b^8*(a + b*sqrt(x))) + (30*a^2*sqrt(x))/b^7 - (5*a*x)/b^6 + (2*x^(3//2))/(3*b^5) - (70*a^3*log(a + b*sqrt(x)))/b^8, x, 3),
+(x^2/(a + b*sqrt(x))^5, a^5/(2*b^6*(a + b*sqrt(x))^4) - (10*a^4)/(3*b^6*(a + b*sqrt(x))^3) + (10*a^3)/(b^6*(a + b*sqrt(x))^2) - (20*a^2)/(b^6*(a + b*sqrt(x))) + (2*sqrt(x))/b^5 - (10*a*log(a + b*sqrt(x)))/b^6, x, 3),
+(x^1/(a + b*sqrt(x))^5, x^2/(2*a*(a + b*sqrt(x))^4), x, 1),
+(x^0/(a + b*sqrt(x))^5, a/(2*b^2*(a + b*sqrt(x))^4) - 2/(3*b^2*(a + b*sqrt(x))^3), x, 3),
+(1/(x^1*(a + b*sqrt(x))^5), 1/(2*a*(a + b*sqrt(x))^4) + 2/(3*a^2*(a + b*sqrt(x))^3) + 1/(a^3*(a + b*sqrt(x))^2) + 2/(a^4*(a + b*sqrt(x))) - (2*log(a + b*sqrt(x)))/a^5 + log(x)/a^5, x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*sqrt(x))^5), b^2/(2*a^3*(a + b*sqrt(x))^4) + (2*b^2)/(a^4*(a + b*sqrt(x))^3) + (6*b^2)/(a^5*(a + b*sqrt(x))^2) + (20*b^2)/(a^6*(a + b*sqrt(x))) - 1/(a^5*x) + (10*b)/(a^6*sqrt(x)) - (30*b^2*log(a + b*sqrt(x)))/a^7 + (15*b^2*log(x))/a^7, x, 3),
+(1/(x^3*(a + b*sqrt(x))^5), b^4/(2*a^5*(a + b*sqrt(x))^4) + (10*b^4)/(3*a^6*(a + b*sqrt(x))^3) + (15*b^4)/(a^7*(a + b*sqrt(x))^2) + (70*b^4)/(a^8*(a + b*sqrt(x))) - 1/(2*a^5*x^2) + (10*b)/(3*a^6*x^(3//2)) - (15*b^2)/(a^7*x) + (70*b^3)/(a^8*sqrt(x)) - (140*b^4*log(a + b*sqrt(x)))/a^9 + (70*b^4*log(x))/a^9, x, 3),
+
+
+(x^5/(a + b*sqrt(x))^8, (2*a^11)/(7*b^12*(a + b*sqrt(x))^7) - (11*a^10)/(3*b^12*(a + b*sqrt(x))^6) + (22*a^9)/(b^12*(a + b*sqrt(x))^5) - (165*a^8)/(2*b^12*(a + b*sqrt(x))^4) + (220*a^7)/(b^12*(a + b*sqrt(x))^3) - (462*a^6)/(b^12*(a + b*sqrt(x))^2) + (924*a^5)/(b^12*(a + b*sqrt(x))) - (240*a^3*sqrt(x))/b^11 + (36*a^2*x)/b^10 - (16*a*x^(3//2))/(3*b^9) + x^2/(2*b^8) + (660*a^4*log(a + b*sqrt(x)))/b^12, x, 3),
+(x^4/(a + b*sqrt(x))^8, (2*a^9)/(7*b^10*(a + b*sqrt(x))^7) - (3*a^8)/(b^10*(a + b*sqrt(x))^6) + (72*a^7)/(5*b^10*(a + b*sqrt(x))^5) - (42*a^6)/(b^10*(a + b*sqrt(x))^4) + (84*a^5)/(b^10*(a + b*sqrt(x))^3) - (126*a^4)/(b^10*(a + b*sqrt(x))^2) + (168*a^3)/(b^10*(a + b*sqrt(x))) - (16*a*sqrt(x))/b^9 + x/b^8 + (72*a^2*log(a + b*sqrt(x)))/b^10, x, 3),
+(x^3/(a + b*sqrt(x))^8, (2*a^7)/(7*b^8*(a + b*sqrt(x))^7) - (7*a^6)/(3*b^8*(a + b*sqrt(x))^6) + (42*a^5)/(5*b^8*(a + b*sqrt(x))^5) - (35*a^4)/(2*b^8*(a + b*sqrt(x))^4) + (70*a^3)/(3*b^8*(a + b*sqrt(x))^3) - (21*a^2)/(b^8*(a + b*sqrt(x))^2) + (14*a)/(b^8*(a + b*sqrt(x))) + (2*log(a + b*sqrt(x)))/b^8, x, 3),
+(x^2/(a + b*sqrt(x))^8, (2*x^3)/(7*a*(a + b*sqrt(x))^7) + x^3/(21*a^2*(a + b*sqrt(x))^6), x, 3),
+(x^1/(a + b*sqrt(x))^8, (2*a^3)/(7*b^4*(a + b*sqrt(x))^7) - a^2/(b^4*(a + b*sqrt(x))^6) + (6*a)/(5*b^4*(a + b*sqrt(x))^5) - 1/(2*b^4*(a + b*sqrt(x))^4), x, 3),
+(x^0/(a + b*sqrt(x))^8, (2*a)/(7*b^2*(a + b*sqrt(x))^7) - 1/(3*b^2*(a + b*sqrt(x))^6), x, 3),
+(1/(x^1*(a + b*sqrt(x))^8), 2/(7*a*(a + b*sqrt(x))^7) + 1/(3*a^2*(a + b*sqrt(x))^6) + 2/(5*a^3*(a + b*sqrt(x))^5) + 1/(2*a^4*(a + b*sqrt(x))^4) + 2/(3*a^5*(a + b*sqrt(x))^3) + 1/(a^6*(a + b*sqrt(x))^2) + 2/(a^7*(a + b*sqrt(x))) - (2*log(a + b*sqrt(x)))/a^8 + log(x)/a^8, x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*sqrt(x))^8), (2*b^2)/(7*a^3*(a + b*sqrt(x))^7) + b^2/(a^4*(a + b*sqrt(x))^6) + (12*b^2)/(5*a^5*(a + b*sqrt(x))^5) + (5*b^2)/(a^6*(a + b*sqrt(x))^4) + (10*b^2)/(a^7*(a + b*sqrt(x))^3) + (21*b^2)/(a^8*(a + b*sqrt(x))^2) + (56*b^2)/(a^9*(a + b*sqrt(x))) - 1/(a^8*x) + (16*b)/(a^9*sqrt(x)) - (72*b^2*log(a + b*sqrt(x)))/a^10 + (36*b^2*log(x))/a^10, x, 3),
+(1/(x^3*(a + b*sqrt(x))^8), (2*b^4)/(7*a^5*(a + b*sqrt(x))^7) + (5*b^4)/(3*a^6*(a + b*sqrt(x))^6) + (6*b^4)/(a^7*(a + b*sqrt(x))^5) + (35*b^4)/(2*a^8*(a + b*sqrt(x))^4) + (140*b^4)/(3*a^9*(a + b*sqrt(x))^3) + (126*b^4)/(a^10*(a + b*sqrt(x))^2) + (420*b^4)/(a^11*(a + b*sqrt(x))) - 1/(2*a^8*x^2) + (16*b)/(3*a^9*x^(3//2)) - (36*b^2)/(a^10*x) + (240*b^3)/(a^11*sqrt(x)) - (660*b^4*log(a + b*sqrt(x)))/a^12 + (330*b^4*log(x))/a^12, x, 3),
+
+
+(1/(x*(2 + b*sqrt(x))), -log(2 + b*sqrt(x)) + log(x)/2, x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b Sqrt[x])^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^2*sqrt(a + b*sqrt(x)), -((4*a^5*(a + b*sqrt(x))^(3//2))/(3*b^6)) + (4*a^4*(a + b*sqrt(x))^(5//2))/b^6 - (40*a^3*(a + b*sqrt(x))^(7//2))/(7*b^6) + (40*a^2*(a + b*sqrt(x))^(9//2))/(9*b^6) - (20*a*(a + b*sqrt(x))^(11//2))/(11*b^6) + (4*(a + b*sqrt(x))^(13//2))/(13*b^6), x, 3),
+(x^1*sqrt(a + b*sqrt(x)), -((4*a^3*(a + b*sqrt(x))^(3//2))/(3*b^4)) + (12*a^2*(a + b*sqrt(x))^(5//2))/(5*b^4) - (12*a*(a + b*sqrt(x))^(7//2))/(7*b^4) + (4*(a + b*sqrt(x))^(9//2))/(9*b^4), x, 3),
+(x^0*sqrt(a + b*sqrt(x)), -((4*a*(a + b*sqrt(x))^(3//2))/(3*b^2)) + (4*(a + b*sqrt(x))^(5//2))/(5*b^2), x, 3),
+(1/x^1*sqrt(a + b*sqrt(x)), 4*sqrt(a + b*sqrt(x)) - 4*sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b*sqrt(x))/sqrt(a)), x, 4),
+(1/x^2*sqrt(a + b*sqrt(x)), -(sqrt(a + b*sqrt(x))/x) - (b*sqrt(a + b*sqrt(x)))/(2*a*sqrt(x)) + (b^2*atanh(sqrt(a + b*sqrt(x))/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)), x, 5),
+(1/x^3*sqrt(a + b*sqrt(x)), -(sqrt(a + b*sqrt(x))/(2*x^2)) - (b*sqrt(a + b*sqrt(x)))/(12*a*x^(3//2)) + (5*b^2*sqrt(a + b*sqrt(x)))/(48*a^2*x) - (5*b^3*sqrt(a + b*sqrt(x)))/(32*a^3*sqrt(x)) + (5*b^4*atanh(sqrt(a + b*sqrt(x))/sqrt(a)))/(32*a^(7//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^2/sqrt(a + b*sqrt(x)), -((4*a^5*sqrt(a + b*sqrt(x)))/b^6) + (20*a^4*(a + b*sqrt(x))^(3//2))/(3*b^6) - (8*a^3*(a + b*sqrt(x))^(5//2))/b^6 + (40*a^2*(a + b*sqrt(x))^(7//2))/(7*b^6) - (20*a*(a + b*sqrt(x))^(9//2))/(9*b^6) + (4*(a + b*sqrt(x))^(11//2))/(11*b^6), x, 3),
+(x^1/sqrt(a + b*sqrt(x)), -((4*a^3*sqrt(a + b*sqrt(x)))/b^4) + (4*a^2*(a + b*sqrt(x))^(3//2))/b^4 - (12*a*(a + b*sqrt(x))^(5//2))/(5*b^4) + (4*(a + b*sqrt(x))^(7//2))/(7*b^4), x, 3),
+(x^0/sqrt(a + b*sqrt(x)), -((4*a*sqrt(a + b*sqrt(x)))/b^2) + (4*(a + b*sqrt(x))^(3//2))/(3*b^2), x, 3),
+(1/(x^1*sqrt(a + b*sqrt(x))), -((4*atanh(sqrt(a + b*sqrt(x))/sqrt(a)))/sqrt(a)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(a + b*sqrt(x))), -(sqrt(a + b*sqrt(x))/(a*x)) + (3*b*sqrt(a + b*sqrt(x)))/(2*a^2*sqrt(x)) - (3*b^2*atanh(sqrt(a + b*sqrt(x))/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)), x, 5),
+(1/(x^3*sqrt(a + b*sqrt(x))), -(sqrt(a + b*sqrt(x))/(2*a*x^2)) + (7*b*sqrt(a + b*sqrt(x)))/(12*a^2*x^(3//2)) - (35*b^2*sqrt(a + b*sqrt(x)))/(48*a^3*x) + (35*b^3*sqrt(a + b*sqrt(x)))/(32*a^4*sqrt(x)) - (35*b^4*atanh(sqrt(a + b*sqrt(x))/sqrt(a)))/(32*a^(9//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b Sqrt[x])^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*sqrt(x))^n*sqrt(x), (2*a^2*(a + b*sqrt(x))^(1 + n))/(b^3*(1 + n)) - (4*a*(a + b*sqrt(x))^(2 + n))/(b^3*(2 + n)) + (2*(a + b*sqrt(x))^(3 + n))/(b^3*(3 + n)), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^n/sqrt(x), (2*(a + b*sqrt(x))^(1 + n))/(b*(1 + n)), x, 1),
+
+((1 + sqrt(x))/sqrt(x), 2*sqrt(x) + x, x, 2),
+((1 + sqrt(x))^2/sqrt(x), (2*(1 + sqrt(x))^3)/3, x, 1),
+((1 + sqrt(x))^3/sqrt(x), (1 + sqrt(x))^4//2, x, 1),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(sqrt(x)/(1 + sqrt(x)), -2*sqrt(x) + x + 2*log(1 + sqrt(x)), x, 3),
+(1/((1 + sqrt(x))*sqrt(x)), 2*log(1 + sqrt(x)), x, 1),
+
+
+(1/((1 + sqrt(x))^2*sqrt(x)), -2/(1 + sqrt(x)), x, 1),
+
+
+(1/((1 + sqrt(x))^3*sqrt(x)), -(1 + sqrt(x))^(-2), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b Sqrt[x])^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(1 + sqrt(x))*sqrt(x), (4//3)*(1 + sqrt(x))^(3//2) - (8//5)*(1 + sqrt(x))^(5//2) + (4//7)*(1 + sqrt(x))^(7//2), x, 3),
+(sqrt(1 + sqrt(x))/sqrt(x), (4*(1 + sqrt(x))^(3//2))/3, x, 1),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/3) (a+b Sqrt[x])^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^(1//3)/(1 + sqrt(x)), -3*x^(1//3) + (6*x^(5//6))/5 - 2*sqrt(3)*atan((1 - 2*x^(1//6))/sqrt(3)) - 3*log(1 + x^(1//6)) + log(1 + sqrt(x)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b Sqrt[x])^p with m symbolic
+
+
+(x^m*(a + b*sqrt(x))^4, (a^4*x^(1 + m))/(1 + m) + (8*a^3*b*x^(3//2 + m))/(3 + 2*m) + (6*a^2*b^2*x^(2 + m))/(2 + m) + (8*a*b^3*x^(5//2 + m))/(5 + 2*m) + (b^4*x^(3 + m))/(3 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*sqrt(x))^3, (a^3*x^(1 + m))/(1 + m) + (6*a^2*b*x^(3//2 + m))/(3 + 2*m) + (3*a*b^2*x^(2 + m))/(2 + m) + (2*b^3*x^(5//2 + m))/(5 + 2*m), x, 2),
+(x^m*(a + b*sqrt(x))^2, (a^2*x^(1 + m))/(1 + m) + (4*a*b*x^(3//2 + m))/(3 + 2*m) + (b^2*x^(2 + m))/(2 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*sqrt(x))^1, (a*x^(1 + m))/(1 + m) + (2*b*x^(3//2 + m))/(3 + 2*m), x, 2),
+(x^m/(a + b*sqrt(x))^1, (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2*(1 + m), 3 + 2*m, -((b*sqrt(x))/a)))/(a*(1 + m)), x, 2),
+(x^m/(a + b*sqrt(x))^2, (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 2*(1 + m), 3 + 2*m, -((b*sqrt(x))/a)))/(a^2*(1 + m)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b Sqrt[x])^p with p symbolic
+
+
+# {x^m*(a + b*Sqrt[x])^p, x, 3, -((2*(a + b*Sqrt[x])^(1 + p)*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 3 + 2*m + p, 2 + p, (a + b*Sqrt[x])/a])/(a*(1 + p))), ((a + b*Sqrt[x])^p*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[2*(1 + m), -p, 3 + 2*m, -((b*Sqrt[x])/a)])/((1 + b*Sqrt[x]/a)^p*(1 + m))}
+
+
+(x^3*(a + b*sqrt(x))^p, -((2*a^7*(a + b*sqrt(x))^(1 + p))/(b^8*(1 + p))) + (14*a^6*(a + b*sqrt(x))^(2 + p))/(b^8*(2 + p)) - (42*a^5*(a + b*sqrt(x))^(3 + p))/(b^8*(3 + p)) + (70*a^4*(a + b*sqrt(x))^(4 + p))/(b^8*(4 + p)) - (70*a^3*(a + b*sqrt(x))^(5 + p))/(b^8*(5 + p)) + (42*a^2*(a + b*sqrt(x))^(6 + p))/(b^8*(6 + p)) - (14*a*(a + b*sqrt(x))^(7 + p))/(b^8*(7 + p)) + (2*(a + b*sqrt(x))^(8 + p))/(b^8*(8 + p)), x, 3),
+(x^2*(a + b*sqrt(x))^p, -((2*a^5*(a + b*sqrt(x))^(1 + p))/(b^6*(1 + p))) + (10*a^4*(a + b*sqrt(x))^(2 + p))/(b^6*(2 + p)) - (20*a^3*(a + b*sqrt(x))^(3 + p))/(b^6*(3 + p)) + (20*a^2*(a + b*sqrt(x))^(4 + p))/(b^6*(4 + p)) - (10*a*(a + b*sqrt(x))^(5 + p))/(b^6*(5 + p)) + (2*(a + b*sqrt(x))^(6 + p))/(b^6*(6 + p)), x, 3),
+(x^1*(a + b*sqrt(x))^p, -((2*a^3*(a + b*sqrt(x))^(1 + p))/(b^4*(1 + p))) + (6*a^2*(a + b*sqrt(x))^(2 + p))/(b^4*(2 + p)) - (6*a*(a + b*sqrt(x))^(3 + p))/(b^4*(3 + p)) + (2*(a + b*sqrt(x))^(4 + p))/(b^4*(4 + p)), x, 3),
+(x^0*(a + b*sqrt(x))^p, -((2*a*(a + b*sqrt(x))^(1 + p))/(b^2*(1 + p))) + (2*(a + b*sqrt(x))^(2 + p))/(b^2*(2 + p)), x, 3),
+((a + b*sqrt(x))^p/x^1, -((2*(a + b*sqrt(x))^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*sqrt(x))/a))/(a*(1 + p))), x, 2),
+((a + b*sqrt(x))^p/x^2, -((2*b^2*(a + b*sqrt(x))^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*sqrt(x))/a))/(a^3*(1 + p))), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^(3/2))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^(3/2))^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(sqrt(x)/(1 + x^(3//2)), (2*log(1 + x^(3//2)))/3, x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^(3/2))^(p/3)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^3/(a + b*x^(3//2))^(2//3), -((5*a*x*(a + b*x^(3//2))^(1//3))/(9*b^2)) + (x^(5//2)*(a + b*x^(3//2))^(1//3))/(3*b) - (10*a^2*atan((1 + (2*b^(1//3)*sqrt(x))/(a + b*x^(3//2))^(1//3))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*b^(8//3)) - (5*a^2*log(b^(1//3)*sqrt(x) - (a + b*x^(3//2))^(1//3)))/(9*b^(8//3)), x, 4),
+(x^0/(a + b*x^(3//2))^(2//3), -((2*atan((1 + (2*b^(1//3)*sqrt(x))/(a + b*x^(3//2))^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(2//3))) - log(b^(1//3)*sqrt(x) - (a + b*x^(3//2))^(1//3))/b^(2//3), x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x^(3//2))^(2//3)), -((a + b*x^(3//2))^(1//3)/(2*a*x^2)) + (3*b*(a + b*x^(3//2))^(1//3))/(2*a^2*sqrt(x)), x, 2),
+(1/(x^6*(a + b*x^(3//2))^(2//3)), -((a + b*x^(3//2))^(1//3)/(5*a*x^5)) + (9*b*(a + b*x^(3//2))^(1//3))/(35*a^2*x^(7//2)) - (27*b^2*(a + b*x^(3//2))^(1//3))/(70*a^3*x^2) + (81*b^3*(a + b*x^(3//2))^(1//3))/(70*a^4*sqrt(x)), x, 4),
+(1/(x^9*(a + b*x^(3//2))^(2//3)), -((a + b*x^(3//2))^(1//3)/(8*a*x^8)) + (15*b*(a + b*x^(3//2))^(1//3))/(104*a^2*x^(13//2)) - (9*b^2*(a + b*x^(3//2))^(1//3))/(52*a^3*x^5) + (81*b^3*(a + b*x^(3//2))^(1//3))/(364*a^4*x^(7//2)) - (243*b^4*(a + b*x^(3//2))^(1//3))/(728*a^5*x^2) + (729*b^5*(a + b*x^(3//2))^(1//3))/(728*a^6*sqrt(x)), x, 6),
+
+(x^8/(a + b*x^(3//2))^(2//3), -((2*a^5*(a + b*x^(3//2))^(1//3))/b^6) + (5*a^4*(a + b*x^(3//2))^(4//3))/(2*b^6) - (20*a^3*(a + b*x^(3//2))^(7//3))/(7*b^6) + (2*a^2*(a + b*x^(3//2))^(10//3))/b^6 - (10*a*(a + b*x^(3//2))^(13//3))/(13*b^6) + (a + b*x^(3//2))^(16//3)/(8*b^6), x, 3),
+(x^5/(a + b*x^(3//2))^(2//3), -((2*a^3*(a + b*x^(3//2))^(1//3))/b^4) + (3*a^2*(a + b*x^(3//2))^(4//3))/(2*b^4) - (6*a*(a + b*x^(3//2))^(7//3))/(7*b^4) + (a + b*x^(3//2))^(10//3)/(5*b^4), x, 3),
+(x^2/(a + b*x^(3//2))^(2//3), -((2*a*(a + b*x^(3//2))^(1//3))/b^2) + (a + b*x^(3//2))^(4//3)/(2*b^2), x, 3),
+(1/(x^1*(a + b*x^(3//2))^(2//3)), -((2*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^(3//2))^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3))) - log(x)/(2*a^(2//3)) + log(a^(1//3) - (a + b*x^(3//2))^(1//3))/a^(2//3), x, 5),
+(1/(x^4*(a + b*x^(3//2))^(2//3)), -((a + b*x^(3//2))^(1//3)/(3*a*x^3)) + (5*b*(a + b*x^(3//2))^(1//3))/(9*a^2*x^(3//2)) - (10*b^2*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^(3//2))^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(8//3)) - (5*b^2*log(x))/(18*a^(8//3)) + (5*b^2*log(a^(1//3) - (a + b*x^(3//2))^(1//3)))/(9*a^(8//3)), x, 7),
+
+# {x^4/(a + b*x^(3/2))^(2/3), x, 3, (x^5*(a + b*x^(3/2))^(1/3)*Hypergeometric2F1[1, 11/3, 13/3, -((b*x^(3/2))/a)])/(5*a), (x^5*(1 + (b*x^(3/2))/a)^(2/3)*Hypergeometric2F1[2/3, 10/3, 13/3, -((b*x^(3/2))/a)])/(5*(a + b*x^(3/2))^(2/3))}
+# {x^1/(a + b*x^(3/2))^(2/3), x, 3, (x^2*(a + b*x^(3/2))^(1/3)*Hypergeometric2F1[1, 5/3, 7/3, -((b*x^(3/2))/a)])/(2*a), (x^2*(1 + (b*x^(3/2))/a)^(2/3)*Hypergeometric2F1[2/3, 4/3, 7/3, -((b*x^(3/2))/a)])/(2*(a + b*x^(3/2))^(2/3))}
+# {1/(x^2*(a + b*x^(3/2))^(2/3)), x, 3, -(((a + b*x^(3/2))^(1/3)*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1, 1/3, -((b*x^(3/2))/a)])/(a*x)), -(((1 + (b*x^(3/2))/a)^(2/3)*Hypergeometric2F1[-(2/3), 2/3, 1/3, -((b*x^(3/2))/a)])/(x*(a + b*x^(3/2))^(2/3)))}
+(1/(x^5*(a + b*x^(3//2))^(2//3)), -(((1 + (b*x^(3//2))/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(8//3), 2//3, -(5//3), -((b*x^(3//2))/a)))/(4*x^4*(a + b*x^(3//2))^(2//3))), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^(1/3))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^(1/3))^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*x^(1//3))*x^4, (a*x^5)/5 + (3*b*x^(16//3))/16, x, 2),
+((a + b*x^(1//3))*x^3, (a*x^4)/4 + (3*b*x^(13//3))/13, x, 2),
+((a + b*x^(1//3))*x^2, (a*x^3)/3 + (3*b*x^(10//3))/10, x, 2),
+((a + b*x^(1//3))*x, (a*x^2)/2 + (3*b*x^(7//3))/7, x, 2),
+(a + b*x^(1//3), a*x + (3*b*x^(4//3))/4, x, 1),
+((a + b*x^(1//3))/x, 3*b*x^(1//3) + a*log(x), x, 2),
+((a + b*x^(1//3))/x^2, -(a/x) - (3*b)/(2*x^(2//3)), x, 2),
+((a + b*x^(1//3))/x^3, -a/(2*x^2) - (3*b)/(5*x^(5//3)), x, 2),
+((a + b*x^(1//3))/x^4, -a/(3*x^3) - (3*b)/(8*x^(8//3)), x, 2),
+
+
+((a + b*x^(1//3))^2*x^4, (a^2*x^5)/5 + (3*a*b*x^(16//3))/8 + (3*b^2*x^(17//3))/17, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^2*x^3, (a^2*x^4)/4 + (6*a*b*x^(13//3))/13 + (3*b^2*x^(14//3))/14, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^2*x^2, (a^2*x^3)/3 + (3*a*b*x^(10//3))/5 + (3*b^2*x^(11//3))/11, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^2*x, (a^2*x^2)/2 + (6*a*b*x^(7//3))/7 + (3*b^2*x^(8//3))/8, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^2, a^2*x + (3*a*b*x^(4//3))/2 + (3*b^2*x^(5//3))/5, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^2/x, 6*a*b*x^(1//3) + (3*b^2*x^(2//3))/2 + a^2*log(x), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^2/x^2, -((a + b*x^(1//3))^3/(a*x)), x, 1),
+((a + b*x^(1//3))^2/x^3, -a^2/(2*x^2) - (6*a*b)/(5*x^(5//3)) - (3*b^2)/(4*x^(4//3)), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^2/x^4, -a^2/(3*x^3) - (3*a*b)/(4*x^(8//3)) - (3*b^2)/(7*x^(7//3)), x, 3),
+
+
+((a + b*x^(1//3))^3*x^4, (a^3*x^5)/5 + (9*a^2*b*x^(16//3))/16 + (9*a*b^2*x^(17//3))/17 + (b^3*x^6)/6, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^3*x^3, (a^3*x^4)/4 + (9*a^2*b*x^(13//3))/13 + (9*a*b^2*x^(14//3))/14 + (b^3*x^5)/5, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^3*x^2, (a^3*x^3)/3 + (9*a^2*b*x^(10//3))/10 + (9*a*b^2*x^(11//3))/11 + (b^3*x^4)/4, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^3*x, (a^3*x^2)/2 + (9*a^2*b*x^(7//3))/7 + (9*a*b^2*x^(8//3))/8 + (b^3*x^3)/3, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^3, a^3*x + (9//4)*a^2*b*x^(4//3) + (9//5)*a*b^2*x^(5//3) + (b^3*x^2)/2, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^3/x, 9*a^2*b*x^(1//3) + (9*a*b^2*x^(2//3))/2 + b^3*x + a^3*log(x), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^3/x^2, -(a^3/x) - (9*a^2*b)/(2*x^(2//3)) - (9*a*b^2)/x^(1//3) + b^3*log(x), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^3/x^3, -a^3/(2*x^2) - (9*a^2*b)/(5*x^(5//3)) - (9*a*b^2)/(4*x^(4//3)) - b^3/x, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^3/x^4, -a^3/(3*x^3) - (9*a^2*b)/(8*x^(8//3)) - (9*a*b^2)/(7*x^(7//3)) - b^3/(2*x^2), x, 3),
+
+
+((a + b*x^(1//3))^5*x^4, (a^5*x^5)/5 + (15*a^4*b*x^(16//3))/16 + (30*a^3*b^2*x^(17//3))/17 + (5*a^2*b^3*x^6)/3 + (15*a*b^4*x^(19//3))/19 + (3*b^5*x^(20//3))/20, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^5*x^3, (a^5*x^4)/4 + (15*a^4*b*x^(13//3))/13 + (15*a^3*b^2*x^(14//3))/7 + 2*a^2*b^3*x^5 + (15*a*b^4*x^(16//3))/16 + (3*b^5*x^(17//3))/17, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^5*x^2, (a^5*x^3)/3 + (3*a^4*b*x^(10//3))/2 + (30*a^3*b^2*x^(11//3))/11 + (5*a^2*b^3*x^4)/2 + (15*a*b^4*x^(13//3))/13 + (3*b^5*x^(14//3))/14, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^5*x, (a^5*x^2)/2 + (15*a^4*b*x^(7//3))/7 + (15*a^3*b^2*x^(8//3))/4 + (10*a^2*b^3*x^3)/3 + (3*a*b^4*x^(10//3))/2 + (3*b^5*x^(11//3))/11, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^5, (a^2*(a + b*x^(1//3))^6)/(2*b^3) - (6*a*(a + b*x^(1//3))^7)/(7*b^3) + (3*(a + b*x^(1//3))^8)/(8*b^3), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^5/x, 15*a^4*b*x^(1//3) + 15*a^3*b^2*x^(2//3) + 10*a^2*b^3*x + (15*a*b^4*x^(4//3))/4 + (3*b^5*x^(5//3))/5 + a^5*log(x), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^5/x^2, -(a^5/x) - (15*a^4*b)/(2*x^(2//3)) - (30*a^3*b^2)/x^(1//3) + 15*a*b^4*x^(1//3) + (3*b^5*x^(2//3))/2 + 10*a^2*b^3*log(x), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^5/x^3, -(a + b*x^(1//3))^6/(2*a*x^2), x, 1),
+((a + b*x^(1//3))^5/x^4, -a^5/(3*x^3) - (15*a^4*b)/(8*x^(8//3)) - (30*a^3*b^2)/(7*x^(7//3)) - (5*a^2*b^3)/x^2 - (3*a*b^4)/x^(5//3) - (3*b^5)/(4*x^(4//3)), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^5/x^5, -a^5/(4*x^4) - (15*a^4*b)/(11*x^(11//3)) - (3*a^3*b^2)/x^(10//3) - (10*a^2*b^3)/(3*x^3) - (15*a*b^4)/(8*x^(8//3)) - (3*b^5)/(7*x^(7//3)), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^5/x^6, -a^5/(5*x^5) - (15*a^4*b)/(14*x^(14//3)) - (30*a^3*b^2)/(13*x^(13//3)) - (5*a^2*b^3)/(2*x^4) - (15*a*b^4)/(11*x^(11//3)) - (3*b^5)/(10*x^(10//3)), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^5/x^7, -a^5/(6*x^6) - (15*a^4*b)/(17*x^(17//3)) - (15*a^3*b^2)/(8*x^(16//3)) - (2*a^2*b^3)/x^5 - (15*a*b^4)/(14*x^(14//3)) - (3*b^5)/(13*x^(13//3)), x, 3),
+
+
+((a + b*x^(1//3))^10*x^4, (a^10*x^5)/5 + (15*a^9*b*x^(16//3))/8 + (135*a^8*b^2*x^(17//3))/17 + 20*a^7*b^3*x^6 + (630*a^6*b^4*x^(19//3))/19 + (189*a^5*b^5*x^(20//3))/5 + 30*a^4*b^6*x^7 + (180*a^3*b^7*x^(22//3))/11 + (135*a^2*b^8*x^(23//3))/23 + (5*a*b^9*x^8)/4 + (3*b^10*x^(25//3))/25, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^10*x^3, (a^10*x^4)/4 + (30*a^9*b*x^(13//3))/13 + (135*a^8*b^2*x^(14//3))/14 + 24*a^7*b^3*x^5 + (315*a^6*b^4*x^(16//3))/8 + (756*a^5*b^5*x^(17//3))/17 + 35*a^4*b^6*x^6 + (360*a^3*b^7*x^(19//3))/19 + (27*a^2*b^8*x^(20//3))/4 + (10*a*b^9*x^7)/7 + (3*b^10*x^(22//3))/22, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^10*x^2, (3*a^8*(a + b*x^(1//3))^11)/(11*b^9) - (2*a^7*(a + b*x^(1//3))^12)/b^9 + (84*a^6*(a + b*x^(1//3))^13)/(13*b^9) - (12*a^5*(a + b*x^(1//3))^14)/b^9 + (14*a^4*(a + b*x^(1//3))^15)/b^9 - (21*a^3*(a + b*x^(1//3))^16)/(2*b^9) + (84*a^2*(a + b*x^(1//3))^17)/(17*b^9) - (4*a*(a + b*x^(1//3))^18)/(3*b^9) + (3*(a + b*x^(1//3))^19)/(19*b^9), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^10*x, (-3*a^5*(a + b*x^(1//3))^11)/(11*b^6) + (5*a^4*(a + b*x^(1//3))^12)/(4*b^6) - (30*a^3*(a + b*x^(1//3))^13)/(13*b^6) + (15*a^2*(a + b*x^(1//3))^14)/(7*b^6) - (a*(a + b*x^(1//3))^15)/b^6 + (3*(a + b*x^(1//3))^16)/(16*b^6), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^10, (3*a^2*(a + b*x^(1//3))^11)/(11*b^3) - (a*(a + b*x^(1//3))^12)/(2*b^3) + (3*(a + b*x^(1//3))^13)/(13*b^3), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^10/x, 30*a^9*b*x^(1//3) + (135*a^8*b^2*x^(2//3))/2 + 120*a^7*b^3*x + (315*a^6*b^4*x^(4//3))/2 + (756*a^5*b^5*x^(5//3))/5 + 105*a^4*b^6*x^2 + (360*a^3*b^7*x^(7//3))/7 + (135*a^2*b^8*x^(8//3))/8 + (10*a*b^9*x^3)/3 + (3*b^10*x^(10//3))/10 + a^10*log(x), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^10/x^2, -(a^10/x) - (15*a^9*b)/x^(2//3) - (135*a^8*b^2)/x^(1//3) + 630*a^6*b^4*x^(1//3) + 378*a^5*b^5*x^(2//3) + 210*a^4*b^6*x + 90*a^3*b^7*x^(4//3) + 27*a^2*b^8*x^(5//3) + 5*a*b^9*x^2 + (3*b^10*x^(7//3))/7 + 120*a^7*b^3*log(x), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^10/x^3, -a^10/(2*x^2) - (6*a^9*b)/x^(5//3) - (135*a^8*b^2)/(4*x^(4//3)) - (120*a^7*b^3)/x - (315*a^6*b^4)/x^(2//3) - (756*a^5*b^5)/x^(1//3) + 360*a^3*b^7*x^(1//3) + (135*a^2*b^8*x^(2//3))/2 + 10*a*b^9*x + (3*b^10*x^(4//3))/4 + 210*a^4*b^6*log(x), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^10/x^4, -a^10/(3*x^3) - (15*a^9*b)/(4*x^(8//3)) - (135*a^8*b^2)/(7*x^(7//3)) - (60*a^7*b^3)/x^2 - (126*a^6*b^4)/x^(5//3) - (189*a^5*b^5)/x^(4//3) - (210*a^4*b^6)/x - (180*a^3*b^7)/x^(2//3) - (135*a^2*b^8)/x^(1//3) + 3*b^10*x^(1//3) + 10*a*b^9*log(x), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^10/x^5, -(a + b*x^(1//3))^11/(4*a*x^4) + (b*(a + b*x^(1//3))^11)/(44*a^2*x^(11//3)), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^10/x^6, -(a + b*x^(1//3))^11/(5*a*x^5) + (2*b*(a + b*x^(1//3))^11)/(35*a^2*x^(14//3)) - (6*b^2*(a + b*x^(1//3))^11)/(455*a^3*x^(13//3)) + (b^3*(a + b*x^(1//3))^11)/(455*a^4*x^4) - (b^4*(a + b*x^(1//3))^11)/(5005*a^5*x^(11//3)), x, 6),
+((a + b*x^(1//3))^10/x^7, -a^10/(6*x^6) - (30*a^9*b)/(17*x^(17//3)) - (135*a^8*b^2)/(16*x^(16//3)) - (24*a^7*b^3)/x^5 - (45*a^6*b^4)/x^(14//3) - (756*a^5*b^5)/(13*x^(13//3)) - (105*a^4*b^6)/(2*x^4) - (360*a^3*b^7)/(11*x^(11//3)) - (27*a^2*b^8)/(2*x^(10//3)) - (10*a*b^9)/(3*x^3) - (3*b^10)/(8*x^(8//3)), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^10/x^8, -a^10/(7*x^7) - (3*a^9*b)/(2*x^(20//3)) - (135*a^8*b^2)/(19*x^(19//3)) - (20*a^7*b^3)/x^6 - (630*a^6*b^4)/(17*x^(17//3)) - (189*a^5*b^5)/(4*x^(16//3)) - (42*a^4*b^6)/x^5 - (180*a^3*b^7)/(7*x^(14//3)) - (135*a^2*b^8)/(13*x^(13//3)) - (5*a*b^9)/(2*x^4) - (3*b^10)/(11*x^(11//3)), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^10/x^9, -a^10/(8*x^8) - (30*a^9*b)/(23*x^(23//3)) - (135*a^8*b^2)/(22*x^(22//3)) - (120*a^7*b^3)/(7*x^7) - (63*a^6*b^4)/(2*x^(20//3)) - (756*a^5*b^5)/(19*x^(19//3)) - (35*a^4*b^6)/x^6 - (360*a^3*b^7)/(17*x^(17//3)) - (135*a^2*b^8)/(16*x^(16//3)) - (2*a*b^9)/x^5 - (3*b^10)/(14*x^(14//3)), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^10/x^10, -a^10/(9*x^9) - (15*a^9*b)/(13*x^(26//3)) - (27*a^8*b^2)/(5*x^(25//3)) - (15*a^7*b^3)/x^8 - (630*a^6*b^4)/(23*x^(23//3)) - (378*a^5*b^5)/(11*x^(22//3)) - (30*a^4*b^6)/x^7 - (18*a^3*b^7)/x^(20//3) - (135*a^2*b^8)/(19*x^(19//3)) - (5*a*b^9)/(3*x^6) - (3*b^10)/(17*x^(17//3)), x, 3),
+
+
+((a + b*x^(1//3))^15*x^5, (a^15*x^6)/6 + (45//19)*a^14*b*x^(19//3) + (63//4)*a^13*b^2*x^(20//3) + 65*a^12*b^3*x^7 + (4095//22)*a^11*b^4*x^(22//3) + (9009//23)*a^10*b^5*x^(23//3) + (5005//8)*a^9*b^6*x^8 + (3861//5)*a^8*b^7*x^(25//3) + (1485//2)*a^7*b^8*x^(26//3) + (5005//9)*a^6*b^9*x^9 + (1287//4)*a^5*b^10*x^(28//3) + (4095//29)*a^4*b^11*x^(29//3) + (91//2)*a^3*b^12*x^10 + (315//31)*a^2*b^13*x^(31//3) + (45//32)*a*b^14*x^(32//3) + (b^15*x^11)/11, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^15*x^4, (a^15*x^5)/5 + (45//16)*a^14*b*x^(16//3) + (315//17)*a^13*b^2*x^(17//3) + (455//6)*a^12*b^3*x^6 + (4095//19)*a^11*b^4*x^(19//3) + (9009//20)*a^10*b^5*x^(20//3) + 715*a^9*b^6*x^7 + (1755//2)*a^8*b^7*x^(22//3) + (19305//23)*a^7*b^8*x^(23//3) + (5005//8)*a^6*b^9*x^8 + (9009//25)*a^5*b^10*x^(25//3) + (315//2)*a^4*b^11*x^(26//3) + (455//9)*a^3*b^12*x^9 + (45//4)*a^2*b^13*x^(28//3) + (45//29)*a*b^14*x^(29//3) + (b^15*x^10)/10, x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^15*x^3, -((3*a^11*(a + b*x^(1//3))^16)/(16*b^12)) + (33*a^10*(a + b*x^(1//3))^17)/(17*b^12) - (55*a^9*(a + b*x^(1//3))^18)/(6*b^12) + (495*a^8*(a + b*x^(1//3))^19)/(19*b^12) - (99*a^7*(a + b*x^(1//3))^20)/(2*b^12) + (66*a^6*(a + b*x^(1//3))^21)/b^12 - (63*a^5*(a + b*x^(1//3))^22)/b^12 + (990*a^4*(a + b*x^(1//3))^23)/(23*b^12) - (165*a^3*(a + b*x^(1//3))^24)/(8*b^12) + (33*a^2*(a + b*x^(1//3))^25)/(5*b^12) - (33*a*(a + b*x^(1//3))^26)/(26*b^12) + (a + b*x^(1//3))^27/(9*b^12), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^15*x^2, (3*a^8*(a + b*x^(1//3))^16)/(16*b^9) - (24*a^7*(a + b*x^(1//3))^17)/(17*b^9) + (14*a^6*(a + b*x^(1//3))^18)/(3*b^9) - (168*a^5*(a + b*x^(1//3))^19)/(19*b^9) + (21*a^4*(a + b*x^(1//3))^20)/(2*b^9) - (8*a^3*(a + b*x^(1//3))^21)/b^9 + (42*a^2*(a + b*x^(1//3))^22)/(11*b^9) - (24*a*(a + b*x^(1//3))^23)/(23*b^9) + (a + b*x^(1//3))^24/(8*b^9), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^15*x, (-3*a^5*(a + b*x^(1//3))^16)/(16*b^6) + (15*a^4*(a + b*x^(1//3))^17)/(17*b^6) - (5*a^3*(a + b*x^(1//3))^18)/(3*b^6) + (30*a^2*(a + b*x^(1//3))^19)/(19*b^6) - (3*a*(a + b*x^(1//3))^20)/(4*b^6) + (a + b*x^(1//3))^21/(7*b^6), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^15, (3*a^2*(a + b*x^(1//3))^16)/(16*b^3) - (6*a*(a + b*x^(1//3))^17)/(17*b^3) + (a + b*x^(1//3))^18/(6*b^3), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^15/x, 45*a^14*b*x^(1//3) + (315*a^13*b^2*x^(2//3))/2 + 455*a^12*b^3*x + (4095*a^11*b^4*x^(4//3))/4 + (9009*a^10*b^5*x^(5//3))/5 + (5005*a^9*b^6*x^2)/2 + (19305*a^8*b^7*x^(7//3))/7 + (19305*a^7*b^8*x^(8//3))/8 + (5005*a^6*b^9*x^3)/3 + (9009*a^5*b^10*x^(10//3))/10 + (4095*a^4*b^11*x^(11//3))/11 + (455*a^3*b^12*x^4)/4 + (315*a^2*b^13*x^(13//3))/13 + (45*a*b^14*x^(14//3))/14 + (b^15*x^5)/5 + a^15*log(x), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^15/x^2, -(a^15/x) - (45*a^14*b)/(2*x^(2//3)) - (315*a^13*b^2)/x^(1//3) + 4095*a^11*b^4*x^(1//3) + (9009*a^10*b^5*x^(2//3))/2 + 5005*a^9*b^6*x + (19305*a^8*b^7*x^(4//3))/4 + 3861*a^7*b^8*x^(5//3) + (5005*a^6*b^9*x^2)/2 + 1287*a^5*b^10*x^(7//3) + (4095*a^4*b^11*x^(8//3))/8 + (455*a^3*b^12*x^3)/3 + (63*a^2*b^13*x^(10//3))/2 + (45*a*b^14*x^(11//3))/11 + (b^15*x^4)/4 + 455*a^12*b^3*log(x), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^15/x^3, -a^15/(2*x^2) - (9*a^14*b)/x^(5//3) - (315*a^13*b^2)/(4*x^(4//3)) - (455*a^12*b^3)/x - (4095*a^11*b^4)/(2*x^(2//3)) - (9009*a^10*b^5)/x^(1//3) + 19305*a^8*b^7*x^(1//3) + (19305*a^7*b^8*x^(2//3))/2 + 5005*a^6*b^9*x + (9009*a^5*b^10*x^(4//3))/4 + 819*a^4*b^11*x^(5//3) + (455*a^3*b^12*x^2)/2 + 45*a^2*b^13*x^(7//3) + (45*a*b^14*x^(8//3))/8 + (b^15*x^3)/3 + 5005*a^9*b^6*log(x), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^15/x^4, -a^15/(3*x^3) - (45*a^14*b)/(8*x^(8//3)) - (45*a^13*b^2)/x^(7//3) - (455*a^12*b^3)/(2*x^2) - (819*a^11*b^4)/x^(5//3) - (9009*a^10*b^5)/(4*x^(4//3)) - (5005*a^9*b^6)/x - (19305*a^8*b^7)/(2*x^(2//3)) - (19305*a^7*b^8)/x^(1//3) + 9009*a^5*b^10*x^(1//3) + (4095*a^4*b^11*x^(2//3))/2 + 455*a^3*b^12*x + (315*a^2*b^13*x^(4//3))/4 + 9*a*b^14*x^(5//3) + (b^15*x^2)/2 + 5005*a^6*b^9*log(x), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^15/x^6, -a^15/(5*x^5) - (45*a^14*b)/(14*x^(14//3)) - (315*a^13*b^2)/(13*x^(13//3)) - (455*a^12*b^3)/(4*x^4) - (4095*a^11*b^4)/(11*x^(11//3)) - (9009*a^10*b^5)/(10*x^(10//3)) - (5005*a^9*b^6)/(3*x^3) - (19305*a^8*b^7)/(8*x^(8//3)) - (19305*a^7*b^8)/(7*x^(7//3)) - (5005*a^6*b^9)/(2*x^2) - (9009*a^5*b^10)/(5*x^(5//3)) - (4095*a^4*b^11)/(4*x^(4//3)) - (455*a^3*b^12)/x - (315*a^2*b^13)/(2*x^(2//3)) - (45*a*b^14)/x^(1//3) + b^15*log(x), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^15/x^7, -(a + b*x^(1//3))^16/(6*a*x^6) + (b*(a + b*x^(1//3))^16)/(51*a^2*x^(17//3)) - (b^2*(a + b*x^(1//3))^16)/(816*a^3*x^(16//3)), x, 4),
+((a + b*x^(1//3))^15/x^8, -(a + b*x^(1//3))^16/(7*a*x^7) + (b*(a + b*x^(1//3))^16)/(28*a^2*x^(20//3)) - (b^2*(a + b*x^(1//3))^16)/(133*a^3*x^(19//3)) + (b^3*(a + b*x^(1//3))^16)/(798*a^4*x^6) - (b^4*(a + b*x^(1//3))^16)/(6783*a^5*x^(17//3)) + (b^5*(a + b*x^(1//3))^16)/(108528*a^6*x^(16//3)), x, 7),
+((a + b*x^(1//3))^15/x^9, -(a + b*x^(1//3))^16/(8*a*x^8) + (b*(a + b*x^(1//3))^16)/(23*a^2*x^(23//3)) - (7*b^2*(a + b*x^(1//3))^16)/(506*a^3*x^(22//3)) + (b^3*(a + b*x^(1//3))^16)/(253*a^4*x^7) - (b^4*(a + b*x^(1//3))^16)/(1012*a^5*x^(20//3)) + (b^5*(a + b*x^(1//3))^16)/(4807*a^6*x^(19//3)) - (b^6*(a + b*x^(1//3))^16)/(28842*a^7*x^6) + (b^7*(a + b*x^(1//3))^16)/(245157*a^8*x^(17//3)) - (b^8*(a + b*x^(1//3))^16)/(3922512*a^9*x^(16//3)), x, 10),
+((a + b*x^(1//3))^15/x^10, -a^15/(9*x^9) - (45*a^14*b)/(26*x^(26//3)) - (63*a^13*b^2)/(5*x^(25//3)) - (455*a^12*b^3)/(8*x^8) - (4095*a^11*b^4)/(23*x^(23//3)) - (819*a^10*b^5)/(2*x^(22//3)) - (715*a^9*b^6)/x^7 - (3861*a^8*b^7)/(4*x^(20//3)) - (19305*a^7*b^8)/(19*x^(19//3)) - (5005*a^6*b^9)/(6*x^6) - (9009*a^5*b^10)/(17*x^(17//3)) - (4095*a^4*b^11)/(16*x^(16//3)) - (91*a^3*b^12)/x^5 - (45*a^2*b^13)/(2*x^(14//3)) - (45*a*b^14)/(13*x^(13//3)) - b^15/(4*x^4), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^15/x^11, -a^15/(10*x^10) - (45*a^14*b)/(29*x^(29//3)) - (45*a^13*b^2)/(4*x^(28//3)) - (455*a^12*b^3)/(9*x^9) - (315*a^11*b^4)/(2*x^(26//3)) - (9009*a^10*b^5)/(25*x^(25//3)) - (5005*a^9*b^6)/(8*x^8) - (19305*a^8*b^7)/(23*x^(23//3)) - (1755*a^7*b^8)/(2*x^(22//3)) - (715*a^6*b^9)/x^7 - (9009*a^5*b^10)/(20*x^(20//3)) - (4095*a^4*b^11)/(19*x^(19//3)) - (455*a^3*b^12)/(6*x^6) - (315*a^2*b^13)/(17*x^(17//3)) - (45*a*b^14)/(16*x^(16//3)) - b^15/(5*x^5), x, 3),
+((a + b*x^(1//3))^15/x^12, -a^15/(11*x^11) - (45*a^14*b)/(32*x^(32//3)) - (315*a^13*b^2)/(31*x^(31//3)) - (91*a^12*b^3)/(2*x^10) - (4095*a^11*b^4)/(29*x^(29//3)) - (1287*a^10*b^5)/(4*x^(28//3)) - (5005*a^9*b^6)/(9*x^9) - (1485*a^8*b^7)/(2*x^(26//3)) - (3861*a^7*b^8)/(5*x^(25//3)) - (5005*a^6*b^9)/(8*x^8) - (9009*a^5*b^10)/(23*x^(23//3)) - (4095*a^4*b^11)/(22*x^(22//3)) - (65*a^3*b^12)/x^7 - (63*a^2*b^13)/(4*x^(20//3)) - (45*a*b^14)/(19*x^(19//3)) - b^15/(6*x^6), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^3/(a + b*x^(1//3)), (3*a^10*x^(1//3))/b^11 - (3*a^9*x^(2//3))/(2*b^10) + (a^8*x)/b^9 - (3*a^7*x^(4//3))/(4*b^8) + (3*a^6*x^(5//3))/(5*b^7) - (a^5*x^2)/(2*b^6) + (3*a^4*x^(7//3))/(7*b^5) - (3*a^3*x^(8//3))/(8*b^4) + (a^2*x^3)/(3*b^3) - (3*a*x^(10//3))/(10*b^2) + (3*x^(11//3))/(11*b) - (3*a^11*log(a + b*x^(1//3)))/b^12, x, 3),
+(x^2/(a + b*x^(1//3)), (-3*a^7*x^(1//3))/b^8 + (3*a^6*x^(2//3))/(2*b^7) - (a^5*x)/b^6 + (3*a^4*x^(4//3))/(4*b^5) - (3*a^3*x^(5//3))/(5*b^4) + (a^2*x^2)/(2*b^3) - (3*a*x^(7//3))/(7*b^2) + (3*x^(8//3))/(8*b) + (3*a^8*log(a + b*x^(1//3)))/b^9, x, 3),
+(x/(a + b*x^(1//3)), (3*a^4*x^(1//3))/b^5 - (3*a^3*x^(2//3))/(2*b^4) + (a^2*x)/b^3 - (3*a*x^(4//3))/(4*b^2) + (3*x^(5//3))/(5*b) - (3*a^5*log(a + b*x^(1//3)))/b^6, x, 3),
+(1/(a + b*x^(1//3)), (-3*a*x^(1//3))/b^2 + (3*x^(2//3))/(2*b) + (3*a^2*log(a + b*x^(1//3)))/b^3, x, 3),
+(1/((a + b*x^(1//3))*x), (-3*log(a + b*x^(1//3)))/a + log(x)/a, x, 4),
+(1/((a + b*x^(1//3))*x^2), -(1/(a*x)) + (3*b)/(2*a^2*x^(2//3)) - (3*b^2)/(a^3*x^(1//3)) + (3*b^3*log(a + b*x^(1//3)))/a^4 - (b^3*log(x))/a^4, x, 3),
+(1/((a + b*x^(1//3))*x^3), -1/(2*a*x^2) + (3*b)/(5*a^2*x^(5//3)) - (3*b^2)/(4*a^3*x^(4//3)) + b^3/(a^4*x) - (3*b^4)/(2*a^5*x^(2//3)) + (3*b^5)/(a^6*x^(1//3)) - (3*b^6*log(a + b*x^(1//3)))/a^7 + (b^6*log(x))/a^7, x, 3),
+(1/((a + b*x^(1//3))*x^4), -1/(3*a*x^3) + (3*b)/(8*a^2*x^(8//3)) - (3*b^2)/(7*a^3*x^(7//3)) + b^3/(2*a^4*x^2) - (3*b^4)/(5*a^5*x^(5//3)) + (3*b^5)/(4*a^6*x^(4//3)) - b^6/(a^7*x) + (3*b^7)/(2*a^8*x^(2//3)) - (3*b^8)/(a^9*x^(1//3)) + (3*b^9*log(a + b*x^(1//3)))/a^10 - (b^9*log(x))/a^10, x, 3),
+
+(1/((2 + b*x^(1//3))*x), (-(3//2))*log(2 + b*x^(1//3)) + log(x)/2, x, 4),
+
+
+(x^3/(a + b*x^(1//3))^2, (3*a^11)/(b^12*(a + b*x^(1//3))) - (30*a^9*x^(1//3))/b^11 + (27*a^8*x^(2//3))/(2*b^10) - (8*a^7*x)/b^9 + (21*a^6*x^(4//3))/(4*b^8) - (18*a^5*x^(5//3))/(5*b^7) + (5*a^4*x^2)/(2*b^6) - (12*a^3*x^(7//3))/(7*b^5) + (9*a^2*x^(8//3))/(8*b^4) - (2*a*x^3)/(3*b^3) + (3*x^(10//3))/(10*b^2) + (33*a^10*log(a + b*x^(1//3)))/b^12, x, 3),
+(x^2/(a + b*x^(1//3))^2, (-3*a^8)/(b^9*(a + b*x^(1//3))) + (21*a^6*x^(1//3))/b^8 - (9*a^5*x^(2//3))/b^7 + (5*a^4*x)/b^6 - (3*a^3*x^(4//3))/b^5 + (9*a^2*x^(5//3))/(5*b^4) - (a*x^2)/b^3 + (3*x^(7//3))/(7*b^2) - (24*a^7*log(a + b*x^(1//3)))/b^9, x, 3),
+(x/(a + b*x^(1//3))^2, (3*a^5)/(b^6*(a + b*x^(1//3))) - (12*a^3*x^(1//3))/b^5 + (9*a^2*x^(2//3))/(2*b^4) - (2*a*x)/b^3 + (3*x^(4//3))/(4*b^2) + (15*a^4*log(a + b*x^(1//3)))/b^6, x, 3),
+(1/(a + b*x^(1//3))^2, -((3*a^2)/(b^3*(a + b*x^(1//3)))) + (3*x^(1//3))/b^2 - (6*a*log(a + b*x^(1//3)))/b^3, x, 3),
+(1/((a + b*x^(1//3))^2*x), 3/(a*(a + b*x^(1//3))) - (3*log(a + b*x^(1//3)))/a^2 + log(x)/a^2, x, 3),
+(1/((a + b*x^(1//3))^2*x^2), -((3*b^3)/(a^4*(a + b*x^(1//3)))) - 1/(a^2*x) + (3*b)/(a^3*x^(2//3)) - (9*b^2)/(a^4*x^(1//3)) + (12*b^3*log(a + b*x^(1//3)))/a^5 - (4*b^3*log(x))/a^5, x, 3),
+(1/((a + b*x^(1//3))^2*x^3), (3*b^6)/(a^7*(a + b*x^(1//3))) - 1/(2*a^2*x^2) + (6*b)/(5*a^3*x^(5//3)) - (9*b^2)/(4*a^4*x^(4//3)) + (4*b^3)/(a^5*x) - (15*b^4)/(2*a^6*x^(2//3)) + (18*b^5)/(a^7*x^(1//3)) - (21*b^6*log(a + b*x^(1//3)))/a^8 + (7*b^6*log(x))/a^8, x, 3),
+(1/((a + b*x^(1//3))^2*x^4), -((3*b^9)/(a^10*(a + b*x^(1//3)))) - 1/(3*a^2*x^3) + (3*b)/(4*a^3*x^(8//3)) - (9*b^2)/(7*a^4*x^(7//3)) + (2*b^3)/(a^5*x^2) - (3*b^4)/(a^6*x^(5//3)) + (9*b^5)/(2*a^7*x^(4//3)) - (7*b^6)/(a^8*x) + (12*b^7)/(a^9*x^(2//3)) - (27*b^8)/(a^10*x^(1//3)) + (30*b^9*log(a + b*x^(1//3)))/a^11 - (10*b^9*log(x))/a^11, x, 3),
+
+
+(x^3/(a + b*x^(1//3))^3, (3*a^11)/(2*b^12*(a + b*x^(1//3))^2) - (33*a^10)/(b^12*(a + b*x^(1//3))) + (135*a^8*x^(1//3))/b^11 - (54*a^7*x^(2//3))/b^10 + (28*a^6*x)/b^9 - (63*a^5*x^(4//3))/(4*b^8) + (9*a^4*x^(5//3))/b^7 - (5*a^3*x^2)/b^6 + (18*a^2*x^(7//3))/(7*b^5) - (9*a*x^(8//3))/(8*b^4) + x^3/(3*b^3) - (165*a^9*log(a + b*x^(1//3)))/b^12, x, 3),
+(x^2/(a + b*x^(1//3))^3, (-3*a^8)/(2*b^9*(a + b*x^(1//3))^2) + (24*a^7)/(b^9*(a + b*x^(1//3))) - (63*a^5*x^(1//3))/b^8 + (45*a^4*x^(2//3))/(2*b^7) - (10*a^3*x)/b^6 + (9*a^2*x^(4//3))/(2*b^5) - (9*a*x^(5//3))/(5*b^4) + x^2/(2*b^3) + (84*a^6*log(a + b*x^(1//3)))/b^9, x, 3),
+(x/(a + b*x^(1//3))^3, (3*a^5)/(2*b^6*(a + b*x^(1//3))^2) - (15*a^4)/(b^6*(a + b*x^(1//3))) + (18*a^2*x^(1//3))/b^5 - (9*a*x^(2//3))/(2*b^4) + x/b^3 - (30*a^3*log(a + b*x^(1//3)))/b^6, x, 3),
+(1/(a + b*x^(1//3))^3, -((3*a^2)/(2*b^3*(a + b*x^(1//3))^2)) + (6*a)/(b^3*(a + b*x^(1//3))) + (3*log(a + b*x^(1//3)))/b^3, x, 3),
+(1/((a + b*x^(1//3))^3*x), 3/(2*a*(a + b*x^(1//3))^2) + 3/(a^2*(a + b*x^(1//3))) - (3*log(a + b*x^(1//3)))/a^3 + log(x)/a^3, x, 3),
+(1/((a + b*x^(1//3))^3*x^2), -((3*b^3)/(2*a^4*(a + b*x^(1//3))^2)) - (12*b^3)/(a^5*(a + b*x^(1//3))) - 1/(a^3*x) + (9*b)/(2*a^4*x^(2//3)) - (18*b^2)/(a^5*x^(1//3)) + (30*b^3*log(a + b*x^(1//3)))/a^6 - (10*b^3*log(x))/a^6, x, 3),
+(1/((a + b*x^(1//3))^3*x^3), (3*b^6)/(2*a^7*(a + b*x^(1//3))^2) + (21*b^6)/(a^8*(a + b*x^(1//3))) - 1/(2*a^3*x^2) + (9*b)/(5*a^4*x^(5//3)) - (9*b^2)/(2*a^5*x^(4//3)) + (10*b^3)/(a^6*x) - (45*b^4)/(2*a^7*x^(2//3)) + (63*b^5)/(a^8*x^(1//3)) - (84*b^6*log(a + b*x^(1//3)))/a^9 + (28*b^6*log(x))/a^9, x, 3),
+(1/((a + b*x^(1//3))^3*x^4), -((3*b^9)/(2*a^10*(a + b*x^(1//3))^2)) - (30*b^9)/(a^11*(a + b*x^(1//3))) - 1/(3*a^3*x^3) + (9*b)/(8*a^4*x^(8//3)) - (18*b^2)/(7*a^5*x^(7//3)) + (5*b^3)/(a^6*x^2) - (9*b^4)/(a^7*x^(5//3)) + (63*b^5)/(4*a^8*x^(4//3)) - (28*b^6)/(a^9*x) + (54*b^7)/(a^10*x^(2//3)) - (135*b^8)/(a^11*x^(1//3)) + (165*b^9*log(a + b*x^(1//3)))/a^12 - (55*b^9*log(x))/a^12, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^(1/3))^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/sqrt(1 + x^(1//3)), 6*sqrt(1 + x^(1//3)) - 4*(1 + x^(1//3))^(3//2) + (6//5)*(1 + x^(1//3))^(5//2), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^(1/3))^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/((1 + x^(1//3))*x^(3//2)), -(2/sqrt(x)) + 6/x^(1//6) + 6*atan(x^(1//6)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/3) (a+b x^(1/3))^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^(2//3)/(1 + x^(1//3)), -3*x^(1//3) + (3*x^(2//3))/2 - x + (3*x^(4//3))/4 + 3*log(1 + x^(1//3)), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^(2/3))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^(2/3))^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/(1 + x^(2//3)), 3*x^(1//3) - 3*atan(x^(1//3)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/3) (a+b x^(2/3))^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/((1 + x^(2//3))*x^(1//3)), (3*log(1 + x^(2//3)))/2, x, 1),
+(1/((1 + x^(2//3))*x^(2//3)), 3*atan(x^(1//3)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/3) (a+b x^(2/3))^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(-1 + x^(2//3))/x^(1//3), (-1 + x^(2//3))^(3//2), x, 1),
+((1 + x^(2//3))^(3//2)/x^(1//3), (3*(1 + x^(2//3))^(5//2))/5, x, 1),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^(2/3))^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(sqrt(x)/(1 + x^(2//3)), -6*x^(1//6) + (6*x^(5//6))/5 - (3*atan(1 - sqrt(2)*x^(1//6)))/sqrt(2) + (3*atan(1 + sqrt(2)*x^(1//6)))/sqrt(2) - (3*log(1 - sqrt(2)*x^(1//6) + x^(1//3)))/(2*sqrt(2)) + (3*log(1 + sqrt(2)*x^(1//6) + x^(1//3)))/(2*sqrt(2)), x, 13),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^(5/6))^p
+
+
+# {x^(1/3)/(-1 + x^(5/6)), x, 8, 2*Sqrt[x] + (3/5)*Sqrt[10 - 2*Sqrt[5]]*ArcTan[(1 - Sqrt[5] + 4*x^(1/6))/Sqrt[10 + 2*Sqrt[5]]] - (3/5)*Sqrt[10 + 2*Sqrt[5]]*ArcTan[(1 + Sqrt[5] + 4*x^(1/6))/Sqrt[10 - 2*Sqrt[5]]] + (6/5)*Log[1 - x^(1/6)] - (3/10)*(1 + Sqrt[5])*Log[2 + (1 - Sqrt[5])*x^(1/6) + 2*x^(1/3)] - (3/10)*(1 - Sqrt[5])*Log[2 + (1 + Sqrt[5])*x^(1/6) + 2*x^(1/3)], 2*Sqrt[x] + (3/5)*Sqrt[2*(5 - Sqrt[5])]*ArcTan[(1 - Sqrt[5] + 4*x^(1/6))/Sqrt[2*(5 + Sqrt[5])]] - (3/5)*Sqrt[2*(5 + Sqrt[5])]*ArcTan[(1/2)*Sqrt[(1/10)*(5 + Sqrt[5])]*(1 + Sqrt[5] + 4*x^(1/6))] + (6/5)*Log[1 - x^(1/6)] - (3/10)*(1 + Sqrt[5])*Log[2 + x^(1/6) - Sqrt[5]*x^(1/6) + 2*x^(1/3)] - (3/10)*(1 - Sqrt[5])*Log[2 + x^(1/6) + Sqrt[5]*x^(1/6) + 2*x^(1/3)]}
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^n)^p when n<0 is a fraction
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b/x^(n/2))^p
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x^(n/2))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x^(n/2))^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(3 - 1/sqrt(x)), (-(1//6))*sqrt(3 - 1/sqrt(x))*sqrt(x) + sqrt(3 - 1/sqrt(x))*x - atanh(sqrt(3 - 1/sqrt(x))/sqrt(3))/(6*sqrt(3)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/sqrt(1 + 1/sqrt(x)), (-(3//2))*sqrt(1 + 1/sqrt(x))*sqrt(x) + sqrt(1 + 1/sqrt(x))*x + (3//2)*atanh(sqrt(1 + 1/sqrt(x))), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b/x^(n/2))^p
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b/x^(n/2))^(p/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x^(n/2))^(p/3)
+
+
+((a + b/x^(3//2))^(2//3), (a + b/x^(3//2))^(2//3)*x - (2*b^(2//3)*atan((1 + (2*b^(1//3))/((a + b/x^(3//2))^(1//3)*sqrt(x)))/sqrt(3)))/sqrt(3) + b^(2//3)*log((a + b/x^(3//2))^(1//3) - b^(1//3)/sqrt(x)), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b/x^(n/3))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x^(n/3))^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b/x^(1//3))*x^4, (3*b*x^(14//3))/14 + (a*x^5)/5, x, 2),
+((a + b/x^(1//3))*x^3, (3*b*x^(11//3))/11 + (a*x^4)/4, x, 2),
+((a + b/x^(1//3))*x^2, (3*b*x^(8//3))/8 + (a*x^3)/3, x, 2),
+((a + b/x^(1//3))*x^1, (3*b*x^(5//3))/5 + (a*x^2)/2, x, 2),
+((a + b/x^(1//3))*x^0, (3*b*x^(2//3))/2 + a*x, x, 1),
+((a + b/x^(1//3))/x^1, (-3*b)/x^(1//3) + a*log(x), x, 2),
+((a + b/x^(1//3))/x^2, (-3*b)/(4*x^(4//3)) - a/x, x, 2),
+((a + b/x^(1//3))/x^3, (-3*b)/(7*x^(7//3)) - a/(2*x^2), x, 2),
+((a + b/x^(1//3))/x^4, (-3*b)/(10*x^(10//3)) - a/(3*x^3), x, 2),
+
+
+((a + b/x^(1//3))^2*x^4, (3*b^2*x^(13//3))/13 + (3*a*b*x^(14//3))/7 + (a^2*x^5)/5, x, 4),
+((a + b/x^(1//3))^2*x^3, (3*b^2*x^(10//3))/10 + (6*a*b*x^(11//3))/11 + (a^2*x^4)/4, x, 4),
+((a + b/x^(1//3))^2*x^2, (3*b^2*x^(7//3))/7 + (3*a*b*x^(8//3))/4 + (a^2*x^3)/3, x, 4),
+((a + b/x^(1//3))^2*x^1, (3*b^2*x^(4//3))/4 + (6*a*b*x^(5//3))/5 + (a^2*x^2)/2, x, 4),
+((a + b/x^(1//3))^2*x^0, ((a + b/x^(1//3))^3*x)/a, x, 2),
+((a + b/x^(1//3))^2/x^1, (-3*b^2)/(2*x^(2//3)) - (6*a*b)/x^(1//3) + a^2*log(x), x, 4),
+((a + b/x^(1//3))^2/x^2, (-3*b^2)/(5*x^(5//3)) - (3*a*b)/(2*x^(4//3)) - a^2/x, x, 4),
+((a + b/x^(1//3))^2/x^3, (-3*b^2)/(8*x^(8//3)) - (6*a*b)/(7*x^(7//3)) - a^2/(2*x^2), x, 4),
+((a + b/x^(1//3))^2/x^4, (-3*b^2)/(11*x^(11//3)) - (3*a*b)/(5*x^(10//3)) - a^2/(3*x^3), x, 4),
+
+
+((a + b/x^(1//3))^3*x^4, (b^3*x^4)/4 + (9*a*b^2*x^(13//3))/13 + (9*a^2*b*x^(14//3))/14 + (a^3*x^5)/5, x, 4),
+((a + b/x^(1//3))^3*x^3, (b^3*x^3)/3 + (9*a*b^2*x^(10//3))/10 + (9*a^2*b*x^(11//3))/11 + (a^3*x^4)/4, x, 4),
+((a + b/x^(1//3))^3*x^2, (b^3*x^2)/2 + (9*a*b^2*x^(7//3))/7 + (9*a^2*b*x^(8//3))/8 + (a^3*x^3)/3, x, 4),
+((a + b/x^(1//3))^3*x^1, b^3*x + (9//4)*a*b^2*x^(4//3) + (9//5)*a^2*b*x^(5//3) + (a^3*x^2)/2, x, 4),
+((a + b/x^(1//3))^3*x^0, 9*a*b^2*x^(1//3) + (9*a^2*b*x^(2//3))/2 + a^3*x + b^3*log(x), x, 3),
+((a + b/x^(1//3))^3/x^1, -(b^3/x) - (9*a*b^2)/(2*x^(2//3)) - (9*a^2*b)/x^(1//3) + a^3*log(x), x, 4),
+((a + b/x^(1//3))^3/x^2, -b^3/(2*x^2) - (9*a*b^2)/(5*x^(5//3)) - (9*a^2*b)/(4*x^(4//3)) - a^3/x, x, 4),
+((a + b/x^(1//3))^3/x^3, -b^3/(3*x^3) - (9*a*b^2)/(8*x^(8//3)) - (9*a^2*b)/(7*x^(7//3)) - a^3/(2*x^2), x, 4),
+((a + b/x^(1//3))^3/x^4, -b^3/(4*x^4) - (9*a*b^2)/(11*x^(11//3)) - (9*a^2*b)/(10*x^(10//3)) - a^3/(3*x^3), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^2/(a + b/x^(1//3)), (3*b^8*x^(1//3))/a^9 - (3*b^7*x^(2//3))/(2*a^8) + (b^6*x)/a^7 - (3*b^5*x^(4//3))/(4*a^6) + (3*b^4*x^(5//3))/(5*a^5) - (b^3*x^2)/(2*a^4) + (3*b^2*x^(7//3))/(7*a^3) - (3*b*x^(8//3))/(8*a^2) + x^3/(3*a) - (3*b^9*log(b + a*x^(1//3)))/a^10, x, 4),
+(x^1/(a + b/x^(1//3)), -((3*b^5*x^(1//3))/a^6) + (3*b^4*x^(2//3))/(2*a^5) - (b^3*x)/a^4 + (3*b^2*x^(4//3))/(4*a^3) - (3*b*x^(5//3))/(5*a^2) + x^2/(2*a) + (3*b^6*log(b + a*x^(1//3)))/a^7, x, 4),
+(x^0/(a + b/x^(1//3)), (3*b^2*x^(1//3))/a^3 - (3*b*x^(2//3))/(2*a^2) + x/a - (3*b^3*log(a + b/x^(1//3)))/a^4 - (b^3*log(x))/a^4, x, 3),
+(1/((a + b/x^(1//3))*x^1), (3*log(b + a*x^(1//3)))/a, x, 2),
+(1/((a + b/x^(1//3))*x^2), -(3/(2*b*x^(2//3))) + (3*a)/(b^2*x^(1//3)) - (3*a^2*log(b + a*x^(1//3)))/b^3 + (a^2*log(x))/b^3, x, 4),
+(1/((a + b/x^(1//3))*x^3), -(3/(5*b*x^(5//3))) + (3*a)/(4*b^2*x^(4//3)) - a^2/(b^3*x) + (3*a^3)/(2*b^4*x^(2//3)) - (3*a^4)/(b^5*x^(1//3)) + (3*a^5*log(b + a*x^(1//3)))/b^6 - (a^5*log(x))/b^6, x, 4),
+(1/((a + b/x^(1//3))*x^4), -(3/(8*b*x^(8//3))) + (3*a)/(7*b^2*x^(7//3)) - a^2/(2*b^3*x^2) + (3*a^3)/(5*b^4*x^(5//3)) - (3*a^4)/(4*b^5*x^(4//3)) + a^5/(b^6*x) - (3*a^6)/(2*b^7*x^(2//3)) + (3*a^7)/(b^8*x^(1//3)) - (3*a^8*log(b + a*x^(1//3)))/b^9 + (a^8*log(x))/b^9, x, 4),
+(1/((a + b/x^(1//3))*x^5), -(3/(11*b*x^(11//3))) + (3*a)/(10*b^2*x^(10//3)) - a^2/(3*b^3*x^3) + (3*a^3)/(8*b^4*x^(8//3)) - (3*a^4)/(7*b^5*x^(7//3)) + a^5/(2*b^6*x^2) - (3*a^6)/(5*b^7*x^(5//3)) + (3*a^7)/(4*b^8*x^(4//3)) - a^8/(b^9*x) + (3*a^9)/(2*b^10*x^(2//3)) - (3*a^10)/(b^11*x^(1//3)) + (3*a^11*log(b + a*x^(1//3)))/b^12 - (a^11*log(x))/b^12, x, 4),
+
+
+(x^2/(a + b/x^(1//3))^2, -((3*b^10)/(a^11*(b + a*x^(1//3)))) + (27*b^8*x^(1//3))/a^10 - (12*b^7*x^(2//3))/a^9 + (7*b^6*x)/a^8 - (9*b^5*x^(4//3))/(2*a^7) + (3*b^4*x^(5//3))/a^6 - (2*b^3*x^2)/a^5 + (9*b^2*x^(7//3))/(7*a^4) - (3*b*x^(8//3))/(4*a^3) + x^3/(3*a^2) - (30*b^9*log(b + a*x^(1//3)))/a^11, x, 4),
+(x^1/(a + b/x^(1//3))^2, (3*b^7)/(a^8*(b + a*x^(1//3))) - (18*b^5*x^(1//3))/a^7 + (15*b^4*x^(2//3))/(2*a^6) - (4*b^3*x)/a^5 + (9*b^2*x^(4//3))/(4*a^4) - (6*b*x^(5//3))/(5*a^3) + x^2/(2*a^2) + (21*b^6*log(b + a*x^(1//3)))/a^8, x, 4),
+(x^0/(a + b/x^(1//3))^2, (3*b^3)/(a^4*(a + b/x^(1//3))) + (9*b^2*x^(1//3))/a^4 - (3*b*x^(2//3))/a^3 + x/a^2 - (12*b^3*log(a + b/x^(1//3)))/a^5 - (4*b^3*log(x))/a^5, x, 3),
+(1/((a + b/x^(1//3))^2*x^1), (3*b)/(a^2*(b + a*x^(1//3))) + (3*log(b + a*x^(1//3)))/a^2, x, 4),
+(1/((a + b/x^(1//3))^2*x^2), -((3*a)/(b^2*(b + a*x^(1//3)))) - 3/(b^2*x^(1//3)) + (6*a*log(b + a*x^(1//3)))/b^3 - (2*a*log(x))/b^3, x, 4),
+(1/((a + b/x^(1//3))^2*x^3), (3*a^4)/(b^5*(b + a*x^(1//3))) - 3/(4*b^2*x^(4//3)) + (2*a)/(b^3*x) - (9*a^2)/(2*b^4*x^(2//3)) + (12*a^3)/(b^5*x^(1//3)) - (15*a^4*log(b + a*x^(1//3)))/b^6 + (5*a^4*log(x))/b^6, x, 4),
+(1/((a + b/x^(1//3))^2*x^4), -((3*a^7)/(b^8*(b + a*x^(1//3)))) - 3/(7*b^2*x^(7//3)) + a/(b^3*x^2) - (9*a^2)/(5*b^4*x^(5//3)) + (3*a^3)/(b^5*x^(4//3)) - (5*a^4)/(b^6*x) + (9*a^5)/(b^7*x^(2//3)) - (21*a^6)/(b^8*x^(1//3)) + (24*a^7*log(b + a*x^(1//3)))/b^9 - (8*a^7*log(x))/b^9, x, 4),
+(1/((a + b/x^(1//3))^2*x^5), (3*a^10)/(b^11*(b + a*x^(1//3))) - 3/(10*b^2*x^(10//3)) + (2*a)/(3*b^3*x^3) - (9*a^2)/(8*b^4*x^(8//3)) + (12*a^3)/(7*b^5*x^(7//3)) - (5*a^4)/(2*b^6*x^2) + (18*a^5)/(5*b^7*x^(5//3)) - (21*a^6)/(4*b^8*x^(4//3)) + (8*a^7)/(b^9*x) - (27*a^8)/(2*b^10*x^(2//3)) + (30*a^9)/(b^11*x^(1//3)) - (33*a^10*log(b + a*x^(1//3)))/b^12 + (11*a^10*log(x))/b^12, x, 4),
+
+
+(x^2/(a + b/x^(1//3))^3, (3*b^11)/(2*a^12*(b + a*x^(1//3))^2) - (33*b^10)/(a^12*(b + a*x^(1//3))) + (135*b^8*x^(1//3))/a^11 - (54*b^7*x^(2//3))/a^10 + (28*b^6*x)/a^9 - (63*b^5*x^(4//3))/(4*a^8) + (9*b^4*x^(5//3))/a^7 - (5*b^3*x^2)/a^6 + (18*b^2*x^(7//3))/(7*a^5) - (9*b*x^(8//3))/(8*a^4) + x^3/(3*a^3) - (165*b^9*log(b + a*x^(1//3)))/a^12, x, 4),
+(x^1/(a + b/x^(1//3))^3, -((3*b^8)/(2*a^9*(b + a*x^(1//3))^2)) + (24*b^7)/(a^9*(b + a*x^(1//3))) - (63*b^5*x^(1//3))/a^8 + (45*b^4*x^(2//3))/(2*a^7) - (10*b^3*x)/a^6 + (9*b^2*x^(4//3))/(2*a^5) - (9*b*x^(5//3))/(5*a^4) + x^2/(2*a^3) + (84*b^6*log(b + a*x^(1//3)))/a^9, x, 4),
+(x^0/(a + b/x^(1//3))^3, (3*b^3)/(2*a^4*(a + b/x^(1//3))^2) + (12*b^3)/(a^5*(a + b/x^(1//3))) + (18*b^2*x^(1//3))/a^5 - (9*b*x^(2//3))/(2*a^4) + x/a^3 - (30*b^3*log(a + b/x^(1//3)))/a^6 - (10*b^3*log(x))/a^6, x, 3),
+(1/((a + b/x^(1//3))^3*x^1), -((3*b^2)/(2*a^3*(b + a*x^(1//3))^2)) + (6*b)/(a^3*(b + a*x^(1//3))) + (3*log(b + a*x^(1//3)))/a^3, x, 4),
+(1/((a + b/x^(1//3))^3*x^2), 3/(2*b*(b + a*x^(1//3))^2) + 3/(b^2*(b + a*x^(1//3))) - (3*log(b + a*x^(1//3)))/b^3 + log(x)/b^3, x, 4),
+(1/((a + b/x^(1//3))^3*x^3), -((3*a^3)/(2*b^4*(b + a*x^(1//3))^2)) - (12*a^3)/(b^5*(b + a*x^(1//3))) - 1/(b^3*x) + (9*a)/(2*b^4*x^(2//3)) - (18*a^2)/(b^5*x^(1//3)) + (30*a^3*log(b + a*x^(1//3)))/b^6 - (10*a^3*log(x))/b^6, x, 4),
+(1/((a + b/x^(1//3))^3*x^4), (3*a^6)/(2*b^7*(b + a*x^(1//3))^2) + (21*a^6)/(b^8*(b + a*x^(1//3))) - 1/(2*b^3*x^2) + (9*a)/(5*b^4*x^(5//3)) - (9*a^2)/(2*b^5*x^(4//3)) + (10*a^3)/(b^6*x) - (45*a^4)/(2*b^7*x^(2//3)) + (63*a^5)/(b^8*x^(1//3)) - (84*a^6*log(b + a*x^(1//3)))/b^9 + (28*a^6*log(x))/b^9, x, 4),
+(1/((a + b/x^(1//3))^3*x^5), -((3*a^9)/(2*b^10*(b + a*x^(1//3))^2)) - (30*a^9)/(b^11*(b + a*x^(1//3))) - 1/(3*b^3*x^3) + (9*a)/(8*b^4*x^(8//3)) - (18*a^2)/(7*b^5*x^(7//3)) + (5*a^3)/(b^6*x^2) - (9*a^4)/(b^7*x^(5//3)) + (63*a^5)/(4*b^8*x^(4//3)) - (28*a^6)/(b^9*x) + (54*a^7)/(b^10*x^(2//3)) - (135*a^8)/(b^11*x^(1//3)) + (165*a^9*log(b + a*x^(1//3)))/b^12 - (55*a^9*log(x))/b^12, x, 4),
+
+
+(1/(1 + b/x^(1//3)), 3*b^2*x^(1//3) - (3//2)*b*x^(2//3) + x - 3*b^3*log(1 + b/x^(1//3)) - b^3*log(x), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a+b/x^(n/3))^(p/2)
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b/x^(n/3))^p
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b/x^(n/3))^(p/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/3) (a+b/x^(n/3))^(p/3)
+
+
+(x^(2//3)*(1 + x^(5//3))^(2//3), (9*(1 + x^(5//3))^(5//3))/25, x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/3) (a+b/x^(n/3))^(p/7)
+
+
+(x^(7//3)*(a^(10//3) - x^(10//3))^(19//7), (-21*(a^(10//3) - x^(10//3))^(26//7))/260, x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b/x^(n/5))^p
+
+
+(1/(1 + x^(1//5)), -5*x^(1//5) + (5*x^(2//5))/2 - (5*x^(3//5))/3 + (5*x^(4//5))/4 + 5*log(1 + x^(1//5)), x, 3),
+(1/(sqrt(1 + x^(4//5))*x^(1//5)), (5*sqrt(1 + x^(4//5)))/2, x, 1),
+
+
+((a + b/x^(3//5))^(2//3), ((a + b/x^(3//5))^(5//3)*x)/a, x, 1),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^n)^p when n symbolic
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^n)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^n)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(a + b*x^n), (a*x^4)/4 + (b*x^(4 + n))/(4 + n), x, 2),
+(x^2*(a + b*x^n), (a*x^3)/3 + (b*x^(3 + n))/(3 + n), x, 2),
+(x^1*(a + b*x^n), (a*x^2)/2 + (b*x^(2 + n))/(2 + n), x, 2),
+(x^0*(a + b*x^n), a*x + (b*x^(1 + n))/(1 + n), x, 1),
+((a + b*x^n)/x^1, (b*x^n)/n + a*log(x), x, 2),
+((a + b*x^n)/x^2, -(a/x) - (b*x^(-1 + n))/(1 - n), x, 2),
+((a + b*x^n)/x^3, -(a/(2*x^2)) - (b*x^(-2 + n))/(2 - n), x, 2),
+
+
+(x^3*(a + b*x^n)^2, (a^2*x^4)/4 + (b^2*x^(2*(2 + n)))/(2*(2 + n)) + (2*a*b*x^(4 + n))/(4 + n), x, 2),
+(x^2*(a + b*x^n)^2, (a^2*x^3)/3 + (2*a*b*x^(3 + n))/(3 + n) + (b^2*x^(3 + 2*n))/(3 + 2*n), x, 2),
+(x^1*(a + b*x^n)^2, (a^2*x^2)/2 + (b^2*x^(2*(1 + n)))/(2*(1 + n)) + (2*a*b*x^(2 + n))/(2 + n), x, 2),
+(x^0*(a + b*x^n)^2, a^2*x + (2*a*b*x^(1 + n))/(1 + n) + (b^2*x^(1 + 2*n))/(1 + 2*n), x, 2),
+((a + b*x^n)^2/x^1, (2*a*b*x^n)/n + (b^2*x^(2*n))/(2*n) + a^2*log(x), x, 3),
+((a + b*x^n)^2/x^2, -(a^2/x) - (2*a*b*x^(-1 + n))/(1 - n) - (b^2*x^(-1 + 2*n))/(1 - 2*n), x, 2),
+((a + b*x^n)^2/x^3, -(a^2/(2*x^2)) - b^2/(x^(2*(1 - n))*(2*(1 - n))) - (2*a*b*x^(-2 + n))/(2 - n), x, 2),
+
+
+(x^3*(a + b*x^n)^3, (a^3*x^4)/4 + (3*a*b^2*x^(2*(2 + n)))/(2*(2 + n)) + (3*a^2*b*x^(4 + n))/(4 + n) + (b^3*x^(4 + 3*n))/(4 + 3*n), x, 2),
+(x^2*(a + b*x^n)^3, (a^3*x^3)/3 + (b^3*x^(3*(1 + n)))/(3*(1 + n)) + (3*a^2*b*x^(3 + n))/(3 + n) + (3*a*b^2*x^(3 + 2*n))/(3 + 2*n), x, 2),
+(x^1*(a + b*x^n)^3, (a^3*x^2)/2 + (3*a*b^2*x^(2*(1 + n)))/(2*(1 + n)) + (3*a^2*b*x^(2 + n))/(2 + n) + (b^3*x^(2 + 3*n))/(2 + 3*n), x, 2),
+(x^0*(a + b*x^n)^3, a^3*x + (3*a^2*b*x^(1 + n))/(1 + n) + (3*a*b^2*x^(1 + 2*n))/(1 + 2*n) + (b^3*x^(1 + 3*n))/(1 + 3*n), x, 2),
+((a + b*x^n)^3/x^1, (3*a^2*b*x^n)/n + (3*a*b^2*x^(2*n))/(2*n) + (b^3*x^(3*n))/(3*n) + a^3*log(x), x, 3),
+((a + b*x^n)^3/x^2, -(a^3/x) - (3*a^2*b*x^(-1 + n))/(1 - n) - (3*a*b^2*x^(-1 + 2*n))/(1 - 2*n) - (b^3*x^(-1 + 3*n))/(1 - 3*n), x, 2),
+((a + b*x^n)^3/x^3, -(a^3/(2*x^2)) - (3*a*b^2)/(x^(2*(1 - n))*(2*(1 - n))) - (3*a^2*b*x^(-2 + n))/(2 - n) - (b^3*x^(-2 + 3*n))/(2 - 3*n), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^1/(a + b*x^n), (x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(2*a), x, 1),
+(x^0/(a + b*x^n), (x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/a, x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^n)), log(x)/a - log(a + b*x^n)/(a*n), x, 4),
+(1/(x^2*(a + b*x^n)), -(SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -(1/n), -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a))/(a*x)), x, 1),
+(1/(x^3*(a + b*x^n)), -(SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -(2/n), -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a))/(2*a*x^2)), x, 1),
+
+
+(x^1/(a + b*x^n)^2, (x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(2*a^2), x, 1),
+(x^0/(a + b*x^n)^2, (x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/a^2, x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^n)^2), 1/(a*n*(a + b*x^n)) + log(x)/a^2 - log(a + b*x^n)/(a^2*n), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x^n)^2), -(SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, -(1/n), -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a))/(a^2*x)), x, 1),
+(1/(x^3*(a + b*x^n)^2), -(SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, -(2/n), -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a))/(2*a^2*x^2)), x, 1),
+
+
+(x^1/(a + b*x^n)^3, (x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(2*a^3), x, 1),
+(x^0/(a + b*x^n)^3, (x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/a^3, x, 1),
+(1/(x^1*(a + b*x^n)^3), 1/(2*a*n*(a + b*x^n)^2) + 1/(a^2*n*(a + b*x^n)) + log(x)/a^3 - log(a + b*x^n)/(a^3*n), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x^n)^3), -(SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, -(1/n), -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a))/(a^3*x)), x, 1),
+(1/(x^3*(a + b*x^n)^3), -(SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, -(2/n), -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a))/(2*a^3*x^2)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^n)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+# {x^1*(a + b*x^n)^(1/2), x, 2, (x^2*(a + b*x^n)^(3/2)*Hypergeometric2F1[1, 3/2 + 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(2*a), (x^2*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[-(1/2), 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(2*Sqrt[1 + (b*x^n)/a])}
+# {x^0*(a + b*x^n)^(1/2), x, 2, (x*(a + b*x^n)^(3/2)*Hypergeometric2F1[1, 3/2 + 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/a, (x*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[-(1/2), 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/Sqrt[1 + (b*x^n)/a]}
+((a + b*x^n)^(1//2)/x^1, (2*sqrt(a + b*x^n))/n - (2*sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/n, x, 4),
+# {(a + b*x^n)^(1/2)/x^2, x, 2, -(((a + b*x^n)^(3/2)*Hypergeometric2F1[1, 3/2 - 1/n, -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(a*x)), -((Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[-(1/2), -(1/n), -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(x*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]))}
+# {(a + b*x^n)^(1/2)/x^3, x, 2, -(((a + b*x^n)^(3/2)*Hypergeometric2F1[1, 3/2 - 2/n, -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(2*a*x^2)), -((Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[-(1/2), -(2/n), -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(2*x^2*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]))}
+
+
+# {x^1*(a + b*x^n)^(3/2), x, 2, (x^2*(a + b*x^n)^(5/2)*Hypergeometric2F1[1, 5/2 + 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(2*a), (a*x^2*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[-(3/2), 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(2*Sqrt[1 + (b*x^n)/a])}
+# {x^0*(a + b*x^n)^(3/2), x, 2, (x*(a + b*x^n)^(5/2)*Hypergeometric2F1[1, 5/2 + 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/a, (a*x*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[-(3/2), 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/Sqrt[1 + (b*x^n)/a]}
+((a + b*x^n)^(3//2)/x^1, (2*a*sqrt(a + b*x^n))/n + (2*(a + b*x^n)^(3//2))/(3*n) - (2*a^(3//2)*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/n, x, 5),
+# {(a + b*x^n)^(3/2)/x^2, x, 2, -(((a + b*x^n)^(5/2)*Hypergeometric2F1[1, 5/2 - 1/n, -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(a*x)), -((a*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[-(3/2), -(1/n), -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(x*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]))}
+# {(a + b*x^n)^(3/2)/x^3, x, 2, -(((a + b*x^n)^(5/2)*Hypergeometric2F1[1, 5/2 - 2/n, -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(2*a*x^2)), -((a*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[-(3/2), -(2/n), -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(2*x^2*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]))}
+
+
+# {x^1*(a + b*x^n)^(5/2), x, 2, (x^2*(a + b*x^n)^(7/2)*Hypergeometric2F1[1, 7/2 + 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(2*a), (a^2*x^2*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[-(5/2), 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(2*Sqrt[1 + (b*x^n)/a])}
+# {x^0*(a + b*x^n)^(5/2), x, 2, (x*(a + b*x^n)^(7/2)*Hypergeometric2F1[1, 7/2 + 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/a, (a^2*x*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[-(5/2), 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/Sqrt[1 + (b*x^n)/a]}
+((a + b*x^n)^(5//2)/x^1, (2*a^2*sqrt(a + b*x^n))/n + (2*a*(a + b*x^n)^(3//2))/(3*n) + (2*(a + b*x^n)^(5//2))/(5*n) - (2*a^(5//2)*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/n, x, 6),
+# {(a + b*x^n)^(5/2)/x^2, x, 2, -(((a + b*x^n)^(7/2)*Hypergeometric2F1[1, 7/2 - 1/n, -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(a*x)), -((a^2*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[-(5/2), -(1/n), -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(x*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]))}
+# {(a + b*x^n)^(5/2)/x^3, x, 2, -(((a + b*x^n)^(7/2)*Hypergeometric2F1[1, 7/2 - 2/n, -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(2*a*x^2)), -((a^2*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[-(5/2), -(2/n), -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(2*x^2*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]))}
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+# {x^1/(a + b*x^n)^(1/2), x, 2, (x^2*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(2*a), (x^2*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(2*Sqrt[a + b*x^n])}
+# {x^0/(a + b*x^n)^(1/2), x, 2, (x*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/a, (x*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/Sqrt[a + b*x^n]}
+(1/(x^1*(a + b*x^n)^(1//2)), -((2*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*n)), x, 3),
+# {1/(x^2*(a + b*x^n)^(1/2)), x, 2, -((Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 - 1/n, -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(a*x)), -((Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, -(1/n), -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(x*Sqrt[a + b*x^n]))}
+# {1/(x^3*(a + b*x^n)^(1/2)), x, 2, -((Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 - 2/n, -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(2*a*x^2)), -((Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, -(2/n), -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(2*x^2*Sqrt[a + b*x^n]))}
+
+
+# {x^1/(a + b*x^n)^(3/2), x, 2, (x^2*Hypergeometric2F1[1, -(1/2) + 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(2*a*Sqrt[a + b*x^n]), (x^2*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[3/2, 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(2*a*Sqrt[a + b*x^n])}
+# {x^0/(a + b*x^n)^(3/2), x, 2, (x*Hypergeometric2F1[1, -(1/2) + 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/(a*Sqrt[a + b*x^n]), (x*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[3/2, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/(a*Sqrt[a + b*x^n])}
+(1/(x^1*(a + b*x^n)^(3//2)), 2/(a*n*sqrt(a + b*x^n)) - (2*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*n), x, 4),
+# {1/(x^2*(a + b*x^n)^(3/2)), x, 2, -(Hypergeometric2F1[1, -(1/2) - 1/n, -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a)]/(a*x*Sqrt[a + b*x^n])), -((Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[3/2, -(1/n), -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(a*x*Sqrt[a + b*x^n]))}
+# {1/(x^3*(a + b*x^n)^(3/2)), x, 2, -(Hypergeometric2F1[1, -(1/2) - 2/n, -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a)]/(2*a*x^2*Sqrt[a + b*x^n])), -((Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[3/2, -(2/n), -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(2*a*x^2*Sqrt[a + b*x^n]))}
+
+
+# {x^1/(a + b*x^n)^(5/2), x, 2, (x^2*Hypergeometric2F1[1, -(3/2) + 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(2*a*(a + b*x^n)^(3/2)), (x^2*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[5/2, 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(2*a^2*Sqrt[a + b*x^n])}
+# {x^0/(a + b*x^n)^(5/2), x, 2, (x*Hypergeometric2F1[1, -(3/2) + 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/(a*(a + b*x^n)^(3/2)), (x*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[5/2, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/(a^2*Sqrt[a + b*x^n])}
+(1/(x^1*(a + b*x^n)^(5//2)), 2/(3*a*n*(a + b*x^n)^(3//2)) + 2/(a^2*n*sqrt(a + b*x^n)) - (2*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/(a^(5//2)*n), x, 5),
+# {1/(x^2*(a + b*x^n)^(5/2)), x, 2, -(Hypergeometric2F1[1, -(3/2) - 1/n, -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a)]/(a*x*(a + b*x^n)^(3/2))), -((Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[5/2, -(1/n), -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(a^2*x*Sqrt[a + b*x^n]))}
+# {1/(x^3*(a + b*x^n)^(5/2)), x, 2, -(Hypergeometric2F1[1, -(3/2) - 2/n, -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a)]/(2*a*x^2*(a + b*x^n)^(3/2))), -((Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[5/2, -(2/n), -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a)])/(2*a^2*x^2*Sqrt[a + b*x^n]))}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^n)^(p/3)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*x^n)^(1//3)/x, (3*(a + b*x^n)^(1//3))/n - (sqrt(3)*a^(1//3)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^n)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/n - (1//2)*a^(1//3)*log(x) + (3*a^(1//3)*log(a^(1//3) - (a + b*x^n)^(1//3)))/(2*n), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(k n-1) (a+b x^n)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(4*n - 1)*(a + b*x^n), (a*x^(4*n))/(4*n) + (b*x^(5*n))/(5*n), x, 2),
+(x^(3*n - 1)*(a + b*x^n), (a*x^(3*n))/(3*n) + (b*x^(4*n))/(4*n), x, 2),
+(x^(2*n - 1)*(a + b*x^n), (a*x^(2*n))/(2*n) + (b*x^(3*n))/(3*n), x, 2),
+(x^(1*n - 1)*(a + b*x^n), (a*x^n)/n + (b*x^(2*n))/(2*n), x, 2),
+(x^(0*n - 1)*(a + b*x^n), (b*x^n)/n + a*log(x), x, 2),
+(x^(-1*n - 1)*(a + b*x^n), -(a/(x^n*n)) + b*log(x), x, 2),
+(x^(-2*n - 1)*(a + b*x^n), -(a/(x^(2*n)*(2*n))) - b/(x^n*n), x, 2),
+(x^(-3*n - 1)*(a + b*x^n), -(a/(x^(3*n)*(3*n))) - b/(x^(2*n)*(2*n)), x, 2),
+(x^(-4*n - 1)*(a + b*x^n), -(a/(x^(4*n)*(4*n))) - b/(x^(3*n)*(3*n)), x, 2),
+(x^(-5*n - 1)*(a + b*x^n), -(a/(x^(5*n)*(5*n))) - b/(x^(4*n)*(4*n)), x, 2),
+
+
+(x^(4*n - 1)*(a + b*x^n)^2, (a^2*x^(4*n))/(4*n) + (2*a*b*x^(5*n))/(5*n) + (b^2*x^(6*n))/(6*n), x, 3),
+(x^(3*n - 1)*(a + b*x^n)^2, (a^2*x^(3*n))/(3*n) + (a*b*x^(4*n))/(2*n) + (b^2*x^(5*n))/(5*n), x, 3),
+(x^(2*n - 1)*(a + b*x^n)^2, (a^2*x^(2*n))/(2*n) + (2*a*b*x^(3*n))/(3*n) + (b^2*x^(4*n))/(4*n), x, 3),
+(x^(1*n - 1)*(a + b*x^n)^2, (a + b*x^n)^3/(3*b*n), x, 1),
+(x^(0*n - 1)*(a + b*x^n)^2, (2*a*b*x^n)/n + (b^2*x^(2*n))/(2*n) + a^2*log(x), x, 3),
+(x^(-1*n - 1)*(a + b*x^n)^2, -(a^2/(x^n*n)) + (b^2*x^n)/n + 2*a*b*log(x), x, 3),
+(x^(-2*n - 1)*(a + b*x^n)^2, -(a^2/(x^(2*n)*(2*n))) - (2*a*b)/(x^n*n) + b^2*log(x), x, 3),
+(x^(-3*n - 1)*(a + b*x^n)^2, -((a + b*x^n)^3/(x^(3*n)*(3*a*n))), x, 1),
+(x^(-4*n - 1)*(a + b*x^n)^2, -(a^2/(x^(4*n)*(4*n))) - (2*a*b)/(x^(3*n)*(3*n)) - b^2/(x^(2*n)*(2*n)), x, 3),
+(x^(-5*n - 1)*(a + b*x^n)^2, -(a^2/(x^(5*n)*(5*n))) - (a*b)/(x^(4*n)*(2*n)) - b^2/(x^(3*n)*(3*n)), x, 3),
+(x^(-6*n - 1)*(a + b*x^n)^2, -(a^2/(x^(6*n)*(6*n))) - (2*a*b)/(x^(5*n)*(5*n)) - b^2/(x^(4*n)*(4*n)), x, 3),
+
+
+(x^(4*n - 1)*(a + b*x^n)^3, (a^3*x^(4*n))/(4*n) + (3*a^2*b*x^(5*n))/(5*n) + (a*b^2*x^(6*n))/(2*n) + (b^3*x^(7*n))/(7*n), x, 3),
+(x^(3*n - 1)*(a + b*x^n)^3, (a^3*x^(3*n))/(3*n) + (3*a^2*b*x^(4*n))/(4*n) + (3*a*b^2*x^(5*n))/(5*n) + (b^3*x^(6*n))/(6*n), x, 3),
+(x^(2*n - 1)*(a + b*x^n)^3, -((a*(a + b*x^n)^4)/(4*b^2*n)) + (a + b*x^n)^5/(5*b^2*n), x, 3),
+(x^(1*n - 1)*(a + b*x^n)^3, (a + b*x^n)^4/(4*b*n), x, 1),
+(x^(0*n - 1)*(a + b*x^n)^3, (3*a^2*b*x^n)/n + (3*a*b^2*x^(2*n))/(2*n) + (b^3*x^(3*n))/(3*n) + a^3*log(x), x, 3),
+(x^(-1*n - 1)*(a + b*x^n)^3, -(a^3/(x^n*n)) + (3*a*b^2*x^n)/n + (b^3*x^(2*n))/(2*n) + 3*a^2*b*log(x), x, 3),
+(x^(-2*n - 1)*(a + b*x^n)^3, -(a^3/(x^(2*n)*(2*n))) - (3*a^2*b)/(x^n*n) + (b^3*x^n)/n + 3*a*b^2*log(x), x, 3),
+(x^(-3*n - 1)*(a + b*x^n)^3, -(a^3/(x^(3*n)*(3*n))) - (3*a^2*b)/(x^(2*n)*(2*n)) - (3*a*b^2)/(x^n*n) + b^3*log(x), x, 3),
+(x^(-4*n - 1)*(a + b*x^n)^3, -((a + b*x^n)^4/(x^(4*n)*(4*a*n))), x, 1),
+(x^(-5*n - 1)*(a + b*x^n)^3, -((a + b*x^n)^4/(x^(5*n)*(5*a*n))) + (b*(a + b*x^n)^4)/(x^(4*n)*(20*a^2*n)), x, 3),
+(x^(-6*n - 1)*(a + b*x^n)^3, -(a^3/(x^(6*n)*(6*n))) - (3*a^2*b)/(x^(5*n)*(5*n)) - (3*a*b^2)/(x^(4*n)*(4*n)) - b^3/(x^(3*n)*(3*n)), x, 3),
+(x^(-7*n - 1)*(a + b*x^n)^3, -(a^3/(x^(7*n)*(7*n))) - (a^2*b)/(x^(6*n)*(2*n)) - (3*a*b^2)/(x^(5*n)*(5*n)) - b^3/(x^(4*n)*(4*n)), x, 3),
+
+
+(x^(4*n - 1)*(a + b*x^n)^5, -((a^3*(a + b*x^n)^6)/(6*b^4*n)) + (3*a^2*(a + b*x^n)^7)/(7*b^4*n) - (3*a*(a + b*x^n)^8)/(8*b^4*n) + (a + b*x^n)^9/(9*b^4*n), x, 3),
+(x^(3*n - 1)*(a + b*x^n)^5, (a^2*(a + b*x^n)^6)/(6*b^3*n) - (2*a*(a + b*x^n)^7)/(7*b^3*n) + (a + b*x^n)^8/(8*b^3*n), x, 3),
+(x^(2*n - 1)*(a + b*x^n)^5, -((a*(a + b*x^n)^6)/(6*b^2*n)) + (a + b*x^n)^7/(7*b^2*n), x, 3),
+(x^(1*n - 1)*(a + b*x^n)^5, (a + b*x^n)^6/(6*b*n), x, 1),
+(x^(0*n - 1)*(a + b*x^n)^5, (5*a^4*b*x^n)/n + (5*a^3*b^2*x^(2*n))/n + (10*a^2*b^3*x^(3*n))/(3*n) + (5*a*b^4*x^(4*n))/(4*n) + (b^5*x^(5*n))/(5*n) + a^5*log(x), x, 3),
+(x^(-1*n - 1)*(a + b*x^n)^5, -(a^5/(x^n*n)) + (10*a^3*b^2*x^n)/n + (5*a^2*b^3*x^(2*n))/n + (5*a*b^4*x^(3*n))/(3*n) + (b^5*x^(4*n))/(4*n) + 5*a^4*b*log(x), x, 3),
+(x^(-2*n - 1)*(a + b*x^n)^5, -(a^5/(x^(2*n)*(2*n))) - (5*a^4*b)/(x^n*n) + (10*a^2*b^3*x^n)/n + (5*a*b^4*x^(2*n))/(2*n) + (b^5*x^(3*n))/(3*n) + 10*a^3*b^2*log(x), x, 3),
+(x^(-3*n - 1)*(a + b*x^n)^5, -(a^5/(x^(3*n)*(3*n))) - (5*a^4*b)/(x^(2*n)*(2*n)) - (10*a^3*b^2)/(x^n*n) + (5*a*b^4*x^n)/n + (b^5*x^(2*n))/(2*n) + 10*a^2*b^3*log(x), x, 3),
+(x^(-4*n - 1)*(a + b*x^n)^5, -(a^5/(x^(4*n)*(4*n))) - (5*a^4*b)/(x^(3*n)*(3*n)) - (5*a^3*b^2)/(x^(2*n)*n) - (10*a^2*b^3)/(x^n*n) + (b^5*x^n)/n + 5*a*b^4*log(x), x, 3),
+(x^(-5*n - 1)*(a + b*x^n)^5, -(a^5/(x^(5*n)*(5*n))) - (5*a^4*b)/(x^(4*n)*(4*n)) - (10*a^3*b^2)/(x^(3*n)*(3*n)) - (5*a^2*b^3)/(x^(2*n)*n) - (5*a*b^4)/(x^n*n) + b^5*log(x), x, 3),
+(x^(-6*n - 1)*(a + b*x^n)^5, -((a + b*x^n)^6/(x^(6*n)*(6*a*n))), x, 1),
+(x^(-7*n - 1)*(a + b*x^n)^5, -((a + b*x^n)^6/(x^(7*n)*(7*a*n))) + (b*(a + b*x^n)^6)/(x^(6*n)*(42*a^2*n)), x, 3),
+(x^(-8*n - 1)*(a + b*x^n)^5, -((a + b*x^n)^6/(x^(8*n)*(8*a*n))) + (b*(a + b*x^n)^6)/(x^(7*n)*(28*a^2*n)) - (b^2*(a + b*x^n)^6)/(x^(6*n)*(168*a^3*n)), x, 4),
+(x^(-9*n - 1)*(a + b*x^n)^5, -(a^5/(x^(9*n)*(9*n))) - (5*a^4*b)/(x^(8*n)*(8*n)) - (10*a^3*b^2)/(x^(7*n)*(7*n)) - (5*a^2*b^3)/(x^(6*n)*(3*n)) - (a*b^4)/(x^(5*n)*n) - b^5/(x^(4*n)*(4*n)), x, 3),
+(x^(-10*n - 1)*(a + b*x^n)^5, -(a^5/(x^(10*n)*(10*n))) - (5*a^4*b)/(x^(9*n)*(9*n)) - (5*a^3*b^2)/(x^(8*n)*(4*n)) - (10*a^2*b^3)/(x^(7*n)*(7*n)) - (5*a*b^4)/(x^(6*n)*(6*n)) - b^5/(x^(5*n)*(5*n)), x, 3),
+
+
+(x^(9*n - 1)*(a + b*x^n)^8, (a^8*x^(9*n))/(9*n) + (4*a^7*b*x^(10*n))/(5*n) + (28*a^6*b^2*x^(11*n))/(11*n) + (14*a^5*b^3*x^(12*n))/(3*n) + (70*a^4*b^4*x^(13*n))/(13*n) + (4*a^3*b^5*x^(14*n))/n + (28*a^2*b^6*x^(15*n))/(15*n) + (a*b^7*x^(16*n))/(2*n) + (b^8*x^(17*n))/(17*n), x, 3),
+(x^(8*n - 1)*(a + b*x^n)^8, (a^8*x^(8*n))/(8*n) + (8*a^7*b*x^(9*n))/(9*n) + (14*a^6*b^2*x^(10*n))/(5*n) + (56*a^5*b^3*x^(11*n))/(11*n) + (35*a^4*b^4*x^(12*n))/(6*n) + (56*a^3*b^5*x^(13*n))/(13*n) + (2*a^2*b^6*x^(14*n))/n + (8*a*b^7*x^(15*n))/(15*n) + (b^8*x^(16*n))/(16*n), x, 3),
+(x^(7*n - 1)*(a + b*x^n)^8, (a^6*(a + b*x^n)^9)/(9*b^7*n) - (3*a^5*(a + b*x^n)^10)/(5*b^7*n) + (15*a^4*(a + b*x^n)^11)/(11*b^7*n) - (5*a^3*(a + b*x^n)^12)/(3*b^7*n) + (15*a^2*(a + b*x^n)^13)/(13*b^7*n) - (3*a*(a + b*x^n)^14)/(7*b^7*n) + (a + b*x^n)^15/(15*b^7*n), x, 3),
+(x^(6*n - 1)*(a + b*x^n)^8, -((a^5*(a + b*x^n)^9)/(9*b^6*n)) + (a^4*(a + b*x^n)^10)/(2*b^6*n) - (10*a^3*(a + b*x^n)^11)/(11*b^6*n) + (5*a^2*(a + b*x^n)^12)/(6*b^6*n) - (5*a*(a + b*x^n)^13)/(13*b^6*n) + (a + b*x^n)^14/(14*b^6*n), x, 3),
+(x^(5*n - 1)*(a + b*x^n)^8, (a^4*(a + b*x^n)^9)/(9*b^5*n) - (2*a^3*(a + b*x^n)^10)/(5*b^5*n) + (6*a^2*(a + b*x^n)^11)/(11*b^5*n) - (a*(a + b*x^n)^12)/(3*b^5*n) + (a + b*x^n)^13/(13*b^5*n), x, 3),
+(x^(4*n - 1)*(a + b*x^n)^8, -((a^3*(a + b*x^n)^9)/(9*b^4*n)) + (3*a^2*(a + b*x^n)^10)/(10*b^4*n) - (3*a*(a + b*x^n)^11)/(11*b^4*n) + (a + b*x^n)^12/(12*b^4*n), x, 3),
+(x^(3*n - 1)*(a + b*x^n)^8, (a^2*(a + b*x^n)^9)/(9*b^3*n) - (a*(a + b*x^n)^10)/(5*b^3*n) + (a + b*x^n)^11/(11*b^3*n), x, 3),
+(x^(2*n - 1)*(a + b*x^n)^8, -((a*(a + b*x^n)^9)/(9*b^2*n)) + (a + b*x^n)^10/(10*b^2*n), x, 3),
+(x^(1*n - 1)*(a + b*x^n)^8, (a + b*x^n)^9/(9*b*n), x, 1),
+(x^(0*n - 1)*(a + b*x^n)^8, (8*a^7*b*x^n)/n + (14*a^6*b^2*x^(2*n))/n + (56*a^5*b^3*x^(3*n))/(3*n) + (35*a^4*b^4*x^(4*n))/(2*n) + (56*a^3*b^5*x^(5*n))/(5*n) + (14*a^2*b^6*x^(6*n))/(3*n) + (8*a*b^7*x^(7*n))/(7*n) + (b^8*x^(8*n))/(8*n) + a^8*log(x), x, 3),
+(x^(-1*n - 1)*(a + b*x^n)^8, -(a^8/(x^n*n)) + (28*a^6*b^2*x^n)/n + (28*a^5*b^3*x^(2*n))/n + (70*a^4*b^4*x^(3*n))/(3*n) + (14*a^3*b^5*x^(4*n))/n + (28*a^2*b^6*x^(5*n))/(5*n) + (4*a*b^7*x^(6*n))/(3*n) + (b^8*x^(7*n))/(7*n) + 8*a^7*b*log(x), x, 3),
+(x^(-2*n - 1)*(a + b*x^n)^8, -(a^8/(x^(2*n)*(2*n))) - (8*a^7*b)/(x^n*n) + (56*a^5*b^3*x^n)/n + (35*a^4*b^4*x^(2*n))/n + (56*a^3*b^5*x^(3*n))/(3*n) + (7*a^2*b^6*x^(4*n))/n + (8*a*b^7*x^(5*n))/(5*n) + (b^8*x^(6*n))/(6*n) + 28*a^6*b^2*log(x), x, 3),
+(x^(-3*n - 1)*(a + b*x^n)^8, -(a^8/(x^(3*n)*(3*n))) - (4*a^7*b)/(x^(2*n)*n) - (28*a^6*b^2)/(x^n*n) + (70*a^4*b^4*x^n)/n + (28*a^3*b^5*x^(2*n))/n + (28*a^2*b^6*x^(3*n))/(3*n) + (2*a*b^7*x^(4*n))/n + (b^8*x^(5*n))/(5*n) + 56*a^5*b^3*log(x), x, 3),
+(x^(-4*n - 1)*(a + b*x^n)^8, -(a^8/(x^(4*n)*(4*n))) - (8*a^7*b)/(x^(3*n)*(3*n)) - (14*a^6*b^2)/(x^(2*n)*n) - (56*a^5*b^3)/(x^n*n) + (56*a^3*b^5*x^n)/n + (14*a^2*b^6*x^(2*n))/n + (8*a*b^7*x^(3*n))/(3*n) + (b^8*x^(4*n))/(4*n) + 70*a^4*b^4*log(x), x, 3),
+(x^(-5*n - 1)*(a + b*x^n)^8, -(a^8/(x^(5*n)*(5*n))) - (2*a^7*b)/(x^(4*n)*n) - (28*a^6*b^2)/(x^(3*n)*(3*n)) - (28*a^5*b^3)/(x^(2*n)*n) - (70*a^4*b^4)/(x^n*n) + (28*a^2*b^6*x^n)/n + (4*a*b^7*x^(2*n))/n + (b^8*x^(3*n))/(3*n) + 56*a^3*b^5*log(x), x, 3),
+(x^(-6*n - 1)*(a + b*x^n)^8, -(a^8/(x^(6*n)*(6*n))) - (8*a^7*b)/(x^(5*n)*(5*n)) - (7*a^6*b^2)/(x^(4*n)*n) - (56*a^5*b^3)/(x^(3*n)*(3*n)) - (35*a^4*b^4)/(x^(2*n)*n) - (56*a^3*b^5)/(x^n*n) + (8*a*b^7*x^n)/n + (b^8*x^(2*n))/(2*n) + 28*a^2*b^6*log(x), x, 3),
+(x^(-7*n - 1)*(a + b*x^n)^8, -(a^8/(x^(7*n)*(7*n))) - (4*a^7*b)/(x^(6*n)*(3*n)) - (28*a^6*b^2)/(x^(5*n)*(5*n)) - (14*a^5*b^3)/(x^(4*n)*n) - (70*a^4*b^4)/(x^(3*n)*(3*n)) - (28*a^3*b^5)/(x^(2*n)*n) - (28*a^2*b^6)/(x^n*n) + (b^8*x^n)/n + 8*a*b^7*log(x), x, 3),
+(x^(-8*n - 1)*(a + b*x^n)^8, -(a^8/(x^(8*n)*(8*n))) - (8*a^7*b)/(x^(7*n)*(7*n)) - (14*a^6*b^2)/(x^(6*n)*(3*n)) - (56*a^5*b^3)/(x^(5*n)*(5*n)) - (35*a^4*b^4)/(x^(4*n)*(2*n)) - (56*a^3*b^5)/(x^(3*n)*(3*n)) - (14*a^2*b^6)/(x^(2*n)*n) - (8*a*b^7)/(x^n*n) + b^8*log(x), x, 3),
+(x^(-9*n - 1)*(a + b*x^n)^8, -((a + b*x^n)^9/(x^(9*n)*(9*a*n))), x, 1),
+(x^(-10*n - 1)*(a + b*x^n)^8, -((a + b*x^n)^9/(x^(10*n)*(10*a*n))) + (b*(a + b*x^n)^9)/(x^(9*n)*(90*a^2*n)), x, 3),
+(x^(-11*n - 1)*(a + b*x^n)^8, -((a + b*x^n)^9/(x^(11*n)*(11*a*n))) + (b*(a + b*x^n)^9)/(x^(10*n)*(55*a^2*n)) - (b^2*(a + b*x^n)^9)/(x^(9*n)*(495*a^3*n)), x, 4),
+(x^(-12*n - 1)*(a + b*x^n)^8, -((a + b*x^n)^9/(x^(12*n)*(12*a*n))) + (b*(a + b*x^n)^9)/(x^(11*n)*(44*a^2*n)) - (b^2*(a + b*x^n)^9)/(x^(10*n)*(220*a^3*n)) + (b^3*(a + b*x^n)^9)/(x^(9*n)*(1980*a^4*n)), x, 5),
+(x^(-13*n - 1)*(a + b*x^n)^8, -((a + b*x^n)^9/(x^(13*n)*(13*a*n))) + (b*(a + b*x^n)^9)/(x^(12*n)*(39*a^2*n)) - (b^2*(a + b*x^n)^9)/(x^(11*n)*(143*a^3*n)) + (b^3*(a + b*x^n)^9)/(x^(10*n)*(715*a^4*n)) - (b^4*(a + b*x^n)^9)/(x^(9*n)*(6435*a^5*n)), x, 6),
+(x^(-14*n - 1)*(a + b*x^n)^8, -(a^8/(x^(14*n)*(14*n))) - (8*a^7*b)/(x^(13*n)*(13*n)) - (7*a^6*b^2)/(x^(12*n)*(3*n)) - (56*a^5*b^3)/(x^(11*n)*(11*n)) - (7*a^4*b^4)/(x^(10*n)*n) - (56*a^3*b^5)/(x^(9*n)*(9*n)) - (7*a^2*b^6)/(x^(8*n)*(2*n)) - (8*a*b^7)/(x^(7*n)*(7*n)) - b^8/(x^(6*n)*(6*n)), x, 3),
+(x^(-15*n - 1)*(a + b*x^n)^8, -(a^8/(x^(15*n)*(15*n))) - (4*a^7*b)/(x^(14*n)*(7*n)) - (28*a^6*b^2)/(x^(13*n)*(13*n)) - (14*a^5*b^3)/(x^(12*n)*(3*n)) - (70*a^4*b^4)/(x^(11*n)*(11*n)) - (28*a^3*b^5)/(x^(10*n)*(5*n)) - (28*a^2*b^6)/(x^(9*n)*(9*n)) - (a*b^7)/(x^(8*n)*n) - b^8/(x^(7*n)*(7*n)), x, 3),
+
+
+(x^(n - 1)*(a + b*x^n)^16, (a + b*x^n)^17/(17*b*n), x, 1),
+
+
+(x^12*(a + b*x^13)^12, (a + b*x^13)^13/(169*b), x, 1),
+(x^24*(a + b*x^25)^12, (a + b*x^25)^13/(325*b), x, 1),
+(x^36*(a + b*x^37)^12, (a + b*x^37)^13/(481*b), x, 1),
+(x^(12*m)*(a + b*x^(12*m + 1))^12, (a + b*x^(1 + 12*m))^13/(13*b*(1 + 12*m)), x, 1),
+
+# Need to detect that degree of nomomial simplifies to 12*m so integrand is not be expanded!
+(x^(12 + 12*(m - 1))*(a + b*x^(12*m + 1))^12, (a + b*x^(1 + 12*m))^13/(13*b*(1 + 12*m)), x, 1),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^(5*n - 1)/(a + b*x^n), -((a^3*x^n)/(b^4*n)) + (a^2*x^(2*n))/(2*b^3*n) - (a*x^(3*n))/(3*b^2*n) + x^(4*n)/(4*b*n) + (a^4*log(a + b*x^n))/(b^5*n), x, 3),
+(x^(4*n - 1)/(a + b*x^n), (a^2*x^n)/(b^3*n) - (a*x^(2*n))/(2*b^2*n) + x^(3*n)/(3*b*n) - (a^3*log(a + b*x^n))/(b^4*n), x, 3),
+(x^(3*n - 1)/(a + b*x^n), -((a*x^n)/(b^2*n)) + x^(2*n)/(2*b*n) + (a^2*log(a + b*x^n))/(b^3*n), x, 3),
+(x^(2*n - 1)/(a + b*x^n), x^n/(b*n) - (a*log(a + b*x^n))/(b^2*n), x, 3),
+(x^(1*n - 1)/(a + b*x^n), log(a + b*x^n)/(b*n), x, 1),
+(x^(0*n - 1)/(a + b*x^n), log(x)/a - log(a + b*x^n)/(a*n), x, 4),
+(x^(-1*n - 1)/(a + b*x^n), -(1/(x^n*(a*n))) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x^n))/(a^2*n), x, 3),
+(x^(-2*n - 1)/(a + b*x^n), -(1/(x^(2*n)*(2*a*n))) + b/(x^n*(a^2*n)) + (b^2*log(x))/a^3 - (b^2*log(a + b*x^n))/(a^3*n), x, 3),
+(x^(-3*n - 1)/(a + b*x^n), -(1/(x^(3*n)*(3*a*n))) + b/(x^(2*n)*(2*a^2*n)) - b^2/(x^n*(a^3*n)) - (b^3*log(x))/a^4 + (b^3*log(a + b*x^n))/(a^4*n), x, 3),
+
+
+# Note: Requires simplification of the exponent of the monomial.
+(x^(5*(n - 1) + 4)/(a + b*x^n), -((a^3*x^n)/(b^4*n)) + (a^2*x^(2*n))/(2*b^3*n) - (a*x^(3*n))/(3*b^2*n) + x^(4*n)/(4*b*n) + (a^4*log(a + b*x^n))/(b^5*n), x, 3),
+(x^(4*(n - 1) + 3)/(a + b*x^n), (a^2*x^n)/(b^3*n) - (a*x^(2*n))/(2*b^2*n) + x^(3*n)/(3*b*n) - (a^3*log(a + b*x^n))/(b^4*n), x, 3),
+(x^(3*(n - 1) + 2)/(a + b*x^n), -((a*x^n)/(b^2*n)) + x^(2*n)/(2*b*n) + (a^2*log(a + b*x^n))/(b^3*n), x, 3),
+(x^(2*(n - 1) + 1)/(a + b*x^n), x^n/(b*n) - (a*log(a + b*x^n))/(b^2*n), x, 3),
+(x^(1*(n - 1) + 0)/(a + b*x^n), log(a + b*x^n)/(b*n), x, 1),
+(x^(0*(n - 1) - 1)/(a + b*x^n), log(x)/a - log(a + b*x^n)/(a*n), x, 4),
+(x^(-1*(n - 1) - 2)/(a + b*x^n), -(1/(x^n*(a*n))) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x^n))/(a^2*n), x, 3),
+(x^(-2*(n - 1) - 3)/(a + b*x^n), -(1/(x^(2*n)*(2*a*n))) + b/(x^n*(a^2*n)) + (b^2*log(x))/a^3 - (b^2*log(a + b*x^n))/(a^3*n), x, 3),
+(x^(-3*(n - 1) - 4)/(a + b*x^n), -(1/(x^(3*n)*(3*a*n))) + b/(x^(2*n)*(2*a^2*n)) - b^2/(x^n*(a^3*n)) - (b^3*log(x))/a^4 + (b^3*log(a + b*x^n))/(a^4*n), x, 3),
+
+
+(x^(5*n - 1)/(2 + b*x^n), -((8*x^n)/(b^4*n)) + (2*x^(2*n))/(b^3*n) - (2*x^(3*n))/(3*b^2*n) + x^(4*n)/(4*b*n) + (16*log(2 + b*x^n))/(b^5*n), x, 3),
+(x^(4*n - 1)/(2 + b*x^n), (4*x^n)/(b^3*n) - x^(2*n)/(b^2*n) + x^(3*n)/(3*b*n) - (8*log(2 + b*x^n))/(b^4*n), x, 3),
+(x^(3*n - 1)/(2 + b*x^n), -((2*x^n)/(b^2*n)) + x^(2*n)/(2*b*n) + (4*log(2 + b*x^n))/(b^3*n), x, 3),
+(x^(2*n - 1)/(2 + b*x^n), x^n/(b*n) - (2*log(2 + b*x^n))/(b^2*n), x, 3),
+(x^(1*n - 1)/(2 + b*x^n), log(2 + b*x^n)/(b*n), x, 1),
+(x^(0*n - 1)/(2 + b*x^n), log(x)/2 - log(2 + b*x^n)/(2*n), x, 4),
+(x^(-1*n - 1)/(2 + b*x^n), -(1/(x^n*(2*n))) - (1//4)*b*log(x) + (b*log(2 + b*x^n))/(4*n), x, 3),
+(x^(-2*n - 1)/(2 + b*x^n), -(1/(x^(2*n)*(4*n))) + b/(x^n*(4*n)) + (1//8)*b^2*log(x) - (b^2*log(2 + b*x^n))/(8*n), x, 3),
+(x^(-3*n - 1)/(2 + b*x^n), -(1/(x^(3*n)*(6*n))) + b/(x^(2*n)*(8*n)) - b^2/(x^n*(8*n)) - (1//16)*b^3*log(x) + (b^3*log(2 + b*x^n))/(16*n), x, 3),
+
+
+(x^(4*n - 1)/(a + b*x^n)^2, -((2*a*x^n)/(b^3*n)) + x^(2*n)/(2*b^2*n) + a^3/(b^4*n*(a + b*x^n)) + (3*a^2*log(a + b*x^n))/(b^4*n), x, 3),
+(x^(3*n - 1)/(a + b*x^n)^2, x^n/(b^2*n) - a^2/(b^3*n*(a + b*x^n)) - (2*a*log(a + b*x^n))/(b^3*n), x, 3),
+(x^(2*n - 1)/(a + b*x^n)^2, a/(b^2*n*(a + b*x^n)) + log(a + b*x^n)/(b^2*n), x, 3),
+(x^(1*n - 1)/(a + b*x^n)^2, -(1/(b*n*(a + b*x^n))), x, 1),
+(x^(0*n - 1)/(a + b*x^n)^2, 1/(a*n*(a + b*x^n)) + log(x)/a^2 - log(a + b*x^n)/(a^2*n), x, 3),
+(x^(-1*n - 1)/(a + b*x^n)^2, -(1/(x^n*(a^2*n))) - b/(a^2*n*(a + b*x^n)) - (2*b*log(x))/a^3 + (2*b*log(a + b*x^n))/(a^3*n), x, 3),
+(x^(-2*n - 1)/(a + b*x^n)^2, -(1/(x^(2*n)*(2*a^2*n))) + (2*b)/(x^n*(a^3*n)) + b^2/(a^3*n*(a + b*x^n)) + (3*b^2*log(x))/a^4 - (3*b^2*log(a + b*x^n))/(a^4*n), x, 3),
+(x^(-3*n - 1)/(a + b*x^n)^2, -(1/(x^(3*n)*(3*a^2*n))) + b/(x^(2*n)*(a^3*n)) - (3*b^2)/(x^n*(a^4*n)) - b^3/(a^4*n*(a + b*x^n)) - (4*b^3*log(x))/a^5 + (4*b^3*log(a + b*x^n))/(a^5*n), x, 3),
+
+
+(x^(4*n - 1)/(a + b*x^n)^3, x^n/(b^3*n) + a^3/(2*b^4*n*(a + b*x^n)^2) - (3*a^2)/(b^4*n*(a + b*x^n)) - (3*a*log(a + b*x^n))/(b^4*n), x, 3),
+(x^(3*n - 1)/(a + b*x^n)^3, -(a^2/(2*b^3*n*(a + b*x^n)^2)) + (2*a)/(b^3*n*(a + b*x^n)) + log(a + b*x^n)/(b^3*n), x, 3),
+(x^(2*n - 1)/(a + b*x^n)^3, x^(2*n)/(2*a*n*(a + b*x^n)^2), x, 1),
+(x^(1*n - 1)/(a + b*x^n)^3, -(1/(2*b*n*(a + b*x^n)^2)), x, 1),
+(x^(0*n - 1)/(a + b*x^n)^3, 1/(2*a*n*(a + b*x^n)^2) + 1/(a^2*n*(a + b*x^n)) + log(x)/a^3 - log(a + b*x^n)/(a^3*n), x, 3),
+(x^(-1*n - 1)/(a + b*x^n)^3, -(1/(x^n*(a^3*n))) - b/(2*a^2*n*(a + b*x^n)^2) - (2*b)/(a^3*n*(a + b*x^n)) - (3*b*log(x))/a^4 + (3*b*log(a + b*x^n))/(a^4*n), x, 3),
+(x^(-2*n - 1)/(a + b*x^n)^3, -(1/(x^(2*n)*(2*a^3*n))) + (3*b)/(x^n*(a^4*n)) + b^2/(2*a^3*n*(a + b*x^n)^2) + (3*b^2)/(a^4*n*(a + b*x^n)) + (6*b^2*log(x))/a^5 - (6*b^2*log(a + b*x^n))/(a^5*n), x, 3),
+
+
+(x^(-1 - 1*n/2)/(a + b*x^n), -(2/(x^(n/2)*(a*n))) + (2*sqrt(b)*atan(sqrt(a)/(x^(n/2)*sqrt(b))))/(a^(3//2)*n), x, 4),
+(x^(-1 - 2*n/3)/(a + b*x^n), -(3/(x^((2*n)/3)*(2*a*n))) + (sqrt(3)*b^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(n/3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(a^(5//3)*n) - (b^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(n/3)))/(a^(5//3)*n) + (b^(2//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x^(n/3) + b^(2//3)*x^((2*n)/3)))/(2*a^(5//3)*n), x, 8),
+(x^(-1 - 3*n/4)/(a + b*x^n), -(4/(x^((3*n)/4)*(3*a*n))) + (sqrt(2)*b^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x^(n/4))/a^(1//4)))/(a^(7//4)*n) - (sqrt(2)*b^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x^(n/4))/a^(1//4)))/(a^(7//4)*n) + (b^(3//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x^(n/4) + sqrt(b)*x^(n/2)))/(sqrt(2)*a^(7//4)*n) - (b^(3//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x^(n/4) + sqrt(b)*x^(n/2)))/(sqrt(2)*a^(7//4)*n), x, 11),
+
+
+(x^(-1 - n/1)/(a + b*x^n), -(1/(x^n*(a*n))) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x^n))/(a^2*n), x, 3),
+(x^(-1 - n/2)/(a + b*x^n), -(2/(x^(n/2)*(a*n))) + (2*sqrt(b)*atan(sqrt(a)/(x^(n/2)*sqrt(b))))/(a^(3//2)*n), x, 4),
+(x^(-1 - n/3)/(a + b*x^n), -(3/(x^(n/3)*(a*n))) - (sqrt(3)*b^(1//3)*atan((b^(1//3) - (2*a^(1//3))/x^(n/3))/(sqrt(3)*b^(1//3))))/(a^(4//3)*n) + (b^(1//3)*log(b^(1//3) + a^(1//3)/x^(n/3)))/(a^(4//3)*n) - (b^(1//3)*log(b^(2//3) + a^(2//3)/x^((2*n)/3) - (a^(1//3)*b^(1//3))/x^(n/3)))/(2*a^(4//3)*n), x, 9),
+(x^(-1 - n/4)/(a + b*x^n), -(4/(x^(n/4)*(a*n))) - (sqrt(2)*b^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*a^(1//4))/(x^(n/4)*b^(1//4))))/(a^(5//4)*n) + (sqrt(2)*b^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*a^(1//4))/(x^(n/4)*b^(1//4))))/(a^(5//4)*n) - (b^(1//4)*log(sqrt(b) + sqrt(a)/x^(n/2) - (sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4))/x^(n/4)))/(sqrt(2)*a^(5//4)*n) + (b^(1//4)*log(sqrt(b) + sqrt(a)/x^(n/2) + (sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4))/x^(n/4)))/(sqrt(2)*a^(5//4)*n), x, 12),
+
+
+(x^(-1 - 3*n/2)/(a + b*x^n), -(2/(x^((3*n)/2)*(3*a*n))) + (2*b)/(x^(n/2)*(a^2*n)) - (2*b^(3//2)*atan(sqrt(a)/(x^(n/2)*sqrt(b))))/(a^(5//2)*n), x, 5),
+# {x^(-1 - 4*n/3)/(a + b*x^n), x, 10, If[$VersionNumber>=8, -(3/(x^((4*n)/3)*(4*a*n))) + (3*b)/(x^(n/3)*(a^2*n)) + (Sqrt[3]*b^(4/3)*ArcTan[(b^(1/3) - (2*a^(1/3))/x^(n/3))/(Sqrt[3]*b^(1/3))])/(a^(7/3)*n) - (b^(4/3)*Log[b^(1/3) + a^(1/3)/x^(n/3)])/(a^(7/3)*n) + (b^(4/3)*Log[b^(2/3) + a^(2/3)/x^((2*n)/3) - (a^(1/3)*b^(1/3))/x^(n/3)])/(2*a^(7/3)*n), -(3/(x^((4*n)/3)*(4*a*n))) + (3*b)/(x^(n/3)*(a^2*n)) + (Sqrt[3]*b^(4/3)*ArcTan[(1 - (2*a^(1/3))/(x^(n/3)*b^(1/3)))/Sqrt[3]])/(a^(7/3)*n) - (b^(4/3)*Log[b^(1/3) + a^(1/3)/x^(n/3)])/(a^(7/3)*n) + (b^(4/3)*Log[b^(2/3) + a^(2/3)/x^((2*n)/3) - (a^(1/3)*b^(1/3))/x^(n/3)])/(2*a^(7/3)*n)]}
+(x^(-1 - 5*n/4)/(a + b*x^n), -(4/(x^((5*n)/4)*(5*a*n))) + (4*b)/(x^(n/4)*(a^2*n)) + (sqrt(2)*b^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*a^(1//4))/(x^(n/4)*b^(1//4))))/(a^(9//4)*n) - (sqrt(2)*b^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*a^(1//4))/(x^(n/4)*b^(1//4))))/(a^(9//4)*n) + (b^(5//4)*log(sqrt(b) + sqrt(a)/x^(n/2) - (sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4))/x^(n/4)))/(sqrt(2)*a^(9//4)*n) - (b^(5//4)*log(sqrt(b) + sqrt(a)/x^(n/2) + (sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4))/x^(n/4)))/(sqrt(2)*a^(9//4)*n), x, 13),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(k n-1) (a+b x^n)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(4*n - 1)*(a + b*x^n)^(1//2), -((2*a^3*(a + b*x^n)^(3//2))/(3*b^4*n)) + (6*a^2*(a + b*x^n)^(5//2))/(5*b^4*n) - (6*a*(a + b*x^n)^(7//2))/(7*b^4*n) + (2*(a + b*x^n)^(9//2))/(9*b^4*n), x, 3),
+(x^(3*n - 1)*(a + b*x^n)^(1//2), (2*a^2*(a + b*x^n)^(3//2))/(3*b^3*n) - (4*a*(a + b*x^n)^(5//2))/(5*b^3*n) + (2*(a + b*x^n)^(7//2))/(7*b^3*n), x, 3),
+(x^(2*n - 1)*(a + b*x^n)^(1//2), -((2*a*(a + b*x^n)^(3//2))/(3*b^2*n)) + (2*(a + b*x^n)^(5//2))/(5*b^2*n), x, 3),
+(x^(1*n - 1)*(a + b*x^n)^(1//2), (2*(a + b*x^n)^(3//2))/(3*b*n), x, 1),
+(x^(0*n - 1)*(a + b*x^n)^(1//2), (2*sqrt(a + b*x^n))/n - (2*sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/n, x, 4),
+(x^(-1*n - 1)*(a + b*x^n)^(1//2), -(sqrt(a + b*x^n)/(x^n*n)) - (b*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*n), x, 4),
+(x^(-2*n - 1)*(a + b*x^n)^(1//2), -(sqrt(a + b*x^n)/(x^(2*n)*(2*n))) - (b*sqrt(a + b*x^n))/(x^n*(4*a*n)) + (b^2*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*n), x, 5),
+(x^(-3*n - 1)*(a + b*x^n)^(1//2), -(sqrt(a + b*x^n)/(x^(3*n)*(3*n))) - (b*sqrt(a + b*x^n))/(x^(2*n)*(12*a*n)) + (b^2*sqrt(a + b*x^n))/(x^n*(8*a^2*n)) - (b^3*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*n), x, 6),
+(x^(-4*n - 1)*(a + b*x^n)^(1//2), -(sqrt(a + b*x^n)/(x^(4*n)*(4*n))) - (b*sqrt(a + b*x^n))/(x^(3*n)*(24*a*n)) + (5*b^2*sqrt(a + b*x^n))/(x^(2*n)*(96*a^2*n)) - (5*b^3*sqrt(a + b*x^n))/(x^n*(64*a^3*n)) + (5*b^4*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/(64*a^(7//2)*n), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^(4*n - 1)/(a + b*x^n)^(1//2), -((2*a^3*sqrt(a + b*x^n))/(b^4*n)) + (2*a^2*(a + b*x^n)^(3//2))/(b^4*n) - (6*a*(a + b*x^n)^(5//2))/(5*b^4*n) + (2*(a + b*x^n)^(7//2))/(7*b^4*n), x, 3),
+(x^(3*n - 1)/(a + b*x^n)^(1//2), (2*a^2*sqrt(a + b*x^n))/(b^3*n) - (4*a*(a + b*x^n)^(3//2))/(3*b^3*n) + (2*(a + b*x^n)^(5//2))/(5*b^3*n), x, 3),
+(x^(2*n - 1)/(a + b*x^n)^(1//2), -((2*a*sqrt(a + b*x^n))/(b^2*n)) + (2*(a + b*x^n)^(3//2))/(3*b^2*n), x, 3),
+(x^(1*n - 1)/(a + b*x^n)^(1//2), (2*sqrt(a + b*x^n))/(b*n), x, 1),
+(x^(0*n - 1)/(a + b*x^n)^(1//2), -((2*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*n)), x, 3),
+(x^(-1*n - 1)/(a + b*x^n)^(1//2), -(sqrt(a + b*x^n)/(x^n*(a*n))) + (b*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*n), x, 4),
+(x^(-2*n - 1)/(a + b*x^n)^(1//2), -(sqrt(a + b*x^n)/(x^(2*n)*(2*a*n))) + (3*b*sqrt(a + b*x^n))/(x^n*(4*a^2*n)) - (3*b^2*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/(4*a^(5//2)*n), x, 5),
+(x^(-3*n - 1)/(a + b*x^n)^(1//2), -(sqrt(a + b*x^n)/(x^(3*n)*(3*a*n))) + (5*b*sqrt(a + b*x^n))/(x^(2*n)*(12*a^2*n)) - (5*b^2*sqrt(a + b*x^n))/(x^n*(8*a^3*n)) + (5*b^3*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/(8*a^(7//2)*n), x, 6),
+(x^(-4*n - 1)/(a + b*x^n)^(1//2), -(sqrt(a + b*x^n)/(x^(4*n)*(4*a*n))) + (7*b*sqrt(a + b*x^n))/(x^(3*n)*(24*a^2*n)) - (35*b^2*sqrt(a + b*x^n))/(x^(2*n)*(96*a^3*n)) + (35*b^3*sqrt(a + b*x^n))/(x^n*(64*a^4*n)) - (35*b^4*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/(64*a^(9//2)*n), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^n)^p with m symbolic
+
+
+(x^m*(a + b*x^n)^3, (a^3*x^(1 + m))/(1 + m) + (3*a^2*b*x^(1 + m + n))/(1 + m + n) + (3*a*b^2*x^(1 + m + 2*n))/(1 + m + 2*n) + (b^3*x^(1 + m + 3*n))/(1 + m + 3*n), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^n)^2, (a^2*x^(1 + m))/(1 + m) + (2*a*b*x^(1 + m + n))/(1 + m + n) + (b^2*x^(1 + m + 2*n))/(1 + m + 2*n), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^n)^1, (a*x^(1 + m))/(1 + m) + (b*x^(1 + m + n))/(1 + m + n), x, 2),
+(x^m/(a + b*x^n)^1, (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a*(1 + m)), x, 1),
+(x^m/(a + b*x^n)^2, (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a^2*(1 + m)), x, 1),
+(x^m/(a + b*x^n)^3, (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a^3*(1 + m)), x, 1),
+
+
+# {x^m*(a + b*x^n)^(3/2), x, 2, (x^(1 + m)*(a + b*x^n)^(5/2)*Hypergeometric2F1[1, 5/2 + (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a*(1 + m)), (a*x^(1 + m)*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + m)*Sqrt[1 + (b*x^n)/a])}
+# {x^m*(a + b*x^n)^(1/2), x, 2, (x^(1 + m)*(a + b*x^n)^(3/2)*Hypergeometric2F1[1, 3/2 + (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a*(1 + m)), (x^(1 + m)*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + m)*Sqrt[1 + (b*x^n)/a])}
+# {x^m/(a + b*x^n)^(1/2), x, 2, (x^(1 + m)*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a*(1 + m)), (x^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + m)*Sqrt[a + b*x^n])}
+# {x^m/(a + b*x^n)^(3/2), x, 2, (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, -(1/2) + (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a*(1 + m)*Sqrt[a + b*x^n]), (x^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[3/2, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a*(1 + m)*Sqrt[a + b*x^n])}
+# {x^m/(a + b*x^n)^(5/2), x, 2, (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, -(3/2) + (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a*(1 + m)*(a + b*x^n)^(3/2)), (x^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[5/2, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a^2*(1 + m)*Sqrt[a + b*x^n])}
+
+
+# {x^(3 + 2*n)/Sqrt[a + b*x^n], x, 2, (x^(2*(2 + n))*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(5 + 8/n), 3 + 4/n, -((b*x^n)/a)])/(2*a*(2 + n)), (x^(2*(2 + n))*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, 2*(1 + 2/n), 3 + 4/n, -((b*x^n)/a)])/(2*(2 + n)*Sqrt[a + b*x^n])}
+# {x^(3 + n)/Sqrt[a + b*x^n], x, 2, (x^(4 + n)*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(3 + 8/n), 2*(1 + 2/n), -((b*x^n)/a)])/(a*(4 + n)), (x^(4 + n)*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, (4 + n)/n, 2*(1 + 2/n), -((b*x^n)/a)])/((4 + n)*Sqrt[a + b*x^n])}
+# {x^(3 - n)/Sqrt[a + b*x^n], x, 2, (x^(4 - n)*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + 8/n), 4/n, -((b*x^n)/a)])/(a*(4 - n)), (x^(4 - n)*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, -1 + 4/n, 4/n, -((b*x^n)/a)])/((4 - n)*Sqrt[a + b*x^n])}
+# {x^(3 - 2*n)/Sqrt[a + b*x^n], x, 2, (x^(4 - 2*n)*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-3 + 8/n), -1 + 4/n, -((b*x^n)/a)])/(2*a*(2 - n)), (x^(4 - 2*n)*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, -2*(1 - 2/n), -1 + 4/n, -((b*x^n)/a)])/(2*(2 - n)*Sqrt[a + b*x^n])}
+
+# {x^(m + 2*n)/Sqrt[a + b*x^n], x, 2, (x^(1 + m + 2*n)*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(5 + (2*(1 + m))/n), (1 + m + 3*n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a*(1 + m + 2*n)), (x^(1 + m + 2*n)*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m + 2*n)/n, (1 + m + 3*n)/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + m + 2*n)*Sqrt[a + b*x^n])}
+# {x^(m + n)/Sqrt[a + b*x^n], x, 2, (x^(1 + m + n)*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + (1 + m + n)/n, (1 + m + 2*n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a*(1 + m + n)), (x^(1 + m + n)*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m + n)/n, (1 + m + 2*n)/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + m + n)*Sqrt[a + b*x^n])}
+# {x^(m - n)/Sqrt[a + b*x^n], x, 2, (x^(1 + m - n)*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + (2*(1 + m))/n), (1 + m)/n, -((b*x^n)/a)])/(a*(1 + m - n)), (x^(1 + m - n)*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m - n)/n, (1 + m)/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + m - n)*Sqrt[a + b*x^n])}
+# {x^(m - 2*n)/Sqrt[a + b*x^n], x, 2, (x^(1 + m - 2*n)*Sqrt[a + b*x^n]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-3 + (2*(1 + m))/n), (1 + m - n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a*(1 + m - 2*n)), (x^(1 + m - 2*n)*Sqrt[1 + (b*x^n)/a]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m - 2*n)/n, (1 + m - n)/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + m - 2*n)*Sqrt[a + b*x^n])}
+
+# {-((b*n*x^(-1 + m + n))/(2*(a + b*x^n)^(3/2))) + (m*x^(-1 + m))/Sqrt[a + b*x^n], x, -5, x^m/Sqrt[a + b*x^n], -((b*x^(m + n))/(a*Sqrt[a + b*x^n])) + (x^m*Sqrt[a + b*x^n])/a}
+
+
+(x^(7*n/2 - 1)/sqrt(a + b*x^n), (5*a^2*x^(n/2)*sqrt(a + b*x^n))/(8*b^3*n) - (5*a*x^((3*n)/2)*sqrt(a + b*x^n))/(12*b^2*n) + (x^((5*n)/2)*sqrt(a + b*x^n))/(3*b*n) - (5*a^3*atanh((sqrt(b)*x^(n/2))/sqrt(a + b*x^n)))/(8*b^(7//2)*n), x, 5),
+(x^(5*n/2 - 1)/sqrt(a + b*x^n), -((3*a*x^(n/2)*sqrt(a + b*x^n))/(4*b^2*n)) + (x^((3*n)/2)*sqrt(a + b*x^n))/(2*b*n) + (3*a^2*atanh((sqrt(b)*x^(n/2))/sqrt(a + b*x^n)))/(4*b^(5//2)*n), x, 4),
+(x^(3*n/2 - 1)/sqrt(a + b*x^n), (x^(n/2)*sqrt(a + b*x^n))/(b*n) - (a*atanh((sqrt(b)*x^(n/2))/sqrt(a + b*x^n)))/(b^(3//2)*n), x, 3),
+(x^(1*n/2 - 1)/sqrt(a + b*x^n), (2*atanh((sqrt(b)*x^(n/2))/sqrt(a + b*x^n)))/(sqrt(b)*n), x, 3),
+(x^(-1*n/2 - 1)/sqrt(a + b*x^n), -((2*sqrt(a + b*x^n))/(x^(n/2)*(a*n))), x, 1),
+(x^(-3*n/2 - 1)/sqrt(a + b*x^n), -((2*sqrt(a + b*x^n))/(x^((3*n)/2)*(3*a*n))) + (4*b*sqrt(a + b*x^n))/(x^(n/2)*(3*a^2*n)), x, 2),
+(x^(-5*n/2 - 1)/sqrt(a + b*x^n), -((2*sqrt(a + b*x^n))/(x^((5*n)/2)*(5*a*n))) + (8*b*sqrt(a + b*x^n))/(x^((3*n)/2)*(15*a^2*n)) - (16*b^2*sqrt(a + b*x^n))/(x^(n/2)*(15*a^3*n)), x, 3),
+(x^(-7*n/2 - 1)/sqrt(a + b*x^n), -((2*sqrt(a + b*x^n))/(x^((7*n)/2)*(7*a*n))) + (12*b*sqrt(a + b*x^n))/(x^((5*n)/2)*(35*a^2*n)) - (16*b^2*sqrt(a + b*x^n))/(x^((3*n)/2)*(35*a^3*n)) + (32*b^3*sqrt(a + b*x^n))/(x^(n/2)*(35*a^4*n)), x, 4),
+
+
+# {x^m/Sqrt[a + b*x^(m-2)], x, 2, (x^(1 + m)*Sqrt[a + b*x^(-2 + m)]*Hypergeometric2F1[1, -((3*m)/(2*(2 - m))), (1 - 2*m)/(2 - m), -((b*x^(-2 + m))/a)])/(a*(1 + m)), (x^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*x^(-2 + m))/a]*Hypergeometric2F1[1/2, -((1 + m)/(2 - m)), (1 - 2*m)/(2 - m), -((b*x^(-2 + m))/a)])/((1 + m)*Sqrt[a + b*x^(-2 + m)])}
+# {x^m/Sqrt[a + b*x^(2-m)], x, 2, (x^(1 + m)*Sqrt[a + b*x^(2 - m)]*Hypergeometric2F1[1, (4 + m)/(2*(2 - m)), 3/(2 - m), -((b*x^(2 - m))/a)])/(a*(1 + m)), (x^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*x^(2 - m))/a]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/(2 - m), 3/(2 - m), -((b*x^(2 - m))/a)])/((1 + m)*Sqrt[a + b*x^(2 - m)])}
+
+# {(6*a*x^2)/(b*(4 + m)*Sqrt[a + b*x^(-2 + m)]) + x^m/Sqrt[a + b*x^(-2 + m)], x, -5, (2*x^3*Sqrt[a + b*x^(-2 + m)])/(b*(4 + m)), (2*x^(1 + m)*(b + a*x^(2 - m)))/(b*(4 + m)*Sqrt[a + b*x^(-2 + m)])}
+
+
+((x^(-1 + m)*(2*a*m + b*(2*m - n)*x^n))/(2*(a + b*x^n)^(3//2)), x^m/sqrt(a + b*x^n), x, 2),
+# {-((b*n*x^(-1 + m + n))/(2*(a + b*x^n)^(3/2))) + (m*x^(-1 + m))/Sqrt[a + b*x^n], x, -5, x^m/Sqrt[a + b*x^n], -((b*x^(m + n))/(a*Sqrt[a + b*x^n])) + (x^m*Sqrt[a + b*x^n])/a}
+
+
+# The substitution m->-1-2*n/3 transforms the first integrand into the second.
+(x^m/(a + b*x^(3*(1 + m)))^(1//3), atan((1 + (2*b^(1//3)*x^(1 + m))/(a + b*x^(3*(1 + m)))^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*b^(1//3)*(1 + m)) - log(b^(1//3)*x^(1 + m) - (a + b*x^(3*(1 + m)))^(1//3))/(2*b^(1//3)*(1 + m)), x, 2),
+# {x^m*(a + b/x^((3/2)*(1 + m)))^(2/3), x, 3, (x^(1 + m)*(a + b/x^((3/2)*(1 + m)))^(2/3))/(1 + m) - (2*b^(2/3)*ArcTan[(1 + (2*b^(1/3)*x^((1/2)*(-1 - m)))/(a + b/x^((3/2)*(1 + m)))^(1/3))/Sqrt[3]])/(Sqrt[3]*(1 + m)) + (b^(2/3)*Log[b^(1/3)*x^((1/2)*(-1 - m)) - (a + b/x^((3/2)*(1 + m)))^(1/3)])/(1 + m), (x^(1 + m)*(a + b/x^((3/2)*(1 + m)))^(2/3))/(1 + m) - (2*b^(2/3)*ArcTan[(1 + (2*b^(1/3)*x^((1/2)*(-1 - m)))/(a + b/x^((3/2)*(1 + m)))^(1/3))/Sqrt[3]])/(Sqrt[3]*(1 + m)) + (b^(2/3)*Log[(-x^((1/2)*(-1 - m)))*(b^(1/3) - x^((1 + m)/2)*(a + b/x^((3/2)*(1 + m)))^(1/3))])/(1 + m)}
+
+
+(x^(-1 + n/3)/(a + b*x^n)^(1//3), (sqrt(3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x^(n/3))/(a + b*x^n)^(1//3))/sqrt(3)))/(b^(1//3)*n) - (3*log(b^(1//3)*x^(n/3) - (a + b*x^n)^(1//3)))/(2*b^(1//3)*n), x, 2),
+(x^(-1 - (2*n)/3)*(a + b*x^n)^(2//3), -((3*(a + b*x^n)^(2//3))/(x^((2*n)/3)*(2*n))) + (sqrt(3)*b^(2//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x^(n/3))/(a + b*x^n)^(1//3))/sqrt(3)))/n - (3*b^(2//3)*log(b^(1//3)*x^(n/3) - (a + b*x^n)^(1//3)))/(2*n), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^n)^p with p symbolic
+
+
+# {x^m*(a + b*x^n)^p, x, 2, (x^(1 + m)*(a + b*x^n)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 1 + (1 + m)/n + p, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a*(1 + m)), (x^(1 + m)*(a + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[(1 + m)/n, -p, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(1 + m))}
+
+
+# {1/(a + b*x^n)^(1/n + 4), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (x*(a + b*x^n)^(-3 - 1/n))/(a*(1 + 3*n)) + (3*n*x*(a + b*x^n)^(-2 - 1/n))/(a^2*(1 + 5*n + 6*n^2)) + (6*n^2*x*(a + b*x^n)^(-1 - 1/n))/(a^3*(1 + n)*(1 + 2*n)*(1 + 3*n)) + (6*n^3*x)/((a + b*x^n)^n^(-1)*(a^4*(1 + n)*(1 + 2*n)*(1 + 3*n))), (x*(a + b*x^n)^(-3 - 1/n))/(a*(1 + 3*n)) + (3*n*x*(a + b*x^n)^(-2 - 1/n))/(a^2*(1 + 5*n + 6*n^2)) + (6*n^2*x*(a + b*x^n)^(-1 - 1/n))/(a^3*(1 + 6*n + 11*n^2 + 6*n^3)) + (6*n^3*x)/((a + b*x^n)^n^(-1)*(a^4*(1 + 6*n + 11*n^2 + 6*n^3)))]}
+# {1/(a + b*x^n)^(1/n + 3), x, 3, If[$VersionNumber>=8, (x*(a + b*x^n)^(-2 - 1/n))/(a*(1 + 2*n)) + (2*n*x*(a + b*x^n)^(-1 - 1/n))/(a^2*(1 + n)*(1 + 2*n)) + (2*n^2*x)/((a + b*x^n)^n^(-1)*(a^3*(1 + n)*(1 + 2*n))), (x*(a + b*x^n)^(-2 - 1/n))/(a*(1 + 2*n)) + (2*n*x*(a + b*x^n)^(-1 - 1/n))/(a^2*(1 + 3*n + 2*n^2)) + (2*n^2*x)/((a + b*x^n)^n^(-1)*(a^3*(1 + 3*n + 2*n^2)))]}
+(1/(a + b*x^n)^(1/n + 2), (x*(a + b*x^n)^(-1 - 1/n))/(a*(1 + n)) + (n*x)/((a + b*x^n)^n^(-1)*(a^2*(1 + n))), x, 2),
+(1/(a + b*x^n)^(1/n + 1), x/((a + b*x^n)^n^(-1)*a), x, 1),
+(1/(a + b*x^n)^(1/n + 0), (x*(1 + (b*x^n)/a)^(1/n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1/n, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a + b*x^n)^n^(-1), x, 2),
+(1/(a + b*x^n)^(1/n - 1), (a*x*(1 + (b*x^n)/a)^(1/n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 + 1/n, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a + b*x^n)^n^(-1), x, 2),
+(1/(a + b*x^n)^(1/n - 2), (a^2*x*(1 + (b*x^n)/a)^(1/n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-2 + 1/n, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a + b*x^n)^n^(-1), x, 2),
+
+
+((b*x^n)^p*x^m, (x^(1 + m)*(b*x^n)^p)/(1 + m + n*p), x, 2),
+
+((b*x^n)^p*x^2, (x^3*(b*x^n)^p)/(3 + n*p), x, 2),
+((b*x^n)^p*x^1, (x^2*(b*x^n)^p)/(2 + n*p), x, 2),
+((b*x^n)^p*x^0, (x*(b*x^n)^p)/(1 + n*p), x, 2),
+((b*x^n)^p/x^1, (b*x^n)^p/(n*p), x, 2),
+((b*x^n)^p/x^2, -((b*x^n)^p/((1 - n*p)*x)), x, 2),
+((b*x^n)^p/x^3, -((b*x^n)^p/((2 - n*p)*x^2)), x, 2),
+((b*x^n)^p/x^4, -((b*x^n)^p/((3 - n*p)*x^3)), x, 2),
+
+
+(x^(n - 1)*(a + b*x^n)^p, (a + b*x^n)^(1 + p)/(b*n*(1 + p)), x, 1),
+(x^(2*n - 1)*(a + b*x^n)^p, -((a*(a + b*x^n)^(1 + p))/(b^2*n*(1 + p))) + (a + b*x^n)^(2 + p)/(b^2*n*(2 + p)), x, 3),
+(x^(3*n - 1)*(a + b*x^n)^p, (a^2*(a + b*x^n)^(1 + p))/(b^3*n*(1 + p)) - (2*a*(a + b*x^n)^(2 + p))/(b^3*n*(2 + p)) + (a + b*x^n)^(3 + p)/(b^3*n*(3 + p)), x, 3),
+(x^(4*n - 1)*(a + b*x^n)^p, -((a^3*(a + b*x^n)^(1 + p))/(b^4*n*(1 + p))) + (3*a^2*(a + b*x^n)^(2 + p))/(b^4*n*(2 + p)) - (3*a*(a + b*x^n)^(3 + p))/(b^4*n*(3 + p)) + (a + b*x^n)^(4 + p)/(b^4*n*(4 + p)), x, 3),
+
+
+# Integrands of the form x^m*(a+b*x^n)^p where n*p+n+m+1=0
+((a + b*x^n)^p/x^(n*p + n + 1), -((a + b*x^n)^(1 + p)/(x^(n*(1 + p))*(a*n*(1 + p)))), x, 1),
+((a + b*x^n)^8/x^(n*8 + n + 1), -((a + b*x^n)^9/(x^(9*n)*(9*a*n))), x, 1),
+((a + b*x^3)^p/x^(3*p + 3 + 1), -((a + b*x^3)^(1 + p)/(x^(3*(1 + p))*(3*a*(1 + p)))), x, 1),
+((a + b*x^3)^8/x^(3*8 + 3 + 1), -((a + b*x^3)^9/(27*a*x^27)), x, 1),
+((a + b*x^n)^(-1)/x^(n*(-1) + n + 1), log(x)/a - log(a + b*x^n)/(a*n), x, 4),
+((a + b*x^3)^(-1)/x^(3*(-1) + 3 + 1), log(x)/a - log(a + b*x^3)/(3*a), x, 4),
+
+
+# {1/(a + b*x^n)^((1 + 4*n)/n), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (x*(a + b*x^n)^(-3 - 1/n))/(a*(1 + 3*n)) + (3*n*x*(a + b*x^n)^(-2 - 1/n))/(a^2*(1 + 5*n + 6*n^2)) + (6*n^3*x)/((a + b*x^n)^n^(-1)*(a^4*(1 + n)*(1 + 2*n)*(1 + 3*n))) + (6*n^2*x)/((a + b*x^n)^((1 + n)/n)*(a^3*(1 + n)*(1 + 2*n)*(1 + 3*n))), (x*(a + b*x^n)^(-3 - 1/n))/(a*(1 + 3*n)) + (3*n*x*(a + b*x^n)^(-2 - 1/n))/(a^2*(1 + 5*n + 6*n^2)) + (6*n^3*x)/((a + b*x^n)^n^(-1)*(a^4*(1 + 6*n + 11*n^2 + 6*n^3))) + (6*n^2*x)/((a + b*x^n)^((1 + n)/n)*(a^3*(1 + 6*n + 11*n^2 + 6*n^3)))]}
+# {1/(a + b*x^n)^((1 + 3*n)/n), x, 3, If[$VersionNumber>=8, (x*(a + b*x^n)^(-2 - 1/n))/(a*(1 + 2*n)) + (2*n^2*x)/((a + b*x^n)^n^(-1)*(a^3*(1 + n)*(1 + 2*n))) + (2*n*x)/((a + b*x^n)^((1 + n)/n)*(a^2*(1 + n)*(1 + 2*n))), (x*(a + b*x^n)^(-2 - 1/n))/(a*(1 + 2*n)) + (2*n^2*x)/((a + b*x^n)^n^(-1)*(a^3*(1 + 3*n + 2*n^2))) + (2*n*x)/((a + b*x^n)^((1 + n)/n)*(a^2*(1 + 3*n + 2*n^2)))]}
+(1/(a + b*x^n)^((1 + 2*n)/n), (n*x)/((a + b*x^n)^n^(-1)*(a^2*(1 + n))) + x/((a + b*x^n)^((1 + n)/n)*(a*(1 + n))), x, 2),
+(1/(a + b*x^n)^((1 + 1*n)/n), x/((a + b*x^n)^n^(-1)*a), x, 1),
+(1/(a + b*x^n)^((1 + 0*n)/n), (x*(1 + (b*x^n)/a)^(1/n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1/n, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a + b*x^n)^n^(-1), x, 2),
+(1/(a + b*x^n)^((1 - 1*n)/n), (x*(1 + (b*x^n)/a)^(-1 + 1/n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 + 1/n, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a + b*x^n)^((1 - n)/n), x, 2),
+(1/(a + b*x^n)^((1 - 2*n)/n), x*(a + b*x^n)^(2 - 1/n)*(1 + (b*x^n)/a)^(-2 + 1/n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-2 + 1/n, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)), x, 2),
+
+
+(1/(x*(a + b/x^n)), log(b + a*x^n)/(a*n), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^(n (m + 1)))^p
+
+
+(x^m/(a + b*x^(m + 1)), log(a + b*x^(1 + m))/(b*(1 + m)), x, 1),
+(x^m*(a + b*x^(m + 1))^n, (a + b*x^(1 + m))^(1 + n)/(b*(1 + m)*(1 + n)), x, 1),
+
+
+(x^m*(a + b*x^(2 + 2*m))^3, (a^3*x^(1 + m))/(1 + m) + (a^2*b*x^(3*(1 + m)))/(1 + m) + (3*a*b^2*x^(5*(1 + m)))/(5*(1 + m)) + (b^3*x^(7*(1 + m)))/(7*(1 + m)), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^(2 + 2*m))^2, (a^2*x^(1 + m))/(1 + m) + (2*a*b*x^(3*(1 + m)))/(3*(1 + m)) + (b^2*x^(5*(1 + m)))/(5*(1 + m)), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^(2 + 2*m)), (a*x^(1 + m))/(1 + m) + (b*x^(3*(1 + m)))/(3*(1 + m)), x, 2),
+(x^m/(a + b*x^(2 + 2*m)), atan((sqrt(b)*x^(1 + m))/sqrt(a))/(sqrt(a)*sqrt(b)*(1 + m)), x, 2),
+(x^m/(a + b*x^(2 + 2*m))^2, x^(1 + m)/(2*a*(1 + m)*(a + b*x^(2*(1 + m)))) + atan((sqrt(b)*x^(1 + m))/sqrt(a))/(2*a^(3//2)*sqrt(b)*(1 + m)), x, 3),
+(x^m/(a + b*x^(2 + 2*m))^3, x^(1 + m)/(4*a*(1 + m)*(a + b*x^(2*(1 + m)))^2) + (3*x^(1 + m))/(8*a^2*(1 + m)*(a + b*x^(2*(1 + m)))) + (3*atan((sqrt(b)*x^(1 + m))/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*sqrt(b)*(1 + m)), x, 4),
+
+
+(x^m*(a + b*x^(2 + 2*m))^(5//2), (5*a^2*x^(1 + m)*sqrt(a + b*x^(2*(1 + m))))/(16*(1 + m)) + (5*a*x^(1 + m)*(a + b*x^(2*(1 + m)))^(3//2))/(24*(1 + m)) + (x^(1 + m)*(a + b*x^(2*(1 + m)))^(5//2))/(6*(1 + m)) + (5*a^3*atanh((sqrt(b)*x^(1 + m))/sqrt(a + b*x^(2*(1 + m)))))/(16*sqrt(b)*(1 + m)), x, 6),
+(x^m*(a + b*x^(2 + 2*m))^(3//2), (3*a*x^(1 + m)*sqrt(a + b*x^(2*(1 + m))))/(8*(1 + m)) + (x^(1 + m)*(a + b*x^(2*(1 + m)))^(3//2))/(4*(1 + m)) + (3*a^2*atanh((sqrt(b)*x^(1 + m))/sqrt(a + b*x^(2*(1 + m)))))/(8*sqrt(b)*(1 + m)), x, 5),
+(x^m*(a + b*x^(2 + 2*m))^(1//2), (x^(1 + m)*sqrt(a + b*x^(2*(1 + m))))/(2*(1 + m)) + (a*atanh((sqrt(b)*x^(1 + m))/sqrt(a + b*x^(2*(1 + m)))))/(2*sqrt(b)*(1 + m)), x, 4),
+(x^m/(a + b*x^(2 + 2*m))^(1//2), atanh((sqrt(b)*x^(1 + m))/sqrt(a + b*x^(2*(1 + m))))/(sqrt(b)*(1 + m)), x, 3),
+(x^m/(a + b*x^(2 + 2*m))^(3//2), x^(1 + m)/(a*(1 + m)*sqrt(a + b*x^(2*(1 + m)))), x, 1),
+(x^m/(a + b*x^(2 + 2*m))^(5//2), x^(1 + m)/(a*(1 + m)*(a + b*x^(2*(1 + m)))^(3//2)) + (2*b*x^(3*(1 + m)))/(3*a^2*(1 + m)*(a + b*x^(2*(1 + m)))^(3//2)), x, 2),
+(x^m/(a + b*x^(2 + 2*m))^(7//2), x^(1 + m)/(a*(1 + m)*(a + b*x^(2*(1 + m)))^(5//2)) + (4*b*x^(3*(1 + m)))/(3*a^2*(1 + m)*(a + b*x^(2*(1 + m)))^(5//2)) + (8*b^2*x^(5*(1 + m)))/(15*a^3*(1 + m)*(a + b*x^(2*(1 + m)))^(5//2)), x, 3),
+
+
+(x^n*sqrt(1 + x^(1 + n)), (2*(1 + x^(1 + n))^(3//2))/(3*(1 + n)), x, 1),
+(x^n*sqrt(a^2 + x^(1 + n)), (2*(a^2 + x^(1 + n))^(3//2))/(3*(1 + n)), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^n)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^n)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((c*x)^m*(a + b*x^n)^2, (2*a*b*x^(1 + n)*(c*x)^m)/(1 + m + n) + (b^2*x^(1 + 2*n)*(c*x)^m)/(1 + m + 2*n) + (a^2*(c*x)^(1 + m))/(c*(1 + m)), x, 6),
+
+((c*x)^m*(a + b*x^3)^2, (a^2*(c*x)^(1 + m))/(c*(1 + m)) + (2*a*b*(c*x)^(4 + m))/(c^4*(4 + m)) + (b^2*(c*x)^(7 + m))/(c^7*(7 + m)), x, 2),
+((c*x)^m*(a + b*x^2)^2, (a^2*(c*x)^(1 + m))/(c*(1 + m)) + (2*a*b*(c*x)^(3 + m))/(c^3*(3 + m)) + (b^2*(c*x)^(5 + m))/(c^5*(5 + m)), x, 2),
+((c*x)^m*(a + b*x^1)^2, (a^2*(c*x)^(1 + m))/(c*(1 + m)) + (2*a*b*(c*x)^(2 + m))/(c^2*(2 + m)) + (b^2*(c*x)^(3 + m))/(c^3*(3 + m)), x, 2),
+((c*x)^m*(a + b/x^1)^2, -((b^2*c*(c*x)^(-1 + m))/(1 - m)) + (2*a*b*(c*x)^m)/m + (a^2*(c*x)^(1 + m))/(c*(1 + m)), x, 2),
+((c*x)^m*(a + b/x^2)^2, -((b^2*c^3*(c*x)^(-3 + m))/(3 - m)) - (2*a*b*c*(c*x)^(-1 + m))/(1 - m) + (a^2*(c*x)^(1 + m))/(c*(1 + m)), x, 2),
+((c*x)^m*(a + b/x^3)^2, -((b^2*c^5*(c*x)^(-5 + m))/(5 - m)) - (2*a*b*c^2*(c*x)^(-2 + m))/(2 - m) + (a^2*(c*x)^(1 + m))/(c*(1 + m)), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((c*x)^(-1 - 1*n/2)/(a + b*x^n), -(2/((c*x)^(n/2)*(a*c*n))) + (2*sqrt(b)*x^(n/2)*atan(sqrt(a)/(x^(n/2)*sqrt(b))))/((c*x)^(n/2)*(a^(3//2)*c*n)), x, 5),
+((c*x)^(-1 - 2*n/3)/(a + b*x^n), -(3/((c*x)^((2*n)/3)*(2*a*c*n))) + (sqrt(3)*b^(2//3)*x^((2*n)/3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x^(n/3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/((c*x)^((2*n)/3)*(a^(5//3)*c*n)) - (b^(2//3)*x^((2*n)/3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x^(n/3)))/((c*x)^((2*n)/3)*(a^(5//3)*c*n)) + (b^(2//3)*x^((2*n)/3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x^(n/3) + b^(2//3)*x^((2*n)/3)))/((c*x)^((2*n)/3)*(2*a^(5//3)*c*n)), x, 9),
+((c*x)^(-1 - 3*n/4)/(a + b*x^n), -(4/((c*x)^((3*n)/4)*(3*a*c*n))) + (sqrt(2)*b^(3//4)*x^((3*n)/4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x^(n/4))/a^(1//4)))/((c*x)^((3*n)/4)*(a^(7//4)*c*n)) - (sqrt(2)*b^(3//4)*x^((3*n)/4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x^(n/4))/a^(1//4)))/((c*x)^((3*n)/4)*(a^(7//4)*c*n)) + (b^(3//4)*x^((3*n)/4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x^(n/4) + sqrt(b)*x^(n/2)))/((c*x)^((3*n)/4)*(sqrt(2)*a^(7//4)*c*n)) - (b^(3//4)*x^((3*n)/4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x^(n/4) + sqrt(b)*x^(n/2)))/((c*x)^((3*n)/4)*(sqrt(2)*a^(7//4)*c*n)), x, 12),
+
+
+((c*x)^(-1 - n/1)/(a + b*x^n), -(1/((c*x)^n*(a*c*n))) - (b*x^n*log(x))/((c*x)^n*(a^2*c)) + (b*x^n*log(a + b*x^n))/((c*x)^n*(a^2*c*n)), x, 4),
+((c*x)^(-1 - n/2)/(a + b*x^n), -(2/((c*x)^(n/2)*(a*c*n))) + (2*sqrt(b)*x^(n/2)*atan(sqrt(a)/(x^(n/2)*sqrt(b))))/((c*x)^(n/2)*(a^(3//2)*c*n)), x, 5),
+((c*x)^(-1 - n/3)/(a + b*x^n), -(3/((c*x)^(n/3)*(a*c*n))) - (sqrt(3)*b^(1//3)*x^(n/3)*atan((b^(1//3) - (2*a^(1//3))/x^(n/3))/(sqrt(3)*b^(1//3))))/((c*x)^(n/3)*(a^(4//3)*c*n)) + (b^(1//3)*x^(n/3)*log(b^(1//3) + a^(1//3)/x^(n/3)))/((c*x)^(n/3)*(a^(4//3)*c*n)) - (b^(1//3)*x^(n/3)*log(b^(2//3) + a^(2//3)/x^((2*n)/3) - (a^(1//3)*b^(1//3))/x^(n/3)))/((c*x)^(n/3)*(2*a^(4//3)*c*n)), x, 10),
+((c*x)^(-1 - n/4)/(a + b*x^n), -(4/((c*x)^(n/4)*(a*c*n))) - (sqrt(2)*b^(1//4)*x^(n/4)*atan(1 - (sqrt(2)*a^(1//4))/(x^(n/4)*b^(1//4))))/((c*x)^(n/4)*(a^(5//4)*c*n)) + (sqrt(2)*b^(1//4)*x^(n/4)*atan(1 + (sqrt(2)*a^(1//4))/(x^(n/4)*b^(1//4))))/((c*x)^(n/4)*(a^(5//4)*c*n)) - (b^(1//4)*x^(n/4)*log(sqrt(b) + sqrt(a)/x^(n/2) - (sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4))/x^(n/4)))/((c*x)^(n/4)*(sqrt(2)*a^(5//4)*c*n)) + (b^(1//4)*x^(n/4)*log(sqrt(b) + sqrt(a)/x^(n/2) + (sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4))/x^(n/4)))/((c*x)^(n/4)*(sqrt(2)*a^(5//4)*c*n)), x, 13),
+
+
+((c*x)^(-1 - 3*n/2)/(a + b*x^n), -(2/((c*x)^((3*n)/2)*(3*a*c*n))) + (2*b*x^n)/((c*x)^((3*n)/2)*(a^2*c*n)) - (2*b^(3//2)*x^((3*n)/2)*atan(sqrt(a)/(x^(n/2)*sqrt(b))))/((c*x)^((3*n)/2)*(a^(5//2)*c*n)), x, 6),
+# {(c*x)^(-1 - 4*n/3)/(a + b*x^n), x, 11, If[$VersionNumber>=8, -(3/((c*x)^((4*n)/3)*(4*a*c*n))) + (3*b*x^n)/((c*x)^((4*n)/3)*(a^2*c*n)) + (Sqrt[3]*b^(4/3)*x^((4*n)/3)*ArcTan[(b^(1/3) - (2*a^(1/3))/x^(n/3))/(Sqrt[3]*b^(1/3))])/((c*x)^((4*n)/3)*(a^(7/3)*c*n)) - (b^(4/3)*x^((4*n)/3)*Log[b^(1/3) + a^(1/3)/x^(n/3)])/((c*x)^((4*n)/3)*(a^(7/3)*c*n)) + (b^(4/3)*x^((4*n)/3)*Log[b^(2/3) + a^(2/3)/x^((2*n)/3) - (a^(1/3)*b^(1/3))/x^(n/3)])/((c*x)^((4*n)/3)*(2*a^(7/3)*c*n)), -(3/((c*x)^((4*n)/3)*(4*a*c*n))) + (3*b*x^n)/((c*x)^((4*n)/3)*(a^2*c*n)) + (Sqrt[3]*b^(4/3)*x^((4*n)/3)*ArcTan[(1 - (2*a^(1/3))/(x^(n/3)*b^(1/3)))/Sqrt[3]])/((c*x)^((4*n)/3)*(a^(7/3)*c*n)) - (b^(4/3)*x^((4*n)/3)*Log[b^(1/3) + a^(1/3)/x^(n/3)])/((c*x)^((4*n)/3)*(a^(7/3)*c*n)) + (b^(4/3)*x^((4*n)/3)*Log[b^(2/3) + a^(2/3)/x^((2*n)/3) - (a^(1/3)*b^(1/3))/x^(n/3)])/((c*x)^((4*n)/3)*(2*a^(7/3)*c*n))]}
+((c*x)^(-1 - 5*n/4)/(a + b*x^n), -(4/((c*x)^((5*n)/4)*(5*a*c*n))) + (4*b*x^n)/((c*x)^((5*n)/4)*(a^2*c*n)) + (sqrt(2)*b^(5//4)*x^((5*n)/4)*atan(1 - (sqrt(2)*a^(1//4))/(x^(n/4)*b^(1//4))))/((c*x)^((5*n)/4)*(a^(9//4)*c*n)) - (sqrt(2)*b^(5//4)*x^((5*n)/4)*atan(1 + (sqrt(2)*a^(1//4))/(x^(n/4)*b^(1//4))))/((c*x)^((5*n)/4)*(a^(9//4)*c*n)) + (b^(5//4)*x^((5*n)/4)*log(sqrt(b) + sqrt(a)/x^(n/2) - (sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4))/x^(n/4)))/((c*x)^((5*n)/4)*(sqrt(2)*a^(9//4)*c*n)) - (b^(5//4)*x^((5*n)/4)*log(sqrt(b) + sqrt(a)/x^(n/2) + (sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4))/x^(n/4)))/((c*x)^((5*n)/4)*(sqrt(2)*a^(9//4)*c*n)), x, 14),
+
+
+((c*x)^(n + 4)/(a + b*x^n), ((c*x)^(5 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (5 + n)/n, 2 + 5/n, -((b*x^n)/a)))/(a*c*(5 + n)), x, 1),
+((c*x)^(n + 3)/(a + b*x^n), ((c*x)^(4 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (4 + n)/n, 2*(1 + 2/n), -((b*x^n)/a)))/(a*c*(4 + n)), x, 1),
+((c*x)^(n + 2)/(a + b*x^n), ((c*x)^(3 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (3 + n)/n, 2 + 3/n, -((b*x^n)/a)))/(a*c*(3 + n)), x, 1),
+((c*x)^(n + 1)/(a + b*x^n), ((c*x)^(2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (2 + n)/n, 2*(1 + 1/n), -((b*x^n)/a)))/(a*c*(2 + n)), x, 1),
+((c*x)^(n + 0)/(a + b*x^n), ((c*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + 1/n, 2 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a*c*(1 + n)), x, 1),
+((c*x)^(n - 1)/(a + b*x^n), ((c*x)^n*log(a + b*x^n))/(x^n*(b*c*n)), x, 2),
+((c*x)^(n - 2)/(a + b*x^n), -(((c*x)^(-1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -((1 - n)/n), 2 - 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a*c*(1 - n))), x, 1),
+((c*x)^(n - 3)/(a + b*x^n), -(((c*x)^(-2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -((2 - n)/n), 2*(1 - 1/n), -((b*x^n)/a)))/(a*c*(2 - n))), x, 1),
+
+
+((c*x)^(n - 1)/(a + b*x^n)^2, (c*x)^n/(a*c*n*(a + b*x^n)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^n)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((c*x)^(7*n/2 - 1)/sqrt(a + b*x^n), (5*a^2*(c*x)^((7*n)/2)*sqrt(a + b*x^n))/(x^(3*n)*(8*b^3*c*n)) - (5*a*(c*x)^((7*n)/2)*sqrt(a + b*x^n))/(x^(2*n)*(12*b^2*c*n)) + ((c*x)^((7*n)/2)*sqrt(a + b*x^n))/(x^n*(3*b*c*n)) - (5*a^3*(c*x)^((7*n)/2)*atanh((sqrt(b)*x^(n/2))/sqrt(a + b*x^n)))/(x^((7*n)/2)*(8*b^(7//2)*c*n)), x, 6),
+((c*x)^(5*n/2 - 1)/sqrt(a + b*x^n), -((3*a*(c*x)^((5*n)/2)*sqrt(a + b*x^n))/(x^(2*n)*(4*b^2*c*n))) + ((c*x)^((5*n)/2)*sqrt(a + b*x^n))/(x^n*(2*b*c*n)) + (3*a^2*(c*x)^((5*n)/2)*atanh((sqrt(b)*x^(n/2))/sqrt(a + b*x^n)))/(x^((5*n)/2)*(4*b^(5//2)*c*n)), x, 5),
+((c*x)^(3*n/2 - 1)/sqrt(a + b*x^n), ((c*x)^((3*n)/2)*sqrt(a + b*x^n))/(x^n*(b*c*n)) - (a*(c*x)^((3*n)/2)*atanh((sqrt(b)*x^(n/2))/sqrt(a + b*x^n)))/(x^((3*n)/2)*(b^(3//2)*c*n)), x, 4),
+((c*x)^(1*n/2 - 1)/sqrt(a + b*x^n), (2*(c*x)^(n/2)*atanh((sqrt(b)*x^(n/2))/sqrt(a + b*x^n)))/(x^(n/2)*(sqrt(b)*c*n)), x, 4),
+((c*x)^(-1*n/2 - 1)/sqrt(a + b*x^n), -((2*sqrt(a + b*x^n))/((c*x)^(n/2)*(a*c*n))), x, 1),
+((c*x)^(-3*n/2 - 1)/sqrt(a + b*x^n), -((2*sqrt(a + b*x^n))/((c*x)^((3*n)/2)*(a*c*n))) + (4*(a + b*x^n)^(3//2))/((c*x)^((3*n)/2)*(3*a^2*c*n)), x, 2),
+((c*x)^(-5*n/2 - 1)/sqrt(a + b*x^n), -((2*sqrt(a + b*x^n))/((c*x)^((5*n)/2)*(a*c*n))) + (8*(a + b*x^n)^(3//2))/((c*x)^((5*n)/2)*(3*a^2*c*n)) - (16*(a + b*x^n)^(5//2))/((c*x)^((5*n)/2)*(15*a^3*c*n)), x, 3),
+((c*x)^(-7*n/2 - 1)/sqrt(a + b*x^n), -((2*sqrt(a + b*x^n))/((c*x)^((7*n)/2)*(a*c*n))) + (4*(a + b*x^n)^(3//2))/((c*x)^((7*n)/2)*(a^2*c*n)) - (16*(a + b*x^n)^(5//2))/((c*x)^((7*n)/2)*(5*a^3*c*n)) + (32*(a + b*x^n)^(7//2))/((c*x)^((7*n)/2)*(35*a^4*c*n)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b x^n)^p with p symbolic
+
+
+# {(c*x)^m*(a + b*x^n)^p, x, 2, ((c*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 1 + (1 + m)/n + p, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a*c*(1 + m)), ((c*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[(1 + m)/n, -p, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(c*(1 + m)))}
+
+
+# {(a + b*x^n)^p*(c*x)^(3*n), x, 2, ((c*x)^(1 + 3*n)*(a + b*x^n)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 4 + 1/n + p, 4 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/(a*c*(1 + 3*n)), ((c*x)^(1 + 3*n)*(a + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[3 + 1/n, -p, 4 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(c*(1 + 3*n)))}
+# {(a + b*x^n)^p*(c*x)^(2*n), x, 2, ((c*x)^(1 + 2*n)*(a + b*x^n)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 3 + 1/n + p, 3 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/(a*c*(1 + 2*n)), ((c*x)^(1 + 2*n)*(a + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[2 + 1/n, -p, 3 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(c*(1 + 2*n)))}
+# {(a + b*x^n)^p*(c*x)^(1*n), x, 2, ((c*x)^(1 + n)*(a + b*x^n)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 2 + 1/n + p, 2 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/(a*c*(1 + n)), ((c*x)^(1 + n)*(a + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[1 + 1/n, -p, 2 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(c*(1 + n)))}
+# {(a + b*x^n)^p*(c*x)^(0*n), x, 2, (x*(a + b*x^n)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 1 + 1/n + p, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/a, (x*(a + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[1/n, -p, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/(1 + (b*x^n)/a)^p}
+# {(a + b*x^n)^p/(c*x)^(1*n), x, 2, ((c*x)^(1 - n)*(a + b*x^n)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 1/n + p, 1/n, -((b*x^n)/a)])/(a*c*(1 - n)), ((c*x)^(1 - n)*(a + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[-1 + 1/n, -p, 1/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(c*(1 - n)))}
+# {(a + b*x^n)^p/(c*x)^(2*n), x, 2, ((c*x)^(1 - 2*n)*(a + b*x^n)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, -1 + 1/n + p, -1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/(a*c*(1 - 2*n)), ((c*x)^(1 - 2*n)*(a + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[-2 + 1/n, -p, -1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(c*(1 - 2*n)))}
+# {(a + b*x^n)^p/(c*x)^(3*n), x, 2, ((c*x)^(1 - 3*n)*(a + b*x^n)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, -2 + 1/n + p, -2 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/(a*c*(1 - 3*n)), ((c*x)^(1 - 3*n)*(a + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[-3 + 1/n, -p, -2 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(c*(1 - 3*n)))}
+
+
+((a + b*x^n)^p/(c*x)^(n*p + 0*n + 1), -(((a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, -p, 1 - p, -((b*x^n)/a)))/((c*x)^(n*p)*(1 + (b*x^n)/a)^p*(c*n*p))), x, 2),
+((a + b*x^n)^p/(c*x)^(n*p + 1*n + 1), -((a + b*x^n)^(1 + p)/((c*x)^(n*(1 + p))*(a*c*n*(1 + p)))), x, 1),
+((a + b*x^n)^p/(c*x)^(n*p + 2*n + 1), -((a + b*x^n)^(1 + p)/((c*x)^(n*(2 + p))*(a*c*n*(1 + p)))) + (a + b*x^n)^(2 + p)/((c*x)^(n*(2 + p))*(a^2*c*n*(1 + p)*(2 + p))), x, 2),
+((a + b*x^n)^p/(c*x)^(n*p + 3*n + 1), -((a + b*x^n)^(1 + p)/((c*x)^(n*(3 + p))*(a*c*n*(1 + p)))) + (2*(a + b*x^n)^(2 + p))/((c*x)^(n*(3 + p))*(a^2*c*n*(1 + p)*(2 + p))) - (2*(a + b*x^n)^(3 + p))/((c*x)^(n*(3 + p))*(a^3*c*n*(1 + p)*(2 + p)*(3 + p))), x, 3),
+# {(a + b*x^n)^p/(c*x)^(n*p + 4*n + 1), x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((a + b*x^n)^(1 + p)/((c*x)^(n*(4 + p))*(a*c*n*(1 + p)))) + (3*(a + b*x^n)^(2 + p))/((c*x)^(n*(4 + p))*(a^2*c*n*(1 + p)*(2 + p))) - (6*(a + b*x^n)^(3 + p))/((c*x)^(n*(4 + p))*(a^3*c*n*(1 + p)*(2 + p)*(3 + p))) + (6*(a + b*x^n)^(4 + p))/((c*x)^(n*(4 + p))*(a^4*c*n*(1 + p)*(2 + p)*(3 + p)*(4 + p))), -((a + b*x^n)^(1 + p)/((c*x)^(n*(4 + p))*(a*c*n*(1 + p)))) + (3*(a + b*x^n)^(2 + p))/((c*x)^(n*(4 + p))*(a^2*c*n*(1 + p)*(2 + p))) - (6*(a + b*x^n)^(3 + p))/((c*x)^(n*(4 + p))*(a^3*c*n*(1 + p)*(2 + p)*(3 + p))) + (6*(a + b*x^n)^(4 + p))/((c*x)^(n*(4 + p))*(a^4*c*n*(2 + 3*p + p^2)*(12 + 7*p + p^2)))]}
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (c+d x)^m (b (c+d x)^n)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c+d x)^m (b (c+d x)^2)^p
+
+
+((c*(a + b*x)^2)^(5//2), (c^2*(a + b*x)^5*sqrt(c*(a + b*x)^2))/(6*b), x, 3),
+((c*(a + b*x)^2)^(3//2), (c*(a + b*x)^3*sqrt(c*(a + b*x)^2))/(4*b), x, 3),
+((c*(a + b*x)^2)^(1//2), ((a + b*x)*sqrt(c*(a + b*x)^2))/(2*b), x, 3),
+(1/(c*(a + b*x)^2)^(1//2), ((a + b*x)*log(a + b*x))/(b*sqrt(c*(a + b*x)^2)), x, 3),
+(1/(c*(a + b*x)^2)^(3//2), -(1/(2*b*c*(a + b*x)*sqrt(c*(a + b*x)^2))), x, 3),
+(1/(c*(a + b*x)^2)^(5//2), -(1/(4*b*c^2*(a + b*x)^3*sqrt(c*(a + b*x)^2))), x, 3),
+
+
+(sqrt((3 + 5*x)^2), (1//10)*(3 + 5*x)*sqrt((3 + 5*x)^2), x, 3),
+(sqrt((6 + 10*x)^2), (1//5)*(3 + 5*x)*sqrt((3 + 5*x)^2), x, 3),
+
+(1/sqrt((3 + 5*x)^2), (3 + 5*x)*(log(3 + 5*x)/(5*sqrt((3 + 5*x)^2))), x, 3),
+# {1/Sqrt[(6 + 10*x)^2], x, 3, ((3 + 5*x)*Log[3 + 5*x])/(10*Sqrt[(3 + 5*x)^2]), ((3 + 5*x)*Log[6 + 10*x])/(10*Sqrt[(3 + 5*x)^2])}
+
+
+(1/sqrt(-(2 + 3*x)^2), ((2 + 3*x)*log(2 + 3*x))/(3*sqrt(-(2 + 3*x)^2)), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c+d x)^m (b (c+d x)^3)^p
+
+
+((c*(a + b*x)^3)^(5//2), (2*c^2*(a + b*x)^7*sqrt(c*(a + b*x)^3))/(17*b), x, 3),
+((c*(a + b*x)^3)^(3//2), (2*c*(a + b*x)^4*sqrt(c*(a + b*x)^3))/(11*b), x, 3),
+((c*(a + b*x)^3)^(1//2), (2*(a + b*x)*sqrt(c*(a + b*x)^3))/(5*b), x, 3),
+(1/(c*(a + b*x)^3)^(1//2), -((2*(a + b*x))/(b*sqrt(c*(a + b*x)^3))), x, 3),
+(1/(c*(a + b*x)^3)^(3//2), -(2/(7*b*c*(a + b*x)^2*sqrt(c*(a + b*x)^3))), x, 3),
+(1/(c*(a + b*x)^3)^(5//2), -(2/(13*b*c^2*(a + b*x)^5*sqrt(c*(a + b*x)^3))), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c+d x)^m (b (c+d x)^(-1))^p
+
+
+((c/(a + b*x))^(5//2), -((2*c^2*sqrt(c/(a + b*x)))/(3*b*(a + b*x))), x, 3),
+((c/(a + b*x))^(3//2), -((2*c*sqrt(c/(a + b*x)))/b), x, 3),
+((c/(a + b*x))^(1//2), (2*sqrt(c/(a + b*x))*(a + b*x))/b, x, 3),
+(1/(c/(a + b*x))^(1//2), (2*(a + b*x))/(3*b*sqrt(c/(a + b*x))), x, 3),
+(1/(c/(a + b*x))^(3//2), (2*(a + b*x)^2)/(5*b*c*sqrt(c/(a + b*x))), x, 3),
+(1/(c/(a + b*x))^(5//2), (2*(a + b*x)^3)/(7*b*c^2*sqrt(c/(a + b*x))), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c+d x)^m (b (c+d x)^(-2))^p
+
+
+((c/(a + b*x)^2)^(5//2), -((c^2*sqrt(c/(a + b*x)^2))/(4*b*(a + b*x)^3)), x, 3),
+((c/(a + b*x)^2)^(3//2), -((c*sqrt(c/(a + b*x)^2))/(2*b*(a + b*x))), x, 3),
+((c/(a + b*x)^2)^(1//2), (sqrt(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x)*log(a + b*x))/b, x, 3),
+(1/(c/(a + b*x)^2)^(1//2), (a + b*x)/(2*b*sqrt(c/(a + b*x)^2)), x, 3),
+(1/(c/(a + b*x)^2)^(3//2), (a + b*x)^3/(4*b*c*sqrt(c/(a + b*x)^2)), x, 3),
+(1/(c/(a + b*x)^2)^(5//2), (a + b*x)^5/(6*b*c^2*sqrt(c/(a + b*x)^2)), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c+d x)^m (b (c+d x)^(-3))^p
+
+
+((c/(a + b*x)^3)^(5//2), -((2*c^2*sqrt(c/(a + b*x)^3))/(13*b*(a + b*x)^5)), x, 3),
+((c/(a + b*x)^3)^(3//2), -((2*c*sqrt(c/(a + b*x)^3))/(7*b*(a + b*x)^2)), x, 3),
+((c/(a + b*x)^3)^(1//2), -((2*sqrt(c/(a + b*x)^3)*(a + b*x))/b), x, 3),
+(1/(c/(a + b*x)^3)^(1//2), (2*(a + b*x))/(5*b*sqrt(c/(a + b*x)^3)), x, 3),
+(1/(c/(a + b*x)^3)^(3//2), (2*(a + b*x)^4)/(11*b*c*sqrt(c/(a + b*x)^3)), x, 3),
+(1/(c/(a + b*x)^3)^(5//2), (2*(a + b*x)^7)/(17*b*c^2*sqrt(c/(a + b*x)^3)), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c+d x)^m (b (c+d x)^n)^p
+
+
+((c*(a + b*x)^(3//2))^(2//3), ((a + b*x)*(c*(a + b*x)^(3//2))^(2//3))/(2*b), x, 3),
+((c*(a + b*x)^(2//3))^(3//2), (c*sqrt(c*(a + b*x)^(2//3))*(a + b*x)^(5//3))/(2*b), x, 3),
+
+
+(1/(c/(a + b*x)^(3//2))^(2//3), (a + b*x)/(2*b*(c/(a + b*x)^(3//2))^(2//3)), x, 3),
+(1/(c/(a + b*x)^(2//3))^(3//2), (a + b*x)^(5//3)/(2*b*c*sqrt(c/(a + b*x)^(2//3))), x, 3),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (c+d x)^m (a+b (c+d x)^n)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c+d x)^m (a+b (c+d x)^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((c + d*x)^3*(a + b*(c + d*x)^2), (a*(c + d*x)^4)/(4*d) + (b*(c + d*x)^6)/(6*d), x, 3),
+((c + d*x)^3*(a + b*(c + d*x)^2)^2, (a^2*(c + d*x)^4)/(4*d) + (a*b*(c + d*x)^6)/(3*d) + (b^2*(c + d*x)^8)/(8*d), x, 4),
+((c + d*x)^3*(a + b*(c + d*x)^2)^3, -((a*(a + b*(c + d*x)^2)^4)/(8*b^2*d)) + (a + b*(c + d*x)^2)^5/(10*b^2*d), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((2 + x)/(1 + (2 + x)^2), (1//2)*log(1 + (2 + x)^2), x, 2),
+((2 + x)/(1 + (2 + x)^2)^2, -(1/(2*(1 + (2 + x)^2))), x, 2),
+((2 + x)/(1 + (2 + x)^2)^3, -(1/(4*(1 + (2 + x)^2)^2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p symbolic
+
+
+((c + d*x)^5*(a + b*(c + d*x)^2)^p, (a^2*(a + b*(c + d*x)^2)^(1 + p))/(2*b^3*d*(1 + p)) - (a*(a + b*(c + d*x)^2)^(2 + p))/(b^3*d*(2 + p)) + (a + b*(c + d*x)^2)^(3 + p)/(2*b^3*d*(3 + p)), x, 4),
+# {(c + d*x)^4*(a + b*(c + d*x)^2)^p, x, 3, ((c + d*x)^5*(a + b*(c + d*x)^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 7/2 + p, 7/2, -((b*(c + d*x)^2)/a)])/(5*a*d), ((c + d*x)^5*(a + b*(c + d*x)^2)^p*Hypergeometric2F1[5/2, -p, 7/2, -((b*(c + d*x)^2)/a)])/((1 + (b*(c + d*x)^2)/a)^p*(5*d))}
+((c + d*x)^3*(a + b*(c + d*x)^2)^p, -((a*(a + b*(c + d*x)^2)^(1 + p))/(2*b^2*d*(1 + p))) + (a + b*(c + d*x)^2)^(2 + p)/(2*b^2*d*(2 + p)), x, 4),
+# {(c + d*x)^2*(a + b*(c + d*x)^2)^p, x, 3, ((c + d*x)^3*(a + b*(c + d*x)^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 5/2 + p, 5/2, -((b*(c + d*x)^2)/a)])/(3*a*d), ((c + d*x)^3*(a + b*(c + d*x)^2)^p*Hypergeometric2F1[3/2, -p, 5/2, -((b*(c + d*x)^2)/a)])/((1 + (b*(c + d*x)^2)/a)^p*(3*d))}
+((c + d*x)^1*(a + b*(c + d*x)^2)^p, (a + b*(c + d*x)^2)^(1 + p)/(2*b*d*(1 + p)), x, 2),
+((a + b*(c + d*x)^2)^p/(c + d*x)^1, -(((a + b*(c + d*x)^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*(c + d*x)^2)/a))/(2*a*d*(1 + p))), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c+d x)^m (a+b (c+d x)^3)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((c + d*x)^3*(a + b*(c + d*x)^3), (a*(c + d*x)^4)/(4*d) + (b*(c + d*x)^7)/(7*d), x, 3),
+((c + d*x)^3*(a + b*(c + d*x)^3)^2, (a^2*(c + d*x)^4)/(4*d) + (2*a*b*(c + d*x)^7)/(7*d) + (b^2*(c + d*x)^10)/(10*d), x, 3),
+((c + d*x)^3*(a + b*(c + d*x)^3)^3, (1//4)*a^3*((c + d*x)^4/d) + (3/(7*d))*a^2*b*(c + d*x)^7 + (3/(10*d))*a*b^2*(c + d*x)^10 + (1/(13*d))*b^3*(c + d*x)^13, x, 3),
+
+
+((c*e + d*e*x)^3*(a + b*(c + d*x)^3), (a*e^3*(c + d*x)^4)/(4*d) + (b*e^3*(c + d*x)^7)/(7*d), x, 3),
+((c*e + d*e*x)^3*(a + b*(c + d*x)^3)^2, (a^2*e^3*(c + d*x)^4)/(4*d) + (2*a*b*e^3*(c + d*x)^7)/(7*d) + (b^2*e^3*(c + d*x)^10)/(10*d), x, 3),
+((c*e + d*e*x)^3*(a + b*(c + d*x)^3)^3, (a^3*e^3*(c + d*x)^4)/(4*d) + (3*a^2*b*e^3*(c + d*x)^7)/(7*d) + (3*a*b^2*e^3*(c + d*x)^10)/(10*d) + (b^3*e^3*(c + d*x)^13)/(13*d), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((c + d*x)^4/(a + b*(c + d*x)^3), (c + d*x)^2/(2*b*d) + (a^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(5//3)*d) + (a^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(3*b^(5//3)*d) - (a^(2//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(6*b^(5//3)*d), x, 8),
+((c + d*x)^3/(a + b*(c + d*x)^3), x/b + (a^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(4//3)*d) - (a^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(3*b^(4//3)*d) + (a^(1//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(6*b^(4//3)*d), x, 8),
+((c + d*x)^2/(a + b*(c + d*x)^3), log(a + b*(c + d*x)^3)/(3*b*d), x, 2),
+((c + d*x)^1/(a + b*(c + d*x)^3), -(atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(1//3)*b^(2//3)*d)) - log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x))/(3*a^(1//3)*b^(2//3)*d) + log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2)/(6*a^(1//3)*b^(2//3)*d), x, 7),
+((c + d*x)^0/(a + b*(c + d*x)^3), -(atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(1//3)*d)) + log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x))/(3*a^(2//3)*b^(1//3)*d) - log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2)/(6*a^(2//3)*b^(1//3)*d), x, 7),
+(1/((c + d*x)^1*(a + b*(c + d*x)^3)), log(c + d*x)/(a*d) - log(a + b*(c + d*x)^3)/(3*a*d), x, 5),
+(1/((c + d*x)^2*(a + b*(c + d*x)^3)), -(1/(a*d*(c + d*x))) + (b^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(4//3)*d) + (b^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(3*a^(4//3)*d) - (b^(1//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(6*a^(4//3)*d), x, 8),
+(1/((c + d*x)^3*(a + b*(c + d*x)^3)), -(1/(2*a*d*(c + d*x)^2)) + (b^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(5//3)*d) - (b^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(3*a^(5//3)*d) + (b^(2//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(6*a^(5//3)*d), x, 8),
+(1/((c + d*x)^4*(a + b*(c + d*x)^3)), -(1/(3*a*d*(c + d*x)^3)) - (b*log(c + d*x))/(a^2*d) + (b*log(a + b*(c + d*x)^3))/(3*a^2*d), x, 4),
+
+
+((c + d*x)^4/(a + b*(c + d*x)^3)^2, -((c + d*x)^2/(3*b*d*(a + b*(c + d*x)^3))) - (2*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(1//3)*b^(5//3)*d) - (2*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(9*a^(1//3)*b^(5//3)*d) + log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2)/(9*a^(1//3)*b^(5//3)*d), x, 8),
+((c + d*x)^3/(a + b*(c + d*x)^3)^2, -((c + d*x)/(3*b*d*(a + b*(c + d*x)^3))) - atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(3*sqrt(3)*a^(2//3)*b^(4//3)*d) + log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x))/(9*a^(2//3)*b^(4//3)*d) - log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2)/(18*a^(2//3)*b^(4//3)*d), x, 8),
+((c + d*x)^2/(a + b*(c + d*x)^3)^2, -(1/(3*b*d*(a + b*(c + d*x)^3))), x, 2),
+((c + d*x)^1/(a + b*(c + d*x)^3)^2, (c + d*x)^2/(3*a*d*(a + b*(c + d*x)^3)) - atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(3*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(2//3)*d) - log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x))/(9*a^(4//3)*b^(2//3)*d) + log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2)/(18*a^(4//3)*b^(2//3)*d), x, 8),
+((c + d*x)^0/(a + b*(c + d*x)^3)^2, (c + d*x)/(3*a*d*(a + b*(c + d*x)^3)) - (2*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(1//3)*d) + (2*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(9*a^(5//3)*b^(1//3)*d) - log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2)/(9*a^(5//3)*b^(1//3)*d), x, 8),
+(1/((c + d*x)^1*(a + b*(c + d*x)^3)^2), 1/(3*a*d*(a + b*(c + d*x)^3)) + log(c + d*x)/(a^2*d) - log(a + b*(c + d*x)^3)/(3*a^2*d), x, 4),
+(1/((c + d*x)^2*(a + b*(c + d*x)^3)^2), -(4/(3*a^2*d*(c + d*x))) + 1/(3*a*d*(c + d*x)*(a + b*(c + d*x)^3)) + (4*b^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(7//3)*d) + (4*b^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(9*a^(7//3)*d) - (2*b^(1//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(9*a^(7//3)*d), x, 9),
+(1/((c + d*x)^3*(a + b*(c + d*x)^3)^2), -(5/(6*a^2*d*(c + d*x)^2)) + 1/(3*a*d*(c + d*x)^2*(a + b*(c + d*x)^3)) + (5*b^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(8//3)*d) - (5*b^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(9*a^(8//3)*d) + (5*b^(2//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(18*a^(8//3)*d), x, 9),
+(1/((c + d*x)^4*(a + b*(c + d*x)^3)^2), -(1/(3*a^2*d*(c + d*x)^3)) - b/(3*a^2*d*(a + b*(c + d*x)^3)) - (2*b*log(c + d*x))/(a^3*d) + (2*b*log(a + b*(c + d*x)^3))/(3*a^3*d), x, 4),
+
+
+((c + d*x)^4/(a + b*(c + d*x)^3)^3, -((c + d*x)^2/(6*b*d*(a + b*(c + d*x)^3)^2)) + (c + d*x)^2/(9*a*b*d*(a + b*(c + d*x)^3)) - atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(9*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(5//3)*d) - log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x))/(27*a^(4//3)*b^(5//3)*d) + log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2)/(54*a^(4//3)*b^(5//3)*d), x, 9),
+((c + d*x)^3/(a + b*(c + d*x)^3)^3, -((c + d*x)/(6*b*d*(a + b*(c + d*x)^3)^2)) + (c + d*x)/(18*a*b*d*(a + b*(c + d*x)^3)) - atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(9*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(4//3)*d) + log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x))/(27*a^(5//3)*b^(4//3)*d) - log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2)/(54*a^(5//3)*b^(4//3)*d), x, 9),
+((c + d*x)^2/(a + b*(c + d*x)^3)^3, -(1/(6*b*d*(a + b*(c + d*x)^3)^2)), x, 2),
+((c + d*x)^1/(a + b*(c + d*x)^3)^3, (c + d*x)^2/(6*a*d*(a + b*(c + d*x)^3)^2) + (2*(c + d*x)^2)/(9*a^2*d*(a + b*(c + d*x)^3)) - (2*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(7//3)*b^(2//3)*d) - (2*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(27*a^(7//3)*b^(2//3)*d) + log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2)/(27*a^(7//3)*b^(2//3)*d), x, 9),
+((c + d*x)^0/(a + b*(c + d*x)^3)^3, (c + d*x)/(6*a*d*(a + b*(c + d*x)^3)^2) + (5*(c + d*x))/(18*a^2*d*(a + b*(c + d*x)^3)) - (5*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(8//3)*b^(1//3)*d) + (5*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(27*a^(8//3)*b^(1//3)*d) - (5*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(54*a^(8//3)*b^(1//3)*d), x, 9),
+(1/((c + d*x)^1*(a + b*(c + d*x)^3)^3), 1/(6*a*d*(a + b*(c + d*x)^3)^2) + 1/(3*a^2*d*(a + b*(c + d*x)^3)) + log(c + d*x)/(a^3*d) - log(a + b*(c + d*x)^3)/(3*a^3*d), x, 4),
+(1/((c + d*x)^2*(a + b*(c + d*x)^3)^3), -(14/(9*a^3*d*(c + d*x))) + 1/(6*a*d*(c + d*x)*(a + b*(c + d*x)^3)^2) + 7/(18*a^2*d*(c + d*x)*(a + b*(c + d*x)^3)) + (14*b^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(10//3)*d) + (14*b^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(27*a^(10//3)*d) - (7*b^(1//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(27*a^(10//3)*d), x, 10),
+(1/((c + d*x)^3*(a + b*(c + d*x)^3)^3), -(10/(9*a^3*d*(c + d*x)^2)) + 1/(6*a*d*(c + d*x)^2*(a + b*(c + d*x)^3)^2) + 4/(9*a^2*d*(c + d*x)^2*(a + b*(c + d*x)^3)) + (20*b^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(11//3)*d) - (20*b^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(27*a^(11//3)*d) + (10*b^(2//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(27*a^(11//3)*d), x, 10),
+(1/((c + d*x)^4*(a + b*(c + d*x)^3)^3), -(1/(3*a^3*d*(c + d*x)^3)) - b/(6*a^2*d*(a + b*(c + d*x)^3)^2) - (2*b)/(3*a^3*d*(a + b*(c + d*x)^3)) - (3*b*log(c + d*x))/(a^4*d) + (b*log(a + b*(c + d*x)^3))/(a^4*d), x, 4),
+
+
+((c*e + d*e*x)^4/(a + b*(c + d*x)^3), (e^4*(c + d*x)^2)/(2*b*d) + (a^(2//3)*e^4*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(5//3)*d) + (a^(2//3)*e^4*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(3*b^(5//3)*d) - (a^(2//3)*e^4*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(6*b^(5//3)*d), x, 8),
+((c*e + d*e*x)^3/(a + b*(c + d*x)^3), (e^3*x)/b + (a^(1//3)*e^3*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(4//3)*d) - (a^(1//3)*e^3*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(3*b^(4//3)*d) + (a^(1//3)*e^3*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(6*b^(4//3)*d), x, 8),
+((c*e + d*e*x)^2/(a + b*(c + d*x)^3), (e^2*log(a + b*(c + d*x)^3))/(3*b*d), x, 2),
+((c*e + d*e*x)^1/(a + b*(c + d*x)^3), -((e*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(1//3)*b^(2//3)*d)) - (e*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(3*a^(1//3)*b^(2//3)*d) + (e*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(6*a^(1//3)*b^(2//3)*d), x, 7),
+(1/((c*e + d*e*x)^1*(a + b*(c + d*x)^3)), log(c + d*x)/(a*d*e) - log(a + b*(c + d*x)^3)/(3*a*d*e), x, 5),
+(1/((c*e + d*e*x)^2*(a + b*(c + d*x)^3)), -(1/(a*d*e^2*(c + d*x))) + (b^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(4//3)*d*e^2) + (b^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(3*a^(4//3)*d*e^2) - (b^(1//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(6*a^(4//3)*d*e^2), x, 8),
+(1/((c*e + d*e*x)^3*(a + b*(c + d*x)^3)), -1/(2*a*d*e^3*(c + d*x)^2) + (b^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(5//3)*d*e^3) - (b^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(3*a^(5//3)*d*e^3) + (b^(2//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(6*a^(5//3)*d*e^3), x, 8),
+(1/((c*e + d*e*x)^4*(a + b*(c + d*x)^3)), -1/(3*a*d*e^4*(c + d*x)^3) - (b*log(c + d*x))/(a^2*d*e^4) + (b*log(a + b*(c + d*x)^3))/(3*a^2*d*e^4), x, 4),
+
+
+((c*e + d*e*x)^4/(a + b*(c + d*x)^3)^2, -(e^4*(c + d*x)^2)/(3*b*d*(a + b*(c + d*x)^3)) - (2*e^4*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(1//3)*b^(5//3)*d) - (2*e^4*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(9*a^(1//3)*b^(5//3)*d) + (e^4*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(9*a^(1//3)*b^(5//3)*d), x, 8),
+((c*e + d*e*x)^3/(a + b*(c + d*x)^3)^2, -(e^3*(c + d*x))/(3*b*d*(a + b*(c + d*x)^3)) - (e^3*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(2//3)*b^(4//3)*d) + (e^3*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(9*a^(2//3)*b^(4//3)*d) - (e^3*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(18*a^(2//3)*b^(4//3)*d), x, 8),
+((c*e + d*e*x)^2/(a + b*(c + d*x)^3)^2, -e^2/(3*b*d*(a + b*(c + d*x)^3)), x, 2),
+((c*e + d*e*x)^1/(a + b*(c + d*x)^3)^2, (e*(c + d*x)^2)/(3*a*d*(a + b*(c + d*x)^3)) - (e*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(2//3)*d) - (e*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(9*a^(4//3)*b^(2//3)*d) + (e*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(18*a^(4//3)*b^(2//3)*d), x, 8),
+(1/((c*e + d*e*x)^1*(a + b*(c + d*x)^3)^2), 1/(3*a*d*e*(a + b*(c + d*x)^3)) + log(c + d*x)/(a^2*d*e) - log(a + b*(c + d*x)^3)/(3*a^2*d*e), x, 4),
+(1/((c*e + d*e*x)^2*(a + b*(c + d*x)^3)^2), -4/(3*a^2*d*e^2*(c + d*x)) + 1/(3*a*d*e^2*(c + d*x)*(a + b*(c + d*x)^3)) + (4*b^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(7//3)*d*e^2) + (4*b^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(9*a^(7//3)*d*e^2) - (2*b^(1//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(9*a^(7//3)*d*e^2), x, 9),
+(1/((c*e + d*e*x)^3*(a + b*(c + d*x)^3)^2), -5/(6*a^2*d*e^3*(c + d*x)^2) + 1/(3*a*d*e^3*(c + d*x)^2*(a + b*(c + d*x)^3)) + (5*b^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(8//3)*d*e^3) - (5*b^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(9*a^(8//3)*d*e^3) + (5*b^(2//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(18*a^(8//3)*d*e^3), x, 9),
+(1/((c*e + d*e*x)^4*(a + b*(c + d*x)^3)^2), -(1/(3*a^2*d*e^4*(c + d*x)^3)) - b/(3*a^2*d*e^4*(a + b*(c + d*x)^3)) - (2*b*log(c + d*x))/(a^3*d*e^4) + (2*b*log(a + b*(c + d*x)^3))/(3*a^3*d*e^4), x, 4),
+
+
+((c*e + d*e*x)^4/(a + b*(c + d*x)^3)^3, -(e^4*(c + d*x)^2)/(6*b*d*(a + b*(c + d*x)^3)^2) + (e^4*(c + d*x)^2)/(9*a*b*d*(a + b*(c + d*x)^3)) - (e^4*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(5//3)*d) - (e^4*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(27*a^(4//3)*b^(5//3)*d) + (e^4*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(54*a^(4//3)*b^(5//3)*d), x, 9),
+((c*e + d*e*x)^3/(a + b*(c + d*x)^3)^3, -(e^3*(c + d*x))/(6*b*d*(a + b*(c + d*x)^3)^2) + (e^3*(c + d*x))/(18*a*b*d*(a + b*(c + d*x)^3)) - (e^3*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(4//3)*d) + (e^3*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(27*a^(5//3)*b^(4//3)*d) - (e^3*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(54*a^(5//3)*b^(4//3)*d), x, 9),
+((c*e + d*e*x)^2/(a + b*(c + d*x)^3)^3, -e^2/(6*b*d*(a + b*(c + d*x)^3)^2), x, 2),
+((c*e + d*e*x)^1/(a + b*(c + d*x)^3)^3, (e*(c + d*x)^2)/(6*a*d*(a + b*(c + d*x)^3)^2) + (2*e*(c + d*x)^2)/(9*a^2*d*(a + b*(c + d*x)^3)) - (2*e*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(7//3)*b^(2//3)*d) - (2*e*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(27*a^(7//3)*b^(2//3)*d) + (e*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(27*a^(7//3)*b^(2//3)*d), x, 9),
+(1/((c*e + d*e*x)^1*(a + b*(c + d*x)^3)^3), 1/(6*a*d*e*(a + b*(c + d*x)^3)^2) + 1/(3*a^2*d*e*(a + b*(c + d*x)^3)) + log(c + d*x)/(a^3*d*e) - log(a + b*(c + d*x)^3)/(3*a^3*d*e), x, 4),
+(1/((c*e + d*e*x)^2*(a + b*(c + d*x)^3)^3), -14/(9*a^3*d*e^2*(c + d*x)) + 1/(6*a*d*e^2*(c + d*x)*(a + b*(c + d*x)^3)^2) + 7/(18*a^2*d*e^2*(c + d*x)*(a + b*(c + d*x)^3)) + (14*b^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(10//3)*d*e^2) + (14*b^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(27*a^(10//3)*d*e^2) - (7*b^(1//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(27*a^(10//3)*d*e^2), x, 10),
+(1/((c*e + d*e*x)^3*(a + b*(c + d*x)^3)^3), -10/(9*a^3*d*e^3*(c + d*x)^2) + 1/(6*a*d*e^3*(c + d*x)^2*(a + b*(c + d*x)^3)^2) + 4/(9*a^2*d*e^3*(c + d*x)^2*(a + b*(c + d*x)^3)) + (20*b^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(11//3)*d*e^3) - (20*b^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(27*a^(11//3)*d*e^3) + (10*b^(2//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(27*a^(11//3)*d*e^3), x, 10),
+(1/((c*e + d*e*x)^4*(a + b*(c + d*x)^3)^3), -(1/(3*a^3*d*e^4*(c + d*x)^3)) - b/(6*a^2*d*e^4*(a + b*(c + d*x)^3)^2) - (2*b)/(3*a^3*d*e^4*(a + b*(c + d*x)^3)) - (3*b*log(c + d*x))/(a^4*d*e^4) + (b*log(a + b*(c + d*x)^3))/(a^4*d*e^4), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c+d x)^m (a+b (c+d x)^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((c + d*x)^3*(a + b*(c + d*x)^4)^p, (a + b*(c + d*x)^4)^(1 + p)/(4*b*d*(1 + p)), x, 2),
+
+# {(c + d*x)^3*(a + b*(c + d*x)^4)^1, x, 3, (a + b*(c + d*x)^4)^2/(8*b*d), (a*(c + d*x)^4)/(4*d) + (b*(c + d*x)^8)/(8*d)}
+((c + d*x)^3*(a + b*(c + d*x)^4)^2, (a + b*(c + d*x)^4)^3/(12*b*d), x, 2),
+((c + d*x)^3*(a + b*(c + d*x)^4)^3, (a + b*(c + d*x)^4)^4/(16*b*d), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((c + d*x)^3/(a + b*(c + d*x)^4), log(a + b*(c + d*x)^4)/(4*b*d), x, 2),
+((c + d*x)^3/(a + b*(c + d*x)^4)^2, -(1/(4*b*d*(a + b*(c + d*x)^4))), x, 2),
+((c + d*x)^3/(a + b*(c + d*x)^4)^3, -(1/(8*b*d*(a + b*(c + d*x)^4)^2)), x, 2),
+
+
+(1/sqrt(a + b*(c + d*x)^4), ((sqrt(a) + sqrt(b)*(c + d*x)^2)*sqrt((a + b*(c + d*x)^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*(c + d*x)^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*(c + d*x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*b^(1//4)*d*sqrt(a + b*(c + d*x)^4)), x, 2),
+
+
+(x/sqrt(a + b*(c + d*x)^4), atanh((sqrt(b)*(c + d*x)^2)/sqrt(a + b*(c + d*x)^4))/(2*sqrt(b)*d^2) - (c*(sqrt(a) + sqrt(b)*(c + d*x)^2)*sqrt((a + b*(c + d*x)^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*(c + d*x)^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*(c + d*x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*b^(1//4)*d^2*sqrt(a + b*(c + d*x)^4)), x, 7),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b (c x^q)^n)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b (c x^1)^n)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b (c x)^(n/2))^p with m symbolic
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d*x)^m*sqrt(a + b*(c*x)^(3//2)), (x*(d*x)^m*sqrt(a + b*(c*x)^(3//2))*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (2*(1 + m))/3, (1//3)*(5 + 2*m), -((b*(c*x)^(3//2))/a)))/((1 + m)*sqrt(1 + (b*(c*x)^(3//2))/a)), x, 5),
+((d*x)^m*sqrt(a + b*(c*x)^(1//2)), -((4*a*(d*x)^m*(a + b*sqrt(c*x))^(3//2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -1 - 2*m, 5//2, 1 + (b*sqrt(c*x))/a))/((-((b*sqrt(c*x))/a))^(2*m)*(3*b^2*c))), x, 5),
+((d*x)^m*sqrt(a + b/(c*x)^(1//2)), (4*b^2*(d*x)^m*(-(b/(a*sqrt(c*x))))^(2*m)*(a + b/sqrt(c*x))^(3//2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, 3 + 2*m, 5//2, 1 + b/(a*sqrt(c*x))))/(3*a^3*c), x, 6),
+((d*x)^m*sqrt(a + b/(c*x)^(3//2)), (x*(d*x)^m*sqrt(a + b/(c*x)^(3//2))*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (-(2//3))*(1 + m), (1//3)*(1 - 2*m), -(b/(a*(c*x)^(3//2)))))/((1 + m)*sqrt(1 + b/(a*(c*x)^(3//2)))), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b (c x)^n)^p with n and p symbolic
+
+
+((d*x)^m*(a + b*(c*x)^n)^p, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*(c*x)^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/n, -p, (1 + m + n)/n, -((b*(c*x)^n)/a)))/((1 + (b*(c*x)^n)/a)^p*(d*(1 + m))), x, 3),
+
+
+(x^2*(a + b*(c*x)^n)^p, ((1//3)*x^3*(a + b*(c*x)^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3/n, -p, (3 + n)/n, -((b*(c*x)^n)/a)))/(1 + (b*(c*x)^n)/a)^p, x, 4),
+(x^1*(a + b*(c*x)^n)^p, ((1//2)*x^2*(a + b*(c*x)^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2/n, -p, (2 + n)/n, -((b*(c*x)^n)/a)))/(1 + (b*(c*x)^n)/a)^p, x, 4),
+(x^0*(a + b*(c*x)^n)^p, (x*(a + b*(c*x)^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1/n, -p, 1 + 1/n, -((b*(c*x)^n)/a)))/(1 + (b*(c*x)^n)/a)^p, x, 3),
+((a + b*(c*x)^n)^p/x^1, -(((a + b*(c*x)^n)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*(c*x)^n)/a))/(a*n*(1 + p))), x, 4),
+((a + b*(c*x)^n)^p/x^2, -(((a + b*(c*x)^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1/n), -p, -((1 - n)/n), -((b*(c*x)^n)/a)))/((1 + (b*(c*x)^n)/a)^p*x)), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b (c x^2)^n)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b (c x^2)^(n/2))^(-1)
+
+
+(1/(1 + (x^2)^(3//2)), -((x*atan((1 - 2*sqrt(x^2))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*sqrt(x^2))) - (x*log(1 + x^2 - sqrt(x^2)))/(6*sqrt(x^2)) + (x*log(1 + sqrt(x^2)))/(3*sqrt(x^2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b (c x^2)^(n/2))^(1/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(x^5*sqrt(a + b*sqrt(c*x^2)), -((2*a^5*(a + b*sqrt(c*x^2))^(3//2))/(3*b^6*c^3)) + (2*a^4*(a + b*sqrt(c*x^2))^(5//2))/(b^6*c^3) - (20*a^3*(a + b*sqrt(c*x^2))^(7//2))/(7*b^6*c^3) + (20*a^2*(a + b*sqrt(c*x^2))^(9//2))/(9*b^6*c^3) - (10*a*(a + b*sqrt(c*x^2))^(11//2))/(11*b^6*c^3) + (2*(a + b*sqrt(c*x^2))^(13//2))/(13*b^6*c^3), x, 3),
+(x^3*sqrt(a + b*sqrt(c*x^2)), -((2*a^3*(a + b*sqrt(c*x^2))^(3//2))/(3*b^4*c^2)) + (6*a^2*(a + b*sqrt(c*x^2))^(5//2))/(5*b^4*c^2) - (6*a*(a + b*sqrt(c*x^2))^(7//2))/(7*b^4*c^2) + (2*(a + b*sqrt(c*x^2))^(9//2))/(9*b^4*c^2), x, 3),
+(x^1*sqrt(a + b*sqrt(c*x^2)), -((2*a*(a + b*sqrt(c*x^2))^(3//2))/(3*b^2*c)) + (2*(a + b*sqrt(c*x^2))^(5//2))/(5*b^2*c), x, 3),
+(sqrt(a + b*sqrt(c*x^2))/x^1, 2*sqrt(a + b*sqrt(c*x^2)) - 2*sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c*x^2))/sqrt(a)), x, 4),
+(sqrt(a + b*sqrt(c*x^2))/x^3, -(sqrt(a + b*sqrt(c*x^2))/(2*x^2)) - (b*c*sqrt(a + b*sqrt(c*x^2)))/(4*a*sqrt(c*x^2)) + (b^2*c*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c*x^2))/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)), x, 5),
+(sqrt(a + b*sqrt(c*x^2))/x^5, -(sqrt(a + b*sqrt(c*x^2))/(4*x^4)) + (5*b^2*c*sqrt(a + b*sqrt(c*x^2)))/(96*a^2*x^2) - (b*c^2*sqrt(a + b*sqrt(c*x^2)))/(24*a*(c*x^2)^(3//2)) - (5*b^3*c^2*sqrt(a + b*sqrt(c*x^2)))/(64*a^3*sqrt(c*x^2)) + (5*b^4*c^2*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c*x^2))/sqrt(a)))/(64*a^(7//2)), x, 7),
+
+(x^4*sqrt(a + b*sqrt(c*x^2)), (2*a^4*x^5*(a + b*sqrt(c*x^2))^(3//2))/(3*b^5*(c*x^2)^(5//2)) - (8*a^3*x^5*(a + b*sqrt(c*x^2))^(5//2))/(5*b^5*(c*x^2)^(5//2)) + (12*a^2*x^5*(a + b*sqrt(c*x^2))^(7//2))/(7*b^5*(c*x^2)^(5//2)) - (8*a*x^5*(a + b*sqrt(c*x^2))^(9//2))/(9*b^5*(c*x^2)^(5//2)) + (2*x^5*(a + b*sqrt(c*x^2))^(11//2))/(11*b^5*(c*x^2)^(5//2)), x, 3),
+(x^2*sqrt(a + b*sqrt(c*x^2)), (2*a^2*x^3*(a + b*sqrt(c*x^2))^(3//2))/(3*b^3*(c*x^2)^(3//2)) - (4*a*x^3*(a + b*sqrt(c*x^2))^(5//2))/(5*b^3*(c*x^2)^(3//2)) + (2*x^3*(a + b*sqrt(c*x^2))^(7//2))/(7*b^3*(c*x^2)^(3//2)), x, 3),
+(x^0*sqrt(a + b*sqrt(c*x^2)), (2*x*(a + b*sqrt(c*x^2))^(3//2))/(3*b*sqrt(c*x^2)), x, 2),
+(sqrt(a + b*sqrt(c*x^2))/x^2, -(sqrt(a + b*sqrt(c*x^2))/x) - (b*sqrt(c*x^2)*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c*x^2))/sqrt(a)))/(sqrt(a)*x), x, 4),
+(sqrt(a + b*sqrt(c*x^2))/x^4, -(sqrt(a + b*sqrt(c*x^2))/(3*x^3)) + (b^2*c*sqrt(a + b*sqrt(c*x^2)))/(8*a^2*x) - (b*(c*x^2)^(3//2)*sqrt(a + b*sqrt(c*x^2)))/(12*a*c*x^5) - (b^3*(c*x^2)^(3//2)*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c*x^2))/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*x^3), x, 6),
+(sqrt(a + b*sqrt(c*x^2))/x^6, -(sqrt(a + b*sqrt(c*x^2))/(5*x^5)) + (7*b^2*c*sqrt(a + b*sqrt(c*x^2)))/(240*a^2*x^3) + (7*b^4*c^2*sqrt(a + b*sqrt(c*x^2)))/(128*a^4*x) - (b*(c*x^2)^(5//2)*sqrt(a + b*sqrt(c*x^2)))/(40*a*c^2*x^9) - (7*b^3*(c*x^2)^(5//2)*sqrt(a + b*sqrt(c*x^2)))/(192*a^3*c*x^7) - (7*b^5*(c*x^2)^(5//2)*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c*x^2))/sqrt(a)))/(128*a^(9//2)*x^5), x, 8),
+
+
+(x^8*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)), (2*a^2*x^9*(a + b*(c*x^2)^(3//2))^(3//2))/(9*b^3*(c*x^2)^(9//2)) - (4*a*x^9*(a + b*(c*x^2)^(3//2))^(5//2))/(15*b^3*(c*x^2)^(9//2)) + (2*x^9*(a + b*(c*x^2)^(3//2))^(7//2))/(21*b^3*(c*x^2)^(9//2)), x, 4),
+(x^5*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)), -((2*a*(a + b*(c*x^2)^(3//2))^(3//2))/(9*b^2*c^3)) + (2*(a + b*(c*x^2)^(3//2))^(5//2))/(15*b^2*c^3), x, 4),
+(x^2*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)), (2*x^3*(a + b*(c*x^2)^(3//2))^(3//2))/(9*b*(c*x^2)^(3//2)), x, 2),
+(sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))/x^1, (2//3)*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)) - (2//3)*sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))/sqrt(a)), x, 5),
+(sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))/x^4, -(sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))/(3*x^3)) - (b*(c*x^2)^(3//2)*atanh(sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))/sqrt(a)))/(3*sqrt(a)*x^3), x, 5),
+
+(x^3*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)), (2//11)*x^4*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)) + (6*a*sqrt(c*x^2)*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)))/(55*b*c^2) - (4*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^2*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c*x^2 - a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))), -7 - 4*sqrt(3)))/(55*b^(4//3)*c^2*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))), x, 4),
+(x^0*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)), (2//5)*x*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)) + (2*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c*x^2 - a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))), -7 - 4*sqrt(3)))/(5*b^(1//3)*sqrt(c*x^2)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))), x, 3),
+(sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))/x^3, -(sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))/(2*x^2)) + (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(2//3)*c*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c*x^2 - a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))), x, 3),
+(sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))/x^6, -(sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))/(5*x^5)) - (3*b*(c*x^2)^(5//2)*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)))/(20*a*c*x^7) - (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(5//3)*(c*x^2)^(5//2)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c*x^2 - a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))), -7 - 4*sqrt(3)))/(20*a*x^5*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))), x, 4),
+
+(x^4*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)), (2//13)*x^5*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)) + (6*a*c*x^7*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)))/(91*b*(c*x^2)^(5//2)) - (24*a^2*x^5*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)))/(91*b^(5//3)*(c*x^2)^(5//2)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))) + (12*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(7//3)*x^5*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c*x^2 - a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(5//3)*(c*x^2)^(5//2)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))) - (8*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(7//3)*x^5*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c*x^2 - a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(5//3)*(c*x^2)^(5//2)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))), x, 6),
+(x^1*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)), (2//7)*x^2*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)) + (6*a*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)))/(7*b^(2//3)*c*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c*x^2 - a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(2//3)*c*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))) + (2*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c*x^2 - a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(2//3)*c*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))), x, 5),
+(sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))/x^2, -(sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))/x) + (3*b^(1//3)*sqrt(c*x^2)*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)))/(x*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt(c*x^2)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c*x^2 - a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*x*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))) + (sqrt(2)*3^(3//4)*a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt(c*x^2)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c*x^2 - a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))), -7 - 4*sqrt(3)))/(x*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))), x, 5),
+(sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))/x^5, -(sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))/(4*x^4)) - (3*b*c^2*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)))/(8*a*sqrt(c*x^2)) + (3*b^(4//3)*c^2*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)))/(8*a*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(4//3)*c^2*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c*x^2 - a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))) + (3^(3//4)*b^(4//3)*c^2*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c*x^2 - a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^2))^2)*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# n<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b (c x^2)^(n/2))^p with m symbolic
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d*x)^m*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2)), ((d*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*(c*x^2)^(3//2))*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*(c*x^2)^(3//2))/a)))/(d*(1 + m)*sqrt(1 + (b*(c*x^2)^(3//2))/a)), x, 3),
+((d*x)^m*sqrt(a + b*(c*x^2)^(1//2)), (2*(d*x)^(1 + m)*(a + b*sqrt(c*x^2))^(3//2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -m, 5//2, 1 + (b*sqrt(c*x^2))/a))/((-((b*sqrt(c*x^2))/a))^m*(3*b*d*sqrt(c*x^2))), x, 3),
+((d*x)^m*sqrt(a + b/(c*x^2)^(1//2)), -((2*b*(d*x)^(1 + m)*(-(b/(a*sqrt(c*x^2))))^m*(a + b/sqrt(c*x^2))^(3//2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, 2 + m, 5//2, 1 + b/(a*sqrt(c*x^2))))/(3*a^2*d*sqrt(c*x^2))), x, 4),
+((d*x)^m*sqrt(a + b/(c*x^2)^(3//2)), ((d*x)^(1 + m)*sqrt(a + b/(c*x^2)^(3//2))*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (1//3)*(-1 - m), (2 - m)/3, -(b/(a*(c*x^2)^(3//2)))))/(d*(1 + m)*sqrt(1 + b/(a*(c*x^2)^(3//2)))), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b (c x^3)^n)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b (c x^3)^(n/2))^(-1)
+
+
+(1/(1 + (x^3)^(2//3)), (x*atan((x^3)^(1//3)))/(x^3)^(1//3), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b (c x^3)^(n/2))^(1/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(x^5*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)), -((4*a^3*(a + b*sqrt(c*x^3))^(3//2))/(9*b^4*c^2)) + (4*a^2*(a + b*sqrt(c*x^3))^(5//2))/(5*b^4*c^2) - (4*a*(a + b*sqrt(c*x^3))^(7//2))/(7*b^4*c^2) + (4*(a + b*sqrt(c*x^3))^(9//2))/(27*b^4*c^2), x, 4),
+(x^2*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)), -((4*a*(a + b*sqrt(c*x^3))^(3//2))/(9*b^2*c)) + (4*(a + b*sqrt(c*x^3))^(5//2))/(15*b^2*c), x, 4),
+(sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))/x^1, (4//3)*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)) - (4//3)*sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))/sqrt(a)), x, 5),
+(sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))/x^4, -(sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))/(3*x^3)) - (b*c*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)))/(6*a*sqrt(c*x^3)) + (b^2*c*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))/sqrt(a)))/(6*a^(3//2)), x, 6),
+
+(x^1*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)), (4//11)*x^2*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)) + (12*a*x^2*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)))/(55*b*sqrt(c*x^3)) - (8*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^2*(a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c^(1//3)*x - (a^(1//3)*b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(55*b^(4//3)*c^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))^2)*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))), x, 5),
+(sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))/x^2, -(sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))/x) + (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(2//3)*c^(1//3)*(a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c^(1//3)*x - (a^(1//3)*b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))^2)*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))), x, 4),
+(sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))/x^5, -(sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))/(4*x^4)) + (21*b^2*c*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)))/(160*a^2*x) - (3*b*c^3*x^5*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)))/(40*a*(c*x^3)^(5//2)) + (7*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(8//3)*c^(4//3)*(a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c^(1//3)*x - (a^(1//3)*b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(160*a^2*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))^2)*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))), x, 6),
+
+(x^3*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)), -((120*a^2*x*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)))/(1729*b^2*c)) + (4//19)*x^4*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)) + (12*a*x*sqrt(c*x^3)*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)))/(247*b*c) + (480*a^3*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)))/(1729*b^(8//3)*c^(4//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))) - (240*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(10//3)*(a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c^(1//3)*x - (a^(1//3)*b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*b^(8//3)*c^(4//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))^2)*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))) + (160*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(10//3)*(a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c^(1//3)*x - (a^(1//3)*b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*b^(8//3)*c^(4//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))^2)*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))), x, 8),
+(x^0*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)), (4//7)*x*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)) + (12*a*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)))/(7*b^(2//3)*c^(1//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))) - (6*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*(a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c^(1//3)*x - (a^(1//3)*b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(2//3)*c^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))^2)*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))) + (4*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(4//3)*(a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c^(1//3)*x - (a^(1//3)*b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(2//3)*c^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))^2)*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))), x, 6),
+(sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))/x^3, -(sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))/(2*x^2)) - (3*b*c*x*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)))/(4*a*sqrt(c*x^3)) + (3*b^(4//3)*c^(2//3)*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3)))/(4*a*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(4//3)*c^(2//3)*(a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c^(1//3)*x - (a^(1//3)*b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(8*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))^2)*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))) + (3^(3//4)*b^(4//3)*c^(2//3)*(a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c^(1//3)*x - (a^(1//3)*b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt(2)*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + (b^(1//3)*c^(2//3)*x^2)/sqrt(c*x^3))^2)*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))), x, 7),
+
+
+(x^17*sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2)), -((4*a^3*(a + b*(c*x^3)^(3//2))^(3//2))/(27*b^4*c^6)) + (4*a^2*(a + b*(c*x^3)^(3//2))^(5//2))/(15*b^4*c^6) - (4*a*(a + b*(c*x^3)^(3//2))^(7//2))/(21*b^4*c^6) + (4*(a + b*(c*x^3)^(3//2))^(9//2))/(81*b^4*c^6), x, 4),
+(x^8*sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2)), -((4*a*(a + b*(c*x^3)^(3//2))^(3//2))/(27*b^2*c^3)) + (4*(a + b*(c*x^3)^(3//2))^(5//2))/(45*b^2*c^3), x, 4),
+(sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2))/x^1, (4//9)*sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2)) - (4//9)*sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2))/sqrt(a)), x, 5),
+# {Sqrt[a + b*(c*x^3)^(3/2)]/x^10, x, 6, -(Sqrt[a + b*(c*x^3)^(3/2)]/(9*x^9)) - (b*c^3*Sqrt[a + b*(c*x^3)^(3/2)])/(18*a*(c*x^3)^(3/2)) + (b^2*c^3*ArcTanh[Sqrt[a + b*(c*x^3)^(3/2)]/Sqrt[a]])/(18*a^(3/2)), -(Sqrt[a + b*(c*x^3)^(3/2)]/(9*x^9)) - (b*c^6*x^9*Sqrt[a + b*(c*x^3)^(3/2)])/(18*a*(c*x^3)^(9/2)) + (b^2*c^3*ArcTanh[Sqrt[a + b*(c*x^3)^(3/2)]/Sqrt[a]])/(18*a^(3/2))}
+
+(x^2*sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2)), (4//21)*x^3*sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2)) + (4*a*sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2)))/(7*b^(2//3)*c*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^3))) - (2*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^3))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c*x^3 - a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(2//3)*c*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^3)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^3))^2)*sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2))) + (4*sqrt(2)*a^(4//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^3))*sqrt((a^(2//3) + b^(2//3)*c*x^3 - a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*3^(1//4)*b^(2//3)*c*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^3)))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*sqrt(c*x^3))^2)*sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2))), x, 7),
+
+(x^9*sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2)), -((792*a^2*x*sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2)))/(19747*b^2*c^3)) + (4//49)*x^10*sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2)) + (36*a*x*(c*x^3)^(3//2)*sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2)))/(1519*b*c^3) + (792*a^3*x*sqrt(1 + (b*(c*x^3)^(3//2))/a)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2//9, 1//2, 11//9, -((b*(c*x^3)^(3//2))/a)))/(19747*b^2*c^3*sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2))), x, 7),
+(x^0*sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2)), (4//13)*x*sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2)) + (9*a*x*sqrt(1 + (b*(c*x^3)^(3//2))/a)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2//9, 1//2, 11//9, -((b*(c*x^3)^(3//2))/a)))/(13*sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2))), x, 5),
+# {Sqrt[a + b*(c*x^3)^(3/2)]/x^9, x, 6, -(Sqrt[a + b*(c*x^3)^(3/2)]/(8*x^8)) - (9*b*c^3*x*Sqrt[a + b*(c*x^3)^(3/2)])/(112*a*(c*x^3)^(3/2)) - (45*b^2*c^3*x*Sqrt[1 + (b*(c*x^3)^(3/2))/a]*Hypergeometric2F1[2/9, 1/2, 11/9, -((b*(c*x^3)^(3/2))/a)])/(448*a*Sqrt[a + b*(c*x^3)^(3/2)]), -(Sqrt[a + b*(c*x^3)^(3/2)]/(8*x^8)) - (9*b*c^5*x^7*Sqrt[a + b*(c*x^3)^(3/2)])/(112*a*(c*x^3)^(7/2)) - (45*b^2*c^3*x*Sqrt[1 + (b*(c*x^3)^(3/2))/a]*Hypergeometric2F1[2/9, 1/2, 11/9, -((b*(c*x^3)^(3/2))/a)])/(448*a*Sqrt[a + b*(c*x^3)^(3/2)])}
+
+
+
+# ::Subsubsection::
+# n<0
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b (c x^3)^(n/2))^p with m symbolic
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+
+((d*x)^m*sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2)), (x*(d*x)^m*sqrt(a + b*(c*x^3)^(3//2))*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (2*(1 + m))/9, 1 + (2*(1 + m))/9, -((b*(c*x^3)^(3//2))/a)))/((1 + m)*sqrt(1 + (b*(c*x^3)^(3//2))/a)), x, 5),
+((d*x)^m*sqrt(a + b*(c*x^3)^(1//2)), (x*(d*x)^m*sqrt(a + b*sqrt(c*x^3))*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (2*(1 + m))/3, (1//3)*(5 + 2*m), -((b*sqrt(c*x^3))/a)))/((1 + m)*sqrt(1 + (b*sqrt(c*x^3))/a)), x, 5),
+((d*x)^m*sqrt(a + b/(c*x^3)^(1//2)), (x*(d*x)^m*sqrt(a + b/sqrt(c*x^3))*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (-(2//3))*(1 + m), (1//3)*(1 - 2*m), -(b/(a*sqrt(c*x^3)))))/((1 + m)*sqrt(1 + b/(a*sqrt(c*x^3)))), x, 6),
+((d*x)^m*sqrt(a + b/(c*x^3)^(3//2)), (x*(d*x)^m*sqrt(a + (b*c^3*x^9)/(c*x^3)^(9//2))*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (-(2//9))*(1 + m), (1//9)*(7 - 2*m), -((b*c^3*x^9)/(a*(c*x^3)^(9//2)))))/((1 + m)*sqrt(1 + (b*c^3*x^9)/(a*(c*x^3)^(9//2)))), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b (c x^-1)^n)^p
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b (c /x)^(n/2))^(1/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
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+
+# {x^1*Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]], x, 8, (b*c^2*Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]])/(12*a*(c/x)^(3/2)) + (5*b^3*c^2*Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]])/(32*a^3*Sqrt[c/x]) - (5*b^2*c*Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]]*x)/(48*a^2) + (1/2)*Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]]*x^2 - (5*b^4*c^2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]]/Sqrt[a]])/(32*a^(7/2)), (5*b^3*c^2*Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]])/(32*a^3*Sqrt[c/x]) - (5*b^2*c*Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]]*x)/(48*a^2) + (1/2)*Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]]*x^2 + (b*Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]]*(c/x)^(3/2)*x^3)/(12*a*c) - (5*b^4*c^2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]]/Sqrt[a]])/(32*a^(7/2))}
+(x^0*sqrt(a + b*sqrt(c/x)), (b*c*sqrt(a + b*sqrt(c/x)))/(2*a*sqrt(c/x)) + sqrt(a + b*sqrt(c/x))*x - (b^2*c*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c/x))/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)), x, 6),
+(sqrt(a + b*sqrt(c/x))/x^1, -4*sqrt(a + b*sqrt(c/x)) + 4*sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c/x))/sqrt(a)), x, 5),
+(sqrt(a + b*sqrt(c/x))/x^2, (4*a*(a + b*sqrt(c/x))^(3//2))/(3*b^2*c) - (4*(a + b*sqrt(c/x))^(5//2))/(5*b^2*c), x, 4),
+(sqrt(a + b*sqrt(c/x))/x^3, (4*a^3*(a + b*sqrt(c/x))^(3//2))/(3*b^4*c^2) - (12*a^2*(a + b*sqrt(c/x))^(5//2))/(5*b^4*c^2) + (12*a*(a + b*sqrt(c/x))^(7//2))/(7*b^4*c^2) - (4*(a + b*sqrt(c/x))^(9//2))/(9*b^4*c^2), x, 4),
+(sqrt(a + b*sqrt(c/x))/x^4, (4*a^5*(a + b*sqrt(c/x))^(3//2))/(3*b^6*c^3) - (4*a^4*(a + b*sqrt(c/x))^(5//2))/(b^6*c^3) + (40*a^3*(a + b*sqrt(c/x))^(7//2))/(7*b^6*c^3) - (40*a^2*(a + b*sqrt(c/x))^(9//2))/(9*b^6*c^3) + (20*a*(a + b*sqrt(c/x))^(11//2))/(11*b^6*c^3) - (4*(a + b*sqrt(c/x))^(13//2))/(13*b^6*c^3), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# n<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b (c /x)^(n/2))^(-1/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+# {x^1/Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]], x, 8, -((7*b*c^2*Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]])/(12*a^2*(c/x)^(3/2))) - (35*b^3*c^2*Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]])/(32*a^4*Sqrt[c/x]) + (35*b^2*c*Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]]*x)/(48*a^3) + (Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]]*x^2)/(2*a) + (35*b^4*c^2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]]/Sqrt[a]])/(32*a^(9/2)), -((35*b^3*c^2*Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]])/(32*a^4*Sqrt[c/x])) + (35*b^2*c*Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]]*x)/(48*a^3) + (Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]]*x^2)/(2*a) - (7*b*Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]]*(c/x)^(3/2)*x^3)/(12*a^2*c) + (35*b^4*c^2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]]/Sqrt[a]])/(32*a^(9/2))}
+(x^0/sqrt(a + b*sqrt(c/x)), -((3*b*c*sqrt(a + b*sqrt(c/x)))/(2*a^2*sqrt(c/x))) + (sqrt(a + b*sqrt(c/x))*x)/a + (3*b^2*c*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c/x))/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)), x, 6),
+(1/(x^1*sqrt(a + b*sqrt(c/x))), (4*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c/x))/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 4),
+(1/(x^2*sqrt(a + b*sqrt(c/x))), (4*a*sqrt(a + b*sqrt(c/x)))/(b^2*c) - (4*(a + b*sqrt(c/x))^(3//2))/(3*b^2*c), x, 4),
+(1/(x^3*sqrt(a + b*sqrt(c/x))), (4*a^3*sqrt(a + b*sqrt(c/x)))/(b^4*c^2) - (4*a^2*(a + b*sqrt(c/x))^(3//2))/(b^4*c^2) + (12*a*(a + b*sqrt(c/x))^(5//2))/(5*b^4*c^2) - (4*(a + b*sqrt(c/x))^(7//2))/(7*b^4*c^2), x, 4),
+(1/(x^4*sqrt(a + b*sqrt(c/x))), (4*a^5*sqrt(a + b*sqrt(c/x)))/(b^6*c^3) - (20*a^4*(a + b*sqrt(c/x))^(3//2))/(3*b^6*c^3) + (8*a^3*(a + b*sqrt(c/x))^(5//2))/(b^6*c^3) - (40*a^2*(a + b*sqrt(c/x))^(7//2))/(7*b^6*c^3) + (20*a*(a + b*sqrt(c/x))^(9//2))/(9*b^6*c^3) - (4*(a + b*sqrt(c/x))^(11//2))/(11*b^6*c^3), x, 4),
+
+
+(1/sqrt(1 + sqrt(1/x)), -((3*sqrt(1 + sqrt(1/x)))/(2*sqrt(1/x))) + sqrt(1 + sqrt(1/x))*x + (3//2)*atanh(sqrt(1 + sqrt(1/x))), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# n<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b (c x^-1)^(n/2))^(p/2) with m symbolic
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d*x)^m*sqrt(a + b*(c/x)^(3//2)), (sqrt(a + (b*c^3)/((c/x)^(3//2)*x^3))*x*(d*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (-(2//3))*(1 + m), (1//3)*(1 - 2*m), -((b*c^3)/(a*(c/x)^(3//2)*x^3))))/((1 + m)*sqrt(1 + (b*c^3)/(a*(c/x)^(3//2)*x^3))), x, 6),
+# {(d*x)^m*Sqrt[a + b*(c/x)^(1/2)], x, 6, (4*(a + b*Sqrt[c/x])^(3/2)*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 - 4*m), 5/2, (a + b*Sqrt[c/x])/a])/(3*a), (4*b^2*c*(a + b*Sqrt[c/x])^(3/2)*(-((b*Sqrt[c/x])/a))^(2*m)*(d*x)^m*Hypergeometric2F1[3/2, 3 + 2*m, 5/2, 1 + (b*Sqrt[c/x])/a])/(3*a^3)}
+((d*x)^m*sqrt(a + b/(c/x)^(1//2)), -((4*a*c*(a + b/sqrt(c/x))^(3//2)*(d*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -1 - 2*m, 5//2, 1 + b/(a*sqrt(c/x))))/((-(b/(a*sqrt(c/x))))^(2*m)*(3*b^2))), x, 5),
+((d*x)^m*sqrt(a + b/(c/x)^(3//2)), (x*(d*x)^m*sqrt(a + (b*(c/x)^(3//2)*x^3)/c^3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (2*(1 + m))/3, (1//3)*(5 + 2*m), -((b*(c/x)^(3//2)*x^3)/(a*c^3))))/((1 + m)*sqrt(1 + (b*(c/x)^(3//2)*x^3)/(a*c^3))), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d*x)^m/sqrt(a + b*(c/x)^(3//2)), (sqrt(1 + (b*c^3)/(a*(c/x)^(3//2)*x^3))*x*(d*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (-(2//3))*(1 + m), (1//3)*(1 - 2*m), -((b*c^3)/(a*(c/x)^(3//2)*x^3))))/((1 + m)*sqrt(a + (b*c^3)/((c/x)^(3//2)*x^3))), x, 6),
+# {(d*x)^m/Sqrt[a + b*(c/x)^(1/2)], x, 6, (4*Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]]*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-3 - 4*m), 3/2, (a + b*Sqrt[c/x])/a])/a, (4*b^2*c*Sqrt[a + b*Sqrt[c/x]]*(-((b*Sqrt[c/x])/a))^(2*m)*(d*x)^m*Hypergeometric2F1[1/2, 3 + 2*m, 3/2, 1 + (b*Sqrt[c/x])/a])/a^3}
+((d*x)^m/sqrt(a + b/(c/x)^(1//2)), -((4*a*c*sqrt(a + b/sqrt(c/x))*(d*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -1 - 2*m, 3//2, 1 + b/(a*sqrt(c/x))))/((-(b/(a*sqrt(c/x))))^(2*m)*b^2)), x, 5),
+((d*x)^m/sqrt(a + b/(c/x)^(3//2)), (x*(d*x)^m*sqrt(1 + (b*(c/x)^(3//2)*x^3)/(a*c^3))*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (2*(1 + m))/3, (1//3)*(5 + 2*m), -((b*(c/x)^(3//2)*x^3)/(a*c^3))))/((1 + m)*sqrt(a + (b*(c/x)^(3//2)*x^3)/c^3)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b (c x^q)^n)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b (c x^n)^(1/n))^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*(c*x^n)^(1/n)), a*x + (1//2)*b*x*(c*x^n)^(1/n), x, 3),
+
+
+((a + b*(c*x^n)^(1/n))^2, (x*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^3)/((c*x^n)^n^(-1)*(3*b)), x, 2),
+
+
+((a + b*(c*x^n)^(1/n))^3, (x*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^4)/((c*x^n)^n^(-1)*(4*b)), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^3/(a + b*(c*x^n)^(1/n)), (a^2*x^4)/((c*x^n)^(3/n)*b^3) - (a*x^4)/((c*x^n)^(2/n)*(2*b^2)) + x^4/((c*x^n)^n^(-1)*(3*b)) - (a^3*x^4*log(a + b*(c*x^n)^(1/n)))/((c*x^n)^(4/n)*b^4), x, 3),
+(x^2/(a + b*(c*x^n)^(1/n)), -((a*x^3)/((c*x^n)^(2/n)*b^2)) + x^3/((c*x^n)^n^(-1)*(2*b)) + (a^2*x^3*log(a + b*(c*x^n)^(1/n)))/((c*x^n)^(3/n)*b^3), x, 3),
+(x^1/(a + b*(c*x^n)^(1/n)), x^2/((c*x^n)^n^(-1)*b) - (a*x^2*log(a + b*(c*x^n)^(1/n)))/((c*x^n)^(2/n)*b^2), x, 3),
+(x^0/(a + b*(c*x^n)^(1/n)), (x*log(a + b*(c*x^n)^(1/n)))/((c*x^n)^n^(-1)*b), x, 2),
+(1/(x^1*(a + b*(c*x^n)^(1/n))), log(x)/a - log(a + b*(c*x^n)^(1/n))/a, x, 4),
+(1/(x^2*(a + b*(c*x^n)^(1/n))), -(1/(a*x)) - (b*(c*x^n)^(1/n)*log(x))/(a^2*x) + (b*(c*x^n)^(1/n)*log(a + b*(c*x^n)^(1/n)))/(a^2*x), x, 3),
+(1/(x^3*(a + b*(c*x^n)^(1/n))), -(1/(2*a*x^2)) + (b*(c*x^n)^(1/n))/(a^2*x^2) + (b^2*(c*x^n)^(2/n)*log(x))/(a^3*x^2) - (b^2*(c*x^n)^(2/n)*log(a + b*(c*x^n)^(1/n)))/(a^3*x^2), x, 3),
+
+
+(x^3/(a + b*(c*x^n)^(1/n))^2, -((2*a*x^4)/((c*x^n)^(3/n)*b^3)) + x^4/((c*x^n)^(2/n)*(2*b^2)) + (a^3*x^4)/((c*x^n)^(4/n)*(b^4*(a + b*(c*x^n)^(1/n)))) + (3*a^2*x^4*log(a + b*(c*x^n)^(1/n)))/((c*x^n)^(4/n)*b^4), x, 3),
+(x^2/(a + b*(c*x^n)^(1/n))^2, x^3/((c*x^n)^(2/n)*b^2) - (a^2*x^3)/((c*x^n)^(3/n)*(b^3*(a + b*(c*x^n)^(1/n)))) - (2*a*x^3*log(a + b*(c*x^n)^(1/n)))/((c*x^n)^(3/n)*b^3), x, 3),
+(x^1/(a + b*(c*x^n)^(1/n))^2, (a*x^2)/((c*x^n)^(2/n)*(b^2*(a + b*(c*x^n)^(1/n)))) + (x^2*log(a + b*(c*x^n)^(1/n)))/((c*x^n)^(2/n)*b^2), x, 3),
+# {x^0/(a + b*(c*x^n)^(1/n))^2, x, 2, x/(a^2 + a*b*(c*x^n)^(1/n)), -(x/((c*x^n)^n^(-1)*(b*(a + b*(c*x^n)^(1/n)))))}
+(1/(x^1*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^2), 1/(a*(a + b*(c*x^n)^(1/n))) + log(x)/a^2 - log(a + b*(c*x^n)^(1/n))/a^2, x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^2), -(1/(a^2*x)) - (b*(c*x^n)^(1/n))/(a^2*x*(a + b*(c*x^n)^(1/n))) - (2*b*(c*x^n)^(1/n)*log(x))/(a^3*x) + (2*b*(c*x^n)^(1/n)*log(a + b*(c*x^n)^(1/n)))/(a^3*x), x, 3),
+(1/(x^3*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^2), -(1/(2*a^2*x^2)) + (2*b*(c*x^n)^(1/n))/(a^3*x^2) + (b^2*(c*x^n)^(2/n))/(a^3*x^2*(a + b*(c*x^n)^(1/n))) + (3*b^2*(c*x^n)^(2/n)*log(x))/(a^4*x^2) - (3*b^2*(c*x^n)^(2/n)*log(a + b*(c*x^n)^(1/n)))/(a^4*x^2), x, 3),
+
+
+(1/(a + b*(c*x^n)^(1/n))^3, -(x/((c*x^n)^n^(-1)*(2*b*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^2))), x, 2),
+
+
+(x/(1 + (x^n)^(1/n))^2, x^2/((x^n)^(2/n)*(1 + (x^n)^(1/n))) + (x^2*log(1 + (x^n)^(1/n)))/(x^n)^(2/n), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p symbolic
+
+
+(x^3*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^p, -((a^3*x^4*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^(1 + p))/((c*x^n)^(4/n)*(b^4*(1 + p)))) + (3*a^2*x^4*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^(2 + p))/((c*x^n)^(4/n)*(b^4*(2 + p))) - (3*a*x^4*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^(3 + p))/((c*x^n)^(4/n)*(b^4*(3 + p))) + (x^4*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^(4 + p))/((c*x^n)^(4/n)*(b^4*(4 + p))), x, 3),
+(x^2*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^p, (a^2*x^3*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^(1 + p))/((c*x^n)^(3/n)*(b^3*(1 + p))) - (2*a*x^3*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^(2 + p))/((c*x^n)^(3/n)*(b^3*(2 + p))) + (x^3*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^(3 + p))/((c*x^n)^(3/n)*(b^3*(3 + p))), x, 3),
+(x^1*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^p, -((a*x^2*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^(1 + p))/((c*x^n)^(2/n)*(b^2*(1 + p)))) + (x^2*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^(2 + p))/((c*x^n)^(2/n)*(b^2*(2 + p))), x, 3),
+(x^0*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^p, (x*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^(1 + p))/((c*x^n)^n^(-1)*(b*(1 + p))), x, 2),
+((a + b*(c*x^n)^(1/n))^p/x^1, -(((a + b*(c*x^n)^(1/n))^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*(c*x^n)^(1/n))/a))/(a*(1 + p))), x, 2),
+((a + b*(c*x^n)^(1/n))^p/x^2, (b*(c*x^n)^(1/n)*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*(c*x^n)^(1/n))/a))/(a^2*(1 + p)*x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b (c x^n)^(2/n))^p
+
+
+((a + b*(c*x^n)^(2/n))^3, a^3*x + a^2*b*x*(c*x^n)^(2/n) + (3//5)*a*b^2*x*(c*x^n)^(4/n) + (1//7)*b^3*x*(c*x^n)^(6/n), x, 3),
+((a + b*(c*x^n)^(2/n))^2, a^2*x + (2//3)*a*b*x*(c*x^n)^(2/n) + (1//5)*b^2*x*(c*x^n)^(4/n), x, 3),
+((a + b*(c*x^n)^(2/n)), a*x + (1//3)*b*x*(c*x^n)^(2/n), x, 3),
+(1/(a + b*(c*x^n)^(2/n)), (x*atan((sqrt(b)*(c*x^n)^(1/n))/sqrt(a)))/((c*x^n)^n^(-1)*(sqrt(a)*sqrt(b))), x, 2),
+(1/(a + b*(c*x^n)^(2/n))^2, x/(2*a*(a + b*(c*x^n)^(2/n))) + (x*atan((sqrt(b)*(c*x^n)^(1/n))/sqrt(a)))/((c*x^n)^n^(-1)*(2*a^(3//2)*sqrt(b))), x, 3),
+(1/(a + b*(c*x^n)^(2/n))^3, x/(4*a*(a + b*(c*x^n)^(2/n))^2) + (3*x)/(8*a^2*(a + b*(c*x^n)^(2/n))) + (3*x*atan((sqrt(b)*(c*x^n)^(1/n))/sqrt(a)))/((c*x^n)^n^(-1)*(8*a^(5//2)*sqrt(b))), x, 4),
+
+
+(1/(1 + 4*sqrt(x^4)), (x*atan(2*(x^4)^(1//4)))/(2*(x^4)^(1//4)), x, 2),
+(1/(1 - 4*sqrt(x^4)), (x*atanh(2*(x^4)^(1//4)))/(2*(x^4)^(1//4)), x, 2),
+
+(1/(1 + 4*(x^6)^(1//3)), (x*atan(2*(x^6)^(1//6)))/(2*(x^6)^(1//6)), x, 2),
+(1/(1 - 4*(x^6)^(1//3)), (x*atanh(2*(x^6)^(1//6)))/(2*(x^6)^(1//6)), x, 2),
+
+(1/(1 + 4*(x^(2*n))^(1/n)), ((1//2)*x*atan(2*(x^(2*n))^(1/(2*n))))/(x^(2*n))^(1/(2*n)), x, 2),
+(1/(1 - 4*(x^(2*n))^(1/n)), ((1//2)*x*atanh(2*(x^(2*n))^(1/(2*n))))/(x^(2*n))^(1/(2*n)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b (c x^n)^(3/n))^p
+
+
+((a + b*(c*x^n)^(3/n))^3, a^3*x + (3//4)*a^2*b*x*(c*x^n)^(3/n) + (3//7)*a*b^2*x*(c*x^n)^(6/n) + (1//10)*b^3*x*(c*x^n)^(9/n), x, 3),
+((a + b*(c*x^n)^(3/n))^2, a^2*x + (1//2)*a*b*x*(c*x^n)^(3/n) + (1//7)*b^2*x*(c*x^n)^(6/n), x, 3),
+((a + b*(c*x^n)^(3/n)), a*x + (1//4)*b*x*(c*x^n)^(3/n), x, 3),
+(1/(a + b*(c*x^n)^(3/n)), -((x*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c*x^n)^(1/n))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/((c*x^n)^(1/n)*(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(1//3)))) + (x*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c*x^n)^(1/n)))/((c*x^n)^(1/n)*(3*a^(2//3)*b^(1//3))) - (x*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c*x^n)^(1/n) + b^(2//3)*(c*x^n)^(2/n)))/((c*x^n)^(1/n)*(6*a^(2//3)*b^(1//3))), x, 7),
+(1/(a + b*(c*x^n)^(3/n))^2, x/(3*a*(a + b*(c*x^n)^(3/n))) - (2*x*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c*x^n)^(1/n))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/((c*x^n)^n^(-1)*(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(1//3))) + (2*x*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c*x^n)^(1/n)))/((c*x^n)^n^(-1)*(9*a^(5//3)*b^(1//3))) - (x*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c*x^n)^(1/n) + b^(2//3)*(c*x^n)^(2/n)))/((c*x^n)^n^(-1)*(9*a^(5//3)*b^(1//3))), x, 8),
+(1/(a + b*(c*x^n)^(3/n))^3, x/(6*a*(a + b*(c*x^n)^(3/n))^2) + (5*x)/(18*a^2*(a + b*(c*x^n)^(3/n))) - (5*x*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c*x^n)^(1/n))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/((c*x^n)^n^(-1)*(9*sqrt(3)*a^(8//3)*b^(1//3))) + (5*x*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c*x^n)^(1/n)))/((c*x^n)^n^(-1)*(27*a^(8//3)*b^(1//3))) - (5*x*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c*x^n)^(1/n) + b^(2//3)*(c*x^n)^(2/n)))/((c*x^n)^n^(-1)*(54*a^(8//3)*b^(1//3))), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b (c x^q)^n)^p with n, p and q symbolic
+
+
+((d*x)^m*(a + b*(c*x^q)^n)^p, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*(c*x^q)^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, (1 + m)/(n*q), 1 + (1 + m)/(n*q), -((b*(c*x^q)^n)/a)))/((1 + (b*(c*x^q)^n)/a)^p*(d*(1 + m))), x, 3),
+
+
+(x^2*(a + b*(c*x^q)^n)^p, ((1//3)*x^3*(a + b*(c*x^q)^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 3/(n*q), 1 + 3/(n*q), -((b*(c*x^q)^n)/a)))/(1 + (b*(c*x^q)^n)/a)^p, x, 3),
+(x^1*(a + b*(c*x^q)^n)^p, ((1//2)*x^2*(a + b*(c*x^q)^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 2/(n*q), 1 + 2/(n*q), -((b*(c*x^q)^n)/a)))/(1 + (b*(c*x^q)^n)/a)^p, x, 3),
+(x^0*(a + b*(c*x^q)^n)^p, (x*(a + b*(c*x^q)^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1/(n*q), 1 + 1/(n*q), -((b*(c*x^q)^n)/a)))/(1 + (b*(c*x^q)^n)/a)^p, x, 3),
+((a + b*(c*x^q)^n)^p/x^1, -(((a + b*(c*x^q)^n)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*(c*x^q)^n)/a))/(a*n*(1 + p)*q)), x, 3),
+((a + b*(c*x^q)^n)^p/x^2, -(((a + b*(c*x^q)^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, -(1/(n*q)), 1 - 1/(n*q), -((b*(c*x^q)^n)/a)))/((1 + (b*(c*x^q)^n)/a)^p*x)), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b (d/x)^n+c (d/x)^(2n))^p
+
+
+(x^m*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x), (sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.appell_f1(-2*(1 + m), -(1//2), -(1//2), -1 - 2*m, -((2*c*sqrt(d/x))/(sqrt(d)*(b*sqrt(d) - sqrt(-4*a*c + b^2*d)))), -((2*c*sqrt(d/x))/(sqrt(d)*(b*sqrt(d) + sqrt(-4*a*c + b^2*d))))))/((1 + m)*sqrt(1 + (2*c*sqrt(d/x))/(sqrt(d)*(b*sqrt(d) - sqrt(-4*a*c + b^2*d))))*sqrt(1 + (2*c*sqrt(d/x))/(sqrt(d)*(b*sqrt(d) + sqrt(-4*a*c + b^2*d))))), x, 4),
+
+(x^2*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x), -((3*b*d^3*(a + b*sqrt(d/x) + c/x)^(3//2))/(10*a^2*(d/x)^(5//2))) + (7*b*d^2*(28*a*c - 15*b^2*d)*(a + b*sqrt(d/x) + c/x)^(3//2))/(480*a^4*(d/x)^(3//2)) + ((16*a^2*c^2 - 56*a*b^2*c*d + 21*b^4*d^2)*(2*a + b*sqrt(d/x))*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)*x)/(256*a^5) - ((20*a*c - 21*b^2*d)*(a + b*sqrt(d/x) + c/x)^(3//2)*x^2)/(80*a^3) + ((a + b*sqrt(d/x) + c/x)^(3//2)*x^3)/(3*a) + ((4*a*c - b^2*d)*(16*a^2*c^2 - 56*a*b^2*c*d + 21*b^4*d^2)*atanh((2*a + b*sqrt(d/x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))))/(512*a^(11//2)), x, 9),
+(x^1*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x), -((5*b*d^2*(a + b*sqrt(d/x) + c/x)^(3//2))/(12*a^2*(d/x)^(3//2))) - ((4*a*c - 5*b^2*d)*(2*a + b*sqrt(d/x))*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)*x)/(32*a^3) + ((a + b*sqrt(d/x) + c/x)^(3//2)*x^2)/(2*a) - ((4*a*c - 5*b^2*d)*(4*a*c - b^2*d)*atanh((2*a + b*sqrt(d/x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))))/(64*a^(7//2)), x, 7),
+(x^0*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x), ((2*a + b*sqrt(d/x))*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)*x)/(2*a) + ((4*a*c - b^2*d)*atanh((2*a + b*sqrt(d/x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))))/(4*a^(3//2)), x, 5),
+(sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)/x^1, -2*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x) + 2*sqrt(a)*atanh((2*a + b*sqrt(d/x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))) - (b*sqrt(d)*atanh((b*d + 2*c*sqrt(d/x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))))/sqrt(c), x, 8),
+(sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)/x^2, (b*(b*d + 2*c*sqrt(d/x))*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))/(4*c^2) - (2*(a + b*sqrt(d/x) + c/x)^(3//2))/(3*c) + (b*sqrt(d)*(4*a*c - b^2*d)*atanh((b*d + 2*c*sqrt(d/x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))))/(8*c^(5//2)), x, 6),
+(sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)/x^3, -((b*(12*a*c - 7*b^2*d)*(b*d + 2*c*sqrt(d/x))*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))/(64*c^4)) + ((32*a*c - 35*b^2*d + 42*b*c*sqrt(d/x))*(a + b*sqrt(d/x) + c/x)^(3//2))/(120*c^3) - (2*(a + b*sqrt(d/x) + c/x)^(3//2))/(5*c*x) - (b*sqrt(d)*(12*a*c - 7*b^2*d)*(4*a*c - b^2*d)*atanh((b*d + 2*c*sqrt(d/x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))))/(128*c^(9//2)), x, 7),
+(sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)/x^4, (b*(80*a^2*c^2 - 120*a*b^2*c*d + 33*b^4*d^2)*(b*d + 2*c*sqrt(d/x))*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))/(512*c^6) - ((1024*a^2*c^2 - 3276*a*b^2*c*d + 1155*b^4*d^2 + 18*b*c*(148*a*c - 77*b^2*d)*sqrt(d/x))*(a + b*sqrt(d/x) + c/x)^(3//2))/(6720*c^5) + (11*b*(a + b*sqrt(d/x) + c/x)^(3//2)*(d/x)^(3//2))/(42*c^2*d) - (2*(a + b*sqrt(d/x) + c/x)^(3//2))/(7*c*x^2) + ((32*a*c - 33*b^2*d)*(a + b*sqrt(d/x) + c/x)^(3//2))/(140*c^3*x) + (b*sqrt(d)*(4*a*c - b^2*d)*(80*a^2*c^2 - 120*a*b^2*c*d + 33*b^4*d^2)*atanh((b*d + 2*c*sqrt(d/x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))))/(1024*c^(13//2)), x, 9),
+
+
+(x^m/sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x), (sqrt(1 + (2*c*sqrt(d/x))/(sqrt(d)*(b*sqrt(d) - sqrt(-4*a*c + b^2*d))))*sqrt(1 + (2*c*sqrt(d/x))/(sqrt(d)*(b*sqrt(d) + sqrt(-4*a*c + b^2*d))))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.appell_f1(-2*(1 + m), 1//2, 1//2, -1 - 2*m, -((2*c*sqrt(d/x))/(sqrt(d)*(b*sqrt(d) - sqrt(-4*a*c + b^2*d)))), -((2*c*sqrt(d/x))/(sqrt(d)*(b*sqrt(d) + sqrt(-4*a*c + b^2*d))))))/((1 + m)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)), x, 4),
+
+(x^2/sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x), -((11*b*d^3*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))/(30*a^2*(d/x)^(5//2))) + (b*d^2*(156*a*c - 77*b^2*d)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))/(160*a^4*(d/x)^(3//2)) - (7*b*d*(528*a^2*c^2 - 680*a*b^2*c*d + 165*b^4*d^2)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))/(1280*a^6*sqrt(d/x)) + ((400*a^2*c^2 - 1176*a*b^2*c*d + 385*b^4*d^2)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)*x)/(640*a^5) - ((100*a*c - 99*b^2*d)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)*x^2)/(240*a^3) + (sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)*x^3)/(3*a) - ((320*a^3*c^3 - 1680*a^2*b^2*c^2*d + 1260*a*b^4*c*d^2 - 231*b^6*d^3)*atanh((2*a + b*sqrt(d/x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))))/(512*a^(13//2)), x, 10),
+(x^1/sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x), -((7*b*d^2*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))/(12*a^2*(d/x)^(3//2))) + (5*b*d*(44*a*c - 21*b^2*d)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))/(96*a^4*sqrt(d/x)) - ((36*a*c - 35*b^2*d)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)*x)/(48*a^3) + (sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)*x^2)/(2*a) + ((48*a^2*c^2 - 120*a*b^2*c*d + 35*b^4*d^2)*atanh((2*a + b*sqrt(d/x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))))/(64*a^(9//2)), x, 8),
+(x^0/sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x), -((3*b*d*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))/(2*a^2*sqrt(d/x))) + (sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)*x)/a - ((4*a*c - 3*b^2*d)*atanh((2*a + b*sqrt(d/x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))))/(4*a^(5//2)), x, 6),
+(1/(x^1*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)), (2*atanh((2*a + b*sqrt(d/x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))))/sqrt(a), x, 4),
+(1/(x^2*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)), -((2*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))/c) + (b*sqrt(d)*atanh((b*d + 2*c*sqrt(d/x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))))/c^(3//2), x, 5),
+(1/(x^3*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)), ((16*a*c - 15*b^2*d + 10*b*c*sqrt(d/x))*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))/(12*c^3) - (2*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))/(3*c*x) - (b*sqrt(d)*(12*a*c - 5*b^2*d)*atanh((b*d + 2*c*sqrt(d/x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))))/(8*c^(7//2)), x, 6),
+(1/(x^4*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)), -(((1024*a^2*c^2 - 2940*a*b^2*c*d + 945*b^4*d^2 + 14*b*c*(92*a*c - 45*b^2*d)*sqrt(d/x))*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))/(960*c^5)) + (9*b*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x)*(d/x)^(3//2))/(20*c^2*d) - (2*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))/(5*c*x^2) + ((64*a*c - 63*b^2*d)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))/(120*c^3*x) + (b*sqrt(d)*(240*a^2*c^2 - 280*a*b^2*c*d + 63*b^4*d^2)*atanh((b*d + 2*c*sqrt(d/x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a + b*sqrt(d/x) + c/x))))/(128*c^(11//2)), x, 8),
+
+
+(sqrt(sqrt(1/x) + 1/x), (4*(sqrt(1/x) + 1/x)^(3//2))/(3*(1/x)^(3//2)), x, 2),
+(sqrt(2 + sqrt(1/x) + 1/x), (1//4)*(4 + sqrt(1/x))*sqrt(2 + sqrt(1/x) + 1/x)*x + (7*atanh((4 + sqrt(1/x))/(2*sqrt(2)*sqrt(2 + sqrt(1/x) + 1/x))))/(8*sqrt(2)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x^n)^(1/n) (a+b (c x^n)^(m/n))^p
+
+
+((c*x^n)^(1/n)*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^p, -((a*x*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^(1 + p))/((c*x^n)^n^(-1)*(b^2*(1 + p)))) + (x*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^(2 + p))/((c*x^n)^n^(-1)*(b^2*(2 + p))), x, 4),
+
+
+((c*x^n)^(1/n)*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^3, -((a*x*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^4)/((c*x^n)^n^(-1)*(4*b^2))) + (x*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^5)/((c*x^n)^n^(-1)*(5*b^2)), x, 4),
+((c*x^n)^(1/n)*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^2, (1//2)*a^2*x*(c*x^n)^(1/n) + (2//3)*a*b*x*(c*x^n)^(2/n) + (1//4)*b^2*x*(c*x^n)^(3/n), x, 4),
+((c*x^n)^(1/n)*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^1, (1//2)*a*x*(c*x^n)^(1/n) + (1//3)*b*x*(c*x^n)^(2/n), x, 5),
+((c*x^n)^(1/n)/(a + b*(c*x^n)^(1/n))^1, x/b - (a*x*log(a + b*(c*x^n)^(1/n)))/((c*x^n)^n^(-1)*b^2), x, 4),
+((c*x^n)^(1/n)/(a + b*(c*x^n)^(1/n))^2, (a*x)/((c*x^n)^n^(-1)*(b^2*(a + b*(c*x^n)^(1/n)))) + (x*log(a + b*(c*x^n)^(1/n)))/((c*x^n)^n^(-1)*b^2), x, 4),
+((c*x^n)^(1/n)/(a + b*(c*x^n)^(1/n))^3, (x*(c*x^n)^(1/n))/(2*a*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^2), x, 3),
+((c*x^n)^(1/n)/(a + b*(c*x^n)^(1/n))^4, (a*x)/((c*x^n)^n^(-1)*(3*b^2*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^3)) - x/((c*x^n)^n^(-1)*(2*b^2*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^2)), x, 4),
+((c*x^n)^(1/n)/(a + b*(c*x^n)^(1/n))^5, (a*x)/((c*x^n)^n^(-1)*(4*b^2*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^4)) - x/((c*x^n)^n^(-1)*(3*b^2*(a + b*(c*x^n)^(1/n))^3)), x, 4),
+]
+# Total integrals translated: 2971
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.3 (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.3 (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q.jl
new file mode 100644
index 00000000..84ce538a
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.3 (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q.jl	
@@ -0,0 +1,835 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q with integer n>2
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^3)^p (c+d x^3)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^3)^p (c+d x^3)^q
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*x^3)*(c + d*x^3)^4, a*c^4*x + (1//4)*c^3*(b*c + 4*a*d)*x^4 + (2//7)*c^2*d*(2*b*c + 3*a*d)*x^7 + (1//5)*c*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^10 + (1//13)*d^3*(4*b*c + a*d)*x^13 + (1//16)*b*d^4*x^16, x, 2),
+((a + b*x^3)*(c + d*x^3)^3, a*c^3*x + (1//4)*c^2*(b*c + 3*a*d)*x^4 + (3//7)*c*d*(b*c + a*d)*x^7 + (1//10)*d^2*(3*b*c + a*d)*x^10 + (1//13)*b*d^3*x^13, x, 2),
+((a + b*x^3)*(c + d*x^3)^2, a*c^2*x + (1//4)*c*(b*c + 2*a*d)*x^4 + (1//7)*d*(2*b*c + a*d)*x^7 + (1//10)*b*d^2*x^10, x, 2),
+((a + b*x^3)*(c + d*x^3)^1, a*c*x + (1//4)*(b*c + a*d)*x^4 + (1//7)*b*d*x^7, x, 2),
+((a + b*x^3)/(c + d*x^3)^1, (b*x)/d + ((b*c - a*d)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(sqrt(3)*c^(2//3)*d^(4//3)) - ((b*c - a*d)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(3*c^(2//3)*d^(4//3)) + ((b*c - a*d)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(6*c^(2//3)*d^(4//3)), x, 7),
+((a + b*x^3)/(c + d*x^3)^2, -(((b*c - a*d)*x)/(3*c*d*(c + d*x^3))) - ((b*c + 2*a*d)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(3*sqrt(3)*c^(5//3)*d^(4//3)) + ((b*c + 2*a*d)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(9*c^(5//3)*d^(4//3)) - ((b*c + 2*a*d)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(18*c^(5//3)*d^(4//3)), x, 7),
+((a + b*x^3)/(c + d*x^3)^3, -(((b*c - a*d)*x)/(6*c*d*(c + d*x^3)^2)) + ((b*c + 5*a*d)*x)/(18*c^2*d*(c + d*x^3)) - ((b*c + 5*a*d)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(9*sqrt(3)*c^(8//3)*d^(4//3)) + ((b*c + 5*a*d)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(27*c^(8//3)*d^(4//3)) - ((b*c + 5*a*d)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(54*c^(8//3)*d^(4//3)), x, 8),
+
+
+((a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^3, a^2*c^3*x + (1//4)*a*c^2*(2*b*c + 3*a*d)*x^4 + (1//7)*c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^7 + (1//10)*d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^10 + (1//13)*b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^13 + (1//16)*b^2*d^3*x^16, x, 2),
+((a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^2, a^2*c^2*x + (1//2)*a*c*(b*c + a*d)*x^4 + (1//7)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^7 + (1//5)*b*d*(b*c + a*d)*x^10 + (1//13)*b^2*d^2*x^13, x, 2),
+((a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^1, a^2*c*x + (1//4)*a*(2*b*c + a*d)*x^4 + (1//7)*b*(b*c + 2*a*d)*x^7 + (1//10)*b^2*d*x^10, x, 2),
+((a + b*x^3)^2/(c + d*x^3)^1, -((b*(b*c - 2*a*d)*x)/d^2) + (b^2*x^4)/(4*d) - ((b*c - a*d)^2*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(sqrt(3)*c^(2//3)*d^(7//3)) + ((b*c - a*d)^2*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(3*c^(2//3)*d^(7//3)) - ((b*c - a*d)^2*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(6*c^(2//3)*d^(7//3)), x, 8),
+((a + b*x^3)^2/(c + d*x^3)^2, (b^2*x)/d^2 + ((b*c - a*d)^2*x)/(3*c*d^2*(c + d*x^3)) + (2*(b*c - a*d)*(2*b*c + a*d)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(3*sqrt(3)*c^(5//3)*d^(7//3)) - (2*(b*c - a*d)*(2*b*c + a*d)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(9*c^(5//3)*d^(7//3)) + ((b*c - a*d)*(2*b*c + a*d)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(9*c^(5//3)*d^(7//3)), x, 9),
+((a + b*x^3)^2/(c + d*x^3)^3, -(((b*c - a*d)*x*(a + b*x^3))/(6*c*d*(c + d*x^3)^2)) - ((b*c - a*d)*(4*b*c + 5*a*d)*x)/(18*c^2*d^2*(c + d*x^3)) - ((2*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(9*sqrt(3)*c^(8//3)*d^(7//3)) + ((2*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(27*c^(8//3)*d^(7//3)) - ((2*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(54*c^(8//3)*d^(7//3)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/(a + b*x^3)*(c + d*x^3)^4, (d*(2*b*c - a*d)*(2*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*x)/b^4 + (d^2*(6*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^4)/(4*b^3) + (d^3*(4*b*c - a*d)*x^7)/(7*b^2) + (d^4*x^10)/(10*b) - ((b*c - a*d)^4*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(13//3)) + ((b*c - a*d)^4*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(2//3)*b^(13//3)) - ((b*c - a*d)^4*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(2//3)*b^(13//3)), x, 8),
+(1/(a + b*x^3)*(c + d*x^3)^3, (d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x)/b^3 + (d^2*(3*b*c - a*d)*x^4)/(4*b^2) + (d^3*x^7)/(7*b) - ((b*c - a*d)^3*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(10//3)) + ((b*c - a*d)^3*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(2//3)*b^(10//3)) - ((b*c - a*d)^3*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(2//3)*b^(10//3)), x, 8),
+(1/(a + b*x^3)*(c + d*x^3)^2, (d*(2*b*c - a*d)*x)/b^2 + (d^2*x^4)/(4*b) - ((b*c - a*d)^2*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(7//3)) + ((b*c - a*d)^2*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(2//3)*b^(7//3)) - ((b*c - a*d)^2*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(2//3)*b^(7//3)), x, 8),
+(1/(a + b*x^3)*(c + d*x^3)^1, (d*x)/b - ((b*c - a*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(4//3)) + ((b*c - a*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(2//3)*b^(4//3)) - ((b*c - a*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(2//3)*b^(4//3)), x, 7),
+(1/(a + b*x^3)/(c + d*x^3)^1, -((b^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*(b*c - a*d))) + (d^(2//3)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(sqrt(3)*c^(2//3)*(b*c - a*d)) + (b^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(2//3)*(b*c - a*d)) - (d^(2//3)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(3*c^(2//3)*(b*c - a*d)) - (b^(2//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(2//3)*(b*c - a*d)) + (d^(2//3)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(6*c^(2//3)*(b*c - a*d)), x, 13),
+(1/(a + b*x^3)/(c + d*x^3)^2, -((d*x)/(3*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^3))) - (b^(5//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*(b*c - a*d)^2) + (d^(2//3)*(5*b*c - 2*a*d)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(3*sqrt(3)*c^(5//3)*(b*c - a*d)^2) + (b^(5//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(2//3)*(b*c - a*d)^2) - (d^(2//3)*(5*b*c - 2*a*d)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(9*c^(5//3)*(b*c - a*d)^2) - (b^(5//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(2//3)*(b*c - a*d)^2) + (d^(2//3)*(5*b*c - 2*a*d)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(18*c^(5//3)*(b*c - a*d)^2), x, 14),
+
+
+(1/(a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^5, (d^2*(10*b^3*c^3 - 20*a*b^2*c^2*d + 15*a^2*b*c*d^2 - 4*a^3*d^3)*x)/b^5 + (d^3*(10*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^4)/(4*b^4) + (d^4*(5*b*c - 2*a*d)*x^7)/(7*b^3) + (d^5*x^10)/(10*b^2) + ((b*c - a*d)^5*x)/(3*a*b^5*(a + b*x^3)) - ((b*c - a*d)^4*(2*b*c + 13*a*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(16//3)) + ((b*c - a*d)^4*(2*b*c + 13*a*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(5//3)*b^(16//3)) - ((b*c - a*d)^4*(2*b*c + 13*a*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(5//3)*b^(16//3)), x, 9),
+(1/(a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^4, (d^2*(6*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x)/b^4 + (d^3*(2*b*c - a*d)*x^4)/(2*b^3) + (d^4*x^7)/(7*b^2) + ((b*c - a*d)^4*x)/(3*a*b^4*(a + b*x^3)) - (2*(b*c - a*d)^3*(b*c + 5*a*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(13//3)) + (2*(b*c - a*d)^3*(b*c + 5*a*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(5//3)*b^(13//3)) - ((b*c - a*d)^3*(b*c + 5*a*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(9*a^(5//3)*b^(13//3)), x, 9),
+(1/(a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^3, (d^2*(3*b*c - 2*a*d)*x)/b^3 + (d^3*x^4)/(4*b^2) + ((b*c - a*d)^3*x)/(3*a*b^3*(a + b*x^3)) - ((b*c - a*d)^2*(2*b*c + 7*a*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(10//3)) + ((b*c - a*d)^2*(2*b*c + 7*a*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(5//3)*b^(10//3)) - ((b*c - a*d)^2*(2*b*c + 7*a*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(5//3)*b^(10//3)), x, 9),
+(1/(a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^2, (d^2*x)/b^2 + ((b*c - a*d)^2*x)/(3*a*b^2*(a + b*x^3)) - (2*(b*c - a*d)*(b*c + 2*a*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(7//3)) + (2*(b*c - a*d)*(b*c + 2*a*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(5//3)*b^(7//3)) - ((b*c - a*d)*(b*c + 2*a*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(9*a^(5//3)*b^(7//3)), x, 9),
+(1/(a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^1, ((b*c - a*d)*x)/(3*a*b*(a + b*x^3)) - ((2*b*c + a*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(4//3)) + ((2*b*c + a*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(5//3)*b^(4//3)) - ((2*b*c + a*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(5//3)*b^(4//3)), x, 7),
+(1/(a + b*x^3)^2/(c + d*x^3)^1, (b*x)/(3*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)) - (b^(2//3)*(2*b*c - 5*a*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*(b*c - a*d)^2) - (d^(5//3)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(sqrt(3)*c^(2//3)*(b*c - a*d)^2) + (b^(2//3)*(2*b*c - 5*a*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(5//3)*(b*c - a*d)^2) + (d^(5//3)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(3*c^(2//3)*(b*c - a*d)^2) - (b^(2//3)*(2*b*c - 5*a*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(5//3)*(b*c - a*d)^2) - (d^(5//3)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(6*c^(2//3)*(b*c - a*d)^2), x, 14),
+(1/(a + b*x^3)^2/(c + d*x^3)^2, (d*(b*c + a*d)*x)/(3*a*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^3)) + (b*x)/(3*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)*(c + d*x^3)) - (2*b^(5//3)*(b*c - 4*a*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*(b*c - a*d)^3) - (2*d^(5//3)*(4*b*c - a*d)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(3*sqrt(3)*c^(5//3)*(b*c - a*d)^3) + (2*b^(5//3)*(b*c - 4*a*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(5//3)*(b*c - a*d)^3) + (2*d^(5//3)*(4*b*c - a*d)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(9*c^(5//3)*(b*c - a*d)^3) - (b^(5//3)*(b*c - 4*a*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(9*a^(5//3)*(b*c - a*d)^3) - (d^(5//3)*(4*b*c - a*d)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(9*c^(5//3)*(b*c - a*d)^3), x, 15),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^3)^(p/3) (c+d x^3)^q with b c+a d=0
+
+
+# ::Subsubsection::
+# q<0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+((a + b*x^3)^(2//3)*(a - b*x^3), (7//18)*a*x*(a + b*x^3)^(2//3) - (1//6)*x*(a + b*x^3)^(5//3) + (7*a^2*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*b^(1//3)) - (7*a^2*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*b^(1//3)), x, 3),
+((a - b*x^3)/(a + b*x^3)^(1//3), (-(1//3))*x*(a + b*x^3)^(2//3) + (4*a*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(1//3)) - (2*a*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(1//3)), x, 2),
+((a - b*x^3)/(a + b*x^3)^(4//3), (2*x)/(a + b*x^3)^(1//3) - atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*b^(1//3)) + log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3))/(2*b^(1//3)), x, 2),
+((a - b*x^3)/(a + b*x^3)^(7//3), (x*(a - b*x^3))/(4*a*(a + b*x^3)^(4//3)) + (3*x)/(4*a*(a + b*x^3)^(1//3)), x, 2),
+((a - b*x^3)/(a + b*x^3)^(10//3), (2*x)/(7*(a + b*x^3)^(7//3)) + (5*x)/(28*a*(a + b*x^3)^(4//3)) + (15*x)/(28*a^2*(a + b*x^3)^(1//3)), x, 3),
+((a - b*x^3)/(a + b*x^3)^(13//3), x/(5*(a + b*x^3)^(10//3)) + (4*x)/(35*a*(a + b*x^3)^(7//3)) + (6*x)/(35*a^2*(a + b*x^3)^(4//3)) + (18*x)/(35*a^3*(a + b*x^3)^(1//3)), x, 4),
+((a - b*x^3)/(a + b*x^3)^(16//3), (2*x)/(13*(a + b*x^3)^(13//3)) + (11*x)/(130*a*(a + b*x^3)^(10//3)) + (99*x)/(910*a^2*(a + b*x^3)^(7//3)) + (297*x)/(1820*a^3*(a + b*x^3)^(4//3)) + (891*x)/(1820*a^4*(a + b*x^3)^(1//3)), x, 5),
+
+((a + b*x^3)^(7//3)/(a - b*x^3), (-(7//5))*a*x*(a + b*x^3)^(1//3) - (1//5)*x*(a + b*x^3)^(4//3) - (4*2^(1//3)*a^(5//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(1//3)) - (2*2^(1//3)*a^(5//3)*atan((1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(1//3)) - (7*a^2*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(5*(a + b*x^3)^(2//3)) - (2*2^(1//3)*a^(5//3)*log(2^(2//3) - (a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(1//3)) + (2*2^(1//3)*a^(5//3)*log(1 + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)/(a + b*x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(1//3)) - (4*2^(1//3)*a^(5//3)*log(1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(1//3)) + (2^(1//3)*a^(5//3)*log(2*2^(1//3) + (a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2/(a + b*x^3)^(2//3) + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(1//3)), x, 22),
+((a + b*x^3)^(4//3)/(a - b*x^3), (-(1//2))*x*(a + b*x^3)^(1//3) - (2*2^(1//3)*a^(2//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(1//3)) - (2^(1//3)*a^(2//3)*atan((1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(1//3)) - (a*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(2*(a + b*x^3)^(2//3)) - (2^(1//3)*a^(2//3)*log(2^(2//3) - (a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(1//3)) + (2^(1//3)*a^(2//3)*log(1 + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)/(a + b*x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(1//3)) - (2*2^(1//3)*a^(2//3)*log(1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(1//3)) + (a^(2//3)*log(2*2^(1//3) + (a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2/(a + b*x^3)^(2//3) + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*2^(2//3)*b^(1//3)), x, 21),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(a - b*x^3), -((2^(1//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*a^(1//3)*b^(1//3))) - atan((1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3)*a^(1//3)*b^(1//3)) - log(2^(2//3) - (a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/(3*2^(2//3)*a^(1//3)*b^(1//3)) + log(1 + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)/(a + b*x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/(3*2^(2//3)*a^(1//3)*b^(1//3)) - (2^(1//3)*log(1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*a^(1//3)*b^(1//3)) + log(2*2^(1//3) + (a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2/(a + b*x^3)^(2//3) + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/(6*2^(2//3)*a^(1//3)*b^(1//3)), x, 14),
+(1/((a + b*x^3)^(2//3)*(a - b*x^3)), -(atan((1 - (2*2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(1//3))) - atan((1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(1//3)) + (x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(2*a*(a + b*x^3)^(2//3)) - log(2^(2//3) - (a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/(6*2^(2//3)*a^(4//3)*b^(1//3)) + log(1 + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)/(a + b*x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/(6*2^(2//3)*a^(4//3)*b^(1//3)) - log(1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/(3*2^(2//3)*a^(4//3)*b^(1//3)) + log(2*2^(1//3) + (a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2/(a + b*x^3)^(2//3) + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/(12*2^(2//3)*a^(4//3)*b^(1//3)), x, 17),
+(1/((a + b*x^3)^(5//3)*(a - b*x^3)), x/(4*a^2*(a + b*x^3)^(2//3)) - atan((1 - (2*2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(7//3)*b^(1//3)) - atan((1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(4*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(7//3)*b^(1//3)) + (x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(2*a^2*(a + b*x^3)^(2//3)) - log(2^(2//3) - (a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/(12*2^(2//3)*a^(7//3)*b^(1//3)) + log(1 + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)/(a + b*x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/(12*2^(2//3)*a^(7//3)*b^(1//3)) - log(1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/(6*2^(2//3)*a^(7//3)*b^(1//3)) + log(2*2^(1//3) + (a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2/(a + b*x^3)^(2//3) + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/(24*2^(2//3)*a^(7//3)*b^(1//3)), x, 21),
+(1/((a + b*x^3)^(8//3)*(a - b*x^3)), x/(10*a^2*(a + b*x^3)^(5//3)) + (13*x)/(40*a^3*(a + b*x^3)^(2//3)) - atan((1 - (2*2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(4*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(10//3)*b^(1//3)) - atan((1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(8*2^(2//3)*sqrt(3)*a^(10//3)*b^(1//3)) + (9*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(20*a^3*(a + b*x^3)^(2//3)) - log(2^(2//3) - (a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/(24*2^(2//3)*a^(10//3)*b^(1//3)) + log(1 + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)/(a + b*x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/(24*2^(2//3)*a^(10//3)*b^(1//3)) - log(1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/(12*2^(2//3)*a^(10//3)*b^(1//3)) + log(2*2^(1//3) + (a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2/(a + b*x^3)^(2//3) + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/(48*2^(2//3)*a^(10//3)*b^(1//3)), x, 22),
+
+
+((a + b*x^3)^(2//3)*(a - b*x^3)^2, (38//81)*a^2*x*(a + b*x^3)^(2//3) - (8//27)*a*x*(a + b*x^3)^(5//3) - (1//9)*x*(a - b*x^3)*(a + b*x^3)^(5//3) + (76*a^3*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(81*sqrt(3)*b^(1//3)) - (38*a^3*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(81*b^(1//3)), x, 4),
+((a - b*x^3)^2/(a + b*x^3)^(1//3), (-(13//18))*a*x*(a + b*x^3)^(2//3) - (1//6)*x*(a - b*x^3)*(a + b*x^3)^(2//3) + (17*a^2*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*b^(1//3)) - (17*a^2*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*b^(1//3)), x, 3),
+((a - b*x^3)^2/(a + b*x^3)^(4//3), (2*x*(a - b*x^3))/(a + b*x^3)^(1//3) + (7//3)*x*(a + b*x^3)^(2//3) - (10*a*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(1//3)) + (5*a*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(1//3)), x, 3),
+((a - b*x^3)^2/(a + b*x^3)^(7//3), (x*(a - b*x^3))/(2*(a + b*x^3)^(4//3)) - x/(2*(a + b*x^3)^(1//3)) + atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*b^(1//3)) - log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3))/(2*b^(1//3)), x, 3),
+((a - b*x^3)^2/(a + b*x^3)^(10//3), (x*(a - b*x^3)^2)/(7*a*(a + b*x^3)^(7//3)) + (3*x*(a - b*x^3))/(14*a*(a + b*x^3)^(4//3)) + (9*x)/(14*a*(a + b*x^3)^(1//3)), x, 3),
+((a - b*x^3)^2/(a + b*x^3)^(13//3), (x*(a - b*x^3)^3)/(20*a^2*(a + b*x^3)^(10//3)) + (19*x*(a - b*x^3)^2)/(140*a^2*(a + b*x^3)^(7//3)) + (57*x*(a - b*x^3))/(280*a^2*(a + b*x^3)^(4//3)) + (171*x)/(280*a^2*(a + b*x^3)^(1//3)), x, 4),
+((a - b*x^3)^2/(a + b*x^3)^(16//3), (2*x*(a - b*x^3))/(13*(a + b*x^3)^(13//3)) + (8*x)/(65*(a + b*x^3)^(10//3)) + (47*x)/(455*a*(a + b*x^3)^(7//3)) + (141*x)/(910*a^2*(a + b*x^3)^(4//3)) + (423*x)/(910*a^3*(a + b*x^3)^(1//3)), x, 5),
+((a - b*x^3)^2/(a + b*x^3)^(19//3), (x*(a - b*x^3))/(8*(a + b*x^3)^(16//3)) + (11*x)/(104*(a + b*x^3)^(13//3)) + x/(13*a*(a + b*x^3)^(10//3)) + (9*x)/(91*a^2*(a + b*x^3)^(7//3)) + (27*x)/(182*a^3*(a + b*x^3)^(4//3)) + (81*x)/(182*a^4*(a + b*x^3)^(1//3)), x, 6),
+
+((a + b*x^3)^(4//3)*(a - b*x^3)^2, (-(9//44))*a*x*(a + b*x^3)^(7//3) - (1//11)*x*(a - b*x^3)*(a + b*x^3)^(7//3) + (57*a^3*x*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(4//3), 1//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(44*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 4),
+((a + b*x^3)^(1//3)*(a - b*x^3)^2, (-(3//8))*a*x*(a + b*x^3)^(4//3) - (1//8)*x*(a - b*x^3)*(a + b*x^3)^(4//3) + (3*a^2*x*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//3), 1//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 4),
+((a - b*x^3)^2/(a + b*x^3)^(2//3), (-(6//5))*a*x*(a + b*x^3)^(1//3) - (1//5)*x*(a - b*x^3)*(a + b*x^3)^(1//3) + (12*a^2*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(5*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 4),
+((a - b*x^3)^2/(a + b*x^3)^(5//3), (x*(a - b*x^3))/(a + b*x^3)^(2//3) + (3*b*x^4*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2//3, 4//3, 7//3, -((b*x^3)/a)))/(4*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 4),
+((a - b*x^3)^2/(a + b*x^3)^(8//3), (2*x*(a - b*x^3))/(5*(a + b*x^3)^(5//3)) + (3*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(5*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 4),
+((a - b*x^3)^2/(a + b*x^3)^(11//3), (x*(a - b*x^3))/(4*(a + b*x^3)^(8//3)) + (3*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 8//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(4*a*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 4),
+((a - b*x^3)^2/(a + b*x^3)^(14//3), (2*x*(a - b*x^3))/(11*(a + b*x^3)^(11//3)) + (3*x)/(22*(a + b*x^3)^(8//3)) + (15*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 8//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(22*a^2*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 4),
+((a - b*x^3)^2/(a + b*x^3)^(17//3), (x*(a - b*x^3))/(7*(a + b*x^3)^(14//3)) + (9*x)/(77*(a + b*x^3)^(11//3)) + (57*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 11//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(77*a^3*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^3)^(p/3) (c+d x^3)^q
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
+
+
+((a + b*x^3)^(5//3)*(c + d*x^3), (5*a*(9*b*c - a*d)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(162*b) + ((9*b*c - a*d)*x*(a + b*x^3)^(5//3))/(54*b) + (d*x*(a + b*x^3)^(8//3))/(9*b) + (5*a^2*(9*b*c - a*d)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(81*sqrt(3)*b^(4//3)) - (5*a^2*(9*b*c - a*d)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(162*b^(4//3)), x, 4),
+((a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3), ((6*b*c - a*d)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(18*b) + (d*x*(a + b*x^3)^(5//3))/(6*b) + (a*(6*b*c - a*d)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*b^(4//3)) - (a*(6*b*c - a*d)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*b^(4//3)), x, 3),
+((c + d*x^3)/(a + b*x^3)^(1//3), (d*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(3*b) + ((3*b*c - a*d)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(4//3)) - ((3*b*c - a*d)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*b^(4//3)), x, 2),
+((c + d*x^3)/(a + b*x^3)^(4//3), ((b*c - a*d)*x)/(a*b*(a + b*x^3)^(1//3)) + (d*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(4//3)) - (d*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*b^(4//3)), x, 2),
+((c + d*x^3)/(a + b*x^3)^(7//3), (3*c*x)/(4*a^2*(a + b*x^3)^(1//3)) + (x*(c + d*x^3))/(4*a*(a + b*x^3)^(4//3)), x, 2),
+((c + d*x^3)/(a + b*x^3)^(10//3), ((b*c - a*d)*x)/(7*a*b*(a + b*x^3)^(7//3)) + ((6*b*c + a*d)*x)/(28*a^2*b*(a + b*x^3)^(4//3)) + (3*(6*b*c + a*d)*x)/(28*a^3*b*(a + b*x^3)^(1//3)), x, 3),
+((c + d*x^3)/(a + b*x^3)^(13//3), ((b*c - a*d)*x)/(10*a*b*(a + b*x^3)^(10//3)) + ((9*b*c + a*d)*x)/(70*a^2*b*(a + b*x^3)^(7//3)) + (3*(9*b*c + a*d)*x)/(140*a^3*b*(a + b*x^3)^(4//3)) + (9*(9*b*c + a*d)*x)/(140*a^4*b*(a + b*x^3)^(1//3)), x, 4),
+((c + d*x^3)/(a + b*x^3)^(16//3), ((b*c - a*d)*x)/(13*a*b*(a + b*x^3)^(13//3)) + ((12*b*c + a*d)*x)/(130*a^2*b*(a + b*x^3)^(10//3)) + (9*(12*b*c + a*d)*x)/(910*a^3*b*(a + b*x^3)^(7//3)) + (27*(12*b*c + a*d)*x)/(1820*a^4*b*(a + b*x^3)^(4//3)) + (81*(12*b*c + a*d)*x)/(1820*a^5*b*(a + b*x^3)^(1//3)), x, 5),
+
+((a + b*x^3)^(7//3)*(c + d*x^3), (d*x*(a + b*x^3)^(10//3))/(11*b) + (a^2*(11*b*c - a*d)*x*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(7//3), 1//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(11*b*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 3),
+((a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3), (d*x*(a + b*x^3)^(7//3))/(8*b) + (a*(8*b*c - a*d)*x*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(4//3), 1//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(8*b*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 3),
+((a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3), (d*x*(a + b*x^3)^(4//3))/(5*b) + ((5*b*c - a*d)*x*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//3), 1//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(5*b*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 3),
+((c + d*x^3)/(a + b*x^3)^(2//3), (d*x*(a + b*x^3)^(1//3))/(2*b) + ((2*b*c - a*d)*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(2*b*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 3),
+((c + d*x^3)/(a + b*x^3)^(5//3), ((b*c - a*d)*x)/(2*a*b*(a + b*x^3)^(2//3)) + ((b*c + a*d)*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(2*a*b*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 3),
+((c + d*x^3)/(a + b*x^3)^(8//3), ((b*c - a*d)*x)/(5*a*b*(a + b*x^3)^(5//3)) + ((4*b*c + a*d)*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 5//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(5*a^2*b*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 3),
+
+
+((a + b*x^3)^(5//3)*(c + d*x^3)^2, (5*a*(27*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(486*b^2) + ((27*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x*(a + b*x^3)^(5//3))/(162*b^2) + (d*(15*b*c - 4*a*d)*x*(a + b*x^3)^(8//3))/(108*b^2) + (d*x*(a + b*x^3)^(8//3)*(c + d*x^3))/(12*b) + (5*a^2*(27*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(243*sqrt(3)*b^(7//3)) - (5*a^2*(27*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(486*b^(7//3)), x, 5),
+((a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)^2, ((27*b^2*c^2 - 9*a*b*c*d + 2*a^2*d^2)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(81*b^2) + (2*d*(3*b*c - a*d)*x*(a + b*x^3)^(5//3))/(27*b^2) + (d*x*(a + b*x^3)^(5//3)*(c + d*x^3))/(9*b) + (2*a*(27*b^2*c^2 - 9*a*b*c*d + 2*a^2*d^2)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(81*sqrt(3)*b^(7//3)) - (a*(27*b^2*c^2 - 9*a*b*c*d + 2*a^2*d^2)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(81*b^(7//3)), x, 4),
+((c + d*x^3)^2/(a + b*x^3)^(1//3), (d*(9*b*c - 4*a*d)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(18*b^2) + (d*x*(a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3))/(6*b) + ((9*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 2*a^2*d^2)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*b^(7//3)) - ((9*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 2*a^2*d^2)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*b^(7//3)), x, 3),
+((c + d*x^3)^2/(a + b*x^3)^(4//3), -((d*(3*b*c - 4*a*d)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(3*a*b^2)) + ((b*c - a*d)*x*(c + d*x^3))/(a*b*(a + b*x^3)^(1//3)) + (2*d*(3*b*c - 2*a*d)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(7//3)) - (d*(3*b*c - 2*a*d)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(7//3)), x, 3),
+((c + d*x^3)^2/(a + b*x^3)^(7//3), ((b*c - a*d)*(3*b*c + 4*a*d)*x)/(4*a^2*b^2*(a + b*x^3)^(1//3)) + ((b*c - a*d)*x*(c + d*x^3))/(4*a*b*(a + b*x^3)^(4//3)) + (d^2*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(7//3)) - (d^2*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*b^(7//3)), x, 3),
+((c + d*x^3)^2/(a + b*x^3)^(10//3), (9*c^2*x)/(14*a^3*(a + b*x^3)^(1//3)) + (3*c*x*(c + d*x^3))/(14*a^2*(a + b*x^3)^(4//3)) + (x*(c + d*x^3)^2)/(7*a*(a + b*x^3)^(7//3)), x, 3),
+((c + d*x^3)^2/(a + b*x^3)^(13//3), (9*c^2*(9*b*c - 10*a*d)*x)/(140*a^4*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3)) + (3*c*(9*b*c - 10*a*d)*x*(c + d*x^3))/(140*a^3*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(4//3)) + ((9*b*c - 10*a*d)*x*(c + d*x^3)^2)/(70*a^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(7//3)) + (b*x*(c + d*x^3)^3)/(10*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(10//3)), x, 4),
+((c + d*x^3)^2/(a + b*x^3)^(16//3), (2*(b*c - a*d)*(3*b*c + a*d)*x)/(65*a^2*b^2*(a + b*x^3)^(10//3)) + ((54*b^2*c^2 + 9*a*b*c*d + 2*a^2*d^2)*x)/(455*a^3*b^2*(a + b*x^3)^(7//3)) + (3*(54*b^2*c^2 + 9*a*b*c*d + 2*a^2*d^2)*x)/(910*a^4*b^2*(a + b*x^3)^(4//3)) + (9*(54*b^2*c^2 + 9*a*b*c*d + 2*a^2*d^2)*x)/(910*a^5*b^2*(a + b*x^3)^(1//3)) + ((b*c - a*d)*x*(c + d*x^3))/(13*a*b*(a + b*x^3)^(13//3)), x, 5),
+((c + d*x^3)^2/(a + b*x^3)^(19//3), ((b*c - a*d)*(15*b*c + 4*a*d)*x)/(208*a^2*b^2*(a + b*x^3)^(13//3)) + ((45*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x)/(520*a^3*b^2*(a + b*x^3)^(10//3)) + (9*(45*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x)/(3640*a^4*b^2*(a + b*x^3)^(7//3)) + (27*(45*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x)/(7280*a^5*b^2*(a + b*x^3)^(4//3)) + (81*(45*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x)/(7280*a^6*b^2*(a + b*x^3)^(1//3)) + ((b*c - a*d)*x*(c + d*x^3))/(16*a*b*(a + b*x^3)^(16//3)), x, 6),
+
+((a + b*x^3)^(7//3)*(c + d*x^3)^2, (d*(17*b*c - 4*a*d)*x*(a + b*x^3)^(10//3))/(154*b^2) + (d*x*(a + b*x^3)^(10//3)*(c + d*x^3))/(14*b) + (a^2*(77*b^2*c^2 - 14*a*b*c*d + 2*a^2*d^2)*x*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(7//3), 1//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(77*b^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 4),
+((a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)^2, (d*(7*b*c - 2*a*d)*x*(a + b*x^3)^(7//3))/(44*b^2) + (d*x*(a + b*x^3)^(7//3)*(c + d*x^3))/(11*b) + (a*(44*b^2*c^2 - 11*a*b*c*d + 2*a^2*d^2)*x*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(4//3), 1//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(44*b^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 4),
+((a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)^2, (d*(11*b*c - 4*a*d)*x*(a + b*x^3)^(4//3))/(40*b^2) + (d*x*(a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3))/(8*b) + ((10*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//3), 1//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(10*b^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 4),
+((c + d*x^3)^2/(a + b*x^3)^(2//3), (2*d*(2*b*c - a*d)*x*(a + b*x^3)^(1//3))/(5*b^2) + (d*x*(a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3))/(5*b) + ((5*b^2*c^2 - 5*a*b*c*d + 2*a^2*d^2)*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(5*b^2*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 4),
+((c + d*x^3)^2/(a + b*x^3)^(5//3), -((d*(b*c - 2*a*d)*x*(a + b*x^3)^(1//3))/(2*a*b^2)) + ((b*c - a*d)*x*(c + d*x^3))/(2*a*b*(a + b*x^3)^(2//3)) + ((b^2*c^2 + 2*a*b*c*d - 2*a^2*d^2)*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(2*a*b^2*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 4),
+((c + d*x^3)^2/(a + b*x^3)^(8//3), (2*(c^2/a^2 - d^2/b^2)*x)/(5*(a + b*x^3)^(2//3)) + ((b*c - a*d)*x*(c + d*x^3))/(5*a*b*(a + b*x^3)^(5//3)) + ((2*b^2*c^2 + a*b*c*d + 2*a^2*d^2)*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(5*a^2*b^2*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 4),
+
+
+((a + b*x^3)^3/(c + d*x^3)^(13//3), (x*(a + b*x^3)^3)/(10*c*(c + d*x^3)^(10//3)) + (9*a*x*(a + b*x^3)^2)/(70*c^2*(c + d*x^3)^(7//3)) + (27*a^2*x*(a + b*x^3))/(140*c^3*(c + d*x^3)^(4//3)) + (81*a^3*x)/(140*c^4*(c + d*x^3)^(1//3)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+((a + b*x^3)^(8//3)/(c + d*x^3), -((b*(6*b*c - 11*a*d)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(18*d^2)) + (b*x*(a + b*x^3)^(5//3))/(6*d) + (b^(2//3)*(9*b^2*c^2 - 24*a*b*c*d + 20*a^2*d^2)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*d^3) - ((b*c - a*d)^(8//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(2//3)*d^3) - ((b*c - a*d)^(8//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(2//3)*d^3) + ((b*c - a*d)^(8//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(2//3)*d^3) - (b^(2//3)*(9*b^2*c^2 - 24*a*b*c*d + 20*a^2*d^2)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*d^3), x, 5),
+((a + b*x^3)^(5//3)/(c + d*x^3), (b*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(3*d) - (b^(2//3)*(3*b*c - 5*a*d)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*d^2) + ((b*c - a*d)^(5//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(2//3)*d^2) + ((b*c - a*d)^(5//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(2//3)*d^2) - ((b*c - a*d)^(5//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(2//3)*d^2) + (b^(2//3)*(3*b*c - 5*a*d)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*d^2), x, 4),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(c + d*x^3), (b^(2//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d) - ((b*c - a*d)^(2//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(2//3)*d) - ((b*c - a*d)^(2//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(2//3)*d) + ((b*c - a*d)^(2//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(2//3)*d) - (b^(2//3)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d), x, 3),
+(1/((a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3))/(sqrt(3)*c^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) + log(c + d*x^3)/(6*c^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) - log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3))/(2*c^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)), x, 1),
+(1/((a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), (b*x)/(a*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3)) - (d*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(2//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) - (d*log(c + d*x^3))/(6*c^(2//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) + (d*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(2//3)*(b*c - a*d)^(4//3)), x, 2),
+(1/((a + b*x^3)^(7//3)*(c + d*x^3)), (b*x)/(4*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(4//3)) + (b*(3*b*c - 7*a*d)*x)/(4*a^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^3)^(1//3)) + (d^2*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(2//3)*(b*c - a*d)^(7//3)) + (d^2*log(c + d*x^3))/(6*c^(2//3)*(b*c - a*d)^(7//3)) - (d^2*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(2//3)*(b*c - a*d)^(7//3)), x, 4),
+(1/((a + b*x^3)^(10//3)*(c + d*x^3)), (b*x)/(7*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(7//3)) + (b*(6*b*c - 13*a*d)*x)/(28*a^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^3)^(4//3)) + (b*(18*b^2*c^2 - 57*a*b*c*d + 67*a^2*d^2)*x)/(28*a^3*(b*c - a*d)^3*(a + b*x^3)^(1//3)) - (d^3*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(2//3)*(b*c - a*d)^(10//3)) - (d^3*log(c + d*x^3))/(6*c^(2//3)*(b*c - a*d)^(10//3)) + (d^3*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(2//3)*(b*c - a*d)^(10//3)), x, 5),
+
+((a + b*x^3)^(4//3)/(c + d*x^3), (a*x*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, -(4//3), 1, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(c*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 2),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(c + d*x^3), (x*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, -(1//3), 1, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(c*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 2),
+(1/((a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)), (x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 2//3, 1, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(c*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 2),
+(1/((a + b*x^3)^(5//3)*(c + d*x^3)), (x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 5//3, 1, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a*c*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 2),
+(1/((a + b*x^3)^(8//3)*(c + d*x^3)), (x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 8//3, 1, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a^2*c*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 2),
+
+
+((a + b*x^3)^(8//3)/(c + d*x^3)^2, (b*(2*b*c - a*d)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(3*c*d^2) - ((b*c - a*d)*x*(a + b*x^3)^(5//3))/(3*c*d*(c + d*x^3)) - (2*b^(5//3)*(3*b*c - 4*a*d)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*d^3) + (2*(b*c - a*d)^(5//3)*(3*b*c + a*d)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*c^(5//3)*d^3) + ((b*c - a*d)^(5//3)*(3*b*c + a*d)*log(c + d*x^3))/(9*c^(5//3)*d^3) - ((b*c - a*d)^(5//3)*(3*b*c + a*d)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*c^(5//3)*d^3) + (b^(5//3)*(3*b*c - 4*a*d)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*d^3), x, 5),
+((a + b*x^3)^(5//3)/(c + d*x^3)^2, -(((b*c - a*d)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(3*c*d*(c + d*x^3))) + (b^(5//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^2) - ((b*c - a*d)^(2//3)*(3*b*c + 2*a*d)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*c^(5//3)*d^2) - ((b*c - a*d)^(2//3)*(3*b*c + 2*a*d)*log(c + d*x^3))/(18*c^(5//3)*d^2) + ((b*c - a*d)^(2//3)*(3*b*c + 2*a*d)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*c^(5//3)*d^2) - (b^(5//3)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^2), x, 4),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(c + d*x^3)^2, (x*(a + b*x^3)^(2//3))/(3*c*(c + d*x^3)) + (2*a*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*c^(5//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) + (a*log(c + d*x^3))/(9*c^(5//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) - (a*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*c^(5//3)*(b*c - a*d)^(1//3)), x, 2),
+(1/((a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)^2), -((d*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(3*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^3))) + ((3*b*c - 2*a*d)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*c^(5//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) + ((3*b*c - 2*a*d)*log(c + d*x^3))/(18*c^(5//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) - ((3*b*c - 2*a*d)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*c^(5//3)*(b*c - a*d)^(4//3)), x, 2),
+(1/((a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)^2), (b*(3*b*c + a*d)*x)/(3*a*c*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^3)^(1//3)) - (d*x)/(3*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)) - (2*d*(3*b*c - a*d)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*c^(5//3)*(b*c - a*d)^(7//3)) - (d*(3*b*c - a*d)*log(c + d*x^3))/(9*c^(5//3)*(b*c - a*d)^(7//3)) + (d*(3*b*c - a*d)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*c^(5//3)*(b*c - a*d)^(7//3)), x, 4),
+(1/((a + b*x^3)^(7//3)*(c + d*x^3)^2), (b*(3*b*c + 4*a*d)*x)/(12*a*c*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^3)^(4//3)) + (b*(9*b^2*c^2 - 33*a*b*c*d - 4*a^2*d^2)*x)/(12*a^2*c*(b*c - a*d)^3*(a + b*x^3)^(1//3)) - (d*x)/(3*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)) + (d^2*(9*b*c - 2*a*d)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*c^(5//3)*(b*c - a*d)^(10//3)) + (d^2*(9*b*c - 2*a*d)*log(c + d*x^3))/(18*c^(5//3)*(b*c - a*d)^(10//3)) - (d^2*(9*b*c - 2*a*d)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*c^(5//3)*(b*c - a*d)^(10//3)), x, 5),
+
+((a + b*x^3)^(4//3)/(c + d*x^3)^2, (a*x*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, -(4//3), 2, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(c^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 2),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(c + d*x^3)^2, (x*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, -(1//3), 2, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(c^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 2),
+(1/((a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)^2), (x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 2//3, 2, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(c^2*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 2),
+(1/((a + b*x^3)^(5//3)*(c + d*x^3)^2), (x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 5//3, 2, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a*c^2*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 2),
+(1/((a + b*x^3)^(8//3)*(c + d*x^3)^2), (x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 8//3, 2, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a^2*c^2*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 2),
+
+
+((a + b*x^3)^(14//3)/(c + d*x^3)^3, -((b*(2*b*c - a*d)*(18*b^2*c^2 - 18*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(18*c^2*d^4)) + (b*(18*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*x*(a + b*x^3)^(5//3))/(18*c^2*d^3) - ((b*c - a*d)*x*(a + b*x^3)^(11//3))/(6*c*d*(c + d*x^3)^2) - ((b*c - a*d)*(12*b*c + 5*a*d)*x*(a + b*x^3)^(8//3))/(18*c^2*d^2*(c + d*x^3)) + (b^(8//3)*(54*b^2*c^2 - 126*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*d^5) - ((b*c - a*d)^(8//3)*(54*b^2*c^2 + 18*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*c^(8//3)*d^5) - ((b*c - a*d)^(8//3)*(54*b^2*c^2 + 18*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(c + d*x^3))/(54*c^(8//3)*d^5) + ((b*c - a*d)^(8//3)*(54*b^2*c^2 + 18*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*c^(8//3)*d^5) - (b^(8//3)*(54*b^2*c^2 - 126*a*b*c*d + 77*a^2*d^2)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*d^5), x, 7),
+((a + b*x^3)^(11//3)/(c + d*x^3)^3, (b*(18*b^2*c^2 - 7*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(18*c^2*d^3) - ((b*c - a*d)*x*(a + b*x^3)^(8//3))/(6*c*d*(c + d*x^3)^2) - ((b*c - a*d)*(9*b*c + 5*a*d)*x*(a + b*x^3)^(5//3))/(18*c^2*d^2*(c + d*x^3)) - (b^(8//3)*(9*b*c - 11*a*d)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*d^4) + ((b*c - a*d)^(5//3)*(27*b^2*c^2 + 12*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*c^(8//3)*d^4) + ((b*c - a*d)^(5//3)*(27*b^2*c^2 + 12*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(c + d*x^3))/(54*c^(8//3)*d^4) - ((b*c - a*d)^(5//3)*(27*b^2*c^2 + 12*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*c^(8//3)*d^4) + (b^(8//3)*(9*b*c - 11*a*d)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*d^4), x, 6),
+((a + b*x^3)^(8//3)/(c + d*x^3)^3, -(((b*c - a*d)*x*(a + b*x^3)^(5//3))/(6*c*d*(c + d*x^3)^2)) - ((b*c - a*d)*(6*b*c + 5*a*d)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(18*c^2*d^2*(c + d*x^3)) + (b^(8//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^3) - ((b*c - a*d)^(2//3)*(9*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*c^(8//3)*d^3) - ((b*c - a*d)^(2//3)*(9*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(c + d*x^3))/(54*c^(8//3)*d^3) + ((b*c - a*d)^(2//3)*(9*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*c^(8//3)*d^3) - (b^(8//3)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^3), x, 5),
+((a + b*x^3)^(5//3)/(c + d*x^3)^3, (x*(a + b*x^3)^(5//3))/(6*c*(c + d*x^3)^2) + (5*a*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(18*c^2*(c + d*x^3)) + (5*a^2*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) + (5*a^2*log(c + d*x^3))/(54*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) - (5*a^2*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(1//3)), x, 3),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(c + d*x^3)^3, -((d*x*(a + b*x^3)^(5//3))/(6*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^3)^2)) + ((6*b*c - 5*a*d)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(18*c^2*(b*c - a*d)*(c + d*x^3)) + (a*(6*b*c - 5*a*d)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) + (a*(6*b*c - 5*a*d)*log(c + d*x^3))/(54*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) - (a*(6*b*c - 5*a*d)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(4//3)), x, 3),
+(1/((a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)^3), -((d*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(6*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^3)^2)) - (d*(9*b*c - 5*a*d)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(18*c^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^3)) + ((9*b^2*c^2 - 12*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(7//3)) + ((9*b^2*c^2 - 12*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(c + d*x^3))/(54*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(7//3)) - ((9*b^2*c^2 - 12*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(7//3)), x, 4),
+(1/((a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)^3), -((d*x)/(6*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)^2)) + (b*(6*b*c + a*d)*x)/(6*a*c*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)) + (d*(18*b^2*c^2 + 15*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(18*a*c^2*(b*c - a*d)^3*(c + d*x^3)) - (d*(27*b^2*c^2 - 18*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(10//3)) - (d*(27*b^2*c^2 - 18*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(c + d*x^3))/(54*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(10//3)) + (d*(27*b^2*c^2 - 18*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(10//3)), x, 5),
+(1/((a + b*x^3)^(7//3)*(c + d*x^3)^3), -((d*x)/(6*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)^2)) + (b*(3*b*c + 2*a*d)*x)/(12*a*c*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)) + (b*(9*b^2*c^2 - 42*a*b*c*d - 2*a^2*d^2)*x)/(12*a^2*c*(b*c - a*d)^3*(a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)) + (d*(27*b^3*c^3 - 135*a*b^2*c^2*d - 42*a^2*b*c*d^2 + 10*a^3*d^3)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(36*a^2*c^2*(b*c - a*d)^4*(c + d*x^3)) + (d^2*(54*b^2*c^2 - 24*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(13//3)) + (d^2*(54*b^2*c^2 - 24*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(c + d*x^3))/(54*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(13//3)) - (d^2*(54*b^2*c^2 - 24*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(13//3)), x, 6),
+
+((a + b*x^3)^(4//3)/(c + d*x^3)^3, (a*x*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, -(4//3), 3, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(c^3*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 2),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(c + d*x^3)^3, (x*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, -(1//3), 3, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(c^3*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 2),
+(1/((a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)^3), (x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 2//3, 3, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(c^3*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 2),
+(1/((a + b*x^3)^(5//3)*(c + d*x^3)^3), (x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 5//3, 3, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a*c^3*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 2),
+(1/((a + b*x^3)^(8//3)*(c + d*x^3)^3), (x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 8//3, 3, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a^2*c^3*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^3)^(p/4) (c+d x^3)^(q/12) with 3 (p+q+1)+1=0
+
+
+((a + b*x^3)^(7//4)/(c + d*x^3)^(37//12), (4*x*(a + b*x^3)^(7//4))/(25*c*(c + d*x^3)^(25//12)) + (84*a*x*(a + b*x^3)^(3//4))/(325*c^2*(c + d*x^3)^(13//12)) + (189*a^2*x*((c*(a + b*x^3))/(a*(c + d*x^3)))^(1//4)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//4, 1//3, 4//3, -(((b*c - a*d)*x^3)/(a*(c + d*x^3)))))/(325*c^3*(a + b*x^3)^(1//4)*(c + d*x^3)^(1//12)), x, 3),
+((a + b*x^3)^(5//4)/(c + d*x^3)^(31//12), (4*x*(a + b*x^3)^(5//4))/(19*c*(c + d*x^3)^(19//12)) + (60*a*x*(a + b*x^3)^(1//4))/(133*c^2*(c + d*x^3)^(7//12)) + (45*a^2*x*((c*(a + b*x^3))/(a*(c + d*x^3)))^(3//4)*(c + d*x^3)^(5//12)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 3//4, 4//3, -(((b*c - a*d)*x^3)/(a*(c + d*x^3)))))/(133*c^3*(a + b*x^3)^(3//4)), x, 3),
+((a + b*x^3)^(3//4)/(c + d*x^3)^(25//12), (4*x*(a + b*x^3)^(3//4))/(13*c*(c + d*x^3)^(13//12)) + (9*a*x*((c*(a + b*x^3))/(a*(c + d*x^3)))^(1//4)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//4, 1//3, 4//3, -(((b*c - a*d)*x^3)/(a*(c + d*x^3)))))/(13*c^2*(a + b*x^3)^(1//4)*(c + d*x^3)^(1//12)), x, 2),
+((a + b*x^3)^(1//4)/(c + d*x^3)^(19//12), (4*x*(a + b*x^3)^(1//4))/(7*c*(c + d*x^3)^(7//12)) + (3*a*x*((c*(a + b*x^3))/(a*(c + d*x^3)))^(3//4)*(c + d*x^3)^(5//12)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 3//4, 4//3, -(((b*c - a*d)*x^3)/(a*(c + d*x^3)))))/(7*c^2*(a + b*x^3)^(3//4)), x, 2),
+(1/((a + b*x^3)^(1//4)*(c + d*x^3)^(13//12)), (x*((c*(a + b*x^3))/(a*(c + d*x^3)))^(1//4)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//4, 1//3, 4//3, -(((b*c - a*d)*x^3)/(a*(c + d*x^3)))))/(c*(a + b*x^3)^(1//4)*(c + d*x^3)^(1//12)), x, 1),
+(1/((a + b*x^3)^(3//4)*(c + d*x^3)^(7//12)), (x*((c*(a + b*x^3))/(a*(c + d*x^3)))^(3//4)*(c + d*x^3)^(5//12)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 3//4, 4//3, -(((b*c - a*d)*x^3)/(a*(c + d*x^3)))))/(c*(a + b*x^3)^(3//4)), x, 1),
+(1/((a + b*x^3)^(5//4)*(c + d*x^3)^(1//12)), (x*((c*(a + b*x^3))/(a*(c + d*x^3)))^(5//4)*(c + d*x^3)^(11//12)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 5//4, 4//3, -(((b*c - a*d)*x^3)/(a*(c + d*x^3)))))/(c*(a + b*x^3)^(5//4)), x, 1),
+((c + d*x^3)^(5//12)/(a + b*x^3)^(7//4), (4*x*(c + d*x^3)^(5//12))/(9*a*(a + b*x^3)^(3//4)) + (5*x*((c*(a + b*x^3))/(a*(c + d*x^3)))^(3//4)*(c + d*x^3)^(5//12)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 3//4, 4//3, -(((b*c - a*d)*x^3)/(a*(c + d*x^3)))))/(9*a*(a + b*x^3)^(3//4)), x, 2),
+((c + d*x^3)^(11//12)/(a + b*x^3)^(9//4), (4*x*(c + d*x^3)^(11//12))/(15*a*(a + b*x^3)^(5//4)) + (11*x*((c*(a + b*x^3))/(a*(c + d*x^3)))^(5//4)*(c + d*x^3)^(11//12)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 5//4, 4//3, -(((b*c - a*d)*x^3)/(a*(c + d*x^3)))))/(15*a*(a + b*x^3)^(5//4)), x, 2),
+((c + d*x^3)^(17//12)/(a + b*x^3)^(11//4), (68*c*x*(c + d*x^3)^(5//12))/(189*a^2*(a + b*x^3)^(3//4)) + (4*x*(c + d*x^3)^(17//12))/(21*a*(a + b*x^3)^(7//4)) + (85*c*x*((c*(a + b*x^3))/(a*(c + d*x^3)))^(3//4)*(c + d*x^3)^(5//12)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 3//4, 4//3, -(((b*c - a*d)*x^3)/(a*(c + d*x^3)))))/(189*a^2*(a + b*x^3)^(3//4)), x, 3),
+((c + d*x^3)^(23//12)/(a + b*x^3)^(13//4), (92*c*x*(c + d*x^3)^(11//12))/(405*a^2*(a + b*x^3)^(5//4)) + (4*x*(c + d*x^3)^(23//12))/(27*a*(a + b*x^3)^(9//4)) + (253*c*x*((c*(a + b*x^3))/(a*(c + d*x^3)))^(5//4)*(c + d*x^3)^(11//12)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 5//4, 4//3, -(((b*c - a*d)*x^3)/(a*(c + d*x^3)))))/(405*a^2*(a + b*x^3)^(5//4)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^3)^m (c+d x^3)^p with m symbolic
+
+
+((a + b*x^3)^m*(c + d*x^3)^p, (x*(a + b*x^3)^m*(c + d*x^3)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, -m, -p, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/((1 + (b*x^3)/a)^m*(1 + (d*x^3)/c)^p), x, 3),
+
+
+# {(a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^q, x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((b*(4*b*c - a*d*(10 + 3*q))*x*(c + d*x^3)^(1 + q))/(d^2*(4 + 3*q)*(7 + 3*q))) + (b*x*(a + b*x^3)*(c + d*x^3)^(1 + q))/(d*(7 + 3*q)) + ((4*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d*(7 + 3*q) + a^2*d^2*(28 + 33*q + 9*q^2))*x*(c + d*x^3)^(1 + q)*Hypergeometric2F1[1, 4/3 + q, 4/3, -((d*x^3)/c)])/(c*d^2*(4 + 3*q)*(7 + 3*q)), -((b*(4*b*c - a*d*(10 + 3*q))*x*(c + d*x^3)^(1 + q))/(d^2*(28 + 33*q + 9*q^2))) + (b*x*(a + b*x^3)*(c + d*x^3)^(1 + q))/(d*(7 + 3*q)) + ((4*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d*(7 + 3*q) + a^2*d^2*(28 + 33*q + 9*q^2))*x*(c + d*x^3)^(1 + q)*Hypergeometric2F1[1, 4/3 + q, 4/3, -((d*x^3)/c)])/(c*d^2*(28 + 33*q + 9*q^2))], If[$VersionNumber>=8, -((b*(4*b*c - a*d*(10 + 3*q))*x*(c + d*x^3)^(1 + q))/(d^2*(4 + 3*q)*(7 + 3*q))) + (b*x*(a + b*x^3)*(c + d*x^3)^(1 + q))/(d*(7 + 3*q)) + ((4*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d*(7 + 3*q) + a^2*d^2*(28 + 33*q + 9*q^2))*x*(c + d*x^3)^q*Hypergeometric2F1[1/3, -q, 4/3, -((d*x^3)/c)])/((1 + (d*x^3)/c)^q*(d^2*(4 + 3*q)*(7 + 3*q))), -((b*(4*b*c - a*d*(10 + 3*q))*x*(c + d*x^3)^(1 + q))/(d^2*(28 + 33*q + 9*q^2))) + (b*x*(a + b*x^3)*(c + d*x^3)^(1 + q))/(d*(7 + 3*q)) + ((4*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d*(7 + 3*q) + a^2*d^2*(28 + 33*q + 9*q^2))*x*(c + d*x^3)^q*Hypergeometric2F1[1/3, -q, 4/3, -((d*x^3)/c)])/((1 + (d*x^3)/c)^q*(d^2*(28 + 33*q + 9*q^2)))]}
+# {(a + b*x^3)^1*(c + d*x^3)^q, x, 3, (b*x*(c + d*x^3)^(1 + q))/(d*(4 + 3*q)) - ((b*c - a*d*(4 + 3*q))*x*(c + d*x^3)^(1 + q)*Hypergeometric2F1[1, 4/3 + q, 4/3, -((d*x^3)/c)])/(c*d*(4 + 3*q)), (b*x*(c + d*x^3)^(1 + q))/(d*(4 + 3*q)) - ((b*c - a*d*(4 + 3*q))*x*(c + d*x^3)^q*Hypergeometric2F1[1/3, -q, 4/3, -((d*x^3)/c)])/((1 + (d*x^3)/c)^q*(d*(4 + 3*q)))}
+(1/(a + b*x^3)^1*(c + d*x^3)^q, (x*(c + d*x^3)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 1, -q, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/((1 + (d*x^3)/c)^q*a), x, 2),
+(1/(a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^q, (x*(c + d*x^3)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 2, -q, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/((1 + (d*x^3)/c)^q*a^2), x, 2),
+
+
+# {(a + b*x^3)^m*(c + d*x^3)^3, x, 5, If[$VersionNumber>=8, (d*(28*a^2*d^2 - a*b*c*d*(92 + 15*m) + b^2*c^2*(118 + 60*m + 9*m^2))*x*(a + b*x^3)^(1 + m))/(b^3*(4 + 3*m)*(7 + 3*m)*(10 + 3*m)) - (d*(7*a*d - b*c*(16 + 3*m))*x*(a + b*x^3)^(1 + m)*(c + d*x^3))/(b^2*(7 + 3*m)*(10 + 3*m)) + (d*x*(a + b*x^3)^(1 + m)*(c + d*x^3)^2)/(b*(10 + 3*m)) - ((28*a^3*d^3 - 12*a^2*b*c*d^2*(10 + 3*m) + 3*a*b^2*c^2*d*(70 + 51*m + 9*m^2) - b^3*c^3*(280 + 414*m + 189*m^2 + 27*m^3))*x*(a + b*x^3)^m*Hypergeometric2F1[1/3, -m, 4/3, -((b*x^3)/a)])/((1 + (b*x^3)/a)^m*(b^3*(4 + 3*m)*(7 + 3*m)*(10 + 3*m))), (d*(28*a^2*d^2 - a*b*c*d*(92 + 15*m) + b^2*c^2*(118 + 60*m + 9*m^2))*x*(a + b*x^3)^(1 + m))/(b^3*(10 + 3*m)*(28 + 33*m + 9*m^2)) - (d*(7*a*d - b*c*(16 + 3*m))*x*(a + b*x^3)^(1 + m)*(c + d*x^3))/(b^2*(70 + 51*m + 9*m^2)) + (d*x*(a + b*x^3)^(1 + m)*(c + d*x^3)^2)/(b*(10 + 3*m)) - ((28*a^3*d^3 - 12*a^2*b*c*d^2*(10 + 3*m) + 3*a*b^2*c^2*d*(70 + 51*m + 9*m^2) - b^3*c^3*(280 + 414*m + 189*m^2 + 27*m^3))*x*(a + b*x^3)^m*Hypergeometric2F1[1/3, -m, 4/3, -((b*x^3)/a)])/((1 + (b*x^3)/a)^m*(b^3*(10 + 3*m)*(28 + 33*m + 9*m^2)))]}
+# {(a + b*x^3)^m*(c + d*x^3)^2, x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((d*(4*a*d - b*c*(10 + 3*m))*x*(a + b*x^3)^(1 + m))/(b^2*(4 + 3*m)*(7 + 3*m))) + (d*x*(a + b*x^3)^(1 + m)*(c + d*x^3))/(b*(7 + 3*m)) + ((4*a^2*d^2 - 2*a*b*c*d*(7 + 3*m) + b^2*c^2*(28 + 33*m + 9*m^2))*x*(a + b*x^3)^m*Hypergeometric2F1[1/3, -m, 4/3, -((b*x^3)/a)])/((1 + (b*x^3)/a)^m*(b^2*(4 + 3*m)*(7 + 3*m))), -((d*(4*a*d - b*c*(10 + 3*m))*x*(a + b*x^3)^(1 + m))/(b^2*(28 + 33*m + 9*m^2))) + (d*x*(a + b*x^3)^(1 + m)*(c + d*x^3))/(b*(7 + 3*m)) + ((4*a^2*d^2 - 2*a*b*c*d*(7 + 3*m) + b^2*c^2*(28 + 33*m + 9*m^2))*x*(a + b*x^3)^m*Hypergeometric2F1[1/3, -m, 4/3, -((b*x^3)/a)])/((1 + (b*x^3)/a)^m*(b^2*(28 + 33*m + 9*m^2)))]}
+((a + b*x^3)^m*(c + d*x^3)^1, (d*x*(a + b*x^3)^(1 + m))/(b*(4 + 3*m)) - ((a*d - b*c*(4 + 3*m))*x*(a + b*x^3)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, -m, 4//3, -((b*x^3)/a)))/((1 + (b*x^3)/a)^m*(b*(4 + 3*m))), x, 3),
+((a + b*x^3)^m*(c + d*x^3)^0, (x*(a + b*x^3)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, -m, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(1 + (b*x^3)/a)^m, x, 2),
+((a + b*x^3)^m/(c + d*x^3)^1, (x*(a + b*x^3)^m*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, -m, 1, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/((1 + (b*x^3)/a)^m*c), x, 2),
+((a + b*x^3)^m/(c + d*x^3)^2, (x*(a + b*x^3)^m*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, -m, 2, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/((1 + (b*x^3)/a)^m*c^2), x, 2),
+((a + b*x^3)^m/(c + d*x^3)^3, (x*(a + b*x^3)^m*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, -m, 3, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/((1 + (b*x^3)/a)^m*c^3), x, 2),
+
+
+((a + b*x^3)^(-1 - (b*c)/(3*b*c - 3*a*d))*(c + d*x^3)^(-1 + (a*d)/(3*b*c - 3*a*d)), (x*(c + d*x^3)^((a*d)/(3*b*c - 3*a*d)))/((a + b*x^3)^((b*c)/(3*b*c - 3*a*d))*(a*c)), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^4)^p (c+d x^4)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^4)^p (c+d x^4)^q
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*x^4)*(c + d*x^4)^4, a*c^4*x + (1//5)*c^3*(b*c + 4*a*d)*x^5 + (2//9)*c^2*d*(2*b*c + 3*a*d)*x^9 + (2//13)*c*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^13 + (1//17)*d^3*(4*b*c + a*d)*x^17 + (1//21)*b*d^4*x^21, x, 2),
+((a + b*x^4)*(c + d*x^4)^3, a*c^3*x + (1//5)*c^2*(b*c + 3*a*d)*x^5 + (1//3)*c*d*(b*c + a*d)*x^9 + (1//13)*d^2*(3*b*c + a*d)*x^13 + (1//17)*b*d^3*x^17, x, 2),
+((a + b*x^4)*(c + d*x^4)^2, a*c^2*x + (1//5)*c*(b*c + 2*a*d)*x^5 + (1//9)*d*(2*b*c + a*d)*x^9 + (1//13)*b*d^2*x^13, x, 2),
+((a + b*x^4)*(c + d*x^4)^1, a*c*x + (1//5)*(b*c + a*d)*x^5 + (1//9)*b*d*x^9, x, 2),
+((a + b*x^4)/(c + d*x^4)^1, (b*x)/d + ((b*c - a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(5//4)) - ((b*c - a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(5//4)) + ((b*c - a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(5//4)) - ((b*c - a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(5//4)), x, 10),
+((a + b*x^4)/(c + d*x^4)^2, -(((b*c - a*d)*x)/(4*c*d*(c + d*x^4))) - ((b*c + 3*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(8*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(5//4)) + ((b*c + 3*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(8*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(5//4)) - ((b*c + 3*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(16*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(5//4)) + ((b*c + 3*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(16*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(5//4)), x, 10),
+((a + b*x^4)/(c + d*x^4)^3, -(((b*c - a*d)*x)/(8*c*d*(c + d*x^4)^2)) + ((b*c + 7*a*d)*x)/(32*c^2*d*(c + d*x^4)) - (3*(b*c + 7*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(64*sqrt(2)*c^(11//4)*d^(5//4)) + (3*(b*c + 7*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(64*sqrt(2)*c^(11//4)*d^(5//4)) - (3*(b*c + 7*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(128*sqrt(2)*c^(11//4)*d^(5//4)) + (3*(b*c + 7*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(128*sqrt(2)*c^(11//4)*d^(5//4)), x, 11),
+
+
+((a + b*x^4)^2*(c + d*x^4)^4, a^2*c^4*x + (2//5)*a*c^3*(b*c + 2*a*d)*x^5 + (1//9)*c^2*(b^2*c^2 + 8*a*b*c*d + 6*a^2*d^2)*x^9 + (4//13)*c*d*(b^2*c^2 + 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^13 + (1//17)*d^2*(6*b^2*c^2 + 8*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^17 + (2//21)*b*d^3*(2*b*c + a*d)*x^21 + (1//25)*b^2*d^4*x^25, x, 2),
+((a + b*x^4)^2*(c + d*x^4)^3, a^2*c^3*x + (1//5)*a*c^2*(2*b*c + 3*a*d)*x^5 + (1//9)*c*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^9 + (1//13)*d*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^13 + (1//17)*b*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^17 + (1//21)*b^2*d^3*x^21, x, 2),
+((a + b*x^4)^2*(c + d*x^4)^2, a^2*c^2*x + (2//5)*a*c*(b*c + a*d)*x^5 + (1//9)*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^9 + (2//13)*b*d*(b*c + a*d)*x^13 + (1//17)*b^2*d^2*x^17, x, 2),
+((a + b*x^4)^2*(c + d*x^4)^1, a^2*c*x + (1//5)*a*(2*b*c + a*d)*x^5 + (1//9)*b*(b*c + 2*a*d)*x^9 + (1//13)*b^2*d*x^13, x, 2),
+((a + b*x^4)^2/(c + d*x^4)^1, -((b*(b*c - 2*a*d)*x)/d^2) + (b^2*x^5)/(5*d) - ((b*c - a*d)^2*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(9//4)) + ((b*c - a*d)^2*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(9//4)) - ((b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(9//4)) + ((b*c - a*d)^2*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*d^(9//4)), x, 11),
+((a + b*x^4)^2/(c + d*x^4)^2, (b^2*x)/d^2 + ((b*c - a*d)^2*x)/(4*c*d^2*(c + d*x^4)) + ((b*c - a*d)*(5*b*c + 3*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(8*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(9//4)) - ((b*c - a*d)*(5*b*c + 3*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(8*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(9//4)) + ((b*c - a*d)*(5*b*c + 3*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(16*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(9//4)) - ((b*c - a*d)*(5*b*c + 3*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(16*sqrt(2)*c^(7//4)*d^(9//4)), x, 12),
+((a + b*x^4)^2/(c + d*x^4)^3, -(((b*c - a*d)*x*(a + b*x^4))/(8*c*d*(c + d*x^4)^2)) - ((b*c - a*d)*(5*b*c + 7*a*d)*x)/(32*c^2*d^2*(c + d*x^4)) - ((5*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(64*sqrt(2)*c^(11//4)*d^(9//4)) + ((5*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(64*sqrt(2)*c^(11//4)*d^(9//4)) - ((5*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(128*sqrt(2)*c^(11//4)*d^(9//4)) + ((5*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(128*sqrt(2)*c^(11//4)*d^(9//4)), x, 11),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/(a + b*x^4)*(c + d*x^4)^4, (d*(2*b*c - a*d)*(2*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*x)/b^4 + (d^2*(6*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*x^5)/(5*b^3) + (d^3*(4*b*c - a*d)*x^9)/(9*b^2) + (d^4*x^13)/(13*b) - ((b*c - a*d)^4*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(17//4)) + ((b*c - a*d)^4*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(17//4)) - ((b*c - a*d)^4*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(17//4)) + ((b*c - a*d)^4*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(17//4)), x, 11),
+(1/(a + b*x^4)*(c + d*x^4)^3, (d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*x)/b^3 + (d^2*(3*b*c - a*d)*x^5)/(5*b^2) + (d^3*x^9)/(9*b) - ((b*c - a*d)^3*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(13//4)) + ((b*c - a*d)^3*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(13//4)) - ((b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(13//4)) + ((b*c - a*d)^3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(13//4)), x, 11),
+(1/(a + b*x^4)*(c + d*x^4)^2, (d*(2*b*c - a*d)*x)/b^2 + (d^2*x^5)/(5*b) - ((b*c - a*d)^2*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(9//4)) + ((b*c - a*d)^2*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(9//4)) - ((b*c - a*d)^2*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(9//4)) + ((b*c - a*d)^2*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(9//4)), x, 11),
+(1/(a + b*x^4)*(c + d*x^4)^1, (d*x)/b - ((b*c - a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) + ((b*c - a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) - ((b*c - a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) + ((b*c - a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)), x, 10),
+(1/(a + b*x^4)/(c + d*x^4)^1, -((b^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d))) + (b^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)) + (d^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)) - (d^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)) - (b^(3//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)) + (b^(3//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)) + (d^(3//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)) - (d^(3//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)), x, 19),
+(1/(a + b*x^4)/(c + d*x^4)^2, -((d*x)/(4*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^4))) - (b^(7//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^2) + (b^(7//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^2) + (d^(3//4)*(7*b*c - 3*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(8*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^2) - (d^(3//4)*(7*b*c - 3*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(8*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^2) - (b^(7//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^2) + (b^(7//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)^2) + (d^(3//4)*(7*b*c - 3*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(16*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^2) - (d^(3//4)*(7*b*c - 3*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(16*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^2), x, 20),
+
+
+(1/(a + b*x^4)^2*(c + d*x^4)^5, (d^2*(10*b^3*c^3 - 20*a*b^2*c^2*d + 15*a^2*b*c*d^2 - 4*a^3*d^3)*x)/b^5 + (d^3*(10*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^5)/(5*b^4) + (d^4*(5*b*c - 2*a*d)*x^9)/(9*b^3) + (d^5*x^13)/(13*b^2) + ((b*c - a*d)^5*x)/(4*a*b^5*(a + b*x^4)) - ((b*c - a*d)^4*(3*b*c + 17*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(21//4)) + ((b*c - a*d)^4*(3*b*c + 17*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(21//4)) - ((b*c - a*d)^4*(3*b*c + 17*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(21//4)) + ((b*c - a*d)^4*(3*b*c + 17*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(21//4)), x, 12),
+(1/(a + b*x^4)^2*(c + d*x^4)^4, (d^2*(6*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x)/b^4 + (2*d^3*(2*b*c - a*d)*x^5)/(5*b^3) + (d^4*x^9)/(9*b^2) + ((b*c - a*d)^4*x)/(4*a*b^4*(a + b*x^4)) - ((b*c - a*d)^3*(3*b*c + 13*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(17//4)) + ((b*c - a*d)^3*(3*b*c + 13*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(17//4)) - ((b*c - a*d)^3*(3*b*c + 13*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(17//4)) + ((b*c - a*d)^3*(3*b*c + 13*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(17//4)), x, 12),
+(1/(a + b*x^4)^2*(c + d*x^4)^3, (d^2*(3*b*c - 2*a*d)*x)/b^3 + (d^3*x^5)/(5*b^2) + ((b*c - a*d)^3*x)/(4*a*b^3*(a + b*x^4)) - (3*(b*c - a*d)^2*(b*c + 3*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(13//4)) + (3*(b*c - a*d)^2*(b*c + 3*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(13//4)) - (3*(b*c - a*d)^2*(b*c + 3*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(13//4)) + (3*(b*c - a*d)^2*(b*c + 3*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(13//4)), x, 12),
+(1/(a + b*x^4)^2*(c + d*x^4)^2, (d^2*x)/b^2 + ((b*c - a*d)^2*x)/(4*a*b^2*(a + b*x^4)) - ((b*c - a*d)*(3*b*c + 5*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(9//4)) + ((b*c - a*d)*(3*b*c + 5*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(9//4)) - ((b*c - a*d)*(3*b*c + 5*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(9//4)) + ((b*c - a*d)*(3*b*c + 5*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(9//4)), x, 12),
+(1/(a + b*x^4)^2*(c + d*x^4)^1, ((b*c - a*d)*x)/(4*a*b*(a + b*x^4)) - ((3*b*c + a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)) + ((3*b*c + a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)) - ((3*b*c + a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)) + ((3*b*c + a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)), x, 10),
+(1/(a + b*x^4)^2/(c + d*x^4)^1, (b*x)/(4*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)) - (b^(3//4)*(3*b*c - 7*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^2) + (b^(3//4)*(3*b*c - 7*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^2) - (d^(7//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)^2) + (d^(7//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)^2) - (b^(3//4)*(3*b*c - 7*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^2) + (b^(3//4)*(3*b*c - 7*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^2) - (d^(7//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)^2) + (d^(7//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)^2), x, 20),
+(1/(a + b*x^4)^2/(c + d*x^4)^2, (d*(b*c + a*d)*x)/(4*a*c*(b*c - a*d)^2*(c + d*x^4)) + (b*x)/(4*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)*(c + d*x^4)) - (b^(7//4)*(3*b*c - 11*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(7//4)*(3*b*c - 11*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(7//4)*(11*b*c - 3*a*d)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(8*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(7//4)*(11*b*c - 3*a*d)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(8*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^3) - (b^(7//4)*(3*b*c - 11*a*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^3) + (b^(7//4)*(3*b*c - 11*a*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)^3) - (d^(7//4)*(11*b*c - 3*a*d)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(16*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^3) + (d^(7//4)*(11*b*c - 3*a*d)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(16*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)^3), x, 21),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^4)^(p/2) (c+d x^4)^q
+
+
+# ::Subsubsection::
+# q>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+((a - b*x^4)^(5//2)/(c - d*x^4), -((b*(7*b*c - 13*a*d)*x*sqrt(a - b*x^4))/(21*d^2)) + (b*x*(a - b*x^4)^(3//2))/(7*d) + (a^(1//4)*b^(3//4)*(21*b^2*c^2 - 56*a*b*c*d + 47*a^2*d^2)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(21*d^3*sqrt(a - b*x^4)) - (a^(1//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*d^3*sqrt(a - b*x^4)) - (a^(1//4)*(b*c - a*d)^3*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*d^3*sqrt(a - b*x^4)), x, 10),
+((a - b*x^4)^(3//2)/(c - d*x^4), (b*x*sqrt(a - b*x^4))/(3*d) - (a^(1//4)*b^(3//4)*(3*b*c - 5*a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(3*d^2*sqrt(a - b*x^4)) + (a^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*d^2*sqrt(a - b*x^4)) + (a^(1//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*d^2*sqrt(a - b*x^4)), x, 9),
+((a - b*x^4)^(1//2)/(c - d*x^4), (a^(1//4)*b^(3//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(d*sqrt(a - b*x^4)) - (a^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*d*sqrt(a - b*x^4)) - (a^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*d*sqrt(a - b*x^4)), x, 8),
+(1/((a - b*x^4)^(1//2)*(c - d*x^4)), (a^(1//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*sqrt(a - b*x^4)) + (a^(1//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*sqrt(a - b*x^4)), x, 5),
+(1/((a - b*x^4)^(3//2)*(c - d*x^4)), (b*x)/(2*a*(b*c - a*d)*sqrt(a - b*x^4)) + (b^(3//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(2*a^(3//4)*(b*c - a*d)*sqrt(a - b*x^4)) - (a^(1//4)*d*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*(b*c - a*d)*sqrt(a - b*x^4)) - (a^(1//4)*d*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*(b*c - a*d)*sqrt(a - b*x^4)), x, 9),
+(1/((a - b*x^4)^(5//2)*(c - d*x^4)), (b*x)/(6*a*(b*c - a*d)*(a - b*x^4)^(3//2)) + (b*(5*b*c - 11*a*d)*x)/(12*a^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(a - b*x^4)) + (b^(3//4)*(5*b*c - 11*a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(12*a^(7//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(a - b*x^4)) + (a^(1//4)*d^2*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(a - b*x^4)) + (a^(1//4)*d^2*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(a - b*x^4)), x, 10),
+
+((a + b*x^4)^(3//2)/(c + d*x^4), (b*x*sqrt(a + b*x^4))/(3*d) - ((b*c - a*d)^(3//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/((-c)^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(a + b*x^4))))/(4*(-c)^(3//4)*d^(7//4)) - (((-b)*c + a*d)^(3//2)*atan((sqrt((-b)*c + a*d)*x)/((-c)^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(a + b*x^4))))/(4*(-c)^(3//4)*d^(7//4)) - (b^(3//4)*(3*b*c - 5*a*d)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(6*a^(1//4)*d^2*sqrt(a + b*x^4)) + (b^(1//4)*(sqrt(b)*sqrt(-c) - sqrt(a)*sqrt(d))*(b*c - a*d)^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*sqrt(-c)*d^2*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^4)) + (b^(1//4)*(sqrt(b)*sqrt(-c) + sqrt(a)*sqrt(d))*(b*c - a*d)^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*sqrt(-c)*d^2*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^4)) + ((sqrt(b)*sqrt(-c) + sqrt(a)*sqrt(d))^2*(b*c - a*d)^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(-c) - sqrt(a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(-c)*sqrt(d))), 2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(8*a^(1//4)*b^(1//4)*c*d^2*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^4)) + ((sqrt(b)*sqrt(-c) - sqrt(a)*sqrt(d))^2*(b*c - a*d)^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(-c) + sqrt(a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(-c)*sqrt(d)), 2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(8*a^(1//4)*b^(1//4)*c*d^2*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^4)), x, 10),
+((a + b*x^4)^(1//2)/(c + d*x^4), (sqrt(b*c - a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/((-c)^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(a + b*x^4))))/(4*(-c)^(3//4)*d^(3//4)) - (sqrt((-b)*c + a*d)*atan((sqrt((-b)*c + a*d)*x)/((-c)^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(a + b*x^4))))/(4*(-c)^(3//4)*d^(3//4)) + (b^(3//4)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*d*sqrt(a + b*x^4)) - (b^(1//4)*(sqrt(b)*sqrt(-c) - sqrt(a)*sqrt(d))*(b*c - a*d)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*sqrt(-c)*d*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^4)) - (b^(1//4)*(sqrt(b) + (sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt(-c))*(b*c - a*d)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*d*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^4)) - ((sqrt(b)*sqrt(-c) + sqrt(a)*sqrt(d))^2*(b*c - a*d)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(-c) - sqrt(a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(-c)*sqrt(d))), 2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(8*a^(1//4)*b^(1//4)*c*d*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^4)) - ((sqrt(b)*sqrt(-c) - sqrt(a)*sqrt(d))^2*(b*c - a*d)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(-c) + sqrt(a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(-c)*sqrt(d)), 2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(8*a^(1//4)*b^(1//4)*c*d*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^4)), x, 9),
+(1/((a + b*x^4)^(1//2)*(c + d*x^4)), -((d^(1//4)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/((-c)^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(a + b*x^4))))/(4*(-c)^(3//4)*sqrt(b*c - a*d))) - (d^(1//4)*atan((sqrt((-b)*c + a*d)*x)/((-c)^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(a + b*x^4))))/(4*(-c)^(3//4)*sqrt((-b)*c + a*d)) + (b^(1//4)*(sqrt(b) + (sqrt(a)*sqrt(d))/sqrt(-c))*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^4)) + (b^(1//4)*(sqrt(b)*c + sqrt(a)*sqrt(-c)*sqrt(d))*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*c*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^4)) + ((sqrt(b)*sqrt(-c) + sqrt(a)*sqrt(d))^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(-c) - sqrt(a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(-c)*sqrt(d))), 2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(8*a^(1//4)*b^(1//4)*c*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^4)) + ((sqrt(b)*sqrt(-c) - sqrt(a)*sqrt(d))^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(-c) + sqrt(a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(-c)*sqrt(d)), 2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(8*a^(1//4)*b^(1//4)*c*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^4)), x, 7),
+# {1/((a + b*x^4)^(3/2)*(c + d*x^4)), x, 10, If[$VersionNumber>=8, (b*x)/(2*a*(b*c - a*d)*Sqrt[a + b*x^4]) + (d^(5/4)*ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x)/((-c)^(1/4)*d^(1/4)*Sqrt[a + b*x^4])])/(4*(-c)^(3/4)*(b*c - a*d)^(3/2)) - (d^(5/4)*ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x)/((-c)^(1/4)*d^(1/4)*Sqrt[a + b*x^4])])/(4*(-c)^(3/4)*((-b)*c + a*d)^(3/2)) + (b^(3/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(4*a^(5/4)*(b*c - a*d)*Sqrt[a + b*x^4]) - (b^(1/4)*(Sqrt[b] + (Sqrt[a]*Sqrt[d])/Sqrt[-c])*d*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(4*a^(1/4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*Sqrt[a + b*x^4]) - (b^(1/4)*(Sqrt[b]*c + Sqrt[a]*Sqrt[-c]*Sqrt[d])*d*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(4*a^(1/4)*c*(b^2*c^2 - a^2*d^2)*Sqrt[a + b*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[-c] + Sqrt[a]*Sqrt[d])^2*d*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[-c] - Sqrt[a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[b]*Sqrt[-c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(b^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(8*a^(1/4)*b^(1/4)*c*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*Sqrt[a + b*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[-c] - Sqrt[a]*Sqrt[d])^2*d*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[-c] + Sqrt[a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[b]*Sqrt[-c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(b^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(8*a^(1/4)*b^(1/4)*c*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*Sqrt[a + b*x^4]), (b*x)/(2*a*(b*c - a*d)*Sqrt[a + b*x^4]) + (d^(5/4)*ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x)/((-c)^(1/4)*d^(1/4)*Sqrt[a + b*x^4])])/(4*(-c)^(3/4)*(b*c - a*d)^(3/2)) - (d^(5/4)*ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x)/((-c)^(1/4)*d^(1/4)*Sqrt[a + b*x^4])])/(4*(-c)^(3/4)*((-b)*c + a*d)^(3/2)) + (b^(3/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(4*a^(5/4)*(b*c - a*d)*Sqrt[a + b*x^4]) - (b^(1/4)*(Sqrt[b] + (Sqrt[a]*Sqrt[d])/Sqrt[-c])*d*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(4*a^(1/4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*Sqrt[a + b*x^4]) - (b^(1/4)*(Sqrt[b]*c + Sqrt[a]*Sqrt[-c]*Sqrt[d])*d*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(4*a^(1/4)*c*(b^2*c^2 - a^2*d^2)*Sqrt[a + b*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[-c] + Sqrt[a]*Sqrt[d])^2*d*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[-c] - Sqrt[a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[b]*Sqrt[-c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(b^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(8*a^(1/4)*b^(1/4)*c*(b^2*c^2 - a^2*d^2)*Sqrt[a + b*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[-c] - Sqrt[a]*Sqrt[d])^2*d*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[-c] + Sqrt[a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[b]*Sqrt[-c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(b^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(8*a^(1/4)*b^(1/4)*c*(b^2*c^2 - a^2*d^2)*Sqrt[a + b*x^4])]}
+(1/((a + b*x^4)^(5//2)*(c + d*x^4)), (b*x)/(6*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)^(3//2)) + (b*(5*b*c - 11*a*d)*x)/(12*a^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x^4)) - (d^(9//4)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/((-c)^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(a + b*x^4))))/(4*(-c)^(3//4)*(b*c - a*d)^(5//2)) - (d^(9//4)*atan((sqrt((-b)*c + a*d)*x)/((-c)^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(a + b*x^4))))/(4*(-c)^(3//4)*((-b)*c + a*d)^(5//2)) + (b^(3//4)*(5*b*c - 11*a*d)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(24*a^(9//4)*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b*x^4)) + (b^(1//4)*(sqrt(b)*c - sqrt(a)*sqrt(-c)*sqrt(d))*d^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*c*(b*c - a*d)^2*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^4)) + (b^(1//4)*(sqrt(b)*c + sqrt(a)*sqrt(-c)*sqrt(d))*d^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*c*(b*c - a*d)^2*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^4)) + ((sqrt(b)*sqrt(-c) + sqrt(a)*sqrt(d))^2*d^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(-c) - sqrt(a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(-c)*sqrt(d))), 2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(8*a^(1//4)*b^(1//4)*c*(b*c - a*d)^2*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^4)) + ((sqrt(b)*sqrt(-c) - sqrt(a)*sqrt(d))^2*d^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(-c) + sqrt(a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(-c)*sqrt(d)), 2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(8*a^(1//4)*b^(1//4)*c*(b*c - a*d)^2*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^4)), x, 11),
+
+
+((a - b*x^4)^(7//2)/(c - d*x^4)^2, -((b*(77*b^2*c^2 - 122*a*b*c*d + 21*a^2*d^2)*x*sqrt(a - b*x^4))/(84*c*d^3)) + (b*(11*b*c - 7*a*d)*x*(a - b*x^4)^(3//2))/(28*c*d^2) - ((b*c - a*d)*x*(a - b*x^4)^(5//2))/(4*c*d*(c - d*x^4)) + (1/(84*c*d^4*sqrt(a - b*x^4)))*(a^(1//4)*b^(3//4)*(231*b^3*c^3 - 553*a*b^2*c^2*d + 349*a^2*b*c*d^2 + 21*a^3*d^3)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1)) - (a^(1//4)*(b*c - a*d)^3*(11*b*c + 3*a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*d^4*sqrt(a - b*x^4)) - (a^(1//4)*(b*c - a*d)^3*(11*b*c + 3*a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*d^4*sqrt(a - b*x^4)), x, 11),
+((a - b*x^4)^(5//2)/(c - d*x^4)^2, (b*(7*b*c - 3*a*d)*x*sqrt(a - b*x^4))/(12*c*d^2) - ((b*c - a*d)*x*(a - b*x^4)^(3//2))/(4*c*d*(c - d*x^4)) - (a^(1//4)*b^(3//4)*(21*b^2*c^2 - 26*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(12*c*d^3*sqrt(a - b*x^4)) + (a^(1//4)*(b*c - a*d)^2*(7*b*c + 3*a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*d^3*sqrt(a - b*x^4)) + (a^(1//4)*(b*c - a*d)^2*(7*b*c + 3*a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*d^3*sqrt(a - b*x^4)), x, 10),
+((a - b*x^4)^(3//2)/(c - d*x^4)^2, -(((b*c - a*d)*x*sqrt(a - b*x^4))/(4*c*d*(c - d*x^4))) + (a^(1//4)*b^(3//4)*(3*b*c + a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(4*c*d^2*sqrt(a - b*x^4)) - (3*a^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*d^2*sqrt(a - b*x^4)) - (3*a^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*d^2*sqrt(a - b*x^4)), x, 9),
+((a - b*x^4)^(1//2)/(c - d*x^4)^2, (x*sqrt(a - b*x^4))/(4*c*(c - d*x^4)) + (a^(1//4)*b^(3//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(4*c*d*sqrt(a - b*x^4)) - (a^(1//4)*(b*c - 3*a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*d*sqrt(a - b*x^4)) - (a^(1//4)*(b*c - 3*a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*d*sqrt(a - b*x^4)), x, 9),
+(1/((a - b*x^4)^(1//2)*(c - d*x^4)^2), -((d*x*sqrt(a - b*x^4))/(4*c*(b*c - a*d)*(c - d*x^4))) - (a^(1//4)*b^(3//4)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(4*c*(b*c - a*d)*sqrt(a - b*x^4)) + (a^(1//4)*(5*b*c - 3*a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*(b*c - a*d)*sqrt(a - b*x^4)) + (a^(1//4)*(5*b*c - 3*a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*(b*c - a*d)*sqrt(a - b*x^4)), x, 9),
+(1/((a - b*x^4)^(3//2)*(c - d*x^4)^2), (b*(2*b*c + a*d)*x)/(4*a*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(a - b*x^4)) - (d*x)/(4*c*(b*c - a*d)*sqrt(a - b*x^4)*(c - d*x^4)) + (b^(3//4)*(2*b*c + a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(4*a^(3//4)*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(a - b*x^4)) - (3*a^(1//4)*d*(3*b*c - a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(a - b*x^4)) - (3*a^(1//4)*d*(3*b*c - a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(a - b*x^4)), x, 10),
+(1/((a - b*x^4)^(5//2)*(c - d*x^4)^2), (b*(2*b*c + 3*a*d)*x)/(12*a*c*(b*c - a*d)^2*(a - b*x^4)^(3//2)) + (b*(5*b^2*c^2 - 17*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*x)/(12*a^2*c*(b*c - a*d)^3*sqrt(a - b*x^4)) - (d*x)/(4*c*(b*c - a*d)*(a - b*x^4)^(3//2)*(c - d*x^4)) + (b^(3//4)*(5*b^2*c^2 - 17*a*b*c*d - 3*a^2*d^2)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(12*a^(7//4)*c*(b*c - a*d)^3*sqrt(a - b*x^4)) + (a^(1//4)*d^2*(13*b*c - 3*a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*(b*c - a*d)^3*sqrt(a - b*x^4)) + (a^(1//4)*d^2*(13*b*c - 3*a*d)*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*sqrt(d))/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*(b*c - a*d)^3*sqrt(a - b*x^4)), x, 11),
+
+# {(a + b*x^4)^(7/2)/(c + d*x^4)^2, x, 11, 0}
+((a + b*x^4)^(5//2)/(c + d*x^4)^2, 0, x, 10),
+((a + b*x^4)^(3//2)/(c + d*x^4)^2, 0, x, 9),
+((a + b*x^4)^(1//2)/(c + d*x^4)^2, 0, x, 9),
+(1/((a + b*x^4)^(1//2)*(c + d*x^4)^2), 0, x, 9),
+(1/((a + b*x^4)^(3//2)*(c + d*x^4)^2), 0, x, 10),
+# {1/((a + b*x^4)^(5/2)*(c + d*x^4)^2), x, 11, 0} *)
+
+
+# with b*c+a*d==0
+(sqrt(a + b*x^4)/(a*c - b*c*x^4), atan((sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x)/sqrt(a + b*x^4))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*c) + atanh((sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x)/sqrt(a + b*x^4))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*c), x, 4),
+(sqrt(a - b*x^4)/(a*c + b*c*x^4), atan((b^(1//4)*x*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2))/(a^(1//4)*sqrt(a - b*x^4)))/(2*a^(1//4)*b^(1//4)*c) + atanh((b^(1//4)*x*(sqrt(a) - sqrt(b)*x^2))/(a^(1//4)*sqrt(a - b*x^4)))/(2*a^(1//4)*b^(1//4)*c), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^4)^(p/4) (c+d x^4)^q
+
+
+# ::Subsubsection::
+# q>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+# Good examples of elementary integrands and antiderivatives
+((a + b*x^4)^(7//4)/(c + d*x^4), (b*x*(a + b*x^4)^(3//4))/(4*d) - (b^(3//4)*(4*b*c - 7*a*d)*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(8*d^2) + ((b*c - a*d)^(7//4)*atan(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(2*c^(3//4)*d^2) - (b^(3//4)*(4*b*c - 7*a*d)*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(8*d^2) + ((b*c - a*d)^(7//4)*atanh(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(2*c^(3//4)*d^2), x, 10),
+((a + b*x^4)^(3//4)/(c + d*x^4), (b^(3//4)*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(2*d) - ((b*c - a*d)^(3//4)*atan(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(2*c^(3//4)*d) + (b^(3//4)*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(2*d) - ((b*c - a*d)^(3//4)*atanh(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(2*c^(3//4)*d), x, 9),
+(1/((a + b*x^4)^(1//4)*(c + d*x^4)), atan(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4)))/(2*c^(3//4)*(b*c - a*d)^(1//4)) + atanh(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4)))/(2*c^(3//4)*(b*c - a*d)^(1//4)), x, 4),
+(1/((a + b*x^4)^(5//4)*(c + d*x^4)), (b*x)/(a*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)^(1//4)) - (d*atan(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(2*c^(3//4)*(b*c - a*d)^(5//4)) - (d*atanh(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(2*c^(3//4)*(b*c - a*d)^(5//4)), x, 5),
+(1/((a + b*x^4)^(9//4)*(c + d*x^4)), (b*x)/(5*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)^(5//4)) + (b*(4*b*c - 9*a*d)*x)/(5*a^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^4)^(1//4)) + (d^2*atan(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(2*c^(3//4)*(b*c - a*d)^(9//4)) + (d^2*atanh(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(2*c^(3//4)*(b*c - a*d)^(9//4)), x, 7),
+(1/((a + b*x^4)^(13//4)*(c + d*x^4)), (b*x)/(9*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)^(9//4)) + (b*(8*b*c - 17*a*d)*x)/(45*a^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^4)^(5//4)) + (b*(32*b^2*c^2 - 100*a*b*c*d + 113*a^2*d^2)*x)/(45*a^3*(b*c - a*d)^3*(a + b*x^4)^(1//4)) - (d^3*atan(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(2*c^(3//4)*(b*c - a*d)^(13//4)) - (d^3*atanh(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(2*c^(3//4)*(b*c - a*d)^(13//4)), x, 8),
+
+((a + b*x^4)^(9//4)/(c + d*x^4), -((b*(6*b*c - 11*a*d)*x*(a + b*x^4)^(1//4))/(12*d^2)) + (b*x*(a + b*x^4)^(5//4))/(6*d) + (sqrt(a)*b^(3//2)*(6*b*c - 11*a*d)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(12*d^2*(a + b*x^4)^(3//4)) + ((b*c - a*d)^2*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*d^2) + ((b*c - a*d)^2*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*d^2), x, 11),
+((a + b*x^4)^(5//4)/(c + d*x^4), (b*x*(a + b*x^4)^(1//4))/(2*d) - (sqrt(a)*b^(3//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(2*d*(a + b*x^4)^(3//4)) - ((b*c - a*d)*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*d) - ((b*c - a*d)*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*d), x, 10),
+((a + b*x^4)^(1//4)/(c + d*x^4), (sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c) + (sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c), x, 4),
+(1/((a + b*x^4)^(3//4)*(c + d*x^4)), -((b^(3//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(a)*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)^(3//4))) - (d*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*(b*c - a*d)) - (d*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*(b*c - a*d)), x, 9),
+(1/((a + b*x^4)^(7//4)*(c + d*x^4)), (b*x)/(3*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)^(3//4)) - (b^(3//2)*(2*b*c - 5*a*d)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(3*a^(3//2)*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^4)^(3//4)) + (d^2*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*(b*c - a*d)^2) + (d^2*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*(b*c - a*d)^2), x, 10),
+(1/((a + b*x^4)^(11//4)*(c + d*x^4)), (b*x)/(7*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)^(7//4)) + (b*(6*b*c - 13*a*d)*x)/(21*a^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^4)^(3//4)) - (b^(3//2)*(12*b^2*c^2 - 38*a*b*c*d + 47*a^2*d^2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(21*a^(5//2)*(b*c - a*d)^3*(a + b*x^4)^(3//4)) - (d^3*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*(b*c - a*d)^3) - (d^3*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(2*b^(1//4)*c*(b*c - a*d)^3), x, 11),
+
+
+# Good examples of elementary integrands and antiderivatives
+((a + b*x^4)^(11//4)/(c + d*x^4)^2, (b*(2*b*c - a*d)*x*(a + b*x^4)^(3//4))/(4*c*d^2) - ((b*c - a*d)*x*(a + b*x^4)^(7//4))/(4*c*d*(c + d*x^4)) - (b^(7//4)*(8*b*c - 11*a*d)*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(8*d^3) + ((b*c - a*d)^(7//4)*(8*b*c + 3*a*d)*atan(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(8*c^(7//4)*d^3) - (b^(7//4)*(8*b*c - 11*a*d)*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(8*d^3) + ((b*c - a*d)^(7//4)*(8*b*c + 3*a*d)*atanh(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(8*c^(7//4)*d^3), x, 11),
+((a + b*x^4)^(7//4)/(c + d*x^4)^2, -(((b*c - a*d)*x*(a + b*x^4)^(3//4))/(4*c*d*(c + d*x^4))) + (b^(7//4)*atan((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(2*d^2) - ((b*c - a*d)^(3//4)*(4*b*c + 3*a*d)*atan(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(8*c^(7//4)*d^2) + (b^(7//4)*atanh((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)))/(2*d^2) - ((b*c - a*d)^(3//4)*(4*b*c + 3*a*d)*atanh(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(8*c^(7//4)*d^2), x, 10),
+((a + b*x^4)^(3//4)/(c + d*x^4)^2, (x*(a + b*x^4)^(3//4))/(4*c*(c + d*x^4)) + (3*a*atan(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(8*c^(7//4)*(b*c - a*d)^(1//4)) + (3*a*atanh(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(8*c^(7//4)*(b*c - a*d)^(1//4)), x, 5),
+(1/((a + b*x^4)^(1//4)*(c + d*x^4)^2), -((d*x*(a + b*x^4)^(3//4))/(4*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^4))) + ((4*b*c - 3*a*d)*atan(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(8*c^(7//4)*(b*c - a*d)^(5//4)) + ((4*b*c - 3*a*d)*atanh(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(8*c^(7//4)*(b*c - a*d)^(5//4)), x, 5),
+(1/((a + b*x^4)^(5//4)*(c + d*x^4)^2), (b*(4*b*c + a*d)*x)/(4*a*c*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^4)^(1//4)) - (d*x)/(4*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)^(1//4)*(c + d*x^4)) - (d*(8*b*c - 3*a*d)*atan(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(8*c^(7//4)*(b*c - a*d)^(9//4)) - (d*(8*b*c - 3*a*d)*atanh(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(8*c^(7//4)*(b*c - a*d)^(9//4)), x, 7),
+(1/((a + b*x^4)^(9//4)*(c + d*x^4)^2), (b*(4*b*c + 5*a*d)*x)/(20*a*c*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^4)^(5//4)) + (b*(16*b^2*c^2 - 56*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*x)/(20*a^2*c*(b*c - a*d)^3*(a + b*x^4)^(1//4)) - (d*x)/(4*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)^(5//4)*(c + d*x^4)) + (3*d^2*(4*b*c - a*d)*atan(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(8*c^(7//4)*(b*c - a*d)^(13//4)) + (3*d^2*(4*b*c - a*d)*atanh(((b*c - a*d)^(1//4)*x)/(c^(1//4)*(a + b*x^4)^(1//4))))/(8*c^(7//4)*(b*c - a*d)^(13//4)), x, 8),
+
+((a + b*x^4)^(9//4)/(c + d*x^4)^2, (b*(3*b*c - a*d)*x*(a + b*x^4)^(1//4))/(4*c*d^2) - ((b*c - a*d)*x*(a + b*x^4)^(5//4))/(4*c*d*(c + d*x^4)) - (sqrt(a)*b^(3//2)*(3*b*c - a*d)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(4*c*d^2*(a + b*x^4)^(3//4)) - (3*(b*c - a*d)*(2*b*c + a*d)*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*d^2) - (3*(b*c - a*d)*(2*b*c + a*d)*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*d^2), x, 11),
+((a + b*x^4)^(5//4)/(c + d*x^4)^2, -(((b*c - a*d)*x*(a + b*x^4)^(1//4))/(4*c*d*(c + d*x^4))) + (sqrt(a)*b^(3//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(4*c*d*(a + b*x^4)^(3//4)) + ((2*b*c + 3*a*d)*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*d) + ((2*b*c + 3*a*d)*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*d), x, 10),
+((a + b*x^4)^(1//4)/(c + d*x^4)^2, (x*(a + b*x^4)^(1//4))/(4*c*(c + d*x^4)) - (sqrt(a)*b^(3//2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(4*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)^(3//4)) + ((2*b*c - 3*a*d)*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*(b*c - a*d)) + ((2*b*c - 3*a*d)*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*(b*c - a*d)), x, 10),
+(1/((a + b*x^4)^(3//4)*(c + d*x^4)^2), -((d*x*(a + b*x^4)^(1//4))/(4*c*(b*c - a*d)*(c + d*x^4))) - (b^(3//2)*(4*b*c - a*d)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(4*sqrt(a)*c*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^4)^(3//4)) - (3*d*(2*b*c - a*d)*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*(b*c - a*d)^2) - (3*d*(2*b*c - a*d)*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*(b*c - a*d)^2), x, 10),
+(1/((a + b*x^4)^(7//4)*(c + d*x^4)^2), (b*(4*b*c + 3*a*d)*x)/(12*a*c*(b*c - a*d)^2*(a + b*x^4)^(3//4)) - (d*x)/(4*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)^(3//4)*(c + d*x^4)) - (b^(3//2)*(8*b^2*c^2 - 32*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*(1 + a/(b*x^4))^(3//4)*x^3*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*acot((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)), 2))/(12*a^(3//2)*c*(b*c - a*d)^3*(a + b*x^4)^(3//4)) + (d^2*(10*b*c - 3*a*d)*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c))), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*(b*c - a*d)^3) + (d^2*(10*b*c - 3*a*d)*sqrt(a/(a + b*x^4))*sqrt(a + b*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(sqrt(b*c - a*d)/(sqrt(b)*sqrt(c)), asin((b^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4)), -1))/(8*b^(1//4)*c^2*(b*c - a*d)^3), x, 11),
+
+
+(1/((1 + x^4)^(1//4)*(2 + x^4)), atan(x/(2^(1//4)*(1 + x^4)^(1//4)))/(2*2^(3//4)) + atanh(x/(2^(1//4)*(1 + x^4)^(1//4)))/(2*2^(3//4)), x, 4),
+(1/((a + b*x^4)^(1//4)*(a - (a - b)*x^4)), atan((a^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4))/(2*a^(5//4)) + atanh((a^(1//4)*x)/(a + b*x^4)^(1//4))/(2*a^(5//4)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^4)^p (c+d x^4)^q with q symbolic
+
+
+((a + b*x^4)^p*(c + d*x^4)^q, (x*(a + b*x^4)^p*(c + d*x^4)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//4, -p, -q, 5//4, -((b*x^4)/a), -((d*x^4)/c)))/((1 + (b*x^4)/a)^p*(1 + (d*x^4)/c)^q), x, 3),
+
+
+# {(a + b*x^4)^2*(c + d*x^4)^q, x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((b*(5*b*c - a*d*(13 + 4*q))*x*(c + d*x^4)^(1 + q))/(d^2*(5 + 4*q)*(9 + 4*q))) + (b*x*(a + b*x^4)*(c + d*x^4)^(1 + q))/(d*(9 + 4*q)) + ((5*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d*(9 + 4*q) + a^2*d^2*(45 + 56*q + 16*q^2))*x*(c + d*x^4)^q*Hypergeometric2F1[1/4, -q, 5/4, -((d*x^4)/c)])/((1 + (d*x^4)/c)^q*(d^2*(5 + 4*q)*(9 + 4*q))), -((b*(5*b*c - a*d*(13 + 4*q))*x*(c + d*x^4)^(1 + q))/(d^2*(45 + 56*q + 16*q^2))) + (b*x*(a + b*x^4)*(c + d*x^4)^(1 + q))/(d*(9 + 4*q)) + ((5*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d*(9 + 4*q) + a^2*d^2*(45 + 56*q + 16*q^2))*x*(c + d*x^4)^q*Hypergeometric2F1[1/4, -q, 5/4, -((d*x^4)/c)])/((1 + (d*x^4)/c)^q*(d^2*(45 + 56*q + 16*q^2)))]}
+((a + b*x^4)^1*(c + d*x^4)^q, (b*x*(c + d*x^4)^(1 + q))/(d*(5 + 4*q)) - ((b*c - a*d*(5 + 4*q))*x*(c + d*x^4)^q*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//4, -q, 5//4, -((d*x^4)/c)))/((1 + (d*x^4)/c)^q*(d*(5 + 4*q))), x, 3),
+(1/(a + b*x^4)^1*(c + d*x^4)^q, (x*(c + d*x^4)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//4, 1, -q, 5//4, -((b*x^4)/a), -((d*x^4)/c)))/((1 + (d*x^4)/c)^q*a), x, 2),
+(1/(a + b*x^4)^2*(c + d*x^4)^q, (x*(c + d*x^4)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//4, 2, -q, 5//4, -((b*x^4)/a), -((d*x^4)/c)))/((1 + (d*x^4)/c)^q*a^2), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^5)^p (c+d x^5)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^5)^(p/5) (c+d x^4)^q
+
+
+(1/((a + b*x^5)^(1//5)*(c + d*x^5)), -((sqrt((1//2)*(5 + sqrt(5)))*atan(sqrt((1//5)*(5 - 2*sqrt(5))) - (2*sqrt(2/(5 + sqrt(5)))*(b*c - a*d)^(1//5)*x)/(c^(1//5)*(a + b*x^5)^(1//5))))/(5*c^(4//5)*(b*c - a*d)^(1//5))) + (sqrt((1//2)*(5 - sqrt(5)))*atan(sqrt((1//5)*(5 + 2*sqrt(5))) + (sqrt((2//5)*(5 + sqrt(5)))*(b*c - a*d)^(1//5)*x)/(c^(1//5)*(a + b*x^5)^(1//5))))/(5*c^(4//5)*(b*c - a*d)^(1//5)) - log(c^(1//5) - ((b*c - a*d)^(1//5)*x)/(a + b*x^5)^(1//5))/(5*c^(4//5)*(b*c - a*d)^(1//5)) + ((1 - sqrt(5))*log((2*(b*c - a*d)^(2//5)*x^2 + c^(1//5)*(b*c - a*d)^(1//5)*x*(a + b*x^5)^(1//5) - sqrt(5)*c^(1//5)*(b*c - a*d)^(1//5)*x*(a + b*x^5)^(1//5) + 2*c^(2//5)*(a + b*x^5)^(2//5))/(a + b*x^5)^(2//5)))/(20*c^(4//5)*(b*c - a*d)^(1//5)) + ((1 + sqrt(5))*log((2*(b*c - a*d)^(2//5)*x^2 + c^(1//5)*(b*c - a*d)^(1//5)*x*(a + b*x^5)^(1//5) + sqrt(5)*c^(1//5)*(b*c - a*d)^(1//5)*x*(a + b*x^5)^(1//5) + 2*c^(2//5)*(a + b*x^5)^(2//5))/(a + b*x^5)^(2//5)))/(20*c^(4//5)*(b*c - a*d)^(1//5)), x, 7),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q with integer n<0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b/x)^p (c+d/x)^q
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+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (a+b/x)^p) (c+d/x)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b/x)^(p/2) (c+d/x)^q
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(a + b/x)*(c + d/x)^3, (-7*d*sqrt(a + b/x)*(c + d/x)^2)/5 - (d*sqrt(a + b/x)*(2*(57*b^2*c^2 + 15*a*b*c*d - 2*a^2*d^2) + (b*d*(33*b*c + 2*a*d))/x))/(15*b^2) + sqrt(a + b/x)*(c + d/x)^3*x + (c^2*(b*c + 6*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 6),
+(sqrt(a + b/x)*(c + d/x)^2, -((c*(b*c + 4*a*d)*sqrt(a + b/x))/a) - (2*d^2*(a + b/x)^(3//2))/(3*b) + (c^2*(a + b/x)^(3//2)*x)/a + (c*(b*c + 4*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 6),
+(sqrt(a + b/x)*(c + d/x), -(((b*c + 2*a*d)*sqrt(a + b/x))/a) + (c*(a + b/x)^(3//2)*x)/a + ((b*c + 2*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 5),
+(sqrt(a + b/x), sqrt(a + b/x)*x + (b*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 4),
+(sqrt(a + b/x)/(c + d/x), (sqrt(a + b/x)*x)/c + (2*sqrt(d)*sqrt(b*c - a*d)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/sqrt(b*c - a*d)))/c^2 + ((b*c - 2*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*c^2), x, 7),
+(sqrt(a + b/x)/(c + d/x)^2, (2*d*sqrt(a + b/x))/(c^2*(c + d/x)) + (sqrt(a + b/x)*x)/(c*(c + d/x)) + (sqrt(d)*(3*b*c - 4*a*d)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/sqrt(b*c - a*d)))/(c^3*sqrt(b*c - a*d)) + ((b*c - 4*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*c^3), x, 8),
+(sqrt(a + b/x)/(c + d/x)^3, (3*d*sqrt(a + b/x))/(2*c^2*(c + d/x)^2) + (d*(11*b*c - 12*a*d)*sqrt(a + b/x))/(4*c^3*(b*c - a*d)*(c + d/x)) + (sqrt(a + b/x)*x)/(c*(c + d/x)^2) + (sqrt(d)*(15*b^2*c^2 - 40*a*b*c*d + 24*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*c^4*(b*c - a*d)^(3//2)) + ((b*c - 6*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*c^4), x, 9),
+
+
+((a + b/x)^(3//2)*(c + d/x)^3, -3*c^2*(b*c + 2*a*d)*sqrt(a + b/x) - (9//7)*d*(a + b/x)^(3//2)*(c + d/x)^2 - (d*(a + b/x)^(3//2)*(2*(13*b*c - a*d)*(5*b*c + 2*a*d) + (3*b*d*(19*b*c + 2*a*d))/x))/(35*b^2) + (a + b/x)^(3//2)*(c + d/x)^3*x + 3*sqrt(a)*c^2*(b*c + 2*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)), x, 7),
+((a + b/x)^(3//2)*(c + d/x)^2, -(c*(3*b*c + 4*a*d)*sqrt(a + b/x)) - (c*(3*b*c + 4*a*d)*(a + b/x)^(3//2))/(3*a) - (2*d^2*(a + b/x)^(5//2))/(5*b) + (c^2*(a + b/x)^(5//2)*x)/a + sqrt(a)*c*(3*b*c + 4*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)), x, 7),
+((a + b/x)^(3//2)*(c + d/x), -((3*b*c + 2*a*d)*sqrt(a + b/x)) - ((3*b*c + 2*a*d)*(a + b/x)^(3//2))/(3*a) + (c*(a + b/x)^(5//2)*x)/a + sqrt(a)*(3*b*c + 2*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)), x, 6),
+((a + b/x)^(3//2), -3*b*sqrt(a + b/x) + (a + b/x)^(3//2)*x + 3*sqrt(a)*b*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)), x, 5),
+((a + b/x)^(3//2)/(c + d/x), (a*sqrt(a + b/x)*x)/c - (2*(b*c - a*d)^(3//2)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/sqrt(b*c - a*d)))/(c^2*sqrt(d)) + (sqrt(a)*(3*b*c - 2*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/c^2, x, 7),
+((a + b/x)^(3//2)/(c + d/x)^2, -(((b*c - 2*a*d)*sqrt(a + b/x))/(c^2*(c + d/x))) + (a*sqrt(a + b/x)*x)/(c*(c + d/x)) - ((b*c - 4*a*d)*sqrt(b*c - a*d)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/sqrt(b*c - a*d)))/(c^3*sqrt(d)) + (sqrt(a)*(3*b*c - 4*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/c^3, x, 8),
+((a + b/x)^(3//2)/(c + d/x)^3, -((b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b/x))/(2*c^2*(c + d/x)^2) - (3*(b*c - 4*a*d)*sqrt(a + b/x))/(4*c^3*(c + d/x)) + (a*sqrt(a + b/x)*x)/(c*(c + d/x)^2) - (3*(b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*c^4*sqrt(d)*sqrt(b*c - a*d)) + (3*sqrt(a)*(b*c - 2*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/c^4, x, 9),
+
+
+((a + b/x)^(5//2)*(c + d/x)^3, (-a)*c^2*(5*b*c + 6*a*d)*sqrt(a + b/x) - (1//3)*c^2*(5*b*c + 6*a*d)*(a + b/x)^(3//2) - (11//9)*d*(a + b/x)^(5//2)*(c + d/x)^2 - (d*(a + b/x)^(5//2)*(2*(469*b^2*c^2 + 135*a*b*c*d - 10*a^2*d^2) + (5*b*d*(89*b*c + 10*a*d))/x))/(315*b^2) + (a + b/x)^(5//2)*(c + d/x)^3*x + a^(3//2)*c^2*(5*b*c + 6*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)), x, 8),
+((a + b/x)^(5//2)*(c + d/x)^2, -(a*c*(5*b*c + 4*a*d)*sqrt(a + b/x)) - (c*(5*b*c + 4*a*d)*(a + b/x)^(3//2))/3 - (c*(5*b*c + 4*a*d)*(a + b/x)^(5//2))/(5*a) - (2*d^2*(a + b/x)^(7//2))/(7*b) + (c^2*(a + b/x)^(7//2)*x)/a + a^(3//2)*c*(5*b*c + 4*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)), x, 8),
+((a + b/x)^(5//2)*(c + d/x), (-a)*(5*b*c + 2*a*d)*sqrt(a + b/x) - (1//3)*(5*b*c + 2*a*d)*(a + b/x)^(3//2) - ((5*b*c + 2*a*d)*(a + b/x)^(5//2))/(5*a) + (c*(a + b/x)^(7//2)*x)/a + a^(3//2)*(5*b*c + 2*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)), x, 7),
+((a + b/x)^(5//2), -5*a*b*sqrt(a + b/x) - (5*b*(a + b/x)^(3//2))/3 + (a + b/x)^(5//2)*x + 5*a^(3//2)*b*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)), x, 6),
+((a + b/x)^(5//2)/(c + d/x), -((b*(2*b*c + a*d)*sqrt(a + b/x))/(c*d)) + (a*(a + b/x)^(3//2)*x)/c + (2*(b*c - a*d)^(5//2)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/sqrt(b*c - a*d)))/(c^2*d^(3//2)) + (a^(3//2)*(5*b*c - 2*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/c^2, x, 8),
+((a + b/x)^(5//2)/(c + d/x)^2, ((b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(a + b/x))/(c^2*d*(c + d/x)) + (a*(a + b/x)^(3//2)*x)/(c*(c + d/x)) - ((b*c - a*d)^(3//2)*(b*c + 4*a*d)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/sqrt(b*c - a*d)))/(c^3*d^(3//2)) + (a^(3//2)*(5*b*c - 4*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/c^3, x, 8),
+((a + b/x)^(5//2)/(c + d/x)^3, ((b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt(a + b/x))/(2*c^2*d*(c + d/x)^2) - ((b^2*c^2 + 7*a*b*c*d - 12*a^2*d^2)*sqrt(a + b/x))/(4*c^3*d*(c + d/x)) + (a*(a + b/x)^(3//2)*x)/(c*(c + d/x)^2) - (sqrt(b*c - a*d)*(b^2*c^2 + 8*a*b*c*d - 24*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*c^4*d^(3//2)) + (a^(3//2)*(5*b*c - 6*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/c^4, x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((c + d/x)^3/sqrt(a + b/x), -(d*sqrt(a + b/x)*(2*(3*b^2*c^2 + 9*a*b*c*d - 2*a^2*d^2) + (b*d*(3*b*c + 2*a*d))/x))/(3*a*b^2) + (c*sqrt(a + b/x)*(c + d/x)^2*x)/a - (c^2*(b*c - 6*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 5),
+((c + d/x)^2/sqrt(a + b/x), (-2*d^2*sqrt(a + b/x))/b + (c^2*sqrt(a + b/x)*x)/a - (c*(b*c - 4*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 5),
+((c + d/x)/sqrt(a + b/x), (c*sqrt(a + b/x)*x)/a - ((b*c - 2*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 4),
+(1/sqrt(a + b/x), (sqrt(a + b/x)*x)/a - (b*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 4),
+(1/(sqrt(a + b/x)*(c + d/x)), (sqrt(a + b/x)*x)/(a*c) - (2*d^(3//2)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/sqrt(b*c - a*d)))/(c^2*sqrt(b*c - a*d)) - ((b*c + 2*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*c^2), x, 7),
+(1/(sqrt(a + b/x)*(c + d/x)^2), (d*(b*c - 2*a*d)*sqrt(a + b/x))/(a*c^2*(b*c - a*d)*(c + d/x)) + (sqrt(a + b/x)*x)/(a*c*(c + d/x)) - (d^(3//2)*(5*b*c - 4*a*d)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/sqrt(b*c - a*d)))/(c^3*(b*c - a*d)^(3//2)) - ((b*c + 4*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*c^3), x, 8),
+(1/(sqrt(a + b/x)*(c + d/x)^3), (d*(2*b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b/x))/(2*a*c^2*(b*c - a*d)*(c + d/x)^2) + (d*(b*c - 4*a*d)*(4*b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b/x))/(4*a*c^3*(b*c - a*d)^2*(c + d/x)) + (sqrt(a + b/x)*x)/(a*c*(c + d/x)^2) - (d^(3//2)*(35*b^2*c^2 - 56*a*b*c*d + 24*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*c^4*(b*c - a*d)^(5//2)) - ((b*c + 6*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*c^4), x, 9),
+
+
+((c + d/x)^3/(a + b/x)^(3//2), ((b*c - 2*a*d)*(3*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 2*a^2*d^2) - (a*b*d^2*(b*c + 2*a*d))/x)/(a^2*b^2*sqrt(a + b/x)) + (c*(c + d/x)^2*x)/(a*sqrt(a + b/x)) - (3*c^2*(b*c - 2*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 5),
+((c + d/x)^2/(a + b/x)^(3//2), (2*a^2*d^2 + b*c*(3*b*c - 4*a*d))/(a^2*b*sqrt(a + b/x)) + (c^2*x)/(a*sqrt(a + b/x)) - (c*(3*b*c - 4*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 5),
+((c + d/x)/(a + b/x)^(3//2), (3*b*c - 2*a*d)/(a^2*sqrt(a + b/x)) + (c*x)/(a*sqrt(a + b/x)) - ((3*b*c - 2*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 5),
+(1/(a + b/x)^(3//2), (3*b)/(a^2*sqrt(a + b/x)) + x/(a*sqrt(a + b/x)) - (3*b*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 5),
+(1/((a + b/x)^(3//2)*(c + d/x)), (b*(3*b*c - a*d))/(a^2*c*(b*c - a*d)*sqrt(a + b/x)) + x/(a*c*sqrt(a + b/x)) + (2*d^(5//2)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/sqrt(b*c - a*d)))/(c^2*(b*c - a*d)^(3//2)) - ((3*b*c + 2*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(a^(5//2)*c^2), x, 8),
+(1/((a + b/x)^(3//2)*(c + d/x)^2), (b*(3*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 2*a^2*d^2))/(a^2*c^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b/x)) + (d*(b*c - 2*a*d))/(a*c^2*(b*c - a*d)*sqrt(a + b/x)*(c + d/x)) + x/(a*c*sqrt(a + b/x)*(c + d/x)) + (d^(5//2)*(7*b*c - 4*a*d)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/sqrt(b*c - a*d)))/(c^3*(b*c - a*d)^(5//2)) - ((3*b*c + 4*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(a^(5//2)*c^3), x, 9),
+(1/((a + b/x)^(3//2)*(c + d/x)^3), (3*b*(2*b*c - a*d)*(2*b^2*c^2 - a*b*c*d + 4*a^2*d^2))/(4*a^2*c^3*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b/x)) + (d*(2*b*c - 3*a*d))/(2*a*c^2*(b*c - a*d)*sqrt(a + b/x)*(c + d/x)^2) + (d*(4*b^2*c^2 - 21*a*b*c*d + 12*a^2*d^2))/(4*a*c^3*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b/x)*(c + d/x)) + x/(a*c*sqrt(a + b/x)*(c + d/x)^2) + (3*d^(5//2)*(21*b^2*c^2 - 24*a*b*c*d + 8*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*c^4*(b*c - a*d)^(7//2)) - (3*(b*c + 2*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(a^(5//2)*c^4), x, 10),
+
+
+((c + d/x)^3/(a + b/x)^(5//2), (c*(c + d/x)^2*x)/(a*(a + b/x)^(3//2)) + ((b*c - a*d)*(15*b^3*c^2 - 4*a^3*d^2*x - 2*a^2*b*d*(3*d + 5*c*x) + a*b^2*c*(-3*d + 20*c*x)))/(3*a^3*b^2*(a + b/x)^(3//2)*x) - (c^2*(5*b*c - 6*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/a^(7//2), x, 5),
+((c + d/x)^2/(a + b/x)^(5//2), (2*a^2*d^2 + b*c*(5*b*c - 4*a*d))/(3*a^2*b*(a + b/x)^(3//2)) + (c*(5*b*c - 4*a*d))/(a^3*sqrt(a + b/x)) + (c^2*x)/(a*(a + b/x)^(3//2)) - (c*(5*b*c - 4*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/a^(7//2), x, 6),
+((c + d/x)/(a + b/x)^(5//2), (5*b*c - 2*a*d)/(3*a^2*(a + b/x)^(3//2)) + (5*b*c - 2*a*d)/(a^3*sqrt(a + b/x)) + (c*x)/(a*(a + b/x)^(3//2)) - ((5*b*c - 2*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/a^(7//2), x, 6),
+(1/(a + b/x)^(5//2), (5*b)/(3*a^2*(a + b/x)^(3//2)) + (5*b)/(a^3*sqrt(a + b/x)) + x/(a*(a + b/x)^(3//2)) - (5*b*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/a^(7//2), x, 6),
+(1/((a + b/x)^(5//2)*(c + d/x)), (b*(5*b*c - 3*a*d))/(3*a^2*c*(b*c - a*d)*(a + b/x)^(3//2)) + (b*(5*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + a^2*d^2))/(a^3*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(a + b/x)) + x/(a*c*(a + b/x)^(3//2)) - (2*d^(7//2)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/sqrt(b*c - a*d)))/(c^2*(b*c - a*d)^(5//2)) - ((5*b*c + 2*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(a^(7//2)*c^2), x, 9),
+(1/((a + b/x)^(5//2)*(c + d/x)^2), (b*(5*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 6*a^2*d^2))/(3*a^2*c^2*(b*c - a*d)^2*(a + b/x)^(3//2)) + (b*(b*c - 2*a*d)*(5*b^2*c^2 - a*b*c*d + a^2*d^2))/(a^3*c^2*(b*c - a*d)^3*sqrt(a + b/x)) + (d*(b*c - 2*a*d))/(a*c^2*(b*c - a*d)*(a + b/x)^(3//2)*(c + d/x)) + x/(a*c*(a + b/x)^(3//2)*(c + d/x)) - (d^(7//2)*(9*b*c - 4*a*d)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/sqrt(b*c - a*d)))/(c^3*(b*c - a*d)^(7//2)) - ((5*b*c + 4*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(a^(7//2)*c^3), x, 10),
+(1/((a + b/x)^(5//2)*(c + d/x)^3), (b*(20*b^3*c^3 - 36*a*b^2*c^2*d + 87*a^2*b*c*d^2 - 36*a^3*d^3))/(12*a^2*c^3*(b*c - a*d)^3*(a + b/x)^(3//2)) + (b*(20*b^4*c^4 - 56*a*b^3*c^3*d + 24*a^2*b^2*c^2*d^2 - 35*a^3*b*c*d^3 + 12*a^4*d^4))/(4*a^3*c^3*(b*c - a*d)^4*sqrt(a + b/x)) + (d*(2*b*c - 3*a*d))/(2*a*c^2*(b*c - a*d)*(a + b/x)^(3//2)*(c + d/x)^2) + (d*(4*b^2*c^2 - 23*a*b*c*d + 12*a^2*d^2))/(4*a*c^3*(b*c - a*d)^2*(a + b/x)^(3//2)*(c + d/x)) + x/(a*c*(a + b/x)^(3//2)*(c + d/x)^2) - (d^(7//2)*(99*b^2*c^2 - 88*a*b*c*d + 24*a^2*d^2)*atan((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*c^4*(b*c - a*d)^(9//2)) - ((5*b*c + 6*a*d)*atanh(sqrt(a + b/x)/sqrt(a)))/(a^(7//2)*c^4), x, 11),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b/x)^(p/2) (c+d/x)^(q/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(a + b/x)*(c + d/x)^(1//2), sqrt(a + b/x)*sqrt(c + d/x)*x + ((b*c + a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b/x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d/x))))/(sqrt(a)*sqrt(c)) - 2*sqrt(b)*sqrt(d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d/x))), x, 8),
+(sqrt(a + b/x)/(c + d/x)^(1//2), (sqrt(a + b/x)*sqrt(c + d/x)*x)/c + ((b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b/x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d/x))))/(sqrt(a)*c^(3//2)), x, 4),
+(sqrt(a + b/x)/(c + d/x)^(3//2), -(((b*c - 3*a*d)*sqrt(a + b/x))/(a*c^2*sqrt(c + d/x))) + ((a + b/x)^(3//2)*x)/(a*c*sqrt(c + d/x)) + ((b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b/x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d/x))))/(sqrt(a)*c^(5//2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b/x)^p (c+d/x)^q with p and q symbolic
+
+
+((a + b/x)^p*(c + d/x)^q, -((b*(a + b/x)^(1 + p)*(c + d/x)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + p, -q, 2, 2 + p, -((d*(a + b/x))/(b*c - a*d)), (a + b/x)/a))/(((b*(c + d/x))/(b*c - a*d))^q*(a^2*(1 + p)))), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b/x^2)^p (c+d/x^2)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b/x^2)^p (c+d/x^2)^q
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b/x^2)/(c + d/x^2), (a*x)/c + ((b*c - a*d)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(d)))/(c^(3//2)*sqrt(d)), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (a+b/x^2)^(p/2) (c+d/x^2)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b/x^2)^(p/2) (c+d/x^2)^(q/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(a + b/x^2)*(c + d/x^2)^(1//2), -((2*d*sqrt(a + b/x^2))/(sqrt(c + d/x^2)*x)) + sqrt(a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2)*x + (2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a + b/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acot((sqrt(c)*x)/sqrt(d)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt((c*(a + b/x^2))/(a*(c + d/x^2)))*sqrt(c + d/x^2)) - (sqrt(c)*(b*c + a*d)*sqrt(a + b/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acot((sqrt(c)*x)/sqrt(d)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b/x^2))/(a*(c + d/x^2)))*sqrt(c + d/x^2)), x, 6),
+(sqrt(a + b/x^2)/(c + d/x^2)^(1//2), -((d*sqrt(a + b/x^2))/(c*sqrt(c + d/x^2)*x)) + (sqrt(a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2)*x)/c + (sqrt(d)*sqrt(a + b/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acot((sqrt(c)*x)/sqrt(d)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(c)*sqrt((c*(a + b/x^2))/(a*(c + d/x^2)))*sqrt(c + d/x^2)) - (b*sqrt(c)*sqrt(a + b/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acot((sqrt(c)*x)/sqrt(d)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b/x^2))/(a*(c + d/x^2)))*sqrt(c + d/x^2)), x, 7),
+(sqrt(a + b/x^2)/(c + d/x^2)^(3//2), -((2*d*sqrt(a + b/x^2))/(c^2*sqrt(c + d/x^2)*x)) - (sqrt(a + b/x^2)*x)/(c*sqrt(c + d/x^2)) + (2*sqrt(a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2)*x)/c^2 + (2*sqrt(d)*sqrt(a + b/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acot((sqrt(c)*x)/sqrt(d)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(c^(3//2)*sqrt((c*(a + b/x^2))/(a*(c + d/x^2)))*sqrt(c + d/x^2)) - (b*sqrt(a + b/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acot((sqrt(c)*x)/sqrt(d)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b/x^2))/(a*(c + d/x^2)))*sqrt(c + d/x^2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b/x^2)^p (c+d/x^2)^q with p and q symbolic
+
+
+((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q, ((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*x*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//2), -p, -q, 1//2, -(b/(a*x^2)), -(d/(c*x^2))))/((1 + b/(a*x^2))^p*(1 + d/(c*x^2))^q), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b/x^3)^p (c+d/x^3)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b/x^3)^p (c+d/x^3)^q
+
+
+((a + b/x^3)/(c + d/x^3), (a*x)/c - ((b*c - a*d)*atan((d^(1//3) - 2*c^(1//3)*x)/(sqrt(3)*d^(1//3))))/(sqrt(3)*c^(4//3)*d^(2//3)) + ((b*c - a*d)*log(d^(1//3) + c^(1//3)*x))/(3*c^(4//3)*d^(2//3)) - ((b*c - a*d)*log(d^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + c^(2//3)*x^2))/(6*c^(4//3)*d^(2//3)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (a+b/x^3)^(p/2) (c+d/x^3)^q
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (a+b/x^3)^(p/2) (c+d/x^3)^(q/2)
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (a+b/x^3)^p (c+d/x^3)^q with p and q symbolic
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q with fractional n
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+((a + b*sqrt(x))/(c + d*sqrt(x)), -((2*(b*c - a*d)*sqrt(x))/d^2) + (b*x)/d + (2*c*(b*c - a*d)*log(c + d*sqrt(x)))/d^3, x, 3),
+((-1 + x^(1//3))/(1 + x^(1//3)), 6*x^(1//3) - 3*x^(2//3) + x - 6*log(1 + x^(1//3)), x, 3),
+
+
+((1 + x^(2//3))/(-1 + x^(2//3)), 6*x^(1//3) + x - 6*atanh(x^(1//3)), x, 4),
+((-16 + x^(3//4))/(16 + x^(3//4)), -128*x^(1//4) + x - (256*2^(1//3)*atan((2^(1//3) - x^(1//4))/(2^(1//3)*sqrt(3))))/sqrt(3) + (256//3)*2^(1//3)*log(2*2^(1//3) + x^(1//4)) - (128//3)*2^(1//3)*log(4*2^(2//3) - 2*2^(1//3)*x^(1//4) + sqrt(x)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+((1 + x^(-1//3))/(-1 + x^(-1//3)), -6*x^(1//3) - 3*x^(2//3) - x - 6*log(1 - x^(1//3)), x, 4),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q with symbolic n
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q with b c+a d=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^n)^(p/2) (c+d x^n)^(p/2) with b c+a d=0
+
+
+((a - b*x^n)^(3//2)*(a + b*x^n)^(3//2), (a^2*x*sqrt(a - b*x^n)*sqrt(a + b*x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), (b^2*x^(2*n))/a^2))/sqrt(1 - (b^2*x^(2*n))/a^2), x, 3),
+((a - b*x^n)^(1//2)*(a + b*x^n)^(1//2), (x*sqrt(a - b*x^n)*sqrt(a + b*x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), (b^2*x^(2*n))/a^2))/sqrt(1 - (b^2*x^(2*n))/a^2), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^n)^p (c+d x^n)^p with b c+a d=0 and p symbolic
+
+
+((a - b*x^n)^p*(a + b*x^n)^p, (x*(a - b*x^n)^p*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1/(2*n), -p, (1//2)*(2 + 1/n), (b^2*x^(2*n))/a^2))/(1 - (b^2*x^(2*n))/a^2)^p, x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*x^n)*(c + d*x^n)^4, a*c^4*x + (c^3*(b*c + 4*a*d)*x^(1 + n))/(1 + n) + (2*c^2*d*(2*b*c + 3*a*d)*x^(1 + 2*n))/(1 + 2*n) + (2*c*d^2*(3*b*c + 2*a*d)*x^(1 + 3*n))/(1 + 3*n) + (d^3*(4*b*c + a*d)*x^(1 + 4*n))/(1 + 4*n) + (b*d^4*x^(1 + 5*n))/(1 + 5*n), x, 2),
+((a + b*x^n)*(c + d*x^n)^3, a*c^3*x + (c^2*(b*c + 3*a*d)*x^(1 + n))/(1 + n) + (3*c*d*(b*c + a*d)*x^(1 + 2*n))/(1 + 2*n) + (d^2*(3*b*c + a*d)*x^(1 + 3*n))/(1 + 3*n) + (b*d^3*x^(1 + 4*n))/(1 + 4*n), x, 2),
+((a + b*x^n)*(c + d*x^n)^2, a*c^2*x + (c*(b*c + 2*a*d)*x^(1 + n))/(1 + n) + (d*(2*b*c + a*d)*x^(1 + 2*n))/(1 + 2*n) + (b*d^2*x^(1 + 3*n))/(1 + 3*n), x, 2),
+((a + b*x^n)*(c + d*x^n)^1, a*c*x + ((b*c + a*d)*x^(1 + n))/(1 + n) + (b*d*x^(1 + 2*n))/(1 + 2*n), x, 2),
+((a + b*x^n)/(c + d*x^n)^1, (b*x)/d - ((b*c - a*d)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((d*x^n)/c)))/(c*d), x, 2),
+((a + b*x^n)/(c + d*x^n)^2, -(((b*c - a*d)*x)/(c*d*n*(c + d*x^n))) + ((b*c - a*d*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((d*x^n)/c)))/(c^2*d*n), x, 2),
+((a + b*x^n)/(c + d*x^n)^3, -(((b*c - a*d)*x)/(2*c*d*n*(c + d*x^n)^2)) + ((b*c - a*d*(1 - 2*n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1/n, 1 + 1/n, -((d*x^n)/c)))/(2*c^3*d*n), x, 2),
+((a + b*x^n)/(c + d*x^n)^4, -(((b*c - a*d)*x)/(3*c*d*n*(c + d*x^n)^3)) + ((b*c - a*d*(1 - 3*n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1/n, 1 + 1/n, -((d*x^n)/c)))/(3*c^4*d*n), x, 2),
+
+
+((a + b*x^n)^2*(d + e*x^n)^3, a^2*d^3*x + (a*d^2*(2*b*d + 3*a*e)*x^(1 + n))/(1 + n) + (d*(b^2*d^2 + 6*a*b*d*e + 3*a^2*e^2)*x^(1 + 2*n))/(1 + 2*n) + (e*(3*b^2*d^2 + 6*a*b*d*e + a^2*e^2)*x^(1 + 3*n))/(1 + 3*n) + (b*e^2*(3*b*d + 2*a*e)*x^(1 + 4*n))/(1 + 4*n) + (b^2*e^3*x^(1 + 5*n))/(1 + 5*n), x, 2),
+((a + b*x^n)^2*(d + e*x^n)^2, a^2*d^2*x + (2*a*d*(b*d + a*e)*x^(1 + n))/(1 + n) + ((b^2*d^2 + 4*a*b*d*e + a^2*e^2)*x^(1 + 2*n))/(1 + 2*n) + (2*b*e*(b*d + a*e)*x^(1 + 3*n))/(1 + 3*n) + (b^2*e^2*x^(1 + 4*n))/(1 + 4*n), x, 2),
+((a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)^1, a^2*c*x + (a*(2*b*c + a*d)*x^(1 + n))/(1 + n) + (b*(b*c + 2*a*d)*x^(1 + 2*n))/(1 + 2*n) + (b^2*d*x^(1 + 3*n))/(1 + 3*n), x, 2),
+((a + b*x^n)^2/(c + d*x^n)^1, -((b*(b*c*(1 + n) - a*d*(1 + 2*n))*x)/(d^2*(1 + n))) + (b*x*(a + b*x^n))/(d*(1 + n)) + ((b*c - a*d)^2*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((d*x^n)/c)))/(c*d^2), x, 3),
+((a + b*x^n)^2/(c + d*x^n)^2, -((b*(a*d - b*c*(1 + n))*x)/(c*d^2*n)) - ((b*c - a*d)*x*(a + b*x^n))/(c*d*n*(c + d*x^n)) + ((b*c - a*d)*(a*d*(1 - n) - b*c*(1 + n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((d*x^n)/c)))/(c^2*d^2*n), x, 3),
+((a + b*x^n)^2/(c + d*x^n)^3, -(((b*c - a*d)*x*(a + b*x^n))/(2*c*d*n*(c + d*x^n)^2)) + ((b*c - a*d)*(a*d*(1 - 2*n) - b*c*(1 + n))*x)/(2*c^2*d^2*n^2*(c + d*x^n)) - ((2*a*b*c*d*(1 - n) - b^2*c^2*(1 + n) - a^2*d^2*(1 - 3*n + 2*n^2))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((d*x^n)/c)))/(2*c^3*d^2*n^2), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+# {1/(a + b*x^n)*(c + d*x^n)^4, x, 5, If[$VersionNumber>=8, -((d*(a^3*d^3*(1 + 6*n + 11*n^2 + 6*n^3) - b^3*c^3*(1 + 7*n + 18*n^2 + 24*n^3) - a^2*b*c*d^2*(3 + 19*n + 38*n^2 + 24*n^3) + a*b^2*c^2*d*(3 + 20*n + 45*n^2 + 36*n^3))*x)/(b^4*(1 + n)*(1 + 2*n)*(1 + 3*n))) - (d*(2*a*b*c*d*(1 + 3*n)^2 - a^2*d^2*(1 + 5*n + 6*n^2) - b^2*c^2*(1 + 7*n + 18*n^2))*x*(c + d*x^n))/(b^3*(1 + n)*(1 + 2*n)*(1 + 3*n)) - (d*(a*d*(1 + 3*n) - b*(c + 6*c*n))*x*(c + d*x^n)^2)/(b^2*(1 + 5*n + 6*n^2)) + (d*x*(c + d*x^n)^3)/(b*(1 + 3*n)) + ((b*c - a*d)^4*x*Hypergeometric2F1[1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/(a*b^4), -((d*(a^3*d^3*(1 + 6*n + 11*n^2 + 6*n^3) - b^3*c^3*(1 + 7*n + 18*n^2 + 24*n^3) - a^2*b*c*d^2*(3 + 19*n + 38*n^2 + 24*n^3) + a*b^2*c^2*d*(3 + 20*n + 45*n^2 + 36*n^3))*x)/(b^4*(1 + 6*n + 11*n^2 + 6*n^3))) - (d*(2*a*b*c*d*(1 + 3*n)^2 - a^2*d^2*(1 + 5*n + 6*n^2) - b^2*c^2*(1 + 7*n + 18*n^2))*x*(c + d*x^n))/(b^3*(1 + 6*n + 11*n^2 + 6*n^3)) - (d*(a*d*(1 + 3*n) - b*(c + 6*c*n))*x*(c + d*x^n)^2)/(b^2*(1 + 5*n + 6*n^2)) + (d*x*(c + d*x^n)^3)/(b*(1 + 3*n)) + ((b*c - a*d)^4*x*Hypergeometric2F1[1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/(a*b^4)]}
+# {1/(a + b*x^n)*(c + d*x^n)^3, x, 4, If[$VersionNumber>=8, (d*(a^2*d^2*(1 + 3*n + 2*n^2) + b^2*c^2*(1 + 4*n + 6*n^2) - a*b*c*d*(2 + 7*n + 6*n^2))*x)/(b^3*(1 + n)*(1 + 2*n)) - (d*(a*d*(1 + 2*n) - b*(c + 4*c*n))*x*(c + d*x^n))/(b^2*(1 + n)*(1 + 2*n)) + (d*x*(c + d*x^n)^2)/(b*(1 + 2*n)) + ((b*c - a*d)^3*x*Hypergeometric2F1[1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/(a*b^3), (d*(a^2*d^2*(1 + 3*n + 2*n^2) + b^2*c^2*(1 + 4*n + 6*n^2) - a*b*c*d*(2 + 7*n + 6*n^2))*x)/(b^3*(1 + 3*n + 2*n^2)) - (d*(a*d*(1 + 2*n) - b*(c + 4*c*n))*x*(c + d*x^n))/(b^2*(1 + 3*n + 2*n^2)) + (d*x*(c + d*x^n)^2)/(b*(1 + 2*n)) + ((b*c - a*d)^3*x*Hypergeometric2F1[1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/(a*b^3)]}
+(1/(a + b*x^n)*(c + d*x^n)^2, -((d*(a*d*(1 + n) - b*(c + 2*c*n))*x)/(b^2*(1 + n))) + (d*x*(c + d*x^n))/(b*(1 + n)) + ((b*c - a*d)^2*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a*b^2), x, 3),
+(1/(a + b*x^n)*(c + d*x^n)^1, (d*x)/b + ((b*c - a*d)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a*b), x, 2),
+(1/(a + b*x^n)/(c + d*x^n)^1, (b*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a*(b*c - a*d)) - (d*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((d*x^n)/c)))/(c*(b*c - a*d)), x, 3),
+(1/(a + b*x^n)/(c + d*x^n)^2, -((d*x)/(c*(b*c - a*d)*n*(c + d*x^n))) + (b^2*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a*(b*c - a*d)^2) + (d*(b*c*(1 - 2*n) - a*d*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((d*x^n)/c)))/(c^2*(b*c - a*d)^2*n), x, 4),
+(1/(a + b*x^n)/(c + d*x^n)^3, -((d*x)/(2*c*(b*c - a*d)*n*(c + d*x^n)^2)) - (d*(a*d*(1 - 2*n) - b*(c - 4*c*n))*x)/(2*c^2*(b*c - a*d)^2*n^2*(c + d*x^n)) + (b^3*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a*(b*c - a*d)^3) - (d*(a^2*d^2*(1 - 3*n + 2*n^2) - 2*a*b*c*d*(1 - 4*n + 3*n^2) + b^2*c^2*(1 - 5*n + 6*n^2))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((d*x^n)/c)))/(2*c^3*(b*c - a*d)^3*n^2), x, 5),
+
+
+# {1/(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)^4, x, 5, If[$VersionNumber>=8, -((d*(b^3*c^3*(1 + 3*n + 2*n^2) - a^3*d^3*(1 + 6*n + 11*n^2 + 6*n^3) - a*b^2*c^2*d*(3 + 12*n + 17*n^2 + 12*n^3) + a^2*b*c*d^2*(3 + 15*n + 26*n^2 + 16*n^3))*x)/(a*b^4*n*(1 + n)*(1 + 2*n))) - (d*(b^2*c^2*(1 + 3*n + 2*n^2) - 2*a*b*c*d*(1 + 4*n + 5*n^2) + a^2*d^2*(1 + 5*n + 6*n^2))*x*(c + d*x^n))/(a*b^3*n*(1 + n)*(1 + 2*n)) + (d*(a*d*(1 + 3*n) - b*(c + 2*c*n))*x*(c + d*x^n)^2)/(a*b^2*n*(1 + 2*n)) + ((b*c - a*d)*x*(c + d*x^n)^3)/(a*b*n*(a + b*x^n)) - ((b*c - a*d)^3*(b*c*(1 - n) - a*d*(1 + 3*n))*x*Hypergeometric2F1[1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/(a^2*b^4*n), -((1/(a*b^4*n*(1 + 3*n + 2*n^2)))*(d*(b^3*c^3*(1 + 3*n + 2*n^2) - a^3*d^3*(1 + 6*n + 11*n^2 + 6*n^3) - a*b^2*c^2*d*(3 + 12*n + 17*n^2 + 12*n^3) + a^2*b*c*d^2*(3 + 15*n + 26*n^2 + 16*n^3))*x)) - (d*(b^2*c^2*(1 + 3*n + 2*n^2) - 2*a*b*c*d*(1 + 4*n + 5*n^2) + a^2*d^2*(1 + 5*n + 6*n^2))*x*(c + d*x^n))/(a*b^3*n*(1 + 3*n + 2*n^2)) - (d*(b*c - a*d + 2*b*c*n - 3*a*d*n)*x*(c + d*x^n)^2)/(a*b^2*n*(1 + 2*n)) + ((b*c - a*d)*x*(c + d*x^n)^3)/(a*b*n*(a + b*x^n)) - ((b*c - a*d)^3*(b*c*(1 - n) - a*d*(1 + 3*n))*x*Hypergeometric2F1[1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)])/(a^2*b^4*n)]}
+(1/(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)^3, -((d*(b^2*c^2*(1 + n) + a^2*d^2*(1 + 3*n + 2*n^2) - a*b*c*d*(2 + 4*n + 3*n^2))*x)/(a*b^3*n*(1 + n))) - (d*(b*c*(1 + n) - a*d*(1 + 2*n))*x*(c + d*x^n))/(a*b^2*n*(1 + n)) + ((b*c - a*d)*x*(c + d*x^n)^2)/(a*b*n*(a + b*x^n)) - ((b*c - a*d)^2*(b*c*(1 - n) - a*d*(1 + 2*n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a^2*b^3*n), x, 4),
+(1/(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)^2, -((d*(b*c - a*d*(1 + n))*x)/(a*b^2*n)) + ((b*c - a*d)*x*(c + d*x^n))/(a*b*n*(a + b*x^n)) - ((b*c - a*d)*(b*c*(1 - n) - a*d*(1 + n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a^2*b^2*n), x, 3),
+(1/(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)^1, ((b*c - a*d)*x)/(a*b*n*(a + b*x^n)) + ((a*d - b*c*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a^2*b*n), x, 2),
+(1/(a + b*x^n)^2/(c + d*x^n)^1, (b*x)/(a*(b*c - a*d)*n*(a + b*x^n)) + (b*(a*d*(1 - 2*n) - b*c*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a^2*(b*c - a*d)^2*n) + (d^2*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((d*x^n)/c)))/(c*(b*c - a*d)^2), x, 4),
+(1/(a + b*x^n)^2/(c + d*x^n)^2, (d*(b*c + a*d)*x)/(a*c*(b*c - a*d)^2*n*(c + d*x^n)) + (b*x)/(a*(b*c - a*d)*n*(a + b*x^n)*(c + d*x^n)) + (b^2*(a*d*(1 - 3*n) - b*(c - c*n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a^2*(b*c - a*d)^3*n) - (d^2*(b*c*(1 - 3*n) - a*d*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((d*x^n)/c)))/(c^2*(b*c - a*d)^3*n), x, 5),
+(1/(a + b*x^n)^2/(c + d*x^n)^3, (d*(2*b*c + a*d)*x)/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*n*(c + d*x^n)^2) + (b*x)/(a*(b*c - a*d)*n*(a + b*x^n)*(c + d*x^n)^2) - (d*(a*b*c*d*(1 - 6*n) - a^2*d^2*(1 - 2*n) - 2*b^2*c^2*n)*x)/(2*a*c^2*(b*c - a*d)^3*n^2*(c + d*x^n)) + (b^3*(a*d*(1 - 4*n) - b*c*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a^2*(b*c - a*d)^4*n) + (d^2*(a^2*d^2*(1 - 3*n + 2*n^2) - 2*a*b*c*d*(1 - 5*n + 4*n^2) + b^2*c^2*(1 - 7*n + 12*n^2))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((d*x^n)/c)))/(2*c^3*(b*c - a*d)^4*n^2), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q with p symbolic
+
+
+((a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, (x*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, -p, -q, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(1 + (d*x^n)/c)^q), x, 3),
+
+
+((a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^3, (d*(a^2*d^2*(1 + 3*n + 2*n^2) - a*b*c*d*(2 + n^2*(7 + p) + n*(9 + 2*p)) + b^2*c^2*(1 + 2*n*(3 + p) + n^2*(11 + 6*p + p^2)))*x*(a + b*x^n)^(1 + p))/(b^3*(1 + n + n*p)*(1 + n*(2 + p))*(1 + n*(3 + p))) - (d*(a*d*(1 + 2*n) - b*c*(1 + n*(5 + p)))*x*(a + b*x^n)^(1 + p)*(c + d*x^n))/(b^2*(1 + n*(2 + p))*(1 + n*(3 + p))) + (d*x*(a + b*x^n)^(1 + p)*(c + d*x^n)^2)/(b*(1 + 3*n + n*p)) - (1/(b^3*(1 + n + n*p)*(1 + n*(2 + p))*(1 + n*(3 + p))))*(((a^3*d^3*(1 + 3*n + 2*n^2) - 3*a^2*b*c*d^2*(1 + n)*(1 + n*(3 + p)) + 3*a*b^2*c^2*d*(1 + n*(5 + 2*p) + n^2*(6 + 5*p + p^2)) - b^3*c^3*(1 + 3*n*(2 + p) + n^2*(11 + 12*p + 3*p^2) + n^3*(6 + 11*p + 6*p^2 + p^3)))*x*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1/n, -p, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(1 + (b*x^n)/a)^p), x, 5),
+((a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^2, -((d*(a*d*(1 + n) - b*c*(1 + (3 + p)*n))*x*(a + b*x^n)^(1 + p))/(b^2*(1 + n + p*n)*(1 + (2 + p)*n))) + (d*x*(a + b*x^n)^(1 + p)*(c + d*x^n))/(b*(1 + 2*n + p*n)) - ((b*c*(1 + n + p*n)*(a*d - b*c*(1 + (2 + p)*n)) - a*d*(a*d*(1 + n) - b*c*(1 + (3 + p)*n)))*x*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(b^2*(1 + n + p*n)*(1 + (2 + p)*n))), x, 4),
+((a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^1, (d*x*(a + b*x^n)^(1 + p))/(b*(1 + n + p*n)) - ((a*d - b*c*(1 + n + p*n))*x*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(b*(1 + n + p*n))), x, 3),
+((a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^0, (x*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(1 + (b*x^n)/a)^p, x, 2),
+((a + b*x^n)^p/(c + d*x^n)^1, (x*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, -p, 1, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*c), x, 2),
+((a + b*x^n)^p/(c + d*x^n)^2, (x*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, -p, 2, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*c^2), x, 2),
+((a + b*x^n)^p/(c + d*x^n)^3, (x*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, -p, 3, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*c^3), x, 2),
+
+
+((a + b*x^n)^p/(c + d*x^n)^(1/n + p + 1), (x*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(-(1/n) - p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1/n, -p, 1 + 1/n, -(((b*c - a*d)*x^n)/(a*(c + d*x^n)))))/(((c*(a + b*x^n))/(a*(c + d*x^n)))^p*c), x, 1),
+
+# {(a + b*x^n)^3/(c + d*x^n)^(1/n + 4), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (x*(a + b*x^n)^3*(c + d*x^n)^(-3 - 1/n))/(c*(1 + 3*n)) + (3*a*n*x*(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)^(-2 - 1/n))/(c^2*(1 + 5*n + 6*n^2)) + (6*a^2*n^2*x*(a + b*x^n)*(c + d*x^n)^(-1 - 1/n))/(c^3*(1 + n)*(1 + 2*n)*(1 + 3*n)) + (6*a^3*n^3*x)/((c + d*x^n)^n^(-1)*(c^4*(1 + n)*(1 + 2*n)*(1 + 3*n))), (x*(a + b*x^n)^3*(c + d*x^n)^(-3 - 1/n))/(c*(1 + 3*n)) + (3*a*n*x*(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)^(-2 - 1/n))/(c^2*(1 + 5*n + 6*n^2)) + (6*a^2*n^2*x*(a + b*x^n)*(c + d*x^n)^(-1 - 1/n))/(c^3*(1 + 6*n + 11*n^2 + 6*n^3)) + (6*a^3*n^3*x)/((c + d*x^n)^n^(-1)*(c^4*(1 + 6*n + 11*n^2 + 6*n^3)))]}
+# {(a + b*x^n)^2/(c + d*x^n)^(1/n + 3), x, 3, If[$VersionNumber>=8, (x*(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)^(-2 - 1/n))/(c*(1 + 2*n)) + (2*a*n*x*(a + b*x^n)*(c + d*x^n)^(-1 - 1/n))/(c^2*(1 + n)*(1 + 2*n)) + (2*a^2*n^2*x)/((c + d*x^n)^n^(-1)*(c^3*(1 + n)*(1 + 2*n))), (x*(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)^(-2 - 1/n))/(c*(1 + 2*n)) + (2*a*n*x*(a + b*x^n)*(c + d*x^n)^(-1 - 1/n))/(c^2*(1 + 3*n + 2*n^2)) + (2*a^2*n^2*x)/((c + d*x^n)^n^(-1)*(c^3*(1 + 3*n + 2*n^2)))]}
+((a + b*x^n)^1/(c + d*x^n)^(1/n + 2), (x*(a + b*x^n)*(c + d*x^n)^(-1 - 1/n))/(c*(1 + n)) + (a*n*x)/((c + d*x^n)^n^(-1)*(c^2*(1 + n))), x, 2),
+((a + b*x^n)^0/(c + d*x^n)^(1/n + 1), x/((c + d*x^n)^n^(-1)*c), x, 1),
+(1/((a + b*x^n)^1*(c + d*x^n)^(1/n + 0)), (x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -(((b*c - a*d)*x^n)/(a*(c + d*x^n)))))/((c + d*x^n)^n^(-1)*a), x, 1),
+(1/((a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)^(1/n - 1)), (c*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1/n, 1 + 1/n, -(((b*c - a*d)*x^n)/(a*(c + d*x^n)))))/((c + d*x^n)^n^(-1)*a^2), x, 1),
+(1/((a + b*x^n)^3*(c + d*x^n)^(1/n - 2)), (c^2*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1/n, 1 + 1/n, -(((b*c - a*d)*x^n)/(a*(c + d*x^n)))))/((c + d*x^n)^n^(-1)*a^3), x, 1),
+
+
+((a + b*x^n)^p/(c + d*x^n)^(1/n + p + 2), -((b*x*(a + b*x^n)^(1 + p)*(c + d*x^n)^(-1 - 1/n - p))/(a*(b*c - a*d)*n*(1 + p))) + ((b*c + (b*c - a*d)*n*(1 + p))*x*(a + b*x^n)^(1 + p)*((c*(a + b*x^n))/(a*(c + d*x^n)))^(-1 - p)*(c + d*x^n)^(-1 - 1/n - p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1/n, -1 - p, 1 + 1/n, -(((b*c - a*d)*x^n)/(a*(c + d*x^n)))))/(a*c*(b*c - a*d)*n*(1 + p)), x, 2),
+((a + b*x^n)^((a*d*n - b*c*(1 + n))/((b*c - a*d)*n))*(c + d*x^n)^((a*d - b*c*n + a*d*n)/(b*c*n - a*d*n)), (x*(c + d*x^n)^((a*d)/((b*c - a*d)*n)))/((a + b*x^n)^((b*c)/((b*c - a*d)*n))*(a*c)), x, 1),
+
+# {(a + b*x^n)^2/(c + d*x^n)^(1/n + 4), x, 5, If[$VersionNumber>=8, -((b*x*(a + b*x^n)^3*(c + d*x^n)^(-3 - 1/n))/(3*a*(b*c - a*d)*n)) - ((3*a*d*n - b*(c + 3*c*n))*x*(a + b*x^n)^3*(c + d*x^n)^(-3 - 1/n))/(3*a*c*(b*c - a*d)*n*(1 + 3*n)) - ((3*a*d*n - b*(c + 3*c*n))*x*(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)^(-2 - 1/n))/(c^2*(b*c - a*d)*(1 + 5*n + 6*n^2)) - (2*a*n*(3*a*d*n - b*(c + 3*c*n))*x*(a + b*x^n)*(c + d*x^n)^(-1 - 1/n))/(c^3*(b*c - a*d)*(1 + n)*(1 + 2*n)*(1 + 3*n)) - (2*a^2*n^2*(3*a*d*n - b*(c + 3*c*n))*x)/((c + d*x^n)^n^(-1)*(c^4*(b*c - a*d)*(1 + n)*(1 + 2*n)*(1 + 3*n))), -((b*x*(a + b*x^n)^3*(c + d*x^n)^(-3 - 1/n))/(3*a*(b*c - a*d)*n)) - ((3*a*d*n - b*(c + 3*c*n))*x*(a + b*x^n)^3*(c + d*x^n)^(-3 - 1/n))/(3*a*c*(b*c - a*d)*n*(1 + 3*n)) - ((3*a*d*n - b*(c + 3*c*n))*x*(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)^(-2 - 1/n))/(c^2*(b*c - a*d)*(1 + 5*n + 6*n^2)) - (2*a*n*(3*a*d*n - b*(c + 3*c*n))*x*(a + b*x^n)*(c + d*x^n)^(-1 - 1/n))/(c^3*(b*c - a*d)*(1 + 6*n + 11*n^2 + 6*n^3)) - (2*a^2*n^2*(3*a*d*n - b*(c + 3*c*n))*x)/((c + d*x^n)^n^(-1)*(c^4*(b*c - a*d)*(1 + 6*n + 11*n^2 + 6*n^3)))]}
+((a + b*x^n)^1/(c + d*x^n)^(1/n + 3), -(((b*c - a*d)*x*(c + d*x^n)^(-2 - 1/n))/(c*d*(1 + 2*n))) + ((b*c + 2*a*d*n)*x*(c + d*x^n)^(-1 - 1/n))/(c^2*d*(1 + n)*(1 + 2*n)) + (n*(b*c + 2*a*d*n)*x)/((c + d*x^n)^n^(-1)*(c^3*d*(1 + n)*(1 + 2*n))), x, 3),
+((a + b*x^n)^0/(c + d*x^n)^(1/n + 2), (x*(c + d*x^n)^(-1 - 1/n))/(c*(1 + n)) + (n*x)/((c + d*x^n)^n^(-1)*(c^2*(1 + n))), x, 2),
+(1/((a + b*x^n)^1*(c + d*x^n)^(1/n + 1)), -((d*x)/((c + d*x^n)^n^(-1)*(c*(b*c - a*d)))) + (b*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -(((b*c - a*d)*x^n)/(a*(c + d*x^n)))))/((c + d*x^n)^n^(-1)*(a*(b*c - a*d))), x, 2),
+(1/((a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)^(1/n + 0)), (b*x)/((c + d*x^n)^((1 - n)/n)*(a*(b*c - a*d)*n*(a + b*x^n))) - ((b*c*(1 - n) + a*d*n)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -(((b*c - a*d)*x^n)/(a*(c + d*x^n)))))/((c + d*x^n)^n^(-1)*(a^2*(b*c - a*d)*n)), x, 2),
+(1/((a + b*x^n)^3*(c + d*x^n)^(1/n - 1)), (b*x*(c + d*x^n)^(2 - 1/n))/(2*a*(b*c - a*d)*n*(a + b*x^n)^2) - (c*(b*c*(1 - 2*n) + 2*a*d*n)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1/n, 1 + 1/n, -(((b*c - a*d)*x^n)/(a*(c + d*x^n)))))/((c + d*x^n)^n^(-1)*(2*a^3*(b*c - a*d)*n)), x, 2),
+(1/((a + b*x^n)^4*(c + d*x^n)^(1/n - 2)), (b*x*(c + d*x^n)^(3 - 1/n))/(3*a*(b*c - a*d)*n*(a + b*x^n)^3) - (c^2*(b*c*(1 - 3*n) + 3*a*d*n)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1/n, 1 + 1/n, -(((b*c - a*d)*x^n)/(a*(c + d*x^n)))))/((c + d*x^n)^n^(-1)*(3*a^4*(b*c - a*d)*n)), x, 2),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form u (a1+b1 x^n)^p (a2+b2 x^n)^p with a2 b1+a1 b2=0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a1+b1 x^n)^p (a2+b2 x^n)^p (c+d x^(2 n))^q with a2 b1+a1 b2=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a1+b1 x)^(p/2) (a2+b2 x)^(p/2) (c+d x^2)^q with a2 b1+a1 b2=0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+# {x^5*(a + b*x^2)*Sqrt[-c + d*x]*Sqrt[c + d*x], x, 6, (c^4*(b*c^2 + a*d^2)*(-c + d*x)^(3/2)*(c + d*x)^(3/2))/(3*d^8) + (c^2*(3*b*c^2 + 2*a*d^2)*(-c + d*x)^(5/2)*(c + d*x)^(5/2))/(5*d^8) + ((3*b*c^2 + a*d^2)*(-c + d*x)^(7/2)*(c + d*x)^(7/2))/(7*d^8) + (b*(-c + d*x)^(9/2)*(c + d*x)^(9/2))/(9*d^8), (8*c^4*(2*b*c^2 + 3*a*d^2)*(-c + d*x)^(3/2)*(c + d*x)^(3/2))/(315*d^8) + (4*c^2*(2*b*c^2 + 3*a*d^2)*x^2*(-c + d*x)^(3/2)*(c + d*x)^(3/2))/(105*d^6) + ((2*b*c^2 + 3*a*d^2)*x^4*(-c + d*x)^(3/2)*(c + d*x)^(3/2))/(21*d^4) + (b*x^6*(-c + d*x)^(3/2)*(c + d*x)^(3/2))/(9*d^2)}
+# {x^3*(a + b*x^2)*Sqrt[-c + d*x]*Sqrt[c + d*x], x, 4, (c^2*(b*c^2 + a*d^2)*(-c + d*x)^(3/2)*(c + d*x)^(3/2))/(3*d^6) + ((2*b*c^2 + a*d^2)*(-c + d*x)^(5/2)*(c + d*x)^(5/2))/(5*d^6) + (b*(-c + d*x)^(7/2)*(c + d*x)^(7/2))/(7*d^6), (2*c^2*(4*b*c^2 + 7*a*d^2)*(-c + d*x)^(3/2)*(c + d*x)^(3/2))/(105*d^6) + ((4*b*c^2 + 7*a*d^2)*x^2*(-c + d*x)^(3/2)*(c + d*x)^(3/2))/(35*d^4) + (b*x^4*(-c + d*x)^(3/2)*(c + d*x)^(3/2))/(7*d^2)}
+# {x^1*(a + b*x^2)*Sqrt[-c + d*x]*Sqrt[c + d*x], x, 2, ((b*c^2 + a*d^2)*(-c + d*x)^(3/2)*(c + d*x)^(3/2))/(3*d^4) + (b*(-c + d*x)^(5/2)*(c + d*x)^(5/2))/(5*d^4), ((2*b*c^2 + 5*a*d^2)*(-c + d*x)^(3/2)*(c + d*x)^(3/2))/(15*d^4) + (b*x^2*(-c + d*x)^(3/2)*(c + d*x)^(3/2))/(5*d^2)}
+((a + b*x^2)*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)/x^1, a*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x) + (b*(-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^2) - a*c*atan((sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/c), x, 5),
+# {(a + b*x^2)*Sqrt[-c + d*x]*Sqrt[c + d*x]/x^3, x, 5, b*Sqrt[-c + d*x]*Sqrt[c + d*x] - (a*Sqrt[-c + d*x]*Sqrt[c + d*x])/(2*x^2) - ((2*b*c^2 - a*d^2)*ArcTan[(Sqrt[-c + d*x]*Sqrt[c + d*x])/c])/(2*c), (1/2)*(2*b - (a*d^2)/c^2)*Sqrt[-c + d*x]*Sqrt[c + d*x] + (a*(-c + d*x)^(3/2)*(c + d*x)^(3/2))/(2*c^2*x^2) - ((2*b*c^2 - a*d^2)*ArcTan[(Sqrt[-c + d*x]*Sqrt[c + d*x])/c])/(2*c)}
+# {(a + b*x^2)*Sqrt[-c + d*x]*Sqrt[c + d*x]/x^5, x, 5, (a*(-c + d*x)^(3/2)*(c + d*x)^(3/2))/(4*c^2*x^4) - ((4*b*c^2 + a*d^2)*Sqrt[-c + d*x]*Sqrt[c + d*x])/(8*c^2*x^2) + (d^2*(4*b*c^2 + a*d^2)*ArcTan[(Sqrt[-c + d*x]*Sqrt[c + d*x])/c])/(8*c^3), (d*(4*b*c^2 + a*d^2)*Sqrt[-c + d*x]*Sqrt[c + d*x])/(8*c^3*x) - ((4*b*c^2 + a*d^2)*Sqrt[-c + d*x]*(c + d*x)^(3/2))/(8*c^3*x^2) + (a*(-c + d*x)^(3/2)*(c + d*x)^(3/2))/(4*c^2*x^4) + (d^2*(4*b*c^2 + a*d^2)*ArcTan[(Sqrt[-c + d*x]*Sqrt[c + d*x])/c])/(8*c^3)}
+
+(x^4*(a + b*x^2)*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x), (c^4*(5*b*c^2 + 8*a*d^2)*x*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(128*d^6) + (c^2*(5*b*c^2 + 8*a*d^2)*x*(-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(64*d^6) + ((5*b*c^2 + 8*a*d^2)*x^3*(-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(48*d^4) + (b*x^5*(-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(8*d^2) - (c^6*(5*b*c^2 + 8*a*d^2)*atanh(sqrt(-c + d*x)/sqrt(c + d*x)))/(64*d^7), x, 9),
+(x^2*(a + b*x^2)*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x), (c^2*(b*c^2 + 2*a*d^2)*x*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(16*d^4) + ((b*c^2 + 2*a*d^2)*x*(-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(8*d^4) + (b*x^3*(-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(6*d^2) - (c^4*(b*c^2 + 2*a*d^2)*atanh(sqrt(-c + d*x)/sqrt(c + d*x)))/(8*d^5), x, 7),
+(x^0*(a + b*x^2)*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x), ((b*c^2 + 4*a*d^2)*x*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(8*d^2) + (b*x*(-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(4*d^2) - (c^2*(b*c^2 + 4*a*d^2)*atanh(sqrt(-c + d*x)/sqrt(c + d*x)))/(4*d^3), x, 5),
+((a + b*x^2)*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)/x^2, (1//2)*(b - (2*a*d^2)/c^2)*x*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x) + (a*(-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(c^2*x) - ((b*c^2 - 2*a*d^2)*atanh(sqrt(-c + d*x)/sqrt(c + d*x)))/d, x, 5),
+((a + b*x^2)*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)/x^4, -((b*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/x) + (a*(-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2))/(3*c^2*x^3) + 2*b*d*atanh(sqrt(-c + d*x)/sqrt(c + d*x)), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4*(a + b*x^2)/(sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x)), ((5*b + 6*a*c^2)*x*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x))/(16*c^6) + ((5*b + 6*a*c^2)*x^3*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x))/(24*c^4) + (b*x^5*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x))/(6*c^2) + ((5*b + 6*a*c^2)*acosh(c*x))/(16*c^7), x, 5),
+(x^3*(a + b*x^2)/(sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x)), (2*(4*b + 5*a*c^2)*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x))/(15*c^6) + ((4*b + 5*a*c^2)*x^2*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x))/(15*c^4) + (b*x^4*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x))/(5*c^2), x, 4),
+(x^2*(a + b*x^2)/(sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x)), ((3*b + 4*a*c^2)*x*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x))/(8*c^4) + (b*x^3*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x))/(4*c^2) + ((3*b + 4*a*c^2)*acosh(c*x))/(8*c^5), x, 3),
+(x^1*(a + b*x^2)/(sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x)), ((2*b + 3*a*c^2)*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x))/(3*c^4) + (b*x^2*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x))/(3*c^2), x, 2),
+(x^0*(a + b*x^2)/(sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x)), (b*x*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x))/(2*c^2) + ((b + 2*a*c^2)*acosh(c*x))/(2*c^3), x, 2),
+((a + b*x^2)/(x^1*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x)), (b*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x))/c^2 + a*atan(sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x)), x, 3),
+((a + b*x^2)/(x^2*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x)), (a*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x))/x + (b*acosh(c*x))/c, x, 2),
+((a + b*x^2)/(x^3*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x)), (a*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x))/(2*x^2) + (1//2)*(2*b + a*c^2)*atan(sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x)), x, 3),
+((a + b*x^2)/(x^4*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x)), (a*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x))/(3*x^3) + ((3*b + 2*a*c^2)*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x))/(3*x), x, 2),
+((a + b*x^2)/(x^5*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x)), (a*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x))/(4*x^4) + ((4*b + 3*a*c^2)*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x))/(8*x^2) + (1//8)*c^2*(4*b + 3*a*c^2)*atan(sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x)), x, 5),
+
+
+(x^4*(a + b*x^2)/(sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)), (c^2*(5*b*c^2 + 6*a*d^2)*x*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(16*d^6) + ((5*b*c^2 + 6*a*d^2)*x^3*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(24*d^4) + (b*x^5*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(6*d^2) + (c^4*(5*b*c^2 + 6*a*d^2)*atanh(sqrt(-c + d*x)/sqrt(c + d*x)))/(8*d^7), x, 8),
+(x^3*(a + b*x^2)/(sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)), (2*c^2*(4*b*c^2 + 5*a*d^2)*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(15*d^6) + ((4*b*c^2 + 5*a*d^2)*x^2*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(15*d^4) + (b*x^4*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(5*d^2), x, 4),
+(x^2*(a + b*x^2)/(sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)), ((3*b*c^2 + 4*a*d^2)*x*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(8*d^4) + (b*x^3*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(4*d^2) + (c^2*(3*b*c^2 + 4*a*d^2)*atanh(sqrt(-c + d*x)/sqrt(c + d*x)))/(4*d^5), x, 6),
+(x^1*(a + b*x^2)/(sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)), ((2*b*c^2 + 3*a*d^2)*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(3*d^4) + (b*x^2*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(3*d^2), x, 2),
+(x^0*(a + b*x^2)/(sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)), (b*x*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(2*d^2) + ((b*c^2 + 2*a*d^2)*atanh(sqrt(-c + d*x)/sqrt(c + d*x)))/d^3, x, 4),
+((a + b*x^2)/(x^1*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)), (b*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/d^2 + (a*atan((sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/c))/c, x, 3),
+((a + b*x^2)/(x^2*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)), (a*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(c^2*x) + (2*b*atanh(sqrt(-c + d*x)/sqrt(c + d*x)))/d, x, 4),
+((a + b*x^2)/(x^3*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)), (a*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(2*c^2*x^2) + ((2*b*c^2 + a*d^2)*atan((sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/c))/(2*c^3), x, 3),
+((a + b*x^2)/(x^4*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)), (a*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(3*c^2*x^3) + ((3*b*c^2 + 2*a*d^2)*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(3*c^4*x), x, 2),
+((a + b*x^2)/(x^5*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)), (a*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(4*c^2*x^4) + ((4*b*c^2 + 3*a*d^2)*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(8*c^4*x^2) + (d^2*(4*b*c^2 + 3*a*d^2)*atan((sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/c))/(8*c^5), x, 5),
+
+
+(x^4*(a + b*x^2)/((-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), -(((5*b*c^2 + 4*a*d^2)*x^3)/(4*d^4*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))) + (b*x^5)/(4*d^2*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)) + (3*(5*b*c^2 + 4*a*d^2)*x*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(8*d^6) + (3*c^2*(5*b*c^2 + 4*a*d^2)*atanh(sqrt(-c + d*x)/sqrt(c + d*x)))/(4*d^7), x, 8),
+(x^3*(a + b*x^2)/((-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), -(((4*b*c^2 + 3*a*d^2)*x^2)/(3*d^4*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))) + (b*x^4)/(3*d^2*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)) + (2*(4*b*c^2 + 3*a*d^2)*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(3*d^6), x, 4),
+(x^2*(a + b*x^2)/((-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), -((c*(3*b*c^2 + 2*a*d^2))/(2*d^5*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))) + (b*x^3)/(2*d^2*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)) - ((3*b*c^2 + 2*a*d^2)*sqrt(-c + d*x))/(2*d^5*sqrt(c + d*x)) + ((3*b*c^2 + 2*a*d^2)*atanh(sqrt(-c + d*x)/sqrt(c + d*x)))/d^5, x, 7),
+(x^1*(a + b*x^2)/((-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), -(((a/c^2 + b/d^2)*x^2)/(sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))) + ((2*b*c^2 + a*d^2)*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/(c^2*d^4), x, 2),
+(x^0*(a + b*x^2)/((-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), -(((a/c^2 + b/d^2)*x)/(sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))) + (2*b*atanh(sqrt(-c + d*x)/sqrt(c + d*x)))/d^3, x, 4),
+((a + b*x^2)/(x^1*(-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), -((a/c^2 + b/d^2)/(sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))) - (a*atan((sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/c))/c^3, x, 3),
+((a + b*x^2)/(x^2*(-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), a/(c^2*x*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)) - ((b*c^2 + 2*a*d^2)*x)/(c^4*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)), x, 2),
+((a + b*x^2)/(x^3*(-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), -((2*b*c^2 + 3*a*d^2)/(2*c^4*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))) + a/(2*c^2*x^2*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)) - ((2*b*c^2 + 3*a*d^2)*atan((sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/c))/(2*c^5), x, 5),
+((a + b*x^2)/(x^4*(-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), a/(3*c^2*x^3*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)) + (3*b*c^2 + 4*a*d^2)/(3*c^4*x*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)) - (2*d^2*(3*b*c^2 + 4*a*d^2)*x)/(3*c^6*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)), x, 4),
+((a + b*x^2)/(x^5*(-c + d*x)^(3//2)*(c + d*x)^(3//2)), -((3*d^2*(4*b*c^2 + 5*a*d^2))/(8*c^6*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))) + a/(4*c^2*x^4*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)) + (4*b*c^2 + 5*a*d^2)/(8*c^4*x^2*sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x)) - (3*d^2*(4*b*c^2 + 5*a*d^2)*atan((sqrt(-c + d*x)*sqrt(c + d*x))/c))/(8*c^7), x, 7),
+
+
+((1 + c^2*x^2)/(x*sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x)), sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x) + atan(sqrt(-1 + c*x)*sqrt(1 + c*x)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a1+b1 x)^(p/2) (a2+b2 x)^(p/2) (c+d x^2)^q with a2 b1+a1 b2=0 with m symbolic
+
+
+((c + d*x^2)/(x^((2*b^2*c + a^2*d)/(b^2*c + a^2*d))*(sqrt(-a + b*x)*sqrt(a + b*x))), ((c/a^2 + d/b^2)*sqrt(-a + b*x)*sqrt(a + b*x))/x^((b^2*c)/(b^2*c + a^2*d)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a1+b1 x^(1/2))^p (a2+b2 x^(1/2))^p (c+d x)^q with a2 b1+a1 b2=0
+
+
+(1/(sqrt(-1 - sqrt(x))*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + x)), (sqrt(1 - x)*asin(x))/(sqrt(-1 - sqrt(x))*sqrt(-1 + sqrt(x))), x, 3),
+
+
+(1/(sqrt(a - b*sqrt(x))*sqrt(a + b*sqrt(x))*sqrt(a^2 + b^2*x)), -((2*sqrt(a^2 - b^2*x)*atan(sqrt(a^2 - b^2*x)/sqrt(a^2 + b^2*x)))/(b^2*sqrt(a - b*sqrt(x))*sqrt(a + b*sqrt(x)))), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a1+b1 x^n)^p (a2+b2 x^n)^p (c+d x^(2 n))^q with a2 b1+a1 b2=0 and n symbolic
+
+
+((a - b*x^n)^p*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^(2*n))^q, (x*(a - b*x^n)^p*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^(2*n))^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1/(2*n), -p, -q, (1//2)*(2 + 1/n), (b^2*x^(2*n))/a^2, -((d*x^(2*n))/c)))/((1 - (b^2*x^(2*n))/a^2)^p*(1 + (d*x^(2*n))/c)^q), x, 4),
+
+
+((a - b*x^n)^p*(a + b*x^n)^p*(a^2 + b^2*x^(2*n))^p, (x*(a - b*x^n)^p*(a + b*x^n)^p*(a^2 + b^2*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1/(4*n), -p, (1//4)*(4 + 1/n), (b^4*x^(4*n))/a^4))/(1 - (b^4*x^(4*n))/a^4)^p, x, 4),
+
+
+((c + d*x^(2*n))^p/((a + b*x^n)*(a - b*x^n)), (x*(c + d*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1/(2*n), 1, -p, (1//2)*(2 + 1/n), (b^2*x^(2*n))/a^2, -((d*x^(2*n))/c)))/((1 + (d*x^(2*n))/c)^p*a^2), x, 3),
+
+
+# {(a - b*x^(n/2))^p*(a + b*x^(n/2))^p*((a^2*d*(1 + p))/(b^2*(1 + (-1 - 2*n - n*p)/n)) + d*x^n)^((-1 - 2*n - n*p)/n), x, 2, -((b^2*(1 + n + n*p)*x*(a - b*x^(n/2))^(p + 1)*(a + b*x^(n/2))^(p + 1))/((-((a^2*d*n*(1 + p))/(b^2*(1 + n + n*p))) + d*x^n)^((1 + n + n*p)/n)*(a^4*d*n*(1 + p)))), -((b^2*(1 + n + n*p)*x*(a - b*x^(n/2))^p*(a + b*x^(n/2))^p*(a^2 - b^2*x^n))/((-((a^2*d*n*(1 + p))/(b^2*(1 + n + n*p))) + d*x^n)^((1 + n + n*p)/n)*(a^4*d*n*(1 + p))))}
+
+
+# ::Section::
+# Integrands of the form (e x)^m (a1+b1 x^n)^p (a2+b2 x^n)^p (c+d x^(2 n)+e x^(4 n))^q with a2 b1+a1 b2=0
+]
+# Total integrals translated: 372
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.4 (e x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.4 (e x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q.jl
new file mode 100644
index 00000000..2488f6cf
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.4 (e x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q.jl	
@@ -0,0 +1,1765 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^3)^p (c+d x^3)^q
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^3)^p (c+d x^3)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^3)^p (c+d x^3)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^2*(a + b*x^3)*(A + B*x^3), (a*A*x^3)/3 + ((A*b + a*B)*x^6)/6 + (b*B*x^9)/9, x, 3),
+(x*(a + b*x^3)*(A + B*x^3), (a*A*x^2)/2 + ((A*b + a*B)*x^5)/5 + (b*B*x^8)/8, x, 2),
+((a + b*x^3)*(A + B*x^3), a*A*x + ((A*b + a*B)*x^4)/4 + (b*B*x^7)/7, x, 2),
+(((a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x, ((A*b + a*B)*x^3)/3 + (b*B*x^6)/6 + a*A*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^2, -((a*A)/x) + ((A*b + a*B)*x^2)/2 + (b*B*x^5)/5, x, 2),
+(((a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^3, -(a*A)/(2*x^2) + (A*b + a*B)*x + (b*B*x^4)/4, x, 2),
+(((a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^4, -(a*A)/(3*x^3) + (b*B*x^3)/3 + (A*b + a*B)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^5, -(a*A)/(4*x^4) - (A*b + a*B)/x + (b*B*x^2)/2, x, 2),
+(((a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^6, -(a*A)/(5*x^5) - (A*b + a*B)/(2*x^2) + b*B*x, x, 2),
+(((a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^7, -(a*A)/(6*x^6) - (A*b + a*B)/(3*x^3) + b*B*log(x), x, 3),
+
+
+(x^2*(a + b*x^3)^2*(A + B*x^3), ((A*b - a*B)*(a + b*x^3)^3)/(9*b^2) + (B*(a + b*x^3)^4)/(12*b^2), x, 3),
+(x*(a + b*x^3)^2*(A + B*x^3), (a^2*A*x^2)/2 + (a*(2*A*b + a*B)*x^5)/5 + (b*(A*b + 2*a*B)*x^8)/8 + (b^2*B*x^11)/11, x, 2),
+((a + b*x^3)^2*(A + B*x^3), a^2*A*x + (a*(2*A*b + a*B)*x^4)/4 + (b*(A*b + 2*a*B)*x^7)/7 + (b^2*B*x^10)/10, x, 2),
+(((a + b*x^3)^2*(A + B*x^3))/x, (2*a*A*b*x^3)/3 + (A*b^2*x^6)/6 + (B*(a + b*x^3)^3)/(9*b) + a^2*A*log(x), x, 4),
+(((a + b*x^3)^2*(A + B*x^3))/x^2, -((a^2*A)/x) + (a*(2*A*b + a*B)*x^2)/2 + (b*(A*b + 2*a*B)*x^5)/5 + (b^2*B*x^8)/8, x, 2),
+(((a + b*x^3)^2*(A + B*x^3))/x^3, -(a^2*A)/(2*x^2) + a*(2*A*b + a*B)*x + (b*(A*b + 2*a*B)*x^4)/4 + (b^2*B*x^7)/7, x, 2),
+(((a + b*x^3)^2*(A + B*x^3))/x^4, -(a^2*A)/(3*x^3) + (b*(A*b + 2*a*B)*x^3)/3 + (b^2*B*x^6)/6 + a*(2*A*b + a*B)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^3)^2*(A + B*x^3))/x^5, -(a^2*A)/(4*x^4) - (a*(2*A*b + a*B))/x + (b*(A*b + 2*a*B)*x^2)/2 + (b^2*B*x^5)/5, x, 2),
+(((a + b*x^3)^2*(A + B*x^3))/x^6, -(a^2*A)/(5*x^5) - (a*(2*A*b + a*B))/(2*x^2) + b*(A*b + 2*a*B)*x + (b^2*B*x^4)/4, x, 2),
+(((a + b*x^3)^2*(A + B*x^3))/x^7, -(a^2*A)/(6*x^6) - (a*(2*A*b + a*B))/(3*x^3) + (b^2*B*x^3)/3 + b*(A*b + 2*a*B)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^3)^2*(A + B*x^3))/x^8, -(a^2*A)/(7*x^7) - (a*(2*A*b + a*B))/(4*x^4) - (b*(A*b + 2*a*B))/x + (b^2*B*x^2)/2, x, 2),
+(((a + b*x^3)^2*(A + B*x^3))/x^9, -(a^2*A)/(8*x^8) - (a*(2*A*b + a*B))/(5*x^5) - (b*(A*b + 2*a*B))/(2*x^2) + b^2*B*x, x, 2),
+
+
+(x^9*(a + b*x^3)^5*(A + B*x^3), (a^5*A*x^10)/10 + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^13)/13 + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^16)/16 + (10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^19)/19 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^22)/22 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^25)/25 + (b^5*B*x^28)/28, x, 2),
+(x^8*(a + b*x^3)^5*(A + B*x^3), (a^2*(A*b - a*B)*(a + b*x^3)^6)/(18*b^4) - (a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x^3)^7)/(21*b^4) + ((A*b - 3*a*B)*(a + b*x^3)^8)/(24*b^4) + (B*(a + b*x^3)^9)/(27*b^4), x, 3),
+(x^7*(a + b*x^3)^5*(A + B*x^3), (a^5*A*x^8)/8 + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^11)/11 + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^14)/14 + (10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^17)/17 + (a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^20)/4 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^23)/23 + (b^5*B*x^26)/26, x, 2),
+(x^6*(a + b*x^3)^5*(A + B*x^3), (a^5*A*x^7)/7 + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^10)/10 + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^13)/13 + (5*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^16)/8 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^19)/19 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^22)/22 + (b^5*B*x^25)/25, x, 2),
+(x^5*(a + b*x^3)^5*(A + B*x^3), -(a*(A*b - a*B)*(a + b*x^3)^6)/(18*b^3) + ((A*b - 2*a*B)*(a + b*x^3)^7)/(21*b^3) + (B*(a + b*x^3)^8)/(24*b^3), x, 3),
+(x^4*(a + b*x^3)^5*(A + B*x^3), (a^5*A*x^5)/5 + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^8)/8 + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^11)/11 + (5*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^14)/7 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^17)/17 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^20)/20 + (b^5*B*x^23)/23, x, 2),
+(x^3*(a + b*x^3)^5*(A + B*x^3), (a^5*A*x^4)/4 + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^7)/7 + (a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^10)/2 + (10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^13)/13 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^16)/16 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^19)/19 + (b^5*B*x^22)/22, x, 2),
+(x^2*(a + b*x^3)^5*(A + B*x^3), ((A*b - a*B)*(a + b*x^3)^6)/(18*b^2) + (B*(a + b*x^3)^7)/(21*b^2), x, 3),
+(x*(a + b*x^3)^5*(A + B*x^3), (a^5*A*x^2)/2 + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^5)/5 + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^8)/8 + (10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^11)/11 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^14)/14 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^17)/17 + (b^5*B*x^20)/20, x, 2),
+((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3), a^5*A*x + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^4)/4 + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^7)/7 + a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^10 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^13)/13 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^16)/16 + (b^5*B*x^19)/19, x, 2),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x, (5*a^4*A*b*x^3)/3 + (5*a^3*A*b^2*x^6)/3 + (10*a^2*A*b^3*x^9)/9 + (5*a*A*b^4*x^12)/12 + (A*b^5*x^15)/15 + (B*(a + b*x^3)^6)/(18*b) + a^5*A*log(x), x, 4),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^2, -((a^5*A)/x) + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^2)/2 + a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^5 + (5*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^8)/4 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^11)/11 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^14)/14 + (b^5*B*x^17)/17, x, 2),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^3, -(a^5*A)/(2*x^2) + a^4*(5*A*b + a*B)*x + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^4)/4 + (10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^7)/7 + (a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^10)/2 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^13)/13 + (b^5*B*x^16)/16, x, 2),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^4, -(a^5*A)/(3*x^3) + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^3)/3 + (5*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^6)/3 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^9)/9 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^12)/12 + (b^5*B*x^15)/15 + a^4*(5*A*b + a*B)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^5, -(a^5*A)/(4*x^4) - (a^4*(5*A*b + a*B))/x + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^2)/2 + 2*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^5 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^8)/8 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^11)/11 + (b^5*B*x^14)/14, x, 2),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^6, -(a^5*A)/(5*x^5) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(2*x^2) + 5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x + (5*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^4)/2 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^7)/7 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^10)/10 + (b^5*B*x^13)/13, x, 2),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^7, -(a^5*A)/(6*x^6) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(3*x^3) + (10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^3)/3 + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^6)/6 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^9)/9 + (b^5*B*x^12)/12 + 5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^8, -(a^5*A)/(7*x^7) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(4*x^4) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/x + 5*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^2 + a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^5 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^8)/8 + (b^5*B*x^11)/11, x, 2),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^9, -(a^5*A)/(8*x^8) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(5*x^5) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(2*x^2) + 10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^4)/4 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^7)/7 + (b^5*B*x^10)/10, x, 2),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^10, -(a^5*A)/(9*x^9) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(6*x^6) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(3*x^3) + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^3)/3 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^6)/6 + (b^5*B*x^9)/9 + 10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^11, -(a^5*A)/(10*x^10) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(7*x^7) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(4*x^4) - (10*a^2*b^2*(A*b + a*B))/x + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^2)/2 + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^5)/5 + (b^5*B*x^8)/8, x, 2),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^12, -(a^5*A)/(11*x^11) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(8*x^8) - (a^3*b*(2*A*b + a*B))/x^5 - (5*a^2*b^2*(A*b + a*B))/x^2 + 5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^4)/4 + (b^5*B*x^7)/7, x, 2),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^13, -(a^5*A)/(12*x^12) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(9*x^9) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(6*x^6) - (10*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(3*x^3) + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^3)/3 + (b^5*B*x^6)/6 + 5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^14, -(a^5*A)/(13*x^13) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(10*x^10) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(7*x^7) - (5*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(2*x^4) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B))/x + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^2)/2 + (b^5*B*x^5)/5, x, 2),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^15, -(a^5*A)/(14*x^14) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(11*x^11) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(8*x^8) - (2*a^2*b^2*(A*b + a*B))/x^5 - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B))/(2*x^2) + b^4*(A*b + 5*a*B)*x + (b^5*B*x^4)/4, x, 2),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^16, -(a^5*A)/(15*x^15) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(12*x^12) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(9*x^9) - (5*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(3*x^6) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B))/(3*x^3) + (b^5*B*x^3)/3 + b^4*(A*b + 5*a*B)*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^17, -(a^5*A)/(16*x^16) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(13*x^13) - (a^3*b*(2*A*b + a*B))/(2*x^10) - (10*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(7*x^7) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B))/(4*x^4) - (b^4*(A*b + 5*a*B))/x + (b^5*B*x^2)/2, x, 2),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^18, -(a^5*A)/(17*x^17) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(14*x^14) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(11*x^11) - (5*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(4*x^8) - (a*b^3*(A*b + 2*a*B))/x^5 - (b^4*(A*b + 5*a*B))/(2*x^2) + b^5*B*x, x, 2),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^19, -(a^5*B)/(15*x^15) - (5*a^4*b*B)/(12*x^12) - (10*a^3*b^2*B)/(9*x^9) - (5*a^2*b^3*B)/(3*x^6) - (5*a*b^4*B)/(3*x^3) - (A*(a + b*x^3)^6)/(18*a*x^18) + b^5*B*log(x), x, 4),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^20, -(a^5*A)/(19*x^19) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(16*x^16) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(13*x^13) - (a^2*b^2*(A*b + a*B))/x^10 - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B))/(7*x^7) - (b^4*(A*b + 5*a*B))/(4*x^4) - (b^5*B)/x, x, 2),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^21, -(a^5*A)/(20*x^20) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(17*x^17) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(14*x^14) - (10*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(11*x^11) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B))/(8*x^8) - (b^4*(A*b + 5*a*B))/(5*x^5) - (b^5*B)/(2*x^2), x, 2),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^22, -(A*(a + b*x^3)^6)/(21*a*x^21) + ((A*b - 7*a*B)*(a + b*x^3)^6)/(126*a^2*x^18), x, 3),
+(((a + b*x^3)^5*(A + B*x^3))/x^23, -(a^5*A)/(22*x^22) - (a^4*(5*A*b + a*B))/(19*x^19) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B))/(16*x^16) - (10*a^2*b^2*(A*b + a*B))/(13*x^13) - (a*b^3*(A*b + 2*a*B))/(2*x^10) - (b^4*(A*b + 5*a*B))/(7*x^7) - (b^5*B)/(4*x^4), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^6*(A + B*x^3))/(a + b*x^3), -((a*(A*b - a*B)*x)/b^3) + ((A*b - a*B)*x^4)/(4*b^2) + (B*x^7)/(7*b) - (a^(4//3)*(A*b - a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(10//3)) + (a^(4//3)*(A*b - a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(10//3)) - (a^(4//3)*(A*b - a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(10//3)), x, 9),
+((x^5*(A + B*x^3))/(a + b*x^3), ((A*b - a*B)*x^3)/(3*b^2) + (B*x^6)/(6*b) - (a*(A*b - a*B)*log(a + b*x^3))/(3*b^3), x, 3),
+((x^4*(A + B*x^3))/(a + b*x^3), ((A*b - a*B)*x^2)/(2*b^2) + (B*x^5)/(5*b) + (a^(2//3)*(A*b - a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(8//3)) + (a^(2//3)*(A*b - a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(8//3)) - (a^(2//3)*(A*b - a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(8//3)), x, 8),
+((x^3*(A + B*x^3))/(a + b*x^3), ((A*b - a*B)*x)/b^2 + (B*x^4)/(4*b) + (a^(1//3)*(A*b - a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(7//3)) - (a^(1//3)*(A*b - a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(7//3)) + (a^(1//3)*(A*b - a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(7//3)), x, 8),
+((x^2*(A + B*x^3))/(a + b*x^3), (B*x^3)/(3*b) + ((A*b - a*B)*log(a + b*x^3))/(3*b^2), x, 3),
+((x*(A + B*x^3))/(a + b*x^3), (B*x^2)/(2*b) - ((A*b - a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(1//3)*b^(5//3)) - ((A*b - a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(1//3)*b^(5//3)) + ((A*b - a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(1//3)*b^(5//3)), x, 7),
+((A + B*x^3)/(a + b*x^3), (B*x)/b - ((A*b - a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(4//3)) + ((A*b - a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(2//3)*b^(4//3)) - ((A*b - a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(2//3)*b^(4//3)), x, 7),
+((A + B*x^3)/(x*(a + b*x^3)), (A*log(x))/a - ((A*b - a*B)*log(a + b*x^3))/(3*a*b), x, 3),
+((A + B*x^3)/(x^2*(a + b*x^3)), -(A/(a*x)) + ((A*b - a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(4//3)*b^(2//3)) + ((A*b - a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(4//3)*b^(2//3)) - ((A*b - a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(4//3)*b^(2//3)), x, 7),
+((A + B*x^3)/(x^3*(a + b*x^3)), -A/(2*a*x^2) + ((A*b - a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(5//3)*b^(1//3)) - ((A*b - a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(5//3)*b^(1//3)) + ((A*b - a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(5//3)*b^(1//3)), x, 7),
+((A + B*x^3)/(x^4*(a + b*x^3)), -A/(3*a*x^3) - ((A*b - a*B)*log(x))/a^2 + ((A*b - a*B)*log(a + b*x^3))/(3*a^2), x, 3),
+((A + B*x^3)/(x^5*(a + b*x^3)), -A/(4*a*x^4) + (A*b - a*B)/(a^2*x) - (b^(1//3)*(A*b - a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(7//3)) - (b^(1//3)*(A*b - a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(7//3)) + (b^(1//3)*(A*b - a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(7//3)), x, 8),
+((A + B*x^3)/(x^6*(a + b*x^3)), -A/(5*a*x^5) + (A*b - a*B)/(2*a^2*x^2) - (b^(2//3)*(A*b - a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(8//3)) + (b^(2//3)*(A*b - a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(8//3)) - (b^(2//3)*(A*b - a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(8//3)), x, 8),
+((A + B*x^3)/(x^7*(a + b*x^3)), -A/(6*a*x^6) + (A*b - a*B)/(3*a^2*x^3) + (b*(A*b - a*B)*log(x))/a^3 - (b*(A*b - a*B)*log(a + b*x^3))/(3*a^3), x, 3),
+((A + B*x^3)/(x^8*(a + b*x^3)), -A/(7*a*x^7) + (A*b - a*B)/(4*a^2*x^4) - (b*(A*b - a*B))/(a^3*x) + (b^(4//3)*(A*b - a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(10//3)) + (b^(4//3)*(A*b - a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(10//3)) - (b^(4//3)*(A*b - a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(10//3)), x, 9),
+
+
+((x^9*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^2, -(a*(7*A*b - 10*a*B)*x)/(3*b^4) + ((7*A*b - 10*a*B)*x^4)/(12*b^3) - ((7*A*b - 10*a*B)*x^7)/(21*a*b^2) + ((A*b - a*B)*x^10)/(3*a*b*(a + b*x^3)) - (a^(4//3)*(7*A*b - 10*a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*b^(13//3)) + (a^(4//3)*(7*A*b - 10*a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*b^(13//3)) - (a^(4//3)*(7*A*b - 10*a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*b^(13//3)), x, 9),
+((x^8*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^2, ((A*b - 2*a*B)*x^3)/(3*b^3) + (B*x^6)/(6*b^2) - (a^2*(A*b - a*B))/(3*b^4*(a + b*x^3)) - (a*(2*A*b - 3*a*B)*log(a + b*x^3))/(3*b^4), x, 3),
+((x^7*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^2, ((5*A*b - 8*a*B)*x^2)/(6*b^3) - ((5*A*b - 8*a*B)*x^5)/(15*a*b^2) + ((A*b - a*B)*x^8)/(3*a*b*(a + b*x^3)) + (a^(2//3)*(5*A*b - 8*a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*b^(11//3)) + (a^(2//3)*(5*A*b - 8*a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*b^(11//3)) - (a^(2//3)*(5*A*b - 8*a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*b^(11//3)), x, 9),
+((x^6*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^2, ((4*A*b - 7*a*B)*x)/(3*b^3) - ((4*A*b - 7*a*B)*x^4)/(12*a*b^2) + ((A*b - a*B)*x^7)/(3*a*b*(a + b*x^3)) + (a^(1//3)*(4*A*b - 7*a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*b^(10//3)) - (a^(1//3)*(4*A*b - 7*a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*b^(10//3)) + (a^(1//3)*(4*A*b - 7*a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*b^(10//3)), x, 9),
+((x^5*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^2, (B*x^3)/(3*b^2) + (a*(A*b - a*B))/(3*b^3*(a + b*x^3)) + ((A*b - 2*a*B)*log(a + b*x^3))/(3*b^3), x, 3),
+((x^4*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^2, -((2*A*b - 5*a*B)*x^2)/(6*a*b^2) + ((A*b - a*B)*x^5)/(3*a*b*(a + b*x^3)) - ((2*A*b - 5*a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(1//3)*b^(8//3)) - ((2*A*b - 5*a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(1//3)*b^(8//3)) + ((2*A*b - 5*a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(1//3)*b^(8//3)), x, 8),
+((x^3*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^2, -((A*b - 4*a*B)*x)/(3*a*b^2) + ((A*b - a*B)*x^4)/(3*a*b*(a + b*x^3)) - ((A*b - 4*a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(2//3)*b^(7//3)) + ((A*b - 4*a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(2//3)*b^(7//3)) - ((A*b - 4*a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(2//3)*b^(7//3)), x, 8),
+((x^2*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^2, -(A*b - a*B)/(3*b^2*(a + b*x^3)) + (B*log(a + b*x^3))/(3*b^2), x, 3),
+((x*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^2, ((A*b - a*B)*x^2)/(3*a*b*(a + b*x^3)) - ((A*b + 2*a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(5//3)) - ((A*b + 2*a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(4//3)*b^(5//3)) + ((A*b + 2*a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(4//3)*b^(5//3)), x, 7),
+((A + B*x^3)/(a + b*x^3)^2, ((A*b - a*B)*x)/(3*a*b*(a + b*x^3)) - ((2*A*b + a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(4//3)) + ((2*A*b + a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(5//3)*b^(4//3)) - ((2*A*b + a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(5//3)*b^(4//3)), x, 7),
+((A + B*x^3)/(x*(a + b*x^3)^2), (A*b - a*B)/(3*a*b*(a + b*x^3)) + (A*log(x))/a^2 - (A*log(a + b*x^3))/(3*a^2), x, 3),
+((A + B*x^3)/(x^2*(a + b*x^3)^2), -(4*A*b - a*B)/(3*a^2*b*x) + (A*b - a*B)/(3*a*b*x*(a + b*x^3)) + ((4*A*b - a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(7//3)*b^(2//3)) + ((4*A*b - a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(7//3)*b^(2//3)) - ((4*A*b - a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(7//3)*b^(2//3)), x, 8),
+((A + B*x^3)/(x^3*(a + b*x^3)^2), -(5*A*b - 2*a*B)/(6*a^2*b*x^2) + (A*b - a*B)/(3*a*b*x^2*(a + b*x^3)) + ((5*A*b - 2*a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(8//3)*b^(1//3)) - ((5*A*b - 2*a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(8//3)*b^(1//3)) + ((5*A*b - 2*a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(8//3)*b^(1//3)), x, 8),
+((A + B*x^3)/(x^4*(a + b*x^3)^2), -A/(3*a^2*x^3) - (A*b - a*B)/(3*a^2*(a + b*x^3)) - ((2*A*b - a*B)*log(x))/a^3 + ((2*A*b - a*B)*log(a + b*x^3))/(3*a^3), x, 3),
+((A + B*x^3)/(x^5*(a + b*x^3)^2), -(7*A*b - 4*a*B)/(12*a^2*b*x^4) + (7*A*b - 4*a*B)/(3*a^3*x) + (A*b - a*B)/(3*a*b*x^4*(a + b*x^3)) - (b^(1//3)*(7*A*b - 4*a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(10//3)) - (b^(1//3)*(7*A*b - 4*a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(10//3)) + (b^(1//3)*(7*A*b - 4*a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(10//3)), x, 9),
+((A + B*x^3)/(x^6*(a + b*x^3)^2), -(8*A*b - 5*a*B)/(15*a^2*b*x^5) + (8*A*b - 5*a*B)/(6*a^3*x^2) + (A*b - a*B)/(3*a*b*x^5*(a + b*x^3)) - (b^(2//3)*(8*A*b - 5*a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(11//3)) + (b^(2//3)*(8*A*b - 5*a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(11//3)) - (b^(2//3)*(8*A*b - 5*a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(11//3)), x, 9),
+((A + B*x^3)/(x^7*(a + b*x^3)^2), -A/(6*a^2*x^6) + (2*A*b - a*B)/(3*a^3*x^3) + (b*(A*b - a*B))/(3*a^3*(a + b*x^3)) + (b*(3*A*b - 2*a*B)*log(x))/a^4 - (b*(3*A*b - 2*a*B)*log(a + b*x^3))/(3*a^4), x, 3),
+
+
+((x^11*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^3, ((A*b - 3*a*B)*x^3)/(3*b^4) + (B*x^6)/(6*b^3) + (a^3*(A*b - a*B))/(6*b^5*(a + b*x^3)^2) - (a^2*(3*A*b - 4*a*B))/(3*b^5*(a + b*x^3)) - (a*(A*b - 2*a*B)*log(a + b*x^3))/b^5, x, 3),
+((x^8*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^3, (B*x^3)/(3*b^3) - (a^2*(A*b - a*B))/(6*b^4*(a + b*x^3)^2) + (a*(2*A*b - 3*a*B))/(3*b^4*(a + b*x^3)) + ((A*b - 3*a*B)*log(a + b*x^3))/(3*b^4), x, 3),
+((x^5*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^3, (a*(A*b - a*B))/(6*b^3*(a + b*x^3)^2) - (A*b - 2*a*B)/(3*b^3*(a + b*x^3)) + (B*log(a + b*x^3))/(3*b^3), x, 3),
+((x^2*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^3, -(A + B*x^3)^2/(6*(A*b - a*B)*(a + b*x^3)^2), x, 2),
+((A + B*x^3)/(x*(a + b*x^3)^3), (A*b - a*B)/(6*a*b*(a + b*x^3)^2) + A/(3*a^2*(a + b*x^3)) + (A*log(x))/a^3 - (A*log(a + b*x^3))/(3*a^3), x, 3),
+((A + B*x^3)/(x^4*(a + b*x^3)^3), -A/(3*a^3*x^3) - (A*b - a*B)/(6*a^2*(a + b*x^3)^2) - (2*A*b - a*B)/(3*a^3*(a + b*x^3)) - ((3*A*b - a*B)*log(x))/a^4 + ((3*A*b - a*B)*log(a + b*x^3))/(3*a^4), x, 3),
+((A + B*x^3)/(x^7*(a + b*x^3)^3), -A/(6*a^3*x^6) + (3*A*b - a*B)/(3*a^4*x^3) + (b*(A*b - a*B))/(6*a^3*(a + b*x^3)^2) + (b*(3*A*b - 2*a*B))/(3*a^4*(a + b*x^3)) + (3*b*(2*A*b - a*B)*log(x))/a^5 - (b*(2*A*b - a*B)*log(a + b*x^3))/a^5, x, 3),
+
+((x^10*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^3, (2*(5*A*b - 11*a*B)*x^2)/(9*b^4) - (4*(5*A*b - 11*a*B)*x^5)/(45*a*b^3) + ((A*b - a*B)*x^11)/(6*a*b*(a + b*x^3)^2) + ((5*A*b - 11*a*B)*x^8)/(18*a*b^2*(a + b*x^3)) + (4*a^(2//3)*(5*A*b - 11*a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*b^(14//3)) + (4*a^(2//3)*(5*A*b - 11*a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*b^(14//3)) - (2*a^(2//3)*(5*A*b - 11*a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(27*b^(14//3)), x, 10),
+((x^9*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^3, (7*(2*A*b - 5*a*B)*x)/(9*b^4) - (7*(2*A*b - 5*a*B)*x^4)/(36*a*b^3) + ((A*b - a*B)*x^10)/(6*a*b*(a + b*x^3)^2) + ((2*A*b - 5*a*B)*x^7)/(9*a*b^2*(a + b*x^3)) + (7*a^(1//3)*(2*A*b - 5*a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*b^(13//3)) - (7*a^(1//3)*(2*A*b - 5*a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*b^(13//3)) + (7*a^(1//3)*(2*A*b - 5*a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*b^(13//3)), x, 10),
+((x^7*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^3, (-5*(A*b - 4*a*B)*x^2)/(18*a*b^3) + ((A*b - a*B)*x^8)/(6*a*b*(a + b*x^3)^2) + ((A*b - 4*a*B)*x^5)/(9*a*b^2*(a + b*x^3)) - (5*(A*b - 4*a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(1//3)*b^(11//3)) - (5*(A*b - 4*a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(1//3)*b^(11//3)) + (5*(A*b - 4*a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(1//3)*b^(11//3)), x, 9),
+((x^6*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^3, (-2*(A*b - 7*a*B)*x)/(9*a*b^3) + ((A*b - a*B)*x^7)/(6*a*b*(a + b*x^3)^2) + ((A*b - 7*a*B)*x^4)/(18*a*b^2*(a + b*x^3)) - (2*(A*b - 7*a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(2//3)*b^(10//3)) + (2*(A*b - 7*a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(2//3)*b^(10//3)) - ((A*b - 7*a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(27*a^(2//3)*b^(10//3)), x, 9),
+((x^4*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^3, ((A*b - a*B)*x^5)/(6*a*b*(a + b*x^3)^2) - ((A*b + 5*a*B)*x^2)/(18*a*b^2*(a + b*x^3)) - ((A*b + 5*a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(8//3)) - ((A*b + 5*a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(4//3)*b^(8//3)) + ((A*b + 5*a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(4//3)*b^(8//3)), x, 8),
+((x^3*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^3, ((A*b - a*B)*x^4)/(6*a*b*(a + b*x^3)^2) - ((A*b + 2*a*B)*x)/(9*a*b^2*(a + b*x^3)) - ((A*b + 2*a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(7//3)) + ((A*b + 2*a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(5//3)*b^(7//3)) - ((A*b + 2*a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(5//3)*b^(7//3)), x, 8),
+((x*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^3, ((A*b - a*B)*x^2)/(6*a*b*(a + b*x^3)^2) + ((2*A*b + a*B)*x^2)/(9*a^2*b*(a + b*x^3)) - ((2*A*b + a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(7//3)*b^(5//3)) - ((2*A*b + a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(7//3)*b^(5//3)) + ((2*A*b + a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(7//3)*b^(5//3)), x, 8),
+((A + B*x^3)/(a + b*x^3)^3, ((A*b - a*B)*x)/(6*a*b*(a + b*x^3)^2) + ((5*A*b + a*B)*x)/(18*a^2*b*(a + b*x^3)) - ((5*A*b + a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(8//3)*b^(4//3)) + ((5*A*b + a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(8//3)*b^(4//3)) - ((5*A*b + a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(8//3)*b^(4//3)), x, 8),
+((A + B*x^3)/(x^2*(a + b*x^3)^3), (-2*(7*A*b - a*B))/(9*a^3*b*x) + (A*b - a*B)/(6*a*b*x*(a + b*x^3)^2) + (7*A*b - a*B)/(18*a^2*b*x*(a + b*x^3)) + (2*(7*A*b - a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(10//3)*b^(2//3)) + (2*(7*A*b - a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(10//3)*b^(2//3)) - ((7*A*b - a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(27*a^(10//3)*b^(2//3)), x, 9),
+((A + B*x^3)/(x^3*(a + b*x^3)^3), (-5*(4*A*b - a*B))/(18*a^3*b*x^2) + (A*b - a*B)/(6*a*b*x^2*(a + b*x^3)^2) + (4*A*b - a*B)/(9*a^2*b*x^2*(a + b*x^3)) + (5*(4*A*b - a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(11//3)*b^(1//3)) - (5*(4*A*b - a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(11//3)*b^(1//3)) + (5*(4*A*b - a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(11//3)*b^(1//3)), x, 9),
+((A + B*x^3)/(x^5*(a + b*x^3)^3), (-7*(5*A*b - 2*a*B))/(36*a^3*b*x^4) + (7*(5*A*b - 2*a*B))/(9*a^4*x) + (A*b - a*B)/(6*a*b*x^4*(a + b*x^3)^2) + (5*A*b - 2*a*B)/(9*a^2*b*x^4*(a + b*x^3)) - (7*b^(1//3)*(5*A*b - 2*a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(13//3)) - (7*b^(1//3)*(5*A*b - 2*a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(13//3)) + (7*b^(1//3)*(5*A*b - 2*a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(13//3)), x, 10),
+((A + B*x^3)/(x^6*(a + b*x^3)^3), (-4*(11*A*b - 5*a*B))/(45*a^3*b*x^5) + (2*(11*A*b - 5*a*B))/(9*a^4*x^2) + (A*b - a*B)/(6*a*b*x^5*(a + b*x^3)^2) + (11*A*b - 5*a*B)/(18*a^2*b*x^5*(a + b*x^3)) - (4*b^(2//3)*(11*A*b - 5*a*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(14//3)) + (4*b^(2//3)*(11*A*b - 5*a*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(14//3)) - (2*b^(2//3)*(11*A*b - 5*a*B)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(27*a^(14//3)), x, 10),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^3)^p / (c+d x^3)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^8/((a + b*x^3)*(c + d*x^3)), x^3/(3*b*d) + (a^2*log(a + b*x^3))/(3*b^2*(b*c - a*d)) - (c^2*log(c + d*x^3))/(3*d^2*(b*c - a*d)), x, 3),
+(x^7/((a + b*x^3)*(c + d*x^3)), x^2/(2*b*d) - (a^(5//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(5//3)*(b*c - a*d)) + (c^(5//3)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(sqrt(3)*d^(5//3)*(b*c - a*d)) - (a^(5//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(5//3)*(b*c - a*d)) + (c^(5//3)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(3*d^(5//3)*(b*c - a*d)) + (a^(5//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(5//3)*(b*c - a*d)) - (c^(5//3)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(6*d^(5//3)*(b*c - a*d)), x, 15),
+(x^6/((a + b*x^3)*(c + d*x^3)), x/(b*d) - (a^(4//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(4//3)*(b*c - a*d)) + (c^(4//3)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(sqrt(3)*d^(4//3)*(b*c - a*d)) + (a^(4//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(4//3)*(b*c - a*d)) - (c^(4//3)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(3*d^(4//3)*(b*c - a*d)) - (a^(4//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(4//3)*(b*c - a*d)) + (c^(4//3)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(6*d^(4//3)*(b*c - a*d)), x, 14),
+(x^5/((a + b*x^3)*(c + d*x^3)), -((a*log(a + b*x^3))/(3*b*(b*c - a*d))) + (c*log(c + d*x^3))/(3*d*(b*c - a*d)), x, 3),
+(x^4/((a + b*x^3)*(c + d*x^3)), (a^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(2//3)*(b*c - a*d)) - (c^(2//3)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(sqrt(3)*d^(2//3)*(b*c - a*d)) + (a^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(2//3)*(b*c - a*d)) - (c^(2//3)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(3*d^(2//3)*(b*c - a*d)) - (a^(2//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(2//3)*(b*c - a*d)) + (c^(2//3)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(6*d^(2//3)*(b*c - a*d)), x, 13),
+(x^3/((a + b*x^3)*(c + d*x^3)), (a^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(1//3)*(b*c - a*d)) - (c^(1//3)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(sqrt(3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)) - (a^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(1//3)*(b*c - a*d)) + (c^(1//3)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(3*d^(1//3)*(b*c - a*d)) + (a^(1//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(1//3)*(b*c - a*d)) - (c^(1//3)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(6*d^(1//3)*(b*c - a*d)), x, 13),
+(x^2/((a + b*x^3)*(c + d*x^3)), log(a + b*x^3)/(3*(b*c - a*d)) - log(c + d*x^3)/(3*(b*c - a*d)), x, 4),
+(x^1/((a + b*x^3)*(c + d*x^3)), -((b^(1//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(1//3)*(b*c - a*d))) + (d^(1//3)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(sqrt(3)*c^(1//3)*(b*c - a*d)) - (b^(1//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(1//3)*(b*c - a*d)) + (d^(1//3)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(3*c^(1//3)*(b*c - a*d)) + (b^(1//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(1//3)*(b*c - a*d)) - (d^(1//3)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(6*c^(1//3)*(b*c - a*d)), x, 13),
+(x^0/((a + b*x^3)*(c + d*x^3)), -((b^(2//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*(b*c - a*d))) + (d^(2//3)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(sqrt(3)*c^(2//3)*(b*c - a*d)) + (b^(2//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(2//3)*(b*c - a*d)) - (d^(2//3)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(3*c^(2//3)*(b*c - a*d)) - (b^(2//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(2//3)*(b*c - a*d)) + (d^(2//3)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(6*c^(2//3)*(b*c - a*d)), x, 13),
+(1/(x^1*(a + b*x^3)*(c + d*x^3)), log(x)/(a*c) - (b*log(a + b*x^3))/(3*a*(b*c - a*d)) + (d*log(c + d*x^3))/(3*c*(b*c - a*d)), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x^3)*(c + d*x^3)), -(1/(a*c*x)) + (b^(4//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(4//3)*(b*c - a*d)) - (d^(4//3)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(sqrt(3)*c^(4//3)*(b*c - a*d)) + (b^(4//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(4//3)*(b*c - a*d)) - (d^(4//3)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(3*c^(4//3)*(b*c - a*d)) - (b^(4//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(4//3)*(b*c - a*d)) + (d^(4//3)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(6*c^(4//3)*(b*c - a*d)), x, 15),
+(1/(x^3*(a + b*x^3)*(c + d*x^3)), -(1/(2*a*c*x^2)) + (b^(5//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(5//3)*(b*c - a*d)) - (d^(5//3)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(sqrt(3)*c^(5//3)*(b*c - a*d)) - (b^(5//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(5//3)*(b*c - a*d)) + (d^(5//3)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(3*c^(5//3)*(b*c - a*d)) + (b^(5//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(5//3)*(b*c - a*d)) - (d^(5//3)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(6*c^(5//3)*(b*c - a*d)), x, 14),
+(1/(x^4*(a + b*x^3)*(c + d*x^3)), -(1/(3*a*c*x^3)) - ((b*c + a*d)*log(x))/(a^2*c^2) + (b^2*log(a + b*x^3))/(3*a^2*(b*c - a*d)) - (d^2*log(c + d*x^3))/(3*c^2*(b*c - a*d)), x, 3),
+(1/(x^5*(a + b*x^3)*(c + d*x^3)), -(1/(4*a*c*x^4)) + (b*c + a*d)/(a^2*c^2*x) - (b^(7//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(7//3)*(b*c - a*d)) + (d^(7//3)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(sqrt(3)*c^(7//3)*(b*c - a*d)) - (b^(7//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(7//3)*(b*c - a*d)) + (d^(7//3)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(3*c^(7//3)*(b*c - a*d)) + (b^(7//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(7//3)*(b*c - a*d)) - (d^(7//3)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(6*c^(7//3)*(b*c - a*d)), x, 16),
+(1/(x^6*(a + b*x^3)*(c + d*x^3)), -(1/(5*a*c*x^5)) + (b*c + a*d)/(2*a^2*c^2*x^2) - (b^(8//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(8//3)*(b*c - a*d)) + (d^(8//3)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(sqrt(3)*c^(8//3)*(b*c - a*d)) + (b^(8//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(8//3)*(b*c - a*d)) - (d^(8//3)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(3*c^(8//3)*(b*c - a*d)) - (b^(8//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(8//3)*(b*c - a*d)) + (d^(8//3)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(6*c^(8//3)*(b*c - a*d)), x, 15),
+(1/(x^7*(a + b*x^3)*(c + d*x^3)), -(1/(6*a*c*x^6)) + (b*c + a*d)/(3*a^2*c^2*x^3) + ((b^2*c^2 + a*b*c*d + a^2*d^2)*log(x))/(a^3*c^3) - (b^3*log(a + b*x^3))/(3*a^3*(b*c - a*d)) + (d^3*log(c + d*x^3))/(3*c^3*(b*c - a*d)), x, 3),
+(1/(x^8*(a + b*x^3)*(c + d*x^3)), -(1/(7*a*c*x^7)) + (b*c + a*d)/(4*a^2*c^2*x^4) - (b^2*c^2 + a*b*c*d + a^2*d^2)/(a^3*c^3*x) + (b^(10//3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(10//3)*(b*c - a*d)) - (d^(10//3)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(sqrt(3)*c^(10//3)*(b*c - a*d)) + (b^(10//3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(10//3)*(b*c - a*d)) - (d^(10//3)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(3*c^(10//3)*(b*c - a*d)) - (b^(10//3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(10//3)*(b*c - a*d)) + (d^(10//3)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(6*c^(10//3)*(b*c - a*d)), x, 17),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^3)^p (c+d x^3)^q with m symbolic
+
+
+(x^m*(a + b*x^3)^5*(A + B*x^3), (a^5*A*x^(1 + m))/(1 + m) + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^(4 + m))/(4 + m) + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^(7 + m))/(7 + m) + (10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^(10 + m))/(10 + m) + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^(13 + m))/(13 + m) + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^(16 + m))/(16 + m) + (b^5*B*x^(19 + m))/(19 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^3)^2*(A + B*x^3), (a^2*A*x^(1 + m))/(1 + m) + (a*(2*A*b + a*B)*x^(4 + m))/(4 + m) + (b*(A*b + 2*a*B)*x^(7 + m))/(7 + m) + (b^2*B*x^(10 + m))/(10 + m), x, 2),
+(x^m*(a + b*x^3)*(A + B*x^3), (a*A*x^(1 + m))/(1 + m) + ((A*b + a*B)*x^(4 + m))/(4 + m) + (b*B*x^(7 + m))/(7 + m), x, 2),
+((x^m*(A + B*x^3))/(a + b*x^3), (B*x^(1 + m))/(b*(1 + m)) + ((A*b - a*B)*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/(a*b*(1 + m)), x, 2),
+((x^m*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^2, ((A*b - a*B)*x^(1 + m))/(3*a*b*(a + b*x^3)) + ((A*b*(2 - m) + a*B*(1 + m))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/(3*a^2*b*(1 + m)), x, 2),
+((x^m*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^3, ((A*b - a*B)*x^(1 + m))/(6*a*b*(a + b*x^3)^2) + ((A*b*(5 - m) + a*B*(1 + m))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/(6*a^3*b*(1 + m)), x, 2),
+
+
+((e*x)^m/((a + b*x^3)*(c + d*x^3)), (b*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/(a*(b*c - a*d)*e*(1 + m)) - (d*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((d*x^3)/c)))/(c*(b*c - a*d)*e*(1 + m)), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b x^3)^p (c+d x^3)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^3)^p (c+d x^3)^1
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(7//2)*(a + b*x^3)*(A + B*x^3), (2*a*A*x^(9//2))/9 + (2*(A*b + a*B)*x^(15//2))/15 + (2*b*B*x^(21//2))/21, x, 2),
+(x^(5//2)*(a + b*x^3)*(A + B*x^3), (2*a*A*x^(7//2))/7 + (2*(A*b + a*B)*x^(13//2))/13 + (2*b*B*x^(19//2))/19, x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x^3)*(A + B*x^3), (2*a*A*x^(5//2))/5 + (2*(A*b + a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b*B*x^(17//2))/17, x, 2),
+(sqrt(x)*(a + b*x^3)*(A + B*x^3), (2*a*A*x^(3//2))/3 + (2*(A*b + a*B)*x^(9//2))/9 + (2*b*B*x^(15//2))/15, x, 2),
+(((a + b*x^3)*(A + B*x^3))/sqrt(x), 2*a*A*sqrt(x) + (2*(A*b + a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b*B*x^(13//2))/13, x, 2),
+(((a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^(3//2), (-2*a*A)/sqrt(x) + (2*(A*b + a*B)*x^(5//2))/5 + (2*b*B*x^(11//2))/11, x, 2),
+(((a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^(5//2), (-2*a*A)/(3*x^(3//2)) + (2*(A*b + a*B)*x^(3//2))/3 + (2*b*B*x^(9//2))/9, x, 2),
+(((a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^(7//2), (-2*a*A)/(5*x^(5//2)) + 2*(A*b + a*B)*sqrt(x) + (2*b*B*x^(7//2))/7, x, 2),
+
+
+(x^(7//2)*(a + b*x^3)^2*(A + B*x^3), (2*a^2*A*x^(9//2))/9 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(15//2))/15 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(21//2))/21 + (2*b^2*B*x^(27//2))/27, x, 2),
+(x^(5//2)*(a + b*x^3)^2*(A + B*x^3), (2*a^2*A*x^(7//2))/7 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(13//2))/13 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(19//2))/19 + (2*b^2*B*x^(25//2))/25, x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x^3)^2*(A + B*x^3), (2*a^2*A*x^(5//2))/5 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(17//2))/17 + (2*b^2*B*x^(23//2))/23, x, 2),
+(sqrt(x)*(a + b*x^3)^2*(A + B*x^3), (2*a^2*A*x^(3//2))/3 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(9//2))/9 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(15//2))/15 + (2*b^2*B*x^(21//2))/21, x, 2),
+(((a + b*x^3)^2*(A + B*x^3))/sqrt(x), 2*a^2*A*sqrt(x) + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(13//2))/13 + (2*b^2*B*x^(19//2))/19, x, 2),
+(((a + b*x^3)^2*(A + B*x^3))/x^(3//2), (-2*a^2*A)/sqrt(x) + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(5//2))/5 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b^2*B*x^(17//2))/17, x, 2),
+(((a + b*x^3)^2*(A + B*x^3))/x^(5//2), (-2*a^2*A)/(3*x^(3//2)) + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(3//2))/3 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(9//2))/9 + (2*b^2*B*x^(15//2))/15, x, 2),
+(((a + b*x^3)^2*(A + B*x^3))/x^(7//2), (-2*a^2*A)/(5*x^(5//2)) + 2*a*(2*A*b + a*B)*sqrt(x) + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b^2*B*x^(13//2))/13, x, 2),
+
+
+(x^(7//2)*(a + b*x^3)^3*(A + B*x^3), (2*a^3*A*x^(9//2))/9 + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(15//2))/15 + (2*a*b*(A*b + a*B)*x^(21//2))/7 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(27//2))/27 + (2*b^3*B*x^(33//2))/33, x, 2),
+(x^(5//2)*(a + b*x^3)^3*(A + B*x^3), (2*a^3*A*x^(7//2))/7 + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(13//2))/13 + (6*a*b*(A*b + a*B)*x^(19//2))/19 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(25//2))/25 + (2*b^3*B*x^(31//2))/31, x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x^3)^3*(A + B*x^3), (2*a^3*A*x^(5//2))/5 + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(11//2))/11 + (6*a*b*(A*b + a*B)*x^(17//2))/17 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(23//2))/23 + (2*b^3*B*x^(29//2))/29, x, 2),
+(sqrt(x)*(a + b*x^3)^3*(A + B*x^3), (2*a^3*A*x^(3//2))/3 + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(9//2))/9 + (2*a*b*(A*b + a*B)*x^(15//2))/5 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(21//2))/21 + (2*b^3*B*x^(27//2))/27, x, 2),
+(((a + b*x^3)^3*(A + B*x^3))/sqrt(x), 2*a^3*A*sqrt(x) + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(7//2))/7 + (6*a*b*(A*b + a*B)*x^(13//2))/13 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(19//2))/19 + (2*b^3*B*x^(25//2))/25, x, 2),
+(((a + b*x^3)^3*(A + B*x^3))/x^(3//2), (-2*a^3*A)/sqrt(x) + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(5//2))/5 + (6*a*b*(A*b + a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(17//2))/17 + (2*b^3*B*x^(23//2))/23, x, 2),
+(((a + b*x^3)^3*(A + B*x^3))/x^(5//2), (-2*a^3*A)/(3*x^(3//2)) + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(3//2))/3 + (2*a*b*(A*b + a*B)*x^(9//2))/3 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(15//2))/15 + (2*b^3*B*x^(21//2))/21, x, 2),
+(((a + b*x^3)^3*(A + B*x^3))/x^(7//2), (-2*a^3*A)/(5*x^(5//2)) + 2*a^2*(3*A*b + a*B)*sqrt(x) + (6*a*b*(A*b + a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(13//2))/13 + (2*b^3*B*x^(19//2))/19, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3), (2*(A*b - a*B)*x^(3//2))/(3*b^2) + (2*B*x^(9//2))/(9*b) - (2*sqrt(a)*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*x^(3//2))/sqrt(a)))/(3*b^(5//2)), x, 5),
+((x^(5//2)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3), (2*(A*b - a*B)*sqrt(x))/b^2 + (2*B*x^(7//2))/(7*b) + (a^(1//6)*(A*b - a*B)*atan(sqrt(3) - (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(3*b^(13//6)) - (a^(1//6)*(A*b - a*B)*atan(sqrt(3) + (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(3*b^(13//6)) - (2*a^(1//6)*(A*b - a*B)*atan((b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(3*b^(13//6)) + (a^(1//6)*(A*b - a*B)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(2*sqrt(3)*b^(13//6)) - (a^(1//6)*(A*b - a*B)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(2*sqrt(3)*b^(13//6)), x, 13),
+((x^(3//2)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3), (2*B*x^(5//2))/(5*b) - ((A*b - a*B)*atan(sqrt(3) - (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(3*a^(1//6)*b^(11//6)) + ((A*b - a*B)*atan(sqrt(3) + (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(3*a^(1//6)*b^(11//6)) + (2*(A*b - a*B)*atan((b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(3*a^(1//6)*b^(11//6)) + ((A*b - a*B)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(2*sqrt(3)*a^(1//6)*b^(11//6)) - ((A*b - a*B)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(2*sqrt(3)*a^(1//6)*b^(11//6)), x, 12),
+((sqrt(x)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3), (2*B*x^(3//2))/(3*b) + (2*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*x^(3//2))/sqrt(a)))/(3*sqrt(a)*b^(3//2)), x, 4),
+((A + B*x^3)/(sqrt(x)*(a + b*x^3)), (2*B*sqrt(x))/b - ((A*b - a*B)*atan(sqrt(3) - (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(3*a^(5//6)*b^(7//6)) + ((A*b - a*B)*atan(sqrt(3) + (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(3*a^(5//6)*b^(7//6)) + (2*(A*b - a*B)*atan((b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(3*a^(5//6)*b^(7//6)) - ((A*b - a*B)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(2*sqrt(3)*a^(5//6)*b^(7//6)) + ((A*b - a*B)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(2*sqrt(3)*a^(5//6)*b^(7//6)), x, 12),
+((A + B*x^3)/(x^(3//2)*(a + b*x^3)), -((2*A)/(a*sqrt(x))) + ((A*b - a*B)*atan(sqrt(3) - (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(3*a^(7//6)*b^(5//6)) - ((A*b - a*B)*atan(sqrt(3) + (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(3*a^(7//6)*b^(5//6)) - (2*(A*b - a*B)*atan((b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(3*a^(7//6)*b^(5//6)) - ((A*b - a*B)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(2*sqrt(3)*a^(7//6)*b^(5//6)) + ((A*b - a*B)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(2*sqrt(3)*a^(7//6)*b^(5//6)), x, 12),
+((A + B*x^3)/(x^(5//2)*(a + b*x^3)), (-2*A)/(3*a*x^(3//2)) - (2*(A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*x^(3//2))/sqrt(a)))/(3*a^(3//2)*sqrt(b)), x, 4),
+((A + B*x^3)/(x^(7//2)*(a + b*x^3)), -((2*A)/(5*a*x^(5//2))) + ((A*b - a*B)*atan(sqrt(3) - (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(3*a^(11//6)*b^(1//6)) - ((A*b - a*B)*atan(sqrt(3) + (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(3*a^(11//6)*b^(1//6)) - (2*(A*b - a*B)*atan((b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(3*a^(11//6)*b^(1//6)) + ((A*b - a*B)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(2*sqrt(3)*a^(11//6)*b^(1//6)) - ((A*b - a*B)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(2*sqrt(3)*a^(11//6)*b^(1//6)), x, 12),
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^2, -((A*b - 3*a*B)*x^(3//2))/(3*a*b^2) + ((A*b - a*B)*x^(9//2))/(3*a*b*(a + b*x^3)) + ((A*b - 3*a*B)*atan((sqrt(b)*x^(3//2))/sqrt(a)))/(3*sqrt(a)*b^(5//2)), x, 5),
+((x^(5//2)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^2, -(((A*b - 7*a*B)*sqrt(x))/(3*a*b^2)) + ((A*b - a*B)*x^(7//2))/(3*a*b*(a + b*x^3)) - ((A*b - 7*a*B)*atan(sqrt(3) - (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(18*a^(5//6)*b^(13//6)) + ((A*b - 7*a*B)*atan(sqrt(3) + (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(18*a^(5//6)*b^(13//6)) + ((A*b - 7*a*B)*atan((b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(9*a^(5//6)*b^(13//6)) - ((A*b - 7*a*B)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(12*sqrt(3)*a^(5//6)*b^(13//6)) + ((A*b - 7*a*B)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(12*sqrt(3)*a^(5//6)*b^(13//6)), x, 13),
+((x^(3//2)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^2, ((A*b - a*B)*x^(5//2))/(3*a*b*(a + b*x^3)) - ((A*b + 5*a*B)*atan(sqrt(3) - (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(18*a^(7//6)*b^(11//6)) + ((A*b + 5*a*B)*atan(sqrt(3) + (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(18*a^(7//6)*b^(11//6)) + ((A*b + 5*a*B)*atan((b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(9*a^(7//6)*b^(11//6)) + ((A*b + 5*a*B)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(12*sqrt(3)*a^(7//6)*b^(11//6)) - ((A*b + 5*a*B)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(12*sqrt(3)*a^(7//6)*b^(11//6)), x, 12),
+((sqrt(x)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^2, ((A*b - a*B)*x^(3//2))/(3*a*b*(a + b*x^3)) + ((A*b + a*B)*atan((sqrt(b)*x^(3//2))/sqrt(a)))/(3*a^(3//2)*b^(3//2)), x, 4),
+((A + B*x^3)/(sqrt(x)*(a + b*x^3)^2), ((A*b - a*B)*sqrt(x))/(3*a*b*(a + b*x^3)) - ((5*A*b + a*B)*atan(sqrt(3) - (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(18*a^(11//6)*b^(7//6)) + ((5*A*b + a*B)*atan(sqrt(3) + (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(18*a^(11//6)*b^(7//6)) + ((5*A*b + a*B)*atan((b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(9*a^(11//6)*b^(7//6)) - ((5*A*b + a*B)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(12*sqrt(3)*a^(11//6)*b^(7//6)) + ((5*A*b + a*B)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(12*sqrt(3)*a^(11//6)*b^(7//6)), x, 12),
+((A + B*x^3)/(x^(3//2)*(a + b*x^3)^2), -((7*A*b - a*B)/(3*a^2*b*sqrt(x))) + (A*b - a*B)/(3*a*b*sqrt(x)*(a + b*x^3)) + ((7*A*b - a*B)*atan(sqrt(3) - (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(18*a^(13//6)*b^(5//6)) - ((7*A*b - a*B)*atan(sqrt(3) + (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(18*a^(13//6)*b^(5//6)) - ((7*A*b - a*B)*atan((b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(9*a^(13//6)*b^(5//6)) - ((7*A*b - a*B)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(12*sqrt(3)*a^(13//6)*b^(5//6)) + ((7*A*b - a*B)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(12*sqrt(3)*a^(13//6)*b^(5//6)), x, 13),
+((A + B*x^3)/(x^(5//2)*(a + b*x^3)^2), -(3*A*b - a*B)/(3*a^2*b*x^(3//2)) + (A*b - a*B)/(3*a*b*x^(3//2)*(a + b*x^3)) - ((3*A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*x^(3//2))/sqrt(a)))/(3*a^(5//2)*sqrt(b)), x, 5),
+((A + B*x^3)/(x^(7//2)*(a + b*x^3)^2), -((11*A*b - 5*a*B)/(15*a^2*b*x^(5//2))) + (A*b - a*B)/(3*a*b*x^(5//2)*(a + b*x^3)) + ((11*A*b - 5*a*B)*atan(sqrt(3) - (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(18*a^(17//6)*b^(1//6)) - ((11*A*b - 5*a*B)*atan(sqrt(3) + (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(18*a^(17//6)*b^(1//6)) - ((11*A*b - 5*a*B)*atan((b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(9*a^(17//6)*b^(1//6)) + ((11*A*b - 5*a*B)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(12*sqrt(3)*a^(17//6)*b^(1//6)) - ((11*A*b - 5*a*B)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(12*sqrt(3)*a^(17//6)*b^(1//6)), x, 13),
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^3, ((A*b - a*B)*x^(9//2))/(6*a*b*(a + b*x^3)^2) - ((A*b + 3*a*B)*x^(3//2))/(12*a*b^2*(a + b*x^3)) + ((A*b + 3*a*B)*atan((sqrt(b)*x^(3//2))/sqrt(a)))/(12*a^(3//2)*b^(5//2)), x, 5),
+((x^(5//2)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^3, ((A*b - a*B)*x^(7//2))/(6*a*b*(a + b*x^3)^2) - ((5*A*b + 7*a*B)*sqrt(x))/(36*a*b^2*(a + b*x^3)) - ((5*A*b + 7*a*B)*atan(sqrt(3) - (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(216*a^(11//6)*b^(13//6)) + ((5*A*b + 7*a*B)*atan(sqrt(3) + (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(216*a^(11//6)*b^(13//6)) + ((5*A*b + 7*a*B)*atan((b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(108*a^(11//6)*b^(13//6)) - ((5*A*b + 7*a*B)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(144*sqrt(3)*a^(11//6)*b^(13//6)) + ((5*A*b + 7*a*B)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(144*sqrt(3)*a^(11//6)*b^(13//6)), x, 13),
+((x^(3//2)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^3, ((A*b - a*B)*x^(5//2))/(6*a*b*(a + b*x^3)^2) + ((7*A*b + 5*a*B)*x^(5//2))/(36*a^2*b*(a + b*x^3)) - ((7*A*b + 5*a*B)*atan(sqrt(3) - (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(216*a^(13//6)*b^(11//6)) + ((7*A*b + 5*a*B)*atan(sqrt(3) + (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(216*a^(13//6)*b^(11//6)) + ((7*A*b + 5*a*B)*atan((b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(108*a^(13//6)*b^(11//6)) + ((7*A*b + 5*a*B)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(144*sqrt(3)*a^(13//6)*b^(11//6)) - ((7*A*b + 5*a*B)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(144*sqrt(3)*a^(13//6)*b^(11//6)), x, 13),
+((sqrt(x)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^3, ((A*b - a*B)*x^(3//2))/(6*a*b*(a + b*x^3)^2) + ((3*A*b + a*B)*x^(3//2))/(12*a^2*b*(a + b*x^3)) + ((3*A*b + a*B)*atan((sqrt(b)*x^(3//2))/sqrt(a)))/(12*a^(5//2)*b^(3//2)), x, 5),
+((A + B*x^3)/(sqrt(x)*(a + b*x^3)^3), ((A*b - a*B)*sqrt(x))/(6*a*b*(a + b*x^3)^2) + ((11*A*b + a*B)*sqrt(x))/(36*a^2*b*(a + b*x^3)) - (5*(11*A*b + a*B)*atan(sqrt(3) - (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(216*a^(17//6)*b^(7//6)) + (5*(11*A*b + a*B)*atan(sqrt(3) + (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(216*a^(17//6)*b^(7//6)) + (5*(11*A*b + a*B)*atan((b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(108*a^(17//6)*b^(7//6)) - (5*(11*A*b + a*B)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(144*sqrt(3)*a^(17//6)*b^(7//6)) + (5*(11*A*b + a*B)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(144*sqrt(3)*a^(17//6)*b^(7//6)), x, 13),
+((A + B*x^3)/(x^(3//2)*(a + b*x^3)^3), -((7*(13*A*b - a*B))/(36*a^3*b*sqrt(x))) + (A*b - a*B)/(6*a*b*sqrt(x)*(a + b*x^3)^2) + (13*A*b - a*B)/(36*a^2*b*sqrt(x)*(a + b*x^3)) + (7*(13*A*b - a*B)*atan(sqrt(3) - (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(216*a^(19//6)*b^(5//6)) - (7*(13*A*b - a*B)*atan(sqrt(3) + (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(216*a^(19//6)*b^(5//6)) - (7*(13*A*b - a*B)*atan((b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(108*a^(19//6)*b^(5//6)) - (7*(13*A*b - a*B)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(144*sqrt(3)*a^(19//6)*b^(5//6)) + (7*(13*A*b - a*B)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(144*sqrt(3)*a^(19//6)*b^(5//6)), x, 14),
+((A + B*x^3)/(x^(5//2)*(a + b*x^3)^3), -(5*A*b - a*B)/(4*a^3*b*x^(3//2)) + (A*b - a*B)/(6*a*b*x^(3//2)*(a + b*x^3)^2) + (5*A*b - a*B)/(12*a^2*b*x^(3//2)*(a + b*x^3)) - ((5*A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*x^(3//2))/sqrt(a)))/(4*a^(7//2)*sqrt(b)), x, 6),
+((A + B*x^3)/(x^(7//2)*(a + b*x^3)^3), -((11*(17*A*b - 5*a*B))/(180*a^3*b*x^(5//2))) + (A*b - a*B)/(6*a*b*x^(5//2)*(a + b*x^3)^2) + (17*A*b - 5*a*B)/(36*a^2*b*x^(5//2)*(a + b*x^3)) + (11*(17*A*b - 5*a*B)*atan(sqrt(3) - (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(216*a^(23//6)*b^(1//6)) - (11*(17*A*b - 5*a*B)*atan(sqrt(3) + (2*b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(216*a^(23//6)*b^(1//6)) - (11*(17*A*b - 5*a*B)*atan((b^(1//6)*sqrt(x))/a^(1//6)))/(108*a^(23//6)*b^(1//6)) + (11*(17*A*b - 5*a*B)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(144*sqrt(3)*a^(23//6)*b^(1//6)) - (11*(17*A*b - 5*a*B)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//6)*sqrt(x) + b^(1//3)*x))/(144*sqrt(3)*a^(23//6)*b^(1//6)), x, 14),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^3)^p (c+d x^3)^(q/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^3) (c+d x^3)^(q/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
+
+
+(x^8*sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3), (2*a^2*(A*b - a*B)*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b^4) - (2*a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x^3)^(5//2))/(15*b^4) + (2*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x^3)^(7//2))/(21*b^4) + (2*B*(a + b*x^3)^(9//2))/(27*b^4), x, 3),
+(x^5*sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3), (-2*a*(A*b - a*B)*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b^3) + (2*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x^3)^(5//2))/(15*b^3) + (2*B*(a + b*x^3)^(7//2))/(21*b^3), x, 3),
+(x^2*sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3), (2*(A*b - a*B)*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b^2) + (2*B*(a + b*x^3)^(5//2))/(15*b^2), x, 3),
+((sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^1, (2*A*sqrt(a + b*x^3))/3 + (2*B*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b) - (2*sqrt(a)*A*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/3, x, 5),
+((sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^4, ((A*b + 2*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(3*a) - (A*(a + b*x^3)^(3//2))/(3*a*x^3) - ((A*b + 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*sqrt(a)), x, 5),
+((sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^7, ((A*b - 4*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(12*a*x^3) - (A*(a + b*x^3)^(3//2))/(6*a*x^6) + (b*(A*b - 4*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(12*a^(3//2)), x, 5),
+
+(x^3*sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3), (6*a*(17*A*b - 8*a*B)*x*sqrt(a + b*x^3))/(935*b^2) + (2*(17*A*b - 8*a*B)*x^4*sqrt(a + b*x^3))/(187*b) + (2*B*x^4*(a + b*x^3)^(3//2))/(17*b) - (4*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^2*(17*A*b - 8*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(935*b^(7//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(x^0*sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3), (2*(11*A*b - 2*a*B)*x*sqrt(a + b*x^3))/(55*b) + (2*B*x*(a + b*x^3)^(3//2))/(11*b) + (2*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a*(11*A*b - 2*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(55*b^(4//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+((sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^3, ((5*A*b + 4*a*B)*x*sqrt(a + b*x^3))/(10*a) - (A*(a + b*x^3)^(3//2))/(2*a*x^2) + (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(5*A*b + 4*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(10*b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+((sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^6, ((A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(20*a*x^2) - (A*(a + b*x^3)^(3//2))/(5*a*x^5) - (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(2//3)*(A*b - 10*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(20*a*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+((sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^9, ((7*A*b - 16*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(80*a*x^5) + (3*b*(7*A*b - 16*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(320*a^2*x^2) - (A*(a + b*x^3)^(3//2))/(8*a*x^8) + (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(5//3)*(7*A*b - 16*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(320*a^2*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+
+(x^4*sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3), (6*a*(19*A*b - 10*a*B)*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(1729*b^2) + (2*(19*A*b - 10*a*B)*x^5*sqrt(a + b*x^3))/(247*b) - (24*a^2*(19*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(1729*b^(8//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*B*x^5*(a + b*x^3)^(3//2))/(19*b) + (12*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(7//3)*(19*A*b - 10*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (8*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(7//3)*(19*A*b - 10*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+(x^1*sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3), (2*(13*A*b - 4*a*B)*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(91*b) + (6*a*(13*A*b - 4*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(91*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*B*x^2*(a + b*x^3)^(3//2))/(13*b) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*(13*A*b - 4*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(4//3)*(13*A*b - 4*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^2, ((7*A*b + 2*a*B)*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(7*a) + (3*(7*A*b + 2*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(7*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (A*(a + b*x^3)^(3//2))/(a*x) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*(7*A*b + 2*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(14*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (sqrt(2)*3^(3//4)*a^(1//3)*(7*A*b + 2*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^5, -(((A*b + 8*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(8*a*x)) + (3*b^(1//3)*(A*b + 8*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(8*a*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (A*(a + b*x^3)^(3//2))/(4*a*x^4) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(1//3)*(A*b + 8*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (3^(3//4)*b^(1//3)*(A*b + 8*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^8, ((5*A*b - 14*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(56*a*x^4) + (3*b*(5*A*b - 14*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(112*a^2*x) - (3*b^(4//3)*(5*A*b - 14*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(112*a^2*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (A*(a + b*x^3)^(3//2))/(7*a*x^7) + (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(4//3)*(5*A*b - 14*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(224*a^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (3^(3//4)*b^(4//3)*(5*A*b - 14*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(56*sqrt(2)*a^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+((sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^11, ((11*A*b - 20*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(140*a*x^7) + (3*b*(11*A*b - 20*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(1120*a^2*x^4) - (3*b^2*(11*A*b - 20*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(448*a^3*x) + (3*b^(7//3)*(11*A*b - 20*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(448*a^3*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (A*(a + b*x^3)^(3//2))/(10*a*x^10) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(7//3)*(11*A*b - 20*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(896*a^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (3^(3//4)*b^(7//3)*(11*A*b - 20*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(224*sqrt(2)*a^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 7),
+
+
+(x^8*(a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3), (2*a^2*(A*b - a*B)*(a + b*x^3)^(5//2))/(15*b^4) - (2*a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x^3)^(7//2))/(21*b^4) + (2*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x^3)^(9//2))/(27*b^4) + (2*B*(a + b*x^3)^(11//2))/(33*b^4), x, 3),
+(x^5*(a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3), (-2*a*(A*b - a*B)*(a + b*x^3)^(5//2))/(15*b^3) + (2*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x^3)^(7//2))/(21*b^3) + (2*B*(a + b*x^3)^(9//2))/(27*b^3), x, 3),
+(x^2*(a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3), (2*(A*b - a*B)*(a + b*x^3)^(5//2))/(15*b^2) + (2*B*(a + b*x^3)^(7//2))/(21*b^2), x, 3),
+(((a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3))/x^1, (2*a*A*sqrt(a + b*x^3))/3 + (2*A*(a + b*x^3)^(3//2))/9 + (2*B*(a + b*x^3)^(5//2))/(15*b) - (2*a^(3//2)*A*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/3, x, 6),
+(((a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3))/x^4, ((3*A*b + 2*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/3 + ((3*A*b + 2*a*B)*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*a) - (A*(a + b*x^3)^(5//2))/(3*a*x^3) - (sqrt(a)*(3*A*b + 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/3, x, 6),
+(((a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3))/x^7, (b*(A*b + 4*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(4*a) - ((A*b + 4*a*B)*(a + b*x^3)^(3//2))/(12*a*x^3) - (A*(a + b*x^3)^(5//2))/(6*a*x^6) - (b*(A*b + 4*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)), x, 6),
+
+(x^3*(a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3), (54*a^2*(23*A*b - 8*a*B)*x*sqrt(a + b*x^3))/(21505*b^2) + (18*a*(23*A*b - 8*a*B)*x^4*sqrt(a + b*x^3))/(4301*b) + (2*(23*A*b - 8*a*B)*x^4*(a + b*x^3)^(3//2))/(391*b) + (2*B*x^4*(a + b*x^3)^(5//2))/(23*b) - (36*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^3*(23*A*b - 8*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(21505*b^(7//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+(x^0*(a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3), (18*a*(17*A*b - 2*a*B)*x*sqrt(a + b*x^3))/(935*b) + (2*(17*A*b - 2*a*B)*x*(a + b*x^3)^(3//2))/(187*b) + (2*B*x*(a + b*x^3)^(5//2))/(17*b) + (18*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^2*(17*A*b - 2*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(935*b^(4//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(((a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3))/x^3, (9//110)*(11*A*b + 4*a*B)*x*sqrt(a + b*x^3) + ((11*A*b + 4*a*B)*x*(a + b*x^3)^(3//2))/(22*a) - (A*(a + b*x^3)^(5//2))/(2*a*x^2) + (9*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a*(11*A*b + 4*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(110*b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(((a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3))/x^6, (9*b*(A*b + 2*a*B)*x*sqrt(a + b*x^3))/(20*a) - ((A*b + 2*a*B)*(a + b*x^3)^(3//2))/(4*a*x^2) - (A*(a + b*x^3)^(5//2))/(5*a*x^5) + (9*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(2//3)*(A*b + 2*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(20*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(((a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3))/x^9, (9*b*(A*b - 16*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(320*a*x^2) + ((A*b - 16*a*B)*(a + b*x^3)^(3//2))/(80*a*x^5) - (A*(a + b*x^3)^(5//2))/(8*a*x^8) - (9*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(5//3)*(A*b - 16*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(320*a*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+
+(x^4*(a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3), (54*a^2*(5*A*b - 2*a*B)*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(8645*b^2) + (18*a*(5*A*b - 2*a*B)*x^5*sqrt(a + b*x^3))/(1235*b) - (216*a^3*(5*A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(8645*b^(8//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*(5*A*b - 2*a*B)*x^5*(a + b*x^3)^(3//2))/(95*b) + (2*B*x^5*(a + b*x^3)^(5//2))/(25*b) + (108*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(10//3)*(5*A*b - 2*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(8645*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (72*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(10//3)*(5*A*b - 2*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(8645*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 7),
+(x^1*(a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3), (18*a*(19*A*b - 4*a*B)*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(1729*b) + (54*a^2*(19*A*b - 4*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(1729*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*(19*A*b - 4*a*B)*x^2*(a + b*x^3)^(3//2))/(247*b) + (2*B*x^2*(a + b*x^3)^(5//2))/(19*b) - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(7//3)*(19*A*b - 4*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (18*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(7//3)*(19*A*b - 4*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+(((a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3))/x^2, (9//91)*(13*A*b + 2*a*B)*x^2*sqrt(a + b*x^3) + (27*a*(13*A*b + 2*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(91*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + ((13*A*b + 2*a*B)*x^2*(a + b*x^3)^(3//2))/(13*a) - (A*(a + b*x^3)^(5//2))/(a*x) - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*(13*A*b + 2*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(182*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (9*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(4//3)*(13*A*b + 2*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+(((a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3))/x^5, (9*b*(7*A*b + 8*a*B)*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(56*a) + (27*b^(1//3)*(7*A*b + 8*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(56*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - ((7*A*b + 8*a*B)*(a + b*x^3)^(3//2))/(8*a*x) - (A*(a + b*x^3)^(5//2))/(4*a*x^4) - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*b^(1//3)*(7*A*b + 8*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(112*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (9*3^(3//4)*a^(1//3)*b^(1//3)*(7*A*b + 8*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(28*sqrt(2)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+(((a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3))/x^8, -((9*b*(A*b + 14*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(112*a*x)) + (27*b^(4//3)*(A*b + 14*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(112*a*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - ((A*b + 14*a*B)*(a + b*x^3)^(3//2))/(56*a*x^4) - (A*(a + b*x^3)^(5//2))/(7*a*x^7) - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(4//3)*(A*b + 14*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(224*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (9*3^(3//4)*b^(4//3)*(A*b + 14*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(56*sqrt(2)*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+(((a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3))/x^11, (9*b*(A*b - 4*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(224*a*x^4) + (27*b^2*(A*b - 4*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(448*a^2*x) - (27*b^(7//3)*(A*b - 4*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(448*a^2*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + ((A*b - 4*a*B)*(a + b*x^3)^(3//2))/(28*a*x^7) - (A*(a + b*x^3)^(5//2))/(10*a*x^10) + (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(7//3)*(A*b - 4*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(896*a^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (9*3^(3//4)*b^(7//3)*(A*b - 4*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(224*sqrt(2)*a^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+((x^8*(A + B*x^3))/sqrt(a + b*x^3), (2*a^2*(A*b - a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^4) - (2*a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b^4) + (2*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x^3)^(5//2))/(15*b^4) + (2*B*(a + b*x^3)^(7//2))/(21*b^4), x, 3),
+((x^5*(A + B*x^3))/sqrt(a + b*x^3), (-2*a*(A*b - a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^3) + (2*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b^3) + (2*B*(a + b*x^3)^(5//2))/(15*b^3), x, 3),
+((x^2*(A + B*x^3))/sqrt(a + b*x^3), (2*(A*b - a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^2) + (2*B*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b^2), x, 3),
+((A + B*x^3)/(x^1*sqrt(a + b*x^3)), (2*B*sqrt(a + b*x^3))/(3*b) - (2*A*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*sqrt(a)), x, 4),
+((A + B*x^3)/(x^4*sqrt(a + b*x^3)), -(A*sqrt(a + b*x^3))/(3*a*x^3) + ((A*b - 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*a^(3//2)), x, 4),
+((A + B*x^3)/(x^7*sqrt(a + b*x^3)), -(A*sqrt(a + b*x^3))/(6*a*x^6) + ((3*A*b - 4*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(12*a^2*x^3) - (b*(3*A*b - 4*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(12*a^(5//2)), x, 5),
+
+((x^3*(A + B*x^3))/sqrt(a + b*x^3), (2*(11*A*b - 8*a*B)*x*sqrt(a + b*x^3))/(55*b^2) + (2*B*x^4*sqrt(a + b*x^3))/(11*b) - (4*sqrt(2 + sqrt(3))*a*(11*A*b - 8*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(55*3^(1//4)*b^(7//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^0*(A + B*x^3)/sqrt(a + b*x^3), (2*B*x*sqrt(a + b*x^3))/(5*b) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(5*A*b - 2*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(5*3^(1//4)*b^(4//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 2),
+((A + B*x^3)/(x^3*sqrt(a + b*x^3)), -((A*sqrt(a + b*x^3))/(2*a*x^2)) - (sqrt(2 + sqrt(3))*(A*b - 4*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*3^(1//4)*a*b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 2),
+((A + B*x^3)/(x^6*sqrt(a + b*x^3)), -((A*sqrt(a + b*x^3))/(5*a*x^5)) + ((7*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(20*a^2*x^2) + (sqrt(2 + sqrt(3))*b^(2//3)*(7*A*b - 10*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(20*3^(1//4)*a^2*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+
+((x^4*(A + B*x^3))/sqrt(a + b*x^3), (2*(13*A*b - 10*a*B)*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(91*b^2) + (2*B*x^5*sqrt(a + b*x^3))/(13*b) - (8*a*(13*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(91*b^(8//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*(13*A*b - 10*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (8*sqrt(2)*a^(4//3)*(13*A*b - 10*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*3^(1//4)*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((x^1*(A + B*x^3))/sqrt(a + b*x^3), (2*B*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(7*b) + (2*(7*A*b - 4*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(7*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*(7*A*b - 4*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2)*a^(1//3)*(7*A*b - 4*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*3^(1//4)*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+((A + B*x^3)/(x^2*sqrt(a + b*x^3)), -((A*sqrt(a + b*x^3))/(a*x)) + ((A*b + 2*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(a*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(A*b + 2*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*a^(2//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (sqrt(2)*(A*b + 2*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*a^(2//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+((A + B*x^3)/(x^5*sqrt(a + b*x^3)), -((A*sqrt(a + b*x^3))/(4*a*x^4)) + ((5*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(8*a^2*x) - (b^(1//3)*(5*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(8*a^2*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(1//3)*(5*A*b - 8*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*a^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (b^(1//3)*(5*A*b - 8*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((A + B*x^3)/(x^8*sqrt(a + b*x^3)), -((A*sqrt(a + b*x^3))/(7*a*x^7)) + ((11*A*b - 14*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(56*a^2*x^4) - (5*b*(11*A*b - 14*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(112*a^3*x) + (5*b^(4//3)*(11*A*b - 14*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(112*a^3*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (5*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(4//3)*(11*A*b - 14*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(224*a^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (5*b^(4//3)*(11*A*b - 14*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(56*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+
+
+((x^8*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(3//2), -((2*a^2*(A*b - a*B))/(3*b^4*sqrt(a + b*x^3))) - (2*a*(2*A*b - 3*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^4) + (2*(A*b - 3*a*B)*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b^4) + (2*B*(a + b*x^3)^(5//2))/(15*b^4), x, 3),
+((x^5*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(3//2), (2*a*(A*b - a*B))/(3*b^3*sqrt(a + b*x^3)) + (2*(A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^3) + (2*B*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b^3), x, 3),
+((x^2*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(3//2), (-2*(A*b - a*B))/(3*b^2*sqrt(a + b*x^3)) + (2*B*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^2), x, 3),
+((A + B*x^3)/(x^1*(a + b*x^3)^(3//2)), (2*(A*b - a*B))/(3*a*b*sqrt(a + b*x^3)) - (2*A*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*a^(3//2)), x, 4),
+((A + B*x^3)/(x^4*(a + b*x^3)^(3//2)), -(3*A*b - 2*a*B)/(3*a^2*sqrt(a + b*x^3)) - A/(3*a*x^3*sqrt(a + b*x^3)) + ((3*A*b - 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*a^(5//2)), x, 5),
+((A + B*x^3)/(x^7*(a + b*x^3)^(3//2)), (b*(5*A*b - 4*a*B))/(4*a^3*sqrt(a + b*x^3)) - A/(6*a*x^6*sqrt(a + b*x^3)) + (5*A*b - 4*a*B)/(12*a^2*x^3*sqrt(a + b*x^3)) - (b*(5*A*b - 4*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(4*a^(7//2)), x, 6),
+
+((x^6*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(3//2), -((2*(11*A*b - 14*a*B)*x^4)/(33*b^2*sqrt(a + b*x^3))) + (2*B*x^7)/(11*b*sqrt(a + b*x^3)) + (16*(11*A*b - 14*a*B)*x*sqrt(a + b*x^3))/(165*b^3) - (32*sqrt(2 + sqrt(3))*a*(11*A*b - 14*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(165*3^(1//4)*b^(10//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+((x^3*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(3//2), -((2*(5*A*b - 8*a*B)*x)/(15*b^2*sqrt(a + b*x^3))) + (2*B*x^4)/(5*b*sqrt(a + b*x^3)) + (4*sqrt(2 + sqrt(3))*(5*A*b - 8*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(15*3^(1//4)*b^(7//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^0*(A + B*x^3)/(a + b*x^3)^(3//2), (2*(A*b - a*B)*x)/(3*a*b*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(A*b + 2*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a*b^(4//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 2),
+((A + B*x^3)/(x^3*(a + b*x^3)^(3//2)), -(A/(2*a*x^2*sqrt(a + b*x^3))) - ((7*A*b - 4*a*B)*x)/(6*a^2*sqrt(a + b*x^3)) - (sqrt(2 + sqrt(3))*(7*A*b - 4*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(6*3^(1//4)*a^2*b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+((A + B*x^3)/(x^6*(a + b*x^3)^(3//2)), -(A/(5*a*x^5*sqrt(a + b*x^3))) - (13*A*b - 10*a*B)/(15*a^2*x^2*sqrt(a + b*x^3)) + (7*(13*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(60*a^3*x^2) + (7*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(2//3)*(13*A*b - 10*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(60*3^(1//4)*a^3*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+
+((x^4*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(3//2), -((2*(7*A*b - 10*a*B)*x^2)/(21*b^2*sqrt(a + b*x^3))) + (2*B*x^5)/(7*b*sqrt(a + b*x^3)) + (8*(7*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(21*b^(8//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*(7*A*b - 10*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(21*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (8*sqrt(2)*a^(1//3)*(7*A*b - 10*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(21*3^(1//4)*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((x^1*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(3//2), (2*(A*b - a*B)*x^2)/(3*a*b*sqrt(a + b*x^3)) - (2*(A*b - 4*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(3*a*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(A*b - 4*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*a^(2//3)*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (2*sqrt(2)*(A*b - 4*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(2//3)*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+((A + B*x^3)/(x^2*(a + b*x^3)^(3//2)), -(A/(a*x*sqrt(a + b*x^3))) - ((5*A*b - 2*a*B)*x^2)/(3*a^2*sqrt(a + b*x^3)) + ((5*A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(3*a^2*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(5*A*b - 2*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(6*a^(5//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (sqrt(2)*(5*A*b - 2*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(5//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((A + B*x^3)/(x^5*(a + b*x^3)^(3//2)), -(A/(4*a*x^4*sqrt(a + b*x^3))) - (11*A*b - 8*a*B)/(12*a^2*x*sqrt(a + b*x^3)) + (5*(11*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(24*a^3*x) - (5*b^(1//3)*(11*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(24*a^3*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (5*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(1//3)*(11*A*b - 8*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(48*a^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (5*b^(1//3)*(11*A*b - 8*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(12*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+((A + B*x^3)/(x^8*(a + b*x^3)^(3//2)), -(A/(7*a*x^7*sqrt(a + b*x^3))) - (17*A*b - 14*a*B)/(21*a^2*x^4*sqrt(a + b*x^3)) + (11*(17*A*b - 14*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(168*a^3*x^4) - (55*b*(17*A*b - 14*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(336*a^4*x) + (55*b^(4//3)*(17*A*b - 14*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(336*a^4*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (55*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(4//3)*(17*A*b - 14*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(672*a^(11//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (55*b^(4//3)*(17*A*b - 14*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(168*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(11//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 7),
+
+
+((x^8*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(5//2), -((2*a^2*(A*b - a*B))/(9*b^4*(a + b*x^3)^(3//2))) + (2*a*(2*A*b - 3*a*B))/(3*b^4*sqrt(a + b*x^3)) + (2*(A*b - 3*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^4) + (2*B*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b^4), x, 3),
+((x^5*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(5//2), (2*a*(A*b - a*B))/(9*b^3*(a + b*x^3)^(3//2)) - (2*(A*b - 2*a*B))/(3*b^3*sqrt(a + b*x^3)) + (2*B*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^3), x, 3),
+((x^2*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(5//2), (-2*(A*b - a*B))/(9*b^2*(a + b*x^3)^(3//2)) - (2*B)/(3*b^2*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+((A + B*x^3)/(x*(a + b*x^3)^(5//2)), (2*(A*b - a*B))/(9*a*b*(a + b*x^3)^(3//2)) + (2*A)/(3*a^2*sqrt(a + b*x^3)) - (2*A*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*a^(5//2)), x, 5),
+((A + B*x^3)/(x^4*(a + b*x^3)^(5//2)), -(5*A*b - 2*a*B)/(9*a^2*(a + b*x^3)^(3//2)) - A/(3*a*x^3*(a + b*x^3)^(3//2)) - (5*A*b - 2*a*B)/(3*a^3*sqrt(a + b*x^3)) + ((5*A*b - 2*a*B)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*a^(7//2)), x, 6),
+
+((x^6*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(5//2), -((2*(5*A*b - 14*a*B)*x^4)/(45*b^2*(a + b*x^3)^(3//2))) + (2*B*x^7)/(5*b*(a + b*x^3)^(3//2)) - (16*(5*A*b - 14*a*B)*x)/(135*b^3*sqrt(a + b*x^3)) + (32*sqrt(2 + sqrt(3))*(5*A*b - 14*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(135*3^(1//4)*b^(10//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+((x^3*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(5//2), (2*(A*b - a*B)*x^4)/(9*a*b*(a + b*x^3)^(3//2)) - (2*(A*b + 8*a*B)*x)/(27*a*b^2*sqrt(a + b*x^3)) + (4*sqrt(2 + sqrt(3))*(A*b + 8*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*a*b^(7//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+((A + B*x^3)/(a + b*x^3)^(5//2), (2*(A*b - a*B)*x)/(9*a*b*(a + b*x^3)^(3//2)) + (2*(7*A*b + 2*a*B)*x)/(27*a^2*b*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(7*A*b + 2*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*a^2*b^(4//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+((A + B*x^3)/(x^3*(a + b*x^3)^(5//2)), -(A/(2*a*x^2*(a + b*x^3)^(3//2))) - ((13*A*b - 4*a*B)*x)/(18*a^2*(a + b*x^3)^(3//2)) - (7*(13*A*b - 4*a*B)*x)/(54*a^3*sqrt(a + b*x^3)) - (7*sqrt(2 + sqrt(3))*(13*A*b - 4*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(54*3^(1//4)*a^3*b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+((A + B*x^3)/(x^6*(a + b*x^3)^(5//2)), -(A/(5*a*x^5*(a + b*x^3)^(3//2))) - (19*A*b - 10*a*B)/(45*a^2*x^2*(a + b*x^3)^(3//2)) - (13*(19*A*b - 10*a*B))/(135*a^3*x^2*sqrt(a + b*x^3)) + (91*(19*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(540*a^4*x^2) + (91*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(2//3)*(19*A*b - 10*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(540*3^(1//4)*a^4*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+
+((x^7*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(5//2), -((2*(7*A*b - 16*a*B)*x^5)/(63*b^2*(a + b*x^3)^(3//2))) + (2*B*x^8)/(7*b*(a + b*x^3)^(3//2)) - (20*(7*A*b - 16*a*B)*x^2)/(189*b^3*sqrt(a + b*x^3)) + (80*(7*A*b - 16*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(189*b^(11//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (40*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*(7*A*b - 16*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(189*b^(11//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (80*sqrt(2)*a^(1//3)*(7*A*b - 16*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(189*3^(1//4)*b^(11//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+((x^4*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(5//2), (2*(A*b - a*B)*x^5)/(9*a*b*(a + b*x^3)^(3//2)) + (2*(A*b - 10*a*B)*x^2)/(27*a*b^2*sqrt(a + b*x^3)) - (8*(A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(27*a*b^(8//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(A*b - 10*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*a^(2//3)*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (8*sqrt(2)*(A*b - 10*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*a^(2//3)*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((x*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(5//2), (2*(A*b - a*B)*x^2)/(9*a*b*(a + b*x^3)^(3//2)) + (2*(5*A*b + 4*a*B)*x^2)/(27*a^2*b*sqrt(a + b*x^3)) - (2*(5*A*b + 4*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(27*a^2*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(5*A*b + 4*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*a^(5//3)*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (2*sqrt(2)*(5*A*b + 4*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*a^(5//3)*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((A + B*x^3)/(x^2*(a + b*x^3)^(5//2)), -(A/(a*x*(a + b*x^3)^(3//2))) - ((11*A*b - 2*a*B)*x^2)/(9*a^2*(a + b*x^3)^(3//2)) - (5*(11*A*b - 2*a*B)*x^2)/(27*a^3*sqrt(a + b*x^3)) + (5*(11*A*b - 2*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(27*a^3*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (5*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(11*A*b - 2*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(54*a^(8//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (5*sqrt(2)*(11*A*b - 2*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*a^(8//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+((A + B*x^3)/(x^5*(a + b*x^3)^(5//2)), -(A/(4*a*x^4*(a + b*x^3)^(3//2))) - (17*A*b - 8*a*B)/(36*a^2*x*(a + b*x^3)^(3//2)) - (11*(17*A*b - 8*a*B))/(108*a^3*x*sqrt(a + b*x^3)) + (55*(17*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(216*a^4*x) - (55*b^(1//3)*(17*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(216*a^4*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (55*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(1//3)*(17*A*b - 8*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(432*a^(11//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (55*b^(1//3)*(17*A*b - 8*a*B)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(108*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(11//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x^3)^(q/2) / (a+b x^3)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0 when 4 b c-a d=0
+
+
+(x^8*sqrt(c + d*x^3)/(4*c + d*x^3), (32*c^2*sqrt(c + d*x^3))/(3*d^3) - (10*c*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*d^3) + (2*(c + d*x^3)^(5//2))/(15*d^3) - (32*c^(5//2)*atan(sqrt(c + d*x^3)/(sqrt(3)*sqrt(c))))/(sqrt(3)*d^3), x, 6),
+(x^5*sqrt(c + d*x^3)/(4*c + d*x^3), -((8*c*sqrt(c + d*x^3))/(3*d^2)) + (2*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*d^2) + (8*c^(3//2)*atan(sqrt(c + d*x^3)/(sqrt(3)*sqrt(c))))/(sqrt(3)*d^2), x, 5),
+(x^2*sqrt(c + d*x^3)/(4*c + d*x^3), (2*sqrt(c + d*x^3))/(3*d) - (2*sqrt(c)*atan(sqrt(c + d*x^3)/(sqrt(3)*sqrt(c))))/(sqrt(3)*d), x, 4),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^1*(4*c + d*x^3)), atan(sqrt(c + d*x^3)/(sqrt(3)*sqrt(c)))/(2*sqrt(3)*sqrt(c)) - atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c))/(6*sqrt(c)), x, 6),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^4*(4*c + d*x^3)), -(sqrt(c + d*x^3)/(12*c*x^3)) - (d*atan(sqrt(c + d*x^3)/(sqrt(3)*sqrt(c))))/(8*sqrt(3)*c^(3//2)) - (d*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(24*c^(3//2)), x, 7),
+
+(x^4*sqrt(c + d*x^3)/(4*c + d*x^3), (2*x^2*sqrt(c + d*x^3))/(7*d) - (50*c*sqrt(c + d*x^3))/(7*d^(5//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (2*2^(1//3)*c^(7//6)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + 2^(1//3)*d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(sqrt(3)*d^(5//3)) + (2*2^(1//3)*c^(7//6)*atan(sqrt(c + d*x^3)/(sqrt(3)*sqrt(c))))/(sqrt(3)*d^(5//3)) - (2*2^(1//3)*c^(7//6)*atanh((c^(1//6)*(c^(1//3) - 2^(1//3)*d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/d^(5//3) + (2*2^(1//3)*c^(7//6)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(3*d^(5//3)) + (25*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (50*sqrt(2)*c^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*3^(1//4)*d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 7),
+(x^1*sqrt(c + d*x^3)/(4*c + d*x^3), (2*sqrt(c + d*x^3))/(d^(2//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + (c^(1//6)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + 2^(1//3)*d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*d^(2//3)) - (c^(1//6)*atan(sqrt(c + d*x^3)/(sqrt(3)*sqrt(c))))/(2^(2//3)*sqrt(3)*d^(2//3)) + (c^(1//6)*atanh((c^(1//6)*(c^(1//3) - 2^(1//3)*d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(2^(2//3)*d^(2//3)) - (c^(1//6)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(3*2^(2//3)*d^(2//3)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(d^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (2*sqrt(2)*c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*d^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 5),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^2*(4*c + d*x^3)), -(sqrt(c + d*x^3)/(4*c*x)) + (d^(1//3)*sqrt(c + d*x^3))/(4*c*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (d^(1//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + 2^(1//3)*d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(4*2^(2//3)*sqrt(3)*c^(5//6)) + (d^(1//3)*atan(sqrt(c + d*x^3)/(sqrt(3)*sqrt(c))))/(4*2^(2//3)*sqrt(3)*c^(5//6)) - (d^(1//3)*atanh((c^(1//6)*(c^(1//3) - 2^(1//3)*d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(4*2^(2//3)*c^(5//6)) + (d^(1//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(12*2^(2//3)*c^(5//6)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(8*c^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 7),
+
+(x^3*sqrt(c + d*x^3)/(4*c + d*x^3), (x^4*sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 1, -(1//2), 7//3, -((d*x^3)/(4*c)), -((d*x^3)/c)))/(16*c*sqrt(1 + (d*x^3)/c)), x, 2),
+(x^0*sqrt(c + d*x^3)/(4*c + d*x^3), (x*sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 1, -(1//2), 4//3, -((d*x^3)/(4*c)), -((d*x^3)/c)))/(4*c*sqrt(1 + (d*x^3)/c)), x, 2),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^3*(4*c + d*x^3)), -((sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), 1, -(1//2), 1//3, -((d*x^3)/(4*c)), -((d*x^3)/c)))/(8*c*x^2*sqrt(1 + (d*x^3)/c))), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0 when 4 b c-a d=0
+# 
+
+
+(x^8/((4*c + d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -((10*c*sqrt(c + d*x^3))/(3*d^3)) + (2*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*d^3) + (32*c^(3//2)*atan(sqrt(c + d*x^3)/(sqrt(3)*sqrt(c))))/(3*sqrt(3)*d^3), x, 5),
+(x^5/((4*c + d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (2*sqrt(c + d*x^3))/(3*d^2) - (8*sqrt(c)*atan(sqrt(c + d*x^3)/(sqrt(3)*sqrt(c))))/(3*sqrt(3)*d^2), x, 4),
+(x^2/((4*c + d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (2*atan(sqrt(c + d*x^3)/(sqrt(3)*sqrt(c))))/(3*sqrt(3)*sqrt(c)*d), x, 3),
+(1/(x^1*(4*c + d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -(atan(sqrt(c + d*x^3)/(sqrt(3)*sqrt(c)))/(6*sqrt(3)*c^(3//2))) - atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c))/(6*c^(3//2)), x, 6),
+(1/(x^4*(4*c + d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -(sqrt(c + d*x^3)/(12*c^2*x^3)) + (d*atan(sqrt(c + d*x^3)/(sqrt(3)*sqrt(c))))/(24*sqrt(3)*c^(5//2)) + (d*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(8*c^(5//2)), x, 7),
+
+(x^4/((4*c + d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (2*sqrt(c + d*x^3))/(d^(5//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + (2*2^(1//3)*c^(1//6)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + 2^(1//3)*d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(3*sqrt(3)*d^(5//3)) - (2*2^(1//3)*c^(1//6)*atan(sqrt(c + d*x^3)/(sqrt(3)*sqrt(c))))/(3*sqrt(3)*d^(5//3)) + (2*2^(1//3)*c^(1//6)*atanh((c^(1//6)*(c^(1//3) - 2^(1//3)*d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(3*d^(5//3)) - (2*2^(1//3)*c^(1//6)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(9*d^(5//3)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (2*sqrt(2)*c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 5),
+(x^1/((4*c + d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -(atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + 2^(1//3)*d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3))/(3*2^(2//3)*sqrt(3)*c^(5//6)*d^(2//3))) + atan(sqrt(c + d*x^3)/(sqrt(3)*sqrt(c)))/(3*2^(2//3)*sqrt(3)*c^(5//6)*d^(2//3)) - atanh((c^(1//6)*(c^(1//3) - 2^(1//3)*d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3))/(3*2^(2//3)*c^(5//6)*d^(2//3)) + atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c))/(9*2^(2//3)*c^(5//6)*d^(2//3)), x, 1),
+(1/(x^2*(4*c + d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -(sqrt(c + d*x^3)/(4*c^2*x)) + (d^(1//3)*sqrt(c + d*x^3))/(4*c^2*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + (d^(1//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + 2^(1//3)*d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(12*2^(2//3)*sqrt(3)*c^(11//6)) - (d^(1//3)*atan(sqrt(c + d*x^3)/(sqrt(3)*sqrt(c))))/(12*2^(2//3)*sqrt(3)*c^(11//6)) + (d^(1//3)*atanh((c^(1//6)*(c^(1//3) - 2^(1//3)*d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(12*2^(2//3)*c^(11//6)) - (d^(1//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(36*2^(2//3)*c^(11//6)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(8*c^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 7),
+
+(x^3/((4*c + d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (x^4*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 1, 1//2, 7//3, -((d*x^3)/(4*c)), -((d*x^3)/c)))/(16*c*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(x^0/((4*c + d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (x*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 1, 1//2, 4//3, -((d*x^3)/(4*c)), -((d*x^3)/c)))/(4*c*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(1/(x^3*(4*c + d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -((sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), 1, 1//2, 1//3, -((d*x^3)/(4*c)), -((d*x^3)/c)))/(8*c*x^2*sqrt(c + d*x^3))), x, 2),
+
+
+(x/(sqrt(1 - x^3)*(4 - x^3)), -(atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*x))/sqrt(1 - x^3))/(3*2^(2//3)*sqrt(3))) + atan(sqrt(1 - x^3)/sqrt(3))/(3*2^(2//3)*sqrt(3)) - atanh((1 + 2^(1//3)*x)/sqrt(1 - x^3))/(3*2^(2//3)) + atanh(sqrt(1 - x^3))/(9*2^(2//3)), x, 1),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0 when 8 b c+a d=0
+
+
+((x^11*sqrt(c + d*x^3))/(8*c - d*x^3), (-1024*c^3*sqrt(c + d*x^3))/(3*d^4) - (38*c^2*(c + d*x^3)^(3//2))/(3*d^4) - (4*c*(c + d*x^3)^(5//2))/(5*d^4) - (2*(c + d*x^3)^(7//2))/(21*d^4) + (1024*c^(7//2)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/d^4, x, 6),
+((x^8*sqrt(c + d*x^3))/(8*c - d*x^3), (-128*c^2*sqrt(c + d*x^3))/(3*d^3) - (14*c*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*d^3) - (2*(c + d*x^3)^(5//2))/(15*d^3) + (128*c^(5//2)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/d^3, x, 6),
+((x^5*sqrt(c + d*x^3))/(8*c - d*x^3), (-16*c*sqrt(c + d*x^3))/(3*d^2) - (2*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*d^2) + (16*c^(3//2)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/d^2, x, 5),
+((x^2*sqrt(c + d*x^3))/(8*c - d*x^3), (-2*sqrt(c + d*x^3))/(3*d) + (2*sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/d, x, 4),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^1*(8*c - d*x^3)), atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c)))/(4*sqrt(c)) - atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c))/(12*sqrt(c)), x, 6),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^4*(8*c - d*x^3)), -sqrt(c + d*x^3)/(24*c*x^3) + (d*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(32*c^(3//2)) - (5*d*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(96*c^(3//2)), x, 7),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^7*(8*c - d*x^3)), -sqrt(c + d*x^3)/(48*c*x^6) - (d*sqrt(c + d*x^3))/(64*c^2*x^3) + (d^2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(256*c^(5//2)) + (d^2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(256*c^(5//2)), x, 8),
+
+((x^7*sqrt(c + d*x^3))/(8*c - d*x^3), -((214*c*x^2*sqrt(c + d*x^3))/(91*d^2)) - (2*x^5*sqrt(c + d*x^3))/(13*d) - (12248*c^2*sqrt(c + d*x^3))/(91*d^(8//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (32*sqrt(3)*c^(13//6)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/d^(8//3) + (32*c^(13//6)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/d^(8//3) - (32*c^(13//6)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/d^(8//3) + (6124*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*d^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (12248*sqrt(2)*c^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*3^(1//4)*d^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 15),
+((x^4*sqrt(c + d*x^3))/(8*c - d*x^3), -((2*x^2*sqrt(c + d*x^3))/(7*d)) - (118*c*sqrt(c + d*x^3))/(7*d^(5//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (4*sqrt(3)*c^(7//6)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/d^(5//3) + (4*c^(7//6)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/d^(5//3) - (4*c^(7//6)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/d^(5//3) + (59*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (118*sqrt(2)*c^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*3^(1//4)*d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 14),
+((x^1*sqrt(c + d*x^3))/(8*c - d*x^3), -((2*sqrt(c + d*x^3))/(d^(2//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x))) - (sqrt(3)*c^(1//6)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(2*d^(2//3)) + (c^(1//6)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(2*d^(2//3)) - (c^(1//6)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(2*d^(2//3)) + (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(d^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (2*sqrt(2)*c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*d^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 12),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^2*(8*c - d*x^3)), -(sqrt(c + d*x^3)/(8*c*x)) + (d^(1//3)*sqrt(c + d*x^3))/(8*c*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (sqrt(3)*d^(1//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(16*c^(5//6)) + (d^(1//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(16*c^(5//6)) - (d^(1//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(16*c^(5//6)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*c^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 14),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^5*(8*c - d*x^3)), -(sqrt(c + d*x^3)/(32*c*x^4)) - (d*sqrt(c + d*x^3))/(16*c^2*x) + (d^(4//3)*sqrt(c + d*x^3))/(16*c^2*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (sqrt(3)*d^(4//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(128*c^(11//6)) + (d^(4//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(128*c^(11//6)) - (d^(4//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(128*c^(11//6)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(32*c^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (d^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(8*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 15),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^8*(8*c - d*x^3)), -(sqrt(c + d*x^3)/(56*c*x^7)) - (19*d*sqrt(c + d*x^3))/(1792*c^2*x^4) + (d^2*sqrt(c + d*x^3))/(112*c^3*x) - (d^(7//3)*sqrt(c + d*x^3))/(112*c^3*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (sqrt(3)*d^(7//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(1024*c^(17//6)) + (d^(7//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(1024*c^(17//6)) - (d^(7//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(1024*c^(17//6)) + (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(224*c^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (d^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(56*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 16),
+
+
+((x^11*(c + d*x^3)^(3//2))/(8*c - d*x^3), (-3072*c^4*sqrt(c + d*x^3))/d^4 - (1024*c^3*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*d^4) - (38*c^2*(c + d*x^3)^(5//2))/(5*d^4) - (4*c*(c + d*x^3)^(7//2))/(7*d^4) - (2*(c + d*x^3)^(9//2))/(27*d^4) + (9216*c^(9//2)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/d^4, x, 7),
+((x^8*(c + d*x^3)^(3//2))/(8*c - d*x^3), (-384*c^3*sqrt(c + d*x^3))/d^3 - (128*c^2*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*d^3) - (14*c*(c + d*x^3)^(5//2))/(15*d^3) - (2*(c + d*x^3)^(7//2))/(21*d^3) + (1152*c^(7//2)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/d^3, x, 7),
+((x^5*(c + d*x^3)^(3//2))/(8*c - d*x^3), (-48*c^2*sqrt(c + d*x^3))/d^2 - (16*c*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*d^2) - (2*(c + d*x^3)^(5//2))/(15*d^2) + (144*c^(5//2)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/d^2, x, 6),
+((x^2*(c + d*x^3)^(3//2))/(8*c - d*x^3), (-6*c*sqrt(c + d*x^3))/d - (2*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*d) + (18*c^(3//2)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/d, x, 5),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^1*(8*c - d*x^3)), (-2*sqrt(c + d*x^3))/3 + (9*sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/4 - (sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/12, x, 7),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^4*(8*c - d*x^3)), -sqrt(c + d*x^3)/(24*x^3) + (9*d*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(32*sqrt(c)) - (13*d*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(96*sqrt(c)), x, 7),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^7*(8*c - d*x^3)), -sqrt(c + d*x^3)/(48*x^6) - (11*d*sqrt(c + d*x^3))/(192*c*x^3) + (9*d^2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(256*c^(3//2)) - (37*d^2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(768*c^(3//2)), x, 8),
+
+((x^7*(c + d*x^3)^(3//2))/(8*c - d*x^3), -((36534*c^2*x^2*sqrt(c + d*x^3))/(1729*d^2)) - (348*c*x^5*sqrt(c + d*x^3))/(247*d) - (2//19)*x^8*sqrt(c + d*x^3) - (2094648*c^3*sqrt(c + d*x^3))/(1729*d^(8//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (288*sqrt(3)*c^(19//6)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/d^(8//3) + (288*c^(19//6)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/d^(8//3) - (288*c^(19//6)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/d^(8//3) + (1047324*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(10//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*d^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (698216*sqrt(2)*3^(3//4)*c^(10//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*d^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 16),
+((x^4*(c + d*x^3)^(3//2))/(8*c - d*x^3), -((240*c*x^2*sqrt(c + d*x^3))/(91*d)) - (2//13)*x^5*sqrt(c + d*x^3) - (13782*c^2*sqrt(c + d*x^3))/(91*d^(5//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (36*sqrt(3)*c^(13//6)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/d^(5//3) + (36*c^(13//6)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/d^(5//3) - (36*c^(13//6)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/d^(5//3) + (6891*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (4594*sqrt(2)*3^(3//4)*c^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 15),
+((x^1*(c + d*x^3)^(3//2))/(8*c - d*x^3), (-(2//7))*x^2*sqrt(c + d*x^3) - (132*c*sqrt(c + d*x^3))/(7*d^(2//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (9*sqrt(3)*c^(7//6)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(2*d^(2//3)) + (9*c^(7//6)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(2*d^(2//3)) - (9*c^(7//6)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(2*d^(2//3)) + (66*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*d^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (44*sqrt(2)*3^(3//4)*c^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*d^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 14),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^2*(8*c - d*x^3)), -(sqrt(c + d*x^3)/(8*x)) - (15*d^(1//3)*sqrt(c + d*x^3))/(8*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (9//16)*sqrt(3)*c^(1//6)*d^(1//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)) + (9//16)*c^(1//6)*d^(1//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))) - (9//16)*c^(1//6)*d^(1//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))) + (15*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(1//3)*d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (5*3^(3//4)*c^(1//3)*d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 14),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^5*(8*c - d*x^3)), -(sqrt(c + d*x^3)/(32*x^4)) - (3*d*sqrt(c + d*x^3))/(16*c*x) + (3*d^(4//3)*sqrt(c + d*x^3))/(16*c*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (9*sqrt(3)*d^(4//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(128*c^(5//6)) + (9*d^(4//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(128*c^(5//6)) - (9*d^(4//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(128*c^(5//6)) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(32*c^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (3^(3//4)*d^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(8*sqrt(2)*c^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 15),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^8*(8*c - d*x^3)), -(sqrt(c + d*x^3)/(56*x^7)) - (75*d*sqrt(c + d*x^3))/(1792*c*x^4) - (3*d^2*sqrt(c + d*x^3))/(56*c^2*x) + (3*d^(7//3)*sqrt(c + d*x^3))/(56*c^2*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (9*sqrt(3)*d^(7//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(1024*c^(11//6)) + (9*d^(7//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(1024*c^(11//6)) - (9*d^(7//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(1024*c^(11//6)) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(112*c^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (3^(3//4)*d^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(28*sqrt(2)*c^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 16),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0 when 8 b c+a d=0
+# 
+
+
+(x^11/((8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (-38*c^2*sqrt(c + d*x^3))/d^4 - (4*c*(c + d*x^3)^(3//2))/(3*d^4) - (2*(c + d*x^3)^(5//2))/(15*d^4) + (1024*c^(5//2)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(9*d^4), x, 5),
+(x^8/((8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (-14*c*sqrt(c + d*x^3))/(3*d^3) - (2*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*d^3) + (128*c^(3//2)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(9*d^3), x, 5),
+(x^5/((8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (-2*sqrt(c + d*x^3))/(3*d^2) + (16*sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(9*d^2), x, 4),
+(x^2/((8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(9*sqrt(c)*d), x, 3),
+(1/(x^1*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c)))/(36*c^(3//2)) - atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c))/(12*c^(3//2)), x, 6),
+(1/(x^4*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -sqrt(c + d*x^3)/(24*c^2*x^3) + (d*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(288*c^(5//2)) + (d*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(32*c^(5//2)), x, 7),
+(1/(x^7*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -sqrt(c + d*x^3)/(48*c^2*x^6) + (5*d*sqrt(c + d*x^3))/(192*c^3*x^3) + (d^2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(2304*c^(7//2)) - (7*d^2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(256*c^(7//2)), x, 8),
+
+(x^7/((8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -((2*x^2*sqrt(c + d*x^3))/(7*d^2)) - (104*c*sqrt(c + d*x^3))/(7*d^(8//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (32*c^(7//6)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(3*sqrt(3)*d^(8//3)) + (32*c^(7//6)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(9*d^(8//3)) - (32*c^(7//6)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(9*d^(8//3)) + (52*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*d^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (104*sqrt(2)*c^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*3^(1//4)*d^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 14),
+(x^4/((8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -((2*sqrt(c + d*x^3))/(d^(5//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x))) - (4*c^(1//6)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(3*sqrt(3)*d^(5//3)) + (4*c^(1//6)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(9*d^(5//3)) - (4*c^(1//6)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(9*d^(5//3)) + (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (2*sqrt(2)*c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 12),
+(x^1/((8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -(atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3))/(6*sqrt(3)*c^(5//6)*d^(2//3))) + atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3)))/(18*c^(5//6)*d^(2//3)) - atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c)))/(18*c^(5//6)*d^(2//3)), x, 8),
+(1/(x^2*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -(sqrt(c + d*x^3)/(8*c^2*x)) + (d^(1//3)*sqrt(c + d*x^3))/(8*c^2*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (d^(1//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(48*sqrt(3)*c^(11//6)) + (d^(1//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(144*c^(11//6)) - (d^(1//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(144*c^(11//6)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*c^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 14),
+(1/(x^5*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -(sqrt(c + d*x^3)/(32*c^2*x^4)) + (d*sqrt(c + d*x^3))/(16*c^3*x) - (d^(4//3)*sqrt(c + d*x^3))/(16*c^3*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (d^(4//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(384*sqrt(3)*c^(17//6)) + (d^(4//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(1152*c^(17//6)) - (d^(4//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(1152*c^(17//6)) + (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(32*c^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (d^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(8*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 15),
+(1/(x^8*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -(sqrt(c + d*x^3)/(56*c^2*x^7)) + (37*d*sqrt(c + d*x^3))/(1792*c^3*x^4) - (3*d^2*sqrt(c + d*x^3))/(56*c^4*x) + (3*d^(7//3)*sqrt(c + d*x^3))/(56*c^4*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (d^(7//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(3072*sqrt(3)*c^(23//6)) + (d^(7//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(9216*c^(23//6)) - (d^(7//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(9216*c^(23//6)) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(112*c^(11//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (3^(3//4)*d^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(28*sqrt(2)*c^(11//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 16),
+
+(x^3/((8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (x^4*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 1, 1//2, 7//3, (d*x^3)/(8*c), -((d*x^3)/c)))/(32*c*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(x^0/((8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (x*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 1, 1//2, 4//3, (d*x^3)/(8*c), -((d*x^3)/c)))/(8*c*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(1/(x^3*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -((sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), 1, 1//2, 1//3, (d*x^3)/(8*c), -((d*x^3)/c)))/(16*c*x^2*sqrt(c + d*x^3))), x, 2),
+(1/(x^6*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -((sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(5//3), 1, 1//2, -(2//3), (d*x^3)/(8*c), -((d*x^3)/c)))/(40*c*x^5*sqrt(c + d*x^3))), x, 2),
+
+
+(x^11/((8*c - d*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), (2*c^2)/(27*d^4*sqrt(c + d*x^3)) - (4*c*sqrt(c + d*x^3))/d^4 - (2*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*d^4) + (1024*c^(3//2)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(81*d^4), x, 7),
+(x^8/((8*c - d*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), (-2*c)/(27*d^3*sqrt(c + d*x^3)) - (2*sqrt(c + d*x^3))/(3*d^3) + (128*sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(81*d^3), x, 5),
+(x^5/((8*c - d*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), 2/(27*d^2*sqrt(c + d*x^3)) + (16*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(81*sqrt(c)*d^2), x, 4),
+(x^2/((8*c - d*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), -2/(27*c*d*sqrt(c + d*x^3)) + (2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(81*c^(3//2)*d), x, 4),
+(1/(x^1*(8*c - d*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), 2/(27*c^2*sqrt(c + d*x^3)) + atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c)))/(324*c^(5//2)) - atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c))/(12*c^(5//2)), x, 7),
+(1/(x^4*(8*c - d*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), (-25*d)/(216*c^3*sqrt(c + d*x^3)) - 1/(24*c^2*x^3*sqrt(c + d*x^3)) + (d*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(2592*c^(7//2)) + (11*d*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(96*c^(7//2)), x, 8),
+(1/(x^7*(8*c - d*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), (245*d^2)/(1728*c^4*sqrt(c + d*x^3)) - 1/(48*c^2*x^6*sqrt(c + d*x^3)) + (3*d)/(64*c^3*x^3*sqrt(c + d*x^3)) + (d^2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(20736*c^(9//2)) - (109*d^2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(768*c^(9//2)), x, 9),
+
+(x^7/((8*c - d*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), (2*x^2)/(27*d^2*sqrt(c + d*x^3)) - (56*sqrt(c + d*x^3))/(27*d^(8//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (32*c^(1//6)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(27*sqrt(3)*d^(8//3)) + (32*c^(1//6)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(81*d^(8//3)) - (32*c^(1//6)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(81*d^(8//3)) + (28*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(9*3^(3//4)*d^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (56*sqrt(2)*c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*d^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 14),
+(x^4/((8*c - d*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), -((2*x^2)/(27*c*d*sqrt(c + d*x^3))) + (2*sqrt(c + d*x^3))/(27*c*d^(5//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (4*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(27*sqrt(3)*c^(5//6)*d^(5//3)) + (4*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(81*c^(5//6)*d^(5//3)) - (4*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(81*c^(5//6)*d^(5//3)) - (sqrt(2 - sqrt(3))*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(9*3^(3//4)*c^(2//3)*d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (2*sqrt(2)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*c^(2//3)*d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 14),
+(x^1/((8*c - d*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), (2*x^2)/(27*c^2*sqrt(c + d*x^3)) - (2*sqrt(c + d*x^3))/(27*c^2*d^(2//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3))/(54*sqrt(3)*c^(11//6)*d^(2//3)) + atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3)))/(162*c^(11//6)*d^(2//3)) - atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c)))/(162*c^(11//6)*d^(2//3)) + (sqrt(2 - sqrt(3))*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(9*3^(3//4)*c^(5//3)*d^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (2*sqrt(2)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*c^(5//3)*d^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 14),
+(1/(x^2*(8*c - d*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), 2/(27*c^2*x*sqrt(c + d*x^3)) - (43*sqrt(c + d*x^3))/(216*c^3*x) + (43*d^(1//3)*sqrt(c + d*x^3))/(216*c^3*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (d^(1//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(432*sqrt(3)*c^(17//6)) + (d^(1//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(1296*c^(17//6)) - (d^(1//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(1296*c^(17//6)) - (43*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(144*3^(3//4)*c^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (43*d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(108*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 15),
+(1/(x^5*(8*c - d*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), 2/(27*c^2*x^4*sqrt(c + d*x^3)) - (91*sqrt(c + d*x^3))/(864*c^3*x^4) + (113*d*sqrt(c + d*x^3))/(432*c^4*x) - (113*d^(4//3)*sqrt(c + d*x^3))/(432*c^4*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (d^(4//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(3456*sqrt(3)*c^(23//6)) + (d^(4//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(10368*c^(23//6)) - (d^(4//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(10368*c^(23//6)) + (113*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(288*3^(3//4)*c^(11//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (113*d^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(216*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(11//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 16),
+(1/(x^8*(8*c - d*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), 2/(27*c^2*x^7*sqrt(c + d*x^3)) - (139*sqrt(c + d*x^3))/(1512*c^3*x^7) + (6095*d*sqrt(c + d*x^3))/(48384*c^4*x^4) - (953*d^2*sqrt(c + d*x^3))/(3024*c^5*x) + (953*d^(7//3)*sqrt(c + d*x^3))/(3024*c^5*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (d^(7//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(27648*sqrt(3)*c^(29//6)) + (d^(7//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(82944*c^(29//6)) - (d^(7//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(82944*c^(29//6)) - (953*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2016*3^(3//4)*c^(14//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (953*d^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1512*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(14//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 17),
+
+(x^3/((8*c - d*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), (x^4*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 1, 3//2, 7//3, (d*x^3)/(8*c), -((d*x^3)/c)))/(32*c^2*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(x^0/((8*c - d*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), (x*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 1, 3//2, 4//3, (d*x^3)/(8*c), -((d*x^3)/c)))/(8*c^2*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(1/(x^3*(8*c - d*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), -((sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), 1, 3//2, 1//3, (d*x^3)/(8*c), -((d*x^3)/c)))/(16*c^2*x^2*sqrt(c + d*x^3))), x, 2),
+(1/(x^6*(8*c - d*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), -((sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(5//3), 1, 3//2, -(2//3), (d*x^3)/(8*c), -((d*x^3)/c)))/(40*c^2*x^5*sqrt(c + d*x^3))), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0 when b^2 c^2-20 a b c d-8 a^2 d^2=0
+
+
+(x*(sqrt(a + b*x^3)/(2*(5 + 3*sqrt(3))*a + b*x^3)), (2*sqrt(a + b*x^3))/(b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (3^(3//4)*a^(1//6)*atan((3^(1//4)*(1 + sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(a + b*x^3))))/(2*sqrt(2)*b^(2//3)) + (a^(1//6)*atan(((1 - sqrt(3))*sqrt(a + b*x^3))/(sqrt(2)*3^(3//4)*sqrt(a))))/(sqrt(2)*3^(1//4)*b^(2//3)) + (3^(1//4)*a^(1//6)*atanh((3^(1//4)*a^(1//6)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(a + b*x^3))))/(sqrt(2)*b^(2//3)) + (3^(1//4)*a^(1//6)*atanh((3^(1//4)*(1 - sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(a + b*x^3))))/(2*sqrt(2)*b^(2//3)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2)*a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+(x*(sqrt(a - b*x^3)/(2*(5 + 3*sqrt(3))*a - b*x^3)), (2*sqrt(a - b*x^3))/(b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)) + (3^(3//4)*a^(1//6)*atan((3^(1//4)*(1 + sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(a - b*x^3))))/(2*sqrt(2)*b^(2//3)) + (a^(1//6)*atan(((1 - sqrt(3))*sqrt(a - b*x^3))/(sqrt(2)*3^(3//4)*sqrt(a))))/(sqrt(2)*3^(1//4)*b^(2//3)) + (3^(1//4)*a^(1//6)*atanh((3^(1//4)*(1 - sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(a - b*x^3))))/(2*sqrt(2)*b^(2//3)) + (3^(1//4)*a^(1//6)*atanh((3^(1//4)*a^(1//6)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + 2*b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(a - b*x^3))))/(sqrt(2)*b^(2//3)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a - b*x^3)) + (2*sqrt(2)*a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a - b*x^3)), x, 5),
+(x*(sqrt(-a + b*x^3)/(-2*(5 + 3*sqrt(3))*a + b*x^3)), -((2*sqrt(-a + b*x^3))/(b^(2//3)*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x))) + (3^(1//4)*a^(1//6)*atan((3^(1//4)*(1 - sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(-a + b*x^3))))/(2*sqrt(2)*b^(2//3)) + (3^(1//4)*a^(1//6)*atan((3^(1//4)*a^(1//6)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + 2*b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(-a + b*x^3))))/(sqrt(2)*b^(2//3)) + (3^(3//4)*a^(1//6)*atanh((3^(1//4)*(1 + sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(-a + b*x^3))))/(2*sqrt(2)*b^(2//3)) - (a^(1//6)*atanh(((1 - sqrt(3))*sqrt(-a + b*x^3))/(sqrt(2)*3^(3//4)*sqrt(a))))/(sqrt(2)*3^(1//4)*b^(2//3)) + (3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(b^(2//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a + b*x^3)) - (2*sqrt(2)*a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a + b*x^3)), x, 5),
+(x*(sqrt(-a - b*x^3)/(-2*(5 + 3*sqrt(3))*a - b*x^3)), -((2*sqrt(-a - b*x^3))/(b^(2//3)*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x))) + (3^(1//4)*a^(1//6)*atan((3^(1//4)*a^(1//6)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(-a - b*x^3))))/(sqrt(2)*b^(2//3)) + (3^(1//4)*a^(1//6)*atan((3^(1//4)*(1 - sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(-a - b*x^3))))/(2*sqrt(2)*b^(2//3)) + (3^(3//4)*a^(1//6)*atanh((3^(1//4)*(1 + sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(-a - b*x^3))))/(2*sqrt(2)*b^(2//3)) - (a^(1//6)*atanh(((1 - sqrt(3))*sqrt(-a - b*x^3))/(sqrt(2)*3^(3//4)*sqrt(a))))/(sqrt(2)*3^(1//4)*b^(2//3)) + (3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(b^(2//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a - b*x^3)) - (2*sqrt(2)*a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a - b*x^3)), x, 5),
+
+
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+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0 when b^2 c^2-20 a b c d-8 a^2 d^2=0
+# 
+
+
+(x/(sqrt(a + b*x^3)*(2*(5 + 3*sqrt(3))*a + b*x^3)), -(((2 - sqrt(3))*atan((3^(1//4)*(1 + sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(a + b*x^3))))/(2*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(5//6)*b^(2//3))) - ((2 - sqrt(3))*atan(((1 - sqrt(3))*sqrt(a + b*x^3))/(sqrt(2)*3^(3//4)*sqrt(a))))/(3*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) - ((2 - sqrt(3))*atanh((3^(1//4)*a^(1//6)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(a + b*x^3))))/(3*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) - ((2 - sqrt(3))*atanh((3^(1//4)*(1 - sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(a + b*x^3))))/(6*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//6)*b^(2//3)), x, 1),
+(x/(sqrt(a - b*x^3)*(2*(5 + 3*sqrt(3))*a - b*x^3)), -(((2 - sqrt(3))*atan((3^(1//4)*(1 + sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(a - b*x^3))))/(2*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(5//6)*b^(2//3))) - ((2 - sqrt(3))*atan(((1 - sqrt(3))*sqrt(a - b*x^3))/(sqrt(2)*3^(3//4)*sqrt(a))))/(3*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) - ((2 - sqrt(3))*atanh((3^(1//4)*(1 - sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(a - b*x^3))))/(6*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) - ((2 - sqrt(3))*atanh((3^(1//4)*a^(1//6)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + 2*b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(a - b*x^3))))/(3*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//6)*b^(2//3)), x, 1),
+(x/(sqrt(-a + b*x^3)*(-2*(5 + 3*sqrt(3))*a + b*x^3)), ((2 - sqrt(3))*atan((3^(1//4)*(1 - sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(-a + b*x^3))))/(6*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) + ((2 - sqrt(3))*atan((3^(1//4)*a^(1//6)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + 2*b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(-a + b*x^3))))/(3*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) + ((2 - sqrt(3))*atanh((3^(1//4)*(1 + sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(-a + b*x^3))))/(2*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) - ((2 - sqrt(3))*atanh(((1 - sqrt(3))*sqrt(-a + b*x^3))/(sqrt(2)*3^(3//4)*sqrt(a))))/(3*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(5//6)*b^(2//3)), x, 1),
+(x/(sqrt(-a - b*x^3)*(-2*(5 + 3*sqrt(3))*a - b*x^3)), ((2 - sqrt(3))*atan((3^(1//4)*a^(1//6)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(-a - b*x^3))))/(3*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) + ((2 - sqrt(3))*atan((3^(1//4)*(1 - sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(-a - b*x^3))))/(6*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) + ((2 - sqrt(3))*atanh((3^(1//4)*(1 + sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(-a - b*x^3))))/(2*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) - ((2 - sqrt(3))*atanh(((1 - sqrt(3))*sqrt(-a - b*x^3))/(sqrt(2)*3^(3//4)*sqrt(a))))/(3*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(5//6)*b^(2//3)), x, 1),
+
+
+(x/(sqrt(a + b*x^3)*(2*(5 - 3*sqrt(3))*a + b*x^3)), -(((2 + sqrt(3))*atan((3^(1//4)*a^(1//6)*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(a + b*x^3))))/(3*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//6)*b^(2//3))) - ((2 + sqrt(3))*atan((3^(1//4)*(1 + sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(a + b*x^3))))/(6*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) + ((2 + sqrt(3))*atanh((3^(1//4)*(1 - sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(a + b*x^3))))/(2*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) + ((2 + sqrt(3))*atanh(((1 + sqrt(3))*sqrt(a + b*x^3))/(sqrt(2)*3^(3//4)*sqrt(a))))/(3*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(5//6)*b^(2//3)), x, 1),
+(x/(sqrt(a - b*x^3)*(2*(5 - 3*sqrt(3))*a - b*x^3)), -(((2 + sqrt(3))*atan((3^(1//4)*(1 + sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(a - b*x^3))))/(6*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//6)*b^(2//3))) - ((2 + sqrt(3))*atan((3^(1//4)*a^(1//6)*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + 2*b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(a - b*x^3))))/(3*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) + ((2 + sqrt(3))*atanh((3^(1//4)*(1 - sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(a - b*x^3))))/(2*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) + ((2 + sqrt(3))*atanh(((1 + sqrt(3))*sqrt(a - b*x^3))/(sqrt(2)*3^(3//4)*sqrt(a))))/(3*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(5//6)*b^(2//3)), x, 1),
+(x/(sqrt(-a + b*x^3)*(2*(5 - 3*sqrt(3))*a - b*x^3)), ((2 + sqrt(3))*atan((3^(1//4)*(1 - sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(-a + b*x^3))))/(2*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) - ((2 + sqrt(3))*atan(((1 + sqrt(3))*sqrt(-a + b*x^3))/(sqrt(2)*3^(3//4)*sqrt(a))))/(3*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) - ((2 + sqrt(3))*atanh((3^(1//4)*(1 + sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(-a + b*x^3))))/(6*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) - ((2 + sqrt(3))*atanh((3^(1//4)*a^(1//6)*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + 2*b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(-a + b*x^3))))/(3*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//6)*b^(2//3)), x, 1),
+(x/(sqrt(-a - b*x^3)*(2*(5 - 3*sqrt(3))*a + b*x^3)), ((2 + sqrt(3))*atan((3^(1//4)*(1 - sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(-a - b*x^3))))/(2*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) - ((2 + sqrt(3))*atan(((1 + sqrt(3))*sqrt(-a - b*x^3))/(sqrt(2)*3^(3//4)*sqrt(a))))/(3*sqrt(2)*3^(3//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) - ((2 + sqrt(3))*atanh((3^(1//4)*a^(1//6)*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(-a - b*x^3))))/(3*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//6)*b^(2//3)) - ((2 + sqrt(3))*atanh((3^(1//4)*(1 + sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(sqrt(2)*sqrt(-a - b*x^3))))/(6*sqrt(2)*3^(1//4)*a^(5//6)*b^(2//3)), x, 1),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
+
+
+(x^8*sqrt(c + d*x^3)/(a + b*x^3), (2*a^2*sqrt(c + d*x^3))/(3*b^3) - (2*(b*c + a*d)*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*b^2*d^2) + (2*(c + d*x^3)^(5//2))/(15*b*d^2) - (2*a^2*sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(7//2)), x, 6),
+(x^5*sqrt(c + d*x^3)/(a + b*x^3), -((2*a*sqrt(c + d*x^3))/(3*b^2)) + (2*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*b*d) + (2*a*sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(5//2)), x, 5),
+(x^2*sqrt(c + d*x^3)/(a + b*x^3), (2*sqrt(c + d*x^3))/(3*b) - (2*sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(3//2)), x, 4),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^1*(a + b*x^3)), -((2*sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(3*a)) + (2*sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*a*sqrt(b)), x, 6),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^4*(a + b*x^3)), -(sqrt(c + d*x^3)/(3*a*x^3)) + ((2*b*c - a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(3*a^2*sqrt(c)) - (2*sqrt(b)*sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*a^2), x, 7),
+
+(x^3*sqrt(c + d*x^3)/(a + b*x^3), (x^4*sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 1, -(1//2), 7//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(4*a*sqrt(1 + (d*x^3)/c)), x, 2),
+(x^1*sqrt(c + d*x^3)/(a + b*x^3), (x^2*sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 1, -(1//2), 5//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*a*sqrt(1 + (d*x^3)/c)), x, 2),
+(x^0*sqrt(c + d*x^3)/(a + b*x^3), (x*sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 1, -(1//2), 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a*sqrt(1 + (d*x^3)/c)), x, 2),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^2*(a + b*x^3)), -((sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//3), 1, -(1//2), 2//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a*x*sqrt(1 + (d*x^3)/c))), x, 2),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^3*(a + b*x^3)), -((sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), 1, -(1//2), 1//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*a*x^2*sqrt(1 + (d*x^3)/c))), x, 2),
+
+
+(x^8*(c + d*x^3)^(3//2)/(a + b*x^3), (2*a^2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^3))/(3*b^4) + (2*a^2*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*b^3) - (2*(b*c + a*d)*(c + d*x^3)^(5//2))/(15*b^2*d^2) + (2*(c + d*x^3)^(7//2))/(21*b*d^2) - (2*a^2*(b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(9//2)), x, 7),
+(x^5*(c + d*x^3)^(3//2)/(a + b*x^3), (-2*a*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^3))/(3*b^3) - (2*a*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*b^2) + (2*(c + d*x^3)^(5//2))/(15*b*d) + (2*a*(b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(7//2)), x, 6),
+(x^2*(c + d*x^3)^(3//2)/(a + b*x^3), (2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^3))/(3*b^2) + (2*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*b) - (2*(b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(5//2)), x, 5),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^1*(a + b*x^3)), (2*d*sqrt(c + d*x^3))/(3*b) - (2*c^(3//2)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(3*a) + (2*(b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*a*b^(3//2)), x, 7),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^4*(a + b*x^3)), -(c*sqrt(c + d*x^3))/(3*a*x^3) + (sqrt(c)*(2*b*c - 3*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(3*a^2) - (2*(b*c - a*d)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*a^2*sqrt(b)), x, 7),
+
+(x^3*(c + d*x^3)^(3//2)/(a + b*x^3), (c*x^4*sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 1, -3//2, 7//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(4*a*sqrt(1 + (d*x^3)/c)), x, 2),
+(x^1*(c + d*x^3)^(3//2)/(a + b*x^3), (c*x^2*sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 1, -3//2, 5//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*a*sqrt(1 + (d*x^3)/c)), x, 2),
+(x^0*(c + d*x^3)^(3//2)/(a + b*x^3), (c*x*sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 1, -(3//2), 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a*sqrt(1 + (d*x^3)/c)), x, 2),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^2*(a + b*x^3)), -((c*sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-1//3, 1, -3//2, 2//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a*x*sqrt(1 + (d*x^3)/c))), x, 2),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^3*(a + b*x^3)), -(c*sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-2//3, 1, -3//2, 1//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*a*x^2*sqrt(1 + (d*x^3)/c)), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+(x^8/((a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -((2*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^3))/(3*b^2*d^2)) + (2*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*b*d^2) - (2*a^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(5//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 5),
+(x^5/((a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (2*sqrt(c + d*x^3))/(3*b*d) + (2*a*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(3//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 4),
+(x^2/((a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -((2*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*sqrt(b)*sqrt(b*c - a*d))), x, 3),
+(1/(x^1*(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -((2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(3*a*sqrt(c))) + (2*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*a*sqrt(b*c - a*d)), x, 6),
+(1/(x^4*(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -(sqrt(c + d*x^3)/(3*a*c*x^3)) + ((2*b*c + a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(3*a^2*c^(3//2)) - (2*b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*a^2*sqrt(b*c - a*d)), x, 7),
+
+(x^3/((a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (x^4*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 1, 1//2, 7//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(4*a*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(x^1/((a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (x^2*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 1, 1//2, 5//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*a*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(x^0/((a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (x*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 1, 1//2, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -((sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//3), 1, 1//2, 2//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a*x*sqrt(c + d*x^3))), x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -((sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), 1, 1//2, 1//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*a*x^2*sqrt(c + d*x^3))), x, 2),
+
+
+(x^8/((a + b*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), (2*c^2)/(3*d^2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^3)) + (2*sqrt(c + d*x^3))/(3*b*d^2) - (2*a^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(3//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 5),
+(x^5/((a + b*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), (-2*c)/(3*d*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^3)) + (2*a*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*sqrt(b)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+(x^2/((a + b*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), 2/(3*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^3)) - (2*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^1*(a + b*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), (-2*d)/(3*c*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^3)) - (2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(3*a*c^(3//2)) + (2*b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*a*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 7),
+(1/(x^4*(a + b*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), -(d*(b*c - 3*a*d))/(3*a*c^2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^3)) - 1/(3*a*c*x^3*sqrt(c + d*x^3)) + ((2*b*c + 3*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(3*a^2*c^(5//2)) - (2*b^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*a^2*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 8),
+
+(x^3/((a + b*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), (x^4*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 1, 3//2, 7//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(4*a*c*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(x^1/((a + b*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), (x^2*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 1, 3//2, 5//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*a*c*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(x^0/((a + b*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), (x*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 1, 3//2, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a*c*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), -((sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-1//3, 1, 3//2, 2//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a*c*x*sqrt(c + d*x^3))), x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x^3)*(c + d*x^3)^(3//2)), -(sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-2//3, 1, 3//2, 1//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*a*c*x^2*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x^3)^(q/2) / (a+b x^3)^2
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0 when 8 b c+a d=0
+
+
+((x^11*sqrt(c + d*x^3))/(8*c - d*x^3)^2, (7*x^6*sqrt(c + d*x^3))/(15*d^2) + (x^9*sqrt(c + d*x^3))/(3*d*(8*c - d*x^3)) + (2*c*sqrt(c + d*x^3)*(1146*c + 47*d*x^3))/(15*d^4) - (3968*c^(5//2)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(9*d^4), x, 6),
+((x^8*sqrt(c + d*x^3))/(8*c - d*x^3)^2, (352*c*sqrt(c + d*x^3))/(27*d^3) + (2*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*d^3) + (64*c*(c + d*x^3)^(3//2))/(27*d^3*(8*c - d*x^3)) - (352*c^(3//2)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(9*d^3), x, 6),
+((x^5*sqrt(c + d*x^3))/(8*c - d*x^3)^2, (26*sqrt(c + d*x^3))/(27*d^2) + (8*(c + d*x^3)^(3//2))/(27*d^2*(8*c - d*x^3)) - (26*sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(9*d^2), x, 5),
+((x^2*sqrt(c + d*x^3))/(8*c - d*x^3)^2, sqrt(c + d*x^3)/(3*d*(8*c - d*x^3)) - atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c)))/(9*sqrt(c)*d), x, 4),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^1*(8*c - d*x^3)^2), sqrt(c + d*x^3)/(24*c*(8*c - d*x^3)) + (5*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(288*c^(3//2)) - atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c))/(96*c^(3//2)), x, 7),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^4*(8*c - d*x^3)^2), (d*sqrt(c + d*x^3))/(96*c^2*(8*c - d*x^3)) - sqrt(c + d*x^3)/(24*c*x^3*(8*c - d*x^3)) + (7*d*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(1152*c^(5//2)) - (d*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(128*c^(5//2)), x, 8),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^7*(8*c - d*x^3)^2), (5*d^2*sqrt(c + d*x^3))/(1536*c^3*(8*c - d*x^3)) - sqrt(c + d*x^3)/(48*c*x^6*(8*c - d*x^3)) - (7*d*sqrt(c + d*x^3))/(384*c^2*x^3*(8*c - d*x^3)) + (23*d^2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(18432*c^(7//2)) - (d^2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(2048*c^(7//2)), x, 9),
+
+((x^7*sqrt(c + d*x^3))/(8*c - d*x^3)^2, (13*x^2*sqrt(c + d*x^3))/(21*d^2) + (746*c*sqrt(c + d*x^3))/(21*d^(8//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + (x^5*sqrt(c + d*x^3))/(3*d*(8*c - d*x^3)) + (76*c^(7//6)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(3*sqrt(3)*d^(8//3)) - (76*c^(7//6)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(9*d^(8//3)) + (76*c^(7//6)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(9*d^(8//3)) - (373*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*3^(3//4)*d^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (746*sqrt(2)*c^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(21*3^(1//4)*d^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 15),
+((x^4*sqrt(c + d*x^3))/(8*c - d*x^3)^2, (7*sqrt(c + d*x^3))/(3*d^(5//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + (x^2*sqrt(c + d*x^3))/(3*d*(8*c - d*x^3)) + (5*c^(1//6)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(3*sqrt(3)*d^(5//3)) - (5*c^(1//6)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(9*d^(5//3)) + (5*c^(1//6)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(9*d^(5//3)) - (7*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*3^(3//4)*d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (7*sqrt(2)*c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 14),
+((x^1*sqrt(c + d*x^3))/(8*c - d*x^3)^2, sqrt(c + d*x^3)/(24*c*d^(2//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + (x^2*sqrt(c + d*x^3))/(24*c*(8*c - d*x^3)) + atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3))/(48*sqrt(3)*c^(5//6)*d^(2//3)) - atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3)))/(144*c^(5//6)*d^(2//3)) + atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c)))/(144*c^(5//6)*d^(2//3)) - (sqrt(2 - sqrt(3))*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*3^(3//4)*c^(2//3)*d^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + ((c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(12*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(2//3)*d^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 14),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^2*(8*c - d*x^3)^2), -(sqrt(c + d*x^3)/(48*c^2*x)) + (d^(1//3)*sqrt(c + d*x^3))/(48*c^2*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + sqrt(c + d*x^3)/(24*c*x*(8*c - d*x^3)) - (d^(1//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(48*sqrt(3)*c^(11//6)) + (d^(1//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(144*c^(11//6)) - (d^(1//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(144*c^(11//6)) - (sqrt(2 - sqrt(3))*d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(32*3^(3//4)*c^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(24*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 15),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^5*(8*c - d*x^3)^2), -((7*sqrt(c + d*x^3))/(768*c^2*x^4)) - (d*sqrt(c + d*x^3))/(96*c^3*x) + (d^(4//3)*sqrt(c + d*x^3))/(96*c^3*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + sqrt(c + d*x^3)/(24*c*x^4*(8*c - d*x^3)) - (17*d^(4//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(3072*sqrt(3)*c^(17//6)) + (17*d^(4//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(9216*c^(17//6)) - (17*d^(4//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(9216*c^(17//6)) - (sqrt(2 - sqrt(3))*d^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(64*3^(3//4)*c^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (d^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(48*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 16),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^8*(8*c - d*x^3)^2), -((5*sqrt(c + d*x^3))/(672*c^2*x^7)) - (53*d*sqrt(c + d*x^3))/(21504*c^3*x^4) - (d^2*sqrt(c + d*x^3))/(5376*c^4*x) + (d^(7//3)*sqrt(c + d*x^3))/(5376*c^4*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + sqrt(c + d*x^3)/(24*c*x^7*(8*c - d*x^3)) - (13*d^(7//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(12288*sqrt(3)*c^(23//6)) + (13*d^(7//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(36864*c^(23//6)) - (13*d^(7//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(36864*c^(23//6)) - (sqrt(2 - sqrt(3))*d^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3584*3^(3//4)*c^(11//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (d^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2688*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(11//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 17),
+
+
+((x^11*(c + d*x^3)^(3//2))/(8*c - d*x^3)^2, (1664*c^3*sqrt(c + d*x^3))/d^4 + (3*x^6*(c + d*x^3)^(3//2))/(7*d^2) + (x^9*(c + d*x^3)^(3//2))/(3*d*(8*c - d*x^3)) + (2*c*(c + d*x^3)^(3//2)*(694*c + 51*d*x^3))/(21*d^4) - (4992*c^(7//2)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/d^4, x, 7),
+((x^8*(c + d*x^3)^(3//2))/(8*c - d*x^3)^2, (160*c^2*sqrt(c + d*x^3))/d^3 + (160*c*(c + d*x^3)^(3//2))/(27*d^3) + (2*(c + d*x^3)^(5//2))/(15*d^3) + (64*c*(c + d*x^3)^(5//2))/(27*d^3*(8*c - d*x^3)) - (480*c^(5//2)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/d^3, x, 7),
+((x^5*(c + d*x^3)^(3//2))/(8*c - d*x^3)^2, (14*c*sqrt(c + d*x^3))/d^2 + (14*(c + d*x^3)^(3//2))/(27*d^2) + (8*(c + d*x^3)^(5//2))/(27*d^2*(8*c - d*x^3)) - (42*c^(3//2)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/d^2, x, 6),
+((x^2*(c + d*x^3)^(3//2))/(8*c - d*x^3)^2, sqrt(c + d*x^3)/d + (c + d*x^3)^(3//2)/(3*d*(8*c - d*x^3)) - (3*sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/d, x, 5),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^1*(8*c - d*x^3)^2), (3*sqrt(c + d*x^3))/(8*(8*c - d*x^3)) - (3*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(32*sqrt(c)) - atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c))/(96*sqrt(c)), x, 7),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^4*(8*c - d*x^3)^2), (5*d*sqrt(c + d*x^3))/(96*c*(8*c - d*x^3)) - sqrt(c + d*x^3)/(24*x^3*(8*c - d*x^3)) + (3*d*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(128*c^(3//2)) - (7*d*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(384*c^(3//2)), x, 8),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^7*(8*c - d*x^3)^2), (7*d^2*sqrt(c + d*x^3))/(512*c^2*(8*c - d*x^3)) - sqrt(c + d*x^3)/(48*x^6*(8*c - d*x^3)) - (23*d*sqrt(c + d*x^3))/(384*c*x^3*(8*c - d*x^3)) + (15*d^2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(2048*c^(5//2)) - (17*d^2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(2048*c^(5//2)), x, 9),
+
+((x^7*(c + d*x^3)^(3//2))/(8*c - d*x^3)^2, (103*c*x^2*sqrt(c + d*x^3))/(13*d^2) + (19*x^5*sqrt(c + d*x^3))/(39*d) + (5906*c^2*sqrt(c + d*x^3))/(13*d^(8//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + (x^5*(c + d*x^3)^(3//2))/(3*d*(8*c - d*x^3)) + (108*sqrt(3)*c^(13//6)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/d^(8//3) - (108*c^(13//6)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/d^(8//3) + (108*c^(13//6)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/d^(8//3) - (2953*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(13*d^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (5906*sqrt(2)*c^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(13*3^(1//4)*d^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 16),
+((x^4*(c + d*x^3)^(3//2))/(8*c - d*x^3)^2, (13*x^2*sqrt(c + d*x^3))/(21*d) + (265*c*sqrt(c + d*x^3))/(7*d^(5//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + (x^2*(c + d*x^3)^(3//2))/(3*d*(8*c - d*x^3)) + (9*sqrt(3)*c^(7//6)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/d^(5//3) - (9*c^(7//6)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/d^(5//3) + (9*c^(7//6)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/d^(5//3) - (265*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(14*d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (265*sqrt(2)*c^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*3^(1//4)*d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 15),
+((x^1*(c + d*x^3)^(3//2))/(8*c - d*x^3)^2, (19*sqrt(c + d*x^3))/(8*d^(2//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + (3*x^2*sqrt(c + d*x^3))/(8*(8*c - d*x^3)) + (9*sqrt(3)*c^(1//6)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(16*d^(2//3)) - (9*c^(1//6)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(16*d^(2//3)) + (9*c^(1//6)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(16*d^(2//3)) - (19*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*d^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (19*c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*sqrt(2)*3^(1//4)*d^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 14),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^2*(8*c - d*x^3)^2), -sqrt(c + d*x^3)/(16*c*x) + (d^(1//3)*sqrt(c + d*x^3))/(16*c*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + (3*sqrt(c + d*x^3))/(8*x*(8*c - d*x^3)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(32*c^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(8*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 6),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^5*(8*c - d*x^3)^2), -((13*sqrt(c + d*x^3))/(256*c*x^4)) - (d*sqrt(c + d*x^3))/(32*c^2*x) + (d^(4//3)*sqrt(c + d*x^3))/(32*c^2*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + (3*sqrt(c + d*x^3))/(8*x^4*(8*c - d*x^3)) - (9*sqrt(3)*d^(4//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(1024*c^(11//6)) + (9*d^(4//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(1024*c^(11//6)) - (9*d^(4//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(1024*c^(11//6)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(64*c^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (d^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 16),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^8*(8*c - d*x^3)^2), -((11*sqrt(c + d*x^3))/(224*c*x^7)) - (83*d*sqrt(c + d*x^3))/(7168*c^2*x^4) - (19*d^2*sqrt(c + d*x^3))/(1792*c^3*x) + (19*d^(7//3)*sqrt(c + d*x^3))/(1792*c^3*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + (3*sqrt(c + d*x^3))/(8*x^7*(8*c - d*x^3)) - (9*sqrt(3)*d^(7//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(4096*c^(17//6)) + (9*d^(7//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(4096*c^(17//6)) - (9*d^(7//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(4096*c^(17//6)) - (19*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3584*c^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (19*d^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(896*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 17),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0 when 8 b c+a d=0
+# 
+
+
+(x^11/((8*c - d*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), (8*x^6*sqrt(c + d*x^3))/(27*d^2*(8*c - d*x^3)) + (2*sqrt(c + d*x^3)*(170*c + 7*d*x^3))/(27*d^4) - (2944*c^(3//2)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(81*d^4), x, 5),
+(x^8/((8*c - d*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), (2*sqrt(c + d*x^3))/(3*d^3) + (64*c*sqrt(c + d*x^3))/(27*d^3*(8*c - d*x^3)) - (224*sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(81*d^3), x, 5),
+(x^5/((8*c - d*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), (8*sqrt(c + d*x^3))/(27*d^2*(8*c - d*x^3)) - (10*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(81*sqrt(c)*d^2), x, 4),
+(x^2/((8*c - d*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), sqrt(c + d*x^3)/(27*c*d*(8*c - d*x^3)) + atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c)))/(81*c^(3//2)*d), x, 4),
+(1/(x^1*(8*c - d*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), sqrt(c + d*x^3)/(216*c^2*(8*c - d*x^3)) + (13*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(2592*c^(5//2)) - atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c))/(96*c^(5//2)), x, 7),
+(1/(x^4*(8*c - d*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), (5*d*sqrt(c + d*x^3))/(864*c^3*(8*c - d*x^3)) - sqrt(c + d*x^3)/(24*c^2*x^3*(8*c - d*x^3)) + (11*d*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(10368*c^(7//2)) + (d*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(384*c^(7//2)), x, 8),
+(1/(x^7*(8*c - d*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), (-35*d^2*sqrt(c + d*x^3))/(13824*c^4*(8*c - d*x^3)) - sqrt(c + d*x^3)/(48*c^2*x^6*(8*c - d*x^3)) + (3*d*sqrt(c + d*x^3))/(128*c^3*x^3*(8*c - d*x^3)) + (31*d^2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(165888*c^(9//2)) - (19*d^2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(6144*c^(9//2)), x, 9),
+
+(x^7/((8*c - d*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), (62*sqrt(c + d*x^3))/(27*d^(8//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + (8*x^2*sqrt(c + d*x^3))/(27*d^2*(8*c - d*x^3)) + (44*c^(1//6)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(27*sqrt(3)*d^(8//3)) - (44*c^(1//6)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(81*d^(8//3)) + (44*c^(1//6)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(81*d^(8//3)) - (31*sqrt(2 - sqrt(3))*c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(9*3^(3//4)*d^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (62*sqrt(2)*c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*d^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 14),
+(x^4/((8*c - d*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), sqrt(c + d*x^3)/(27*c*d^(5//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + (x^2*sqrt(c + d*x^3))/(27*c*d*(8*c - d*x^3)) + atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3))/(27*sqrt(3)*c^(5//6)*d^(5//3)) - atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3)))/(81*c^(5//6)*d^(5//3)) + atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c)))/(81*c^(5//6)*d^(5//3)) - (sqrt(2 - sqrt(3))*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(18*3^(3//4)*c^(2//3)*d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (sqrt(2)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*c^(2//3)*d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 14),
+(x^1/((8*c - d*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), sqrt(c + d*x^3)/(216*c^2*d^(2//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + (x^2*sqrt(c + d*x^3))/(216*c^2*(8*c - d*x^3)) - (7*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(432*sqrt(3)*c^(11//6)*d^(2//3)) + (7*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(1296*c^(11//6)*d^(2//3)) - (7*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(1296*c^(11//6)*d^(2//3)) - (sqrt(2 - sqrt(3))*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(144*3^(3//4)*c^(5//3)*d^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + ((c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(108*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(5//3)*d^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 14),
+(1/(x^2*(8*c - d*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), -((7*sqrt(c + d*x^3))/(432*c^3*x)) + (7*d^(1//3)*sqrt(c + d*x^3))/(432*c^3*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + sqrt(c + d*x^3)/(216*c^2*x*(8*c - d*x^3)) - (d^(1//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(216*sqrt(3)*c^(17//6)) + (d^(1//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(648*c^(17//6)) - (d^(1//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(648*c^(17//6)) - (7*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(288*3^(3//4)*c^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (7*d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(216*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 15),
+(1/(x^5*(8*c - d*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), -((31*sqrt(c + d*x^3))/(6912*c^3*x^4)) + (5*d*sqrt(c + d*x^3))/(864*c^4*x) - (5*d^(4//3)*sqrt(c + d*x^3))/(864*c^4*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + sqrt(c + d*x^3)/(216*c^2*x^4*(8*c - d*x^3)) - (25*d^(4//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(27648*sqrt(3)*c^(23//6)) + (25*d^(4//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(82944*c^(23//6)) - (25*d^(4//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(82944*c^(23//6)) + (5*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(576*3^(3//4)*c^(11//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (5*d^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(432*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(11//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 16),
+(1/(x^8*(8*c - d*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), -((17*sqrt(c + d*x^3))/(6048*c^3*x^7)) + (391*d*sqrt(c + d*x^3))/(193536*c^4*x^4) - (289*d^2*sqrt(c + d*x^3))/(48384*c^5*x) + (289*d^(7//3)*sqrt(c + d*x^3))/(48384*c^5*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + sqrt(c + d*x^3)/(216*c^2*x^7*(8*c - d*x^3)) - (17*d^(7//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(110592*sqrt(3)*c^(29//6)) + (17*d^(7//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(331776*c^(29//6)) - (17*d^(7//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(331776*c^(29//6)) - (289*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(32256*3^(3//4)*c^(14//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (289*d^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(24192*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(14//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 17),
+
+(x^6/((8*c - d*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), (x^7*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(7//3, 2, 1//2, 10//3, (d*x^3)/(8*c), -((d*x^3)/c)))/(448*c^2*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(x^3/((8*c - d*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), (x^4*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 2, 1//2, 7//3, (d*x^3)/(8*c), -((d*x^3)/c)))/(256*c^2*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(x^0/((8*c - d*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), (x*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 2, 1//2, 4//3, (d*x^3)/(8*c), -((d*x^3)/c)))/(64*c^2*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(1/(x^3*(8*c - d*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), -((sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), 2, 1//2, 1//3, (d*x^3)/(8*c), -((d*x^3)/c)))/(128*c^2*x^2*sqrt(c + d*x^3))), x, 2),
+(1/(x^6*(8*c - d*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), -((sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(5//3), 2, 1//2, -(2//3), (d*x^3)/(8*c), -((d*x^3)/c)))/(320*c^2*x^5*sqrt(c + d*x^3))), x, 2),
+
+
+(x^11/((8*c - d*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), (8*x^6)/(27*d^2*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) + (2*(38*c + 39*d*x^3))/(81*d^4*sqrt(c + d*x^3)) - (640*sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(243*d^4), x, 5),
+(x^8/((8*c - d*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), -22/(81*d^3*sqrt(c + d*x^3)) + (64*c)/(27*d^3*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) - (32*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(243*sqrt(c)*d^3), x, 5),
+(x^5/((8*c - d*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), -2/(81*c*d^2*sqrt(c + d*x^3)) + 8/(27*d^2*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) + (2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(243*c^(3//2)*d^2), x, 5),
+(x^2/((8*c - d*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), -1/(81*c^2*d*sqrt(c + d*x^3)) + 1/(27*c*d*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) + atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c)))/(243*c^(5//2)*d), x, 5),
+(1/(x^1*(8*c - d*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), 5/(648*c^3*sqrt(c + d*x^3)) + 1/(216*c^2*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) + (7*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(7776*c^(7//2)) - atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c))/(96*c^(7//2)), x, 8),
+(1/(x^4*(8*c - d*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), (-35*d)/(2592*c^4*sqrt(c + d*x^3)) + (5*d)/(864*c^3*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) - 1/(24*c^2*x^3*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) + (5*d*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(31104*c^(9//2)) + (5*d*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(384*c^(9//2)), x, 9),
+(1/(x^7*(8*c - d*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), (665*d^2)/(41472*c^5*sqrt(c + d*x^3)) - (71*d^2)/(13824*c^4*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) - 1/(48*c^2*x^6*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) + (17*d)/(384*c^3*x^3*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) + (13*d^2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(497664*c^(11//2)) - (33*d^2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(2048*c^(11//2)), x, 10),
+
+(x^7/((8*c - d*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), -((2*x^2)/(81*c*d^2*sqrt(c + d*x^3))) + (8*x^2)/(27*d^2*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) + (2*sqrt(c + d*x^3))/(81*c*d^(8//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) + (4*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(81*sqrt(3)*c^(5//6)*d^(8//3)) - (4*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(243*c^(5//6)*d^(8//3)) + (4*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(243*c^(5//6)*d^(8//3)) - (sqrt(2 - sqrt(3))*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(3//4)*c^(2//3)*d^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (2*sqrt(2)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(81*3^(1//4)*c^(2//3)*d^(8//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 15),
+(x^4/((8*c - d*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), -(x^2/(81*c^2*d*sqrt(c + d*x^3))) + x^2/(27*c*d*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) + sqrt(c + d*x^3)/(81*c^2*d^(5//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3))/(81*sqrt(3)*c^(11//6)*d^(5//3)) + atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3)))/(243*c^(11//6)*d^(5//3)) - atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c)))/(243*c^(11//6)*d^(5//3)) - (sqrt(2 - sqrt(3))*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(54*3^(3//4)*c^(5//3)*d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (sqrt(2)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(81*3^(1//4)*c^(5//3)*d^(5//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 15),
+(x^1/((8*c - d*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), (5*x^2)/(648*c^3*sqrt(c + d*x^3)) + x^2/(216*c^2*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) - (5*sqrt(c + d*x^3))/(648*c^3*d^(2//3)*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (5*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(1296*sqrt(3)*c^(17//6)*d^(2//3)) + (5*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(3888*c^(17//6)*d^(2//3)) - (5*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(3888*c^(17//6)*d^(2//3)) + (5*sqrt(2 - sqrt(3))*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(432*3^(3//4)*c^(8//3)*d^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (5*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(324*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(8//3)*d^(2//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 15),
+(1/(x^2*(8*c - d*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), 5/(648*c^3*x*sqrt(c + d*x^3)) + 1/(216*c^2*x*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) - (31*sqrt(c + d*x^3))/(1296*c^4*x) + (31*d^(1//3)*sqrt(c + d*x^3))/(1296*c^4*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (d^(1//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(1296*sqrt(3)*c^(23//6)) + (d^(1//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(3888*c^(23//6)) - (d^(1//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(3888*c^(23//6)) - (31*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(864*3^(3//4)*c^(11//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (31*d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(648*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(11//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 16),
+(1/(x^5*(8*c - d*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), 5/(648*c^3*x^4*sqrt(c + d*x^3)) + 1/(216*c^2*x^4*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) - (253*sqrt(c + d*x^3))/(20736*c^4*x^4) + (77*d*sqrt(c + d*x^3))/(2592*c^5*x) - (77*d^(4//3)*sqrt(c + d*x^3))/(2592*c^5*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (11*d^(4//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(82944*sqrt(3)*c^(29//6)) + (11*d^(4//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(248832*c^(29//6)) - (11*d^(4//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(248832*c^(29//6)) + (77*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1728*3^(3//4)*c^(14//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (77*d^(4//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1296*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(14//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 17),
+(1/(x^8*(8*c - d*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), 5/(648*c^3*x^7*sqrt(c + d*x^3)) + 1/(216*c^2*x^7*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) - (191*sqrt(c + d*x^3))/(18144*c^4*x^7) + (8257*d*sqrt(c + d*x^3))/(580608*c^5*x^4) - (5179*d^2*sqrt(c + d*x^3))/(145152*c^6*x) + (5179*d^(7//3)*sqrt(c + d*x^3))/(145152*c^6*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (7*d^(7//3)*atan((sqrt(3)*c^(1//6)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/sqrt(c + d*x^3)))/(331776*sqrt(3)*c^(35//6)) + (7*d^(7//3)*atanh((c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/(3*c^(1//6)*sqrt(c + d*x^3))))/(995328*c^(35//6)) - (7*d^(7//3)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/(3*sqrt(c))))/(995328*c^(35//6)) - (5179*sqrt(2 - sqrt(3))*d^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(96768*3^(3//4)*c^(17//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (5179*d^(7//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(72576*sqrt(2)*3^(1//4)*c^(17//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 18),
+
+(x^6/((8*c - d*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), (2*x*(4*c + d*x^3))/(81*c*d^2*(8*c - d*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) - (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(81*3^(1//4)*c*d^(7//3)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, -2),
+(x^3/((8*c - d*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), (x^4*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 2, 3//2, 7//3, (d*x^3)/(8*c), -((d*x^3)/c)))/(256*c^3*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(x^0/((8*c - d*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), (x*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 2, 3//2, 4//3, (d*x^3)/(8*c), -((d*x^3)/c)))/(64*c^3*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(1/(x^3*(8*c - d*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), -((sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), 2, 3//2, 1//3, (d*x^3)/(8*c), -((d*x^3)/c)))/(128*c^3*x^2*sqrt(c + d*x^3))), x, 2),
+(1/(x^6*(8*c - d*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), -((sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(5//3), 2, 3//2, -(2//3), (d*x^3)/(8*c), -((d*x^3)/c)))/(320*c^3*x^5*sqrt(c + d*x^3))), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
+
+
+((x^8*sqrt(c + d*x^3))/(a + b*x^3)^2, -(a*(4*b*c - 5*a*d)*sqrt(c + d*x^3))/(3*b^3*(b*c - a*d)) + (2*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*b^2*d) - (a^2*(c + d*x^3)^(3//2))/(3*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)) + (a*(4*b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(7//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 6),
+((x^5*sqrt(c + d*x^3))/(a + b*x^3)^2, ((2*b*c - 3*a*d)*sqrt(c + d*x^3))/(3*b^2*(b*c - a*d)) + (a*(c + d*x^3)^(3//2))/(3*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)) - ((2*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(5//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 5),
+((x^2*sqrt(c + d*x^3))/(a + b*x^3)^2, -sqrt(c + d*x^3)/(3*b*(a + b*x^3)) - (d*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(3//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 4),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^1*(a + b*x^3)^2), sqrt(c + d*x^3)/(3*a*(a + b*x^3)) - (2*sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(3*a^2) + ((2*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*a^2*sqrt(b)*sqrt(b*c - a*d)), x, 7),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^4*(a + b*x^3)^2), (-2*b*sqrt(c + d*x^3))/(3*a^2*(a + b*x^3)) - sqrt(c + d*x^3)/(3*a*x^3*(a + b*x^3)) + ((4*b*c - a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(3*a^3*sqrt(c)) - (sqrt(b)*(4*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*a^3*sqrt(b*c - a*d)), x, 8),
+
+((x^3*sqrt(c + d*x^3))/(a + b*x^3)^2, (x^4*sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 2, -1//2, 7//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(4*a^2*sqrt(1 + (d*x^3)/c)), x, 2),
+((x^1*sqrt(c + d*x^3))/(a + b*x^3)^2, (x^2*sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 2, -1//2, 5//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*a^2*sqrt(1 + (d*x^3)/c)), x, 2),
+(x^0*sqrt(c + d*x^3)/(a + b*x^3)^2, (x*sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 2, -(1//2), 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a^2*sqrt(1 + (d*x^3)/c)), x, 2),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^2*(a + b*x^3)^2), -((sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-1//3, 2, -1//2, 2//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a^2*x*sqrt(1 + (d*x^3)/c))), x, 2),
+(sqrt(c + d*x^3)/(x^3*(a + b*x^3)^2), -(sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-2//3, 2, -1//2, 1//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*a^2*x^2*sqrt(1 + (d*x^3)/c)), x, 2),
+
+
+((x^8*(c + d*x^3)^(3//2))/(a + b*x^3)^2, -(a*(4*b*c - 7*a*d)*sqrt(c + d*x^3))/(3*b^4) - (a*(4*b*c - 7*a*d)*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*b^3*(b*c - a*d)) + (2*(c + d*x^3)^(5//2))/(15*b^2*d) - (a^2*(c + d*x^3)^(5//2))/(3*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)) + (a*(4*b*c - 7*a*d)*sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(9//2)), x, 7),
+((x^5*(c + d*x^3)^(3//2))/(a + b*x^3)^2, ((2*b*c - 5*a*d)*sqrt(c + d*x^3))/(3*b^3) + ((2*b*c - 5*a*d)*(c + d*x^3)^(3//2))/(9*b^2*(b*c - a*d)) + (a*(c + d*x^3)^(5//2))/(3*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)) - ((2*b*c - 5*a*d)*sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(7//2)), x, 6),
+((x^2*(c + d*x^3)^(3//2))/(a + b*x^3)^2, (d*sqrt(c + d*x^3))/b^2 - (c + d*x^3)^(3//2)/(3*b*(a + b*x^3)) - (d*sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/b^(5//2), x, 5),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^1*(a + b*x^3)^2), ((b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^3))/(3*a*b*(a + b*x^3)) - (2*c^(3//2)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(3*a^2) + (sqrt(b*c - a*d)*(2*b*c + a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*a^2*b^(3//2)), x, 7),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^4*(a + b*x^3)^2), -((2*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^3))/(3*a^2*(a + b*x^3)) - (c*sqrt(c + d*x^3))/(3*a*x^3*(a + b*x^3)) + (sqrt(c)*(4*b*c - 3*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(3*a^3) - (sqrt(b*c - a*d)*(4*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*a^3*sqrt(b)), x, 8),
+
+((x^3*(c + d*x^3)^(3//2))/(a + b*x^3)^2, (c*x^4*sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 2, -3//2, 7//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(4*a^2*sqrt(1 + (d*x^3)/c)), x, 2),
+((x^1*(c + d*x^3)^(3//2))/(a + b*x^3)^2, (c*x^2*sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 2, -3//2, 5//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*a^2*sqrt(1 + (d*x^3)/c)), x, 2),
+(x^0*(c + d*x^3)^(3//2)/(a + b*x^3)^2, (c*x*sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 2, -(3//2), 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a^2*sqrt(1 + (d*x^3)/c)), x, 2),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^2*(a + b*x^3)^2), -((c*sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-1//3, 2, -3//2, 2//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a^2*x*sqrt(1 + (d*x^3)/c))), x, 2),
+((c + d*x^3)^(3//2)/(x^3*(a + b*x^3)^2), -(c*sqrt(c + d*x^3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-2//3, 2, -3//2, 1//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*a^2*x^2*sqrt(1 + (d*x^3)/c)), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+(x^8/((a + b*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), (2*sqrt(c + d*x^3))/(3*b^2*d) - (a^2*sqrt(c + d*x^3))/(3*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)) + (a*(4*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(5//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 5),
+(x^5/((a + b*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), (a*sqrt(c + d*x^3))/(3*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)) - ((2*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(3//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+(x^2/((a + b*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), -sqrt(c + d*x^3)/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)) + (d*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*sqrt(b)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^1*(a + b*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), (b*sqrt(c + d*x^3))/(3*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)) - (2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(3*a^2*sqrt(c)) + (sqrt(b)*(2*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*a^2*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 7),
+(1/(x^4*(a + b*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), -(b*(2*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^3))/(3*a^2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)) - sqrt(c + d*x^3)/(3*a*c*x^3*(a + b*x^3)) + ((4*b*c + a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(3*a^3*c^(3//2)) - (b^(3//2)*(4*b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*a^3*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 8),
+
+(x^3/((a + b*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), (x^4*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 2, 1//2, 7//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(4*a^2*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(x^1/((a + b*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), (x^2*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 2, 1//2, 5//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*a^2*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(x^0/((a + b*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), (x*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 2, 1//2, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a^2*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), -((sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-1//3, 2, 1//2, 2//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a^2*x*sqrt(c + d*x^3))), x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x^3)^2*sqrt(c + d*x^3)), -(sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-2//3, 2, 1//2, 1//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*a^2*x^2*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+
+
+(x^8/((a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), -(2*b^2*c^2 + a^2*d^2)/(3*b^2*d*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^3)) - a^2/(3*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) + (a*(4*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(3//2)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 5),
+(x^5/((a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), (2*b*c + a*d)/(3*b*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^3)) + a/(3*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) - ((2*b*c + a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*sqrt(b)*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 5),
+(x^2/((a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), -(d/((b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^3))) - 1/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) + (sqrt(b)*d*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(b*c - a*d)^(5//2), x, 5),
+(1/(x^1*(a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), (d*(b*c + 2*a*d))/(3*a*c*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^3)) + b/(3*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) - (2*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(3*a^2*c^(3//2)) + (b^(3//2)*(2*b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*a^2*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 8),
+(1/(x^4*(a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), -(d*(2*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2))/(3*a^2*c^2*(b*c - a*d)^2*sqrt(c + d*x^3)) - (b*(2*b*c - a*d))/(3*a^2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) - 1/(3*a*c*x^3*(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)) + ((4*b*c + 3*a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^3)/sqrt(c)))/(3*a^3*c^(5//2)) - (b^(5//2)*(4*b*c - 7*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*a^3*(b*c - a*d)^(5//2)), x, 9),
+
+(x^3/((a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), (x^4*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 2, 3//2, 7//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(4*a^2*c*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(x^1/((a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), (x^2*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 2, 3//2, 5//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*a^2*c*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(x^0/((a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), (x*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 2, 3//2, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a^2*c*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), -((sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-1//3, 2, 3//2, 2//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a^2*c*x*sqrt(c + d*x^3))), x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x^3)^2*(c + d*x^3)^(3//2)), -(sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-2//3, 2, 3//2, 1//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*a^2*c*x^2*sqrt(c + d*x^3)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^3)^(p/2) (c+d x^3)^q with m symbolic
+
+
+((e*x)^m*(a + b*x^3)^(5//2)*(A + B*x^3), (2*B*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^3)^(7//2))/(b*e*(23 + 2*m)) - (a^2*(2*a*B*(1 + m) - A*b*(23 + 2*m))*(e*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x^3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(5//2), (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/(b*e*(1 + m)*(23 + 2*m)*sqrt(1 + (b*x^3)/a)), x, 3),
+((e*x)^m*(a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3), (2*B*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^3)^(5//2))/(b*e*(17 + 2*m)) - (a*(2*a*B*(1 + m) - A*b*(17 + 2*m))*(e*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x^3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/(b*e*(1 + m)*(17 + 2*m)*sqrt(1 + (b*x^3)/a)), x, 3),
+((e*x)^m*(a + b*x^3)^(1//2)*(A + B*x^3), (2*B*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^3)^(3//2))/(b*e*(11 + 2*m)) - ((2*a*B*(1 + m) - A*b*(11 + 2*m))*(e*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x^3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/(b*e*(1 + m)*(11 + 2*m)*sqrt(1 + (b*x^3)/a)), x, 3),
+(((e*x)^m*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(1//2), (2*B*(e*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x^3))/(b*e*(5 + 2*m)) - ((2*a*B*(1 + m) - A*b*(5 + 2*m))*(e*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (b*x^3)/a)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/(b*e*(1 + m)*(5 + 2*m)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+(((e*x)^m*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(3//2), (2*(A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m))/(3*a*b*e*sqrt(a + b*x^3)) + ((2*a*B*(1 + m) + A*(b - 2*b*m))*(e*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (b*x^3)/a)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/(3*a*b*e*(1 + m)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+(((e*x)^m*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(5//2), (2*(A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m))/(9*a*b*e*(a + b*x^3)^(3//2)) + ((A*b*(7 - 2*m) + 2*a*B*(1 + m))*(e*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (b*x^3)/a)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/(9*a^2*b*e*(1 + m)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^3)^(p/2) (c+d x^3)^(q/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^3)^(p/2) (c+d x^3)^(q/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5/(sqrt(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (sqrt(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3))/(3*b*d) - ((b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^3))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))))/(3*b^(3//2)*d^(3//2)), x, 5),
+(x^2/(sqrt(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^3))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^3))))/(3*sqrt(b)*sqrt(d)), x, 4),
+(1/(x^1*sqrt(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -((2*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^3))))/(3*sqrt(a)*sqrt(c))), x, 3),
+(1/(x^4*sqrt(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -((sqrt(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3))/(3*a*c*x^3)) + ((b*c + a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^3))))/(3*a^(3//2)*c^(3//2)), x, 4),
+
+(x^4/(sqrt(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (x^5*sqrt(1 + (b*x^3)/a)*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(5//3, 1//2, 1//2, 8//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(5*sqrt(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), x, 3),
+(x^3/(sqrt(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (x^4*sqrt(1 + (b*x^3)/a)*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 1//2, 1//2, 7//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(4*sqrt(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), x, 3),
+(x^1/(sqrt(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (x^2*sqrt(1 + (b*x^3)/a)*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 1//2, 1//2, 5//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*sqrt(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), x, 3),
+(x^0/(sqrt(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), (x*sqrt(1 + (b*x^3)/a)*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 1//2, 1//2, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(sqrt(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -((sqrt(1 + (b*x^3)/a)*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//3), 1//2, 1//2, 2//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(x*sqrt(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3))), x, 3),
+(1/(x^3*sqrt(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3)), -((sqrt(1 + (b*x^3)/a)*sqrt(1 + (d*x^3)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), 1//2, 1//2, 1//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*x^2*sqrt(a + b*x^3)*sqrt(c + d*x^3))), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b x^3)^(p/2) (c+d x^3)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^3)^(p/2) (c+d x^3)^1
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((e*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3), (a*(2*A*b - a*B)*e^2*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))/(24*b^2) + ((2*A*b - a*B)*(e*x)^(9//2)*sqrt(a + b*x^3))/(12*b*e) + (B*(e*x)^(9//2)*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b*e) - (a^2*(2*A*b - a*B)*e^(7//2)*atanh((sqrt(b)*(e*x)^(3//2))/(e^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))))/(24*b^(5//2)), x, 7),
+((e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3), (3*a*(16*A*b - 7*a*B)*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(320*b^2) + ((16*A*b - 7*a*B)*(e*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x^3))/(80*b*e) + (B*(e*x)^(7//2)*(a + b*x^3)^(3//2))/(8*b*e) - (3^(3//4)*a^(5//3)*(16*A*b - 7*a*B)*e^2*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(640*b^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3), ((14*A*b - 5*a*B)*(e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^3))/(56*b*e) + (3*(1 + sqrt(3))*a*(14*A*b - 5*a*B)*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(112*b^(5//3)*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)) + (B*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^3)^(3//2))/(7*b*e) - (3*3^(1//4)*a^(4//3)*(14*A*b - 5*a*B)*e*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(112*b^(5//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (3^(3//4)*(1 - sqrt(3))*a^(4//3)*(14*A*b - 5*a*B)*e*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(224*b^(5//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+(sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3), ((4*A*b - a*B)*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))/(12*b*e) + (B*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^3)^(3//2))/(6*b*e) + (a*(4*A*b - a*B)*sqrt(e)*atanh((sqrt(b)*(e*x)^(3//2))/(e^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))))/(12*b^(3//2)), x, 6),
+((sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3))/sqrt(e*x), ((10*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(20*b*e) + (B*sqrt(e*x)*(a + b*x^3)^(3//2))/(5*b*e) + (3^(3//4)*a^(2//3)*(10*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(40*b*e*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+((sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3))/(e*x)^(3//2), ((8*A*b + a*B)*(e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^3))/(4*a*e^4) + (3*(1 + sqrt(3))*(8*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(8*b^(2//3)*e^2*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)) - (2*A*(a + b*x^3)^(3//2))/(a*e*sqrt(e*x)) - (3*3^(1//4)*a^(1//3)*(8*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(8*b^(2//3)*e^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (3^(3//4)*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*(8*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(16*b^(2//3)*e^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+((sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3))/(e*x)^(5//2), ((2*A*b + a*B)*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))/(3*a*e^4) - (2*A*(a + b*x^3)^(3//2))/(3*a*e*(e*x)^(3//2)) + ((2*A*b + a*B)*atanh((sqrt(b)*(e*x)^(3//2))/(e^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))))/(3*sqrt(b)*e^(5//2)), x, 6),
+((sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3))/(e*x)^(7//2), ((4*A*b + 5*a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(10*a*e^4) - (2*A*(a + b*x^3)^(3//2))/(5*a*e*(e*x)^(5//2)) + (3^(3//4)*(4*A*b + 5*a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(20*a^(1//3)*e^4*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+((sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^(9//2), -((2*(2*A*b + 7*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(7*a*sqrt(x))) + (3*(1 + sqrt(3))*b^(1//3)*(2*A*b + 7*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x^3))/(7*a*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)) - (2*A*(a + b*x^3)^(3//2))/(7*a*x^(7//2)) - (3*3^(1//4)*b^(1//3)*(2*A*b + 7*a*B)*sqrt(x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(7*a^(2//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (3^(3//4)*(1 - sqrt(3))*b^(1//3)*(2*A*b + 7*a*B)*sqrt(x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(14*a^(2//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+((sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^(11//2), (-2*B*sqrt(a + b*x^3))/(3*x^(3//2)) - (2*A*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*a*x^(9//2)) + (2*sqrt(b)*B*atanh((sqrt(b)*x^(3//2))/sqrt(a + b*x^3)))/3, x, 6),
+((sqrt(a + b*x^3)*(A + B*x^3))/x^(13//2), (2*(2*A*b - 11*a*B)*sqrt(a + b*x^3))/(55*a*x^(5//2)) - (2*A*(a + b*x^3)^(3//2))/(11*a*x^(11//2)) - (3^(3//4)*b*(2*A*b - 11*a*B)*sqrt(x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(55*a^(4//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+
+
+((e*x)^(7//2)*(a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3), (a^2*(8*A*b - 3*a*B)*e^2*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))/(192*b^2) + (a*(8*A*b - 3*a*B)*(e*x)^(9//2)*sqrt(a + b*x^3))/(96*b*e) + ((8*A*b - 3*a*B)*(e*x)^(9//2)*(a + b*x^3)^(3//2))/(72*b*e) + (B*(e*x)^(9//2)*(a + b*x^3)^(5//2))/(12*b*e) - (a^3*(8*A*b - 3*a*B)*e^(7//2)*atanh((sqrt(b)*(e*x)^(3//2))/(e^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))))/(192*b^(5//2)), x, 8),
+((e*x)^(5//2)*(a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3), (27*a^2*(22*A*b - 7*a*B)*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(7040*b^2) + (9*a*(22*A*b - 7*a*B)*(e*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x^3))/(1760*b*e) + ((22*A*b - 7*a*B)*(e*x)^(7//2)*(a + b*x^3)^(3//2))/(176*b*e) + (B*(e*x)^(7//2)*(a + b*x^3)^(5//2))/(11*b*e) - (9*3^(3//4)*a^(8//3)*(22*A*b - 7*a*B)*e^2*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(14080*b^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+((e*x)^(3//2)*(a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3), (9*a*(4*A*b - a*B)*(e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^3))/(224*b*e) + (27*(1 + sqrt(3))*a^2*(4*A*b - a*B)*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(448*b^(5//3)*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)) + ((4*A*b - a*B)*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^3)^(3//2))/(28*b*e) + (B*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^3)^(5//2))/(10*b*e) - (27*3^(1//4)*a^(7//3)*(4*A*b - a*B)*e*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(448*b^(5//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (9*3^(3//4)*(1 - sqrt(3))*a^(7//3)*(4*A*b - a*B)*e*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(896*b^(5//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 7),
+(sqrt(e*x)*(a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3), (a*(6*A*b - a*B)*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))/(24*b*e) + ((6*A*b - a*B)*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^3)^(3//2))/(36*b*e) + (B*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^3)^(5//2))/(9*b*e) + (a^2*(6*A*b - a*B)*sqrt(e)*atanh((sqrt(b)*(e*x)^(3//2))/(e^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))))/(24*b^(3//2)), x, 7),
+(((a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3))/sqrt(e*x), (9*a*(16*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(320*b*e) + ((16*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*(a + b*x^3)^(3//2))/(80*b*e) + (B*sqrt(e*x)*(a + b*x^3)^(5//2))/(8*b*e) + (9*3^(3//4)*a^(5//3)*(16*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(640*b*e*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+(((a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3))/(e*x)^(3//2), (9*(14*A*b + a*B)*(e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^3))/(56*e^4) + (27*(1 + sqrt(3))*a*(14*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(112*b^(2//3)*e^2*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)) + ((14*A*b + a*B)*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^3)^(3//2))/(7*a*e^4) - (2*A*(a + b*x^3)^(5//2))/(a*e*sqrt(e*x)) - (27*3^(1//4)*a^(4//3)*(14*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(112*b^(2//3)*e^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (9*3^(3//4)*(1 - sqrt(3))*a^(4//3)*(14*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(224*b^(2//3)*e^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 7),
+(((a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3))/(e*x)^(5//2), ((4*A*b + a*B)*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))/(4*e^4) + ((4*A*b + a*B)*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^3)^(3//2))/(6*a*e^4) - (2*A*(a + b*x^3)^(5//2))/(3*a*e*(e*x)^(3//2)) + (a*(4*A*b + a*B)*atanh((sqrt(b)*(e*x)^(3//2))/(e^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))))/(4*sqrt(b)*e^(5//2)), x, 7),
+(((a + b*x^3)^(3//2)*(A + B*x^3))/(e*x)^(7//2), (9*(2*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(20*e^4) + ((2*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*(a + b*x^3)^(3//2))/(5*a*e^4) - (2*A*(a + b*x^3)^(5//2))/(5*a*e*(e*x)^(5//2)) + (9*3^(3//4)*a^(2//3)*(2*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(40*e^4*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+
+
+((e*x)^(7//2)*(a + b*x^3)^(5//2)*(A + B*x^3), (a^3*(10*A*b - 3*a*B)*e^2*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))/(384*b^2) + (a^2*(10*A*b - 3*a*B)*(e*x)^(9//2)*sqrt(a + b*x^3))/(192*b*e) + (a*(10*A*b - 3*a*B)*(e*x)^(9//2)*(a + b*x^3)^(3//2))/(144*b*e) + ((10*A*b - 3*a*B)*(e*x)^(9//2)*(a + b*x^3)^(5//2))/(120*b*e) + (B*(e*x)^(9//2)*(a + b*x^3)^(7//2))/(15*b*e) - (a^4*(10*A*b - 3*a*B)*e^(7//2)*atanh((sqrt(b)*(e*x)^(3//2))/(e^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))))/(384*b^(5//2)), x, 9),
+((e*x)^(5//2)*(a + b*x^3)^(5//2)*(A + B*x^3), (81*a^3*(4*A*b - a*B)*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(5632*b^2) + (27*a^2*(4*A*b - a*B)*(e*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x^3))/(1408*b*e) + (15*a*(4*A*b - a*B)*(e*x)^(7//2)*(a + b*x^3)^(3//2))/(704*b*e) + ((4*A*b - a*B)*(e*x)^(7//2)*(a + b*x^3)^(5//2))/(44*b*e) + (B*(e*x)^(7//2)*(a + b*x^3)^(7//2))/(14*b*e) - (27*3^(3//4)*a^(11//3)*(4*A*b - a*B)*e^2*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(11264*b^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 7),
+((e*x)^(3//2)*(a + b*x^3)^(5//2)*(A + B*x^3), (27*a^2*(26*A*b - 5*a*B)*(e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^3))/(5824*b*e) + (81*(1 + sqrt(3))*a^3*(26*A*b - 5*a*B)*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(11648*b^(5//3)*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)) + (3*a*(26*A*b - 5*a*B)*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^3)^(3//2))/(728*b*e) + ((26*A*b - 5*a*B)*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^3)^(5//2))/(260*b*e) + (B*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^3)^(7//2))/(13*b*e) - (81*3^(1//4)*a^(10//3)*(26*A*b - 5*a*B)*e*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(11648*b^(5//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (27*3^(3//4)*(1 - sqrt(3))*a^(10//3)*(26*A*b - 5*a*B)*e*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(23296*b^(5//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 8),
+(sqrt(e*x)*(a + b*x^3)^(5//2)*(A + B*x^3), (5*a^2*(8*A*b - a*B)*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))/(192*b*e) + (5*a*(8*A*b - a*B)*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^3)^(3//2))/(288*b*e) + ((8*A*b - a*B)*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^3)^(5//2))/(72*b*e) + (B*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^3)^(7//2))/(12*b*e) + (5*a^3*(8*A*b - a*B)*sqrt(e)*atanh((sqrt(b)*(e*x)^(3//2))/(e^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))))/(192*b^(3//2)), x, 8),
+(((a + b*x^3)^(5//2)*(A + B*x^3))/sqrt(e*x), (27*a^2*(22*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(1408*b*e) + (3*a*(22*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*(a + b*x^3)^(3//2))/(352*b*e) + ((22*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*(a + b*x^3)^(5//2))/(176*b*e) + (B*sqrt(e*x)*(a + b*x^3)^(7//2))/(11*b*e) + (27*3^(3//4)*a^(8//3)*(22*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(2816*b*e*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+(((a + b*x^3)^(5//2)*(A + B*x^3))/(e*x)^(3//2), (27*a*(20*A*b + a*B)*(e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^3))/(224*e^4) + (81*(1 + sqrt(3))*a^2*(20*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(448*b^(2//3)*e^2*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)) + (3*(20*A*b + a*B)*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^3)^(3//2))/(28*e^4) + ((20*A*b + a*B)*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^3)^(5//2))/(10*a*e^4) - (2*A*(a + b*x^3)^(7//2))/(a*e*sqrt(e*x)) - (81*3^(1//4)*a^(7//3)*(20*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(448*b^(2//3)*e^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (27*3^(3//4)*(1 - sqrt(3))*a^(7//3)*(20*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(896*b^(2//3)*e^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 8),
+(((a + b*x^3)^(5//2)*(A + B*x^3))/(e*x)^(5//2), (5*a*(6*A*b + a*B)*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))/(24*e^4) + (5*(6*A*b + a*B)*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^3)^(3//2))/(36*e^4) + ((6*A*b + a*B)*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^3)^(5//2))/(9*a*e^4) - (2*A*(a + b*x^3)^(7//2))/(3*a*e*(e*x)^(3//2)) + (5*a^2*(6*A*b + a*B)*atanh((sqrt(b)*(e*x)^(3//2))/(e^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))))/(24*sqrt(b)*e^(5//2)), x, 8),
+(((a + b*x^3)^(5//2)*(A + B*x^3))/(e*x)^(7//2), (27*a*(16*A*b + 5*a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(320*e^4) + (3*(16*A*b + 5*a*B)*sqrt(e*x)*(a + b*x^3)^(3//2))/(80*e^4) + ((16*A*b + 5*a*B)*sqrt(e*x)*(a + b*x^3)^(5//2))/(40*a*e^4) - (2*A*(a + b*x^3)^(7//2))/(5*a*e*(e*x)^(5//2)) + (27*3^(3//4)*a^(5//3)*(16*A*b + 5*a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(640*e^4*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(((e*x)^(7//2)*(A + B*x^3))/sqrt(a + b*x^3), ((4*A*b - 3*a*B)*e^2*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))/(12*b^2) + (B*(e*x)^(9//2)*sqrt(a + b*x^3))/(6*b*e) - (a*(4*A*b - 3*a*B)*e^(7//2)*atanh((sqrt(b)*(e*x)^(3//2))/(e^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))))/(12*b^(5//2)), x, 6),
+(((e*x)^(5//2)*(A + B*x^3))/sqrt(a + b*x^3), ((10*A*b - 7*a*B)*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(20*b^2) + (B*(e*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x^3))/(5*b*e) - (a^(2//3)*(10*A*b - 7*a*B)*e^2*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(40*3^(1//4)*b^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(((e*x)^(3//2)*(A + B*x^3))/sqrt(a + b*x^3), (B*(e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^3))/(4*b*e) + ((1 + sqrt(3))*(8*A*b - 5*a*B)*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(8*b^(5//3)*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)) - (3^(1//4)*a^(1//3)*(8*A*b - 5*a*B)*e*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(8*b^(5//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - ((1 - sqrt(3))*a^(1//3)*(8*A*b - 5*a*B)*e*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(16*3^(1//4)*b^(5//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((sqrt(e*x)*(A + B*x^3))/sqrt(a + b*x^3), (B*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))/(3*b*e) + ((2*A*b - a*B)*sqrt(e)*atanh((sqrt(b)*(e*x)^(3//2))/(e^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))))/(3*b^(3//2)), x, 5),
+((A + B*x^3)/(sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3)), (B*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(2*b*e) + ((4*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(4*3^(1//4)*a^(1//3)*b*e*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+((A + B*x^3)/((e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^3)), -((2*A*sqrt(a + b*x^3))/(a*e*sqrt(e*x))) + ((1 + sqrt(3))*(2*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(a*b^(2//3)*e^2*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)) - (3^(1//4)*(2*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(a^(2//3)*b^(2//3)*e^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - ((1 - sqrt(3))*(2*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(2*3^(1//4)*a^(2//3)*b^(2//3)*e^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((A + B*x^3)/((e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^3)), (-2*A*sqrt(a + b*x^3))/(3*a*e*(e*x)^(3//2)) + (2*B*atanh((sqrt(b)*(e*x)^(3//2))/(e^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))))/(3*sqrt(b)*e^(5//2)), x, 5),
+((A + B*x^3)/((e*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x^3)), -((2*A*sqrt(a + b*x^3))/(5*a*e*(e*x)^(5//2))) - ((2*A*b - 5*a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(5*3^(1//4)*a^(4//3)*e^4*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+
+
+(((e*x)^(7//2)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(3//2), -(((2*A*b - 3*a*B)*e^2*(e*x)^(3//2))/(3*b^2*sqrt(a + b*x^3))) + (B*(e*x)^(9//2))/(3*b*e*sqrt(a + b*x^3)) + ((2*A*b - 3*a*B)*e^(7//2)*atanh((sqrt(b)*(e*x)^(3//2))/(e^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))))/(3*b^(5//2)), x, 6),
+(((e*x)^(5//2)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(3//2), -(((4*A*b - 7*a*B)*e^2*sqrt(e*x))/(6*b^2*sqrt(a + b*x^3))) + (B*(e*x)^(7//2))/(2*b*e*sqrt(a + b*x^3)) + ((4*A*b - 7*a*B)*e^2*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(12*3^(1//4)*a^(1//3)*b^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(((e*x)^(3//2)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(3//2), (2*(A*b - a*B)*(e*x)^(5//2))/(3*a*b*e*sqrt(a + b*x^3)) - ((1 + sqrt(3))*(2*A*b - 5*a*B)*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(3*a*b^(5//3)*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)) + ((2*A*b - 5*a*B)*e*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(3^(3//4)*a^(2//3)*b^(5//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + ((1 - sqrt(3))*(2*A*b - 5*a*B)*e*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(6*3^(1//4)*a^(2//3)*b^(5//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((sqrt(e*x)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(3//2), (2*(A*b - a*B)*(e*x)^(3//2))/(3*a*b*e*sqrt(a + b*x^3)) + (2*B*sqrt(e)*atanh((sqrt(b)*(e*x)^(3//2))/(e^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))))/(3*b^(3//2)), x, 5),
+((A + B*x^3)/(sqrt(e*x)*(a + b*x^3)^(3//2)), (2*(A*b - a*B)*sqrt(e*x))/(3*a*b*e*sqrt(a + b*x^3)) + ((2*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(3*3^(1//4)*a^(4//3)*b*e*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+((A + B*x^3)/((e*x)^(3//2)*(a + b*x^3)^(3//2)), -((2*A)/(a*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))) - (2*(4*A*b - a*B)*(e*x)^(5//2))/(3*a^2*e^4*sqrt(a + b*x^3)) + (2*(1 + sqrt(3))*(4*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(3*a^2*b^(2//3)*e^2*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)) - (2*(4*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(3^(3//4)*a^(5//3)*b^(2//3)*e^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - ((1 - sqrt(3))*(4*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(3*3^(1//4)*a^(5//3)*b^(2//3)*e^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+((A + B*x^3)/((e*x)^(5//2)*(a + b*x^3)^(3//2)), (-2*A)/(3*a*e*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^3)) - (2*(2*A*b - a*B)*(e*x)^(3//2))/(3*a^2*e^4*sqrt(a + b*x^3)), x, 2),
+((A + B*x^3)/((e*x)^(7//2)*(a + b*x^3)^(3//2)), -((2*A)/(5*a*e*(e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^3))) - (2*(8*A*b - 5*a*B)*sqrt(e*x))/(15*a^2*e^4*sqrt(a + b*x^3)) - (2*(8*A*b - 5*a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(15*3^(1//4)*a^(7//3)*e^4*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+
+
+(((e*x)^(7//2)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(5//2), (2*(A*b - a*B)*(e*x)^(9//2))/(9*a*b*e*(a + b*x^3)^(3//2)) - (2*B*e^2*(e*x)^(3//2))/(3*b^2*sqrt(a + b*x^3)) + (2*B*e^(7//2)*atanh((sqrt(b)*(e*x)^(3//2))/(e^(3//2)*sqrt(a + b*x^3))))/(3*b^(5//2)), x, 6),
+(((e*x)^(5//2)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(5//2), (2*(A*b - a*B)*(e*x)^(7//2))/(9*a*b*e*(a + b*x^3)^(3//2)) - (2*(2*A*b + 7*a*B)*e^2*sqrt(e*x))/(27*a*b^2*sqrt(a + b*x^3)) + ((2*A*b + 7*a*B)*e^2*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(27*3^(1//4)*a^(4//3)*b^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(((e*x)^(3//2)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(5//2), (2*(A*b - a*B)*(e*x)^(5//2))/(9*a*b*e*(a + b*x^3)^(3//2)) + (2*(4*A*b + 5*a*B)*(e*x)^(5//2))/(27*a^2*b*e*sqrt(a + b*x^3)) - (2*(1 + sqrt(3))*(4*A*b + 5*a*B)*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(27*a^2*b^(5//3)*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)) + (2*(4*A*b + 5*a*B)*e*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(9*3^(3//4)*a^(5//3)*b^(5//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + ((1 - sqrt(3))*(4*A*b + 5*a*B)*e*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(27*3^(1//4)*a^(5//3)*b^(5//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+((sqrt(e*x)*(A + B*x^3))/(a + b*x^3)^(5//2), (2*(A*b - a*B)*(e*x)^(3//2))/(9*a*b*e*(a + b*x^3)^(3//2)) + (2*(2*A*b + a*B)*(e*x)^(3//2))/(9*a^2*b*e*sqrt(a + b*x^3)), x, 2),
+((A + B*x^3)/(sqrt(e*x)*(a + b*x^3)^(5//2)), (2*(A*b - a*B)*sqrt(e*x))/(9*a*b*e*(a + b*x^3)^(3//2)) + (2*(8*A*b + a*B)*sqrt(e*x))/(27*a^2*b*e*sqrt(a + b*x^3)) + (2*(8*A*b + a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(27*3^(1//4)*a^(7//3)*b*e*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+((A + B*x^3)/((e*x)^(3//2)*(a + b*x^3)^(5//2)), -((2*A)/(a*e*sqrt(e*x)*(a + b*x^3)^(3//2))) - (2*(10*A*b - a*B)*(e*x)^(5//2))/(9*a^2*e^4*(a + b*x^3)^(3//2)) - (8*(10*A*b - a*B)*(e*x)^(5//2))/(27*a^3*e^4*sqrt(a + b*x^3)) + (8*(1 + sqrt(3))*(10*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x^3))/(27*a^3*b^(2//3)*e^2*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)) - (8*(10*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(9*3^(3//4)*a^(8//3)*b^(2//3)*e^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (4*(1 - sqrt(3))*(10*A*b - a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(27*3^(1//4)*a^(8//3)*b^(2//3)*e^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 7),
+((A + B*x^3)/((e*x)^(5//2)*(a + b*x^3)^(5//2)), -((2*A)/(3*a*e*(e*x)^(3//2)*(a + b*x^3)^(3//2))) - (2*(4*A*b - a*B)*(e*x)^(3//2))/(9*a^2*e^4*(a + b*x^3)^(3//2)) - (4*(4*A*b - a*B)*(e*x)^(3//2))/(9*a^3*e^4*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+((A + B*x^3)/((e*x)^(7//2)*(a + b*x^3)^(5//2)), -((2*A)/(5*a*e*(e*x)^(5//2)*(a + b*x^3)^(3//2))) - (2*(14*A*b - 5*a*B)*sqrt(e*x))/(45*a^2*e^4*(a + b*x^3)^(3//2)) - (16*(14*A*b - 5*a*B)*sqrt(e*x))/(135*a^3*e^4*sqrt(a + b*x^3)) - (16*(14*A*b - 5*a*B)*sqrt(e*x)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(135*3^(1//4)*a^(10//3)*e^4*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^3)^(p/3) (c+d x^3)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^3)^(p/3) / (c+d x^3) when b c+a d=0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^11*(a + b*x^3)^(1//3)/(a*d - b*d*x^3), -((a^3*(a + b*x^3)^(1//3))/(b^4*d)) - (a^2*(a + b*x^3)^(4//3))/(4*b^4*d) + (a*(a + b*x^3)^(7//3))/(7*b^4*d) - (a + b*x^3)^(10//3)/(10*b^4*d) + (2^(1//3)*a^(10//3)*atan((a^(1//3) + 2^(2//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^4*d) + (a^(10//3)*log(a - b*x^3))/(3*2^(2//3)*b^4*d) - (a^(10//3)*log(2^(1//3)*a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(2//3)*b^4*d), x, 8),
+(x^8*(a + b*x^3)^(1//3)/(a*d - b*d*x^3), -((a^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(b^3*d)) - (a + b*x^3)^(7//3)/(7*b^3*d) + (2^(1//3)*a^(7//3)*atan((a^(1//3) + 2^(2//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^3*d) + (a^(7//3)*log(a - b*x^3))/(3*2^(2//3)*b^3*d) - (a^(7//3)*log(2^(1//3)*a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(2//3)*b^3*d), x, 8),
+(x^5*(a + b*x^3)^(1//3)/(a*d - b*d*x^3), -((a*(a + b*x^3)^(1//3))/(b^2*d)) - (a + b*x^3)^(4//3)/(4*b^2*d) + (2^(1//3)*a^(4//3)*atan((a^(1//3) + 2^(2//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^2*d) + (a^(4//3)*log(a - b*x^3))/(3*2^(2//3)*b^2*d) - (a^(4//3)*log(2^(1//3)*a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(2//3)*b^2*d), x, 7),
+(x^2*(a + b*x^3)^(1//3)/(a*d - b*d*x^3), -((a + b*x^3)^(1//3)/(b*d)) + (2^(1//3)*a^(1//3)*atan((a^(1//3) + 2^(2//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b*d) + (a^(1//3)*log(a - b*x^3))/(3*2^(2//3)*b*d) - (a^(1//3)*log(2^(1//3)*a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(2//3)*b*d), x, 6),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(x^1*(a*d - b*d*x^3)), -(atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(2//3)*d)) + (2^(1//3)*atan((a^(1//3) + 2^(2//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*d) - log(x)/(2*a^(2//3)*d) + log(a - b*x^3)/(3*2^(2//3)*a^(2//3)*d) + log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3))/(2*a^(2//3)*d) - log(2^(1//3)*a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3))/(2^(2//3)*a^(2//3)*d), x, 10),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(x^4*(a*d - b*d*x^3)), (b*(a + b*x^3)^(1//3))/(3*a^2*d) - (a + b*x^3)^(4//3)/(3*a^2*d*x^3) - (4*b*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*d) + (2^(1//3)*b*atan((a^(1//3) + 2^(2//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(5//3)*d) - (2*b*log(x))/(3*a^(5//3)*d) + (b*log(a - b*x^3))/(3*2^(2//3)*a^(5//3)*d) + (2*b*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*a^(5//3)*d) - (b*log(2^(1//3)*a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(2//3)*a^(5//3)*d), x, 13),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(x^7*(a*d - b*d*x^3)), -((2*b*(a + b*x^3)^(1//3))/(9*a^2*d*x^3)) - (a + b*x^3)^(4//3)/(6*a^2*d*x^6) - (11*b^2*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(8//3)*d) + (2^(1//3)*b^2*atan((a^(1//3) + 2^(2//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(8//3)*d) - (11*b^2*log(x))/(18*a^(8//3)*d) + (b^2*log(a - b*x^3))/(3*2^(2//3)*a^(8//3)*d) + (11*b^2*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*a^(8//3)*d) - (b^2*log(2^(1//3)*a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(2//3)*a^(8//3)*d), x, 12),
+
+(x^7*(a + b*x^3)^(1//3)/(a*d - b*d*x^3), -((7*a*x^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(18*b^2*d)) - (x^5*(a + b*x^3)^(1//3))/(6*b*d) + (11*a^2*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*b^(8//3)*d) - (2^(1//3)*a^2*atan((1 + (2*2^(1//3)*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(8//3)*d) + (a^2*log(a*d - b*d*x^3))/(3*2^(2//3)*b^(8//3)*d) + (11*a^2*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*b^(8//3)*d) - (a^2*log(2^(1//3)*b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(2//3)*b^(8//3)*d), x, 6),
+(x^4*(a + b*x^3)^(1//3)/(a*d - b*d*x^3), -((x^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(3*b*d)) + (4*a*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(5//3)*d) - (2^(1//3)*a*atan((1 + (2*2^(1//3)*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(5//3)*d) + (a*log(a*d - b*d*x^3))/(3*2^(2//3)*b^(5//3)*d) + (2*a*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(5//3)*d) - (a*log(2^(1//3)*b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(2//3)*b^(5//3)*d), x, 5),
+(x^1*(a + b*x^3)^(1//3)/(a*d - b*d*x^3), atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*b^(2//3)*d) - (2^(1//3)*atan((1 + (2*2^(1//3)*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(2//3)*d) + log(a*d - b*d*x^3)/(3*2^(2//3)*b^(2//3)*d) + log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3))/(2*b^(2//3)*d) - log(2^(1//3)*b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3))/(2^(2//3)*b^(2//3)*d), x, 3),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(x^2*(a*d - b*d*x^3)), -((a + b*x^3)^(1//3)/(a*d*x)) - (2^(1//3)*b^(1//3)*atan((1 + (2*2^(1//3)*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*a*d) + (b^(1//3)*log(a*d - b*d*x^3))/(3*2^(2//3)*a*d) - (b^(1//3)*log(2^(1//3)*b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(2//3)*a*d), x, 3),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(x^5*(a*d - b*d*x^3)), -((a + b*x^3)^(1//3)/(4*a*d*x^4)) - (5*b*(a + b*x^3)^(1//3))/(4*a^2*d*x) - (2^(1//3)*b^(4//3)*atan((1 + (2*2^(1//3)*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*a^2*d) + (b^(4//3)*log(a*d - b*d*x^3))/(3*2^(2//3)*a^2*d) - (b^(4//3)*log(2^(1//3)*b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(2//3)*a^2*d), x, 4),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(x^8*(a*d - b*d*x^3)), -((a + b*x^3)^(1//3)/(7*a*d*x^7)) - (2*b*(a + b*x^3)^(1//3))/(7*a^2*d*x^4) - (8*b^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(7*a^3*d*x) - (2^(1//3)*b^(7//3)*atan((1 + (2*2^(1//3)*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*a^3*d) + (b^(7//3)*log(a*d - b*d*x^3))/(3*2^(2//3)*a^3*d) - (b^(7//3)*log(2^(1//3)*b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(2//3)*a^3*d), x, 5),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(x^11*(a*d - b*d*x^3)), -((a + b*x^3)^(1//3)/(10*a*d*x^10)) - (11*b*(a + b*x^3)^(1//3))/(70*a^2*d*x^7) - (37*b^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(140*a^3*d*x^4) - (169*b^3*(a + b*x^3)^(1//3))/(140*a^4*d*x) - (2^(1//3)*b^(10//3)*atan((1 + (2*2^(1//3)*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*a^4*d) + (b^(10//3)*log(a*d - b*d*x^3))/(3*2^(2//3)*a^4*d) - (b^(10//3)*log(2^(1//3)*b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(2//3)*a^4*d), x, 6),
+
+(x^6*(a + b*x^3)^(1//3)/(a*d - b*d*x^3), -((3*a*x*(a + b*x^3)^(1//3))/(5*b^2*d)) - (x^4*(a + b*x^3)^(1//3))/(5*b*d) - (2^(1//3)*a^(5//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(7//3)*d) - (a^(5//3)*atan((1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*b^(7//3)*d) - (2*a^2*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(5*b^2*d*(a + b*x^3)^(2//3)) - (a^(5//3)*log(2^(2//3) - (a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*2^(2//3)*b^(7//3)*d) + (a^(5//3)*log(1 + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)/(a + b*x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*2^(2//3)*b^(7//3)*d) - (2^(1//3)*a^(5//3)*log(1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(7//3)*d) + (a^(5//3)*log(2*2^(1//3) + (a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2/(a + b*x^3)^(2//3) + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(6*2^(2//3)*b^(7//3)*d), x, 22),
+(x^3*(a + b*x^3)^(1//3)/(a*d - b*d*x^3), -((x*(a + b*x^3)^(1//3))/(2*b*d)) - (2^(1//3)*a^(2//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(4//3)*d) - (a^(2//3)*atan((1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*b^(4//3)*d) - (a*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(2*b*d*(a + b*x^3)^(2//3)) - (a^(2//3)*log(2^(2//3) - (a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*2^(2//3)*b^(4//3)*d) + (a^(2//3)*log(1 + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)/(a + b*x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*2^(2//3)*b^(4//3)*d) - (2^(1//3)*a^(2//3)*log(1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(4//3)*d) + (a^(2//3)*log(2*2^(1//3) + (a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2/(a + b*x^3)^(2//3) + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(6*2^(2//3)*b^(4//3)*d), x, 21),
+(x^0*(a + b*x^3)^(1//3)/(a*d - b*d*x^3), -((2^(1//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*a^(1//3)*b^(1//3)*d)) - atan((1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3)*a^(1//3)*b^(1//3)*d) - log(2^(2//3) - (a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/(3*2^(2//3)*a^(1//3)*b^(1//3)*d) + log(1 + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)/(a + b*x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/(3*2^(2//3)*a^(1//3)*b^(1//3)*d) - (2^(1//3)*log(1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*a^(1//3)*b^(1//3)*d) + log(2*2^(1//3) + (a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2/(a + b*x^3)^(2//3) + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/(6*2^(2//3)*a^(1//3)*b^(1//3)*d), x, 14),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(x^3*(a*d - b*d*x^3)), -((a + b*x^3)^(1//3)/(2*a*d*x^2)) - (2^(1//3)*b^(2//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*a^(4//3)*d) - (b^(2//3)*atan((1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*a^(4//3)*d) + (b*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(2*a*d*(a + b*x^3)^(2//3)) - (b^(2//3)*log(2^(2//3) - (a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*2^(2//3)*a^(4//3)*d) + (b^(2//3)*log(1 + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)/(a + b*x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*2^(2//3)*a^(4//3)*d) - (2^(1//3)*b^(2//3)*log(1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*a^(4//3)*d) + (b^(2//3)*log(2*2^(1//3) + (a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2/(a + b*x^3)^(2//3) + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(6*2^(2//3)*a^(4//3)*d), x, 21),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(x^6*(a*d - b*d*x^3)), -((a + b*x^3)^(1//3)/(5*a*d*x^5)) - (3*b*(a + b*x^3)^(1//3))/(5*a^2*d*x^2) - (2^(1//3)*b^(5//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*a^(7//3)*d) - (b^(5//3)*atan((1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*a^(7//3)*d) + (2*b^2*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(5*a^2*d*(a + b*x^3)^(2//3)) - (b^(5//3)*log(2^(2//3) - (a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*2^(2//3)*a^(7//3)*d) + (b^(5//3)*log(1 + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)/(a + b*x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*2^(2//3)*a^(7//3)*d) - (2^(1//3)*b^(5//3)*log(1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*a^(7//3)*d) + (b^(5//3)*log(2*2^(1//3) + (a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2/(a + b*x^3)^(2//3) + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(6*2^(2//3)*a^(7//3)*d), x, 22),
+
+
+(x^11*(a + b*x^3)^(2//3)/(a*d - b*d*x^3), -((a^3*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*b^4*d)) - (a^2*(a + b*x^3)^(5//3))/(5*b^4*d) + (a*(a + b*x^3)^(8//3))/(8*b^4*d) - (a + b*x^3)^(11//3)/(11*b^4*d) - (2^(2//3)*a^(11//3)*atan((a^(1//3) + 2^(2//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^4*d) + (a^(11//3)*log(a - b*x^3))/(3*2^(1//3)*b^4*d) - (a^(11//3)*log(2^(1//3)*a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(1//3)*b^4*d), x, 8),
+(x^8*(a + b*x^3)^(2//3)/(a*d - b*d*x^3), -((a^2*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*b^3*d)) - (a + b*x^3)^(8//3)/(8*b^3*d) - (2^(2//3)*a^(8//3)*atan((a^(1//3) + 2^(2//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^3*d) + (a^(8//3)*log(a - b*x^3))/(3*2^(1//3)*b^3*d) - (a^(8//3)*log(2^(1//3)*a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(1//3)*b^3*d), x, 8),
+(x^5*(a + b*x^3)^(2//3)/(a*d - b*d*x^3), -((a*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*b^2*d)) - (a + b*x^3)^(5//3)/(5*b^2*d) - (2^(2//3)*a^(5//3)*atan((a^(1//3) + 2^(2//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^2*d) + (a^(5//3)*log(a - b*x^3))/(3*2^(1//3)*b^2*d) - (a^(5//3)*log(2^(1//3)*a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(1//3)*b^2*d), x, 7),
+(x^2*(a + b*x^3)^(2//3)/(a*d - b*d*x^3), -((a + b*x^3)^(2//3)/(2*b*d)) - (2^(2//3)*a^(2//3)*atan((a^(1//3) + 2^(2//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b*d) + (a^(2//3)*log(a - b*x^3))/(3*2^(1//3)*b*d) - (a^(2//3)*log(2^(1//3)*a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(1//3)*b*d), x, 6),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(x^1*(a*d - b*d*x^3)), atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(1//3)*d) - (2^(2//3)*atan((a^(1//3) + 2^(2//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(1//3)*d) - log(x)/(2*a^(1//3)*d) + log(a - b*x^3)/(3*2^(1//3)*a^(1//3)*d) + log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3))/(2*a^(1//3)*d) - log(2^(1//3)*a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3))/(2^(1//3)*a^(1//3)*d), x, 10),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(x^4*(a*d - b*d*x^3)), (b*(a + b*x^3)^(2//3))/(3*a^2*d) - (a + b*x^3)^(5//3)/(3*a^2*d*x^3) + (5*b*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(4//3)*d) - (2^(2//3)*b*atan((a^(1//3) + 2^(2//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(4//3)*d) - (5*b*log(x))/(6*a^(4//3)*d) + (b*log(a - b*x^3))/(3*2^(1//3)*a^(4//3)*d) + (5*b*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*a^(4//3)*d) - (b*log(2^(1//3)*a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(1//3)*a^(4//3)*d), x, 13),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(x^7*(a*d - b*d*x^3)), -((5*b*(a + b*x^3)^(2//3))/(18*a^2*d*x^3)) - (a + b*x^3)^(5//3)/(6*a^2*d*x^6) + (14*b^2*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(7//3)*d) - (2^(2//3)*b^2*atan((a^(1//3) + 2^(2//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(7//3)*d) - (7*b^2*log(x))/(9*a^(7//3)*d) + (b^2*log(a - b*x^3))/(3*2^(1//3)*a^(7//3)*d) + (7*b^2*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(9*a^(7//3)*d) - (b^2*log(2^(1//3)*a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(1//3)*a^(7//3)*d), x, 12),
+
+(x^6*(a + b*x^3)^(2//3)/(a*d - b*d*x^3), -((4*a*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(9*b^2*d)) - (x^4*(a + b*x^3)^(2//3))/(6*b*d) - (14*a^2*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*b^(7//3)*d) + (2^(2//3)*a^2*atan((1 + (2*2^(1//3)*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(7//3)*d) + (a^2*log(a*d - b*d*x^3))/(3*2^(1//3)*b^(7//3)*d) - (a^2*log(2^(1//3)*b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(1//3)*b^(7//3)*d) + (7*a^2*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(9*b^(7//3)*d), x, 5),
+(x^3*(a + b*x^3)^(2//3)/(a*d - b*d*x^3), -((x*(a + b*x^3)^(2//3))/(3*b*d)) - (5*a*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(4//3)*d) + (2^(2//3)*a*atan((1 + (2*2^(1//3)*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(4//3)*d) + (a*log(a*d - b*d*x^3))/(3*2^(1//3)*b^(4//3)*d) - (a*log(2^(1//3)*b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(1//3)*b^(4//3)*d) + (5*a*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*b^(4//3)*d), x, 4),
+(x^0*(a + b*x^3)^(2//3)/(a*d - b*d*x^3), -(atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*b^(1//3)*d)) + (2^(2//3)*atan((1 + (2*2^(1//3)*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(1//3)*d) + log(a*d - b*d*x^3)/(3*2^(1//3)*b^(1//3)*d) - log(2^(1//3)*b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3))/(2^(1//3)*b^(1//3)*d) + log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3))/(2*b^(1//3)*d), x, 3),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(x^3*(a*d - b*d*x^3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(2*a*d*x^2)) + (2^(2//3)*b^(2//3)*atan((1 + (2*2^(1//3)*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*a*d) + (b^(2//3)*log(a*d - b*d*x^3))/(3*2^(1//3)*a*d) - (b^(2//3)*log(2^(1//3)*b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(1//3)*a*d), x, 3),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(x^6*(a*d - b*d*x^3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(5*a*d*x^5)) - (7*b*(a + b*x^3)^(2//3))/(10*a^2*d*x^2) + (2^(2//3)*b^(5//3)*atan((1 + (2*2^(1//3)*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*a^2*d) + (b^(5//3)*log(a*d - b*d*x^3))/(3*2^(1//3)*a^2*d) - (b^(5//3)*log(2^(1//3)*b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(1//3)*a^2*d), x, 4),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(x^9*(a*d - b*d*x^3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(8*a*d*x^8)) - (b*(a + b*x^3)^(2//3))/(4*a^2*d*x^5) - (5*b^2*(a + b*x^3)^(2//3))/(8*a^3*d*x^2) + (2^(2//3)*b^(8//3)*atan((1 + (2*2^(1//3)*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*a^3*d) + (b^(8//3)*log(a*d - b*d*x^3))/(3*2^(1//3)*a^3*d) - (b^(8//3)*log(2^(1//3)*b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(1//3)*a^3*d), x, 5),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(x^12*(a*d - b*d*x^3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(11*a*d*x^11)) - (13*b*(a + b*x^3)^(2//3))/(88*a^2*d*x^8) - (49*b^2*(a + b*x^3)^(2//3))/(220*a^3*d*x^5) - (293*b^3*(a + b*x^3)^(2//3))/(440*a^4*d*x^2) + (2^(2//3)*b^(11//3)*atan((1 + (2*2^(1//3)*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*a^4*d) + (b^(11//3)*log(a*d - b*d*x^3))/(3*2^(1//3)*a^4*d) - (b^(11//3)*log(2^(1//3)*b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2^(1//3)*a^4*d), x, 6),
+
+(x^7*(a + b*x^3)^(2//3)/(a*d - b*d*x^3), -((9*a*x^2*(a + b*x^3)^(2//3))/(28*b^2*d)) - (x^5*(a + b*x^3)^(2//3))/(7*b*d) + (2^(2//3)*a^(7//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(8//3)*d) + (a^(7//3)*atan((1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*b^(8//3)*d) - (19*a^2*x^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, -((b*x^3)/a)))/(28*b^2*d*(a + b*x^3)^(1//3)) + (a^(7//3)*log(((a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/a))/(6*2^(1//3)*b^(8//3)*d) + (a^(7//3)*log(1 + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)/(a + b*x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*2^(1//3)*b^(8//3)*d) - (2^(2//3)*a^(7//3)*log(1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(8//3)*d) - (a^(7//3)*log((b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/a^(1//3) - (2^(2//3)*b^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/a^(1//3)))/(2*2^(1//3)*b^(8//3)*d), x, 14),
+(x^4*(a + b*x^3)^(2//3)/(a*d - b*d*x^3), -((x^2*(a + b*x^3)^(2//3))/(4*b*d)) + (2^(2//3)*a^(4//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(5//3)*d) + (a^(4//3)*atan((1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*b^(5//3)*d) - (3*a*x^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, -((b*x^3)/a)))/(4*b*d*(a + b*x^3)^(1//3)) + (a^(4//3)*log(((a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/a))/(6*2^(1//3)*b^(5//3)*d) + (a^(4//3)*log(1 + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)/(a + b*x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*2^(1//3)*b^(5//3)*d) - (2^(2//3)*a^(4//3)*log(1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(5//3)*d) - (a^(4//3)*log((b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/a^(1//3) - (2^(2//3)*b^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/a^(1//3)))/(2*2^(1//3)*b^(5//3)*d), x, 13),
+(x^1*(a + b*x^3)^(2//3)/(a*d - b*d*x^3), (2^(2//3)*a^(1//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(2//3)*d) + (a^(1//3)*atan((1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*b^(2//3)*d) - (x^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, -((b*x^3)/a)))/(2*d*(a + b*x^3)^(1//3)) + (a^(1//3)*log(((a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/a))/(6*2^(1//3)*b^(2//3)*d) + (a^(1//3)*log(1 + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)/(a + b*x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*2^(1//3)*b^(2//3)*d) - (2^(2//3)*a^(1//3)*log(1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(2//3)*d) - (a^(1//3)*log((b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/a^(1//3) - (2^(2//3)*b^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/a^(1//3)))/(2*2^(1//3)*b^(2//3)*d), x, 11),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(x^2*(a*d - b*d*x^3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(a*d*x)) + (2^(2//3)*b^(1//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*a^(2//3)*d) + (b^(1//3)*atan((1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*a^(2//3)*d) + (b*x^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, -((b*x^3)/a)))/(2*a*d*(a + b*x^3)^(1//3)) + (b^(1//3)*log(((a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/a))/(6*2^(1//3)*a^(2//3)*d) + (b^(1//3)*log(1 + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)/(a + b*x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*2^(1//3)*a^(2//3)*d) - (2^(2//3)*b^(1//3)*log(1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*a^(2//3)*d) - (b^(1//3)*log((b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/a^(1//3) - (2^(2//3)*b^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/a^(1//3)))/(2*2^(1//3)*a^(2//3)*d), x, 13),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(x^5*(a*d - b*d*x^3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(4*a*d*x^4)) - (3*b*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*a^2*d*x) + (2^(2//3)*b^(4//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*a^(5//3)*d) + (b^(4//3)*atan((1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*a^(5//3)*d) + (3*b^2*x^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, -((b*x^3)/a)))/(4*a^2*d*(a + b*x^3)^(1//3)) + (b^(4//3)*log(((a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/a))/(6*2^(1//3)*a^(5//3)*d) + (b^(4//3)*log(1 + (2^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)/(a + b*x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*2^(1//3)*a^(5//3)*d) - (2^(2//3)*b^(4//3)*log(1 + (2^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*a^(5//3)*d) - (b^(4//3)*log((b^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/a^(1//3) - (2^(2//3)*b^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/a^(1//3)))/(2*2^(1//3)*a^(5//3)*d), x, 14),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^14/((1 - x^3)^(1//3)*(1 + x^3)), (2//5)*(1 - x^3)^(5//3) - (1//4)*(1 - x^3)^(8//3) + (1//11)*(1 - x^3)^(11//3) + atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) - log(1 + x^3)/(6*2^(1//3)) + log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)), x, 7),
+(x^11/((1 - x^3)^(1//3)*(1 + x^3)), (-(1//2))*(1 - x^3)^(2//3) + (1//5)*(1 - x^3)^(5//3) - (1//8)*(1 - x^3)^(8//3) - atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) + log(1 + x^3)/(6*2^(1//3)) - log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)), x, 7),
+(x^8/((1 - x^3)^(1//3)*(1 + x^3)), (1//5)*(1 - x^3)^(5//3) + atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) - log(1 + x^3)/(6*2^(1//3)) + log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)), x, 7),
+(x^5/((1 - x^3)^(1//3)*(1 + x^3)), (-(1//2))*(1 - x^3)^(2//3) - atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) + log(1 + x^3)/(6*2^(1//3)) - log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)), x, 6),
+(x^2/((1 - x^3)^(1//3)*(1 + x^3)), atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) - log(1 + x^3)/(6*2^(1//3)) + log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)), x, 5),
+(1/(x^1*(1 - x^3)^(1//3)*(1 + x^3)), atan((1 + 2*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/sqrt(3) - atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) - log(x)/2 + log(1 + x^3)/(6*2^(1//3)) + (1//2)*log(1 - (1 - x^3)^(1//3)) - log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)), x, 10),
+(1/(x^4*(1 - x^3)^(1//3)*(1 + x^3)), -((1 - x^3)^(2//3)/(3*x^3)) - (2*atan((1 + 2*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) + atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) + log(x)/3 - log(1 + x^3)/(6*2^(1//3)) - (1//3)*log(1 - (1 - x^3)^(1//3)) + log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)), x, 11),
+
+(x^6/((1 - x^3)^(1//3)*(1 + x^3)), (-(1//3))*x*(1 - x^3)^(2//3) + (2*atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) - atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) - log(1 + x^3)/(6*2^(1//3)) + log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)) - (1//3)*log(x + (1 - x^3)^(1//3)), x, 4),
+(x^3/((1 - x^3)^(1//3)*(1 + x^3)), -(atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/sqrt(3)) + atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) + log(1 + x^3)/(6*2^(1//3)) - log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)) + (1//2)*log(x + (1 - x^3)^(1//3)), x, 3),
+(x^0/((1 - x^3)^(1//3)*(1 + x^3)), -(atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3))) - log(1 + x^3)/(6*2^(1//3)) + log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)), x, 1),
+(1/(x^3*(1 - x^3)^(1//3)*(1 + x^3)), -((1 - x^3)^(2//3)/(2*x^2)) + atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) + log(1 + x^3)/(6*2^(1//3)) - log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)), x, 3),
+(1/(x^6*(1 - x^3)^(1//3)*(1 + x^3)), -((1 - x^3)^(2//3)/(5*x^5)) + (1 - x^3)^(2//3)/(5*x^2) - atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) - log(1 + x^3)/(6*2^(1//3)) + log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)), x, 4),
+(1/(x^9*(1 - x^3)^(1//3)*(1 + x^3)), -((1 - x^3)^(2//3)/(8*x^8)) + (1 - x^3)^(2//3)/(20*x^5) - (17*(1 - x^3)^(2//3))/(40*x^2) + atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) + log(1 + x^3)/(6*2^(1//3)) - log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(1//3)), x, 5),
+
+(x^7/((1 - x^3)^(1//3)*(1 + x^3)), (-(1//4))*x^2*(1 - x^3)^(2//3) + atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) + atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) - (1//4)*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, x^3) + log((1 - x)*(1 + x)^2)/(12*2^(1//3)) + log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(1//3)) - log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(3*2^(1//3)) - log(-1 + x + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)), x, 12),
+(x^4/((1 - x^3)^(1//3)*(1 + x^3)), -(atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3))) - atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) + (1//2)*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, x^3) - log((1 - x)*(1 + x)^2)/(12*2^(1//3)) - log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(1//3)) + log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(3*2^(1//3)) + log(-1 + x + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)), x, 10),
+(x^1/((1 - x^3)^(1//3)*(1 + x^3)), atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) + atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) + log((1 - x)*(1 + x)^2)/(12*2^(1//3)) + log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(1//3)) - log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(3*2^(1//3)) - log(-1 + x + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)), x, 8),
+(1/(x^2*(1 - x^3)^(1//3)*(1 + x^3)), -((1 - x^3)^(2//3)/x) - atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) - atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) - (1//2)*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, x^3) - log((1 - x)*(1 + x)^2)/(12*2^(1//3)) - log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(1//3)) + log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(3*2^(1//3)) + log(-1 + x + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)), x, 12),
+(1/(x^5*(1 - x^3)^(1//3)*(1 + x^3)), -((1 - x^3)^(2//3)/(4*x^4)) + (1 - x^3)^(2//3)/(2*x) + atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(1//3)*sqrt(3)) + atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) + (1//4)*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, x^3) + log((1 - x)*(1 + x)^2)/(12*2^(1//3)) + log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(1//3)) - log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(3*2^(1//3)) - log(-1 + x + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)), x, 14),
+
+
+(x^11/((1 - x^3)^(2//3)*(1 + x^3)), -(1 - x^3)^(1//3) + (1//4)*(1 - x^3)^(4//3) - (1//7)*(1 - x^3)^(7//3) + atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3)) + log(1 + x^3)/(6*2^(2//3)) - log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(2//3)), x, 7),
+(x^8/((1 - x^3)^(2//3)*(1 + x^3)), (1//4)*(1 - x^3)^(4//3) - atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3)) - log(1 + x^3)/(6*2^(2//3)) + log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(2//3)), x, 7),
+(x^5/((1 - x^3)^(2//3)*(1 + x^3)), -(1 - x^3)^(1//3) + atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3)) + log(1 + x^3)/(6*2^(2//3)) - log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(2//3)), x, 6),
+(x^2/((1 - x^3)^(2//3)*(1 + x^3)), -(atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3))) - log(1 + x^3)/(6*2^(2//3)) + log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(2//3)), x, 5),
+(1/(x^1*(1 - x^3)^(2//3)*(1 + x^3)), -(atan((1 + 2*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/sqrt(3)) + atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3)) - log(x)/2 + log(1 + x^3)/(6*2^(2//3)) + (1//2)*log(1 - (1 - x^3)^(1//3)) - log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(2//3)), x, 10),
+(1/(x^4*(1 - x^3)^(2//3)*(1 + x^3)), -((1 - x^3)^(1//3)/(3*x^3)) + atan((1 + 2*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(3*sqrt(3)) - atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3)) + log(x)/6 - log(1 + x^3)/(6*2^(2//3)) - (1//6)*log(1 - (1 - x^3)^(1//3)) + log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(2//3)), x, 11),
+
+(x^7/((1 - x^3)^(2//3)*(1 + x^3)), (-(1//3))*x^2*(1 - x^3)^(1//3) + atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(3*sqrt(3)) - atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3)) + log(1 + x^3)/(6*2^(2//3)) + (1//6)*log(-x - (1 - x^3)^(1//3)) - log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(2//3)), x, 5),
+(x^4/((1 - x^3)^(2//3)*(1 + x^3)), -(atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/sqrt(3)) + atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3)) - log(1 + x^3)/(6*2^(2//3)) - (1//2)*log(-x - (1 - x^3)^(1//3)) + log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(2//3)), x, 3),
+(x^1/((1 - x^3)^(2//3)*(1 + x^3)), -(atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3))) + log(1 + x^3)/(6*2^(2//3)) - log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(2//3)), x, 1),
+(1/(x^2*(1 - x^3)^(2//3)*(1 + x^3)), -((1 - x^3)^(1//3)/x) + atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3)) - log(1 + x^3)/(6*2^(2//3)) + log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(2//3)), x, 2),
+(1/(x^5*(1 - x^3)^(2//3)*(1 + x^3)), -((1 - x^3)^(1//3)/(4*x^4)) + (1 - x^3)^(1//3)/(4*x) - atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3)) + log(1 + x^3)/(6*2^(2//3)) - log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(2//3)), x, 4),
+
+(x^6/((1 - x^3)^(2//3)*(1 + x^3)), (-(1//2))*x*(1 - x^3)^(1//3) + atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3)) + atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)) + log(2^(2//3) - (1 - x)/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(2//3)) - log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(2//3)) + log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(3*2^(2//3)) - log(2*2^(1//3) + (1 - x)^2/(1 - x^3)^(2//3) + (2^(2//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(12*2^(2//3)), x, 15),
+(x^3/((1 - x^3)^(2//3)*(1 + x^3)), -(atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3))) - atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)) + (1//2)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, x^3) - log(2^(2//3) - (1 - x)/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(2//3)) + log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(2//3)) - log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(3*2^(2//3)) + log(2*2^(1//3) + (1 - x)^2/(1 - x^3)^(2//3) + (2^(2//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(12*2^(2//3)), x, 18),
+(x^0/((1 - x^3)^(2//3)*(1 + x^3)), atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3)) + atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)) + (1//2)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, x^3) + log(2^(2//3) - (1 - x)/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(2//3)) - log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(2//3)) + log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(3*2^(2//3)) - log(2*2^(1//3) + (1 - x)^2/(1 - x^3)^(2//3) + (2^(2//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(12*2^(2//3)), x, 16),
+(1/(x^3*(1 - x^3)^(2//3)*(1 + x^3)), -((1 - x^3)^(1//3)/(2*x^2)) - atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3)) - atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(2//3)*sqrt(3)) - log(2^(2//3) - (1 - x)/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(2//3)) + log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(2//3)) - log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(3*2^(2//3)) + log(2*2^(1//3) + (1 - x)^2/(1 - x^3)^(2//3) + (2^(2//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(12*2^(2//3)), x, 16),
+
+
+(x^14/((1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), 1/(2*(1 - x^3)^(1//3)) + (1 - x^3)^(2//3) - (2//5)*(1 - x^3)^(5//3) + (1//8)*(1 - x^3)^(8//3) + atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) - log(1 + x^3)/(12*2^(1//3)) + log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)), x, 11),
+(x^11/((1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), 1/(2*(1 - x^3)^(1//3)) + (1//2)*(1 - x^3)^(2//3) - (1//5)*(1 - x^3)^(5//3) - atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) + log(1 + x^3)/(12*2^(1//3)) - log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)), x, 11),
+(x^8/((1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), 1/(2*(1 - x^3)^(1//3)) + (1//2)*(1 - x^3)^(2//3) + atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) - log(1 + x^3)/(12*2^(1//3)) + log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)), x, 9),
+(x^5/((1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), 1/(2*(1 - x^3)^(1//3)) - atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) + log(1 + x^3)/(12*2^(1//3)) - log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)), x, 6),
+(x^2/((1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), 1/(2*(1 - x^3)^(1//3)) + atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) - log(1 + x^3)/(12*2^(1//3)) + log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)), x, 6),
+(1/(x^1*(1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), 1/(2*(1 - x^3)^(1//3)) + atan((1 + 2*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/sqrt(3) - atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) - log(x)/2 + log(1 + x^3)/(12*2^(1//3)) + (1//2)*log(1 - (1 - x^3)^(1//3)) - log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)), x, 11),
+(1/(x^4*(1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), 5/(6*(1 - x^3)^(1//3)) - 1/(3*x^3*(1 - x^3)^(1//3)) + atan((1 + 2*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(3*sqrt(3)) + atan((1 + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) - log(x)/6 - log(1 + x^3)/(12*2^(1//3)) + (1//6)*log(1 - (1 - x^3)^(1//3)) + log(2^(1//3) - (1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)), x, 13),
+
+(x^9/((1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), x^4/(2*(1 - x^3)^(1//3)) + (5//6)*x*(1 - x^3)^(2//3) + atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(3*sqrt(3)) + atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) + log(1 + x^3)/(12*2^(1//3)) - log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)) - (1//6)*log(x + (1 - x^3)^(1//3)), x, 5),
+(x^6/((1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), x/(2*(1 - x^3)^(1//3)) + atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/sqrt(3) - atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) - log(1 + x^3)/(12*2^(1//3)) + log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)) - (1//2)*log(x + (1 - x^3)^(1//3)), x, 4),
+(x^3/((1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), x/(2*(1 - x^3)^(1//3)) + atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) + log(1 + x^3)/(12*2^(1//3)) - log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)), x, 2),
+(x^0/((1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), x/(2*(1 - x^3)^(1//3)) - atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) - log(1 + x^3)/(12*2^(1//3)) + log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)), x, 2),
+(1/(x^3*(1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), 1/(2*x^2*(1 - x^3)^(1//3)) - (1 - x^3)^(2//3)/x^2 + atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) + log(1 + x^3)/(12*2^(1//3)) - log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)), x, 4),
+(1/(x^6*(1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), 1/(2*x^5*(1 - x^3)^(1//3)) - (7*(1 - x^3)^(2//3))/(10*x^5) - (4*(1 - x^3)^(2//3))/(5*x^2) - atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) - log(1 + x^3)/(12*2^(1//3)) + log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)), x, 5),
+(1/(x^9*(1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), 1/(2*x^8*(1 - x^3)^(1//3)) - (5*(1 - x^3)^(2//3))/(8*x^8) - (13*(1 - x^3)^(2//3))/(20*x^5) - (49*(1 - x^3)^(2//3))/(40*x^2) + atan((1 - (2*2^(1//3)*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) + log(1 + x^3)/(12*2^(1//3)) - log((-2^(1//3))*x - (1 - x^3)^(1//3))/(4*2^(1//3)), x, 6),
+
+(x^10/((1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), x^5/(2*(1 - x^3)^(1//3)) + (3//4)*x^2*(1 - x^3)^(2//3) - atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) - atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(4*2^(1//3)*sqrt(3)) - (1//2)*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, x^3) - log((1 - x)*(1 + x)^2)/(24*2^(1//3)) - log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(12*2^(1//3)) + log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(1//3)) + log(-1 + x + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/(8*2^(1//3)), x, 13),
+(x^7/((1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), x^2/(2*(1 - x^3)^(1//3)) + atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) + atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(4*2^(1//3)*sqrt(3)) - (3//4)*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, x^3) + log((1 - x)*(1 + x)^2)/(24*2^(1//3)) + log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(12*2^(1//3)) - log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(1//3)) - log(-1 + x + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/(8*2^(1//3)), x, 12),
+(x^4/((1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), x^2/(2*(1 - x^3)^(1//3)) - atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) - atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(4*2^(1//3)*sqrt(3)) - (1//4)*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, x^3) - log((1 - x)*(1 + x)^2)/(24*2^(1//3)) - log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(12*2^(1//3)) + log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(1//3)) + log(-1 + x + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/(8*2^(1//3)), x, 12),
+(x^1/((1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), x^2/(2*(1 - x^3)^(1//3)) + atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) + atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(4*2^(1//3)*sqrt(3)) - (1//4)*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, x^3) + log((1 - x)*(1 + x)^2)/(24*2^(1//3)) + log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(12*2^(1//3)) - log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(1//3)) - log(-1 + x + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/(8*2^(1//3)), x, 11),
+(1/(x^2*(1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), 1/(2*x*(1 - x^3)^(1//3)) - (3*(1 - x^3)^(2//3))/(2*x) - atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) - atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(4*2^(1//3)*sqrt(3)) - (3//4)*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, x^3) - log((1 - x)*(1 + x)^2)/(24*2^(1//3)) - log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(12*2^(1//3)) + log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(1//3)) + log(-1 + x + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/(8*2^(1//3)), x, 13),
+(1/(x^5*(1 - x^3)^(4//3)*(1 + x^3)), 1/(2*x^4*(1 - x^3)^(1//3)) - (3*(1 - x^3)^(2//3))/(4*x^4) - (1 - x^3)^(2//3)/x + atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*2^(1//3)*sqrt(3)) + atan((1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(4*2^(1//3)*sqrt(3)) - (1//2)*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, x^3) + log((1 - x)*(1 + x)^2)/(24*2^(1//3)) + log(1 + (2^(2//3)*(1 - x)^2)/(1 - x^3)^(2//3) - (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(12*2^(1//3)) - log(1 + (2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/(6*2^(1//3)) - log(-1 + x + 2^(2//3)*(1 - x^3)^(1//3))/(8*2^(1//3)), x, 14),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^3)^(p/3) / (c+d x^3)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+(x^11*(a + b*x^3)^(1//3)/(c + d*x^3), -((c^3*(a + b*x^3)^(1//3))/d^4) + ((b^2*c^2 + a*b*c*d + a^2*d^2)*(a + b*x^3)^(4//3))/(4*b^3*d^3) - ((b*c + 2*a*d)*(a + b*x^3)^(7//3))/(7*b^3*d^2) + (a + b*x^3)^(10//3)/(10*b^3*d) - (c^3*(b*c - a*d)^(1//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(13//3)) - (c^3*(b*c - a*d)^(1//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^(13//3)) + (c^3*(b*c - a*d)^(1//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(13//3)), x, 8),
+(x^8*(a + b*x^3)^(1//3)/(c + d*x^3), (c^2*(a + b*x^3)^(1//3))/d^3 - ((b*c + a*d)*(a + b*x^3)^(4//3))/(4*b^2*d^2) + (a + b*x^3)^(7//3)/(7*b^2*d) + (c^2*(b*c - a*d)^(1//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(10//3)) + (c^2*(b*c - a*d)^(1//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^(10//3)) - (c^2*(b*c - a*d)^(1//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(10//3)), x, 8),
+(x^5*(a + b*x^3)^(1//3)/(c + d*x^3), -((c*(a + b*x^3)^(1//3))/d^2) + (a + b*x^3)^(4//3)/(4*b*d) - (c*(b*c - a*d)^(1//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(7//3)) - (c*(b*c - a*d)^(1//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^(7//3)) + (c*(b*c - a*d)^(1//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(7//3)), x, 7),
+(x^2*(a + b*x^3)^(1//3)/(c + d*x^3), (a + b*x^3)^(1//3)/d + ((b*c - a*d)^(1//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(4//3)) + ((b*c - a*d)^(1//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^(4//3)) - ((b*c - a*d)^(1//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(4//3)), x, 6),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(x^1*(c + d*x^3)), -((a^(1//3)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*c)) - ((b*c - a*d)^(1//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c*d^(1//3)) - (a^(1//3)*log(x))/(2*c) - ((b*c - a*d)^(1//3)*log(c + d*x^3))/(6*c*d^(1//3)) + (a^(1//3)*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c) + ((b*c - a*d)^(1//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c*d^(1//3)), x, 10),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(x^4*(c + d*x^3)), (d*(a + b*x^3)^(1//3))/c^2 + ((b*c - 3*a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))/(3*a*c^2) - (a + b*x^3)^(4//3)/(3*a*c*x^3) - ((b*c - 3*a*d)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(2//3)*c^2) + (d^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^2) - ((b*c - 3*a*d)*log(x))/(6*a^(2//3)*c^2) + (d^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^2) + ((b*c - 3*a*d)*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*a^(2//3)*c^2) - (d^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^2), x, 13),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(x^7*(c + d*x^3)), ((b*c + 3*a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))/(9*a*c^2*x^3) - (a + b*x^3)^(4//3)/(6*a*c*x^6) + ((b^2*c^2 + 3*a*b*c*d - 9*a^2*d^2)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(5//3)*c^3) - (d^(5//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^3) + ((b^2*c^2 + 3*a*b*c*d - 9*a^2*d^2)*log(x))/(18*a^(5//3)*c^3) - (d^(5//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^3) - ((b^2*c^2 + 3*a*b*c*d - 9*a^2*d^2)*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*a^(5//3)*c^3) + (d^(5//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^3), x, 12),
+
+(x^7*(a + b*x^3)^(1//3)/(c + d*x^3), -(((6*b*c - a*d)*x^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(18*b*d^2)) + (x^5*(a + b*x^3)^(1//3))/(6*d) - ((9*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d - a^2*d^2)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*b^(5//3)*d^3) + (c^(5//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^3) - (c^(5//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^3) - ((9*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d - a^2*d^2)*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*b^(5//3)*d^3) + (c^(5//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^3), x, 6),
+(x^4*(a + b*x^3)^(1//3)/(c + d*x^3), (x^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(3*d) + ((3*b*c - a*d)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(2//3)*d^2) - (c^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^2) + (c^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^2) + ((3*b*c - a*d)*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*b^(2//3)*d^2) - (c^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^2), x, 5),
+(x^1*(a + b*x^3)^(1//3)/(c + d*x^3), -((b^(1//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d)) + ((b*c - a*d)^(1//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(1//3)*d) - ((b*c - a*d)^(1//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(1//3)*d) - (b^(1//3)*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d) + ((b*c - a*d)^(1//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(1//3)*d), x, 3),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(x^2*(c + d*x^3)), -((a + b*x^3)^(1//3)/(c*x)) - ((b*c - a*d)^(1//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(4//3)) + ((b*c - a*d)^(1//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(4//3)) - ((b*c - a*d)^(1//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(4//3)), x, 3),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(x^5*(c + d*x^3)), -((a + b*x^3)^(1//3)/(4*c*x^4)) - ((b*c - 4*a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))/(4*a*c^2*x) + (d*(b*c - a*d)^(1//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(7//3)) - (d*(b*c - a*d)^(1//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(7//3)) + (d*(b*c - a*d)^(1//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(7//3)), x, 4),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(x^8*(c + d*x^3)), -((a + b*x^3)^(1//3)/(7*c*x^7)) - ((b*c - 7*a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))/(28*a*c^2*x^4) + ((3*b^2*c^2 + 7*a*b*c*d - 28*a^2*d^2)*(a + b*x^3)^(1//3))/(28*a^2*c^3*x) - (d^2*(b*c - a*d)^(1//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(10//3)) + (d^2*(b*c - a*d)^(1//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(10//3)) - (d^2*(b*c - a*d)^(1//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(10//3)), x, 5),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(x^11*(c + d*x^3)), -((a + b*x^3)^(1//3)/(10*c*x^10)) - ((b*c - 10*a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))/(70*a*c^2*x^7) + ((3*b^2*c^2 + 5*a*b*c*d - 35*a^2*d^2)*(a + b*x^3)^(1//3))/(140*a^2*c^3*x^4) - ((9*b^3*c^3 + 15*a*b^2*c^2*d + 35*a^2*b*c*d^2 - 140*a^3*d^3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(140*a^3*c^4*x) + (d^3*(b*c - a*d)^(1//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(13//3)) - (d^3*(b*c - a*d)^(1//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(13//3)) + (d^3*(b*c - a*d)^(1//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(13//3)), x, 6),
+
+(x^6*(a + b*x^3)^(1//3)/(c + d*x^3), (x^7*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(7//3, -(1//3), 1, 10//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(7*c*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 2),
+(x^3*(a + b*x^3)^(1//3)/(c + d*x^3), (x^4*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, -(1//3), 1, 7//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(4*c*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 2),
+(x^0*(a + b*x^3)^(1//3)/(c + d*x^3), (x*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, -(1//3), 1, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(c*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 2),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(x^3*(c + d*x^3)), -(((a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), -(1//3), 1, 1//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*c*x^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3))), x, 2),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(x^6*(c + d*x^3)), -(((a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(5//3), -(1//3), 1, -(2//3), -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(5*c*x^5*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3))), x, 2),
+
+
+(x^11*(a + b*x^3)^(2//3)/(c + d*x^3), -((c^3*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*d^4)) + ((b^2*c^2 + a*b*c*d + a^2*d^2)*(a + b*x^3)^(5//3))/(5*b^3*d^3) - ((b*c + 2*a*d)*(a + b*x^3)^(8//3))/(8*b^3*d^2) + (a + b*x^3)^(11//3)/(11*b^3*d) - (c^3*(b*c - a*d)^(2//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(14//3)) + (c^3*(b*c - a*d)^(2//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^(14//3)) - (c^3*(b*c - a*d)^(2//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(14//3)), x, 8),
+(x^8*(a + b*x^3)^(2//3)/(c + d*x^3), (c^2*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*d^3) - ((b*c + a*d)*(a + b*x^3)^(5//3))/(5*b^2*d^2) + (a + b*x^3)^(8//3)/(8*b^2*d) + (c^2*(b*c - a*d)^(2//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(11//3)) - (c^2*(b*c - a*d)^(2//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^(11//3)) + (c^2*(b*c - a*d)^(2//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(11//3)), x, 8),
+(x^5*(a + b*x^3)^(2//3)/(c + d*x^3), -((c*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*d^2)) + (a + b*x^3)^(5//3)/(5*b*d) - (c*(b*c - a*d)^(2//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(8//3)) + (c*(b*c - a*d)^(2//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^(8//3)) - (c*(b*c - a*d)^(2//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(8//3)), x, 7),
+(x^2*(a + b*x^3)^(2//3)/(c + d*x^3), (a + b*x^3)^(2//3)/(2*d) + ((b*c - a*d)^(2//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(5//3)) - ((b*c - a*d)^(2//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^(5//3)) + ((b*c - a*d)^(2//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(5//3)), x, 6),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(x^1*(c + d*x^3)), (a^(2//3)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*c) - ((b*c - a*d)^(2//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c*d^(2//3)) - (a^(2//3)*log(x))/(2*c) + ((b*c - a*d)^(2//3)*log(c + d*x^3))/(6*c*d^(2//3)) + (a^(2//3)*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c) - ((b*c - a*d)^(2//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c*d^(2//3)), x, 10),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(x^4*(c + d*x^3)), (d*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*c^2) + ((2*b*c - 3*a*d)*(a + b*x^3)^(2//3))/(6*a*c^2) - (a + b*x^3)^(5//3)/(3*a*c*x^3) + ((2*b*c - 3*a*d)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(1//3)*c^2) + (d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^2) - ((2*b*c - 3*a*d)*log(x))/(6*a^(1//3)*c^2) - (d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^2) + ((2*b*c - 3*a*d)*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*a^(1//3)*c^2) + (d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^2), x, 13),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(x^7*(c + d*x^3)), ((b*c + 6*a*d)*(a + b*x^3)^(2//3))/(18*a*c^2*x^3) - (a + b*x^3)^(5//3)/(6*a*c*x^6) - ((b^2*c^2 + 6*a*b*c*d - 9*a^2*d^2)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(4//3)*c^3) - (d^(4//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^3) + ((b^2*c^2 + 6*a*b*c*d - 9*a^2*d^2)*log(x))/(18*a^(4//3)*c^3) + (d^(4//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^3) - ((b^2*c^2 + 6*a*b*c*d - 9*a^2*d^2)*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*a^(4//3)*c^3) - (d^(4//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^3), x, 12),
+
+(x^6*(a + b*x^3)^(2//3)/(c + d*x^3), -(((3*b*c - a*d)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(9*b*d^2)) + (x^4*(a + b*x^3)^(2//3))/(6*d) + ((9*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d - a^2*d^2)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*b^(4//3)*d^3) - (c^(4//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^3) - (c^(4//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^3) + (c^(4//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^3) - ((9*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d - a^2*d^2)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*b^(4//3)*d^3), x, 5),
+(x^3*(a + b*x^3)^(2//3)/(c + d*x^3), (x*(a + b*x^3)^(2//3))/(3*d) - ((3*b*c - 2*a*d)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(1//3)*d^2) + (c^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^2) + (c^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^2) - (c^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^2) + ((3*b*c - 2*a*d)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*b^(1//3)*d^2), x, 4),
+(x^0*(a + b*x^3)^(2//3)/(c + d*x^3), (b^(2//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d) - ((b*c - a*d)^(2//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(2//3)*d) - ((b*c - a*d)^(2//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(2//3)*d) + ((b*c - a*d)^(2//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(2//3)*d) - (b^(2//3)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d), x, 3),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(x^3*(c + d*x^3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(2*c*x^2)) + ((b*c - a*d)^(2//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(5//3)) + ((b*c - a*d)^(2//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(5//3)) - ((b*c - a*d)^(2//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(5//3)), x, 3),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(x^6*(c + d*x^3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(5*c*x^5)) - ((2*b*c - 5*a*d)*(a + b*x^3)^(2//3))/(10*a*c^2*x^2) - (d*(b*c - a*d)^(2//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(8//3)) - (d*(b*c - a*d)^(2//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(8//3)) + (d*(b*c - a*d)^(2//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(8//3)), x, 4),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(x^9*(c + d*x^3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(8*c*x^8)) - ((b*c - 4*a*d)*(a + b*x^3)^(2//3))/(20*a*c^2*x^5) + ((3*b^2*c^2 + 8*a*b*c*d - 20*a^2*d^2)*(a + b*x^3)^(2//3))/(40*a^2*c^3*x^2) + (d^2*(b*c - a*d)^(2//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(11//3)) + (d^2*(b*c - a*d)^(2//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(11//3)) - (d^2*(b*c - a*d)^(2//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(11//3)), x, 5),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(x^12*(c + d*x^3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(11*c*x^11)) - ((2*b*c - 11*a*d)*(a + b*x^3)^(2//3))/(88*a*c^2*x^8) + ((6*b^2*c^2 + 11*a*b*c*d - 44*a^2*d^2)*(a + b*x^3)^(2//3))/(220*a^2*c^3*x^5) - ((18*b^3*c^3 + 33*a*b^2*c^2*d + 88*a^2*b*c*d^2 - 220*a^3*d^3)*(a + b*x^3)^(2//3))/(440*a^3*c^4*x^2) - (d^3*(b*c - a*d)^(2//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(14//3)) - (d^3*(b*c - a*d)^(2//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(14//3)) + (d^3*(b*c - a*d)^(2//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(14//3)), x, 6),
+
+(x^7*(a + b*x^3)^(2//3)/(c + d*x^3), (x^8*(a + b*x^3)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(8//3, -(2//3), 1, 11//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(8*c*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)), x, 2),
+(x^4*(a + b*x^3)^(2//3)/(c + d*x^3), (x^5*(a + b*x^3)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(5//3, -(2//3), 1, 8//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(5*c*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)), x, 2),
+(x^1*(a + b*x^3)^(2//3)/(c + d*x^3), (x^2*(a + b*x^3)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, -(2//3), 1, 5//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*c*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)), x, 2),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(x^2*(c + d*x^3)), -(((a + b*x^3)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//3), -(2//3), 1, 2//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(c*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3))), x, 2),
+((a + b*x^3)^(2//3)/(x^5*(c + d*x^3)), -(((a + b*x^3)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(4//3), -(2//3), 1, -(1//3), -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(4*c*x^4*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3))), x, 2),
+
+
+(x^8*(a + b*x^3)^(4//3)/(c + d*x^3), -((c^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))/d^4) + (c^2*(a + b*x^3)^(4//3))/(4*d^3) - ((b*c + a*d)*(a + b*x^3)^(7//3))/(7*b^2*d^2) + (a + b*x^3)^(10//3)/(10*b^2*d) - (c^2*(b*c - a*d)^(4//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(13//3)) - (c^2*(b*c - a*d)^(4//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^(13//3)) + (c^2*(b*c - a*d)^(4//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(13//3)), x, 9),
+(x^5*(a + b*x^3)^(4//3)/(c + d*x^3), (c*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))/d^3 - (c*(a + b*x^3)^(4//3))/(4*d^2) + (a + b*x^3)^(7//3)/(7*b*d) + (c*(b*c - a*d)^(4//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(10//3)) + (c*(b*c - a*d)^(4//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^(10//3)) - (c*(b*c - a*d)^(4//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(10//3)), x, 8),
+(x^2*(a + b*x^3)^(4//3)/(c + d*x^3), -(((b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))/d^2) + (a + b*x^3)^(4//3)/(4*d) - ((b*c - a*d)^(4//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(7//3)) - ((b*c - a*d)^(4//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^(7//3)) + ((b*c - a*d)^(4//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(7//3)), x, 7),
+((a + b*x^3)^(4//3)/(x^1*(c + d*x^3)), (b*(a + b*x^3)^(1//3))/d - (a^(4//3)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*c) + ((b*c - a*d)^(4//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c*d^(4//3)) - (a^(4//3)*log(x))/(2*c) + ((b*c - a*d)^(4//3)*log(c + d*x^3))/(6*c*d^(4//3)) + (a^(4//3)*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c) - ((b*c - a*d)^(4//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c*d^(4//3)), x, 11),
+((a + b*x^3)^(4//3)/(x^4*(c + d*x^3)), ((4*b*c - 3*a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))/(3*c^2) - ((b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))/c^2 + (d*(a + b*x^3)^(4//3))/(4*c^2) + ((4*b*c - 3*a*d)*(a + b*x^3)^(4//3))/(12*a*c^2) - (a + b*x^3)^(7//3)/(3*a*c*x^3) - (a^(1//3)*(4*b*c - 3*a*d)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*c^2) - ((b*c - a*d)^(4//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^2*d^(1//3)) - (a^(1//3)*(4*b*c - 3*a*d)*log(x))/(6*c^2) - ((b*c - a*d)^(4//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^2*d^(1//3)) + (a^(1//3)*(4*b*c - 3*a*d)*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*c^2) + ((b*c - a*d)^(4//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^2*d^(1//3)), x, 15),
+((a + b*x^3)^(4//3)/(x^7*(c + d*x^3)), (d*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))/c^3 + ((2*b^2*c^2 - 12*a*b*c*d + 9*a^2*d^2)*(a + b*x^3)^(1//3))/(9*a*c^3) - ((b*c - 6*a*d)*(a + b*x^3)^(4//3))/(18*a*c^2*x^3) - (a + b*x^3)^(7//3)/(6*a*c*x^6) - ((2*b^2*c^2 - 12*a*b*c*d + 9*a^2*d^2)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(2//3)*c^3) + (d^(2//3)*(b*c - a*d)^(4//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^3) - ((2*b^2*c^2 - 12*a*b*c*d + 9*a^2*d^2)*log(x))/(18*a^(2//3)*c^3) + (d^(2//3)*(b*c - a*d)^(4//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^3) + ((2*b^2*c^2 - 12*a*b*c*d + 9*a^2*d^2)*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*a^(2//3)*c^3) - (d^(2//3)*(b*c - a*d)^(4//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^3), x, 14),
+
+(x^4*(a + b*x^3)^(4//3)/(c + d*x^3), -(((6*b*c - 7*a*d)*x^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(18*d^2)) + (b*x^5*(a + b*x^3)^(1//3))/(6*d) - ((9*b^2*c^2 - 12*a*b*c*d + 2*a^2*d^2)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*b^(2//3)*d^3) + (c^(2//3)*(b*c - a*d)^(4//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^3) - (c^(2//3)*(b*c - a*d)^(4//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^3) - ((9*b^2*c^2 - 12*a*b*c*d + 2*a^2*d^2)*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*b^(2//3)*d^3) + (c^(2//3)*(b*c - a*d)^(4//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^3), x, 6),
+(x^1*(a + b*x^3)^(4//3)/(c + d*x^3), (b*x^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(3*d) + (b^(1//3)*(3*b*c - 4*a*d)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*d^2) - ((b*c - a*d)^(4//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(1//3)*d^2) + ((b*c - a*d)^(4//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(1//3)*d^2) + (b^(1//3)*(3*b*c - 4*a*d)*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*d^2) - ((b*c - a*d)^(4//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(1//3)*d^2), x, 5),
+((a + b*x^3)^(4//3)/(x^2*(c + d*x^3)), -((a*(a + b*x^3)^(1//3))/(c*x)) - (b^(4//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d) + ((b*c - a*d)^(4//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(4//3)*d) - ((b*c - a*d)^(4//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(4//3)*d) - (b^(4//3)*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d) + ((b*c - a*d)^(4//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(4//3)*d), x, 5),
+((a + b*x^3)^(4//3)/(x^5*(c + d*x^3)), -((a*(a + b*x^3)^(1//3))/(4*c*x^4)) - ((5*b*c - 4*a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))/(4*c^2*x) - ((b*c - a*d)^(4//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(7//3)) + ((b*c - a*d)^(4//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(7//3)) - ((b*c - a*d)^(4//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(7//3)), x, 4),
+((a + b*x^3)^(4//3)/(x^8*(c + d*x^3)), -((a*(a + b*x^3)^(1//3))/(7*c*x^7)) - ((8*b*c - 7*a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))/(28*c^2*x^4) - ((4*b^2*c^2 - 35*a*b*c*d + 28*a^2*d^2)*(a + b*x^3)^(1//3))/(28*a*c^3*x) + (d*(b*c - a*d)^(4//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(10//3)) - (d*(b*c - a*d)^(4//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(10//3)) + (d*(b*c - a*d)^(4//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(10//3)), x, 5),
+((a + b*x^3)^(4//3)/(x^11*(c + d*x^3)), -((a*(a + b*x^3)^(1//3))/(10*c*x^10)) - ((11*b*c - 10*a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))/(70*c^2*x^7) - ((2*b^2*c^2 - 40*a*b*c*d + 35*a^2*d^2)*(a + b*x^3)^(1//3))/(140*a*c^3*x^4) + ((6*b^3*c^3 + 20*a*b^2*c^2*d - 175*a^2*b*c*d^2 + 140*a^3*d^3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(140*a^2*c^4*x) - (d^2*(b*c - a*d)^(4//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(13//3)) + (d^2*(b*c - a*d)^(4//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(13//3)) - (d^2*(b*c - a*d)^(4//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(13//3)), x, 6),
+((a + b*x^3)^(4//3)/(x^14*(c + d*x^3)), -((a*(a + b*x^3)^(1//3))/(13*c*x^13)) - ((14*b*c - 13*a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))/(130*c^2*x^10) - ((4*b^2*c^2 - 143*a*b*c*d + 130*a^2*d^2)*(a + b*x^3)^(1//3))/(910*a*c^3*x^7) + ((12*b^3*c^3 + 26*a*b^2*c^2*d - 520*a^2*b*c*d^2 + 455*a^3*d^3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(1820*a^2*c^4*x^4) - ((36*b^4*c^4 + 78*a*b^3*c^3*d + 260*a^2*b^2*c^2*d^2 - 2275*a^3*b*c*d^3 + 1820*a^4*d^4)*(a + b*x^3)^(1//3))/(1820*a^3*c^5*x) + (d^3*(b*c - a*d)^(4//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(16//3)) - (d^3*(b*c - a*d)^(4//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^(16//3)) + (d^3*(b*c - a*d)^(4//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(16//3)), x, 7),
+
+(x^6*(a + b*x^3)^(4//3)/(c + d*x^3), (a*x^7*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(7//3, -(4//3), 1, 10//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(7*c*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 2),
+(x^3*(a + b*x^3)^(4//3)/(c + d*x^3), (a*x^4*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, -(4//3), 1, 7//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(4*c*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 2),
+(x^0*(a + b*x^3)^(4//3)/(c + d*x^3), (a*x*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, -(4//3), 1, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(c*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)), x, 2),
+((a + b*x^3)^(4//3)/(x^3*(c + d*x^3)), -((a*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), -(4//3), 1, 1//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*c*x^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3))), x, 2),
+((a + b*x^3)^(4//3)/(x^6*(c + d*x^3)), -((a*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(5//3), -(4//3), 1, -(2//3), -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(5*c*x^5*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3))), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^14/((a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), -(((b*c + a*d)*(b^2*c^2 + a^2*d^2)*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*b^4*d^4)) + ((b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*(a + b*x^3)^(5//3))/(5*b^4*d^3) - ((b*c + 3*a*d)*(a + b*x^3)^(8//3))/(8*b^4*d^2) + (a + b*x^3)^(11//3)/(11*b^4*d) - (c^4*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(14//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) + (c^4*log(c + d*x^3))/(6*d^(14//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) - (c^4*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(14//3)*(b*c - a*d)^(1//3)), x, 7),
+(x^11/((a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), ((b^2*c^2 + a*b*c*d + a^2*d^2)*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*b^3*d^3) - ((b*c + 2*a*d)*(a + b*x^3)^(5//3))/(5*b^3*d^2) + (a + b*x^3)^(8//3)/(8*b^3*d) + (c^3*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(11//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) - (c^3*log(c + d*x^3))/(6*d^(11//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) + (c^3*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(11//3)*(b*c - a*d)^(1//3)), x, 7),
+(x^8/((a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), -(((b*c + a*d)*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*b^2*d^2)) + (a + b*x^3)^(5//3)/(5*b^2*d) - (c^2*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(8//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) + (c^2*log(c + d*x^3))/(6*d^(8//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) - (c^2*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(8//3)*(b*c - a*d)^(1//3)), x, 7),
+(x^5/((a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), (a + b*x^3)^(2//3)/(2*b*d) + (c*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(5//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) - (c*log(c + d*x^3))/(6*d^(5//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) + (c*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(5//3)*(b*c - a*d)^(1//3)), x, 6),
+(x^2/((a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), -(atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*d^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3))) + log(c + d*x^3)/(6*d^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) - log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(2*d^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)), x, 5),
+(1/(x^1*(a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(1//3)*c) + (d^(1//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c*(b*c - a*d)^(1//3)) - log(x)/(2*a^(1//3)*c) - (d^(1//3)*log(c + d*x^3))/(6*c*(b*c - a*d)^(1//3)) + log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3))/(2*a^(1//3)*c) + (d^(1//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c*(b*c - a*d)^(1//3)), x, 10),
+(1/(x^4*(a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(3*a*c*x^3)) - ((b*c + 3*a*d)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(4//3)*c^2) - (d^(4//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^2*(b*c - a*d)^(1//3)) + ((b*c + 3*a*d)*log(x))/(6*a^(4//3)*c^2) + (d^(4//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^2*(b*c - a*d)^(1//3)) - ((b*c + 3*a*d)*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*a^(4//3)*c^2) - (d^(4//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^2*(b*c - a*d)^(1//3)), x, 11),
+
+(x^6/((a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), (x*(a + b*x^3)^(2//3))/(3*b*d) - ((3*b*c + a*d)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(4//3)*d^2) + (c^(4//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^2*(b*c - a*d)^(1//3)) + (c^(4//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^2*(b*c - a*d)^(1//3)) - (c^(4//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^2*(b*c - a*d)^(1//3)) + ((3*b*c + a*d)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*b^(4//3)*d^2), x, 4),
+(x^3/((a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*b^(1//3)*d) - (c^(1//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d*(b*c - a*d)^(1//3)) - (c^(1//3)*log(c + d*x^3))/(6*d*(b*c - a*d)^(1//3)) + (c^(1//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d*(b*c - a*d)^(1//3)) - log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3))/(2*b^(1//3)*d), x, 3),
+(x^0/((a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3))/(sqrt(3)*c^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) + log(c + d*x^3)/(6*c^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) - log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3))/(2*c^(2//3)*(b*c - a*d)^(1//3)), x, 1),
+(1/(x^3*(a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(2*a*c*x^2)) - (d*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(5//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) - (d*log(c + d*x^3))/(6*c^(5//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) + (d*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(5//3)*(b*c - a*d)^(1//3)), x, 3),
+(1/(x^6*(a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(5*a*c*x^5)) + ((3*b*c + 5*a*d)*(a + b*x^3)^(2//3))/(10*a^2*c^2*x^2) + (d^2*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) + (d^2*log(c + d*x^3))/(6*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) - (d^2*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(1//3)), x, 4),
+(1/(x^9*(a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), -((a + b*x^3)^(2//3)/(8*a*c*x^8)) + ((3*b*c + 4*a*d)*(a + b*x^3)^(2//3))/(20*a^2*c^2*x^5) - ((9*b^2*c^2 + 12*a*b*c*d + 20*a^2*d^2)*(a + b*x^3)^(2//3))/(40*a^3*c^3*x^2) - (d^3*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(11//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) - (d^3*log(c + d*x^3))/(6*c^(11//3)*(b*c - a*d)^(1//3)) + (d^3*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(11//3)*(b*c - a*d)^(1//3)), x, 5),
+
+(x^7/((a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), (x^8*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(8//3, 1//3, 1, 11//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(8*c*(a + b*x^3)^(1//3)), x, 2),
+(x^4/((a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), (x^5*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(5//3, 1//3, 1, 8//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(5*c*(a + b*x^3)^(1//3)), x, 2),
+(x^1/((a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), (x^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 1//3, 1, 5//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*c*(a + b*x^3)^(1//3)), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), -(((1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//3), 1//3, 1, 2//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(c*x*(a + b*x^3)^(1//3))), x, 2),
+(1/(x^5*(a + b*x^3)^(1//3)*(c + d*x^3)), -(((1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(4//3), 1//3, 1, -(1//3), -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(4*c*x^4*(a + b*x^3)^(1//3))), x, 2),
+
+
+(x^11/((a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)), ((b^2*c^2 + a*b*c*d + a^2*d^2)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b^3*d^3) - ((b*c + 2*a*d)*(a + b*x^3)^(4//3))/(4*b^3*d^2) + (a + b*x^3)^(7//3)/(7*b^3*d) + (c^3*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(10//3)*(b*c - a*d)^(2//3)) + (c^3*log(c + d*x^3))/(6*d^(10//3)*(b*c - a*d)^(2//3)) - (c^3*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(10//3)*(b*c - a*d)^(2//3)), x, 7),
+(x^8/((a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)), -(((b*c + a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b^2*d^2)) + (a + b*x^3)^(4//3)/(4*b^2*d) - (c^2*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(7//3)*(b*c - a*d)^(2//3)) - (c^2*log(c + d*x^3))/(6*d^(7//3)*(b*c - a*d)^(2//3)) + (c^2*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(7//3)*(b*c - a*d)^(2//3)), x, 7),
+(x^5/((a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)), (a + b*x^3)^(1//3)/(b*d) + (c*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(4//3)*(b*c - a*d)^(2//3)) + (c*log(c + d*x^3))/(6*d^(4//3)*(b*c - a*d)^(2//3)) - (c*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(4//3)*(b*c - a*d)^(2//3)), x, 6),
+(x^2/((a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)), -(atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3))) - log(c + d*x^3)/(6*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)) + log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(2*d^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)), x, 5),
+(1/(x^1*(a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)), -(atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(2//3)*c)) + (d^(2//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c*(b*c - a*d)^(2//3)) - log(x)/(2*a^(2//3)*c) + (d^(2//3)*log(c + d*x^3))/(6*c*(b*c - a*d)^(2//3)) + log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3))/(2*a^(2//3)*c) - (d^(2//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c*(b*c - a*d)^(2//3)), x, 10),
+(1/(x^4*(a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)), -((a + b*x^3)^(1//3)/(3*a*c*x^3)) + ((2*b*c + 3*a*d)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*c^2) - (d^(5//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^2*(b*c - a*d)^(2//3)) + ((2*b*c + 3*a*d)*log(x))/(6*a^(5//3)*c^2) - (d^(5//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^2*(b*c - a*d)^(2//3)) - ((2*b*c + 3*a*d)*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*a^(5//3)*c^2) + (d^(5//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^2*(b*c - a*d)^(2//3)), x, 11),
+
+(x^7/((a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)), (x^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(3*b*d) + ((3*b*c + 2*a*d)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(5//3)*d^2) - (c^(5//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^2*(b*c - a*d)^(2//3)) + (c^(5//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^2*(b*c - a*d)^(2//3)) + ((3*b*c + 2*a*d)*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*b^(5//3)*d^2) - (c^(5//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^2*(b*c - a*d)^(2//3)), x, 5),
+(x^4/((a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)), -(atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*b^(2//3)*d)) + (c^(2//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d*(b*c - a*d)^(2//3)) - (c^(2//3)*log(c + d*x^3))/(6*d*(b*c - a*d)^(2//3)) - log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3))/(2*b^(2//3)*d) + (c^(2//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d*(b*c - a*d)^(2//3)), x, 3),
+(x^1/((a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)), -(atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3))/(sqrt(3)*c^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3))) + log(c + d*x^3)/(6*c^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)) - log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3))/(2*c^(1//3)*(b*c - a*d)^(2//3)), x, 1),
+(1/(x^2*(a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)), -((a + b*x^3)^(1//3)/(a*c*x)) + (d*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(4//3)*(b*c - a*d)^(2//3)) - (d*log(c + d*x^3))/(6*c^(4//3)*(b*c - a*d)^(2//3)) + (d*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(4//3)*(b*c - a*d)^(2//3)), x, 3),
+(1/(x^5*(a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)), -((a + b*x^3)^(1//3)/(4*a*c*x^4)) + ((3*b*c + 4*a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))/(4*a^2*c^2*x) - (d^2*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(7//3)*(b*c - a*d)^(2//3)) + (d^2*log(c + d*x^3))/(6*c^(7//3)*(b*c - a*d)^(2//3)) - (d^2*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(7//3)*(b*c - a*d)^(2//3)), x, 4),
+
+(x^6/((a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)), (x^7*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(7//3, 2//3, 1, 10//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(7*c*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 2),
+(x^3/((a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)), (x^4*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 2//3, 1, 7//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(4*c*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 2),
+(x^0/((a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)), (x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 2//3, 1, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(c*(a + b*x^3)^(2//3)), x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x^3)^(2//3)*(c + d*x^3)), -(((1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), 2//3, 1, 1//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*c*x^2*(a + b*x^3)^(2//3))), x, 2),
+
+
+(x^14/((a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), -(a^4/(b^4*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))) + (a^2*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*b^4*d) + (a*(b*c + a*d)*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*b^4*d^2) + ((b^2*c^2 + a*b*c*d + a^2*d^2)*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*b^4*d^3) - (2*a*(a + b*x^3)^(5//3))/(5*b^4*d) - ((b*c + a*d)*(a + b*x^3)^(5//3))/(5*b^4*d^2) + (a + b*x^3)^(8//3)/(8*b^4*d) + (c^4*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(11//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) - (c^4*log(c + d*x^3))/(6*d^(11//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) + (c^4*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(11//3)*(b*c - a*d)^(4//3)), x, 11),
+(x^11/((a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), a^3/(b^3*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3)) - (a*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*b^3*d) - ((b*c + a*d)*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*b^3*d^2) + (a + b*x^3)^(5//3)/(5*b^3*d) - (c^3*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(8//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) + (c^3*log(c + d*x^3))/(6*d^(8//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) - (c^3*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(8//3)*(b*c - a*d)^(4//3)), x, 9),
+(x^8/((a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), -(a^2/(b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))) + (a + b*x^3)^(2//3)/(2*b^2*d) + (c^2*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(5//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) - (c^2*log(c + d*x^3))/(6*d^(5//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) + (c^2*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(5//3)*(b*c - a*d)^(4//3)), x, 7),
+(x^5/((a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), a/(b*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3)) - (c*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^(2//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) + (c*log(c + d*x^3))/(6*d^(2//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) - (c*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^(2//3)*(b*c - a*d)^(4//3)), x, 6),
+(x^2/((a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), -(1/((b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))) + (d^(1//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*(b*c - a*d)^(4//3)) - (d^(1//3)*log(c + d*x^3))/(6*(b*c - a*d)^(4//3)) + (d^(1//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*(b*c - a*d)^(4//3)), x, 6),
+(1/(x^1*(a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), b/(a*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3)) + atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(4//3)*c) - (d^(4//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c*(b*c - a*d)^(4//3)) - log(x)/(2*a^(4//3)*c) + (d^(4//3)*log(c + d*x^3))/(6*c*(b*c - a*d)^(4//3)) + log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3))/(2*a^(4//3)*c) - (d^(4//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c*(b*c - a*d)^(4//3)), x, 11),
+(1/(x^4*(a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), -(d^2/(c^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))) - (4*b*c + 3*a*d)/(3*a^2*c^2*(a + b*x^3)^(1//3)) - 1/(3*a*c*x^3*(a + b*x^3)^(1//3)) - ((4*b*c + 3*a*d)*atan((a^(1//3) + 2*(a + b*x^3)^(1//3))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(7//3)*c^2) + (d^(7//3)*atan((1 - (2*d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c - a*d)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^2*(b*c - a*d)^(4//3)) + ((4*b*c + 3*a*d)*log(x))/(6*a^(7//3)*c^2) - (d^(7//3)*log(c + d*x^3))/(6*c^2*(b*c - a*d)^(4//3)) - ((4*b*c + 3*a*d)*log(a^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*a^(7//3)*c^2) + (d^(7//3)*log((b*c - a*d)^(1//3) + d^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^2*(b*c - a*d)^(4//3)), x, 13),
+
+(x^9/((a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), (a*x^4)/(b*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3)) + ((b*c - 4*a*d)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(3*b^2*d*(b*c - a*d)) - ((3*b*c + 4*a*d)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(7//3)*d^2) + (c^(7//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^2*(b*c - a*d)^(4//3)) + (c^(7//3)*log(c + d*x^3))/(6*d^2*(b*c - a*d)^(4//3)) - (c^(7//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^2*(b*c - a*d)^(4//3)) + ((3*b*c + 4*a*d)*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*b^(7//3)*d^2), x, 5),
+(x^6/((a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), (a*x)/(b*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3)) + atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*b^(4//3)*d) - (c^(4//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d*(b*c - a*d)^(4//3)) - (c^(4//3)*log(c + d*x^3))/(6*d*(b*c - a*d)^(4//3)) + (c^(4//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d*(b*c - a*d)^(4//3)) - log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3))/(2*b^(4//3)*d), x, 4),
+(x^3/((a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), -(x/((b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3))) + (c^(1//3)*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*(b*c - a*d)^(4//3)) + (c^(1//3)*log(c + d*x^3))/(6*(b*c - a*d)^(4//3)) - (c^(1//3)*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*(b*c - a*d)^(4//3)), x, 3),
+(x^0/((a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), (b*x)/(a*(b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(1//3)) - (d*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(2//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) - (d*log(c + d*x^3))/(6*c^(2//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) + (d*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(2//3)*(b*c - a*d)^(4//3)), x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), b/(a*(b*c - a*d)*x^2*(a + b*x^3)^(1//3)) - ((3*b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*a^2*c*(b*c - a*d)*x^2) + (d^2*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(5//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) + (d^2*log(c + d*x^3))/(6*c^(5//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) - (d^2*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(5//3)*(b*c - a*d)^(4//3)), x, 4),
+(1/(x^6*(a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), b/(a*(b*c - a*d)*x^5*(a + b*x^3)^(1//3)) - ((6*b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(2//3))/(5*a^2*c*(b*c - a*d)*x^5) + ((18*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*(a + b*x^3)^(2//3))/(10*a^3*c^2*(b*c - a*d)*x^2) - (d^3*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) - (d^3*log(c + d*x^3))/(6*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) + (d^3*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(8//3)*(b*c - a*d)^(4//3)), x, 5),
+(1/(x^9*(a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), b/(a*(b*c - a*d)*x^8*(a + b*x^3)^(1//3)) - ((9*b*c - a*d)*(a + b*x^3)^(2//3))/(8*a^2*c*(b*c - a*d)*x^8) + ((9*b*c - 4*a*d)*(3*b*c + a*d)*(a + b*x^3)^(2//3))/(20*a^3*c^2*(b*c - a*d)*x^5) - ((81*b^3*c^3 - 9*a*b^2*c^2*d - 12*a^2*b*c*d^2 - 20*a^3*d^3)*(a + b*x^3)^(2//3))/(40*a^4*c^3*(b*c - a*d)*x^2) + (d^4*atan((1 + (2*(b*c - a*d)^(1//3)*x)/(c^(1//3)*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c^(11//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) + (d^4*log(c + d*x^3))/(6*c^(11//3)*(b*c - a*d)^(4//3)) - (d^4*log(((b*c - a*d)^(1//3)*x)/c^(1//3) - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*c^(11//3)*(b*c - a*d)^(4//3)), x, 6),
+
+(x^10/((a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), (x^11*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(11//3, 4//3, 1, 14//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(11*a*c*(a + b*x^3)^(1//3)), x, 2),
+(x^7/((a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), (x^8*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(8//3, 4//3, 1, 11//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(8*a*c*(a + b*x^3)^(1//3)), x, 2),
+(x^4/((a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), (x^5*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(5//3, 4//3, 1, 8//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(5*a*c*(a + b*x^3)^(1//3)), x, 2),
+(x^1/((a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), (x^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 4//3, 1, 5//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(2*a*c*(a + b*x^3)^(1//3)), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), -(((1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//3), 4//3, 1, 2//3, -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(a*c*x*(a + b*x^3)^(1//3))), x, 2),
+(1/(x^5*(a + b*x^3)^(4//3)*(c + d*x^3)), -(((1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(4//3), 4//3, 1, -(1//3), -((b*x^3)/a), -((d*x^3)/c)))/(4*a*c*x^4*(a + b*x^3)^(1//3))), x, 2),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^4)^p (c+d x^4)^q
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^4)^p (c+d x^4)^q
+
+
+# ::Subsubsection::
+# q>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+(x^15/((a + b*x^4)*(c + d*x^4)), -(((b*c + a*d)*x^4)/(4*b^2*d^2)) + x^8/(8*b*d) - (a^3*log(a + b*x^4))/(4*b^3*(b*c - a*d)) + (c^3*log(c + d*x^4))/(4*d^3*(b*c - a*d)), x, 3),
+(x^11/((a + b*x^4)*(c + d*x^4)), x^4/(4*b*d) + (a^2*log(a + b*x^4))/(4*b^2*(b*c - a*d)) - (c^2*log(c + d*x^4))/(4*d^2*(b*c - a*d)), x, 3),
+(x^7/((a + b*x^4)*(c + d*x^4)), -((a*log(a + b*x^4))/(4*b*(b*c - a*d))) + (c*log(c + d*x^4))/(4*d*(b*c - a*d)), x, 3),
+(x^3/((a + b*x^4)*(c + d*x^4)), log(a + b*x^4)/(4*(b*c - a*d)) - log(c + d*x^4)/(4*(b*c - a*d)), x, 4),
+(1/(x^1*(a + b*x^4)*(c + d*x^4)), log(x)/(a*c) - (b*log(a + b*x^4))/(4*a*(b*c - a*d)) + (d*log(c + d*x^4))/(4*c*(b*c - a*d)), x, 3),
+(1/(x^5*(a + b*x^4)*(c + d*x^4)), -(1/(4*a*c*x^4)) - ((b*c + a*d)*log(x))/(a^2*c^2) + (b^2*log(a + b*x^4))/(4*a^2*(b*c - a*d)) - (d^2*log(c + d*x^4))/(4*c^2*(b*c - a*d)), x, 3),
+
+(x^13/((a + b*x^4)*(c + d*x^4)), -(((b*c + a*d)*x^2)/(2*b^2*d^2)) + x^6/(6*b*d) - (a^(5//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*b^(5//2)*(b*c - a*d)) + (c^(5//2)*atan((sqrt(d)*x^2)/sqrt(c)))/(2*d^(5//2)*(b*c - a*d)), x, 6),
+(x^9/((a + b*x^4)*(c + d*x^4)), x^2/(2*b*d) + (a^(3//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*b^(3//2)*(b*c - a*d)) - (c^(3//2)*atan((sqrt(d)*x^2)/sqrt(c)))/(2*d^(3//2)*(b*c - a*d)), x, 5),
+(x^5/((a + b*x^4)*(c + d*x^4)), -((sqrt(a)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(b)*(b*c - a*d))) + (sqrt(c)*atan((sqrt(d)*x^2)/sqrt(c)))/(2*sqrt(d)*(b*c - a*d)), x, 4),
+(x^1/((a + b*x^4)*(c + d*x^4)), (sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*(b*c - a*d)) - (sqrt(d)*atan((sqrt(d)*x^2)/sqrt(c)))/(2*sqrt(c)*(b*c - a*d)), x, 4),
+(1/(x^3*(a + b*x^4)*(c + d*x^4)), -(1/(2*a*c*x^2)) - (b^(3//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*(b*c - a*d)) + (d^(3//2)*atan((sqrt(d)*x^2)/sqrt(c)))/(2*c^(3//2)*(b*c - a*d)), x, 5),
+(1/(x^7*(a + b*x^4)*(c + d*x^4)), -(1/(6*a*c*x^6)) + (b*c + a*d)/(2*a^2*c^2*x^2) + (b^(5//2)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)*(b*c - a*d)) - (d^(5//2)*atan((sqrt(d)*x^2)/sqrt(c)))/(2*c^(5//2)*(b*c - a*d)), x, 6),
+
+(x^8/((a + b*x^4)*(c + d*x^4)), x/(b*d) - (a^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*b^(5//4)*(b*c - a*d)) + (a^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*b^(5//4)*(b*c - a*d)) + (c^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*d^(5//4)*(b*c - a*d)) - (c^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*d^(5//4)*(b*c - a*d)) - (a^(5//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*b^(5//4)*(b*c - a*d)) + (a^(5//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*b^(5//4)*(b*c - a*d)) + (c^(5//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*d^(5//4)*(b*c - a*d)) - (c^(5//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*d^(5//4)*(b*c - a*d)), x, 20),
+(x^6/((a + b*x^4)*(c + d*x^4)), (a^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*b^(3//4)*(b*c - a*d)) - (a^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*b^(3//4)*(b*c - a*d)) - (c^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*d^(3//4)*(b*c - a*d)) + (c^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*d^(3//4)*(b*c - a*d)) - (a^(3//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*b^(3//4)*(b*c - a*d)) + (a^(3//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*b^(3//4)*(b*c - a*d)) + (c^(3//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*d^(3//4)*(b*c - a*d)) - (c^(3//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*d^(3//4)*(b*c - a*d)), x, 19),
+(x^4/((a + b*x^4)*(c + d*x^4)), (a^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*b^(1//4)*(b*c - a*d)) - (a^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*b^(1//4)*(b*c - a*d)) - (c^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)) + (c^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)) + (a^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*b^(1//4)*(b*c - a*d)) - (a^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*b^(1//4)*(b*c - a*d)) - (c^(1//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)) + (c^(1//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*d^(1//4)*(b*c - a*d)), x, 19),
+(x^2/((a + b*x^4)*(c + d*x^4)), -((b^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d))) + (b^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)) + (d^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(1//4)*(b*c - a*d)) - (d^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(1//4)*(b*c - a*d)) + (b^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)) - (b^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*(b*c - a*d)) - (d^(1//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(1//4)*(b*c - a*d)) + (d^(1//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(1//4)*(b*c - a*d)), x, 19),
+(x^0/((a + b*x^4)*(c + d*x^4)), -((b^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d))) + (b^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)) + (d^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)) - (d^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)) - (b^(3//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)) + (b^(3//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(b*c - a*d)) + (d^(3//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)) - (d^(3//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*(b*c - a*d)), x, 19),
+(1/(x^2*(a + b*x^4)*(c + d*x^4)), -(1/(a*c*x)) + (b^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)) - (b^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)) - (d^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)) + (d^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)) - (b^(5//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)) + (b^(5//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*(b*c - a*d)) + (d^(5//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)) - (d^(5//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(5//4)*(b*c - a*d)), x, 21),
+(1/(x^4*(a + b*x^4)*(c + d*x^4)), -(1/(3*a*c*x^3)) + (b^(7//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)) - (b^(7//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)) - (d^(7//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)) + (d^(7//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)) + (b^(7//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)) - (b^(7//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)*(b*c - a*d)) - (d^(7//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)) + (d^(7//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(7//4)*(b*c - a*d)), x, 20),
+(1/(x^6*(a + b*x^4)*(c + d*x^4)), -(1/(5*a*c*x^5)) + (b*c + a*d)/(a^2*c^2*x) - (b^(9//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)) + (b^(9//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)) + (d^(9//4)*atan(1 - (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)) - (d^(9//4)*atan(1 + (sqrt(2)*d^(1//4)*x)/c^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)) + (b^(9//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)) - (b^(9//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(9//4)*(b*c - a*d)) - (d^(9//4)*log(sqrt(c) - sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)) + (d^(9//4)*log(sqrt(c) + sqrt(2)*c^(1//4)*d^(1//4)*x + sqrt(d)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(9//4)*(b*c - a*d)), x, 22),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^4)^p (c+d x^4)^(q/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^4)^p (c+d x^4)^(1/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^7*sqrt(c + d*x^4)/(a + b*x^4), -((a*sqrt(c + d*x^4))/(2*b^2)) + (c + d*x^4)^(3//2)/(6*b*d) + (a*sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^4))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*b^(5//2)), x, 5),
+(x^5*sqrt(c + d*x^4)/(a + b*x^4), (x^2*sqrt(c + d*x^4))/(4*b) - (sqrt(a)*sqrt(b*c - a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^4))))/(2*b^2) + ((b*c - 2*a*d)*atanh((sqrt(d)*x^2)/sqrt(c + d*x^4)))/(4*b^2*sqrt(d)), x, 7),
+(x^3*sqrt(c + d*x^4)/(a + b*x^4), sqrt(c + d*x^4)/(2*b) - (sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^4))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*b^(3//2)), x, 4),
+(x^1*sqrt(c + d*x^4)/(a + b*x^4), (sqrt(b*c - a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^4))))/(2*sqrt(a)*b) + (sqrt(d)*atanh((sqrt(d)*x^2)/sqrt(c + d*x^4)))/(2*b), x, 6),
+(sqrt(c + d*x^4)/(x^1*(a + b*x^4)), -((sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x^4)/sqrt(c)))/(2*a)) + (sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^4))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*a*sqrt(b)), x, 6),
+(sqrt(c + d*x^4)/(x^3*(a + b*x^4)), -(sqrt(c + d*x^4)/(2*a*x^2)) - (sqrt(b*c - a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^4))))/(2*a^(3//2)), x, 5),
+(sqrt(c + d*x^4)/(x^5*(a + b*x^4)), -(sqrt(c + d*x^4)/(4*a*x^4)) + ((2*b*c - a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^4)/sqrt(c)))/(4*a^2*sqrt(c)) - (sqrt(b)*sqrt(b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^4))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*a^2), x, 7),
+(sqrt(c + d*x^4)/(x^7*(a + b*x^4)), -(sqrt(c + d*x^4)/(6*a*x^6)) + ((3*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^4))/(6*a^2*c*x^2) + (b*sqrt(b*c - a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^4))))/(2*a^(5//2)), x, 6),
+
+# {x^6*Sqrt[c + d*x^4]/(a + b*x^4), x, 13, (x^3*Sqrt[c + d*x^4])/(5*b) + ((2*b*c - 5*a*d)*x*Sqrt[c + d*x^4])/(5*b^2*Sqrt[d]*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)) - (a*Sqrt[-((b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b]))]*ArcTan[(Sqrt[-((b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b]))]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*b^2) - (a*Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]*ArcTan[(Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*b^2) - (c^(1/4)*(2*b*c - 5*a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(5*b^2*d^(3/4)*Sqrt[c + d*x^4]) + (c^(1/4)*(b^2*c^2 + a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(5*b^2*d^(3/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + (a*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b^(5/2)*c^(1/4)*(Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c] - a*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]) - (a*(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[c]*(Sqrt[b] - (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[c])^2)/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b^(5/2)*c^(1/4)*(Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c] + a*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]), (x^3*Sqrt[c + d*x^4])/(5*b) + ((2*b*c - 5*a*d)*x*Sqrt[c + d*x^4])/(5*b^2*Sqrt[d]*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)) + ((-a)^(3/4)*Sqrt[b*c - a*d]*ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*b^(9/4)) + ((-a)^(3/4)*Sqrt[(-b)*c + a*d]*ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*b^(9/4)) - (c^(1/4)*(2*b*c - 5*a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(5*b^2*d^(3/4)*Sqrt[c + d*x^4]) + (c^(1/4)*(2*b*c - 5*a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(10*b^2*d^(3/4)*Sqrt[c + d*x^4]) + (a*(Sqrt[c] - (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[b])*d^(1/4)*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*b^2*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + (a*(Sqrt[c] + (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[b])*d^(1/4)*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*b^2*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + (Sqrt[-a]*(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b^(5/2)*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - (Sqrt[-a]*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b^(5/2)*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4])}
+# {x^4*Sqrt[c + d*x^4]/(a + b*x^4), x, 10, (x*Sqrt[c + d*x^4])/(3*b) - ((b*c - a*d)*ArcTan[(Sqrt[(Sqrt[-a]*((b*c)/a - d))/Sqrt[b]]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*b^2*Sqrt[-((b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b]))]) - ((b*c - a*d)*ArcTan[(Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*b^2*Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]) + (c^(3/4)*(b*c - 2*a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(3*b*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b^2*c^(1/4)*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b^2*c^(1/4)*(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]), (x*Sqrt[c + d*x^4])/(3*b) - ((-a)^(1/4)*Sqrt[b*c - a*d]*ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*b^(7/4)) + ((-a)^(1/4)*Sqrt[(-b)*c + a*d]*ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*b^(7/4)) + ((2*b*c - 3*a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(6*b^2*c^(1/4)*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]) - (a*((Sqrt[b]*Sqrt[c])/Sqrt[-a] + Sqrt[d])*d^(1/4)*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*b^2*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - (Sqrt[-a]*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*d^(1/4)*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*b^2*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b^2*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b^2*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4])}
+# {x^2*Sqrt[c + d*x^4]/(a + b*x^4), x, 11, (Sqrt[d]*x*Sqrt[c + d*x^4])/(b*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)) + (Sqrt[-((b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b]))]*ArcTan[(Sqrt[-((b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b]))]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*b) + (Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]*ArcTan[(Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*b) - (c^(1/4)*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(b*Sqrt[c + d*x^4]) + (a*c^(1/4)*d^(5/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(b*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b^(3/2)*c^(1/4)*(Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c] - a*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]) + ((Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[c]*(Sqrt[b] - (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[c])^2)/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b^(3/2)*c^(1/4)*(Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c] + a*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]), (Sqrt[d]*x*Sqrt[c + d*x^4])/(b*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)) + (Sqrt[b*c - a*d]*ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*(-a)^(1/4)*b^(5/4)) + (Sqrt[(-b)*c + a*d]*ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*(-a)^(1/4)*b^(5/4)) - (c^(1/4)*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(b*Sqrt[c + d*x^4]) + (c^(1/4)*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(2*b*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[c] - (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[b])*d^(1/4)*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*b*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[c] + (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[b])*d^(1/4)*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*b*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + ((Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*Sqrt[-a]*b^(3/2)*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*Sqrt[-a]*b^(3/2)*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4])}
+# {x^0*Sqrt[c + d*x^4]/(a + b*x^4), x, 9, ((b*c - a*d)*ArcTan[(Sqrt[(Sqrt[-a]*((b*c)/a - d))/Sqrt[b]]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*a*b*Sqrt[-((b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b]))]) + ((b*c - a*d)*ArcTan[(Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*a*b*Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]) + (c^(3/4)*d^(3/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/((b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + ((Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a*b*c^(1/4)*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]) + ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a*b*c^(1/4)*(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]), -((Sqrt[b*c - a*d]*ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*(-a)^(3/4)*b^(3/4))) + (Sqrt[(-b)*c + a*d]*ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*(-a)^(3/4)*b^(3/4)) + (d^(3/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(2*b*c^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]) + (((Sqrt[b]*Sqrt[c])/Sqrt[-a] + Sqrt[d])*d^(1/4)*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*b*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*d^(1/4)*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*Sqrt[-a]*b*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + ((Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a*b*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a*b*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4])}
+# {Sqrt[c + d*x^4]/(x^2*(a + b*x^4)), x, 13, -(Sqrt[c + d*x^4]/(a*x)) + (Sqrt[d]*x*Sqrt[c + d*x^4])/(a*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)) - (Sqrt[-((b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b]))]*ArcTan[(Sqrt[-((b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b]))]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*a) - (Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]*ArcTan[(Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*a) - (c^(1/4)*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(a*Sqrt[c + d*x^4]) + (b*c^(5/4)*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(a*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*Sqrt[b]*c^(1/4)*((-a)^(3/2)*Sqrt[b]*Sqrt[c] + a^2*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[c]*(Sqrt[b] - (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[c])^2)/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a*Sqrt[b]*c^(1/4)*(Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c] + a*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]), -(Sqrt[c + d*x^4]/(a*x)) + (Sqrt[d]*x*Sqrt[c + d*x^4])/(a*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)) + (Sqrt[b*c - a*d]*ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*(-a)^(5/4)*b^(1/4)) + (Sqrt[(-b)*c + a*d]*ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*(-a)^(5/4)*b^(1/4)) - (c^(1/4)*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(a*Sqrt[c + d*x^4]) + (c^(1/4)*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(2*a*Sqrt[c + d*x^4]) + ((Sqrt[c] - (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[b])*d^(1/4)*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*a*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + ((Sqrt[c] + (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[b])*d^(1/4)*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*a*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + ((Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4])}
+# {Sqrt[c + d*x^4]/(x^4*(a + b*x^4)), x, 10, -(Sqrt[c + d*x^4]/(3*a*x^3)) - ((b*c - a*d)*ArcTan[(Sqrt[(Sqrt[-a]*((b*c)/a - d))/Sqrt[b]]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*a^2*Sqrt[-((b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b]))]) - ((b*c - a*d)*ArcTan[(Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*a^2*Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]) - (d^(3/4)*(2*b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(3*a*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a^2*c^(1/4)*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a^2*c^(1/4)*(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]), -(Sqrt[c + d*x^4]/(3*a*x^3)) - (b^(1/4)*Sqrt[b*c - a*d]*ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*(-a)^(7/4)) + (b^(1/4)*Sqrt[(-b)*c + a*d]*ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*(-a)^(7/4)) - (d^(3/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(6*a*c^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]) - (((Sqrt[b]*Sqrt[c])/Sqrt[-a] + Sqrt[d])*d^(1/4)*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*a*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*d^(1/4)*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*(-a)^(3/2)*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a^2*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(b*c - a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a^2*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4])}
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b x^4)^p (c+d x^4)^(1/2)
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+((e*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x^4)/(a + b*x^4), (2*(e*x)^(5//2)*sqrt(c + d*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(5//8, 1, -(1//2), 13//8, -((b*x^4)/a), -((d*x^4)/c)))/(5*a*e*sqrt(1 + (d*x^4)/c)), x, 3),
+((e*x)^(1//2)*sqrt(c + d*x^4)/(a + b*x^4), (2*(e*x)^(3//2)*sqrt(c + d*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(3//8, 1, -(1//2), 11//8, -((b*x^4)/a), -((d*x^4)/c)))/(3*a*e*sqrt(1 + (d*x^4)/c)), x, 3),
+(sqrt(c + d*x^4)/((e*x)^(1//2)*(a + b*x^4)), (2*sqrt(e*x)*sqrt(c + d*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//8, 1, -(1//2), 9//8, -((b*x^4)/a), -((d*x^4)/c)))/(a*e*sqrt(1 + (d*x^4)/c)), x, 3),
+(sqrt(c + d*x^4)/((e*x)^(3//2)*(a + b*x^4)), -((2*sqrt(c + d*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//8), 1, -(1//2), 7//8, -((b*x^4)/a), -((d*x^4)/c)))/(a*e*sqrt(e*x)*sqrt(1 + (d*x^4)/c))), x, 3),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^4)^p / (c+d x^4)^(1/2)
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(x^11/((a + b*x^4)*sqrt(c + d*x^4)), -(((b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^4))/(2*b^2*d^2)) + (c + d*x^4)^(3//2)/(6*b*d^2) - (a^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^4))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*b^(5//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 5),
+(x^7/((a + b*x^4)*sqrt(c + d*x^4)), sqrt(c + d*x^4)/(2*b*d) + (a*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^4))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*b^(3//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 4),
+(x^3/((a + b*x^4)*sqrt(c + d*x^4)), -(atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^4))/sqrt(b*c - a*d))/(2*sqrt(b)*sqrt(b*c - a*d))), x, 3),
+(1/(x^1*(a + b*x^4)*sqrt(c + d*x^4)), -(atanh(sqrt(c + d*x^4)/sqrt(c))/(2*a*sqrt(c))) + (sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^4))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*a*sqrt(b*c - a*d)), x, 6),
+(1/(x^5*(a + b*x^4)*sqrt(c + d*x^4)), -(sqrt(c + d*x^4)/(4*a*c*x^4)) + ((2*b*c + a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^4)/sqrt(c)))/(4*a^2*c^(3//2)) - (b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^4))/sqrt(b*c - a*d)))/(2*a^2*sqrt(b*c - a*d)), x, 7),
+
+(x^9/((a + b*x^4)*sqrt(c + d*x^4)), (x^2*sqrt(c + d*x^4))/(4*b*d) + (a^(3//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^4))))/(2*b^2*sqrt(b*c - a*d)) - ((b*c + 2*a*d)*atanh((sqrt(d)*x^2)/sqrt(c + d*x^4)))/(4*b^2*d^(3//2)), x, 7),
+(x^5/((a + b*x^4)*sqrt(c + d*x^4)), -((sqrt(a)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^4))))/(2*b*sqrt(b*c - a*d))) + atanh((sqrt(d)*x^2)/sqrt(c + d*x^4))/(2*b*sqrt(d)), x, 6),
+(x^1/((a + b*x^4)*sqrt(c + d*x^4)), atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^4)))/(2*sqrt(a)*sqrt(b*c - a*d)), x, 3),
+(1/(x^3*(a + b*x^4)*sqrt(c + d*x^4)), -(sqrt(c + d*x^4)/(2*a*c*x^2)) - (b*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^4))))/(2*a^(3//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 5),
+(1/(x^7*(a + b*x^4)*sqrt(c + d*x^4)), -(sqrt(c + d*x^4)/(6*a*c*x^6)) + ((3*b*c + 2*a*d)*sqrt(c + d*x^4))/(6*a^2*c^2*x^2) + (b^2*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^4))))/(2*a^(5//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 6),
+
+(x^8/((a + b*x^4)*sqrt(c + d*x^4)), (x*sqrt(c + d*x^4))/(3*b*d) - ((-a)^(5//4)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^4))))/(4*b^(7//4)*sqrt(b*c - a*d)) - ((-a)^(5//4)*atan((sqrt((-b)*c + a*d)*x)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^4))))/(4*b^(7//4)*sqrt((-b)*c + a*d)) + (a^2*((sqrt(b)*sqrt(c))/sqrt(-a) + sqrt(d))*d^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)*sqrt((c + d*x^4)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x)/c^(1//4)), 1//2))/(4*b^2*c^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^4)) + (a*(sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c) + a*sqrt(d))*d^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)*sqrt((c + d*x^4)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x)/c^(1//4)), 1//2))/(4*b^2*c^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^4)) - ((b*c + 3*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)*sqrt((c + d*x^4)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x)/c^(1//4)), 1//2))/(6*b^2*c^(1//4)*d^(5//4)*sqrt(c + d*x^4)) + (a*(sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)*sqrt((c + d*x^4)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d))), 2*atan((d^(1//4)*x)/c^(1//4)), 1//2))/(8*b^2*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^4)) + (a*(sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)*sqrt((c + d*x^4)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d)), 2*atan((d^(1//4)*x)/c^(1//4)), 1//2))/(8*b^2*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^4)), x, 10),
+# {x^4/((a + b*x^4)*Sqrt[c + d*x^4]), x, 9, -(ArcTan[(Sqrt[(Sqrt[-a]*((b*c)/a - d))/Sqrt[b]]*x)/Sqrt[c + d*x^4]]/(4*b*Sqrt[-((b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b]))])) - ArcTan[(Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]*x)/Sqrt[c + d*x^4]]/(4*b*Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]) + (c^(3/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(2*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b*c^(1/4)*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b*c^(1/4)*(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]), -(((-a)^(1/4)*ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*b^(3/4)*Sqrt[b*c - a*d])) - ((-a)^(1/4)*ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*b^(3/4)*Sqrt[(-b)*c + a*d]) + ((Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(2*b*c^(1/4)*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]) - (a*((Sqrt[b]*Sqrt[c])/Sqrt[-a] + Sqrt[d])*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*b*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c] + a*Sqrt[d])*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*b*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4])}
+# {x^0/((a + b*x^4)*Sqrt[c + d*x^4]), x, 7, ArcTan[(Sqrt[(Sqrt[-a]*((b*c)/a - d))/Sqrt[b]]*x)/Sqrt[c + d*x^4]]/(4*a*Sqrt[-((b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b]))]) + ArcTan[(Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]*x)/Sqrt[c + d*x^4]]/(4*a*Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]) + (d^(3/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(2*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + ((Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a*c^(1/4)*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]) + ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a*c^(1/4)*(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]), -((b^(1/4)*ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*(-a)^(3/4)*Sqrt[b*c - a*d])) - (b^(1/4)*ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*(-a)^(3/4)*Sqrt[(-b)*c + a*d]) + (((Sqrt[b]*Sqrt[c])/Sqrt[-a] + Sqrt[d])*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + ((Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c] + a*Sqrt[d])*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*a*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + ((Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4])}
+# {1/(x^4*(a + b*x^4)*Sqrt[c + d*x^4]), x, 10, -(Sqrt[c + d*x^4]/(3*a*c*x^3)) - (b*ArcTan[(Sqrt[(Sqrt[-a]*((b*c)/a - d))/Sqrt[b]]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*a^2*Sqrt[-((b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b]))]) - (b*ArcTan[(Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*a^2*Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]) - (d^(3/4)*(4*b*c + a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(6*a*c^(5/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - (b*(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a^2*c^(1/4)*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]) - (b*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a^2*c^(1/4)*(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]), -(Sqrt[c + d*x^4]/(3*a*c*x^3)) - (b^(5/4)*ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*(-a)^(7/4)*Sqrt[b*c - a*d]) - (b^(5/4)*ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*(-a)^(7/4)*Sqrt[(-b)*c + a*d]) - (d^(3/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(6*a*c^(5/4)*Sqrt[c + d*x^4]) - (b*((Sqrt[b]*Sqrt[c])/Sqrt[-a] + Sqrt[d])*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*a*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - (b*(Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c] + a*Sqrt[d])*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*a^2*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - (b*(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a^2*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - (b*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a^2*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4])}
+
+# {x^6/((a + b*x^4)*Sqrt[c + d*x^4]), x, 11, (x*Sqrt[c + d*x^4])/(b*Sqrt[d]*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)) - (a*Sqrt[-((b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b]))]*ArcTan[(Sqrt[-((b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b]))]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*b*(b*c - a*d)) - (a*Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]*ArcTan[(Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*b*(b*c - a*d)) - (c^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(b*d^(3/4)*Sqrt[c + d*x^4]) + (c^(1/4)*(b*c + 2*a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(2*b*d^(3/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + (a*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b^(3/2)*c^(1/4)*(Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c] - a*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]) - (a*(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[c]*(Sqrt[b] - (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[c])^2)/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b^(3/2)*c^(1/4)*(Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c] + a*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]), (x*Sqrt[c + d*x^4])/(b*Sqrt[d]*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)) + ((-a)^(3/4)*ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*b^(5/4)*Sqrt[b*c - a*d]) - ((-a)^(3/4)*ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*b^(5/4)*Sqrt[(-b)*c + a*d]) - (c^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(b*d^(3/4)*Sqrt[c + d*x^4]) + (c^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(2*b*d^(3/4)*Sqrt[c + d*x^4]) + (a*(Sqrt[c] - (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[b])*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*b*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + (a*(Sqrt[c] + (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[b])*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*b*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + (Sqrt[-a]*(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b^(3/2)*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - (Sqrt[-a]*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b^(3/2)*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4])}
+# {x^2/((a + b*x^4)*Sqrt[c + d*x^4]), x, 7, (Sqrt[-((b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b]))]*ArcTan[(Sqrt[-((b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b]))]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*(b*c - a*d)) + (Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]*ArcTan[(Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*(b*c - a*d)) - (c^(1/4)*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(2*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*Sqrt[b]*c^(1/4)*(Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c] - a*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]) + ((Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[c]*(Sqrt[b] - (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[c])^2)/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*Sqrt[b]*c^(1/4)*(Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c] + a*Sqrt[d])*d^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4]), ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])]/(4*(-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[b*c - a*d]) - ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])]/(4*(-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[(-b)*c + a*d]) - ((Sqrt[c] - (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[b])*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[c] + (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[b])*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + ((Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4])}
+# {1/(x^2*(a + b*x^4)*Sqrt[c + d*x^4]), x, 13, -(Sqrt[c + d*x^4]/(a*c*x)) + (Sqrt[d]*x*Sqrt[c + d*x^4])/(a*c*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)) - (b*Sqrt[-((b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b]))]*ArcTan[(Sqrt[-((b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b]))]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*a*(b*c - a*d)) - (b*Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]*ArcTan[(Sqrt[(b*c - a*d)/(Sqrt[-a]*Sqrt[b])]*x)/Sqrt[c + d*x^4]])/(4*a*(b*c - a*d)) - (d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(a*c^(3/4)*Sqrt[c + d*x^4]) + (d^(1/4)*(2*b*c + a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(2*a*c^(3/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + (Sqrt[b]*((Sqrt[b]*c^(1/4))/d^(1/4) - (Sqrt[-a]*d^(1/4))/c^(1/4))*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a*(Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c] - a*Sqrt[d])*Sqrt[c + d*x^4]) - (Sqrt[b]*((Sqrt[b]*c^(1/4))/d^(1/4) + (Sqrt[-a]*d^(1/4))/c^(1/4))*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[c]*(Sqrt[b] - (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[c])^2)/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a*(Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c] + a*Sqrt[d])*Sqrt[c + d*x^4]), If[$VersionNumber>=8, -(Sqrt[c + d*x^4]/(a*c*x)) + (Sqrt[d]*x*Sqrt[c + d*x^4])/(a*c*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)) + (b^(3/4)*ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*(-a)^(5/4)*Sqrt[b*c - a*d]) - (b^(3/4)*ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*(-a)^(5/4)*Sqrt[(-b)*c + a*d]) - (d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(a*c^(3/4)*Sqrt[c + d*x^4]) + (d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(2*a*c^(3/4)*Sqrt[c + d*x^4]) + (b*(Sqrt[c] - (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[b])*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*a*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + (b*(Sqrt[c] + (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[b])*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*a*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + (Sqrt[b]*(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*(-a)^(3/2)*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - (Sqrt[b]*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*(-a)^(3/2)*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]), -(Sqrt[c + d*x^4]/(a*c*x)) + (Sqrt[d]*x*Sqrt[c + d*x^4])/(a*c*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)) + (b^(3/4)*ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*(-a)^(5/4)*Sqrt[b*c - a*d]) - (b^(3/4)*ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(4*(-a)^(5/4)*Sqrt[(-b)*c + a*d]) - (d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(a*c^(3/4)*Sqrt[c + d*x^4]) + (d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(2*a*c^(3/4)*Sqrt[c + d*x^4]) + (b*(Sqrt[c] - (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[b])*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*a*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + (b*(Sqrt[c] + (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[b])*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(4*a*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) + (Sqrt[b]*(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*(-a)^(3/2)*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - (Sqrt[b]*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*(-a)^(3/2)*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4])]}
+
+
+(x^15/((a + b*x^4)^2*sqrt(c + d*x^4)), (a*x^8*sqrt(c + d*x^4))/(4*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)) - (sqrt(c + d*x^4)*(4*b^2*c^2 + 8*a*b*c*d - 15*a^2*d^2 - b*d*(2*b*c - 5*a*d)*x^4))/(12*b^3*d^2*(b*c - a*d)) - (a^2*(6*b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^4))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*b^(7//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 5),
+(x^11/((a + b*x^4)^2*sqrt(c + d*x^4)), sqrt(c + d*x^4)/(2*b^2*d) - (a^2*sqrt(c + d*x^4))/(4*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)) + (a*(4*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^4))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*b^(5//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 5),
+(x^7/((a + b*x^4)^2*sqrt(c + d*x^4)), (a*sqrt(c + d*x^4))/(4*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)) - ((2*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^4))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*b^(3//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+(x^3/((a + b*x^4)^2*sqrt(c + d*x^4)), -(sqrt(c + d*x^4)/(4*(b*c - a*d)*(a + b*x^4))) + (d*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^4))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*sqrt(b)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^1*(a + b*x^4)^2*sqrt(c + d*x^4)), (b*sqrt(c + d*x^4))/(4*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)) - atanh(sqrt(c + d*x^4)/sqrt(c))/(2*a^2*sqrt(c)) + (sqrt(b)*(2*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^4))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*a^2*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 7),
+(1/(x^5*(a + b*x^4)^2*sqrt(c + d*x^4)), -((b*(2*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^4))/(4*a^2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^4))) - sqrt(c + d*x^4)/(4*a*c*x^4*(a + b*x^4)) + ((4*b*c + a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^4)/sqrt(c)))/(4*a^3*c^(3//2)) - (b^(3//2)*(4*b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^4))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*a^3*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 8),
+
+(x^13/((a + b*x^4)^2*sqrt(c + d*x^4)), ((b*c - 2*a*d)*x^2*sqrt(c + d*x^4))/(4*b^2*d*(b*c - a*d)) + (a*x^6*sqrt(c + d*x^4))/(4*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)) + (a^(3//2)*(5*b*c - 4*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^4))))/(4*b^3*(b*c - a*d)^(3//2)) - ((b*c + 4*a*d)*atanh((sqrt(d)*x^2)/sqrt(c + d*x^4)))/(4*b^3*d^(3//2)), x, 8),
+(x^9/((a + b*x^4)^2*sqrt(c + d*x^4)), (a*x^2*sqrt(c + d*x^4))/(4*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)) - (sqrt(a)*(3*b*c - 2*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^4))))/(4*b^2*(b*c - a*d)^(3//2)) + atanh((sqrt(d)*x^2)/sqrt(c + d*x^4))/(2*b^2*sqrt(d)), x, 7),
+(x^5/((a + b*x^4)^2*sqrt(c + d*x^4)), -((x^2*sqrt(c + d*x^4))/(4*(b*c - a*d)*(a + b*x^4))) + (c*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^4))))/(4*sqrt(a)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 5),
+(x^1/((a + b*x^4)^2*sqrt(c + d*x^4)), (b*x^2*sqrt(c + d*x^4))/(4*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)) + ((b*c - 2*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^4))))/(4*a^(3//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^3*(a + b*x^4)^2*sqrt(c + d*x^4)), -(((3*b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x^4))/(4*a^2*c*(b*c - a*d)*x^2)) + (b*sqrt(c + d*x^4))/(4*a*(b*c - a*d)*x^2*(a + b*x^4)) - (b*(3*b*c - 4*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^4))))/(4*a^(5//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 6),
+(1/(x^7*(a + b*x^4)^2*sqrt(c + d*x^4)), -(((5*b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x^4))/(12*a^2*c*(b*c - a*d)*x^6)) + ((15*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d - 4*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^4))/(12*a^3*c^2*(b*c - a*d)*x^2) + (b*sqrt(c + d*x^4))/(4*a*(b*c - a*d)*x^6*(a + b*x^4)) + (b^2*(5*b*c - 6*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^4))))/(4*a^(7//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 7),
+
+# {x^8/((a + b*x^4)^2*Sqrt[c + d*x^4]), x, 10, If[$VersionNumber>=8, (a*x*Sqrt[c + d*x^4])/(4*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)) - ((-a)^(1/4)*(5*b*c - 3*a*d)*ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(16*b^(7/4)*(b*c - a*d)^(3/2)) + ((-a)^(1/4)*(5*b*c - 3*a*d)*ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(16*b^(7/4)*((-b)*c + a*d)^(3/2)) + ((4*b*c - 3*a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b^2*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c - a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - (a*((Sqrt[b]*Sqrt[c])/Sqrt[-a] + Sqrt[d])*d^(1/4)*(5*b*c - 3*a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(16*b^2*c^(1/4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - (Sqrt[-a]*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*d^(1/4)*(5*b*c - 3*a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(16*b^2*c^(1/4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(5*b*c - 3*a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(32*b^2*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(5*b*c - 3*a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(32*b^2*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]), (a*x*Sqrt[c + d*x^4])/(4*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)) - ((-a)^(1/4)*(5*b*c - 3*a*d)*ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(16*b^(7/4)*(b*c - a*d)^(3/2)) + ((-a)^(1/4)*(5*b*c - 3*a*d)*ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^4])])/(16*b^(7/4)*((-b)*c + a*d)^(3/2)) + ((4*b*c - 3*a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(8*b^2*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c - a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - (a*((Sqrt[b]*Sqrt[c])/Sqrt[-a] + Sqrt[d])*d^(1/4)*(5*b*c - 3*a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(16*b^2*c^(1/4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^4]) - (Sqrt[-a]*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])*d^(1/4)*(5*b*c - 3*a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(16*b^2*c^(1/4)*(b^2*c^2 - a^2*d^2)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(5*b*c - 3*a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(32*b^2*c^(1/4)*d^(1/4)*(b^2*c^2 - a^2*d^2)*Sqrt[c + d*x^4]) - ((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(5*b*c - 3*a*d)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)*Sqrt[(c + d*x^4)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x)/c^(1/4)], 1/2])/(32*b^2*c^(1/4)*d^(1/4)*(b^2*c^2 - a^2*d^2)*Sqrt[c + d*x^4])]}
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+(x^2/((a + b*x^4)^2*sqrt(c + d*x^4)), -((sqrt(d)*x*sqrt(c + d*x^4))/(4*a*(b*c - a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2))) + (b*x^3*sqrt(c + d*x^4))/(4*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^4)) - ((b*c - 3*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^4))))/(16*(-a)^(5//4)*b^(1//4)*(b*c - a*d)^(3//2)) - ((b*c - 3*a*d)*atan((sqrt((-b)*c + a*d)*x)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^4))))/(16*(-a)^(5//4)*b^(1//4)*((-b)*c + a*d)^(3//2)) + (c^(1//4)*d^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)*sqrt((c + d*x^4)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*x)/c^(1//4)), 1//2))/(4*a*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^4)) - (c^(1//4)*d^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)*sqrt((c + d*x^4)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x)/c^(1//4)), 1//2))/(8*a*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^4)) - ((sqrt(c) - (sqrt(-a)*sqrt(d))/sqrt(b))*d^(1//4)*(b*c - 3*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)*sqrt((c + d*x^4)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x)/c^(1//4)), 1//2))/(16*a*c^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^4)) - ((sqrt(c) + (sqrt(-a)*sqrt(d))/sqrt(b))*d^(1//4)*(b*c - 3*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)*sqrt((c + d*x^4)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x)/c^(1//4)), 1//2))/(16*a*c^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^4)) - ((sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(b*c - 3*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)*sqrt((c + d*x^4)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d))), 2*atan((d^(1//4)*x)/c^(1//4)), 1//2))/(32*(-a)^(3//2)*sqrt(b)*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^4)) + ((sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(b*c - 3*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)*sqrt((c + d*x^4)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d)), 2*atan((d^(1//4)*x)/c^(1//4)), 1//2))/(32*(-a)^(3//2)*sqrt(b)*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^4)), x, 13),
+(1/(x^2*(a + b*x^4)^2*sqrt(c + d*x^4)), -(((5*b*c - 4*a*d)*sqrt(c + d*x^4))/(4*a^2*c*(b*c - a*d)*x)) + (sqrt(d)*(5*b*c - 4*a*d)*x*sqrt(c + d*x^4))/(4*a^2*c*(b*c - a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)) + (b*sqrt(c + d*x^4))/(4*a*(b*c - a*d)*x*(a + b*x^4)) - (b^(3//4)*(5*b*c - 7*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^4))))/(16*(-a)^(9//4)*(b*c - a*d)^(3//2)) - (b^(3//4)*(5*b*c - 7*a*d)*atan((sqrt((-b)*c + a*d)*x)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^4))))/(16*(-a)^(9//4)*((-b)*c + a*d)^(3//2)) - (d^(1//4)*(5*b*c - 4*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)*sqrt((c + d*x^4)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*x)/c^(1//4)), 1//2))/(4*a^2*c^(3//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^4)) + (d^(1//4)*(5*b*c - 4*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)*sqrt((c + d*x^4)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x)/c^(1//4)), 1//2))/(8*a^2*c^(3//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^4)) + (b*(sqrt(c) - (sqrt(-a)*sqrt(d))/sqrt(b))*d^(1//4)*(5*b*c - 7*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)*sqrt((c + d*x^4)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x)/c^(1//4)), 1//2))/(16*a^2*c^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^4)) + (b*(sqrt(c) + (sqrt(-a)*sqrt(d))/sqrt(b))*d^(1//4)*(5*b*c - 7*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)*sqrt((c + d*x^4)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x)/c^(1//4)), 1//2))/(16*a^2*c^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^4)) - (sqrt(b)*(sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(5*b*c - 7*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)*sqrt((c + d*x^4)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d))), 2*atan((d^(1//4)*x)/c^(1//4)), 1//2))/(32*(-a)^(5//2)*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^4)) + (sqrt(b)*(sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(5*b*c - 7*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)*sqrt((c + d*x^4)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d)), 2*atan((d^(1//4)*x)/c^(1//4)), 1//2))/(32*(-a)^(5//2)*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^4)), x, 14),
+
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+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^4)^p (c+d x^4)^(q/2) with m symbolic
+
+
+# ::Subsubsection::
+# q>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
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+((e*x)^m*(a + b*x^4)^2/sqrt(c + d*x^4), -((b*(b*c*(5 + m) - 2*a*d*(7 + m))*(e*x)^(1 + m)*sqrt(c + d*x^4))/(d^2*e*(3 + m)*(7 + m))) + (b^2*(e*x)^(5 + m)*sqrt(c + d*x^4))/(d*e^5*(7 + m)) + ((a^2*d^2*(3 + m)*(7 + m) + b*c*(1 + m)*(b*c*(5 + m) - 2*a*d*(7 + m)))*(e*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (d*x^4)/c)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1 + m)/4, (5 + m)/4, -((d*x^4)/c)))/(d^2*e*(1 + m)*(3 + m)*(7 + m)*sqrt(c + d*x^4)), x, 4),
+((e*x)^m*(a + b*x^4)^1/sqrt(c + d*x^4), (b*(e*x)^(1 + m)*sqrt(c + d*x^4))/(d*e*(3 + m)) - ((b*c*(1 + m) - a*d*(3 + m))*(e*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (d*x^4)/c)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1 + m)/4, (5 + m)/4, -((d*x^4)/c)))/(d*e*(1 + m)*(3 + m)*sqrt(c + d*x^4)), x, 3),
+((e*x)^m*(a + b*x^4)^0/sqrt(c + d*x^4), ((e*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (d*x^4)/c)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1 + m)/4, (5 + m)/4, -((d*x^4)/c)))/(e*(1 + m)*sqrt(c + d*x^4)), x, 2),
+((e*x)^m/((a + b*x^4)^1*sqrt(c + d*x^4)), ((e*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (d*x^4)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/4, 1, 1//2, (5 + m)/4, -((b*x^4)/a), -((d*x^4)/c)))/(a*e*(1 + m)*sqrt(c + d*x^4)), x, 2),
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+((e*x)^m/((a + b*x^4)^3*sqrt(c + d*x^4)), ((e*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (d*x^4)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/4, 3, 1//2, (5 + m)/4, -((b*x^4)/a), -((d*x^4)/c)))/(a^3*e*(1 + m)*sqrt(c + d*x^4)), x, 2),
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+((e*x)^m*(a + b*x^4)^2/(c + d*x^4)^(3//2), ((b*c - a*d)^2*(e*x)^(1 + m))/(2*c*d^2*e*sqrt(c + d*x^4)) + (b^2*(e*x)^(1 + m)*sqrt(c + d*x^4))/(d^2*e*(3 + m)) - ((2*b^2*c^2*(1 + m) - (3 + m)*(2*a^2*d^2 - (b*c - a*d)^2*(1 + m)))*(e*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (d*x^4)/c)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1 + m)/4, (5 + m)/4, -((d*x^4)/c)))/(2*c*d^2*e*(1 + m)*(3 + m)*sqrt(c + d*x^4)), x, 4),
+((e*x)^m*(a + b*x^4)^1/(c + d*x^4)^(3//2), -(((b*c - a*d)*(e*x)^(1 + m))/(2*c*d*e*sqrt(c + d*x^4))) + ((a*d*(1 - m) + b*c*(1 + m))*(e*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (d*x^4)/c)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1 + m)/4, (5 + m)/4, -((d*x^4)/c)))/(2*c*d*e*(1 + m)*sqrt(c + d*x^4)), x, 3),
+((e*x)^m*(a + b*x^4)^0/(c + d*x^4)^(3//2), ((e*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (d*x^4)/c)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, (1 + m)/4, (5 + m)/4, -((d*x^4)/c)))/(c*e*(1 + m)*sqrt(c + d*x^4)), x, 2),
+((e*x)^m/((a + b*x^4)^1*(c + d*x^4)^(3//2)), ((e*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (d*x^4)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/4, 1, 3//2, (5 + m)/4, -((b*x^4)/a), -((d*x^4)/c)))/(a*c*e*(1 + m)*sqrt(c + d*x^4)), x, 2),
+((e*x)^m/((a + b*x^4)^2*(c + d*x^4)^(3//2)), ((e*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (d*x^4)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/4, 2, 3//2, (5 + m)/4, -((b*x^4)/a), -((d*x^4)/c)))/(a^2*c*e*(1 + m)*sqrt(c + d*x^4)), x, 2),
+((e*x)^m/((a + b*x^4)^3*(c + d*x^4)^(3//2)), ((e*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (d*x^4)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/4, 3, 3//2, (5 + m)/4, -((b*x^4)/a), -((d*x^4)/c)))/(a^3*c*e*(1 + m)*sqrt(c + d*x^4)), x, 2),
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+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^6)^p (c+d x^6)^q
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^6)^p (c+d x^6)^(q/2)
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+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^6)^p (c+d x^6)^(1/2)
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^6)^p / (c+d x^6)^(1/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(x^17/((a + b*x^6)*sqrt(c + d*x^6)), -(((b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^6))/(3*b^2*d^2)) + (c + d*x^6)^(3//2)/(9*b*d^2) - (a^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^6))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(5//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 5),
+(x^11/((a + b*x^6)*sqrt(c + d*x^6)), sqrt(c + d*x^6)/(3*b*d) + (a*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^6))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*b^(3//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 4),
+(x^5/((a + b*x^6)*sqrt(c + d*x^6)), -(atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^6))/sqrt(b*c - a*d))/(3*sqrt(b)*sqrt(b*c - a*d))), x, 3),
+(1/(x^1*(a + b*x^6)*sqrt(c + d*x^6)), -(atanh(sqrt(c + d*x^6)/sqrt(c))/(3*a*sqrt(c))) + (sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^6))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*a*sqrt(b*c - a*d)), x, 6),
+(1/(x^7*(a + b*x^6)*sqrt(c + d*x^6)), -(sqrt(c + d*x^6)/(6*a*c*x^6)) + ((2*b*c + a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^6)/sqrt(c)))/(6*a^2*c^(3//2)) - (b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^6))/sqrt(b*c - a*d)))/(3*a^2*sqrt(b*c - a*d)), x, 7),
+
+(x^14/((a + b*x^6)*sqrt(c + d*x^6)), (x^3*sqrt(c + d*x^6))/(6*b*d) + (a^(3//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^3)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^6))))/(3*b^2*sqrt(b*c - a*d)) - ((b*c + 2*a*d)*atanh((sqrt(d)*x^3)/sqrt(c + d*x^6)))/(6*b^2*d^(3//2)), x, 7),
+(x^8/((a + b*x^6)*sqrt(c + d*x^6)), -((sqrt(a)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^3)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^6))))/(3*b*sqrt(b*c - a*d))) + atanh((sqrt(d)*x^3)/sqrt(c + d*x^6))/(3*b*sqrt(d)), x, 6),
+(x^2/((a + b*x^6)*sqrt(c + d*x^6)), atan((sqrt(b*c - a*d)*x^3)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^6)))/(3*sqrt(a)*sqrt(b*c - a*d)), x, 3),
+(1/(x^4*(a + b*x^6)*sqrt(c + d*x^6)), -(sqrt(c + d*x^6)/(3*a*c*x^3)) - (b*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^3)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^6))))/(3*a^(3//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 5),
+(1/(x^10*(a + b*x^6)*sqrt(c + d*x^6)), -(sqrt(c + d*x^6)/(9*a*c*x^9)) + ((3*b*c + 2*a*d)*sqrt(c + d*x^6))/(9*a^2*c^2*x^3) + (b^2*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^3)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^6))))/(3*a^(5//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 6),
+
+(x^4/((a + b*x^6)*sqrt(c + d*x^6)), (x^5*sqrt(1 + (d*x^6)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(5//6, 1, 1//2, 11//6, -((b*x^6)/a), -((d*x^6)/c)))/(5*a*sqrt(c + d*x^6)), x, 2),
+(x^3/((a + b*x^6)*sqrt(c + d*x^6)), (x^4*sqrt(1 + (d*x^6)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 1, 1//2, 5//3, -((b*x^6)/a), -((d*x^6)/c)))/(4*a*sqrt(c + d*x^6)), x, 3),
+(x^1/((a + b*x^6)*sqrt(c + d*x^6)), (x^2*sqrt(1 + (d*x^6)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 1, 1//2, 4//3, -((b*x^6)/a), -((d*x^6)/c)))/(2*a*sqrt(c + d*x^6)), x, 3),
+(x^0/((a + b*x^6)*sqrt(c + d*x^6)), (x*sqrt(1 + (d*x^6)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//6, 1, 1//2, 7//6, -((b*x^6)/a), -((d*x^6)/c)))/(a*sqrt(c + d*x^6)), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x^6)*sqrt(c + d*x^6)), -((sqrt(1 + (d*x^6)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//6), 1, 1//2, 5//6, -((b*x^6)/a), -((d*x^6)/c)))/(a*x*sqrt(c + d*x^6))), x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x^6)*sqrt(c + d*x^6)), -((sqrt(1 + (d*x^6)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//3), 1, 1//2, 2//3, -((b*x^6)/a), -((d*x^6)/c)))/(2*a*x^2*sqrt(c + d*x^6))), x, 3),
+(1/(x^5*(a + b*x^6)*sqrt(c + d*x^6)), -((sqrt(1 + (d*x^6)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), 1, 1//2, 1//3, -((b*x^6)/a), -((d*x^6)/c)))/(4*a*x^4*sqrt(c + d*x^6))), x, 3),
+
+
+(x^17/((a + b*x^6)^2*sqrt(c + d*x^6)), sqrt(c + d*x^6)/(3*b^2*d) - (a^2*sqrt(c + d*x^6))/(6*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^6)) + (a*(4*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^6))/sqrt(b*c - a*d)))/(6*b^(5//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 5),
+(x^11/((a + b*x^6)^2*sqrt(c + d*x^6)), (a*sqrt(c + d*x^6))/(6*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^6)) - ((2*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^6))/sqrt(b*c - a*d)))/(6*b^(3//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+(x^5/((a + b*x^6)^2*sqrt(c + d*x^6)), -(sqrt(c + d*x^6)/(6*(b*c - a*d)*(a + b*x^6))) + (d*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^6))/sqrt(b*c - a*d)))/(6*sqrt(b)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^1*(a + b*x^6)^2*sqrt(c + d*x^6)), (b*sqrt(c + d*x^6))/(6*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^6)) - atanh(sqrt(c + d*x^6)/sqrt(c))/(3*a^2*sqrt(c)) + (sqrt(b)*(2*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^6))/sqrt(b*c - a*d)))/(6*a^2*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 7),
+(1/(x^7*(a + b*x^6)^2*sqrt(c + d*x^6)), -((b*(2*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^6))/(6*a^2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^6))) - sqrt(c + d*x^6)/(6*a*c*x^6*(a + b*x^6)) + ((4*b*c + a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^6)/sqrt(c)))/(6*a^3*c^(3//2)) - (b^(3//2)*(4*b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^6))/sqrt(b*c - a*d)))/(6*a^3*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 8),
+
+(x^14/((a + b*x^6)^2*sqrt(c + d*x^6)), (a*x^3*sqrt(c + d*x^6))/(6*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^6)) - (sqrt(a)*(3*b*c - 2*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^3)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^6))))/(6*b^2*(b*c - a*d)^(3//2)) + atanh((sqrt(d)*x^3)/sqrt(c + d*x^6))/(3*b^2*sqrt(d)), x, 7),
+(x^8/((a + b*x^6)^2*sqrt(c + d*x^6)), -((x^3*sqrt(c + d*x^6))/(6*(b*c - a*d)*(a + b*x^6))) + (c*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^3)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^6))))/(6*sqrt(a)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 5),
+(x^2/((a + b*x^6)^2*sqrt(c + d*x^6)), (b*x^3*sqrt(c + d*x^6))/(6*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^6)) + ((b*c - 2*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^3)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^6))))/(6*a^(3//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^4*(a + b*x^6)^2*sqrt(c + d*x^6)), -(((3*b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x^6))/(6*a^2*c*(b*c - a*d)*x^3)) + (b*sqrt(c + d*x^6))/(6*a*(b*c - a*d)*x^3*(a + b*x^6)) - (b*(3*b*c - 4*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^3)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^6))))/(6*a^(5//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 6),
+(1/(x^10*(a + b*x^6)^2*sqrt(c + d*x^6)), -(((5*b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x^6))/(18*a^2*c*(b*c - a*d)*x^9)) + ((15*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d - 4*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^6))/(18*a^3*c^2*(b*c - a*d)*x^3) + (b*sqrt(c + d*x^6))/(6*a*(b*c - a*d)*x^9*(a + b*x^6)) + (b^2*(5*b*c - 6*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^3)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^6))))/(6*a^(7//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 7),
+
+(x^4/((a + b*x^6)^2*sqrt(c + d*x^6)), (x^5*sqrt(1 + (d*x^6)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(5//6, 2, 1//2, 11//6, -((b*x^6)/a), -((d*x^6)/c)))/(5*a^2*sqrt(c + d*x^6)), x, 2),
+(x^3/((a + b*x^6)^2*sqrt(c + d*x^6)), (x^4*sqrt(1 + (d*x^6)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 2, 1//2, 5//3, -((b*x^6)/a), -((d*x^6)/c)))/(4*a^2*sqrt(c + d*x^6)), x, 3),
+(x^1/((a + b*x^6)^2*sqrt(c + d*x^6)), (x^2*sqrt(1 + (d*x^6)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 2, 1//2, 4//3, -((b*x^6)/a), -((d*x^6)/c)))/(2*a^2*sqrt(c + d*x^6)), x, 3),
+(x^0/((a + b*x^6)^2*sqrt(c + d*x^6)), (x*sqrt(1 + (d*x^6)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//6, 2, 1//2, 7//6, -((b*x^6)/a), -((d*x^6)/c)))/(a^2*sqrt(c + d*x^6)), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x^6)^2*sqrt(c + d*x^6)), -((sqrt(1 + (d*x^6)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//6), 2, 1//2, 5//6, -((b*x^6)/a), -((d*x^6)/c)))/(a^2*x*sqrt(c + d*x^6))), x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x^6)^2*sqrt(c + d*x^6)), -((sqrt(1 + (d*x^6)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//3), 2, 1//2, 2//3, -((b*x^6)/a), -((d*x^6)/c)))/(2*a^2*x^2*sqrt(c + d*x^6))), x, 3),
+(1/(x^5*(a + b*x^6)^2*sqrt(c + d*x^6)), -((sqrt(1 + (d*x^6)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), 2, 1//2, 1//3, -((b*x^6)/a), -((d*x^6)/c)))/(4*a^2*x^4*sqrt(c + d*x^6))), x, 3),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^8)^p (c+d x^8)^q
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^8)^p (c+d x^8)^(q/2)
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^8)^p (c+d x^8)^(1/2)
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^8)^p / (c+d x^8)^(1/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+(x^23/((a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), -(((b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8))/(4*b^2*d^2)) + (c + d*x^8)^(3//2)/(12*b*d^2) - (a^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^8))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*b^(5//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 5),
+(x^15/((a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), sqrt(c + d*x^8)/(4*b*d) + (a*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^8))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*b^(3//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 4),
+(x^7/((a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), -(atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^8))/sqrt(b*c - a*d))/(4*sqrt(b)*sqrt(b*c - a*d))), x, 3),
+(1/(x^1*(a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), -(atanh(sqrt(c + d*x^8)/sqrt(c))/(4*a*sqrt(c))) + (sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^8))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*a*sqrt(b*c - a*d)), x, 6),
+(1/(x^9*(a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), -(sqrt(c + d*x^8)/(8*a*c*x^8)) + ((2*b*c + a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^8)/sqrt(c)))/(8*a^2*c^(3//2)) - (b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^8))/sqrt(b*c - a*d)))/(4*a^2*sqrt(b*c - a*d)), x, 7),
+
+(x^19/((a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), (x^4*sqrt(c + d*x^8))/(8*b*d) + (a^(3//2)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^4)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^8))))/(4*b^2*sqrt(b*c - a*d)) - ((b*c + 2*a*d)*atanh((sqrt(d)*x^4)/sqrt(c + d*x^8)))/(8*b^2*d^(3//2)), x, 7),
+(x^11/((a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), -((sqrt(a)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^4)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^8))))/(4*b*sqrt(b*c - a*d))) + atanh((sqrt(d)*x^4)/sqrt(c + d*x^8))/(4*b*sqrt(d)), x, 6),
+(x^3/((a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), atan((sqrt(b*c - a*d)*x^4)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^8)))/(4*sqrt(a)*sqrt(b*c - a*d)), x, 3),
+(1/(x^5*(a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), -(sqrt(c + d*x^8)/(4*a*c*x^4)) - (b*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^4)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^8))))/(4*a^(3//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 5),
+(1/(x^13*(a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), -(sqrt(c + d*x^8)/(12*a*c*x^12)) + ((3*b*c + 2*a*d)*sqrt(c + d*x^8))/(12*a^2*c^2*x^4) + (b^2*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^4)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^8))))/(4*a^(5//2)*sqrt(b*c - a*d)), x, 6),
+
+(x^9/((a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), -(((-a)^(1//4)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^8))))/(8*b^(3//4)*sqrt(b*c - a*d))) - ((-a)^(1//4)*atan((sqrt((-b)*c + a*d)*x^2)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^8))))/(8*b^(3//4)*sqrt((-b)*c + a*d)) + ((sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(4*b*c^(1//4)*d^(1//4)*sqrt(c + d*x^8)) - (a*((sqrt(b)*sqrt(c))/sqrt(-a) + sqrt(d))*d^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(8*b*c^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) - ((sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c) + a*sqrt(d))*d^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(8*b*c^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) - ((sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d))), 2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(16*b*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) - ((sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d)), 2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(16*b*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)), x, 10),
+(x^1/((a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), -((b^(1//4)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^8))))/(8*(-a)^(3//4)*sqrt(b*c - a*d))) - (b^(1//4)*atan((sqrt((-b)*c + a*d)*x^2)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^8))))/(8*(-a)^(3//4)*sqrt((-b)*c + a*d)) + (((sqrt(b)*sqrt(c))/sqrt(-a) + sqrt(d))*d^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(8*c^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) + ((sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c) + a*sqrt(d))*d^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(8*a*c^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) + ((sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d))), 2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(16*a*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) + ((sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d)), 2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(16*a*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)), x, 8),
+(1/(x^7*(a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), -(sqrt(c + d*x^8)/(6*a*c*x^6)) - (b^(5//4)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^8))))/(8*(-a)^(7//4)*sqrt(b*c - a*d)) - (b^(5//4)*atan((sqrt((-b)*c + a*d)*x^2)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^8))))/(8*(-a)^(7//4)*sqrt((-b)*c + a*d)) - (d^(3//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(12*a*c^(5//4)*sqrt(c + d*x^8)) - (b*((sqrt(b)*sqrt(c))/sqrt(-a) + sqrt(d))*d^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(8*a*c^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) - (b*(sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c) + a*sqrt(d))*d^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(8*a^2*c^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) - (b*(sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d))), 2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(16*a^2*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) - (b*(sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d)), 2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(16*a^2*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)), x, 11),
+
+(x^13/((a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), (x^2*sqrt(c + d*x^8))/(2*b*sqrt(d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)) + ((-a)^(3//4)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^8))))/(8*b^(5//4)*sqrt(b*c - a*d)) - ((-a)^(3//4)*atan((sqrt((-b)*c + a*d)*x^2)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^8))))/(8*b^(5//4)*sqrt((-b)*c + a*d)) - (c^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(2*b*d^(3//4)*sqrt(c + d*x^8)) + (c^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(4*b*d^(3//4)*sqrt(c + d*x^8)) + (a*(sqrt(c) - (sqrt(-a)*sqrt(d))/sqrt(b))*d^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(8*b*c^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) + (a*(sqrt(c) + (sqrt(-a)*sqrt(d))/sqrt(b))*d^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(8*b*c^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) + (sqrt(-a)*(sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d))), 2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(16*b^(3//2)*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) - (sqrt(-a)*(sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d)), 2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(16*b^(3//2)*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)), x, 12),
+(x^5/((a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^8)))/(8*(-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(b*c - a*d)) - atan((sqrt((-b)*c + a*d)*x^2)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^8)))/(8*(-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt((-b)*c + a*d)) - ((sqrt(c) - (sqrt(-a)*sqrt(d))/sqrt(b))*d^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(8*c^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) - ((sqrt(c) + (sqrt(-a)*sqrt(d))/sqrt(b))*d^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(8*c^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) + ((sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d))), 2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(16*sqrt(-a)*sqrt(b)*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) - ((sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d)), 2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(16*sqrt(-a)*sqrt(b)*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)), x, 8),
+# {1/(x^3*(a + b*x^8)*Sqrt[c + d*x^8]), x, 14, If[$VersionNumber>=8, -(Sqrt[c + d*x^8]/(2*a*c*x^2)) + (Sqrt[d]*x^2*Sqrt[c + d*x^8])/(2*a*c*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)) + (b^(3/4)*ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x^2)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^8])])/(8*(-a)^(5/4)*Sqrt[b*c - a*d]) - (b^(3/4)*ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x^2)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^8])])/(8*(-a)^(5/4)*Sqrt[(-b)*c + a*d]) - (d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)*Sqrt[(c + d*x^8)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(d^(1/4)*x^2)/c^(1/4)], 1/2])/(2*a*c^(3/4)*Sqrt[c + d*x^8]) + (d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)*Sqrt[(c + d*x^8)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x^2)/c^(1/4)], 1/2])/(4*a*c^(3/4)*Sqrt[c + d*x^8]) + (b*(Sqrt[c] - (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[b])*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)*Sqrt[(c + d*x^8)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x^2)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^8]) + (b*(Sqrt[c] + (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[b])*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)*Sqrt[(c + d*x^8)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x^2)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^8]) + (Sqrt[b]*(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)*Sqrt[(c + d*x^8)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x^2)/c^(1/4)], 1/2])/(16*(-a)^(3/2)*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^8]) - (Sqrt[b]*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)*Sqrt[(c + d*x^8)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x^2)/c^(1/4)], 1/2])/(16*(-a)^(3/2)*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^8]), -(Sqrt[c + d*x^8]/(2*a*c*x^2)) + (Sqrt[d]*x^2*Sqrt[c + d*x^8])/(2*a*c*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)) + (b^(3/4)*ArcTan[(Sqrt[b*c - a*d]*x^2)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^8])])/(8*(-a)^(5/4)*Sqrt[b*c - a*d]) - (b^(3/4)*ArcTan[(Sqrt[(-b)*c + a*d]*x^2)/((-a)^(1/4)*b^(1/4)*Sqrt[c + d*x^8])])/(8*(-a)^(5/4)*Sqrt[(-b)*c + a*d]) - (d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)*Sqrt[(c + d*x^8)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(d^(1/4)*x^2)/c^(1/4)], 1/2])/(2*a*c^(3/4)*Sqrt[c + d*x^8]) + (d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)*Sqrt[(c + d*x^8)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x^2)/c^(1/4)], 1/2])/(4*a*c^(3/4)*Sqrt[c + d*x^8]) + (b*(Sqrt[c] - (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[b])*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)*Sqrt[(c + d*x^8)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x^2)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^8]) + (b*(Sqrt[c] + (Sqrt[-a]*Sqrt[d])/Sqrt[b])*d^(1/4)*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)*Sqrt[(c + d*x^8)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(d^(1/4)*x^2)/c^(1/4)], 1/2])/(8*a*c^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^8]) + (Sqrt[b]*(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)*Sqrt[(c + d*x^8)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d])), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x^2)/c^(1/4)], 1/2])/(16*(-a)^(3/2)*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^8]) - (Sqrt[b]*(Sqrt[b]*Sqrt[c] - Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2*(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)*Sqrt[(c + d*x^8)/(Sqrt[c] + Sqrt[d]*x^4)^2]*EllipticPi[(Sqrt[b]*Sqrt[c] + Sqrt[-a]*Sqrt[d])^2/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d]), 2*ArcTan[(d^(1/4)*x^2)/c^(1/4)], 1/2])/(16*(-a)^(3/2)*c^(1/4)*d^(1/4)*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*x^8])]}
+
+(x^4/((a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), (x^5*sqrt(1 + (d*x^8)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(5//8, 1, 1//2, 13//8, -((b*x^8)/a), -((d*x^8)/c)))/(5*a*sqrt(c + d*x^8)), x, 2),
+(x^2/((a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), (x^3*sqrt(1 + (d*x^8)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(3//8, 1, 1//2, 11//8, -((b*x^8)/a), -((d*x^8)/c)))/(3*a*sqrt(c + d*x^8)), x, 2),
+(x^0/((a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), (x*sqrt(1 + (d*x^8)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//8, 1, 1//2, 9//8, -((b*x^8)/a), -((d*x^8)/c)))/(a*sqrt(c + d*x^8)), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), -((sqrt(1 + (d*x^8)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//8), 1, 1//2, 7//8, -((b*x^8)/a), -((d*x^8)/c)))/(a*x*sqrt(c + d*x^8))), x, 2),
+(1/(x^4*(a + b*x^8)*sqrt(c + d*x^8)), -((sqrt(1 + (d*x^8)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(3//8), 1, 1//2, 5//8, -((b*x^8)/a), -((d*x^8)/c)))/(3*a*x^3*sqrt(c + d*x^8))), x, 2),
+
+
+(x^23/((a + b*x^8)^2*sqrt(c + d*x^8)), sqrt(c + d*x^8)/(4*b^2*d) - (a^2*sqrt(c + d*x^8))/(8*b^2*(b*c - a*d)*(a + b*x^8)) + (a*(4*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^8))/sqrt(b*c - a*d)))/(8*b^(5//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 5),
+(x^15/((a + b*x^8)^2*sqrt(c + d*x^8)), (a*sqrt(c + d*x^8))/(8*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^8)) - ((2*b*c - a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^8))/sqrt(b*c - a*d)))/(8*b^(3//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+(x^7/((a + b*x^8)^2*sqrt(c + d*x^8)), -(sqrt(c + d*x^8)/(8*(b*c - a*d)*(a + b*x^8))) + (d*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^8))/sqrt(b*c - a*d)))/(8*sqrt(b)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^1*(a + b*x^8)^2*sqrt(c + d*x^8)), (b*sqrt(c + d*x^8))/(8*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^8)) - atanh(sqrt(c + d*x^8)/sqrt(c))/(4*a^2*sqrt(c)) + (sqrt(b)*(2*b*c - 3*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^8))/sqrt(b*c - a*d)))/(8*a^2*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 7),
+(1/(x^9*(a + b*x^8)^2*sqrt(c + d*x^8)), -((b*(2*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^8))/(8*a^2*c*(b*c - a*d)*(a + b*x^8))) - sqrt(c + d*x^8)/(8*a*c*x^8*(a + b*x^8)) + ((4*b*c + a*d)*atanh(sqrt(c + d*x^8)/sqrt(c)))/(8*a^3*c^(3//2)) - (b^(3//2)*(4*b*c - 5*a*d)*atanh((sqrt(b)*sqrt(c + d*x^8))/sqrt(b*c - a*d)))/(8*a^3*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 8),
+
+(x^19/((a + b*x^8)^2*sqrt(c + d*x^8)), (a*x^4*sqrt(c + d*x^8))/(8*b*(b*c - a*d)*(a + b*x^8)) - (sqrt(a)*(3*b*c - 2*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^4)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^8))))/(8*b^2*(b*c - a*d)^(3//2)) + atanh((sqrt(d)*x^4)/sqrt(c + d*x^8))/(4*b^2*sqrt(d)), x, 7),
+(x^11/((a + b*x^8)^2*sqrt(c + d*x^8)), -((x^4*sqrt(c + d*x^8))/(8*(b*c - a*d)*(a + b*x^8))) + (c*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^4)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^8))))/(8*sqrt(a)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 5),
+(x^3/((a + b*x^8)^2*sqrt(c + d*x^8)), (b*x^4*sqrt(c + d*x^8))/(8*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^8)) + ((b*c - 2*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^4)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^8))))/(8*a^(3//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^5*(a + b*x^8)^2*sqrt(c + d*x^8)), -(((3*b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x^8))/(8*a^2*c*(b*c - a*d)*x^4)) + (b*sqrt(c + d*x^8))/(8*a*(b*c - a*d)*x^4*(a + b*x^8)) - (b*(3*b*c - 4*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^4)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^8))))/(8*a^(5//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 6),
+(1/(x^13*(a + b*x^8)^2*sqrt(c + d*x^8)), -(((5*b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x^8))/(24*a^2*c*(b*c - a*d)*x^12)) + ((15*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d - 4*a^2*d^2)*sqrt(c + d*x^8))/(24*a^3*c^2*(b*c - a*d)*x^4) + (b*sqrt(c + d*x^8))/(8*a*(b*c - a*d)*x^12*(a + b*x^8)) + (b^2*(5*b*c - 6*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^4)/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^8))))/(8*a^(7//2)*(b*c - a*d)^(3//2)), x, 7),
+
+(x^9/((a + b*x^8)^2*sqrt(c + d*x^8)), -((x^2*sqrt(c + d*x^8))/(8*(b*c - a*d)*(a + b*x^8))) - ((b*c + a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^8))))/(32*(-a)^(3//4)*b^(3//4)*(b*c - a*d)^(3//2)) + ((b*c + a*d)*atan((sqrt((-b)*c + a*d)*x^2)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^8))))/(32*(-a)^(3//4)*b^(3//4)*((-b)*c + a*d)^(3//2)) + (((sqrt(b)*sqrt(c))/sqrt(-a) + sqrt(d))*d^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(32*b*c^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^8)) + ((sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c) + a*sqrt(d))*d^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(32*a*b*c^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^8)) - (d^(3//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(16*b*c^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^8)) + ((sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d))), 2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(64*a*b*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^8)) + ((sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d)), 2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(64*a*b*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^8)), x, 11),
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+(x^5/((a + b*x^8)^2*sqrt(c + d*x^8)), -((sqrt(d)*x^2*sqrt(c + d*x^8))/(8*a*(b*c - a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4))) + (b*x^6*sqrt(c + d*x^8))/(8*a*(b*c - a*d)*(a + b*x^8)) - ((b*c - 3*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^8))))/(32*(-a)^(5//4)*b^(1//4)*(b*c - a*d)^(3//2)) - ((b*c - 3*a*d)*atan((sqrt((-b)*c + a*d)*x^2)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^8))))/(32*(-a)^(5//4)*b^(1//4)*((-b)*c + a*d)^(3//2)) + (c^(1//4)*d^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(8*a*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^8)) - (c^(1//4)*d^(1//4)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(16*a*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^8)) - ((sqrt(c) - (sqrt(-a)*sqrt(d))/sqrt(b))*d^(1//4)*(b*c - 3*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(32*a*c^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) - ((sqrt(c) + (sqrt(-a)*sqrt(d))/sqrt(b))*d^(1//4)*(b*c - 3*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(32*a*c^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) - ((sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(b*c - 3*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d))), 2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(64*(-a)^(3//2)*sqrt(b)*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) + ((sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(b*c - 3*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d)), 2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(64*(-a)^(3//2)*sqrt(b)*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)), x, 14),
+(1/(x^3*(a + b*x^8)^2*sqrt(c + d*x^8)), -(((5*b*c - 4*a*d)*sqrt(c + d*x^8))/(8*a^2*c*(b*c - a*d)*x^2)) + (sqrt(d)*(5*b*c - 4*a*d)*x^2*sqrt(c + d*x^8))/(8*a^2*c*(b*c - a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)) + (b*sqrt(c + d*x^8))/(8*a*(b*c - a*d)*x^2*(a + b*x^8)) - (b^(3//4)*(5*b*c - 7*a*d)*atan((sqrt(b*c - a*d)*x^2)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^8))))/(32*(-a)^(9//4)*(b*c - a*d)^(3//2)) - (b^(3//4)*(5*b*c - 7*a*d)*atan((sqrt((-b)*c + a*d)*x^2)/((-a)^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(c + d*x^8))))/(32*(-a)^(9//4)*((-b)*c + a*d)^(3//2)) - (d^(1//4)*(5*b*c - 4*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(8*a^2*c^(3//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^8)) + (d^(1//4)*(5*b*c - 4*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(16*a^2*c^(3//4)*(b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^8)) + (b*(sqrt(c) - (sqrt(-a)*sqrt(d))/sqrt(b))*d^(1//4)*(5*b*c - 7*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(32*a^2*c^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) + (b*(sqrt(c) + (sqrt(-a)*sqrt(d))/sqrt(b))*d^(1//4)*(5*b*c - 7*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(32*a^2*c^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) - (sqrt(b)*(sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(5*b*c - 7*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d))), 2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(64*(-a)^(5//2)*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)) + (sqrt(b)*(sqrt(b)*sqrt(c) - sqrt(-a)*sqrt(d))^2*(5*b*c - 7*a*d)*(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)*sqrt((c + d*x^8)/(sqrt(c) + sqrt(d)*x^4)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(b)*sqrt(c) + sqrt(-a)*sqrt(d))^2/(4*sqrt(-a)*sqrt(b)*sqrt(c)*sqrt(d)), 2*atan((d^(1//4)*x^2)/c^(1//4)), 1//2))/(64*(-a)^(5//2)*c^(1//4)*d^(1//4)*(b*c - a*d)*(b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^8)), x, 15),
+
+(x^4/((a + b*x^8)^2*sqrt(c + d*x^8)), (x^5*sqrt(1 + (d*x^8)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(5//8, 2, 1//2, 13//8, -((b*x^8)/a), -((d*x^8)/c)))/(5*a^2*sqrt(c + d*x^8)), x, 2),
+(x^2/((a + b*x^8)^2*sqrt(c + d*x^8)), (x^3*sqrt(1 + (d*x^8)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(3//8, 2, 1//2, 11//8, -((b*x^8)/a), -((d*x^8)/c)))/(3*a^2*sqrt(c + d*x^8)), x, 2),
+(x^0/((a + b*x^8)^2*sqrt(c + d*x^8)), (x*sqrt(1 + (d*x^8)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//8, 2, 1//2, 9//8, -((b*x^8)/a), -((d*x^8)/c)))/(a^2*sqrt(c + d*x^8)), x, 2),
+(1/(x^2*(a + b*x^8)^2*sqrt(c + d*x^8)), -((sqrt(1 + (d*x^8)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//8), 2, 1//2, 7//8, -((b*x^8)/a), -((d*x^8)/c)))/(a^2*x*sqrt(c + d*x^8))), x, 2),
+(1/(x^4*(a + b*x^8)^2*sqrt(c + d*x^8)), -((sqrt(1 + (d*x^8)/c)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(3//8), 2, 1//2, 5//8, -((b*x^8)/a), -((d*x^8)/c)))/(3*a^2*x^3*sqrt(c + d*x^8))), x, 2),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b/x^2)^p (c+d/x^2)^q
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b/x^2)^p (c+d/x^2)^(q/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b/x^2)^1 (c+d/x^2)^(q/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
+
+
+(x^5*(a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2), (d*(2*b*c - a*d)*sqrt(c + d/x^2)*x^2)/(16*c^2) + ((2*b*c - a*d)*sqrt(c + d/x^2)*x^4)/(8*c) + (a*(c + d/x^2)^(3//2)*x^6)/(6*c) - (d^2*(2*b*c - a*d)*atanh(sqrt(c + d/x^2)/sqrt(c)))/(16*c^(5//2)), x, 6),
+(x^3*(a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2), ((4*b*c - a*d)*sqrt(c + d/x^2)*x^2)/(8*c) + (a*(c + d/x^2)^(3//2)*x^4)/(4*c) + (d*(4*b*c - a*d)*atanh(sqrt(c + d/x^2)/sqrt(c)))/(8*c^(3//2)), x, 5),
+(x^1*(a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2), -(((2*b*c + a*d)*sqrt(c + d/x^2))/(2*c)) + (a*(c + d/x^2)^(3//2)*x^2)/(2*c) + ((2*b*c + a*d)*atanh(sqrt(c + d/x^2)/sqrt(c)))/(2*sqrt(c)), x, 5),
+((a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2)/x^1, (-a)*sqrt(c + d/x^2) - (b*(c + d/x^2)^(3//2))/(3*d) + a*sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d/x^2)/sqrt(c)), x, 5),
+((a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2)/x^3, ((b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(3//2))/(3*d^2) - (b*(c + d/x^2)^(5//2))/(5*d^2), x, 3),
+((a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2)/x^5, -((c*(b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(3//2))/(3*d^3)) + ((2*b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(5//2))/(5*d^3) - (b*(c + d/x^2)^(7//2))/(7*d^3), x, 3),
+((a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2)/x^7, (c^2*(b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(3//2))/(3*d^4) - (c*(3*b*c - 2*a*d)*(c + d/x^2)^(5//2))/(5*d^4) + ((3*b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(7//2))/(7*d^4) - (b*(c + d/x^2)^(9//2))/(9*d^4), x, 3),
+((a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2)/x^9, -((c^3*(b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(3//2))/(3*d^5)) + (c^2*(4*b*c - 3*a*d)*(c + d/x^2)^(5//2))/(5*d^5) - (3*c*(2*b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(7//2))/(7*d^5) + ((4*b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(9//2))/(9*d^5) - (b*(c + d/x^2)^(11//2))/(11*d^5), x, 3),
+
+(x^10*(a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2), -((16*d^3*(11*b*c - 8*a*d)*(c + d/x^2)^(3//2)*x^3)/(3465*c^5)) + (8*d^2*(11*b*c - 8*a*d)*(c + d/x^2)^(3//2)*x^5)/(1155*c^4) - (2*d*(11*b*c - 8*a*d)*(c + d/x^2)^(3//2)*x^7)/(231*c^3) + ((11*b*c - 8*a*d)*(c + d/x^2)^(3//2)*x^9)/(99*c^2) + (a*(c + d/x^2)^(3//2)*x^11)/(11*c), x, 5),
+(x^8*(a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2), (8*d^2*(3*b*c - 2*a*d)*(c + d/x^2)^(3//2)*x^3)/(315*c^4) - (4*d*(3*b*c - 2*a*d)*(c + d/x^2)^(3//2)*x^5)/(105*c^3) + ((3*b*c - 2*a*d)*(c + d/x^2)^(3//2)*x^7)/(21*c^2) + (a*(c + d/x^2)^(3//2)*x^9)/(9*c), x, 4),
+(x^6*(a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2), -((2*d*(7*b*c - 4*a*d)*(c + d/x^2)^(3//2)*x^3)/(105*c^3)) + ((7*b*c - 4*a*d)*(c + d/x^2)^(3//2)*x^5)/(35*c^2) + (a*(c + d/x^2)^(3//2)*x^7)/(7*c), x, 3),
+(x^4*(a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2), ((5*b*c - 2*a*d)*(c + d/x^2)^(3//2)*x^3)/(15*c^2) + (a*(c + d/x^2)^(3//2)*x^5)/(5*c), x, 2),
+(x^2*(a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2), b*sqrt(c + d/x^2)*x + (a*(c + d/x^2)^(3//2)*x^3)/(3*c) - b*sqrt(d)*atanh(sqrt(d)/(sqrt(c + d/x^2)*x)), x, 5),
+(x^0*(a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2), -(((b*c + 2*a*d)*sqrt(c + d/x^2))/(2*c*x)) + (a*(c + d/x^2)^(3//2)*x)/c - ((b*c + 2*a*d)*atanh(sqrt(d)/(sqrt(c + d/x^2)*x)))/(2*sqrt(d)), x, 5),
+((a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2)/x^2, ((b*c - 4*a*d)*sqrt(c + d/x^2))/(8*d*x) - (b*(c + d/x^2)^(3//2))/(4*d*x) + (c*(b*c - 4*a*d)*atanh(sqrt(d)/(sqrt(c + d/x^2)*x)))/(8*d^(3//2)), x, 5),
+((a + b/x^2)*sqrt(c + d/x^2)/x^4, ((b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d/x^2))/(8*d*x^3) - (b*(c + d/x^2)^(3//2))/(6*d*x^3) + (c*(b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d/x^2))/(16*d^2*x) - (c^2*(b*c - 2*a*d)*atanh(sqrt(d)/(sqrt(c + d/x^2)*x)))/(16*d^(5//2)), x, 6),
+
+
+(x^5*(a + b/x^2)*(c + d/x^2)^(3//2), (d*(6*b*c - a*d)*sqrt(c + d/x^2)*x^2)/(16*c) + ((6*b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(3//2)*x^4)/(24*c) + (a*(c + d/x^2)^(5//2)*x^6)/(6*c) + (d^2*(6*b*c - a*d)*atanh(sqrt(c + d/x^2)/sqrt(c)))/(16*c^(3//2)), x, 6),
+(x^3*(a + b/x^2)*(c + d/x^2)^(3//2), -((3*d*(4*b*c + a*d)*sqrt(c + d/x^2))/(8*c)) + ((4*b*c + a*d)*(c + d/x^2)^(3//2)*x^2)/(8*c) + (a*(c + d/x^2)^(5//2)*x^4)/(4*c) + (3*d*(4*b*c + a*d)*atanh(sqrt(c + d/x^2)/sqrt(c)))/(8*sqrt(c)), x, 6),
+(x^1*(a + b/x^2)*(c + d/x^2)^(3//2), (-(1//2))*(2*b*c + 3*a*d)*sqrt(c + d/x^2) - ((2*b*c + 3*a*d)*(c + d/x^2)^(3//2))/(6*c) + (a*(c + d/x^2)^(5//2)*x^2)/(2*c) + (1//2)*sqrt(c)*(2*b*c + 3*a*d)*atanh(sqrt(c + d/x^2)/sqrt(c)), x, 6),
+((a + b/x^2)*(c + d/x^2)^(3//2)/x^1, (-a)*c*sqrt(c + d/x^2) - (1//3)*a*(c + d/x^2)^(3//2) - (b*(c + d/x^2)^(5//2))/(5*d) + a*c^(3//2)*atanh(sqrt(c + d/x^2)/sqrt(c)), x, 6),
+((a + b/x^2)*(c + d/x^2)^(3//2)/x^3, ((b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(5//2))/(5*d^2) - (b*(c + d/x^2)^(7//2))/(7*d^2), x, 3),
+((a + b/x^2)*(c + d/x^2)^(3//2)/x^5, -((c*(b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(5//2))/(5*d^3)) + ((2*b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(7//2))/(7*d^3) - (b*(c + d/x^2)^(9//2))/(9*d^3), x, 3),
+((a + b/x^2)*(c + d/x^2)^(3//2)/x^7, (c^2*(b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(5//2))/(5*d^4) - (c*(3*b*c - 2*a*d)*(c + d/x^2)^(7//2))/(7*d^4) + ((3*b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(9//2))/(9*d^4) - (b*(c + d/x^2)^(11//2))/(11*d^4), x, 3),
+((a + b/x^2)*(c + d/x^2)^(3//2)/x^9, -((c^3*(b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(5//2))/(5*d^5)) + (c^2*(4*b*c - 3*a*d)*(c + d/x^2)^(7//2))/(7*d^5) - (c*(2*b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(9//2))/(3*d^5) + ((4*b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(11//2))/(11*d^5) - (b*(c + d/x^2)^(13//2))/(13*d^5), x, 3),
+
+(x^12*(a + b/x^2)*(c + d/x^2)^(3//2), -((16*d^3*(13*b*c - 8*a*d)*(c + d/x^2)^(5//2)*x^5)/(15015*c^5)) + (8*d^2*(13*b*c - 8*a*d)*(c + d/x^2)^(5//2)*x^7)/(3003*c^4) - (2*d*(13*b*c - 8*a*d)*(c + d/x^2)^(5//2)*x^9)/(429*c^3) + ((13*b*c - 8*a*d)*(c + d/x^2)^(5//2)*x^11)/(143*c^2) + (a*(c + d/x^2)^(5//2)*x^13)/(13*c), x, 5),
+(x^10*(a + b/x^2)*(c + d/x^2)^(3//2), (8*d^2*(11*b*c - 6*a*d)*(c + d/x^2)^(5//2)*x^5)/(3465*c^4) - (4*d*(11*b*c - 6*a*d)*(c + d/x^2)^(5//2)*x^7)/(693*c^3) + ((11*b*c - 6*a*d)*(c + d/x^2)^(5//2)*x^9)/(99*c^2) + (a*(c + d/x^2)^(5//2)*x^11)/(11*c), x, 4),
+(x^8*(a + b/x^2)*(c + d/x^2)^(3//2), -((2*d*(9*b*c - 4*a*d)*(c + d/x^2)^(5//2)*x^5)/(315*c^3)) + ((9*b*c - 4*a*d)*(c + d/x^2)^(5//2)*x^7)/(63*c^2) + (a*(c + d/x^2)^(5//2)*x^9)/(9*c), x, 3),
+(x^6*(a + b/x^2)*(c + d/x^2)^(3//2), ((7*b*c - 2*a*d)*(c + d/x^2)^(5//2)*x^5)/(35*c^2) + (a*(c + d/x^2)^(5//2)*x^7)/(7*c), x, 2),
+(x^4*(a + b/x^2)*(c + d/x^2)^(3//2), b*d*sqrt(c + d/x^2)*x + (1//3)*b*(c + d/x^2)^(3//2)*x^3 + (a*(c + d/x^2)^(5//2)*x^5)/(5*c) - b*d^(3//2)*atanh(sqrt(d)/(sqrt(c + d/x^2)*x)), x, 6),
+(x^2*(a + b/x^2)*(c + d/x^2)^(3//2), -((d*(3*b*c + 2*a*d)*sqrt(c + d/x^2))/(2*c*x)) + ((3*b*c + 2*a*d)*(c + d/x^2)^(3//2)*x)/(3*c) + (a*(c + d/x^2)^(5//2)*x^3)/(3*c) - (1//2)*sqrt(d)*(3*b*c + 2*a*d)*atanh(sqrt(d)/(sqrt(c + d/x^2)*x)), x, 6),
+(x^0*(a + b/x^2)*(c + d/x^2)^(3//2), -((3*(b*c + 4*a*d)*sqrt(c + d/x^2))/(8*x)) - ((b*c + 4*a*d)*(c + d/x^2)^(3//2))/(4*c*x) + (a*(c + d/x^2)^(5//2)*x)/c - (3*c*(b*c + 4*a*d)*atanh(sqrt(d)/(sqrt(c + d/x^2)*x)))/(8*sqrt(d)), x, 6),
+((a + b/x^2)*(c + d/x^2)^(3//2)/x^2, (c*(b*c - 6*a*d)*sqrt(c + d/x^2))/(16*d*x) + ((b*c - 6*a*d)*(c + d/x^2)^(3//2))/(24*d*x) - (b*(c + d/x^2)^(5//2))/(6*d*x) + (c^2*(b*c - 6*a*d)*atanh(sqrt(d)/(sqrt(c + d/x^2)*x)))/(16*d^(3//2)), x, 6),
+((a + b/x^2)*(c + d/x^2)^(3//2)/x^4, (c*(3*b*c - 8*a*d)*sqrt(c + d/x^2))/(64*d*x^3) + ((3*b*c - 8*a*d)*(c + d/x^2)^(3//2))/(48*d*x^3) - (b*(c + d/x^2)^(5//2))/(8*d*x^3) + (c^2*(3*b*c - 8*a*d)*sqrt(c + d/x^2))/(128*d^2*x) - (c^3*(3*b*c - 8*a*d)*atanh(sqrt(d)/(sqrt(c + d/x^2)*x)))/(128*d^(5//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+(x^3*(a + b/x^2)/sqrt(c + d/x^2), ((4*b*c - 3*a*d)*sqrt(c + d/x^2)*x^2)/(8*c^2) + (a*sqrt(c + d/x^2)*x^4)/(4*c) - (d*(4*b*c - 3*a*d)*atanh(sqrt(c + d/x^2)/sqrt(c)))/(8*c^(5//2)), x, 5),
+(x^1*(a + b/x^2)/sqrt(c + d/x^2), (a*sqrt(c + d/x^2)*x^2)/(2*c) + ((2*b*c - a*d)*atanh(sqrt(c + d/x^2)/sqrt(c)))/(2*c^(3//2)), x, 4),
+((a + b/x^2)/(x^1*sqrt(c + d/x^2)), -((b*sqrt(c + d/x^2))/d) + (a*atanh(sqrt(c + d/x^2)/sqrt(c)))/sqrt(c), x, 4),
+((a + b/x^2)/(x^3*sqrt(c + d/x^2)), ((b*c - a*d)*sqrt(c + d/x^2))/d^2 - (b*(c + d/x^2)^(3//2))/(3*d^2), x, 3),
+((a + b/x^2)/(x^5*sqrt(c + d/x^2)), -((c*(b*c - a*d)*sqrt(c + d/x^2))/d^3) + ((2*b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(3//2))/(3*d^3) - (b*(c + d/x^2)^(5//2))/(5*d^3), x, 3),
+((a + b/x^2)/(x^7*sqrt(c + d/x^2)), (c^2*(b*c - a*d)*sqrt(c + d/x^2))/d^4 - (c*(3*b*c - 2*a*d)*(c + d/x^2)^(3//2))/(3*d^4) + ((3*b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(5//2))/(5*d^4) - (b*(c + d/x^2)^(7//2))/(7*d^4), x, 3),
+
+(x^4*(a + b/x^2)/sqrt(c + d/x^2), -((2*d*(5*b*c - 4*a*d)*sqrt(c + d/x^2)*x)/(15*c^3)) + ((5*b*c - 4*a*d)*sqrt(c + d/x^2)*x^3)/(15*c^2) + (a*sqrt(c + d/x^2)*x^5)/(5*c), x, 3),
+(x^2*(a + b/x^2)/sqrt(c + d/x^2), ((3*b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d/x^2)*x)/(3*c^2) + (a*sqrt(c + d/x^2)*x^3)/(3*c), x, 2),
+(x^0*(a + b/x^2)/sqrt(c + d/x^2), (a*sqrt(c + d/x^2)*x)/c - (b*atanh(sqrt(d)/(sqrt(c + d/x^2)*x)))/sqrt(d), x, 4),
+((a + b/x^2)/(x^2*sqrt(c + d/x^2)), -((b*sqrt(c + d/x^2))/(2*d*x)) + ((b*c - 2*a*d)*atanh(sqrt(d)/(sqrt(c + d/x^2)*x)))/(2*d^(3//2)), x, 4),
+((a + b/x^2)/(x^4*sqrt(c + d/x^2)), -((b*sqrt(c + d/x^2))/(4*d*x^3)) + ((3*b*c - 4*a*d)*sqrt(c + d/x^2))/(8*d^2*x) - (c*(3*b*c - 4*a*d)*atanh(sqrt(d)/(sqrt(c + d/x^2)*x)))/(8*d^(5//2)), x, 5),
+
+
+(x^3*(a + b/x^2)/(c + d/x^2)^(3//2), (3*d*(4*b*c - 5*a*d))/(8*c^3*sqrt(c + d/x^2)) + ((4*b*c - 5*a*d)*x^2)/(8*c^2*sqrt(c + d/x^2)) + (a*x^4)/(4*c*sqrt(c + d/x^2)) - (3*d*(4*b*c - 5*a*d)*atanh(sqrt(c + d/x^2)/sqrt(c)))/(8*c^(7//2)), x, 6),
+(x^1*(a + b/x^2)/(c + d/x^2)^(3//2), -((2*b*c - 3*a*d)/(2*c^2*sqrt(c + d/x^2))) + (a*x^2)/(2*c*sqrt(c + d/x^2)) + ((2*b*c - 3*a*d)*atanh(sqrt(c + d/x^2)/sqrt(c)))/(2*c^(5//2)), x, 5),
+((a + b/x^2)/(x^1*(c + d/x^2)^(3//2)), (b*c - a*d)/(c*d*sqrt(c + d/x^2)) + (a*atanh(sqrt(c + d/x^2)/sqrt(c)))/c^(3//2), x, 4),
+((a + b/x^2)/(x^3*(c + d/x^2)^(3//2)), -((b*c - a*d)/(d^2*sqrt(c + d/x^2))) - (b*sqrt(c + d/x^2))/d^2, x, 3),
+((a + b/x^2)/(x^5*(c + d/x^2)^(3//2)), (c*(b*c - a*d))/(d^3*sqrt(c + d/x^2)) + ((2*b*c - a*d)*sqrt(c + d/x^2))/d^3 - (b*(c + d/x^2)^(3//2))/(3*d^3), x, 3),
+((a + b/x^2)/(x^7*(c + d/x^2)^(3//2)), -((c^2*(b*c - a*d))/(d^4*sqrt(c + d/x^2))) - (c*(3*b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d/x^2))/d^4 + ((3*b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(3//2))/(3*d^4) - (b*(c + d/x^2)^(5//2))/(5*d^4), x, 3),
+((a + b/x^2)/(x^9*(c + d/x^2)^(3//2)), (c^3*(b*c - a*d))/(d^5*sqrt(c + d/x^2)) + (c^2*(4*b*c - 3*a*d)*sqrt(c + d/x^2))/d^5 - (c*(2*b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(3//2))/d^5 + ((4*b*c - a*d)*(c + d/x^2)^(5//2))/(5*d^5) - (b*(c + d/x^2)^(7//2))/(7*d^5), x, 3),
+
+(x^4*(a + b/x^2)/(c + d/x^2)^(3//2), (4*d*(5*b*c - 6*a*d)*x)/(15*c^3*sqrt(c + d/x^2)) - (8*d*(5*b*c - 6*a*d)*sqrt(c + d/x^2)*x)/(15*c^4) + ((5*b*c - 6*a*d)*x^3)/(15*c^2*sqrt(c + d/x^2)) + (a*x^5)/(5*c*sqrt(c + d/x^2)), x, 4),
+(x^2*(a + b/x^2)/(c + d/x^2)^(3//2), -(((3*b*c - 4*a*d)*x)/(3*c^2*sqrt(c + d/x^2))) + (2*(3*b*c - 4*a*d)*sqrt(c + d/x^2)*x)/(3*c^3) + (a*x^3)/(3*c*sqrt(c + d/x^2)), x, 3),
+(x^0*(a + b/x^2)/(c + d/x^2)^(3//2), -((b*c - 2*a*d)/(c^2*sqrt(c + d/x^2)*x)) + (a*x)/(c*sqrt(c + d/x^2)), x, 3),
+((a + b/x^2)/(x^2*(c + d/x^2)^(3//2)), (b*c - a*d)/(c*d*sqrt(c + d/x^2)*x) - (b*atanh(sqrt(d)/(sqrt(c + d/x^2)*x)))/d^(3//2), x, 4),
+((a + b/x^2)/(x^4*(c + d/x^2)^(3//2)), -(b/(2*d*sqrt(c + d/x^2)*x^3)) - (3*b*c - 2*a*d)/(2*d^2*sqrt(c + d/x^2)*x) + ((3*b*c - 2*a*d)*atanh(sqrt(d)/(sqrt(c + d/x^2)*x)))/(2*d^(5//2)), x, 5),
+((a + b/x^2)/(x^6*(c + d/x^2)^(3//2)), -(b/(4*d*sqrt(c + d/x^2)*x^5)) - (5*b*c - 4*a*d)/(4*d^2*sqrt(c + d/x^2)*x^3) + (3*(5*b*c - 4*a*d)*sqrt(c + d/x^2))/(8*d^3*x) - (3*c*(5*b*c - 4*a*d)*atanh(sqrt(d)/(sqrt(c + d/x^2)*x)))/(8*d^(7//2)), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b/x^2)^p (c+d/x^2)^q with p and/or q symbolic
+
+
+# {(a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*(e*x)^m, x, 4, ((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*(e*x)^(m + 1)*AppellF1[(1/2)*(-1 - m), -p, -q, (1 - m)/2, -(b/(a*x^2)), -(d/(c*x^2))])/((1 + b/(a*x^2))^p*(1 + d/(c*x^2))^q*(e*(1 + m))), ((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*x*(e*x)^m*AppellF1[(1/2)*(-1 - m), -p, -q, (1 - m)/2, -(b/(a*x^2)), -(d/(c*x^2))])/((1 + b/(a*x^2))^p*(1 + d/(c*x^2))^q*(1 + m))}
+
+
+((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*x^4, ((1//5)*(a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*x^5*SymbolicIntegration.appell_f1(-(5//2), -p, -q, -(3//2), -(b/(a*x^2)), -(d/(c*x^2))))/((1 + b/(a*x^2))^p*(1 + d/(c*x^2))^q), x, 4),
+((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*x^3, (b^2*(a + b/x^2)^(1 + p)*(c + d/x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + p, -q, 3, 2 + p, -((d*(a + b/x^2))/(b*c - a*d)), (a + b/x^2)/a))/(((b*(c + d/x^2))/(b*c - a*d))^q*(2*a^3*(1 + p))), x, 3),
+((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*x^2, ((1//3)*(a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*x^3*SymbolicIntegration.appell_f1(-(3//2), -p, -q, -(1//2), -(b/(a*x^2)), -(d/(c*x^2))))/((1 + b/(a*x^2))^p*(1 + d/(c*x^2))^q), x, 4),
+((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*x^1, -((b*(a + b/x^2)^(1 + p)*(c + d/x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + p, -q, 2, 2 + p, -((d*(a + b/x^2))/(b*c - a*d)), (a + b/x^2)/a))/(((b*(c + d/x^2))/(b*c - a*d))^q*(2*a^2*(1 + p)))), x, 3),
+((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*x^0, ((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*x*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//2), -p, -q, 1//2, -(b/(a*x^2)), -(d/(c*x^2))))/((1 + b/(a*x^2))^p*(1 + d/(c*x^2))^q), x, 4),
+((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q/x^1, ((a + b/x^2)^(1 + p)*(c + d/x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + p, -q, 1, 2 + p, -((d*(a + b/x^2))/(b*c - a*d)), (a + b/x^2)/a))/(((b*(c + d/x^2))/(b*c - a*d))^q*(2*a*(1 + p))), x, 3),
+((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q/x^2, -(((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, -q, 3//2, -(b/(a*x^2)), -(d/(c*x^2))))/((1 + b/(a*x^2))^p*(1 + d/(c*x^2))^q*x)), x, 4),
+((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q/x^3, -(((a + b/x^2)^(1 + p)*(c + d/x^2)^q*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + p, -q, 2 + p, -((d*(a + b/x^2))/(b*c - a*d))))/(((b*(c + d/x^2))/(b*c - a*d))^q*(2*b*(1 + p)))), x, 3),
+((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q/x^4, -(((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -p, -q, 5//2, -(b/(a*x^2)), -(d/(c*x^2))))/((1 + b/(a*x^2))^p*(1 + d/(c*x^2))^q*(3*x^3))), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b/x^2)^p (c+d/x^2)^q with p and/or q symbolic
+
+
+((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*(e*x)^(5//2), (2*(a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*(e*x)^(7//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(7//4), -p, -q, -(3//4), -(b/(a*x^2)), -(d/(c*x^2))))/((1 + b/(a*x^2))^p*(1 + d/(c*x^2))^q*(7*e)), x, 4),
+((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*(e*x)^(3//2), (2*(a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*(e*x)^(5//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(5//4), -p, -q, -(1//4), -(b/(a*x^2)), -(d/(c*x^2))))/((1 + b/(a*x^2))^p*(1 + d/(c*x^2))^q*(5*e)), x, 4),
+((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*(e*x)^(1//2), (2*(a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*(e*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(3//4), -p, -q, 1//4, -(b/(a*x^2)), -(d/(c*x^2))))/((1 + b/(a*x^2))^p*(1 + d/(c*x^2))^q*(3*e)), x, 4),
+((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q/(e*x)^(1//2), (2*(a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*sqrt(e*x)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//4), -p, -q, 3//4, -(b/(a*x^2)), -(d/(c*x^2))))/((1 + b/(a*x^2))^p*(1 + d/(c*x^2))^q*e), x, 4),
+((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q/(e*x)^(3//2), -((2*(a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//4, -p, -q, 5//4, -(b/(a*x^2)), -(d/(c*x^2))))/((1 + b/(a*x^2))^p*(1 + d/(c*x^2))^q*(e*sqrt(e*x)))), x, 4),
+((a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q/(e*x)^(5//2), -((2*(a + b/x^2)^p*(c + d/x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, -p, -q, 7//4, -(b/(a*x^2)), -(d/(c*x^2))))/((1 + b/(a*x^2))^p*(1 + d/(c*x^2))^q*(3*e*(e*x)^(3//2)))), x, 4),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^p with p=q and b c+a d=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b x^(n/2))^(p/2) (c+d x^(n/2))^(q/2) with p=q and b c+a d=0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(5//2)*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x)), (-(5//64))*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))*sqrt(x) - (5//96)*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))*x^(3//2) - (1//24)*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))*x^(5//2) + (1//4)*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))*x^(7//2) - (5*acosh(sqrt(x)))/64, x, 6),
+(x^(3//2)*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x)), (-(1//8))*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))*sqrt(x) - (1//12)*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))*x^(3//2) + (1//3)*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))*x^(5//2) - acosh(sqrt(x))/8, x, 5),
+(x^(1//2)*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x)), (-(1//4))*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))*sqrt(x) + (1//2)*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))*x^(3//2) - acosh(sqrt(x))/4, x, 4),
+(sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))/x^(1//2), sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))*sqrt(x) - acosh(sqrt(x)), x, 3),
+(sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))/x^(3//2), (2*(-1 + sqrt(x))^(3//2)*(1 + sqrt(x))^(3//2))/sqrt(x) - 2*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))*sqrt(x) + 2*acosh(sqrt(x)), x, 4),
+(sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))/x^(5//2), (2*(-1 + sqrt(x))^(3//2)*(1 + sqrt(x))^(3//2))/(3*x^(3//2)), x, 1),
+(sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))/x^(7//2), (2*(-1 + sqrt(x))^(3//2)*(1 + sqrt(x))^(3//2))/(5*x^(5//2)) + (4*(-1 + sqrt(x))^(3//2)*(1 + sqrt(x))^(3//2))/(15*x^(3//2)), x, 2),
+(sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))/x^(9//2), (2*(-1 + sqrt(x))^(3//2)*(1 + sqrt(x))^(3//2))/(7*x^(7//2)) + (8*(-1 + sqrt(x))^(3//2)*(1 + sqrt(x))^(3//2))/(35*x^(5//2)) + (16*(-1 + sqrt(x))^(3//2)*(1 + sqrt(x))^(3//2))/(105*x^(3//2)), x, 3),
+(sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))/x^(11//2), (2*(-1 + sqrt(x))^(3//2)*(1 + sqrt(x))^(3//2))/(9*x^(9//2)) + (4*(-1 + sqrt(x))^(3//2)*(1 + sqrt(x))^(3//2))/(21*x^(7//2)) + (16*(-1 + sqrt(x))^(3//2)*(1 + sqrt(x))^(3//2))/(105*x^(5//2)) + (32*(-1 + sqrt(x))^(3//2)*(1 + sqrt(x))^(3//2))/(315*x^(3//2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^(5//2)/(sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))), (5//8)*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))*sqrt(x) + (5//12)*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))*x^(3//2) + (1//3)*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))*x^(5//2) + (5*acosh(sqrt(x)))/8, x, 5),
+(x^(3//2)/(sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))), (3//4)*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))*sqrt(x) + (1//2)*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))*x^(3//2) + (3*acosh(sqrt(x)))/4, x, 4),
+(x^(1//2)/(sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))), sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))*sqrt(x) + acosh(sqrt(x)), x, 3),
+(1/(x^(1//2)*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))), 2*acosh(sqrt(x)), x, 2),
+(1/(x^(3//2)*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))), (2*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x)))/sqrt(x), x, 1),
+(1/(x^(5//2)*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))), (2*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x)))/(3*x^(3//2)) + (4*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x)))/(3*sqrt(x)), x, 2),
+(1/(x^(7//2)*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x))), (2*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x)))/(5*x^(5//2)) + (8*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x)))/(15*x^(3//2)) + (16*sqrt(-1 + sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x)))/(15*sqrt(x)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q with p=q, b c+a d=0 and p symbolic
+
+
+((-a + b*x^n)^p*(a + b*x^n)^p*x^2, ((1//3)*x^3*(-a + b*x^n)^p*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3/(2*n), -p, 1 + 3/(2*n), (b^2*x^(2*n))/a^2))/(1 - (b^2*x^(2*n))/a^2)^p, x, 3),
+((-a + b*x^n)^p*(a + b*x^n)^p*x^1, ((1//2)*x^2*(-a + b*x^n)^p*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1/n, -p, 1 + 1/n, (b^2*x^(2*n))/a^2))/(1 - (b^2*x^(2*n))/a^2)^p, x, 3),
+((-a + b*x^n)^p*(a + b*x^n)^p*x^0, (x*(-a + b*x^n)^p*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1/(2*n), -p, (1//2)*(2 + 1/n), (b^2*x^(2*n))/a^2))/(1 - (b^2*x^(2*n))/a^2)^p, x, 3),
+((-a + b*x^n)^p*(a + b*x^n)^p/x^1, -(((-a + b*x^n)^p*(a + b*x^n)^p*(a^2 - b^2*x^(2*n))*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 - (b^2*x^(2*n))/a^2))/(2*a^2*n*(1 + p))), x, 4),
+((-a + b*x^n)^p*(a + b*x^n)^p/x^2, -(((-a + b*x^n)^p*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1/(2*n)), -p, 1 - 1/(2*n), (b^2*x^(2*n))/a^2))/((1 - (b^2*x^(2*n))/a^2)^p*x)), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)
+
+
+((1 + x^6)/(x*(1 - x^6)), log(x) - log(1 - x^6)/3, x, 3),
+
+
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^p*(a*(1 + m) + b*(1 + m + n + n*p)*x^n), ((e*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^(1 + p))/e, x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^n)^p / (c+d x^n)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((e*x)^m/((a + b*x^n)*(c + d*x^n)), (b*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a*(b*c - a*d)*e*(1 + m)) - (d*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(c*(b*c - a*d)*e*(1 + m)), x, 3),
+
+(x^2/((a + b*x^n)*(c + d*x^n)), (b*x^3*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 3/n, (3 + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(3*a*(b*c - a*d)) - (d*x^3*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 3/n, (3 + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(3*c*(b*c - a*d)), x, 3),
+(x^1/((a + b*x^n)*(c + d*x^n)), (b*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(2*a*(b*c - a*d)) - (d*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2/n, (2 + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(2*c*(b*c - a*d)), x, 3),
+(x^0/((a + b*x^n)*(c + d*x^n)), (b*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a*(b*c - a*d)) - (d*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((d*x^n)/c)))/(c*(b*c - a*d)), x, 3),
+(1/(x^1*(a + b*x^n)*(c + d*x^n)), log(x)/(a*c) - (b*log(a + b*x^n))/(a*(b*c - a*d)*n) + (d*log(c + d*x^n))/(c*(b*c - a*d)*n), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x^n)*(c + d*x^n)), -((b*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -(1/n), -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a)))/(a*(b*c - a*d)*x)) + (d*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -(1/n), -((1 - n)/n), -((d*x^n)/c)))/(c*(b*c - a*d)*x), x, 3),
+(1/(x^3*(a + b*x^n)*(c + d*x^n)), -((b*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -(2/n), -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a)))/(2*a*(b*c - a*d)*x^2)) + (d*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -(2/n), -((2 - n)/n), -((d*x^n)/c)))/(2*c*(b*c - a*d)*x^2), x, 3),
+
+
+((e*x)^m/((a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)), (b*(e*x)^(1 + m))/(a*(b*c - a*d)*e*n*(a + b*x^n)) + (b*(a*d*(1 + m - 2*n) - b*c*(1 + m - n))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a^2*(b*c - a*d)^2*e*(1 + m)*n) + (d^2*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(c*(b*c - a*d)^2*e*(1 + m)), x, 5),
+
+(x^2/((a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)), (b*x^3)/(a*(b*c - a*d)*n*(a + b*x^n)) + (b*(a*d*(3 - 2*n) - b*c*(3 - n))*x^3*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 3/n, (3 + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(3*a^2*(b*c - a*d)^2*n) + (d^2*x^3*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 3/n, (3 + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(3*c*(b*c - a*d)^2), x, 5),
+(x^1/((a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)), (b*x^2)/(a*(b*c - a*d)*n*(a + b*x^n)) + (b*(2*a*d*(1 - n) - b*c*(2 - n))*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(2*a^2*(b*c - a*d)^2*n) + (d^2*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2/n, (2 + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(2*c*(b*c - a*d)^2), x, 5),
+(x^0/((a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)), (b*x)/(a*(b*c - a*d)*n*(a + b*x^n)) + (b*(a*d*(1 - 2*n) - b*c*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a^2*(b*c - a*d)^2*n) + (d^2*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((d*x^n)/c)))/(c*(b*c - a*d)^2), x, 4),
+(1/(x^1*(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)), b/(a*(b*c - a*d)*n*(a + b*x^n)) + log(x)/(a^2*c) - (b*(b*c - 2*a*d)*log(a + b*x^n))/(a^2*(b*c - a*d)^2*n) - (d^2*log(c + d*x^n))/(c*(b*c - a*d)^2*n), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)), b/(a*(b*c - a*d)*n*x*(a + b*x^n)) - (b*(b*c*(1 + n) - a*d*(1 + 2*n))*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -(1/n), -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a)))/(a^2*(b*c - a*d)^2*n*x) - (d^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -(1/n), -((1 - n)/n), -((d*x^n)/c)))/(c*(b*c - a*d)^2*x), x, 5),
+(1/(x^3*(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)), b/(a*(b*c - a*d)*n*x^2*(a + b*x^n)) + (b*(2*a*d*(1 + n) - b*c*(2 + n))*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -(2/n), -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a)))/(2*a^2*(b*c - a*d)^2*n*x^2) - (d^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -(2/n), -((2 - n)/n), -((d*x^n)/c)))/(2*c*(b*c - a*d)^2*x^2), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(k n-1) (a+b x^n)^p / (c+d x^n)
+
+
+((x^(-1 + 2*n)*(a + b*x^n)^3)/(c + d*x^n), -(((b*c - a*d)^3*x^n)/(d^4*n)) + (b*(b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^(2*n))/(2*d^3*n) - (b^2*(b*c - 3*a*d)*x^(3*n))/(3*d^2*n) + (b^3*x^(4*n))/(4*d*n) + (c*(b*c - a*d)^3*log(c + d*x^n))/(d^5*n), x, 3),
+((x^(-1 + 2*n)*(a + b*x^n)^2)/(c + d*x^n), ((b*c - a*d)^2*x^n)/(d^3*n) - (b*(b*c - 2*a*d)*x^(2*n))/(2*d^2*n) + (b^2*x^(3*n))/(3*d*n) - (c*(b*c - a*d)^2*log(c + d*x^n))/(d^4*n), x, 3),
+((x^(-1 + 2*n)*(a + b*x^n))/(c + d*x^n), -(((b*c - a*d)*x^n)/(d^2*n)) + (b*x^(2*n))/(2*d*n) + (c*(b*c - a*d)*log(c + d*x^n))/(d^3*n), x, 3),
+(x^(-1 + 2*n)/((a + b*x^n)*(c + d*x^n)), -((a*log(a + b*x^n))/(b*(b*c - a*d)*n)) + (c*log(c + d*x^n))/(d*(b*c - a*d)*n), x, 3),
+(x^(-1 + 2*n)/((a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)), a/(b*(b*c - a*d)*n*(a + b*x^n)) + (c*log(a + b*x^n))/((b*c - a*d)^2*n) - (c*log(c + d*x^n))/((b*c - a*d)^2*n), x, 3),
+(x^(-1 + 2*n)/((a + b*x^n)^3*(c + d*x^n)), a/(2*b*(b*c - a*d)*n*(a + b*x^n)^2) - c/((b*c - a*d)^2*n*(a + b*x^n)) - (c*d*log(a + b*x^n))/((b*c - a*d)^3*n) + (c*d*log(c + d*x^n))/((b*c - a*d)^3*n), x, 3),
+
+
+((x^(-1 + 3*n)*(a + b*x^n)^3)/(c + d*x^n), (c*(b*c - a*d)^3*x^n)/(d^5*n) - ((b*c - a*d)^3*x^(2*n))/(2*d^4*n) + (b*(b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*x^(3*n))/(3*d^3*n) - (b^2*(b*c - 3*a*d)*x^(4*n))/(4*d^2*n) + (b^3*x^(5*n))/(5*d*n) - (c^2*(b*c - a*d)^3*log(c + d*x^n))/(d^6*n), x, 3),
+((x^(-1 + 3*n)*(a + b*x^n)^2)/(c + d*x^n), -((c*(b*c - a*d)^2*x^n)/(d^4*n)) + ((b*c - a*d)^2*x^(2*n))/(2*d^3*n) - (b*(b*c - 2*a*d)*x^(3*n))/(3*d^2*n) + (b^2*x^(4*n))/(4*d*n) + (c^2*(b*c - a*d)^2*log(c + d*x^n))/(d^5*n), x, 3),
+((x^(-1 + 3*n)*(a + b*x^n))/(c + d*x^n), (c*(b*c - a*d)*x^n)/(d^3*n) - ((b*c - a*d)*x^(2*n))/(2*d^2*n) + (b*x^(3*n))/(3*d*n) - (c^2*(b*c - a*d)*log(c + d*x^n))/(d^4*n), x, 3),
+(x^(-1 + 3*n)/((a + b*x^n)*(c + d*x^n)), x^n/(b*d*n) + (a^2*log(a + b*x^n))/(b^2*(b*c - a*d)*n) - (c^2*log(c + d*x^n))/(d^2*(b*c - a*d)*n), x, 3),
+(x^(-1 + 3*n)/((a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)), -(a^2/(b^2*(b*c - a*d)*n*(a + b*x^n))) - (a*(2*b*c - a*d)*log(a + b*x^n))/(b^2*(b*c - a*d)^2*n) + (c^2*log(c + d*x^n))/(d*(b*c - a*d)^2*n), x, 3),
+(x^(-1 + 3*n)/((a + b*x^n)^3*(c + d*x^n)), -a^2/(2*b^2*(b*c - a*d)*n*(a + b*x^n)^2) + (a*(2*b*c - a*d))/(b^2*(b*c - a*d)^2*n*(a + b*x^n)) + (c^2*log(a + b*x^n))/((b*c - a*d)^3*n) - (c^2*log(c + d*x^n))/((b*c - a*d)^3*n), x, 3),
+
+
+(x^13*(b + 2*c*x^1)*(b + c*x^1)^13, (1//14)*x^14*(b + c*x)^14, x, 1),
+(x^27*(b + 2*c*x^2)*(b + c*x^2)^13, (1//28)*x^28*(b + c*x^2)^14, x, 2),
+(x^41*(b + 2*c*x^3)*(b + c*x^3)^13, (1//42)*x^42*(b + c*x^3)^14, x, 2),
+(x^(14*n - 1)*(b + 2*c*x^n)*(b + c*x^n)^13, (x^(14*n)*(b + c*x^n)^14)/(14*n), x, 2),
+
+(x^(m - 1)*(a*m + b*(m + n*p)*x^n)*(a + b*x^n)^(p - 1), x^m*(a + b*x^n)^p, x, 1),
+
+
+# {x^(-1)*(b + 2*c*x^1)/(b + c*x^1), x, 2, Log[x*(b + c*x)], Log[x] + Log[b + c*x]}
+(x^(-1)*(b + 2*c*x^2)/(b + c*x^2), log(x) + (1//2)*log(b + c*x^2), x, 3),
+(x^(-1)*(b + 2*c*x^3)/(b + c*x^3), log(x) + (1//3)*log(b + c*x^3), x, 3),
+(x^(-1)*(b + 2*c*x^n)/(b + c*x^n), log(x) + log(b + c*x^n)/n, x, 3),
+
+
+(x^(-8)*(b + 2*c*x^1)/(b + c*x^1)^8, -(1/(7*x^7*(b + c*x)^7)), x, 1),
+(x^(-15)*(b + 2*c*x^2)/(b + c*x^2)^8, -(1/(14*x^14*(b + c*x^2)^7)), x, 2),
+(x^(-22)*(b + 2*c*x^3)/(b + c*x^3)^8, -(1/(21*x^21*(b + c*x^3)^7)), x, 2),
+(x^(-7*n - 1)*(b + 2*c*x^n)/(b + c*x^n)^8, -(1/(x^(7*n)*(7*n*(b + c*x^n)^7))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^(q/2)
+
+
+((x^31*sqrt(1 + x^16))/(1 - x^16), (-(1//8))*sqrt(1 + x^16) - (1//24)*(1 + x^16)^(3//2) + atanh(sqrt(1 + x^16)/sqrt(2))/(4*sqrt(2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^n)^(p/2) (c+d x^n)^(q/2)
+
+
+(sqrt(c + d/x)/(sqrt(a + b/x)*x), (2*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b/x))/(sqrt(a)*sqrt(c + d/x))))/sqrt(a) - (2*sqrt(d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b/x))/(sqrt(b)*sqrt(c + d/x))))/sqrt(b), x, 8),
+
+
+((x^(-1 + 2*n)*(a + b*x^n)^(5//2))/sqrt(c + d*x^n), (-5*(b*c - a*d)^2*(7*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^n)*sqrt(c + d*x^n))/(64*b*d^4*n) + (5*(b*c - a*d)*(7*b*c + a*d)*(a + b*x^n)^(3//2)*sqrt(c + d*x^n))/(96*b*d^3*n) - ((7*b*c + a*d)*(a + b*x^n)^(5//2)*sqrt(c + d*x^n))/(24*b*d^2*n) + ((a + b*x^n)^(7//2)*sqrt(c + d*x^n))/(4*b*d*n) + (5*(b*c - a*d)^3*(7*b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^n))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^n))))/(64*b^(3//2)*d^(9//2)*n), x, 8),
+((x^(-1 + 2*n)*(a + b*x^n)^(3//2))/sqrt(c + d*x^n), ((b*c - a*d)*(5*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^n)*sqrt(c + d*x^n))/(8*b*d^3*n) - ((5*b*c + a*d)*(a + b*x^n)^(3//2)*sqrt(c + d*x^n))/(12*b*d^2*n) + ((a + b*x^n)^(5//2)*sqrt(c + d*x^n))/(3*b*d*n) - ((b*c - a*d)^2*(5*b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^n))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^n))))/(8*b^(3//2)*d^(7//2)*n), x, 7),
+((x^(-1 + 2*n)*sqrt(a + b*x^n))/sqrt(c + d*x^n), -((3*b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^n)*sqrt(c + d*x^n))/(4*b*d^2*n) + ((a + b*x^n)^(3//2)*sqrt(c + d*x^n))/(2*b*d*n) + ((b*c - a*d)*(3*b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^n))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^n))))/(4*b^(3//2)*d^(5//2)*n), x, 6),
+(x^(-1 + 2*n)/(sqrt(a + b*x^n)*sqrt(c + d*x^n)), (sqrt(a + b*x^n)*sqrt(c + d*x^n))/(b*d*n) - ((b*c + a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^n))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^n))))/(b^(3//2)*d^(3//2)*n), x, 5),
+(x^(-1 + 2*n)/((a + b*x^n)^(3//2)*sqrt(c + d*x^n)), (2*a*sqrt(c + d*x^n))/(b*(b*c - a*d)*n*sqrt(a + b*x^n)) + (2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^n))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^n))))/(b^(3//2)*sqrt(d)*n), x, 5),
+(x^(-1 + 2*n)/((a + b*x^n)^(5//2)*sqrt(c + d*x^n)), (2*a*sqrt(c + d*x^n))/(3*b*(b*c - a*d)*n*(a + b*x^n)^(3//2)) - (2*(3*b*c - a*d)*sqrt(c + d*x^n))/(3*b*(b*c - a*d)^2*n*sqrt(a + b*x^n)), x, 3),
+
+
+((x^(-1 + 3*n)*(a + b*x^n)^(5//2))/sqrt(c + d*x^n), ((b*c - a*d)^2*(63*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^n)*sqrt(c + d*x^n))/(128*b^2*d^5*n) - ((b*c - a*d)*(63*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*(a + b*x^n)^(3//2)*sqrt(c + d*x^n))/(192*b^2*d^4*n) + ((63*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*(a + b*x^n)^(5//2)*sqrt(c + d*x^n))/(240*b^2*d^3*n) - (3*(3*b*c + a*d)*(a + b*x^n)^(7//2)*sqrt(c + d*x^n))/(40*b^2*d^2*n) + (x^n*(a + b*x^n)^(7//2)*sqrt(c + d*x^n))/(5*b*d*n) - ((b*c - a*d)^3*(63*b^2*c^2 + 14*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^n))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^n))))/(128*b^(5//2)*d^(11//2)*n), x, 9),
+((x^(-1 + 3*n)*(a + b*x^n)^(3//2))/sqrt(c + d*x^n), -(((b*c - a*d)*(35*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^n)*sqrt(c + d*x^n))/(64*b^2*d^4*n)) + ((35*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*(a + b*x^n)^(3//2)*sqrt(c + d*x^n))/(96*b^2*d^3*n) - ((7*b*c + 3*a*d)*(a + b*x^n)^(5//2)*sqrt(c + d*x^n))/(24*b^2*d^2*n) + (x^n*(a + b*x^n)^(5//2)*sqrt(c + d*x^n))/(4*b*d*n) + ((b*c - a*d)^2*(35*b^2*c^2 + 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^n))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^n))))/(64*b^(5//2)*d^(9//2)*n), x, 8),
+((x^(-1 + 3*n)*sqrt(a + b*x^n))/sqrt(c + d*x^n), ((5*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*sqrt(a + b*x^n)*sqrt(c + d*x^n))/(8*b^2*d^3*n) - ((5*b*c + 3*a*d)*(a + b*x^n)^(3//2)*sqrt(c + d*x^n))/(12*b^2*d^2*n) + (x^n*(a + b*x^n)^(3//2)*sqrt(c + d*x^n))/(3*b*d*n) - ((b*c - a*d)*(5*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^n))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^n))))/(8*b^(5//2)*d^(7//2)*n), x, 7),
+(x^(-1 + 3*n)/(sqrt(a + b*x^n)*sqrt(c + d*x^n)), -((3*(b*c + a*d)*sqrt(a + b*x^n)*sqrt(c + d*x^n))/(4*b^2*d^2*n)) + (x^n*sqrt(a + b*x^n)*sqrt(c + d*x^n))/(2*b*d*n) - ((4*a*b*c*d - 3*(b*c + a*d)^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^n))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^n))))/(4*b^(5//2)*d^(5//2)*n), x, 6),
+(x^(-1 + 3*n)/((a + b*x^n)^(3//2)*sqrt(c + d*x^n)), -((2*a^2*sqrt(c + d*x^n))/(b^2*(b*c - a*d)*n*sqrt(a + b*x^n))) + (sqrt(a + b*x^n)*sqrt(c + d*x^n))/(b^2*d*n) - ((b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^n))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^n))))/(b^(5//2)*d^(3//2)*n), x, 6),
+(x^(-1 + 3*n)/((a + b*x^n)^(5//2)*sqrt(c + d*x^n)), -((2*a^2*sqrt(c + d*x^n))/(3*b^2*(b*c - a*d)*n*(a + b*x^n)^(3//2))) + (4*a*(3*b*c - 2*a*d)*sqrt(c + d*x^n))/(3*b^2*(b*c - a*d)^2*n*sqrt(a + b*x^n)) + (2*atanh((sqrt(d)*sqrt(a + b*x^n))/(sqrt(b)*sqrt(c + d*x^n))))/(b^(5//2)*sqrt(d)*n), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^n)^(p/2) (c+d x^n)^(q/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q when q is symbolic
+
+
+(x^(1*(p + 1) - 1)*(b + 2*c*x^1)*(b + c*x^1)^p, (x^(1 + p)*(b + c*x)^(1 + p))/(1 + p), x, 1),
+(x^(2*(p + 1) - 1)*(b + 2*c*x^2)*(b + c*x^2)^p, (x^(2*(1 + p))*(b + c*x^2)^(1 + p))/(2*(1 + p)), x, 1),
+(x^(3*(p + 1) - 1)*(b + 2*c*x^3)*(b + c*x^3)^p, (x^(3*(1 + p))*(b + c*x^3)^(1 + p))/(3*(1 + p)), x, 1),
+(x^(n*(p + 1) - 1)*(b + 2*c*x^n)*(b + c*x^n)^p, (x^(n*(1 + p))*(b + c*x^n)^(1 + p))/(n*(1 + p)), x, 1),
+]
+# Total integrals translated: 1059
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.6 (g x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q (e+f x^n)^r.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.6 (g x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q (e+f x^n)^r.jl
new file mode 100644
index 00000000..8c5fdb4e
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.6 (g x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q (e+f x^n)^r.jl	
@@ -0,0 +1,106 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (g x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q (e+f x^n)^r
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q (A+B x^n)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q (A+B x^n)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
+
+
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^3*(c + d*x^n)*(A + B*x^n), (a^2*(3*A*b*c + a*B*c + a*A*d)*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(1 + m + n) + (a*(3*A*b*(b*c + a*d) + a*B*(3*b*c + a*d))*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 2*n) + (b*(3*a*B*(b*c + a*d) + A*b*(b*c + 3*a*d))*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 3*n) + (b^2*(b*B*c + A*b*d + 3*a*B*d)*x^(1 + 4*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 4*n) + (b^3*B*d*x^(1 + 5*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 5*n) + (a^3*A*c*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)), x, 12),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)*(A + B*x^n), (a*(2*A*b*c + a*B*c + a*A*d)*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(1 + m + n) + ((a*B*(2*b*c + a*d) + A*b*(b*c + 2*a*d))*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 2*n) + (b*(b*B*c + A*b*d + 2*a*B*d)*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 3*n) + (b^2*B*d*x^(1 + 4*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 4*n) + (a^2*A*c*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)), x, 10),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^1*(c + d*x^n)*(A + B*x^n), ((A*b*c + a*B*c + a*A*d)*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(1 + m + n) + ((b*B*c + A*b*d + a*B*d)*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 2*n) + (b*B*d*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 3*n) + (a*A*c*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)), x, 8),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^0*(c + d*x^n)*(A + B*x^n), ((B*c + A*d)*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(1 + m + n) + (B*d*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 2*n) + (A*c*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)), x, 6),
+((e*x)^m/(a + b*x^n)^1*(c + d*x^n)*(A + B*x^n), (B*d*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(b*(1 + m + n)) + ((b*B*c + A*b*d - a*B*d)*(e*x)^(1 + m))/(b^2*e*(1 + m)) + ((A*b - a*B)*(b*c - a*d)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a*b^2*e*(1 + m)), x, 5),
+((e*x)^m/(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)*(A + B*x^n), -((d*(A*b*(1 + m) - a*B*(1 + m + n))*(e*x)^(1 + m))/(a*b^2*e*(1 + m)*n)) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*(c + d*x^n))/(a*b*e*n*(a + b*x^n)) + ((b*c*(a*B*(1 + m) - A*b*(1 + m - n)) + a*d*(A*b*(1 + m) - a*B*(1 + m + n)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a^2*b^2*e*(1 + m)*n), x, 3),
+((e*x)^m/(a + b*x^n)^3*(c + d*x^n)*(A + B*x^n), -(((A*b*(b*c*(1 + m - 2*n) - a*d*(1 + m - n)) - a*B*(b*c*(1 + m) - a*d*(1 + m + n)))*(e*x)^(1 + m))/(2*a^2*b^2*e*n^2*(a + b*x^n))) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*(c + d*x^n))/(2*a*b*e*n*(a + b*x^n)^2) - ((b*c*(a*B*(1 + m) - A*b*(1 + m - 2*n))*(1 + m - n) + a*d*(1 + m)*(A*b*(1 + m - n) - a*B*(1 + m + n)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(2*a^3*b^2*e*(1 + m)*n^2), x, 3),
+
+
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^3*(c + d*x^n)^2*(A + B*x^n), (a^2*c*(3*A*b*c + a*B*c + 2*a*A*d)*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(1 + m + n) + (a*(a*B*c*(3*b*c + 2*a*d) + A*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2))*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 2*n) + ((a*B*(3*b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + a^2*d^2) + A*b*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2))*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 3*n) + (b*(3*a^2*B*d^2 + 3*a*b*d*(2*B*c + A*d) + b^2*c*(B*c + 2*A*d))*x^(1 + 4*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 4*n) + (b^2*d*(2*b*B*c + A*b*d + 3*a*B*d)*x^(1 + 5*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 5*n) + (b^3*B*d^2*x^(1 + 6*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 6*n) + (a^3*A*c^2*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)), x, 14),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)^2*(A + B*x^n), (a*c*(a*B*c + 2*A*(b*c + a*d))*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(1 + m + n) + ((2*a*B*c*(b*c + a*d) + A*(b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2))*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 2*n) + ((a^2*B*d^2 + 2*a*b*d*(2*B*c + A*d) + b^2*c*(B*c + 2*A*d))*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 3*n) + (b*d*(2*b*B*c + A*b*d + 2*a*B*d)*x^(1 + 4*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 4*n) + (b^2*B*d^2*x^(1 + 5*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 5*n) + (a^2*A*c^2*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)), x, 12),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^1*(c + d*x^n)^2*(A + B*x^n), (c*(A*b*c + a*B*c + 2*a*A*d)*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(1 + m + n) + ((a*d*(2*B*c + A*d) + b*c*(B*c + 2*A*d))*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 2*n) + (d*(2*b*B*c + A*b*d + a*B*d)*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 3*n) + (b*B*d^2*x^(1 + 4*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 4*n) + (a*A*c^2*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)), x, 10),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^0*(c + d*x^n)^2*(A + B*x^n), (c*(B*c + 2*A*d)*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(1 + m + n) + (d*(2*B*c + A*d)*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 2*n) + (B*d^2*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 3*n) + (A*c^2*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)), x, 8),
+((e*x)^m/(a + b*x^n)^1*(c + d*x^n)^2*(A + B*x^n), (d*(2*b*B*c + A*b*d - a*B*d)*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(b^2*(1 + m + n)) + (B*d^2*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(b*(1 + m + 2*n)) + ((a^2*B*d^2 - a*b*d*(2*B*c + A*d) + b^2*c*(B*c + 2*A*d))*(e*x)^(1 + m))/(b^3*e*(1 + m)) + ((A*b - a*B)*(b*c - a*d)^2*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a*b^3*e*(1 + m)), x, 7),
+((e*x)^m/(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)^2*(A + B*x^n), -((d^2*(A*b*(1 + m + n) - a*B*(1 + m + 2*n))*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(a*b^2*n*(1 + m + n))) - (d*(A*b*(2*b*c*(1 + m) - a*d*(1 + m + n)) - a*B*(2*b*c*(1 + m + n) - a*d*(1 + m + 2*n)))*(e*x)^(1 + m))/(a*b^3*e*(1 + m)*n) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*(c + d*x^n)^2)/(a*b*e*n*(a + b*x^n)) - ((b*c - a*d)*(A*b*(b*c*(1 + m - n) - a*d*(1 + m + n)) - a*B*(b*c*(1 + m) - a*d*(1 + m + 2*n)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a^2*b^3*e*(1 + m)*n), x, 6),
+((e*x)^m/(a + b*x^n)^3*(c + d*x^n)^2*(A + B*x^n), (d*(b*c*(1 + m) - a*d*(1 + m + n))*(A*b*(1 + m) - a*B*(1 + m + 2*n))*(e*x)^(1 + m))/(2*a^2*b^3*e*(1 + m)*n^2) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*(c + d*x^n)^2)/(2*a*b*e*n*(a + b*x^n)^2) + ((b*c - a*d)*(e*x)^(1 + m)*(c*(a*B*(1 + m) - A*b*(1 + m - 2*n)) - d*(A*b*(1 + m) - a*B*(1 + m + 2*n))*x^n))/(2*a^2*b^2*e*n^2*(a + b*x^n)) + ((b*c*(a*B*(1 + m) - A*b*(1 + m - 2*n))*(a*d*(1 + m) - b*c*(1 + m - n)) - a*d*(b*c*(1 + m) - a*d*(1 + m + n))*(A*b*(1 + m) - a*B*(1 + m + 2*n)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(2*a^3*b^3*e*(1 + m)*n^2), x, 4),
+
+
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^3*(c + d*x^n)^3*(A + B*x^n), (a^2*c^2*(a*B*c + 3*A*(b*c + a*d))*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(1 + m + n) + (3*a*c*(a*B*c*(b*c + a*d) + A*(b^2*c^2 + 3*a*b*c*d + a^2*d^2))*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 2*n) + ((3*a*B*c*(b^2*c^2 + 3*a*b*c*d + a^2*d^2) + A*(b^3*c^3 + 9*a*b^2*c^2*d + 9*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3))*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 3*n) + ((a^3*B*d^3 + 9*a*b^2*c*d*(B*c + A*d) + 3*a^2*b*d^2*(3*B*c + A*d) + b^3*c^2*(B*c + 3*A*d))*x^(1 + 4*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 4*n) + (3*b*d*(a^2*B*d^2 + b^2*c*(B*c + A*d) + a*b*d*(3*B*c + A*d))*x^(1 + 5*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 5*n) + (b^2*d^2*(3*b*B*c + A*b*d + 3*a*B*d)*x^(1 + 6*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 6*n) + (b^3*B*d^3*x^(1 + 7*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 7*n) + (a^3*A*c^3*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)), x, 16),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)^3*(A + B*x^n), (a*c^2*(2*A*b*c + a*B*c + 3*a*A*d)*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(1 + m + n) + (c*(a*B*c*(2*b*c + 3*a*d) + A*(b^2*c^2 + 6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2))*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 2*n) + ((6*a*b*c*d*(B*c + A*d) + a^2*d^2*(3*B*c + A*d) + b^2*c^2*(B*c + 3*A*d))*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 3*n) + (d*(a^2*B*d^2 + 3*b^2*c*(B*c + A*d) + 2*a*b*d*(3*B*c + A*d))*x^(1 + 4*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 4*n) + (b*d^2*(3*b*B*c + A*b*d + 2*a*B*d)*x^(1 + 5*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 5*n) + (b^2*B*d^3*x^(1 + 6*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 6*n) + (a^2*A*c^3*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)), x, 14),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^1*(c + d*x^n)^3*(A + B*x^n), (c^2*(A*b*c + a*B*c + 3*a*A*d)*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(1 + m + n) + (c*(3*a*d*(B*c + A*d) + b*c*(B*c + 3*A*d))*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 2*n) + (d*(3*b*c*(B*c + A*d) + a*d*(3*B*c + A*d))*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 3*n) + (d^2*(3*b*B*c + A*b*d + a*B*d)*x^(1 + 4*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 4*n) + (b*B*d^3*x^(1 + 5*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 5*n) + (a*A*c^3*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)), x, 12),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^0*(c + d*x^n)^3*(A + B*x^n), (c^2*(B*c + 3*A*d)*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(1 + m + n) + (3*c*d*(B*c + A*d)*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 2*n) + (d^2*(3*B*c + A*d)*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 3*n) + (B*d^3*x^(1 + 4*n)*(e*x)^m)/(1 + m + 4*n) + (A*c^3*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)), x, 10),
+((e*x)^m/(a + b*x^n)^1*(c + d*x^n)^3*(A + B*x^n), (d*(a^2*B*d^2 + 3*b^2*c*(B*c + A*d) - a*b*d*(3*B*c + A*d))*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(b^3*(1 + m + n)) + (d^2*(3*b*B*c + A*b*d - a*B*d)*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(b^2*(1 + m + 2*n)) + (B*d^3*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m)/(b*(1 + m + 3*n)) - ((a^3*B*d^3 + 3*a*b^2*c*d*(B*c + A*d) - a^2*b*d^2*(3*B*c + A*d) - b^3*c^2*(B*c + 3*A*d))*(e*x)^(1 + m))/(b^4*e*(1 + m)) + ((A*b - a*B)*(b*c - a*d)^3*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a*b^4*e*(1 + m)), x, 9),
+((e*x)^m/(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)^3*(A + B*x^n), -((d^2*(A*b*(3*b*c*(1 + m + n) - a*d*(1 + m + 2*n)) - a*B*(3*b*c*(1 + m + 2*n) - a*d*(1 + m + 3*n)))*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(a*b^3*n*(1 + m + n))) - (d^3*(A*b*(1 + m + 2*n) - a*B*(1 + m + 3*n))*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(a*b^2*n*(1 + m + 2*n)) - (d*(A*b*(3*b^2*c^2*(1 + m) - 3*a*b*c*d*(1 + m + n) + a^2*d^2*(1 + m + 2*n)) - a*B*(3*b^2*c^2*(1 + m + n) - 3*a*b*c*d*(1 + m + 2*n) + a^2*d^2*(1 + m + 3*n)))*(e*x)^(1 + m))/(a*b^4*e*(1 + m)*n) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*(c + d*x^n)^3)/(a*b*e*n*(a + b*x^n)) - ((b*c - a*d)^2*(A*b*(b*c*(1 + m - n) - a*d*(1 + m + 2*n)) - a*B*(b*c*(1 + m) - a*d*(1 + m + 3*n)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a^2*b^4*e*(1 + m)*n), x, 8),
+# {(e*x)^m/(a + b*x^n)^3*(c + d*x^n)^3*(A + B*x^n), x, 7, (B*d^3*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(b^3*(1 + m + n)) + (d^2*(3*b*B*c + A*b*d - 3*a*B*d)*(e*x)^(1 + m))/(b^4*e*(1 + m)) + (3*d*(b*c - a*d)*(b*B*c + A*b*d - 2*a*B*d)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a*b^4*e*(1 + m)) + ((b*c - a*d)^2*(b*B*c + 3*A*b*d - 4*a*B*d)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[2, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a^2*b^4*e*(1 + m)) + ((A*b - a*B)*(b*c - a*d)^3*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[3, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a^3*b^4*e*(1 + m))}
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^4*(A + B*x^n)/(c + d*x^n), (b*(4*a^3*B*d^3 - b^3*c^2*(B*c - A*d) + 4*a*b^2*c*d*(B*c - A*d) - 6*a^2*b*d^2*(B*c - A*d))*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(d^4*(1 + m + n)) + (b^2*(6*a^2*B*d^2 + b^2*c*(B*c - A*d) - 4*a*b*d*(B*c - A*d))*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(d^3*(1 + m + 2*n)) - (b^3*(b*B*c - A*b*d - 4*a*B*d)*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m)/(d^2*(1 + m + 3*n)) + (b^4*B*x^(1 + 4*n)*(e*x)^m)/(d*(1 + m + 4*n)) + ((a^4*B*d^4 + b^4*c^3*(B*c - A*d) - 4*a*b^3*c^2*d*(B*c - A*d) + 6*a^2*b^2*c*d^2*(B*c - A*d) - 4*a^3*b*d^3*(B*c - A*d))*(e*x)^(1 + m))/(d^5*e*(1 + m)) - ((b*c - a*d)^4*(B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(c*d^5*e*(1 + m)), x, 11),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^3*(A + B*x^n)/(c + d*x^n), (b*(3*a^2*B*d^2 + b^2*c*(B*c - A*d) - 3*a*b*d*(B*c - A*d))*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(d^3*(1 + m + n)) - (b^2*(b*B*c - A*b*d - 3*a*B*d)*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(d^2*(1 + m + 2*n)) + (b^3*B*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m)/(d*(1 + m + 3*n)) + ((a^3*B*d^3 - b^3*c^2*(B*c - A*d) + 3*a*b^2*c*d*(B*c - A*d) - 3*a^2*b*d^2*(B*c - A*d))*(e*x)^(1 + m))/(d^4*e*(1 + m)) + ((b*c - a*d)^3*(B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(c*d^4*e*(1 + m)), x, 9),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^2*(A + B*x^n)/(c + d*x^n), -((b*(b*B*c - A*b*d - 2*a*B*d)*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(d^2*(1 + m + n))) + (b^2*B*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(d*(1 + m + 2*n)) + ((a^2*B*d^2 + b^2*c*(B*c - A*d) - 2*a*b*d*(B*c - A*d))*(e*x)^(1 + m))/(d^3*e*(1 + m)) - ((b*c - a*d)^2*(B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(c*d^3*e*(1 + m)), x, 7),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^1*(A + B*x^n)/(c + d*x^n), (b*B*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(d*(1 + m + n)) - ((b*B*c - A*b*d - a*B*d)*(e*x)^(1 + m))/(d^2*e*(1 + m)) + ((b*c - a*d)*(B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(c*d^2*e*(1 + m)), x, 5),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^0*(A + B*x^n)/(c + d*x^n), (B*(e*x)^(1 + m))/(d*e*(1 + m)) - ((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(c*d*e*(1 + m)), x, 2),
+((e*x)^m/(a + b*x^n)^1*(A + B*x^n)/(c + d*x^n), ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a*(b*c - a*d)*e*(1 + m)) + ((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(c*(b*c - a*d)*e*(1 + m)), x, 4),
+((e*x)^m/(a + b*x^n)^2*(A + B*x^n)/(c + d*x^n), ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m))/(a*(b*c - a*d)*e*n*(a + b*x^n)) + ((A*b*(a*d*(1 + m - 2*n) - b*c*(1 + m - n)) + a*B*(b*c*(1 + m) - a*d*(1 + m - n)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a^2*(b*c - a*d)^2*e*(1 + m)*n) - (d*(B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(c*(b*c - a*d)^2*e*(1 + m)), x, 5),
+((e*x)^m/(a + b*x^n)^3*(A + B*x^n)/(c + d*x^n), ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m))/(2*a*(b*c - a*d)*e*n*(a + b*x^n)^2) + ((A*b*(a*d*(1 + m - 4*n) - b*c*(1 + m - 2*n)) + a*B*(b*c*(1 + m) - a*d*(1 + m - 2*n)))*(e*x)^(1 + m))/(2*a^2*(b*c - a*d)^2*e*n^2*(a + b*x^n)) + ((a*B*(2*a*b*c*d*(1 + m)*(1 + m - 2*n) - b^2*c^2*(1 + m)*(1 + m - n) - a^2*d^2*(1 + m^2 + m*(2 - 3*n) - 3*n + 2*n^2)) + A*b*(b^2*c^2*(1 + m^2 + m*(2 - 3*n) - 3*n + 2*n^2) - 2*a*b*c*d*(1 + m^2 + m*(2 - 4*n) - 4*n + 3*n^2) + a^2*d^2*(1 + m^2 + m*(2 - 5*n) - 5*n + 6*n^2)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(2*a^3*(b*c - a*d)^3*e*(1 + m)*n^2) + (d^2*(B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(c*(b*c - a*d)^3*e*(1 + m)), x, 6),
+
+
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^3*(A + B*x^n)/(c + d*x^n)^2, -((b^2*(3*a*d*(A*d*(1 + m + n) - B*c*(1 + m + 2*n)) - b*c*(A*d*(1 + m + 2*n) - B*c*(1 + m + 3*n)))*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(c*d^3*n*(1 + m + n))) - (b^3*(A*d*(1 + m + 2*n) - B*c*(1 + m + 3*n))*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(c*d^2*n*(1 + m + 2*n)) - (b*(3*a^2*d^2*(A*d*(1 + m) - B*c*(1 + m + n)) - 3*a*b*c*d*(A*d*(1 + m + n) - B*c*(1 + m + 2*n)) + b^2*c^2*(A*d*(1 + m + 2*n) - B*c*(1 + m + 3*n)))*(e*x)^(1 + m))/(c*d^4*e*(1 + m)*n) - ((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^3)/(c*d*e*n*(c + d*x^n)) + ((b*c - a*d)^2*(a*d*(B*c*(1 + m) - A*d*(1 + m - n)) + b*c*(A*d*(1 + m + 2*n) - B*c*(1 + m + 3*n)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(c^2*d^4*e*(1 + m)*n), x, 8),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^2*(A + B*x^n)/(c + d*x^n)^2, -((b^2*(A*d*(1 + m + n) - B*c*(1 + m + 2*n))*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(c*d^2*n*(1 + m + n))) - (b*(2*a*d*(A*d*(1 + m) - B*c*(1 + m + n)) - b*c*(A*d*(1 + m + n) - B*c*(1 + m + 2*n)))*(e*x)^(1 + m))/(c*d^3*e*(1 + m)*n) - ((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^2)/(c*d*e*n*(c + d*x^n)) - ((b*c - a*d)*(a*d*(B*c*(1 + m) - A*d*(1 + m - n)) + b*c*(A*d*(1 + m + n) - B*c*(1 + m + 2*n)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(c^2*d^3*e*(1 + m)*n), x, 6),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^1*(A + B*x^n)/(c + d*x^n)^2, -((B*(a*d*(1 + m) - b*c*(1 + m + n))*(e*x)^(1 + m))/(c*d^2*e*(1 + m)*n)) - ((b*c - a*d)*(e*x)^(1 + m)*(A + B*x^n))/(c*d*e*n*(c + d*x^n)) + ((A*d*(b*c*(1 + m) - a*d*(1 + m - n)) + B*c*(a*d*(1 + m) - b*c*(1 + m + n)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(c^2*d^2*e*(1 + m)*n), x, 3),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^0*(A + B*x^n)/(c + d*x^n)^2, -(((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m))/(c*d*e*n*(c + d*x^n))) + ((B*c*(1 + m) - A*d*(1 + m - n))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(c^2*d*e*(1 + m)*n), x, 2),
+((e*x)^m/(a + b*x^n)^1*(A + B*x^n)/(c + d*x^n)^2, ((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m))/(c*(b*c - a*d)*e*n*(c + d*x^n)) + (b*(A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a*(b*c - a*d)^2*e*(1 + m)) + ((b*c*(A*d*(1 + m - 2*n) - B*c*(1 + m - n)) + a*d*(B*c*(1 + m) - A*d*(1 + m - n)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(c^2*(b*c - a*d)^2*e*(1 + m)*n), x, 5),
+((e*x)^m/(a + b*x^n)^2*(A + B*x^n)/(c + d*x^n)^2, (d*(A*b*c - 2*a*B*c + a*A*d)*(e*x)^(1 + m))/(a*c*(b*c - a*d)^2*e*n*(c + d*x^n)) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m))/(a*(b*c - a*d)*e*n*(a + b*x^n)*(c + d*x^n)) + (b*(a*B*(b*c*(1 + m) - a*d*(1 + m - 2*n)) + A*b*(a*d*(1 + m - 3*n) - b*c*(1 + m - n)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a^2*(b*c - a*d)^3*e*(1 + m)*n) - (d*(b*c*(A*d*(1 + m - 3*n) - B*c*(1 + m - 2*n)) + a*d*(B*c*(1 + m) - A*d*(1 + m - n)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(c^2*(b*c - a*d)^3*e*(1 + m)*n), x, 6),
+((e*x)^m/(a + b*x^n)^3*(A + B*x^n)/(c + d*x^n)^2, (d*(a*B*c*(b*c*(1 + m) - a*d*(1 + m - 6*n)) + A*(a*b*c*d*(1 + m - 6*n) - b^2*c^2*(1 + m - 2*n) - 2*a^2*d^2*n))*(e*x)^(1 + m))/(2*a^2*c*(b*c - a*d)^3*e*n^2*(c + d*x^n)) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m))/(2*a*(b*c - a*d)*e*n*(a + b*x^n)^2*(c + d*x^n)) + ((a*B*(b*c*(1 + m) - a*d*(1 + m - 3*n)) + A*b*(a*d*(1 + m - 5*n) - b*c*(1 + m - 2*n)))*(e*x)^(1 + m))/(2*a^2*(b*c - a*d)^2*e*n^2*(a + b*x^n)*(c + d*x^n)) + (b*(a*B*(2*a*b*c*d*(1 + m)*(1 + m - 3*n) - b^2*c^2*(1 + m)*(1 + m - n) - a^2*d^2*(1 + m^2 + m*(2 - 5*n) - 5*n + 6*n^2)) + A*b*(b^2*c^2*(1 + m^2 + m*(2 - 3*n) - 3*n + 2*n^2) - 2*a*b*c*d*(1 + m^2 + m*(2 - 5*n) - 5*n + 4*n^2) + a^2*d^2*(1 + m^2 + m*(2 - 7*n) - 7*n + 12*n^2)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(2*a^3*(b*c - a*d)^4*e*(1 + m)*n^2) + (d^2*(b*c*(A*d*(1 + m - 4*n) - B*c*(1 + m - 3*n)) + a*d*(B*c*(1 + m) - A*d*(1 + m - n)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(c^2*(b*c - a*d)^4*e*(1 + m)*n), x, 7),
+
+
+# {(e*x)^m*(a + b*x^n)^3*(A + B*x^n)/(c + d*x^n)^3, x, 7, (b^3*B*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(d^3*(1 + m + n)) - (b^2*(3*b*B*c - A*b*d - 3*a*B*d)*(e*x)^(1 + m))/(d^4*e*(1 + m)) + (3*b*(b*c - a*d)*(2*b*B*c - A*b*d - a*B*d)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)])/(c*d^4*e*(1 + m)) - ((b*c - a*d)^2*(4*b*B*c - 3*A*b*d - a*B*d)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[2, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)])/(c^2*d^4*e*(1 + m)) + ((b*c - a*d)^3*(B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[3, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)])/(c^3*d^4*e*(1 + m))}
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^2*(A + B*x^n)/(c + d*x^n)^3, (b*(a*d*(1 + m) - b*c*(1 + m + n))*(A*d*(1 + m) - B*c*(1 + m + 2*n))*(e*x)^(1 + m))/(2*c^2*d^3*e*(1 + m)*n^2) - ((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^2)/(2*c*d*e*n*(c + d*x^n)^2) - ((b*c - a*d)*(e*x)^(1 + m)*(a*(B*c*(1 + m) - A*d*(1 + m - 2*n)) - b*(A*d*(1 + m) - B*c*(1 + m + 2*n))*x^n))/(2*c^2*d^2*e*n^2*(c + d*x^n)) + ((a*d*(B*c*(1 + m) - A*d*(1 + m - 2*n))*(b*c*(1 + m) - a*d*(1 + m - n)) - b*c*(a*d*(1 + m) - b*c*(1 + m + n))*(A*d*(1 + m) - B*c*(1 + m + 2*n)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(2*c^3*d^3*e*(1 + m)*n^2), x, 4),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^1*(A + B*x^n)/(c + d*x^n)^3, -(((b*c - a*d)*(e*x)^(1 + m)*(A + B*x^n))/(2*c*d*e*n*(c + d*x^n)^2)) - ((a*d*(A*d*(1 + m - 2*n) - B*c*(1 + m - n)) - b*c*(A*d*(1 + m) - B*c*(1 + m + n)))*(e*x)^(1 + m))/(2*c^2*d^2*e*n^2*(c + d*x^n)) - ((A*d*(b*c*(1 + m) - a*d*(1 + m - 2*n))*(1 + m - n) + B*c*(1 + m)*(a*d*(1 + m - n) - b*c*(1 + m + n)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(2*c^3*d^2*e*(1 + m)*n^2), x, 3),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^0*(A + B*x^n)/(c + d*x^n)^3, -(((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m))/(2*c*d*e*n*(c + d*x^n)^2)) + ((B*c*(1 + m) - A*d*(1 + m - 2*n))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(2*c^3*d*e*(1 + m)*n), x, 2),
+((e*x)^m/(a + b*x^n)^1*(A + B*x^n)/(c + d*x^n)^3, ((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m))/(2*c*(b*c - a*d)*e*n*(c + d*x^n)^2) + ((b*c*(A*d*(1 + m - 4*n) - B*c*(1 + m - 2*n)) + a*d*(B*c*(1 + m) - A*d*(1 + m - 2*n)))*(e*x)^(1 + m))/(2*c^2*(b*c - a*d)^2*e*n^2*(c + d*x^n)) + (b^2*(A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a*(b*c - a*d)^3*e*(1 + m)) - ((b^2*c^2*(A*d*(1 + m - 3*n) - B*c*(1 + m - n))*(1 + m - 2*n) - a^2*d^2*(B*c*(1 + m) - A*d*(1 + m - 2*n))*(1 + m - n) + 2*a*b*c*d*(B*c*(1 + m)*(1 + m - 2*n) - A*d*(1 + m^2 + m*(2 - 4*n) - 4*n + 3*n^2)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(2*c^3*(b*c - a*d)^3*e*(1 + m)*n^2), x, 6),
+((e*x)^m/(a + b*x^n)^2*(A + B*x^n)/(c + d*x^n)^3, (d*(2*A*b*c - 3*a*B*c + a*A*d)*(e*x)^(1 + m))/(2*a*c*(b*c - a*d)^2*e*n*(c + d*x^n)^2) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m))/(a*(b*c - a*d)*e*n*(a + b*x^n)*(c + d*x^n)^2) - (d*(a^2*d*(B*c*(1 + m) - A*d*(1 + m - 2*n)) - a*b*c*(B*c - A*d)*(1 + m - 6*n) - 2*A*b^2*c^2*n)*(e*x)^(1 + m))/(2*a*c^2*(b*c - a*d)^3*e*n^2*(c + d*x^n)) + (b^2*(a*B*(b*c*(1 + m) - a*d*(1 + m - 3*n)) + A*b*(a*d*(1 + m - 4*n) - b*c*(1 + m - n)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a^2*(b*c - a*d)^4*e*(1 + m)*n) + (d*(b^2*c^2*(A*d*(1 + m - 4*n) - B*c*(1 + m - 2*n))*(1 + m - 3*n) - a^2*d^2*(B*c*(1 + m) - A*d*(1 + m - 2*n))*(1 + m - n) + 2*a*b*c*d*(B*c*(1 + m)*(1 + m - 3*n) - A*d*(1 + m^2 + m*(2 - 5*n) - 5*n + 4*n^2)))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)))/(2*c^3*(b*c - a*d)^4*e*(1 + m)*n^2), x, 7),
+# {(e*x)^m/(a + b*x^n)^3*(A + B*x^n)/(c + d*x^n)^3, x, 8, -((3*b^2*d*(b*B*c - 2*A*b*d + a*B*d)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a*(b*c - a*d)^5*e*(1 + m))) + (3*b*d^2*(b*B*c - 2*A*b*d + a*B*d)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)])/(c*(b*c - a*d)^5*e*(1 + m)) + (b^2*(b*B*c - 3*A*b*d + 2*a*B*d)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[2, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a^2*(b*c - a*d)^4*e*(1 + m)) + (d^2*(2*b*B*c - 3*A*b*d + a*B*d)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[2, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)])/(c^2*(b*c - a*d)^4*e*(1 + m)) + (b^2*(A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[3, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a^3*(b*c - a*d)^3*e*(1 + m)) + (d^2*(B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[3, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)])/(c^3*(b*c - a*d)^3*e*(1 + m))}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q (A+B x^n) with p symbolic
+
+
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(A + B*x^n), (A*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/n, -p, -q, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(1 + (d*x^n)/c)^q*(e*(1 + m))) + (B*x^(1 + n)*(e*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m + n)/n, -p, -q, (1 + m + 2*n)/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(1 + (d*x^n)/c)^q*(1 + m + n)), x, 7),
+
+
+# {(e*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^3*(A + B*x^n), x, 11, (A*c^3*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[(1 + m)/n, -p, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(e*(1 + m))) + (c^2*(B*c + 3*A*d)*x^(1 + n)*(e*x)^m*(a + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[(1 + m + n)/n, -p, (1 + m + 2*n)/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(1 + m + n)) + (3*c*d*(B*c + A*d)*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m*(a + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[(1 + m + 2*n)/n, -p, (1 + m + 3*n)/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(1 + m + 2*n)) + (d^2*(3*B*c + A*d)*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m*(a + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[(1 + m + 3*n)/n, -p, (1 + m + 4*n)/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(1 + m + 3*n)) + (B*d^3*x^(1 + 4*n)*(e*x)^m*(a + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[(1 + m + 4*n)/n, -p, (1 + m + 5*n)/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(1 + m + 4*n))}
+# {(e*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^2*(A + B*x^n), x, 9, (A*c^2*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[(1 + m)/n, -p, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(e*(1 + m))) + (c*(B*c + 2*A*d)*x^(1 + n)*(e*x)^m*(a + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[(1 + m + n)/n, -p, (1 + m + 2*n)/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(1 + m + n)) + (d*(2*B*c + A*d)*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m*(a + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[(1 + m + 2*n)/n, -p, (1 + m + 3*n)/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(1 + m + 2*n)) + (B*d^2*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m*(a + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[(1 + m + 3*n)/n, -p, (1 + m + 4*n)/n, -((b*x^n)/a)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(1 + m + 3*n))}
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)*(A + B*x^n), -(((a*B*d*(1 + m + n) - b*(A*d*n + B*c*(1 + m + n*(2 + p))))*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^(1 + p))/(b^2*e*(1 + m + n + n*p)*(1 + m + n*(2 + p)))) + (d*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^(1 + p)*(A + B*x^n))/(b*e*(1 + m + n*(2 + p))) - ((A*b*(1 + m + n + n*p)*(a*d*(1 + m) - b*c*(1 + m + n*(2 + p))) - a*(1 + m)*(a*B*d*(1 + m + n) - b*(A*d*n + B*c*(1 + m + n*(2 + p)))))*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/n, -p, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(b^2*e*(1 + m)*(1 + m + n + n*p)*(1 + m + n*(2 + p)))), x, 4),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^p*(A + B*x^n)/(c + d*x^n), -(((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/n, -p, 1, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(c*d*e*(1 + m)))) + (B*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/n, -p, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(d*e*(1 + m))), x, 6),
+((e*x)^m*(a + b*x^n)^p*(A + B*x^n)/(c + d*x^n)^2, ((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^(1 + p))/(c*(b*c - a*d)*e*n*(c + d*x^n)) - ((a*d*(B*c*(1 + m) - A*d*(1 + m - n)) + b*c*(A*d*(1 + m - n*(1 - p)) - B*c*(1 + m + n*p)))*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/n, -p, 1, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(c^2*d*(b*c - a*d)*e*(1 + m)*n)) - (b*(B*c - A*d)*(1 + m + n*p)*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/n, -p, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(c*d*(b*c - a*d)*e*(1 + m)*n)), x, 7),
+# {(e*x)^m*(a + b*x^n)^p*(A + B*x^n)/(c + d*x^n)^3, x, 4, (B*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^p*(1 + (d*x^n)/c)^2*AppellF1[(1 + m)/n, -p, 2, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(d*e*(1 + m)*(c + d*x^n)^2)) - ((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^p*(1 + (d*x^n)/c)^3*AppellF1[(1 + m)/n, -p, 3, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)])/((1 + (b*x^n)/a)^p*(d*e*(1 + m)*(c + d*x^n)^3))}
+
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (g x)^m (a+b x^(n/2)^p (c+d x^(n/2))^p (e+f x^n)^r with b c+a d=0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^(n/2)^p (c+d x^(n/2))^p (e+f x^n)^r with b c+a d=0
+
+
+(((-a + b*x^(n/2))^(-1 + 1/n)*(a + b*x^(n/2))^(-1 + 1/n)*(c + d*x^n))/x^2, ((c/a^2 + d/b^2)*(-a + b*x^(n/2))^(1/n)*(a + b*x^(n/2))^(1/n))/x - (d*(-a + b*x^(n/2))^(1/n)*(a + b*x^(n/2))^(1/n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1/n), -(1/n), -((1 - n)/n), (b^2*x^n)/a^2))/((1 - (b^2*x^n)/a^2)^n^(-1)*(b^2*x)), x, 4),
+# {((-a + b*x^(n/2))^((1 - n)/n)*(a + b*x^(n/2))^((1 - n)/n)*(c + d*x^n))/x^2, x, 4, ((c/a^2 + d/b^2)*(-a + b*x^(n/2))^(1/n)*(a + b*x^(n/2))^(1/n))/x - (d*(-a + b*x^(n/2))^(1/n)*(a + b*x^(n/2))^(1/n)*Hypergeometric2F1[-(1/n), -(1/n), -((1 - n)/n), (b^2*x^n)/a^2])/((1 - (b^2*x^n)/a^2)^n^(-1)*(b^2*x)), -(((c/a^2 + d/b^2)*(-a + b*x^(n/2))^(-1 + 1/n)*(a + b*x^(n/2))^(-1 + 1/n)*(a^2 - b^2*x^n))/x) + (a^2*d*(-a + b*x^(n/2))^(-1 + 1/n)*(a + b*x^(n/2))^(-1 + 1/n)*Hypergeometric2F1[-(1/n), -(1/n), -((1 - n)/n), (b^2*x^n)/a^2])/((1 - (b^2*x^n)/a^2)^((1 - n)/n)*(b^2*x))}
+]
+# Total integrals translated: 45
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.8 P(x) (c x)^m (a+b x^n)^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.8 P(x) (c x)^m (a+b x^n)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..f0e26a6a
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.3 General/1.1.3.8 P(x) (c x)^m (a+b x^n)^p.jl	
@@ -0,0 +1,1253 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form Pq(x) (a+b x^n)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form Pq(x) (a+b x^1)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P[x] (a+b x)^(m/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((c + d*x + e*x^2)^1/sqrt(a + b*x), (2*(b^2*c - a*b*d + a^2*e)*sqrt(a + b*x))/b^3 + (2*(b*d - 2*a*e)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^3) + (2*e*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^3), x, 2),
+((c + d*x + e*x^2)^2/sqrt(a + b*x), (2*(b^2*c - a*b*d + a^2*e)^2*sqrt(a + b*x))/b^5 + (4*(b*d - 2*a*e)*(b^2*c - a*b*d + a^2*e)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^5) - (2*(6*a*b*d*e - 6*a^2*e^2 - b^2*(d^2 + 2*c*e))*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^5) + (4*e*(b*d - 2*a*e)*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^5) + (2*e^2*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^5), x, 2),
+((c + d*x + e*x^2)^3/sqrt(a + b*x), (2*(b^2*c - a*b*d + a^2*e)^3*sqrt(a + b*x))/b^7 + (2*(b*d - 2*a*e)*(b^2*c - a*b*d + a^2*e)^2*(a + b*x)^(3//2))/b^7 - (6*(b^2*c - a*b*d + a^2*e)*(5*a*b*d*e - 5*a^2*e^2 - b^2*(d^2 + c*e))*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^7) - (2*(b*d - 2*a*e)*(10*a*b*d*e - 10*a^2*e^2 - b^2*(d^2 + 6*c*e))*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^7) - (2*e*(5*a*b*d*e - 5*a^2*e^2 - b^2*(d^2 + c*e))*(a + b*x)^(9//2))/(3*b^7) + (6*e^2*(b*d - 2*a*e)*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^7) + (2*e^3*(a + b*x)^(13//2))/(13*b^7), x, 2),
+
+
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)^1/sqrt(a + b*x), (2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*sqrt(a + b*x))/b^4 + (2*(b^2*d - 2*a*b*e + 3*a^2*f)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^4) + (2*(b*e - 3*a*f)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^4) + (2*f*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^4), x, 2),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)^2/sqrt(a + b*x), (2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)^2*sqrt(a + b*x))/b^7 + (4*(b^2*d - 2*a*b*e + 3*a^2*f)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^7) + (2*(b^4*(d^2 + 2*c*e) - 20*a^3*b*e*f + 15*a^4*f^2 - 6*a*b^3*(d*e + c*f) + 6*a^2*b^2*(e^2 + 2*d*f))*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^7) + (4*(10*a^2*b*e*f - 10*a^3*f^2 + b^3*(d*e + c*f) - 2*a*b^2*(e^2 + 2*d*f))*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^7) - (2*(10*a*b*e*f - 15*a^2*f^2 - b^2*(e^2 + 2*d*f))*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^7) + (4*f*(b*e - 3*a*f)*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^7) + (2*f^2*(a + b*x)^(13//2))/(13*b^7), x, 2),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)^3/sqrt(a + b*x), (2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)^3*sqrt(a + b*x))/b^10 + (2*(b^2*d - 2*a*b*e + 3*a^2*f)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)^2*(a + b*x)^(3//2))/b^10 + (6*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*(b^4*(d^2 + c*e) - 16*a^3*b*e*f + 12*a^4*f^2 - a*b^3*(5*d*e + 3*c*f) + a^2*b^2*(5*e^2 + 9*d*f))*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^10) - (2*(168*a^5*b*e*f^2 - 84*a^6*f^3 - b^6*(d^3 + 6*c*d*e + 3*c^2*f) - 105*a^4*b^2*f*(e^2 + d*f) + 12*a*b^5*(d^2*e + c*e^2 + 2*c*d*f) - 30*a^2*b^4*(d*e^2 + d^2*f + 2*c*e*f) + 20*a^3*b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^10) + (2*(70*a^4*b*e*f^2 - 42*a^5*f^3 - 35*a^3*b^2*f*(e^2 + d*f) + b^5*(d^2*e + c*e^2 + 2*c*d*f) - 5*a*b^4*(d*e^2 + d^2*f + 2*c*e*f) + 5*a^2*b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a + b*x)^(9//2))/(3*b^10) - (6*(56*a^3*b*e*f^2 - 42*a^4*f^3 - 21*a^2*b^2*f*(e^2 + d*f) - b^4*(d*e^2 + d^2*f + 2*c*e*f) + 2*a*b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a + b*x)^(11//2))/(11*b^10) + (2*(84*a^2*b*e*f^2 - 84*a^3*f^3 - 21*a*b^2*f*(e^2 + d*f) + b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a + b*x)^(13//2))/(13*b^10) - (2*f*(8*a*b*e*f - 12*a^2*f^2 - b^2*(e^2 + d*f))*(a + b*x)^(15//2))/(5*b^10) + (6*f^2*(b*e - 3*a*f)*(a + b*x)^(17//2))/(17*b^10) + (2*f^3*(a + b*x)^(19//2))/(19*b^10), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form Pq(x) (a+b x^3)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P1(x) (a+b x^3)^p
+
+
+((c + d*x)/(a + b*x^3), -(((b^(1//3)*c + a^(1//3)*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(2//3))) + ((b^(1//3)*c - a^(1//3)*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(2//3)*b^(2//3)) - ((c - (a^(1//3)*d)/b^(1//3))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(2//3)*b^(1//3)), x, 6),
+
+
+((c + d*x)/(a + b*x^3)^2, (x*(c + d*x))/(3*a*(a + b*x^3)) - ((2*b^(1//3)*c + a^(1//3)*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(2//3)) + ((2*b^(1//3)*c - a^(1//3)*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(5//3)*b^(2//3)) - ((2*b^(1//3)*c - a^(1//3)*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(5//3)*b^(2//3)), x, 7),
+
+
+((c + d*x)/(a + b*x^3)^3, (x*(c + d*x))/(6*a*(a + b*x^3)^2) + (x*(5*c + 4*d*x))/(18*a^2*(a + b*x^3)) - ((5*b^(1//3)*c + 2*a^(1//3)*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(8//3)*b^(2//3)) + ((5*b^(1//3)*c - 2*a^(1//3)*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(8//3)*b^(2//3)) - ((5*b^(1//3)*c - 2*a^(1//3)*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(8//3)*b^(2//3)), x, 8),
+
+
+((c + d*x)/(a + b*x^3)^4, (x*(c + d*x))/(9*a*(a + b*x^3)^3) + (x*(8*c + 7*d*x))/(54*a^2*(a + b*x^3)^2) + (2*x*(10*c + 7*d*x))/(81*a^3*(a + b*x^3)) - (2*(20*b^(1//3)*c + 7*a^(1//3)*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(81*sqrt(3)*a^(11//3)*b^(2//3)) + (2*(20*b^(1//3)*c - 7*a^(1//3)*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(243*a^(11//3)*b^(2//3)) - ((20*b^(1//3)*c - 7*a^(1//3)*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(243*a^(11//3)*b^(2//3)), x, 9),
+
+
+((a + b*x)/(d + e*x^3), -(((b*d^(1//3) + a*e^(1//3))*atan((d^(1//3) - 2*e^(1//3)*x)/(sqrt(3)*d^(1//3))))/(sqrt(3)*d^(2//3)*e^(2//3))) - ((b*d^(1//3) - a*e^(1//3))*log(d^(1//3) + e^(1//3)*x))/(3*d^(2//3)*e^(2//3)) - ((a - (b*d^(1//3))/e^(1//3))*log(d^(2//3) - d^(1//3)*e^(1//3)*x + e^(2//3)*x^2))/(6*d^(2//3)*e^(1//3)), x, 6),
+((a + b*x)/(d - e*x^3), -(((b*d^(1//3) - a*e^(1//3))*atan((d^(1//3) + 2*e^(1//3)*x)/(sqrt(3)*d^(1//3))))/(sqrt(3)*d^(2//3)*e^(2//3))) - ((b*d^(1//3) + a*e^(1//3))*log(d^(1//3) - e^(1//3)*x))/(3*d^(2//3)*e^(2//3)) + ((b*d^(1//3) + a*e^(1//3))*log(d^(2//3) + d^(1//3)*e^(1//3)*x + e^(2//3)*x^2))/(6*d^(2//3)*e^(2//3)), x, 6),
+
+((1 + x)/(1 + x^3), -((2*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/sqrt(3)), x, 3),
+((1 - x)/(1 - x^3), (2*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/sqrt(3), x, 3),
+((1 + x)/(1 - x^3), -(2//3)*log(1 - x) + (1//3)*log(1 + x + x^2), x, 3),
+((1 - x)/(1 + x^3), (2//3)*log(1 + x) - (1//3)*log(1 - x + x^2), x, 3),
+
+((3 - x)/(1 - x^3), (4*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/sqrt(3) - (2//3)*log(1 - x) + (1//3)*log(1 + x + x^2), x, 6),
+
+((c + d*x)/(c^3 + d^3*x^3), -((2*atan((c - 2*d*x)/(sqrt(3)*c)))/(sqrt(3)*c*d)), x, 3),
+((c - d*x)/(c^3 - d^3*x^3), (2*atan((c + 2*d*x)/(sqrt(3)*c)))/(sqrt(3)*c*d), x, 3),
+
+((a^(1//3)*b^(1//3)*B + b^(2//3)*B*x)/(a + b*x^3), -((2*B*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(1//3))), x, 3),
+((a^(1//3)*(-b)^(1//3)*B - (-b)^(2//3)*B*x)/(a + b*x^3), (2*B*atan((a^(1//3) + 2*(-b)^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(1//3)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P2(x) (a+b x^3)^p
+
+
+((0 + B*x + C*x^2)/(a + b*x^3) - (C*x^2)/(a + b*x^3), -((B*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(1//3)*b^(2//3))) - (B*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(1//3)*b^(2//3)) + (B*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(1//3)*b^(2//3)), x, 12),
+((A + 0*x + C*x^2)/(a + b*x^3) - (C*x^2)/(a + b*x^3), -((A*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(1//3))) + (A*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(2//3)*b^(1//3)) - (A*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(2//3)*b^(1//3)), x, 11),
+((A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^3) - (C*x^2)/(a + b*x^3), -(((A*b^(1//3) + a^(1//3)*B)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(2//3))) + ((A*b^(1//3) - a^(1//3)*B)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(2//3)*b^(2//3)) - ((A - (a^(1//3)*B)/b^(1//3))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(2//3)*b^(1//3)), x, 10),
+
+
+((b*x + c*x^2)/(d + e*x^3), -((b*atan((d^(1//3) - 2*e^(1//3)*x)/(sqrt(3)*d^(1//3))))/(sqrt(3)*d^(1//3)*e^(2//3))) - (b*log(d^(1//3) + e^(1//3)*x))/(3*d^(1//3)*e^(2//3)) + (b*log(d^(2//3) - d^(1//3)*e^(1//3)*x + e^(2//3)*x^2))/(6*d^(1//3)*e^(2//3)) + (c*log(d + e*x^3))/(3*e), x, 10),
+((a + c*x^2)/(d - e*x^3), (a*atan((d^(1//3) + 2*e^(1//3)*x)/(sqrt(3)*d^(1//3))))/(sqrt(3)*d^(2//3)*e^(1//3)) - (a*log(d^(1//3) - e^(1//3)*x))/(3*d^(2//3)*e^(1//3)) + (a*log(d^(2//3) + d^(1//3)*e^(1//3)*x + e^(2//3)*x^2))/(6*d^(2//3)*e^(1//3)) - (c*log(d - e*x^3))/(3*e), x, 9),
+
+((2*a^2 + b^2*x^2)/(a^3 + b^3*x^3), -((2*atan((a - 2*b*x)/(sqrt(3)*a)))/(sqrt(3)*b)) + log(a + b*x)/b, x, 4),
+((2*a^2 + b^2*x^2)/(a^3 - b^3*x^3), (2*atan((a + 2*b*x)/(sqrt(3)*a)))/(sqrt(3)*b) - log(a - b*x)/b, x, 4),
+
+((8*C + b^(2//3)*C*x^2)/(8 + b*x^3), -((2*C*atan((1 - b^(1//3)*x)/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(1//3))) + (C*log(2 + b^(1//3)*x))/b^(1//3), x, 4),
+((a^(2//3)*C + 2*C*x^2)/(a + 8*x^3), -((C*atan((a^(1//3) - 4*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(2*sqrt(3))) + (1//4)*C*log(a^(1//3) + 2*x), x, 4),
+
+((8*C + (-b)^(2//3)*C*x^2)/(-8 + b*x^3), (2*C*atan((1 - (-b)^(1//3)*x)/sqrt(3)))/(sqrt(3)*(-b)^(1//3)) - (C*log(2 + (-b)^(1//3)*x))/(-b)^(1//3), x, 4),
+(((-a)^(2//3)*C + 2*C*x^2)/(a - 8*x^3), (C*atan((1 - (4*x)/(-a)^(1//3))/sqrt(3)))/(2*sqrt(3)) - (1//4)*C*log((-a)^(1//3) + 2*x), x, 4),
+
+((2*C*(a/b)^(2//3) + C*x^2)/(a + b*x^3), -((2*C*atan((1 - (2*x)/(a/b)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b)) + (C*log((a/b)^(1//3) + x))/b, x, 4),
+((2*C*(-a/b)^(2//3) + C*x^2)/(a - b*x^3), (2*C*atan((1 - (2*x)/(-(a/b))^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b) - (C*log((-(a/b))^(1//3) + x))/b, x, 4),
+
+((2*C*(-a/b)^(2//3) + C*x^2)/(a + b*x^3), -((2*C*atan((1 + (2*x)/(-(a/b))^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b)) + (C*log((-(a/b))^(1//3) - x))/b, x, 4),
+((2*C*(a/b)^(2//3) + C*x^2)/(a - b*x^3), (2*C*atan((1 + (2*x)/(a/b)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b) - (C*log((a/b)^(1//3) - x))/b, x, 4),
+
+((2*a^(2//3)*C + b^(2//3)*C*x^2)/(a + b*x^3), -((2*C*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(1//3))) + (C*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/b^(1//3), x, 4),
+((-2*a^(2//3)*C - (-b)^(2//3)*C*x^2)/(a + b*x^3), -((2*C*atan((a^(1//3) + 2*(-b)^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*(-b)^(1//3))) + (C*log(a^(1//3) - (-b)^(1//3)*x))/(-b)^(1//3), x, 4),
+
+((-3 + x^2)/(-1 + x^3), sqrt(3)*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)) - (2*log(1 - x))/3 + (5*log(1 + x + x^2))/6, x, 6),
+
+
+((a^(1//3)*b^(1//3)*B + 2*a^(2//3)*C + b^(2//3)*B*x + b^(2//3)*C*x^2)/(a + b*x^3), -((2*(B/a^(1//3) + C/b^(1//3))*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/sqrt(3)) + (C*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/b^(1//3), x, 4),
+((a^(1//3)*(-b)^(1//3)*B - 2*a^(2//3)*C - (-b)^(2//3)*B*x - (-b)^(2//3)*C*x^2)/(a + b*x^3), (2*(b*B + a^(1//3)*(-b)^(2//3)*C)*atan((a^(1//3) + 2*(-b)^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(1//3)*b) + (C*log(a^(1//3) - (-b)^(1//3)*x))/(-b)^(1//3), x, 4),
+
+
+((B^2 + B*C*x + C^2*x^2)/(-B^3 + C^3*x^3), log(B - C*x)/C, x, 2),
+((a^(2//3)*C - a^(1//3)*b^(1//3)*C*x + b^(2//3)*C*x^2)/(a + b*x^3), (C*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/b^(1//3), x, 2),
+
+
+(((a/b)^(1//3)*B + 2*(a/b)^(2//3)*C + B*x + C*x^2)/(a + b*x^3), -((2*(a/b)^(2//3)*(B + (a/b)^(1//3)*C)*atan((1 - (2*x)/(a/b)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*a)) + (C*log((a/b)^(1//3) + x))/b, x, 4),
+(((-(a/b))^(1//3)*B + 2*(-(a/b))^(2//3)*C + B*x + C*x^2)/(a - b*x^3), (2*(B + (-(a/b))^(1//3)*C)*atan((1 - (2*x)/(-(a/b))^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*(-(a/b))^(1//3)*b) - (C*log((-(a/b))^(1//3) + x))/b, x, 4),
+
+(((-(-(a/b))^(1//3))*B + 2*(-(a/b))^(2//3)*C + B*x + C*x^2)/(a + b*x^3), (2*(B - (-(a/b))^(1//3)*C)*atan((1 + (2*x)/(-(a/b))^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*(-(a/b))^(1//3)*b) + (C*log((-(a/b))^(1//3) - x))/b, x, 4),
+(((-(a/b)^(1//3))*B + 2*(a/b)^(2//3)*C + B*x + C*x^2)/(a - b*x^3), -((2*(a/b)^(2//3)*(B - (a/b)^(1//3)*C)*atan((1 + (2*x)/(a/b)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*a)) - (C*log((a/b)^(1//3) - x))/b, x, 4),
+
+
+((a + a*x + c*x^2)/(1 - x^3), (-(1//3))*(2*a + c)*log(1 - x) + (1//3)*(a - c)*log(1 + x + x^2), x, 3),
+((a + b*x + c*x^2)/(1 - x^3), ((a - b)*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/sqrt(3) - (1//3)*(a + b + c)*log(1 - x) + (1//6)*(a + b - 2*c)*log(1 + x + x^2), x, 6),
+
+((1 + x + x^2)/(1 - x^3), -log(1-x), x, 2),
+((1 - x + 3*x^2)/(1 - x^3), ((2*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/sqrt(3)) - log(1 - x^3), x, 5),
+((1 + x + 4*x^2)/(1 - x^3), -2*log(1 - x) - log(1 + x + x^2), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P4(x) (a+b x^3)^p
+
+
+((a*c + a*d*x + b*c*x^3 + b*d*x^4)*(a + b*x^3)^3, a^4*c*x + (1//2)*a^4*d*x^2 + a^3*b*c*x^4 + (4//5)*a^3*b*d*x^5 + (6//7)*a^2*b^2*c*x^7 + (3//4)*a^2*b^2*d*x^8 + (2//5)*a*b^3*c*x^10 + (4//11)*a*b^3*d*x^11 + (1//13)*b^4*c*x^13 + (1//14)*b^4*d*x^14, x, 2),
+((a*c + a*d*x + b*c*x^3 + b*d*x^4)*(a + b*x^3)^2, a^3*c*x + (1//2)*a^3*d*x^2 + (3//4)*a^2*b*c*x^4 + (3//5)*a^2*b*d*x^5 + (3//7)*a*b^2*c*x^7 + (3//8)*a*b^2*d*x^8 + (1//10)*b^3*c*x^10 + (1//11)*b^3*d*x^11, x, 2),
+((a*c + a*d*x + b*c*x^3 + b*d*x^4)*(a + b*x^3)^1, a^2*c*x + (1//2)*a^2*d*x^2 + (1//2)*a*b*c*x^4 + (2//5)*a*b*d*x^5 + (1//7)*b^2*c*x^7 + (1//8)*b^2*d*x^8, x, 2),
+((a*c + a*d*x + b*c*x^3 + b*d*x^4)/(a + b*x^3)^1, c*x + (d*x^2)/2, x, 2),
+((a*c + a*d*x + b*c*x^3 + b*d*x^4)/(a + b*x^3)^2, -(((b^(1//3)*c + a^(1//3)*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(2//3))) + ((b^(1//3)*c - a^(1//3)*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(2//3)*b^(2//3)) - ((c - (a^(1//3)*d)/b^(1//3))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(2//3)*b^(1//3)), x, 7),
+((a*c + a*d*x + b*c*x^3 + b*d*x^4)/(a + b*x^3)^3, (x*(c + d*x))/(3*a*(a + b*x^3)) - ((2*b^(1//3)*c + a^(1//3)*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(2//3)) + ((2*b^(1//3)*c - a^(1//3)*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(5//3)*b^(2//3)) - ((2*b^(1//3)*c - a^(1//3)*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(5//3)*b^(2//3)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P4(x) (a+b x^3)^(p/2)
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+
+((a*c + a*d*x + b*c*x^3 + b*d*x^4)*(a + b*x^3)^(3//2), (810*a^3*d*sqrt(a + b*x^3))/(1729*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (54*a^2*(1729*c*x + 935*d*x^2)*sqrt(a + b*x^3))/323323 + (30*a*(247*c*x + 187*d*x^2)*(a + b*x^3)^(3//2))/46189 + (2//323)*(19*c*x + 17*d*x^2)*(a + b*x^3)^(5//2) - (405*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(10//3)*d*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (54*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^3*(1729*b^(1//3)*c - 935*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*d)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(323323*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 7),
+((a*c + a*d*x + b*c*x^3 + b*d*x^4)*(a + b*x^3)^(1//2), (54*a^2*d*sqrt(a + b*x^3))/(91*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (18*a*(91*c*x + 55*d*x^2)*sqrt(a + b*x^3))/5005 + (2//143)*(13*c*x + 11*d*x^2)*(a + b*x^3)^(3//2) - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(7//3)*d*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (18*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^2*(91*b^(1//3)*c - 55*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*d)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(5005*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+((a*c + a*d*x + b*c*x^3 + b*d*x^4)/(a + b*x^3)^(1//2), (6*a*d*sqrt(a + b*x^3))/(7*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2//35)*(7*c*x + 5*d*x^2)*sqrt(a + b*x^3) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*d*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a*(7*b^(1//3)*c - 5*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*d)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(35*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((a*c + a*d*x + b*c*x^3 + b*d*x^4)/(a + b*x^3)^(3//2), (2*d*sqrt(a + b*x^3))/(b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*d*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(b^(1//3)*c - (1 - sqrt(3))*a^(1//3)*d)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+((a*c + a*d*x + b*c*x^3 + b*d*x^4)/(a + b*x^3)^(5//2), (2*x*(c + d*x))/(3*a*sqrt(a + b*x^3)) - (2*d*sqrt(a + b*x^3))/(3*a*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (sqrt(2 - sqrt(3))*d*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*a^(2//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(b^(1//3)*c + (1 - sqrt(3))*a^(1//3)*d)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((a*c + a*d*x + b*c*x^3 + b*d*x^4)/(a + b*x^3)^(7//2), (2*x*(c + d*x))/(9*a*(a + b*x^3)^(3//2)) + (2*x*(7*c + 5*d*x))/(27*a^2*sqrt(a + b*x^3)) - (10*d*sqrt(a + b*x^3))/(27*a^2*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (5*sqrt(2 - sqrt(3))*d*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(9*3^(3//4)*a^(5//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(7*b^(1//3)*c + 5*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*d)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*a^2*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+((a*c + a*d*x + b*c*x^3 + b*d*x^4)/(a + b*x^3)^(9//2), (2*x*(c + d*x))/(15*a*(a + b*x^3)^(5//2)) + (2*x*(13*c + 11*d*x))/(135*a^2*(a + b*x^3)^(3//2)) + (2*x*(91*c + 55*d*x))/(405*a^3*sqrt(a + b*x^3)) - (22*d*sqrt(a + b*x^3))/(81*a^3*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (11*sqrt(2 - sqrt(3))*d*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(3//4)*a^(8//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(91*b^(1//3)*c + 55*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*d)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(405*3^(1//4)*a^3*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 7),
+
+
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)/(a + b*x^3)^(1//2), (2*e*sqrt(a + b*x^3))/(3*b) + (2*f*x*sqrt(a + b*x^3))/(5*b) + (2*g*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(7*b) + (2*(7*b*d - 4*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(7*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*(7*b*d - 4*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(7*b^(1//3)*(5*b*c - 2*a*f) - 5*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*(7*b*d - 4*a*g))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(35*3^(1//4)*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 7),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)/(a + b*x^3)^(3//2), (2*x*(b*c - a*f + (b*d - a*g)*x + b*e*x^2))/(3*a*b*sqrt(a + b*x^3)) - (2*e*sqrt(a + b*x^3))/(3*a*b) - (2*(b*d - 4*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(3*a*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (sqrt(2 - sqrt(3))*(b*d - 4*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*a^(2//3)*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(b^(1//3)*(b*c + 2*a*f) + (1 - sqrt(3))*a^(1//3)*(b*d - 4*a*g))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)/(a + b*x^3)^(5//2), (2*x*(b*c - a*f + (b*d - a*g)*x + b*e*x^2))/(9*a*b*(a + b*x^3)^(3//2)) - (2*(5*b*d + 4*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(27*a^2*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (2*(3*a*e - x*(7*b*c + 2*a*f + (5*b*d + 4*a*g)*x)))/(27*a^2*b*sqrt(a + b*x^3)) + (sqrt(2 - sqrt(3))*(5*b*d + 4*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(9*3^(3//4)*a^(5//3)*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(b^(1//3)*(7*b*c + 2*a*f) + (1 - sqrt(3))*a^(1//3)*(5*b*d + 4*a*g))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*a^2*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)/(a + b*x^3)^(7//2), (2*x*(b*c - a*f + (b*d - a*g)*x + b*e*x^2))/(15*a*b*(a + b*x^3)^(5//2)) + (2*x*(7*(13*b*c + 2*a*f) + 5*(11*b*d + 4*a*g)*x))/(405*a^3*b*sqrt(a + b*x^3)) - (2*(11*b*d + 4*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(81*a^3*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (2*(9*a*e - x*(13*b*c + 2*a*f + (11*b*d + 4*a*g)*x)))/(135*a^2*b*(a + b*x^3)^(3//2)) + (sqrt(2 - sqrt(3))*(11*b*d + 4*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(3//4)*a^(8//3)*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(7*b^(1//3)*(13*b*c + 2*a*f) + 5*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*(11*b*d + 4*a*g))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(405*3^(1//4)*a^3*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
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+((a + b*x)^2/(c + d*x^3), -((a*(2*b*c^(1//3) + a*d^(1//3))*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(sqrt(3)*c^(2//3)*d^(2//3))) - (a*(2*b*c^(1//3) - a*d^(1//3))*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(3*c^(2//3)*d^(2//3)) + (a*(2*b*c^(1//3) - a*d^(1//3))*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(6*c^(2//3)*d^(2//3)) + (b^2*log(c + d*x^3))/(3*d), x, 8),
+((a + b*x)^3/(c + d*x^3), (b^3*x)/d + ((b^3*c - 3*a^2*b*c^(1//3)*d^(2//3) - a^3*d)*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(sqrt(3)*c^(2//3)*d^(4//3)) - ((b^3*c + 3*a^2*b*c^(1//3)*d^(2//3) - a^3*d)*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(3*c^(2//3)*d^(4//3)) + ((b^3*c + 3*a^2*b*c^(1//3)*d^(2//3) - a^3*d)*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(6*c^(2//3)*d^(4//3)) + (a*b^2*log(c + d*x^3))/d, x, 10),
+((a + b*x)^4/(c + d*x^3), (4*a*b^3*x)/d + (b^4*x^2)/(2*d) + ((b^4*c^(4//3) + 4*a*b^3*c*d^(1//3) - 4*a^3*b*c^(1//3)*d - a^4*d^(4//3))*atan((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*c^(1//3))))/(sqrt(3)*c^(2//3)*d^(5//3)) + ((b*c^(1//3)*(b^3*c - 4*a^3*d) - d^(1//3)*(4*a*b^3*c - a^4*d))*log(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/(3*c^(2//3)*d^(5//3)) - ((b*c^(1//3)*(b^3*c - 4*a^3*d) - d^(1//3)*(4*a*b^3*c - a^4*d))*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2))/(6*c^(2//3)*d^(5//3)) + (2*a^2*b^2*log(c + d*x^3))/d, x, 10),
+
+((a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x^3), (2*b*c*x)/e + (c^2*x^2)/(2*e) + ((c^2*d^(4//3) + 2*b*c*d*e^(1//3) - a*(2*b*d^(1//3) + a*e^(1//3))*e)*atan((d^(1//3) - 2*e^(1//3)*x)/(sqrt(3)*d^(1//3))))/(sqrt(3)*d^(2//3)*e^(5//3)) - ((e^(1//3)*(2*b*c*d - a^2*e) - d^(1//3)*(c^2*d - 2*a*b*e))*log(d^(1//3) + e^(1//3)*x))/(3*d^(2//3)*e^(5//3)) + ((e^(1//3)*(2*b*c*d - a^2*e) - d^(1//3)*(c^2*d - 2*a*b*e))*log(d^(2//3) - d^(1//3)*e^(1//3)*x + e^(2//3)*x^2))/(6*d^(2//3)*e^(5//3)) + ((b^2 + 2*a*c)*log(d + e*x^3))/(3*e), x, 10),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x^3), -(((c^3*d - b^3*e - 6*a*b*c*e)*x)/e^2) + (3*c*(b^2 + a*c)*x^2)/(2*e) + (b*c^2*x^3)/e + (c^3*x^4)/(4*e) - ((c^3*d^2 - 3*b^2*c*d^(4//3)*e^(2//3) - 3*a*c^2*d^(4//3)*e^(2//3) - b^3*d*e - 6*a*b*c*d*e + 3*a^2*b*d^(1//3)*e^(5//3) + a^3*e^2)*atan((d^(1//3) - 2*e^(1//3)*x)/(sqrt(3)*d^(1//3))))/(sqrt(3)*d^(2//3)*e^(7//3)) + ((c^3*d^2 - 6*a*b*c*d*e - e*(b^3*d - a^3*e) + 3*d^(1//3)*e^(2//3)*(b^2*c*d + a*c^2*d - a^2*b*e))*log(d^(1//3) + e^(1//3)*x))/(3*d^(2//3)*e^(7//3)) - ((c^3*d^2 - 6*a*b*c*d*e - e*(b^3*d - a^3*e) + 3*d^(1//3)*e^(2//3)*(b^2*c*d + a*c^2*d - a^2*b*e))*log(d^(2//3) - d^(1//3)*e^(1//3)*x + e^(2//3)*x^2))/(6*d^(2//3)*e^(7//3)) - ((b*c^2*d - a*b^2*e - a^2*c*e)*log(d + e*x^3))/e^2, x, 10),
+((a + b*x + c*x^2)^4/(d + e*x^3), -((2*(3*b^2*c^2*d + 2*a*c^3*d - 2*a*b^3*e - 6*a^2*b*c*e)*x)/e^2) - ((4*b*c^3*d - b^4*e - 12*a*b^2*c*e - 6*a^2*c^2*e)*x^2)/(2*e^2) - (c*(c^3*d - 4*b^3*e - 12*a*b*c*e)*x^3)/(3*e^2) + (c^2*(3*b^2 + 2*a*c)*x^4)/(2*e) + (4*b*c^3*x^5)/(5*e) + (c^4*x^6)/(6*e) - (1/(sqrt(3)*d^(2//3)*e^(8//3)))*((b*d^(1//3) + a*e^(1//3))*(4*c^3*d^2 + 6*c^2*(b*d^(5//3)*e^(1//3) - a*d^(4//3)*e^(2//3)) - 12*a*b*c*d*e - e*(b^3*d + 3*a*b^2*d^(2//3)*e^(1//3) - 3*a^2*b*d^(1//3)*e^(2//3) - a^3*e))*atan((d^(1//3) - 2*e^(1//3)*x)/(sqrt(3)*d^(1//3)))) + (1/(3*d^(2//3)*e^(8//3)))*((e^(1//3)*(6*b^2*c^2*d^2 + 4*a*c^3*d^2 - 4*a*b^3*d*e - 12*a^2*b*c*d*e + a^4*e^2) + d^(1//3)*(b^4*d*e + 12*a*b^2*c*d*e + 6*a^2*c^2*d*e - 4*b*(c^3*d^2 + a^3*e^2)))*log(d^(1//3) + e^(1//3)*x)) - (1/(6*d^(2//3)*e^(8//3)))*((e^(1//3)*(6*b^2*c^2*d^2 + 4*a*c^3*d^2 - 4*a*b^3*d*e - 12*a^2*b*c*d*e + a^4*e^2) + d^(1//3)*(b^4*d*e + 12*a*b^2*c*d*e + 6*a^2*c^2*d*e - 4*b*(c^3*d^2 + a^3*e^2)))*log(d^(2//3) - d^(1//3)*e^(1//3)*x + e^(2//3)*x^2)) + ((c^4*d^2 - 12*a*b*c^2*d*e + 6*a^2*b^2*e^2 - 4*c*e*(b^3*d - a^3*e))*log(d + e*x^3))/(3*e^3), x, 10),
+
+
+((2*x^2 + x^4)/(1 + x^3), x^2//2 + atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) + log(1 + x) + (1//2)*log(1 - x + x^2), x, 9),
+((2*x^2 + x^4)/(1 - x^3), -x^2//2 - atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) - log(1 - x) - (1//2)*log(1 + x + x^2), x, 9),
+
+((1 - x + 4*x^3)/(1 + x^3), 4*x + (4*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/sqrt(3) - (2//3)*log(1 + x) + (1//3)*log(1 - x + x^2), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c+d x) / (a+b x^3)^(p/2) with b c^3 - 2 (5+3 Sqrt[3]) a d^3=0
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+((1 + sqrt(3) + x)/sqrt(1 + x^3), (2*sqrt(1 + x^3))/(1 + sqrt(3) + x) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 3),
+((1 + sqrt(3) - x)/sqrt(1 - x^3), -((2*sqrt(1 - x^3))/(1 + sqrt(3) - x)) + (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)) - (4*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 3),
+((1 + sqrt(3) - x)/sqrt(-1 + x^3), (2*sqrt(-1 + x^3))/(1 - sqrt(3) - x) - (3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 1),
+((1 + sqrt(3) + x)/sqrt(-1 - x^3), -((2*sqrt(-1 - x^3))/(1 - sqrt(3) + x)) + (3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 1),
+
+
+(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/sqrt(a + b*x^3), (2*sqrt(a + b*x^3))/(b^(1//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
+(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/sqrt(a - b*x^3), -((2*sqrt(a - b*x^3))/(b^(1//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x))) + (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a - b*x^3)) - (4*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a - b*x^3)), x, 3),
+(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/sqrt(-a + b*x^3), (2*sqrt(-a + b*x^3))/(b^(1//3)*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)) - (3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(b^(1//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a + b*x^3)), x, 1),
+(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/sqrt(-a - b*x^3), -((2*sqrt(-a - b*x^3))/(b^(1//3)*((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x))) + (3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(b^(1//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a - b*x^3)), x, 1),
+
+
+((1 + sqrt(3) + (b/a)^(1//3)*x)/sqrt(a + b*x^3), (2*(b/a)^(1//3)*sqrt(a + b*x^3))/(b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*(b/a)^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*((1 + sqrt(3))*b^(1//3) - (1 - sqrt(3))*a^(1//3)*(b/a)^(1//3))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
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+((1 + sqrt(3) - (b/a)^(1//3)*x)/sqrt(-a + b*x^3), (2*(b/a)^(2//3)*sqrt(-a + b*x^3))/(b*(1 - sqrt(3) - (b/a)^(1//3)*x)) - (3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - (b/a)^(1//3)*x)*sqrt((1 + (b/a)^(1//3)*x + (b/a)^(2//3)*x^2)/(1 - sqrt(3) - (b/a)^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (b/a)^(1//3)*x)/(1 - sqrt(3) - (b/a)^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/((b/a)^(1//3)*sqrt(-((1 - (b/a)^(1//3)*x)/(1 - sqrt(3) - (b/a)^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a + b*x^3)), x, 1),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c+d x) / (a+b x^3)^(p/2) with b c^3 - 2 (5-3 Sqrt[3]) a d^3=0
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+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+((1 - sqrt(3) + x)/sqrt(1 + x^3), (2*sqrt(1 + x^3))/(1 + sqrt(3) + x) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 1),
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+((1 - sqrt(3) + x)/sqrt(-1 - x^3), -((2*sqrt(-1 - x^3))/(1 - sqrt(3) + x)) + (3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)) - (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 3),
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+((c + d*x)/sqrt(a + b*x^3), (2*d*sqrt(a + b*x^3))/(b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*d*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*(b^(1//3)*c - (1 - sqrt(3))*a^(1//3)*d)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 3),
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form Pq(x) (a+b x^4)^p
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P1(x) (a+b x^4)^p
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+((c + d*x)/(a - b*x^4), (c*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)*b^(1//4)) + (c*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)*b^(1//4)) + (d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*sqrt(b)), x, 7),
+
+((c + d*x)/(a + b*x^4), (d*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*sqrt(b)) - (c*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)) + (c*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)) - (c*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)) + (c*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)), x, 13),
+
+
+((c + d*x)/(a - b*x^4)^2, (x*(c + d*x))/(4*a*(a - b*x^4)) + (3*c*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*a^(7//4)*b^(1//4)) + (3*c*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*a^(7//4)*b^(1//4)) + (d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*sqrt(b)), x, 8),
+
+((c + d*x)/(a + b*x^4)^2, (x*(c + d*x))/(4*a*(a + b*x^4)) + (d*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*sqrt(b)) - (3*c*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(1//4)) + (3*c*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(1//4)) - (3*c*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(1//4)) + (3*c*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(1//4)), x, 14),
+
+
+((c + d*x)/(a - b*x^4)^3, (x*(c + d*x))/(8*a*(a - b*x^4)^2) + (x*(7*c + 6*d*x))/(32*a^2*(a - b*x^4)) + (21*c*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*a^(11//4)*b^(1//4)) + (21*c*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*a^(11//4)*b^(1//4)) + (3*d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*sqrt(b)), x, 9),
+
+((c + d*x)/(a + b*x^4)^3, (x*(c + d*x))/(8*a*(a + b*x^4)^2) + (x*(7*c + 6*d*x))/(32*a^2*(a + b*x^4)) + (3*d*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*sqrt(b)) - (21*c*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(1//4)) + (21*c*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(1//4)) - (21*c*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(1//4)) + (21*c*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(1//4)), x, 15),
+
+
+((c + d*x)/(a - b*x^4)^4, (x*(c + d*x))/(12*a*(a - b*x^4)^3) + (x*(11*c + 10*d*x))/(96*a^2*(a - b*x^4)^2) + (x*(77*c + 60*d*x))/(384*a^3*(a - b*x^4)) + (77*c*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*a^(15//4)*b^(1//4)) + (77*c*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*a^(15//4)*b^(1//4)) + (5*d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(32*a^(7//2)*sqrt(b)), x, 10),
+
+((c + d*x)/(a + b*x^4)^4, (x*(c + d*x))/(12*a*(a + b*x^4)^3) + (x*(11*c + 10*d*x))/(96*a^2*(a + b*x^4)^2) + (x*(77*c + 60*d*x))/(384*a^3*(a + b*x^4)) + (5*d*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(32*a^(7//2)*sqrt(b)) - (77*c*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(1//4)) + (77*c*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(1//4)) - (77*c*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(512*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(1//4)) + (77*c*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(512*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(1//4)), x, 16),
+
+
+((c + d*x)/(1 - x^4), (1//2)*c*atan(x) + (1//2)*c*atanh(x) + (1//2)*d*atanh(x^2), x, 7),
+
+((c + d*x)/(1 + x^4), (1//2)*d*atan(x^2) - (c*atan(1 - sqrt(2)*x))/(2*sqrt(2)) + (c*atan(1 + sqrt(2)*x))/(2*sqrt(2)) - (c*log(1 - sqrt(2)*x + x^2))/(4*sqrt(2)) + (c*log(1 + sqrt(2)*x + x^2))/(4*sqrt(2)), x, 13),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P2(x) (a+b x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((c + d*x + e*x^2)/(a - b*x^4), ((sqrt(b)*c - sqrt(a)*e)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)*b^(3//4)) + ((sqrt(b)*c + sqrt(a)*e)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)*b^(3//4)) + (d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*sqrt(b)), x, 7),
+
+((c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^4), (d*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*sqrt(b)) - ((sqrt(b)*c + sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)) + ((sqrt(b)*c + sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)) - ((sqrt(b)*c - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)) + ((sqrt(b)*c - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)), x, 13),
+
+
+((c + d*x + e*x^2)/(a - b*x^4)^2, (x*(c + d*x + e*x^2))/(4*a*(a - b*x^4)) + ((3*sqrt(b)*c - sqrt(a)*e)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*a^(7//4)*b^(3//4)) + ((3*sqrt(b)*c + sqrt(a)*e)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*a^(7//4)*b^(3//4)) + (d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*sqrt(b)), x, 8),
+
+((c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^4)^2, (x*(c + d*x + e*x^2))/(4*a*(a + b*x^4)) + (d*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*sqrt(b)) - ((3*sqrt(b)*c + sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(3//4)) + ((3*sqrt(b)*c + sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(3//4)) - ((3*sqrt(b)*c - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(3//4)) + ((3*sqrt(b)*c - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(3//4)), x, 14),
+
+
+((c + d*x + e*x^2)/(a - b*x^4)^3, (x*(c + d*x + e*x^2))/(8*a*(a - b*x^4)^2) + (x*(7*c + 6*d*x + 5*e*x^2))/(32*a^2*(a - b*x^4)) + ((21*sqrt(b)*c - 5*sqrt(a)*e)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*a^(11//4)*b^(3//4)) + ((21*sqrt(b)*c + 5*sqrt(a)*e)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*a^(11//4)*b^(3//4)) + (3*d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*sqrt(b)), x, 9),
+
+((c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^4)^3, (x*(c + d*x + e*x^2))/(8*a*(a + b*x^4)^2) + (x*(7*c + 6*d*x + 5*e*x^2))/(32*a^2*(a + b*x^4)) + (3*d*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*sqrt(b)) - ((21*sqrt(b)*c + 5*sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(3//4)) + ((21*sqrt(b)*c + 5*sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(3//4)) - ((21*sqrt(b)*c - 5*sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(3//4)) + ((21*sqrt(b)*c - 5*sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(3//4)), x, 15),
+
+
+((c + d*x + e*x^2)/(a - b*x^4)^4, (x*(c + d*x + e*x^2))/(12*a*(a - b*x^4)^3) + (x*(11*c + 10*d*x + 9*e*x^2))/(96*a^2*(a - b*x^4)^2) + (x*(77*c + 60*d*x + 45*e*x^2))/(384*a^3*(a - b*x^4)) + ((77*sqrt(b)*c - 15*sqrt(a)*e)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*a^(15//4)*b^(3//4)) + ((77*sqrt(b)*c + 15*sqrt(a)*e)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*a^(15//4)*b^(3//4)) + (5*d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(32*a^(7//2)*sqrt(b)), x, 10),
+
+((c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^4)^4, (x*(c + d*x + e*x^2))/(12*a*(a + b*x^4)^3) + (x*(11*c + 10*d*x + 9*e*x^2))/(96*a^2*(a + b*x^4)^2) + (x*(77*c + 60*d*x + 45*e*x^2))/(384*a^3*(a + b*x^4)) + (5*d*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(32*a^(7//2)*sqrt(b)) - ((77*sqrt(b)*c + 15*sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(3//4)) + ((77*sqrt(b)*c + 15*sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(3//4)) - ((77*sqrt(b)*c - 15*sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(512*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(3//4)) + ((77*sqrt(b)*c - 15*sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(512*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(3//4)), x, 16),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P3(x) (a+b x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + 0*x + 0*x^2 + 0*x^3)*(e + f*x^4)^2, a*e^2*x + (2//5)*a*e*f*x^5 + (1//9)*a*f^2*x^9, x, 3),
+((0 + b*x + 0*x^2 + 0*x^3)*(e + f*x^4)^2, (1//2)*b*e^2*x^2 + (1//3)*b*e*f*x^6 + (1//10)*b*f^2*x^10, x, 3),
+((a + b*x + 0*x^2 + 0*x^3)*(e + f*x^4)^2, a*e^2*x + (1//2)*b*e^2*x^2 + (2//5)*a*e*f*x^5 + (1//3)*b*e*f*x^6 + (1//9)*a*f^2*x^9 + (1//10)*b*f^2*x^10, x, 2),
+((0 + 0*x + c*x^2 + 0*x^3)*(e + f*x^4)^2, (1//3)*c*e^2*x^3 + (2//7)*c*e*f*x^7 + (1//11)*c*f^2*x^11, x, 3),
+((a + 0*x + c*x^2 + 0*x^3)*(e + f*x^4)^2, a*e^2*x + (1//3)*c*e^2*x^3 + (2//5)*a*e*f*x^5 + (2//7)*c*e*f*x^7 + (1//9)*a*f^2*x^9 + (1//11)*c*f^2*x^11, x, 2),
+((0 + b*x + c*x^2 + 0*x^3)*(e + f*x^4)^2, (1//2)*b*e^2*x^2 + (1//3)*c*e^2*x^3 + (1//3)*b*e*f*x^6 + (2//7)*c*e*f*x^7 + (1//10)*b*f^2*x^10 + (1//11)*c*f^2*x^11, x, 3),
+((a + b*x + c*x^2 + 0*x^3)*(e + f*x^4)^2, a*e^2*x + (1//2)*b*e^2*x^2 + (1//3)*c*e^2*x^3 + (2//5)*a*e*f*x^5 + (1//3)*b*e*f*x^6 + (2//7)*c*e*f*x^7 + (1//9)*a*f^2*x^9 + (1//10)*b*f^2*x^10 + (1//11)*c*f^2*x^11, x, 2),
+
+((0 + 0*x + 0*x^2 + d*x^3)*(e + f*x^4)^2, (d*(e + f*x^4)^3)/(12*f), x, 2),
+((a + 0*x + 0*x^2 + d*x^3)*(e + f*x^4)^2, a*e^2*x + (2//5)*a*e*f*x^5 + (1//9)*a*f^2*x^9 + (d*(e + f*x^4)^3)/(12*f), x, 4),
+((0 + b*x + 0*x^2 + d*x^3)*(e + f*x^4)^2, (1//2)*b*e^2*x^2 + (1//3)*b*e*f*x^6 + (1//10)*b*f^2*x^10 + (d*(e + f*x^4)^3)/(12*f), x, 4),
+((a + b*x + 0*x^2 + d*x^3)*(e + f*x^4)^2, a*e^2*x + (1//2)*b*e^2*x^2 + (2//5)*a*e*f*x^5 + (1//3)*b*e*f*x^6 + (1//9)*a*f^2*x^9 + (1//10)*b*f^2*x^10 + (d*(e + f*x^4)^3)/(12*f), x, 3),
+((0 + 0*x + c*x^2 + d*x^3)*(e + f*x^4)^2, (1//3)*c*e^2*x^3 + (2//7)*c*e*f*x^7 + (1//11)*c*f^2*x^11 + (d*(e + f*x^4)^3)/(12*f), x, 4),
+((a + 0*x + c*x^2 + d*x^3)*(e + f*x^4)^2, a*e^2*x + (1//3)*c*e^2*x^3 + (2//5)*a*e*f*x^5 + (2//7)*c*e*f*x^7 + (1//9)*a*f^2*x^9 + (1//11)*c*f^2*x^11 + (d*(e + f*x^4)^3)/(12*f), x, 3),
+((0 + b*x + c*x^2 + d*x^3)*(e + f*x^4)^2, (1//2)*b*e^2*x^2 + (1//3)*c*e^2*x^3 + (1//3)*b*e*f*x^6 + (2//7)*c*e*f*x^7 + (1//10)*b*f^2*x^10 + (1//11)*c*f^2*x^11 + (d*(e + f*x^4)^3)/(12*f), x, 4),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^2, a^2*c*x + (1//2)*a^2*d*x^2 + (1//3)*a^2*e*x^3 + (2//5)*a*b*c*x^5 + (1//3)*a*b*d*x^6 + (2//7)*a*b*e*x^7 + (1//9)*b^2*c*x^9 + (1//10)*b^2*d*x^10 + (1//11)*b^2*e*x^11 + (f*(a + b*x^4)^3)/(12*b), x, 3),
+
+
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^3, a^3*c*x + (1//2)*a^3*d*x^2 + (1//3)*a^3*e*x^3 + (3//5)*a^2*b*c*x^5 + (1//2)*a^2*b*d*x^6 + (3//7)*a^2*b*e*x^7 + (1//3)*a*b^2*c*x^9 + (3//10)*a*b^2*d*x^10 + (3//11)*a*b^2*e*x^11 + (1//13)*b^3*c*x^13 + (1//14)*b^3*d*x^14 + (1//15)*b^3*e*x^15 + (f*(a + b*x^4)^4)/(16*b), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(a - b*x^4)^2, (a*f + b*x*(c + d*x + e*x^2))/(4*a*b*(a - b*x^4)) + ((3*sqrt(b)*c - sqrt(a)*e)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*a^(7//4)*b^(3//4)) + ((3*sqrt(b)*c + sqrt(a)*e)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*a^(7//4)*b^(3//4)) + (d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*sqrt(b)), x, 8),
+
+
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(a - b*x^4)^3, (x*(7*c + 6*d*x + 5*e*x^2))/(32*a^2*(a - b*x^4)) + (a*f + b*x*(c + d*x + e*x^2))/(8*a*b*(a - b*x^4)^2) + ((21*sqrt(b)*c - 5*sqrt(a)*e)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*a^(11//4)*b^(3//4)) + ((21*sqrt(b)*c + 5*sqrt(a)*e)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*a^(11//4)*b^(3//4)) + (3*d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*sqrt(b)), x, 9),
+
+
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(a - b*x^4)^4, (x*(11*c + 10*d*x + 9*e*x^2))/(96*a^2*(a - b*x^4)^2) + (x*(77*c + 60*d*x + 45*e*x^2))/(384*a^3*(a - b*x^4)) + (a*f + b*x*(c + d*x + e*x^2))/(12*a*b*(a - b*x^4)^3) + ((77*sqrt(b)*c - 15*sqrt(a)*e)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*a^(15//4)*b^(3//4)) + ((77*sqrt(b)*c + 15*sqrt(a)*e)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*a^(15//4)*b^(3//4)) + (5*d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(32*a^(7//2)*sqrt(b)), x, 10),
+
+
+((a + 0*x + 0*x^2 + 0*x^3)/(2 + 3*x^4), -((a*atan(1 - 6^(1//4)*x))/(4*6^(1//4))) + (a*atan(1 + 6^(1//4)*x))/(4*6^(1//4)) - (a*log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(8*6^(1//4)) + (a*log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(8*6^(1//4)), x, 10),
+((0 + b*x + 0*x^2 + 0*x^3)/(2 + 3*x^4), (b*atan(sqrt(3//2)*x^2))/(2*sqrt(6)), x, 3),
+((a + b*x + 0*x^2 + 0*x^3)/(2 + 3*x^4), (b*atan(sqrt(3//2)*x^2))/(2*sqrt(6)) - (a*atan(1 - 6^(1//4)*x))/(4*6^(1//4)) + (a*atan(1 + 6^(1//4)*x))/(4*6^(1//4)) - (a*log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(8*6^(1//4)) + (a*log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(8*6^(1//4)), x, 13),
+((0 + 0*x + c*x^2 + 0*x^3)/(2 + 3*x^4), -((c*atan(1 - 6^(1//4)*x))/(2*6^(3//4))) + (c*atan(1 + 6^(1//4)*x))/(2*6^(3//4)) + (c*log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(4*6^(3//4)) - (c*log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(4*6^(3//4)), x, 10),
+((a + 0*x + c*x^2 + 0*x^3)/(2 + 3*x^4), -(((sqrt(6)*a + 2*c)*atan(1 - 6^(1//4)*x))/(4*6^(3//4))) + ((sqrt(6)*a + 2*c)*atan(1 + 6^(1//4)*x))/(4*6^(3//4)) - ((sqrt(6)*a - 2*c)*log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(8*6^(3//4)) + ((sqrt(6)*a - 2*c)*log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(8*6^(3//4)), x, 9),
+((0 + b*x + c*x^2 + 0*x^3)/(2 + 3*x^4), (b*atan(sqrt(3//2)*x^2))/(2*sqrt(6)) - (c*atan(1 - 6^(1//4)*x))/(2*6^(3//4)) + (c*atan(1 + 6^(1//4)*x))/(2*6^(3//4)) + (c*log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(4*6^(3//4)) - (c*log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(4*6^(3//4)), x, 14),
+((a + b*x + c*x^2 + 0*x^3)/(2 + 3*x^4), (b*atan(sqrt(3//2)*x^2))/(2*sqrt(6)) - ((sqrt(6)*a + 2*c)*atan(1 - 6^(1//4)*x))/(4*6^(3//4)) + ((sqrt(6)*a + 2*c)*atan(1 + 6^(1//4)*x))/(4*6^(3//4)) - ((sqrt(6)*a - 2*c)*log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(8*6^(3//4)) + ((sqrt(6)*a - 2*c)*log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(8*6^(3//4)), x, 13),
+
+((0 + 0*x + 0*x^2 + d*x^3)/(2 + 3*x^4), (1//12)*d*log(2 + 3*x^4), x, 2),
+((a + 0*x + 0*x^2 + d*x^3)/(2 + 3*x^4), -((a*atan(1 - 6^(1//4)*x))/(4*6^(1//4))) + (a*atan(1 + 6^(1//4)*x))/(4*6^(1//4)) - (a*log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(8*6^(1//4)) + (a*log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(8*6^(1//4)) + (1//12)*d*log(2 + 3*x^4), x, 12),
+((0 + b*x + 0*x^2 + d*x^3)/(2 + 3*x^4), (b*atan(sqrt(3//2)*x^2))/(2*sqrt(6)) + (1//12)*d*log(2 + 3*x^4), x, 5),
+((a + b*x + 0*x^2 + d*x^3)/(2 + 3*x^4), (b*atan(sqrt(3//2)*x^2))/(2*sqrt(6)) - (a*atan(1 - 6^(1//4)*x))/(4*6^(1//4)) + (a*atan(1 + 6^(1//4)*x))/(4*6^(1//4)) - (a*log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(8*6^(1//4)) + (a*log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(8*6^(1//4)) + (1//12)*d*log(2 + 3*x^4), x, 15),
+((0 + 0*x + c*x^2 + d*x^3)/(2 + 3*x^4), -((c*atan(1 - 6^(1//4)*x))/(2*6^(3//4))) + (c*atan(1 + 6^(1//4)*x))/(2*6^(3//4)) + (c*log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(4*6^(3//4)) - (c*log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(4*6^(3//4)) + (1//12)*d*log(2 + 3*x^4), x, 13),
+((a + 0*x + c*x^2 + d*x^3)/(2 + 3*x^4), -(((sqrt(6)*a + 2*c)*atan(1 - 6^(1//4)*x))/(4*6^(3//4))) + ((sqrt(6)*a + 2*c)*atan(1 + 6^(1//4)*x))/(4*6^(3//4)) - ((sqrt(6)*a - 2*c)*log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(8*6^(3//4)) + ((sqrt(6)*a - 2*c)*log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(8*6^(3//4)) + (1//12)*d*log(2 + 3*x^4), x, 12),
+((0 + b*x + c*x^2 + d*x^3)/(2 + 3*x^4), (b*atan(sqrt(3//2)*x^2))/(2*sqrt(6)) - (c*atan(1 - 6^(1//4)*x))/(2*6^(3//4)) + (c*atan(1 + 6^(1//4)*x))/(2*6^(3//4)) + (c*log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(4*6^(3//4)) - (c*log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(4*6^(3//4)) + (1//12)*d*log(2 + 3*x^4), x, 16),
+((a + b*x + c*x^2 + d*x^3)/(2 + 3*x^4), (b*atan(sqrt(3//2)*x^2))/(2*sqrt(6)) - ((sqrt(6)*a + 2*c)*atan(1 - 6^(1//4)*x))/(4*6^(3//4)) + ((sqrt(6)*a + 2*c)*atan(1 + 6^(1//4)*x))/(4*6^(3//4)) - ((sqrt(6)*a - 2*c)*log(sqrt(6) - 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(8*6^(3//4)) + ((sqrt(6)*a - 2*c)*log(sqrt(6) + 6^(3//4)*x + 3*x^2))/(8*6^(3//4)) + (1//12)*d*log(2 + 3*x^4), x, 15),
+
+
+((1 + x + x^2 + x^3)/(1 - x^4), -log(1 - x), x, 2),
+
+((1 + x + x^2 + x^3)/(1 + x^4), atan(x^2)/2 - atan(1 - sqrt(2)*x)/sqrt(2) + atan(1 + sqrt(2)*x)/sqrt(2) + (1//4)*log(1 + x^4), x, 11),
+
+
+((1 + x + x^2 + x^3)/(a - b*x^4), -(((sqrt(a) - sqrt(b))*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)*b^(3//4))) + ((sqrt(a) + sqrt(b))*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)*b^(3//4)) + atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a))/(2*sqrt(a)*sqrt(b)) - log(a - b*x^4)/(4*b), x, 9),
+
+((1 + x + x^2 + x^3)/(a + b*x^4), atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a))/(2*sqrt(a)*sqrt(b)) - ((sqrt(a) + sqrt(b))*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)) + ((sqrt(a) + sqrt(b))*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)) + ((sqrt(a) - sqrt(b))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)) - ((sqrt(a) - sqrt(b))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)) + log(a + b*x^4)/(4*b), x, 15),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P4(x) (a+b x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)/(a - b*x^4)^1, -((g*x)/b) + ((b*c - sqrt(a)*sqrt(b)*e + a*g)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)*b^(5//4)) + ((b*c + sqrt(a)*sqrt(b)*e + a*g)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)*b^(5//4)) + (d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*sqrt(b)) - (f*log(a - b*x^4))/(4*b), x, 11),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)/(a - b*x^4)^2, (x*(b*c + a*g + b*d*x + b*e*x^2 + b*f*x^3))/(4*a*b*(a - b*x^4)) + ((3*b*c - sqrt(a)*sqrt(b)*e - a*g)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*a^(7//4)*b^(5//4)) + ((3*b*c + sqrt(a)*sqrt(b)*e - a*g)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*a^(7//4)*b^(5//4)) + (d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*sqrt(b)), x, 8),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)/(a - b*x^4)^3, (x*(b*c + a*g + b*d*x + b*e*x^2 + b*f*x^3))/(8*a*b*(a - b*x^4)^2) + (4*a*f + x*(7*b*c - a*g + 6*b*d*x + 5*b*e*x^2))/(32*a^2*b*(a - b*x^4)) + ((21*b*c - 5*sqrt(a)*sqrt(b)*e - 3*a*g)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*a^(11//4)*b^(5//4)) + ((21*b*c + 5*sqrt(a)*sqrt(b)*e - 3*a*g)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*a^(11//4)*b^(5//4)) + (3*d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*sqrt(b)), x, 9),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)/(a - b*x^4)^4, (x*(b*c + a*g + b*d*x + b*e*x^2 + b*f*x^3))/(12*a*b*(a - b*x^4)^3) + (x*(7*(11*b*c - a*g) + 60*b*d*x + 45*b*e*x^2))/(384*a^3*b*(a - b*x^4)) + (8*a*f + x*(11*b*c - a*g + 10*b*d*x + 9*b*e*x^2))/(96*a^2*b*(a - b*x^4)^2) + ((77*b*c - 15*sqrt(a)*sqrt(b)*e - 7*a*g)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*a^(15//4)*b^(5//4)) + ((77*b*c + 15*sqrt(a)*sqrt(b)*e - 7*a*g)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*a^(15//4)*b^(5//4)) + (5*d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(32*a^(7//2)*sqrt(b)), x, 10),
+
+
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)/(a + b*x^4)^1, (g*x)/b + (d*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*sqrt(b)) - ((b*c + sqrt(a)*sqrt(b)*e - a*g)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) + ((b*c + sqrt(a)*sqrt(b)*e - a*g)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) - ((b*c - sqrt(a)*sqrt(b)*e - a*g)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) + ((b*c - sqrt(a)*sqrt(b)*e - a*g)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) + (f*log(a + b*x^4))/(4*b), x, 17),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)/(a + b*x^4)^2, (x*(b*c - a*g + b*d*x + b*e*x^2 + b*f*x^3))/(4*a*b*(a + b*x^4)) + (d*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*sqrt(b)) - ((3*b*c + sqrt(a)*sqrt(b)*e + a*g)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)) + ((3*b*c + sqrt(a)*sqrt(b)*e + a*g)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)) - ((3*b*c - sqrt(a)*sqrt(b)*e + a*g)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)) + ((3*b*c - sqrt(a)*sqrt(b)*e + a*g)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)), x, 14),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)/(a + b*x^4)^3, (x*(b*c - a*g + b*d*x + b*e*x^2 + b*f*x^3))/(8*a*b*(a + b*x^4)^2) - (4*a*f - x*(7*b*c + a*g + 6*b*d*x + 5*b*e*x^2))/(32*a^2*b*(a + b*x^4)) + (3*d*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*sqrt(b)) - ((21*b*c + 5*sqrt(a)*sqrt(b)*e + 3*a*g)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)) + ((21*b*c + 5*sqrt(a)*sqrt(b)*e + 3*a*g)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)) - ((21*b*c - 5*sqrt(a)*sqrt(b)*e + 3*a*g)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)) + ((21*b*c - 5*sqrt(a)*sqrt(b)*e + 3*a*g)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)), x, 15),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)/(a + b*x^4)^4, (x*(b*c - a*g + b*d*x + b*e*x^2 + b*f*x^3))/(12*a*b*(a + b*x^4)^3) + (x*(7*(11*b*c + a*g) + 60*b*d*x + 45*b*e*x^2))/(384*a^3*b*(a + b*x^4)) - (8*a*f - x*(11*b*c + a*g + 10*b*d*x + 9*b*e*x^2))/(96*a^2*b*(a + b*x^4)^2) + (5*d*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(32*a^(7//2)*sqrt(b)) - ((77*b*c + 15*sqrt(a)*sqrt(b)*e + 7*a*g)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(5//4)) + ((77*b*c + 15*sqrt(a)*sqrt(b)*e + 7*a*g)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(5//4)) - ((77*b*c - 15*sqrt(a)*sqrt(b)*e + 7*a*g)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(512*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(5//4)) + ((77*b*c - 15*sqrt(a)*sqrt(b)*e + 7*a*g)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(512*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(5//4)), x, 16),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form Pq(x) (a+b x^4)^p with q>4
+# 
+
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((1 - x^4)^3/(1 + x + x^2 + x^3)^3, (-(1//4))*(1 - x)^4, x, 2),
+((1 - x^4)^2/(1 + x + x^2 + x^3)^2, (-(1//3))*(1 - x)^3, x, 2),
+((1 - x^4)^1/(1 + x + x^2 + x^3)^1, x - x^2//2, x, 2),
+((1 + x + x^2 + x^3)^1/(1 - x^4)^1, -log(1 - x), x, 2),
+((1 + x + x^2 + x^3)^2/(1 - x^4)^2, 1/(1 - x), x, 2),
+((1 + x + x^2 + x^3)^3/(1 - x^4)^3, 1/(2*(1 - x)^2), x, 2),
+((1 + x + x^2 + x^3)^4/(1 - x^4)^4, 1/(3*(1 - x)^3), x, 2),
+
+
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a - b*x^4), -((g*x)/b) - (h*x^2)/(2*b) + ((b*c - sqrt(a)*sqrt(b)*e + a*g)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)*b^(5//4)) + ((b*c + sqrt(a)*sqrt(b)*e + a*g)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)*b^(5//4)) + ((b*d + a*h)*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*b^(3//2)) - (f*log(a - b*x^4))/(4*b), x, 13),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5 + i*x^6)/(a - b*x^4), -((g*x)/b) - (h*x^2)/(2*b) - (i*x^3)/(3*b) - ((b*e - (sqrt(b)*(b*c + a*g))/sqrt(a) + a*i)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(1//4)*b^(7//4)) + ((b*e + (sqrt(b)*(b*c + a*g))/sqrt(a) + a*i)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(1//4)*b^(7//4)) + ((b*d + a*h)*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*b^(3//2)) - (f*log(a - b*x^4))/(4*b), x, 13),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5 + i*x^6 + j*x^7)/(a - b*x^4), -((g*x)/b) - (h*x^2)/(2*b) - (i*x^3)/(3*b) - (j*x^4)/(4*b) - ((b*e - (sqrt(b)*(b*c + a*g))/sqrt(a) + a*i)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(1//4)*b^(7//4)) + ((b*e + (sqrt(b)*(b*c + a*g))/sqrt(a) + a*i)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(1//4)*b^(7//4)) + ((b*d + a*h)*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*b^(3//2)) - ((b*f + a*j)*log(a - b*x^4))/(4*b^2), x, 13),
+
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^4), (g*x)/b + (h*x^2)/(2*b) + ((b*d - a*h)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*b^(3//2)) - ((b*c + sqrt(a)*sqrt(b)*e - a*g)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) + ((b*c + sqrt(a)*sqrt(b)*e - a*g)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) - ((b*c - sqrt(a)*sqrt(b)*e - a*g)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) + ((b*c - sqrt(a)*sqrt(b)*e - a*g)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) + (f*log(a + b*x^4))/(4*b), x, 19),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5 + i*x^6)/(a + b*x^4), (g*x)/b + (h*x^2)/(2*b) + (i*x^3)/(3*b) + ((b*d - a*h)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*b^(3//2)) - ((sqrt(b)*(b*c - a*g) + sqrt(a)*(b*e - a*i))*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(7//4)) + ((sqrt(b)*(b*c - a*g) + sqrt(a)*(b*e - a*i))*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(7//4)) - ((sqrt(b)*(b*c - a*g) - sqrt(a)*(b*e - a*i))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(7//4)) + ((sqrt(b)*(b*c - a*g) - sqrt(a)*(b*e - a*i))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(7//4)) + (f*log(a + b*x^4))/(4*b), x, 19),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5 + i*x^6 + j*x^7)/(a + b*x^4), (g*x)/b + (h*x^2)/(2*b) + (i*x^3)/(3*b) + (j*x^4)/(4*b) + ((b*d - a*h)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*b^(3//2)) - ((sqrt(b)*(b*c - a*g) + sqrt(a)*(b*e - a*i))*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(7//4)) + ((sqrt(b)*(b*c - a*g) + sqrt(a)*(b*e - a*i))*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(7//4)) - ((sqrt(b)*(b*c - a*g) - sqrt(a)*(b*e - a*i))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(7//4)) + ((sqrt(b)*(b*c - a*g) - sqrt(a)*(b*e - a*i))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(7//4)) + ((b*f - a*j)*log(a + b*x^4))/(4*b^2), x, 19),
+
+
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a - b*x^4)^2, (x*(b*c + a*g + (b*d + a*h)*x + b*e*x^2 + b*f*x^3))/(4*a*b*(a - b*x^4)) + ((3*b*c - sqrt(a)*sqrt(b)*e - a*g)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*a^(7//4)*b^(5//4)) + ((3*b*c + sqrt(a)*sqrt(b)*e - a*g)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*a^(7//4)*b^(5//4)) + ((b*d - a*h)*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*b^(3//2)), x, 8),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5 + i*x^6)/(a - b*x^4)^2, (x*(b*c + a*g + (b*d + a*h)*x + (b*e + a*i)*x^2 + b*f*x^3))/(4*a*b*(a - b*x^4)) - ((b*e - (sqrt(b)*(3*b*c - a*g))/sqrt(a) - 3*a*i)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*a^(5//4)*b^(7//4)) + ((b*e + (sqrt(b)*(3*b*c - a*g))/sqrt(a) - 3*a*i)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*a^(5//4)*b^(7//4)) + ((b*d - a*h)*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*b^(3//2)), x, 8),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5 + i*x^6 + j*x^7)/(a - b*x^4)^2, (x*(b*c + a*g + (b*d + a*h)*x + (b*e + a*i)*x^2 + (b*f + a*j)*x^3))/(4*a*b*(a - b*x^4)) - ((b*e - (sqrt(b)*(3*b*c - a*g))/sqrt(a) - 3*a*i)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*a^(5//4)*b^(7//4)) + ((b*e + (sqrt(b)*(3*b*c - a*g))/sqrt(a) - 3*a*i)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*a^(5//4)*b^(7//4)) + ((b*d - a*h)*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*b^(3//2)) + (j*log(a - b*x^4))/(4*b^2), x, 10),
+
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^4)^2, (x*(b*c - a*g + (b*d - a*h)*x + b*e*x^2 + b*f*x^3))/(4*a*b*(a + b*x^4)) + ((b*d + a*h)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*b^(3//2)) - ((3*b*c + sqrt(a)*sqrt(b)*e + a*g)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)) + ((3*b*c + sqrt(a)*sqrt(b)*e + a*g)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)) - ((3*b*c - sqrt(a)*sqrt(b)*e + a*g)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)) + ((3*b*c - sqrt(a)*sqrt(b)*e + a*g)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)), x, 14),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5 + i*x^6)/(a + b*x^4)^2, (x*(b*c - a*g + (b*d - a*h)*x + (b*e - a*i)*x^2 + b*f*x^3))/(4*a*b*(a + b*x^4)) + ((b*d + a*h)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*b^(3//2)) - ((sqrt(b)*(3*b*c + a*g) + sqrt(a)*(b*e + 3*a*i))*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(7//4)) + ((sqrt(b)*(3*b*c + a*g) + sqrt(a)*(b*e + 3*a*i))*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(7//4)) - ((sqrt(b)*(3*b*c + a*g) - sqrt(a)*(b*e + 3*a*i))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(7//4)) + ((sqrt(b)*(3*b*c + a*g) - sqrt(a)*(b*e + 3*a*i))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(7//4)), x, 14),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5 + i*x^6 + j*x^7)/(a + b*x^4)^2, (x*(b*c - a*g + (b*d - a*h)*x + (b*e - a*i)*x^2 + (b*f - a*j)*x^3))/(4*a*b*(a + b*x^4)) + ((b*d + a*h)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*b^(3//2)) - ((sqrt(b)*(3*b*c + a*g) + sqrt(a)*(b*e + 3*a*i))*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(7//4)) + ((sqrt(b)*(3*b*c + a*g) + sqrt(a)*(b*e + 3*a*i))*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(7//4)) - ((sqrt(b)*(3*b*c + a*g) - sqrt(a)*(b*e + 3*a*i))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(7//4)) + ((sqrt(b)*(3*b*c + a*g) - sqrt(a)*(b*e + 3*a*i))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(7//4)) + (j*log(a + b*x^4))/(4*b^2), x, 16),
+
+
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a - b*x^4)^3, (x*(b*c + a*g + (b*d + a*h)*x + b*e*x^2 + b*f*x^3))/(8*a*b*(a - b*x^4)^2) + (4*a*f + x*(7*b*c - a*g + 2*(3*b*d - a*h)*x + 5*b*e*x^2))/(32*a^2*b*(a - b*x^4)) + ((21*b*c - 5*sqrt(a)*sqrt(b)*e - 3*a*g)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*a^(11//4)*b^(5//4)) + ((21*b*c + 5*sqrt(a)*sqrt(b)*e - 3*a*g)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*a^(11//4)*b^(5//4)) + ((3*b*d - a*h)*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*b^(3//2)), x, 9),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5 + i*x^6)/(a - b*x^4)^3, (x*(b*c + a*g + (b*d + a*h)*x + (b*e + a*i)*x^2 + b*f*x^3))/(8*a*b*(a - b*x^4)^2) + (4*a*f + x*(7*b*c - a*g + 2*(3*b*d - a*h)*x + (5*b*e - 3*a*i)*x^2))/(32*a^2*b*(a - b*x^4)) - ((5*b*e - (3*sqrt(b)*(7*b*c - a*g))/sqrt(a) - 3*a*i)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*a^(9//4)*b^(7//4)) + ((5*b*e + (3*sqrt(b)*(7*b*c - a*g))/sqrt(a) - 3*a*i)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*a^(9//4)*b^(7//4)) + ((3*b*d - a*h)*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*b^(3//2)), x, 9),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5 + i*x^6 + j*x^7)/(a - b*x^4)^3, (x*(b*c + a*g + (b*d + a*h)*x + (b*e + a*i)*x^2 + (b*f + a*j)*x^3))/(8*a*b*(a - b*x^4)^2) + (4*a*(b*f - a*j) + x*(b*(7*b*c - a*g) + 2*b*(3*b*d - a*h)*x + b*(5*b*e - 3*a*i)*x^2))/(32*a^2*b^2*(a - b*x^4)) - ((5*b*e - (3*sqrt(b)*(7*b*c - a*g))/sqrt(a) - 3*a*i)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*a^(9//4)*b^(7//4)) + ((5*b*e + (3*sqrt(b)*(7*b*c - a*g))/sqrt(a) - 3*a*i)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*a^(9//4)*b^(7//4)) + ((3*b*d - a*h)*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*b^(3//2)), x, 9),
+
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^4)^3, (x*(b*c - a*g + (b*d - a*h)*x + b*e*x^2 + b*f*x^3))/(8*a*b*(a + b*x^4)^2) - (4*a*f - x*(7*b*c + a*g + 2*(3*b*d + a*h)*x + 5*b*e*x^2))/(32*a^2*b*(a + b*x^4)) + ((3*b*d + a*h)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*b^(3//2)) - ((21*b*c + 5*sqrt(a)*sqrt(b)*e + 3*a*g)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)) + ((21*b*c + 5*sqrt(a)*sqrt(b)*e + 3*a*g)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)) - ((21*b*c - 5*sqrt(a)*sqrt(b)*e + 3*a*g)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)) + ((21*b*c - 5*sqrt(a)*sqrt(b)*e + 3*a*g)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)), x, 15),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5 + i*x^6)/(a + b*x^4)^3, (x*(b*c - a*g + (b*d - a*h)*x + (b*e - a*i)*x^2 + b*f*x^3))/(8*a*b*(a + b*x^4)^2) - (4*a*f - x*(7*b*c + a*g + 2*(3*b*d + a*h)*x + (5*b*e + 3*a*i)*x^2))/(32*a^2*b*(a + b*x^4)) + ((3*b*d + a*h)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*b^(3//2)) - ((3*sqrt(b)*(7*b*c + a*g) + sqrt(a)*(5*b*e + 3*a*i))*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(7//4)) + ((3*sqrt(b)*(7*b*c + a*g) + sqrt(a)*(5*b*e + 3*a*i))*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(7//4)) - ((3*sqrt(b)*(7*b*c + a*g) - sqrt(a)*(5*b*e + 3*a*i))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(7//4)) + ((3*sqrt(b)*(7*b*c + a*g) - sqrt(a)*(5*b*e + 3*a*i))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(7//4)), x, 15),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5 + i*x^6 + j*x^7)/(a + b*x^4)^3, (x*(b*c - a*g + (b*d - a*h)*x + (b*e - a*i)*x^2 + (b*f - a*j)*x^3))/(8*a*b*(a + b*x^4)^2) - (4*a*(b*f + a*j) - x*(b*(7*b*c + a*g) + 2*b*(3*b*d + a*h)*x + b*(5*b*e + 3*a*i)*x^2))/(32*a^2*b^2*(a + b*x^4)) + ((3*b*d + a*h)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*b^(3//2)) - ((3*sqrt(b)*(7*b*c + a*g) + sqrt(a)*(5*b*e + 3*a*i))*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(7//4)) + ((3*sqrt(b)*(7*b*c + a*g) + sqrt(a)*(5*b*e + 3*a*i))*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(7//4)) - ((3*sqrt(b)*(7*b*c + a*g) - sqrt(a)*(5*b*e + 3*a*i))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(7//4)) + ((3*sqrt(b)*(7*b*c + a*g) - sqrt(a)*(5*b*e + 3*a*i))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(7//4)), x, 15),
+
+
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a - b*x^4)^4, (x*(b*c + a*g + (b*d + a*h)*x + b*e*x^2 + b*f*x^3))/(12*a*b*(a - b*x^4)^3) + (x*(7*(11*b*c - a*g) + 12*(5*b*d - a*h)*x + 45*b*e*x^2))/(384*a^3*b*(a - b*x^4)) + (8*a*f + x*(11*b*c - a*g + 2*(5*b*d - a*h)*x + 9*b*e*x^2))/(96*a^2*b*(a - b*x^4)^2) + ((77*b*c - 15*sqrt(a)*sqrt(b)*e - 7*a*g)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*a^(15//4)*b^(5//4)) + ((77*b*c + 15*sqrt(a)*sqrt(b)*e - 7*a*g)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*a^(15//4)*b^(5//4)) + ((5*b*d - a*h)*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(32*a^(7//2)*b^(3//2)), x, 10),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5 + i*x^6)/(a - b*x^4)^4, (x*(b*c + a*g + (b*d + a*h)*x + (b*e + a*i)*x^2 + b*f*x^3))/(12*a*b*(a - b*x^4)^3) + (x*(7*(11*b*c - a*g) + 12*(5*b*d - a*h)*x + 15*(3*b*e - a*i)*x^2))/(384*a^3*b*(a - b*x^4)) + (8*a*f + x*(11*b*c - a*g + 2*(5*b*d - a*h)*x + 3*(3*b*e - a*i)*x^2))/(96*a^2*b*(a - b*x^4)^2) + (((7*sqrt(b)*(11*b*c - a*g))/sqrt(a) - 5*(3*b*e - a*i))*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*a^(13//4)*b^(7//4)) + ((15*b*e + (7*sqrt(b)*(11*b*c - a*g))/sqrt(a) - 5*a*i)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*a^(13//4)*b^(7//4)) + ((5*b*d - a*h)*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(32*a^(7//2)*b^(3//2)), x, 10),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5 + i*x^6 + j*x^7)/(a - b*x^4)^4, (x*(b*c + a*g + (b*d + a*h)*x + (b*e + a*i)*x^2 + (b*f + a*j)*x^3))/(12*a*b*(a - b*x^4)^3) + (x*(7*(11*b*c - a*g) + 12*(5*b*d - a*h)*x + 15*(3*b*e - a*i)*x^2))/(384*a^3*b*(a - b*x^4)) + (4*a*(2*b*f - a*j) + x*(b*(11*b*c - a*g) + 2*b*(5*b*d - a*h)*x + 3*b*(3*b*e - a*i)*x^2))/(96*a^2*b^2*(a - b*x^4)^2) + (((7*sqrt(b)*(11*b*c - a*g))/sqrt(a) - 5*(3*b*e - a*i))*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*a^(13//4)*b^(7//4)) + ((15*b*e + (7*sqrt(b)*(11*b*c - a*g))/sqrt(a) - 5*a*i)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*a^(13//4)*b^(7//4)) + ((5*b*d - a*h)*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(32*a^(7//2)*b^(3//2)), x, 10),
+
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^4)^4, (x*(b*c - a*g + (b*d - a*h)*x + b*e*x^2 + b*f*x^3))/(12*a*b*(a + b*x^4)^3) + (x*(7*(11*b*c + a*g) + 12*(5*b*d + a*h)*x + 45*b*e*x^2))/(384*a^3*b*(a + b*x^4)) - (8*a*f - x*(11*b*c + a*g + 2*(5*b*d + a*h)*x + 9*b*e*x^2))/(96*a^2*b*(a + b*x^4)^2) + ((5*b*d + a*h)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(32*a^(7//2)*b^(3//2)) - ((77*b*c + 15*sqrt(a)*sqrt(b)*e + 7*a*g)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(5//4)) + ((77*b*c + 15*sqrt(a)*sqrt(b)*e + 7*a*g)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(5//4)) - ((77*b*c - 15*sqrt(a)*sqrt(b)*e + 7*a*g)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(512*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(5//4)) + ((77*b*c - 15*sqrt(a)*sqrt(b)*e + 7*a*g)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(512*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(5//4)), x, 16),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5 + i*x^6)/(a + b*x^4)^4, (x*(b*c - a*g + (b*d - a*h)*x + (b*e - a*i)*x^2 + b*f*x^3))/(12*a*b*(a + b*x^4)^3) + (x*(7*(11*b*c + a*g) + 12*(5*b*d + a*h)*x + 15*(3*b*e + a*i)*x^2))/(384*a^3*b*(a + b*x^4)) - (8*a*f - x*(11*b*c + a*g + 2*(5*b*d + a*h)*x + 3*(3*b*e + a*i)*x^2))/(96*a^2*b*(a + b*x^4)^2) + ((5*b*d + a*h)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(32*a^(7//2)*b^(3//2)) - ((7*sqrt(b)*(11*b*c + a*g) + 5*sqrt(a)*(3*b*e + a*i))*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(7//4)) + ((7*sqrt(b)*(11*b*c + a*g) + 5*sqrt(a)*(3*b*e + a*i))*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(7//4)) - ((7*sqrt(b)*(11*b*c + a*g) - 5*sqrt(a)*(3*b*e + a*i))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(512*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(7//4)) + ((7*sqrt(b)*(11*b*c + a*g) - 5*sqrt(a)*(3*b*e + a*i))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(512*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(7//4)), x, 16),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5 + i*x^6 + j*x^7)/(a + b*x^4)^4, (x*(b*c - a*g + (b*d - a*h)*x + (b*e - a*i)*x^2 + (b*f - a*j)*x^3))/(12*a*b*(a + b*x^4)^3) + (x*(7*(11*b*c + a*g) + 12*(5*b*d + a*h)*x + 15*(3*b*e + a*i)*x^2))/(384*a^3*b*(a + b*x^4)) - (4*a*(2*b*f + a*j) - x*(b*(11*b*c + a*g) + 2*b*(5*b*d + a*h)*x + 3*b*(3*b*e + a*i)*x^2))/(96*a^2*b^2*(a + b*x^4)^2) + ((5*b*d + a*h)*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(32*a^(7//2)*b^(3//2)) - ((7*sqrt(b)*(11*b*c + a*g) + 5*sqrt(a)*(3*b*e + a*i))*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(7//4)) + ((7*sqrt(b)*(11*b*c + a*g) + 5*sqrt(a)*(3*b*e + a*i))*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(7//4)) - ((7*sqrt(b)*(11*b*c + a*g) - 5*sqrt(a)*(3*b*e + a*i))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(512*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(7//4)) + ((7*sqrt(b)*(11*b*c + a*g) - 5*sqrt(a)*(3*b*e + a*i))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(512*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(7//4)), x, 16),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P1(x) (a+b x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((c + d*x)/sqrt(a + b*x^4), (d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(2*sqrt(b)) + (c*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 6),
+((c + d*x)/sqrt(a - b*x^4), (d*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a - b*x^4)))/(2*sqrt(b)) + (a^(1//4)*c*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(b^(1//4)*sqrt(a - b*x^4)), x, 7),
+((c + d*x)/sqrt(-a + b*x^4), (d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(-a + b*x^4)))/(2*sqrt(b)) + (a^(1//4)*c*sqrt(1 - (b*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(b^(1//4)*sqrt(-a + b*x^4)), x, 7),
+((c + d*x)/sqrt(-a - b*x^4), (d*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(-a - b*x^4)))/(2*sqrt(b)) + (c*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(-a - b*x^4)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P2(x) (a+b x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((c + d*x + e*x^2)/sqrt(a + b*x^4), (e*x*sqrt(a + b*x^4))/(sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(2*sqrt(b)) - (a^(1//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (a^(1//4)*((sqrt(b)*c)/sqrt(a) + e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P4(x) (a+b x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((a*g - b*g*x^4)/(a + b*x^4)^(3//2), (g*x)/sqrt(a + b*x^4), x, 1),
+((a*g + e*x - b*g*x^4)/(a + b*x^4)^(3//2), (2*a*g*x + e*x^2)/(2*a*sqrt(a + b*x^4)), x, 1),
+((a*g + f*x^3 - b*g*x^4)/(a + b*x^4)^(3//2), -((f - 2*b*g*x)/(2*b*sqrt(a + b*x^4))), x, 1),
+((a*g + e*x + f*x^3 - b*g*x^4)/(a + b*x^4)^(3//2), -((a*f - 2*a*b*g*x - b*e*x^2)/(2*a*b*sqrt(a + b*x^4))), x, 1),
+
+
+((-1 + x^4)/(1 + x^4)^(3//2), -(x/sqrt(1 + x^4)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P4(x) (a+b x^4)^(p/2) with q>4
+
+
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5 + i*x^6)/sqrt(a + b*x^4), (f*sqrt(a + b*x^4))/(2*b) + (g*x*sqrt(a + b*x^4))/(3*b) + (h*x^2*sqrt(a + b*x^4))/(4*b) + (i*x^3*sqrt(a + b*x^4))/(5*b) + ((5*b*e - 3*a*i)*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + ((2*b*d - a*h)*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(4*b^(3//2)) - (a^(1//4)*(5*b*e - 3*a*i)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (a^(1//4)*(15*b*e + (5*sqrt(b)*(3*b*c - a*g))/sqrt(a) - 9*a*i)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(30*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 12),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form Pq(x) (a+b x^5)^p
+
+
+((1 + x)/(1 + x^5), (-(1//5))*(-1)^(1//5)*(1 + (-1)^(1//5))*log((-1)^(1//5) - x) + (1//5)*(-1)^(4//5)*(1 - (-1)^(4//5))*log(-(-1)^(4//5) - x) + (1//5)*(-1)^(2//5)*(1 - (-1)^(2//5))*log((-1)^(2//5) + x) - (1//5)*(-1)^(3//5)*(1 + (-1)^(3//5))*log(-(-1)^(3//5) + x), x, 3),
+((1 - x)/(1 - x^5), (-(1//5))*(-1)^(2//5)*(1 - (-1)^(2//5))*log((-1)^(2//5) - x) + (1//5)*(-1)^(3//5)*(1 + (-1)^(3//5))*log(-(-1)^(3//5) - x) + (1//5)*(-1)^(1//5)*(1 + (-1)^(1//5))*log((-1)^(1//5) + x) - (1//5)*(-1)^(4//5)*(1 - (-1)^(4//5))*log(-(-1)^(4//5) + x), x, 3),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m Pq(x) (a+b x^n)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m Pq(x) (a+b x^3)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m Pq(x^3) (a+b x^3)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^11*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3), (a^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^3)/(3*b^6) - (a*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^6)/(6*b^5) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^9)/(9*b^4) + ((b^2*d - a*b*e + a^2*f)*x^12)/(12*b^3) + ((b*e - a*f)*x^15)/(15*b^2) + (f*x^18)/(18*b) - (a^3*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*b^7), x, 3),
+(x^8*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3), -((a*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^3)/(3*b^5)) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^6)/(6*b^4) + ((b^2*d - a*b*e + a^2*f)*x^9)/(9*b^3) + ((b*e - a*f)*x^12)/(12*b^2) + (f*x^15)/(15*b) + (a^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*b^6), x, 3),
+(x^5*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3), ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^3)/(3*b^4) + ((b^2*d - a*b*e + a^2*f)*x^6)/(6*b^3) + ((b*e - a*f)*x^9)/(9*b^2) + (f*x^12)/(12*b) - (a*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*b^5), x, 3),
+(x^2*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3), ((b^2*d - a*b*e + a^2*f)*x^3)/(3*b^3) + ((b*e - a*f)*x^6)/(6*b^2) + (f*x^9)/(9*b) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*b^4), x, 3),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^1*(a + b*x^3)), ((b*e - a*f)*x^3)/(3*b^2) + (f*x^6)/(6*b) + (c*log(x))/a - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*a*b^3), x, 3),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^4*(a + b*x^3)), -(c/(3*a*x^3)) + (f*x^3)/(3*b) - ((b*c - a*d)*log(x))/a^2 + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*a^2*b^2), x, 3),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^7*(a + b*x^3)), -(c/(6*a*x^6)) + (b*c - a*d)/(3*a^2*x^3) + ((b^2*c - a*b*d + a^2*e)*log(x))/a^3 - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*a^3*b), x, 3),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^10*(a + b*x^3)), -(c/(9*a*x^9)) + (b*c - a*d)/(6*a^2*x^6) - (b^2*c - a*b*d + a^2*e)/(3*a^3*x^3) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(x))/a^4 + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*a^4), x, 3),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^13*(a + b*x^3)), -(c/(12*a*x^12)) + (b*c - a*d)/(9*a^2*x^9) - (b^2*c - a*b*d + a^2*e)/(6*a^3*x^6) + (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(3*a^4*x^3) + (b*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(x))/a^5 - (b*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*a^5), x, 3),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^16*(a + b*x^3)), -(c/(15*a*x^15)) + (b*c - a*d)/(12*a^2*x^12) - (b^2*c - a*b*d + a^2*e)/(9*a^3*x^9) + (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(6*a^4*x^6) - (b*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f))/(3*a^5*x^3) - (b^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(x))/a^6 + (b^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*a^6), x, 3),
+
+(x^9*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3), (a^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/b^6 - (a*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^4)/(4*b^5) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^7)/(7*b^4) + ((b^2*d - a*b*e + a^2*f)*x^10)/(10*b^3) + ((b*e - a*f)*x^13)/(13*b^2) + (f*x^16)/(16*b) + (a^(7//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(19//3)) - (a^(7//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(19//3)) + (a^(7//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(19//3)), x, 9),
+(x^7*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3), -((a*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(2*b^5)) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^5)/(5*b^4) + ((b^2*d - a*b*e + a^2*f)*x^8)/(8*b^3) + ((b*e - a*f)*x^11)/(11*b^2) + (f*x^14)/(14*b) - (a^(5//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(17//3)) - (a^(5//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(17//3)) + (a^(5//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(17//3)), x, 9),
+(x^6*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3), -((a*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/b^5) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^4)/(4*b^4) + ((b^2*d - a*b*e + a^2*f)*x^7)/(7*b^3) + ((b*e - a*f)*x^10)/(10*b^2) + (f*x^13)/(13*b) - (a^(4//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(16//3)) + (a^(4//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(16//3)) - (a^(4//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(16//3)), x, 9),
+(x^4*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3), ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(2*b^4) + ((b^2*d - a*b*e + a^2*f)*x^5)/(5*b^3) + ((b*e - a*f)*x^8)/(8*b^2) + (f*x^11)/(11*b) + (a^(2//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(14//3)) + (a^(2//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(14//3)) - (a^(2//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(14//3)), x, 9),
+(x^3*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3), ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/b^4 + ((b^2*d - a*b*e + a^2*f)*x^4)/(4*b^3) + ((b*e - a*f)*x^7)/(7*b^2) + (f*x^10)/(10*b) + (a^(1//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(13//3)) - (a^(1//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(13//3)) + (a^(1//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(13//3)), x, 9),
+(x^1*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3), ((b^2*d - a*b*e + a^2*f)*x^2)/(2*b^3) + ((b*e - a*f)*x^5)/(5*b^2) + (f*x^8)/(8*b) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(1//3)*b^(11//3)) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(1//3)*b^(11//3)) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(1//3)*b^(11//3)), x, 9),
+(x^0*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3), ((b^2*d - a*b*e + a^2*f)*x)/b^3 + ((b*e - a*f)*x^4)/(4*b^2) + (f*x^7)/(7*b) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(10//3)) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(2//3)*b^(10//3)) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(2//3)*b^(10//3)), x, 8),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^2*(a + b*x^3)), -(c/(a*x)) + ((b*e - a*f)*x^2)/(2*b^2) + (f*x^5)/(5*b) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(4//3)*b^(8//3)) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(4//3)*b^(8//3)) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(4//3)*b^(8//3)), x, 8),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^3*(a + b*x^3)), -c/(2*a*x^2) + ((b*e - a*f)*x)/b^2 + (f*x^4)/(4*b) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(5//3)*b^(7//3)) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(5//3)*b^(7//3)) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(5//3)*b^(7//3)), x, 8),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^5*(a + b*x^3)), -(c/(4*a*x^4)) + (b*c - a*d)/(a^2*x) + (f*x^2)/(2*b) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(7//3)*b^(5//3)) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(7//3)*b^(5//3)) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(7//3)*b^(5//3)), x, 8),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^6*(a + b*x^3)), -(c/(5*a*x^5)) + (b*c - a*d)/(2*a^2*x^2) + (f*x)/b - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(8//3)*b^(4//3)) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(8//3)*b^(4//3)) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(8//3)*b^(4//3)), x, 8),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^8*(a + b*x^3)), -(c/(7*a*x^7)) + (b*c - a*d)/(4*a^2*x^4) - (b^2*c - a*b*d + a^2*e)/(a^3*x) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(10//3)*b^(2//3)) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(10//3)*b^(2//3)) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(10//3)*b^(2//3)), x, 8),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^9*(a + b*x^3)), -c/(8*a*x^8) + (b*c - a*d)/(5*a^2*x^5) - (b^2*c - a*b*d + a^2*e)/(2*a^3*x^2) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(11//3)*b^(1//3)) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(11//3)*b^(1//3)) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(11//3)*b^(1//3)), x, 8),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^11*(a + b*x^3)), -(c/(10*a*x^10)) + (b*c - a*d)/(7*a^2*x^7) - (b^2*c - a*b*d + a^2*e)/(4*a^3*x^4) + (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(a^4*x) - (b^(1//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(13//3)) - (b^(1//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(13//3)) + (b^(1//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(13//3)), x, 8),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^12*(a + b*x^3)), -c/(11*a*x^11) + (b*c - a*d)/(8*a^2*x^8) - (b^2*c - a*b*d + a^2*e)/(5*a^3*x^5) + (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(2*a^4*x^2) - (b^(2//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(14//3)) + (b^(2//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(14//3)) - (b^(2//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(14//3)), x, 8),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^14*(a + b*x^3)), -(c/(13*a*x^13)) + (b*c - a*d)/(10*a^2*x^10) - (b^2*c - a*b*d + a^2*e)/(7*a^3*x^7) + (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(4*a^4*x^4) - (b*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f))/(a^5*x) + (b^(4//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(16//3)) + (b^(4//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(16//3)) - (b^(4//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(16//3)), x, 8),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^15*(a + b*x^3)), -c/(14*a*x^14) + (b*c - a*d)/(11*a^2*x^11) - (b^2*c - a*b*d + a^2*e)/(8*a^3*x^8) + (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(5*a^4*x^5) - (b*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f))/(2*a^5*x^2) + (b^(5//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(17//3)) - (b^(5//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(17//3)) + (b^(5//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(17//3)), x, 8),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^17*(a + b*x^3)), -(c/(16*a*x^16)) + (b*c - a*d)/(13*a^2*x^13) - (b^2*c - a*b*d + a^2*e)/(10*a^3*x^10) + (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(7*a^4*x^7) - (b*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f))/(4*a^5*x^4) + (b^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f))/(a^6*x) - (b^(7//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(19//3)) - (b^(7//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(19//3)) + (b^(7//3)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(19//3)), x, 8),
+
+
+(x^11*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^2, -((a*(2*b^3*c - 3*a*b^2*d + 4*a^2*b*e - 5*a^3*f)*x^3)/(3*b^6)) + ((b^3*c - 2*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - 4*a^3*f)*x^6)/(6*b^5) + ((b^2*d - 2*a*b*e + 3*a^2*f)*x^9)/(9*b^4) + ((b*e - 2*a*f)*x^12)/(12*b^3) + (f*x^15)/(15*b^2) + (a^3*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f))/(3*b^7*(a + b*x^3)) + (a^2*(3*b^3*c - 4*a*b^2*d + 5*a^2*b*e - 6*a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*b^7), x, 3),
+(x^8*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^2, ((b^3*c - 2*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - 4*a^3*f)*x^3)/(3*b^5) + ((b^2*d - 2*a*b*e + 3*a^2*f)*x^6)/(6*b^4) + ((b*e - 2*a*f)*x^9)/(9*b^3) + (f*x^12)/(12*b^2) - (a^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f))/(3*b^6*(a + b*x^3)) - (a*(2*b^3*c - 3*a*b^2*d + 4*a^2*b*e - 5*a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*b^6), x, 3),
+(x^5*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^2, ((b^2*d - 2*a*b*e + 3*a^2*f)*x^3)/(3*b^4) + ((b*e - 2*a*f)*x^6)/(6*b^3) + (f*x^9)/(9*b^2) + (a*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f))/(3*b^5*(a + b*x^3)) + ((b^3*c - 2*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - 4*a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*b^5), x, 3),
+(x^2*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^2, ((b*e - 2*a*f)*x^3)/(3*b^3) + (f*x^6)/(6*b^2) - (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(3*b^4*(a + b*x^3)) + ((b^2*d - 2*a*b*e + 3*a^2*f)*log(a + b*x^3))/(3*b^4), x, 3),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^1*(a + b*x^3)^2), (f*x^3)/(3*b^2) + (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(3*a*b^3*(a + b*x^3)) + (c*log(x))/a^2 - ((b^3*c - a^2*b*e + 2*a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*a^2*b^3), x, 3),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^4*(a + b*x^3)^2), -(c/(3*a^2*x^3)) - (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(3*a^2*b^2*(a + b*x^3)) - ((2*b*c - a*d)*log(x))/a^3 + ((2*b^3*c - a*b^2*d + a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*a^3*b^2), x, 3),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^7*(a + b*x^3)^2), -(c/(6*a^2*x^6)) + (2*b*c - a*d)/(3*a^3*x^3) + (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(3*a^3*b*(a + b*x^3)) + ((3*b^2*c - 2*a*b*d + a^2*e)*log(x))/a^4 - ((3*b^2*c - 2*a*b*d + a^2*e)*log(a + b*x^3))/(3*a^4), x, 3),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^10*(a + b*x^3)^2), -(c/(9*a^2*x^9)) + (2*b*c - a*d)/(6*a^3*x^6) - (3*b^2*c - 2*a*b*d + a^2*e)/(3*a^4*x^3) - (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(3*a^4*(a + b*x^3)) - ((4*b^3*c - 3*a*b^2*d + 2*a^2*b*e - a^3*f)*log(x))/a^5 + ((4*b^3*c - 3*a*b^2*d + 2*a^2*b*e - a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*a^5), x, 3),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^13*(a + b*x^3)^2), -(c/(12*a^2*x^12)) + (2*b*c - a*d)/(9*a^3*x^9) - (3*b^2*c - 2*a*b*d + a^2*e)/(6*a^4*x^6) + (4*b^3*c - 3*a*b^2*d + 2*a^2*b*e - a^3*f)/(3*a^5*x^3) + (b*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f))/(3*a^5*(a + b*x^3)) + (b*(5*b^3*c - 4*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - 2*a^3*f)*log(x))/a^6 - (b*(5*b^3*c - 4*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - 2*a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*a^6), x, 3),
+
+(x^9*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^2, -((a*(2*b^3*c - 3*a*b^2*d + 4*a^2*b*e - 5*a^3*f)*x)/b^6) + ((b^3*c - 2*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - 4*a^3*f)*x^4)/(4*b^5) + ((b^2*d - 2*a*b*e + 3*a^2*f)*x^7)/(7*b^4) + ((b*e - 2*a*f)*x^10)/(10*b^3) + (f*x^13)/(13*b^2) - (a^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(3*b^6*(a + b*x^3)) - (a^(4//3)*(7*b^3*c - 10*a*b^2*d + 13*a^2*b*e - 16*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*b^(19//3)) + (a^(4//3)*(7*b^3*c - 10*a*b^2*d + 13*a^2*b*e - 16*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*b^(19//3)) - (a^(4//3)*(7*b^3*c - 10*a*b^2*d + 13*a^2*b*e - 16*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*b^(19//3)), x, 9),
+(x^7*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^2, ((b^3*c - 2*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - 4*a^3*f)*x^2)/(2*b^5) + ((b^2*d - 2*a*b*e + 3*a^2*f)*x^5)/(5*b^4) + ((b*e - 2*a*f)*x^8)/(8*b^3) + (f*x^11)/(11*b^2) + (a*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(3*b^5*(a + b*x^3)) + (a^(2//3)*(5*b^3*c - 8*a*b^2*d + 11*a^2*b*e - 14*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*b^(17//3)) + (a^(2//3)*(5*b^3*c - 8*a*b^2*d + 11*a^2*b*e - 14*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*b^(17//3)) - (a^(2//3)*(5*b^3*c - 8*a*b^2*d + 11*a^2*b*e - 14*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*b^(17//3)), x, 12),
+(x^6*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^2, ((b^3*c - 2*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - 4*a^3*f)*x)/b^5 + ((b^2*d - 2*a*b*e + 3*a^2*f)*x^4)/(4*b^4) + ((b*e - 2*a*f)*x^7)/(7*b^3) + (f*x^10)/(10*b^2) + (a*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(3*b^5*(a + b*x^3)) + (a^(1//3)*(4*b^3*c - 7*a*b^2*d + 10*a^2*b*e - 13*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*b^(16//3)) - (a^(1//3)*(4*b^3*c - 7*a*b^2*d + 10*a^2*b*e - 13*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*b^(16//3)) + (a^(1//3)*(4*b^3*c - 7*a*b^2*d + 10*a^2*b*e - 13*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*b^(16//3)), x, 9),
+(x^4*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^2, ((b^2*d - 2*a*b*e + 3*a^2*f)*x^2)/(2*b^4) + ((b*e - 2*a*f)*x^5)/(5*b^3) + (f*x^8)/(8*b^2) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(3*b^4*(a + b*x^3)) - ((2*b^3*c - 5*a*b^2*d + 8*a^2*b*e - 11*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(1//3)*b^(14//3)) - ((2*b^3*c - 5*a*b^2*d + 8*a^2*b*e - 11*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(1//3)*b^(14//3)) + ((2*b^3*c - 5*a*b^2*d + 8*a^2*b*e - 11*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(1//3)*b^(14//3)), x, 11),
+(x^3*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^2, ((b^2*d - 2*a*b*e + 3*a^2*f)*x)/b^4 + ((b*e - 2*a*f)*x^4)/(4*b^3) + (f*x^7)/(7*b^2) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(3*b^4*(a + b*x^3)) - ((b^3*c - 4*a*b^2*d + 7*a^2*b*e - 10*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(2//3)*b^(13//3)) + ((b^3*c - 4*a*b^2*d + 7*a^2*b*e - 10*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(2//3)*b^(13//3)) - ((b^3*c - 4*a*b^2*d + 7*a^2*b*e - 10*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(2//3)*b^(13//3)), x, 9),
+(x^1*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^2, ((b*e - 2*a*f)*x^2)/(2*b^3) + (f*x^5)/(5*b^2) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(3*a*b^3*(a + b*x^3)) - ((b^3*c + 2*a*b^2*d - 5*a^2*b*e + 8*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(11//3)) - ((b^3*c + 2*a*b^2*d - 5*a^2*b*e + 8*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(4//3)*b^(11//3)) + ((b^3*c + 2*a*b^2*d - 5*a^2*b*e + 8*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(4//3)*b^(11//3)), x, 10),
+(x^0*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^2, ((b*e - 2*a*f)*x)/b^3 + (f*x^4)/(4*b^2) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(3*a*b^3*(a + b*x^3)) - ((2*b^3*c + a*b^2*d - 4*a^2*b*e + 7*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(10//3)) + ((2*b^3*c + a*b^2*d - 4*a^2*b*e + 7*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(5//3)*b^(10//3)) - ((2*b^3*c + a*b^2*d - 4*a^2*b*e + 7*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(5//3)*b^(10//3)), x, 9),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^2*(a + b*x^3)^2), -(c/(a^2*x)) + (f*x^2)/(2*b^2) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(3*a^2*b^2*(a + b*x^3)) + ((4*b^3*c - a*b^2*d - 2*a^2*b*e + 5*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(7//3)*b^(8//3)) + ((4*b^3*c - a*b^2*d - 2*a^2*b*e + 5*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(7//3)*b^(8//3)) - ((4*b^3*c - a*b^2*d - 2*a^2*b*e + 5*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(7//3)*b^(8//3)), x, 9),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^3*(a + b*x^3)^2), -c/(2*a^2*x^2) + (f*x)/b^2 - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(3*a^2*b^2*(a + b*x^3)) + ((5*b^3*c - 2*a*b^2*d - a^2*b*e + 4*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(8//3)*b^(7//3)) - ((5*b^3*c - 2*a*b^2*d - a^2*b*e + 4*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(8//3)*b^(7//3)) + ((5*b^3*c - 2*a*b^2*d - a^2*b*e + 4*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(8//3)*b^(7//3)), x, 9),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^5*(a + b*x^3)^2), -(c/(4*a^2*x^4)) + (2*b*c - a*d)/(a^3*x) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(3*a^3*b*(a + b*x^3)) - ((7*b^3*c - 4*a*b^2*d + a^2*b*e + 2*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(10//3)*b^(5//3)) - ((7*b^3*c - 4*a*b^2*d + a^2*b*e + 2*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(10//3)*b^(5//3)) + ((7*b^3*c - 4*a*b^2*d + a^2*b*e + 2*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(10//3)*b^(5//3)), x, 9),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^6*(a + b*x^3)^2), -c/(5*a^2*x^5) + (2*b*c - a*d)/(2*a^3*x^2) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(3*a^3*b*(a + b*x^3)) - ((8*b^3*c - 5*a*b^2*d + 2*a^2*b*e + a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(11//3)*b^(4//3)) + ((8*b^3*c - 5*a*b^2*d + 2*a^2*b*e + a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(11//3)*b^(4//3)) - ((8*b^3*c - 5*a*b^2*d + 2*a^2*b*e + a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(11//3)*b^(4//3)), x, 9),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^8*(a + b*x^3)^2), -(c/(7*a^2*x^7)) + (2*b*c - a*d)/(4*a^3*x^4) - (3*b^2*c - 2*a*b*d + a^2*e)/(a^4*x) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(3*a^4*(a + b*x^3)) + ((10*b^3*c - 7*a*b^2*d + 4*a^2*b*e - a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(13//3)*b^(2//3)) + ((10*b^3*c - 7*a*b^2*d + 4*a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(13//3)*b^(2//3)) - ((10*b^3*c - 7*a*b^2*d + 4*a^2*b*e - a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(13//3)*b^(2//3)), x, 9),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^9*(a + b*x^3)^2), -c/(8*a^2*x^8) + (2*b*c - a*d)/(5*a^3*x^5) - (3*b^2*c - 2*a*b*d + a^2*e)/(2*a^4*x^2) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(3*a^4*(a + b*x^3)) + ((11*b^3*c - 8*a*b^2*d + 5*a^2*b*e - 2*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(14//3)*b^(1//3)) - ((11*b^3*c - 8*a*b^2*d + 5*a^2*b*e - 2*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(14//3)*b^(1//3)) + ((11*b^3*c - 8*a*b^2*d + 5*a^2*b*e - 2*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(14//3)*b^(1//3)), x, 9),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^11*(a + b*x^3)^2), -(c/(10*a^2*x^10)) + (2*b*c - a*d)/(7*a^3*x^7) - (3*b^2*c - 2*a*b*d + a^2*e)/(4*a^4*x^4) + (4*b^3*c - 3*a*b^2*d + 2*a^2*b*e - a^3*f)/(a^5*x) + (b*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(3*a^5*(a + b*x^3)) - (b^(1//3)*(13*b^3*c - 10*a*b^2*d + 7*a^2*b*e - 4*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(16//3)) - (b^(1//3)*(13*b^3*c - 10*a*b^2*d + 7*a^2*b*e - 4*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(16//3)) + (b^(1//3)*(13*b^3*c - 10*a*b^2*d + 7*a^2*b*e - 4*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(16//3)), x, 9),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^12*(a + b*x^3)^2), -c/(11*a^2*x^11) + (2*b*c - a*d)/(8*a^3*x^8) - (3*b^2*c - 2*a*b*d + a^2*e)/(5*a^4*x^5) + (4*b^3*c - 3*a*b^2*d + 2*a^2*b*e - a^3*f)/(2*a^5*x^2) + (b*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(3*a^5*(a + b*x^3)) - (b^(2//3)*(14*b^3*c - 11*a*b^2*d + 8*a^2*b*e - 5*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(17//3)) + (b^(2//3)*(14*b^3*c - 11*a*b^2*d + 8*a^2*b*e - 5*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(17//3)) - (b^(2//3)*(14*b^3*c - 11*a*b^2*d + 8*a^2*b*e - 5*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(17//3)), x, 9),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^14*(a + b*x^3)^2), -(c/(13*a^2*x^13)) + (2*b*c - a*d)/(10*a^3*x^10) - (3*b^2*c - 2*a*b*d + a^2*e)/(7*a^4*x^7) + (4*b^3*c - 3*a*b^2*d + 2*a^2*b*e - a^3*f)/(4*a^5*x^4) - (b*(5*b^3*c - 4*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - 2*a^3*f))/(a^6*x) - (b^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(3*a^6*(a + b*x^3)) + (b^(4//3)*(16*b^3*c - 13*a*b^2*d + 10*a^2*b*e - 7*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(19//3)) + (b^(4//3)*(16*b^3*c - 13*a*b^2*d + 10*a^2*b*e - 7*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(19//3)) - (b^(4//3)*(16*b^3*c - 13*a*b^2*d + 10*a^2*b*e - 7*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(19//3)), x, 9),
+
+
+(x^14*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^3, -((a*(3*b^3*c - 6*a*b^2*d + 10*a^2*b*e - 15*a^3*f)*x^3)/(3*b^7)) + ((b^3*c - 3*a*b^2*d + 6*a^2*b*e - 10*a^3*f)*x^6)/(6*b^6) + ((b^2*d - 3*a*b*e + 6*a^2*f)*x^9)/(9*b^5) + ((b*e - 3*a*f)*x^12)/(12*b^4) + (f*x^15)/(15*b^3) - (a^4*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f))/(6*b^8*(a + b*x^3)^2) + (a^3*(4*b^3*c - 5*a*b^2*d + 6*a^2*b*e - 7*a^3*f))/(3*b^8*(a + b*x^3)) + (a^2*(6*b^3*c - 10*a*b^2*d + 15*a^2*b*e - 21*a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*b^8), x, 3),
+(x^11*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^3, ((b^3*c - 3*a*b^2*d + 6*a^2*b*e - 10*a^3*f)*x^3)/(3*b^6) + ((b^2*d - 3*a*b*e + 6*a^2*f)*x^6)/(6*b^5) + ((b*e - 3*a*f)*x^9)/(9*b^4) + (f*x^12)/(12*b^3) + (a^3*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f))/(6*b^7*(a + b*x^3)^2) - (a^2*(3*b^3*c - 4*a*b^2*d + 5*a^2*b*e - 6*a^3*f))/(3*b^7*(a + b*x^3)) - (a*(3*b^3*c - 6*a*b^2*d + 10*a^2*b*e - 15*a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*b^7), x, 3),
+(x^8*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^3, ((b^2*d - 3*a*b*e + 6*a^2*f)*x^3)/(3*b^5) + ((b*e - 3*a*f)*x^6)/(6*b^4) + (f*x^9)/(9*b^3) - (a^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f))/(6*b^6*(a + b*x^3)^2) + (a*(2*b^3*c - 3*a*b^2*d + 4*a^2*b*e - 5*a^3*f))/(3*b^6*(a + b*x^3)) + ((b^3*c - 3*a*b^2*d + 6*a^2*b*e - 10*a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*b^6), x, 3),
+(x^5*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^3, ((b*e - 3*a*f)*x^3)/(3*b^4) + (f*x^6)/(6*b^3) + (a*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f))/(6*b^5*(a + b*x^3)^2) - (b^3*c - 2*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - 4*a^3*f)/(3*b^5*(a + b*x^3)) + ((b^2*d - 3*a*b*e + 6*a^2*f)*log(a + b*x^3))/(3*b^5), x, 3),
+(x^2*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^3, (f*x^3)/(3*b^3) - (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(6*b^4*(a + b*x^3)^2) - (b^2*d - 2*a*b*e + 3*a^2*f)/(3*b^4*(a + b*x^3)) + ((b*e - 3*a*f)*log(a + b*x^3))/(3*b^4), x, 3),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^1*(a + b*x^3)^3), (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(6*a*b^3*(a + b*x^3)^2) + (b^3*c - a^2*b*e + 2*a^3*f)/(3*a^2*b^3*(a + b*x^3)) + (c*log(x))/a^3 - (1//3)*(c/a^3 - f/b^3)*log(a + b*x^3), x, 3),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^4*(a + b*x^3)^3), -(c/(3*a^3*x^3)) - (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(6*a^2*b^2*(a + b*x^3)^2) - (2*b^3*c - a*b^2*d + a^3*f)/(3*a^3*b^2*(a + b*x^3)) - ((3*b*c - a*d)*log(x))/a^4 + ((3*b*c - a*d)*log(a + b*x^3))/(3*a^4), x, 3),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^7*(a + b*x^3)^3), -(c/(6*a^3*x^6)) + (3*b*c - a*d)/(3*a^4*x^3) + (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(6*a^3*b*(a + b*x^3)^2) + (3*b^2*c - 2*a*b*d + a^2*e)/(3*a^4*(a + b*x^3)) + ((6*b^2*c - 3*a*b*d + a^2*e)*log(x))/a^5 - ((6*b^2*c - 3*a*b*d + a^2*e)*log(a + b*x^3))/(3*a^5), x, 3),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^10*(a + b*x^3)^3), -(c/(9*a^3*x^9)) + (3*b*c - a*d)/(6*a^4*x^6) - (6*b^2*c - 3*a*b*d + a^2*e)/(3*a^5*x^3) - (b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)/(6*a^4*(a + b*x^3)^2) - (4*b^3*c - 3*a*b^2*d + 2*a^2*b*e - a^3*f)/(3*a^5*(a + b*x^3)) - ((10*b^3*c - 6*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - a^3*f)*log(x))/a^6 + ((10*b^3*c - 6*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*a^6), x, 3),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^13*(a + b*x^3)^3), -(c/(12*a^3*x^12)) + (3*b*c - a*d)/(9*a^4*x^9) - (6*b^2*c - 3*a*b*d + a^2*e)/(6*a^5*x^6) + (10*b^3*c - 6*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - a^3*f)/(3*a^6*x^3) + (b*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f))/(6*a^5*(a + b*x^3)^2) + (b*(5*b^3*c - 4*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - 2*a^3*f))/(3*a^6*(a + b*x^3)) + (b*(15*b^3*c - 10*a*b^2*d + 6*a^2*b*e - 3*a^3*f)*log(x))/a^7 - (b*(15*b^3*c - 10*a*b^2*d + 6*a^2*b*e - 3*a^3*f)*log(a + b*x^3))/(3*a^7), x, 3),
+
+(x^12*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^3, -((a*(3*b^3*c - 6*a*b^2*d + 10*a^2*b*e - 15*a^3*f)*x)/b^7) + ((b^3*c - 3*a*b^2*d + 6*a^2*b*e - 10*a^3*f)*x^4)/(4*b^6) + ((b^2*d - 3*a*b*e + 6*a^2*f)*x^7)/(7*b^5) + ((b*e - 3*a*f)*x^10)/(10*b^4) + (f*x^13)/(13*b^3) + (a^3*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(6*b^7*(a + b*x^3)^2) - (a^2*(19*b^3*c - 25*a*b^2*d + 31*a^2*b*e - 37*a^3*f)*x)/(18*b^7*(a + b*x^3)) - (a^(4//3)*(35*b^3*c - 65*a*b^2*d + 104*a^2*b*e - 152*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*b^(22//3)) + (a^(4//3)*(35*b^3*c - 65*a*b^2*d + 104*a^2*b*e - 152*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*b^(22//3)) - (a^(4//3)*(35*b^3*c - 65*a*b^2*d + 104*a^2*b*e - 152*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*b^(22//3)), x, 10),
+(x^10*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^3, ((b^3*c - 3*a*b^2*d + 6*a^2*b*e - 10*a^3*f)*x^2)/(2*b^6) + ((b^2*d - 3*a*b*e + 6*a^2*f)*x^5)/(5*b^5) + ((b*e - 3*a*f)*x^8)/(8*b^4) + (f*x^11)/(11*b^3) - (a^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(6*b^6*(a + b*x^3)^2) + (a*(7*b^3*c - 10*a*b^2*d + 13*a^2*b*e - 16*a^3*f)*x^2)/(9*b^6*(a + b*x^3)) + (a^(2//3)*(20*b^3*c - 44*a*b^2*d + 77*a^2*b*e - 119*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*b^(20//3)) + (a^(2//3)*(20*b^3*c - 44*a*b^2*d + 77*a^2*b*e - 119*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*b^(20//3)) - (a^(2//3)*(20*b^3*c - 44*a*b^2*d + 77*a^2*b*e - 119*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*b^(20//3)), x, 14),
+(x^9*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^3, ((b^3*c - 3*a*b^2*d + 6*a^2*b*e - 10*a^3*f)*x)/b^6 + ((b^2*d - 3*a*b*e + 6*a^2*f)*x^4)/(4*b^5) + ((b*e - 3*a*f)*x^7)/(7*b^4) + (f*x^10)/(10*b^3) - (a^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(6*b^6*(a + b*x^3)^2) + (a*(13*b^3*c - 19*a*b^2*d + 25*a^2*b*e - 31*a^3*f)*x)/(18*b^6*(a + b*x^3)) + (a^(1//3)*(14*b^3*c - 35*a*b^2*d + 65*a^2*b*e - 104*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*b^(19//3)) - (a^(1//3)*(14*b^3*c - 35*a*b^2*d + 65*a^2*b*e - 104*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*b^(19//3)) + (a^(1//3)*(14*b^3*c - 35*a*b^2*d + 65*a^2*b*e - 104*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*b^(19//3)), x, 10),
+(x^7*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^3, ((b^2*d - 3*a*b*e + 6*a^2*f)*x^2)/(2*b^5) + ((b*e - 3*a*f)*x^5)/(5*b^4) + (f*x^8)/(8*b^3) + (a*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(6*b^5*(a + b*x^3)^2) - ((4*b^3*c - 7*a*b^2*d + 10*a^2*b*e - 13*a^3*f)*x^2)/(9*b^5*(a + b*x^3)) - ((5*b^3*c - 20*a*b^2*d + 44*a^2*b*e - 77*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(1//3)*b^(17//3)) - ((5*b^3*c - 20*a*b^2*d + 44*a^2*b*e - 77*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(1//3)*b^(17//3)) + ((5*b^3*c - 20*a*b^2*d + 44*a^2*b*e - 77*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(1//3)*b^(17//3)), x, 13),
+(x^6*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^3, ((b^2*d - 3*a*b*e + 6*a^2*f)*x)/b^5 + ((b*e - 3*a*f)*x^4)/(4*b^4) + (f*x^7)/(7*b^3) + (a*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(6*b^5*(a + b*x^3)^2) - ((7*b^3*c - 13*a*b^2*d + 19*a^2*b*e - 25*a^3*f)*x)/(18*b^5*(a + b*x^3)) - ((2*b^3*c - 14*a*b^2*d + 35*a^2*b*e - 65*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(2//3)*b^(16//3)) + ((2*b^3*c - 14*a*b^2*d + 35*a^2*b*e - 65*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(2//3)*b^(16//3)) - ((2*b^3*c - 14*a*b^2*d + 35*a^2*b*e - 65*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(2//3)*b^(16//3)), x, 10),
+(x^4*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^3, ((b*e - 3*a*f)*x^2)/(2*b^4) + (f*x^5)/(5*b^3) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(6*b^4*(a + b*x^3)^2) + ((b^3*c - 4*a*b^2*d + 7*a^2*b*e - 10*a^3*f)*x^2)/(9*a*b^4*(a + b*x^3)) - ((b^3*c + 5*a*b^2*d - 20*a^2*b*e + 44*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(14//3)) - ((b^3*c + 5*a*b^2*d - 20*a^2*b*e + 44*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(4//3)*b^(14//3)) + ((b^3*c + 5*a*b^2*d - 20*a^2*b*e + 44*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(4//3)*b^(14//3)), x, 12),
+(x^3*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^3, ((b*e - 3*a*f)*x)/b^4 + (f*x^4)/(4*b^3) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(6*b^4*(a + b*x^3)^2) + ((b^3*c - 7*a*b^2*d + 13*a^2*b*e - 19*a^3*f)*x)/(18*a*b^4*(a + b*x^3)) - ((b^3*c + 2*a*b^2*d - 14*a^2*b*e + 35*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(13//3)) + ((b^3*c + 2*a*b^2*d - 14*a^2*b*e + 35*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(5//3)*b^(13//3)) - ((b^3*c + 2*a*b^2*d - 14*a^2*b*e + 35*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(5//3)*b^(13//3)), x, 10),
+(x^1*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^3, (f*x^2)/(2*b^3) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(6*a*b^3*(a + b*x^3)^2) + ((2*b^3*c + a*b^2*d - 4*a^2*b*e + 7*a^3*f)*x^2)/(9*a^2*b^3*(a + b*x^3)) - ((2*b^3*c + a*b^2*d + 5*a^2*b*e - 20*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(7//3)*b^(11//3)) - ((2*b^3*c + a*b^2*d + 5*a^2*b*e - 20*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(7//3)*b^(11//3)) + ((2*b^3*c + a*b^2*d + 5*a^2*b*e - 20*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(7//3)*b^(11//3)), x, 10),
+(x^0*(c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(a + b*x^3)^3, (f*x)/b^3 + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(6*a*b^3*(a + b*x^3)^2) + ((5*b^3*c + a*b^2*d - 7*a^2*b*e + 13*a^3*f)*x)/(18*a^2*b^3*(a + b*x^3)) - ((5*b^3*c + a*b^2*d + 2*a^2*b*e - 14*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(8//3)*b^(10//3)) + ((5*b^3*c + a*b^2*d + 2*a^2*b*e - 14*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(8//3)*b^(10//3)) - ((5*b^3*c + a*b^2*d + 2*a^2*b*e - 14*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(8//3)*b^(10//3)), x, 9),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^2*(a + b*x^3)^3), -(c/(a^3*x)) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(6*a^2*b^2*(a + b*x^3)^2) - ((5*b^3*c - 2*a*b^2*d - a^2*b*e + 4*a^3*f)*x^2)/(9*a^3*b^2*(a + b*x^3)) + ((14*b^3*c - 2*a*b^2*d - a^2*b*e - 5*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(10//3)*b^(8//3)) + ((14*b^3*c - 2*a*b^2*d - a^2*b*e - 5*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(10//3)*b^(8//3)) - ((14*b^3*c - 2*a*b^2*d - a^2*b*e - 5*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(10//3)*b^(8//3)), x, 9),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^3*(a + b*x^3)^3), -(c/(2*a^3*x^2)) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(6*a^2*b^2*(a + b*x^3)^2) - ((11*b^3*c - 5*a*b^2*d - a^2*b*e + 7*a^3*f)*x)/(18*a^3*b^2*(a + b*x^3)) + ((20*b^3*c - 5*a*b^2*d - a^2*b*e - 2*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(11//3)*b^(7//3)) - ((20*b^3*c - 5*a*b^2*d - a^2*b*e - 2*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(11//3)*b^(7//3)) + ((20*b^3*c - 5*a*b^2*d - a^2*b*e - 2*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(11//3)*b^(7//3)), x, 9),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^5*(a + b*x^3)^3), -(c/(4*a^3*x^4)) + (3*b*c - a*d)/(a^4*x) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(6*a^3*b*(a + b*x^3)^2) + ((8*b^3*c - 5*a*b^2*d + 2*a^2*b*e + a^3*f)*x^2)/(9*a^4*b*(a + b*x^3)) - ((35*b^3*c - 14*a*b^2*d + 2*a^2*b*e + a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(13//3)*b^(5//3)) - ((35*b^3*c - 14*a*b^2*d + 2*a^2*b*e + a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(13//3)*b^(5//3)) + ((35*b^3*c - 14*a*b^2*d + 2*a^2*b*e + a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(13//3)*b^(5//3)), x, 10),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^6*(a + b*x^3)^3), -(c/(5*a^3*x^5)) + (3*b*c - a*d)/(2*a^4*x^2) + ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(6*a^3*b*(a + b*x^3)^2) + ((17*b^3*c - 11*a*b^2*d + 5*a^2*b*e + a^3*f)*x)/(18*a^4*b*(a + b*x^3)) - ((44*b^3*c - 20*a*b^2*d + 5*a^2*b*e + a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(14//3)*b^(4//3)) + ((44*b^3*c - 20*a*b^2*d + 5*a^2*b*e + a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(14//3)*b^(4//3)) - ((44*b^3*c - 20*a*b^2*d + 5*a^2*b*e + a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(14//3)*b^(4//3)), x, 10),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^8*(a + b*x^3)^3), -(c/(7*a^3*x^7)) + (3*b*c - a*d)/(4*a^4*x^4) - (6*b^2*c - 3*a*b*d + a^2*e)/(a^5*x) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(6*a^4*(a + b*x^3)^2) - ((11*b^3*c - 8*a*b^2*d + 5*a^2*b*e - 2*a^3*f)*x^2)/(9*a^5*(a + b*x^3)) + ((65*b^3*c - 35*a*b^2*d + 14*a^2*b*e - 2*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(16//3)*b^(2//3)) + ((65*b^3*c - 35*a*b^2*d + 14*a^2*b*e - 2*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(16//3)*b^(2//3)) - ((65*b^3*c - 35*a*b^2*d + 14*a^2*b*e - 2*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(16//3)*b^(2//3)), x, 10),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^9*(a + b*x^3)^3), -c/(8*a^3*x^8) + (3*b*c - a*d)/(5*a^4*x^5) - (6*b^2*c - 3*a*b*d + a^2*e)/(2*a^5*x^2) - ((b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(6*a^4*(a + b*x^3)^2) - ((23*b^3*c - 17*a*b^2*d + 11*a^2*b*e - 5*a^3*f)*x)/(18*a^5*(a + b*x^3)) + ((77*b^3*c - 44*a*b^2*d + 20*a^2*b*e - 5*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(17//3)*b^(1//3)) - ((77*b^3*c - 44*a*b^2*d + 20*a^2*b*e - 5*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(17//3)*b^(1//3)) + ((77*b^3*c - 44*a*b^2*d + 20*a^2*b*e - 5*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(17//3)*b^(1//3)), x, 10),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^11*(a + b*x^3)^3), -(c/(10*a^3*x^10)) + (3*b*c - a*d)/(7*a^4*x^7) - (6*b^2*c - 3*a*b*d + a^2*e)/(4*a^5*x^4) + (10*b^3*c - 6*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - a^3*f)/(a^6*x) + (b*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(6*a^5*(a + b*x^3)^2) + (b*(14*b^3*c - 11*a*b^2*d + 8*a^2*b*e - 5*a^3*f)*x^2)/(9*a^6*(a + b*x^3)) - (b^(1//3)*(104*b^3*c - 65*a*b^2*d + 35*a^2*b*e - 14*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(19//3)) - (b^(1//3)*(104*b^3*c - 65*a*b^2*d + 35*a^2*b*e - 14*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(19//3)) + (b^(1//3)*(104*b^3*c - 65*a*b^2*d + 35*a^2*b*e - 14*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(19//3)), x, 10),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^12*(a + b*x^3)^3), -c/(11*a^3*x^11) + (3*b*c - a*d)/(8*a^4*x^8) - (6*b^2*c - 3*a*b*d + a^2*e)/(5*a^5*x^5) + (10*b^3*c - 6*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - a^3*f)/(2*a^6*x^2) + (b*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x)/(6*a^5*(a + b*x^3)^2) + (b*(29*b^3*c - 23*a*b^2*d + 17*a^2*b*e - 11*a^3*f)*x)/(18*a^6*(a + b*x^3)) - (b^(2//3)*(119*b^3*c - 77*a*b^2*d + 44*a^2*b*e - 20*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(20//3)) + (b^(2//3)*(119*b^3*c - 77*a*b^2*d + 44*a^2*b*e - 20*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(20//3)) - (b^(2//3)*(119*b^3*c - 77*a*b^2*d + 44*a^2*b*e - 20*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(20//3)), x, 10),
+((c + d*x^3 + e*x^6 + f*x^9)/(x^14*(a + b*x^3)^3), -(c/(13*a^3*x^13)) + (3*b*c - a*d)/(10*a^4*x^10) - (6*b^2*c - 3*a*b*d + a^2*e)/(7*a^5*x^7) + (10*b^3*c - 6*a*b^2*d + 3*a^2*b*e - a^3*f)/(4*a^6*x^4) - (b*(15*b^3*c - 10*a*b^2*d + 6*a^2*b*e - 3*a^3*f))/(a^7*x) - (b^2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*x^2)/(6*a^6*(a + b*x^3)^2) - (b^2*(17*b^3*c - 14*a*b^2*d + 11*a^2*b*e - 8*a^3*f)*x^2)/(9*a^7*(a + b*x^3)) + (b^(4//3)*(152*b^3*c - 104*a*b^2*d + 65*a^2*b*e - 35*a^3*f)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(22//3)) + (b^(4//3)*(152*b^3*c - 104*a*b^2*d + 65*a^2*b*e - 35*a^3*f)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(22//3)) - (b^(4//3)*(152*b^3*c - 104*a*b^2*d + 65*a^2*b*e - 35*a^3*f)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(22//3)), x, 10),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m P1(x) (a+b x^3)^p
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(x^4*(1 - x)/(1 + x^3), x^2//2 - x^3//3 + atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) + (2//3)*log(1 + x) + (1//6)*log(1 - x + x^2), x, 8),
+(x^3*(1 - x)/(1 + x^3), x - x^2//2 - (2//3)*log(1 + x) + (1//3)*log(1 - x + x^2), x, 5),
+(x^2*(1 - x)/(1 + x^3), -x - atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) + (2//3)*log(1 + x) + (1//6)*log(1 - x + x^2), x, 8),
+(x^1*(1 - x)/(1 + x^3), -(atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3)) - (2//3)*log(1 + x) - (1//6)*log(1 - x + x^2), x, 6),
+((1 - x)/(x^1*(1 + x^3)), atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) + log(x) - (2//3)*log(1 + x) - (1//6)*log(1 - x + x^2), x, 6),
+((1 - x)/(x^2*(1 + x^3)), -(1/x) + atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) - log(x) + (2//3)*log(1 + x) + (1//6)*log(1 - x + x^2), x, 6),
+((1 - x)/(x^3*(1 + x^3)), -(1/(2*x^2)) + 1/x - (2//3)*log(1 + x) + (1//3)*log(1 - x + x^2), x, 3),
+
+
+(x*(1 + 2*x)/(1 + x^3), -(atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3)) + (1//3)*log(1 + x) + (5//6)*log(1 - x + x^2), x, 6),
+(x*(1 + 2*x)/(1 - x^3), -atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) - log(1 - x) - (1//2)*log(1 + x + x^2), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m P2(x) (a+b x^3)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^2*(c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3), (1//3)*a*c*x^3 + (1//4)*a*d*x^4 + (1//5)*a*e*x^5 + (1//6)*b*c*x^6 + (1//7)*b*d*x^7 + (1//8)*b*e*x^8, x, 2),
+(x^1*(c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3), (1//2)*a*c*x^2 + (1//3)*a*d*x^3 + (1//4)*a*e*x^4 + (1//5)*b*c*x^5 + (1//6)*b*d*x^6 + (1//7)*b*e*x^7, x, 2),
+(x^0*(c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3), a*c*x + (1//2)*a*d*x^2 + (1//3)*a*e*x^3 + (1//4)*b*c*x^4 + (1//5)*b*d*x^5 + (1//6)*b*e*x^6, x, 2),
+((c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)/x^1, a*d*x + (1//2)*a*e*x^2 + (1//3)*b*c*x^3 + (1//4)*b*d*x^4 + (1//5)*b*e*x^5 + a*c*log(x), x, 2),
+((c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)/x^2, -((a*c)/x) + a*e*x + (1//2)*b*c*x^2 + (1//3)*b*d*x^3 + (1//4)*b*e*x^4 + a*d*log(x), x, 2),
+((c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)/x^3, -((a*c)/(2*x^2)) - (a*d)/x + b*c*x + (1//2)*b*d*x^2 + (1//3)*b*e*x^3 + a*e*log(x), x, 2),
+
+
+(x^2*(c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^2, (1//4)*a^2*d*x^4 + (1//5)*a^2*e*x^5 + (2//7)*a*b*d*x^7 + (1//4)*a*b*e*x^8 + (1//10)*b^2*d*x^10 + (1//11)*b^2*e*x^11 + (c*(a + b*x^3)^3)/(9*b), x, 3),
+(x^1*(c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^2, (1//2)*a^2*c*x^2 + (1//4)*a^2*e*x^4 + (2//5)*a*b*c*x^5 + (2//7)*a*b*e*x^7 + (1//8)*b^2*c*x^8 + (1//10)*b^2*e*x^10 + (d*(a + b*x^3)^3)/(9*b), x, 3),
+(x^0*(c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^2, a^2*c*x + (1//2)*a^2*d*x^2 + (1//2)*a*b*c*x^4 + (2//5)*a*b*d*x^5 + (1//7)*b^2*c*x^7 + (1//8)*b^2*d*x^8 + (e*(a + b*x^3)^3)/(9*b), x, 3),
+((c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^2/x^1, a^2*d*x + (1//2)*a^2*e*x^2 + (2//3)*a*b*c*x^3 + (1//2)*a*b*d*x^4 + (2//5)*a*b*e*x^5 + (1//6)*b^2*c*x^6 + (1//7)*b^2*d*x^7 + (1//8)*b^2*e*x^8 + a^2*c*log(x), x, 2),
+((c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^2/x^2, -((a^2*c)/x) + a^2*e*x + a*b*c*x^2 + (2//3)*a*b*d*x^3 + (1//2)*a*b*e*x^4 + (1//5)*b^2*c*x^5 + (1//6)*b^2*d*x^6 + (1//7)*b^2*e*x^7 + a^2*d*log(x), x, 2),
+((c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^2/x^3, -((a^2*c)/(2*x^2)) - (a^2*d)/x + 2*a*b*c*x + a*b*d*x^2 + (2//3)*a*b*e*x^3 + (1//4)*b^2*c*x^4 + (1//5)*b^2*d*x^5 + (1//6)*b^2*e*x^6 + a^2*e*log(x), x, 2),
+
+
+(x^2*(c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^3, (1//4)*a^3*d*x^4 + (1//5)*a^3*e*x^5 + (3//7)*a^2*b*d*x^7 + (3//8)*a^2*b*e*x^8 + (3//10)*a*b^2*d*x^10 + (3//11)*a*b^2*e*x^11 + (1//13)*b^3*d*x^13 + (1//14)*b^3*e*x^14 + (c*(a + b*x^3)^4)/(12*b), x, 3),
+(x^1*(c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^3, (1//2)*a^3*c*x^2 + (1//4)*a^3*e*x^4 + (3//5)*a^2*b*c*x^5 + (3//7)*a^2*b*e*x^7 + (3//8)*a*b^2*c*x^8 + (3//10)*a*b^2*e*x^10 + (1//11)*b^3*c*x^11 + (1//13)*b^3*e*x^13 + (d*(a + b*x^3)^4)/(12*b), x, 3),
+(x^0*(c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^3, a^3*c*x + (1//2)*a^3*d*x^2 + (3//4)*a^2*b*c*x^4 + (3//5)*a^2*b*d*x^5 + (3//7)*a*b^2*c*x^7 + (3//8)*a*b^2*d*x^8 + (1//10)*b^3*c*x^10 + (1//11)*b^3*d*x^11 + (e*(a + b*x^3)^4)/(12*b), x, 3),
+((c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^3/x^1, a^3*d*x + (1//2)*a^3*e*x^2 + a^2*b*c*x^3 + (3//4)*a^2*b*d*x^4 + (3//5)*a^2*b*e*x^5 + (1//2)*a*b^2*c*x^6 + (3//7)*a*b^2*d*x^7 + (3//8)*a*b^2*e*x^8 + (1//9)*b^3*c*x^9 + (1//10)*b^3*d*x^10 + (1//11)*b^3*e*x^11 + a^3*c*log(x), x, 2),
+((c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^3/x^2, -((a^3*c)/x) + a^3*e*x + (3//2)*a^2*b*c*x^2 + a^2*b*d*x^3 + (3//4)*a^2*b*e*x^4 + (3//5)*a*b^2*c*x^5 + (1//2)*a*b^2*d*x^6 + (3//7)*a*b^2*e*x^7 + (1//8)*b^3*c*x^8 + (1//9)*b^3*d*x^9 + (1//10)*b^3*e*x^10 + a^3*d*log(x), x, 2),
+((c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^3/x^3, -((a^3*c)/(2*x^2)) - (a^3*d)/x + 3*a^2*b*c*x + (3//2)*a^2*b*d*x^2 + a^2*b*e*x^3 + (3//4)*a*b^2*c*x^4 + (3//5)*a*b^2*d*x^5 + (1//2)*a*b^2*e*x^6 + (1//7)*b^3*c*x^7 + (1//8)*b^3*d*x^8 + (1//9)*b^3*e*x^9 + a^3*e*log(x), x, 2),
+
+
+(x^2*(c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^4, (1//4)*a^4*d*x^4 + (1//5)*a^4*e*x^5 + (4//7)*a^3*b*d*x^7 + (1//2)*a^3*b*e*x^8 + (3//5)*a^2*b^2*d*x^10 + (6//11)*a^2*b^2*e*x^11 + (4//13)*a*b^3*d*x^13 + (2//7)*a*b^3*e*x^14 + (1//16)*b^4*d*x^16 + (1//17)*b^4*e*x^17 + (c*(a + b*x^3)^5)/(15*b), x, 3),
+(x^1*(c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^4, (1//2)*a^4*c*x^2 + (1//4)*a^4*e*x^4 + (4//5)*a^3*b*c*x^5 + (4//7)*a^3*b*e*x^7 + (3//4)*a^2*b^2*c*x^8 + (3//5)*a^2*b^2*e*x^10 + (4//11)*a*b^3*c*x^11 + (4//13)*a*b^3*e*x^13 + (1//14)*b^4*c*x^14 + (1//16)*b^4*e*x^16 + (d*(a + b*x^3)^5)/(15*b), x, 3),
+(x^0*(c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^4, a^4*c*x + (1//2)*a^4*d*x^2 + a^3*b*c*x^4 + (4//5)*a^3*b*d*x^5 + (6//7)*a^2*b^2*c*x^7 + (3//4)*a^2*b^2*d*x^8 + (2//5)*a*b^3*c*x^10 + (4//11)*a*b^3*d*x^11 + (1//13)*b^4*c*x^13 + (1//14)*b^4*d*x^14 + (e*(a + b*x^3)^5)/(15*b), x, 3),
+((c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^4/x^1, a^4*d*x + (1//2)*a^4*e*x^2 + (4//3)*a^3*b*c*x^3 + a^3*b*d*x^4 + (4//5)*a^3*b*e*x^5 + a^2*b^2*c*x^6 + (6//7)*a^2*b^2*d*x^7 + (3//4)*a^2*b^2*e*x^8 + (4//9)*a*b^3*c*x^9 + (2//5)*a*b^3*d*x^10 + (4//11)*a*b^3*e*x^11 + (1//12)*b^4*c*x^12 + (1//13)*b^4*d*x^13 + (1//14)*b^4*e*x^14 + a^4*c*log(x), x, 2),
+((c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^4/x^2, -((a^4*c)/x) + a^4*e*x + 2*a^3*b*c*x^2 + (4//3)*a^3*b*d*x^3 + a^3*b*e*x^4 + (6//5)*a^2*b^2*c*x^5 + a^2*b^2*d*x^6 + (6//7)*a^2*b^2*e*x^7 + (1//2)*a*b^3*c*x^8 + (4//9)*a*b^3*d*x^9 + (2//5)*a*b^3*e*x^10 + (1//11)*b^4*c*x^11 + (1//12)*b^4*d*x^12 + (1//13)*b^4*e*x^13 + a^4*d*log(x), x, 2),
+((c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^4/x^3, -((a^4*c)/(2*x^2)) - (a^4*d)/x + 4*a^3*b*c*x + 2*a^3*b*d*x^2 + (4//3)*a^3*b*e*x^3 + (3//2)*a^2*b^2*c*x^4 + (6//5)*a^2*b^2*d*x^5 + a^2*b^2*e*x^6 + (4//7)*a*b^3*c*x^7 + (1//2)*a*b^3*d*x^8 + (4//9)*a*b^3*e*x^9 + (1//10)*b^4*c*x^10 + (1//11)*b^4*d*x^11 + (1//12)*b^4*e*x^12 + a^4*e*log(x), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^3*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3), (c*x)/b + (d*x^2)/(2*b) + (e*x^3)/(3*b) + (a^(1//3)*(b^(1//3)*c + a^(1//3)*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(5//3)) - (a^(1//3)*(b^(1//3)*c - a^(1//3)*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(5//3)) + (a^(1//3)*(c - (a^(1//3)*d)/b^(1//3))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(4//3)) - (a*e*log(a + b*x^3))/(3*b^2), x, 10),
+(x^2*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3), (d*x)/b + (e*x^2)/(2*b) + (a^(1//3)*(b^(1//3)*d + a^(1//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(5//3)) - (a^(1//3)*(b^(1//3)*d - a^(1//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(5//3)) + (a^(1//3)*(d - (a^(1//3)*e)/b^(1//3))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(4//3)) + (c*log(a + b*x^3))/(3*b), x, 10),
+(x^1*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3), (e*x)/b - ((b^(2//3)*c - a^(2//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(1//3)*b^(4//3)) - ((b^(2//3)*c + a^(2//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(1//3)*b^(4//3)) + ((b^(2//3)*c + a^(2//3)*e)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(1//3)*b^(4//3)) + (d*log(a + b*x^3))/(3*b), x, 10),
+(x^0*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3), -(((b^(1//3)*c + a^(1//3)*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(2//3))) + ((b^(1//3)*c - a^(1//3)*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(2//3)*b^(2//3)) - ((c - (a^(1//3)*d)/b^(1//3))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(2//3)*b^(1//3)) + (e*log(a + b*x^3))/(3*b), x, 8),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^1*(a + b*x^3)), -(((b^(1//3)*d + a^(1//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(2//3))) + (c*log(x))/a + ((b^(1//3)*d - a^(1//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(2//3)*b^(2//3)) - ((d - (a^(1//3)*e)/b^(1//3))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(2//3)*b^(1//3)) - (c*log(a + b*x^3))/(3*a), x, 10),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^2*(a + b*x^3)), -(c/(a*x)) + ((b^(2//3)*c - a^(2//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(4//3)*b^(1//3)) + (d*log(x))/a + ((b^(2//3)*c + a^(2//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(4//3)*b^(1//3)) - ((b^(2//3)*c + a^(2//3)*e)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(4//3)*b^(1//3)) - (d*log(a + b*x^3))/(3*a), x, 10),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^3*(a + b*x^3)), -(c/(2*a*x^2)) - d/(a*x) + (b^(1//3)*(b^(1//3)*c + a^(1//3)*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(5//3)) + (e*log(x))/a - (b^(1//3)*(b^(1//3)*c - a^(1//3)*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(5//3)) + (b^(2//3)*(c - (a^(1//3)*d)/b^(1//3))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(5//3)) - (e*log(a + b*x^3))/(3*a), x, 10),
+
+
+(x^2*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3)^2, -((c + d*x + e*x^2)/(3*b*(a + b*x^3))) - ((b^(1//3)*d + 2*a^(1//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(2//3)*b^(5//3)) + ((b^(1//3)*d - 2*a^(1//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(2//3)*b^(5//3)) - ((d - (2*a^(1//3)*e)/b^(1//3))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(2//3)*b^(4//3)), x, 7),
+(x^1*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3)^2, -((x*(a*e - b*c*x - b*d*x^2))/(3*a*b*(a + b*x^3))) - ((b^(2//3)*c + a^(2//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(4//3)) - ((b^(2//3)*c - a^(2//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(4//3)*b^(4//3)) + ((b^(2//3)*c - a^(2//3)*e)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(4//3)*b^(4//3)), x, 7),
+(x^0*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3)^2, -((a*e - b*x*(c + d*x))/(3*a*b*(a + b*x^3))) - ((2*b^(1//3)*c + a^(1//3)*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(2//3)) + ((2*b^(1//3)*c - a^(1//3)*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(5//3)*b^(2//3)) - ((2*b^(1//3)*c - a^(1//3)*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(5//3)*b^(2//3)), x, 7),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^1*(a + b*x^3)^2), (x*(a*d + a*e*x - b*c*x^2))/(3*a^2*(a + b*x^3)) - ((2*b^(1//3)*d + a^(1//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(2//3)) + (c*log(x))/a^2 + ((2*b^(1//3)*d - a^(1//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(5//3)*b^(2//3)) - ((2*b^(1//3)*d - a^(1//3)*e)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(5//3)*b^(2//3)) - (c*log(a + b*x^3))/(3*a^2), x, 11),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^2*(a + b*x^3)^2), -(c/(a^2*x)) + (x*(a*e - b*c*x - b*d*x^2))/(3*a^2*(a + b*x^3)) + (2*(2*b^(2//3)*c - a^(2//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(7//3)*b^(1//3)) + (d*log(x))/a^2 + (2*(2*b^(2//3)*c + a^(2//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(7//3)*b^(1//3)) - ((2*b^(2//3)*c + a^(2//3)*e)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(9*a^(7//3)*b^(1//3)) - (d*log(a + b*x^3))/(3*a^2), x, 11),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^3*(a + b*x^3)^2), -(c/(2*a^2*x^2)) - d/(a^2*x) - (x*(b*c + b*d*x + b*e*x^2))/(3*a^2*(a + b*x^3)) + (b^(1//3)*(5*b^(1//3)*c + 4*a^(1//3)*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(8//3)) + (e*log(x))/a^2 - (b^(1//3)*(5*b^(1//3)*c - 4*a^(1//3)*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(8//3)) + (b^(1//3)*(5*b^(1//3)*c - 4*a^(1//3)*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(8//3)) - (e*log(a + b*x^3))/(3*a^2), x, 11),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^4*(a + b*x^3)^2), -(c/(3*a^2*x^3)) - d/(2*a^2*x^2) - e/(a^2*x) - (x*(b*d + b*e*x - (b^2*c*x^2)/a))/(3*a^2*(a + b*x^3)) + (b^(1//3)*(5*b^(1//3)*d + 4*a^(1//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(8//3)) - (2*b*c*log(x))/a^3 - (b^(1//3)*(5*b^(1//3)*d - 4*a^(1//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(8//3)) + (b^(1//3)*(5*b^(1//3)*d - 4*a^(1//3)*e)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(8//3)) + (2*b*c*log(a + b*x^3))/(3*a^3), x, 11),
+
+
+(x^2*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3)^3, -((c + d*x + e*x^2)/(6*b*(a + b*x^3)^2)) + (x*(d + 2*e*x))/(18*a*b*(a + b*x^3)) - ((b^(1//3)*d + a^(1//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(5//3)) + ((b^(1//3)*d - a^(1//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(5//3)*b^(5//3)) - ((d - (a^(1//3)*e)/b^(1//3))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(5//3)*b^(4//3)), x, 8),
+(x^1*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3)^3, -((x*(a*e - b*c*x - b*d*x^2))/(6*a*b*(a + b*x^3)^2)) - (3*a*d - x*(a*e + 4*b*c*x))/(18*a^2*b*(a + b*x^3)) - ((2*b^(2//3)*c + a^(2//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(7//3)*b^(4//3)) - ((2*b^(2//3)*c - a^(2//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(7//3)*b^(4//3)) + ((2*b^(2//3)*c - a^(2//3)*e)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(7//3)*b^(4//3)), x, 8),
+(x^0*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3)^3, (x*(5*c + 4*d*x))/(18*a^2*(a + b*x^3)) - (a*e - b*x*(c + d*x))/(6*a*b*(a + b*x^3)^2) - ((5*b^(1//3)*c + 2*a^(1//3)*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(8//3)*b^(2//3)) + ((5*b^(1//3)*c - 2*a^(1//3)*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(8//3)*b^(2//3)) - ((5*b^(1//3)*c - 2*a^(1//3)*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(8//3)*b^(2//3)), x, 8),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^1*(a + b*x^3)^3), (x*(a*d + a*e*x - b*c*x^2))/(6*a^2*(a + b*x^3)^2) + (x*(5*a*d + 4*a*e*x - 9*b*c*x^2))/(18*a^3*(a + b*x^3)) - ((5*b^(1//3)*d + 2*a^(1//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(8//3)*b^(2//3)) + (c*log(x))/a^3 + ((5*b^(1//3)*d - 2*a^(1//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(8//3)*b^(2//3)) - ((5*b^(1//3)*d - 2*a^(1//3)*e)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(8//3)*b^(2//3)) - (c*log(a + b*x^3))/(3*a^3), x, 12),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^2*(a + b*x^3)^3), -(c/(a^3*x)) + (x*(a*e - b*c*x - b*d*x^2))/(6*a^2*(a + b*x^3)^2) + (x*(5*a*e - 10*b*c*x - 9*b*d*x^2))/(18*a^3*(a + b*x^3)) + ((14*b^(2//3)*c - 5*a^(2//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(10//3)*b^(1//3)) + (d*log(x))/a^3 + ((14*b^(2//3)*c + 5*a^(2//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(10//3)*b^(1//3)) - ((14*b^(2//3)*c + 5*a^(2//3)*e)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(10//3)*b^(1//3)) - (d*log(a + b*x^3))/(3*a^3), x, 12),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^3*(a + b*x^3)^3), -(c/(2*a^3*x^2)) - d/(a^3*x) - (x*(b*c + b*d*x + b*e*x^2))/(6*a^2*(a + b*x^3)^2) - (x*(11*b*c + 10*b*d*x + 9*b*e*x^2))/(18*a^3*(a + b*x^3)) + (2*b^(1//3)*(10*b^(1//3)*c + 7*a^(1//3)*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(11//3)) + (e*log(x))/a^3 - (2*b^(1//3)*(10*b^(1//3)*c - 7*a^(1//3)*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(11//3)) + (b^(1//3)*(10*b^(1//3)*c - 7*a^(1//3)*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(27*a^(11//3)) - (e*log(a + b*x^3))/(3*a^3), x, 12),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^4*(a + b*x^3)^3), -(c/(3*a^3*x^3)) - d/(2*a^3*x^2) - e/(a^3*x) - (x*(b*d + b*e*x - (b^2*c*x^2)/a))/(6*a^2*(a + b*x^3)^2) - (x*(11*b*d + 10*b*e*x - (15*b^2*c*x^2)/a))/(18*a^3*(a + b*x^3)) + (2*b^(1//3)*(10*b^(1//3)*d + 7*a^(1//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(11//3)) - (3*b*c*log(x))/a^4 - (2*b^(1//3)*(10*b^(1//3)*d - 7*a^(1//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(11//3)) + (b^(1//3)*(10*b^(1//3)*d - 7*a^(1//3)*e)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(27*a^(11//3)) + (b*c*log(a + b*x^3))/a^4, x, 12),
+
+
+(x^2*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3)^4, -((c + d*x + e*x^2)/(9*b*(a + b*x^3)^3)) + (x*(d + 2*e*x))/(54*a*b*(a + b*x^3)^2) + (x*(5*d + 8*e*x))/(162*a^2*b*(a + b*x^3)) - ((5*b^(1//3)*d + 4*a^(1//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(81*sqrt(3)*a^(8//3)*b^(5//3)) + ((5*b^(1//3)*d - 4*a^(1//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(243*a^(8//3)*b^(5//3)) - ((5*b^(1//3)*d - 4*a^(1//3)*e)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(486*a^(8//3)*b^(5//3)), x, 9),
+(x^1*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3)^4, -((x*(a*e - b*c*x - b*d*x^2))/(9*a*b*(a + b*x^3)^3)) + (x*(5*a*e + 28*b*c*x))/(162*a^3*b*(a + b*x^3)) - (6*a*d - x*(a*e + 7*b*c*x))/(54*a^2*b*(a + b*x^3)^2) - ((14*b^(2//3)*c + 5*a^(2//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(81*sqrt(3)*a^(10//3)*b^(4//3)) - ((14*b^(2//3)*c - 5*a^(2//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(243*a^(10//3)*b^(4//3)) + ((14*b^(2//3)*c - 5*a^(2//3)*e)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(486*a^(10//3)*b^(4//3)), x, 9),
+(x^0*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3)^4, (x*(8*c + 7*d*x))/(54*a^2*(a + b*x^3)^2) + (2*x*(10*c + 7*d*x))/(81*a^3*(a + b*x^3)) - (a*e - b*x*(c + d*x))/(9*a*b*(a + b*x^3)^3) - (2*(20*b^(1//3)*c + 7*a^(1//3)*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(81*sqrt(3)*a^(11//3)*b^(2//3)) + (2*(20*b^(1//3)*c - 7*a^(1//3)*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(243*a^(11//3)*b^(2//3)) - ((20*b^(1//3)*c - 7*a^(1//3)*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(243*a^(11//3)*b^(2//3)), x, 9),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^1*(a + b*x^3)^4), (x*(a*d + a*e*x - b*c*x^2))/(9*a^2*(a + b*x^3)^3) + (x*(8*a*d + 7*a*e*x - 15*b*c*x^2))/(54*a^3*(a + b*x^3)^2) + (x*(40*a*d + 28*a*e*x - 99*b*c*x^2))/(162*a^4*(a + b*x^3)) - (2*(20*b^(1//3)*d + 7*a^(1//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(81*sqrt(3)*a^(11//3)*b^(2//3)) + (c*log(x))/a^4 + (2*(20*b^(1//3)*d - 7*a^(1//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(243*a^(11//3)*b^(2//3)) - ((20*b^(1//3)*d - 7*a^(1//3)*e)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(243*a^(11//3)*b^(2//3)) - (c*log(a + b*x^3))/(3*a^4), x, 13),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^2*(a + b*x^3)^4), -(c/(a^4*x)) + (x*(a*e - b*c*x - b*d*x^2))/(9*a^2*(a + b*x^3)^3) + (x*(8*a*e - 16*b*c*x - 15*b*d*x^2))/(54*a^3*(a + b*x^3)^2) + (x*(40*a*e - 118*b*c*x - 99*b*d*x^2))/(162*a^4*(a + b*x^3)) + (20*(7*b^(2//3)*c - 2*a^(2//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(81*sqrt(3)*a^(13//3)*b^(1//3)) + (d*log(x))/a^4 + (20*(7*b^(2//3)*c + 2*a^(2//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(243*a^(13//3)*b^(1//3)) - (10*(7*b^(2//3)*c + 2*a^(2//3)*e)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(243*a^(13//3)*b^(1//3)) - (d*log(a + b*x^3))/(3*a^4), x, 13),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^3*(a + b*x^3)^4), -(c/(2*a^4*x^2)) - d/(a^4*x) - (x*(b*c + b*d*x + b*e*x^2))/(9*a^2*(a + b*x^3)^3) - (x*(17*b*c + 16*b*d*x + 15*b*e*x^2))/(54*a^3*(a + b*x^3)^2) - (x*(139*b*c + 118*b*d*x + 99*b*e*x^2))/(162*a^4*(a + b*x^3)) + (20*b^(1//3)*(11*b^(1//3)*c + 7*a^(1//3)*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(81*sqrt(3)*a^(14//3)) + (e*log(x))/a^4 - (20*b^(1//3)*(11*b^(1//3)*c - 7*a^(1//3)*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(243*a^(14//3)) + (10*b^(1//3)*(11*b^(1//3)*c - 7*a^(1//3)*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(243*a^(14//3)) - (e*log(a + b*x^3))/(3*a^4), x, 13),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^4*(a + b*x^3)^4), -(c/(3*a^4*x^3)) - d/(2*a^4*x^2) - e/(a^4*x) - (x*(b*d + b*e*x - (b^2*c*x^2)/a))/(9*a^2*(a + b*x^3)^3) - (x*(17*b*d + 16*b*e*x - (24*b^2*c*x^2)/a))/(54*a^3*(a + b*x^3)^2) - (x*(139*b*d + 118*b*e*x - (234*b^2*c*x^2)/a))/(162*a^4*(a + b*x^3)) + (20*b^(1//3)*(11*b^(1//3)*d + 7*a^(1//3)*e)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(81*sqrt(3)*a^(14//3)) - (4*b*c*log(x))/a^5 - (20*b^(1//3)*(11*b^(1//3)*d - 7*a^(1//3)*e)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(243*a^(14//3)) + (10*b^(1//3)*(11*b^(1//3)*d - 7*a^(1//3)*e)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(243*a^(14//3)) + (4*b*c*log(a + b*x^3))/(3*a^5), x, 13),
+
+
+((2*a*x - x^2)/(a^3 + x^3), -((2*atan((a - 2*x)/(sqrt(3)*a)))/sqrt(3)) - log(a + x), x, 5),
+(x*(2*a - x)/(a^3 + x^3), -((2*atan((a - 2*x)/(sqrt(3)*a)))/sqrt(3)) - log(a + x), x, 4),
+
+((2*a*x + x^2)/(a^3 - x^3), -((2*atan((a + 2*x)/(sqrt(3)*a)))/sqrt(3)) - log(a - x), x, 5),
+(x*(2*a + x)/(a^3 - x^3), -((2*atan((a + 2*x)/(sqrt(3)*a)))/sqrt(3)) - log(a - x), x, 4),
+
+
+(x*(-2*(a/b)^(1//3)*C + C*x)/(a + b*x^3), (2*C*atan((1 - (2*x)/(a/b)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b) + (C*log((a/b)^(1//3) + x))/b, x, 4),
+(x*(-2*(-(a/b))^(1//3)*C + C*x)/(a - b*x^3), -((2*C*atan((1 - (2*x)/(-(a/b))^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b)) - (C*log((-(a/b))^(1//3) + x))/b, x, 4),
+
+(x*(2*(-(a/b))^(1//3)*C + C*x)/(a + b*x^3), (2*C*atan((1 + (2*x)/(-(a/b))^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b) + (C*log((-(a/b))^(1//3) - x))/b, x, 4),
+(x*(2*(a/b)^(1//3)*C + C*x)/(a - b*x^3), -((2*C*atan((1 + (2*x)/(a/b)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b)) - (C*log((a/b)^(1//3) - x))/b, x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m P5(x) (a+b x^3)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^4*(a + b*x^3)*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5), (a*c*x^5)/5 + (a*d*x^6)/6 + (a*e*x^7)/7 + ((b*c + a*f)*x^8)/8 + ((b*d + a*g)*x^9)/9 + ((b*e + a*h)*x^10)/10 + (b*f*x^11)/11 + (b*g*x^12)/12 + (b*h*x^13)/13, x, 2),
+(x^3*(a + b*x^3)*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5), (a*c*x^4)/4 + (a*d*x^5)/5 + (a*e*x^6)/6 + ((b*c + a*f)*x^7)/7 + ((b*d + a*g)*x^8)/8 + ((b*e + a*h)*x^9)/9 + (b*f*x^10)/10 + (b*g*x^11)/11 + (b*h*x^12)/12, x, 2),
+(x^2*(a + b*x^3)*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5), (a*c*x^3)/3 + (a*d*x^4)/4 + (a*e*x^5)/5 + ((b*c + a*f)*x^6)/6 + ((b*d + a*g)*x^7)/7 + ((b*e + a*h)*x^8)/8 + (b*f*x^9)/9 + (b*g*x^10)/10 + (b*h*x^11)/11, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^3)*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5), (a*c*x^2)/2 + (a*d*x^3)/3 + (a*e*x^4)/4 + ((b*c + a*f)*x^5)/5 + ((b*d + a*g)*x^6)/6 + ((b*e + a*h)*x^7)/7 + (b*f*x^8)/8 + (b*g*x^9)/9 + (b*h*x^10)/10, x, 2),
+(x^0*(a + b*x^3)*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5), a*c*x + (a*d*x^2)/2 + (a*e*x^3)/3 + ((b*c + a*f)*x^4)/4 + ((b*d + a*g)*x^5)/5 + ((b*e + a*h)*x^6)/6 + (b*f*x^7)/7 + (b*g*x^8)/8 + (b*h*x^9)/9, x, 2),
+(((a + b*x^3)*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5))/x^1, a*d*x + (a*e*x^2)/2 + ((b*c + a*f)*x^3)/3 + ((b*d + a*g)*x^4)/4 + ((b*e + a*h)*x^5)/5 + (b*f*x^6)/6 + (b*g*x^7)/7 + (b*h*x^8)/8 + a*c*log(x), x, 2),
+(((a + b*x^3)*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5))/x^2, -((a*c)/x) + a*e*x + ((b*c + a*f)*x^2)/2 + ((b*d + a*g)*x^3)/3 + ((b*e + a*h)*x^4)/4 + (b*f*x^5)/5 + (b*g*x^6)/6 + (b*h*x^7)/7 + a*d*log(x), x, 2),
+(((a + b*x^3)*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5))/x^3, -(a*c)/(2*x^2) - (a*d)/x + (b*c + a*f)*x + ((b*d + a*g)*x^2)/2 + ((b*e + a*h)*x^3)/3 + (b*f*x^4)/4 + (b*g*x^5)/5 + (b*h*x^6)/6 + a*e*log(x), x, 2),
+(((a + b*x^3)*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5))/x^4, -(a*c)/(3*x^3) - (a*d)/(2*x^2) - (a*e)/x + (b*d + a*g)*x + ((b*e + a*h)*x^2)/2 + (b*f*x^3)/3 + (b*g*x^4)/4 + (b*h*x^5)/5 + (b*c + a*f)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x^3)*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5))/x^5, -(a*c)/(4*x^4) - (a*d)/(3*x^3) - (a*e)/(2*x^2) - (b*c + a*f)/x + (b*e + a*h)*x + (b*f*x^2)/2 + (b*g*x^3)/3 + (b*h*x^4)/4 + (b*d + a*g)*log(x), x, 2),
+
+
+(x^4*(a + b*x^3)^2*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5), (a^2*c*x^5)/5 + (a^2*d*x^6)/6 + (a^2*e*x^7)/7 + (a*(2*b*c + a*f)*x^8)/8 + (a*(2*b*d + a*g)*x^9)/9 + (a*(2*b*e + a*h)*x^10)/10 + (b*(b*c + 2*a*f)*x^11)/11 + (b*(b*d + 2*a*g)*x^12)/12 + (b*(b*e + 2*a*h)*x^13)/13 + (b^2*f*x^14)/14 + (b^2*g*x^15)/15 + (b^2*h*x^16)/16, x, 2),
+(x^3*(a + b*x^3)^2*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5), (a^2*c*x^4)/4 + (a^2*d*x^5)/5 + (a^2*e*x^6)/6 + (a*(2*b*c + a*f)*x^7)/7 + (a*(2*b*d + a*g)*x^8)/8 + (a*(2*b*e + a*h)*x^9)/9 + (b*(b*c + 2*a*f)*x^10)/10 + (b*(b*d + 2*a*g)*x^11)/11 + (b*(b*e + 2*a*h)*x^12)/12 + (b^2*f*x^13)/13 + (b^2*g*x^14)/14 + (b^2*h*x^15)/15, x, 2),
+(x^2*(a + b*x^3)^2*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5), (a^2*d*x^4)/4 + (a^2*e*x^5)/5 + (a^2*f*x^6)/6 + (a*(2*b*d + a*g)*x^7)/7 + (a*(2*b*e + a*h)*x^8)/8 + (2*a*b*f*x^9)/9 + (b*(b*d + 2*a*g)*x^10)/10 + (b*(b*e + 2*a*h)*x^11)/11 + (b^2*f*x^12)/12 + (b^2*g*x^13)/13 + (b^2*h*x^14)/14 + (c*(a + b*x^3)^3)/(9*b), x, 3),
+(x^1*(a + b*x^3)^2*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5), (a^2*c*x^2)/2 + (a^2*e*x^4)/4 + (a*(2*b*c + a*f)*x^5)/5 + (a^2*g*x^6)/6 + (a*(2*b*e + a*h)*x^7)/7 + (b*(b*c + 2*a*f)*x^8)/8 + (2*a*b*g*x^9)/9 + (b*(b*e + 2*a*h)*x^10)/10 + (b^2*f*x^11)/11 + (b^2*g*x^12)/12 + (b^2*h*x^13)/13 + (d*(a + b*x^3)^3)/(9*b), x, 3),
+(x^0*(a + b*x^3)^2*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5), a^2*c*x + (a^2*d*x^2)/2 + (a*(2*b*c + a*f)*x^4)/4 + (a*(2*b*d + a*g)*x^5)/5 + (a^2*h*x^6)/6 + (b*(b*c + 2*a*f)*x^7)/7 + (b*(b*d + 2*a*g)*x^8)/8 + (2*a*b*h*x^9)/9 + (b^2*f*x^10)/10 + (b^2*g*x^11)/11 + (b^2*h*x^12)/12 + (e*(a + b*x^3)^3)/(9*b), x, 3),
+(((a + b*x^3)^2*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5))/x^1, a^2*d*x + (a^2*e*x^2)/2 + (2*a*b*c*x^3)/3 + (a*(2*b*d + a*g)*x^4)/4 + (a*(2*b*e + a*h)*x^5)/5 + (b^2*c*x^6)/6 + (b*(b*d + 2*a*g)*x^7)/7 + (b*(b*e + 2*a*h)*x^8)/8 + (b^2*g*x^10)/10 + (b^2*h*x^11)/11 + (f*(a + b*x^3)^3)/(9*b) + a^2*c*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^3)^2*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5))/x^2, -((a^2*c)/x) + a^2*e*x + (a*(2*b*c + a*f)*x^2)/2 + (2*a*b*d*x^3)/3 + (a*(2*b*e + a*h)*x^4)/4 + (b*(b*c + 2*a*f)*x^5)/5 + (b^2*d*x^6)/6 + (b*(b*e + 2*a*h)*x^7)/7 + (b^2*f*x^8)/8 + (b^2*h*x^10)/10 + (g*(a + b*x^3)^3)/(9*b) + a^2*d*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^3)^2*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5))/x^3, -(a^2*c)/(2*x^2) - (a^2*d)/x + a*(2*b*c + a*f)*x + (a*(2*b*d + a*g)*x^2)/2 + (2*a*b*e*x^3)/3 + (b*(b*c + 2*a*f)*x^4)/4 + (b*(b*d + 2*a*g)*x^5)/5 + (b^2*e*x^6)/6 + (b^2*f*x^7)/7 + (b^2*g*x^8)/8 + (h*(a + b*x^3)^3)/(9*b) + a^2*e*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^3)^2*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5))/x^4, -(a^2*c)/(3*x^3) - (a^2*d)/(2*x^2) - (a^2*e)/x + a*(2*b*d + a*g)*x + (a*(2*b*e + a*h)*x^2)/2 + (b*(b*c + 2*a*f)*x^3)/3 + (b*(b*d + 2*a*g)*x^4)/4 + (b*(b*e + 2*a*h)*x^5)/5 + (b^2*f*x^6)/6 + (b^2*g*x^7)/7 + (b^2*h*x^8)/8 + a*(2*b*c + a*f)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x^3)^2*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5))/x^5, -(a^2*c)/(4*x^4) - (a^2*d)/(3*x^3) - (a^2*e)/(2*x^2) - (a*(2*b*c + a*f))/x + a*(2*b*e + a*h)*x + (b*(b*c + 2*a*f)*x^2)/2 + (b*(b*d + 2*a*g)*x^3)/3 + (b*(b*e + 2*a*h)*x^4)/4 + (b^2*f*x^5)/5 + (b^2*g*x^6)/6 + (b^2*h*x^7)/7 + a*(2*b*d + a*g)*log(x), x, 2),
+
+
+(x^4*(a + b*x^3)^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5), (a^3*c*x^5)/5 + (a^3*d*x^6)/6 + (a^3*e*x^7)/7 + (a^2*(3*b*c + a*f)*x^8)/8 + (a^2*(3*b*d + a*g)*x^9)/9 + (a^2*(3*b*e + a*h)*x^10)/10 + (3*a*b*(b*c + a*f)*x^11)/11 + (a*b*(b*d + a*g)*x^12)/4 + (3*a*b*(b*e + a*h)*x^13)/13 + (b^2*(b*c + 3*a*f)*x^14)/14 + (b^2*(b*d + 3*a*g)*x^15)/15 + (b^2*(b*e + 3*a*h)*x^16)/16 + (b^3*f*x^17)/17 + (b^3*g*x^18)/18 + (b^3*h*x^19)/19, x, 2),
+(x^3*(a + b*x^3)^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5), (a^3*c*x^4)/4 + (a^3*d*x^5)/5 + (a^3*e*x^6)/6 + (a^2*(3*b*c + a*f)*x^7)/7 + (a^2*(3*b*d + a*g)*x^8)/8 + (a^2*(3*b*e + a*h)*x^9)/9 + (3*a*b*(b*c + a*f)*x^10)/10 + (3*a*b*(b*d + a*g)*x^11)/11 + (a*b*(b*e + a*h)*x^12)/4 + (b^2*(b*c + 3*a*f)*x^13)/13 + (b^2*(b*d + 3*a*g)*x^14)/14 + (b^2*(b*e + 3*a*h)*x^15)/15 + (b^3*f*x^16)/16 + (b^3*g*x^17)/17 + (b^3*h*x^18)/18, x, 2),
+(x^2*(a + b*x^3)^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5), (a^3*d*x^4)/4 + (a^3*e*x^5)/5 + (a^3*f*x^6)/6 + (a^2*(3*b*d + a*g)*x^7)/7 + (a^2*(3*b*e + a*h)*x^8)/8 + (a^2*b*f*x^9)/3 + (3*a*b*(b*d + a*g)*x^10)/10 + (3*a*b*(b*e + a*h)*x^11)/11 + (a*b^2*f*x^12)/4 + (b^2*(b*d + 3*a*g)*x^13)/13 + (b^2*(b*e + 3*a*h)*x^14)/14 + (b^3*f*x^15)/15 + (b^3*g*x^16)/16 + (b^3*h*x^17)/17 + (c*(a + b*x^3)^4)/(12*b), x, 3),
+(x^1*(a + b*x^3)^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5), (a^3*c*x^2)/2 + (a^3*e*x^4)/4 + (a^2*(3*b*c + a*f)*x^5)/5 + (a^3*g*x^6)/6 + (a^2*(3*b*e + a*h)*x^7)/7 + (3*a*b*(b*c + a*f)*x^8)/8 + (a^2*b*g*x^9)/3 + (3*a*b*(b*e + a*h)*x^10)/10 + (b^2*(b*c + 3*a*f)*x^11)/11 + (a*b^2*g*x^12)/4 + (b^2*(b*e + 3*a*h)*x^13)/13 + (b^3*f*x^14)/14 + (b^3*g*x^15)/15 + (b^3*h*x^16)/16 + (d*(a + b*x^3)^4)/(12*b), x, 3),
+(x^0*(a + b*x^3)^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5), a^3*c*x + (a^3*d*x^2)/2 + (a^2*(3*b*c + a*f)*x^4)/4 + (a^2*(3*b*d + a*g)*x^5)/5 + (a^3*h*x^6)/6 + (3*a*b*(b*c + a*f)*x^7)/7 + (3*a*b*(b*d + a*g)*x^8)/8 + (a^2*b*h*x^9)/3 + (b^2*(b*c + 3*a*f)*x^10)/10 + (b^2*(b*d + 3*a*g)*x^11)/11 + (a*b^2*h*x^12)/4 + (b^3*f*x^13)/13 + (b^3*g*x^14)/14 + (b^3*h*x^15)/15 + (e*(a + b*x^3)^4)/(12*b), x, 3),
+(((a + b*x^3)^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5))/x^1, a^3*d*x + (a^3*e*x^2)/2 + a^2*b*c*x^3 + (a^2*(3*b*d + a*g)*x^4)/4 + (a^2*(3*b*e + a*h)*x^5)/5 + (a*b^2*c*x^6)/2 + (3*a*b*(b*d + a*g)*x^7)/7 + (3*a*b*(b*e + a*h)*x^8)/8 + (b^3*c*x^9)/9 + (b^2*(b*d + 3*a*g)*x^10)/10 + (b^2*(b*e + 3*a*h)*x^11)/11 + (b^3*g*x^13)/13 + (b^3*h*x^14)/14 + (f*(a + b*x^3)^4)/(12*b) + a^3*c*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^3)^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5))/x^2, -((a^3*c)/x) + a^3*e*x + (a^2*(3*b*c + a*f)*x^2)/2 + a^2*b*d*x^3 + (a^2*(3*b*e + a*h)*x^4)/4 + (3*a*b*(b*c + a*f)*x^5)/5 + (a*b^2*d*x^6)/2 + (3*a*b*(b*e + a*h)*x^7)/7 + (b^2*(b*c + 3*a*f)*x^8)/8 + (b^3*d*x^9)/9 + (b^2*(b*e + 3*a*h)*x^10)/10 + (b^3*f*x^11)/11 + (b^3*h*x^13)/13 + (g*(a + b*x^3)^4)/(12*b) + a^3*d*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^3)^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5))/x^3, -(a^3*c)/(2*x^2) - (a^3*d)/x + a^2*(3*b*c + a*f)*x + (a^2*(3*b*d + a*g)*x^2)/2 + a^2*b*e*x^3 + (3*a*b*(b*c + a*f)*x^4)/4 + (3*a*b*(b*d + a*g)*x^5)/5 + (a*b^2*e*x^6)/2 + (b^2*(b*c + 3*a*f)*x^7)/7 + (b^2*(b*d + 3*a*g)*x^8)/8 + (b^3*e*x^9)/9 + (b^3*f*x^10)/10 + (b^3*g*x^11)/11 + (h*(a + b*x^3)^4)/(12*b) + a^3*e*log(x), x, 3),
+(((a + b*x^3)^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5))/x^4, -(a^3*c)/(3*x^3) - (a^3*d)/(2*x^2) - (a^3*e)/x + a^2*(3*b*d + a*g)*x + (a^2*(3*b*e + a*h)*x^2)/2 + a*b*(b*c + a*f)*x^3 + (3*a*b*(b*d + a*g)*x^4)/4 + (3*a*b*(b*e + a*h)*x^5)/5 + (b^2*(b*c + 3*a*f)*x^6)/6 + (b^2*(b*d + 3*a*g)*x^7)/7 + (b^2*(b*e + 3*a*h)*x^8)/8 + (b^3*f*x^9)/9 + (b^3*g*x^10)/10 + (b^3*h*x^11)/11 + a^2*(3*b*c + a*f)*log(x), x, 2),
+(((a + b*x^3)^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5))/x^5, -(a^3*c)/(4*x^4) - (a^3*d)/(3*x^3) - (a^3*e)/(2*x^2) - (a^2*(3*b*c + a*f))/x + a^2*(3*b*e + a*h)*x + (3*a*b*(b*c + a*f)*x^2)/2 + a*b*(b*d + a*g)*x^3 + (3*a*b*(b*e + a*h)*x^4)/4 + (b^2*(b*c + 3*a*f)*x^5)/5 + (b^2*(b*d + 3*a*g)*x^6)/6 + (b^2*(b*e + 3*a*h)*x^7)/7 + (b^3*f*x^8)/8 + (b^3*g*x^9)/9 + (b^3*h*x^10)/10 + a^2*(3*b*d + a*g)*log(x), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^3), -((a*(b*e - a*h)*x)/b^3) + ((b*c - a*f)*x^2)/(2*b^2) + ((b*d - a*g)*x^3)/(3*b^2) + ((b*e - a*h)*x^4)/(4*b^2) + (f*x^5)/(5*b) + (g*x^6)/(6*b) + (h*x^7)/(7*b) + (a^(2//3)*(b^(5//3)*c - a^(2//3)*b*e - a*b^(2//3)*f + a^(5//3)*h)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(10//3)) + (a^(2//3)*(b^(2//3)*(b*c - a*f) + a^(2//3)*(b*e - a*h))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(10//3)) - (a^(2//3)*(b^(2//3)*(b*c - a*f) + a^(2//3)*(b*e - a*h))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(10//3)) - (a*(b*d - a*g)*log(a + b*x^3))/(3*b^3), x, 13),
+(x^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^3), ((b*c - a*f)*x)/b^2 + ((b*d - a*g)*x^2)/(2*b^2) + ((b*e - a*h)*x^3)/(3*b^2) + (f*x^4)/(4*b) + (g*x^5)/(5*b) + (h*x^6)/(6*b) + (a^(1//3)*(b^(4//3)*c + a^(1//3)*b*d - a*b^(1//3)*f - a^(4//3)*g)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(8//3)) - (a^(1//3)*(b^(1//3)*(b*c - a*f) - a^(1//3)*(b*d - a*g))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(8//3)) + (a^(1//3)*(b^(1//3)*(b*c - a*f) - a^(1//3)*(b*d - a*g))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(8//3)) - (a*(b*e - a*h)*log(a + b*x^3))/(3*b^3), x, 13),
+(x^2*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^3), ((b*d - a*g)*x)/b^2 + ((b*e - a*h)*x^2)/(2*b^2) + (f*x^3)/(3*b) + (g*x^4)/(4*b) + (h*x^5)/(5*b) + (a^(1//3)*(b^(4//3)*d + a^(1//3)*b*e - a*b^(1//3)*g - a^(4//3)*h)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(8//3)) - (a^(1//3)*(b^(1//3)*(b*d - a*g) - a^(1//3)*(b*e - a*h))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(8//3)) + (a^(1//3)*(b^(1//3)*(b*d - a*g) - a^(1//3)*(b*e - a*h))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(8//3)) + ((b*c - a*f)*log(a + b*x^3))/(3*b^2), x, 13),
+(x^1*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^3), ((b*e - a*h)*x)/b^2 + (f*x^2)/(2*b) + (g*x^3)/(3*b) + (h*x^4)/(4*b) - ((b^(5//3)*c - a^(2//3)*b*e - a*b^(2//3)*f + a^(5//3)*h)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(1//3)*b^(7//3)) - ((b^(2//3)*(b*c - a*f) + a^(2//3)*(b*e - a*h))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(1//3)*b^(7//3)) + ((b^(2//3)*(b*c - a*f) + a^(2//3)*(b*e - a*h))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(1//3)*b^(7//3)) + ((b*d - a*g)*log(a + b*x^3))/(3*b^2), x, 13),
+(x^0*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^3), (f*x)/b + (g*x^2)/(2*b) + (h*x^3)/(3*b) - ((b^(4//3)*c + a^(1//3)*b*d - a*b^(1//3)*f - a^(4//3)*g)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(5//3)) + ((b^(1//3)*(b*c - a*f) - a^(1//3)*(b*d - a*g))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(2//3)*b^(5//3)) - ((b^(1//3)*(b*c - a*f) - a^(1//3)*(b*d - a*g))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(2//3)*b^(5//3)) + ((b*e - a*h)*log(a + b*x^3))/(3*b^2), x, 10),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(x^1*(a + b*x^3)), (g*x)/b + (h*x^2)/(2*b) - ((b^(4//3)*d + a^(1//3)*b*e - a*b^(1//3)*g - a^(4//3)*h)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(5//3)) + (c*log(x))/a + ((b^(1//3)*(b*d - a*g) - a^(1//3)*(b*e - a*h))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(2//3)*b^(5//3)) - ((b^(1//3)*(b*d - a*g) - a^(1//3)*(b*e - a*h))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(2//3)*b^(5//3)) - ((b*c - a*f)*log(a + b*x^3))/(3*a*b), x, 10),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(x^2*(a + b*x^3)), -(c/(a*x)) + (h*x)/b + ((b^(5//3)*c - a^(2//3)*b*e - a*b^(2//3)*f + a^(5//3)*h)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(4//3)*b^(4//3)) + (d*log(x))/a + ((b^(2//3)*(b*c - a*f) + a^(2//3)*(b*e - a*h))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(4//3)*b^(4//3)) - ((b^(2//3)*(b*c - a*f) + a^(2//3)*(b*e - a*h))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(4//3)*b^(4//3)) - ((b*d - a*g)*log(a + b*x^3))/(3*a*b), x, 10),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(x^3*(a + b*x^3)), -c/(2*a*x^2) - d/(a*x) + ((b^(4//3)*c + a^(1//3)*b*d - a*b^(1//3)*f - a^(4//3)*g)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(5//3)*b^(2//3)) + (e*log(x))/a - ((b^(1//3)*(b*c - a*f) - a^(1//3)*(b*d - a*g))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(5//3)*b^(2//3)) + ((b^(1//3)*(b*c - a*f) - a^(1//3)*(b*d - a*g))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(5//3)*b^(2//3)) - ((b*e - a*h)*log(a + b*x^3))/(3*a*b), x, 10),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(x^4*(a + b*x^3)), -c/(3*a*x^3) - d/(2*a*x^2) - e/(a*x) + ((b^(4//3)*d + a^(1//3)*b*e - a*b^(1//3)*g - a^(4//3)*h)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(5//3)*b^(2//3)) - ((b*c - a*f)*log(x))/a^2 - ((b^(1//3)*(b*d - a*g) - a^(1//3)*(b*e - a*h))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(5//3)*b^(2//3)) + ((b^(1//3)*(b*d - a*g) - a^(1//3)*(b*e - a*h))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(5//3)*b^(2//3)) + ((b*c - a*f)*log(a + b*x^3))/(3*a^2), x, 10),
+
+
+(x^4*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^3)^2, ((b*e - 2*a*h)*x)/b^3 + (f*x^2)/(2*b^2) + (g*x^3)/(3*b^2) + (h*x^4)/(4*b^2) + (x*(a*(b*e - a*h) - b*(b*c - a*f)*x - b*(b*d - a*g)*x^2))/(3*b^3*(a + b*x^3)) - ((2*b^(5//3)*c - 4*a^(2//3)*b*e - 5*a*b^(2//3)*f + 7*a^(5//3)*h)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(1//3)*b^(10//3)) - ((b^(2//3)*(2*b*c - 5*a*f) + a^(2//3)*(4*b*e - 7*a*h))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(1//3)*b^(10//3)) + ((b^(2//3)*(2*b*c - 5*a*f) + a^(2//3)*(4*b*e - 7*a*h))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(1//3)*b^(10//3)) + ((b*d - 2*a*g)*log(a + b*x^3))/(3*b^3), x, 11),
+(x^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^3)^2, (f*x)/b^2 + (g*x^2)/(2*b^2) + (h*x^3)/(3*b^2) - (x*(b*c - a*f + (b*d - a*g)*x + (b*e - a*h)*x^2))/(3*b^2*(a + b*x^3)) - ((b^(4//3)*c + 2*a^(1//3)*b*d - 4*a*b^(1//3)*f - 5*a^(4//3)*g)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(2//3)*b^(8//3)) + ((b^(1//3)*(b*c - 4*a*f) - a^(1//3)*(2*b*d - 5*a*g))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(2//3)*b^(8//3)) - ((b^(1//3)*(b*c - 4*a*f) - a^(1//3)*(2*b*d - 5*a*g))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(2//3)*b^(8//3)) + ((b*e - 2*a*h)*log(a + b*x^3))/(3*b^3), x, 11),
+(x^2*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^3)^2, (4*g*x)/(3*b^2) + (5*h*x^2)/(6*b^2) - (c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(3*b*(a + b*x^3)) - ((b^(4//3)*d + 2*a^(1//3)*b*e - 4*a*b^(1//3)*g - 5*a^(4//3)*h)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(2//3)*b^(8//3)) + ((b^(1//3)*(b*d - 4*a*g) - a^(1//3)*(2*b*e - 5*a*h))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(2//3)*b^(8//3)) - ((b^(1//3)*(b*d - 4*a*g) - a^(1//3)*(2*b*e - 5*a*h))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(2//3)*b^(8//3)) + (f*log(a + b*x^3))/(3*b^2), x, 11),
+(x^1*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^3)^2, (h*x)/b^2 - (x*(a*(b*e - a*h) - b*(b*c - a*f)*x - b*(b*d - a*g)*x^2))/(3*a*b^2*(a + b*x^3)) - ((b^(5//3)*c + a^(2//3)*b*e + 2*a*b^(2//3)*f - 4*a^(5//3)*h)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(7//3)) - ((b^(2//3)*(b*c + 2*a*f) - a^(2//3)*(b*e - 4*a*h))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(4//3)*b^(7//3)) + ((b^(2//3)*(b*c + 2*a*f) - a^(2//3)*(b*e - 4*a*h))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(4//3)*b^(7//3)) + (g*log(a + b*x^3))/(3*b^2), x, 11),
+(x^0*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^3)^2, (x*(b*c - a*f + (b*d - a*g)*x + (b*e - a*h)*x^2))/(3*a*b*(a + b*x^3)) - ((2*b^(4//3)*c + a^(1//3)*b*d + a*b^(1//3)*f + 2*a^(4//3)*g)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(5//3)) + ((b^(1//3)*(2*b*c + a*f) - a^(1//3)*(b*d + 2*a*g))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(5//3)*b^(5//3)) - ((b^(1//3)*(2*b*c + a*f) - a^(1//3)*(b*d + 2*a*g))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(5//3)*b^(5//3)) + (h*log(a + b*x^3))/(3*b^2), x, 9),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(x^1*(a + b*x^3)^2), (x*(a*(b*d - a*g) + a*(b*e - a*h)*x - b*(b*c - a*f)*x^2))/(3*a^2*b*(a + b*x^3)) - ((2*b^(4//3)*d + a^(1//3)*b*e + a*b^(1//3)*g + 2*a^(4//3)*h)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(5//3)) + (c*log(x))/a^2 + ((b^(1//3)*(2*b*d + a*g) - a^(1//3)*(b*e + 2*a*h))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(5//3)*b^(5//3)) - ((b^(1//3)*(2*b*d + a*g) - a^(1//3)*(b*e + 2*a*h))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(5//3)*b^(5//3)) - (c*log(a + b*x^3))/(3*a^2), x, 11),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(x^2*(a + b*x^3)^2), -(c/(a^2*x)) + (x*(a*(b*e - a*h) - b*(b*c - a*f)*x - b*(b*d - a*g)*x^2))/(3*a^2*b*(a + b*x^3)) + ((4*b^(5//3)*c - 2*a^(2//3)*b*e - a*b^(2//3)*f - a^(5//3)*h)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(7//3)*b^(4//3)) + (d*log(x))/a^2 + ((b^(2//3)*(4*b*c - a*f) + a^(2//3)*(2*b*e + a*h))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(7//3)*b^(4//3)) - ((b^(2//3)*(4*b*c - a*f) + a^(2//3)*(2*b*e + a*h))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(7//3)*b^(4//3)) - (d*log(a + b*x^3))/(3*a^2), x, 11),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(x^3*(a + b*x^3)^2), -c/(2*a^2*x^2) - d/(a^2*x) - (x*(b*c - a*f + (b*d - a*g)*x + (b*e - a*h)*x^2))/(3*a^2*(a + b*x^3)) + ((5*b^(4//3)*c + 4*a^(1//3)*b*d - 2*a*b^(1//3)*f - a^(4//3)*g)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(8//3)*b^(2//3)) + (e*log(x))/a^2 - ((b^(1//3)*(5*b*c - 2*a*f) - a^(1//3)*(4*b*d - a*g))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(8//3)*b^(2//3)) + ((b^(1//3)*(5*b*c - 2*a*f) - a^(1//3)*(4*b*d - a*g))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(8//3)*b^(2//3)) - (e*log(a + b*x^3))/(3*a^2), x, 11),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(x^4*(a + b*x^3)^2), -c/(3*a^2*x^3) - d/(2*a^2*x^2) - e/(a^2*x) - (x*(b*d - a*g + (b*e - a*h)*x - b*((b*c)/a - f)*x^2))/(3*a^2*(a + b*x^3)) + ((5*b^(4//3)*d + 4*a^(1//3)*b*e - 2*a*b^(1//3)*g - a^(4//3)*h)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(3*sqrt(3)*a^(8//3)*b^(2//3)) - ((2*b*c - a*f)*log(x))/a^3 - ((b^(1//3)*(5*b*d - 2*a*g) - a^(1//3)*(4*b*e - a*h))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(9*a^(8//3)*b^(2//3)) + ((b^(1//3)*(5*b*d - 2*a*g) - a^(1//3)*(4*b*e - a*h))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(18*a^(8//3)*b^(2//3)) + ((2*b*c - a*f)*log(a + b*x^3))/(3*a^3), x, 11),
+
+
+(x^4*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^3)^3, (h*x)/b^3 + (x*(a*(b*e - a*h) - b*(b*c - a*f)*x - b*(b*d - a*g)*x^2))/(6*b^3*(a + b*x^3)^2) - (x*(a*(7*b*e - 13*a*h) - 2*b*(b*c - 4*a*f)*x - 3*b*(b*d - 3*a*g)*x^2))/(18*a*b^3*(a + b*x^3)) - ((b^(5//3)*c + 2*a^(2//3)*b*e + 5*a*b^(2//3)*f - 14*a^(5//3)*h)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(10//3)) - ((b^(2//3)*(b*c + 5*a*f) - 2*a^(2//3)*(b*e - 7*a*h))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(4//3)*b^(10//3)) + ((b^(2//3)*(b*c + 5*a*f) - 2*a^(2//3)*(b*e - 7*a*h))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(4//3)*b^(10//3)) + (g*log(a + b*x^3))/(3*b^3), x, 12),
+(x^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^3)^3, -(x*(b*c - a*f + (b*d - a*g)*x + (b*e - a*h)*x^2))/(6*b^2*(a + b*x^3)^2) + (x*(b*c - 7*a*f + 2*(b*d - 4*a*g)*x + 3*(b*e - 3*a*h)*x^2))/(18*a*b^2*(a + b*x^3)) - ((b^(4//3)*c + a^(1//3)*b*d + 2*a*b^(1//3)*f + 5*a^(4//3)*g)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(8//3)) + ((b^(1//3)*(b*c + 2*a*f) - a^(1//3)*(b*d + 5*a*g))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(5//3)*b^(8//3)) - ((b^(1//3)*(b*c + 2*a*f) - a^(1//3)*(b*d + 5*a*g))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(5//3)*b^(8//3)) + (h*log(a + b*x^3))/(3*b^3), x, 10),
+(x^2*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^3)^3, (x*(b*d - 4*a*g + (2*b*e - 5*a*h)*x + 3*b*f*x^2))/(18*a*b^2*(a + b*x^3)) - (c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(6*b*(a + b*x^3)^2) - ((b^(4//3)*d + a^(1//3)*b*e + 2*a*b^(1//3)*g + 5*a^(4//3)*h)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(8//3)) + ((b^(1//3)*(b*d + 2*a*g) - a^(1//3)*(b*e + 5*a*h))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(5//3)*b^(8//3)) - ((b^(1//3)*(b*d + 2*a*g) - a^(1//3)*(b*e + 5*a*h))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(5//3)*b^(8//3)), x, 8),
+(x^1*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^3)^3, -(x*(a*(b*e - a*h) - b*(b*c - a*f)*x - b*(b*d - a*g)*x^2))/(6*a*b^2*(a + b*x^3)^2) + (x*(a*(b*e - 7*a*h) + 2*b*(2*b*c + a*f)*x + 3*b*(b*d + a*g)*x^2))/(18*a^2*b^2*(a + b*x^3)) - ((2*b^(5//3)*c + a^(2//3)*b*e + a*b^(2//3)*f + 2*a^(5//3)*h)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(7//3)*b^(7//3)) - ((b^(2//3)*(2*b*c + a*f) - a^(2//3)*(b*e + 2*a*h))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(7//3)*b^(7//3)) + ((b^(2//3)*(2*b*c + a*f) - a^(2//3)*(b*e + 2*a*h))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(7//3)*b^(7//3)), x, 8),
+(x^0*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^3)^3, (x*(b*c - a*f + (b*d - a*g)*x + (b*e - a*h)*x^2))/(6*a*b*(a + b*x^3)^2) - (3*a*(b*e + a*h) - b*x*(5*b*c + a*f + 2*(2*b*d + a*g)*x))/(18*a^2*b^2*(a + b*x^3)) - ((5*b^(4//3)*c + 2*a^(1//3)*b*d + a*b^(1//3)*f + a^(4//3)*g)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(8//3)*b^(5//3)) + ((b^(1//3)*(5*b*c + a*f) - a^(1//3)*(2*b*d + a*g))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(8//3)*b^(5//3)) - ((b^(1//3)*(5*b*c + a*f) - a^(1//3)*(2*b*d + a*g))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(8//3)*b^(5//3)), x, 8),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(x^1*(a + b*x^3)^3), (x*(a*(b*d - a*g) + a*(b*e - a*h)*x - b*(b*c - a*f)*x^2))/(6*a^2*b*(a + b*x^3)^2) + (x*(a*(5*b*d + a*g) + 2*a*(2*b*e + a*h)*x - 3*b*(3*b*c - a*f)*x^2))/(18*a^3*b*(a + b*x^3)) - ((5*b^(4//3)*d + 2*a^(1//3)*b*e + a*b^(1//3)*g + a^(4//3)*h)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(8//3)*b^(5//3)) + (c*log(x))/a^3 + ((b^(1//3)*(5*b*d + a*g) - a^(1//3)*(2*b*e + a*h))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(8//3)*b^(5//3)) - ((b^(1//3)*(5*b*d + a*g) - a^(1//3)*(2*b*e + a*h))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(8//3)*b^(5//3)) - (c*log(a + b*x^3))/(3*a^3), x, 12),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(x^2*(a + b*x^3)^3), -(c/(a^3*x)) + (x*(a*(b*e - a*h) - b*(b*c - a*f)*x - b*(b*d - a*g)*x^2))/(6*a^2*b*(a + b*x^3)^2) + (x*(a*(5*b*e + a*h) - 2*b*(5*b*c - 2*a*f)*x - 3*b*(3*b*d - a*g)*x^2))/(18*a^3*b*(a + b*x^3)) + ((14*b^(5//3)*c - 5*a^(2//3)*b*e - 2*a*b^(2//3)*f - a^(5//3)*h)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(10//3)*b^(4//3)) + (d*log(x))/a^3 + ((2*b^(2//3)*(7*b*c - a*f) + a^(2//3)*(5*b*e + a*h))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(10//3)*b^(4//3)) - ((2*b^(2//3)*(7*b*c - a*f) + a^(2//3)*(5*b*e + a*h))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(10//3)*b^(4//3)) - (d*log(a + b*x^3))/(3*a^3), x, 12),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(x^3*(a + b*x^3)^3), -c/(2*a^3*x^2) - d/(a^3*x) - (x*(b*c - a*f + (b*d - a*g)*x + (b*e - a*h)*x^2))/(6*a^2*(a + b*x^3)^2) - (x*(11*b*c - 5*a*f + 2*(5*b*d - 2*a*g)*x + 3*(3*b*e - a*h)*x^2))/(18*a^3*(a + b*x^3)) + ((20*b^(4//3)*c + 14*a^(1//3)*b*d - 5*a*b^(1//3)*f - 2*a^(4//3)*g)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(11//3)*b^(2//3)) + (e*log(x))/a^3 - ((5*b^(1//3)*(4*b*c - a*f) - 2*a^(1//3)*(7*b*d - a*g))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(11//3)*b^(2//3)) + ((5*b^(1//3)*(4*b*c - a*f) - 2*a^(1//3)*(7*b*d - a*g))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(11//3)*b^(2//3)) - (e*log(a + b*x^3))/(3*a^3), x, 12),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(x^4*(a + b*x^3)^3), -c/(3*a^3*x^3) - d/(2*a^3*x^2) - e/(a^3*x) - (x*(b*d - a*g + (b*e - a*h)*x - b*((b*c)/a - f)*x^2))/(6*a^2*(a + b*x^3)^2) - (x*(11*b*d - 5*a*g + 2*(5*b*e - 2*a*h)*x - 3*b*((5*b*c)/a - 3*f)*x^2))/(18*a^3*(a + b*x^3)) + ((20*b^(4//3)*d + 14*a^(1//3)*b*e - 5*a*b^(1//3)*g - 2*a^(4//3)*h)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(11//3)*b^(2//3)) - ((3*b*c - a*f)*log(x))/a^4 - ((5*b^(1//3)*(4*b*d - a*g) - 2*a^(1//3)*(7*b*e - a*h))*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(11//3)*b^(2//3)) + ((5*b^(1//3)*(4*b*d - a*g) - 2*a^(1//3)*(7*b*e - a*h))*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(11//3)*b^(2//3)) + ((3*b*c - a*f)*log(a + b*x^3))/(3*a^4), x, 12),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m P2(x) (a+b x^3)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+(x^3*(c + d*x + e*x^2)/sqrt(a + b*x^3), -((4*a*e*sqrt(a + b*x^3))/(9*b^2)) + (2*c*x*sqrt(a + b*x^3))/(5*b) + (2*d*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(7*b) + (2*e*x^3*sqrt(a + b*x^3))/(9*b) - (8*a*d*sqrt(a + b*x^3))/(7*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*d*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (4*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*a*(7*b^(1//3)*c - 10*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*d)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(35*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 10),
+(x^2*(c + d*x + e*x^2)/sqrt(a + b*x^3), (2*c*sqrt(a + b*x^3))/(3*b) + (2*d*x*sqrt(a + b*x^3))/(5*b) + (2*e*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(7*b) - (8*a*e*sqrt(a + b*x^3))/(7*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*e*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (4*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*a*(7*b^(1//3)*d - 10*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*e)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(35*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 8),
+(x^1*(c + d*x + e*x^2)/sqrt(a + b*x^3), (2*d*sqrt(a + b*x^3))/(3*b) + (2*e*x*sqrt(a + b*x^3))/(5*b) + (2*c*sqrt(a + b*x^3))/(b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*c*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (2*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(1//3)*(5*(1 - sqrt(3))*b^(2//3)*c + 2*a^(2//3)*e)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(5*sqrt(3)*b^(4//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+(x^0*(c + d*x + e*x^2)/sqrt(a + b*x^3), (2*e*sqrt(a + b*x^3))/(3*b) + (2*d*sqrt(a + b*x^3))/(b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*d*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*(b^(1//3)*c - (1 - sqrt(3))*a^(1//3)*d)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 5),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^1*sqrt(a + b*x^3)), (2*e*sqrt(a + b*x^3))/(b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (2*c*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*sqrt(a)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*e*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*(b^(1//3)*d - (1 - sqrt(3))*a^(1//3)*e)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 7),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^2*sqrt(a + b*x^3)), -((c*sqrt(a + b*x^3))/(a*x)) + (b^(1//3)*c*sqrt(a + b*x^3))/(a*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (2*d*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*sqrt(a)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(1//3)*c*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*((1 - sqrt(3))*b^(2//3)*c - 2*a^(2//3)*e)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(a^(2//3)*b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 8),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^3*sqrt(a + b*x^3)), -((c*sqrt(a + b*x^3))/(2*a*x^2)) - (d*sqrt(a + b*x^3))/(a*x) + (b^(1//3)*d*sqrt(a + b*x^3))/(a*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (2*e*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*sqrt(a)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(1//3)*d*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(1//3)*(b^(1//3)*c + 2*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*d)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt(3)*a*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 9),
+
+
+(x^5*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3)^(3//2), (2*x*(a*d + a*e*x - b*c*x^2))/(3*b^2*sqrt(a + b*x^3)) + (4*c*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^2) + (2*d*x*sqrt(a + b*x^3))/(5*b^2) + (2*e*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(7*b^2) - (80*a*e*sqrt(a + b*x^3))/(21*b^(8//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (40*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*e*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(21*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (16*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*a*(14*b^(1//3)*d - 25*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*e)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(105*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 8),
+(x^4*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3)^(3//2), (2*x*(a*e - b*c*x - b*d*x^2))/(3*b^2*sqrt(a + b*x^3)) + (4*d*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^2) + (2*e*x*sqrt(a + b*x^3))/(5*b^2) + (8*c*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*c*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (8*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(1//3)*(5*(1 - sqrt(3))*b^(2//3)*c + 4*a^(2//3)*e)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(15*sqrt(3)*b^(7//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 7),
+(x^3*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3)^(3//2), -((2*x*(c + d*x + e*x^2))/(3*b*sqrt(a + b*x^3))) + (4*e*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^2) + (8*d*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*d*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (4*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*(b^(1//3)*c - 2*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*d)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+(x^2*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3)^(3//2), -((2*(c + d*x + e*x^2))/(3*b*sqrt(a + b*x^3))) + (8*e*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*e*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (4*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*(b^(1//3)*d - 2*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*e)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(x^1*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3)^(3//2), -((2*x*(a*e - b*c*x - b*d*x^2))/(3*a*b*sqrt(a + b*x^3))) - (2*d*sqrt(a + b*x^3))/(3*a*b) - (2*c*sqrt(a + b*x^3))/(3*a*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (sqrt(2 - sqrt(3))*c*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*a^(2//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(b^(2//3)*(c - sqrt(3)*c) + 2*a^(2//3)*e)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(2//3)*b^(4//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 6),
+(x^0*(c + d*x + e*x^2)/(a + b*x^3)^(3//2), -((2*d*sqrt(a + b*x^3))/(3*a*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x))) - (2*(a*e - b*x*(c + d*x)))/(3*a*b*sqrt(a + b*x^3)) + (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*d*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*a^(2//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*(b^(1//3)*c + (1 - sqrt(3))*a^(1//3)*d)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*a*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^1*(a + b*x^3)^(3//2)), (2*x*(a*d + a*e*x - b*c*x^2))/(3*a^2*sqrt(a + b*x^3)) + (2*c*sqrt(a + b*x^3))/(3*a^2) - (2*e*sqrt(a + b*x^3))/(3*a*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (2*c*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*a^(3//2)) + (sqrt(2 - sqrt(3))*e*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*a^(2//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(b^(1//3)*d + (1 - sqrt(3))*a^(1//3)*e)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 10),
+((c + d*x + e*x^2)/(x^2*(a + b*x^3)^(3//2)), (2*x*(a*e - b*c*x - b*d*x^2))/(3*a^2*sqrt(a + b*x^3)) + (2*d*sqrt(a + b*x^3))/(3*a^2) - (c*sqrt(a + b*x^3))/(a^2*x) + (5*b^(1//3)*c*sqrt(a + b*x^3))/(3*a^2*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (2*d*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*a^(3//2)) - (5*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(1//3)*c*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(6*a^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(5*(1 - sqrt(3))*b^(2//3)*c - 2*a^(2//3)*e)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 11),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m P4(x) (a+b x^3)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*sqrt(a + b*x^3)*x^3, -((4*a^2*e*sqrt(a + b*x^3))/(45*b^2)) + (6*a*(17*b*c - 8*a*f)*x*sqrt(a + b*x^3))/(935*b^2) + (6*a*(19*b*d - 10*a*g)*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(1729*b^2) + (2*a*e*x^3*sqrt(a + b*x^3))/(45*b) + (6*a*f*x^4*sqrt(a + b*x^3))/(187*b) + (6*a*g*x^5*sqrt(a + b*x^3))/(247*b) - (24*a^2*(19*b*d - 10*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(1729*b^(8//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*x^3*sqrt(a + b*x^3)*(62985*c*x + 53295*d*x^2 + 46189*e*x^3 + 40755*f*x^4 + 36465*g*x^5))/692835 + (12*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(7//3)*(19*b*d - 10*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (4*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^2*(1729*b^(1//3)*(17*b*c - 8*a*f) - 1870*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*(19*b*d - 10*a*g))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1616615*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 13),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*sqrt(a + b*x^3)*x^2, (2*a*(5*b*c - 2*a*f)*sqrt(a + b*x^3))/(45*b^2) + (6*a*(17*b*d - 8*a*g)*x*sqrt(a + b*x^3))/(935*b^2) + (6*a*e*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(91*b) + (2*a*f*x^3*sqrt(a + b*x^3))/(45*b) + (6*a*g*x^4*sqrt(a + b*x^3))/(187*b) - (24*a^2*e*sqrt(a + b*x^3))/(91*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*x^2*sqrt(a + b*x^3)*(12155*c*x + 9945*d*x^2 + 8415*e*x^3 + 7293*f*x^4 + 6435*g*x^5))/109395 + (12*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(7//3)*e*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (4*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^2*(1547*b*d - 1870*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*b^(2//3)*e - 728*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(85085*b^(7//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 11),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*sqrt(a + b*x^3)*x^1, (2*a*(5*b*d - 2*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(45*b^2) + (6*a*e*x*sqrt(a + b*x^3))/(55*b) + (6*a*f*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(91*b) + (2*a*g*x^3*sqrt(a + b*x^3))/(45*b) + (6*a*(13*b*c - 4*a*f)*sqrt(a + b*x^3))/(91*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*x*sqrt(a + b*x^3)*(6435*c*x + 5005*d*x^2 + 4095*e*x^3 + 3465*f*x^4 + 3003*g*x^5))/45045 - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*(13*b*c - 4*a*f)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (2*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(4//3)*(182*a^(2//3)*b^(1//3)*e + 55*(1 - sqrt(3))*(13*b*c - 4*a*f))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(5005*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 9),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*sqrt(a + b*x^3)*x^0, (2*a*e*sqrt(a + b*x^3))/(9*b) + (6*a*f*x*sqrt(a + b*x^3))/(55*b) + (6*a*g*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(91*b) + (6*a*(13*b*d - 4*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(91*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*sqrt(a + b*x^3)*(9009*c*x + 6435*d*x^2 + 5005*e*x^3 + 4095*f*x^4 + 3465*g*x^5))/45045 - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*(13*b*d - 4*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a*(91*b^(1//3)*(11*b*c - 2*a*f) - 55*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*(13*b*d - 4*a*g))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(5005*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 8),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*sqrt(a + b*x^3)/x^1, (2*a*f*sqrt(a + b*x^3))/(9*b) + (6*a*g*x*sqrt(a + b*x^3))/(55*b) + (6*a*e*sqrt(a + b*x^3))/(7*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*sqrt(a + b*x^3)*(1155*c*x + 693*d*x^2 + 495*e*x^3 + 385*f*x^4 + 315*g*x^5))/(3465*x) - (2//3)*sqrt(a)*c*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*e*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (2*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a*(77*b*d - 55*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*b^(2//3)*e - 14*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(385*b^(4//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 11),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*sqrt(a + b*x^3)/x^2, (2*a*g*sqrt(a + b*x^3))/(9*b) - (3*c*sqrt(a + b*x^3))/x + (3*(7*b*c + 2*a*f)*sqrt(a + b*x^3))/(7*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*sqrt(a + b*x^3)*(315*c*x + 105*d*x^2 + 63*e*x^3 + 45*f*x^4 + 35*g*x^5))/(315*x^2) - (2//3)*sqrt(a)*d*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*(7*b*c + 2*a*f)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(14*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(1//3)*(14*a^(2//3)*b^(1//3)*e - 5*(1 - sqrt(3))*(7*b*c + 2*a*f))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(35*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 11),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*sqrt(a + b*x^3)/x^3, (3*c*sqrt(a + b*x^3))/(2*x^2) - (3*d*sqrt(a + b*x^3))/x + (3*(7*b*d + 2*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(7*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (2*sqrt(a + b*x^3)*(105*c*x - 105*d*x^2 - 35*e*x^3 - 21*f*x^4 - 15*g*x^5))/(105*x^3) - (2//3)*sqrt(a)*e*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*(7*b*d + 2*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(14*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(7*b^(1//3)*(5*b*c + 4*a*f) - 10*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*(7*b*d + 2*a*g))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(70*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 10),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*sqrt(a + b*x^3)/x^4, (c*sqrt(a + b*x^3))/(3*x^3) + (3*d*sqrt(a + b*x^3))/(2*x^2) - (3*e*sqrt(a + b*x^3))/x + (3*b^(1//3)*e*sqrt(a + b*x^3))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x) - (2*sqrt(a + b*x^3)*(5*c*x + 15*d*x^2 - 15*e*x^3 - 5*f*x^4 - 3*g*x^5))/(15*x^4) - ((b*c + 2*a*f)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*sqrt(a)) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*b^(1//3)*e*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(5*b*d - 10*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*b^(2//3)*e + 4*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(10*b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 11),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*sqrt(a + b*x^3)/x^5, (3*c*sqrt(a + b*x^3))/(20*x^4) + (d*sqrt(a + b*x^3))/(3*x^3) + (3*e*sqrt(a + b*x^3))/(2*x^2) - (3*(b*c + 8*a*f)*sqrt(a + b*x^3))/(8*a*x) + (3*b^(1//3)*(b*c + 8*a*f)*sqrt(a + b*x^3))/(8*a*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (2*sqrt(a + b*x^3)*(3*c*x + 5*d*x^2 + 15*e*x^3 - 15*f*x^4 - 5*g*x^5))/(15*x^5) - ((b*d + 2*a*g)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*sqrt(a)) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(1//3)*(b*c + 8*a*f)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(1//3)*(4*a^(2//3)*b^(1//3)*e - (1 - sqrt(3))*(b*c + 8*a*f))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(8*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 12),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*sqrt(a + b*x^3)/x^6, (-(1//60))*((12*c)/x^5 + (15*d)/x^4 + (20*e)/x^3 + (30*f)/x^2 + (60*g)/x)*sqrt(a + b*x^3) - (3*b*c*sqrt(a + b*x^3))/(20*a*x^2) - (3*b*d*sqrt(a + b*x^3))/(8*a*x) + (3*b^(1//3)*(b*d + 8*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(8*a*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (b*e*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*sqrt(a)) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(1//3)*(b*d + 8*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(1//3)*(2*b^(1//3)*(b*c - 10*a*f) + 5*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*(b*d + 8*a*g))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(40*a*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 10),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*sqrt(a + b*x^3)/x^7, (-(1//60))*((10*c)/x^6 + (12*d)/x^5 + (15*e)/x^4 + (20*f)/x^3 + (30*g)/x^2)*sqrt(a + b*x^3) - (b*c*sqrt(a + b*x^3))/(12*a*x^3) - (3*b*d*sqrt(a + b*x^3))/(20*a*x^2) - (3*b*e*sqrt(a + b*x^3))/(8*a*x) + (3*b^(4//3)*e*sqrt(a + b*x^3))/(8*a*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (b*(b*c - 4*a*f)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(12*a^(3//2)) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(4//3)*e*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(2//3)*(2*b*d + 5*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*b^(2//3)*e - 20*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(40*a*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 11),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*sqrt(a + b*x^3)/x^8, (-(1//420))*((60*c)/x^7 + (70*d)/x^6 + (84*e)/x^5 + (105*f)/x^4 + (140*g)/x^3)*sqrt(a + b*x^3) - (3*b*c*sqrt(a + b*x^3))/(56*a*x^4) - (b*d*sqrt(a + b*x^3))/(12*a*x^3) - (3*b*e*sqrt(a + b*x^3))/(20*a*x^2) + (3*b*(5*b*c - 14*a*f)*sqrt(a + b*x^3))/(112*a^2*x) - (3*b^(4//3)*(5*b*c - 14*a*f)*sqrt(a + b*x^3))/(112*a^2*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (b*(b*d - 4*a*g)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(12*a^(3//2)) + (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(4//3)*(5*b*c - 14*a*f)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(224*a^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(4//3)*(28*a^(2//3)*b^(1//3)*e - 5*(1 - sqrt(3))*(5*b*c - 14*a*f))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(560*a^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 12),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*sqrt(a + b*x^3)/x^9, (-(1//840))*((105*c)/x^8 + (120*d)/x^7 + (140*e)/x^6 + (168*f)/x^5 + (210*g)/x^4)*sqrt(a + b*x^3) - (3*b*c*sqrt(a + b*x^3))/(80*a*x^5) - (3*b*d*sqrt(a + b*x^3))/(56*a*x^4) - (b*e*sqrt(a + b*x^3))/(12*a*x^3) + (3*b*(7*b*c - 16*a*f)*sqrt(a + b*x^3))/(320*a^2*x^2) + (3*b*(5*b*d - 14*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(112*a^2*x) - (3*b^(4//3)*(5*b*d - 14*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(112*a^2*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (b^2*e*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(12*a^(3//2)) + (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(4//3)*(5*b*d - 14*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(224*a^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(4//3)*(7*b^(1//3)*(7*b*c - 16*a*f) + 20*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*(5*b*d - 14*a*g))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2240*a^2*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 13),
+
+
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*(a + b*x^3)^(3//2)*x^3, -((4*a^3*e*sqrt(a + b*x^3))/(105*b^2)) + (54*a^2*(23*b*c - 8*a*f)*x*sqrt(a + b*x^3))/(21505*b^2) + (54*a^2*(5*b*d - 2*a*g)*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(8645*b^2) + (2*a^2*e*x^3*sqrt(a + b*x^3))/(105*b) + (54*a^2*f*x^4*sqrt(a + b*x^3))/(4301*b) + (54*a^2*g*x^5*sqrt(a + b*x^3))/(6175*b) - (216*a^3*(5*b*d - 2*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(8645*b^(8//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*x^3*(a + b*x^3)^(3//2)*(229425*c*x + 205275*d*x^2 + 185725*e*x^3 + 169575*f*x^4 + 156009*g*x^5))/3900225 + (2*a*x^3*sqrt(a + b*x^3)*(8947575*c*x + 6774075*d*x^2 + 5311735*e*x^3 + 4279275*f*x^4 + 3522519*g*x^5))/185910725 + (108*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(10//3)*(5*b*d - 2*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(8645*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (36*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^3*(1729*b^(1//3)*(23*b*c - 8*a*f) - 8602*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*(5*b*d - 2*a*g))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(37182145*b^(8//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 14),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*(a + b*x^3)^(3//2)*x^2, (2*a^2*(7*b*c - 2*a*f)*sqrt(a + b*x^3))/(105*b^2) + (54*a^2*(23*b*d - 8*a*g)*x*sqrt(a + b*x^3))/(21505*b^2) + (54*a^2*e*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(1729*b) + (2*a^2*f*x^3*sqrt(a + b*x^3))/(105*b) + (54*a^2*g*x^4*sqrt(a + b*x^3))/(4301*b) - (216*a^3*e*sqrt(a + b*x^3))/(1729*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*x^2*(a + b*x^3)^(3//2)*(52003*c*x + 45885*d*x^2 + 41055*e*x^3 + 37145*f*x^4 + 33915*g*x^5))/780045 + (2*a*x^2*sqrt(a + b*x^3)*(7436429*c*x + 5368545*d*x^2 + 4064445*e*x^3 + 3187041*f*x^4 + 2567565*g*x^5))/111546435 + (108*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(10//3)*e*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (36*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^3*(43010*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*b^(2//3)*e - 1729*(23*b*d - 8*a*g))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(37182145*b^(7//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 12),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*(a + b*x^3)^(3//2)*x^1, (2*a^2*(7*b*d - 2*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(105*b^2) + (54*a^2*e*x*sqrt(a + b*x^3))/(935*b) + (54*a^2*f*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(1729*b) + (2*a^2*g*x^3*sqrt(a + b*x^3))/(105*b) + (54*a^2*(19*b*c - 4*a*f)*sqrt(a + b*x^3))/(1729*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*x*(a + b*x^3)^(3//2)*(33915*c*x + 29393*d*x^2 + 25935*e*x^3 + 23205*f*x^4 + 20995*g*x^5))/440895 + (2*a*x*sqrt(a + b*x^3)*(479655*c*x + 323323*d*x^2 + 233415*e*x^3 + 176715*f*x^4 + 138567*g*x^5))/4849845 - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(7//3)*(19*b*c - 4*a*f)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (18*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(7//3)*(3458*a^(2//3)*b^(1//3)*e + 935*(1 - sqrt(3))*(19*b*c - 4*a*f))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1616615*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 10),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*(a + b*x^3)^(3//2)*x^0, (2*a^2*e*sqrt(a + b*x^3))/(15*b) + (54*a^2*f*x*sqrt(a + b*x^3))/(935*b) + (54*a^2*g*x^2*sqrt(a + b*x^3))/(1729*b) + (54*a^2*(19*b*d - 4*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(1729*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*(a + b*x^3)^(3//2)*(62985*c*x + 53295*d*x^2 + 46189*e*x^3 + 40755*f*x^4 + 36465*g*x^5))/692835 + (2*a*sqrt(a + b*x^3)*(793611*c*x + 479655*d*x^2 + 323323*e*x^3 + 233415*f*x^4 + 176715*g*x^5))/4849845 - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(7//3)*(19*b*d - 4*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1729*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (18*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^2*(1729*b^(1//3)*(17*b*c - 2*a*f) - 935*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*(19*b*d - 4*a*g))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1616615*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 9),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*(a + b*x^3)^(3//2)/x^1, (2*a^2*f*sqrt(a + b*x^3))/(15*b) + (54*a^2*g*x*sqrt(a + b*x^3))/(935*b) + (54*a^2*e*sqrt(a + b*x^3))/(91*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*(a + b*x^3)^(3//2)*(12155*c*x + 9945*d*x^2 + 8415*e*x^3 + 7293*f*x^4 + 6435*g*x^5))/(109395*x) + (2*a*sqrt(a + b*x^3)*(85085*c*x + 41769*d*x^2 + 25245*e*x^3 + 17017*f*x^4 + 12285*g*x^5))/(255255*x) - (2//3)*a^(3//2)*c*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)) - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(7//3)*e*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (18*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^2*(1547*b*d - 935*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*b^(2//3)*e - 182*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(85085*b^(4//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 12),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*(a + b*x^3)^(3//2)/x^2, (2*a^2*g*sqrt(a + b*x^3))/(15*b) - (27*a*c*sqrt(a + b*x^3))/(7*x) + (27*a*(13*b*c + 2*a*f)*sqrt(a + b*x^3))/(91*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) + (2*a*sqrt(a + b*x^3)*(19305*c*x + 5005*d*x^2 + 2457*e*x^3 + 1485*f*x^4 + 1001*g*x^5))/(15015*x^2) + (2*(a + b*x^3)^(3//2)*(6435*c*x + 5005*d*x^2 + 4095*e*x^3 + 3465*f*x^4 + 3003*g*x^5))/(45045*x^2) - (2//3)*a^(3//2)*d*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)) - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*(13*b*c + 2*a*f)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(182*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (9*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(4//3)*(182*a^(2//3)*b^(1//3)*e - 55*(1 - sqrt(3))*(13*b*c + 2*a*f))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(5005*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 12),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*(a + b*x^3)^(3//2)/x^3, (27*a*c*sqrt(a + b*x^3))/(10*x^2) - (27*a*d*sqrt(a + b*x^3))/(7*x) + (27*a*(13*b*d + 2*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(91*b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (2*a*sqrt(a + b*x^3)*(27027*c*x - 19305*d*x^2 - 5005*e*x^3 - 2457*f*x^4 - 1485*g*x^5))/(15015*x^3) + (2*(a + b*x^3)^(3//2)*(9009*c*x + 6435*d*x^2 + 5005*e*x^3 + 4095*f*x^4 + 3465*g*x^5))/(45045*x^3) - (2//3)*a^(3//2)*e*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)) - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*(13*b*d + 2*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(182*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (9*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a*(91*b^(1//3)*(11*b*c + 4*a*f) - 110*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*(13*b*d + 2*a*g))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(10010*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 11),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*(a + b*x^3)^(3//2)/x^4, (a*c*sqrt(a + b*x^3))/x^3 + (27*a*d*sqrt(a + b*x^3))/(10*x^2) - (27*a*e*sqrt(a + b*x^3))/(7*x) + (27*a*b^(1//3)*e*sqrt(a + b*x^3))/(7*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (2*a*sqrt(a + b*x^3)*(1155*c*x + 2079*d*x^2 - 1485*e*x^3 - 385*f*x^4 - 189*g*x^5))/(1155*x^4) + (2*(a + b*x^3)^(3//2)*(1155*c*x + 693*d*x^2 + 495*e*x^3 + 385*f*x^4 + 315*g*x^5))/(3465*x^4) - (1//3)*sqrt(a)*(3*b*c + 2*a*f)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)) - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*b^(1//3)*e*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(14*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (9*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a*(77*b*d - 110*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*b^(2//3)*e + 28*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(770*b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 12),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*(a + b*x^3)^(3//2)/x^5, (27*a*c*sqrt(a + b*x^3))/(20*x^4) + (a*d*sqrt(a + b*x^3))/x^3 + (27*a*e*sqrt(a + b*x^3))/(10*x^2) - (27*(7*b*c + 8*a*f)*sqrt(a + b*x^3))/(56*x) + (27*b^(1//3)*(7*b*c + 8*a*f)*sqrt(a + b*x^3))/(56*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (2*a*sqrt(a + b*x^3)*(189*c*x + 105*d*x^2 + 189*e*x^3 - 135*f*x^4 - 35*g*x^5))/(105*x^5) + (2*(a + b*x^3)^(3//2)*(315*c*x + 105*d*x^2 + 63*e*x^3 + 45*f*x^4 + 35*g*x^5))/(315*x^5) - (1//3)*sqrt(a)*(3*b*d + 2*a*g)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)) - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*b^(1//3)*(7*b*c + 8*a*f)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(112*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (9*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^(1//3)*b^(1//3)*(28*a^(2//3)*b^(1//3)*e - 5*(1 - sqrt(3))*(7*b*c + 8*a*f))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(280*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 13),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*(a + b*x^3)^(3//2)/x^6, (27*b*c*sqrt(a + b*x^3))/(20*x^2) - (27*b*d*sqrt(a + b*x^3))/(8*x) + (27*b^(1//3)*(7*b*d + 8*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(56*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (1//60)*((12*c)/x^5 + (15*d)/x^4 + (20*e)/x^3 + (30*f)/x^2 + (60*g)/x)*(a + b*x^3)^(3//2) - (b*sqrt(a + b*x^3)*(252*c*x - 315*d*x^2 - 140*e*x^3 - 126*f*x^4 - 180*g*x^5))/(140*x^3) - sqrt(a)*b*e*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)) - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*b^(1//3)*(7*b*d + 8*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(112*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (9*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(1//3)*(14*b^(1//3)*(b*c + 2*a*f) - 5*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*(7*b*d + 8*a*g))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(280*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 11),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*(a + b*x^3)^(3//2)/x^7, (b*c*sqrt(a + b*x^3))/(4*x^3) + (27*b*d*sqrt(a + b*x^3))/(20*x^2) - (27*b*e*sqrt(a + b*x^3))/(8*x) + (27*b^(4//3)*e*sqrt(a + b*x^3))/(8*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (1//60)*((10*c)/x^6 + (12*d)/x^5 + (15*e)/x^4 + (20*f)/x^3 + (30*g)/x^2)*(a + b*x^3)^(3//2) - (b*sqrt(a + b*x^3)*(10*c*x + 36*d*x^2 - 45*e*x^3 - 20*f*x^4 - 18*g*x^5))/(20*x^4) - (b*(b*c + 4*a*f)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)) - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*b^(4//3)*e*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(16*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (9*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(2//3)*(2*b*d - 5*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*b^(2//3)*e + 4*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(40*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 12),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*(a + b*x^3)^(3//2)/x^8, (27*b*c*sqrt(a + b*x^3))/(280*x^4) + (b*d*sqrt(a + b*x^3))/(4*x^3) + (27*b*e*sqrt(a + b*x^3))/(20*x^2) - (27*b*(b*c + 14*a*f)*sqrt(a + b*x^3))/(112*a*x) + (27*b^(4//3)*(b*c + 14*a*f)*sqrt(a + b*x^3))/(112*a*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (1//420)*((60*c)/x^7 + (70*d)/x^6 + (84*e)/x^5 + (105*f)/x^4 + (140*g)/x^3)*(a + b*x^3)^(3//2) - (b*sqrt(a + b*x^3)*(36*c*x + 70*d*x^2 + 252*e*x^3 - 315*f*x^4 - 140*g*x^5))/(140*x^5) - (b*(b*d + 4*a*g)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)) - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(4//3)*(b*c + 14*a*f)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(224*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (9*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(4//3)*(28*a^(2//3)*b^(1//3)*e - 5*(1 - sqrt(3))*(b*c + 14*a*f))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(560*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 13),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*(a + b*x^3)^(3//2)/x^9, (-(1//560))*b*((63*c)/x^5 + (90*d)/x^4 + (140*e)/x^3 + (252*f)/x^2 + (630*g)/x)*sqrt(a + b*x^3) - (27*b^2*c*sqrt(a + b*x^3))/(320*a*x^2) - (27*b^2*d*sqrt(a + b*x^3))/(112*a*x) + (27*b^(4//3)*(b*d + 14*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(112*a*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (1//840)*((105*c)/x^8 + (120*d)/x^7 + (140*e)/x^6 + (168*f)/x^5 + (210*g)/x^4)*(a + b*x^3)^(3//2) - (b^2*e*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)) - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(4//3)*(b*d + 14*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(224*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (9*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(4//3)*(7*b^(1//3)*(b*c - 16*a*f) + 20*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*(b*d + 14*a*g))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2240*a*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 11),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*(a + b*x^3)^(3//2)/x^10, -((b*((140*c)/x^6 + (189*d)/x^5 + (270*e)/x^4 + (420*f)/x^3 + (756*g)/x^2)*sqrt(a + b*x^3))/1680) - (b^2*c*sqrt(a + b*x^3))/(24*a*x^3) - (27*b^2*d*sqrt(a + b*x^3))/(320*a*x^2) - (27*b^2*e*sqrt(a + b*x^3))/(112*a*x) + (27*b^(7//3)*e*sqrt(a + b*x^3))/(112*a*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (((280*c)/x^9 + (315*d)/x^8 + (360*e)/x^7 + (420*f)/x^6 + (504*g)/x^5)*(a + b*x^3)^(3//2))/2520 + (b^2*(b*c - 6*a*f)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(24*a^(3//2)) - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(7//3)*e*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(224*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (9*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(5//3)*(7*b*d + 20*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*b^(2//3)*e - 112*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2240*a*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 12),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*(a + b*x^3)^(3//2)/x^11, -((b*((108*c)/x^7 + (140*d)/x^6 + (189*e)/x^5 + (270*f)/x^4 + (420*g)/x^3)*sqrt(a + b*x^3))/1680) - (27*b^2*c*sqrt(a + b*x^3))/(1120*a*x^4) - (b^2*d*sqrt(a + b*x^3))/(24*a*x^3) - (27*b^2*e*sqrt(a + b*x^3))/(320*a*x^2) + (27*b^2*(b*c - 4*a*f)*sqrt(a + b*x^3))/(448*a^2*x) - (27*b^(7//3)*(b*c - 4*a*f)*sqrt(a + b*x^3))/(448*a^2*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (((252*c)/x^10 + (280*d)/x^9 + (315*e)/x^8 + (360*f)/x^7 + (420*g)/x^6)*(a + b*x^3)^(3//2))/2520 + (b^2*(b*d - 6*a*g)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(24*a^(3//2)) + (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(7//3)*(b*c - 4*a*f)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(896*a^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) - (9*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(7//3)*(7*a^(2//3)*b^(1//3)*e - 5*(1 - sqrt(3))*(b*c - 4*a*f))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2240*a^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 13),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4)*(a + b*x^3)^(3//2)/x^12, -((b*((945*c)/x^8 + (1188*d)/x^7 + (1540*e)/x^6 + (2079*f)/x^5 + (2970*g)/x^4)*sqrt(a + b*x^3))/18480) - (27*b^2*c*sqrt(a + b*x^3))/(1760*a*x^5) - (27*b^2*d*sqrt(a + b*x^3))/(1120*a*x^4) - (b^2*e*sqrt(a + b*x^3))/(24*a*x^3) + (27*b^2*(7*b*c - 22*a*f)*sqrt(a + b*x^3))/(7040*a^2*x^2) + (27*b^2*(b*d - 4*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(448*a^2*x) - (27*b^(7//3)*(b*d - 4*a*g)*sqrt(a + b*x^3))/(448*a^2*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)) - (((2520*c)/x^11 + (2772*d)/x^10 + (3080*e)/x^9 + (3465*f)/x^8 + (3960*g)/x^7)*(a + b*x^3)^(3//2))/27720 + (b^3*e*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(24*a^(3//2)) + (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(7//3)*(b*d - 4*a*g)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(896*a^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)) + (9*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*b^(7//3)*(7*b^(1//3)*(7*b*c - 22*a*f) + 110*(1 - sqrt(3))*a^(1//3)*(b*d - 4*a*g))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(49280*a^2*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 14),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m Pq(x) (a+b x^3)^p with p symbolic
+
+
+# {x^0*(c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^p, x, 8, (e*(a + b*x^3)^(1 + p))/(3*b*(1 + p)) + (c*x*(a + b*x^3)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 4/3 + p, 4/3, -((b*x^3)/a)])/a + (d*x^2*(a + b*x^3)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 5/3 + p, 5/3, -((b*x^3)/a)])/(2*a), (e*(a + b*x^3)^(1 + p))/(3*b*(1 + p)) + (c*x*(a + b*x^3)^p*Hypergeometric2F1[1/3, -p, 4/3, -((b*x^3)/a)])/(1 + b*x^3/a)^p + ((1/2)*d*x^2*(a + b*x^3)^p*Hypergeometric2F1[2/3, -p, 5/3, -((b*x^3)/a)])/(1 + b*x^3/a)^p}
+# {x^1*(c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^p, x, 7, (d*(a + b*x^3)^(1 + p))/(3*b*(1 + p)) + (c*x^2*(a + b*x^3)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 5/3 + p, 5/3, -((b*x^3)/a)])/(2*a) + (e*x^4*(a + b*x^3)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 7/3 + p, 7/3, -((b*x^3)/a)])/(4*a), (d*(a + b*x^3)^(1 + p))/(3*b*(1 + p)) + ((1/2)*c*x^2*(a + b*x^3)^p*Hypergeometric2F1[2/3, -p, 5/3, -((b*x^3)/a)])/(1 + b*x^3/a)^p + ((1/4)*e*x^4*(a + b*x^3)^p*Hypergeometric2F1[4/3, -p, 7/3, -((b*x^3)/a)])/(1 + b*x^3/a)^p}
+# {x^2*(c + d*x + e*x^2)*(a + b*x^3)^p, x, 7, (c*(a + b*x^3)^(1 + p))/(3*b*(1 + p)) + (d*x^4*(a + b*x^3)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 7/3 + p, 7/3, -((b*x^3)/a)])/(4*a) + (e*x^5*(a + b*x^3)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 8/3 + p, 8/3, -((b*x^3)/a)])/(5*a), (c*(a + b*x^3)^(1 + p))/(3*b*(1 + p)) + ((1/4)*d*x^4*(a + b*x^3)^p*Hypergeometric2F1[4/3, -p, 7/3, -((b*x^3)/a)])/(1 + b*x^3/a)^p + ((1/5)*e*x^5*(a + b*x^3)^p*Hypergeometric2F1[5/3, -p, 8/3, -((b*x^3)/a)])/(1 + b*x^3/a)^p}
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m Pq(x) (a+b x^4)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m P3(x) (a+b x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^0*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4), a*c*x + (1//2)*a*d*x^2 + (1//3)*a*e*x^3 + (1//4)*a*f*x^4 + (1//5)*b*c*x^5 + (1//6)*b*d*x^6 + (1//7)*b*e*x^7 + (1//8)*b*f*x^8, x, 2),
+(x^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4), (1//4)*a*c*x^4 + (1//5)*a*d*x^5 + (1//6)*a*e*x^6 + (1//7)*a*f*x^7 + (1//8)*b*c*x^8 + (1//9)*b*d*x^9 + (1//10)*b*e*x^10 + (1//11)*b*f*x^11, x, 2),
+
+
+(x^0*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^2, a^2*c*x + (1//2)*a^2*d*x^2 + (1//3)*a^2*e*x^3 + (2//5)*a*b*c*x^5 + (1//3)*a*b*d*x^6 + (2//7)*a*b*e*x^7 + (1//9)*b^2*c*x^9 + (1//10)*b^2*d*x^10 + (1//11)*b^2*e*x^11 + (f*(a + b*x^4)^3)/(12*b), x, 3),
+(x^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^2, (1//5)*a^2*d*x^5 + (1//6)*a^2*e*x^6 + (1//7)*a^2*f*x^7 + (2//9)*a*b*d*x^9 + (1//5)*a*b*e*x^10 + (2//11)*a*b*f*x^11 + (1//13)*b^2*d*x^13 + (1//14)*b^2*e*x^14 + (1//15)*b^2*f*x^15 + (c*(a + b*x^4)^3)/(12*b), x, 3),
+
+
+(x^0*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^3, a^3*c*x + (1//2)*a^3*d*x^2 + (1//3)*a^3*e*x^3 + (3//5)*a^2*b*c*x^5 + (1//2)*a^2*b*d*x^6 + (3//7)*a^2*b*e*x^7 + (1//3)*a*b^2*c*x^9 + (3//10)*a*b^2*d*x^10 + (3//11)*a*b^2*e*x^11 + (1//13)*b^3*c*x^13 + (1//14)*b^3*d*x^14 + (1//15)*b^3*e*x^15 + (f*(a + b*x^4)^4)/(16*b), x, 3),
+(x^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^3, (1//5)*a^3*d*x^5 + (1//6)*a^3*e*x^6 + (1//7)*a^3*f*x^7 + (1//3)*a^2*b*d*x^9 + (3//10)*a^2*b*e*x^10 + (3//11)*a^2*b*f*x^11 + (3//13)*a*b^2*d*x^13 + (3//14)*a*b^2*e*x^14 + (1//5)*a*b^2*f*x^15 + (1//17)*b^3*d*x^17 + (1//18)*b^3*e*x^18 + (1//19)*b^3*f*x^19 + (c*(a + b*x^4)^4)/(16*b), x, 3),
+
+
+(x^0*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^4, a^4*c*x + (1//2)*a^4*d*x^2 + (1//3)*a^4*e*x^3 + (4//5)*a^3*b*c*x^5 + (2//3)*a^3*b*d*x^6 + (4//7)*a^3*b*e*x^7 + (2//3)*a^2*b^2*c*x^9 + (3//5)*a^2*b^2*d*x^10 + (6//11)*a^2*b^2*e*x^11 + (4//13)*a*b^3*c*x^13 + (2//7)*a*b^3*d*x^14 + (4//15)*a*b^3*e*x^15 + (1//17)*b^4*c*x^17 + (1//18)*b^4*d*x^18 + (1//19)*b^4*e*x^19 + (f*(a + b*x^4)^5)/(20*b), x, 3),
+(x^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^4, (1//5)*a^4*d*x^5 + (1//6)*a^4*e*x^6 + (1//7)*a^4*f*x^7 + (4//9)*a^3*b*d*x^9 + (2//5)*a^3*b*e*x^10 + (4//11)*a^3*b*f*x^11 + (6//13)*a^2*b^2*d*x^13 + (3//7)*a^2*b^2*e*x^14 + (2//5)*a^2*b^2*f*x^15 + (4//17)*a*b^3*d*x^17 + (2//9)*a*b^3*e*x^18 + (4//19)*a*b^3*f*x^19 + (1//21)*b^4*d*x^21 + (1//22)*b^4*e*x^22 + (1//23)*b^4*f*x^23 + (c*(a + b*x^4)^5)/(20*b), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^0*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(a - b*x^4), ((sqrt(b)*c - sqrt(a)*e)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)*b^(3//4)) + ((sqrt(b)*c + sqrt(a)*e)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)*b^(3//4)) + (d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*sqrt(b)) - (f*log(a - b*x^4))/(4*b), x, 9),
+(x^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(a - b*x^4), -((d*x)/b) - (e*x^2)/(2*b) - (f*x^3)/(3*b) + (a^(1//4)*(sqrt(b)*d - sqrt(a)*f)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*b^(7//4)) + (a^(1//4)*(sqrt(b)*d + sqrt(a)*f)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*b^(7//4)) + (sqrt(a)*e*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*b^(3//2)) - (c*log(a - b*x^4))/(4*b), x, 12),
+
+(x^0*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(a + b*x^4), (d*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*sqrt(b)) - ((sqrt(b)*c + sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)) + ((sqrt(b)*c + sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)) - ((sqrt(b)*c - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)) + ((sqrt(b)*c - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)) + (f*log(a + b*x^4))/(4*b), x, 15),
+(x^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(a + b*x^4), (d*x)/b + (e*x^2)/(2*b) + (f*x^3)/(3*b) - (sqrt(a)*e*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*b^(3//2)) + (a^(1//4)*(sqrt(b)*d + sqrt(a)*f)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*b^(7//4)) - (a^(1//4)*(sqrt(b)*d + sqrt(a)*f)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*b^(7//4)) + (a^(1//4)*(sqrt(b)*d - sqrt(a)*f)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*b^(7//4)) - (a^(1//4)*(sqrt(b)*d - sqrt(a)*f)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*b^(7//4)) + (c*log(a + b*x^4))/(4*b), x, 18),
+
+
+(x^0*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(a + b*x^4)^2, -((a*f - b*x*(c + d*x + e*x^2))/(4*a*b*(a + b*x^4))) + (d*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*sqrt(b)) - ((3*sqrt(b)*c + sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(3//4)) + ((3*sqrt(b)*c + sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(3//4)) - ((3*sqrt(b)*c - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(3//4)) + ((3*sqrt(b)*c - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(3//4)), x, 14),
+(x^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(a + b*x^4)^2, -((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(4*b*(a + b*x^4))) + (e*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)*b^(3//2)) - ((sqrt(b)*d + 3*sqrt(a)*f)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(7//4)) + ((sqrt(b)*d + 3*sqrt(a)*f)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(7//4)) - ((sqrt(b)*d - 3*sqrt(a)*f)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(7//4)) + ((sqrt(b)*d - 3*sqrt(a)*f)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(7//4)), x, 14),
+
+
+(x^0*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(a + b*x^4)^3, (x*(7*c + 6*d*x + 5*e*x^2))/(32*a^2*(a + b*x^4)) - (a*f - b*x*(c + d*x + e*x^2))/(8*a*b*(a + b*x^4)^2) + (3*d*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*sqrt(b)) - ((21*sqrt(b)*c + 5*sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(3//4)) + ((21*sqrt(b)*c + 5*sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(3//4)) - ((21*sqrt(b)*c - 5*sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(3//4)) + ((21*sqrt(b)*c - 5*sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(3//4)), x, 15),
+(x^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(a + b*x^4)^3, -((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(8*b*(a + b*x^4)^2)) + (x*(d + 2*e*x + 3*f*x^2))/(32*a*b*(a + b*x^4)) + (e*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(3//2)*b^(3//2)) - (3*(sqrt(b)*d + sqrt(a)*f)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(7//4)) + (3*(sqrt(b)*d + sqrt(a)*f)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(7//4)) - (3*(sqrt(b)*d - sqrt(a)*f)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(7//4)) + (3*(sqrt(b)*d - sqrt(a)*f)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(7//4)), x, 15),
+
+
+(x^0*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(a + b*x^4)^4, (x*(11*c + 10*d*x + 9*e*x^2))/(96*a^2*(a + b*x^4)^2) + (x*(77*c + 60*d*x + 45*e*x^2))/(384*a^3*(a + b*x^4)) - (a*f - b*x*(c + d*x + e*x^2))/(12*a*b*(a + b*x^4)^3) + (5*d*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(32*a^(7//2)*sqrt(b)) - ((77*sqrt(b)*c + 15*sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(3//4)) + ((77*sqrt(b)*c + 15*sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(3//4)) - ((77*sqrt(b)*c - 15*sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(512*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(3//4)) + ((77*sqrt(b)*c - 15*sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(512*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(3//4)), x, 16),
+(x^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(a + b*x^4)^4, -((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(12*b*(a + b*x^4)^3)) + (x*(d + 2*e*x + 3*f*x^2))/(96*a*b*(a + b*x^4)^2) + (x*(7*d + 12*e*x + 15*f*x^2))/(384*a^2*b*(a + b*x^4)) + (e*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(32*a^(5//2)*b^(3//2)) - ((7*sqrt(b)*d + 5*sqrt(a)*f)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(7//4)) + ((7*sqrt(b)*d + 5*sqrt(a)*f)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(256*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(7//4)) - ((7*sqrt(b)*d - 5*sqrt(a)*f)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(512*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(7//4)) + ((7*sqrt(b)*d - 5*sqrt(a)*f)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(512*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(7//4)), x, 16),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m P3(x) (a+b x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^4*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*sqrt(a + b*x^4), (2*a*c*x*sqrt(a + b*x^4))/(21*b) - (a*d*x^2*sqrt(a + b*x^4))/(16*b) + (2*a*e*x^3*sqrt(a + b*x^4))/(45*b) - (2*a^2*e*x*sqrt(a + b*x^4))/(15*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (x^5*(9*c + 7*e*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/63 + (f*x^4*(a + b*x^4)^(3//2))/(10*b) - ((8*a*f - 15*b*d*x^2)*(a + b*x^4)^(3//2))/(120*b^2) - (a^2*d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(16*b^(3//2)) + (2*a^(9//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (a^(7//4)*(5*sqrt(b)*c + 7*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(105*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 14),
+(x^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*sqrt(a + b*x^4), (2*a*d*x*sqrt(a + b*x^4))/(21*b) - (a*e*x^2*sqrt(a + b*x^4))/(16*b) + (2*a*f*x^3*sqrt(a + b*x^4))/(45*b) - (2*a^2*f*x*sqrt(a + b*x^4))/(15*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (x^5*(9*d + 7*f*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/63 + ((4*c + 3*e*x^2)*(a + b*x^4)^(3//2))/(24*b) - (a^2*e*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(16*b^(3//2)) + (2*a^(9//4)*f*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (a^(7//4)*(5*sqrt(b)*d + 7*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(105*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 13),
+(x^2*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*sqrt(a + b*x^4), (2*a*e*x*sqrt(a + b*x^4))/(21*b) - (a*f*x^2*sqrt(a + b*x^4))/(16*b) + (2*a*c*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (x^3*(7*c + 5*e*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/35 + ((4*d + 3*f*x^2)*(a + b*x^4)^(3//2))/(24*b) - (a^2*f*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(16*b^(3//2)) - (2*a^(5//4)*c*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (a^(5//4)*(21*sqrt(b)*c - 5*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(105*b^(5//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 12),
+(x^1*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*sqrt(a + b*x^4), (2*a*f*x*sqrt(a + b*x^4))/(21*b) + (c*x^2*sqrt(a + b*x^4))/4 + (2*a*d*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (x^3*(7*d + 5*f*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/35 + (e*(a + b*x^4)^(3//2))/(6*b) + (a*c*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(4*sqrt(b)) - (2*a^(5//4)*d*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (a^(5//4)*(21*sqrt(b)*d - 5*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(105*b^(5//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 12),
+(x^0*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*sqrt(a + b*x^4), (d*x^2*sqrt(a + b*x^4))/4 + (2*a*e*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (x*(5*c + 3*e*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/15 + (f*(a + b*x^4)^(3//2))/(6*b) + (a*d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(4*sqrt(b)) - (2*a^(5//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (a^(3//4)*(5*sqrt(b)*c + 3*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 11),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*sqrt(a + b*x^4))/x^1, (2*a*f*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + ((2*c + e*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/4 + (x*(5*d + 3*f*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/15 + (a*e*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(4*sqrt(b)) - (sqrt(a)*c*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/2 - (2*a^(5//4)*f*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (a^(3//4)*(5*sqrt(b)*d + 3*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 14),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*sqrt(a + b*x^4))/x^2, (2*sqrt(b)*c*x*sqrt(a + b*x^4))/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2) - ((3*c - e*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/(3*x) + ((2*d + f*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/4 + (a*f*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(4*sqrt(b)) - (sqrt(a)*d*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/2 - (2*a^(1//4)*b^(1//4)*c*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/sqrt(a + b*x^4) + (a^(1//4)*(3*sqrt(b)*c + sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(3*b^(1//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 14),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*sqrt(a + b*x^4))/x^3, (2*sqrt(b)*d*x*sqrt(a + b*x^4))/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2) - ((c - e*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/(2*x^2) - ((3*d - f*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/(3*x) + (sqrt(b)*c*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/2 - (sqrt(a)*e*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/2 - (2*a^(1//4)*b^(1//4)*d*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/sqrt(a + b*x^4) + (a^(1//4)*(3*sqrt(b)*d + sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(3*b^(1//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 14),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*sqrt(a + b*x^4))/x^4, (-2*e*sqrt(a + b*x^4))/x + (2*sqrt(b)*e*x*sqrt(a + b*x^4))/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2) - ((c - 3*e*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/(3*x^3) - ((d - f*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/(2*x^2) + (sqrt(b)*d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/2 - (sqrt(a)*f*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/2 - (2*a^(1//4)*b^(1//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/sqrt(a + b*x^4) + (b^(1//4)*(sqrt(b)*c + 3*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(3*a^(1//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 15),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*sqrt(a + b*x^4))/x^5, -(((3*c)/x^4 + (4*d)/x^3 + (6*e)/x^2 + (12*f)/x)*sqrt(a + b*x^4))/12 + (2*sqrt(b)*f*x*sqrt(a + b*x^4))/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2) + (sqrt(b)*e*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/2 - (b*c*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)) - (2*a^(1//4)*b^(1//4)*f*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/sqrt(a + b*x^4) + (b^(1//4)*(sqrt(b)*d + 3*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(3*a^(1//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 13),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*sqrt(a + b*x^4))/x^6, -(((12*c)/x^5 + (15*d)/x^4 + (20*e)/x^3 + (30*f)/x^2)*sqrt(a + b*x^4))/60 - (2*b*c*sqrt(a + b*x^4))/(5*a*x) + (2*b^(3//2)*c*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*a*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (sqrt(b)*f*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/2 - (b*d*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)) - (2*b^(5//4)*c*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*a^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (b^(3//4)*(3*sqrt(b)*c + 5*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*a^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 14),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*sqrt(a + b*x^4))/x^7, -(((10*c)/x^6 + (12*d)/x^5 + (15*e)/x^4 + (20*f)/x^3)*sqrt(a + b*x^4))/60 - (b*c*sqrt(a + b*x^4))/(6*a*x^2) - (2*b*d*sqrt(a + b*x^4))/(5*a*x) + (2*b^(3//2)*d*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*a*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (b*e*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)) - (2*b^(5//4)*d*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*a^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (b^(3//4)*(3*sqrt(b)*d + 5*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*a^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 12),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*sqrt(a + b*x^4))/x^8, -(((60*c)/x^7 + (70*d)/x^6 + (84*e)/x^5 + (105*f)/x^4)*sqrt(a + b*x^4))/420 - (2*b*c*sqrt(a + b*x^4))/(21*a*x^3) - (b*d*sqrt(a + b*x^4))/(6*a*x^2) - (2*b*e*sqrt(a + b*x^4))/(5*a*x) + (2*b^(3//2)*e*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*a*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (b*f*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)) - (2*b^(5//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*a^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (b^(5//4)*(5*sqrt(b)*c - 21*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(105*a^(5//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 13),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*sqrt(a + b*x^4))/x^9, -(((105*c)/x^8 + (120*d)/x^7 + (140*e)/x^6 + (168*f)/x^5)*sqrt(a + b*x^4))/840 - (b*c*sqrt(a + b*x^4))/(16*a*x^4) - (2*b*d*sqrt(a + b*x^4))/(21*a*x^3) - (b*e*sqrt(a + b*x^4))/(6*a*x^2) - (2*b*f*sqrt(a + b*x^4))/(5*a*x) + (2*b^(3//2)*f*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*a*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (b^2*c*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(16*a^(3//2)) - (2*b^(5//4)*f*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*a^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (b^(5//4)*(5*sqrt(b)*d - 21*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(105*a^(5//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 14),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*sqrt(a + b*x^4))/x^10, -(((56*c)/x^9 + (63*d)/x^8 + (72*e)/x^7 + (84*f)/x^6)*sqrt(a + b*x^4))/504 - (2*b*c*sqrt(a + b*x^4))/(45*a*x^5) - (b*d*sqrt(a + b*x^4))/(16*a*x^4) - (2*b*e*sqrt(a + b*x^4))/(21*a*x^3) - (b*f*sqrt(a + b*x^4))/(6*a*x^2) + (2*b^2*c*sqrt(a + b*x^4))/(15*a^2*x) - (2*b^(5//2)*c*x*sqrt(a + b*x^4))/(15*a^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (b^2*d*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(16*a^(3//2)) + (2*b^(9//4)*c*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (b^(7//4)*(7*sqrt(b)*c + 5*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(105*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 15),
+
+
+(x^4*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2), (4*a^2*c*x*sqrt(a + b*x^4))/(77*b) - (a^2*d*x^2*sqrt(a + b*x^4))/(32*b) + (4*a^2*e*x^3*sqrt(a + b*x^4))/(195*b) - (4*a^3*e*x*sqrt(a + b*x^4))/(65*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (2*a*x^5*(117*c + 77*e*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/3003 - (a*d*x^2*(a + b*x^4)^(3//2))/(48*b) + (x^5*(13*c + 11*e*x^2)*(a + b*x^4)^(3//2))/143 + (f*x^4*(a + b*x^4)^(5//2))/(14*b) - ((12*a*f - 35*b*d*x^2)*(a + b*x^4)^(5//2))/(420*b^2) - (a^3*d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(32*b^(3//2)) + (4*a^(13//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(65*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (2*a^(11//4)*(65*sqrt(b)*c + 77*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5005*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 16),
+(x^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2), (4*a^2*d*x*sqrt(a + b*x^4))/(77*b) - (a^2*e*x^2*sqrt(a + b*x^4))/(32*b) + (4*a^2*f*x^3*sqrt(a + b*x^4))/(195*b) - (4*a^3*f*x*sqrt(a + b*x^4))/(65*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (2*a*x^5*(117*d + 77*f*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/3003 - (a*e*x^2*(a + b*x^4)^(3//2))/(48*b) + (x^5*(13*d + 11*f*x^2)*(a + b*x^4)^(3//2))/143 + ((6*c + 5*e*x^2)*(a + b*x^4)^(5//2))/(60*b) - (a^3*e*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(32*b^(3//2)) + (4*a^(13//4)*f*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(65*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (2*a^(11//4)*(65*sqrt(b)*d + 77*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5005*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 15),
+(x^2*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2), (4*a^2*e*x*sqrt(a + b*x^4))/(77*b) - (a^2*f*x^2*sqrt(a + b*x^4))/(32*b) + (4*a^2*c*x*sqrt(a + b*x^4))/(15*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (2*a*x^3*(77*c + 45*e*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/1155 - (a*f*x^2*(a + b*x^4)^(3//2))/(48*b) + (x^3*(11*c + 9*e*x^2)*(a + b*x^4)^(3//2))/99 + ((6*d + 5*f*x^2)*(a + b*x^4)^(5//2))/(60*b) - (a^3*f*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(32*b^(3//2)) - (4*a^(9//4)*c*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (2*a^(9//4)*(77*sqrt(b)*c - 15*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(1155*b^(5//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 14),
+(x^1*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2), (4*a^2*f*x*sqrt(a + b*x^4))/(77*b) + (3*a*c*x^2*sqrt(a + b*x^4))/16 + (4*a^2*d*x*sqrt(a + b*x^4))/(15*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (2*a*x^3*(77*d + 45*f*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/1155 + (c*x^2*(a + b*x^4)^(3//2))/8 + (x^3*(11*d + 9*f*x^2)*(a + b*x^4)^(3//2))/99 + (e*(a + b*x^4)^(5//2))/(10*b) + (3*a^2*c*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(16*sqrt(b)) - (4*a^(9//4)*d*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (2*a^(9//4)*(77*sqrt(b)*d - 15*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(1155*b^(5//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 14),
+(x^0*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2), (3*a*d*x^2*sqrt(a + b*x^4))/16 + (4*a^2*e*x*sqrt(a + b*x^4))/(15*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (2*a*x*(15*c + 7*e*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/105 + (d*x^2*(a + b*x^4)^(3//2))/8 + (x*(9*c + 7*e*x^2)*(a + b*x^4)^(3//2))/63 + (f*(a + b*x^4)^(5//2))/(10*b) + (3*a^2*d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(16*sqrt(b)) - (4*a^(9//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (2*a^(7//4)*(15*sqrt(b)*c + 7*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(105*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 13),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2))/x^1, (4*a^2*f*x*sqrt(a + b*x^4))/(15*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (a*(8*c + 3*e*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/16 + (2*a*x*(15*d + 7*f*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/105 + ((4*c + 3*e*x^2)*(a + b*x^4)^(3//2))/24 + (x*(9*d + 7*f*x^2)*(a + b*x^4)^(3//2))/63 + (3*a^2*e*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(16*sqrt(b)) - (a^(3//2)*c*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/2 - (4*a^(9//4)*f*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (2*a^(7//4)*(15*sqrt(b)*d + 7*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(105*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 16),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2))/x^2, (12*a*sqrt(b)*c*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (2*x*(5*a*e + 21*b*c*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/35 + (a*(8*d + 3*f*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/16 - ((7*c - e*x^2)*(a + b*x^4)^(3//2))/(7*x) + ((4*d + 3*f*x^2)*(a + b*x^4)^(3//2))/24 + (3*a^2*f*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(16*sqrt(b)) - (a^(3//2)*d*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/2 - (12*a^(5//4)*b^(1//4)*c*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(a + b*x^4)) + (2*a^(5//4)*(21*sqrt(b)*c + 5*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(35*b^(1//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 16),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2))/x^3, (12*a*sqrt(b)*d*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + ((2*a*e + 3*b*c*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/4 + (2*x*(5*a*f + 21*b*d*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/35 - ((3*c - e*x^2)*(a + b*x^4)^(3//2))/(6*x^2) - ((7*d - f*x^2)*(a + b*x^4)^(3//2))/(7*x) + (3*a*sqrt(b)*c*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/4 - (a^(3//2)*e*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/2 - (12*a^(5//4)*b^(1//4)*d*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(a + b*x^4)) + (2*a^(5//4)*(21*sqrt(b)*d + 5*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(35*b^(1//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 16),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2))/x^4, (12*a*sqrt(b)*e*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (2*(9*a*e - 5*b*c*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/(15*x) + ((2*a*f + 3*b*d*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/4 - ((5*c - 3*e*x^2)*(a + b*x^4)^(3//2))/(15*x^3) - ((3*d - f*x^2)*(a + b*x^4)^(3//2))/(6*x^2) + (3*a*sqrt(b)*d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/4 - (a^(3//2)*f*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/2 - (12*a^(5//4)*b^(1//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(a + b*x^4)) + (2*a^(3//4)*b^(1//4)*(5*sqrt(b)*c + 9*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*sqrt(a + b*x^4)), x, 16),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2))/x^5, (12*a*sqrt(b)*f*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (3*b*(c + e*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/4 + (2*b*x*(5*d + 9*f*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/15 - (((3*c)/x^4 + (4*d)/x^3 + (6*e)/x^2 + (12*f)/x)*(a + b*x^4)^(3//2))/12 + (3*a*sqrt(b)*e*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/4 - (3*sqrt(a)*b*c*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/4 - (12*a^(5//4)*b^(1//4)*f*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(a + b*x^4)) + (2*a^(3//4)*b^(1//4)*(5*sqrt(b)*d + 9*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*sqrt(a + b*x^4)), x, 15),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2))/x^6, (12*b^(3//2)*c*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (2*b*(9*c - 5*e*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/(15*x) + (3*b*(d + f*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/4 - (((12*c)/x^5 + (15*d)/x^4 + (20*e)/x^3 + (30*f)/x^2)*(a + b*x^4)^(3//2))/60 + (3*a*sqrt(b)*f*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/4 - (3*sqrt(a)*b*d*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/4 - (12*a^(1//4)*b^(5//4)*c*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(a + b*x^4)) + (2*a^(1//4)*b^(3//4)*(9*sqrt(b)*c + 5*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*sqrt(a + b*x^4)), x, 15),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2))/x^7, (12*b^(3//2)*d*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (b*(2*c - 3*e*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/(4*x^2) - (2*b*(9*d - 5*f*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/(15*x) - (((10*c)/x^6 + (12*d)/x^5 + (15*e)/x^4 + (20*f)/x^3)*(a + b*x^4)^(3//2))/60 + (b^(3//2)*c*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/2 - (3*sqrt(a)*b*e*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/4 - (12*a^(1//4)*b^(5//4)*d*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(a + b*x^4)) + (2*a^(1//4)*b^(3//4)*(9*sqrt(b)*d + 5*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*sqrt(a + b*x^4)), x, 15),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2))/x^8, (-12*b*e*sqrt(a + b*x^4))/(5*x) + (12*b^(3//2)*e*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (2*b*(5*c - 21*e*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/(35*x^3) - (b*(2*d - 3*f*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/(4*x^2) - (((60*c)/x^7 + (70*d)/x^6 + (84*e)/x^5 + (105*f)/x^4)*(a + b*x^4)^(3//2))/420 + (b^(3//2)*d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/2 - (3*sqrt(a)*b*f*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/4 - (12*a^(1//4)*b^(5//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(a + b*x^4)) + (2*b^(5//4)*(5*sqrt(b)*c + 21*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(35*a^(1//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 16),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2))/x^9, -(b*((105*c)/x^4 + (160*d)/x^3 + (280*e)/x^2 + (672*f)/x)*sqrt(a + b*x^4))/560 + (12*b^(3//2)*f*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (((105*c)/x^8 + (120*d)/x^7 + (140*e)/x^6 + (168*f)/x^5)*(a + b*x^4)^(3//2))/840 + (b^(3//2)*e*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/2 - (3*b^2*c*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(16*sqrt(a)) - (12*a^(1//4)*b^(5//4)*f*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(a + b*x^4)) + (2*b^(5//4)*(5*sqrt(b)*d + 21*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(35*a^(1//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 14),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2))/x^10, -(b*((224*c)/x^5 + (315*d)/x^4 + (480*e)/x^3 + (840*f)/x^2)*sqrt(a + b*x^4))/1680 - (4*b^2*c*sqrt(a + b*x^4))/(15*a*x) + (4*b^(5//2)*c*x*sqrt(a + b*x^4))/(15*a*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (((56*c)/x^9 + (63*d)/x^8 + (72*e)/x^7 + (84*f)/x^6)*(a + b*x^4)^(3//2))/504 + (b^(3//2)*f*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/2 - (3*b^2*d*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(16*sqrt(a)) - (4*b^(9//4)*c*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*a^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (2*b^(7//4)*(7*sqrt(b)*c + 15*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(105*a^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 15),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2))/x^11, -(b*((168*c)/x^6 + (224*d)/x^5 + (315*e)/x^4 + (480*f)/x^3)*sqrt(a + b*x^4))/1680 - (b^2*c*sqrt(a + b*x^4))/(10*a*x^2) - (4*b^2*d*sqrt(a + b*x^4))/(15*a*x) + (4*b^(5//2)*d*x*sqrt(a + b*x^4))/(15*a*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (((252*c)/x^10 + (280*d)/x^9 + (315*e)/x^8 + (360*f)/x^7)*(a + b*x^4)^(3//2))/2520 - (3*b^2*e*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(16*sqrt(a)) - (4*b^(9//4)*d*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*a^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (2*b^(7//4)*(7*sqrt(b)*d + 15*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(105*a^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 13),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2))/x^12, -(b*((1440*c)/x^7 + (1848*d)/x^6 + (2464*e)/x^5 + (3465*f)/x^4)*sqrt(a + b*x^4))/18480 - (4*b^2*c*sqrt(a + b*x^4))/(77*a*x^3) - (b^2*d*sqrt(a + b*x^4))/(10*a*x^2) - (4*b^2*e*sqrt(a + b*x^4))/(15*a*x) + (4*b^(5//2)*e*x*sqrt(a + b*x^4))/(15*a*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (((360*c)/x^11 + (396*d)/x^10 + (440*e)/x^9 + (495*f)/x^8)*(a + b*x^4)^(3//2))/3960 - (3*b^2*f*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(16*sqrt(a)) - (4*b^(9//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*a^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (2*b^(9//4)*(15*sqrt(b)*c - 77*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(1155*a^(5//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 14),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2))/x^13, -(b*((1155*c)/x^8 + (1440*d)/x^7 + (1848*e)/x^6 + (2464*f)/x^5)*sqrt(a + b*x^4))/18480 - (b^2*c*sqrt(a + b*x^4))/(32*a*x^4) - (4*b^2*d*sqrt(a + b*x^4))/(77*a*x^3) - (b^2*e*sqrt(a + b*x^4))/(10*a*x^2) - (4*b^2*f*sqrt(a + b*x^4))/(15*a*x) + (4*b^(5//2)*f*x*sqrt(a + b*x^4))/(15*a*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (((165*c)/x^12 + (180*d)/x^11 + (198*e)/x^10 + (220*f)/x^9)*(a + b*x^4)^(3//2))/1980 + (b^3*c*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(32*a^(3//2)) - (4*b^(9//4)*f*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*a^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (2*b^(9//4)*(15*sqrt(b)*d - 77*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(1155*a^(5//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 15),
+(((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^(3//2))/x^14, -(b*((12320*c)/x^9 + (15015*d)/x^8 + (18720*e)/x^7 + (24024*f)/x^6)*sqrt(a + b*x^4))/240240 - (4*b^2*c*sqrt(a + b*x^4))/(195*a*x^5) - (b^2*d*sqrt(a + b*x^4))/(32*a*x^4) - (4*b^2*e*sqrt(a + b*x^4))/(77*a*x^3) - (b^2*f*sqrt(a + b*x^4))/(10*a*x^2) + (4*b^3*c*sqrt(a + b*x^4))/(65*a^2*x) - (4*b^(7//2)*c*x*sqrt(a + b*x^4))/(65*a^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (((660*c)/x^13 + (715*d)/x^12 + (780*e)/x^11 + (858*f)/x^10)*(a + b*x^4)^(3//2))/8580 + (b^3*d*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(32*a^(3//2)) + (4*b^(13//4)*c*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(65*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (2*b^(11//4)*(77*sqrt(b)*c + 65*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5005*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 16),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
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+((x^4*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3))/sqrt(a + b*x^4), (c*x*sqrt(a + b*x^4))/(3*b) + (e*x^3*sqrt(a + b*x^4))/(5*b) + (f*x^4*sqrt(a + b*x^4))/(6*b) - (3*a*e*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - ((4*a*f - 3*b*d*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/(12*b^2) - (a*d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(4*b^(3//2)) + (3*a^(5//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (a^(3//4)*(5*sqrt(b)*c + 9*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(30*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 12),
+((x^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3))/sqrt(a + b*x^4), (d*x*sqrt(a + b*x^4))/(3*b) + (f*x^3*sqrt(a + b*x^4))/(5*b) - (3*a*f*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + ((2*c + e*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/(4*b) - (a*e*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(4*b^(3//2)) + (3*a^(5//4)*f*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (a^(3//4)*(5*sqrt(b)*d + 9*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(30*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 11),
+((x^2*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3))/sqrt(a + b*x^4), (e*x*sqrt(a + b*x^4))/(3*b) + (c*x*sqrt(a + b*x^4))/(sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + ((2*d + f*x^2)*sqrt(a + b*x^4))/(4*b) - (a*f*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(4*b^(3//2)) - (a^(1//4)*c*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (a^(1//4)*(3*sqrt(b)*c - sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(6*b^(5//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 10),
+((x^1*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3))/sqrt(a + b*x^4), (e*sqrt(a + b*x^4))/(2*b) + (f*x*sqrt(a + b*x^4))/(3*b) + (d*x*sqrt(a + b*x^4))/(sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (c*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(2*sqrt(b)) - (a^(1//4)*d*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (a^(1//4)*(3*sqrt(b)*d - sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(6*b^(5//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 10),
+(x^0*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/sqrt(a + b*x^4), (f*sqrt(a + b*x^4))/(2*b) + (e*x*sqrt(a + b*x^4))/(sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(2*sqrt(b)) - (a^(1//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (a^(1//4)*((sqrt(b)*c)/sqrt(a) + e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 9),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(x^1*sqrt(a + b*x^4)), (f*x*sqrt(a + b*x^4))/(sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (e*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(2*sqrt(b)) - (c*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)) - (a^(1//4)*f*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (a^(1//4)*((sqrt(b)*d)/sqrt(a) + f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 12),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(x^2*sqrt(a + b*x^4)), -((c*sqrt(a + b*x^4))/(a*x)) + (sqrt(b)*c*x*sqrt(a + b*x^4))/(a*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (f*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(2*sqrt(b)) - (d*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)) - (b^(1//4)*c*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(a^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + ((sqrt(b)*c + sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*b^(1//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 13),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(x^3*sqrt(a + b*x^4)), -(c*sqrt(a + b*x^4))/(2*a*x^2) - (d*sqrt(a + b*x^4))/(a*x) + (sqrt(b)*d*x*sqrt(a + b*x^4))/(a*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (e*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)) - (b^(1//4)*d*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(a^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + ((sqrt(b)*d + sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*b^(1//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 11),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(x^4*sqrt(a + b*x^4)), -(c*sqrt(a + b*x^4))/(3*a*x^3) - (d*sqrt(a + b*x^4))/(2*a*x^2) - (e*sqrt(a + b*x^4))/(a*x) + (sqrt(b)*e*x*sqrt(a + b*x^4))/(a*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (f*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)) - (b^(1//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(a^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (b^(1//4)*(sqrt(b)*c - 3*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(6*a^(5//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 12),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(x^5*sqrt(a + b*x^4)), -(c*sqrt(a + b*x^4))/(4*a*x^4) - (d*sqrt(a + b*x^4))/(3*a*x^3) - (e*sqrt(a + b*x^4))/(2*a*x^2) - (f*sqrt(a + b*x^4))/(a*x) + (sqrt(b)*f*x*sqrt(a + b*x^4))/(a*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (b*c*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)) - (b^(1//4)*f*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(a^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (b^(1//4)*(sqrt(b)*d - 3*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(6*a^(5//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 13),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(x^6*sqrt(a + b*x^4)), -(c*sqrt(a + b*x^4))/(5*a*x^5) - (d*sqrt(a + b*x^4))/(4*a*x^4) - (e*sqrt(a + b*x^4))/(3*a*x^3) - (f*sqrt(a + b*x^4))/(2*a*x^2) + (3*b*c*sqrt(a + b*x^4))/(5*a^2*x) - (3*b^(3//2)*c*x*sqrt(a + b*x^4))/(5*a^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (b*d*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)) + (3*b^(5//4)*c*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (b^(3//4)*(9*sqrt(b)*c + 5*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(30*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 14),
+
+
+((x^6*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3))/(a + b*x^4)^(3//2), (x*(a*e + a*f*x - b*c*x^2 - b*d*x^3))/(2*b^2*sqrt(a + b*x^4)) + (d*sqrt(a + b*x^4))/b^2 + (e*x*sqrt(a + b*x^4))/(3*b^2) + (f*x^2*sqrt(a + b*x^4))/(4*b^2) + (3*c*x*sqrt(a + b*x^4))/(2*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (3*a*f*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(4*b^(5//2)) - (3*a^(1//4)*c*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (a^(1//4)*(9*sqrt(b)*c - 5*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(12*b^(9//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 12),
+((x^5*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3))/(a + b*x^4)^(3//2), (x*(a*f - b*c*x - b*d*x^2 - b*e*x^3))/(2*b^2*sqrt(a + b*x^4)) + (e*sqrt(a + b*x^4))/b^2 + (f*x*sqrt(a + b*x^4))/(3*b^2) + (3*d*x*sqrt(a + b*x^4))/(2*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (c*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(2*b^(3//2)) - (3*a^(1//4)*d*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) + (a^(1//4)*(9*sqrt(b)*d - 5*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(12*b^(9//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 11),
+((x^4*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3))/(a + b*x^4)^(3//2), -(x*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3))/(2*b*sqrt(a + b*x^4)) + (f*sqrt(a + b*x^4))/b^2 + (3*e*x*sqrt(a + b*x^4))/(2*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (d*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(2*b^(3//2)) - (3*a^(1//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) + ((sqrt(b)*c + 3*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 10),
+((x^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3))/(a + b*x^4)^(3//2), -(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(2*b*sqrt(a + b*x^4)) + (3*f*x*sqrt(a + b*x^4))/(2*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (e*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(2*b^(3//2)) - (3*a^(1//4)*f*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) + ((sqrt(b)*d + 3*sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*b^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 9),
+((x^2*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3))/(a + b*x^4)^(3//2), -(x*(a*e + a*f*x - b*c*x^2 - b*d*x^3))/(2*a*b*sqrt(a + b*x^4)) - (d*sqrt(a + b*x^4))/(2*a*b) - (c*x*sqrt(a + b*x^4))/(2*a*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (f*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a + b*x^4)))/(2*b^(3//2)) + (c*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) - ((sqrt(b)*c - sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(3//4)*b^(5//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 10),
+((x^1*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3))/(a + b*x^4)^(3//2), -(x*(a*f - b*c*x - b*d*x^2 - b*e*x^3))/(2*a*b*sqrt(a + b*x^4)) - (e*sqrt(a + b*x^4))/(2*a*b) - (d*x*sqrt(a + b*x^4))/(2*a*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) + (d*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) - ((sqrt(b)*d - sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(3//4)*b^(5//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 7),
+(x^0*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(a + b*x^4)^(3//2), -(e*x*sqrt(a + b*x^4))/(2*a*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (a*f - b*x*(c + d*x + e*x^2))/(2*a*b*sqrt(a + b*x^4)) + (e*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + ((sqrt(b)*c - sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(5//4)*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 4),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(x^1*(a + b*x^4)^(3//2)), (x*(a*d + a*e*x + a*f*x^2 - b*c*x^3))/(2*a^2*sqrt(a + b*x^4)) + (c*sqrt(a + b*x^4))/(2*a^2) - (f*x*sqrt(a + b*x^4))/(2*a*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (c*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)) + (f*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)) + ((sqrt(b)*d - sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(5//4)*b^(3//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 11),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(x^2*(a + b*x^4)^(3//2)), (x*(a*e + a*f*x - b*c*x^2 - b*d*x^3))/(2*a^2*sqrt(a + b*x^4)) + (d*sqrt(a + b*x^4))/(2*a^2) - (c*sqrt(a + b*x^4))/(a^2*x) + (3*sqrt(b)*c*x*sqrt(a + b*x^4))/(2*a^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (d*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)) - (3*b^(1//4)*c*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) + ((3*sqrt(b)*c + sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(7//4)*b^(1//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 13),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(x^3*(a + b*x^4)^(3//2)), (x*(a*f - b*c*x - b*d*x^2 - b*e*x^3))/(2*a^2*sqrt(a + b*x^4)) + (e*sqrt(a + b*x^4))/(2*a^2) - (c*sqrt(a + b*x^4))/(2*a^2*x^2) - (d*sqrt(a + b*x^4))/(a^2*x) + (3*sqrt(b)*d*x*sqrt(a + b*x^4))/(2*a^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (e*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)) - (3*b^(1//4)*d*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) + ((3*sqrt(b)*d + sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(7//4)*b^(1//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 15),
+((c + d*x + e*x^2 + f*x^3)/(x^4*(a + b*x^4)^(3//2)), -(x*(b*c + b*d*x + b*e*x^2 + b*f*x^3))/(2*a^2*sqrt(a + b*x^4)) + (f*sqrt(a + b*x^4))/(2*a^2) - (c*sqrt(a + b*x^4))/(3*a^2*x^3) - (d*sqrt(a + b*x^4))/(2*a^2*x^2) - (e*sqrt(a + b*x^4))/(a^2*x) + (3*sqrt(b)*e*x*sqrt(a + b*x^4))/(2*a^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)) - (f*atanh(sqrt(a + b*x^4)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)) - (3*b^(1//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^4)) - (b^(1//4)*(5*sqrt(b)*c - 9*sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(12*a^(9//4)*sqrt(a + b*x^4)), x, 17),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m Pq(x) (a+b x^4)^p with p symbolic
+
+
+((g*x)^m*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^p, (c*(g*x)^(1 + m)*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/4, -p, (5 + m)/4, -((b*x^4)/a)))/((1 + (b*x^4)/a)^p*(g*(1 + m))) + (d*(g*x)^(2 + m)*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((2 + m)/4, -p, (6 + m)/4, -((b*x^4)/a)))/((1 + (b*x^4)/a)^p*(g^2*(2 + m))) + (e*(g*x)^(3 + m)*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((3 + m)/4, -p, (7 + m)/4, -((b*x^4)/a)))/((1 + (b*x^4)/a)^p*(g^3*(3 + m))) + (f*(g*x)^(4 + m)*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((4 + m)/4, -p, (8 + m)/4, -((b*x^4)/a)))/((1 + (b*x^4)/a)^p*(g^4*(4 + m))), x, 14),
+
+
+# {x^0*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^p, x, 12, (f*(a + b*x^4)^(1 + p))/(4*b*(1 + p)) + (c*x*(a + b*x^4)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 5/4 + p, 5/4, -((b*x^4)/a)])/a + (d*x^2*(a + b*x^4)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 3/2 + p, 3/2, -((b*x^4)/a)])/(2*a) + (e*x^3*(a + b*x^4)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 7/4 + p, 7/4, -((b*x^4)/a)])/(3*a), (f*(a + b*x^4)^(1 + p))/(4*b*(1 + p)) + (c*x*(a + b*x^4)^p*Hypergeometric2F1[1/4, -p, 5/4, -((b*x^4)/a)])/(1 + (b*x^4)/a)^p + ((1/2)*d*x^2*(a + b*x^4)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*x^4)/a)])/(1 + (b*x^4)/a)^p + ((1/3)*e*x^3*(a + b*x^4)^p*Hypergeometric2F1[3/4, -p, 7/4, -((b*x^4)/a)])/(1 + (b*x^4)/a)^p}
+(x^3*(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)*(a + b*x^4)^p, (c*(a + b*x^4)^(1 + p))/(4*b*(1 + p)) + ((1//5)*d*x^5*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//4, -p, 9//4, -((b*x^4)/a)))/(1 + (b*x^4)/a)^p + ((1//6)*e*x^6*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -p, 5//2, -((b*x^4)/a)))/(1 + (b*x^4)/a)^p + ((1//7)*f*x^7*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(7//4, -p, 11//4, -((b*x^4)/a)))/(1 + (b*x^4)/a)^p, x, 13),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m Pq(x) (a+b x^5)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form Pq(x) (a+b x^5)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((1 + x + x^2 + x^3 + x^4)/(1 - x^5), -log(1-x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form Pq(x) (a+b x^5)^(p/2)
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m Pq(x) (a+b x^6)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form Pq(x) (a+b x^6)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((243 - 162*x + 108*x^2 - 72*x^3 + 48*x^4 - 32*x^5)/(729 - 64*x^6), (1//2)*log(3 + 2*x), x, 2),
+((243 + 162*x + 108*x^2 + 72*x^3 + 48*x^4 + 32*x^5)/(729 - 64*x^6), (-(1//2))*log(3 - 2*x), x, 2),
+((81 + 36*x^2 + 16*x^4)/(729 - 64*x^6), (1//6)*atanh((2*x)/3), x, 2),
+((81 + 54*x - 24*x^3 - 16*x^4)/(729 - 64*x^6), -(atan((3 - 4*x)/(3*sqrt(3)))/(3*sqrt(3))), x, 3),
+((3 - 2*x)/(729 - 64*x^6), atan((3 + 4*x)/(3*sqrt(3)))/(162*sqrt(3)) + (1//486)*log(3 + 2*x) - (1//972)*log(9 - 6*x + 4*x^2), x, 6),
+((3 + 2*x)/(729 - 64*x^6), -(atan((3 - 4*x)/(3*sqrt(3)))/(162*sqrt(3))) - (1//486)*log(3 - 2*x) + (1//972)*log(9 + 6*x + 4*x^2), x, 6),
+((9 - 6*x + 4*x^2)/(729 - 64*x^6), atan((3 + 4*x)/(3*sqrt(3)))/(54*sqrt(3)) - (1//324)*log(3 - 2*x) + (1//108)*log(3 + 2*x) - (1//324)*log(9 + 6*x + 4*x^2), x, 7),
+((9 + 6*x + 4*x^2)/(729 - 64*x^6), -(atan((3 - 4*x)/(3*sqrt(3)))/(54*sqrt(3))) - (1//108)*log(3 - 2*x) + (1//324)*log(3 + 2*x) + (1//324)*log(9 - 6*x + 4*x^2), x, 7),
+((27 - 8*x^3)/(729 - 64*x^6), -(atan((3 - 4*x)/(3*sqrt(3)))/(18*sqrt(3))) + (1//54)*log(3 + 2*x) - (1//108)*log(9 - 6*x + 4*x^2), x, 7),
+((27 + 36*x + 24*x^2 + 8*x^3)/(729 - 64*x^6), -(atan((3 - 4*x)/(3*sqrt(3)))/(18*sqrt(3))) - (1//18)*log(3 - 2*x) + (1//36)*log(9 - 6*x + 4*x^2), x, 7),
+
+
+((243 - 162*x + 108*x^2 - 72*x^3 + 48*x^4 - 32*x^5)/(729 - 64*x^6)^2, -(1/(2916*(3 + 2*x))) - atan((3 - 4*x)/(3*sqrt(3)))/(8748*sqrt(3)) + atan((3 + 4*x)/(3*sqrt(3)))/(2916*sqrt(3)) - log(3 - 2*x)/17496 + (5*log(3 + 2*x))/17496 - log(9 - 6*x + 4*x^2)/17496 - log(9 + 6*x + 4*x^2)/17496, x, 11),
+((243 + 162*x + 108*x^2 + 72*x^3 + 48*x^4 + 32*x^5)/(729 - 64*x^6)^2, 1/(2916*(3 - 2*x)) - atan((3 - 4*x)/(3*sqrt(3)))/(2916*sqrt(3)) + atan((3 + 4*x)/(3*sqrt(3)))/(8748*sqrt(3)) - (5*log(3 - 2*x))/17496 + log(3 + 2*x)/17496 + log(9 - 6*x + 4*x^2)/17496 + log(9 + 6*x + 4*x^2)/17496, x, 11),
+((81 + 36*x^2 + 16*x^4)/(729 - 64*x^6)^2, 1/(17496*(3 - 2*x)) - 1/(17496*(3 + 2*x)) - atan((3 - 4*x)/(3*sqrt(3)))/(13122*sqrt(3)) + atan((3 + 4*x)/(3*sqrt(3)))/(13122*sqrt(3)) + atanh((2*x)/3)/8748, x, 8),
+((81 + 54*x - 24*x^3 - 16*x^4)/(729 - 64*x^6)^2, x/(4374*(9 - 6*x + 4*x^2)) - atan((3 - 4*x)/(3*sqrt(3)))/(4374*sqrt(3)) - log(3 - 2*x)/26244 + log(3 + 2*x)/78732 - log(9 - 6*x + 4*x^2)/157464 + log(9 + 6*x + 4*x^2)/52488, x, 11),
+((3 - 2*x)/(729 - 64*x^6)^2, -(1/(708588*(3 + 2*x))) + (3 - x)/(708588*(9 - 6*x + 4*x^2)) + x/(236196*(9 + 6*x + 4*x^2)) - atan((3 - 4*x)/(3*sqrt(3)))/(1417176*sqrt(3)) + atan((3 + 4*x)/(3*sqrt(3)))/(157464*sqrt(3)) - log(3 - 2*x)/4251528 + log(3 + 2*x)/472392 - log(9 - 6*x + 4*x^2)/944784 + log(9 + 6*x + 4*x^2)/8503056, x, 17),
+((3 + 2*x)/(729 - 64*x^6)^2, 1/(708588*(3 - 2*x)) + x/(236196*(9 - 6*x + 4*x^2)) - (3 + x)/(708588*(9 + 6*x + 4*x^2)) - atan((3 - 4*x)/(3*sqrt(3)))/(157464*sqrt(3)) + atan((3 + 4*x)/(3*sqrt(3)))/(1417176*sqrt(3)) - log(3 - 2*x)/472392 + log(3 + 2*x)/4251528 - log(9 - 6*x + 4*x^2)/8503056 + log(9 + 6*x + 4*x^2)/944784, x, 17),
+((9 - 6*x + 4*x^2)/(729 - 64*x^6)^2, 1/(472392*(3 - 2*x)) - 1/(157464*(3 + 2*x)) + (3 + 4*x)/(236196*(9 + 6*x + 4*x^2)) - atan((3 - 4*x)/(3*sqrt(3)))/(472392*sqrt(3)) + atan((3 + 4*x)/(3*sqrt(3)))/(52488*sqrt(3)) - log(3 - 2*x)/354294 + log(3 + 2*x)/118098 - log(9 - 6*x + 4*x^2)/944784 - (5*log(9 + 6*x + 4*x^2))/2834352, x, 14),
+((9 + 6*x + 4*x^2)/(729 - 64*x^6)^2, 1/(157464*(3 - 2*x)) - 1/(472392*(3 + 2*x)) - (3 - 4*x)/(236196*(9 - 6*x + 4*x^2)) - atan((3 - 4*x)/(3*sqrt(3)))/(52488*sqrt(3)) + atan((3 + 4*x)/(3*sqrt(3)))/(472392*sqrt(3)) - log(3 - 2*x)/118098 + log(3 + 2*x)/354294 + (5*log(9 - 6*x + 4*x^2))/2834352 + log(9 + 6*x + 4*x^2)/944784, x, 14),
+((27 - 8*x^3)/(729 - 64*x^6)^2, x/(4374*(27 + 8*x^3)) - (7*atan((3 - 4*x)/(3*sqrt(3))))/(157464*sqrt(3)) + atan((3 + 4*x)/(3*sqrt(3)))/(52488*sqrt(3)) - log(3 - 2*x)/157464 + (7*log(3 + 2*x))/472392 - (7*log(9 - 6*x + 4*x^2))/944784 + log(9 + 6*x + 4*x^2)/314928, x, 15),
+((27 + 36*x + 24*x^2 + 8*x^3)/(729 - 64*x^6)^2, 1/(26244*(3 - 2*x)) - (3 - 2*x)/(26244*(9 - 6*x + 4*x^2)) - (11*atan((3 - 4*x)/(3*sqrt(3))))/(157464*sqrt(3)) - atan((3 + 4*x)/(3*sqrt(3)))/(157464*sqrt(3)) - (7*log(3 - 2*x))/157464 + log(3 + 2*x)/472392 + (17*log(9 - 6*x + 4*x^2))/944784 + log(9 + 6*x + 4*x^2)/314928, x, 14),
+
+
+(x*(27 - 2*x^3)/(729 - 64*x^6), -((5*atan((3 - 4*x)/(3*sqrt(3))))/(96*sqrt(3))) - atan((3 + 4*x)/(3*sqrt(3)))/(32*sqrt(3)) - (1//96)*log(3 - 2*x) - (5//288)*log(3 + 2*x) + (5//576)*log(9 - 6*x + 4*x^2) + (1//192)*log(9 + 6*x + 4*x^2), x, 13),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form Pq(x) (a+b x^6)^(p/2)
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m Pq(x) (a+b x^n)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m Pq(x) (a+b x^n)^p
+
+
+((c*x)^m*(d + e*x^n + f*x^(2*n) + g*x^(3*n))/(a + b*x^n), ((b*f - a*g)*x^(1 + n)*(c*x)^m)/(b^2*(1 + m + n)) + (g*x^(1 + 2*n)*(c*x)^m)/(b*(1 + m + 2*n)) + ((b^2*e - a*b*f + a^2*g)*(c*x)^(1 + m))/(b^3*c*(1 + m)) + ((b^3*d - a*b^2*e + a^2*b*f - a^3*g)*(c*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a*b^3*c*(1 + m)), x, 7),
+
+
+((c + d*x^(n - 1))*(a + b*x^n)^3, a^3*c*x + (3*a^2*b*c*x^(1 + n))/(1 + n) + (3*a*b^2*c*x^(1 + 2*n))/(1 + 2*n) + (b^3*c*x^(1 + 3*n))/(1 + 3*n) + (d*(a + b*x^n)^4)/(4*b*n), x, 4),
+((c + d*x^(n - 1))*(a + b*x^n)^2, a^2*c*x + (2*a*b*c*x^(1 + n))/(1 + n) + (b^2*c*x^(1 + 2*n))/(1 + 2*n) + (d*(a + b*x^n)^3)/(3*b*n), x, 4),
+((c + d*x^(n - 1))*(a + b*x^n)^1, a*c*x + (a*d*x^n)/n + (b*d*x^(2*n))/(2*n) + (b*c*x^(1 + n))/(1 + n), x, 4),
+((c + d*x^(n - 1))*(a + b*x^n)^0, c*x + (d*x^n)/n, x, 1),
+((c + d*x^(n - 1))/(a + b*x^n)^1, (c*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/a + (d*log(a + b*x^n))/(b*n), x, 3),
+((c + d*x^(n - 1))/(a + b*x^n)^2, -(d/(b*n*(a + b*x^n))) + (c*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/a^2, x, 3),
+((c + d*x^(n - 1))/(a + b*x^n)^3, -(d/(2*b*n*(a + b*x^n)^2)) + (c*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/a^3, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m Pq(x) (a+b x^n)^(p/2)
+
+
+((c*x)^m*(d + e*x^n + f*x^(2*n) + g*x^(3*n))/sqrt(a + b*x^n), (d*(c*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (b*x^n)/a)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(c*(1 + m)*sqrt(a + b*x^n)) + (e*x^(1 + n)*(c*x)^m*sqrt(1 + (b*x^n)/a)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1 + m + n)/n, (1 + m + 2*n)/n, -((b*x^n)/a)))/((1 + m + n)*sqrt(a + b*x^n)) + (f*x^(1 + 2*n)*(c*x)^m*sqrt(1 + (b*x^n)/a)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1 + m + 2*n)/n, (1 + m + 3*n)/n, -((b*x^n)/a)))/((1 + m + 2*n)*sqrt(a + b*x^n)) + (g*x^(1 + 3*n)*(c*x)^m*sqrt(1 + (b*x^n)/a)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1 + m + 3*n)/n, (1 + m + 4*n)/n, -((b*x^n)/a)))/((1 + m + 3*n)*sqrt(a + b*x^n)), x, 13),
+
+
+((-a*h*x^(n/4 - 1) + b*f*x^(n/2 - 1) + b*g*x^(n - 1) + b*h*x^((5*n)/4 - 1))/(a + b*x^n)^(3//2), -((2*(a*g + 2*a*h*x^(n/4) - b*f*x^(n/2)))/(a*n*sqrt(a + b*x^n))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m Pq(x) (a+b x^n)^p with p symbolic
+
+
+((c*x)^m*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)*(a + b*x^n)^p, (d*(c*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/n, -p, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(c*(1 + m))) + (e*(c*x)^(2 + m)*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((2 + m)/n, -p, (2 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(c^2*(2 + m))) + (f*(c*x)^(3 + m)*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((3 + m)/n, -p, (3 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(c^3*(3 + m))) + (g*(c*x)^(4 + m)*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((4 + m)/n, -p, (4 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(c^4*(4 + m))), x, 10),
+
+
+((c*x)^m*(d + e*x^n + f*x^(2*n) + g*x^(3*n))*(a + b*x^n)^p, (d*(c*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/n, -p, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(c*(1 + m))) + (e*x^(1 + n)*(c*x)^m*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m + n)/n, -p, (1 + m + 2*n)/n, -((b*x^n)/a)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(1 + m + n)) + (f*x^(1 + 2*n)*(c*x)^m*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m + 2*n)/n, -p, (1 + m + 3*n)/n, -((b*x^n)/a)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(1 + m + 2*n)) + (g*x^(1 + 3*n)*(c*x)^m*(a + b*x^n)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m + 3*n)/n, -p, (1 + m + 4*n)/n, -((b*x^n)/a)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(1 + m + 3*n)), x, 13),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x^(n/2))^m Pq(x^(n/2)) (a+b x^n)^p
+
+
+((c + d*x^(n/2) + e*x^n + f*x^(3*(n/2)))/(a + b*x^n)^2, (x*(b*c - a*e + (b*d - a*f)*x^(n/2)))/(a*b*n*(a + b*x^n)) - ((b*d*(2 - n) - a*f*(2 + n))*x^((2 + n)/2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1//2)*(1 + 2/n), (1//2)*(3 + 2/n), -((b*x^n)/a)))/(a^2*b*n*(2 + n)) + ((a*e - b*c*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a^2*b*n), x, 4),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m Pq(x) (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m Pq(x) (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q
+
+
+((a*c + 2*(b*c + a*d)*x^2 + 3*b*d*x^4)/(sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2)), x*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(c + d*x^2), x, 1),
+
+
+((1 + x^3)/((1 - x^4)*(1 + x^4)^(1//4)), atan((2^(1//4)*x)/(1 + x^4)^(1//4))/(2*2^(1//4)) - atan((1 + x^4)^(1//4)/2^(1//4))/(2*2^(1//4)) + atanh((2^(1//4)*x)/(1 + x^4)^(1//4))/(2*2^(1//4)) + atanh((1 + x^4)^(1//4)/2^(1//4))/(2*2^(1//4)), x, 10),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (h x)^m (e+g x^(2 n)) (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q
+
+
+((a*c - b*d*x^(2*n))*(a + b*x^n)^((-1 - n)/n)*(c + d*x^n)^((-1 - n)/n), x/((a + b*x^n)^n^(-1)*(c + d*x^n)^n^(-1)), x, 1),
+
+
+((h*x)^(-1 - n - n*p)*(a*c - b*d*x^(2*n))*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^p, -(((a + b*x^n)^(1 + p)*(c + d*x^n)^(1 + p))/((h*x)^(n*(1 + p))*(h*n*(1 + p)))), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (h x)^m (e+f x^n+g x^(2 n)) (a+b x^n)^p (c+d x^n)^q
+
+
+((e + ((b*c + a*d)*e*(1 + n + n*p))/(a*c)*x^n + (b*d*e*(1 + 2*n + 2*n*p))/(a*c)*x^(2*n))*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^p, (e*x*(a + b*x^n)^(1 + p)*(c + d*x^n)^(1 + p))/(a*c), x, 1),
+
+
+((h*x)^m*(e + ((b*c + a*d)*e*(1 + m + n + n*p))/(a*c*(1 + m))*x^n + (b*d*e*(1 + m + 2*n + 2*n*p))/(a*c*(1 + m))*x^(2*n))*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^p, (e*(h*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)^(1 + p)*(c + d*x^n)^(1 + p))/(a*c*h*(1 + m)), x, 1),
+]
+# Total integrals translated: 590
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.2 (c x)^m (a x^j+b x^n)^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.2 (c x)^m (a x^j+b x^n)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..82792fec
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.2 (c x)^m (a x^j+b x^n)^p.jl	
@@ -0,0 +1,890 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::Closed::
+# Integration problems of the form (c x)^m (a x+b x^n)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a x+b x^3)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a x+b x^3)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^2*(a*x + b*x^3), (a*x^4)/4 + (b*x^6)/6, x, 2),
+(x^1*(a*x + b*x^3), (a*x^3)/3 + (b*x^5)/5, x, 2),
+(a*x + b*x^3, (a*x^2)/2 + (b*x^4)/4, x, 1),
+((a*x + b*x^3)/x^1, a*x + (b*x^3)/3, x, 2),
+((a*x + b*x^3)/x^2, (b*x^2)/2 + a*log(x), x, 2),
+
+
+(x^2*(a*x + b*x^3)^2, (a^2*x^5)/5 + (2*a*b*x^7)/7 + (b^2*x^9)/9, x, 3),
+(x^1*(a*x + b*x^3)^2, (a^2*x^4)/4 + (1//3)*a*b*x^6 + (b^2*x^8)/8, x, 4),
+((a*x + b*x^3)^2, (a^2*x^3)/3 + (2*a*b*x^5)/5 + (b^2*x^7)/7, x, 3),
+((a*x + b*x^3)^2/x^1, (a + b*x^2)^3/(6*b), x, 2),
+((a*x + b*x^3)^2/x^2, a^2*x + (2*a*b*x^3)/3 + (b^2*x^5)/5, x, 3),
+
+
+((-4*x + 3*x^3)^6, (4096*x^7)/7 - 2048*x^9 + (34560*x^11)/11 - (34560*x^13)/13 + 1296*x^15 - (5832*x^17)/17 + (729*x^19)/19, x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4/(a*x + b*x^3), x^2/(2*b) - (a*log(a + b*x^2))/(2*b^2), x, 4),
+(x^3/(a*x + b*x^3), x/b - (sqrt(a)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(3//2), x, 3),
+(x^2/(a*x + b*x^3), log(a + b*x^2)/(2*b), x, 2),
+(x^1/(a*x + b*x^3), atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(sqrt(a)*sqrt(b)), x, 2),
+(x^0/(a*x + b*x^3), log(x)/a - log(a + b*x^2)/(2*a), x, 5),
+(1/(x^1*(a*x + b*x^3)), -(1/(a*x)) - (sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 3),
+(1/(x^2*(a*x + b*x^3)), -(1/(2*a*x^2)) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x^2))/(2*a^2), x, 4),
+(1/(x^3*(a*x + b*x^3)), -(1/(3*a*x^3)) + b/(a^2*x) + (b^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 4),
+(1/(x^4*(a*x + b*x^3)), -(1/(4*a*x^4)) + b/(2*a^2*x^2) + (b^2*log(x))/a^3 - (b^2*log(a + b*x^2))/(2*a^3), x, 4),
+
+
+(x^2/(a*x + b*x^3)^2, x/(2*a*(a + b*x^2)) + atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(2*a^(3//2)*sqrt(b)), x, 3),
+(x^1/(a*x + b*x^3)^2, 1/(2*a*(a + b*x^2)) + log(x)/a^2 - log(a + b*x^2)/(2*a^2), x, 4),
+(x^0/(a*x + b*x^3)^2, -3/(2*a^2*x) + 1/(2*a*x*(a + b*x^2)) - (3*sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)), x, 4),
+(1/(x^1*(a*x + b*x^3)^2), -(1/(2*a^2*x^2)) - b/(2*a^2*(a + b*x^2)) - (2*b*log(x))/a^3 + (b*log(a + b*x^2))/a^3, x, 4),
+(1/(x^2*(a*x + b*x^3)^2), -5/(6*a^2*x^3) + (5*b)/(2*a^3*x) + 1/(2*a*x^3*(a + b*x^2)) + (5*b^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(7//2)), x, 5),
+
+
+# In some of the following examples gcd cancellation should occur without also partial fraction 
+# 	expansion, since that will result in unnecessary expansion. *)
+(x^5/(x - x^3), -x - x^3//3 + atanh(x), x, 4),
+(x^4/(x - x^3), -(x^2//2) - (1//2)*log(1 - x^2), x, 4),
+(x^3/(x - x^3), -x + atanh(x), x, 3),
+(x^2/(x - x^3), (-(1//2))*log(1 - x^2), x, 2),
+(x/(x - x^3), atanh(x), x, 2),
+(1/(x - x^3), log(x) - (1//2)*log(1 - x^2), x, 5),
+(1/(x*(x - x^3)), -(1/x) + atanh(x), x, 3),
+(1/(x^2*(x - x^3)), -(1/(2*x^2)) + log(x) - (1//2)*log(1 - x^2), x, 4),
+(1/(x^3*(x - x^3)), -(1/(3*x^3)) - 1/x + atanh(x), x, 4),
+(1/(x^4*(x - x^3)), -(1/(4*x^4)) - 1/(2*x^2) + log(x) - (1//2)*log(1 - x^2), x, 4),
+
+
+(1/(x + b*x^3), log(x) - (1//2)*log(1 + b*x^2), x, 5),
+(1/(-x + b*x^3), -log(x) + (1//2)*log(1 - b*x^2), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a x+b x^3)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*sqrt(a*x + b*x^3), -((20*a^2*sqrt(a*x + b*x^3))/(231*b^2)) + (4*a*x^2*sqrt(a*x + b*x^3))/(77*b) + (2//11)*x^4*sqrt(a*x + b*x^3) + (10*a^(11//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(231*b^(9//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 6),
+(x^2*sqrt(a*x + b*x^3), -((4*a^2*x*(a + b*x^2))/(15*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt(a*x + b*x^3))) + (4*a*x*sqrt(a*x + b*x^3))/(45*b) + (2//9)*x^3*sqrt(a*x + b*x^3) + (4*a^(9//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*b^(7//4)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (2*a^(9//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*b^(7//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 7),
+(x*sqrt(a*x + b*x^3), (4*a*sqrt(a*x + b*x^3))/(21*b) + (2//7)*x^2*sqrt(a*x + b*x^3) - (2*a^(7//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(21*b^(5//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 5),
+(sqrt(a*x + b*x^3), (4*a*x*(a + b*x^2))/(5*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt(a*x + b*x^3)) + (2//5)*x*sqrt(a*x + b*x^3) - (4*a^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(a*x + b*x^3)) + (2*a^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 6),
+(sqrt(a*x + b*x^3)/x, (2//3)*sqrt(a*x + b*x^3) + (2*a^(3//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(3*b^(1//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 4),
+(sqrt(a*x + b*x^3)/x^2, (4*sqrt(b)*x*(a + b*x^2))/((sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (2*sqrt(a*x + b*x^3))/x - (4*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/sqrt(a*x + b*x^3) + (2*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/sqrt(a*x + b*x^3), x, 6),
+(sqrt(a*x + b*x^3)/x^3, -((2*sqrt(a*x + b*x^3))/(3*x^2)) + (2*b^(3//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(3*a^(1//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 4),
+(sqrt(a*x + b*x^3)/x^4, (4*b^(3//2)*x*(a + b*x^2))/(5*a*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (2*sqrt(a*x + b*x^3))/(5*x^3) - (4*b*sqrt(a*x + b*x^3))/(5*a*x) - (4*b^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*a^(3//4)*sqrt(a*x + b*x^3)) + (2*b^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*a^(3//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 7),
+
+
+(x^2*(a*x + b*x^3)^(3//2), -((8*a^3*sqrt(a*x + b*x^3))/(231*b^2)) + (8*a^2*x^2*sqrt(a*x + b*x^3))/(385*b) + (4//55)*a*x^4*sqrt(a*x + b*x^3) + (2//15)*x^3*(a*x + b*x^3)^(3//2) + (4*a^(15//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(231*b^(9//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 7),
+(x*(a*x + b*x^3)^(3//2), -((8*a^3*x*(a + b*x^2))/(65*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt(a*x + b*x^3))) + (8*a^2*x*sqrt(a*x + b*x^3))/(195*b) + (4//39)*a*x^3*sqrt(a*x + b*x^3) + (2//13)*x^2*(a*x + b*x^3)^(3//2) + (8*a^(13//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(65*b^(7//4)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (4*a^(13//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(65*b^(7//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 8),
+((a*x + b*x^3)^(3//2), (8*a^2*sqrt(a*x + b*x^3))/(77*b) + (12//77)*a*x^2*sqrt(a*x + b*x^3) + (2//11)*x*(a*x + b*x^3)^(3//2) - (4*a^(11//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(77*b^(5//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 6),
+((a*x + b*x^3)^(3//2)/x, (8*a^2*x*(a + b*x^2))/(15*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt(a*x + b*x^3)) + (4//15)*a*x*sqrt(a*x + b*x^3) + (2//9)*(a*x + b*x^3)^(3//2) - (8*a^(9//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*b^(3//4)*sqrt(a*x + b*x^3)) + (4*a^(9//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*b^(3//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 7),
+((a*x + b*x^3)^(3//2)/x^2, (4//7)*a*sqrt(a*x + b*x^3) + (2*(a*x + b*x^3)^(3//2))/(7*x) + (4*a^(7//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(7*b^(1//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 5),
+((a*x + b*x^3)^(3//2)/x^3, (24*a*sqrt(b)*x*(a + b*x^2))/(5*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt(a*x + b*x^3)) + (12//5)*b*x*sqrt(a*x + b*x^3) - (2*(a*x + b*x^3)^(3//2))/x^2 - (24*a^(5//4)*b^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(a*x + b*x^3)) + (12*a^(5//4)*b^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 7),
+((a*x + b*x^3)^(3//2)/x^4, (4//3)*b*sqrt(a*x + b*x^3) - (2*(a*x + b*x^3)^(3//2))/(3*x^3) + (4*a^(3//4)*b^(3//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(3*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 5),
+((a*x + b*x^3)^(3//2)/x^5, (24*b^(3//2)*x*(a + b*x^2))/(5*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (12*b*sqrt(a*x + b*x^3))/(5*x) - (2*(a*x + b*x^3)^(3//2))/(5*x^4) - (24*a^(1//4)*b^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(a*x + b*x^3)) + (12*a^(1//4)*b^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 7),
+((a*x + b*x^3)^(3//2)/x^6, -((4*b*sqrt(a*x + b*x^3))/(7*x^2)) - (2*(a*x + b*x^3)^(3//2))/(7*x^5) + (4*b^(7//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(7*a^(1//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 5),
+((a*x + b*x^3)^(3//2)/x^7, (8*b^(5//2)*x*(a + b*x^2))/(15*a*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (4*b*sqrt(a*x + b*x^3))/(15*x^3) - (8*b^2*sqrt(a*x + b*x^3))/(15*a*x) - (2*(a*x + b*x^3)^(3//2))/(9*x^6) - (8*b^(9//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*a^(3//4)*sqrt(a*x + b*x^3)) + (4*b^(9//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*a^(3//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 8),
+((a*x + b*x^3)^(3//2)/x^8, -((12*b*sqrt(a*x + b*x^3))/(77*x^4)) - (8*b^2*sqrt(a*x + b*x^3))/(77*a*x^2) - (2*(a*x + b*x^3)^(3//2))/(11*x^7) - (4*b^(11//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(77*a^(5//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4/sqrt(a*x + b*x^3), -((10*a*sqrt(a*x + b*x^3))/(21*b^2)) + (2*x^2*sqrt(a*x + b*x^3))/(7*b) + (5*a^(7//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(21*b^(9//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 5),
+(x^3/sqrt(a*x + b*x^3), -((6*a*x*(a + b*x^2))/(5*b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt(a*x + b*x^3))) + (2*x*sqrt(a*x + b*x^3))/(5*b) + (6*a^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*b^(7//4)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (3*a^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*b^(7//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 6),
+(x^2/sqrt(a*x + b*x^3), (2*sqrt(a*x + b*x^3))/(3*b) - (a^(3//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(3*b^(5//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 4),
+(x/sqrt(a*x + b*x^3), (2*x*(a + b*x^2))/(sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (2*a^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(b^(3//4)*sqrt(a*x + b*x^3)) + (a^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(b^(3//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 5),
+(1/sqrt(a*x + b*x^3), (sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 3),
+(1/(x*sqrt(a*x + b*x^3)), (2*sqrt(b)*x*(a + b*x^2))/(a*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (2*sqrt(a*x + b*x^3))/(a*x) - (2*b^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(a^(3//4)*sqrt(a*x + b*x^3)) + (b^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(a^(3//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 6),
+(1/(x^2*sqrt(a*x + b*x^3)), -((2*sqrt(a*x + b*x^3))/(3*a*x^2)) - (b^(3//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(3*a^(5//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 4),
+(1/(x^3*sqrt(a*x + b*x^3)), -((6*b^(3//2)*x*(a + b*x^2))/(5*a^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt(a*x + b*x^3))) - (2*sqrt(a*x + b*x^3))/(5*a*x^3) + (6*b*sqrt(a*x + b*x^3))/(5*a^2*x) + (6*b^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*a^(7//4)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (3*b^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*a^(7//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 7),
+
+
+(x^7/(a*x + b*x^3)^(3//2), -(x^5/(b*sqrt(a*x + b*x^3))) - (15*a*sqrt(a*x + b*x^3))/(7*b^3) + (9*x^2*sqrt(a*x + b*x^3))/(7*b^2) + (15*a^(7//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(14*b^(13//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 6),
+(x^6/(a*x + b*x^3)^(3//2), -(x^4/(b*sqrt(a*x + b*x^3))) - (21*a*x*(a + b*x^2))/(5*b^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt(a*x + b*x^3)) + (7*x*sqrt(a*x + b*x^3))/(5*b^2) + (21*a^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*b^(11//4)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (21*a^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(10*b^(11//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 7),
+(x^5/(a*x + b*x^3)^(3//2), -(x^3/(b*sqrt(a*x + b*x^3))) + (5*sqrt(a*x + b*x^3))/(3*b^2) - (5*a^(3//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(6*b^(9//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 5),
+(x^4/(a*x + b*x^3)^(3//2), -(x^2/(b*sqrt(a*x + b*x^3))) + (3*x*(a + b*x^2))/(b^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (3*a^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(b^(7//4)*sqrt(a*x + b*x^3)) + (3*a^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*b^(7//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 6),
+(x^3/(a*x + b*x^3)^(3//2), -(x/(b*sqrt(a*x + b*x^3))) + (sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*b^(5//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 4),
+(x^2/(a*x + b*x^3)^(3//2), x^2/(a*sqrt(a*x + b*x^3)) - (x*(a + b*x^2))/(a*sqrt(b)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt(a*x + b*x^3)) + (sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(a^(3//4)*b^(3//4)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*b^(3//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 6),
+(x/(a*x + b*x^3)^(3//2), x/(a*sqrt(a*x + b*x^3)) + (sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(5//4)*b^(1//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 4),
+(1/(a*x + b*x^3)^(3//2), 1/(a*sqrt(a*x + b*x^3)) + (3*sqrt(b)*x*(a + b*x^2))/(a^2*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (3*sqrt(a*x + b*x^3))/(a^2*x) - (3*b^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(a^(7//4)*sqrt(a*x + b*x^3)) + (3*b^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(7//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 7),
+(1/(x*(a*x + b*x^3)^(3//2)), 1/(a*x*sqrt(a*x + b*x^3)) - (5*sqrt(a*x + b*x^3))/(3*a^2*x^2) - (5*b^(3//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(6*a^(9//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 5),
+(1/(x^2*(a*x + b*x^3)^(3//2)), 1/(a*x^2*sqrt(a*x + b*x^3)) - (21*b^(3//2)*x*(a + b*x^2))/(5*a^3*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (7*sqrt(a*x + b*x^3))/(5*a^2*x^3) + (21*b*sqrt(a*x + b*x^3))/(5*a^3*x) + (21*b^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*a^(11//4)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (21*b^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(b)*x)*sqrt((a + b*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(10*a^(11//4)*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 8),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a x+b x^3)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(x^(29//2)/(a*x + b*x^3)^(9//2), -(x^(25//2)/(7*b*(a*x + b*x^3)^(7//2))) - (9*x^(19//2))/(35*b^2*(a*x + b*x^3)^(5//2)) - (3*x^(13//2))/(5*b^3*(a*x + b*x^3)^(3//2)) - (3*x^(7//2))/(b^4*sqrt(a*x + b*x^3)) + (9*sqrt(x)*sqrt(a*x + b*x^3))/(2*b^5) - (9*a*atanh((sqrt(b)*x^(3//2))/sqrt(a*x + b*x^3)))/(2*b^(11//2)), x, 7),
+(x^(27//2)/(a*x + b*x^3)^(9//2), -(x^(23//2)/(7*b*(a*x + b*x^3)^(7//2))) - (8*x^(17//2))/(35*b^2*(a*x + b*x^3)^(5//2)) - (16*x^(11//2))/(35*b^3*(a*x + b*x^3)^(3//2)) - (64*x^(5//2))/(35*b^4*sqrt(a*x + b*x^3)) + (128*sqrt(a*x + b*x^3))/(35*b^5*sqrt(x)), x, 5),
+(x^(25//2)/(a*x + b*x^3)^(9//2), -(x^(21//2)/(7*b*(a*x + b*x^3)^(7//2))) - x^(15//2)/(5*b^2*(a*x + b*x^3)^(5//2)) - x^(9//2)/(3*b^3*(a*x + b*x^3)^(3//2)) - x^(3//2)/(b^4*sqrt(a*x + b*x^3)) + atanh((sqrt(b)*x^(3//2))/sqrt(a*x + b*x^3))/b^(9//2), x, 6),
+(x^(23//2)/(a*x + b*x^3)^(9//2), -(x^(19//2)/(7*b*(a*x + b*x^3)^(7//2))) - (6*x^(13//2))/(35*b^2*(a*x + b*x^3)^(5//2)) - (8*x^(7//2))/(35*b^3*(a*x + b*x^3)^(3//2)) - (16*sqrt(x))/(35*b^4*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 4),
+(x^(21//2)/(a*x + b*x^3)^(9//2), x^(21//2)/(7*a*(a*x + b*x^3)^(7//2)), x, 1),
+(x^(19//2)/(a*x + b*x^3)^(9//2), -(x^(15//2)/(7*b*(a*x + b*x^3)^(7//2))) - (4*x^(9//2))/(35*b^2*(a*x + b*x^3)^(5//2)) - (8*x^(3//2))/(105*b^3*(a*x + b*x^3)^(3//2)), x, 3),
+(x^(17//2)/(a*x + b*x^3)^(9//2), x^(17//2)/(7*a*(a*x + b*x^3)^(7//2)) + (2*x^(15//2))/(35*a^2*(a*x + b*x^3)^(5//2)), x, 2),
+(x^(15//2)/(a*x + b*x^3)^(9//2), -(x^(11//2)/(7*b*(a*x + b*x^3)^(7//2))) - (2*x^(5//2))/(35*b^2*(a*x + b*x^3)^(5//2)), x, 2),
+(x^(13//2)/(a*x + b*x^3)^(9//2), x^(13//2)/(7*a*(a*x + b*x^3)^(7//2)) + (4*x^(11//2))/(35*a^2*(a*x + b*x^3)^(5//2)) + (8*x^(9//2))/(105*a^3*(a*x + b*x^3)^(3//2)), x, 3),
+(x^(11//2)/(a*x + b*x^3)^(9//2), -(x^(7//2)/(7*b*(a*x + b*x^3)^(7//2))), x, 1),
+(x^(9//2)/(a*x + b*x^3)^(9//2), x^(9//2)/(7*a*(a*x + b*x^3)^(7//2)) + (6*x^(7//2))/(35*a^2*(a*x + b*x^3)^(5//2)) + (8*x^(5//2))/(35*a^3*(a*x + b*x^3)^(3//2)) + (16*x^(3//2))/(35*a^4*sqrt(a*x + b*x^3)), x, 4),
+(x^(7//2)/(a*x + b*x^3)^(9//2), x^(7//2)/(7*a*(a*x + b*x^3)^(7//2)) + x^(5//2)/(5*a^2*(a*x + b*x^3)^(5//2)) + x^(3//2)/(3*a^3*(a*x + b*x^3)^(3//2)) + sqrt(x)/(a^4*sqrt(a*x + b*x^3)) - atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(a*x + b*x^3))/a^(9//2), x, 6),
+(x^(5//2)/(a*x + b*x^3)^(9//2), x^(5//2)/(7*a*(a*x + b*x^3)^(7//2)) + (8*x^(3//2))/(35*a^2*(a*x + b*x^3)^(5//2)) + (16*sqrt(x))/(35*a^3*(a*x + b*x^3)^(3//2)) + 64/(35*a^4*sqrt(x)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (128*sqrt(a*x + b*x^3))/(35*a^5*x^(3//2)), x, 5),
+(x^(3//2)/(a*x + b*x^3)^(9//2), x^(3//2)/(7*a*(a*x + b*x^3)^(7//2)) + (9*sqrt(x))/(35*a^2*(a*x + b*x^3)^(5//2)) + 3/(5*a^3*sqrt(x)*(a*x + b*x^3)^(3//2)) + 3/(a^4*x^(3//2)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (9*sqrt(a*x + b*x^3))/(2*a^5*x^(5//2)) + (9*b*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(a*x + b*x^3)))/(2*a^(11//2)), x, 7),
+(x^(1//2)/(a*x + b*x^3)^(9//2), sqrt(x)/(7*a*(a*x + b*x^3)^(7//2)) + 2/(7*a^2*sqrt(x)*(a*x + b*x^3)^(5//2)) + 16/(21*a^3*x^(3//2)*(a*x + b*x^3)^(3//2)) + 32/(7*a^4*x^(5//2)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (128*sqrt(a*x + b*x^3))/(21*a^5*x^(7//2)) + (256*b*sqrt(a*x + b*x^3))/(21*a^6*x^(3//2)), x, 6),
+(1/(x^(1//2)*(a*x + b*x^3)^(9//2)), 1/(7*a*sqrt(x)*(a*x + b*x^3)^(7//2)) + 11/(35*a^2*x^(3//2)*(a*x + b*x^3)^(5//2)) + 33/(35*a^3*x^(5//2)*(a*x + b*x^3)^(3//2)) + 33/(5*a^4*x^(7//2)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (33*sqrt(a*x + b*x^3))/(4*a^5*x^(9//2)) + (99*b*sqrt(a*x + b*x^3))/(8*a^6*x^(5//2)) - (99*b^2*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(a*x + b*x^3)))/(8*a^(13//2)), x, 8),
+(1/(x^(3//2)*(a*x + b*x^3)^(9//2)), 1/(7*a*x^(3//2)*(a*x + b*x^3)^(7//2)) + 12/(35*a^2*x^(5//2)*(a*x + b*x^3)^(5//2)) + 8/(7*a^3*x^(7//2)*(a*x + b*x^3)^(3//2)) + 64/(7*a^4*x^(9//2)*sqrt(a*x + b*x^3)) - (384*sqrt(a*x + b*x^3))/(35*a^5*x^(11//2)) + (512*b*sqrt(a*x + b*x^3))/(35*a^6*x^(7//2)) - (1024*b^2*sqrt(a*x + b*x^3))/(35*a^7*x^(3//2)), x, 7),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a x+b x^4)^p
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a x+b x^4)^(p/2)
+
+
+(x^4/sqrt(a*x + b*x^4), (x*sqrt(a*x + b*x^4))/(3*b) - (a*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a*x + b*x^4)))/(3*b^(3//2)), x, 3),
+(x^1/sqrt(a*x + b*x^4), (2*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a*x + b*x^4)))/(3*sqrt(b)), x, 2),
+(1/(x^2*sqrt(a*x + b*x^4)), -((2*sqrt(a*x + b*x^4))/(3*a*x^2)), x, 1),
+(1/(x^5*sqrt(a*x + b*x^4)), -((2*sqrt(a*x + b*x^4))/(9*a*x^5)) + (4*b*sqrt(a*x + b*x^4))/(9*a^2*x^2), x, 2),
+(1/(x^8*sqrt(a*x + b*x^4)), -((2*sqrt(a*x + b*x^4))/(15*a*x^8)) + (8*b*sqrt(a*x + b*x^4))/(45*a^2*x^5) - (16*b^2*sqrt(a*x + b*x^4))/(45*a^3*x^2), x, 3),
+
+(x^3/sqrt(a*x + b*x^4), sqrt(a*x + b*x^4)/(2*b) - (a^(2//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(4*3^(1//4)*b*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x + b*x^4)), x, 4),
+(x^0/sqrt(a*x + b*x^4), (x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(3^(1//4)*a^(1//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x + b*x^4)), x, 3),
+(1/(x^3*sqrt(a*x + b*x^4)), -((2*sqrt(a*x + b*x^4))/(5*a*x^3)) - (2*b*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(5*3^(1//4)*a^(4//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x + b*x^4)), x, 4),
+
+(x^5/sqrt(a*x + b*x^4), -((5*(1 + sqrt(3))*a*x*(a + b*x^3))/(8*b^(5//3)*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)*sqrt(a*x + b*x^4))) + (x^2*sqrt(a*x + b*x^4))/(4*b) + (5*3^(1//4)*a^(4//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(8*b^(5//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x + b*x^4)) + (5*(1 - sqrt(3))*a^(4//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(16*3^(1//4)*b^(5//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x + b*x^4)), x, 6),
+(x^2/sqrt(a*x + b*x^4), ((1 + sqrt(3))*x*(a + b*x^3))/(b^(2//3)*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)*sqrt(a*x + b*x^4)) - (3^(1//4)*a^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(b^(2//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x + b*x^4)) - ((1 - sqrt(3))*a^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(2*3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x + b*x^4)), x, 5),
+(1/(x^1*sqrt(a*x + b*x^4)), (2*(1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x*(a + b*x^3))/(a*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)*sqrt(a*x + b*x^4)) - (2*sqrt(a*x + b*x^4))/(a*x) - (2*3^(1//4)*b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(a^(2//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x + b*x^4)) - ((1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(3^(1//4)*a^(2//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x + b*x^4)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a x+b x^4)^(p/2)
+
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a x+b x^5)^p
+
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+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a x+b x^5)^(p/2)
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a x+b x^5)^(p/2)
+
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a x+b x^(n/2))^p
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+# Integrands of the form x^m (a x+b x^(1/2))^(p/2)
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(x^2/(a*x + b*x^(1//2))^(1//2), (63*b^4*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(64*a^5) - (21*b^3*sqrt(x)*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(32*a^4) + (21*b^2*x*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(40*a^3) - (9*b*x^(3//2)*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(20*a^2) + (2*x^2*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(5*a) - (63*b^5*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b*sqrt(x) + a*x)))/(64*a^(11//2)), x, 8),
+(x^1/(a*x + b*x^(1//2))^(1//2), (5*b^2*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(4*a^3) - (5*b*sqrt(x)*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(6*a^2) + (2*x*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(3*a) - (5*b^3*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b*sqrt(x) + a*x)))/(4*a^(7//2)), x, 6),
+(x^0/(a*x + b*x^(1//2))^(1//2), (2*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/a - (2*b*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b*sqrt(x) + a*x)))/a^(3//2), x, 4),
+(1/(x^1*(a*x + b*x^(1//2))^(1//2)), -((4*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(b*sqrt(x))), x, 1),
+(1/(x^2*(a*x + b*x^(1//2))^(1//2)), -((4*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(5*b*x^(3//2))) + (16*a*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(15*b^2*x) - (32*a^2*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(15*b^3*sqrt(x)), x, 3),
+(1/(x^3*(a*x + b*x^(1//2))^(1//2)), -((4*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(9*b*x^(5//2))) + (32*a*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(63*b^2*x^2) - (64*a^2*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(105*b^3*x^(3//2)) + (256*a^3*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(315*b^4*x) - (512*a^4*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(315*b^5*sqrt(x)), x, 5),
+(1/(x^4*(a*x + b*x^(1//2))^(1//2)), -((4*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(13*b*x^(7//2))) + (48*a*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(143*b^2*x^3) - (160*a^2*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(429*b^3*x^(5//2)) + (1280*a^3*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(3003*b^4*x^2) - (512*a^4*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(1001*b^5*x^(3//2)) + (2048*a^5*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(3003*b^6*x) - (4096*a^6*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(3003*b^7*sqrt(x)), x, 7),
+
+
+(x^3/(a*x + b*x^(1//2))^(3//2), -((4*x^3)/(a*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))) + (693*b^4*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(64*a^6) - (231*b^3*sqrt(x)*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(32*a^5) + (231*b^2*x*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(40*a^4) - (99*b*x^(3//2)*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(20*a^3) + (22*x^2*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(5*a^2) - (693*b^5*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b*sqrt(x) + a*x)))/(64*a^(13//2)), x, 9),
+(x^2/(a*x + b*x^(1//2))^(3//2), -((4*x^2)/(a*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))) + (35*b^2*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(4*a^4) - (35*b*sqrt(x)*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(6*a^3) + (14*x*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(3*a^2) - (35*b^3*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b*sqrt(x) + a*x)))/(4*a^(9//2)), x, 7),
+(x^1/(a*x + b*x^(1//2))^(3//2), -((4*x)/(a*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))) + (6*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/a^2 - (6*b*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b*sqrt(x) + a*x)))/a^(5//2), x, 5),
+(x^0/(a*x + b*x^(1//2))^(3//2), (4*sqrt(x))/(b*sqrt(b*sqrt(x) + a*x)), x, 1),
+(1/(x^1*(a*x + b*x^(1//2))^(3//2)), 4/(b*sqrt(x)*sqrt(b*sqrt(x) + a*x)) - (16*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(3*b^2*x) + (32*a*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(3*b^3*sqrt(x)), x, 3),
+(1/(x^2*(a*x + b*x^(1//2))^(3//2)), 4/(b*x^(3//2)*sqrt(b*sqrt(x) + a*x)) - (32*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(7*b^2*x^2) + (192*a*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(35*b^3*x^(3//2)) - (256*a^2*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(35*b^4*x) + (512*a^3*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(35*b^5*sqrt(x)), x, 5),
+(1/(x^3*(a*x + b*x^(1//2))^(3//2)), 4/(b*x^(5//2)*sqrt(b*sqrt(x) + a*x)) - (48*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(11*b^2*x^3) + (160*a*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(33*b^3*x^(5//2)) - (1280*a^2*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(231*b^4*x^2) + (512*a^3*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(77*b^5*x^(3//2)) - (2048*a^4*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(231*b^6*x) + (4096*a^5*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(231*b^7*sqrt(x)), x, 7),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a x+b x^(1/2))^(p/2)
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(x^(5//2)/(a*x + b*x^(1//2))^(1//2), -((231*b^5*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(256*a^6)) + (77*b^4*sqrt(x)*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(128*a^5) - (77*b^3*x*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(160*a^4) + (33*b^2*x^(3//2)*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(80*a^3) - (11*b*x^2*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(30*a^2) + (x^(5//2)*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(3*a) + (231*b^6*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b*sqrt(x) + a*x)))/(256*a^(13//2)), x, 9),
+(x^(3//2)/(a*x + b*x^(1//2))^(1//2), -((35*b^3*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(32*a^4)) + (35*b^2*sqrt(x)*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(48*a^3) - (7*b*x*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(12*a^2) + (x^(3//2)*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(2*a) + (35*b^4*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b*sqrt(x) + a*x)))/(32*a^(9//2)), x, 7),
+(x^(1//2)/(a*x + b*x^(1//2))^(1//2), -((3*b*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(2*a^2)) + (sqrt(x)*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/a + (3*b^2*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b*sqrt(x) + a*x)))/(2*a^(5//2)), x, 5),
+(1/(x^(1//2)*(a*x + b*x^(1//2))^(1//2)), (4*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b*sqrt(x) + a*x)))/sqrt(a), x, 3),
+(1/(x^(3//2)*(a*x + b*x^(1//2))^(1//2)), -((4*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(3*b*x)) + (8*a*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(3*b^2*sqrt(x)), x, 2),
+(1/(x^(5//2)*(a*x + b*x^(1//2))^(1//2)), -((4*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(7*b*x^2)) + (24*a*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(35*b^2*x^(3//2)) - (32*a^2*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(35*b^3*x) + (64*a^3*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(35*b^4*sqrt(x)), x, 4),
+(1/(x^(7//2)*(a*x + b*x^(1//2))^(1//2)), -((4*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(11*b*x^3)) + (40*a*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(99*b^2*x^(5//2)) - (320*a^2*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(693*b^3*x^2) + (128*a^3*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(231*b^4*x^(3//2)) - (512*a^4*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(693*b^5*x) + (1024*a^5*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(693*b^6*sqrt(x)), x, 6),
+
+
+(x^(5//2)/(a*x + b*x^(1//2))^(3//2), -((4*x^(5//2))/(a*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))) - (315*b^3*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(32*a^5) + (105*b^2*sqrt(x)*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(16*a^4) - (21*b*x*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(4*a^3) + (9*x^(3//2)*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(2*a^2) + (315*b^4*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b*sqrt(x) + a*x)))/(32*a^(11//2)), x, 8),
+(x^(3//2)/(a*x + b*x^(1//2))^(3//2), -((4*x^(3//2))/(a*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))) - (15*b*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(2*a^3) + (5*sqrt(x)*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/a^2 + (15*b^2*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b*sqrt(x) + a*x)))/(2*a^(7//2)), x, 6),
+(x^(1//2)/(a*x + b*x^(1//2))^(3//2), -((4*sqrt(x))/(a*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))) + (4*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(b*sqrt(x) + a*x)))/a^(3//2), x, 4),
+(1/(x^(1//2)*(a*x + b*x^(1//2))^(3//2)), -((4*(b + 2*a*sqrt(x)))/(b^2*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))), x, 2),
+(1/(x^(3//2)*(a*x + b*x^(1//2))^(3//2)), 4/(b*x*sqrt(b*sqrt(x) + a*x)) - (24*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(5*b^2*x^(3//2)) + (32*a*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(5*b^3*x) - (64*a^2*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(5*b^4*sqrt(x)), x, 4),
+(1/(x^(5//2)*(a*x + b*x^(1//2))^(3//2)), 4/(b*x^2*sqrt(b*sqrt(x) + a*x)) - (40*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(9*b^2*x^(5//2)) + (320*a*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(63*b^3*x^2) - (128*a^2*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(21*b^4*x^(3//2)) + (512*a^3*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(63*b^5*x) - (1024*a^4*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(63*b^6*sqrt(x)), x, 6),
+(1/(x^(7//2)*(a*x + b*x^(1//2))^(3//2)), 4/(b*x^3*sqrt(b*sqrt(x) + a*x)) - (56*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(13*b^2*x^(7//2)) + (672*a*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(143*b^3*x^3) - (2240*a^2*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(429*b^4*x^(5//2)) + (2560*a^3*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(429*b^5*x^2) - (1024*a^4*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(143*b^6*x^(3//2)) + (4096*a^5*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(429*b^7*x) - (8192*a^6*sqrt(b*sqrt(x) + a*x))/(429*b^8*sqrt(x)), x, 8),
+
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a x+b x^(n/3))^p
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a x+b x^(1/3))^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+(x^3*sqrt(b*x^(1//3) + a*x), -((884*b^6*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(14421*a^6)) + (884*b^5*x^(2//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(24035*a^5) - (6188*b^4*x^(4//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(216315*a^4) + (476*b^3*x^2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(19665*a^3) - (28*b^2*x^(8//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(1311*a^2) + (4*b*x^(10//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(207*a) + (2//9)*x^4*sqrt(b*x^(1//3) + a*x) + (442*b^(27//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(14421*a^(25//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 11),
+(x^2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x), (44*b^5*(b + a*x^(2//3))*x^(1//3))/(221*a^(9//2)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) - (44*b^4*x^(1//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(663*a^4) + (220*b^3*x*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(4641*a^3) - (60*b^2*x^(5//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(1547*a^2) + (4*b*x^(7//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(119*a) + (2//7)*x^3*sqrt(b*x^(1//3) + a*x) - (44*b^(21//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(221*a^(19//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) + (22*b^(21//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(221*a^(19//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 11),
+(x^1*sqrt(b*x^(1//3) + a*x), (12*b^3*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(77*a^3) - (36*b^2*x^(2//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(385*a^2) + (4*b*x^(4//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(55*a) + (2//5)*x^2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x) - (6*b^(15//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(77*a^(13//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 8),
+(x^0*sqrt(b*x^(1//3) + a*x), -((4*b^2*(b + a*x^(2//3))*x^(1//3))/(5*a^(3//2)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))) + (4*b*x^(1//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(15*a) + (2//3)*x*sqrt(b*x^(1//3) + a*x) + (4*b^(9//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(5*a^(7//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) - (2*b^(9//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(5*a^(7//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 8),
+(sqrt(b*x^(1//3) + a*x)/x^1, 2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x) + (2*b^(3//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(a^(1//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 5),
+(sqrt(b*x^(1//3) + a*x)/x^2, (12*a^(3//2)*(b + a*x^(2//3))*x^(1//3))/(5*b*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) - (6*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(5*x) - (12*a*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(5*b*x^(1//3)) - (12*a^(5//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) + (6*a^(5//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 8),
+(sqrt(b*x^(1//3) + a*x)/x^3, -((6*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(11*x^2)) - (12*a*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(77*b*x^(4//3)) + (20*a^2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(77*b^2*x^(2//3)) + (10*a^(11//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(77*b^(9//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 7),
+(sqrt(b*x^(1//3) + a*x)/x^4, -((308*a^(9//2)*(b + a*x^(2//3))*x^(1//3))/(1105*b^4*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))) - (6*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(17*x^3) - (12*a*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(221*b*x^(7//3)) + (44*a^2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(663*b^2*x^(5//3)) - (308*a^3*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(3315*b^3*x) + (308*a^4*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(1105*b^4*x^(1//3)) + (308*a^(17//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(1105*b^(15//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) - (154*a^(17//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(1105*b^(15//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 11),
+(sqrt(b*x^(1//3) + a*x)/x^5, -((6*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(23*x^4)) - (12*a*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(437*b*x^(10//3)) + (68*a^2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(2185*b^2*x^(8//3)) - (884*a^3*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(24035*b^3*x^2) + (7956*a^4*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(168245*b^4*x^(4//3)) - (2652*a^5*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(33649*b^5*x^(2//3)) - (1326*a^(23//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(33649*b^(21//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 10),
+
+
+(x^2*(b*x^(1//3) + a*x)^(3//2), (1768*b^6*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(100947*a^5) - (1768*b^5*x^(2//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(168245*a^4) + (1768*b^4*x^(4//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(216315*a^3) - (136*b^3*x^2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(19665*a^2) + (8*b^2*x^(8//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(1311*a) + (4//69)*b*x^(10//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x) + (2//9)*x^3*(b*x^(1//3) + a*x)^(3//2) - (884*b^(27//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(100947*a^(21//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 11),
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+((b*x^(1//3) + a*x)^(3//2)/x^2, 4*a*sqrt(b*x^(1//3) + a*x) - (2*(b*x^(1//3) + a*x)^(3//2))/x + (4*a^(3//4)*b^(3//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/sqrt(b*x^(1//3) + a*x), x, 6),
+((b*x^(1//3) + a*x)^(3//2)/x^3, (8*a^(5//2)*(b + a*x^(2//3))*x^(1//3))/(5*b*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) - (4*a*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(5*x) - (8*a^2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(5*b*x^(1//3)) - (2*(b*x^(1//3) + a*x)^(3//2))/(3*x^2) - (8*a^(9//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) + (4*a^(9//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 9),
+((b*x^(1//3) + a*x)^(3//2)/x^4, -((12*a*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(55*x^2)) - (24*a^2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(385*b*x^(4//3)) + (8*a^3*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(77*b^2*x^(2//3)) - (2*(b*x^(1//3) + a*x)^(3//2))/(5*x^3) + (4*a^(15//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(77*b^(9//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 8),
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+((b*x^(1//3) + a*x)^(3//2)/x^6, -((4*a*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(69*x^4)) - (8*a^2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(1311*b*x^(10//3)) + (136*a^3*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(19665*b^2*x^(8//3)) - (1768*a^4*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(216315*b^3*x^2) + (1768*a^5*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(168245*b^4*x^(4//3)) - (1768*a^6*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(100947*b^5*x^(2//3)) - (2*(b*x^(1//3) + a*x)^(3//2))/(9*x^5) - (884*a^(27//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(100947*b^(21//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 11),
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(x^3/sqrt(b*x^(1//3) + a*x), -((418*b^5*(b + a*x^(2//3))*x^(1//3))/(221*a^(11//2)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))) + (418*b^4*x^(1//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(663*a^5) - (2090*b^3*x*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(4641*a^4) + (570*b^2*x^(5//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(1547*a^3) - (38*b*x^(7//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(119*a^2) + (2*x^3*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(7*a) + (418*b^(21//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(221*a^(23//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) - (209*b^(21//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(221*a^(23//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 11),
+(x^2/sqrt(b*x^(1//3) + a*x), -((78*b^3*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(77*a^4)) + (234*b^2*x^(2//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(385*a^3) - (26*b*x^(4//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(55*a^2) + (2*x^2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(5*a) + (39*b^(15//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(77*a^(17//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 8),
+(x^1/sqrt(b*x^(1//3) + a*x), (14*b^2*(b + a*x^(2//3))*x^(1//3))/(5*a^(5//2)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) - (14*b*x^(1//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(15*a^2) + (2*x*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(3*a) - (14*b^(9//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(5*a^(11//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) + (7*b^(9//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(5*a^(11//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 8),
+(x^0/sqrt(b*x^(1//3) + a*x), (2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/a - (b^(3//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(a^(5//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 5),
+(1/(x^1*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), (6*sqrt(a)*(b + a*x^(2//3))*x^(1//3))/(b*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) - (6*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(b*x^(1//3)) - (6*a^(1//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(b^(3//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) + (3*a^(1//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(b^(3//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 7),
+(1/(x^2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), -((6*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(7*b*x^(4//3))) + (10*a*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(7*b^2*x^(2//3)) + (5*a^(7//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(7*b^(9//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 6),
+(1/(x^3*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), -((154*a^(7//2)*(b + a*x^(2//3))*x^(1//3))/(65*b^4*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))) - (6*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(13*b*x^(7//3)) + (22*a*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(39*b^2*x^(5//3)) - (154*a^2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(195*b^3*x) + (154*a^3*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(65*b^4*x^(1//3)) + (154*a^(13//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(65*b^(15//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) - (77*a^(13//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(65*b^(15//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 10),
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+(x^3/(b*x^(1//3) + a*x)^(3//2), -((3*x^3)/(a*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))) - (663*b^3*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(77*a^5) + (1989*b^2*x^(2//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(385*a^4) - (221*b*x^(4//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(55*a^3) + (17*x^2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(5*a^2) + (663*b^(15//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(154*a^(21//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 9),
+(x^2/(b*x^(1//3) + a*x)^(3//2), (77*b^2*(b + a*x^(2//3))*x^(1//3))/(5*a^(7//2)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) - (3*x^2)/(a*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) - (77*b*x^(1//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(15*a^3) + (11*x*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(3*a^2) - (77*b^(9//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(5*a^(15//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) + (77*b^(9//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(10*a^(15//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 9),
+(x^1/(b*x^(1//3) + a*x)^(3//2), -((3*x)/(a*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))) + (5*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/a^2 - (5*b^(3//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(2*a^(9//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 6),
+(x^0/(b*x^(1//3) + a*x)^(3//2), -((3*(b + a*x^(2//3))*x^(1//3))/(sqrt(a)*b*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))) + (3*x^(2//3))/(b*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) + (3*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(a^(3//4)*b^(3//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) - (3*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*b^(3//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 7),
+(1/(x^1*(b*x^(1//3) + a*x)^(3//2)), 3/(b*x^(1//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) - (5*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(b^2*x^(2//3)) - (5*a^(3//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(2*b^(9//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 6),
+(1/(x^2*(b*x^(1//3) + a*x)^(3//2)), 3/(b*x^(4//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) + (77*a^(5//2)*(b + a*x^(2//3))*x^(1//3))/(5*b^4*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) - (11*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(3*b^2*x^(5//3)) + (77*a*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(15*b^3*x) - (77*a^2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(5*b^4*x^(1//3)) - (77*a^(9//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(5*b^(15//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) + (77*a^(9//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(10*b^(15//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 10),
+(1/(x^3*(b*x^(1//3) + a*x)^(3//2)), 3/(b*x^(7//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) - (17*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(5*b^2*x^(8//3)) + (221*a*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(55*b^3*x^2) - (1989*a^2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(385*b^4*x^(4//3)) + (663*a^3*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(77*b^5*x^(2//3)) + (663*a^(15//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(154*b^(21//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 9),
+(1/(x^4*(b*x^(1//3) + a*x)^(3//2)), 3/(b*x^(10//3)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) - (4807*a^(11//2)*(b + a*x^(2//3))*x^(1//3))/(221*b^7*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) - (23*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(7*b^2*x^(11//3)) + (437*a*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(119*b^3*x^3) - (6555*a^2*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(1547*b^4*x^(7//3)) + (24035*a^3*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(4641*b^5*x^(5//3)) - (4807*a^4*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(663*b^6*x) + (4807*a^5*sqrt(b*x^(1//3) + a*x))/(221*b^7*x^(1//3)) + (4807*a^(21//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(221*b^(27//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)) - (4807*a^(21//4)*(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))*sqrt((b + a*x^(2//3))/(sqrt(b) + sqrt(a)*x^(1//3))^2)*x^(1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((a^(1//4)*x^(1//6))/b^(1//4)), 1//2))/(442*b^(27//4)*sqrt(b*x^(1//3) + a*x)), x, 13),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a x+b x^(2/3))^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+(x^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x), (-524288*b^9*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(4345965*a^10) + (8388608*b^12*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(152108775*a^13*x) - (4194304*b^11*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(50702925*a^12*x^(2//3)) + (1048576*b^10*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(10140585*a^11*x^(1//3)) + (65536*b^8*x^(1//3)*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(482885*a^9) - (360448*b^7*x^(2//3)*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(2414425*a^8) + (90112*b^6*x*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(557175*a^7) - (45056*b^5*x^(4//3)*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(260015*a^6) + (2816*b^4*x^(5//3)*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(15295*a^5) - (1408*b^3*x^2*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(7245*a^4) + (352*b^2*x^(7//3)*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(1725*a^3) - (16*b*x^(8//3)*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(75*a^2) + (2*x^3*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(9*a), x, 13),
+(x^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x), (8192*b^6*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(46189*a^7) - (131072*b^9*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(1616615*a^10*x) + (196608*b^8*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(1616615*a^9*x^(2//3)) - (49152*b^7*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(323323*a^8*x^(1//3)) - (9216*b^5*x^(1//3)*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(46189*a^6) + (4608*b^4*x^(2//3)*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(20995*a^5) - (384*b^3*x*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(1615*a^4) + (576*b^2*x^(4//3)*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(2261*a^3) - (36*b*x^(5//3)*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(133*a^2) + (2*x^2*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(7*a), x, 10),
+(x^1*sqrt(b*x^(2//3) + a*x), (-128*b^3*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(429*a^4) + (2048*b^6*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(15015*a^7*x) - (1024*b^5*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(5005*a^6*x^(2//3)) + (256*b^4*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(1001*a^5*x^(1//3)) + (48*b^2*x^(1//3)*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(143*a^3) - (24*b*x^(2//3)*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(65*a^2) + (2*x*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(5*a), x, 7),
+(x^0*sqrt(b*x^(2//3) + a*x), (2*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(3*a) - (32*b^3*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(105*a^4*x) + (16*b^2*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(35*a^3*x^(2//3)) - (4*b*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(7*a^2*x^(1//3)), x, 4),
+(sqrt(b*x^(2//3) + a*x)/x^1, (2*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/(a*x), x, 1),
+(sqrt(b*x^(2//3) + a*x)/x^2, -((3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(2*x)) - (3*a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(4*b*x^(2//3)) + (3*a^2*atanh((sqrt(b)*x^(1//3))/sqrt(b*x^(2//3) + a*x)))/(4*b^(3//2)), x, 4),
+(sqrt(b*x^(2//3) + a*x)/x^3, -((3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(5*x^2)) - (3*a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(40*b*x^(5//3)) + (7*a^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(80*b^2*x^(4//3)) - (7*a^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(64*b^3*x) + (21*a^4*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(128*b^4*x^(2//3)) - (21*a^5*atanh((sqrt(b)*x^(1//3))/sqrt(b*x^(2//3) + a*x)))/(128*b^(9//2)), x, 7),
+(sqrt(b*x^(2//3) + a*x)/x^4, -((3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(8*x^3)) - (3*a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(112*b*x^(8//3)) + (13*a^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(448*b^2*x^(7//3)) - (143*a^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(4480*b^3*x^2) + (1287*a^4*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(35840*b^4*x^(5//3)) - (429*a^5*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(10240*b^5*x^(4//3)) + (429*a^6*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(8192*b^6*x) - (1287*a^7*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(16384*b^7*x^(2//3)) + (1287*a^8*atanh((sqrt(b)*x^(1//3))/sqrt(b*x^(2//3) + a*x)))/(16384*b^(15//2)), x, 10),
+(sqrt(b*x^(2//3) + a*x)/x^5, -((3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(11*x^4)) - (3*a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(220*b*x^(11//3)) + (19*a^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(1320*b^2*x^(10//3)) - (323*a^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(21120*b^3*x^3) + (323*a^4*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(19712*b^4*x^(8//3)) - (4199*a^5*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(236544*b^5*x^(7//3)) + (4199*a^6*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(215040*b^6*x^2) - (12597*a^7*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(573440*b^7*x^(5//3)) + (4199*a^8*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(163840*b^8*x^(4//3)) - (4199*a^9*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(131072*b^9*x) + (12597*a^10*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(262144*b^10*x^(2//3)) - (12597*a^11*atanh((sqrt(b)*x^(1//3))/sqrt(b*x^(2//3) + a*x)))/(262144*b^(21//2)), x, 13),
+
+
+(x^2*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2), (45056*b^6*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(557175*a^7) - (1048576*b^11*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(152108775*a^12*x^(5//3)) + (524288*b^10*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(30421755*a^11*x^(4//3)) - (131072*b^9*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(4345965*a^10*x) + (65536*b^8*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(1448655*a^9*x^(2//3)) - (90112*b^7*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(1448655*a^8*x^(1//3)) - (11264*b^5*x^(1//3)*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(111435*a^6) + (5632*b^4*x^(2//3)*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(45885*a^5) - (352*b^3*x*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(2415*a^4) + (176*b^2*x^(4//3)*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(1035*a^3) - (44*b*x^(5//3)*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(225*a^2) + (2*x^2*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(9*a), x, 12),
+(x^1*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2), (-256*b^3*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(1615*a^4) + (65536*b^8*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(4849845*a^9*x^(5//3)) - (32768*b^7*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(969969*a^8*x^(4//3)) + (8192*b^6*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(138567*a^7*x) - (4096*b^5*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(46189*a^6*x^(2//3)) + (512*b^4*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(4199*a^5*x^(1//3)) + (64*b^2*x^(1//3)*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(323*a^3) - (32*b*x^(2//3)*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(133*a^2) + (2*x*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(7*a), x, 9),
+(x^0*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2), (2*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(5*a) - (512*b^5*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(15015*a^6*x^(5//3)) + (256*b^4*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(3003*a^5*x^(4//3)) - (64*b^3*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(429*a^4*x) + (32*b^2*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(143*a^3*x^(2//3)) - (4*b*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(13*a^2*x^(1//3)), x, 6),
+((b*x^(2//3) + a*x)^(3//2)/x^1, (16*b^2*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(105*a^3*x^(5//3)) - (8*b*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(21*a^2*x^(4//3)) + (2*(b*x^(2//3) + a*x)^(5//2))/(3*a*x), x, 3),
+((b*x^(2//3) + a*x)^(3//2)/x^2, (6*b*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/x^(1//3) + (2*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2))/x - 6*b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*x^(1//3))/sqrt(b*x^(2//3) + a*x)), x, 4),
+((b*x^(2//3) + a*x)^(3//2)/x^3, -((3*a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(4*x)) - (3*a^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(8*b*x^(2//3)) - (b*x^(2//3) + a*x)^(3//2)/x^2 + (3*a^3*atanh((sqrt(b)*x^(1//3))/sqrt(b*x^(2//3) + a*x)))/(8*b^(3//2)), x, 5),
+((b*x^(2//3) + a*x)^(3//2)/x^4, -((3*a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(20*x^2)) - (3*a^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(160*b*x^(5//3)) + (7*a^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(320*b^2*x^(4//3)) - (7*a^4*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(256*b^3*x) + (21*a^5*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(512*b^4*x^(2//3)) - (b*x^(2//3) + a*x)^(3//2)/(2*x^3) - (21*a^6*atanh((sqrt(b)*x^(1//3))/sqrt(b*x^(2//3) + a*x)))/(512*b^(9//2)), x, 8),
+((b*x^(2//3) + a*x)^(3//2)/x^5, -((a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(16*x^3)) - (a^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(224*b*x^(8//3)) + (13*a^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(2688*b^2*x^(7//3)) - (143*a^4*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(26880*b^3*x^2) + (429*a^5*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(71680*b^4*x^(5//3)) - (143*a^6*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(20480*b^5*x^(4//3)) + (143*a^7*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(16384*b^6*x) - (429*a^8*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(32768*b^7*x^(2//3)) - (b*x^(2//3) + a*x)^(3//2)/(3*x^4) + (429*a^9*atanh((sqrt(b)*x^(1//3))/sqrt(b*x^(2//3) + a*x)))/(32768*b^(15//2)), x, 11),
+((b*x^(2//3) + a*x)^(3//2)/x^6, -((3*a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(88*x^4)) - (3*a^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(1760*b*x^(11//3)) + (19*a^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(10560*b^2*x^(10//3)) - (323*a^4*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(168960*b^3*x^3) + (323*a^5*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(157696*b^4*x^(8//3)) - (4199*a^6*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(1892352*b^5*x^(7//3)) + (4199*a^7*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(1720320*b^6*x^2) - (12597*a^8*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(4587520*b^7*x^(5//3)) + (4199*a^9*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(1310720*b^8*x^(4//3)) - (4199*a^10*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(1048576*b^9*x) + (12597*a^11*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(2097152*b^10*x^(2//3)) - (b*x^(2//3) + a*x)^(3//2)/(4*x^5) - (12597*a^12*atanh((sqrt(b)*x^(1//3))/sqrt(b*x^(2//3) + a*x)))/(2097152*b^(21//2)), x, 14),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4/sqrt(b*x^(2//3) + a*x), (8388608*b^12*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(11700675*a^13) - (16777216*b^13*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(11700675*a^14*x^(1//3)) - (2097152*b^11*x^(1//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(3900225*a^12) + (1048576*b^10*x^(2//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(2340135*a^11) - (131072*b^9*x*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(334305*a^10) + (65536*b^8*x^(4//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(185725*a^9) - (180224*b^7*x^(5//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(557175*a^8) + (1171456*b^6*x^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(3900225*a^7) - (73216*b^5*x^(7//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(260015*a^6) + (36608*b^4*x^(8//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(137655*a^5) - (9152*b^3*x^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(36225*a^4) + (416*b^2*x^(10//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(1725*a^3) - (52*b*x^(11//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(225*a^2) + (2*x^4*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(9*a), x, 14),
+(x^3/sqrt(b*x^(2//3) + a*x), (-262144*b^9*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(323323*a^10) + (524288*b^10*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(323323*a^11*x^(1//3)) + (196608*b^8*x^(1//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(323323*a^9) - (163840*b^7*x^(2//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(323323*a^8) + (20480*b^6*x*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(46189*a^7) - (18432*b^5*x^(4//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(46189*a^6) + (1536*b^4*x^(5//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(4199*a^5) - (768*b^3*x^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(2261*a^4) + (720*b^2*x^(7//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(2261*a^3) - (40*b*x^(8//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(133*a^2) + (2*x^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(7*a), x, 11),
+(x^2/sqrt(b*x^(2//3) + a*x), (2048*b^6*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(2145*a^7) - (4096*b^7*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(2145*a^8*x^(1//3)) - (512*b^5*x^(1//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(715*a^6) + (256*b^4*x^(2//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(429*a^5) - (224*b^3*x*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(429*a^4) + (336*b^2*x^(4//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(715*a^3) - (28*b*x^(5//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(65*a^2) + (2*x^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(5*a), x, 8),
+(x^1/sqrt(b*x^(2//3) + a*x), (-128*b^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(105*a^4) + (256*b^4*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(105*a^5*x^(1//3)) + (32*b^2*x^(1//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(35*a^3) - (16*b*x^(2//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(21*a^2) + (2*x*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(3*a), x, 5),
+(x^0/sqrt(b*x^(2//3) + a*x), (2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/a - (4*b*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(a^2*x^(1//3)), x, 2),
+(1/(x^1*sqrt(b*x^(2//3) + a*x)), -((3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(b*x^(2//3))) + (3*a*atanh((sqrt(b)*x^(1//3))/sqrt(b*x^(2//3) + a*x)))/b^(3//2), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x)), -((3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(4*b*x^(5//3))) + (7*a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(8*b^2*x^(4//3)) - (35*a^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(32*b^3*x) + (105*a^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(64*b^4*x^(2//3)) - (105*a^4*atanh((sqrt(b)*x^(1//3))/sqrt(b*x^(2//3) + a*x)))/(64*b^(9//2)), x, 6),
+(1/(x^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x)), -((3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(7*b*x^(8//3))) + (13*a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(28*b^2*x^(7//3)) - (143*a^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(280*b^3*x^2) + (1287*a^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(2240*b^4*x^(5//3)) - (429*a^4*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(640*b^5*x^(4//3)) + (429*a^5*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(512*b^6*x) - (1287*a^6*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(1024*b^7*x^(2//3)) + (1287*a^7*atanh((sqrt(b)*x^(1//3))/sqrt(b*x^(2//3) + a*x)))/(1024*b^(15//2)), x, 9),
+(1/(x^4*sqrt(b*x^(2//3) + a*x)), -((3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(10*b*x^(11//3))) + (19*a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(60*b^2*x^(10//3)) - (323*a^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(960*b^3*x^3) + (323*a^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(896*b^4*x^(8//3)) - (4199*a^4*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(10752*b^5*x^(7//3)) + (46189*a^5*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(107520*b^6*x^2) - (138567*a^6*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(286720*b^7*x^(5//3)) + (46189*a^7*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(81920*b^8*x^(4//3)) - (46189*a^8*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(65536*b^9*x) + (138567*a^9*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(131072*b^10*x^(2//3)) - (138567*a^10*atanh((sqrt(b)*x^(1//3))/sqrt(b*x^(2//3) + a*x)))/(131072*b^(21//2)), x, 12),
+
+
+(x^4/(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2), (-6*x^4)/(a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x)) - (524288*b^9*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(29393*a^11) + (1048576*b^10*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(29393*a^12*x^(1//3)) + (393216*b^8*x^(1//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(29393*a^10) - (327680*b^7*x^(2//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(29393*a^9) + (40960*b^6*x*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(4199*a^8) - (36864*b^5*x^(4//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(4199*a^7) + (33792*b^4*x^(5//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(4199*a^6) - (16896*b^3*x^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(2261*a^5) + (15840*b^2*x^(7//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(2261*a^4) - (880*b*x^(8//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(133*a^3) + (44*x^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(7*a^2), x, 12),
+(x^3/(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2), (-6*x^3)/(a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x)) + (32768*b^6*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(2145*a^8) - (65536*b^7*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(2145*a^9*x^(1//3)) - (8192*b^5*x^(1//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(715*a^7) + (4096*b^4*x^(2//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(429*a^6) - (3584*b^3*x*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(429*a^5) + (5376*b^2*x^(4//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(715*a^4) - (448*b*x^(5//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(65*a^3) + (32*x^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(5*a^2), x, 9),
+(x^2/(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2), (-6*x^2)/(a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x)) - (256*b^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(21*a^5) + (512*b^4*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(21*a^6*x^(1//3)) + (64*b^2*x^(1//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(7*a^4) - (160*b*x^(2//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(21*a^3) + (20*x*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(3*a^2), x, 6),
+(x^1/(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2), (-6*x)/(a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x)) + (8*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/a^2 - (16*b*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(a^3*x^(1//3)), x, 3),
+(x^0/(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2), (6*x^(1//3))/(b*sqrt(b*x^(2//3) + a*x)) - (6*atanh((sqrt(b)*x^(1//3))/sqrt(b*x^(2//3) + a*x)))/b^(3//2), x, 3),
+(1/(x^1*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2)), 6/(b*x^(2//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x)) - (7*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(b^2*x^(4//3)) + (35*a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(4*b^3*x) - (105*a^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(8*b^4*x^(2//3)) + (105*a^3*atanh((sqrt(b)*x^(1//3))/sqrt(b*x^(2//3) + a*x)))/(8*b^(9//2)), x, 6),
+(1/(x^2*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2)), 6/(b*x^(5//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x)) - (13*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(2*b^2*x^(7//3)) + (143*a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(20*b^3*x^2) - (1287*a^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(160*b^4*x^(5//3)) + (3003*a^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(320*b^5*x^(4//3)) - (3003*a^4*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(256*b^6*x) + (9009*a^5*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(512*b^7*x^(2//3)) - (9009*a^6*atanh((sqrt(b)*x^(1//3))/sqrt(b*x^(2//3) + a*x)))/(512*b^(15//2)), x, 9),
+(1/(x^3*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2)), 6/(b*x^(8//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x)) - (19*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(3*b^2*x^(10//3)) + (323*a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(48*b^3*x^3) - (1615*a^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(224*b^4*x^(8//3)) + (20995*a^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(2688*b^5*x^(7//3)) - (46189*a^4*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(5376*b^6*x^2) + (138567*a^5*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(14336*b^7*x^(5//3)) - (46189*a^6*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(4096*b^8*x^(4//3)) + (230945*a^7*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(16384*b^9*x) - (692835*a^8*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(32768*b^10*x^(2//3)) + (692835*a^9*atanh((sqrt(b)*x^(1//3))/sqrt(b*x^(2//3) + a*x)))/(32768*b^(21//2)), x, 12),
+(1/(x^4*(b*x^(2//3) + a*x)^(3//2)), 6/(b*x^(11//3)*sqrt(b*x^(2//3) + a*x)) - (25*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(4*b^2*x^(13//3)) + (575*a*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(88*b^3*x^4) - (2415*a^2*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(352*b^4*x^(11//3)) + (15295*a^3*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(2112*b^5*x^(10//3)) - (260015*a^4*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(33792*b^6*x^3) + (185725*a^5*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(22528*b^7*x^(8//3)) - (2414425*a^6*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(270336*b^8*x^(7//3)) + (482885*a^7*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(49152*b^9*x^2) - (1448655*a^8*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(131072*b^10*x^(5//3)) + (3380195*a^9*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(262144*b^11*x^(4//3)) - (16900975*a^10*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(1048576*b^12*x) + (50702925*a^11*sqrt(b*x^(2//3) + a*x))/(2097152*b^13*x^(2//3)) - (50702925*a^12*atanh((sqrt(b)*x^(1//3))/sqrt(b*x^(2//3) + a*x)))/(2097152*b^(27//2)), x, 15),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integration problems of the form (c x)^m (a x^2+b x^n)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a x^2+b x^3)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a x^2+b x^3)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^2*(a*x^2 + b*x^3), (a*x^5)/5 + (b*x^6)/6, x, 2),
+(x*(a*x^2 + b*x^3), (a*x^4)/4 + (b*x^5)/5, x, 2),
+(a*x^2 + b*x^3, (a*x^3)/3 + (b*x^4)/4, x, 1),
+((a*x^2 + b*x^3)/x, (a*x^2)/2 + (b*x^3)/3, x, 2),
+((a*x^2 + b*x^3)/x^2, a*x + (b*x^2)/2, x, 2),
+
+
+(x^2*(a*x^2 + b*x^3)^2, (a^2*x^7)/7 + (a*b*x^8)/4 + (b^2*x^9)/9, x, 3),
+(x*(a*x^2 + b*x^3)^2, (a^2*x^6)/6 + (2*a*b*x^7)/7 + (b^2*x^8)/8, x, 3),
+((a*x^2 + b*x^3)^2, (a^2*x^5)/5 + (a*b*x^6)/3 + (b^2*x^7)/7, x, 3),
+((a*x^2 + b*x^3)^2/x, (a^2*x^4)/4 + (2*a*b*x^5)/5 + (b^2*x^6)/6, x, 3),
+((a*x^2 + b*x^3)^2/x^2, (a^2*x^3)/3 + (a*b*x^4)/2 + (b^2*x^5)/5, x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^6/(a*x^2 + b*x^3), -((a^3*x)/b^4) + (a^2*x^2)/(2*b^3) - (a*x^3)/(3*b^2) + x^4/(4*b) + (a^4*log(a + b*x))/b^5, x, 3),
+(x^5/(a*x^2 + b*x^3), (a^2*x)/b^3 - (a*x^2)/(2*b^2) + x^3/(3*b) - (a^3*log(a + b*x))/b^4, x, 3),
+(x^4/(a*x^2 + b*x^3), -((a*x)/b^2) + x^2/(2*b) + (a^2*log(a + b*x))/b^3, x, 3),
+(x^3/(a*x^2 + b*x^3), x/b - (a*log(a + b*x))/b^2, x, 3),
+(x^2/(a*x^2 + b*x^3), log(a + b*x)/b, x, 2),
+(x^1/(a*x^2 + b*x^3), log(x)/a - log(a + b*x)/a, x, 4),
+(x^0/(a*x^2 + b*x^3), -(1/(a*x)) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x))/a^2, x, 3),
+(1/(x^1*(a*x^2 + b*x^3)), -1/(2*a*x^2) + b/(a^2*x) + (b^2*log(x))/a^3 - (b^2*log(a + b*x))/a^3, x, 3),
+(1/(x^2*(a*x^2 + b*x^3)), -1/(3*a*x^3) + b/(2*a^2*x^2) - b^2/(a^3*x) - (b^3*log(x))/a^4 + (b^3*log(a + b*x))/a^4, x, 3),
+
+
+(x^8/(a*x^2 + b*x^3)^2, (3*a^2*x)/b^4 - (a*x^2)/b^3 + x^3/(3*b^2) - a^4/(b^5*(a + b*x)) - (4*a^3*log(a + b*x))/b^5, x, 3),
+(x^7/(a*x^2 + b*x^3)^2, -((2*a*x)/b^3) + x^2/(2*b^2) + a^3/(b^4*(a + b*x)) + (3*a^2*log(a + b*x))/b^4, x, 3),
+(x^6/(a*x^2 + b*x^3)^2, x/b^2 - a^2/(b^3*(a + b*x)) - (2*a*log(a + b*x))/b^3, x, 3),
+(x^5/(a*x^2 + b*x^3)^2, a/(b^2*(a + b*x)) + log(a + b*x)/b^2, x, 3),
+(x^4/(a*x^2 + b*x^3)^2, -(1/(b*(a + b*x))), x, 2),
+(x^3/(a*x^2 + b*x^3)^2, 1/(a*(a + b*x)) + log(x)/a^2 - log(a + b*x)/a^2, x, 3),
+(x^2/(a*x^2 + b*x^3)^2, -(1/(a^2*x)) - b/(a^2*(a + b*x)) - (2*b*log(x))/a^3 + (2*b*log(a + b*x))/a^3, x, 3),
+(x^1/(a*x^2 + b*x^3)^2, -(1/(2*a^2*x^2)) + (2*b)/(a^3*x) + b^2/(a^3*(a + b*x)) + (3*b^2*log(x))/a^4 - (3*b^2*log(a + b*x))/a^4, x, 3),
+(x^0/(a*x^2 + b*x^3)^2, -(1/(3*a^2*x^3)) + b/(a^3*x^2) - (3*b^2)/(a^4*x) - b^3/(a^4*(a + b*x)) - (4*b^3*log(x))/a^5 + (4*b^3*log(a + b*x))/a^5, x, 3),
+(1/(x^1*(a*x^2 + b*x^3)^2), -(1/(4*a^2*x^4)) + (2*b)/(3*a^3*x^3) - (3*b^2)/(2*a^4*x^2) + (4*b^3)/(a^5*x) + b^4/(a^5*(a + b*x)) + (5*b^4*log(x))/a^6 - (5*b^4*log(a + b*x))/a^6, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a x^2+b x^3)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3), (2*(a*x^2 + b*x^3)^(3//2))/(9*b) - (32*a^3*(a*x^2 + b*x^3)^(3//2))/(315*b^4*x^3) + (16*a^2*(a*x^2 + b*x^3)^(3//2))/(105*b^3*x^2) - (4*a*(a*x^2 + b*x^3)^(3//2))/(21*b^2*x), x, 4),
+(x*sqrt(a*x^2 + b*x^3), (16*a^2*(a*x^2 + b*x^3)^(3//2))/(105*b^3*x^3) - (8*a*(a*x^2 + b*x^3)^(3//2))/(35*b^2*x^2) + (2*(a*x^2 + b*x^3)^(3//2))/(7*b*x), x, 3),
+(sqrt(a*x^2 + b*x^3), -((4*a*(a*x^2 + b*x^3)^(3//2))/(15*b^2*x^3)) + (2*(a*x^2 + b*x^3)^(3//2))/(5*b*x^2), x, 2),
+(sqrt(a*x^2 + b*x^3)/x, (2*(a*x^2 + b*x^3)^(3//2))/(3*b*x^3), x, 1),
+(sqrt(a*x^2 + b*x^3)/x^2, (2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/x - 2*sqrt(a)*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)), x, 3),
+(sqrt(a*x^2 + b*x^3)/x^3, -(sqrt(a*x^2 + b*x^3)/x^2) - (b*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/sqrt(a), x, 3),
+(sqrt(a*x^2 + b*x^3)/x^4, -(sqrt(a*x^2 + b*x^3)/(2*x^3)) - (b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(4*a*x^2) + (b^2*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/(4*a^(3//2)), x, 4),
+(sqrt(a*x^2 + b*x^3)/x^5, -(sqrt(a*x^2 + b*x^3)/(3*x^4)) - (b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(12*a*x^3) + (b^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(8*a^2*x^2) - (b^3*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/(8*a^(5//2)), x, 5),
+
+
+(x^2*(a*x^2 + b*x^3)^(3//2), (2*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(15*b) - (512*a^5*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(45045*b^6*x^5) + (256*a^4*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(9009*b^5*x^4) - (64*a^3*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(1287*b^4*x^3) + (32*a^2*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(429*b^3*x^2) - (4*a*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(39*b^2*x), x, 6),
+(x*(a*x^2 + b*x^3)^(3//2), (256*a^4*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(15015*b^5*x^5) - (128*a^3*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(3003*b^4*x^4) + (32*a^2*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(429*b^3*x^3) - (16*a*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(143*b^2*x^2) + (2*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(13*b*x), x, 5),
+((a*x^2 + b*x^3)^(3//2), -((32*a^3*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(1155*b^4*x^5)) + (16*a^2*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(231*b^3*x^4) - (4*a*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(33*b^2*x^3) + (2*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(11*b*x^2), x, 4),
+((a*x^2 + b*x^3)^(3//2)/x, (16*a^2*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(315*b^3*x^5) - (8*a*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(63*b^2*x^4) + (2*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(9*b*x^3), x, 3),
+((a*x^2 + b*x^3)^(3//2)/x^2, -((4*a*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(35*b^2*x^5)) + (2*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(7*b*x^4), x, 2),
+((a*x^2 + b*x^3)^(3//2)/x^3, (2*(a*x^2 + b*x^3)^(5//2))/(5*b*x^5), x, 1),
+((a*x^2 + b*x^3)^(3//2)/x^4, (2*a*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/x + (2*(a*x^2 + b*x^3)^(3//2))/(3*x^3) - 2*a^(3//2)*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)), x, 4),
+((a*x^2 + b*x^3)^(3//2)/x^5, (3*b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/x - (a*x^2 + b*x^3)^(3//2)/x^4 - 3*sqrt(a)*b*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)), x, 4),
+((a*x^2 + b*x^3)^(3//2)/x^6, -((3*b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(4*x^2)) - (a*x^2 + b*x^3)^(3//2)/(2*x^5) - (3*b^2*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/(4*sqrt(a)), x, 4),
+((a*x^2 + b*x^3)^(3//2)/x^7, -((b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(4*x^3)) - (b^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(8*a*x^2) - (a*x^2 + b*x^3)^(3//2)/(3*x^6) + (b^3*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/(8*a^(3//2)), x, 5),
+((a*x^2 + b*x^3)^(3//2)/x^8, -((b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(8*x^4)) - (b^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(32*a*x^3) + (3*b^3*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(64*a^2*x^2) - (a*x^2 + b*x^3)^(3//2)/(4*x^7) - (3*b^4*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/(64*a^(5//2)), x, 6),
+((a*x^2 + b*x^3)^(3//2)/x^9, -((3*b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(40*x^5)) - (b^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(80*a*x^4) + (b^3*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(64*a^2*x^3) - (3*b^4*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(128*a^3*x^2) - (a*x^2 + b*x^3)^(3//2)/(5*x^8) + (3*b^5*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/(128*a^(7//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4/sqrt(a*x^2 + b*x^3), (16*a^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(35*b^3) - (32*a^3*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(35*b^4*x) - (12*a*x*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(35*b^2) + (2*x^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(7*b), x, 4),
+(x^3/sqrt(a*x^2 + b*x^3), -((8*a*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(15*b^2)) + (16*a^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(15*b^3*x) + (2*x*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(5*b), x, 3),
+(x^2/sqrt(a*x^2 + b*x^3), (2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(3*b) - (4*a*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(3*b^2*x), x, 2),
+(x^1/sqrt(a*x^2 + b*x^3), (2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(b*x), x, 1),
+(x^0/sqrt(a*x^2 + b*x^3), -((2*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/sqrt(a)), x, 2),
+(1/(x^1*sqrt(a*x^2 + b*x^3)), -(sqrt(a*x^2 + b*x^3)/(a*x^2)) + (b*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/a^(3//2), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3)), (3*b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(4*a^2*x^2) - sqrt(a*x^2 + b*x^3)/(2*a*x^3) - (3*b^2*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/(4*a^(5//2)), x, 4),
+(1/(x^3*sqrt(a*x^2 + b*x^3)), -(sqrt(a*x^2 + b*x^3)/(3*a*x^4)) + (5*b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(12*a^2*x^3) - (5*b^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(8*a^3*x^2) + (5*b^3*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/(8*a^(7//2)), x, 5),
+
+
+(x^6/(a*x^2 + b*x^3)^(3//2), -((2*x^4)/(b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))) - (16*a*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(5*b^3) + (32*a^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(5*b^4*x) + (12*x*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(5*b^2), x, 4),
+(x^5/(a*x^2 + b*x^3)^(3//2), -((2*x^3)/(b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))) + (8*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(3*b^2) - (16*a*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(3*b^3*x), x, 3),
+(x^4/(a*x^2 + b*x^3)^(3//2), -((2*x^2)/(b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))) + (4*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(b^2*x), x, 2),
+(x^3/(a*x^2 + b*x^3)^(3//2), -((2*x)/(b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))), x, 1),
+(x^2/(a*x^2 + b*x^3)^(3//2), (2*x)/(a*sqrt(a*x^2 + b*x^3)) - (2*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/a^(3//2), x, 3),
+(x^1/(a*x^2 + b*x^3)^(3//2), 2/(a*sqrt(a*x^2 + b*x^3)) - (3*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(a^2*x^2) + (3*b*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/a^(5//2), x, 4),
+(x^0/(a*x^2 + b*x^3)^(3//2), 2/(a*x*sqrt(a*x^2 + b*x^3)) - (5*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(2*a^2*x^3) + (15*b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(4*a^3*x^2) - (15*b^2*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/(4*a^(7//2)), x, 5),
+(1/(x^1*(a*x^2 + b*x^3)^(3//2)), 2/(a*x^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3)) - (7*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(3*a^2*x^4) + (35*b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(12*a^3*x^3) - (35*b^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(8*a^4*x^2) + (35*b^3*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/(8*a^(9//2)), x, 6),
+(1/(x^2*(a*x^2 + b*x^3)^(3//2)), 2/(a*x^3*sqrt(a*x^2 + b*x^3)) - (9*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(4*a^2*x^5) + (21*b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(8*a^3*x^4) - (105*b^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(32*a^4*x^3) + (315*b^3*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(64*a^5*x^2) - (315*b^4*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/(64*a^(11//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a x^2+b x^3)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a x^2+b x^3)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^(7//2)/sqrt(a*x^2 + b*x^3), (5*a^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(8*b^3*sqrt(x)) - (5*a*sqrt(x)*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(12*b^2) + (x^(3//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(3*b) - (5*a^3*atanh((sqrt(b)*x^(3//2))/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/(8*b^(7//2)), x, 5),
+(x^(5//2)/sqrt(a*x^2 + b*x^3), -((3*a*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(4*b^2*sqrt(x))) + (sqrt(x)*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(2*b) + (3*a^2*atanh((sqrt(b)*x^(3//2))/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/(4*b^(5//2)), x, 4),
+(x^(3//2)/sqrt(a*x^2 + b*x^3), sqrt(a*x^2 + b*x^3)/(b*sqrt(x)) - (a*atanh((sqrt(b)*x^(3//2))/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/b^(3//2), x, 3),
+(x^(1//2)/sqrt(a*x^2 + b*x^3), (2*atanh((sqrt(b)*x^(3//2))/sqrt(a*x^2 + b*x^3)))/sqrt(b), x, 2),
+(1/(x^(1//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3)), -((2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(a*x^(3//2))), x, 1),
+(1/(x^(3//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3)), -((2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(3*a*x^(5//2))) + (4*b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(3*a^2*x^(3//2)), x, 2),
+(1/(x^(5//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3)), -((2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(5*a*x^(7//2))) + (8*b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(15*a^2*x^(5//2)) - (16*b^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(15*a^3*x^(3//2)), x, 3),
+(1/(x^(7//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3)), -((2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(7*a*x^(9//2))) + (12*b*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(35*a^2*x^(7//2)) - (16*b^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(35*a^3*x^(5//2)) + (32*b^3*sqrt(a*x^2 + b*x^3))/(35*a^4*x^(3//2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a x^2+b x^3)^p when p is symbolic
+
+
+((a*x^2 + b*x^3)^n/x^(3*n - 1), (x^(2 - 3*n)*(a*x^2 + b*x^3)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2 - n, -n, 3 - n, -((b*x)/a)))/((1 + (b*x)/a)^n*(2 - n)), x, 3),
+# {(a*x^2 + b*x^3)^n/x^(3*n + 0), x, 3, (x^(-1 - 3*n)*(a*x^2 + b*x^3)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 2, 2 - n, -((b*x)/a)])/(a*(1 - n)), (x^(1 - 3*n)*(a*x^2 + b*x^3)^n*Hypergeometric2F1[1 - n, -n, 2 - n, -((b*x)/a)])/((1 + (b*x)/a)^n*(1 - n))}
+((a*x^2 + b*x^3)^n/x^(3*n + 1), -(((a*x^2 + b*x^3)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-n, -n, 1 - n, -((b*x)/a)))/(x^(3*n)*(1 + (b*x)/a)^n*n)), x, 3),
+((a*x^2 + b*x^3)^n/x^(3*n + 2), -((a*x^2 + b*x^3)^(1 + n)/(x^(3*(1 + n))*(a*(1 + n)))), x, 1),
+((a*x^2 + b*x^3)^n/x^(3*n + 3), -((x^(-4 - 3*n)*(a*x^2 + b*x^3)^(1 + n))/(a*(2 + n))) + (b*(a*x^2 + b*x^3)^(1 + n))/(x^(3*(1 + n))*(a^2*(1 + n)*(2 + n))), x, 2),
+# {(a*x^2 + b*x^3)^n/x^(3*n + 4), x, 3, If[$VersionNumber>=8, -((x^(-5 - 3*n)*(a*x^2 + b*x^3)^(1 + n))/(a*(3 + n))) + (2*b*x^(-4 - 3*n)*(a*x^2 + b*x^3)^(1 + n))/(a^2*(2 + n)*(3 + n)) - (2*b^2*(a*x^2 + b*x^3)^(1 + n))/(x^(3*(1 + n))*(a^3*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n))), -((x^(-5 - 3*n)*(a*x^2 + b*x^3)^(1 + n))/(a*(3 + n))) + (2*b*x^(-4 - 3*n)*(a*x^2 + b*x^3)^(1 + n))/(a^2*(2 + n)*(3 + n)) - (2*b^2*(a*x^2 + b*x^3)^(1 + n))/(x^(3*(1 + n))*(a^3*(2 + n)*(3 + 4*n + n^2)))]}
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a x^2+b x^5)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a x^2+b x^5)^p
+
+
+(x^11/(a*x^2 + b*x^5)^3, x^6/(6*a*(a + b*x^3)^2), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a x^2+b x^5)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^9/sqrt(a*x^2 + b*x^5), (16*a^2*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(45*b^3*x) - (8*a*x^2*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(45*b^2) + (2*x^5*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(15*b), x, 3),
+(x^6/sqrt(a*x^2 + b*x^5), -((4*a*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(9*b^2*x)) + (2*x^2*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(9*b), x, 2),
+(x^3/sqrt(a*x^2 + b*x^5), (2*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(3*b*x), x, 1),
+(x^0/sqrt(a*x^2 + b*x^5), -((2*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^5)))/(3*sqrt(a))), x, 2),
+(1/(x^3*sqrt(a*x^2 + b*x^5)), -(sqrt(a*x^2 + b*x^5)/(3*a*x^4)) + (b*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^5)))/(3*a^(3//2)), x, 3),
+
+(x^4/sqrt(a*x^2 + b*x^5), (2*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(5*b) - (4*sqrt(2 + sqrt(3))*a*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(5*3^(1//4)*b^(4//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)), x, 3),
+(x^1/sqrt(a*x^2 + b*x^5), (2*sqrt(2 + sqrt(3))*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)), x, 2),
+(1/(x^2*sqrt(a*x^2 + b*x^5)), -(sqrt(a*x^2 + b*x^5)/(2*a*x^3)) - (sqrt(2 + sqrt(3))*b^(2//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*3^(1//4)*a*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)), x, 3),
+
+(x^5/sqrt(a*x^2 + b*x^5), -((8*a*x*(a + b*x^3))/(7*b^(5//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^5))) + (2*x*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(7*b) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(4//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)) - (8*sqrt(2)*a^(4//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*3^(1//4)*b^(5//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)), x, 5),
+(x^2/sqrt(a*x^2 + b*x^5), (2*x*(a + b*x^3))/(b^(2//3)*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)) + (2*sqrt(2)*a^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)), x, 4),
+(1/(x^1*sqrt(a*x^2 + b*x^5)), (b^(1//3)*x*(a + b*x^3))/(a*((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)) - sqrt(a*x^2 + b*x^5)/(a*x^2) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)) + (sqrt(2)*b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*a^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a x^2+b x^5)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(x^(13//2)/(a*x^2 + b*x^5)^(1//2), -((7*a*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(20*b^2*sqrt(x))) + (x^(5//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(5*b) + (7*a^(5//3)*x^(3//2)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(40*3^(1//4)*b^2*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)), x, 5),
+(x^(11//2)/(a*x^2 + b*x^5)^(1//2), -((5*(1 + sqrt(3))*a*x^(3//2)*(a + b*x^3))/(8*b^(5//3)*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^5))) + (x^(3//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(4*b) + (5*3^(1//4)*a^(4//3)*x^(3//2)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(8*b^(5//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)) + (5*(1 - sqrt(3))*a^(4//3)*x^(3//2)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(16*3^(1//4)*b^(5//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)), x, 6),
+(x^(9//2)/(a*x^2 + b*x^5)^(1//2), (sqrt(x)*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(3*b) - (a*atanh((sqrt(b)*x^(5//2))/sqrt(a*x^2 + b*x^5)))/(3*b^(3//2)), x, 3),
+(x^(7//2)/(a*x^2 + b*x^5)^(1//2), sqrt(a*x^2 + b*x^5)/(2*b*sqrt(x)) - (a^(2//3)*x^(3//2)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(4*3^(1//4)*b*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)), x, 4),
+(x^(5//2)/(a*x^2 + b*x^5)^(1//2), ((1 + sqrt(3))*x^(3//2)*(a + b*x^3))/(b^(2//3)*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)) - (3^(1//4)*a^(1//3)*x^(3//2)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(b^(2//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)) - ((1 - sqrt(3))*a^(1//3)*x^(3//2)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(2*3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)), x, 5),
+(x^(3//2)/(a*x^2 + b*x^5)^(1//2), (2*atanh((sqrt(b)*x^(5//2))/sqrt(a*x^2 + b*x^5)))/(3*sqrt(b)), x, 2),
+(x^(1//2)/(a*x^2 + b*x^5)^(1//2), (x^(3//2)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(3^(1//4)*a^(1//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)), x, 3),
+(1/(x^(1//2)*(a*x^2 + b*x^5)^(1//2)), (2*(1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x^(3//2)*(a + b*x^3))/(a*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)) - (2*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(a*x^(3//2)) - (2*3^(1//4)*b^(1//3)*x^(3//2)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(a^(2//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)) - ((1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x^(3//2)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(3^(1//4)*a^(2//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)), x, 6),
+(1/(x^(3//2)*(a*x^2 + b*x^5)^(1//2)), -((2*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(3*a*x^(5//2))), x, 1),
+(1/(x^(5//2)*(a*x^2 + b*x^5)^(1//2)), -((2*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(5*a*x^(7//2))) - (2*b*x^(3//2)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(5*3^(1//4)*a^(4//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)), x, 4),
+(1/(x^(7//2)*(a*x^2 + b*x^5)^(1//2)), -((8*(1 + sqrt(3))*b^(4//3)*x^(3//2)*(a + b*x^3))/(7*a^2*(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^5))) - (2*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(7*a*x^(9//2)) + (8*b*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(7*a^2*x^(3//2)) + (8*3^(1//4)*b^(4//3)*x^(3//2)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(7*a^(5//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)) + (4*(1 - sqrt(3))*b^(4//3)*x^(3//2)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(7*3^(1//4)*a^(5//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)), x, 7),
+(1/(x^(9//2)*(a*x^2 + b*x^5)^(1//2)), -((2*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(9*a*x^(11//2))) + (4*b*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(9*a^2*x^(5//2)), x, 2),
+(1/(x^(11//2)*(a*x^2 + b*x^5)^(1//2)), -((2*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(11*a*x^(13//2))) + (16*b*sqrt(a*x^2 + b*x^5))/(55*a^2*x^(7//2)) + (16*b^2*x^(3//2)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((a^(1//3) + (1 - sqrt(3))*b^(1//3)*x)/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(55*3^(1//4)*a^(7//3)*sqrt((b^(1//3)*x*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(a^(1//3) + (1 + sqrt(3))*b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^5)), x, 5),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integration problems of the form (c x)^m (a x^3+b x^n)^p
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a x^3+b x^4)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a x^3+b x^4)^n
+
+
+(x/(a*x^3 + b*x^4), -(1/(a*x)) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x))/a^2, x, 3),
+(1/(a*x^3 + b*x^4), -(1/(2*a*x^2)) + b/(a^2*x) + (b^2*log(x))/a^3 - (b^2*log(a + b*x))/a^3, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a x^3+b x^4)^(p/2)
+
+
+(x^4/sqrt(a*x^3 + b*x^4), -((5*a*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(12*b^2)) + (5*a^2*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(8*b^3*x) + (x*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(3*b) - (5*a^3*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a*x^3 + b*x^4)))/(8*b^(7//2)), x, 5),
+(x^3/sqrt(a*x^3 + b*x^4), sqrt(a*x^3 + b*x^4)/(2*b) - (3*a*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(4*b^2*x) + (3*a^2*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a*x^3 + b*x^4)))/(4*b^(5//2)), x, 4),
+(x^2/sqrt(a*x^3 + b*x^4), sqrt(a*x^3 + b*x^4)/(b*x) - (a*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a*x^3 + b*x^4)))/b^(3//2), x, 3),
+(x^1/sqrt(a*x^3 + b*x^4), (2*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a*x^3 + b*x^4)))/sqrt(b), x, 2),
+(x^0/sqrt(a*x^3 + b*x^4), -((2*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(a*x^2)), x, 1),
+(1/(x^1*sqrt(a*x^3 + b*x^4)), -((2*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(3*a*x^3)) + (4*b*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(3*a^2*x^2), x, 2),
+(1/(x^2*sqrt(a*x^3 + b*x^4)), -((2*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(5*a*x^4)) + (8*b*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(15*a^2*x^3) - (16*b^2*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(15*a^3*x^2), x, 3),
+(1/(x^3*sqrt(a*x^3 + b*x^4)), -((2*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(7*a*x^5)) + (12*b*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(35*a^2*x^4) - (16*b^2*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(35*a^3*x^3) + (32*b^3*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(35*a^4*x^2), x, 4),
+(1/(x^4*sqrt(a*x^3 + b*x^4)), -((2*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(9*a*x^6)) + (16*b*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(63*a^2*x^5) - (32*b^2*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(105*a^3*x^4) + (128*b^3*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(315*a^4*x^3) - (256*b^4*sqrt(a*x^3 + b*x^4))/(315*a^5*x^2), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a x^3+b x^5)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a x^3+b x^5)^n
+
+
+(1/(x^3 + b*x^5), -(1/(2*x^2)) - b*log(x) + (1//2)*b*log(1 + b*x^2), x, 4),
+(1/(-x^3 + b*x^5), 1/(2*x^2) - b*log(x) + (1//2)*b*log(1 - b*x^2), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a x^3+b x^5)^(p/2)
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integration problems of the form (c x)^m (a x^j+b x^n)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a x^j+b x^n)^p
+
+
+(1/(a*x + b*x)^1, log(x)/(a + b), x, 3),
+(1/(a*x + b*x)^2, -(1/((a + b)^2*x)), x, 3),
+(1/(a*x + b*x)^3, -(1/(2*(a + b)^3*x^2)), x, 3),
+
+
+(1/(a*x^2 + b*x^2), -(1/((a + b)*x)), x, 3),
+
+
+(1/(a*x^n + b*x^n)^1, x^(1 - n)/((a + b)*(1 - n)), x, 3),
+(1/(a*x^n + b*x^n)^2, x^(1 - 2*n)/((a + b)^2*(1 - 2*n)), x, 3),
+(1/(a*x^n + b*x^n)^3, x^(1 - 3*n)/((a + b)^3*(1 - 3*n)), x, 3),
+
+
+# Integrands of the form x^(12*(m-1))*(a*x + b*x^(12*m+2))^12
+((a*x + b*x^14)^12, (a + b*x^13)^13/(169*b), x, 2),
+(x^12*(a*x + b*x^26)^12, (a + b*x^25)^13/(325*b), x, 2),
+(x^24*(a*x + b*x^38)^12, (a + b*x^37)^13/(481*b), x, 2),
+(x^(12*(m-1))*(a*x + b*x^(12*m + 2))^12, (a + b*x^(1 + 12*m))^13/(13*b*(1 + 12*m)), x, 2),
+
+# Integrands of the form (a*x^m + b*x^(12*m+m+1))^12
+((a*x + b*x^14)^12, (a + b*x^13)^13/(169*b), x, 2),
+((a*x^2 + b*x^27)^12, (a + b*x^25)^13/(325*b), x, 2),
+((a*x^3 + b*x^40)^12, (a + b*x^37)^13/(481*b), x, 2),
+((a*x^m + b*x^(12*m + m + 1))^12, (a + b*x^(1 + 12*m))^13/(13*b*(1 + 12*m)), x, 2),
+
+
+((a*x^m + b*x^(6*m + 1))^5, (a + b*x^(1 + 5*m))^6/(6*b*(1 + 5*m)), x, 2),
+(1/(a*x^m + b*x^(1 - 2*m))^3, -(1/(2*b*(1 - 3*m)*(a + b*x^(1 - 3*m))^2)), x, 2),
+
+
+(1/(a*x + b/x), log(b + a*x^2)/(2*a), x, 2),
+(1/(a*x + b/x^2), log(b + a*x^3)/(3*a), x, 2),
+(1/(a*x + b/x^3), log(b + a*x^4)/(4*a), x, 2),
+(1/(a*x + b/x)^3, x^4/(4*b*(b + a*x^2)^2), x, 2),
+
+(1/(a*x^2 + b/x^3)^3, x^10/(10*b*(b + a*x^5)^2), x, 2),
+(1/(a*x^3 + b/x^5)^3, x^16/(16*b*(b + a*x^8)^2), x, 2),
+
+
+((a/x + b*x)^2, -(a^2/x) + 2*a*b*x + (b^2*x^3)/3, x, 3),
+((a/x + b*x)^3, -(a^3/(2*x^2)) + (3//2)*a*b^2*x^2 + (b^3*x^4)/4 + 3*a^2*b*log(x), x, 4),
+((a/x + b*x)^4, -(a^4/(3*x^3)) - (4*a^3*b)/x + 6*a^2*b^2*x + (4//3)*a*b^3*x^3 + (b^4*x^5)/5, x, 3),
+
+
+(1/(1/x^2 + x^3), (-(1//5))*sqrt((1//2)*(5 - sqrt(5)))*atan(sqrt((1//5)*(5 - 2*sqrt(5))) + 2*sqrt(2/(5 + sqrt(5)))*x) - (1//5)*sqrt((1//2)*(5 + sqrt(5)))*atan(sqrt((1//5)*(5 + 2*sqrt(5))) - sqrt((2//5)*(5 + sqrt(5)))*x) + (1//5)*log(1 + x) - (1//20)*(1 + sqrt(5))*log(1 - (1//2)*(1 - sqrt(5))*x + x^2) - (1//20)*(1 - sqrt(5))*log(1 - (1//2)*(1 + sqrt(5))*x + x^2), x, 7),
+
+
+# Integrands of the form x^p*(a*x^n+b*x^(m*n+n+p+1))^m
+(x^p*(a*x^n + b*x^(12*n + n + p + 1))^12, (a + b*x^(1 + 12*n + p))^13/(13*b*(1 + 12*n + p)), x, 2),
+
+(x^12*(a + b*x^13)^12, (a + b*x^13)^13/(169*b), x, 1),
+(x^12*(a*x + b*x^26)^12, (a + b*x^25)^13/(325*b), x, 2),
+(x^12*(a*x^2 + b*x^39)^12, (a + b*x^37)^13/(481*b), x, 2),
+
+(x^24*(a + b*x^25)^12, (a + b*x^25)^13/(325*b), x, 1),
+(x^24*(a*x + b*x^38)^12, (a + b*x^37)^13/(481*b), x, 2),
+
+(x^36*(a + b*x^37)^12, (a + b*x^37)^13/(481*b), x, 1),
+
+
+(1/(a*x + b*x^n), log(b + a*x^(1 - n))/(a*(1 - n)), x, 2),
+(1/(a*x + b*x^(n + 1)), log(x)/a - log(a + b*x^n)/(a*n), x, 5),
+(1/(a*x + b/x^(n - 1)), log(b + a*x^n)/(a*n), x, 2),
+(1/(2*x + 3*x^(n+1)), log(x)/2 - log(2 + 3*x^n)/(2*n), x, 5),
+(1/(2*x + 3/x^(n-1)), log(3 + 2*x^n)/(2*n), x, 2),
+
+(1/(-sqrt(x) + x), 2*log(1 - sqrt(x)), x, 2),
+(1/(-x^(3//5) + x), (5//2)*log(1 - x^(2//5)), x, 2),
+(1/(x^(-1//3) + x), (3*log(1 + x^(4//3)))/4, x, 2),
+(1/(x + x^sqrt(2)), log(x) - (1 + sqrt(2))*log(1 + x^(-1 + sqrt(2))), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a x^j+b x^n)^(p/2) with m+j p+1=0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(a*x^j + b*x^n)/x^(1 + j/2), -((2*sqrt(a*x^j + b*x^n))/(x^(j/2)*(j - n))) + (2*sqrt(a)*atanh((sqrt(a)*x^(j/2))/sqrt(a*x^j + b*x^n)))/(j - n), x, 3),
+
+
+(sqrt(a*x^j + b*x^n)/(c*x)^(1 + j/2), -((2*sqrt(a*x^j + b*x^n))/((c*x)^(j/2)*(c*(j - n)))) + (2*sqrt(a)*x^(j/2)*atanh((sqrt(a)*x^(j/2))/sqrt(a*x^j + b*x^n)))/((c*x)^(j/2)*(c*(j - n))), x, 4),
+
+(sqrt(a*x^3 + b*x^n)/(c*x)^(1 + 3//2), -((2*sqrt(a*x^3 + b*x^n))/(c*(3 - n)*(c*x)^(3//2))) + (2*sqrt(a)*sqrt(c*x)*atanh((sqrt(a)*x^(3//2))/sqrt(a*x^3 + b*x^n)))/(c^3*(3 - n)*sqrt(x)), x, 4),
+(sqrt(a*x^2 + b*x^n)/(c*x)^(1 + 2//2), -((2*sqrt(a*x^2 + b*x^n))/(c^2*(2 - n)*x)) + (2*sqrt(a)*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^n)))/(c^2*(2 - n)), x, 4),
+(sqrt(a*x^1 + b*x^n)/(c*x)^(1 + 1//2), -((2*sqrt(a*x + b*x^n))/(c*(1 - n)*sqrt(c*x))) + (2*sqrt(a)*sqrt(x)*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(a*x + b*x^n)))/(c*(1 - n)*sqrt(c*x)), x, 4),
+(sqrt(a*x^0 + b*x^n)/(c*x)^(1 + 0//2), (2*sqrt(a + b*x^n))/(c*n) - (2*sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/(c*n), x, 5),
+(sqrt(a/x^1 + b*x^n)/(c*x)^(1 - 1//2), (2*sqrt(c*x)*sqrt(a/x + b*x^n))/(c*(1 + n)) - (2*sqrt(a)*sqrt(x)*atanh(sqrt(a)/(sqrt(x)*sqrt(a/x + b*x^n))))/((1 + n)*sqrt(c*x)), x, 4),
+(sqrt(a/x^2 + b*x^n)/(c*x)^(1 - 2//2), (2*x*sqrt(a/x^2 + b*x^n))/(2 + n) - (2*sqrt(a)*atanh(sqrt(a)/(x*sqrt(a/x^2 + b*x^n))))/(2 + n), x, 3),
+(sqrt(a/x^3 + b*x^n)/(c*x)^(1 - 3//2), (2*(c*x)^(3//2)*sqrt(a/x^3 + b*x^n))/(c*(3 + n)) - (2*sqrt(a)*c*sqrt(x)*atanh(sqrt(a)/(x^(3//2)*sqrt(a/x^3 + b*x^n))))/((3 + n)*sqrt(c*x)), x, 4),
+
+
+((a*x^j + b*x^n)^(3//2)/(c*x)^(1 + 3*j/2), -((2*a*x^j*sqrt(a*x^j + b*x^n))/((c*x)^((3*j)/2)*(c*(j - n)))) - (2*(a*x^j + b*x^n)^(3//2))/((c*x)^((3*j)/2)*(3*c*(j - n))) + (2*a^(3//2)*x^((3*j)/2)*atanh((sqrt(a)*x^(j/2))/sqrt(a*x^j + b*x^n)))/((c*x)^((3*j)/2)*(c*(j - n))), x, 5),
+
+((a*x^3 + b*x^n)^(3//2)/(c*x)^(1 + 3*3//2), -((2*a*sqrt(a*x^3 + b*x^n))/(c^4*(3 - n)*(c*x)^(3//2))) - (2*(a*x^3 + b*x^n)^(3//2))/(3*c*(3 - n)*(c*x)^(9//2)) + (2*a^(3//2)*sqrt(c*x)*atanh((sqrt(a)*x^(3//2))/sqrt(a*x^3 + b*x^n)))/(c^6*(3 - n)*sqrt(x)), x, 5),
+((a*x^2 + b*x^n)^(3//2)/(c*x)^(1 + 3*2//2), -((2*a*sqrt(a*x^2 + b*x^n))/(c^4*(2 - n)*x)) - (2*(a*x^2 + b*x^n)^(3//2))/(3*c^4*(2 - n)*x^3) + (2*a^(3//2)*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^n)))/(c^4*(2 - n)), x, 5),
+((a*x^1 + b*x^n)^(3//2)/(c*x)^(1 + 3*1//2), -((2*a*sqrt(a*x + b*x^n))/(c^2*(1 - n)*sqrt(c*x))) - (2*(a*x + b*x^n)^(3//2))/(3*c*(1 - n)*(c*x)^(3//2)) + (2*a^(3//2)*sqrt(x)*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(a*x + b*x^n)))/(c^2*(1 - n)*sqrt(c*x)), x, 5),
+((a*x^0 + b*x^n)^(3//2)/(c*x)^(1 + 3*0//2), (2*a*sqrt(a + b*x^n))/(c*n) + (2*(a + b*x^n)^(3//2))/(3*c*n) - (2*a^(3//2)*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/(c*n), x, 6),
+((a/x^1 + b*x^n)^(3//2)/(c*x)^(1 - 3*1//2), (2*a*sqrt(c*x)*sqrt(a/x + b*x^n))/(1 + n) + (2*(c*x)^(3//2)*(a/x + b*x^n)^(3//2))/(3*c*(1 + n)) - (2*a^(3//2)*c*sqrt(x)*atanh(sqrt(a)/(sqrt(x)*sqrt(a/x + b*x^n))))/((1 + n)*sqrt(c*x)), x, 5),
+((a/x^2 + b*x^n)^(3//2)/(c*x)^(1 - 3*2//2), (2*a*c^2*x*sqrt(a/x^2 + b*x^n))/(2 + n) + (2*c^2*x^3*(a/x^2 + b*x^n)^(3//2))/(3*(2 + n)) - (2*a^(3//2)*c^2*atanh(sqrt(a)/(x*sqrt(a/x^2 + b*x^n))))/(2 + n), x, 5),
+((a/x^3 + b*x^n)^(3//2)/(c*x)^(1 - 3*3//2), (2*a*c^2*(c*x)^(3//2)*sqrt(a/x^3 + b*x^n))/(3 + n) + (2*(c*x)^(9//2)*(a/x^3 + b*x^n)^(3//2))/(3*c*(3 + n)) - (2*a^(3//2)*c^4*sqrt(x)*atanh(sqrt(a)/(x^(3//2)*sqrt(a/x^3 + b*x^n))))/((3 + n)*sqrt(c*x)), x, 5),
+((a/x^4 + b*x^n)^(3//2)/(c*x)^(1 - 3*4//2), (2*a*c^5*x^2*sqrt(a/x^4 + b*x^n))/(4 + n) + (2*c^5*x^6*(a/x^4 + b*x^n)^(3//2))/(3*(4 + n)) - (2*a^(3//2)*c^5*atanh(sqrt(a)/(x^2*sqrt(a/x^4 + b*x^n))))/(4 + n), x, 5),
+
+
+(sqrt((a + b*x)/x^2), 2*sqrt(a/x^2 + b/x)*x - 2*sqrt(a)*atanh(sqrt(a)/(sqrt(a/x^2 + b/x)*x)), x, 5),
+(sqrt((a + b*x^2)/x^2), sqrt(b + a/x^2)*x - sqrt(a)*atanh(sqrt(a)/(sqrt(b + a/x^2)*x)), x, 5),
+(sqrt((a + b*x^3)/x^2), (2//3)*x*sqrt(a/x^2 + b*x) - (2//3)*sqrt(a)*atanh(sqrt(a)/(x*sqrt(a/x^2 + b*x))), x, 4),
+(sqrt((a + b*x^n)/x^2), (2*x*sqrt(a/x^2 + b*x^(-2 + n)))/n - (2*sqrt(a)*atanh(sqrt(a)/(x*sqrt(a/x^2 + b*x^(-2 + n)))))/n, x, 4),
+
+(sqrt((-a + b*x)/x^2), 2*sqrt(-(a/x^2) + b/x)*x + 2*sqrt(a)*atan(sqrt(a)/(sqrt(-(a/x^2) + b/x)*x)), x, 5),
+(sqrt((-a + b*x^2)/x^2), sqrt(b - a/x^2)*x + sqrt(a)*atan(sqrt(a)/(sqrt(b - a/x^2)*x)), x, 5),
+(sqrt((-a + b*x^3)/x^2), (2//3)*x*sqrt(-(a/x^2) + b*x) + (2//3)*sqrt(a)*atan(sqrt(a)/(x*sqrt(-(a/x^2) + b*x))), x, 4),
+(sqrt((-a + b*x^n)/x^2), (2*x*sqrt(-(a/x^2) + b*x^(-2 + n)))/n + (2*sqrt(a)*atan(sqrt(a)/(x*sqrt(-(a/x^2) + b*x^(-2 + n)))))/n, x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/sqrt(a*x^j + b*x^n)/(c*x)^(1 - j/2), (2*(c*x)^(j/2)*atanh((sqrt(a)*x^(j/2))/sqrt(a*x^j + b*x^n)))/(x^(j/2)*(sqrt(a)*c*(j - n))), x, 3),
+
+(1/sqrt(a*x^3 + b*x^n)/(c*x)^(1 - 3//2), (2*sqrt(c*x)*atanh((sqrt(a)*x^(3//2))/sqrt(a*x^3 + b*x^n)))/(sqrt(a)*(3 - n)*sqrt(x)), x, 3),
+(1/sqrt(a*x^2 + b*x^n)/(c*x)^(1 - 2//2), (2*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^n)))/(sqrt(a)*(2 - n)), x, 2),
+(1/sqrt(a*x^1 + b*x^n)/(c*x)^(1 - 1//2), (2*sqrt(x)*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(a*x + b*x^n)))/(sqrt(a)*(1 - n)*sqrt(c*x)), x, 3),
+(1/sqrt(a*x^0 + b*x^n)/(c*x)^(1 - 0//2), -((2*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*c*n)), x, 4),
+(1/sqrt(a/x^1 + b*x^n)/(c*x)^(1 + 1//2), -((2*sqrt(x)*atanh(sqrt(a)/(sqrt(x)*sqrt(a/x + b*x^n))))/(sqrt(a)*c*(1 + n)*sqrt(c*x))), x, 3),
+(1/sqrt(a/x^2 + b*x^n)/(c*x)^(1 + 2//2), -((2*atanh(sqrt(a)/(x*sqrt(a/x^2 + b*x^n))))/(sqrt(a)*c^2*(2 + n))), x, 3),
+(1/sqrt(a/x^3 + b*x^n)/(c*x)^(1 + 3//2), -((2*sqrt(x)*atanh(sqrt(a)/(x^(3//2)*sqrt(a/x^3 + b*x^n))))/(sqrt(a)*c^2*(3 + n)*sqrt(c*x))), x, 3),
+
+
+(1/(a*x^j + b*x^n)^(3//2)/(c*x)^(1 - 3*j/2), -((2*(c*x)^((3*j)/2))/(x^j*(a*c*(j - n)*sqrt(a*x^j + b*x^n)))) + (2*(c*x)^((3*j)/2)*atanh((sqrt(a)*x^(j/2))/sqrt(a*x^j + b*x^n)))/(x^((3*j)/2)*(a^(3//2)*c*(j - n))), x, 4),
+
+(1/(a*x^3 + b*x^n)^(3//2)/(c*x)^(1 - 3*3//2), -((2*c^2*(c*x)^(3//2))/(a*(3 - n)*sqrt(a*x^3 + b*x^n))) + (2*c^3*sqrt(c*x)*atanh((sqrt(a)*x^(3//2))/sqrt(a*x^3 + b*x^n)))/(a^(3//2)*(3 - n)*sqrt(x)), x, 4),
+(1/(a*x^2 + b*x^n)^(3//2)/(c*x)^(1 - 3*2//2), -((2*c^2*x)/(a*(2 - n)*sqrt(a*x^2 + b*x^n))) + (2*c^2*atanh((sqrt(a)*x)/sqrt(a*x^2 + b*x^n)))/(a^(3//2)*(2 - n)), x, 4),
+(1/(a*x^1 + b*x^n)^(3//2)/(c*x)^(1 - 3*1//2), -((2*sqrt(c*x))/(a*(1 - n)*sqrt(a*x + b*x^n))) + (2*c*sqrt(x)*atanh((sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(a*x + b*x^n)))/(a^(3//2)*(1 - n)*sqrt(c*x)), x, 4),
+(1/(a*x^0 + b*x^n)^(3//2)/(c*x)^(1 - 3*0//2), 2/(a*c*n*sqrt(a + b*x^n)) - (2*atanh(sqrt(a + b*x^n)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*c*n), x, 5),
+(1/(a/x^1 + b*x^n)^(3//2)/(c*x)^(1 + 3*1//2), 2/(a*c^2*(1 + n)*sqrt(c*x)*sqrt(a/x + b*x^n)) - (2*sqrt(x)*atanh(sqrt(a)/(sqrt(x)*sqrt(a/x + b*x^n))))/(a^(3//2)*c^2*(1 + n)*sqrt(c*x)), x, 4),
+(1/(a/x^2 + b*x^n)^(3//2)/(c*x)^(1 + 3*2//2), 2/(a*c^4*(2 + n)*x*sqrt(a/x^2 + b*x^n)) - (2*atanh(sqrt(a)/(x*sqrt(a/x^2 + b*x^n))))/(a^(3//2)*c^4*(2 + n)), x, 4),
+(1/(a/x^3 + b*x^n)^(3//2)/(c*x)^(1 + 3*3//2), 2/(a*c^4*(3 + n)*(c*x)^(3//2)*sqrt(a/x^3 + b*x^n)) - (2*sqrt(x)*atanh(sqrt(a)/(x^(3//2)*sqrt(a/x^3 + b*x^n))))/(a^(3//2)*c^5*(3 + n)*sqrt(c*x)), x, 4),
+(1/(a/x^4 + b*x^n)^(3//2)/(c*x)^(1 + 3*4//2), 2/(a*c^7*(4 + n)*x^2*sqrt(a/x^4 + b*x^n)) - (2*atanh(sqrt(a)/(x^2*sqrt(a/x^4 + b*x^n))))/(a^(3//2)*c^7*(4 + n)), x, 4),
+
+
+(1/sqrt((a + b*x^3)/x), (2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a/x + b*x^2)))/(3*sqrt(b)), x, 3),
+(1/sqrt((a + b*x^4)/x^2), atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a/x^2 + b*x^2))/(2*sqrt(b)), x, 3),
+(1/sqrt((a + b*x^5)/x^3), (2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a/x^3 + b*x^2)))/(5*sqrt(b)), x, 3),
+(1/sqrt((a + b*x^n)/x^(n-2)), (2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + a*x^(2 - n))))/(sqrt(b)*n), x, 3),
+
+(1/sqrt((a - b*x^3)/x), (2*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a/x - b*x^2)))/(3*sqrt(b)), x, 3),
+(1/sqrt((a - b*x^4)/x^2), atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a/x^2 - b*x^2))/(2*sqrt(b)), x, 3),
+(1/sqrt((a - b*x^5)/x^3), (2*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a/x^3 - b*x^2)))/(5*sqrt(b)), x, 3),
+(1/sqrt((a - b*x^n)/x^(n-2)), (2*atan((sqrt(b)*x)/sqrt((-b)*x^2 + a*x^(2 - n))))/(sqrt(b)*n), x, 3),
+
+
+(1/sqrt(x^n*(a + b*x^(2 - n))), (2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + a*x^n)))/(sqrt(b)*(2 - n)), x, 3),
+(1/sqrt(x^2*(b + a*x^(-2 + n))), (2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + a*x^n)))/(sqrt(b)*(2 - n)), x, 3),
+(1/sqrt(x*(b*x + a*x^(-1 + n))), (2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + a*x^n)))/(sqrt(b)*(2 - n)), x, 3),
+
+(1/sqrt(x^n*(a - b*x^(2 - n))), (2*atan((sqrt(b)*x)/sqrt((-b)*x^2 + a*x^n)))/(sqrt(b)*(2 - n)), x, 3),
+(1/sqrt(x^2*(-b + a*x^(-2 + n))), (2*atan((sqrt(b)*x)/sqrt((-b)*x^2 + a*x^n)))/(sqrt(b)*(2 - n)), x, 3),
+(1/sqrt(x*(-b*x + a*x^(-1 + n))), (2*atan((sqrt(b)*x)/sqrt((-b)*x^2 + a*x^n)))/(sqrt(b)*(2 - n)), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a x^j+b x^n)^(p/2)
+
+
+((c*x)^m*(a*x^j + b*x^n)^(3//2), (2*b*x^(1 + n)*(c*x)^m*sqrt(a*x^j + b*x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), (1 + m + (3*n)/2)/(j - n), 1 + (1 + m + (3*n)/2)/(j - n), -((a*x^(j - n))/b)))/((2 + 2*m + 3*n)*sqrt(1 + (a*x^(j - n))/b)), x, 3),
+((c*x)^m*(a*x^j + b*x^n)^(1//2), (2*x*(c*x)^m*sqrt(a*x^j + b*x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (1 + m + n/2)/(j - n), 1 + (2 + 2*m + n)/(2*j - 2*n), -((a*x^(j - n))/b)))/((2 + 2*m + n)*sqrt(1 + (a*x^(j - n))/b)), x, 3),
+((c*x)^m/(a*x^j + b*x^n)^(1//2), (2*x*(c*x)^m*sqrt(1 + (a*x^(j - n))/b)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1 + m - n/2)/(j - n), 1 + (1 + m - n/2)/(j - n), -((a*x^(j - n))/b)))/((2 + 2*m - n)*sqrt(a*x^j + b*x^n)), x, 3),
+((c*x)^m/(a*x^j + b*x^n)^(3//2), (2*x^(1 - n)*(c*x)^m*sqrt(1 + (a*x^(j - n))/b)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, (1 + m - (3*n)/2)/(j - n), 1 + (1 + m - (3*n)/2)/(j - n), -((a*x^(j - n))/b)))/(b*(2 + 2*m - 3*n)*sqrt(a*x^j + b*x^n)), x, 3),
+((c*x)^m/(a*x^j + b*x^n)^(5//2), (2*x^(1 - 2*n)*(c*x)^m*sqrt(1 + (a*x^(j - n))/b)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, (1 + m - (5*n)/2)/(j - n), 1 + (1 + m - (5*n)/2)/(j - n), -((a*x^(j - n))/b)))/(b^2*(2 + 2*m - 5*n)*sqrt(a*x^j + b*x^n)), x, 3),
+
+
+((a*x^j + b*x^n)^(3//2), (2*b*x^(1 + n)*sqrt(a*x^j + b*x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), (1 + (3*n)/2)/(j - n), (2 + 2*j + n)/(2*(j - n)), -((a*x^(j - n))/b)))/((2 + 3*n)*sqrt(1 + (a*x^(j - n))/b)), x, 3),
+((a*x^j + b*x^n)^(1//2), (2*x*sqrt(a*x^j + b*x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (2 + n)/(2*(j - n)), 1 + (2 + n)/(2*j - 2*n), -((a*x^(j - n))/b)))/((2 + n)*sqrt(1 + (a*x^(j - n))/b)), x, 3),
+# {1/(a*x^j + b*x^n)^(1/2), x, 3, If[$VersionNumber<11, (2*x*Sqrt[1 + (a*x^(j - n))/b]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - n)/(2*(j - n)), (1/2)*(2 + (2 - n)/(j - n)), -((a*x^(j - n))/b)])/((2 - n)*Sqrt[a*x^j + b*x^n]), (2*x*Sqrt[1 + (a*x^(j - n))/b]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - n)/(2*(j - n)), 1 + (1 - n/2)/(j - n), -((a*x^(j - n))/b)])/((2 - n)*Sqrt[a*x^j + b*x^n])]}
+# {1/(a*x^j + b*x^n)^(3/2), x, 3, If[$VersionNumber<11, (2*x^(1 - n)*Sqrt[1 + (a*x^(j - n))/b]*Hypergeometric2F1[3/2, (1 - (3*n)/2)/(j - n), 1 + (2 - 3*n)/(2*j - 2*n), -((a*x^(j - n))/b)])/(b*(2 - 3*n)*Sqrt[a*x^j + b*x^n]), (2*x^(1 - n)*Sqrt[1 + (a*x^(j - n))/b]*Hypergeometric2F1[3/2, (1 - (3*n)/2)/(j - n), 1 + (1 - (3*n)/2)/(j - n), -((a*x^(j - n))/b)])/(b*(2 - 3*n)*Sqrt[a*x^j + b*x^n])]}
+# {1/(a*x^j + b*x^n)^(5/2), x, 3, If[$VersionNumber<11, (2*x^(1 - 2*n)*Sqrt[1 + (a*x^(j - n))/b]*Hypergeometric2F1[5/2, (1 - (5*n)/2)/(j - n), 1 + (2 - 5*n)/(2*j - 2*n), -((a*x^(j - n))/b)])/(b^2*(2 - 5*n)*Sqrt[a*x^j + b*x^n]), (2*x^(1 - 2*n)*Sqrt[1 + (a*x^(j - n))/b]*Hypergeometric2F1[5/2, (1 - (5*n)/2)/(j - n), 1 + (1 - (5*n)/2)/(j - n), -((a*x^(j - n))/b)])/(b^2*(2 - 5*n)*Sqrt[a*x^j + b*x^n])]}
+
+
+(sqrt((1 + x)/x^5), (-(2//3))*(1/x^5 + 1/x^4)^(3//2)*x^6, x, 2),
+(sqrt(x + x^(5//2)), (4*(x + x^(5//2))^(3//2))/(9*x^(3//2)), x, 1),
+(1/(sqrt(x) + x^(3//2)), 2*atan(sqrt(x)), x, 3),
+
+(x*sqrt(x^2*(a + b*x^3)), (2*(x^2*(a + b*x^3))^(3//2))/(9*b*x^3), x, 1),
+(x*sqrt(a*x^2 + b*x^5), (2*(a*x^2 + b*x^5)^(3//2))/(9*b*x^3), x, 1),
+
+
+(sqrt(x^4*(a + b*x^3)), (2*(a*x^4 + b*x^7)^(3//2))/(9*b*x^6), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a x^j+b x^n)^(p/3)
+
+
+(1/(a*x^(1//3) + b*x^(2//3))^(1//3), -((45*a^2*(a + 2*b*x^(1//3))*(-((b*(a*x^(1//3) + b*x^(2//3)))/a^2))^(1//3))/(14*2^(1//3)*b^3*(1 - sqrt(3) - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))*(a*x^(1//3) + b*x^(2//3))^(1//3))) - (45*a*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/(28*b^2*(a*x^(1//3) + b*x^(2//3))^(1//3)) + (9*(a + b*x^(1//3))*x^(2//3))/(7*b*(a*x^(1//3) + b*x^(2//3))^(1//3)) - (45*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^4*(1 - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))*sqrt((1 + 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3) + 2*2^(1//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))^2)*(-((b*(a*x^(1//3) + b*x^(2//3)))/a^2))^(1//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(28*2^(1//3)*b^3*sqrt(-((1 - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))^2))*(a + 2*b*x^(1//3))*(a*x^(1//3) + b*x^(2//3))^(1//3)) + (15*3^(3//4)*a^4*(1 - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))*sqrt((1 + 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3) + 2*2^(1//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))^2)*(-((b*(a*x^(1//3) + b*x^(2//3)))/a^2))^(1//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*2^(5//6)*b^3*sqrt(-((1 - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))^2))*(a + 2*b*x^(1//3))*(a*x^(1//3) + b*x^(2//3))^(1//3)), x, 11),
+(1/(a*x^(1//3) + b*x^(2//3))^(2//3), -((18*a*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/(5*b^2*(a*x^(1//3) + b*x^(2//3))^(2//3))) + (9*(a + b*x^(1//3))*x^(2//3))/(5*b*(a*x^(1//3) + b*x^(2//3))^(2//3)) + (6*2^(1//3)*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^4*(1 - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))*sqrt((1 + 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3) + 2*2^(1//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))^2)*(-((b*(a*x^(1//3) + b*x^(2//3)))/a^2))^(2//3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(5*b^3*sqrt(-((1 - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - 2^(2//3)*(-((b*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/a^2))^(1//3))^2))*(a + 2*b*x^(1//3))*(a*x^(1//3) + b*x^(2//3))^(2//3)), x, 9),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a x^j+b x^n)^p with p symbolic
+
+
+# {x^m*(a*x^j + b*x^n)^p, x, 3, (x^(1 + m)*(a + b*x^(n - j))*(b*x^n + a*x^j)^p*Hypergeometric2F1[1, 1 + p + (1 + m + p*j)/(n - j), 1 + (1 + m + p*j)/(n - j), -((b*x^(n - j))/a)])/(a*(1 + m + p*j)), (x^(1 + m)*(a*x^j + b*x^n)^p*Hypergeometric2F1[-p, (1 + m + n*p)/(j - n), 1 + (1 + m + n*p)/(j - n), -((a*x^(j - n))/b)])/((1 + (a*x^(j - n))/b)^p*(1 + m + n*p))}
+
+
+((a*x^q + b*x^n)^p/x^(p*q + 1), -(((a + b*x^(n - q))*(b*x^n + a*x^q)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^(n - q))/a))/(x^(p*q)*(a*(1 + p)*(n - q)))), x, 3),
+# {(a*x^q + b*x^n)^p/x^(p*n + 1), x, 3, -(((a + b*x^(n - q))*(b*x^n + a*x^q)^p*Hypergeometric2F1[1, 1, 1 - p, -((b*x^(n - q))/a)])/(x^(n*p)*(a*p*(n - q)))), -(((b*x^n + a*x^q)^p*Hypergeometric2F1[-p, -p, 1 - p, -((b*x^(n - q))/a)])/(x^(n*p)*(1 + (b*x^(n - q))/a)^p*(p*(n - q))))}
+((a*x^q + b*x^n)^p/x^(n + (p - 1)*q + 1), (b*(a + b*x^(n - q))*(b*x^n + a*x^q)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^(n - q))/a))/(x^(p*q)*(a^2*(1 + p)*(n - q))), x, 3),
+((a*x^q + b*x^n)^p/x^(q + (p - 1)*n + 1), (x^(n - n*p - q)*(b*x^n + a*x^q)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 - p, -p, 2 - p, -((b*x^(n - q))/a)))/((1 + (b*x^(n - q))/a)^p*((1 - p)*(n - q))), x, 3),
+
+
+((a*x^m + b*x^(m*p + m + 1))^p, (a*x^m + b*x^(1 + m + m*p))^(1 + p)/(x^(m*(1 + p))*(b*(1 + p)*(1 + m*p))), x, 1),
+((x^m*(a + b*x^(m*p + 1)))^p, (a*x^m + b*x^(1 + m + m*p))^(1 + p)/(x^(m*(1 + p))*(b*(1 + p)*(1 + m*p))), x, 2),
+
+(x^n*(x^m*(a + b*x^(m*p + n + 1)))^p, (a*x^m + b*x^(1 + m + n + m*p))^(1 + p)/(x^(m*(1 + p))*(b*(1 + p)*(1 + n + m*p))), x, 2),
+(x^n*(a*x^m + b*x^(m*p + m + n + 1))^p, (a*x^m + b*x^(1 + m + n + m*p))^(1 + p)/(x^(m*(1 + p))*(b*(1 + p)*(1 + n + m*p))), x, 1),
+
+
+((x^(2*(n - 1))*(a + b*x^n))^(1//2), (2*x^(3*(1 - n))*(a/x^(2*(1 - n)) + b*x^(-2 + 3*n))^(3//2))/(3*b*n), x, 2),
+((x^(3*(n - 1))*(a + b*x^n))^(1//3), (3*x^(4*(1 - n))*(a/x^(3*(1 - n)) + b*x^(-3 + 4*n))^(4//3))/(4*b*n), x, 2),
+((x^(4*(n - 1))*(a + b*x^n))^(1//4), (4*x^(5*(1 - n))*(a/x^(4*(1 - n)) + b*x^(-4 + 5*n))^(5//4))/(5*b*n), x, 2),
+((x^(p*(n - 1))*(a + b*x^n))^(1/p), (p*x^((1 - n)*(1 + p))*(a/x^((1 - n)*p) + b*x^(n - (1 - n)*p))^(1 + 1/p))/(b*n*(1 + p)), x, 2),
+
+
+((x^((n - 1)/p)*(a + b*x^n))^p, (x^(((1 - n)*(1 + p))/p)*(b*x^(n - (1 - n)/p) + a/x^((1 - n)/p))^(1 + p))/(b*n*(1 + p)), x, 2),
+
+
+(x^(-1 + n - p*(1 + q))*(a*x^n + b*x^p)^q, (a*x^n + b*x^p)^(1 + q)/(x^(p*(1 + q))*(a*(n - p)*(1 + q))), x, 1),
+(x^(-1 - n*q - p*(1 + q))*(x^n*(a + b*x^p))^q, -((a*x^n + b*x^(n + p))^(1 + q)/(x^((n + p)*(1 + q))*(a*p*(1 + q)))), x, 2),
+]
+# Total integrals translated: 447
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.3 (e x)^m (a x^j+b x^k)^p (c+d x^n)^q.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.3 (e x)^m (a x^j+b x^k)^p (c+d x^n)^q.jl
new file mode 100644
index 00000000..86d7541e
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.1 Binomial products/1.1.4 Improper/1.1.4.3 (e x)^m (a x^j+b x^k)^p (c+d x^n)^q.jl	
@@ -0,0 +1,460 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a x^j+b x^k)^p (c+d x^n)^q
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a x^2+b x^4)^p (c+d x^2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x^2) (a x^2+b x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^2*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4), (1//5)*A*b*x^5 + (1//7)*(b*B + A*c)*x^7 + (1//9)*B*c*x^9, x, 3),
+(x^1*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4), (1//4)*A*b*x^4 + (1//6)*(b*B + A*c)*x^6 + (1//8)*B*c*x^8, x, 4),
+(x^0*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4), (1//3)*A*b*x^3 + (1//5)*(b*B + A*c)*x^5 + (1//7)*B*c*x^7, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4))/x^1, (1//2)*A*b*x^2 + (1//4)*(b*B + A*c)*x^4 + (1//6)*B*c*x^6, x, 4),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4))/x^2, A*b*x + (1//3)*(b*B + A*c)*x^3 + (1//5)*B*c*x^5, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4))/x^3, (1//2)*(b*B + A*c)*x^2 + (1//4)*B*c*x^4 + A*b*log(x), x, 4),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4))/x^4, -((A*b)/x) + (b*B + A*c)*x + (1//3)*B*c*x^3, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4))/x^5, -((A*b)/(2*x^2)) + (1//2)*B*c*x^2 + (b*B + A*c)*log(x), x, 4),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4))/x^6, -((A*b)/(3*x^3)) - (b*B + A*c)/x + B*c*x, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4))/x^7, -((A*b)/(4*x^4)) - (b*B + A*c)/(2*x^2) + B*c*log(x), x, 4),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4))/x^8, -((A*b)/(5*x^5)) - (b*B + A*c)/(3*x^3) - (B*c)/x, x, 3),
+
+
+(x^0*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2, (1//5)*A*b^2*x^5 + (1//7)*b*(b*B + 2*A*c)*x^7 + (1//9)*c*(2*b*B + A*c)*x^9 + (1//11)*B*c^2*x^11, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2)/x^1, (1//4)*A*b^2*x^4 + (1//6)*b*(b*B + 2*A*c)*x^6 + (1//8)*c*(2*b*B + A*c)*x^8 + (1//10)*B*c^2*x^10, x, 4),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2)/x^2, (1//3)*A*b^2*x^3 + (1//5)*b*(b*B + 2*A*c)*x^5 + (1//7)*c*(2*b*B + A*c)*x^7 + (1//9)*B*c^2*x^9, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2)/x^3, -(((b*B - A*c)*(b + c*x^2)^3)/(6*c^2)) + (B*(b + c*x^2)^4)/(8*c^2), x, 4),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2)/x^4, A*b^2*x + (1//3)*b*(b*B + 2*A*c)*x^3 + (1//5)*c*(2*b*B + A*c)*x^5 + (1//7)*B*c^2*x^7, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2)/x^5, A*b*c*x^2 + (A*c^2*x^4)/4 + (B*(b + c*x^2)^3)/(6*c) + A*b^2*log(x), x, 5),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2)/x^6, -((A*b^2)/x) + b*(b*B + 2*A*c)*x + (1//3)*c*(2*b*B + A*c)*x^3 + (1//5)*B*c^2*x^5, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2)/x^7, -((A*b^2)/(2*x^2)) + (1//2)*c*(2*b*B + A*c)*x^2 + (1//4)*B*c^2*x^4 + b*(b*B + 2*A*c)*log(x), x, 4),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2)/x^8, -((A*b^2)/(3*x^3)) - (b*(b*B + 2*A*c))/x + c*(2*b*B + A*c)*x + (1//3)*B*c^2*x^3, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2)/x^9, -((A*b^2)/(4*x^4)) - (b*(b*B + 2*A*c))/(2*x^2) + (1//2)*B*c^2*x^2 + c*(2*b*B + A*c)*log(x), x, 4),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2)/x^10, -((A*b^2)/(5*x^5)) - (b*(b*B + 2*A*c))/(3*x^3) - (c*(2*b*B + A*c))/x + B*c^2*x, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2)/x^11, -((A*b^2)/(6*x^6)) - (b*(b*B + 2*A*c))/(4*x^4) - (c*(2*b*B + A*c))/(2*x^2) + B*c^2*log(x), x, 4),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2)/x^12, -((A*b^2)/(7*x^7)) - (b*(b*B + 2*A*c))/(5*x^5) - (c*(2*b*B + A*c))/(3*x^3) - (B*c^2)/x, x, 3),
+
+
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^2, (1//5)*A*b^3*x^5 + (1//7)*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^7 + (1//3)*b*c*(b*B + A*c)*x^9 + (1//11)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^11 + (1//13)*B*c^3*x^13, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^3, (b*(b*B - A*c)*(b + c*x^2)^4)/(8*c^3) - ((2*b*B - A*c)*(b + c*x^2)^5)/(10*c^3) + (B*(b + c*x^2)^6)/(12*c^3), x, 4),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^4, (1//3)*A*b^3*x^3 + (1//5)*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^5 + (3//7)*b*c*(b*B + A*c)*x^7 + (1//9)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^9 + (1//11)*B*c^3*x^11, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^5, -(((b*B - A*c)*(b + c*x^2)^4)/(8*c^2)) + (B*(b + c*x^2)^5)/(10*c^2), x, 4),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^6, A*b^3*x + (1//3)*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^3 + (3//5)*b*c*(b*B + A*c)*x^5 + (1//7)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^7 + (1//9)*B*c^3*x^9, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^7, (3*A*b^2*c*x^2)/2 + (3*A*b*c^2*x^4)/4 + (A*c^3*x^6)/6 + (B*(b + c*x^2)^4)/(8*c) + A*b^3*log(x), x, 5),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^8, -((A*b^3)/x) + b^2*(b*B + 3*A*c)*x + b*c*(b*B + A*c)*x^3 + (1//5)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^5 + (1//7)*B*c^3*x^7, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^9, -((A*b^3)/(2*x^2)) + (3//2)*b*c*(b*B + A*c)*x^2 + (1//4)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^4 + (1//6)*B*c^3*x^6 + b^2*(b*B + 3*A*c)*log(x), x, 4),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^10, -((A*b^3)/(3*x^3)) - (b^2*(b*B + 3*A*c))/x + 3*b*c*(b*B + A*c)*x + (1//3)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^3 + (1//5)*B*c^3*x^5, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^11, -((A*b^3)/(4*x^4)) - (b^2*(b*B + 3*A*c))/(2*x^2) + (1//2)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^2 + (1//4)*B*c^3*x^4 + 3*b*c*(b*B + A*c)*log(x), x, 4),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^12, -((A*b^3)/(5*x^5)) - (b^2*(b*B + 3*A*c))/(3*x^3) - (3*b*c*(b*B + A*c))/x + c^2*(3*b*B + A*c)*x + (1//3)*B*c^3*x^3, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^13, -((A*b^3)/(6*x^6)) - (b^2*(b*B + 3*A*c))/(4*x^4) - (3*b*c*(b*B + A*c))/(2*x^2) + (1//2)*B*c^3*x^2 + c^2*(3*b*B + A*c)*log(x), x, 4),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^14, -((A*b^3)/(7*x^7)) - (b^2*(b*B + 3*A*c))/(5*x^5) - (b*c*(b*B + A*c))/x^3 - (c^2*(3*b*B + A*c))/x + B*c^3*x, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^15, -((b^3*B)/(6*x^6)) - (3*b^2*B*c)/(4*x^4) - (3*b*B*c^2)/(2*x^2) - (A*(b + c*x^2)^4)/(8*b*x^8) + B*c^3*log(x), x, 5),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^16, -((A*b^3)/(9*x^9)) - (b^2*(b*B + 3*A*c))/(7*x^7) - (3*b*c*(b*B + A*c))/(5*x^5) - (c^2*(3*b*B + A*c))/(3*x^3) - (B*c^3)/x, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^17, -((A*(b + c*x^2)^4)/(10*b*x^10)) - ((5*b*B - A*c)*(b + c*x^2)^4)/(40*b^2*x^8), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^10*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4), (b^3*(b*B - A*c)*x)/c^5 - (b^2*(b*B - A*c)*x^3)/(3*c^4) + (b*(b*B - A*c)*x^5)/(5*c^3) - ((b*B - A*c)*x^7)/(7*c^2) + (B*x^9)/(9*c) - (b^(7//2)*(b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/c^(11//2), x, 5),
+((x^9*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4), -(b^2*(b*B - A*c)*x^2)/(2*c^4) + (b*(b*B - A*c)*x^4)/(4*c^3) - ((b*B - A*c)*x^6)/(6*c^2) + (B*x^8)/(8*c) + (b^3*(b*B - A*c)*log(b + c*x^2))/(2*c^5), x, 4),
+((x^8*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4), -((b^2*(b*B - A*c)*x)/c^4) + (b*(b*B - A*c)*x^3)/(3*c^3) - ((b*B - A*c)*x^5)/(5*c^2) + (B*x^7)/(7*c) + (b^(5//2)*(b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/c^(9//2), x, 5),
+((x^7*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4), (b*(b*B - A*c)*x^2)/(2*c^3) - ((b*B - A*c)*x^4)/(4*c^2) + (B*x^6)/(6*c) - (b^2*(b*B - A*c)*log(b + c*x^2))/(2*c^4), x, 4),
+((x^6*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4), (b*(b*B - A*c)*x)/c^3 - ((b*B - A*c)*x^3)/(3*c^2) + (B*x^5)/(5*c) - (b^(3//2)*(b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/c^(7//2), x, 5),
+((x^5*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4), -((b*B - A*c)*x^2)/(2*c^2) + (B*x^4)/(4*c) + (b*(b*B - A*c)*log(b + c*x^2))/(2*c^3), x, 4),
+((x^4*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4), -(((b*B - A*c)*x)/c^2) + (B*x^3)/(3*c) + (sqrt(b)*(b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/c^(5//2), x, 4),
+((x^3*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4), (B*x^2)/(2*c) - ((b*B - A*c)*log(b + c*x^2))/(2*c^2), x, 4),
+((x^2*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4), (B*x)/c - ((b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(sqrt(b)*c^(3//2)), x, 3),
+(x^1*(A + B*x^2)/(b*x^2 + c*x^4), (A*log(x))/b + ((b*B - A*c)*log(b + c*x^2))/(2*b*c), x, 4),
+(x^0*(A + B*x^2)/(b*x^2 + c*x^4), -(A/(b*x)) + ((b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(b^(3//2)*sqrt(c)), x, 3),
+(x^0*(A + B*x^2)/(b*x^2 - c*x^4), -(A/(b*x)) + ((b*B + A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(b^(3//2)*sqrt(c)), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^1*(b*x^2 + c*x^4)), -(A/(2*b*x^2)) + ((b*B - A*c)*log(x))/b^2 - ((b*B - A*c)*log(b + c*x^2))/(2*b^2), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^2*(b*x^2 + c*x^4)), -(A/(3*b*x^3)) - (b*B - A*c)/(b^2*x) - (sqrt(c)*(b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/b^(5//2), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^3*(b*x^2 + c*x^4)), -(A/(4*b*x^4)) - (b*B - A*c)/(2*b^2*x^2) - (c*(b*B - A*c)*log(x))/b^3 + (c*(b*B - A*c)*log(b + c*x^2))/(2*b^3), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^4*(b*x^2 + c*x^4)), -(A/(5*b*x^5)) - (b*B - A*c)/(3*b^2*x^3) + (c*(b*B - A*c))/(b^3*x) + (c^(3//2)*(b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/b^(7//2), x, 5),
+((A + B*x^2)/(x^5*(b*x^2 + c*x^4)), -(A/(6*b*x^6)) - (b*B - A*c)/(4*b^2*x^4) + (c*(b*B - A*c))/(2*b^3*x^2) + (c^2*(b*B - A*c)*log(x))/b^4 - (c^2*(b*B - A*c)*log(b + c*x^2))/(2*b^4), x, 4),
+
+
+((x^12*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, -((b^2*(4*b*B - 3*A*c)*x)/c^5) + (b*(3*b*B - 2*A*c)*x^3)/(3*c^4) - ((2*b*B - A*c)*x^5)/(5*c^3) + (B*x^7)/(7*c^2) - (b^3*(b*B - A*c)*x)/(2*c^5*(b + c*x^2)) + (b^(5//2)*(9*b*B - 7*A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(2*c^(11//2)), x, 5),
+((x^11*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, (b*(3*b*B - 2*A*c)*x^2)/(2*c^4) - ((2*b*B - A*c)*x^4)/(4*c^3) + (B*x^6)/(6*c^2) - (b^3*(b*B - A*c))/(2*c^5*(b + c*x^2)) - (b^2*(4*b*B - 3*A*c)*log(b + c*x^2))/(2*c^5), x, 4),
+((x^10*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, (b*(3*b*B - 2*A*c)*x)/c^4 - ((2*b*B - A*c)*x^3)/(3*c^3) + (B*x^5)/(5*c^2) + (b^2*(b*B - A*c)*x)/(2*c^4*(b + c*x^2)) - (b^(3//2)*(7*b*B - 5*A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(2*c^(9//2)), x, 5),
+((x^9*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, -(((2*b*B - A*c)*x^2)/(2*c^3)) + (B*x^4)/(4*c^2) + (b^2*(b*B - A*c))/(2*c^4*(b + c*x^2)) + (b*(3*b*B - 2*A*c)*log(b + c*x^2))/(2*c^4), x, 4),
+((x^8*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, -(((2*b*B - A*c)*x)/c^3) + (B*x^3)/(3*c^2) - (b*(b*B - A*c)*x)/(2*c^3*(b + c*x^2)) + (sqrt(b)*(5*b*B - 3*A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(2*c^(7//2)), x, 5),
+((x^7*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, (B*x^2)/(2*c^2) - (b*(b*B - A*c))/(2*c^3*(b + c*x^2)) - ((2*b*B - A*c)*log(b + c*x^2))/(2*c^3), x, 4),
+((x^6*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, (B*x)/c^2 + ((b*B - A*c)*x)/(2*c^2*(b + c*x^2)) - ((3*b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(2*sqrt(b)*c^(5//2)), x, 4),
+((x^5*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, (b*B - A*c)/(2*c^2*(b + c*x^2)) + (B*log(b + c*x^2))/(2*c^2), x, 4),
+((x^4*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, -(((b*B - A*c)*x)/(2*b*c*(b + c*x^2))) + ((b*B + A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(2*b^(3//2)*c^(3//2)), x, 3),
+((x^3*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, -((b*B - A*c)/(2*b*c*(b + c*x^2))) + (A*log(x))/b^2 - (A*log(b + c*x^2))/(2*b^2), x, 4),
+((x^2*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, -(A/(b^2*x)) + ((b*B - A*c)*x)/(2*b^2*(b + c*x^2)) + ((b*B - 3*A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(2*b^(5//2)*sqrt(c)), x, 4),
+((x*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, -(A/(2*b^2*x^2)) + (b*B - A*c)/(2*b^2*(b + c*x^2)) + ((b*B - 2*A*c)*log(x))/b^3 - ((b*B - 2*A*c)*log(b + c*x^2))/(2*b^3), x, 4),
+((A + B*x^2)/(b*x^2 + c*x^4)^2, -(A/(3*b^2*x^3)) - (b*B - 2*A*c)/(b^3*x) - (c*(b*B - A*c)*x)/(2*b^3*(b + c*x^2)) - (sqrt(c)*(3*b*B - 5*A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(2*b^(7//2)), x, 5),
+((A + B*x^2)/(x*(b*x^2 + c*x^4)^2), -(A/(4*b^2*x^4)) - (b*B - 2*A*c)/(2*b^3*x^2) - (c*(b*B - A*c))/(2*b^3*(b + c*x^2)) - (c*(2*b*B - 3*A*c)*log(x))/b^4 + (c*(2*b*B - 3*A*c)*log(b + c*x^2))/(2*b^4), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^2*(b*x^2 + c*x^4)^2), -(A/(5*b^2*x^5)) - (b*B - 2*A*c)/(3*b^3*x^3) + (c*(2*b*B - 3*A*c))/(b^4*x) + (c^2*(b*B - A*c)*x)/(2*b^4*(b + c*x^2)) + (c^(3//2)*(5*b*B - 7*A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(2*b^(9//2)), x, 5),
+
+
+((x^14*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, (3*b*(2*b*B - A*c)*x)/c^5 - ((3*b*B - A*c)*x^3)/(3*c^4) + (B*x^5)/(5*c^3) - (b^3*(b*B - A*c)*x)/(4*c^5*(b + c*x^2)^2) + (b^2*(17*b*B - 13*A*c)*x)/(8*c^5*(b + c*x^2)) - (7*b^(3//2)*(9*b*B - 5*A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(8*c^(11//2)), x, 6),
+((x^13*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, -(((3*b*B - A*c)*x^2)/(2*c^4)) + (B*x^4)/(4*c^3) - (b^3*(b*B - A*c))/(4*c^5*(b + c*x^2)^2) + (b^2*(4*b*B - 3*A*c))/(2*c^5*(b + c*x^2)) + (3*b*(2*b*B - A*c)*log(b + c*x^2))/(2*c^5), x, 4),
+((x^12*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, -(((3*b*B - A*c)*x)/c^4) + (B*x^3)/(3*c^3) + (b^2*(b*B - A*c)*x)/(4*c^4*(b + c*x^2)^2) - (b*(13*b*B - 9*A*c)*x)/(8*c^4*(b + c*x^2)) + (5*sqrt(b)*(7*b*B - 3*A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(8*c^(9//2)), x, 6),
+((x^11*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, (B*x^2)/(2*c^3) + (b^2*(b*B - A*c))/(4*c^4*(b + c*x^2)^2) - (b*(3*b*B - 2*A*c))/(2*c^4*(b + c*x^2)) - ((3*b*B - A*c)*log(b + c*x^2))/(2*c^4), x, 4),
+((x^10*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, (B*x)/c^3 - (b*(b*B - A*c)*x)/(4*c^3*(b + c*x^2)^2) + ((9*b*B - 5*A*c)*x)/(8*c^3*(b + c*x^2)) - (3*(5*b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(8*sqrt(b)*c^(7//2)), x, 5),
+((x^9*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, -((b*(b*B - A*c))/(4*c^3*(b + c*x^2)^2)) + (2*b*B - A*c)/(2*c^3*(b + c*x^2)) + (B*log(b + c*x^2))/(2*c^3), x, 4),
+((x^8*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, ((b*B - A*c)*x)/(4*c^2*(b + c*x^2)^2) - ((5*b*B - A*c)*x)/(8*b*c^2*(b + c*x^2)) + ((3*b*B + A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(8*b^(3//2)*c^(5//2)), x, 4),
+((x^7*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, (A + B*x^2)^2/(4*(b*B - A*c)*(b + c*x^2)^2), x, 3),
+((x^6*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, -(((b*B - A*c)*x)/(4*b*c*(b + c*x^2)^2)) + ((b*B + 3*A*c)*x)/(8*b^2*c*(b + c*x^2)) + ((b*B + 3*A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(8*b^(5//2)*c^(3//2)), x, 4),
+((x^5*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, -((b*B - A*c)/(4*b*c*(b + c*x^2)^2)) + A/(2*b^2*(b + c*x^2)) + (A*log(x))/b^3 - (A*log(b + c*x^2))/(2*b^3), x, 4),
+((x^4*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, -(A/(b^3*x)) + ((b*B - A*c)*x)/(4*b^2*(b + c*x^2)^2) + ((3*b*B - 7*A*c)*x)/(8*b^3*(b + c*x^2)) + (3*(b*B - 5*A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(8*b^(7//2)*sqrt(c)), x, 5),
+((x^3*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, -(A/(2*b^3*x^2)) + (b*B - A*c)/(4*b^2*(b + c*x^2)^2) + (b*B - 2*A*c)/(2*b^3*(b + c*x^2)) + ((b*B - 3*A*c)*log(x))/b^4 - ((b*B - 3*A*c)*log(b + c*x^2))/(2*b^4), x, 4),
+((x^2*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, -(A/(3*b^3*x^3)) - (b*B - 3*A*c)/(b^4*x) - (c*(b*B - A*c)*x)/(4*b^3*(b + c*x^2)^2) - (c*(7*b*B - 11*A*c)*x)/(8*b^4*(b + c*x^2)) - (5*sqrt(c)*(3*b*B - 7*A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(8*b^(9//2)), x, 6),
+((x*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, -(A/(4*b^3*x^4)) - (b*B - 3*A*c)/(2*b^4*x^2) - (c*(b*B - A*c))/(4*b^3*(b + c*x^2)^2) - (c*(2*b*B - 3*A*c))/(2*b^4*(b + c*x^2)) - (3*c*(b*B - 2*A*c)*log(x))/b^5 + (3*c*(b*B - 2*A*c)*log(b + c*x^2))/(2*b^5), x, 4),
+((A + B*x^2)/(b*x^2 + c*x^4)^3, -(A/(5*b^3*x^5)) - (b*B - 3*A*c)/(3*b^4*x^3) + (3*c*(b*B - 2*A*c))/(b^5*x) + (c^2*(b*B - A*c)*x)/(4*b^4*(b + c*x^2)^2) + (c^2*(11*b*B - 15*A*c)*x)/(8*b^5*(b + c*x^2)) + (7*c^(3//2)*(5*b*B - 9*A*c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(8*b^(11//2)), x, 6),
+((A + B*x^2)/(x*(b*x^2 + c*x^4)^3), -(A/(6*b^3*x^6)) - (b*B - 3*A*c)/(4*b^4*x^4) + (3*c*(b*B - 2*A*c))/(2*b^5*x^2) + (c^2*(b*B - A*c))/(4*b^4*(b + c*x^2)^2) + (c^2*(3*b*B - 4*A*c))/(2*b^5*(b + c*x^2)) + (2*c^2*(3*b*B - 5*A*c)*log(x))/b^6 - (c^2*(3*b*B - 5*A*c)*log(b + c*x^2))/b^6, x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x^2) (a x^2+b x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^7*(A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4), (7*b^3*(3*b*B - 4*A*c)*(b + 2*c*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(1024*c^5) - (7*b^2*(3*b*B - 4*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(384*c^4) + (7*b*(3*b*B - 4*A*c)*x^2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(320*c^3) - ((3*b*B - 4*A*c)*x^4*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(40*c^2) + (B*x^6*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(12*c) - (7*b^5*(3*b*B - 4*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(1024*c^(11//2)), x, 8),
+(x^5*(A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4), -((b^2*(7*b*B - 10*A*c)*(b + 2*c*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(256*c^4)) + (b*(7*b*B - 10*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(96*c^3) - ((7*b*B - 10*A*c)*x^2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(80*c^2) + (B*x^4*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(10*c) + (b^4*(7*b*B - 10*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(256*c^(9//2)), x, 7),
+(x^3*(A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4), (b*(5*b*B - 8*A*c)*(b + 2*c*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(128*c^3) - ((5*b*B - 8*A*c - 6*B*c*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(48*c^2) - (b^3*(5*b*B - 8*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(128*c^(7//2)), x, 5),
+(x*(A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4), -(((b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(16*c^2)) + (B*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(6*c) + (b^2*(b*B - 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(16*c^(5//2)), x, 5),
+(((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x, -((b*B - 4*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(8*c) + (B*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(4*c*x^2) - (b*(b*B - 4*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(8*c^(3//2)), x, 5),
+(((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^3, ((b*B + 2*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(2*b) - (A*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(b*x^4) + ((b*B + 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(2*sqrt(c)), x, 5),
+(((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^5, -((B*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^2) - (A*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(3*b*x^6) + B*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^7, -((A*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(5*b*x^8)) - ((5*b*B - 2*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(15*b^2*x^6), x, 3),
+(((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^9, -((A*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(7*b*x^10)) - ((7*b*B - 4*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(35*b^2*x^8) + (2*c*(7*b*B - 4*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(105*b^3*x^6), x, 4),
+(((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^11, -((A*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(9*b*x^12)) - ((3*b*B - 2*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(21*b^2*x^10) + (4*c*(3*b*B - 2*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(105*b^3*x^8) - (8*c^2*(3*b*B - 2*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(315*b^4*x^6), x, 5),
+(((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^13, -((A*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(11*b*x^14)) - ((11*b*B - 8*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(99*b^2*x^12) + (2*c*(11*b*B - 8*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(231*b^3*x^10) - (8*c^2*(11*b*B - 8*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(1155*b^4*x^8) + (16*c^3*(11*b*B - 8*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(3465*b^5*x^6), x, 6),
+
+(x^4*(A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4), (-8*b^2*(2*b*B - 3*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(315*c^4*x^3) + (4*b*(2*b*B - 3*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(105*c^3*x) - ((2*b*B - 3*A*c)*x*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(21*c^2) + (B*x^3*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(9*c), x, 4),
+(x^2*(A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4), (2*b*(4*b*B - 7*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(105*c^3*x^3) - ((4*b*B - 7*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(35*c^2*x) + (B*x*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(7*c), x, 3),
+((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4), -(((2*b*B - 5*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(15*c^2*x^3)) + (B*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(5*c*x), x, 2),
+(((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^2, (A*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x + (B*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(3*c*x^3) - A*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+(((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^4, ((2*b*B + A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(2*b*x) - (A*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(2*b*x^5) - ((2*b*B + A*c)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(2*sqrt(b)), x, 4),
+(((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^6, -(((4*b*B - A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(8*b*x^3)) - (A*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(4*b*x^7) - (c*(4*b*B - A*c)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(8*b^(3//2)), x, 4),
+
+
+(x^5*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (b^4*(9*b*B - 14*A*c)*(b + 2*c*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(2048*c^5) - (b^2*(9*b*B - 14*A*c)*(b + 2*c*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(768*c^4) + (b*(9*b*B - 14*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(240*c^3) - ((9*b*B - 14*A*c)*x^2*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(168*c^2) + (B*x^4*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(14*c) - (b^6*(9*b*B - 14*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(2048*c^(11//2)), x, 8),
+(x^3*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -((b^3*(7*b*B - 12*A*c)*(b + 2*c*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(1024*c^4)) + (b*(7*b*B - 12*A*c)*(b + 2*c*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(384*c^3) - ((7*b*B - 12*A*c - 10*B*c*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(120*c^2) + (b^5*(7*b*B - 12*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(1024*c^(9//2)), x, 6),
+(x*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (3*b^2*(b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(256*c^3) - ((b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(32*c^2) + (B*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(10*c) - (3*b^4*(b*B - 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(256*c^(7//2)), x, 6),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x, -((b*(3*b*B - 8*A*c)*(b + 2*c*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(128*c^2)) - ((3*b*B - 8*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(48*c) + (B*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(8*c*x^2) + (b^3*(3*b*B - 8*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(128*c^(5//2)), x, 6),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^3, ((b*B - 6*A*c)*(b + 2*c*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(16*c) + ((b*B - 6*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(6*b) + (A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(b*x^4) - (b^2*(b*B - 6*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(16*c^(3//2)), x, 6),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^5, (3//8)*(b*B + 4*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4) + ((b*B + 4*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(4*b*x^2) - (A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(b*x^6) + (3*b*(b*B + 4*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(8*sqrt(c)), x, 6),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^7, (c*(3*b*B + 2*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(2*b) - ((3*b*B + 2*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(3*b*x^4) - (A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(3*b*x^8) + (1//2)*sqrt(c)*(3*b*B + 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^9, -((B*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^2) - (B*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(3*x^6) - (A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(5*b*x^10) + B*c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^11, -((A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(7*b*x^12)) - ((7*b*B - 2*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(35*b^2*x^10), x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^13, -((A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(9*b*x^14)) - ((9*b*B - 4*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(63*b^2*x^12) + (2*c*(9*b*B - 4*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(315*b^3*x^10), x, 4),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^15, -((A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(11*b*x^16)) - ((11*b*B - 6*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(99*b^2*x^14) + (4*c*(11*b*B - 6*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(693*b^3*x^12) - (8*c^2*(11*b*B - 6*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(3465*b^4*x^10), x, 5),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^17, -((A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(13*b*x^18)) - ((13*b*B - 8*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(143*b^2*x^16) + (2*c*(13*b*B - 8*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(429*b^3*x^14) - (8*c^2*(13*b*B - 8*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(3003*b^4*x^12) + (16*c^3*(13*b*B - 8*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(15015*b^5*x^10), x, 6),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^19, -((A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(15*b*x^20)) - ((3*b*B - 2*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(39*b^2*x^18) + (8*c*(3*b*B - 2*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(429*b^3*x^16) - (16*c^2*(3*b*B - 2*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(1287*b^4*x^14) + (64*c^3*(3*b*B - 2*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(9009*b^5*x^12) - (128*c^4*(3*b*B - 2*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(45045*b^6*x^10), x, 7),
+
+(x^4*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (16*b^3*(8*b*B - 13*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(15015*c^5*x^5) - (8*b^2*(8*b*B - 13*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(3003*c^4*x^3) + (2*b*(8*b*B - 13*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(429*c^3*x) - ((8*b*B - 13*A*c)*x*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(143*c^2) + (B*x^3*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(13*c), x, 5),
+(x^2*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -((8*b^2*(6*b*B - 11*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(3465*c^4*x^5)) + (4*b*(6*b*B - 11*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(693*c^3*x^3) - ((6*b*B - 11*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(99*c^2*x) + (B*x*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(11*c), x, 4),
+((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (2*b*(4*b*B - 9*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(315*c^3*x^5) - ((4*b*B - 9*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(63*c^2*x^3) + (B*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(9*c*x), x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^2, -((2*b*B - 7*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(35*c^2*x^5) + (B*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(7*c*x^3), x, 2),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^4, (A*b*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x + (A*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(3*x^3) + (B*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(5*c*x^5) - A*b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^6, ((2*b*B + 3*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(2*x) + ((2*b*B + 3*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(6*b*x^3) - (A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(2*b*x^7) - (1//2)*sqrt(b)*(2*b*B + 3*A*c)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^8, (3*c*(4*b*B + A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(8*b*x) - ((4*b*B + A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(8*b*x^5) - (A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(4*b*x^9) - (3*c*(4*b*B + A*c)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(8*sqrt(b)), x, 5),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^10, -((c*(6*b*B - A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(16*b*x^3)) - ((6*b*B - A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(24*b*x^7) - (A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(6*b*x^11) - (c^2*(6*b*B - A*c)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(16*b^(3//2)), x, 5),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^12, -((c*(8*b*B - 3*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(64*b*x^5)) - (c^2*(8*b*B - 3*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(128*b^2*x^3) - ((8*b*B - 3*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(48*b*x^9) - (A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(8*b*x^13) + (c^3*(8*b*B - 3*A*c)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(128*b^(5//2)), x, 6),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^14, -((c*(2*b*B - A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(32*b*x^7)) - (c^2*(2*b*B - A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(128*b^2*x^5) + (3*c^3*(2*b*B - A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(256*b^3*x^3) - ((2*b*B - A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(16*b*x^11) - (A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(10*b*x^15) - (3*c^4*(2*b*B - A*c)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(256*b^(7//2)), x, 7),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^16, -((c*(12*b*B - 7*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(320*b*x^9)) - (c^2*(12*b*B - 7*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(1920*b^2*x^7) + (c^3*(12*b*B - 7*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(1536*b^3*x^5) - (c^4*(12*b*B - 7*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(1024*b^4*x^3) - ((12*b*B - 7*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(120*b*x^13) - (A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(12*b*x^17) + (c^5*(12*b*B - 7*A*c)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(1024*b^(9//2)), x, 8),
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+
+
+((x^7*(A + B*x^2))/sqrt(b*x^2 + c*x^4), (-5*b^2*(7*b*B - 8*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(128*c^4) + (5*b*(7*b*B - 8*A*c)*x^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(192*c^3) - ((7*b*B - 8*A*c)*x^4*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(48*c^2) + (B*x^6*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(8*c) + (5*b^3*(7*b*B - 8*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(128*c^(9//2)), x, 7),
+((x^5*(A + B*x^2))/sqrt(b*x^2 + c*x^4), (b*(5*b*B - 6*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(16*c^3) - ((5*b*B - 6*A*c)*x^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(24*c^2) + (B*x^4*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(6*c) - (b^2*(5*b*B - 6*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(16*c^(7//2)), x, 6),
+((x^3*(A + B*x^2))/sqrt(b*x^2 + c*x^4), -(((3*b*B - 4*A*c - 2*B*c*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(8*c^2)) + (b*(3*b*B - 4*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(8*c^(5//2)), x, 4),
+((x*(A + B*x^2))/sqrt(b*x^2 + c*x^4), (B*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(2*c) - ((b*B - 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(2*c^(3//2)), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -((A*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(b*x^2)) + (B*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/sqrt(c), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^3*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -((A*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*b*x^4)) - ((3*b*B - 2*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*b^2*x^2), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^5*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -((A*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*b*x^6)) - ((5*b*B - 4*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(15*b^2*x^4) + (2*c*(5*b*B - 4*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(15*b^3*x^2), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^7*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -((A*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(7*b*x^8)) - ((7*b*B - 6*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(35*b^2*x^6) + (4*c*(7*b*B - 6*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(105*b^3*x^4) - (8*c^2*(7*b*B - 6*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(105*b^4*x^2), x, 5),
+((A + B*x^2)/(x^9*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -((A*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(9*b*x^10)) - ((9*b*B - 8*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(63*b^2*x^8) + (2*c*(9*b*B - 8*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(105*b^3*x^6) - (8*c^2*(9*b*B - 8*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(315*b^4*x^4) + (16*c^3*(9*b*B - 8*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(315*b^5*x^2), x, 6),
+
+((x^6*(A + B*x^2))/sqrt(b*x^2 + c*x^4), -((8*b^2*(6*b*B - 7*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(105*c^4*x)) + (4*b*(6*b*B - 7*A*c)*x*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(105*c^3) - ((6*b*B - 7*A*c)*x^3*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(35*c^2) + (B*x^5*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(7*c), x, 4),
+((x^4*(A + B*x^2))/sqrt(b*x^2 + c*x^4), (2*b*(4*b*B - 5*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(15*c^3*x) - ((4*b*B - 5*A*c)*x*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(15*c^2) + (B*x^3*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*c), x, 3),
+((x^2*(A + B*x^2))/sqrt(b*x^2 + c*x^4), -((2*b*B - 3*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*c^2*x) + (B*x*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*c), x, 2),
+((A + B*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4), (B*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(c*x) - (A*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/sqrt(b), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -((A*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(2*b*x^3)) - ((2*b*B - A*c)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(2*b^(3//2)), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^4*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -((A*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(4*b*x^5)) - ((4*b*B - 3*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(8*b^2*x^3) + (c*(4*b*B - 3*A*c)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(8*b^(5//2)), x, 4),
+
+
+(x^9*(A + B*x^2)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(((b*B - A*c)*x^8)/(b*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + (5*b*(7*b*B - 6*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(16*c^4) - (5*(7*b*B - 6*A*c)*x^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(24*c^3) + ((7*b*B - 6*A*c)*x^4*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(6*b*c^2) - (5*b^2*(7*b*B - 6*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(16*c^(9//2)), x, 7),
+(x^7*(A + B*x^2)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(((b*B - A*c)*x^6)/(b*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) - (3*(5*b*B - 4*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(8*c^3) + ((5*b*B - 4*A*c)*x^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(4*b*c^2) + (3*b*(5*b*B - 4*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(8*c^(7//2)), x, 6),
+(x^5*(A + B*x^2)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(((b*B - A*c)*x^4)/(b*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + ((3*b*B - 2*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(2*b*c^2) - ((3*b*B - 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(2*c^(5//2)), x, 5),
+(x^3*(A + B*x^2)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(((b*B - A*c)*x^2)/(b*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + (B*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/c^(3//2), x, 4),
+(x^1*(A + B*x^2)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -((A*b - (b*B - 2*A*c)*x^2)/(b^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))), x, 2),
+((A + B*x^2)/(x^1*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), -(A/(3*b*x^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) - ((3*b*B - 4*A*c)*(b + 2*c*x^2))/(3*b^3*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^3*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), -(A/(5*b*x^4*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) - (5*b*B - 6*A*c)/(15*b^2*x^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (4*c*(5*b*B - 6*A*c)*(b + 2*c*x^2))/(15*b^4*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^5*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), -(A/(7*b*x^6*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) - (7*b*B - 8*A*c)/(35*b^2*x^4*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (2*c*(7*b*B - 8*A*c))/(35*b^3*x^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (8*c^2*(7*b*B - 8*A*c)*(b + 2*c*x^2))/(35*b^5*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+
+(x^8*(A + B*x^2)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(((b*B - A*c)*x^7)/(b*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + (8*b*(6*b*B - 5*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(15*c^4*x) - (4*(6*b*B - 5*A*c)*x*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(15*c^3) + ((6*b*B - 5*A*c)*x^3*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*b*c^2), x, 4),
+(x^6*(A + B*x^2)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(((b*B - A*c)*x^5)/(b*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) - (2*(4*b*B - 3*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*c^3*x) + ((4*b*B - 3*A*c)*x*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*b*c^2), x, 3),
+(x^4*(A + B*x^2)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(((b*B - A*c)*x^3)/(b*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + ((2*b*B - A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(b*c^2*x), x, 2),
+(x^2*(A + B*x^2)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(((b*B - A*c)*x)/(b*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) - (A*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/b^(3//2), x, 3),
+(x^0*(A + B*x^2)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(B/(3*c*x*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) - (2*b*B - 3*A*c)/(3*b*c*x*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + ((2*b*B - 3*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(2*b^2*c*x^3) - ((2*b*B - 3*A*c)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(2*b^(5//2)), x, 5),
+((A + B*x^2)/(x^2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), -(A/(4*b*x^3*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + (4*b*B - 5*A*c)/(4*b^2*x*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (3*(4*b*B - 5*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(8*b^3*x^3) + (3*c*(4*b*B - 5*A*c)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(8*b^(7//2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^(m/2) (d+e x^2) (a x^2+b x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4), (2*A*b*x^(13//2))/13 + (2*(b*B + A*c)*x^(17//2))/17 + (2*B*c*x^(21//2))/21, x, 3),
+(x^(5//2)*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4), (2*A*b*x^(11//2))/11 + (2*(b*B + A*c)*x^(15//2))/15 + (2*B*c*x^(19//2))/19, x, 3),
+(x^(3//2)*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4), (2*A*b*x^(9//2))/9 + (2*(b*B + A*c)*x^(13//2))/13 + (2*B*c*x^(17//2))/17, x, 3),
+(sqrt(x)*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4), (2*A*b*x^(7//2))/7 + (2*(b*B + A*c)*x^(11//2))/11 + (2*B*c*x^(15//2))/15, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4))/sqrt(x), (2*A*b*x^(5//2))/5 + (2*(b*B + A*c)*x^(9//2))/9 + (2*B*c*x^(13//2))/13, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4))/x^(3//2), (2*A*b*x^(3//2))/3 + (2*(b*B + A*c)*x^(7//2))/7 + (2*B*c*x^(11//2))/11, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4))/x^(5//2), 2*A*b*sqrt(x) + (2*(b*B + A*c)*x^(5//2))/5 + (2*B*c*x^(9//2))/9, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4))/x^(7//2), (-2*A*b)/sqrt(x) + (2*(b*B + A*c)*x^(3//2))/3 + (2*B*c*x^(7//2))/7, x, 3),
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2, (2*A*b^2*x^(17//2))/17 + (2*b*(b*B + 2*A*c)*x^(21//2))/21 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(25//2))/25 + (2*B*c^2*x^(29//2))/29, x, 3),
+(x^(5//2)*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2, (2*A*b^2*x^(15//2))/15 + (2*b*(b*B + 2*A*c)*x^(19//2))/19 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(23//2))/23 + (2*B*c^2*x^(27//2))/27, x, 3),
+(x^(3//2)*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2, (2*A*b^2*x^(13//2))/13 + (2*b*(b*B + 2*A*c)*x^(17//2))/17 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(21//2))/21 + (2*B*c^2*x^(25//2))/25, x, 3),
+(sqrt(x)*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2, (2*A*b^2*x^(11//2))/11 + (2*b*(b*B + 2*A*c)*x^(15//2))/15 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(19//2))/19 + (2*B*c^2*x^(23//2))/23, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2)/sqrt(x), (2*A*b^2*x^(9//2))/9 + (2*b*(b*B + 2*A*c)*x^(13//2))/13 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(17//2))/17 + (2*B*c^2*x^(21//2))/21, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2)/x^(3//2), (2*A*b^2*x^(7//2))/7 + (2*b*(b*B + 2*A*c)*x^(11//2))/11 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(15//2))/15 + (2*B*c^2*x^(19//2))/19, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2)/x^(5//2), (2*A*b^2*x^(5//2))/5 + (2*b*(b*B + 2*A*c)*x^(9//2))/9 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(13//2))/13 + (2*B*c^2*x^(17//2))/17, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2)/x^(7//2), (2*A*b^2*x^(3//2))/3 + (2*b*(b*B + 2*A*c)*x^(7//2))/7 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(11//2))/11 + (2*B*c^2*x^(15//2))/15, x, 3),
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3, (2*A*b^3*x^(21//2))/21 + (2*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^(25//2))/25 + (6*b*c*(b*B + A*c)*x^(29//2))/29 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(33//2))/33 + (2*B*c^3*x^(37//2))/37, x, 3),
+(x^(5//2)*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3, (2*A*b^3*x^(19//2))/19 + (2*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^(23//2))/23 + (2*b*c*(b*B + A*c)*x^(27//2))/9 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(31//2))/31 + (2*B*c^3*x^(35//2))/35, x, 3),
+(x^(3//2)*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3, (2*A*b^3*x^(17//2))/17 + (2*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^(21//2))/21 + (6*b*c*(b*B + A*c)*x^(25//2))/25 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(29//2))/29 + (2*B*c^3*x^(33//2))/33, x, 3),
+(sqrt(x)*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3, (2*A*b^3*x^(15//2))/15 + (2*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^(19//2))/19 + (6*b*c*(b*B + A*c)*x^(23//2))/23 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(27//2))/27 + (2*B*c^3*x^(31//2))/31, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/sqrt(x), (2*A*b^3*x^(13//2))/13 + (2*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^(17//2))/17 + (2*b*c*(b*B + A*c)*x^(21//2))/7 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(25//2))/25 + (2*B*c^3*x^(29//2))/29, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^(3//2), (2*A*b^3*x^(11//2))/11 + (2*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^(15//2))/15 + (6*b*c*(b*B + A*c)*x^(19//2))/19 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(23//2))/23 + (2*B*c^3*x^(27//2))/27, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^(5//2), (2*A*b^3*x^(9//2))/9 + (2*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^(13//2))/13 + (6*b*c*(b*B + A*c)*x^(17//2))/17 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(21//2))/21 + (2*B*c^3*x^(25//2))/25, x, 3),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3)/x^(7//2), (2*A*b^3*x^(7//2))/7 + (2*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^(11//2))/11 + (2*b*c*(b*B + A*c)*x^(15//2))/5 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(19//2))/19 + (2*B*c^3*x^(23//2))/23, x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^(13//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4), (2*b*(b*B - A*c)*x^(3//2))/(3*c^3) - (2*(b*B - A*c)*x^(7//2))/(7*c^2) + (2*B*x^(11//2))/(11*c) + (b^(7//4)*(b*B - A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(15//4)) - (b^(7//4)*(b*B - A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(15//4)) - (b^(7//4)*(b*B - A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(15//4)) + (b^(7//4)*(b*B - A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(15//4)), x, 14),
+((x^(11//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4), (2*b*(b*B - A*c)*sqrt(x))/c^3 - (2*(b*B - A*c)*x^(5//2))/(5*c^2) + (2*B*x^(9//2))/(9*c) + (b^(5//4)*(b*B - A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(13//4)) - (b^(5//4)*(b*B - A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(13//4)) + (b^(5//4)*(b*B - A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(13//4)) - (b^(5//4)*(b*B - A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(13//4)), x, 14),
+((x^(9//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4), (-2*(b*B - A*c)*x^(3//2))/(3*c^2) + (2*B*x^(7//2))/(7*c) - (b^(3//4)*(b*B - A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(11//4)) + (b^(3//4)*(b*B - A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(11//4)) + (b^(3//4)*(b*B - A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(11//4)) - (b^(3//4)*(b*B - A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(11//4)), x, 13),
+((x^(7//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4), (-2*(b*B - A*c)*sqrt(x))/c^2 + (2*B*x^(5//2))/(5*c) - (b^(1//4)*(b*B - A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(9//4)) + (b^(1//4)*(b*B - A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(9//4)) - (b^(1//4)*(b*B - A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(9//4)) + (b^(1//4)*(b*B - A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(9//4)), x, 13),
+((x^(5//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4), (2*B*x^(3//2))/(3*c) + ((b*B - A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(1//4)*c^(7//4)) - ((b*B - A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(1//4)*c^(7//4)) - ((b*B - A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(7//4)) + ((b*B - A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(7//4)), x, 12),
+((x^(3//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4), (2*B*sqrt(x))/c + ((b*B - A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(3//4)*c^(5//4)) - ((b*B - A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(3//4)*c^(5//4)) + ((b*B - A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(5//4)) - ((b*B - A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(5//4)), x, 12),
+((sqrt(x)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4), (-2*A)/(b*sqrt(x)) - ((b*B - A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(5//4)*c^(3//4)) + ((b*B - A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(5//4)*c^(3//4)) + ((b*B - A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(5//4)*c^(3//4)) - ((b*B - A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(5//4)*c^(3//4)), x, 12),
+((A + B*x^2)/(sqrt(x)*(b*x^2 + c*x^4)), (-2*A)/(3*b*x^(3//2)) - ((b*B - A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(7//4)*c^(1//4)) + ((b*B - A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(7//4)*c^(1//4)) - ((b*B - A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(7//4)*c^(1//4)) + ((b*B - A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(7//4)*c^(1//4)), x, 12),
+((A + B*x^2)/(x^(3//2)*(b*x^2 + c*x^4)), (-2*A)/(5*b*x^(5//2)) - (2*(b*B - A*c))/(b^2*sqrt(x)) + (c^(1//4)*(b*B - A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(9//4)) - (c^(1//4)*(b*B - A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(9//4)) - (c^(1//4)*(b*B - A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(9//4)) + (c^(1//4)*(b*B - A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(9//4)), x, 13),
+((A + B*x^2)/(x^(5//2)*(b*x^2 + c*x^4)), (-2*A)/(7*b*x^(7//2)) - (2*(b*B - A*c))/(3*b^2*x^(3//2)) + (c^(3//4)*(b*B - A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(11//4)) - (c^(3//4)*(b*B - A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(11//4)) + (c^(3//4)*(b*B - A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(11//4)) - (c^(3//4)*(b*B - A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(11//4)), x, 13),
+((A + B*x^2)/(x^(7//2)*(b*x^2 + c*x^4)), (-2*A)/(9*b*x^(9//2)) - (2*(b*B - A*c))/(5*b^2*x^(5//2)) + (2*c*(b*B - A*c))/(b^3*sqrt(x)) - (c^(5//4)*(b*B - A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(13//4)) + (c^(5//4)*(b*B - A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(13//4)) + (c^(5//4)*(b*B - A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(13//4)) - (c^(5//4)*(b*B - A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(13//4)), x, 14),
+((A + B*x^2)/(x^(9//2)*(b*x^2 + c*x^4)), (-2*A)/(11*b*x^(11//2)) - (2*(b*B - A*c))/(7*b^2*x^(7//2)) + (2*c*(b*B - A*c))/(3*b^3*x^(3//2)) - (c^(7//4)*(b*B - A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(15//4)) + (c^(7//4)*(b*B - A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(15//4)) - (c^(7//4)*(b*B - A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(15//4)) + (c^(7//4)*(b*B - A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(15//4)), x, 14),
+
+
+((x^(19//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, (b*(13*b*B - 9*A*c)*sqrt(x))/(2*c^4) - ((13*b*B - 9*A*c)*x^(5//2))/(10*c^3) + ((13*b*B - 9*A*c)*x^(9//2))/(18*b*c^2) - ((b*B - A*c)*x^(13//2))/(2*b*c*(b + c*x^2)) + (b^(5//4)*(13*b*B - 9*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(17//4)) - (b^(5//4)*(13*b*B - 9*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(17//4)) + (b^(5//4)*(13*b*B - 9*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*c^(17//4)) - (b^(5//4)*(13*b*B - 9*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*c^(17//4)), x, 15),
+((x^(17//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, -((11*b*B - 7*A*c)*x^(3//2))/(6*c^3) + ((11*b*B - 7*A*c)*x^(7//2))/(14*b*c^2) - ((b*B - A*c)*x^(11//2))/(2*b*c*(b + c*x^2)) - (b^(3//4)*(11*b*B - 7*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(15//4)) + (b^(3//4)*(11*b*B - 7*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(15//4)) + (b^(3//4)*(11*b*B - 7*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*c^(15//4)) - (b^(3//4)*(11*b*B - 7*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*c^(15//4)), x, 14),
+((x^(15//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, -((9*b*B - 5*A*c)*sqrt(x))/(2*c^3) + ((9*b*B - 5*A*c)*x^(5//2))/(10*b*c^2) - ((b*B - A*c)*x^(9//2))/(2*b*c*(b + c*x^2)) - (b^(1//4)*(9*b*B - 5*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(13//4)) + (b^(1//4)*(9*b*B - 5*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(13//4)) - (b^(1//4)*(9*b*B - 5*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*c^(13//4)) + (b^(1//4)*(9*b*B - 5*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*c^(13//4)), x, 14),
+((x^(13//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, ((7*b*B - 3*A*c)*x^(3//2))/(6*b*c^2) - ((b*B - A*c)*x^(7//2))/(2*b*c*(b + c*x^2)) + ((7*b*B - 3*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(11//4)) - ((7*b*B - 3*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(11//4)) - ((7*b*B - 3*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(11//4)) + ((7*b*B - 3*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(11//4)), x, 13),
+((x^(11//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, ((5*b*B - A*c)*sqrt(x))/(2*b*c^2) - ((b*B - A*c)*x^(5//2))/(2*b*c*(b + c*x^2)) + ((5*b*B - A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(9//4)) - ((5*b*B - A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(9//4)) + ((5*b*B - A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(9//4)) - ((5*b*B - A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(9//4)), x, 13),
+((x^(9//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, -((b*B - A*c)*x^(3//2))/(2*b*c*(b + c*x^2)) - ((3*b*B + A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(5//4)*c^(7//4)) + ((3*b*B + A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(5//4)*c^(7//4)) + ((3*b*B + A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(5//4)*c^(7//4)) - ((3*b*B + A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(5//4)*c^(7//4)), x, 12),
+((x^(7//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, -((b*B - A*c)*sqrt(x))/(2*b*c*(b + c*x^2)) - ((b*B + 3*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(7//4)*c^(5//4)) + ((b*B + 3*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(7//4)*c^(5//4)) - ((b*B + 3*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(7//4)*c^(5//4)) + ((b*B + 3*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(7//4)*c^(5//4)), x, 12),
+((x^(5//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, (b*B - 5*A*c)/(2*b^2*c*sqrt(x)) - (b*B - A*c)/(2*b*c*sqrt(x)*(b + c*x^2)) - ((b*B - 5*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(9//4)*c^(3//4)) + ((b*B - 5*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(9//4)*c^(3//4)) + ((b*B - 5*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(9//4)*c^(3//4)) - ((b*B - 5*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(9//4)*c^(3//4)), x, 13),
+((x^(3//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, (3*b*B - 7*A*c)/(6*b^2*c*x^(3//2)) - (b*B - A*c)/(2*b*c*x^(3//2)*(b + c*x^2)) - ((3*b*B - 7*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(11//4)*c^(1//4)) + ((3*b*B - 7*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(11//4)*c^(1//4)) - ((3*b*B - 7*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(11//4)*c^(1//4)) + ((3*b*B - 7*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(11//4)*c^(1//4)), x, 13),
+((sqrt(x)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^2, (5*b*B - 9*A*c)/(10*b^2*c*x^(5//2)) - (5*b*B - 9*A*c)/(2*b^3*sqrt(x)) - (b*B - A*c)/(2*b*c*x^(5//2)*(b + c*x^2)) + (c^(1//4)*(5*b*B - 9*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(13//4)) - (c^(1//4)*(5*b*B - 9*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(13//4)) - (c^(1//4)*(5*b*B - 9*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(13//4)) + (c^(1//4)*(5*b*B - 9*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(13//4)), x, 14),
+((A + B*x^2)/(sqrt(x)*(b*x^2 + c*x^4)^2), (7*b*B - 11*A*c)/(14*b^2*c*x^(7//2)) - (7*b*B - 11*A*c)/(6*b^3*x^(3//2)) - (b*B - A*c)/(2*b*c*x^(7//2)*(b + c*x^2)) + (c^(3//4)*(7*b*B - 11*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(15//4)) - (c^(3//4)*(7*b*B - 11*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(15//4)) + (c^(3//4)*(7*b*B - 11*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(15//4)) - (c^(3//4)*(7*b*B - 11*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(15//4)), x, 14),
+((A + B*x^2)/(x^(3//2)*(b*x^2 + c*x^4)^2), (9*b*B - 13*A*c)/(18*b^2*c*x^(9//2)) - (9*b*B - 13*A*c)/(10*b^3*x^(5//2)) + (c*(9*b*B - 13*A*c))/(2*b^4*sqrt(x)) - (b*B - A*c)/(2*b*c*x^(9//2)*(b + c*x^2)) - (c^(5//4)*(9*b*B - 13*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(17//4)) + (c^(5//4)*(9*b*B - 13*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(17//4)) + (c^(5//4)*(9*b*B - 13*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(17//4)) - (c^(5//4)*(9*b*B - 13*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(17//4)), x, 15),
+
+
+((x^(23//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, (-9*(13*b*B - 5*A*c)*sqrt(x))/(16*c^4) + (9*(13*b*B - 5*A*c)*x^(5//2))/(80*b*c^3) - ((b*B - A*c)*x^(13//2))/(4*b*c*(b + c*x^2)^2) - ((13*b*B - 5*A*c)*x^(9//2))/(16*b*c^2*(b + c*x^2)) - (9*b^(1//4)*(13*b*B - 5*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(17//4)) + (9*b^(1//4)*(13*b*B - 5*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(17//4)) - (9*b^(1//4)*(13*b*B - 5*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*c^(17//4)) + (9*b^(1//4)*(13*b*B - 5*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*c^(17//4)), x, 15),
+((x^(21//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, (7*(11*b*B - 3*A*c)*x^(3//2))/(48*b*c^3) - ((b*B - A*c)*x^(11//2))/(4*b*c*(b + c*x^2)^2) - ((11*b*B - 3*A*c)*x^(7//2))/(16*b*c^2*(b + c*x^2)) + (7*(11*b*B - 3*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(15//4)) - (7*(11*b*B - 3*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(15//4)) - (7*(11*b*B - 3*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(15//4)) + (7*(11*b*B - 3*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(15//4)), x, 14),
+((x^(19//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, (5*(9*b*B - A*c)*sqrt(x))/(16*b*c^3) - ((b*B - A*c)*x^(9//2))/(4*b*c*(b + c*x^2)^2) - ((9*b*B - A*c)*x^(5//2))/(16*b*c^2*(b + c*x^2)) + (5*(9*b*B - A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(13//4)) - (5*(9*b*B - A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(13//4)) + (5*(9*b*B - A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(13//4)) - (5*(9*b*B - A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(13//4)), x, 14),
+((x^(17//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, -((b*B - A*c)*x^(7//2))/(4*b*c*(b + c*x^2)^2) - ((7*b*B + A*c)*x^(3//2))/(16*b*c^2*(b + c*x^2)) - (3*(7*b*B + A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(5//4)*c^(11//4)) + (3*(7*b*B + A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(5//4)*c^(11//4)) + (3*(7*b*B + A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(5//4)*c^(11//4)) - (3*(7*b*B + A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(5//4)*c^(11//4)), x, 13),
+((x^(15//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, -((b*B - A*c)*x^(5//2))/(4*b*c*(b + c*x^2)^2) - ((5*b*B + 3*A*c)*sqrt(x))/(16*b*c^2*(b + c*x^2)) - ((5*b*B + 3*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(7//4)*c^(9//4)) + ((5*b*B + 3*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(7//4)*c^(9//4)) - ((5*b*B + 3*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(7//4)*c^(9//4)) + ((5*b*B + 3*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(7//4)*c^(9//4)), x, 13),
+((x^(13//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, -((b*B - A*c)*x^(3//2))/(4*b*c*(b + c*x^2)^2) + ((3*b*B + 5*A*c)*x^(3//2))/(16*b^2*c*(b + c*x^2)) - ((3*b*B + 5*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(9//4)*c^(7//4)) + ((3*b*B + 5*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(9//4)*c^(7//4)) + ((3*b*B + 5*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(9//4)*c^(7//4)) - ((3*b*B + 5*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(9//4)*c^(7//4)), x, 13),
+((x^(11//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, -((b*B - A*c)*sqrt(x))/(4*b*c*(b + c*x^2)^2) + ((b*B + 7*A*c)*sqrt(x))/(16*b^2*c*(b + c*x^2)) - (3*(b*B + 7*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(11//4)*c^(5//4)) + (3*(b*B + 7*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(11//4)*c^(5//4)) - (3*(b*B + 7*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(11//4)*c^(5//4)) + (3*(b*B + 7*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(11//4)*c^(5//4)), x, 13),
+((x^(9//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, (5*(b*B - 9*A*c))/(16*b^3*c*sqrt(x)) - (b*B - A*c)/(4*b*c*sqrt(x)*(b + c*x^2)^2) - (b*B - 9*A*c)/(16*b^2*c*sqrt(x)*(b + c*x^2)) - (5*(b*B - 9*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(13//4)*c^(3//4)) + (5*(b*B - 9*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(13//4)*c^(3//4)) + (5*(b*B - 9*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(13//4)*c^(3//4)) - (5*(b*B - 9*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(13//4)*c^(3//4)), x, 14),
+((x^(7//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, (7*(3*b*B - 11*A*c))/(48*b^3*c*x^(3//2)) - (b*B - A*c)/(4*b*c*x^(3//2)*(b + c*x^2)^2) - (3*b*B - 11*A*c)/(16*b^2*c*x^(3//2)*(b + c*x^2)) - (7*(3*b*B - 11*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(15//4)*c^(1//4)) + (7*(3*b*B - 11*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(15//4)*c^(1//4)) - (7*(3*b*B - 11*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(15//4)*c^(1//4)) + (7*(3*b*B - 11*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(15//4)*c^(1//4)), x, 14),
+((x^(5//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, (9*(5*b*B - 13*A*c))/(80*b^3*c*x^(5//2)) - (9*(5*b*B - 13*A*c))/(16*b^4*sqrt(x)) - (b*B - A*c)/(4*b*c*x^(5//2)*(b + c*x^2)^2) - (5*b*B - 13*A*c)/(16*b^2*c*x^(5//2)*(b + c*x^2)) + (9*c^(1//4)*(5*b*B - 13*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(17//4)) - (9*c^(1//4)*(5*b*B - 13*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(17//4)) - (9*c^(1//4)*(5*b*B - 13*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(17//4)) + (9*c^(1//4)*(5*b*B - 13*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(17//4)), x, 15),
+((x^(3//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, (11*(7*b*B - 15*A*c))/(112*b^3*c*x^(7//2)) - (11*(7*b*B - 15*A*c))/(48*b^4*x^(3//2)) - (b*B - A*c)/(4*b*c*x^(7//2)*(b + c*x^2)^2) - (7*b*B - 15*A*c)/(16*b^2*c*x^(7//2)*(b + c*x^2)) + (11*c^(3//4)*(7*b*B - 15*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(19//4)) - (11*c^(3//4)*(7*b*B - 15*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(19//4)) + (11*c^(3//4)*(7*b*B - 15*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(19//4)) - (11*c^(3//4)*(7*b*B - 15*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(19//4)), x, 15),
+((sqrt(x)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^3, (13*(9*b*B - 17*A*c))/(144*b^3*c*x^(9//2)) - (13*(9*b*B - 17*A*c))/(80*b^4*x^(5//2)) + (13*c*(9*b*B - 17*A*c))/(16*b^5*sqrt(x)) - (b*B - A*c)/(4*b*c*x^(9//2)*(b + c*x^2)^2) - (9*b*B - 17*A*c)/(16*b^2*c*x^(9//2)*(b + c*x^2)) - (13*c^(5//4)*(9*b*B - 17*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(21//4)) + (13*c^(5//4)*(9*b*B - 17*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(21//4)) + (13*c^(5//4)*(9*b*B - 17*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(21//4)) - (13*c^(5//4)*(9*b*B - 17*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(21//4)), x, 16),
+((A + B*x^2)/(sqrt(x)*(b*x^2 + c*x^4)^3), (15*(11*b*B - 19*A*c))/(176*b^3*c*x^(11//2)) - (15*(11*b*B - 19*A*c))/(112*b^4*x^(7//2)) + (5*c*(11*b*B - 19*A*c))/(16*b^5*x^(3//2)) - (b*B - A*c)/(4*b*c*x^(11//2)*(b + c*x^2)^2) - (11*b*B - 19*A*c)/(16*b^2*c*x^(11//2)*(b + c*x^2)) - (15*c^(7//4)*(11*b*B - 19*A*c)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(23//4)) + (15*c^(7//4)*(11*b*B - 19*A*c)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(23//4)) - (15*c^(7//4)*(11*b*B - 19*A*c)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(23//4)) + (15*c^(7//4)*(11*b*B - 19*A*c)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(23//4)), x, 16),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^(m/2) (d+e x^2) (a x^2+b x^4)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+(x^(5//2)*(A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4), (4*b^2*(3*b*B - 5*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(231*c^3*sqrt(x)) - (4*b*(3*b*B - 5*A*c)*x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(385*c^2) - (2*(3*b*B - 5*A*c)*x^(7//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(55*c) + (2*B*x^(3//2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(15*c) - (2*b^(11//4)*(3*b*B - 5*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(231*c^(13//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+(x^(3//2)*(A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4), (4*b^2*(7*b*B - 13*A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(195*c^(5//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (4*b*(7*b*B - 13*A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(585*c^2) - (2*(7*b*B - 13*A*c)*x^(5//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(117*c) + (2*B*sqrt(x)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(13*c) - (4*b^(9//4)*(7*b*B - 13*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(195*c^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (2*b^(9//4)*(7*b*B - 13*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(195*c^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 8),
+(sqrt(x)*(A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4), -((4*b*(5*b*B - 11*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(231*c^2*sqrt(x))) - (2*(5*b*B - 11*A*c)*x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(77*c) + (2*B*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(11*c*sqrt(x)) + (2*b^(7//4)*(5*b*B - 11*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(231*c^(9//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+(((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/sqrt(x), -((4*b*(b*B - 3*A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(15*c^(3//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) - (2*(b*B - 3*A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(15*c) + (2*B*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(9*c*x^(3//2)) + (4*b^(5//4)*(b*B - 3*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*c^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (2*b^(5//4)*(b*B - 3*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*c^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+(((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^(3//2), -((2*(b*B - 7*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(21*c*sqrt(x))) + (2*B*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(7*c*x^(5//2)) - (2*b^(3//4)*(b*B - 7*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(21*c^(5//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^(5//2), (4*(b*B + 5*A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(5*sqrt(c)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (2*(b*B + 5*A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*b) - (2*A*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(b*x^(7//2)) - (4*b^(1//4)*(b*B + 5*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*c^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (2*b^(1//4)*(b*B + 5*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*c^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+(((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^(7//2), (2*(b*B + A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*b*sqrt(x)) - (2*A*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(3*b*x^(9//2)) + (2*(b*B + A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(3*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^(9//2), (4*sqrt(c)*(5*b*B + A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(5*b*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (2*(5*b*B + A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*b*x^(3//2)) - (2*A*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(5*b*x^(11//2)) - (4*c^(1//4)*(5*b*B + A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (2*c^(1//4)*(5*b*B + A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+(((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^(11//2), -((2*(7*b*B - A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(21*b*x^(5//2))) - (2*A*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(7*b*x^(13//2)) + (2*c^(3//4)*(7*b*B - A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(21*b^(5//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^(13//2), (4*c^(3//2)*(3*b*B - A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(15*b^2*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (2*(3*b*B - A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(15*b*x^(7//2)) - (4*c*(3*b*B - A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(15*b^2*x^(3//2)) - (2*A*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(9*b*x^(15//2)) - (4*c^(5//4)*(3*b*B - A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*b^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (2*c^(5//4)*(3*b*B - A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*b^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 8),
+(((A + B*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^(15//2), -((2*(11*b*B - 5*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(77*b*x^(9//2))) - (4*c*(11*b*B - 5*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(231*b^2*x^(5//2)) - (2*A*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(11*b*x^(17//2)) - (2*c^(7//4)*(11*b*B - 5*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(231*b^(9//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (88*b^5*(3*b*B - 5*A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(16575*c^(9//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (88*b^4*(3*b*B - 5*A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(49725*c^4) + (88*b^3*(3*b*B - 5*A*c)*x^(5//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(69615*c^3) - (8*b^2*(3*b*B - 5*A*c)*x^(9//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(7735*c^2) - (4*b*(3*b*B - 5*A*c)*x^(13//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(595*c) - (2*(3*b*B - 5*A*c)*x^(9//2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(105*c) + (2*B*x^(5//2)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(25*c) - (88*b^(21//4)*(3*b*B - 5*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(16575*c^(19//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (44*b^(21//4)*(3*b*B - 5*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(16575*c^(19//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 11),
+(x^(5//2)*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -((24*b^4*(13*b*B - 23*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(33649*c^4*sqrt(x))) + (72*b^3*(13*b*B - 23*A*c)*x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(168245*c^3) - (8*b^2*(13*b*B - 23*A*c)*x^(7//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(24035*c^2) - (4*b*(13*b*B - 23*A*c)*x^(11//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(2185*c) - (2*(13*b*B - 23*A*c)*x^(7//2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(437*c) + (2*B*x^(3//2)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(23*c) + (12*b^(19//4)*(13*b*B - 23*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(33649*c^(17//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 9),
+(x^(3//2)*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -((8*b^4*(11*b*B - 21*A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(3315*c^(7//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + (8*b^3*(11*b*B - 21*A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(9945*c^3) - (8*b^2*(11*b*B - 21*A*c)*x^(5//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(13923*c^2) - (4*b*(11*b*B - 21*A*c)*x^(9//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(1547*c) - (2*(11*b*B - 21*A*c)*x^(5//2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(357*c) + (2*B*sqrt(x)*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(21*c) + (8*b^(17//4)*(11*b*B - 21*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(3315*c^(15//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (4*b^(17//4)*(11*b*B - 21*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(3315*c^(15//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 10),
+(sqrt(x)*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (8*b^3*(9*b*B - 19*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(4389*c^3*sqrt(x)) - (8*b^2*(9*b*B - 19*A*c)*x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(7315*c^2) - (4*b*(9*b*B - 19*A*c)*x^(7//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(1045*c) - (2*(9*b*B - 19*A*c)*x^(3//2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(285*c) + (2*B*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(19*c*sqrt(x)) - (4*b^(15//4)*(9*b*B - 19*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(4389*c^(13//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 8),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/sqrt(x), (8*b^3*(7*b*B - 17*A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(1105*c^(5//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (8*b^2*(7*b*B - 17*A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3315*c^2) - (4*b*(7*b*B - 17*A*c)*x^(5//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(663*c) - (2*(7*b*B - 17*A*c)*sqrt(x)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(221*c) + (2*B*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(17*c*x^(3//2)) - (8*b^(13//4)*(7*b*B - 17*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(1105*c^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (4*b^(13//4)*(7*b*B - 17*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(1105*c^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 9),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^(3//2), -((8*b^2*(b*B - 3*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(231*c^2*sqrt(x))) - (4*b*(b*B - 3*A*c)*x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(77*c) - (2*(b*B - 3*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(33*c*sqrt(x)) + (2*B*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(15*c*x^(5//2)) + (4*b^(11//4)*(b*B - 3*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(231*c^(9//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^(5//2), -((8*b^2*(3*b*B - 13*A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(195*c^(3//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) - (4*b*(3*b*B - 13*A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(195*c) - (2*(3*b*B - 13*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(117*c*x^(3//2)) + (2*B*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(13*c*x^(7//2)) + (8*b^(9//4)*(3*b*B - 13*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(195*c^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (4*b^(9//4)*(3*b*B - 13*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(195*c^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 8),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^(7//2), -((4*b*(b*B - 11*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(77*c*sqrt(x))) - (2*(b*B - 11*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(77*c*x^(5//2)) + (2*B*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(11*c*x^(9//2)) - (4*b^(7//4)*(b*B - 11*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(77*c^(5//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^(9//2), (8*b*(b*B + 9*A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(15*sqrt(c)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (4//15)*(b*B + 9*A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4) + (2*(b*B + 9*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(9*b*x^(3//2)) - (2*A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(b*x^(11//2)) - (8*b^(5//4)*(b*B + 9*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*c^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (4*b^(5//4)*(b*B + 9*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*c^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 8),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^(11//2), (4*(3*b*B + 7*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(21*sqrt(x)) + (2*(3*b*B + 7*A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(21*b*x^(5//2)) - (2*A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(3*b*x^(13//2)) + (4*b^(3//4)*(3*b*B + 7*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(21*c^(1//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^(13//2), (24*sqrt(c)*(b*B + A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(5*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (12*c*(b*B + A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*b) - (2*(b*B + A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(b*x^(7//2)) - (2*A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(5*b*x^(15//2)) - (24*b^(1//4)*c^(1//4)*(b*B + A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (12*b^(1//4)*c^(1//4)*(b*B + A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 8),
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+(((A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^(17//2), (8*c^(3//2)*(9*b*B + A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(15*b*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (4*c*(9*b*B + A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(15*b*x^(3//2)) - (2*(9*b*B + A*c)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(45*b*x^(11//2)) - (2*A*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(9*b*x^(19//2)) - (8*c^(5//4)*(9*b*B + A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*b^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (4*c^(5//4)*(9*b*B + A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*b^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 8),
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+# p<0
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+((x^(11//2)*(A + B*x^2))/sqrt(b*x^2 + c*x^4), -((14*b^2*(11*b*B - 13*A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(195*c^(7//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + (14*b*(11*b*B - 13*A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(585*c^3) - (2*(11*b*B - 13*A*c)*x^(5//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(117*c^2) + (2*B*x^(9//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(13*c) + (14*b^(9//4)*(11*b*B - 13*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(195*c^(15//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (7*b^(9//4)*(11*b*B - 13*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(195*c^(15//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 8),
+((x^(9//2)*(A + B*x^2))/sqrt(b*x^2 + c*x^4), (10*b*(9*b*B - 11*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(231*c^3*sqrt(x)) - (2*(9*b*B - 11*A*c)*x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(77*c^2) + (2*B*x^(7//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(11*c) - (5*b^(7//4)*(9*b*B - 11*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(231*c^(13//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+((x^(7//2)*(A + B*x^2))/sqrt(b*x^2 + c*x^4), (2*b*(7*b*B - 9*A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(15*c^(5//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (2*(7*b*B - 9*A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(45*c^2) + (2*B*x^(5//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(9*c) - (2*b^(5//4)*(7*b*B - 9*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*c^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (b^(5//4)*(7*b*B - 9*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*c^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+((x^(5//2)*(A + B*x^2))/sqrt(b*x^2 + c*x^4), -((2*(5*b*B - 7*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(21*c^2*sqrt(x))) + (2*B*x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(7*c) + (b^(3//4)*(5*b*B - 7*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(21*c^(9//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+((x^(3//2)*(A + B*x^2))/sqrt(b*x^2 + c*x^4), -((2*(3*b*B - 5*A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(5*c^(3//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + (2*B*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*c) + (2*b^(1//4)*(3*b*B - 5*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*c^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (b^(1//4)*(3*b*B - 5*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*c^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+((sqrt(x)*(A + B*x^2))/sqrt(b*x^2 + c*x^4), (2*B*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*c*sqrt(x)) - ((b*B - 3*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(3*b^(1//4)*c^(5//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+((A + B*x^2)/(sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), (2*(b*B + A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(b*sqrt(c)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (2*A*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(b*x^(3//2)) - (2*(b*B + A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(b^(3//4)*c^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + ((b*B + A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(b^(3//4)*c^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+((A + B*x^2)/(x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -((2*A*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*b*x^(5//2))) + ((3*b*B - A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(3*b^(5//4)*c^(1//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^(5//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), (2*sqrt(c)*(5*b*B - 3*A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(5*b^2*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (2*A*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*b*x^(7//2)) - (2*(5*b*B - 3*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*b^2*x^(3//2)) - (2*c^(1//4)*(5*b*B - 3*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*b^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (c^(1//4)*(5*b*B - 3*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*b^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
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+((A + B*x^2)/(x^(11//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -((2*A*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(11*b*x^(13//2))) - (2*(11*b*B - 9*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(77*b^2*x^(9//2)) + (10*c*(11*b*B - 9*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(231*b^3*x^(5//2)) + (5*c^(7//4)*(11*b*B - 9*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(231*b^(13//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+
+
+((x^(17//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(((b*B - A*c)*x^(15//2))/(b*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + (15*b*(13*b*B - 11*A*c)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(77*c^4*sqrt(x)) - (9*(13*b*B - 11*A*c)*x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(77*c^3) + ((13*b*B - 11*A*c)*x^(7//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(11*b*c^2) - (15*b^(7//4)*(13*b*B - 11*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(154*c^(17//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+((x^(15//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(((b*B - A*c)*x^(13//2))/(b*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + (7*b*(11*b*B - 9*A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(15*c^(7//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (7*(11*b*B - 9*A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(45*c^3) + ((11*b*B - 9*A*c)*x^(5//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(9*b*c^2) - (7*b^(5//4)*(11*b*B - 9*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*c^(15//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (7*b^(5//4)*(11*b*B - 9*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(30*c^(15//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 8),
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+((x^(11//2)*(A + B*x^2))/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(((b*B - A*c)*x^(9//2))/(b*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) - (3*(7*b*B - 5*A*c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(5*c^(5//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + ((7*b*B - 5*A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*b*c^2) + (3*b^(1//4)*(7*b*B - 5*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*c^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (3*b^(1//4)*(7*b*B - 5*A*c)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(10*c^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
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+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x^2) (a x^2+b x^4)^p with m symbolic
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+(x^m*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^3, (A*b^3*x^(7 + m))/(7 + m) + (b^2*(b*B + 3*A*c)*x^(9 + m))/(9 + m) + (3*b*c*(b*B + A*c)*x^(11 + m))/(11 + m) + (c^2*(3*b*B + A*c)*x^(13 + m))/(13 + m) + (B*c^3*x^(15 + m))/(15 + m), x, 3),
+(x^m*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^2, (A*b^2*x^(5 + m))/(5 + m) + (b*(b*B + 2*A*c)*x^(7 + m))/(7 + m) + (c*(2*b*B + A*c)*x^(9 + m))/(9 + m) + (B*c^2*x^(11 + m))/(11 + m), x, 3),
+(x^m*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^1, (A*b*x^(3 + m))/(3 + m) + ((b*B + A*c)*x^(5 + m))/(5 + m) + (B*c*x^(7 + m))/(7 + m), x, 3),
+(x^m*(A + B*x^2)/(b*x^2 + c*x^4)^1, -((B*x^(-1 + m))/(c*(1 - m))) + ((b*B - A*c)*x^(-1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1//2)*(-1 + m), (1 + m)/2, -((c*x^2)/b)))/(b*c*(1 - m)), x, 3),
+(x^m*(A + B*x^2)/(b*x^2 + c*x^4)^2, -(((b*B - A*c)*x^(-3 + m))/(2*b*c*(b + c*x^2))) + ((b*B*(3 - m) - A*c*(5 - m))*x^(-3 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1//2)*(-3 + m), (1//2)*(-1 + m), -((c*x^2)/b)))/(2*b^2*c*(3 - m)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x^2) (a x^2+b x^4)^p with p symbolic
+
+
+(x^m*(A + B*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^p, (B*x^(-1 + m)*(b*x^2 + c*x^4)^(1 + p))/(c*(3 + m + 4*p)) - ((b*B*(1 + m + 2*p) - A*c*(3 + m + 4*p))*x^(1 + m)*(b*x^2 + c*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, (1//2)*(1 + m + 2*p), (1//2)*(3 + m + 2*p), -((c*x^2)/b)))/((1 + (c*x^2)/b)^p*(c*(1 + m + 2*p)*(3 + m + 4*p))), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a x^j+b x^k)^p (c+d x^n)
+
+
+# {x^(n - j*p - 1)*(a*x^j + b*x^(j + n))^p*(c + d*x^n), x, 2, If[$VersionNumber>=8, -(((a*d - b*c*(2 + p))*(a*x^j + b*x^(j + n))^(1 + p))/(x^(j*(1 + p))*(b^2*n*(1 + p)*(2 + p)))) + (d*x^(n - j*(1 + p))*(a*x^j + b*x^(j + n))^(1 + p))/(b*n*(2 + p)), -(((a*d - b*c*(2 + p))*(a*x^j + b*x^(j + n))^(1 + p))/(x^(j*(1 + p))*(b^2*n*(2 + 3*p + p^2)))) + (d*x^(n - j*(1 + p))*(a*x^j + b*x^(j + n))^(1 + p))/(b*n*(2 + p))]}
+
+
+((e*x)^m*(a*x^j + b*x^(j + n))^p*(c + d*x^n)^q, (x*(e*x)^m*(c + d*x^n)^q*(a*x^j + b*x^(j + n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m + j*p)/n, -p, -q, (1 + m + n + j*p)/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)))/((1 + (b*x^n)/a)^p*(1 + (d*x^n)/c)^q*(1 + m + j*p)), x, 4),
+
+
+# {(e*x)^(7/4)*(a*x^j + b*x^(j + n))^(5/3)*(c + d*x^n)^q, x, 4, If[$VersionNumber<11, (12*a*e*x^(2 + j)*(e*x)^(3/4)*(c + d*x^n)^q*(a*x^j + b*x^(j + n))^(2/3)*AppellF1[(33 + 20*j)/(12*n), -(5/3), -q, 1 + (11/4 + (5*j)/3)/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)])/((1 + (d*x^n)/c)^q*((33 + 20*j)*(1 + (b*x^n)/a)^(2/3))), (12*a*e*x^(2 + j)*(e*x)^(3/4)*(c + d*x^n)^q*(a*x^j + b*x^(j + n))^(2/3)*AppellF1[(33 + 20*j)/(12*n), -(5/3), -q, (33 + 20*j + 12*n)/(12*n), -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)])/((1 + (d*x^n)/c)^q*((33 + 20*j)*(1 + (b*x^n)/a)^(2/3)))]}
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (a x^j+b x^k)^p (c+d x^n)^m
+
+
+((4 + 3*x^4)/(5*x + 2*x^5), (4*log(x))/5 + (7*log(5 + 2*x^4))/40, x, 4),
+((1 + x^6)/(x - x^7), log(x) - log(1 - x^6)/3, x, 4),
+((8 + 5*x^10)/(2*x - x^11), 4*log(x) - (9//10)*log(2 - x^10), x, 4),
+((-3 + 2*x)/(-x^2 + x^3), -(3/x) - log(1 - x) + log(x), x, 3),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a x^j+b x^k)^p (c x^r+d x^s)^q
+
+
+((a*x^m + b*x^n)/(c*x^m + d*x^n), (a*x)/c + ((b*c - a*d)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(m - n), 1 + 1/(m - n), -((c*x^(m - n))/d)))/(c*d), x, 4),
+
+
+(x^m*(a*(m + q + 1)*x^q + b*(m + q + n*(p + 1) + 1)*x^(n + q))*(a + b*x^n)^p, x^(1 + m + q)*(a + b*x^n)^(1 + p), x, 2),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (a+b x^j)^n (c+d x^r)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c x)^m (a+b/x)^n (c+d x)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^m*(a + b/x)^n/(c + d*x), ((a + b/x)^n*x^m*SymbolicIntegration.appell_f1(-m, -n, 1, 1 - m, -(b/(a*x)), -(c/(d*x))))/((1 + b/(a*x))^n*(d*m)), x, 4),
+
+(x^2*(a + b/x)^n/(c + d*x), -(((2*a*c + b*d*(1 - n))*(a + b/x)^(1 + n)*x)/(2*a^2*d^2)) + ((a + b/x)^(1 + n)*x^2)/(2*a*d) - (c^3*(a + b/x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (c*(a + b/x))/(a*c - b*d)))/(d^3*(a*c - b*d)*(1 + n)) + ((2*a^2*c^2 - 2*a*b*c*d*n - b^2*d^2*(1 - n)*n)*(a + b/x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + b/(a*x)))/(2*a^3*d^3*(1 + n)), x, 7),
+(x^1*(a + b/x)^n/(c + d*x), ((a + b/x)^(1 + n)*x)/(a*d) + (c^2*(a + b/x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (c*(a + b/x))/(a*c - b*d)))/(d^2*(a*c - b*d)*(1 + n)) - ((a*c - b*d*n)*(a + b/x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + b/(a*x)))/(a^2*d^2*(1 + n)), x, 6),
+(x^0*(a + b/x)^n/(c + d*x), -((c*(a + b/x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (c*(a + b/x))/(a*c - b*d)))/(d*(a*c - b*d)*(1 + n))) + ((a + b/x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + b/(a*x)))/(a*d*(1 + n)), x, 5),
+((a + b/x)^n/(x^1*(c + d*x)), ((a + b/x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (c*(a + b/x))/(a*c - b*d)))/((a*c - b*d)*(1 + n)), x, 3),
+((a + b/x)^n/(x^2*(c + d*x)), -((a + b/x)^(1 + n)/(b*c*(1 + n))) - (d*(a + b/x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (c*(a + b/x))/(a*c - b*d)))/(c*(a*c - b*d)*(1 + n)), x, 4),
+((a + b/x)^n/(x^3*(c + d*x)), ((a*c + b*d)*(a + b/x)^(1 + n))/(b^2*c^2*(1 + n)) - (a + b/x)^(2 + n)/(b^2*c*(2 + n)) + (d^2*(a + b/x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (c*(a + b/x))/(a*c - b*d)))/(c^2*(a*c - b*d)*(1 + n)), x, 5),
+((a + b/x)^n/(x^5*(c + d*x)), ((a*c + b*d)*(a^2*c^2 + b^2*d^2)*(a + b/x)^(1 + n))/(b^4*c^4*(1 + n)) - ((3*a^2*c^2 + 2*a*b*c*d + b^2*d^2)*(a + b/x)^(2 + n))/(b^4*c^3*(2 + n)) + ((3*a*c + b*d)*(a + b/x)^(3 + n))/(b^4*c^2*(3 + n)) - (a + b/x)^(4 + n)/(b^4*c*(4 + n)) + (d^4*(a + b/x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (c*(a + b/x))/(a*c - b*d)))/(c^4*(a*c - b*d)*(1 + n)), x, 5),
+
+
+(x^m*(a + b/x)^n/(c + d*x)^2, -(((a + b/x)^n*x^(-1 + m)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 - m, -n, 2, 2 - m, -(b/(a*x)), -(c/(d*x))))/((1 + b/(a*x))^n*(d^2*(1 - m)))), x, 4),
+
+(x^2*(a + b/x)^n/(c + d*x)^2, (c*(2*a*c - b*d)*(a + b/x)^(1 + n))/(a*d^2*(a*c - b*d)*(d + c/x)) + ((a + b/x)^(1 + n)*x)/(a*d*(d + c/x)) + (c^2*(2*a*c - b*d*(2 - n))*(a + b/x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (c*(a + b/x))/(a*c - b*d)))/(d^3*(a*c - b*d)^2*(1 + n)) - ((2*a*c - b*d*n)*(a + b/x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + b/(a*x)))/(a^2*d^3*(1 + n)), x, 7),
+(x^1*(a + b/x)^n/(c + d*x)^2, -((c*(a + b/x)^(1 + n))/(d*(a*c - b*d)*(d + c/x))) - (c*(a*c - b*d*(1 - n))*(a + b/x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (c*(a + b/x))/(a*c - b*d)))/(d^2*(a*c - b*d)^2*(1 + n)) + ((a + b/x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + b/(a*x)))/(a*d^2*(1 + n)), x, 6),
+(x^0*(a + b/x)^n/(c + d*x)^2, -((b*(a + b/x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, (c*(a + b/x))/(a*c - b*d)))/((a*c - b*d)^2*(1 + n))), x, 3),
+((a + b/x)^n/(x^1*(c + d*x)^2), -((d*(a + b/x)^(1 + n))/(c*(a*c - b*d)*(d + c/x))) + ((a*c - b*d*(1 + n))*(a + b/x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (c*(a + b/x))/(a*c - b*d)))/(c*(a*c - b*d)^2*(1 + n)), x, 4),
+((a + b/x)^n/(x^2*(c + d*x)^2), -((a + b/x)^(1 + n)/(b*c^2*(1 + n))) + (d^2*(a + b/x)^(1 + n))/(c^2*(a*c - b*d)*(d + c/x)) - (d*(2*a*c - b*d*(2 + n))*(a + b/x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (c*(a + b/x))/(a*c - b*d)))/(c^2*(a*c - b*d)^2*(1 + n)), x, 5),
+((a + b/x)^n/(x^3*(c + d*x)^2), -(((a + b/x)^(1 + n)*(d*(b*d*(2 + n)*(a*c + b*d*(3 + n)) - a*c*(a*c + b*d*(5 + 3*n))) - (c*(a*c - b*d)*(a*c + b*d*(3 + n)))/x))/(b^2*c^3*(a*c - b*d)*(1 + n)*(2 + n)*(d + c/x))) - (a + b/x)^(1 + n)/(b*c*(2 + n)*(d + c/x)*x^2) + (d^2*(3*a*c - b*d*(3 + n))*(a + b/x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (c*(a + b/x))/(a*c - b*d)))/(c^3*(a*c - b*d)^2*(1 + n)), x, 5),
+]
+# Total integrals translated: 296
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.1 (a+b x+c x^2)^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.1 (a+b x+c x^2)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..bb1b9f9f
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.1 (a+b x+c x^2)^p.jl	
@@ -0,0 +1,293 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x+c x^2)^p when a=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((b*x + c*x^2)^(7//2), -((35*b^6*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(16384*c^4)) + (35*b^4*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(6144*c^3) - (7*b^2*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(384*c^2) + ((b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(16*c) + (35*b^8*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(16384*c^(9//2)), x, 6),
+
+
+((3*I*x + 4*x^2)^(7//2), (25515*(3*I + 8*x)*sqrt(3*I*x + 4*x^2))/4194304 + (945*(3*I + 8*x)*(3*I*x + 4*x^2)^(3//2))/131072 + (21*(3*I + 8*x)*(3*I*x + 4*x^2)^(5//2))/2048 + (1//64)*(3*I + 8*x)*(3*I*x + 4*x^2)^(7//2) + (229635*I*asin(1 - (8*I*x)/3))/16777216, x, 6),
+((3*I*x + 4*x^2)^(5//2), (405*(3*I + 8*x)*sqrt(3*I*x + 4*x^2))/32768 + (15*(3*I + 8*x)*(3*I*x + 4*x^2)^(3//2))/1024 + (1//48)*(3*I + 8*x)*(3*I*x + 4*x^2)^(5//2) + (3645*I*asin(1 - (8*I*x)/3))/131072, x, 5),
+((3*I*x + 4*x^2)^(3//2), (27*(3*I + 8*x)*sqrt(3*I*x + 4*x^2))/1024 + (1//32)*(3*I + 8*x)*(3*I*x + 4*x^2)^(3//2) + (243*I*asin(1 - (8*I*x)/3))/4096, x, 4),
+((3*I*x + 4*x^2)^(1//2), (1//16)*(3*I + 8*x)*sqrt(3*I*x + 4*x^2) + (9//64)*I*asin(1 - (8*I*x)/3), x, 3),
+
+
+((3*x - 4*x^2)^(7//2), -((25515*(3 - 8*x)*sqrt(3*x - 4*x^2))/4194304) - (945*(3 - 8*x)*(3*x - 4*x^2)^(3//2))/131072 - (21*(3 - 8*x)*(3*x - 4*x^2)^(5//2))/2048 - (1//64)*(3 - 8*x)*(3*x - 4*x^2)^(7//2) - (229635*asin(1 - (8*x)/3))/16777216, x, 6),
+((3*x - 4*x^2)^(5//2), -((405*(3 - 8*x)*sqrt(3*x - 4*x^2))/32768) - (15*(3 - 8*x)*(3*x - 4*x^2)^(3//2))/1024 - (1//48)*(3 - 8*x)*(3*x - 4*x^2)^(5//2) - (3645*asin(1 - (8*x)/3))/131072, x, 5),
+((3*x - 4*x^2)^(3//2), -((27*(3 - 8*x)*sqrt(3*x - 4*x^2))/1024) - (1//32)*(3 - 8*x)*(3*x - 4*x^2)^(3//2) - (243*asin(1 - (8*x)/3))/4096, x, 4),
+((3*x - 4*x^2)^(1//2), (-(1//16))*(3 - 8*x)*sqrt(3*x - 4*x^2) - (9//64)*asin(1 - (8*x)/3), x, 3),
+
+
+(sqrt(6*x - x^2), (-(1//2))*(3 - x)*sqrt(6*x - x^2) - (9//2)*asin(1 - x/3), x, 3),
+(sqrt(5*x - 9*x^2), (-(1//36))*(5 - 18*x)*sqrt(5*x - 9*x^2) - (25//216)*asin(1 - (18*x)/5), x, 3),
+((x - x^2)^(3//2), (-(3//64))*(1 - 2*x)*sqrt(x - x^2) - (1//8)*(1 - 2*x)*(x - x^2)^(3//2) - (3//128)*asin(1 - 2*x), x, 4),
+
+
+(sqrt(4*x + x^2), (1//2)*(2 + x)*sqrt(4*x + x^2) - 4*atanh(x/sqrt(4*x + x^2)), x, 3),
+(sqrt(-8*x + x^2), (-(1//2))*(4 - x)*sqrt(-8*x + x^2) - 16*atanh(x/sqrt(-8*x + x^2)), x, 3),
+(sqrt(-x + x^2), (-(1//4))*(1 - 2*x)*sqrt(-x + x^2) - (1//4)*atanh(x/sqrt(-x + x^2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/(b*x + c*x^2)^(7//2), -((2*(b + 2*c*x))/(5*b^2*(b*x + c*x^2)^(5//2))) + (32*c*(b + 2*c*x))/(15*b^4*(b*x + c*x^2)^(3//2)) - (256*c^2*(b + 2*c*x))/(15*b^6*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 3),
+
+
+(1/(3*I*x + 4*x^2)^(1//2), (1//2)*I*asin(1 - (8*I*x)/3), x, 2),
+(1/(3*I*x + 4*x^2)^(3//2), (2*(3*I + 8*x))/(9*sqrt(3*I*x + 4*x^2)), x, 1),
+(1/(3*I*x + 4*x^2)^(5//2), (2*(3*I + 8*x))/(27*(3*I*x + 4*x^2)^(3//2)) + (64*(3*I + 8*x))/(243*sqrt(3*I*x + 4*x^2)), x, 2),
+(1/(3*I*x + 4*x^2)^(7//2), (2*(3*I + 8*x))/(45*(3*I*x + 4*x^2)^(5//2)) + (128*(3*I + 8*x))/(1215*(3*I*x + 4*x^2)^(3//2)) + (4096*(3*I + 8*x))/(10935*sqrt(3*I*x + 4*x^2)), x, 3),
+
+
+(1/(3*x - 4*x^2)^(1//2), (-(1//2))*asin(1 - (8*x)/3), x, 2),
+(1/(3*x - 4*x^2)^(3//2), -((2*(3 - 8*x))/(9*sqrt(3*x - 4*x^2))), x, 1),
+(1/(3*x - 4*x^2)^(5//2), -((2*(3 - 8*x))/(27*(3*x - 4*x^2)^(3//2))) - (64*(3 - 8*x))/(243*sqrt(3*x - 4*x^2)), x, 2),
+(1/(3*x - 4*x^2)^(7//2), -((2*(3 - 8*x))/(45*(3*x - 4*x^2)^(5//2))) - (128*(3 - 8*x))/(1215*(3*x - 4*x^2)^(3//2)) - (4096*(3 - 8*x))/(10935*sqrt(3*x - 4*x^2)), x, 3),
+
+
+(1/sqrt(b*x - b^2*x^2), -(asin(1 - 2*b*x)/b), x, 2),
+(1/sqrt(b*x + b^2*x^2), (2*atanh((b*x)/sqrt(b*x + b^2*x^2)))/b, x, 2),
+
+
+(1/sqrt(6*x - x^2), -asin(1 - x/3), x, 2),
+(1/sqrt(4*x + x^2), 2*atanh(x/sqrt(4*x + x^2)), x, 2),
+(1/sqrt(-2*x + x^2), 2*atanh(x/sqrt(-2*x + x^2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (b x+c x^2)^(p/3)
+
+
+((b*x + c*x^2)^(4//3), (3*(-((c*x*(b + c*x))/b^2))^(1//3)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(4//3))/(55*c*(-((c*(b*x + c*x^2))/b^2))^(4//3)) + (3*(-((c*x*(b + c*x))/b^2))^(4//3)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(4//3))/(22*c*(-((c*(b*x + c*x^2))/b^2))^(4//3)) + (2^(1//3)*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b^2*(b*x + c*x^2)^(4//3)*(1 - 2^(2//3)*(-((c*x*(b + c*x))/b^2))^(1//3))*sqrt((1 + 2^(2//3)*(-((c*x*(b + c*x))/b^2))^(1//3) + 2*2^(1//3)*(-((c*x*(b + c*x))/b^2))^(2//3))/(1 - sqrt(3) - 2^(2//3)*(-((c*x*(b + c*x))/b^2))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - 2^(2//3)*(-((c*x*(b + c*x))/b^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - 2^(2//3)*(-((c*x*(b + c*x))/b^2))^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(55*c*(b + 2*c*x)*(-((c*(b*x + c*x^2))/b^2))^(4//3)*sqrt(-((1 - 2^(2//3)*(-((c*x*(b + c*x))/b^2))^(1//3))/(1 - sqrt(3) - 2^(2//3)*(-((c*x*(b + c*x))/b^2))^(1//3))^2))), x, 6),
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+
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+(1/(b*x + c*x^2)^(5//4), -((4*(b + 2*c*x))/(b^2*(b*x + c*x^2)^(1//4))) + (4*sqrt(2)*(-((c*(b*x + c*x^2))/b^2))^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*asin(1 + (2*c*x)/b), 2))/(b*(b*x + c*x^2)^(1//4)), x, 4),
+(1/(b*x + c*x^2)^(9//4), -((4*(b + 2*c*x))/(5*b^2*(b*x + c*x^2)^(5//4))) + (48*c*(b + 2*c*x))/(5*b^4*(b*x + c*x^2)^(1//4)) - (48*sqrt(2)*c*(-((c*(b*x + c*x^2))/b^2))^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*asin(1 + (2*c*x)/b), 2))/(5*b^3*(b*x + c*x^2)^(1//4)), x, 5),
+(1/(b*x + c*x^2)^(13//4), -((4*(b + 2*c*x))/(9*b^2*(b*x + c*x^2)^(9//4))) + (112*c*(b + 2*c*x))/(45*b^4*(b*x + c*x^2)^(5//4)) - (448*c^2*(b + 2*c*x))/(15*b^6*(b*x + c*x^2)^(1//4)) + (448*sqrt(2)*c^2*(-((c*(b*x + c*x^2))/b^2))^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*asin(1 + (2*c*x)/b), 2))/(15*b^5*(b*x + c*x^2)^(1//4)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (b x+c x^2)^p when p symbolic
+
+
+((b*x + c*x^2)^p, -(((-((c*x)/b))^(-1 - p)*(b*x + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1 + p, 2 + p, (b + c*x)/b))/(b*(1 + p))), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x+c x^2)^p when b=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+c x^2)^p
+
+
+((a + c*x^2)^4, a^4*x + (4//3)*a^3*c*x^3 + (6//5)*a^2*c^2*x^5 + (4//7)*a*c^3*x^7 + (c^4*x^9)/9, x, 2),
+((a + c*x^2)^3, a^3*x + a^2*c*x^3 + (3//5)*a*c^2*x^5 + (c^3*x^7)/7, x, 2),
+((a + c*x^2)^2, a^2*x + (2//3)*a*c*x^3 + (c^2*x^5)/5, x, 2),
+((a + c*x^2)^1, a*x + (c*x^3)/3, x, 1),
+(1/(a + c*x^2)^1, atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a))/(sqrt(a)*sqrt(c)), x, 1),
+(1/(a + c*x^2)^2, x/(2*a*(a + c*x^2)) + atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a))/(2*a^(3//2)*sqrt(c)), x, 2),
+(1/(a + c*x^2)^3, x/(4*a*(a + c*x^2)^2) + (3*x)/(8*a^2*(a + c*x^2)) + (3*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*sqrt(c)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+c x^2)^(p/2)
+
+
+((a + c*x^2)^(5//2), (5*a^2*x*sqrt(a + c*x^2))/16 + (5*a*x*(a + c*x^2)^(3//2))/24 + (x*(a + c*x^2)^(5//2))/6 + (5*a^3*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(16*sqrt(c)), x, 5),
+((a + c*x^2)^(3//2), (3*a*x*sqrt(a + c*x^2))/8 + (x*(a + c*x^2)^(3//2))/4 + (3*a^2*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*sqrt(c)), x, 4),
+((a + c*x^2)^(1//2), (1//2)*x*sqrt(a + c*x^2) + (a*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*sqrt(c)), x, 3),
+(1/(a + c*x^2)^(1//2), atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2))/sqrt(c), x, 2),
+(1/(a + c*x^2)^(3//2), x/(a*sqrt(a + c*x^2)), x, 1),
+(1/(a + c*x^2)^(5//2), x/(3*a*(a + c*x^2)^(3//2)) + (2*x)/(3*a^2*sqrt(a + c*x^2)), x, 2),
+(1/(a + c*x^2)^(7//2), x/(5*a*(a + c*x^2)^(5//2)) + (4*x)/(15*a^2*(a + c*x^2)^(3//2)) + (8*x)/(15*a^3*sqrt(a + c*x^2)), x, 3),
+(1/(a + c*x^2)^(9//2), x/(7*a*(a + c*x^2)^(7//2)) + (6*x)/(35*a^2*(a + c*x^2)^(5//2)) + (8*x)/(35*a^3*(a + c*x^2)^(3//2)) + (16*x)/(35*a^4*sqrt(a + c*x^2)), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x+c x^2)^p when b^2-4 a c=0
+
+
+((4 + 12*x + 9*x^2)^(3//2), (1//12)*(2 + 3*x)*(4 + 12*x + 9*x^2)^(3//2), x, 1),
+((4 + 12*x + 9*x^2)^(1//2), (1//6)*(2 + 3*x)*sqrt(4 + 12*x + 9*x^2), x, 1),
+(1/(4 + 12*x + 9*x^2)^(1//2), ((2 + 3*x)*log(2 + 3*x))/(3*sqrt(4 + 12*x + 9*x^2)), x, 2),
+(1/(4 + 12*x + 9*x^2)^(3//2), -(1/(6*(2 + 3*x)*sqrt(4 + 12*x + 9*x^2))), x, 1),
+
+
+(sqrt(4 - 12*x + 9*x^2), (-(1//6))*(2 - 3*x)*sqrt(4 - 12*x + 9*x^2), x, 1),
+(1/sqrt(4 - 12*x + 9*x^2), -(((2 - 3*x)*log(2 - 3*x))/(3*sqrt(4 - 12*x + 9*x^2))), x, 2),
+
+
+(sqrt(-4 + 12*x - 9*x^2), (-(1//6))*(2 - 3*x)*sqrt(-4 + 12*x - 9*x^2), x, 1),
+(1/sqrt(-4 + 12*x - 9*x^2), -(((2 - 3*x)*log(2 - 3*x))/(3*sqrt(-4 + 12*x - 9*x^2))), x, 2),
+
+
+(sqrt(-4 - 12*x - 9*x^2), (1//6)*(2 + 3*x)*sqrt(-4 - 12*x - 9*x^2), x, 1),
+(1/sqrt(-4 - 12*x - 9*x^2), ((2 + 3*x)*log(2 + 3*x))/(3*sqrt(-4 - 12*x - 9*x^2)), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(((-1 + b^2)/(4*c) + b*x + c*x^2)^5, (1 - b - 2*c*x)^6/(384*c^6) - (5*(1 - b - 2*c*x)^7)/(896*c^6) + (5*(1 - b - 2*c*x)^8)/(1024*c^6) - (5*(1 - b - 2*c*x)^9)/(2304*c^6) + (1 - b - 2*c*x)^10/(2048*c^6) - (1 - b - 2*c*x)^11/(22528*c^6), x, 3),
+(((-4 + b^2)/(4*c) + b*x + c*x^2)^5, (2 - b - 2*c*x)^6/(12*c^6) - (5*(2 - b - 2*c*x)^7)/(56*c^6) + (5*(2 - b - 2*c*x)^8)/(128*c^6) - (5*(2 - b - 2*c*x)^9)/(576*c^6) + (2 - b - 2*c*x)^10/(1024*c^6) - (2 - b - 2*c*x)^11/(22528*c^6), x, 3),
+(((-9 + b^2)/(4*c) + b*x + c*x^2)^5, (81*(3 - b - 2*c*x)^6)/(128*c^6) - (405*(3 - b - 2*c*x)^7)/(896*c^6) + (135*(3 - b - 2*c*x)^8)/(1024*c^6) - (5*(3 - b - 2*c*x)^9)/(256*c^6) + (3*(3 - b - 2*c*x)^10)/(2048*c^6) - (3 - b - 2*c*x)^11/(22528*c^6), x, 3),
+(((-16 + b^2)/(4*c) + b*x + c*x^2)^5, (8*(4 - b - 2*c*x)^6)/(3*c^6) - (10*(4 - b - 2*c*x)^7)/(7*c^6) + (5*(4 - b - 2*c*x)^8)/(16*c^6) - (5*(4 - b - 2*c*x)^9)/(144*c^6) + (4 - b - 2*c*x)^10/(512*c^6) - (4 - b - 2*c*x)^11/(22528*c^6), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/(2 + 4*x + 3*x^2), atan((2 + 3*x)/sqrt(2))/sqrt(2), x, 2),
+(1/(4 - 2*sqrt(3)*x + x^2), -atan(sqrt(3) - x), x, 2),
+(1/(2 + 4*x - 3*x^2), -(atanh((2 - 3*x)/sqrt(10))/sqrt(10)), x, 2),
+(1/(2 + 5*x + 3*x^2), -log(1 + x) + log(2 + 3*x), x, 3),
+(1/(2 + 5*x - 3*x^2), (-(1//7))*log(2 - x) + (1//7)*log(1 + 3*x), x, 3),
+# {1/(3 + 4*x + x^2), x, 3, -ArcTanh[2 + x], (1/2)*Log[1 + x] - (1/2)*Log[3 + x]}
+(1/(1 + π*x + 2*x^2), (-2*atanh((π + 4*x)/sqrt(-8 + π^2)))/sqrt(-8 + π^2), x, 2),
+(1/(1 + π*x - 2*x^2), (-2*atanh((π - 4*x)/sqrt(8 + π^2)))/sqrt(8 + π^2), x, 2),
+(1/(1 + π*x + 3*x^2), (2*atan((π + 6*x)/sqrt(12 - π^2)))/sqrt(12 - π^2), x, 2),
+(1/(1 + π*x - 3*x^2), (-2*atanh((π - 6*x)/sqrt(12 + π^2)))/sqrt(12 + π^2), x, 2),
+(1/(a + c*x + b*x^2), (2*atan((c + 2*b*x)/sqrt(4*a*b - c^2)))/sqrt(4*a*b - c^2), x, 2),
+(1/(b + 2*a*x + b*x^2), -(atanh((a + b*x)/sqrt(a^2 - b^2))/sqrt(a^2 - b^2)), x, 2),
+(1/(b + 2*a*x - b*x^2), -(atanh((a - b*x)/sqrt(a^2 + b^2))/sqrt(a^2 + b^2)), x, 2),
+
+
+(1/(2 + 4*x + 3*x^2)^2, (2 + 3*x)/(4*(2 + 4*x + 3*x^2)) + (3*atan((2 + 3*x)/sqrt(2)))/(4*sqrt(2)), x, 3),
+(1/(2 + 4*x - 3*x^2)^2, -((2 - 3*x)/(20*(2 + 4*x - 3*x^2))) - (3*atanh((2 - 3*x)/sqrt(10)))/(20*sqrt(10)), x, 3),
+(1/(2 + 5*x + 3*x^2)^2, -((5 + 6*x)/(2 + 5*x + 3*x^2)) + 6*log(1 + x) - 6*log(2 + 3*x), x, 4),
+(1/(2 + 5*x - 3*x^2)^2, -((5 - 6*x)/(49*(2 + 5*x - 3*x^2))) - (6//343)*log(2 - x) + (6//343)*log(1 + 3*x), x, 4),
+(1/(a + c*x + b*x^2)^2, (c + 2*b*x)/((4*a*b - c^2)*(a + c*x + b*x^2)) + (4*b*atan((c + 2*b*x)/sqrt(4*a*b - c^2)))/(4*a*b - c^2)^(3//2), x, 3),
+(1/(b + 2*a*x + b*x^2)^2, -((a + b*x)/(2*(a^2 - b^2)*(b + 2*a*x + b*x^2))) + (b*atanh((a + b*x)/sqrt(a^2 - b^2)))/(2*(a^2 - b^2)^(3//2)), x, 3),
+(1/(b + 2*a*x - b*x^2)^2, -((a - b*x)/(2*(a^2 + b^2)*(b + 2*a*x - b*x^2))) - (b*atanh((a - b*x)/sqrt(a^2 + b^2)))/(2*(a^2 + b^2)^(3//2)), x, 3),
+
+
+(1/((a/b)^(2/n) + x^2 - 2*(a/b)^(1/n)*x*cos((π - 2*k*π)/n)), (-(a/b)^(-n^(-1)))*atan(cot((π - 2*k*π)/n) - (x*csc((π - 2*k*π)/n))/(a/b)^n^(-1))*csc((π - 2*k*π)/n), x, 2),
+
+
+# {1/(a*b + Sqrt[b^2 - 4*a*b^3]*x - b^2*x^2), x, 3, 2*(ArcTanh[(-Sqrt[b^2 - 4*a*b^3] + 2*b^2*x)/b]/b), -(Log[b + Sqrt[b^2 - 4*a*b^3] - 2*b^2*x]/b) + Log[b - Sqrt[b^2 - 4*a*b^3] + 2*b^2*x]/b}
+# {1/(a*b - Sqrt[b^2 - 4*a*b^3]*x - b^2*x^2), x, 3, 2*(ArcTanh[(Sqrt[b^2 - 4*a*b^3] + 2*b^2*x)/b]/b), -(Log[b - Sqrt[b^2 - 4*a*b^3] - 2*b^2*x]/b) + Log[b + Sqrt[b^2 - 4*a*b^3] + 2*b^2*x]/b}
+
+
+(1/(1 + x^2 + 2*x*cos(1//7)), atan((x + cos(1//7))*csc(1//7))*csc(1//7), x, 2),
+(1/(1 + x^2 + 2*x*cos(π/7)), atan(cot(π/7) + x*csc(π/7))*csc(π/7), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(5 - 6*x + 9*x^2), (-(1//6))*(1 - 3*x)*sqrt(5 - 6*x + 9*x^2) + (2//3)*asinh((1//2)*(-1 + 3*x)), x, 3),
+(sqrt(3 - 4*x - 4*x^2), (1//4)*(1 + 2*x)*sqrt(3 - 4*x - 4*x^2) + asin(1//2 + x), x, 3),
+(sqrt(-8 + 6*x + 9*x^2), (1//6)*(1 + 3*x)*sqrt(-8 + 6*x + 9*x^2) - (3//2)*atanh((1 + 3*x)/sqrt(-8 + 6*x + 9*x^2)), x, 3),
+(sqrt(2 + 4*x + 3*x^2), (1//6)*(2 + 3*x)*sqrt(2 + 4*x + 3*x^2) + asinh((2 + 3*x)/sqrt(2))/(3*sqrt(3)), x, 3),
+(sqrt(2 + 4*x - 3*x^2), (-(1//6))*(2 - 3*x)*sqrt(2 + 4*x - 3*x^2) - (5*asin((2 - 3*x)/sqrt(10)))/(3*sqrt(3)), x, 3),
+(sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (1//12)*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) - atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)))/(24*sqrt(3)), x, 3),
+(sqrt(2 + 5*x - 3*x^2), (-(1//12))*(5 - 6*x)*sqrt(2 + 5*x - 3*x^2) - (49*asin((1//7)*(5 - 6*x)))/(24*sqrt(3)), x, 3),
+(sqrt(-2 + 4*x + 3*x^2), (1//6)*(2 + 3*x)*sqrt(-2 + 4*x + 3*x^2) - (5*atanh((2 + 3*x)/(sqrt(3)*sqrt(-2 + 4*x + 3*x^2))))/(3*sqrt(3)), x, 3),
+(sqrt(-2 + 4*x - 3*x^2), (-(1//6))*(2 - 3*x)*sqrt(-2 + 4*x - 3*x^2) + atan((2 - 3*x)/(sqrt(3)*sqrt(-2 + 4*x - 3*x^2)))/(3*sqrt(3)), x, 3),
+(sqrt(-2 + 5*x + 3*x^2), (1//12)*(5 + 6*x)*sqrt(-2 + 5*x + 3*x^2) - (49*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(-2 + 5*x + 3*x^2))))/(24*sqrt(3)), x, 3),
+(sqrt(-2 + 5*x - 3*x^2), (-(1//12))*(5 - 6*x)*sqrt(-2 + 5*x - 3*x^2) - asin(5 - 6*x)/(24*sqrt(3)), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/sqrt(5 - 6*x + 9*x^2), asinh((-1 + 3*x)/2)/3, x, 2),
+(1/sqrt(3 - 4*x - 4*x^2), asin(1//2 + x)/2, x, 2),
+(1/sqrt(-8 + 6*x + 9*x^2), (1//3)*atanh((1 + 3*x)/sqrt(-8 + 6*x + 9*x^2)), x, 2),
+(1/sqrt(2 + 4*x + 3*x^2), asinh((2 + 3*x)/sqrt(2))/sqrt(3), x, 2),
+(1/sqrt(2 + 4*x - 3*x^2), -(asin((2 - 3*x)/sqrt(10))/sqrt(3)), x, 2),
+(1/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)))/sqrt(3), x, 2),
+(1/sqrt(2 + 5*x - 3*x^2), -(asin((5 - 6*x)/7)/sqrt(3)), x, 2),
+(1/sqrt(-2 + 4*x + 3*x^2), atanh((2 + 3*x)/(sqrt(3)*sqrt(-2 + 4*x + 3*x^2)))/sqrt(3), x, 2),
+(1/sqrt(-2 + 4*x - 3*x^2), -(atan((2 - 3*x)/(sqrt(3)*sqrt(-2 + 4*x - 3*x^2)))/sqrt(3)), x, 2),
+(1/sqrt(-2 + 5*x + 3*x^2), atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(-2 + 5*x + 3*x^2)))/sqrt(3), x, 2),
+(1/sqrt(-2 + 5*x - 3*x^2), -(asin(5 - 6*x)/sqrt(3)), x, 2),
+
+
+(1/sqrt((4*c + b^2)/(4*c) + b*x + c*x^2), asinh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)))/sqrt(c), x, 2),
+(1/sqrt((4*c - b^2)/(4*c) + b*x - c*x^2), -(asin((b - 2*c*x)/(2*sqrt(c)))/sqrt(c)), x, 2),
+(1/sqrt((c - b^2)/(4*c) + b*x - c*x^2), -(asin((b - 2*c*x)/sqrt(c))/sqrt(c)), x, 2),
+
+
+(1/(2 + 3*x + x^2)^(3//2), (-2*(3 + 2*x))/sqrt(2 + 3*x + x^2), x, 1),
+(1/(27 - 24*x + 4*x^2)^(3//2), (3 - x)/(9*sqrt(27 - 24*x + 4*x^2)), x, 1),
+
+(x/(5 - 4*x - x^2)^(3//2), (5 - 2*x)/(9*sqrt(5 - 4*x - x^2)), x, 1),
+
+
+(1/(5 - 4*x - x^2)^(5//2), (2 + x)/(27*(5 - 4*x - x^2)^(3//2)) + (2*(2 + x))/(243*sqrt(5 - 4*x - x^2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x+c x^2)^p when p symbolic
+
+
+((a + b*x + c*x^2)^p, -((2^(1 + p)*(-((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(-1 - p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1 + p, 2 + p, (b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/(2*sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 + p))), x, 1),
+
+
+((3 + 4*x + 5*x^2)^p, 5^(-1 - p)*11^p*(2 + 5*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, (-(1//11))*(2 + 5*x)^2), x, 2),
+((3 + 4*x + 4*x^2)^p, 2^(-1 + p)*(1 + 2*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, (-(1//2))*(1 + 2*x)^2), x, 2),
+((3 + 4*x + 3*x^2)^p, 3^(-1 - p)*5^p*(2 + 3*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, (-(1//5))*(2 + 3*x)^2), x, 2),
+((3 + 4*x + 2*x^2)^p, (1 + x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -2*(1 + x)^2), x, 2),
+((3 + 4*x + 1*x^2)^p, -((2^(1 + 2*p)*(-2 - 2*x)^(-1 - p)*(3 + 4*x + x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1 + p, 2 + p, (3 + x)/2))/(1 + p)), x, 1),
+((3 + 4*x + 0*x^2)^p, (3 + 4*x)^(1 + p)/(4*(1 + p)), x, 1),
+((3 + 4*x - 1*x^2)^p, (-7^p)*(2 - x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, (1//7)*(2 - x)^2), x, 2),
+((3 + 4*x - 2*x^2)^p, (-5^p)*(1 - x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, (2//5)*(1 - x)^2), x, 2),
+((3 + 4*x - 3*x^2)^p, (-3^(-1 - p))*13^p*(2 - 3*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, (1//13)*(2 - 3*x)^2), x, 2),
+((3 + 4*x - 4*x^2)^p, (-2^(-1 + 2*p))*(1 - 2*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, (1//4)*(1 - 2*x)^2), x, 2),
+((3 + 4*x - 5*x^2)^p, (-5^(-1 - p))*19^p*(2 - 5*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, (1//19)*(2 - 5*x)^2), x, 2),
+]
+# Total integrals translated: 140
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.2 (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.2 (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..60e227e4
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+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.2 (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p.jl	
@@ -0,0 +1,3986 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x+c x^2)^p when a=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(b*x + c*x^2)^(1//2), -((7*b^3*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(128*c^4)) + (7*b^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(48*c^3) - (7*b*x*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(40*c^2) + (x^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*c) + (7*b^5*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(128*c^(9//2)), x, 6),
+(x^2*(b*x + c*x^2)^(1//2), (5*b^2*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*c^3) - (5*b*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*c^2) + (x*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(4*c) - (5*b^4*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(64*c^(7//2)), x, 5),
+(x^1*(b*x + c*x^2)^(1//2), -((b*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*c^2)) + (b*x + c*x^2)^(3//2)/(3*c) + (b^3*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(8*c^(5//2)), x, 4),
+(x^0*(b*x + c*x^2)^(1//2), ((b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*c) - (b^2*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(4*c^(3//2)), x, 3),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/x^1, sqrt(b*x + c*x^2) + (b*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/sqrt(c), x, 3),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/x^2, -((2*sqrt(b*x + c*x^2))/x) + 2*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)), x, 3),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/x^3, -((2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*b*x^3)), x, 1),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/x^4, -((2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*b*x^4)) + (4*c*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(15*b^2*x^3), x, 2),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/x^5, -((2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*b*x^5)) + (8*c*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(35*b^2*x^4) - (16*c^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(105*b^3*x^3), x, 3),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/x^6, -((2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(9*b*x^6)) + (4*c*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(21*b^2*x^5) - (16*c^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(105*b^3*x^4) + (32*c^3*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(315*b^4*x^3), x, 4),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/x^7, -((2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(11*b*x^7)) + (16*c*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(99*b^2*x^6) - (32*c^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(231*b^3*x^5) + (128*c^3*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(1155*b^4*x^4) - (256*c^4*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3465*b^5*x^3), x, 5),
+
+
+(x^2*(b*x + c*x^2)^(3//2), -((7*b^4*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(512*c^4)) + (7*b^2*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*c^3) - (7*b*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(60*c^2) + (x*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(6*c) + (7*b^6*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(512*c^(9//2)), x, 6),
+(x^1*(b*x + c*x^2)^(3//2), (3*b^3*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(128*c^3) - (b*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(16*c^2) + (b*x + c*x^2)^(5//2)/(5*c) - (3*b^5*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(128*c^(7//2)), x, 5),
+(x^0*(b*x + c*x^2)^(3//2), -((3*b^2*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*c^2)) + ((b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(8*c) + (3*b^4*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(64*c^(5//2)), x, 4),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/x^1, (b*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*c) + (1//3)*(b*x + c*x^2)^(3//2) - (b^3*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(8*c^(3//2)), x, 4),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/x^2, (3//4)*b*sqrt(b*x + c*x^2) + (b*x + c*x^2)^(3//2)/(2*x) + (3*b^2*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(4*sqrt(c)), x, 4),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/x^3, 3*c*sqrt(b*x + c*x^2) - (2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/x^2 + 3*b*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)), x, 4),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/x^4, -((2*c*sqrt(b*x + c*x^2))/x) - (2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*x^3) + 2*c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)), x, 4),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/x^5, -((2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*b*x^5)), x, 1),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/x^6, -((2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(7*b*x^6)) + (4*c*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(35*b^2*x^5), x, 2),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/x^7, -((2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(9*b*x^7)) + (8*c*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(63*b^2*x^6) - (16*c^2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(315*b^3*x^5), x, 3),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/x^8, -((2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(11*b*x^8)) + (4*c*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(33*b^2*x^7) - (16*c^2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(231*b^3*x^6) + (32*c^3*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(1155*b^4*x^5), x, 4),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/x^9, -((2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(13*b*x^9)) + (16*c*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(143*b^2*x^8) - (32*c^2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(429*b^3*x^7) + (128*c^3*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(3003*b^4*x^6) - (256*c^4*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(15015*b^5*x^5), x, 5),
+
+
+(x^2*(a*x + b*x^2)^(5//2), (45*a^6*(a + 2*b*x)*sqrt(a*x + b*x^2))/(16384*b^5) - (15*a^4*(a + 2*b*x)*(a*x + b*x^2)^(3//2))/(2048*b^4) + (3*a^2*(a + 2*b*x)*(a*x + b*x^2)^(5//2))/(128*b^3) - (9*a*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(112*b^2) + (x*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(8*b) - (45*a^8*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a*x + b*x^2)))/(16384*b^(11//2)), x, 7),
+(x^1*(a*x + b*x^2)^(5//2), -((5*a^5*(a + 2*b*x)*sqrt(a*x + b*x^2))/(1024*b^4)) + (5*a^3*(a + 2*b*x)*(a*x + b*x^2)^(3//2))/(384*b^3) - (a*(a + 2*b*x)*(a*x + b*x^2)^(5//2))/(24*b^2) + (a*x + b*x^2)^(7//2)/(7*b) + (5*a^7*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a*x + b*x^2)))/(1024*b^(9//2)), x, 6),
+(x^0*(a*x + b*x^2)^(5//2), (5*a^4*(a + 2*b*x)*sqrt(a*x + b*x^2))/(512*b^3) - (5*a^2*(a + 2*b*x)*(a*x + b*x^2)^(3//2))/(192*b^2) + ((a + 2*b*x)*(a*x + b*x^2)^(5//2))/(12*b) - (5*a^6*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a*x + b*x^2)))/(512*b^(7//2)), x, 5),
+((a*x + b*x^2)^(5//2)/x^1, -((3*a^3*(a + 2*b*x)*sqrt(a*x + b*x^2))/(128*b^2)) + (a*(a + 2*b*x)*(a*x + b*x^2)^(3//2))/(16*b) + (1//5)*(a*x + b*x^2)^(5//2) + (3*a^5*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a*x + b*x^2)))/(128*b^(5//2)), x, 5),
+((a*x + b*x^2)^(5//2)/x^2, (5*a^2*(a + 2*b*x)*sqrt(a*x + b*x^2))/(64*b) + (5//24)*a*(a*x + b*x^2)^(3//2) + (a*x + b*x^2)^(5//2)/(4*x) - (5*a^4*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a*x + b*x^2)))/(64*b^(3//2)), x, 5),
+((a*x + b*x^2)^(5//2)/x^3, (-(5//8))*a*(a + 2*b*x)*sqrt(a*x + b*x^2) - (5//3)*b*(a*x + b*x^2)^(3//2) + (2*(a*x + b*x^2)^(5//2))/x^2 + (5*a^3*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a*x + b*x^2)))/(8*sqrt(b)), x, 5),
+((a*x + b*x^2)^(5//2)/x^4, (15//4)*a*b*sqrt(a*x + b*x^2) + (5*b*(a*x + b*x^2)^(3//2))/(2*x) - (2*(a*x + b*x^2)^(5//2))/x^3 + (15//4)*a^2*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a*x + b*x^2)), x, 5),
+((a*x + b*x^2)^(5//2)/x^5, 5*b^2*sqrt(a*x + b*x^2) - (10*b*(a*x + b*x^2)^(3//2))/(3*x^2) - (2*(a*x + b*x^2)^(5//2))/(3*x^4) + 5*a*b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a*x + b*x^2)), x, 5),
+((a*x + b*x^2)^(5//2)/x^6, -((2*b^2*sqrt(a*x + b*x^2))/x) - (2*b*(a*x + b*x^2)^(3//2))/(3*x^3) - (2*(a*x + b*x^2)^(5//2))/(5*x^5) + 2*b^(5//2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a*x + b*x^2)), x, 5),
+((a*x + b*x^2)^(5//2)/x^7, -((2*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(7*a*x^7)), x, 1),
+((a*x + b*x^2)^(5//2)/x^8, -((2*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(9*a*x^8)) + (4*b*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(63*a^2*x^7), x, 2),
+((a*x + b*x^2)^(5//2)/x^9, -((2*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(11*a*x^9)) + (8*b*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(99*a^2*x^8) - (16*b^2*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(693*a^3*x^7), x, 3),
+((a*x + b*x^2)^(5//2)/x^10, -((2*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(13*a*x^10)) + (12*b*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(143*a^2*x^9) - (16*b^2*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(429*a^3*x^8) + (32*b^3*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(3003*a^4*x^7), x, 4),
+((a*x + b*x^2)^(5//2)/x^11, -((2*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(15*a*x^11)) + (16*b*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(195*a^2*x^10) - (32*b^2*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(715*a^3*x^9) + (128*b^3*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(6435*a^4*x^8) - (256*b^4*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(45045*a^5*x^7), x, 5),
+((a*x + b*x^2)^(5//2)/x^12, -((2*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(17*a*x^12)) + (4*b*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(51*a^2*x^11) - (32*b^2*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(663*a^3*x^10) + (64*b^3*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(2431*a^4*x^9) - (256*b^4*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(21879*a^5*x^8) + (512*b^5*(a*x + b*x^2)^(7//2))/(153153*a^6*x^7), x, 6),
+
+
+(x*sqrt(2*x - x^2), (-(1//2))*(1 - x)*sqrt(2*x - x^2) - (1//3)*(2*x - x^2)^(3//2) - (1//2)*asin(1 - x), x, 4),
+(x*sqrt(3*x - 4*x^2), (-(3//128))*(3 - 8*x)*sqrt(3*x - 4*x^2) - (1//12)*(3*x - 4*x^2)^(3//2) - (27//512)*asin(1 - (8*x)/3), x, 4),
+(x*sqrt(x + x^2), (-(1//8))*(1 + 2*x)*sqrt(x + x^2) + (1//3)*(x + x^2)^(3//2) + (1//8)*atanh(x/sqrt(x + x^2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4/(b*x + c*x^2)^(1//2), -((35*b^3*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*c^4)) + (35*b^2*x*sqrt(b*x + c*x^2))/(96*c^3) - (7*b*x^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(24*c^2) + (x^3*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*c) + (35*b^4*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(64*c^(9//2)), x, 6),
+(x^3/(b*x + c*x^2)^(1//2), (5*b^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*c^3) - (5*b*x*sqrt(b*x + c*x^2))/(12*c^2) + (x^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*c) - (5*b^3*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(8*c^(7//2)), x, 5),
+(x^2/(b*x + c*x^2)^(1//2), -((3*b*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*c^2)) + (x*sqrt(b*x + c*x^2))/(2*c) + (3*b^2*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(4*c^(5//2)), x, 4),
+(x^1/(b*x + c*x^2)^(1//2), sqrt(b*x + c*x^2)/c - (b*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/c^(3//2), x, 3),
+(x^0/(b*x + c*x^2)^(1//2), (2*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/sqrt(c), x, 2),
+(1/(x^1*(b*x + c*x^2)^(1//2)), -((2*sqrt(b*x + c*x^2))/(b*x)), x, 1),
+(1/(x^2*(b*x + c*x^2)^(1//2)), -((2*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b*x^2)) + (4*c*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b^2*x), x, 2),
+(1/(x^3*(b*x + c*x^2)^(1//2)), -((2*sqrt(b*x + c*x^2))/(5*b*x^3)) + (8*c*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*b^2*x^2) - (16*c^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*b^3*x), x, 3),
+(1/(x^4*(b*x + c*x^2)^(1//2)), -((2*sqrt(b*x + c*x^2))/(7*b*x^4)) + (12*c*sqrt(b*x + c*x^2))/(35*b^2*x^3) - (16*c^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(35*b^3*x^2) + (32*c^3*sqrt(b*x + c*x^2))/(35*b^4*x), x, 4),
+(1/(x^5*(b*x + c*x^2)^(1//2)), -((2*sqrt(b*x + c*x^2))/(9*b*x^5)) + (16*c*sqrt(b*x + c*x^2))/(63*b^2*x^4) - (32*c^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(105*b^3*x^3) + (128*c^3*sqrt(b*x + c*x^2))/(315*b^4*x^2) - (256*c^4*sqrt(b*x + c*x^2))/(315*b^5*x), x, 5),
+
+
+(x^4/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*x^3)/(c*sqrt(b*x + c*x^2))) - (15*b*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*c^3) + (5*x*sqrt(b*x + c*x^2))/(2*c^2) + (15*b^2*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(4*c^(7//2)), x, 5),
+(x^3/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*x^2)/(c*sqrt(b*x + c*x^2))) + (3*sqrt(b*x + c*x^2))/c^2 - (3*b*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/c^(5//2), x, 4),
+(x^2/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*x)/(c*sqrt(b*x + c*x^2))) + (2*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/c^(3//2), x, 3),
+(x^1/(b*x + c*x^2)^(3//2), (2*x)/(b*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 1),
+(x^0/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(b + 2*c*x))/(b^2*sqrt(b*x + c*x^2))), x, 1),
+(1/(x^1*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -(2/(3*b*x*sqrt(b*x + c*x^2))) + (8*c*(b + 2*c*x))/(3*b^3*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 2),
+(1/(x^2*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -(2/(5*b*x^2*sqrt(b*x + c*x^2))) + (4*c)/(5*b^2*x*sqrt(b*x + c*x^2)) - (16*c^2*(b + 2*c*x))/(5*b^4*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 3),
+(1/(x^3*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -(2/(7*b*x^3*sqrt(b*x + c*x^2))) + (16*c)/(35*b^2*x^2*sqrt(b*x + c*x^2)) - (32*c^2)/(35*b^3*x*sqrt(b*x + c*x^2)) + (128*c^3*(b + 2*c*x))/(35*b^5*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 4),
+
+
+(x^6/(a*x + b*x^2)^(5//2), -((2*x^5)/(3*b*(a*x + b*x^2)^(3//2))) - (14*x^3)/(3*b^2*sqrt(a*x + b*x^2)) - (35*a*sqrt(a*x + b*x^2))/(4*b^4) + (35*x*sqrt(a*x + b*x^2))/(6*b^3) + (35*a^2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a*x + b*x^2)))/(4*b^(9//2)), x, 6),
+(x^5/(a*x + b*x^2)^(5//2), -((2*x^4)/(3*b*(a*x + b*x^2)^(3//2))) - (10*x^2)/(3*b^2*sqrt(a*x + b*x^2)) + (5*sqrt(a*x + b*x^2))/b^3 - (5*a*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a*x + b*x^2)))/b^(7//2), x, 5),
+(x^4/(a*x + b*x^2)^(5//2), -((2*x^3)/(3*b*(a*x + b*x^2)^(3//2))) - (2*x)/(b^2*sqrt(a*x + b*x^2)) + (2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a*x + b*x^2)))/b^(5//2), x, 4),
+(x^3/(a*x + b*x^2)^(5//2), (2*x^3)/(3*a*(a*x + b*x^2)^(3//2)), x, 1),
+(x^2/(a*x + b*x^2)^(5//2), -((2*x)/(3*b*(a*x + b*x^2)^(3//2))) + (2*(a + 2*b*x))/(3*a^2*b*sqrt(a*x + b*x^2)), x, 2),
+(x^1/(a*x + b*x^2)^(5//2), (2*x)/(3*a*(a*x + b*x^2)^(3//2)) - (8*(a + 2*b*x))/(3*a^3*sqrt(a*x + b*x^2)), x, 2),
+(x^0/(a*x + b*x^2)^(5//2), -((2*(a + 2*b*x))/(3*a^2*(a*x + b*x^2)^(3//2))) + (16*b*(a + 2*b*x))/(3*a^4*sqrt(a*x + b*x^2)), x, 2),
+(1/(x^1*(a*x + b*x^2)^(5//2)), -(2/(5*a*x*(a*x + b*x^2)^(3//2))) + (16*b*(a + 2*b*x))/(15*a^3*(a*x + b*x^2)^(3//2)) - (128*b^2*(a + 2*b*x))/(15*a^5*sqrt(a*x + b*x^2)), x, 3),
+(1/(x^2*(a*x + b*x^2)^(5//2)), -(2/(7*a*x^2*(a*x + b*x^2)^(3//2))) + (4*b)/(7*a^2*x*(a*x + b*x^2)^(3//2)) - (32*b^2*(a + 2*b*x))/(21*a^4*(a*x + b*x^2)^(3//2)) + (256*b^3*(a + 2*b*x))/(21*a^6*sqrt(a*x + b*x^2)), x, 4),
+
+
+(x/sqrt(4*x - x^2), -sqrt(4*x - x^2) - 2*asin(1 - x/2), x, 3),
+(x/sqrt(-4*x + x^2), sqrt(-4*x + x^2) + 4*atanh(x/sqrt(-4*x + x^2)), x, 3),
+(x^2/sqrt(2*x - x^2), (-(3//2))*sqrt(2*x - x^2) - (1//2)*x*sqrt(2*x - x^2) - (3//2)*asin(1 - x), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(7//2)*(b*x + c*x^2)^(1//2), (256*b^4*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3465*c^5*x^(3//2)) - (128*b^3*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(1155*c^4*sqrt(x)) + (32*b^2*sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(231*c^3) - (16*b*x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(99*c^2) + (2*x^(5//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(11*c), x, 5),
+(x^(5//2)*(b*x + c*x^2)^(1//2), -((32*b^3*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(315*c^4*x^(3//2))) + (16*b^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(105*c^3*sqrt(x)) - (4*b*sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(21*c^2) + (2*x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(9*c), x, 4),
+(x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(1//2), (16*b^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(105*c^3*x^(3//2)) - (8*b*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(35*c^2*sqrt(x)) + (2*sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*c), x, 3),
+(x^(1//2)*(b*x + c*x^2)^(1//2), -((4*b*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(15*c^2*x^(3//2))) + (2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*c*sqrt(x)), x, 2),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/x^(1//2), (2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*c*x^(3//2)), x, 1),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/x^(3//2), (2*sqrt(b*x + c*x^2))/sqrt(x) - 2*sqrt(b)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))), x, 3),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/x^(5//2), -(sqrt(b*x + c*x^2)/x^(3//2)) - (c*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/sqrt(b), x, 3),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/x^(7//2), -(sqrt(b*x + c*x^2)/(2*x^(5//2))) - (c*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*b*x^(3//2)) + (c^2*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(4*b^(3//2)), x, 4),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/x^(9//2), -(sqrt(b*x + c*x^2)/(3*x^(7//2))) - (c*sqrt(b*x + c*x^2))/(12*b*x^(5//2)) + (c^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*b^2*x^(3//2)) - (c^3*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(8*b^(5//2)), x, 5),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/x^(11//2), -(sqrt(b*x + c*x^2)/(4*x^(9//2))) - (c*sqrt(b*x + c*x^2))/(24*b*x^(7//2)) + (5*c^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(96*b^2*x^(5//2)) - (5*c^3*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*b^3*x^(3//2)) + (5*c^4*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(64*b^(7//2)), x, 6),
+
+
+(x^(7//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2), -((512*b^5*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(45045*c^6*x^(5//2))) + (256*b^4*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(9009*c^5*x^(3//2)) - (64*b^3*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(1287*c^4*sqrt(x)) + (32*b^2*sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(429*c^3) - (4*b*x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(39*c^2) + (2*x^(5//2)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(15*c), x, 6),
+(x^(5//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2), (256*b^4*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(15015*c^5*x^(5//2)) - (128*b^3*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(3003*c^4*x^(3//2)) + (32*b^2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(429*c^3*sqrt(x)) - (16*b*sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(143*c^2) + (2*x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(13*c), x, 5),
+(x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2), -((32*b^3*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(1155*c^4*x^(5//2))) + (16*b^2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(231*c^3*x^(3//2)) - (4*b*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(33*c^2*sqrt(x)) + (2*sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(11*c), x, 4),
+(x^(1//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2), (16*b^2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(315*c^3*x^(5//2)) - (8*b*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(63*c^2*x^(3//2)) + (2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(9*c*sqrt(x)), x, 3),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/x^(1//2), -((4*b*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(35*c^2*x^(5//2))) + (2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(7*c*x^(3//2)), x, 2),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/x^(3//2), (2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*c*x^(5//2)), x, 1),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/x^(5//2), (2*b*sqrt(b*x + c*x^2))/sqrt(x) + (2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*x^(3//2)) - 2*b^(3//2)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))), x, 4),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/x^(7//2), (3*c*sqrt(b*x + c*x^2))/sqrt(x) - (b*x + c*x^2)^(3//2)/x^(5//2) - 3*sqrt(b)*c*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))), x, 4),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/x^(9//2), -((3*c*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*x^(3//2))) - (b*x + c*x^2)^(3//2)/(2*x^(7//2)) - (3*c^2*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(4*sqrt(b)), x, 4),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/x^(11//2), -((c*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*x^(5//2))) - (c^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*b*x^(3//2)) - (b*x + c*x^2)^(3//2)/(3*x^(9//2)) + (c^3*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(8*b^(3//2)), x, 5),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/x^(13//2), -((c*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*x^(7//2))) - (c^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(32*b*x^(5//2)) + (3*c^3*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*b^2*x^(3//2)) - (b*x + c*x^2)^(3//2)/(4*x^(11//2)) - (3*c^4*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(64*b^(5//2)), x, 6),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/x^(15//2), -((3*c*sqrt(b*x + c*x^2))/(40*x^(9//2))) - (c^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(80*b*x^(7//2)) + (c^3*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*b^2*x^(5//2)) - (3*c^4*sqrt(b*x + c*x^2))/(128*b^3*x^(3//2)) - (b*x + c*x^2)^(3//2)/(5*x^(13//2)) + (3*c^5*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(128*b^(7//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^(7//2)/(b*x + c*x^2)^(1//2), -((32*b^3*sqrt(b*x + c*x^2))/(35*c^4*sqrt(x))) + (16*b^2*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(35*c^3) - (12*b*x^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(35*c^2) + (2*x^(5//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(7*c), x, 4),
+(x^(5//2)/(b*x + c*x^2)^(1//2), (16*b^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*c^3*sqrt(x)) - (8*b*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*c^2) + (2*x^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(5*c), x, 3),
+(x^(3//2)/(b*x + c*x^2)^(1//2), -((4*b*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*c^2*sqrt(x))) + (2*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*c), x, 2),
+(x^(1//2)/(b*x + c*x^2)^(1//2), (2*sqrt(b*x + c*x^2))/(c*sqrt(x)), x, 1),
+(1/(x^(1//2)*(b*x + c*x^2)^(1//2)), -((2*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/sqrt(b)), x, 2),
+(1/(x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(1//2)), -(sqrt(b*x + c*x^2)/(b*x^(3//2))) + (c*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/b^(3//2), x, 3),
+(1/(x^(5//2)*(b*x + c*x^2)^(1//2)), -(sqrt(b*x + c*x^2)/(2*b*x^(5//2))) + (3*c*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*b^2*x^(3//2)) - (3*c^2*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(4*b^(5//2)), x, 4),
+(1/(x^(7//2)*(b*x + c*x^2)^(1//2)), -(sqrt(b*x + c*x^2)/(3*b*x^(7//2))) + (5*c*sqrt(b*x + c*x^2))/(12*b^2*x^(5//2)) - (5*c^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*b^3*x^(3//2)) + (5*c^3*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(8*b^(7//2)), x, 5),
+
+
+(x^(13//2)/(b*x + c*x^2)^(3//2), (512*b^5*sqrt(x))/(63*c^6*sqrt(b*x + c*x^2)) + (256*b^4*x^(3//2))/(63*c^5*sqrt(b*x + c*x^2)) - (64*b^3*x^(5//2))/(63*c^4*sqrt(b*x + c*x^2)) + (32*b^2*x^(7//2))/(63*c^3*sqrt(b*x + c*x^2)) - (20*b*x^(9//2))/(63*c^2*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*x^(11//2))/(9*c*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 6),
+(x^(11//2)/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((256*b^4*sqrt(x))/(35*c^5*sqrt(b*x + c*x^2))) - (128*b^3*x^(3//2))/(35*c^4*sqrt(b*x + c*x^2)) + (32*b^2*x^(5//2))/(35*c^3*sqrt(b*x + c*x^2)) - (16*b*x^(7//2))/(35*c^2*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*x^(9//2))/(7*c*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 5),
+(x^(9//2)/(b*x + c*x^2)^(3//2), (32*b^3*sqrt(x))/(5*c^4*sqrt(b*x + c*x^2)) + (16*b^2*x^(3//2))/(5*c^3*sqrt(b*x + c*x^2)) - (4*b*x^(5//2))/(5*c^2*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*x^(7//2))/(5*c*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 4),
+(x^(7//2)/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((16*b^2*sqrt(x))/(3*c^3*sqrt(b*x + c*x^2))) - (8*b*x^(3//2))/(3*c^2*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*x^(5//2))/(3*c*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 3),
+(x^(5//2)/(b*x + c*x^2)^(3//2), (4*b*sqrt(x))/(c^2*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*x^(3//2))/(c*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 2),
+(x^(3//2)/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*sqrt(x))/(c*sqrt(b*x + c*x^2))), x, 1),
+(x^(1//2)/(b*x + c*x^2)^(3//2), (2*sqrt(x))/(b*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/b^(3//2), x, 3),
+(1/(x^(1//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -(1/(b*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2))) - (3*c*sqrt(x))/(b^2*sqrt(b*x + c*x^2)) + (3*c*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/b^(5//2), x, 4),
+(1/(x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -(1/(2*b*x^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2))) + (5*c)/(4*b^2*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (15*c^2*sqrt(x))/(4*b^3*sqrt(b*x + c*x^2)) - (15*c^2*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(4*b^(7//2)), x, 5),
+(1/(x^(5//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -(1/(3*b*x^(5//2)*sqrt(b*x + c*x^2))) + (7*c)/(12*b^2*x^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (35*c^2)/(24*b^3*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (35*c^3*sqrt(x))/(8*b^4*sqrt(b*x + c*x^2)) + (35*c^3*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(8*b^(9//2)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (b x+c x^2)^p when m symbolic
+
+
+((d*x)^m*(b*x + c*x^2)^3, (b^3*(d*x)^(4 + m))/(d^4*(4 + m)) + (3*b^2*c*(d*x)^(5 + m))/(d^5*(5 + m)) + (3*b*c^2*(d*x)^(6 + m))/(d^6*(6 + m)) + (c^3*(d*x)^(7 + m))/(d^7*(7 + m)), x, 3),
+((d*x)^m*(b*x + c*x^2)^2, (b^2*(d*x)^(3 + m))/(d^3*(3 + m)) + (2*b*c*(d*x)^(4 + m))/(d^4*(4 + m)) + (c^2*(d*x)^(5 + m))/(d^5*(5 + m)), x, 3),
+((d*x)^m*(b*x + c*x^2)^1, (b*(d*x)^(2 + m))/(d^2*(2 + m)) + (c*(d*x)^(3 + m))/(d^3*(3 + m)), x, 2),
+((d*x)^m/(b*x + c*x^2)^1, ((d*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, m, 1 + m, -((c*x)/b)))/(b*m), x, 2),
+((d*x)^m/(b*x + c*x^2)^2, -((d*(d*x)^(-1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, -1 + m, m, -((c*x)/b)))/(b^2*(1 - m))), x, 2),
+((d*x)^m/(b*x + c*x^2)^3, -((d^2*(d*x)^(-2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, -2 + m, -1 + m, -((c*x)/b)))/(b^3*(2 - m))), x, 2),
+
+
+((d*x)^m*(b*x + c*x^2)^(5//2), (2*b^2*(-((c*x)/b))^(-(1//2) - m)*(d*x)^m*(b + c*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(7//2, -(5//2) - m, 9//2, 1 + (c*x)/b))/(7*c^3*x^2), x, 3),
+((d*x)^m*(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*b*(-((c*x)/b))^(-(1//2) - m)*(d*x)^m*(b + c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -(3//2) - m, 7//2, 1 + (c*x)/b))/(5*c^2*x)), x, 3),
+((d*x)^m*(b*x + c*x^2)^(1//2), (2*(-((c*x)/b))^(-(1//2) - m)*(d*x)^m*(b + c*x)*sqrt(b*x + c*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -(1//2) - m, 5//2, 1 + (c*x)/b))/(3*c), x, 3),
+((d*x)^m/(b*x + c*x^2)^(1//2), (2*(-((c*x)/b))^(1//2 - m)*(d*x)^m*(b + c*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 1//2 - m, 3//2, 1 + (c*x)/b))/(c*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 3),
+((d*x)^m/(b*x + c*x^2)^(3//2), (2*x*(-((c*x)/b))^(1//2 - m)*(d*x)^m*(b + c*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), 3//2 - m, 1//2, 1 + (c*x)/b))/(b*(b*x + c*x^2)^(3//2)), x, 3),
+((d*x)^m/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*c*x^2*(-((c*x)/b))^(1//2 - m)*(d*x)^m*(b + c*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), 5//2 - m, -(1//2), 1 + (c*x)/b))/(3*b^2*(b*x + c*x^2)^(5//2))), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (b x+c x^2)^p when p symbolic
+
+
+((d*x)^m*(b*x + c*x^2)^p, (x*(d*x)^m*(b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1 + m + p, 2 + m + p, -((c*x)/b)))/((1 + (c*x)/b)^p*(1 + m + p)), x, 3),
+
+
+(x^3*(b*x + c*x^2)^p, (x^4*(b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 4 + p, 5 + p, -((c*x)/b)))/((1 + (c*x)/b)^p*(4 + p)), x, 3),
+(x^2*(b*x + c*x^2)^p, (x^3*(b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 3 + p, 4 + p, -((c*x)/b)))/((1 + (c*x)/b)^p*(3 + p)), x, 3),
+# {x^1*(b*x + c*x^2)^p, x, 2, (x^2*(b*x + c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-p, 2 + p, 3 + p, -((c*x)/b)])/((1 + (c*x)/b)^p*(2 + p)), (b*x + c*x^2)^(1 + p)/(2*c*(1 + p)) + ((-((c*x)/b))^(-1 - p)*(b*x + c*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-p, 1 + p, 2 + p, (b + c*x)/b])/(2*c*(1 + p))}
+((b*x + c*x^2)^p/x^1, ((b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, p, 1 + p, -((c*x)/b)))/((1 + (c*x)/b)^p*p), x, 3),
+((b*x + c*x^2)^p/x^2, -(((b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 + p, -p, p, -((c*x)/b)))/((1 + (c*x)/b)^p*((1 - p)*x))), x, 3),
+((b*x + c*x^2)^p/x^3, -(((b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-2 + p, -p, -1 + p, -((c*x)/b)))/((1 + (c*x)/b)^p*((2 - p)*x^2))), x, 3),
+
+
+((d*x)^(5//2)*(b*x + c*x^2)^p, (2*x*(d*x)^(5//2)*(b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 7//2 + p, 9//2 + p, -((c*x)/b)))/((1 + (c*x)/b)^p*(7 + 2*p)), x, 3),
+((d*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)^p, (2*x*(d*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 5//2 + p, 7//2 + p, -((c*x)/b)))/((1 + (c*x)/b)^p*(5 + 2*p)), x, 3),
+((d*x)^(1//2)*(b*x + c*x^2)^p, (2*x*sqrt(d*x)*(b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 3//2 + p, 5//2 + p, -((c*x)/b)))/((1 + (c*x)/b)^p*(3 + 2*p)), x, 3),
+((b*x + c*x^2)^p/(d*x)^(1//2), (2*x*(b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1//2 + p, 3//2 + p, -((c*x)/b)))/((1 + (c*x)/b)^p*((1 + 2*p)*sqrt(d*x))), x, 3),
+((b*x + c*x^2)^p/(d*x)^(3//2), -((2*x*(b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2) + p, -p, 1//2 + p, -((c*x)/b)))/((1 + (c*x)/b)^p*((1 - 2*p)*(d*x)^(3//2)))), x, 3),
+((b*x + c*x^2)^p/(d*x)^(5//2), -((2*x*(b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2) + p, -p, -(1//2) + p, -((c*x)/b)))/((1 + (c*x)/b)^p*((3 - 2*p)*(d*x)^(5//2)))), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x+c x^2)^p when b^2-4 a c=0
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (a*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (b*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*(a + b*x)), x, 3),
+(x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (a*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*(a + b*x)) + (b*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)), x, 3),
+(x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (a*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (b*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*(a + b*x)), x, 3),
+(x^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -(a*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*b^2) + (a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/(3*b^2), x, 2),
+(x^0*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*b), x, 1),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/x^1, (b*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/x^2, -((a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x))) + (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/x^3, -((a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*a*x^2), x, 2),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/x^4, -(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^3*(a + b*x)) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^2*(a + b*x)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/x^5, -(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^4*(a + b*x)) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^3*(a + b*x)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/x^6, -(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^5*(a + b*x)) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^4*(a + b*x)), x, 3),
+
+
+(x^5*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (a^3*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*(a + b*x)) + (3*a^2*b*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (3*a*b^2*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*(a + b*x)) + (b^3*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)), x, 3),
+(x^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (a^3*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (a^2*b*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(a + b*x)) + (3*a*b^2*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (b^3*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*(a + b*x)), x, 3),
+(x^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (a^3*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*(a + b*x)) + (3*a^2*b*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (a*b^2*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(a + b*x)) + (b^3*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)), x, 3),
+# {x^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2), x, 2, (a^2*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2))/(4*b^3) - (2*a*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5/2))/(5*b^3) + ((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5/2))/(6*b^3), (a^2*(a + b*x)^3*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/(4*b^3) - (2*a*(a + b*x)^4*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/(5*b^3) + ((a + b*x)^5*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/(6*b^3)}
+(x^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -(a*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(4*b^2) + (a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(5*b^2), x, 2),
+(x^0*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(4*b), x, 1),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/x^1, (3*a^2*b*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (3*a*b^2*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(a + b*x)) + (b^3*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/x^2, -((a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x))) + (3*a*b^2*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (b^3*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(a + b*x)) + (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/x^3, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^2*(a + b*x)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x)) + (b^3*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/x^4, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^3*(a + b*x)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^2*(a + b*x)) - (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x)) + (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/x^5, -((a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*a*x^4), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/x^6, -((a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*a*x^5) + (b*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(20*a^2*x^4), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/x^7, -((a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*x^6*(a + b*x))) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^5*(a + b*x)) - (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^4*(a + b*x)) - (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^3*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/x^8, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*x^7*(a + b*x)) - (a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^6*(a + b*x)) - (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^5*(a + b*x)) - (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^4*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/x^9, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*x^8*(a + b*x)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*x^7*(a + b*x)) - (a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^6*(a + b*x)) - (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^5*(a + b*x)), x, 3),
+
+
+(x^5*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (a^5*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*(a + b*x)) + (5*a^4*b*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (5*a^3*b^2*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*(a + b*x)) + (10*a^2*b^3*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)) + (a*b^4*x^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(a + b*x)) + (b^5*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*(a + b*x)), x, 3),
+(x^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (a^4*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^5) - (4*a^3*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^5) + (3*a^2*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*b^5) - (4*a*(a + b*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*b^5) + ((a + b*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*b^5), x, 2),
+(x^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -(a^3*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^4) + (3*a^2*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^4) - (3*a*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*b^4) + ((a + b*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*b^4), x, 3),
+(x^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (a^2*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^3) - (2*a*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^3) + ((a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*b^3), x, 3),
+(x^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -(a*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(6*b^2) + (a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(7//2)/(7*b^2), x, 2),
+(x^0*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(6*b), x, 1),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/x^1, (5*a^4*b*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (5*a^3*b^2*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (10*a^2*b^3*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (5*a*b^4*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*(a + b*x)) + (b^5*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/x^2, -((a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x))) + (10*a^3*b^2*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (5*a^2*b^3*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (5*a*b^4*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (b^5*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*(a + b*x)) + (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/x^3, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^2*(a + b*x)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x)) + (10*a^2*b^3*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (5*a*b^4*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(a + b*x)) + (b^5*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/x^4, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^3*(a + b*x)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^2*(a + b*x)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x)) + (5*a*b^4*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (b^5*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(a + b*x)) + (10*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/x^5, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^4*(a + b*x)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^3*(a + b*x)) - (5*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x^2*(a + b*x)) - (10*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x)) + (b^5*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/x^6, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^5*(a + b*x)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^4*(a + b*x)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^3*(a + b*x)) - (5*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x^2*(a + b*x)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x)) + (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/x^7, -((a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*a*x^6), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/x^8, -((a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*a*x^7) + (b*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(42*a^2*x^6), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/x^9, -((a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*a*x^8) + (b*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(28*a^2*x^7) - (b^2*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(168*a^3*x^6), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/x^10, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*x^9*(a + b*x)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*x^8*(a + b*x)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*x^7*(a + b*x)) - (5*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^6*(a + b*x)) - (a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x^5*(a + b*x)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^4*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/x^11, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*x^10*(a + b*x)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*x^9*(a + b*x)) - (5*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^8*(a + b*x)) - (10*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*x^7*(a + b*x)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*x^6*(a + b*x)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^5*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/x^12, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*x^11*(a + b*x)) - (a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^10*(a + b*x)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*x^9*(a + b*x)) - (5*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^8*(a + b*x)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*x^7*(a + b*x)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*x^6*(a + b*x)), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -((a^3*x*(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) + (a^2*x^2*(a + b*x))/(2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (a*x^3*(a + b*x))/(3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (x^4*(a + b*x))/(4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (a^4*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^3/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (a^2*x*(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (a*x^2*(a + b*x))/(2*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (x^3*(a + b*x))/(3*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (a^3*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^2/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -((a*x*(a + b*x))/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) + (x^2*(a + b*x))/(2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (a^2*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^1/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/b^2 - (a*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^0/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((a + b*x)*log(a + b*x))/(b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 2),
+(1/(x^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), ((a + b*x)*log(x))/(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((a + b*x)*log(a + b*x))/(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+(1/(x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -((a + b*x)/(a*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (b*(a + b*x)*log(x))/(a^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b*(a + b*x)*log(a + b*x))/(a^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(1/(x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(a + b*x)/(2*a*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b*(a + b*x))/(a^2*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b^2*(a + b*x)*log(x))/(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b^2*(a + b*x)*log(a + b*x))/(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(1/(x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(a + b*x)/(3*a*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b*(a + b*x))/(2*a^2*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b^2*(a + b*x))/(a^3*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b^3*(a + b*x)*log(x))/(a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b^3*(a + b*x)*log(a + b*x))/(a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+
+
+(x^4/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (4*a^3)/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - a^4/(2*b^5*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*a*x*(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (x^2*(a + b*x))/(2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (6*a^2*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^3/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (-3*a^2)/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + a^3/(2*b^4*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (x*(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*a*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^2/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (2*a)/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - a^2/(2*b^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((a + b*x)*log(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^1/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -(1/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) + a/(2*b^2*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 2),
+(x^0/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -1/(2*b*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 1),
+(1/(x^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), 1/(a^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + 1/(2*a*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((a + b*x)*log(x))/(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((a + b*x)*log(a + b*x))/(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(1/(x^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), (-2*b)/(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - b/(2*a^2*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (a + b*x)/(a^3*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*b*(a + b*x)*log(x))/(a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*b*(a + b*x)*log(a + b*x))/(a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(1/(x^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), (3*b^2)/(a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + b^2/(2*a^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (a + b*x)/(2*a^3*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*b*(a + b*x))/(a^4*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (6*b^2*(a + b*x)*log(x))/(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (6*b^2*(a + b*x)*log(a + b*x))/(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+
+
+(x^6/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (20*a^3)/(b^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - a^6/(4*b^7*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*a^5)/(b^7*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (15*a^4)/(2*b^7*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*a*x*(a + b*x))/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (x^2*(a + b*x))/(2*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (15*a^2*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^5/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (-10*a^2)/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + a^5/(4*b^6*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*a^4)/(3*b^6*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*a^3)/(b^6*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (x*(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*a*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^4/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (4*a)/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - a^4/(4*b^5*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (4*a^3)/(3*b^5*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*a^2)/(b^5*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((a + b*x)*log(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^3/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), x^4/(4*a*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 2),
+(x^2/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -a^2/(4*b^3*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*a)/(3*b^3*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - 1/(2*b^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^1/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -1/(3*b^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)) + a/(4*b^2*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), x, 2),
+(x^0/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -1/(4*b*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), x, 1),
+(1/(x^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), 1/(a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + 1/(4*a*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + 1/(3*a^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + 1/(2*a^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((a + b*x)*log(x))/(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((a + b*x)*log(a + b*x))/(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(1/(x^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (-4*b)/(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - b/(4*a^2*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*b)/(3*a^3*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*b)/(2*a^4*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (a + b*x)/(a^5*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*b*(a + b*x)*log(x))/(a^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*b*(a + b*x)*log(a + b*x))/(a^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(1/(x^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (10*b^2)/(a^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + b^2/(4*a^3*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + b^2/(a^4*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*b^2)/(a^5*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (a + b*x)/(2*a^5*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*b*(a + b*x))/(a^6*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (15*b^2*(a + b*x)*log(x))/(a^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (15*b^2*(a + b*x)*log(a + b*x))/(a^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+
+
+(x*(9 + 12*x + 4*x^2)^(5//2), -((3 + 2*x)*(9 + 12*x + 4*x^2)^(5//2))/8 + (9 + 12*x + 4*x^2)^(7//2)/28, x, 2),
+(x*(9 + 12*x + 4*x^2)^(3//2), (-3*(3 + 2*x)*(9 + 12*x + 4*x^2)^(3//2))/16 + (9 + 12*x + 4*x^2)^(5//2)/20, x, 2),
+(x*(9 + 12*x + 4*x^2)^(1//2), (-3*(3 + 2*x)*sqrt(9 + 12*x + 4*x^2))/8 + (9 + 12*x + 4*x^2)^(3//2)/12, x, 2),
+(x/(9 + 12*x + 4*x^2)^(1//2), sqrt(9 + 12*x + 4*x^2)/4 - (3*(3 + 2*x)*log(3 + 2*x))/(4*sqrt(9 + 12*x + 4*x^2)), x, 3),
+(x/(9 + 12*x + 4*x^2)^(3//2), -1/(4*sqrt(9 + 12*x + 4*x^2)) + 3/(8*(3 + 2*x)*sqrt(9 + 12*x + 4*x^2)), x, 2),
+(x/(9 + 12*x + 4*x^2)^(5//2), -1/(12*(9 + 12*x + 4*x^2)^(3//2)) + 3/(16*(3 + 2*x)*(9 + 12*x + 4*x^2)^(3//2)), x, 2),
+(x/(9 + 12*x + 4*x^2)^(7//2), -1/(20*(9 + 12*x + 4*x^2)^(5//2)) + 1/(8*(3 + 2*x)*(9 + 12*x + 4*x^2)^(5//2)), x, 2),
+
+
+(x/sqrt(4 + 12*x + 9*x^2), (1//9)*sqrt(4 + 12*x + 9*x^2) - (2*(2 + 3*x)*log(2 + 3*x))/(9*sqrt(4 + 12*x + 9*x^2)), x, 3),
+(x/sqrt(4 - 12*x + 9*x^2), (1//9)*sqrt(4 - 12*x + 9*x^2) - (2*(2 - 3*x)*log(2 - 3*x))/(9*sqrt(4 - 12*x + 9*x^2)), x, 3),
+(x/sqrt(-4 + 12*x - 9*x^2), (-(1//9))*sqrt(-4 + 12*x - 9*x^2) - (2*(2 - 3*x)*log(2 - 3*x))/(9*sqrt(-4 + 12*x - 9*x^2)), x, 3),
+(x/sqrt(-4 - 12*x - 9*x^2), (-(1//9))*sqrt(-4 - 12*x - 9*x^2) - (2*(2 + 3*x)*log(2 + 3*x))/(9*sqrt(-4 - 12*x - 9*x^2)), x, 3),
+
+
+# ::Section::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x+c x^2)^p
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+# ::Title::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p when a=0
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (b d+2 c d x)^m (b x+c x^2)^p
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+((1 + x)/(2*x + x^2), (1//2)*log(2*x + x^2), x, 1),
+((a + 2*b*x)/(a*x + b*x^2), log(a*x + b*x^2), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (b x+c x^2)^p
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+
+((d + e*x)^4*(b*x + c*x^2), (d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^3) - ((2*c*d - b*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^3) + (c*(d + e*x)^7)/(7*e^3), x, 2),
+((d + e*x)^3*(b*x + c*x^2), (d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^4)/(4*e^3) - ((2*c*d - b*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^3) + (c*(d + e*x)^6)/(6*e^3), x, 2),
+((d + e*x)^2*(b*x + c*x^2), (1//2)*b*d^2*x^2 + (1//3)*d*(c*d + 2*b*e)*x^3 + (1//4)*e*(2*c*d + b*e)*x^4 + (1//5)*c*e^2*x^5, x, 2),
+((d + e*x)^1*(b*x + c*x^2), (b*d*x^2)/2 + ((c*d + b*e)*x^3)/3 + (c*e*x^4)/4, x, 2),
+((d + e*x)^0*(b*x + c*x^2), (b*x^2)/2 + (c*x^3)/3, x, 1),
+
+((b*x + c*x^2)/(d + e*x)^1, -(((c*d - b*e)*x)/e^2) + (c*x^2)/(2*e) + (d*(c*d - b*e)*log(d + e*x))/e^3, x, 2),
+((b*x + c*x^2)/(d + e*x)^2, (c*x)/e^2 - (d*(c*d - b*e))/(e^3*(d + e*x)) - ((2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/e^3, x, 2),
+((b*x + c*x^2)/(d + e*x)^3, -(d*(c*d - b*e))/(2*e^3*(d + e*x)^2) + (2*c*d - b*e)/(e^3*(d + e*x)) + (c*log(d + e*x))/e^3, x, 2),
+
+((b*x + c*x^2)/(d + e*x)^4, -(d*(c*d - b*e))/(3*e^3*(d + e*x)^3) + (2*c*d - b*e)/(2*e^3*(d + e*x)^2) - c/(e^3*(d + e*x)), x, 2),
+((b*x + c*x^2)/(d + e*x)^5, -(d*(c*d - b*e))/(4*e^3*(d + e*x)^4) + (2*c*d - b*e)/(3*e^3*(d + e*x)^3) - c/(2*e^3*(d + e*x)^2), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^4*(b*x + c*x^2)^2, (d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^5)/(5*e^5) - (d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^6)/(3*e^5) + ((6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^7)/(7*e^5) - (c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^8)/(4*e^5) + (c^2*(d + e*x)^9)/(9*e^5), x, 2),
+((d + e*x)^3*(b*x + c*x^2)^2, (1//3)*b^2*d^3*x^3 + (1//4)*b*d^2*(2*c*d + 3*b*e)*x^4 + (1//5)*d*(c^2*d^2 + 6*b*c*d*e + 3*b^2*e^2)*x^5 + (1//6)*e*(3*c^2*d^2 + 6*b*c*d*e + b^2*e^2)*x^6 + (1//7)*c*e^2*(3*c*d + 2*b*e)*x^7 + (1//8)*c^2*e^3*x^8, x, 2),
+((d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^2, (b^2*d^2*x^3)/3 + (b*d*(c*d + b*e)*x^4)/2 + ((c^2*d^2 + 4*b*c*d*e + b^2*e^2)*x^5)/5 + (c*e*(c*d + b*e)*x^6)/3 + (c^2*e^2*x^7)/7, x, 2),
+((d + e*x)^1*(b*x + c*x^2)^2, (b^2*d*x^3)/3 + (b*(2*c*d + b*e)*x^4)/4 + (c*(c*d + 2*b*e)*x^5)/5 + (c^2*e*x^6)/6, x, 2),
+((d + e*x)^0*(b*x + c*x^2)^2, (b^2*x^3)/3 + (b*c*x^4)/2 + (c^2*x^5)/5, x, 2),
+
+((b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^1, -((d*(c*d - b*e)^2*x)/e^4) + ((c*d - b*e)^2*x^2)/(2*e^3) - (c*(c*d - 2*b*e)*x^3)/(3*e^2) + (c^2*x^4)/(4*e) + (d^2*(c*d - b*e)^2*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+((b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^2, ((c*d - b*e)*(3*c*d - b*e)*x)/e^4 - (c*(c*d - b*e)*x^2)/e^3 + (c^2*x^3)/(3*e^2) - (d^2*(c*d - b*e)^2)/(e^5*(d + e*x)) - (2*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+((b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^3, -((c*(3*c*d - 2*b*e)*x)/e^4) + (c^2*x^2)/(2*e^3) - (d^2*(c*d - b*e)^2)/(2*e^5*(d + e*x)^2) + (2*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e))/(e^5*(d + e*x)) + ((6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2)*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+((b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^4, (c^2*x)/e^4 - (d^2*(c*d - b*e)^2)/(3*e^5*(d + e*x)^3) + (d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e))/(e^5*(d + e*x)^2) - (6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2)/(e^5*(d + e*x)) - (2*c*(2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+((b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^5, -((d^2*(c*d - b*e)^2)/(4*e^5*(d + e*x)^4)) + (2*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e))/(3*e^5*(d + e*x)^3) - (6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2)/(2*e^5*(d + e*x)^2) + (2*c*(2*c*d - b*e))/(e^5*(d + e*x)) + (c^2*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+
+((b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^6, -((d^2*(c*d - b*e)^2)/(5*e^5*(d + e*x)^5)) + (d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e))/(2*e^5*(d + e*x)^4) - (6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2)/(3*e^5*(d + e*x)^3) + (c*(2*c*d - b*e))/(e^5*(d + e*x)^2) - c^2/(e^5*(d + e*x)), x, 2),
+((b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^7, -((d^2*(c*d - b*e)^2)/(6*e^5*(d + e*x)^6)) + (2*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e))/(5*e^5*(d + e*x)^5) - (6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2)/(4*e^5*(d + e*x)^4) + (2*c*(2*c*d - b*e))/(3*e^5*(d + e*x)^3) - c^2/(2*e^5*(d + e*x)^2), x, 2),
+((b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^8, -((d^2*(c*d - b*e)^2)/(7*e^5*(d + e*x)^7)) + (d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e))/(3*e^5*(d + e*x)^6) - (6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2)/(5*e^5*(d + e*x)^5) + (c*(2*c*d - b*e))/(2*e^5*(d + e*x)^4) - c^2/(3*e^5*(d + e*x)^3), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^4*(b*x + c*x^2)^3, (1//4)*b^3*d^4*x^4 + (1//5)*b^2*d^3*(3*c*d + 4*b*e)*x^5 + (1//2)*b*d^2*(c^2*d^2 + 4*b*c*d*e + 2*b^2*e^2)*x^6 + (1//7)*d*(c^3*d^3 + 12*b*c^2*d^2*e + 18*b^2*c*d*e^2 + 4*b^3*e^3)*x^7 + (1//8)*e*(4*c^3*d^3 + 18*b*c^2*d^2*e + 12*b^2*c*d*e^2 + b^3*e^3)*x^8 + (1//3)*c*e^2*(2*c^2*d^2 + 4*b*c*d*e + b^2*e^2)*x^9 + (1//10)*c^2*e^3*(4*c*d + 3*b*e)*x^10 + (1//11)*c^3*e^4*x^11, x, 2),
+((d + e*x)^3*(b*x + c*x^2)^3, (1//4)*b^3*d^3*x^4 + (3//5)*b^2*d^2*(c*d + b*e)*x^5 + (1//2)*b*d*(c^2*d^2 + 3*b*c*d*e + b^2*e^2)*x^6 + (1//7)*(c*d + b*e)*(c^2*d^2 + 8*b*c*d*e + b^2*e^2)*x^7 + (3//8)*c*e*(c^2*d^2 + 3*b*c*d*e + b^2*e^2)*x^8 + (1//3)*c^2*e^2*(c*d + b*e)*x^9 + (1//10)*c^3*e^3*x^10, x, 2),
+((d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^3, (b^3*d^2*x^4)/4 + (b^2*d*(3*c*d + 2*b*e)*x^5)/5 + (b*(3*c^2*d^2 + 6*b*c*d*e + b^2*e^2)*x^6)/6 + (c*(c^2*d^2 + 6*b*c*d*e + 3*b^2*e^2)*x^7)/7 + (c^2*e*(2*c*d + 3*b*e)*x^8)/8 + (c^3*e^2*x^9)/9, x, 2),
+((d + e*x)^1*(b*x + c*x^2)^3, (b^3*d*x^4)/4 + (b^2*(3*c*d + b*e)*x^5)/5 + (b*c*(c*d + b*e)*x^6)/2 + (c^2*(c*d + 3*b*e)*x^7)/7 + (c^3*e*x^8)/8, x, 2),
+((d + e*x)^0*(b*x + c*x^2)^3, (b^3*x^4)/4 + (3*b^2*c*x^5)/5 + (b*c^2*x^6)/2 + (c^3*x^7)/7, x, 2),
+
+((b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^1, -((d^2*(c*d - b*e)^3*x)/e^6) + (d*(c*d - b*e)^3*x^2)/(2*e^5) - ((c*d - b*e)^3*x^3)/(3*e^4) + (c*(c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + 3*b^2*e^2)*x^4)/(4*e^3) - (c^2*(c*d - 3*b*e)*x^5)/(5*e^2) + (c^3*x^6)/(6*e) + (d^3*(c*d - b*e)^3*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^2, (d*(5*c*d - 2*b*e)*(c*d - b*e)^2*x)/e^6 - ((c*d - b*e)^2*(4*c*d - b*e)*x^2)/(2*e^5) + (c*(c*d - b*e)^2*x^3)/e^4 - (c^2*(2*c*d - 3*b*e)*x^4)/(4*e^3) + (c^3*x^5)/(5*e^2) - (d^3*(c*d - b*e)^3)/(e^7*(d + e*x)) - (3*d^2*(c*d - b*e)^2*(2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^3, -(((c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2)*x)/e^6) + (3*c*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*x^2)/(2*e^5) - (c^2*(c*d - b*e)*x^3)/e^4 + (c^3*x^4)/(4*e^3) - (d^3*(c*d - b*e)^3)/(2*e^7*(d + e*x)^2) + (3*d^2*(c*d - b*e)^2*(2*c*d - b*e))/(e^7*(d + e*x)) + (3*d*(c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^4, (c*(10*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2)*x)/e^6 - (c^2*(4*c*d - 3*b*e)*x^2)/(2*e^5) + (c^3*x^3)/(3*e^4) - (d^3*(c*d - b*e)^3)/(3*e^7*(d + e*x)^3) + (3*d^2*(c*d - b*e)^2*(2*c*d - b*e))/(2*e^7*(d + e*x)^2) - (3*d*(c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2))/(e^7*(d + e*x)) - ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2)*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^5, -((c^2*(5*c*d - 3*b*e)*x)/e^6) + (c^3*x^2)/(2*e^5) - (d^3*(c*d - b*e)^3)/(4*e^7*(d + e*x)^4) + (d^2*(c*d - b*e)^2*(2*c*d - b*e))/(e^7*(d + e*x)^3) - (3*d*(c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2))/(2*e^7*(d + e*x)^2) + ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2))/(e^7*(d + e*x)) + (3*c*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^6, (c^3*x)/e^6 - (d^3*(c*d - b*e)^3)/(5*e^7*(d + e*x)^5) + (3*d^2*(c*d - b*e)^2*(2*c*d - b*e))/(4*e^7*(d + e*x)^4) - (d*(c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2))/(e^7*(d + e*x)^3) + ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2))/(2*e^7*(d + e*x)^2) - (3*c*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2))/(e^7*(d + e*x)) - (3*c^2*(2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^7, -((d^3*(c*d - b*e)^3)/(6*e^7*(d + e*x)^6)) + (3*d^2*(c*d - b*e)^2*(2*c*d - b*e))/(5*e^7*(d + e*x)^5) - (3*d*(c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2))/(4*e^7*(d + e*x)^4) + ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2))/(3*e^7*(d + e*x)^3) - (3*c*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2))/(2*e^7*(d + e*x)^2) + (3*c^2*(2*c*d - b*e))/(e^7*(d + e*x)) + (c^3*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+
+((b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^8, -((d^3*(c*d - b*e)^3)/(7*e^7*(d + e*x)^7)) + (d^2*(c*d - b*e)^2*(2*c*d - b*e))/(2*e^7*(d + e*x)^6) - (3*d*(c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2))/(5*e^7*(d + e*x)^5) + ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2))/(4*e^7*(d + e*x)^4) - (c*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2))/(e^7*(d + e*x)^3) + (3*c^2*(2*c*d - b*e))/(2*e^7*(d + e*x)^2) - c^3/(e^7*(d + e*x)), x, 2),
+((b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^9, -((d^3*(c*d - b*e)^3)/(8*e^7*(d + e*x)^8)) + (3*d^2*(c*d - b*e)^2*(2*c*d - b*e))/(7*e^7*(d + e*x)^7) - (d*(c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2))/(2*e^7*(d + e*x)^6) + ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2))/(5*e^7*(d + e*x)^5) - (3*c*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2))/(4*e^7*(d + e*x)^4) + (c^2*(2*c*d - b*e))/(e^7*(d + e*x)^3) - c^3/(2*e^7*(d + e*x)^2), x, 2),
+((b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^10, -((d^3*(c*d - b*e)^3)/(9*e^7*(d + e*x)^9)) + (3*d^2*(c*d - b*e)^2*(2*c*d - b*e))/(8*e^7*(d + e*x)^8) - (3*d*(c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2))/(7*e^7*(d + e*x)^7) + ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2))/(6*e^7*(d + e*x)^6) - (3*c*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2))/(5*e^7*(d + e*x)^5) + (3*c^2*(2*c*d - b*e))/(4*e^7*(d + e*x)^4) - c^3/(3*e^7*(d + e*x)^3), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^4/(b*x + c*x^2), (e^2*(6*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e + b^2*e^2)*x)/c^3 + (e^3*(4*c*d - b*e)*x^2)/(2*c^2) + (e^4*x^3)/(3*c) + (d^4*log(x))/b - ((c*d - b*e)^4*log(b + c*x))/(b*c^4), x, 2),
+((d + e*x)^3/(b*x + c*x^2), (e^2*(3*c*d - b*e)*x)/c^2 + (e^3*x^2)/(2*c) + (d^3*log(x))/b - ((c*d - b*e)^3*log(b + c*x))/(b*c^3), x, 2),
+((d + e*x)^2/(b*x + c*x^2), (e^2*x)/c + (d^2*log(x))/b - ((c*d - b*e)^2*log(b + c*x))/(b*c^2), x, 2),
+((d + e*x)^1/(b*x + c*x^2), (d*log(x))/b - ((c*d - b*e)*log(b + c*x))/(b*c), x, 2),
+((d + e*x)^0/(b*x + c*x^2), log(x)/b - log(b + c*x)/b, x, 1),
+(1/((d + e*x)^1*(b*x + c*x^2)), log(x)/(b*d) - (c*log(b + c*x))/(b*(c*d - b*e)) + (e*log(d + e*x))/(d*(c*d - b*e)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)), -(e/(d*(c*d - b*e)*(d + e*x))) + log(x)/(b*d^2) - (c^2*log(b + c*x))/(b*(c*d - b*e)^2) + (e*(2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/(d^2*(c*d - b*e)^2), x, 2),
+(1/((d + e*x)^3*(b*x + c*x^2)), -e/(2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^2) - (e*(2*c*d - b*e))/(d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)) + log(x)/(b*d^3) - (c^3*log(b + c*x))/(b*(c*d - b*e)^3) + (e*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + b^2*e^2)*log(d + e*x))/(d^3*(c*d - b*e)^3), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^5/(b*x + c*x^2)^2, -(d^5/(b^2*x)) + (e^4*(5*c*d - 2*b*e)*x)/c^3 + (e^5*x^2)/(2*c^2) - (c*d - b*e)^5/(b^2*c^4*(b + c*x)) - (d^4*(2*c*d - 5*b*e)*log(x))/b^3 + ((c*d - b*e)^4*(2*c*d + 3*b*e)*log(b + c*x))/(b^3*c^4), x, 2),
+((d + e*x)^4/(b*x + c*x^2)^2, -(d^4/(b^2*x)) + (e^4*x)/c^2 - (c*d - b*e)^4/(b^2*c^3*(b + c*x)) - (2*d^3*(c*d - 2*b*e)*log(x))/b^3 + (2*(c*d - b*e)^3*(c*d + b*e)*log(b + c*x))/(b^3*c^3), x, 2),
+((d + e*x)^3/(b*x + c*x^2)^2, -(d^3/(b^2*x)) - (c*d - b*e)^3/(b^2*c^2*(b + c*x)) - (d^2*(2*c*d - 3*b*e)*log(x))/b^3 + ((c*d - b*e)^2*(2*c*d + b*e)*log(b + c*x))/(b^3*c^2), x, 2),
+((d + e*x)^2/(b*x + c*x^2)^2, -(d^2/(b^2*x)) - (c*d - b*e)^2/(b^2*c*(b + c*x)) - (2*d*(c*d - b*e)*log(x))/b^3 + (2*d*(c*d - b*e)*log(b + c*x))/b^3, x, 2),
+((d + e*x)^1/(b*x + c*x^2)^2, -(d/(b^2*x)) - (c*d - b*e)/(b^2*(b + c*x)) - ((2*c*d - b*e)*log(x))/b^3 + ((2*c*d - b*e)*log(b + c*x))/b^3, x, 2),
+((d + e*x)^0/(b*x + c*x^2)^2, -((b + 2*c*x)/(b^2*(b*x + c*x^2))) - (2*c*log(x))/b^3 + (2*c*log(b + c*x))/b^3, x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*(b*x + c*x^2)^2), -(1/(b^2*d*x)) - c^2/(b^2*(c*d - b*e)*(b + c*x)) - ((2*c*d + b*e)*log(x))/(b^3*d^2) + (c^2*(2*c*d - 3*b*e)*log(b + c*x))/(b^3*(c*d - b*e)^2) + (e^3*log(d + e*x))/(d^2*(c*d - b*e)^2), x, 2),
+(1/((d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^2), -(1/(b^2*d^2*x)) - c^3/(b^2*(c*d - b*e)^2*(b + c*x)) - e^3/(d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)) - (2*(c*d + b*e)*log(x))/(b^3*d^3) + (2*c^3*(c*d - 2*b*e)*log(b + c*x))/(b^3*(c*d - b*e)^3) + (2*e^3*(2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/(d^3*(c*d - b*e)^3), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^7/(b*x + c*x^2)^3, -(d^7/(2*b^3*x^2)) + (d^6*(3*c*d - 7*b*e))/(b^4*x) + (e^6*(7*c*d - 3*b*e)*x)/c^4 + (e^7*x^2)/(2*c^3) + (c*d - b*e)^7/(2*b^3*c^5*(b + c*x)^2) + ((c*d - b*e)^6*(3*c*d + 4*b*e))/(b^4*c^5*(b + c*x)) + (3*d^5*(2*c^2*d^2 - 7*b*c*d*e + 7*b^2*e^2)*log(x))/b^5 - (3*(c*d - b*e)^5*(2*c^2*d^2 + 3*b*c*d*e + 2*b^2*e^2)*log(b + c*x))/(b^5*c^5), x, 2),
+((d + e*x)^6/(b*x + c*x^2)^3, -(d^6/(2*b^3*x^2)) + (3*d^5*(c*d - 2*b*e))/(b^4*x) + (e^6*x)/c^3 + (c*d - b*e)^6/(2*b^3*c^4*(b + c*x)^2) + (3*(c*d - b*e)^5*(c*d + b*e))/(b^4*c^4*(b + c*x)) + (3*d^4*(2*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + 5*b^2*e^2)*log(x))/b^5 - (3*(c*d - b*e)^4*(2*c^2*d^2 + 2*b*c*d*e + b^2*e^2)*log(b + c*x))/(b^5*c^4), x, 2),
+((d + e*x)^5/(b*x + c*x^2)^3, -(d^5/(2*b^3*x^2)) + (d^4*(3*c*d - 5*b*e))/(b^4*x) + (c*d - b*e)^5/(2*b^3*c^3*(b + c*x)^2) + ((c*d - b*e)^4*(3*c*d + 2*b*e))/(b^4*c^3*(b + c*x)) + (d^3*(6*c^2*d^2 - 15*b*c*d*e + 10*b^2*e^2)*log(x))/b^5 - ((c*d - b*e)^3*(6*c^2*d^2 + 3*b*c*d*e + b^2*e^2)*log(b + c*x))/(b^5*c^3), x, 2),
+((d + e*x)^4/(b*x + c*x^2)^3, -(d^4/(2*b^3*x^2)) + (d^3*(3*c*d - 4*b*e))/(b^4*x) + (c*d - b*e)^4/(2*b^3*c^2*(b + c*x)^2) + ((c*d - b*e)^3*(3*c*d + b*e))/(b^4*c^2*(b + c*x)) + (6*d^2*(c*d - b*e)^2*log(x))/b^5 - (6*d^2*(c*d - b*e)^2*log(b + c*x))/b^5, x, 2),
+((d + e*x)^3/(b*x + c*x^2)^3, -(d^3/(2*b^3*x^2)) + (3*d^2*(c*d - b*e))/(b^4*x) + (c*d - b*e)^3/(2*b^3*c*(b + c*x)^2) + (3*d*(c*d - b*e)^2)/(b^4*(b + c*x)) + (3*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*log(x))/b^5 - (3*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*log(b + c*x))/b^5, x, 2),
+((d + e*x)^2/(b*x + c*x^2)^3, -(d^2/(2*b^3*x^2)) + (d*(3*c*d - 2*b*e))/(b^4*x) + (c*d - b*e)^2/(2*b^3*(b + c*x)^2) + ((c*d - b*e)*(3*c*d - b*e))/(b^4*(b + c*x)) + ((6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2)*log(x))/b^5 - ((6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2)*log(b + c*x))/b^5, x, 2),
+((d + e*x)^1/(b*x + c*x^2)^3, -(d/(2*b^3*x^2)) + (3*c*d - b*e)/(b^4*x) + (c*(c*d - b*e))/(2*b^3*(b + c*x)^2) + (c*(3*c*d - 2*b*e))/(b^4*(b + c*x)) + (3*c*(2*c*d - b*e)*log(x))/b^5 - (3*c*(2*c*d - b*e)*log(b + c*x))/b^5, x, 2),
+((d + e*x)^0/(b*x + c*x^2)^3, -((b + 2*c*x)/(2*b^2*(b*x + c*x^2)^2)) + (3*c*(b + 2*c*x))/(b^4*(b*x + c*x^2)) + (6*c^2*log(x))/b^5 - (6*c^2*log(b + c*x))/b^5, x, 3),
+(1/((d + e*x)^1*(b*x + c*x^2)^3), -(1/(2*b^3*d*x^2)) + (3*c*d + b*e)/(b^4*d^2*x) + c^3/(2*b^3*(c*d - b*e)*(b + c*x)^2) + (c^3*(3*c*d - 4*b*e))/(b^4*(c*d - b*e)^2*(b + c*x)) + ((6*c^2*d^2 + 3*b*c*d*e + b^2*e^2)*log(x))/(b^5*d^3) - (c^3*(6*c^2*d^2 - 15*b*c*d*e + 10*b^2*e^2)*log(b + c*x))/(b^5*(c*d - b*e)^3) + (e^5*log(d + e*x))/(d^3*(c*d - b*e)^3), x, 2),
+(1/((d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^3), -(1/(2*b^3*d^2*x^2)) + (3*c*d + 2*b*e)/(b^4*d^3*x) + c^4/(2*b^3*(c*d - b*e)^2*(b + c*x)^2) + (c^4*(3*c*d - 5*b*e))/(b^4*(c*d - b*e)^3*(b + c*x)) - e^5/(d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)) + (3*(2*c^2*d^2 + 2*b*c*d*e + b^2*e^2)*log(x))/(b^5*d^4) - (3*c^4*(2*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + 5*b^2*e^2)*log(b + c*x))/(b^5*(c*d - b*e)^4) + (3*e^5*(2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/(d^4*(c*d - b*e)^4), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^3*(b*x + c*x^2)^(1//2), ((2*c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + 7*b^2*e^2)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(128*c^4) + (e*(d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*c) + (e*(192*c^2*d^2 - 150*b*c*d*e + 35*b^2*e^2 + 42*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(240*c^3) - (b^2*(2*c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + 7*b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(128*c^(9//2)), x, 5),
+((d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^(1//2), ((16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + 5*b^2*e^2)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*c^3) + (5*e*(2*c*d - b*e)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*c^2) + (e*(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(4*c) - (b^2*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + 5*b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(64*c^(7//2)), x, 5),
+((d + e*x)^1*(b*x + c*x^2)^(1//2), ((2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*c^2) + (e*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*c) - (b^2*(2*c*d - b*e)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(8*c^(5//2)), x, 4),
+((d + e*x)^0*(b*x + c*x^2)^(1//2), ((b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*c) - (b^2*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(4*c^(3//2)), x, 3),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/(d + e*x)^1, sqrt(b*x + c*x^2)/e - ((2*c*d - b*e)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(sqrt(c)*e^2) + (sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/e^2, x, 6),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/(d + e*x)^2, -(sqrt(b*x + c*x^2)/(e*(d + e*x))) + (2*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/e^2 - ((2*c*d - b*e)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(d)*e^2*sqrt(c*d - b*e)), x, 6),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/(d + e*x)^3, ((b*d + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^2) - (b^2*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(8*d^(3//2)*(c*d - b*e)^(3//2)), x, 3),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/(d + e*x)^4, ((2*c*d - b*e)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^2) - (e*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^3) - (b^2*(2*c*d - b*e)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(16*d^(5//2)*(c*d - b*e)^(5//2)), x, 4),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/(d + e*x)^5, ((16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + 5*b^2*e^2)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)^2) - (e*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(4*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^4) - (5*e*(2*c*d - b*e)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^3) - (b^2*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + 5*b^2*e^2)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(128*d^(7//2)*(c*d - b*e)^(7//2)), x, 5),
+((b*x + c*x^2)^(1//2)/(d + e*x)^6, ((2*c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + 7*b^2*e^2)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(128*d^4*(c*d - b*e)^4*(d + e*x)^2) - (e*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^5) - (7*e*(2*c*d - b*e)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(40*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^4) - (e*(108*c^2*d^2 - 108*b*c*d*e + 35*b^2*e^2)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(240*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)^3) - (b^2*(2*c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + 7*b^2*e^2)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(256*d^(9//2)*(c*d - b*e)^(9//2)), x, 6),
+
+
+((d + e*x)^3*(b*x + c*x^2)^(3//2), -((3*b^2*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + 3*b^2*e^2)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(1024*c^5)) + ((2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + 3*b^2*e^2)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(128*c^4) + (e*(d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(7*c) + (e*(128*c^2*d^2 - 98*b*c*d*e + 21*b^2*e^2 + 30*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(280*c^3) + (3*b^4*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + 3*b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(1024*c^(11//2)), x, 6),
+((d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^(3//2), -((b^2*(24*c^2*d^2 - 24*b*c*d*e + 7*b^2*e^2)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(512*c^4)) + ((24*c^2*d^2 - 24*b*c*d*e + 7*b^2*e^2)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*c^3) + (7*e*(2*c*d - b*e)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(60*c^2) + (e*(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(6*c) + (b^4*(24*c^2*d^2 - 24*b*c*d*e + 7*b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(512*c^(9//2)), x, 6),
+((d + e*x)^1*(b*x + c*x^2)^(3//2), -((3*b^2*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(128*c^3)) + ((2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(16*c^2) + (e*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*c) + (3*b^4*(2*c*d - b*e)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(128*c^(7//2)), x, 5),
+((d + e*x)^0*(b*x + c*x^2)^(3//2), -((3*b^2*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*c^2)) + ((b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(8*c) + (3*b^4*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(64*c^(5//2)), x, 4),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^1, ((8*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2 - 2*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*c*e^3) + (b*x + c*x^2)^(3//2)/(3*e) - ((2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e - b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(8*c^(3//2)*e^4) + (d^(3//2)*(c*d - b*e)^(3//2)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/e^4, x, 7),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^2, -((3*(4*c*d - 3*b*e - 2*c*e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*e^3)) - (b*x + c*x^2)^(3//2)/(e*(d + e*x)) + (3*(8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(4*sqrt(c)*e^4) - (3*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(2*e^4), x, 7),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^3, (3*(4*c*d - b*e + 2*c*e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*e^3*(d + e*x)) - (b*x + c*x^2)^(3//2)/(2*e*(d + e*x)^2) - (3*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/e^4 + (3*(8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(d)*e^4*sqrt(c*d - b*e)), x, 7),
+
+
+((d + e*x)^3*(b*x + c*x^2)^(5//2), (5*b^4*(2*c*d - b*e)*(32*c^2*d^2 - 32*b*c*d*e + 11*b^2*e^2)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(32768*c^6) - (5*b^2*(2*c*d - b*e)*(32*c^2*d^2 - 32*b*c*d*e + 11*b^2*e^2)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(12288*c^5) + ((2*c*d - b*e)*(32*c^2*d^2 - 32*b*c*d*e + 11*b^2*e^2)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(768*c^4) + (e*(d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(9*c) + (e*(640*c^2*d^2 - 486*b*c*d*e + 99*b^2*e^2 + 154*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(2016*c^3) - (5*b^6*(2*c*d - b*e)*(32*c^2*d^2 - 32*b*c*d*e + 11*b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(32768*c^(13//2)), x, 7),
+((d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^(5//2), (5*b^4*(32*c^2*d^2 - 32*b*c*d*e + 9*b^2*e^2)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(16384*c^5) - (5*b^2*(32*c^2*d^2 - 32*b*c*d*e + 9*b^2*e^2)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(6144*c^4) + ((32*c^2*d^2 - 32*b*c*d*e + 9*b^2*e^2)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(384*c^3) + (9*e*(2*c*d - b*e)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(112*c^2) + (e*(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(8*c) - (5*b^6*(32*c^2*d^2 - 32*b*c*d*e + 9*b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(16384*c^(11//2)), x, 7),
+((d + e*x)^1*(b*x + c*x^2)^(5//2), (5*b^4*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(1024*c^4) - (5*b^2*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(384*c^3) + ((2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(24*c^2) + (e*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(7*c) - (5*b^6*(2*c*d - b*e)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(1024*c^(9//2)), x, 6),
+((d + e*x)^0*(b*x + c*x^2)^(5//2), (5*b^4*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(512*c^3) - (5*b^2*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*c^2) + ((b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(12*c) - (5*b^6*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(512*c^(7//2)), x, 5),
+((b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^1, ((128*c^4*d^4 - 288*b*c^3*d^3*e + 176*b^2*c^2*d^2*e^2 - 10*b^3*c*d*e^3 - 3*b^4*e^4 - 2*c*e*(2*c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e - 3*b^2*e^2)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(128*c^2*e^5) + ((16*c^2*d^2 - 22*b*c*d*e + 3*b^2*e^2 - 6*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(48*c*e^3) + (b*x + c*x^2)^(5//2)/(5*e) - ((2*c*d - b*e)*(128*c^4*d^4 - 256*b*c^3*d^3*e + 112*b^2*c^2*d^2*e^2 + 16*b^3*c*d*e^3 + 3*b^4*e^4)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(128*c^(5//2)*e^6) + (d^(5//2)*(c*d - b*e)^(5//2)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/e^6, x, 8),
+((b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^2, (-5*(64*c^3*d^3 - 112*b*c^2*d^2*e + 48*b^2*c*d*e^2 - b^3*e^3 - 2*c*e*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + b^2*e^2)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*c*e^5) - (5*(8*c*d - 7*b*e - 6*c*e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*e^3) - (b*x + c*x^2)^(5//2)/(e*(d + e*x)) + (5*(128*c^4*d^4 - 256*b*c^3*d^3*e + 144*b^2*c^2*d^2*e^2 - 16*b^3*c*d*e^3 - b^4*e^4)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(64*c^(3//2)*e^6) - (5*d^(3//2)*(c*d - b*e)^(3//2)*(2*c*d - b*e)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(2*e^6), x, 8),
+((b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^3, (5*(16*c^2*d^2 - 20*b*c*d*e + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*e^5) + (5*(8*c*d - 3*b*e + 2*c*e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(12*e^3*(d + e*x)) - (b*x + c*x^2)^(5//2)/(2*e*(d + e*x)^2) - (5*(2*c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(8*sqrt(c)*e^6) + (5*sqrt(d)*(4*c*d - 3*b*e)*sqrt(c*d - b*e)*(4*c*d - b*e)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(8*e^6), x, 8),
+
+
+# Integrands of the form (d+e*x)^m*(b*x+c*x^2)^p where 2*c*d-b*e=0
+(sqrt(2*x + x^2)/(1 + x), sqrt(2*x + x^2) - atan(sqrt(2*x + x^2)), x, 3),
+
+((2*x - x^2)^(3//2)/(2 - 2*x), (-(1//2))*sqrt(2*x - x^2) - (1//6)*(2*x - x^2)^(3//2) + (1//2)*atanh(sqrt(2*x - x^2)), x, 4),
+((2*x - x^2)^(1//2)/(2 - 2*x), (-(1//2))*sqrt(2*x - x^2) + (1//2)*atanh(sqrt(2*x - x^2)), x, 3),
+(1/((2 - 2*x)*(2*x - x^2)^(1//2)), (1//2)*atanh(sqrt(2*x - x^2)), x, 2),
+(1/((2 - 2*x)*(2*x - x^2)^(3//2)), -(1/(2*sqrt(2*x - x^2))) + (1//2)*atanh(sqrt(2*x - x^2)), x, 3),
+(1/((2 - 2*x)*(2*x - x^2)^(5//2)), -(1/(6*(2*x - x^2)^(3//2))) - 1/(2*sqrt(2*x - x^2)) + (1//2)*atanh(sqrt(2*x - x^2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^3/(b*x + c*x^2)^(1//2), (e*(d + e*x)^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*c) + (e*(64*c^2*d^2 - 54*b*c*d*e + 15*b^2*e^2 + 10*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(24*c^3) + ((2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + 5*b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(8*c^(7//2)), x, 4),
+((d + e*x)^2/(b*x + c*x^2)^(1//2), (3*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*c^2) + (e*(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(2*c) + ((8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + 3*b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(4*c^(5//2)), x, 4),
+((d + e*x)^1/(b*x + c*x^2)^(1//2), (e*sqrt(b*x + c*x^2))/c + ((2*c*d - b*e)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/c^(3//2), x, 3),
+((d + e*x)^0/(b*x + c*x^2)^(1//2), (2*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/sqrt(c), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*(b*x + c*x^2)^(1//2)), atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2)))/(sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^(1//2)), -((e*sqrt(b*x + c*x^2))/(d*(c*d - b*e)*(d + e*x))) + ((2*c*d - b*e)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(2*d^(3//2)*(c*d - b*e)^(3//2)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^3*(b*x + c*x^2)^(1//2)), -((e*sqrt(b*x + c*x^2))/(2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^2)) - (3*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)) + ((8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + 3*b^2*e^2)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(8*d^(5//2)*(c*d - b*e)^(5//2)), x, 4),
+
+
+((d + e*x)^3/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x)^2*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(b^2*sqrt(b*x + c*x^2))) + (e*(8*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + 3*b^2*e^2 + 2*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(b^2*c^2) + (3*e^2*(2*c*d - b*e)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/c^(5//2), x, 4),
+((d + e*x)^2/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(b^2*sqrt(b*x + c*x^2))) + (2*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))/(b^2*c) + (2*e^2*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/c^(3//2), x, 4),
+((d + e*x)^1/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(b^2*sqrt(b*x + c*x^2))), x, 1),
+((d + e*x)^0/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(b + 2*c*x))/(b^2*sqrt(b*x + c*x^2))), x, 1),
+(1/((d + e*x)^1*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*(b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x))/(b^2*d*(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))) + (e^2*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(d^(3//2)*(c*d - b*e)^(3//2)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*(b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x))/(b^2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))) - (e*(4*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e + 3*b^2*e^2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(b^2*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)) + (3*e^2*(2*c*d - b*e)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(2*d^(5//2)*(c*d - b*e)^(5//2)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^3*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*(b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x))/(b^2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^2*sqrt(b*x + c*x^2))) - (e*(8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + 5*b^2*e^2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(2*b^2*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^2) - (e*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + 15*b^2*e^2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*b^2*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)) + (3*e^2*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + 5*b^2*e^2)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(8*d^(7//2)*(c*d - b*e)^(7//2)), x, 5),
+
+
+((d + e*x)^4/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^3*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(3*b^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (4*(d + e*x)*(b*c*d^2*(4*c*d - 5*b*e) + (2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e - b^2*e^2)*x))/(3*b^4*c*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*e*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e - 3*b^2*e^2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b^4*c^2) + (2*e^4*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/c^(5//2), x, 5),
+((d + e*x)^3/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^2*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(3*b^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (16*d*(c*d - b*e)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(3*b^4*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^2/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(b + 2*c*x)*(d + e*x)^2)/(3*b^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (8*(2*c*d - b*e)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(3*b^4*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^1/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(3*b^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (8*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x))/(3*b^4*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^0/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(b + 2*c*x))/(3*b^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (16*c*(b + 2*c*x))/(3*b^4*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*(b*x + c*x^2)^(5//2)), -((2*(b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x))/(3*b^2*d*(c*d - b*e)*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (2*(b*(c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e - 3*b^2*e^2) + c*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e - 3*b^2*e^2)*x))/(3*b^4*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(b*x + c*x^2)) + (e^4*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(d^(5//2)*(c*d - b*e)^(5//2)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^(5//2)), -((2*(b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x))/(3*b^2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (2*(b*(c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 2*b*c*d*e - 5*b^2*e^2) + c*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e - 5*b^2*e^2)*x))/(3*b^4*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (e*(32*c^4*d^4 - 64*b*c^3*d^3*e + 12*b^2*c^2*d^2*e^2 + 20*b^3*c*d*e^3 - 15*b^4*e^4)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b^4*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)) + (5*e^4*(2*c*d - b*e)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(2*d^(7//2)*(c*d - b*e)^(7//2)), x, 5),
+
+
+(1/((2 + x)*sqrt(2*x + x^2)), sqrt(2*x + x^2)/(2 + x), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^(7//2)*(b*x + c*x^2), (2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^3) - (2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^3) + (2*c*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^3), x, 2),
+((d + e*x)^(5//2)*(b*x + c*x^2), (2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^3) - (2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^3) + (2*c*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^3), x, 2),
+((d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2), (2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^3) - (2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^3) + (2*c*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^3), x, 2),
+((d + e*x)^(1//2)*(b*x + c*x^2), (2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^3) - (2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^3) + (2*c*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^3), x, 2),
+((b*x + c*x^2)/(d + e*x)^(1//2), (2*d*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))/e^3 - (2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^3) + (2*c*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^3), x, 2),
+((b*x + c*x^2)/(d + e*x)^(3//2), (-2*d*(c*d - b*e))/(e^3*sqrt(d + e*x)) - (2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))/e^3 + (2*c*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^3), x, 2),
+((b*x + c*x^2)/(d + e*x)^(5//2), (-2*d*(c*d - b*e))/(3*e^3*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(2*c*d - b*e))/(e^3*sqrt(d + e*x)) + (2*c*sqrt(d + e*x))/e^3, x, 2),
+((b*x + c*x^2)/(d + e*x)^(7//2), (-2*d*(c*d - b*e))/(5*e^3*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(2*c*d - b*e))/(3*e^3*(d + e*x)^(3//2)) - (2*c)/(e^3*sqrt(d + e*x)), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^(7//2)*(b*x + c*x^2)^2, (2*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5) - (4*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^5) + (2*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^5) - (4*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^5), x, 2),
+((d + e*x)^(5//2)*(b*x + c*x^2)^2, (2*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) - (4*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5) + (2*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^5) - (4*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^5), x, 2),
+((d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)^2, (2*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) - (4*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) + (2*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5) - (4*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^5), x, 2),
+((d + e*x)^(1//2)*(b*x + c*x^2)^2, (2*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5) - (4*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) + (2*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) - (4*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^5), x, 2),
+((b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^(1//2), (2*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x))/e^5 - (4*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5) + (2*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) - (4*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5), x, 2),
+((b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^(3//2), -((2*d^2*(c*d - b*e)^2)/(e^5*sqrt(d + e*x))) - (4*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))/e^5 + (2*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5) - (4*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5), x, 2),
+((b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^(5//2), -((2*d^2*(c*d - b*e)^2)/(3*e^5*(d + e*x)^(3//2))) + (4*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e))/(e^5*sqrt(d + e*x)) + (2*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^5 - (4*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5), x, 2),
+((b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^(7//2), -((2*d^2*(c*d - b*e)^2)/(5*e^5*(d + e*x)^(5//2))) + (4*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e))/(3*e^5*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2))/(e^5*sqrt(d + e*x)) - (4*c*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))/e^5 + (2*c^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^(7//2)*(b*x + c*x^2)^3, (2*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^7) - (6*d^2*(c*d - b*e)^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7) + (6*d*(c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^7) - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^7) + (6*c*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^7) - (6*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(19//2))/(19*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(21//2))/(21*e^7), x, 2),
+((d + e*x)^(5//2)*(b*x + c*x^2)^3, (2*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) - (2*d^2*(c*d - b*e)^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^7) + (6*d*(c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7) - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^7) + (2*c*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(15//2))/(5*e^7) - (6*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(19//2))/(19*e^7), x, 2),
+((d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)^3, (2*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) - (6*d^2*(c*d - b*e)^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) + (2*d*(c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^7) - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7) + (6*c*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^7) - (2*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(15//2))/(5*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^7), x, 2),
+((d + e*x)^(1//2)*(b*x + c*x^2)^3, (2*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^7) - (6*d^2*(c*d - b*e)^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) + (6*d*(c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^7) + (6*c*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7) - (6*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^7), x, 2),
+((b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^(1//2), (2*d^3*(c*d - b*e)^3*sqrt(d + e*x))/e^7 - (2*d^2*(c*d - b*e)^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2))/e^7 + (6*d*(c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) + (2*c*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^7) - (6*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^7), x, 2),
+((b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^(3//2), -((2*d^3*(c*d - b*e)^3)/(e^7*sqrt(d + e*x))) - (6*d^2*(c*d - b*e)^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))/e^7 + (2*d*(c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/e^7 - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) + (6*c*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) - (2*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7), x, 2),
+((b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^(5//2), -((2*d^3*(c*d - b*e)^3)/(3*e^7*(d + e*x)^(3//2))) + (6*d^2*(c*d - b*e)^2*(2*c*d - b*e))/(e^7*sqrt(d + e*x)) + (6*d*(c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^7 - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^7) + (6*c*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) - (6*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^7), x, 2),
+((b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^(7//2), -((2*d^3*(c*d - b*e)^3)/(5*e^7*(d + e*x)^(5//2))) + (2*d^2*(c*d - b*e)^2*(2*c*d - b*e))/(e^7*(d + e*x)^(3//2)) - (6*d*(c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2))/(e^7*sqrt(d + e*x)) - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^7 + (2*c*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/e^7 - (6*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^(7//2)/(b*x + c*x^2), (2*e*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + b^2*e^2)*sqrt(d + e*x))/c^3 + (2*e*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*c^2) + (2*e*(d + e*x)^(5//2))/(5*c) - (2*d^(7//2)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/b + (2*(c*d - b*e)^(7//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b*c^(7//2)), x, 7),
+((d + e*x)^(5//2)/(b*x + c*x^2), (2*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))/c^2 + (2*e*(d + e*x)^(3//2))/(3*c) - (2*d^(5//2)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/b + (2*(c*d - b*e)^(5//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b*c^(5//2)), x, 6),
+((d + e*x)^(3//2)/(b*x + c*x^2), (2*e*sqrt(d + e*x))/c - (2*d^(3//2)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/b + (2*(c*d - b*e)^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b*c^(3//2)), x, 5),
+((d + e*x)^(1//2)/(b*x + c*x^2), (-2*sqrt(d)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/b + (2*sqrt(c*d - b*e)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b*sqrt(c)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*(b*x + c*x^2)), (-2*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b*sqrt(d)) + (2*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b*sqrt(c*d - b*e)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)), (-2*e)/(d*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)) - (2*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b*d^(3//2)) + (2*c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b*(c*d - b*e)^(3//2)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(b*x + c*x^2)), (-2*e)/(3*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)) - (2*e*(2*c*d - b*e))/(d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)) - (2*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b*d^(5//2)) + (2*c^(5//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b*(c*d - b*e)^(5//2)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(7//2)*(b*x + c*x^2)), (-2*e)/(5*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*e*(2*c*d - b*e))/(3*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(3//2)) - (2*e*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + b^2*e^2))/(d^3*(c*d - b*e)^3*sqrt(d + e*x)) - (2*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b*d^(7//2)) + (2*c^(7//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b*(c*d - b*e)^(7//2)), x, 7),
+
+
+((d + e*x)^(9//2)/(b*x + c*x^2)^2, (e*(2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 - b*c*d*e + 5*b^2*e^2)*sqrt(d + e*x))/(b^2*c^3) + (e*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + 5*b^2*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^2*c^2) + (e*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2))/(b^2*c) - ((d + e*x)^(7//2)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(b^2*(b*x + c*x^2)) + (d^(7//2)*(4*c*d - 9*b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/b^3 - ((c*d - b*e)^(7//2)*(4*c*d + 5*b*e)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b^3*c^(7//2)), x, 8),
+((d + e*x)^(7//2)/(b*x + c*x^2)^2, (e*(2*c^2*d^2 - 2*b*c*d*e + 3*b^2*e^2)*sqrt(d + e*x))/(b^2*c^2) + (e*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2))/(b^2*c) - ((d + e*x)^(5//2)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(b^2*(b*x + c*x^2)) + (d^(5//2)*(4*c*d - 7*b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/b^3 - ((c*d - b*e)^(5//2)*(4*c*d + 3*b*e)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b^3*c^(5//2)), x, 7),
+((d + e*x)^(5//2)/(b*x + c*x^2)^2, (e*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))/(b^2*c) - ((d + e*x)^(3//2)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(b^2*(b*x + c*x^2)) + (d^(3//2)*(4*c*d - 5*b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/b^3 - ((c*d - b*e)^(3//2)*(4*c*d + b*e)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b^3*c^(3//2)), x, 6),
+((d + e*x)^(3//2)/(b*x + c*x^2)^2, -((sqrt(d + e*x)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(b^2*(b*x + c*x^2))) + (sqrt(d)*(4*c*d - 3*b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/b^3 - (sqrt(c*d - b*e)*(4*c*d - b*e)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b^3*sqrt(c)), x, 5),
+((d + e*x)^(1//2)/(b*x + c*x^2)^2, -(((b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x))/(b^2*(b*x + c*x^2))) + ((4*c*d - b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b^3*sqrt(d)) - (sqrt(c)*(4*c*d - 3*b*e)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b^3*sqrt(c*d - b*e)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*(b*x + c*x^2)^2), -((sqrt(d + e*x)*(b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x))/(b^2*d*(c*d - b*e)*(b*x + c*x^2))) + ((4*c*d + b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b^3*d^(3//2)) - (c^(3//2)*(4*c*d - 5*b*e)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b^3*(c*d - b*e)^(3//2)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)^2), -((e*(2*c^2*d^2 - 2*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))/(b^2*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x))) - (b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x)/(b^2*d*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)) + ((4*c*d + 3*b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b^3*d^(5//2)) - (c^(5//2)*(4*c*d - 7*b*e)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b^3*(c*d - b*e)^(5//2)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(b*x + c*x^2)^2), -((e*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + 5*b^2*e^2))/(3*b^2*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(3//2))) - (e*(2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 - b*c*d*e + 5*b^2*e^2))/(b^2*d^3*(c*d - b*e)^3*sqrt(d + e*x)) - (b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x)/(b^2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)) + ((4*c*d + 5*b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b^3*d^(7//2)) - (c^(7//2)*(4*c*d - 9*b*e)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b^3*(c*d - b*e)^(7//2)), x, 7),
+(1/((d + e*x)^(7//2)*(b*x + c*x^2)^2), -((e*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + 7*b^2*e^2))/(5*b^2*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(5//2))) - (e*(2*c*d - b*e)*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + 7*b^2*e^2))/(3*b^2*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)^(3//2)) - (e*(2*c^4*d^4 - 4*b*c^3*d^3*e + 26*b^2*c^2*d^2*e^2 - 24*b^3*c*d*e^3 + 7*b^4*e^4))/(b^2*d^4*(c*d - b*e)^4*sqrt(d + e*x)) - (b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x)/(b^2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2)*(b*x + c*x^2)) + ((4*c*d + 7*b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b^3*d^(9//2)) - (c^(9//2)*(4*c*d - 11*b*e)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b^3*(c*d - b*e)^(9//2)), x, 8),
+
+
+((d + e*x)^(9//2)/(b*x + c*x^2)^3, -((3*e*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e - b^2*e^2)*sqrt(d + e*x))/(4*b^4*c^2)) - ((d + e*x)^(7//2)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(2*b^2*(b*x + c*x^2)^2) + ((d + e*x)^(3//2)*(b*c*d^2*(12*c*d - 13*b*e) + (2*c*d - b*e)*(12*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e - b^2*e^2)*x))/(4*b^4*c*(b*x + c*x^2)) - (3*d^(5//2)*(16*c^2*d^2 - 36*b*c*d*e + 21*b^2*e^2)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(4*b^5) + (3*(c*d - b*e)^(5//2)*(16*c^2*d^2 + 4*b*c*d*e + b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(4*b^5*c^(5//2)), x, 7),
+((d + e*x)^(7//2)/(b*x + c*x^2)^3, -(((d + e*x)^(5//2)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(2*b^2*(b*x + c*x^2)^2)) + (sqrt(d + e*x)*(b*c*d^2*(12*c*d - 11*b*e) + (2*c*d - b*e)*(12*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + b^2*e^2)*x))/(4*b^4*c*(b*x + c*x^2)) - (d^(3//2)*(48*c^2*d^2 - 84*b*c*d*e + 35*b^2*e^2)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(4*b^5) + ((c*d - b*e)^(3//2)*(48*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e - b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(4*b^5*c^(3//2)), x, 6),
+((d + e*x)^(5//2)/(b*x + c*x^2)^3, -(((d + e*x)^(3//2)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(2*b^2*(b*x + c*x^2)^2)) + (3*sqrt(d + e*x)*(b*d*(4*c*d - 3*b*e) + (8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2)*x))/(4*b^4*(b*x + c*x^2)) - (3*sqrt(d)*(16*c^2*d^2 - 20*b*c*d*e + 5*b^2*e^2)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(4*b^5) + (3*sqrt(c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(4*b^5*sqrt(c)), x, 6),
+((d + e*x)^(3//2)/(b*x + c*x^2)^3, -((sqrt(d + e*x)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(2*b^2*(b*x + c*x^2)^2)) + (sqrt(d + e*x)*(b*(12*c*d - 7*b*e)*(c*d - b*e) + 12*c*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*x))/(4*b^4*(c*d - b*e)*(b*x + c*x^2)) - (3*(16*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + b^2*e^2)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(4*b^5*sqrt(d)) + (3*sqrt(c)*(16*c^2*d^2 - 20*b*c*d*e + 5*b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(4*b^5*sqrt(c*d - b*e)), x, 6),
+((d + e*x)^(1//2)/(b*x + c*x^2)^3, -(((b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x))/(2*b^2*(b*x + c*x^2)^2)) + (sqrt(d + e*x)*(b*(c*d - b*e)*(12*c*d - b*e) + c*(24*c^2*d^2 - 24*b*c*d*e + b^2*e^2)*x))/(4*b^4*d*(c*d - b*e)*(b*x + c*x^2)) - ((48*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e - b^2*e^2)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(4*b^5*d^(3//2)) + (c^(3//2)*(48*c^2*d^2 - 84*b*c*d*e + 35*b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(4*b^5*(c*d - b*e)^(3//2)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*(b*x + c*x^2)^3), -((sqrt(d + e*x)*(b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x))/(2*b^2*d*(c*d - b*e)*(b*x + c*x^2)^2)) + (sqrt(d + e*x)*(b*(c*d - b*e)*(12*c^2*d^2 - 7*b*c*d*e - 3*b^2*e^2) + 3*c*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e - b^2*e^2)*x))/(4*b^4*d^2*(c*d - b*e)^2*(b*x + c*x^2)) - (3*(16*c^2*d^2 + 4*b*c*d*e + b^2*e^2)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(4*b^5*d^(5//2)) + (3*c^(5//2)*(16*c^2*d^2 - 36*b*c*d*e + 21*b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(4*b^5*(c*d - b*e)^(5//2)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)^3), (3*e*(c^2*d^2 - b*c*d*e - b^2*e^2)*(8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + 5*b^2*e^2))/(4*b^4*d^3*(c*d - b*e)^3*sqrt(d + e*x)) - (b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x)/(2*b^2*d*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^2) + (b*(12*c^3*d^3 - 17*b*c^2*d^2*e + 5*b^3*e^3) + c*(2*c*d - b*e)*(12*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e - 5*b^2*e^2)*x)/(4*b^4*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)) - (3*(16*c^2*d^2 + 12*b*c*d*e + 5*b^2*e^2)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(4*b^5*d^(7//2)) + (3*c^(7//2)*(16*c^2*d^2 - 44*b*c*d*e + 33*b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(4*b^5*(c*d - b*e)^(7//2)), x, 7),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(b*x + c*x^2)^3), (e*(72*c^4*d^4 - 144*b*c^3*d^3*e + 27*b^2*c^2*d^2*e^2 + 45*b^3*c*d*e^3 - 35*b^4*e^4))/(12*b^4*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)^(3//2)) + (e*(2*c*d - b*e)*(12*c^4*d^4 - 24*b*c^3*d^3*e + 2*b^2*c^2*d^2*e^2 + 10*b^3*c*d*e^3 - 35*b^4*e^4))/(4*b^4*d^4*(c*d - b*e)^4*sqrt(d + e*x)) - (b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x)/(2*b^2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)^2) + (b*(c*d - b*e)*(12*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e - 7*b^2*e^2) + c*(2*c*d - b*e)*(12*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e - 7*b^2*e^2)*x)/(4*b^4*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)) - ((48*c^2*d^2 + 60*b*c*d*e + 35*b^2*e^2)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(4*b^5*d^(9//2)) + (c^(9//2)*(48*c^2*d^2 - 156*b*c*d*e + 143*b^2*e^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(4*b^5*(c*d - b*e)^(9//2)), x, 8),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (b x+c x^2)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((d + e*x)^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2), (2*sqrt(d + e*x)*(3*c^2*d^2 + 9*b*c*d*e - 4*b^2*e^2 + 12*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(105*c^2*e) + (2*e*sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*c) - (2*sqrt(-b)*(2*c*d - b*e)*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + 8*b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(105*c^(5//2)*e^2*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + 2*b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(105*c^(5//2)*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+(sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2), (-2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*c*e) + (2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(5*e) - (4*sqrt(-b)*(c^2*d^2 - b*c*d*e + b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*c^(3//2)*e^2*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*c^(3//2)*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+(sqrt(b*x + c*x^2)/sqrt(d + e*x), (2*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*e) - (2*sqrt(-b)*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*sqrt(c)*e^2*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*sqrt(c)*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 8),
+(sqrt(b*x + c*x^2)/(d + e*x)^(3//2), (-2*sqrt(b*x + c*x^2))/(e*sqrt(d + e*x)) + (4*sqrt(-b)*sqrt(c)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(e^2*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(-b)*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(sqrt(c)*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 8),
+(sqrt(b*x + c*x^2)/(d + e*x)^(5//2), (-2*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*e*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(2*c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*d*e*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(-b)*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*d*e^2*(c*d - b*e)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(-b)*sqrt(c)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+(sqrt(b*x + c*x^2)/(d + e*x)^(7//2), (-2*sqrt(b*x + c*x^2))/(5*e*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(2*c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*d*e*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)) + (4*(c^2*d^2 - b*c*d*e + b^2*e^2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*d^2*e*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)) - (4*sqrt(-b)*sqrt(c)*(c^2*d^2 - b*c*d*e + b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*d^2*e^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(-b)*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*d*e^2*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+
+
+((d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2), (2*sqrt(d + e*x)*(8*c^4*d^4 - 19*b*c^3*d^3*e + 6*b^2*c^2*d^2*e^2 - 19*b^3*c*d*e^3 + 8*b^4*e^4 - 3*c*e*(2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 - b*c*d*e + 8*b^2*e^2)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(1155*c^3*e^3) + (2*sqrt(d + e*x)*(c^2*d^2 + 13*b*c*d*e - 6*b^2*e^2 + 14*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(231*c^2*e) + (2*e*sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(11*c) - (16*sqrt(-b)*(c*d - 2*b*e)*(2*c*d - b*e)*(c*d + b*e)*(c^2*d^2 - b*c*d*e + b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(1155*c^(7//2)*e^4*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*(16*c^4*d^4 - 32*b*c^3*d^3*e + 3*b^2*c^2*d^2*e^2 + 13*b^3*c*d*e^3 - 8*b^4*e^4)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(1155*c^(7//2)*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+(sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2), (2*sqrt(d + e*x)*(8*c^3*d^3 - 15*b*c^2*d^2*e + 3*b^2*c*d*e^2 - 4*b^3*e^3 - 6*c*e*(c^2*d^2 - b*c*d*e + 2*b^2*e^2)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(315*c^2*e^3) - (2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(21*c*e) + (2*(d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(9*e) - (2*sqrt(-b)*(16*c^4*d^4 - 32*b*c^3*d^3*e + 9*b^2*c^2*d^2*e^2 + 7*b^3*c*d*e^3 - 8*b^4*e^4)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(315*c^(5//2)*e^4*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (8*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*(2*c^2*d^2 - 2*b*c*d*e - b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(315*c^(5//2)*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/sqrt(d + e*x), (2*sqrt(d + e*x)*(8*c^2*d^2 - 11*b*c*d*e + b^2*e^2 - 3*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(35*c*e^3) + (2*sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*e) - (4*sqrt(-b)*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e - b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(35*c^(3//2)*e^4*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e - b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(35*c^(3//2)*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2), (-2*sqrt(d + e*x)*(8*c*d - 7*b*e - 6*c*e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(5*e^3) - (2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(e*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(-b)*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(5*sqrt(c)*e^4*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (16*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(5*sqrt(c)*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(5//2), (2*(8*c*d - 3*b*e + 2*c*e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*e^3*sqrt(d + e*x)) - (2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*e*(d + e*x)^(3//2)) - (16*sqrt(-b)*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*e^4*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(-b)*(4*c*d - 3*b*e)*(4*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*sqrt(c)*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(7//2), -((2*(c*d^2*(8*c*d - 7*b*e) + e*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(5*d*e^3*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2))) - (2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*e*(d + e*x)^(5//2)) + (2*sqrt(-b)*sqrt(c)*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(5*d*e^4*(c*d - b*e)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (16*sqrt(-b)*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(5*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+((b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(9//2), (4*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e - b^2*e^2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(35*d^2*e^3*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)) - (2*(d*(8*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e - 2*b^2*e^2) + e*(14*c^2*d^2 - 14*b*c*d*e + b^2*e^2)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(35*d*e^3*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*e*(d + e*x)^(7//2)) - (4*sqrt(-b)*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e - b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(35*d^2*e^4*(c*d - b*e)^2*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(-b)*sqrt(c)*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e - b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(35*d*e^4*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+
+
+(sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2), (2*sqrt(d + e*x)*(128*c^5*d^5 - 368*b*c^4*d^4*e + 303*b^2*c^3*d^3*e^2 - 22*b^3*c^2*d^2*e^3 - 17*b^4*c*d*e^4 + 24*b^5*e^5 - 3*c*e*(32*c^4*d^4 - 64*b*c^3*d^3*e + 21*b^2*c^2*d^2*e^2 + 11*b^3*c*d*e^3 - 24*b^4*e^4)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(9009*c^3*e^5) + (10*sqrt(d + e*x)*(16*c^3*d^3 - 31*b*c^2*d^2*e + 9*b^2*c*d*e^2 - 18*b^3*e^3 - 14*c*e*(c^2*d^2 - b*c*d*e + 3*b^2*e^2)*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(9009*c^2*e^3) - (10*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(143*c*e) + (2*(d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(13*e) - (4*sqrt(-b)*(128*c^6*d^6 - 384*b*c^5*d^5*e + 343*b^2*c^4*d^4*e^2 - 46*b^3*c^3*d^3*e^3 - 21*b^4*c^2*d^2*e^4 - 20*b^5*c*d*e^5 + 24*b^6*e^6)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(9009*c^(7//2)*e^6*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*(128*c^4*d^4 - 256*b*c^3*d^3*e + 79*b^2*c^2*d^2*e^2 + 49*b^3*c*d*e^3 + 24*b^4*e^4)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(9009*c^(7//2)*e^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 11),
+((b*x + c*x^2)^(5//2)/sqrt(d + e*x), (2*sqrt(d + e*x)*(128*c^4*d^4 - 304*b*c^3*d^3*e + 195*b^2*c^2*d^2*e^2 - 7*b^3*c*d*e^3 - 4*b^4*e^4 - 12*c*e*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e - b^2*e^2)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(693*c^2*e^5) + (10*sqrt(d + e*x)*(16*c^2*d^2 - 23*b*c*d*e + 3*b^2*e^2 - 7*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(693*c*e^3) + (2*sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(11*e) - (2*sqrt(-b)*(2*c*d - b*e)*(128*c^4*d^4 - 256*b*c^3*d^3*e + 99*b^2*c^2*d^2*e^2 + 29*b^3*c*d*e^3 + 8*b^4*e^4)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(693*c^(5//2)*e^6*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*(128*c^4*d^4 - 256*b*c^3*d^3*e + 123*b^2*c^2*d^2*e^2 + 5*b^3*c*d*e^3 + 2*b^4*e^4)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(693*c^(5//2)*e^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+((b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(3//2), (-2*sqrt(d + e*x)*(128*c^3*d^3 - 240*b*c^2*d^2*e + 111*b^2*c*d*e^2 - b^3*e^3 - 3*c*e*(32*c^2*d^2 - 32*b*c*d*e + b^2*e^2)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(63*c*e^5) - (10*sqrt(d + e*x)*(16*c*d - 15*b*e - 14*c*e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(63*e^3) - (2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(e*sqrt(d + e*x)) + (4*sqrt(-b)*(128*c^4*d^4 - 256*b*c^3*d^3*e + 135*b^2*c^2*d^2*e^2 - 7*b^3*c*d*e^3 - b^4*e^4)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(63*c^(3//2)*e^6*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*(128*c^2*d^2 - 128*b*c*d*e - b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(63*c^(3//2)*e^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+((b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2), (2*sqrt(d + e*x)*(128*c^2*d^2 - 176*b*c*d*e + 51*b^2*e^2 - 48*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(21*e^5) + (10*(16*c*d - 7*b*e + 2*c*e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(21*e^3*sqrt(d + e*x)) - (2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(3*e*(d + e*x)^(3//2)) - (2*sqrt(-b)*(2*c*d - b*e)*(128*c^2*d^2 - 128*b*c*d*e + 3*b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(21*sqrt(c)*e^6*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*(128*c^2*d^2 - 128*b*c*d*e + 27*b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(21*sqrt(c)*e^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+((b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(7//2), (-2*(128*c^2*d^2 - 112*b*c*d*e + 15*b^2*e^2 + 16*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*e^5*sqrt(d + e*x)) + (2*(16*c*d - 5*b*e + 6*c*e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(15*e^3*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*e*(d + e*x)^(5//2)) + (4*sqrt(-b)*sqrt(c)*(128*c^2*d^2 - 128*b*c*d*e + 23*b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*e^6*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(-b)*(2*c*d - b*e)*(128*c^2*d^2 - 128*b*c*d*e + 15*b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*sqrt(c)*e^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+((b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(9//2), (2*c*(d*(128*c^2*d^2 - 176*b*c*d*e + 51*b^2*e^2) + e*(32*c^2*d^2 - 32*b*c*d*e + 3*b^2*e^2)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(21*d*e^5*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)) - (2*(c*d^2*(16*c*d - 13*b*e) + e*(22*c^2*d^2 - 22*b*c*d*e + 3*b^2*e^2)*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(21*d*e^3*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(7*e*(d + e*x)^(7//2)) - (2*sqrt(-b)*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*(128*c^2*d^2 - 128*b*c*d*e + 3*b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(21*d*e^6*(c*d - b*e)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(-b)*sqrt(c)*(128*c^2*d^2 - 128*b*c*d*e + 27*b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(21*e^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+((b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(11//2), -((2*(c*d^2*(128*c^3*d^3 - 240*b*c^2*d^2*e + 111*b^2*c*d*e^2 - b^3*e^3) + e*(160*c^4*d^4 - 320*b*c^3*d^3*e + 171*b^2*c^2*d^2*e^2 - 11*b^3*c*d*e^3 - 2*b^4*e^4)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(63*d^2*e^5*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(3//2))) - (2*(d*(16*c^2*d^2 - 11*b*c*d*e - 2*b^2*e^2) + e*(26*c^2*d^2 - 26*b*c*d*e + 3*b^2*e^2)*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(63*d*e^3*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2)) - (2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(9*e*(d + e*x)^(9//2)) + (4*sqrt(-b)*sqrt(c)*(128*c^4*d^4 - 256*b*c^3*d^3*e + 135*b^2*c^2*d^2*e^2 - 7*b^3*c*d*e^3 - b^4*e^4)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(63*d^2*e^6*(c*d - b*e)^2*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(-b)*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*(128*c^2*d^2 - 128*b*c*d*e - b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(63*d*e^6*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^(7//2)/sqrt(b*x + c*x^2), (2*e*(71*c^2*d^2 - 71*b*c*d*e + 24*b^2*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(105*c^3) + (12*e*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(35*c^2) + (2*e*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(7*c) + (16*sqrt(-b)*(2*c*d - b*e)*(11*c^2*d^2 - 11*b*c*d*e + 6*b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(105*c^(7//2)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*(71*c^2*d^2 - 71*b*c*d*e + 24*b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(105*c^(7//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+((d + e*x)^(5//2)/sqrt(b*x + c*x^2), (8*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*c^2) + (2*e*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(5*c) + (2*sqrt(-b)*(23*c^2*d^2 - 23*b*c*d*e + 8*b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*c^(5//2)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (8*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*c^(5//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+((d + e*x)^(3//2)/sqrt(b*x + c*x^2), (2*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*c) + (4*sqrt(-b)*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*c^(3//2)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*c^(3//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 8),
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(b*x + c*x^2), (2*sqrt(-b)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(sqrt(c)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 3),
+(1/(sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), (2*sqrt(-b)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(sqrt(c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2)), (-2*e*sqrt(b*x + c*x^2))/(d*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(-b)*sqrt(c)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(d*(c*d - b*e)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*sqrt(b*x + c*x^2)), (-2*e*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)) - (4*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)) + (4*sqrt(-b)*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(-b)*sqrt(c)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*d*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+(1/((d + e*x)^(7//2)*sqrt(b*x + c*x^2)), (-2*e*sqrt(b*x + c*x^2))/(5*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2)) - (8*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(3//2)) - (2*e*(23*c^2*d^2 - 23*b*c*d*e + 8*b^2*e^2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*d^3*(c*d - b*e)^3*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(-b)*sqrt(c)*(23*c^2*d^2 - 23*b*c*d*e + 8*b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*d^3*(c*d - b*e)^3*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (8*sqrt(-b)*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+
+
+((d + e*x)^(7//2)/(b*x + c*x^2)^(3//2), (-2*(d + e*x)^(5//2)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(b^2*sqrt(b*x + c*x^2)) + (4*e*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + 2*b^2*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b^2*c^2) + (2*e*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(b^2*c) + (2*(2*c*d - b*e)*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + 8*b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(3//2)*c^(5//2)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (4*d*(c*d - b*e)*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + 2*b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(3//2)*c^(5//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+((d + e*x)^(5//2)/(b*x + c*x^2)^(3//2), (-2*(d + e*x)^(3//2)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(b^2*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(b^2*c) + (4*(c^2*d^2 - b*c*d*e + b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/((-b)^(3//2)*c^(3//2)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/((-b)^(3//2)*c^(3//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+((d + e*x)^(3//2)/(b*x + c*x^2)^(3//2), (-2*sqrt(d + e*x)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(b^2*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/((-b)^(3//2)*sqrt(c)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (4*d*(c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/((-b)^(3//2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 8),
+(sqrt(d + e*x)/(b*x + c*x^2)^(3//2), (-2*(b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x))/(b^2*sqrt(b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(c)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/((-b)^(3//2)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/((-b)^(3//2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 8),
+(1/(sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2)), (-2*sqrt(d + e*x)*(b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x))/(b^2*d*(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/((-b)^(3//2)*d*(c*d - b*e)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (4*sqrt(c)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/((-b)^(3//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 8),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2)), (-2*(b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x))/(b^2*d*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (4*e*(c^2*d^2 - b*c*d*e + b^2*e^2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(b^2*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)) + (4*sqrt(c)*(c^2*d^2 - b*c*d*e + b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/((-b)^(3//2)*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/((-b)^(3//2)*d*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2)), (-2*(b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x))/(b^2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (4*e*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + 2*b^2*e^2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b^2*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(3//2)) - (2*e*(2*c*d - b*e)*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + 8*b^2*e^2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b^2*d^3*(c*d - b*e)^3*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + 8*b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(3//2)*d^3*(c*d - b*e)^3*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (4*sqrt(c)*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + 2*b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(3//2)*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+
+
+((d + e*x)^(9//2)/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^(7//2)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(3*b^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (2*(d + e*x)^(3//2)*(b*c*d^2*(8*c*d - 11*b*e) + (2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e - 3*b^2*e^2)*x))/(3*b^4*c*sqrt(b*x + c*x^2)) - (8*e*(4*c^3*d^3 - 6*b*c^2*d^2*e + b^3*e^3)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b^4*c^2) - (2*(16*c^4*d^4 - 32*b*c^3*d^3*e + 9*b^2*c^2*d^2*e^2 + 7*b^3*c*d*e^3 - 8*b^4*e^4)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*c^(5//2)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (8*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*(2*c^2*d^2 - 2*b*c*d*e - b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*c^(5//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+((d + e*x)^(7//2)/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^(5//2)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(3*b^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (2*sqrt(d + e*x)*(b*c*d^2*(8*c*d - 9*b*e) + (2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e - b^2*e^2)*x))/(3*b^4*c*sqrt(b*x + c*x^2)) - (4*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e - b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*c^(3//2)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*d*(c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e - b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*c^(3//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+((d + e*x)^(5//2)/(b*x + c*x^2)^(5//2), (-2*(d + e*x)^(3//2)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(3*b^2*(b*x + c*x^2)^(3//2)) + (2*sqrt(d + e*x)*(b*d*(8*c*d - 7*b*e) + (16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + b^2*e^2)*x))/(3*b^4*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*sqrt(c)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (16*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+((d + e*x)^(3//2)/(b*x + c*x^2)^(5//2), (-2*sqrt(d + e*x)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(3*b^2*(b*x + c*x^2)^(3//2)) + (2*sqrt(d + e*x)*(b*(8*c*d - 5*b*e)*(c*d - b*e) + 8*c*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*x))/(3*b^4*(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (16*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*(4*c*d - 3*b*e)*(4*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+(sqrt(d + e*x)/(b*x + c*x^2)^(5//2), (-2*(b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x))/(3*b^2*(b*x + c*x^2)^(3//2)) + (2*sqrt(d + e*x)*(b*(c*d - b*e)*(8*c*d - b*e) + c*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + b^2*e^2)*x))/(3*b^4*d*(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(c)*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*d*(c*d - b*e)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (16*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+(1/(sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2)), (-2*sqrt(d + e*x)*(b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x))/(3*b^2*d*(c*d - b*e)*(b*x + c*x^2)^(3//2)) + (2*sqrt(d + e*x)*(b*(c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e - 2*b^2*e^2) + 2*c*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e - b^2*e^2)*x))/(3*b^4*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(b*x + c*x^2)) - (4*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e - b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(c)*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e - b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*d*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(5//2)), (-2*(b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x))/(3*b^2*d*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2)) + (2*(b*(c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e - 4*b^2*e^2) + 4*c*(4*c^3*d^3 - 6*b*c^2*d^2*e + b^3*e^3)*x))/(3*b^4*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*e*(16*c^4*d^4 - 32*b*c^3*d^3*e + 9*b^2*c^2*d^2*e^2 + 7*b^3*c*d*e^3 - 8*b^4*e^4)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b^4*d^3*(c*d - b*e)^3*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(c)*(16*c^4*d^4 - 32*b*c^3*d^3*e + 9*b^2*c^2*d^2*e^2 + 7*b^3*c*d*e^3 - 8*b^4*e^4)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*d^3*(c*d - b*e)^3*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (8*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*(2*c^2*d^2 - 2*b*c*d*e - b^2*e^2)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+
+
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(2*x - 3*x^2), (2*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//2)*sqrt(x)), -((2*e)/(3*d))))/(sqrt(3)*sqrt(1 + (e*x)/d)), x, 4),
+(1/(sqrt(d + e*x)*sqrt(2*x - 3*x^2)), (2*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//2)*sqrt(x)), -((2*e)/(3*d))))/(sqrt(3)*sqrt(d + e*x)), x, 4),
+
+
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(-2*x - 3*x^2), -((2*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3//2)*sqrt(-x)), (2*e)/(3*d)))/(sqrt(3)*sqrt(1 + (e*x)/d))), x, 4),
+(1/(sqrt(d + e*x)*sqrt(-2*x - 3*x^2)), -((2*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//2)*sqrt(-x)), (2*e)/(3*d)))/(sqrt(3)*sqrt(d + e*x))), x, 4),
+
+
+# Note: Integrands are equal.
+(sqrt(1 - x)/(sqrt(-x)*sqrt(1 + x)), -2*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(-x)), -1), x, 1),
+(sqrt(1 - x)/sqrt(-x - x^2), -2*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(-x)), -1), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (b x+c x^2)^p when c d-b e=0
+
+
+((d + e*x)^m*(c*d*x + c*e*x^2)^3, -((c^3*d^3*(d + e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m))) + (3*c^3*d^2*(d + e*x)^(5 + m))/(e^4*(5 + m)) - (3*c^3*d*(d + e*x)^(6 + m))/(e^4*(6 + m)) + (c^3*(d + e*x)^(7 + m))/(e^4*(7 + m)), x, 4),
+((d + e*x)^m*(c*d*x + c*e*x^2)^2, (c^2*d^2*(d + e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) - (2*c^2*d*(d + e*x)^(4 + m))/(e^3*(4 + m)) + (c^2*(d + e*x)^(5 + m))/(e^3*(5 + m)), x, 4),
+((d + e*x)^m*(c*d*x + c*e*x^2)^1, -((c*d*(d + e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m))) + (c*(d + e*x)^(3 + m))/(e^2*(3 + m)), x, 4),
+((d + e*x)^m*(c*d*x + c*e*x^2)^0, (d + e*x)^(1 + m)/(e*(1 + m)), x, 1),
+((d + e*x)^m/(c*d*x + c*e*x^2)^1, -(((d + e*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, m, 1 + m, 1 + (e*x)/d))/(c*d*m)), x, 3),
+((d + e*x)^m/(c*d*x + c*e*x^2)^2, -((e*(d + e*x)^(-1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, -1 + m, m, 1 + (e*x)/d))/(c^2*d^2*(1 - m))), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (b x+c x^2)^p when m symbolic
+
+
+((d + e*x)^m*(b*x + c*x^2)^3, (d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)^(1 + m))/(e^7*(1 + m)) - (3*d^2*(c*d - b*e)^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^7*(2 + m)) + (3*d*(c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^7*(3 + m)) - ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(4 + m))/(e^7*(4 + m)) + (3*c*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(5 + m))/(e^7*(5 + m)) - (3*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(6 + m))/(e^7*(6 + m)) + (c^3*(d + e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(b*x + c*x^2)^2, (d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(1 + m))/(e^5*(1 + m)) - (2*d*(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^5*(2 + m)) + ((6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^5*(3 + m)) - (2*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(4 + m))/(e^5*(4 + m)) + (c^2*(d + e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(b*x + c*x^2)^1, (d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^3*(1 + m)) - ((2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^3*(2 + m)) + (c*(d + e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m/(b*x + c*x^2)^1, (c*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (c*(d + e*x))/(c*d - b*e)))/(b*(c*d - b*e)*(1 + m)) - ((d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, 1 + (e*x)/d))/(b*d*(1 + m)), x, 4),
+((d + e*x)^m/(b*x + c*x^2)^2, -(((d + e*x)^(1 + m)*(b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x))/(b^2*d*(c*d - b*e)*(b*x + c*x^2))) - (c^2*(2*c*d - b*e*(2 - m))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (c*(d + e*x))/(c*d - b*e)))/(b^3*(c*d - b*e)^2*(1 + m)) + ((2*c*d - b*e*m)*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, 1 + (e*x)/d))/(b^3*d^2*(1 + m)), x, 5),
+((d + e*x)^m/(b*x + c*x^2)^3, -(((d + e*x)^(1 + m)*(b*(c*d - b*e) + c*(2*c*d - b*e)*x))/(2*b^2*d*(c*d - b*e)*(b*x + c*x^2)^2)) + ((d + e*x)^(1 + m)*(b*(c*d - b*e)*(6*c^2*d^2 - b^2*e^2*(1 - m) - b*c*d*e*(4 + m)) + c*(2*c*d - b*e)*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e - b^2*e^2*(1 - m))*x))/(2*b^4*d^2*(c*d - b*e)^2*(b*x + c*x^2)) + (c^3*(12*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e*(4 - m) + b^2*e^2*(12 - 7*m + m^2))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (c*(d + e*x))/(c*d - b*e)))/(2*b^5*(c*d - b*e)^3*(1 + m)) - ((12*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e*m - b^2*e^2*(1 - m)*m)*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, 1 + (e*x)/d))/(2*b^5*d^3*(1 + m)), x, 6),
+
+
+((d + e*x)^m*(b*x + c*x^2)^(3//2), ((d + e*x)^(1 + m)*(b*x + c*x^2)^(3//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -(3//2), -(3//2), 2 + m, (d + e*x)/d, (c*(d + e*x))/(c*d - b*e)))/(e*(1 + m)*(-((e*x)/d))^(3//2)*(1 - (c*(d + e*x))/(c*d - b*e))^(3//2)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(b*x + c*x^2)^(1//2), ((d + e*x)^(1 + m)*sqrt(b*x + c*x^2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -(1//2), -(1//2), 2 + m, (d + e*x)/d, (c*(d + e*x))/(c*d - b*e)))/(e*(1 + m)*sqrt(-((e*x)/d))*sqrt(1 - (c*(d + e*x))/(c*d - b*e))), x, 2),
+((d + e*x)^m/(b*x + c*x^2)^(1//2), (sqrt(-((e*x)/d))*(d + e*x)^(1 + m)*sqrt(1 - (c*(d + e*x))/(c*d - b*e))*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, 1//2, 1//2, 2 + m, (d + e*x)/d, (c*(d + e*x))/(c*d - b*e)))/(e*(1 + m)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^m/(b*x + c*x^2)^(3//2), ((-((e*x)/d))^(3//2)*(d + e*x)^(1 + m)*(1 - (c*(d + e*x))/(c*d - b*e))^(3//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, 3//2, 3//2, 2 + m, (d + e*x)/d, (c*(d + e*x))/(c*d - b*e)))/(e*(1 + m)*(b*x + c*x^2)^(3//2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (b x+c x^2)^p when p symbolic
+
+
+((d + e*x)^m*(b*x + c*x^2)^p, ((d + e*x)^(1 + m)*(b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -p, -p, 2 + m, (d + e*x)/d, (c*(d + e*x))/(c*d - b*e)))/((-((e*x)/d))^p*(1 - (c*(d + e*x))/(c*d - b*e))^p*(e*(1 + m))), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p when b=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^4*(a + c*x^2), ((c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^5)/(5*e^3) - (c*d*(d + e*x)^6)/(3*e^3) + (c*(d + e*x)^7)/(7*e^3), x, 2),
+((d + e*x)^3*(a + c*x^2), ((c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^4)/(4*e^3) - (2*c*d*(d + e*x)^5)/(5*e^3) + (c*(d + e*x)^6)/(6*e^3), x, 2),
+((d + e*x)^2*(a + c*x^2), ((c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^3)/(3*e^3) - (c*d*(d + e*x)^4)/(2*e^3) + (c*(d + e*x)^5)/(5*e^3), x, 2),
+((d + e*x)^1*(a + c*x^2), a*d*x + (1//3)*c*d*x^3 + (e*(a + c*x^2)^2)/(4*c), x, 2),
+((a + c*x^2)/(d + e*x)^1, -((c*d*x)/e^2) + (c*x^2)/(2*e) + ((c*d^2 + a*e^2)*log(d + e*x))/e^3, x, 2),
+((a + c*x^2)/(d + e*x)^2, (c*x)/e^2 - (c*d^2 + a*e^2)/(e^3*(d + e*x)) - (2*c*d*log(d + e*x))/e^3, x, 2),
+((a + c*x^2)/(d + e*x)^3, -(c*d^2 + a*e^2)/(2*e^3*(d + e*x)^2) + (2*c*d)/(e^3*(d + e*x)) + (c*log(d + e*x))/e^3, x, 2),
+((a + c*x^2)/(d + e*x)^4, -(c*d^2 + a*e^2)/(3*e^3*(d + e*x)^3) + (c*d)/(e^3*(d + e*x)^2) - c/(e^3*(d + e*x)), x, 2),
+((a + c*x^2)/(d + e*x)^5, -(c*d^2 + a*e^2)/(4*e^3*(d + e*x)^4) + (2*c*d)/(3*e^3*(d + e*x)^3) - c/(2*e^3*(d + e*x)^2), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^4*(a + c*x^2)^2, ((c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^5)/(5*e^5) - (2*c*d*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^6)/(3*e^5) + (2*c*(3*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^7)/(7*e^5) - (c^2*d*(d + e*x)^8)/(2*e^5) + (c^2*(d + e*x)^9)/(9*e^5), x, 2),
+((d + e*x)^3*(a + c*x^2)^2, ((c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^4)/(4*e^5) - (4*c*d*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^5)/(5*e^5) + (c*(3*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^6)/(3*e^5) - (4*c^2*d*(d + e*x)^7)/(7*e^5) + (c^2*(d + e*x)^8)/(8*e^5), x, 2),
+((d + e*x)^2*(a + c*x^2)^2, a^2*d^2*x + (1//3)*a*(2*c*d^2 + a*e^2)*x^3 + (1//5)*c*(c*d^2 + 2*a*e^2)*x^5 + (1//7)*c^2*e^2*x^7 + (d*e*(a + c*x^2)^3)/(3*c), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a + c*x^2)^2, a^2*d*x + (2//3)*a*c*d*x^3 + (1//5)*c^2*d*x^5 + (e*(a + c*x^2)^3)/(6*c), x, 3),
+((a + c*x^2)^2/(d + e*x)^1, -((c*d*(c*d^2 + 2*a*e^2)*x)/e^4) + (c*(c*d^2 + 2*a*e^2)*x^2)/(2*e^3) - (c^2*d*x^3)/(3*e^2) + (c^2*x^4)/(4*e) + ((c*d^2 + a*e^2)^2*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+((a + c*x^2)^2/(d + e*x)^2, (c*(3*c*d^2 + 2*a*e^2)*x)/e^4 - (c^2*d*x^2)/e^3 + (c^2*x^3)/(3*e^2) - (c*d^2 + a*e^2)^2/(e^5*(d + e*x)) - (4*c*d*(c*d^2 + a*e^2)*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+((a + c*x^2)^2/(d + e*x)^3, (-3*c^2*d*x)/e^4 + (c^2*x^2)/(2*e^3) - (c*d^2 + a*e^2)^2/(2*e^5*(d + e*x)^2) + (4*c*d*(c*d^2 + a*e^2))/(e^5*(d + e*x)) + (2*c*(3*c*d^2 + a*e^2)*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+((a + c*x^2)^2/(d + e*x)^4, (c^2*x)/e^4 - (c*d^2 + a*e^2)^2/(3*e^5*(d + e*x)^3) + (2*c*d*(c*d^2 + a*e^2))/(e^5*(d + e*x)^2) - (2*c*(3*c*d^2 + a*e^2))/(e^5*(d + e*x)) - (4*c^2*d*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+((a + c*x^2)^2/(d + e*x)^5, -(c*d^2 + a*e^2)^2/(4*e^5*(d + e*x)^4) + (4*c*d*(c*d^2 + a*e^2))/(3*e^5*(d + e*x)^3) - (c*(3*c*d^2 + a*e^2))/(e^5*(d + e*x)^2) + (4*c^2*d)/(e^5*(d + e*x)) + (c^2*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+((a + c*x^2)^2/(d + e*x)^6, -(c*d^2 + a*e^2)^2/(5*e^5*(d + e*x)^5) + (c*d*(c*d^2 + a*e^2))/(e^5*(d + e*x)^4) - (2*c*(3*c*d^2 + a*e^2))/(3*e^5*(d + e*x)^3) + (2*c^2*d)/(e^5*(d + e*x)^2) - c^2/(e^5*(d + e*x)), x, 2),
+((a + c*x^2)^2/(d + e*x)^7, -(c*d^2 + a*e^2)^2/(6*e^5*(d + e*x)^6) + (4*c*d*(c*d^2 + a*e^2))/(5*e^5*(d + e*x)^5) - (c*(3*c*d^2 + a*e^2))/(2*e^5*(d + e*x)^4) + (4*c^2*d)/(3*e^5*(d + e*x)^3) - c^2/(2*e^5*(d + e*x)^2), x, 2),
+((a + c*x^2)^2/(d + e*x)^8, -(c*d^2 + a*e^2)^2/(7*e^5*(d + e*x)^7) + (2*c*d*(c*d^2 + a*e^2))/(3*e^5*(d + e*x)^6) - (2*c*(3*c*d^2 + a*e^2))/(5*e^5*(d + e*x)^5) + (c^2*d)/(e^5*(d + e*x)^4) - c^2/(3*e^5*(d + e*x)^3), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^6*(a + c*x^2)^3, ((c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^7)/(7*e^7) - (3*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^8)/(4*e^7) + (c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^9)/(3*e^7) - (2*c^2*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2)*(d + e*x)^10)/(5*e^7) + (3*c^2*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^11)/(11*e^7) - (c^3*d*(d + e*x)^12)/(2*e^7) + (c^3*(d + e*x)^13)/(13*e^7), x, 2),
+((d + e*x)^5*(a + c*x^2)^3, ((c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^6)/(6*e^7) - (6*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^7)/(7*e^7) + (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^8)/(8*e^7) - (4*c^2*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2)*(d + e*x)^9)/(9*e^7) + (3*c^2*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^10)/(10*e^7) - (6*c^3*d*(d + e*x)^11)/(11*e^7) + (c^3*(d + e*x)^12)/(12*e^7), x, 2),
+((d + e*x)^4*(a + c*x^2)^3, ((c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^5)/(5*e^7) - (c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^6)/e^7 + (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^7)/(7*e^7) - (c^2*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2)*(d + e*x)^8)/(2*e^7) + (c^2*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^9)/(3*e^7) - (3*c^3*d*(d + e*x)^10)/(5*e^7) + (c^3*(d + e*x)^11)/(11*e^7), x, 2),
+((d + e*x)^3*(a + c*x^2)^3, a^3*d^3*x + a^2*d*(c*d^2 + a*e^2)*x^3 + (1//4)*a^3*e^3*x^4 + (3//5)*a*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2)*x^5 + (1//2)*a^2*c*e^3*x^6 + (1//7)*c^2*d*(c*d^2 + 9*a*e^2)*x^7 + (3//8)*a*c^2*e^3*x^8 + (1//3)*c^3*d*e^2*x^9 + (1//10)*c^3*e^3*x^10 + (3*d^2*e*(a + c*x^2)^4)/(8*c), x, 3),
+((d + e*x)^2*(a + c*x^2)^3, a^3*d^2*x + (1//3)*a^2*(3*c*d^2 + a*e^2)*x^3 + (3//5)*a*c*(c*d^2 + a*e^2)*x^5 + (1//7)*c^2*(c*d^2 + 3*a*e^2)*x^7 + (1//9)*c^3*e^2*x^9 + (d*e*(a + c*x^2)^4)/(4*c), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a + c*x^2)^3, a^3*d*x + a^2*c*d*x^3 + (3//5)*a*c^2*d*x^5 + (1//7)*c^3*d*x^7 + (e*(a + c*x^2)^4)/(8*c), x, 3),
+((a + c*x^2)^3/(d + e*x)^1, -((c*d*(c^2*d^4 + 3*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*x)/e^6) + (c*(c^2*d^4 + 3*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*x^2)/(2*e^5) - (c^2*d*(c*d^2 + 3*a*e^2)*x^3)/(3*e^4) + (c^2*(c*d^2 + 3*a*e^2)*x^4)/(4*e^3) - (c^3*d*x^5)/(5*e^2) + (c^3*x^6)/(6*e) + ((c*d^2 + a*e^2)^3*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((a + c*x^2)^3/(d + e*x)^2, (c*(5*c^2*d^4 + 9*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*x)/e^6 - (c^2*d*(2*c*d^2 + 3*a*e^2)*x^2)/e^5 + (c^2*(c*d^2 + a*e^2)*x^3)/e^4 - (c^3*d*x^4)/(2*e^3) + (c^3*x^5)/(5*e^2) - (c*d^2 + a*e^2)^3/(e^7*(d + e*x)) - (6*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((a + c*x^2)^3/(d + e*x)^3, -((c^2*d*(10*c*d^2 + 9*a*e^2)*x)/e^6) + (3*c^2*(2*c*d^2 + a*e^2)*x^2)/(2*e^5) - (c^3*d*x^3)/e^4 + (c^3*x^4)/(4*e^3) - (c*d^2 + a*e^2)^3/(2*e^7*(d + e*x)^2) + (6*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(e^7*(d + e*x)) + (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2)*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((a + c*x^2)^3/(d + e*x)^4, (c^2*(10*c*d^2 + 3*a*e^2)*x)/e^6 - (2*c^3*d*x^2)/e^5 + (c^3*x^3)/(3*e^4) - (c*d^2 + a*e^2)^3/(3*e^7*(d + e*x)^3) + (3*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(e^7*(d + e*x)^2) - (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2))/(e^7*(d + e*x)) - (4*c^2*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2)*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((a + c*x^2)^3/(d + e*x)^5, -((5*c^3*d*x)/e^6) + (c^3*x^2)/(2*e^5) - (c*d^2 + a*e^2)^3/(4*e^7*(d + e*x)^4) + (2*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(e^7*(d + e*x)^3) - (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2))/(2*e^7*(d + e*x)^2) + (4*c^2*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2))/(e^7*(d + e*x)) + (3*c^2*(5*c*d^2 + a*e^2)*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((a + c*x^2)^3/(d + e*x)^6, (c^3*x)/e^6 - (c*d^2 + a*e^2)^3/(5*e^7*(d + e*x)^5) + (3*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(2*e^7*(d + e*x)^4) - (c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2))/(e^7*(d + e*x)^3) + (2*c^2*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2))/(e^7*(d + e*x)^2) - (3*c^2*(5*c*d^2 + a*e^2))/(e^7*(d + e*x)) - (6*c^3*d*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((a + c*x^2)^3/(d + e*x)^7, -((c*d^2 + a*e^2)^3/(6*e^7*(d + e*x)^6)) + (6*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(5*e^7*(d + e*x)^5) - (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2))/(4*e^7*(d + e*x)^4) + (4*c^2*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2))/(3*e^7*(d + e*x)^3) - (3*c^2*(5*c*d^2 + a*e^2))/(2*e^7*(d + e*x)^2) + (6*c^3*d)/(e^7*(d + e*x)) + (c^3*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((a + c*x^2)^3/(d + e*x)^8, -((c*d^2 + a*e^2)^3/(7*e^7*(d + e*x)^7)) + (c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(e^7*(d + e*x)^6) - (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2))/(5*e^7*(d + e*x)^5) + (c^2*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2))/(e^7*(d + e*x)^4) - (c^2*(5*c*d^2 + a*e^2))/(e^7*(d + e*x)^3) + (3*c^3*d)/(e^7*(d + e*x)^2) - c^3/(e^7*(d + e*x)), x, 2),
+((a + c*x^2)^3/(d + e*x)^9, -((c*d^2 + a*e^2)^3/(8*e^7*(d + e*x)^8)) + (6*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(7*e^7*(d + e*x)^7) - (c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2))/(2*e^7*(d + e*x)^6) + (4*c^2*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2))/(5*e^7*(d + e*x)^5) - (3*c^2*(5*c*d^2 + a*e^2))/(4*e^7*(d + e*x)^4) + (2*c^3*d)/(e^7*(d + e*x)^3) - c^3/(2*e^7*(d + e*x)^2), x, 2),
+((a + c*x^2)^3/(d + e*x)^10, -((c*d^2 + a*e^2)^3/(9*e^7*(d + e*x)^9)) + (3*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(4*e^7*(d + e*x)^8) - (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2))/(7*e^7*(d + e*x)^7) + (2*c^2*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2))/(3*e^7*(d + e*x)^6) - (3*c^2*(5*c*d^2 + a*e^2))/(5*e^7*(d + e*x)^5) + (3*c^3*d)/(2*e^7*(d + e*x)^4) - c^3/(3*e^7*(d + e*x)^3), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^7*(a + c*x^2)^4, ((c*d^2 + a*e^2)^4*(d + e*x)^8)/(8*e^9) - (8*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^9)/(9*e^9) + (2*c*(c*d^2 + a*e^2)^2*(7*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^10)/(5*e^9) - (8*c^2*d*(c*d^2 + a*e^2)*(7*c*d^2 + 3*a*e^2)*(d + e*x)^11)/(11*e^9) + (c^2*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*(d + e*x)^12)/(6*e^9) - (8*c^3*d*(7*c*d^2 + 3*a*e^2)*(d + e*x)^13)/(13*e^9) + (2*c^3*(7*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^14)/(7*e^9) - (8*c^4*d*(d + e*x)^15)/(15*e^9) + (c^4*(d + e*x)^16)/(16*e^9), x, 2),
+((d + e*x)^6*(a + c*x^2)^4, ((c*d^2 + a*e^2)^4*(d + e*x)^7)/(7*e^9) - (c*d*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^8)/e^9 + (4*c*(c*d^2 + a*e^2)^2*(7*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^9)/(9*e^9) - (4*c^2*d*(c*d^2 + a*e^2)*(7*c*d^2 + 3*a*e^2)*(d + e*x)^10)/(5*e^9) + (2*c^2*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*(d + e*x)^11)/(11*e^9) - (2*c^3*d*(7*c*d^2 + 3*a*e^2)*(d + e*x)^12)/(3*e^9) + (4*c^3*(7*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^13)/(13*e^9) - (4*c^4*d*(d + e*x)^14)/(7*e^9) + (c^4*(d + e*x)^15)/(15*e^9), x, 2),
+((d + e*x)^5*(a + c*x^2)^4, ((c*d^2 + a*e^2)^4*(d + e*x)^6)/(6*e^9) - (8*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^7)/(7*e^9) + (c*(c*d^2 + a*e^2)^2*(7*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^8)/(2*e^9) - (8*c^2*d*(c*d^2 + a*e^2)*(7*c*d^2 + 3*a*e^2)*(d + e*x)^9)/(9*e^9) + (c^2*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*(d + e*x)^10)/(5*e^9) - (8*c^3*d*(7*c*d^2 + 3*a*e^2)*(d + e*x)^11)/(11*e^9) + (c^3*(7*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^12)/(3*e^9) - (8*c^4*d*(d + e*x)^13)/(13*e^9) + (c^4*(d + e*x)^14)/(14*e^9), x, 2),
+((d + e*x)^4*(a + c*x^2)^4, a^4*d^4*x + (2//3)*a^3*d^2*(2*c*d^2 + 3*a*e^2)*x^3 + a^4*d*e^3*x^4 + (1//5)*a^2*(6*c^2*d^4 + 24*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4)*x^5 + (8//3)*a^3*c*d*e^3*x^6 + (4//7)*a*c*(c^2*d^4 + 9*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4)*x^7 + 3*a^2*c^2*d*e^3*x^8 + (1//9)*c^2*(c^2*d^4 + 24*a*c*d^2*e^2 + 6*a^2*e^4)*x^9 + (8//5)*a*c^3*d*e^3*x^10 + (2//11)*c^3*e^2*(3*c*d^2 + 2*a*e^2)*x^11 + (1//3)*c^4*d*e^3*x^12 + (1//13)*c^4*e^4*x^13 + (2*d^3*e*(a + c*x^2)^5)/(5*c), x, 3),
+((d + e*x)^3*(a + c*x^2)^4, a^4*d^3*x + (1//3)*a^3*d*(4*c*d^2 + 3*a*e^2)*x^3 + (1//4)*a^4*e^3*x^4 + (6//5)*a^2*c*d*(c*d^2 + 2*a*e^2)*x^5 + (2//3)*a^3*c*e^3*x^6 + (2//7)*a*c^2*d*(2*c*d^2 + 9*a*e^2)*x^7 + (3//4)*a^2*c^2*e^3*x^8 + (1//9)*c^3*d*(c*d^2 + 12*a*e^2)*x^9 + (2//5)*a*c^3*e^3*x^10 + (3//11)*c^4*d*e^2*x^11 + (1//12)*c^4*e^3*x^12 + (3*d^2*e*(a + c*x^2)^5)/(10*c), x, 3),
+((d + e*x)^2*(a + c*x^2)^4, a^4*d^2*x + (1//3)*a^3*(4*c*d^2 + a*e^2)*x^3 + (2//5)*a^2*c*(3*c*d^2 + 2*a*e^2)*x^5 + (2//7)*a*c^2*(2*c*d^2 + 3*a*e^2)*x^7 + (1//9)*c^3*(c*d^2 + 4*a*e^2)*x^9 + (1//11)*c^4*e^2*x^11 + (d*e*(a + c*x^2)^5)/(5*c), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a + c*x^2)^4, a^4*d*x + (4//3)*a^3*c*d*x^3 + (6//5)*a^2*c^2*d*x^5 + (4//7)*a*c^3*d*x^7 + (1//9)*c^4*d*x^9 + (e*(a + c*x^2)^5)/(10*c), x, 3),
+((a + c*x^2)^4/(d + e*x)^1, -((8*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^3*x)/e^8) + (2*c*(c*d^2 + a*e^2)^2*(7*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^2)/e^9 - (8*c^2*d*(c*d^2 + a*e^2)*(7*c*d^2 + 3*a*e^2)*(d + e*x)^3)/(3*e^9) + (c^2*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*(d + e*x)^4)/(2*e^9) - (8*c^3*d*(7*c*d^2 + 3*a*e^2)*(d + e*x)^5)/(5*e^9) + (2*c^3*(7*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^6)/(3*e^9) - (8*c^4*d*(d + e*x)^7)/(7*e^9) + (c^4*(d + e*x)^8)/(8*e^9) + ((c*d^2 + a*e^2)^4*log(d + e*x))/e^9, x, 2),
+((a + c*x^2)^4/(d + e*x)^2, (c*(7*c^3*d^6 + 20*a*c^2*d^4*e^2 + 18*a^2*c*d^2*e^4 + 4*a^3*e^6)*x)/e^8 - (c^2*d*(3*c^2*d^4 + 8*a*c*d^2*e^2 + 6*a^2*e^4)*x^2)/e^7 + (c^2*(5*c^2*d^4 + 12*a*c*d^2*e^2 + 6*a^2*e^4)*x^3)/(3*e^6) - (c^3*d*(c*d^2 + 2*a*e^2)*x^4)/e^5 + (c^3*(3*c*d^2 + 4*a*e^2)*x^5)/(5*e^4) - (c^4*d*x^6)/(3*e^3) + (c^4*x^7)/(7*e^2) - (c*d^2 + a*e^2)^4/(e^9*(d + e*x)) - (8*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^3*log(d + e*x))/e^9, x, 2),
+
+
+((c + d*x)*(a + b*x^2)^4, a^4*c*x + (4//3)*a^3*b*c*x^3 + (6//5)*a^2*b^2*c*x^5 + (4//7)*a*b^3*c*x^7 + (1//9)*b^4*c*x^9 + (d*(a + b*x^2)^5)/(10*b), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^4/(a + c*x^2), (e^2*(6*c*d^2 - a*e^2)*x)/c^2 + (2*d*e^3*x^2)/c + (e^4*x^3)/(3*c) + ((c^2*d^4 - 6*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*c^(5//2)) + (2*d*e*(c*d^2 - a*e^2)*log(a + c*x^2))/c^2, x, 5),
+((d + e*x)^3/(a + c*x^2), (3*d*e^2*x)/c + (e^3*x^2)/(2*c) + (d*(c*d^2 - 3*a*e^2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*c^(3//2)) + (e*(3*c*d^2 - a*e^2)*log(a + c*x^2))/(2*c^2), x, 5),
+((d + e*x)^2/(a + c*x^2), (e^2*x)/c + ((c*d^2 - a*e^2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*c^(3//2)) + (d*e*log(a + c*x^2))/c, x, 5),
+((d + e*x)^1/(a + c*x^2), (d*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*sqrt(c)) + (e*log(a + c*x^2))/(2*c), x, 3),
+(1/((d + e*x)^1*(a + c*x^2)), (sqrt(c)*d*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(c*d^2 + a*e^2)) + (e*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2) - (e*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^2*(a + c*x^2)), -(e/((c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x))) + (sqrt(c)*(c*d^2 - a*e^2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (2*c*d*e*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^2 - (c*d*e*log(a + c*x^2))/(c*d^2 + a*e^2)^2, x, 6),
+(1/((d + e*x)^3*(a + c*x^2)), -e/(2*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^2) - (2*c*d*e)/((c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)) + (c^(3//2)*d*(c*d^2 - 3*a*e^2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(c*d^2 + a*e^2)^3) + (c*e*(3*c*d^2 - a*e^2)*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^3 - (c*e*(3*c*d^2 - a*e^2)*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^3), x, 6),
+
+
+((d + e*x)^5/(a + c*x^2)^2, -((3*d*e^2*(2*c*d^2 - 5*a*e^2)*x)/(2*a*c^2)) - (e^3*(2*c*d^2 - a*e^2)*x^2)/(a*c^2) - (d*e^4*x^3)/(2*a*c) - ((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^4)/(2*a*c*(a + c*x^2)) + (d*(c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 - 15*a^2*e^4)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*c^(5//2)) + (e^3*(5*c*d^2 - a*e^2)*log(a + c*x^2))/c^3, x, 6),
+((d + e*x)^4/(a + c*x^2)^2, -((3*e^2*(c*d^2 - a*e^2)*x)/(2*a*c^2)) - (d*e^3*x^2)/(2*a*c) - ((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^3)/(2*a*c*(a + c*x^2)) + ((c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 - 3*a^2*e^4)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*c^(5//2)) + (2*d*e^3*log(a + c*x^2))/c^2, x, 6),
+((d + e*x)^3/(a + c*x^2)^2, -((d*e^2*x)/(2*a*c)) - ((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^2)/(2*a*c*(a + c*x^2)) + (d*(c*d^2 + 3*a*e^2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*c^(3//2)) + (e^3*log(a + c*x^2))/(2*c^2), x, 5),
+((d + e*x)^2/(a + c*x^2)^2, -(((a*e - c*d*x)*(d + e*x))/(2*a*c*(a + c*x^2))) + ((c*d^2 + a*e^2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*c^(3//2)), x, 2),
+((d + e*x)^1/(a + c*x^2)^2, -(a*e - c*d*x)/(2*a*c*(a + c*x^2)) + (d*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*sqrt(c)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*(a + c*x^2)^2), (a*e + c*d*x)/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2)) + (sqrt(c)*d*(c*d^2 + 3*a*e^2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (e^3*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^2 - (e^3*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^2), x, 6),
+(1/((d + e*x)^2*(a + c*x^2)^2), (e*(c*d^2 - 3*a*e^2))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)) + (a*e + c*d*x)/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)*(a + c*x^2)) + (sqrt(c)*(c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 - 3*a^2*e^4)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)^3) + (4*c*d*e^3*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^3 - (2*c*d*e^3*log(a + c*x^2))/(c*d^2 + a*e^2)^3, x, 6),
+
+
+((d + e*x)^5/(a + c*x^2)^3, -((d*e^2*(3*c*d^2 + 7*a*e^2)*x)/(8*a^2*c^2)) - ((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^4)/(4*a*c*(a + c*x^2)^2) - ((d + e*x)^2*(2*a*e*(c*d^2 + 2*a*e^2) - c*d*(3*c*d^2 + 5*a*e^2)*x))/(8*a^2*c^2*(a + c*x^2)) + (d*(3*c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 + 15*a^2*e^4)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*c^(5//2)) + (e^5*log(a + c*x^2))/(2*c^3), x, 6),
+((d + e*x)^4/(a + c*x^2)^3, -((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^3)/(4*a*c*(a + c*x^2)^2) - (3*(c*d^2 + a*e^2)*(a*e - c*d*x)*(d + e*x))/(8*a^2*c^2*(a + c*x^2)) + (3*(c*d^2 + a*e^2)^2*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*c^(5//2)), x, 3),
+((d + e*x)^3/(a + c*x^2)^3, (x*(d + e*x)^3)/(4*a*(a + c*x^2)^2) - (3*d*(a*e - c*d*x)*(d + e*x))/(8*a^2*c*(a + c*x^2)) + (3*d*(c*d^2 + a*e^2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*c^(3//2)), x, 3),
+((d + e*x)^2/(a + c*x^2)^3, -(((a*e - c*d*x)*(d + e*x))/(4*a*c*(a + c*x^2)^2)) - (2*a*d*e - (3*c*d^2 + a*e^2)*x)/(8*a^2*c*(a + c*x^2)) + ((3*c*d^2 + a*e^2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*c^(3//2)), x, 3),
+((d + e*x)^1/(a + c*x^2)^3, -(a*e - c*d*x)/(4*a*c*(a + c*x^2)^2) + (3*d*x)/(8*a^2*(a + c*x^2)) + (3*d*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*sqrt(c)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^1*(a + c*x^2)^3), (a*e + c*d*x)/(4*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2)^2) + (4*a^2*e^3 + c*d*(3*c*d^2 + 7*a*e^2)*x)/(8*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(a + c*x^2)) + (sqrt(c)*d*(3*c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 + 15*a^2*e^4)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*(c*d^2 + a*e^2)^3) + (e^5*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^3 - (e^5*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^3), x, 7),
+(1/((d + e*x)^2*(a + c*x^2)^3), (3*e*(c*d^2 - a*e^2)*(c*d^2 + 5*a*e^2))/(8*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)) + (a*e + c*d*x)/(4*a*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)*(a + c*x^2)^2) - (a*e*(c*d^2 - 5*a*e^2) - 3*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2)*x)/(8*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)*(a + c*x^2)) + (3*sqrt(c)*(c^3*d^6 + 5*a*c^2*d^4*e^2 + 15*a^2*c*d^2*e^4 - 5*a^3*e^6)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*(c*d^2 + a*e^2)^4) + (6*c*d*e^5*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^4 - (3*c*d*e^5*log(a + c*x^2))/(c*d^2 + a*e^2)^4, x, 7),
+
+
+((d + e*x)^4/(a + c*x^2)^4, (x*(d + e*x)^4)/(6*a*(a + c*x^2)^3) - ((a*e - 5*c*d*x)*(d + e*x)^3)/(24*a^2*c*(a + c*x^2)^2) - ((5*c*d^2 + a*e^2)*(a*e - c*d*x)*(d + e*x))/(16*a^3*c^2*(a + c*x^2)) + ((c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(16*a^(7//2)*c^(5//2)), x, 4),
+((d + e*x)^3/(a + c*x^2)^4, (x*(d + e*x)^3)/(6*a*(a + c*x^2)^3) - ((2*a*e - 5*c*d*x)*(d + e*x)^2)/(24*a^2*c*(a + c*x^2)^2) - (4*a*e*(5*c*d^2 + a*e^2) - c*d*(15*c*d^2 - a*e^2)*x)/(48*a^3*c^2*(a + c*x^2)) + (d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(16*a^(7//2)*c^(3//2)), x, 4),
+((d + e*x)^2/(a + c*x^2)^4, -(((a*e - c*d*x)*(d + e*x))/(6*a*c*(a + c*x^2)^3)) - (4*a*d*e - (5*c*d^2 + a*e^2)*x)/(24*a^2*c*(a + c*x^2)^2) + ((5*c*d^2 + a*e^2)*x)/(16*a^3*c*(a + c*x^2)) + ((5*c*d^2 + a*e^2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(16*a^(7//2)*c^(3//2)), x, 4),
+((d + e*x)^1/(a + c*x^2)^4, -(a*e - c*d*x)/(6*a*c*(a + c*x^2)^3) + (5*d*x)/(24*a^2*(a + c*x^2)^2) + (5*d*x)/(16*a^3*(a + c*x^2)) + (5*d*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(16*a^(7//2)*sqrt(c)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^1*(a + c*x^2)^4), (a*e + c*d*x)/(6*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2)^3) + (6*a^2*e^3 + c*d*(5*c*d^2 + 11*a*e^2)*x)/(24*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(a + c*x^2)^2) + (8*a^3*e^5 + c*d*(5*c^2*d^4 + 16*a*c*d^2*e^2 + 19*a^2*e^4)*x)/(16*a^3*(c*d^2 + a*e^2)^3*(a + c*x^2)) + (sqrt(c)*d*(5*c^3*d^6 + 21*a*c^2*d^4*e^2 + 35*a^2*c*d^2*e^4 + 35*a^3*e^6)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(16*a^(7//2)*(c*d^2 + a*e^2)^4) + (e^7*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^4 - (e^7*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^4), x, 8),
+(1/((d + e*x)^2*(a + c*x^2)^4), (e*(5*c^3*d^6 + 23*a*c^2*d^4*e^2 + 47*a^2*c*d^2*e^4 - 35*a^3*e^6))/(16*a^3*(c*d^2 + a*e^2)^4*(d + e*x)) + (a*e + c*d*x)/(6*a*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)*(a + c*x^2)^3) - (a*e*(c*d^2 - 7*a*e^2) - c*d*(5*c*d^2 + 13*a*e^2)*x)/(24*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)*(a + c*x^2)^2) - (a*e*(5*c*d^2 - 7*a*e^2)*(c*d^2 + 5*a*e^2) - 3*c*d*(5*c^2*d^4 + 18*a*c*d^2*e^2 + 29*a^2*e^4)*x)/(48*a^3*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)*(a + c*x^2)) + (sqrt(c)*(5*c^4*d^8 + 28*a*c^3*d^6*e^2 + 70*a^2*c^2*d^4*e^4 + 140*a^3*c*d^2*e^6 - 35*a^4*e^8)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(16*a^(7//2)*(c*d^2 + a*e^2)^5) + (8*c*d*e^7*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^5 - (4*c*d*e^7*log(a + c*x^2))/(c*d^2 + a*e^2)^5, x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^4*sqrt(a + c*x^2), ((8*c^2*d^4 - 12*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4)*x*sqrt(a + c*x^2))/(16*c^2) + (3*d*e*(d + e*x)^2*(a + c*x^2)^(3//2))/(10*c) + (e*(d + e*x)^3*(a + c*x^2)^(3//2))/(6*c) + (e*(8*d*(13*c*d^2 - 8*a*e^2) + 3*e*(16*c*d^2 - 5*a*e^2)*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(120*c^2) + (a*(8*c^2*d^4 - 12*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(16*c^(5//2)), x, 6),
+((d + e*x)^3*sqrt(a + c*x^2), (d*(4*c*d^2 - 3*a*e^2)*x*sqrt(a + c*x^2))/(8*c) + (e*(d + e*x)^2*(a + c*x^2)^(3//2))/(5*c) + (e*(8*(6*c*d^2 - a*e^2) + 21*c*d*e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(60*c^2) + (a*d*(4*c*d^2 - 3*a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*c^(3//2)), x, 5),
+((d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2), ((4*c*d^2 - a*e^2)*x*sqrt(a + c*x^2))/(8*c) + (5*d*e*(a + c*x^2)^(3//2))/(12*c) + (e*(d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(4*c) + (a*(4*c*d^2 - a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*c^(3//2)), x, 5),
+((d + e*x)^1*sqrt(a + c*x^2), (d*x*sqrt(a + c*x^2))/2 + (e*(a + c*x^2)^(3//2))/(3*c) + (a*d*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*sqrt(c)), x, 4),
+(sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x)^1, sqrt(a + c*x^2)/e - (sqrt(c)*d*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/e^2 - (sqrt(c*d^2 + a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/e^2, x, 6),
+(sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x)^2, -(sqrt(a + c*x^2)/(e*(d + e*x))) + (sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/e^2 + (c*d*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(e^2*sqrt(c*d^2 + a*e^2)), x, 6),
+(sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x)^3, -((a*e - c*d*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^2) - (a*c*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)), x, 3),
+(sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x)^4, -(c*d*(a*e - c*d*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^2) - (e*(a + c*x^2)^(3//2))/(3*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^3) - (a*c^2*d*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)), x, 4),
+(sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x)^5, -((c*(4*c*d^2 - a*e^2)*(a*e - c*d*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^2)) - (e*(a + c*x^2)^(3//2))/(4*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^4) - (5*c*d*e*(a + c*x^2)^(3//2))/(12*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^3) - (a*c^2*(4*c*d^2 - a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(8*(c*d^2 + a*e^2)^(7//2)), x, 5),
+
+
+((d + e*x)^4*(a + c*x^2)^(3//2), (3*a*(16*c^2*d^4 - 16*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4)*x*sqrt(a + c*x^2))/(128*c^2) + ((16*c^2*d^4 - 16*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4)*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(64*c^2) + (11*d*e*(d + e*x)^2*(a + c*x^2)^(5//2))/(56*c) + (e*(d + e*x)^3*(a + c*x^2)^(5//2))/(8*c) + (e*(4*d*(67*c*d^2 - 32*a*e^2) + 5*e*(26*c*d^2 - 7*a*e^2)*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(560*c^2) + (3*a^2*(16*c^2*d^4 - 16*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(128*c^(5//2)), x, 7),
+((d + e*x)^3*(a + c*x^2)^(3//2), (3*a*d*(2*c*d^2 - a*e^2)*x*sqrt(a + c*x^2))/(16*c) + (d*(2*c*d^2 - a*e^2)*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(8*c) + (e*(d + e*x)^2*(a + c*x^2)^(5//2))/(7*c) + (e*(4*(8*c*d^2 - a*e^2) + 15*c*d*e*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(70*c^2) + (3*a^2*d*(2*c*d^2 - a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(16*c^(3//2)), x, 6),
+((d + e*x)^2*(a + c*x^2)^(3//2), (a*(6*c*d^2 - a*e^2)*x*sqrt(a + c*x^2))/(16*c) + ((6*c*d^2 - a*e^2)*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(24*c) + (7*d*e*(a + c*x^2)^(5//2))/(30*c) + (e*(d + e*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(6*c) + (a^2*(6*c*d^2 - a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(16*c^(3//2)), x, 6),
+((d + e*x)^1*(a + c*x^2)^(3//2), (3*a*d*x*sqrt(a + c*x^2))/8 + (d*x*(a + c*x^2)^(3//2))/4 + (e*(a + c*x^2)^(5//2))/(5*c) + (3*a^2*d*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*sqrt(c)), x, 5),
+((a + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^1, ((2*(c*d^2 + a*e^2) - c*d*e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*e^3) + (a + c*x^2)^(3//2)/(3*e) - (sqrt(c)*d*(2*c*d^2 + 3*a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*e^4) - ((c*d^2 + a*e^2)^(3//2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/e^4, x, 7),
+((a + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^2, (-3*c*(2*d - e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*e^3) - (a + c*x^2)^(3//2)/(e*(d + e*x)) + (3*sqrt(c)*(2*c*d^2 + a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*e^4) + (3*c*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/e^4, x, 7),
+((a + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^3, (3*c*(2*d + e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*e^3*(d + e*x)) - (a + c*x^2)^(3//2)/(2*e*(d + e*x)^2) - (3*c^(3//2)*d*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/e^4 - (3*c*(2*c*d^2 + a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(2*e^4*sqrt(c*d^2 + a*e^2)), x, 7),
+((a + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^4, -((c*(d*(2*c*d^2 + a*e^2) + e*(3*c*d^2 + 2*a*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*e^3*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^2)) - (a + c*x^2)^(3//2)/(3*e*(d + e*x)^3) + (c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/e^4 + (c^2*d*(2*c*d^2 + 3*a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(2*e^4*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)), x, 7),
+((a + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^5, (-3*a*c*(a*e - c*d*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^2) - ((a*e - c*d*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(4*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^4) - (3*a^2*c^2*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(8*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)), x, 4),
+((a + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^6, -((3*a*c^2*d*(a*e - c*d*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^2)) - (c*d*(a*e - c*d*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(4*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^4) - (e*(a + c*x^2)^(5//2))/(5*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^5) - (3*a^2*c^3*d*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(8*(c*d^2 + a*e^2)^(7//2)), x, 5),
+((a + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^7, -((a*c^2*(6*c*d^2 - a*e^2)*(a*e - c*d*x)*sqrt(a + c*x^2))/(16*(c*d^2 + a*e^2)^4*(d + e*x)^2)) - (c*(6*c*d^2 - a*e^2)*(a*e - c*d*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(24*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^4) - (e*(a + c*x^2)^(5//2))/(6*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^6) - (7*c*d*e*(a + c*x^2)^(5//2))/(30*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^5) - (a^2*c^3*(6*c*d^2 - a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(16*(c*d^2 + a*e^2)^(9//2)), x, 6),
+
+
+((d + e*x)^4*(a + c*x^2)^(5//2), (a^2*(80*c^2*d^4 - 60*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*x*sqrt(a + c*x^2))/(256*c^2) + (a*(80*c^2*d^4 - 60*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(384*c^2) + ((80*c^2*d^4 - 60*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*x*(a + c*x^2)^(5//2))/(480*c^2) + (13*d*e*(d + e*x)^2*(a + c*x^2)^(7//2))/(90*c) + (e*(d + e*x)^3*(a + c*x^2)^(7//2))/(10*c) + (e*(16*d*(103*c*d^2 - 40*a*e^2) + 7*e*(116*c*d^2 - 27*a*e^2)*x)*(a + c*x^2)^(7//2))/(5040*c^2) + (a^3*(80*c^2*d^4 - 60*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(256*c^(5//2)), x, 8),
+((d + e*x)^3*(a + c*x^2)^(5//2), (5*a^2*d*(8*c*d^2 - 3*a*e^2)*x*sqrt(a + c*x^2))/(128*c) + (5*a*d*(8*c*d^2 - 3*a*e^2)*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(192*c) + (d*(8*c*d^2 - 3*a*e^2)*x*(a + c*x^2)^(5//2))/(48*c) + (e*(d + e*x)^2*(a + c*x^2)^(7//2))/(9*c) + (e*(16*(10*c*d^2 - a*e^2) + 77*c*d*e*x)*(a + c*x^2)^(7//2))/(504*c^2) + (5*a^3*d*(8*c*d^2 - 3*a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(128*c^(3//2)), x, 7),
+((d + e*x)^2*(a + c*x^2)^(5//2), (5*a^2*(8*c*d^2 - a*e^2)*x*sqrt(a + c*x^2))/(128*c) + (5*a*(8*c*d^2 - a*e^2)*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(192*c) + ((8*c*d^2 - a*e^2)*x*(a + c*x^2)^(5//2))/(48*c) + (9*d*e*(a + c*x^2)^(7//2))/(56*c) + (e*(d + e*x)*(a + c*x^2)^(7//2))/(8*c) + (5*a^3*(8*c*d^2 - a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(128*c^(3//2)), x, 7),
+((d + e*x)^1*(a + c*x^2)^(5//2), (5*a^2*d*x*sqrt(a + c*x^2))/16 + (5*a*d*x*(a + c*x^2)^(3//2))/24 + (d*x*(a + c*x^2)^(5//2))/6 + (e*(a + c*x^2)^(7//2))/(7*c) + (5*a^3*d*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(16*sqrt(c)), x, 6),
+((a + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^1, ((8*(c*d^2 + a*e^2)^2 - c*d*e*(4*c*d^2 + 7*a*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*e^5) + ((4*(c*d^2 + a*e^2) - 3*c*d*e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(12*e^3) + (a + c*x^2)^(5//2)/(5*e) - (sqrt(c)*d*(8*c^2*d^4 + 20*a*c*d^2*e^2 + 15*a^2*e^4)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*e^6) - ((c*d^2 + a*e^2)^(5//2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/e^6, x, 8),
+((a + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^2, (-5*c*(8*d*(c*d^2 + a*e^2) - e*(4*c*d^2 + 3*a*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*e^5) - (5*c*(4*d - 3*e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(12*e^3) - (a + c*x^2)^(5//2)/(e*(d + e*x)) + (5*sqrt(c)*(8*c^2*d^4 + 12*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*e^6) + (5*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/e^6, x, 8),
+((a + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^3, (5*c*(4*c*d^2 + a*e^2 - 2*c*d*e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*e^5) + (5*c*(4*d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(6*e^3*(d + e*x)) - (a + c*x^2)^(5//2)/(2*e*(d + e*x)^2) - (5*c^(3//2)*d*(4*c*d^2 + 3*a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*e^6) - (5*c*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(4*c*d^2 + a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(2*e^6), x, 8),
+((a + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^4, (-5*c*(4*c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*e^5*(d + e*x)) + (5*c*(2*d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(6*e^3*(d + e*x)^2) - (a + c*x^2)^(5//2)/(3*e*(d + e*x)^3) + (5*c^(3//2)*(4*c*d^2 + a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*e^6) + (5*c^2*d*(4*c*d^2 + 3*a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(2*e^6*sqrt(c*d^2 + a*e^2)), x, 8),
+((a + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^5, (5*c^2*(8*d*(c*d^2 + a*e^2) + e*(4*c*d^2 + 3*a*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*e^5*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)) - (5*c*(d*(4*c*d^2 + a*e^2) + 3*e*(2*c*d^2 + a*e^2)*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(24*e^3*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^3) - (a + c*x^2)^(5//2)/(4*e*(d + e*x)^4) - (5*c^(5//2)*d*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/e^6 - (5*c^2*(8*c^2*d^4 + 12*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(8*e^6*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)), x, 8),
+((a + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^6, -((c^2*(d*(8*c^2*d^4 + 12*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4) + e*(12*c^2*d^4 + 23*a*c*d^2*e^2 + 8*a^2*e^4)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*e^5*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^2)) - (c*(d*(4*c*d^2 + a*e^2) + e*(7*c*d^2 + 4*a*e^2)*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(12*e^3*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^4) - (a + c*x^2)^(5//2)/(5*e*(d + e*x)^5) + (c^(5//2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/e^6 + (c^3*d*(8*c^2*d^4 + 20*a*c*d^2*e^2 + 15*a^2*e^4)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(8*e^6*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)), x, 8),
+((a + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^7, -((5*a^2*c^2*(a*e - c*d*x)*sqrt(a + c*x^2))/(16*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^2)) - (5*a*c*(a*e - c*d*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(24*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^4) - ((a*e - c*d*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(6*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^6) - (5*a^3*c^3*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(16*(c*d^2 + a*e^2)^(7//2)), x, 5),
+((a + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^8, -((5*a^2*c^3*d*(a*e - c*d*x)*sqrt(a + c*x^2))/(16*(c*d^2 + a*e^2)^4*(d + e*x)^2)) - (5*a*c^2*d*(a*e - c*d*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(24*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^4) - (c*d*(a*e - c*d*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(6*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^6) - (e*(a + c*x^2)^(7//2))/(7*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^7) - (5*a^3*c^4*d*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(16*(c*d^2 + a*e^2)^(9//2)), x, 6),
+((a + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^9, -((5*a^2*c^3*(8*c*d^2 - a*e^2)*(a*e - c*d*x)*sqrt(a + c*x^2))/(128*(c*d^2 + a*e^2)^5*(d + e*x)^2)) - (5*a*c^2*(8*c*d^2 - a*e^2)*(a*e - c*d*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(192*(c*d^2 + a*e^2)^4*(d + e*x)^4) - (c*(8*c*d^2 - a*e^2)*(a*e - c*d*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(48*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^6) - (e*(a + c*x^2)^(7//2))/(8*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^8) - (9*c*d*e*(a + c*x^2)^(7//2))/(56*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^7) - (5*a^3*c^4*(8*c*d^2 - a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(128*(c*d^2 + a*e^2)^(11//2)), x, 7),
+
+
+(sqrt(2 + x^2)/(1 + 4*x), sqrt(2 + x^2)/4 - (1//16)*asinh(x/sqrt(2)) - (1//16)*sqrt(33)*atanh((8 - x)/(sqrt(33)*sqrt(2 + x^2))), x, 5),
+(sqrt(2 + 4*x^2)/(5 + 4*x), sqrt(1 + 2*x^2)/(2*sqrt(2)) - (5//8)*asinh(sqrt(2)*x) - (1//8)*sqrt(33)*atanh((sqrt(2//33)*(2 - 5*x))/sqrt(1 + 2*x^2)), x, 5),
+
+((2 + 3*x)*sqrt(-5 + 7*x^2), x*sqrt(-5 + 7*x^2) + (1//7)*(-5 + 7*x^2)^(3//2) - (5*atanh((sqrt(7)*x)/sqrt(-5 + 7*x^2)))/sqrt(7), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^4/sqrt(a + c*x^2), (7*d*e*(d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2))/(12*c) + (e*(d + e*x)^3*sqrt(a + c*x^2))/(4*c) + (e*(4*d*(19*c*d^2 - 16*a*e^2) + e*(26*c*d^2 - 9*a*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(24*c^2) + ((8*c^2*d^4 - 24*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*c^(5//2)), x, 5),
+((d + e*x)^3/sqrt(a + c*x^2), (e*(d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2))/(3*c) + (e*(4*(4*c*d^2 - a*e^2) + 5*c*d*e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(6*c^2) + (d*(2*c*d^2 - 3*a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*c^(3//2)), x, 4),
+((d + e*x)^2/sqrt(a + c*x^2), (3*d*e*sqrt(a + c*x^2))/(2*c) + (e*(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*c) + ((2*c*d^2 - a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*c^(3//2)), x, 4),
+((d + e*x)^1/sqrt(a + c*x^2), (e*sqrt(a + c*x^2))/c + (d*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/sqrt(c), x, 3),
+(1/((d + e*x)^1*sqrt(a + c*x^2)), -(atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2)))/sqrt(c*d^2 + a*e^2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2)), -((e*sqrt(a + c*x^2))/((c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x))) - (c*d*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(c*d^2 + a*e^2)^(3//2), x, 3),
+(1/((d + e*x)^3*sqrt(a + c*x^2)), -(e*sqrt(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^2) - (3*c*d*e*sqrt(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)) - (c*(2*c*d^2 - a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^4*sqrt(a + c*x^2)), -(e*sqrt(a + c*x^2))/(3*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^3) - (5*c*d*e*sqrt(a + c*x^2))/(6*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^2) - (c*e*(11*c*d^2 - 4*a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))/(6*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)) - (c^2*d*(2*c*d^2 - 3*a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^(7//2)), x, 5),
+
+
+((d + e*x)^4/(a + c*x^2)^(3//2), -(((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^3)/(a*c*sqrt(a + c*x^2))) - (d*e*(d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2))/(a*c) - (e*(4*d*(c*d^2 - 4*a*e^2) + e*(2*c*d^2 - 3*a*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*a*c^2) + (3*e^2*(4*c*d^2 - a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*c^(5//2)), x, 5),
+((d + e*x)^3/(a + c*x^2)^(3//2), -(((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^2)/(a*c*sqrt(a + c*x^2))) - (e*(2*(c*d^2 - a*e^2) + c*d*e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(a*c^2) + (3*d*e^2*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/c^(3//2), x, 4),
+((d + e*x)^2/(a + c*x^2)^(3//2), -(((a*e - c*d*x)*(d + e*x))/(a*c*sqrt(a + c*x^2))) - (d*e*sqrt(a + c*x^2))/(a*c) + (e^2*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/c^(3//2), x, 4),
+((d + e*x)^1/(a + c*x^2)^(3//2), -((a*e - c*d*x)/(a*c*sqrt(a + c*x^2))), x, 1),
+(1/((d + e*x)^1*(a + c*x^2)^(3//2)), (a*e + c*d*x)/(a*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2)) - (e^2*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(c*d^2 + a*e^2)^(3//2), x, 4),
+(1/((d + e*x)^2*(a + c*x^2)^(3//2)), (a*e + c*d*x)/(a*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (e*(c*d^2 - 2*a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))/(a*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)) - (3*c*d*e^2*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(c*d^2 + a*e^2)^(5//2), x, 4),
+(1/((d + e*x)^3*(a + c*x^2)^(3//2)), (a*e + c*d*x)/(a*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2)) + (e*(2*c*d^2 - 3*a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^2) + (c*d*e*(2*c*d^2 - 13*a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)) - (3*c*e^2*(4*c*d^2 - a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^(7//2)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^4*(a + c*x^2)^(3//2)), (a*e + c*d*x)/(a*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^3*sqrt(a + c*x^2)) + (e*(3*c*d^2 - 4*a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))/(3*a*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^3) + (c*d*e*(6*c*d^2 - 29*a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))/(6*a*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^2) + (c*e*(6*c^2*d^4 - 83*a*c*d^2*e^2 + 16*a^2*e^4)*sqrt(a + c*x^2))/(6*a*(c*d^2 + a*e^2)^4*(d + e*x)) - (5*c^2*d*e^2*(4*c*d^2 - 3*a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^(9//2)), x, 6),
+
+
+((d + e*x)^5/(a + c*x^2)^(5//2), -(((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^4)/(3*a*c*(a + c*x^2)^(3//2))) - (2*(d + e*x)^2*(2*a^2*e^3 - c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2)*x))/(3*a^2*c^2*sqrt(a + c*x^2)) - (e*(4*(c^2*d^4 + 4*a*c*d^2*e^2 - 2*a^2*e^4) + c*d*e*(2*c*d^2 + 7*a*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*a^2*c^3) + (5*d*e^4*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/c^(5//2), x, 5),
+((d + e*x)^4/(a + c*x^2)^(5//2), -(((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^3)/(3*a*c*(a + c*x^2)^(3//2))) - ((d + e*x)*(a*e*(c*d^2 + 3*a*e^2) - 2*c*d*(c*d^2 + 2*a*e^2)*x))/(3*a^2*c^2*sqrt(a + c*x^2)) - (d*e*(2*c*d^2 + 5*a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))/(3*a^2*c^2) + (e^4*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/c^(5//2), x, 5),
+((d + e*x)^3/(a + c*x^2)^(5//2), -((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^2)/(3*a*c*(a + c*x^2)^(3//2)) - (2*(c*d^2 + a*e^2)*(a*e - c*d*x))/(3*a^2*c^2*sqrt(a + c*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^2/(a + c*x^2)^(5//2), (x*(d + e*x)^2)/(3*a*(a + c*x^2)^(3//2)) - (2*d*(a*e - c*d*x))/(3*a^2*c*sqrt(a + c*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^1/(a + c*x^2)^(5//2), -(a*e - c*d*x)/(3*a*c*(a + c*x^2)^(3//2)) + (2*d*x)/(3*a^2*sqrt(a + c*x^2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*(a + c*x^2)^(5//2)), (a*e + c*d*x)/(3*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2)^(3//2)) + (3*a^2*e^3 + c*d*(2*c*d^2 + 5*a*e^2)*x)/(3*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(a + c*x^2)) - (e^4*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(c*d^2 + a*e^2)^(5//2), x, 5),
+(1/((d + e*x)^2*(a + c*x^2)^(5//2)), (a*e + c*d*x)/(3*a*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2)) - (a*e*(c*d^2 - 4*a*e^2) - c*d*(2*c*d^2 + 7*a*e^2)*x)/(3*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (e*(2*c^2*d^4 + 9*a*c*d^2*e^2 - 8*a^2*e^4)*sqrt(a + c*x^2))/(3*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)) - (5*c*d*e^4*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(c*d^2 + a*e^2)^(7//2), x, 5),
+(1/((d + e*x)^3*(a + c*x^2)^(5//2)), (a*e + c*d*x)/(3*a*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^2*(a + c*x^2)^(3//2)) - (a*e*(2*c*d^2 - 5*a*e^2) - c*d*(2*c*d^2 + 9*a*e^2)*x)/(3*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2)) + (e*(4*c^2*d^4 + 24*a*c*d^2*e^2 - 15*a^2*e^4)*sqrt(a + c*x^2))/(6*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^2) + (c*d*e*(4*c^2*d^4 + 28*a*c*d^2*e^2 - 81*a^2*e^4)*sqrt(a + c*x^2))/(6*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^4*(d + e*x)) - (5*c*e^4*(6*c*d^2 - a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^(9//2)), x, 6),
+
+
+((3 + x)/sqrt(1 - x^2), -sqrt(1 - x^2) + 3*asin(x), x, 2),
+((1 + x)/sqrt(4 - x^2), -sqrt(4 - x^2) + asin(x/2), x, 2),
+((2 + x)/sqrt(9 + x^2), sqrt(9 + x^2) + 2*asinh(x/3), x, 2),
+
+((a + b*x)^2/sqrt(1 - x^2), (-(3//2))*a*b*sqrt(1 - x^2) - (1//2)*b*(a + b*x)*sqrt(1 - x^2) + (1//2)*(2*a^2 + b^2)*asin(x), x, 3),
+((a + b*x)^2/sqrt(1 + x^2), (3//2)*a*b*sqrt(1 + x^2) + (1//2)*b*(a + b*x)*sqrt(1 + x^2) + (1//2)*(2*a^2 - b^2)*asinh(x), x, 3),
+
+((2 + 3*x)/(4 + x^2)^(3//2), -((6 - x)/(2*sqrt(4 + x^2))), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (a+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^(5//2)*(a + c*x^2), (2*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^3) - (4*c*d*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^3) + (2*c*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^3), x, 2),
+((d + e*x)^(3//2)*(a + c*x^2), (2*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^3) - (4*c*d*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^3) + (2*c*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^3), x, 2),
+(sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2), (2*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^3) - (4*c*d*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^3) + (2*c*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^3), x, 2),
+((a + c*x^2)/sqrt(d + e*x), (2*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^3 - (4*c*d*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^3) + (2*c*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^3), x, 2),
+((a + c*x^2)/(d + e*x)^(3//2), (-2*(c*d^2 + a*e^2))/(e^3*sqrt(d + e*x)) - (4*c*d*sqrt(d + e*x))/e^3 + (2*c*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^3), x, 2),
+((a + c*x^2)/(d + e*x)^(5//2), (-2*(c*d^2 + a*e^2))/(3*e^3*(d + e*x)^(3//2)) + (4*c*d)/(e^3*sqrt(d + e*x)) + (2*c*sqrt(d + e*x))/e^3, x, 2),
+((a + c*x^2)/(d + e*x)^(7//2), (-2*(c*d^2 + a*e^2))/(5*e^3*(d + e*x)^(5//2)) + (4*c*d)/(3*e^3*(d + e*x)^(3//2)) - (2*c)/(e^3*sqrt(d + e*x)), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^(5//2)*(a + c*x^2)^2, (2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) - (8*c*d*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5) + (4*c*(3*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^5) - (8*c^2*d*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^5), x, 2),
+((d + e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)^2, (2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) - (8*c*d*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) + (4*c*(3*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5) - (8*c^2*d*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^5), x, 2),
+(sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^2, (2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5) - (8*c*d*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) + (4*c*(3*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) - (8*c^2*d*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^5), x, 2),
+((a + c*x^2)^2/sqrt(d + e*x), (2*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x))/e^5 - (8*c*d*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5) + (4*c*(3*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) - (8*c^2*d*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5), x, 2),
+((a + c*x^2)^2/(d + e*x)^(3//2), (-2*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(e^5*sqrt(d + e*x)) - (8*c*d*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^5 + (4*c*(3*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5) - (8*c^2*d*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5), x, 2),
+((a + c*x^2)^2/(d + e*x)^(5//2), (-2*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(3*e^5*(d + e*x)^(3//2)) + (8*c*d*(c*d^2 + a*e^2))/(e^5*sqrt(d + e*x)) + (4*c*(3*c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^5 - (8*c^2*d*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5), x, 2),
+((a + c*x^2)^2/(d + e*x)^(7//2), (-2*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(5*e^5*(d + e*x)^(5//2)) + (8*c*d*(c*d^2 + a*e^2))/(3*e^5*(d + e*x)^(3//2)) - (4*c*(3*c*d^2 + a*e^2))/(e^5*sqrt(d + e*x)) - (8*c^2*d*sqrt(d + e*x))/e^5 + (2*c^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^(5//2)*(a + c*x^2)^3, (2*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) - (4*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^7) + (6*c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7) - (8*c^2*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^7) + (2*c^2*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(15//2))/(5*e^7) - (12*c^3*d*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(19//2))/(19*e^7), x, 2),
+((d + e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)^3, (2*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) - (12*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) + (2*c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^7) - (8*c^2*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7) + (6*c^2*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^7) - (4*c^3*d*(d + e*x)^(15//2))/(5*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^7), x, 2),
+(sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^3, (2*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^7) - (12*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) + (6*c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) - (8*c^2*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^7) + (6*c^2*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7) - (12*c^3*d*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^7), x, 2),
+((a + c*x^2)^3/sqrt(d + e*x), (2*(c*d^2 + a*e^2)^3*sqrt(d + e*x))/e^7 - (4*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2))/e^7 + (6*c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) - (8*c^2*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) + (2*c^2*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^7) - (12*c^3*d*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^7), x, 2),
+((a + c*x^2)^3/(d + e*x)^(3//2), -((2*(c*d^2 + a*e^2)^3)/(e^7*sqrt(d + e*x))) - (12*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x))/e^7 + (2*c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/e^7 - (8*c^2*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) + (6*c^2*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) - (4*c^3*d*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7), x, 2),
+((a + c*x^2)^3/(d + e*x)^(5//2), -((2*(c*d^2 + a*e^2)^3)/(3*e^7*(d + e*x)^(3//2))) + (12*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(e^7*sqrt(d + e*x)) + (6*c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^7 - (8*c^2*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^7) + (6*c^2*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) - (12*c^3*d*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^7), x, 2),
+((a + c*x^2)^3/(d + e*x)^(7//2), -((2*(c*d^2 + a*e^2)^3)/(5*e^7*(d + e*x)^(5//2))) + (4*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(e^7*(d + e*x)^(3//2)) - (6*c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2))/(e^7*sqrt(d + e*x)) - (8*c^2*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^7 + (2*c^2*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/e^7 - (12*c^3*d*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^(5//2)/(a - c*x^2), (-4*d*e*sqrt(d + e*x))/c - (2*e*(d + e*x)^(3//2))/(3*c) - ((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(5//2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*c^(7//4)) + ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(5//2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*c^(7//4)), x, 6),
+((d + e*x)^(3//2)/(a - c*x^2), (-2*e*sqrt(d + e*x))/c - ((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(3//2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*c^(5//4)) + ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(3//2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*c^(5//4)), x, 5),
+(sqrt(d + e*x)/(a - c*x^2), -((sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*c^(3//4))) + (sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*c^(3//4)), x, 4),
+(1/(sqrt(d + e*x)*(a - c*x^2)), -(atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e))/(sqrt(a)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e))) + atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e))/(sqrt(a)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a - c*x^2)), (2*e)/((c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x)) - (c^(1//4)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(3//2)) + (c^(1//4)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(3//2)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(a - c*x^2)), (2*e)/(3*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)) + (4*c*d*e)/((c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) - (c^(3//4)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(5//2)) + (c^(3//4)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(5//2)), x, 6),
+
+((d + e*x)^(5//2)/(a + c*x^2), (4*d*e*sqrt(d + e*x))/c + (2*e*(d + e*x)^(3//2))/(3*c) - (e*(2*c^(3//2)*d^3 + 2*a*sqrt(c)*d*e^2 - (3*c*d^2 - a*e^2)*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(sqrt(2)*c^(7//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (e*(2*c^(3//2)*d^3 + 2*a*sqrt(c)*d*e^2 - (3*c*d^2 - a*e^2)*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(sqrt(2)*c^(7//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (e*(2*c^(3//2)*d^3 + 2*a*sqrt(c)*d*e^2 + (3*c*d^2 - a*e^2)*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(2*sqrt(2)*c^(7//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*(2*c^(3//2)*d^3 + 2*a*sqrt(c)*d*e^2 + (3*c*d^2 - a*e^2)*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(2*sqrt(2)*c^(7//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))), x, 12),
+((d + e*x)^(3//2)/(a + c*x^2), (2*e*sqrt(d + e*x))/c - (e*(c*d^2 + a*e^2 - 2*sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(sqrt(2)*c^(5//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (e*(c*d^2 + a*e^2 - 2*sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(sqrt(2)*c^(5//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (e*(c*d^2 + a*e^2 + 2*sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(2*sqrt(2)*c^(5//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*(c*d^2 + a*e^2 + 2*sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(2*sqrt(2)*c^(5//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))), x, 11),
+(sqrt(d + e*x)/(a + c*x^2), (e*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(sqrt(2)*c^(3//4)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(sqrt(2)*c^(3//4)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (e*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))), x, 10),
+(1/(sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)), (e*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(2*sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (e*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(2*sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))), x, 10),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)), (-2*e)/((c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x)) + (c^(1//4)*e*(2*sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(sqrt(2)*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (c^(1//4)*e*(2*sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(sqrt(2)*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (c^(1//4)*e*(2*sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(2*sqrt(2)*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (c^(1//4)*e*(2*sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(2*sqrt(2)*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))), x, 11),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(a + c*x^2)), (-2*e)/(3*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)) - (4*c*d*e)/((c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) + (c^(3//4)*e*(3*c*d^2 - a*e^2 - 2*sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(sqrt(2)*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (c^(3//4)*e*(3*c*d^2 - a*e^2 - 2*sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(sqrt(2)*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (c^(3//4)*e*(3*c*d^2 - a*e^2 + 2*sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(2*sqrt(2)*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (c^(3//4)*e*(3*c*d^2 - a*e^2 + 2*sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(2*sqrt(2)*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))), x, 12),
+
+
+((d + e*x)^(7//2)/(a - c*x^2)^2, (e*(c*d^2 + 5*a*e^2)*sqrt(d + e*x))/(2*a*c^2) + (d*e*(d + e*x)^(3//2))/(2*a*c) + ((a*e + c*d*x)*(d + e*x)^(5//2))/(2*a*c*(a - c*x^2)) - ((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(5//2)*(2*sqrt(c)*d + 5*sqrt(a)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*c^(9//4)) + ((2*sqrt(c)*d - 5*sqrt(a)*e)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(5//2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*c^(9//4)), x, 7),
+((d + e*x)^(5//2)/(a - c*x^2)^2, (d*e*sqrt(d + e*x))/(2*a*c) + ((a*e + c*d*x)*(d + e*x)^(3//2))/(2*a*c*(a - c*x^2)) - ((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(3//2)*(2*sqrt(c)*d + 3*sqrt(a)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*c^(7//4)) + ((2*sqrt(c)*d - 3*sqrt(a)*e)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(3//2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*c^(7//4)), x, 6),
+((d + e*x)^(3//2)/(a - c*x^2)^2, ((a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x))/(2*a*c*(a - c*x^2)) - (sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(2*sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*c^(5//4)) + ((2*sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*c^(5//4)), x, 5),
+(sqrt(d + e*x)/(a - c*x^2)^2, (x*sqrt(d + e*x))/(2*a*(a - c*x^2)) - (((2*sqrt(c)*d)/sqrt(a) - e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(4*a*c^(3//4)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)) + (((2*sqrt(c)*d)/sqrt(a) + e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(4*a*c^(3//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)), x, 5),
+(1/(sqrt(d + e*x)*(a - c*x^2)^2), -((a*e - c*d*x)*sqrt(d + e*x))/(2*a*(c*d^2 - a*e^2)*(a - c*x^2)) - ((2*sqrt(c)*d - 3*sqrt(a)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*c^(1//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(3//2)) + ((2*sqrt(c)*d + 3*sqrt(a)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*c^(1//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(3//2)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a - c*x^2)^2), -(e*(c*d^2 + 5*a*e^2))/(2*a*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) - (a*e - c*d*x)/(2*a*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x)*(a - c*x^2)) - (c^(1//4)*(2*sqrt(c)*d - 5*sqrt(a)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(5//2)) + (c^(1//4)*(2*sqrt(c)*d + 5*sqrt(a)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(5//2)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(a - c*x^2)^2), -(e*(3*c*d^2 + 7*a*e^2))/(6*a*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2)) - (c*d*e*(c*d^2 + 19*a*e^2))/(2*a*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(d + e*x)) - (a*e - c*d*x)/(2*a*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)*(a - c*x^2)) - (c^(3//4)*(2*sqrt(c)*d - 7*sqrt(a)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(7//2)) + (c^(3//4)*(2*sqrt(c)*d + 7*sqrt(a)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(7//2)), x, 7),
+
+((d + e*x)^(7//2)/(a + c*x^2)^2, -(e*(c*d^2 - 5*a*e^2)*sqrt(d + e*x))/(2*a*c^2) - (d*e*(d + e*x)^(3//2))/(2*a*c) - ((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^(5//2))/(2*a*c*(a + c*x^2)) + (e*(c^2*d^4 - 4*a*c*d^2*e^2 - 5*a^2*e^4 + sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(c*d^2 + 13*a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(4*sqrt(2)*a*c^(9//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*(c^2*d^4 - 4*a*c*d^2*e^2 - 5*a^2*e^4 + sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(c*d^2 + 13*a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(4*sqrt(2)*a*c^(9//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*(c^2*d^4 - 4*a*c*d^2*e^2 - 5*a^2*e^4 - sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(c*d^2 + 13*a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(8*sqrt(2)*a*c^(9//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (e*(c^2*d^4 - 4*a*c*d^2*e^2 - 5*a^2*e^4 - sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(c*d^2 + 13*a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(8*sqrt(2)*a*c^(9//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))), x, 13),
+((d + e*x)^(5//2)/(a + c*x^2)^2, -(d*e*sqrt(d + e*x))/(2*a*c) - ((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^(3//2))/(2*a*c*(a + c*x^2)) + (e*(c^(3//2)*d^3 + a*sqrt(c)*d*e^2 + sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(c*d^2 + 3*a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(4*sqrt(2)*a*c^(7//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*(c^(3//2)*d^3 + a*sqrt(c)*d*e^2 + sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(c*d^2 + 3*a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(4*sqrt(2)*a*c^(7//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*(c^(3//2)*d^3 + a*sqrt(c)*d*e^2 - sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(c*d^2 + 3*a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(8*sqrt(2)*a*c^(7//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (e*(c^(3//2)*d^3 + a*sqrt(c)*d*e^2 - sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(c*d^2 + 3*a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(8*sqrt(2)*a*c^(7//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))), x, 12),
+((d + e*x)^(3//2)/(a + c*x^2)^2, -((a*e - c*d*x)*sqrt(d + e*x))/(2*a*c*(a + c*x^2)) + (e*(c*d^2 + a*e^2 + sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(4*sqrt(2)*a*c^(5//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*(c*d^2 + a*e^2 + sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(4*sqrt(2)*a*c^(5//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*(c*d^2 + a*e^2 - sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(8*sqrt(2)*a*c^(5//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (e*(c*d^2 + a*e^2 - sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(8*sqrt(2)*a*c^(5//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))), x, 11),
+(sqrt(d + e*x)/(a + c*x^2)^2, (x*sqrt(d + e*x))/(2*a*(a + c*x^2)) + (e*(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(4*sqrt(2)*a*c^(3//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(4*sqrt(2)*a*c^(3//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*(d - sqrt(c*d^2 + a*e^2)/sqrt(c))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(8*sqrt(2)*a*c^(1//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (e*(d - sqrt(c*d^2 + a*e^2)/sqrt(c))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(8*sqrt(2)*a*c^(1//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))), x, 11),
+(1/(sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^2), ((a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2)) + (e*(c*d^2 + 3*a*e^2 + sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(4*sqrt(2)*a*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*(c*d^2 + 3*a*e^2 + sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(4*sqrt(2)*a*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*(c*d^2 + 3*a*e^2 - sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(8*sqrt(2)*a*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (e*(c*d^2 + 3*a*e^2 - sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(8*sqrt(2)*a*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))), x, 11),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)^2), (e*(c*d^2 - 5*a*e^2))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) + (a*e + c*d*x)/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)) + (c^(1//4)*e*(c^(3//2)*d^3 + 13*a*sqrt(c)*d*e^2 + (c*d^2 - 5*a*e^2)*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(4*sqrt(2)*a*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (c^(1//4)*e*(c^(3//2)*d^3 + 13*a*sqrt(c)*d*e^2 + (c*d^2 - 5*a*e^2)*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(4*sqrt(2)*a*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (c^(1//4)*e*(c^(3//2)*d^3 + 13*a*sqrt(c)*d*e^2 - (c*d^2 - 5*a*e^2)*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(8*sqrt(2)*a*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (c^(1//4)*e*(c^(3//2)*d^3 + 13*a*sqrt(c)*d*e^2 - (c*d^2 - 5*a*e^2)*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(8*sqrt(2)*a*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))), x, 12),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(a + c*x^2)^2), (e*(3*c*d^2 - 7*a*e^2))/(6*a*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (c*d*e*(c*d^2 - 19*a*e^2))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)^3*sqrt(d + e*x)) + (a*e + c*d*x)/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)) + (c^(3//4)*e*(c^2*d^4 + 34*a*c*d^2*e^2 - 7*a^2*e^4 + sqrt(c)*d*(c*d^2 - 19*a*e^2)*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(4*sqrt(2)*a*(c*d^2 + a*e^2)^(7//2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (c^(3//4)*e*(c^2*d^4 + 34*a*c*d^2*e^2 - 7*a^2*e^4 + sqrt(c)*d*(c*d^2 - 19*a*e^2)*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(4*sqrt(2)*a*(c*d^2 + a*e^2)^(7//2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (c^(3//4)*e*(c^2*d^4 + 34*a*c*d^2*e^2 - 7*a^2*e^4 - sqrt(c)*d*(c*d^2 - 19*a*e^2)*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(8*sqrt(2)*a*(c*d^2 + a*e^2)^(7//2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (c^(3//4)*e*(c^2*d^4 + 34*a*c*d^2*e^2 - 7*a^2*e^4 - sqrt(c)*d*(c*d^2 - 19*a*e^2)*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(8*sqrt(2)*a*(c*d^2 + a*e^2)^(7//2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))), x, 13),
+
+
+((d + e*x)^(7//2)/(a - c*x^2)^3, ((a*e + c*d*x)*(d + e*x)^(5//2))/(4*a*c*(a - c*x^2)^2) + (sqrt(d + e*x)*(a*e*(7*c*d^2 - 5*a*e^2) + 2*c*d*(3*c*d^2 - 2*a*e^2)*x))/(16*a^2*c^2*(a - c*x^2)) - ((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(3//2)*(12*c*d^2 + 18*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e + 5*a*e^2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(9//4)) + ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(3//2)*(12*c*d^2 - 18*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e + 5*a*e^2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(9//4)), x, 6),
+((d + e*x)^(5//2)/(a - c*x^2)^3, ((a*e + c*d*x)*(d + e*x)^(3//2))/(4*a*c*(a - c*x^2)^2) + (3*sqrt(d + e*x)*(a*d*e + (2*c*d^2 - a*e^2)*x))/(16*a^2*c*(a - c*x^2)) - (3*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(4*c*d^2 + 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(7//4)) + (3*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(4*c*d^2 - 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(7//4)), x, 6),
+((d + e*x)^(3//2)/(a - c*x^2)^3, ((a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x))/(4*a*c*(a - c*x^2)^2) - ((a*e - 6*c*d*x)*sqrt(d + e*x))/(16*a^2*c*(a - c*x^2)) - (3*(4*c*d^2 - 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(5//4)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)) + (3*(4*c*d^2 + 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(5//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)), x, 6),
+(sqrt(d + e*x)/(a - c*x^2)^3, (x*sqrt(d + e*x))/(4*a*(a - c*x^2)^2) - (sqrt(d + e*x)*(a*d*e - (6*c*d^2 - 5*a*e^2)*x))/(16*a^2*(c*d^2 - a*e^2)*(a - c*x^2)) - ((12*c*d^2 - 18*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e + 5*a*e^2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(3//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(3//2)) + ((12*c*d^2 + 18*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e + 5*a*e^2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(3//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(3//2)), x, 6),
+(1/(sqrt(d + e*x)*(a - c*x^2)^3), -((a*e - c*d*x)*sqrt(d + e*x))/(4*a*(c*d^2 - a*e^2)*(a - c*x^2)^2) - (sqrt(d + e*x)*(a*e*(c*d^2 - 7*a*e^2) - 6*c*d*(c*d^2 - 2*a*e^2)*x))/(16*a^2*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a - c*x^2)) - (3*(4*c*d^2 - 10*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e + 7*a*e^2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(1//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(5//2)) + (3*(4*c*d^2 + 10*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e + 7*a*e^2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(1//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(5//2)), x, 6),
+
+((d + e*x)^(7//2)/(a + c*x^2)^3, -((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^(5//2))/(4*a*c*(a + c*x^2)^2) - (sqrt(d + e*x)*(a*e*(7*c*d^2 + 5*a*e^2) - 2*c*d*(3*c*d^2 + 2*a*e^2)*x))/(16*a^2*c^2*(a + c*x^2)) + (e*(6*c^2*d^4 + 11*a*c*d^2*e^2 + 5*a^2*e^4 + sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(6*c*d^2 + 8*a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(32*sqrt(2)*a^2*c^(9//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*(6*c^2*d^4 + 11*a*c*d^2*e^2 + 5*a^2*e^4 + sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(6*c*d^2 + 8*a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(32*sqrt(2)*a^2*c^(9//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*(6*c^2*d^4 + 11*a*c*d^2*e^2 + 5*a^2*e^4 - 2*sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(3*c*d^2 + 4*a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(64*sqrt(2)*a^2*c^(9//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (e*(6*c^2*d^4 + 11*a*c*d^2*e^2 + 5*a^2*e^4 - 2*sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(3*c*d^2 + 4*a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(64*sqrt(2)*a^2*c^(9//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))), x, 12),
+((d + e*x)^(5//2)/(a + c*x^2)^3, -((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^(3//2))/(4*a*c*(a + c*x^2)^2) - (3*sqrt(d + e*x)*(a*d*e - (2*c*d^2 + a*e^2)*x))/(16*a^2*c*(a + c*x^2)) + (3*e*(2*c^(3//2)*d^3 + 2*a*sqrt(c)*d*e^2 + sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(2*c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(32*sqrt(2)*a^2*c^(7//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (3*e*(2*c^(3//2)*d^3 + 2*a*sqrt(c)*d*e^2 + sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(2*c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(32*sqrt(2)*a^2*c^(7//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (3*e*(2*c^(3//2)*d^3 + 2*a*sqrt(c)*d*e^2 - sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(2*c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(64*sqrt(2)*a^2*c^(7//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (3*e*(2*c^(3//2)*d^3 + 2*a*sqrt(c)*d*e^2 - sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(2*c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(64*sqrt(2)*a^2*c^(7//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))), x, 12),
+((d + e*x)^(3//2)/(a + c*x^2)^3, -((a*e - c*d*x)*sqrt(d + e*x))/(4*a*c*(a + c*x^2)^2) + ((a*e + 6*c*d*x)*sqrt(d + e*x))/(16*a^2*c*(a + c*x^2)) + (3*e*(2*c*d^2 + a*e^2 + 2*sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(32*sqrt(2)*a^2*c^(5//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (3*e*(2*c*d^2 + a*e^2 + 2*sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(32*sqrt(2)*a^2*c^(5//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (3*e*(2*c*d^2 + a*e^2 - 2*sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(64*sqrt(2)*a^2*c^(5//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (3*e*(2*c*d^2 + a*e^2 - 2*sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(64*sqrt(2)*a^2*c^(5//4)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))), x, 12),
+(sqrt(d + e*x)/(a + c*x^2)^3, (x*sqrt(d + e*x))/(4*a*(a + c*x^2)^2) + (sqrt(d + e*x)*(a*d*e + (6*c*d^2 + 5*a*e^2)*x))/(16*a^2*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2)) + (e*(6*c^(3//2)*d^3 + 8*a*sqrt(c)*d*e^2 + sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(6*c*d^2 + 5*a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(32*sqrt(2)*a^2*c^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*(6*c^(3//2)*d^3 + 8*a*sqrt(c)*d*e^2 + sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(6*c*d^2 + 5*a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(32*sqrt(2)*a^2*c^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (e*(6*c^(3//2)*d^3 + 8*a*sqrt(c)*d*e^2 - sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(6*c*d^2 + 5*a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(64*sqrt(2)*a^2*c^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (e*(6*c^(3//2)*d^3 + 8*a*sqrt(c)*d*e^2 - sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(6*c*d^2 + 5*a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(64*sqrt(2)*a^2*c^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))), x, 12),
+(1/(sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^3), ((a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x))/(4*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2)^2) + (sqrt(d + e*x)*(a*e*(c*d^2 + 7*a*e^2) + 6*c*d*(c*d^2 + 2*a*e^2)*x))/(16*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(a + c*x^2)) + (3*e*(2*c^2*d^4 + 5*a*c*d^2*e^2 + 7*a^2*e^4 + 2*sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(c*d^2 + 2*a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(32*sqrt(2)*a^2*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (3*e*(2*c^2*d^4 + 5*a*c*d^2*e^2 + 7*a^2*e^4 + 2*sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(c*d^2 + 2*a*e^2))*atanh((sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))))/(32*sqrt(2)*a^2*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - (3*e*(2*c^2*d^4 + 5*a*c*d^2*e^2 + 7*a^2*e^4 - 2*sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(c*d^2 + 2*a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(64*sqrt(2)*a^2*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))) + (3*e*(2*c^2*d^4 + 5*a*c*d^2*e^2 + 7*a^2*e^4 - 2*sqrt(c)*d*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(c*d^2 + 2*a*e^2))*log(sqrt(c*d^2 + a*e^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(64*sqrt(2)*a^2*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(c*d^2 + a*e^2))), x, 12),
+
+
+(sqrt(2 + 3*x)/(1 + x^2), -((3*atan((sqrt(2*(2 + sqrt(13))) - 2*sqrt(2 + 3*x))/sqrt(2*(-2 + sqrt(13)))))/sqrt(2*(-2 + sqrt(13)))) + (3*atan((sqrt(2*(2 + sqrt(13))) + 2*sqrt(2 + 3*x))/sqrt(2*(-2 + sqrt(13)))))/sqrt(2*(-2 + sqrt(13))) + (3*log(2 + sqrt(13) + 3*x - sqrt(2*(2 + sqrt(13)))*sqrt(2 + 3*x)))/(2*sqrt(2*(2 + sqrt(13)))) - (3*log(2 + sqrt(13) + 3*x + sqrt(2*(2 + sqrt(13)))*sqrt(2 + 3*x)))/(2*sqrt(2*(2 + sqrt(13)))), x, 10),
+(sqrt(c + d*x)/(1 + x^2), (d*atanh((sqrt(c + sqrt(c^2 + d^2)) - sqrt(2)*sqrt(c + d*x))/sqrt(c - sqrt(c^2 + d^2))))/(sqrt(2)*sqrt(c - sqrt(c^2 + d^2))) - (d*atanh((sqrt(c + sqrt(c^2 + d^2)) + sqrt(2)*sqrt(c + d*x))/sqrt(c - sqrt(c^2 + d^2))))/(sqrt(2)*sqrt(c - sqrt(c^2 + d^2))) + (d*log(c + sqrt(c^2 + d^2) + d*x - sqrt(2)*sqrt(c + sqrt(c^2 + d^2))*sqrt(c + d*x)))/(2*sqrt(2)*sqrt(c + sqrt(c^2 + d^2))) - (d*log(c + sqrt(c^2 + d^2) + d*x + sqrt(2)*sqrt(c + sqrt(c^2 + d^2))*sqrt(c + d*x)))/(2*sqrt(2)*sqrt(c + sqrt(c^2 + d^2))), x, 10),
+
+(sqrt(2 + 3*x)/(1 - x^2), -atan(sqrt(2 + 3*x)) + sqrt(5)*atanh(sqrt(2 + 3*x)/sqrt(5)), x, 4),
+(sqrt(c + d*x)/(1 - x^2), (-sqrt(c - d))*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c - d)) + sqrt(c + d)*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c + d)), x, 4),
+
+(sqrt(2 + 3*x)/(a + b*x^2), (3*atanh((sqrt(2*sqrt(b) + sqrt(9*a + 4*b)) - sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(2 + 3*x))/sqrt(2*sqrt(b) - sqrt(9*a + 4*b))))/(sqrt(2)*b^(3//4)*sqrt(2*sqrt(b) - sqrt(9*a + 4*b))) - (3*atanh((sqrt(2*sqrt(b) + sqrt(9*a + 4*b)) + sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(2 + 3*x))/sqrt(2*sqrt(b) - sqrt(9*a + 4*b))))/(sqrt(2)*b^(3//4)*sqrt(2*sqrt(b) - sqrt(9*a + 4*b))) + (3*log(sqrt(9*a + 4*b) - sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(2*sqrt(b) + sqrt(9*a + 4*b))*sqrt(2 + 3*x) + sqrt(b)*(2 + 3*x)))/(2*sqrt(2)*b^(3//4)*sqrt(2*sqrt(b) + sqrt(9*a + 4*b))) - (3*log(sqrt(9*a + 4*b) + sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(2*sqrt(b) + sqrt(9*a + 4*b))*sqrt(2 + 3*x) + sqrt(b)*(2 + 3*x)))/(2*sqrt(2)*b^(3//4)*sqrt(2*sqrt(b) + sqrt(9*a + 4*b))), x, 10),
+(sqrt(2 + 3*x)/(a - b*x^2), -((sqrt(3*sqrt(a) - 2*sqrt(b))*atan((b^(1//4)*sqrt(2 + 3*x))/sqrt(3*sqrt(a) - 2*sqrt(b))))/(sqrt(a)*b^(3//4))) + (sqrt(3*sqrt(a) + 2*sqrt(b))*atanh((b^(1//4)*sqrt(2 + 3*x))/sqrt(3*sqrt(a) + 2*sqrt(b))))/(sqrt(a)*b^(3//4)), x, 4),
+
+
+(sqrt(1 + x)/(1 + x^2), (-sqrt((1//2)*(1 + sqrt(2))))*atan((sqrt(2*(1 + sqrt(2))) - 2*sqrt(1 + x))/sqrt(2*(-1 + sqrt(2)))) + sqrt((1//2)*(1 + sqrt(2)))*atan((sqrt(2*(1 + sqrt(2))) + 2*sqrt(1 + x))/sqrt(2*(-1 + sqrt(2)))) + log(1 + sqrt(2) + x - sqrt(2*(1 + sqrt(2)))*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(2*(1 + sqrt(2)))) - log(1 + sqrt(2) + x + sqrt(2*(1 + sqrt(2)))*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(2*(1 + sqrt(2)))), x, 10),
+(1/(sqrt(1 + x)*(1 + x^2)), (-(1//2))*sqrt(1 + sqrt(2))*atan((sqrt(2*(1 + sqrt(2))) - 2*sqrt(1 + x))/sqrt(2*(-1 + sqrt(2)))) + (1//2)*sqrt(1 + sqrt(2))*atan((sqrt(2*(1 + sqrt(2))) + 2*sqrt(1 + x))/sqrt(2*(-1 + sqrt(2)))) - log(1 + sqrt(2) + x - sqrt(2*(1 + sqrt(2)))*sqrt(1 + x))/(4*sqrt(1 + sqrt(2))) + log(1 + sqrt(2) + x + sqrt(2*(1 + sqrt(2)))*sqrt(1 + x))/(4*sqrt(1 + sqrt(2))), x, 10),
+
+
+(sqrt(-1 + x)/(1 + x^2)^3, (sqrt(-1 + x)*x)/(4*(1 + x^2)^2) - ((1 - 11*x)*sqrt(-1 + x))/(32*(1 + x^2)) - (1//64)*sqrt((1//2)*(-527 + 373*sqrt(2)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(2))) - 2*sqrt(-1 + x))/sqrt(2*(1 + sqrt(2)))) + (1//64)*sqrt((1//2)*(-527 + 373*sqrt(2)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(2))) + 2*sqrt(-1 + x))/sqrt(2*(1 + sqrt(2)))) - (1//128)*sqrt((1//2)*(527 + 373*sqrt(2)))*log(1 - sqrt(2) - sqrt(2*(-1 + sqrt(2)))*sqrt(-1 + x) - x) + (1//128)*sqrt((1//2)*(527 + 373*sqrt(2)))*log(1 - sqrt(2) + sqrt(2*(-1 + sqrt(2)))*sqrt(-1 + x) - x), x, 12),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (a+c x^2)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
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+
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+((d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2), (2*sqrt(d + e*x)*(3*c*d^2 - 5*a*e^2 + 24*c*d*e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(105*c*e) + (2*e*sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(7*c) + (4*sqrt(-a)*d*(3*c*d^2 - 29*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(105*sqrt(c)*e^2*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (4*sqrt(-a)*(3*c*d^2 - 5*a*e^2)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(105*c^(3//2)*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2), (-4*d*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(15*e) + (2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2))/(5*e) + (4*sqrt(-a)*(c*d^2 - 3*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(15*sqrt(c)*e^2*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (4*sqrt(-a)*d*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(15*sqrt(c)*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(d + e*x), (2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*e) + (4*sqrt(-a)*sqrt(c)*d*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*e^2*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (4*sqrt(-a)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*sqrt(c)*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+(sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x)^(3//2), -((2*sqrt(a + c*x^2))/(e*sqrt(d + e*x))) - (4*sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(e^2*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (4*sqrt(-a)*sqrt(c)*d*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+(sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x)^(5//2), (-2*sqrt(a + c*x^2))/(3*e*(d + e*x)^(3//2)) + (4*c*d*sqrt(a + c*x^2))/(3*e*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x)) + (4*sqrt(-a)*c^(3//2)*d*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*e^2*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (4*sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x)^(7//2), (-2*sqrt(a + c*x^2))/(5*e*(d + e*x)^(5//2)) + (4*c*d*sqrt(a + c*x^2))/(15*e*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)) + (4*c*(c*d^2 - 3*a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))/(15*e*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) + (4*sqrt(-a)*c^(3//2)*(c*d^2 - 3*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(15*e^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (4*sqrt(-a)*c^(3//2)*d*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(15*e^2*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+
+
+((d + e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)^(3//2), (4*sqrt(d + e*x)*(4*c^2*d^4 + 21*a*c*d^2*e^2 - 15*a^2*e^4 - 3*c*d*e*(c*d^2 - 31*a*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(1155*c*e^3) + (2*sqrt(d + e*x)*(c*d^2 - 3*a*e^2 + 28*c*d*e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(231*c*e) + (2*e*sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(11*c) + (32*sqrt(-a)*d*(c*d^2 - 3*a*e^2)*(c*d^2 + 9*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(1155*sqrt(c)*e^4*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (8*sqrt(-a)*(c*d^2 + a*e^2)*(4*c^2*d^4 + 21*a*c*d^2*e^2 - 15*a^2*e^4)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(1155*c^(3//2)*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+(sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2), (4*sqrt(d + e*x)*(4*d*(c*d^2 + 3*a*e^2) - 3*e*(c*d^2 - 7*a*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(315*e^3) - (4*d*sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(21*e) + (2*(d + e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)^(3//2))/(9*e) + (8*sqrt(-a)*(4*c^2*d^4 + 15*a*c*d^2*e^2 - 21*a^2*e^4)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(315*sqrt(c)*e^4*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (32*sqrt(-a)*d*(c*d^2 + a*e^2)*(c*d^2 + 3*a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(315*sqrt(c)*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+((a + c*x^2)^(3//2)/sqrt(d + e*x), (4*sqrt(d + e*x)*(4*c*d^2 + 5*a*e^2 - 3*c*d*e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(35*e^3) + (2*sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(7*e) + (32*sqrt(-a)*sqrt(c)*d*(c*d^2 + 2*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(35*e^4*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (8*sqrt(-a)*(c*d^2 + a*e^2)*(4*c*d^2 + 5*a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(35*sqrt(c)*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+((a + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2), (-4*c*(4*d - 3*e*x)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(5*e^3) - (2*(a + c*x^2)^(3//2))/(e*sqrt(d + e*x)) - (8*sqrt(-a)*sqrt(c)*(4*c*d^2 + 3*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(5*e^4*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (32*sqrt(-a)*sqrt(c)*d*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(5*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+((a + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(5//2), (4*c*(4*d + e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*e^3*sqrt(d + e*x)) - (2*(a + c*x^2)^(3//2))/(3*e*(d + e*x)^(3//2)) + (32*sqrt(-a)*c^(3//2)*d*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*e^4*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (8*sqrt(-a)*sqrt(c)*(4*c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+((a + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(7//2), -((4*c*(2*d*(2*c*d^2 + a*e^2) + e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(5*e^3*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))) - (2*(a + c*x^2)^(3//2))/(5*e*(d + e*x)^(5//2)) - (8*sqrt(-a)*c^(3//2)*(4*c*d^2 + 3*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(5*e^4*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (32*sqrt(-a)*c^(3//2)*d*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(5*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+((a + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(9//2), (32*c^2*d*(c*d^2 + 2*a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))/(35*e^3*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) - (4*c*(2*d*(2*c*d^2 + a*e^2) + e*(7*c*d^2 + 5*a*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(35*e^3*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(a + c*x^2)^(3//2))/(7*e*(d + e*x)^(7//2)) + (32*sqrt(-a)*c^(5//2)*d*(c*d^2 + 2*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(35*e^4*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (8*sqrt(-a)*c^(3//2)*(4*c*d^2 + 5*a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(35*e^4*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+
+
+(sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^(5//2), (8*sqrt(d + e*x)*(d*(32*c^2*d^4 + 113*a*c*d^2*e^2 + 177*a^2*e^4) - 3*e*(8*c^2*d^4 + 27*a*c*d^2*e^2 - 77*a^2*e^4)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(9009*e^5) + (20*sqrt(d + e*x)*(4*d*(2*c*d^2 + 5*a*e^2) - 7*e*(c*d^2 - 11*a*e^2)*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(9009*e^3) - (20*d*sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(143*e) + (2*(d + e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)^(5//2))/(13*e) + (16*sqrt(-a)*(32*c^3*d^6 + 137*a*c^2*d^4*e^2 + 258*a^2*c*d^2*e^4 - 231*a^3*e^6)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(9009*sqrt(c)*e^6*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (16*sqrt(-a)*d*(c*d^2 + a*e^2)*(32*c^2*d^4 + 113*a*c*d^2*e^2 + 177*a^2*e^4)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(9009*sqrt(c)*e^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 9),
+((a + c*x^2)^(5//2)/sqrt(d + e*x), (8*sqrt(d + e*x)*(32*c^2*d^4 + 69*a*c*d^2*e^2 + 45*a^2*e^4 - 24*c*d*e*(c*d^2 + 2*a*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(693*e^5) + (20*sqrt(d + e*x)*(8*c*d^2 + 9*a*e^2 - 7*c*d*e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(693*e^3) + (2*sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(11*e) + (16*sqrt(-a)*sqrt(c)*d*(32*c^2*d^4 + 93*a*c*d^2*e^2 + 93*a^2*e^4)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(693*e^6*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (16*sqrt(-a)*(c*d^2 + a*e^2)*(32*c^2*d^4 + 69*a*c*d^2*e^2 + 45*a^2*e^4)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(693*sqrt(c)*e^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+((a + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(3//2), (-8*c*sqrt(d + e*x)*(d*(32*c*d^2 + 33*a*e^2) - 3*e*(8*c*d^2 + 7*a*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(63*e^5) - (20*c*(8*d - 7*e*x)*sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(63*e^3) - (2*(a + c*x^2)^(5//2))/(e*sqrt(d + e*x)) - (16*sqrt(-a)*sqrt(c)*(32*c^2*d^4 + 57*a*c*d^2*e^2 + 21*a^2*e^4)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(63*e^6*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (16*sqrt(-a)*sqrt(c)*d*(c*d^2 + a*e^2)*(32*c*d^2 + 33*a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(63*e^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+((a + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2), (8*c*sqrt(d + e*x)*(32*c*d^2 + 5*a*e^2 - 24*c*d*e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(21*e^5) + (20*c*(8*d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(21*e^3*sqrt(d + e*x)) - (2*(a + c*x^2)^(5//2))/(3*e*(d + e*x)^(3//2)) + (16*sqrt(-a)*c^(3//2)*d*(32*c*d^2 + 29*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(21*e^6*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (16*sqrt(-a)*sqrt(c)*(c*d^2 + a*e^2)*(32*c*d^2 + 5*a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(21*e^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+((a + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(7//2), (-8*c*(32*c*d^2 + 9*a*e^2 + 8*c*d*e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(15*e^5*sqrt(d + e*x)) + (4*c*(8*d + 3*e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(15*e^3*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(a + c*x^2)^(5//2))/(5*e*(d + e*x)^(5//2)) - (16*sqrt(-a)*c^(3//2)*(32*c*d^2 + 9*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(15*e^6*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (16*sqrt(-a)*c^(3//2)*d*(32*c*d^2 + 17*a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(15*e^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+((a + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(9//2), (8*c^2*(d*(32*c*d^2 + 29*a*e^2) + e*(8*c*d^2 + 5*a*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(21*e^5*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x)) - (4*c*(2*d*(4*c*d^2 + a*e^2) + e*(11*c*d^2 + 5*a*e^2)*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(21*e^3*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(a + c*x^2)^(5//2))/(7*e*(d + e*x)^(7//2)) + (16*sqrt(-a)*c^(5//2)*d*(32*c*d^2 + 29*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(21*e^6*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (16*sqrt(-a)*c^(3//2)*(32*c*d^2 + 5*a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(21*e^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+((a + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(11//2), -((8*c^2*(d*(32*c^2*d^4 + 49*a*c*d^2*e^2 + 9*a^2*e^4) + e*(40*c^2*d^4 + 69*a*c*d^2*e^2 + 21*a^2*e^4)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(63*e^5*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2))) - (4*c*(2*d*(4*c*d^2 + a*e^2) + e*(13*c*d^2 + 7*a*e^2)*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(63*e^3*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(7//2)) - (2*(a + c*x^2)^(5//2))/(9*e*(d + e*x)^(9//2)) - (16*sqrt(-a)*c^(5//2)*(32*c^2*d^4 + 57*a*c*d^2*e^2 + 21*a^2*e^4)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(63*e^6*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (16*sqrt(-a)*c^(5//2)*d*(32*c*d^2 + 33*a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(63*e^6*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^(7//2)/sqrt(a + c*x^2), (2*e*(71*c*d^2 - 25*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(105*c^2) + (24*d*e*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2))/(35*c) + (2*e*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a + c*x^2))/(7*c) - (32*sqrt(-a)*d*(11*c*d^2 - 13*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(105*c^(3//2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (2*sqrt(-a)*(71*c*d^2 - 25*a*e^2)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(105*c^(5//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+((d + e*x)^(5//2)/sqrt(a + c*x^2), (16*d*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(15*c) + (2*e*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2))/(5*c) - (2*sqrt(-a)*(23*c*d^2 - 9*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(15*c^(3//2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (16*sqrt(-a)*d*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(15*c^(3//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^(3//2)/sqrt(a + c*x^2), (2*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*c) - (8*sqrt(-a)*d*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*sqrt(c)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (2*sqrt(-a)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*c^(3//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(a + c*x^2), (-2*sqrt(-a)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(sqrt(c)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)), x, 2),
+(1/(sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), (-2*sqrt(-a)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(sqrt(c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2)), (-2*e*sqrt(a + c*x^2))/((c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/((c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*sqrt(a + c*x^2)), (-2*e*sqrt(a + c*x^2))/(3*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)) - (8*c*d*e*sqrt(a + c*x^2))/(3*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) - (8*sqrt(-a)*c^(3//2)*d*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (2*sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(1/((d + e*x)^(7//2)*sqrt(a + c*x^2)), (-2*e*sqrt(a + c*x^2))/(5*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2)) - (16*c*d*e*sqrt(a + c*x^2))/(15*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2)) - (2*c*e*(23*c*d^2 - 9*a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))/(15*(c*d^2 + a*e^2)^3*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(-a)*c^(3//2)*(23*c*d^2 - 9*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(15*(c*d^2 + a*e^2)^3*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (16*sqrt(-a)*c^(3//2)*d*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(15*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+
+
+((d + e*x)^(7//2)/(a + c*x^2)^(3//2), -(((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a*c*sqrt(a + c*x^2))) - (e*(3*c*d^2 - 5*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*a*c^2) - (d*e*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2))/(a*c) - (d*(3*c*d^2 - 29*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*sqrt(-a)*c^(3//2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + ((3*c*d^2 - 5*a*e^2)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*sqrt(-a)*c^(5//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+((d + e*x)^(5//2)/(a + c*x^2)^(3//2), -(((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a*c*sqrt(a + c*x^2))) - (d*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(a*c) - ((c*d^2 - 3*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(sqrt(-a)*c^(3//2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (d*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(sqrt(-a)*c^(3//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^(3//2)/(a + c*x^2)^(3//2), -(((a*e - c*d*x)*sqrt(d + e*x))/(a*c*sqrt(a + c*x^2))) - (d*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + ((c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(sqrt(-a)*c^(3//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+(sqrt(d + e*x)/(a + c*x^2)^(3//2), (x*sqrt(d + e*x))/(a*sqrt(a + c*x^2)) - (sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (d*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(1/(sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2)), ((a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x))/(a*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2)) - (sqrt(c)*d*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(sqrt(-a)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)^(3//2)), (a*e + c*d*x)/(a*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (e*(c*d^2 - 3*a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))/(a*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) - (sqrt(c)*(c*d^2 - 3*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(sqrt(-a)*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (sqrt(c)*d*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(sqrt(-a)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(a + c*x^2)^(3//2)), (a*e + c*d*x)/(a*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2)) + (e*(3*c*d^2 - 5*a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))/(3*a*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (c*d*e*(3*c*d^2 - 29*a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))/(3*a*(c*d^2 + a*e^2)^3*sqrt(d + e*x)) - (c^(3//2)*d*(3*c*d^2 - 29*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*sqrt(-a)*(c*d^2 + a*e^2)^3*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (sqrt(c)*(3*c*d^2 - 5*a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*sqrt(-a)*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+
+
+((d + e*x)^(9//2)/(a + c*x^2)^(5//2), -(((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^(7//2))/(3*a*c*(a + c*x^2)^(3//2))) - ((d + e*x)^(3//2)*(a*e*(c*d^2 + 7*a*e^2) - 2*c*d*(2*c*d^2 + 5*a*e^2)*x))/(6*a^2*c^2*sqrt(a + c*x^2)) - (2*d*e*(c*d^2 + 3*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*a^2*c^2) + ((4*c^2*d^4 + 15*a*c*d^2*e^2 - 21*a^2*e^4)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(6*(-a)^(3//2)*c^(5//2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (2*d*(c*d^2 + a*e^2)*(c*d^2 + 3*a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(3*(-a)^(3//2)*c^(5//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+((d + e*x)^(7//2)/(a + c*x^2)^(5//2), -(((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^(5//2))/(3*a*c*(a + c*x^2)^(3//2))) - (sqrt(d + e*x)*(a*e*(3*c*d^2 + 5*a*e^2) - 2*c*d*(2*c*d^2 + 3*a*e^2)*x))/(6*a^2*c^2*sqrt(a + c*x^2)) + (2*d*(c*d^2 + 2*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(3*(-a)^(3//2)*c^(3//2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - ((c*d^2 + a*e^2)*(4*c*d^2 + 5*a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(6*(-a)^(3//2)*c^(5//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^(5//2)/(a + c*x^2)^(5//2), -((a*e - c*d*x)*(d + e*x)^(3//2))/(3*a*c*(a + c*x^2)^(3//2)) - (sqrt(d + e*x)*(a*d*e - (4*c*d^2 + 3*a*e^2)*x))/(6*a^2*c*sqrt(a + c*x^2)) + ((4*c*d^2 + 3*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(6*(-a)^(3//2)*c^(3//2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (2*d*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*(-a)^(3//2)*c^(3//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^(3//2)/(a + c*x^2)^(5//2), -((a*e - c*d*x)*sqrt(d + e*x))/(3*a*c*(a + c*x^2)^(3//2)) + ((a*e + 4*c*d*x)*sqrt(d + e*x))/(6*a^2*c*sqrt(a + c*x^2)) + (2*d*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*(-a)^(3//2)*sqrt(c)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - ((4*c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(6*(-a)^(3//2)*c^(3//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(sqrt(d + e*x)/(a + c*x^2)^(5//2), (x*sqrt(d + e*x))/(3*a*(a + c*x^2)^(3//2)) + (sqrt(d + e*x)*(a*d*e + (4*c*d^2 + 3*a*e^2)*x))/(6*a^2*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2)) + ((4*c*d^2 + 3*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(6*(-a)^(3//2)*sqrt(c)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (2*d*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*(-a)^(3//2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(1/(sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^(5//2)), ((a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x))/(3*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2)^(3//2)) + (sqrt(d + e*x)*(a*e*(c*d^2 + 5*a*e^2) + 4*c*d*(c*d^2 + 2*a*e^2)*x))/(6*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(a + c*x^2)) + (2*sqrt(c)*d*(c*d^2 + 2*a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*(-a)^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - ((4*c*d^2 + 5*a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(6*(-a)^(3//2)*sqrt(c)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)^(5//2)), (a*e + c*d*x)/(3*a*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2)) - (a*e*(c*d^2 - 7*a*e^2) - 4*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2)*x)/(6*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (e*(4*c^2*d^4 + 15*a*c*d^2*e^2 - 21*a^2*e^4)*sqrt(a + c*x^2))/(6*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^3*sqrt(d + e*x)) + (sqrt(c)*(4*c^2*d^4 + 15*a*c*d^2*e^2 - 21*a^2*e^4)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(6*(-a)^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)^3*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (2*sqrt(c)*d*(c*d^2 + 3*a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e)))/(3*(-a)^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+c x^2)^(p/3) with c d^2-3 a e^2=0
+
+
+(1/((d + e*x)*(d^2 + 3*e^2*x^2)^(1//3)), -(atan(1/sqrt(3) + (2^(2//3)*(d - e*x))/(sqrt(3)*d^(1//3)*(d^2 + 3*e^2*x^2)^(1//3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*d^(2//3)*e)) - log(d + e*x)/(2*2^(2//3)*d^(2//3)*e) + log(3*d*e^2 - 3*e^3*x - 3*2^(1//3)*d^(1//3)*e^2*(d^2 + 3*e^2*x^2)^(1//3))/(2*2^(2//3)*d^(2//3)*e), x, 1),
+
+
+((2 + 3*x)^3/(4 + 27*x^2)^(1//3), (1//30)*(2 + 3*x)^2*(4 + 27*x^2)^(2//3) + (4//35)*(7 + 4*x)*(4 + 27*x^2)^(2//3) - (96*x)/(7*(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))) + (16*2^(1//3)*sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 + 27*x^2)^(1//3) + (4 + 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(21*3^(3//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2))) - (32*2^(5//6)*(2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 + 27*x^2)^(1//3) + (4 + 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(63*3^(1//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2))), x, 6),
+((2 + 3*x)^2/(4 + 27*x^2)^(1//3), (5//21)*(4 + 27*x^2)^(2//3) + (1//21)*(2 + 3*x)*(4 + 27*x^2)^(2//3) - (72*x)/(7*(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))) + (4*2^(1//3)*sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 + 27*x^2)^(1//3) + (4 + 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*3^(3//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2))) - (8*2^(5//6)*(2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 + 27*x^2)^(1//3) + (4 + 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(21*3^(1//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2))), x, 6),
+((2 + 3*x)^1/(4 + 27*x^2)^(1//3), (1//12)*(4 + 27*x^2)^(2//3) - (6*x)/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3)) + (2^(1//3)*sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 + 27*x^2)^(1//3) + (4 + 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(3//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2))) - (2*2^(5//6)*(2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 + 27*x^2)^(1//3) + (4 + 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(9*3^(1//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2))), x, 5),
+(1/((2 + 3*x)^1*(4 + 27*x^2)^(1//3)), -(atan(1/sqrt(3) + (2^(1//3)*(2 - 3*x))/(sqrt(3)*(4 + 27*x^2)^(1//3)))/(6*2^(1//3)*sqrt(3))) - log(2 + 3*x)/(12*2^(1//3)) + log(54 - 81*x - 27*2^(2//3)*(4 + 27*x^2)^(1//3))/(12*2^(1//3)), x, 1),
+(1/((2 + 3*x)^2*(4 + 27*x^2)^(1//3)), -((4 + 27*x^2)^(2//3)/(48*(2 + 3*x))) - (3*x)/(16*(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))) - atan(1/sqrt(3) + (2^(1//3)*(2 - 3*x))/(sqrt(3)*(4 + 27*x^2)^(1//3)))/(24*2^(1//3)*sqrt(3)) + (sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 + 27*x^2)^(1//3) + (4 + 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(48*2^(2//3)*3^(3//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2))) - ((2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 + 27*x^2)^(1//3) + (4 + 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(72*2^(1//6)*3^(1//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2))) - log(2 + 3*x)/(48*2^(1//3)) + log(54 - 81*x - 27*2^(2//3)*(4 + 27*x^2)^(1//3))/(48*2^(1//3)), x, 7),
+(1/((2 + 3*x)^3*(4 + 27*x^2)^(1//3)), -((4 + 27*x^2)^(2//3)/(96*(2 + 3*x)^2)) - (4 + 27*x^2)^(2//3)/(96*(2 + 3*x)) - (3*x)/(32*(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))) - atan(1/sqrt(3) + (2^(1//3)*(2 - 3*x))/(sqrt(3)*(4 + 27*x^2)^(1//3)))/(96*2^(1//3)*sqrt(3)) + (sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 + 27*x^2)^(1//3) + (4 + 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(96*2^(2//3)*3^(3//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2))) - ((2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 + 27*x^2)^(1//3) + (4 + 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(144*2^(1//6)*3^(1//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 + 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 + 27*x^2)^(1//3))^2))) - log(2 + 3*x)/(192*2^(1//3)) + log(54 - 81*x - 27*2^(2//3)*(4 + 27*x^2)^(1//3))/(192*2^(1//3)), x, 8),
+
+
+((2 + 3*I*x)^3/(4 - 27*x^2)^(1//3), (-(4//35))*(7*I - 4*x)*(4 - 27*x^2)^(2//3) - (1//30)*I*(2 + 3*I*x)^2*(4 - 27*x^2)^(2//3) - (96*x)/(7*(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))) - (16*2^(1//3)*sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 - 27*x^2)^(1//3) + (4 - 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(21*3^(3//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2))) + (32*2^(5//6)*(2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 - 27*x^2)^(1//3) + (4 - 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(63*3^(1//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2))), x, 6),
+((2 + 3*I*x)^2/(4 - 27*x^2)^(1//3), (-(5//21))*I*(4 - 27*x^2)^(2//3) - (1//21)*I*(2 + 3*I*x)*(4 - 27*x^2)^(2//3) - (72*x)/(7*(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))) - (4*2^(1//3)*sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 - 27*x^2)^(1//3) + (4 - 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(7*3^(3//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2))) + (8*2^(5//6)*(2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 - 27*x^2)^(1//3) + (4 - 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(21*3^(1//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2))), x, 6),
+((2 + 3*I*x)^1/(4 - 27*x^2)^(1//3), (-(1//12))*I*(4 - 27*x^2)^(2//3) - (6*x)/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3)) - (2^(1//3)*sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 - 27*x^2)^(1//3) + (4 - 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(3//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2))) + (2*2^(5//6)*(2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 - 27*x^2)^(1//3) + (4 - 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(9*3^(1//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2))), x, 5),
+(1/((2 + 3*I*x)^1*(4 - 27*x^2)^(1//3)), (I*atan(1/sqrt(3) + (2^(1//3)*(2 - 3*I*x))/(sqrt(3)*(4 - 27*x^2)^(1//3))))/(6*2^(1//3)*sqrt(3)) + (I*log(2 + 3*I*x))/(12*2^(1//3)) - (I*log(-54 + 81*I*x + 27*2^(2//3)*(4 - 27*x^2)^(1//3)))/(12*2^(1//3)), x, 1),
+(1/((2 + 3*I*x)^2*(4 - 27*x^2)^(1//3)), (I*(4 - 27*x^2)^(2//3))/(48*(2 + 3*I*x)) - (3*x)/(16*(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))) + (I*atan(1/sqrt(3) + (2^(1//3)*(2 - 3*I*x))/(sqrt(3)*(4 - 27*x^2)^(1//3))))/(24*2^(1//3)*sqrt(3)) - (sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 - 27*x^2)^(1//3) + (4 - 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(48*2^(2//3)*3^(3//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2))) + ((2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 - 27*x^2)^(1//3) + (4 - 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(72*2^(1//6)*3^(1//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2))) + (I*log(2 + 3*I*x))/(48*2^(1//3)) - (I*log(-54 + 81*I*x + 27*2^(2//3)*(4 - 27*x^2)^(1//3)))/(48*2^(1//3)), x, 7),
+(1/((2 + 3*I*x)^3*(4 - 27*x^2)^(1//3)), (I*(4 - 27*x^2)^(2//3))/(96*(2 + 3*I*x)^2) + (I*(4 - 27*x^2)^(2//3))/(96*(2 + 3*I*x)) - (3*x)/(32*(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))) + (I*atan(1/sqrt(3) + (2^(1//3)*(2 - 3*I*x))/(sqrt(3)*(4 - 27*x^2)^(1//3))))/(96*2^(1//3)*sqrt(3)) - (sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 - 27*x^2)^(1//3) + (4 - 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(96*2^(2//3)*3^(3//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2))) + ((2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3) + 2^(2//3)*(4 - 27*x^2)^(1//3) + (4 - 27*x^2)^(2//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(2//3)*(1 + sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(144*2^(1//6)*3^(1//4)*x*sqrt(-((2^(2//3) - (4 - 27*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*(1 - sqrt(3)) - (4 - 27*x^2)^(1//3))^2))) + (I*log(2 + 3*I*x))/(192*2^(1//3)) - (I*log(-54 + 81*I*x + 27*2^(2//3)*(4 - 27*x^2)^(1//3)))/(192*2^(1//3)), x, 8),
+
+
+(1/((sqrt(3) + x)*(1 + x^2)^(1//3)), -(atan(1/sqrt(3) + (2^(2//3)*(sqrt(3) - x))/(3*(1 + x^2)^(1//3)))/(2^(2//3)*sqrt(3))) - log(sqrt(3) + x)/(2*2^(2//3)) + log(sqrt(3) - x - 2^(1//3)*sqrt(3)*(1 + x^2)^(1//3))/(2*2^(2//3)), x, 1),
+(1/((sqrt(3) - x)*(1 + x^2)^(1//3)), atan(1/sqrt(3) + (2^(2//3)*(sqrt(3) + x))/(3*(1 + x^2)^(1//3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)) + log(sqrt(3) - x)/(2*2^(2//3)) - log(sqrt(3) + x - 2^(1//3)*sqrt(3)*(1 + x^2)^(1//3))/(2*2^(2//3)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+c x^2)^(p/3) with c d^2+9 a e^2=0
+
+
+(1/((3 - x)*(1 - x^2)^(1//3)), (-(1//4))*sqrt(3)*atan(1/sqrt(3) - (1 + x)^(2//3)/(sqrt(3)*(1 - x)^(1//3))) - (1//4)*log(3 - x) + (3//8)*log(-(1 - x)^(1//3) - (1//2)*(1 + x)^(2//3)), x, 2),
+
+
+(1/((3 + x)*(1 - x^2)^(1//3)), (1//4)*sqrt(3)*atan(1/sqrt(3) - (1 - x)^(2//3)/(sqrt(3)*(1 + x)^(1//3))) + (1//4)*log(3 + x) - (3//8)*log((-(1//2))*(1 - x)^(2//3) - (1 + x)^(1//3)), x, 2),
+
+
+(1/((d + e*x)*(d^2 - 9*e^2*x^2)^(1//3)), (sqrt(3)*(1 - (9*e^2*x^2)/d^2)^(1//3)*atan(1/sqrt(3) - (1 - (3*e*x)/d)^(2//3)/(sqrt(3)*(1 + (3*e*x)/d)^(1//3))))/(4*e*(d^2 - 9*e^2*x^2)^(1//3)) + ((1 - (9*e^2*x^2)/d^2)^(1//3)*log(d + e*x))/(4*e*(d^2 - 9*e^2*x^2)^(1//3)) - (3*(1 - (9*e^2*x^2)/d^2)^(1//3)*log((-(1//2))*(1 - (3*e*x)/d)^(2//3) - (1 + (3*e*x)/d)^(1//3)))/(8*e*(d^2 - 9*e^2*x^2)^(1//3)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+c x^2)^(p/4)
+
+
+(1/((a + b*x)*(c + d*x^2)^(1//4)), atan((sqrt(b)*(c + d*x^2)^(1//4))/(b^2*c + a^2*d)^(1//4))/(sqrt(b)*(b^2*c + a^2*d)^(1//4)) - atanh((sqrt(b)*(c + d*x^2)^(1//4))/(b^2*c + a^2*d)^(1//4))/(sqrt(b)*(b^2*c + a^2*d)^(1//4)) - (a*c^(1//4)*sqrt(-((d*x^2)/c))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*sqrt(c))/sqrt(b^2*c + a^2*d)), asin((c + d*x^2)^(1//4)/c^(1//4)), -1))/(b*sqrt(b^2*c + a^2*d)*x) + (a*c^(1//4)*sqrt(-((d*x^2)/c))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((b*sqrt(c))/sqrt(b^2*c + a^2*d), asin((c + d*x^2)^(1//4)/c^(1//4)), -1))/(b*sqrt(b^2*c + a^2*d)*x), x, 10),
+
+
+(1/((a + b*x)*(c + d*x^2)^(3//4)), -((sqrt(b)*atan((sqrt(b)*(c + d*x^2)^(1//4))/(b^2*c + a^2*d)^(1//4)))/(b^2*c + a^2*d)^(3//4)) - (sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*(c + d*x^2)^(1//4))/(b^2*c + a^2*d)^(1//4)))/(b^2*c + a^2*d)^(3//4) + (a*c^(1//4)*sqrt(-((d*x^2)/c))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b*sqrt(c))/sqrt(b^2*c + a^2*d)), asin((c + d*x^2)^(1//4)/c^(1//4)), -1))/((b^2*c + a^2*d)*x) + (a*c^(1//4)*sqrt(-((d*x^2)/c))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((b*sqrt(c))/sqrt(b^2*c + a^2*d), asin((c + d*x^2)^(1//4)/c^(1//4)), -1))/((b^2*c + a^2*d)*x), x, 11),
+
+
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)^(1//4)), -((2*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x)*(-(((sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(sqrt(-a) + sqrt(c)*x))/((sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x))))^(1//4)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), 1//4, 1//2, (2*sqrt(-a)*sqrt(c)*(d + e*x))/((sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x))))/((sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^(1//4))), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+c x^2)^(p/6)
+
+
+(1/((1 + x)*(1 + x^2)^(1//6)), x*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1, 1//6, 3//2, x^2, -x^2) - (sqrt(3)*atan((1 - 2^(5//6)*(1 + x^2)^(1//6))/sqrt(3)))/(2*2^(1//6)) + (sqrt(3)*atan((1 + 2^(5//6)*(1 + x^2)^(1//6))/sqrt(3)))/(2*2^(1//6)) - atanh((1 + x^2)^(1//6)/2^(1//6))/2^(1//6) + log(2^(1//3) - 2^(1//6)*(1 + x^2)^(1//6) + (1 + x^2)^(1//3))/(4*2^(1//6)) - log(2^(1//3) + 2^(1//6)*(1 + x^2)^(1//6) + (1 + x^2)^(1//3))/(4*2^(1//6)), x, 15),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+c x^2)^p when m symbolic
+
+
+((d + e*x)^m*(a + c*x^2)^3, ((c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^(1 + m))/(e^7*(1 + m)) - (6*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^(2 + m))/(e^7*(2 + m)) + (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^7*(3 + m)) - (4*c^2*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2)*(d + e*x)^(4 + m))/(e^7*(4 + m)) + (3*c^2*(5*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(5 + m))/(e^7*(5 + m)) - (6*c^3*d*(d + e*x)^(6 + m))/(e^7*(6 + m)) + (c^3*(d + e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(a + c*x^2)^2, ((c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^(1 + m))/(e^5*(1 + m)) - (4*c*d*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^5*(2 + m)) + (2*c*(3*c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^5*(3 + m)) - (4*c^2*d*(d + e*x)^(4 + m))/(e^5*(4 + m)) + (c^2*(d + e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(a + c*x^2)^1, ((c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^3*(1 + m)) - (2*c*d*(d + e*x)^(2 + m))/(e^3*(2 + m)) + (c*(d + e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m/(a + c*x^2)^1, ((d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(2*sqrt(-a)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(1 + m)) - ((d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(2*sqrt(-a)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(1 + m)), x, 4),
+((d + e*x)^m/(a + c*x^2)^2, ((a*e + c*d*x)*(d + e*x)^(1 + m))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2)) - ((c*d^2 + a*e^2*(1 - m) + sqrt(-a)*sqrt(c)*d*e*m)*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(4*(-a)^(3//2)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + m)) + ((c*d^2 + a*e^2*(1 - m) - sqrt(-a)*sqrt(c)*d*e*m)*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(4*(-a)^(3//2)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + m)), x, 5),
+((d + e*x)^m/(a + c*x^2)^3, ((a*e + c*d*x)*(d + e*x)^(1 + m))/(4*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2)^2) + ((d + e*x)^(1 + m)*(a*e*(a*e^2*(3 - m) + c*d^2*(1 + m)) + c*d*(3*c*d^2 + a*e^2*(5 - 2*m))*x))/(8*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(a + c*x^2)) + ((a*sqrt(c)*d*e*(3*c*d^2 + a*e^2*(5 - 2*m))*m - sqrt(-a)*(3*c^2*d^4 + a*c*d^2*e^2*(6 - 2*m - m^2) + a^2*e^4*(3 - 4*m + m^2)))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(16*a^3*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*(1 + m)) + ((a*sqrt(c)*d*e*(3*c*d^2 + a*e^2*(5 - 2*m))*m + sqrt(-a)*(3*c^2*d^4 + a*c*d^2*e^2*(6 - 2*m - m^2) + a^2*e^4*(3 - 4*m + m^2)))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(16*a^3*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*(1 + m)), x, 6),
+
+
+((d + e*x)^m*(a + c*x^2)^(3//2), ((d + e*x)^(1 + m)*(a + c*x^2)^(3//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -(3//2), -(3//2), 2 + m, (d + e*x)/(d - (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)), (d + e*x)/(d + (sqrt(-a)*e)/sqrt(c))))/(e*(1 + m)*(1 - (d + e*x)/(d - (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)))^(3//2)*(1 - (d + e*x)/(d + (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)))^(3//2)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(a + c*x^2)^(1//2), ((d + e*x)^(1 + m)*sqrt(a + c*x^2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -(1//2), -(1//2), 2 + m, (d + e*x)/(d - (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)), (d + e*x)/(d + (sqrt(-a)*e)/sqrt(c))))/(e*(1 + m)*sqrt(1 - (d + e*x)/(d - (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)))*sqrt(1 - (d + e*x)/(d + (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)))), x, 2),
+((d + e*x)^m/(a + c*x^2)^(1//2), ((d + e*x)^(1 + m)*sqrt(1 - (d + e*x)/(d - (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)))*sqrt(1 - (d + e*x)/(d + (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, 1//2, 1//2, 2 + m, (d + e*x)/(d - (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)), (d + e*x)/(d + (sqrt(-a)*e)/sqrt(c))))/(e*(1 + m)*sqrt(a + c*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^m/(a + c*x^2)^(3//2), ((d + e*x)^(1 + m)*(1 - (d + e*x)/(d - (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)))^(3//2)*(1 - (d + e*x)/(d + (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)))^(3//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, 3//2, 3//2, 2 + m, (d + e*x)/(d - (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)), (d + e*x)/(d + (sqrt(-a)*e)/sqrt(c))))/(e*(1 + m)*(a + c*x^2)^(3//2)), x, 2),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+c x^2)^p when p symbolic
+
+
+((d + e*x)^m*(a + c*x^2)^p, ((d + e*x)^(1 + m)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -p, -p, 2 + m, (d + e*x)/(d - (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)), (d + e*x)/(d + (sqrt(-a)*e)/sqrt(c))))/((1 - (d + e*x)/(d - (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)))^p*(1 - (d + e*x)/(d + (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)))^p*(e*(1 + m))), x, 2),
+
+
+((a + c*x^2)^p*(d + e*x)^3, (e*(d + e*x)^2*(a + c*x^2)^(1 + p))/(2*c*(2 + p)) - (e*((3 + 2*p)*(a*e^2 - c*d^2*(5 + 2*p)) - 2*c*d*e*(1 + p)*(3 + p)*x)*(a + c*x^2)^(1 + p))/(2*c^2*(2 + p)*(3 + 5*p + 2*p^2)) - (d*(3*a*e^2 - c*d^2*(3 + 2*p))*x*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((c*x^2)/a)))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(c*(3 + 2*p))), x, 4),
+# {(a + c*x^2)^p*(d + e*x)^2, x, 4, If[$VersionNumber>=8, (d*e*(2 + p)*(a + c*x^2)^(1 + p))/(c*(1 + p)*(3 + 2*p)) + (e*(d + e*x)*(a + c*x^2)^(1 + p))/(c*(3 + 2*p)) - ((a*e^2 - c*d^2*(3 + 2*p))*x*(a + c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((c*x^2)/a)])/((1 + (c*x^2)/a)^p*(c*(3 + 2*p))), (d*e*(2 + p)*(a + c*x^2)^(1 + p))/(c*(3 + 5*p + 2*p^2)) + (e*(d + e*x)*(a + c*x^2)^(1 + p))/(c*(3 + 2*p)) - ((a*e^2 - c*d^2*(3 + 2*p))*x*(a + c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((c*x^2)/a)])/((1 + (c*x^2)/a)^p*(c*(3 + 2*p)))]}
+# {(a + c*x^2)^p*(d + e*x)^1, x, 3, (e*(a + c*x^2)^(1 + p))/(2*c*(1 + p)) + (d*x*(a + c*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 3/2 + p, 3/2, -((c*x^2)/a)])/a, (e*(a + c*x^2)^(1 + p))/(2*c*(1 + p)) + (d*x*(a + c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((c*x^2)/a)])/(1 + (c*x^2)/a)^p}
+# {(a + c*x^2)^p*(d + e*x)^0, x, 2, (x*(a + c*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 3/2 + p, 3/2, -((c*x^2)/a)])/a, (x*(a + c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((c*x^2)/a)])/(1 + (c*x^2)/a)^p}
+((a + c*x^2)^p/(d + e*x)^1, (x*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 1, 3//2, -((c*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (c*x^2)/a)^p*d) - (e*(a + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + c*x^2))/(c*d^2 + a*e^2)))/(2*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + p)), x, 6),
+((a + c*x^2)^p/(d + e*x)^2, (x*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 2, 3//2, -((c*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (c*x^2)/a)^p*d^2) + (e^2*x^3*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -p, 2, 5//2, -((c*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(3*d^4)) - (c*d*e*(a + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + c*x^2))/(c*d^2 + a*e^2)))/((c*d^2 + a*e^2)^2*(1 + p)), x, 8),
+((a + c*x^2)^p/(d + e*x)^3, -((d^2*e*(a + c*x^2)^(1 + p))/(4*(c*d^2 + a*e^2)*(d^2 - e^2*x^2)^2)) + (x*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 3, 3//2, -((c*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (c*x^2)/a)^p*d^3) + (e^2*x^3*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -p, 3, 5//2, -((c*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (c*x^2)/a)^p*d^5) + (c*e*(2*a*e^2 + c*d^2*(1 + p))*(a + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + c*x^2))/(c*d^2 + a*e^2)))/(4*(c*d^2 + a*e^2)^3*(1 + p)) - (3*c^2*d^2*e*(a + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + c*x^2))/(c*d^2 + a*e^2)))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^3*(1 + p)), x, 11),
+
+
+((a + c*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 0), ((d + e*x)^(1 - 2*p)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 - 2*p, -p, -p, 2 - 2*p, (d + e*x)/(d - (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)), (d + e*x)/(d + (sqrt(-a)*e)/sqrt(c))))/((1 - (d + e*x)/(d - (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)))^p*(1 - (d + e*x)/(d + (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)))^p*(e*(1 - 2*p))), x, 2),
+((a + c*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 1), -(((a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-2*p, -p, -p, 1 - 2*p, (d + e*x)/(d - (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)), (d + e*x)/(d + (sqrt(-a)*e)/sqrt(c))))/((d + e*x)^(2*p)*(1 - (d + e*x)/(d - (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)))^p*(1 - (d + e*x)/(d + (sqrt(-a)*e)/sqrt(c)))^p*(2*e*p))), x, 2),
+((a + c*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 2), -(((sqrt(-a) - sqrt(c)*x)*(d + e*x)^(-1 - 2*p)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 - 2*p, -p, -2*p, (2*sqrt(-a)*sqrt(c)*(d + e*x))/((sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x))))/((-(((sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(sqrt(-a) + sqrt(c)*x))/((sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x))))^p*((sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(1 + 2*p)))), x, 1),
+((a + c*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 3), -((e*(a + c*x^2)^(1 + p))/((d + e*x)^(2*(1 + p))*(2*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + p)))) - (c*d*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x)*(d + e*x)^(-1 - 2*p)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 - 2*p, -p, -2*p, (2*sqrt(-a)*sqrt(c)*(d + e*x))/((sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x))))/((-(((sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(sqrt(-a) + sqrt(c)*x))/((sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x))))^p*((sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + 2*p))), x, 2),
+((a + c*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 4), -((e*(d + e*x)^(-3 - 2*p)*(a + c*x^2)^(1 + p))/((c*d^2 + a*e^2)*(3 + 2*p))) - (c*d*e*(2 + p)*(a + c*x^2)^(1 + p))/((d + e*x)^(2*(1 + p))*((c*d^2 + a*e^2)^2*(1 + p)*(3 + 2*p))) + (c*(a*e^2 - c*d^2*(3 + 2*p))*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x)*(d + e*x)^(-1 - 2*p)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 - 2*p, -p, -2*p, (2*sqrt(-a)*sqrt(c)*(d + e*x))/((sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x))))/((-(((sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(sqrt(-a) + sqrt(c)*x))/((sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x))))^p*((sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*(1 + 2*p)*(3 + 2*p))), x, 3),
+((a + c*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 5), -((c*d*e*(3 + p)*(d + e*x)^(-3 - 2*p)*(a + c*x^2)^(1 + p))/((c*d^2 + a*e^2)^2*(2 + p)*(3 + 2*p))) + (c*e*(a*e^2*(3 + 2*p) - c*d^2*(9 + 8*p + 2*p^2))*(a + c*x^2)^(1 + p))/((d + e*x)^(2*(1 + p))*(2*(c*d^2 + a*e^2)^3*(1 + p)*(2 + p)*(3 + 2*p))) - (e*(a + c*x^2)^(1 + p))/((d + e*x)^(2*(2 + p))*(2*(c*d^2 + a*e^2)*(2 + p))) + (c^2*d*(3*a*e^2 - c*d^2*(3 + 2*p))*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x)*(d + e*x)^(-1 - 2*p)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 - 2*p, -p, -2*p, (2*sqrt(-a)*sqrt(c)*(d + e*x))/((sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x))))/((-(((sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(sqrt(-a) + sqrt(c)*x))/((sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x))))^p*((sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3*(1 + 2*p)*(3 + 2*p))), x, 4),
+((a + c*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 6), -((e*(d + e*x)^(-5 - 2*p)*(a + c*x^2)^(1 + p))/((c*d^2 + a*e^2)*(5 + 2*p))) + (c*e*(3*a*e^2*(2 + p) - c*d^2*(18 + 11*p + 2*p^2))*(d + e*x)^(-3 - 2*p)*(a + c*x^2)^(1 + p))/((c*d^2 + a*e^2)^3*(2 + p)*(3 + 2*p)*(5 + 2*p)) + (c^2*d*e*(3 + p)*(a*e^2*(8 + 5*p) - c*d^2*(8 + 7*p + 2*p^2))*(a + c*x^2)^(1 + p))/((d + e*x)^(2*(1 + p))*((c*d^2 + a*e^2)^4*(1 + p)*(2 + p)*(3 + 2*p)*(5 + 2*p))) - (c*d*e*(4 + p)*(a + c*x^2)^(1 + p))/((d + e*x)^(2*(2 + p))*((c*d^2 + a*e^2)^2*(2 + p)*(5 + 2*p))) - (c^2*(3*a^2*e^4 - 6*a*c*d^2*e^2*(5 + 2*p) + c^2*d^4*(15 + 16*p + 4*p^2))*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x)*(d + e*x)^(-1 - 2*p)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 - 2*p, -p, -2*p, (2*sqrt(-a)*sqrt(c)*(d + e*x))/((sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x))))/(-(((sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(sqrt(-a) + sqrt(c)*x))/((sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x))))^p/((sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)^4*(1 + 2*p)*(3 + 2*p)*(5 + 2*p)), x, 5),
+
+
+((3 - 4*x)^n/sqrt(1 - x^2), sqrt(2)*7^n*sqrt(1 + x)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -n, 1//2, 3//2, (4*(1 + x))/7, (1 + x)/2), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p when b=0 and c d^2+a e^2=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (d^2 - e^2 x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((a + b*x)^6/(a^2 - b^2*x^2), -16*a^4*x - (4*a^3*(a + b*x)^2)/b - (4*a^2*(a + b*x)^3)/(3*b) - (a*(a + b*x)^4)/(2*b) - (a + b*x)^5/(5*b) - (32*a^5*log(a - b*x))/b, x, 3),
+((a + b*x)^5/(a^2 - b^2*x^2), -8*a^3*x - (2*a^2*(a + b*x)^2)/b - (2*a*(a + b*x)^3)/(3*b) - (a + b*x)^4/(4*b) - (16*a^4*log(a - b*x))/b, x, 3),
+((a + b*x)^4/(a^2 - b^2*x^2), -4*a^2*x - (a*(a + b*x)^2)/b - (a + b*x)^3/(3*b) - (8*a^3*log(a - b*x))/b, x, 3),
+((a + b*x)^3/(a^2 - b^2*x^2), -3*a*x - (b*x^2)/2 - (4*a^2*log(a - b*x))/b, x, 3),
+((a + b*x)^2/(a^2 - b^2*x^2), -x - (2*a*log(a - b*x))/b, x, 3),
+((a + b*x)^1/(a^2 - b^2*x^2), -(log(a - b*x)/b), x, 2),
+(1/((a + b*x)^1*(a^2 - b^2*x^2)), -(1/(2*a*b*(a + b*x))) + atanh((b*x)/a)/(2*a^2*b), x, 4),
+(1/((a + b*x)^2*(a^2 - b^2*x^2)), -(1/(4*a*b*(a + b*x)^2)) - 1/(4*a^2*b*(a + b*x)) + atanh((b*x)/a)/(4*a^3*b), x, 4),
+(1/((a + b*x)^3*(a^2 - b^2*x^2)), -(1/(6*a*b*(a + b*x)^3)) - 1/(8*a^2*b*(a + b*x)^2) - 1/(8*a^3*b*(a + b*x)) + atanh((b*x)/a)/(8*a^4*b), x, 4),
+(1/((a + b*x)^4*(a^2 - b^2*x^2)), -(1/(8*a*b*(a + b*x)^4)) - 1/(12*a^2*b*(a + b*x)^3) - 1/(16*a^3*b*(a + b*x)^2) - 1/(16*a^4*b*(a + b*x)) + atanh((b*x)/a)/(16*a^5*b), x, 4),
+
+
+((a + b*x)^7/(a^2 - b^2*x^2)^2, 49*a^3*x + (23//2)*a^2*b*x^2 + (7//3)*a*b^2*x^3 + (b^3*x^4)/4 + (32*a^5)/(b*(a - b*x)) + (80*a^4*log(a - b*x))/b, x, 3),
+((a + b*x)^6/(a^2 - b^2*x^2)^2, 17*a^2*x + 3*a*b*x^2 + (b^2*x^3)/3 + (16*a^4)/(b*(a - b*x)) + (32*a^3*log(a - b*x))/b, x, 3),
+((a + b*x)^5/(a^2 - b^2*x^2)^2, 5*a*x + (b*x^2)/2 + (8*a^3)/(b*(a - b*x)) + (12*a^2*log(a - b*x))/b, x, 3),
+((a + b*x)^4/(a^2 - b^2*x^2)^2, x + (4*a^2)/(b*(a - b*x)) + (4*a*log(a - b*x))/b, x, 3),
+((a + b*x)^3/(a^2 - b^2*x^2)^2, (2*a)/(b*(a - b*x)) + log(a - b*x)/b, x, 3),
+((a + b*x)^2/(a^2 - b^2*x^2)^2, 1/(b*(a - b*x)), x, 2),
+((a + b*x)^1/(a^2 - b^2*x^2)^2, 1/(2*a*b*(a - b*x)) + atanh((b*x)/a)/(2*a^2*b), x, 4),
+(1/((a + b*x)^1*(a^2 - b^2*x^2)^2), 1/(8*a^3*b*(a - b*x)) - 1/(8*a^2*b*(a + b*x)^2) - 1/(4*a^3*b*(a + b*x)) + (3*atanh((b*x)/a))/(8*a^4*b), x, 4),
+(1/((a + b*x)^2*(a^2 - b^2*x^2)^2), 1/(16*a^4*b*(a - b*x)) - 1/(12*a^2*b*(a + b*x)^3) - 1/(8*a^3*b*(a + b*x)^2) - 3/(16*a^4*b*(a + b*x)) + atanh((b*x)/a)/(4*a^5*b), x, 4),
+(1/((a + b*x)^3*(a^2 - b^2*x^2)^2), 1/(32*a^5*b*(a - b*x)) - 1/(16*a^2*b*(a + b*x)^4) - 1/(12*a^3*b*(a + b*x)^3) - 3/(32*a^4*b*(a + b*x)^2) - 1/(8*a^5*b*(a + b*x)) + (5*atanh((b*x)/a))/(32*a^6*b), x, 4),
+
+
+((a + b*x)^8/(a^2 - b^2*x^2)^3, -31*a^2*x - 4*a*b*x^2 - (b^2*x^3)/3 + (16*a^5)/(b*(a - b*x)^2) - (80*a^4)/(b*(a - b*x)) - (80*a^3*log(a - b*x))/b, x, 3),
+((a + b*x)^7/(a^2 - b^2*x^2)^3, -7*a*x - (b*x^2)/2 + (8*a^4)/(b*(a - b*x)^2) - (32*a^3)/(b*(a - b*x)) - (24*a^2*log(a - b*x))/b, x, 3),
+((a + b*x)^6/(a^2 - b^2*x^2)^3, -x + (4*a^3)/(b*(a - b*x)^2) - (12*a^2)/(b*(a - b*x)) - (6*a*log(a - b*x))/b, x, 3),
+((a + b*x)^5/(a^2 - b^2*x^2)^3, (2*a^2)/(b*(a - b*x)^2) - (4*a)/(b*(a - b*x)) - log(a - b*x)/b, x, 3),
+((a + b*x)^4/(a^2 - b^2*x^2)^3, x/(a - b*x)^2, x, 2),
+((a + b*x)^3/(a^2 - b^2*x^2)^3, 1/(2*b*(a - b*x)^2), x, 2),
+((a + b*x)^2/(a^2 - b^2*x^2)^3, 1/(4*a*b*(a - b*x)^2) + 1/(4*a^2*b*(a - b*x)) + atanh((b*x)/a)/(4*a^3*b), x, 4),
+((a + b*x)^1/(a^2 - b^2*x^2)^3, 1/(8*a^2*b*(a - b*x)^2) + 1/(4*a^3*b*(a - b*x)) - 1/(8*a^3*b*(a + b*x)) + (3*atanh((b*x)/a))/(8*a^4*b), x, 4),
+(1/((a + b*x)^1*(a^2 - b^2*x^2)^3), 1/(32*a^4*b*(a - b*x)^2) + 1/(8*a^5*b*(a - b*x)) - 1/(24*a^3*b*(a + b*x)^3) - 3/(32*a^4*b*(a + b*x)^2) - 3/(16*a^5*b*(a + b*x)) + (5*atanh((b*x)/a))/(16*a^6*b), x, 4),
+(1/((a + b*x)^2*(a^2 - b^2*x^2)^3), 1/(64*a^5*b*(a - b*x)^2) + 5/(64*a^6*b*(a - b*x)) - 1/(32*a^3*b*(a + b*x)^4) - 1/(16*a^4*b*(a + b*x)^3) - 3/(32*a^5*b*(a + b*x)^2) - 5/(32*a^6*b*(a + b*x)) + (15*atanh((b*x)/a))/(64*a^7*b), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (d^2 - e^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(a^2 - b^2*x^2)*(a + b*x)^4, (21//16)*a^4*x*sqrt(a^2 - b^2*x^2) - (7*a^3*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(8*b) - (21*a^2*(a + b*x)*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(40*b) - (3*a*(a + b*x)^2*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(10*b) - ((a + b*x)^3*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(6*b) + (21*a^6*atan((b*x)/sqrt(a^2 - b^2*x^2)))/(16*b), x, 7),
+(sqrt(a^2 - b^2*x^2)*(a + b*x)^3, (7//8)*a^3*x*sqrt(a^2 - b^2*x^2) - (7*a^2*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(12*b) - (7*a*(a + b*x)*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(20*b) - ((a + b*x)^2*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(5*b) + (7*a^5*atan((b*x)/sqrt(a^2 - b^2*x^2)))/(8*b), x, 6),
+(sqrt(a^2 - b^2*x^2)*(a + b*x)^2, (5//8)*a^2*x*sqrt(a^2 - b^2*x^2) - (5*a*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(12*b) - ((a + b*x)*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(4*b) + (5*a^4*atan((b*x)/sqrt(a^2 - b^2*x^2)))/(8*b), x, 5),
+(sqrt(a^2 - b^2*x^2)*(a + b*x)^1, (1//2)*a*x*sqrt(a^2 - b^2*x^2) - (a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(3*b) + (a^3*atan((b*x)/sqrt(a^2 - b^2*x^2)))/(2*b), x, 4),
+(sqrt(a^2 - b^2*x^2)/(a + b*x)^1, sqrt(a^2 - b^2*x^2)/b + (a*atan((b*x)/sqrt(a^2 - b^2*x^2)))/b, x, 3),
+(sqrt(a^2 - b^2*x^2)/(a + b*x)^2, -((2*sqrt(a^2 - b^2*x^2))/(b*(a + b*x))) - atan((b*x)/sqrt(a^2 - b^2*x^2))/b, x, 3),
+(sqrt(a^2 - b^2*x^2)/(a + b*x)^3, -((a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(3*a*b*(a + b*x)^3)), x, 1),
+(sqrt(a^2 - b^2*x^2)/(a + b*x)^4, -((a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(5*a*b*(a + b*x)^4)) - (a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(15*a^2*b*(a + b*x)^3), x, 2),
+(sqrt(a^2 - b^2*x^2)/(a + b*x)^5, -((a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(7*a*b*(a + b*x)^5)) - (2*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(35*a^2*b*(a + b*x)^4) - (2*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(105*a^3*b*(a + b*x)^3), x, 3),
+(sqrt(a^2 - b^2*x^2)/(a + b*x)^6, -((a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(9*a*b*(a + b*x)^6)) - (a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(21*a^2*b*(a + b*x)^5) - (2*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(105*a^3*b*(a + b*x)^4) - (2*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(315*a^4*b*(a + b*x)^3), x, 4),
+(sqrt(a^2 - b^2*x^2)/(a + b*x)^7, -((a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(11*a*b*(a + b*x)^7)) - (4*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(99*a^2*b*(a + b*x)^6) - (4*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(231*a^3*b*(a + b*x)^5) - (8*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(1155*a^4*b*(a + b*x)^4) - (8*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(3465*a^5*b*(a + b*x)^3), x, 5),
+
+
+((a^2 - b^2*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^3, (9//16)*a^5*x*sqrt(a^2 - b^2*x^2) + (3//8)*a^3*x*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2) - (3*a^2*(a^2 - b^2*x^2)^(5//2))/(10*b) - (3*a*(a + b*x)*(a^2 - b^2*x^2)^(5//2))/(14*b) - ((a + b*x)^2*(a^2 - b^2*x^2)^(5//2))/(7*b) + (9*a^7*atan((b*x)/sqrt(a^2 - b^2*x^2)))/(16*b), x, 7),
+((a^2 - b^2*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^2, (7//16)*a^4*x*sqrt(a^2 - b^2*x^2) + (7//24)*a^2*x*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2) - (7*a*(a^2 - b^2*x^2)^(5//2))/(30*b) - ((a + b*x)*(a^2 - b^2*x^2)^(5//2))/(6*b) + (7*a^6*atan((b*x)/sqrt(a^2 - b^2*x^2)))/(16*b), x, 6),
+((a^2 - b^2*x^2)^(3//2)*(a + b*x)^1, (3//8)*a^3*x*sqrt(a^2 - b^2*x^2) + (1//4)*a*x*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2) - (a^2 - b^2*x^2)^(5//2)/(5*b) + (3*a^5*atan((b*x)/sqrt(a^2 - b^2*x^2)))/(8*b), x, 5),
+((a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(a + b*x)^1, (1//2)*a*x*sqrt(a^2 - b^2*x^2) + (a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(3*b) + (a^3*atan((b*x)/sqrt(a^2 - b^2*x^2)))/(2*b), x, 4),
+((a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(a + b*x)^2, (3*a*sqrt(a^2 - b^2*x^2))/(2*b) + (a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(2*b*(a + b*x)) + (3*a^2*atan((b*x)/sqrt(a^2 - b^2*x^2)))/(2*b), x, 4),
+((a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(a + b*x)^3, -((3*sqrt(a^2 - b^2*x^2))/b) - (2*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(b*(a + b*x)^2) - (3*a*atan((b*x)/sqrt(a^2 - b^2*x^2)))/b, x, 4),
+((a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(a + b*x)^4, (2*sqrt(a^2 - b^2*x^2))/(b*(a + b*x)) - (2*(a^2 - b^2*x^2)^(3//2))/(3*b*(a + b*x)^3) + atan((b*x)/sqrt(a^2 - b^2*x^2))/b, x, 4),
+((a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(a + b*x)^5, -((a^2 - b^2*x^2)^(5//2)/(5*a*b*(a + b*x)^5)), x, 1),
+((a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(a + b*x)^6, -((a^2 - b^2*x^2)^(5//2)/(7*a*b*(a + b*x)^6)) - (a^2 - b^2*x^2)^(5//2)/(35*a^2*b*(a + b*x)^5), x, 2),
+((a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(a + b*x)^7, -((a^2 - b^2*x^2)^(5//2)/(9*a*b*(a + b*x)^7)) - (2*(a^2 - b^2*x^2)^(5//2))/(63*a^2*b*(a + b*x)^6) - (2*(a^2 - b^2*x^2)^(5//2))/(315*a^3*b*(a + b*x)^5), x, 3),
+((a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(a + b*x)^8, -((a^2 - b^2*x^2)^(5//2)/(11*a*b*(a + b*x)^8)) - (a^2 - b^2*x^2)^(5//2)/(33*a^2*b*(a + b*x)^7) - (2*(a^2 - b^2*x^2)^(5//2))/(231*a^3*b*(a + b*x)^6) - (2*(a^2 - b^2*x^2)^(5//2))/(1155*a^4*b*(a + b*x)^5), x, 4),
+((a^2 - b^2*x^2)^(3//2)/(a + b*x)^9, -((a^2 - b^2*x^2)^(5//2)/(13*a*b*(a + b*x)^9)) - (4*(a^2 - b^2*x^2)^(5//2))/(143*a^2*b*(a + b*x)^8) - (4*(a^2 - b^2*x^2)^(5//2))/(429*a^3*b*(a + b*x)^7) - (8*(a^2 - b^2*x^2)^(5//2))/(3003*a^4*b*(a + b*x)^6) - (8*(a^2 - b^2*x^2)^(5//2))/(15015*a^5*b*(a + b*x)^5), x, 5),
+
+
+((d^2 - e^2*x^2)^(7//2)*(d + e*x)^3, (91//256)*d^9*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (91//384)*d^7*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2) + (91//480)*d^5*x*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2) + (13//80)*d^3*x*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2) - (13*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(9//2))/(90*e) - (13*d*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(9//2))/(110*e) - ((d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(9//2))/(11*e) + (91*d^11*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(256*e), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^(7//2)*(d + e*x)^2, (77//256)*d^8*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (77//384)*d^6*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2) + (77//480)*d^4*x*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2) + (11//80)*d^2*x*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2) - (11*d*(d^2 - e^2*x^2)^(9//2))/(90*e) - ((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(9//2))/(10*e) + (77*d^10*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(256*e), x, 8),
+((d^2 - e^2*x^2)^(7//2)*(d + e*x)^1, (35//128)*d^7*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (35//192)*d^5*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2) + (7//48)*d^3*x*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2) + (1//8)*d*x*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2) - (d^2 - e^2*x^2)^(9//2)/(9*e) + (35*d^9*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(128*e), x, 7),
+((d^2 - e^2*x^2)^(7//2)/(d + e*x)^1, (5//16)*d^5*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (5//24)*d^3*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2) + (1//6)*d*x*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2) + (d^2 - e^2*x^2)^(7//2)/(7*e) + (5*d^7*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(16*e), x, 6),
+((d^2 - e^2*x^2)^(7//2)/(d + e*x)^2, (7//16)*d^4*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (7//24)*d^2*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2) + (7*d*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(30*e) + ((d - e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(6*e) + (7*d^6*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(16*e), x, 7),
+((d^2 - e^2*x^2)^(7//2)/(d + e*x)^3, (7//8)*d^3*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (7*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(12*e) + (7*d*(d - e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(20*e) + ((d - e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(5*e) + (7*d^5*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(8*e), x, 7),
+((d^2 - e^2*x^2)^(7//2)/(d + e*x)^4, (35//8)*d^2*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (35*d*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(12*e) + (7*(d - e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(4*e) + (2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(e*(d + e*x)^3) + (35*d^4*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(8*e), x, 7),
+((d^2 - e^2*x^2)^(7//2)/(d + e*x)^5, (-(35//2))*d*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2) - (35*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(3*e) - (14*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(e*(d + e*x)^2) - (2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(e*(d + e*x)^4) - (35*d^3*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e), x, 6),
+((d^2 - e^2*x^2)^(7//2)/(d + e*x)^6, (35*d*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e) + (35*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(6*e*(d + e*x)) + (14*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(3*e*(d + e*x)^3) - (2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(3*e*(d + e*x)^5) + (35*d^2*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e), x, 6),
+((d^2 - e^2*x^2)^(7//2)/(d + e*x)^7, -((7*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e) - (14*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(3*e*(d + e*x)^2) + (14*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(15*e*(d + e*x)^4) - (2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(5*e*(d + e*x)^6) - (7*d*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e, x, 6),
+((d^2 - e^2*x^2)^(7//2)/(d + e*x)^8, (2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(e*(d + e*x)) - (2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(3*e*(d + e*x)^3) + (2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(5*e*(d + e*x)^5) - (2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(7*e*(d + e*x)^7) + atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e, x, 6),
+((d^2 - e^2*x^2)^(7//2)/(d + e*x)^9, -((d^2 - e^2*x^2)^(9//2)/(9*d*e*(d + e*x)^9)), x, 1),
+((d^2 - e^2*x^2)^(7//2)/(d + e*x)^10, -((d^2 - e^2*x^2)^(9//2)/(11*d*e*(d + e*x)^10)) - (d^2 - e^2*x^2)^(9//2)/(99*d^2*e*(d + e*x)^9), x, 2),
+((d^2 - e^2*x^2)^(7//2)/(d + e*x)^11, -((d^2 - e^2*x^2)^(9//2)/(13*d*e*(d + e*x)^11)) - (2*(d^2 - e^2*x^2)^(9//2))/(143*d^2*e*(d + e*x)^10) - (2*(d^2 - e^2*x^2)^(9//2))/(1287*d^3*e*(d + e*x)^9), x, 3),
+((d^2 - e^2*x^2)^(7//2)/(d + e*x)^12, -((d^2 - e^2*x^2)^(9//2)/(15*d*e*(d + e*x)^12)) - (d^2 - e^2*x^2)^(9//2)/(65*d^2*e*(d + e*x)^11) - (2*(d^2 - e^2*x^2)^(9//2))/(715*d^3*e*(d + e*x)^10) - (2*(d^2 - e^2*x^2)^(9//2))/(6435*d^4*e*(d + e*x)^9), x, 4),
+((d^2 - e^2*x^2)^(7//2)/(d + e*x)^13, -((d^2 - e^2*x^2)^(9//2)/(17*d*e*(d + e*x)^13)) - (4*(d^2 - e^2*x^2)^(9//2))/(255*d^2*e*(d + e*x)^12) - (4*(d^2 - e^2*x^2)^(9//2))/(1105*d^3*e*(d + e*x)^11) - (8*(d^2 - e^2*x^2)^(9//2))/(12155*d^4*e*(d + e*x)^10) - (8*(d^2 - e^2*x^2)^(9//2))/(109395*d^5*e*(d + e*x)^9), x, 5),
+
+
+(sqrt(a^2 - b^2*x^2)/(a - b*x)^1, -(sqrt(a^2 - b^2*x^2)/b) + (a*atan((b*x)/sqrt(a^2 - b^2*x^2)))/b, x, 3),
+
+
+((a + b*x)^2*sqrt(-((a^2*c)/b^2) + c*x^2), (5//8)*a^2*x*sqrt(-((a^2*c)/b^2) + c*x^2) + (5*a*b*(-((a^2*c)/b^2) + c*x^2)^(3//2))/(12*c) + (b*(a + b*x)*(-((a^2*c)/b^2) + c*x^2)^(3//2))/(4*c) - (5*a^4*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(-((a^2*c)/b^2) + c*x^2)))/(8*b^2), x, 5),
+((a + b*x)^3*sqrt(-((a^2*c)/b^2) + c*x^2), (7//8)*a^3*x*sqrt(-((a^2*c)/b^2) + c*x^2) + (7*a^2*b*(-((a^2*c)/b^2) + c*x^2)^(3//2))/(12*c) + (7*a*b*(a + b*x)*(-((a^2*c)/b^2) + c*x^2)^(3//2))/(20*c) + (b*(a + b*x)^2*(-((a^2*c)/b^2) + c*x^2)^(3//2))/(5*c) - (7*a^5*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(-((a^2*c)/b^2) + c*x^2)))/(8*b^2), x, 6),
+
+
+((1 + x)*sqrt(-1 + x^2), (1//2)*x*sqrt(-1 + x^2) + (1//3)*(-1 + x^2)^(3//2) - (1//2)*atanh(x/sqrt(-1 + x^2)), x, 4),
+
+
+(sqrt(1 - x^2)*(1 + x), (1//2)*x*sqrt(1 - x^2) - (1//3)*(1 - x^2)^(3//2) + asin(x)/2, x, 3),
+(sqrt(1 - x^2)/(1 + x), sqrt(1 - x^2) + asin(x), x, 2),
+
+
+(sqrt(1 - x^2)*(1 - x), (1//2)*x*sqrt(1 - x^2) + (1//3)*(1 - x^2)^(3//2) + asin(x)/2, x, 3),
+(sqrt(1 - x^2)/(1 - x), -sqrt(1 - x^2) + asin(x), x, 2),
+(sqrt(1 - x^2)/(1 - x)^2, (2*sqrt(1 - x^2))/(1 - x) - asin(x), x, 2),
+(sqrt(1 - x^2)/(1 - x)^3, ((1 - x^2)^(3//2)/(3*(1 - x)^3)), x, 1),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^5/sqrt(d^2 - e^2*x^2), -((63*d^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*e)) - (21*d^3*(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*e) - (21*d^2*(d + e*x)^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(20*e) - (9*d*(d + e*x)^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(20*e) - ((d + e*x)^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*e) + (63*d^5*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(8*e), x, 7),
+((d + e*x)^4/sqrt(d^2 - e^2*x^2), -((35*d^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*e)) - (35*d^2*(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(24*e) - (7*d*(d + e*x)^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(12*e) - ((d + e*x)^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(4*e) + (35*d^4*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(8*e), x, 6),
+((d + e*x)^3/sqrt(d^2 - e^2*x^2), -((5*d^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e)) - (5*d*(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(6*e) - ((d + e*x)^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*e) + (5*d^3*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e), x, 5),
+# {(d + e*x)^2/Sqrt[d^2 - e^2*x^2], x, 4, -((2*d*Sqrt[d^2 - e^2*x^2])/e) - (1/2)*x*Sqrt[d^2 - e^2*x^2] + (3*d^2*ArcTan[(e*x)/Sqrt[d^2 - e^2*x^2]])/(2*e), -((3*d*Sqrt[d^2 - e^2*x^2])/(2*e)) - ((d + e*x)*Sqrt[d^2 - e^2*x^2])/(2*e) + (3*d^2*ArcTan[(e*x)/Sqrt[d^2 - e^2*x^2]])/(2*e)}
+((d + e*x)^1/sqrt(d^2 - e^2*x^2), -(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/e) + (d*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e, x, 3),
+(1/((d + e*x)^1*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d*e*(d + e*x))), x, 1),
+(1/((d + e*x)^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(3*d*e*(d + e*x)^2)) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(3*d^2*e*(d + e*x)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(5*d*e*(d + e*x)^3)) - (2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*d^2*e*(d + e*x)^2) - (2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*d^3*e*(d + e*x)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(7*d*e*(d + e*x)^4)) - (3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(35*d^2*e*(d + e*x)^3) - (2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(35*d^3*e*(d + e*x)^2) - (2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(35*d^4*e*(d + e*x)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(9*d*e*(d + e*x)^5)) - (4*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(63*d^2*e*(d + e*x)^4) - (4*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(105*d^3*e*(d + e*x)^3) - (8*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(315*d^4*e*(d + e*x)^2) - (8*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(315*d^5*e*(d + e*x)), x, 5),
+
+
+((d + e*x)^6/(d^2 - e^2*x^2)^(5//2), (2*(d + e*x)^5)/(3*e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (14*(d + e*x)^3)/(3*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (35*d*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e) - (35*(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(6*e) + (35*d^2*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e), x, 6),
+((d + e*x)^5/(d^2 - e^2*x^2)^(5//2), (2*(d + e*x)^4)/(3*e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (10*(d + e*x)^2)/(3*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (5*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e + (5*d*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e, x, 5),
+((d + e*x)^4/(d^2 - e^2*x^2)^(5//2), (2*(d + e*x)^3)/(3*e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (2*(d + e*x))/(e*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e, x, 4),
+((d + e*x)^3/(d^2 - e^2*x^2)^(5//2), (d + e*x)^3/(3*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)), x, 1),
+((d + e*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^(5//2), (2*(d + e*x))/(3*e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + x/(3*d^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^1/(d^2 - e^2*x^2)^(5//2), (d + e*x)/(3*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (2*x)/(3*d^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)), (4*x)/(15*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - 1/(5*d*e*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (8*x)/(15*d^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)), (4*x)/(21*d^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - 1/(7*d*e*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - 1/(7*d^2*e*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (8*x)/(21*d^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)), (8*x)/(63*d^5*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - 1/(9*d*e*(d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - 2/(21*d^2*e*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - 2/(21*d^3*e*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (16*x)/(63*d^7*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)), (8*x)/(99*d^6*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - 1/(11*d*e*(d + e*x)^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - 7/(99*d^2*e*(d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - 2/(33*d^3*e*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - 2/(33*d^4*e*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (16*x)/(99*d^8*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 6),
+
+
+((d + e*x)^9/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (2*(d + e*x)^8)/(5*e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (22*(d + e*x)^6)/(15*e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (66*(d + e*x)^4)/(5*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (231*d^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e) + (77*d*(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e) + (77*(d + e*x)^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*e) - (231*d^3*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e), x, 8),
+((d + e*x)^8/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (2*(d + e*x)^7)/(5*e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (6*(d + e*x)^5)/(5*e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (42*(d + e*x)^3)/(5*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (63*d*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e) + (21*(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e) - (63*d^2*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e), x, 7),
+((d + e*x)^7/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (2*(d + e*x)^6)/(5*e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (14*(d + e*x)^4)/(15*e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (14*(d + e*x)^2)/(3*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (7*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e - (7*d*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e, x, 6),
+((d + e*x)^6/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (2*(d + e*x)^5)/(5*e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (2*(d + e*x)^3)/(3*e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (2*(d + e*x))/(e*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e, x, 5),
+((d + e*x)^5/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (d + e*x)^5/(5*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)), x, 1),
+((d + e*x)^4/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (d + e*x)^4/(3*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (d + e*x)^5/(15*d^2*e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)), x, 2),
+((d + e*x)^3/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(5*d*e*(d - e*x)^3) + (2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*d^2*e*(d - e*x)^2) + (2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*d^3*e*(d - e*x)), x, 4),
+((d + e*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (2*(d + e*x))/(5*e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + x/(5*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (2*x)/(5*d^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^1/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (d + e*x)/(5*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (4*x)/(15*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (8*x)/(15*d^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^1*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (6*x)/(35*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 1/(7*d*e*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (8*x)/(35*d^5*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (16*x)/(35*d^7*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (2*x)/(15*d^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 1/(9*d*e*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 1/(9*d^2*e*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (8*x)/(45*d^6*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (16*x)/(45*d^8*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (16*x)/(165*d^5*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 1/(11*d*e*(d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 8/(99*d^2*e*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 8/(99*d^3*e*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (64*x)/(495*d^7*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (128*x)/(495*d^9*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^4*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (48*x)/(715*d^6*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 1/(13*d*e*(d + e*x)^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 9/(143*d^2*e*(d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 8/(143*d^3*e*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 8/(143*d^4*e*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (64*x)/(715*d^8*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (128*x)/(715*d^10*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 7),
+(1/((d + e*x)^5*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (32*x)/(715*d^7*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 1/(15*d*e*(d + e*x)^5*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 2/(39*d^2*e*(d + e*x)^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 6/(143*d^3*e*(d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 16/(429*d^4*e*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 16/(429*d^5*e*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (128*x)/(2145*d^9*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (256*x)/(2145*d^11*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 8),
+
+
+((1 + x)/sqrt(1 - x^2), -sqrt(1 - x^2) + asin(x), x, 2),
+((1 - x)/sqrt(1 - x^2), sqrt(1 - x^2) + asin(x), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (c d^2 - c e^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^(5//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(1//2), -((256*d^3*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2))/(315*c*e*(d + e*x)^(3//2))) - (64*d^2*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2))/(105*c*e*sqrt(d + e*x)) - (8*d*sqrt(d + e*x)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2))/(21*c*e) - (2*(d + e*x)^(3//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2))/(9*c*e), x, 4),
+((d + e*x)^(3//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(1//2), -((64*d^2*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2))/(105*c*e*(d + e*x)^(3//2))) - (16*d*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2))/(35*c*e*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(d + e*x)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2))/(7*c*e), x, 3),
+((d + e*x)^(1//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(1//2), -((8*d*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2))/(15*c*e*(d + e*x)^(3//2))) - (2*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2))/(5*c*e*sqrt(d + e*x)), x, 2),
+(1/(d + e*x)^(1//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(1//2), -((2*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2))/(3*c*e*(d + e*x)^(3//2))), x, 1),
+(1/(d + e*x)^(3//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(1//2), (2*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(e*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d)*atanh(sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))))/e, x, 3),
+(1/(d + e*x)^(5//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(1//2), -(sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(e*(d + e*x)^(3//2))) + (sqrt(c)*atanh(sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))))/(sqrt(2)*sqrt(d)*e), x, 3),
+(1/(d + e*x)^(7//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(1//2), -(sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(2*e*(d + e*x)^(5//2))) + sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(8*d*e*(d + e*x)^(3//2)) + (sqrt(c)*atanh(sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))))/(8*sqrt(2)*d^(3//2)*e), x, 4),
+
+
+((d + e*x)^(5//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2), -((4096*d^4*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(5//2))/(15015*c*e*(d + e*x)^(5//2))) - (1024*d^3*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(5//2))/(3003*c*e*(d + e*x)^(3//2)) - (128*d^2*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(5//2))/(429*c*e*sqrt(d + e*x)) - (32*d*sqrt(d + e*x)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(5//2))/(143*c*e) - (2*(d + e*x)^(3//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(5//2))/(13*c*e), x, 5),
+((d + e*x)^(3//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2), -((256*d^3*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(5//2))/(1155*c*e*(d + e*x)^(5//2))) - (64*d^2*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(5//2))/(231*c*e*(d + e*x)^(3//2)) - (8*d*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(5//2))/(33*c*e*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(d + e*x)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(5//2))/(11*c*e), x, 4),
+((d + e*x)^(1//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2), -((64*d^2*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(5//2))/(315*c*e*(d + e*x)^(5//2))) - (16*d*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(5//2))/(63*c*e*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(5//2))/(9*c*e*sqrt(d + e*x)), x, 3),
+(1/(d + e*x)^(1//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2), -((8*d*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(5//2))/(35*c*e*(d + e*x)^(5//2))) - (2*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(5//2))/(7*c*e*(d + e*x)^(3//2)), x, 2),
+(1/(d + e*x)^(3//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2), -((2*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(5//2))/(5*c*e*(d + e*x)^(5//2))), x, 1),
+(1/(d + e*x)^(5//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2), (4*c*d*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(e*sqrt(d + e*x)) + (2*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2))/(3*e*(d + e*x)^(3//2)) - (4*sqrt(2)*c^(3//2)*d^(3//2)*atanh(sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))))/e, x, 4),
+(1/(d + e*x)^(7//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2), -((3*c*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(e*sqrt(d + e*x))) - (c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2)/(e*(d + e*x)^(5//2)) + (3*sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(d)*atanh(sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))))/e, x, 4),
+(1/(d + e*x)^(9//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2), (3*c*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(4*e*(d + e*x)^(3//2)) - (c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2)/(2*e*(d + e*x)^(7//2)) - (3*c^(3//2)*atanh(sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))))/(4*sqrt(2)*sqrt(d)*e), x, 4),
+(1/(d + e*x)^(11//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2), (c*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(4*e*(d + e*x)^(5//2)) - (c*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(16*d*e*(d + e*x)^(3//2)) - (c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2)/(3*e*(d + e*x)^(9//2)) - (c^(3//2)*atanh(sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))))/(16*sqrt(2)*d^(3//2)*e), x, 5),
+(1/(d + e*x)^(13//2)*(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2), (c*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(8*e*(d + e*x)^(7//2)) - (c*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(64*d*e*(d + e*x)^(5//2)) - (3*c*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(256*d^2*e*(d + e*x)^(3//2)) - (c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2)/(4*e*(d + e*x)^(11//2)) - (3*c^(3//2)*atanh(sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))))/(256*sqrt(2)*d^(5//2)*e), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^(7//2)/(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(1//2), -((256*d^3*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(35*c*e*sqrt(d + e*x))) - (64*d^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(35*c*e) - (24*d*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(35*c*e) - (2*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(7*c*e), x, 4),
+((d + e*x)^(5//2)/(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(1//2), -((64*d^2*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(15*c*e*sqrt(d + e*x))) - (16*d*sqrt(d + e*x)*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(15*c*e) - (2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(5*c*e), x, 3),
+((d + e*x)^(3//2)/(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(1//2), -((8*d*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(3*c*e*sqrt(d + e*x))) - (2*sqrt(d + e*x)*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(3*c*e), x, 2),
+((d + e*x)^(1//2)/(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(1//2), -((2*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(c*e*sqrt(d + e*x))), x, 1),
+(1/(d + e*x)^(1//2)/(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(1//2), -((sqrt(2)*atanh(sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))))/(sqrt(c)*sqrt(d)*e)), x, 2),
+(1/(d + e*x)^(3//2)/(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(1//2), -(sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(2*c*d*e*(d + e*x)^(3//2))) - atanh(sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x)))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*d^(3//2)*e), x, 3),
+(1/(d + e*x)^(5//2)/(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(1//2), -(sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(4*c*d*e*(d + e*x)^(5//2))) - (3*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))/(16*c*d^2*e*(d + e*x)^(3//2)) - (3*atanh(sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))))/(16*sqrt(2)*sqrt(c)*d^(5//2)*e), x, 4),
+
+
+((d + e*x)^(9//2)/(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2), (256*d^3*sqrt(d + e*x))/(5*c*e*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)) - (64*d^2*(d + e*x)^(3//2))/(5*c*e*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)) - (8*d*(d + e*x)^(5//2))/(5*c*e*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)) - (2*(d + e*x)^(7//2))/(5*c*e*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)), x, 4),
+((d + e*x)^(7//2)/(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2), (64*d^2*sqrt(d + e*x))/(3*c*e*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)) - (16*d*(d + e*x)^(3//2))/(3*c*e*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)) - (2*(d + e*x)^(5//2))/(3*c*e*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^(5//2)/(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2), (8*d*sqrt(d + e*x))/(c*e*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)) - (2*(d + e*x)^(3//2))/(c*e*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^(3//2)/(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2), (2*sqrt(d + e*x))/(c*e*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)), x, 1),
+((d + e*x)^(1//2)/(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2), sqrt(d + e*x)/(c*d*e*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)) - atanh(sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x)))/(sqrt(2)*c^(3//2)*d^(3//2)*e), x, 3),
+(1/(d + e*x)^(1//2)/(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2), -(1/(2*c*d*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))) + (3*sqrt(d + e*x))/(4*c*d^2*e*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)) - (3*atanh(sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))))/(4*sqrt(2)*c^(3//2)*d^(5//2)*e), x, 4),
+(1/(d + e*x)^(3//2)/(c*d^2 - c*e^2*x^2)^(3//2), -(1/(4*c*d*e*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2))) - 5/(16*c*d^2*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)) + (15*sqrt(d + e*x))/(32*c*d^3*e*sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)) - (15*atanh(sqrt(c*d^2 - c*e^2*x^2)/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))))/(32*sqrt(2)*c^(3//2)*d^(7//2)*e), x, 5),
+
+
+(1/(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 - x^2)), sqrt(2)*atan(sqrt(1 - x^2)/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (c d^2 - c e^2 x^2)^(p/2) when d>0 and c>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((2 + e*x)^(5//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(1//2), -((128*(2 - e*x)^(3//2))/(sqrt(3)*e)) + (96*sqrt(3)*(2 - e*x)^(5//2))/(5*e) - (24*sqrt(3)*(2 - e*x)^(7//2))/(7*e) + (2*(2 - e*x)^(9//2))/(3*sqrt(3)*e), x, 3),
+((2 + e*x)^(3//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(1//2), -((32*(2 - e*x)^(3//2))/(sqrt(3)*e)) + (16*sqrt(3)*(2 - e*x)^(5//2))/(5*e) - (2*sqrt(3)*(2 - e*x)^(7//2))/(7*e), x, 3),
+((2 + e*x)^(1//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(1//2), -((8*(2 - e*x)^(3//2))/(sqrt(3)*e)) + (2*sqrt(3)*(2 - e*x)^(5//2))/(5*e), x, 3),
+(1/(2 + e*x)^(1//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(1//2), -((2*(2 - e*x)^(3//2))/(sqrt(3)*e)), x, 2),
+(1/(2 + e*x)^(3//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(1//2), (2*sqrt(3)*sqrt(2 - e*x))/e - (4*sqrt(3)*atanh((1//2)*sqrt(2 - e*x)))/e, x, 4),
+(1/(2 + e*x)^(5//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(1//2), -((sqrt(3)*sqrt(2 - e*x))/(e*(2 + e*x))) + (sqrt(3)*atanh((1//2)*sqrt(2 - e*x)))/(2*e), x, 4),
+(1/(2 + e*x)^(7//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(1//2), -((sqrt(3)*sqrt(2 - e*x))/(2*e*(2 + e*x)^2)) + (sqrt(3)*sqrt(2 - e*x))/(16*e*(2 + e*x)) + (sqrt(3)*atanh((1//2)*sqrt(2 - e*x)))/(32*e), x, 5),
+
+
+((2 + e*x)^(5//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(3//2), -((1536*sqrt(3)*(2 - e*x)^(5//2))/(5*e)) + (1536*sqrt(3)*(2 - e*x)^(7//2))/(7*e) - (64*sqrt(3)*(2 - e*x)^(9//2))/e + (96*sqrt(3)*(2 - e*x)^(11//2))/(11*e) - (6*sqrt(3)*(2 - e*x)^(13//2))/(13*e), x, 3),
+((2 + e*x)^(3//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(3//2), -((384*sqrt(3)*(2 - e*x)^(5//2))/(5*e)) + (288*sqrt(3)*(2 - e*x)^(7//2))/(7*e) - (8*sqrt(3)*(2 - e*x)^(9//2))/e + (6*sqrt(3)*(2 - e*x)^(11//2))/(11*e), x, 3),
+((2 + e*x)^(1//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(3//2), -((96*sqrt(3)*(2 - e*x)^(5//2))/(5*e)) + (48*sqrt(3)*(2 - e*x)^(7//2))/(7*e) - (2*(2 - e*x)^(9//2))/(sqrt(3)*e), x, 3),
+(1/(2 + e*x)^(1//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(3//2), -((24*sqrt(3)*(2 - e*x)^(5//2))/(5*e)) + (6*sqrt(3)*(2 - e*x)^(7//2))/(7*e), x, 3),
+(1/(2 + e*x)^(3//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(3//2), -((6*sqrt(3)*(2 - e*x)^(5//2))/(5*e)), x, 2),
+(1/(2 + e*x)^(5//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(3//2), (24*sqrt(3)*sqrt(2 - e*x))/e + (2*sqrt(3)*(2 - e*x)^(3//2))/e - (48*sqrt(3)*atanh((1//2)*sqrt(2 - e*x)))/e, x, 5),
+(1/(2 + e*x)^(7//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(3//2), -((9*sqrt(3)*sqrt(2 - e*x))/e) - (3*sqrt(3)*(2 - e*x)^(3//2))/(e*(2 + e*x)) + (18*sqrt(3)*atanh((1//2)*sqrt(2 - e*x)))/e, x, 5),
+(1/(2 + e*x)^(9//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(3//2), -((3*sqrt(3)*(2 - e*x)^(3//2))/(2*e*(2 + e*x)^2)) + (9*sqrt(3)*sqrt(2 - e*x))/(4*e*(2 + e*x)) - (9*sqrt(3)*atanh((1//2)*sqrt(2 - e*x)))/(8*e), x, 5),
+(1/(2 + e*x)^(11//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(3//2), -((sqrt(3)*(2 - e*x)^(3//2))/(e*(2 + e*x)^3)) + (3*sqrt(3)*sqrt(2 - e*x))/(4*e*(2 + e*x)^2) - (3*sqrt(3)*sqrt(2 - e*x))/(32*e*(2 + e*x)) - (3*sqrt(3)*atanh((1//2)*sqrt(2 - e*x)))/(64*e), x, 6),
+(1/(2 + e*x)^(13//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(3//2), -((3*sqrt(3)*(2 - e*x)^(3//2))/(4*e*(2 + e*x)^4)) + (3*sqrt(3)*sqrt(2 - e*x))/(8*e*(2 + e*x)^3) - (3*sqrt(3)*sqrt(2 - e*x))/(128*e*(2 + e*x)^2) - (9*sqrt(3)*sqrt(2 - e*x))/(1024*e*(2 + e*x)) - (9*sqrt(3)*atanh((1//2)*sqrt(2 - e*x)))/(2048*e), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((2 + e*x)^(7//2)/(12 - 3*e^2*x^2)^(1//2), -((128*sqrt(2 - e*x))/(sqrt(3)*e)) + (32*(2 - e*x)^(3//2))/(sqrt(3)*e) - (8*sqrt(3)*(2 - e*x)^(5//2))/(5*e) + (2*(2 - e*x)^(7//2))/(7*sqrt(3)*e), x, 3),
+((2 + e*x)^(5//2)/(12 - 3*e^2*x^2)^(1//2), -((32*sqrt(2 - e*x))/(sqrt(3)*e)) + (16*(2 - e*x)^(3//2))/(3*sqrt(3)*e) - (2*(2 - e*x)^(5//2))/(5*sqrt(3)*e), x, 3),
+((2 + e*x)^(3//2)/(12 - 3*e^2*x^2)^(1//2), -((8*sqrt(2 - e*x))/(sqrt(3)*e)) + (2*(2 - e*x)^(3//2))/(3*sqrt(3)*e), x, 3),
+((2 + e*x)^(1//2)/(12 - 3*e^2*x^2)^(1//2), -((2*sqrt(2 - e*x))/(sqrt(3)*e)), x, 2),
+(1/(2 + e*x)^(1//2)/(12 - 3*e^2*x^2)^(1//2), -(atanh((1//2)*sqrt(2 - e*x))/(sqrt(3)*e)), x, 3),
+(1/(2 + e*x)^(3//2)/(12 - 3*e^2*x^2)^(1//2), -(sqrt(2 - e*x)/(4*sqrt(3)*e*(2 + e*x))) - atanh((1//2)*sqrt(2 - e*x))/(8*sqrt(3)*e), x, 4),
+(1/(2 + e*x)^(5//2)/(12 - 3*e^2*x^2)^(1//2), -(sqrt(2 - e*x)/(8*sqrt(3)*e*(2 + e*x)^2)) - (sqrt(3)*sqrt(2 - e*x))/(64*e*(2 + e*x)) - (sqrt(3)*atanh((1//2)*sqrt(2 - e*x)))/(128*e), x, 5),
+
+
+((2 + e*x)^(11//2)/(12 - 3*e^2*x^2)^(3//2), 512/(3*sqrt(3)*e*sqrt(2 - e*x)) + (512*sqrt(2 - e*x))/(3*sqrt(3)*e) - (64*(2 - e*x)^(3//2))/(3*sqrt(3)*e) + (32*(2 - e*x)^(5//2))/(15*sqrt(3)*e) - (2*(2 - e*x)^(7//2))/(21*sqrt(3)*e), x, 3),
+((2 + e*x)^(9//2)/(12 - 3*e^2*x^2)^(3//2), 128/(3*sqrt(3)*e*sqrt(2 - e*x)) + (32*sqrt(2 - e*x))/(sqrt(3)*e) - (8*(2 - e*x)^(3//2))/(3*sqrt(3)*e) + (2*(2 - e*x)^(5//2))/(15*sqrt(3)*e), x, 3),
+((2 + e*x)^(7//2)/(12 - 3*e^2*x^2)^(3//2), 32/(3*sqrt(3)*e*sqrt(2 - e*x)) + (16*sqrt(2 - e*x))/(3*sqrt(3)*e) - (2*(2 - e*x)^(3//2))/(9*sqrt(3)*e), x, 3),
+((2 + e*x)^(5//2)/(12 - 3*e^2*x^2)^(3//2), 8/(3*sqrt(3)*e*sqrt(2 - e*x)) + (2*sqrt(2 - e*x))/(3*sqrt(3)*e), x, 3),
+((2 + e*x)^(3//2)/(12 - 3*e^2*x^2)^(3//2), 2/(3*sqrt(3)*e*sqrt(2 - e*x)), x, 2),
+((2 + e*x)^(1//2)/(12 - 3*e^2*x^2)^(3//2), 1/(6*sqrt(3)*e*sqrt(2 - e*x)) - atanh((1//2)*sqrt(2 - e*x))/(12*sqrt(3)*e), x, 4),
+(1/(2 + e*x)^(1//2)/(12 - 3*e^2*x^2)^(3//2), 1/(16*sqrt(3)*e*sqrt(2 - e*x)) - 1/(12*sqrt(3)*e*sqrt(2 - e*x)*(2 + e*x)) - atanh((1//2)*sqrt(2 - e*x))/(32*sqrt(3)*e), x, 5),
+(1/(2 + e*x)^(3//2)/(12 - 3*e^2*x^2)^(3//2), 5/(256*sqrt(3)*e*sqrt(2 - e*x)) - 1/(24*sqrt(3)*e*sqrt(2 - e*x)*(2 + e*x)^2) - 5/(192*sqrt(3)*e*sqrt(2 - e*x)*(2 + e*x)) - (5*atanh((1//2)*sqrt(2 - e*x)))/(512*sqrt(3)*e), x, 6),
+
+
+# The following pairs of integrands are equal:
+(1/(sqrt(1 - x)*(1 + x)), (-sqrt(2))*atanh(sqrt(1 - x)/sqrt(2)), x, 2),
+(1/(sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x^2)), (-sqrt(2))*atanh(sqrt(1 - x)/sqrt(2)), x, 3),
+
+(1/(sqrt(1 - a*x)*(1 + a*x)), -((sqrt(2)*atanh(sqrt(1 - a*x)/sqrt(2)))/a), x, 2),
+(1/(sqrt(1 + a*x)*sqrt(1 - a^2*x^2)), -((sqrt(2)*atanh(sqrt(1 - a*x)/sqrt(2)))/a), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (c d^2 - c e^2 x^2)^(p/4) when d>0 and c>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+# {(12 - 3*e^2*x^2)^(1/4)*(2 + e*x)^(1/2), x, 14, If[$VersionNumber>=8, (3*3^(1/4)*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(3/4))/(2*e) - (3^(1/4)*(2 - e*x)^(5/4)*(2 + e*x)^(3/4))/(2*e) + (3*3^(1/4)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*e) - (3*3^(1/4)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*e) + (3*3^(1/4)*Log[(Sqrt[6 - 3*e*x] - Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(1/4) + Sqrt[3]*Sqrt[2 + e*x])/Sqrt[2 + e*x]])/(2*Sqrt[2]*e) - (3*3^(1/4)*Log[(Sqrt[6 - 3*e*x] + Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(1/4) + Sqrt[3]*Sqrt[2 + e*x])/Sqrt[2 + e*x]])/(2*Sqrt[2]*e), (3*3^(1/4)*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(3/4))/(2*e) - (3^(1/4)*(2 - e*x)^(5/4)*(2 + e*x)^(3/4))/(2*e) + (3*3^(1/4)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*e) - (3*3^(1/4)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*e) + (3*3^(1/4)*Log[Sqrt[3] + (Sqrt[3]*Sqrt[2 - e*x])/Sqrt[2 + e*x] - (Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*e) - (3*3^(1/4)*Log[Sqrt[3] + (Sqrt[3]*Sqrt[2 - e*x])/Sqrt[2 + e*x] + (Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*e)]}
+# {(12 - 3*e^2*x^2)^(1/4)/(2 + e*x)^(1/2), x, 13, If[$VersionNumber>=8, (3^(1/4)*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(3/4))/e + (Sqrt[2]*3^(1/4)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/e - (Sqrt[2]*3^(1/4)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/e + (3^(1/4)*Log[(Sqrt[6 - 3*e*x] - Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(1/4) + Sqrt[3]*Sqrt[2 + e*x])/Sqrt[2 + e*x]])/(Sqrt[2]*e) - (3^(1/4)*Log[(Sqrt[6 - 3*e*x] + Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(1/4) + Sqrt[3]*Sqrt[2 + e*x])/Sqrt[2 + e*x]])/(Sqrt[2]*e), (3^(1/4)*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(3/4))/e + (Sqrt[2]*3^(1/4)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/e - (Sqrt[2]*3^(1/4)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/e + (3^(1/4)*Log[Sqrt[3] + (Sqrt[3]*Sqrt[2 - e*x])/Sqrt[2 + e*x] - (Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*e) - (3^(1/4)*Log[Sqrt[3] + (Sqrt[3]*Sqrt[2 - e*x])/Sqrt[2 + e*x] + (Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*e)]}
+# {(12 - 3*e^2*x^2)^(1/4)/(2 + e*x)^(3/2), x, 13, If[$VersionNumber>=8, -((4*3^(1/4)*(2 - e*x)^(1/4))/(e*(2 + e*x)^(1/4))) - (Sqrt[2]*3^(1/4)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/e + (Sqrt[2]*3^(1/4)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/e - (3^(1/4)*Log[(Sqrt[6 - 3*e*x] - Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(1/4) + Sqrt[3]*Sqrt[2 + e*x])/Sqrt[2 + e*x]])/(Sqrt[2]*e) + (3^(1/4)*Log[(Sqrt[6 - 3*e*x] + Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(1/4) + Sqrt[3]*Sqrt[2 + e*x])/Sqrt[2 + e*x]])/(Sqrt[2]*e), -((4*3^(1/4)*(2 - e*x)^(1/4))/(e*(2 + e*x)^(1/4))) - (Sqrt[2]*3^(1/4)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/e + (Sqrt[2]*3^(1/4)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/e - (3^(1/4)*Log[Sqrt[3] + (Sqrt[3]*Sqrt[2 - e*x])/Sqrt[2 + e*x] - (Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*e) + (3^(1/4)*Log[Sqrt[3] + (Sqrt[3]*Sqrt[2 - e*x])/Sqrt[2 + e*x] + (Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*e)]}
+((12 - 3*e^2*x^2)^(1//4)/(2 + e*x)^(5//2), -((3^(1//4)*(4 - e^2*x^2)^(5//4))/(5*e*(2 + e*x)^(5//2))), x, 1),
+((12 - 3*e^2*x^2)^(1//4)/(2 + e*x)^(7//2), -((4 - e^2*x^2)^(5//4)/(3*3^(3//4)*e*(2 + e*x)^(7//2))) - (4 - e^2*x^2)^(5//4)/(15*3^(3//4)*e*(2 + e*x)^(5//2)), x, 2),
+((12 - 3*e^2*x^2)^(1//4)/(2 + e*x)^(9//2), -((3^(1//4)*(4 - e^2*x^2)^(5//4))/(13*e*(2 + e*x)^(9//2))) - (2*(4 - e^2*x^2)^(5//4))/(39*3^(3//4)*e*(2 + e*x)^(7//2)) - (2*(4 - e^2*x^2)^(5//4))/(195*3^(3//4)*e*(2 + e*x)^(5//2)), x, 3),
+((12 - 3*e^2*x^2)^(1//4)/(2 + e*x)^(11//2), -((3^(1//4)*(4 - e^2*x^2)^(5//4))/(17*e*(2 + e*x)^(11//2))) - (3*3^(1//4)*(4 - e^2*x^2)^(5//4))/(221*e*(2 + e*x)^(9//2)) - (2*(4 - e^2*x^2)^(5//4))/(221*3^(3//4)*e*(2 + e*x)^(7//2)) - (2*(4 - e^2*x^2)^(5//4))/(1105*3^(3//4)*e*(2 + e*x)^(5//2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+# {(2 + e*x)^(5/2)/(12 - 3*e^2*x^2)^(1/4), x, 15, If[$VersionNumber>=8, -((5*3^(3/4)*(2 - e*x)^(3/4)*(2 + e*x)^(1/4))/(2*e)) - (3^(3/4)*(2 - e*x)^(3/4)*(2 + e*x)^(5/4))/(2*e) - ((2 - e*x)^(3/4)*(2 + e*x)^(9/4))/(3*3^(1/4)*e) + (5*3^(3/4)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*e) - (5*3^(3/4)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*e) - (5*3^(3/4)*Log[(Sqrt[6 - 3*e*x] - Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(1/4) + Sqrt[3]*Sqrt[2 + e*x])/Sqrt[2 + e*x]])/(2*Sqrt[2]*e) + (5*3^(3/4)*Log[(Sqrt[6 - 3*e*x] + Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(1/4) + Sqrt[3]*Sqrt[2 + e*x])/Sqrt[2 + e*x]])/(2*Sqrt[2]*e), -((5*3^(3/4)*(2 - e*x)^(3/4)*(2 + e*x)^(1/4))/(2*e)) - (3^(3/4)*(2 - e*x)^(3/4)*(2 + e*x)^(5/4))/(2*e) - ((2 - e*x)^(3/4)*(2 + e*x)^(9/4))/(3*3^(1/4)*e) + (5*3^(3/4)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*e) - (5*3^(3/4)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*e) - (5*3^(3/4)*Log[Sqrt[3] + (Sqrt[3]*Sqrt[2 - e*x])/Sqrt[2 + e*x] - (Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*e) + (5*3^(3/4)*Log[Sqrt[3] + (Sqrt[3]*Sqrt[2 - e*x])/Sqrt[2 + e*x] + (Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*e)]}
+# {(2 + e*x)^(3/2)/(12 - 3*e^2*x^2)^(1/4), x, 14, If[$VersionNumber>=8, -((5*(2 - e*x)^(3/4)*(2 + e*x)^(1/4))/(2*3^(1/4)*e)) - ((2 - e*x)^(3/4)*(2 + e*x)^(5/4))/(2*3^(1/4)*e) + (5*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*3^(1/4)*e) - (5*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*3^(1/4)*e) - (5*Log[(Sqrt[6 - 3*e*x] - Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(1/4) + Sqrt[3]*Sqrt[2 + e*x])/Sqrt[2 + e*x]])/(2*Sqrt[2]*3^(1/4)*e) + (5*Log[(Sqrt[6 - 3*e*x] + Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(1/4) + Sqrt[3]*Sqrt[2 + e*x])/Sqrt[2 + e*x]])/(2*Sqrt[2]*3^(1/4)*e), -((5*(2 - e*x)^(3/4)*(2 + e*x)^(1/4))/(2*3^(1/4)*e)) - ((2 - e*x)^(3/4)*(2 + e*x)^(5/4))/(2*3^(1/4)*e) + (5*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*3^(1/4)*e) - (5*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*3^(1/4)*e) - (5*Log[Sqrt[3] + (Sqrt[3]*Sqrt[2 - e*x])/Sqrt[2 + e*x] - (Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*3^(1/4)*e) + (5*Log[Sqrt[3] + (Sqrt[3]*Sqrt[2 - e*x])/Sqrt[2 + e*x] + (Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*3^(1/4)*e)]}
+# {(2 + e*x)^(1/2)/(12 - 3*e^2*x^2)^(1/4), x, 13, If[$VersionNumber>=8, -(((2 - e*x)^(3/4)*(2 + e*x)^(1/4))/(3^(1/4)*e)) + (Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(3^(1/4)*e) - (Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(3^(1/4)*e) - Log[(Sqrt[6 - 3*e*x] - Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(1/4) + Sqrt[3]*Sqrt[2 + e*x])/Sqrt[2 + e*x]]/(Sqrt[2]*3^(1/4)*e) + Log[(Sqrt[6 - 3*e*x] + Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(1/4) + Sqrt[3]*Sqrt[2 + e*x])/Sqrt[2 + e*x]]/(Sqrt[2]*3^(1/4)*e), -(((2 - e*x)^(3/4)*(2 + e*x)^(1/4))/(3^(1/4)*e)) + (Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(3^(1/4)*e) - (Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(3^(1/4)*e) - Log[Sqrt[3] + (Sqrt[3]*Sqrt[2 - e*x])/Sqrt[2 + e*x] - (Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)]/(Sqrt[2]*3^(1/4)*e) + Log[Sqrt[3] + (Sqrt[3]*Sqrt[2 - e*x])/Sqrt[2 + e*x] + (Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)]/(Sqrt[2]*3^(1/4)*e)]}
+# {1/((2 + e*x)^(1/2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(1/4)), x, 12, If[$VersionNumber>=8, (Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(3^(1/4)*e) - (Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(3^(1/4)*e) - Log[(Sqrt[6 - 3*e*x] - Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(1/4) + Sqrt[3]*Sqrt[2 + e*x])/Sqrt[2 + e*x]]/(Sqrt[2]*3^(1/4)*e) + Log[(Sqrt[6 - 3*e*x] + Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4)*(2 + e*x)^(1/4) + Sqrt[3]*Sqrt[2 + e*x])/Sqrt[2 + e*x]]/(Sqrt[2]*3^(1/4)*e), (Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(3^(1/4)*e) - (Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)])/(3^(1/4)*e) - Log[Sqrt[3] + (Sqrt[3]*Sqrt[2 - e*x])/Sqrt[2 + e*x] - (Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)]/(Sqrt[2]*3^(1/4)*e) + Log[Sqrt[3] + (Sqrt[3]*Sqrt[2 - e*x])/Sqrt[2 + e*x] + (Sqrt[6]*(2 - e*x)^(1/4))/(2 + e*x)^(1/4)]/(Sqrt[2]*3^(1/4)*e)]}
+(1/((2 + e*x)^(3//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(1//4)), -((4 - e^2*x^2)^(3//4)/(3*3^(1//4)*e*(2 + e*x)^(3//2))), x, 1),
+(1/((2 + e*x)^(5//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(1//4)), -((4 - e^2*x^2)^(3//4)/(7*3^(1//4)*e*(2 + e*x)^(5//2))) - (4 - e^2*x^2)^(3//4)/(21*3^(1//4)*e*(2 + e*x)^(3//2)), x, 2),
+(1/((2 + e*x)^(7//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(1//4)), -((4 - e^2*x^2)^(3//4)/(11*3^(1//4)*e*(2 + e*x)^(7//2))) - (2*(4 - e^2*x^2)^(3//4))/(77*3^(1//4)*e*(2 + e*x)^(5//2)) - (2*(4 - e^2*x^2)^(3//4))/(231*3^(1//4)*e*(2 + e*x)^(3//2)), x, 3),
+(1/((2 + e*x)^(9//2)*(12 - 3*e^2*x^2)^(1//4)), -((4 - e^2*x^2)^(3//4)/(15*3^(1//4)*e*(2 + e*x)^(9//2))) - (4 - e^2*x^2)^(3//4)/(55*3^(1//4)*e*(2 + e*x)^(7//2)) - (2*(4 - e^2*x^2)^(3//4))/(385*3^(1//4)*e*(2 + e*x)^(5//2)) - (2*(4 - e^2*x^2)^(3//4))/(1155*3^(1//4)*e*(2 + e*x)^(3//2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (d^2 - e^2 x^2)^p when m symbolic
+
+
+((a + b*x)^m*(a^2 - b^2*x^2)^3, (8*a^3*(a + b*x)^(4 + m))/(b*(4 + m)) - (12*a^2*(a + b*x)^(5 + m))/(b*(5 + m)) + (6*a*(a + b*x)^(6 + m))/(b*(6 + m)) - (a + b*x)^(7 + m)/(b*(7 + m)), x, 3),
+((a + b*x)^m*(a^2 - b^2*x^2)^2, (4*a^2*(a + b*x)^(3 + m))/(b*(3 + m)) - (4*a*(a + b*x)^(4 + m))/(b*(4 + m)) + (a + b*x)^(5 + m)/(b*(5 + m)), x, 3),
+((a + b*x)^m*(a^2 - b^2*x^2)^1, (2*a*(a + b*x)^(2 + m))/(b*(2 + m)) - (a + b*x)^(3 + m)/(b*(3 + m)), x, 3),
+((a + b*x)^m/(a^2 - b^2*x^2)^1, ((a + b*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, m, 1 + m, (a + b*x)/(2*a)))/(2*a*b*m), x, 2),
+((a + b*x)^m/(a^2 - b^2*x^2)^2, -(((a + b*x)^(-1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, -1 + m, m, (a + b*x)/(2*a)))/(4*a^2*b*(1 - m))), x, 2),
+((a + b*x)^m/(a^2 - b^2*x^2)^3, -(((a + b*x)^(-2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, -2 + m, -1 + m, (a + b*x)/(2*a)))/(8*a^3*b*(2 - m))), x, 2),
+
+
+# {(d + e*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^(7/2), x, 3, ((d + e*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^(9/2)*Hypergeometric2F1[1, 9 + m, 11/2 + m, (d + e*x)/(2*d)])/(d*e*(9 + 2*m)), -((2^(9/2 + m)*(d + e*x)^m*(1 + (e*x)/d)^(-(9/2) - m)*(d^2 - e^2*x^2)^(9/2)*Hypergeometric2F1[9/2, -(7/2) - m, 11/2, (d - e*x)/(2*d)])/(9*d*e))}
+((d + e*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2), -((2^(7//2 + m)*(d + e*x)^m*(1 + (e*x)/d)^(-(7//2) - m)*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(7//2, -(5//2) - m, 9//2, (d - e*x)/(2*d)))/(7*d*e)), x, 3),
+# {(d + e*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^(3/2), x, 3, ((d + e*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^(5/2)*Hypergeometric2F1[1, 5 + m, 7/2 + m, (d + e*x)/(2*d)])/(d*e*(5 + 2*m)), -((2^(5/2 + m)*(d + e*x)^m*(1 + (e*x)/d)^(-(5/2) - m)*(d^2 - e^2*x^2)^(5/2)*Hypergeometric2F1[5/2, -(3/2) - m, 7/2, (d - e*x)/(2*d)])/(5*d*e))}
+# {(d + e*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^(1/2), x, 3, ((d - e*x)*(d + e*x)^(1 + m)*Sqrt[d^2 - e^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, 3 + m, 5/2 + m, (d + e*x)/(2*d)])/(d*e*(3 + 2*m)), -((2^(3/2 + m)*(d + e*x)^m*(1 + (e*x)/d)^(-(3/2) - m)*(d^2 - e^2*x^2)^(3/2)*Hypergeometric2F1[3/2, -(1/2) - m, 5/2, (d - e*x)/(2*d)])/(3*d*e))}
+# {(d + e*x)^m/(d^2 - e^2*x^2)^(1/2), x, 3, ((d - e*x)*(d + e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 3/2 + m, (d + e*x)/(2*d)])/(d*e*(1 + 2*m)*Sqrt[d^2 - e^2*x^2]), -((2^(1/2 + m)*(d + e*x)^m*(1 + (e*x)/d)^(-(1/2) - m)*Sqrt[d^2 - e^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (d - e*x)/(2*d)])/(d*e))}
+((d + e*x)^m/(d^2 - e^2*x^2)^(3//2), (2^(-(1//2) + m)*(d + e*x)^m*(1 + (e*x)/d)^(1//2 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), 3//2 - m, 1//2, (d - e*x)/(2*d)))/(d*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+# {(d + e*x)^m/(d^2 - e^2*x^2)^(5/2), x, 3, -(((d + e*x)^m*Hypergeometric2F1[1, -3 + m, -(1/2) + m, (d + e*x)/(2*d)])/(d*e*(3 - 2*m)*(d^2 - e^2*x^2)^(3/2))), (2^(-(3/2) + m)*(d + e*x)^m*(1 + (e*x)/d)^(3/2 - m)*Hypergeometric2F1[-(3/2), 5/2 - m, -(1/2), (d - e*x)/(2*d)])/(3*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^(3/2))}
+# {(d + e*x)^m/(d^2 - e^2*x^2)^(7/2), x, 3, -(((d - e*x)*(d + e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, -5 + m, -(3/2) + m, (d + e*x)/(2*d)])/(d*e*(5 - 2*m)*(d^2 - e^2*x^2)^(7/2))), (2^(-(5/2) + m)*(d + e*x)^m*(1 + (e*x)/d)^(5/2 - m)*Hypergeometric2F1[-(5/2), 7/2 - m, -(3/2), (d - e*x)/(2*d)])/(5*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^(5/2))}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (d^2 - e^2 x^2)^p when p symbolic
+
+
+# {(a + b*x)^m*(a^2 - b^2*x^2)^p, x, 3, ((a + b*x)^m*(a^2 - b^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m + 2*p, 2 + m + p, (a + b*x)/(2*a)])/(2*a*b*(1 + m + p)), -((2^(m + p)*(a + b*x)^m*(1 + (b*x)/a)^(-1 - m - p)*(a^2 - b^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-m - p, 1 + p, 2 + p, (a - b*x)/(2*a)])/(a*b*(1 + p)))}
+
+
+((d + e*x)^3*(1 - e^2*x^2/d^2)^p, -((2^(3 + p)*d^4*((d - e*x)/d)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-3 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)))/(e*(1 + p))), x, 2),
+((d + e*x)^2*(1 - e^2*x^2/d^2)^p, -((2^(2 + p)*d^3*((d - e*x)/d)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-2 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)))/(e*(1 + p))), x, 2),
+# {(d + e*x)^1*(1 - e^2*x^2/d^2)^p, x, 2, -((2^(2 + p)*d^3*((d - e*x)/d)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-1 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)])/(2*d*e*(1 + p))), -((d^2*(1 - (e^2*x^2)/d^2)^(1 + p))/(2*e*(1 + p))) + d*x*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, (e^2*x^2)/d^2]}
+((d + e*x)^0*(1 - e^2*x^2/d^2)^p, x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, (e^2*x^2)/d^2), x, 1),
+# {(1 - e^2*x^2/d^2)^p/(d + e*x)^1, x, 2, (2^p*((d + e*x)/d)^p*Hypergeometric2F1[-p, p, 1 + p, (d + e*x)/(2*d)])/(e*p), -((2^(-1 + p)*((d - e*x)/d)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)])/(e*(1 + p)))}
+((1 - e^2*x^2/d^2)^p/(d + e*x)^2, -((2^(-2 + p)*((d - e*x)/d)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)))/(d*e*(1 + p))), x, 2),
+((1 - e^2*x^2/d^2)^p/(d + e*x)^3, -((2^(-3 + p)*((d - e*x)/d)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)))/(d^2*e*(1 + p))), x, 2),
+
+
+# {(a^2 - b^2*x^2)^p*(a + b*x)^3, x, 2, ((a + b*x)^3*(a^2 - b^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 5 + 2*p, 5 + p, (a + b*x)/(2*a)])/(2*a*b*(4 + p)), -((2^(3 + p)*a^2*(1 + (b*x)/a)^(-1 - p)*(a^2 - b^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-3 - p, 1 + p, 2 + p, (a - b*x)/(2*a)])/(b*(1 + p)))}
+# {(a^2 - b^2*x^2)^p*(a + b*x)^2, x, 2, ((a + b*x)^2*(a^2 - b^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 2*(2 + p), 4 + p, (a + b*x)/(2*a)])/(2*a*b*(3 + p)), -((2^(2 + p)*a*(1 + (b*x)/a)^(-1 - p)*(a^2 - b^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-2 - p, 1 + p, 2 + p, (a - b*x)/(2*a)])/(b*(1 + p)))}
+((a^2 - b^2*x^2)^p*(a + b*x)^1, -((a^2 - b^2*x^2)^(1 + p)/(2*b*(1 + p))) + (a*x*(a^2 - b^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, (b^2*x^2)/a^2))/(1 - (b^2*x^2)/a^2)^p, x, 3),
+# {(a^2 - b^2*x^2)^p/(a + b*x)^1, x, 2, ((a - b*x)*(a^2 - b^2*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1, 1 + 2*p, 1 + p, (a + b*x)/(2*a)])/(2*a*b*p), -((2^(-1 + p)*(1 + (b*x)/a)^(-1 - p)*(a^2 - b^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1 - p, 1 + p, 2 + p, (a - b*x)/(2*a)])/(a^2*b*(1 + p)))}
+# {(a^2 - b^2*x^2)^p/(a + b*x)^2, x, 2, -(((a^2 - b^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 2*p, p, (a + b*x)/(2*a)])/(2*a*b*(1 - p)*(a + b*x)^2)), -((2^(-2 + p)*(1 + (b*x)/a)^(-1 - p)*(a^2 - b^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[2 - p, 1 + p, 2 + p, (a - b*x)/(2*a)])/(a^3*b*(1 + p)))}
+# {(a^2 - b^2*x^2)^p/(a + b*x)^3, x, 2, -(((a^2 - b^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, -1 + 2*p, -1 + p, (a + b*x)/(2*a)])/(2*a*b*(2 - p)*(a + b*x)^3)), -((2^(-3 + p)*(1 + (b*x)/a)^(-1 - p)*(a^2 - b^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[3 - p, 1 + p, 2 + p, (a - b*x)/(2*a)])/(a^4*b*(1 + p)))}
+
+
+((a^2 - b^2*x^2)^p*(a + b*x)^(3//2), -((2^(3//2 + p)*sqrt(a + b*x)*(1 + (b*x)/a)^(-(3//2) - p)*(a^2 - b^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2) - p, 1 + p, 2 + p, (a - b*x)/(2*a)))/(b*(1 + p))), x, 3),
+((a^2 - b^2*x^2)^p*(a + b*x)^(1//2), -((2^(1//2 + p)*sqrt(a + b*x)*(1 + (b*x)/a)^(-(3//2) - p)*(a^2 - b^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2) - p, 1 + p, 2 + p, (a - b*x)/(2*a)))/(a*b*(1 + p))), x, 3),
+((a^2 - b^2*x^2)^p/(a + b*x)^(1//2), -((2^(-(1//2) + p)*(1 + (b*x)/a)^(-(1//2) - p)*(a^2 - b^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2 - p, 1 + p, 2 + p, (a - b*x)/(2*a)))/(a*b*(1 + p)*sqrt(a + b*x))), x, 3),
+((a^2 - b^2*x^2)^p/(a + b*x)^(3//2), -((2^(-(3//2) + p)*(1 + (b*x)/a)^(-(1//2) - p)*(a^2 - b^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2 - p, 1 + p, 2 + p, (a - b*x)/(2*a)))/(a^2*b*(1 + p)*sqrt(a + b*x))), x, 3),
+
+
+((a^2 - b^2*x^2)^p*(a + b*x) - a*(a^2 - b^2*x^2)^p, -((a^2 - b^2*x^2)^(1 + p)/(2*b*(1 + p))), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p when b^2-4 a c=0 and 2 c d-b e=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (c d^2+2 c d e x+c e^2 x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^2*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2), (c*(d + e*x)^5)/(5*e), x, 3),
+((d + e*x)^1*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2), (c*(d + e*x)^4)/(4*e), x, 3),
+((d + e*x)^0*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2), c*d^2*x + c*d*e*x^2 + (1//3)*c*e^2*x^3, x, 1),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)/(d + e*x)^1, c*d*x + (1//2)*c*e*x^2, x, 2),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)/(d + e*x)^2, c*x, x, 3),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)/(d + e*x)^3, (c*log(d + e*x))/e, x, 3),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)/(d + e*x)^4, -(c/(e*(d + e*x))), x, 3),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)/(d + e*x)^5, -(c/(2*e*(d + e*x)^2)), x, 3),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)/(d + e*x)^6, -(c/(3*e*(d + e*x)^3)), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^2*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2, (c^2*(d + e*x)^7)/(7*e), x, 3),
+((d + e*x)^1*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2, (c^2*(d + e*x)^6)/(6*e), x, 3),
+((d + e*x)^0*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2, (c^2*(d + e*x)^5)/(5*e), x, 3),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2/(d + e*x)^1, (c^2*(d + e*x)^4)/(4*e), x, 3),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2/(d + e*x)^2, (c^2*(d + e*x)^3)/(3*e), x, 3),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2/(d + e*x)^3, (c^2*(d + e*x)^2)/(2*e), x, 2),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2/(d + e*x)^4, c^2*x, x, 2),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2/(d + e*x)^5, (c^2*log(d + e*x))/e, x, 3),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2/(d + e*x)^6, -(c^2/(e*(d + e*x))), x, 3),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2/(d + e*x)^7, -(c^2/(2*e*(d + e*x)^2)), x, 3),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2/(d + e*x)^8, -(c^2/(3*e*(d + e*x)^3)), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^5/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2), (d + e*x)^4/(4*c*e), x, 3),
+((d + e*x)^4/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2), (d + e*x)^3/(3*c*e), x, 3),
+((d + e*x)^3/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2), (d + e*x)^2/(2*c*e), x, 2),
+((d + e*x)^2/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2), x/c, x, 2),
+((d + e*x)^1/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2), log(d + e*x)/(c*e), x, 3),
+((d + e*x)^0/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2), -(1/(c*e*(d + e*x))), x, 3),
+(1/((d + e*x)^1*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), -(1/(2*c*e*(d + e*x)^2)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^2*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), -(1/(3*c*e*(d + e*x)^3)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^3*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), -(1/(4*c*e*(d + e*x)^4)), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^7/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2, (d + e*x)^4/(4*c^2*e), x, 3),
+((d + e*x)^6/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2, (d + e*x)^3/(3*c^2*e), x, 3),
+((d + e*x)^5/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2, (d + e*x)^2/(2*c^2*e), x, 2),
+((d + e*x)^4/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2, x/c^2, x, 2),
+((d + e*x)^3/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2, log(d + e*x)/(c^2*e), x, 3),
+((d + e*x)^2/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2, -(1/(c^2*e*(d + e*x))), x, 3),
+((d + e*x)^1/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2, -(1/(2*c^2*e*(d + e*x)^2)), x, 3),
+((d + e*x)^0/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2, -(1/(3*c^2*e*(d + e*x)^3)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^1*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2), -(1/(4*c^2*e*(d + e*x)^4)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^2*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2), -(1/(5*c^2*e*(d + e*x)^5)), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^9/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^3, (d + e*x)^4/(4*c^3*e), x, 3),
+((d + e*x)^8/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^3, (d + e*x)^3/(3*c^3*e), x, 3),
+((d + e*x)^7/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^3, (d + e*x)^2/(2*c^3*e), x, 2),
+((d + e*x)^6/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^3, x/c^3, x, 2),
+((d + e*x)^5/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^3, log(d + e*x)/(c^3*e), x, 3),
+((d + e*x)^4/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^3, -(1/(c^3*e*(d + e*x))), x, 3),
+((d + e*x)^3/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^3, -(1/(2*c^3*e*(d + e*x)^2)), x, 3),
+((d + e*x)^2/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^3, -(1/(3*c^3*e*(d + e*x)^3)), x, 3),
+((d + e*x)^1/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^3, -(1/(4*c^3*e*(d + e*x)^4)), x, 3),
+((d + e*x)^0/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^3, -(1/(5*c^3*e*(d + e*x)^5)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^1*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^3), -(1/(6*c^3*e*(d + e*x)^6)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^2*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^3), -(1/(7*c^3*e*(d + e*x)^7)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (c d^2+2 c d e x+c e^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^3*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2), (c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2)/(5*c^2*e), x, 2),
+((d + e*x)^2*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2), ((d + e*x)*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2))/(4*c*e), x, 2),
+((d + e*x)^1*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2), (c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)/(3*c*e), x, 1),
+((d + e*x)^0*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2), ((d + e*x)*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2))/(2*e), x, 1),
+(sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)/(d + e*x)^1, sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)/e, x, 2),
+(sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)/(d + e*x)^2, (c*(d + e*x)*log(d + e*x))/(e*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), x, 3),
+(sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)/(d + e*x)^3, -(c/(e*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2))), x, 2),
+(sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)/(d + e*x)^4, -c/(2*e*(d + e*x)*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), x, 2),
+(sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)/(d + e*x)^5, -c^2/(3*e*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)), x, 2),
+(sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)/(d + e*x)^6, -c^2/(4*e*(d + e*x)*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^3*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2), (c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(7//2)/(7*c^2*e), x, 2),
+((d + e*x)^2*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2), ((d + e*x)*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2))/(6*c*e), x, 2),
+((d + e*x)^1*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2), (c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2)/(5*c*e), x, 1),
+((d + e*x)^0*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2), ((d + e*x)*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2))/(4*e), x, 1),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^1, (c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)/(3*e), x, 2),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^2, (c*(d + e*x)*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2))/(2*e), x, 2),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^3, (c*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2))/e, x, 2),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^4, (c^2*(d + e*x)*log(d + e*x))/(e*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), x, 3),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^5, -(c^2/(e*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2))), x, 2),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^6, -c^2/(2*e*(d + e*x)*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), x, 2),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^7, -c^3/(3*e*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^3*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2), (c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(9//2)/(9*c^2*e), x, 2),
+((d + e*x)^2*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2), ((d + e*x)*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(7//2))/(8*c*e), x, 2),
+((d + e*x)^1*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2), (c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(7//2)/(7*c*e), x, 1),
+((d + e*x)^0*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2), ((d + e*x)*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2))/(6*e), x, 1),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^1, (c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2)/(5*e), x, 2),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^2, (c*(d + e*x)*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2))/(4*e), x, 2),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^3, (c*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2))/(3*e), x, 2),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^4, (c^2*(d + e*x)*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2))/(2*e), x, 2),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^5, (c^2*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2))/e, x, 2),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^6, (c^3*(d + e*x)*log(d + e*x))/(e*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), x, 3),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^7, -(c^3/(e*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2))), x, 2),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^8, -c^3/(2*e*(d + e*x)*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^4/sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2), ((d + e*x)*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2))/(4*c^2*e), x, 2),
+((d + e*x)^3/sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2), (c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)/(3*c^2*e), x, 2),
+((d + e*x)^2/sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2), ((d + e*x)*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2))/(2*c*e), x, 2),
+((d + e*x)^1/sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2), sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)/(c*e), x, 1),
+((d + e*x)^0/sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2), ((d + e*x)*log(d + e*x))/(e*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), -(1/(e*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2))), x, 2),
+(1/((d + e*x)^2*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), -1/(2*e*(d + e*x)*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^3*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), -c/(3*e*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^4*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), -c/(4*e*(d + e*x)*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^4/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2), ((d + e*x)*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2))/(2*c^2*e), x, 2),
+((d + e*x)^3/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2), sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)/(c^2*e), x, 2),
+((d + e*x)^2/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2), ((d + e*x)*log(d + e*x))/(c*e*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^1/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2), -(1/(c*e*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2))), x, 1),
+((d + e*x)^0/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2), -1/(2*c*e*(d + e*x)*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), x, 1),
+(1/((d + e*x)^1*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)), -1/(3*e*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^2*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)), -1/(4*e*(d + e*x)*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^3*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)), -c/(5*e*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2)), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^6/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2), ((d + e*x)*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2))/(2*c^3*e), x, 2),
+((d + e*x)^5/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2), sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)/(c^3*e), x, 2),
+((d + e*x)^4/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2), ((d + e*x)*log(d + e*x))/(c^2*e*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^3/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2), -(1/(c^2*e*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2))), x, 2),
+((d + e*x)^2/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2), -1/(2*c^2*e*(d + e*x)*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^1/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2), -1/(3*c*e*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)), x, 1),
+((d + e*x)^0/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2), -1/(4*c*e*(d + e*x)*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2)), x, 1),
+(1/((d + e*x)^1*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2)), -1/(5*e*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^2*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2)), -1/(6*e*(d + e*x)*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^3*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(5//2)), -c/(7*e*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(7//2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (c d^2+2 c d e x+c e^2 x^2)^p when m symbolic
+
+
+((d + e*x)^m*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2, (c^2*(d + e*x)^(5 + m))/(e*(5 + m)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^1, (c*(d + e*x)^(3 + m))/(e*(3 + m)), x, 3),
+((d + e*x)^m/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^1, -((d + e*x)^(-1 + m)/(c*e*(1 - m))), x, 3),
+((d + e*x)^m/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^2, -((d + e*x)^(-3 + m)/(c^2*e*(3 - m))), x, 3),
+((d + e*x)^m/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^3, -((d + e*x)^(-5 + m)/(c^3*e*(5 - m))), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^m*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2), ((d + e*x)^(1 + m)*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2))/(e*(4 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(1//2), ((d + e*x)^(1 + m)*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2))/(e*(2 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(1//2), (d + e*x)^(1 + m)/(e*m*sqrt(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^m/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2), -((d + e*x)^(1 + m)/(e*(2 - m)*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(3//2))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (c d^2+2 c d e x+c e^2 x^2)^p when p symbolic
+
+
+((d + e*x)^m*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^p, ((d + e*x)^(1 + m)*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^p)/(e*(1 + m + 2*p)), x, 2),
+((d + e*x)^p/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^p, (d + e*x)^(1 + p)/((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^p*(e*(1 - p))), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^3*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^p, (c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(2 + p)/(2*c^2*e*(2 + p)), x, 2),
+((d + e*x)^2*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^p, ((d + e*x)*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(1 + p))/(c*e*(3 + 2*p)), x, 2),
+((d + e*x)^1*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^p, (c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(1 + p)/(2*c*e*(1 + p)), x, 1),
+((d + e*x)^0*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^p, ((d + e*x)*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^p)/(e*(1 + 2*p)), x, 1),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^p/(d + e*x)^1, (c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^p/(2*e*p), x, 2),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^p/(d + e*x)^2, -((c*(d + e*x)*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(-1 + p))/(e*(1 - 2*p))), x, 2),
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^p/(d + e*x)^3, -((c*(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^(-1 + p))/(2*e*(1 - p))), x, 2),
+
+
+((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 1), ((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^p*log(d + e*x))/((d + e*x)^(2*p)*e), x, 2),
+((d + e*x)^(2*p - 1)/(c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^p, ((d + e*x)^(2*p)*log(d + e*x))/((c*d^2 + 2*c*d*e*x + c*e^2*x^2)^p*e), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p when 2 c d-b e=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (b d+2 c d x)^m (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^4*(a + b*x + c*x^2), -(((b^2 - 4*a*c)*d^4*(b + 2*c*x)^5)/(40*c^2)) + (d^4*(b + 2*c*x)^7)/(56*c^2), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^3*(a + b*x + c*x^2), -(((b^2 - 4*a*c)*d^3*(b + 2*c*x)^4)/(32*c^2)) + (d^3*(b + 2*c*x)^6)/(48*c^2), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^2*(a + b*x + c*x^2), -(((b^2 - 4*a*c)*d^2*(b + 2*c*x)^3)/(24*c^2)) + (d^2*(b + 2*c*x)^5)/(40*c^2), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^1*(a + b*x + c*x^2), (1//2)*d*(a + b*x + c*x^2)^2, x, 1),
+((a + b*x + c*x^2)/(b*d + 2*c*d*x)^1, (b*x)/(4*c*d) + x^2/(4*d) - ((b^2 - 4*a*c)*log(b + 2*c*x))/(8*c^2*d), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/(b*d + 2*c*d*x)^2, x/(4*c*d^2) + (b^2 - 4*a*c)/(8*c^2*d^2*(b + 2*c*x)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/(b*d + 2*c*d*x)^3, (b^2 - 4*a*c)/(16*c^2*d^3*(b + 2*c*x)^2) + log(b + 2*c*x)/(8*c^2*d^3), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/(b*d + 2*c*d*x)^4, (b^2 - 4*a*c)/(24*c^2*d^4*(b + 2*c*x)^3) - 1/(8*c^2*d^4*(b + 2*c*x)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/(b*d + 2*c*d*x)^5, (a + b*x + c*x^2)^2/(2*(b^2 - 4*a*c)*d^5*(b + 2*c*x)^4), x, 1),
+((a + b*x + c*x^2)/(b*d + 2*c*d*x)^6, (b^2 - 4*a*c)/(40*c^2*d^6*(b + 2*c*x)^5) - 1/(24*c^2*d^6*(b + 2*c*x)^3), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/(b*d + 2*c*d*x)^7, (b^2 - 4*a*c)/(48*c^2*d^7*(b + 2*c*x)^6) - 1/(32*c^2*d^7*(b + 2*c*x)^4), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/(b*d + 2*c*d*x)^8, (b^2 - 4*a*c)/(56*c^2*d^8*(b + 2*c*x)^7) - 1/(40*c^2*d^8*(b + 2*c*x)^5), x, 2),
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^5*(a + b*x + c*x^2)^2, ((b^2 - 4*a*c)^2*d^5*(b + 2*c*x)^6)/(192*c^3) - ((b^2 - 4*a*c)*d^5*(b + 2*c*x)^8)/(128*c^3) + (d^5*(b + 2*c*x)^10)/(320*c^3), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^2, ((b^2 - 4*a*c)^2*d^4*(b + 2*c*x)^5)/(160*c^3) - ((b^2 - 4*a*c)*d^4*(b + 2*c*x)^7)/(112*c^3) + (d^4*(b + 2*c*x)^9)/(288*c^3), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^2, (1//12)*(b^2 - 4*a*c)*d^3*(a + b*x + c*x^2)^3 + (1//4)*d^3*(b + 2*c*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^3, x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^2, ((b^2 - 4*a*c)^2*d^2*(b + 2*c*x)^3)/(96*c^3) - ((b^2 - 4*a*c)*d^2*(b + 2*c*x)^5)/(80*c^3) + (d^2*(b + 2*c*x)^7)/(224*c^3), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^2, (1//3)*d*(a + b*x + c*x^2)^3, x, 1),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(b*d + 2*c*d*x)^1, -(((b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x)^2)/(32*c^3*d)) + (b + 2*c*x)^4/(128*c^3*d) + ((b^2 - 4*a*c)^2*log(b + 2*c*x))/(32*c^3*d), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(b*d + 2*c*d*x)^2, -(((b^2 - 8*a*c)*x)/(16*c^2*d^2)) + (b*x^2)/(8*c*d^2) + x^3/(12*d^2) - (b^2 - 4*a*c)^2/(32*c^3*d^2*(b + 2*c*x)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(b*d + 2*c*d*x)^3, (b*x)/(16*c^2*d^3) + x^2/(16*c*d^3) - (b^2 - 4*a*c)^2/(64*c^3*d^3*(b + 2*c*x)^2) - ((b^2 - 4*a*c)*log(b + 2*c*x))/(16*c^3*d^3), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(b*d + 2*c*d*x)^4, x/(16*c^2*d^4) - (b^2 - 4*a*c)^2/(96*c^3*d^4*(b + 2*c*x)^3) + (b^2 - 4*a*c)/(16*c^3*d^4*(b + 2*c*x)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(b*d + 2*c*d*x)^5, -((b^2 - 4*a*c)^2/(128*c^3*d^5*(b + 2*c*x)^4)) + (b^2 - 4*a*c)/(32*c^3*d^5*(b + 2*c*x)^2) + log(b + 2*c*x)/(32*c^3*d^5), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(b*d + 2*c*d*x)^6, -((b^2 - 4*a*c)^2/(160*c^3*d^6*(b + 2*c*x)^5)) + (b^2 - 4*a*c)/(48*c^3*d^6*(b + 2*c*x)^3) - 1/(32*c^3*d^6*(b + 2*c*x)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(b*d + 2*c*d*x)^7, (a + b*x + c*x^2)^3/(3*(b^2 - 4*a*c)*d^7*(b + 2*c*x)^6), x, 1),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(b*d + 2*c*d*x)^8, -((b^2 - 4*a*c)^2/(224*c^3*d^8*(b + 2*c*x)^7)) + (b^2 - 4*a*c)/(80*c^3*d^8*(b + 2*c*x)^5) - 1/(96*c^3*d^8*(b + 2*c*x)^3), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(b*d + 2*c*d*x)^9, -((b^2 - 4*a*c)^2/(256*c^3*d^9*(b + 2*c*x)^8)) + (b^2 - 4*a*c)/(96*c^3*d^9*(b + 2*c*x)^6) - 1/(128*c^3*d^9*(b + 2*c*x)^4), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(b*d + 2*c*d*x)^10, -((b^2 - 4*a*c)^2/(288*c^3*d^10*(b + 2*c*x)^9)) + (b^2 - 4*a*c)/(112*c^3*d^10*(b + 2*c*x)^7) - 1/(160*c^3*d^10*(b + 2*c*x)^5), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(b*d + 2*c*d*x)^11, -((b^2 - 4*a*c)^2/(320*c^3*d^11*(b + 2*c*x)^10)) + (b^2 - 4*a*c)/(128*c^3*d^11*(b + 2*c*x)^8) - 1/(192*c^3*d^11*(b + 2*c*x)^6), x, 2),
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^5*(a + b*x + c*x^2)^3, -(((b^2 - 4*a*c)^3*d^5*(b + 2*c*x)^6)/(768*c^4)) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*d^5*(b + 2*c*x)^8)/(1024*c^4) - (3*(b^2 - 4*a*c)*d^5*(b + 2*c*x)^10)/(1280*c^4) + (d^5*(b + 2*c*x)^12)/(1536*c^4), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^3, -(((b^2 - 4*a*c)^3*d^4*(b + 2*c*x)^5)/(640*c^4)) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*d^4*(b + 2*c*x)^7)/(896*c^4) - ((b^2 - 4*a*c)*d^4*(b + 2*c*x)^9)/(384*c^4) + (d^4*(b + 2*c*x)^11)/(1408*c^4), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^3, (1//20)*(b^2 - 4*a*c)*d^3*(a + b*x + c*x^2)^4 + (1//5)*d^3*(b + 2*c*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^4, x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^3, -(((b^2 - 4*a*c)^3*d^2*(b + 2*c*x)^3)/(384*c^4)) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*d^2*(b + 2*c*x)^5)/(640*c^4) - (3*(b^2 - 4*a*c)*d^2*(b + 2*c*x)^7)/(896*c^4) + (d^2*(b + 2*c*x)^9)/(1152*c^4), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^3, (1//4)*d*(a + b*x + c*x^2)^4, x, 1),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^1, (3*(b^2 - 4*a*c)^2*(b + 2*c*x)^2)/(256*c^4*d) - (3*(b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x)^4)/(512*c^4*d) + (b + 2*c*x)^6/(768*c^4*d) - ((b^2 - 4*a*c)^3*log(b + 2*c*x))/(128*c^4*d), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^2, (3*(b^2 - 4*a*c)^2*x)/(64*c^3*d^2) + (b^2 - 4*a*c)^3/(128*c^4*d^2*(b + 2*c*x)) - ((b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x)^3)/(128*c^4*d^2) + (b + 2*c*x)^5/(640*c^4*d^2), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^3, (b^2 - 4*a*c)^3/(256*c^4*d^3*(b + 2*c*x)^2) - (3*(b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x)^2)/(256*c^4*d^3) + (b + 2*c*x)^4/(512*c^4*d^3) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*log(b + 2*c*x))/(128*c^4*d^3), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^4, -(((b^2 - 6*a*c)*x)/(32*c^3*d^4)) + (b*x^2)/(32*c^2*d^4) + x^3/(48*c*d^4) + (b^2 - 4*a*c)^3/(384*c^4*d^4*(b + 2*c*x)^3) - (3*(b^2 - 4*a*c)^2)/(128*c^4*d^4*(b + 2*c*x)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^5, (b*x)/(64*c^3*d^5) + x^2/(64*c^2*d^5) + (b^2 - 4*a*c)^3/(512*c^4*d^5*(b + 2*c*x)^4) - (3*(b^2 - 4*a*c)^2)/(256*c^4*d^5*(b + 2*c*x)^2) - (3*(b^2 - 4*a*c)*log(b + 2*c*x))/(128*c^4*d^5), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^6, x/(64*c^3*d^6) + (b^2 - 4*a*c)^3/(640*c^4*d^6*(b + 2*c*x)^5) - (b^2 - 4*a*c)^2/(128*c^4*d^6*(b + 2*c*x)^3) + (3*(b^2 - 4*a*c))/(128*c^4*d^6*(b + 2*c*x)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^7, (b^2 - 4*a*c)^3/(768*c^4*d^7*(b + 2*c*x)^6) - (3*(b^2 - 4*a*c)^2)/(512*c^4*d^7*(b + 2*c*x)^4) + (3*(b^2 - 4*a*c))/(256*c^4*d^7*(b + 2*c*x)^2) + log(b + 2*c*x)/(128*c^4*d^7), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^8, (b^2 - 4*a*c)^3/(896*c^4*d^8*(b + 2*c*x)^7) - (3*(b^2 - 4*a*c)^2)/(640*c^4*d^8*(b + 2*c*x)^5) + (b^2 - 4*a*c)/(128*c^4*d^8*(b + 2*c*x)^3) - 1/(128*c^4*d^8*(b + 2*c*x)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^9, (a + b*x + c*x^2)^4/(4*(b^2 - 4*a*c)*d^9*(b + 2*c*x)^8), x, 1),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^10, (b^2 - 4*a*c)^3/(1152*c^4*d^10*(b + 2*c*x)^9) - (3*(b^2 - 4*a*c)^2)/(896*c^4*d^10*(b + 2*c*x)^7) + (3*(b^2 - 4*a*c))/(640*c^4*d^10*(b + 2*c*x)^5) - 1/(384*c^4*d^10*(b + 2*c*x)^3), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^11, (b^2 - 4*a*c)^3/(1280*c^4*d^11*(b + 2*c*x)^10) - (3*(b^2 - 4*a*c)^2)/(1024*c^4*d^11*(b + 2*c*x)^8) + (b^2 - 4*a*c)/(256*c^4*d^11*(b + 2*c*x)^6) - 1/(512*c^4*d^11*(b + 2*c*x)^4), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^12, (b^2 - 4*a*c)^3/(1408*c^4*d^12*(b + 2*c*x)^11) - (b^2 - 4*a*c)^2/(384*c^4*d^12*(b + 2*c*x)^9) + (3*(b^2 - 4*a*c))/(896*c^4*d^12*(b + 2*c*x)^7) - 1/(640*c^4*d^12*(b + 2*c*x)^5), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^8/(a + b*x + c*x^2), 2*(b^2 - 4*a*c)^3*d^8*(b + 2*c*x) + (2//3)*(b^2 - 4*a*c)^2*d^8*(b + 2*c*x)^3 + (2//5)*(b^2 - 4*a*c)*d^8*(b + 2*c*x)^5 + (2//7)*d^8*(b + 2*c*x)^7 - 2*(b^2 - 4*a*c)^(7//2)*d^8*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 6),
+((b*d + 2*c*d*x)^7/(a + b*x + c*x^2), (b^2 - 4*a*c)^2*d^7*(b + 2*c*x)^2 + (1//2)*(b^2 - 4*a*c)*d^7*(b + 2*c*x)^4 + (1//3)*d^7*(b + 2*c*x)^6 + (b^2 - 4*a*c)^3*d^7*log(a + b*x + c*x^2), x, 4),
+((b*d + 2*c*d*x)^6/(a + b*x + c*x^2), 2*(b^2 - 4*a*c)^2*d^6*(b + 2*c*x) + (2//3)*(b^2 - 4*a*c)*d^6*(b + 2*c*x)^3 + (2//5)*d^6*(b + 2*c*x)^5 - 2*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*d^6*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 5),
+((b*d + 2*c*d*x)^5/(a + b*x + c*x^2), (b^2 - 4*a*c)*d^5*(b + 2*c*x)^2 + (1//2)*d^5*(b + 2*c*x)^4 + (b^2 - 4*a*c)^2*d^5*log(a + b*x + c*x^2), x, 3),
+((b*d + 2*c*d*x)^4/(a + b*x + c*x^2), 2*(b^2 - 4*a*c)*d^4*(b + 2*c*x) + (2//3)*d^4*(b + 2*c*x)^3 - 2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*d^4*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 4),
+((b*d + 2*c*d*x)^3/(a + b*x + c*x^2), d^3*(b + 2*c*x)^2 + (b^2 - 4*a*c)*d^3*log(a + b*x + c*x^2), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^2/(a + b*x + c*x^2), 2*d^2*(b + 2*c*x) - 2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d^2*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 3),
+((b*d + 2*c*d*x)^1/(a + b*x + c*x^2), d*log(a + b*x + c*x^2), x, 1),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^1*(a + b*x + c*x^2)), -((2*log(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)*d)) + log(a + b*x + c*x^2)/((b^2 - 4*a*c)*d), x, 3),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^2*(a + b*x + c*x^2)), 2/((b^2 - 4*a*c)*d^2*(b + 2*c*x)) - (2*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*d^2), x, 3),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^3*(a + b*x + c*x^2)), 1/((b^2 - 4*a*c)*d^3*(b + 2*c*x)^2) - (2*log(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^2*d^3) + log(a + b*x + c*x^2)/((b^2 - 4*a*c)^2*d^3), x, 4),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^4*(a + b*x + c*x^2)), 2/(3*(b^2 - 4*a*c)*d^4*(b + 2*c*x)^3) + 2/((b^2 - 4*a*c)^2*d^4*(b + 2*c*x)) - (2*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(5//2)*d^4), x, 4),
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^8/(a + b*x + c*x^2)^2, 28*c*(b^2 - 4*a*c)^2*d^8*(b + 2*c*x) + (28//3)*c*(b^2 - 4*a*c)*d^8*(b + 2*c*x)^3 + (28//5)*c*d^8*(b + 2*c*x)^5 - (d^8*(b + 2*c*x)^7)/(a + b*x + c*x^2) - 28*c*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*d^8*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 6),
+((b*d + 2*c*d*x)^7/(a + b*x + c*x^2)^2, 12*c*(b^2 - 4*a*c)*d^7*(b + 2*c*x)^2 + 6*c*d^7*(b + 2*c*x)^4 - (d^7*(b + 2*c*x)^6)/(a + b*x + c*x^2) + 12*c*(b^2 - 4*a*c)^2*d^7*log(a + b*x + c*x^2), x, 4),
+((b*d + 2*c*d*x)^6/(a + b*x + c*x^2)^2, 20*c*(b^2 - 4*a*c)*d^6*(b + 2*c*x) + (20//3)*c*d^6*(b + 2*c*x)^3 - (d^6*(b + 2*c*x)^5)/(a + b*x + c*x^2) - 20*c*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*d^6*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 5),
+((b*d + 2*c*d*x)^5/(a + b*x + c*x^2)^2, 8*c*d^5*(b + 2*c*x)^2 - (d^5*(b + 2*c*x)^4)/(a + b*x + c*x^2) + 8*c*(b^2 - 4*a*c)*d^5*log(a + b*x + c*x^2), x, 3),
+((b*d + 2*c*d*x)^4/(a + b*x + c*x^2)^2, 12*c*d^4*(b + 2*c*x) - (d^4*(b + 2*c*x)^3)/(a + b*x + c*x^2) - 12*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d^4*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 4),
+((b*d + 2*c*d*x)^3/(a + b*x + c*x^2)^2, -((d^3*(b + 2*c*x)^2)/(a + b*x + c*x^2)) + 4*c*d^3*log(a + b*x + c*x^2), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^2/(a + b*x + c*x^2)^2, -((d^2*(b + 2*c*x))/(a + b*x + c*x^2)) - (4*c*d^2*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/sqrt(b^2 - 4*a*c), x, 3),
+((b*d + 2*c*d*x)^1/(a + b*x + c*x^2)^2, -(d/(a + b*x + c*x^2)), x, 1),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^2), -(1/((b^2 - 4*a*c)*d*(a + b*x + c*x^2))) + (8*c*log(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^2*d) - (4*c*log(a + b*x + c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)^2*d), x, 4),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^2), -((12*c)/((b^2 - 4*a*c)^2*d^2*(b + 2*c*x))) - 1/((b^2 - 4*a*c)*d^2*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)) + (12*c*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(5//2)*d^2), x, 4),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^2), -((8*c)/((b^2 - 4*a*c)^2*d^3*(b + 2*c*x)^2)) - 1/((b^2 - 4*a*c)*d^3*(b + 2*c*x)^2*(a + b*x + c*x^2)) + (16*c*log(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^3*d^3) - (8*c*log(a + b*x + c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)^3*d^3), x, 5),
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^10/(a + b*x + c*x^2)^3, 252*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2*d^10*(b + 2*c*x) + 84*c^2*(b^2 - 4*a*c)*d^10*(b + 2*c*x)^3 + (252//5)*c^2*d^10*(b + 2*c*x)^5 - (d^10*(b + 2*c*x)^9)/(2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (9*c*d^10*(b + 2*c*x)^7)/(a + b*x + c*x^2) - 252*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*d^10*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 7),
+((b*d + 2*c*d*x)^9/(a + b*x + c*x^2)^3, 96*c^2*(b^2 - 4*a*c)*d^9*(b + 2*c*x)^2 + 48*c^2*d^9*(b + 2*c*x)^4 - (d^9*(b + 2*c*x)^8)/(2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (8*c*d^9*(b + 2*c*x)^6)/(a + b*x + c*x^2) + 96*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2*d^9*log(a + b*x + c*x^2), x, 5),
+((b*d + 2*c*d*x)^8/(a + b*x + c*x^2)^3, 140*c^2*(b^2 - 4*a*c)*d^8*(b + 2*c*x) + (140//3)*c^2*d^8*(b + 2*c*x)^3 - (d^8*(b + 2*c*x)^7)/(2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (7*c*d^8*(b + 2*c*x)^5)/(a + b*x + c*x^2) - 140*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*d^8*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 6),
+((b*d + 2*c*d*x)^7/(a + b*x + c*x^2)^3, 48*c^2*d^7*(b + 2*c*x)^2 - (d^7*(b + 2*c*x)^6)/(2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (6*c*d^7*(b + 2*c*x)^4)/(a + b*x + c*x^2) + 48*c^2*(b^2 - 4*a*c)*d^7*log(a + b*x + c*x^2), x, 4),
+((b*d + 2*c*d*x)^6/(a + b*x + c*x^2)^3, 60*c^2*d^6*(b + 2*c*x) - (d^6*(b + 2*c*x)^5)/(2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (5*c*d^6*(b + 2*c*x)^3)/(a + b*x + c*x^2) - 60*c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d^6*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 5),
+((b*d + 2*c*d*x)^5/(a + b*x + c*x^2)^3, -((d^5*(b + 2*c*x)^4)/(2*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (4*c*d^5*(b + 2*c*x)^2)/(a + b*x + c*x^2) + 16*c^2*d^5*log(a + b*x + c*x^2), x, 3),
+((b*d + 2*c*d*x)^4/(a + b*x + c*x^2)^3, -((d^4*(b + 2*c*x)^3)/(2*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (3*c*d^4*(b + 2*c*x))/(a + b*x + c*x^2) - (12*c^2*d^4*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/sqrt(b^2 - 4*a*c), x, 4),
+((b*d + 2*c*d*x)^3/(a + b*x + c*x^2)^3, -((d^3*(b + 2*c*x)^4)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)), x, 1),
+((b*d + 2*c*d*x)^2/(a + b*x + c*x^2)^3, -((d^2*(b + 2*c*x))/(2*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (c*d^2*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (4*c^2*d^2*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 4),
+((b*d + 2*c*d*x)^1/(a + b*x + c*x^2)^3, -(d/(2*(a + b*x + c*x^2)^2)), x, 1),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^3), -(1/(2*(b^2 - 4*a*c)*d*(a + b*x + c*x^2)^2)) + (4*c)/((b^2 - 4*a*c)^2*d*(a + b*x + c*x^2)) - (32*c^2*log(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^3*d) + (16*c^2*log(a + b*x + c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)^3*d), x, 5),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^3), (60*c^2)/((b^2 - 4*a*c)^3*d^2*(b + 2*c*x)) - 1/(2*(b^2 - 4*a*c)*d^2*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^2) + (5*c)/((b^2 - 4*a*c)^2*d^2*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)) - (60*c^2*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(7//2)*d^2), x, 5),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^3), (48*c^2)/((b^2 - 4*a*c)^3*d^3*(b + 2*c*x)^2) - 1/(2*(b^2 - 4*a*c)*d^3*(b + 2*c*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^2) + (6*c)/((b^2 - 4*a*c)^2*d^3*(b + 2*c*x)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (96*c^2*log(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^4*d^3) + (48*c^2*log(a + b*x + c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)^4*d^3), x, 6),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^3), (140*c^2)/(3*(b^2 - 4*a*c)^3*d^4*(b + 2*c*x)^3) + (140*c^2)/((b^2 - 4*a*c)^4*d^4*(b + 2*c*x)) - 1/(2*(b^2 - 4*a*c)*d^4*(b + 2*c*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^2) + (7*c)/((b^2 - 4*a*c)^2*d^4*(b + 2*c*x)^3*(a + b*x + c*x^2)) - (140*c^2*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(9//2)*d^4), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (b d+2 c d x)^m (a+b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^(1//2), -(((b^2 - 4*a*c)^2*d^4*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(32*c)) - ((b^2 - 4*a*c)*d^4*(b + 2*c*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(48*c) + (d^4*(b + 2*c*x)^5*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(12*c) - ((b^2 - 4*a*c)^3*d^4*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(64*c^(3//2)), x, 5),
+((b*d + 2*c*d*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(1//2), (4//15)*(b^2 - 4*a*c)*d^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2) + (2//5)*d^3*(b + 2*c*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(1//2), -(((b^2 - 4*a*c)*d^2*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(16*c)) + (d^2*(b + 2*c*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c) - ((b^2 - 4*a*c)^2*d^2*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(32*c^(3//2)), x, 4),
+((b*d + 2*c*d*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(1//2), (2//3)*d*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), x, 1),
+((a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(b*d + 2*c*d*x)^1, sqrt(a + b*x + c*x^2)/(2*c*d) - (sqrt(b^2 - 4*a*c)*atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(4*c^(3//2)*d), x, 3),
+((a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(b*d + 2*c*d*x)^2, -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(2*c*d^2*(b + 2*c*x))) + atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))/(4*c^(3//2)*d^2), x, 3),
+((a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(b*d + 2*c*d*x)^3, -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(4*c*d^3*(b + 2*c*x)^2)) + atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))/(8*c^(3//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d^3), x, 3),
+((a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(b*d + 2*c*d*x)^4, (2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*(b^2 - 4*a*c)*d^4*(b + 2*c*x)^3), x, 1),
+((a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(b*d + 2*c*d*x)^5, -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(8*c*d^5*(b + 2*c*x)^4)) + sqrt(a + b*x + c*x^2)/(16*c*(b^2 - 4*a*c)*d^5*(b + 2*c*x)^2) + atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))/(32*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*d^5), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(b*d + 2*c*d*x)^6, (2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*(b^2 - 4*a*c)*d^6*(b + 2*c*x)^5) + (4*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(15*(b^2 - 4*a*c)^2*d^6*(b + 2*c*x)^3), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(b*d + 2*c*d*x)^7, -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(12*c*d^7*(b + 2*c*x)^6)) + sqrt(a + b*x + c*x^2)/(48*c*(b^2 - 4*a*c)*d^7*(b + 2*c*x)^4) + sqrt(a + b*x + c*x^2)/(32*c*(b^2 - 4*a*c)^2*d^7*(b + 2*c*x)^2) + atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))/(64*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*d^7), x, 5),
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^5*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (16//315)*(b^2 - 4*a*c)^2*d^5*(a + b*x + c*x^2)^(5//2) + (8//63)*(b^2 - 4*a*c)*d^5*(b + 2*c*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2) + (2//9)*d^5*(b + 2*c*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), x, 3),
+((b*d + 2*c*d*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (3*(b^2 - 4*a*c)^3*d^4*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1024*c^2) + ((b^2 - 4*a*c)^2*d^4*(b + 2*c*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(512*c^2) - ((b^2 - 4*a*c)*d^4*(b + 2*c*x)^5*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(128*c^2) + (d^4*(b + 2*c*x)^5*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(16*c) + (3*(b^2 - 4*a*c)^4*d^4*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2048*c^(5//2)), x, 6),
+((b*d + 2*c*d*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (4//35)*(b^2 - 4*a*c)*d^3*(a + b*x + c*x^2)^(5//2) + (2//7)*d^3*(b + 2*c*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), ((b^2 - 4*a*c)^2*d^2*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(128*c^2) - ((b^2 - 4*a*c)*d^2*(b + 2*c*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*c^2) + (d^2*(b + 2*c*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(12*c) + ((b^2 - 4*a*c)^3*d^2*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*c^(5//2)), x, 5),
+((b*d + 2*c*d*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (2//5)*d*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), x, 1),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(b*d + 2*c*d*x)^1, -(((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c^2*d)) + (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(6*c*d) + ((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(16*c^(5//2)*d), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(b*d + 2*c*d*x)^2, (3*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(16*c^2*d^2) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(2*c*d^2*(b + 2*c*x)) - (3*(b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(32*c^(5//2)*d^2), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(b*d + 2*c*d*x)^3, (3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(16*c^2*d^3) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(4*c*d^3*(b + 2*c*x)^2) - (3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(32*c^(5//2)*d^3), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(b*d + 2*c*d*x)^4, -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(8*c^2*d^4*(b + 2*c*x))) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(6*c*d^4*(b + 2*c*x)^3) + atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))/(16*c^(5//2)*d^4), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(b*d + 2*c*d*x)^5, -((3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*c^2*d^5*(b + 2*c*x)^2)) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(8*c*d^5*(b + 2*c*x)^4) + (3*atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(128*c^(5//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d^5), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(b*d + 2*c*d*x)^6, (2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*(b^2 - 4*a*c)*d^6*(b + 2*c*x)^5), x, 1),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(b*d + 2*c*d*x)^7, -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(64*c^2*d^7*(b + 2*c*x)^4)) + sqrt(a + b*x + c*x^2)/(128*c^2*(b^2 - 4*a*c)*d^7*(b + 2*c*x)^2) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(12*c*d^7*(b + 2*c*x)^6) + atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))/(256*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*d^7), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(b*d + 2*c*d*x)^8, (2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(7*(b^2 - 4*a*c)*d^8*(b + 2*c*x)^7) + (4*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(35*(b^2 - 4*a*c)^2*d^8*(b + 2*c*x)^5), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(b*d + 2*c*d*x)^9, -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(128*c^2*d^9*(b + 2*c*x)^6)) + sqrt(a + b*x + c*x^2)/(512*c^2*(b^2 - 4*a*c)*d^9*(b + 2*c*x)^4) + (3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1024*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2*d^9*(b + 2*c*x)^2) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(16*c*d^9*(b + 2*c*x)^8) + (3*atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2048*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*d^9), x, 6),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(b*d + 2*c*d*x)^10, (2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(9*(b^2 - 4*a*c)*d^10*(b + 2*c*x)^9) + (8*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(63*(b^2 - 4*a*c)^2*d^10*(b + 2*c*x)^7) + (16*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(315*(b^2 - 4*a*c)^3*d^10*(b + 2*c*x)^5), x, 3),
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^5*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (16//693)*(b^2 - 4*a*c)^2*d^5*(a + b*x + c*x^2)^(7//2) + (8//99)*(b^2 - 4*a*c)*d^5*(b + 2*c*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(7//2) + (2//11)*d^5*(b + 2*c*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^(7//2), x, 3),
+((b*d + 2*c*d*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((3*(b^2 - 4*a*c)^4*d^4*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8192*c^3)) - ((b^2 - 4*a*c)^3*d^4*(b + 2*c*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4096*c^3) + ((b^2 - 4*a*c)^2*d^4*(b + 2*c*x)^5*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1024*c^3) - ((b^2 - 4*a*c)*d^4*(b + 2*c*x)^5*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(128*c^2) + (d^4*(b + 2*c*x)^5*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(20*c) - (3*(b^2 - 4*a*c)^5*d^4*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16384*c^(7//2)), x, 7),
+((b*d + 2*c*d*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (4//63)*(b^2 - 4*a*c)*d^3*(a + b*x + c*x^2)^(7//2) + (2//9)*d^3*(b + 2*c*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(7//2), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((5*(b^2 - 4*a*c)^3*d^2*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4096*c^3)) + (5*(b^2 - 4*a*c)^2*d^2*(b + 2*c*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2048*c^3) - (5*(b^2 - 4*a*c)*d^2*(b + 2*c*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(384*c^2) + (d^2*(b + 2*c*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(16*c) - (5*(b^2 - 4*a*c)^4*d^2*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8192*c^(7//2)), x, 6),
+((b*d + 2*c*d*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (2//7)*d*(a + b*x + c*x^2)^(7//2), x, 1),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^1, ((b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(32*c^3*d) - ((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*c^2*d) + (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(10*c*d) - ((b^2 - 4*a*c)^(5//2)*atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(64*c^(7//2)*d), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^2, -((15*(b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(256*c^3*d^2)) + (5*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(32*c^2*d^2) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(2*c*d^2*(b + 2*c*x)) + (15*(b^2 - 4*a*c)^2*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(512*c^(7//2)*d^2), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^3, -((5*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*c^3*d^3)) + (5*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(48*c^2*d^3) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(4*c*d^3*(b + 2*c*x)^2) + (5*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(128*c^(7//2)*d^3), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^4, (5*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*c^3*d^4) - (5*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*c^2*d^4*(b + 2*c*x)) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(6*c*d^4*(b + 2*c*x)^3) - (5*(b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(7//2)*d^4), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^5, (15*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(256*c^3*d^5) - (5*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(64*c^2*d^5*(b + 2*c*x)^2) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(8*c*d^5*(b + 2*c*x)^4) - (15*sqrt(b^2 - 4*a*c)*atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(512*c^(7//2)*d^5), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^6, -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(32*c^3*d^6*(b + 2*c*x))) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(24*c^2*d^6*(b + 2*c*x)^3) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(10*c*d^6*(b + 2*c*x)^5) + atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))/(64*c^(7//2)*d^6), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^7, -((5*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(512*c^3*d^7*(b + 2*c*x)^2)) - (5*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*c^2*d^7*(b + 2*c*x)^4) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(12*c*d^7*(b + 2*c*x)^6) + (5*atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(1024*c^(7//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d^7), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^8, (2*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(7*(b^2 - 4*a*c)*d^8*(b + 2*c*x)^7), x, 1),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^9, -((5*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2048*c^3*d^9*(b + 2*c*x)^4)) + (5*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4096*c^3*(b^2 - 4*a*c)*d^9*(b + 2*c*x)^2) - (5*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(384*c^2*d^9*(b + 2*c*x)^6) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(16*c*d^9*(b + 2*c*x)^8) + (5*atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(8192*c^(7//2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*d^9), x, 6),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^10, (2*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(9*(b^2 - 4*a*c)*d^10*(b + 2*c*x)^9) + (4*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(63*(b^2 - 4*a*c)^2*d^10*(b + 2*c*x)^7), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^11, -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(1024*c^3*d^11*(b + 2*c*x)^6)) + sqrt(a + b*x + c*x^2)/(4096*c^3*(b^2 - 4*a*c)*d^11*(b + 2*c*x)^4) + (3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8192*c^3*(b^2 - 4*a*c)^2*d^11*(b + 2*c*x)^2) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(128*c^2*d^11*(b + 2*c*x)^8) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(20*c*d^11*(b + 2*c*x)^10) + (3*atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(16384*c^(7//2)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*d^11), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^12, (2*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(11*(b^2 - 4*a*c)*d^12*(b + 2*c*x)^11) + (8*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(99*(b^2 - 4*a*c)^2*d^12*(b + 2*c*x)^9) + (16*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(693*(b^2 - 4*a*c)^3*d^12*(b + 2*c*x)^7), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^4/(a + b*x + c*x^2)^(1//2), (3//4)*(b^2 - 4*a*c)*d^4*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (1//2)*d^4*(b + 2*c*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*d^4*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(c)), x, 4),
+((b*d + 2*c*d*x)^3/(a + b*x + c*x^2)^(1//2), (4//3)*(b^2 - 4*a*c)*d^3*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (2//3)*d^3*(b + 2*c*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^2/(a + b*x + c*x^2)^(1//2), d^2*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + ((b^2 - 4*a*c)*d^2*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)), x, 3),
+((b*d + 2*c*d*x)^1/(a + b*x + c*x^2)^(1//2), 2*d*sqrt(a + b*x + c*x^2), x, 1),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)), atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))/(sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d), x, 2),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)), (2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*d^2*(b + 2*c*x)), x, 1),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)), sqrt(a + b*x + c*x^2)/((b^2 - 4*a*c)*d^3*(b + 2*c*x)^2) + atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*d^3), x, 3),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)), (2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(b^2 - 4*a*c)*d^4*(b + 2*c*x)^3) + (4*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*d^4*(b + 2*c*x)), x, 2),
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^4/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*d^4*(b + 2*c*x)^3)/sqrt(a + b*x + c*x^2)) + 12*c*d^4*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + 6*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*d^4*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))), x, 4),
+((b*d + 2*c*d*x)^3/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*d^3*(b + 2*c*x)^2)/sqrt(a + b*x + c*x^2)) + 16*c*d^3*sqrt(a + b*x + c*x^2), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^2/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*d^2*(b + 2*c*x))/sqrt(a + b*x + c*x^2)) + 4*sqrt(c)*d^2*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))), x, 3),
+((b*d + 2*c*d*x)^1/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*d)/sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 1),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -(2/((b^2 - 4*a*c)*d*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - (4*sqrt(c)*atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*d), x, 3),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -(2/((b^2 - 4*a*c)*d^2*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - (16*c*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)^2*d^2*(b + 2*c*x)), x, 2),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -(2/((b^2 - 4*a*c)*d^3*(b + 2*c*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - (12*c*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)^2*d^3*(b + 2*c*x)^2) - (6*sqrt(c)*atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(5//2)*d^3), x, 4),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -(2/((b^2 - 4*a*c)*d^4*(b + 2*c*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - (32*c*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*d^4*(b + 2*c*x)^3) - (64*c*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(b^2 - 4*a*c)^3*d^4*(b + 2*c*x)), x, 3),
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^6/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*d^6*(b + 2*c*x)^5)/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (40*c*d^6*(b + 2*c*x)^3)/(3*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + 80*c^2*d^6*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + 40*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)*d^6*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))), x, 5),
+((b*d + 2*c*d*x)^5/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*d^5*(b + 2*c*x)^4)/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (32*c*d^5*(b + 2*c*x)^2)/(3*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (256//3)*c^2*d^5*sqrt(a + b*x + c*x^2), x, 3),
+((b*d + 2*c*d*x)^4/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*d^4*(b + 2*c*x)^3)/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (8*c*d^4*(b + 2*c*x))/sqrt(a + b*x + c*x^2) + 16*c^(3//2)*d^4*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))), x, 4),
+((b*d + 2*c*d*x)^3/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*d^3*(b + 2*c*x)^2)/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (16*c*d^3)/(3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^2/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*d^2*(b + 2*c*x)^3)/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))), x, 1),
+((b*d + 2*c*d*x)^1/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*d)/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))), x, 1),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), -(2/(3*(b^2 - 4*a*c)*d*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) + (8*c)/((b^2 - 4*a*c)^2*d*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (16*c^(3//2)*atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(5//2)*d), x, 4),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), -(2/(3*(b^2 - 4*a*c)*d^2*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) + (32*c)/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*d^2*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (256*c^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(b^2 - 4*a*c)^3*d^2*(b + 2*c*x)), x, 3),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), -(2/(3*(b^2 - 4*a*c)*d^3*(b + 2*c*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) + (40*c)/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*d^3*(b + 2*c*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (80*c^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)^3*d^3*(b + 2*c*x)^2) + (40*c^(3//2)*atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(7//2)*d^3), x, 5),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), -(2/(3*(b^2 - 4*a*c)*d^4*(b + 2*c*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) + (16*c)/((b^2 - 4*a*c)^2*d^4*(b + 2*c*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (256*c^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(b^2 - 4*a*c)^3*d^4*(b + 2*c*x)^3) + (512*c^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(b^2 - 4*a*c)^4*d^4*(b + 2*c*x)), x, 4),
+
+
+(1/((a + b*x)*sqrt(1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(atanh(sqrt(1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/b), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (b d+2 c d x)^(m/2) (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2), -(((b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2))/(28*c^2*d)) + (b*d + 2*c*d*x)^(11//2)/(44*c^2*d^3), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2), -(((b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2))/(20*c^2*d)) + (b*d + 2*c*d*x)^(9//2)/(36*c^2*d^3), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2), -(((b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))/(12*c^2*d)) + (b*d + 2*c*d*x)^(7//2)/(28*c^2*d^3), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/(b*d + 2*c*d*x)^(1//2), -(((b^2 - 4*a*c)*sqrt(b*d + 2*c*d*x))/(4*c^2*d)) + (b*d + 2*c*d*x)^(5//2)/(20*c^2*d^3), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/(b*d + 2*c*d*x)^(3//2), (b^2 - 4*a*c)/(4*c^2*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) + (b*d + 2*c*d*x)^(3//2)/(12*c^2*d^3), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/(b*d + 2*c*d*x)^(5//2), (b^2 - 4*a*c)/(12*c^2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) + sqrt(b*d + 2*c*d*x)/(4*c^2*d^3), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/(b*d + 2*c*d*x)^(7//2), (b^2 - 4*a*c)/(20*c^2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)) - 1/(4*c^2*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/(b*d + 2*c*d*x)^(9//2), (b^2 - 4*a*c)/(28*c^2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2)) - 1/(12*c^2*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)), x, 2),
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^2, ((b^2 - 4*a*c)^2*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2))/(80*c^3*d) - ((b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(9//2))/(72*c^3*d^3) + (b*d + 2*c*d*x)^(13//2)/(208*c^3*d^5), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)^2, ((b^2 - 4*a*c)^2*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))/(48*c^3*d) - ((b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2))/(56*c^3*d^3) + (b*d + 2*c*d*x)^(11//2)/(176*c^3*d^5), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(b*d + 2*c*d*x)^(1//2), ((b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b*d + 2*c*d*x))/(16*c^3*d) - ((b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2))/(40*c^3*d^3) + (b*d + 2*c*d*x)^(9//2)/(144*c^3*d^5), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(b*d + 2*c*d*x)^(3//2), -((b^2 - 4*a*c)^2/(16*c^3*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x))) - ((b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))/(24*c^3*d^3) + (b*d + 2*c*d*x)^(7//2)/(112*c^3*d^5), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(b*d + 2*c*d*x)^(5//2), -((b^2 - 4*a*c)^2/(48*c^3*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))) - ((b^2 - 4*a*c)*sqrt(b*d + 2*c*d*x))/(8*c^3*d^3) + (b*d + 2*c*d*x)^(5//2)/(80*c^3*d^5), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(b*d + 2*c*d*x)^(7//2), -((b^2 - 4*a*c)^2/(80*c^3*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2))) + (b^2 - 4*a*c)/(8*c^3*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) + (b*d + 2*c*d*x)^(3//2)/(48*c^3*d^5), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(b*d + 2*c*d*x)^(9//2), -((b^2 - 4*a*c)^2/(112*c^3*d*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2))) + (b^2 - 4*a*c)/(24*c^3*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) + sqrt(b*d + 2*c*d*x)/(16*c^3*d^5), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(b*d + 2*c*d*x)^(11//2), -((b^2 - 4*a*c)^2/(144*c^3*d*(b*d + 2*c*d*x)^(9//2))) + (b^2 - 4*a*c)/(40*c^3*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)) - 1/(16*c^3*d^5*sqrt(b*d + 2*c*d*x)), x, 2),
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)^3, -(((b^2 - 4*a*c)^3*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))/(192*c^4*d)) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2))/(448*c^4*d^3) - (3*(b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(11//2))/(704*c^4*d^5) + (b*d + 2*c*d*x)^(15//2)/(960*c^4*d^7), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^(1//2), -(((b^2 - 4*a*c)^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x))/(64*c^4*d)) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2))/(320*c^4*d^3) - ((b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(9//2))/(192*c^4*d^5) + (b*d + 2*c*d*x)^(13//2)/(832*c^4*d^7), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^(3//2), (b^2 - 4*a*c)^3/(64*c^4*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) + ((b^2 - 4*a*c)^2*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))/(64*c^4*d^3) - (3*(b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2))/(448*c^4*d^5) + (b*d + 2*c*d*x)^(11//2)/(704*c^4*d^7), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^(5//2), (b^2 - 4*a*c)^3/(192*c^4*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b*d + 2*c*d*x))/(64*c^4*d^3) - (3*(b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2))/(320*c^4*d^5) + (b*d + 2*c*d*x)^(9//2)/(576*c^4*d^7), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^(7//2), (b^2 - 4*a*c)^3/(320*c^4*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)) - (3*(b^2 - 4*a*c)^2)/(64*c^4*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) - ((b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))/(64*c^4*d^5) + (b*d + 2*c*d*x)^(7//2)/(448*c^4*d^7), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^(9//2), (b^2 - 4*a*c)^3/(448*c^4*d*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2)) - (b^2 - 4*a*c)^2/(64*c^4*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) - (3*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b*d + 2*c*d*x))/(64*c^4*d^5) + (b*d + 2*c*d*x)^(5//2)/(320*c^4*d^7), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^(11//2), (b^2 - 4*a*c)^3/(576*c^4*d*(b*d + 2*c*d*x)^(9//2)) - (3*(b^2 - 4*a*c)^2)/(320*c^4*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)) + (3*(b^2 - 4*a*c))/(64*c^4*d^5*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) + (b*d + 2*c*d*x)^(3//2)/(192*c^4*d^7), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(b*d + 2*c*d*x)^(13//2), (b^2 - 4*a*c)^3/(704*c^4*d*(b*d + 2*c*d*x)^(11//2)) - (3*(b^2 - 4*a*c)^2)/(448*c^4*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2)) + (b^2 - 4*a*c)/(64*c^4*d^5*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) + sqrt(b*d + 2*c*d*x)/(64*c^4*d^7), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^(11//2)/(a + b*x + c*x^2), 4*(b^2 - 4*a*c)^2*d^5*sqrt(b*d + 2*c*d*x) + (4//5)*(b^2 - 4*a*c)*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2) + (4//9)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(9//2) - 2*(b^2 - 4*a*c)^(9//4)*d^(11//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))) - 2*(b^2 - 4*a*c)^(9//4)*d^(11//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), x, 8),
+((b*d + 2*c*d*x)^(9//2)/(a + b*x + c*x^2), (4//3)*(b^2 - 4*a*c)*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2) + (4//7)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2) + 2*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(9//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))) - 2*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(9//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), x, 7),
+((b*d + 2*c*d*x)^(7//2)/(a + b*x + c*x^2), 4*(b^2 - 4*a*c)*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x) + (4//5)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2) - 2*(b^2 - 4*a*c)^(5//4)*d^(7//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))) - 2*(b^2 - 4*a*c)^(5//4)*d^(7//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), x, 7),
+((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)/(a + b*x + c*x^2), (4//3)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2) + 2*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*d^(5//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))) - 2*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*d^(5//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), x, 6),
+((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)/(a + b*x + c*x^2), 4*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x) - 2*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*d^(3//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))) - 2*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*d^(3//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), x, 6),
+((b*d + 2*c*d*x)^(1//2)/(a + b*x + c*x^2), (2*sqrt(d)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4) - (2*sqrt(d)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4), x, 5),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)), -((2*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(3//4)*sqrt(d))) - (2*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(3//4)*sqrt(d)), x, 5),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)), 4/((b^2 - 4*a*c)*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) + (2*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(5//4)*d^(3//2)) - (2*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(5//4)*d^(3//2)), x, 6),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)), 4/(3*(b^2 - 4*a*c)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) - (2*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(5//2)) - (2*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(5//2)), x, 6),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(7//2)*(a + b*x + c*x^2)), 4/(5*(b^2 - 4*a*c)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)) + 4/((b^2 - 4*a*c)^2*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) + (2*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(9//4)*d^(7//2)) - (2*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(9//4)*d^(7//2)), x, 7),
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^(15//2)/(a + b*x + c*x^2)^2, 52*c*(b^2 - 4*a*c)^2*d^7*sqrt(b*d + 2*c*d*x) + (52//5)*c*(b^2 - 4*a*c)*d^5*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2) + (52//9)*c*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(9//2) - (d*(b*d + 2*c*d*x)^(13//2))/(a + b*x + c*x^2) - 26*c*(b^2 - 4*a*c)^(9//4)*d^(15//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))) - 26*c*(b^2 - 4*a*c)^(9//4)*d^(15//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), x, 9),
+((b*d + 2*c*d*x)^(13//2)/(a + b*x + c*x^2)^2, (44//3)*c*(b^2 - 4*a*c)*d^5*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2) + (44//7)*c*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2) - (d*(b*d + 2*c*d*x)^(11//2))/(a + b*x + c*x^2) + 22*c*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(13//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))) - 22*c*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(13//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), x, 8),
+((b*d + 2*c*d*x)^(11//2)/(a + b*x + c*x^2)^2, 36*c*(b^2 - 4*a*c)*d^5*sqrt(b*d + 2*c*d*x) + (36//5)*c*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2) - (d*(b*d + 2*c*d*x)^(9//2))/(a + b*x + c*x^2) - 18*c*(b^2 - 4*a*c)^(5//4)*d^(11//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))) - 18*c*(b^2 - 4*a*c)^(5//4)*d^(11//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), x, 8),
+((b*d + 2*c*d*x)^(9//2)/(a + b*x + c*x^2)^2, (28//3)*c*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2) - (d*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2))/(a + b*x + c*x^2) + 14*c*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*d^(9//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))) - 14*c*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*d^(9//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), x, 7),
+((b*d + 2*c*d*x)^(7//2)/(a + b*x + c*x^2)^2, 20*c*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x) - (d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2))/(a + b*x + c*x^2) - 10*c*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*d^(7//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))) - 10*c*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*d^(7//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), x, 7),
+((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)/(a + b*x + c*x^2)^2, -((d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))/(a + b*x + c*x^2)) + (6*c*d^(5//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4) - (6*c*d^(5//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4), x, 6),
+((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)/(a + b*x + c*x^2)^2, -((d*sqrt(b*d + 2*c*d*x))/(a + b*x + c*x^2)) - (2*c*d^(3//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/(b^2 - 4*a*c)^(3//4) - (2*c*d^(3//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/(b^2 - 4*a*c)^(3//4), x, 6),
+((b*d + 2*c*d*x)^(1//2)/(a + b*x + c*x^2)^2, -((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)/((b^2 - 4*a*c)*d*(a + b*x + c*x^2))) - (2*c*sqrt(d)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/(b^2 - 4*a*c)^(5//4) + (2*c*sqrt(d)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/(b^2 - 4*a*c)^(5//4), x, 6),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)^2), -(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)*d*(a + b*x + c*x^2))) + (6*c*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(7//4)*sqrt(d)) + (6*c*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(7//4)*sqrt(d)), x, 6),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^2), -((20*c)/((b^2 - 4*a*c)^2*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x))) - 1/((b^2 - 4*a*c)*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*(a + b*x + c*x^2)) - (10*c*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(9//4)*d^(3//2)) + (10*c*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(9//4)*d^(3//2)), x, 7),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^2), -((28*c)/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))) - 1/((b^2 - 4*a*c)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)) + (14*c*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(11//4)*d^(5//2)) + (14*c*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(11//4)*d^(5//2)), x, 7),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(7//2)*(a + b*x + c*x^2)^2), -((36*c)/(5*(b^2 - 4*a*c)^2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2))) - (36*c)/((b^2 - 4*a*c)^3*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) - 1/((b^2 - 4*a*c)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)) - (18*c*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(13//4)*d^(7//2)) + (18*c*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(13//4)*d^(7//2)), x, 8),
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^(17//2)/(a + b*x + c*x^2)^3, 110*c^2*(b^2 - 4*a*c)*d^7*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2) + (330//7)*c^2*d^5*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2) - (d*(b*d + 2*c*d*x)^(15//2))/(2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (15*c*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(11//2))/(2*(a + b*x + c*x^2)) + 165*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(17//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))) - 165*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(17//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), x, 9),
+((b*d + 2*c*d*x)^(15//2)/(a + b*x + c*x^2)^3, 234*c^2*(b^2 - 4*a*c)*d^7*sqrt(b*d + 2*c*d*x) + (234//5)*c^2*d^5*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2) - (d*(b*d + 2*c*d*x)^(13//2))/(2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (13*c*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(9//2))/(2*(a + b*x + c*x^2)) - 117*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(5//4)*d^(15//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))) - 117*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(5//4)*d^(15//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), x, 9),
+((b*d + 2*c*d*x)^(13//2)/(a + b*x + c*x^2)^3, (154//3)*c^2*d^5*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2) - (d*(b*d + 2*c*d*x)^(11//2))/(2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (11*c*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2))/(2*(a + b*x + c*x^2)) + 77*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*d^(13//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))) - 77*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*d^(13//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), x, 8),
+((b*d + 2*c*d*x)^(11//2)/(a + b*x + c*x^2)^3, 90*c^2*d^5*sqrt(b*d + 2*c*d*x) - (d*(b*d + 2*c*d*x)^(9//2))/(2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (9*c*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2))/(2*(a + b*x + c*x^2)) - 45*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*d^(11//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))) - 45*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*d^(11//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), x, 8),
+((b*d + 2*c*d*x)^(9//2)/(a + b*x + c*x^2)^3, -((d*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2))/(2*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (7*c*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))/(2*(a + b*x + c*x^2)) + (21*c^2*d^(9//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4) - (21*c^2*d^(9//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4), x, 7),
+((b*d + 2*c*d*x)^(7//2)/(a + b*x + c*x^2)^3, -((d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2))/(2*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (5*c*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x))/(2*(a + b*x + c*x^2)) - (5*c^2*d^(7//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/(b^2 - 4*a*c)^(3//4) - (5*c^2*d^(7//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/(b^2 - 4*a*c)^(3//4), x, 7),
+((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)/(a + b*x + c*x^2)^3, -((d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))/(2*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (3*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) - (3*c^2*d^(5//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/(b^2 - 4*a*c)^(5//4) + (3*c^2*d^(5//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/(b^2 - 4*a*c)^(5//4), x, 7),
+((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)/(a + b*x + c*x^2)^3, -((d*sqrt(b*d + 2*c*d*x))/(2*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (c*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (3*c^2*d^(3//2)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/(b^2 - 4*a*c)^(7//4) + (3*c^2*d^(3//2)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/(b^2 - 4*a*c)^(7//4), x, 7),
+((b*d + 2*c*d*x)^(1//2)/(a + b*x + c*x^2)^3, -((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)/(2*(b^2 - 4*a*c)*d*(a + b*x + c*x^2)^2)) + (5*c*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*d*(a + b*x + c*x^2)) + (5*c^2*sqrt(d)*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/(b^2 - 4*a*c)^(9//4) - (5*c^2*sqrt(d)*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/(b^2 - 4*a*c)^(9//4), x, 7),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)^3), -(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/(2*(b^2 - 4*a*c)*d*(a + b*x + c*x^2)^2)) + (7*c*sqrt(b*d + 2*c*d*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*d*(a + b*x + c*x^2)) - (21*c^2*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(11//4)*sqrt(d)) - (21*c^2*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(11//4)*sqrt(d)), x, 7),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^3), (90*c^2)/((b^2 - 4*a*c)^3*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) - 1/(2*(b^2 - 4*a*c)*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*(a + b*x + c*x^2)^2) + (9*c)/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*(a + b*x + c*x^2)) + (45*c^2*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(13//4)*d^(3//2)) - (45*c^2*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(13//4)*d^(3//2)), x, 8),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^3), (154*c^2)/(3*(b^2 - 4*a*c)^3*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) - 1/(2*(b^2 - 4*a*c)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^2) + (11*c)/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)) - (77*c^2*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(15//4)*d^(5//2)) - (77*c^2*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(15//4)*d^(5//2)), x, 8),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(7//2)*(a + b*x + c*x^2)^3), (234*c^2)/(5*(b^2 - 4*a*c)^3*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)) + (234*c^2)/((b^2 - 4*a*c)^4*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) - 1/(2*(b^2 - 4*a*c)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^2) + (13*c)/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)) + (117*c^2*atan(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(17//4)*d^(7//2)) - (117*c^2*atanh(sqrt(d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))))/((b^2 - 4*a*c)^(17//4)*d^(7//2)), x, 9),
+
+
+((1 + 2*x)^(7//2)/(1 + x + x^2), -12*sqrt(1 + 2*x) + (4//5)*(1 + 2*x)^(5//2) - 3*sqrt(2)*3^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*sqrt(1 + 2*x))/3^(1//4)) + 3*sqrt(2)*3^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*sqrt(1 + 2*x))/3^(1//4)) - (3*3^(1//4)*log(1 + sqrt(3) + 2*x - sqrt(2)*3^(1//4)*sqrt(1 + 2*x)))/sqrt(2) + (3*3^(1//4)*log(1 + sqrt(3) + 2*x + sqrt(2)*3^(1//4)*sqrt(1 + 2*x)))/sqrt(2), x, 13),
+((1 + 2*x)^(5//2)/(1 + x + x^2), (4//3)*(1 + 2*x)^(3//2) + sqrt(2)*3^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*sqrt(1 + 2*x))/3^(1//4)) - sqrt(2)*3^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*sqrt(1 + 2*x))/3^(1//4)) - (3^(3//4)*log(1 + sqrt(3) + 2*x - sqrt(2)*3^(1//4)*sqrt(1 + 2*x)))/sqrt(2) + (3^(3//4)*log(1 + sqrt(3) + 2*x + sqrt(2)*3^(1//4)*sqrt(1 + 2*x)))/sqrt(2), x, 12),
+((1 + 2*x)^(3//2)/(1 + x + x^2), 4*sqrt(1 + 2*x) + sqrt(2)*3^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*sqrt(1 + 2*x))/3^(1//4)) - sqrt(2)*3^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*sqrt(1 + 2*x))/3^(1//4)) + (3^(1//4)*log(1 + sqrt(3) + 2*x - sqrt(2)*3^(1//4)*sqrt(1 + 2*x)))/sqrt(2) - (3^(1//4)*log(1 + sqrt(3) + 2*x + sqrt(2)*3^(1//4)*sqrt(1 + 2*x)))/sqrt(2), x, 12),
+((1 + 2*x)^(1//2)/(1 + x + x^2), -((sqrt(2)*atan(1 - (sqrt(2)*sqrt(1 + 2*x))/3^(1//4)))/3^(1//4)) + (sqrt(2)*atan(1 + (sqrt(2)*sqrt(1 + 2*x))/3^(1//4)))/3^(1//4) + log(1 + sqrt(3) + 2*x - sqrt(2)*3^(1//4)*sqrt(1 + 2*x))/(sqrt(2)*3^(1//4)) - log(1 + sqrt(3) + 2*x + sqrt(2)*3^(1//4)*sqrt(1 + 2*x))/(sqrt(2)*3^(1//4)), x, 11),
+(1/((1 + 2*x)^(1//2)*(1 + x + x^2)), -((sqrt(2)*atan(1 - (sqrt(2)*sqrt(1 + 2*x))/3^(1//4)))/3^(3//4)) + (sqrt(2)*atan(1 + (sqrt(2)*sqrt(1 + 2*x))/3^(1//4)))/3^(3//4) - log(1 + sqrt(3) + 2*x - sqrt(2)*3^(1//4)*sqrt(1 + 2*x))/(sqrt(2)*3^(3//4)) + log(1 + sqrt(3) + 2*x + sqrt(2)*3^(1//4)*sqrt(1 + 2*x))/(sqrt(2)*3^(3//4)), x, 11),
+(1/((1 + 2*x)^(3//2)*(1 + x + x^2)), -(4/(3*sqrt(1 + 2*x))) + (sqrt(2)*atan(1 - (sqrt(2)*sqrt(1 + 2*x))/3^(1//4)))/(3*3^(1//4)) - (sqrt(2)*atan(1 + (sqrt(2)*sqrt(1 + 2*x))/3^(1//4)))/(3*3^(1//4)) - log(1 + sqrt(3) + 2*x - sqrt(2)*3^(1//4)*sqrt(1 + 2*x))/(3*sqrt(2)*3^(1//4)) + log(1 + sqrt(3) + 2*x + sqrt(2)*3^(1//4)*sqrt(1 + 2*x))/(3*sqrt(2)*3^(1//4)), x, 12),
+(1/((1 + 2*x)^(5//2)*(1 + x + x^2)), -(4/(9*(1 + 2*x)^(3//2))) + (sqrt(2)*atan(1 - (sqrt(2)*sqrt(1 + 2*x))/3^(1//4)))/(3*3^(3//4)) - (sqrt(2)*atan(1 + (sqrt(2)*sqrt(1 + 2*x))/3^(1//4)))/(3*3^(3//4)) + log(1 + sqrt(3) + 2*x - sqrt(2)*3^(1//4)*sqrt(1 + 2*x))/(3*sqrt(2)*3^(3//4)) - log(1 + sqrt(3) + 2*x + sqrt(2)*3^(1//4)*sqrt(1 + 2*x))/(3*sqrt(2)*3^(3//4)), x, 12),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (b d+2 c d x)^(m/2) (a+b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((b*d + 2*c*d*x)^(7//2)*(a + b*x + c*x^2)^(1//2), -((10*(b^2 - 4*a*c)^2*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(231*c)) - (2*(b^2 - 4*a*c)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(77*c) + ((b*d + 2*c*d*x)^(9//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(11*c*d) - (5*(b^2 - 4*a*c)^(13//4)*d^(7//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(231*c^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(1//2), -((2*(b^2 - 4*a*c)*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(21*c)) + ((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(7*c*d) - ((b^2 - 4*a*c)^(9//4)*d^(3//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(21*c^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(1//2), (sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c*d) - ((b^2 - 4*a*c)^(5//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(3*c^2*sqrt(d)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(5//2), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(3*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))) + ((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(3*c^2*d^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(9//2), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(7*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2))) + (2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(21*c*(b^2 - 4*a*c)*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) + (sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(21*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*d^(9//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(13//2), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(11*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(11//2))) + (2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(77*c*(b^2 - 4*a*c)*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2)) + (10*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(231*c*(b^2 - 4*a*c)^2*d^5*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) + (5*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(231*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(13//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+
+((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^(1//2), -((2*(b^2 - 4*a*c)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(45*c)) + ((b*d + 2*c*d*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(9*c*d) - ((b^2 - 4*a*c)^(11//4)*d^(5//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(15*c^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + ((b^2 - 4*a*c)^(11//4)*d^(5//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(15*c^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((b*d + 2*c*d*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)^(1//2), ((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*c*d) - ((b^2 - 4*a*c)^(7//4)*sqrt(d)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(5*c^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + ((b^2 - 4*a*c)^(7//4)*sqrt(d)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(5*c^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(3//2), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(c*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x))) + ((b^2 - 4*a*c)^(3//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(c^2*d^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - ((b^2 - 4*a*c)^(3//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(c^2*d^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(7//2), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(5*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2))) + (2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*c*(b^2 - 4*a*c)*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) - (sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(5*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*d^(7//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(5*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*d^(7//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^(7//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), ((b^2 - 4*a*c)^3*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(231*c^2) + ((b^2 - 4*a*c)^2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(385*c^2) - ((b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(9//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(110*c^2*d) + ((b*d + 2*c*d*x)^(9//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(15*c*d) + ((b^2 - 4*a*c)^(17//4)*d^(7//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(462*c^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), ((b^2 - 4*a*c)^2*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(77*c^2) - (3*(b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(154*c^2*d) + ((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(11*c*d) + ((b^2 - 4*a*c)^(13//4)*d^(3//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(154*c^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(1//2), -(((b^2 - 4*a*c)*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(14*c^2*d)) + (sqrt(b*d + 2*c*d*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*c*d) + ((b^2 - 4*a*c)^(9//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(14*c^3*sqrt(d)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(5//2), (sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(6*c^2*d^3) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(3*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) - ((b^2 - 4*a*c)^(5//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(6*c^3*d^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(9//2), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(14*c^2*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(7*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2)) + ((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(14*c^3*d^(9//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(13//2), -((3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(154*c^2*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2))) + sqrt(a + b*x + c*x^2)/(77*c^2*(b^2 - 4*a*c)*d^5*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(11*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(11//2)) + (sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(154*c^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*d^(13//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(17//2), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(110*c^2*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(11//2))) + sqrt(a + b*x + c*x^2)/(385*c^2*(b^2 - 4*a*c)*d^5*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2)) + sqrt(a + b*x + c*x^2)/(231*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2*d^7*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(15*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(15//2)) + (sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(462*c^3*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(17//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+
+((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), ((b^2 - 4*a*c)^2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(195*c^2) - ((b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(78*c^2*d) + ((b*d + 2*c*d*x)^(7//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(13*c*d) + ((b^2 - 4*a*c)^(15//4)*d^(5//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(130*c^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - ((b^2 - 4*a*c)^(15//4)*d^(5//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(130*c^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 9),
+((b*d + 2*c*d*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -(((b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(30*c^2*d)) + ((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(9*c*d) + ((b^2 - 4*a*c)^(11//4)*sqrt(d)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(30*c^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - ((b^2 - 4*a*c)^(11//4)*sqrt(d)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(30*c^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(3//2), (3*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(10*c^2*d^3) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(c*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) - (3*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(10*c^3*d^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (3*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(10*c^3*d^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(7//2), -((3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(10*c^2*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x))) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(5*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)) + (3*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(10*c^3*d^(7//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (3*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(10*c^3*d^(7//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(11//2), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(30*c^2*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2))) + sqrt(a + b*x + c*x^2)/(15*c^2*(b^2 - 4*a*c)*d^5*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(9*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(9//2)) - (sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(30*c^3*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*d^(11//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(30*c^3*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*d^(11//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 9),
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^(7//2)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((5*(b^2 - 4*a*c)^4*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8778*c^3)) - ((b^2 - 4*a*c)^3*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2926*c^3) + ((b^2 - 4*a*c)^2*(b*d + 2*c*d*x)^(9//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(836*c^3*d) - ((b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(9//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(114*c^2*d) + ((b*d + 2*c*d*x)^(9//2)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(19*c*d) - (5*(b^2 - 4*a*c)^(21//4)*d^(7//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(17556*c^4*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -(((b^2 - 4*a*c)^3*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(462*c^3)) + ((b^2 - 4*a*c)^2*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(308*c^3*d) - ((b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(66*c^2*d) + ((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(15*c*d) - ((b^2 - 4*a*c)^(17//4)*d^(3//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(924*c^4*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(1//2), (5*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(308*c^3*d) - (5*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(154*c^2*d) + (sqrt(b*d + 2*c*d*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(11*c*d) - (5*(b^2 - 4*a*c)^(13//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(308*c^4*sqrt(d)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(5//2), -((5*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(84*c^3*d^3)) + (5*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(42*c^2*d^3) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(3*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) + (5*(b^2 - 4*a*c)^(9//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(84*c^4*d^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(9//2), (5*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(84*c^3*d^5) - (5*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(42*c^2*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(7*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2)) - (5*(b^2 - 4*a*c)^(5//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(84*c^4*d^(9//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(13//2), -((5*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(308*c^3*d^5*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))) - (5*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(154*c^2*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2)) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(11*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(11//2)) + (5*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(308*c^4*d^(13//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(17//2), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(308*c^3*d^5*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2))) + sqrt(a + b*x + c*x^2)/(462*c^3*(b^2 - 4*a*c)*d^7*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(66*c^2*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(11//2)) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(15*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(15//2)) + (sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(924*c^4*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*d^(17//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(21//2), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(836*c^3*d^5*(b*d + 2*c*d*x)^(11//2))) + sqrt(a + b*x + c*x^2)/(2926*c^3*(b^2 - 4*a*c)*d^7*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2)) + (5*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8778*c^3*(b^2 - 4*a*c)^2*d^9*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(114*c^2*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(15//2)) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(19*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(19//2)) + (5*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(17556*c^4*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(21//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+
+((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -(((b^2 - 4*a*c)^3*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1326*c^3)) + (5*(b^2 - 4*a*c)^2*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2652*c^3*d) - (5*(b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(442*c^2*d) + ((b*d + 2*c*d*x)^(7//2)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(17*c*d) - ((b^2 - 4*a*c)^(19//4)*d^(5//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(884*c^4*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + ((b^2 - 4*a*c)^(19//4)*d^(5//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(884*c^4*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 10),
+((b*d + 2*c*d*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), ((b^2 - 4*a*c)^2*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(156*c^3*d) - (5*(b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(234*c^2*d) + ((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(13*c*d) - ((b^2 - 4*a*c)^(15//4)*sqrt(d)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(156*c^4*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + ((b^2 - 4*a*c)^(15//4)*sqrt(d)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(156*c^4*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 9),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(3//2), -(((b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(12*c^3*d^3)) + (5*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(18*c^2*d^3) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(c*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) + ((b^2 - 4*a*c)^(11//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(12*c^4*d^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - ((b^2 - 4*a*c)^(11//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(12*c^4*d^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 9),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(7//2), (3*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(20*c^3*d^5) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(2*c^2*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(5*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)) - (3*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(20*c^4*d^(7//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (3*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(20*c^4*d^(7//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 9),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(11//2), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(12*c^3*d^5*sqrt(b*d + 2*c*d*x))) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(18*c^2*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(9*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(9//2)) + ((b^2 - 4*a*c)^(3//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(12*c^4*d^(11//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - ((b^2 - 4*a*c)^(3//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(12*c^4*d^(11//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 9),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(b*d + 2*c*d*x)^(15//2), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(156*c^3*d^5*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2))) + sqrt(a + b*x + c*x^2)/(78*c^3*(b^2 - 4*a*c)*d^7*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) - (5*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(234*c^2*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(9//2)) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(13*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(13//2)) - (sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(156*c^4*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*d^(15//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(156*c^4*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*d^(15//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 10),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^(7//2)/(a + b*x + c*x^2)^(1//2), (20//21)*(b^2 - 4*a*c)*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (4//7)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (10*(b^2 - 4*a*c)^(9//4)*d^(7//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(21*c*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)/(a + b*x + c*x^2)^(1//2), (4//3)*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (2*(b^2 - 4*a*c)^(5//4)*d^(3//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(3*c*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 4),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)), (2*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(c*sqrt(d)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 3),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)), (4*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(b^2 - 4*a*c)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) + (2*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*d^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 4),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(9//2)*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)), (4*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(7*(b^2 - 4*a*c)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2)) + (20*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(21*(b^2 - 4*a*c)^2*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) + (10*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(21*c*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(9//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+
+((b*d + 2*c*d*x)^(9//2)/(a + b*x + c*x^2)^(1//2), (28//45)*(b^2 - 4*a*c)*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (4//9)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (14*(b^2 - 4*a*c)^(11//4)*d^(9//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(15*c*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (14*(b^2 - 4*a*c)^(11//4)*d^(9//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(15*c*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)/(a + b*x + c*x^2)^(1//2), (4//5)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (6*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(5//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(5*c*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (6*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(5//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(5*c*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((b*d + 2*c*d*x)^(1//2)/(a + b*x + c*x^2)^(1//2), (2*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*sqrt(d)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(c*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*sqrt(d)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(c*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)), (4*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) - (2*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(c*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*d^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(c*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*d^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(7//2)*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)), (4*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*(b^2 - 4*a*c)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)) + (12*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*(b^2 - 4*a*c)^2*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) - (6*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(5*c*(b^2 - 4*a*c)^(5//4)*d^(7//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (6*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(5*c*(b^2 - 4*a*c)^(5//4)*d^(7//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+
+
+((3 - 2*x)^(3//2)/sqrt(1 - 3*x + x^2), (-(4//3))*sqrt(3 - 2*x)*sqrt(1 - 3*x + x^2) - (2*5^(3//4)*sqrt(-1 + 3*x - x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3 - 2*x)/5^(1//4)), -1))/(3*sqrt(1 - 3*x + x^2)), x, 4),
+(1/((3 - 2*x)^(1//2)*sqrt(1 - 3*x + x^2)), -((2*sqrt(-1 + 3*x - x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3 - 2*x)/5^(1//4)), -1))/(5^(1//4)*sqrt(1 - 3*x + x^2))), x, 3),
+(1/((3 - 2*x)^(5//2)*sqrt(1 - 3*x + x^2)), -((4*sqrt(1 - 3*x + x^2))/(15*(3 - 2*x)^(3//2))) - (2*sqrt(-1 + 3*x - x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3 - 2*x)/5^(1//4)), -1))/(15*5^(1//4)*sqrt(1 - 3*x + x^2)), x, 4),
+
+((3 - 2*x)^(5//2)/sqrt(1 - 3*x + x^2), (-(4//5))*(3 - 2*x)^(3//2)*sqrt(1 - 3*x + x^2) - (6*5^(1//4)*sqrt(-1 + 3*x - x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3 - 2*x)/5^(1//4)), -1))/sqrt(1 - 3*x + x^2) + (6*5^(1//4)*sqrt(-1 + 3*x - x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3 - 2*x)/5^(1//4)), -1))/sqrt(1 - 3*x + x^2), x, 8),
+((3 - 2*x)^(1//2)/sqrt(1 - 3*x + x^2), -((2*5^(1//4)*sqrt(-1 + 3*x - x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3 - 2*x)/5^(1//4)), -1))/sqrt(1 - 3*x + x^2)) + (2*5^(1//4)*sqrt(-1 + 3*x - x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3 - 2*x)/5^(1//4)), -1))/sqrt(1 - 3*x + x^2), x, 7),
+(1/((3 - 2*x)^(3//2)*sqrt(1 - 3*x + x^2)), -((4*sqrt(1 - 3*x + x^2))/(5*sqrt(3 - 2*x))) + (2*sqrt(-1 + 3*x - x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3 - 2*x)/5^(1//4)), -1))/(5^(3//4)*sqrt(1 - 3*x + x^2)) - (2*sqrt(-1 + 3*x - x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3 - 2*x)/5^(1//4)), -1))/(5^(3//4)*sqrt(1 - 3*x + x^2)), x, 8),
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^(11//2)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(9//2))/sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (120//7)*c*(b^2 - 4*a*c)*d^5*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (72//7)*c*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (60*(b^2 - 4*a*c)^(9//4)*d^(11//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(7*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((b*d + 2*c*d*x)^(7//2)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2))/sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (40//3)*c*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (20*(b^2 - 4*a*c)^(5//4)*d^(7//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x))/sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (4*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*d^(3//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/sqrt(a + b*x + c*x^2), x, 4),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*sqrt(b*d + 2*c*d*x))/((b^2 - 4*a*c)*d*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - (4*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/((b^2 - 4*a*c)^(3//4)*sqrt(d)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 4),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -(2/((b^2 - 4*a*c)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - (40*c*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) - (20*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(3*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+
+((b*d + 2*c*d*x)^(9//2)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2))/sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (56//5)*c*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (84*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(9//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(5*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (84*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(9//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(5*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))/sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (12*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*d^(5//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/sqrt(a + b*x + c*x^2) - (12*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*d^(5//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/sqrt(a + b*x + c*x^2), x, 7),
+((b*d + 2*c*d*x)^(1//2)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))/((b^2 - 4*a*c)*d*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (4*sqrt(d)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (4*sqrt(d)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -(2/((b^2 - 4*a*c)*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - (24*c*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)^2*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) + (12*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/((b^2 - 4*a*c)^(5//4)*d^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (12*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/((b^2 - 4*a*c)^(5//4)*d^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(7//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -(2/((b^2 - 4*a*c)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - (56*c*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*(b^2 - 4*a*c)^2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)) - (168*c*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*(b^2 - 4*a*c)^3*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) + (84*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(5*(b^2 - 4*a*c)^(9//4)*d^(7//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (84*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(5*(b^2 - 4*a*c)^(9//4)*d^(7//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 9),
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^(15//2)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(13//2))/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (52*c*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(9//2))/(3*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (1040//7)*c^2*(b^2 - 4*a*c)*d^7*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (624//7)*c^2*d^5*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (520*c*(b^2 - 4*a*c)^(9//4)*d^(15//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(7*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((b*d + 2*c*d*x)^(11//2)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(9//2))/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (12*c*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2))/sqrt(a + b*x + c*x^2) + 80*c^2*d^5*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (40*c*(b^2 - 4*a*c)^(5//4)*d^(11//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/sqrt(a + b*x + c*x^2), x, 6),
+((b*d + 2*c*d*x)^(7//2)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(5//2))/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (20*c*d^3*sqrt(b*d + 2*c*d*x))/(3*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (40*c*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*d^(7//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x))/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (4*c*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (8*c*d^(3//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(3*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), -((2*sqrt(b*d + 2*c*d*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*d*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) + (20*c*sqrt(b*d + 2*c*d*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*d*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (40*c*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(3*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*sqrt(d)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), -(2/(3*(b^2 - 4*a*c)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) + (12*c)/((b^2 - 4*a*c)^2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (80*c^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)^3*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)) + (40*c*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/((b^2 - 4*a*c)^(11//4)*d^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+
+((b*d + 2*c*d*x)^(13//2)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(11//2))/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (44*c*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2))/(3*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (1232//15)*c^2*d^5*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (616*c*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(13//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(5*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (616*c*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*d^(13//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/(5*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 9),
+((b*d + 2*c*d*x)^(9//2)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(7//2))/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (28*c*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))/(3*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (56*c*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*d^(9//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/sqrt(a + b*x + c*x^2) - (56*c*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*d^(9//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/sqrt(a + b*x + c*x^2), x, 8),
+((b*d + 2*c*d*x)^(5//2)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (4*c*d*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (8*c*d^(5//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (8*c*d^(5//2)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((b*d + 2*c*d*x)^(1//2)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))/(3*(b^2 - 4*a*c)*d*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) + (4*c*(b*d + 2*c*d*x)^(3//2))/((b^2 - 4*a*c)^2*d*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (8*c*sqrt(d)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/((b^2 - 4*a*c)^(5//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (8*c*sqrt(d)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/((b^2 - 4*a*c)^(5//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+(1/((b*d + 2*c*d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), -(2/(3*(b^2 - 4*a*c)*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) + (28*c)/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (112*c^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)^3*d*sqrt(b*d + 2*c*d*x)) - (56*c*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/((b^2 - 4*a*c)^(9//4)*d^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (56*c*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b*d + 2*c*d*x)/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt(d))), -1))/((b^2 - 4*a*c)^(9//4)*d^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 9),
+
+
+((c*e + d*e*x)^(11//2)/sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2), -((30*e^5*sqrt(c*e + d*e*x)*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2))/(77*d)) - (18*e^3*(c*e + d*e*x)^(5//2)*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2))/(77*d) - (2*e*(c*e + d*e*x)^(9//2)*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2))/(11*d) + (30*e^(11//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(c*e + d*e*x)/sqrt(e)), -1))/(77*d), x, 5),
+((c*e + d*e*x)^(7//2)/sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2), -((10*e^3*sqrt(c*e + d*e*x)*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2))/(21*d)) - (2*e*(c*e + d*e*x)^(5//2)*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2))/(7*d) + (10*e^(7//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(c*e + d*e*x)/sqrt(e)), -1))/(21*d), x, 4),
+((c*e + d*e*x)^(3//2)/sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2), -((2*e*sqrt(c*e + d*e*x)*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2))/(3*d)) + (2*e^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(c*e + d*e*x)/sqrt(e)), -1))/(3*d), x, 3),
+(1/((c*e + d*e*x)^(1//2)*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2)), (2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(c*e + d*e*x)/sqrt(e)), -1))/(d*sqrt(e)), x, 2),
+(1/((c*e + d*e*x)^(5//2)*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2)), -((2*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2))/(3*d*e*(c*e + d*e*x)^(3//2))) + (2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(c*e + d*e*x)/sqrt(e)), -1))/(3*d*e^(5//2)), x, 3),
+(1/((c*e + d*e*x)^(9//2)*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2)), -((2*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2))/(7*d*e*(c*e + d*e*x)^(7//2))) - (10*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2))/(21*d*e^3*(c*e + d*e*x)^(3//2)) + (10*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(c*e + d*e*x)/sqrt(e)), -1))/(21*d*e^(9//2)), x, 4),
+(1/((c*e + d*e*x)^(13//2)*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2)), -((2*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2))/(11*d*e*(c*e + d*e*x)^(11//2))) - (18*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2))/(77*d*e^3*(c*e + d*e*x)^(7//2)) - (30*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2))/(77*d*e^5*(c*e + d*e*x)^(3//2)) + (30*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(c*e + d*e*x)/sqrt(e)), -1))/(77*d*e^(13//2)), x, 5),
+
+((c*e + d*e*x)^(9//2)/sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2), -((14*e^3*(c*e + d*e*x)^(3//2)*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2))/(45*d)) - (2*e*(c*e + d*e*x)^(7//2)*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2))/(9*d) + (14*e^(9//2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(c*e + d*e*x)/sqrt(e)), -1))/(15*d) - (14*e^(9//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(c*e + d*e*x)/sqrt(e)), -1))/(15*d), x, 7),
+((c*e + d*e*x)^(5//2)/sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2), -((2*e*(c*e + d*e*x)^(3//2)*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2))/(5*d)) + (6*e^(5//2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(c*e + d*e*x)/sqrt(e)), -1))/(5*d) - (6*e^(5//2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(c*e + d*e*x)/sqrt(e)), -1))/(5*d), x, 6),
+((c*e + d*e*x)^(1//2)/sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2), (2*sqrt(e)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(c*e + d*e*x)/sqrt(e)), -1))/d - (2*sqrt(e)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(c*e + d*e*x)/sqrt(e)), -1))/d, x, 5),
+(1/((c*e + d*e*x)^(3//2)*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2)), -((2*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2))/(d*e*sqrt(c*e + d*e*x))) - (2*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(c*e + d*e*x)/sqrt(e)), -1))/(d*e^(3//2)) + (2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(c*e + d*e*x)/sqrt(e)), -1))/(d*e^(3//2)), x, 6),
+(1/((c*e + d*e*x)^(7//2)*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2)), -((2*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2))/(5*d*e*(c*e + d*e*x)^(5//2))) - (6*sqrt(1 - c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2))/(5*d*e^3*sqrt(c*e + d*e*x)) - (6*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(c*e + d*e*x)/sqrt(e)), -1))/(5*d*e^(7//2)) + (6*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(c*e + d*e*x)/sqrt(e)), -1))/(5*d*e^(7//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (b d+2 c d x)^(m/3) (a+b x+c x^2)^(p/3)
+
+
+((a + b*x + c*x^2)^(4//3)/(b*d + 2*c*d*x)^(11//3), -((3*(d*(b + 2*c*x))^(4//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/(16*c^2*(b^2 - 4*a*c)*d^5)) + (9*(d*(b + 2*c*x))^(4//3)*(a + b*x + c*x^2)^(4//3))/(16*c*(b^2 - 4*a*c)^2*d^5) + (3*(a + b*x + c*x^2)^(7//3))/(4*(b^2 - 4*a*c)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(8//3)) - (9*(a + b*x + c*x^2)^(7//3))/(4*(b^2 - 4*a*c)^2*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(2//3)) - (sqrt(3)*atan((1 + (2^(1//3)*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(c^(1//3)*d^(2//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3)))/sqrt(3)))/(16*2^(2//3)*c^(7//3)*d^(11//3)) - (3*log((d*(b + 2*c*x))^(2//3) - 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3)))/(32*2^(2//3)*c^(7//3)*d^(11//3)), x, 8),
+((a + b*x + c*x^2)^(4//3)/(b*d + 2*c*d*x)^(17//3), (3*(a + b*x + c*x^2)^(7//3))/(7*(b^2 - 4*a*c)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(14//3)), x, 1),
+((a + b*x + c*x^2)^(4//3)/(b*d + 2*c*d*x)^(23//3), (3*(a + b*x + c*x^2)^(7//3))/(10*(b^2 - 4*a*c)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(20//3)) + (9*(a + b*x + c*x^2)^(7//3))/(70*(b^2 - 4*a*c)^2*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(14//3)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^(4//3)/(b*d + 2*c*d*x)^(29//3), (3*(a + b*x + c*x^2)^(7//3))/(13*(b^2 - 4*a*c)*d*(b*d + 2*c*d*x)^(26//3)) + (9*(a + b*x + c*x^2)^(7//3))/(65*(b^2 - 4*a*c)^2*d^3*(b*d + 2*c*d*x)^(20//3)) + (27*(a + b*x + c*x^2)^(7//3))/(455*(b^2 - 4*a*c)^3*d^5*(b*d + 2*c*d*x)^(14//3)), x, 3),
+
+((a + b*x + c*x^2)^(4//3)/(b*d + 2*c*d*x)^(2//3), -(((b^2 - 4*a*c)*(d*(b + 2*c*x))^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/(9*c^2*d)) + ((d*(b + 2*c*x))^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(4//3))/(6*c*d) + ((b^2 - 4*a*c)*(d*(b + 2*c*x))^(1//3)*(b^2 - 4*a*c - (b + 2*c*x)^2)*(2*c^(1//3)*d^(2//3) - (2^(1//3)*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3)*c^(2//3)*d^(4//3) + (d*(b + 2*c*x))^(4//3)/(a + b*x + c*x^2)^(2//3) + (2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3)*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - ((1 - sqrt(3))*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(72*3^(1//4)*c^(10//3)*d^(5//3)*(a + b*x + c*x^2)^(2//3)*sqrt(-(((d*(b + 2*c*x))^(2//3)*(2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - (d*(b + 2*c*x))^(2//3)/(a + b*x + c*x^2)^(1//3)))/((a + b*x + c*x^2)^(1//3)*(2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))^2)))), x, 6),
+((a + b*x + c*x^2)^(4//3)/(b*d + 2*c*d*x)^(8//3), ((d*(b + 2*c*x))^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/(5*c^2*d^3) - (3*(a + b*x + c*x^2)^(4//3))/(10*c*d*(d*(b + 2*c*x))^(5//3)) - ((d*(b + 2*c*x))^(1//3)*(b^2 - 4*a*c - (b + 2*c*x)^2)*(2*c^(1//3)*d^(2//3) - (2^(1//3)*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3)*c^(2//3)*d^(4//3) + (d*(b + 2*c*x))^(4//3)/(a + b*x + c*x^2)^(2//3) + (2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3)*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - ((1 - sqrt(3))*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(40*3^(1//4)*c^(10//3)*d^(11//3)*(a + b*x + c*x^2)^(2//3)*sqrt(-(((d*(b + 2*c*x))^(2//3)*(2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - (d*(b + 2*c*x))^(2//3)/(a + b*x + c*x^2)^(1//3)))/((a + b*x + c*x^2)^(1//3)*(2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))^2)))), x, 6),
+((a + b*x + c*x^2)^(4//3)/(b*d + 2*c*d*x)^(14//3), -((3*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/(55*c^2*d^3*(d*(b + 2*c*x))^(5//3))) - (3*(a + b*x + c*x^2)^(4//3))/(22*c*d*(d*(b + 2*c*x))^(11//3)) + (3^(3//4)*(d*(b + 2*c*x))^(1//3)*(b^2 - 4*a*c - (b + 2*c*x)^2)*(2*c^(1//3)*d^(2//3) - (2^(1//3)*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3)*c^(2//3)*d^(4//3) + (d*(b + 2*c*x))^(4//3)/(a + b*x + c*x^2)^(2//3) + (2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3)*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - ((1 - sqrt(3))*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(440*c^(10//3)*(b^2 - 4*a*c)*d^(17//3)*(a + b*x + c*x^2)^(2//3)*sqrt(-(((d*(b + 2*c*x))^(2//3)*(2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - (d*(b + 2*c*x))^(2//3)/(a + b*x + c*x^2)^(1//3)))/((a + b*x + c*x^2)^(1//3)*(2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))^2)))), x, 6),
+((a + b*x + c*x^2)^(4//3)/(b*d + 2*c*d*x)^(20//3), -((3*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/(187*c^2*d^3*(d*(b + 2*c*x))^(11//3))) + (6*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/(935*c^2*(b^2 - 4*a*c)*d^5*(d*(b + 2*c*x))^(5//3)) - (3*(a + b*x + c*x^2)^(4//3))/(34*c*d*(d*(b + 2*c*x))^(17//3)) + (3*3^(3//4)*(d*(b + 2*c*x))^(1//3)*(b^2 - 4*a*c - (b + 2*c*x)^2)*(2*c^(1//3)*d^(2//3) - (2^(1//3)*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))*sqrt((2*2^(1//3)*c^(2//3)*d^(4//3) + (d*(b + 2*c*x))^(4//3)/(a + b*x + c*x^2)^(2//3) + (2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3)*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - ((1 - sqrt(3))*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/(2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(7480*c^(10//3)*(b^2 - 4*a*c)^2*d^(23//3)*(a + b*x + c*x^2)^(2//3)*sqrt(-(((d*(b + 2*c*x))^(2//3)*(2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - (d*(b + 2*c*x))^(2//3)/(a + b*x + c*x^2)^(1//3)))/((a + b*x + c*x^2)^(1//3)*(2^(2//3)*c^(1//3)*d^(2//3) - ((1 + sqrt(3))*(d*(b + 2*c*x))^(2//3))/(a + b*x + c*x^2)^(1//3))^2)))), x, 7),
+
+((a + b*x + c*x^2)^(4//3)/(b*d + 2*c*d*x)^(4//3), (3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(4//3), -(1//6), 5//6, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)))/(8*c^2*d*(d*(b + 2*c*x))^(1//3)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//3)), x, 3),
+((a + b*x + c*x^2)^(4//3)/(b*d + 2*c*d*x)^(10//3), (3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(4//3), -(7//6), -(1//6), (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)))/(56*c^2*d*(d*(b + 2*c*x))^(7//3)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//3)), x, 3),
+((a + b*x + c*x^2)^(4//3)/(b*d + 2*c*d*x)^(16//3), (3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(13//6), -(4//3), -(7//6), (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)))/(104*c^2*d*(d*(b + 2*c*x))^(13//3)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//3)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (b d+2 c d x)^m (a+b x+c x^2)^p when m symbolic
+
+
+((b*d + 2*c*d*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^3, -(((b^2 - 4*a*c)^3*(b*d + 2*c*d*x)^(1 + m))/(128*c^4*d*(1 + m))) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*(b*d + 2*c*d*x)^(3 + m))/(128*c^4*d^3*(3 + m)) - (3*(b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(5 + m))/(128*c^4*d^5*(5 + m)) + (b*d + 2*c*d*x)^(7 + m)/(128*c^4*d^7*(7 + m)), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^2, ((b^2 - 4*a*c)^2*(b*d + 2*c*d*x)^(1 + m))/(32*c^3*d*(1 + m)) - ((b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(3 + m))/(16*c^3*d^3*(3 + m)) + (b*d + 2*c*d*x)^(5 + m)/(32*c^3*d^5*(5 + m)), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^1, -(((b^2 - 4*a*c)*(b*d + 2*c*d*x)^(1 + m))/(8*c^2*d*(1 + m))) + (b*d + 2*c*d*x)^(3 + m)/(8*c^2*d^3*(3 + m)), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^m/(a + b*x + c*x^2)^1, -((2*(d*(b + 2*c*x))^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)*d*(1 + m))), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^m/(a + b*x + c*x^2)^2, (8*c*(d*(b + 2*c*x))^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^2*d*(1 + m)), x, 2),
+((b*d + 2*c*d*x)^m/(a + b*x + c*x^2)^3, -((32*c^2*(d*(b + 2*c*x))^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^3*d*(1 + m))), x, 2),
+
+
+# {(b*d + 2*c*d*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(5/2), x, 3, -((2*(b*d + 2*c*d*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2)*Hypergeometric2F1[1, (8 + m)/2, (3 + m)/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/((b^2 - 4*a*c)*d*(1 + m))), ((b^2 - 4*a*c)^2*(d*(b + 2*c*x))^(1 + m)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(5/2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/(32*c^3*d*(1 + m)*Sqrt[1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])}
+# {(b*d + 2*c*d*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(3/2), x, 3, -(((b*d + 2*c*d*x)^(1 + m)*(4*a - b^2/c + (b + 2*c*x)^2/c)^(5/2)*Hypergeometric2F1[1, (6 + m)/2, (3 + m)/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/(16*(b^2 - 4*a*c)*d*(1 + m))), -(((b^2 - 4*a*c)*(d*(b + 2*c*x))^(1 + m)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/(8*c^2*d*(1 + m)*Sqrt[1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)]))}
+# {(b*d + 2*c*d*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(1/2), x, 3, -(((b*d + 2*c*d*x)^(1 + m)*(4*a - b^2/c + (b + 2*c*x)^2/c)^(3/2)*Hypergeometric2F1[1, (4 + m)/2, (3 + m)/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/(4*(b^2 - 4*a*c)*d*(1 + m))), ((d*(b + 2*c*x))^(1 + m)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/(2*c*d*(1 + m)*Sqrt[1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])}
+# {(b*d + 2*c*d*x)^m/(a + b*x + c*x^2)^(1/2), x, 3, -(((b*d + 2*c*d*x)^(1 + m)*Sqrt[4*a - b^2/c + (b + 2*c*x)^2/c]*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (3 + m)/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/((b^2 - 4*a*c)*d*(1 + m))), ((d*(b + 2*c*x))^(1 + m)*Sqrt[1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/(2*c*d*(1 + m)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])}
+# {(b*d + 2*c*d*x)^m/(a + b*x + c*x^2)^(3/2), x, 3, -((4*(b*d + 2*c*d*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, m/2, (3 + m)/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/((b^2 - 4*a*c)*d*(1 + m)*Sqrt[4*a - b^2/c + (b + 2*c*x)^2/c])), -((2*(d*(b + 2*c*x))^(1 + m)*Sqrt[1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)]*Hypergeometric2F1[3/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/((b^2 - 4*a*c)*d*(1 + m)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))}
+# {(b*d + 2*c*d*x)^m/(a + b*x + c*x^2)^(5/2), x, 3, -((16*(b*d + 2*c*d*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-2 + m), (3 + m)/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/((b^2 - 4*a*c)*d*(1 + m)*(4*a - b^2/c + (b + 2*c*x)^2/c)^(3/2))), (8*c*(d*(b + 2*c*x))^(1 + m)*Sqrt[1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)]*Hypergeometric2F1[5/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/((b^2 - 4*a*c)^2*d*(1 + m)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (b d+2 c d x)^m (a+b x+c x^2)^p when p symbolic
+
+
+# {(b*d + 2*c*d*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p, x, 3, -((2*(b*d + 2*c*d*x)^(1 + m)*((1/4)*(4*a - b^2/c) + (b + 2*c*x)^2/(4*c))^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(3 + m + 2*p), (3 + m)/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/((b^2 - 4*a*c)*d*(1 + m))), ((d*(b + 2*c*x))^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^p*(2*c*d*(1 + m)))}
+
+
+# {(b*d + 2*c*d*x)^5*(a + b*x + c*x^2)^p, x, 3, If[$VersionNumber>=8, (2*(b^2 - 4*a*c)^2*d^5*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/((1 + p)*(2 + p)*(3 + p)) + (2*(b^2 - 4*a*c)*d^5*(b + 2*c*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/((2 + p)*(3 + p)) + (d^5*(b + 2*c*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(3 + p), (2*(b^2 - 4*a*c)^2*d^5*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/((3 + p)*(2 + 3*p + p^2)) + (2*(b^2 - 4*a*c)*d^5*(b + 2*c*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(6 + 5*p + p^2) + (d^5*(b + 2*c*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(3 + p)]}
+# {(b*d + 2*c*d*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^p, x, 3, -((2*d^4*(b + 2*c*x)^5*((1/4)*(4*a - b^2/c) + (b + 2*c*x)^2/(4*c))^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 7/2 + p, 7/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/(5*(b^2 - 4*a*c))), (d^4*(b + 2*c*x)^5*(a + b*x + c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[5/2, -p, 7/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^p*(10*c))}
+# {(b*d + 2*c*d*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^p, x, 2, If[$VersionNumber>=8, ((b^2 - 4*a*c)*d^3*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/((1 + p)*(2 + p)) + (d^3*(b + 2*c*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(2 + p), ((b^2 - 4*a*c)*d^3*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(2 + 3*p + p^2) + (d^3*(b + 2*c*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(2 + p)]}
+# {(b*d + 2*c*d*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^p, x, 3, -((2*d^2*(b + 2*c*x)^3*((1/4)*(4*a - b^2/c) + (b + 2*c*x)^2/(4*c))^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 5/2 + p, 5/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/(3*(b^2 - 4*a*c))), (d^2*(b + 2*c*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[3/2, -p, 5/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^p*(6*c))}
+((b*d + 2*c*d*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^p, (d*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(1 + p), x, 1),
+((a + b*x + c*x^2)^p/(b*d + 2*c*d*x)^1, ((a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)*d*(1 + p)), x, 3),
+# {(a + b*x + c*x^2)^p/(b*d + 2*c*d*x)^2, x, 3, (2*((1/4)*(4*a - b^2/c) + (b + 2*c*x)^2/(4*c))^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + p, 1/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/((b^2 - 4*a*c)*d^2*(b + 2*c*x)), -(((a + b*x + c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-(1/2), -p, 1/2, (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^p*(2*c*d^2*(b + 2*c*x))))}
+((a + b*x + c*x^2)^p/(b*d + 2*c*d*x)^3, ((a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + p, 2 + p, 1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^2*d^3*(1 + p)), x, 3),
+# {(a + b*x + c*x^2)^p/(b*d + 2*c*d*x)^4, x, 3, (2*((1/4)*(4*a - b^2/c) + (b + 2*c*x)^2/(4*c))^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, -(1/2) + p, -(1/2), (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/(3*(b^2 - 4*a*c)*d^4*(b + 2*c*x)^3), -(((a + b*x + c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-(3/2), -p, -(1/2), (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^p*(6*c*d^4*(b + 2*c*x)^3)))}
+((a + b*x + c*x^2)^p/(b*d + 2*c*d*x)^5, ((a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + p, 2 + p, 1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^3*d^5*(1 + p)), x, 3),
+# {(a + b*x + c*x^2)^p/(b*d + 2*c*d*x)^6, x, 3, (2*((1/4)*(4*a - b^2/c) + (b + 2*c*x)^2/(4*c))^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, -(3/2) + p, -(3/2), (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/(5*(b^2 - 4*a*c)*d^6*(b + 2*c*x)^5), -(((a + b*x + c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-(5/2), -p, -(3/2), (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c)])/((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^p*(10*c*d^6*(b + 2*c*x)^5)))}
+
+
+((1 + x)/(-3 + 2*x + x^2)^(2//3), (3*(-3 + 2*x + x^2)^(1//3))/2, x, 1),
+((b + c*x)/(a + 2*b*x + c*x^2)^(3//7), (7//8)*(a + 2*b*x + c*x^2)^(4//7), x, 1),
+
+
+((1 + x)^m*(1 + 2*x + x^2)^n, ((1 + x)^(1 + m)*(1 + 2*x + x^2)^n)/(1 + m + 2*n), x, 2),
+
+
+(((b*e)/(2*c) + e*x)^m*(b^2/(4*c) + b*x + c*x^2)^n, (((b*e)/(2*c) + e*x)^(1 + m)*(b^2/(4*c) + b*x + c*x^2)^n)/(e*(1 + m + 2*n)), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p when b^2-4 a c=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((b*d - a*e)^2*(d + e*x)^5)/(5*e^3) - (b*(b*d - a*e)*(d + e*x)^6)/(3*e^3) + (b^2*(d + e*x)^7)/(7*e^3), x, 3),
+((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((b*d - a*e)^2*(d + e*x)^4)/(4*e^3) - (2*b*(b*d - a*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^3) + (b^2*(d + e*x)^6)/(6*e^3), x, 3),
+((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3)/(3*b^3) + (e*(b*d - a*e)*(a + b*x)^4)/(2*b^3) + (e^2*(a + b*x)^5)/(5*b^3), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((b*d - a*e)*(a + b*x)^3)/(3*b^2) + (e*(a + b*x)^4)/(4*b^2), x, 3),
+((d + e*x)^0*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), a^2*x + a*b*x^2 + (b^2*x^3)/3, x, 1),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^1, -((b*(b*d - a*e)*x)/e^2) + (a + b*x)^2/(2*e) + ((b*d - a*e)^2*log(d + e*x))/e^3, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^2, (b^2*x)/e^2 - (b*d - a*e)^2/(e^3*(d + e*x)) - (2*b*(b*d - a*e)*log(d + e*x))/e^3, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^3, -((b*d - a*e)^2/(2*e^3*(d + e*x)^2)) + (2*b*(b*d - a*e))/(e^3*(d + e*x)) + (b^2*log(d + e*x))/e^3, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^4, (a + b*x)^3/(3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^3), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^5, -((b*d - a*e)^2/(4*e^3*(d + e*x)^4)) + (2*b*(b*d - a*e))/(3*e^3*(d + e*x)^3) - b^2/(2*e^3*(d + e*x)^2), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^6, -((b*d - a*e)^2/(5*e^3*(d + e*x)^5)) + (b*(b*d - a*e))/(2*e^3*(d + e*x)^4) - b^2/(3*e^3*(d + e*x)^3), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^7, -((b*d - a*e)^2/(6*e^3*(d + e*x)^6)) + (2*b*(b*d - a*e))/(5*e^3*(d + e*x)^5) - b^2/(4*e^3*(d + e*x)^4), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^6*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((b*d - a*e)^4*(d + e*x)^7)/(7*e^5) - (b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^8)/(2*e^5) + (2*b^2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^9)/(3*e^5) - (2*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^10)/(5*e^5) + (b^4*(d + e*x)^11)/(11*e^5), x, 3),
+((d + e*x)^5*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((b*d - a*e)^4*(d + e*x)^6)/(6*e^5) - (4*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^7)/(7*e^5) + (3*b^2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^8)/(4*e^5) - (4*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^9)/(9*e^5) + (b^4*(d + e*x)^10)/(10*e^5), x, 3),
+((d + e*x)^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((b*d - a*e)^4*(a + b*x)^5)/(5*b^5) + (2*e*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^6)/(3*b^5) + (6*e^2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^7)/(7*b^5) + (e^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^8)/(2*b^5) + (e^4*(a + b*x)^9)/(9*b^5), x, 3),
+
+((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((b*d - a*e)^3*(a + b*x)^5)/(5*b^4) + (e*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^6)/(2*b^4) + (3*e^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^7)/(7*b^4) + (e^3*(a + b*x)^8)/(8*b^4), x, 3),
+((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)^5)/(5*b^3) + (e*(b*d - a*e)*(a + b*x)^6)/(3*b^3) + (e^2*(a + b*x)^7)/(7*b^3), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((b*d - a*e)*(a + b*x)^5)/(5*b^2) + (e*(a + b*x)^6)/(6*b^2), x, 3),
+((d + e*x)^0*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (a + b*x)^5/(5*b), x, 2),
+
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^1, -((b*(b*d - a*e)^3*x)/e^4) + ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2)/(2*e^3) - ((b*d - a*e)*(a + b*x)^3)/(3*e^2) + (a + b*x)^4/(4*e) + ((b*d - a*e)^4*log(d + e*x))/e^5, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^2, (6*b^2*(b*d - a*e)^2*x)/e^4 - (b*d - a*e)^4/(e^5*(d + e*x)) - (2*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^2)/e^5 + (b^4*(d + e*x)^3)/(3*e^5) - (4*b*(b*d - a*e)^3*log(d + e*x))/e^5, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^3, -((b^3*(3*b*d - 4*a*e)*x)/e^4) + (b^4*x^2)/(2*e^3) - (b*d - a*e)^4/(2*e^5*(d + e*x)^2) + (4*b*(b*d - a*e)^3)/(e^5*(d + e*x)) + (6*b^2*(b*d - a*e)^2*log(d + e*x))/e^5, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^4, (b^4*x)/e^4 - (b*d - a*e)^4/(3*e^5*(d + e*x)^3) + (2*b*(b*d - a*e)^3)/(e^5*(d + e*x)^2) - (6*b^2*(b*d - a*e)^2)/(e^5*(d + e*x)) - (4*b^3*(b*d - a*e)*log(d + e*x))/e^5, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^5, -((b*d - a*e)^4/(4*e^5*(d + e*x)^4)) + (4*b*(b*d - a*e)^3)/(3*e^5*(d + e*x)^3) - (3*b^2*(b*d - a*e)^2)/(e^5*(d + e*x)^2) + (4*b^3*(b*d - a*e))/(e^5*(d + e*x)) + (b^4*log(d + e*x))/e^5, x, 3),
+
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^6, (a + b*x)^5/(5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^5), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^7, (a + b*x)^5/(6*(b*d - a*e)*(d + e*x)^6) + (b*(a + b*x)^5)/(30*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^5), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^8, (a + b*x)^5/(7*(b*d - a*e)*(d + e*x)^7) + (b*(a + b*x)^5)/(21*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^6) + (b^2*(a + b*x)^5)/(105*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^5), x, 4),
+
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^9, -((b*d - a*e)^4/(8*e^5*(d + e*x)^8)) + (4*b*(b*d - a*e)^3)/(7*e^5*(d + e*x)^7) - (b^2*(b*d - a*e)^2)/(e^5*(d + e*x)^6) + (4*b^3*(b*d - a*e))/(5*e^5*(d + e*x)^5) - b^4/(4*e^5*(d + e*x)^4), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^10, -((b*d - a*e)^4/(9*e^5*(d + e*x)^9)) + (b*(b*d - a*e)^3)/(2*e^5*(d + e*x)^8) - (6*b^2*(b*d - a*e)^2)/(7*e^5*(d + e*x)^7) + (2*b^3*(b*d - a*e))/(3*e^5*(d + e*x)^6) - b^4/(5*e^5*(d + e*x)^5), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^11, -((b*d - a*e)^4/(10*e^5*(d + e*x)^10)) + (4*b*(b*d - a*e)^3)/(9*e^5*(d + e*x)^9) - (3*b^2*(b*d - a*e)^2)/(4*e^5*(d + e*x)^8) + (4*b^3*(b*d - a*e))/(7*e^5*(d + e*x)^7) - b^4/(6*e^5*(d + e*x)^6), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^8*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((b*d - a*e)^6*(d + e*x)^9)/(9*e^7) - (3*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^10)/(5*e^7) + (15*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^11)/(11*e^7) - (5*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^12)/(3*e^7) + (15*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^13)/(13*e^7) - (3*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^14)/(7*e^7) + (b^6*(d + e*x)^15)/(15*e^7), x, 3),
+((d + e*x)^7*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((b*d - a*e)^6*(d + e*x)^8)/(8*e^7) - (2*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^9)/(3*e^7) + (3*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^10)/(2*e^7) - (20*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^11)/(11*e^7) + (5*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^12)/(4*e^7) - (6*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^13)/(13*e^7) + (b^6*(d + e*x)^14)/(14*e^7), x, 3),
+((d + e*x)^6*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((b*d - a*e)^6*(a + b*x)^7)/(7*b^7) + (3*e*(b*d - a*e)^5*(a + b*x)^8)/(4*b^7) + (5*e^2*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^9)/(3*b^7) + (2*e^3*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^10)/b^7 + (15*e^4*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^11)/(11*b^7) + (e^5*(b*d - a*e)*(a + b*x)^12)/(2*b^7) + (e^6*(a + b*x)^13)/(13*b^7), x, 3),
+
+((d + e*x)^5*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((b*d - a*e)^5*(a + b*x)^7)/(7*b^6) + (5*e*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^8)/(8*b^6) + (10*e^2*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^9)/(9*b^6) + (e^3*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^10)/b^6 + (5*e^4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^11)/(11*b^6) + (e^5*(a + b*x)^12)/(12*b^6), x, 3),
+((d + e*x)^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((b*d - a*e)^4*(a + b*x)^7)/(7*b^5) + (e*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^8)/(2*b^5) + (2*e^2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^9)/(3*b^5) + (2*e^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^10)/(5*b^5) + (e^4*(a + b*x)^11)/(11*b^5), x, 3),
+((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((b*d - a*e)^3*(a + b*x)^7)/(7*b^4) + (3*e*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^8)/(8*b^4) + (e^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^9)/(3*b^4) + (e^3*(a + b*x)^10)/(10*b^4), x, 3),
+((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)^7)/(7*b^3) + (e*(b*d - a*e)*(a + b*x)^8)/(4*b^3) + (e^2*(a + b*x)^9)/(9*b^3), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((b*d - a*e)*(a + b*x)^7)/(7*b^2) + (e*(a + b*x)^8)/(8*b^2), x, 3),
+((d + e*x)^0*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (a + b*x)^7/(7*b), x, 2),
+
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^1, -((b*(b*d - a*e)^5*x)/e^6) + ((b*d - a*e)^4*(a + b*x)^2)/(2*e^5) - ((b*d - a*e)^3*(a + b*x)^3)/(3*e^4) + ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)^4)/(4*e^3) - ((b*d - a*e)*(a + b*x)^5)/(5*e^2) + (a + b*x)^6/(6*e) + ((b*d - a*e)^6*log(d + e*x))/e^7, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^2, (15*b^2*(b*d - a*e)^4*x)/e^6 - (b*d - a*e)^6/(e^7*(d + e*x)) - (10*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^2)/e^7 + (5*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^3)/e^7 - (3*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^4)/(2*e^7) + (b^6*(d + e*x)^5)/(5*e^7) - (6*b*(b*d - a*e)^5*log(d + e*x))/e^7, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^3, -((20*b^3*(b*d - a*e)^3*x)/e^6) - (b*d - a*e)^6/(2*e^7*(d + e*x)^2) + (6*b*(b*d - a*e)^5)/(e^7*(d + e*x)) + (15*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^2)/(2*e^7) - (2*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^3)/e^7 + (b^6*(d + e*x)^4)/(4*e^7) + (15*b^2*(b*d - a*e)^4*log(d + e*x))/e^7, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^4, (15*b^4*(b*d - a*e)^2*x)/e^6 - (b*d - a*e)^6/(3*e^7*(d + e*x)^3) + (3*b*(b*d - a*e)^5)/(e^7*(d + e*x)^2) - (15*b^2*(b*d - a*e)^4)/(e^7*(d + e*x)) - (3*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^2)/e^7 + (b^6*(d + e*x)^3)/(3*e^7) - (20*b^3*(b*d - a*e)^3*log(d + e*x))/e^7, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^5, -((b^5*(5*b*d - 6*a*e)*x)/e^6) + (b^6*x^2)/(2*e^5) - (b*d - a*e)^6/(4*e^7*(d + e*x)^4) + (2*b*(b*d - a*e)^5)/(e^7*(d + e*x)^3) - (15*b^2*(b*d - a*e)^4)/(2*e^7*(d + e*x)^2) + (20*b^3*(b*d - a*e)^3)/(e^7*(d + e*x)) + (15*b^4*(b*d - a*e)^2*log(d + e*x))/e^7, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^6, (b^6*x)/e^6 - (b*d - a*e)^6/(5*e^7*(d + e*x)^5) + (3*b*(b*d - a*e)^5)/(2*e^7*(d + e*x)^4) - (5*b^2*(b*d - a*e)^4)/(e^7*(d + e*x)^3) + (10*b^3*(b*d - a*e)^3)/(e^7*(d + e*x)^2) - (15*b^4*(b*d - a*e)^2)/(e^7*(d + e*x)) - (6*b^5*(b*d - a*e)*log(d + e*x))/e^7, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^7, -((b*d - a*e)^6/(6*e^7*(d + e*x)^6)) + (6*b*(b*d - a*e)^5)/(5*e^7*(d + e*x)^5) - (15*b^2*(b*d - a*e)^4)/(4*e^7*(d + e*x)^4) + (20*b^3*(b*d - a*e)^3)/(3*e^7*(d + e*x)^3) - (15*b^4*(b*d - a*e)^2)/(2*e^7*(d + e*x)^2) + (6*b^5*(b*d - a*e))/(e^7*(d + e*x)) + (b^6*log(d + e*x))/e^7, x, 3),
+
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^8, (a + b*x)^7/(7*(b*d - a*e)*(d + e*x)^7), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^9, (a + b*x)^7/(8*(b*d - a*e)*(d + e*x)^8) + (b*(a + b*x)^7)/(56*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^7), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^10, (a + b*x)^7/(9*(b*d - a*e)*(d + e*x)^9) + (b*(a + b*x)^7)/(36*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^8) + (b^2*(a + b*x)^7)/(252*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^7), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^11, (a + b*x)^7/(10*(b*d - a*e)*(d + e*x)^10) + (b*(a + b*x)^7)/(30*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^9) + (b^2*(a + b*x)^7)/(120*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^8) + (b^3*(a + b*x)^7)/(840*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^7), x, 5),
+
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^12, -((b*d - a*e)^6/(11*e^7*(d + e*x)^11)) + (3*b*(b*d - a*e)^5)/(5*e^7*(d + e*x)^10) - (5*b^2*(b*d - a*e)^4)/(3*e^7*(d + e*x)^9) + (5*b^3*(b*d - a*e)^3)/(2*e^7*(d + e*x)^8) - (15*b^4*(b*d - a*e)^2)/(7*e^7*(d + e*x)^7) + (b^5*(b*d - a*e))/(e^7*(d + e*x)^6) - b^6/(5*e^7*(d + e*x)^5), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^13, -((b*d - a*e)^6/(12*e^7*(d + e*x)^12)) + (6*b*(b*d - a*e)^5)/(11*e^7*(d + e*x)^11) - (3*b^2*(b*d - a*e)^4)/(2*e^7*(d + e*x)^10) + (20*b^3*(b*d - a*e)^3)/(9*e^7*(d + e*x)^9) - (15*b^4*(b*d - a*e)^2)/(8*e^7*(d + e*x)^8) + (6*b^5*(b*d - a*e))/(7*e^7*(d + e*x)^7) - b^6/(6*e^7*(d + e*x)^6), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^14, -((b*d - a*e)^6/(13*e^7*(d + e*x)^13)) + (b*(b*d - a*e)^5)/(2*e^7*(d + e*x)^12) - (15*b^2*(b*d - a*e)^4)/(11*e^7*(d + e*x)^11) + (2*b^3*(b*d - a*e)^3)/(e^7*(d + e*x)^10) - (5*b^4*(b*d - a*e)^2)/(3*e^7*(d + e*x)^9) + (3*b^5*(b*d - a*e))/(4*e^7*(d + e*x)^8) - b^6/(7*e^7*(d + e*x)^7), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^15, -((b*d - a*e)^6/(14*e^7*(d + e*x)^14)) + (6*b*(b*d - a*e)^5)/(13*e^7*(d + e*x)^13) - (5*b^2*(b*d - a*e)^4)/(4*e^7*(d + e*x)^12) + (20*b^3*(b*d - a*e)^3)/(11*e^7*(d + e*x)^11) - (3*b^4*(b*d - a*e)^2)/(2*e^7*(d + e*x)^10) + (2*b^5*(b*d - a*e))/(3*e^7*(d + e*x)^9) - b^6/(8*e^7*(d + e*x)^8), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^5/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (10*e^2*(b*d - a*e)^3*x)/b^5 - (b*d - a*e)^5/(b^6*(a + b*x)) + (5*e^3*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2)/b^6 + (5*e^4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3)/(3*b^6) + (e^5*(a + b*x)^4)/(4*b^6) + (5*e*(b*d - a*e)^4*log(a + b*x))/b^6, x, 3),
+((d + e*x)^4/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (6*e^2*(b*d - a*e)^2*x)/b^4 - (b*d - a*e)^4/(b^5*(a + b*x)) + (2*e^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2)/b^5 + (e^4*(a + b*x)^3)/(3*b^5) + (4*e*(b*d - a*e)^3*log(a + b*x))/b^5, x, 3),
+((d + e*x)^3/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (e^2*(3*b*d - 2*a*e)*x)/b^3 + (e^3*x^2)/(2*b^2) - (b*d - a*e)^3/(b^4*(a + b*x)) + (3*e*(b*d - a*e)^2*log(a + b*x))/b^4, x, 3),
+((d + e*x)^2/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (e^2*x)/b^2 - (b*d - a*e)^2/(b^3*(a + b*x)) + (2*e*(b*d - a*e)*log(a + b*x))/b^3, x, 3),
+((d + e*x)^1/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -((b*d - a*e)/(b^2*(a + b*x))) + (e*log(a + b*x))/b^2, x, 3),
+((d + e*x)^0/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -(1/(b*(a + b*x))), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(1/((b*d - a*e)*(a + b*x))) - (e*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^2 + (e*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^2, x, 3),
+(1/((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(b/((b*d - a*e)^2*(a + b*x))) - e/((b*d - a*e)^2*(d + e*x)) - (2*b*e*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^3 + (2*b*e*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^3, x, 3),
+(1/((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(b^2/((b*d - a*e)^3*(a + b*x))) - e/(2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^2) - (2*b*e)/((b*d - a*e)^3*(d + e*x)) - (3*b^2*e*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^4 + (3*b^2*e*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^4, x, 3),
+(1/((d + e*x)^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(b^3/((b*d - a*e)^4*(a + b*x))) - e/(3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^3) - (b*e)/((b*d - a*e)^3*(d + e*x)^2) - (3*b^2*e)/((b*d - a*e)^4*(d + e*x)) - (4*b^3*e*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^5 + (4*b^3*e*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^5, x, 3),
+
+
+((d + e*x)^6/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (15*e^4*(b*d - a*e)^2*x)/b^6 - (b*d - a*e)^6/(3*b^7*(a + b*x)^3) - (3*e*(b*d - a*e)^5)/(b^7*(a + b*x)^2) - (15*e^2*(b*d - a*e)^4)/(b^7*(a + b*x)) + (3*e^5*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2)/b^7 + (e^6*(a + b*x)^3)/(3*b^7) + (20*e^3*(b*d - a*e)^3*log(a + b*x))/b^7, x, 3),
+((d + e*x)^5/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (e^4*(5*b*d - 4*a*e)*x)/b^5 + (e^5*x^2)/(2*b^4) - (b*d - a*e)^5/(3*b^6*(a + b*x)^3) - (5*e*(b*d - a*e)^4)/(2*b^6*(a + b*x)^2) - (10*e^2*(b*d - a*e)^3)/(b^6*(a + b*x)) + (10*e^3*(b*d - a*e)^2*log(a + b*x))/b^6, x, 3),
+((d + e*x)^4/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (e^4*x)/b^4 - (b*d - a*e)^4/(3*b^5*(a + b*x)^3) - (2*e*(b*d - a*e)^3)/(b^5*(a + b*x)^2) - (6*e^2*(b*d - a*e)^2)/(b^5*(a + b*x)) + (4*e^3*(b*d - a*e)*log(a + b*x))/b^5, x, 3),
+((d + e*x)^3/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -((b*d - a*e)^3/(3*b^4*(a + b*x)^3)) - (3*e*(b*d - a*e)^2)/(2*b^4*(a + b*x)^2) - (3*e^2*(b*d - a*e))/(b^4*(a + b*x)) + (e^3*log(a + b*x))/b^4, x, 3),
+((d + e*x)^2/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -((d + e*x)^3/(3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3)), x, 2),
+((d + e*x)^1/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -((b*d - a*e)/(3*b^2*(a + b*x)^3)) - e/(2*b^2*(a + b*x)^2), x, 3),
+((d + e*x)^0/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -(1/(3*b*(a + b*x)^3)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -(1/(3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3)) + e/(2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2) - e^2/((b*d - a*e)^3*(a + b*x)) - (e^3*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^4 + (e^3*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^4, x, 3),
+(1/((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -(b/(3*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3)) + (b*e)/((b*d - a*e)^3*(a + b*x)^2) - (3*b*e^2)/((b*d - a*e)^4*(a + b*x)) - e^3/((b*d - a*e)^4*(d + e*x)) - (4*b*e^3*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^5 + (4*b*e^3*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^5, x, 3),
+(1/((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -(b^2/(3*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^3)) + (3*b^2*e)/(2*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^2) - (6*b^2*e^2)/((b*d - a*e)^5*(a + b*x)) - e^3/(2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^2) - (4*b*e^3)/((b*d - a*e)^5*(d + e*x)) - (10*b^2*e^3*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^6 + (10*b^2*e^3*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^6, x, 3),
+
+
+((d + e*x)^8/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (28*e^6*(b*d - a*e)^2*x)/b^8 - (b*d - a*e)^8/(5*b^9*(a + b*x)^5) - (2*e*(b*d - a*e)^7)/(b^9*(a + b*x)^4) - (28*e^2*(b*d - a*e)^6)/(3*b^9*(a + b*x)^3) - (28*e^3*(b*d - a*e)^5)/(b^9*(a + b*x)^2) - (70*e^4*(b*d - a*e)^4)/(b^9*(a + b*x)) + (4*e^7*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2)/b^9 + (e^8*(a + b*x)^3)/(3*b^9) + (56*e^5*(b*d - a*e)^3*log(a + b*x))/b^9, x, 3),
+((d + e*x)^7/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (e^6*(7*b*d - 6*a*e)*x)/b^7 + (e^7*x^2)/(2*b^6) - (b*d - a*e)^7/(5*b^8*(a + b*x)^5) - (7*e*(b*d - a*e)^6)/(4*b^8*(a + b*x)^4) - (7*e^2*(b*d - a*e)^5)/(b^8*(a + b*x)^3) - (35*e^3*(b*d - a*e)^4)/(2*b^8*(a + b*x)^2) - (35*e^4*(b*d - a*e)^3)/(b^8*(a + b*x)) + (21*e^5*(b*d - a*e)^2*log(a + b*x))/b^8, x, 3),
+((d + e*x)^6/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (e^6*x)/b^6 - (b*d - a*e)^6/(5*b^7*(a + b*x)^5) - (3*e*(b*d - a*e)^5)/(2*b^7*(a + b*x)^4) - (5*e^2*(b*d - a*e)^4)/(b^7*(a + b*x)^3) - (10*e^3*(b*d - a*e)^3)/(b^7*(a + b*x)^2) - (15*e^4*(b*d - a*e)^2)/(b^7*(a + b*x)) + (6*e^5*(b*d - a*e)*log(a + b*x))/b^7, x, 3),
+((d + e*x)^5/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((b*d - a*e)^5/(5*b^6*(a + b*x)^5)) - (5*e*(b*d - a*e)^4)/(4*b^6*(a + b*x)^4) - (10*e^2*(b*d - a*e)^3)/(3*b^6*(a + b*x)^3) - (5*e^3*(b*d - a*e)^2)/(b^6*(a + b*x)^2) - (5*e^4*(b*d - a*e))/(b^6*(a + b*x)) + (e^5*log(a + b*x))/b^6, x, 3),
+((d + e*x)^4/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((d + e*x)^5/(5*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5)), x, 2),
+((d + e*x)^3/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((d + e*x)^4/(5*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5)) + (e*(d + e*x)^4)/(20*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^4), x, 3),
+((d + e*x)^2/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((b*d - a*e)^2/(5*b^3*(a + b*x)^5)) - (e*(b*d - a*e))/(2*b^3*(a + b*x)^4) - e^2/(3*b^3*(a + b*x)^3), x, 3),
+((d + e*x)^1/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((b*d - a*e)/(5*b^2*(a + b*x)^5)) - e/(4*b^2*(a + b*x)^4), x, 3),
+((d + e*x)^0/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -(1/(5*b*(a + b*x)^5)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), -(1/(5*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5)) + e/(4*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^4) - e^2/(3*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^3) + e^3/(2*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^2) - e^4/((b*d - a*e)^5*(a + b*x)) - (e^5*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^6 + (e^5*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^6, x, 3),
+(1/((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), -(b/(5*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^5)) + (b*e)/(2*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^4) - (b*e^2)/((b*d - a*e)^4*(a + b*x)^3) + (2*b*e^3)/((b*d - a*e)^5*(a + b*x)^2) - (5*b*e^4)/((b*d - a*e)^6*(a + b*x)) - e^5/((b*d - a*e)^6*(d + e*x)) - (6*b*e^5*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^7 + (6*b*e^5*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^7, x, 3),
+(1/((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), -(b^2/(5*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^5)) + (3*b^2*e)/(4*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^4) - (2*b^2*e^2)/((b*d - a*e)^5*(a + b*x)^3) + (5*b^2*e^3)/((b*d - a*e)^6*(a + b*x)^2) - (15*b^2*e^4)/((b*d - a*e)^7*(a + b*x)) - e^5/(2*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^2) - (6*b*e^5)/((b*d - a*e)^7*(d + e*x)) - (21*b^2*e^5*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^8 + (21*b^2*e^5*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^8, x, 3),
+
+
+((d + e*x)*(9 + 12*x + 4*x^2)^3, (1//28)*(2*d - 3*e)*(3 + 2*x)^7 + (1//32)*e*(3 + 2*x)^8, x, 3),
+((d + e*x)*(9 + 12*x + 4*x^2)^2, (1//20)*(2*d - 3*e)*(3 + 2*x)^5 + (1//24)*e*(3 + 2*x)^6, x, 3),
+((d + e*x)*(9 + 12*x + 4*x^2)^1, (1//12)*(2*d - 3*e)*(3 + 2*x)^3 + (1//16)*e*(3 + 2*x)^4, x, 3),
+((d + e*x)/(9 + 12*x + 4*x^2)^1, -((2*d - 3*e)/(4*(3 + 2*x))) + (1//4)*e*log(3 + 2*x), x, 3),
+((d + e*x)/(9 + 12*x + 4*x^2)^2, -((2*d - 3*e)/(12*(3 + 2*x)^3)) - e/(8*(3 + 2*x)^2), x, 3),
+((d + e*x)/(9 + 12*x + 4*x^2)^3, -((2*d - 3*e)/(20*(3 + 2*x)^5)) - e/(16*(3 + 2*x)^4), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -((b*d - a*e)*(d + e*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^2*(a + b*x)) + (b*(d + e*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^2*(a + b*x)), x, 3),
+((d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -((b*d - a*e)*(d + e*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^2*(a + b*x)) + (b*(d + e*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^2*(a + b*x)), x, 3),
+((d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -((b*d - a*e)*(d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^2*(a + b*x)) + (b*(d + e*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^2*(a + b*x)), x, 3),
+((d + e*x)^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*b^2) + (e*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(3*b^2), x, 2),
+((d + e*x)^0*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*b), x, 1),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^1, (b*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^2*(a + b*x)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^2, ((b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^2*(a + b*x)*(d + e*x)) + (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^2*(a + b*x)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^3, ((a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^2), x, 2),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^4, ((b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^2*(a + b*x)*(d + e*x)^3) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^2*(a + b*x)*(d + e*x)^2), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^5, ((b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^2*(a + b*x)*(d + e*x)^4) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^2*(a + b*x)*(d + e*x)^3), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^6, ((b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^2*(a + b*x)*(d + e*x)^5) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^2*(a + b*x)*(d + e*x)^4), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^5*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -((b*d - a*e)^3*(d + e*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^4*(a + b*x)) + (3*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^4*(a + b*x)) - (3*b^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^4*(a + b*x)) + (b^3*(d + e*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^4*(a + b*x)), x, 3),
+((d + e*x)^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -((b*d - a*e)^3*(d + e*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^4*(a + b*x)) + (b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^4*(a + b*x)) - (3*b^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^4*(a + b*x)) + (b^3*(d + e*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^4*(a + b*x)), x, 3),
+((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((b*d - a*e)^3*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*b^4) + (3*e*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*b^4) + (e^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*b^4) + (e^3*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^4), x, 3),
+# {(d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2), x, 2, ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2))/(4*b^3) + (2*e*(b*d - a*e)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5/2))/(5*b^3) + (e^2*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5/2))/(6*b^3), ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/(4*b^3) + (2*e*(b*d - a*e)*(a + b*x)^4*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/(5*b^3) + (e^2*(a + b*x)^5*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/(6*b^3)}
+((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((b*d - a*e)*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(4*b^2) + (e*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(5*b^2), x, 2),
+((d + e*x)^0*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(4*b), x, 1),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^1, (b*(b*d - a*e)^2*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^2) + ((a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e) - ((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^4*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^2, -((b^2*(2*b*d - 3*a*e)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x))) + (b^3*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^2*(a + b*x)) + ((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)*(d + e*x)) + (3*b*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^4*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^3, (b^3*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x)) + ((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^2) - (3*b*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)*(d + e*x)) - (3*b^2*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^4*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^4, ((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^3) - (3*b*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^2) + (3*b^2*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)*(d + e*x)) + (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^4*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^5, ((a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^4), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^6, ((a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^5) + (b*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(20*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^4), x, 3),
+# {(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2)/(d + e*x)^7, x, 3, ((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2))/(6*(b*d - a*e)*(d + e*x)^6) + (b*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2))/(15*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^5) + (b^2*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2))/(60*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^4), ((b*d - a*e)^3*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/(6*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^6) - (3*b*(b*d - a*e)^2*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/(5*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^5) + (3*b^2*(b*d - a*e)*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/(4*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^4) - (b^3*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/(3*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^3)}
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^8, ((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^7) - (b*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^6) + (3*b^2*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^5) - (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^4), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^9, ((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^8) - (3*b*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^7) + (b^2*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^6) - (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^5), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^5*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((b*d - a*e)^5*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^6) + (5*e*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^6) + (5*e^2*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*b^6) + (10*e^3*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*b^6) + (e^4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*b^6) + (e^5*(a + b*x)^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*b^6), x, 3),
+((d + e*x)^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((b*d - a*e)^4*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^5) + (4*e*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^5) + (3*e^2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*b^5) + (4*e^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*b^5) + (e^4*(a + b*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*b^5), x, 2),
+((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((b*d - a*e)^3*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^4) + (3*e*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^4) + (3*e^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*b^4) + (e^3*(a + b*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*b^4), x, 3),
+((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^3) + (2*e*(b*d - a*e)*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^3) + (e^2*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*b^3), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((b*d - a*e)*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(6*b^2) + (e*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(7//2))/(7*b^2), x, 2),
+((d + e*x)^0*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(6*b), x, 1),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^1, (b*(b*d - a*e)^4*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^4) + ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^3) - ((b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^2) + ((a + b*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e) - ((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^6*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^2, (-10*b^2*(b*d - a*e)^3*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)) + ((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)*(d + e*x)) + (5*b^3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)) - (5*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^6*(a + b*x)) + (b^5*(d + e*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^6*(a + b*x)) + (5*b*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^6*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^3, (10*b^3*(b*d - a*e)^2*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)) + ((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^2) - (5*b*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)*(d + e*x)) - (5*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^6*(a + b*x)) + (b^5*(d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^6*(a + b*x)) - (10*b^2*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^6*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^4, -((b^4*(4*b*d - 5*a*e)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x))) + (b^5*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^4*(a + b*x)) + ((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^3) - (5*b*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^2) + (10*b^2*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)*(d + e*x)) + (10*b^3*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^6*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^5, (b^5*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)) + ((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^4) - (5*b*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^3) + (5*b^2*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^2) - (10*b^3*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)*(d + e*x)) - (5*b^4*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^6*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^6, ((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^5) - (5*b*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^4) + (10*b^2*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^3) - (5*b^3*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^2) + (5*b^4*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)*(d + e*x)) + (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^6*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^7, ((a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*(b*d - a*e)*(d + e*x)^6), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^8, ((a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(b*d - a*e)*(d + e*x)^7) + (b*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(42*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^6), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^9, ((a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*(b*d - a*e)*(d + e*x)^8) + (b*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(28*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^7) + (b^2*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(168*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^6), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^10, ((a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(b*d - a*e)*(d + e*x)^9) + (b*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(24*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^8) + (b^2*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(84*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^7) + (b^3*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(504*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^6), x, 5),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^11, ((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^10) - (5*b*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^9) + (5*b^2*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^8) - (10*b^3*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^7) + (5*b^4*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^6) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^5), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^12, ((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^11) - (b*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^10) + (10*b^2*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^9) - (5*b^3*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^8) + (5*b^4*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^7) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^6), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^4/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (e*(b*d - a*e)^3*x*(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)*(d + e*x)^2)/(2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^3)/(3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((a + b*x)*(d + e*x)^4)/(4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((b*d - a*e)^4*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^3/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (e*(b*d - a*e)^2*x*(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^2)/(2*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((a + b*x)*(d + e*x)^3)/(3*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((b*d - a*e)^3*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^2/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (e*(b*d - a*e)*x*(a + b*x))/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((a + b*x)*(d + e*x)^2)/(2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^1/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/b^2 + ((b*d - a*e)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^0/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((a + b*x)*log(a + b*x))/(b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), ((a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (a + b*x)/((b*d - a*e)*(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (a + b*x)/(2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b*(a + b*x))/((b*d - a*e)^2*(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b^2*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b^2*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (a + b*x)/(3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b*(a + b*x))/(2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b^2*(a + b*x))/((b*d - a*e)^3*(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b^3*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b^3*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^4/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (-4*e*(b*d - a*e)^3)/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b*d - a*e)^4/(2*b^5*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^3*(4*b*d - 3*a*e)*x*(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^4*x^2*(a + b*x))/(2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (6*e^2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^3/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (-3*e*(b*d - a*e)^2)/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b*d - a*e)^3/(2*b^4*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^3*x*(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*e^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^2/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (-2*e*(b*d - a*e))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b*d - a*e)^2/(2*b^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^2*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^1/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -(e/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (b*d - a*e)/(2*b^2*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^0/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -(1/(2*b*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))), x, 1),
+(1/((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), e/((b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - 1/(2*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^2*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e^2*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), (2*b*e)/((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - b/(2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^2*(a + b*x))/((b*d - a*e)^3*(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*b*e^2*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*b*e^2*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), (3*b^2*e)/((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - b^2/(2*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^2*(a + b*x))/(2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*b*e^2*(a + b*x))/((b*d - a*e)^4*(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (6*b^2*e^2*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (6*b^2*e^2*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^6/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (-20*e^3*(b*d - a*e)^3)/(b^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b*d - a*e)^6/(4*b^7*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*e*(b*d - a*e)^5)/(b^7*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (15*e^2*(b*d - a*e)^4)/(2*b^7*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^5*(6*b*d - 5*a*e)*x*(a + b*x))/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^6*x^2*(a + b*x))/(2*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (15*e^4*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^5/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (-10*e^3*(b*d - a*e)^2)/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b*d - a*e)^5/(4*b^6*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*e*(b*d - a*e)^4)/(3*b^6*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*e^2*(b*d - a*e)^3)/(b^6*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^5*x*(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*e^4*(b*d - a*e)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^4/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (-4*e^3*(b*d - a*e))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b*d - a*e)^4/(4*b^5*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (4*e*(b*d - a*e)^3)/(3*b^5*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*e^2*(b*d - a*e)^2)/(b^5*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^4*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^3/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -((d + e*x)^4/(4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))), x, 2),
+((d + e*x)^2/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -(b*d - a*e)^2/(4*b^3*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*e*(b*d - a*e))/(3*b^3*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - e^2/(2*b^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^1/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -(e/(3*b^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))) - (b*d - a*e)/(4*b^2*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), x, 2),
+((d + e*x)^0/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -(1/(4*b*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))), x, 1),
+(1/((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), e^3/((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - 1/(4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + e/(3*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - e^2/(2*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^4*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e^4*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (4*b*e^3)/((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - b/(4*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*b*e)/(3*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*b*e^2)/(2*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^4*(a + b*x))/((b*d - a*e)^5*(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*b*e^4*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*b*e^4*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (10*b^2*e^3)/((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - b^2/(4*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b^2*e)/((b*d - a*e)^4*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*b^2*e^2)/((b*d - a*e)^5*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^4*(a + b*x))/(2*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*b*e^4*(a + b*x))/((b*d - a*e)^6*(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (15*b^2*e^4*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (15*b^2*e^4*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+
+
+((d + e*x)*(9 + 12*x + 4*x^2)^(5//2), ((2*d - 3*e)*(3 + 2*x)*(9 + 12*x + 4*x^2)^(5//2))/24 + (e*(9 + 12*x + 4*x^2)^(7//2))/28, x, 2),
+((d + e*x)*(9 + 12*x + 4*x^2)^(3//2), ((2*d - 3*e)*(3 + 2*x)*(9 + 12*x + 4*x^2)^(3//2))/16 + (e*(9 + 12*x + 4*x^2)^(5//2))/20, x, 2),
+((d + e*x)*(9 + 12*x + 4*x^2)^(1//2), ((2*d - 3*e)*(3 + 2*x)*sqrt(9 + 12*x + 4*x^2))/8 + (e*(9 + 12*x + 4*x^2)^(3//2))/12, x, 2),
+((d + e*x)/(9 + 12*x + 4*x^2)^(1//2), (e*sqrt(9 + 12*x + 4*x^2))/4 + ((2*d - 3*e)*(3 + 2*x)*log(3 + 2*x))/(4*sqrt(9 + 12*x + 4*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)/(9 + 12*x + 4*x^2)^(3//2), -(e/(4*sqrt(9 + 12*x + 4*x^2))) - (2*d - 3*e)/(8*(3 + 2*x)*sqrt(9 + 12*x + 4*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)/(9 + 12*x + 4*x^2)^(5//2), -(e/(12*(9 + 12*x + 4*x^2)^(3//2))) - (2*d - 3*e)/(16*(3 + 2*x)*(9 + 12*x + 4*x^2)^(3//2)), x, 2),
+((d + e*x)/(9 + 12*x + 4*x^2)^(7//2), -(e/(20*(9 + 12*x + 4*x^2)^(5//2))) - (2*d - 3*e)/(24*(3 + 2*x)*(9 + 12*x + 4*x^2)^(5//2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^3) - (4*b*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^3) + (2*b^2*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^3), x, 3),
+((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^3) - (4*b*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^3) + (2*b^2*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^3), x, 3),
+((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^3) - (4*b*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^3) + (2*b^2*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^3), x, 3),
+(sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^3) - (4*b*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^3) + (2*b^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^3), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/sqrt(d + e*x), (2*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x))/e^3 - (4*b*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^3) + (2*b^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^3), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^(3//2), (-2*(b*d - a*e)^2)/(e^3*sqrt(d + e*x)) - (4*b*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x))/e^3 + (2*b^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^3), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^(5//2), (-2*(b*d - a*e)^2)/(3*e^3*(d + e*x)^(3//2)) + (4*b*(b*d - a*e))/(e^3*sqrt(d + e*x)) + (2*b^2*sqrt(d + e*x))/e^3, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^(7//2), (-2*(b*d - a*e)^2)/(5*e^3*(d + e*x)^(5//2)) + (4*b*(b*d - a*e))/(3*e^3*(d + e*x)^(3//2)) - (2*b^2)/(e^3*sqrt(d + e*x)), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5) - (8*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^5) + (12*b^2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^5) - (8*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^5) + (2*b^4*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^5), x, 3),
+((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) - (8*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5) + (12*b^2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^5) - (8*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^5) + (2*b^4*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^5), x, 3),
+((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) - (8*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) + (4*b^2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^5) - (8*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^5) + (2*b^4*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^5), x, 3),
+(sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5) - (8*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) + (12*b^2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) - (8*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5) + (2*b^4*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^5), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/sqrt(d + e*x), (2*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x))/e^5 - (8*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5) + (12*b^2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) - (8*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) + (2*b^4*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^(3//2), (-2*(b*d - a*e)^4)/(e^5*sqrt(d + e*x)) - (8*b*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x))/e^5 + (4*b^2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2))/e^5 - (8*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) + (2*b^4*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^(5//2), (-2*(b*d - a*e)^4)/(3*e^5*(d + e*x)^(3//2)) + (8*b*(b*d - a*e)^3)/(e^5*sqrt(d + e*x)) + (12*b^2*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x))/e^5 - (8*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5) + (2*b^4*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^(7//2), (-2*(b*d - a*e)^4)/(5*e^5*(d + e*x)^(5//2)) + (8*b*(b*d - a*e)^3)/(3*e^5*(d + e*x)^(3//2)) - (12*b^2*(b*d - a*e)^2)/(e^5*sqrt(d + e*x)) - (8*b^3*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x))/e^5 + (2*b^4*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (2*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^7) - (12*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7) + (30*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^7) - (8*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(15//2))/(3*e^7) + (30*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^7) - (12*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(19//2))/(19*e^7) + (2*b^6*(d + e*x)^(21//2))/(21*e^7), x, 3),
+((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (2*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) - (4*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^7) + (30*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7) - (40*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^7) + (2*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(15//2))/e^7 - (12*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^7) + (2*b^6*(d + e*x)^(19//2))/(19*e^7), x, 3),
+((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (2*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) - (12*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) + (10*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^7) - (40*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7) + (30*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^7) - (4*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(15//2))/(5*e^7) + (2*b^6*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^7), x, 3),
+(sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (2*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^7) - (12*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) + (30*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) - (40*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^7) + (30*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7) - (12*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^7) + (2*b^6*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^7), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/sqrt(d + e*x), (2*(b*d - a*e)^6*sqrt(d + e*x))/e^7 - (4*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(3//2))/e^7 + (6*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(5//2))/e^7 - (40*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) + (10*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^7) - (12*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7) + (2*b^6*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^7), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^(3//2), (-2*(b*d - a*e)^6)/(e^7*sqrt(d + e*x)) - (12*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(d + e*x))/e^7 + (10*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2))/e^7 - (8*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2))/e^7 + (30*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) - (4*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^7) + (2*b^6*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^(5//2), (-2*(b*d - a*e)^6)/(3*e^7*(d + e*x)^(3//2)) + (12*b*(b*d - a*e)^5)/(e^7*sqrt(d + e*x)) + (30*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x))/e^7 - (40*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^7) + (6*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2))/e^7 - (12*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) + (2*b^6*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^7), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^(7//2), (-2*(b*d - a*e)^6)/(5*e^7*(d + e*x)^(5//2)) + (4*b*(b*d - a*e)^5)/(e^7*(d + e*x)^(3//2)) - (30*b^2*(b*d - a*e)^4)/(e^7*sqrt(d + e*x)) - (40*b^3*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x))/e^7 + (10*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2))/e^7 - (12*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) + (2*b^6*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^(9//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (9*e*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x))/b^5 + (3*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2))/b^4 + (9*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*b^3) + (9*e*(d + e*x)^(7//2))/(7*b^2) - (d + e*x)^(9//2)/(b*(a + b*x)) - (9*e*(b*d - a*e)^(7//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/b^(11//2), x, 8),
+((d + e*x)^(7//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (7*e*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x))/b^4 + (7*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^3) + (7*e*(d + e*x)^(5//2))/(5*b^2) - (d + e*x)^(7//2)/(b*(a + b*x)) - (7*e*(b*d - a*e)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/b^(9//2), x, 7),
+((d + e*x)^(5//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (5*e*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x))/b^3 + (5*e*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^2) - (d + e*x)^(5//2)/(b*(a + b*x)) - (5*e*(b*d - a*e)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/b^(7//2), x, 6),
+((d + e*x)^(3//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (3*e*sqrt(d + e*x))/b^2 - (d + e*x)^(3//2)/(b*(a + b*x)) - (3*e*sqrt(b*d - a*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/b^(5//2), x, 5),
+((d + e*x)^(1//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -(sqrt(d + e*x)/(b*(a + b*x))) - (e*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b^(3//2)*sqrt(b*d - a*e)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(sqrt(d + e*x)/((b*d - a*e)*(a + b*x))) + (e*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(sqrt(b)*(b*d - a*e)^(3//2)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -((3*e)/((b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x))) - 1/((b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (3*sqrt(b)*e*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b*d - a*e)^(5//2), x, 5),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -((5*e)/(3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2))) - 1/((b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (5*b*e)/((b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)) + (5*b^(3//2)*e*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b*d - a*e)^(7//2), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -((7*e)/(5*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2))) - 1/((b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) - (7*b*e)/(3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2)) - (7*b^2*e)/((b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)) + (7*b^(5//2)*e*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b*d - a*e)^(9//2), x, 7),
+
+
+((d + e*x)^(11//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (231*e^3*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x))/(8*b^6) + (77*e^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2))/(8*b^5) + (231*e^3*(d + e*x)^(5//2))/(40*b^4) - (33*e^2*(d + e*x)^(7//2))/(8*b^3*(a + b*x)) - (11*e*(d + e*x)^(9//2))/(12*b^2*(a + b*x)^2) - (d + e*x)^(11//2)/(3*b*(a + b*x)^3) - (231*e^3*(b*d - a*e)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*b^(13//2)), x, 9),
+((d + e*x)^(9//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (105*e^3*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x))/(8*b^5) + (35*e^3*(d + e*x)^(3//2))/(8*b^4) - (21*e^2*(d + e*x)^(5//2))/(8*b^3*(a + b*x)) - (3*e*(d + e*x)^(7//2))/(4*b^2*(a + b*x)^2) - (d + e*x)^(9//2)/(3*b*(a + b*x)^3) - (105*e^3*(b*d - a*e)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*b^(11//2)), x, 8),
+((d + e*x)^(7//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (35*e^3*sqrt(d + e*x))/(8*b^4) - (35*e^2*(d + e*x)^(3//2))/(24*b^3*(a + b*x)) - (7*e*(d + e*x)^(5//2))/(12*b^2*(a + b*x)^2) - (d + e*x)^(7//2)/(3*b*(a + b*x)^3) - (35*e^3*sqrt(b*d - a*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*b^(9//2)), x, 7),
+((d + e*x)^(5//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -((5*e^2*sqrt(d + e*x))/(8*b^3*(a + b*x))) - (5*e*(d + e*x)^(3//2))/(12*b^2*(a + b*x)^2) - (d + e*x)^(5//2)/(3*b*(a + b*x)^3) - (5*e^3*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*b^(7//2)*sqrt(b*d - a*e)), x, 6),
+((d + e*x)^(3//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -((e*sqrt(d + e*x))/(4*b^2*(a + b*x)^2)) - (e^2*sqrt(d + e*x))/(8*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - (d + e*x)^(3//2)/(3*b*(a + b*x)^3) + (e^3*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*b^(5//2)*(b*d - a*e)^(3//2)), x, 6),
+((d + e*x)^(1//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -(sqrt(d + e*x)/(3*b*(a + b*x)^3)) - (e*sqrt(d + e*x))/(12*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) + (e^2*sqrt(d + e*x))/(8*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)) - (e^3*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*b^(3//2)*(b*d - a*e)^(5//2)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -(sqrt(d + e*x)/(3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3)) + (5*e*sqrt(d + e*x))/(12*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2) - (5*e^2*sqrt(d + e*x))/(8*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)) + (5*e^3*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*sqrt(b)*(b*d - a*e)^(7//2)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -((35*e^3)/(8*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x))) - 1/(3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(d + e*x)) + (7*e)/(12*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*sqrt(d + e*x)) - (35*e^2)/(24*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (35*sqrt(b)*e^3*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*(b*d - a*e)^(9//2)), x, 7),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -((35*e^3)/(8*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2))) - 1/(3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*(d + e*x)^(3//2)) + (3*e)/(4*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(3//2)) - (21*e^2)/(8*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (105*b*e^3)/(8*(b*d - a*e)^5*sqrt(d + e*x)) + (105*b^(3//2)*e^3*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*(b*d - a*e)^(11//2)), x, 8),
+(1/((d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -((231*e^3)/(40*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(5//2))) - 1/(3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*(d + e*x)^(5//2)) + (11*e)/(12*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(5//2)) - (33*e^2)/(8*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) - (77*b*e^3)/(8*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(3//2)) - (231*b^2*e^3)/(8*(b*d - a*e)^6*sqrt(d + e*x)) + (231*b^(5//2)*e^3*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*(b*d - a*e)^(13//2)), x, 9),
+
+
+((d + e*x)^(15//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (9009*e^5*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x))/(128*b^8) + (3003*e^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2))/(128*b^7) + (9009*e^5*(d + e*x)^(5//2))/(640*b^6) - (1287*e^4*(d + e*x)^(7//2))/(128*b^5*(a + b*x)) - (143*e^3*(d + e*x)^(9//2))/(64*b^4*(a + b*x)^2) - (13*e^2*(d + e*x)^(11//2))/(16*b^3*(a + b*x)^3) - (3*e*(d + e*x)^(13//2))/(8*b^2*(a + b*x)^4) - (d + e*x)^(15//2)/(5*b*(a + b*x)^5) - (9009*e^5*(b*d - a*e)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*b^(17//2)), x, 11),
+((d + e*x)^(13//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (3003*e^5*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x))/(128*b^7) + (1001*e^5*(d + e*x)^(3//2))/(128*b^6) - (3003*e^4*(d + e*x)^(5//2))/(640*b^5*(a + b*x)) - (429*e^3*(d + e*x)^(7//2))/(320*b^4*(a + b*x)^2) - (143*e^2*(d + e*x)^(9//2))/(240*b^3*(a + b*x)^3) - (13*e*(d + e*x)^(11//2))/(40*b^2*(a + b*x)^4) - (d + e*x)^(13//2)/(5*b*(a + b*x)^5) - (3003*e^5*(b*d - a*e)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*b^(15//2)), x, 10),
+((d + e*x)^(11//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (693*e^5*sqrt(d + e*x))/(128*b^6) - (231*e^4*(d + e*x)^(3//2))/(128*b^5*(a + b*x)) - (231*e^3*(d + e*x)^(5//2))/(320*b^4*(a + b*x)^2) - (33*e^2*(d + e*x)^(7//2))/(80*b^3*(a + b*x)^3) - (11*e*(d + e*x)^(9//2))/(40*b^2*(a + b*x)^4) - (d + e*x)^(11//2)/(5*b*(a + b*x)^5) - (693*e^5*sqrt(b*d - a*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*b^(13//2)), x, 9),
+((d + e*x)^(9//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((63*e^4*sqrt(d + e*x))/(128*b^5*(a + b*x))) - (21*e^3*(d + e*x)^(3//2))/(64*b^4*(a + b*x)^2) - (21*e^2*(d + e*x)^(5//2))/(80*b^3*(a + b*x)^3) - (9*e*(d + e*x)^(7//2))/(40*b^2*(a + b*x)^4) - (d + e*x)^(9//2)/(5*b*(a + b*x)^5) - (63*e^5*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*b^(11//2)*sqrt(b*d - a*e)), x, 8),
+((d + e*x)^(7//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((7*e^3*sqrt(d + e*x))/(64*b^4*(a + b*x)^2)) - (7*e^4*sqrt(d + e*x))/(128*b^4*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - (7*e^2*(d + e*x)^(3//2))/(48*b^3*(a + b*x)^3) - (7*e*(d + e*x)^(5//2))/(40*b^2*(a + b*x)^4) - (d + e*x)^(7//2)/(5*b*(a + b*x)^5) + (7*e^5*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*b^(9//2)*(b*d - a*e)^(3//2)), x, 8),
+((d + e*x)^(5//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((e^2*sqrt(d + e*x))/(16*b^3*(a + b*x)^3)) - (e^3*sqrt(d + e*x))/(64*b^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) + (3*e^4*sqrt(d + e*x))/(128*b^3*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)) - (e*(d + e*x)^(3//2))/(8*b^2*(a + b*x)^4) - (d + e*x)^(5//2)/(5*b*(a + b*x)^5) - (3*e^5*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*b^(7//2)*(b*d - a*e)^(5//2)), x, 8),
+((d + e*x)^(3//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((3*e*sqrt(d + e*x))/(40*b^2*(a + b*x)^4)) - (e^2*sqrt(d + e*x))/(80*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3) + (e^3*sqrt(d + e*x))/(64*b^2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2) - (3*e^4*sqrt(d + e*x))/(128*b^2*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)) - (d + e*x)^(3//2)/(5*b*(a + b*x)^5) + (3*e^5*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*b^(5//2)*(b*d - a*e)^(7//2)), x, 8),
+((d + e*x)^(1//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -(sqrt(d + e*x)/(5*b*(a + b*x)^5)) - (e*sqrt(d + e*x))/(40*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^4) + (7*e^2*sqrt(d + e*x))/(240*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3) - (7*e^3*sqrt(d + e*x))/(192*b*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^2) + (7*e^4*sqrt(d + e*x))/(128*b*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)) - (7*e^5*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*b^(3//2)*(b*d - a*e)^(9//2)), x, 8),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), -(sqrt(d + e*x)/(5*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5)) + (9*e*sqrt(d + e*x))/(40*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^4) - (21*e^2*sqrt(d + e*x))/(80*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^3) + (21*e^3*sqrt(d + e*x))/(64*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^2) - (63*e^4*sqrt(d + e*x))/(128*(b*d - a*e)^5*(a + b*x)) + (63*e^5*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*sqrt(b)*(b*d - a*e)^(11//2)), x, 8),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), -((693*e^5)/(128*(b*d - a*e)^6*sqrt(d + e*x))) - 1/(5*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5*sqrt(d + e*x)) + (11*e)/(40*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^4*sqrt(d + e*x)) - (33*e^2)/(80*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^3*sqrt(d + e*x)) + (231*e^3)/(320*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^2*sqrt(d + e*x)) - (231*e^4)/(128*(b*d - a*e)^5*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (693*sqrt(b)*e^5*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*(b*d - a*e)^(13//2)), x, 9),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), -((1001*e^5)/(128*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(3//2))) - 1/(5*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5*(d + e*x)^(3//2)) + (13*e)/(40*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^4*(d + e*x)^(3//2)) - (143*e^2)/(240*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^3*(d + e*x)^(3//2)) + (429*e^3)/(320*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(3//2)) - (3003*e^4)/(640*(b*d - a*e)^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (3003*b*e^5)/(128*(b*d - a*e)^7*sqrt(d + e*x)) + (3003*b^(3//2)*e^5*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*(b*d - a*e)^(15//2)), x, 10),
+(1/((d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), -((9009*e^5)/(640*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(5//2))) - 1/(5*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5*(d + e*x)^(5//2)) + (3*e)/(8*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^4*(d + e*x)^(5//2)) - (13*e^2)/(16*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^3*(d + e*x)^(5//2)) + (143*e^3)/(64*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(5//2)) - (1287*e^4)/(128*(b*d - a*e)^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) - (3003*b*e^5)/(128*(b*d - a*e)^7*(d + e*x)^(3//2)) - (9009*b^2*e^5)/(128*(b*d - a*e)^8*sqrt(d + e*x)) + (9009*b^(5//2)*e^5*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*(b*d - a*e)^(17//2)), x, 11),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (-2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^2*(a + b*x)) + (2*b*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^2*(a + b*x)), x, 3),
+((d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (-2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^2*(a + b*x)) + (2*b*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^2*(a + b*x)), x, 3),
+(sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (-2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^2*(a + b*x)) + (2*b*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^2*(a + b*x)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/sqrt(d + e*x), (-2*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^2*(a + b*x)) + (2*b*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^2*(a + b*x)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^(3//2), (2*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^2*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (2*b*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^2*(a + b*x)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^(5//2), (2*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^2*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^2*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^(7//2), (2*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^2*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^2*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (-2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^4*(a + b*x)) + (2*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^4*(a + b*x)) - (6*b^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^4*(a + b*x)) + (2*b^3*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^4*(a + b*x)), x, 3),
+((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (-2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^4*(a + b*x)) + (6*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^4*(a + b*x)) - (2*b^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^4*(a + b*x)) + (2*b^3*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^4*(a + b*x)), x, 3),
+(sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (-2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^4*(a + b*x)) + (6*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^4*(a + b*x)) - (6*b^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^4*(a + b*x)) + (2*b^3*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^4*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/sqrt(d + e*x), (-2*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)) + (2*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)) - (6*b^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^4*(a + b*x)) + (2*b^3*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^4*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2), (2*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (6*b*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)) - (2*b^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)) + (2*b^3*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^4*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(5//2), (2*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (6*b*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (6*b^2*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)) + (2*b^3*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^4*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(7//2), (2*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*b*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (6*b^2*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (2*b^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(9//2), (2*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)) - (6*b*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (2*b^2*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(11//2), (2*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^(9//2)) - (6*b*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)) + (6*b^2*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (-2*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^6*(a + b*x)) + (10*b*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^6*(a + b*x)) - (20*b^2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^6*(a + b*x)) + (20*b^3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^6*(a + b*x)) - (2*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^6*(a + b*x)) + (2*b^5*(d + e*x)^(17//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(17*e^6*(a + b*x)), x, 3),
+((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (-2*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^6*(a + b*x)) + (10*b*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^6*(a + b*x)) - (20*b^2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^6*(a + b*x)) + (20*b^3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^6*(a + b*x)) - (10*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^6*(a + b*x)) + (2*b^5*(d + e*x)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(15*e^6*(a + b*x)), x, 3),
+(sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (-2*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^6*(a + b*x)) + (2*b*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)) - (20*b^2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^6*(a + b*x)) + (20*b^3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^6*(a + b*x)) - (10*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^6*(a + b*x)) + (2*b^5*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^6*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/sqrt(d + e*x), (-2*(b*d - a*e)^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)) + (10*b*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^6*(a + b*x)) - (4*b^2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)) + (20*b^3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^6*(a + b*x)) - (10*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^6*(a + b*x)) + (2*b^5*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^6*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(3//2), (2*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (10*b*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)) - (20*b^2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^6*(a + b*x)) + (4*b^3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)) - (10*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^6*(a + b*x)) + (2*b^5*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^6*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2), (2*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (10*b*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (20*b^2*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)) + (20*b^3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^6*(a + b*x)) - (2*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)) + (2*b^5*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^6*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(7//2), (2*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) - (10*b*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (20*b^2*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (20*b^3*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)) - (10*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^6*(a + b*x)) + (2*b^5*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^6*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(9//2), (2*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)) - (2*b*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (20*b^2*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (20*b^3*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (10*b^4*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)) + (2*b^5*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^6*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(11//2), (2*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(9//2)) - (10*b*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)) + (4*b^2*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) - (20*b^3*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (10*b^4*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (2*b^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(13//2), (2*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(11//2)) - (10*b*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(9//2)) + (20*b^2*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)) - (4*b^3*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (10*b^4*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (2*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(15//2), (2*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(13//2)) - (10*b*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(11//2)) + (20*b^2*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(9//2)) - (20*b^3*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)) + (2*b^4*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^6*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^(7//2)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*(b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(5*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2))/(7*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*(b*d - a*e)^(7//2)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^(5//2)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*(b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(5*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*(b*d - a*e)^(5//2)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 6),
+((d + e*x)^(3//2)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*(b*d - a*e)^(3//2)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 5),
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*sqrt(b*d - a*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+(1/(sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (-2*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(sqrt(b)*sqrt(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (2*(a + b*x))/((b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*sqrt(b)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/((b*d - a*e)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (2*(a + b*x))/(3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*b*(a + b*x))/((b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*b^(3//2)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/((b*d - a*e)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (2*(a + b*x))/(5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*b*(a + b*x))/(3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*b^2*(a + b*x))/((b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*b^(5//2)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/((b*d - a*e)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 6),
+
+
+((d + e*x)^(9//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (63*e^2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(4*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (21*e^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(4*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (63*e^2*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(20*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (9*e*(d + e*x)^(7//2))/(4*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (d + e*x)^(9//2)/(2*b*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (63*e^2*(b*d - a*e)^(5//2)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 8),
+((d + e*x)^(7//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (35*e^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(4*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (35*e^2*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(12*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (7*e*(d + e*x)^(5//2))/(4*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (d + e*x)^(7//2)/(2*b*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*e^2*(b*d - a*e)^(3//2)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^(5//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (15*e^2*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(4*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*e*(d + e*x)^(3//2))/(4*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (d + e*x)^(5//2)/(2*b*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (15*e^2*sqrt(b*d - a*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 6),
+((d + e*x)^(3//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (-3*e*sqrt(d + e*x))/(4*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (d + e*x)^(3//2)/(2*b*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*e^2*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(5//2)*sqrt(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 5),
+(sqrt(d + e*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -(e*sqrt(d + e*x))/(4*b*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - sqrt(d + e*x)/(2*b*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^2*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(3//2)*(b*d - a*e)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 5),
+(1/(sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), (3*e*sqrt(d + e*x))/(4*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - sqrt(d + e*x)/(2*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*e^2*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*sqrt(b)*(b*d - a*e)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), (5*e)/(4*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - 1/(2*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (15*e^2*(a + b*x))/(4*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (15*sqrt(b)*e^2*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*(b*d - a*e)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), (7*e)/(4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - 1/(2*(b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (35*e^2*(a + b*x))/(12*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (35*b*e^2*(a + b*x))/(4*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*b^(3//2)*e^2*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*(b*d - a*e)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+(1/((d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), (9*e)/(4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - 1/(2*(b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (63*e^2*(a + b*x))/(20*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (21*b*e^2*(a + b*x))/(4*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (63*b^2*e^2*(a + b*x))/(4*(b*d - a*e)^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (63*b^(5//2)*e^2*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*(b*d - a*e)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 8),
+
+
+((d + e*x)^(13//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (3003*e^4*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(64*b^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (1001*e^4*(b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(64*b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3003*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(320*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (429*e^3*(d + e*x)^(7//2))/(64*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (143*e^2*(d + e*x)^(9//2))/(96*b^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (13*e*(d + e*x)^(11//2))/(24*b^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (d + e*x)^(13//2)/(4*b*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3003*e^4*(b*d - a*e)^(5//2)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 10),
+((d + e*x)^(11//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (1155*e^4*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(64*b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (385*e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(64*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (231*e^3*(d + e*x)^(5//2))/(64*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (33*e^2*(d + e*x)^(7//2))/(32*b^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (11*e*(d + e*x)^(9//2))/(24*b^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (d + e*x)^(11//2)/(4*b*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (1155*e^4*(b*d - a*e)^(3//2)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 9),
+((d + e*x)^(9//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (315*e^4*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(64*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (105*e^3*(d + e*x)^(3//2))/(64*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (21*e^2*(d + e*x)^(5//2))/(32*b^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*e*(d + e*x)^(7//2))/(8*b^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (d + e*x)^(9//2)/(4*b*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (315*e^4*sqrt(b*d - a*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 8),
+((d + e*x)^(7//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (-35*e^3*sqrt(d + e*x))/(64*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*e^2*(d + e*x)^(3//2))/(96*b^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (7*e*(d + e*x)^(5//2))/(24*b^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (d + e*x)^(7//2)/(4*b*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*e^4*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(9//2)*sqrt(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^(5//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (-5*e^3*sqrt(d + e*x))/(64*b^3*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*e^2*sqrt(d + e*x))/(32*b^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*e*(d + e*x)^(3//2))/(24*b^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (d + e*x)^(5//2)/(4*b*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*e^4*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(7//2)*(b*d - a*e)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^(3//2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (3*e^3*sqrt(d + e*x))/(64*b^2*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e*sqrt(d + e*x))/(8*b^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e^2*sqrt(d + e*x))/(32*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (d + e*x)^(3//2)/(4*b*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*e^4*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(5//2)*(b*d - a*e)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+(sqrt(d + e*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (-5*e^3*sqrt(d + e*x))/(64*b*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - sqrt(d + e*x)/(4*b*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e*sqrt(d + e*x))/(24*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*e^2*sqrt(d + e*x))/(96*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*e^4*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(3//2)*(b*d - a*e)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+(1/(sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (35*e^3*sqrt(d + e*x))/(64*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - sqrt(d + e*x)/(4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (7*e*sqrt(d + e*x))/(24*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*e^2*sqrt(d + e*x))/(96*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*e^4*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*sqrt(b)*(b*d - a*e)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (105*e^3)/(64*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - 1/(4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*e)/(8*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (21*e^2)/(32*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (315*e^4*(a + b*x))/(64*(b*d - a*e)^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (315*sqrt(b)*e^4*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*(b*d - a*e)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 8),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (231*e^3)/(64*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - 1/(4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (11*e)/(24*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (33*e^2)/(32*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (385*e^4*(a + b*x))/(64*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (1155*b*e^4*(a + b*x))/(64*(b*d - a*e)^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (1155*b^(3//2)*e^4*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*(b*d - a*e)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 9),
+(1/((d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (429*e^3)/(64*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - 1/(4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (13*e)/(24*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (143*e^2)/(96*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3003*e^4*(a + b*x))/(320*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (1001*b*e^4*(a + b*x))/(64*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3003*b^2*e^4*(a + b*x))/(64*(b*d - a*e)^7*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3003*b^(5//2)*e^4*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*(b*d - a*e)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 10),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^p when m symbolic
+
+
+((d + e*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(1 + m))/(e^7*(1 + m)) - (6*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(2 + m))/(e^7*(2 + m)) + (15*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3 + m))/(e^7*(3 + m)) - (20*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(4 + m))/(e^7*(4 + m)) + (15*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5 + m))/(e^7*(5 + m)) - (6*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(6 + m))/(e^7*(6 + m)) + (b^6*(d + e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(1 + m))/(e^5*(1 + m)) - (4*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(2 + m))/(e^5*(2 + m)) + (6*b^2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3 + m))/(e^5*(3 + m)) - (4*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(4 + m))/(e^5*(4 + m)) + (b^4*(d + e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^1, ((b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(1 + m))/(e^3*(1 + m)) - (2*b*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^3*(2 + m)) + (b^2*(d + e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)), x, 3),
+((d + e*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^1, (e*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/((b*d - a*e)^2*(1 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (e^3*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, 1 + m, 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/((b*d - a*e)^4*(1 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (e^5*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(6, 1 + m, 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/((b*d - a*e)^6*(1 + m)), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -(((b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(1 + m)*(a + b*x))) + (5*b*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(2 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(2 + m)*(a + b*x)) - (10*b^2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(3 + m)*(a + b*x)) + (10*b^3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(4 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(4 + m)*(a + b*x)) - (5*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(5 + m)*(a + b*x)) + (b^5*(d + e*x)^(6 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(6 + m)*(a + b*x)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -(((b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(1 + m)*(a + b*x))) + (3*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(2 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(2 + m)*(a + b*x)) - (3*b^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(3 + m)*(a + b*x)) + (b^3*(d + e*x)^(4 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(4 + m)*(a + b*x)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(1//2), -(((b*d - a*e)*(d + e*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^2*(1 + m)*(a + b*x))) + (b*(d + e*x)^(2 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^2*(2 + m)*(a + b*x)), x, 3),
+((d + e*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(1//2), -(((a + b*x)*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/((b*d - a*e)*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))), x, 2),
+((d + e*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -((e^2*(a + b*x)*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + m, 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/((b*d - a*e)^3*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))), x, 2),
+((d + e*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -((e^4*(a + b*x)*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5, 1 + m, 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/((b*d - a*e)^5*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^p when p symbolic
+
+
+((d + e*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p, ((d + e*x)^(1 + m)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -2*p, 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/((-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e)))^(2*p)*(e*(1 + m))), x, 3),
+
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+((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p, ((b*d - a*e)^3*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(b^4*(1 + 2*p)) + (3*e*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(2*b^4*(1 + p)) + (3*e^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(b^4*(3 + 2*p)) + (e^3*(a + b*x)^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(2*b^4*(2 + p)), x, 3),
+((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p, ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(b^3*(1 + 2*p)) + (e*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(b^3*(1 + p)) + (e^2*(a + b*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(b^3*(3 + 2*p)), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p, ((b*d - a*e)*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(b^2*(1 + 2*p)) + (e*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(1 + p))/(2*b^2*(1 + p)), x, 2),
+((d + e*x)^0*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p, ((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(b*(1 + 2*p)), x, 1),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p/(d + e*x)^1, ((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + 2*p, 2*(1 + p), -((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))))/((b*d - a*e)*(1 + 2*p)), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p/(d + e*x)^2, (b*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + 2*p, 2*(1 + p), -((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))))/((b*d - a*e)^2*(1 + 2*p)), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p/(d + e*x)^3, (b^2*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + 2*p, 2*(1 + p), -((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))))/((b*d - a*e)^3*(1 + 2*p)), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p, (2*(d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -2*p, 7//2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/((-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e)))^(2*p)*(5*e)), x, 3),
+((d + e*x)^(1//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p, (2*(d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -2*p, 5//2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/((-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e)))^(2*p)*(3*e)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p/(d + e*x)^(1//2), (2*sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -2*p, 3//2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/((-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e)))^(2*p)*e), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p/(d + e*x)^(3//2), -((2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), -2*p, 1//2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/((-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e)))^(2*p)*(e*sqrt(d + e*x)))), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p/(d + e*x)^(5//2), -((2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), -2*p, -(1//2), (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/((-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e)))^(2*p)*(3*e*(d + e*x)^(3//2)))), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(p + 5), (1/(e^11*(1 + m)))*(((b*d - a*e)^10*(d + e*x)^(1 + m)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -2*(5 + p), 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/(-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e)))^(2*p)), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^(-3 - 2*p)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p, (b*(a + b*x)*(d + e*x)^(-1 - 2*p)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(2*(b*d - a*e)^2*(1 + p)*(1 + 2*p)) + ((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/((d + e*x)^(2*(1 + p))*(2*(b*d - a*e)*(1 + p))), x, 3),
+
+
+((d + e*x)*(9 + 12*x + 4*x^2)^p, ((2*d - 3*e)*(3 + 2*x)*(9 + 12*x + 4*x^2)^p)/(4*(1 + 2*p)) + (e*(9 + 12*x + 4*x^2)^(1 + p))/(8*(1 + p)), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p when c d^2-b d e+a e^2=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (a c+(b c+a d) x+b d x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*x)^3*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2), ((b*c - a*d)*(a + b*x)^5)/(5*b^2) + (d*(a + b*x)^6)/(6*b^2), x, 3),
+((a + b*x)^2*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2), ((b*c - a*d)*(a + b*x)^4)/(4*b^2) + (d*(a + b*x)^5)/(5*b^2), x, 3),
+((a + b*x)^1*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2), ((b*c - a*d)*(a + b*x)^3)/(3*b^2) + (d*(a + b*x)^4)/(4*b^2), x, 3),
+((a + b*x)^0*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2), a*c*x + (1//2)*(b*c + a*d)*x^2 + (1//3)*b*d*x^3, x, 1),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)/(a + b*x)^1, c*x + (d*x^2)/2, x, 2),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)/(a + b*x)^2, (d*x)/b + ((b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^2, x, 3),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)/(a + b*x)^3, -((b*c - a*d)/(b^2*(a + b*x))) + (d*log(a + b*x))/b^2, x, 3),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)/(a + b*x)^4, -((c + d*x)^2/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2)), x, 2),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)/(a + b*x)^5, -((b*c - a*d)/(3*b^2*(a + b*x)^3)) - d/(2*b^2*(a + b*x)^2), x, 3),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)/(a + b*x)^6, -((b*c - a*d)/(4*b^2*(a + b*x)^4)) - d/(3*b^2*(a + b*x)^3), x, 3),
+
+
+((a + b*x)^3*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2, ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^6)/(6*b^3) + (2*d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^7)/(7*b^3) + (d^2*(a + b*x)^8)/(8*b^3), x, 3),
+((a + b*x)^2*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2, ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^5)/(5*b^3) + (d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^6)/(3*b^3) + (d^2*(a + b*x)^7)/(7*b^3), x, 3),
+((a + b*x)^1*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2, ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^4)/(4*b^3) + (2*d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^5)/(5*b^3) + (d^2*(a + b*x)^6)/(6*b^3), x, 3),
+((a + b*x)^0*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2, ((b*c - a*d)^2*(c + d*x)^3)/(3*d^3) - (b*(b*c - a*d)*(c + d*x)^4)/(2*d^3) + (b^2*(c + d*x)^5)/(5*d^3), x, 3),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2/(a + b*x)^1, -(((b*c - a*d)*(c + d*x)^3)/(3*d^2)) + (b*(c + d*x)^4)/(4*d^2), x, 3),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2/(a + b*x)^2, (c + d*x)^3/(3*d), x, 2),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2/(a + b*x)^3, (d*(b*c - a*d)*x)/b^2 + (c + d*x)^2/(2*b) + ((b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/b^3, x, 3),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2/(a + b*x)^4, (d^2*x)/b^2 - (b*c - a*d)^2/(b^3*(a + b*x)) + (2*d*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^3, x, 3),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2/(a + b*x)^5, -((b*c - a*d)^2/(2*b^3*(a + b*x)^2)) - (2*d*(b*c - a*d))/(b^3*(a + b*x)) + (d^2*log(a + b*x))/b^3, x, 3),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2/(a + b*x)^6, -((c + d*x)^3/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^3)), x, 2),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2/(a + b*x)^7, -((b*c - a*d)^2/(4*b^3*(a + b*x)^4)) - (2*d*(b*c - a*d))/(3*b^3*(a + b*x)^3) - d^2/(2*b^3*(a + b*x)^2), x, 3),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2/(a + b*x)^8, -((b*c - a*d)^2/(5*b^3*(a + b*x)^5)) - (d*(b*c - a*d))/(2*b^3*(a + b*x)^4) - d^2/(3*b^3*(a + b*x)^3), x, 3),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2/(a + b*x)^9, -((b*c - a*d)^2/(6*b^3*(a + b*x)^6)) - (2*d*(b*c - a*d))/(5*b^3*(a + b*x)^5) - d^2/(4*b^3*(a + b*x)^4), x, 3),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2/(a + b*x)^10, -((b*c - a*d)^2/(7*b^3*(a + b*x)^7)) - (d*(b*c - a*d))/(3*b^3*(a + b*x)^6) - d^2/(5*b^3*(a + b*x)^5), x, 3),
+
+
+((a + b*x)^3*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3, ((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^7)/(7*b^4) + (3*d*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^8)/(8*b^4) + (d^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^9)/(3*b^4) + (d^3*(a + b*x)^10)/(10*b^4), x, 3),
+((a + b*x)^2*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3, ((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^6)/(6*b^4) + (3*d*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^7)/(7*b^4) + (3*d^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^8)/(8*b^4) + (d^3*(a + b*x)^9)/(9*b^4), x, 3),
+((a + b*x)^1*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3, ((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^5)/(5*b^4) + (d*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^6)/(2*b^4) + (3*d^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^7)/(7*b^4) + (d^3*(a + b*x)^8)/(8*b^4), x, 3),
+((a + b*x)^0*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3, -(((b*c - a*d)^3*(c + d*x)^4)/(4*d^4)) + (3*b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^5)/(5*d^4) - (b^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^6)/(2*d^4) + (b^3*(c + d*x)^7)/(7*d^4), x, 3),
+
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3/(a + b*x)^1, ((b*c - a*d)^2*(c + d*x)^4)/(4*d^3) - (2*b*(b*c - a*d)*(c + d*x)^5)/(5*d^3) + (b^2*(c + d*x)^6)/(6*d^3), x, 3),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3/(a + b*x)^2, -(((b*c - a*d)*(c + d*x)^4)/(4*d^2)) + (b*(c + d*x)^5)/(5*d^2), x, 3),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3/(a + b*x)^3, (c + d*x)^4/(4*d), x, 2),
+
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3/(a + b*x)^4, (d*(b*c - a*d)^2*x)/b^3 + ((b*c - a*d)*(c + d*x)^2)/(2*b^2) + (c + d*x)^3/(3*b) + ((b*c - a*d)^3*log(a + b*x))/b^4, x, 3),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3/(a + b*x)^5, (d^2*(3*b*c - 2*a*d)*x)/b^3 + (d^3*x^2)/(2*b^2) - (b*c - a*d)^3/(b^4*(a + b*x)) + (3*d*(b*c - a*d)^2*log(a + b*x))/b^4, x, 3),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3/(a + b*x)^6, (d^3*x)/b^3 - (b*c - a*d)^3/(2*b^4*(a + b*x)^2) - (3*d*(b*c - a*d)^2)/(b^4*(a + b*x)) + (3*d^2*(b*c - a*d)*log(a + b*x))/b^4, x, 3),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3/(a + b*x)^7, -((b*c - a*d)^3/(3*b^4*(a + b*x)^3)) - (3*d*(b*c - a*d)^2)/(2*b^4*(a + b*x)^2) - (3*d^2*(b*c - a*d))/(b^4*(a + b*x)) + (d^3*log(a + b*x))/b^4, x, 3),
+
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3/(a + b*x)^8, -((c + d*x)^4/(4*(b*c - a*d)*(a + b*x)^4)), x, 2),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3/(a + b*x)^9, -((c + d*x)^4/(5*(b*c - a*d)*(a + b*x)^5)) + (d*(c + d*x)^4)/(20*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^4), x, 3),
+
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3/(a + b*x)^10, -((b*c - a*d)^3/(6*b^4*(a + b*x)^6)) - (3*d*(b*c - a*d)^2)/(5*b^4*(a + b*x)^5) - (3*d^2*(b*c - a*d))/(4*b^4*(a + b*x)^4) - d^3/(3*b^4*(a + b*x)^3), x, 3),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3/(a + b*x)^11, -((b*c - a*d)^3/(7*b^4*(a + b*x)^7)) - (d*(b*c - a*d)^2)/(2*b^4*(a + b*x)^6) - (3*d^2*(b*c - a*d))/(5*b^4*(a + b*x)^5) - d^3/(4*b^4*(a + b*x)^4), x, 3),
+((a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3/(a + b*x)^12, -((b*c - a*d)^3/(8*b^4*(a + b*x)^8)) - (3*d*(b*c - a*d)^2)/(7*b^4*(a + b*x)^7) - (d^2*(b*c - a*d))/(2*b^4*(a + b*x)^6) - d^3/(5*b^4*(a + b*x)^5), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((a + b*x)^6/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2), (b*(b*c - a*d)^4*x)/d^5 - ((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2)/(2*d^4) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^3)/(3*d^3) - ((b*c - a*d)*(a + b*x)^4)/(4*d^2) + (a + b*x)^5/(5*d) - ((b*c - a*d)^5*log(c + d*x))/d^6, x, 3),
+((a + b*x)^5/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2), -((b*(b*c - a*d)^3*x)/d^4) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2)/(2*d^3) - ((b*c - a*d)*(a + b*x)^3)/(3*d^2) + (a + b*x)^4/(4*d) + ((b*c - a*d)^4*log(c + d*x))/d^5, x, 3),
+((a + b*x)^4/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2), (b*(b*c - a*d)^2*x)/d^3 - ((b*c - a*d)*(a + b*x)^2)/(2*d^2) + (a + b*x)^3/(3*d) - ((b*c - a*d)^3*log(c + d*x))/d^4, x, 3),
+((a + b*x)^3/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2), -((b*(b*c - a*d)*x)/d^2) + (a + b*x)^2/(2*d) + ((b*c - a*d)^2*log(c + d*x))/d^3, x, 3),
+((a + b*x)^2/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2), (b*x)/d - ((b*c - a*d)*log(c + d*x))/d^2, x, 3),
+((a + b*x)^1/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2), log(c + d*x)/d, x, 2),
+((a + b*x)^0/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2), log(a + b*x)/(b*c - a*d) - log(c + d*x)/(b*c - a*d), x, 3),
+(1/((a + b*x)^1*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)), -(1/((b*c - a*d)*(a + b*x))) - (d*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^2 + (d*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^2, x, 3),
+(1/((a + b*x)^2*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)), -(1/(2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2)) + d/((b*c - a*d)^2*(a + b*x)) + (d^2*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^3 - (d^2*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^3, x, 3),
+(1/((a + b*x)^3*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)), -(1/(3*(b*c - a*d)*(a + b*x)^3)) + d/(2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2) - d^2/((b*c - a*d)^3*(a + b*x)) - (d^3*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^4 + (d^3*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^4, x, 3),
+(1/((a + b*x)^4*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)), -(1/(4*(b*c - a*d)*(a + b*x)^4)) + d/(3*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^3) - d^2/(2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) + d^3/((b*c - a*d)^4*(a + b*x)) + (d^4*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^5 - (d^4*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^5, x, 3),
+
+
+((a + b*x)^6/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2, (6*b^2*(b*c - a*d)^2*x)/d^4 - (b*c - a*d)^4/(d^5*(c + d*x)) - (2*b^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2)/d^5 + (b^4*(c + d*x)^3)/(3*d^5) - (4*b*(b*c - a*d)^3*log(c + d*x))/d^5, x, 3),
+((a + b*x)^5/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2, -((b^2*(2*b*c - 3*a*d)*x)/d^3) + (b^3*x^2)/(2*d^2) + (b*c - a*d)^3/(d^4*(c + d*x)) + (3*b*(b*c - a*d)^2*log(c + d*x))/d^4, x, 3),
+((a + b*x)^4/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2, (b^2*x)/d^2 - (b*c - a*d)^2/(d^3*(c + d*x)) - (2*b*(b*c - a*d)*log(c + d*x))/d^3, x, 3),
+((a + b*x)^3/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2, (b*c - a*d)/(d^2*(c + d*x)) + (b*log(c + d*x))/d^2, x, 3),
+((a + b*x)^2/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2, -(1/(d*(c + d*x))), x, 2),
+((a + b*x)^1/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2, 1/((b*c - a*d)*(c + d*x)) + (b*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^2 - (b*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^2, x, 3),
+((a + b*x)^0/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2, -((b*c + a*d + 2*b*d*x)/((b*c - a*d)^2*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2))) - (2*b*d*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^3 + (2*b*d*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^3, x, 4),
+(1/((a + b*x)^1*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2), -(b/(2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2)) + (2*b*d)/((b*c - a*d)^3*(a + b*x)) + d^2/((b*c - a*d)^3*(c + d*x)) + (3*b*d^2*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^4 - (3*b*d^2*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^4, x, 3),
+
+
+((a + b*x)^8/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3, (10*b^3*(b*c - a*d)^2*x)/d^5 + (b*c - a*d)^5/(2*d^6*(c + d*x)^2) - (5*b*(b*c - a*d)^4)/(d^6*(c + d*x)) - (5*b^4*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2)/(2*d^6) + (b^5*(c + d*x)^3)/(3*d^6) - (10*b^2*(b*c - a*d)^3*log(c + d*x))/d^6, x, 3),
+((a + b*x)^7/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3, -((b^3*(3*b*c - 4*a*d)*x)/d^4) + (b^4*x^2)/(2*d^3) - (b*c - a*d)^4/(2*d^5*(c + d*x)^2) + (4*b*(b*c - a*d)^3)/(d^5*(c + d*x)) + (6*b^2*(b*c - a*d)^2*log(c + d*x))/d^5, x, 3),
+((a + b*x)^6/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3, (b^3*x)/d^3 + (b*c - a*d)^3/(2*d^4*(c + d*x)^2) - (3*b*(b*c - a*d)^2)/(d^4*(c + d*x)) - (3*b^2*(b*c - a*d)*log(c + d*x))/d^4, x, 3),
+((a + b*x)^5/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3, -((b*c - a*d)^2/(2*d^3*(c + d*x)^2)) + (2*b*(b*c - a*d))/(d^3*(c + d*x)) + (b^2*log(c + d*x))/d^3, x, 3),
+((a + b*x)^4/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3, (a + b*x)^2/(2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2), x, 2),
+((a + b*x)^3/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3, -(1/(2*d*(c + d*x)^2)), x, 2),
+((a + b*x)^2/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3, 1/(2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2) + b/((b*c - a*d)^2*(c + d*x)) + (b^2*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^3 - (b^2*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^3, x, 3),
+((a + b*x)^1/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3, -(b^2/((b*c - a*d)^3*(a + b*x))) - d/(2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2) - (2*b*d)/((b*c - a*d)^3*(c + d*x)) - (3*b^2*d*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^4 + (3*b^2*d*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^4, x, 3),
+((a + b*x)^0/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3, -((b*c + a*d + 2*b*d*x)/(2*(b*c - a*d)^2*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^2)) + (3*b*d*(b*c + a*d + 2*b*d*x))/((b*c - a*d)^4*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)) + (6*b^2*d^2*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^5 - (6*b^2*d^2*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^5, x, 5),
+(1/((a + b*x)^1*(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)^3), -(b^2/(3*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^3)) + (3*b^2*d)/(2*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^2) - (6*b^2*d^2)/((b*c - a*d)^5*(a + b*x)) - d^3/(2*(b*c - a*d)^4*(c + d*x)^2) - (4*b*d^3)/((b*c - a*d)^5*(c + d*x)) - (10*b^2*d^3*log(a + b*x))/(b*c - a*d)^6 + (10*b^2*d^3*log(c + d*x))/(b*c - a*d)^6, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a d e+(c d^2+a e^2)x+c d e x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), (1//6)*(a - (c*d^2)/e^2)*(d + e*x)^6 + (c*d*(d + e*x)^7)/(7*e^2), x, 3),
+((d + e*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), (1//5)*(a - (c*d^2)/e^2)*(d + e*x)^5 + (c*d*(d + e*x)^6)/(6*e^2), x, 3),
+((d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), (1//4)*(a - (c*d^2)/e^2)*(d + e*x)^4 + (c*d*(d + e*x)^5)/(5*e^2), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), (1//3)*(a - (c*d^2)/e^2)*(d + e*x)^3 + (c*d*(d + e*x)^4)/(4*e^2), x, 3),
+((d + e*x)^0*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), a*d*e*x + (1//2)*(c*d^2 + a*e^2)*x^2 + (1//3)*c*d*e*x^3, x, 1),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(d + e*x)^1, a*e*x + (1//2)*c*d*x^2, x, 2),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(d + e*x)^2, (c*d*x)/e + (a - (c*d^2)/e^2)*log(d + e*x), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(d + e*x)^3, -((a - (c*d^2)/e^2)/(d + e*x)) + (c*d*log(d + e*x))/e^2, x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(d + e*x)^4, (a*e + c*d*x)^2/(2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^2), x, 2),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(d + e*x)^5, -((a - (c*d^2)/e^2)/(3*(d + e*x)^3)) - (c*d)/(2*e^2*(d + e*x)^2), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(d + e*x)^6, -((a - (c*d^2)/e^2)/(4*(d + e*x)^4)) - (c*d)/(3*e^2*(d + e*x)^3), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, ((c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^5)/(5*e^3) - (c*d*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^6)/(3*e^3) + (c^2*d^2*(d + e*x)^7)/(7*e^3), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, ((c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^4)/(4*e^3) - (2*c*d*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^5)/(5*e^3) + (c^2*d^2*(d + e*x)^6)/(6*e^3), x, 3),
+((d + e*x)^0*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, ((c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^3)/(3*e^3) - (c*d*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^4)/(2*e^3) + (c^2*d^2*(d + e*x)^5)/(5*e^3), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2/(d + e*x)^1, ((c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x)^3)/(3*c^2*d^2) + (e*(a*e + c*d*x)^4)/(4*c^2*d^2), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2/(d + e*x)^2, (a*e + c*d*x)^3/(3*c*d), x, 2),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2/(d + e*x)^3, -((c*d*(c*d^2 - a*e^2)*x)/e^2) + (a*e + c*d*x)^2/(2*e) + ((c*d^2 - a*e^2)^2*log(d + e*x))/e^3, x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2/(d + e*x)^4, (c^2*d^2*x)/e^2 - (c*d^2 - a*e^2)^2/(e^3*(d + e*x)) - (2*c*d*(c*d^2 - a*e^2)*log(d + e*x))/e^3, x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2/(d + e*x)^5, -((c*d^2 - a*e^2)^2/(2*e^3*(d + e*x)^2)) + (2*c*d*(c*d^2 - a*e^2))/(e^3*(d + e*x)) + (c^2*d^2*log(d + e*x))/e^3, x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2/(d + e*x)^6, (a*e + c*d*x)^3/(3*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^3), x, 2),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2/(d + e*x)^7, -((c*d^2 - a*e^2)^2/(4*e^3*(d + e*x)^4)) + (2*c*d*(c*d^2 - a*e^2))/(3*e^3*(d + e*x)^3) - (c^2*d^2)/(2*e^3*(d + e*x)^2), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2/(d + e*x)^8, -((c*d^2 - a*e^2)^2/(5*e^3*(d + e*x)^5)) + (c*d*(c*d^2 - a*e^2))/(2*e^3*(d + e*x)^4) - (c^2*d^2)/(3*e^3*(d + e*x)^3), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2/(d + e*x)^9, -((c*d^2 - a*e^2)^2/(6*e^3*(d + e*x)^6)) + (2*c*d*(c*d^2 - a*e^2))/(5*e^3*(d + e*x)^5) - (c^2*d^2)/(4*e^3*(d + e*x)^4), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, -(((c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^6)/(6*e^4)) + (3*c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^7)/(7*e^4) - (3*c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^8)/(8*e^4) + (c^3*d^3*(d + e*x)^9)/(9*e^4), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, -(((c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^5)/(5*e^4)) + (c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^6)/(2*e^4) - (3*c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^7)/(7*e^4) + (c^3*d^3*(d + e*x)^8)/(8*e^4), x, 3),
+((d + e*x)^0*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, -(((c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^4)/(4*e^4)) + (3*c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^5)/(5*e^4) - (c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^6)/(2*e^4) + (c^3*d^3*(d + e*x)^7)/(7*e^4), x, 3),
+
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3/(d + e*x)^1, ((c*d^2 - a*e^2)^2*(a*e + c*d*x)^4)/(4*c^3*d^3) + (2*e*(c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x)^5)/(5*c^3*d^3) + (e^2*(a*e + c*d*x)^6)/(6*c^3*d^3), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3/(d + e*x)^2, ((c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x)^4)/(4*c^2*d^2) + (e*(a*e + c*d*x)^5)/(5*c^2*d^2), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3/(d + e*x)^3, (a*e + c*d*x)^4/(4*c*d), x, 2),
+
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3/(d + e*x)^4, (c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2*x)/e^3 + (1//2)*(a - (c*d^2)/e^2)*(a*e + c*d*x)^2 + (a*e + c*d*x)^3/(3*e) - ((c*d^2 - a*e^2)^3*log(d + e*x))/e^4, x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3/(d + e*x)^5, -((c^2*d^2*(2*c*d^2 - 3*a*e^2)*x)/e^3) + (c^3*d^3*x^2)/(2*e^2) + (c*d^2 - a*e^2)^3/(e^4*(d + e*x)) + (3*c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2*log(d + e*x))/e^4, x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3/(d + e*x)^6, (c^3*d^3*x)/e^3 + (c*d^2 - a*e^2)^3/(2*e^4*(d + e*x)^2) - (3*c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2)/(e^4*(d + e*x)) - (3*c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2)*log(d + e*x))/e^4, x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3/(d + e*x)^7, (c*d^2 - a*e^2)^3/(3*e^4*(d + e*x)^3) - (3*c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2)/(2*e^4*(d + e*x)^2) + (3*c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2))/(e^4*(d + e*x)) + (c^3*d^3*log(d + e*x))/e^4, x, 3),
+
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3/(d + e*x)^8, (a*e + c*d*x)^4/(4*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^4), x, 2),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3/(d + e*x)^9, (a*e + c*d*x)^4/(5*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^5) + (c*d*(a*e + c*d*x)^4)/(20*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^4), x, 3),
+
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3/(d + e*x)^10, (c*d^2 - a*e^2)^3/(6*e^4*(d + e*x)^6) - (3*c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2)/(5*e^4*(d + e*x)^5) + (3*c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2))/(4*e^4*(d + e*x)^4) - (c^3*d^3)/(3*e^4*(d + e*x)^3), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3/(d + e*x)^11, (c*d^2 - a*e^2)^3/(7*e^4*(d + e*x)^7) - (c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2)/(2*e^4*(d + e*x)^6) + (3*c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2))/(5*e^4*(d + e*x)^5) - (c^3*d^3)/(4*e^4*(d + e*x)^4), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^5/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), (e*(c*d^2 - a*e^2)^3*x)/(c^4*d^4) + ((c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^2)/(2*c^3*d^3) + ((c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^3)/(3*c^2*d^2) + (d + e*x)^4/(4*c*d) + ((c*d^2 - a*e^2)^4*log(a*e + c*d*x))/(c^5*d^5), x, 3),
+((d + e*x)^4/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), (e*(c*d^2 - a*e^2)^2*x)/(c^3*d^3) + ((c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^2)/(2*c^2*d^2) + (d + e*x)^3/(3*c*d) + ((c*d^2 - a*e^2)^3*log(a*e + c*d*x))/(c^4*d^4), x, 3),
+((d + e*x)^3/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), (e*(c*d^2 - a*e^2)*x)/(c^2*d^2) + (d + e*x)^2/(2*c*d) + ((c*d^2 - a*e^2)^2*log(a*e + c*d*x))/(c^3*d^3), x, 3),
+((d + e*x)^2/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), (e*x)/(c*d) + ((c*d^2 - a*e^2)*log(a*e + c*d*x))/(c^2*d^2), x, 3),
+((d + e*x)^1/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), log(a*e + c*d*x)/(c*d), x, 2),
+((d + e*x)^0/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), log(a*e + c*d*x)/(c*d^2 - a*e^2) - log(d + e*x)/(c*d^2 - a*e^2), x, 3),
+(1/((d + e*x)^1*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), 1/((c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)) + (c*d*log(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)^2 - (c*d*log(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)^2, x, 3),
+(1/((d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), 1/(2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^2) + (c*d)/((c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)) + (c^2*d^2*log(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)^3 - (c^2*d^2*log(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)^3, x, 3),
+(1/((d + e*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), 1/(3*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^3) + (c*d)/(2*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^2) + (c^2*d^2)/((c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)) + (c^3*d^3*log(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)^4 - (c^3*d^3*log(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)^4, x, 3),
+
+
+((d + e*x)^8/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, (15*e^2*(c*d^2 - a*e^2)^4*x)/(c^6*d^6) - (c*d^2 - a*e^2)^6/(c^7*d^7*(a*e + c*d*x)) + (10*e^3*(c*d^2 - a*e^2)^3*(a*e + c*d*x)^2)/(c^7*d^7) + (5*e^4*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*e + c*d*x)^3)/(c^7*d^7) + (3*e^5*(c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x)^4)/(2*c^7*d^7) + (e^6*(a*e + c*d*x)^5)/(5*c^7*d^7) + (6*e*(c*d^2 - a*e^2)^5*log(a*e + c*d*x))/(c^7*d^7), x, 3),
+((d + e*x)^7/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, (10*e^2*(c*d^2 - a*e^2)^3*x)/(c^5*d^5) - (c*d^2 - a*e^2)^5/(c^6*d^6*(a*e + c*d*x)) + (5*e^3*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*e + c*d*x)^2)/(c^6*d^6) + (5*e^4*(c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x)^3)/(3*c^6*d^6) + (e^5*(a*e + c*d*x)^4)/(4*c^6*d^6) + (5*e*(c*d^2 - a*e^2)^4*log(a*e + c*d*x))/(c^6*d^6), x, 3),
+((d + e*x)^6/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, (e^2*(6*c^2*d^4 - 8*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*x)/(c^4*d^4) + (e^3*(2*c*d^2 - a*e^2)*x^2)/(c^3*d^3) + (e^4*x^3)/(3*c^2*d^2) - (c*d^2 - a*e^2)^4/(c^5*d^5*(a*e + c*d*x)) + (4*e*(c*d^2 - a*e^2)^3*log(a*e + c*d*x))/(c^5*d^5), x, 3),
+((d + e*x)^5/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, (e^2*(3*c*d^2 - 2*a*e^2)*x)/(c^3*d^3) + (e^3*x^2)/(2*c^2*d^2) - (c*d^2 - a*e^2)^3/(c^4*d^4*(a*e + c*d*x)) + (3*e*(c*d^2 - a*e^2)^2*log(a*e + c*d*x))/(c^4*d^4), x, 3),
+((d + e*x)^4/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, (e^2*x)/(c^2*d^2) - (c*d^2 - a*e^2)^2/(c^3*d^3*(a*e + c*d*x)) + (2*e*(c*d^2 - a*e^2)*log(a*e + c*d*x))/(c^3*d^3), x, 3),
+((d + e*x)^3/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, -((c*d^2 - a*e^2)/(c^2*d^2*(a*e + c*d*x))) + (e*log(a*e + c*d*x))/(c^2*d^2), x, 3),
+((d + e*x)^2/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, -(1/(c*d*(a*e + c*d*x))), x, 2),
+((d + e*x)^1/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, -(1/((c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x))) - (e*log(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)^2 + (e*log(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)^2, x, 3),
+((d + e*x)^0/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, -((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/((c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) - (2*c*d*e*log(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)^3 + (2*c*d*e*log(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)^3, x, 4),
+(1/((d + e*x)^1*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2), -((c^2*d^2)/((c*d^2 - a*e^2)^3*(a*e + c*d*x))) - e/(2*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^2) - (2*c*d*e)/((c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)) - (3*c^2*d^2*e*log(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)^4 + (3*c^2*d^2*e*log(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)^4, x, 3),
+(1/((d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2), -((c^3*d^3)/((c*d^2 - a*e^2)^4*(a*e + c*d*x))) - e/(3*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^3) - (c*d*e)/((c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^2) - (3*c^2*d^2*e)/((c*d^2 - a*e^2)^4*(d + e*x)) - (4*c^3*d^3*e*log(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)^5 + (4*c^3*d^3*e*log(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)^5, x, 3),
+
+
+((d + e*x)^9/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, (20*e^3*(c*d^2 - a*e^2)^3*x)/(c^6*d^6) - (c*d^2 - a*e^2)^6/(2*c^7*d^7*(a*e + c*d*x)^2) - (6*e*(c*d^2 - a*e^2)^5)/(c^7*d^7*(a*e + c*d*x)) + (15*e^4*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*e + c*d*x)^2)/(2*c^7*d^7) + (2*e^5*(c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x)^3)/(c^7*d^7) + (e^6*(a*e + c*d*x)^4)/(4*c^7*d^7) + (15*e^2*(c*d^2 - a*e^2)^4*log(a*e + c*d*x))/(c^7*d^7), x, 3),
+((d + e*x)^8/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, (e^3*(10*c^2*d^4 - 15*a*c*d^2*e^2 + 6*a^2*e^4)*x)/(c^5*d^5) + (e^4*(5*c*d^2 - 3*a*e^2)*x^2)/(2*c^4*d^4) + (e^5*x^3)/(3*c^3*d^3) - (c*d^2 - a*e^2)^5/(2*c^6*d^6*(a*e + c*d*x)^2) - (5*e*(c*d^2 - a*e^2)^4)/(c^6*d^6*(a*e + c*d*x)) + (10*e^2*(c*d^2 - a*e^2)^3*log(a*e + c*d*x))/(c^6*d^6), x, 3),
+((d + e*x)^7/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, (e^3*(4*c*d^2 - 3*a*e^2)*x)/(c^4*d^4) + (e^4*x^2)/(2*c^3*d^3) - (c*d^2 - a*e^2)^4/(2*c^5*d^5*(a*e + c*d*x)^2) - (4*e*(c*d^2 - a*e^2)^3)/(c^5*d^5*(a*e + c*d*x)) + (6*e^2*(c*d^2 - a*e^2)^2*log(a*e + c*d*x))/(c^5*d^5), x, 3),
+((d + e*x)^6/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, (e^3*x)/(c^3*d^3) - (c*d^2 - a*e^2)^3/(2*c^4*d^4*(a*e + c*d*x)^2) - (3*e*(c*d^2 - a*e^2)^2)/(c^4*d^4*(a*e + c*d*x)) + (3*e^2*(c*d^2 - a*e^2)*log(a*e + c*d*x))/(c^4*d^4), x, 3),
+((d + e*x)^5/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, -((c*d^2 - a*e^2)^2/(2*c^3*d^3*(a*e + c*d*x)^2)) - (2*e*(c*d^2 - a*e^2))/(c^3*d^3*(a*e + c*d*x)) + (e^2*log(a*e + c*d*x))/(c^3*d^3), x, 3),
+((d + e*x)^4/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, -((d + e*x)^2/(2*(c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x)^2)), x, 2),
+((d + e*x)^3/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, -(1/(2*c*d*(a*e + c*d*x)^2)), x, 2),
+((d + e*x)^2/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, -(1/(2*(c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x)^2)) + e/((c*d^2 - a*e^2)^2*(a*e + c*d*x)) + (e^2*log(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)^3 - (e^2*log(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)^3, x, 3),
+((d + e*x)^1/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, -((c*d)/(2*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*e + c*d*x)^2)) + (2*c*d*e)/((c*d^2 - a*e^2)^3*(a*e + c*d*x)) + e^2/((c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)) + (3*c*d*e^2*log(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)^4 - (3*c*d*e^2*log(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)^4, x, 3),
+((d + e*x)^0/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, -((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2)) + (3*c*d*e*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/((c*d^2 - a*e^2)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (6*c^2*d^2*e^2*log(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)^5 - (6*c^2*d^2*e^2*log(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)^5, x, 5),
+(1/((d + e*x)^1*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3), -((c^3*d^3)/(2*(c*d^2 - a*e^2)^4*(a*e + c*d*x)^2)) + (4*c^3*d^3*e)/((c*d^2 - a*e^2)^5*(a*e + c*d*x)) + e^2/(3*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^3) + (3*c*d*e^2)/(2*(c*d^2 - a*e^2)^4*(d + e*x)^2) + (6*c^2*d^2*e^2)/((c*d^2 - a*e^2)^5*(d + e*x)) + (10*c^3*d^3*e^2*log(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)^6 - (10*c^3*d^3*e^2*log(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)^6, x, 3),
+
+
+((d + e*x)^10/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^4, (e^4*(15*c^2*d^4 - 24*a*c*d^2*e^2 + 10*a^2*e^4)*x)/(c^6*d^6) + (e^5*(3*c*d^2 - 2*a*e^2)*x^2)/(c^5*d^5) + (e^6*x^3)/(3*c^4*d^4) - (c*d^2 - a*e^2)^6/(3*c^7*d^7*(a*e + c*d*x)^3) - (3*e*(c*d^2 - a*e^2)^5)/(c^7*d^7*(a*e + c*d*x)^2) - (15*e^2*(c*d^2 - a*e^2)^4)/(c^7*d^7*(a*e + c*d*x)) + (20*e^3*(c*d^2 - a*e^2)^3*log(a*e + c*d*x))/(c^7*d^7), x, 3),
+((d + e*x)^9/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^4, (e^4*(5*c*d^2 - 4*a*e^2)*x)/(c^5*d^5) + (e^5*x^2)/(2*c^4*d^4) - (c*d^2 - a*e^2)^5/(3*c^6*d^6*(a*e + c*d*x)^3) - (5*e*(c*d^2 - a*e^2)^4)/(2*c^6*d^6*(a*e + c*d*x)^2) - (10*e^2*(c*d^2 - a*e^2)^3)/(c^6*d^6*(a*e + c*d*x)) + (10*e^3*(c*d^2 - a*e^2)^2*log(a*e + c*d*x))/(c^6*d^6), x, 3),
+((d + e*x)^8/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^4, (e^4*x)/(c^4*d^4) - (c*d^2 - a*e^2)^4/(3*c^5*d^5*(a*e + c*d*x)^3) - (2*e*(c*d^2 - a*e^2)^3)/(c^5*d^5*(a*e + c*d*x)^2) - (6*e^2*(c*d^2 - a*e^2)^2)/(c^5*d^5*(a*e + c*d*x)) + (4*e^3*(c*d^2 - a*e^2)*log(a*e + c*d*x))/(c^5*d^5), x, 3),
+((d + e*x)^7/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^4, -((c*d^2 - a*e^2)^3/(3*c^4*d^4*(a*e + c*d*x)^3)) - (3*e*(c*d^2 - a*e^2)^2)/(2*c^4*d^4*(a*e + c*d*x)^2) - (3*e^2*(c*d^2 - a*e^2))/(c^4*d^4*(a*e + c*d*x)) + (e^3*log(a*e + c*d*x))/(c^4*d^4), x, 3),
+((d + e*x)^6/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^4, -((d + e*x)^3/(3*(c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x)^3)), x, 2),
+((d + e*x)^5/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^4, -((c*d^2 - a*e^2)/(3*c^2*d^2*(a*e + c*d*x)^3)) - e/(2*c^2*d^2*(a*e + c*d*x)^2), x, 3),
+((d + e*x)^4/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^4, -(1/(3*c*d*(a*e + c*d*x)^3)), x, 2),
+((d + e*x)^3/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^4, -(1/(3*(c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x)^3)) + e/(2*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*e + c*d*x)^2) - e^2/((c*d^2 - a*e^2)^3*(a*e + c*d*x)) - (e^3*log(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)^4 + (e^3*log(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)^4, x, 3),
+((d + e*x)^2/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^4, -((c*d)/(3*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*e + c*d*x)^3)) + (c*d*e)/((c*d^2 - a*e^2)^3*(a*e + c*d*x)^2) - (3*c*d*e^2)/((c*d^2 - a*e^2)^4*(a*e + c*d*x)) - e^3/((c*d^2 - a*e^2)^4*(d + e*x)) - (4*c*d*e^3*log(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)^5 + (4*c*d*e^3*log(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)^5, x, 3),
+((d + e*x)^1/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^4, -((c^2*d^2)/(3*(c*d^2 - a*e^2)^3*(a*e + c*d*x)^3)) + (3*c^2*d^2*e)/(2*(c*d^2 - a*e^2)^4*(a*e + c*d*x)^2) - (6*c^2*d^2*e^2)/((c*d^2 - a*e^2)^5*(a*e + c*d*x)) - e^3/(2*(c*d^2 - a*e^2)^4*(d + e*x)^2) - (4*c*d*e^3)/((c*d^2 - a*e^2)^5*(d + e*x)) - (10*c^2*d^2*e^3*log(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)^6 + (10*c^2*d^2*e^3*log(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)^6, x, 3),
+((d + e*x)^0/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^4, -((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(3*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3)) + (5*c*d*e*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(3*(c*d^2 - a*e^2)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2) - (10*c^2*d^2*e^2*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/((c*d^2 - a*e^2)^6*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - (20*c^3*d^3*e^3*log(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)^7 + (20*c^3*d^3*e^3*log(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)^7, x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a d e+(c d^2+a e^2)x+c d e x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2), (21*(c*d^2 - a*e^2)^4*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(512*c^5*d^5*e) + (7*(c*d^2 - a*e^2)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(64*c^4*d^4) + (21*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(160*c^3*d^3) + (3*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(20*c^2*d^2) + ((d + e*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(6*c*d) - (21*(c*d^2 - a*e^2)^6*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(1024*c^(11//2)*d^(11//2)*e^(3//2)), x, 7),
+((d + e*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2), (7*(c*d^2 - a*e^2)^3*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(128*c^4*d^4*e) + (7*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(48*c^3*d^3) + (7*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(40*c^2*d^2) + ((d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(5*c*d) - (7*(c*d^2 - a*e^2)^5*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(256*c^(9//2)*d^(9//2)*e^(3//2)), x, 6),
+((d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2), (5*(c*d^2 - a*e^2)^2*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*c^3*d^3*e) + (5*(c*d^2 - a*e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(24*c^2*d^2) + ((d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(4*c*d) - (5*(c*d^2 - a*e^2)^4*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(128*c^(7//2)*d^(7//2)*e^(3//2)), x, 5),
+((d + e*x)^1*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2), ((c*d^2 - a*e^2)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*c^2*d^2*e) + (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(3*c*d) - ((c*d^2 - a*e^2)^3*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(16*c^(5//2)*d^(5//2)*e^(3//2)), x, 4),
+((d + e*x)^0*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2), ((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*c*d*e) - ((c*d^2 - a*e^2)^2*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(8*c^(3//2)*d^(3//2)*e^(3//2)), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)/(d + e*x)^1, sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/e - ((c*d^2 - a*e^2)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*e^(3//2)), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)/(d + e*x)^2, -((2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(e*(d + e*x))) + (sqrt(c)*sqrt(d)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/e^(3//2), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)/(d + e*x)^3, (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^3), x, 1),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)/(d + e*x)^4, (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(5*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^4) + (4*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(15*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^3), x, 2),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)/(d + e*x)^5, (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(7*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^5) + (8*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(35*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^4) + (16*c^2*d^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(105*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^3), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)/(d + e*x)^6, (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(9*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^6) + (4*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(21*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^5) + (16*c^2*d^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(105*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^4) + (32*c^3*d^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(315*(c*d^2 - a*e^2)^4*(d + e*x)^3), x, 4),
+
+
+((d + e*x)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2), -((99*(c*d^2 - a*e^2)^6*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(16384*c^6*d^6*e^2)) + (33*(c*d^2 - a*e^2)^4*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(2048*c^5*d^5*e) + (33*(c*d^2 - a*e^2)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(640*c^4*d^4) + (33*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(448*c^3*d^3) + (11*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(112*c^2*d^2) + ((d + e*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(8*c*d) + (99*(c*d^2 - a*e^2)^8*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(32768*c^(13//2)*d^(13//2)*e^(5//2)), x, 8),
+((d + e*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2), -((9*(c*d^2 - a*e^2)^5*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(1024*c^5*d^5*e^2)) + (3*(c*d^2 - a*e^2)^3*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(128*c^4*d^4*e) + (3*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(40*c^3*d^3) + (3*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(28*c^2*d^2) + ((d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(7*c*d) + (9*(c*d^2 - a*e^2)^7*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(2048*c^(11//2)*d^(11//2)*e^(5//2)), x, 7),
+((d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2), -((7*(c*d^2 - a*e^2)^4*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(512*c^4*d^4*e^2)) + (7*(c*d^2 - a*e^2)^2*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(192*c^3*d^3*e) + (7*(c*d^2 - a*e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(60*c^2*d^2) + ((d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(6*c*d) + (7*(c*d^2 - a*e^2)^6*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(1024*c^(9//2)*d^(9//2)*e^(5//2)), x, 6),
+((d + e*x)^1*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2), -((3*(c*d^2 - a*e^2)^3*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(128*c^3*d^3*e^2)) + ((c*d^2 - a*e^2)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(16*c^2*d^2*e) + (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(5*c*d) + (3*(c*d^2 - a*e^2)^5*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(256*c^(7//2)*d^(7//2)*e^(5//2)), x, 5),
+((d + e*x)^0*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2), -((3*(c*d^2 - a*e^2)^2*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*c^2*d^2*e^2)) + ((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(8*c*d*e) + (3*(c*d^2 - a*e^2)^4*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(128*c^(5//2)*d^(5//2)*e^(5//2)), x, 4),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^1, (1//8)*(a/(c*d) - d/e^2)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2) + (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(3*e) + ((c*d^2 - a*e^2)^3*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(16*c^(3//2)*d^(3//2)*e^(5//2)), x, 4),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^2, (3//4)*(a - (c*d^2)/e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2) + (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(2*e*(d + e*x)) + (3*(c*d^2 - a*e^2)^2*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(8*sqrt(c)*sqrt(d)*e^(5//2)), x, 4),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^3, (3*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/e^2 - (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(e*(d + e*x)^2) - (3*sqrt(c)*sqrt(d)*(c*d^2 - a*e^2)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(2*e^(5//2)), x, 4),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^4, -((2*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(e^2*(d + e*x))) - (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*e*(d + e*x)^3) + (c^(3//2)*d^(3//2)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/e^(5//2), x, 4),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^5, (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(5*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^5), x, 1),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^6, (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(7*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^6) + (4*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(35*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^5), x, 2),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^7, (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(9*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^7) + (8*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(63*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^6) + (16*c^2*d^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(315*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^5), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^8, (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(11*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^8) + (4*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(33*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^7) + (16*c^2*d^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(231*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^6) + (32*c^3*d^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(1155*(c*d^2 - a*e^2)^4*(d + e*x)^5), x, 4),
+
+
+((d + e*x)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), (143*(c*d^2 - a*e^2)^8*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(131072*c^7*d^7*e^3) - (143*(c*d^2 - a*e^2)^6*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(49152*c^6*d^6*e^2) + (143*(c*d^2 - a*e^2)^4*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(15360*c^5*d^5*e) + (143*(c*d^2 - a*e^2)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(4480*c^4*d^4) + (143*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(2880*c^3*d^3) + (13*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(180*c^2*d^2) + ((d + e*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(10*c*d) - (143*(c*d^2 - a*e^2)^10*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(262144*c^(15//2)*d^(15//2)*e^(7//2)), x, 9),
+((d + e*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), (55*(c*d^2 - a*e^2)^7*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(32768*c^6*d^6*e^3) - (55*(c*d^2 - a*e^2)^5*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(12288*c^5*d^5*e^2) + (11*(c*d^2 - a*e^2)^3*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(768*c^4*d^4*e) + (11*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(224*c^3*d^3) + (11*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(144*c^2*d^2) + ((d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(9*c*d) - (55*(c*d^2 - a*e^2)^9*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(65536*c^(13//2)*d^(13//2)*e^(7//2)), x, 8),
+((d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), (45*(c*d^2 - a*e^2)^6*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(16384*c^5*d^5*e^3) - (15*(c*d^2 - a*e^2)^4*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(2048*c^4*d^4*e^2) + (3*(c*d^2 - a*e^2)^2*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(128*c^3*d^3*e) + (9*(c*d^2 - a*e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(112*c^2*d^2) + ((d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(8*c*d) - (45*(c*d^2 - a*e^2)^8*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(32768*c^(11//2)*d^(11//2)*e^(7//2)), x, 7),
+((d + e*x)^1*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), (5*(c*d^2 - a*e^2)^5*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(1024*c^4*d^4*e^3) - (5*(c*d^2 - a*e^2)^3*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(384*c^3*d^3*e^2) + ((c*d^2 - a*e^2)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(24*c^2*d^2*e) + (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2)/(7*c*d) - (5*(c*d^2 - a*e^2)^7*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(2048*c^(9//2)*d^(9//2)*e^(7//2)), x, 6),
+((d + e*x)^0*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), (5*(c*d^2 - a*e^2)^4*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(512*c^3*d^3*e^3) - (5*(c*d^2 - a*e^2)^2*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(192*c^2*d^2*e^2) + ((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(12*c*d*e) - (5*(c*d^2 - a*e^2)^6*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(1024*c^(7//2)*d^(7//2)*e^(7//2)), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^1, (3*(c*d^2 - a*e^2)^3*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(128*c^2*d^2*e^3) + (1//16)*(a/(c*d) - d/e^2)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2) + (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(5*e) - (3*(c*d^2 - a*e^2)^5*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(256*c^(5//2)*d^(5//2)*e^(7//2)), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^2, (5*(c*d^2 - a*e^2)^2*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*c*d*e^3) + (5//24)*(a - (c*d^2)/e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2) + ((a*e + c*d*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(4*e) - (5*(c*d^2 - a*e^2)^4*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(128*c^(3//2)*d^(3//2)*e^(7//2)), x, 6),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^3, (5*(c*d^2 - a*e^2)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*e^3) - (5*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*e^2) + (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(e*(d + e*x)^2) - (5*(c*d^2 - a*e^2)^3*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(16*sqrt(c)*sqrt(d)*e^(7//2)), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^4, (15*c*d*(a - (c*d^2)/e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*e) + (5*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(2*e^2*(d + e*x)) - (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(e*(d + e*x)^3) + (15*sqrt(c)*sqrt(d)*(c*d^2 - a*e^2)^2*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(8*e^(7//2)), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^5, (5*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/e^3 - (10*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*e^2*(d + e*x)^2) - (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(3*e*(d + e*x)^4) - (5*c^(3//2)*d^(3//2)*(c*d^2 - a*e^2)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(2*e^(7//2)), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^6, -((2*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(e^3*(d + e*x))) - (2*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*e^2*(d + e*x)^3) - (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(5*e*(d + e*x)^5) + (c^(5//2)*d^(5//2)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/e^(7//2), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^7, (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(7*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^7), x, 1),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^8, (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(9*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^8) + (4*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(63*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^7), x, 2),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^9, (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(11*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^9) + (8*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(99*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^8) + (16*c^2*d^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(693*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^7), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^10, (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(13*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^10) + (12*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(143*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^9) + (16*c^2*d^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(429*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^8) + (32*c^3*d^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(3003*(c*d^2 - a*e^2)^4*(d + e*x)^7), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^3/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2), (5*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*c^3*d^3) + (5*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(12*c^2*d^2) + ((d + e*x)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*c*d) + (5*(c*d^2 - a*e^2)^3*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(16*c^(7//2)*d^(7//2)*sqrt(e)), x, 5),
+((d + e*x)^2/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2), (3*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*c^2*d^2) + ((d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(2*c*d) + (3*(c*d^2 - a*e^2)^2*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(8*c^(5//2)*d^(5//2)*sqrt(e)), x, 4),
+((d + e*x)^1/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2), sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(c*d) + ((c*d^2 - a*e^2)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(2*c^(3//2)*d^(3//2)*sqrt(e)), x, 3),
+((d + e*x)^0/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2), atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)), (2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/((c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)), x, 1),
+(1/((d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)), (2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^2) + (4*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)), (2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(5*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^3) + (8*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(15*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^2) + (16*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(15*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)), (2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(7*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^4) + (12*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(35*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^3) + (16*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(35*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^2) + (32*c^3*d^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(35*(c*d^2 - a*e^2)^4*(d + e*x)), x, 4),
+
+
+((d + e*x)^5/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x)^4)/(c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) + (35*e*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*c^4*d^4) + (35*e*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(12*c^3*d^3) + (7*e*(d + e*x)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*c^2*d^2) + (35*sqrt(e)*(c*d^2 - a*e^2)^3*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(16*c^(9//2)*d^(9//2)), x, 6),
+((d + e*x)^4/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x)^3)/(c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) + (15*e*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*c^3*d^3) + (5*e*(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(2*c^2*d^2) + (15*sqrt(e)*(c*d^2 - a*e^2)^2*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(8*c^(7//2)*d^(7//2)), x, 5),
+((d + e*x)^3/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x)^2)/(c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) + (3*e*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(c^2*d^2) + (3*sqrt(e)*(c*d^2 - a*e^2)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(2*c^(5//2)*d^(5//2)), x, 4),
+((d + e*x)^2/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x))/(c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) + (sqrt(e)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(c^(3//2)*d^(3//2)), x, 3),
+((d + e*x)^1/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x))/((c*d^2 - a*e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))), x, 1),
+((d + e*x)^0/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2), -((2*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/((c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))), x, 1),
+(1/((d + e*x)^1*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), 2/(3*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - (8*c*d*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(3*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), 2/(5*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (4*c*d)/(5*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - (16*c^2*d^2*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(5*(c*d^2 - a*e^2)^4*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), 2/(7*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (16*c*d)/(35*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (32*c^2*d^2)/(35*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - (128*c^3*d^3*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(35*(c*d^2 - a*e^2)^5*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), 2/(9*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^4*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (20*c*d)/(63*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (32*c^2*d^2)/(63*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (64*c^3*d^3)/(63*(c*d^2 - a*e^2)^4*(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - (256*c^4*d^4*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(63*(c*d^2 - a*e^2)^6*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 5),
+
+
+((d + e*x)^6/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^5)/(3*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) - (14*e*(d + e*x)^3)/(3*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (35*e^2*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*c^4*d^4) + (35*e^2*(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(6*c^3*d^3) + (35*e^(3//2)*(c*d^2 - a*e^2)^2*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(8*c^(9//2)*d^(9//2)), x, 6),
+((d + e*x)^5/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^4)/(3*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) - (10*e*(d + e*x)^2)/(3*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (5*e^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(c^3*d^3) + (5*e^(3//2)*(c*d^2 - a*e^2)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(2*c^(7//2)*d^(7//2)), x, 5),
+((d + e*x)^4/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^3)/(3*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) - (2*e*(d + e*x))/(c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (e^(3//2)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(c^(5//2)*d^(5//2)), x, 4),
+((d + e*x)^3/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^3)/(3*(c*d^2 - a*e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))), x, 1),
+((d + e*x)^2/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x))/(3*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) + (2*e*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(3*c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^1/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x))/(3*(c*d^2 - a*e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) + (8*e*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(3*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^0/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), -((2*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(3*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) + (16*c*d*e*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(3*(c*d^2 - a*e^2)^4*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)), 2/(5*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) - (16*c*d*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(15*(c*d^2 - a*e^2)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) + (128*c^2*d^2*e*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(15*(c*d^2 - a*e^2)^5*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)), 2/(7*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) + (4*c*d)/(7*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) - (32*c^2*d^2*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(21*(c*d^2 - a*e^2)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) + (256*c^3*d^3*e*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(21*(c*d^2 - a*e^2)^6*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)), 2/(9*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) + (8*c*d)/(21*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) + (16*c^2*d^2)/(21*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) - (128*c^3*d^3*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(63*(c*d^2 - a*e^2)^5*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) + (1024*c^4*d^4*e*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(63*(c*d^2 - a*e^2)^7*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a d e+(c d^2+a e^2)x+c d e x^2)^(p/3)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+# {(d + e*x)^3/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1/3), x, 0, 0}
+# {(d + e*x)^2/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1/3), x, 0, 0} *)
+((d + e*x)^1/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//3), (3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(2//3))/(4*c*d) + (3*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)^2)*sqrt((a*e^2 + c*d*(d + 2*e*x))^2))/(2*2^(1//3)*c^(5//3)*d^(5//3)*e^(2//3)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*((1 + sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(5//3)*sqrt((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)^2)*((c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))*sqrt(((c*d^2 - a*e^2)^(4//3) - 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*c^(2//3)*d^(2//3)*e^(2//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*2^(1//3)*c^(5//3)*d^(5//3)*e^(2//3)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(((c*d^2 - a*e^2)^(2//3)*((c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*e^2 + c*d*(d + 2*e*x))^2)) + (3^(3//4)*(c*d^2 - a*e^2)^(5//3)*sqrt((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)^2)*((c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))*sqrt(((c*d^2 - a*e^2)^(4//3) - 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*c^(2//3)*d^(2//3)*e^(2//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(2^(5//6)*c^(5//3)*d^(5//3)*e^(2//3)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(((c*d^2 - a*e^2)^(2//3)*((c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*e^2 + c*d*(d + 2*e*x))^2)), x, 5),
+((d + e*x)^0/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//3), (3*sqrt((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)^2)*sqrt((a*e^2 + c*d*(d + 2*e*x))^2))/(2^(1//3)*c^(2//3)*d^(2//3)*e^(2//3)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*((1 + sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3)*sqrt((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)^2)*((c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))*sqrt(((c*d^2 - a*e^2)^(4//3) - 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*c^(2//3)*d^(2//3)*e^(2//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*2^(1//3)*c^(2//3)*d^(2//3)*e^(2//3)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(((c*d^2 - a*e^2)^(2//3)*((c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*e^2 + c*d*(d + 2*e*x))^2)) + (2^(1//6)*3^(3//4)*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3)*sqrt((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)^2)*((c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))*sqrt(((c*d^2 - a*e^2)^(4//3) - 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3) + 2*2^(1//3)*c^(2//3)*d^(2//3)*e^(2//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(c^(2//3)*d^(2//3)*e^(2//3)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(((c*d^2 - a*e^2)^(2//3)*((c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*d^(1//3)*e^(1//3)*((a*e + c*d*x)*(d + e*x))^(1//3))^2)*sqrt((a*e^2 + c*d*(d + 2*e*x))^2)), x, 4),
+# {1/((d + e*x)^1*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1/3)), x, 0, 0}
+(1/((d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//3)), 0, x, 0),
+(1/((d + e*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//3)), 0, x, 0),
+# {1/((d + e*x)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1/3)), x, 0, 0} *)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (a d e+(c d^2+a e^2)x+c d e x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), (2//7)*(a - (c*d^2)/e^2)*(d + e*x)^(7//2) + (2*c*d*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^2), x, 3),
+((d + e*x)^(1//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), (2//5)*(a - (c*d^2)/e^2)*(d + e*x)^(5//2) + (2*c*d*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^2), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(d + e*x)^(1//2), (2//3)*(a - (c*d^2)/e^2)*(d + e*x)^(3//2) + (2*c*d*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^2), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(d + e*x)^(3//2), 2*(a - (c*d^2)/e^2)*sqrt(d + e*x) + (2*c*d*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^2), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(d + e*x)^(5//2), -((2*(a - (c*d^2)/e^2))/sqrt(d + e*x)) + (2*c*d*sqrt(d + e*x))/e^2, x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(d + e*x)^(7//2), -((2*(a - (c*d^2)/e^2))/(3*(d + e*x)^(3//2))) - (2*c*d)/(e^2*sqrt(d + e*x)), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(d + e*x)^(9//2), -((2*(a - (c*d^2)/e^2))/(5*(d + e*x)^(5//2))) - (2*c*d)/(3*e^2*(d + e*x)^(3//2)), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(d + e*x)^(11//2), -((2*(a - (c*d^2)/e^2))/(7*(d + e*x)^(7//2))) - (2*c*d)/(5*e^2*(d + e*x)^(5//2)), x, 3),
+
+
+(sqrt(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, (2*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^3) - (4*c*d*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^3) + (2*c^2*d^2*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^3), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2/sqrt(d + e*x), (2*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^3) - (4*c*d*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^3) + (2*c^2*d^2*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^3), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2/(d + e*x)^(3//2), (2*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^3) - (4*c*d*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^3) + (2*c^2*d^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^3), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2/(d + e*x)^(5//2), (2*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(d + e*x))/e^3 - (4*c*d*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^3) + (2*c^2*d^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^3), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2/(d + e*x)^(7//2), (-2*(c*d^2 - a*e^2)^2)/(e^3*sqrt(d + e*x)) - (4*c*d*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^3 + (2*c^2*d^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^3), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2/(d + e*x)^(9//2), (-2*(c*d^2 - a*e^2)^2)/(3*e^3*(d + e*x)^(3//2)) + (4*c*d*(c*d^2 - a*e^2))/(e^3*sqrt(d + e*x)) + (2*c^2*d^2*sqrt(d + e*x))/e^3, x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2/(d + e*x)^(11//2), (-2*(c*d^2 - a*e^2)^2)/(5*e^3*(d + e*x)^(5//2)) + (4*c*d*(c*d^2 - a*e^2))/(3*e^3*(d + e*x)^(3//2)) - (2*c^2*d^2)/(e^3*sqrt(d + e*x)), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2/(d + e*x)^(13//2), -((2*(c*d^2 - a*e^2)^2)/(7*e^3*(d + e*x)^(7//2))) + (4*c*d*(c*d^2 - a*e^2))/(5*e^3*(d + e*x)^(5//2)) - (2*c^2*d^2)/(3*e^3*(d + e*x)^(3//2)), x, 3),
+
+
+(sqrt(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, (-2*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4) + (6*c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^4) - (6*c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^4) + (2*c^3*d^3*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^4), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3/sqrt(d + e*x), (-2*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4) + (2*c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^4) - (6*c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^4) + (2*c^3*d^3*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^4), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3/(d + e*x)^(3//2), (-2*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4) + (6*c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4) - (2*c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^4) + (2*c^3*d^3*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^4), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3/(d + e*x)^(5//2), (-2*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4) + (6*c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4) - (6*c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4) + (2*c^3*d^3*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3/(d + e*x)^(7//2), (-2*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(d + e*x))/e^4 + (2*c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2))/e^4 - (6*c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4) + (2*c^3*d^3*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3/(d + e*x)^(9//2), (2*(c*d^2 - a*e^2)^3)/(e^4*sqrt(d + e*x)) + (6*c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(d + e*x))/e^4 - (2*c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/e^4 + (2*c^3*d^3*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3/(d + e*x)^(11//2), (2*(c*d^2 - a*e^2)^3)/(3*e^4*(d + e*x)^(3//2)) - (6*c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2)/(e^4*sqrt(d + e*x)) - (6*c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^4 + (2*c^3*d^3*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3/(d + e*x)^(13//2), (2*(c*d^2 - a*e^2)^3)/(5*e^4*(d + e*x)^(5//2)) - (2*c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2)/(e^4*(d + e*x)^(3//2)) + (6*c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2))/(e^4*sqrt(d + e*x)) + (2*c^3*d^3*sqrt(d + e*x))/e^4, x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^(9//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), (2*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(d + e*x))/(c^4*d^4) + (2*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*c^3*d^3) + (2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*c^2*d^2) + (2*(d + e*x)^(7//2))/(7*c*d) - (2*(c*d^2 - a*e^2)^(7//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(c^(9//2)*d^(9//2)), x, 7),
+((d + e*x)^(7//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), (2*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(d + e*x))/(c^3*d^3) + (2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*c^2*d^2) + (2*(d + e*x)^(5//2))/(5*c*d) - (2*(c*d^2 - a*e^2)^(5//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(c^(7//2)*d^(7//2)), x, 6),
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), (2*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))/(c^2*d^2) + (2*(d + e*x)^(3//2))/(3*c*d) - (2*(c*d^2 - a*e^2)^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(c^(5//2)*d^(5//2)), x, 5),
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), (2*sqrt(d + e*x))/(c*d) - (2*sqrt(c*d^2 - a*e^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(c^(3//2)*d^(3//2)), x, 4),
+((d + e*x)^(1//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), -((2*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(c*d^2 - a*e^2))), x, 3),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), 2/((c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(c)*sqrt(d)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(c*d^2 - a*e^2)^(3//2), x, 4),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), 2/(3*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)) + (2*c*d)/((c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) - (2*c^(3//2)*d^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(c*d^2 - a*e^2)^(5//2), x, 5),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), 2/(5*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(5//2)) + (2*c*d)/(3*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (2*c^2*d^2)/((c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(d + e*x)) - (2*c^(5//2)*d^(5//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(c*d^2 - a*e^2)^(7//2), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(7//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), 2/(7*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(7//2)) + (2*c*d)/(5*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(5//2)) + (2*c^2*d^2)/(3*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^(3//2)) + (2*c^3*d^3)/((c*d^2 - a*e^2)^4*sqrt(d + e*x)) - (2*c^(7//2)*d^(7//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(c*d^2 - a*e^2)^(9//2), x, 7),
+
+
+((d + e*x)^(13//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, (9*e*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(d + e*x))/(c^5*d^5) + (3*e*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2))/(c^4*d^4) + (9*e*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*c^3*d^3) + (9*e*(d + e*x)^(7//2))/(7*c^2*d^2) - (d + e*x)^(9//2)/(c*d*(a*e + c*d*x)) - (9*e*(c*d^2 - a*e^2)^(7//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(c^(11//2)*d^(11//2)), x, 8),
+((d + e*x)^(11//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, (7*e*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(d + e*x))/(c^4*d^4) + (7*e*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*c^3*d^3) + (7*e*(d + e*x)^(5//2))/(5*c^2*d^2) - (d + e*x)^(7//2)/(c*d*(a*e + c*d*x)) - (7*e*(c*d^2 - a*e^2)^(5//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(c^(9//2)*d^(9//2)), x, 7),
+((d + e*x)^(9//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, (5*e*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))/(c^3*d^3) + (5*e*(d + e*x)^(3//2))/(3*c^2*d^2) - (d + e*x)^(5//2)/(c*d*(a*e + c*d*x)) - (5*e*(c*d^2 - a*e^2)^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(c^(7//2)*d^(7//2)), x, 6),
+((d + e*x)^(7//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, (3*e*sqrt(d + e*x))/(c^2*d^2) - (d + e*x)^(3//2)/(c*d*(a*e + c*d*x)) - (3*e*sqrt(c*d^2 - a*e^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(c^(5//2)*d^(5//2)), x, 5),
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, -(sqrt(d + e*x)/(c*d*(a*e + c*d*x))) - (e*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(c^(3//2)*d^(3//2)*sqrt(c*d^2 - a*e^2)), x, 4),
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, -(sqrt(d + e*x)/((c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x))) + (e*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(sqrt(c)*sqrt(d)*(c*d^2 - a*e^2)^(3//2)), x, 4),
+((d + e*x)^(1//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, -((3*e)/((c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(d + e*x))) - 1/((c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)) + (3*sqrt(c)*sqrt(d)*e*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(c*d^2 - a*e^2)^(5//2), x, 5),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2), -((5*e)/(3*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2))) - 1/((c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (5*c*d*e)/((c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(d + e*x)) + (5*c^(3//2)*d^(3//2)*e*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(c*d^2 - a*e^2)^(7//2), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2), -((7*e)/(5*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(5//2))) - 1/((c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x)*(d + e*x)^(5//2)) - (7*c*d*e)/(3*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^(3//2)) - (7*c^2*d^2*e)/((c*d^2 - a*e^2)^4*sqrt(d + e*x)) + (7*c^(5//2)*d^(5//2)*e*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(c*d^2 - a*e^2)^(9//2), x, 7),
+
+
+((d + e*x)^(15//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, (63*e^2*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(d + e*x))/(4*c^5*d^5) + (21*e^2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(4*c^4*d^4) + (63*e^2*(d + e*x)^(5//2))/(20*c^3*d^3) - (9*e*(d + e*x)^(7//2))/(4*c^2*d^2*(a*e + c*d*x)) - (d + e*x)^(9//2)/(2*c*d*(a*e + c*d*x)^2) - (63*e^2*(c*d^2 - a*e^2)^(5//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(4*c^(11//2)*d^(11//2)), x, 8),
+((d + e*x)^(13//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, (35*e^2*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))/(4*c^4*d^4) + (35*e^2*(d + e*x)^(3//2))/(12*c^3*d^3) - (7*e*(d + e*x)^(5//2))/(4*c^2*d^2*(a*e + c*d*x)) - (d + e*x)^(7//2)/(2*c*d*(a*e + c*d*x)^2) - (35*e^2*(c*d^2 - a*e^2)^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(4*c^(9//2)*d^(9//2)), x, 7),
+((d + e*x)^(11//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, (15*e^2*sqrt(d + e*x))/(4*c^3*d^3) - (5*e*(d + e*x)^(3//2))/(4*c^2*d^2*(a*e + c*d*x)) - (d + e*x)^(5//2)/(2*c*d*(a*e + c*d*x)^2) - (15*e^2*sqrt(c*d^2 - a*e^2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(4*c^(7//2)*d^(7//2)), x, 6),
+((d + e*x)^(9//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, -((3*e*sqrt(d + e*x))/(4*c^2*d^2*(a*e + c*d*x))) - (d + e*x)^(3//2)/(2*c*d*(a*e + c*d*x)^2) - (3*e^2*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(4*c^(5//2)*d^(5//2)*sqrt(c*d^2 - a*e^2)), x, 5),
+((d + e*x)^(7//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, -(sqrt(d + e*x)/(2*c*d*(a*e + c*d*x)^2)) - (e*sqrt(d + e*x))/(4*c*d*(c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x)) + (e^2*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(4*c^(3//2)*d^(3//2)*(c*d^2 - a*e^2)^(3//2)), x, 5),
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, -(sqrt(d + e*x)/(2*(c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x)^2)) + (3*e*sqrt(d + e*x))/(4*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*e + c*d*x)) - (3*e^2*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(4*sqrt(c)*sqrt(d)*(c*d^2 - a*e^2)^(5//2)), x, 5),
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, (15*e^2)/(4*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(d + e*x)) - 1/(2*(c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x)^2*sqrt(d + e*x)) + (5*e)/(4*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)) - (15*sqrt(c)*sqrt(d)*e^2*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(4*(c*d^2 - a*e^2)^(7//2)), x, 6),
+((d + e*x)^(1//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, (35*e^2)/(12*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^(3//2)) - 1/(2*(c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (7*e)/(4*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*e + c*d*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (35*c*d*e^2)/(4*(c*d^2 - a*e^2)^4*sqrt(d + e*x)) - (35*c^(3//2)*d^(3//2)*e^2*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(4*(c*d^2 - a*e^2)^(9//2)), x, 7),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3), (63*e^2)/(20*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^(5//2)) - 1/(2*(c*d^2 - a*e^2)*(a*e + c*d*x)^2*(d + e*x)^(5//2)) + (9*e)/(4*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*e + c*d*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (21*c*d*e^2)/(4*(c*d^2 - a*e^2)^4*(d + e*x)^(3//2)) + (63*c^2*d^2*e^2)/(4*(c*d^2 - a*e^2)^5*sqrt(d + e*x)) - (63*c^(5//2)*d^(5//2)*e^2*atanh((sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d^2 - a*e^2)))/(4*(c*d^2 - a*e^2)^(11//2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (a d e+(c d^2+a e^2)x+c d e x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^(7//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2), (256*(c*d^2 - a*e^2)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3465*c^5*d^5*(d + e*x)^(3//2)) + (128*(c*d^2 - a*e^2)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(1155*c^4*d^4*sqrt(d + e*x)) + (32*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(231*c^3*d^3) + (16*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(99*c^2*d^2) + (2*(d + e*x)^(5//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(11*c*d), x, 5),
+((d + e*x)^(5//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2), (32*(c*d^2 - a*e^2)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(315*c^4*d^4*(d + e*x)^(3//2)) + (16*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(105*c^3*d^3*sqrt(d + e*x)) + (4*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(21*c^2*d^2) + (2*(d + e*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(9*c*d), x, 4),
+((d + e*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2), (16*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(105*c^3*d^3*(d + e*x)^(3//2)) + (8*(c*d^2 - a*e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(35*c^2*d^2*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(7*c*d), x, 3),
+((d + e*x)^(1//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2), (4*(c*d^2 - a*e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(15*c^2*d^2*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(5*c*d*sqrt(d + e*x)), x, 2),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)/(d + e*x)^(1//2), (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*c*d*(d + e*x)^(3//2)), x, 1),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)/(d + e*x)^(3//2), (2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(e*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(c*d^2 - a*e^2)*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/e^(3//2), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)/(d + e*x)^(5//2), -(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(e*(d + e*x)^(3//2))) + (c*d*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(e^(3//2)*sqrt(c*d^2 - a*e^2)), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)/(d + e*x)^(7//2), -(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(2*e*(d + e*x)^(5//2))) + (c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*e*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)) + (c^2*d^2*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(4*e^(3//2)*(c*d^2 - a*e^2)^(3//2)), x, 4),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)/(d + e*x)^(9//2), -(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(3*e*(d + e*x)^(7//2))) + (c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(12*e*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(5//2)) + (c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*e*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (c^3*d^3*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(8*e^(3//2)*(c*d^2 - a*e^2)^(5//2)), x, 5),
+
+
+((d + e*x)^(5//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2), (256*(c*d^2 - a*e^2)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(15015*c^5*d^5*(d + e*x)^(5//2)) + (128*(c*d^2 - a*e^2)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(3003*c^4*d^4*(d + e*x)^(3//2)) + (32*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(429*c^3*d^3*sqrt(d + e*x)) + (16*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(143*c^2*d^2) + (2*(d + e*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(13*c*d), x, 5),
+((d + e*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2), (32*(c*d^2 - a*e^2)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(1155*c^4*d^4*(d + e*x)^(5//2)) + (16*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(231*c^3*d^3*(d + e*x)^(3//2)) + (4*(c*d^2 - a*e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(33*c^2*d^2*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(11*c*d), x, 4),
+((d + e*x)^(1//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2), (16*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(315*c^3*d^3*(d + e*x)^(5//2)) + (8*(c*d^2 - a*e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(63*c^2*d^2*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(9*c*d*sqrt(d + e*x)), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(1//2), (4*(c*d^2 - a*e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(35*c^2*d^2*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(7*c*d*(d + e*x)^(3//2)), x, 2),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2), (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(5*c*d*(d + e*x)^(5//2)), x, 1),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(5//2), (2*(a - (c*d^2)/e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/sqrt(d + e*x) + (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*e*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(c*d^2 - a*e^2)^(3//2)*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/e^(5//2), x, 4),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(7//2), (3*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(e^2*sqrt(d + e*x)) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(e*(d + e*x)^(5//2)) - (3*c*d*sqrt(c*d^2 - a*e^2)*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/e^(5//2), x, 4),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(9//2), -((3*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*e^2*(d + e*x)^(3//2))) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(2*e*(d + e*x)^(7//2)) + (3*c^2*d^2*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(4*e^(5//2)*sqrt(c*d^2 - a*e^2)), x, 4),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(11//2), -((c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*e^2*(d + e*x)^(5//2))) + (c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*e^2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(3*e*(d + e*x)^(9//2)) + (c^3*d^3*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(8*e^(5//2)*(c*d^2 - a*e^2)^(3//2)), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(13//2), -((c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*e^2*(d + e*x)^(7//2))) + (c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(32*e^2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(5//2)) + (3*c^3*d^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*e^2*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2)) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(4*e*(d + e*x)^(11//2)) + (3*c^4*d^4*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(64*e^(5//2)*(c*d^2 - a*e^2)^(5//2)), x, 6),
+
+
+((d + e*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), (256*(c*d^2 - a*e^2)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(45045*c^5*d^5*(d + e*x)^(7//2)) + (128*(c*d^2 - a*e^2)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(6435*c^4*d^4*(d + e*x)^(5//2)) + (32*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(715*c^3*d^3*(d + e*x)^(3//2)) + (16*(c*d^2 - a*e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(195*c^2*d^2*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(15*c*d), x, 5),
+((d + e*x)^(1//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), (32*(c*d^2 - a*e^2)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(3003*c^4*d^4*(d + e*x)^(7//2)) + (16*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(429*c^3*d^3*(d + e*x)^(5//2)) + (12*(c*d^2 - a*e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(143*c^2*d^2*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(13*c*d*sqrt(d + e*x)), x, 4),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(1//2), (16*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(693*c^3*d^3*(d + e*x)^(7//2)) + (8*(c*d^2 - a*e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(99*c^2*d^2*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(11*c*d*(d + e*x)^(3//2)), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(3//2), (4*(c*d^2 - a*e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(63*c^2*d^2*(d + e*x)^(7//2)) + (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(9*c*d*(d + e*x)^(5//2)), x, 2),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2), (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(7*c*d*(d + e*x)^(7//2)), x, 1),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(7//2), (2*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(e^3*sqrt(d + e*x)) + (2*(a - (c*d^2)/e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(5*e*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(c*d^2 - a*e^2)^(5//2)*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/e^(7//2), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(9//2), (5*c*d*(a - (c*d^2)/e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(e*sqrt(d + e*x)) + (5*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(e*(d + e*x)^(7//2)) + (5*c*d*(c*d^2 - a*e^2)^(3//2)*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/e^(7//2), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(11//2), (15*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*e^3*sqrt(d + e*x)) - (5*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(4*e^2*(d + e*x)^(5//2)) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(2*e*(d + e*x)^(9//2)) - (15*c^2*d^2*sqrt(c*d^2 - a*e^2)*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(4*e^(7//2)), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(13//2), -((5*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*e^3*(d + e*x)^(3//2))) - (5*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(12*e^2*(d + e*x)^(7//2)) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(3*e*(d + e*x)^(11//2)) + (5*c^3*d^3*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(8*e^(7//2)*sqrt(c*d^2 - a*e^2)), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(15//2), -((5*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(32*e^3*(d + e*x)^(5//2))) + (5*c^3*d^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*e^3*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)) - (5*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(24*e^2*(d + e*x)^(9//2)) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(4*e*(d + e*x)^(13//2)) + (5*c^4*d^4*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(64*e^(7//2)*(c*d^2 - a*e^2)^(3//2)), x, 6),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(17//2), -((c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(16*e^3*(d + e*x)^(7//2))) + (c^3*d^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*e^3*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(5//2)) + (3*c^4*d^4*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(128*e^3*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2)) - (c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(8*e^2*(d + e*x)^(11//2)) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(5*e*(d + e*x)^(15//2)) + (3*c^5*d^5*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(128*e^(7//2)*(c*d^2 - a*e^2)^(5//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^(7//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2), (32*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(35*c^4*d^4*sqrt(d + e*x)) + (16*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(35*c^3*d^3) + (12*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(35*c^2*d^2) + (2*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(7*c*d), x, 4),
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2), (16*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(15*c^3*d^3*sqrt(d + e*x)) + (8*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(15*c^2*d^2) + (2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(5*c*d), x, 3),
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2), (4*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*c^2*d^2*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*c*d), x, 2),
+((d + e*x)^(1//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2), (2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(c*d*sqrt(d + e*x)), x, 1),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)), (2*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(sqrt(e)*sqrt(c*d^2 - a*e^2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)), sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/((c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)) + (c*d*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(sqrt(e)*(c*d^2 - a*e^2)^(3//2)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)), sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(5//2)) + (3*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (3*c^2*d^2*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(4*sqrt(e)*(c*d^2 - a*e^2)^(5//2)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^(7//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1//2)), sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(3*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(7//2)) + (5*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(12*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(5//2)) + (5*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^(3//2)) + (5*c^3*d^3*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(8*sqrt(e)*(c*d^2 - a*e^2)^(7//2)), x, 5),
+
+
+((d + e*x)^(7//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2), -((16*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(d + e*x))/(3*c^3*d^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) + (8*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (2*(d + e*x)^(5//2))/(3*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2), -((4*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))/(c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) + (2*(d + e*x)^(3//2))/(c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2), -((2*sqrt(d + e*x))/(c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))), x, 1),
+((d + e*x)^(1//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2), -((2*sqrt(d + e*x))/((c*d^2 - a*e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) - (2*sqrt(e)*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(c*d^2 - a*e^2)^(3//2), x, 3),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), 1/((c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - (3*c*d*sqrt(d + e*x))/((c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - (3*c*d*sqrt(e)*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(c*d^2 - a*e^2)^(5//2), x, 4),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), 1/(2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (5*c*d)/(4*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - (15*c^2*d^2*sqrt(d + e*x))/(4*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - (15*c^2*d^2*sqrt(e)*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(4*(c*d^2 - a*e^2)^(7//2)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), 1/(3*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (7*c*d)/(12*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (35*c^2*d^2)/(24*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - (35*c^3*d^3*sqrt(d + e*x))/(8*(c*d^2 - a*e^2)^4*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - (35*c^3*d^3*sqrt(e)*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(8*(c*d^2 - a*e^2)^(9//2)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(7//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), 1/(4*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (3*c*d)/(8*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (21*c^2*d^2)/(32*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (105*c^3*d^3)/(64*(c*d^2 - a*e^2)^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - (315*c^4*d^4*sqrt(d + e*x))/(64*(c*d^2 - a*e^2)^5*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - (315*c^4*d^4*sqrt(e)*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(64*(c*d^2 - a*e^2)^(11//2)), x, 7),
+
+
+((d + e*x)^(7//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), (4*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*c^2*d^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) - (2*(d + e*x)^(5//2))/(c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), x, 2),
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^(3//2))/(3*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))), x, 1),
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), -((2*sqrt(d + e*x))/(3*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) - (2*e)/(3*c*d*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (2*e*sqrt(d + e*x))/((c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (2*e^(3//2)*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(c*d^2 - a*e^2)^(5//2), x, 5),
+((d + e*x)^(1//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), -((2*sqrt(d + e*x))/(3*(c*d^2 - a*e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) - (5*e)/(3*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (5*c*d*e*sqrt(d + e*x))/((c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (5*c*d*e^(3//2)*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(c*d^2 - a*e^2)^(7//2), x, 5),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)), 1/(2*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) - (7*c*d*sqrt(d + e*x))/(6*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) - (35*c*d*e)/(12*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (35*c^2*d^2*e*sqrt(d + e*x))/(4*(c*d^2 - a*e^2)^4*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (35*c^2*d^2*e^(3//2)*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(4*(c*d^2 - a*e^2)^(9//2)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)), 1/(3*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) + (3*c*d)/(4*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) - (7*c^2*d^2*sqrt(d + e*x))/(4*(c*d^2 - a*e^2)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) - (35*c^2*d^2*e)/(8*(c*d^2 - a*e^2)^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (105*c^3*d^3*e*sqrt(d + e*x))/(8*(c*d^2 - a*e^2)^5*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (105*c^3*d^3*e^(3//2)*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(8*(c*d^2 - a*e^2)^(11//2)), x, 7),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)), 1/(4*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(5//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) + (11*c*d)/(24*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) + (33*c^2*d^2)/(32*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) - (77*c^3*d^3*sqrt(d + e*x))/(32*(c*d^2 - a*e^2)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) - (385*c^3*d^3*e)/(64*(c*d^2 - a*e^2)^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (1155*c^4*d^4*e*sqrt(d + e*x))/(64*(c*d^2 - a*e^2)^6*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (1155*c^4*d^4*e^(3//2)*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(64*(c*d^2 - a*e^2)^(13//2)), x, 8),
+(1/((d + e*x)^(7//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)), 1/(5*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(7//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) + (13*c*d)/(40*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(5//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) + (143*c^2*d^2)/(240*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) + (429*c^3*d^3)/(320*(c*d^2 - a*e^2)^4*sqrt(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) - (1001*c^4*d^4*sqrt(d + e*x))/(320*(c*d^2 - a*e^2)^5*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) - (1001*c^4*d^4*e)/(128*(c*d^2 - a*e^2)^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (3003*c^5*d^5*e*sqrt(d + e*x))/(128*(c*d^2 - a*e^2)^7*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (3003*c^5*d^5*e^(3//2)*atan((sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x))))/(128*(c*d^2 - a*e^2)^(15//2)), x, 9),
+
+
+(1/(sqrt(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -((sqrt(2)*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(sqrt(2)*sqrt(d)*sqrt(d + e*x))))/(sqrt(d)*e)), x, 2),
+(1/(sqrt(-d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), (sqrt(2)*atan(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(sqrt(2)*sqrt(d)*sqrt(-d + e*x))))/(sqrt(d)*e), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/3) (a d e+(c d^2+a e^2)x+c d e x^2)^(p/2)
+
+
+((d + e*x)^(2//3)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2), (3*(a*e + c*d*x)*(d + e*x)^(2//3))/(2*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (3^(3//4)*(c*d^2 - a*e^2)^(2//3)*sqrt(a*d*e + c*d^2*x)*(d + e*x)^(2//3)*((c*d^2 - a*e^2)^(1//3) - c^(1//3)*d^(2//3)*(1 + (e*x)/d)^(1//3))*sqrt(((c*d^2 - a*e^2)^(2//3) + c^(1//3)*d^(2//3)*(c*d^2 - a*e^2)^(1//3)*(1 + (e*x)/d)^(1//3) + c^(2//3)*d^(4//3)*(1 + (e*x)/d)^(2//3))/((c*d^2 - a*e^2)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*c^(1//3)*d^(2//3)*(1 + (e*x)/d)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos(((c*d^2 - a*e^2)^(1//3) - (1 - sqrt(3))*c^(1//3)*d^(2//3)*(1 + (e*x)/d)^(1//3))/((c*d^2 - a*e^2)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*c^(1//3)*d^(2//3)*(1 + (e*x)/d)^(1//3))), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(4*c*d*e*sqrt(d*(a*e + c*d*x))*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)*sqrt(-((c^(1//3)*d^(2//3)*(1 + (e*x)/d)^(1//3)*((c*d^2 - a*e^2)^(1//3) - c^(1//3)*d^(2//3)*(1 + (e*x)/d)^(1//3)))/((c*d^2 - a*e^2)^(1//3) - (1 + sqrt(3))*c^(1//3)*d^(2//3)*(1 + (e*x)/d)^(1//3))^2))), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a d e+(c d^2+a e^2)x+c d e x^2)^p when m symbolic
+
+
+((d + e*x)^m*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, -(((c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m))) + (3*c*d*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(5 + m))/(e^4*(5 + m)) - (3*c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(6 + m))/(e^4*(6 + m)) + (c^3*d^3*(d + e*x)^(7 + m))/(e^4*(7 + m)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, ((c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) - (2*c*d*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(4 + m))/(e^3*(4 + m)) + (c^2*d^2*(d + e*x)^(5 + m))/(e^3*(5 + m)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^1, -(((c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m))) + (c*d*(d + e*x)^(3 + m))/(e^2*(3 + m)), x, 3),
+((d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^1, -(((d + e*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, m, 1 + m, (c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)))/((c*d^2 - a*e^2)*m)), x, 2),
+((d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^2, -((e*(d + e*x)^(-1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, -1 + m, m, (c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)))/((c*d^2 - a*e^2)^2*(1 - m))), x, 2),
+((d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^3, (e^2*(d + e*x)^(-2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, -2 + m, -1 + m, (c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)))/((c*d^2 - a*e^2)^3*(2 - m)), x, 2),
+((d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^4, -((e^3*(d + e*x)^(-3 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, -3 + m, -2 + m, (c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)))/((c*d^2 - a*e^2)^4*(3 - m))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a d e+(c d^2+a e^2)x+c d e x^2)^p when p symbolic
+
+
+# {(d + e*x)^m*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p, x, 4, -(((a*e + c*d*x)*(d + e*x)^(1 + m)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1, 2 + m + 2*p, 2 + m + p, (c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)])/((c*d^2 - a*e^2)*(1 + m + p))), ((a*e + c*d*x)*(d + e*x)^m*((c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2))^(-m - p)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-m - p, 1 + p, 2 + p, -((e*(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2))])/(c*d*(1 + p))}
+
+
+# {(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p*(d + e*x)^3, x, 3, -((1/((c*d^2 - a*e^2)*(4 + p)))*((a*e + c*d*x)*(d + e*x)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1, 5 + 2*p, 5 + p, (c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)])), ((c*d^2 - a*e^2)^3*(a*e + c*d*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-3 - p, 1 + p, 2 + p, -((e*(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2))])/(((c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2))^p*(c^4*d^4*(1 + p)))}
+# {(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p*(d + e*x)^2, x, 3, -((1/((c*d^2 - a*e^2)*(3 + p)))*((a*e + c*d*x)*(d + e*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1, 2*(2 + p), 4 + p, (c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)])), ((c*d^2 - a*e^2)^2*(a*e + c*d*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-2 - p, 1 + p, 2 + p, -((e*(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2))])/(((c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2))^p*(c^3*d^3*(1 + p)))}
+# {(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p*(d + e*x)^1, x, 2, -((1/((c*d^2 - a*e^2)*(2 + p)))*((a*e + c*d*x)*(d + e*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1, 3 + 2*p, 3 + p, (c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)])), (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 + p)/(2*c*d*(1 + p)) - ((-((e*(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)))^(-1 - p)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-p, 1 + p, 2 + p, (c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)])/(2*c*d*(1 + p))}
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p*(d + e*x)^0, -(((-((e*(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)))^(-1 - p)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1 + p, 2 + p, (c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)))/((c*d^2 - a*e^2)*(1 + p))), x, 1),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p/(d + e*x)^1, ((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, p, 1 + p, (c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)))/((-((e*(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)))^p*(e*p)), x, 3),
+# {(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p/(d + e*x)^2, x, 3, ((a*e + c*d*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1, 2*p, p, (c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)])/((c*d^2 - a*e^2)*(1 - p)*(d + e*x)), (c*d*(a*e + c*d*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[2 - p, 1 + p, 2 + p, -((e*(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2))])/(((c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2))^p*((c*d^2 - a*e^2)^2*(1 + p)))}
+# {(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p/(d + e*x)^3, x, 3, ((a*e + c*d*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1, -1 + 2*p, -1 + p, (c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)])/((c*d^2 - a*e^2)*(2 - p)*(d + e*x)^2), (c^2*d^2*(a*e + c*d*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[3 - p, 1 + p, 2 + p, -((e*(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2))])/(((c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2))^p*((c*d^2 - a*e^2)^3*(1 + p)))}
+
+
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 0), (1/(c*d*(1 + p)))*(((a*e + c*d*x)*((c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2))^p*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(p, 1 + p, 2 + p, -((e*(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2))))/(d + e*x)^(2*p)), x, 4),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 1), -(((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, -p, 1 - p, (c*d*(d + e*x))/(c*d^2 - a*e^2)))/((-((e*(a*e + c*d*x))/(c*d^2 - a*e^2)))^p*(d + e*x)^(2*p)*(e*p))), x, 4),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 2), (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 + p)/((d + e*x)^(2*(1 + p))*((c*d^2 - a*e^2)*(1 + p))), x, 1),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 3), ((d + e*x)^(-3 - 2*p)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 + p))/((c*d^2 - a*e^2)*(2 + p)) + (c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 + p))/((d + e*x)^(2*(1 + p))*((c*d^2 - a*e^2)^2*(1 + p)*(2 + p))), x, 2),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 4), (2*c*d*(d + e*x)^(-3 - 2*p)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 + p))/((c*d^2 - a*e^2)^2*(2 + p)*(3 + p)) + (2*c^2*d^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 + p))/((d + e*x)^(2*(1 + p))*((c*d^2 - a*e^2)^3*(1 + p)*(2 + p)*(3 + p))) + (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 + p)/((d + e*x)^(2*(2 + p))*((c*d^2 - a*e^2)*(3 + p))), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 5), ((d + e*x)^(-5 - 2*p)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 + p))/((c*d^2 - a*e^2)*(4 + p)) + (6*c^2*d^2*(d + e*x)^(-3 - 2*p)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 + p))/((c*d^2 - a*e^2)^3*(2 + p)*(3 + p)*(4 + p)) + (6*c^3*d^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 + p))/((d + e*x)^(2*(1 + p))*((c*d^2 - a*e^2)^4*(1 + p)*(2 + p)*(3 + p)*(4 + p))) + (3*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 + p))/((d + e*x)^(2*(2 + p))*((c*d^2 - a*e^2)^2*(3 + p)*(4 + p))), x, 4),
+
+
+((d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m, ((d + e*x)^(-1 + m)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 - m))/(c*d*(1 - m)), x, 1),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^p/(d + e*x)^p, ((d + e*x)^(-1 - p)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 + p))/(c*d*(1 + p)), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^4*(a + b*x + c*x^2), ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^5)/(5*e^3) - ((2*c*d - b*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^3) + (c*(d + e*x)^7)/(7*e^3), x, 2),
+((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2), ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^4)/(4*e^3) - ((2*c*d - b*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^3) + (c*(d + e*x)^6)/(6*e^3), x, 2),
+((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2), ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^3)/(3*e^3) - ((2*c*d - b*e)*(d + e*x)^4)/(4*e^3) + (c*(d + e*x)^5)/(5*e^3), x, 2),
+((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2), a*d*x + (1//2)*(b*d + a*e)*x^2 + (1//3)*(c*d + b*e)*x^3 + (1//4)*c*e*x^4, x, 2),
+((d + e*x)^0*(a + b*x + c*x^2), a*x + (b*x^2)/2 + (c*x^3)/3, x, 1),
+
+((a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^1, -(((c*d - b*e)*x)/e^2) + (c*x^2)/(2*e) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*log(d + e*x))/e^3, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^2, (c*x)/e^2 - (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(e^3*(d + e*x)) - ((2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/e^3, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^3, -((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*e^3*(d + e*x)^2)) + (2*c*d - b*e)/(e^3*(d + e*x)) + (c*log(d + e*x))/e^3, x, 2),
+
+((a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^4, -((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(3*e^3*(d + e*x)^3)) + (2*c*d - b*e)/(2*e^3*(d + e*x)^2) - c/(e^3*(d + e*x)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^5, -((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(4*e^3*(d + e*x)^4)) + (2*c*d - b*e)/(3*e^3*(d + e*x)^3) - c/(2*e^3*(d + e*x)^2), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^6, -((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(5*e^3*(d + e*x)^5)) + (2*c*d - b*e)/(4*e^3*(d + e*x)^4) - c/(3*e^3*(d + e*x)^3), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^2, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^5)/(5*e^5) - ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^6)/(3*e^5) + ((6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*(d + e*x)^7)/(7*e^5) - (c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^8)/(4*e^5) + (c^2*(d + e*x)^9)/(9*e^5), x, 2),
+((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^2, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^4)/(4*e^5) - (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^5)/(5*e^5) + ((6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*(d + e*x)^6)/(6*e^5) - (2*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^5) + (c^2*(d + e*x)^8)/(8*e^5), x, 2),
+((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^2, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^3)/(3*e^5) - ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^4)/(2*e^5) + ((6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*(d + e*x)^5)/(5*e^5) - (c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^6)/(3*e^5) + (c^2*(d + e*x)^7)/(7*e^5), x, 2),
+
+((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^2, a^2*d*x + (a*(2*b*d + a*e)*x^2)/2 + ((b^2*d + 2*a*c*d + 2*a*b*e)*x^3)/3 + ((2*b*c*d + b^2*e + 2*a*c*e)*x^4)/4 + (c*(c*d + 2*b*e)*x^5)/5 + (c^2*e*x^6)/6, x, 2),
+((d + e*x)^0*(a + b*x + c*x^2)^2, a^2*x + a*b*x^2 + ((b^2 + 2*a*c)*x^3)/3 + (b*c*x^4)/2 + (c^2*x^5)/5, x, 2),
+
+((a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^1, -(((c*d - b*e)*(c*d^2 - e*(b*d - 2*a*e))*x)/e^4) + ((c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d - a*e))*x^2)/(2*e^3) - (c*(c*d - 2*b*e)*x^3)/(3*e^2) + (c^2*x^4)/(4*e) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^2, ((3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(2*b*d - a*e))*x)/e^4 - (c*(c*d - b*e)*x^2)/e^3 + (c^2*x^3)/(3*e^2) - (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2/(e^5*(d + e*x)) - (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^3, -((c*(3*c*d - 2*b*e)*x)/e^4) + (c^2*x^2)/(2*e^3) - (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2/(2*e^5*(d + e*x)^2) + (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(e^5*(d + e*x)) + ((6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^4, (c^2*x)/e^4 - (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2/(3*e^5*(d + e*x)^3) + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(e^5*(d + e*x)^2) - (6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))/(e^5*(d + e*x)) - (2*c*(2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^5, -((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2/(4*e^5*(d + e*x)^4)) + (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(3*e^5*(d + e*x)^3) - (6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))/(2*e^5*(d + e*x)^2) + (2*c*(2*c*d - b*e))/(e^5*(d + e*x)) + (c^2*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+
+((a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^6, -((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2/(5*e^5*(d + e*x)^5)) + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(2*e^5*(d + e*x)^4) - (6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))/(3*e^5*(d + e*x)^3) + (c*(2*c*d - b*e))/(e^5*(d + e*x)^2) - c^2/(e^5*(d + e*x)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^7, -((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2/(6*e^5*(d + e*x)^6)) + (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(5*e^5*(d + e*x)^5) - (6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))/(4*e^5*(d + e*x)^4) + (2*c*(2*c*d - b*e))/(3*e^5*(d + e*x)^3) - c^2/(2*e^5*(d + e*x)^2), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^8, -((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2/(7*e^5*(d + e*x)^7)) + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(3*e^5*(d + e*x)^6) - (6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))/(5*e^5*(d + e*x)^5) + (c*(2*c*d - b*e))/(2*e^5*(d + e*x)^4) - c^2/(3*e^5*(d + e*x)^3), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^3, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^5)/(5*e^7) - ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^6)/(2*e^7) + (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^7)/(7*e^7) - ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^8)/(8*e^7) + (c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^9)/(3*e^7) - (3*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^10)/(10*e^7) + (c^3*(d + e*x)^11)/(11*e^7), x, 2),
+((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^3, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^4)/(4*e^7) - (3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^5)/(5*e^7) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^6)/(2*e^7) - ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^7)/(7*e^7) + (3*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^8)/(8*e^7) - (c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^9)/(3*e^7) + (c^3*(d + e*x)^10)/(10*e^7), x, 2),
+((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^3, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^3)/(3*e^7) - (3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^4)/(4*e^7) + (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^5)/(5*e^7) - ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^6)/(6*e^7) + (3*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^7)/(7*e^7) - (3*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^8)/(8*e^7) + (c^3*(d + e*x)^9)/(9*e^7), x, 2),
+
+((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^3, a^3*d*x + (a^2*(3*b*d + a*e)*x^2)/2 + a*(b^2*d + a*c*d + a*b*e)*x^3 + ((b^3*d + 6*a*b*c*d + 3*a*b^2*e + 3*a^2*c*e)*x^4)/4 + ((3*b^2*c*d + 3*a*c^2*d + b^3*e + 6*a*b*c*e)*x^5)/5 + (c*(b*c*d + b^2*e + a*c*e)*x^6)/2 + (c^2*(c*d + 3*b*e)*x^7)/7 + (c^3*e*x^8)/8, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3, a^3*x + (3*a^2*b*x^2)/2 + a*(b^2 + a*c)*x^3 + (b*(b^2 + 6*a*c)*x^4)/4 + (3*c*(b^2 + a*c)*x^5)/5 + (b*c^2*x^6)/2 + (c^3*x^7)/7, x, 2),
+
+((a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^1, -((3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*x)/e^6) + (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^2)/(2*e^7) - ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^3)/(3*e^7) + (3*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^4)/(4*e^7) - (3*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^7) + (c^3*(d + e*x)^6)/(6*e^7) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^2, (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*x)/e^6 - (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3/(e^7*(d + e*x)) - ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^2)/(2*e^7) + (c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^3)/e^7 - (3*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^4)/(4*e^7) + (c^3*(d + e*x)^5)/(5*e^7) - (3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^3, -(((10*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(3*b*d - 2*a*e) - 9*c^2*d*e*(2*b*d - a*e))*x)/e^6) + (3*c*(2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d - a*e))*x^2)/(2*e^5) - (c^2*(c*d - b*e)*x^3)/e^4 + (c^3*x^4)/(4*e^3) - (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3/(2*e^7*(d + e*x)^2) + (3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(e^7*(d + e*x)) + (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^4, (c*(10*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 3*c*e*(4*b*d - a*e))*x)/e^6 - (c^2*(4*c*d - 3*b*e)*x^2)/(2*e^5) + (c^3*x^3)/(3*e^4) - (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3/(3*e^7*(d + e*x)^3) + (3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(2*e^7*(d + e*x)^2) - (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(e^7*(d + e*x)) - ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^5, -((c^2*(5*c*d - 3*b*e)*x)/e^6) + (c^3*x^2)/(2*e^5) - (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3/(4*e^7*(d + e*x)^4) + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(e^7*(d + e*x)^3) - (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(2*e^7*(d + e*x)^2) + ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)))/(e^7*(d + e*x)) + (3*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^6, (c^3*x)/e^6 - (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3/(5*e^7*(d + e*x)^5) + (3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(4*e^7*(d + e*x)^4) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(e^7*(d + e*x)^3) + ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)))/(2*e^7*(d + e*x)^2) - (3*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(e^7*(d + e*x)) - (3*c^2*(2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^7, -((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3/(6*e^7*(d + e*x)^6)) + (3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(5*e^7*(d + e*x)^5) - (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(4*e^7*(d + e*x)^4) + ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)))/(3*e^7*(d + e*x)^3) - (3*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(2*e^7*(d + e*x)^2) + (3*c^2*(2*c*d - b*e))/(e^7*(d + e*x)) + (c^3*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+
+((a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^8, -((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3/(7*e^7*(d + e*x)^7)) + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(2*e^7*(d + e*x)^6) - (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(5*e^7*(d + e*x)^5) + ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)))/(4*e^7*(d + e*x)^4) - (c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(e^7*(d + e*x)^3) + (3*c^2*(2*c*d - b*e))/(2*e^7*(d + e*x)^2) - c^3/(e^7*(d + e*x)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^9, -((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3/(8*e^7*(d + e*x)^8)) + (3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(7*e^7*(d + e*x)^7) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(2*e^7*(d + e*x)^6) + ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)))/(5*e^7*(d + e*x)^5) - (3*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(4*e^7*(d + e*x)^4) + (c^2*(2*c*d - b*e))/(e^7*(d + e*x)^3) - c^3/(2*e^7*(d + e*x)^2), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^10, -((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3/(9*e^7*(d + e*x)^9)) + (3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(8*e^7*(d + e*x)^8) - (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(7*e^7*(d + e*x)^7) + ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)))/(6*e^7*(d + e*x)^6) - (3*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(5*e^7*(d + e*x)^5) + (3*c^2*(2*c*d - b*e))/(4*e^7*(d + e*x)^4) - c^3/(3*e^7*(d + e*x)^3), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^4, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4*(d + e*x)^5)/(5*e^9) - (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^6)/(3*e^9) + (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^7)/(7*e^9) - ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^8)/(2*e^9) + (1/(9*e^9))*((70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^9) - (2*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^10)/(5*e^9) + (2*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^11)/(11*e^9) - (c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^12)/(3*e^9) + (c^4*(d + e*x)^13)/(13*e^9), x, 2),
+((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^4, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4*(d + e*x)^4)/(4*e^9) - (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^5)/(5*e^9) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^6)/(3*e^9) - (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^7)/(7*e^9) + (1/(8*e^9))*((70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^8) - (4*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^9)/(9*e^9) + (c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^10)/(5*e^9) - (4*c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^11)/(11*e^9) + (c^4*(d + e*x)^12)/(12*e^9), x, 2),
+((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^4, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4*(d + e*x)^3)/(3*e^9) - ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^4)/e^9 + (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^5)/(5*e^9) - (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^6)/(3*e^9) + ((70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^7)/(7*e^9) - (c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^8)/(2*e^9) + (2*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^9)/(9*e^9) - (2*c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^10)/(5*e^9) + (c^4*(d + e*x)^11)/(11*e^9), x, 2),
+
+((d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^4, a^4*d*x + (a^3*(4*b*d + a*e)*x^2)/2 + (2*a^2*(3*b^2*d + 2*a*c*d + 2*a*b*e)*x^3)/3 + (a*(2*b^3*d + 6*a*b*c*d + 3*a*b^2*e + 2*a^2*c*e)*x^4)/2 + ((b^4*d + 12*a*b^2*c*d + 6*a^2*c^2*d + 4*a*b^3*e + 12*a^2*b*c*e)*x^5)/5 + ((4*b^3*c*d + 12*a*b*c^2*d + b^4*e + 12*a*b^2*c*e + 6*a^2*c^2*e)*x^6)/6 + (2*c*(3*b^2*c*d + 2*a*c^2*d + 2*b^3*e + 6*a*b*c*e)*x^7)/7 + (c^2*(2*b*c*d + 3*b^2*e + 2*a*c*e)*x^8)/4 + (c^3*(c*d + 4*b*e)*x^9)/9 + (c^4*e*x^10)/10, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^4, a^4*x + 2*a^3*b*x^2 + (2*a^2*(3*b^2 + 2*a*c)*x^3)/3 + a*b*(b^2 + 3*a*c)*x^4 + ((b^4 + 12*a*b^2*c + 6*a^2*c^2)*x^5)/5 + (2*b*c*(b^2 + 3*a*c)*x^6)/3 + (2*c^2*(3*b^2 + 2*a*c)*x^7)/7 + (b*c^3*x^8)/2 + (c^4*x^9)/9, x, 2),
+
+((a + b*x + c*x^2)^4/(d + e*x), -((4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*x)/e^8) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^2)/e^9 - (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^3)/(3*e^9) + (1/(4*e^9))*((70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^4) - (4*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^5)/(5*e^9) + (c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^6)/(3*e^9) - (4*c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^9) + (c^4*(d + e*x)^8)/(8*e^9) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4*log(d + e*x))/e^9, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^4/(d + e*x)^2, (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*x)/e^8 - (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4/(e^9*(d + e*x)) - (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^2)/e^9 + (1/(3*e^9))*((70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^3) - (c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^4)/e^9 + (2*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^5)/(5*e^9) - (2*c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^6)/(3*e^9) + (c^4*(d + e*x)^7)/(7*e^9) - (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*log(d + e*x))/e^9, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^4/(d + e*x)^3, -((4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*x)/e^8) - (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4/(2*e^9*(d + e*x)^2) + (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(e^9*(d + e*x)) + (1/(2*e^9))*((70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^2) - (4*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^3)/(3*e^9) + (c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^4)/(2*e^9) - (4*c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^9) + (c^4*(d + e*x)^6)/(6*e^9) + (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*log(d + e*x))/e^9, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^4/(d + e*x)^4, (1/e^8)*((35*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(4*b*d - 3*a*e) - 40*c^3*d^2*e*(2*b*d - a*e) + 6*c^2*e^2*(10*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + a^2*e^2))*x) - (2*c*(5*c^3*d^3 - b^3*e^3 - 2*c^2*d*e*(5*b*d - 2*a*e) + 3*b*c*e^2*(2*b*d - a*e))*x^2)/e^7 + (2*c^2*(5*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(4*b*d - a*e))*x^3)/(3*e^6) - (c^3*(c*d - b*e)*x^4)/e^5 + (c^4*x^5)/(5*e^4) - (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4/(3*e^9*(d + e*x)^3) + (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(e^9*(d + e*x)^2) - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e)))/(e^9*(d + e*x)) - (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*log(d + e*x))/e^9, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^4/(d + e*x)^5, -((c*(35*c^3*d^3 - 4*b^3*e^3 + 6*b*c*e^2*(5*b*d - 2*a*e) - 20*c^2*d*e*(3*b*d - a*e))*x)/e^8) + (c^2*(15*c^2*d^2 + 6*b^2*e^2 - 4*c*e*(5*b*d - a*e))*x^2)/(2*e^7) - (c^3*(5*c*d - 4*b*e)*x^3)/(3*e^6) + (c^4*x^4)/(4*e^5) - (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4/(4*e^9*(d + e*x)^4) + (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(3*e^9*(d + e*x)^3) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e)))/(e^9*(d + e*x)^2) + (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e)))/(e^9*(d + e*x)) + ((70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*log(d + e*x))/e^9, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^4/(d + e*x)^6, (c^2*(21*c^2*d^2 + 6*b^2*e^2 - 4*c*e*(6*b*d - a*e))*x)/e^8 - (c^3*(3*c*d - 2*b*e)*x^2)/e^7 + (c^4*x^3)/(3*e^6) - (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4/(5*e^9*(d + e*x)^5) + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(e^9*(d + e*x)^4) - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e)))/(3*e^9*(d + e*x)^3) + (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e)))/(e^9*(d + e*x)^2) - (1/(e^9*(d + e*x)))*(70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2)) - (4*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*log(d + e*x))/e^9, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^4/(d + e*x)^7, -((c^3*(7*c*d - 4*b*e)*x)/e^8) + (c^4*x^2)/(2*e^7) - (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4/(6*e^9*(d + e*x)^6) + (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(5*e^9*(d + e*x)^5) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e)))/(2*e^9*(d + e*x)^4) + (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e)))/(3*e^9*(d + e*x)^3) - (1/(2*e^9*(d + e*x)^2))*(70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2)) + (4*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e)))/(e^9*(d + e*x)) + (2*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*log(d + e*x))/e^9, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^4/(d + e*x)^8, (c^4*x)/e^8 - (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4/(7*e^9*(d + e*x)^7) + (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(3*e^9*(d + e*x)^6) - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e)))/(5*e^9*(d + e*x)^5) + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e)))/(e^9*(d + e*x)^4) - (1/(3*e^9*(d + e*x)^3))*(70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2)) + (2*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e)))/(e^9*(d + e*x)^2) - (2*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e)))/(e^9*(d + e*x)) - (4*c^3*(2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/e^9, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^4/(d + e*x)^9, -((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4/(8*e^9*(d + e*x)^8)) + (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(7*e^9*(d + e*x)^7) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e)))/(3*e^9*(d + e*x)^6) + (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e)))/(5*e^9*(d + e*x)^5) - (1/(4*e^9*(d + e*x)^4))*(70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2)) + (4*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e)))/(3*e^9*(d + e*x)^3) - (c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e)))/(e^9*(d + e*x)^2) + (4*c^3*(2*c*d - b*e))/(e^9*(d + e*x)) + (c^4*log(d + e*x))/e^9, x, 2),
+
+((a + b*x + c*x^2)^4/(d + e*x)^10, -((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4/(9*e^9*(d + e*x)^9)) + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(2*e^9*(d + e*x)^8) - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e)))/(7*e^9*(d + e*x)^7) + (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e)))/(3*e^9*(d + e*x)^6) - (1/(5*e^9*(d + e*x)^5))*(70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2)) + (c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e)))/(e^9*(d + e*x)^4) - (2*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e)))/(3*e^9*(d + e*x)^3) + (2*c^3*(2*c*d - b*e))/(e^9*(d + e*x)^2) - c^4/(e^9*(d + e*x)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^4/(d + e*x)^11, -((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4/(10*e^9*(d + e*x)^10)) + (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(9*e^9*(d + e*x)^9) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e)))/(4*e^9*(d + e*x)^8) + (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e)))/(7*e^9*(d + e*x)^7) - (1/(6*e^9*(d + e*x)^6))*(70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2)) + (4*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e)))/(5*e^9*(d + e*x)^5) - (c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e)))/(2*e^9*(d + e*x)^4) + (4*c^3*(2*c*d - b*e))/(3*e^9*(d + e*x)^3) - c^4/(2*e^9*(d + e*x)^2), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^4/(d + e*x)^12, -((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4/(11*e^9*(d + e*x)^11)) + (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(5*e^9*(d + e*x)^10) - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e)))/(9*e^9*(d + e*x)^9) + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e)))/(2*e^9*(d + e*x)^8) - (1/(7*e^9*(d + e*x)^7))*(70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2)) + (2*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e)))/(3*e^9*(d + e*x)^6) - (2*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e)))/(5*e^9*(d + e*x)^5) + (c^3*(2*c*d - b*e))/(e^9*(d + e*x)^4) - c^4/(3*e^9*(d + e*x)^3), x, 2),
+
+
+(x^4*(3 - 4*x + x^2)^2, (9*x^5)/5 - 4*x^6 + (22*x^7)/7 - x^8 + x^9//9, x, 2),
+(x^3*(3 - 4*x + x^2)^2, (9*x^4)/4 - (24*x^5)/5 + (11*x^6)/3 - (8*x^7)/7 + x^8//8, x, 2),
+(x^2*(3 - 4*x + x^2)^2, 3*x^3 - 6*x^4 + (22*x^5)/5 - (4*x^6)/3 + x^7//7, x, 2),
+(x^1*(3 - 4*x + x^2)^2, (9*x^2)/2 - 8*x^3 + (11*x^4)/2 - (8*x^5)/5 + x^6//6, x, 2),
+(x^0*(3 - 4*x + x^2)^2, (-(4//3))*(3 - x)^3 - (1//5)*(3 - x)^5 + (-3 + x)^4, x, 3),
+((3 - 4*x + x^2)^2/x^1, -24*x + 11*x^2 - (8*x^3)/3 + x^4//4 + 9*log(x), x, 2),
+((3 - 4*x + x^2)^2/x^2, -(9/x) + 22*x - 4*x^2 + x^3//3 - 24*log(x), x, 2),
+((3 - 4*x + x^2)^2/x^3, -(9/(2*x^2)) + 24/x - 8*x + x^2//2 + 22*log(x), x, 2),
+((3 - 4*x + x^2)^2/x^4, -(3/x^3) + 12/x^2 - 22/x + x - 8*log(x), x, 2),
+((3 - 4*x + x^2)^2/x^5, -(9/(4*x^4)) + 8/x^3 - 11/x^2 + 8/x + log(x), x, 2),
+((3 - 4*x + x^2)^2/x^6, -(9/(5*x^5)) + 6/x^4 - 22/(3*x^3) + 4/x^2 - 1/x, x, 2),
+((3 - 4*x + x^2)^2/x^7, -(3/(2*x^6)) + 24/(5*x^5) - 11/(2*x^4) + 8/(3*x^3) - 1/(2*x^2), x, 2),
+
+
+((2 + 2*x + x^2)/(2 + x), x^2//2 + 2*log(2 + x), x, 2),
+((5 + 4*x + x^2)/(-2 + x), 6*x + x^2//2 + 17*log(2 - x), x, 2),
+
+((2 + 2*x + x^2)/(1 + x)^3, -1/(2*(1 + x)^2) + log(1 + x), x, 2),
+((3 + 3*x + 2*x^2)/(1 + x)^3, -(1/(1 + x)^2) + 1/(1 + x) + 2*log(1 + x), x, 2),
+
+
+((1 + x + x^2)/x, x + x^2//2 + log(x), x, 2),
+((9 + 6*x + x^2)/x^2, -9/x + x + 6*log(x), x, 2),
+((1 + 2*x + x^2)/x^4, -(1/(3*x^3)) - 1/x^2 - 1/x, x, 2),
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+# ::Subsubsection::Closed::
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+
+
+((d + e*x)^4/(a + b*x + c*x^2), (e^2*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(4*b*d + a*e))*x)/c^3 + (e^3*(4*c*d - b*e)*x^2)/(2*c^2) + (e^4*x^3)/(3*c) - ((2*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(b*d + a*e) - 4*c^3*d^2*e*(b*d + 3*a*e) + 2*c^2*e^2*(3*b^2*d^2 + 6*a*b*d*e + a^2*e^2))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^4*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (e*(2*c*d - b*e)*(2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^4), x, 6),
+((d + e*x)^3/(a + b*x + c*x^2), (e^2*(3*c*d - b*e)*x)/c^2 + (e^3*x^2)/(2*c) - ((2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (e*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + a*e))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^3), x, 6),
+((d + e*x)^2/(a + b*x + c*x^2), (e^2*x)/c - ((2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (e*(2*c*d - b*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^2), x, 6),
+((d + e*x)^1/(a + b*x + c*x^2), -(((2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (e*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c), x, 4),
+((d + e*x)^0/(a + b*x + c*x^2), -((2*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)), -(((2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))) + (e*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2) - (e*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)), -(e/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x))) - ((2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + (e*(2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2 - (e*(2*c*d - b*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2), x, 7),
+(1/((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)), -(e/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2)) - (e*(2*c*d - b*e))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)) - ((2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) + (e*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + a*e))*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3 - (e*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + a*e))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3), x, 7),
+
+
+((d + e*x)^5/(a + b*x + c*x^2)^2, (e^2*(12*c^3*d^3 - 3*b^3*e^3 - 10*c^2*d*e*(b*d + 3*a*e) + b*c*e^2*(10*b*d + 11*a*e))*x)/(c^3*(b^2 - 4*a*c)) + (e^3*(16*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d + 4*a*e))*x^2)/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)) + (e^4*(2*c*d - b*e)*x^3)/(c*(b^2 - 4*a*c)) - ((d + e*x)^4*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + ((2*c*d - b*e)*(2*c^4*d^4 - 3*b^4*e^4 - 4*c^3*d^2*e*(b*d - 5*a*e) + 4*b^2*c*e^3*(b*d + 5*a*e) - 2*c^2*e^2*(b^2*d^2 + 10*a*b*d*e + 15*a^2*e^2))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^4*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + (e^3*(10*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d + a*e))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^4), x, 7),
+((d + e*x)^4/(a + b*x + c*x^2)^2, (2*e^2*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(2*b*d + 3*a*e))*x)/(c^2*(b^2 - 4*a*c)) + (e^3*(2*c*d - b*e)*x^2)/(c*(b^2 - 4*a*c)) - ((d + e*x)^3*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (2*(2*c^4*d^4 - b^4*e^4 - 4*c^3*d^2*e*(b*d - 3*a*e) - 6*a*c^2*e^3*(2*b*d + a*e) + 2*b^2*c*e^3*(b*d + 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + (e^3*(2*c*d - b*e)*log(a + b*x + c*x^2))/c^3, x, 7),
+((d + e*x)^3/(a + b*x + c*x^2)^2, (e^2*(2*c*d - b*e)*x)/(c*(b^2 - 4*a*c)) - ((d + e*x)^2*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + ((2*c*d - b*e)*(2*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d - 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + (e^3*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^2), x, 6),
+((d + e*x)^2/(a + b*x + c*x^2)^2, -(((d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2))) + (4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 3),
+((d + e*x)^1/(a + b*x + c*x^2)^2, -((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2))) + (2*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 3),
+((d + e*x)^0/(a + b*x + c*x^2)^2, -((b + 2*c*x)/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2))) + (4*c*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 3),
+(1/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^2), -((b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x)/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2))) + ((2*c*d - b*e)*(2*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d - 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + (e^3*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2 - (e^3*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2), x, 7),
+(1/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^2), -((2*e*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e)))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x))) - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x)/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)) + (2*(2*c^4*d^4 - b^4*e^4 - 4*c^3*d^2*e*(b*d - 3*a*e) - 6*a*c^2*e^3*(2*b*d + a*e) + 2*b^2*c*e^3*(b*d + 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) + (2*e^3*(2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3 - (e^3*(2*c*d - b*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3, x, 7),
+(1/((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^2), -((e*(4*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d + 2*a*e)))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^2)) - (e*(2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - c*e*(b*d + 11*a*e)))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)) - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x)/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)) + ((2*c*d - b*e)*(2*c^4*d^4 - 3*b^4*e^4 - 4*c^3*d^2*e*(b*d - 5*a*e) + 4*b^2*c*e^3*(b*d + 5*a*e) - 2*c^2*e^2*(b^2*d^2 + 10*a*b*d*e + 15*a^2*e^2))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4) + (e^3*(10*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d + a*e))*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4 - (e^3*(10*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d + a*e))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4), x, 7),
+
+
+(x^7/(a + b*x + c*x^2)^3, -((3*b*(2*b^2 - 9*a*c)*(b^2 - 3*a*c)*x)/(c^4*(b^2 - 4*a*c)^2)) + (3*(2*b^4 - 13*a*b^2*c + 16*a^2*c^2)*x^2)/(2*c^3*(b^2 - 4*a*c)^2) - (b*(2*b^2 - 11*a*c)*x^3)/(c^2*(b^2 - 4*a*c)^2) + (x^6*(2*a + b*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2) + (3*x^4*(a*(b^2 - 8*a*c) + b*(b^2 - 6*a*c)*x))/(2*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) + (3*b*(2*b^6 - 21*a*b^4*c + 70*a^2*b^2*c^2 - 70*a^3*c^3)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^5*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)) + (3*(2*b^2 - a*c)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^5), x, 8),
+(x^6/(a + b*x + c*x^2)^3, (3*(b^4 - 7*a*b^2*c + 10*a^2*c^2)*x)/(c^3*(b^2 - 4*a*c)^2) - (3*b*(b^2 - 6*a*c)*x^2)/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2) + (x^5*(2*a + b*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2) + (x^3*(a*(b^2 - 10*a*c) + b*(b^2 - 7*a*c)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (3*(b^6 - 10*a*b^4*c + 30*a^2*b^2*c^2 - 20*a^3*c^3)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^4*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)) - (3*b*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^4), x, 8),
+((d + e*x)^5/(a + b*x + c*x^2)^3, -((e^2*(2*c*d - b*e)*(3*c^2*d^2 - b^2*e^2 - c*e*(3*b*d - 7*a*e))*x)/(c^2*(b^2 - 4*a*c)^2)) - ((d + e*x)^4*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2) - ((d + e*x)^2*(8*a*c*e*(c*d^2 + 2*a*e^2) - 6*b*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2) + b^2*(7*c*d^2*e - a*e^3) - (2*c*d - b*e)*(6*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - 5*a*e))*x))/(2*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) - ((12*c^5*d^5 - b^5*e^5 + 10*a*b^3*c*e^5 - 30*a^2*b*c^2*e^5 - 10*c^4*d^3*e*(3*b*d - 4*a*e) + 20*c^3*d*e^2*(b^2*d^2 - 3*a*b*d*e + 3*a^2*e^2))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)) + (e^5*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^3), x, 7),
+((d + e*x)^4/(a + b*x + c*x^2)^3, -(((d + e*x)^3*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)) + (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (12*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 4),
+((d + e*x)^3/(a + b*x + c*x^2)^3, -(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^3)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)) + (3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (6*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 4),
+((d + e*x)^2/(a + b*x + c*x^2)^3, -(((d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (2*b^2*d*e + 4*a*c*d*e - 3*b*(c*d^2 + a*e^2) - (6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*x)/((b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (2*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 4),
+((d + e*x)^1/(a + b*x + c*x^2)^3, -((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)) + (3*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (6*c*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 4),
+((d + e*x)^0/(a + b*x + c*x^2)^3, -((b + 2*c*x)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)) + (3*c*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (12*c^2*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 4),
+(1/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^3), -((b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (3*a*c*e*(2*c*d - b*e)^2 - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(6*c^2*d^2 - 2*b^2*e^2 - c*e*(3*b*d - 8*a*e)) - 2*c*(2*c*d - b*e)*(3*c^2*d^2 - b^2*e^2 - c*e*(3*b*d - 7*a*e))*x)/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(a + b*x + c*x^2)) - ((12*c^5*d^5 - b^5*e^5 + 10*a*b^3*c*e^5 - 30*a^2*b*c^2*e^5 - 10*c^4*d^3*e*(3*b*d - 4*a*e) + 20*c^3*d*e^2*(b^2*d^2 - 3*a*b*d*e + 3*a^2*e^2))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) + (e^5*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3 - (e^5*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3), x, 8),
+(1/(x^2*(a + b*x + c*x^2)^3), -((3*(b^2 - 5*a*c)*(b^2 - 2*a*c))/(a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*x)) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*x*(a + b*x + c*x^2)^2) + (3*b^4 - 20*a*b^2*c + 20*a^2*c^2 + 3*b*c*(b^2 - 6*a*c)*x)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*x*(a + b*x + c*x^2)) - (3*(b^6 - 10*a*b^4*c + 30*a^2*b^2*c^2 - 20*a^3*c^3)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^4*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)) - (3*b*log(x))/a^4 + (3*b*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a^4), x, 8),
+(1/(x^3*(a + b*x + c*x^2)^3), -((3*(2*b^4 - 13*a*b^2*c + 16*a^2*c^2))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*x^2)) + (3*b*(2*b^2 - 9*a*c)*(b^2 - 3*a*c))/(a^4*(b^2 - 4*a*c)^2*x) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*x^2*(a + b*x + c*x^2)^2) + (4*b^4 - 25*a*b^2*c + 24*a^2*c^2 + 2*b*c*(2*b^2 - 11*a*c)*x)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*x^2*(a + b*x + c*x^2)) + (3*b*(2*b^6 - 21*a*b^4*c + 70*a^2*b^2*c^2 - 70*a^3*c^3)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^5*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)) + (3*(2*b^2 - a*c)*log(x))/a^5 - (3*(2*b^2 - a*c)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a^5), x, 8),
+
+
+(x^8/(a + b*x + c*x^2)^4, (4*(b^6 - 11*a*b^4*c + 38*a^2*b^2*c^2 - 35*a^3*c^3)*x)/(c^4*(b^2 - 4*a*c)^3) - (2*b*(b^4 - 10*a*b^2*c + 29*a^2*c^2)*x^2)/(c^3*(b^2 - 4*a*c)^3) + (x^7*(2*a + b*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^3) + (x^5*(a*(b^2 - 14*a*c) + b*(b^2 - 9*a*c)*x))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^2) + (x^3*(4*a*(b^4 - 9*a*b^2*c + 35*a^2*c^2) + b*(4*b^4 - 39*a*b^2*c + 122*a^2*c^2)*x))/(3*c^2*(b^2 - 4*a*c)^3*(a + b*x + c*x^2)) - (4*(b^8 - 14*a*b^6*c + 70*a^2*b^4*c^2 - 140*a^3*b^2*c^3 + 70*a^4*c^4)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^5*(b^2 - 4*a*c)^(7//2)) - (2*b*log(a + b*x + c*x^2))/c^5, x, 9),
+(x^7/(a + b*x + c*x^2)^4, -((b*(b^4 - 11*a*b^2*c + 38*a^2*c^2)*x)/(c^3*(b^2 - 4*a*c)^3)) + (x^6*(2*a + b*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^3) + (x^4*(a*(b^2 - 24*a*c) + b*(b^2 - 14*a*c)*x))/(6*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^2) + (x^2*(3*a*(b^4 - 10*a*b^2*c + 64*a^2*c^2) + b*(3*b^4 - 32*a*b^2*c + 140*a^2*c^2)*x))/(6*c^2*(b^2 - 4*a*c)^3*(a + b*x + c*x^2)) + (b*(b^6 - 14*a*b^4*c + 70*a^2*b^2*c^2 - 140*a^3*c^3)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^4*(b^2 - 4*a*c)^(7//2)) + log(a + b*x + c*x^2)/(2*c^4), x, 8),
+(x^6/(a + b*x + c*x^2)^4, (x^5*(2*a + b*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^3) - (5*a*x^3*(2*a + b*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^2) + (10*a^2*x*(2*a + b*x))/((b^2 - 4*a*c)^3*(a + b*x + c*x^2)) + (40*a^3*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(7//2), x, 5),
+(x^5/(a + b*x + c*x^2)^4, -((x^5*(b + 2*c*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^3)) + (5*b*x^3*(2*a + b*x))/(6*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (5*a*b*x*(2*a + b*x))/((b^2 - 4*a*c)^3*(a + b*x + c*x^2)) - (20*a^2*b*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(7//2), x, 5),
+((d + e*x)^4/(a + b*x + c*x^2)^4, -(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^4)/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^3)) + ((d + e*x)^3*(5*b*c*d - 2*b^2*e - 2*a*c*e + 5*c*(2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (2*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)^3*(a + b*x + c*x^2)) + (8*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(7//2), x, 5),
+((d + e*x)^3/(a + b*x + c*x^2)^4, -(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^3)/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^3)) + ((d + e*x)^2*(10*b*c*d - 3*b^2*e - 8*a*c*e + 10*c*(2*c*d - b*e)*x))/(6*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (3*b^3*d*e^2 - 16*a*c*e*(5*c*d^2 + a*e^2) + 6*b*c*d*(5*c*d^2 + 13*a*e^2) - b^2*(25*c*d^2*e + 11*a*e^3) + 2*(2*c*d - b*e)*(15*c^2*d^2 + 4*b^2*e^2 - c*e*(15*b*d + a*e))*x)/(3*(b^2 - 4*a*c)^3*(a + b*x + c*x^2)) + (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(7//2), x, 5),
+((d + e*x)^2/(a + b*x + c*x^2)^4, -(((d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^3)) - (3*b^2*d*e + 8*a*c*d*e - 5*b*(c*d^2 + a*e^2) - 2*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*x)/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (2*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^3*(a + b*x + c*x^2)) + (8*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(7//2), x, 5),
+((d + e*x)^1/(a + b*x + c*x^2)^4, -((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^3)) + (5*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x))/(6*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (5*c*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^3*(a + b*x + c*x^2)) + (20*c^2*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(7//2), x, 5),
+((d + e*x)^0/(a + b*x + c*x^2)^4, -((b + 2*c*x)/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^3)) + (5*c*(b + 2*c*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (10*c^2*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^3*(a + b*x + c*x^2)) + (40*c^3*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(7//2), x, 5),
+(1/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^4), -((b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x)/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^3)) - (5*a*c*e*(2*c*d - b*e)^2 - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(10*c^2*d^2 - 3*b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - 12*a*e)) - c*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 11*a*e))*x)/(6*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(a + b*x + c*x^2)^2) + (1/(2*(b^2 - 4*a*c)^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(a + b*x + c*x^2)))*(b^5*c*d*e^4 + 2*b^6*e^5 - 64*a^3*c^3*e^5 + b^4*c*e^3*(c*d^2 - 23*a*e^2) - 2*b^3*c^2*d*e^2*(17*c*d^2 + 5*a*e^2) - 4*b*c^3*d*(5*c^2*d^4 + 16*a*c*d^2*e^2 + 19*a^2*e^4) + 2*b^2*c^2*e*(25*c^2*d^4 + 48*a*c*d^2*e^2 + 43*a^2*e^4) - 2*c*(2*c*d - b*e)*(10*c^4*d^4 + b^4*e^4 + b^2*c*e^3*(3*b*d - 11*a*e) - 4*c^3*d^2*e*(5*b*d - 8*a*e) + c^2*e^2*(7*b^2*d^2 - 32*a*b*d*e + 38*a^2*e^2))*x) + ((40*c^7*d^7 + b^7*e^7 - 14*a*b^5*c*e^7 + 70*a^2*b^3*c^2*e^7 - 140*a^3*b*c^3*e^7 - 28*c^6*d^5*e*(5*b*d - 6*a*e) + 28*c^5*d^3*e^2*(6*b^2*d^2 - 15*a*b*d*e + 10*a^2*e^2) - 70*c^4*d*e^3*(b^3*d^3 - 4*a*b^2*d^2*e + 6*a^2*b*d*e^2 - 4*a^3*e^3))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(7//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4) + (e^7*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4 - (e^7*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4), x, 9),
+(1/(x^2*(a + b*x + c*x^2)^4), -((4*(b^6 - 11*a*b^4*c + 38*a^2*b^2*c^2 - 35*a^3*c^3))/(a^4*(b^2 - 4*a*c)^3*x)) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x)/(3*a*(b^2 - 4*a*c)*x*(a + b*x + c*x^2)^3) + (2*(b^4 - 7*a*b^2*c + 7*a^2*c^2) + b*c*(2*b^2 - 13*a*c)*x)/(3*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*x*(a + b*x + c*x^2)^2) + (2*(3*b^6 - 32*a*b^4*c + 105*a^2*b^2*c^2 - 70*a^3*c^3 + 3*b*c*(b^4 - 10*a*b^2*c + 29*a^2*c^2)*x))/(3*a^3*(b^2 - 4*a*c)^3*x*(a + b*x + c*x^2)) - (4*(b^8 - 14*a*b^6*c + 70*a^2*b^4*c^2 - 140*a^3*b^2*c^3 + 70*a^4*c^4)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^5*(b^2 - 4*a*c)^(7//2)) - (4*b*log(x))/a^5 + (2*b*log(a + b*x + c*x^2))/a^5, x, 9),
+
+
+((d + e*x)^5/(a + b*x + c*x^2)^5, -(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^5)/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^4)) + ((d + e*x)^4*(14*b*c*d - 5*b^2*e - 8*a*c*e + 14*c*(2*c*d - b*e)*x))/(12*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^3) + ((d + e*x)^3*(63*b^2*c*d*e + 28*a*c^2*d*e - 10*b^3*e^2 - 10*b*c*(7*c*d^2 + 3*a*e^2) - c*(140*c^2*d^2 + 27*b^2*e^2 - 4*c*e*(35*b*d - 8*a*e))*x))/(12*(b^2 - 4*a*c)^3*(a + b*x + c*x^2)^2) + (5*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)^4*(a + b*x + c*x^2)) - (10*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(9//2), x, 6),
+((d + e*x)^4/(a + b*x + c*x^2)^5, -(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^4)/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^4)) + ((d + e*x)^3*(7*b*c*d - 2*b^2*e - 6*a*c*e + 7*c*(2*c*d - b*e)*x))/(6*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^3) + ((d + e*x)^2*(28*b^2*c*d*e + 28*a*c^2*d*e - 3*b^3*e^2 - b*c*(35*c*d^2 + 23*a*e^2) - c*(70*c^2*d^2 + 13*b^2*e^2 - 2*c*e*(35*b*d - 9*a*e))*x))/(6*(b^2 - 4*a*c)^3*(a + b*x + c*x^2)^2) - (1/(6*(b^2 - 4*a*c)^4*(a + b*x + c*x^2)))*(6*b^4*d*e^3 + 16*a*c^2*d*e*(35*c*d^2 + 16*a*e^2) + 4*b^2*c*d*e*(70*c*d^2 + 83*a*e^2) - 5*b^3*(19*c*d^2*e^2 + 5*a*e^4) - 10*b*c*(21*c^2*d^4 + 88*a*c*d^2*e^2 + 11*a^2*e^4) - (420*c^4*d^4 + 19*b^4*e^4 - 40*c^3*d^2*e*(21*b*d - 2*a*e) - 38*b^2*c*e^3*(5*b*d - a*e) + 2*c^2*e^2*(305*b^2*d^2 - 40*a*b*d*e - 18*a^2*e^2))*x) - (2*(70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(9//2), x, 6),
+((d + e*x)^3/(a + b*x + c*x^2)^5, -(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^3)/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^4)) + ((d + e*x)^2*(14*b*c*d - 3*b^2*e - 16*a*c*e + 14*c*(2*c*d - b*e)*x))/(12*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^3) - (3*b^3*d*e^2 - 32*a*c*e*(7*c*d^2 + a*e^2) + 2*b*c*d*(35*c*d^2 + 99*a*e^2) - b^2*(49*c*d^2*e + 27*a*e^3) + 2*(2*c*d - b*e)*(35*c^2*d^2 + 12*b^2*e^2 - c*e*(35*b*d + 13*a*e))*x)/(12*(b^2 - 4*a*c)^3*(a + b*x + c*x^2)^2) + (5*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(b + 2*c*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)^4*(a + b*x + c*x^2)) - (10*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(9//2), x, 6),
+((d + e*x)^2/(a + b*x + c*x^2)^5, -(((d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^4)) - (4*b^2*d*e + 12*a*c*d*e - 7*b*(c*d^2 + a*e^2) - (14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*x)/(6*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^3) - (5*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(b + 2*c*x))/(12*(b^2 - 4*a*c)^3*(a + b*x + c*x^2)^2) + (5*c*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(b + 2*c*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)^4*(a + b*x + c*x^2)) - (10*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(9//2), x, 6),
+((d + e*x)^1/(a + b*x + c*x^2)^5, -((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^4)) + (7*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x))/(12*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^3) - (35*c*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x))/(12*(b^2 - 4*a*c)^3*(a + b*x + c*x^2)^2) + (35*c^2*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)^4*(a + b*x + c*x^2)) - (70*c^3*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(9//2), x, 6),
+((d + e*x)^0/(a + b*x + c*x^2)^5, -((b + 2*c*x)/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^4)) + (7*c*(b + 2*c*x))/(6*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^3) - (35*c^2*(b + 2*c*x))/(6*(b^2 - 4*a*c)^3*(a + b*x + c*x^2)^2) + (35*c^3*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^4*(a + b*x + c*x^2)) - (140*c^4*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(9//2), x, 6),
+(1/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^5), -((b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x)/(4*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^4)) - (7*a*c*e*(2*c*d - b*e)^2 - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(14*c^2*d^2 - 4*b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 16*a*e)) - 2*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 - 2*b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 15*a*e))*x)/(12*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(a + b*x + c*x^2)^3) + (1/(12*(b^2 - 4*a*c)^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(a + b*x + c*x^2)^2))*(5*a*c*e*(2*c*d - b*e)^2*(7*c^2*d^2 - 2*b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 15*a*e)) - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(70*c^4*d^4 + 6*b^4*e^4 + 2*b^2*c*e^3*(5*b*d - 24*a*e) - 15*c^3*d^2*e*(7*b*d - 10*a*e) + 3*c^2*e^2*(5*b^2*d^2 - 25*a*b*d*e + 32*a^2*e^2)) - 2*c*(2*c*d - b*e)*(35*c^4*d^4 + 3*b^4*e^4 + 2*b^2*c*e^3*(5*b*d - 17*a*e) - 10*c^3*d^2*e*(7*b*d - 11*a*e) + c^2*e^2*(25*b^2*d^2 - 110*a*b*d*e + 123*a^2*e^2))*x) + (1/(2*(b^2 - 4*a*c)^4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4*(a + b*x + c*x^2)))*(b^7*c*d*e^6 + 2*b^8*e^7 + 256*a^4*c^4*e^7 + b^6*c*e^5*(c*d^2 - 31*a*e^2) + b^5*c^2*d*e^4*(c*d^2 - 14*a*e^2) - b^4*c^2*e^3*(125*c^2*d^4 + 13*a*c*d^2*e^2 - 178*a^2*e^4) + b^3*c^3*d*e^2*(295*c^2*d^4 + 492*a*c*d^2*e^2 + 69*a^2*e^4) + 2*b*c^4*d*(35*c^3*d^6 + 145*a*c^2*d^4*e^2 + 233*a^2*c*d^2*e^4 + 187*a^3*e^6) - b^2*c^3*e*(245*c^3*d^6 + 725*a*c^2*d^4*e^2 + 699*a^2*c*d^2*e^4 + 443*a^3*e^6) + 2*c*(2*c*d - b*e)*(35*c^6*d^6 - b^6*e^6 - 5*c^5*d^4*e*(21*b*d - 29*a*e) - 3*b^4*c*e^5*(b*d - 5*a*e) - b^2*c^2*e^4*(7*b^2*d^2 - 44*a*b*d*e + 82*a^2*e^2) + c^4*d^2*e^2*(95*b^2*d^2 - 290*a*b*d*e + 233*a^2*e^2) - c^3*e^3*(15*b^3*d^3 - 101*a*b^2*d^2*e + 233*a^2*b*d*e^2 - 187*a^3*e^3))*x) - (1/((b^2 - 4*a*c)^(9//2)*(c*d^2 - e*(b*d - a*e))^5))*((140*c^9*d^9 - b^9*e^9 + 18*a*b^7*c*e^9 - 126*a^2*b^5*c^2*e^9 + 420*a^3*b^3*c^3*e^9 - 630*a^4*b*c^4*e^9 - 90*c^8*d^7*e*(7*b*d - 8*a*e) + 72*c^7*d^5*e^2*(15*b^2*d^2 - 35*a*b*d*e + 21*a^2*e^2) - 84*c^6*d^3*e^3*(10*b^3*d^3 - 36*a*b^2*d^2*e + 45*a^2*b*d*e^2 - 20*a^3*e^3) + 252*c^5*d*e^4*(b^4*d^4 - 5*a*b^3*d^3*e + 10*a^2*b^2*d^2*e^2 - 10*a^3*b*d*e^3 + 5*a^4*e^4))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (e^9*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^5 - (e^9*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^5), x, 10),
+(1/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^5), (1/((b^2 - 4*a*c)^4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^5*(d + e*x)))*(5*e*(14*c^8*d^8 - b^8*e^8 - 4*c^7*d^6*e*(14*b*d - 19*a*e) + b^6*c*e^7*(b*d + 15*a*e) + b^4*c^2*e^6*(b^2*d^2 - 16*a*b*d*e - 82*a^2*e^2) + c^6*d^4*e^2*(79*b^2*d^2 - 228*a*b*d*e + 176*a^2*e^2) - c^5*d^2*e^3*(41*b^3*d^3 - 197*a*b^2*d^2*e + 352*a^2*b*d*e^2 - 244*a^3*e^3) + b^2*c^3*e^5*(b^3*d^3 - 15*a*b^2*d^2*e + 95*a^2*b*d*e^2 + 187*a^3*e^3) + c^4*e^4*(b^4*d^4 - 14*a*b^3*d^3*e + 81*a^2*b^2*d^2*e^2 - 244*a^3*b*d*e^3 - 126*a^4*e^4))) - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x)/(4*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^4) - (8*a*c*e*(2*c*d - b*e)^2 - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(14*c^2*d^2 - 5*b^2*e^2 - 6*c*e*(b*d - 3*a*e)) - c*(2*c*d - b*e)*(14*c^2*d^2 - 5*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - 17*a*e))*x)/(12*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^3) + (1/(12*(b^2 - 4*a*c)^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^2))*(3*a*c*e*(2*c*d - b*e)^2*(14*c^2*d^2 - 5*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - 17*a*e)) - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(70*c^4*d^4 + 10*b^4*e^4 - 2*c^3*d^2*e*(49*b*d - 78*a*e) + 5*b^2*c*e^3*(2*b*d - 15*a*e) + 3*c^2*e^2*(b^2*d^2 - 18*a*b*d*e + 42*a^2*e^2)) - 5*c*(2*c*d - b*e)*(14*c^4*d^4 + 2*b^4*e^4 + b^2*c*e^3*(5*b*d - 21*a*e) - 4*c^3*d^2*e*(7*b*d - 12*a*e) + 3*c^2*e^2*(3*b^2*d^2 - 16*a*b*d*e + 22*a^2*e^2))*x) - (1/(6*(b^2 - 4*a*c)^4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)))*(5*(2*a*c*e*(2*c*d - b*e)^2*(14*c^4*d^4 + 2*b^4*e^4 + b^2*c*e^3*(5*b*d - 21*a*e) - 4*c^3*d^2*e*(7*b*d - 12*a*e) + 3*c^2*e^2*(3*b^2*d^2 - 16*a*b*d*e + 22*a^2*e^2)) - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(42*c^6*d^6 - 3*b^6*e^6 - 2*c^5*d^4*e*(49*b*d - 65*a*e) - 2*b^4*c*e^5*(b*d - 17*a*e) + b^2*c^2*e^4*(b^2*d^2 + 16*a*b*d*e - 123*a^2*e^2) + c^4*d^2*e^2*(55*b^2*d^2 - 164*a*b*d*e + 150*a^2*e^2) + 6*c^3*e^3*(b^3*d^3 - 4*a*b^2*d^2*e - 3*a^2*b*d*e^2 + 21*a^3*e^3)) - 3*c*(2*c*d - b*e)*(14*c^6*d^6 - b^6*e^6 - 2*c^5*d^4*e*(21*b*d - 31*a*e) - 2*b^4*c*e^5*(b*d - 7*a*e) - b^2*c^2*e^4*(3*b^2*d^2 - 26*a*b*d*e + 69*a^2*e^2) + c^4*d^2*e^2*(37*b^2*d^2 - 124*a*b*d*e + 114*a^2*e^2) - 2*c^3*e^3*(2*b^3*d^3 - 18*a*b^2*d^2*e + 57*a^2*b*d*e^2 - 65*a^3*e^3))*x)) - (1/((b^2 - 4*a*c)^(9//2)*(c*d^2 - e*(b*d - a*e))^6))*(5*(28*c^10*d^10 + b^10*e^10 - 20*c^9*d^8*e*(7*b*d - 9*a*e) - 252*a^4*c^5*e^9*(5*b*d + a*e) + 210*a^3*b^2*c^4*e^9*(4*b*d + 3*a*e) - 84*a^2*b^4*c^3*e^9*(3*b*d + 5*a*e) + 18*a*b^6*c^2*e^9*(2*b*d + 7*a*e) - 2*b^8*c*e^9*(b*d + 9*a*e) + 18*c^8*d^6*e^2*(15*b^2*d^2 - 40*a*b*d*e + 28*a^2*e^2) - 24*c^7*d^4*e^3*(10*b^3*d^3 - 42*a*b^2*d^2*e + 63*a^2*b*d*e^2 - 35*a^3*e^3) + 84*c^6*d^2*e^4*(b^4*d^4 - 6*a*b^3*d^3*e + 15*a^2*b^2*d^2*e^2 - 20*a^3*b*d*e^3 + 15*a^4*e^4))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (5*e^9*(2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^6 - (5*e^9*(2*c*d - b*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^6), x, 10),
+
+
+(1/((1 + 2*x)^1*(2 + 3*x + 5*x^2)^3), (37 + 20*x)/(434*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (2*(2609 + 2290*x))/(47089*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (125624*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(329623*sqrt(31)) + (32//343)*log(1 + 2*x) - (16//343)*log(2 + 3*x + 5*x^2), x, 8),
+(1/((1 + 2*x)^2*(2 + 3*x + 5*x^2)^3), -(51516/(329623*(1 + 2*x))) + (37 + 20*x)/(434*(1 + 2*x)*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (6427 + 5820*x)/(47089*(1 + 2*x)*(2 + 3*x + 5*x^2)) - (1065012*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(2307361*sqrt(31)) + (384*log(1 + 2*x))/2401 - (192*log(2 + 3*x + 5*x^2))/2401, x, 8),
+
+
+(1/((1 + 2*x)^1*(2 + 3*x + 5*x^2)^4), (37 + 20*x)/(651*(2 + 3*x + 5*x^2)^3) + (4*(1983 + 1805*x))/(141267*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (4*(180133 + 203230*x))/(10218313*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (19007376*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(71528191*sqrt(31)) + (128*log(1 + 2*x))/2401 - (64*log(2 + 3*x + 5*x^2))/2401, x, 9),
+(1/((1 + 2*x)^2*(2 + 3*x + 5*x^2)^4), -(6802312/(71528191*(1 + 2*x))) + (37 + 20*x)/(651*(1 + 2*x)*(2 + 3*x + 5*x^2)^3) + (3047 + 2820*x)/(47089*(1 + 2*x)*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (2*(504757 + 603620*x))/(10218313*(1 + 2*x)*(2 + 3*x + 5*x^2)) - (116056984*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(500697337*sqrt(31)) + (2048*log(1 + 2*x))/16807 - (1024*log(2 + 3*x + 5*x^2))/16807, x, 9),
+
+
+((7 - 3*x)/(-5 + 2*x + x^2), (-(1//6))*(9 - 5*sqrt(6))*log(1 - sqrt(6) + x) - (1//6)*(9 + 5*sqrt(6))*log(1 + sqrt(6) + x), x, 3),
+(1/((-1 + x)*(1 + x + x^2)), -(atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3)) + (1//3)*log(1 - x) - (1//6)*log(1 + x + x^2), x, 6),
+
+
+((2*((a/b)^(1/n) - x*cos(((-1 + 2*k)*π)/n)))/((a/b)^(2/n) + x^2 - 2*(a/b)^(1/n)*x*cos(((-1 + 2*k)*π)/n)), (-cos((π - 2*k*π)/n))*log((a/b)^(2/n) + x^2 - 2*(a/b)^(1/n)*x*cos((π - 2*k*π)/n)) + 2*atan(((x - (a/b)^(1/n)*cos((π - 2*k*π)/n))*csc((π - 2*k*π)/n))/(a/b)^n^(-1))*sin((π - 2*k*π)/n), x, 5),
+
+
+(x^4/(2 + 13*x + 15*x^2), (139*x)/3375 - (13*x^2)/450 + x^3//45 - (16//567)*log(2 + 3*x) + log(1 + 5*x)/4375, x, 5),
+(x^3/(2 + 13*x + 15*x^2), -((13*x)/225) + x^2//30 + (8//189)*log(2 + 3*x) - (1//875)*log(1 + 5*x), x, 5),
+(x^2/(2 + 13*x + 15*x^2), x/15 - (4//63)*log(2 + 3*x) + (1//175)*log(1 + 5*x), x, 4),
+(x^1/(2 + 13*x + 15*x^2), (2//21)*log(2 + 3*x) - (1//35)*log(1 + 5*x), x, 3),
+(x^0/(2 + 13*x + 15*x^2), (-(1//7))*log(2 + 3*x) + (1//7)*log(1 + 5*x), x, 3),
+(1/(x^1*(2 + 13*x + 15*x^2)), log(x)/2 + (3//14)*log(2 + 3*x) - (5//7)*log(1 + 5*x), x, 5),
+(1/(x^2*(2 + 13*x + 15*x^2)), -(1/(2*x)) - (13*log(x))/4 - (9//28)*log(2 + 3*x) + (25//7)*log(1 + 5*x), x, 3),
+(1/(x^3*(2 + 13*x + 15*x^2)), -(1/(4*x^2)) + 13/(4*x) + (139*log(x))/8 + (27//56)*log(2 + 3*x) - (125//7)*log(1 + 5*x), x, 3),
+(1/(x^4*(2 + 13*x + 15*x^2)), -(1/(6*x^3)) + 13/(8*x^2) - 139/(8*x) - (1417*log(x))/16 - (81//112)*log(2 + 3*x) + (625//7)*log(1 + 5*x), x, 3),
+
+
+(x^5/(2*x + 13*x^2 + 15*x^3), (139*x)/3375 - (13*x^2)/450 + x^3//45 - (16//567)*log(2 + 3*x) + log(1 + 5*x)/4375, x, 6),
+(x^4/(2*x + 13*x^2 + 15*x^3), -((13*x)/225) + x^2//30 + (8//189)*log(2 + 3*x) - (1//875)*log(1 + 5*x), x, 6),
+(x^3/(2*x + 13*x^2 + 15*x^3), x/15 - (4//63)*log(2 + 3*x) + (1//175)*log(1 + 5*x), x, 5),
+(x^2/(2*x + 13*x^2 + 15*x^3), (2//21)*log(2 + 3*x) - (1//35)*log(1 + 5*x), x, 4),
+(x/(2*x + 13*x^2 + 15*x^3), (-(1//7))*log(2 + 3*x) + (1//7)*log(1 + 5*x), x, 4),
+(1/(2*x + 13*x^2 + 15*x^3), log(x)/2 + (3//14)*log(2 + 3*x) - (5//7)*log(1 + 5*x), x, 6),
+(1/(x*(2*x + 13*x^2 + 15*x^3)), -(1/(2*x)) - (13*log(x))/4 - (9//28)*log(2 + 3*x) + (25//7)*log(1 + 5*x), x, 4),
+(1/(x^2*(2*x + 13*x^2 + 15*x^3)), -(1/(4*x^2)) + 13/(4*x) + (139*log(x))/8 + (27//56)*log(2 + 3*x) - (125//7)*log(1 + 5*x), x, 4),
+(1/(x^3*(2*x + 13*x^2 + 15*x^3)), -(1/(6*x^3)) + 13/(8*x^2) - 139/(8*x) - (1417*log(x))/16 - (81//112)*log(2 + 3*x) + (625//7)*log(1 + 5*x), x, 4),
+
+
+(x/(4 + 4*x + x^2), 2/(2 + x) + log(2 + x), x, 3),
+(x/(5 + 2*x + x^2), (-(1//2))*atan((1 + x)/2) + (1//2)*log(5 + 2*x + x^2), x, 4),
+(x/(6 - 5*x + x^2), -2*log(2 - x) + 3*log(3 - x), x, 3),
+(x/(2 + 2*x + x^2)^2, -((2 + x)/(2*(2 + 2*x + x^2))) - (1//2)*atan(1 + x), x, 3),
+(x/(1 + x + x^2)^3, -((2 + x)/(6*(1 + x + x^2)^2)) - (1 + 2*x)/(6*(1 + x + x^2)) - (2*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)), x, 4),
+
+(x^2/(1 + x + x^2), x - atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) - log(1 + x + x^2)/2, x, 5),
+(x^2/(2 - 3*x + x^2), x - log(1 - x) + 4*log(2 - x), x, 4),
+(x^2/(-6 + x + x^2), x + (4//5)*log(2 - x) - (9//5)*log(3 + x), x, 4),
+# {x^2/(2 + 2*x + x^2)^2, x, 3, (2 + 2*x + x^2)^(-1) + ArcTan[1 + x], -((x*(2 + x))/(2*(2 + 2*x + x^2))) + ArcTan[1 + x]}
+
+(x^3/(2 - 3*x + x^2), 3*x + x^2//2 - log(1 - x) + 8*log(2 - x), x, 5),
+(x^3/(1 + 2*x + x^2), -2*x + x^2//2 + 1/(1 + x) + 3*log(1 + x), x, 3),
+(x^3/(1 - 2*x + x^2), 1/(1 - x) + 2*x + x^2//2 + 3*log(1 - x), x, 3),
+
+(x^4/(4 + 4*x + x^2), 12*x - 2*x^2 + x^3//3 - 16/(2 + x) - 32*log(2 + x), x, 3),
+
+(1/(x*(1 + x + x^2)), -(atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3)) + log(x) - log(1 + x + x^2)/2, x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2), (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^3) - (2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^3) + (2*c*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^3), x, 2),
+((d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2), (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^3) - (2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^3) + (2*c*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^3), x, 2),
+(sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2), (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^3) - (2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^3) + (2*c*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^3), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/sqrt(d + e*x), (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^3 - (2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^3) + (2*c*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^3), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^(3//2), (-2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(e^3*sqrt(d + e*x)) - (2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))/e^3 + (2*c*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^3), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^(5//2), (-2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(3*e^3*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(2*c*d - b*e))/(e^3*sqrt(d + e*x)) + (2*c*sqrt(d + e*x))/e^3, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^(7//2), (-2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(5*e^3*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(2*c*d - b*e))/(3*e^3*(d + e*x)^(3//2)) - (2*c)/(e^3*sqrt(d + e*x)), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^2, (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) - (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5) + (2*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^5) - (4*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^5), x, 2),
+((d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^2, (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) - (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) + (2*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5) - (4*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^5), x, 2),
+(sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^2, (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5) - (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) + (2*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) - (4*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^5), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/sqrt(d + e*x), (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x))/e^5 - (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5) + (2*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) - (4*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^5), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^(3//2), -((2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(e^5*sqrt(d + e*x))) - (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^5 + (2*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5) - (4*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^5), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^(5//2), -((2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(3*e^5*(d + e*x)^(3//2))) + (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(e^5*sqrt(d + e*x)) + (2*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*sqrt(d + e*x))/e^5 - (4*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5) + (2*c^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^5), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^(7//2), -((2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(5*e^5*(d + e*x)^(5//2))) + (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(3*e^5*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e)))/(e^5*sqrt(d + e*x)) - (4*c*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))/e^5 + (2*c^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^5), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^3, (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) - (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^7) + (6*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7) - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^7) + (2*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(15//2))/(5*e^7) - (6*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(19//2))/(19*e^7), x, 2),
+((d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^3, (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) - (6*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) + (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^7) - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7) + (6*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^7) - (2*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(15//2))/(5*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^7), x, 2),
+(sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^3, (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^7) - (6*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) + (6*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^7) + (6*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7) - (6*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^7), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/sqrt(d + e*x), (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*sqrt(d + e*x))/e^7 - (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2))/e^7 + (6*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) + (2*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^7) - (6*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^7), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^(3//2), -((2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(e^7*sqrt(d + e*x))) - (6*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x))/e^7 + (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(3//2))/e^7 - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) + (6*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) - (2*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^7), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^(5//2), -((2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(3*e^7*(d + e*x)^(3//2))) + (6*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(e^7*sqrt(d + e*x)) + (6*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*sqrt(d + e*x))/e^7 - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^7) + (6*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) - (6*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^7), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^(7//2), -((2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(5*e^7*(d + e*x)^(5//2))) + (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(e^7*(d + e*x)^(3//2)) - (6*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(e^7*sqrt(d + e*x)) - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*sqrt(d + e*x))/e^7 + (2*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(3//2))/e^7 - (6*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^7) + (2*c^3*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^7), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^(5//2)/(a + b*x + c*x^2), (2*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))/c^2 + (2*e*(d + e*x)^(3//2))/(3*c) - (sqrt(2)*(2*c^3*d^3 - b^2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^3 - 3*c^2*d*e*(b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 2*a*e) + c*e^2*(3*b^2*d - 3*b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 3*a*b*e - a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(5//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (sqrt(2)*(2*c^3*d^3 - b^2*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^3 - 3*c^2*d*e*(b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 2*a*e) + c*e^2*(3*b^2*d + a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e + 3*b*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e)))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(5//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 6),
+((d + e*x)^(3//2)/(a + b*x + c*x^2), (2*e*sqrt(d + e*x))/c - (sqrt(2)*(2*c^2*d^2 + b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(3//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (sqrt(2)*(2*c^2*d^2 + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(3//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 5),
+((d + e*x)^(1//2)/(a + b*x + c*x^2), -((sqrt(2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)), -((2*sqrt(2)*sqrt(c)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))) + (2*sqrt(2)*sqrt(c)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)), -((2*e)/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x))) - (sqrt(2)*sqrt(c)*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (sqrt(2)*sqrt(c)*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)), -((2*e)/(3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))) - (2*e*(2*c*d - b*e))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) - (sqrt(2)*sqrt(c)*(2*c^2*d^2 + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + (sqrt(2)*sqrt(c)*(2*c^2*d^2 + b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2), x, 6),
+
+
+((d + e*x)^(7//2)/(a + b*x + c*x^2)^2, (e*(2*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + 5*a*e))*sqrt(d + e*x))/(c^2*(b^2 - 4*a*c)) + (e*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2))/(c*(b^2 - 4*a*c)) - ((d + e*x)^(5//2)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + ((8*c^4*d^4 - 3*b^3*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^4 - 2*c^3*d^2*e*(8*b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 18*a*e) + b*c*e^3*(5*b^2*d - 5*b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 19*a*b*e - 13*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e) + c^2*e^2*(3*b^2*d^2 + 2*a*e*(13*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 10*a*e) - 3*b*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 12*a*e)))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - ((8*c^4*d^4 - 3*b^3*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^4 - 2*c^3*d^2*e*(8*b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 18*a*e) + b*c*e^3*(5*b^2*d + 5*b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 19*a*b*e + 13*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e) + c^2*e^2*(3*b^2*d^2 + 3*b*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 12*a*e) - 2*a*e*(13*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 10*a*e)))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 7),
+((d + e*x)^(5//2)/(a + b*x + c*x^2)^2, (e*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)) - ((d + e*x)^(3//2)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + ((8*c^3*d^3 + b^2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^3 - 2*c^2*d*e*(6*b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 8*a*e) + 2*c*e^2*(b^2*d + 3*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e - b*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 4*a*e)))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - ((8*c^3*d^3 + b^2*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^3 - 2*c^2*d*e*(6*b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 8*a*e) + 2*c*e^2*(b^2*d + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 4*a*b*e - 3*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 6),
+((d + e*x)^(3//2)/(a + b*x + c*x^2)^2, -((sqrt(d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2))) + ((8*c^2*d^2 + b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(4*b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - ((8*c^2*d^2 + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(4*b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 5),
+((d + e*x)^(1//2)/(a + b*x + c*x^2)^2, -(((b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2))) + (sqrt(2)*sqrt(c)*(4*c*d - (2*b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (sqrt(2)*sqrt(c)*(4*c*d - (2*b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)^2), -((sqrt(d + e*x)*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2))) + (sqrt(c)*(8*c^2*d^2 - b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(4*b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 6*a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - (sqrt(c)*(8*c^2*d^2 - b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(4*b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 6*a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^2), -((e*(2*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + 5*a*e)))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x))) - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x)/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(c)*(8*c^3*d^3 + 3*b^2*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^3 - 2*c^2*d*e*(6*b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 16*a*e) - 2*c*e^2*(b^2*d + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 8*a*b*e + 5*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) - (sqrt(c)*(8*c^3*d^3 + 3*b^2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^3 - 2*c^2*d*e*(6*b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 16*a*e) - 2*c*e^2*(b^2*d - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 8*a*b*e - 5*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2), x, 6),
+(1/(x^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^2), -((5*b^2 - 14*a*c)/(3*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^(3//2))) + (b*(5*b^2 - 19*a*c))/(a^3*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(x)) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x)/(a*(b^2 - 4*a*c)*x^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(c)*(5*b^4 - 29*a*b^2*c + 28*a^2*c^2 + b*(5*b^2 - 19*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(5*b^4 - 29*a*b^2*c + 28*a^2*c^2 - b*(5*b^2 - 19*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 7),
+
+
+((d + e*x)^(7//2)/(a + b*x + c*x^2)^3, -(((d + e*x)^(5//2)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)) + (sqrt(d + e*x)*(12*b*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2) - 4*a*c*e*(7*c*d^2 + 5*a*e^2) - b^2*(11*c*d^2*e + a*e^3) + (2*c*d - b*e)*(12*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d - 2*a*e))*x))/(4*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) - ((96*c^4*d^4 - b^3*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^4 - 8*c^3*d^2*e*(24*b*d - 3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 19*a*e) - 2*b*c*e^3*(5*b^2*d - 5*b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 9*a*b*e + 8*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e) + 2*c^2*e^2*(53*b^2*d^2 + 4*a*e*(4*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 5*a*e) - 2*b*d*(9*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 38*a*e)))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(4*sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + ((96*c^4*d^4 - b^3*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^4 - 8*c^3*d^2*e*(24*b*d + 3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 19*a*e) - 2*b*c*e^3*(5*b^2*d + 5*b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 9*a*b*e - 8*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e) + 2*c^2*e^2*(53*b^2*d^2 + 2*b*d*(9*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 38*a*e) - 4*a*e*(4*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 5*a*e)))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(4*sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 6),
+((d + e*x)^(5//2)/(a + b*x + c*x^2)^3, -(((d + e*x)^(3//2)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (3*sqrt(d + e*x)*(3*b^2*d*e + 4*a*c*d*e - 4*b*(c*d^2 + a*e^2) - (8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - a*e))*x))/(4*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (3*(32*c^3*d^3 - b^2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^3 - 8*c^2*d*e*(6*b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 3*a*e) + 2*c*e^2*(9*b^2*d - 4*b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 6*a*b*e + 2*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(4*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (3*(32*c^3*d^3 - b^2*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^3 - 8*c^2*d*e*(6*b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 3*a*e) + 2*c*e^2*(9*b^2*d + 4*b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 6*a*b*e - 2*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(4*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 6),
+((d + e*x)^(3//2)/(a + b*x + c*x^2)^3, -((sqrt(d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)) + (sqrt(d + e*x)*(12*b*c*d - 7*b^2*e + 4*a*c*e + 12*c*(2*c*d - b*e)*x))/(4*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (3*sqrt(c)*(16*c^2*d^2 + b*(3*b - 2*sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(2*sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (3*sqrt(c)*(16*c^2*d^2 + b*(3*b + 2*sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 4*c*e*(4*b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(2*sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 6),
+((d + e*x)^(1//2)/(a + b*x + c*x^2)^3, -(((b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (sqrt(d + e*x)*(13*b^2*c*d*e - 4*a*c^2*d*e - b^3*e^2 - 4*b*c*(3*c*d^2 + 2*a*e^2) - c*(24*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(6*b*d - 5*a*e))*x))/(4*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(c)*(96*c^3*d^3 + b^2*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^3 - 8*c^2*d*e*(18*b*d - 3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 13*a*e) + 2*c*e^2*(23*b^2*d + 10*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e - 2*b*(6*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 13*a*e)))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(4*sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (sqrt(c)*(96*c^3*d^3 + b^2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^3 - 8*c^2*d*e*(18*b*d + 3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 13*a*e) + 2*c*e^2*(23*b^2*d + 12*b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 26*a*b*e - 10*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(4*sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 6),
+# {1/((d + e*x)^(1/2)*(a + b*x + c*x^2)^3), x, 6, If[$VersionNumber>=8, -((Sqrt[d + e*x]*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (Sqrt[d + e*x]*(5*a*c*e*(2*c*d - b*e)^2 - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(12*c^2*d^2 - 3*b^2*e^2 - 7*c*e*(b*d - 2*a*e)) - 3*c*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 2*a*e))*x))/(4*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (3*Sqrt[c]*(32*c^4*d^4 + b^3*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e^4 - 8*c^3*d^2*e*(8*b*d - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d - 9*a*e) + 2*b*c*e^3*(b^2*d + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d - 5*a*b*e - 4*a*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e) + 2*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 6*b*d*(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d + 6*a*e) + 4*a*e*(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d + 7*a*e)))*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]])/(4*Sqrt[2]*(b^2 - 4*a*c)^(5/2)*Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + (3*Sqrt[c]*(32*c^4*d^4 + b^3*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e^4 - 8*c^3*d^2*e*(8*b*d + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d - 9*a*e) + 2*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 4*a*e*(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d - 7*a*e) + 6*b*d*(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d - 6*a*e)) + 2*b*c*e^3*(b^2*d + 4*a*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e - b*(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d + 5*a*e)))*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]])/(4*Sqrt[2]*(b^2 - 4*a*c)^(5/2)*Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*(c*d^2 - e*(b*d - a*e))^2), -((Sqrt[d + e*x]*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (Sqrt[d + e*x]*(5*a*c*e*(2*c*d - b*e)^2 - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(12*c^2*d^2 - 3*b^2*e^2 - 7*c*e*(b*d - 2*a*e)) - 3*c*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 2*a*e))*x))/(4*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (3*Sqrt[c]*(32*c^4*d^4 + b^3*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e^4 - 8*c^3*d^2*e*(8*b*d - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d - 9*a*e) + 2*b*c*e^3*(b^2*d + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d - 5*a*b*e - 4*a*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e) + 2*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 6*b*d*(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d + 6*a*e) + 4*a*e*(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d + 7*a*e)))*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]])/(4*Sqrt[2]*(b^2 - 4*a*c)^(5/2)*Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + (3*Sqrt[c]*(32*c^4*d^4 + b^3*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e^4 - 8*c^3*d^2*e*(8*b*d + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d - 9*a*e) + 2*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 4*a*e*(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d - 7*a*e) + 6*b*d*(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d - 6*a*e)) + 2*b*c*e^3*(b^2*d + 4*a*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e - b*(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d + 5*a*e)))*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]])/(4*Sqrt[2]*(b^2 - 4*a*c)^(5/2)*Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)]}
+
+
+((d + e*x)^(1//2)/(a + b*I*x + c*x^2), (e*atanh((sqrt(2*c*d - I*b*e + 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e))) - 2*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - I*b*e - 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)))))/(sqrt(c)*sqrt(2*c*d - I*b*e - 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)))) - (e*atanh((sqrt(2*c*d - I*b*e + 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e))) + 2*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - I*b*e - 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)))))/(sqrt(c)*sqrt(2*c*d - I*b*e - 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)))) + (e*log(sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)) - sqrt(2*c*d - I*b*e + 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(2*sqrt(c)*sqrt(2*c*d - I*b*e + 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)))) - (e*log(sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)) + sqrt(2*c*d - I*b*e + 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(2*sqrt(c)*sqrt(2*c*d - I*b*e + 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)))), x, 10),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*(a + b*I*x + c*x^2)), (e*atanh((sqrt(2*c*d - I*b*e + 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e))) - 2*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - I*b*e - 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)))))/(sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e))*sqrt(2*c*d - I*b*e - 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)))) - (e*atanh((sqrt(2*c*d - I*b*e + 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e))) + 2*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - I*b*e - 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)))))/(sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e))*sqrt(2*c*d - I*b*e - 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)))) - (e*log(sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)) - sqrt(2*c*d - I*b*e + 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(2*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e))*sqrt(2*c*d - I*b*e + 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)))) + (e*log(sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)) + sqrt(2*c*d - I*b*e + 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)))*sqrt(d + e*x) + sqrt(c)*(d + e*x)))/(2*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e))*sqrt(2*c*d - I*b*e + 2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - e*(I*b*d - a*e)))), x, 10),
+
+
+# b^2-4*a*c<0
+((1 + 2*x)^(7//2)/(2 + 3*x + 5*x^2), (-(76//125))*sqrt(1 + 2*x) + (16//75)*(1 + 2*x)^(3//2) + (4//25)*(1 + 2*x)^(5//2) + (1//125)*sqrt((2//155)*(-168698 + 42875*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) - (1//125)*sqrt((2//155)*(-168698 + 42875*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) - (1//125)*sqrt((1//310)*(168698 + 42875*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)) + (1//125)*sqrt((1//310)*(168698 + 42875*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)), x, 13),
+((1 + 2*x)^(5//2)/(2 + 3*x + 5*x^2), (16//25)*sqrt(1 + 2*x) + (4//15)*(1 + 2*x)^(3//2) + (1//25)*sqrt((2//155)*(7162 + 1225*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) - (1//25)*sqrt((2//155)*(7162 + 1225*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) + (1//25)*sqrt((1//310)*(-7162 + 1225*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)) - (1//25)*sqrt((1//310)*(-7162 + 1225*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)), x, 12),
+((1 + 2*x)^(3//2)/(2 + 3*x + 5*x^2), (4//5)*sqrt(1 + 2*x) + (1//5)*sqrt((2//155)*(-178 + 35*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) - (1//5)*sqrt((2//155)*(-178 + 35*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) + (1//5)*sqrt((1//310)*(178 + 35*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)) - (1//5)*sqrt((1//310)*(178 + 35*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)), x, 11),
+((1 + 2*x)^(1//2)/(2 + 3*x + 5*x^2), (-sqrt(2/(5*(-2 + sqrt(35)))))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) + sqrt(2/(5*(-2 + sqrt(35))))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) + log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x))/sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x))/sqrt(10*(2 + sqrt(35))), x, 10),
+(1/((1 + 2*x)^(1//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)), (-sqrt((2//217)*(2 + sqrt(35))))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) + sqrt((2//217)*(2 + sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) - log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x))/sqrt(14*(2 + sqrt(35))) + log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x))/sqrt(14*(2 + sqrt(35))), x, 10),
+(1/((1 + 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)), -(4/(7*sqrt(1 + 2*x))) + (1//7)*sqrt((2//217)*(-178 + 35*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) - (1//7)*sqrt((2//217)*(-178 + 35*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) - (1//7)*sqrt((1//434)*(178 + 35*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)) + (1//7)*sqrt((1//434)*(178 + 35*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)), x, 11),
+(1/((1 + 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)), -(4/(21*(1 + 2*x)^(3//2))) - 16/(49*sqrt(1 + 2*x)) + (1//49)*sqrt((2//217)*(7162 + 1225*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) - (1//49)*sqrt((2//217)*(7162 + 1225*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) - (1//49)*sqrt((1//434)*(-7162 + 1225*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)) + (1//49)*sqrt((1//434)*(-7162 + 1225*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)), x, 12),
+
+
+((1 + 2*x)^(7//2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^2, (604//775)*sqrt(1 + 2*x) - (8//155)*(1 + 2*x)^(3//2) - ((5 - 4*x)*(1 + 2*x)^(5//2))/(31*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (1//775)*sqrt((2//155)*(-5682718 + 968975*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) - (1//775)*sqrt((2//155)*(-5682718 + 968975*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) + (1//775)*sqrt((1//310)*(5682718 + 968975*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)) - (1//775)*sqrt((1//310)*(5682718 + 968975*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)), x, 13),
+((1 + 2*x)^(5//2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^2, (-(8//155))*sqrt(1 + 2*x) - ((5 - 4*x)*(1 + 2*x)^(3//2))/(31*(2 + 3*x + 5*x^2)) - (1//155)*sqrt((2//155)*(32678 + 10325*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) + (1//155)*sqrt((2//155)*(32678 + 10325*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) + (1//155)*sqrt((1//310)*(-32678 + 10325*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)) - (1//155)*sqrt((1//310)*(-32678 + 10325*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)), x, 12),
+((1 + 2*x)^(3//2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^2, -(((5 - 4*x)*sqrt(1 + 2*x))/(31*(2 + 3*x + 5*x^2))) - (1//31)*sqrt((2//155)*(218 + 47*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) + (1//31)*sqrt((2//155)*(218 + 47*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) - (1//31)*sqrt((1//310)*(-218 + 47*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)) + (1//31)*sqrt((1//310)*(-218 + 47*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)), x, 11),
+((1 + 2*x)^(1//2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^2, (sqrt(1 + 2*x)*(3 + 10*x))/(31*(2 + 3*x + 5*x^2)) - (1//31)*sqrt((2//217)*(218 + 47*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) + (1//31)*sqrt((2//217)*(218 + 47*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) + (1//31)*sqrt((1//434)*(-218 + 47*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)) - (1//31)*sqrt((1//434)*(-218 + 47*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)), x, 11),
+(1/((1 + 2*x)^(1//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^2), (sqrt(1 + 2*x)*(37 + 20*x))/(217*(2 + 3*x + 5*x^2)) - (1//217)*sqrt((2//217)*(32678 + 10325*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) + (1//217)*sqrt((2//217)*(32678 + 10325*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) - (1//217)*sqrt((1//434)*(-32678 + 10325*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)) + (1//217)*sqrt((1//434)*(-32678 + 10325*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)), x, 11),
+(1/((1 + 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^2), -(604/(1519*sqrt(1 + 2*x))) + (37 + 20*x)/(217*sqrt(1 + 2*x)*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (sqrt((2//217)*(-5682718 + 968975*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))))/1519 - (sqrt((2//217)*(-5682718 + 968975*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))))/1519 - (sqrt((1//434)*(5682718 + 968975*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)))/1519 + (sqrt((1//434)*(5682718 + 968975*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)))/1519, x, 12),
+(1/((1 + 2*x)^(5//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^2), -(820/(4557*(1 + 2*x)^(3//2))) - 4680/(10633*sqrt(1 + 2*x)) + (37 + 20*x)/(217*(1 + 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (5*sqrt((2//217)*(12504542 + 2632525*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))))/10633 - (5*sqrt((2//217)*(12504542 + 2632525*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))))/10633 - (5*sqrt((1//434)*(-12504542 + 2632525*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)))/10633 + (5*sqrt((1//434)*(-12504542 + 2632525*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)))/10633, x, 13),
+
+
+((1 + 2*x)^(9//2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^3, -((1584*sqrt(1 + 2*x))/24025) - ((5 - 4*x)*(1 + 2*x)^(7//2))/(62*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) - ((1143 - 1088*x)*(1 + 2*x)^(3//2))/(9610*(2 + 3*x + 5*x^2)) - (3*sqrt((1//310)*(250141922 + 64681225*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))))/24025 + (3*sqrt((1//310)*(250141922 + 64681225*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))))/24025 + (3*sqrt((1//310)*(-250141922 + 64681225*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)))/48050 - (3*sqrt((1//310)*(-250141922 + 64681225*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)))/48050, x, 13),
+((1 + 2*x)^(7//2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^3, -(((5 - 4*x)*(1 + 2*x)^(5//2))/(62*(2 + 3*x + 5*x^2)^2)) - ((957 - 592*x)*sqrt(1 + 2*x))/(9610*(2 + 3*x + 5*x^2)) - (sqrt((1//310)*(9651062 + 1806875*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))))/4805 + (sqrt((1//310)*(9651062 + 1806875*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))))/4805 - (sqrt((1//310)*(-9651062 + 1806875*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)))/9610 + (sqrt((1//310)*(-9651062 + 1806875*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)))/9610, x, 12),
+((1 + 2*x)^(5//2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^3, -(((5 - 4*x)*(1 + 2*x)^(3//2))/(62*(2 + 3*x + 5*x^2)^2)) + (3*sqrt(1 + 2*x)*(11 + 78*x))/(1922*(2 + 3*x + 5*x^2)) - (3//961)*sqrt((1//310)*(15082 + 2705*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) + (3//961)*sqrt((1//310)*(15082 + 2705*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) + (3*sqrt((1//310)*(-15082 + 2705*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)))/1922 - (3*sqrt((1//310)*(-15082 + 2705*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)))/1922, x, 12),
+((1 + 2*x)^(3//2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^3, -(((5 - 4*x)*sqrt(1 + 2*x))/(62*(2 + 3*x + 5*x^2)^2)) + (sqrt(1 + 2*x)*(67 + 120*x))/(1922*(2 + 3*x + 5*x^2)) - (3//961)*sqrt((1//434)*(15082 + 2705*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) + (3//961)*sqrt((1//434)*(15082 + 2705*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))) - (3*sqrt((1//434)*(-15082 + 2705*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)))/1922 + (3*sqrt((1//434)*(-15082 + 2705*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)))/1922, x, 12),
+((1 + 2*x)^(1//2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^3, (sqrt(1 + 2*x)*(3 + 10*x))/(62*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (sqrt(1 + 2*x)*(599 + 1790*x))/(13454*(2 + 3*x + 5*x^2)) - (sqrt((1//434)*(9651062 + 1806875*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))))/6727 + (sqrt((1//434)*(9651062 + 1806875*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))))/6727 + (sqrt((1//434)*(-9651062 + 1806875*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)))/13454 - (sqrt((1//434)*(-9651062 + 1806875*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)))/13454, x, 12),
+(1/((1 + 2*x)^(1//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^3), (sqrt(1 + 2*x)*(37 + 20*x))/(434*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (sqrt(1 + 2*x)*(9227 + 7920*x))/(94178*(2 + 3*x + 5*x^2)) - (3*sqrt((1//434)*(2 + sqrt(35)))*(7379 + 264*sqrt(35))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))))/47089 + (3*sqrt((1//434)*(2 + sqrt(35)))*(7379 + 264*sqrt(35))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))))/47089 - (3*sqrt((1//434)*(-250141922 + 64681225*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)))/94178 + (3*sqrt((1//434)*(-250141922 + 64681225*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)))/94178, x, 12),
+(1/((1 + 2*x)^(3//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^3), -(81090/(329623*sqrt(1 + 2*x))) + (37 + 20*x)/(434*sqrt(1 + 2*x)*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (5*(2329 + 2080*x))/(94178*sqrt(1 + 2*x)*(2 + 3*x + 5*x^2)) - (15*sqrt((1//434)*(-2257111762 + 387427075*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) - 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))))/329623 + (15*sqrt((1//434)*(-2257111762 + 387427075*sqrt(35)))*atan((sqrt(10*(2 + sqrt(35))) + 10*sqrt(1 + 2*x))/sqrt(10*(-2 + sqrt(35)))))/329623 - (15*sqrt((1//434)*(2257111762 + 387427075*sqrt(35)))*log(sqrt(35) - sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)))/659246 + (15*sqrt((1//434)*(2257111762 + 387427075*sqrt(35)))*log(sqrt(35) + sqrt(10*(2 + sqrt(35)))*sqrt(1 + 2*x) + 5*(1 + 2*x)))/659246, x, 13),
+
+
+(x^(9//2)/(a + b*x + c*x^2)^3, -((3*b*(b^2 - 8*a*c)*sqrt(x))/(4*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2)) + (x^(7//2)*(2*a + b*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2) + (x^(3//2)*(a*(b^2 - 28*a*c) + b*(b^2 - 16*a*c)*x))/(4*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) + (3*(b^4 - 9*a*b^2*c + 28*a^2*c^2 - (b^5 - 11*a*b^3*c + 44*a^2*b*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (3*(b^4 - 9*a*b^2*c + 28*a^2*c^2 + (b^5 - 11*a*b^3*c + 44*a^2*b*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 7),
+(1/(x^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^3), -((3*(5*b^2 - 12*a*c)*(b^2 - 5*a*c))/(4*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(x))) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(x)*(a + b*x + c*x^2)^2) + (5*b^4 - 35*a*b^2*c + 36*a^2*c^2 + b*c*(5*b^2 - 32*a*c)*x)/(4*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(x)*(a + b*x + c*x^2)) - (3*sqrt(c)*(5*b^5 - 47*a*b^3*c + 124*a^2*b*c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(5*b^4 - 37*a*b^2*c + 60*a^2*c^2))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (3*sqrt(c)*(5*b^5 - 47*a*b^3*c + 124*a^2*b*c^2 - 5*b^4*sqrt(b^2 - 4*a*c) + 37*a*b^2*c*sqrt(b^2 - 4*a*c) - 60*a^2*c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/3) (a+b x+c x^2)^p
+
+
+((3 - x + x^2)/x^(1//3), (9*x^(2//3))/2 - (3*x^(5//3))/5 + (3*x^(8//3))/8, x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2), ((2*c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d + 3*a*e))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(128*c^4) + (e*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*c) + (e*(192*c^2*d^2 + 35*b^2*e^2 - 2*c*e*(75*b*d + 16*a*e) + 42*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(240*c^3) - ((b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d + 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*c^(9//2)), x, 5),
+((d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2), ((16*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d + a*e))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*c^3) + (5*e*(2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*c^2) + (e*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(4*c) - ((b^2 - 4*a*c)*(16*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(7//2)), x, 5),
+((d + e*x)^1*sqrt(a + b*x + c*x^2), ((2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c^2) + (e*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*c) - ((b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(5//2)), x, 4),
+((d + e*x)^0*sqrt(a + b*x + c*x^2), ((b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c) - ((b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(3//2)), x, 3),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^1, sqrt(a + b*x + c*x^2)/e - ((2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*e^2) + (sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^2, x, 6),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^2, -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(e*(d + e*x))) + (sqrt(c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^2 - ((2*c*d - b*e)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*e^2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 6),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^3, ((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2) - ((b^2 - 4*a*c)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)), x, 3),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^4, ((2*c*d - b*e)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^2) - (e*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^3) - ((b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^5, ((16*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d + a*e))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^2) - (e*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^4) - (5*e*(2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^3) - ((b^2 - 4*a*c)*(16*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d + a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7//2)), x, 5),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^6, ((2*c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d + 3*a*e))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(128*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4*(d + e*x)^2) - (e*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^5) - (7*e*(2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(40*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^4) - (e*(108*c^2*d^2 + 35*b^2*e^2 - 4*c*e*(27*b*d + 8*a*e))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(240*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^3) - ((b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d + 3*a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(9//2)), x, 6),
+
+
+((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((3*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + a*e))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1024*c^5)) + ((2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(128*c^4) + (e*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(7*c) + (e*(128*c^2*d^2 + 21*b^2*e^2 - 2*c*e*(49*b*d + 8*a*e) + 30*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(280*c^3) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2048*c^(11//2)), x, 6),
+((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -(((b^2 - 4*a*c)*(24*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(6*b*d + a*e))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(512*c^4)) + ((24*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(6*b*d + a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*c^3) + (7*e*(2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(60*c^2) + (e*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(6*c) + ((b^2 - 4*a*c)^2*(24*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(6*b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(1024*c^(9//2)), x, 6),
+((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((3*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(128*c^3)) + ((2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(16*c^2) + (e*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*c) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*c^(7//2)), x, 5),
+((d + e*x)^0*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((3*(b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*c^2)) + ((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(8*c) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(5//2)), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^1, ((8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 4*a*e) - 2*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c*e^3) + (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(3*e) - ((2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*e^4) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^4, x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^2, -((3*(4*c*d - 3*b*e - 2*c*e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*e^3)) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(e*(d + e*x)) + (3*(8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(c)*e^4) - (3*(2*c*d - b*e)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*e^4), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^3, (3*(4*c*d - b*e + 2*c*e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*e^3*(d + e*x)) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(2*e*(d + e*x)^2) - (3*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*e^4) + (3*(8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*e^4*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^4, -(((8*c^2*d^3 - b*e^2*(b*d - 2*a*e) - 2*c*d*e*(3*b*d - 2*a*e) + e*(12*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d - 2*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2)) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(3*e*(d + e*x)^3) + (c^(3//2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^4 - ((2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 3*a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*e^4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^5, -((3*(b^2 - 4*a*c)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^2)) + ((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(8*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^4) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^6, -((3*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(128*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^2)) + ((2*c*d - b*e)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(16*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^4) - (e*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^5) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*(2*c*d - b*e)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7//2)), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^7, -(((b^2 - 4*a*c)*(24*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(6*b*d + a*e))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(512*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4*(d + e*x)^2)) + ((24*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(6*b*d + a*e))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^4) - (e*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(6*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^6) - (7*e*(2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(60*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^5) + ((b^2 - 4*a*c)^2*(24*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(6*b*d + a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(1024*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(9//2)), x, 6),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^8, -((3*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + a*e))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1024*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^5*(d + e*x)^2)) + ((2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + a*e))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(128*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4*(d + e*x)^4) - (e*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(7*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^7) - (3*e*(2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(28*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^6) - (e*(68*c^2*d^2 + 21*b^2*e^2 - 4*c*e*(17*b*d + 4*a*e))*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(280*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^5) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2048*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(11//2)), x, 7),
+
+
+((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (5*(b^2 - 4*a*c)^2*(2*c*d - b*e)*(32*c^2*d^2 + 11*b^2*e^2 - 4*c*e*(8*b*d + 3*a*e))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(32768*c^6) - (5*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(32*c^2*d^2 + 11*b^2*e^2 - 4*c*e*(8*b*d + 3*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(12288*c^5) + ((2*c*d - b*e)*(32*c^2*d^2 + 11*b^2*e^2 - 4*c*e*(8*b*d + 3*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(768*c^4) + (e*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(9*c) + (e*(640*c^2*d^2 + 99*b^2*e^2 - 2*c*e*(243*b*d + 32*a*e) + 154*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(2016*c^3) - (5*(b^2 - 4*a*c)^3*(2*c*d - b*e)*(32*c^2*d^2 + 11*b^2*e^2 - 4*c*e*(8*b*d + 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(65536*c^(13//2)), x, 7),
+((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (5*(b^2 - 4*a*c)^2*(32*c^2*d^2 + 9*b^2*e^2 - 4*c*e*(8*b*d + a*e))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(16384*c^5) - (5*(b^2 - 4*a*c)*(32*c^2*d^2 + 9*b^2*e^2 - 4*c*e*(8*b*d + a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(6144*c^4) + ((32*c^2*d^2 + 9*b^2*e^2 - 4*c*e*(8*b*d + a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(384*c^3) + (9*e*(2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(112*c^2) + (e*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(8*c) - (5*(b^2 - 4*a*c)^3*(32*c^2*d^2 + 9*b^2*e^2 - 4*c*e*(8*b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(32768*c^(11//2)), x, 7),
+((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (5*(b^2 - 4*a*c)^2*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1024*c^4) - (5*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(384*c^3) + ((2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(24*c^2) + (e*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(7*c) - (5*(b^2 - 4*a*c)^3*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2048*c^(9//2)), x, 6),
+((d + e*x)^0*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (5*(b^2 - 4*a*c)^2*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(512*c^3) - (5*(b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*c^2) + ((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(12*c) - (5*(b^2 - 4*a*c)^3*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(1024*c^(7//2)), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^1, (1/(128*c^2*e^5))*((128*c^4*d^4 - 3*b^4*e^4 - 2*b^2*c*e^3*(5*b*d - 14*a*e) - 32*c^3*d^2*e*(9*b*d - 8*a*e) + 8*c^2*e^2*(22*b^2*d^2 - 39*a*b*d*e + 16*a^2*e^2) - 2*c*e*(2*c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 - 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 7*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + ((16*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(11*b*d - 8*a*e) - 6*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(48*c*e^3) + (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(5*e) - ((2*c*d - b*e)*(128*c^4*d^4 + 3*b^4*e^4 + 8*b^2*c*e^3*(2*b*d - 5*a*e) - 64*c^3*d^2*e*(4*b*d - 5*a*e) + 16*c^2*e^2*(7*b^2*d^2 - 20*a*b*d*e + 15*a^2*e^2))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*c^(5//2)*e^6) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^6, x, 8),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^2, -((5*(64*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 4*b*c*e^2*(12*b*d - 11*a*e) - 16*c^2*d*e*(7*b*d - 4*a*e) - 2*c*e*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 3*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*c*e^5)) - (5*(8*c*d - 7*b*e - 6*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*e^3) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(e*(d + e*x)) + (5*(128*c^4*d^4 - b^4*e^4 - 8*b^2*c*e^3*(2*b*d - 3*a*e) - 64*c^3*d^2*e*(4*b*d - 3*a*e) + 48*c^2*e^2*(3*b^2*d^2 - 4*a*b*d*e + a^2*e^2))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(3//2)*e^6) - (5*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*e^6), x, 8),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^3, (5*(16*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(5*b*d - a*e) - 4*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*e^5) + (5*(8*c*d - 3*b*e + 2*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(12*e^3*(d + e*x)) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(2*e*(d + e*x)^2) - (5*(2*c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*sqrt(c)*e^6) + (5*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(16*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*e^6), x, 8),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^4, -((5*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d - a*e) + 4*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*e^5*(d + e*x))) + (5*(4*c*d - b*e + 2*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(12*e^3*(d + e*x)^2) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(3*e*(d + e*x)^3) + (5*sqrt(c)*(16*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*e^6) - (5*(2*c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 3*a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*e^6*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 8),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^5, (5*(64*c^3*d^3 + b^3*e^3 + 4*b*c*e^2*(4*b*d - 5*a*e) - 16*c^2*d*e*(5*b*d - 4*a*e) + 2*c*e*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 3*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*e^5*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)) - (5*(16*c^2*d^3 - b*e^2*(b*d - 4*a*e) - 4*c*d*e*(3*b*d - a*e) + 3*e*(8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - a*e))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(96*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^3) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(4*e*(d + e*x)^4) - (5*c^(3//2)*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*e^6) + (5*(128*c^4*d^4 - b^4*e^4 - 8*b^2*c*e^3*(2*b*d - 3*a*e) - 64*c^3*d^2*e*(4*b*d - 3*a*e) + 48*c^2*e^2*(3*b^2*d^2 - 4*a*b*d*e + a^2*e^2))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*e^6*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)), x, 8),
+
+
+(sqrt(-2 - 3*x + 5*x^2)/x, sqrt(-2 - 3*x + 5*x^2) + sqrt(2)*atan((4 + 3*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(-2 - 3*x + 5*x^2))) + (3*atanh((3 - 10*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(-2 - 3*x + 5*x^2))))/(2*sqrt(5)), x, 6),
+(sqrt(2 - x - x^2)/x^2, -(sqrt(2 - x - x^2)/x) + asin((1//3)*(-1 - 2*x)) + atanh((4 - x)/(2*sqrt(2)*sqrt(2 - x - x^2)))/(2*sqrt(2)), x, 6),
+
+
+((1 + x)^3*sqrt(2 + 2*x + x^2), (-(2//15))*(2 + 2*x + x^2)^(3//2) + (1//5)*(1 + x)^2*(2 + 2*x + x^2)^(3//2), x, 2),
+((-2 + 3*x)*sqrt(8 + 12*x + 9*x^2), (-(2//3))*(2 + 3*x)*sqrt(8 + 12*x + 9*x^2) + (1//9)*(8 + 12*x + 9*x^2)^(3//2) - (8//3)*asinh(1 + (3*x)/2), x, 4),
+((7 - 2*x)*sqrt(9 + 16*x - 4*x^2), (-(3//2))*(2 - x)*sqrt(9 + 16*x - 4*x^2) + (1//6)*(9 + 16*x - 4*x^2)^(3//2) - (75//4)*asin((2*(2 - x))/5), x, 4),
+
+(sqrt(-1 - x + x^2)/(1 + x), sqrt(-1 - x + x^2) + (3//2)*atanh((1 - 2*x)/(2*sqrt(-1 - x + x^2))) + atanh((1 + 3*x)/(2*sqrt(-1 - x + x^2))), x, 6),
+(sqrt(-1 - x + x^2)/(1 - x), -sqrt(-1 - x + x^2) - atan((3 - x)/(2*sqrt(-1 - x + x^2))) + (1//2)*atanh((1 - 2*x)/(2*sqrt(-1 - x + x^2))), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^6/sqrt(a + b*x + c*x^2), -((b*(77*b^2 - 156*a*c)*x^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(320*c^4)) + ((99*b^2 - 100*a*c)*x^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(480*c^3) - (11*b*x^4*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(60*c^2) + (x^5*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(6*c) - ((7*b*(165*b^4 - 680*a*b^2*c + 528*a^2*c^2) - 2*c*(385*b^4 - 1176*a*b^2*c + 400*a^2*c^2)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2560*c^6) + ((231*b^6 - 1260*a*b^4*c + 1680*a^2*b^2*c^2 - 320*a^3*c^3)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(1024*c^(13//2)), x, 7),
+(x^5/sqrt(a + b*x + c*x^2), ((63*b^2 - 64*a*c)*x^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(240*c^3) - (9*b*x^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(40*c^2) + (x^4*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*c) + ((945*b^4 - 2940*a*b^2*c + 1024*a^2*c^2 - 14*b*c*(45*b^2 - 92*a*c)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1920*c^5) - (b*(63*b^4 - 280*a*b^2*c + 240*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*c^(11//2)), x, 6),
+((d + e*x)^4/sqrt(a + b*x + c*x^2), (7*e*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*c^2) + (e*(d + e*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c) + (e*(608*c^3*d^3 - 105*b^3*e^3 + 20*b*c*e^2*(24*b*d + 11*a*e) - 8*c^2*d*e*(101*b*d + 64*a*e) + 2*c*e*(104*c^2*d^2 + 35*b^2*e^2 - 4*c*e*(26*b*d + 9*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(192*c^4) + ((128*c^4*d^4 + 35*b^4*e^4 - 128*c^3*d^2*e*(2*b*d + 3*a*e) - 40*b^2*c*e^3*(4*b*d + 3*a*e) + 48*c^2*e^2*(6*b^2*d^2 + 8*a*b*d*e + a^2*e^2))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(9//2)), x, 5),
+((d + e*x)^3/sqrt(a + b*x + c*x^2), (e*(d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c) + (e*(64*c^2*d^2 + 15*b^2*e^2 - 2*c*e*(27*b*d + 8*a*e) + 10*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*c^3) + ((2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(7//2)), x, 4),
+((d + e*x)^2/sqrt(a + b*x + c*x^2), (3*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c^2) + (e*(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*c) + ((8*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(5//2)), x, 4),
+((d + e*x)^1/sqrt(a + b*x + c*x^2), (e*sqrt(a + b*x + c*x^2))/c + ((2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(3//2)), x, 3),
+((d + e*x)^0/sqrt(a + b*x + c*x^2), atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))/sqrt(c), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*sqrt(a + b*x + c*x^2)), atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))/sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2), x, 2),
+(1/((d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((e*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x))) + ((2*c*d - b*e)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)), x, 3),
+(1/((d + e*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((e*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2)) - (3*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)) + ((8*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^4*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((e*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^3)) - (5*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(12*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^2) - (e*(44*c^2*d^2 + 15*b^2*e^2 - 4*c*e*(11*b*d + 4*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)) + ((2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 3*a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7//2)), x, 5),
+
+
+((d + e*x)^4/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x)^3*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (2*e*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(c*(b^2 - 4*a*c)) + (e*(32*c^3*d^3 - 15*b^3*e^3 + 4*b*c*e^2*(12*b*d + 13*a*e) - 8*c^2*d*e*(5*b*d + 16*a*e) + 2*c*e*(8*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 3*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c^3*(b^2 - 4*a*c)) + (3*e^2*(16*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(7//2)), x, 5),
+((d + e*x)^3/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x)^2*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (e*(8*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d + 4*a*e) + 2*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(c^2*(b^2 - 4*a*c)) + (3*e^2*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(5//2)), x, 4),
+((d + e*x)^2/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (2*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(c*(b^2 - 4*a*c)) + (e^2*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/c^(3//2), x, 4),
+((d + e*x)^1/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))), x, 1),
+((d + e*x)^0/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))), x, 1),
+(1/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (e^2*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2), x, 4),
+(1/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - (e*(4*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d + 2*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)) + (3*e^2*(2*c*d - b*e)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - (e*(8*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 3*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^2) - (e*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 + 15*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 13*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)) + (3*e^2*(16*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d + a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7//2)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - (e*(12*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d + 4*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^3) - (e*(2*c*d - b*e)*(24*c^2*d^2 + 35*b^2*e^2 - 4*c*e*(6*b*d + 29*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(12*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^2) - (e*(96*c^4*d^4 + 105*b^4*e^4 - 20*b^2*c*e^3*(19*b*d + 23*a*e) - 16*c^3*d^2*e*(12*b*d + 83*a*e) + 4*c^2*e^2*(119*b^2*d^2 + 332*a*b*d*e + 64*a^2*e^2))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4*(d + e*x)) + (5*e^2*(2*c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d + 3*a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(9//2)), x, 6),
+
+
+((d + e*x)^5/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^4*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (8*(d + e*x)^2*(8*a^2*c*e^3 - 2*b*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2) + b^2*(3*c*d^2*e - a*e^3) - (2*c*d - b*e)*(2*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d - 3*a*e))*x))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (e*(64*c^4*d^4 - 15*b^4*e^4 - 16*c^3*d^2*e*(7*b*d - 16*a*e) + 10*b^2*c*e^3*(3*b*d + 10*a*e) + 8*c^2*e^2*(b^2*d^2 - 25*a*b*d*e - 16*a^2*e^2) + 2*c*e*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 7*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c^3*(b^2 - 4*a*c)^2) + (5*e^4*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(7//2)), x, 5),
+((d + e*x)^4/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^3*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) + (4*(d + e*x)*(4*b*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2) - 4*a*c*e*(c*d^2 + 3*a*e^2) - b^2*(5*c*d^2*e - a*e^3) + (2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 2*a*e))*x))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*e*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 5*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2) + (e^4*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/c^(5//2), x, 5),
+((d + e*x)^3/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^2*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) + (16*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^2/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(b + 2*c*x)*(d + e*x)^2)/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) + (8*(2*c*d - b*e)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^1/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) + (8*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^0/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(b + 2*c*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) + (16*c*(b + 2*c*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), -((2*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (2*(4*a*c*e*(2*c*d - b*e)^2 - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(8*c^2*d^2 - 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 3*a*e)) - c*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 5*a*e))*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (e^4*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2), x, 5),
+(1/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), -((2*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (2*(6*a*c*e*(2*c*d - b*e)^2 - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(8*c^2*d^2 - 5*b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d - 8*a*e)) - c*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 7*a*e))*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (e*(32*c^4*d^4 - 15*b^4*e^4 - 16*c^3*d^2*e*(4*b*d - 9*a*e) + 20*b^2*c*e^3*(b*d + 5*a*e) + 4*c^2*e^2*(3*b^2*d^2 - 36*a*b*d*e - 32*a^2*e^2))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)) + (5*e^4*(2*c*d - b*e)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7//2)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), -((2*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (2*(8*a*c*e*(2*c*d - b*e)^2 - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(8*c^2*d^2 - 7*b^2*e^2 + 20*a*c*e^2) - c*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 9*a*e))*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (e*(64*c^4*d^4 - 35*b^4*e^4 - 128*c^3*d^2*e*(b*d - 3*a*e) - 48*a*c^2*e^3*(8*b*d + 5*a*e) + 8*b^2*c*e^3*(8*b*d + 27*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(6*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^2) + (e*(2*c*d - b*e)*(64*c^4*d^4 - 105*b^4*e^4 - 64*c^3*d^2*e*(2*b*d - 7*a*e) + 40*b^2*c*e^3*(2*b*d + 19*a*e) - 16*c^2*e^2*(b^2*d^2 + 28*a*b*d*e + 81*a^2*e^2))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(12*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4*(d + e*x)) + (5*e^4*(24*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(6*b*d + a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(9//2)), x, 6),
+
+
+((3 + x)/sqrt(5 - 4*x - x^2), -sqrt(5 - 4*x - x^2) - asin((1//3)*(-2 - x)), x, 3),
+((5 - 4*x)/sqrt(-8 + 12*x - 4*x^2), sqrt(-8 + 12*x - 4*x^2) + (1//2)*asin(3 - 2*x), x, 3),
+((3 + 2*x)/sqrt(5 + 2*x + x^2), 2*sqrt(5 + 2*x + x^2) + asinh((1 + x)/2), x, 3),
+((-1 + x)/sqrt(3 - 4*x + x^2), sqrt(3 - 4*x + x^2) - atanh((2 - x)/sqrt(3 - 4*x + x^2)), x, 3),
+(1/((1 - x)*sqrt(-4 + 2*x + x^2)), atan((3 - 2*x)/sqrt(-4 + 2*x + x^2)), x, 2),
+(1/((-2 + x)*sqrt(3 - 4*x + x^2)), atan(sqrt(3 - 4*x + x^2)), x, 2),
+
+((1 + x)/(2 + 3*x + x^2)^(3//2), (2*(1 + x))/sqrt(2 + 3*x + x^2), x, 1),
+
+(1/((d + e*x)*sqrt(b^2/(4*c) + b*x + c*x^2)), (2*(b + 2*c*x)*log(b + 2*c*x))/((2*c*d - b*e)*sqrt(b^2/c + 4*b*x + 4*c*x^2)) - (2*(b + 2*c*x)*log(d + e*x))/((2*c*d - b*e)*sqrt(b^2/c + 4*b*x + 4*c*x^2)), x, 4),
+(1/(((b*e)/(2*c) + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (2*sqrt(c)*atan((2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*e), x, 2),
+(1/((d + e*x)*sqrt(((-c)*d^2 + b*d*e)/e^2 + b*x + c*x^2)), (2*e*sqrt(-((d*(c*d - b*e))/e^2) + b*x + c*x^2))/((2*c*d - b*e)*(d + e*x)), x, 1),
+(1/(((b*e)/(2*c) + e*x)*sqrt(b^2/(4*c) + b*x + c*x^2)), -(2/(e*sqrt(b^2/c + 4*b*x + 4*c*x^2))), x, 2),
+
+
+(x/sqrt(2 + 4*x + 3*x^2), (1//3)*sqrt(2 + 4*x + 3*x^2) - (2*asinh((2 + 3*x)/sqrt(2)))/(3*sqrt(3)), x, 3),
+(x/sqrt(2 + 4*x - 3*x^2), (-(1//3))*sqrt(2 + 4*x - 3*x^2) - (2*asin((2 - 3*x)/sqrt(10)))/(3*sqrt(3)), x, 3),
+(x/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (1//3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) - (5*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(6*sqrt(3)), x, 3),
+(x/sqrt(2 + 5*x - 3*x^2), (-(1//3))*sqrt(2 + 5*x - 3*x^2) - (5*asin((1//7)*(5 - 6*x)))/(6*sqrt(3)), x, 3),
+(x/sqrt(-2 + 4*x + 3*x^2), (1//3)*sqrt(-2 + 4*x + 3*x^2) - (2*atanh((2 + 3*x)/(sqrt(3)*sqrt(-2 + 4*x + 3*x^2))))/(3*sqrt(3)), x, 3),
+(x/sqrt(-2 + 4*x - 3*x^2), (-(1//3))*sqrt(-2 + 4*x - 3*x^2) - (2*atan((2 - 3*x)/(sqrt(3)*sqrt(-2 + 4*x - 3*x^2))))/(3*sqrt(3)), x, 3),
+(x/sqrt(-2 + 5*x + 3*x^2), (1//3)*sqrt(-2 + 5*x + 3*x^2) - (5*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(-2 + 5*x + 3*x^2))))/(6*sqrt(3)), x, 3),
+(x/sqrt(-2 + 5*x - 3*x^2), (-(1//3))*sqrt(-2 + 5*x - 3*x^2) - (5*asin(5 - 6*x))/(6*sqrt(3)), x, 3),
+
+
+# {1/(x*Sqrt[4 + 12*x + 9*x^2]), x, 4, -(((2 + 3*x)*ArcTanh[1 + 3*x])/Sqrt[4 + 12*x + 9*x^2]), ((2 + 3*x)*Log[x])/(2*Sqrt[4 + 12*x + 9*x^2]) - ((2 + 3*x)*Log[2 + 3*x])/(2*Sqrt[4 + 12*x + 9*x^2])}
+# {1/(x*Sqrt[4 - 12*x + 9*x^2]), x, 4, -(((2 - 3*x)*ArcTanh[1 - 3*x])/Sqrt[4 - 12*x + 9*x^2]), -(((2 - 3*x)*Log[2 - 3*x])/(2*Sqrt[4 - 12*x + 9*x^2])) + ((2 - 3*x)*Log[x])/(2*Sqrt[4 - 12*x + 9*x^2])}
+# {1/(x*Sqrt[-4 + 12*x - 9*x^2]), x, 4, -(((2 - 3*x)*ArcTanh[1 - 3*x])/Sqrt[-4 + 12*x - 9*x^2]), -(((2 - 3*x)*Log[2 - 3*x])/(2*Sqrt[-4 + 12*x - 9*x^2])) + ((2 - 3*x)*Log[x])/(2*Sqrt[-4 + 12*x - 9*x^2])}
+# {1/(x*Sqrt[-4 - 12*x - 9*x^2]), x, 4, -(((2 + 3*x)*ArcTanh[1 + 3*x])/Sqrt[-4 - 12*x - 9*x^2]), ((2 + 3*x)*Log[x])/(2*Sqrt[-4 - 12*x - 9*x^2]) - ((2 + 3*x)*Log[2 + 3*x])/(2*Sqrt[-4 - 12*x - 9*x^2])}
+
+(1/(x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), ((a + b*x)*log(x))/(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((a + b*x)*log(a + b*x))/(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+(1/(x*sqrt(a^2 - 2*a*b*x + b^2*x^2)), ((a - b*x)*log(x))/(a*sqrt(a^2 - 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((a - b*x)*log(a - b*x))/(a*sqrt(a^2 - 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+(1/(x*sqrt(-a^2 + 2*a*b*x - b^2*x^2)), ((a - b*x)*log(x))/(a*sqrt(-a^2 + 2*a*b*x - b^2*x^2)) - ((a - b*x)*log(a - b*x))/(a*sqrt(-a^2 + 2*a*b*x - b^2*x^2)), x, 4),
+(1/(x*sqrt(-a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)), ((a + b*x)*log(x))/(a*sqrt(-a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)) - ((a + b*x)*log(a + b*x))/(a*sqrt(-a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)), x, 4),
+
+
+(x*sqrt(3 - 2*x - x^2), (-(1//2))*(1 + x)*sqrt(3 - 2*x - x^2) - (1//3)*(3 - 2*x - x^2)^(3//2) + 2*asin((1//2)*(-1 - x)), x, 4),
+(x*sqrt(8 + 2*x - x^2), (-(1//2))*(1 - x)*sqrt(8 + 2*x - x^2) - (1//3)*(8 + 2*x - x^2)^(3//2) - (9//2)*asin((1 - x)/3), x, 4),
+(x*sqrt(4 + 2*x + x^2), (-(1//2))*(1 + x)*sqrt(4 + 2*x + x^2) + (1//3)*(4 + 2*x + x^2)^(3//2) - (3//2)*asinh((1 + x)/sqrt(3)), x, 4),
+
+
+(1/(x*sqrt(2 + 4*x + 3*x^2)), -(atanh((sqrt(2)*(1 + x))/sqrt(2 + 4*x + 3*x^2))/sqrt(2)), x, 2),
+(1/(x*sqrt(2 + 4*x - 3*x^2)), -(atanh((sqrt(2)*(1 + x))/sqrt(2 + 4*x - 3*x^2))/sqrt(2)), x, 2),
+(1/(x*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), -(atanh((4 + 5*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)))/sqrt(2)), x, 2),
+(1/(x*sqrt(2 + 5*x - 3*x^2)), -(atanh((4 + 5*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x - 3*x^2)))/sqrt(2)), x, 2),
+(1/(x*sqrt(-2 + 4*x + 3*x^2)), -(atan((sqrt(2)*(1 - x))/sqrt(-2 + 4*x + 3*x^2))/sqrt(2)), x, 2),
+(1/(x*sqrt(-2 + 4*x - 3*x^2)), -(atan((sqrt(2)*(1 - x))/sqrt(-2 + 4*x - 3*x^2))/sqrt(2)), x, 2),
+(1/(x*sqrt(-2 + 5*x + 3*x^2)), -(atan((4 - 5*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(-2 + 5*x + 3*x^2)))/sqrt(2)), x, 2),
+(1/(x*sqrt(-2 + 5*x - 3*x^2)), -(atan((4 - 5*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(-2 + 5*x - 3*x^2)))/sqrt(2)), x, 2),
+
+
+(1/(x^3*sqrt(1 + x + x^2)), -(sqrt(1 + x + x^2)/(2*x^2)) + (3*sqrt(1 + x + x^2))/(4*x) + (1//8)*atanh((2 + x)/(2*sqrt(1 + x + x^2))), x, 4),
+
+
+# {1/x - 1/(x*Sqrt[1 + b*x + c*x^2]), x, 3, Log[-b*x - 2 - 2*Sqrt[1 + b*x + c*x^2]], ArcTanh[(2 + b*x)/(2*Sqrt[1 + b*x + c*x^2])] + Log[x]}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (a+b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2), -((4*(8*b^4 - 36*a*b^2*c + 21*a^2*c^2)*d^3*x*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(315*c^(7//2)*sqrt(d*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x))) + (2*d^2*sqrt(d*x)*(b*(8*b^2 + 3*a*c) + 3*c*(8*b^2 - 7*a*c)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(315*c^3) - (4*b*d^2*sqrt(d*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(21*c^2) + (2*d*(d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(9*c) + (4*a^(1//4)*(8*b^4 - 36*a*b^2*c + 21*a^2*c^2)*d^3*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + b*x + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(315*c^(15//4)*sqrt(d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (a^(1//4)*(16*b^4 - 72*a*b^2*c + 42*a^2*c^2 + sqrt(a)*b*sqrt(c)*(8*b^2 - 27*a*c))*d^3*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + b*x + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(315*c^(15//4)*sqrt(d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2), (2*sqrt(d + e*x)*(3*c^2*d^2 - 4*b^2*e^2 + c*e*(9*b*d - 5*a*e) + 12*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(105*c^2*e) + (2*e*sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*c) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(3*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + 29*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(105*c^3*e^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(3*c^2*d^2 + 2*b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + 5*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(105*c^3*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^(1//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2), (-2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*c*e) + (2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*e) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(15*c^2*e^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(15*c^2*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^(1//2), (2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*e) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*c*e^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*c*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^(3//2), (-2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(e*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(e^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^(5//2), (-2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*e*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(2*c*d - b*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^(7//2), (-2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*e*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(2*c*d - b*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)) + (4*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(15*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(15*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+
+
+((d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (2*sqrt(d + e*x)*(8*c^4*d^4 + 8*b^4*e^4 - c^3*d^2*e*(19*b*d - 42*a*e) - b^2*c*e^3*(19*b*d + 21*a*e) + 3*c^2*e^2*(2*b^2*d^2 + 17*a*b*d*e - 10*a^2*e^2) - 3*c*e*(2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - c*e*(b*d + 31*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1155*c^3*e^3) + (2*sqrt(d + e*x)*(c^2*d^2 - 6*b^2*e^2 + c*e*(13*b*d - 3*a*e) + 14*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(231*c^2*e) + (2*e*sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(11*c) - (8*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 - 2*b^2*e^2 - c*e*(b*d - 9*a*e))*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(1155*c^4*e^4*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(16*c^4*d^4 - 8*b^4*e^4 - 4*c^3*d^2*e*(8*b*d - 21*a*e) + b^2*c*e^3*(13*b*d + 51*a*e) + 3*c^2*e^2*(b^2*d^2 - 28*a*b*d*e - 20*a^2*e^2))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(1155*c^4*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((d + e*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (2*sqrt(d + e*x)*(8*c^3*d^3 - 4*b^3*e^3 - 3*c^2*d*e*(5*b*d - 8*a*e) + 3*b*c*e^2*(b*d + 3*a*e) - 6*c*e*(c^2*d^2 + 2*b^2*e^2 - c*e*(b*d + 7*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(315*c^2*e^3) - (2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(21*c*e) + (2*(d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(9*e) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(16*c^4*d^4 - 8*b^4*e^4 - 4*c^3*d^2*e*(8*b*d - 15*a*e) + b^2*c*e^3*(7*b*d + 57*a*e) + 3*c^2*e^2*(3*b^2*d^2 - 20*a*b*d*e - 28*a^2*e^2))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(315*c^3*e^4*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (8*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(2*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d - 3*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(315*c^3*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(1//2), (2*sqrt(d + e*x)*(8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(11*b*d - 10*a*e) - 3*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(35*c*e^3) + (2*sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*e) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 2*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(35*c^2*e^4*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(16*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 5*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(35*c^2*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2), (-2*sqrt(d + e*x)*(8*c*d - 7*b*e - 6*c*e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*e^3) - (2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(e*sqrt(d + e*x)) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 3*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(5*c*e^4*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (16*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(5*c*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(5//2), (2*(8*c*d - 3*b*e + 2*c*e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*e^3*sqrt(d + e*x)) - (2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*e*(d + e*x)^(3//2)) - (8*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*e^4*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(16*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*c*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(7//2), -((2*(8*c^2*d^3 + a*b*e^3 - c*d*e*(7*b*d - 4*a*e) + e*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))) - (2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*e*(d + e*x)^(5//2)) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 3*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(5*e^4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (16*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(5*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(9//2), (4*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 2*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(35*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) - (2*(8*c^2*d^3 - c*d*e*(5*b*d - 4*a*e) - b*e^2*(2*b*d - 3*a*e) + e*(14*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - 5*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(35*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*e*(d + e*x)^(7//2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 2*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(35*e^4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(16*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 5*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(35*e^4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+
+
+((d*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((4*(24*b^6 - 268*a*b^4*c + 951*a^2*b^2*c^2 - 924*a^3*c^3)*d*x*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(9009*c^(7//2)*sqrt(d*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x))) + (2*sqrt(d*x)*(b*(24*b^4 - 151*a*b^2*c + 108*a^2*c^2) + 3*c*(24*b^4 - 181*a*b^2*c + 308*a^2*c^2)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(9009*c^3) - (10*sqrt(d*x)*(3*b*(6*b^2 - 19*a*c) + 14*c*(3*b^2 - 11*a*c)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(9009*c^2) + (10*b*sqrt(d*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(143*c) + (2*(d*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(13*d) + (4*a^(1//4)*(24*b^6 - 268*a*b^4*c + 951*a^2*b^2*c^2 - 924*a^3*c^3)*d*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + b*x + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(9009*c^(15//4)*sqrt(d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (a^(1//4)*(sqrt(a)*b*sqrt(c)*(24*b^4 - 241*a*b^2*c + 708*a^2*c^2) + 2*(24*b^6 - 268*a*b^4*c + 951*a^2*b^2*c^2 - 924*a^3*c^3))*d*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + b*x + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(9009*c^(15//4)*sqrt(d*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 9),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(1//2), (2*sqrt(d + e*x)*(128*c^4*d^4 - 4*b^4*e^4 - 4*c^3*d^2*e*(76*b*d - 69*a*e) - b^2*c*e^3*(7*b*d - 27*a*e) + 3*c^2*e^2*(65*b^2*d^2 - 124*a*b*d*e + 60*a^2*e^2) - 12*c*e*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 2*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(693*c^2*e^5) + (10*sqrt(d + e*x)*(16*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - c*e*(23*b*d - 18*a*e) - 7*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(693*c*e^3) + (2*sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(11*e) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(128*c^4*d^4 + 8*b^4*e^4 + b^2*c*e^3*(29*b*d - 93*a*e) - 4*c^3*d^2*e*(64*b*d - 93*a*e) + 3*c^2*e^2*(33*b^2*d^2 - 124*a*b*d*e + 124*a^2*e^2))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(693*c^3*e^6*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(128*c^4*d^4 + 2*b^4*e^4 - 4*c^3*d^2*e*(64*b*d - 69*a*e) + b^2*c*e^3*(5*b*d - 21*a*e) + 3*c^2*e^2*(41*b^2*d^2 - 92*a*b*d*e + 60*a^2*e^2))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(693*c^3*e^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(3//2), (-2*sqrt(d + e*x)*(128*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(37*b*d - 36*a*e) - 12*c^2*d*e*(20*b*d - 11*a*e) - 3*c*e*(32*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(8*b*d - 7*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(63*c*e^5) - (10*sqrt(d + e*x)*(16*c*d - 15*b*e - 14*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(63*e^3) - (2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(e*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(128*c^4*d^4 - b^4*e^4 - 4*c^3*d^2*e*(64*b*d - 57*a*e) - b^2*c*e^3*(7*b*d - 15*a*e) + 3*c^2*e^2*(45*b^2*d^2 - 76*a*b*d*e + 28*a^2*e^2))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(63*c^2*e^6*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(128*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(32*b*d - 33*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(63*c^2*e^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2), (2*sqrt(d + e*x)*(128*c^2*d^2 + 51*b^2*e^2 - 4*c*e*(44*b*d - 5*a*e) - 48*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(21*e^5) + (10*(16*c*d - 7*b*e + 2*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(21*e^3*sqrt(d + e*x)) - (2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(3*e*(d + e*x)^(3//2)) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(128*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(32*b*d - 29*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(21*c*e^6*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(128*c^2*d^2 + 27*b^2*e^2 - 4*c*e*(32*b*d - 5*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(21*c*e^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(7//2), (-2*(128*c^2*d^2 + 15*b^2*e^2 - 4*c*e*(28*b*d - 9*a*e) + 16*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*e^5*sqrt(d + e*x)) + (2*(16*c*d - 5*b*e + 6*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(15*e^3*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*e*(d + e*x)^(5//2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(128*c^2*d^2 + 23*b^2*e^2 - 4*c*e*(32*b*d - 9*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(15*e^6*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(128*c^2*d^2 + 15*b^2*e^2 - 4*c*e*(32*b*d - 17*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(15*c*e^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(9//2), (2*c*(128*c^2*d^3 - 4*c*d*e*(44*b*d - 29*a*e) + 3*b*e^2*(17*b*d - 16*a*e) + e*(32*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(8*b*d - 5*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(21*e^5*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)) - (2*(16*c^2*d^3 + 3*a*b*e^3 - c*d*e*(13*b*d - 4*a*e) + e*(22*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(11*b*d - 5*a*e))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(21*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(7*e*(d + e*x)^(7//2)) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(128*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(32*b*d - 29*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(21*e^6*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(128*c^2*d^2 + 27*b^2*e^2 - 4*c*e*(32*b*d - 5*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(21*e^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(11//2), -((2*(128*c^4*d^5 - 2*a*b^3*e^5 - 4*c^3*d^3*e*(60*b*d - 49*a*e) - b*c*e^3*(b^2*d^2 + 9*a*b*d*e - 24*a^2*e^2) + 3*c^2*d*e^2*(37*b^2*d^2 - 52*a*b*d*e + 12*a^2*e^2) + e*(160*c^4*d^4 - 2*b^4*e^4 - 4*c^3*d^2*e*(80*b*d - 69*a*e) - b^2*c*e^3*(11*b*d - 27*a*e) + 3*c^2*e^2*(57*b^2*d^2 - 92*a*b*d*e + 28*a^2*e^2))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(63*e^5*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2))) - (2*(16*c^2*d^3 - b*e^2*(2*b*d - 5*a*e) - c*d*e*(11*b*d - 4*a*e) + e*(26*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(13*b*d - 7*a*e))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(63*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(7//2)) - (2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(9*e*(d + e*x)^(9//2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(128*c^4*d^4 - b^4*e^4 - 4*c^3*d^2*e*(64*b*d - 57*a*e) - b^2*c*e^3*(7*b*d - 15*a*e) + 3*c^2*e^2*(45*b^2*d^2 - 76*a*b*d*e + 28*a^2*e^2))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(63*e^6*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(128*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(32*b*d - 33*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(63*e^6*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+((d + e*x)^(7//2)/sqrt(a + b*x + c*x^2), (2*e*(71*c^2*d^2 + 24*b^2*e^2 - c*e*(71*b*d + 25*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(105*c^3) + (12*e*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(35*c^2) + (2*e*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(7*c) + (8*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(11*c^2*d^2 + 6*b^2*e^2 - c*e*(11*b*d + 13*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(105*c^4*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(71*c^2*d^2 + 24*b^2*e^2 - c*e*(71*b*d + 25*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(105*c^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((d + e*x)^(5//2)/sqrt(a + b*x + c*x^2), (8*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*c^2) + (2*e*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*c) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(23*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - c*e*(23*b*d + 9*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(15*c^3*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (8*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(15*c^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^(3//2)/sqrt(a + b*x + c*x^2), (2*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*c^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*c^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((d + e*x)^(1//2)/sqrt(a + b*x + c*x^2), (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (-2*e*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (-2*e*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)) - (4*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+(1/((d + e*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (-2*e*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2)) - (8*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2)) - (2*e*(23*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - c*e*(23*b*d + 9*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*sqrt(d + e*x)) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(23*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - c*e*(23*b*d + 9*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(15*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (8*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(15*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+
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+((d + e*x)^(7//2)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (-2*(d + e*x)^(5//2)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (4*e*(3*c^2*d^2 + 2*b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + 5*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c^2*(b^2 - 4*a*c)) + (2*e*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(c*(b^2 - 4*a*c)) + (sqrt(2)*(2*c*d - b*e)*(3*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + 29*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (4*sqrt(2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(3*c^2*d^2 + 2*b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + 5*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((d + e*x)^(5//2)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (-2*(d + e*x)^(3//2)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(c*(b^2 - 4*a*c)) + (2*sqrt(2)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^(3//2)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*sqrt(d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (sqrt(2)*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (4*sqrt(2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((d + e*x)^(1//2)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (-2*(b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*(2*c*d - b*e)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), (-2*sqrt(d + e*x)*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(2)*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (4*sqrt(2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), (-2*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (4*e*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(2)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*(2*c*d - b*e)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+(1/((d + e*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), (-2*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (4*e*(3*c^2*d^2 + 2*b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + 5*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2)) - (2*e*(2*c*d - b*e)*(3*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + 29*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*sqrt(d + e*x)) + (sqrt(2)*(2*c*d - b*e)*(3*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + 29*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (4*sqrt(2)*(3*c^2*d^2 + 2*b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + 5*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+
+
+((d + e*x)^(7//2)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^(5//2)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) + (2*sqrt(d + e*x)*(8*b*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2) - 4*a*c*e*(3*c*d^2 + 5*a*e^2) - b^2*(9*c*d^2*e - a*e^3) + (2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 3*a*e))*x))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 2*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(16*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 5*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^(5//2)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (-2*(d + e*x)^(3//2)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (2*sqrt(d + e*x)*(7*b^2*d*e + 4*a*c*d*e - 8*b*(c*d^2 + a*e^2) - (16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 3*a*e))*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(2)*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 3*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (16*sqrt(2)*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^(3//2)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (-2*sqrt(d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) + (2*sqrt(d + e*x)*(8*b*c*d - 5*b^2*e + 4*a*c*e + 8*c*(2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (8*sqrt(2)*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*(16*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^(1//2)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (-2*(b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (2*sqrt(d + e*x)*(9*b^2*c*d*e - 4*a*c^2*d*e - b^3*e^2 - 4*b*c*(2*c*d^2 + a*e^2) - c*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 3*a*e))*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(2)*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 3*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (16*sqrt(2)*(2*c*d - b*e)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), (-2*sqrt(d + e*x)*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (2*sqrt(d + e*x)*(3*a*c*e*(2*c*d - b*e)^2 - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(8*c^2*d^2 - 2*b^2*e^2 - 5*c*e*(b*d - 2*a*e)) - 2*c*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 2*a*e))*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 2*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*(16*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 5*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), (-2*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (2*(5*a*c*e*(2*c*d - b*e)^2 - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(8*c^2*d^2 - 4*b^2*e^2 - c*e*(3*b*d - 14*a*e)) - 4*c*(2*c*d - b*e)*(2*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d - 3*a*e))*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*e*(16*c^4*d^4 - 8*b^4*e^4 - 4*c^3*d^2*e*(8*b*d - 15*a*e) + b^2*c*e^3*(7*b*d + 57*a*e) + 3*c^2*e^2*(3*b^2*d^2 - 20*a*b*d*e - 28*a^2*e^2))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*sqrt(d + e*x)) - (sqrt(2)*(16*c^4*d^4 - 8*b^4*e^4 - 4*c^3*d^2*e*(8*b*d - 15*a*e) + b^2*c*e^3*(7*b*d + 57*a*e) + 3*c^2*e^2*(3*b^2*d^2 - 20*a*b*d*e - 28*a^2*e^2))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (8*sqrt(2)*(2*c*d - b*e)*(2*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d - 3*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+
+
+(sqrt(3 + 5*x)/sqrt(2 + 5*x - 12*x^2), (-(1//3))*sqrt(19)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((2*sqrt(2 - 3*x))/sqrt(11)), 55//76), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^(p/3)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(4//3), -((3*(b^2 - 4*a*c)*(17*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - c*e*(17*b*d + 3*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/(935*c^4)) + (3*(17*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - c*e*(17*b*d + 3*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(4//3))/(374*c^3) + (15*e*(2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(7//3))/(119*c^2) + (3*e*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//3))/(17*c) + (2^(1//3)*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^2*(17*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - c*e*(17*b*d + 3*a*e))*((b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))*sqrt(((b^2 - 4*a*c)^(2//3) - 2^(2//3)*c^(1//3)*(b^2 - 4*a*c)^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3) + 2*2^(1//3)*c^(2//3)*(a + b*x + c*x^2)^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(935*c^(13//3)*(b + 2*c*x)*sqrt(((b^2 - 4*a*c)^(1//3)*((b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))^2)), x, 6),
+((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(4//3), -((3*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/(110*c^3)) + (3*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(4//3))/(44*c^2) + (3*e*(a + b*x + c*x^2)^(7//3))/(14*c) + (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^2*(2*c*d - b*e)*((b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))*sqrt(((b^2 - 4*a*c)^(2//3) - 2^(2//3)*c^(1//3)*(b^2 - 4*a*c)^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3) + 2*2^(1//3)*c^(2//3)*(a + b*x + c*x^2)^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(55*2^(2//3)*c^(10//3)*(b + 2*c*x)*sqrt(((b^2 - 4*a*c)^(1//3)*((b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))^2)), x, 5),
+((d + e*x)^0*(a + b*x + c*x^2)^(4//3), -((3*(b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/(55*c^2)) + (3*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(4//3))/(22*c) + (2^(1//3)*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^2*((b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))*sqrt(((b^2 - 4*a*c)^(2//3) - 2^(2//3)*c^(1//3)*(b^2 - 4*a*c)^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3) + 2*2^(1//3)*c^(2//3)*(a + b*x + c*x^2)^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(55*c^(7//3)*(b + 2*c*x)*sqrt(((b^2 - 4*a*c)^(1//3)*((b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))^2)), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)^(4//3)/(d + e*x)^1, (3*(a + b*x + c*x^2)^(4//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(8//3), -(4//3), -(4//3), -(5//3), (2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/(2*c*(d + e*x)), (2*d - ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/c)/(2*(d + e*x))))/(2^(1//3)*e*((e*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(c*(d + e*x)))^(4//3)*((e*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(c*(d + e*x)))^(4//3)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^(4//3)/(d + e*x)^2, (12*2^(2//3)*(a + b*x + c*x^2)^(4//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(5//3), -(4//3), -(4//3), -(2//3), (2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/(2*c*(d + e*x)), (2*d - ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/c)/(2*(d + e*x))))/(5*e*((e*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(c*(d + e*x)))^(4//3)*((e*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(c*(d + e*x)))^(4//3)*(d + e*x)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^(4//3)/(d + e*x)^3, (6*2^(2//3)*(a + b*x + c*x^2)^(4//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), -(4//3), -(4//3), 1//3, (2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/(2*c*(d + e*x)), (2*d - ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/c)/(2*(d + e*x))))/(e*((e*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(c*(d + e*x)))^(4//3)*((e*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(c*(d + e*x)))^(4//3)*(d + e*x)^2), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^3/(a + b*x + c*x^2)^(7//3), -((3*(d + e*x)^2*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(4//3))) + (3*(10*b*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2) - 8*a*c*e*(2*c*d^2 + 3*a*e^2) - b^2*(11*c*d^2*e - a*e^3) + (2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 7*a*e))*x))/(4*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^(1//3)) - (3*(2*c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - 9*a*e))*(b + 2*c*x))/(2*2^(1//3)*c^(5//3)*(b^2 - 4*a*c)^2*((1 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))) + (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(2*c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - 9*a*e))*((b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))*sqrt(((b^2 - 4*a*c)^(2//3) - 2^(2//3)*c^(1//3)*(b^2 - 4*a*c)^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3) + 2*2^(1//3)*c^(2//3)*(a + b*x + c*x^2)^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(4*2^(1//3)*c^(5//3)*(b^2 - 4*a*c)^(5//3)*(b + 2*c*x)*sqrt(((b^2 - 4*a*c)^(1//3)*((b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))^2)) - (3^(3//4)*(2*c*d - b*e)*(5*c^2*d^2 - b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - 9*a*e))*((b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))*sqrt(((b^2 - 4*a*c)^(2//3) - 2^(2//3)*c^(1//3)*(b^2 - 4*a*c)^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3) + 2*2^(1//3)*c^(2//3)*(a + b*x + c*x^2)^(2//3))/((1 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))/((1 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))), -7 - 4*sqrt(3)))/(2^(5//6)*c^(5//3)*(b^2 - 4*a*c)^(5//3)*(b + 2*c*x)*sqrt(((b^2 - 4*a*c)^(1//3)*((b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3)))/((1 + sqrt(3))*(b^2 - 4*a*c)^(1//3) + 2^(2//3)*c^(1//3)*(a + b*x + c*x^2)^(1//3))^2)), x, 6),
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+(1/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(7//3)), -((3*((e*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(c*(d + e*x)))^(7//3)*((e*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(c*(d + e*x)))^(7//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(14//3, 7//3, 7//3, 17//3, (2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/(2*c*(d + e*x)), (2*d - ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/c)/(2*(d + e*x))))/(224*2^(2//3)*e*(a + b*x + c*x^2)^(7//3))), x, 2),
+(1/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(7//3)), -((3*((e*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(c*(d + e*x)))^(7//3)*((e*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(c*(d + e*x)))^(7//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(17//3, 7//3, 7//3, 20//3, (2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/(2*c*(d + e*x)), (2*d - ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/c)/(2*(d + e*x))))/(272*2^(2//3)*e*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//3))), x, 2),
+(1/((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(7//3)), -((3*((e*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(c*(d + e*x)))^(7//3)*((e*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(c*(d + e*x)))^(7//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(20//3, 7//3, 7//3, 23//3, (2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/(2*c*(d + e*x)), (2*d - ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/c)/(2*(d + e*x))))/(320*2^(2//3)*e*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(7//3))), x, 2),
+
+
+(1/((d + e*x)*(c^2*d^2 - b*c*d*e + b^2*e^2 + 3*c*e^2*b*x + 3*c*e^2*c*x^2)^(1//3)), -(atan(1/sqrt(3) + (2*(c*d - b*e - c*e*x))/(sqrt(3)*(2*c*d - b*e)^(1//3)*(c^2*d^2 - b*c*d*e + b^2*e^2 + 3*b*c*e^2*x + 3*c^2*e^2*x^2)^(1//3)))/(sqrt(3)*e*(2*c*d - b*e)^(2//3))) - log(d + e*x)/(2*e*(2*c*d - b*e)^(2//3)) + log(3*c*e^2*(c*d - b*e) - 3*c^2*e^3*x - 3*c*e^2*(2*c*d - b*e)^(1//3)*(c^2*d^2 - b*c*d*e + b^2*e^2 + 3*b*c*e^2*x + 3*c^2*e^2*x^2)^(1//3))/(2*e*(2*c*d - b*e)^(2//3)), x, 1),
+
+
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+((2 + 3*x)^2/(52 - 54*x + 27*x^2)^(1//3), (25//42)*(52 - 54*x + 27*x^2)^(2//3) + (1//21)*(2 + 3*x)*(52 - 54*x + 27*x^2)^(2//3) + (2700*5^(1//3)*(1 - x))/(7*(30*(1 - sqrt(3)) - 10^(1//3)*(2700 + (-54 + 54*x)^2)^(1//3))) - (5*5^(5//6)*sqrt((1//2)*(2 + sqrt(3)))*(30 - 10^(1//3)*(2700 + (-54 + 54*x)^2)^(1//3))*sqrt((900 + 30*10^(1//3)*(2700 + (-54 + 54*x)^2)^(1//3) + 10^(2//3)*(2700 + (-54 + 54*x)^2)^(2//3))/(30*(1 - sqrt(3)) - 10^(1//3)*(2700 + (-54 + 54*x)^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((30*(1 + sqrt(3)) - 10^(1//3)*(2700 + (-54 + 54*x)^2)^(1//3))/(30*(1 - sqrt(3)) - 10^(1//3)*(2700 + (-54 + 54*x)^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(126*3^(1//4)*(1 - x)*sqrt(-((30 - 10^(1//3)*(2700 + (-54 + 54*x)^2)^(1//3))/(30*(1 - sqrt(3)) - 10^(1//3)*(2700 + (-54 + 54*x)^2)^(1//3))^2))) + (5*5^(5//6)*(30 - 10^(1//3)*(2700 + (-54 + 54*x)^2)^(1//3))*sqrt((900 + 30*10^(1//3)*(2700 + (-54 + 54*x)^2)^(1//3) + 10^(2//3)*(2700 + (-54 + 54*x)^2)^(2//3))/(30*(1 - sqrt(3)) - 10^(1//3)*(2700 + (-54 + 54*x)^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((30*(1 + sqrt(3)) - 10^(1//3)*(2700 + (-54 + 54*x)^2)^(1//3))/(30*(1 - sqrt(3)) - 10^(1//3)*(2700 + (-54 + 54*x)^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(63*3^(3//4)*(1 - x)*sqrt(-((30 - 10^(1//3)*(2700 + (-54 + 54*x)^2)^(1//3))/(30*(1 - sqrt(3)) - 10^(1//3)*(2700 + (-54 + 54*x)^2)^(1//3))^2))), x, 8),
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+(1/((2 + 3*x)^2*(28 + 54*x + 27*x^2)^(1//3)), -((28 + 54*x + 27*x^2)^(2//3)/(12*(2 + 3*x))) - (9*(1 + x))/(2*(6*(1 - sqrt(3)) - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))) + atan(1/sqrt(3) + (2^(2//3)*(4 + 3*x))/(sqrt(3)*(28 + 54*x + 27*x^2)^(1//3)))/(6*2^(2//3)*sqrt(3)) + (sqrt(2 + sqrt(3))*(6 - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))*sqrt((1 + (28 + 54*x + 27*x^2)^(1//3) + (28 + 54*x + 27*x^2)^(2//3))/(6*(1 - sqrt(3)) - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((6*(1 + sqrt(3)) - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))/(6*(1 - sqrt(3)) - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(72*sqrt(2)*3^(1//4)*(1 + x)*sqrt(-((6 - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))/(6*(1 - sqrt(3)) - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))^2))) - ((6 - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))*sqrt((1 + (28 + 54*x + 27*x^2)^(1//3) + (28 + 54*x + 27*x^2)^(2//3))/(6*(1 - sqrt(3)) - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((6*(1 + sqrt(3)) - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))/(6*(1 - sqrt(3)) - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(36*3^(3//4)*(1 + x)*sqrt(-((6 - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))/(6*(1 - sqrt(3)) - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))^2))) + log(2 + 3*x)/(12*2^(2//3)) - log(-108 - 81*x + 27*2^(1//3)*(28 + 54*x + 27*x^2)^(1//3))/(12*2^(2//3)), x, 9),
+(1/((2 + 3*x)^3*(28 + 54*x + 27*x^2)^(1//3)), -((28 + 54*x + 27*x^2)^(2//3)/(24*(2 + 3*x)^2)) + (28 + 54*x + 27*x^2)^(2//3)/(12*(2 + 3*x)) + (9*(1 + x))/(2*(6*(1 - sqrt(3)) - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))) - atan(1/sqrt(3) + (2^(2//3)*(4 + 3*x))/(sqrt(3)*(28 + 54*x + 27*x^2)^(1//3)))/(12*2^(2//3)*sqrt(3)) - (sqrt(2 + sqrt(3))*(6 - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))*sqrt((1 + (28 + 54*x + 27*x^2)^(1//3) + (28 + 54*x + 27*x^2)^(2//3))/(6*(1 - sqrt(3)) - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((6*(1 + sqrt(3)) - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))/(6*(1 - sqrt(3)) - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(72*sqrt(2)*3^(1//4)*(1 + x)*sqrt(-((6 - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))/(6*(1 - sqrt(3)) - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))^2))) + ((6 - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))*sqrt((1 + (28 + 54*x + 27*x^2)^(1//3) + (28 + 54*x + 27*x^2)^(2//3))/(6*(1 - sqrt(3)) - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((6*(1 + sqrt(3)) - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))/(6*(1 - sqrt(3)) - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(36*3^(3//4)*(1 + x)*sqrt(-((6 - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))/(6*(1 - sqrt(3)) - 2^(1//3)*(108 + (54 + 54*x)^2)^(1//3))^2))) - log(2 + 3*x)/(24*2^(2//3)) + log(-108 - 81*x + 27*2^(1//3)*(28 + 54*x + 27*x^2)^(1//3))/(24*2^(2//3)), x, 9),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^(p/3) when c^2 d^2-b c d e-2 b^2 e^2+9 a c e^2=0
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+(1/((d + e*x)*(-c^2*d^2 + b*c*d*e + 2*b^2*e^2 + 9*b*c*e^2*x + 9*c^2*e^2*x^2)^(1//3)), -((sqrt(3)*((-c)*e*(c*d - 2*b*e) + 3*c^2*e^2*x)^(1//3)*(c*e*(c*d + b*e) + 3*c^2*e^2*x)^(1//3)*atan(1/sqrt(3) - (2^(1//3)*((-c)*e*(c*d - 2*b*e) + 3*c^2*e^2*x)^(2//3))/(sqrt(3)*c^(1//3)*e^(1//3)*(2*c*d - b*e)^(1//3)*(c*e*(c*d + b*e) + 3*c^2*e^2*x)^(1//3))))/(2*2^(1//3)*c^(2//3)*e^(5//3)*(2*c*d - b*e)^(2//3)*(-((c*d - 2*b*e)*(c*d + b*e)) + 9*b*c*e^2*x + 9*c^2*e^2*x^2)^(1//3))) - (((-c)*e*(c*d - 2*b*e) + 3*c^2*e^2*x)^(1//3)*(c*e*(c*d + b*e) + 3*c^2*e^2*x)^(1//3)*log(d + e*x))/(2*2^(1//3)*c^(2//3)*e^(5//3)*(2*c*d - b*e)^(2//3)*(-((c*d - 2*b*e)*(c*d + b*e)) + 9*b*c*e^2*x + 9*c^2*e^2*x^2)^(1//3)) + (3*((-c)*e*(c*d - 2*b*e) + 3*c^2*e^2*x)^(1//3)*(c*e*(c*d + b*e) + 3*c^2*e^2*x)^(1//3)*log(-(((3//2)^(1//3)*((-c)*e*(c*d - 2*b*e) + 3*c^2*e^2*x)^(2//3))/(c^(1//3)*e^(1//3)*(2*c*d - b*e)^(1//3))) - 6^(1//3)*(c*e*(c*d + b*e) + 3*c^2*e^2*x)^(1//3)))/(4*2^(1//3)*c^(2//3)*e^(5//3)*(2*c*d - b*e)^(2//3)*(-((c*d - 2*b*e)*(c*d + b*e)) + 9*b*c*e^2*x + 9*c^2*e^2*x^2)^(1//3)), x, 2),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^(p/4)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+
+((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(1//4), ((2*c*d - b*e)*(28*c^2*d^2 + 13*b^2*e^2 - 4*c*e*(7*b*d + 6*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(168*c^4) + (2*e*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//4))/(9*c) + (e*(616*c^2*d^2 + 117*b^2*e^2 - 2*c*e*(243*b*d + 56*a*e) + 130*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//4))/(630*c^3) - ((b^2 - 4*a*c)^(5//4)*(2*c*d - b*e)*(28*c^2*d^2 + 13*b^2*e^2 - 4*c*e*(7*b*d + 6*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(336*sqrt(2)*c^(17//4)*(b + 2*c*x)), x, 5),
+((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(1//4), ((28*c^2*d^2 + 9*b^2*e^2 - 4*c*e*(7*b*d + 2*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(84*c^3) + (9*e*(2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(5//4))/(35*c^2) + (2*e*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//4))/(7*c) - ((b^2 - 4*a*c)^(5//4)*(28*c^2*d^2 + 9*b^2*e^2 - 4*c*e*(7*b*d + 2*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(168*sqrt(2)*c^(13//4)*(b + 2*c*x)), x, 5),
+((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(1//4), ((2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(6*c^2) + (2*e*(a + b*x + c*x^2)^(5//4))/(5*c) - ((b^2 - 4*a*c)^(5//4)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(12*sqrt(2)*c^(9//4)*(b + 2*c*x)), x, 4),
+((d + e*x)^0*(a + b*x + c*x^2)^(1//4), ((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(3*c) - ((b^2 - 4*a*c)^(5//4)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(6*sqrt(2)*c^(5//4)*(b + 2*c*x)), x, 3),
+((a + b*x + c*x^2)^(1//4)/(d + e*x)^1, (2*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/e - ((-b^2 + 4*a*c)^(3//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*atan(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(c^(3//4)*e^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) - ((-b^2 + 4*a*c)^(3//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*atanh(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(c^(3//4)*e^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) - ((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(sqrt(2)*c^(1//4)*e^2*(b + 2*c*x)) - ((b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(sqrt(2)*c*e^2*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) - ((b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(sqrt(2)*c*e^2*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)), x, 19),
+((a + b*x + c*x^2)^(1//4)/(d + e*x)^2, -((a + b*x + c*x^2)^(1//4)/(e*(d + e*x))) + ((-b^2 + 4*a*c)^(3//4)*(2*c*d - b*e)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*atan(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(4*c^(3//4)*e^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//4)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) + ((-b^2 + 4*a*c)^(3//4)*(2*c*d - b*e)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*atanh(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(4*c^(3//4)*e^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//4)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) + (c^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(sqrt(2)*e^2*(b + 2*c*x)) + ((b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)^2*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(4*sqrt(2)*c*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) + ((b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)^2*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(4*sqrt(2)*c*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)), x, 19),
+
+
+((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//4), ((2*c*d - b*e)*(12*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d + 2*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4))/(120*c^4) + (2*e*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(7//4))/(11*c) + (e*(312*c^2*d^2 + 55*b^2*e^2 - 2*c*e*(121*b*d + 24*a*e) + 70*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//4))/(462*c^3) - (sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(12*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d + 2*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(80*c^(9//2)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b^2 - 4*a*c)^(7//4)*(2*c*d - b*e)*(12*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d + 2*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(80*sqrt(2)*c^(19//4)*(b + 2*c*x)) - ((b^2 - 4*a*c)^(7//4)*(2*c*d - b*e)*(12*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d + 2*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(160*sqrt(2)*c^(19//4)*(b + 2*c*x)), x, 7),
+((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//4), ((36*c^2*d^2 + 11*b^2*e^2 - 4*c*e*(9*b*d + 2*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4))/(180*c^3) + (11*e*(2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(7//4))/(63*c^2) + (2*e*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//4))/(9*c) - (sqrt(b^2 - 4*a*c)*(36*c^2*d^2 + 11*b^2*e^2 - 4*c*e*(9*b*d + 2*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(120*c^(7//2)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b^2 - 4*a*c)^(7//4)*(36*c^2*d^2 + 11*b^2*e^2 - 4*c*e*(9*b*d + 2*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(120*sqrt(2)*c^(15//4)*(b + 2*c*x)) - ((b^2 - 4*a*c)^(7//4)*(36*c^2*d^2 + 11*b^2*e^2 - 4*c*e*(9*b*d + 2*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(240*sqrt(2)*c^(15//4)*(b + 2*c*x)), x, 7),
+((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(3//4), ((2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4))/(10*c^2) + (2*e*(a + b*x + c*x^2)^(7//4))/(7*c) - (3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(20*c^(5//2)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (3*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(20*sqrt(2)*c^(11//4)*(b + 2*c*x)) - (3*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(40*sqrt(2)*c^(11//4)*(b + 2*c*x)), x, 6),
+((d + e*x)^0*(a + b*x + c*x^2)^(3//4), ((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4))/(5*c) - (3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(10*c^(3//2)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (3*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(10*sqrt(2)*c^(7//4)*(b + 2*c*x)) - (3*(b^2 - 4*a*c)^(7//4)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(20*sqrt(2)*c^(7//4)*(b + 2*c*x)), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//4)/(d + e*x)^1, (2*(a + b*x + c*x^2)^(3//4))/(3*e) - ((2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^2*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//4)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*atan(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(c^(1//4)*e^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) - ((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//4)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*atanh(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(c^(1//4)*e^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) + ((b^2 - 4*a*c)^(3//4)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(sqrt(2)*c^(3//4)*e^2*(b + 2*c*x)) - ((b^2 - 4*a*c)^(3//4)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*e^2*(b + 2*c*x)) - (sqrt(-b^2 + 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(sqrt(2)*sqrt(c)*e^3*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) + (sqrt(-b^2 + 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(sqrt(2)*sqrt(c)*e^3*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)), x, 20),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//4)/(d + e*x)^2, -((a + b*x + c*x^2)^(3//4)/(e*(d + e*x))) + (3*sqrt(c)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^2*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (3*(-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*(2*c*d - b*e)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*atan(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(4*c^(1//4)*e^(5//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) + (3*(-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*(2*c*d - b*e)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*atanh(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(4*c^(1//4)*e^(5//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) - (3*c^(1//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(sqrt(2)*e^2*(b + 2*c*x)) + (3*c^(1//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(2*sqrt(2)*e^2*(b + 2*c*x)) + (3*sqrt(-b^2 + 4*a*c)*(2*c*d - b*e)^2*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(4*sqrt(2)*sqrt(c)*e^3*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) - (3*sqrt(-b^2 + 4*a*c)*(2*c*d - b*e)^2*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(4*sqrt(2)*sqrt(c)*e^3*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)), x, 20),
+
+
+((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(5//4), -((5*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(44*c^2*d^2 + 17*b^2*e^2 - 4*c*e*(11*b*d + 6*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(7392*c^5)) + ((2*c*d - b*e)*(44*c^2*d^2 + 17*b^2*e^2 - 4*c*e*(11*b*d + 6*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//4))/(616*c^4) + (2*e*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(9//4))/(13*c) + (e*(1320*c^2*d^2 + 221*b^2*e^2 - 2*c*e*(507*b*d + 88*a*e) + 306*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(9//4))/(2574*c^3) + (5*(b^2 - 4*a*c)^(9//4)*(2*c*d - b*e)*(44*c^2*d^2 + 17*b^2*e^2 - 4*c*e*(11*b*d + 6*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(14784*sqrt(2)*c^(21//4)*(b + 2*c*x)), x, 6),
+((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//4), -((5*(b^2 - 4*a*c)*(44*c^2*d^2 + 13*b^2*e^2 - 4*c*e*(11*b*d + 2*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(3696*c^4)) + ((44*c^2*d^2 + 13*b^2*e^2 - 4*c*e*(11*b*d + 2*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//4))/(308*c^3) + (13*e*(2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(9//4))/(99*c^2) + (2*e*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(9//4))/(11*c) + (5*(b^2 - 4*a*c)^(9//4)*(44*c^2*d^2 + 13*b^2*e^2 - 4*c*e*(11*b*d + 2*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(7392*sqrt(2)*c^(17//4)*(b + 2*c*x)), x, 6),
+((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(5//4), -((5*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(168*c^3)) + ((2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//4))/(14*c^2) + (2*e*(a + b*x + c*x^2)^(9//4))/(9*c) + (1/(336*sqrt(2)*c^(13//4)*(b + 2*c*x)))*(5*(b^2 - 4*a*c)^(9//4)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2)), x, 5),
+((d + e*x)^0*(a + b*x + c*x^2)^(5//4), -((5*(b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(84*c^2)) + ((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//4))/(7*c) + (5*(b^2 - 4*a*c)^(9//4)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(168*sqrt(2)*c^(9//4)*(b + 2*c*x)), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//4)/(d + e*x)^1, ((12*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - 6*a*e) - 2*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(6*c*e^3) + (2*(a + b*x + c*x^2)^(5//4))/(5*e) - ((-b^2 + 4*a*c)^(3//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//4)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*atan(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(c^(3//4)*e^(7//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) - ((-b^2 + 4*a*c)^(3//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//4)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*atanh(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(c^(3//4)*e^(7//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) - ((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(2*c*d - b*e)*(12*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d - 4*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(12*sqrt(2)*c^(5//4)*e^4*(b + 2*c*x)) - ((b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(sqrt(2)*c*e^4*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) - ((b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(sqrt(2)*c*e^4*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)), x, 20),
+((a + b*x + c*x^2)^(5//4)/(d + e*x)^2, -((5*(3*c*d - 2*b*e - c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(3*e^3)) - (a + b*x + c*x^2)^(5//4)/(e*(d + e*x)) + (5*(-b^2 + 4*a*c)^(3//4)*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*atan(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(4*c^(3//4)*e^(7//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) + (5*(-b^2 + 4*a*c)^(3//4)*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*atanh(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(4*c^(3//4)*e^(7//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) + (5*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(6*sqrt(2)*c^(1//4)*e^4*(b + 2*c*x)) + (5*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)^2*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(4*sqrt(2)*c*e^4*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) + (5*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)^2*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(4*sqrt(2)*c*e^4*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)), x, 20),
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+((d + e*x)^3/(a + b*x + c*x^2)^(1//4), (2*e*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//4))/(7*c) + (e*(360*c^2*d^2 + 77*b^2*e^2 - 2*c*e*(147*b*d + 40*a*e) + 66*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4))/(210*c^3) + ((2*c*d - b*e)*(20*c^2*d^2 + 11*b^2*e^2 - 4*c*e*(5*b*d + 6*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(20*c^(7//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((b^2 - 4*a*c)^(3//4)*(2*c*d - b*e)*(20*c^2*d^2 + 11*b^2*e^2 - 4*c*e*(5*b*d + 6*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(20*sqrt(2)*c^(15//4)*(b + 2*c*x)) + ((b^2 - 4*a*c)^(3//4)*(2*c*d - b*e)*(20*c^2*d^2 + 11*b^2*e^2 - 4*c*e*(5*b*d + 6*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(40*sqrt(2)*c^(15//4)*(b + 2*c*x)), x, 6),
+((d + e*x)^2/(a + b*x + c*x^2)^(1//4), (7*e*(2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4))/(15*c^2) + (2*e*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4))/(5*c) + ((20*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(5*b*d + 2*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(10*c^(5//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((b^2 - 4*a*c)^(3//4)*(20*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(5*b*d + 2*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(10*sqrt(2)*c^(11//4)*(b + 2*c*x)) + ((b^2 - 4*a*c)^(3//4)*(20*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(5*b*d + 2*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(20*sqrt(2)*c^(11//4)*(b + 2*c*x)), x, 6),
+((d + e*x)^1/(a + b*x + c*x^2)^(1//4), (2*e*(a + b*x + c*x^2)^(3//4))/(3*c) + ((2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(c^(3//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((b^2 - 4*a*c)^(3//4)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(sqrt(2)*c^(7//4)*(b + 2*c*x)) + ((b^2 - 4*a*c)^(3//4)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(2*sqrt(2)*c^(7//4)*(b + 2*c*x)), x, 5),
+((d + e*x)^0/(a + b*x + c*x^2)^(1//4), (2*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(c^(3//4)*(b + 2*c*x)) + ((b^2 - 4*a*c)^(3//4)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(sqrt(2)*c^(3//4)*(b + 2*c*x)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)), ((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*atan(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(c^(1//4)*sqrt(e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) - ((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*atanh(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(c^(1//4)*sqrt(e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) - (sqrt(-b^2 + 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(sqrt(2)*sqrt(c)*e*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) + (sqrt(-b^2 + 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(sqrt(2)*sqrt(c)*e*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)), x, 14),
+(1/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)), -((e*(a + b*x + c*x^2)^(3//4))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x))) + (sqrt(c)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*(2*c*d - b*e)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*atan(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(4*c^(1//4)*sqrt(e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) - ((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*(2*c*d - b*e)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*atanh(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(4*c^(1//4)*sqrt(e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) - (c^(1//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(sqrt(2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(b + 2*c*x)) + (c^(1//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(2*sqrt(2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(b + 2*c*x)) - (sqrt(-b^2 + 4*a*c)*(2*c*d - b*e)^2*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(4*sqrt(2)*sqrt(c)*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) + (sqrt(-b^2 + 4*a*c)*(2*c*d - b*e)^2*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(4*sqrt(2)*sqrt(c)*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)), x, 20),
+(1/((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)), -((e*(a + b*x + c*x^2)^(3//4))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2)) - (5*e*(2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4))/(8*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)) + (5*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(8*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*(12*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d + 2*a*e))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*atan(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(32*c^(1//4)*sqrt(e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(9//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) - ((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*(12*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d + 2*a*e))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*atanh(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(32*c^(1//4)*sqrt(e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(9//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) - (5*c^(1//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(8*sqrt(2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(b + 2*c*x)) + (5*c^(1//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//4)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(16*sqrt(2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(b + 2*c*x)) - (sqrt(-b^2 + 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(12*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d + 2*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(32*sqrt(2)*sqrt(c)*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) + (sqrt(-b^2 + 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(12*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d + 2*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(32*sqrt(2)*sqrt(c)*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)), x, 21),
+
+
+((d + e*x)^3/(a + b*x + c*x^2)^(3//4), (2*e*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(5*c) + (e*(56*c^2*d^2 + 15*b^2*e^2 - 2*c*e*(25*b*d + 8*a*e) + 6*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(10*c^3) + ((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d + 2*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(4*sqrt(2)*c^(13//4)*(b + 2*c*x)), x, 4),
+((d + e*x)^2/(a + b*x + c*x^2)^(3//4), (5*e*(2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(3*c^2) + (2*e*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(3*c) + ((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(12*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d + 2*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(6*sqrt(2)*c^(9//4)*(b + 2*c*x)), x, 4),
+((d + e*x)^1/(a + b*x + c*x^2)^(3//4), (2*e*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/c + ((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(sqrt(2)*c^(5//4)*(b + 2*c*x)), x, 3),
+((d + e*x)^0/(a + b*x + c*x^2)^(3//4), (sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(c^(1//4)*(b + 2*c*x)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)), -(((-b^2 + 4*a*c)^(3//4)*sqrt(e)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*atan(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(c^(3//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//4)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4))) - ((-b^2 + 4*a*c)^(3//4)*sqrt(e)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*atanh(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(c^(3//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//4)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) - ((b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(sqrt(2)*c*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) - ((b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(sqrt(2)*c*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)), x, 15),
+(1/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)), -((e*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x))) - (3*(-b^2 + 4*a*c)^(3//4)*sqrt(e)*(2*c*d - b*e)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*atan(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(4*c^(3//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7//4)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) - (3*(-b^2 + 4*a*c)^(3//4)*sqrt(e)*(2*c*d - b*e)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*atanh(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(4*c^(3//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7//4)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) - (c^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(sqrt(2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(b + 2*c*x)) - (3*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)^2*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(4*sqrt(2)*c*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) - (3*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)^2*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(4*sqrt(2)*c*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)), x, 19),
+(1/((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)), -((e*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2)) - (7*e*(2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(8*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)) - (3*(-b^2 + 4*a*c)^(3//4)*sqrt(e)*(20*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(5*b*d + 2*a*e))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*atan(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(32*c^(3//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(11//4)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) - (3*(-b^2 + 4*a*c)^(3//4)*sqrt(e)*(20*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(5*b*d + 2*a*e))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*atanh(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(32*c^(3//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(11//4)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) - (7*c^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(8*sqrt(2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(b + 2*c*x)) - (3*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(20*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(5*b*d + 2*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(32*sqrt(2)*c*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)) - (3*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(20*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(5*b*d + 2*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(3//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(32*sqrt(2)*c*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4)), x, 20),
+
+
+((d + e*x)^3/(a + b*x + c*x^2)^(5//4), -((4*(d + e*x)^2*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))) + (2*e*(24*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 2*c*e*(9*b*d + 8*a*e) + 6*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4))/(3*c^2*(b^2 - 4*a*c)) + ((2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d + 6*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d + 6*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(sqrt(2)*c^(11//4)*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(b + 2*c*x)) + ((2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d + 6*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(2*sqrt(2)*c^(11//4)*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(b + 2*c*x)), x, 6),
+((d + e*x)^2/(a + b*x + c*x^2)^(5//4), -((4*(d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))) + (4*e*(2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(3//4))/(c*(b^2 - 4*a*c)) + (2*(4*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d + 2*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(2)*(4*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d + 2*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(c^(7//4)*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(b + 2*c*x)) + ((4*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d + 2*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(sqrt(2)*c^(7//4)*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(b + 2*c*x)), x, 6),
+((d + e*x)^1/(a + b*x + c*x^2)^(5//4), -((4*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))) + (4*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (2*sqrt(2)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(c^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(b + 2*c*x)) + (sqrt(2)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(c^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(b + 2*c*x)), x, 5),
+((d + e*x)^0/(a + b*x + c*x^2)^(5//4), -((4*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))) + (8*sqrt(c)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (4*sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(b + 2*c*x)) + (2*sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(b + 2*c*x)), x, 5),
+(1/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(5//4)), -((4*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))) + (4*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*e^(3//2)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*atan(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) - ((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*e^(3//2)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*atanh(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) - (2*sqrt(2)*c^(1//4)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(b + 2*c*x)) + (sqrt(2)*c^(1//4)*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/((b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(b + 2*c*x)) - (sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(sqrt(2)*sqrt(c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) + (sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e*(2*c*d - b*e)*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(sqrt(2)*sqrt(c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)), x, 20),
+(1/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//4)), -((4*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))) - (e*(8*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 3*a*e))*(a + b*x + c*x^2)^(3//4))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)) + (sqrt(c)*(8*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 3*a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (5*(-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*e^(3//2)*(2*c*d - b*e)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*atan(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(4*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(9//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) - (5*(-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*e^(3//2)*(2*c*d - b*e)*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*atanh(((-b^2 + 4*a*c)^(1//4)*sqrt(e)*(1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4))/(sqrt(2)*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4))))/(4*c^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(9//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) - (c^(1//4)*(8*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 3*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(b + 2*c*x)) + (c^(1//4)*(8*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 3*a*e))*sqrt((b + 2*c*x)^2/((b^2 - 4*a*c)*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))^2))*(1 + (2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((sqrt(2)*c^(1//4)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4))/(b^2 - 4*a*c)^(1//4)), 1//2))/(2*sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(1//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(b + 2*c*x)) - (5*sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e*(2*c*d - b*e)^2*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(4*sqrt(2)*sqrt(c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)) + (5*sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e*(2*c*d - b*e)^2*sqrt((b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))*(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))^(1//4)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(-b^2 + 4*a*c)*e)/(2*sqrt(c)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), asin((1 - (b + 2*c*x)^2/(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), -1))/(4*sqrt(2)*sqrt(c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)), x, 21),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (a+b x+c x^2)^(p/4)
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+(1/((d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)), (2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)*(((2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))^(1//4)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), 1//4, 1//2, -((4*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(d + e*x))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))))/((2*c*d - b*e + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)*sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//4)), x, 1),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p when m symbolic
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+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^4, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4*(d + e*x)^(1 + m))/(e^9*(1 + m)) - (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^(2 + m))/(e^9*(2 + m)) + (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^(3 + m))/(e^9*(3 + m)) - (4*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(4 + m))/(e^9*(4 + m)) + (1/(e^9*(5 + m)))*((70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^(5 + m)) - (4*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(6 + m))/(e^9*(6 + m)) + (2*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^(7 + m))/(e^9*(7 + m)) - (4*c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(8 + m))/(e^9*(8 + m)) + (c^4*(d + e*x)^(9 + m))/(e^9*(9 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^3, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^(1 + m))/(e^7*(1 + m)) - (3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(2 + m))/(e^7*(2 + m)) + (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(3 + m))/(e^7*(3 + m)) - ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(4 + m))/(e^7*(4 + m)) + (3*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(5 + m))/(e^7*(5 + m)) - (3*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(6 + m))/(e^7*(6 + m)) + (c^3*(d + e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^2, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(1 + m))/(e^5*(1 + m)) - (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^5*(2 + m)) + ((6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*(d + e*x)^(3 + m))/(e^5*(3 + m)) - (2*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(4 + m))/(e^5*(4 + m)) + (c^2*(d + e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^1, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^3*(1 + m)) - ((2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^3*(2 + m)) + (c*(d + e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m/(a + b*x + c*x^2)^1, -((2*c*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + m))) + (2*c*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + m)), x, 4),
+((d + e*x)^m/(a + b*x + c*x^2)^2, -(((d + e*x)^(1 + m)*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2))) + (c*(4*c^2*d^2 + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2*m - 2*c*e*(2*b*d - 2*a*e*(1 - m) + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*m))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(1 + m)) - (c*(e*(2*c*d - b*e)*m + (4*c^2*d^2 - 4*c*e*(b*d - a*e*(1 - m)) + b^2*e^2*m)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(1 + m)), x, 5),
+
+
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), ((d + e*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -(5//2), -(5//2), 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(e*(1 + m)*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^(5//2)*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^(5//2)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), ((d + e*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -(3//2), -(3//2), 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(e*(1 + m)*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^(3//2)*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^(3//2)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(1//2), ((d + e*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -(1//2), -(1//2), 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(e*(1 + m)*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))), x, 2),
+((d + e*x)^m/(a + b*x + c*x^2)^(1//2), ((d + e*x)^(1 + m)*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, 1//2, 1//2, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(e*(1 + m)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^m/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), ((d + e*x)^(1 + m)*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^(3//2)*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^(3//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, 3//2, 3//2, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(e*(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), x, 2),
+((d + e*x)^m/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), ((d + e*x)^(1 + m)*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^(5//2)*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^(5//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, 5//2, 5//2, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(e*(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), x, 2),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p when p symbolic
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+
+((d*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -p, -p, 2 + m, -((2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(d*(1 + m))), x, 2),
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p, ((d + e*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -p, -p, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*(e*(1 + m))), x, 2),
+
+
+# {(a + b*x + c*x^2)^p*(d + e*x)^3, x, 3, If[$VersionNumber>=8, (e*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(2*c*(2 + p)) - (e*(b*e*(2*c*d - b*e)*(2 + p)*(3 + p) - 2*c*(3 + 2*p)*(c*d^2*(5 + 2*p) - e*(a*e + b*d*(2 + p))) - 2*c*e*(2*c*d - b*e)*(1 + p)*(3 + p)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(4*c^3*(1 + p)*(2 + p)*(3 + 2*p)) - (2^(-1 + p)*(2*c*d - b*e)*(b^2*e^2*(3 + p) + 2*c^2*d^2*(3 + 2*p) - 2*c*e*(3*a*e + b*d*(3 + 2*p)))*(-((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(-1 - p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-p, 1 + p, 2 + p, (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(c^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(1 + p)*(3 + 2*p)), (e*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(2*c*(2 + p)) - (e*(b*e*(2*c*d - b*e)*(2 + p)*(3 + p) - 2*c*(3 + 2*p)*(c*d^2*(5 + 2*p) - e*(a*e + b*d*(2 + p))) - 2*c*e*(2*c*d - b*e)*(1 + p)*(3 + p)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(4*c^3*(2 + p)*(3 + 5*p + 2*p^2)) - (2^(-1 + p)*(2*c*d - b*e)*(b^2*e^2*(3 + p) + 2*c^2*d^2*(3 + 2*p) - 2*c*e*(3*a*e + b*d*(3 + 2*p)))*(-((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(-1 - p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-p, 1 + p, 2 + p, (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(c^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(1 + p)*(3 + 2*p))]}
+((a + b*x + c*x^2)^p*(d + e*x)^2, (e*(2*c*d - b*e)*(2 + p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(2*c^2*(1 + p)*(3 + 2*p)) + (e*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(c*(3 + 2*p)) - (2^p*(b^2*e^2*(2 + p) + 2*c^2*d^2*(3 + 2*p) - 2*c*e*(a*e + b*d*(3 + 2*p)))*(-((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(-1 - p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1 + p, 2 + p, (b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/(2*sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 + p)*(3 + 2*p)), x, 3),
+((a + b*x + c*x^2)^p*(d + e*x)^1, (e*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(2*c*(1 + p)) - (2^p*(2*c*d - b*e)*(-((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(-1 - p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1 + p, 2 + p, (b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/(2*sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 + p)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^p*(d + e*x)^0, -((2^(1 + p)*(-((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(-1 - p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1 + p, 2 + p, (b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/(2*sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 + p))), x, 1),
+((a + b*x + c*x^2)^p/(d + e*x)^1, (2^(-1 + 2*p)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-2*p, -p, -p, 1 - 2*p, (2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/(2*c*(d + e*x)), (2*d - ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/c)/(2*(d + e*x))))/(((e*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(c*(d + e*x)))^p*((e*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(c*(d + e*x)))^p*(e*p)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^p/(d + e*x)^2, -((4^p*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 - 2*p, -p, -p, 2*(1 - p), (2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/(2*c*(d + e*x)), (2*d - ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/c)/(2*(d + e*x))))/(((e*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(c*(d + e*x)))^p*((e*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(c*(d + e*x)))^p*(e*(1 - 2*p)*(d + e*x)))), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^p/(d + e*x)^3, -((2^(-1 + 2*p)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(2*(1 - p), -p, -p, 3 - 2*p, (2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/(2*c*(d + e*x)), (2*d - ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/c)/(2*(d + e*x))))/(((e*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(c*(d + e*x)))^p*((e*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(c*(d + e*x)))^p*(e*(1 - p)*(d + e*x)^2))), x, 2),
+
+
+((a + b*x + c*x^2)^p*(d + e*x)^(3//2), (2*(d + e*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(5//2, -p, -p, 7//2, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*(5*e)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^p*(d + e*x)^(1//2), (2*(d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -p, -p, 5//2, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*(3*e)), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^p/(d + e*x)^(1//2), (2*sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, -p, 3//2, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*e), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^p/(d + e*x)^(3//2), -((2*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//2), -p, -p, 1//2, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*(e*sqrt(d + e*x)))), x, 2),
+
+
+((a + b*x + c*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 0), ((d + e*x)^(1 - 2*p)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 - 2*p, -p, -p, 2 - 2*p, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*(e*(1 - 2*p))), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 1), -(((a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-2*p, -p, -p, 1 - 2*p, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((d + e*x)^(2*p)*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*(2*e*p))), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 2), ((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)*(d + e*x)^(-1 - 2*p)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 - 2*p, -p, -2*p, -((4*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(d + e*x))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))))/((((2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))^p*((2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + 2*p))), x, 1),
+((a + b*x + c*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 3), -((e*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/((d + e*x)^(2*(1 + p))*(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(1 + p)))) + ((2*c*d - b*e)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)*(d + e*x)^(-1 - 2*p)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 - 2*p, -p, -2*p, -((4*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(d + e*x))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))))/((((2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))^p*(2*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(1 + 2*p))), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 4), -((e*(d + e*x)^(-3 - 2*p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(3 + 2*p))) - (e*(2*c*d - b*e)*(2 + p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/((d + e*x)^(2*(1 + p))*(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(1 + p)*(3 + 2*p))) + ((b^2*e^2*(2 + p) + 2*c^2*d^2*(3 + 2*p) - 2*c*e*(a*e + b*d*(3 + 2*p)))*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)*(d + e*x)^(-1 - 2*p)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 - 2*p, -p, -2*p, -((4*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(d + e*x))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))))/((((2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))^p*(2*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(1 + 2*p)*(3 + 2*p))), x, 3),
+((a + b*x + c*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 5), -((e*(2*c*d - b*e)*(3 + p)*(d + e*x)^(-3 - 2*p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(2 + p)*(3 + 2*p))) - (e*(b^2*e^2*(6 + 5*p + p^2) + 2*c^2*d^2*(9 + 8*p + 2*p^2) - 2*c*e*(a*e*(3 + 2*p) + b*d*(9 + 8*p + 2*p^2)))*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/((d + e*x)^(2*(1 + p))*(4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(1 + p)*(2 + p)*(3 + 2*p))) - (e*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/((d + e*x)^(2*(2 + p))*(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(2 + p))) + ((2*c*d - b*e)*(b^2*e^2*(3 + p) + 2*c^2*d^2*(3 + 2*p) - 2*c*e*(3*a*e + b*d*(3 + 2*p)))*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)*(d + e*x)^(-1 - 2*p)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 - 2*p, -p, -2*p, -((4*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(d + e*x))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))))/(((2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))^p/(4*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(1 + 2*p)*(3 + 2*p)), x, 4),
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+
+
+((d + e*x)^m/(a + b*x + c*x^2)^(m/2 + 2), (e*(d + e*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(-1 - m/2))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(1 + m)) + (e*(2*c*d - b*e)*m*(d + e*x)^(2 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(-1 - m/2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(1 + m)*(2 + m)) - ((b^2*e^2*m + 4*c^2*d^2*(1 + m) + 4*c*e*(a*e - b*d*(1 + m)))*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)*(((2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))^((4 + m)/2)*(d + e*x)^(3 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(-2 - m/2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3 + m, (4 + m)/2, 4 + m, -((4*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(d + e*x))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))))/(4*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(1 + m)*(3 + m)), x, 3),
+
+
+(1/((1 + x)^(1//3)*(1 - x + x^2)^(1//3)), ((1 + x^3)^(1//3)*atan((1 + (2*x)/(1 + x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*(1 + x)^(1//3)*(1 - x + x^2)^(1//3)) - ((1 + x^3)^(1//3)*log(-x + (1 + x^3)^(1//3)))/(2*(1 + x)^(1//3)*(1 - x + x^2)^(1//3)), x, 2),
+(1/((1 + x)^(2//3)*(1 - x + x^2)^(2//3)), (x*(1 + x^3)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -x^3))/((1 + x)^(2//3)*(1 - x + x^2)^(2//3)), x, 2),
+((1 + x)^p*(1 - x + x^2)^p, (x*(1 + x)^p*(1 - x + x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, -p, 4//3, -x^3))/(1 + x^3)^p, x, 2),
+
+(1/((1 - x)^(1//3)*(1 + x + x^2)^(1//3)), -(((1 - x^3)^(1//3)*atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*(1 - x)^(1//3)*(1 + x + x^2)^(1//3))) + ((1 - x^3)^(1//3)*log(x + (1 - x^3)^(1//3)))/(2*(1 - x)^(1//3)*(1 + x + x^2)^(1//3)), x, 2),
+(1/((1 - x)^(2//3)*(1 + x + x^2)^(2//3)), (x*(1 - x^3)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, x^3))/((1 - x)^(2//3)*(1 + x + x^2)^(2//3)), x, 2),
+((1 - x)^p*(1 + x + x^2)^p, ((1 - x)^p*x*(1 + x + x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, -p, 4//3, x^3))/(1 - x^3)^p, x, 2),
+
+(1/((b*e - c*e*x)^(1//3)*(b^2 + b*c*x + c^2*x^2)^(1//3)), -(((b^3*e - c^3*e*x^3)^(1//3)*atan((1 - (2*c*e^(1//3)*x)/(b^3*e - c^3*e*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*c*e^(1//3)*(b*e - c*e*x)^(1//3)*(b^2 + b*c*x + c^2*x^2)^(1//3))) + ((b^3*e - c^3*e*x^3)^(1//3)*log(c*e^(1//3)*x + (b^3*e - c^3*e*x^3)^(1//3)))/(2*c*e^(1//3)*(b*e - c*e*x)^(1//3)*(b^2 + b*c*x + c^2*x^2)^(1//3)), x, 2),
+(1/((b*e - c*e*x)^(2//3)*(b^2 + b*c*x + c^2*x^2)^(2//3)), (x*(1 - (c^3*x^3)/b^3)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, (c^3*x^3)/b^3))/((b*e - c*e*x)^(2//3)*(b^2 + b*c*x + c^2*x^2)^(2//3)), x, 3),
+((b*e - c*e*x)^p*(b^2 + b*c*x + c^2*x^2)^p, (x*(b*e - c*e*x)^p*(b^2 + b*c*x + c^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, -p, 4//3, (c^3*x^3)/b^3))/(1 - (c^3*x^3)/b^3)^p, x, 3),
+]
+# Total integrals translated: 2535
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.3 (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.3 (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..94eb6329
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.3 (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p.jl	
@@ -0,0 +1,4061 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p when a=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (A+B x) (b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^m*(A + B*x)*(b*x + c*x^2), (A*b*x^(2 + m))/(2 + m) + ((b*B + A*c)*x^(3 + m))/(3 + m) + (B*c*x^(4 + m))/(4 + m), x, 2),
+
+(x^3*(A + B*x)*(b*x + c*x^2), (A*b*x^5)/5 + ((b*B + A*c)*x^6)/6 + (B*c*x^7)/7, x, 2),
+(x^2*(A + B*x)*(b*x + c*x^2), (A*b*x^4)/4 + ((b*B + A*c)*x^5)/5 + (B*c*x^6)/6, x, 2),
+(x^1*(A + B*x)*(b*x + c*x^2), (A*b*x^3)/3 + ((b*B + A*c)*x^4)/4 + (B*c*x^5)/5, x, 2),
+(x^0*(A + B*x)*(b*x + c*x^2), (A*b*x^2)/2 + ((b*B + A*c)*x^3)/3 + (B*c*x^4)/4, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/x^1, A*b*x + ((b*B + A*c)*x^2)/2 + (B*c*x^3)/3, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/x^2, (b*B + A*c)*x + (1//2)*B*c*x^2 + A*b*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/x^3, -((A*b)/x) + B*c*x + (b*B + A*c)*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/x^4, -(A*b)/(2*x^2) - (b*B + A*c)/x + B*c*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/x^5, -(A*b)/(3*x^3) - (b*B + A*c)/(2*x^2) - (B*c)/x, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/x^6, -(A*b)/(4*x^4) - (b*B + A*c)/(3*x^3) - (B*c)/(2*x^2), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/x^7, -(A*b)/(5*x^5) - (b*B + A*c)/(4*x^4) - (B*c)/(3*x^3), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/x^8, -(A*b)/(6*x^6) - (b*B + A*c)/(5*x^5) - (B*c)/(4*x^4), x, 2),
+
+
+(x^m*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2, (A*b^2*x^(3 + m))/(3 + m) + (b*(b*B + 2*A*c)*x^(4 + m))/(4 + m) + (c*(2*b*B + A*c)*x^(5 + m))/(5 + m) + (B*c^2*x^(6 + m))/(6 + m), x, 2),
+
+(x^3*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2, (A*b^2*x^6)/6 + (b*(b*B + 2*A*c)*x^7)/7 + (c*(2*b*B + A*c)*x^8)/8 + (B*c^2*x^9)/9, x, 2),
+(x^2*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2, (A*b^2*x^5)/5 + (b*(b*B + 2*A*c)*x^6)/6 + (c*(2*b*B + A*c)*x^7)/7 + (B*c^2*x^8)/8, x, 2),
+(x^1*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2, (A*b^2*x^4)/4 + (b*(b*B + 2*A*c)*x^5)/5 + (c*(2*b*B + A*c)*x^6)/6 + (B*c^2*x^7)/7, x, 2),
+(x^0*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2, (A*b^2*x^3)/3 + (b*(b*B + 2*A*c)*x^4)/4 + (c*(2*b*B + A*c)*x^5)/5 + (B*c^2*x^6)/6, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/x^1, (1//2)*A*b^2*x^2 + (1//3)*b*(b*B + 2*A*c)*x^3 + (1//4)*c*(2*b*B + A*c)*x^4 + (1//5)*B*c^2*x^5, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/x^2, -(((b*B - A*c)*(b + c*x)^3)/(3*c^2)) + (B*(b + c*x)^4)/(4*c^2), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/x^3, b*(b*B + 2*A*c)*x + (1//2)*c*(2*b*B + A*c)*x^2 + (1//3)*B*c^2*x^3 + A*b^2*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/x^4, -((A*b^2)/x) + c*(2*b*B + A*c)*x + (1//2)*B*c^2*x^2 + b*(b*B + 2*A*c)*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/x^5, -((A*b^2)/(2*x^2)) - (b*(b*B + 2*A*c))/x + B*c^2*x + c*(2*b*B + A*c)*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/x^6, -((A*b^2)/(3*x^3)) - (b*(b*B + 2*A*c))/(2*x^2) - (c*(2*b*B + A*c))/x + B*c^2*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/x^7, -((A*b^2)/(4*x^4)) - (b*(b*B + 2*A*c))/(3*x^3) - (c*(2*b*B + A*c))/(2*x^2) - (B*c^2)/x, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/x^8, -((A*b^2)/(5*x^5)) - (b*(b*B + 2*A*c))/(4*x^4) - (c*(2*b*B + A*c))/(3*x^3) - (B*c^2)/(2*x^2), x, 2),
+
+
+(x^m*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3, (A*b^3*x^(4 + m))/(4 + m) + (b^2*(b*B + 3*A*c)*x^(5 + m))/(5 + m) + (3*b*c*(b*B + A*c)*x^(6 + m))/(6 + m) + (c^2*(3*b*B + A*c)*x^(7 + m))/(7 + m) + (B*c^3*x^(8 + m))/(8 + m), x, 2),
+
+(x^3*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3, (A*b^3*x^7)/7 + (b^2*(b*B + 3*A*c)*x^8)/8 + (b*c*(b*B + A*c)*x^9)/3 + (c^2*(3*b*B + A*c)*x^10)/10 + (B*c^3*x^11)/11, x, 2),
+(x^2*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3, (A*b^3*x^6)/6 + (b^2*(b*B + 3*A*c)*x^7)/7 + (3*b*c*(b*B + A*c)*x^8)/8 + (c^2*(3*b*B + A*c)*x^9)/9 + (B*c^3*x^10)/10, x, 2),
+(x^1*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3, (A*b^3*x^5)/5 + (b^2*(b*B + 3*A*c)*x^6)/6 + (3*b*c*(b*B + A*c)*x^7)/7 + (c^2*(3*b*B + A*c)*x^8)/8 + (B*c^3*x^9)/9, x, 2),
+(x^0*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3, (A*b^3*x^4)/4 + (b^2*(b*B + 3*A*c)*x^5)/5 + (b*c*(b*B + A*c)*x^6)/2 + (c^2*(3*b*B + A*c)*x^7)/7 + (B*c^3*x^8)/8, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/x^1, (A*b^3*x^3)/3 + (b^2*(b*B + 3*A*c)*x^4)/4 + (3*b*c*(b*B + A*c)*x^5)/5 + (c^2*(3*b*B + A*c)*x^6)/6 + (B*c^3*x^7)/7, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/x^2, (b*(b*B - A*c)*(b + c*x)^4)/(4*c^3) - ((2*b*B - A*c)*(b + c*x)^5)/(5*c^3) + (B*(b + c*x)^6)/(6*c^3), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/x^3, -(((b*B - A*c)*(b + c*x)^4)/(4*c^2)) + (B*(b + c*x)^5)/(5*c^2), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/x^4, b^2*(b*B + 3*A*c)*x + (3//2)*b*c*(b*B + A*c)*x^2 + (1//3)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^3 + (1//4)*B*c^3*x^4 + A*b^3*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/x^5, -((A*b^3)/x) + 3*b*c*(b*B + A*c)*x + (1//2)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^2 + (1//3)*B*c^3*x^3 + b^2*(b*B + 3*A*c)*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/x^6, -((A*b^3)/(2*x^2)) - (b^2*(b*B + 3*A*c))/x + c^2*(3*b*B + A*c)*x + (1//2)*B*c^3*x^2 + 3*b*c*(b*B + A*c)*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/x^7, -((A*b^3)/(3*x^3)) - (b^2*(b*B + 3*A*c))/(2*x^2) - (3*b*c*(b*B + A*c))/x + B*c^3*x + c^2*(3*b*B + A*c)*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/x^8, -((A*b^3)/(4*x^4)) - (b^2*(b*B + 3*A*c))/(3*x^3) - (3*b*c*(b*B + A*c))/(2*x^2) - (c^2*(3*b*B + A*c))/x + B*c^3*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/x^9, -((A*b^3)/(5*x^5)) - (b^2*(b*B + 3*A*c))/(4*x^4) - (b*c*(b*B + A*c))/x^3 - (c^2*(3*b*B + A*c))/(2*x^2) - (B*c^3)/x, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/x^10, -((A*b^3)/(6*x^6)) - (b^2*(b*B + 3*A*c))/(5*x^5) - (3*b*c*(b*B + A*c))/(4*x^4) - (c^2*(3*b*B + A*c))/(3*x^3) - (B*c^3)/(2*x^2), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/x^11, -((A*b^3)/(7*x^7)) - (b^2*(b*B + 3*A*c))/(6*x^6) - (3*b*c*(b*B + A*c))/(5*x^5) - (c^2*(3*b*B + A*c))/(4*x^4) - (B*c^3)/(3*x^3), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4*(d + e*x)/(b*x + c*x^2), (b^2*(c*d - b*e)*x)/c^4 - (b*(c*d - b*e)*x^2)/(2*c^3) + ((c*d - b*e)*x^3)/(3*c^2) + (e*x^4)/(4*c) - (b^3*(c*d - b*e)*log(b + c*x))/c^5, x, 2),
+(x^3*(d + e*x)/(b*x + c*x^2), -((b*(c*d - b*e)*x)/c^3) + ((c*d - b*e)*x^2)/(2*c^2) + (e*x^3)/(3*c) + (b^2*(c*d - b*e)*log(b + c*x))/c^4, x, 2),
+(x^2*(d + e*x)/(b*x + c*x^2), ((c*d - b*e)*x)/c^2 + (e*x^2)/(2*c) - (b*(c*d - b*e)*log(b + c*x))/c^3, x, 2),
+(x^1*(d + e*x)/(b*x + c*x^2), (e*x)/c + ((c*d - b*e)*log(b + c*x))/c^2, x, 2),
+(x^0*(d + e*x)/(b*x + c*x^2), (d*log(x))/b - ((c*d - b*e)*log(b + c*x))/(b*c), x, 2),
+((d + e*x)/(x^1*(b*x + c*x^2)), -(d/(b*x)) - ((c*d - b*e)*log(x))/b^2 + ((c*d - b*e)*log(b + c*x))/b^2, x, 2),
+((d + e*x)/(x^2*(b*x + c*x^2)), -d/(2*b*x^2) + (c*d - b*e)/(b^2*x) + (c*(c*d - b*e)*log(x))/b^3 - (c*(c*d - b*e)*log(b + c*x))/b^3, x, 2),
+((d + e*x)/(x^3*(b*x + c*x^2)), -d/(3*b*x^3) + (c*d - b*e)/(2*b^2*x^2) - (c*(c*d - b*e))/(b^3*x) - (c^2*(c*d - b*e)*log(x))/b^4 + (c^2*(c*d - b*e)*log(b + c*x))/b^4, x, 2),
+
+
+(x^5*(d + e*x)/(b*x + c*x^2)^2, -((b*(2*c*d - 3*b*e)*x)/c^4) + ((c*d - 2*b*e)*x^2)/(2*c^3) + (e*x^3)/(3*c^2) + (b^3*(c*d - b*e))/(c^5*(b + c*x)) + (b^2*(3*c*d - 4*b*e)*log(b + c*x))/c^5, x, 2),
+(x^4*(d + e*x)/(b*x + c*x^2)^2, ((c*d - 2*b*e)*x)/c^3 + (e*x^2)/(2*c^2) - (b^2*(c*d - b*e))/(c^4*(b + c*x)) - (b*(2*c*d - 3*b*e)*log(b + c*x))/c^4, x, 2),
+(x^3*(d + e*x)/(b*x + c*x^2)^2, (e*x)/c^2 + (b*(c*d - b*e))/(c^3*(b + c*x)) + ((c*d - 2*b*e)*log(b + c*x))/c^3, x, 2),
+(x^2*(d + e*x)/(b*x + c*x^2)^2, -((c*d - b*e)/(c^2*(b + c*x))) + (e*log(b + c*x))/c^2, x, 2),
+(x^1*(d + e*x)/(b*x + c*x^2)^2, (c*d - b*e)/(b*c*(b + c*x)) + (d*log(x))/b^2 - (d*log(b + c*x))/b^2, x, 2),
+(x^0*(d + e*x)/(b*x + c*x^2)^2, -(d/(b^2*x)) - (c*d - b*e)/(b^2*(b + c*x)) - ((2*c*d - b*e)*log(x))/b^3 + ((2*c*d - b*e)*log(b + c*x))/b^3, x, 2),
+((d + e*x)/(x^1*(b*x + c*x^2)^2), -(d/(2*b^2*x^2)) + (2*c*d - b*e)/(b^3*x) + (c*(c*d - b*e))/(b^3*(b + c*x)) + (c*(3*c*d - 2*b*e)*log(x))/b^4 - (c*(3*c*d - 2*b*e)*log(b + c*x))/b^4, x, 2),
+((d + e*x)/(x^2*(b*x + c*x^2)^2), -(d/(3*b^2*x^3)) + (2*c*d - b*e)/(2*b^3*x^2) - (c*(3*c*d - 2*b*e))/(b^4*x) - (c^2*(c*d - b*e))/(b^4*(b + c*x)) - (c^2*(4*c*d - 3*b*e)*log(x))/b^5 + (c^2*(4*c*d - 3*b*e)*log(b + c*x))/b^5, x, 2),
+
+
+(x^6*(d + e*x)/(b*x + c*x^2)^3, ((c*d - 3*b*e)*x)/c^4 + (e*x^2)/(2*c^3) + (b^3*(c*d - b*e))/(2*c^5*(b + c*x)^2) - (b^2*(3*c*d - 4*b*e))/(c^5*(b + c*x)) - (3*b*(c*d - 2*b*e)*log(b + c*x))/c^5, x, 2),
+(x^5*(d + e*x)/(b*x + c*x^2)^3, (e*x)/c^3 - (b^2*(c*d - b*e))/(2*c^4*(b + c*x)^2) + (b*(2*c*d - 3*b*e))/(c^4*(b + c*x)) + ((c*d - 3*b*e)*log(b + c*x))/c^4, x, 2),
+(x^4*(d + e*x)/(b*x + c*x^2)^3, (b*(c*d - b*e))/(2*c^3*(b + c*x)^2) - (c*d - 2*b*e)/(c^3*(b + c*x)) + (e*log(b + c*x))/c^3, x, 2),
+(x^3*(d + e*x)/(b*x + c*x^2)^3, -((c*d - b*e)/(2*c^2*(b + c*x)^2)) - e/(c^2*(b + c*x)), x, 2),
+(x^2*(d + e*x)/(b*x + c*x^2)^3, (c*d - b*e)/(2*b*c*(b + c*x)^2) + d/(b^2*(b + c*x)) + (d*log(x))/b^3 - (d*log(b + c*x))/b^3, x, 2),
+(x^1*(d + e*x)/(b*x + c*x^2)^3, -(d/(b^3*x)) - (c*d - b*e)/(2*b^2*(b + c*x)^2) - (2*c*d - b*e)/(b^3*(b + c*x)) - ((3*c*d - b*e)*log(x))/b^4 + ((3*c*d - b*e)*log(b + c*x))/b^4, x, 2),
+(x^0*(d + e*x)/(b*x + c*x^2)^3, -(d/(2*b^3*x^2)) + (3*c*d - b*e)/(b^4*x) + (c*(c*d - b*e))/(2*b^3*(b + c*x)^2) + (c*(3*c*d - 2*b*e))/(b^4*(b + c*x)) + (3*c*(2*c*d - b*e)*log(x))/b^5 - (3*c*(2*c*d - b*e)*log(b + c*x))/b^5, x, 2),
+((d + e*x)/(x^1*(b*x + c*x^2)^3), -(d/(3*b^3*x^3)) + (3*c*d - b*e)/(2*b^4*x^2) - (3*c*(2*c*d - b*e))/(b^5*x) - (c^2*(c*d - b*e))/(2*b^4*(b + c*x)^2) - (c^2*(4*c*d - 3*b*e))/(b^5*(b + c*x)) - (2*c^2*(5*c*d - 3*b*e)*log(x))/b^6 + (2*c^2*(5*c*d - 3*b*e)*log(b + c*x))/b^6, x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (A+B x) (b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2), (7*b^3*(3*b*B - 4*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(512*c^5) - (7*b^2*(3*b*B - 4*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*c^4) + (7*b*(3*b*B - 4*A*c)*x*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(160*c^3) - ((3*b*B - 4*A*c)*x^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(20*c^2) + (B*x^3*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(6*c) - (7*b^5*(3*b*B - 4*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(512*c^(11//2)), x, 7),
+(x^2*(A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2), -((b^2*(7*b*B - 10*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(128*c^4)) + (b*(7*b*B - 10*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(48*c^3) - ((7*b*B - 10*A*c)*x*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(40*c^2) + (B*x^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*c) + (b^4*(7*b*B - 10*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(128*c^(9//2)), x, 6),
+(x*(A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2), (b*(5*b*B - 8*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*c^3) - ((5*b*B - 8*A*c - 6*B*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*c^2) - (b^3*(5*b*B - 8*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(64*c^(7//2)), x, 4),
+((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2), -(((b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*c^2)) + (B*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*c) + (b^2*(b*B - 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(8*c^(5//2)), x, 4),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/x, -((b*B - 4*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*c) + (B*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(2*c*x) - (b*(b*B - 4*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(4*c^(3//2)), x, 4),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/x^2, ((b*B + 2*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/b - (2*A*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(b*x^2) + ((b*B + 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/sqrt(c), x, 4),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/x^3, (-2*B*sqrt(b*x + c*x^2))/x - (2*A*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*b*x^3) + 2*B*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)), x, 4),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/x^4, (-2*A*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*b*x^4) - (2*(5*b*B - 2*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(15*b^2*x^3), x, 2),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/x^5, (-2*A*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*b*x^5) - (2*(7*b*B - 4*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(35*b^2*x^4) + (4*c*(7*b*B - 4*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(105*b^3*x^3), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/x^6, (-2*A*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(9*b*x^6) - (2*(3*b*B - 2*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(21*b^2*x^5) + (8*c*(3*b*B - 2*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(105*b^3*x^4) - (16*c^2*(3*b*B - 2*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(315*b^4*x^3), x, 4),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/x^7, (-2*A*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(11*b*x^7) - (2*(11*b*B - 8*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(99*b^2*x^6) + (4*c*(11*b*B - 8*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(231*b^3*x^5) - (16*c^2*(11*b*B - 8*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(1155*b^4*x^4) + (32*c^3*(11*b*B - 8*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3465*b^5*x^3), x, 5),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/x^8, (-2*A*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(13*b*x^8) - (2*(13*b*B - 10*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(143*b^2*x^7) + (16*c*(13*b*B - 10*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(1287*b^3*x^6) - (32*c^2*(13*b*B - 10*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3003*b^4*x^5) + (128*c^3*(13*b*B - 10*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(15015*b^5*x^4) - (256*c^4*(13*b*B - 10*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(45045*b^6*x^3), x, 6),
+
+
+(x^3*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2), -((9*b^5*(11*b*B - 16*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(16384*c^6)) + (3*b^3*(11*b*B - 16*A*c)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(2048*c^5) - (3*b^2*(11*b*B - 16*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(640*c^4) + (3*b*(11*b*B - 16*A*c)*x*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(448*c^3) - ((11*b*B - 16*A*c)*x^2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(112*c^2) + (B*x^3*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(8*c) + (9*b^7*(11*b*B - 16*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(16384*c^(13//2)), x, 8),
+(x^2*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2), (b^4*(9*b*B - 14*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(1024*c^5) - (b^2*(9*b*B - 14*A*c)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(384*c^4) + (b*(9*b*B - 14*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(120*c^3) - ((9*b*B - 14*A*c)*x*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(84*c^2) + (B*x^2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(7*c) - (b^6*(9*b*B - 14*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(1024*c^(11//2)), x, 7),
+(x*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2), -((b^3*(7*b*B - 12*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(512*c^4)) + (b*(7*b*B - 12*A*c)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*c^3) - ((7*b*B - 12*A*c - 10*B*c*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(60*c^2) + (b^5*(7*b*B - 12*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(512*c^(9//2)), x, 5),
+((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2), (3*b^2*(b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(128*c^3) - ((b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(16*c^2) + (B*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*c) - (3*b^4*(b*B - 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(128*c^(7//2)), x, 5),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/x, -((b*(3*b*B - 8*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*c^2)) - ((3*b*B - 8*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*c) + (B*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(4*c*x) + (b^3*(3*b*B - 8*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(64*c^(5//2)), x, 5),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/x^2, ((b*B - 6*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*c) + ((b*B - 6*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*b) + (2*A*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(b*x^2) - (b^2*(b*B - 6*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(8*c^(3//2)), x, 5),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/x^3, (3*(b*B + 4*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/4 + ((b*B + 4*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(2*b*x) - (2*A*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(b*x^3) + (3*b*(b*B + 4*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(4*sqrt(c)), x, 5),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/x^4, (c*(3*b*B + 2*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/b - (2*(3*b*B + 2*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*b*x^2) - (2*A*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(3*b*x^4) + sqrt(c)*(3*b*B + 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)), x, 5),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/x^5, (-2*B*c*sqrt(b*x + c*x^2))/x - (2*B*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*x^3) - (2*A*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*b*x^5) + 2*B*c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)), x, 5),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/x^6, (-2*A*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(7*b*x^6) - (2*(7*b*B - 2*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(35*b^2*x^5), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/x^7, (-2*A*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(9*b*x^7) - (2*(9*b*B - 4*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(63*b^2*x^6) + (4*c*(9*b*B - 4*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(315*b^3*x^5), x, 3),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/x^8, (-2*A*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(11*b*x^8) - (2*(11*b*B - 6*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(99*b^2*x^7) + (8*c*(11*b*B - 6*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(693*b^3*x^6) - (16*c^2*(11*b*B - 6*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(3465*b^4*x^5), x, 4),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/x^9, (-2*A*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(13*b*x^9) - (2*(13*b*B - 8*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(143*b^2*x^8) + (4*c*(13*b*B - 8*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(429*b^3*x^7) - (16*c^2*(13*b*B - 8*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(3003*b^4*x^6) + (32*c^3*(13*b*B - 8*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(15015*b^5*x^5), x, 5),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/x^10, (-2*A*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(15*b*x^10) - (2*(3*b*B - 2*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(39*b^2*x^9) + (16*c*(3*b*B - 2*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(429*b^3*x^8) - (32*c^2*(3*b*B - 2*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(1287*b^4*x^7) + (128*c^3*(3*b*B - 2*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(9009*b^5*x^6) - (256*c^4*(3*b*B - 2*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(45045*b^6*x^5), x, 6),
+
+
+(x^3*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2), (11*b^7*(13*b*B - 20*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(131072*c^7) - (11*b^5*(13*b*B - 20*A*c)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(49152*c^6) + (11*b^3*(13*b*B - 20*A*c)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(15360*c^5) - (11*b^2*(13*b*B - 20*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(4480*c^4) + (11*b*(13*b*B - 20*A*c)*x*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(2880*c^3) - ((13*b*B - 20*A*c)*x^2*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(180*c^2) + (B*x^3*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(10*c) - (11*b^9*(13*b*B - 20*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(131072*c^(15//2)), x, 9),
+(x^2*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2), -((5*b^6*(11*b*B - 18*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(32768*c^6)) + (5*b^4*(11*b*B - 18*A*c)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(12288*c^5) - (b^2*(11*b*B - 18*A*c)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(768*c^4) + (b*(11*b*B - 18*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(224*c^3) - ((11*b*B - 18*A*c)*x*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(144*c^2) + (B*x^2*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(9*c) + (5*b^8*(11*b*B - 18*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(32768*c^(13//2)), x, 8),
+(x*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2), (5*b^5*(9*b*B - 16*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(16384*c^5) - (5*b^3*(9*b*B - 16*A*c)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(6144*c^4) + (b*(9*b*B - 16*A*c)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(384*c^3) - ((9*b*B - 16*A*c - 14*B*c*x)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(112*c^2) - (5*b^7*(9*b*B - 16*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(16384*c^(11//2)), x, 6),
+((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2), -((5*b^4*(b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(1024*c^4)) + (5*b^2*(b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(384*c^3) - ((b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(24*c^2) + (B*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(7*c) + (5*b^6*(b*B - 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(1024*c^(9//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x, (b^3*(5*b*B - 12*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(512*c^3) - (b*(5*b*B - 12*A*c)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*c^2) - ((5*b*B - 12*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(60*c) + (B*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(6*c*x) - (b^5*(5*b*B - 12*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(512*c^(7//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^2, -((b^2*(3*b*B - 10*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(128*c^2)) + ((3*b*B - 10*A*c)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(48*c) + ((3*b*B - 10*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(15*b) + (2*A*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(3*b*x^2) + (b^4*(3*b*B - 10*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(128*c^(5//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^3, (5*b*(b*B - 8*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*c) + (5//24)*(b*B - 8*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2) + ((b*B - 8*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(4*b*x) + (2*A*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(b*x^3) - (5*b^3*(b*B - 8*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(64*c^(3//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^4, (1//8)*-5*(b*B + 6*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2) - (5*c*(b*B + 6*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*b) + (2*(b*B + 6*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(b*x^2) - (2*A*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(b*x^4) + (5*b^2*(b*B + 6*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(8*sqrt(c)), x, 6),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^5, (5*c*(3*b*B + 4*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/4 + (5*c*(3*b*B + 4*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(6*b*x) - (2*(3*b*B + 4*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(3*b*x^3) - (2*A*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(3*b*x^5) + (5*b*sqrt(c)*(3*b*B + 4*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/4, x, 6),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^6, (c^2*(5*b*B + 2*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/b - (2*c*(5*b*B + 2*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*b*x^2) - (2*(5*b*B + 2*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(15*b*x^4) - (2*A*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(5*b*x^6) + c^(3//2)*(5*b*B + 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)), x, 6),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^7, (-2*B*c^2*sqrt(b*x + c*x^2))/x - (2*B*c*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*x^3) - (2*B*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*x^5) - (2*A*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(7*b*x^7) + 2*B*c^(5//2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)), x, 6),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^8, (-2*A*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(9*b*x^8) - (2*(9*b*B - 2*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(63*b^2*x^7), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^9, (-2*A*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(11*b*x^9) - (2*(11*b*B - 4*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(99*b^2*x^8) + (4*c*(11*b*B - 4*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(693*b^3*x^7), x, 3),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^10, (-2*A*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(13*b*x^10) - (2*(13*b*B - 6*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(143*b^2*x^9) + (8*c*(13*b*B - 6*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(1287*b^3*x^8) - (16*c^2*(13*b*B - 6*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(9009*b^4*x^7), x, 4),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^11, (-2*A*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(15*b*x^11) - (2*(15*b*B - 8*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(195*b^2*x^10) + (4*c*(15*b*B - 8*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(715*b^3*x^9) - (16*c^2*(15*b*B - 8*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(6435*b^4*x^8) + (32*c^3*(15*b*B - 8*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(45045*b^5*x^7), x, 5),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^12, (-2*A*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(17*b*x^12) - (2*(17*b*B - 10*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(255*b^2*x^11) + (16*c*(17*b*B - 10*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(3315*b^3*x^10) - (32*c^2*(17*b*B - 10*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(12155*b^4*x^9) + (128*c^3*(17*b*B - 10*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(109395*b^5*x^8) - (256*c^4*(17*b*B - 10*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(765765*b^6*x^7), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^4*(A + B*x))/sqrt(b*x + c*x^2), (7*b^3*(9*b*B - 10*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(128*c^5) - (7*b^2*(9*b*B - 10*A*c)*x*sqrt(b*x + c*x^2))/(192*c^4) + (7*b*(9*b*B - 10*A*c)*x^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(240*c^3) - ((9*b*B - 10*A*c)*x^3*sqrt(b*x + c*x^2))/(40*c^2) + (B*x^4*sqrt(b*x + c*x^2))/(5*c) - (7*b^4*(9*b*B - 10*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(128*c^(11//2)), x, 7),
+((x^3*(A + B*x))/sqrt(b*x + c*x^2), (-5*b^2*(7*b*B - 8*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*c^4) + (5*b*(7*b*B - 8*A*c)*x*sqrt(b*x + c*x^2))/(96*c^3) - ((7*b*B - 8*A*c)*x^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(24*c^2) + (B*x^3*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*c) + (5*b^3*(7*b*B - 8*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(64*c^(9//2)), x, 6),
+((x^2*(A + B*x))/sqrt(b*x + c*x^2), (b*(5*b*B - 6*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*c^3) - ((5*b*B - 6*A*c)*x*sqrt(b*x + c*x^2))/(12*c^2) + (B*x^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*c) - (b^2*(5*b*B - 6*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(8*c^(7//2)), x, 5),
+((x*(A + B*x))/sqrt(b*x + c*x^2), -(((3*b*B - 4*A*c - 2*B*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*c^2)) + (b*(3*b*B - 4*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(4*c^(5//2)), x, 3),
+((A + B*x)/sqrt(b*x + c*x^2), (B*sqrt(b*x + c*x^2))/c - ((b*B - 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/c^(3//2), x, 3),
+((A + B*x)/(x*sqrt(b*x + c*x^2)), (-2*A*sqrt(b*x + c*x^2))/(b*x) + (2*B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/sqrt(c), x, 3),
+((A + B*x)/(x^2*sqrt(b*x + c*x^2)), (-2*A*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b*x^2) - (2*(3*b*B - 2*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b^2*x), x, 2),
+((A + B*x)/(x^3*sqrt(b*x + c*x^2)), (-2*A*sqrt(b*x + c*x^2))/(5*b*x^3) - (2*(5*b*B - 4*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*b^2*x^2) + (4*c*(5*b*B - 4*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*b^3*x), x, 3),
+((A + B*x)/(x^4*sqrt(b*x + c*x^2)), (-2*A*sqrt(b*x + c*x^2))/(7*b*x^4) - (2*(7*b*B - 6*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(35*b^2*x^3) + (8*c*(7*b*B - 6*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(105*b^3*x^2) - (16*c^2*(7*b*B - 6*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(105*b^4*x), x, 4),
+((A + B*x)/(x^5*sqrt(b*x + c*x^2)), (-2*A*sqrt(b*x + c*x^2))/(9*b*x^5) - (2*(9*b*B - 8*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(63*b^2*x^4) + (4*c*(9*b*B - 8*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(105*b^3*x^3) - (16*c^2*(9*b*B - 8*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(315*b^4*x^2) + (32*c^3*(9*b*B - 8*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(315*b^5*x), x, 5),
+((A + B*x)/(x^6*sqrt(b*x + c*x^2)), (-2*A*sqrt(b*x + c*x^2))/(11*b*x^6) - (2*(11*b*B - 10*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(99*b^2*x^5) + (16*c*(11*b*B - 10*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(693*b^3*x^4) - (32*c^2*(11*b*B - 10*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(1155*b^4*x^3) + (128*c^3*(11*b*B - 10*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3465*b^5*x^2) - (256*c^4*(11*b*B - 10*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3465*b^6*x), x, 6),
+
+
+((x^4*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(3//2), (-2*(b*B - A*c)*x^4)/(b*c*sqrt(b*x + c*x^2)) + (5*b*(7*b*B - 6*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*c^4) - (5*(7*b*B - 6*A*c)*x*sqrt(b*x + c*x^2))/(12*c^3) + ((7*b*B - 6*A*c)*x^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b*c^2) - (5*b^2*(7*b*B - 6*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(8*c^(9//2)), x, 6),
+((x^3*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(3//2), (-2*(b*B - A*c)*x^3)/(b*c*sqrt(b*x + c*x^2)) - (3*(5*b*B - 4*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*c^3) + ((5*b*B - 4*A*c)*x*sqrt(b*x + c*x^2))/(2*b*c^2) + (3*b*(5*b*B - 4*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(4*c^(7//2)), x, 5),
+((x^2*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(3//2), (-2*(b*B - A*c)*x^2)/(b*c*sqrt(b*x + c*x^2)) + ((3*b*B - 2*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(b*c^2) - ((3*b*B - 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/c^(5//2), x, 4),
+((x*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(3//2), (-2*(b*B - A*c)*x)/(b*c*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/c^(3//2), x, 3),
+((A + B*x)/(b*x + c*x^2)^(3//2), (-2*(A*b - (b*B - 2*A*c)*x))/(b^2*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 1),
+((A + B*x)/(x*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*A)/(3*b*x*sqrt(b*x + c*x^2))) - (2*(3*b*B - 4*A*c)*(b + 2*c*x))/(3*b^3*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 2),
+((A + B*x)/(x^2*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*A)/(5*b*x^2*sqrt(b*x + c*x^2))) - (2*(5*b*B - 6*A*c))/(15*b^2*x*sqrt(b*x + c*x^2)) + (8*c*(5*b*B - 6*A*c)*(b + 2*c*x))/(15*b^4*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)/(x^3*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*A)/(7*b*x^3*sqrt(b*x + c*x^2))) - (2*(7*b*B - 8*A*c))/(35*b^2*x^2*sqrt(b*x + c*x^2)) + (4*c*(7*b*B - 8*A*c))/(35*b^3*x*sqrt(b*x + c*x^2)) - (16*c^2*(7*b*B - 8*A*c)*(b + 2*c*x))/(35*b^5*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 4),
+((A + B*x)/(x^4*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*A)/(9*b*x^4*sqrt(b*x + c*x^2))) - (2*(9*b*B - 10*A*c))/(63*b^2*x^3*sqrt(b*x + c*x^2)) + (16*c*(9*b*B - 10*A*c))/(315*b^3*x^2*sqrt(b*x + c*x^2)) - (32*c^2*(9*b*B - 10*A*c))/(315*b^4*x*sqrt(b*x + c*x^2)) + (128*c^3*(9*b*B - 10*A*c)*(b + 2*c*x))/(315*b^6*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 5),
+
+
+((x^5*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(5//2), (-2*(b*B - A*c)*x^5)/(3*b*c*(b*x + c*x^2)^(3//2)) - (2*(7*b*B - 4*A*c)*x^3)/(3*b*c^2*sqrt(b*x + c*x^2)) - (5*(7*b*B - 4*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*c^4) + (5*(7*b*B - 4*A*c)*x*sqrt(b*x + c*x^2))/(6*b*c^3) + (5*b*(7*b*B - 4*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(4*c^(9//2)), x, 6),
+((x^4*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(5//2), (-2*(b*B - A*c)*x^4)/(3*b*c*(b*x + c*x^2)^(3//2)) - (2*(5*b*B - 2*A*c)*x^2)/(3*b*c^2*sqrt(b*x + c*x^2)) + ((5*b*B - 2*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(b*c^3) - ((5*b*B - 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/c^(7//2), x, 5),
+((x^3*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(5//2), (-2*(b*B - A*c)*x^3)/(3*b*c*(b*x + c*x^2)^(3//2)) - (2*B*x)/(c^2*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/c^(5//2), x, 4),
+((x^2*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(5//2), (-2*(b*B - A*c)*x^2)/(3*b*c*(b*x + c*x^2)^(3//2)) + (2*(b*B + 2*A*c)*x)/(3*b^2*c*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 2),
+((x*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(b*B - A*c)*x)/(3*b*c*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (2*(b*B - 4*A*c)*(b + 2*c*x))/(3*b^3*c*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 2),
+((A + B*x)/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(A*b - (b*B - 2*A*c)*x))/(3*b^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))) - (8*(b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x))/(3*b^4*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 2),
+((A + B*x)/(x*(b*x + c*x^2)^(5//2)), -((2*A)/(5*b*x*(b*x + c*x^2)^(3//2))) - (2*(5*b*B - 8*A*c)*(b + 2*c*x))/(15*b^3*(b*x + c*x^2)^(3//2)) + (16*c*(5*b*B - 8*A*c)*(b + 2*c*x))/(15*b^5*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)/(x^2*(b*x + c*x^2)^(5//2)), -((2*A)/(7*b*x^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))) - (2*(7*b*B - 10*A*c))/(35*b^2*x*(b*x + c*x^2)^(3//2)) + (16*c*(7*b*B - 10*A*c)*(b + 2*c*x))/(105*b^4*(b*x + c*x^2)^(3//2)) - (128*c^2*(7*b*B - 10*A*c)*(b + 2*c*x))/(105*b^6*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 4),
+((A + B*x)/(x^3*(b*x + c*x^2)^(5//2)), -((2*A)/(9*b*x^3*(b*x + c*x^2)^(3//2))) - (2*(3*b*B - 4*A*c))/(21*b^2*x^2*(b*x + c*x^2)^(3//2)) + (4*c*(3*b*B - 4*A*c))/(21*b^3*x*(b*x + c*x^2)^(3//2)) - (32*c^2*(3*b*B - 4*A*c)*(b + 2*c*x))/(63*b^5*(b*x + c*x^2)^(3//2)) + (256*c^3*(3*b*B - 4*A*c)*(b + 2*c*x))/(63*b^7*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 5),
+
+
+((d + e*x)/(b*x + c*x^2)^(7//2), -((2*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(5*b^2*(b*x + c*x^2)^(5//2))) + (16*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x))/(15*b^4*(b*x + c*x^2)^(3//2)) - (128*c*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x))/(15*b^6*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)/(b*x + c*x^2)^(9//2), -((2*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(7*b^2*(b*x + c*x^2)^(7//2))) + (24*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x))/(35*b^4*(b*x + c*x^2)^(5//2)) - (128*c*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x))/(35*b^6*(b*x + c*x^2)^(3//2)) + (1024*c^2*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x))/(35*b^8*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (A+B x) (b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x)*(b*x + c*x^2), (2*A*b*x^(11//2))/11 + (2*(b*B + A*c)*x^(13//2))/13 + (2*B*c*x^(15//2))/15, x, 2),
+(x^(5//2)*(A + B*x)*(b*x + c*x^2), (2*A*b*x^(9//2))/9 + (2*(b*B + A*c)*x^(11//2))/11 + (2*B*c*x^(13//2))/13, x, 2),
+(x^(3//2)*(A + B*x)*(b*x + c*x^2), (2*A*b*x^(7//2))/7 + (2*(b*B + A*c)*x^(9//2))/9 + (2*B*c*x^(11//2))/11, x, 2),
+(sqrt(x)*(A + B*x)*(b*x + c*x^2), (2*A*b*x^(5//2))/5 + (2*(b*B + A*c)*x^(7//2))/7 + (2*B*c*x^(9//2))/9, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/sqrt(x), (2*A*b*x^(3//2))/3 + (2*(b*B + A*c)*x^(5//2))/5 + (2*B*c*x^(7//2))/7, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/x^(3//2), 2*A*b*sqrt(x) + (2*(b*B + A*c)*x^(3//2))/3 + (2*B*c*x^(5//2))/5, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/x^(5//2), (-2*A*b)/sqrt(x) + 2*(b*B + A*c)*sqrt(x) + (2*B*c*x^(3//2))/3, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/x^(7//2), (-2*A*b)/(3*x^(3//2)) - (2*(b*B + A*c))/sqrt(x) + 2*B*c*sqrt(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/x^(9//2), (-2*A*b)/(5*x^(5//2)) - (2*(b*B + A*c))/(3*x^(3//2)) - (2*B*c)/sqrt(x), x, 2),
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2, (2*A*b^2*x^(13//2))/13 + (2*b*(b*B + 2*A*c)*x^(15//2))/15 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(17//2))/17 + (2*B*c^2*x^(19//2))/19, x, 2),
+(x^(5//2)*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2, (2*A*b^2*x^(11//2))/11 + (2*b*(b*B + 2*A*c)*x^(13//2))/13 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(15//2))/15 + (2*B*c^2*x^(17//2))/17, x, 2),
+(x^(3//2)*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2, (2*A*b^2*x^(9//2))/9 + (2*b*(b*B + 2*A*c)*x^(11//2))/11 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(13//2))/13 + (2*B*c^2*x^(15//2))/15, x, 2),
+(sqrt(x)*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2, (2*A*b^2*x^(7//2))/7 + (2*b*(b*B + 2*A*c)*x^(9//2))/9 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(11//2))/11 + (2*B*c^2*x^(13//2))/13, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/sqrt(x), (2*A*b^2*x^(5//2))/5 + (2*b*(b*B + 2*A*c)*x^(7//2))/7 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(9//2))/9 + (2*B*c^2*x^(11//2))/11, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/x^(3//2), (2*A*b^2*x^(3//2))/3 + (2*b*(b*B + 2*A*c)*x^(5//2))/5 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(7//2))/7 + (2*B*c^2*x^(9//2))/9, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/x^(5//2), 2*A*b^2*sqrt(x) + (2*b*(b*B + 2*A*c)*x^(3//2))/3 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(5//2))/5 + (2*B*c^2*x^(7//2))/7, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/x^(7//2), -((2*A*b^2)/sqrt(x)) + 2*b*(b*B + 2*A*c)*sqrt(x) + (2//3)*c*(2*b*B + A*c)*x^(3//2) + (2//5)*B*c^2*x^(5//2), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/x^(9//2), -((2*A*b^2)/(3*x^(3//2))) - (2*b*(b*B + 2*A*c))/sqrt(x) + 2*c*(2*b*B + A*c)*sqrt(x) + (2//3)*B*c^2*x^(3//2), x, 2),
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3, (2*A*b^3*x^(15//2))/15 + (2*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^(17//2))/17 + (6*b*c*(b*B + A*c)*x^(19//2))/19 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(21//2))/21 + (2*B*c^3*x^(23//2))/23, x, 2),
+(x^(5//2)*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3, (2*A*b^3*x^(13//2))/13 + (2*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^(15//2))/15 + (6*b*c*(b*B + A*c)*x^(17//2))/17 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(19//2))/19 + (2*B*c^3*x^(21//2))/21, x, 2),
+(x^(3//2)*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3, (2*A*b^3*x^(11//2))/11 + (2*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^(13//2))/13 + (2*b*c*(b*B + A*c)*x^(15//2))/5 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(17//2))/17 + (2*B*c^3*x^(19//2))/19, x, 2),
+(sqrt(x)*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3, (2*A*b^3*x^(9//2))/9 + (2*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^(11//2))/11 + (6*b*c*(b*B + A*c)*x^(13//2))/13 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(15//2))/15 + (2*B*c^3*x^(17//2))/17, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/sqrt(x), (2*A*b^3*x^(7//2))/7 + (2*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^(9//2))/9 + (6*b*c*(b*B + A*c)*x^(11//2))/11 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(13//2))/13 + (2*B*c^3*x^(15//2))/15, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/x^(3//2), (2*A*b^3*x^(5//2))/5 + (2*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^(7//2))/7 + (2*b*c*(b*B + A*c)*x^(9//2))/3 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(11//2))/11 + (2*B*c^3*x^(13//2))/13, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/x^(5//2), (2*A*b^3*x^(3//2))/3 + (2*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^(5//2))/5 + (6*b*c*(b*B + A*c)*x^(7//2))/7 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(9//2))/9 + (2*B*c^3*x^(11//2))/11, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/x^(7//2), 2*A*b^3*sqrt(x) + (2*b^2*(b*B + 3*A*c)*x^(3//2))/3 + (6*b*c*(b*B + A*c)*x^(5//2))/5 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(7//2))/7 + (2*B*c^3*x^(9//2))/9, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/x^(9//2), -((2*A*b^3)/sqrt(x)) + 2*b^2*(b*B + 3*A*c)*sqrt(x) + 2*b*c*(b*B + A*c)*x^(3//2) + (2//5)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(5//2) + (2//7)*B*c^3*x^(7//2), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/x^(11//2), -((2*A*b^3)/(3*x^(3//2))) - (2*b^2*(b*B + 3*A*c))/sqrt(x) + 6*b*c*(b*B + A*c)*sqrt(x) + (2//3)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(3//2) + (2//5)*B*c^3*x^(5//2), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2), -((2*b^2*(b*B - A*c)*sqrt(x))/c^4) + (2*b*(b*B - A*c)*x^(3//2))/(3*c^3) - (2*(b*B - A*c)*x^(5//2))/(5*c^2) + (2*B*x^(7//2))/(7*c) + (2*b^(5//2)*(b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/c^(9//2), x, 7),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2), (2*b*(b*B - A*c)*sqrt(x))/c^3 - (2*(b*B - A*c)*x^(3//2))/(3*c^2) + (2*B*x^(5//2))/(5*c) - (2*b^(3//2)*(b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/c^(7//2), x, 6),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2), (-2*(b*B - A*c)*sqrt(x))/c^2 + (2*B*x^(3//2))/(3*c) + (2*sqrt(b)*(b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/c^(5//2), x, 5),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2), (2*B*sqrt(x))/c - (2*(b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(sqrt(b)*c^(3//2)), x, 4),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*(b*x + c*x^2)), (-2*A)/(b*sqrt(x)) + (2*(b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(b^(3//2)*sqrt(c)), x, 4),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(b*x + c*x^2)), (-2*A)/(3*b*x^(3//2)) - (2*(b*B - A*c))/(b^2*sqrt(x)) - (2*sqrt(c)*(b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/b^(5//2), x, 5),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*(b*x + c*x^2)), (-2*A)/(5*b*x^(5//2)) - (2*(b*B - A*c))/(3*b^2*x^(3//2)) + (2*c*(b*B - A*c))/(b^3*sqrt(x)) + (2*c^(3//2)*(b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/b^(7//2), x, 6),
+((A + B*x)/(x^(7//2)*(b*x + c*x^2)), (-2*A)/(7*b*x^(7//2)) - (2*(b*B - A*c))/(5*b^2*x^(5//2)) + (2*c*(b*B - A*c))/(3*b^3*x^(3//2)) - (2*c^2*(b*B - A*c))/(b^4*sqrt(x)) - (2*c^(5//2)*(b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/b^(9//2), x, 7),
+((A + B*x)/(x^(9//2)*(b*x + c*x^2)), (-2*A)/(9*b*x^(9//2)) - (2*(b*B - A*c))/(7*b^2*x^(7//2)) + (2*c*(b*B - A*c))/(5*b^3*x^(5//2)) - (2*c^2*(b*B - A*c))/(3*b^4*x^(3//2)) + (2*c^3*(b*B - A*c))/(b^5*sqrt(x)) + (2*c^(7//2)*(b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/b^(11//2), x, 8),
+
+
+((x^(9//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^2, (b*(7*b*B - 5*A*c)*sqrt(x))/c^4 - ((7*b*B - 5*A*c)*x^(3//2))/(3*c^3) + ((7*b*B - 5*A*c)*x^(5//2))/(5*b*c^2) - ((b*B - A*c)*x^(7//2))/(b*c*(b + c*x)) - (b^(3//2)*(7*b*B - 5*A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/c^(9//2), x, 7),
+((x^(7//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^2, -(((5*b*B - 3*A*c)*sqrt(x))/c^3) + ((5*b*B - 3*A*c)*x^(3//2))/(3*b*c^2) - ((b*B - A*c)*x^(5//2))/(b*c*(b + c*x)) + (sqrt(b)*(5*b*B - 3*A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/c^(7//2), x, 6),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^2, ((3*b*B - A*c)*sqrt(x))/(b*c^2) - ((b*B - A*c)*x^(3//2))/(b*c*(b + c*x)) - ((3*b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(sqrt(b)*c^(5//2)), x, 5),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^2, -(((b*B - A*c)*sqrt(x))/(b*c*(b + c*x))) + ((b*B + A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(b^(3//2)*c^(3//2)), x, 4),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^2, (b*B - 3*A*c)/(b^2*c*sqrt(x)) - (b*B - A*c)/(b*c*sqrt(x)*(b + c*x)) + ((b*B - 3*A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(b^(5//2)*sqrt(c)), x, 5),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^2), (3*b*B - 5*A*c)/(3*b^2*c*x^(3//2)) - (3*b*B - 5*A*c)/(b^3*sqrt(x)) - (b*B - A*c)/(b*c*x^(3//2)*(b + c*x)) - (sqrt(c)*(3*b*B - 5*A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/b^(7//2), x, 6),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^2), (5*b*B - 7*A*c)/(5*b^2*c*x^(5//2)) - (5*b*B - 7*A*c)/(3*b^3*x^(3//2)) + (c*(5*b*B - 7*A*c))/(b^4*sqrt(x)) - (b*B - A*c)/(b*c*x^(5//2)*(b + c*x)) + (c^(3//2)*(5*b*B - 7*A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/b^(9//2), x, 7),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*(b*x + c*x^2)^2), (7*b*B - 9*A*c)/(7*b^2*c*x^(7//2)) - (7*b*B - 9*A*c)/(5*b^3*x^(5//2)) + (c*(7*b*B - 9*A*c))/(3*b^4*x^(3//2)) - (c^2*(7*b*B - 9*A*c))/(b^5*sqrt(x)) - (b*B - A*c)/(b*c*x^(7//2)*(b + c*x)) - (c^(5//2)*(7*b*B - 9*A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/b^(11//2), x, 8),
+
+
+((x^(13//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^3, (7*b*(9*b*B - 5*A*c)*sqrt(x))/(4*c^5) - (7*(9*b*B - 5*A*c)*x^(3//2))/(12*c^4) + (7*(9*b*B - 5*A*c)*x^(5//2))/(20*b*c^3) - ((b*B - A*c)*x^(9//2))/(2*b*c*(b + c*x)^2) - ((9*b*B - 5*A*c)*x^(7//2))/(4*b*c^2*(b + c*x)) - (7*b^(3//2)*(9*b*B - 5*A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(4*c^(11//2)), x, 8),
+((x^(11//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^3, -((5*(7*b*B - 3*A*c)*sqrt(x))/(4*c^4)) + (5*(7*b*B - 3*A*c)*x^(3//2))/(12*b*c^3) - ((b*B - A*c)*x^(7//2))/(2*b*c*(b + c*x)^2) - ((7*b*B - 3*A*c)*x^(5//2))/(4*b*c^2*(b + c*x)) + (5*sqrt(b)*(7*b*B - 3*A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(4*c^(9//2)), x, 7),
+((x^(9//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^3, (3*(5*b*B - A*c)*sqrt(x))/(4*b*c^3) - ((b*B - A*c)*x^(5//2))/(2*b*c*(b + c*x)^2) - ((5*b*B - A*c)*x^(3//2))/(4*b*c^2*(b + c*x)) - (3*(5*b*B - A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(4*sqrt(b)*c^(7//2)), x, 6),
+((x^(7//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^3, -((b*B - A*c)*x^(3//2))/(2*b*c*(b + c*x)^2) - ((3*b*B + A*c)*sqrt(x))/(4*b*c^2*(b + c*x)) + ((3*b*B + A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(4*b^(3//2)*c^(5//2)), x, 5),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^3, -((b*B - A*c)*sqrt(x))/(2*b*c*(b + c*x)^2) + ((b*B + 3*A*c)*sqrt(x))/(4*b^2*c*(b + c*x)) + ((b*B + 3*A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(4*b^(5//2)*c^(3//2)), x, 5),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^3, (3*(b*B - 5*A*c))/(4*b^3*c*sqrt(x)) - (b*B - A*c)/(2*b*c*sqrt(x)*(b + c*x)^2) - (b*B - 5*A*c)/(4*b^2*c*sqrt(x)*(b + c*x)) + (3*(b*B - 5*A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(4*b^(7//2)*sqrt(c)), x, 6),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^3, (5*(3*b*B - 7*A*c))/(12*b^3*c*x^(3//2)) - (5*(3*b*B - 7*A*c))/(4*b^4*sqrt(x)) - (b*B - A*c)/(2*b*c*x^(3//2)*(b + c*x)^2) - (3*b*B - 7*A*c)/(4*b^2*c*x^(3//2)*(b + c*x)) - (5*sqrt(c)*(3*b*B - 7*A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(4*b^(9//2)), x, 7),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^3), (7*(5*b*B - 9*A*c))/(20*b^3*c*x^(5//2)) - (7*(5*b*B - 9*A*c))/(12*b^4*x^(3//2)) + (7*c*(5*b*B - 9*A*c))/(4*b^5*sqrt(x)) - (b*B - A*c)/(2*b*c*x^(5//2)*(b + c*x)^2) - (5*b*B - 9*A*c)/(4*b^2*c*x^(5//2)*(b + c*x)) + (7*c^(3//2)*(5*b*B - 9*A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(4*b^(11//2)), x, 8),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^3), (9*(7*b*B - 11*A*c))/(28*b^3*c*x^(7//2)) - (9*(7*b*B - 11*A*c))/(20*b^4*x^(5//2)) + (3*c*(7*b*B - 11*A*c))/(4*b^5*x^(3//2)) - (9*c^2*(7*b*B - 11*A*c))/(4*b^6*sqrt(x)) - (b*B - A*c)/(2*b*c*x^(7//2)*(b + c*x)^2) - (7*b*B - 11*A*c)/(4*b^2*c*x^(7//2)*(b + c*x)) - (9*c^(5//2)*(7*b*B - 11*A*c)*atan((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b)))/(4*b^(13//2)), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (A+B x) (b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2), (-256*b^4*(10*b*B - 13*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(45045*c^6*x^(3//2)) + (128*b^3*(10*b*B - 13*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(15015*c^5*sqrt(x)) - (32*b^2*(10*b*B - 13*A*c)*sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3003*c^4) + (16*b*(10*b*B - 13*A*c)*x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(1287*c^3) - (2*(10*b*B - 13*A*c)*x^(5//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(143*c^2) + (2*B*x^(7//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(13*c), x, 6),
+(x^(5//2)*(A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2), (32*b^3*(8*b*B - 11*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3465*c^5*x^(3//2)) - (16*b^2*(8*b*B - 11*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(1155*c^4*sqrt(x)) + (4*b*(8*b*B - 11*A*c)*sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(231*c^3) - (2*(8*b*B - 11*A*c)*x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(99*c^2) + (2*B*x^(5//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(11*c), x, 5),
+(x^(3//2)*(A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2), (-16*b^2*(2*b*B - 3*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(315*c^4*x^(3//2)) + (8*b*(2*b*B - 3*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(105*c^3*sqrt(x)) - (2*(2*b*B - 3*A*c)*sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(21*c^2) + (2*B*x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(9*c), x, 4),
+(sqrt(x)*(A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2), (4*b*(4*b*B - 7*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(105*c^3*x^(3//2)) - (2*(4*b*B - 7*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(35*c^2*sqrt(x)) + (2*B*sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*c), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/sqrt(x), (-2*(2*b*B - 5*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(15*c^2*x^(3//2)) + (2*B*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*c*sqrt(x)), x, 2),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/x^(3//2), (2*A*sqrt(b*x + c*x^2))/sqrt(x) + (2*B*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*c*x^(3//2)) - 2*A*sqrt(b)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))), x, 4),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/x^(5//2), ((2*b*B + A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(b*sqrt(x)) - (A*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(b*x^(5//2)) - ((2*b*B + A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/sqrt(b), x, 4),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/x^(7//2), -(((4*b*B - A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*b*x^(3//2))) - (A*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(2*b*x^(7//2)) - (c*(4*b*B - A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(4*b^(3//2)), x, 4),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/x^(9//2), -(((2*b*B - A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*b*x^(5//2))) - (c*(2*b*B - A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*b^2*x^(3//2)) - (A*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*b*x^(9//2)) + (c^2*(2*b*B - A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(8*b^(5//2)), x, 5),
+
+
+(x^(5//2)*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2), -((256*b^4*(2*b*B - 3*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(45045*c^6*x^(5//2))) + (128*b^3*(2*b*B - 3*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(9009*c^5*x^(3//2)) - (32*b^2*(2*b*B - 3*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(1287*c^4*sqrt(x)) + (16*b*(2*b*B - 3*A*c)*sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(429*c^3) - (2*(2*b*B - 3*A*c)*x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(39*c^2) + (2*B*x^(5//2)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(15*c), x, 6),
+(x^(3//2)*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2), (32*b^3*(8*b*B - 13*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(15015*c^5*x^(5//2)) - (16*b^2*(8*b*B - 13*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(3003*c^4*x^(3//2)) + (4*b*(8*b*B - 13*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(429*c^3*sqrt(x)) - (2*(8*b*B - 13*A*c)*sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(143*c^2) + (2*B*x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(13*c), x, 5),
+(sqrt(x)*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2), -((16*b^2*(6*b*B - 11*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(3465*c^4*x^(5//2))) + (8*b*(6*b*B - 11*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(693*c^3*x^(3//2)) - (2*(6*b*B - 11*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(99*c^2*sqrt(x)) + (2*B*sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(11*c), x, 4),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/sqrt(x), (4*b*(4*b*B - 9*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(315*c^3*x^(5//2)) - (2*(4*b*B - 9*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(63*c^2*x^(3//2)) + (2*B*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(9*c*sqrt(x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/x^(3//2), (-2*(2*b*B - 7*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(35*c^2*x^(5//2)) + (2*B*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(7*c*x^(3//2)), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/x^(5//2), (2*A*b*sqrt(b*x + c*x^2))/sqrt(x) + (2*A*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*x^(3//2)) + (2*B*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*c*x^(5//2)) - 2*A*b^(3//2)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))), x, 5),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/x^(7//2), ((2*b*B + 3*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/sqrt(x) + ((2*b*B + 3*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*b*x^(3//2)) - (A*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(b*x^(7//2)) - sqrt(b)*(2*b*B + 3*A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))), x, 5),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/x^(9//2), (3*c*(4*b*B + A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*b*sqrt(x)) - ((4*b*B + A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(4*b*x^(5//2)) - (A*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(2*b*x^(9//2)) - (3*c*(4*b*B + A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(4*sqrt(b)), x, 5),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/x^(11//2), -((c*(6*b*B - A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*b*x^(3//2))) - ((6*b*B - A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(12*b*x^(7//2)) - (A*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(3*b*x^(11//2)) - (c^2*(6*b*B - A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(8*b^(3//2)), x, 5),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/x^(13//2), -((c*(8*b*B - 3*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(32*b*x^(5//2))) - (c^2*(8*b*B - 3*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*b^2*x^(3//2)) - ((8*b*B - 3*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*b*x^(9//2)) - (A*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(4*b*x^(13//2)) + (c^3*(8*b*B - 3*A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(64*b^(5//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/x^(15//2), -((c*(2*b*B - A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(16*b*x^(7//2))) - (c^2*(2*b*B - A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*b^2*x^(5//2)) + (3*c^3*(2*b*B - A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(128*b^3*x^(3//2)) - ((2*b*B - A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(8*b*x^(11//2)) - (A*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*b*x^(15//2)) - (3*c^4*(2*b*B - A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(128*b^(7//2)), x, 7),
+
+
+(x^(3//2)*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2), -((256*b^4*(10*b*B - 17*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(765765*c^6*x^(7//2))) + (128*b^3*(10*b*B - 17*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(109395*c^5*x^(5//2)) - (32*b^2*(10*b*B - 17*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(12155*c^4*x^(3//2)) + (16*b*(10*b*B - 17*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(3315*c^3*sqrt(x)) - (2*(10*b*B - 17*A*c)*sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(255*c^2) + (2*B*x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(17*c), x, 6),
+(sqrt(x)*(A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2), (32*b^3*(8*b*B - 15*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(45045*c^5*x^(7//2)) - (16*b^2*(8*b*B - 15*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(6435*c^4*x^(5//2)) + (4*b*(8*b*B - 15*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(715*c^3*x^(3//2)) - (2*(8*b*B - 15*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(195*c^2*sqrt(x)) + (2*B*sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(15*c), x, 5),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/sqrt(x), -((16*b^2*(6*b*B - 13*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(9009*c^4*x^(7//2))) + (8*b*(6*b*B - 13*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(1287*c^3*x^(5//2)) - (2*(6*b*B - 13*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(143*c^2*x^(3//2)) + (2*B*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(13*c*sqrt(x)), x, 4),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^(3//2), (4*b*(4*b*B - 11*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(693*c^3*x^(7//2)) - (2*(4*b*B - 11*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(99*c^2*x^(5//2)) + (2*B*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(11*c*x^(3//2)), x, 3),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^(5//2), (-2*(2*b*B - 9*A*c)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(63*c^2*x^(7//2)) + (2*B*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(9*c*x^(5//2)), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^(7//2), (2*A*b^2*sqrt(b*x + c*x^2))/sqrt(x) + (2*A*b*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*x^(3//2)) + (2*A*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*x^(5//2)) + (2*B*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(7*c*x^(7//2)) - 2*A*b^(5//2)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))), x, 6),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^(9//2), (b*(2*b*B + 5*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/sqrt(x) + ((2*b*B + 5*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*x^(3//2)) + ((2*b*B + 5*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*b*x^(5//2)) - (A*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(b*x^(9//2)) - b^(3//2)*(2*b*B + 5*A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))), x, 6),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^(11//2), (5*c*(4*b*B + 3*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*sqrt(x)) + (5*c*(4*b*B + 3*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(12*b*x^(3//2)) - ((4*b*B + 3*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(4*b*x^(7//2)) - (A*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(2*b*x^(11//2)) - (5//4)*sqrt(b)*c*(4*b*B + 3*A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))), x, 6),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^(13//2), (5*c^2*(6*b*B + A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*b*sqrt(x)) - (5*c*(6*b*B + A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*b*x^(5//2)) - ((6*b*B + A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(12*b*x^(9//2)) - (A*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(3*b*x^(13//2)) - (5*c^2*(6*b*B + A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(8*sqrt(b)), x, 6),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^(15//2), -((5*c^2*(8*b*B - A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*b*x^(3//2))) - (5*c*(8*b*B - A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(96*b*x^(7//2)) - ((8*b*B - A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(24*b*x^(11//2)) - (A*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(4*b*x^(15//2)) - (5*c^3*(8*b*B - A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(64*b^(3//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/x^(17//2), -((c^2*(10*b*B - 3*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*b*x^(5//2))) - (c^3*(10*b*B - 3*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(128*b^2*x^(3//2)) - (c*(10*b*B - 3*A*c)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(48*b*x^(9//2)) - ((10*b*B - 3*A*c)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(40*b*x^(13//2)) - (A*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(5*b*x^(17//2)) + (c^4*(10*b*B - 3*A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(128*b^(5//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x))/sqrt(b*x + c*x^2), (32*b^3*(8*b*B - 9*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(315*c^5*sqrt(x)) - (16*b^2*(8*b*B - 9*A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(315*c^4) + (4*b*(8*b*B - 9*A*c)*x^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(105*c^3) - (2*(8*b*B - 9*A*c)*x^(5//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(63*c^2) + (2*B*x^(7//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(9*c), x, 5),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/sqrt(b*x + c*x^2), (-16*b^2*(6*b*B - 7*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(105*c^4*sqrt(x)) + (8*b*(6*b*B - 7*A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(105*c^3) - (2*(6*b*B - 7*A*c)*x^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(35*c^2) + (2*B*x^(5//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(7*c), x, 4),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/sqrt(b*x + c*x^2), (4*b*(4*b*B - 5*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*c^3*sqrt(x)) - (2*(4*b*B - 5*A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*c^2) + (2*B*x^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(5*c), x, 3),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/sqrt(b*x + c*x^2), (-2*(2*b*B - 3*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*c^2*sqrt(x)) + (2*B*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*c), x, 2),
+((A + B*x)/(sqrt(e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), (2*B*sqrt(b*x + c*x^2))/(c*sqrt(e*x)) - (2*A*atanh((sqrt(e)*sqrt(b*x + c*x^2))/(sqrt(b)*sqrt(e*x))))/(sqrt(b)*sqrt(e)), x, 3),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2)), -((A*sqrt(b*x + c*x^2))/(b*x^(3//2))) - ((2*b*B - A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/b^(3//2), x, 3),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*sqrt(b*x + c*x^2)), -((A*sqrt(b*x + c*x^2))/(2*b*x^(5//2))) - ((4*b*B - 3*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*b^2*x^(3//2)) + (c*(4*b*B - 3*A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(4*b^(5//2)), x, 4),
+((A + B*x)/(x^(7//2)*sqrt(b*x + c*x^2)), -((A*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b*x^(7//2))) - ((6*b*B - 5*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(12*b^2*x^(5//2)) + (c*(6*b*B - 5*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*b^3*x^(3//2)) - (c^2*(6*b*B - 5*A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(8*b^(7//2)), x, 5),
+
+
+((x^(9//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(b*B - A*c)*x^(9//2))/(b*c*sqrt(b*x + c*x^2))) - (32*b^2*(8*b*B - 7*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(35*c^5*sqrt(x)) + (16*b*(8*b*B - 7*A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(35*c^4) - (12*(8*b*B - 7*A*c)*x^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(35*c^3) + (2*(8*b*B - 7*A*c)*x^(5//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(7*b*c^2), x, 5),
+((x^(7//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(b*B - A*c)*x^(7//2))/(b*c*sqrt(b*x + c*x^2))) + (16*b*(6*b*B - 5*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*c^4*sqrt(x)) - (8*(6*b*B - 5*A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*c^3) + (2*(6*b*B - 5*A*c)*x^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(5*b*c^2), x, 4),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(b*B - A*c)*x^(5//2))/(b*c*sqrt(b*x + c*x^2))) - (4*(4*b*B - 3*A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*c^3*sqrt(x)) + (2*(4*b*B - 3*A*c)*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b*c^2), x, 3),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(b*B - A*c)*x^(3//2))/(b*c*sqrt(b*x + c*x^2))) + (2*(2*b*B - A*c)*sqrt(b*x + c*x^2))/(b*c^2*sqrt(x)), x, 2),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(b*B - A*c)*sqrt(x))/(b*c*sqrt(b*x + c*x^2))) - (2*A*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/b^(3//2), x, 3),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -(A/(b*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2))) + ((2*b*B - 3*A*c)*sqrt(x))/(b^2*sqrt(b*x + c*x^2)) - ((2*b*B - 3*A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/b^(5//2), x, 4),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -(A/(2*b*x^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2))) - (4*b*B - 5*A*c)/(4*b^2*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (3*c*(4*b*B - 5*A*c)*sqrt(x))/(4*b^3*sqrt(b*x + c*x^2)) + (3*c*(4*b*B - 5*A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(4*b^(7//2)), x, 5),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -(A/(3*b*x^(5//2)*sqrt(b*x + c*x^2))) - (6*b*B - 7*A*c)/(12*b^2*x^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (5*c*(6*b*B - 7*A*c))/(24*b^3*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (5*c^2*(6*b*B - 7*A*c)*sqrt(x))/(8*b^4*sqrt(b*x + c*x^2)) - (5*c^2*(6*b*B - 7*A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(8*b^(9//2)), x, 6),
+((A + B*x)/(x^(7//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -(A/(4*b*x^(7//2)*sqrt(b*x + c*x^2))) - (8*b*B - 9*A*c)/(24*b^2*x^(5//2)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (7*c*(8*b*B - 9*A*c))/(96*b^3*x^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (35*c^2*(8*b*B - 9*A*c))/(192*b^4*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (35*c^3*(8*b*B - 9*A*c)*sqrt(x))/(64*b^5*sqrt(b*x + c*x^2)) + (35*c^3*(8*b*B - 9*A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(64*b^(11//2)), x, 7),
+
+
+((x^(11//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(b*B - A*c)*x^(11//2))/(3*b*c*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (32*b^2*(8*b*B - 5*A*c)*sqrt(x))/(15*c^5*sqrt(b*x + c*x^2)) + (16*b*(8*b*B - 5*A*c)*x^(3//2))/(15*c^4*sqrt(b*x + c*x^2)) - (4*(8*b*B - 5*A*c)*x^(5//2))/(15*c^3*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*(8*b*B - 5*A*c)*x^(7//2))/(15*b*c^2*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 5),
+((x^(9//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(b*B - A*c)*x^(9//2))/(3*b*c*(b*x + c*x^2)^(3//2))) - (16*b*(2*b*B - A*c)*sqrt(x))/(3*c^4*sqrt(b*x + c*x^2)) - (8*(2*b*B - A*c)*x^(3//2))/(3*c^3*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*(2*b*B - A*c)*x^(5//2))/(3*b*c^2*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 4),
+((x^(7//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(b*B - A*c)*x^(7//2))/(3*b*c*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (4*(4*b*B - A*c)*sqrt(x))/(3*c^3*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*(4*b*B - A*c)*x^(3//2))/(3*b*c^2*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 3),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(b*B - A*c)*x^(5//2))/(3*b*c*(b*x + c*x^2)^(3//2))) - (2*(2*b*B + A*c)*sqrt(x))/(3*b*c^2*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 2),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(b*B - A*c)*x^(3//2))/(3*b*c*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (2*A*sqrt(x))/(b^2*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*A*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/b^(5//2), x, 4),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(b*B - A*c)*sqrt(x))/(3*b*c*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (2*b*B - 5*A*c)/(3*b^2*c*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2)) + ((2*b*B - 5*A*c)*sqrt(x))/(b^3*sqrt(b*x + c*x^2)) - ((2*b*B - 5*A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/b^(7//2), x, 5),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(5//2)), -(A/(2*b*sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + ((4*b*B - 7*A*c)*sqrt(x))/(6*b^2*(b*x + c*x^2)^(3//2)) - (5*(4*b*B - 7*A*c))/(12*b^3*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (5*c*(4*b*B - 7*A*c)*sqrt(x))/(4*b^4*sqrt(b*x + c*x^2)) + (5*c*(4*b*B - 7*A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(4*b^(9//2)), x, 6),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(5//2)), -(A/(3*b*x^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2))) - (2*b*B - 3*A*c)/(4*b^2*sqrt(x)*(b*x + c*x^2)^(3//2)) - (7*c*(2*b*B - 3*A*c)*sqrt(x))/(12*b^3*(b*x + c*x^2)^(3//2)) + (35*c*(2*b*B - 3*A*c))/(24*b^4*sqrt(x)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (35*c^2*(2*b*B - 3*A*c)*sqrt(x))/(8*b^5*sqrt(b*x + c*x^2)) - (35*c^2*(2*b*B - 3*A*c)*atanh(sqrt(b*x + c*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(x))))/(8*b^(11//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (A+B x) (b x+c x^2)^p when p is symbolic
+
+
+(x^(p+1)*(2*b + 3*c*x)*(b*x + c*x^2)^p, (x^(1 + p)*(b*x + c*x^2)^(1 + p))/(1 + p), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p when b=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (A+B x) (a+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(A + B*x)*(a + c*x^2), (a*A*x^4)/4 + (a*B*x^5)/5 + (A*c*x^6)/6 + (B*c*x^7)/7, x, 2),
+(x^2*(A + B*x)*(a + c*x^2), (a*A*x^3)/3 + (a*B*x^4)/4 + (A*c*x^5)/5 + (B*c*x^6)/6, x, 2),
+(x^1*(A + B*x)*(a + c*x^2), (a*A*x^2)/2 + (a*B*x^3)/3 + (A*c*x^4)/4 + (B*c*x^5)/5, x, 2),
+(x^0*(A + B*x)*(a + c*x^2), a*A*x + (1//3)*A*c*x^3 + (B*(a + c*x^2)^2)/(4*c), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/x^1, a*B*x + (A*c*x^2)/2 + (B*c*x^3)/3 + a*A*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/x^2, -((a*A)/x) + A*c*x + (B*c*x^2)/2 + a*B*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/x^3, -(a*A)/(2*x^2) - (a*B)/x + B*c*x + A*c*log(x), x, 2),
+
+
+(x^3*(A + B*x)*(a + c*x^2)^2, (a^2*A*x^4)/4 + (a^2*B*x^5)/5 + (a*A*c*x^6)/3 + (2*a*B*c*x^7)/7 + (A*c^2*x^8)/8 + (B*c^2*x^9)/9, x, 2),
+(x^2*(A + B*x)*(a + c*x^2)^2, (a^2*A*x^3)/3 + (a^2*B*x^4)/4 + (2*a*A*c*x^5)/5 + (a*B*c*x^6)/3 + (A*c^2*x^7)/7 + (B*c^2*x^8)/8, x, 2),
+(x*(A + B*x)*(a + c*x^2)^2, (a^2*A*x^2)/2 + (a^2*B*x^3)/3 + (a*A*c*x^4)/2 + (2*a*B*c*x^5)/5 + (A*c^2*x^6)/6 + (B*c^2*x^7)/7, x, 2),
+((A + B*x)*(a + c*x^2)^2, a^2*A*x + (2//3)*a*A*c*x^3 + (1//5)*A*c^2*x^5 + (B*(a + c*x^2)^3)/(6*c), x, 3),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/x, a^2*B*x + a*A*c*x^2 + (2*a*B*c*x^3)/3 + (A*c^2*x^4)/4 + (B*c^2*x^5)/5 + a^2*A*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/x^2, -((a^2*A)/x) + 2*a*A*c*x + a*B*c*x^2 + (A*c^2*x^3)/3 + (B*c^2*x^4)/4 + a^2*B*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/x^3, -(a^2*A)/(2*x^2) - (a^2*B)/x + 2*a*B*c*x + (A*c^2*x^2)/2 + (B*c^2*x^3)/3 + 2*a*A*c*log(x), x, 2),
+
+
+(x^3*(A + B*x)*(a + c*x^2)^3, (a^3*A*x^4)/4 + (a^3*B*x^5)/5 + (a^2*A*c*x^6)/2 + (3*a^2*B*c*x^7)/7 + (3*a*A*c^2*x^8)/8 + (a*B*c^2*x^9)/3 + (A*c^3*x^10)/10 + (B*c^3*x^11)/11, x, 2),
+(x^2*(A + B*x)*(a + c*x^2)^3, (a^3*A*x^3)/3 + (a^3*B*x^4)/4 + (3*a^2*A*c*x^5)/5 + (a^2*B*c*x^6)/2 + (3*a*A*c^2*x^7)/7 + (3*a*B*c^2*x^8)/8 + (A*c^3*x^9)/9 + (B*c^3*x^10)/10, x, 2),
+(x*(A + B*x)*(a + c*x^2)^3, (a^3*A*x^2)/2 + (a^3*B*x^3)/3 + (3*a^2*A*c*x^4)/4 + (3*a^2*B*c*x^5)/5 + (a*A*c^2*x^6)/2 + (3*a*B*c^2*x^7)/7 + (A*c^3*x^8)/8 + (B*c^3*x^9)/9, x, 2),
+((A + B*x)*(a + c*x^2)^3, a^3*A*x + a^2*A*c*x^3 + (3//5)*a*A*c^2*x^5 + (1//7)*A*c^3*x^7 + (B*(a + c*x^2)^4)/(8*c), x, 3),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/x, a^3*B*x + (3*a^2*A*c*x^2)/2 + a^2*B*c*x^3 + (3*a*A*c^2*x^4)/4 + (3*a*B*c^2*x^5)/5 + (A*c^3*x^6)/6 + (B*c^3*x^7)/7 + a^3*A*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/x^2, -((a^3*A)/x) + 3*a^2*A*c*x + (3*a^2*B*c*x^2)/2 + a*A*c^2*x^3 + (3*a*B*c^2*x^4)/4 + (A*c^3*x^5)/5 + (B*c^3*x^6)/6 + a^3*B*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/x^3, -(a^3*A)/(2*x^2) - (a^3*B)/x + 3*a^2*B*c*x + (3*a*A*c^2*x^2)/2 + a*B*c^2*x^3 + (A*c^3*x^4)/4 + (B*c^3*x^5)/5 + 3*a^2*A*c*log(x), x, 2),
+
+
+(x^3*(A + B*x)*(a + c*x^2)^4, (a^4*A*x^4)/4 + (a^4*B*x^5)/5 + (2*a^3*A*c*x^6)/3 + (4*a^3*B*c*x^7)/7 + (3*a^2*A*c^2*x^8)/4 + (2*a^2*B*c^2*x^9)/3 + (2*a*A*c^3*x^10)/5 + (4*a*B*c^3*x^11)/11 + (A*c^4*x^12)/12 + (B*c^4*x^13)/13, x, 2),
+(x^2*(A + B*x)*(a + c*x^2)^4, (a^4*A*x^3)/3 + (a^4*B*x^4)/4 + (4*a^3*A*c*x^5)/5 + (2*a^3*B*c*x^6)/3 + (6*a^2*A*c^2*x^7)/7 + (3*a^2*B*c^2*x^8)/4 + (4*a*A*c^3*x^9)/9 + (2*a*B*c^3*x^10)/5 + (A*c^4*x^11)/11 + (B*c^4*x^12)/12, x, 2),
+(x*(A + B*x)*(a + c*x^2)^4, (a^4*A*x^2)/2 + (a^4*B*x^3)/3 + a^3*A*c*x^4 + (4*a^3*B*c*x^5)/5 + a^2*A*c^2*x^6 + (6*a^2*B*c^2*x^7)/7 + (a*A*c^3*x^8)/2 + (4*a*B*c^3*x^9)/9 + (A*c^4*x^10)/10 + (B*c^4*x^11)/11, x, 2),
+((A + B*x)*(a + c*x^2)^4, a^4*A*x + (4*a^3*A*c*x^3)/3 + (6*a^2*A*c^2*x^5)/5 + (4*a*A*c^3*x^7)/7 + (A*c^4*x^9)/9 + (B*(a + c*x^2)^5)/(10*c), x, 3),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^4)/x, a^4*B*x + 2*a^3*A*c*x^2 + (4*a^3*B*c*x^3)/3 + (3*a^2*A*c^2*x^4)/2 + (6*a^2*B*c^2*x^5)/5 + (2*a*A*c^3*x^6)/3 + (4*a*B*c^3*x^7)/7 + (A*c^4*x^8)/8 + (B*c^4*x^9)/9 + a^4*A*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^4)/x^2, -((a^4*A)/x) + 4*a^3*A*c*x + 2*a^3*B*c*x^2 + 2*a^2*A*c^2*x^3 + (3*a^2*B*c^2*x^4)/2 + (4*a*A*c^3*x^5)/5 + (2*a*B*c^3*x^6)/3 + (A*c^4*x^7)/7 + (B*c^4*x^8)/8 + a^4*B*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^4)/x^3, -(a^4*A)/(2*x^2) - (a^4*B)/x + 4*a^3*B*c*x + 3*a^2*A*c^2*x^2 + 2*a^2*B*c^2*x^3 + a*A*c^3*x^4 + (4*a*B*c^3*x^5)/5 + (A*c^4*x^6)/6 + (B*c^4*x^7)/7 + 4*a^3*A*c*log(x), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4*(d + e*x)/(a + c*x^2), -((a*d*x)/c^2) - (a*e*x^2)/(2*c^2) + (d*x^3)/(3*c) + (e*x^4)/(4*c) + (a^(3//2)*d*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/c^(5//2) + (a^2*e*log(a + c*x^2))/(2*c^3), x, 5),
+(x^3*(d + e*x)/(a + c*x^2), -((a*e*x)/c^2) + (d*x^2)/(2*c) + (e*x^3)/(3*c) + (a^(3//2)*e*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/c^(5//2) - (a*d*log(a + c*x^2))/(2*c^2), x, 5),
+(x^2*(d + e*x)/(a + c*x^2), (d*x)/c + (e*x^2)/(2*c) - (sqrt(a)*d*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/c^(3//2) - (a*e*log(a + c*x^2))/(2*c^2), x, 5),
+(x^1*(d + e*x)/(a + c*x^2), (e*x)/c - (sqrt(a)*e*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/c^(3//2) + (d*log(a + c*x^2))/(2*c), x, 4),
+(x^0*(d + e*x)/(a + c*x^2), (d*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*sqrt(c)) + (e*log(a + c*x^2))/(2*c), x, 3),
+((d + e*x)/(x^1*(a + c*x^2)), (e*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*sqrt(c)) + (d*log(x))/a - (d*log(a + c*x^2))/(2*a), x, 5),
+((d + e*x)/(x^2*(a + c*x^2)), -(d/(a*x)) - (sqrt(c)*d*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/a^(3//2) + (e*log(x))/a - (e*log(a + c*x^2))/(2*a), x, 5),
+((d + e*x)/(x^3*(a + c*x^2)), -(d/(2*a*x^2)) - e/(a*x) - (sqrt(c)*e*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/a^(3//2) - (c*d*log(x))/a^2 + (c*d*log(a + c*x^2))/(2*a^2), x, 5),
+((d + e*x)/(x^4*(a + c*x^2)), -(d/(3*a*x^3)) - e/(2*a*x^2) + (c*d)/(a^2*x) + (c^(3//2)*d*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/a^(5//2) - (c*e*log(x))/a^2 + (c*e*log(a + c*x^2))/(2*a^2), x, 5),
+
+(x^0*(d + e*x)/(a - c*x^2), (d*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*sqrt(c)) - (e*log(a - c*x^2))/(2*c), x, 3),
+
+
+(x^4*(d + e*x)/(a + c*x^2)^2, (3*d*x)/(2*c^2) + (e*x^2)/c^2 - (x^3*(d + e*x))/(2*c*(a + c*x^2)) - (3*sqrt(a)*d*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*c^(5//2)) - (a*e*log(a + c*x^2))/c^3, x, 6),
+(x^3*(d + e*x)/(a + c*x^2)^2, (3*e*x)/(2*c^2) - (x^2*(d + e*x))/(2*c*(a + c*x^2)) - (3*sqrt(a)*e*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*c^(5//2)) + (d*log(a + c*x^2))/(2*c^2), x, 5),
+(x^2*(d + e*x)/(a + c*x^2)^2, -((x*(d + e*x))/(2*c*(a + c*x^2))) + (d*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*c^(3//2)) + (e*log(a + c*x^2))/(2*c^2), x, 4),
+(x^1*(d + e*x)/(a + c*x^2)^2, -((d + e*x)/(2*c*(a + c*x^2))) + (e*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*c^(3//2)), x, 2),
+(x^0*(d + e*x)/(a + c*x^2)^2, -((a*e - c*d*x)/(2*a*c*(a + c*x^2))) + (d*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*sqrt(c)), x, 2),
+((d + e*x)/(x^1*(a + c*x^2)^2), (d + e*x)/(2*a*(a + c*x^2)) + (e*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*sqrt(c)) + (d*log(x))/a^2 - (d*log(a + c*x^2))/(2*a^2), x, 6),
+((d + e*x)/(x^2*(a + c*x^2)^2), -((3*d)/(2*a^2*x)) + (d + e*x)/(2*a*x*(a + c*x^2)) - (3*sqrt(c)*d*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)) + (e*log(x))/a^2 - (e*log(a + c*x^2))/(2*a^2), x, 6),
+((d + e*x)/(x^3*(a + c*x^2)^2), -(d/(a^2*x^2)) - (3*e)/(2*a^2*x) + (d + e*x)/(2*a*x^2*(a + c*x^2)) - (3*sqrt(c)*e*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)) - (2*c*d*log(x))/a^3 + (c*d*log(a + c*x^2))/a^3, x, 6),
+
+
+(x^4*(d + e*x)/(a^2 - c^2*x^2), -((a^2*d*x)/c^4) - (a^2*e*x^2)/(2*c^4) - (d*x^3)/(3*c^2) - (e*x^4)/(4*c^2) - (a^3*(c*d + a*e)*log(a - c*x))/(2*c^6) + (a^3*(c*d - a*e)*log(a + c*x))/(2*c^6), x, 5),
+(x^3*(d + e*x)/(a^2 - c^2*x^2), -((a^2*e*x)/c^4) - (d*x^2)/(2*c^2) - (e*x^3)/(3*c^2) - (a^2*(c*d + a*e)*log(a - c*x))/(2*c^5) - (a^2*(c*d - a*e)*log(a + c*x))/(2*c^5), x, 5),
+(x^2*(d + e*x)/(a^2 - c^2*x^2), -((d*x)/c^2) - (e*x^2)/(2*c^2) - (a*(c*d + a*e)*log(a - c*x))/(2*c^4) + (a*(c*d - a*e)*log(a + c*x))/(2*c^4), x, 5),
+(x^1*(d + e*x)/(a^2 - c^2*x^2), -((e*x)/c^2) - ((c*d + a*e)*log(a - c*x))/(2*c^3) - ((c*d - a*e)*log(a + c*x))/(2*c^3), x, 4),
+(x^0*(d + e*x)/(a^2 - c^2*x^2), -((((c*d)/a + e)*log(a - c*x))/(2*c^2)) + (((c*d)/a - e)*log(a + c*x))/(2*c^2), x, 3),
+((d + e*x)/(x^1*(a^2 - c^2*x^2)), (d*log(x))/a^2 - ((c*d + a*e)*log(a - c*x))/(2*a^2*c) - ((c*d - a*e)*log(a + c*x))/(2*a^2*c), x, 2),
+((d + e*x)/(x^2*(a^2 - c^2*x^2)), -(d/(a^2*x)) + (e*log(x))/a^2 - ((c*d + a*e)*log(a - c*x))/(2*a^3) + ((c*d - a*e)*log(a + c*x))/(2*a^3), x, 2),
+((d + e*x)/(x^3*(a^2 - c^2*x^2)), -(d/(2*a^2*x^2)) - e/(a^2*x) + (c^2*d*log(x))/a^4 - (c*(c*d + a*e)*log(a - c*x))/(2*a^4) - (c*(c*d - a*e)*log(a + c*x))/(2*a^4), x, 2),
+((d + e*x)/(x^4*(a^2 - c^2*x^2)), -(d/(3*a^2*x^3)) - e/(2*a^2*x^2) - (c^2*d)/(a^4*x) + (c^2*e*log(x))/a^4 - (c^2*(c*d + a*e)*log(a - c*x))/(2*a^5) + (c^2*(c*d - a*e)*log(a + c*x))/(2*a^5), x, 2),
+
+
+(x^4*(d + e*x)/(a^2 - c^2*x^2)^2, (3*d*x)/(2*c^4) + (e*x^2)/c^4 + (x^3*(d + e*x))/(2*c^2*(a^2 - c^2*x^2)) + (a*(3*c*d + 4*a*e)*log(a - c*x))/(4*c^6) - (a*(3*c*d - 4*a*e)*log(a + c*x))/(4*c^6), x, 6),
+(x^3*(d + e*x)/(a^2 - c^2*x^2)^2, (3*e*x)/(2*c^4) + (x^2*(d + e*x))/(2*c^2*(a^2 - c^2*x^2)) + ((2*c*d + 3*a*e)*log(a - c*x))/(4*c^5) + ((2*c*d - 3*a*e)*log(a + c*x))/(4*c^5), x, 5),
+(x^2*(d + e*x)/(a^2 - c^2*x^2)^2, (x*(d + e*x))/(2*c^2*(a^2 - c^2*x^2)) + ((c*d + 2*a*e)*log(a - c*x))/(4*a*c^4) - ((c*d - 2*a*e)*log(a + c*x))/(4*a*c^4), x, 4),
+(x^1*(d + e*x)/(a^2 - c^2*x^2)^2, (d + e*x)/(2*c^2*(a^2 - c^2*x^2)) - (e*atanh((c*x)/a))/(2*a*c^3), x, 2),
+(x^0*(d + e*x)/(a^2 - c^2*x^2)^2, (a^2*e + c^2*d*x)/(2*a^2*c^2*(a^2 - c^2*x^2)) + (d*atanh((c*x)/a))/(2*a^3*c), x, 2),
+((d + e*x)/(x^1*(a^2 - c^2*x^2)^2), (d + e*x)/(2*a^2*(a^2 - c^2*x^2)) + (d*log(x))/a^4 - ((2*c*d + a*e)*log(a - c*x))/(4*a^4*c) - ((2*c*d - a*e)*log(a + c*x))/(4*a^4*c), x, 3),
+((d + e*x)/(x^2*(a^2 - c^2*x^2)^2), -((3*d)/(2*a^4*x)) + (d + e*x)/(2*a^2*x*(a^2 - c^2*x^2)) + (e*log(x))/a^4 - ((3*c*d + 2*a*e)*log(a - c*x))/(4*a^5) + ((3*c*d - 2*a*e)*log(a + c*x))/(4*a^5), x, 3),
+((d + e*x)/(x^3*(a^2 - c^2*x^2)^2), -(d/(a^4*x^2)) - (3*e)/(2*a^4*x) + (d + e*x)/(2*a^2*x^2*(a^2 - c^2*x^2)) + (2*c^2*d*log(x))/a^6 - (c*(4*c*d + 3*a*e)*log(a - c*x))/(4*a^6) - (c*(4*c*d - 3*a*e)*log(a + c*x))/(4*a^6), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (A+B x) (a+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^4*(A + B*x)*sqrt(a + c*x^2), (a^2*A*x*sqrt(a + c*x^2))/(16*c^2) - (4*a*B*x^2*(a + c*x^2)^(3//2))/(35*c^2) + (A*x^3*(a + c*x^2)^(3//2))/(6*c) + (B*x^4*(a + c*x^2)^(3//2))/(7*c) + (a*(64*a*B - 105*A*c*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(840*c^3) + (a^3*A*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(16*c^(5//2)), x, 7),
+(x^3*(A + B*x)*sqrt(a + c*x^2), (a^2*B*x*sqrt(a + c*x^2))/(16*c^2) + (A*x^2*(a + c*x^2)^(3//2))/(5*c) + (B*x^3*(a + c*x^2)^(3//2))/(6*c) - (a*(16*A + 15*B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(120*c^2) + (a^3*B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(16*c^(5//2)), x, 6),
+(x^2*(A + B*x)*sqrt(a + c*x^2), -((a*A*x*sqrt(a + c*x^2))/(8*c)) + (B*x^2*(a + c*x^2)^(3//2))/(5*c) - ((8*a*B - 15*A*c*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(60*c^2) - (a^2*A*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*c^(3//2)), x, 5),
+(x^1*(A + B*x)*sqrt(a + c*x^2), -((a*B*x*sqrt(a + c*x^2))/(8*c)) + ((4*A + 3*B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(12*c) - (a^2*B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*c^(3//2)), x, 4),
+((A + B*x)*sqrt(a + c*x^2), (A*x*sqrt(a + c*x^2))/2 + (B*(a + c*x^2)^(3//2))/(3*c) + (a*A*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*sqrt(c)), x, 4),
+(((A + B*x)*sqrt(a + c*x^2))/x^1, ((2*A + B*x)*sqrt(a + c*x^2))/2 + (a*B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*sqrt(c)) - sqrt(a)*A*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)), x, 7),
+(((A + B*x)*sqrt(a + c*x^2))/x^2, -(((A - B*x)*sqrt(a + c*x^2))/x) + A*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)) - sqrt(a)*B*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)), x, 7),
+(((A + B*x)*sqrt(a + c*x^2))/x^3, -(((A + 2*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*x^2)) + B*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)) - (A*c*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)), x, 7),
+(((A + B*x)*sqrt(a + c*x^2))/x^4, -((B*sqrt(a + c*x^2))/(2*x^2)) - (A*(a + c*x^2)^(3//2))/(3*a*x^3) - (B*c*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)), x, 5),
+(((A + B*x)*sqrt(a + c*x^2))/x^5, (A*c*sqrt(a + c*x^2))/(8*a*x^2) - (A*(a + c*x^2)^(3//2))/(4*a*x^4) - (B*(a + c*x^2)^(3//2))/(3*a*x^3) + (A*c^2*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(8*a^(3//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(a + c*x^2))/x^6, (B*c*sqrt(a + c*x^2))/(8*a*x^2) - (A*(a + c*x^2)^(3//2))/(5*a*x^5) - (B*(a + c*x^2)^(3//2))/(4*a*x^4) + (2*A*c*(a + c*x^2)^(3//2))/(15*a^2*x^3) + (B*c^2*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(8*a^(3//2)), x, 7),
+(((A + B*x)*sqrt(a + c*x^2))/x^7, -((A*c^2*sqrt(a + c*x^2))/(16*a^2*x^2)) - (A*(a + c*x^2)^(3//2))/(6*a*x^6) - (B*(a + c*x^2)^(3//2))/(5*a*x^5) + (A*c*(a + c*x^2)^(3//2))/(8*a^2*x^4) + (2*B*c*(a + c*x^2)^(3//2))/(15*a^2*x^3) - (A*c^3*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)), x, 8),
+
+
+(x^4*(A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2), (3*a^3*A*x*sqrt(a + c*x^2))/(128*c^2) + (a^2*A*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(64*c^2) - (4*a*B*x^2*(a + c*x^2)^(5//2))/(63*c^2) + (A*x^3*(a + c*x^2)^(5//2))/(8*c) + (B*x^4*(a + c*x^2)^(5//2))/(9*c) + (a*(128*a*B - 315*A*c*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(5040*c^3) + (3*a^4*A*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(128*c^(5//2)), x, 8),
+(x^3*(A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2), (3*a^3*B*x*sqrt(a + c*x^2))/(128*c^2) + (a^2*B*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(64*c^2) + (A*x^2*(a + c*x^2)^(5//2))/(7*c) + (B*x^3*(a + c*x^2)^(5//2))/(8*c) - (a*(32*A + 35*B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(560*c^2) + (3*a^4*B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(128*c^(5//2)), x, 7),
+(x^2*(A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2), -((a^2*A*x*sqrt(a + c*x^2))/(16*c)) - (a*A*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(24*c) + (B*x^2*(a + c*x^2)^(5//2))/(7*c) - ((12*a*B - 35*A*c*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(210*c^2) - (a^3*A*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(16*c^(3//2)), x, 6),
+(x^1*(A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2), -((a^2*B*x*sqrt(a + c*x^2))/(16*c)) - (a*B*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(24*c) + ((6*A + 5*B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(30*c) - (a^3*B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(16*c^(3//2)), x, 5),
+((A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2), (3*a*A*x*sqrt(a + c*x^2))/8 + (A*x*(a + c*x^2)^(3//2))/4 + (B*(a + c*x^2)^(5//2))/(5*c) + (3*a^2*A*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*sqrt(c)), x, 5),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/x^1, (a*(8*A + 3*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/8 + ((4*A + 3*B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/12 + (3*a^2*B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*sqrt(c)) - a^(3//2)*A*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/x^2, ((2*a*B + 3*A*c*x)*sqrt(a + c*x^2))/2 - ((3*A - B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(3*x) + (3*a*A*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/2 - a^(3//2)*B*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/x^3, -((3*(a*B - A*c*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*x)) - ((A - B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(2*x^2) + (3//2)*a*B*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)) - (3//2)*sqrt(a)*A*c*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/x^4, -((c*(2*A - 3*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*x)) - ((2*A + 3*B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(6*x^3) + A*c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)) - (3//2)*sqrt(a)*B*c*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/x^5, -((c*(3*A + 8*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*x^2)) - ((3*A + 4*B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(12*x^4) + B*c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)) - (3*A*c^2*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(8*sqrt(a)), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/x^6, -((3*B*c*sqrt(a + c*x^2))/(8*x^2)) - (B*(a + c*x^2)^(3//2))/(4*x^4) - (A*(a + c*x^2)^(5//2))/(5*a*x^5) - (3*B*c^2*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(8*sqrt(a)), x, 6),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/x^7, (A*c^2*sqrt(a + c*x^2))/(16*a*x^2) + (A*c*(a + c*x^2)^(3//2))/(24*a*x^4) - (A*(a + c*x^2)^(5//2))/(6*a*x^6) - (B*(a + c*x^2)^(5//2))/(5*a*x^5) + (A*c^3*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(3//2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/x^8, (B*c^2*sqrt(a + c*x^2))/(16*a*x^2) + (B*c*(a + c*x^2)^(3//2))/(24*a*x^4) - (A*(a + c*x^2)^(5//2))/(7*a*x^7) - (B*(a + c*x^2)^(5//2))/(6*a*x^6) + (2*A*c*(a + c*x^2)^(5//2))/(35*a^2*x^5) + (B*c^3*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(3//2)), x, 8),
+
+
+(x^4*(A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2), (3*a^4*A*x*sqrt(a + c*x^2))/(256*c^2) + (a^3*A*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(128*c^2) + (a^2*A*x*(a + c*x^2)^(5//2))/(160*c^2) - (4*a*B*x^2*(a + c*x^2)^(7//2))/(99*c^2) + (A*x^3*(a + c*x^2)^(7//2))/(10*c) + (B*x^4*(a + c*x^2)^(7//2))/(11*c) + (a*(640*a*B - 2079*A*c*x)*(a + c*x^2)^(7//2))/(55440*c^3) + (3*a^5*A*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(256*c^(5//2)), x, 9),
+(x^3*(A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2), (3*a^4*B*x*sqrt(a + c*x^2))/(256*c^2) + (a^3*B*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(128*c^2) + (a^2*B*x*(a + c*x^2)^(5//2))/(160*c^2) + (A*x^2*(a + c*x^2)^(7//2))/(9*c) + (B*x^3*(a + c*x^2)^(7//2))/(10*c) - (a*(160*A + 189*B*x)*(a + c*x^2)^(7//2))/(5040*c^2) + (3*a^5*B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(256*c^(5//2)), x, 8),
+(x^2*(A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2), -((5*a^3*A*x*sqrt(a + c*x^2))/(128*c)) - (5*a^2*A*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(192*c) - (a*A*x*(a + c*x^2)^(5//2))/(48*c) + (B*x^2*(a + c*x^2)^(7//2))/(9*c) - ((16*a*B - 63*A*c*x)*(a + c*x^2)^(7//2))/(504*c^2) - (5*a^4*A*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(128*c^(3//2)), x, 7),
+(x^1*(A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2), -((5*a^3*B*x*sqrt(a + c*x^2))/(128*c)) - (5*a^2*B*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(192*c) - (a*B*x*(a + c*x^2)^(5//2))/(48*c) + ((8*A + 7*B*x)*(a + c*x^2)^(7//2))/(56*c) - (5*a^4*B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(128*c^(3//2)), x, 6),
+((A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2), (5*a^2*A*x*sqrt(a + c*x^2))/16 + (5*a*A*x*(a + c*x^2)^(3//2))/24 + (A*x*(a + c*x^2)^(5//2))/6 + (B*(a + c*x^2)^(7//2))/(7*c) + (5*a^3*A*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(16*sqrt(c)), x, 6),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/x^1, (a^2*(16*A + 5*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/16 + (a*(8*A + 5*B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/24 + ((6*A + 5*B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/30 + (5*a^3*B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(16*sqrt(c)) - a^(5//2)*A*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)), x, 9),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/x^2, (a*(8*a*B + 15*A*c*x)*sqrt(a + c*x^2))/8 + ((4*a*B + 15*A*c*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/12 - ((5*A - B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(5*x) + (15*a^2*A*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/8 - a^(5//2)*B*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)), x, 9),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/x^3, (5//8)*a*c*(4*A + 3*B*x)*sqrt(a + c*x^2) - (5*(3*a*B - 2*A*c*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(12*x) - ((2*A - B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(4*x^2) + (15//8)*a^2*B*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)) - (5//2)*a^(3//2)*A*c*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)), x, 9),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/x^4, -((5*a*c*(A - B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*x)) - (5*(a*B - A*c*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(6*x^2) - ((A - B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(3*x^3) + (5//2)*a*A*c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)) - (5//2)*a^(3//2)*B*c*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)), x, 9),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/x^5, -((5*c*(4*a*B - 3*A*c*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*x)) - (5*(4*a*B + 3*A*c*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(24*x^3) - ((A - 2*B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(4*x^4) + (5//2)*a*B*c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)) - (15//8)*sqrt(a)*A*c^2*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)), x, 9),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/x^6, -((c^2*(8*A - 15*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*x)) - (c*(8*A + 15*B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(24*x^3) - ((4*A + 5*B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(20*x^5) + A*c^(5//2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)) - (15//8)*sqrt(a)*B*c^2*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)), x, 9),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/x^7, -((c^2*(5*A + 16*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(16*x^2)) - (c*(5*A + 8*B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(24*x^4) - ((5*A + 6*B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(30*x^6) + B*c^(5//2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)) - (5*A*c^3*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(16*sqrt(a)), x, 9),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/x^8, -((5*B*c^2*sqrt(a + c*x^2))/(16*x^2)) - (5*B*c*(a + c*x^2)^(3//2))/(24*x^4) - (B*(a + c*x^2)^(5//2))/(6*x^6) - (A*(a + c*x^2)^(7//2))/(7*a*x^7) - (5*B*c^3*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(16*sqrt(a)), x, 7),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/x^9, (5*A*c^3*sqrt(a + c*x^2))/(128*a*x^2) + (5*A*c^2*(a + c*x^2)^(3//2))/(192*a*x^4) + (A*c*(a + c*x^2)^(5//2))/(48*a*x^6) - (A*(a + c*x^2)^(7//2))/(8*a*x^8) - (B*(a + c*x^2)^(7//2))/(7*a*x^7) + (5*A*c^4*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(128*a^(3//2)), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/x^10, (5*B*c^3*sqrt(a + c*x^2))/(128*a*x^2) + (5*B*c^2*(a + c*x^2)^(3//2))/(192*a*x^4) + (B*c*(a + c*x^2)^(5//2))/(48*a*x^6) - (A*(a + c*x^2)^(7//2))/(9*a*x^9) - (B*(a + c*x^2)^(7//2))/(8*a*x^8) + (2*A*c*(a + c*x^2)^(7//2))/(63*a^2*x^7) + (5*B*c^4*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(128*a^(3//2)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^4*(A + B*x))/sqrt(a + c*x^2), -((4*a*B*x^2*sqrt(a + c*x^2))/(15*c^2)) + (A*x^3*sqrt(a + c*x^2))/(4*c) + (B*x^4*sqrt(a + c*x^2))/(5*c) + (a*(64*a*B - 45*A*c*x)*sqrt(a + c*x^2))/(120*c^3) + (3*a^2*A*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*c^(5//2)), x, 6),
+((x^3*(A + B*x))/sqrt(a + c*x^2), (A*x^2*sqrt(a + c*x^2))/(3*c) + (B*x^3*sqrt(a + c*x^2))/(4*c) - (a*(16*A + 9*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(24*c^2) + (3*a^2*B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*c^(5//2)), x, 5),
+((x^2*(A + B*x))/sqrt(a + c*x^2), (B*x^2*sqrt(a + c*x^2))/(3*c) - ((4*a*B - 3*A*c*x)*sqrt(a + c*x^2))/(6*c^2) - (a*A*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*c^(3//2)), x, 4),
+((x^1*(A + B*x))/sqrt(a + c*x^2), ((2*A + B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*c) - (a*B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*c^(3//2)), x, 3),
+((A + B*x)/sqrt(a + c*x^2), (B*sqrt(a + c*x^2))/c + (A*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/sqrt(c), x, 3),
+((A + B*x)/(x^1*sqrt(a + c*x^2)), (B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/sqrt(c) - (A*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 6),
+((A + B*x)/(x^2*sqrt(a + c*x^2)), -((A*sqrt(a + c*x^2))/(a*x)) - (B*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 4),
+((A + B*x)/(x^3*sqrt(a + c*x^2)), -(A*sqrt(a + c*x^2))/(2*a*x^2) - (B*sqrt(a + c*x^2))/(a*x) + (A*c*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)), x, 5),
+((A + B*x)/(x^4*sqrt(a + c*x^2)), -(A*sqrt(a + c*x^2))/(3*a*x^3) - (B*sqrt(a + c*x^2))/(2*a*x^2) + (2*A*c*sqrt(a + c*x^2))/(3*a^2*x) + (B*c*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)), x, 6),
+((A + B*x)/(x^5*sqrt(a + c*x^2)), -(A*sqrt(a + c*x^2))/(4*a*x^4) - (B*sqrt(a + c*x^2))/(3*a*x^3) + (3*A*c*sqrt(a + c*x^2))/(8*a^2*x^2) + (2*B*c*sqrt(a + c*x^2))/(3*a^2*x) - (3*A*c^2*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)), x, 7),
+((A + B*x)/(x^6*sqrt(a + c*x^2)), -(A*sqrt(a + c*x^2))/(5*a*x^5) - (B*sqrt(a + c*x^2))/(4*a*x^4) + (4*A*c*sqrt(a + c*x^2))/(15*a^2*x^3) + (3*B*c*sqrt(a + c*x^2))/(8*a^2*x^2) - (8*A*c^2*sqrt(a + c*x^2))/(15*a^3*x) - (3*B*c^2*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)), x, 8),
+
+
+((x^4*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(3//2), -((x^3*(A + B*x))/(c*sqrt(a + c*x^2))) + (4*B*x^2*sqrt(a + c*x^2))/(3*c^2) - ((16*a*B - 9*A*c*x)*sqrt(a + c*x^2))/(6*c^3) - (3*a*A*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*c^(5//2)), x, 5),
+((x^3*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(3//2), -((x^2*(A + B*x))/(c*sqrt(a + c*x^2))) + ((4*A + 3*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*c^2) - (3*a*B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*c^(5//2)), x, 4),
+((x^2*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(3//2), -((x*(A + B*x))/(c*sqrt(a + c*x^2))) + (2*B*sqrt(a + c*x^2))/c^2 + (A*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/c^(3//2), x, 4),
+((x^1*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(3//2), -((A + B*x)/(c*sqrt(a + c*x^2))) + (B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/c^(3//2), x, 3),
+((A + B*x)/(a + c*x^2)^(3//2), -((a*B - A*c*x)/(a*c*sqrt(a + c*x^2))), x, 1),
+((A + B*x)/(x^1*(a + c*x^2)^(3//2)), (A + B*x)/(a*sqrt(a + c*x^2)) - (A*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 5),
+((A + B*x)/(x^2*(a + c*x^2)^(3//2)), (A + B*x)/(a*x*sqrt(a + c*x^2)) - (2*A*sqrt(a + c*x^2))/(a^2*x) - (B*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/a^(3//2), x, 5),
+((A + B*x)/(x^3*(a + c*x^2)^(3//2)), (A + B*x)/(a*x^2*sqrt(a + c*x^2)) - (3*A*sqrt(a + c*x^2))/(2*a^2*x^2) - (2*B*sqrt(a + c*x^2))/(a^2*x) + (3*A*c*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)), x, 6),
+((A + B*x)/(x^4*(a + c*x^2)^(3//2)), (A + B*x)/(a*x^3*sqrt(a + c*x^2)) - (4*A*sqrt(a + c*x^2))/(3*a^2*x^3) - (3*B*sqrt(a + c*x^2))/(2*a^2*x^2) + (8*A*c*sqrt(a + c*x^2))/(3*a^3*x) + (3*B*c*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)), x, 7),
+
+
+((x^4*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(5//2), -((x^3*(A + B*x))/(3*c*(a + c*x^2)^(3//2))) - (x*(3*A + 4*B*x))/(3*c^2*sqrt(a + c*x^2)) + (8*B*sqrt(a + c*x^2))/(3*c^3) + (A*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/c^(5//2), x, 5),
+((x^3*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(5//2), -((x^2*(A + B*x))/(3*c*(a + c*x^2)^(3//2))) - (2*A + 3*B*x)/(3*c^2*sqrt(a + c*x^2)) + (B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/c^(5//2), x, 4),
+((x^2*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(5//2), -((x^2*(a*B - A*c*x))/(3*a*c*(a + c*x^2)^(3//2))) - (2*B)/(3*c^2*sqrt(a + c*x^2)), x, 2),
+((x^1*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(5//2), -(A + B*x)/(3*c*(a + c*x^2)^(3//2)) + (B*x)/(3*a*c*sqrt(a + c*x^2)), x, 2),
+((A + B*x)/(a + c*x^2)^(5//2), -(a*B - A*c*x)/(3*a*c*(a + c*x^2)^(3//2)) + (2*A*x)/(3*a^2*sqrt(a + c*x^2)), x, 2),
+((A + B*x)/(x^1*(a + c*x^2)^(5//2)), (A + B*x)/(3*a*(a + c*x^2)^(3//2)) + (3*A + 2*B*x)/(3*a^2*sqrt(a + c*x^2)) - (A*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 6),
+((A + B*x)/(x^2*(a + c*x^2)^(5//2)), (A + B*x)/(3*a*x*(a + c*x^2)^(3//2)) + (4*A + 3*B*x)/(3*a^2*x*sqrt(a + c*x^2)) - (8*A*sqrt(a + c*x^2))/(3*a^3*x) - (B*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/a^(5//2), x, 6),
+((A + B*x)/(x^3*(a + c*x^2)^(5//2)), (A + B*x)/(3*a*x^2*(a + c*x^2)^(3//2)) + (5*A + 4*B*x)/(3*a^2*x^2*sqrt(a + c*x^2)) - (5*A*sqrt(a + c*x^2))/(2*a^3*x^2) - (8*B*sqrt(a + c*x^2))/(3*a^3*x) + (5*A*c*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(7//2)), x, 7),
+
+
+((d + e*x)/(a + c*x^2)^(7//2), -(a*e - c*d*x)/(5*a*c*(a + c*x^2)^(5//2)) + (4*d*x)/(15*a^2*(a + c*x^2)^(3//2)) + (8*d*x)/(15*a^3*sqrt(a + c*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)/(a + c*x^2)^(9//2), -(a*e - c*d*x)/(7*a*c*(a + c*x^2)^(7//2)) + (6*d*x)/(35*a^2*(a + c*x^2)^(5//2)) + (8*d*x)/(35*a^3*(a + c*x^2)^(3//2)) + (16*d*x)/(35*a^4*sqrt(a + c*x^2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (A+B x) (a+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x)*(a + c*x^2), (2*a*A*x^(9//2))/9 + (2*a*B*x^(11//2))/11 + (2*A*c*x^(13//2))/13 + (2*B*c*x^(15//2))/15, x, 2),
+(x^(5//2)*(A + B*x)*(a + c*x^2), (2*a*A*x^(7//2))/7 + (2*a*B*x^(9//2))/9 + (2*A*c*x^(11//2))/11 + (2*B*c*x^(13//2))/13, x, 2),
+(x^(3//2)*(A + B*x)*(a + c*x^2), (2*a*A*x^(5//2))/5 + (2*a*B*x^(7//2))/7 + (2*A*c*x^(9//2))/9 + (2*B*c*x^(11//2))/11, x, 2),
+(sqrt(x)*(A + B*x)*(a + c*x^2), (2*a*A*x^(3//2))/3 + (2*a*B*x^(5//2))/5 + (2*A*c*x^(7//2))/7 + (2*B*c*x^(9//2))/9, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/sqrt(x), 2*a*A*sqrt(x) + (2*a*B*x^(3//2))/3 + (2*A*c*x^(5//2))/5 + (2*B*c*x^(7//2))/7, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/x^(3//2), (-2*a*A)/sqrt(x) + 2*a*B*sqrt(x) + (2*A*c*x^(3//2))/3 + (2*B*c*x^(5//2))/5, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/x^(5//2), (-2*a*A)/(3*x^(3//2)) - (2*a*B)/sqrt(x) + 2*A*c*sqrt(x) + (2*B*c*x^(3//2))/3, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/x^(7//2), (-2*a*A)/(5*x^(5//2)) - (2*a*B)/(3*x^(3//2)) - (2*A*c)/sqrt(x) + 2*B*c*sqrt(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/x^(9//2), (-2*a*A)/(7*x^(7//2)) - (2*a*B)/(5*x^(5//2)) - (2*A*c)/(3*x^(3//2)) - (2*B*c)/sqrt(x), x, 2),
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x)*(a + c*x^2)^2, (2*a^2*A*x^(9//2))/9 + (2*a^2*B*x^(11//2))/11 + (4*a*A*c*x^(13//2))/13 + (4*a*B*c*x^(15//2))/15 + (2*A*c^2*x^(17//2))/17 + (2*B*c^2*x^(19//2))/19, x, 2),
+(x^(5//2)*(A + B*x)*(a + c*x^2)^2, (2*a^2*A*x^(7//2))/7 + (2*a^2*B*x^(9//2))/9 + (4*a*A*c*x^(11//2))/11 + (4*a*B*c*x^(13//2))/13 + (2*A*c^2*x^(15//2))/15 + (2*B*c^2*x^(17//2))/17, x, 2),
+(x^(3//2)*(A + B*x)*(a + c*x^2)^2, (2*a^2*A*x^(5//2))/5 + (2*a^2*B*x^(7//2))/7 + (4*a*A*c*x^(9//2))/9 + (4*a*B*c*x^(11//2))/11 + (2*A*c^2*x^(13//2))/13 + (2*B*c^2*x^(15//2))/15, x, 2),
+(sqrt(x)*(A + B*x)*(a + c*x^2)^2, (2*a^2*A*x^(3//2))/3 + (2*a^2*B*x^(5//2))/5 + (4*a*A*c*x^(7//2))/7 + (4*a*B*c*x^(9//2))/9 + (2*A*c^2*x^(11//2))/11 + (2*B*c^2*x^(13//2))/13, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/sqrt(x), 2*a^2*A*sqrt(x) + (2*a^2*B*x^(3//2))/3 + (4*a*A*c*x^(5//2))/5 + (4*a*B*c*x^(7//2))/7 + (2*A*c^2*x^(9//2))/9 + (2*B*c^2*x^(11//2))/11, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/x^(3//2), (-2*a^2*A)/sqrt(x) + 2*a^2*B*sqrt(x) + (4*a*A*c*x^(3//2))/3 + (4*a*B*c*x^(5//2))/5 + (2*A*c^2*x^(7//2))/7 + (2*B*c^2*x^(9//2))/9, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/x^(5//2), (-2*a^2*A)/(3*x^(3//2)) - (2*a^2*B)/sqrt(x) + 4*a*A*c*sqrt(x) + (4*a*B*c*x^(3//2))/3 + (2*A*c^2*x^(5//2))/5 + (2*B*c^2*x^(7//2))/7, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/x^(7//2), (-2*a^2*A)/(5*x^(5//2)) - (2*a^2*B)/(3*x^(3//2)) - (4*a*A*c)/sqrt(x) + 4*a*B*c*sqrt(x) + (2*A*c^2*x^(3//2))/3 + (2*B*c^2*x^(5//2))/5, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/x^(9//2), (-2*a^2*A)/(7*x^(7//2)) - (2*a^2*B)/(5*x^(5//2)) - (4*a*A*c)/(3*x^(3//2)) - (4*a*B*c)/sqrt(x) + 2*A*c^2*sqrt(x) + (2*B*c^2*x^(3//2))/3, x, 2),
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x)*(a + c*x^2)^3, (2*a^3*A*x^(9//2))/9 + (2*a^3*B*x^(11//2))/11 + (6*a^2*A*c*x^(13//2))/13 + (2*a^2*B*c*x^(15//2))/5 + (6*a*A*c^2*x^(17//2))/17 + (6*a*B*c^2*x^(19//2))/19 + (2*A*c^3*x^(21//2))/21 + (2*B*c^3*x^(23//2))/23, x, 2),
+(x^(5//2)*(A + B*x)*(a + c*x^2)^3, (2*a^3*A*x^(7//2))/7 + (2*a^3*B*x^(9//2))/9 + (6*a^2*A*c*x^(11//2))/11 + (6*a^2*B*c*x^(13//2))/13 + (2*a*A*c^2*x^(15//2))/5 + (6*a*B*c^2*x^(17//2))/17 + (2*A*c^3*x^(19//2))/19 + (2*B*c^3*x^(21//2))/21, x, 2),
+(x^(3//2)*(A + B*x)*(a + c*x^2)^3, (2*a^3*A*x^(5//2))/5 + (2*a^3*B*x^(7//2))/7 + (2*a^2*A*c*x^(9//2))/3 + (6*a^2*B*c*x^(11//2))/11 + (6*a*A*c^2*x^(13//2))/13 + (2*a*B*c^2*x^(15//2))/5 + (2*A*c^3*x^(17//2))/17 + (2*B*c^3*x^(19//2))/19, x, 2),
+(sqrt(x)*(A + B*x)*(a + c*x^2)^3, (2*a^3*A*x^(3//2))/3 + (2*a^3*B*x^(5//2))/5 + (6*a^2*A*c*x^(7//2))/7 + (2*a^2*B*c*x^(9//2))/3 + (6*a*A*c^2*x^(11//2))/11 + (6*a*B*c^2*x^(13//2))/13 + (2*A*c^3*x^(15//2))/15 + (2*B*c^3*x^(17//2))/17, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/sqrt(x), 2*a^3*A*sqrt(x) + (2*a^3*B*x^(3//2))/3 + (6*a^2*A*c*x^(5//2))/5 + (6*a^2*B*c*x^(7//2))/7 + (2*a*A*c^2*x^(9//2))/3 + (6*a*B*c^2*x^(11//2))/11 + (2*A*c^3*x^(13//2))/13 + (2*B*c^3*x^(15//2))/15, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/x^(3//2), (-2*a^3*A)/sqrt(x) + 2*a^3*B*sqrt(x) + 2*a^2*A*c*x^(3//2) + (6*a^2*B*c*x^(5//2))/5 + (6*a*A*c^2*x^(7//2))/7 + (2*a*B*c^2*x^(9//2))/3 + (2*A*c^3*x^(11//2))/11 + (2*B*c^3*x^(13//2))/13, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/x^(5//2), (-2*a^3*A)/(3*x^(3//2)) - (2*a^3*B)/sqrt(x) + 6*a^2*A*c*sqrt(x) + 2*a^2*B*c*x^(3//2) + (6*a*A*c^2*x^(5//2))/5 + (6*a*B*c^2*x^(7//2))/7 + (2*A*c^3*x^(9//2))/9 + (2*B*c^3*x^(11//2))/11, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/x^(7//2), (-2*a^3*A)/(5*x^(5//2)) - (2*a^3*B)/(3*x^(3//2)) - (6*a^2*A*c)/sqrt(x) + 6*a^2*B*c*sqrt(x) + 2*a*A*c^2*x^(3//2) + (6*a*B*c^2*x^(5//2))/5 + (2*A*c^3*x^(7//2))/7 + (2*B*c^3*x^(9//2))/9, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/x^(9//2), (-2*a^3*A)/(7*x^(7//2)) - (2*a^3*B)/(5*x^(5//2)) - (2*a^2*A*c)/x^(3//2) - (6*a^2*B*c)/sqrt(x) + 6*a*A*c^2*sqrt(x) + 2*a*B*c^2*x^(3//2) + (2*A*c^3*x^(5//2))/5 + (2*B*c^3*x^(7//2))/7, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/x^(11//2), (-2*a^3*A)/(9*x^(9//2)) - (2*a^3*B)/(7*x^(7//2)) - (6*a^2*A*c)/(5*x^(5//2)) - (2*a^2*B*c)/x^(3//2) - (6*a*A*c^2)/sqrt(x) + 6*a*B*c^2*sqrt(x) + (2*A*c^3*x^(3//2))/3 + (2*B*c^3*x^(5//2))/5, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2), -((2*a*B*sqrt(x))/c^2) + (2*A*x^(3//2))/(3*c) + (2*B*x^(5//2))/(5*c) - (a^(3//4)*(sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(9//4)) + (a^(3//4)*(sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(9//4)) - (a^(3//4)*(sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(9//4)) + (a^(3//4)*(sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(9//4)), x, 13),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2), (2*A*sqrt(x))/c + (2*B*x^(3//2))/(3*c) + (a^(1//4)*(sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(7//4)) - (a^(1//4)*(sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(7//4)) - (a^(1//4)*(sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(7//4)) + (a^(1//4)*(sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(7//4)), x, 12),
+((x^(1//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2), (2*B*sqrt(x))/c + ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(1//4)*c^(5//4)) - ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(1//4)*c^(5//4)) + ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(5//4)) - ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(5//4)), x, 11),
+((A + B*x)/(x^(1//2)*(a + c*x^2)), -(((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4))) + ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)) + ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)) - ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)), x, 10),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(a + c*x^2)), -((2*A)/(a*sqrt(x))) - ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(5//4)*c^(1//4)) + ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(5//4)*c^(1//4)) - ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(1//4)) + ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(1//4)), x, 11),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*(a + c*x^2)), -((2*A)/(3*a*x^(3//2))) - (2*B)/(a*sqrt(x)) + ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*c^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(7//4)) - ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*c^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(7//4)) - ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*c^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)) + ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*c^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)), x, 12),
+((A + B*x)/(x^(7//2)*(a + c*x^2)), -((2*A)/(5*a*x^(5//2))) - (2*B)/(3*a*x^(3//2)) + (2*A*c)/(a^2*sqrt(x)) + ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*c^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(9//4)) - ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*c^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(9//4)) + ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*c^(3//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)) - ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*c^(3//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)), x, 13),
+((A + B*x)/(x^(9//2)*(a + c*x^2)), -((2*A)/(7*a*x^(7//2))) - (2*B)/(5*a*x^(5//2)) + (2*A*c)/(3*a^2*x^(3//2)) + (2*B*c)/(a^2*sqrt(x)) - ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*c^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(11//4)) + ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*c^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(11//4)) + ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*c^(5//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*a^(11//4)) - ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*c^(5//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*a^(11//4)), x, 14),
+
+
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2)^2, (5*B*sqrt(x))/(2*c^2) - (x^(3//2)*(A + B*x))/(2*c*(a + c*x^2)) + ((5*sqrt(a)*B - 3*A*sqrt(c))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(9//4)) - ((5*sqrt(a)*B - 3*A*sqrt(c))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(9//4)) + ((5*sqrt(a)*B + 3*A*sqrt(c))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(9//4)) - ((5*sqrt(a)*B + 3*A*sqrt(c))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(9//4)), x, 12),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2)^2, -((sqrt(x)*(A + B*x))/(2*c*(a + c*x^2))) - ((3*sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(7//4)) + ((3*sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(7//4)) + ((3*sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(7//4)) - ((3*sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(7//4)), x, 11),
+((x^(1//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2)^2, -((sqrt(x)*(a*B - A*c*x))/(2*a*c*(a + c*x^2))) - ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(5//4)) + ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(5//4)) - ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(5//4)) + ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(5//4)), x, 11),
+((A + B*x)/(x^(1//2)*(a + c*x^2)^2), (sqrt(x)*(A + B*x))/(2*a*(a + c*x^2)) - ((sqrt(a)*B + 3*A*sqrt(c))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(3//4)) + ((sqrt(a)*B + 3*A*sqrt(c))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(3//4)) + ((sqrt(a)*B - 3*A*sqrt(c))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(3//4)) - ((sqrt(a)*B - 3*A*sqrt(c))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(3//4)), x, 11),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(a + c*x^2)^2), -((5*A)/(2*a^2*sqrt(x))) + (A + B*x)/(2*a*sqrt(x)*(a + c*x^2)) - ((3*sqrt(a)*B - 5*A*sqrt(c))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(9//4)*c^(1//4)) + ((3*sqrt(a)*B - 5*A*sqrt(c))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(9//4)*c^(1//4)) - ((3*sqrt(a)*B + 5*A*sqrt(c))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*a^(9//4)*c^(1//4)) + ((3*sqrt(a)*B + 5*A*sqrt(c))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*a^(9//4)*c^(1//4)), x, 12),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*(a + c*x^2)^2), -((7*A)/(6*a^2*x^(3//2))) - (5*B)/(2*a^2*sqrt(x)) + (A + B*x)/(2*a*x^(3//2)*(a + c*x^2)) + ((5*sqrt(a)*B + 7*A*sqrt(c))*c^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(11//4)) - ((5*sqrt(a)*B + 7*A*sqrt(c))*c^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(4*sqrt(2)*a^(11//4)) - ((5*sqrt(a)*B - 7*A*sqrt(c))*c^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*a^(11//4)) + ((5*sqrt(a)*B - 7*A*sqrt(c))*c^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*a^(11//4)), x, 13),
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2)^3, -((x^(5//2)*(A + B*x))/(4*c*(a + c*x^2)^2)) - (sqrt(x)*(5*A + 7*B*x))/(16*c^2*(a + c*x^2)) - ((21*sqrt(a)*B + 5*A*sqrt(c))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(11//4)) + ((21*sqrt(a)*B + 5*A*sqrt(c))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(11//4)) + ((21*sqrt(a)*B - 5*A*sqrt(c))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(11//4)) - ((21*sqrt(a)*B - 5*A*sqrt(c))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(11//4)), x, 12),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2)^3, -((x^(3//2)*(A + B*x))/(4*c*(a + c*x^2)^2)) - (sqrt(x)*(5*a*B - 3*A*c*x))/(16*a*c^2*(a + c*x^2)) - ((5*sqrt(a)*B + 3*A*sqrt(c))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(9//4)) + ((5*sqrt(a)*B + 3*A*sqrt(c))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(9//4)) - ((5*sqrt(a)*B - 3*A*sqrt(c))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(9//4)) + ((5*sqrt(a)*B - 3*A*sqrt(c))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(9//4)), x, 12),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2)^3, -((sqrt(x)*(A + B*x))/(4*c*(a + c*x^2)^2)) + (sqrt(x)*(A + 3*B*x))/(16*a*c*(a + c*x^2)) - (3*(sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(7//4)) + (3*(sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(7//4)) + (3*(sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(7//4)) - (3*(sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(7//4)), x, 12),
+((x^(1//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2)^3, -((sqrt(x)*(a*B - A*c*x))/(4*a*c*(a + c*x^2)^2)) + (sqrt(x)*(a*B + 5*A*c*x))/(16*a^2*c*(a + c*x^2)) - ((3*sqrt(a)*B + 5*A*sqrt(c))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(9//4)*c^(5//4)) + ((3*sqrt(a)*B + 5*A*sqrt(c))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(9//4)*c^(5//4)) - ((3*sqrt(a)*B - 5*A*sqrt(c))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*a^(9//4)*c^(5//4)) + ((3*sqrt(a)*B - 5*A*sqrt(c))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*a^(9//4)*c^(5//4)), x, 12),
+((A + B*x)/(x^(1//2)*(a + c*x^2)^3), (sqrt(x)*(A + B*x))/(4*a*(a + c*x^2)^2) + (sqrt(x)*(7*A + 5*B*x))/(16*a^2*(a + c*x^2)) - ((5*sqrt(a)*B + 21*A*sqrt(c))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(3//4)) + ((5*sqrt(a)*B + 21*A*sqrt(c))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(3//4)) + ((5*sqrt(a)*B - 21*A*sqrt(c))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(3//4)) - ((5*sqrt(a)*B - 21*A*sqrt(c))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(3//4)), x, 12),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(a + c*x^2)^3), -((45*A)/(16*a^3*sqrt(x))) + (A + B*x)/(4*a*sqrt(x)*(a + c*x^2)^2) + (9*A + 7*B*x)/(16*a^2*sqrt(x)*(a + c*x^2)) - (3*(7*sqrt(a)*B - 15*A*sqrt(c))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(13//4)*c^(1//4)) + (3*(7*sqrt(a)*B - 15*A*sqrt(c))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)))/(32*sqrt(2)*a^(13//4)*c^(1//4)) - (3*(7*sqrt(a)*B + 15*A*sqrt(c))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*a^(13//4)*c^(1//4)) + (3*(7*sqrt(a)*B + 15*A*sqrt(c))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*a^(13//4)*c^(1//4)), x, 13),
+
+
+((1 - x)/(sqrt(x)*(1 + x^2)), -(log(1 - sqrt(2)*sqrt(x) + x)/sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*sqrt(x) + x)/sqrt(2), x, 4),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (A+B x) (a+c x^2)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((e*x)^(7//2)*(A + B*x)*sqrt(a + c*x^2), (2*a^2*e^3*sqrt(e*x)*(325*A + 539*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(15015*c^2) + (28*a^3*B*e^4*x*sqrt(a + c*x^2))/(195*c^(5//2)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (10*a*A*e^3*sqrt(e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(77*c^2) - (14*a*B*e^2*(e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)^(3//2))/(117*c^2) + (2*A*e*(e*x)^(5//2)*(a + c*x^2)^(3//2))/(11*c) + (2*B*(e*x)^(7//2)*(a + c*x^2)^(3//2))/(13*c) - (28*a^(13//4)*B*e^4*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(195*c^(11//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (2*a^(11//4)*(539*sqrt(a)*B + 325*A*sqrt(c))*e^4*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15015*c^(11//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 10),
+((e*x)^(5//2)*(A + B*x)*sqrt(a + c*x^2), (-4*a^2*A*e^3*x*sqrt(a + c*x^2))/(15*c^(3//2)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (2*a*e^2*sqrt(e*x)*(25*a*B - 77*A*c*x)*sqrt(a + c*x^2))/(1155*c^2) - (10*a*B*e^2*sqrt(e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(77*c^2) + (2*A*e*(e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)^(3//2))/(9*c) + (2*B*(e*x)^(5//2)*(a + c*x^2)^(3//2))/(11*c) + (4*a^(9//4)*A*e^3*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*c^(7//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (2*a^(9//4)*(25*sqrt(a)*B - 77*A*sqrt(c))*e^3*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(1155*c^(9//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 9),
+((e*x)^(3//2)*(A + B*x)*sqrt(a + c*x^2), (-2*a*e*sqrt(e*x)*(5*A + 7*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(105*c) - (4*a^2*B*e^2*x*sqrt(a + c*x^2))/(15*c^(3//2)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (2*A*e*sqrt(e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(7*c) + (2*B*(e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)^(3//2))/(9*c) + (4*a^(9//4)*B*e^2*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*c^(7//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (2*a^(7//4)*(7*sqrt(a)*B + 5*A*sqrt(c))*e^2*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(105*c^(7//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+((e*x)^(1//2)*(A + B*x)*sqrt(a + c*x^2), (4*a*A*e*x*sqrt(a + c*x^2))/(5*sqrt(c)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (2*sqrt(e*x)*(5*a*B - 21*A*c*x)*sqrt(a + c*x^2))/(105*c) + (2*B*sqrt(e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(7*c) - (4*a^(5//4)*A*e*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (2*a^(5//4)*(5*sqrt(a)*B - 21*A*sqrt(c))*e*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(105*c^(5//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(((A + B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(e*x)^(1//2), (2*sqrt(e*x)*(5*A + 3*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(15*e) + (4*a*B*x*sqrt(a + c*x^2))/(5*sqrt(c)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (4*a^(5//4)*B*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (2*a^(3//4)*(3*sqrt(a)*B + 5*A*sqrt(c))*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(e*x)^(3//2), (-2*(3*A - B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*e*sqrt(e*x)) + (4*A*sqrt(c)*x*sqrt(a + c*x^2))/(e*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (4*a^(1//4)*A*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(e*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (2*a^(1//4)*(sqrt(a)*B + 3*A*sqrt(c))*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(3*c^(1//4)*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(e*x)^(5//2), (-2*(A + 3*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*e*(e*x)^(3//2)) + (4*B*sqrt(c)*x*sqrt(a + c*x^2))/(e^2*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (4*a^(1//4)*B*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (2*(3*sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(3*a^(1//4)*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(e*x)^(7//2), (-4*A*c*sqrt(a + c*x^2))/(5*a*e^3*sqrt(e*x)) - (2*(3*A + 5*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(15*e*(e*x)^(5//2)) + (4*A*c^(3//2)*x*sqrt(a + c*x^2))/(5*a*e^3*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (4*A*c^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*a^(3//4)*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (2*(5*sqrt(a)*B + 3*A*sqrt(c))*c^(3//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*a^(3//4)*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(((A + B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(e*x)^(9//2), (-4*A*c*sqrt(a + c*x^2))/(21*a*e^3*(e*x)^(3//2)) - (4*B*c*sqrt(a + c*x^2))/(5*a*e^4*sqrt(e*x)) - (2*(5*A + 7*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(35*e*(e*x)^(7//2)) + (4*B*c^(3//2)*x*sqrt(a + c*x^2))/(5*a*e^4*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (4*B*c^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*a^(3//4)*e^4*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (2*(21*sqrt(a)*B - 5*A*sqrt(c))*c^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(105*a^(5//4)*e^4*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+
+
+((e*x)^(5//2)*(A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2), (-8*a^3*A*e^3*x*sqrt(a + c*x^2))/(65*c^(3//2)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (4*a^2*e^2*sqrt(e*x)*(65*a*B - 231*A*c*x)*sqrt(a + c*x^2))/(15015*c^2) + (2*a*e^2*sqrt(e*x)*(13*a*B - 77*A*c*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(3003*c^2) - (2*a*B*e^2*sqrt(e*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(33*c^2) + (2*A*e*(e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)^(5//2))/(13*c) + (2*B*(e*x)^(5//2)*(a + c*x^2)^(5//2))/(15*c) + (8*a^(13//4)*A*e^3*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(65*c^(7//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (4*a^(13//4)*(65*sqrt(a)*B - 231*A*sqrt(c))*e^3*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15015*c^(9//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 10),
+((e*x)^(3//2)*(A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2), (-4*a^2*e*sqrt(e*x)*(65*A + 77*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(5005*c) - (8*a^3*B*e^2*x*sqrt(a + c*x^2))/(65*c^(3//2)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (2*a*e*sqrt(e*x)*(39*A + 77*B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(3003*c) + (2*A*e*sqrt(e*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(11*c) + (2*B*(e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)^(5//2))/(13*c) + (8*a^(13//4)*B*e^2*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(65*c^(7//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (4*a^(11//4)*(77*sqrt(a)*B + 65*A*sqrt(c))*e^2*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5005*c^(7//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 9),
+((e*x)^(1//2)*(A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2), (8*a^2*A*e*x*sqrt(a + c*x^2))/(15*sqrt(c)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (4*a*sqrt(e*x)*(15*a*B - 77*A*c*x)*sqrt(a + c*x^2))/(1155*c) - (2*sqrt(e*x)*(9*a*B - 77*A*c*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(693*c) + (2*B*sqrt(e*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(11*c) - (8*a^(9//4)*A*e*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (4*a^(9//4)*(15*sqrt(a)*B - 77*A*sqrt(c))*e*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(1155*c^(5//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(e*x)^(1//2), (4*a*sqrt(e*x)*(15*A + 7*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(105*e) + (8*a^2*B*x*sqrt(a + c*x^2))/(15*sqrt(c)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (2*sqrt(e*x)*(9*A + 7*B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(63*e) - (8*a^(9//4)*B*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (4*a^(7//4)*(7*sqrt(a)*B + 15*A*sqrt(c))*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(105*c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(e*x)^(3//2), (24*a*A*sqrt(c)*x*sqrt(a + c*x^2))/(5*e*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (4*sqrt(e*x)*(5*a*B + 21*A*c*x)*sqrt(a + c*x^2))/(35*e^2) - (2*(7*A - B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(7*e*sqrt(e*x)) - (24*a^(5//4)*A*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (4*a^(5//4)*(5*sqrt(a)*B + 21*A*sqrt(c))*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(35*c^(1//4)*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(e*x)^(5//2), (24*a*B*sqrt(c)*x*sqrt(a + c*x^2))/(5*e^2*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (4*(9*a*B - 5*A*c*x)*sqrt(a + c*x^2))/(15*e^2*sqrt(e*x)) - (2*(5*A - 3*B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(15*e*(e*x)^(3//2)) - (24*a^(5//4)*B*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (4*a^(3//4)*(9*sqrt(a)*B + 5*A*sqrt(c))*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(e*x)^(7//2), (-4*c*(9*A - 5*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(15*e^3*sqrt(e*x)) + (24*A*c^(3//2)*x*sqrt(a + c*x^2))/(5*e^3*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (2*(3*A + 5*B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(15*e*(e*x)^(5//2)) - (24*a^(1//4)*A*c^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (4*a^(1//4)*(5*sqrt(a)*B + 9*A*sqrt(c))*c^(3//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(e*x)^(9//2), (-4*c*(5*A + 21*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(35*e^3*(e*x)^(3//2)) + (24*B*c^(3//2)*x*sqrt(a + c*x^2))/(5*e^4*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (2*(5*A + 7*B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(35*e*(e*x)^(7//2)) - (24*a^(1//4)*B*c^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*e^4*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (4*(21*sqrt(a)*B + 5*A*sqrt(c))*c^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(35*a^(1//4)*e^4*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+
+
+((e*x)^(3//2)*(A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2), (-8*a^3*e*sqrt(e*x)*(221*A + 231*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(51051*c) - (16*a^4*B*e^2*x*sqrt(a + c*x^2))/(221*c^(3//2)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (4*a^2*e*sqrt(e*x)*(221*A + 385*B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(51051*c) - (2*a*e*sqrt(e*x)*(221*A + 495*B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(36465*c) + (2*A*e*sqrt(e*x)*(a + c*x^2)^(7//2))/(15*c) + (2*B*(e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)^(7//2))/(17*c) + (16*a^(17//4)*B*e^2*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(221*c^(7//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (8*a^(15//4)*(231*sqrt(a)*B + 221*A*sqrt(c))*e^2*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(51051*c^(7//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 10),
+((e*x)^(1//2)*(A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2), (16*a^3*A*e*x*sqrt(a + c*x^2))/(39*sqrt(c)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (8*a^2*sqrt(e*x)*(13*a*B - 77*A*c*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3003*c) - (4*a*sqrt(e*x)*(39*a*B - 385*A*c*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(9009*c) - (2*sqrt(e*x)*(13*a*B - 165*A*c*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(2145*c) + (2*B*sqrt(e*x)*(a + c*x^2)^(7//2))/(15*c) - (16*a^(13//4)*A*e*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(39*c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (8*a^(13//4)*(13*sqrt(a)*B - 77*A*sqrt(c))*e*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(3003*c^(5//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 9),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(e*x)^(1//2), (8*a^2*sqrt(e*x)*(195*A + 77*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3003*e) + (16*a^3*B*x*sqrt(a + c*x^2))/(39*sqrt(c)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (20*a*sqrt(e*x)*(117*A + 77*B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(9009*e) + (2*sqrt(e*x)*(13*A + 11*B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(143*e) - (16*a^(13//4)*B*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(39*c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (8*a^(11//4)*(77*sqrt(a)*B + 195*A*sqrt(c))*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(3003*c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(e*x)^(3//2), (16*a^2*A*sqrt(c)*x*sqrt(a + c*x^2))/(3*e*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (8*a*sqrt(e*x)*(15*a*B + 77*A*c*x)*sqrt(a + c*x^2))/(231*e^2) + (20*sqrt(e*x)*(9*a*B + 77*A*c*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(693*e^2) - (2*(11*A - B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(11*e*sqrt(e*x)) - (16*a^(9//4)*A*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(3*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (8*a^(9//4)*(15*sqrt(a)*B + 77*A*sqrt(c))*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(231*c^(1//4)*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(e*x)^(5//2), (8*a*c*sqrt(e*x)*(5*A + 7*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(21*e^3) + (16*a^2*B*sqrt(c)*x*sqrt(a + c*x^2))/(3*e^2*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (20*(7*a*B - 3*A*c*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(63*e^2*sqrt(e*x)) - (2*(3*A - B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(9*e*(e*x)^(3//2)) - (16*a^(9//4)*B*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(3*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (8*a^(7//4)*(7*sqrt(a)*B + 5*A*sqrt(c))*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(21*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(e*x)^(7//2), (-8*a*c*(63*A - 25*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(105*e^3*sqrt(e*x)) + (48*a*A*c^(3//2)*x*sqrt(a + c*x^2))/(5*e^3*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (4*(25*a*B - 21*A*c*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(105*e^2*(e*x)^(3//2)) - (2*(7*A - 5*B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(35*e*(e*x)^(5//2)) - (48*a^(5//4)*A*c^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (8*a^(5//4)*(25*sqrt(a)*B + 63*A*sqrt(c))*c^(3//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(105*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(e*x)^(9//2), (48*a*B*c^(3//2)*x*sqrt(a + c*x^2))/(5*e^4*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (8*c*(63*a*B - 25*A*c*x)*sqrt(a + c*x^2))/(105*e^4*sqrt(e*x)) - (4*(21*a*B + 25*A*c*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(105*e^2*(e*x)^(5//2)) - (2*(5*A - 7*B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(35*e*(e*x)^(7//2)) - (48*a^(5//4)*B*c^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*e^4*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (8*a^(3//4)*(63*sqrt(a)*B + 25*A*sqrt(c))*c^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(105*e^4*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(e*x)^(11//2), (-8*c^2*(7*A - 5*B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(21*e^5*sqrt(e*x)) + (16*A*c^(5//2)*x*sqrt(a + c*x^2))/(3*e^5*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (4*c*(7*A + 15*B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(63*e^3*(e*x)^(5//2)) - (2*(7*A + 9*B*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(63*e*(e*x)^(9//2)) - (16*a^(1//4)*A*c^(9//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(3*e^5*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (8*a^(1//4)*(5*sqrt(a)*B + 7*A*sqrt(c))*c^(7//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(21*e^5*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
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+(((e*x)^(7//2)*(A + B*x))/sqrt(a + c*x^2), (-10*a*A*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(21*c^2) - (14*a*B*e^2*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2))/(45*c^2) + (2*A*e*(e*x)^(5//2)*sqrt(a + c*x^2))/(7*c) + (2*B*(e*x)^(7//2)*sqrt(a + c*x^2))/(9*c) + (14*a^2*B*e^4*x*sqrt(a + c*x^2))/(15*c^(5//2)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (14*a^(9//4)*B*e^4*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*c^(11//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (a^(7//4)*(49*sqrt(a)*B + 25*A*sqrt(c))*e^4*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(105*c^(11//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 9),
+(((e*x)^(5//2)*(A + B*x))/sqrt(a + c*x^2), (-10*a*B*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(21*c^2) + (2*A*e*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2))/(5*c) + (2*B*(e*x)^(5//2)*sqrt(a + c*x^2))/(7*c) - (6*a*A*e^3*x*sqrt(a + c*x^2))/(5*c^(3//2)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (6*a^(5//4)*A*e^3*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*c^(7//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (a^(5//4)*(25*sqrt(a)*B - 63*A*sqrt(c))*e^3*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(105*c^(9//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+(((e*x)^(3//2)*(A + B*x))/sqrt(a + c*x^2), (2*A*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*c) + (2*B*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2))/(5*c) - (6*a*B*e^2*x*sqrt(a + c*x^2))/(5*c^(3//2)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (6*a^(5//4)*B*e^2*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*c^(7//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (a^(3//4)*(9*sqrt(a)*B + 5*A*sqrt(c))*e^2*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*c^(7//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(((e*x)^(1//2)*(A + B*x))/sqrt(a + c*x^2), (2*B*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*c) + (2*A*e*x*sqrt(a + c*x^2))/(sqrt(c)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (2*a^(1//4)*A*e*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (a^(1//4)*(sqrt(a)*B - 3*A*sqrt(c))*e*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(3*c^(5//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+((A + B*x)/((e*x)^(1//2)*sqrt(a + c*x^2)), (2*B*x*sqrt(a + c*x^2))/(sqrt(c)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (2*a^(1//4)*B*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (a^(1//4)*(B + (A*sqrt(c))/sqrt(a))*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 5),
+((A + B*x)/((e*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2)), (-2*A*sqrt(a + c*x^2))/(a*e*sqrt(e*x)) + (2*A*sqrt(c)*x*sqrt(a + c*x^2))/(a*e*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (2*A*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(a^(3//4)*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(a^(3//4)*c^(1//4)*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+((A + B*x)/((e*x)^(5//2)*sqrt(a + c*x^2)), (-2*A*sqrt(a + c*x^2))/(3*a*e*(e*x)^(3//2)) - (2*B*sqrt(a + c*x^2))/(a*e^2*sqrt(e*x)) + (2*B*sqrt(c)*x*sqrt(a + c*x^2))/(a*e^2*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (2*B*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(a^(3//4)*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + ((3*sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(3*a^(5//4)*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+((A + B*x)/((e*x)^(7//2)*sqrt(a + c*x^2)), (-2*A*sqrt(a + c*x^2))/(5*a*e*(e*x)^(5//2)) - (2*B*sqrt(a + c*x^2))/(3*a*e^2*(e*x)^(3//2)) + (6*A*c*sqrt(a + c*x^2))/(5*a^2*e^3*sqrt(e*x)) - (6*A*c^(3//2)*x*sqrt(a + c*x^2))/(5*a^2*e^3*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (6*A*c^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*a^(7//4)*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - ((5*sqrt(a)*B + 9*A*sqrt(c))*c^(3//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(15*a^(7//4)*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
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+
+(((e*x)^(7//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(3//2), -((e*(e*x)^(5//2)*(A + B*x))/(c*sqrt(a + c*x^2))) + (5*A*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*c^2) + (7*B*e^2*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2))/(5*c^2) - (21*a*B*e^4*x*sqrt(a + c*x^2))/(5*c^(5//2)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (21*a^(5//4)*B*e^4*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*c^(11//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (a^(3//4)*(63*sqrt(a)*B + 25*A*sqrt(c))*e^4*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(30*c^(11//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+(((e*x)^(5//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(3//2), -((e*(e*x)^(3//2)*(A + B*x))/(c*sqrt(a + c*x^2))) + (5*B*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*c^2) + (3*A*e^3*x*sqrt(a + c*x^2))/(c^(3//2)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (3*a^(1//4)*A*e^3*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(c^(7//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (a^(1//4)*(5*sqrt(a)*B - 9*A*sqrt(c))*e^3*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(6*c^(9//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(((e*x)^(3//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(3//2), -((e*sqrt(e*x)*(A + B*x))/(c*sqrt(a + c*x^2))) + (3*B*e^2*x*sqrt(a + c*x^2))/(c^(3//2)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (3*a^(1//4)*B*e^2*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(c^(7//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + ((3*sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*e^2*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*c^(7//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+(((e*x)^(1//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(3//2), -((sqrt(e*x)*(a*B - A*c*x))/(a*c*sqrt(a + c*x^2))) - (A*e*x*sqrt(a + c*x^2))/(a*sqrt(c)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (A*e*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(a^(3//4)*c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*e*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*c^(5//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+((A + B*x)/((e*x)^(1//2)*(a + c*x^2)^(3//2)), (sqrt(e*x)*(A + B*x))/(a*e*sqrt(a + c*x^2)) - (B*x*sqrt(a + c*x^2))/(a*sqrt(c)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (B*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(a^(3//4)*c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(5//4)*c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+((A + B*x)/((e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)^(3//2)), (A + B*x)/(a*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (3*A*sqrt(a + c*x^2))/(a^2*e*sqrt(e*x)) + (3*A*sqrt(c)*x*sqrt(a + c*x^2))/(a^2*e*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (3*A*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(a^(7//4)*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + ((sqrt(a)*B + 3*A*sqrt(c))*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(7//4)*c^(1//4)*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+((A + B*x)/((e*x)^(5//2)*(a + c*x^2)^(3//2)), (A + B*x)/(a*e*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2)) - (5*A*sqrt(a + c*x^2))/(3*a^2*e*(e*x)^(3//2)) - (3*B*sqrt(a + c*x^2))/(a^2*e^2*sqrt(e*x)) + (3*B*sqrt(c)*x*sqrt(a + c*x^2))/(a^2*e^2*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (3*B*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(a^(7//4)*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + ((9*sqrt(a)*B - 5*A*sqrt(c))*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(6*a^(9//4)*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+((A + B*x)/((e*x)^(7//2)*(a + c*x^2)^(3//2)), (A + B*x)/(a*e*(e*x)^(5//2)*sqrt(a + c*x^2)) - (7*A*sqrt(a + c*x^2))/(5*a^2*e*(e*x)^(5//2)) - (5*B*sqrt(a + c*x^2))/(3*a^2*e^2*(e*x)^(3//2)) + (21*A*c*sqrt(a + c*x^2))/(5*a^3*e^3*sqrt(e*x)) - (21*A*c^(3//2)*x*sqrt(a + c*x^2))/(5*a^3*e^3*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (21*A*c^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(5*a^(11//4)*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - ((25*sqrt(a)*B + 63*A*sqrt(c))*c^(3//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(30*a^(11//4)*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 9),
+
+
+(((e*x)^(13//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(5//2), -(e*(e*x)^(11//2)*(A + B*x))/(3*c*(a + c*x^2)^(3//2)) - (e^3*(e*x)^(7//2)*(11*A + 13*B*x))/(6*c^2*sqrt(a + c*x^2)) - (65*a*B*e^6*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(14*c^4) + (77*A*e^5*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2))/(30*c^3) + (39*B*e^4*(e*x)^(5//2)*sqrt(a + c*x^2))/(14*c^3) - (77*a*A*e^7*x*sqrt(a + c*x^2))/(10*c^(7//2)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (77*a^(5//4)*A*e^7*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(10*c^(15//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (a^(5//4)*(325*sqrt(a)*B - 539*A*sqrt(c))*e^7*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(140*c^(17//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 10),
+(((e*x)^(11//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(5//2), -(e*(e*x)^(9//2)*(A + B*x))/(3*c*(a + c*x^2)^(3//2)) - (e^3*(e*x)^(5//2)*(9*A + 11*B*x))/(6*c^2*sqrt(a + c*x^2)) + (5*A*e^5*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*c^3) + (77*B*e^4*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2))/(30*c^3) - (77*a*B*e^6*x*sqrt(a + c*x^2))/(10*c^(7//2)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (77*a^(5//4)*B*e^6*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(10*c^(15//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (a^(3//4)*(77*sqrt(a)*B + 25*A*sqrt(c))*e^6*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(20*c^(15//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 9),
+(((e*x)^(9//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(5//2), -(e*(e*x)^(7//2)*(A + B*x))/(3*c*(a + c*x^2)^(3//2)) - (e^3*(e*x)^(3//2)*(7*A + 9*B*x))/(6*c^2*sqrt(a + c*x^2)) + (5*B*e^4*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*c^3) + (7*A*e^5*x*sqrt(a + c*x^2))/(2*c^(5//2)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (7*a^(1//4)*A*e^5*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*c^(11//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (a^(1//4)*(5*sqrt(a)*B - 7*A*sqrt(c))*e^5*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(4*c^(13//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+(((e*x)^(7//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(5//2), -(e*(e*x)^(5//2)*(A + B*x))/(3*c*(a + c*x^2)^(3//2)) - (e^3*sqrt(e*x)*(5*A + 7*B*x))/(6*c^2*sqrt(a + c*x^2)) + (7*B*e^4*x*sqrt(a + c*x^2))/(2*c^(5//2)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (7*a^(1//4)*B*e^4*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*c^(11//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + ((21*sqrt(a)*B + 5*A*sqrt(c))*e^4*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(12*a^(1//4)*c^(11//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(((e*x)^(5//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(5//2), -(e*(e*x)^(3//2)*(A + B*x))/(3*c*(a + c*x^2)^(3//2)) - (e^2*sqrt(e*x)*(5*a*B - 3*A*c*x))/(6*a*c^2*sqrt(a + c*x^2)) - (A*e^3*x*sqrt(a + c*x^2))/(2*a*c^(3//2)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (A*e^3*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*c^(7//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + ((5*sqrt(a)*B - 3*A*sqrt(c))*e^3*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(12*a^(3//4)*c^(9//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(((e*x)^(3//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(5//2), -(e*sqrt(e*x)*(A + B*x))/(3*c*(a + c*x^2)^(3//2)) + (e*sqrt(e*x)*(A + 3*B*x))/(6*a*c*sqrt(a + c*x^2)) - (B*e^2*x*sqrt(a + c*x^2))/(2*a*c^(3//2)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (B*e^2*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*c^(7//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - ((3*sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*e^2*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(12*a^(5//4)*c^(7//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(((e*x)^(1//2)*(A + B*x))/(a + c*x^2)^(5//2), -(sqrt(e*x)*(a*B - A*c*x))/(3*a*c*(a + c*x^2)^(3//2)) + (sqrt(e*x)*(a*B + 3*A*c*x))/(6*a^2*c*sqrt(a + c*x^2)) - (A*e*x*sqrt(a + c*x^2))/(2*a^2*sqrt(c)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (A*e*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(7//4)*c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + ((sqrt(a)*B - 3*A*sqrt(c))*e*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(12*a^(7//4)*c^(5//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+((A + B*x)/((e*x)^(1//2)*(a + c*x^2)^(5//2)), (sqrt(e*x)*(A + B*x))/(3*a*e*(a + c*x^2)^(3//2)) + (sqrt(e*x)*(5*A + 3*B*x))/(6*a^2*e*sqrt(a + c*x^2)) - (B*x*sqrt(a + c*x^2))/(2*a^2*sqrt(c)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (B*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(7//4)*c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - ((3*sqrt(a)*B - 5*A*sqrt(c))*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(12*a^(9//4)*c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+((A + B*x)/((e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)^(5//2)), (A + B*x)/(3*a*e*sqrt(e*x)*(a + c*x^2)^(3//2)) + (7*A + 5*B*x)/(6*a^2*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (7*A*sqrt(a + c*x^2))/(2*a^3*e*sqrt(e*x)) + (7*A*sqrt(c)*x*sqrt(a + c*x^2))/(2*a^3*e*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (7*A*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(11//4)*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + ((5*sqrt(a)*B + 21*A*sqrt(c))*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(12*a^(11//4)*c^(1//4)*e*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+((A + B*x)/((e*x)^(5//2)*(a + c*x^2)^(5//2)), (A + B*x)/(3*a*e*(e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)^(3//2)) + (9*A + 7*B*x)/(6*a^2*e*(e*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2)) - (5*A*sqrt(a + c*x^2))/(2*a^3*e*(e*x)^(3//2)) - (7*B*sqrt(a + c*x^2))/(2*a^3*e^2*sqrt(e*x)) + (7*B*sqrt(c)*x*sqrt(a + c*x^2))/(2*a^3*e^2*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (7*B*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(11//4)*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) + ((7*sqrt(a)*B - 5*A*sqrt(c))*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(13//4)*e^2*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 9),
+((A + B*x)/((e*x)^(7//2)*(a + c*x^2)^(5//2)), (A + B*x)/(3*a*e*(e*x)^(5//2)*(a + c*x^2)^(3//2)) + (11*A + 9*B*x)/(6*a^2*e*(e*x)^(5//2)*sqrt(a + c*x^2)) - (77*A*sqrt(a + c*x^2))/(30*a^3*e*(e*x)^(5//2)) - (5*B*sqrt(a + c*x^2))/(2*a^3*e^2*(e*x)^(3//2)) + (77*A*c*sqrt(a + c*x^2))/(10*a^4*e^3*sqrt(e*x)) - (77*A*c^(3//2)*x*sqrt(a + c*x^2))/(10*a^4*e^3*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) + (77*A*c^(5//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(10*a^(15//4)*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)) - ((25*sqrt(a)*B + 77*A*sqrt(c))*c^(3//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), 1//2))/(20*a^(15//4)*e^3*sqrt(e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 10),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (A+B x) (a+c x^2)^p when m symbolic
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+((e*x)^m*(A + B*x)*(a + c*x^2)^4, (a^4*A*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (a^4*B*(e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)) + (4*a^3*A*c*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + (4*a^3*B*c*(e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)) + (6*a^2*A*c^2*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + (6*a^2*B*c^2*(e*x)^(6 + m))/(e^6*(6 + m)) + (4*a*A*c^3*(e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)) + (4*a*B*c^3*(e*x)^(8 + m))/(e^8*(8 + m)) + (A*c^4*(e*x)^(9 + m))/(e^9*(9 + m)) + (B*c^4*(e*x)^(10 + m))/(e^10*(10 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(A + B*x)*(a + c*x^2)^3, (a^3*A*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (a^3*B*(e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)) + (3*a^2*A*c*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + (3*a^2*B*c*(e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)) + (3*a*A*c^2*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + (3*a*B*c^2*(e*x)^(6 + m))/(e^6*(6 + m)) + (A*c^3*(e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)) + (B*c^3*(e*x)^(8 + m))/(e^8*(8 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(A + B*x)*(a + c*x^2)^2, (a^2*A*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (a^2*B*(e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)) + (2*a*A*c*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + (2*a*B*c*(e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)) + (A*c^2*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + (B*c^2*(e*x)^(6 + m))/(e^6*(6 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(A + B*x)*(a + c*x^2)^1, (a*A*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (a*B*(e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)) + (A*c*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + (B*c*(e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(A + B*x)/(a + c*x^2)^1, (A*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/(a*e*(1 + m)) + (B*(e*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/(a*e^2*(2 + m)), x, 3),
+((e*x)^m*(A + B*x)/(a + c*x^2)^2, (A*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/(a^2*e*(1 + m)) + (B*(e*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/(a^2*e^2*(2 + m)), x, 3),
+((e*x)^m*(A + B*x)/(a + c*x^2)^3, (A*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/(a^3*e*(1 + m)) + (B*(e*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/(a^3*e^2*(2 + m)), x, 3),
+
+
+((e*x)^m*(A + B*x)*(a + c*x^2)^(5//2), (a^2*A*(e*x)^(1 + m)*sqrt(a + c*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(5//2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/(e*(1 + m)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)) + (a^2*B*(e*x)^(2 + m)*sqrt(a + c*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(5//2), (2 + m)/2, (4 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/(e^2*(2 + m)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)), x, 5),
+((e*x)^m*(A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2), (a*A*(e*x)^(1 + m)*sqrt(a + c*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/(e*(1 + m)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)) + (a*B*(e*x)^(2 + m)*sqrt(a + c*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), (2 + m)/2, (4 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/(e^2*(2 + m)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)), x, 5),
+((e*x)^m*(A + B*x)*(a + c*x^2)^(1//2), (A*(e*x)^(1 + m)*sqrt(a + c*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/(e*(1 + m)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)) + (B*(e*x)^(2 + m)*sqrt(a + c*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (2 + m)/2, (4 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/(e^2*(2 + m)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)), x, 5),
+((e*x)^m*(A + B*x)/(a + c*x^2)^(1//2), (A*(e*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/(e*(1 + m)*sqrt(a + c*x^2)) + (B*(e*x)^(2 + m)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/(e^2*(2 + m)*sqrt(a + c*x^2)), x, 5),
+((e*x)^m*(A + B*x)/(a + c*x^2)^(3//2), (A*(e*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/(a*e*(1 + m)*sqrt(a + c*x^2)) + (B*(e*x)^(2 + m)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/(a*e^2*(2 + m)*sqrt(a + c*x^2)), x, 5),
+((e*x)^m*(A + B*x)/(a + c*x^2)^(5//2), (A*(e*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/(a^2*e*(1 + m)*sqrt(a + c*x^2)) + (B*(e*x)^(2 + m)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/(a^2*e^2*(2 + m)*sqrt(a + c*x^2)), x, 5),
+
+
+# Following integrands are equal:
+(x^m*(1 + a*x)/(1 - a^2*x^2)^2, (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2))/(1 + m) + (a*x^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2))/(2 + m), x, 3),
+(x^m/((1 - a*x)^2*(1 + a*x)), (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2))/(1 + m) + (a*x^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2))/(2 + m), x, 5),
+(x^m/(1 - a^2*x^2)^2 + (a*x^(1 + m))/(1 - a^2*x^2)^2, (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2))/(1 + m) + (a*x^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2))/(2 + m), x, 3),
+(x^m/((1 - a*x)*(1 - a^2*x^2)), (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2))/(1 + m) + (a*x^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2))/(2 + m), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (A+B x) (a+c x^2)^p when p symbolic
+
+
+((e*x)^m*(A + B*x)*(a + c*x^2)^p, (A*(e*x)^(1 + m)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(e*(1 + m))) + (B*(e*x)^(2 + m)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((2 + m)/2, -p, (4 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(e^2*(2 + m))), x, 5),
+
+
+(x^3*(d + e*x)*(a + c*x^2)^p, -((a*d*(a + c*x^2)^(1 + p))/(2*c^2*(1 + p))) + (d*(a + c*x^2)^(2 + p))/(2*c^2*(2 + p)) + ((1//5)*e*x^5*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -p, 7//2, -((c*x^2)/a)))/(1 + (c*x^2)/a)^p, x, 6),
+(x^2*(d + e*x)*(a + c*x^2)^p, -((a*e*(a + c*x^2)^(1 + p))/(2*c^2*(1 + p))) + (e*(a + c*x^2)^(2 + p))/(2*c^2*(2 + p)) + ((1//3)*d*x^3*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -p, 5//2, -((c*x^2)/a)))/(1 + (c*x^2)/a)^p, x, 6),
+(x^1*(d + e*x)*(a + c*x^2)^p, (d*(a + c*x^2)^(1 + p))/(2*c*(1 + p)) + ((1//3)*e*x^3*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -p, 5//2, -((c*x^2)/a)))/(1 + (c*x^2)/a)^p, x, 4),
+(x^0*(d + e*x)*(a + c*x^2)^p, (e*(a + c*x^2)^(1 + p))/(2*c*(1 + p)) + (d*x*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((c*x^2)/a)))/(1 + (c*x^2)/a)^p, x, 3),
+((d + e*x)*(a + c*x^2)^p/x^1, (e*x*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((c*x^2)/a)))/(1 + (c*x^2)/a)^p - (d*(a + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (c*x^2)/a))/(2*a*(1 + p)), x, 5),
+((d + e*x)*(a + c*x^2)^p/x^2, -((d*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), -p, 1//2, -((c*x^2)/a)))/((1 + (c*x^2)/a)^p*x)) - (e*(a + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (c*x^2)/a))/(2*a*(1 + p)), x, 5),
+((d + e*x)*(a + c*x^2)^p/x^3, -((e*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), -p, 1//2, -((c*x^2)/a)))/((1 + (c*x^2)/a)^p*x)) + (c*d*(a + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + p, 2 + p, 1 + (c*x^2)/a))/(2*a^2*(1 + p)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p when b^2-4 a c=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (A+B x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^4*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (a^2*A*x^5)/5 + (a*(2*A*b + a*B)*x^6)/6 + (b*(A*b + 2*a*B)*x^7)/7 + (b^2*B*x^8)/8, x, 3),
+(x^3*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (a^2*A*x^4)/4 + (a*(2*A*b + a*B)*x^5)/5 + (b*(A*b + 2*a*B)*x^6)/6 + (b^2*B*x^7)/7, x, 3),
+(x^2*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (a^2*A*x^3)/3 + (a*(2*A*b + a*B)*x^4)/4 + (b*(A*b + 2*a*B)*x^5)/5 + (b^2*B*x^6)/6, x, 3),
+(x*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (1//2)*a^2*A*x^2 + (1//3)*a*(2*A*b + a*B)*x^3 + (1//4)*b*(A*b + 2*a*B)*x^4 + (1//5)*b^2*B*x^5, x, 3),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((A*b - a*B)*(a + b*x)^3)/(3*b^2) + (B*(a + b*x)^4)/(4*b^2), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x, 2*a*A*b*x + (1//2)*A*b^2*x^2 + (B*(a + b*x)^3)/(3*b) + a^2*A*log(x), x, 4),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^2, -((a^2*A)/x) + b*(A*b + 2*a*B)*x + (b^2*B*x^2)/2 + a*(2*A*b + a*B)*log(x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^3, -(a^2*A)/(2*x^2) - (a*(2*A*b + a*B))/x + b^2*B*x + b*(A*b + 2*a*B)*log(x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^4, -((a^2*A)/(3*x^3)) - (a*(2*A*b + a*B))/(2*x^2) - (b*(A*b + 2*a*B))/x + b^2*B*log(x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^5, -((A*(a + b*x)^3)/(4*a*x^4)) + ((A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^3)/(12*a^2*x^3), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^6, -((a^2*A)/(5*x^5)) - (a*(2*A*b + a*B))/(4*x^4) - (b*(A*b + 2*a*B))/(3*x^3) - (b^2*B)/(2*x^2), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^7, -((a^2*A)/(6*x^6)) - (a*(2*A*b + a*B))/(5*x^5) - (b*(A*b + 2*a*B))/(4*x^4) - (b^2*B)/(3*x^3), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^8, -((a^2*A)/(7*x^7)) - (a*(2*A*b + a*B))/(6*x^6) - (b*(A*b + 2*a*B))/(5*x^5) - (b^2*B)/(4*x^4), x, 3),
+
+
+(x^4*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (a^4*A*x^5)/5 + (a^3*(4*A*b + a*B)*x^6)/6 + (2*a^2*b*(3*A*b + 2*a*B)*x^7)/7 + (a*b^2*(2*A*b + 3*a*B)*x^8)/4 + (b^3*(A*b + 4*a*B)*x^9)/9 + (b^4*B*x^10)/10, x, 3),
+(x^3*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (1//4)*a^4*A*x^4 + (1//5)*a^3*(4*A*b + a*B)*x^5 + (1//3)*a^2*b*(3*A*b + 2*a*B)*x^6 + (2//7)*a*b^2*(2*A*b + 3*a*B)*x^7 + (1//8)*b^3*(A*b + 4*a*B)*x^8 + (1//9)*b^4*B*x^9, x, 3),
+(x^2*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (a^2*(A*b - a*B)*(a + b*x)^5)/(5*b^4) - (a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^6)/(6*b^4) + ((A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^7)/(7*b^4) + (B*(a + b*x)^8)/(8*b^4), x, 3),
+(x*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -((a*(A*b - a*B)*(a + b*x)^5)/(5*b^3)) + ((A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^6)/(6*b^3) + (B*(a + b*x)^7)/(7*b^3), x, 3),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((A*b - a*B)*(a + b*x)^5)/(5*b^2) + (B*(a + b*x)^6)/(6*b^2), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/x, 4*a^3*A*b*x + 3*a^2*A*b^2*x^2 + (4*a*A*b^3*x^3)/3 + (A*b^4*x^4)/4 + (B*(a + b*x)^5)/(5*b) + a^4*A*log(x), x, 4),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/x^2, -((a^4*A)/x) + 2*a^2*b*(3*A*b + 2*a*B)*x + a*b^2*(2*A*b + 3*a*B)*x^2 + (b^3*(A*b + 4*a*B)*x^3)/3 + (b^4*B*x^4)/4 + a^3*(4*A*b + a*B)*log(x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/x^3, -(a^4*A)/(2*x^2) - (a^3*(4*A*b + a*B))/x + 2*a*b^2*(2*A*b + 3*a*B)*x + (b^3*(A*b + 4*a*B)*x^2)/2 + (b^4*B*x^3)/3 + 2*a^2*b*(3*A*b + 2*a*B)*log(x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/x^4, -(a^4*A)/(3*x^3) - (a^3*(4*A*b + a*B))/(2*x^2) - (2*a^2*b*(3*A*b + 2*a*B))/x + b^3*(A*b + 4*a*B)*x + (b^4*B*x^2)/2 + 2*a*b^2*(2*A*b + 3*a*B)*log(x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/x^5, -(a^4*A)/(4*x^4) - (a^3*(4*A*b + a*B))/(3*x^3) - (a^2*b*(3*A*b + 2*a*B))/x^2 - (2*a*b^2*(2*A*b + 3*a*B))/x + b^4*B*x + b^3*(A*b + 4*a*B)*log(x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/x^6, -((a^4*B)/(4*x^4)) - (4*a^3*b*B)/(3*x^3) - (3*a^2*b^2*B)/x^2 - (4*a*b^3*B)/x - (A*(a + b*x)^5)/(5*a*x^5) + b^4*B*log(x), x, 4),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/x^7, -((A*(a + b*x)^5)/(6*a*x^6)) + ((A*b - 6*a*B)*(a + b*x)^5)/(30*a^2*x^5), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/x^8, -((a^4*A)/(7*x^7)) - (a^3*(4*A*b + a*B))/(6*x^6) - (2*a^2*b*(3*A*b + 2*a*B))/(5*x^5) - (a*b^2*(2*A*b + 3*a*B))/(2*x^4) - (b^3*(A*b + 4*a*B))/(3*x^3) - (b^4*B)/(2*x^2), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/x^9, -((a^4*A)/(8*x^8)) - (a^3*(4*A*b + a*B))/(7*x^7) - (a^2*b*(3*A*b + 2*a*B))/(3*x^6) - (2*a*b^2*(2*A*b + 3*a*B))/(5*x^5) - (b^3*(A*b + 4*a*B))/(4*x^4) - (b^4*B)/(3*x^3), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/x^10, -((a^4*A)/(9*x^9)) - (a^3*(4*A*b + a*B))/(8*x^8) - (2*a^2*b*(3*A*b + 2*a*B))/(7*x^7) - (a*b^2*(2*A*b + 3*a*B))/(3*x^6) - (b^3*(A*b + 4*a*B))/(5*x^5) - (b^4*B)/(4*x^4), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/x^11, -((a^4*A)/(10*x^10)) - (a^3*(4*A*b + a*B))/(9*x^9) - (a^2*b*(3*A*b + 2*a*B))/(4*x^8) - (2*a*b^2*(2*A*b + 3*a*B))/(7*x^7) - (b^3*(A*b + 4*a*B))/(6*x^6) - (b^4*B)/(5*x^5), x, 3),
+
+
+(x^5*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (1//6)*a^6*A*x^6 + (1//7)*a^5*(6*A*b + a*B)*x^7 + (3//8)*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B)*x^8 + (5//9)*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B)*x^9 + (1//2)*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B)*x^10 + (3//11)*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B)*x^11 + (1//12)*b^5*(A*b + 6*a*B)*x^12 + (1//13)*b^6*B*x^13, x, 3),
+(x^4*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (a^4*(A*b - a*B)*(a + b*x)^7)/(7*b^6) - (a^3*(4*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^8)/(8*b^6) + (2*a^2*(3*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^9)/(9*b^6) - (a*(2*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^10)/(5*b^6) + ((A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^11)/(11*b^6) + (B*(a + b*x)^12)/(12*b^6), x, 3),
+(x^3*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((a^3*(A*b - a*B)*(a + b*x)^7)/(7*b^5)) + (a^2*(3*A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^8)/(8*b^5) - (a*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^9)/(3*b^5) + ((A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^10)/(10*b^5) + (B*(a + b*x)^11)/(11*b^5), x, 3),
+(x^2*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (a^2*(A*b - a*B)*(a + b*x)^7)/(7*b^4) - (a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^8)/(8*b^4) + ((A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^9)/(9*b^4) + (B*(a + b*x)^10)/(10*b^4), x, 3),
+(x*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((a*(A*b - a*B)*(a + b*x)^7)/(7*b^3)) + ((A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^8)/(8*b^3) + (B*(a + b*x)^9)/(9*b^3), x, 3),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((A*b - a*B)*(a + b*x)^7)/(7*b^2) + (B*(a + b*x)^8)/(8*b^2), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x, 6*a^5*A*b*x + (15*a^4*A*b^2*x^2)/2 + (20*a^3*A*b^3*x^3)/3 + (15*a^2*A*b^4*x^4)/4 + (6*a*A*b^5*x^5)/5 + (A*b^6*x^6)/6 + (B*(a + b*x)^7)/(7*b) + a^6*A*log(x), x, 4),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x^2, -((a^6*A)/x) + 3*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B)*x + (5*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B)*x^2)/2 + (5*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B)*x^3)/3 + (3*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B)*x^4)/4 + (b^5*(A*b + 6*a*B)*x^5)/5 + (b^6*B*x^6)/6 + a^5*(6*A*b + a*B)*log(x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x^3, -(a^6*A)/(2*x^2) - (a^5*(6*A*b + a*B))/x + 5*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B)*x + (5*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B)*x^2)/2 + a*b^4*(2*A*b + 5*a*B)*x^3 + (b^5*(A*b + 6*a*B)*x^4)/4 + (b^6*B*x^5)/5 + 3*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B)*log(x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x^4, -(a^6*A)/(3*x^3) - (a^5*(6*A*b + a*B))/(2*x^2) - (3*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B))/x + 5*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B)*x + (3*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B)*x^2)/2 + (b^5*(A*b + 6*a*B)*x^3)/3 + (b^6*B*x^4)/4 + 5*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B)*log(x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x^5, -(a^6*A)/(4*x^4) - (a^5*(6*A*b + a*B))/(3*x^3) - (3*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B))/(2*x^2) - (5*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B))/x + 3*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B)*x + (b^5*(A*b + 6*a*B)*x^2)/2 + (b^6*B*x^3)/3 + 5*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B)*log(x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x^6, -((a^6*A)/(5*x^5)) - (a^5*(6*A*b + a*B))/(4*x^4) - (a^4*b*(5*A*b + 2*a*B))/x^3 - (5*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B))/(2*x^2) - (5*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B))/x + b^5*(A*b + 6*a*B)*x + (1//2)*b^6*B*x^2 + 3*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B)*log(x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x^7, -((a^6*A)/(6*x^6)) - (a^5*(6*A*b + a*B))/(5*x^5) - (3*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B))/(4*x^4) - (5*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B))/(3*x^3) - (5*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B))/(2*x^2) - (3*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B))/x + b^6*B*x + b^5*(A*b + 6*a*B)*log(x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x^8, -((a^6*B)/(6*x^6)) - (6*a^5*b*B)/(5*x^5) - (15*a^4*b^2*B)/(4*x^4) - (20*a^3*b^3*B)/(3*x^3) - (15*a^2*b^4*B)/(2*x^2) - (6*a*b^5*B)/x - (A*(a + b*x)^7)/(7*a*x^7) + b^6*B*log(x), x, 4),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x^9, -((A*(a + b*x)^7)/(8*a*x^8)) + ((A*b - 8*a*B)*(a + b*x)^7)/(56*a^2*x^7), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x^10, -((A*(a + b*x)^7)/(9*a*x^9)) + ((2*A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^7)/(72*a^2*x^8) - (b*(2*A*b - 9*a*B)*(a + b*x)^7)/(504*a^3*x^7), x, 4),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x^11, -((a^6*A)/(10*x^10)) - (a^5*(6*A*b + a*B))/(9*x^9) - (3*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B))/(8*x^8) - (5*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B))/(7*x^7) - (5*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B))/(6*x^6) - (3*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B))/(5*x^5) - (b^5*(A*b + 6*a*B))/(4*x^4) - (b^6*B)/(3*x^3), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x^12, -((a^6*A)/(11*x^11)) - (a^5*(6*A*b + a*B))/(10*x^10) - (a^4*b*(5*A*b + 2*a*B))/(3*x^9) - (5*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B))/(8*x^8) - (5*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B))/(7*x^7) - (a*b^4*(2*A*b + 5*a*B))/(2*x^6) - (b^5*(A*b + 6*a*B))/(5*x^5) - (b^6*B)/(4*x^4), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x^13, -((a^6*A)/(12*x^12)) - (a^5*(6*A*b + a*B))/(11*x^11) - (3*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B))/(10*x^10) - (5*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B))/(9*x^9) - (5*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B))/(8*x^8) - (3*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B))/(7*x^7) - (b^5*(A*b + 6*a*B))/(6*x^6) - (b^6*B)/(5*x^5), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x^14, -((a^6*A)/(13*x^13)) - (a^5*(6*A*b + a*B))/(12*x^12) - (3*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B))/(11*x^11) - (a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B))/(2*x^10) - (5*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B))/(9*x^9) - (3*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B))/(8*x^8) - (b^5*(A*b + 6*a*B))/(7*x^7) - (b^6*B)/(6*x^6), x, 3),
+
+
+(x^7*(d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (-(1//11))*(d - e)*(1 + x)^11 + (1//12)*(7*d - 8*e)*(1 + x)^12 - (7//13)*(3*d - 4*e)*(1 + x)^13 + (1//2)*(5*d - 8*e)*(1 + x)^14 - (7//3)*(d - 2*e)*(1 + x)^15 + (7//16)*(3*d - 8*e)*(1 + x)^16 - (7//17)*(d - 4*e)*(1 + x)^17 + (1//18)*(d - 8*e)*(1 + x)^18 + (1//19)*e*(1 + x)^19, x, 3),
+(x^6*(d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (1//11)*(d - e)*(1 + x)^11 - (1//12)*(6*d - 7*e)*(1 + x)^12 + (3//13)*(5*d - 7*e)*(1 + x)^13 - (5//14)*(4*d - 7*e)*(1 + x)^14 + (1//3)*(3*d - 7*e)*(1 + x)^15 - (3//16)*(2*d - 7*e)*(1 + x)^16 + (1//17)*(d - 7*e)*(1 + x)^17 + (1//18)*e*(1 + x)^18, x, 3),
+(x^5*(d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (-(1//11))*(d - e)*(1 + x)^11 + (1//12)*(5*d - 6*e)*(1 + x)^12 - (5//13)*(2*d - 3*e)*(1 + x)^13 + (5//7)*(d - 2*e)*(1 + x)^14 - (1//3)*(d - 3*e)*(1 + x)^15 + (1//16)*(d - 6*e)*(1 + x)^16 + (1//17)*e*(1 + x)^17, x, 3),
+(x^4*(d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (1//11)*(d - e)*(1 + x)^11 - (1//12)*(4*d - 5*e)*(1 + x)^12 + (2//13)*(3*d - 5*e)*(1 + x)^13 - (1//7)*(2*d - 5*e)*(1 + x)^14 + (1//15)*(d - 5*e)*(1 + x)^15 + (1//16)*e*(1 + x)^16, x, 3),
+(x^3*(d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (-(1//11))*(d - e)*(1 + x)^11 + (1//12)*(3*d - 4*e)*(1 + x)^12 - (3//13)*(d - 2*e)*(1 + x)^13 + (1//14)*(d - 4*e)*(1 + x)^14 + (1//15)*e*(1 + x)^15, x, 3),
+(x^2*(d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (1//11)*(d - e)*(1 + x)^11 - (1//12)*(2*d - 3*e)*(1 + x)^12 + (1//13)*(d - 3*e)*(1 + x)^13 + (1//14)*e*(1 + x)^14, x, 3),
+(x^1*(d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (-(1//11))*(d - e)*(1 + x)^11 + (1//12)*(d - 2*e)*(1 + x)^12 + (1//13)*e*(1 + x)^13, x, 3),
+(x^0*(d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (1//11)*(d - e)*(1 + x)^11 + (1//12)*e*(1 + x)^12, x, 3),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^1, 10*d*x + (45*d*x^2)/2 + 40*d*x^3 + (105*d*x^4)/2 + (252*d*x^5)/5 + 35*d*x^6 + (120*d*x^7)/7 + (45*d*x^8)/8 + (10*d*x^9)/9 + (d*x^10)/10 + (1//11)*e*(1 + x)^11 + d*log(x), x, 4),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^2, -(d/x) + 5*(9*d + 2*e)*x + (15//2)*(8*d + 3*e)*x^2 + 10*(7*d + 4*e)*x^3 + (21//2)*(6*d + 5*e)*x^4 + (42//5)*(5*d + 6*e)*x^5 + 5*(4*d + 7*e)*x^6 + (15//7)*(3*d + 8*e)*x^7 + (5//8)*(2*d + 9*e)*x^8 + (1//9)*(d + 10*e)*x^9 + (e*x^10)/10 + (10*d + e)*log(x), x, 3),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^3, -(d/(2*x^2)) - (10*d + e)/x + 15*(8*d + 3*e)*x + 15*(7*d + 4*e)*x^2 + 14*(6*d + 5*e)*x^3 + (21//2)*(5*d + 6*e)*x^4 + 6*(4*d + 7*e)*x^5 + (5//2)*(3*d + 8*e)*x^6 + (5//7)*(2*d + 9*e)*x^7 + (1//8)*(d + 10*e)*x^8 + (e*x^9)/9 + 5*(9*d + 2*e)*log(x), x, 3),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^4, -(d/(3*x^3)) - (10*d + e)/(2*x^2) - (5*(9*d + 2*e))/x + 30*(7*d + 4*e)*x + 21*(6*d + 5*e)*x^2 + 14*(5*d + 6*e)*x^3 + (15//2)*(4*d + 7*e)*x^4 + 3*(3*d + 8*e)*x^5 + (5//6)*(2*d + 9*e)*x^6 + (1//7)*(d + 10*e)*x^7 + (e*x^8)/8 + 15*(8*d + 3*e)*log(x), x, 3),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^5, -(d/(4*x^4)) - (10*d + e)/(3*x^3) - (5*(9*d + 2*e))/(2*x^2) - (15*(8*d + 3*e))/x + 42*(6*d + 5*e)*x + 21*(5*d + 6*e)*x^2 + 10*(4*d + 7*e)*x^3 + (15//4)*(3*d + 8*e)*x^4 + (2*d + 9*e)*x^5 + (1//6)*(d + 10*e)*x^6 + (e*x^7)/7 + 30*(7*d + 4*e)*log(x), x, 3),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^6, -(d/(5*x^5)) - (10*d + e)/(4*x^4) - (5*(9*d + 2*e))/(3*x^3) - (15*(8*d + 3*e))/(2*x^2) - (30*(7*d + 4*e))/x + 42*(5*d + 6*e)*x + 15*(4*d + 7*e)*x^2 + 5*(3*d + 8*e)*x^3 + (5//4)*(2*d + 9*e)*x^4 + (1//5)*(d + 10*e)*x^5 + (e*x^6)/6 + 42*(6*d + 5*e)*log(x), x, 3),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^7, -(d/(6*x^6)) - (10*d + e)/(5*x^5) - (5*(9*d + 2*e))/(4*x^4) - (5*(8*d + 3*e))/x^3 - (15*(7*d + 4*e))/x^2 - (42*(6*d + 5*e))/x + 30*(4*d + 7*e)*x + (15//2)*(3*d + 8*e)*x^2 + (5//3)*(2*d + 9*e)*x^3 + (1//4)*(d + 10*e)*x^4 + (e*x^5)/5 + 42*(5*d + 6*e)*log(x), x, 3),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^8, -(d/(7*x^7)) - (10*d + e)/(6*x^6) - (9*d + 2*e)/x^5 - (15*(8*d + 3*e))/(4*x^4) - (10*(7*d + 4*e))/x^3 - (21*(6*d + 5*e))/x^2 - (42*(5*d + 6*e))/x + 15*(3*d + 8*e)*x + (5//2)*(2*d + 9*e)*x^2 + (1//3)*(d + 10*e)*x^3 + (e*x^4)/4 + 30*(4*d + 7*e)*log(x), x, 3),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^9, -(d/(8*x^8)) - (10*d + e)/(7*x^7) - (5*(9*d + 2*e))/(6*x^6) - (3*(8*d + 3*e))/x^5 - (15*(7*d + 4*e))/(2*x^4) - (14*(6*d + 5*e))/x^3 - (21*(5*d + 6*e))/x^2 - (30*(4*d + 7*e))/x + 5*(2*d + 9*e)*x + (1//2)*(d + 10*e)*x^2 + (e*x^3)/3 + 15*(3*d + 8*e)*log(x), x, 3),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^10, -(d/(9*x^9)) - (10*d + e)/(8*x^8) - (5*(9*d + 2*e))/(7*x^7) - (5*(8*d + 3*e))/(2*x^6) - (6*(7*d + 4*e))/x^5 - (21*(6*d + 5*e))/(2*x^4) - (14*(5*d + 6*e))/x^3 - (15*(4*d + 7*e))/x^2 - (15*(3*d + 8*e))/x + (d + 10*e)*x + (e*x^2)/2 + 5*(2*d + 9*e)*log(x), x, 3),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^11, -(d/(10*x^10)) - (10*d + e)/(9*x^9) - (5*(9*d + 2*e))/(8*x^8) - (15*(8*d + 3*e))/(7*x^7) - (5*(7*d + 4*e))/x^6 - (42*(6*d + 5*e))/(5*x^5) - (21*(5*d + 6*e))/(2*x^4) - (10*(4*d + 7*e))/x^3 - (15*(3*d + 8*e))/(2*x^2) - (5*(2*d + 9*e))/x + e*x + (d + 10*e)*log(x), x, 3),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^12, -(e/(10*x^10)) - (10*e)/(9*x^9) - (45*e)/(8*x^8) - (120*e)/(7*x^7) - (35*e)/x^6 - (252*e)/(5*x^5) - (105*e)/(2*x^4) - (40*e)/x^3 - (45*e)/(2*x^2) - (10*e)/x - (d*(1 + x)^11)/(11*x^11) + e*log(x), x, 4),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^13, -((d*(1 + x)^11)/(12*x^12)) + ((d - 12*e)*(1 + x)^11)/(132*x^11), x, 3),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^14, -((d*(1 + x)^11)/(13*x^13)) + ((2*d - 13*e)*(1 + x)^11)/(156*x^12) - ((2*d - 13*e)*(1 + x)^11)/(1716*x^11), x, 4),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^15, -((d*(1 + x)^11)/(14*x^14)) + ((3*d - 14*e)*(1 + x)^11)/(182*x^13) - ((3*d - 14*e)*(1 + x)^11)/(1092*x^12) + ((3*d - 14*e)*(1 + x)^11)/(12012*x^11), x, 5),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^16, -((d*(1 + x)^11)/(15*x^15)) + ((4*d - 15*e)*(1 + x)^11)/(210*x^14) - ((4*d - 15*e)*(1 + x)^11)/(910*x^13) + ((4*d - 15*e)*(1 + x)^11)/(5460*x^12) - ((4*d - 15*e)*(1 + x)^11)/(60060*x^11), x, 6),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^17, -((d*(1 + x)^11)/(16*x^16)) + ((5*d - 16*e)*(1 + x)^11)/(240*x^15) - ((5*d - 16*e)*(1 + x)^11)/(840*x^14) + ((5*d - 16*e)*(1 + x)^11)/(3640*x^13) - ((5*d - 16*e)*(1 + x)^11)/(21840*x^12) + ((5*d - 16*e)*(1 + x)^11)/(240240*x^11), x, 7),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^18, -((d*(1 + x)^11)/(17*x^17)) + ((6*d - 17*e)*(1 + x)^11)/(272*x^16) - ((6*d - 17*e)*(1 + x)^11)/(816*x^15) + ((6*d - 17*e)*(1 + x)^11)/(2856*x^14) - ((6*d - 17*e)*(1 + x)^11)/(12376*x^13) + ((6*d - 17*e)*(1 + x)^11)/(74256*x^12) - ((6*d - 17*e)*(1 + x)^11)/(816816*x^11), x, 8),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^19, -(d/(18*x^18)) - (10*d + e)/(17*x^17) - (5*(9*d + 2*e))/(16*x^16) - (8*d + 3*e)/x^15 - (15*(7*d + 4*e))/(7*x^14) - (42*(6*d + 5*e))/(13*x^13) - (7*(5*d + 6*e))/(2*x^12) - (30*(4*d + 7*e))/(11*x^11) - (3*(3*d + 8*e))/(2*x^10) - (5*(2*d + 9*e))/(9*x^9) - (d + 10*e)/(8*x^8) - e/(7*x^7), x, 3),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^20, -(d/(19*x^19)) - (10*d + e)/(18*x^18) - (5*(9*d + 2*e))/(17*x^17) - (15*(8*d + 3*e))/(16*x^16) - (2*(7*d + 4*e))/x^15 - (3*(6*d + 5*e))/x^14 - (42*(5*d + 6*e))/(13*x^13) - (5*(4*d + 7*e))/(2*x^12) - (15*(3*d + 8*e))/(11*x^11) - (2*d + 9*e)/(2*x^10) - (d + 10*e)/(9*x^9) - e/(8*x^8), x, 3),
+((d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^21, -(d/(20*x^20)) - (10*d + e)/(19*x^19) - (5*(9*d + 2*e))/(18*x^18) - (15*(8*d + 3*e))/(17*x^17) - (15*(7*d + 4*e))/(8*x^16) - (14*(6*d + 5*e))/(5*x^15) - (3*(5*d + 6*e))/x^14 - (30*(4*d + 7*e))/(13*x^13) - (5*(3*d + 8*e))/(4*x^12) - (5*(2*d + 9*e))/(11*x^11) - (d + 10*e)/(10*x^10) - e/(9*x^9), x, 3),
+
+
+(x^11*(1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5, x^12//12 + (11*x^13)/13 + (55*x^14)/14 + 11*x^15 + (165*x^16)/8 + (462*x^17)/17 + (77*x^18)/3 + (330*x^19)/19 + (33*x^20)/4 + (55*x^21)/21 + x^22//2 + x^23//23, x, 3),
+(x^10*(1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5, x^11//11 + (11*x^12)/12 + (55*x^13)/13 + (165*x^14)/14 + 22*x^15 + (231*x^16)/8 + (462*x^17)/17 + (55*x^18)/3 + (165*x^19)/19 + (11*x^20)/4 + (11*x^21)/21 + x^22//22, x, 3),
+
+(x^9*(1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (-(1//12))*(1 + x)^12 + (9//13)*(1 + x)^13 - (18//7)*(1 + x)^14 + (28//5)*(1 + x)^15 - (63//8)*(1 + x)^16 + (126//17)*(1 + x)^17 - (14//3)*(1 + x)^18 + (36//19)*(1 + x)^19 - (9//20)*(1 + x)^20 + (1//21)*(1 + x)^21, x, 3),
+(x^8*(1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (1//12)*(1 + x)^12 - (8//13)*(1 + x)^13 + 2*(1 + x)^14 - (56//15)*(1 + x)^15 + (35//8)*(1 + x)^16 - (56//17)*(1 + x)^17 + (14//9)*(1 + x)^18 - (8//19)*(1 + x)^19 + (1//20)*(1 + x)^20, x, 3),
+(x^7*(1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (-(1//12))*(1 + x)^12 + (7//13)*(1 + x)^13 - (3//2)*(1 + x)^14 + (7//3)*(1 + x)^15 - (35//16)*(1 + x)^16 + (21//17)*(1 + x)^17 - (7//18)*(1 + x)^18 + (1//19)*(1 + x)^19, x, 3),
+(x^6*(1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (1//12)*(1 + x)^12 - (6//13)*(1 + x)^13 + (15//14)*(1 + x)^14 - (4//3)*(1 + x)^15 + (15//16)*(1 + x)^16 - (6//17)*(1 + x)^17 + (1//18)*(1 + x)^18, x, 3),
+(x^5*(1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (-(1//12))*(1 + x)^12 + (5//13)*(1 + x)^13 - (5//7)*(1 + x)^14 + (2//3)*(1 + x)^15 - (5//16)*(1 + x)^16 + (1//17)*(1 + x)^17, x, 3),
+(x^4*(1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (1//12)*(1 + x)^12 - (4//13)*(1 + x)^13 + (3//7)*(1 + x)^14 - (4//15)*(1 + x)^15 + (1//16)*(1 + x)^16, x, 3),
+(x^3*(1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (-(1//12))*(1 + x)^12 + (3//13)*(1 + x)^13 - (3//14)*(1 + x)^14 + (1//15)*(1 + x)^15, x, 3),
+(x^2*(1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (1//12)*(1 + x)^12 - (2//13)*(1 + x)^13 + (1//14)*(1 + x)^14, x, 3),
+(x^1*(1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (-(1//12))*(1 + x)^12 + (1//13)*(1 + x)^13, x, 3),
+(x^0*(1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (1//12)*(1 + x)^12, x, 2),
+
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^1, 11*x + (55*x^2)/2 + 55*x^3 + (165*x^4)/2 + (462*x^5)/5 + 77*x^6 + (330*x^7)/7 + (165*x^8)/8 + (55*x^9)/9 + (11*x^10)/10 + x^11//11 + log(x), x, 3),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^2, -(1/x) + 55*x + (165*x^2)/2 + 110*x^3 + (231*x^4)/2 + (462*x^5)/5 + 55*x^6 + (165*x^7)/7 + (55*x^8)/8 + (11*x^9)/9 + x^10//10 + 11*log(x), x, 3),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^3, -(1/(2*x^2)) - 11/x + 165*x + 165*x^2 + 154*x^3 + (231*x^4)/2 + 66*x^5 + (55*x^6)/2 + (55*x^7)/7 + (11*x^8)/8 + x^9//9 + 55*log(x), x, 3),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^4, -(1/(3*x^3)) - 11/(2*x^2) - 55/x + 330*x + 231*x^2 + 154*x^3 + (165*x^4)/2 + 33*x^5 + (55*x^6)/6 + (11*x^7)/7 + x^8//8 + 165*log(x), x, 3),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^5, -(1/(4*x^4)) - 11/(3*x^3) - 55/(2*x^2) - 165/x + 462*x + 231*x^2 + 110*x^3 + (165*x^4)/4 + 11*x^5 + (11*x^6)/6 + x^7//7 + 330*log(x), x, 3),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^6, -(1/(5*x^5)) - 11/(4*x^4) - 55/(3*x^3) - 165/(2*x^2) - 330/x + 462*x + 165*x^2 + 55*x^3 + (55*x^4)/4 + (11*x^5)/5 + x^6//6 + 462*log(x), x, 3),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^7, -(1/(6*x^6)) - 11/(5*x^5) - 55/(4*x^4) - 55/x^3 - 165/x^2 - 462/x + 330*x + (165*x^2)/2 + (55*x^3)/3 + (11*x^4)/4 + x^5//5 + 462*log(x), x, 3),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^8, -(1/(7*x^7)) - 11/(6*x^6) - 11/x^5 - 165/(4*x^4) - 110/x^3 - 231/x^2 - 462/x + 165*x + (55*x^2)/2 + (11*x^3)/3 + x^4//4 + 330*log(x), x, 3),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^9, -(1/(8*x^8)) - 11/(7*x^7) - 55/(6*x^6) - 33/x^5 - 165/(2*x^4) - 154/x^3 - 231/x^2 - 330/x + 55*x + (11*x^2)/2 + x^3//3 + 165*log(x), x, 3),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^10, -(1/(9*x^9)) - 11/(8*x^8) - 55/(7*x^7) - 55/(2*x^6) - 66/x^5 - 231/(2*x^4) - 154/x^3 - 165/x^2 - 165/x + 11*x + x^2//2 + 55*log(x), x, 3),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^11, -(1/(10*x^10)) - 11/(9*x^9) - 55/(8*x^8) - 165/(7*x^7) - 55/x^6 - 462/(5*x^5) - 231/(2*x^4) - 110/x^3 - 165/(2*x^2) - 55/x + x + 11*log(x), x, 3),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^12, -(1/(11*x^11)) - 11/(10*x^10) - 55/(9*x^9) - 165/(8*x^8) - 330/(7*x^7) - 77/x^6 - 462/(5*x^5) - 165/(2*x^4) - 55/x^3 - 55/(2*x^2) - 11/x + log(x), x, 3),
+
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^13, -((1 + x)^12/(12*x^12)), x, 2),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^14, -((1 + x)^12/(13*x^13)) + (1 + x)^12/(156*x^12), x, 3),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^15, -((1 + x)^12/(14*x^14)) + (1 + x)^12/(91*x^13) - (1 + x)^12/(1092*x^12), x, 4),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^16, -((1 + x)^12/(15*x^15)) + (1 + x)^12/(70*x^14) - (1 + x)^12/(455*x^13) + (1 + x)^12/(5460*x^12), x, 5),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^17, -((1 + x)^12/(16*x^16)) + (1 + x)^12/(60*x^15) - (1 + x)^12/(280*x^14) + (1 + x)^12/(1820*x^13) - (1 + x)^12/(21840*x^12), x, 6),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^18, -((1 + x)^12/(17*x^17)) + (5*(1 + x)^12)/(272*x^16) - (1 + x)^12/(204*x^15) + (1 + x)^12/(952*x^14) - (1 + x)^12/(6188*x^13) + (1 + x)^12/(74256*x^12), x, 7),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^19, -((1 + x)^12/(18*x^18)) + (1 + x)^12/(51*x^17) - (5*(1 + x)^12)/(816*x^16) + (1 + x)^12/(612*x^15) - (1 + x)^12/(2856*x^14) + (1 + x)^12/(18564*x^13) - (1 + x)^12/(222768*x^12), x, 8),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^20, -((1 + x)^12/(19*x^19)) + (7*(1 + x)^12)/(342*x^18) - (7*(1 + x)^12)/(969*x^17) + (35*(1 + x)^12)/(15504*x^16) - (7*(1 + x)^12)/(11628*x^15) + (1 + x)^12/(7752*x^14) - (1 + x)^12/(50388*x^13) + (1 + x)^12/(604656*x^12), x, 9),
+
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^21, -(1/(20*x^20)) - 11/(19*x^19) - 55/(18*x^18) - 165/(17*x^17) - 165/(8*x^16) - 154/(5*x^15) - 33/x^14 - 330/(13*x^13) - 55/(4*x^12) - 5/x^11 - 11/(10*x^10) - 1/(9*x^9), x, 3),
+((1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5/x^22, -(1/(21*x^21)) - 11/(20*x^20) - 55/(19*x^19) - 55/(6*x^18) - 330/(17*x^17) - 231/(8*x^16) - 154/(5*x^15) - 165/(7*x^14) - 165/(13*x^13) - 55/(12*x^12) - 1/x^11 - 1/(10*x^10), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^5*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -((a^3*(4*A*b - 5*a*B)*x)/b^6) + (a^2*(3*A*b - 4*a*B)*x^2)/(2*b^5) - (a*(2*A*b - 3*a*B)*x^3)/(3*b^4) + ((A*b - 2*a*B)*x^4)/(4*b^3) + (B*x^5)/(5*b^2) + (a^5*(A*b - a*B))/(b^7*(a + b*x)) + (a^4*(5*A*b - 6*a*B)*log(a + b*x))/b^7, x, 3),
+((x^4*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (a^2*(3*A*b - 4*a*B)*x)/b^5 - (a*(2*A*b - 3*a*B)*x^2)/(2*b^4) + ((A*b - 2*a*B)*x^3)/(3*b^3) + (B*x^4)/(4*b^2) - (a^4*(A*b - a*B))/(b^6*(a + b*x)) - (a^3*(4*A*b - 5*a*B)*log(a + b*x))/b^6, x, 3),
+((x^3*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -((a*(2*A*b - 3*a*B)*x)/b^4) + ((A*b - 2*a*B)*x^2)/(2*b^3) + (B*x^3)/(3*b^2) + (a^3*(A*b - a*B))/(b^5*(a + b*x)) + (a^2*(3*A*b - 4*a*B)*log(a + b*x))/b^5, x, 3),
+((x^2*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((A*b - 2*a*B)*x)/b^3 + (B*x^2)/(2*b^2) - (a^2*(A*b - a*B))/(b^4*(a + b*x)) - (a*(2*A*b - 3*a*B)*log(a + b*x))/b^4, x, 3),
+((x^1*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (B*x)/b^2 + (a*(A*b - a*B))/(b^3*(a + b*x)) + ((A*b - 2*a*B)*log(a + b*x))/b^3, x, 3),
+(x^0*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -((A*b - a*B)/(b^2*(a + b*x))) + (B*log(a + b*x))/b^2, x, 3),
+((A + B*x)/(x^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (A*b - a*B)/(a*b*(a + b*x)) + (A*log(x))/a^2 - (A*log(a + b*x))/a^2, x, 3),
+((A + B*x)/(x^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(A/(a^2*x)) - (A*b - a*B)/(a^2*(a + b*x)) - ((2*A*b - a*B)*log(x))/a^3 + ((2*A*b - a*B)*log(a + b*x))/a^3, x, 3),
+((A + B*x)/(x^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(A/(2*a^2*x^2)) + (2*A*b - a*B)/(a^3*x) + (b*(A*b - a*B))/(a^3*(a + b*x)) + (b*(3*A*b - 2*a*B)*log(x))/a^4 - (b*(3*A*b - 2*a*B)*log(a + b*x))/a^4, x, 3),
+((A + B*x)/(x^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(A/(3*a^2*x^3)) + (2*A*b - a*B)/(2*a^3*x^2) - (b*(3*A*b - 2*a*B))/(a^4*x) - (b^2*(A*b - a*B))/(a^4*(a + b*x)) - (b^2*(4*A*b - 3*a*B)*log(x))/a^5 + (b^2*(4*A*b - 3*a*B)*log(a + b*x))/a^5, x, 3),
+((A + B*x)/(x^5*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(A/(4*a^2*x^4)) + (2*A*b - a*B)/(3*a^3*x^3) - (b*(3*A*b - 2*a*B))/(2*a^4*x^2) + (b^2*(4*A*b - 3*a*B))/(a^5*x) + (b^3*(A*b - a*B))/(a^5*(a + b*x)) + (b^3*(5*A*b - 4*a*B)*log(x))/a^6 - (b^3*(5*A*b - 4*a*B)*log(a + b*x))/a^6, x, 3),
+
+
+((x^5*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -((2*a*(2*A*b - 5*a*B)*x)/b^6) + ((A*b - 4*a*B)*x^2)/(2*b^5) + (B*x^3)/(3*b^4) + (a^5*(A*b - a*B))/(3*b^7*(a + b*x)^3) - (a^4*(5*A*b - 6*a*B))/(2*b^7*(a + b*x)^2) + (5*a^3*(2*A*b - 3*a*B))/(b^7*(a + b*x)) + (10*a^2*(A*b - 2*a*B)*log(a + b*x))/b^7, x, 3),
+((x^4*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((A*b - 4*a*B)*x)/b^5 + (B*x^2)/(2*b^4) - (a^4*(A*b - a*B))/(3*b^6*(a + b*x)^3) + (a^3*(4*A*b - 5*a*B))/(2*b^6*(a + b*x)^2) - (2*a^2*(3*A*b - 5*a*B))/(b^6*(a + b*x)) - (2*a*(2*A*b - 5*a*B)*log(a + b*x))/b^6, x, 3),
+((x^3*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (B*x)/b^4 + (a^3*(A*b - a*B))/(3*b^5*(a + b*x)^3) - (a^2*(3*A*b - 4*a*B))/(2*b^5*(a + b*x)^2) + (3*a*(A*b - 2*a*B))/(b^5*(a + b*x)) + ((A*b - 4*a*B)*log(a + b*x))/b^5, x, 3),
+((x^2*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((A*b - a*B)*x^3)/(3*a*b*(a + b*x)^3) - (a^2*B)/(2*b^4*(a + b*x)^2) + (2*a*B)/(b^4*(a + b*x)) + (B*log(a + b*x))/b^4, x, 4),
+((x^1*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (a*(A*b - a*B))/(3*b^3*(a + b*x)^3) - (A*b - 2*a*B)/(2*b^3*(a + b*x)^2) - B/(b^3*(a + b*x)), x, 3),
+(x^0*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -(A*b - a*B)/(3*b^2*(a + b*x)^3) - B/(2*b^2*(a + b*x)^2), x, 3),
+((A + B*x)/(x^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), (A*b - a*B)/(3*a*b*(a + b*x)^3) + A/(2*a^2*(a + b*x)^2) + A/(a^3*(a + b*x)) + (A*log(x))/a^4 - (A*log(a + b*x))/a^4, x, 3),
+((A + B*x)/(x^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -(A/(a^4*x)) - (A*b - a*B)/(3*a^2*(a + b*x)^3) - (2*A*b - a*B)/(2*a^3*(a + b*x)^2) - (3*A*b - a*B)/(a^4*(a + b*x)) - ((4*A*b - a*B)*log(x))/a^5 + ((4*A*b - a*B)*log(a + b*x))/a^5, x, 3),
+((A + B*x)/(x^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -(A/(2*a^4*x^2)) + (4*A*b - a*B)/(a^5*x) + (b*(A*b - a*B))/(3*a^3*(a + b*x)^3) + (b*(3*A*b - 2*a*B))/(2*a^4*(a + b*x)^2) + (3*b*(2*A*b - a*B))/(a^5*(a + b*x)) + (2*b*(5*A*b - 2*a*B)*log(x))/a^6 - (2*b*(5*A*b - 2*a*B)*log(a + b*x))/a^6, x, 3),
+((A + B*x)/(x^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -(A/(3*a^4*x^3)) + (4*A*b - a*B)/(2*a^5*x^2) - (2*b*(5*A*b - 2*a*B))/(a^6*x) - (b^2*(A*b - a*B))/(3*a^4*(a + b*x)^3) - (b^2*(4*A*b - 3*a*B))/(2*a^5*(a + b*x)^2) - (2*b^2*(5*A*b - 3*a*B))/(a^6*(a + b*x)) - (10*b^2*(2*A*b - a*B)*log(x))/a^7 + (10*b^2*(2*A*b - a*B)*log(a + b*x))/a^7, x, 3),
+
+
+((x^6*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((A*b - 6*a*B)*x)/b^7 + (B*x^2)/(2*b^6) - (a^6*(A*b - a*B))/(5*b^8*(a + b*x)^5) + (a^5*(6*A*b - 7*a*B))/(4*b^8*(a + b*x)^4) - (a^4*(5*A*b - 7*a*B))/(b^8*(a + b*x)^3) + (5*a^3*(4*A*b - 7*a*B))/(2*b^8*(a + b*x)^2) - (5*a^2*(3*A*b - 7*a*B))/(b^8*(a + b*x)) - (3*a*(2*A*b - 7*a*B)*log(a + b*x))/b^8, x, 3),
+((x^5*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (B*x)/b^6 + (a^5*(A*b - a*B))/(5*b^7*(a + b*x)^5) - (a^4*(5*A*b - 6*a*B))/(4*b^7*(a + b*x)^4) + (5*a^3*(2*A*b - 3*a*B))/(3*b^7*(a + b*x)^3) - (5*a^2*(A*b - 2*a*B))/(b^7*(a + b*x)^2) + (5*a*(A*b - 3*a*B))/(b^7*(a + b*x)) + ((A*b - 6*a*B)*log(a + b*x))/b^7, x, 3),
+((x^4*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((A*b - a*B)*x^5)/(5*a*b*(a + b*x)^5) - (a^4*B)/(4*b^6*(a + b*x)^4) + (4*a^3*B)/(3*b^6*(a + b*x)^3) - (3*a^2*B)/(b^6*(a + b*x)^2) + (4*a*B)/(b^6*(a + b*x)) + (B*log(a + b*x))/b^6, x, 4),
+((x^3*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((A*b - a*B)*x^4)/(5*a*b*(a + b*x)^5) + ((A*b + 4*a*B)*x^4)/(20*a^2*b*(a + b*x)^4), x, 3),
+((x^2*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((a^2*(A*b - a*B))/(5*b^4*(a + b*x)^5)) + (a*(2*A*b - 3*a*B))/(4*b^4*(a + b*x)^4) - (A*b - 3*a*B)/(3*b^4*(a + b*x)^3) - B/(2*b^4*(a + b*x)^2), x, 3),
+((x^1*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (a*(A*b - a*B))/(5*b^3*(a + b*x)^5) - (A*b - 2*a*B)/(4*b^3*(a + b*x)^4) - B/(3*b^3*(a + b*x)^3), x, 3),
+(x^0*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -(A*b - a*B)/(5*b^2*(a + b*x)^5) - B/(4*b^2*(a + b*x)^4), x, 3),
+((A + B*x)/(x^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), (A*b - a*B)/(5*a*b*(a + b*x)^5) + A/(4*a^2*(a + b*x)^4) + A/(3*a^3*(a + b*x)^3) + A/(2*a^4*(a + b*x)^2) + A/(a^5*(a + b*x)) + (A*log(x))/a^6 - (A*log(a + b*x))/a^6, x, 3),
+((A + B*x)/(x^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), -(A/(a^6*x)) - (A*b - a*B)/(5*a^2*(a + b*x)^5) - (2*A*b - a*B)/(4*a^3*(a + b*x)^4) - (3*A*b - a*B)/(3*a^4*(a + b*x)^3) - (4*A*b - a*B)/(2*a^5*(a + b*x)^2) - (5*A*b - a*B)/(a^6*(a + b*x)) - ((6*A*b - a*B)*log(x))/a^7 + ((6*A*b - a*B)*log(a + b*x))/a^7, x, 3),
+((A + B*x)/(x^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), -(A/(2*a^6*x^2)) + (6*A*b - a*B)/(a^7*x) + (b*(A*b - a*B))/(5*a^3*(a + b*x)^5) + (b*(3*A*b - 2*a*B))/(4*a^4*(a + b*x)^4) + (b*(2*A*b - a*B))/(a^5*(a + b*x)^3) + (b*(5*A*b - 2*a*B))/(a^6*(a + b*x)^2) + (5*b*(3*A*b - a*B))/(a^7*(a + b*x)) + (3*b*(7*A*b - 2*a*B)*log(x))/a^8 - (3*b*(7*A*b - 2*a*B)*log(a + b*x))/a^8, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (A+B x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^4*(A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (a*A*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + ((A*b + a*B)*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*(a + b*x)) + (b*B*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)), x, 3),
+(x^3*(A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (a*A*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*(a + b*x)) + ((A*b + a*B)*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (b*B*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*(a + b*x)), x, 3),
+(x^2*(A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (a*A*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + ((A*b + a*B)*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*(a + b*x)) + (b*B*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)), x, 3),
+(x^1*(A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (a*A*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(a + b*x)) + ((A*b + a*B)*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (b*B*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*(a + b*x)), x, 3),
+(x^0*(A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((A*b - a*B)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*b^2) + (B*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(3*b^2), x, 2),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^1, ((A*b + a*B)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (b*B*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(a + b*x)) + (a*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^2, -((a*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x))) + (b*B*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + ((A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^3, -(a*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^2*(a + b*x)) - ((A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x)) + (b*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^4, ((A*b - a*B)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*a^2*x^2) - (A*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(3*a^2*x^3), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^5, -(a*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^4*(a + b*x)) - ((A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^3*(a + b*x)) - (b*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^2*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^6, -(a*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^5*(a + b*x)) - ((A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^4*(a + b*x)) - (b*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^3*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^7, -(a*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*x^6*(a + b*x)) - ((A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^5*(a + b*x)) - (b*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^4*(a + b*x)), x, 3),
+
+
+(x^5*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (a^3*A*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*(a + b*x)) + (a^2*(3*A*b + a*B)*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (3*a*b*(A*b + a*B)*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*(a + b*x)) + (b^2*(A*b + 3*a*B)*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)) + (b^3*B*x^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*(a + b*x)), x, 3),
+(x^4*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (a^3*A*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (a^2*(3*A*b + a*B)*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*(a + b*x)) + (3*a*b*(A*b + a*B)*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (b^2*(A*b + 3*a*B)*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*(a + b*x)) + (b^3*B*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)), x, 3),
+(x^3*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (a^3*A*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*(a + b*x)) + (a^2*(3*A*b + a*B)*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (a*b*(A*b + a*B)*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(a + b*x)) + (b^2*(A*b + 3*a*B)*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (b^3*B*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*(a + b*x)), x, 3),
+(x^2*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (a^3*A*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (a^2*(3*A*b + a*B)*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*(a + b*x)) + (3*a*b*(A*b + a*B)*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (b^2*(A*b + 3*a*B)*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*(a + b*x)) + (b^3*B*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)), x, 3),
+(x^1*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -(a*(A*b - a*B)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*b^3) + ((A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*b^3) + (B*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^3), x, 3),
+(x^0*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((A*b - a*B)*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(4*b^2) + (B*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(5*b^2), x, 2),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/x^1, (3*a^2*A*b*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (3*a*A*b^2*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(a + b*x)) + (A*b^3*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (B*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*b) + (a^3*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 4),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/x^2, -((a^3*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x))) + (3*a*b*(A*b + a*B)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (b^2*(A*b + 3*a*B)*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(a + b*x)) + (b^3*B*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (a^2*(3*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/x^3, -(a^3*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^2*(a + b*x)) - (a^2*(3*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x)) + (b^2*(A*b + 3*a*B)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (b^3*B*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(a + b*x)) + (3*a*b*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/x^4, -(a^3*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^3*(a + b*x)) - (a^2*(3*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^2*(a + b*x)) - (3*a*b*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x)) + (b^3*B*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (b^2*(A*b + 3*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/x^5, -(a^3*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^3*(a + b*x)) - (3*a^2*b*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^2*(a + b*x)) - (3*a*b^2*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x)) - (A*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*a*x^4) + (b^3*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 4),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/x^6, ((A*b - a*B)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*a^2*x^4) - (A*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(5*a^2*x^5), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/x^7, -(a^3*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*x^6*(a + b*x)) - (a^2*(3*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^5*(a + b*x)) - (3*a*b*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^4*(a + b*x)) - (b^2*(A*b + 3*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^3*(a + b*x)) - (b^3*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^2*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/x^8, -(a^3*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*x^7*(a + b*x)) - (a^2*(3*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*x^6*(a + b*x)) - (3*a*b*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^5*(a + b*x)) - (b^2*(A*b + 3*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^4*(a + b*x)) - (b^3*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^3*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/x^9, -(a^3*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*x^8*(a + b*x)) - (a^2*(3*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*x^7*(a + b*x)) - (a*b*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^6*(a + b*x)) - (b^2*(A*b + 3*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^5*(a + b*x)) - (b^3*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^4*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/x^10, -(a^3*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*x^9*(a + b*x)) - (a^2*(3*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*x^8*(a + b*x)) - (3*a*b*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*x^7*(a + b*x)) - (b^2*(A*b + 3*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*x^6*(a + b*x)) - (b^3*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^5*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/x^11, -(a^3*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*x^10*(a + b*x)) - (a^2*(3*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*x^9*(a + b*x)) - (3*a*b*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*x^8*(a + b*x)) - (b^2*(A*b + 3*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*x^7*(a + b*x)) - (b^3*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*x^6*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/x^12, -(a^3*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*x^11*(a + b*x)) - (a^2*(3*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*x^10*(a + b*x)) - (a*b*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^9*(a + b*x)) - (b^2*(A*b + 3*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*x^8*(a + b*x)) - (b^3*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*x^7*(a + b*x)), x, 3),
+
+
+(x^6*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (a^5*A*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*(a + b*x)) + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)) + (a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*(a + b*x)) + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^12*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(12*(a + b*x)) + (b^5*B*x^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*(a + b*x)), x, 3),
+(x^5*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (a^5*A*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*(a + b*x)) + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*(a + b*x)) + (10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)) + (a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(a + b*x)) + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*(a + b*x)) + (b^5*B*x^12*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(12*(a + b*x)), x, 3),
+(x^4*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (a^5*A*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (a^4*(5*A*b + a*B)*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*(a + b*x)) + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (5*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*(a + b*x)) + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)) + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*(a + b*x)) + (b^5*B*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*(a + b*x)), x, 3),
+(x^3*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -((a^3*(A*b - a*B)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^5)) + (a^2*(3*A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^5) - (3*a*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*b^5) + ((A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*b^5) + (B*(a + b*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*b^5), x, 3),
+(x^2*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (a^2*(A*b - a*B)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^4) - (a*(2*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^4) + ((A*b - 3*a*B)*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*b^4) + (B*(a + b*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*b^4), x, 3),
+(x^1*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -(a*(A*b - a*B)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^3) + ((A*b - 2*a*B)*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^3) + (B*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*b^3), x, 3),
+(x^0*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((A*b - a*B)*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(6*b^2) + (B*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(7//2))/(7*b^2), x, 2),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/x^1, (5*a^4*A*b*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (5*a^3*A*b^2*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (10*a^2*A*b^3*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (5*a*A*b^4*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*(a + b*x)) + (A*b^5*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (B*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b) + (a^5*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 4),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/x^2, -((a^5*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x))) + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (5*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*(a + b*x)) + (b^5*B*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (a^4*(5*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/x^3, -(a^5*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^2*(a + b*x)) - (a^4*(5*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x)) + (10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(a + b*x)) + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (b^5*B*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*(a + b*x)) + (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/x^4, -(a^5*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^3*(a + b*x)) - (a^4*(5*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^2*(a + b*x)) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x)) + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(a + b*x)) + (b^5*B*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/x^5, -(a^5*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^4*(a + b*x)) - (a^4*(5*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^3*(a + b*x)) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^2*(a + b*x)) - (10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x)) + (b^4*(A*b + 5*a*B)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (b^5*B*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(a + b*x)) + (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/x^6, -(a^5*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^5*(a + b*x)) - (a^4*(5*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^4*(a + b*x)) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^3*(a + b*x)) - (5*a^2*b^2*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x^2*(a + b*x)) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x)) + (b^5*B*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (b^4*(A*b + 5*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/x^7, -(a^5*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^5*(a + b*x)) - (5*a^4*b*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^4*(a + b*x)) - (10*a^3*b^2*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^3*(a + b*x)) - (5*a^2*b^3*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x^2*(a + b*x)) - (5*a*b^4*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x*(a + b*x)) - (A*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*a*x^6) + (b^5*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(x))/(a + b*x), x, 4),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/x^8, ((A*b - a*B)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*a^2*x^6) - (A*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(7//2))/(7*a^2*x^7), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/x^9, -(A*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*a*x^8) + ((A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(28*a^2*x^7) - (b*(A*b - 4*a*B)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(168*a^3*x^6), x, 4),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/x^10, -(a^5*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*x^9*(a + b*x)) - (a^4*(5*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*x^8*(a + b*x)) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*x^7*(a + b*x)) - (5*a^2*b^2*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^6*(a + b*x)) - (a*b^3*(A*b + 2*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x^5*(a + b*x)) - (b^4*(A*b + 5*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^4*(a + b*x)) - (b^5*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^3*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/x^11, -(a^5*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*x^10*(a + b*x)) - (a^4*(5*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*x^9*(a + b*x)) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*x^8*(a + b*x)) - (10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*x^7*(a + b*x)) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*x^6*(a + b*x)) - (b^4*(A*b + 5*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^5*(a + b*x)) - (b^5*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^4*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/x^12, -(a^5*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*x^11*(a + b*x)) - (a^4*(5*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*x^10*(a + b*x)) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*x^9*(a + b*x)) - (5*a^2*b^2*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*x^8*(a + b*x)) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*x^7*(a + b*x)) - (b^4*(A*b + 5*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*x^6*(a + b*x)) - (b^5*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^5*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/x^13, -(a^5*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(12*x^12*(a + b*x)) - (a^4*(5*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*x^11*(a + b*x)) - (a^3*b*(2*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*x^10*(a + b*x)) - (10*a^2*b^2*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*x^9*(a + b*x)) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*x^8*(a + b*x)) - (b^4*(A*b + 5*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*x^7*(a + b*x)) - (b^5*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*x^6*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/x^14, -(a^5*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*x^13*(a + b*x)) - (a^4*(5*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(12*x^12*(a + b*x)) - (5*a^3*b*(2*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*x^11*(a + b*x)) - (a^2*b^2*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x^10*(a + b*x)) - (5*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*x^9*(a + b*x)) - (b^4*(A*b + 5*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*x^8*(a + b*x)) - (b^5*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*x^7*(a + b*x)), x, 3),
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+(x^4*(A + B*x)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -((a^3*(A*b - a*B)*x*(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) + (a^2*(A*b - a*B)*x^2*(a + b*x))/(2*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (a*(A*b - a*B)*x^3*(a + b*x))/(3*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*x^4*(a + b*x))/(4*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*x^5*(a + b*x))/(5*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (a^4*(A*b - a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^3*(A + B*x)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (a^2*(A*b - a*B)*x*(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (a*(A*b - a*B)*x^2*(a + b*x))/(2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*x^3*(a + b*x))/(3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*x^4*(a + b*x))/(4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (a^3*(A*b - a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^2*(A + B*x)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -((a*(A*b - a*B)*x*(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) + ((A*b - a*B)*x^2*(a + b*x))/(2*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*x^3*(a + b*x))/(3*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (a^2*(A*b - a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^1*(A + B*x)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((A*b - a*B)*x*(a + b*x))/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*x^2*(a + b*x))/(2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (a*(A*b - a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^0*(A + B*x)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/b^2 + ((A*b - a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)/(x^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (A*(a + b*x)*log(x))/(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b - a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(a*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)/(x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -((A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a^2*x)) - ((A*b - a*B)*(a + b*x)*log(x))/(a^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(a^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 5),
+((A + B*x)/(x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(A*(a + b*x))/(2*a*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*(a + b*x))/(a^2*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b*(A*b - a*B)*(a + b*x)*log(x))/(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b*(A*b - a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)/(x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(A*(a + b*x))/(3*a*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*(a + b*x))/(2*a^2*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b*(A*b - a*B)*(a + b*x))/(a^3*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b^2*(A*b - a*B)*(a + b*x)*log(x))/(a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b^2*(A*b - a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)/(x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(A*(a + b*x))/(4*a*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*(a + b*x))/(3*a^2*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b*(A*b - a*B)*(a + b*x))/(2*a^3*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b^2*(A*b - a*B)*(a + b*x))/(a^4*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b^3*(A*b - a*B)*(a + b*x)*log(x))/(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b^3*(A*b - a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+
+
+(x^4*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (a^3*(4*A*b - 5*a*B))/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (a^4*(A*b - a*B))/(2*b^6*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*a*(A*b - 2*a*B)*x*(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - 3*a*B)*x^2*(a + b*x))/(2*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*x^3*(a + b*x))/(3*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*a^2*(3*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^3*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -((a^2*(3*A*b - 4*a*B))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) + (a^3*(A*b - a*B))/(2*b^5*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - 3*a*B)*x*(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*x^2*(a + b*x))/(2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*a*(A*b - 2*a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^2*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (a*(2*A*b - 3*a*B))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (a^2*(A*b - a*B))/(2*b^4*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*x*(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - 3*a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^1*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -((A*b - 2*a*B)/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) + (a*(A*b - a*B))/(2*b^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^0*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -(B/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (A*b - a*B)/(2*b^2*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 2),
+((A + B*x)/(x^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), A/(a^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (A*b - a*B)/(2*a*b*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (A*(a + b*x)*log(x))/(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (A*(a + b*x)*log(a + b*x))/(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)/(x^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), -((2*A*b - a*B)/(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (A*b - a*B)/(2*a^2*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (A*(a + b*x))/(a^3*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((3*A*b - a*B)*(a + b*x)*log(x))/(a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((3*A*b - a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)/(x^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), (b*(3*A*b - 2*a*B))/(a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b*(A*b - a*B))/(2*a^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (A*(a + b*x))/(2*a^3*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((3*A*b - a*B)*(a + b*x))/(a^4*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*b*(2*A*b - a*B)*(a + b*x)*log(x))/(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*b*(2*A*b - a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+
+
+(x^4*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (2*a*(2*A*b - 5*a*B))/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (a^4*(A*b - a*B))/(4*b^6*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (a^3*(4*A*b - 5*a*B))/(3*b^6*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (a^2*(3*A*b - 5*a*B))/(b^6*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*x*(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - 5*a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^3*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (3*a*B)/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*x^4)/(4*a*b*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (a^3*B)/(3*b^5*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*a^2*B)/(2*b^5*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+(x^2*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (A*x^3)/(3*a^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)) - ((A*b - a*B)*x^4)/(4*a^2*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^1*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (a*(A*b - a*B))/(4*b^3*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (A*b - 2*a*B)/(3*b^3*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - B/(2*b^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(x^0*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -(B/(3*b^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))) - (A*b - a*B)/(4*b^2*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), x, 2),
+((A + B*x)/(x^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), A/(a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (A*b - a*B)/(4*a*b*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + A/(3*a^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + A/(2*a^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (A*(a + b*x)*log(x))/(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (A*(a + b*x)*log(a + b*x))/(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)/(x^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), -((4*A*b - a*B)/(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (A*b - a*B)/(4*a^2*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*A*b - a*B)/(3*a^3*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*A*b - a*B)/(2*a^4*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (A*(a + b*x))/(a^5*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((5*A*b - a*B)*(a + b*x)*log(x))/(a^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((5*A*b - a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(a^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (A+B x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*a^2*A*x^(9//2))/9 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(13//2))/13 + (2*b^2*B*x^(15//2))/15, x, 3),
+(x^(5//2)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*a^2*A*x^(7//2))/7 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(9//2))/9 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b^2*B*x^(13//2))/13, x, 3),
+(x^(3//2)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*a^2*A*x^(5//2))/5 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(9//2))/9 + (2*b^2*B*x^(11//2))/11, x, 3),
+(sqrt(x)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*a^2*A*x^(3//2))/3 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(5//2))/5 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b^2*B*x^(9//2))/9, x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/sqrt(x), 2*a^2*A*sqrt(x) + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(3//2))/3 + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(5//2))/5 + (2*b^2*B*x^(7//2))/7, x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^(3//2), (-2*a^2*A)/sqrt(x) + 2*a*(2*A*b + a*B)*sqrt(x) + (2*b*(A*b + 2*a*B)*x^(3//2))/3 + (2*b^2*B*x^(5//2))/5, x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^(5//2), (-2*a^2*A)/(3*x^(3//2)) - (2*a*(2*A*b + a*B))/sqrt(x) + 2*b*(A*b + 2*a*B)*sqrt(x) + (2*b^2*B*x^(3//2))/3, x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^(7//2), (-2*a^2*A)/(5*x^(5//2)) - (2*a*(2*A*b + a*B))/(3*x^(3//2)) - (2*b*(A*b + 2*a*B))/sqrt(x) + 2*b^2*B*sqrt(x), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^(9//2), (-2*a^2*A)/(7*x^(7//2)) - (2*a*(2*A*b + a*B))/(5*x^(5//2)) - (2*b*(A*b + 2*a*B))/(3*x^(3//2)) - (2*b^2*B)/sqrt(x), x, 3),
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (2*a^4*A*x^(9//2))/9 + (2*a^3*(4*A*b + a*B)*x^(11//2))/11 + (4*a^2*b*(3*A*b + 2*a*B)*x^(13//2))/13 + (4*a*b^2*(2*A*b + 3*a*B)*x^(15//2))/15 + (2*b^3*(A*b + 4*a*B)*x^(17//2))/17 + (2*b^4*B*x^(19//2))/19, x, 3),
+(x^(5//2)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (2*a^4*A*x^(7//2))/7 + (2*a^3*(4*A*b + a*B)*x^(9//2))/9 + (4*a^2*b*(3*A*b + 2*a*B)*x^(11//2))/11 + (4*a*b^2*(2*A*b + 3*a*B)*x^(13//2))/13 + (2*b^3*(A*b + 4*a*B)*x^(15//2))/15 + (2*b^4*B*x^(17//2))/17, x, 3),
+(x^(3//2)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (2*a^4*A*x^(5//2))/5 + (2*a^3*(4*A*b + a*B)*x^(7//2))/7 + (4*a^2*b*(3*A*b + 2*a*B)*x^(9//2))/9 + (4*a*b^2*(2*A*b + 3*a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b^3*(A*b + 4*a*B)*x^(13//2))/13 + (2*b^4*B*x^(15//2))/15, x, 3),
+(sqrt(x)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (2*a^4*A*x^(3//2))/3 + (2*a^3*(4*A*b + a*B)*x^(5//2))/5 + (4*a^2*b*(3*A*b + 2*a*B)*x^(7//2))/7 + (4*a*b^2*(2*A*b + 3*a*B)*x^(9//2))/9 + (2*b^3*(A*b + 4*a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b^4*B*x^(13//2))/13, x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/sqrt(x), 2*a^4*A*sqrt(x) + (2*a^3*(4*A*b + a*B)*x^(3//2))/3 + (4*a^2*b*(3*A*b + 2*a*B)*x^(5//2))/5 + (4*a*b^2*(2*A*b + 3*a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b^3*(A*b + 4*a*B)*x^(9//2))/9 + (2*b^4*B*x^(11//2))/11, x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/x^(3//2), (-2*a^4*A)/sqrt(x) + 2*a^3*(4*A*b + a*B)*sqrt(x) + (4*a^2*b*(3*A*b + 2*a*B)*x^(3//2))/3 + (4*a*b^2*(2*A*b + 3*a*B)*x^(5//2))/5 + (2*b^3*(A*b + 4*a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b^4*B*x^(9//2))/9, x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/x^(5//2), (-2*a^4*A)/(3*x^(3//2)) - (2*a^3*(4*A*b + a*B))/sqrt(x) + 4*a^2*b*(3*A*b + 2*a*B)*sqrt(x) + (4*a*b^2*(2*A*b + 3*a*B)*x^(3//2))/3 + (2*b^3*(A*b + 4*a*B)*x^(5//2))/5 + (2*b^4*B*x^(7//2))/7, x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/x^(7//2), (-2*a^4*A)/(5*x^(5//2)) - (2*a^3*(4*A*b + a*B))/(3*x^(3//2)) - (4*a^2*b*(3*A*b + 2*a*B))/sqrt(x) + 4*a*b^2*(2*A*b + 3*a*B)*sqrt(x) + (2*b^3*(A*b + 4*a*B)*x^(3//2))/3 + (2*b^4*B*x^(5//2))/5, x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/x^(9//2), (-2*a^4*A)/(7*x^(7//2)) - (2*a^3*(4*A*b + a*B))/(5*x^(5//2)) - (4*a^2*b*(3*A*b + 2*a*B))/(3*x^(3//2)) - (4*a*b^2*(2*A*b + 3*a*B))/sqrt(x) + 2*b^3*(A*b + 4*a*B)*sqrt(x) + (2*b^4*B*x^(3//2))/3, x, 3),
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (2*a^6*A*x^(9//2))/9 + (2*a^5*(6*A*b + a*B)*x^(11//2))/11 + (6*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B)*x^(13//2))/13 + (2*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B)*x^(15//2))/3 + (10*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B)*x^(17//2))/17 + (6*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B)*x^(19//2))/19 + (2*b^5*(A*b + 6*a*B)*x^(21//2))/21 + (2*b^6*B*x^(23//2))/23, x, 3),
+(x^(5//2)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (2*a^6*A*x^(7//2))/7 + (2*a^5*(6*A*b + a*B)*x^(9//2))/9 + (6*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B)*x^(11//2))/11 + (10*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B)*x^(13//2))/13 + (2*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B)*x^(15//2))/3 + (6*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B)*x^(17//2))/17 + (2*b^5*(A*b + 6*a*B)*x^(19//2))/19 + (2*b^6*B*x^(21//2))/21, x, 3),
+(x^(3//2)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (2*a^6*A*x^(5//2))/5 + (2*a^5*(6*A*b + a*B)*x^(7//2))/7 + (2*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B)*x^(9//2))/3 + (10*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B)*x^(11//2))/11 + (10*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B)*x^(13//2))/13 + (2*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B)*x^(15//2))/5 + (2*b^5*(A*b + 6*a*B)*x^(17//2))/17 + (2*b^6*B*x^(19//2))/19, x, 3),
+(sqrt(x)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (2*a^6*A*x^(3//2))/3 + (2*a^5*(6*A*b + a*B)*x^(5//2))/5 + (6*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B)*x^(7//2))/7 + (10*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B)*x^(9//2))/9 + (10*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B)*x^(11//2))/11 + (6*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B)*x^(13//2))/13 + (2*b^5*(A*b + 6*a*B)*x^(15//2))/15 + (2*b^6*B*x^(17//2))/17, x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/sqrt(x), 2*a^6*A*sqrt(x) + (2*a^5*(6*A*b + a*B)*x^(3//2))/3 + (6*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B)*x^(5//2))/5 + (10*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B)*x^(7//2))/7 + (10*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B)*x^(9//2))/9 + (6*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b^5*(A*b + 6*a*B)*x^(13//2))/13 + (2*b^6*B*x^(15//2))/15, x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x^(3//2), (-2*a^6*A)/sqrt(x) + 2*a^5*(6*A*b + a*B)*sqrt(x) + 2*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B)*x^(3//2) + 2*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B)*x^(5//2) + (10*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B)*x^(7//2))/7 + (2*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B)*x^(9//2))/3 + (2*b^5*(A*b + 6*a*B)*x^(11//2))/11 + (2*b^6*B*x^(13//2))/13, x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x^(5//2), (-2*a^6*A)/(3*x^(3//2)) - (2*a^5*(6*A*b + a*B))/sqrt(x) + 6*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B)*sqrt(x) + (10*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B)*x^(3//2))/3 + 2*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B)*x^(5//2) + (6*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b^5*(A*b + 6*a*B)*x^(9//2))/9 + (2*b^6*B*x^(11//2))/11, x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x^(7//2), (-2*a^6*A)/(5*x^(5//2)) - (2*a^5*(6*A*b + a*B))/(3*x^(3//2)) - (6*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B))/sqrt(x) + 10*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B)*sqrt(x) + (10*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B)*x^(3//2))/3 + (6*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B)*x^(5//2))/5 + (2*b^5*(A*b + 6*a*B)*x^(7//2))/7 + (2*b^6*B*x^(9//2))/9, x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x^(9//2), (-2*a^6*A)/(7*x^(7//2)) - (2*a^5*(6*A*b + a*B))/(5*x^(5//2)) - (2*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B))/x^(3//2) - (10*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B))/sqrt(x) + 10*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B)*sqrt(x) + 2*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B)*x^(3//2) + (2*b^5*(A*b + 6*a*B)*x^(5//2))/5 + (2*b^6*B*x^(7//2))/7, x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/x^(11//2), (-2*a^6*A)/(9*x^(9//2)) - (2*a^5*(6*A*b + a*B))/(7*x^(7//2)) - (6*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B))/(5*x^(5//2)) - (10*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B))/(3*x^(3//2)) - (10*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B))/sqrt(x) + 6*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B)*sqrt(x) + (2*b^5*(A*b + 6*a*B)*x^(3//2))/3 + (2*b^6*B*x^(5//2))/5, x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (a^2*(7*A*b - 9*a*B)*sqrt(x))/b^5 - (a*(7*A*b - 9*a*B)*x^(3//2))/(3*b^4) + ((7*A*b - 9*a*B)*x^(5//2))/(5*b^3) - ((7*A*b - 9*a*B)*x^(7//2))/(7*a*b^2) + ((A*b - a*B)*x^(9//2))/(a*b*(a + b*x)) - (a^(5//2)*(7*A*b - 9*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(11//2), x, 8),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -((a*(5*A*b - 7*a*B)*sqrt(x))/b^4) + ((5*A*b - 7*a*B)*x^(3//2))/(3*b^3) - ((5*A*b - 7*a*B)*x^(5//2))/(5*a*b^2) + ((A*b - a*B)*x^(7//2))/(a*b*(a + b*x)) + (a^(3//2)*(5*A*b - 7*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(9//2), x, 7),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((3*A*b - 5*a*B)*sqrt(x))/b^3 - ((3*A*b - 5*a*B)*x^(3//2))/(3*a*b^2) + ((A*b - a*B)*x^(5//2))/(a*b*(a + b*x)) - (sqrt(a)*(3*A*b - 5*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/b^(7//2), x, 6),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -(((A*b - 3*a*B)*sqrt(x))/(a*b^2)) + ((A*b - a*B)*x^(3//2))/(a*b*(a + b*x)) + ((A*b - 3*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(sqrt(a)*b^(5//2)), x, 5),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), ((A*b - a*B)*sqrt(x))/(a*b*(a + b*x)) + ((A*b + a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(a^(3//2)*b^(3//2)), x, 4),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -((3*A*b - a*B)/(a^2*b*sqrt(x))) + (A*b - a*B)/(a*b*sqrt(x)*(a + b*x)) - ((3*A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(a^(5//2)*sqrt(b)), x, 5),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -((5*A*b - 3*a*B)/(3*a^2*b*x^(3//2))) + (5*A*b - 3*a*B)/(a^3*sqrt(x)) + (A*b - a*B)/(a*b*x^(3//2)*(a + b*x)) + (sqrt(b)*(5*A*b - 3*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(7//2), x, 6),
+((A + B*x)/(x^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -((7*A*b - 5*a*B)/(5*a^2*b*x^(5//2))) + (7*A*b - 5*a*B)/(3*a^3*x^(3//2)) - (b*(7*A*b - 5*a*B))/(a^4*sqrt(x)) + (A*b - a*B)/(a*b*x^(5//2)*(a + b*x)) - (b^(3//2)*(7*A*b - 5*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(9//2), x, 7),
+((A + B*x)/(x^(9//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -((9*A*b - 7*a*B)/(7*a^2*b*x^(7//2))) + (9*A*b - 7*a*B)/(5*a^3*x^(5//2)) - (b*(9*A*b - 7*a*B))/(3*a^4*x^(3//2)) + (b^2*(9*A*b - 7*a*B))/(a^5*sqrt(x)) + (A*b - a*B)/(a*b*x^(7//2)*(a + b*x)) + (b^(5//2)*(9*A*b - 7*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/a^(11//2), x, 8),
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (35*(A*b - 3*a*B)*sqrt(x))/(8*b^5) - (35*(A*b - 3*a*B)*x^(3//2))/(24*a*b^4) + ((A*b - a*B)*x^(9//2))/(3*a*b*(a + b*x)^3) + ((A*b - 3*a*B)*x^(7//2))/(4*a*b^2*(a + b*x)^2) + (7*(A*b - 3*a*B)*x^(5//2))/(8*a*b^3*(a + b*x)) - (35*sqrt(a)*(A*b - 3*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(8*b^(11//2)), x, 8),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (-5*(A*b - 7*a*B)*sqrt(x))/(8*a*b^4) + ((A*b - a*B)*x^(7//2))/(3*a*b*(a + b*x)^3) + ((A*b - 7*a*B)*x^(5//2))/(12*a*b^2*(a + b*x)^2) + (5*(A*b - 7*a*B)*x^(3//2))/(24*a*b^3*(a + b*x)) + (5*(A*b - 7*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(8*sqrt(a)*b^(9//2)), x, 7),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((A*b - a*B)*x^(5//2))/(3*a*b*(a + b*x)^3) - ((A*b + 5*a*B)*x^(3//2))/(12*a*b^2*(a + b*x)^2) - ((A*b + 5*a*B)*sqrt(x))/(8*a*b^3*(a + b*x)) + ((A*b + 5*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(8*a^(3//2)*b^(7//2)), x, 6),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((A*b - a*B)*x^(3//2))/(3*a*b*(a + b*x)^3) - ((A*b + a*B)*sqrt(x))/(4*a*b^2*(a + b*x)^2) + ((A*b + a*B)*sqrt(x))/(8*a^2*b^2*(a + b*x)) + ((A*b + a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*b^(5//2)), x, 6),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), ((A*b - a*B)*sqrt(x))/(3*a*b*(a + b*x)^3) + ((5*A*b + a*B)*sqrt(x))/(12*a^2*b*(a + b*x)^2) + ((5*A*b + a*B)*sqrt(x))/(8*a^3*b*(a + b*x)) + ((5*A*b + a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(8*a^(7//2)*b^(3//2)), x, 6),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -((5*(7*A*b - a*B))/(8*a^4*b*sqrt(x))) + (A*b - a*B)/(3*a*b*sqrt(x)*(a + b*x)^3) + (7*A*b - a*B)/(12*a^2*b*sqrt(x)*(a + b*x)^2) + (5*(7*A*b - a*B))/(24*a^3*b*sqrt(x)*(a + b*x)) - (5*(7*A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(8*a^(9//2)*sqrt(b)), x, 7),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -((35*(3*A*b - a*B))/(24*a^4*b*x^(3//2))) + (35*(3*A*b - a*B))/(8*a^5*sqrt(x)) + (A*b - a*B)/(3*a*b*x^(3//2)*(a + b*x)^3) + (3*A*b - a*B)/(4*a^2*b*x^(3//2)*(a + b*x)^2) + (7*(3*A*b - a*B))/(8*a^3*b*x^(3//2)*(a + b*x)) + (35*sqrt(b)*(3*A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(8*a^(11//2)), x, 8),
+
+
+((x^(11//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (231*(3*A*b - 13*a*B)*sqrt(x))/(128*b^7) - (77*(3*A*b - 13*a*B)*x^(3//2))/(128*a*b^6) + ((A*b - a*B)*x^(13//2))/(5*a*b*(a + b*x)^5) + ((3*A*b - 13*a*B)*x^(11//2))/(40*a*b^2*(a + b*x)^4) + (11*(3*A*b - 13*a*B)*x^(9//2))/(240*a*b^3*(a + b*x)^3) + (33*(3*A*b - 13*a*B)*x^(7//2))/(320*a*b^4*(a + b*x)^2) + (231*(3*A*b - 13*a*B)*x^(5//2))/(640*a*b^5*(a + b*x)) - (231*sqrt(a)*(3*A*b - 13*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(128*b^(15//2)), x, 10),
+((x^(9//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((63*(A*b - 11*a*B)*sqrt(x))/(128*a*b^6)) + ((A*b - a*B)*x^(11//2))/(5*a*b*(a + b*x)^5) + ((A*b - 11*a*B)*x^(9//2))/(40*a*b^2*(a + b*x)^4) + (3*(A*b - 11*a*B)*x^(7//2))/(80*a*b^3*(a + b*x)^3) + (21*(A*b - 11*a*B)*x^(5//2))/(320*a*b^4*(a + b*x)^2) + (21*(A*b - 11*a*B)*x^(3//2))/(128*a*b^5*(a + b*x)) + (63*(A*b - 11*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(128*sqrt(a)*b^(13//2)), x, 9),
+((x^(7//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((A*b - a*B)*x^(9//2))/(5*a*b*(a + b*x)^5) - ((A*b + 9*a*B)*x^(7//2))/(40*a*b^2*(a + b*x)^4) - (7*(A*b + 9*a*B)*x^(5//2))/(240*a*b^3*(a + b*x)^3) - (7*(A*b + 9*a*B)*x^(3//2))/(192*a*b^4*(a + b*x)^2) - (7*(A*b + 9*a*B)*sqrt(x))/(128*a*b^5*(a + b*x)) + (7*(A*b + 9*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(128*a^(3//2)*b^(11//2)), x, 8),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((A*b - a*B)*x^(7//2))/(5*a*b*(a + b*x)^5) - ((3*A*b + 7*a*B)*x^(5//2))/(40*a*b^2*(a + b*x)^4) - ((3*A*b + 7*a*B)*x^(3//2))/(48*a*b^3*(a + b*x)^3) - ((3*A*b + 7*a*B)*sqrt(x))/(64*a*b^4*(a + b*x)^2) + ((3*A*b + 7*a*B)*sqrt(x))/(128*a^2*b^4*(a + b*x)) + ((3*A*b + 7*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(128*a^(5//2)*b^(9//2)), x, 8),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((A*b - a*B)*x^(5//2))/(5*a*b*(a + b*x)^5) - ((A*b + a*B)*x^(3//2))/(8*a*b^2*(a + b*x)^4) - ((A*b + a*B)*sqrt(x))/(16*a*b^3*(a + b*x)^3) + ((A*b + a*B)*sqrt(x))/(64*a^2*b^3*(a + b*x)^2) + (3*(A*b + a*B)*sqrt(x))/(128*a^3*b^3*(a + b*x)) + (3*(A*b + a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(128*a^(7//2)*b^(7//2)), x, 8),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((A*b - a*B)*x^(3//2))/(5*a*b*(a + b*x)^5) - ((7*A*b + 3*a*B)*sqrt(x))/(40*a*b^2*(a + b*x)^4) + ((7*A*b + 3*a*B)*sqrt(x))/(240*a^2*b^2*(a + b*x)^3) + ((7*A*b + 3*a*B)*sqrt(x))/(192*a^3*b^2*(a + b*x)^2) + ((7*A*b + 3*a*B)*sqrt(x))/(128*a^4*b^2*(a + b*x)) + ((7*A*b + 3*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(128*a^(9//2)*b^(5//2)), x, 8),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), ((A*b - a*B)*sqrt(x))/(5*a*b*(a + b*x)^5) + ((9*A*b + a*B)*sqrt(x))/(40*a^2*b*(a + b*x)^4) + (7*(9*A*b + a*B)*sqrt(x))/(240*a^3*b*(a + b*x)^3) + (7*(9*A*b + a*B)*sqrt(x))/(192*a^4*b*(a + b*x)^2) + (7*(9*A*b + a*B)*sqrt(x))/(128*a^5*b*(a + b*x)) + (7*(9*A*b + a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(128*a^(11//2)*b^(3//2)), x, 8),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), -((63*(11*A*b - a*B))/(128*a^6*b*sqrt(x))) + (A*b - a*B)/(5*a*b*sqrt(x)*(a + b*x)^5) + (11*A*b - a*B)/(40*a^2*b*sqrt(x)*(a + b*x)^4) + (3*(11*A*b - a*B))/(80*a^3*b*sqrt(x)*(a + b*x)^3) + (21*(11*A*b - a*B))/(320*a^4*b*sqrt(x)*(a + b*x)^2) + (21*(11*A*b - a*B))/(128*a^5*b*sqrt(x)*(a + b*x)) - (63*(11*A*b - a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(128*a^(13//2)*sqrt(b)), x, 9),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), -((77*(13*A*b - 3*a*B))/(128*a^6*b*x^(3//2))) + (231*(13*A*b - 3*a*B))/(128*a^7*sqrt(x)) + (A*b - a*B)/(5*a*b*x^(3//2)*(a + b*x)^5) + (13*A*b - 3*a*B)/(40*a^2*b*x^(3//2)*(a + b*x)^4) + (11*(13*A*b - 3*a*B))/(240*a^3*b*x^(3//2)*(a + b*x)^3) + (33*(13*A*b - 3*a*B))/(320*a^4*b*x^(3//2)*(a + b*x)^2) + (231*(13*A*b - 3*a*B))/(640*a^5*b*x^(3//2)*(a + b*x)) + (231*sqrt(b)*(13*A*b - 3*a*B)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(128*a^(15//2)), x, 10),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (A+B x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*a*A*x^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)) + (2*(A*b + a*B)*x^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*(a + b*x)) + (2*b*B*x^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*(a + b*x)), x, 3),
+(x^(5//2)*(A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*a*A*x^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (2*(A*b + a*B)*x^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)) + (2*b*B*x^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*(a + b*x)), x, 3),
+(x^(3//2)*(A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*a*A*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (2*(A*b + a*B)*x^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (2*b*B*x^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)), x, 3),
+(sqrt(x)*(A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*a*A*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (2*(A*b + a*B)*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (2*b*B*x^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/sqrt(x), (2*a*A*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (2*(A*b + a*B)*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (2*b*B*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^(3//2), (-2*a*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(sqrt(x)*(a + b*x)) + (2*(A*b + a*B)*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (2*b*B*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^(5//2), (-2*a*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^(3//2)*(a + b*x)) - (2*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(sqrt(x)*(a + b*x)) + (2*b*B*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^(7//2), (-2*a*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^(5//2)*(a + b*x)) - (2*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^(3//2)*(a + b*x)) - (2*b*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(sqrt(x)*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/x^(9//2), (-2*a*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*x^(7//2)*(a + b*x)) - (2*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^(5//2)*(a + b*x)) - (2*b*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^(3//2)*(a + b*x)), x, 3),
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (2*a^3*A*x^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)) + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*(a + b*x)) + (6*a*b*(A*b + a*B)*x^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*(a + b*x)) + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(15*(a + b*x)) + (2*b^3*B*x^(17//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(17*(a + b*x)), x, 3),
+(x^(5//2)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (2*a^3*A*x^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)) + (6*a*b*(A*b + a*B)*x^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*(a + b*x)) + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*(a + b*x)) + (2*b^3*B*x^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(15*(a + b*x)), x, 3),
+(x^(3//2)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (2*a^3*A*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (2*a*b*(A*b + a*B)*x^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*(a + b*x)) + (2*b^3*B*x^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*(a + b*x)), x, 3),
+(sqrt(x)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (2*a^3*A*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (6*a*b*(A*b + a*B)*x^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)) + (2*b^3*B*x^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/sqrt(x), (2*a^3*A*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (6*a*b*(A*b + a*B)*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (2*b^3*B*x^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/x^(3//2), (-2*a^3*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(sqrt(x)*(a + b*x)) + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (2*a*b*(A*b + a*B)*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (2*b^3*B*x^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/x^(5//2), (-2*a^3*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^(3//2)*(a + b*x)) - (2*a^2*(3*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(sqrt(x)*(a + b*x)) + (6*a*b*(A*b + a*B)*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (2*b^3*B*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/x^(7//2), (-2*a^3*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^(5//2)*(a + b*x)) - (2*a^2*(3*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^(3//2)*(a + b*x)) - (6*a*b*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(sqrt(x)*(a + b*x)) + (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (2*b^3*B*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/x^(9//2), (-2*a^3*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*x^(7//2)*(a + b*x)) - (2*a^2*(3*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^(5//2)*(a + b*x)) - (2*a*b*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(x^(3//2)*(a + b*x)) - (2*b^2*(A*b + 3*a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(sqrt(x)*(a + b*x)) + (2*b^3*B*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x), x, 3),
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (2*a^5*A*x^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)) + (2*a^4*(5*A*b + a*B)*x^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*(a + b*x)) + (10*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*(a + b*x)) + (4*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (10*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^(17//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(17*(a + b*x)) + (2*b^4*(A*b + 5*a*B)*x^(19//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(19*(a + b*x)) + (2*b^5*B*x^(21//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(21*(a + b*x)), x, 3),
+(x^(5//2)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (2*a^5*A*x^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (2*a^4*(5*A*b + a*B)*x^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)) + (10*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*(a + b*x)) + (20*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*(a + b*x)) + (2*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (2*b^4*(A*b + 5*a*B)*x^(17//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(17*(a + b*x)) + (2*b^5*B*x^(19//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(19*(a + b*x)), x, 3),
+(x^(3//2)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (2*a^5*A*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (2*a^4*(5*A*b + a*B)*x^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (10*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)) + (20*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*(a + b*x)) + (10*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*(a + b*x)) + (2*b^4*(A*b + 5*a*B)*x^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(15*(a + b*x)) + (2*b^5*B*x^(17//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(17*(a + b*x)), x, 3),
+(sqrt(x)*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (2*a^5*A*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (2*a^4*(5*A*b + a*B)*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (10*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (20*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)) + (10*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*(a + b*x)) + (2*b^4*(A*b + 5*a*B)*x^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*(a + b*x)) + (2*b^5*B*x^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(15*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/sqrt(x), (2*a^5*A*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (2*a^4*(5*A*b + a*B)*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (2*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (20*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (10*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)) + (2*b^4*(A*b + 5*a*B)*x^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*(a + b*x)) + (2*b^5*B*x^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/x^(3//2), (-2*a^5*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(sqrt(x)*(a + b*x)) + (2*a^4*(5*A*b + a*B)*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (10*a^3*b*(2*A*b + a*B)*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (4*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (10*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (2*b^4*(A*b + 5*a*B)*x^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)) + (2*b^5*B*x^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/x^(5//2), (-2*a^5*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^(3//2)*(a + b*x)) - (2*a^4*(5*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(sqrt(x)*(a + b*x)) + (10*a^3*b*(2*A*b + a*B)*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (20*a^2*b^2*(A*b + a*B)*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (2*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (2*b^4*(A*b + 5*a*B)*x^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)) + (2*b^5*B*x^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/x^(7//2), (-2*a^5*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^(5//2)*(a + b*x)) - (2*a^4*(5*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^(3//2)*(a + b*x)) - (10*a^3*b*(2*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(sqrt(x)*(a + b*x)) + (20*a^2*b^2*(A*b + a*B)*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (10*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (2*b^4*(A*b + 5*a*B)*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)) + (2*b^5*B*x^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/x^(9//2), (-2*a^5*A*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*x^(7//2)*(a + b*x)) - (2*a^4*(5*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*x^(5//2)*(a + b*x)) - (10*a^3*b*(2*A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*x^(3//2)*(a + b*x)) - (20*a^2*b^2*(A*b + a*B)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(sqrt(x)*(a + b*x)) + (10*a*b^3*(A*b + 2*a*B)*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + (2*b^4*(A*b + 5*a*B)*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (2*b^5*B*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*(a + b*x)), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x))/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (-2*a^3*(A*b - a*B)*sqrt(x)*(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*a^2*(A*b - a*B)*x^(3//2)*(a + b*x))/(3*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*a*(A*b - a*B)*x^(5//2)*(a + b*x))/(5*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*(A*b - a*B)*x^(7//2)*(a + b*x))/(7*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*B*x^(9//2)*(a + b*x))/(9*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*a^(7//2)*(A*b - a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(b^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 8),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*a^2*(A*b - a*B)*sqrt(x)*(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*a*(A*b - a*B)*x^(3//2)*(a + b*x))/(3*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*(A*b - a*B)*x^(5//2)*(a + b*x))/(5*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*B*x^(7//2)*(a + b*x))/(7*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*a^(5//2)*(A*b - a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(b^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (-2*a*(A*b - a*B)*sqrt(x)*(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*(A*b - a*B)*x^(3//2)*(a + b*x))/(3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*B*x^(5//2)*(a + b*x))/(5*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*a^(3//2)*(A*b - a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(b^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 6),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(A*b - a*B)*sqrt(x)*(a + b*x))/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*B*x^(3//2)*(a + b*x))/(3*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*sqrt(a)*(A*b - a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(b^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 5),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (2*B*sqrt(x)*(a + b*x))/(b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*(A*b - a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(sqrt(a)*b^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (-2*A*(a + b*x))/(a*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*(A*b - a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(a^(3//2)*sqrt(b)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (-2*A*(a + b*x))/(3*a*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*(A*b - a*B)*(a + b*x))/(a^2*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*sqrt(b)*(A*b - a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(a^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 5),
+((A + B*x)/(x^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (-2*A*(a + b*x))/(5*a*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*(A*b - a*B)*(a + b*x))/(3*a^2*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*b*(A*b - a*B)*(a + b*x))/(a^3*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*b^(3//2)*(A*b - a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(a^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 6),
+((A + B*x)/(x^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (-2*A*(a + b*x))/(7*a*x^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*(A*b - a*B)*(a + b*x))/(5*a^2*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*b*(A*b - a*B)*(a + b*x))/(3*a^3*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*b^2*(A*b - a*B)*(a + b*x))/(a^4*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*b^(5//2)*(A*b - a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(a^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((5*A*b - 9*a*B)*x^(7//2))/(4*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*x^(9//2))/(2*a*b*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (7*a*(5*A*b - 9*a*B)*sqrt(x)*(a + b*x))/(4*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (7*(5*A*b - 9*a*B)*x^(3//2)*(a + b*x))/(12*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (7*(5*A*b - 9*a*B)*x^(5//2)*(a + b*x))/(20*a*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (7*a^(3//2)*(5*A*b - 9*a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*b^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 8),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((3*A*b - 7*a*B)*x^(5//2))/(4*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*x^(7//2))/(2*a*b*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*(3*A*b - 7*a*B)*sqrt(x)*(a + b*x))/(4*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*(3*A*b - 7*a*B)*x^(3//2)*(a + b*x))/(12*a*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*sqrt(a)*(3*A*b - 7*a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*b^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((A*b - 5*a*B)*x^(3//2))/(4*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*x^(5//2))/(2*a*b*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*(A*b - 5*a*B)*sqrt(x)*(a + b*x))/(4*a*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*(A*b - 5*a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)*b^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 6),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -((A*b + 3*a*B)*sqrt(x))/(4*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*x^(3//2))/(2*a*b*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b + 3*a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*b^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 5),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), ((3*A*b + a*B)*sqrt(x))/(4*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*sqrt(x))/(2*a*b*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((3*A*b + a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*a^(5//2)*b^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 5),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), (5*A*b - a*B)/(4*a^2*b*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (A*b - a*B)/(2*a*b*sqrt(x)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*(5*A*b - a*B)*(a + b*x))/(4*a^3*b*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*(5*A*b - a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*a^(7//2)*sqrt(b)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 6),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), (7*A*b - 3*a*B)/(4*a^2*b*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (A*b - a*B)/(2*a*b*x^(3//2)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*(7*A*b - 3*a*B)*(a + b*x))/(12*a^3*b*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*(7*A*b - 3*a*B)*(a + b*x))/(4*a^4*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*sqrt(b)*(7*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*a^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+((A + B*x)/(x^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), (9*A*b - 5*a*B)/(4*a^2*b*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (A*b - a*B)/(2*a*b*x^(5//2)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (7*(9*A*b - 5*a*B)*(a + b*x))/(20*a^3*b*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (7*(9*A*b - 5*a*B)*(a + b*x))/(12*a^4*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (7*b*(9*A*b - 5*a*B)*(a + b*x))/(4*a^5*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (7*b^(3//2)*(9*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(4*a^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 8),
+
+
+((x^(11//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (33*(5*A*b - 13*a*B)*x^(7//2))/(64*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*x^(13//2))/(4*a*b*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((5*A*b - 13*a*B)*x^(11//2))/(24*a*b^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (11*(5*A*b - 13*a*B)*x^(9//2))/(96*a*b^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (231*a*(5*A*b - 13*a*B)*sqrt(x)*(a + b*x))/(64*b^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (77*(5*A*b - 13*a*B)*x^(3//2)*(a + b*x))/(64*b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (231*(5*A*b - 13*a*B)*x^(5//2)*(a + b*x))/(320*a*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (231*a^(3//2)*(5*A*b - 13*a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(64*b^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 10),
+((x^(9//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (21*(3*A*b - 11*a*B)*x^(5//2))/(64*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*x^(11//2))/(4*a*b*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((3*A*b - 11*a*B)*x^(9//2))/(24*a*b^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*(3*A*b - 11*a*B)*x^(7//2))/(32*a*b^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (105*(3*A*b - 11*a*B)*sqrt(x)*(a + b*x))/(64*b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*(3*A*b - 11*a*B)*x^(3//2)*(a + b*x))/(64*a*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (105*sqrt(a)*(3*A*b - 11*a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(64*b^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 9),
+((x^(7//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (35*(A*b - 9*a*B)*x^(3//2))/(192*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*x^(9//2))/(4*a*b*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - 9*a*B)*x^(7//2))/(24*a*b^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (7*(A*b - 9*a*B)*x^(5//2))/(96*a*b^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*(A*b - 9*a*B)*sqrt(x)*(a + b*x))/(64*a*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (35*(A*b - 9*a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(64*sqrt(a)*b^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 8),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (-5*(A*b + 7*a*B)*sqrt(x))/(64*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*x^(7//2))/(4*a*b*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b + 7*a*B)*x^(5//2))/(24*a*b^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*(A*b + 7*a*B)*x^(3//2))/(96*a*b^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*(A*b + 7*a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(64*a^(3//2)*b^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((3*A*b + 5*a*B)*sqrt(x))/(64*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*x^(5//2))/(4*a*b*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((3*A*b + 5*a*B)*x^(3//2))/(24*a*b^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((3*A*b + 5*a*B)*sqrt(x))/(32*a*b^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((3*A*b + 5*a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(64*a^(5//2)*b^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((5*A*b + 3*a*B)*sqrt(x))/(64*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*x^(3//2))/(4*a*b*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((5*A*b + 3*a*B)*sqrt(x))/(24*a*b^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((5*A*b + 3*a*B)*sqrt(x))/(96*a^2*b^2*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((5*A*b + 3*a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(64*a^(7//2)*b^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (5*(7*A*b + a*B)*sqrt(x))/(64*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*sqrt(x))/(4*a*b*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((7*A*b + a*B)*sqrt(x))/(24*a^2*b*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*(7*A*b + a*B)*sqrt(x))/(96*a^3*b*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*(7*A*b + a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(64*a^(9//2)*b^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (35*(9*A*b - a*B))/(192*a^4*b*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (A*b - a*B)/(4*a*b*sqrt(x)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (9*A*b - a*B)/(24*a^2*b*sqrt(x)*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (7*(9*A*b - a*B))/(96*a^3*b*sqrt(x)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*(9*A*b - a*B)*(a + b*x))/(64*a^5*b*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*(9*A*b - a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(64*a^(11//2)*sqrt(b)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 8),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (21*(11*A*b - 3*a*B))/(64*a^4*b*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (A*b - a*B)/(4*a*b*x^(3//2)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (11*A*b - 3*a*B)/(24*a^2*b*x^(3//2)*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*(11*A*b - 3*a*B))/(32*a^3*b*x^(3//2)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*(11*A*b - 3*a*B)*(a + b*x))/(64*a^5*b*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (105*(11*A*b - 3*a*B)*(a + b*x))/(64*a^6*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (105*sqrt(b)*(11*A*b - 3*a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(64*a^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 9),
+((A + B*x)/(x^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (33*(13*A*b - 5*a*B))/(64*a^4*b*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (A*b - a*B)/(4*a*b*x^(5//2)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (13*A*b - 5*a*B)/(24*a^2*b*x^(5//2)*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (11*(13*A*b - 5*a*B))/(96*a^3*b*x^(5//2)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (231*(13*A*b - 5*a*B)*(a + b*x))/(320*a^5*b*x^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (77*(13*A*b - 5*a*B)*(a + b*x))/(64*a^6*x^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (231*b*(13*A*b - 5*a*B)*(a + b*x))/(64*a^7*sqrt(x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (231*b^(3//2)*(13*A*b - 5*a*B)*(a + b*x)*atan((sqrt(b)*sqrt(x))/sqrt(a)))/(64*a^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 10),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (A+B x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^p when m symbolic
+
+
+(x^m*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (a^6*A*x^(1 + m))/(1 + m) + (a^5*(6*A*b + a*B)*x^(2 + m))/(2 + m) + (3*a^4*b*(5*A*b + 2*a*B)*x^(3 + m))/(3 + m) + (5*a^3*b^2*(4*A*b + 3*a*B)*x^(4 + m))/(4 + m) + (5*a^2*b^3*(3*A*b + 4*a*B)*x^(5 + m))/(5 + m) + (3*a*b^4*(2*A*b + 5*a*B)*x^(6 + m))/(6 + m) + (b^5*(A*b + 6*a*B)*x^(7 + m))/(7 + m) + (b^6*B*x^(8 + m))/(8 + m), x, 3),
+(x^m*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (a^4*A*x^(1 + m))/(1 + m) + (a^3*(4*A*b + a*B)*x^(2 + m))/(2 + m) + (2*a^2*b*(3*A*b + 2*a*B)*x^(3 + m))/(3 + m) + (2*a*b^2*(2*A*b + 3*a*B)*x^(4 + m))/(4 + m) + (b^3*(A*b + 4*a*B)*x^(5 + m))/(5 + m) + (b^4*B*x^(6 + m))/(6 + m), x, 3),
+(x^m*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^1, (a^2*A*x^(1 + m))/(1 + m) + (a*(2*A*b + a*B)*x^(2 + m))/(2 + m) + (b*(A*b + 2*a*B)*x^(3 + m))/(3 + m) + (b^2*B*x^(4 + m))/(4 + m), x, 3),
+(x^m*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^1, ((A*b - a*B)*x^(1 + m))/(a*b*(a + b*x)) - ((A*b*m - a*B*(1 + m))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)))/(a^2*b*(1 + m)), x, 3),
+(x^m*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((A*b - a*B)*x^(1 + m))/(3*a*b*(a + b*x)^3) + ((A*b*(2 - m) + a*B*(1 + m))*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)))/(3*a^4*b*(1 + m)), x, 3),
+
+
+(x^m*(1 + x)*(1 + 2*x + x^2)^5, x^(1 + m)/(1 + m) + (11*x^(2 + m))/(2 + m) + (55*x^(3 + m))/(3 + m) + (165*x^(4 + m))/(4 + m) + (330*x^(5 + m))/(5 + m) + (462*x^(6 + m))/(6 + m) + (462*x^(7 + m))/(7 + m) + (330*x^(8 + m))/(8 + m) + (165*x^(9 + m))/(9 + m) + (55*x^(10 + m))/(10 + m) + (11*x^(11 + m))/(11 + m) + x^(12 + m)/(12 + m), x, 3),
+
+(x^m*(d + e*x)*(1 + 2*x + x^2)^5, (d*x^(1 + m))/(1 + m) + ((10*d + e)*x^(2 + m))/(2 + m) + (5*(9*d + 2*e)*x^(3 + m))/(3 + m) + (15*(8*d + 3*e)*x^(4 + m))/(4 + m) + (30*(7*d + 4*e)*x^(5 + m))/(5 + m) + (42*(6*d + 5*e)*x^(6 + m))/(6 + m) + (42*(5*d + 6*e)*x^(7 + m))/(7 + m) + (30*(4*d + 7*e)*x^(8 + m))/(8 + m) + (15*(3*d + 8*e)*x^(9 + m))/(9 + m) + (5*(2*d + 9*e)*x^(10 + m))/(10 + m) + ((d + 10*e)*x^(11 + m))/(11 + m) + (e*x^(12 + m))/(12 + m), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (A+B x) (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2), (a*A*x^4)/4 + ((A*b + a*B)*x^5)/5 + ((b*B + A*c)*x^6)/6 + (B*c*x^7)/7, x, 2),
+(x^2*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2), (a*A*x^3)/3 + ((A*b + a*B)*x^4)/4 + ((b*B + A*c)*x^5)/5 + (B*c*x^6)/6, x, 2),
+(x^1*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2), (a*A*x^2)/2 + ((A*b + a*B)*x^3)/3 + ((b*B + A*c)*x^4)/4 + (B*c*x^5)/5, x, 2),
+(x^0*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2), a*A*x + ((A*b + a*B)*x^2)/2 + ((b*B + A*c)*x^3)/3 + (B*c*x^4)/4, x, 2),
+
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2))/x^1, (A*b + a*B)*x + ((b*B + A*c)*x^2)/2 + (B*c*x^3)/3 + a*A*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2))/x^2, -((a*A)/x) + (b*B + A*c)*x + (B*c*x^2)/2 + (A*b + a*B)*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2))/x^3, -(a*A)/(2*x^2) - (A*b + a*B)/x + B*c*x + (b*B + A*c)*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2))/x^4, -((a*A)/(3*x^3)) - (A*b + a*B)/(2*x^2) - (b*B + A*c)/x + B*c*log(x), x, 2),
+
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2))/x^5, -((a*A)/(4*x^4)) - (A*b + a*B)/(3*x^3) - (b*B + A*c)/(2*x^2) - (B*c)/x, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2))/x^6, -((a*A)/(5*x^5)) - (A*b + a*B)/(4*x^4) - (b*B + A*c)/(3*x^3) - (B*c)/(2*x^2), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2))/x^7, -((a*A)/(6*x^6)) - (A*b + a*B)/(5*x^5) - (b*B + A*c)/(4*x^4) - (B*c)/(3*x^3), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2))/x^8, -((a*A)/(7*x^7)) - (A*b + a*B)/(6*x^6) - (b*B + A*c)/(5*x^5) - (B*c)/(4*x^4), x, 2),
+
+
+(x^2*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2, (1//3)*a^2*A*x^3 + (1//4)*a*(2*A*b + a*B)*x^4 + (1//5)*(2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))*x^5 + (1//6)*(b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)*x^6 + (1//7)*c*(2*b*B + A*c)*x^7 + (1//8)*B*c^2*x^8, x, 2),
+(x^1*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2, (1//2)*a^2*A*x^2 + (1//3)*a*(2*A*b + a*B)*x^3 + (1//4)*(2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))*x^4 + (1//5)*(b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)*x^5 + (1//6)*c*(2*b*B + A*c)*x^6 + (1//7)*B*c^2*x^7, x, 2),
+(x^0*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2, a^2*A*x + (1//2)*a*(2*A*b + a*B)*x^2 + (1//3)*(2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))*x^3 + (1//4)*(b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)*x^4 + (1//5)*c*(2*b*B + A*c)*x^5 + (1//6)*B*c^2*x^6, x, 2),
+
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/x^1, a*(2*A*b + a*B)*x + (1//2)*(2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))*x^2 + (1//3)*(b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)*x^3 + (1//4)*c*(2*b*B + A*c)*x^4 + (1//5)*B*c^2*x^5 + a^2*A*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/x^2, -((a^2*A)/x) + (2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))*x + (1//2)*(b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)*x^2 + (1//3)*c*(2*b*B + A*c)*x^3 + (1//4)*B*c^2*x^4 + a*(2*A*b + a*B)*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/x^3, -((a^2*A)/(2*x^2)) - (a*(2*A*b + a*B))/x + (b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)*x + (1//2)*c*(2*b*B + A*c)*x^2 + (1//3)*B*c^2*x^3 + (2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/x^4, -((a^2*A)/(3*x^3)) - (a*(2*A*b + a*B))/(2*x^2) - (2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))/x + c*(2*b*B + A*c)*x + (1//2)*B*c^2*x^2 + (b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/x^5, -((a^2*A)/(4*x^4)) - (a*(2*A*b + a*B))/(3*x^3) - (2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))/(2*x^2) - (b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)/x + B*c^2*x + c*(2*b*B + A*c)*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/x^6, -((a^2*A)/(5*x^5)) - (a*(2*A*b + a*B))/(4*x^4) - (2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))/(3*x^3) - (b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)/(2*x^2) - (c*(2*b*B + A*c))/x + B*c^2*log(x), x, 2),
+
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/x^7, -((a^2*A)/(6*x^6)) - (a*(2*A*b + a*B))/(5*x^5) - (2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))/(4*x^4) - (b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)/(3*x^3) - (c*(2*b*B + A*c))/(2*x^2) - (B*c^2)/x, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/x^8, -((a^2*A)/(7*x^7)) - (a*(2*A*b + a*B))/(6*x^6) - (2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))/(5*x^5) - (b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)/(4*x^4) - (c*(2*b*B + A*c))/(3*x^3) - (B*c^2)/(2*x^2), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/x^9, -((a^2*A)/(8*x^8)) - (a*(2*A*b + a*B))/(7*x^7) - (2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))/(6*x^6) - (b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)/(5*x^5) - (c*(2*b*B + A*c))/(4*x^4) - (B*c^2)/(3*x^3), x, 2),
+
+
+(x^2*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3, (1//3)*a^3*A*x^3 + (1//4)*a^2*(3*A*b + a*B)*x^4 + (3//5)*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x^5 + (1//6)*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^6 + (1//7)*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^7 + (3//8)*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^8 + (1//9)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^9 + (1//10)*B*c^3*x^10, x, 2),
+(x*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3, (1//2)*a^3*A*x^2 + (1//3)*a^2*(3*A*b + a*B)*x^3 + (3//4)*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x^4 + (1//5)*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^5 + (1//6)*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^6 + (3//7)*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^7 + (1//8)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^8 + (1//9)*B*c^3*x^9, x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3, a^3*A*x + (1//2)*a^2*(3*A*b + a*B)*x^2 + a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x^3 + (1//4)*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^4 + (1//5)*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^5 + (1//2)*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^6 + (1//7)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^7 + (1//8)*B*c^3*x^8, x, 2),
+
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/x, a^2*(3*A*b + a*B)*x + (3//2)*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x^2 + (1//3)*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^3 + (1//4)*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^4 + (3//5)*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^5 + (1//6)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^6 + (1//7)*B*c^3*x^7 + a^3*A*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/x^2, -((a^3*A)/x) + 3*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x + (1//2)*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^2 + (1//3)*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^3 + (3//4)*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^4 + (1//5)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^5 + (1//6)*B*c^3*x^6 + a^2*(3*A*b + a*B)*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/x^3, -((a^3*A)/(2*x^2)) - (a^2*(3*A*b + a*B))/x + (3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x + (1//2)*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^2 + c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^3 + (1//4)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^4 + (1//5)*B*c^3*x^5 + 3*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/x^4, -((a^3*A)/(3*x^3)) - (a^2*(3*A*b + a*B))/(2*x^2) - (3*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c)))/x + (b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x + (3//2)*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^2 + (1//3)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^3 + (1//4)*B*c^3*x^4 + (3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/x^5, -((a^3*A)/(4*x^4)) - (a^2*(3*A*b + a*B))/(3*x^3) - (3*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c)))/(2*x^2) - (3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))/x + 3*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x + (1//2)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^2 + (1//3)*B*c^3*x^3 + (b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/x^6, -((a^3*A)/(5*x^5)) - (a^2*(3*A*b + a*B))/(4*x^4) - (a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c)))/x^3 - (3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))/(2*x^2) - (b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)/x + c^2*(3*b*B + A*c)*x + (1//2)*B*c^3*x^2 + 3*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/x^7, -((a^3*A)/(6*x^6)) - (a^2*(3*A*b + a*B))/(5*x^5) - (3*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c)))/(4*x^4) - (3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))/(3*x^3) - (b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)/(2*x^2) - (3*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c))/x + B*c^3*x + c^2*(3*b*B + A*c)*log(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/x^8, -((a^3*A)/(7*x^7)) - (a^2*(3*A*b + a*B))/(6*x^6) - (3*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c)))/(5*x^5) - (3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))/(4*x^4) - (b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)/(3*x^3) - (3*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c))/(2*x^2) - (c^2*(3*b*B + A*c))/x + B*c^3*log(x), x, 2),
+
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/x^9, -((a^3*A)/(8*x^8)) - (a^2*(3*A*b + a*B))/(7*x^7) - (a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c)))/(2*x^6) - (3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))/(5*x^5) - (b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)/(4*x^4) - (c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c))/x^3 - (c^2*(3*b*B + A*c))/(2*x^2) - (B*c^3)/x, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/x^10, -((a^3*A)/(9*x^9)) - (a^2*(3*A*b + a*B))/(8*x^8) - (3*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c)))/(7*x^7) - (3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))/(6*x^6) - (b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)/(5*x^5) - (3*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c))/(4*x^4) - (c^2*(3*b*B + A*c))/(3*x^3) - (B*c^3)/(2*x^2), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/x^11, -((a^3*A)/(10*x^10)) - (a^2*(3*A*b + a*B))/(9*x^9) - (3*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c)))/(8*x^8) - (3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))/(7*x^7) - (b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)/(6*x^6) - (3*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c))/(5*x^5) - (c^2*(3*b*B + A*c))/(4*x^4) - (B*c^3)/(3*x^3), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4*(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2), ((b^2*c*d - a*c^2*d - b^3*e + 2*a*b*c*e)*x)/c^4 - ((b*c*d - b^2*e + a*c*e)*x^2)/(2*c^3) + ((c*d - b*e)*x^3)/(3*c^2) + (e*x^4)/(4*c) - ((b^4*c*d - 4*a*b^2*c^2*d + 2*a^2*c^3*d - b^5*e + 5*a*b^3*c*e - 5*a^2*b*c^2*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^5*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((b^3*c*d - 2*a*b*c^2*d - b^4*e + 3*a*b^2*c*e - a^2*c^2*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^5), x, 6),
+(x^3*(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2), -(((b*c*d - b^2*e + a*c*e)*x)/c^3) + ((c*d - b*e)*x^2)/(2*c^2) + (e*x^3)/(3*c) + ((b^3*c*d - 3*a*b*c^2*d - b^4*e + 4*a*b^2*c*e - 2*a^2*c^2*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^4*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((b^2*c*d - a*c^2*d - b^3*e + 2*a*b*c*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^4), x, 6),
+(x^2*(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2), ((c*d - b*e)*x)/c^2 + (e*x^2)/(2*c) - ((b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((b*c*d - b^2*e + a*c*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^3), x, 6),
+(x^1*(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2), (e*x)/c + ((b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((c*d - b*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^2), x, 5),
+(x^0*(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2), -(((2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (e*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c), x, 4),
+
+((d + e*x)/(x^1*(a + b*x + c*x^2)), ((b*d - 2*a*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (d*log(x))/a - (d*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a), x, 6),
+((d + e*x)/(x^2*(a + b*x + c*x^2)), -(d/(a*x)) - ((b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((b*d - a*e)*log(x))/a^2 + ((b*d - a*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a^2), x, 6),
+((d + e*x)/(x^3*(a + b*x + c*x^2)), -(d/(2*a*x^2)) + (b*d - a*e)/(a^2*x) + ((b^3*d - 3*a*b*c*d - a*b^2*e + 2*a^2*c*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((b^2*d - a*c*d - a*b*e)*log(x))/a^3 - ((b^2*d - a*c*d - a*b*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a^3), x, 6),
+((d + e*x)/(x^4*(a + b*x + c*x^2)), -(d/(3*a*x^3)) + (b*d - a*e)/(2*a^2*x^2) - (b^2*d - a*c*d - a*b*e)/(a^3*x) - ((b^4*d - 4*a*b^2*c*d + 2*a^2*c^2*d - a*b^3*e + 3*a^2*b*c*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^4*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((b^3*d - 2*a*b*c*d - a*b^2*e + a^2*c*e)*log(x))/a^4 + ((b^3*d - 2*a*b*c*d - a*b^2*e + a^2*c*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a^4), x, 6),
+
+
+(x^4*(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2)^2, ((2*b^2*c*d - 6*a*c^2*d - 3*b^3*e + 11*a*b*c*e)*x)/(c^3*(b^2 - 4*a*c)) - ((2*b*c*d - 3*b^2*e + 8*a*c*e)*x^2)/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)) + (x^3*(a*(2*c*d - b*e) + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) - ((2*b^4*c*d - 12*a*b^2*c^2*d + 12*a^2*c^3*d - 3*b^5*e + 20*a*b^3*c*e - 30*a^2*b*c^2*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^4*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) - ((2*b*c*d - 3*b^2*e + 2*a*c*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^4), x, 7),
+(x^3*(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2)^2, -(((b*c*d - 2*b^2*e + 6*a*c*e)*x)/(c^2*(b^2 - 4*a*c))) + (x^2*(a*(2*c*d - b*e) + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + ((b^3*c*d - 6*a*b*c^2*d - 2*b^4*e + 12*a*b^2*c*e - 12*a^2*c^2*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + ((c*d - 2*b*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^3), x, 6),
+(x^2*(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2)^2, (x*(a*(2*c*d - b*e) + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + ((b^3*e + 2*a*c*(2*c*d - 3*b*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + (e*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^2), x, 5),
+(x^1*(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2)^2, (a*(2*c*d - b*e) + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*x)/(c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) - (2*(b*d - 2*a*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 3),
+(x^0*(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2)^2, -((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2))) + (2*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 3),
+
+((d + e*x)/(x^1*(a + b*x + c*x^2)^2), (b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e + c*(b*d - 2*a*e)*x)/(a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + ((b^3*d - 6*a*b*c*d + 4*a^2*c*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + (d*log(x))/a^2 - (d*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a^2), x, 7),
+((d + e*x)/(x^2*(a + b*x + c*x^2)^2), -((2*b^2*d - 6*a*c*d - a*b*e)/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*x)) + (b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e + c*(b*d - 2*a*e)*x)/(a*(b^2 - 4*a*c)*x*(a + b*x + c*x^2)) - ((2*b^4*d - 12*a*b^2*c*d + 12*a^2*c^2*d - a*b^3*e + 6*a^2*b*c*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) - ((2*b*d - a*e)*log(x))/a^3 + ((2*b*d - a*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a^3), x, 7),
+((d + e*x)/(x^3*(a + b*x + c*x^2)^2), -((3*b^2*d - 8*a*c*d - 2*a*b*e)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^2)) + (3*b^3*d - 11*a*b*c*d - 2*a*b^2*e + 6*a^2*c*e)/(a^3*(b^2 - 4*a*c)*x) + (b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e + c*(b*d - 2*a*e)*x)/(a*(b^2 - 4*a*c)*x^2*(a + b*x + c*x^2)) + ((3*b^5*d - 20*a*b^3*c*d + 30*a^2*b*c^2*d - 2*a*b^4*e + 12*a^2*b^2*c*e - 12*a^3*c^2*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^4*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + ((3*b^2*d - 2*a*c*d - 2*a*b*e)*log(x))/a^4 - ((3*b^2*d - 2*a*c*d - 2*a*b*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a^4), x, 7),
+
+
+((5 + 2*x)/(4 + 5*x + x^2), log(4 + 5*x + x^2), x, 1),
+((7 + 3*x)/(8 + 6*x + x^2), (1//2)*log(2 + x) + (5//2)*log(4 + x), x, 3),
+((5 + 2*x)/(5 + 4*x + x^2), atan(2 + x) + log(5 + 4*x + x^2), x, 4),
+((-2 + 7*x)/(42 - 16*x + 2*x^2), -((13*atan((4 - x)/sqrt(5)))/sqrt(5)) + (7//4)*log(21 - 8*x + x^2), x, 4),
+
+((3 + x)/(1 + 3*x + x^2), (1//10)*(5 + 3*sqrt(5))*log(3 - sqrt(5) + 2*x) + (1//10)*(5 - 3*sqrt(5))*log(3 + sqrt(5) + 2*x), x, 3),
+((-1 + 2*x)/(1 + 8*x + 4*x^2), (1//4)*(1 - sqrt(3))*log(2 - sqrt(3) + 2*x) + (1//4)*(1 + sqrt(3))*log(2 + sqrt(3) + 2*x), x, 3),
+
+
+((3 + 2*x)/(13 + 12*x + 4*x^2)^2, -(1/(4*(13 + 12*x + 4*x^2))), x, 1),
+((4 + x)/(5 + 4*x + x^2)^2, (3 + 2*x)/(2*(5 + 4*x + x^2)) + atan(2 + x), x, 3),
+((-1 + 3*x)/(1 + x + x^2)^2, -((7 + 5*x)/(3*(1 + x + x^2))) - (10*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)), x, 3),
+
+((1 + x)/(1 - x + x^2)^3, -((1 - x)/(2*(1 - x + x^2)^2)) - (1 - 2*x)/(2*(1 - x + x^2)) - (2*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/sqrt(3), x, 4),
+
+
+# The following integrands are equal.
+(1/(A + B*x), log(A + B*x)/B, x, 1),
+((A + B*x)/(A^2 + 2*A*B*x + B^2*x^2), log(A + B*x)/B, x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (A+B x) (a+b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^4*(A + B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2), -(((33*b^5*B - 42*A*b^4*c - 120*a*b^3*B*c + 112*a*A*b^2*c^2 + 80*a^2*b*B*c^2 - 32*a^2*A*c^3)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1024*c^6)) + ((33*b^2*B - 42*A*b*c - 32*a*B*c)*x^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(280*c^3) - ((11*b*B - 14*A*c)*x^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(84*c^2) + (B*x^4*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*c) + ((1155*b^4*B - 1470*A*b^3*c - 3276*a*b^2*B*c + 2744*a*A*b*c^2 + 1024*a^2*B*c^2 - 6*c*(231*b^3*B - 294*A*b^2*c - 444*a*b*B*c + 280*a*A*c^2)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(13440*c^5) + ((b^2 - 4*a*c)*(33*b^5*B - 42*A*b^4*c - 120*a*b^3*B*c + 112*a*A*b^2*c^2 + 80*a^2*b*B*c^2 - 32*a^2*A*c^3)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2048*c^(13//2)), x, 7),
+(x^3*(A + B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2), ((21*b^4*B - 28*A*b^3*c - 56*a*b^2*B*c + 48*a*A*b*c^2 + 16*a^2*B*c^2)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(512*c^5) - ((3*b*B - 4*A*c)*x^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(20*c^2) + (B*x^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(6*c) - ((105*b^3*B - 140*A*b^2*c - 196*a*b*B*c + 128*a*A*c^2 - 6*c*(21*b^2*B - 28*A*b*c - 20*a*B*c)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(960*c^4) - ((b^2 - 4*a*c)*(21*b^4*B - 28*A*b^3*c - 56*a*b^2*B*c + 48*a*A*b*c^2 + 16*a^2*B*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(1024*c^(11//2)), x, 6),
+(x^2*(A + B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2), -(((7*b^3*B - 10*A*b^2*c - 12*a*b*B*c + 8*a*A*c^2)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(128*c^4)) + (B*x^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*c) + ((35*b^2*B - 50*A*b*c - 32*a*B*c - 6*c*(7*b*B - 10*A*c)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(240*c^3) + ((b^2 - 4*a*c)*(7*b^3*B - 10*A*b^2*c - 12*a*b*B*c + 8*a*A*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*c^(9//2)), x, 5),
+(x*(A + B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2), ((5*b^2*B - 8*A*b*c - 4*a*B*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*c^3) - ((5*b*B - 8*A*c - 6*B*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*c^2) - ((b^2 - 4*a*c)*(5*b^2*B - 8*A*b*c - 4*a*B*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(7//2)), x, 4),
+((A + B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2), -((b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c^2) + (B*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*c) + ((b^2 - 4*a*c)*(b*B - 2*A*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(5//2)), x, 4),
+(((A + B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/x, ((b*B + 4*A*c + 2*B*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c) - sqrt(a)*A*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - ((b^2*B - 4*A*b*c - 4*a*B*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(3//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/x^2, -(((A - B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/x) - ((A*b + 2*a*B)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(a)) + ((b*B + 2*A*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/x^3, -(((2*a*A + (A*b + 4*a*B)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*a*x^2)) + ((A*b^2 - 4*a*b*B - 4*a*A*c)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*a^(3//2)) + B*sqrt(c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/x^4, ((A*b - 2*a*B)*(2*a + b*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*a^2*x^2) - (A*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*a*x^3) - ((A*b - 2*a*B)*(b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*a^(5//2)), x, 4),
+(((A + B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/x^5, -(((5*A*b^2 - 8*a*b*B - 4*a*A*c)*(2*a + b*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*a^3*x^2)) - (A*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(4*a*x^4) + ((5*A*b - 8*a*B)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*a^2*x^3) + ((b^2 - 4*a*c)*(5*A*b^2 - 8*a*b*B - 4*a*A*c)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*a^(7//2)), x, 5),
+(((A + B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/x^6, ((7*A*b^3 - 10*a*b^2*B - 12*a*A*b*c + 8*a^2*B*c)*(2*a + b*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(128*a^4*x^2) - (A*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*a*x^5) + ((7*A*b - 10*a*B)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(40*a^2*x^4) - ((35*A*b^2 - 50*a*b*B - 32*a*A*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(240*a^3*x^3) + ((b^2 - 4*a*c)*(2*a*B*(5*b^2 - 4*a*c) - A*(7*b^3 - 12*a*b*c))*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*a^(9//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/x^7, ((4*a*b*B*(7*b^2 - 12*a*c) - A*(21*b^4 - 56*a*b^2*c + 16*a^2*c^2))*(2*a + b*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(512*a^5*x^2) - (A*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(6*a*x^6) + ((3*A*b - 4*a*B)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(20*a^2*x^5) - ((21*A*b^2 - 28*a*b*B - 20*a*A*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(160*a^3*x^4) + ((105*A*b^3 - 140*a*b^2*B - 196*a*A*b*c + 128*a^2*B*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(960*a^4*x^3) - ((b^2 - 4*a*c)*(4*a*b*B*(7*b^2 - 12*a*c) - A*(21*b^4 - 56*a*b^2*c + 16*a^2*c^2))*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(1024*a^(11//2)), x, 7),
+
+
+(x^4*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), ((b^2 - 4*a*c)*(143*b^5*B - 198*A*b^4*c - 440*a*b^3*B*c + 432*a*A*b^2*c^2 + 240*a^2*b*B*c^2 - 96*a^2*A*c^3)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(32768*c^7) - ((143*b^5*B - 198*A*b^4*c - 440*a*b^3*B*c + 432*a*A*b^2*c^2 + 240*a^2*b*B*c^2 - 96*a^2*A*c^3)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(12288*c^6) + ((143*b^2*B - 198*A*b*c - 128*a*B*c)*x^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(2016*c^3) - ((13*b*B - 18*A*c)*x^3*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(144*c^2) + (B*x^4*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(9*c) + ((3003*b^4*B - 4158*A*b^3*c - 7524*a*b^2*B*c + 6696*a*A*b*c^2 + 2048*a^2*B*c^2 - 10*c*(429*b^3*B - 594*A*b^2*c - 748*a*b*B*c + 504*a*A*c^2)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(80640*c^5) - ((b^2 - 4*a*c)^2*(143*b^5*B - 198*A*b^4*c - 440*a*b^3*B*c + 432*a*A*b^2*c^2 + 240*a^2*b*B*c^2 - 96*a^2*A*c^3)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(65536*c^(15//2)), x, 8),
+(x^3*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((3*(b^2 - 4*a*c)*(33*b^4*B - 48*A*b^3*c - 72*a*b^2*B*c + 64*a*A*b*c^2 + 16*a^2*B*c^2)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(16384*c^6)) + ((33*b^4*B - 48*A*b^3*c - 72*a*b^2*B*c + 64*a*A*b*c^2 + 16*a^2*B*c^2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(2048*c^5) - ((11*b*B - 16*A*c)*x^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(112*c^2) + (B*x^3*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(8*c) - ((231*b^3*B - 336*A*b^2*c - 372*a*b*B*c + 256*a*A*c^2 - 10*c*(33*b^2*B - 48*A*b*c - 28*a*B*c)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(4480*c^4) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*(33*b^4*B - 48*A*b^3*c - 72*a*b^2*B*c + 64*a*A*b*c^2 + 16*a^2*B*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(32768*c^(13//2)), x, 7),
+(x^2*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), ((b^2 - 4*a*c)*(9*b^3*B - 14*A*b^2*c - 12*a*b*B*c + 8*a*A*c^2)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1024*c^5) - ((9*b^3*B - 14*A*b^2*c - 12*a*b*B*c + 8*a*A*c^2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(384*c^4) + (B*x^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(7*c) + ((63*b^2*B - 98*A*b*c - 48*a*B*c - 10*c*(9*b*B - 14*A*c)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(840*c^3) - ((b^2 - 4*a*c)^2*(9*b^3*B - 14*A*b^2*c - 12*a*b*B*c + 8*a*A*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2048*c^(11//2)), x, 6),
+(x*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -(((b^2 - 4*a*c)*(7*b^2*B - 12*A*b*c - 4*a*B*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(512*c^4)) + ((7*b^2*B - 12*A*b*c - 4*a*B*c)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*c^3) - ((7*b*B - 12*A*c - 10*B*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(60*c^2) + ((b^2 - 4*a*c)^2*(7*b^2*B - 12*A*b*c - 4*a*B*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(1024*c^(9//2)), x, 5),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (3*(b^2 - 4*a*c)*(b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(128*c^3) - ((b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(16*c^2) + (B*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*c) - (3*(b^2 - 4*a*c)^2*(b*B - 2*A*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*c^(7//2)), x, 5),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/x, -(((3*b^3*B - 8*A*b^2*c - 12*a*b*B*c - 64*a*A*c^2 + 2*c*(3*b^2*B - 8*A*b*c - 12*a*B*c)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*c^2)) + ((3*b*B + 8*A*c + 6*B*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*c) - a^(3//2)*A*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + ((64*a*A*b*c^2 + (b^2 - 4*a*c)*(3*b^2*B - 8*A*b*c - 12*a*B*c))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(5//2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/x^2, ((b^2*B + 18*A*b*c + 8*a*B*c + 2*c*(b*B + 6*A*c)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c) - ((3*A - B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*x) - (sqrt(a)*(3*A*b + 2*a*B)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/2 - ((b^3*B - 6*A*b^2*c - 12*a*b*B*c - 24*a*A*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/x^3, -((3*(A*b + 2*a*B - (b*B + 2*A*c)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*x)) - ((A - B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(2*x^2) - (3*(4*a*b*B + A*(b^2 + 4*a*c))*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(a)) + (3*(b^2*B + 4*A*b*c + 4*a*B*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(c)), x, 7),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/x^4, ((A*b^2 - 6*a*b*B - 8*a*A*c + 2*(A*b + 6*a*B)*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*a*x) - ((4*a*A + 3*(A*b + 2*a*B)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(12*a*x^3) - ((6*a*B*(b^2 + 4*a*c) - A*(b^3 - 12*a*b*c))*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*a^(3//2)) + (1//2)*sqrt(c)*(3*b*B + 2*A*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))), x, 7),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/x^5, -(((2*a*(8*a*b*B - 3*A*(b^2 - 4*a*c)) + (8*a*B*(b^2 + 8*a*c) - 3*A*(b^3 - 4*a*b*c))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*a^2*x^2)) - ((6*a*A + (3*A*b + 8*a*B)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*a*x^4) + ((8*a*b*B*(b^2 - 12*a*c) - 3*A*(b^2 - 4*a*c)^2)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*a^(5//2)) + B*c^(3//2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))), x, 7),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/x^6, -((3*(A*b - 2*a*B)*(b^2 - 4*a*c)*(2*a + b*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(128*a^3*x^2)) + ((A*b - 2*a*B)*(2*a + b*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(16*a^2*x^4) - (A*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*a*x^5) + (3*(A*b - 2*a*B)*(b^2 - 4*a*c)^2*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*a^(7//2)), x, 5),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/x^7, ((b^2 - 4*a*c)*(7*A*b^2 - 12*a*b*B - 4*a*A*c)*(2*a + b*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(512*a^4*x^2) - ((7*A*b^2 - 12*a*b*B - 4*a*A*c)*(2*a + b*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*a^3*x^4) - (A*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(6*a*x^6) + ((7*A*b - 12*a*B)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(60*a^2*x^5) - ((b^2 - 4*a*c)^2*(7*A*b^2 - 12*a*b*B - 4*a*A*c)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(1024*a^(9//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/x^8, -(((b^2 - 4*a*c)*(9*A*b^3 - 14*a*b^2*B - 12*a*A*b*c + 8*a^2*B*c)*(2*a + b*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1024*a^5*x^2)) + ((9*A*b^3 - 14*a*b^2*B - 12*a*A*b*c + 8*a^2*B*c)*(2*a + b*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(384*a^4*x^4) - (A*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(7*a*x^7) + ((9*A*b - 14*a*B)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(84*a^2*x^6) - ((63*A*b^2 - 98*a*b*B - 48*a*A*c)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(840*a^3*x^5) - ((b^2 - 4*a*c)^2*(2*a*B*(7*b^2 - 4*a*c) - A*(9*b^3 - 12*a*b*c))*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2048*a^(11//2)), x, 7),
+
+
+(x^4*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -(((b^2 - 4*a*c)^2*(195*b^5*B - 286*A*b^4*c - 520*a*b^3*B*c + 528*a*A*b^2*c^2 + 240*a^2*b*B*c^2 - 96*a^2*A*c^3)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(262144*c^8)) + ((b^2 - 4*a*c)*(195*b^5*B - 286*A*b^4*c - 520*a*b^3*B*c + 528*a*A*b^2*c^2 + 240*a^2*b*B*c^2 - 96*a^2*A*c^3)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(98304*c^7) - ((195*b^5*B - 286*A*b^4*c - 520*a*b^3*B*c + 528*a*A*b^2*c^2 + 240*a^2*b*B*c^2 - 96*a^2*A*c^3)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(30720*c^6) + ((195*b^2*B - 286*A*b*c - 160*a*B*c)*x^2*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(3960*c^3) - ((15*b*B - 22*A*c)*x^3*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(220*c^2) + (B*x^4*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(11*c) + ((19305*b^4*B - 28314*A*b^3*c - 42900*a*b^2*B*c + 39688*a*A*b*c^2 + 10240*a^2*B*c^2 - 14*c*(2145*b^3*B - 3146*A*b^2*c - 3380*a*b*B*c + 2376*a*A*c^2)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(887040*c^5) + ((b^2 - 4*a*c)^3*(195*b^5*B - 286*A*b^4*c - 520*a*b^3*B*c + 528*a*A*b^2*c^2 + 240*a^2*b*B*c^2 - 96*a^2*A*c^3)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(524288*c^(17//2)), x, 9),
+(x^3*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), ((b^2 - 4*a*c)^2*(143*b^4*B - 220*A*b^3*c - 264*a*b^2*B*c + 240*a*A*b*c^2 + 48*a^2*B*c^2)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(131072*c^7) - ((b^2 - 4*a*c)*(143*b^4*B - 220*A*b^3*c - 264*a*b^2*B*c + 240*a*A*b*c^2 + 48*a^2*B*c^2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(49152*c^6) + ((143*b^4*B - 220*A*b^3*c - 264*a*b^2*B*c + 240*a*A*b*c^2 + 48*a^2*B*c^2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(15360*c^5) - ((13*b*B - 20*A*c)*x^2*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(180*c^2) + (B*x^3*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(10*c) - ((1287*b^3*B - 1980*A*b^2*c - 1804*a*b*B*c + 1280*a*A*c^2 - 14*c*(143*b^2*B - 220*A*b*c - 108*a*B*c)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(40320*c^4) - ((b^2 - 4*a*c)^3*(143*b^4*B - 220*A*b^3*c - 264*a*b^2*B*c + 240*a*A*b*c^2 + 48*a^2*B*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(262144*c^(15//2)), x, 8),
+(x^2*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((5*(b^2 - 4*a*c)^2*(11*b^3*B - 18*A*b^2*c - 12*a*b*B*c + 8*a*A*c^2)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(32768*c^6)) + (5*(b^2 - 4*a*c)*(11*b^3*B - 18*A*b^2*c - 12*a*b*B*c + 8*a*A*c^2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(12288*c^5) - ((11*b^3*B - 18*A*b^2*c - 12*a*b*B*c + 8*a*A*c^2)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(768*c^4) + (B*x^2*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(9*c) + ((99*b^2*B - 162*A*b*c - 64*a*B*c - 14*c*(11*b*B - 18*A*c)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(2016*c^3) + (5*(b^2 - 4*a*c)^3*(11*b^3*B - 18*A*b^2*c - 12*a*b*B*c + 8*a*A*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(65536*c^(13//2)), x, 7),
+(x*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (5*(b^2 - 4*a*c)^2*(9*b^2*B - 16*A*b*c - 4*a*B*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(16384*c^5) - (5*(b^2 - 4*a*c)*(9*b^2*B - 16*A*b*c - 4*a*B*c)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(6144*c^4) + ((9*b^2*B - 16*A*b*c - 4*a*B*c)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(384*c^3) - ((9*b*B - 16*A*c - 14*B*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(112*c^2) - (5*(b^2 - 4*a*c)^3*(9*b^2*B - 16*A*b*c - 4*a*B*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(32768*c^(11//2)), x, 6),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (-5*(b^2 - 4*a*c)^2*(b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1024*c^4) + (5*(b^2 - 4*a*c)*(b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(384*c^3) - ((b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(24*c^2) + (B*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(7*c) + (5*(b^2 - 4*a*c)^3*(b*B - 2*A*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2048*c^(9//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/x, ((512*a^2*A*c^3 + b*(64*a*A*b*c^2 + (b^2 - 4*a*c)*(5*b^2*B - 12*A*b*c - 20*a*B*c)) + 2*c*(64*a*A*b*c^2 + (b^2 - 4*a*c)*(5*b^2*B - 12*A*b*c - 20*a*B*c))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(512*c^3) - ((5*b^3*B - 12*A*b^2*c - 20*a*b*B*c - 64*a*A*c^2 + 2*c*(5*b^2*B - 12*A*b*c - 20*a*B*c)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*c^2) + ((5*b*B + 12*A*c + 10*B*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(60*c) - a^(5//2)*A*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + ((512*a^2*A*b*c^3 - (b^2 - 4*a*c)*(5*b^4*B - 12*A*b^3*c - 40*a*b^2*B*c + 112*a*A*b*c^2 + 80*a^2*B*c^2))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(1024*c^(7//2)), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/x^2, -(((3*b^4*B - 10*A*b^3*c - 28*a*b^2*B*c - 440*a*A*b*c^2 - 128*a^2*B*c^2 + 2*c*(3*b^3*B - 10*A*b^2*c - 28*a*b*B*c - 120*a*A*c^2)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(128*c^2)) + ((3*b^2*B + 70*A*b*c + 16*a*B*c + 6*c*(b*B + 10*A*c)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(48*c) - ((5*A - B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*x) - (1//2)*a^(3//2)*(5*A*b + 2*a*B)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + ((3*b^5*B - 10*A*b^4*c - 40*a*b^3*B*c + 240*a*A*b^2*c^2 + 240*a^2*b*B*c^2 + 480*a^2*A*c^3)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*c^(5//2)), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/x^3, (5*(b^3*B + 40*A*b^2*c + 44*a*b*B*c + 32*a*A*c^2 + 2*c*(b^2*B + 16*A*b*c + 12*a*B*c)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*c) - (5*(6*(A*b + a*B) - (b*B + 4*A*c)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*x) - ((2*A - B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(4*x^2) - (5//8)*sqrt(a)*(3*A*b^2 + 4*a*b*B + 4*a*A*c)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - (5*(b^4*B - 8*A*b^3*c - 24*a*b^2*B*c - 96*a*A*b*c^2 - 48*a^2*B*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(3//2)), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/x^4, -((5*(4*a*b*B + A*(b^2 + 4*a*c) - (b^2*B + 4*A*b*c + 4*a*B*c)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*x)) - (5*(A*b + 2*a*B - (b*B + 2*A*c)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(12*x^2) - ((A - B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(3*x^3) - (5*(2*a*B*(3*b^2 + 4*a*c) + A*(b^3 + 12*a*b*c))*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*sqrt(a)) + (5*(b^3*B + 6*A*b^2*c + 12*a*b*B*c + 8*a*A*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*sqrt(c)), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/x^5, -((5*(8*a*B*(b^2 + 4*a*c) - A*(b^3 - 20*a*b*c) - 2*c*(16*a*b*B + A*(b^2 + 12*a*c))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*a*x)) - (5*(4*a*(A*b + 4*a*B) + 3*(8*a*b*B + A*(b^2 + 4*a*c))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(96*a*x^3) - ((A - 2*B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(4*x^4) - (5*(8*a*b*B*(b^2 + 12*a*c) - A*(b^4 - 24*a*b^2*c - 48*a^2*c^2))*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*a^(3//2)) + (5//8)*sqrt(c)*(3*b^2*B + 4*A*b*c + 4*a*B*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/x^6, ((10*a*b*B*(b^2 - 20*a*c) - A*(3*b^4 - 28*a*b^2*c + 128*a^2*c^2) + 2*c*(10*a*B*(b^2 + 12*a*c) - A*(3*b^3 - 28*a*b*c))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(128*a^2*x) + ((4*a*(3*A*b^2 - 10*a*b*B - 16*a*A*c) - 3*(10*a*B*(b^2 + 4*a*c) - A*(3*b^3 - 20*a*b*c))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*a^2*x^3) - ((8*a*A + 5*(A*b + 2*a*B)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(40*a*x^5) + ((10*a*B*(b^4 - 24*a*b^2*c - 48*a^2*c^2) - A*(3*b^5 - 40*a*b^3*c + 240*a^2*b*c^2))*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*a^(5//2)) + (1//2)*c^(3//2)*(5*b*B + 2*A*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/x^7, ((2*a*(4*a*b*B*(3*b^2 - 28*a*c) - 5*A*(b^2 - 4*a*c)^2) - (5*A*b*(b^2 - 4*a*c)^2 - 4*a*B*(3*b^4 - 28*a*b^2*c - 128*a^2*c^2))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(512*a^3*x^2) - ((2*a*(12*a*b*B - 5*A*(b^2 - 4*a*c)) + (4*a*B*(3*b^2 + 16*a*c) - 5*A*(b^3 - 4*a*b*c))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*a^2*x^4) - ((10*a*A + (5*A*b + 12*a*B)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(60*a*x^6) + ((5*A*(b^2 - 4*a*c)^3 - 4*a*b*B*(3*b^4 - 40*a*b^2*c + 240*a^2*c^2))*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(1024*a^(7//2)) + B*c^(5//2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))), x, 8),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/x^8, (5*(A*b - 2*a*B)*(b^2 - 4*a*c)^2*(2*a + b*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1024*a^4*x^2) - (5*(A*b - 2*a*B)*(b^2 - 4*a*c)*(2*a + b*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(384*a^3*x^4) + ((A*b - 2*a*B)*(2*a + b*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(24*a^2*x^6) - (A*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(7*a*x^7) - (5*(A*b - 2*a*B)*(b^2 - 4*a*c)^3*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2048*a^(9//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/x^9, -((5*(b^2 - 4*a*c)^2*(9*A*b^2 - 16*a*b*B - 4*a*A*c)*(2*a + b*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(16384*a^5*x^2)) + (5*(b^2 - 4*a*c)*(9*A*b^2 - 16*a*b*B - 4*a*A*c)*(2*a + b*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(6144*a^4*x^4) - ((9*A*b^2 - 16*a*b*B - 4*a*A*c)*(2*a + b*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(384*a^3*x^6) - (A*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(8*a*x^8) + ((9*A*b - 16*a*B)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(112*a^2*x^7) + (5*(b^2 - 4*a*c)^3*(9*A*b^2 - 16*a*b*B - 4*a*A*c)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(32768*a^(11//2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/x^10, -((5*(b^2 - 4*a*c)^2*(2*a*B*(9*b^2 - 4*a*c) - A*(11*b^3 - 12*a*b*c))*(2*a + b*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(32768*a^6*x^2)) + (5*(b^2 - 4*a*c)*(2*a*B*(9*b^2 - 4*a*c) - A*(11*b^3 - 12*a*b*c))*(2*a + b*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(12288*a^5*x^4) + ((11*A*b^3 - 18*a*b^2*B - 12*a*A*b*c + 8*a^2*B*c)*(2*a + b*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(768*a^4*x^6) - (A*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(9*a*x^9) + ((11*A*b - 18*a*B)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(144*a^2*x^8) - ((99*A*b^2 - 162*a*b*B - 64*a*A*c)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(2016*a^3*x^7) + (5*(b^2 - 4*a*c)^3*(2*a*B*(9*b^2 - 4*a*c) - A*(11*b^3 - 12*a*b*c))*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(65536*a^(13//2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^4*(A + B*x))/sqrt(a + b*x + c*x^2), ((63*b^2*B - 70*A*b*c - 64*a*B*c)*x^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(240*c^3) - ((9*b*B - 10*A*c)*x^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(40*c^2) + (B*x^4*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*c) + ((945*b^4*B - 1050*A*b^3*c - 2940*a*b^2*B*c + 2200*a*A*b*c^2 + 1024*a^2*B*c^2 - 2*c*(315*b^3*B - 350*A*b^2*c - 644*a*b*B*c + 360*a*A*c^2)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1920*c^5) - ((63*b^5*B - 70*A*b^4*c - 280*a*b^3*B*c + 240*a*A*b^2*c^2 + 240*a^2*b*B*c^2 - 96*a^2*A*c^3)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*c^(11//2)), x, 6),
+((x^3*(A + B*x))/sqrt(a + b*x + c*x^2), -(((7*b*B - 8*A*c)*x^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*c^2)) + (B*x^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c) - ((105*b^3*B - 120*A*b^2*c - 220*a*b*B*c + 128*a*A*c^2 - 2*c*(35*b^2*B - 40*A*b*c - 36*a*B*c)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(192*c^4) + ((35*b^4*B - 40*A*b^3*c - 120*a*b^2*B*c + 96*a*A*b*c^2 + 48*a^2*B*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(9//2)), x, 5),
+((x^2*(A + B*x))/sqrt(a + b*x + c*x^2), (B*x^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c) + ((15*b^2*B - 18*A*b*c - 16*a*B*c - 2*c*(5*b*B - 6*A*c)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*c^3) - ((5*b^3*B - 6*A*b^2*c - 12*a*b*B*c + 8*a*A*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(7//2)), x, 4),
+((x*(A + B*x))/sqrt(a + b*x + c*x^2), -(((3*b*B - 4*A*c - 2*B*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c^2)) + ((3*b^2*B - 4*A*b*c - 4*a*B*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(5//2)), x, 3),
+((A + B*x)/sqrt(a + b*x + c*x^2), (B*sqrt(a + b*x + c*x^2))/c - ((b*B - 2*A*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(3//2)), x, 3),
+((A + B*x)/(x*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((A*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/sqrt(a)) + (B*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/sqrt(c), x, 5),
+((A + B*x)/(x^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((A*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(a*x)) + ((A*b - 2*a*B)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*a^(3//2)), x, 3),
+((A + B*x)/(x^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -(A*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*a*x^2) + ((3*A*b - 4*a*B)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*a^2*x) - ((3*A*b^2 - 4*a*b*B - 4*a*A*c)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*a^(5//2)), x, 4),
+((A + B*x)/(x^4*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -(A*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*a*x^3) + ((5*A*b - 6*a*B)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(12*a^2*x^2) - ((15*A*b^2 - 18*a*b*B - 16*a*A*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*a^3*x) + ((5*A*b^3 - 6*a*b^2*B - 12*a*A*b*c + 8*a^2*B*c)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*a^(7//2)), x, 5),
+((A + B*x)/(x^5*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((A*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*a*x^4)) + ((7*A*b - 8*a*B)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*a^2*x^3) - ((35*A*b^2 - 40*a*b*B - 36*a*A*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(96*a^3*x^2) + ((105*A*b^3 - 120*a*b^2*B - 220*a*A*b*c + 128*a^2*B*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(192*a^4*x) + ((8*a*b*B*(5*b^2 - 12*a*c) - A*(35*b^4 - 120*a*b^2*c + 48*a^2*c^2))*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*a^(9//2)), x, 6),
+((A + B*x)/(x^6*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((A*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*a*x^5)) + ((9*A*b - 10*a*B)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(40*a^2*x^4) - ((63*A*b^2 - 70*a*b*B - 64*a*A*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(240*a^3*x^3) + ((315*A*b^3 - 350*a*b^2*B - 644*a*A*b*c + 360*a^2*B*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(960*a^4*x^2) + ((50*a*b*B*(21*b^2 - 44*a*c) - A*(945*b^4 - 2940*a*b^2*c + 1024*a^2*c^2))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1920*a^5*x) - ((2*a*B*(35*b^4 - 120*a*b^2*c + 48*a^2*c^2) - A*(63*b^5 - 280*a*b^3*c + 240*a^2*b*c^2))*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*a^(11//2)), x, 7),
+
+
+((x^4*(A + B*x))/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*x^3*(a*(b*B - 2*A*c) + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + ((7*b^2*B - 6*A*b*c - 16*a*B*c)*x^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c^2*(b^2 - 4*a*c)) + ((105*b^4*B - 90*A*b^3*c - 460*a*b^2*B*c + 312*a*A*b*c^2 + 256*a^2*B*c^2 - 2*c*(35*b^3*B - 30*A*b^2*c - 116*a*b*B*c + 72*a*A*c^2)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*c^4*(b^2 - 4*a*c)) - ((35*b^3*B - 30*A*b^2*c - 60*a*b*B*c + 24*a*A*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(9//2)), x, 5),
+((x^3*(A + B*x))/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*x^2*(a*(b*B - 2*A*c) + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - ((15*b^3*B - 12*A*b^2*c - 52*a*b*B*c + 32*a*A*c^2 - 2*c*(5*b^2*B - 4*A*b*c - 12*a*B*c)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c^3*(b^2 - 4*a*c)) + (3*(5*b^2*B - 4*A*b*c - 4*a*B*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(7//2)), x, 4),
+((x^2*(A + B*x))/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*x*(a*(b*B - 2*A*c) + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + ((3*b^2*B - 2*A*b*c - 8*a*B*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(c^2*(b^2 - 4*a*c)) - ((3*b*B - 2*A*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(5//2)), x, 4),
+((x*(A + B*x))/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(a*(b*B - 2*A*c) + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (B*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/c^(3//2), x, 3),
+((A + B*x)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))), x, 1),
+((A + B*x)/(x*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), (2*(A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c + (A*b - 2*a*B)*c*x))/(a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (A*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/a^(3//2), x, 4),
+((A + B*x)/(x^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), (2*(A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c + (A*b - 2*a*B)*c*x))/(a*(b^2 - 4*a*c)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - ((3*A*b^2 - 2*a*b*B - 8*a*A*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*x) + ((3*A*b - 2*a*B)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*a^(5//2)), x, 4),
+((A + B*x)/(x^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), (2*(A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c + (A*b - 2*a*B)*c*x))/(a*(b^2 - 4*a*c)*x^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - ((5*A*b^2 - 4*a*b*B - 12*a*A*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^2) - ((4*a*B*(3*b^2 - 8*a*c) - A*(15*b^3 - 52*a*b*c))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*a^3*(b^2 - 4*a*c)*x) - (3*(5*A*b^2 - 4*a*b*B - 4*a*A*c)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*a^(7//2)), x, 5),
+((A + B*x)/(x^4*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), (2*(A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c + (A*b - 2*a*B)*c*x))/(a*(b^2 - 4*a*c)*x^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - ((7*A*b^2 - 6*a*b*B - 16*a*A*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^3) - ((6*a*B*(5*b^2 - 12*a*c) - A*(35*b^3 - 116*a*b*c))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(12*a^3*(b^2 - 4*a*c)*x^2) + ((6*a*b*B*(15*b^2 - 52*a*c) - A*(105*b^4 - 460*a*b^2*c + 256*a^2*c^2))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*a^4*(b^2 - 4*a*c)*x) - ((6*a*B*(5*b^2 - 4*a*c) - A*(35*b^3 - 60*a*b*c))*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*a^(9//2)), x, 6),
+
+
+((x^4*(A + B*x))/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*x^3*(a*(b*B - 2*A*c) + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*x))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (2*x*(a*(5*b^3*B - 2*A*b^2*c - 28*a*b*B*c + 24*a*A*c^2) + (5*b^4*B - 2*A*b^3*c - 32*a*b^2*B*c + 16*a*A*b*c^2 + 32*a^2*B*c^2)*x))/(3*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + ((15*b^4*B - 6*A*b^3*c - 100*a*b^2*B*c + 40*a*A*b*c^2 + 128*a^2*B*c^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c^3*(b^2 - 4*a*c)^2) - ((5*b*B - 2*A*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(7//2)), x, 5),
+((x^3*(A + B*x))/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*x^2*(a*(b*B - 2*A*c) + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*x))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (2*(a*(3*b^3*B - 20*a*b*B*c + 16*a*A*c^2) + (3*b^4*B - 22*a*b^2*B*c + 8*a*A*b*c^2 + 24*a^2*B*c^2)*x))/(3*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (B*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/c^(5//2), x, 4),
+((x^2*(A + B*x))/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*x^2*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) + (8*(A*b - 2*a*B)*(2*a + b*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+((x*(A + B*x))/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(a*(b*B - 2*A*c) + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*x))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) + (2*(b^2*B - 4*A*b*c + 4*a*B*c)*(b + 2*c*x))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+((A + B*x)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (8*(b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+((A + B*x)/(x*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), (2*(A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c + (A*b - 2*a*B)*c*x))/(3*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) + (2*(8*a^2*b*B*c + A*(3*b^4 - 22*a*b^2*c + 24*a^2*c^2) + c*(3*A*b^3 - 20*a*A*b*c + 16*a^2*B*c)*x))/(3*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (A*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/a^(5//2), x, 5),
+((A + B*x)/(x^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), (2*(A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c + (A*b - 2*a*B)*c*x))/(3*a*(b^2 - 4*a*c)*x*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (2*(2*a*b*B*(b^2 - 8*a*c) - A*(5*b^4 - 32*a*b^2*c + 32*a^2*c^2) - c*(5*A*b^3 - 2*a*b^2*B - 28*a*A*b*c + 24*a^2*B*c)*x))/(3*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + ((2*a*b*B*(3*b^2 - 20*a*c) - A*(15*b^4 - 100*a*b^2*c + 128*a^2*c^2))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*x) + ((5*A*b - 2*a*B)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*a^(7//2)), x, 5),
+((A + B*x)/(x^3*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), (2*(A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c + (A*b - 2*a*B)*c*x))/(3*a*(b^2 - 4*a*c)*x^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (2*(4*a*b*B*(b^2 - 6*a*c) - A*(7*b^4 - 42*a*b^2*c + 40*a^2*c^2) - c*(7*A*b^3 - 4*a*b^2*B - 36*a*A*b*c + 32*a^2*B*c)*x))/(3*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*x^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + ((4*a*b*B*(5*b^2 - 28*a*c) - A*(35*b^4 - 216*a*b^2*c + 240*a^2*c^2))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(6*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*x^2) - ((4*a*B*(15*b^4 - 100*a*b^2*c + 128*a^2*c^2) - A*(105*b^5 - 760*a*b^3*c + 1296*a^2*b*c^2))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(12*a^4*(b^2 - 4*a*c)^2*x) - (5*(7*A*b^2 - 4*a*b*B - 4*a*A*c)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*a^(9//2)), x, 6),
+
+
+((d + e*x)/(a + b*x + c*x^2)^(7//2), -((2*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(5*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))) + (16*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x))/(15*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (128*c*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x))/(15*(b^2 - 4*a*c)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)/(a + b*x + c*x^2)^(9//2), -((2*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(7*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))) + (24*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x))/(35*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)) - (128*c*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x))/(35*(b^2 - 4*a*c)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) + (1024*c^2*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x))/(35*(b^2 - 4*a*c)^4*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 4),
+
+
+((1 - x)/(x*sqrt(1 + 3*x + x^2)), -2*atanh((1 + x)/sqrt(1 + 3*x + x^2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (A+B x) (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2), (2*a*A*x^(9//2))/9 + (2*(A*b + a*B)*x^(11//2))/11 + (2*(b*B + A*c)*x^(13//2))/13 + (2*B*c*x^(15//2))/15, x, 2),
+(x^(5//2)*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2), (2*a*A*x^(7//2))/7 + (2*(A*b + a*B)*x^(9//2))/9 + (2*(b*B + A*c)*x^(11//2))/11 + (2*B*c*x^(13//2))/13, x, 2),
+(x^(3//2)*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2), (2*a*A*x^(5//2))/5 + (2*(A*b + a*B)*x^(7//2))/7 + (2*(b*B + A*c)*x^(9//2))/9 + (2*B*c*x^(11//2))/11, x, 2),
+(sqrt(x)*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2), (2*a*A*x^(3//2))/3 + (2*(A*b + a*B)*x^(5//2))/5 + (2*(b*B + A*c)*x^(7//2))/7 + (2*B*c*x^(9//2))/9, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2))/sqrt(x), 2*a*A*sqrt(x) + (2*(A*b + a*B)*x^(3//2))/3 + (2*(b*B + A*c)*x^(5//2))/5 + (2*B*c*x^(7//2))/7, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2))/x^(3//2), (-2*a*A)/sqrt(x) + 2*(A*b + a*B)*sqrt(x) + (2*(b*B + A*c)*x^(3//2))/3 + (2*B*c*x^(5//2))/5, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2))/x^(5//2), (-2*a*A)/(3*x^(3//2)) - (2*(A*b + a*B))/sqrt(x) + 2*(b*B + A*c)*sqrt(x) + (2*B*c*x^(3//2))/3, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2))/x^(7//2), (-2*a*A)/(5*x^(5//2)) - (2*(A*b + a*B))/(3*x^(3//2)) - (2*(b*B + A*c))/sqrt(x) + 2*B*c*sqrt(x), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2))/x^(9//2), (-2*a*A)/(7*x^(7//2)) - (2*(A*b + a*B))/(5*x^(5//2)) - (2*(b*B + A*c))/(3*x^(3//2)) - (2*B*c)/sqrt(x), x, 2),
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2, (2*a^2*A*x^(9//2))/9 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(11//2))/11 + (2*(2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))*x^(13//2))/13 + (2*(b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)*x^(15//2))/15 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(17//2))/17 + (2*B*c^2*x^(19//2))/19, x, 2),
+(x^(5//2)*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2, (2*a^2*A*x^(7//2))/7 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(9//2))/9 + (2*(2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))*x^(11//2))/11 + (2*(b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)*x^(13//2))/13 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(15//2))/15 + (2*B*c^2*x^(17//2))/17, x, 2),
+(x^(3//2)*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2, (2*a^2*A*x^(5//2))/5 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(7//2))/7 + (2*(2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))*x^(9//2))/9 + (2*(b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)*x^(11//2))/11 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(13//2))/13 + (2*B*c^2*x^(15//2))/15, x, 2),
+(sqrt(x)*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2, (2*a^2*A*x^(3//2))/3 + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(5//2))/5 + (2*(2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))*x^(7//2))/7 + (2*(b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)*x^(9//2))/9 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(11//2))/11 + (2*B*c^2*x^(13//2))/13, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/sqrt(x), 2*a^2*A*sqrt(x) + (2*a*(2*A*b + a*B)*x^(3//2))/3 + (2*(2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))*x^(5//2))/5 + (2*(b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)*x^(7//2))/7 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(9//2))/9 + (2*B*c^2*x^(11//2))/11, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/x^(3//2), (-2*a^2*A)/sqrt(x) + 2*a*(2*A*b + a*B)*sqrt(x) + (2*(2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))*x^(3//2))/3 + (2*(b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)*x^(5//2))/5 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(7//2))/7 + (2*B*c^2*x^(9//2))/9, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/x^(5//2), (-2*a^2*A)/(3*x^(3//2)) - (2*a*(2*A*b + a*B))/sqrt(x) + 2*(2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))*sqrt(x) + (2*(b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)*x^(3//2))/3 + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(5//2))/5 + (2*B*c^2*x^(7//2))/7, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/x^(7//2), (-2*a^2*A)/(5*x^(5//2)) - (2*a*(2*A*b + a*B))/(3*x^(3//2)) - (2*(2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c)))/sqrt(x) + 2*(b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)*sqrt(x) + (2*c*(2*b*B + A*c)*x^(3//2))/3 + (2*B*c^2*x^(5//2))/5, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/x^(9//2), (-2*a^2*A)/(7*x^(7//2)) - (2*a*(2*A*b + a*B))/(5*x^(5//2)) - (2*(2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c)))/(3*x^(3//2)) - (2*(b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c))/sqrt(x) + 2*c*(2*b*B + A*c)*sqrt(x) + (2*B*c^2*x^(3//2))/3, x, 2),
+
+
+(x^(7//2)*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3, (2*a^3*A*x^(9//2))/9 + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(11//2))/11 + (6*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x^(13//2))/13 + (2*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^(15//2))/15 + (2*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^(17//2))/17 + (6*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^(19//2))/19 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(21//2))/21 + (2*B*c^3*x^(23//2))/23, x, 2),
+(x^(5//2)*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3, (2*a^3*A*x^(7//2))/7 + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(9//2))/9 + (6*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x^(11//2))/11 + (2*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^(13//2))/13 + (2*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^(15//2))/15 + (6*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^(17//2))/17 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(19//2))/19 + (2*B*c^3*x^(21//2))/21, x, 2),
+(x^(3//2)*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3, (2*a^3*A*x^(5//2))/5 + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(7//2))/7 + (2*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x^(9//2))/3 + (2*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^(11//2))/11 + (2*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^(13//2))/13 + (2*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^(15//2))/5 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(17//2))/17 + (2*B*c^3*x^(19//2))/19, x, 2),
+(sqrt(x)*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3, (2*a^3*A*x^(3//2))/3 + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(5//2))/5 + (6*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x^(7//2))/7 + (2*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^(9//2))/9 + (2*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^(11//2))/11 + (6*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^(13//2))/13 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(15//2))/15 + (2*B*c^3*x^(17//2))/17, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/sqrt(x), 2*a^3*A*sqrt(x) + (2*a^2*(3*A*b + a*B)*x^(3//2))/3 + (6*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x^(5//2))/5 + (2*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^(7//2))/7 + (2*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^(9//2))/9 + (6*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^(11//2))/11 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(13//2))/13 + (2*B*c^3*x^(15//2))/15, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/x^(3//2), (-2*a^3*A)/sqrt(x) + 2*a^2*(3*A*b + a*B)*sqrt(x) + 2*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x^(3//2) + (2*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^(5//2))/5 + (2*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^(7//2))/7 + (2*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^(9//2))/3 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(11//2))/11 + (2*B*c^3*x^(13//2))/13, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/x^(5//2), (-2*a^3*A)/(3*x^(3//2)) - (2*a^2*(3*A*b + a*B))/sqrt(x) + 6*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*sqrt(x) + (2*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^(3//2))/3 + (2*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^(5//2))/5 + (6*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^(7//2))/7 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(9//2))/9 + (2*B*c^3*x^(11//2))/11, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/x^(7//2), (-2*a^3*A)/(5*x^(5//2)) - (2*a^2*(3*A*b + a*B))/(3*x^(3//2)) - (6*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c)))/sqrt(x) + 2*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*sqrt(x) + (2*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^(3//2))/3 + (6*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^(5//2))/5 + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(7//2))/7 + (2*B*c^3*x^(9//2))/9, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/x^(9//2), (-2*a^3*A)/(7*x^(7//2)) - (2*a^2*(3*A*b + a*B))/(5*x^(5//2)) - (2*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c)))/x^(3//2) - (2*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c)))/sqrt(x) + 2*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*sqrt(x) + 2*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^(3//2) + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(5//2))/5 + (2*B*c^3*x^(7//2))/7, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/x^(11//2), (-2*a^3*A)/(9*x^(9//2)) - (2*a^2*(3*A*b + a*B))/(7*x^(7//2)) - (6*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c)))/(5*x^(5//2)) - (2*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c)))/(3*x^(3//2)) - (2*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2))/sqrt(x) + 6*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*sqrt(x) + (2*c^2*(3*b*B + A*c)*x^(3//2))/3 + (2*B*c^3*x^(5//2))/5, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(a + b*x + c*x^2), (2*(b^2*B - A*b*c - a*B*c)*sqrt(x))/c^3 - (2*(b*B - A*c)*x^(3//2))/(3*c^2) + (2*B*x^(5//2))/(5*c) - (sqrt(2)*(b^3*B - A*b^2*c - 2*a*b*B*c + a*A*c^2 - (b^4*B - A*b^3*c - 4*a*b^2*B*c + 3*a*A*b*c^2 + 2*a^2*B*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(c^(7//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(2)*(b^3*B - A*b^2*c - 2*a*b*B*c + a*A*c^2 + (b^4*B - A*b^3*c - 4*a*b^2*B*c + 3*a*A*b*c^2 + 2*a^2*B*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(c^(7//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 7),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(a + b*x + c*x^2), -((2*(b*B - A*c)*sqrt(x))/c^2) + (2*B*x^(3//2))/(3*c) + (sqrt(2)*(b^2*B - A*b*c - a*B*c - (b^3*B - A*b^2*c - 3*a*b*B*c + 2*a*A*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(c^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(2)*(b^2*B - A*b*c - a*B*c + (b^3*B - A*b^2*c - 3*a*b*B*c + 2*a*A*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(c^(5//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/(a + b*x + c*x^2), (2*B*sqrt(x))/c - (sqrt(2)*(b*B - A*c - (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(c^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(2)*(b*B - A*c + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(c^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*(a + b*x + c*x^2)), (sqrt(2)*(B - (b*B - 2*A*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(2)*(B + (b*B - 2*A*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)), -((2*A)/(a*sqrt(x))) - (sqrt(2)*sqrt(c)*(A + (A*b - 2*a*B)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(a*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(2)*sqrt(c)*(A - (A*b - 2*a*B)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(a*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)), -((2*A)/(3*a*x^(3//2))) + (2*(A*b - a*B))/(a^2*sqrt(x)) - (sqrt(2)*sqrt(c)*(a*B*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)) - A*(b^2 - 2*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(2)*sqrt(c)*(a*B*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)) - A*(b^2 - 2*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+((A + B*x)/(x^(7//2)*(a + b*x + c*x^2)), -((2*A)/(5*a*x^(5//2))) + (2*(A*b - a*B))/(3*a^2*x^(3//2)) - (2*(A*b^2 - a*b*B - a*A*c))/(a^3*sqrt(x)) - (sqrt(2)*sqrt(c)*(A*b^2 - a*b*B - a*A*c - (a*B*(b^2 - 2*a*c) - A*(b^3 - 3*a*b*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(a^3*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(2)*sqrt(c)*(A*b^2 - a*b*B - a*A*c + (a*B*(b^2 - 2*a*c) - A*(b^3 - 3*a*b*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(a^3*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 7),
+((A + B*x)/(x^(9//2)*(a + b*x + c*x^2)), -((2*A)/(7*a*x^(7//2))) + (2*(A*b - a*B))/(5*a^2*x^(5//2)) - (2*(A*b^2 - a*b*B - a*A*c))/(3*a^3*x^(3//2)) - (2*(a*B*(b^2 - a*c) - A*(b^3 - 2*a*b*c)))/(a^4*sqrt(x)) - (sqrt(2)*sqrt(c)*(a*B*(b^2 - a*c) - A*(b^3 - 2*a*b*c) + (a*b*B*(b^2 - 3*a*c) - A*(b^4 - 4*a*b^2*c + 2*a^2*c^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(a^4*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(2)*sqrt(c)*(a*B*(b^2 - a*c) - A*(b^3 - 2*a*b*c) - (a*b*B*(b^2 - 3*a*c) - A*(b^4 - 4*a*b^2*c + 2*a^2*c^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(a^4*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 8),
+
+
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(a + b*x + c*x^2)^2, ((3*b^2*B - A*b*c - 10*a*B*c)*sqrt(x))/(c^2*(b^2 - 4*a*c)) - (x^(3//2)*(a*(b*B - 2*A*c) + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) - ((3*b^3*B - A*b^2*c - 13*a*b*B*c + 6*a*A*c^2 - (3*b^4*B - A*b^3*c - 19*a*b^2*B*c + 8*a*A*b*c^2 + 20*a^2*B*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((3*b^3*B - A*b^2*c - 13*a*b*B*c + 6*a*A*c^2 + (3*b^4*B - A*b^3*c - 19*a*b^2*B*c + 8*a*A*b*c^2 + 20*a^2*B*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(a + b*x + c*x^2)^2, -((sqrt(x)*(a*(b*B - 2*A*c) + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2))) + ((b^2*B + A*b*c - 6*a*B*c - (b^3*B + A*b^2*c - 8*a*b*B*c + 4*a*A*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b^2*B + A*b*c - 6*a*B*c + (b^3*B + A*b^2*c - 8*a*b*B*c + 4*a*A*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/(a + b*x + c*x^2)^2, -((sqrt(x)*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2))) + ((b*B - 2*A*c - (b^2*B - 4*A*b*c + 4*a*B*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b*B - 2*A*c + (b^2*B - 4*A*b*c + 4*a*B*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*(a + b*x + c*x^2)^2), (sqrt(x)*(A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c + (A*b - 2*a*B)*c*x))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(c)*(2*a*B*(2*b - sqrt(b^2 - 4*a*c)) + A*(b^2 - 12*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(A*b - 2*a*B - (A*b^2 + 4*a*b*B - 12*a*A*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^2), -((3*A*b^2 - a*b*B - 10*a*A*c)/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(x))) + (A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c + (A*b - 2*a*B)*c*x)/(a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(x)*(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(c)*(a*B*(b^2 - 12*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - A*(3*b^3 - 16*a*b*c + 3*b^2*sqrt(b^2 - 4*a*c) - 10*a*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(a*B*(b^2 - 12*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - A*(3*b^3 - 16*a*b*c - 3*b^2*sqrt(b^2 - 4*a*c) + 10*a*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+((A + B*x)/(x^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^2), -((5*A*b^2 - 3*a*b*B - 14*a*A*c)/(3*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^(3//2))) - (a*B*(3*b^2 - 10*a*c) - A*(5*b^3 - 19*a*b*c))/(a^3*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(x)) + (A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c + (A*b - 2*a*B)*c*x)/(a*(b^2 - 4*a*c)*x^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(c)*(a*B*(3*b^3 - 16*a*b*c + 3*b^2*sqrt(b^2 - 4*a*c) - 10*a*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - A*(5*b^4 - 29*a*b^2*c + 28*a^2*c^2 + 5*b^3*sqrt(b^2 - 4*a*c) - 19*a*b*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(a*B*(3*b^3 - 16*a*b*c - 3*b^2*sqrt(b^2 - 4*a*c) + 10*a*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - A*(5*b^4 - 29*a*b^2*c + 28*a^2*c^2 - 5*b^3*sqrt(b^2 - 4*a*c) + 19*a*b*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 7),
+
+
+((x^(7//2)*(A + B*x))/(a + b*x + c*x^2)^3, -((x^(5//2)*(a*(b*B - 2*A*c) + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*x))/(2*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (sqrt(x)*(a*(3*b^3*B + A*b^2*c - 24*a*b*B*c + 20*a*A*c^2) + (3*b^4*B + A*b^3*c - 25*a*b^2*B*c + 8*a*A*b*c^2 + 28*a^2*B*c^2)*x))/(4*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) + ((3*b^4*B + A*b^3*c - 27*a*b^2*B*c - 16*a*A*b*c^2 + 84*a^2*B*c^2 - (3*b^5*B + A*b^4*c - 33*a*b^3*B*c - 18*a*A*b^2*c^2 + 132*a^2*b*B*c^2 - 40*a^2*A*c^3)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((3*b^4*B + A*b^3*c - 27*a*b^2*B*c - 16*a*A*b*c^2 + 84*a^2*B*c^2 + (3*b^5*B + A*b^4*c - 33*a*b^3*B*c - 18*a*A*b^2*c^2 + 132*a^2*b*B*c^2 - 40*a^2*A*c^3)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+((x^(5//2)*(A + B*x))/(a + b*x + c*x^2)^3, -((x^(3//2)*(a*(b*B - 2*A*c) + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*x))/(2*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (sqrt(x)*(a*(b^2*B - 12*A*b*c + 20*a*B*c) - (b^3*B + 3*A*b^2*c - 16*a*b*B*c + 12*a*A*c^2)*x))/(4*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) + ((b^3*B + 3*A*b^2*c - 16*a*b*B*c + 12*a*A*c^2 - (b^4*B + 3*A*b^3*c - 18*a*b^2*B*c + 36*a*A*b*c^2 - 40*a^2*B*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b^3*B + 3*A*b^2*c - 16*a*b*B*c + 12*a*A*c^2 + (b^4*B + 3*A*b^3*c - 18*a*b^2*B*c + 36*a*A*b*c^2 - 40*a^2*B*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+((x^(3//2)*(A + B*x))/(a + b*x + c*x^2)^3, -((sqrt(x)*(a*(b*B - 2*A*c) + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*x))/(2*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)) + (sqrt(x)*(2*b^3*B - 7*A*b^2*c + 4*a*b*B*c + 4*a*A*c^2 + 3*c*(b^2*B - 4*A*b*c + 4*a*B*c)*x))/(4*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) + (3*(b^2*B - 4*A*b*c + 4*a*B*c - (b^3*B - 6*A*b^2*c + 12*a*b*B*c - 8*a*A*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (3*(b^2*B - 4*A*b*c + 4*a*B*c + (b^3*B - 6*A*b^2*c + 12*a*b*B*c - 8*a*A*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+((sqrt(x)*(A + B*x))/(a + b*x + c*x^2)^3, -((sqrt(x)*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (sqrt(x)*(a*B*(7*b^2 - 4*a*c) - A*(b^3 + 8*a*b*c) + c*(12*a*b*B - A*(b^2 + 20*a*c))*x))/(4*a*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(c)*(6*a*B*(3*b^2 + 4*a*c - 2*b*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + A*(b^3 - 52*a*b*c + b^2*sqrt(b^2 - 4*a*c) + 20*a*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(12*a*b*B - A*(b^2 + 20*a*c) + (6*a*B*(3*b^2 + 4*a*c) + A*(b^3 - 52*a*b*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+((A + B*x)/(sqrt(x)*(a + b*x + c*x^2)^3), (sqrt(x)*(A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c + (A*b - 2*a*B)*c*x))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2) + (sqrt(x)*(a*b*B*(b^2 + 8*a*c) + A*(3*b^4 - 25*a*b^2*c + 28*a^2*c^2) + c*(a*B*(b^2 + 20*a*c) + 3*A*(b^3 - 8*a*b*c))*x))/(4*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(c)*(a*B*(b^2 + 20*a*c) + 3*A*(b^3 - 8*a*b*c) + (a*b*B*(b^2 - 52*a*c) + 3*A*(b^4 - 10*a*b^2*c + 56*a^2*c^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(a*B*(b^2 + 20*a*c) + 3*A*(b^3 - 8*a*b*c) - (a*b*B*(b^2 - 52*a*c) + 3*A*(b^4 - 10*a*b^2*c + 56*a^2*c^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+((A + B*x)/(x^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^3), (3*(a*b*B*(b^2 - 8*a*c) - A*(5*b^4 - 37*a*b^2*c + 60*a^2*c^2)))/(4*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(x)) + (A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c + (A*b - 2*a*B)*c*x)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(x)*(a + b*x + c*x^2)^2) - (a*b*B*(b^2 - 16*a*c) - A*(5*b^4 - 35*a*b^2*c + 36*a^2*c^2) + c*(a*B*(b^2 - 28*a*c) - A*(5*b^3 - 32*a*b*c))*x)/(4*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(x)*(a + b*x + c*x^2)) + (3*sqrt(c)*(a*B*(b^4 - 10*a*b^2*c + 56*a^2*c^2 + b^3*sqrt(b^2 - 4*a*c) - 8*a*b*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - A*(5*b^5 - 47*a*b^3*c + 124*a^2*b*c^2 + 5*b^4*sqrt(b^2 - 4*a*c) - 37*a*b^2*c*sqrt(b^2 - 4*a*c) + 60*a^2*c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (3*sqrt(c)*(a*B*(b^4 - 10*a*b^2*c + 56*a^2*c^2 - b^3*sqrt(b^2 - 4*a*c) + 8*a*b*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - A*(5*b^5 - 47*a*b^3*c + 124*a^2*b*c^2 - 5*b^4*sqrt(b^2 - 4*a*c) + 37*a*b^2*c*sqrt(b^2 - 4*a*c) - 60*a^2*c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^(m/2) (A+B x) (a+b x+c x^2)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+(sqrt(x)*(A + B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2), -((2*(5*a*b*B*c - 2*(b^2 - 3*a*c)*(4*b*B - 7*A*c))*sqrt(x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(105*c^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x))) - (2*sqrt(x)*(4*b^2*B - 7*A*b*c + 5*a*B*c + 3*c*(4*b*B - 7*A*c)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(105*c^2) + (2*B*sqrt(x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*c) + (2*a^(1//4)*(5*a*b*B*c - 2*(b^2 - 3*a*c)*(4*b*B - 7*A*c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + b*x + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(105*c^(11//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (a^(1//4)*(5*a*b*B*c - 2*(b^2 - 3*a*c)*(4*b*B - 7*A*c) - sqrt(a)*sqrt(c)*(4*b^2*B - 7*A*b*c - 10*a*B*c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + b*x + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(105*c^(11//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(x), -((2*(2*b^2*B - 5*A*b*c - 6*a*B*c)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x))) + (2*sqrt(x)*(b*B + 5*A*c + 3*B*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*c) + (2*a^(1//4)*(2*b^2*B - 5*A*b*c - 6*a*B*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + b*x + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(15*c^(7//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (a^(1//4)*(b + 2*sqrt(a)*sqrt(c))*(2*b*B - 3*sqrt(a)*B*sqrt(c) - 5*A*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + b*x + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(15*c^(7//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+(((A + B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/x^(3//2), -((2*(3*A - B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*sqrt(x))) + (2*(b*B + 6*A*c)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (2*a^(1//4)*(b*B + 6*A*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + b*x + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(3*c^(3//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + ((b + 2*sqrt(a)*sqrt(c))*(sqrt(a)*B + 3*A*sqrt(c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + b*x + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(3*a^(1//4)*c^(3//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+(((A + B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/x^(5//2), -((2*(a*A + (A*b + 3*a*B)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*a*x^(3//2))) + (2*(A*b + 6*a*B)*sqrt(c)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*a*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (2*(A*b + 6*a*B)*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + b*x + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(3*a^(3//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (((A*b + 6*a*B)*sqrt(c) + sqrt(a)*(3*b*B + 2*A*c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + b*x + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(3*a^(3//4)*c^(1//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+(((A + B*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/x^(7//2), (2*(2*A*b^2 - 5*a*b*B - 6*a*A*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*a^2*sqrt(x)) - (2*(3*a*A + (A*b + 5*a*B)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*a*x^(5//2)) + (2*sqrt(c)*(5*a*b*B - 2*A*(b^2 - 3*a*c))*sqrt(x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*a^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (2*c^(1//4)*(5*a*b*B - 2*A*(b^2 - 3*a*c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + b*x + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(15*a^(7//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - ((b + 2*sqrt(a)*sqrt(c))*(2*A*b - 5*a*B - 3*sqrt(a)*A*sqrt(c))*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + b*x + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(15*a^(7//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+
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+((2 - 5*x)*x^(7//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (1543648*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(6567561*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (8*sqrt(x)*(397265 + 502911*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/2189187 + (157160*sqrt(x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/243243 - (21620*x^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/34749 + (656*x^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/1287 - (10*x^(7//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/39 - (1543648*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(6567561*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (349240*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(2189187*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 9),
+((2 - 5*x)*x^(5//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (-261784*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(841995*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (8*sqrt(x)*(57860 + 74313*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/280665 - (4420*sqrt(x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/6237 + (532*x^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/891 - (10*x^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/33 + (261784*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(841995*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (13016*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(56133*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+((2 - 5*x)*x^(3//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (2360*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(5103*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (4*sqrt(x)*(779 + 1035*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/1701 + (136*sqrt(x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/189 - (10*x^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/27 - (2360*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(5103*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (668*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(1701*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+((2 - 5*x)*sqrt(x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (-2476*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(2835*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (4*sqrt(x)*(430 + 639*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/945 - (10*sqrt(x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/21 + (2476*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(2835*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (164*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(189*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 6),
+(((2 - 5*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/sqrt(x), (88*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(27*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (2*(1 - 9*x)*sqrt(x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/9 - (88*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(27*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (34*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(9*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 5),
+(((2 - 5*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/x^(3//2), (22*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(9*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (2*(6 + 5*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3*sqrt(x)) - (22*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(9*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (10*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 5),
+(((2 - 5*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/x^(5//2), (-50*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (4*(1 - 5*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3*x^(3//2)) + (50*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (21*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), x, 5),
+(((2 - 5*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/x^(7//2), (-139*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(15*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (4*(3 - 10*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(15*x^(5//2)) + (139*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(15*sqrt(x)) + (139*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(15*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (11*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), x, 6),
+(((2 - 5*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/x^(9//2), (62*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(21*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (4*(1 - 3*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(7*x^(7//2)) + (43*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(21*x^(3//2)) - (62*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(21*sqrt(x)) - (62*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(21*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (43*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(7*sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+(((2 - 5*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/x^(11//2), (-1331*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(630*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (4*(7 - 20*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(63*x^(9//2)) + (97*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(105*x^(5//2)) - (79*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(63*x^(3//2)) + (1331*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(630*sqrt(x)) + (1331*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(315*sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (79*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(21*sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+
+
+((2 - 5*x)*x^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), (-497824*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(32837805*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (8*sqrt(x)*(190465 + 205407*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/10945935 + (8*sqrt(x)*(27010 + 32921*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/243243 - (4660*sqrt(x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/11583 + (136*x^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/351 - (2*x^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/9 + (497824*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(32837805*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (61736*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(2189187*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 9),
+((2 - 5*x)*x^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), (55112*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(729729*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (8*sqrt(x)*(6908 + 6381*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/243243 - (4*sqrt(x)*(6959 + 8575*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/27027 + (556*sqrt(x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/1287 - (10*x^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/39 - (55112*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(729729*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (25448*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(243243*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+((2 - 5*x)*sqrt(x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), (-424*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(1155*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (4*sqrt(x)*(55 + 39*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/385 + (4*sqrt(x)*(65 + 84*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/231 - (10*sqrt(x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/33 + (424*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(1155*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (36*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(77*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+(((2 - 5*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/sqrt(x), (860*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(243*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (4*sqrt(x)*(82 + 45*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/81 - (2*sqrt(x)*(1 + 5*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/9 - (860*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(243*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (356*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(81*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 6),
+(((2 - 5*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/x^(3//2), (5848*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(315*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (2*sqrt(x)*(1045 + 531*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/105 - (2*(14 + 5*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(7*sqrt(x)) - (5848*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(315*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (482*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(21*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 6),
+(((2 - 5*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/x^(5//2), (-34*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (2*(2 - x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/sqrt(x) - (2*(2 + 3*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(3*x^(3//2)) + (34*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (14*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), x, 6),
+(((2 - 5*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/x^(7//2), (-1418*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(15*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (2*(89 - 35*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(5*sqrt(x)) - (4*(3 - 5*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(15*x^(5//2)) + (1418*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(15*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (117*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), x, 6),
+(((2 - 5*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/x^(9//2), (-633*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(7*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (3*(22 + 133*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(7*x^(3//2)) - (4*(1 - 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(7*x^(7//2)) + (633*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(7*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (783*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(7*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 6),
+(((2 - 5*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/x^(11//2), (-5438*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(315*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (5438*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(315*sqrt(x)) + ((1446 + 4055*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(315*x^(5//2)) - (4*(7 - 15*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(63*x^(9//2)) + (5438*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(315*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (899*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(21*sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+(((2 - 5*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/x^(13//2), (3229*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(1386*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (1357*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(693*x^(3//2)) - (3229*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(1386*sqrt(x)) + ((634 + 1367*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(231*x^(7//2)) - (4*(9 - 20*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(99*x^(11//2)) - (3229*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(693*sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (1357*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(231*sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+(((2 - 5*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/x^(15//2), (-6907*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(10010*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (204*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(385*x^(5//2)) - (1231*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(2002*x^(3//2)) + (6907*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(10010*sqrt(x)) + ((1834 + 3445*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(1001*x^(9//2)) - (4*(11 - 25*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(143*x^(13//2)) + (6907*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(5005*sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (3693*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(2002*sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((A + B*x)/(sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (2*B*x*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(sqrt(c)*sqrt(e*x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)) - (2*a^(1//4)*B*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + b*x + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (a^(1//4)*(B + (A*sqrt(c))/sqrt(a))*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x)*sqrt((a + b*x + c*x^2)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(c^(3//4)*sqrt(e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+
+
+(((2 - 5*x)*x^(7//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (-68920*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(15309*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (11320*sqrt(x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/5103 - (820*x^(3//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/567 + (508*x^(5//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/567 - (10*x^(7//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/27 + (68920*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(15309*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (11320*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(5103*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+(((2 - 5*x)*x^(5//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (13688*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(2835*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (412*sqrt(x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/189 + (128*x^(3//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/105 - (10*x^(5//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/21 - (13688*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(2835*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (412*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(189*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+(((2 - 5*x)*x^(3//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (-412*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(81*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (52*sqrt(x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/27 - (2*x^(3//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/3 + (412*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(81*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (52*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(27*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 6),
+(((2 - 5*x)*sqrt(x))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (136*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(27*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (10*sqrt(x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/9 - (136*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(27*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (10*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(9*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 5),
+((2 - 5*x)/(sqrt(x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), (-10*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (10*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (2*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), x, 4),
+((2 - 5*x)/(x^(3//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), (2*sqrt(x)*(2 + 3*x))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) - (2*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/sqrt(x) - (2*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) - (5*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), x, 5),
+((2 - 5*x)/(x^(5//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), (-25*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (2*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3*x^(3//2)) + (25*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3*sqrt(x)) + (25*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), x, 6),
+((2 - 5*x)/(x^(7//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), (66*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(5*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (2*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(5*x^(5//2)) + (3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/x^(3//2) - (66*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(5*sqrt(x)) - (66*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(5*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (9*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+
+
+(((2 - 5*x)*x^(7//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), (-24*sqrt(x)*(2 + 3*x))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (2*x^(5//2)*(74 + 95*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + 20*sqrt(x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) - (64*x^(3//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/3 + (24*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) - (20*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), x, 7),
+(((2 - 5*x)*x^(5//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), (1804*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(81*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (2*x^(3//2)*(74 + 95*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (580*sqrt(x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/27 - (1804*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(81*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (580*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(27*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 6),
+(((2 - 5*x)*x^(3//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), (-200*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(9*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (2*sqrt(x)*(74 + 95*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (200*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(9*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (74*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 5),
+(((2 - 5*x)*sqrt(x))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), (74*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (2*sqrt(x)*(30 + 37*x))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) - (74*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (30*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), x, 5),
+((2 - 5*x)/(sqrt(x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)), (-30*sqrt(x)*(2 + 3*x))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (2*sqrt(x)*(38 + 45*x))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (30*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) - (37*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), x, 5),
+((2 - 5*x)/(x^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)), (39*sqrt(x)*(2 + 3*x))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (2*(38 + 45*x))/(sqrt(x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (39*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/sqrt(x) - (39*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (45*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), x, 6),
+((2 - 5*x)/(x^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)), (-170*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (2*(38 + 45*x))/(x^(3//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (115*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3*x^(3//2)) + (170*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3*sqrt(x)) + (170*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (115*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+((2 - 5*x)/(x^(7//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)), (2693*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(30*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (2*(38 + 45*x))/(x^(5//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (191*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(5*x^(5//2)) + (157*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3*x^(3//2)) - (2693*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(30*sqrt(x)) - (2693*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(15*sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (157*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
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+(((2 - 5*x)*x^(13//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), (2*x^(11//2)*(74 + 95*x))/(9*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) - (1521056*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(76545*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (4*x^(7//2)*(1484 + 1685*x))/(27*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (211144*sqrt(x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/5103 - (167336*x^(3//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/2835 + (45820*x^(5//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/567 + (1521056*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(76545*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (211144*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(5103*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 9),
+(((2 - 5*x)*x^(11//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), (2*x^(9//2)*(74 + 95*x))/(9*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) + (33608*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(729*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (8*x^(5//2)*(773 + 905*x))/(27*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (16040*sqrt(x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/243 + (2348*x^(3//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/27 - (33608*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(729*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (16040*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(243*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+(((2 - 5*x)*x^(9//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), (2*x^(7//2)*(74 + 95*x))/(9*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) - (17512*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(243*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (4*x^(3//2)*(536 + 645*x))/(9*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (7540*sqrt(x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/81 + (17512*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(243*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (7540*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(81*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+(((2 - 5*x)*x^(7//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), (2*x^(5//2)*(74 + 95*x))/(9*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) + (8020*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(81*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (40*sqrt(x)*(167 + 206*x))/(27*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (8020*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(81*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (3340*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(27*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 6),
+(((2 - 5*x)*x^(5//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), (2*x^(3//2)*(74 + 95*x))/(9*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) - (3464*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(27*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (4*sqrt(x)*(715 + 866*x))/(9*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (3464*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(27*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (1430*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(9*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 6),
+(((2 - 5*x)*x^(3//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), (2*sqrt(x)*(74 + 95*x))/(9*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) + (1450*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(9*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (2*sqrt(x)*(1831 + 2175*x))/(9*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (1450*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(9*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (598*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 6),
+(((2 - 5*x)*sqrt(x))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), (-2*sqrt(x)*(30 + 37*x))/(3*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) - (198*sqrt(x)*(2 + 3*x))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (2*sqrt(x)*(250 + 297*x))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (198*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) - (245*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), x, 6),
+((2 - 5*x)/(sqrt(x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2)), (2*sqrt(x)*(38 + 45*x))/(3*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) + (715*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (5*sqrt(x)*(361 + 429*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (715*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (295*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), x, 6),
+((2 - 5*x)/(x^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2)), (2*(38 + 45*x))/(3*sqrt(x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) - (838*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (1717 + 2085*x)/(3*sqrt(x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (838*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3*sqrt(x)) + (838*sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (695*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+((2 - 5*x)/(x^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2)), (2*(38 + 45*x))/(3*x^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) + (625*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(2*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (3*(181 + 225*x))/(x^(3//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (265*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/x^(3//2) - (625*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(2*sqrt(x)) - (625*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (795*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+((2 - 5*x)/(x^(7//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2)), (2*(38 + 45*x))/(3*x^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) - (9521*sqrt(x)*(2 + 3*x))/(30*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (1541 + 1965*x)/(3*x^(5//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (1252*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(5*x^(5//2)) - (1733*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(6*x^(3//2)) + (9521*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(30*sqrt(x)) + (9521*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt(x)), -1//2))/(15*sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (1733*(1 + x)*sqrt((2 + 3*x)/(1 + x))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(x)), -1//2))/(2*sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 9),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (A+B x) (a+b x+c x^2)^p when m symbolic
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+((e*x)^m*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3, (a^3*A*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (a^2*(3*A*b + a*B)*(e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)) + (3*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + ((3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*(e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)) + ((b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + (3*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*(e*x)^(6 + m))/(e^6*(6 + m)) + (c^2*(3*b*B + A*c)*(e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)) + (B*c^3*(e*x)^(8 + m))/(e^8*(8 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2, (a^2*A*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (a*(2*A*b + a*B)*(e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)) + ((2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + ((b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)*(e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)) + (c*(2*b*B + A*c)*(e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)) + (B*c^2*(e*x)^(6 + m))/(e^6*(6 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^1, (a*A*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + ((A*b + a*B)*(e*x)^(2 + m))/(e^2*(2 + m)) + ((b*B + A*c)*(e*x)^(3 + m))/(e^3*(3 + m)) + (B*c*(e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)), x, 2),
+((e*x)^m*(A + B*x)/(a + b*x + c*x^2)^1, ((B - (b*B - 2*A*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e*(1 + m)) + ((B + (b*B - 2*A*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e*(1 + m)), x, 4),
+((e*x)^m*(A + B*x)/(a + b*x + c*x^2)^2, ((e*x)^(1 + m)*(A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c + (A*b - 2*a*B)*c*x))/(a*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*x + c*x^2)) - (c*(A*b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*m - 2*a*(b*B - 2*A*c*(1 - m) + B*sqrt(b^2 - 4*a*c)*m))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e*(1 + m)) - (c*((A*b - 2*a*B)*m + (2*a*(b*B - 2*A*c*(1 - m)) - A*b^2*m)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e*(1 + m)), x, 5),
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+((e*x)^m*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (A*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -(5//2), -(5//2), 2 + m, -((2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(e*(1 + m)*(1 + (2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(5//2)*(1 + (2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(5//2)) + (B*(e*x)^(2 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, -(5//2), -(5//2), 3 + m, -((2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(e^2*(2 + m)*(1 + (2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(5//2)*(1 + (2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(5//2)), x, 5),
+((e*x)^m*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (A*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -(3//2), -(3//2), 2 + m, -((2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(e*(1 + m)*(1 + (2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(3//2)*(1 + (2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(3//2)) + (B*(e*x)^(2 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, -(3//2), -(3//2), 3 + m, -((2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(e^2*(2 + m)*(1 + (2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(3//2)*(1 + (2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(3//2)), x, 5),
+((e*x)^m*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//2), (A*(e*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -(1//2), -(1//2), 2 + m, -((2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(e*(1 + m)*sqrt(1 + (2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))) + (B*(e*x)^(2 + m)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, -(1//2), -(1//2), 3 + m, -((2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(e^2*(2 + m)*sqrt(1 + (2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 5),
+((e*x)^m*(A + B*x)/(a + b*x + c*x^2)^(1//2), (A*(e*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, 1//2, 1//2, 2 + m, -((2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(e*(1 + m)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (B*(e*x)^(2 + m)*sqrt(1 + (2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, 1//2, 1//2, 3 + m, -((2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(e^2*(2 + m)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+((e*x)^m*(A + B*x)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (A*(e*x)^(1 + m)*(1 + (2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(3//2)*(1 + (2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(3//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, 3//2, 3//2, 2 + m, -((2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(e*(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) + (B*(e*x)^(2 + m)*(1 + (2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(3//2)*(1 + (2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(3//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, 3//2, 3//2, 3 + m, -((2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(e^2*(2 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), x, 5),
+((e*x)^m*(A + B*x)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (A*(e*x)^(1 + m)*(1 + (2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(5//2)*(1 + (2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(5//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, 5//2, 5//2, 2 + m, -((2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(e*(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)) + (B*(e*x)^(2 + m)*(1 + (2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(5//2)*(1 + (2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(5//2)*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, 5//2, 5//2, 3 + m, -((2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(e^2*(2 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), x, 5),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e x)^m (A+B x) (a+b x+c x^2)^p when p symbolic
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+((e*x)^m*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^p, (A*(e*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -p, -p, 2 + m, -((2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(e*(1 + m))) + (B*(e*x)^(2 + m)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, -p, -p, 3 + m, -((2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(e^2*(2 + m))), x, 5),
+
+
+# {x^3*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^p, x, 4, If[$VersionNumber>=8, -(((b*B*(4 + p) - A*c*(5 + 2*p))*x^2*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(2*c^2*(2 + p)*(5 + 2*p))) + (B*x^3*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(c*(5 + 2*p)) + (1/(4*c^4*(1 + p)*(2 + p)*(3 + 2*p)*(5 + 2*p)))*((2*a*c*(3 + 2*p)*(b*B*(4 + p) - A*c*(5 + 2*p)) + b*(2 + p)*(6*a*B*c*(2 + p) - b^2*B*(12 + 7*p + p^2) + A*b*c*(15 + 11*p + 2*p^2)) - 2*c*(1 + p)*(6*a*B*c*(2 + p) - b^2*B*(12 + 7*p + p^2) + A*b*c*(15 + 11*p + 2*p^2))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p)) - (1/(c^4*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(1 + p)*(3 + 2*p)*(5 + 2*p)))*(2^(-1 + p)*(12*a^2*B*c^2 - 12*a*b^2*B*c*(3 + p) + 6*a*A*b*c^2*(5 + 2*p) + b^4*B*(12 + 7*p + p^2) - A*b^3*c*(15 + 11*p + 2*p^2))*(-((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(-1 - p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-p, 1 + p, 2 + p, (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])]), -(((b*B*(4 + p) - A*c*(5 + 2*p))*x^2*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(2*c^2*(2 + p)*(5 + 2*p))) + (B*x^3*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(c*(5 + 2*p)) + (1/(4*c^4*(30 + 77*p + 71*p^2 + 28*p^3 + 4*p^4)))*((2*a*c*(3 + 2*p)*(b*B*(4 + p) - A*c*(5 + 2*p)) + b*(2 + p)*(6*a*B*c*(2 + p) - b^2*B*(12 + 7*p + p^2) + A*b*c*(15 + 11*p + 2*p^2)) - 2*c*(1 + p)*(6*a*B*c*(2 + p) - b^2*B*(12 + 7*p + p^2) + A*b*c*(15 + 11*p + 2*p^2))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p)) - (2^(-1 + p)*(12*a^2*B*c^2 - 12*a*b^2*B*c*(3 + p) + 6*a*A*b*c^2*(5 + 2*p) + b^4*B*(12 + 7*p + p^2) - A*b^3*c*(15 + 11*p + 2*p^2))*(-((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(-1 - p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-p, 1 + p, 2 + p, (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(c^4*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(1 + p)*(3 + 2*p)*(5 + 2*p))]}
+# {x^2*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^p, x, 3, If[$VersionNumber>=8, (B*x^2*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(2*c*(2 + p)) - ((2*a*B*c*(3 + 2*p) + b*(2 + p)*(2*A*c*(2 + p) - b*B*(3 + p)) - 2*c*(1 + p)*(2*A*c*(2 + p) - b*B*(3 + p))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(4*c^3*(1 + p)*(2 + p)*(3 + 2*p)) - (2^(-1 + p)*(6*a*b*B*c - 4*a*A*c^2 + 2*A*b^2*c*(2 + p) - b^3*B*(3 + p))*(-((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(-1 - p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-p, 1 + p, 2 + p, (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(c^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(1 + p)*(3 + 2*p)), (B*x^2*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(2*c*(2 + p)) - ((2*a*B*c*(3 + 2*p) + b*(2 + p)*(2*A*c*(2 + p) - b*B*(3 + p)) - 2*c*(1 + p)*(2*A*c*(2 + p) - b*B*(3 + p))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(4*c^3*(2 + p)*(3 + 5*p + 2*p^2)) - (2^(-1 + p)*(6*a*b*B*c - 4*a*A*c^2 + 2*A*b^2*c*(2 + p) - b^3*B*(3 + p))*(-((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(-1 - p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-p, 1 + p, 2 + p, (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(c^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(1 + p)*(3 + 2*p))]}
+# {x^1*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^p, x, 2, If[$VersionNumber>=8, -(((b*B*(2 + p) - A*c*(3 + 2*p) - 2*B*c*(1 + p)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(2*c^2*(1 + p)*(3 + 2*p))) + (2^p*(2*a*B*c - b^2*B*(2 + p) + A*b*c*(3 + 2*p))*(-((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(-1 - p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-p, 1 + p, 2 + p, (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(c^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(1 + p)*(3 + 2*p)), -(((b*B*(2 + p) - A*c*(3 + 2*p) - 2*B*c*(1 + p)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(2*c^2*(3 + 5*p + 2*p^2))) + (2^p*(2*a*B*c - b^2*B*(2 + p) + A*b*c*(3 + 2*p))*(-((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(-1 - p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-p, 1 + p, 2 + p, (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(c^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(1 + p)*(3 + 2*p))]}
+(x^0*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^p, (B*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(2*c*(1 + p)) + (2^p*(b*B - 2*A*c)*(-((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(-1 - p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1 + p, 2 + p, (b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/(2*sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 + p)), x, 2),
+(1/x^1*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^p, (2^(-1 + 2*p)*A*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-2*p, -p, -p, 1 - 2*p, -((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*c*x)), -((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*c*x))))/(((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/(c*x))^p*((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/(c*x))^p*p) - (2^(1 + p)*B*(-((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(-1 - p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1 + p, 2 + p, (b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/(2*sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 + p)), x, 4),
+(1/x^2*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^p, -((A*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(a*x)) + (2^(-1 + 2*p)*(a*B + A*b*p)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-2*p, -p, -p, 1 - 2*p, -((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*c*x)), -((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*c*x))))/(((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/(c*x))^p*((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/(c*x))^p*(a*p)) - (2^(1 + p)*A*c*(1 + 2*p)*(-((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(-1 - p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1 + p, 2 + p, (b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/(2*sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 + p)), x, 5),
+(1/x^3*(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^p, -((A*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(2*a*x^2)) - ((2*a*B - A*b*(1 - p))*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(2*a^2*x) + (4^(-1 + p)*(2*a*b*B + A*(2*a*c - b^2*(1 - p)))*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-2*p, -p, -p, 1 - 2*p, -((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*c*x)), -((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*c*x))))/(((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/(c*x))^p*((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/(c*x))^p*a^2) - (2^p*c*(2*a*B - A*b*(1 - p))*(1 + 2*p)*(-((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(-1 - p)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1 + p, 2 + p, (b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/(2*sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 + p)), x, 6),
+
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p when a=0
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x) (b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^m*(b*x + c*x^2), -((d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^4*(1 + m))) + ((B*d*(3*c*d - 2*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))*(d + e*x)^(2 + m))/(e^4*(2 + m)) - ((3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^4*(3 + m)) + (B*c*(d + e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)), x, 2),
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^4*(b*x + c*x^2), -((d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^4)) + ((B*d*(3*c*d - 2*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))*(d + e*x)^6)/(6*e^4) - ((3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^4) + (B*c*(d + e*x)^8)/(8*e^4), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3*(b*x + c*x^2), -((d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)*(d + e*x)^4)/(4*e^4)) + ((B*d*(3*c*d - 2*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))*(d + e*x)^5)/(5*e^4) - ((3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^4) + (B*c*(d + e*x)^7)/(7*e^4), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2*(b*x + c*x^2), (1//2)*A*b*d^2*x^2 + (1//3)*d*(b*B*d + A*c*d + 2*A*b*e)*x^3 + (1//4)*(A*e*(2*c*d + b*e) + B*d*(c*d + 2*b*e))*x^4 + (1//5)*e*(2*B*c*d + b*B*e + A*c*e)*x^5 + (1//6)*B*c*e^2*x^6, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1*(b*x + c*x^2), (A*b*d*x^2)/2 + ((b*B*d + A*c*d + A*b*e)*x^3)/3 + ((B*c*d + b*B*e + A*c*e)*x^4)/4 + (B*c*e*x^5)/5, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0*(b*x + c*x^2), (A*b*x^2)/2 + ((b*B + A*c)*x^3)/3 + (B*c*x^4)/4, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^1, ((B*d - A*e)*(c*d - b*e)*x)/e^3 - ((B*c*d - b*B*e - A*c*e)*x^2)/(2*e^2) + (B*c*x^3)/(3*e) - (d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^2, -(((2*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*x)/e^3) + (B*c*x^2)/(2*e^2) + (d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e))/(e^4*(d + e*x)) + ((B*d*(3*c*d - 2*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^3, (B*c*x)/e^3 + (d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e))/(2*e^4*(d + e*x)^2) - (B*d*(3*c*d - 2*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))/(e^4*(d + e*x)) - ((3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^4, (d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e))/(3*e^4*(d + e*x)^3) - (B*d*(3*c*d - 2*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))/(2*e^4*(d + e*x)^2) + (3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)/(e^4*(d + e*x)) + (B*c*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^5, (d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e))/(4*e^4*(d + e*x)^4) - (B*d*(3*c*d - 2*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))/(3*e^4*(d + e*x)^3) + (3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)/(2*e^4*(d + e*x)^2) - (B*c)/(e^4*(d + e*x)), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^6, (d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e))/(5*e^4*(d + e*x)^5) - (B*d*(3*c*d - 2*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))/(4*e^4*(d + e*x)^4) + (3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)/(3*e^4*(d + e*x)^3) - (B*c)/(2*e^4*(d + e*x)^2), x, 2),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^m*(b*x + c*x^2)^2, -((d^2*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(1 + m))/(e^6*(1 + m))) + (d*(c*d - b*e)*(B*d*(5*c*d - 3*b*e) - 2*A*e*(2*c*d - b*e))*(d + e*x)^(2 + m))/(e^6*(2 + m)) + ((A*e*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(10*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*(d + e*x)^(3 + m))/(e^6*(3 + m)) - ((2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2))*(d + e*x)^(4 + m))/(e^6*(4 + m)) - (c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(5 + m))/(e^6*(5 + m)) + (B*c^2*(d + e*x)^(6 + m))/(e^6*(6 + m)), x, 2),
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^3*(b*x + c*x^2)^2, (1//3)*A*b^2*d^3*x^3 + (1//4)*b*d^2*(b*B*d + 2*A*c*d + 3*A*b*e)*x^4 + (1//5)*d*(A*c^2*d^2 + 3*b^2*e*(B*d + A*e) + 2*b*c*d*(B*d + 3*A*e))*x^5 + (1//6)*(A*e*(3*c^2*d^2 + 6*b*c*d*e + b^2*e^2) + B*d*(c^2*d^2 + 6*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*x^6 + (1//7)*e*(A*c*e*(3*c*d + 2*b*e) + B*(3*c^2*d^2 + 6*b*c*d*e + b^2*e^2))*x^7 + (1//8)*c*e^2*(3*B*c*d + 2*b*B*e + A*c*e)*x^8 + (1//9)*B*c^2*e^3*x^9, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^2, (1//3)*A*b^2*d^2*x^3 + (1//4)*b*d*(b*B*d + 2*A*c*d + 2*A*b*e)*x^4 + (1//5)*(A*c^2*d^2 + b^2*e*(2*B*d + A*e) + 2*b*c*d*(B*d + 2*A*e))*x^5 + (1//6)*(2*A*c*e*(c*d + b*e) + B*(c^2*d^2 + 4*b*c*d*e + b^2*e^2))*x^6 + (1//7)*c*e*(A*c*e + 2*B*(c*d + b*e))*x^7 + (1//8)*B*c^2*e^2*x^8, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1*(b*x + c*x^2)^2, (1//3)*A*b^2*d*x^3 + (1//4)*b*(b*B*d + 2*A*c*d + A*b*e)*x^4 + (1//5)*(A*c^2*d + b^2*B*e + 2*b*c*(B*d + A*e))*x^5 + (1//6)*c*(B*c*d + 2*b*B*e + A*c*e)*x^6 + (1//7)*B*c^2*e*x^7, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0*(b*x + c*x^2)^2, (A*b^2*x^3)/3 + (b*(b*B + 2*A*c)*x^4)/4 + (c*(2*b*B + A*c)*x^5)/5 + (B*c^2*x^6)/6, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^1, (d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2*x)/e^5 - ((B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2*x^2)/(2*e^4) - ((A*c*e*(c*d - 2*b*e) - B*(c*d - b*e)^2)*x^3)/(3*e^3) - (c*(B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*x^4)/(4*e^2) + (B*c^2*x^5)/(5*e) - (d^2*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^2, -(((c*d - b*e)*(2*B*d*(2*c*d - b*e) - A*e*(3*c*d - b*e))*x)/e^5) + ((c*d - b*e)*(3*B*c*d - b*B*e - 2*A*c*e)*x^2)/(2*e^4) - (c*(2*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*x^3)/(3*e^3) + (B*c^2*x^4)/(4*e^2) + (d^2*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2)/(e^6*(d + e*x)) + (d*(c*d - b*e)*(B*d*(5*c*d - 3*b*e) - 2*A*e*(2*c*d - b*e))*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^3, -(((A*c*e*(3*c*d - 2*b*e) - B*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2))*x)/e^5) - (c*(3*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*x^2)/(2*e^4) + (B*c^2*x^3)/(3*e^3) + (d^2*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2)/(2*e^6*(d + e*x)^2) - (d*(c*d - b*e)*(B*d*(5*c*d - 3*b*e) - 2*A*e*(2*c*d - b*e)))/(e^6*(d + e*x)) + ((A*e*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(10*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^4, -((c*(4*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*x)/e^5) + (B*c^2*x^2)/(2*e^4) + (d^2*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2)/(3*e^6*(d + e*x)^3) - (d*(c*d - b*e)*(B*d*(5*c*d - 3*b*e) - 2*A*e*(2*c*d - b*e)))/(2*e^6*(d + e*x)^2) - (A*e*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(10*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))/(e^6*(d + e*x)) - ((2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2))*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^5, (B*c^2*x)/e^5 + (d^2*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2)/(4*e^6*(d + e*x)^4) - (d*(c*d - b*e)*(B*d*(5*c*d - 3*b*e) - 2*A*e*(2*c*d - b*e)))/(3*e^6*(d + e*x)^3) - (A*e*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(10*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))/(2*e^6*(d + e*x)^2) + (2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2))/(e^6*(d + e*x)) - (c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^6, (d^2*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2)/(5*e^6*(d + e*x)^5) - (d*(c*d - b*e)*(B*d*(5*c*d - 3*b*e) - 2*A*e*(2*c*d - b*e)))/(4*e^6*(d + e*x)^4) - (A*e*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(10*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))/(3*e^6*(d + e*x)^3) + (2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2))/(2*e^6*(d + e*x)^2) + (c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e))/(e^6*(d + e*x)) + (B*c^2*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^7, (d^2*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2)/(6*e^6*(d + e*x)^6) - (d*(c*d - b*e)*(B*d*(5*c*d - 3*b*e) - 2*A*e*(2*c*d - b*e)))/(5*e^6*(d + e*x)^5) - (A*e*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(10*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))/(4*e^6*(d + e*x)^4) + (2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2))/(3*e^6*(d + e*x)^3) + (c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e))/(2*e^6*(d + e*x)^2) - (B*c^2)/(e^6*(d + e*x)), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^8, (d^2*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2)/(7*e^6*(d + e*x)^7) - (d*(c*d - b*e)*(B*d*(5*c*d - 3*b*e) - 2*A*e*(2*c*d - b*e)))/(6*e^6*(d + e*x)^6) - (A*e*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(10*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))/(5*e^6*(d + e*x)^5) + (2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2))/(4*e^6*(d + e*x)^4) + (c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e))/(3*e^6*(d + e*x)^3) - (B*c^2)/(2*e^6*(d + e*x)^2), x, 2),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^m*(b*x + c*x^2)^3, -((d^3*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)^(1 + m))/(e^8*(1 + m))) + (d^2*(c*d - b*e)^2*(B*d*(7*c*d - 4*b*e) - 3*A*e*(2*c*d - b*e))*(d + e*x)^(2 + m))/(e^8*(2 + m)) + (3*d*(c*d - b*e)*(A*e*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(7*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + 2*b^2*e^2))*(d + e*x)^(3 + m))/(e^8*(3 + m)) + ((B*d*(35*c^3*d^3 - 60*b*c^2*d^2*e + 30*b^2*c*d*e^2 - 4*b^3*e^3) - A*e*(20*c^3*d^3 - 30*b*c^2*d^2*e + 12*b^2*c*d*e^2 - b^3*e^3))*(d + e*x)^(4 + m))/(e^8*(4 + m)) + ((3*A*c*e*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*(35*c^3*d^3 - 45*b*c^2*d^2*e + 15*b^2*c*d*e^2 - b^3*e^3))*(d + e*x)^(5 + m))/(e^8*(5 + m)) - (3*c*(A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2))*(d + e*x)^(6 + m))/(e^8*(6 + m)) - (c^2*(7*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(7 + m))/(e^8*(7 + m)) + (B*c^3*(d + e*x)^(8 + m))/(e^8*(8 + m)), x, 2),
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^4*(b*x + c*x^2)^3, (1//4)*A*b^3*d^4*x^4 + (1//5)*b^2*d^3*(b*B*d + 3*A*c*d + 4*A*b*e)*x^5 + (1//6)*b*d^2*(3*A*c^2*d^2 + 2*b^2*e*(2*B*d + 3*A*e) + 3*b*c*d*(B*d + 4*A*e))*x^6 + (1//7)*d*(A*c^3*d^3 + 2*b^3*e^2*(3*B*d + 2*A*e) + 6*b^2*c*d*e*(2*B*d + 3*A*e) + 3*b*c^2*d^2*(B*d + 4*A*e))*x^7 + (1//8)*(A*e*(4*c^3*d^3 + 18*b*c^2*d^2*e + 12*b^2*c*d*e^2 + b^3*e^3) + B*d*(c^3*d^3 + 12*b*c^2*d^2*e + 18*b^2*c*d*e^2 + 4*b^3*e^3))*x^8 + (1//9)*e*(3*A*c*e*(2*c^2*d^2 + 4*b*c*d*e + b^2*e^2) + B*(4*c^3*d^3 + 18*b*c^2*d^2*e + 12*b^2*c*d*e^2 + b^3*e^3))*x^9 + (1//10)*c*e^2*(A*c*e*(4*c*d + 3*b*e) + 3*B*(2*c^2*d^2 + 4*b*c*d*e + b^2*e^2))*x^10 + (1//11)*c^2*e^3*(4*B*c*d + 3*b*B*e + A*c*e)*x^11 + (1//12)*B*c^3*e^4*x^12, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3*(b*x + c*x^2)^3, (1//4)*A*b^3*d^3*x^4 + (1//5)*b^2*d^2*(b*B*d + 3*A*c*d + 3*A*b*e)*x^5 + (1//2)*b*d*(A*c^2*d^2 + b^2*e*(B*d + A*e) + b*c*d*(B*d + 3*A*e))*x^6 + (1//7)*(A*c^3*d^3 + 9*b^2*c*d*e*(B*d + A*e) + b^3*e^2*(3*B*d + A*e) + 3*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e))*x^7 + (1//8)*(3*A*c*e*(c^2*d^2 + 3*b*c*d*e + b^2*e^2) + B*(c^3*d^3 + 9*b*c^2*d^2*e + 9*b^2*c*d*e^2 + b^3*e^3))*x^8 + (1//3)*c*e*(A*c*e*(c*d + b*e) + B*(c^2*d^2 + 3*b*c*d*e + b^2*e^2))*x^9 + (1//10)*c^2*e^2*(A*c*e + 3*B*(c*d + b*e))*x^10 + (1//11)*B*c^3*e^3*x^11, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^3, (1//4)*A*b^3*d^2*x^4 + (1//5)*b^2*d*(b*B*d + 3*A*c*d + 2*A*b*e)*x^5 + (1//6)*b*(3*A*c^2*d^2 + b^2*e*(2*B*d + A*e) + 3*b*c*d*(B*d + 2*A*e))*x^6 + (1//7)*(A*c^3*d^2 + b^3*B*e^2 + 3*b^2*c*e*(2*B*d + A*e) + 3*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e))*x^7 + (1//8)*c*(A*c*e*(2*c*d + 3*b*e) + B*(c^2*d^2 + 6*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*x^8 + (1//9)*c^2*e*(2*B*c*d + 3*b*B*e + A*c*e)*x^9 + (1//10)*B*c^3*e^2*x^10, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1*(b*x + c*x^2)^3, (1//4)*A*b^3*d*x^4 + (1//5)*b^2*(b*B*d + 3*A*c*d + A*b*e)*x^5 + (1//6)*b*(3*A*c^2*d + b^2*B*e + 3*b*c*(B*d + A*e))*x^6 + (1//7)*c*(A*c^2*d + 3*b^2*B*e + 3*b*c*(B*d + A*e))*x^7 + (1//8)*c^2*(B*c*d + 3*b*B*e + A*c*e)*x^8 + (1//9)*B*c^3*e*x^9, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0*(b*x + c*x^2)^3, (A*b^3*x^4)/4 + (b^2*(b*B + 3*A*c)*x^5)/5 + (b*c*(b*B + A*c)*x^6)/2 + (c^2*(3*b*B + A*c)*x^7)/7 + (B*c^3*x^8)/8, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/(d + e*x)^1, (d^2*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^3*x)/e^7 - (d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^3*x^2)/(2*e^6) + ((B*d - A*e)*(c*d - b*e)^3*x^3)/(3*e^5) - ((B*(c*d - b*e)^3 - A*c*e*(c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*x^4)/(4*e^4) - (c*(A*c*e*(c*d - 3*b*e) - B*(c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*x^5)/(5*e^3) - (c^2*(B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e)*x^6)/(6*e^2) + (B*c^3*x^7)/(7*e) - (d^3*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^3*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/(d + e*x)^2, (d*(c*d - b*e)^2*(A*e*(5*c*d - 2*b*e) - 3*B*d*(2*c*d - b*e))*x)/e^7 + ((c*d - b*e)^2*(B*d*(5*c*d - 2*b*e) - A*e*(4*c*d - b*e))*x^2)/(2*e^6) - ((c*d - b*e)^2*(4*B*c*d - b*B*e - 3*A*c*e)*x^3)/(3*e^5) - (c*(A*c*e*(2*c*d - 3*b*e) - 3*B*(c*d - b*e)^2)*x^4)/(4*e^4) - (c^2*(2*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e)*x^5)/(5*e^3) + (B*c^3*x^6)/(6*e^2) + (d^3*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^3)/(e^8*(d + e*x)) + (d^2*(c*d - b*e)^2*(B*d*(7*c*d - 4*b*e) - 3*A*e*(2*c*d - b*e))*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/(d + e*x)^3, -(((c*d - b*e)*(A*e*(10*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2) - 3*B*d*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2))*x)/e^7) + ((c*d - b*e)*(3*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2))*x^2)/(2*e^6) + (c*(c*d - b*e)*(2*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*x^3)/e^5 - (c^2*(3*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e)*x^4)/(4*e^4) + (B*c^3*x^5)/(5*e^3) + (d^3*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^3)/(2*e^8*(d + e*x)^2) - (d^2*(c*d - b*e)^2*(B*d*(7*c*d - 4*b*e) - 3*A*e*(2*c*d - b*e)))/(e^8*(d + e*x)) + (3*d*(c*d - b*e)*(A*e*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(7*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + 2*b^2*e^2))*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^3)/(d + e*x)^4, ((A*c*e*(10*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2) - B*(20*c^3*d^3 - 30*b*c^2*d^2*e + 12*b^2*c*d*e^2 - b^3*e^3))*x)/e^7 - (c*(A*c*e*(4*c*d - 3*b*e) - B*(10*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*x^2)/(2*e^6) - (c^2*(4*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e)*x^3)/(3*e^5) + (B*c^3*x^4)/(4*e^4) + (d^3*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^3)/(3*e^8*(d + e*x)^3) - (d^2*(c*d - b*e)^2*(B*d*(7*c*d - 4*b*e) - 3*A*e*(2*c*d - b*e)))/(2*e^8*(d + e*x)^2) - (3*d*(c*d - b*e)*(A*e*(5*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(7*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + 2*b^2*e^2)))/(e^8*(d + e*x)) + ((B*d*(35*c^3*d^3 - 60*b*c^2*d^2*e + 30*b^2*c*d*e^2 - 4*b^3*e^3) - A*e*(20*c^3*d^3 - 30*b*c^2*d^2*e + 12*b^2*c*d*e^2 - b^3*e^3))*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^4)/(b*x + c*x^2), (e*(A*c*e*(6*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e + b^2*e^2) + B*(4*c^3*d^3 - 6*b*c^2*d^2*e + 4*b^2*c*d*e^2 - b^3*e^3))*x)/c^4 + (e^2*(A*c*e*(4*c*d - b*e) + B*(6*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e + b^2*e^2))*x^2)/(2*c^3) + (e^3*(4*B*c*d - b*B*e + A*c*e)*x^3)/(3*c^2) + (B*e^4*x^4)/(4*c) + (A*d^4*log(x))/b + ((b*B - A*c)*(c*d - b*e)^4*log(b + c*x))/(b*c^5), x, 2),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^3)/(b*x + c*x^2), (e*(A*c*e*(3*c*d - b*e) + B*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + b^2*e^2))*x)/c^3 + (e^2*(3*B*c*d - b*B*e + A*c*e)*x^2)/(2*c^2) + (B*e^3*x^3)/(3*c) + (A*d^3*log(x))/b + ((b*B - A*c)*(c*d - b*e)^3*log(b + c*x))/(b*c^4), x, 2),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^2)/(b*x + c*x^2), (e*(2*B*c*d - b*B*e + A*c*e)*x)/c^2 + (B*e^2*x^2)/(2*c) + (A*d^2*log(x))/b + ((b*B - A*c)*(c*d - b*e)^2*log(b + c*x))/(b*c^3), x, 2),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^1)/(b*x + c*x^2), (B*e*x)/c + (A*d*log(x))/b + ((b*B - A*c)*(c*d - b*e)*log(b + c*x))/(b*c^2), x, 2),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^0)/(b*x + c*x^2), (A*log(x))/b + ((b*B - A*c)*log(b + c*x))/(b*c), x, 2),
+((A + B*x)/((d + e*x)^1*(b*x + c*x^2)), (A*log(x))/(b*d) + ((b*B - A*c)*log(b + c*x))/(b*(c*d - b*e)) - ((B*d - A*e)*log(d + e*x))/(d*(c*d - b*e)), x, 2),
+((A + B*x)/((d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)), (B*d - A*e)/(d*(c*d - b*e)*(d + e*x)) + (A*log(x))/(b*d^2) + (c*(b*B - A*c)*log(b + c*x))/(b*(c*d - b*e)^2) - ((B*c*d^2 - A*e*(2*c*d - b*e))*log(d + e*x))/(d^2*(c*d - b*e)^2), x, 2),
+((A + B*x)/((d + e*x)^3*(b*x + c*x^2)), (B*d - A*e)/(2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^2) + (B*c*d^2 - A*e*(2*c*d - b*e))/(d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)) + (A*log(x))/(b*d^3) + (c^2*(b*B - A*c)*log(b + c*x))/(b*(c*d - b*e)^3) - ((B*c^2*d^3 - A*e*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + b^2*e^2))*log(d + e*x))/(d^3*(c*d - b*e)^3), x, 2),
+((A + B*x)/((d + e*x)^4*(b*x + c*x^2)), (B*d - A*e)/(3*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^3) + (B*c*d^2 - A*e*(2*c*d - b*e))/(2*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^2) + (B*c^2*d^3 - A*e*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + b^2*e^2))/(d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)) + (A*log(x))/(b*d^4) + (c^3*(b*B - A*c)*log(b + c*x))/(b*(c*d - b*e)^4) - ((B*c^3*d^4 - A*e*(4*c^3*d^3 - 6*b*c^2*d^2*e + 4*b^2*c*d*e^2 - b^3*e^3))*log(d + e*x))/(d^4*(c*d - b*e)^4), x, 2),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^4)/(b*x + c*x^2)^2, -((A*d^4)/(b^2*x)) + (e^3*(4*B*c*d - 2*b*B*e + A*c*e)*x)/c^3 + (B*e^4*x^2)/(2*c^2) + ((b*B - A*c)*(c*d - b*e)^4)/(b^2*c^4*(b + c*x)) + (d^3*(b*B*d - 2*A*c*d + 4*A*b*e)*log(x))/b^3 + ((c*d - b*e)^3*(2*A*c^2*d - 3*b^2*B*e - b*c*(B*d - 2*A*e))*log(b + c*x))/(b^3*c^4), x, 2),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^3)/(b*x + c*x^2)^2, -((A*d^3)/(b^2*x)) + (B*e^3*x)/c^2 + ((b*B - A*c)*(c*d - b*e)^3)/(b^2*c^3*(b + c*x)) + (d^2*(b*B*d - 2*A*c*d + 3*A*b*e)*log(x))/b^3 + ((c*d - b*e)^2*(2*A*c^2*d - 2*b^2*B*e - b*c*(B*d - A*e))*log(b + c*x))/(b^3*c^3), x, 2),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^2)/(b*x + c*x^2)^2, -((A*d^2)/(b^2*x)) + ((b*B - A*c)*(c*d - b*e)^2)/(b^2*c^2*(b + c*x)) + (d*(b*B*d - 2*A*c*d + 2*A*b*e)*log(x))/b^3 - ((c*d - b*e)*(b*B*c*d - 2*A*c^2*d + b^2*B*e)*log(b + c*x))/(b^3*c^2), x, 2),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^1)/(b*x + c*x^2)^2, -((A*d)/(b^2*x)) + ((b*B - A*c)*(c*d - b*e))/(b^2*c*(b + c*x)) + ((b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e)*log(x))/b^3 - ((b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e)*log(b + c*x))/b^3, x, 2),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^0)/(b*x + c*x^2)^2, -(A/(b^2*x)) + (b*B - A*c)/(b^2*(b + c*x)) + ((b*B - 2*A*c)*log(x))/b^3 - ((b*B - 2*A*c)*log(b + c*x))/b^3, x, 2),
+((A + B*x)/((d + e*x)^1*(b*x + c*x^2)^2), -(A/(b^2*d*x)) + (c*(b*B - A*c))/(b^2*(c*d - b*e)*(b + c*x)) + ((b*B*d - 2*A*c*d - A*b*e)*log(x))/(b^3*d^2) + (c*(2*A*c^2*d + 2*b^2*B*e - b*c*(B*d + 3*A*e))*log(b + c*x))/(b^3*(c*d - b*e)^2) - (e^2*(B*d - A*e)*log(d + e*x))/(d^2*(c*d - b*e)^2), x, 2),
+((A + B*x)/((d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^2), -(A/(b^2*d^2*x)) + (c^2*(b*B - A*c))/(b^2*(c*d - b*e)^2*(b + c*x)) + (e^2*(B*d - A*e))/(d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)) + ((b*B*d - 2*A*c*d - 2*A*b*e)*log(x))/(b^3*d^3) + (c^2*(2*A*c^2*d + 3*b^2*B*e - b*c*(B*d + 4*A*e))*log(b + c*x))/(b^3*(c*d - b*e)^3) + (e^2*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*d*(3*c*d - b*e))*log(d + e*x))/(d^3*(c*d - b*e)^3), x, 2),
+((A + B*x)/((d + e*x)^3*(b*x + c*x^2)^2), -(A/(b^2*d^3*x)) + (c^3*(b*B - A*c))/(b^2*(c*d - b*e)^3*(b + c*x)) + (e^2*(B*d - A*e))/(2*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^2) - (e^2*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*d*(3*c*d - b*e)))/(d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)) + ((b*B*d - 2*A*c*d - 3*A*b*e)*log(x))/(b^3*d^4) + (c^3*(2*A*c^2*d + 4*b^2*B*e - b*c*(B*d + 5*A*e))*log(b + c*x))/(b^3*(c*d - b*e)^4) - (e^2*(B*d*(6*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e + b^2*e^2) - A*e*(10*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*log(d + e*x))/(d^4*(c*d - b*e)^4), x, 2),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^5)/(b*x + c*x^2)^3, -((A*d^5)/(2*b^3*x^2)) - (d^4*(b*B*d - 3*A*c*d + 5*A*b*e))/(b^4*x) + (B*e^5*x)/c^3 - ((b*B - A*c)*(c*d - b*e)^5)/(2*b^3*c^4*(b + c*x)^2) - ((c*d - b*e)^4*(2*b*B*c*d - 3*A*c^2*d + 3*b^2*B*e - 2*A*b*c*e))/(b^4*c^4*(b + c*x)) + (d^3*(6*A*c^2*d^2 + 5*b^2*e*(B*d + 2*A*e) - 3*b*c*d*(B*d + 5*A*e))*log(x))/b^5 - ((c*d - b*e)^3*(6*A*c^3*d^2 - 3*b^3*B*e^2 - 3*b*c^2*d*(B*d - A*e) - b^2*c*e*(4*B*d - A*e))*log(b + c*x))/(b^5*c^4), x, 2),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^4)/(b*x + c*x^2)^3, -((A*d^4)/(2*b^3*x^2)) - (d^3*(b*B*d - 3*A*c*d + 4*A*b*e))/(b^4*x) - ((b*B - A*c)*(c*d - b*e)^4)/(2*b^3*c^3*(b + c*x)^2) - ((c*d - b*e)^3*(2*b*B*c*d - 3*A*c^2*d + 2*b^2*B*e - A*b*c*e))/(b^4*c^3*(b + c*x)) + (d^2*(6*A*c^2*d^2 + 2*b^2*e*(2*B*d + 3*A*e) - 3*b*c*d*(B*d + 4*A*e))*log(x))/b^5 + ((c*d - b*e)^2*(3*b*B*c^2*d^2 - 6*A*c^3*d^2 + 2*b^2*B*c*d*e + b^3*B*e^2)*log(b + c*x))/(b^5*c^3), x, 2),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^3)/(b*x + c*x^2)^3, -((A*d^3)/(2*b^3*x^2)) - (d^2*(b*B*d - 3*A*c*d + 3*A*b*e))/(b^4*x) - ((b*B - A*c)*(c*d - b*e)^3)/(2*b^3*c^2*(b + c*x)^2) - ((c*d - b*e)^2*(2*b*B*c*d - 3*A*c^2*d + b^2*B*e))/(b^4*c^2*(b + c*x)) - (3*d*(c*d - b*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e)*log(x))/b^5 + (3*d*(c*d - b*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e)*log(b + c*x))/b^5, x, 2),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^2)/(b*x + c*x^2)^3, -((A*d^2)/(2*b^3*x^2)) - (d*(b*B*d - 3*A*c*d + 2*A*b*e))/(b^4*x) - ((b*B - A*c)*(c*d - b*e)^2)/(2*b^3*c*(b + c*x)^2) - ((c*d - b*e)*(2*b*B*d - 3*A*c*d + A*b*e))/(b^4*(b + c*x)) + ((6*A*c^2*d^2 + b^2*e*(2*B*d + A*e) - 3*b*c*d*(B*d + 2*A*e))*log(x))/b^5 - ((6*A*c^2*d^2 + b^2*e*(2*B*d + A*e) - 3*b*c*d*(B*d + 2*A*e))*log(b + c*x))/b^5, x, 2),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^1)/(b*x + c*x^2)^3, -((A*d)/(2*b^3*x^2)) - (b*B*d - 3*A*c*d + A*b*e)/(b^4*x) - ((b*B - A*c)*(c*d - b*e))/(2*b^3*(b + c*x)^2) + (3*A*c^2*d + b^2*B*e - 2*b*c*(B*d + A*e))/(b^4*(b + c*x)) + ((6*A*c^2*d + b^2*B*e - 3*b*c*(B*d + A*e))*log(x))/b^5 - ((6*A*c^2*d + b^2*B*e - 3*b*c*(B*d + A*e))*log(b + c*x))/b^5, x, 2),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^0)/(b*x + c*x^2)^3, -(A/(2*b^3*x^2)) - (b*B - 3*A*c)/(b^4*x) - (c*(b*B - A*c))/(2*b^3*(b + c*x)^2) - (c*(2*b*B - 3*A*c))/(b^4*(b + c*x)) - (3*c*(b*B - 2*A*c)*log(x))/b^5 + (3*c*(b*B - 2*A*c)*log(b + c*x))/b^5, x, 2),
+((A + B*x)/((d + e*x)^1*(b*x + c*x^2)^3), -(A/(2*b^3*d*x^2)) - (b*B*d - 3*A*c*d - A*b*e)/(b^4*d^2*x) - (c^2*(b*B - A*c))/(2*b^3*(c*d - b*e)*(b + c*x)^2) + (c^2*(3*A*c^2*d + 3*b^2*B*e - 2*b*c*(B*d + 2*A*e)))/(b^4*(c*d - b*e)^2*(b + c*x)) + ((6*A*c^2*d^2 - 3*b*c*d*(B*d - A*e) - b^2*e*(B*d - A*e))*log(x))/(b^5*d^3) - (c^2*(6*A*c^3*d^2 - 6*b^3*B*e^2 - 3*b*c^2*d*(B*d + 5*A*e) + 2*b^2*c*e*(4*B*d + 5*A*e))*log(b + c*x))/(b^5*(c*d - b*e)^3) - (e^4*(B*d - A*e)*log(d + e*x))/(d^3*(c*d - b*e)^3), x, 2),
+((A + B*x)/((d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^3), -(A/(2*b^3*d^2*x^2)) - (b*B*d - 3*A*c*d - 2*A*b*e)/(b^4*d^3*x) - (c^3*(b*B - A*c))/(2*b^3*(c*d - b*e)^2*(b + c*x)^2) - (c^3*(2*b*B*c*d - 3*A*c^2*d - 4*b^2*B*e + 5*A*b*c*e))/(b^4*(c*d - b*e)^3*(b + c*x)) + (e^4*(B*d - A*e))/(d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)) + ((6*A*c^2*d^2 - b^2*e*(2*B*d - 3*A*e) - 3*b*c*d*(B*d - 2*A*e))*log(x))/(b^5*d^4) - (c^3*(6*A*c^3*d^2 - 10*b^3*B*e^2 + 5*b^2*c*e*(2*B*d + 3*A*e) - 3*b*c^2*d*(B*d + 6*A*e))*log(b + c*x))/(b^5*(c*d - b*e)^4) - (e^4*(B*d*(5*c*d - 2*b*e) - 3*A*e*(2*c*d - b*e))*log(d + e*x))/(d^4*(c*d - b*e)^4), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x) (b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^3*sqrt(b*x + c*x^2), ((128*A*c^4*d^3 + 21*b^4*B*e^3 + 120*b^2*c^2*d*e*(B*d + A*e) - 28*b^3*c*e^2*(3*B*d + A*e) - 64*b*c^3*d^2*(B*d + 3*A*e))*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(512*c^5) + ((2*B*c*d - 3*b*B*e + 4*A*c*e)*(d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(20*c^2) + (B*(d + e*x)^3*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(6*c) + ((4*A*c*e*(192*c^2*d^2 - 150*b*c*d*e + 35*b^2*e^2) + B*(64*c^3*d^3 - 456*b*c^2*d^2*e + 420*b^2*c*d*e^2 - 105*b^3*e^3) + 6*c*e*(28*A*c*e*(2*c*d - b*e) + B*(8*c^2*d^2 - 36*b*c*d*e + 21*b^2*e^2))*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(960*c^4) - (b^2*(128*A*c^4*d^3 + 21*b^4*B*e^3 + 120*b^2*c^2*d*e*(B*d + A*e) - 28*b^3*c*e^2*(3*B*d + A*e) - 64*b*c^3*d^2*(B*d + 3*A*e))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(512*c^(11//2)), x, 6),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2*sqrt(b*x + c*x^2), ((32*A*c^3*d^2 - 7*b^3*B*e^2 + 10*b^2*c*e*(2*B*d + A*e) - 16*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e))*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(128*c^4) + (B*(d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*c) + ((10*A*c*e*(16*c*d - 5*b*e) + B*(32*c^2*d^2 - 100*b*c*d*e + 35*b^2*e^2) + 6*c*e*(4*B*c*d - 7*b*B*e + 10*A*c*e)*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(240*c^3) - (b^2*(32*A*c^3*d^2 - 7*b^3*B*e^2 + 10*b^2*c*e*(2*B*d + A*e) - 16*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(128*c^(9//2)), x, 5),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1*sqrt(b*x + c*x^2), ((16*A*c^2*d + 5*b^2*B*e - 8*b*c*(B*d + A*e))*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*c^3) - ((5*b*B*e - 8*c*(B*d + A*e) - 6*B*c*e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*c^2) - (b^2*(16*A*c^2*d + 5*b^2*B*e - 8*b*c*(B*d + A*e))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(64*c^(7//2)), x, 4),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0*sqrt(b*x + c*x^2), -(((b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*c^2)) + (B*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*c) + (b^2*(b*B - 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(8*c^(5//2)), x, 4),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^1, -(((4*B*c*d - b*B*e - 4*A*c*e - 2*B*c*e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*c*e^2)) - ((4*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(8*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e - b^2*e^2))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(4*c^(3//2)*e^3) - (sqrt(d)*(B*d - A*e)*sqrt(c*d - b*e)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/e^3, x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^2, ((2*B*d - A*e + B*e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(e^2*(d + e*x)) - ((4*B*c*d - b*B*e - 2*A*c*e)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(sqrt(c)*e^3) + ((B*d*(4*c*d - 3*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(d)*e^3*sqrt(c*d - b*e)), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^3, ((d*(A*b*e^2 - B*d*(4*c*d - 3*b*e)) - e*(B*d*(6*c*d - 5*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*d*e^2*(c*d - b*e)*(d + e*x)^2) + (2*B*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/e^3 - ((A*b^2*e^3 + B*d*(8*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(8*d^(3//2)*e^3*(c*d - b*e)^(3//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^4, -(((b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^2)) + ((B*d - A*e)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^3) + (b^2*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(16*d^(5//2)*(c*d - b*e)^(5//2)), x, 4),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^5, ((16*A*c^2*d^2 - 8*b*c*d*(B*d + 2*A*e) + b^2*e*(3*B*d + 5*A*e))*(b*d + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)^2) + ((B*d - A*e)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(4*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^4) - ((5*A*e*(2*c*d - b*e) - B*d*(2*c*d + 3*b*e))*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^3) - (b^2*(16*A*c^2*d^2 - 8*b*c*d*(B*d + 2*A*e) + b^2*e*(3*B*d + 5*A*e))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(128*d^(7//2)*(c*d - b*e)^(7//2)), x, 5),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^6, ((32*A*c^3*d^3 - 16*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e) + 6*b^2*c*d*e*(2*B*d + 5*A*e) - b^3*e^2*(3*B*d + 7*A*e))*(b*d + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(128*d^4*(c*d - b*e)^4*(d + e*x)^2) + ((B*d - A*e)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^5) - ((7*A*e*(2*c*d - b*e) - B*d*(4*c*d + 3*b*e))*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(40*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^4) + ((B*d*(8*c^2*d^2 + 42*b*c*d*e - 15*b^2*e^2) - A*e*(108*c^2*d^2 - 108*b*c*d*e + 35*b^2*e^2))*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(240*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)^3) - (b^2*(32*A*c^3*d^3 - 16*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e) + 6*b^2*c*d*e*(2*B*d + 5*A*e) - b^3*e^2*(3*B*d + 7*A*e))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(256*d^(9//2)*(c*d - b*e)^(9//2)), x, 6),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^(3//2), -((b^2*(48*A*c^3*d^2 - 9*b^3*B*e^2 + 14*b^2*c*e*(2*B*d + A*e) - 24*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e))*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(1024*c^5)) + ((48*A*c^3*d^2 - 9*b^3*B*e^2 + 14*b^2*c*e*(2*B*d + A*e) - 24*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e))*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(384*c^4) + (B*(d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(7*c) + ((14*A*c*e*(24*c*d - 7*b*e) + B*(48*c^2*d^2 - 196*b*c*d*e + 63*b^2*e^2) + 10*c*e*(4*B*c*d - 9*b*B*e + 14*A*c*e)*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(840*c^3) + (b^4*(48*A*c^3*d^2 - 9*b^3*B*e^2 + 14*b^2*c*e*(2*B*d + A*e) - 24*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(1024*c^(11//2)), x, 6),
+((A + B*x)*(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2), -((b^2*(24*A*c^2*d + 7*b^2*B*e - 12*b*c*(B*d + A*e))*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(512*c^4)) + ((24*A*c^2*d + 7*b^2*B*e - 12*b*c*(B*d + A*e))*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*c^3) - ((7*b*B*e - 12*c*(B*d + A*e) - 10*B*c*e*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(60*c^2) + (b^4*(24*A*c^2*d + 7*b^2*B*e - 12*b*c*(B*d + A*e))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(512*c^(9//2)), x, 5),
+((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2), (3*b^2*(b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(128*c^3) - ((b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(16*c^2) + (B*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*c) - (3*b^4*(b*B - 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(128*c^(7//2)), x, 5),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x), ((8*A*c*e*(8*c^2*d^2 - 10*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*(64*c^3*d^3 - 80*b*c^2*d^2*e + 8*b^2*c*d*e^2 + 3*b^3*e^3) - 2*c*e*(8*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(16*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e - 3*b^2*e^2))*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*c^2*e^4) - ((8*B*c*d - 3*b*B*e - 8*A*c*e - 6*B*c*e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*c*e^2) - ((8*A*c*e*(16*c^3*d^3 - 24*b*c^2*d^2*e + 6*b^2*c*d*e^2 + b^3*e^3) - B*(128*c^4*d^4 - 192*b*c^3*d^3*e + 48*b^2*c^2*d^2*e^2 + 8*b^3*c*d*e^3 + 3*b^4*e^4))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(64*c^(5//2)*e^5) - (d^(3//2)*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^(3//2)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/e^5, x, 7),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^2, -(((6*A*c*e*(4*c*d - 3*b*e) - B*(32*c^2*d^2 - 28*b*c*d*e + b^2*e^2) + 2*c*e*(8*B*c*d - b*B*e - 6*A*c*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*c*e^4)) + ((4*B*d - 3*A*e + B*e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*e^2*(d + e*x)) + ((4*b*c*e*(4*B*d - 3*A*e)*(2*c*d - b*e) - (8*B*c*d - b*B*e - 6*A*c*e)*(8*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e - b^2*e^2))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(8*c^(3//2)*e^5) + (sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*(B*d*(8*c*d - 5*b*e) - 3*A*e*(2*c*d - b*e))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(2*e^5), x, 7),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^3, -((3*(4*B*d*(2*c*d - b*e) - A*e*(4*c*d - b*e) + e*(4*B*c*d - b*B*e - 2*A*c*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*e^4*(d + e*x))) + ((2*B*d - A*e + B*e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(2*e^2*(d + e*x)^2) - (3*(4*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(16*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + b^2*e^2))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(4*sqrt(c)*e^5) + (3*(A*e*(8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(16*c^2*d^2 - 20*b*c*d*e + 5*b^2*e^2))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(d)*e^5*sqrt(c*d - b*e)), x, 7),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^4, -(((A*e*(8*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e - b^2*e^2) - B*d*(32*c^2*d^2 - 36*b*c*d*e + 5*b^2*e^2) - 2*c*e*(B*d*(8*c*d - 7*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*d*e^4*(c*d - b*e)*(d + e*x))) - ((d*(B*d*(8*c*d - 5*b*e) - A*e*(2*c*d + b*e)) + 3*e*(B*d*(4*c*d - 3*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(12*d*e^2*(c*d - b*e)*(d + e*x)^3) - (sqrt(c)*(8*B*c*d - 3*b*B*e - 2*A*c*e)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/e^5 + ((B*d*(64*c^3*d^3 - 120*b*c^2*d^2*e + 60*b^2*c*d*e^2 - 5*b^3*e^3) - A*e*(16*c^3*d^3 - 24*b*c^2*d^2*e + 6*b^2*c*d*e^2 + b^3*e^3))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(16*d^(3//2)*e^5*(c*d - b*e)^(3//2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^5, -(((d*(3*A*b^3*e^4 + B*d*(64*c^3*d^3 - 112*b*c^2*d^2*e + 40*b^2*c*d*e^2 + 5*b^3*e^3)) + e*(3*A*b^2*e^3*(2*c*d - b*e) + B*d*(96*c^3*d^3 - 192*b*c^2*d^2*e + 98*b^2*c*d*e^2 - 5*b^3*e^3))*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*d^2*e^4*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^2)) + ((d*(3*A*b*e^2 - B*d*(8*c*d - 5*b*e)) - e*(B*d*(14*c*d - 11*b*e) - 3*A*e*(2*c*d - b*e))*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*d*e^2*(c*d - b*e)*(d + e*x)^4) + (2*B*c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/e^5 + ((3*A*b^4*e^5 - B*d*(128*c^4*d^4 - 320*b*c^3*d^3*e + 240*b^2*c^2*d^2*e^2 - 40*b^3*c*d*e^3 - 5*b^4*e^4))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(128*d^(5//2)*e^5*(c*d - b*e)^(5//2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^6, (3*b^2*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(128*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)^2) - ((b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(16*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^4) + ((B*d - A*e)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^5) - (3*b^4*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(256*d^(7//2)*(c*d - b*e)^(7//2)), x, 5),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^7, -((b^2*(24*A*c^2*d^2 - 12*b*c*d*(B*d + 2*A*e) + b^2*e*(5*B*d + 7*A*e))*(b*d + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(512*d^4*(c*d - b*e)^4*(d + e*x)^2)) + ((24*A*c^2*d^2 - 12*b*c*d*(B*d + 2*A*e) + b^2*e*(5*B*d + 7*A*e))*(b*d + (2*c*d - b*e)*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)^4) + ((B*d - A*e)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(6*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^6) - ((7*A*e*(2*c*d - b*e) - B*d*(2*c*d + 5*b*e))*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(60*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^5) + (b^4*(24*A*c^2*d^2 - 12*b*c*d*(B*d + 2*A*e) + b^2*e*(5*B*d + 7*A*e))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(1024*d^(9//2)*(c*d - b*e)^(9//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^8, -((b^2*(48*A*c^3*d^3 - 24*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e) - b^3*e^2*(5*B*d + 9*A*e) + 2*b^2*c*d*e*(10*B*d + 21*A*e))*(b*d + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(1024*d^5*(c*d - b*e)^5*(d + e*x)^2)) + ((48*A*c^3*d^3 - 24*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e) - b^3*e^2*(5*B*d + 9*A*e) + 2*b^2*c*d*e*(10*B*d + 21*A*e))*(b*d + (2*c*d - b*e)*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(384*d^4*(c*d - b*e)^4*(d + e*x)^4) + ((B*d - A*e)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(7*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^7) - ((9*A*e*(2*c*d - b*e) - B*d*(4*c*d + 5*b*e))*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(84*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^6) + ((B*d*(8*c^2*d^2 + 90*b*c*d*e - 35*b^2*e^2) - 3*A*e*(68*c^2*d^2 - 68*b*c*d*e + 21*b^2*e^2))*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(840*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)^5) + (b^4*(48*A*c^3*d^3 - 24*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e) - b^3*e^2*(5*B*d + 9*A*e) + 2*b^2*c*d*e*(10*B*d + 21*A*e))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(2048*d^(11//2)*(c*d - b*e)^(11//2)), x, 7),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^(5//2), (5*b^4*(64*A*c^3*d^2 - 11*b^3*B*e^2 + 18*b^2*c*e*(2*B*d + A*e) - 32*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e))*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(32768*c^6) - (5*b^2*(64*A*c^3*d^2 - 11*b^3*B*e^2 + 18*b^2*c*e*(2*B*d + A*e) - 32*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e))*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(12288*c^5) + ((64*A*c^3*d^2 - 11*b^3*B*e^2 + 18*b^2*c*e*(2*B*d + A*e) - 32*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e))*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(768*c^4) + (B*(d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(9*c) + ((18*A*c*e*(32*c*d - 9*b*e) + B*(64*c^2*d^2 - 324*b*c*d*e + 99*b^2*e^2) + 14*c*e*(4*B*c*d - 11*b*B*e + 18*A*c*e)*x)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(2016*c^3) - (5*b^6*(64*A*c^3*d^2 - 11*b^3*B*e^2 + 18*b^2*c*e*(2*B*d + A*e) - 32*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(32768*c^(13//2)), x, 7),
+((A + B*x)*(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2), (5*b^4*(32*A*c^2*d + 9*b^2*B*e - 16*b*c*(B*d + A*e))*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(16384*c^5) - (5*b^2*(32*A*c^2*d + 9*b^2*B*e - 16*b*c*(B*d + A*e))*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(6144*c^4) + ((32*A*c^2*d + 9*b^2*B*e - 16*b*c*(B*d + A*e))*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(384*c^3) - ((9*b*B*e - 16*c*(B*d + A*e) - 14*B*c*e*x)*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(112*c^2) - (5*b^6*(32*A*c^2*d + 9*b^2*B*e - 16*b*c*(B*d + A*e))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(16384*c^(11//2)), x, 6),
+((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2), -((5*b^4*(b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(1024*c^4)) + (5*b^2*(b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(384*c^3) - ((b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(24*c^2) + (B*(b*x + c*x^2)^(7//2))/(7*c) + (5*b^6*(b*B - 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(1024*c^(9//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(d + e*x), (1/(1536*c^3*e^6))*((3*(4*A*c*e*(128*c^4*d^4 - 288*b*c^3*d^3*e + 176*b^2*c^2*d^2*e^2 - 10*b^3*c*d*e^3 - 3*b^4*e^4) - B*(512*c^5*d^5 - 1152*b*c^4*d^4*e + 704*b^2*c^3*d^3*e^2 - 40*b^3*c^2*d^2*e^3 - 12*b^4*c*d*e^4 - 5*b^5*e^5)) - 2*c*e*(8*b*c*d*e*(2*c*d - b*e)*(12*B*c*d - 5*b*B*e - 12*A*c*e) + (16*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e - 3*b^2*e^2)*(12*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(24*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e - 5*b^2*e^2)))*x)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (1/(192*c^2*e^4))*((4*A*c*e*(16*c^2*d^2 - 22*b*c*d*e + 3*b^2*e^2) - B*(64*c^3*d^3 - 88*b*c^2*d^2*e + 12*b^2*c*d*e^2 + 5*b^3*e^3) - 2*c*e*(12*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(24*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e - 5*b^2*e^2))*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2)) - ((12*B*c*d - 5*b*B*e - 12*A*c*e - 10*B*c*e*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(60*c*e^2) - (1/(512*c^(7//2)*e^7))*((4*A*c*e*(256*c^5*d^5 - 640*b*c^4*d^4*e + 480*b^2*c^3*d^3*e^2 - 80*b^3*c^2*d^2*e^3 - 10*b^4*c*d*e^4 - 3*b^5*e^5) - B*(1024*c^6*d^6 - 2560*b*c^5*d^5*e + 1920*b^2*c^4*d^4*e^2 - 320*b^3*c^3*d^3*e^3 - 40*b^4*c^2*d^2*e^4 - 12*b^5*c*d*e^5 - 5*b^6*e^6))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2))) - (d^(5//2)*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^(5//2)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/e^7, x, 8),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^2, -((1/(128*c^2*e^6))*((10*A*c*e*(64*c^3*d^3 - 112*b*c^2*d^2*e + 48*b^2*c*d*e^2 - b^3*e^3) - B*(768*c^4*d^4 - 1408*b*c^3*d^3*e + 656*b^2*c^2*d^2*e^2 - 20*b^3*c*d*e^3 - 3*b^4*e^4) - 2*c*e*(8*b*c*e*(6*B*d - 5*A*e)*(2*c*d - b*e) - (12*B*c*d - b*B*e - 10*A*c*e)*(16*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e - 3*b^2*e^2))*x)*sqrt(b*x + c*x^2))) - (1/(48*c*e^4))*((10*A*c*e*(8*c*d - 7*b*e) - B*(96*c^2*d^2 - 92*b*c*d*e + 3*b^2*e^2) + 6*c*e*(12*B*c*d - b*B*e - 10*A*c*e)*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2)) + ((6*B*d - 5*A*e + B*e*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*e^2*(d + e*x)) + (1/(128*c^(5//2)*e^7))*((10*A*c*e*(128*c^4*d^4 - 256*b*c^3*d^3*e + 144*b^2*c^2*d^2*e^2 - 16*b^3*c*d*e^3 - b^4*e^4) - B*(1536*c^5*d^5 - 3200*b*c^4*d^4*e + 1920*b^2*c^3*d^3*e^2 - 240*b^3*c^2*d^2*e^3 - 20*b^4*c*d*e^4 - 3*b^5*e^5))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2))) + (d^(3//2)*(c*d - b*e)^(3//2)*(B*d*(12*c*d - 7*b*e) - 5*A*e*(2*c*d - b*e))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(2*e^7), x, 8),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^3, (5*(8*A*c*e*(16*c^2*d^2 - 20*b*c*d*e + 5*b^2*e^2) - B*(192*c^3*d^3 - 272*b*c^2*d^2*e + 88*b^2*c*d*e^2 - b^3*e^3) - 2*c*e*(16*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(48*c^2*d^2 - 32*b*c*d*e + b^2*e^2))*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*c*e^6) - (5*(B*d*(24*c*d - 13*b*e) - 2*A*e*(8*c*d - 3*b*e) + e*(6*B*c*d - b*B*e - 4*A*c*e)*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*e^4*(d + e*x)) + ((3*B*d - 2*A*e + B*e*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(4*e^2*(d + e*x)^2) - (5*(8*A*c*e*(32*c^3*d^3 - 48*b*c^2*d^2*e + 18*b^2*c*d*e^2 - b^3*e^3) - B*(384*c^4*d^4 - 640*b*c^3*d^3*e + 288*b^2*c^2*d^2*e^2 - 24*b^3*c*d*e^3 - b^4*e^4))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(64*c^(3//2)*e^7) + (5*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*(A*e*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + 3*b^2*e^2) - B*d*(24*c^2*d^2 - 28*b*c*d*e + 7*b^2*e^2))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(8*e^7), x, 8),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^4, -((5*(A*e*(16*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + b^2*e^2) - 2*B*d*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + 3*b^2*e^2) + e*(4*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(16*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + b^2*e^2))*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(8*e^6*(d + e*x))) - (5*(4*B*d*(2*c*d - b*e) - A*e*(4*c*d - b*e) + e*(4*B*c*d - b*B*e - 2*A*c*e)*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(12*e^4*(d + e*x)^2) + ((2*B*d - A*e + B*e*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(3*e^2*(d + e*x)^3) + (5*(2*A*c*e*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + 3*b^2*e^2) - B*(64*c^3*d^3 - 80*b*c^2*d^2*e + 24*b^2*c*d*e^2 - b^3*e^3))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(8*sqrt(c)*e^7) + (5*(B*d*(64*c^3*d^3 - 112*b*c^2*d^2*e + 56*b^2*c*d*e^2 - 7*b^3*e^3) - A*e*(32*c^3*d^3 - 48*b*c^2*d^2*e + 18*b^2*c*d*e^2 - b^3*e^3))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(16*sqrt(d)*e^7*sqrt(c*d - b*e)), x, 8),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^5, -((5*(B*d*(192*c^3*d^3 - 304*b*c^2*d^2*e + 120*b^2*c*d*e^2 - 7*b^3*e^3) - A*e*(64*c^3*d^3 - 80*b*c^2*d^2*e + 16*b^2*c*d*e^2 + b^3*e^3) - 2*c*e*(A*e*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(48*c^2*d^2 - 64*b*c*d*e + 17*b^2*e^2))*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(64*d*e^6*(c*d - b*e)*(d + e*x))) - (5*(d*(A*e*(16*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e - b^2*e^2) - B*d*(48*c^2*d^2 - 52*b*c*d*e + 7*b^2*e^2)) + 3*e*(A*e*(8*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(24*c^2*d^2 - 32*b*c*d*e + 9*b^2*e^2))*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(96*d*e^4*(c*d - b*e)*(d + e*x)^3) + ((3*B*d - A*e + 2*B*e*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2))/(4*e^2*(d + e*x)^4) - (5*sqrt(c)*(4*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(24*c^2*d^2 - 20*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(4*e^7) + (5*(A*e*(128*c^4*d^4 - 256*b*c^3*d^3*e + 144*b^2*c^2*d^2*e^2 - 16*b^3*c*d*e^3 - b^4*e^4) - B*d*(384*c^4*d^4 - 896*b*c^3*d^3*e + 672*b^2*c^2*d^2*e^2 - 168*b^3*c*d*e^3 + 7*b^4*e^4))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(128*d^(3//2)*e^7*(c*d - b*e)^(3//2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^3)/sqrt(b*x + c*x^2), ((6*B*c*d - 7*b*B*e + 8*A*c*e)*(d + e*x)^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(24*c^2) + (B*(d + e*x)^3*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*c) + ((8*A*c*e*(64*c^2*d^2 - 54*b*c*d*e + 15*b^2*e^2) + B*(96*c^3*d^3 - 376*b*c^2*d^2*e + 360*b^2*c*d*e^2 - 105*b^3*e^3) + 2*c*e*(40*A*c*e*(2*c*d - b*e) + B*(24*c^2*d^2 - 64*b*c*d*e + 35*b^2*e^2))*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(192*c^4) + ((128*A*c^4*d^3 + 35*b^4*B*e^3 + 144*b^2*c^2*d*e*(B*d + A*e) - 40*b^3*c*e^2*(3*B*d + A*e) - 64*b*c^3*d^2*(B*d + 3*A*e))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(64*c^(9//2)), x, 5),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^2)/sqrt(b*x + c*x^2), (B*(d + e*x)^2*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*c) + ((6*A*c*e*(8*c*d - 3*b*e) + B*(16*c^2*d^2 - 36*b*c*d*e + 15*b^2*e^2) + 2*c*e*(4*B*c*d - 5*b*B*e + 6*A*c*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(24*c^3) + ((16*A*c^3*d^2 - 5*b^3*B*e^2 + 6*b^2*c*e*(2*B*d + A*e) - 8*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(8*c^(7//2)), x, 4),
+(((A + B*x)*(d + e*x))/sqrt(b*x + c*x^2), -(((3*b*B*e - 4*c*(B*d + A*e) - 2*B*c*e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*c^2)) + ((8*A*c^2*d + 3*b^2*B*e - 4*b*c*(B*d + A*e))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(4*c^(5//2)), x, 3),
+((A + B*x)/sqrt(b*x + c*x^2), (B*sqrt(b*x + c*x^2))/c - ((b*B - 2*A*c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/c^(3//2), x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), (2*B*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(sqrt(c)*e) - ((B*d - A*e)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(sqrt(d)*e*sqrt(c*d - b*e)), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^2*sqrt(b*x + c*x^2)), ((B*d - A*e)*sqrt(b*x + c*x^2))/(d*(c*d - b*e)*(d + e*x)) - ((b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(2*d^(3//2)*(c*d - b*e)^(3//2)), x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)^3*sqrt(b*x + c*x^2)), ((B*d - A*e)*sqrt(b*x + c*x^2))/(2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^2) - ((3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*d*(2*c*d + b*e))*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)) + ((8*A*c^2*d^2 - 4*b*c*d*(B*d + 2*A*e) + b^2*e*(B*d + 3*A*e))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(8*d^(5//2)*(c*d - b*e)^(5//2)), x, 4),
+((A + B*x)/((d + e*x)^4*sqrt(b*x + c*x^2)), ((B*d - A*e)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^3) - ((5*A*e*(2*c*d - b*e) - B*d*(4*c*d + b*e))*sqrt(b*x + c*x^2))/(12*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^2) + ((B*d*(8*c^2*d^2 + 10*b*c*d*e - 3*b^2*e^2) - A*e*(44*c^2*d^2 - 44*b*c*d*e + 15*b^2*e^2))*sqrt(b*x + c*x^2))/(24*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)) + ((16*A*c^3*d^3 - 8*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e) - b^3*e^2*(B*d + 5*A*e) + 2*b^2*c*d*e*(2*B*d + 9*A*e))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(16*d^(7//2)*(c*d - b*e)^(7//2)), x, 5),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^3)/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x)^2*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(b^2*c*sqrt(b*x + c*x^2))) + (e*(32*A*c^3*d^2 - 15*b^3*B*e^2 + 12*b^2*c*e*(3*B*d + A*e) - 8*b*c^2*d*(2*B*d + 3*A*e) + 2*c*e*(8*A*c^2*d + 5*b^2*B*e - 4*b*c*(B*d + A*e))*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*b^2*c^3) + (3*e*(4*A*c*e*(2*c*d - b*e) + B*(8*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 5*b^2*e^2))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/(4*c^(7//2)), x, 4),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^2)/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x)*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(b^2*c*sqrt(b*x + c*x^2))) + (e*(4*A*c^2*d + 3*b^2*B*e - 2*b*c*(B*d + A*e))*sqrt(b*x + c*x^2))/(b^2*c^2) + (e*(4*B*c*d - 3*b*B*e + 2*A*c*e)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/c^(5//2), x, 4),
+(((A + B*x)*(d + e*x))/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(b^2*c*sqrt(b*x + c*x^2))) + (2*B*e*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/c^(3//2), x, 3),
+((A + B*x)/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(A*b - (b*B - 2*A*c)*x))/(b^2*sqrt(b*x + c*x^2))), x, 1),
+((A + B*x)/((d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*(A*b*(c*d - b*e) + c*(2*A*c*d - b*(B*d + A*e))*x))/(b^2*d*(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))) - (e*(B*d - A*e)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(d^(3//2)*(c*d - b*e)^(3//2)), x, 4),
+((A + B*x)/((d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*(A*b*(c*d - b*e) + c*(2*A*c*d - b*(B*d + A*e))*x))/(b^2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))) - (e*(4*A*c^2*d^2 - b^2*e*(B*d - 3*A*e) - 2*b*c*d*(B*d + 2*A*e))*sqrt(b*x + c*x^2))/(b^2*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)) + (e*(3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*d*(4*c*d - b*e))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(2*d^(5//2)*(c*d - b*e)^(5//2)), x, 4),
+((A + B*x)/((d + e*x)^3*(b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*(A*b*(c*d - b*e) + c*(2*A*c*d - b*(B*d + A*e))*x))/(b^2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^2*sqrt(b*x + c*x^2))) - (e*(8*A*c^2*d^2 - b^2*e*(B*d - 5*A*e) - 4*b*c*d*(B*d + 2*A*e))*sqrt(b*x + c*x^2))/(2*b^2*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^2) - (e*(16*A*c^3*d^3 - 2*b^2*c*d*e*(5*B*d - 19*A*e) + 3*b^3*e^2*(B*d - 5*A*e) - 8*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e))*sqrt(b*x + c*x^2))/(4*b^2*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)) - (3*e*(B*d*(8*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e + b^2*e^2) - A*e*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + 5*b^2*e^2))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(8*d^(7//2)*(c*d - b*e)^(7//2)), x, 5),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^4)/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^3*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(3*b^2*c*(b*x + c*x^2)^(3//2))) - (2*(d + e*x)*(b*c*d^2*(4*b*B*c*d - 8*A*c^2*d - b^2*B*e + 10*A*b*c*e) - (16*A*c^4*d^3 - 5*b^4*B*e^3 + 4*b^2*c^2*d*e*(B*d + A*e) + 2*b^3*c*e^2*(3*B*d + A*e) - 8*b*c^3*d^2*(B*d + 3*A*e))*x))/(3*b^4*c^2*sqrt(b*x + c*x^2)) - (e*(32*A*c^4*d^3 - 15*b^4*B*e^3 + 4*b^2*c^2*d*e*(2*B*d + A*e) - 16*b*c^3*d^2*(B*d + 3*A*e) + 2*b^3*c*e^2*(7*B*d + 3*A*e))*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b^4*c^3) + (e^3*(8*B*c*d - 5*b*B*e + 2*A*c*e)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/c^(7//2), x, 5),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^3)/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^2*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(3*b^2*c*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (2*(b*c*d^2*(8*A*c^2*d + b^2*B*e - 4*b*c*(B*d + 2*A*e)) + (16*A*c^4*d^3 + 2*b^3*B*c*d*e^2 - 3*b^4*B*e^3 - 8*b*c^3*d^2*(B*d + 3*A*e) + 2*b^2*c^2*d*e*(3*B*d + 4*A*e))*x))/(3*b^4*c^2*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*B*e^3*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(b*x + c*x^2)))/c^(5//2), x, 4),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^2)/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(A*b - (b*B - 2*A*c)*x)*(d + e*x)^2)/(3*b^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))) - (8*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e)*(b*d + (2*c*d - b*e)*x))/(3*b^4*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 2),
+(((A + B*x)*(d + e*x))/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(3*b^2*c*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (2*(8*A*c^2*d + b^2*B*e - 4*b*c*(B*d + A*e))*(b + 2*c*x))/(3*b^4*c*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 2),
+((A + B*x)/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(A*b - (b*B - 2*A*c)*x))/(3*b^2*(b*x + c*x^2)^(3//2))) - (8*(b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x))/(3*b^4*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 2),
+((A + B*x)/((d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2)), -((2*(A*b*(c*d - b*e) + c*(2*A*c*d - b*(B*d + A*e))*x))/(3*b^2*d*(c*d - b*e)*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (2*(b*(c*d - b*e)*(8*A*c^2*d^2 + 3*b^2*e*(B*d - A*e) - 4*b*c*d*(B*d + A*e)) + c*(16*A*c^3*d^3 - 3*b^3*e^2*(B*d - A*e) + 2*b^2*c*d*e*(7*B*d + A*e) - 8*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e))*x))/(3*b^4*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(b*x + c*x^2)) - (e^3*(B*d - A*e)*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(d^(5//2)*(c*d - b*e)^(5//2)), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^2*(b*x + c*x^2)^(5//2)), -((2*(A*b*(c*d - b*e) + c*(2*A*c*d - b*(B*d + A*e))*x))/(3*b^2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (2*(b*(c*d - b*e)*(8*A*c^2*d^2 + b^2*e*(3*B*d - 5*A*e) - 2*b*c*d*(2*B*d + A*e)) + c*(16*A*c^3*d^3 - b^3*e^2*(3*B*d - 5*A*e) + 2*b^2*c*d*e*(8*B*d - A*e) - 8*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e))*x))/(3*b^4*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (e*(32*A*c^4*d^4 - 2*b^3*c*d*e^2*(9*B*d - 10*A*e) + 3*b^4*e^3*(3*B*d - 5*A*e) + 4*b^2*c^2*d^2*e*(10*B*d + 3*A*e) - 16*b*c^3*d^3*(B*d + 4*A*e))*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b^4*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)) - (e^3*(B*d*(8*c*d - 3*b*e) - 5*A*e*(2*c*d - b*e))*atanh((b*d + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2))))/(2*d^(7//2)*(c*d - b*e)^(7//2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (A+B x) (b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2)*(b*x + c*x^2), -((2*d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4)) + (2*(B*d*(3*c*d - 2*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^4) - (2*(3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^4) + (2*B*c*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^4), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2)*(b*x + c*x^2), -((2*d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4)) + (2*(B*d*(3*c*d - 2*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4) - (2*(3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^4) + (2*B*c*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^4), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2), -((2*d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4)) + (2*(B*d*(3*c*d - 2*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4) - (2*(3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4) + (2*B*c*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^4), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(1//2)*(b*x + c*x^2), -((2*d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4)) + (2*(B*d*(3*c*d - 2*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4) - (2*(3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4) + (2*B*c*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^(1//2), -((2*d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))/e^4) + (2*(B*d*(3*c*d - 2*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4) - (2*(3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4) + (2*B*c*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^(3//2), (2*d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e))/(e^4*sqrt(d + e*x)) + (2*(B*d*(3*c*d - 2*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))*sqrt(d + e*x))/e^4 - (2*(3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4) + (2*B*c*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^(5//2), (2*d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e))/(3*e^4*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(B*d*(3*c*d - 2*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e)))/(e^4*sqrt(d + e*x)) - (2*(3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*sqrt(d + e*x))/e^4 + (2*B*c*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^(7//2), (2*d*(B*d - A*e)*(c*d - b*e))/(5*e^4*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(B*d*(3*c*d - 2*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e)))/(3*e^4*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(3*B*c*d - b*B*e - A*c*e))/(e^4*sqrt(d + e*x)) + (2*B*c*sqrt(d + e*x))/e^4, x, 2),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2)*(b*x + c*x^2)^2, (-2*d^2*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) + (2*d*(c*d - b*e)*(B*d*(5*c*d - 3*b*e) - 2*A*e*(2*c*d - b*e))*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6) + (2*(A*e*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(10*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^6) - (2*(2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2))*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^6) - (2*c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^6) + (2*B*c^2*(d + e*x)^(19//2))/(19*e^6), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2)*(b*x + c*x^2)^2, (-2*d^2*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) + (2*d*(c*d - b*e)*(B*d*(5*c*d - 3*b*e) - 2*A*e*(2*c*d - b*e))*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) + (2*(A*e*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(10*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6) - (2*(2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2))*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^6) - (2*c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^6) + (2*B*c^2*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^6), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)^2, (-2*d^2*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6) + (2*d*(c*d - b*e)*(B*d*(5*c*d - 3*b*e) - 2*A*e*(2*c*d - b*e))*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) + (2*(A*e*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(10*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) - (2*(2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2))*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6) - (2*c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^6) + (2*B*c^2*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^6), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(1//2)*(b*x + c*x^2)^2, (-2*d^2*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) + (2*d*(c*d - b*e)*(B*d*(5*c*d - 3*b*e) - 2*A*e*(2*c*d - b*e))*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6) + (2*(A*e*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(10*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) - (2*(2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2))*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) - (2*c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6) + (2*B*c^2*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^6), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^(1//2), (-2*d^2*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x))/e^6 + (2*d*(c*d - b*e)*(B*d*(5*c*d - 3*b*e) - 2*A*e*(2*c*d - b*e))*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) + (2*(A*e*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(10*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6) - (2*(2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2))*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) - (2*c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) + (2*B*c^2*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^(3//2), (2*d^2*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2)/(e^6*sqrt(d + e*x)) + (2*d*(c*d - b*e)*(B*d*(5*c*d - 3*b*e) - 2*A*e*(2*c*d - b*e))*sqrt(d + e*x))/e^6 + (2*(A*e*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(10*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) - (2*(2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2))*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6) - (2*c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) + (2*B*c^2*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^(5//2), (2*d^2*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2)/(3*e^6*(d + e*x)^(3//2)) - (2*d*(c*d - b*e)*(B*d*(5*c*d - 3*b*e) - 2*A*e*(2*c*d - b*e)))/(e^6*sqrt(d + e*x)) + (2*(A*e*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(10*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*sqrt(d + e*x))/e^6 - (2*(2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2))*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) - (2*c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6) + (2*B*c^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6), x, 2),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^(7//2), (2*d^2*(B*d - A*e)*(c*d - b*e)^2)/(5*e^6*(d + e*x)^(5//2)) - (2*d*(c*d - b*e)*(B*d*(5*c*d - 3*b*e) - 2*A*e*(2*c*d - b*e)))/(3*e^6*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(A*e*(6*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(10*c^2*d^2 - 12*b*c*d*e + 3*b^2*e^2)))/(e^6*sqrt(d + e*x)) - (2*(2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 - 8*b*c*d*e + b^2*e^2))*sqrt(d + e*x))/e^6 - (2*c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) + (2*B*c^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2))/(b*x + c*x^2), (2*(B*(c*d - b*e)^3 + A*c*e*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + b^2*e^2))*sqrt(d + e*x))/c^4 + (2*(B*(c*d - b*e)^2 + A*c*e*(2*c*d - b*e))*(d + e*x)^(3//2))/(3*c^3) + (2*(B*c*d - b*B*e + A*c*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*c^2) + (2*B*(d + e*x)^(7//2))/(7*c) - (2*A*d^(7//2)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/b - (2*(b*B - A*c)*(c*d - b*e)^(7//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b*c^(9//2)), x, 8),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/(b*x + c*x^2), (2*(B*(c*d - b*e)^2 + A*c*e*(2*c*d - b*e))*sqrt(d + e*x))/c^3 + (2*(B*c*d - b*B*e + A*c*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*c^2) + (2*B*(d + e*x)^(5//2))/(5*c) - (2*A*d^(5//2)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/b - (2*(b*B - A*c)*(c*d - b*e)^(5//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b*c^(7//2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(b*x + c*x^2), (2*(B*c*d - b*B*e + A*c*e)*sqrt(d + e*x))/c^2 + (2*B*(d + e*x)^(3//2))/(3*c) - (2*A*d^(3//2)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/b - (2*(b*B - A*c)*(c*d - b*e)^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b*c^(5//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(1//2))/(b*x + c*x^2), (2*B*sqrt(d + e*x))/c - (2*A*sqrt(d)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/b - (2*(b*B - A*c)*sqrt(c*d - b*e)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b*c^(3//2)), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(1//2)*(b*x + c*x^2)), (-2*A*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b*sqrt(d)) - (2*(b*B - A*c)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b*sqrt(c)*sqrt(c*d - b*e)), x, 4),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)), (2*(B*d - A*e))/(d*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)) - (2*A*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b*d^(3//2)) - (2*sqrt(c)*(b*B - A*c)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b*(c*d - b*e)^(3//2)), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(5//2)*(b*x + c*x^2)), (2*(B*d - A*e))/(3*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(B*c*d^2 - A*e*(2*c*d - b*e)))/(d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)) - (2*A*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b*d^(5//2)) - (2*c^(3//2)*(b*B - A*c)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b*(c*d - b*e)^(5//2)), x, 6),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(7//2)*(b*x + c*x^2)), (2*(B*d - A*e))/(5*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(B*c*d^2 - A*e*(2*c*d - b*e)))/(3*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(B*c^2*d^3 - A*e*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + b^2*e^2)))/(d^3*(c*d - b*e)^3*sqrt(d + e*x)) - (2*A*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b*d^(7//2)) - (2*c^(5//2)*(b*B - A*c)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b*(c*d - b*e)^(7//2)), x, 7),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(9//2)*(b*x + c*x^2)), (2*(B*d - A*e))/(7*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2)) + (2*(B*c*d^2 - A*e*(2*c*d - b*e)))/(5*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(B*c^2*d^3 - A*e*(3*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e + b^2*e^2)))/(3*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(B*c^3*d^4 - A*e*(4*c^3*d^3 - 6*b*c^2*d^2*e + 4*b^2*c*d*e^2 - b^3*e^3)))/(d^4*(c*d - b*e)^4*sqrt(d + e*x)) - (2*A*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b*d^(9//2)) - (2*c^(7//2)*(b*B - A*c)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b*(c*d - b*e)^(9//2)), x, 8),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(9//2))/(b*x + c*x^2)^2, (e*(2*A*c^4*d^3 + 7*b^4*B*e^3 - b*c^3*d^2*(B*d + 3*A*e) - b^3*c*e^2*(19*B*d + 5*A*e) + b^2*c^2*d*e*(15*B*d + 11*A*e))*sqrt(d + e*x))/(b^2*c^4) + (e*(6*A*c^3*d^2 - 7*b^3*B*e^2 - 3*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e) + b^2*c*e*(12*B*d + 5*A*e))*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^2*c^3) + (e*(10*A*c^2*d + 7*b^2*B*e - 5*b*c*(B*d + A*e))*(d + e*x)^(5//2))/(5*b^2*c^2) - ((d + e*x)^(7//2)*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(b^2*c*(b*x + c*x^2)) - (d^(7//2)*(2*b*B*d - 4*A*c*d + 9*A*b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/b^3 - ((c*d - b*e)^(7//2)*(4*A*c^2*d - 7*b^2*B*e - b*c*(2*B*d - 5*A*e))*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b^3*c^(9//2)), x, 8),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2))/(b*x + c*x^2)^2, (e*(2*A*c^3*d^2 - 5*b^3*B*e^2 - b*c^2*d*(B*d + 2*A*e) + b^2*c*e*(8*B*d + 3*A*e))*sqrt(d + e*x))/(b^2*c^3) + (e*(6*A*c^2*d + 5*b^2*B*e - 3*b*c*(B*d + A*e))*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^2*c^2) - ((d + e*x)^(5//2)*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(b^2*c*(b*x + c*x^2)) - (d^(5//2)*(2*b*B*d - 4*A*c*d + 7*A*b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/b^3 + ((c*d - b*e)^(5//2)*(2*b*B*c*d - 4*A*c^2*d + 5*b^2*B*e - 3*A*b*c*e)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b^3*c^(7//2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/(b*x + c*x^2)^2, (e*(2*A*c^2*d + 3*b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*sqrt(d + e*x))/(b^2*c^2) - ((d + e*x)^(3//2)*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(b^2*c*(b*x + c*x^2)) - (d^(3//2)*(2*b*B*d - 4*A*c*d + 5*A*b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/b^3 - ((c*d - b*e)^(3//2)*(4*A*c^2*d - 3*b^2*B*e - b*c*(2*B*d - A*e))*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b^3*c^(5//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(b*x + c*x^2)^2, -((sqrt(d + e*x)*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(b^2*c*(b*x + c*x^2))) - (sqrt(d)*(2*b*B*d - 4*A*c*d + 3*A*b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/b^3 - (sqrt(c*d - b*e)*(4*A*c^2*d - b^2*B*e - b*c*(2*B*d + A*e))*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b^3*c^(3//2)), x, 5),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(1//2))/(b*x + c*x^2)^2, -(((A*b - (b*B - 2*A*c)*x)*sqrt(d + e*x))/(b^2*(b*x + c*x^2))) - ((2*b*B*d - 4*A*c*d + A*b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b^3*sqrt(d)) + ((2*b*B*c*d - 4*A*c^2*d - b^2*B*e + 3*A*b*c*e)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b^3*sqrt(c)*sqrt(c*d - b*e)), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(1//2)*(b*x + c*x^2)^2), -((sqrt(d + e*x)*(A*b*(c*d - b*e) + c*(2*A*c*d - b*(B*d + A*e))*x))/(b^2*d*(c*d - b*e)*(b*x + c*x^2))) - ((2*b*B*d - 4*A*c*d - A*b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b^3*d^(3//2)) + (sqrt(c)*(2*b*B*c*d - 4*A*c^2*d - 3*b^2*B*e + 5*A*b*c*e)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b^3*(c*d - b*e)^(3//2)), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)^2), -((e*(2*A*c^2*d^2 - b^2*e*(2*B*d - 3*A*e) - b*c*d*(B*d + 2*A*e)))/(b^2*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x))) - (A*b*(c*d - b*e) + c*(2*A*c*d - b*(B*d + A*e))*x)/(b^2*d*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)) - ((2*b*B*d - 4*A*c*d - 3*A*b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b^3*d^(5//2)) + (c^(3//2)*(2*b*B*c*d - 4*A*c^2*d - 5*b^2*B*e + 7*A*b*c*e)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b^3*(c*d - b*e)^(5//2)), x, 6),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(5//2)*(b*x + c*x^2)^2), -((e*(6*A*c^2*d^2 - b^2*e*(2*B*d - 5*A*e) - 3*b*c*d*(B*d + 2*A*e)))/(3*b^2*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(3//2))) - (e*(2*A*c^3*d^3 - b^2*c*d*e*(6*B*d - 11*A*e) + b^3*e^2*(2*B*d - 5*A*e) - b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e)))/(b^2*d^3*(c*d - b*e)^3*sqrt(d + e*x)) - (A*b*(c*d - b*e) + c*(2*A*c*d - b*(B*d + A*e))*x)/(b^2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)) - ((2*b*B*d - 4*A*c*d - 5*A*b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b^3*d^(7//2)) + (c^(5//2)*(2*b*B*c*d - 4*A*c^2*d - 7*b^2*B*e + 9*A*b*c*e)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b^3*(c*d - b*e)^(7//2)), x, 7),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(7//2)*(b*x + c*x^2)^2), -((e*(10*A*c^2*d^2 - b^2*e*(2*B*d - 7*A*e) - 5*b*c*d*(B*d + 2*A*e)))/(5*b^2*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(5//2))) - (e*(6*A*c^3*d^3 - b^2*c*d*e*(6*B*d - 17*A*e) + b^3*e^2*(2*B*d - 7*A*e) - 3*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e)))/(3*b^2*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)^(3//2)) - (e*(2*A*c^4*d^4 - 2*b^2*c^2*d^2*e*(6*B*d - 13*A*e) - b^4*e^3*(2*B*d - 7*A*e) + 8*b^3*c*d*e^2*(B*d - 3*A*e) - b*c^3*d^3*(B*d + 4*A*e)))/(b^2*d^4*(c*d - b*e)^4*sqrt(d + e*x)) - (A*b*(c*d - b*e) + c*(2*A*c*d - b*(B*d + A*e))*x)/(b^2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2)*(b*x + c*x^2)) - ((2*b*B*d - 4*A*c*d - 7*A*b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(b^3*d^(9//2)) + (c^(7//2)*(2*b*B*c*d - 4*A*c^2*d - 9*b^2*B*e + 11*A*b*c*e)*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(b^3*(c*d - b*e)^(9//2)), x, 8),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(9//2))/(b*x + c*x^2)^3, -((3*e*(8*A*c^4*d^3 - 5*b^4*B*e^3 + b^3*c*e^2*(2*B*d + A*e) + b^2*c^2*d*e*(3*B*d + 2*A*e) - 4*b*c^3*d^2*(B*d + 3*A*e))*sqrt(d + e*x))/(4*b^4*c^3)) - ((d + e*x)^(7//2)*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(2*b^2*c*(b*x + c*x^2)^2) + ((d + e*x)^(3//2)*(b*c*d^2*(12*A*c^2*d + 2*b^2*B*e - b*c*(6*B*d + 13*A*e)) + (24*A*c^4*d^3 - 5*b^4*B*e^3 + b^3*c*e^2*(4*B*d + A*e) - 12*b*c^3*d^2*(B*d + 3*A*e) + b^2*c^2*d*e*(9*B*d + 10*A*e))*x))/(4*b^4*c^2*(b*x + c*x^2)) - (3*d^(5//2)*(16*A*c^2*d^2 + 3*b^2*e*(4*B*d + 7*A*e) - 4*b*c*d*(2*B*d + 9*A*e))*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(4*b^5) + (3*(c*d - b*e)^(5//2)*(16*A*c^3*d^2 - 5*b^3*B*e^2 - 4*b*c^2*d*(2*B*d - A*e) - b^2*c*e*(8*B*d - A*e))*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(4*b^5*c^(7//2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2))/(b*x + c*x^2)^3, -(((d + e*x)^(5//2)*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(2*b^2*c*(b*x + c*x^2)^2)) + (sqrt(d + e*x)*(b*c*d^2*(12*A*c^2*d + 2*b^2*B*e - b*c*(6*B*d + 11*A*e)) + (24*A*c^4*d^3 - 3*b^4*B*e^3 - A*b^3*c*e^3 - 12*b*c^3*d^2*(B*d + 3*A*e) + b^2*c^2*d*e*(11*B*d + 14*A*e))*x))/(4*b^4*c^2*(b*x + c*x^2)) - (d^(3//2)*(48*A*c^2*d^2 + 7*b^2*e*(4*B*d + 5*A*e) - 12*b*c*d*(2*B*d + 7*A*e))*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(4*b^5) + ((c*d - b*e)^(3//2)*(48*A*c^3*d^2 - 3*b^3*B*e^2 - 12*b*c^2*d*(2*B*d + A*e) - b^2*c*e*(8*B*d + A*e))*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(4*b^5*c^(5//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/(b*x + c*x^2)^3, -(((d + e*x)^(3//2)*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(2*b^2*c*(b*x + c*x^2)^2)) - (sqrt(d + e*x)*(b*d*(6*b*B*c*d - 12*A*c^2*d - 2*b^2*B*e + 9*A*b*c*e) - (24*A*c^3*d^2 + b^3*B*e^2 - 12*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e) + b^2*c*e*(7*B*d + 3*A*e))*x))/(4*b^4*c*(b*x + c*x^2)) - (sqrt(d)*(48*A*c^2*d^2 + 5*b^2*e*(4*B*d + 3*A*e) - 12*b*c*d*(2*B*d + 5*A*e))*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(4*b^5) + (sqrt(c*d - b*e)*(48*A*c^3*d^2 + b^3*B*e^2 - 12*b*c^2*d*(2*B*d + 3*A*e) + b^2*c*e*(8*B*d + 3*A*e))*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(4*b^5*c^(3//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(b*x + c*x^2)^3, -((sqrt(d + e*x)*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(2*b^2*c*(b*x + c*x^2)^2)) - (sqrt(d + e*x)*(b*(c*d - b*e)*(6*b*B*c*d - 12*A*c^2*d - 2*b^2*B*e + 7*A*b*c*e) - 3*c*(c*d - b*e)*(8*A*c^2*d + b^2*B*e - 4*b*c*(B*d + A*e))*x))/(4*b^4*c*(c*d - b*e)*(b*x + c*x^2)) - (3*(16*A*c^2*d^2 + b^2*e*(4*B*d + A*e) - 4*b*c*d*(2*B*d + 3*A*e))*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(4*b^5*sqrt(d)) + (3*(16*A*c^3*d^2 - b^3*B*e^2 - 4*b*c^2*d*(2*B*d + 5*A*e) + b^2*c*e*(8*B*d + 5*A*e))*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(4*b^5*sqrt(c)*sqrt(c*d - b*e)), x, 6),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(1//2))/(b*x + c*x^2)^3, -(((A*b - (b*B - 2*A*c)*x)*sqrt(d + e*x))/(2*b^2*(b*x + c*x^2)^2)) - (sqrt(d + e*x)*(b*(c*d - b*e)*(6*b*B*d - 12*A*c*d + A*b*e) - c*(24*A*c^2*d^2 + b^2*e*(11*B*d + A*e) - 12*b*c*d*(B*d + 2*A*e))*x))/(4*b^4*d*(c*d - b*e)*(b*x + c*x^2)) - ((48*A*c^2*d^2 + b^2*e*(4*B*d - A*e) - 12*b*c*d*(2*B*d + A*e))*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(4*b^5*d^(3//2)) + (sqrt(c)*(48*A*c^3*d^2 - 15*b^3*B*e^2 - 12*b*c^2*d*(2*B*d + 7*A*e) + 5*b^2*c*e*(8*B*d + 7*A*e))*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(4*b^5*(c*d - b*e)^(3//2)), x, 6),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(1//2)*(b*x + c*x^2)^3), -((sqrt(d + e*x)*(A*b*(c*d - b*e) + c*(2*A*c*d - b*(B*d + A*e))*x))/(2*b^2*d*(c*d - b*e)*(b*x + c*x^2)^2)) + (sqrt(d + e*x)*(b*(c*d - b*e)*(12*A*c^2*d^2 + b^2*e*(4*B*d - 3*A*e) - b*c*d*(6*B*d + 7*A*e)) + c*(24*A*c^3*d^3 - b^3*e^2*(4*B*d - 3*A*e) - 12*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e) + b^2*c*d*e*(19*B*d + 6*A*e))*x))/(4*b^4*d^2*(c*d - b*e)^2*(b*x + c*x^2)) - ((48*A*c^2*d^2 - b^2*e*(4*B*d - 3*A*e) - 12*b*c*d*(2*B*d - A*e))*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(4*b^5*d^(5//2)) + (c^(3//2)*(48*A*c^3*d^2 - 35*b^3*B*e^2 - 12*b*c^2*d*(2*B*d + 9*A*e) + 7*b^2*c*e*(8*B*d + 9*A*e))*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(4*b^5*(c*d - b*e)^(5//2)), x, 6),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)^3), (3*e*(8*A*c^4*d^4 + b^4*e^3*(4*B*d - 5*A*e) - b^3*c*d*e^2*(4*B*d - 3*A*e) - 4*b*c^3*d^3*(B*d + 4*A*e) + b^2*c^2*d^2*e*(9*B*d + 5*A*e)))/(4*b^4*d^3*(c*d - b*e)^3*sqrt(d + e*x)) - (A*b*(c*d - b*e) + c*(2*A*c*d - b*(B*d + A*e))*x)/(2*b^2*d*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^2) + (b*(c*d - b*e)*(12*A*c^2*d^2 + b^2*e*(4*B*d - 5*A*e) - b*c*d*(6*B*d + 5*A*e)) + c*(24*A*c^3*d^3 - b^3*e^2*(4*B*d - 5*A*e) + b^2*c*d*e*(21*B*d + 2*A*e) - 12*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e))*x)/(4*b^4*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)) - (3*(16*A*c^2*d^2 - b^2*e*(4*B*d - 5*A*e) - 4*b*c*d*(2*B*d - 3*A*e))*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(4*b^5*d^(7//2)) + (3*c^(5//2)*(16*A*c^3*d^2 - 21*b^3*B*e^2 - 4*b*c^2*d*(2*B*d + 11*A*e) + 3*b^2*c*e*(8*B*d + 11*A*e))*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(4*b^5*(c*d - b*e)^(7//2)), x, 7),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(5//2)*(b*x + c*x^2)^3), (e*(72*A*c^4*d^4 + 5*b^4*e^3*(4*B*d - 7*A*e) - 9*b^3*c*d*e^2*(4*B*d - 5*A*e) - 36*b*c^3*d^3*(B*d + 4*A*e) + 3*b^2*c^2*d^2*e*(29*B*d + 9*A*e)))/(12*b^4*d^3*(c*d - b*e)^3*(d + e*x)^(3//2)) + (e*(24*A*c^5*d^5 + 8*b^4*c*d*e^3*(7*B*d - 10*A*e) - 5*b^5*e^4*(4*B*d - 7*A*e) - 6*b^3*c^2*d^2*e^2*(4*B*d - 3*A*e) + 7*b^2*c^3*d^3*e*(5*B*d + 4*A*e) - 12*b*c^4*d^4*(B*d + 5*A*e)))/(4*b^4*d^4*(c*d - b*e)^4*sqrt(d + e*x)) - (A*b*(c*d - b*e) + c*(2*A*c*d - b*(B*d + A*e))*x)/(2*b^2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)^2) + (b*(c*d - b*e)*(12*A*c^2*d^2 + b^2*e*(4*B*d - 7*A*e) - 3*b*c*d*(2*B*d + A*e)) + c*(24*A*c^3*d^3 - b^3*e^2*(4*B*d - 7*A*e) + b^2*c*d*e*(23*B*d - 2*A*e) - 12*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e))*x)/(4*b^4*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)) - ((48*A*c^2*d^2 - 5*b^2*e*(4*B*d - 7*A*e) - 12*b*c*d*(2*B*d - 5*A*e))*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(4*b^5*d^(9//2)) + (c^(7//2)*(48*A*c^3*d^2 - 99*b^3*B*e^2 - 12*b*c^2*d*(2*B*d + 13*A*e) + 11*b^2*c*e*(8*B*d + 13*A*e))*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(c*d - b*e)))/(4*b^5*(c*d - b*e)^(9//2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (A+B x) (b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((A + B*x)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2), (2*sqrt(d + e*x)*(7*A*c*e*(c*d + b*e) - B*(4*c^2*d^2 - 2*b*c*d*e + 4*b^2*e^2) + 3*c*e*(B*c*d - 4*b*B*e + 7*A*c*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(105*c^2*e^2) + (2*B*sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*c) + (2*sqrt(-b)*(5*c*(3*b*B - 7*A*c)*d*e*(2*c*d - b*e) + (B*c*d - 4*b*B*e + 7*A*c*e)*(8*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e - 2*b^2*e^2))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(105*c^(5//2)*e^3*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*(7*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(8*c^2*d^2 - b*c*d*e - 4*b^2*e^2))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(105*c^(5//2)*e^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/sqrt(d + e*x), (-2*sqrt(d + e*x)*(4*B*c*d - b*B*e - 5*A*c*e - 3*B*c*e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*c*e^2) - (2*sqrt(-b)*(5*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(8*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e - 2*b^2*e^2))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*c^(3//2)*e^3*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*(8*B*c*d + b*B*e - 10*A*c*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*c^(3//2)*e^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 8),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^(3//2), (2*(4*B*d - 3*A*e + B*e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*e^2*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(-b)*(8*B*c*d - b*B*e - 6*A*c*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*sqrt(c)*e^3*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(-b)*(B*d*(8*c*d - 5*b*e) - 3*A*e*(2*c*d - b*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*sqrt(c)*e^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 8),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^(5//2), -((2*(d^2*(4*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e) + e*(B*d*(5*c*d - 4*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*d*e^2*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2))) + (2*sqrt(-b)*sqrt(c)*(B*d*(8*c*d - 7*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*d*e^3*(c*d - b*e)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(-b)*(8*B*c*d - 3*b*B*e - 2*A*c*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*sqrt(c)*e^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 8),
+(((A + B*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(d + e*x)^(7//2), (2*(2*A*e*(c^2*d^2 - b*c*d*e + b^2*e^2) + B*d*(8*c^2*d^2 - 13*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*d^2*e^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)) - (2*(d*(B*d*(4*c*d - 3*b*e) + A*e*(c*d - 2*b*e)) + e*(B*d*(7*c*d - 6*b*e) - A*e*(2*c*d - b*e))*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*d*e^2*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*sqrt(-b)*sqrt(c)*(2*A*e*(c^2*d^2 - b*c*d*e + b^2*e^2) + B*d*(8*c^2*d^2 - 13*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*d^2*e^3*(c*d - b*e)^2*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(-b)*sqrt(c)*(B*d*(8*c*d - 9*b*e) + A*e*(2*c*d - b*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*d*e^3*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+
+
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/sqrt(d + e*x), (2*sqrt(d + e*x)*(9*A*c*e*(8*c^2*d^2 - 11*b*c*d*e + b^2*e^2) - 2*B*(32*c^3*d^3 - 42*b*c^2*d^2*e + 3*b^2*c*d*e^2 + 2*b^3*e^3) - 3*c*e*(9*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(16*c^2*d^2 - 7*b*c*d*e - 4*b^2*e^2))*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(315*c^2*e^4) - (2*sqrt(d + e*x)*(8*B*c*d - 3*b*B*e - 9*A*c*e - 7*B*c*e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(63*c*e^2) - (2*sqrt(-b)*(5*b*c*d*e*(2*c*d - b*e)*(8*B*c*d - 3*b*B*e - 9*A*c*e) + (8*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e - 2*b^2*e^2)*(9*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(16*c^2*d^2 - 7*b*c*d*e - 4*b^2*e^2)))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(315*c^(5//2)*e^5*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*(9*A*c*e*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e - b^2*e^2) - B*(128*c^3*d^3 - 120*b*c^2*d^2*e - 9*b^2*c*d*e^2 - 4*b^3*e^3))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(315*c^(5//2)*e^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(3//2), (-2*sqrt(d + e*x)*(7*A*c*e*(8*c*d - 7*b*e) - B*(64*c^2*d^2 - 60*b*c*d*e + b^2*e^2) + 3*c*e*(16*B*c*d - b*B*e - 14*A*c*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(35*c*e^4) + (2*(8*B*d - 7*A*e + B*e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*e^2*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(-b)*(5*b*c*e*(8*B*d - 7*A*e)*(2*c*d - b*e) - (16*B*c*d - b*B*e - 14*A*c*e)*(8*c^2*d^2 - 3*b*c*d*e - 2*b^2*e^2))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(35*c^(3//2)*e^5*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*(56*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(128*c^2*d^2 - 72*b*c*d*e - b^2*e^2))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(35*c^(3//2)*e^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(5//2), (-2*(4*B*d*(16*c*d - 9*b*e) - 5*A*e*(8*c*d - 3*b*e) + e*(16*B*c*d - 3*b*B*e - 10*A*c*e)*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*e^4*sqrt(d + e*x)) + (2*(8*B*d - 5*A*e + 3*B*e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(15*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - (2*sqrt(-b)*(40*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(128*c^2*d^2 - 88*b*c*d*e + 3*b^2*e^2))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*sqrt(c)*e^5*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(-b)*(5*A*e*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + 3*b^2*e^2) - B*d*(128*c^2*d^2 - 152*b*c*d*e + 39*b^2*e^2))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*sqrt(c)*e^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+(((A + B*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(7//2), -((2*(d*(3*A*c*e*(8*c*d - 7*b*e) - B*(64*c^2*d^2 - 76*b*c*d*e + 15*b^2*e^2)) - c*e*(B*d*(16*c*d - 13*b*e) - 3*A*e*(2*c*d - b*e))*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*d*e^4*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))) - (2*(d^2*(8*B*c*d - 5*b*B*e - 3*A*c*e) + e*(B*d*(11*c*d - 8*b*e) - 3*A*e*(2*c*d - b*e))*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2))/(15*d*e^2*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2)) + (2*sqrt(-b)*sqrt(c)*(3*A*e*(16*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + b^2*e^2) - B*d*(128*c^2*d^2 - 168*b*c*d*e + 43*b^2*e^2))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*d*e^5*(c*d - b*e)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(-b)*(24*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(128*c^2*d^2 - 104*b*c*d*e + 15*b^2*e^2))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*sqrt(c)*e^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/sqrt(b*x + c*x^2), (2*(28*A*c*e*(2*c*d - b*e) + B*(15*c^2*d^2 - 43*b*c*d*e + 24*b^2*e^2))*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(105*c^3) + (2*(5*B*c*d - 6*b*B*e + 7*A*c*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(35*c^2) + (2*B*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(7*c) + (2*sqrt(-b)*(7*A*c*e*(23*c^2*d^2 - 23*b*c*d*e + 8*b^2*e^2) + B*(15*c^3*d^3 - 103*b*c^2*d^2*e + 128*b^2*c*d*e^2 - 48*b^3*e^3))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(105*c^(7//2)*e*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*(28*A*c*e*(2*c*d - b*e) + B*(15*c^2*d^2 - 43*b*c*d*e + 24*b^2*e^2))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(105*c^(7//2)*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/sqrt(b*x + c*x^2), (2*(3*B*c*d - 4*b*B*e + 5*A*c*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*c^2) + (2*B*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(5*c) + (2*sqrt(-b)*(10*A*c*e*(2*c*d - b*e) + B*(3*c^2*d^2 - 13*b*c*d*e + 8*b^2*e^2))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*c^(5//2)*e*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(-b)*d*(c*d - b*e)*(3*B*c*d - 4*b*B*e + 5*A*c*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*c^(5//2)*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+(((A + B*x)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*x + c*x^2), (2*B*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*c) + (2*sqrt(-b)*(B*c*d - 2*b*B*e + 3*A*c*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*c^(3//2)*e*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(-b)*B*d*(c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*c^(3//2)*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 8),
+((A + B*x)/(sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), (2*sqrt(-b)*B*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(sqrt(c)*e*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(-b)*(B*d - A*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(sqrt(c)*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 7),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2)), (2*(B*d - A*e)*sqrt(b*x + c*x^2))/(d*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(-b)*sqrt(c)*(B*d - A*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(d*e*(c*d - b*e)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(-b)*B*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(sqrt(c)*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 8),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(5//2)*sqrt(b*x + c*x^2)), (2*(B*d - A*e)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*d*(c*d + b*e))*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(-b)*sqrt(c)*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*d*(c*d + b*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*d^2*e*(c*d - b*e)^2*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(-b)*sqrt(c)*(B*d - A*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*d*e*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(7//2)*sqrt(b*x + c*x^2)), (2*(B*d - A*e)*sqrt(b*x + c*x^2))/(5*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(4*A*e*(2*c*d - b*e) - B*d*(3*c*d + b*e))*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(B*d*(3*c^2*d^2 + 7*b*c*d*e - 2*b^2*e^2) - A*e*(23*c^2*d^2 - 23*b*c*d*e + 8*b^2*e^2))*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*d^3*(c*d - b*e)^3*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(-b)*sqrt(c)*(B*d*(3*c^2*d^2 + 7*b*c*d*e - 2*b^2*e^2) - A*e*(23*c^2*d^2 - 23*b*c*d*e + 8*b^2*e^2))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*d^3*e*(c*d - b*e)^3*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(-b)*sqrt(c)*(4*A*e*(2*c*d - b*e) - B*d*(3*c*d + b*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*d^2*e*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2))/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x)^(5//2)*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(b^2*c*sqrt(b*x + c*x^2))) + (2*e*(30*A*c^3*d^2 - 24*b^3*B*e^2 - 15*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e) + b^2*c*e*(43*B*d + 20*A*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(15*b^2*c^3) + (2*e*(10*A*c^2*d + 6*b^2*B*e - 5*b*c*(B*d + A*e))*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2))/(5*b^2*c^2) + (2*(30*A*c^4*d^3 + 48*b^4*B*e^3 - 15*b*c^3*d^2*(B*d + 3*A*e) - 8*b^3*c*e^2*(16*B*d + 5*A*e) + b^2*c^2*d*e*(103*B*d + 95*A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*(-b)^(3//2)*c^(7//2)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*d*(c*d - b*e)*(30*A*c^3*d^2 - 24*b^3*B*e^2 - 15*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e) + b^2*c*e*(43*B*d + 20*A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(15*(-b)^(3//2)*c^(7//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x)^(3//2)*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(b^2*c*sqrt(b*x + c*x^2))) + (2*e*(6*A*c^2*d + 4*b^2*B*e - 3*b*c*(B*d + A*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b^2*c^2) + (2*(6*A*c^3*d^2 - 8*b^3*B*e^2 - 3*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e) + b^2*c*e*(13*B*d + 6*A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(3//2)*c^(5//2)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*d*(c*d - b*e)*(6*A*c^2*d + 4*b^2*B*e - 3*b*c*(B*d + A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(3//2)*c^(5//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*sqrt(d + e*x)*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(b^2*c*sqrt(b*x + c*x^2))) + (2*(2*A*c^2*d + 2*b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/((-b)^(3//2)*c^(3//2)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*(b*B - 2*A*c)*d*(c*d - b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/((-b)^(3//2)*c^(3//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 8),
+(((A + B*x)*sqrt(d + e*x))/(b*x + c*x^2)^(3//2), (-2*(A*b - (b*B - 2*A*c)*x)*sqrt(d + e*x))/(b^2*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*(b*B - 2*A*c)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/((-b)^(3//2)*sqrt(c)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/((-b)^(3//2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 8),
+((A + B*x)/(sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2)), (-2*sqrt(d + e*x)*(A*b*(c*d - b*e) + c*(2*A*c*d - b*(B*d + A*e))*x))/(b^2*d*(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(c)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/((-b)^(3//2)*d*(c*d - b*e)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*(b*B - 2*A*c)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/((-b)^(3//2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 8),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2)), (-2*(A*b*(c*d - b*e) + c*(2*A*c*d - b*(B*d + A*e))*x))/(b^2*d*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*e*(2*A*c^2*d^2 - b^2*e*(B*d - 2*A*e) - b*c*d*(B*d + 2*A*e))*sqrt(b*x + c*x^2))/(b^2*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(c)*(2*A*c^2*d^2 - b^2*e*(B*d - 2*A*e) - b*c*d*(B*d + 2*A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/((-b)^(3//2)*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(c)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e)*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/((-b)^(3//2)*d*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(5//2)*(b*x + c*x^2)^(3//2)), (-2*(A*b*(c*d - b*e) + c*(2*A*c*d - b*(B*d + A*e))*x))/(b^2*d*(c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*e*(6*A*c^2*d^2 - b^2*e*(B*d - 4*A*e) - 3*b*c*d*(B*d + 2*A*e))*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b^2*d^2*(c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(3//2)) - (2*e*(6*A*c^3*d^3 - b^2*c*d*e*(7*B*d - 19*A*e) + 2*b^3*e^2*(B*d - 4*A*e) - 3*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e))*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b^2*d^3*(c*d - b*e)^3*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(c)*(6*A*c^3*d^3 - b^2*c*d*e*(7*B*d - 19*A*e) + 2*b^3*e^2*(B*d - 4*A*e) - 3*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(3//2)*d^3*(c*d - b*e)^3*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(c)*(6*A*c^2*d^2 - b^2*e*(B*d - 4*A*e) - 3*b*c*d*(B*d + 2*A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(3//2)*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2))/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^(5//2)*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(3*b^2*c*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (2*sqrt(d + e*x)*(b*c*d^2*(8*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(4*B*d + 9*A*e)) + (16*A*c^4*d^3 - 4*b^4*B*e^3 + b^3*c*e^2*(4*B*d + A*e) - 8*b*c^3*d^2*(B*d + 3*A*e) + b^2*c^2*d*e*(5*B*d + 6*A*e))*x))/(3*b^4*c^2*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*(16*A*c^4*d^3 - 8*b^4*B*e^3 + b^3*c*e^2*(5*B*d + 2*A*e) - 8*b*c^3*d^2*(B*d + 3*A*e) + b^2*c^2*d*e*(5*B*d + 4*A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*c^(5//2)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*d*(c*d - b*e)*(16*A*c^3*d^2 + 4*b^3*B*e^2 + b^2*c*e*(B*d - A*e) - 8*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*c^(5//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^(3//2)*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(3*b^2*c*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (2*sqrt(d + e*x)*(b*d*(8*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(4*B*d + 7*A*e)) + (16*A*c^3*d^2 + 2*b^3*B*e^2 + b^2*c*e*(3*B*d + A*e) - 8*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e))*x))/(3*b^4*c*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*(16*A*c^3*d^2 + 2*b^3*B*e^2 + b^2*c*e*(3*B*d + A*e) - 8*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*c^(3//2)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*d*(c*d - b*e)*(16*A*c^2*d - b^2*B*e - 8*b*c*(B*d + A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*c^(3//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*sqrt(d + e*x)*(A*b*c*d + (2*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e))*x))/(3*b^2*c*(b*x + c*x^2)^(3//2))) + (2*sqrt(d + e*x)*(b*(8*A*c^2*d + b^2*B*e - b*c*(4*B*d + 5*A*e)) + c*(16*A*c^2*d + b^2*B*e - 8*b*c*(B*d + A*e))*x))/(3*b^4*c*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*(16*A*c^2*d + b^2*B*e - 8*b*c*(B*d + A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*sqrt(c)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*(16*A*c^2*d^2 - 8*b*c*d*(B*d + 2*A*e) + b^2*e*(5*B*d + 3*A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+(((A + B*x)*sqrt(d + e*x))/(b*x + c*x^2)^(5//2), (-2*(A*b - (b*B - 2*A*c)*x)*sqrt(d + e*x))/(3*b^2*(b*x + c*x^2)^(3//2)) - (2*sqrt(d + e*x)*(b*(c*d - b*e)*(4*b*B*d - 8*A*c*d + A*b*e) - c*(16*A*c^2*d^2 + b^2*e*(7*B*d + A*e) - 8*b*c*d*(B*d + 2*A*e))*x))/(3*b^4*d*(c*d - b*e)*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(c)*(16*A*c^2*d^2 + b^2*e*(7*B*d + A*e) - 8*b*c*d*(B*d + 2*A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*d*(c*d - b*e)*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*(16*A*c^2*d + 3*b^2*B*e - 8*b*c*(B*d + A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+((A + B*x)/(sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(5//2)), (-2*sqrt(d + e*x)*(A*b*(c*d - b*e) + c*(2*A*c*d - b*(B*d + A*e))*x))/(3*b^2*d*(c*d - b*e)*(b*x + c*x^2)^(3//2)) + (2*sqrt(d + e*x)*(b*(c*d - b*e)*(8*A*c^2*d^2 + b^2*e*(3*B*d - 2*A*e) - b*c*d*(4*B*d + 5*A*e)) + c*(16*A*c^3*d^3 - b^3*e^2*(3*B*d - 2*A*e) - 8*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e) + b^2*c*d*e*(13*B*d + 4*A*e))*x))/(3*b^4*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(c)*(16*A*c^3*d^3 - b^3*e^2*(3*B*d - 2*A*e) - 8*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e) + b^2*c*d*e*(13*B*d + 4*A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(c)*(16*A*c^2*d^2 + b^2*e*(9*B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + 2*A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*d*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 9),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(3//2)*(b*x + c*x^2)^(5//2)), (-2*(A*b*(c*d - b*e) + c*(2*A*c*d - b*(B*d + A*e))*x))/(3*b^2*d*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*(b*x + c*x^2)^(3//2)) + (2*(b*(c*d - b*e)*(8*A*c^2*d^2 + b^2*e*(3*B*d - 4*A*e) - b*c*d*(4*B*d + 3*A*e)) + c*(16*A*c^3*d^3 + 15*b^2*B*c*d^2*e - b^3*e^2*(3*B*d - 4*A*e) - 8*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e))*x))/(3*b^4*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*e*(16*A*c^4*d^4 - b^3*c*d*e^2*(9*B*d - 7*A*e) - 8*b*c^3*d^3*(B*d + 4*A*e) + b^2*c^2*d^2*e*(19*B*d + 9*A*e) + b^4*(6*B*d*e^3 - 8*A*e^4))*sqrt(b*x + c*x^2))/(3*b^4*d^3*(c*d - b*e)^3*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(c)*(16*A*c^4*d^4 - b^3*c*d*e^2*(9*B*d - 7*A*e) + 2*b^4*e^3*(3*B*d - 4*A*e) - 8*b*c^3*d^3*(B*d + 4*A*e) + b^2*c^2*d^2*e*(19*B*d + 9*A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*d^3*(c*d - b*e)^3*sqrt(1 + (e*x)/d)*sqrt(b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(c)*(16*A*c^3*d^3 + 15*b^2*B*c*d^2*e - b^3*e^2*(3*B*d - 4*A*e) - 8*b*c^2*d^2*(B*d + 3*A*e))*sqrt(x)*sqrt(1 + (c*x)/b)*sqrt(1 + (e*x)/d)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(c)*sqrt(x))/sqrt(-b)), (b*e)/(c*d)))/(3*(-b)^(7//2)*d^2*(c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(b*x + c*x^2)), x, 10),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p when b=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x) (a+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^5*(a + c*x^2), -(((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^6)/(6*e^4)) + ((3*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^7)/(7*e^4) - (c*(3*B*d - A*e)*(d + e*x)^8)/(8*e^4) + (B*c*(d + e*x)^9)/(9*e^4), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^4*(a + c*x^2), -(((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^5)/(5*e^4)) + ((3*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^6)/(6*e^4) - (c*(3*B*d - A*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^4) + (B*c*(d + e*x)^8)/(8*e^4), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3*(a + c*x^2), -(((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^4)/(4*e^4)) + ((3*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^5)/(5*e^4) - (c*(3*B*d - A*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^4) + (B*c*(d + e*x)^7)/(7*e^4), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2*(a + c*x^2), -(((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^3)/(3*e^4)) + ((3*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^4)/(4*e^4) - (c*(3*B*d - A*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^4) + (B*c*(d + e*x)^6)/(6*e^4), x, 2),
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^1*(a + c*x^2), a*A*d*x + (1//2)*a*(B*d + A*e)*x^2 + (1//3)*(A*c*d + a*B*e)*x^3 + (1//4)*c*(B*d + A*e)*x^4 + (1//5)*B*c*e*x^5, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0*(a + c*x^2), a*A*x + (1//3)*A*c*x^3 + (B*(a + c*x^2)^2)/(4*c), x, 2),
+
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/(d + e*x)^1, ((B*c*d^2 - A*c*d*e + a*B*e^2)*x)/e^3 - (c*(B*d - A*e)*x^2)/(2*e^2) + (B*c*x^3)/(3*e) - ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/(d + e*x)^2, -((c*(2*B*d - A*e)*x)/e^3) + (B*c*x^2)/(2*e^2) + ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2))/(e^4*(d + e*x)) + ((3*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/(d + e*x)^3, (B*c*x)/e^3 + ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2))/(2*e^4*(d + e*x)^2) - (3*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)/(e^4*(d + e*x)) - (c*(3*B*d - A*e)*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/(d + e*x)^4, ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2))/(3*e^4*(d + e*x)^3) - (3*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)/(2*e^4*(d + e*x)^2) + (c*(3*B*d - A*e))/(e^4*(d + e*x)) + (B*c*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/(d + e*x)^5, ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2))/(4*e^4*(d + e*x)^4) - (3*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)/(3*e^4*(d + e*x)^3) + (c*(3*B*d - A*e))/(2*e^4*(d + e*x)^2) - (B*c)/(e^4*(d + e*x)), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/(d + e*x)^6, ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2))/(5*e^4*(d + e*x)^5) - (3*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)/(4*e^4*(d + e*x)^4) + (c*(3*B*d - A*e))/(3*e^4*(d + e*x)^3) - (B*c)/(2*e^4*(d + e*x)^2), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/(d + e*x)^7, ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2))/(6*e^4*(d + e*x)^6) - (3*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)/(5*e^4*(d + e*x)^5) + (c*(3*B*d - A*e))/(4*e^4*(d + e*x)^4) - (B*c)/(3*e^4*(d + e*x)^3), x, 2),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^5*(a + c*x^2)^2, -((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^6)/(6*e^6) + ((c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^7)/(7*e^6) - (c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*(d + e*x)^8)/(4*e^6) + (2*c*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^9)/(9*e^6) - (c^2*(5*B*d - A*e)*(d + e*x)^10)/(10*e^6) + (B*c^2*(d + e*x)^11)/(11*e^6), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^4*(a + c*x^2)^2, -((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^5)/(5*e^6) + ((c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^6)/(6*e^6) - (2*c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*(d + e*x)^7)/(7*e^6) + (c*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^8)/(4*e^6) - (c^2*(5*B*d - A*e)*(d + e*x)^9)/(9*e^6) + (B*c^2*(d + e*x)^10)/(10*e^6), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3*(a + c*x^2)^2, -((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^4)/(4*e^6) + ((c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^5)/(5*e^6) - (c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*(d + e*x)^6)/(3*e^6) + (2*c*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^7)/(7*e^6) - (c^2*(5*B*d - A*e)*(d + e*x)^8)/(8*e^6) + (B*c^2*(d + e*x)^9)/(9*e^6), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2*(a + c*x^2)^2, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^3)/(3*e^6)) + ((c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^4)/(4*e^6) - (2*c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*(d + e*x)^5)/(5*e^6) + (c*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^6)/(3*e^6) - (c^2*(5*B*d - A*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^6) + (B*c^2*(d + e*x)^8)/(8*e^6), x, 2),
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^1*(a + c*x^2)^2, a^2*A*d*x + (1//2)*a^2*(B*d + A*e)*x^2 + (1//3)*a*(2*A*c*d + a*B*e)*x^3 + (1//2)*a*c*(B*d + A*e)*x^4 + (1//5)*c*(A*c*d + 2*a*B*e)*x^5 + (1//6)*c^2*(B*d + A*e)*x^6 + (1//7)*B*c^2*e*x^7, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0*(a + c*x^2)^2, a^2*A*x + (2//3)*a*A*c*x^3 + (1//5)*A*c^2*x^5 + (B*(a + c*x^2)^3)/(6*c), x, 3),
+
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/(d + e*x)^1, ((B*(c*d^2 + a*e^2)^2 - A*c*d*e*(c*d^2 + 2*a*e^2))*x)/e^5 - (c*(B*d - A*e)*(c*d^2 + 2*a*e^2)*x^2)/(2*e^4) + (c*(B*c*d^2 - A*c*d*e + 2*a*B*e^2)*x^3)/(3*e^3) - (c^2*(B*d - A*e)*x^4)/(4*e^2) + (B*c^2*x^5)/(5*e) - ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/(d + e*x)^2, -((c*(4*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 4*a*B*d*e^2 - 2*a*A*e^3)*x)/e^5) + (c*(3*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + 2*a*B*e^2)*x^2)/(2*e^4) - (c^2*(2*B*d - A*e)*x^3)/(3*e^3) + (B*c^2*x^4)/(4*e^2) + ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(e^6*(d + e*x)) + ((c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2)*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/(d + e*x)^3, (c*(6*B*c*d^2 - 3*A*c*d*e + 2*a*B*e^2)*x)/e^5 - (c^2*(3*B*d - A*e)*x^2)/(2*e^4) + (B*c^2*x^3)/(3*e^3) + ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(2*e^6*(d + e*x)^2) - ((c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2))/(e^6*(d + e*x)) - (2*c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/(d + e*x)^4, -((c^2*(4*B*d - A*e)*x)/e^5) + (B*c^2*x^2)/(2*e^4) + ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(3*e^6*(d + e*x)^3) - ((c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2))/(2*e^6*(d + e*x)^2) + (2*c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(e^6*(d + e*x)) + (2*c*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/(d + e*x)^5, (B*c^2*x)/e^5 + ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(4*e^6*(d + e*x)^4) - ((c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2))/(3*e^6*(d + e*x)^3) + (c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(e^6*(d + e*x)^2) - (2*c*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2))/(e^6*(d + e*x)) - (c^2*(5*B*d - A*e)*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/(d + e*x)^6, ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(5*e^6*(d + e*x)^5) - ((c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2))/(4*e^6*(d + e*x)^4) + (2*c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(3*e^6*(d + e*x)^3) - (c*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2))/(e^6*(d + e*x)^2) + (c^2*(5*B*d - A*e))/(e^6*(d + e*x)) + (B*c^2*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/(d + e*x)^7, ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(6*e^6*(d + e*x)^6) - ((c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2))/(5*e^6*(d + e*x)^5) + (c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(2*e^6*(d + e*x)^4) - (2*c*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2))/(3*e^6*(d + e*x)^3) + (c^2*(5*B*d - A*e))/(2*e^6*(d + e*x)^2) - (B*c^2)/(e^6*(d + e*x)), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/(d + e*x)^8, ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(7*e^6*(d + e*x)^7) - ((c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2))/(6*e^6*(d + e*x)^6) + (2*c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(5*e^6*(d + e*x)^5) - (c*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2))/(2*e^6*(d + e*x)^4) + (c^2*(5*B*d - A*e))/(3*e^6*(d + e*x)^3) - (B*c^2)/(2*e^6*(d + e*x)^2), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/(d + e*x)^9, ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(8*e^6*(d + e*x)^8) - ((c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2))/(7*e^6*(d + e*x)^7) + (c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(3*e^6*(d + e*x)^6) - (2*c*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2))/(5*e^6*(d + e*x)^5) + (c^2*(5*B*d - A*e))/(4*e^6*(d + e*x)^4) - (B*c^2)/(3*e^6*(d + e*x)^3), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/(d + e*x)^10, ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(9*e^6*(d + e*x)^9) - ((c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2))/(8*e^6*(d + e*x)^8) + (2*c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(7*e^6*(d + e*x)^7) - (c*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2))/(3*e^6*(d + e*x)^6) + (c^2*(5*B*d - A*e))/(5*e^6*(d + e*x)^5) - (B*c^2)/(4*e^6*(d + e*x)^4), x, 2),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^5*(a + c*x^2)^3, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^6)/(6*e^8)) + ((c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^7)/(7*e^8) - (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*(d + e*x)^8)/(8*e^8) - (c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4))*(d + e*x)^9)/(9*e^8) - (c^2*(35*B*c*d^3 - 15*A*c*d^2*e + 15*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3)*(d + e*x)^10)/(10*e^8) + (3*c^2*(7*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^11)/(11*e^8) - (c^3*(7*B*d - A*e)*(d + e*x)^12)/(12*e^8) + (B*c^3*(d + e*x)^13)/(13*e^8), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^4*(a + c*x^2)^3, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^5)/(5*e^8)) + ((c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^6)/(6*e^8) - (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*(d + e*x)^7)/(7*e^8) - (c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4))*(d + e*x)^8)/(8*e^8) - (c^2*(35*B*c*d^3 - 15*A*c*d^2*e + 15*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3)*(d + e*x)^9)/(9*e^8) + (3*c^2*(7*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^10)/(10*e^8) - (c^3*(7*B*d - A*e)*(d + e*x)^11)/(11*e^8) + (B*c^3*(d + e*x)^12)/(12*e^8), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3*(a + c*x^2)^3, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^4)/(4*e^8)) + ((c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^5)/(5*e^8) - (c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*(d + e*x)^6)/(2*e^8) - (c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4))*(d + e*x)^7)/(7*e^8) - (c^2*(35*B*c*d^3 - 15*A*c*d^2*e + 15*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3)*(d + e*x)^8)/(8*e^8) + (c^2*(7*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^9)/(3*e^8) - (c^3*(7*B*d - A*e)*(d + e*x)^10)/(10*e^8) + (B*c^3*(d + e*x)^11)/(11*e^8), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2*(a + c*x^2)^3, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^3)/(3*e^8)) + ((c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^4)/(4*e^8) - (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*(d + e*x)^5)/(5*e^8) - (c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4))*(d + e*x)^6)/(6*e^8) - (c^2*(35*B*c*d^3 - 15*A*c*d^2*e + 15*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3)*(d + e*x)^7)/(7*e^8) + (3*c^2*(7*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^8)/(8*e^8) - (c^3*(7*B*d - A*e)*(d + e*x)^9)/(9*e^8) + (B*c^3*(d + e*x)^10)/(10*e^8), x, 2),
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^1*(a + c*x^2)^3, a^3*A*d*x + (1//2)*a^3*(B*d + A*e)*x^2 + (1//3)*a^2*(3*A*c*d + a*B*e)*x^3 + (3//4)*a^2*c*(B*d + A*e)*x^4 + (3//5)*a*c*(A*c*d + a*B*e)*x^5 + (1//2)*a*c^2*(B*d + A*e)*x^6 + (1//7)*c^2*(A*c*d + 3*a*B*e)*x^7 + (1//8)*c^3*(B*d + A*e)*x^8 + (1//9)*B*c^3*e*x^9, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0*(a + c*x^2)^3, a^3*A*x + a^2*A*c*x^3 + (3//5)*a*A*c^2*x^5 + (1//7)*A*c^3*x^7 + (B*(a + c*x^2)^4)/(8*c), x, 3),
+
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/(d + e*x)^1, ((B*(c*d^2 + a*e^2)^3 - A*c*d*e*(c^2*d^4 + 3*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4))*x)/e^7 - (c*(B*d - A*e)*(c^2*d^4 + 3*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*x^2)/(2*e^6) - (c*(A*c*d*e*(c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(c^2*d^4 + 3*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4))*x^3)/(3*e^5) - (c^2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + 3*a*e^2)*x^4)/(4*e^4) + (c^2*(B*c*d^2 - A*c*d*e + 3*a*B*e^2)*x^5)/(5*e^3) - (c^3*(B*d - A*e)*x^6)/(6*e^2) + (B*c^3*x^7)/(7*e) - ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/(d + e*x)^2, -((c*(6*B*d*(c*d^2 + a*e^2)^2 - A*e*(5*c^2*d^4 + 9*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4))*x)/e^7) - (c*(2*A*c*d*e*(2*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(5*c^2*d^4 + 9*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4))*x^2)/(2*e^6) + (c^2*(3*A*e*(c*d^2 + a*e^2) - B*(4*c*d^3 + 6*a*d*e^2))*x^3)/(3*e^5) - (c^2*(2*A*c*d*e - 3*B*(c*d^2 + a*e^2))*x^4)/(4*e^4) - (c^3*(2*B*d - A*e)*x^5)/(5*e^3) + (B*c^3*x^6)/(6*e^2) + ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3)/(e^8*(d + e*x)) + ((c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2)*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/(d + e*x)^3, -((c*(A*c*d*e*(10*c*d^2 + 9*a*e^2) - 3*B*(5*c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4))*x)/e^7) - (c^2*(10*B*c*d^3 - 6*A*c*d^2*e + 9*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3)*x^2)/(2*e^6) + (c^2*(2*B*c*d^2 - A*c*d*e + a*B*e^2)*x^3)/e^5 - (c^3*(3*B*d - A*e)*x^4)/(4*e^4) + (B*c^3*x^5)/(5*e^3) + ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3)/(2*e^8*(d + e*x)^2) - ((c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2))/(e^8*(d + e*x)) - (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/(d + e*x)^4, -((c^2*(20*B*c*d^3 - 10*A*c*d^2*e + 12*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3)*x)/e^7) + (c^2*(10*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + 3*a*B*e^2)*x^2)/(2*e^6) - (c^3*(4*B*d - A*e)*x^3)/(3*e^5) + (B*c^3*x^4)/(4*e^4) + ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3)/(3*e^8*(d + e*x)^3) - ((c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2))/(2*e^8*(d + e*x)^2) + (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(e^8*(d + e*x)) - (c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4))*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/(d + e*x)^5, -((c^2*(5*A*c*d*e - 3*B*(5*c*d^2 + a*e^2))*x)/e^7) - (c^3*(5*B*d - A*e)*x^2)/(2*e^6) + (B*c^3*x^3)/(3*e^5) + ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3)/(4*e^8*(d + e*x)^4) - ((c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2))/(3*e^8*(d + e*x)^3) + (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(2*e^8*(d + e*x)^2) + (c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)))/(e^8*(d + e*x)) - (c^2*(35*B*c*d^3 - 15*A*c*d^2*e + 15*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3)*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/(d + e*x)^6, -((c^3*(6*B*d - A*e)*x)/e^7) + (B*c^3*x^2)/(2*e^6) + ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3)/(5*e^8*(d + e*x)^5) - ((c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2))/(4*e^8*(d + e*x)^4) + (c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(e^8*(d + e*x)^3) + (c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)))/(2*e^8*(d + e*x)^2) + (c^2*(35*B*c*d^3 - 15*A*c*d^2*e + 15*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3))/(e^8*(d + e*x)) + (3*c^2*(7*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/(d + e*x)^7, (B*c^3*x)/e^7 + ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3)/(6*e^8*(d + e*x)^6) - ((c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2))/(5*e^8*(d + e*x)^5) + (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(4*e^8*(d + e*x)^4) + (c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)))/(3*e^8*(d + e*x)^3) + (c^2*(35*B*c*d^3 - 15*A*c*d^2*e + 15*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3))/(2*e^8*(d + e*x)^2) - (3*c^2*(7*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2))/(e^8*(d + e*x)) - (c^3*(7*B*d - A*e)*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/(d + e*x)^8, ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3)/(7*e^8*(d + e*x)^7) - ((c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2))/(6*e^8*(d + e*x)^6) + (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(5*e^8*(d + e*x)^5) + (c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)))/(4*e^8*(d + e*x)^4) + (c^2*(35*B*c*d^3 - 15*A*c*d^2*e + 15*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3))/(3*e^8*(d + e*x)^3) - (3*c^2*(7*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2))/(2*e^8*(d + e*x)^2) + (c^3*(7*B*d - A*e))/(e^8*(d + e*x)) + (B*c^3*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/(d + e*x)^9, ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3)/(8*e^8*(d + e*x)^8) - ((c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2))/(7*e^8*(d + e*x)^7) + (c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(2*e^8*(d + e*x)^6) + (c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)))/(5*e^8*(d + e*x)^5) + (c^2*(35*B*c*d^3 - 15*A*c*d^2*e + 15*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3))/(4*e^8*(d + e*x)^4) - (c^2*(7*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2))/(e^8*(d + e*x)^3) + (c^3*(7*B*d - A*e))/(2*e^8*(d + e*x)^2) - (B*c^3)/(e^8*(d + e*x)), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/(d + e*x)^10, ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3)/(9*e^8*(d + e*x)^9) - ((c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2))/(8*e^8*(d + e*x)^8) + (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(7*e^8*(d + e*x)^7) + (c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)))/(6*e^8*(d + e*x)^6) + (c^2*(35*B*c*d^3 - 15*A*c*d^2*e + 15*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3))/(5*e^8*(d + e*x)^5) - (3*c^2*(7*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2))/(4*e^8*(d + e*x)^4) + (c^3*(7*B*d - A*e))/(3*e^8*(d + e*x)^3) - (B*c^3)/(2*e^8*(d + e*x)^2), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/(d + e*x)^11, ((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3)/(10*e^8*(d + e*x)^10) - ((c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2))/(9*e^8*(d + e*x)^9) + (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(8*e^8*(d + e*x)^8) + (c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)))/(7*e^8*(d + e*x)^7) + (c^2*(35*B*c*d^3 - 15*A*c*d^2*e + 15*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3))/(6*e^8*(d + e*x)^6) - (3*c^2*(7*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2))/(5*e^8*(d + e*x)^5) + (c^3*(7*B*d - A*e))/(4*e^8*(d + e*x)^4) - (B*c^3)/(3*e^8*(d + e*x)^3), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^4/(a + c*x^2), (e*(4*B*c*d^3 + 6*A*c*d^2*e - 4*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*x)/c^2 + (e^2*(6*B*c*d^2 + 4*A*c*d*e - a*B*e^2)*x^2)/(2*c^2) + (e^3*(4*B*d + A*e)*x^3)/(3*c) + (B*e^4*x^4)/(4*c) - ((4*a*B*d*e*(c*d^2 - a*e^2) - A*(c^2*d^4 - 6*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*c^(5//2)) + ((4*A*c*d*e*(c*d^2 - a*e^2) + B*(c^2*d^4 - 6*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4))*log(a + c*x^2))/(2*c^3), x, 5),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3/(a + c*x^2), (e*(3*B*c*d^2 + 3*A*c*d*e - a*B*e^2)*x)/c^2 + (e^2*(3*B*d + A*e)*x^2)/(2*c) + (B*e^3*x^3)/(3*c) + ((A*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) - a*B*e*(3*c*d^2 - a*e^2))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*c^(5//2)) + ((B*c*d^3 + 3*A*c*d^2*e - 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*log(a + c*x^2))/(2*c^2), x, 5),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2/(a + c*x^2), (e*(2*B*d + A*e)*x)/c + (B*e^2*x^2)/(2*c) + ((A*c*d^2 - 2*a*B*d*e - a*A*e^2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*c^(3//2)) + ((B*c*d^2 + 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*log(a + c*x^2))/(2*c^2), x, 5),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1/(a + c*x^2), (B*e*x)/c + ((A*c*d - a*B*e)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*c^(3//2)) + ((B*d + A*e)*log(a + c*x^2))/(2*c), x, 4),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0/(a + c*x^2), (A*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*sqrt(c)) + (B*log(a + c*x^2))/(2*c), x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)^1*(a + c*x^2)), ((A*c*d + a*B*e)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*sqrt(c)*(c*d^2 + a*e^2)) - ((B*d - A*e)*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2) + ((B*d - A*e)*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^2*(a + c*x^2)), (B*d - A*e)/((c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)) + (sqrt(c)*(A*c*d^2 + 2*a*B*d*e - a*A*e^2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - ((B*c*d^2 - 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^2 + ((B*c*d^2 - 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^2), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^3*(a + c*x^2)), (B*d - A*e)/(2*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^2) + (B*c*d^2 - 2*A*c*d*e - a*B*e^2)/((c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)) + (sqrt(c)*(A*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) + a*B*e*(3*c*d^2 - a*e^2))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(c*d^2 + a*e^2)^3) - (c*(B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e - 3*a*B*d*e^2 + a*A*e^3)*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^3 + (c*(B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e - 3*a*B*d*e^2 + a*A*e^3)*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^3), x, 5),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^5)/(a + c*x^2)^2, -((e^2*(3*A*c*d*(2*c*d^2 - 5*a*e^2) - 5*a*B*e*(6*c*d^2 - a*e^2))*x)/(2*a*c^3)) - (e^3*(2*A*c*d^2 - 5*a*B*d*e - a*A*e^2)*x^2)/(a*c^2) - (e^4*(3*A*c*d - 5*a*B*e)*x^3)/(6*a*c^2) - ((d + e*x)^4*(a*(B*d + A*e) - (A*c*d - a*B*e)*x))/(2*a*c*(a + c*x^2)) + ((A*c*d*(c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 - 15*a^2*e^4) + 5*a*B*e*(c^2*d^4 - 6*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*c^(7//2)) + (e^2*(5*B*c*d^3 + 5*A*c*d^2*e - 5*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*log(a + c*x^2))/c^3, x, 6),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^4)/(a + c*x^2)^2, -((3*e^2*(A*c*d^2 - 4*a*B*d*e - a*A*e^2)*x)/(2*a*c^2)) - (e^3*(A*c*d - 2*a*B*e)*x^2)/(2*a*c^2) - ((d + e*x)^3*(a*(B*d + A*e) - (A*c*d - a*B*e)*x))/(2*a*c*(a + c*x^2)) + ((4*a*B*d*e*(c*d^2 - 3*a*e^2) + A*(c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 - 3*a^2*e^4))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*c^(5//2)) + (e^2*(3*B*c*d^2 + 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*log(a + c*x^2))/c^3, x, 6),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^3)/(a + c*x^2)^2, -((e^2*(A*c*d - 3*a*B*e)*x)/(2*a*c^2)) - ((d + e*x)^2*(a*(B*d + A*e) - (A*c*d - a*B*e)*x))/(2*a*c*(a + c*x^2)) + ((3*a*B*e*(c*d^2 - a*e^2) + A*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*c^(5//2)) + (e^2*(3*B*d + A*e)*log(a + c*x^2))/(2*c^2), x, 5),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^2)/(a + c*x^2)^2, -(((d + e*x)*(a*(B*d + A*e) - (A*c*d - a*B*e)*x))/(2*a*c*(a + c*x^2))) + ((A*c*d^2 + a*e*(2*B*d + A*e))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*c^(3//2)) + (B*e^2*log(a + c*x^2))/(2*c^2), x, 4),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^1)/(a + c*x^2)^2, -((a*(B*d + A*e) - (A*c*d - a*B*e)*x)/(2*a*c*(a + c*x^2))) + ((A*c*d + a*B*e)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*c^(3//2)), x, 2),
+((A + B*x)/(a + c*x^2)^2, -(a*B - A*c*x)/(2*a*c*(a + c*x^2)) + (A*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*sqrt(c)), x, 2),
+((A + B*x)/((d + e*x)^1*(a + c*x^2)^2), -((a*(B*d - A*e) - (A*c*d + a*B*e)*x)/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2))) - ((a*B*e*(c*d^2 - a*e^2) - A*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*sqrt(c)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (e^2*(B*d - A*e)*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^2 + (e^2*(B*d - A*e)*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^2), x, 6),
+((A + B*x)/((d + e*x)^2*(a + c*x^2)^2), (e*(A*c*d^2 + 4*a*B*d*e - 3*a*A*e^2))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)) - (a*(B*d - A*e) - (A*c*d + a*B*e)*x)/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)*(a + c*x^2)) - (sqrt(c)*(2*a*B*d*e*(c*d^2 - 3*a*e^2) - A*(c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 - 3*a^2*e^4))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)^3) - (e^2*(3*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e - a*B*e^2)*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^3 + (e^2*(3*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e - a*B*e^2)*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^3), x, 6),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^5)/(a + c*x^2)^3, -((e^2*(5*a*B*e*(c*d^2 - 3*a*e^2) + A*c*d*(3*c*d^2 + 7*a*e^2))*x)/(8*a^2*c^3)) - ((d + e*x)^4*(a*(B*d + A*e) - (A*c*d - a*B*e)*x))/(4*a*c*(a + c*x^2)^2) - ((d + e*x)^2*(2*a*e*(A*c*d^2 + 5*a*B*d*e + 2*a*A*e^2) - (5*a*B*e*(c*d^2 - a*e^2) + A*c*d*(3*c*d^2 + 5*a*e^2))*x))/(8*a^2*c^2*(a + c*x^2)) + ((5*a*B*e*(c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 - 3*a^2*e^4) + A*c*d*(3*c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 + 15*a^2*e^4))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*c^(7//2)) + (e^4*(5*B*d + A*e)*log(a + c*x^2))/(2*c^3), x, 6),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^4)/(a + c*x^2)^3, -(((d + e*x)^3*(a*(B*d + A*e) - (A*c*d - a*B*e)*x))/(4*a*c*(a + c*x^2)^2)) - ((d + e*x)*(a*e*(8*a*B*d*e + 3*A*(c*d^2 + a*e^2)) + (4*a^2*B*e^3 - c*d*(3*A*c*d^2 + a*e*(4*B*d + 3*A*e)))*x))/(8*a^2*c^2*(a + c*x^2)) + ((3*A*(c*d^2 + a*e^2)^2 + 4*a*B*d*e*(c*d^2 + 3*a*e^2))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*c^(5//2)) + (B*e^4*log(a + c*x^2))/(2*c^3), x, 5),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^3)/(a + c*x^2)^3, -((a*B - A*c*x)*(d + e*x)^3)/(4*a*c*(a + c*x^2)^2) - (3*(A*c*d + a*B*e)*(a*e - c*d*x)*(d + e*x))/(8*a^2*c^2*(a + c*x^2)) + (3*(A*c*d + a*B*e)*(c*d^2 + a*e^2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*c^(5//2)), x, 3),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^2)/(a + c*x^2)^3, -(((a*B - A*c*x)*(d + e*x)^2)/(4*a*c*(a + c*x^2)^2)) - (2*a*e*(2*A*c*d + a*B*e) - c*(3*A*c*d^2 + 2*a*B*d*e - a*A*e^2)*x)/(8*a^2*c^2*(a + c*x^2)) + ((3*A*c*d^2 + 2*a*B*d*e + a*A*e^2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*c^(3//2)), x, 3),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^1)/(a + c*x^2)^3, -((a*(B*d + A*e) - (A*c*d - a*B*e)*x)/(4*a*c*(a + c*x^2)^2)) + ((3*A*c*d + a*B*e)*x)/(8*a^2*c*(a + c*x^2)) + ((3*A*c*d + a*B*e)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*c^(3//2)), x, 3),
+((A + B*x)/(a + c*x^2)^3, -(a*B - A*c*x)/(4*a*c*(a + c*x^2)^2) + (3*A*x)/(8*a^2*(a + c*x^2)) + (3*A*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*sqrt(c)), x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)^1*(a + c*x^2)^3), -((a*(B*d - A*e) - (A*c*d + a*B*e)*x)/(4*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2)^2)) - (4*a^2*e^2*(B*d - A*e) + (a*B*e*(c*d^2 - 3*a*e^2) - A*c*d*(3*c*d^2 + 7*a*e^2))*x)/(8*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(a + c*x^2)) - ((a*B*e*(c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 - 3*a^2*e^4) - A*c*d*(3*c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 + 15*a^2*e^4))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*sqrt(c)*(c*d^2 + a*e^2)^3) - (e^4*(B*d - A*e)*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^3 + (e^4*(B*d - A*e)*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^3), x, 7),
+((A + B*x)/((d + e*x)^2*(a + c*x^2)^3), -((e*(2*a*B*d*e*(c*d^2 - 11*a*e^2) - 3*A*(c^2*d^4 + 4*a*c*d^2*e^2 - 5*a^2*e^4)))/(8*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x))) - (a*(B*d - A*e) - (A*c*d + a*B*e)*x)/(4*a*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)*(a + c*x^2)^2) - (a*e*(A*c*d^2 + 6*a*B*d*e - 5*a*A*e^2) + (2*a*B*e*(c*d^2 - 2*a*e^2) - 3*A*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2))*x)/(8*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)*(a + c*x^2)) - (sqrt(c)*(2*a*B*d*e*(c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 - 15*a^2*e^4) - 3*A*(c^3*d^6 + 5*a*c^2*d^4*e^2 + 15*a^2*c*d^2*e^4 - 5*a^3*e^6))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*(c*d^2 + a*e^2)^4) - (e^4*(5*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e - a*B*e^2)*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^4 + (e^4*(5*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e - a*B*e^2)*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^4), x, 7),
+
+
+((-11 + 6*x)/((-1 + 2*x)*(-1 + x^2)), (16//3)*log(1 - 2*x) - (5//2)*log(1 - x) - (17//6)*log(1 + x), x, 2),
+
+
+(x^1*(1 + x)^2/(1 + x^2)^3, -((1 + x)^2/(4*(1 + x^2)^2)) - (1 - x)/(4*(1 + x^2)) + atan(x)/4, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x) (a+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((5 - x)*(3 + 2*x)^4*sqrt(2 + 3*x^2), (2341//18)*x*sqrt(2 + 3*x^2) + (923//315)*(3 + 2*x)^2*(2 + 3*x^2)^(3//2) + (29//63)*(3 + 2*x)^3*(2 + 3*x^2)^(3//2) - (1//21)*(3 + 2*x)^4*(2 + 3*x^2)^(3//2) + (2//405)*(13781 + 4599*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2) + (2341*asinh(sqrt(3//2)*x))/(9*sqrt(3)), x, 6),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^3*sqrt(2 + 3*x^2), (511//9)*x*sqrt(2 + 3*x^2) + (17//30)*(3 + 2*x)^2*(2 + 3*x^2)^(3//2) - (1//18)*(3 + 2*x)^3*(2 + 3*x^2)^(3//2) + (7//270)*(898 + 267*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2) + (1022*asinh(sqrt(3//2)*x))/(9*sqrt(3)), x, 5),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^2*sqrt(2 + 3*x^2), (131//6)*x*sqrt(2 + 3*x^2) - (1//15)*(3 + 2*x)^2*(2 + 3*x^2)^(3//2) + (2//135)*(431 + 99*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2) + (131*asinh(sqrt(3//2)*x))/(3*sqrt(3)), x, 4),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^1*sqrt(2 + 3*x^2), (23//3)*x*sqrt(2 + 3*x^2) + (1//18)*(14 - 3*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2) + (46*asinh(sqrt(3//2)*x))/(3*sqrt(3)), x, 3),
+((5 - x)*sqrt(2 + 3*x^2), (5*x*sqrt(2 + 3*x^2))/2 - (2 + 3*x^2)^(3//2)/9 + (5*asinh(sqrt(3//2)*x))/sqrt(3), x, 3),
+(((5 - x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(3 + 2*x)^1, ((13 - x)*sqrt(2 + 3*x^2))/4 - (121*asinh(sqrt(3//2)*x))/(8*sqrt(3)) - (13*sqrt(35)*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/8, x, 5),
+(((5 - x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(3 + 2*x)^2, -((8 + x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(2*(3 + 2*x)) + 2*sqrt(3)*asinh(sqrt(3//2)*x) + (19*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/sqrt(35), x, 5),
+(((5 - x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(3 + 2*x)^3, ((53 + 187*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(140*(3 + 2*x)^2) - (1//8)*sqrt(3)*asinh(sqrt(3//2)*x) - (471*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(280*sqrt(35)), x, 5),
+(((5 - x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(3 + 2*x)^4, -((41*(4 - 9*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(2450*(3 + 2*x)^2)) - (13*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(105*(3 + 2*x)^3) - (123*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(1225*sqrt(35)), x, 4),
+(((5 - x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(3 + 2*x)^5, -((33*(4 - 9*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(8575*(3 + 2*x)^2)) - (13*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(140*(3 + 2*x)^4) - (89*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(2940*(3 + 2*x)^3) - (198*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(8575*sqrt(35)), x, 5),
+(((5 - x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(3 + 2*x)^6, -((339*(4 - 9*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(428750*(3 + 2*x)^2)) - (13*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(175*(3 + 2*x)^5) - (23*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(875*(3 + 2*x)^4) - (43*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(6125*(3 + 2*x)^3) - (1017*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(214375*sqrt(35)), x, 6),
+(((5 - x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(3 + 2*x)^7, -((1017*(4 - 9*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(7503125*(3 + 2*x)^2)) - (13*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(210*(3 + 2*x)^6) - (281*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(12250*(3 + 2*x)^5) - (111*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(17500*(3 + 2*x)^4) - (1207*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(857500*(3 + 2*x)^3) - (6102*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(7503125*sqrt(35)), x, 7),
+
+
+((5 - x)*(3 + 2*x)^4*(2 + 3*x^2)^(3//2), (2777//12)*x*sqrt(2 + 3*x^2) + (2777//36)*x*(2 + 3*x^2)^(3//2) + (4421*(3 + 2*x)^2*(2 + 3*x^2)^(5//2))/2268 + (13//36)*(3 + 2*x)^3*(2 + 3*x^2)^(5//2) - (1//27)*(3 + 2*x)^4*(2 + 3*x^2)^(5//2) + ((661583 + 226755*x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/17010 + (2777*asinh(sqrt(3//2)*x))/(6*sqrt(3)), x, 7),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^3*(2 + 3*x^2)^(3//2), (1087//12)*x*sqrt(2 + 3*x^2) + (1087//36)*x*(2 + 3*x^2)^(3//2) + (71//168)*(3 + 2*x)^2*(2 + 3*x^2)^(5//2) - (1//24)*(3 + 2*x)^3*(2 + 3*x^2)^(5//2) + ((16973 + 5405*x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/1260 + (1087*asinh(sqrt(3//2)*x))/(6*sqrt(3)), x, 6),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^2*(2 + 3*x^2)^(3//2), (397//12)*x*sqrt(2 + 3*x^2) + (397//36)*x*(2 + 3*x^2)^(3//2) - (1//21)*(3 + 2*x)^2*(2 + 3*x^2)^(5//2) + (2//315)*(611 + 160*x)*(2 + 3*x^2)^(5//2) + (397*asinh(sqrt(3//2)*x))/(6*sqrt(3)), x, 5),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^1*(2 + 3*x^2)^(3//2), (137//12)*x*sqrt(2 + 3*x^2) + (137//36)*x*(2 + 3*x^2)^(3//2) + (1//45)*(21 - 5*x)*(2 + 3*x^2)^(5//2) + (137*asinh(sqrt(3//2)*x))/(6*sqrt(3)), x, 4),
+((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(3//2), (15*x*sqrt(2 + 3*x^2))/4 + (5*x*(2 + 3*x^2)^(3//2))/4 - (2 + 3*x^2)^(5//2)/15 + (5*sqrt(3)*asinh(sqrt(3//2)*x))/2, x, 4),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^1, ((455 - 123*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/16 + ((26 - 3*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/24 - (1529*sqrt(3)*asinh(sqrt(3//2)*x))/32 - (455*sqrt(35)*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/32, x, 6),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^2, -((193 - 63*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/8 - ((21 + x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(6*(3 + 2*x)) + (663*sqrt(3)*asinh(sqrt(3//2)*x))/16 + (193*sqrt(35)*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/16, x, 6),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^3, (3*(37 + 12*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(4*(3 + 2*x)) - ((8 + x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(4*(3 + 2*x)^2) - (111//8)*sqrt(3)*asinh(sqrt(3//2)*x) - (1143*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(8*sqrt(35)), x, 6),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^4, -((3*(385 + 111*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(280*(3 + 2*x))) + ((229 + 456*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(420*(3 + 2*x)^3) + (33//16)*sqrt(3)*asinh(sqrt(3//2)*x) + (11727*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(560*sqrt(35)), x, 6),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^5, (3*(2943 + 4097*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(19600*(3 + 2*x)^2) + ((54 + 491*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(840*(3 + 2*x)^4) - (3//32)*sqrt(3)*asinh(sqrt(3//2)*x) - (39663*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(39200*sqrt(35)), x, 6),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^6, -((369*(4 - 9*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(171500*(3 + 2*x)^2)) - (41*(4 - 9*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(4900*(3 + 2*x)^4) - (13*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(175*(3 + 2*x)^5) - (1107*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(85750*sqrt(35)), x, 5),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^7, -((9*(4 - 9*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(17500*(3 + 2*x)^2)) - ((4 - 9*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(500*(3 + 2*x)^4) - (13*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(210*(3 + 2*x)^6) - (29*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(1750*(3 + 2*x)^5) - (27*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(8750*sqrt(35)), x, 6),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^8, -((24201*(4 - 9*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(210087500*(3 + 2*x)^2)) - (2689*(4 - 9*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(6002500*(3 + 2*x)^4) - (13*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(245*(3 + 2*x)^7) - (404*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(25725*(3 + 2*x)^6) - (822*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(214375*(3 + 2*x)^5) - (72603*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(105043750*sqrt(35)), x, 7),
+
+
+((5 - x)*(3 + 2*x)^4*(2 + 3*x^2)^(5//2), (4991//12)*x*sqrt(2 + 3*x^2) + (4991//36)*x*(2 + 3*x^2)^(3//2) + (4991//90)*x*(2 + 3*x^2)^(5//2) + (6433*(3 + 2*x)^2*(2 + 3*x^2)^(7//2))/4455 + (49//165)*(3 + 2*x)^3*(2 + 3*x^2)^(7//2) - (1//33)*(3 + 2*x)^4*(2 + 3*x^2)^(7//2) + (2*(181243 + 62244*x)*(2 + 3*x^2)^(7//2))/13365 + (4991*asinh(sqrt(3//2)*x))/(6*sqrt(3)), x, 8),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^3*(2 + 3*x^2)^(5//2), (3731//24)*x*sqrt(2 + 3*x^2) + (3731//72)*x*(2 + 3*x^2)^(3//2) + (3731//180)*x*(2 + 3*x^2)^(5//2) + (91//270)*(3 + 2*x)^2*(2 + 3*x^2)^(7//2) - (1//30)*(3 + 2*x)^3*(2 + 3*x^2)^(7//2) + ((15244 + 4977*x)*(2 + 3*x^2)^(7//2))/1620 + (3731*asinh(sqrt(3//2)*x))/(12*sqrt(3)), x, 7),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^2*(2 + 3*x^2)^(5//2), (665//12)*x*sqrt(2 + 3*x^2) + (665//36)*x*(2 + 3*x^2)^(3//2) + (133//18)*x*(2 + 3*x^2)^(5//2) - (1//27)*(3 + 2*x)^2*(2 + 3*x^2)^(7//2) + (1//81)*(226 + 63*x)*(2 + 3*x^2)^(7//2) + (665*asinh(sqrt(3//2)*x))/(6*sqrt(3)), x, 6),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^1*(2 + 3*x^2)^(5//2), (455//24)*x*sqrt(2 + 3*x^2) + (455//72)*x*(2 + 3*x^2)^(3//2) + (91//36)*x*(2 + 3*x^2)^(5//2) + (1//12)*(4 - x)*(2 + 3*x^2)^(7//2) + (455*asinh(sqrt(3//2)*x))/(12*sqrt(3)), x, 5),
+((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(5//2), (25*x*sqrt(2 + 3*x^2))/4 + (25*x*(2 + 3*x^2)^(3//2))/12 + (5*x*(2 + 3*x^2)^(5//2))/6 - (2 + 3*x^2)^(7//2)/21 + (25*asinh(sqrt(3//2)*x))/(2*sqrt(3)), x, 5),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^1, (7*(2275 - 691*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/64 + (7*(130 - 53*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/96 + ((39 - 5*x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/60 - (162673*asinh(sqrt(3//2)*x))/(128*sqrt(3)) - (15925*sqrt(35)*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/128, x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^2, (-7*(775 - 243*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/16 - ((310 - 153*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/24 - ((34 + x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(10*(3 + 2*x)) + (18543*sqrt(3)*asinh(sqrt(3//2)*x))/32 + (5425*sqrt(35)*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/32, x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^3, (15//64)*(859 - 267*x)*sqrt(2 + 3*x^2) + (5*(178 + 29*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(32*(3 + 2*x)) - ((29 + 2*x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(16*(3 + 2*x)^2) - (43995//128)*sqrt(3)*asinh(sqrt(3//2)*x) - (12885//128)*sqrt(35)*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))), x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^4, -((15*(119 + 37*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(8*(3 + 2*x))) + (5*(37 + 12*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(12*(3 + 2*x)^2) - ((8 + x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(6*(3 + 2*x)^3) + (1785//16)*sqrt(3)*asinh(sqrt(3//2)*x) + (3657//16)*sqrt(5//7)*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))), x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^5, (3*(6125 + 1917*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(448*(3 + 2*x)) - ((5003 + 5517*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(672*(3 + 2*x)^3) - ((19 + 4*x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(16*(3 + 2*x)^4) - (2625//128)*sqrt(3)*asinh(sqrt(3//2)*x) - (188379*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(896*sqrt(35)), x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^6, -((9*(8575 + 2643*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(19600*(3 + 2*x))) + ((6637 + 8193*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(9800*(3 + 2*x)^3) + ((23 + 76*x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(140*(3 + 2*x)^5) + (63//32)*sqrt(3)*asinh(sqrt(3//2)*x) + (789723*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(39200*sqrt(35)), x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^7, (9*(4373 + 5167*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(109760*(3 + 2*x)^2) + ((202 + 403*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(1568*(3 + 2*x)^4) + ((11 + 159*x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(420*(3 + 2*x)^6) - (9//128)*sqrt(3)*asinh(sqrt(3//2)*x) - (159759*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(219520*sqrt(35)), x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^8, -((369*(4 - 9*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(1200500*(3 + 2*x)^2)) - (41*(4 - 9*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(34300*(3 + 2*x)^4) - (41*(4 - 9*x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(7350*(3 + 2*x)^6) - (13*(2 + 3*x^2)^(7//2))/(245*(3 + 2*x)^7) - (1107*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(600250*sqrt(35)), x, 6),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^9, -((6291*(4 - 9*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(84035000*(3 + 2*x)^2)) - (699*(4 - 9*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(2401000*(3 + 2*x)^4) - (233*(4 - 9*x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(171500*(3 + 2*x)^6) - (13*(2 + 3*x^2)^(7//2))/(280*(3 + 2*x)^8) - (773*(2 + 3*x^2)^(7//2))/(68600*(3 + 2*x)^7) - (18873*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(42017500*sqrt(35)), x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^10, -((25623*(4 - 9*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(1470612500*(3 + 2*x)^2)) - (2847*(4 - 9*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(42017500*(3 + 2*x)^4) - (949*(4 - 9*x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(3001250*(3 + 2*x)^6) - (13*(2 + 3*x^2)^(7//2))/(315*(3 + 2*x)^9) - (27*(2 + 3*x^2)^(7//2))/(2450*(3 + 2*x)^8) - (4741*(2 + 3*x^2)^(7//2))/(1800750*(3 + 2*x)^7) - (76869*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(735306250*sqrt(35)), x, 8),
+(((5 - x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^11, -((1977291*(4 - 9*x)*sqrt(2 + 3*x^2))/(514714375000*(3 + 2*x)^2)) - (219699*(4 - 9*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2))/(14706125000*(3 + 2*x)^4) - (73233*(4 - 9*x)*(2 + 3*x^2)^(5//2))/(1050437500*(3 + 2*x)^6) - (13*(2 + 3*x^2)^(7//2))/(350*(3 + 2*x)^10) - (1171*(2 + 3*x^2)^(7//2))/(110250*(3 + 2*x)^9) - (4393*(2 + 3*x^2)^(7//2))/(1715000*(3 + 2*x)^8) - (739619*(2 + 3*x^2)^(7//2))/(1260525000*(3 + 2*x)^7) - (5931873*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(257357187500*sqrt(35)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^4)/sqrt(2 + 3*x^2), (1477//270)*(3 + 2*x)^2*sqrt(2 + 3*x^2) + (19//30)*(3 + 2*x)^3*sqrt(2 + 3*x^2) - (1//15)*(3 + 2*x)^4*sqrt(2 + 3*x^2) + (49//81)*(383 + 99*x)*sqrt(2 + 3*x^2) + (343*asinh(sqrt(3//2)*x))/(3*sqrt(3)), x, 5),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^3)/sqrt(2 + 3*x^2), (31//36)*(3 + 2*x)^2*sqrt(2 + 3*x^2) - (1//12)*(3 + 2*x)^3*sqrt(2 + 3*x^2) + (5//54)*(809 + 171*x)*sqrt(2 + 3*x^2) + (275*asinh(sqrt(3//2)*x))/(3*sqrt(3)), x, 4),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^2)/sqrt(2 + 3*x^2), (-(1//9))*(3 + 2*x)^2*sqrt(2 + 3*x^2) + (2//27)*(251 + 36*x)*sqrt(2 + 3*x^2) + (127*asinh(sqrt(3//2)*x))/(3*sqrt(3)), x, 3),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^1)/sqrt(2 + 3*x^2), (1//3)*(7 - x)*sqrt(2 + 3*x^2) + (47*asinh(sqrt(3//2)*x))/(3*sqrt(3)), x, 2),
+((5 - x)/sqrt(2 + 3*x^2), -sqrt(2 + 3*x^2)/3 + (5*asinh(sqrt(3//2)*x))/sqrt(3), x, 2),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^1*sqrt(2 + 3*x^2)), -asinh(sqrt(3//2)*x)/(2*sqrt(3)) - (13*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(2*sqrt(35)), x, 4),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^2*sqrt(2 + 3*x^2)), (-13*sqrt(2 + 3*x^2))/(35*(3 + 2*x)) - (41*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(35*sqrt(35)), x, 3),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^3*sqrt(2 + 3*x^2)), (-13*sqrt(2 + 3*x^2))/(70*(3 + 2*x)^2) - (281*sqrt(2 + 3*x^2))/(2450*(3 + 2*x)) - (291*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(1225*sqrt(35)), x, 4),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^4*sqrt(2 + 3*x^2)), (-13*sqrt(2 + 3*x^2))/(105*(3 + 2*x)^3) - (16*sqrt(2 + 3*x^2))/(245*(3 + 2*x)^2) - (10*sqrt(2 + 3*x^2))/(343*(3 + 2*x)) - (57*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(1715*sqrt(35)), x, 5),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^5*sqrt(2 + 3*x^2)), (-13*sqrt(2 + 3*x^2))/(140*(3 + 2*x)^4) - (97*sqrt(2 + 3*x^2))/(2100*(3 + 2*x)^3) - (87*sqrt(2 + 3*x^2))/(4900*(3 + 2*x)^2) - (991*sqrt(2 + 3*x^2))/(171500*(3 + 2*x)) + (27*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(42875*sqrt(35)), x, 6),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^6*sqrt(2 + 3*x^2)), (-13*sqrt(2 + 3*x^2))/(175*(3 + 2*x)^5) - (439*sqrt(2 + 3*x^2))/(12250*(3 + 2*x)^4) - (797*sqrt(2 + 3*x^2))/(61250*(3 + 2*x)^3) - (1611*sqrt(2 + 3*x^2))/(428750*(3 + 2*x)^2) - (10023*sqrt(2 + 3*x^2))/(15006250*(3 + 2*x)) + (19737*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(7503125*sqrt(35)), x, 7),
+
+
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^4)/(2 + 3*x^2)^(3//2), -((7*(2 - 7*x)*(3 + 2*x)^3)/(6*sqrt(2 + 3*x^2))) - (151//27)*(3 + 2*x)^2*sqrt(2 + 3*x^2) - (10//81)*(185 + 207*x)*sqrt(2 + 3*x^2) + (880*asinh(sqrt(3//2)*x))/(3*sqrt(3)), x, 4),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^3)/(2 + 3*x^2)^(3//2), -((7*(2 - 7*x)*(3 + 2*x)^2)/(6*sqrt(2 + 3*x^2))) - (2//9)*(131 + 51*x)*sqrt(2 + 3*x^2) + (134*asinh(sqrt(3//2)*x))/(3*sqrt(3)), x, 3),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^2)/(2 + 3*x^2)^(3//2), -((7*(2 - 7*x)*(3 + 2*x))/(6*sqrt(2 + 3*x^2))) - (53//9)*sqrt(2 + 3*x^2) + (8*asinh(sqrt(3//2)*x))/(3*sqrt(3)), x, 3),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^1)/(2 + 3*x^2)^(3//2), -((7*(2 - 7*x))/(6*sqrt(2 + 3*x^2))) - (2*asinh(sqrt(3//2)*x))/(3*sqrt(3)), x, 2),
+((5 - x)/(2 + 3*x^2)^(3//2), (2 + 15*x)/(6*sqrt(2 + 3*x^2)), x, 1),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^1*(2 + 3*x^2)^(3//2)), (26 + 41*x)/(70*sqrt(2 + 3*x^2)) - (26*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(35*sqrt(35)), x, 4),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^2*(2 + 3*x^2)^(3//2)), (26 + 41*x)/(70*(3 + 2*x)*sqrt(2 + 3*x^2)) + (19*sqrt(2 + 3*x^2))/(1225*(3 + 2*x)) - (632*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(1225*sqrt(35)), x, 4),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^3*(2 + 3*x^2)^(3//2)), (26 + 41*x)/(70*(3 + 2*x)^2*sqrt(2 + 3*x^2)) + (9*sqrt(2 + 3*x^2))/(245*(3 + 2*x)^2) - (331*sqrt(2 + 3*x^2))/(8575*(3 + 2*x)) - (1962*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(8575*sqrt(35)), x, 5),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^4*(2 + 3*x^2)^(3//2)), (26 + 41*x)/(70*(3 + 2*x)^3*sqrt(2 + 3*x^2)) + (23*sqrt(2 + 3*x^2))/(525*(3 + 2*x)^3) - (27*sqrt(2 + 3*x^2))/(1225*(3 + 2*x)^2) - (1051*sqrt(2 + 3*x^2))/(42875*(3 + 2*x)) - (3312*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(42875*sqrt(35)), x, 6),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^5*(2 + 3*x^2)^(3//2)), (26 + 41*x)/(70*(3 + 2*x)^4*sqrt(2 + 3*x^2)) + (58*sqrt(2 + 3*x^2))/(1225*(3 + 2*x)^4) - (298*sqrt(2 + 3*x^2))/(18375*(3 + 2*x)^3) - (708*sqrt(2 + 3*x^2))/(42875*(3 + 2*x)^2) - (14944*sqrt(2 + 3*x^2))/(1500625*(3 + 2*x)) - (30078*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(1500625*sqrt(35)), x, 7),
+
+
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^6)/(2 + 3*x^2)^(5//2), -((7*(2 - 7*x)*(3 + 2*x)^5)/(18*(2 + 3*x^2)^(3//2))) + ((3 + 2*x)^3*(158 + 2427*x))/(54*sqrt(2 + 3*x^2)) - (2639//81)*(3 + 2*x)^2*sqrt(2 + 3*x^2) - (70//243)*(2167 + 801*x)*sqrt(2 + 3*x^2) + (20720*asinh(sqrt(3//2)*x))/(27*sqrt(3)), x, 5),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^5)/(2 + 3*x^2)^(5//2), -((7*(2 - 7*x)*(3 + 2*x)^4)/(18*(2 + 3*x^2)^(3//2))) - (5*(16 - 421*x)*(3 + 2*x)^2)/(54*sqrt(2 + 3*x^2)) - (50//81)*(299 + 93*x)*sqrt(2 + 3*x^2) + (1600*asinh(sqrt(3//2)*x))/(27*sqrt(3)), x, 4),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^4)/(2 + 3*x^2)^(5//2), -((7*(2 - 7*x)*(3 + 2*x)^3)/(18*(2 + 3*x^2)^(3//2))) - ((318 - 1783*x)*(3 + 2*x))/(54*sqrt(2 + 3*x^2)) - (2027//81)*sqrt(2 + 3*x^2) - (16*asinh(sqrt(3//2)*x))/(9*sqrt(3)), x, 4),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^3)/(2 + 3*x^2)^(5//2), -((7*(2 - 7*x)*(3 + 2*x)^2)/(18*(2 + 3*x^2)^(3//2))) - (556 - 1461*x)/(54*sqrt(2 + 3*x^2)) - (8*asinh(sqrt(3//2)*x))/(9*sqrt(3)), x, 3),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^2)/(2 + 3*x^2)^(5//2), ((3 + 2*x)^2*(2 + 15*x))/(18*(2 + 3*x^2)^(3//2)) - (41*(4 - 9*x))/(54*sqrt(2 + 3*x^2)), x, 2),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^1)/(2 + 3*x^2)^(5//2), -((7*(2 - 7*x))/(18*(2 + 3*x^2)^(3//2))) + (43*x)/(18*sqrt(2 + 3*x^2)), x, 2),
+((5 - x)/(2 + 3*x^2)^(5//2), (2 + 15*x)/(18*(2 + 3*x^2)^(3//2)) + (5*x)/(6*sqrt(2 + 3*x^2)), x, 2),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^1*(2 + 3*x^2)^(5//2)), (26 + 41*x)/(210*(2 + 3*x^2)^(3//2)) + (312 + 2137*x)/(7350*sqrt(2 + 3*x^2)) - (104*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(1225*sqrt(35)), x, 5),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^2*(2 + 3*x^2)^(5//2)), (26 + 41*x)/(210*(3 + 2*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2)) + (34 + 507*x)/(1470*(3 + 2*x)*sqrt(2 + 3*x^2)) + (277*sqrt(2 + 3*x^2))/(5145*(3 + 2*x)) - (176*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(1715*sqrt(35)), x, 5),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^3*(2 + 3*x^2)^(5//2)), (26 + 41*x)/(210*(3 + 2*x)^2*(2 + 3*x^2)^(3//2)) + (4 + 419*x)/(1050*(3 + 2*x)^2*sqrt(2 + 3*x^2)) + (83*sqrt(2 + 3*x^2))/(1225*(3 + 2*x)^2) + (857*sqrt(2 + 3*x^2))/(128625*(3 + 2*x)) - (3072*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(42875*sqrt(35)), x, 6),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^4*(2 + 3*x^2)^(5//2)), (26 + 41*x)/(210*(3 + 2*x)^3*(2 + 3*x^2)^(3//2)) - (114 - 3331*x)/(7350*(3 + 2*x)^3*sqrt(2 + 3*x^2)) + (1471*sqrt(2 + 3*x^2))/(18375*(3 + 2*x)^3) + (541*sqrt(2 + 3*x^2))/(42875*(3 + 2*x)^2) - (5987*sqrt(2 + 3*x^2))/(1500625*(3 + 2*x)) - (55344*atanh((4 - 9*x)/(sqrt(35)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(1500625*sqrt(35)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (A+B x) (a+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2)*(a + c*x^2), -((2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4)) + (2*(3*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4) - (2*c*(3*B*d - A*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4) + (2*B*c*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^4), x, 2),
+((A + B*x)*sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2), -((2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4)) + (2*(3*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4) - (2*c*(3*B*d - A*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4) + (2*B*c*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/sqrt(d + e*x), -((2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^4) + (2*(3*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4) - (2*c*(3*B*d - A*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4) + (2*B*c*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/(d + e*x)^(3//2), (2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2))/(e^4*sqrt(d + e*x)) + (2*(3*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^4 - (2*c*(3*B*d - A*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4) + (2*B*c*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/(d + e*x)^(5//2), (2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2))/(3*e^4*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(3*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2))/(e^4*sqrt(d + e*x)) - (2*c*(3*B*d - A*e)*sqrt(d + e*x))/e^4 + (2*B*c*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2))/(d + e*x)^(7//2), (2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2))/(5*e^4*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(3*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2))/(3*e^4*(d + e*x)^(3//2)) + (2*c*(3*B*d - A*e))/(e^4*sqrt(d + e*x)) + (2*B*c*sqrt(d + e*x))/e^4, x, 2),
+
+
+((A + B*x)*sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^2, -((2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6)) + (2*(c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6) - (4*c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) + (4*c*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) - (2*c^2*(5*B*d - A*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6) + (2*B*c^2*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^6), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/sqrt(d + e*x), -((2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x))/e^6) + (2*(c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) - (4*c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6) + (4*c*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) - (2*c^2*(5*B*d - A*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) + (2*B*c^2*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/(d + e*x)^(3//2), (2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(e^6*sqrt(d + e*x)) + (2*(c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^6 - (4*c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) + (4*c*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6) - (2*c^2*(5*B*d - A*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) + (2*B*c^2*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/(d + e*x)^(5//2), (2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(3*e^6*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2))/(e^6*sqrt(d + e*x)) - (4*c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*sqrt(d + e*x))/e^6 + (4*c*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) - (2*c^2*(5*B*d - A*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6) + (2*B*c^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/(d + e*x)^(7//2), (2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(5*e^6*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2))/(3*e^6*(d + e*x)^(3//2)) + (4*c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(e^6*sqrt(d + e*x)) + (4*c*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^6 - (2*c^2*(5*B*d - A*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) + (2*B*c^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^2)/(d + e*x)^(9//2), (2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2)/(7*e^6*(d + e*x)^(7//2)) - (2*(c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2))/(5*e^6*(d + e*x)^(5//2)) + (4*c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(3*e^6*(d + e*x)^(3//2)) - (4*c*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2))/(e^6*sqrt(d + e*x)) - (2*c^2*(5*B*d - A*e)*sqrt(d + e*x))/e^6 + (2*B*c^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6), x, 2),
+
+
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/sqrt(d + e*x), (-2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3*sqrt(d + e*x))/e^8 + (2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^8) - (6*c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^8) - (2*c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4))*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8) - (2*c^2*(35*B*c*d^3 - 15*A*c*d^2*e + 15*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8) + (6*c^2*(7*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) - (2*c^3*(7*B*d - A*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8) + (2*B*c^3*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^8), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/(d + e*x)^(3//2), (2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3)/(e^8*sqrt(d + e*x)) + (2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^8 - (2*c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*(d + e*x)^(3//2))/e^8 - (2*c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4))*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^8) - (2*c^2*(35*B*c*d^3 - 15*A*c*d^2*e + 15*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8) + (2*c^2*(7*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^8) - (2*c^3*(7*B*d - A*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) + (2*B*c^3*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/(d + e*x)^(5//2), (2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3)/(3*e^8*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2))/(e^8*sqrt(d + e*x)) - (6*c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*sqrt(d + e*x))/e^8 - (2*c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4))*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^8) - (2*c^2*(35*B*c*d^3 - 15*A*c*d^2*e + 15*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^8) + (6*c^2*(7*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8) - (2*c^3*(7*B*d - A*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8) + (2*B*c^3*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/(d + e*x)^(7//2), (2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3)/(5*e^8*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2))/(3*e^8*(d + e*x)^(3//2)) + (6*c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(e^8*sqrt(d + e*x)) - (2*c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4))*sqrt(d + e*x))/e^8 - (2*c^2*(35*B*c*d^3 - 15*A*c*d^2*e + 15*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^8) + (6*c^2*(7*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^8) - (2*c^3*(7*B*d - A*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8) + (2*B*c^3*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/(d + e*x)^(9//2), (2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3)/(7*e^8*(d + e*x)^(7//2)) - (2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2))/(5*e^8*(d + e*x)^(5//2)) + (2*c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(e^8*(d + e*x)^(3//2)) + (2*c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)))/(e^8*sqrt(d + e*x)) - (2*c^2*(35*B*c*d^3 - 15*A*c*d^2*e + 15*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3)*sqrt(d + e*x))/e^8 + (2*c^2*(7*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/e^8 - (2*c^3*(7*B*d - A*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^8) + (2*B*c^3*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8), x, 2),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^3)/(d + e*x)^(11//2), (2*(B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3)/(9*e^8*(d + e*x)^(9//2)) - (2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2))/(7*e^8*(d + e*x)^(7//2)) + (6*c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3))/(5*e^8*(d + e*x)^(5//2)) + (2*c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)))/(3*e^8*(d + e*x)^(3//2)) + (2*c^2*(35*B*c*d^3 - 15*A*c*d^2*e + 15*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3))/(e^8*sqrt(d + e*x)) + (6*c^2*(7*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^8 - (2*c^3*(7*B*d - A*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^8) + (2*B*c^3*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^8), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a - c*x^2), (-2*(B*c*d^2 + 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*sqrt(d + e*x))/c^2 - (2*(B*d + A*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*c) - (2*B*(d + e*x)^(5//2))/(5*c) + ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(5//2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*c^(9//4)) + ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(5//2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*c^(9//4)), x, 7),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a - c*x^2), (-2*(B*d + A*e)*sqrt(d + e*x))/c - (2*B*(d + e*x)^(3//2))/(3*c) + ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(3//2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*c^(7//4)) + ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(3//2)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*c^(7//4)), x, 6),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(1//2))/(a - c*x^2), (-2*B*sqrt(d + e*x))/c + ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*c^(5//4)) + ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*c^(5//4)), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(1//2)*(a - c*x^2)), ((B - (A*sqrt(c))/sqrt(a))*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(c^(3//4)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)) + ((B + (A*sqrt(c))/sqrt(a))*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(c^(3//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)), x, 4),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(3//2)*(a - c*x^2)), (-2*(B*d - A*e))/((c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x)) + ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*c^(1//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(3//2)) + ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*c^(1//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(3//2)), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(5//2)*(a - c*x^2)), (-2*(B*d - A*e))/(3*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2))/((c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) + ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*c^(1//4)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(5//2)) + ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*c^(1//4)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(sqrt(a)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(5//2)), x, 6),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a - c*x^2)^2, (e*(A*c*d + 5*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(2*a*c^2) + ((d + e*x)^(3//2)*(a*(B*d + A*e) + (A*c*d + a*B*e)*x))/(2*a*c*(a - c*x^2)) - ((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(3//2)*(2*A*c*d - 5*a*B*e + 3*sqrt(a)*A*sqrt(c)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*c^(9//4)) + ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(3//2)*(2*A*c*d - 5*a*B*e - 3*sqrt(a)*A*sqrt(c)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*c^(9//4)), x, 6),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a - c*x^2)^2, (sqrt(d + e*x)*(a*(B*d + A*e) + (A*c*d + a*B*e)*x))/(2*a*c*(a - c*x^2)) - (sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(2*A*c*d - 3*a*B*e + sqrt(a)*A*sqrt(c)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*c^(7//4)) + (sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(2*A*c*d - 3*a*B*e - sqrt(a)*A*sqrt(c)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*c^(7//4)), x, 5),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(1//2))/(a - c*x^2)^2, ((a*B + A*c*x)*sqrt(d + e*x))/(2*a*c*(a - c*x^2)) - ((2*A*c*d - a*B*e - sqrt(a)*A*sqrt(c)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*c^(5//4)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)) + ((2*A*c*d - a*B*e + sqrt(a)*A*sqrt(c)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*c^(5//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(1//2)*(a - c*x^2)^2), (sqrt(d + e*x)*(a*(B*d - A*e) + (A*c*d - a*B*e)*x))/(2*a*(c*d^2 - a*e^2)*(a - c*x^2)) - ((2*A*c*d + a*B*e - 3*sqrt(a)*A*sqrt(c)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*c^(3//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(3//2)) + ((2*A*c*d + a*B*e + 3*sqrt(a)*A*sqrt(c)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*c^(3//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(3//2)), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(3//2)*(a - c*x^2)^2), -(e*(A*c*d^2 - 6*a*B*d*e + 5*a*A*e^2))/(2*a*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) + (a*(B*d - A*e) + (A*c*d - a*B*e)*x)/(2*a*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x)*(a - c*x^2)) - ((2*A*c*d + 3*a*B*e - 5*sqrt(a)*A*sqrt(c)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*c^(1//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(5//2)) + ((2*A*c*d + 3*a*B*e + 5*sqrt(a)*A*sqrt(c)*e)*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(4*a^(3//2)*c^(1//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(5//2)), x, 6),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2))/(a - c*x^2)^3, ((d + e*x)^(5//2)*(a*(B*d + A*e) + (A*c*d + a*B*e)*x))/(4*a*c*(a - c*x^2)^2) + (sqrt(d + e*x)*(a*e*(7*A*c*d^2 - 14*a*B*d*e - 5*a*A*e^2) + (2*A*c*d*(3*c*d^2 - 2*a*e^2) - 7*a*B*e*(c*d^2 + a*e^2))*x))/(16*a^2*c^2*(a - c*x^2)) + ((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(3//2)*(7*a*B*e*(2*sqrt(c)*d + 3*sqrt(a)*e) - A*(12*c^(3//2)*d^2 + 18*sqrt(a)*c*d*e + 5*a*sqrt(c)*e^2))*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(11//4)) - ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(3//2)*(7*a*B*e*(2*sqrt(c)*d - 3*sqrt(a)*e) - A*(12*c^(3//2)*d^2 - 18*sqrt(a)*c*d*e + 5*a*sqrt(c)*e^2))*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(11//4)), x, 6),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a - c*x^2)^3, ((d + e*x)^(3//2)*(a*(B*d + A*e) + (A*c*d + a*B*e)*x))/(4*a*c*(a - c*x^2)^2) + (sqrt(d + e*x)*(a*e*(3*A*c*d - 5*a*B*e) + c*(6*A*c*d^2 - a*e*(5*B*d + 3*A*e))*x))/(16*a^2*c^2*(a - c*x^2)) + (sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(5*a*B*e*(2*sqrt(c)*d + sqrt(a)*e) - 3*A*(4*c^(3//2)*d^2 + 2*sqrt(a)*c*d*e - a*sqrt(c)*e^2))*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(9//4)) - (sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(5*a*B*e*(2*sqrt(c)*d - sqrt(a)*e) - A*(12*c^(3//2)*d^2 - 6*sqrt(a)*c*d*e - 3*a*sqrt(c)*e^2))*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(9//4)), x, 6),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a - c*x^2)^3, (sqrt(d + e*x)*(a*(B*d + A*e) + (A*c*d + a*B*e)*x))/(4*a*c*(a - c*x^2)^2) - (sqrt(d + e*x)*(a*A*e - 3*(2*A*c*d - a*B*e)*x))/(16*a^2*c*(a - c*x^2)) + (3*(a*B*e*(2*sqrt(c)*d - sqrt(a)*e) - A*(4*c^(3//2)*d^2 - 2*sqrt(a)*c*d*e - a*sqrt(c)*e^2))*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(7//4)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)) - (3*(a*B*e*(2*sqrt(c)*d + sqrt(a)*e) - A*(4*c^(3//2)*d^2 + 2*sqrt(a)*c*d*e - a*sqrt(c)*e^2))*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(7//4)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)), x, 6),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(1//2))/(a - c*x^2)^3, ((a*B + A*c*x)*sqrt(d + e*x))/(4*a*c*(a - c*x^2)^2) - (sqrt(d + e*x)*(a*e*(A*c*d - a*B*e) - c*(6*A*c*d^2 - a*B*d*e - 5*a*A*e^2)*x))/(16*a^2*c*(c*d^2 - a*e^2)*(a - c*x^2)) + ((a*B*e*(2*sqrt(c)*d - 3*sqrt(a)*e) - A*(12*c^(3//2)*d^2 - 18*sqrt(a)*c*d*e + 5*a*sqrt(c)*e^2))*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(5//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(3//2)) - ((a*B*e*(2*sqrt(c)*d + 3*sqrt(a)*e) - A*(12*c^(3//2)*d^2 + 18*sqrt(a)*c*d*e + 5*a*sqrt(c)*e^2))*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(5//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(3//2)), x, 6),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(1//2)*(a - c*x^2)^3), (sqrt(d + e*x)*(a*(B*d - A*e) + (A*c*d - a*B*e)*x))/(4*a*(c*d^2 - a*e^2)*(a - c*x^2)^2) - (sqrt(d + e*x)*(a*e*(A*c*d^2 + 6*a*B*d*e - 7*a*A*e^2) - (6*A*c*d*(c*d^2 - 2*a*e^2) + a*B*e*(c*d^2 + 5*a*e^2))*x))/(16*a^2*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a - c*x^2)) - ((a*B*e*(2*sqrt(c)*d - 5*sqrt(a)*e) + 3*A*(4*c^(3//2)*d^2 - 10*sqrt(a)*c*d*e + 7*a*sqrt(c)*e^2))*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(3//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^(5//2)) + ((a*B*e*(2*sqrt(c)*d + 5*sqrt(a)*e) + 3*A*(4*c^(3//2)*d^2 + 10*sqrt(a)*c*d*e + 7*a*sqrt(c)*e^2))*atanh((c^(1//4)*sqrt(d + e*x))/sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)))/(32*a^(5//2)*c^(3//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^(5//2)), x, 6),
+
+
+((A + B*x)/(sqrt(d + e*x)*(2*A*B*d - A^2*e - B^2*e*x^2)), -(log(B*d - A*e - sqrt(2)*sqrt(B)*sqrt(2*B*d - A*e)*sqrt(d + e*x) + B*(d + e*x))/(sqrt(2)*sqrt(B)*e*sqrt(2*B*d - A*e))) + log(B*d - A*e + sqrt(2)*sqrt(B)*sqrt(2*B*d - A*e)*sqrt(d + e*x) + B*(d + e*x))/(sqrt(2)*sqrt(B)*e*sqrt(2*B*d - A*e)), x, 4),
+((A + B*x)/(sqrt((A^2*e - B^2*e)/(2*A*B) + e*x)*(1 + x^2)), -((sqrt(2)*sqrt(A)*sqrt(B)*atan(A/B - (sqrt(A)*sqrt(e*(A/B - B/A + 2*x)))/(sqrt(B)*sqrt(e))))/sqrt(e)) + (sqrt(2)*sqrt(A)*sqrt(B)*atan(A/B + (sqrt(A)*sqrt(e*(A/B - B/A + 2*x)))/(sqrt(B)*sqrt(e))))/sqrt(e), x, 6),
+
+
+((A + B*x)/(sqrt(d + e*x)*(1 - x^2)), -(((A - B)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d - e)))/sqrt(d - e)) + ((A + B)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d + e)))/sqrt(d + e), x, 4),
+((A + B*x)/(sqrt(d + e*x)*(1 + x^2)), ((A*e - B*(d - sqrt(d^2 + e^2)))*atanh((sqrt(d + sqrt(d^2 + e^2)) - sqrt(2)*sqrt(d + e*x))/sqrt(d - sqrt(d^2 + e^2))))/(sqrt(2)*sqrt(d^2 + e^2)*sqrt(d - sqrt(d^2 + e^2))) - ((A*e - B*(d - sqrt(d^2 + e^2)))*atanh((sqrt(d + sqrt(d^2 + e^2)) + sqrt(2)*sqrt(d + e*x))/sqrt(d - sqrt(d^2 + e^2))))/(sqrt(2)*sqrt(d^2 + e^2)*sqrt(d - sqrt(d^2 + e^2))) - ((A*e - B*(d + sqrt(d^2 + e^2)))*log(d + sqrt(d^2 + e^2) + e*x - sqrt(2)*sqrt(d + sqrt(d^2 + e^2))*sqrt(d + e*x)))/(2*sqrt(2)*sqrt(d^2 + e^2)*sqrt(d + sqrt(d^2 + e^2))) + ((A*e - B*(d + sqrt(d^2 + e^2)))*log(d + sqrt(d^2 + e^2) + e*x + sqrt(2)*sqrt(d + sqrt(d^2 + e^2))*sqrt(d + e*x)))/(2*sqrt(2)*sqrt(d^2 + e^2)*sqrt(d + sqrt(d^2 + e^2))), x, 10),
+
+
+(((1 - x)*sqrt(1 + x))/(1 + x^2), -2*sqrt(1 + x) - sqrt(1 + sqrt(2))*atan((sqrt(2*(1 + sqrt(2))) - 2*sqrt(1 + x))/sqrt(2*(-1 + sqrt(2)))) + sqrt(1 + sqrt(2))*atan((sqrt(2*(1 + sqrt(2))) + 2*sqrt(1 + x))/sqrt(2*(-1 + sqrt(2)))) - log(1 + sqrt(2) + x - sqrt(2*(1 + sqrt(2)))*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(1 + sqrt(2))) + log(1 + sqrt(2) + x + sqrt(2*(1 + sqrt(2)))*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(1 + sqrt(2))), x, 12),
+
+
+((3 + x)/(sqrt(4 + 3*x)*(1 + x^2)), (-sqrt(2))*atan(3 - sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x)) + sqrt(2)*atan(3 + sqrt(8 + 6*x)), x, 6),
+((1 - 3*x)/(sqrt(4 + 3*x)*(1 + x^2)), -(log(3 + x - sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x))/sqrt(2)) + log(3 + x + sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x))/sqrt(2), x, 4),
+((2 + x)/(sqrt(3 + 4*x)*(1 + x^2)), -atan(2 - sqrt(3 + 4*x)) + atan(2 + sqrt(3 + 4*x)), x, 6),
+# {(-2 + x)/(Sqrt[-3 + x]*(-8 + x^2)), x, 4, ArcTan[(-1 + Sqrt[2])*Sqrt[-3 + x]]/Sqrt[2] + ArcTan[(1 + Sqrt[2])*Sqrt[-3 + x]]/Sqrt[2], ArcTan[Sqrt[-3 + x]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]]/Sqrt[2] + ArcTan[Sqrt[-3 + x]/Sqrt[3 + 2*Sqrt[2]]]/Sqrt[2]}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (A+B x) (a+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((A + B*x)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2), -((2*sqrt(d + e*x)*(4*B*c*d^2 - 7*A*c*d*e + 5*a*B*e^2 - 3*c*e*(B*d + 7*A*e)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(105*c*e^2)) + (2*B*sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(7*c) - (4*sqrt(-a)*(4*B*c*d^3 - 7*A*c*d^2*e + 8*a*B*d*e^2 + 21*a*A*e^3)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(105*sqrt(c)*e^3*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (4*sqrt(-a)*(c*d^2 + a*e^2)*(4*B*c*d^2 - 7*A*c*d*e + 5*a*B*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(105*c^(3//2)*e^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(((A + B*x)*sqrt(a + c*x^2))/sqrt(d + e*x), -((2*sqrt(d + e*x)*(4*B*d - 5*A*e - 3*B*e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(15*e^2)) - (4*sqrt(-a)*(4*B*c*d^2 - 5*A*c*d*e + 3*a*B*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(15*sqrt(c)*e^3*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (4*sqrt(-a)*(4*B*d - 5*A*e)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(15*sqrt(c)*e^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(d + e*x)^(3//2), (2*(4*B*d - 3*A*e + B*e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*e^2*sqrt(d + e*x)) + (4*sqrt(-a)*sqrt(c)*(4*B*d - 3*A*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(3*e^3*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (4*sqrt(-a)*(4*B*c*d^2 - 3*A*c*d*e + a*B*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(3*sqrt(c)*e^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(a + c*x^2))/(d + e*x)^(5//2), -((2*(4*B*c*d^3 - A*c*d^2*e + 2*a*B*d*e^2 + a*A*e^3 + e*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + 3*a*B*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*e^2*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))) - (4*sqrt(-a)*sqrt(c)*(4*B*c*d^2 - A*c*d*e + 3*a*B*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(3*e^3*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (4*sqrt(-a)*sqrt(c)*(4*B*d - A*e)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(3*e^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+
+
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/sqrt(d + e*x), -((4*sqrt(d + e*x)*(32*B*c*d^3 - 36*A*c*d^2*e + 33*a*B*d*e^2 - 45*a*A*e^3 - 3*e*(8*B*c*d^2 - 9*A*c*d*e + 7*a*B*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(315*e^4)) - (2*sqrt(d + e*x)*(8*B*d - 9*A*e - 7*B*e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(63*e^2) + (8*sqrt(-a)*(36*A*c*d*e*(c*d^2 + 2*a*e^2) - B*(32*c^2*d^4 + 57*a*c*d^2*e^2 + 21*a^2*e^4))*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(315*sqrt(c)*e^5*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (8*sqrt(-a)*(c*d^2 + a*e^2)*(32*B*c*d^3 - 36*A*c*d^2*e + 33*a*B*d*e^2 - 45*a*A*e^3)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(315*sqrt(c)*e^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(3//2), (4*sqrt(d + e*x)*(5*a*B*e^2 + 4*c*d*(8*B*d - 7*A*e) - 3*c*e*(8*B*d - 7*A*e)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(35*e^4) + (2*(8*B*d - 7*A*e + B*e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(7*e^2*sqrt(d + e*x)) + (8*sqrt(-a)*sqrt(c)*(32*B*c*d^3 - 28*A*c*d^2*e + 29*a*B*d*e^2 - 21*a*A*e^3)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(35*e^5*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (8*sqrt(-a)*(c*d^2 + a*e^2)*(32*B*c*d^2 - 28*A*c*d*e + 5*a*B*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(35*sqrt(c)*e^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(5//2), -((4*(9*a*B*e^2 + 4*c*d*(8*B*d - 5*A*e) + c*e*(8*B*d - 5*A*e)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(15*e^4*sqrt(d + e*x))) + (2*(8*B*d - 5*A*e + 3*B*e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(15*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - (8*sqrt(-a)*sqrt(c)*(9*a*B*e^2 + 4*c*d*(8*B*d - 5*A*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(15*e^5*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (8*sqrt(-a)*sqrt(c)*(32*B*c*d^3 - 20*A*c*d^2*e + 17*a*B*d*e^2 - 5*a*A*e^3)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(15*e^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(7//2), (4*c*(32*B*c*d^3 - 12*A*c*d^2*e + 29*a*B*d*e^2 - 9*a*A*e^3 + e*(8*B*c*d^2 - 3*A*c*d*e + 5*a*B*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(15*e^4*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x)) - (2*(2*B*(4*c*d^3 + a*d*e^2) - 3*A*(c*d^2*e - a*e^3) + e*(11*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + 5*a*B*e^2)*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(15*e^2*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2)) + (8*sqrt(-a)*c^(3//2)*(32*B*c*d^3 - 12*A*c*d^2*e + 29*a*B*d*e^2 - 9*a*A*e^3)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(15*e^5*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (8*sqrt(-a)*sqrt(c)*(32*B*c*d^2 - 12*A*c*d*e + 5*a*B*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(15*e^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/sqrt(a + c*x^2), (2*(3*B*d + 5*A*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(15*c) + (2*B*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2))/(5*c) - (2*sqrt(-a)*(3*B*c*d^2 + 20*A*c*d*e - 9*a*B*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(15*c^(3//2)*e*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (2*sqrt(-a)*(3*B*d + 5*A*e)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(15*c^(3//2)*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(((A + B*x)*sqrt(d + e*x))/sqrt(a + c*x^2), (2*B*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*c) - (2*sqrt(-a)*(B*d + 3*A*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(3*sqrt(c)*e*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (2*sqrt(-a)*B*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(3*c^(3//2)*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+((A + B*x)/(sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), -((2*sqrt(-a)*B*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(sqrt(c)*e*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2))) + (2*sqrt(-a)*(B*d - A*e)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(sqrt(c)*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2)), (2*(B*d - A*e)*sqrt(a + c*x^2))/((c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(-a)*sqrt(c)*(B*d - A*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(e*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) - (2*sqrt(-a)*B*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(sqrt(c)*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a + c*x^2)^(3//2), -((sqrt(d + e*x)*(a*(B*d + A*e) - (A*c*d - a*B*e)*x))/(a*c*sqrt(a + c*x^2))) - ((A*c*d - 3*a*B*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(sqrt(-a)*c^(3//2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (A*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(sqrt(-a)*c^(3//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(d + e*x))/(a + c*x^2)^(3//2), -(((a*B - A*c*x)*sqrt(d + e*x))/(a*c*sqrt(a + c*x^2))) - (A*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + ((A*c*d + a*B*e)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(sqrt(-a)*c^(3//2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+((A + B*x)/(sqrt(d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2)), -((sqrt(d + e*x)*(a*(B*d - A*e) - (A*c*d + a*B*e)*x))/(a*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))) - ((A*c*d + a*B*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(sqrt(-a)*sqrt(c)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(a + c*x^2)) + (A*sqrt((sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*e)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*d - a*e))))/(sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x) (a+c x^2)^p when m is symbolic
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^m*(a + c*x^2)^3, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^(1 + m))/(e^8*(1 + m))) + ((c*d^2 + a*e^2)^2*(7*B*c*d^2 - 6*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^8*(2 + m)) - (3*c*(c*d^2 + a*e^2)*(7*B*c*d^3 - 5*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^8*(3 + m)) - (c*(4*A*c*d*e*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) - B*(35*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4))*(d + e*x)^(4 + m))/(e^8*(4 + m)) - (c^2*(35*B*c*d^3 - 15*A*c*d^2*e + 15*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3)*(d + e*x)^(5 + m))/(e^8*(5 + m)) + (3*c^2*(7*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(6 + m))/(e^8*(6 + m)) - (c^3*(7*B*d - A*e)*(d + e*x)^(7 + m))/(e^8*(7 + m)) + (B*c^3*(d + e*x)^(8 + m))/(e^8*(8 + m)), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^m*(a + c*x^2)^2, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^(1 + m))/(e^6*(1 + m))) + ((c*d^2 + a*e^2)*(5*B*c*d^2 - 4*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^6*(2 + m)) - (2*c*(5*B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^6*(3 + m)) + (2*c*(5*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(4 + m))/(e^6*(4 + m)) - (c^2*(5*B*d - A*e)*(d + e*x)^(5 + m))/(e^6*(5 + m)) + (B*c^2*(d + e*x)^(6 + m))/(e^6*(6 + m)), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^m*(a + c*x^2)^1, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^4*(1 + m))) + ((3*B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + a*B*e^2)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^4*(2 + m)) - (c*(3*B*d - A*e)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^4*(3 + m)) + (B*c*(d + e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^m/(a + c*x^2)^1, -(((a*B + sqrt(-a)*A*sqrt(c))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(2*a*sqrt(c)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(1 + m))) - ((A + (sqrt(-a)*B)/sqrt(c))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(2*sqrt(-a)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(1 + m)), x, 4),
+((A + B*x)*(d + e*x)^m/(a + c*x^2)^2, -(((d + e*x)^(1 + m)*(a*(B*d - A*e) - (A*c*d + a*B*e)*x))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2))) + ((a*e*(A*c*d + a*B*e)*m - sqrt(-a)*sqrt(c)*(A*(c*d^2 + a*e^2*(1 - m)) + a*B*d*e*m))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(4*a^2*sqrt(c)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + m)) + ((a*e*(A*c*d + a*B*e)*m + sqrt(-a)*sqrt(c)*(A*(c*d^2 + a*e^2*(1 - m)) + a*B*d*e*m))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(4*a^2*sqrt(c)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + m)), x, 5),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^(m + 1)/(a + c*x^2), -(((a*B + sqrt(-a)*A*sqrt(c))*(d + e*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2 + m, 3 + m, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(2*a*sqrt(c)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(2 + m))) - ((A + (sqrt(-a)*B)/sqrt(c))*(d + e*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2 + m, 3 + m, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(2*sqrt(-a)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(2 + m)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x) (a+c x^2)^p when p is symbolic
+
+
+((d + e*x)^(-3 - 2*p)*(-a*e + c*d*x)*(a + c*x^2)^p, (a + c*x^2)^(1 + p)/((d + e*x)^(2*(1 + p))*(2*(1 + p))), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p when 2 c f-b g=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (b+2 c x) (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^4*(a + b*x + c*x^2), -((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^5)/(5*e^4) + ((6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*(d + e*x)^6)/(6*e^4) - (3*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^4) + (c^2*(d + e*x)^8)/(4*e^4), x, 2),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2), -((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^4)/(4*e^4) + ((6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*(d + e*x)^5)/(5*e^4) - (c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^6)/(2*e^4) + (2*c^2*(d + e*x)^7)/(7*e^4), x, 2),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2), -((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^3)/(3*e^4) + ((6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*(d + e*x)^4)/(4*e^4) - (3*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^4) + (c^2*(d + e*x)^6)/(3*e^4), x, 2),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2), a*b*d*x + ((b^2*d + 2*a*c*d + a*b*e)*x^2)/2 + ((3*b*c*d + b^2*e + 2*a*c*e)*x^3)/3 + (c*(2*c*d + 3*b*e)*x^4)/4 + (2*c^2*e*x^5)/5, x, 2),
+((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2), (a + b*x + c*x^2)^2//2, x, 1),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^1, ((2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d - 2*a*e))*x)/e^3 - (c*(2*c*d - 3*b*e)*x^2)/(2*e^2) + (2*c^2*x^3)/(3*e) - ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^2, -((c*(4*c*d - 3*b*e)*x)/e^3) + (c^2*x^2)/e^2 + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(e^4*(d + e*x)) + ((6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^3, (2*c^2*x)/e^3 + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(2*e^4*(d + e*x)^2) - (6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))/(e^4*(d + e*x)) - (3*c*(2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^4, ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(3*e^4*(d + e*x)^3) - (6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))/(2*e^4*(d + e*x)^2) + (3*c*(2*c*d - b*e))/(e^4*(d + e*x)) + (2*c^2*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^5, ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(4*e^4*(d + e*x)^4) - (6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))/(3*e^4*(d + e*x)^3) + (3*c*(2*c*d - b*e))/(2*e^4*(d + e*x)^2) - (2*c^2)/(e^4*(d + e*x)), x, 2),
+
+
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^2, -((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^5)/(5*e^6) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^6)/(3*e^6) - ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^7)/(7*e^6) + (c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^8)/(2*e^6) - (5*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^9)/(9*e^6) + (c^3*(d + e*x)^10)/(5*e^6), x, 2),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^2, -((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^4)/(4*e^6) + (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^5)/(5*e^6) - ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^6)/(6*e^6) + (4*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^7)/(7*e^6) - (5*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^8)/(8*e^6) + (2*c^3*(d + e*x)^9)/(9*e^6), x, 2),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^2, -(((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^3)/(3*e^6)) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^4)/(2*e^6) - ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^5)/(5*e^6) + (2*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^6)/(3*e^6) - (5*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^6) + (c^3*(d + e*x)^8)/(4*e^6), x, 2),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^2, a^2*b*d*x + (1//2)*a*(2*b^2*d + 2*a*c*d + a*b*e)*x^2 + (1//3)*(b^3*d + 6*a*b*c*d + 2*a*b^2*e + 2*a^2*c*e)*x^3 + (1//4)*(4*b^2*c*d + 4*a*c^2*d + b^3*e + 6*a*b*c*e)*x^4 + (1//5)*c*(5*b*c*d + 4*b^2*e + 4*a*c*e)*x^5 + (1//6)*c^2*(2*c*d + 5*b*e)*x^6 + (2//7)*c^3*e*x^7, x, 2),
+((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^2, (a + b*x + c*x^2)^3//3, x, 1),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^1, (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*x)/e^5 - ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^2)/(2*e^6) + (4*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^3)/(3*e^6) - (5*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^4)/(4*e^6) + (2*c^3*(d + e*x)^5)/(5*e^6) - ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^2, -(((8*c^3*d^3 - b^3*e^3 - c^2*d*e*(15*b*d - 8*a*e) + 2*b*c*e^2*(4*b*d - 3*a*e))*x)/e^5) + (c*(3*c^2*d^2 + 2*b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - 2*a*e))*x^2)/e^4 - (c^2*(4*c*d - 5*b*e)*x^3)/(3*e^3) + (c^3*x^4)/(2*e^2) + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(e^6*(d + e*x)) + (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^3, (c*(12*c^2*d^2 + 4*b^2*e^2 - c*e*(15*b*d - 4*a*e))*x)/e^5 - (c^2*(6*c*d - 5*b*e)*x^2)/(2*e^4) + (2*c^3*x^3)/(3*e^3) + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(2*e^6*(d + e*x)^2) - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(e^6*(d + e*x)) - ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^4, -((c^2*(8*c*d - 5*b*e)*x)/e^5) + (c^3*x^2)/e^4 + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(3*e^6*(d + e*x)^3) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(e^6*(d + e*x)^2) + ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)))/(e^6*(d + e*x)) + (4*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^5, (2*c^3*x)/e^5 + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(4*e^6*(d + e*x)^4) - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(3*e^6*(d + e*x)^3) + ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)))/(2*e^6*(d + e*x)^2) - (4*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(e^6*(d + e*x)) - (5*c^2*(2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+
+
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^3, -((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^5)/(5*e^8) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^6)/(6*e^8) - (3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^7)/(7*e^8) + ((70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^8)/(8*e^8) - (5*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^9)/(9*e^8) + (3*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^10)/(10*e^8) - (7*c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^11)/(11*e^8) + (c^4*(d + e*x)^12)/(6*e^8), x, 2),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^3, -((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^4)/(4*e^8) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^5)/(5*e^8) - ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^6)/(2*e^8) + ((70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^7)/(7*e^8) - (5*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^8)/(8*e^8) + (c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^9)/(3*e^8) - (7*c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^10)/(10*e^8) + (2*c^4*(d + e*x)^11)/(11*e^8), x, 2),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^3, -(((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^3)/(3*e^8)) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^4)/(4*e^8) - (3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^5)/(5*e^8) + ((70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^6)/(6*e^8) - (5*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^7)/(7*e^8) + (3*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^8)/(8*e^8) - (7*c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^9)/(9*e^8) + (c^4*(d + e*x)^10)/(5*e^8), x, 2),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^3, a^3*b*d*x + (1//2)*a^2*(3*b^2*d + 2*a*c*d + a*b*e)*x^2 + (1//3)*a*(3*b^3*d + 9*a*b*c*d + 3*a*b^2*e + 2*a^2*c*e)*x^3 + (1//4)*(b^4*d + 12*a*b^2*c*d + 6*a^2*c^2*d + 3*a*b^3*e + 9*a^2*b*c*e)*x^4 + (1//5)*(5*b^3*c*d + 15*a*b*c^2*d + b^4*e + 12*a*b^2*c*e + 6*a^2*c^2*e)*x^5 + (1//6)*c*(9*b^2*c*d + 6*a*c^2*d + 5*b^3*e + 15*a*b*c*e)*x^6 + (1//7)*c^2*(7*b*c*d + 9*b^2*e + 6*a*c*e)*x^7 + (1//8)*c^3*(2*c*d + 7*b*e)*x^8 + (2//9)*c^4*e*x^9, x, 2),
+((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^3, (a + b*x + c*x^2)^4//4, x, 1),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/(d + e*x)^1, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*x)/e^7 - (3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^2)/(2*e^8) + ((70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^3)/(3*e^8) - (5*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^4)/(4*e^8) + (3*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^5)/(5*e^8) - (7*c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^8) + (2*c^4*(d + e*x)^7)/(7*e^8) - ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/(d + e*x)^2, (-3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*x)/e^7 + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(e^8*(d + e*x)) + ((70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^2)/(2*e^8) - (5*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^3)/(3*e^8) + (3*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^4)/(4*e^8) - (7*c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^8) + (c^4*(d + e*x)^6)/(3*e^8) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/(d + e*x)^3, ((30*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 2*c^3*d^2*e*(35*b*d - 18*a*e) - 3*b^2*c*e^3*(5*b*d - 4*a*e) + 3*c^2*e^2*(18*b^2*d^2 - 15*a*b*d*e + 2*a^2*e^2))*x)/e^7 - (c*(20*c^3*d^3 - 5*b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(9*b*d - 5*a*e) - 6*c^2*d*e*(7*b*d - 3*a*e))*x^2)/(2*e^6) + (c^2*(4*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 2*a*e))*x^3)/e^5 - (c^3*(6*c*d - 7*b*e)*x^4)/(4*e^4) + (2*c^4*x^5)/(5*e^3) + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(2*e^8*(d + e*x)^2) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e)))/(e^8*(d + e*x)) - (3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/(d + e*x)^4, -((c*(40*c^3*d^3 - 5*b^3*e^3 - 2*c^2*d*e*(35*b*d - 12*a*e) + 3*b*c*e^2*(12*b*d - 5*a*e))*x)/e^7) + (c^2*(20*c^2*d^2 - 28*b*c*d*e + 9*b^2*e^2 + 6*a*c*e^2)*x^2)/(2*e^6) - (c^3*(8*c*d - 7*b*e)*x^3)/(3*e^5) + (c^4*x^4)/(2*e^4) + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(3*e^8*(d + e*x)^3) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e)))/(2*e^8*(d + e*x)^2) + (3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e)))/(e^8*(d + e*x)) + ((70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/(d + e*x)^5, (c^2*(30*c^2*d^2 + 9*b^2*e^2 - c*e*(35*b*d - 6*a*e))*x)/e^7 - (c^3*(10*c*d - 7*b*e)*x^2)/(2*e^6) + (2*c^4*x^3)/(3*e^5) + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(4*e^8*(d + e*x)^4) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e)))/(3*e^8*(d + e*x)^3) + (3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e)))/(2*e^8*(d + e*x)^2) - (70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))/(e^8*(d + e*x)) - (5*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^4)/(a + b*x + c*x^2), (e*(8*c^3*d^3 - b^3*e^3 + b*c*e^2*(4*b*d + 3*a*e) - 2*c^2*d*e*(3*b*d + 4*a*e))*x)/c^3 + (e^2*(12*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(2*b*d + a*e))*x^2)/(2*c^2) + (e^3*(8*c*d - b*e)*x^3)/(3*c) + (e^4*x^4)/2 - (sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(2*c*d - b*e)*(2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/c^4 + ((2*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(b*d + a*e) - 4*c^3*d^2*e*(b*d + 3*a*e) + 2*c^2*e^2*(3*b^2*d^2 + 6*a*b*d*e + a^2*e^2))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^4), x, 6),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^3)/(a + b*x + c*x^2), (e*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + 2*a*e))*x)/c^2 + (e^2*(6*c*d - b*e)*x^2)/(2*c) + (2*e^3*x^3)/3 - (sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/c^3 + ((2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^3), x, 6),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^2)/(a + b*x + c*x^2), e*(4*d - (b*e)/c)*x + e^2*x^2 - (sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/c^2 + ((2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^2), x, 6),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^1)/(a + b*x + c*x^2), 2*e*x - (sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/c + ((2*c*d - b*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c), x, 5),
+((b + 2*c*x)/(a + b*x + c*x^2), log(a + b*x + c*x^2), x, 1),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)), (sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2) - ((2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2) + ((2*c*d - b*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 6),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)), (2*c*d - b*e)/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)) + (sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2 - ((2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2 + ((2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2), x, 6),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)), (2*c*d - b*e)/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2) + (2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)) + (sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3 - ((2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3 + ((2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3), x, 6),
+
+
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^4)/(a + b*x + c*x^2)^2, (4*e^3*(3*c*d - b*e)*x)/c^2 + (2*e^4*x^2)/c - (d + e*x)^4/(a + b*x + c*x^2) - (4*e*(2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (2*e^2*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + a*e))*log(a + b*x + c*x^2))/c^3, x, 7),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^3)/(a + b*x + c*x^2)^2, (3*e^3*x)/c - (d + e*x)^3/(a + b*x + c*x^2) - (3*e*(2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (3*e^2*(2*c*d - b*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^2), x, 7),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^2)/(a + b*x + c*x^2)^2, -((d + e*x)^2/(a + b*x + c*x^2)) - (2*e*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (e^2*log(a + b*x + c*x^2))/c, x, 5),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^1)/(a + b*x + c*x^2)^2, -((d + e*x)/(a + b*x + c*x^2)) - (2*e*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/sqrt(b^2 - 4*a*c), x, 3),
+((b + 2*c*x)/(a + b*x + c*x^2)^2, -(a + b*x + c*x^2)^(-1), x, 1),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^2), -(((b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e) - c*(b^2 - 4*a*c)*e*x)/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2))) + (e*(2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) - (e^2*(2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2 + (e^2*(2*c*d - b*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2), x, 7),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^2), (2*e^2*(2*c*d - b*e))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)) - ((b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e) - c*(b^2 - 4*a*c)*e*x)/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)) + (2*e*(2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) - (2*e^2*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + a*e))*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3 + (e^2*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + a*e))*log(a + b*x + c*x^2))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3, x, 7),
+
+
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^5)/(a + b*x + c*x^2)^3, (5*e^3*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(2*b*d + 3*a*e))*x)/(c^2*(b^2 - 4*a*c)) + (5*e^4*(2*c*d - b*e)*x^2)/(2*c*(b^2 - 4*a*c)) - (d + e*x)^5/(2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (5*e*(d + e*x)^3*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (5*e*(2*c^4*d^4 - b^4*e^4 - 4*c^3*d^2*e*(b*d - 3*a*e) - 6*a*c^2*e^3*(2*b*d + a*e) + 2*b^2*c*e^3*(b*d + 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + (5*e^4*(2*c*d - b*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^3), x, 8),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^4)/(a + b*x + c*x^2)^3, (2*e^3*(2*c*d - b*e)*x)/(c*(b^2 - 4*a*c)) - (d + e*x)^4/(2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (2*e*(d + e*x)^2*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (2*e*(2*c*d - b*e)*(2*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d - 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + (e^4*log(a + b*x + c*x^2))/c^2, x, 7),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^3)/(a + b*x + c*x^2)^3, -(d + e*x)^3/(2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (3*e*(d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (6*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 4),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^2)/(a + b*x + c*x^2)^3, -(d + e*x)^2/(2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (e*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (2*e*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 4),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^1)/(a + b*x + c*x^2)^3, -(d + e*x)/(2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (e*(b + 2*c*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (2*c*e*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 4),
+((b + 2*c*x)/(a + b*x + c*x^2)^3, -1/(2*(a + b*x + c*x^2)^2), x, 1),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^3), -((b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e) - c*(b^2 - 4*a*c)*e*x)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^2) - (e*(3*b^2*c*d*e - 8*a*c^2*d*e - 2*b^3*e^2 - b*c*(c*d^2 - 7*a*e^2) - 2*c*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (e*(2*c^4*d^4 - b^4*e^4 - 4*c^3*d^2*e*(b*d - 3*a*e) - 6*a*c^2*e^3*(2*b*d + a*e) + 2*b^2*c*e^3*(b*d + 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) - (e^4*(2*c*d - b*e)*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3 + (e^4*(2*c*d - b*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (b+2 c x) (a+b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^4*sqrt(a + b*x + c*x^2), ((b^2 - 4*a*c)*e*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + a*e))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(128*c^5) + ((4*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d + 2*a*e))*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(35*c^2) + (2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(21*c) + (2//7)*(d + e*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^(3//2) + ((128*c^4*d^4 + 105*b^4*e^4 - 14*b^2*c*e^3*(35*b*d + 34*a*e) - 16*c^3*d^2*e*(13*b*d + 144*a*e) + 8*c^2*e^2*(87*b^2*d^2 + 231*a*b*d*e + 32*a^2*e^2) + 6*c*e*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 + 21*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 19*a*e))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(1680*c^4) - ((b^2 - 4*a*c)^2*e*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*c^(11//2)), x, 7),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2), ((b^2 - 4*a*c)*e*(24*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(6*b*d + a*e))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(256*c^4) + ((2*c*d - b*e)*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(10*c) + (1//3)*(d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2) + ((64*c^3*d^3 - 35*b^3*e^3 + 12*b*c*e^2*(10*b*d + 11*a*e) - 24*c^2*d*e*(3*b*d + 16*a*e) + 6*c*e*(8*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 5*a*e))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(480*c^3) - ((b^2 - 4*a*c)^2*e*(24*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(6*b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(512*c^(9//2)), x, 6),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2), ((b^2 - 4*a*c)*e*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(32*c^3) + (2//5)*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2) + ((16*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d + 8*a*e) + 6*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(60*c^2) - ((b^2 - 4*a*c)^2*e*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(64*c^(7//2)), x, 5),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^1*sqrt(a + b*x + c*x^2), ((b^2 - 4*a*c)*e*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(32*c^2) + ((8*c*d - b*e + 6*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(12*c) - ((b^2 - 4*a*c)^2*e*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(64*c^(5//2)), x, 4),
+((b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2), (2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/3, x, 1),
+(((b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^1, -((4*c*d - 3*b*e - 2*c*e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*e^2) + ((8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(4*sqrt(c)*e^3) - ((2*c*d - b*e)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^3, x, 6),
+(((b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^2, ((4*c*d - b*e + 2*c*e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(e^2*(d + e*x)) - (2*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^3 + ((8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*e^3*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 6),
+(((b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^3, -(((8*c^2*d^3 - b*e^2*(b*d - 2*a*e) - 2*c*d*e*(3*b*d - 2*a*e) + e*(12*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d - 2*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2)) + (2*c^(3//2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^3 - ((2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 3*a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)), x, 6),
+(((b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^4, -(((b^2 - 4*a*c)*e*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^2)) + ((2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^3) + ((b^2 - 4*a*c)^2*e*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)), x, 4),
+(((b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^5, -((5*(b^2 - 4*a*c)*e*(2*c*d - b*e)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^2)) + ((2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^4) + ((4*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d + 4*a*e))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^3) + (5*(b^2 - 4*a*c)^2*e*(2*c*d - b*e)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7//2)), x, 5),
+(((b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^6, -(((b^2 - 4*a*c)*e*(24*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(6*b*d + a*e))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(128*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4*(d + e*x)^2)) + ((2*c*d - b*e)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^5) + ((8*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 5*a*e))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(40*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^4) + ((2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 + 35*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 33*a*e))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(240*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^3) + ((b^2 - 4*a*c)^2*e*(24*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 4*c*e*(6*b*d + a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(9//2)), x, 6),
+
+
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((3*(b^2 - 4*a*c)^2*e*(32*c^2*d^2 + 9*b^2*e^2 - 4*c*e*(8*b*d + a*e))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8192*c^5)) + ((b^2 - 4*a*c)*e*(32*c^2*d^2 + 9*b^2*e^2 - 4*c*e*(8*b*d + a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(1024*c^4) + (3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(56*c) + (1//4)*(d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(5//2) + ((96*c^3*d^3 - 63*b^3*e^3 + 4*b*c*e^2*(56*b*d + 61*a*e) - 8*c^2*d*e*(13*b*d + 96*a*e) + 10*c*e*(8*c^2*d^2 + 9*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 7*a*e))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(2240*c^3) + (3*(b^2 - 4*a*c)^3*e*(32*c^2*d^2 + 9*b^2*e^2 - 4*c*e*(8*b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16384*c^(11//2)), x, 7),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -(((b^2 - 4*a*c)^2*e*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(256*c^4)) + ((b^2 - 4*a*c)*e*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(96*c^3) + (2//7)*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2) + ((24*c^2*d^2 + 7*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d + 12*a*e) + 10*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(210*c^2) + ((b^2 - 4*a*c)^3*e*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(512*c^(9//2)), x, 6),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -(((b^2 - 4*a*c)^2*e*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(256*c^3)) + ((b^2 - 4*a*c)*e*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(96*c^2) + ((12*c*d - b*e + 10*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(30*c) + ((b^2 - 4*a*c)^3*e*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(512*c^(7//2)), x, 5),
+((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/5, x, 1),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^1, -((64*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 4*b*c*e^2*(12*b*d - 11*a*e) - 16*c^2*d*e*(7*b*d - 4*a*e) - 2*c*e*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 3*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(32*c*e^4) - ((8*c*d - 7*b*e - 6*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(12*e^2) + ((128*c^4*d^4 - b^4*e^4 - 8*b^2*c*e^3*(2*b*d - 3*a*e) - 64*c^3*d^2*e*(4*b*d - 3*a*e) + 48*c^2*e^2*(3*b^2*d^2 - 4*a*b*d*e + a^2*e^2))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(64*c^(3//2)*e^5) - ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^5, x, 7),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^2, ((16*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(5*b*d - a*e) - 4*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*e^4) + ((8*c*d - 3*b*e + 2*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*e^2*(d + e*x)) - ((2*c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(4*sqrt(c)*e^5) + (sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(16*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*e^5), x, 7),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^3, (-3*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d - a*e) + 4*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*e^4*(d + e*x)) + ((4*c*d - b*e + 2*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(2*e^2*(d + e*x)^2) + (3*sqrt(c)*(16*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(4*e^5) - (3*(2*c*d - b*e)*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 3*a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*e^5*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 7),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^4, ((64*c^3*d^3 + b^3*e^3 + 4*b*c*e^2*(4*b*d - 5*a*e) - 16*c^2*d*e*(5*b*d - 4*a*e) + 2*c*e*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 3*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*e^4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)) - ((16*c^2*d^3 - b*e^2*(b*d - 4*a*e) - 4*c*d*e*(3*b*d - a*e) + 3*e*(8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - a*e))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(12*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^3) - (4*c^(3//2)*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^5 + ((128*c^4*d^4 - b^4*e^4 - 8*b^2*c*e^3*(2*b*d - 3*a*e) - 64*c^3*d^2*e*(4*b*d - 3*a*e) + 48*c^2*e^2*(3*b^2*d^2 - 4*a*b*d*e + a^2*e^2))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*e^5*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)), x, 7),
+
+
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (3*(b^2 - 4*a*c)^3*e*(40*c^2*d^2 + 11*b^2*e^2 - 4*c*e*(10*b*d + a*e))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(65536*c^6) - ((b^2 - 4*a*c)^2*e*(40*c^2*d^2 + 11*b^2*e^2 - 4*c*e*(10*b*d + a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(8192*c^5) + ((b^2 - 4*a*c)*e*(40*c^2*d^2 + 11*b^2*e^2 - 4*c*e*(10*b*d + a*e))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(2560*c^4) + ((2*c*d - b*e)*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(30*c) + (1//5)*(d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(7//2) + ((128*c^3*d^3 - 99*b^3*e^3 + 4*b*c*e^2*(90*b*d + 97*a*e) - 8*c^2*d*e*(17*b*d + 160*a*e) + 14*c*e*(8*c^2*d^2 + 11*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 9*a*e))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(6720*c^3) - (3*(b^2 - 4*a*c)^4*e*(40*c^2*d^2 + 11*b^2*e^2 - 4*c*e*(10*b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(131072*c^(13//2)), x, 8),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (5*(b^2 - 4*a*c)^3*e*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8192*c^5) - (5*(b^2 - 4*a*c)^2*e*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3072*c^4) + ((b^2 - 4*a*c)*e*(2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(192*c^3) + (2//9)*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(7//2) + ((32*c^2*d^2 + 9*b^2*e^2 - 2*c*e*(9*b*d + 16*a*e) + 14*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(504*c^2) - (5*(b^2 - 4*a*c)^4*e*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16384*c^(11//2)), x, 7),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (5*(b^2 - 4*a*c)^3*e*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8192*c^4) - (5*(b^2 - 4*a*c)^2*e*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3072*c^3) + ((b^2 - 4*a*c)*e*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(192*c^2) + ((16*c*d - b*e + 14*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(56*c) - (5*(b^2 - 4*a*c)^4*e*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16384*c^(9//2)), x, 6),
+((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (2*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/7, x, 1),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^1, -((1/(256*c^2*e^6))*((512*c^5*d^5 + b^5*e^5 - 128*c^4*d^3*e*(11*b*d - 8*a*e) + 8*b^3*c*e^4*(b*d - 2*a*e) + 32*c^3*d*e^2*(40*b^2*d^2 - 55*a*b*d*e + 16*a^2*e^2) - 8*b*c^2*e^3*(49*b^2*d^2 - 92*a*b*d*e + 42*a^2*e^2) - 2*c*e*(16*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 5*a*e))*(8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - ((64*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 4*b*c*e^2*(14*b*d - 13*a*e) - 8*c^2*d*e*(15*b*d - 8*a*e) - 2*c*e*(24*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(6*b*d - 5*a*e))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(96*c*e^4) - ((12*c*d - 11*b*e - 10*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(30*e^2) + (1/(512*c^(5//2)*e^7))*((1024*c^6*d^6 + b^6*e^6 + 4*b^4*c*e^5*(2*b*d - 5*a*e) - 512*c^5*d^4*e*(6*b*d - 5*a*e) - 320*c^3*e^3*(b*d - a*e)^2*(4*b*d - a*e) + 640*c^4*d^2*e^2*(5*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + 3*a^2*e^2) + 40*b^2*c^2*e^4*(3*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + 6*a^2*e^2))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))) - ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^7, x, 8),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^2, ((384*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 2*b^2*c*e^3*(65*b*d - 62*a*e) - 32*c^3*d^2*e*(27*b*d - 14*a*e) + 8*c^2*e^2*(76*b^2*d^2 - 67*a*b*d*e + 8*a^2*e^2) - 2*c*e*(2*c*d - b*e)*(48*c^2*d^2 - 48*b*c*d*e + b^2*e^2 + 44*a*c*e^2)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(32*c*e^6) + ((48*c^2*d^2 - 66*b*c*d*e + 19*b^2*e^2 + 8*a*c*e^2 - 18*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(12*e^4) + ((12*c*d - 5*b*e + 2*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*e^2*(d + e*x)) - ((2*c*d - b*e)*(384*c^4*d^4 - b^4*e^4 - 8*b^2*c*e^3*(4*b*d - 5*a*e) - 128*c^3*d^2*e*(6*b*d - 5*a*e) + 16*c^2*e^2*(26*b^2*d^2 - 40*a*b*d*e + 15*a^2*e^2))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(64*c^(3//2)*e^7) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*(24*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(6*b*d - a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*e^7), x, 8),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^3, (-15*(64*c^3*d^3 - 7*b^3*e^3 + 4*b*c*e^2*(14*b*d - 5*a*e) - 16*c^2*d*e*(7*b*d - 2*a*e) - 2*c*e*(16*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(32*e^6) - (5*(8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 2*a*e) + c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(4*e^4*(d + e*x)) + ((3*c*d - b*e + c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(2*e^2*(d + e*x)^2) + (15*(128*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 8*b^2*c*e^3*(4*b*d - 3*a*e) - 128*c^3*d^2*e*(2*b*d - a*e) + 16*c^2*e^2*(10*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + a^2*e^2))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(64*sqrt(c)*e^7) - (15*(2*c*d - b*e)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*e^7), x, 8),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^4, (5*(64*c^3*d^3 - b^3*e^3 - 16*c^2*d*e*(5*b*d - 2*a*e) + 12*b*c*e^2*(2*b*d - a*e) + 2*c*e*(16*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*e^6*(d + e*x)) - (5*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d - a*e) + 4*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(12*e^4*(d + e*x)^2) + ((4*c*d - b*e + 2*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(3*e^2*(d + e*x)^3) - (5*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*e^7) + (5*(128*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 8*b^2*c*e^3*(4*b*d - 3*a*e) - 128*c^3*d^2*e*(2*b*d - a*e) + 16*c^2*e^2*(10*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + a^2*e^2))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*e^7*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^3)/sqrt(a + b*x + c*x^2), ((2*c*d - b*e)*(d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c) + (1//2)*(d + e*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2) + ((32*c^3*d^3 - 15*b^3*e^3 + 4*b*c*e^2*(12*b*d + 13*a*e) - 8*c^2*d*e*(5*b*d + 16*a*e) + 2*c*e*(8*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 3*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(32*c^3) + (3*(b^2 - 4*a*c)*e*(16*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(64*c^(7//2)), x, 5),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^2)/sqrt(a + b*x + c*x^2), (2//3)*(d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2) + ((8*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d + 4*a*e) + 2*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(6*c^2) + ((b^2 - 4*a*c)*e*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(4*c^(5//2)), x, 4),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^1)/sqrt(a + b*x + c*x^2), ((4*c*d - b*e + 2*c*e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*c) + ((b^2 - 4*a*c)*e*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(4*c^(3//2)), x, 3),
+((b + 2*c*x)/sqrt(a + b*x + c*x^2), 2*sqrt(a + b*x + c*x^2), x, 1),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^1*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (2*sqrt(c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e - ((2*c*d - b*e)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(e*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 5),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), ((2*c*d - b*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)) - ((b^2 - 4*a*c)*e*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)), x, 3),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), ((2*c*d - b*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2) + ((4*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d + 2*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)) - (3*(b^2 - 4*a*c)*e*(2*c*d - b*e)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)), x, 4),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^4*sqrt(a + b*x + c*x^2)), ((2*c*d - b*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^3) + ((8*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 3*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(12*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^2) + ((2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 + 15*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 13*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)) - ((b^2 - 4*a*c)*e*(16*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d + a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7//2)), x, 5),
+
+
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^4)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x)^4)/sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (8*e^2*(d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c) + (e^2*(64*c^2*d^2 + 15*b^2*e^2 - 2*c*e*(27*b*d + 8*a*e) + 10*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c^3) + (e*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(7//2)), x, 5),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^3)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x)^3)/sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (9*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*c^2) + (3*e^2*(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/c + (3*e*(8*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(4*c^(5//2)), x, 5),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^2)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (-2*(d + e*x)^2)/sqrt(a + b*x + c*x^2) + (4*e^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/c + (2*e*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/c^(3//2), x, 4),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^1)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (-2*(d + e*x))/sqrt(a + b*x + c*x^2) + (2*e*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/sqrt(c), x, 3),
+((b + 2*c*x)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -2/sqrt(a + b*x + c*x^2), x, 1),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), (-2*((b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e) - c*(b^2 - 4*a*c)*e*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (e*(2*c*d - b*e)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2), x, 4),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), (-2*((b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e) - c*(b^2 - 4*a*c)*e*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (3*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)) - (e*(8*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)), x, 4),
+
+
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^4)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^4)/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (16*e*(d + e*x)^2*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (8*e^2*(8*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d + 4*a*e) + 2*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c^2*(b^2 - 4*a*c)) + (4*e^3*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/c^(5//2), x, 5),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^3)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (-2*(d + e*x)^3)/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (4*e*(d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (4*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(c*(b^2 - 4*a*c)) + (2*e^3*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/c^(3//2), x, 5),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^2)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (-2*(d + e*x)^2)/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (8*e*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^1)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (-2*(d + e*x))/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (4*e*(b + 2*c*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+((b + 2*c*x)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -2/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), x, 1),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), (-2*((b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e) - c*(b^2 - 4*a*c)*e*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (2*e*(5*b^2*c*d*e - 12*a*c^2*d*e - 3*b^3*e^2 - 2*b*c*(c*d^2 - 5*a*e^2) - c*(4*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d + 2*a*e))*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (e^3*(2*c*d - b*e)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2), x, 5),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), (-2*((b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e) - c*(b^2 - 4*a*c)*e*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (2*e*(9*b^2*c*d*e - 20*a*c^2*d*e - 5*b^3*e^2 - 4*b*c*(c*d^2 - 4*a*e^2) - c*(8*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 3*a*e))*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (e^2*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 + 15*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d + 13*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)) - (e^3*(16*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d + a*e))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7//2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (b+2 c x) (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2), (-2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4) + (2*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4) - (6*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^4) + (4*c^2*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^4), x, 2),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2), (-2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4) + (2*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4) - (2*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^4) + (4*c^2*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^4), x, 2),
+((b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2), (-2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4) + (2*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4) - (6*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4) + (4*c^2*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4), x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2))/sqrt(d + e*x), (-2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x))/e^4 + (2*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4) - (6*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4) + (4*c^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4), x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^(3//2), (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(e^4*sqrt(d + e*x)) + (2*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*sqrt(d + e*x))/e^4 - (2*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2))/e^4 + (4*c^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4), x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^(5//2), (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(3*e^4*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e)))/(e^4*sqrt(d + e*x)) - (6*c*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))/e^4 + (4*c^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4), x, 2),
+
+
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^2, (-2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) + (4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6) + (8*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^6) - (2*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(15//2))/(3*e^6) + (4*c^3*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^6), x, 2),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^2, (-2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6) + (4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) + (8*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6) - (10*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^6) + (4*c^3*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^6), x, 2),
+((b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^2, (-2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) + (4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6) - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) + (8*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) - (10*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6) + (4*c^3*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^6), x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/sqrt(d + e*x), (-2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x))/e^6 + (4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6) + (8*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) - (10*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) + (4*c^3*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6), x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^(3//2), (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(e^6*sqrt(d + e*x)) + (4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*sqrt(d + e*x))/e^6 - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) + (8*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6) - (10*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) + (4*c^3*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6), x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^2)/(d + e*x)^(5//2), (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(3*e^6*(d + e*x)^(3//2)) - (4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(e^6*sqrt(d + e*x)) - (2*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*sqrt(d + e*x))/e^6 + (8*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) - (2*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2))/e^6 + (4*c^3*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6), x, 2),
+
+
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)^3, (-2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8) + (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8) - (6*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) + (2*(70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8) - (2*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(15//2))/(3*e^8) + (6*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^8) - (14*c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(19//2))/(19*e^8) + (4*c^4*(d + e*x)^(21//2))/(21*e^8), x, 2),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^3, (-2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^8) + (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8) - (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^8) + (2*(70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) - (10*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8) + (2*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^(15//2))/(5*e^8) - (14*c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^8) + (4*c^4*(d + e*x)^(19//2))/(19*e^8), x, 2),
+((b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^3, (-2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^8) + (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^8) - (6*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8) + (2*(70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8) - (10*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) + (6*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8) - (14*c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^8) + (4*c^4*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^8), x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/sqrt(d + e*x), (-2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*sqrt(d + e*x))/e^8 + (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^8) - (6*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^8) + (2*(70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8) - (10*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8) + (6*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) - (14*c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8) + (4*c^4*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^8), x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/(d + e*x)^(3//2), (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(e^8*sqrt(d + e*x)) + (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*sqrt(d + e*x))/e^8 - (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(3//2))/e^8 + (2*(70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^8) - (10*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8) + (2*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^8) - (14*c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) + (4*c^4*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8), x, 2),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^3)/(d + e*x)^(5//2), (2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(3*e^8*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e)))/(e^8*sqrt(d + e*x)) - (6*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*sqrt(d + e*x))/e^8 + (2*(70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^8) - (2*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(5//2))/e^8 + (6*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8) - (14*c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8) + (4*c^4*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a + b*x + c*x^2), (2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))/c + (4//3)*(d + e*x)^(3//2) + (sqrt(2)*(b^2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c^2*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 4*a*e) - 2*c*e*(b^2*d - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 2*a*b*e - a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(3//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (sqrt(2)*(b^2*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 + 2*c^2*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 4*a*e) - 2*c*e*(b^2*d + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 2*a*b*e + a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(3//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 6),
+(((b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x))/(a + b*x + c*x^2), 4*sqrt(d + e*x) - (sqrt(2)*(b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e + 2*c*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (sqrt(2)*(b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e - 2*c*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 2*a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 5),
+((b + 2*c*x)/(sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)), (-2*sqrt(2)*sqrt(c)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e) - (2*sqrt(2)*sqrt(c)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), x, 4),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)), (2*(2*c*d - b*e))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)) + (sqrt(2)*sqrt(c)*(b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e - 2*c*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 2*a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - (sqrt(2)*sqrt(c)*(b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e + 2*c*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 5),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^(5//2)*(a + b*x + c*x^2)), (2*(2*c*d - b*e))/(3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e)))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) - (sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 + 2*c^2*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 4*a*e) - 2*c*e*(b^2*d + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 2*a*b*e + a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + (sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c^2*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 4*a*e) - 2*c*e*(b^2*d - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 2*a*b*e - a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2), x, 6),
+
+
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a + b*x + c*x^2)^2, (5*e^2*sqrt(d + e*x))/c - (d + e*x)^(5//2)/(a + b*x + c*x^2) - (5*e*(2*c^2*d^2 + b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (5*e*(2*c^2*d^2 + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 6),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a + b*x + c*x^2)^2, -((d + e*x)^(3//2)/(a + b*x + c*x^2)) - (3*e*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (3*e*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 5),
+(((b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x))/(a + b*x + c*x^2)^2, -(sqrt(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(2)*sqrt(c)*e*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (sqrt(2)*sqrt(c)*e*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 5),
+((b + 2*c*x)/(sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^2), -((sqrt(d + e*x)*((b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e) - c*(b^2 - 4*a*c)*e*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2))) + (sqrt(c)*e*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - (sqrt(c)*e*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 5),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^2), (3*e^2*(2*c*d - b*e))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) - ((b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e) - c*(b^2 - 4*a*c)*e*x)/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)) + (3*sqrt(c)*e*(2*c^2*d^2 + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) - (3*sqrt(c)*e*(2*c^2*d^2 + b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2), x, 6),
+
+
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(7//2))/(a + b*x + c*x^2)^3, (7*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))/(4*c*(b^2 - 4*a*c)) - (d + e*x)^(7//2)/(2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (7*e*(d + e*x)^(3//2)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (7*e*(8*c^3*d^3 + b^2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^3 - 2*c^2*d*e*(6*b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 8*a*e) + 2*c*e^2*(b^2*d - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 4*a*b*e + 3*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(4*sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (7*e*(8*c^3*d^3 + b^2*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^3 - 2*c^2*d*e*(6*b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 8*a*e) + 2*c*e^2*(b^2*d + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 4*a*b*e - 3*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(4*sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 7),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a + b*x + c*x^2)^3, -((d + e*x)^(5//2)/(2*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (5*e*sqrt(d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (5*e*(8*c^2*d^2 + b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(4*b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(4*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (5*e*(8*c^2*d^2 + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(4*b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(4*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 6),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a + b*x + c*x^2)^3, -(d + e*x)^(3//2)/(2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (3*e*(b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (3*sqrt(c)*e*(4*c*d - (2*b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(2*sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (3*sqrt(c)*e*(4*c*d - (2*b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(2*sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 6),
+(((b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x))/(a + b*x + c*x^2)^3, -(sqrt(d + e*x)/(2*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (e*sqrt(d + e*x)*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(c)*e*(8*c^2*d^2 - b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(4*b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 6*a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(4*sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - (sqrt(c)*e*(8*c^2*d^2 - b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(4*b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 6*a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(4*sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 6),
+((b + 2*c*x)/(sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^3), -((sqrt(d + e*x)*((b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e) - c*(b^2 - 4*a*c)*e*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^2)) + (e*sqrt(d + e*x)*(5*a*c*e*(2*c*d - b*e) + (c*d - 3*b*e)*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) + c*(2*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + 5*a*e))*x))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(c)*e*(8*c^3*d^3 + 3*b^2*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^3 - 2*c^2*d*e*(6*b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 16*a*e) - 2*c*e^2*(b^2*d + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 8*a*b*e + 5*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(4*sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + (sqrt(c)*e*(8*c^3*d^3 + 3*b^2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^3 - 2*c^2*d*e*(6*b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 16*a*e) - 2*c*e^2*(b^2*d - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 8*a*b*e - 5*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(4*sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2), x, 6),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (b+2 c x) (a+b x+c x^2)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2), -((2*sqrt(d + e*x)*(8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(11*b*d - 10*a*e) - 3*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(105*c*e^2)) + (4//7)*sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 2*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(105*c^2*e^3*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(16*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 5*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(105*c^2*e^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+(((b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/sqrt(d + e*x), -((2*sqrt(d + e*x)*(8*c*d - 7*b*e - 6*c*e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*e^2)) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 3*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*c*e^3*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (16*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*c*e^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+(((b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^(3//2), (2*(8*c*d - 3*b*e + 2*c*e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*e^2*sqrt(d + e*x)) - (8*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*e^3*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(16*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c*e^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+(((b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^(5//2), -((2*(8*c^2*d^3 + a*b*e^3 - c*d*e*(7*b*d - 4*a*e) + e*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(16*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 3*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (16*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*e^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+(((b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^(7//2), (4*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 2*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) - (2*(8*c^2*d^3 - c*d*e*(5*b*d - 4*a*e) - b*e^2*(2*b*d - 3*a*e) + e*(14*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - 5*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 2*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(16*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d - 5*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+
+
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/sqrt(d + e*x), -((2*sqrt(d + e*x)*(128*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(37*b*d - 36*a*e) - 12*c^2*d*e*(20*b*d - 11*a*e) - 3*c*e*(32*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 4*c*e*(8*b*d - 7*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(315*c*e^4)) - (2*sqrt(d + e*x)*(16*c*d - 15*b*e - 14*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(63*e^2) + (1/(315*c^2*e^5*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(128*c^4*d^4 - b^4*e^4 - 4*c^3*d^2*e*(64*b*d - 57*a*e) - b^2*c*e^3*(7*b*d - 15*a*e) + 3*c^2*e^2*(45*b^2*d^2 - 76*a*b*d*e + 28*a^2*e^2))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(128*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(32*b*d - 33*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(315*c^2*e^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(3//2), (2*sqrt(d + e*x)*(128*c^2*d^2 + 51*b^2*e^2 - 4*c*e*(44*b*d - 5*a*e) - 48*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(35*e^4) + (2*(16*c*d - 7*b*e + 2*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*e^2*sqrt(d + e*x)) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(128*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(32*b*d - 29*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(35*c*e^5*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(128*c^2*d^2 + 27*b^2*e^2 - 4*c*e*(32*b*d - 5*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(35*c*e^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(5//2), -((2*(128*c^2*d^2 + 15*b^2*e^2 - 4*c*e*(28*b*d - 9*a*e) + 16*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*e^4*sqrt(d + e*x))) + (2*(16*c*d - 5*b*e + 6*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(15*e^2*(d + e*x)^(3//2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(128*c^2*d^2 + 23*b^2*e^2 - 4*c*e*(32*b*d - 9*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*e^5*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(128*c^2*d^2 + 15*b^2*e^2 - 4*c*e*(32*b*d - 17*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*c*e^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(7//2), (2*c*(128*c^2*d^3 - 4*c*d*e*(44*b*d - 29*a*e) + 3*b*e^2*(17*b*d - 16*a*e) + e*(32*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(8*b*d - 5*a*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*e^4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)) - (2*(16*c^2*d^3 + 3*a*b*e^3 - c*d*e*(13*b*d - 4*a*e) + e*(22*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(11*b*d - 5*a*e))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(15*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2)) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(128*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(32*b*d - 29*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*e^5*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(128*c^2*d^2 + 27*b^2*e^2 - 4*c*e*(32*b*d - 5*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*e^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+
+
+# {((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(d + e*x)^(5/2), x, 7, -((2*Sqrt[d + e*x]*(1024*c^3*d^3 + 1056*b^2*c*d*e^2 - b*(155*b^2 + 276*a*c)*e^3 - 384*c^2*d*e*(5*b*d - a*e) - 6*c*e*(128*c^2*d^2 - 128*b*c*d*e + (25*b^2 + 28*a*c)*e^2)*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(63*e^6)) - (10*(128*c^2*d^2 - 120*b*c*d*e + 7*(3*b^2 + 4*a*c)*e^2 + 8*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(63*e^4*Sqrt[d + e*x]) + (2*(8*c*d - 3*b*e + 2*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(9*e^2*(d + e*x)^(3/2)) - (1/(63*Sqrt[2]*c^(3/2)*e^8*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*((2*c*d - b*e + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)*Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*(2048*c^4*d^4 - 448*b^3*c*d*e^3 + b^2*(5*b^2 + 408*a*c)*e^4 - 256*c^3*d^2*e*(16*b*d - 9*a*e) + 48*c^2*e^2*(52*b^2*d^2 - 48*a*b*d*e + 7*a^2*e^2))*Sqrt[-((e*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e))]*Sqrt[-((e*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e))]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)]) - (1/(63*Sqrt[2]*c^(3/2)*e^7*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*(Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(2048*c^4*d^4 - 448*b^3*c*d*e^3 + b^2*(5*b^2 + 408*a*c)*e^4 - 256*c^3*d^2*e*(16*b*d - 9*a*e) + 48*c^2*e^2*(52*b^2*d^2 - 48*a*b*d*e + 7*a^2*e^2)) + 2*c*(5*b^2*(31*b^2 + 264*a*c)*d*e^3 - 384*a^2*b*c*e^4 - 512*c^3*d^3*(2*b*d - a*e) - 32*b^3*e^2*(33*c*d^2 + 5*a*e^2) + 48*c^2*d*e*(40*b^2*d^2 - 40*a*b*d*e + 9*a^2*e^2)))*Sqrt[-((e*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e))]*Sqrt[-((e*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e))]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]], (2*c*d - b*e + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)])}
+(((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(7//2), (2*(3072*c^3*d^3 + 1504*b^2*c*d*e^2 - 3*b*(35*b^2 + 244*a*c)*e^3 - 128*c^2*d*e*(33*b*d - 13*a*e) + 2*c*e*(384*c^2*d^2 - 384*b*c*d*e + (71*b^2 + 100*a*c)*e^2)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(105*e^6*sqrt(d + e*x)) - (2*(384*c^2*d^2 - 312*b*c*d*e + 5*(7*b^2 + 20*a*c)*e^2 + 72*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(105*e^4*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(24*c*d - 7*b*e + 10*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(35*e^2*(d + e*x)^(5//2)) + (1/(105*sqrt(c)*e^8*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(16*sqrt(2)*(2*c*d - b*e)*(2*c*d - b*e + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(96*c^2*d^2 - 96*b*c*d*e + (11*b^2 + 52*a*c)*e^2)*sqrt(-((e*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(2*c*d - b*e + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)))*sqrt(-((e*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(2*c*d - b*e - sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), (2*c*d - b*e - sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - b*e + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))) + (1/(105*sqrt(c)*e^7*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(sqrt(2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(32*c*(12*b^3 - 59*b^2*sqrt(b^2 - 4*a*c) - 4*a*c*(12*b + 13*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*d*e^2 - (71*b^4 - 184*a*b^2*c - 400*a^2*c^2 - 16*b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(11*b^2 + 52*a*c))*e^3 - 384*c^2*d^2*(b*(b - 12*sqrt(b^2 - 4*a*c))*e + 4*c*(2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - a*e)))*sqrt(-((e*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(2*c*d - b*e + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)))*sqrt(-((e*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/(2*c*d - b*e - sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), (2*c*d - b*e + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - b*e - sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))), x, 7),
+# {((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(d + e*x)^(9/2), x, 8, -((2*(2048*c^4*d^4 - 448*b^3*c*d*e^3 + b^2*(5*b^2 + 408*a*c)*e^4 - 256*c^3*d^2*e*(16*b*d - 9*a*e) + 48*c^2*e^2*(52*b^2*d^2 - 48*a*b*d*e + 7*a^2*e^2))*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(35*e^6*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[d + e*x])) + (2*(1024*c^3*d^3 + 288*b^2*c*d*e^2 - b*(5*b^2 + 108*a*c)*e^3 - 384*c^2*d*e*(3*b*d - a*e) + 6*c*e*(128*c^2*d^2 - 128*b*c*d*e + (25*b^2 + 28*a*c)*e^2)*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(35*e^6*(d + e*x)^(3/2)) - (2*(128*c^2*d^2 - 88*b*c*d*e + (5*b^2 + 28*a*c)*e^2 + 40*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(35*e^4*(d + e*x)^(5/2)) + (2*(24*c*d - 5*b*e + 14*c*e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(35*e^2*(d + e*x)^(7/2)) - (1/(35*Sqrt[2]*Sqrt[c]*e^8*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*((2*c*d - b*e + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)*Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*(2048*c^4*d^4 - 448*b^3*c*d*e^3 + b^2*(5*b^2 + 408*a*c)*e^4 - 256*c^3*d^2*e*(16*b*d - 9*a*e) + 48*c^2*e^2*(52*b^2*d^2 - 48*a*b*d*e + 7*a^2*e^2))*Sqrt[-((e*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e))]*Sqrt[-((e*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e))]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)]) - (1/(35*Sqrt[2]*Sqrt[c]*e^7*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*(Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(2048*c^4*d^4 + 5*b^4*e^4 - 8*b^2*c*e^3*(56*b*d - 51*a*e) - 256*c^3*d^2*e*(16*b*d - 9*a*e) + 48*c^2*e^2*(52*b^2*d^2 - 48*a*b*d*e + 7*a^2*e^2)) + 2*c*(5*b^2*(31*b^2 + 264*a*c)*d*e^3 - 384*a^2*b*c*e^4 - 512*c^3*d^3*(2*b*d - a*e) - 32*b^3*e^2*(33*c*d^2 + 5*a*e^2) + 48*c^2*d*e*(40*b^2*d^2 - 40*a*b*d*e + 9*a^2*e^2)))*Sqrt[-((e*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e))]*Sqrt[-((e*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e))]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]], (2*c*d - b*e + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)])} *)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(5//2))/sqrt(a + b*x + c*x^2), (4*(3*c^2*d^2 + 2*b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + 5*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(21*c^2) + (2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(7*c) + (4//7)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(3*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + 29*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(21*c^3*e*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (4*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(3*c^2*d^2 + 2*b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + 5*a*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(21*c^3*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(3//2))/sqrt(a + b*x + c*x^2), (2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*c) + (4//5)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(5*c^2*e*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(5*c^2*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+(((b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x))/sqrt(a + b*x + c*x^2), (4//3)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c*e*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (4*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((b + 2*c*x)/(sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(e*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(c*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (2*(2*c*d - b*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(e*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (2*(2*c*d - b*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)) + (4*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+
+
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(7//2))/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x)^(7//2))/sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (56*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*c^2) + (14*e^2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*c) + (7*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(23*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - c*e*(23*b*d + 9*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*c^3*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (56*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*c^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x)^(5//2))/sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (10*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c) + (10*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (10*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(d + e*x)^(3//2))/sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (3*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(c*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 3),
+(((b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x))/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*sqrt(d + e*x))/sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(c*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 3),
+((b + 2*c*x)/(sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*sqrt(d + e*x)*((b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e) - c*(b^2 - 4*a*c)*e*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 4),
+((b + 2*c*x)/((d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*((b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e) - c*(b^2 - 4*a*c)*e*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (4*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+
+
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(7//2))/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^(7//2))/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (14*e*(d + e*x)^(3//2)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (14*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)) + (14*sqrt(2)*e*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (14*sqrt(2)*e*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^(5//2))/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (10*e*sqrt(d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (5*sqrt(2)*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (20*sqrt(2)*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+(((b + 2*c*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(d + e*x)^(3//2))/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (2*e*(b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*e*(2*c*d - b*e)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+(((b + 2*c*x)*sqrt(d + e*x))/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*sqrt(d + e*x))/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (2*e*sqrt(d + e*x)*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(2)*e*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (4*sqrt(2)*e*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((b + 2*c*x)/(sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), -((2*sqrt(d + e*x)*((b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e) - c*(b^2 - 4*a*c)*e*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (2*e*sqrt(d + e*x)*(3*b^2*c*d*e - 8*a*c^2*d*e - 2*b^3*e^2 - b*c*(c*d^2 - 7*a*e^2) - 2*c*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*e*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*e*(2*c*d - b*e)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (b+2 c x) (a+b x+c x^2)^p with m symbolic
+
+
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^3, -(((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^(1 + m))/(e^8*(1 + m))) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^(2 + m))/(e^8*(2 + m)) - (3*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(3 + m))/(e^8*(3 + m)) + ((70*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(5*b*d - 3*a*e) - 20*c^3*d^2*e*(7*b*d - 3*a*e) + 6*c^2*e^2*(15*b^2*d^2 - 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*(d + e*x)^(4 + m))/(e^8*(4 + m)) - (5*c*(2*c*d - b*e)*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(7*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(5 + m))/(e^8*(5 + m)) + (3*c^2*(14*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 2*c*e*(7*b*d - a*e))*(d + e*x)^(6 + m))/(e^8*(6 + m)) - (7*c^3*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(7 + m))/(e^8*(7 + m)) + (2*c^4*(d + e*x)^(8 + m))/(e^8*(8 + m)), x, 2),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^2, -(((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(1 + m))/(e^6*(1 + m))) + (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(2 + m))/(e^6*(2 + m)) - ((2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e))*(d + e*x)^(3 + m))/(e^6*(3 + m)) + (4*c*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))*(d + e*x)^(4 + m))/(e^6*(4 + m)) - (5*c^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5 + m))/(e^6*(5 + m)) + (2*c^3*(d + e*x)^(6 + m))/(e^6*(6 + m)), x, 2),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^1, -(((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^4*(1 + m))) + ((6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e))*(d + e*x)^(2 + m))/(e^4*(2 + m)) - (3*c*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^4*(3 + m)) + (2*c^2*(d + e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)), x, 2),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^m/(a + b*x + c*x^2)^1, -((2*c*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + m))) - (2*c*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + m)), x, 4),
+((b + 2*c*x)*(d + e*x)^m/(a + b*x + c*x^2)^2, -(((d + e*x)^(1 + m)*((b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e) - c*(b^2 - 4*a*c)*e*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2))) - (c*e*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*m*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(1 + m)) + (c*e*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*m*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(1 + m)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p when b^2-4 a c=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^5*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -(((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^4)) + ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^4) - (b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^8)/(8*e^4) + (b^2*B*(d + e*x)^9)/(9*e^4), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -(((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^4)) + ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^4) - (b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^4) + (b^2*B*(d + e*x)^8)/(8*e^4), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -(((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(d + e*x)^4)/(4*e^4)) + ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^4) - (b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^4) + (b^2*B*(d + e*x)^7)/(7*e^4), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3)/(3*b^4) + ((b*d - a*e)*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^4)/(4*b^4) + (e*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^5)/(5*b^4) + (B*e^2*(a + b*x)^6)/(6*b^4), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3)/(3*b^3) + ((b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^4)/(4*b^3) + (B*e*(a + b*x)^5)/(5*b^3), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((A*b - a*B)*(a + b*x)^3)/(3*b^2) + (B*(a + b*x)^4)/(4*b^2), x, 3),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^1, (b*(b*d - a*e)*(B*d - A*e)*x)/e^3 - ((B*d - A*e)*(a + b*x)^2)/(2*e^2) + (B*(a + b*x)^3)/(3*b*e) - ((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*log(d + e*x))/e^4, x, 3),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^2, -((b*(2*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*x)/e^3) + (b^2*B*x^2)/(2*e^2) + ((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e))/(e^4*(d + e*x)) + ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*log(d + e*x))/e^4, x, 3),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^3, (b^2*B*x)/e^3 + ((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e))/(2*e^4*(d + e*x)^2) - ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e))/(e^4*(d + e*x)) - (b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*log(d + e*x))/e^4, x, 3),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^4, -(((B*d - A*e)*(a + b*x)^3)/(3*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^3)) - (B*(b*d - a*e)^2)/(2*e^4*(d + e*x)^2) + (2*b*B*(b*d - a*e))/(e^4*(d + e*x)) + (b^2*B*log(d + e*x))/e^4, x, 4),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^5, -(((B*d - A*e)*(a + b*x)^3)/(4*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^4)) + ((3*b*B*d + A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^3)/(12*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^3), x, 3),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^6, ((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e))/(5*e^4*(d + e*x)^5) - ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e))/(4*e^4*(d + e*x)^4) + (b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e))/(3*e^4*(d + e*x)^3) - (b^2*B)/(2*e^4*(d + e*x)^2), x, 3),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^7, ((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e))/(6*e^4*(d + e*x)^6) - ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e))/(5*e^4*(d + e*x)^5) + (b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e))/(4*e^4*(d + e*x)^4) - (b^2*B)/(3*e^4*(d + e*x)^3), x, 3),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^8, ((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e))/(7*e^4*(d + e*x)^7) - ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e))/(6*e^4*(d + e*x)^6) + (b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e))/(5*e^4*(d + e*x)^5) - (b^2*B)/(4*e^4*(d + e*x)^4), x, 3),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^7*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -(((b*d - a*e)^4*(B*d - A*e)*(d + e*x)^8)/(8*e^6)) + ((b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^9)/(9*e^6) - (b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^10)/(5*e^6) + (2*b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^11)/(11*e^6) - (b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^12)/(12*e^6) + (b^4*B*(d + e*x)^13)/(13*e^6), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^6*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -(((b*d - a*e)^4*(B*d - A*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^6)) + ((b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^8)/(8*e^6) - (2*b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^9)/(9*e^6) + (b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^10)/(5*e^6) - (b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^11)/(11*e^6) + (b^4*B*(d + e*x)^12)/(12*e^6), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^5*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -(((b*d - a*e)^4*(B*d - A*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^6)) + ((b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^6) - (b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^8)/(4*e^6) + (2*b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^9)/(9*e^6) - (b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^10)/(10*e^6) + (b^4*B*(d + e*x)^11)/(11*e^6), x, 3),
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^5)/(5*b^6) + ((b*d - a*e)^3*(b*B*d + 4*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^6)/(6*b^6) + (2*e*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d + 3*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^7)/(7*b^6) + (e^2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d + 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^8)/(4*b^6) + (e^3*(4*b*B*d + A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^9)/(9*b^6) + (B*e^4*(a + b*x)^10)/(10*b^6), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^5)/(5*b^5) + ((b*d - a*e)^2*(b*B*d + 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^6)/(6*b^5) + (3*e*(b*d - a*e)*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^7)/(7*b^5) + (e^2*(3*b*B*d + A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^8)/(8*b^5) + (B*e^3*(a + b*x)^9)/(9*b^5), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^5)/(5*b^4) + ((b*d - a*e)*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^6)/(6*b^4) + (e*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^7)/(7*b^4) + (B*e^2*(a + b*x)^8)/(8*b^4), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5)/(5*b^3) + ((b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^6)/(6*b^3) + (B*e*(a + b*x)^7)/(7*b^3), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((A*b - a*B)*(a + b*x)^5)/(5*b^2) + (B*(a + b*x)^6)/(6*b^2), x, 3),
+
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^1, (b*(b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*x)/e^5 - ((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^2)/(2*e^4) + ((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(a + b*x)^3)/(3*e^3) - ((B*d - A*e)*(a + b*x)^4)/(4*e^2) + (B*(a + b*x)^5)/(5*b*e) - ((b*d - a*e)^4*(B*d - A*e)*log(d + e*x))/e^6, x, 3),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^2, -((2*b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e)*x)/e^5) + ((b*d - a*e)^4*(B*d - A*e))/(e^6*(d + e*x)) + (b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^2)/e^6 - (b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^3)/(3*e^6) + (b^4*B*(d + e*x)^4)/(4*e^6) + ((b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e)*log(d + e*x))/e^6, x, 3),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^3, (2*b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*x)/e^5 + ((b*d - a*e)^4*(B*d - A*e))/(2*e^6*(d + e*x)^2) - ((b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e))/(e^6*(d + e*x)) - (b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^2)/(2*e^6) + (b^4*B*(d + e*x)^3)/(3*e^6) - (2*b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e)*log(d + e*x))/e^6, x, 3),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^4, -((b^3*(4*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e)*x)/e^5) + (b^4*B*x^2)/(2*e^4) + ((b*d - a*e)^4*(B*d - A*e))/(3*e^6*(d + e*x)^3) - ((b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e))/(2*e^6*(d + e*x)^2) + (2*b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e))/(e^6*(d + e*x)) + (2*b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*log(d + e*x))/e^6, x, 3),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^5, (b^4*B*x)/e^5 + ((b*d - a*e)^4*(B*d - A*e))/(4*e^6*(d + e*x)^4) - ((b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e))/(3*e^6*(d + e*x)^3) + (b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e))/(e^6*(d + e*x)^2) - (2*b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e))/(e^6*(d + e*x)) - (b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e)*log(d + e*x))/e^6, x, 3),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^6, -(((B*d - A*e)*(a + b*x)^5)/(5*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^5)) - (B*(b*d - a*e)^4)/(4*e^6*(d + e*x)^4) + (4*b*B*(b*d - a*e)^3)/(3*e^6*(d + e*x)^3) - (3*b^2*B*(b*d - a*e)^2)/(e^6*(d + e*x)^2) + (4*b^3*B*(b*d - a*e))/(e^6*(d + e*x)) + (b^4*B*log(d + e*x))/e^6, x, 4),
+
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^7, -(((B*d - A*e)*(a + b*x)^5)/(6*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^6)) + ((5*b*B*d + A*b*e - 6*a*B*e)*(a + b*x)^5)/(30*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^5), x, 3),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^8, -(((B*d - A*e)*(a + b*x)^5)/(7*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^7)) + ((5*b*B*d + 2*A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)^5)/(42*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^6) + (b*(5*b*B*d + 2*A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)^5)/(210*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^5), x, 4),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^9, -(((B*d - A*e)*(a + b*x)^5)/(8*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^8)) + ((5*b*B*d + 3*A*b*e - 8*a*B*e)*(a + b*x)^5)/(56*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^7) + (b*(5*b*B*d + 3*A*b*e - 8*a*B*e)*(a + b*x)^5)/(168*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^6) + (b^2*(5*b*B*d + 3*A*b*e - 8*a*B*e)*(a + b*x)^5)/(840*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^5), x, 5),
+
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^10, ((b*d - a*e)^4*(B*d - A*e))/(9*e^6*(d + e*x)^9) - ((b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e))/(8*e^6*(d + e*x)^8) + (2*b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e))/(7*e^6*(d + e*x)^7) - (b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e))/(3*e^6*(d + e*x)^6) + (b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e))/(5*e^6*(d + e*x)^5) - (b^4*B)/(4*e^6*(d + e*x)^4), x, 3),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^11, ((b*d - a*e)^4*(B*d - A*e))/(10*e^6*(d + e*x)^10) - ((b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e))/(9*e^6*(d + e*x)^9) + (b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e))/(4*e^6*(d + e*x)^8) - (2*b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e))/(7*e^6*(d + e*x)^7) + (b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e))/(6*e^6*(d + e*x)^6) - (b^4*B)/(5*e^6*(d + e*x)^5), x, 3),
+((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^12, ((b*d - a*e)^4*(B*d - A*e))/(11*e^6*(d + e*x)^11) - ((b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e))/(10*e^6*(d + e*x)^10) + (2*b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e))/(9*e^6*(d + e*x)^9) - (b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e))/(4*e^6*(d + e*x)^8) + (b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e))/(7*e^6*(d + e*x)^7) - (b^4*B)/(6*e^6*(d + e*x)^6), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^4/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*e*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d + 3*A*b*e - 5*a*B*e)*x)/b^5 - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^4)/(b^6*(a + b*x)) + (e^2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d + 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^2)/b^6 + (e^3*(4*b*B*d + A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^3)/(3*b^6) + (B*e^4*(a + b*x)^4)/(4*b^6) + ((b*d - a*e)^3*(b*B*d + 4*A*b*e - 5*a*B*e)*log(a + b*x))/b^6, x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (3*e*(b*d - a*e)*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x)/b^4 - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^3)/(b^5*(a + b*x)) + (e^2*(3*b*B*d + A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^2)/(2*b^5) + (B*e^3*(a + b*x)^3)/(3*b^5) + ((b*d - a*e)^2*(b*B*d + 3*A*b*e - 4*a*B*e)*log(a + b*x))/b^5, x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (e*(2*b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x)/b^3 + (B*e^2*x^2)/(2*b^2) - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2)/(b^4*(a + b*x)) + ((b*d - a*e)*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*log(a + b*x))/b^4, x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (B*e*x)/b^2 - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e))/(b^3*(a + b*x)) + ((b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*log(a + b*x))/b^3, x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -((A*b - a*B)/(b^2*(a + b*x))) + (B*log(a + b*x))/b^2, x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -((A*b - a*B)/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x))) + ((B*d - A*e)*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^2 - ((B*d - A*e)*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^2, x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -((A*b - a*B)/((b*d - a*e)^2*(a + b*x))) + (B*d - A*e)/((b*d - a*e)^2*(d + e*x)) + ((b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e)*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^3 - ((b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e)*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^3, x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -((b*(A*b - a*B))/((b*d - a*e)^3*(a + b*x))) + (B*d - A*e)/(2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^2) + (b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e)/((b*d - a*e)^3*(d + e*x)) + (b*(b*B*d - 3*A*b*e + 2*a*B*e)*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^4 - (b*(b*B*d - 3*A*b*e + 2*a*B*e)*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^4, x, 3),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^4/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (e^3*(4*b*B*d + A*b*e - 4*a*B*e)*x)/b^5 + (B*e^4*x^2)/(2*b^4) - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^4)/(3*b^6*(a + b*x)^3) - ((b*d - a*e)^3*(b*B*d + 4*A*b*e - 5*a*B*e))/(2*b^6*(a + b*x)^2) - (2*e*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d + 3*A*b*e - 5*a*B*e))/(b^6*(a + b*x)) + (2*e^2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d + 2*A*b*e - 5*a*B*e)*log(a + b*x))/b^6, x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (B*e^3*x)/b^4 - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^3)/(3*b^5*(a + b*x)^3) - ((b*d - a*e)^2*(b*B*d + 3*A*b*e - 4*a*B*e))/(2*b^5*(a + b*x)^2) - (3*e*(b*d - a*e)*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e))/(b^5*(a + b*x)) + (e^2*(3*b*B*d + A*b*e - 4*a*B*e)*log(a + b*x))/b^5, x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -((B*(b*d - a*e)^2)/(2*b^4*(a + b*x)^2)) - (2*B*e*(b*d - a*e))/(b^4*(a + b*x)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^3)/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3) + (B*e^2*log(a + b*x))/b^4, x, 4),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -(((A*b - a*B)*(b*d - a*e))/(3*b^3*(a + b*x)^3)) - (b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)/(2*b^3*(a + b*x)^2) - (B*e)/(b^3*(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -((A*b - a*B)/(3*b^2*(a + b*x)^3)) - B/(2*b^2*(a + b*x)^2), x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -((A*b - a*B)/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3)) - (B*d - A*e)/(2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2) + (e*(B*d - A*e))/((b*d - a*e)^3*(a + b*x)) + (e^2*(B*d - A*e)*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^4 - (e^2*(B*d - A*e)*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^4, x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -((A*b - a*B)/(3*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3)) - (b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e)/(2*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^2) + (e*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e))/((b*d - a*e)^4*(a + b*x)) + (e^2*(B*d - A*e))/((b*d - a*e)^4*(d + e*x)) + (e^2*(3*b*B*d - 4*A*b*e + a*B*e)*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^5 - (e^2*(3*b*B*d - 4*A*b*e + a*B*e)*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^5, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(d + e*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^3*(a + b*x)) - ((2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^3*(a + b*x)) + (b*B*(d + e*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^3*(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(d + e*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^3*(a + b*x)) - ((2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^3*(a + b*x)) + (b*B*(d + e*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^3*(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^3*(a + b*x)) - ((2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^3*(a + b*x)) + (b*B*(d + e*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^3*(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (a*A*d*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(a + b*x) + ((A*b*d + a*B*d + a*A*e)*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(a + b*x)) + ((b*B*d + A*b*e + a*B*e)*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*(a + b*x)) + (b*B*e*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((A*b - a*B)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*b^2) + (B*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(3*b^2), x, 2),
+
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^1, -((b*(B*d - A*e)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^2*(a + b*x))) + (B*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*b*e) + ((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^3*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^2, (b*B*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^2*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x)*(d + e*x)) - ((2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^3*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^3, -((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^2) + ((2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x)*(d + e*x)) + (b*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^3*(a + b*x)), x, 3),
+
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^4, ((A*b - a*B)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^2) + ((B*d - A*e)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^3), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^5, -((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^4) + ((2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^3) - (b*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^2), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^6, -((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^5) + ((2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^4) - (b*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^3), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^7, -((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^6) + ((2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^5) - (b*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^4), x, 3),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^5*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*(d + e*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^5*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)) + (3*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^5*(a + b*x)) - (b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^5*(a + b*x)) + (b^3*B*(d + e*x)^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*e^5*(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*(d + e*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^5*(a + b*x)) + (3*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)) - (b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^5*(a + b*x)) + (b^3*B*(d + e*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^5*(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*b^5) + ((b*d - a*e)^2*(b*B*d + 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*b^5) + (e*(b*d - a*e)*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*b^5) + (e^2*(3*b*B*d + A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^5) + (B*e^3*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*b^5), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*b^4) + ((b*d - a*e)*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*b^4) + (e*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^4) + (B*e^2*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^4), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*b^3) + ((b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*b^3) + (B*e*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^3), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((A*b - a*B)*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(4*b^2) + (B*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(5*b^2), x, 2),
+
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^1, -((b*(b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x))) + ((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^3) - ((B*d - A*e)*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^2) + (B*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*b*e) + ((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^5*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^2, (3*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*(d + e*x)) - (b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^5*(a + b*x)) + (b^3*B*(d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^5*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^3, -((b^2*(3*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x))) + (b^3*B*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^3*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^2) + ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*(d + e*x)) + (3*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^5*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^4, (b^3*B*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^3) + ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^2) - (3*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*(d + e*x)) - (b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^5*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^5, -((B*d - A*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^4) + (B*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^3) - (3*b*B*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^2) + (3*b^2*B*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*(d + e*x)) + (b^3*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^5*(a + b*x)), x, 4),
+
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^6, ((A*b - a*B)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^4) + ((B*d - A*e)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(5*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^5), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^7, -((B*d - A*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^6) + ((2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(15*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^5) + (b*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(60*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^4), x, 4),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^8, -((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^7) + ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^6) - (3*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^5) + (b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^4) - (b^3*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^3), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^9, -((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^8) + ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^7) - (b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^6) + (b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^5) - (b^3*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^4), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^10, -((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^9) + ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^8) - (3*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^7) + (b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^6) - (b^3*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^5), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^11, -((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^10) + ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^9) - (3*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^8) + (b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^7) - (b^3*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^6), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^12, -((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^11) + ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^10) - (b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^9) + (b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^8) - (b^3*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^7), x, 3),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^6*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*(d + e*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^7*(a + b*x)) + (5*b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)) - (b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) + (5*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)) - (b^4*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^12*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(12*e^7*(a + b*x)) + (b^5*B*(d + e*x)^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^5*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^5*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^7) + ((b*d - a*e)^4*(b*B*d + 5*A*b*e - 6*a*B*e)*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^7) + (5*e*(b*d - a*e)^3*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*b^7) + (10*e^2*(b*d - a*e)^2*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*b^7) + (e^3*(b*d - a*e)*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*b^7) + (e^4*(5*b*B*d + A*b*e - 6*a*B*e)*(a + b*x)^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*b^7) + (B*e^5*(a + b*x)^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(12*b^7), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^6) + ((b*d - a*e)^3*(b*B*d + 4*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^6) + (e*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d + 3*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*b^6) + (2*e^2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d + 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*b^6) + (e^3*(4*b*B*d + A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*b^6) + (B*e^4*(a + b*x)^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*b^6), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^5) + ((b*d - a*e)^2*(b*B*d + 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^5) + (3*e*(b*d - a*e)*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*b^5) + (e^2*(3*b*B*d + A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*b^5) + (B*e^3*(a + b*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*b^5), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^4) + ((b*d - a*e)*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^4) + (e*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*b^4) + (B*e^2*(a + b*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*b^4), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^3) + ((b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^3) + (B*e*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*b^3), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((A*b - a*B)*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(6*b^2) + (B*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(7//2))/(7*b^2), x, 2),
+
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^1, -((b*(b*d - a*e)^4*(B*d - A*e)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x))) + ((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^5) - ((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^4) + ((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^3) - ((B*d - A*e)*(a + b*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^2) + (B*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b*e) + ((b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^7*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^2, (5*b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)) - (5*b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) + (5*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) - (b^4*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^7*(a + b*x)) + (b^5*B*(d + e*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^7*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^3, (-10*b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^2) + ((b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)) + (5*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^7*(a + b*x)) - (b^4*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) + (b^5*B*(d + e*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^7*(a + b*x)) + (5*b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^7*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^4, (5*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^3) + ((b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^2) - (5*b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)) - (b^4*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^7*(a + b*x)) + (b^5*B*(d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) - (10*b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^7*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^5, -((b^4*(5*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x))) + (b^5*B*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^5*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^4) + ((b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^3) - (5*b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^2) + (10*b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)) + (5*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^7*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^6, (b^5*B*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^5) + ((b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^4) - (5*b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^3) + (5*b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^2) - (5*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)) - (b^4*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^7*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^7, -((B*d - A*e)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^6) + (B*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^5) - (5*b*B*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^4) + (10*b^2*B*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^3) - (5*b^3*B*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^2) + (5*b^4*B*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)) + (b^5*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^7*(a + b*x)), x, 4),
+
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^8, ((A*b - a*B)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^6) + ((B*d - A*e)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(7//2))/(7*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^7), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^9, -((B*d - A*e)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^8) + ((3*b*B*d + A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(28*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^7) + (b*(3*b*B*d + A*b*e - 4*a*B*e)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(168*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^6), x, 4),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^10, -((B*d - A*e)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^9) + ((2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(24*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^8) + (b*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(84*e*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^7) + (b^2*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(504*e*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^6), x, 5),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^11, -((b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^10) + ((b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^9) - (5*b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^8) + (10*b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^7) - (5*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^6) + (b^4*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^5) - (b^5*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^4), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^12, -((b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^11) + ((b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^10) - (5*b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^9) + (5*b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^8) - (5*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^7) + (b^4*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^6) - (b^5*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^5), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^13, -((b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(12*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^12) + ((b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^11) - (b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^10) + (10*b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^9) - (5*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^8) + (b^4*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^7) - (b^5*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^6), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^14, -((b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^13) + ((b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(12*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^12) - (5*b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^11) + (b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^10) - (5*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^9) + (b^4*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^8) - (b^5*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^7), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^3/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((A*b - a*B)*e*(b*d - a*e)^2*x*(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^2)/(2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*(a + b*x)*(d + e*x)^3)/(3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*(a + b*x)*(d + e*x)^4)/(4*b*e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((A*b - a*B)*e*(b*d - a*e)*x*(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*(a + b*x)*(d + e*x)^2)/(2*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*(a + b*x)*(d + e*x)^3)/(3*b*e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (B*(b*d - a*e)*x*(a + b*x))/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e*(a + b*x)*(A + B*x)^2)/(2*b*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/b^2 + ((A*b - a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), ((A*b - a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((B*d - A*e)*(a + b*x)*log(d + e*x))/(e*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), ((B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/((b*d - a*e)^2*(d + e*x)) + ((A*b - a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b - a*B)*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -((B*d - A*e)*(a + b*x))/(2*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*(a + b*x))/((b*d - a*e)^2*(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b*(A*b - a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b*(A*b - a*B)*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -((B*d - A*e)*(a + b*x))/(3*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + ((A*b - a*B)*(a + b*x))/(2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b*(A*b - a*B)*(a + b*x))/((b*d - a*e)^3*(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b^2*(A*b - a*B)*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b^2*(A*b - a*B)*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^4/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -(((b*d - a*e)^3*(b*B*d + 4*A*b*e - 5*a*B*e))/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^4)/(2*b^6*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^2*(6*a^2*B*e^2 - 3*a*b*e*(4*B*d + A*e) + 2*b^2*d*(3*B*d + 2*A*e))*x*(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^3*(4*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*x^2*(a + b*x))/(2*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*e^4*x^3*(a + b*x))/(3*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*e*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d + 3*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -(((b*d - a*e)^2*(b*B*d + 3*A*b*e - 4*a*B*e))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^3)/(2*b^5*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^2*(3*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*x*(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*e^3*x^2*(a + b*x))/(2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*e*(b*d - a*e)*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -(((b*d - a*e)*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2)/(2*b^4*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*e^2*x*(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -((b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e))/(2*b^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*e*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -(B/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (A*b - a*B)/(2*b^2*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 2),
+((A + B*x)/((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), -((B*d - A*e)/((b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (A*b - a*B)/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e*(B*d - A*e)*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e*(B*d - A*e)*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), -((b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e)/((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (A*b - a*B)/(2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e*(B*d - A*e)*(a + b*x))/((b*d - a*e)^3*(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e)*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e)*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), -((b*(b*B*d - 3*A*b*e + 2*a*B*e))/((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (b*(A*b - a*B))/(2*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e*(B*d - A*e)*(a + b*x))/(2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e)*(a + b*x))/((b*d - a*e)^4*(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*b*e*(b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e)*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*b*e*(b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e)*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^5/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (-10*e^2*(b*d - a*e)^2*(b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e))/(b^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^5)/(4*b^7*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((b*d - a*e)^4*(b*B*d + 5*A*b*e - 6*a*B*e))/(3*b^7*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*e*(b*d - a*e)^3*(b*B*d + 2*A*b*e - 3*a*B*e))/(2*b^7*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^4*(5*b*B*d + A*b*e - 5*a*B*e)*x*(a + b*x))/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*e^5*x^2*(a + b*x))/(2*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*e^3*(b*d - a*e)*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^4/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (-2*e^2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d + 2*A*b*e - 5*a*B*e))/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b - a*B)*(b*d - a*e)^4)/(4*b^6*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((b*d - a*e)^3*(b*B*d + 4*A*b*e - 5*a*B*e))/(3*b^6*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d + 3*A*b*e - 5*a*B*e))/(b^6*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*e^4*x*(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^3*(4*b*B*d + A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -((3*B*e^2*(b*d - a*e))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (B*(b*d - a*e)^3)/(3*b^5*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*B*e*(b*d - a*e)^2)/(2*b^5*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^4)/(4*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (B*e^3*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -(((B*d - A*e)*(d + e*x)^3)/(3*(b*d - a*e)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^4)/(4*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -((A*b - a*B)*(b*d - a*e))/(4*b^3*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b*B*d + A*b*e - 2*a*B*e)/(3*b^3*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (B*e)/(2*b^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -(B/(3*b^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))) - (A*b - a*B)/(4*b^2*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), x, 2),
+((A + B*x)/((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), -((e^2*(B*d - A*e))/((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (A*b - a*B)/(4*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (B*d - A*e)/(3*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e*(B*d - A*e))/(2*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e^3*(B*d - A*e)*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^3*(B*d - A*e)*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), -((e^2*(3*b*B*d - 4*A*b*e + a*B*e))/((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (A*b - a*B)/(4*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e)/(3*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e))/(2*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e^3*(B*d - A*e)*(a + b*x))/((b*d - a*e)^5*(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e^3*(4*b*B*d - 5*A*b*e + a*B*e)*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^3*(4*b*B*d - 5*A*b*e + a*B*e)*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (-2*b*e^2*(3*b*B*d - 5*A*b*e + 2*a*B*e))/((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b*(A*b - a*B))/(4*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (b*(b*B*d - 3*A*b*e + 2*a*B*e))/(3*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*b*e*(b*B*d - 2*A*b*e + a*B*e))/(2*(b*d - a*e)^5*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e^3*(B*d - A*e)*(a + b*x))/(2*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e^3*(4*b*B*d - 5*A*b*e + a*B*e)*(a + b*x))/((b*d - a*e)^6*(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*b*e^3*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e)*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*b*e^3*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e)*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (A+B x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -((2*(b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4)) + (2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^4) - (2*b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^4) + (2*b^2*B*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^4), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -((2*(b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4)) + (2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4) - (2*b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^4) + (2*b^2*B*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^4), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -((2*(b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4)) + (2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4) - (2*b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4) + (2*b^2*B*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^4), x, 3),
+((A + B*x)*sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -((2*(b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4)) + (2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4) - (2*b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4) + (2*b^2*B*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/sqrt(d + e*x), -((2*(b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*sqrt(d + e*x))/e^4) + (2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4) - (2*b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4) + (2*b^2*B*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^(3//2), (2*(b*d - a*e)^2*(B*d - A*e))/(e^4*sqrt(d + e*x)) + (2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/e^4 - (2*b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4) + (2*b^2*B*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^(5//2), (2*(b*d - a*e)^2*(B*d - A*e))/(3*e^4*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e))/(e^4*sqrt(d + e*x)) - (2*b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/e^4 + (2*b^2*B*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^(7//2), (2*(b*d - a*e)^2*(B*d - A*e))/(5*e^4*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e))/(3*e^4*(d + e*x)^(3//2)) + (2*b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e))/(e^4*sqrt(d + e*x)) + (2*b^2*B*sqrt(d + e*x))/e^4, x, 3),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -((2*(b*d - a*e)^4*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6)) + (2*(b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6) - (4*b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^6) + (4*b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^6) - (2*b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^6) + (2*b^4*B*(d + e*x)^(19//2))/(19*e^6), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -((2*(b*d - a*e)^4*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6)) + (2*(b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) - (4*b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6) + (4*b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^6) - (2*b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^6) + (2*b^4*B*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^6), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -((2*(b*d - a*e)^4*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6)) + (2*(b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) - (4*b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) + (4*b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6) - (2*b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^6) + (2*b^4*B*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^6), x, 3),
+((A + B*x)*sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -((2*(b*d - a*e)^4*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6)) + (2*(b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6) - (4*b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) + (4*b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) - (2*b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6) + (2*b^4*B*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^6), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/sqrt(d + e*x), -((2*(b*d - a*e)^4*(B*d - A*e)*sqrt(d + e*x))/e^6) + (2*(b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) - (4*b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6) + (4*b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) - (2*b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) + (2*b^4*B*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/(d + e*x)^(3//2), (2*(b*d - a*e)^4*(B*d - A*e))/(e^6*sqrt(d + e*x)) + (2*(b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/e^6 - (4*b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) + (4*b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6) - (2*b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) + (2*b^4*B*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/(d + e*x)^(5//2), (2*(b*d - a*e)^4*(B*d - A*e))/(3*e^6*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e))/(e^6*sqrt(d + e*x)) - (4*b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/e^6 + (4*b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) - (2*b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6) + (2*b^4*B*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/(d + e*x)^(7//2), (2*(b*d - a*e)^4*(B*d - A*e))/(5*e^6*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e))/(3*e^6*(d + e*x)^(3//2)) + (4*b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e))/(e^6*sqrt(d + e*x)) + (4*b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/e^6 - (2*b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) + (2*b^4*B*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6), x, 3),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((2*(b*d - a*e)^6*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8)) + (2*(b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) - (6*b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8) + (2*b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(15//2))/(3*e^8) - (10*b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^8) + (6*b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(19//2))/(19*e^8) - (2*b^5*(7*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^(21//2))/(21*e^8) + (2*b^6*B*(d + e*x)^(23//2))/(23*e^8), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((2*(b*d - a*e)^6*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8)) + (2*(b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8) - (6*b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) + (10*b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8) - (2*b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^(15//2))/(3*e^8) + (6*b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^8) - (2*b^5*(7*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^(19//2))/(19*e^8) + (2*b^6*B*(d + e*x)^(21//2))/(21*e^8), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((2*(b*d - a*e)^6*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^8)) + (2*(b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8) - (2*b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^8) + (10*b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) - (10*b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8) + (2*b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(15//2))/(5*e^8) - (2*b^5*(7*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^8) + (2*b^6*B*(d + e*x)^(19//2))/(19*e^8), x, 3),
+((A + B*x)*sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((2*(b*d - a*e)^6*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^8)) + (2*(b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^8) - (6*b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8) + (10*b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8) - (10*b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) + (6*b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8) - (2*b^5*(7*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^8) + (2*b^6*B*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^8), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/sqrt(d + e*x), -((2*(b*d - a*e)^6*(B*d - A*e)*sqrt(d + e*x))/e^8) + (2*(b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^8) - (6*b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^8) + (10*b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8) - (10*b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8) + (6*b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) - (2*b^5*(7*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8) + (2*b^6*B*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^8), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/(d + e*x)^(3//2), (2*(b*d - a*e)^6*(B*d - A*e))/(e^8*sqrt(d + e*x)) + (2*(b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/e^8 - (2*b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/e^8 + (2*b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/e^8 - (10*b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8) + (2*b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^8) - (2*b^5*(7*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) + (2*b^6*B*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/(d + e*x)^(5//2), (2*(b*d - a*e)^6*(B*d - A*e))/(3*e^8*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e))/(e^8*sqrt(d + e*x)) - (6*b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/e^8 + (10*b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^8) - (2*b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/e^8 + (6*b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8) - (2*b^5*(7*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8) + (2*b^6*B*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/(d + e*x)^(7//2), (2*(b*d - a*e)^6*(B*d - A*e))/(5*e^8*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(b*d - a*e)^5*(7*b*B*d - 6*A*b*e - a*B*e))/(3*e^8*(d + e*x)^(3//2)) + (6*b*(b*d - a*e)^4*(7*b*B*d - 5*A*b*e - 2*a*B*e))/(e^8*sqrt(d + e*x)) + (10*b^2*(b*d - a*e)^3*(7*b*B*d - 4*A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/e^8 - (10*b^3*(b*d - a*e)^2*(7*b*B*d - 3*A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^8) + (6*b^4*(b*d - a*e)*(7*b*B*d - 2*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^8) - (2*b^5*(7*b*B*d - A*b*e - 6*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8) + (2*b^6*B*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((b*d - a*e)^2*(2*b*B*d + 7*A*b*e - 9*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/b^5 + ((b*d - a*e)*(2*b*B*d + 7*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^4) + ((2*b*B*d + 7*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*b^3) + ((2*b*B*d + 7*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*b^2*(b*d - a*e)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(9//2))/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^(5//2)*(2*b*B*d + 7*A*b*e - 9*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/b^(11//2), x, 8),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((b*d - a*e)*(2*b*B*d + 5*A*b*e - 7*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/b^4 + ((2*b*B*d + 5*A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^3) + ((2*b*B*d + 5*A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*b^2*(b*d - a*e)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(7//2))/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^(3//2)*(2*b*B*d + 5*A*b*e - 7*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/b^(9//2), x, 7),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((2*b*B*d + 3*A*b*e - 5*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/b^3 + ((2*b*B*d + 3*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^2*(b*d - a*e)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(5//2))/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - (sqrt(b*d - a*e)*(2*b*B*d + 3*A*b*e - 5*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/b^(7//2), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(d + e*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(b^2*(b*d - a*e)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(3//2))/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - ((2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b^(5//2)*sqrt(b*d - a*e)), x, 5),
+((A + B*x)/(sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(((A*b - a*B)*sqrt(d + e*x))/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x))) - ((2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b^(3//2)*(b*d - a*e)^(3//2)), x, 4),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e)/(b*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x)) - (A*b - a*B)/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - ((2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(sqrt(b)*(b*d - a*e)^(5//2)), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (2*b*B*d - 5*A*b*e + 3*a*B*e)/(3*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2)) - (A*b - a*B)/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (2*b*B*d - 5*A*b*e + 3*a*B*e)/((b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)) - (sqrt(b)*(2*b*B*d - 5*A*b*e + 3*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b*d - a*e)^(7//2), x, 6),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (2*b*B*d - 7*A*b*e + 5*a*B*e)/(5*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2)) - (A*b - a*B)/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (2*b*B*d - 7*A*b*e + 5*a*B*e)/(3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2)) + (b*(2*b*B*d - 7*A*b*e + 5*a*B*e))/((b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)) - (b^(3//2)*(2*b*B*d - 7*A*b*e + 5*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b*d - a*e)^(9//2), x, 7),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(9//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (21*e^2*(b*d - a*e)*(6*b*B*d + 5*A*b*e - 11*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(8*b^6) + (7*e^2*(6*b*B*d + 5*A*b*e - 11*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(8*b^5) + (21*e^2*(6*b*B*d + 5*A*b*e - 11*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(40*b^4*(b*d - a*e)) - (3*e*(6*b*B*d + 5*A*b*e - 11*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(8*b^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - ((6*b*B*d + 5*A*b*e - 11*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(12*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(11//2))/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3) - (21*e^2*(b*d - a*e)^(3//2)*(6*b*B*d + 5*A*b*e - 11*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*b^(13//2)), x, 9),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (35*e^2*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(8*b^5) + (35*e^2*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(24*b^4*(b*d - a*e)) - (7*e*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(8*b^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - ((2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(4*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(9//2))/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3) - (35*e^2*sqrt(b*d - a*e)*(2*b*B*d + A*b*e - 3*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*b^(11//2)), x, 8),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (5*e^2*(6*b*B*d + A*b*e - 7*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(8*b^4*(b*d - a*e)) - (5*e*(6*b*B*d + A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(24*b^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - ((6*b*B*d + A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(12*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(7//2))/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3) - (5*e^2*(6*b*B*d + A*b*e - 7*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*b^(9//2)*sqrt(b*d - a*e)), x, 7),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -(e*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(8*b^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - ((6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(12*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(5//2))/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3) - (e^2*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*b^(7//2)*(b*d - a*e)^(3//2)), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(d + e*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -((2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(4*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) - (e*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(8*b^2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3) + (e^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*b^(5//2)*(b*d - a*e)^(5//2)), x, 6),
+((A + B*x)/(sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -((A*b - a*B)*sqrt(d + e*x))/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3) - ((6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(12*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2) + (e*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(8*b*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)) - (e^2*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*b^(3//2)*(b*d - a*e)^(7//2)), x, 6),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), (5*e^2*(6*b*B*d - 7*A*b*e + a*B*e))/(8*b*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)) - (A*b - a*B)/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(d + e*x)) - (6*b*B*d - 7*A*b*e + a*B*e)/(12*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*sqrt(d + e*x)) + (5*e*(6*b*B*d - 7*A*b*e + a*B*e))/(24*b*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (5*e^2*(6*b*B*d - 7*A*b*e + a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*sqrt(b)*(b*d - a*e)^(9//2)), x, 7),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), (35*e^2*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e))/(24*b*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2)) - (A*b - a*B)/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*(d + e*x)^(3//2)) - (2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e)/(4*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (7*e*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e))/(8*b*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (35*e^2*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e))/(8*(b*d - a*e)^5*sqrt(d + e*x)) - (35*sqrt(b)*e^2*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*(b*d - a*e)^(11//2)), x, 8),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), (21*e^2*(6*b*B*d - 11*A*b*e + 5*a*B*e))/(40*b*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(5//2)) - (A*b - a*B)/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*(d + e*x)^(5//2)) - (6*b*B*d - 11*A*b*e + 5*a*B*e)/(12*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(5//2)) + (3*e*(6*b*B*d - 11*A*b*e + 5*a*B*e))/(8*b*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (7*e^2*(6*b*B*d - 11*A*b*e + 5*a*B*e))/(8*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(3//2)) + (21*b*e^2*(6*b*B*d - 11*A*b*e + 5*a*B*e))/(8*(b*d - a*e)^6*sqrt(d + e*x)) - (21*b^(3//2)*e^2*(6*b*B*d - 11*A*b*e + 5*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*(b*d - a*e)^(13//2)), x, 9),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(11//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (231*e^4*(10*b*B*d + 3*A*b*e - 13*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(128*b^7) + (77*e^4*(10*b*B*d + 3*A*b*e - 13*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(128*b^6*(b*d - a*e)) - (231*e^3*(10*b*B*d + 3*A*b*e - 13*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(640*b^5*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - (33*e^2*(10*b*B*d + 3*A*b*e - 13*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(320*b^4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) - (11*e*(10*b*B*d + 3*A*b*e - 13*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(240*b^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3) - ((10*b*B*d + 3*A*b*e - 13*a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(40*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^4) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(13//2))/(5*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5) - (231*e^4*sqrt(b*d - a*e)*(10*b*B*d + 3*A*b*e - 13*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*b^(15//2)), x, 10),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(9//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (63*e^4*(10*b*B*d + A*b*e - 11*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(128*b^6*(b*d - a*e)) - (21*e^3*(10*b*B*d + A*b*e - 11*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(128*b^5*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - (21*e^2*(10*b*B*d + A*b*e - 11*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(320*b^4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) - (3*e*(10*b*B*d + A*b*e - 11*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(80*b^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3) - ((10*b*B*d + A*b*e - 11*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(40*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^4) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(11//2))/(5*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5) - (63*e^4*(10*b*B*d + A*b*e - 11*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*b^(13//2)*sqrt(b*d - a*e)), x, 9),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (-7*e^3*(10*b*B*d - A*b*e - 9*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(128*b^5*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - (7*e^2*(10*b*B*d - A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(192*b^4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) - (7*e*(10*b*B*d - A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(240*b^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3) - ((10*b*B*d - A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(40*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^4) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(9//2))/(5*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5) - (7*e^4*(10*b*B*d - A*b*e - 9*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*b^(11//2)*(b*d - a*e)^(3//2)), x, 8),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -(e^2*(10*b*B*d - 3*A*b*e - 7*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(64*b^4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) - (e^3*(10*b*B*d - 3*A*b*e - 7*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(128*b^4*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)) - (e*(10*b*B*d - 3*A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(48*b^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3) - ((10*b*B*d - 3*A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(40*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^4) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(7//2))/(5*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5) + (e^4*(10*b*B*d - 3*A*b*e - 7*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*b^(9//2)*(b*d - a*e)^(5//2)), x, 8),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -(e*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(16*b^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3) - (e^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(64*b^3*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2) + (3*e^3*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(128*b^3*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)) - ((2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(8*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^4) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(5//2))/(5*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5) - (3*e^4*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*b^(7//2)*(b*d - a*e)^(7//2)), x, 8),
+(((A + B*x)*sqrt(d + e*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((10*b*B*d - 7*A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(40*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^4) - (e*(10*b*B*d - 7*A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(240*b^2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3) + (e^2*(10*b*B*d - 7*A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(192*b^2*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^2) - (e^3*(10*b*B*d - 7*A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(128*b^2*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(3//2))/(5*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5) + (e^4*(10*b*B*d - 7*A*b*e - 3*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*b^(5//2)*(b*d - a*e)^(9//2)), x, 8),
+((A + B*x)/(sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), -((A*b - a*B)*sqrt(d + e*x))/(5*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5) - ((10*b*B*d - 9*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(40*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^4) + (7*e*(10*b*B*d - 9*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(240*b*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^3) - (7*e^2*(10*b*B*d - 9*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(192*b*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^2) + (7*e^3*(10*b*B*d - 9*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(128*b*(b*d - a*e)^5*(a + b*x)) - (7*e^4*(10*b*B*d - 9*A*b*e - a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*b^(3//2)*(b*d - a*e)^(11//2)), x, 8),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), (63*e^4*(10*b*B*d - 11*A*b*e + a*B*e))/(128*b*(b*d - a*e)^6*sqrt(d + e*x)) - (A*b - a*B)/(5*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5*sqrt(d + e*x)) - (10*b*B*d - 11*A*b*e + a*B*e)/(40*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^4*sqrt(d + e*x)) + (3*e*(10*b*B*d - 11*A*b*e + a*B*e))/(80*b*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^3*sqrt(d + e*x)) - (21*e^2*(10*b*B*d - 11*A*b*e + a*B*e))/(320*b*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^2*sqrt(d + e*x)) + (21*e^3*(10*b*B*d - 11*A*b*e + a*B*e))/(128*b*(b*d - a*e)^5*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (63*e^4*(10*b*B*d - 11*A*b*e + a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*sqrt(b)*(b*d - a*e)^(13//2)), x, 9),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), (77*e^4*(10*b*B*d - 13*A*b*e + 3*a*B*e))/(128*b*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(3//2)) - (A*b - a*B)/(5*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5*(d + e*x)^(3//2)) - (10*b*B*d - 13*A*b*e + 3*a*B*e)/(40*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^4*(d + e*x)^(3//2)) + (11*e*(10*b*B*d - 13*A*b*e + 3*a*B*e))/(240*b*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^3*(d + e*x)^(3//2)) - (33*e^2*(10*b*B*d - 13*A*b*e + 3*a*B*e))/(320*b*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (231*e^3*(10*b*B*d - 13*A*b*e + 3*a*B*e))/(640*b*(b*d - a*e)^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (231*e^4*(10*b*B*d - 13*A*b*e + 3*a*B*e))/(128*(b*d - a*e)^7*sqrt(d + e*x)) - (231*sqrt(b)*e^4*(10*b*B*d - 13*A*b*e + 3*a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*(b*d - a*e)^(15//2)), x, 10),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), (3003*e^4*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e))/(640*b*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(5//2)) - (A*b - a*B)/(5*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5*(d + e*x)^(5//2)) - (2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e)/(8*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^4*(d + e*x)^(5//2)) + (13*e*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e))/(48*b*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^3*(d + e*x)^(5//2)) - (143*e^2*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e))/(192*b*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(5//2)) + (429*e^3*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e))/(128*b*(b*d - a*e)^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (1001*e^4*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e))/(128*(b*d - a*e)^7*(d + e*x)^(3//2)) + (3003*b*e^4*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e))/(128*(b*d - a*e)^8*sqrt(d + e*x)) - (3003*b^(3//2)*e^4*(2*b*B*d - 3*A*b*e + a*B*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(128*(b*d - a*e)^(17//2)), x, 11),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (A+B x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^3*(a + b*x)) - (2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^3*(a + b*x)) + (2*b*B*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^3*(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^3*(a + b*x)) - (2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^3*(a + b*x)) + (2*b*B*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^3*(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^3*(a + b*x)) - (2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^3*(a + b*x)) + (2*b*B*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^3*(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^3*(a + b*x)) - (2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^3*(a + b*x)) + (2*b*B*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^3*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/sqrt(d + e*x), (2*(b*d - a*e)*(B*d - A*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x)) - (2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^3*(a + b*x)) + (2*b*B*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^3*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^(3//2), (-2*(b*d - a*e)*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x)) + (2*b*B*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^3*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^(5//2), (-2*(b*d - a*e)*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (2*b*B*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^(7//2), (-2*(b*d - a*e)*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (2*b*B*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)), x, 3),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (2*(b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^5*(a + b*x)) - (2*(b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^5*(a + b*x)) + (6*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^5*(a + b*x)) - (2*b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(15*e^5*(a + b*x)) + (2*b^3*B*(d + e*x)^(17//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(17*e^5*(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (2*(b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)) - (2*(b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^5*(a + b*x)) + (6*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^5*(a + b*x)) - (2*b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^5*(a + b*x)) + (2*b^3*B*(d + e*x)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(15*e^5*(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (2*(b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)) - (2*(b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)) + (2*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)) - (2*b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^5*(a + b*x)) + (2*b^3*B*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^5*(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)*sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (2*(b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)) - (2*(b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)) + (6*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)) - (2*b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^5*(a + b*x)) + (2*b^3*B*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^5*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/sqrt(d + e*x), (2*(b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)) - (2*(b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)) + (6*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)) - (2*b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)) + (2*b^3*B*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^5*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(3//2), (-2*(b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (2*(b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)) + (2*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)) - (2*b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)) + (2*b^3*B*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(5//2), (-2*(b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (6*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)) - (2*b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)) + (2*b^3*B*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(7//2), (-2*(b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (6*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (2*b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)) + (2*b^3*B*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)), x, 3),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (2*(b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)) - (2*(b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)) + (10*b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)) - (4*b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) + (10*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(17//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(17*e^7*(a + b*x)) - (2*b^4*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(19//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(19*e^7*(a + b*x)) + (2*b^5*B*(d + e*x)^(21//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(21*e^7*(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (2*(b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)) - (2*(b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)) + (10*b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)) - (20*b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)) + (2*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) - (2*b^4*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(17//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(17*e^7*(a + b*x)) + (2*b^5*B*(d + e*x)^(19//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(19*e^7*(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (2*(b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)) - (2*(b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)) + (10*b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)) - (20*b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)) + (10*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)) - (2*b^4*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(15*e^7*(a + b*x)) + (2*b^5*B*(d + e*x)^(17//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(17*e^7*(a + b*x)), x, 3),
+((A + B*x)*sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (2*(b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) - (2*(b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)) + (10*b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)) - (20*b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)) + (10*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)) - (2*b^4*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)) + (2*b^5*B*(d + e*x)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(15*e^7*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/sqrt(d + e*x), (2*(b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) - (2*(b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) + (2*b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) - (20*b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)) + (10*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)) - (2*b^4*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)) + (2*b^5*B*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(3//2), (-2*(b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (2*(b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) + (10*b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) - (4*b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) + (10*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)) - (2*b^4*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)) + (2*b^5*B*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(5//2), (-2*(b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (10*b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) - (20*b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) + (2*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) - (2*b^4*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)) + (2*b^5*B*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)), x, 3),
+(((A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(7//2), (-2*(b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (10*b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (20*b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) + (10*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) - (2*b^4*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)) + (2*b^5*B*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)), x, 3),
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+
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+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(A*b - a*B)*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*(A*b - a*B)*(b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*(A*b - a*B)*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(5*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*B*(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2))/(7*b*e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*(A*b - a*B)*(b*d - a*e)^(5//2)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(A*b - a*B)*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*(A*b - a*B)*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*B*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(5*b*e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*(A*b - a*B)*(b*d - a*e)^(3//2)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(d + e*x))/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(A*b - a*B)*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*B*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b*e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*(A*b - a*B)*sqrt(b*d - a*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 5),
+((A + B*x)/(sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (2*B*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(b*e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*(A*b - a*B)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b^(3//2)*sqrt(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x))/(e*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*(A*b - a*B)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(sqrt(b)*(b*d - a*e)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x))/(3*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*(A*b - a*B)*(a + b*x))/((b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*sqrt(b)*(A*b - a*B)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/((b*d - a*e)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (-2*(B*d - A*e)*(a + b*x))/(5*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*(A*b - a*B)*(a + b*x))/(3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*b*(A*b - a*B)*(a + b*x))/((b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*b^(3//2)*(A*b - a*B)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/((b*d - a*e)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 6),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (7*e*(b*d - a*e)*(4*b*B*d + 5*A*b*e - 9*a*B*e)*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(4*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (7*e*(4*b*B*d + 5*A*b*e - 9*a*B*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(12*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (7*e*(4*b*B*d + 5*A*b*e - 9*a*B*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(20*b^3*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((4*b*B*d + 5*A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(4*b^2*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(9//2))/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (7*e*(b*d - a*e)^(3//2)*(4*b*B*d + 5*A*b*e - 9*a*B*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 8),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (5*e*(4*b*B*d + 3*A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(4*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*e*(4*b*B*d + 3*A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(12*b^3*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((4*b*B*d + 3*A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(4*b^2*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(7//2))/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*e*sqrt(b*d - a*e)*(4*b*B*d + 3*A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (3*e*(4*b*B*d + A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(4*b^3*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((4*b*B*d + A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(4*b^2*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(5//2))/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*e*(4*b*B*d + A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(7//2)*sqrt(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 6),
+(((A + B*x)*sqrt(d + e*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -((4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(4*b^2*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(3//2))/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(5//2)*(b*d - a*e)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 5),
+((A + B*x)/(sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), -((4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(4*b*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b - a*B)*sqrt(d + e*x))/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(3//2)*(b*d - a*e)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), -(4*b*B*d - 5*A*b*e + a*B*e)/(4*b*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (A*b - a*B)/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*e*(4*b*B*d - 5*A*b*e + a*B*e)*(a + b*x))/(4*b*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*e*(4*b*B*d - 5*A*b*e + a*B*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*sqrt(b)*(b*d - a*e)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 6),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), -(4*b*B*d - 7*A*b*e + 3*a*B*e)/(4*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (A*b - a*B)/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*e*(4*b*B*d - 7*A*b*e + 3*a*B*e)*(a + b*x))/(12*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*e*(4*b*B*d - 7*A*b*e + 3*a*B*e)*(a + b*x))/(4*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*sqrt(b)*e*(4*b*B*d - 7*A*b*e + 3*a*B*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*(b*d - a*e)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), -(4*b*B*d - 9*A*b*e + 5*a*B*e)/(4*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (A*b - a*B)/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (7*e*(4*b*B*d - 9*A*b*e + 5*a*B*e)*(a + b*x))/(20*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (7*e*(4*b*B*d - 9*A*b*e + 5*a*B*e)*(a + b*x))/(12*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (7*b*e*(4*b*B*d - 9*A*b*e + 5*a*B*e)*(a + b*x))/(4*(b*d - a*e)^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (7*b^(3//2)*e*(4*b*B*d - 9*A*b*e + 5*a*B*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*(b*d - a*e)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 8),
+
+
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(11//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (231*e^3*(b*d - a*e)*(8*b*B*d + 5*A*b*e - 13*a*B*e)*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(64*b^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (77*e^3*(8*b*B*d + 5*A*b*e - 13*a*B*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(64*b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (231*e^3*(8*b*B*d + 5*A*b*e - 13*a*B*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(320*b^5*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (33*e^2*(8*b*B*d + 5*A*b*e - 13*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(64*b^4*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (11*e*(8*b*B*d + 5*A*b*e - 13*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(96*b^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((8*b*B*d + 5*A*b*e - 13*a*B*e)*(d + e*x)^(11//2))/(24*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(13//2))/(4*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (231*e^3*(b*d - a*e)^(3//2)*(8*b*B*d + 5*A*b*e - 13*a*B*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 10),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(9//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (105*e^3*(8*b*B*d + 3*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(64*b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (35*e^3*(8*b*B*d + 3*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(64*b^5*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (21*e^2*(8*b*B*d + 3*A*b*e - 11*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(64*b^4*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*e*(8*b*B*d + 3*A*b*e - 11*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(32*b^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((8*b*B*d + 3*A*b*e - 11*a*B*e)*(d + e*x)^(9//2))/(24*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(11//2))/(4*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (105*e^3*sqrt(b*d - a*e)*(8*b*B*d + 3*A*b*e - 11*a*B*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 9),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(7//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (35*e^3*(8*b*B*d + A*b*e - 9*a*B*e)*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(64*b^5*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*e^2*(8*b*B*d + A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(192*b^4*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (7*e*(8*b*B*d + A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(96*b^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((8*b*B*d + A*b*e - 9*a*B*e)*(d + e*x)^(7//2))/(24*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(9//2))/(4*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*e^3*(8*b*B*d + A*b*e - 9*a*B*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(11//2)*sqrt(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 8),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (-5*e^2*(8*b*B*d - A*b*e - 7*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(64*b^4*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*e*(8*b*B*d - A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(96*b^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((8*b*B*d - A*b*e - 7*a*B*e)*(d + e*x)^(5//2))/(24*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(7//2))/(4*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*e^3*(8*b*B*d - A*b*e - 7*a*B*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(9//2)*(b*d - a*e)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+(((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -(e^2*(8*b*B*d - 3*A*b*e - 5*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(64*b^3*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e*(8*b*B*d - 3*A*b*e - 5*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(32*b^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((8*b*B*d - 3*A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(3//2))/(24*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(5//2))/(4*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^3*(8*b*B*d - 3*A*b*e - 5*a*B*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(7//2)*(b*d - a*e)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+(((A + B*x)*sqrt(d + e*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (e^2*(8*b*B*d - 5*A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(64*b^2*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((8*b*B*d - 5*A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(24*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e*(8*b*B*d - 5*A*b*e - 3*a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(96*b^2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b - a*B)*(d + e*x)^(3//2))/(4*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e^3*(8*b*B*d - 5*A*b*e - 3*a*B*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(5//2)*(b*d - a*e)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+((A + B*x)/(sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (-5*e^2*(8*b*B*d - 7*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(64*b*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b - a*B)*sqrt(d + e*x))/(4*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((8*b*B*d - 7*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(24*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*e*(8*b*B*d - 7*A*b*e - a*B*e)*sqrt(d + e*x))/(96*b*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*e^3*(8*b*B*d - 7*A*b*e - a*B*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(3//2)*(b*d - a*e)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (-35*e^2*(8*b*B*d - 9*A*b*e + a*B*e))/(192*b*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (A*b - a*B)/(4*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (8*b*B*d - 9*A*b*e + a*B*e)/(24*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (7*e*(8*b*B*d - 9*A*b*e + a*B*e))/(96*b*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*e^3*(8*b*B*d - 9*A*b*e + a*B*e)*(a + b*x))/(64*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (35*e^3*(8*b*B*d - 9*A*b*e + a*B*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*sqrt(b)*(b*d - a*e)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 8),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (-21*e^2*(8*b*B*d - 11*A*b*e + 3*a*B*e))/(64*b*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (A*b - a*B)/(4*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (8*b*B*d - 11*A*b*e + 3*a*B*e)/(24*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*e*(8*b*B*d - 11*A*b*e + 3*a*B*e))/(32*b*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*e^3*(8*b*B*d - 11*A*b*e + 3*a*B*e)*(a + b*x))/(64*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (105*e^3*(8*b*B*d - 11*A*b*e + 3*a*B*e)*(a + b*x))/(64*(b*d - a*e)^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (105*sqrt(b)*e^3*(8*b*B*d - 11*A*b*e + 3*a*B*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*(b*d - a*e)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 9),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (-33*e^2*(8*b*B*d - 13*A*b*e + 5*a*B*e))/(64*b*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (A*b - a*B)/(4*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (8*b*B*d - 13*A*b*e + 5*a*B*e)/(24*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (11*e*(8*b*B*d - 13*A*b*e + 5*a*B*e))/(96*b*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (231*e^3*(8*b*B*d - 13*A*b*e + 5*a*B*e)*(a + b*x))/(320*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (77*e^3*(8*b*B*d - 13*A*b*e + 5*a*B*e)*(a + b*x))/(64*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (231*b*e^3*(8*b*B*d - 13*A*b*e + 5*a*B*e)*(a + b*x))/(64*(b*d - a*e)^7*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (231*b^(3//2)*e^3*(8*b*B*d - 13*A*b*e + 5*a*B*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*(b*d - a*e)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 10),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^p when m symbolic
+
+
+((d + e*x)^m*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -(((b*d - a*e)^4*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^6*(1 + m))) + ((b*d - a*e)^3*(5*b*B*d - 4*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^6*(2 + m)) - (2*b*(b*d - a*e)^2*(5*b*B*d - 3*A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^6*(3 + m)) + (2*b^2*(b*d - a*e)*(5*b*B*d - 2*A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(4 + m))/(e^6*(4 + m)) - (b^3*(5*b*B*d - A*b*e - 4*a*B*e)*(d + e*x)^(5 + m))/(e^6*(5 + m)) + (b^4*B*(d + e*x)^(6 + m))/(e^6*(6 + m)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^1, -(((b*d - a*e)^2*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^4*(1 + m))) + ((b*d - a*e)*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^4*(2 + m)) - (b*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^4*(3 + m)) + (b^2*B*(d + e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^1, -(((A*b - a*B)*(d + e*x)^(1 + m))/(b*(b*d - a*e)*(a + b*x))) + ((a*B*e*(1 + m) - b*(B*d + A*e*m))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/(b*(b*d - a*e)^2*(1 + m)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -(((A*b - a*B)*(d + e*x)^(1 + m))/(3*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3)) - (e^2*(b*(3*B*d - A*e*(2 - m)) - a*B*e*(1 + m))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + m, 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/(3*b*(b*d - a*e)^4*(1 + m)), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^m*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((b*d - a*e)^5*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(1 + m)*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^4*(6*b*B*d - 5*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(2 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(2 + m)*(a + b*x)) + (5*b*(b*d - a*e)^3*(3*b*B*d - 2*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(3 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(3 + m)*(a + b*x)) - (10*b^2*(b*d - a*e)^2*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(4 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(4 + m)*(a + b*x)) + (5*b^3*(b*d - a*e)*(3*b*B*d - A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^(5 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(5 + m)*(a + b*x)) - (b^4*(6*b*B*d - A*b*e - 5*a*B*e)*(d + e*x)^(6 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(6 + m)*(a + b*x)) + (b^5*B*(d + e*x)^(7 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(7 + m)*(a + b*x)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((b*d - a*e)^3*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(1 + m)*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^2*(4*b*B*d - 3*A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(2 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(2 + m)*(a + b*x)) + (3*b*(b*d - a*e)*(2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(3 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(3 + m)*(a + b*x)) - (b^2*(4*b*B*d - A*b*e - 3*a*B*e)*(d + e*x)^(4 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(4 + m)*(a + b*x)) + (b^3*B*(d + e*x)^(5 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(5 + m)*(a + b*x)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(1//2), ((b*d - a*e)*(B*d - A*e)*(d + e*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(1 + m)*(a + b*x)) - ((2*b*B*d - A*b*e - a*B*e)*(d + e*x)^(2 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(2 + m)*(a + b*x)) + (b*B*(d + e*x)^(3 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(3 + m)*(a + b*x)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(1//2), (B*(a + b*x)*(d + e*x)^(1 + m))/(b*e*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - ((A*b - a*B)*(a + b*x)*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/(b*(b*d - a*e)*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(A + B*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -(((A*b - a*B)*(d + e*x)^(1 + m))/(2*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) + (e*(b*(2*B*d - A*e*(1 - m)) - a*B*e*(1 + m))*(a + b*x)*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/(2*b*(b*d - a*e)^3*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^p when p symbolic
+
+
+((d + e*x)^m*(A + B*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p, (B*(a + b*x)*(d + e*x)^(1 + m)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(b*e*(2 + m + 2*p)) + ((A*b*e*(2 + m + 2*p) - B*(a*e*(1 + m) + b*(d + 2*d*p)))*(d + e*x)^(1 + m)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -2*p, 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/((-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e)))^(2*p)*(b*e^2*(1 + m)*(2 + m + 2*p))), x, 4),
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+
+((f + g*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 3), ((b*f - a*g)*(a + b*x)*(d + e*x)^(-1 - 2*p)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/((b*d - a*e)^2*(1 + 2*p)) - ((e*f - d*g)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(1 + p))/((d + e*x)^(2*(1 + p))*(2*(b*d - a*e)^2*(1 + p))), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p when b^2-4 a c=0 and 2 c f-b g=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^5*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -(((b*d - a*e)^3*(d + e*x)^6)/(6*e^4)) + (3*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^7)/(7*e^4) - (3*b^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^8)/(8*e^4) + (b^3*(d + e*x)^9)/(9*e^4), x, 3),
+((d + e*x)^4*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), -(((b*d - a*e)^3*(d + e*x)^5)/(5*e^4)) + (b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^6)/(2*e^4) - (3*b^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^4) + (b^3*(d + e*x)^8)/(8*e^4), x, 3),
+((d + e*x)^3*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((b*d - a*e)^3*(a + b*x)^4)/(4*b^4) + (3*e*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^5)/(5*b^4) + (e^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^6)/(2*b^4) + (e^3*(a + b*x)^7)/(7*b^4), x, 3),
+((d + e*x)^2*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)^4)/(4*b^3) + (2*e*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5)/(5*b^3) + (e^2*(a + b*x)^6)/(6*b^3), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((b*d - a*e)*(a + b*x)^4)/(4*b^2) + (e*(a + b*x)^5)/(5*b^2), x, 3),
+((d + e*x)^0*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (a + b*x)^4/(4*b), x, 2),
+((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^1, (b*(b*d - a*e)^2*x)/e^3 - ((b*d - a*e)*(a + b*x)^2)/(2*e^2) + (a + b*x)^3/(3*e) - ((b*d - a*e)^3*log(d + e*x))/e^4, x, 3),
+((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^2, -((b^2*(2*b*d - 3*a*e)*x)/e^3) + (b^3*x^2)/(2*e^2) + (b*d - a*e)^3/(e^4*(d + e*x)) + (3*b*(b*d - a*e)^2*log(d + e*x))/e^4, x, 3),
+((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^3, (b^3*x)/e^3 + (b*d - a*e)^3/(2*e^4*(d + e*x)^2) - (3*b*(b*d - a*e)^2)/(e^4*(d + e*x)) - (3*b^2*(b*d - a*e)*log(d + e*x))/e^4, x, 3),
+((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/(d + e*x)^4, (b*d - a*e)^3/(3*e^4*(d + e*x)^3) - (3*b*(b*d - a*e)^2)/(2*e^4*(d + e*x)^2) + (3*b^2*(b*d - a*e))/(e^4*(d + e*x)) + (b^3*log(d + e*x))/e^4, x, 3),
+
+
+((d + e*x)^6*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -(((b*d - a*e)^5*(d + e*x)^7)/(7*e^6)) + (5*b*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^8)/(8*e^6) - (10*b^2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^9)/(9*e^6) + (b^3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^10)/e^6 - (5*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^11)/(11*e^6) + (b^5*(d + e*x)^12)/(12*e^6), x, 3),
+((d + e*x)^5*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((b*d - a*e)^5*(a + b*x)^6)/(6*b^6) + (5*e*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^7)/(7*b^6) + (5*e^2*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^8)/(4*b^6) + (10*e^3*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^9)/(9*b^6) + (e^4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^10)/(2*b^6) + (e^5*(a + b*x)^11)/(11*b^6), x, 3),
+((d + e*x)^4*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((b*d - a*e)^4*(a + b*x)^6)/(6*b^5) + (4*e*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^7)/(7*b^5) + (3*e^2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^8)/(4*b^5) + (4*e^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^9)/(9*b^5) + (e^4*(a + b*x)^10)/(10*b^5), x, 3),
+((d + e*x)^3*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((b*d - a*e)^3*(a + b*x)^6)/(6*b^4) + (3*e*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^7)/(7*b^4) + (3*e^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^8)/(8*b^4) + (e^3*(a + b*x)^9)/(9*b^4), x, 3),
+((d + e*x)^2*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)^6)/(6*b^3) + (2*e*(b*d - a*e)*(a + b*x)^7)/(7*b^3) + (e^2*(a + b*x)^8)/(8*b^3), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, ((b*d - a*e)*(a + b*x)^6)/(6*b^2) + (e*(a + b*x)^7)/(7*b^2), x, 3),
+((d + e*x)^0*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (a + b*x)^6/(6*b), x, 2),
+((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^1, (b*(b*d - a*e)^4*x)/e^5 - ((b*d - a*e)^3*(a + b*x)^2)/(2*e^4) + ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3)/(3*e^3) - ((b*d - a*e)*(a + b*x)^4)/(4*e^2) + (a + b*x)^5/(5*e) - ((b*d - a*e)^5*log(d + e*x))/e^6, x, 3),
+((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^2, -((10*b^2*(b*d - a*e)^3*x)/e^5) + (b*d - a*e)^5/(e^6*(d + e*x)) + (5*b^3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^2)/e^6 - (5*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^3)/(3*e^6) + (b^5*(d + e*x)^4)/(4*e^6) + (5*b*(b*d - a*e)^4*log(d + e*x))/e^6, x, 3),
+((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^3, (10*b^3*(b*d - a*e)^2*x)/e^5 + (b*d - a*e)^5/(2*e^6*(d + e*x)^2) - (5*b*(b*d - a*e)^4)/(e^6*(d + e*x)) - (5*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^2)/(2*e^6) + (b^5*(d + e*x)^3)/(3*e^6) - (10*b^2*(b*d - a*e)^3*log(d + e*x))/e^6, x, 3),
+((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2/(d + e*x)^4, -((b^4*(4*b*d - 5*a*e)*x)/e^5) + (b^5*x^2)/(2*e^4) + (b*d - a*e)^5/(3*e^6*(d + e*x)^3) - (5*b*(b*d - a*e)^4)/(2*e^6*(d + e*x)^2) + (10*b^2*(b*d - a*e)^3)/(e^6*(d + e*x)) + (10*b^3*(b*d - a*e)^2*log(d + e*x))/e^6, x, 3),
+
+
+((d + e*x)^6*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((b*d - a*e)^6*(a + b*x)^8)/(8*b^7) + (2*e*(b*d - a*e)^5*(a + b*x)^9)/(3*b^7) + (3*e^2*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^10)/(2*b^7) + (20*e^3*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^11)/(11*b^7) + (5*e^4*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^12)/(4*b^7) + (6*e^5*(b*d - a*e)*(a + b*x)^13)/(13*b^7) + (e^6*(a + b*x)^14)/(14*b^7), x, 3),
+((d + e*x)^5*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((b*d - a*e)^5*(a + b*x)^8)/(8*b^6) + (5*e*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^9)/(9*b^6) + (e^2*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^10)/b^6 + (10*e^3*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^11)/(11*b^6) + (5*e^4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^12)/(12*b^6) + (e^5*(a + b*x)^13)/(13*b^6), x, 3),
+((d + e*x)^4*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((b*d - a*e)^4*(a + b*x)^8)/(8*b^5) + (4*e*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^9)/(9*b^5) + (3*e^2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^10)/(5*b^5) + (4*e^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^11)/(11*b^5) + (e^4*(a + b*x)^12)/(12*b^5), x, 3),
+((d + e*x)^3*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((b*d - a*e)^3*(a + b*x)^8)/(8*b^4) + (e*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^9)/(3*b^4) + (3*e^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^10)/(10*b^4) + (e^3*(a + b*x)^11)/(11*b^4), x, 3),
+((d + e*x)^2*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)^8)/(8*b^3) + (2*e*(b*d - a*e)*(a + b*x)^9)/(9*b^3) + (e^2*(a + b*x)^10)/(10*b^3), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((b*d - a*e)*(a + b*x)^8)/(8*b^2) + (e*(a + b*x)^9)/(9*b^2), x, 3),
+((d + e*x)^0*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (a + b*x)^8/(8*b), x, 2),
+((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^1, (b*(b*d - a*e)^6*x)/e^7 - ((b*d - a*e)^5*(a + b*x)^2)/(2*e^6) + ((b*d - a*e)^4*(a + b*x)^3)/(3*e^5) - ((b*d - a*e)^3*(a + b*x)^4)/(4*e^4) + ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)^5)/(5*e^3) - ((b*d - a*e)*(a + b*x)^6)/(6*e^2) + (a + b*x)^7/(7*e) - ((b*d - a*e)^7*log(d + e*x))/e^8, x, 3),
+((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^2, -((21*b^2*(b*d - a*e)^5*x)/e^7) + (b*d - a*e)^7/(e^8*(d + e*x)) + (35*b^3*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^2)/(2*e^8) - (35*b^4*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^3)/(3*e^8) + (21*b^5*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^4)/(4*e^8) - (7*b^6*(b*d - a*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^8) + (b^7*(d + e*x)^6)/(6*e^8) + (7*b*(b*d - a*e)^6*log(d + e*x))/e^8, x, 3),
+((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^3, (35*b^3*(b*d - a*e)^4*x)/e^7 + (b*d - a*e)^7/(2*e^8*(d + e*x)^2) - (7*b*(b*d - a*e)^6)/(e^8*(d + e*x)) - (35*b^4*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^2)/(2*e^8) + (7*b^5*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^3)/e^8 - (7*b^6*(b*d - a*e)*(d + e*x)^4)/(4*e^8) + (b^7*(d + e*x)^5)/(5*e^8) - (21*b^2*(b*d - a*e)^5*log(d + e*x))/e^8, x, 3),
+((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3/(d + e*x)^4, -((35*b^4*(b*d - a*e)^3*x)/e^7) + (b*d - a*e)^7/(3*e^8*(d + e*x)^3) - (7*b*(b*d - a*e)^6)/(2*e^8*(d + e*x)^2) + (21*b^2*(b*d - a*e)^5)/(e^8*(d + e*x)) + (21*b^5*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^2)/(2*e^8) - (7*b^6*(b*d - a*e)*(d + e*x)^3)/(3*e^8) + (b^7*(d + e*x)^4)/(4*e^8) + (35*b^3*(b*d - a*e)^4*log(d + e*x))/e^8, x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^4*(a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (e*(b*d - a*e)^3*x)/b^4 + ((b*d - a*e)^2*(d + e*x)^2)/(2*b^3) + ((b*d - a*e)*(d + e*x)^3)/(3*b^2) + (d + e*x)^4/(4*b) + ((b*d - a*e)^4*log(a + b*x))/b^5, x, 3),
+((d + e*x)^3*(a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (e*(b*d - a*e)^2*x)/b^3 + ((b*d - a*e)*(d + e*x)^2)/(2*b^2) + (d + e*x)^3/(3*b) + ((b*d - a*e)^3*log(a + b*x))/b^4, x, 3),
+((d + e*x)^2*(a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (e*(b*d - a*e)*x)/b^2 + (d + e*x)^2/(2*b) + ((b*d - a*e)^2*log(a + b*x))/b^3, x, 3),
+((d + e*x)^1*(a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (e*x)/b + ((b*d - a*e)*log(a + b*x))/b^2, x, 3),
+((d + e*x)^0*(a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), log(a + b*x)/b, x, 2),
+((a + b*x)/((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), log(a + b*x)/(b*d - a*e) - log(d + e*x)/(b*d - a*e), x, 4),
+((a + b*x)/((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), 1/((b*d - a*e)*(d + e*x)) + (b*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^2 - (b*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^2, x, 3),
+((a + b*x)/((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), 1/(2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^2) + b/((b*d - a*e)^2*(d + e*x)) + (b^2*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^3 - (b^2*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^3, x, 3),
+((a + b*x)/((d + e*x)^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), 1/(3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^3) + b/(2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^2) + b^2/((b*d - a*e)^3*(d + e*x)) + (b^3*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^4 - (b^3*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^4, x, 3),
+
+
+((d + e*x)^4*(a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (e^3*(4*b*d - 3*a*e)*x)/b^4 + (e^4*x^2)/(2*b^3) - (b*d - a*e)^4/(2*b^5*(a + b*x)^2) - (4*e*(b*d - a*e)^3)/(b^5*(a + b*x)) + (6*e^2*(b*d - a*e)^2*log(a + b*x))/b^5, x, 3),
+((d + e*x)^3*(a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (e^3*x)/b^3 - (b*d - a*e)^3/(2*b^4*(a + b*x)^2) - (3*e*(b*d - a*e)^2)/(b^4*(a + b*x)) + (3*e^2*(b*d - a*e)*log(a + b*x))/b^4, x, 3),
+((d + e*x)^2*(a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -((b*d - a*e)^2/(2*b^3*(a + b*x)^2)) - (2*e*(b*d - a*e))/(b^3*(a + b*x)) + (e^2*log(a + b*x))/b^3, x, 3),
+((d + e*x)^1*(a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -((d + e*x)^2/(2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2)), x, 2),
+((d + e*x)^0*(a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -(1/(2*b*(a + b*x)^2)), x, 2),
+((a + b*x)/((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -(1/(2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2)) + e/((b*d - a*e)^2*(a + b*x)) + (e^2*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^3 - (e^2*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^3, x, 3),
+((a + b*x)/((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -(b/(2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2)) + (2*b*e)/((b*d - a*e)^3*(a + b*x)) + e^2/((b*d - a*e)^3*(d + e*x)) + (3*b*e^2*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^4 - (3*b*e^2*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^4, x, 3),
+((a + b*x)/((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -(b^2/(2*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^2)) + (3*b^2*e)/((b*d - a*e)^4*(a + b*x)) + e^2/(2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^2) + (3*b*e^2)/((b*d - a*e)^4*(d + e*x)) + (6*b^2*e^2*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^5 - (6*b^2*e^2*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^5, x, 3),
+((a + b*x)/((d + e*x)^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -(b^3/(2*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^2)) + (4*b^3*e)/((b*d - a*e)^5*(a + b*x)) + e^2/(3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^3) + (3*b*e^2)/(2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^2) + (6*b^2*e^2)/((b*d - a*e)^5*(d + e*x)) + (10*b^3*e^2*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^6 - (10*b^3*e^2*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^6, x, 3),
+
+
+((d + e*x)^4*(a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((b*d - a*e)^4/(4*b^5*(a + b*x)^4)) - (4*e*(b*d - a*e)^3)/(3*b^5*(a + b*x)^3) - (3*e^2*(b*d - a*e)^2)/(b^5*(a + b*x)^2) - (4*e^3*(b*d - a*e))/(b^5*(a + b*x)) + (e^4*log(a + b*x))/b^5, x, 3),
+((d + e*x)^3*(a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((d + e*x)^4/(4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^4)), x, 2),
+((d + e*x)^2*(a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((b*d - a*e)^2/(4*b^3*(a + b*x)^4)) - (2*e*(b*d - a*e))/(3*b^3*(a + b*x)^3) - e^2/(2*b^3*(a + b*x)^2), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((b*d - a*e)/(4*b^2*(a + b*x)^4)) - e/(3*b^2*(a + b*x)^3), x, 3),
+((d + e*x)^0*(a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -(1/(4*b*(a + b*x)^4)), x, 2),
+((a + b*x)/((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), -(1/(4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^4)) + e/(3*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3) - e^2/(2*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^2) + e^3/((b*d - a*e)^4*(a + b*x)) + (e^4*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^5 - (e^4*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^5, x, 3),
+((a + b*x)/((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), -(b/(4*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^4)) + (2*b*e)/(3*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^3) - (3*b*e^2)/(2*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^2) + (4*b*e^3)/((b*d - a*e)^5*(a + b*x)) + e^4/((b*d - a*e)^5*(d + e*x)) + (5*b*e^4*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^6 - (5*b*e^4*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^6, x, 3),
+((a + b*x)/((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), -(b^2/(4*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^4)) + (b^2*e)/((b*d - a*e)^4*(a + b*x)^3) - (3*b^2*e^2)/((b*d - a*e)^5*(a + b*x)^2) + (10*b^2*e^3)/((b*d - a*e)^6*(a + b*x)) + e^4/(2*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^2) + (5*b*e^4)/((b*d - a*e)^6*(d + e*x)) + (15*b^2*e^4*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^7 - (15*b^2*e^4*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^7, x, 3),
+((a + b*x)/((d + e*x)^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), -(b^3/(4*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^4)) + (4*b^3*e)/(3*(b*d - a*e)^5*(a + b*x)^3) - (5*b^3*e^2)/((b*d - a*e)^6*(a + b*x)^2) + (20*b^3*e^3)/((b*d - a*e)^7*(a + b*x)) + e^4/(3*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^3) + (5*b*e^4)/(2*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^2) + (15*b^2*e^4)/((b*d - a*e)^7*(d + e*x)) + (35*b^3*e^4*log(a + b*x))/(b*d - a*e)^8 - (35*b^3*e^4*log(d + e*x))/(b*d - a*e)^8, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*x)*(d + e*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((b*d - a*e)^2*(d + e*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^3*(a + b*x)) - (2*b*(b*d - a*e)*(d + e*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^3*(a + b*x)) + (b^2*(d + e*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^3*(a + b*x)), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((b*d - a*e)^2*(d + e*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^3*(a + b*x)) - (b*(b*d - a*e)*(d + e*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^3*(a + b*x)) + (b^2*(d + e*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^3*(a + b*x)), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((b*d - a*e)^2*(d + e*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^3*(a + b*x)) - (2*b*(b*d - a*e)*(d + e*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^3*(a + b*x)) + (b^2*(d + e*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^3*(a + b*x)), x, 4),
+
+((a + b*x)*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*b^3) + (e*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*b^3) + (e^2*(a + b*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*b^3), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((b*d - a*e)*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*b^2) + (e*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*b^2), x, 4),
+((a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/(3*b), x, 1),
+
+(((a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x), -((b*(b*d - a*e)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^2*(a + b*x))) + ((a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e) + ((b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^3*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^2, (b^2*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^2*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x)*(d + e*x)) - (2*b*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^3*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^3, -((b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^2) + (2*b*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x)*(d + e*x)) + (b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^3*(a + b*x)), x, 4),
+
+(((a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^4, (a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)/(3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^3), x, 1),
+(((a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^5, -((b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^4) + (2*b*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^3) - (b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^2), x, 4),
+(((a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^6, -((b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^5) + (b*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^4) - (b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^3), x, 4),
+
+(((a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^7, -((b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^6) + (2*b*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^5) - (b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^4), x, 4),
+(((a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^8, -((b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^7) + (b*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^6) - (b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^5), x, 4),
+
+
+((a + b*x)*(d + e*x)^7*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((b*d - a*e)^4*(d + e*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^5*(a + b*x)) - (4*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^5*(a + b*x)) + (3*b^2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)) - (4*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^5*(a + b*x)) + (b^4*(d + e*x)^12*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(12*e^5*(a + b*x)), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^6*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((b*d - a*e)^4*(d + e*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)) - (b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^5*(a + b*x)) + (2*b^2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)) - (2*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)) + (b^4*(d + e*x)^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^5*(a + b*x)), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^5*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((b*d - a*e)^4*(d + e*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^5*(a + b*x)) - (4*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)) + (3*b^2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^5*(a + b*x)) - (4*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^5*(a + b*x)) + (b^4*(d + e*x)^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*e^5*(a + b*x)), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((b*d - a*e)^4*(a + b*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*b^5) + (2*e*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*b^5) + (6*e^2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^5) + (e^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*b^5) + (e^4*(a + b*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*b^5), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((b*d - a*e)^3*(a + b*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*b^4) + (e*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*b^4) + (3*e^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^4) + (e^3*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*b^4), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*b^3) + (e*(b*d - a*e)*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*b^3) + (e^2*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^3), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((b*d - a*e)*(a + b*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*b^2) + (e*(a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*b^2), x, 4),
+((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(5*b), x, 1),
+
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x), -((b*(b*d - a*e)^3*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x))) + ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^3) - ((b*d - a*e)*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^2) + ((a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e) + ((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^5*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^2, (6*b^2*(b*d - a*e)^2*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*(d + e*x)) - (2*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)) + (b^4*(d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)) - (4*b*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^5*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^3, -((b^3*(3*b*d - 4*a*e)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x))) + (b^4*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^3*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^2) + (4*b*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*(d + e*x)) + (6*b^2*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^5*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^4, (b^4*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^4*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^3) + (2*b*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^2) - (6*b^2*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*(d + e*x)) - (4*b^3*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^5*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^5, -((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^4) + (4*b*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^3) - (3*b^2*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^2) + (4*b^3*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*(d + e*x)) + (b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^5*(a + b*x)), x, 4),
+
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^6, (a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)/(5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^5), x, 1),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^7, ((a + b*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*(b*d - a*e)*(d + e*x)^6) + (b*(a + b*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(30*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^5), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^8, ((a + b*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*(b*d - a*e)*(d + e*x)^7) + (b*(a + b*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(21*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^6) + (b^2*(a + b*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(105*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^5), x, 5),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^9, -((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^8) + (4*b*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^7) - (b^2*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^6) + (4*b^3*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^5) - (b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^4), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^10, -((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^9) + (b*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^8) - (6*b^2*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^7) + (2*b^3*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^6) - (b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^5), x, 4),
+
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^11, -((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^10) + (4*b*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^9) - (3*b^2*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^8) + (4*b^3*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^7) - (b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^6), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^12, -((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^11) + (2*b*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^10) - (2*b^2*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^9) + (b^3*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^8) - (b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^7), x, 4),
+
+
+((a + b*x)*(d + e*x)^9*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((b*d - a*e)^6*(d + e*x)^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*e^7*(a + b*x)) - (6*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)) + (5*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^12*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^7*(a + b*x)) - (20*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)) + (15*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^14*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(14*e^7*(a + b*x)) - (2*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^15*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)) + (b^6*(d + e*x)^16*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(16*e^7*(a + b*x)), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^8*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((b*d - a*e)^6*(d + e*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)) - (3*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)) + (15*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)) - (5*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^12*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) + (15*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)) - (3*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^14*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)) + (b^6*(d + e*x)^15*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(15*e^7*(a + b*x)), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^7*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((b*d - a*e)^6*(d + e*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^7*(a + b*x)) - (2*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) + (3*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^7*(a + b*x)) - (20*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)) + (5*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^12*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^7*(a + b*x)) - (6*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)) + (b^6*(d + e*x)^14*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(14*e^7*(a + b*x)), x, 4),
+
+((a + b*x)*(d + e*x)^6*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((b*d - a*e)^6*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^7) + (3*e*(b*d - a*e)^5*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*b^7) + (5*e^2*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*b^7) + (2*e^3*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/b^7 + (15*e^4*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*b^7) + (e^5*(b*d - a*e)*(a + b*x)^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*b^7) + (e^6*(a + b*x)^12*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*b^7), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^5*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((b*d - a*e)^5*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^6) + (5*e*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*b^6) + (10*e^2*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*b^6) + (e^3*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/b^6 + (5*e^4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*b^6) + (e^5*(a + b*x)^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(12*b^6), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((b*d - a*e)^4*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^5) + (e*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*b^5) + (2*e^2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*b^5) + (2*e^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*b^5) + (e^4*(a + b*x)^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*b^5), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((b*d - a*e)^3*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^4) + (3*e*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*b^4) + (e^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*b^4) + (e^3*(a + b*x)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*b^4), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^3) + (e*(b*d - a*e)*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*b^3) + (e^2*(a + b*x)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*b^3), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((b*d - a*e)*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*b^2) + (e*(a + b*x)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*b^2), x, 4),
+((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(7//2)/(7*b), x, 1),
+
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x), -((b*(b*d - a*e)^5*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x))) + ((b*d - a*e)^4*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^5) - ((b*d - a*e)^3*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^4) + ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^3) - ((b*d - a*e)*(a + b*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^2) + ((a + b*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e) + ((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^7*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^2, (15*b^2*(b*d - a*e)^4*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)) - (10*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) + (5*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) - (3*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^7*(a + b*x)) + (b^6*(d + e*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)) - (6*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^7*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^3, (-20*b^3*(b*d - a*e)^3*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^2) + (6*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)) + (15*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^7*(a + b*x)) - (2*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) + (b^6*(d + e*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^7*(a + b*x)) + (15*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^7*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^4, (15*b^4*(b*d - a*e)^2*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^3) + (3*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^2) - (15*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)) - (3*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) + (b^6*(d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) - (20*b^3*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^7*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^5, -((b^5*(5*b*d - 6*a*e)*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x))) + (b^6*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^5*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^4) + (2*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^3) - (15*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^2) + (20*b^3*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)) + (15*b^4*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^7*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^6, (b^6*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^6*(a + b*x)) - ((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^5) + (3*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^4) - (5*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^3) + (10*b^3*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^2) - (15*b^4*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)) - (6*b^5*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^7*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^7, -((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^6) + (6*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^5) - (15*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^4) + (20*b^3*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^3) - (15*b^4*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^2) + (6*b^5*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)) + (b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*log(d + e*x))/(e^7*(a + b*x)), x, 4),
+
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^8, (a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(7//2)/(7*(b*d - a*e)*(d + e*x)^7), x, 1),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^9, ((a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*(b*d - a*e)*(d + e*x)^8) + (b*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(56*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^7), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^10, ((a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*(b*d - a*e)*(d + e*x)^9) + (b*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(36*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^8) + (b^2*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(252*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^7), x, 5),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^11, ((a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*(b*d - a*e)*(d + e*x)^10) + (b*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(30*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^9) + (b^2*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(120*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^8) + (b^3*(a + b*x)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(840*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^7), x, 6),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^12, -((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^11) + (3*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^10) - (5*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^9) + (5*b^3*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^8) - (15*b^4*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^7) + (b^5*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^6) - (b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^5), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^13, -((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(12*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^12) + (6*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^11) - (3*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^10) + (20*b^3*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^9) - (15*b^4*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^8) + (6*b^5*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^7) - (b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(6*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^6), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^14, -((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^13) + (b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^12) - (15*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^11) + (2*b^3*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^10) - (5*b^4*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^9) + (3*b^5*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^8) - (b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^7), x, 4),
+
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^15, -((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(14*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^14) + (6*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^13) - (5*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^12) + (20*b^3*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^11) - (3*b^4*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(2*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^10) + (2*b^5*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^9) - (b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(8*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^8), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^16, -((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(15*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^15) + (3*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^14) - (15*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^13) + (5*b^3*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^12) - (15*b^4*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^11) + (3*b^5*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^10) - (b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^9), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^17, -((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(16*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^16) + (2*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^15) - (15*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(14*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^14) + (20*b^3*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^13) - (5*b^4*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(4*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^12) + (6*b^5*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^11) - (b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(10*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^10), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((a + b*x)*(d + e*x)^4)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((a + b*x)*(d + e*x)^5)/(5*e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^3)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((a + b*x)*(d + e*x)^4)/(4*e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^2)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), ((a + b*x)*(d + e*x)^3)/(3*e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^1)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (d*x*(a + b*x))/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2) + (e*x^2*(a + b*x))/(2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/b, x, 1),
+((a + b*x)/((d + e*x)^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), ((a + b*x)*log(d + e*x))/(e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/((d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)/((b*d - a*e)*(d + e*x)), x, 1),
+((a + b*x)/((d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(a + b*x)/(2*e*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/((d + e*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(a + b*x)/(3*e*(d + e*x)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/((d + e*x)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), -(a + b*x)/(4*e*(d + e*x)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+
+
+(((a + b*x)*(d + e*x)^4)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (4*e^2*(b*d - a*e)^2*x*(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*e*(b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^2)/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (4*e*(a + b*x)*(d + e*x)^3)/(3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (d + e*x)^4/(b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (4*e*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^3)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (3*e^2*(b*d - a*e)*x*(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*e*(a + b*x)*(d + e*x)^2)/(2*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (d + e*x)^3/(b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*e*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -((d + e*x)^2/(b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) + (2*e^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/b^3 + (2*e*(b*d - a*e)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^1)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -((d + e*x)/(b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) + (e*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -(1/(b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))), x, 1),
+((a + b*x)/((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), -(1/((b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (e*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+((a + b*x)/((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), -(b/((b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (e*(a + b*x))/((b*d - a*e)^2*(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*b*e*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (2*b*e*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+((a + b*x)/((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), -(b^2/((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (e*(a + b*x))/(2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*b*e*(a + b*x))/((b*d - a*e)^3*(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*b^2*e*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*b^2*e*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+
+
+(((a + b*x)*(d + e*x)^5)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -((d + e*x)^5/(3*b*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))) - (20*e^2*(b*d - a*e)^3)/(3*b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*e*(b*d - a*e)^4)/(6*b^6*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*e^4*(4*b*d - 3*a*e)*x*(a + b*x))/(3*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*e^5*x^2*(a + b*x))/(6*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (10*e^3*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^4)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -((d + e*x)^4/(3*b*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))) - (4*e^2*(b*d - a*e)^2)/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (2*e*(b*d - a*e)^3)/(3*b^5*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (4*e^4*x*(a + b*x))/(3*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (4*e^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^3)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -((d + e*x)^3/(3*b*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))) - (2*e^2*(b*d - a*e))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e*(b*d - a*e)^2)/(2*b^4*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^3*(a + b*x)*log(a + b*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^2)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -((d + e*x)^3/(3*(b*d - a*e)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))), x, 1),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^1)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -((d + e*x)/(3*b*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))) - e/(6*b^2*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 2),
+((a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -1/(3*b*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), x, 1),
+((a + b*x)/((d + e*x)^1*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), -(e^2/((b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - 1/(3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + e/(2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e^3*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^3*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+((a + b*x)/((d + e*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (-3*b*e^2)/((b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - b/(3*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (b*e)/((b*d - a*e)^3*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e^3*(a + b*x))/((b*d - a*e)^4*(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (4*b*e^3*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (4*b*e^3*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+((a + b*x)/((d + e*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (-6*b^2*e^2)/((b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - b^2/(3*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*b^2*e)/(2*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e^3*(a + b*x))/(2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (4*b*e^3*(a + b*x))/((b*d - a*e)^5*(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (10*b^2*e^3*(a + b*x)*log(a + b*x))/((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (10*b^2*e^3*(a + b*x)*log(d + e*x))/((b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (a+b x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (-2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4) + (6*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^4) - (6*b^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^4) + (2*b^3*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^4), x, 3),
+((a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (-2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4) + (2*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^4) - (6*b^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^4) + (2*b^3*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^4), x, 3),
+((a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (-2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4) + (6*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4) - (2*b^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^4) + (2*b^3*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^4), x, 3),
+((a + b*x)*sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (-2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4) + (6*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4) - (6*b^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4) + (2*b^3*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^4), x, 3),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/sqrt(d + e*x), (-2*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x))/e^4 + (2*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2))/e^4 - (6*b^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4) + (2*b^3*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^4), x, 3),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^(3//2), (2*(b*d - a*e)^3)/(e^4*sqrt(d + e*x)) + (6*b*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x))/e^4 - (2*b^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2))/e^4 + (2*b^3*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^4), x, 3),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^(5//2), (2*(b*d - a*e)^3)/(3*e^4*(d + e*x)^(3//2)) - (6*b*(b*d - a*e)^2)/(e^4*sqrt(d + e*x)) - (6*b^2*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x))/e^4 + (2*b^3*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^4), x, 3),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^(7//2), (2*(b*d - a*e)^3)/(5*e^4*(d + e*x)^(5//2)) - (2*b*(b*d - a*e)^2)/(e^4*(d + e*x)^(3//2)) + (6*b^2*(b*d - a*e))/(e^4*sqrt(d + e*x)) + (2*b^3*sqrt(d + e*x))/e^4, x, 3),
+
+
+((a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (-2*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) + (10*b*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6) - (20*b^2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^6) + (4*b^3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(15//2))/(3*e^6) - (10*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^6) + (2*b^5*(d + e*x)^(19//2))/(19*e^6), x, 3),
+((a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (-2*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) + (10*b*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) - (20*b^2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6) + (20*b^3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^6) - (2*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(15//2))/(3*e^6) + (2*b^5*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^6), x, 3),
+((a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (-2*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6) + (10*b*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) - (20*b^2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) + (20*b^3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6) - (10*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^6) + (2*b^5*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^6), x, 3),
+((a + b*x)*sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (-2*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) + (2*b*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(5//2))/e^6 - (20*b^2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) + (20*b^3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) - (10*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6) + (2*b^5*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^6), x, 3),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/sqrt(d + e*x), (-2*(b*d - a*e)^5*sqrt(d + e*x))/e^6 + (10*b*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) - (4*b^2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2))/e^6 + (20*b^3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) - (10*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6) + (2*b^5*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^6), x, 3),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/(d + e*x)^(3//2), (2*(b*d - a*e)^5)/(e^6*sqrt(d + e*x)) + (10*b*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x))/e^6 - (20*b^2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) + (4*b^3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2))/e^6 - (10*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6) + (2*b^5*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^6), x, 3),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/(d + e*x)^(5//2), (2*(b*d - a*e)^5)/(3*e^6*(d + e*x)^(3//2)) - (10*b*(b*d - a*e)^4)/(e^6*sqrt(d + e*x)) - (20*b^2*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x))/e^6 + (20*b^3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) - (2*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2))/e^6 + (2*b^5*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^6), x, 3),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2)/(d + e*x)^(7//2), (2*(b*d - a*e)^5)/(5*e^6*(d + e*x)^(5//2)) - (10*b*(b*d - a*e)^4)/(3*e^6*(d + e*x)^(3//2)) + (20*b^2*(b*d - a*e)^3)/(e^6*sqrt(d + e*x)) + (20*b^3*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x))/e^6 - (10*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^6) + (2*b^5*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^6), x, 3),
+
+
+((a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (-2*(b*d - a*e)^7*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8) + (14*b*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) - (42*b^2*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8) + (14*b^3*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(15//2))/(3*e^8) - (70*b^4*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^8) + (42*b^5*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(19//2))/(19*e^8) - (2*b^6*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(21//2))/(3*e^8) + (2*b^7*(d + e*x)^(23//2))/(23*e^8), x, 3),
+((a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (-2*(b*d - a*e)^7*(d + e*x)^(7//2))/(7*e^8) + (14*b*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8) - (42*b^2*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) + (70*b^3*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8) - (14*b^4*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(15//2))/(3*e^8) + (42*b^5*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^8) - (14*b^6*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(19//2))/(19*e^8) + (2*b^7*(d + e*x)^(21//2))/(21*e^8), x, 3),
+((a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (-2*(b*d - a*e)^7*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^8) + (2*b*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(7//2))/e^8 - (14*b^2*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^8) + (70*b^3*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) - (70*b^4*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8) + (14*b^5*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(15//2))/(5*e^8) - (14*b^6*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^8) + (2*b^7*(d + e*x)^(19//2))/(19*e^8), x, 3),
+((a + b*x)*sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (-2*(b*d - a*e)^7*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^8) + (14*b*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^8) - (6*b^2*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(7//2))/e^8 + (70*b^3*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8) - (70*b^4*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) + (42*b^5*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8) - (14*b^6*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^8) + (2*b^7*(d + e*x)^(17//2))/(17*e^8), x, 3),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/sqrt(d + e*x), (-2*(b*d - a*e)^7*sqrt(d + e*x))/e^8 + (14*b*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^8) - (42*b^2*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^8) + (10*b^3*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(7//2))/e^8 - (70*b^4*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8) + (42*b^5*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) - (14*b^6*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8) + (2*b^7*(d + e*x)^(15//2))/(15*e^8), x, 3),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/(d + e*x)^(3//2), (2*(b*d - a*e)^7)/(e^8*sqrt(d + e*x)) + (14*b*(b*d - a*e)^6*sqrt(d + e*x))/e^8 - (14*b^2*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(3//2))/e^8 + (14*b^3*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(5//2))/e^8 - (10*b^4*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(7//2))/e^8 + (14*b^5*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(9//2))/(3*e^8) - (14*b^6*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8) + (2*b^7*(d + e*x)^(13//2))/(13*e^8), x, 3),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/(d + e*x)^(5//2), (2*(b*d - a*e)^7)/(3*e^8*(d + e*x)^(3//2)) - (14*b*(b*d - a*e)^6)/(e^8*sqrt(d + e*x)) - (42*b^2*(b*d - a*e)^5*sqrt(d + e*x))/e^8 + (70*b^3*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^8) - (14*b^4*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2))/e^8 + (6*b^5*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(7//2))/e^8 - (14*b^6*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8) + (2*b^7*(d + e*x)^(11//2))/(11*e^8), x, 3),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3)/(d + e*x)^(7//2), (2*(b*d - a*e)^7)/(5*e^8*(d + e*x)^(5//2)) - (14*b*(b*d - a*e)^6)/(3*e^8*(d + e*x)^(3//2)) + (42*b^2*(b*d - a*e)^5)/(e^8*sqrt(d + e*x)) + (70*b^3*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x))/e^8 - (70*b^4*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2))/(3*e^8) + (42*b^5*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2))/(5*e^8) - (2*b^6*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(7//2))/e^8 + (2*b^7*(d + e*x)^(9//2))/(9*e^8), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(7//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x))/b^4 + (2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^3) + (2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*b^2) + (2*(d + e*x)^(7//2))/(7*b) - (2*(b*d - a*e)^(7//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/b^(9//2), x, 7),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x))/b^3 + (2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^2) + (2*(d + e*x)^(5//2))/(5*b) - (2*(b*d - a*e)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/b^(7//2), x, 6),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x))/b^2 + (2*(d + e*x)^(3//2))/(3*b) - (2*(b*d - a*e)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/b^(5//2), x, 5),
+(((a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*sqrt(d + e*x))/b - (2*sqrt(b*d - a*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/b^(3//2), x, 4),
+((a + b*x)/(sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (-2*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(sqrt(b)*sqrt(b*d - a*e)), x, 3),
+((a + b*x)/((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), 2/((b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b*d - a*e)^(3//2), x, 4),
+((a + b*x)/((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), 2/(3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2)) + (2*b)/((b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x)) - (2*b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b*d - a*e)^(5//2), x, 5),
+((a + b*x)/((d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), 2/(5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2)) + (2*b)/(3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (2*b^2)/((b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)) - (2*b^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b*d - a*e)^(7//2), x, 6),
+
+
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(9//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (63*e^2*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x))/(4*b^5) + (21*e^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2))/(4*b^4) + (63*e^2*(d + e*x)^(5//2))/(20*b^3) - (9*e*(d + e*x)^(7//2))/(4*b^2*(a + b*x)) - (d + e*x)^(9//2)/(2*b*(a + b*x)^2) - (63*e^2*(b*d - a*e)^(5//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(11//2)), x, 8),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(7//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (35*e^2*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x))/(4*b^4) + (35*e^2*(d + e*x)^(3//2))/(12*b^3) - (7*e*(d + e*x)^(5//2))/(4*b^2*(a + b*x)) - (d + e*x)^(7//2)/(2*b*(a + b*x)^2) - (35*e^2*(b*d - a*e)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(9//2)), x, 7),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (15*e^2*sqrt(d + e*x))/(4*b^3) - (5*e*(d + e*x)^(3//2))/(4*b^2*(a + b*x)) - (d + e*x)^(5//2)/(2*b*(a + b*x)^2) - (15*e^2*sqrt(b*d - a*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(7//2)), x, 6),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, (-3*e*sqrt(d + e*x))/(4*b^2*(a + b*x)) - (d + e*x)^(3//2)/(2*b*(a + b*x)^2) - (3*e^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(5//2)*sqrt(b*d - a*e)), x, 5),
+(((a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -sqrt(d + e*x)/(2*b*(a + b*x)^2) - (e*sqrt(d + e*x))/(4*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)) + (e^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*b^(3//2)*(b*d - a*e)^(3//2)), x, 5),
+((a + b*x)/(sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), -sqrt(d + e*x)/(2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) + (3*e*sqrt(d + e*x))/(4*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)) - (3*e^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*sqrt(b)*(b*d - a*e)^(5//2)), x, 5),
+((a + b*x)/((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), (15*e^2)/(4*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)) - 1/(2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*sqrt(d + e*x)) + (5*e)/(4*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (15*sqrt(b)*e^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*(b*d - a*e)^(7//2)), x, 6),
+((a + b*x)/((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), (35*e^2)/(12*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2)) - 1/(2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (7*e)/(4*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (35*b*e^2)/(4*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)) - (35*b^(3//2)*e^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*(b*d - a*e)^(9//2)), x, 7),
+((a + b*x)/((d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2), (63*e^2)/(20*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2)) - 1/(2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(5//2)) + (9*e)/(4*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (21*b*e^2)/(4*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2)) + (63*b^2*e^2)/(4*(b*d - a*e)^5*sqrt(d + e*x)) - (63*b^(5//2)*e^2*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(4*(b*d - a*e)^(11//2)), x, 8),
+
+
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(11//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (1155*e^4*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x))/(64*b^6) + (385*e^4*(d + e*x)^(3//2))/(64*b^5) - (231*e^3*(d + e*x)^(5//2))/(64*b^4*(a + b*x)) - (33*e^2*(d + e*x)^(7//2))/(32*b^3*(a + b*x)^2) - (11*e*(d + e*x)^(9//2))/(24*b^2*(a + b*x)^3) - (d + e*x)^(11//2)/(4*b*(a + b*x)^4) - (1155*e^4*(b*d - a*e)^(3//2)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(13//2)), x, 9),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(9//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (315*e^4*sqrt(d + e*x))/(64*b^5) - (105*e^3*(d + e*x)^(3//2))/(64*b^4*(a + b*x)) - (21*e^2*(d + e*x)^(5//2))/(32*b^3*(a + b*x)^2) - (3*e*(d + e*x)^(7//2))/(8*b^2*(a + b*x)^3) - (d + e*x)^(9//2)/(4*b*(a + b*x)^4) - (315*e^4*sqrt(b*d - a*e)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(11//2)), x, 8),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(7//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (-35*e^3*sqrt(d + e*x))/(64*b^4*(a + b*x)) - (35*e^2*(d + e*x)^(3//2))/(96*b^3*(a + b*x)^2) - (7*e*(d + e*x)^(5//2))/(24*b^2*(a + b*x)^3) - (d + e*x)^(7//2)/(4*b*(a + b*x)^4) - (35*e^4*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(9//2)*sqrt(b*d - a*e)), x, 7),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (-5*e^2*sqrt(d + e*x))/(32*b^3*(a + b*x)^2) - (5*e^3*sqrt(d + e*x))/(64*b^3*(b*d - a*e)*(a + b*x)) - (5*e*(d + e*x)^(3//2))/(24*b^2*(a + b*x)^3) - (d + e*x)^(5//2)/(4*b*(a + b*x)^4) + (5*e^4*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(7//2)*(b*d - a*e)^(3//2)), x, 7),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -(e*sqrt(d + e*x))/(8*b^2*(a + b*x)^3) - (e^2*sqrt(d + e*x))/(32*b^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2) + (3*e^3*sqrt(d + e*x))/(64*b^2*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)) - (d + e*x)^(3//2)/(4*b*(a + b*x)^4) - (3*e^4*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(5//2)*(b*d - a*e)^(5//2)), x, 7),
+(((a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -sqrt(d + e*x)/(4*b*(a + b*x)^4) - (e*sqrt(d + e*x))/(24*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3) + (5*e^2*sqrt(d + e*x))/(96*b*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2) - (5*e^3*sqrt(d + e*x))/(64*b*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)) + (5*e^4*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*b^(3//2)*(b*d - a*e)^(7//2)), x, 7),
+((a + b*x)/(sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), -sqrt(d + e*x)/(4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^4) + (7*e*sqrt(d + e*x))/(24*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3) - (35*e^2*sqrt(d + e*x))/(96*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^2) + (35*e^3*sqrt(d + e*x))/(64*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)) - (35*e^4*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*sqrt(b)*(b*d - a*e)^(9//2)), x, 7),
+((a + b*x)/((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), (315*e^4)/(64*(b*d - a*e)^5*sqrt(d + e*x)) - 1/(4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^4*sqrt(d + e*x)) + (3*e)/(8*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3*sqrt(d + e*x)) - (21*e^2)/(32*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^2*sqrt(d + e*x)) + (105*e^3)/(64*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (315*sqrt(b)*e^4*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*(b*d - a*e)^(11//2)), x, 8),
+((a + b*x)/((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3), (385*e^4)/(64*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(3//2)) - 1/(4*(b*d - a*e)*(a + b*x)^4*(d + e*x)^(3//2)) + (11*e)/(24*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3*(d + e*x)^(3//2)) - (33*e^2)/(32*(b*d - a*e)^3*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (231*e^3)/(64*(b*d - a*e)^4*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (1155*b*e^4)/(64*(b*d - a*e)^6*sqrt(d + e*x)) - (1155*b^(3//2)*e^4*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(64*(b*d - a*e)^(13//2)), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (a+b x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^3*(a + b*x)) - (4*b*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^3*(a + b*x)) + (2*b^2*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^3*(a + b*x)), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^3*(a + b*x)) - (4*b*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^3*(a + b*x)) + (2*b^2*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^3*(a + b*x)), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^3*(a + b*x)) - (4*b*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^3*(a + b*x)) + (2*b^2*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^3*(a + b*x)), x, 4),
+((a + b*x)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^3*(a + b*x)) - (4*b*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^3*(a + b*x)) + (2*b^2*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^3*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/sqrt(d + e*x), (2*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x)) - (4*b*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^3*(a + b*x)) + (2*b^2*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^3*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^(3//2), (-2*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (4*b*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x)) + (2*b^2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^3*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^(5//2), (-2*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (4*b*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (2*b^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(d + e*x)^(7//2), (-2*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (4*b*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (2*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)), x, 4),
+
+
+((a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)) - (8*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^5*(a + b*x)) + (12*b^2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^5*(a + b*x)) - (8*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^5*(a + b*x)) + (2*b^4*(d + e*x)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(15*e^5*(a + b*x)), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)) - (8*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)) + (4*b^2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)) - (8*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^5*(a + b*x)) + (2*b^4*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^5*(a + b*x)), x, 4),
+((a + b*x)*sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)) - (8*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)) + (12*b^2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)) - (8*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^5*(a + b*x)) + (2*b^4*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^5*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/sqrt(d + e*x), (2*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)) - (8*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)) + (12*b^2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)) - (8*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)) + (2*b^4*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^5*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(3//2), (-2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (8*b*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)) + (4*b^2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)) - (8*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)) + (2*b^4*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(5//2), (-2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (8*b*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (12*b^2*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)) - (8*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)) + (2*b^4*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(7//2), (-2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (8*b*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (12*b^2*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (8*b^3*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)) + (2*b^4*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(9//2), (-2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)) + (8*b*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) - (4*b^2*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (8*b^3*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (2*b^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(11//2), (-2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(9//2)) + (8*b*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)) - (12*b^2*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (8*b^3*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (2*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(13//2), (-2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(11//2)) + (8*b*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(9//2)) - (12*b^2*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)) + (8*b^3*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^5*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)), x, 4),
+
+
+((a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (2*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)) - (4*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) + (30*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)) - (40*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)) + (2*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) - (12*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(17//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(17*e^7*(a + b*x)) + (2*b^6*(d + e*x)^(19//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(19*e^7*(a + b*x)), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (2*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)) - (12*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)) + (10*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) - (40*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)) + (30*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)) - (4*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)) + (2*b^6*(d + e*x)^(17//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(17*e^7*(a + b*x)), x, 4),
+((a + b*x)*sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (2*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) - (12*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)) + (30*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)) - (40*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)) + (30*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)) - (12*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)) + (2*b^6*(d + e*x)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(15*e^7*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/sqrt(d + e*x), (2*(b*d - a*e)^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) - (4*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) + (6*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) - (40*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)) + (10*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) - (12*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)) + (2*b^6*(d + e*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(3//2), (-2*(b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (12*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) + (10*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) - (8*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) + (30*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)) - (4*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) + (2*b^6*(d + e*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(5//2), (-2*(b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (12*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (30*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) - (40*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)) + (6*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) - (12*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)) + (2*b^6*(d + e*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(7//2), (-2*(b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (4*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (30*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (40*b^3*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) + (10*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) - (12*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)) + (2*b^6*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(9//2), (-2*(b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)) + (12*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) - (10*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (40*b^3*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (30*b^4*(b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) - (4*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) + (2*b^6*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(11//2), (-2*(b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(9//2)) + (12*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)) - (6*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (40*b^3*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (30*b^4*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) - (12*b^5*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)) + (2*b^6*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(13//2), (-2*(b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(11//2)) + (4*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(9//2)) - (30*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)) + (8*b^3*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) - (10*b^4*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) + (12*b^5*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)) + (2*b^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(15//2), (-2*(b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(13//2)) + (12*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(11//2)) - (10*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(9//2)) + (40*b^3*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)) - (6*b^4*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) + (4*b^5*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)) - (2*b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)), x, 4),
+(((a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(17//2), (-2*(b*d - a*e)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(15*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(15//2)) + (12*b*(b*d - a*e)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(13*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(13//2)) - (30*b^2*(b*d - a*e)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(11*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(11//2)) + (40*b^3*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(9*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(9//2)) - (30*b^4*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(7*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2)) + (12*b^5*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(5*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)) - (2*b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(3*e^7*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(7//2))/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(a + b*x)*(d + e*x)^(9//2))/(9*e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(a + b*x)*(d + e*x)^(7//2))/(7*e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(5*e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+(((a + b*x)*sqrt(d + e*x))/sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2), (2*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(3*e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/(sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (2*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/((d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (-2*(a + b*x))/(e*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/((d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (-2*(a + b*x))/(3*e*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)/((d + e*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), (-2*(a + b*x))/(5*e*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+
+
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(7//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (7*e*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (7*e*(b*d - a*e)*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (7*e*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(5*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (d + e*x)^(7//2)/(b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (7*e*(b*d - a*e)^(5//2)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (5*e*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*e*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (d + e*x)^(5//2)/(b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*e*(b*d - a*e)^(3//2)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 6),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (3*e*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (d + e*x)^(3//2)/(b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (3*e*sqrt(b*d - a*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 5),
+(((a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -(sqrt(d + e*x)/(b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (e*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(b^(3//2)*sqrt(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+((a + b*x)/(sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), -(sqrt(d + e*x)/((b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) + (e*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(sqrt(b)*(b*d - a*e)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 5),
+((a + b*x)/((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), -(1/((b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (3*e*(a + b*x))/((b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*sqrt(b)*e*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/((b*d - a*e)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 6),
+((a + b*x)/((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), -(1/((b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (5*e*(a + b*x))/(3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*b*e*(a + b*x))/((b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*b^(3//2)*e*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/((b*d - a*e)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+((a + b*x)/((d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2)), -(1/((b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (7*e*(a + b*x))/(5*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (7*b*e*(a + b*x))/(3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (7*b^2*e*(a + b*x))/((b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (7*b^(5//2)*e*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/((b*d - a*e)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 8),
+
+
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(7//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -((d + e*x)^(7//2)/(3*b*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))) + (35*e^3*(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(8*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*e^2*(d + e*x)^(3//2))/(24*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (7*e*(d + e*x)^(5//2))/(12*b^2*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*e^3*sqrt(b*d - a*e)*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*b^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -((d + e*x)^(5//2)/(3*b*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))) - (5*e^2*sqrt(d + e*x))/(8*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*e*(d + e*x)^(3//2))/(12*b^2*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (5*e^3*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*b^(7//2)*sqrt(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 6),
+(((a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -((d + e*x)^(3//2)/(3*b*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))) - (e^2*sqrt(d + e*x))/(8*b^2*(b*d - a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e*sqrt(d + e*x))/(4*b^2*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (e^3*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*b^(5//2)*(b*d - a*e)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 6),
+(((a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), -(sqrt(d + e*x)/(3*b*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2))) + (e^2*sqrt(d + e*x))/(8*b*(b*d - a*e)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e*sqrt(d + e*x))/(12*b*(b*d - a*e)*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (e^3*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*b^(3//2)*(b*d - a*e)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 6),
+((a + b*x)/(sqrt(d + e*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (-5*e^2*sqrt(d + e*x))/(8*(b*d - a*e)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - sqrt(d + e*x)/(3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*e*sqrt(d + e*x))/(12*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (5*e^3*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*sqrt(b)*(b*d - a*e)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 7),
+((a + b*x)/((d + e*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (-35*e^2)/(24*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - 1/(3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (7*e)/(12*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*e^3*(a + b*x))/(8*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (35*sqrt(b)*e^3*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*(b*d - a*e)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 8),
+((a + b*x)/((d + e*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (-21*e^2)/(8*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - 1/(3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (3*e)/(4*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (35*e^3*(a + b*x))/(8*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (105*b*e^3*(a + b*x))/(8*(b*d - a*e)^5*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (105*b^(3//2)*e^3*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*(b*d - a*e)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 9),
+((a + b*x)/((d + e*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2)), (-33*e^2)/(8*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - 1/(3*(b*d - a*e)*(a + b*x)^2*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (11*e)/(12*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (231*e^3*(a + b*x))/(40*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (77*b*e^3*(a + b*x))/(8*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) - (231*b^2*e^3*(a + b*x))/(8*(b*d - a*e)^6*sqrt(d + e*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)) + (231*b^(5//2)*e^3*(a + b*x)*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x))/sqrt(b*d - a*e)))/(8*(b*d - a*e)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 10),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^p when m symbolic
+
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+((d + e*x)^m*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -(((b*d - a*e)^7*(d + e*x)^(1 + m))/(e^8*(1 + m))) + (7*b*(b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(2 + m))/(e^8*(2 + m)) - (21*b^2*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(3 + m))/(e^8*(3 + m)) + (35*b^3*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(4 + m))/(e^8*(4 + m)) - (35*b^4*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(5 + m))/(e^8*(5 + m)) + (21*b^5*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(6 + m))/(e^8*(6 + m)) - (7*b^6*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(7 + m))/(e^8*(7 + m)) + (b^7*(d + e*x)^(8 + m))/(e^8*(8 + m)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -(((b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(1 + m))/(e^6*(1 + m))) + (5*b*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(2 + m))/(e^6*(2 + m)) - (10*b^2*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3 + m))/(e^6*(3 + m)) + (10*b^3*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(4 + m))/(e^6*(4 + m)) - (5*b^4*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5 + m))/(e^6*(5 + m)) + (b^5*(d + e*x)^(6 + m))/(e^6*(6 + m)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^1, -(((b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(1 + m))/(e^4*(1 + m))) + (3*b*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(2 + m))/(e^4*(2 + m)) - (3*b^2*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^4*(3 + m)) + (b^3*(d + e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^1, -(((d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/((b*d - a*e)*(1 + m))), x, 2),
+((d + e*x)^m*(a + b*x)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^2, -((e^2*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + m, 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/((b*d - a*e)^3*(1 + m))), x, 2),
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+((a + b*x)*(d + e*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), ((b*d - a*e)^6*(d + e*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(1 + m)*(a + b*x)) - (6*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^(2 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(2 + m)*(a + b*x)) + (15*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(3 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(3 + m)*(a + b*x)) - (20*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(4 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(4 + m)*(a + b*x)) + (15*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(5 + m)*(a + b*x)) - (6*b^5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(6 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(6 + m)*(a + b*x)) + (b^6*(d + e*x)^(7 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^7*(7 + m)*(a + b*x)), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((b*d - a*e)^4*(d + e*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(1 + m)*(a + b*x)) - (4*b*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(2 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(2 + m)*(a + b*x)) + (6*b^2*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(3 + m)*(a + b*x)) - (4*b^3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(4 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(4 + m)*(a + b*x)) + (b^4*(d + e*x)^(5 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^5*(5 + m)*(a + b*x)), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(1//2), ((b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(1 + m)*(a + b*x)) - (2*b*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(2 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(2 + m)*(a + b*x)) + (b^2*(d + e*x)^(3 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(e^3*(3 + m)*(a + b*x)), x, 4),
+((a + b*x)*(d + e*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(1//2), ((a + b*x)*(d + e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)*(d + e*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), (e*(a + b*x)*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/((b*d - a*e)^2*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
+((a + b*x)*(d + e*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5//2), (e^3*(a + b*x)*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, 1 + m, 2 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)))/((b*d - a*e)^4*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 3),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^p when p symbolic
+
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+((a*c + b*c*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 3), (c*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(1 + p))/((d + e*x)^(2*(1 + p))*(2*(b*d - a*e)*(1 + p))), x, 1),
+
+
+((d + e*x)^3*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p, ((b*d - a*e)^3*(a + b*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(2*b^4*(1 + p)) + (3*e*(b*d - a*e)^2*(a + b*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(b^4*(3 + 2*p)) + (3*e^2*(b*d - a*e)*(a + b*x)^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(2*b^4*(2 + p)) + (e^3*(a + b*x)^5*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(b^4*(5 + 2*p)), x, 4),
+((d + e*x)^2*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p, ((b*d - a*e)^2*(a + b*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(2*b^3*(1 + p)) + (2*e*(b*d - a*e)*(a + b*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(b^3*(3 + 2*p)) + (e^2*(a + b*x)^4*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(2*b^3*(2 + p)), x, 4),
+((d + e*x)^1*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p, ((b*d - a*e)*(a + b*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(2*b^2*(1 + p)) + (e*(a + b*x)^3*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(b^2*(3 + 2*p)), x, 4),
+((d + e*x)^0*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p, (a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(1 + p)/(2*b*(1 + p)), x, 1),
+(1/(d + e*x)*(a + b*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p, ((a + b*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2*(1 + p), 3 + 2*p, -((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))))/(2*(b*d - a*e)*(1 + p)), x, 3),
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+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p when b^2-4 a c=0 and 2 c d-b e=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a c+b c x)^m (A+B x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((A + B*x)*(a*c + b*c*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, ((A*b - a*B)*(a*c + b*c*x)^(7 + m))/(b^2*c^7*(7 + m)) + (B*(a*c + b*c*x)^(8 + m))/(b^2*c^8*(8 + m)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((A + B*x)*(a*c + b*c*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -(((A*b - a*B)*c^5*(a*c + b*c*x)^(-5 + m))/(b^2*(5 - m))) - (B*c^4*(a*c + b*c*x)^(-4 + m))/(b^2*(4 - m)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a c+b c x)^m (A+B x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((A + B*x)*(a*c + b*c*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), ((A*b - a*B)*(a*c + b*c*x)^(4 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(b^2*c^4*(4 + m)*(a + b*x)) + (B*(a*c + b*c*x)^(5 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))/(b^2*c^5*(5 + m)*(a + b*x)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((A + B*x)*(a*c + b*c*x)^m)/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3//2), -(((A*b - a*B)*c^2*(a + b*x)*(a*c + b*c*x)^(-2 + m))/(b^2*(2 - m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2))) - (B*c*(a + b*x)*(a*c + b*c*x)^(-1 + m))/(b^2*(1 - m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a c+b c x)^m (A+B x) (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^p when p symbolic
+
+
+((a*c + b*c*x)^m*(f + g*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p, ((b*f - a*g)*(a*c + b*c*x)^(1 + m)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(b^2*c*(1 + m + 2*p)) + (g*(a*c + b*c*x)^(2 + m)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(b^2*c^2*(2 + m + 2*p)), x, 4),
+
+
+((a*c + b*c*x)^(-3 - 2*p)*(f + g*x)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p, -(((f + g*x)^2*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/((a*c + b*c*x)^(2*p)*(2*c^3*(b*f - a*g)*(a + b*x)^2))), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p when b^2-4 a c=0, 2 c f-b g=0 and 2 c d-b e=0
+
+
+((a + b*x)*(a*c + b*c*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p, ((a*c + b*c*x)^(2 + m)*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p)/(b*c^2*(2 + m + 2*p)), x, 3),
+((a + b*x)*(a*c + b*c*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, (a*c + b*c*x)^(8 + m)/(b*c^8*(8 + m)), x, 4),
+((a + b*x)*(a*c + b*c*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^3, -((c^4*(a*c + b*c*x)^(-4 + m))/(b*(4 - m))), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p when c d^2-b d e+a e^2=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x) (c d^2-b d e-b e^2 x-c e^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^3*(f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2), (7*(2*c*d - b*e)^3*(4*c*e*f + 2*c*d*g - 3*b*e*g)*(b + 2*c*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(512*c^5*e) - (7*(2*c*d - b*e)^2*(4*c*e*f + 2*c*d*g - 3*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(192*c^4*e^2) - (7*(2*c*d - b*e)*(4*c*e*f + 2*c*d*g - 3*b*e*g)*(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(160*c^3*e^2) - ((4*c*e*f + 2*c*d*g - 3*b*e*g)*(d + e*x)^2*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(20*c^2*e^2) - (g*(d + e*x)^3*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(6*c*e^2) + (7*(2*c*d - b*e)^5*(4*c*e*f + 2*c*d*g - 3*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(1024*c^(11//2)*e^2), x, 7),
+((d + e*x)^2*(f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2), ((2*c*d - b*e)^2*(10*c*e*f + 4*c*d*g - 7*b*e*g)*(b + 2*c*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(128*c^4*e) - ((2*c*d - b*e)*(10*c*e*f + 4*c*d*g - 7*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(48*c^3*e^2) - ((10*c*e*f + 4*c*d*g - 7*b*e*g)*(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(40*c^2*e^2) - (g*(d + e*x)^2*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(5*c*e^2) + ((2*c*d - b*e)^4*(10*c*e*f + 4*c*d*g - 7*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(256*c^(9//2)*e^2), x, 7),
+((d + e*x)^1*(f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2), ((2*c*d - b*e)*(8*c*e*f + 2*c*d*g - 5*b*e*g)*(b + 2*c*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(64*c^3*e) + ((5*b*e*g - 8*c*(e*f + d*g) - 6*c*e*g*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(24*c^2*e^2) + ((2*c*d - b*e)^3*(8*c*e*f + 2*c*d*g - 5*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(128*c^(7//2)*e^2), x, 4),
+(((f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(d + e*x)^1, ((4*c*e*f - 2*c*d*g - b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(4*c*e^2) - (g*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(2*c*e^2*(d + e*x)) + ((2*c*d - b*e)*(4*c*e*f - 2*c*d*g - b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(8*c^(3//2)*e^2), x, 4),
+(((f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(d + e*x)^2, -(((2*c*e*f - 4*c*d*g + b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(e^2*(2*c*d - b*e))) - (2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^2) - ((2*c*e*f - 4*c*d*g + b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(2*sqrt(c)*e^2), x, 4),
+(((f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(d + e*x)^3, (-2*g*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(e^2*(d + e*x)) - (2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(3*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^3) - (sqrt(c)*g*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/e^2, x, 4),
+(((f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(d + e*x)^4, (-2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(5*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^4) - (2*(2*c*e*f + 8*c*d*g - 5*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(15*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^3), x, 2),
+(((f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(d + e*x)^5, -((2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(7*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^5)) - (2*(4*c*e*f + 10*c*d*g - 7*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(35*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^4) - (4*c*(4*c*e*f + 10*c*d*g - 7*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(105*e^2*(2*c*d - b*e)^3*(d + e*x)^3), x, 3),
+(((f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(d + e*x)^6, (-2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(9*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^6) - (2*(2*c*e*f + 4*c*d*g - 3*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(21*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^5) - (8*c*(2*c*e*f + 4*c*d*g - 3*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(105*e^2*(2*c*d - b*e)^3*(d + e*x)^4) - (16*c^2*(2*c*e*f + 4*c*d*g - 3*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(315*e^2*(2*c*d - b*e)^4*(d + e*x)^3), x, 4),
+(((f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(d + e*x)^7, (-2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(11*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^7) - (2*(8*c*e*f + 14*c*d*g - 11*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(99*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^6) - (4*c*(8*c*e*f + 14*c*d*g - 11*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(231*e^2*(2*c*d - b*e)^3*(d + e*x)^5) - (16*c^2*(8*c*e*f + 14*c*d*g - 11*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(1155*e^2*(2*c*d - b*e)^4*(d + e*x)^4) - (32*c^3*(8*c*e*f + 14*c*d*g - 11*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(3465*e^2*(2*c*d - b*e)^5*(d + e*x)^3), x, 5),
+(((f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(d + e*x)^8, -((2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(13*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^8)) - (2*(10*c*e*f + 16*c*d*g - 13*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(143*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^7) + (16*c*(13*b*e*g - 2*c*(5*e*f + 8*d*g))*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(1287*e^2*(2*c*d - b*e)^3*(d + e*x)^6) - (32*c^2*(10*c*e*f + 16*c*d*g - 13*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(3003*e^2*(2*c*d - b*e)^4*(d + e*x)^5) + (128*c^3*(13*b*e*g - 2*c*(5*e*f + 8*d*g))*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(15015*e^2*(2*c*d - b*e)^5*(d + e*x)^4) - (256*c^4*(10*c*e*f + 16*c*d*g - 13*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(45045*e^2*(2*c*d - b*e)^6*(d + e*x)^3), x, 6),
+
+
+((d + e*x)^3*(f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2), (9*(2*c*d - b*e)^5*(16*c*e*f + 6*c*d*g - 11*b*e*g)*(b + 2*c*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(16384*c^6*e) + (3*(2*c*d - b*e)^3*(16*c*e*f + 6*c*d*g - 11*b*e*g)*(b + 2*c*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(2048*c^5*e) - (3*(2*c*d - b*e)^2*(16*c*e*f + 6*c*d*g - 11*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(640*c^4*e^2) - (3*(2*c*d - b*e)*(16*c*e*f + 6*c*d*g - 11*b*e*g)*(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(448*c^3*e^2) - ((16*c*e*f + 6*c*d*g - 11*b*e*g)*(d + e*x)^2*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(112*c^2*e^2) - (g*(d + e*x)^3*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(8*c*e^2) + (9*(2*c*d - b*e)^7*(16*c*e*f + 6*c*d*g - 11*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(32768*c^(13//2)*e^2), x, 8),
+((d + e*x)^2*(f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2), ((2*c*d - b*e)^4*(14*c*e*f + 4*c*d*g - 9*b*e*g)*(b + 2*c*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(1024*c^5*e) + ((2*c*d - b*e)^2*(14*c*e*f + 4*c*d*g - 9*b*e*g)*(b + 2*c*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(384*c^4*e) - ((2*c*d - b*e)*(14*c*e*f + 4*c*d*g - 9*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(120*c^3*e^2) - ((14*c*e*f + 4*c*d*g - 9*b*e*g)*(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(84*c^2*e^2) - (g*(d + e*x)^2*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(7*c*e^2) + ((2*c*d - b*e)^6*(14*c*e*f + 4*c*d*g - 9*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(2048*c^(11//2)*e^2), x, 8),
+((d + e*x)^1*(f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2), ((2*c*d - b*e)^3*(12*c*e*f + 2*c*d*g - 7*b*e*g)*(b + 2*c*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(512*c^4*e) + ((2*c*d - b*e)*(12*c*e*f + 2*c*d*g - 7*b*e*g)*(b + 2*c*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(192*c^3*e) + ((7*b*e*g - 12*c*(e*f + d*g) - 10*c*e*g*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(60*c^2*e^2) + ((2*c*d - b*e)^5*(12*c*e*f + 2*c*d*g - 7*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(1024*c^(9//2)*e^2), x, 5),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^1, ((2*c*d - b*e)*(8*c*e*f - 2*c*d*g - 3*b*e*g)*(b + 2*c*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(64*c^2*e) + ((8*c*e*f - 2*c*d*g - 3*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(24*c*e^2) - (g*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(4*c*e^2*(d + e*x)) + ((2*c*d - b*e)^3*(8*c*e*f - 2*c*d*g - 3*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(128*c^(5//2)*e^2), x, 5),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^2, ((6*c*e*f - 4*c*d*g - b*e*g)*(b + 2*c*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(8*c*e) + ((6*c*e*f - 4*c*d*g - b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(3*e^2*(2*c*d - b*e)) + (2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^2) + ((2*c*d - b*e)^2*(6*c*e*f - 4*c*d*g - b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(16*c^(3//2)*e^2), x, 5),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^3, (-3*(4*c*e*f - 6*c*d*g + b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(4*e^2) - ((4*c*e*f - 6*c*d*g + b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(2*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)) - (2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^3) - (3*(2*c*d - b*e)*(4*c*e*f - 6*c*d*g + b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(8*sqrt(c)*e^2), x, 5),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^4, (c*(2*c*e*f - 8*c*d*g + 3*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(e^2*(2*c*d - b*e)) + (2*(2*c*e*f - 8*c*d*g + 3*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(3*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^2) - (2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(3*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^4) + (sqrt(c)*(2*c*e*f - 8*c*d*g + 3*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(2*e^2), x, 5),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^5, (2*c*g*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(e^2*(d + e*x)) - (2*g*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(3*e^2*(d + e*x)^3) - (2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(5*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^5) + (c^(3//2)*g*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/e^2, x, 5),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^6, (-2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(7*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^6) + (2*(7*b*e*g - 2*c*(e*f + 6*d*g))*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(35*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^5), x, 2),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^7, -((2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(9*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^7)) - (2*(4*c*e*f + 14*c*d*g - 9*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(63*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^6) - (4*c*(4*c*e*f + 14*c*d*g - 9*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(315*e^2*(2*c*d - b*e)^3*(d + e*x)^5), x, 3),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^8, -((2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(11*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^8)) - (2*(6*c*e*f + 16*c*d*g - 11*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(99*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^7) - (8*c*(6*c*e*f + 16*c*d*g - 11*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(693*e^2*(2*c*d - b*e)^3*(d + e*x)^6) - (16*c^2*(6*c*e*f + 16*c*d*g - 11*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(3465*e^2*(2*c*d - b*e)^4*(d + e*x)^5), x, 4),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^9, -((2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(13*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^9)) - (2*(8*c*e*f + 18*c*d*g - 13*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(143*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^8) - (4*c*(8*c*e*f + 18*c*d*g - 13*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(429*e^2*(2*c*d - b*e)^3*(d + e*x)^7) - (16*c^2*(8*c*e*f + 18*c*d*g - 13*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(3003*e^2*(2*c*d - b*e)^4*(d + e*x)^6) - (32*c^3*(8*c*e*f + 18*c*d*g - 13*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(15015*e^2*(2*c*d - b*e)^5*(d + e*x)^5), x, 5),
+
+
+((d + e*x)^3*(f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (11*(2*c*d - b*e)^7*(20*c*e*f + 6*c*d*g - 13*b*e*g)*(b + 2*c*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(131072*c^7*e) + (11*(2*c*d - b*e)^5*(20*c*e*f + 6*c*d*g - 13*b*e*g)*(b + 2*c*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(49152*c^6*e) + (11*(2*c*d - b*e)^3*(20*c*e*f + 6*c*d*g - 13*b*e*g)*(b + 2*c*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(15360*c^5*e) - (11*(2*c*d - b*e)^2*(20*c*e*f + 6*c*d*g - 13*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(4480*c^4*e^2) - (11*(2*c*d - b*e)*(20*c*e*f + 6*c*d*g - 13*b*e*g)*(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(2880*c^3*e^2) - ((20*c*e*f + 6*c*d*g - 13*b*e*g)*(d + e*x)^2*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(180*c^2*e^2) - (g*(d + e*x)^3*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(10*c*e^2) + (11*(2*c*d - b*e)^9*(20*c*e*f + 6*c*d*g - 13*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(262144*c^(15//2)*e^2), x, 9),
+((d + e*x)^2*(f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (5*(2*c*d - b*e)^6*(18*c*e*f + 4*c*d*g - 11*b*e*g)*(b + 2*c*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(32768*c^6*e) + (5*(2*c*d - b*e)^4*(18*c*e*f + 4*c*d*g - 11*b*e*g)*(b + 2*c*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(12288*c^5*e) + ((2*c*d - b*e)^2*(18*c*e*f + 4*c*d*g - 11*b*e*g)*(b + 2*c*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(768*c^4*e) - ((2*c*d - b*e)*(18*c*e*f + 4*c*d*g - 11*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(224*c^3*e^2) - ((18*c*e*f + 4*c*d*g - 11*b*e*g)*(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(144*c^2*e^2) - (g*(d + e*x)^2*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(9*c*e^2) + (5*(2*c*d - b*e)^8*(18*c*e*f + 4*c*d*g - 11*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(65536*c^(13//2)*e^2), x, 9),
+((d + e*x)^1*(f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (5*(2*c*d - b*e)^5*(16*c*e*f + 2*c*d*g - 9*b*e*g)*(b + 2*c*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(16384*c^5*e) + (5*(2*c*d - b*e)^3*(16*c*e*f + 2*c*d*g - 9*b*e*g)*(b + 2*c*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(6144*c^4*e) + ((2*c*d - b*e)*(16*c*e*f + 2*c*d*g - 9*b*e*g)*(b + 2*c*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(384*c^3*e) + ((9*b*e*g - 16*c*(e*f + d*g) - 14*c*e*g*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(112*c^2*e^2) + (5*(2*c*d - b*e)^7*(16*c*e*f + 2*c*d*g - 9*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(32768*c^(11//2)*e^2), x, 6),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^1, -((2*c*d - b*e)^3*(5*b*e*g - 2*c*(6*e*f - d*g))*(b + 2*c*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(512*c^3*e) - ((2*c*d - b*e)*(5*b*e*g - 2*c*(6*e*f - d*g))*(b + 2*c*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(192*c^2*e) + ((12*c*e*f - 2*c*d*g - 5*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(60*c*e^2) - (g*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(6*c*e^2*(d + e*x)) - ((2*c*d - b*e)^5*(5*b*e*g - 2*c*(6*e*f - d*g))*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(1024*c^(7//2)*e^2), x, 6),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^2, ((2*c*d - b*e)^2*(10*c*e*f - 4*c*d*g - 3*b*e*g)*(b + 2*c*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(128*c^2*e) + ((10*c*e*f - 4*c*d*g - 3*b*e*g)*(b + 2*c*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(48*c*e) + ((10*c*e*f - 4*c*d*g - 3*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(15*e^2*(2*c*d - b*e)) + (2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(3*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^2) + ((2*c*d - b*e)^4*(10*c*e*f - 4*c*d*g - 3*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(256*c^(5//2)*e^2), x, 6),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^3, (5*(2*c*d - b*e)*(8*c*e*f - 6*c*d*g - b*e*g)*(b + 2*c*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(64*c*e) + (5*(8*c*e*f - 6*c*d*g - b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(24*e^2) + ((8*c*e*f - 6*c*d*g - b*e*g)*(c*d - b*e - c*e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(4*e^2*(2*c*d - b*e)) + (2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^3) + (5*(2*c*d - b*e)^3*(8*c*e*f - 6*c*d*g - b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(128*c^(3//2)*e^2), x, 7),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^4, (-5*(6*c*e*f - 8*c*d*g + b*e*g)*(b + 2*c*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(8*e) - (5*c*(6*c*e*f - 8*c*d*g + b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(3*e^2*(2*c*d - b*e)) - (2*(6*c*e*f - 8*c*d*g + b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^2) - (2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^4) - (5*(2*c*d - b*e)^2*(6*c*e*f - 8*c*d*g + b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(16*sqrt(c)*e^2), x, 6),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^5, (5*c*(4*c*e*f - 10*c*d*g + 3*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(4*e^2) + (5*c*(4*c*e*f - 10*c*d*g + 3*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(6*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)) + (2*(4*c*e*f - 10*c*d*g + 3*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(3*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^3) - (2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(3*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^5) + (5*sqrt(c)*(2*c*d - b*e)*(4*c*e*f - 10*c*d*g + 3*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(8*e^2), x, 6),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^6, -((c^2*(2*c*e*f - 12*c*d*g + 5*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(e^2*(2*c*d - b*e))) - (2*c*(2*c*e*f - 12*c*d*g + 5*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(3*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^2) + (2*(2*c*e*f - 12*c*d*g + 5*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(15*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^4) - (2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(5*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^6) - (c^(3//2)*(2*c*e*f - 12*c*d*g + 5*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(2*e^2), x, 6),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^7, (-2*c^2*g*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(e^2*(d + e*x)) + (2*c*g*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(3*e^2*(d + e*x)^3) - (2*g*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(5*e^2*(d + e*x)^5) - (2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(7*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^7) - (c^(5//2)*g*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/e^2, x, 6),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^8, -((2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(9*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^8)) + (2*(9*b*e*g - 2*c*(e*f + 8*d*g))*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(63*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^7), x, 2),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^9, -((2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(11*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^9)) - (2*(4*c*e*f + 18*c*d*g - 11*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(99*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^8) - (4*c*(4*c*e*f + 18*c*d*g - 11*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(693*e^2*(2*c*d - b*e)^3*(d + e*x)^7), x, 3),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^10, -((2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(13*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^10)) - (2*(6*c*e*f + 20*c*d*g - 13*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(143*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^9) - (8*c*(6*c*e*f + 20*c*d*g - 13*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(1287*e^2*(2*c*d - b*e)^3*(d + e*x)^8) - (16*c^2*(6*c*e*f + 20*c*d*g - 13*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(9009*e^2*(2*c*d - b*e)^4*(d + e*x)^7), x, 4),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^11, -((2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(15*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^11)) - (2*(8*c*e*f + 22*c*d*g - 15*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(195*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^10) - (4*c*(8*c*e*f + 22*c*d*g - 15*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(715*e^2*(2*c*d - b*e)^3*(d + e*x)^9) - (16*c^2*(8*c*e*f + 22*c*d*g - 15*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(6435*e^2*(2*c*d - b*e)^4*(d + e*x)^8) - (32*c^3*(8*c*e*f + 22*c*d*g - 15*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(45045*e^2*(2*c*d - b*e)^5*(d + e*x)^7), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((d + e*x)^3*(f + g*x))/sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2), -((5*(2*c*d - b*e)^2*(8*c*e*f + 6*c*d*g - 7*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(64*c^4*e^2)) - (5*(2*c*d - b*e)*(8*c*e*f + 6*c*d*g - 7*b*e*g)*(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(96*c^3*e^2) - ((8*c*e*f + 6*c*d*g - 7*b*e*g)*(d + e*x)^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(24*c^2*e^2) - (g*(d + e*x)^3*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(4*c*e^2) + (5*(2*c*d - b*e)^3*(8*c*e*f + 6*c*d*g - 7*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(128*c^(9//2)*e^2), x, 6),
+(((d + e*x)^2*(f + g*x))/sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2), -(((2*c*d - b*e)*(6*c*e*f + 4*c*d*g - 5*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(8*c^3*e^2)) - ((6*c*e*f + 4*c*d*g - 5*b*e*g)*(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(12*c^2*e^2) - (g*(d + e*x)^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(3*c*e^2) + ((2*c*d - b*e)^2*(6*c*e*f + 4*c*d*g - 5*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(16*c^(7//2)*e^2), x, 6),
+(((d + e*x)^1*(f + g*x))/sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2), ((3*b*e*g - 4*c*(e*f + d*g) - 2*c*e*g*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(4*c^2*e^2) + ((2*c*d - b*e)*(4*c*e*f + 2*c*d*g - 3*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(8*c^(5//2)*e^2), x, 3),
+((f + g*x)/((d + e*x)^1*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), (-2*(e*f - d*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)) + (g*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(sqrt(c)*e^2), x, 3),
+((f + g*x)/((d + e*x)^2*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), (-2*(e*f - d*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(3*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^2) - (2*(2*c*e*f + 4*c*d*g - 3*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(3*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)), x, 2),
+((f + g*x)/((d + e*x)^3*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), (-2*(e*f - d*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(5*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^3) - (2*(4*c*e*f + 6*c*d*g - 5*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(15*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^2) - (4*c*(4*c*e*f + 6*c*d*g - 5*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(15*e^2*(2*c*d - b*e)^3*(d + e*x)), x, 3),
+((f + g*x)/((d + e*x)^4*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), -((2*(e*f - d*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(7*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^4)) - (2*(6*c*e*f + 8*c*d*g - 7*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(35*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^3) - (8*c*(6*c*e*f + 8*c*d*g - 7*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(105*e^2*(2*c*d - b*e)^3*(d + e*x)^2) - (16*c^2*(6*c*e*f + 8*c*d*g - 7*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(105*e^2*(2*c*d - b*e)^4*(d + e*x)), x, 4),
+((f + g*x)/((d + e*x)^5*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), -((2*(e*f - d*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(9*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^5)) - (2*(8*c*e*f + 10*c*d*g - 9*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(63*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^4) - (4*c*(8*c*e*f + 10*c*d*g - 9*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(105*e^2*(2*c*d - b*e)^3*(d + e*x)^3) - (16*c^2*(8*c*e*f + 10*c*d*g - 9*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(315*e^2*(2*c*d - b*e)^4*(d + e*x)^2) - (32*c^3*(8*c*e*f + 10*c*d*g - 9*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(315*e^2*(2*c*d - b*e)^5*(d + e*x)), x, 5),
+
+
+(((d + e*x)^3*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x)^3)/(c*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (3*(4*c*e*f + 6*c*d*g - 5*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(4*c^3*e^2) + ((4*c*e*f + 6*c*d*g - 5*b*e*g)*(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(2*c^2*e^2*(2*c*d - b*e)) - (3*(2*c*d - b*e)*(4*c*e*f + 6*c*d*g - 5*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(8*c^(7//2)*e^2), x, 5),
+(((d + e*x)^2*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x)^2)/(c*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + ((2*c*e*f + 4*c*d*g - 3*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(c^2*e^2*(2*c*d - b*e)) - ((2*c*e*f + 4*c*d*g - 3*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(2*c^(5//2)*e^2), x, 4),
+# {((d + e*x)^1*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3/2), x, 3, (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x))/(c*e^2*(2*c*d - b*e)*Sqrt[d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2]) - (g*ArcTan[(e*(b + 2*c*x))/(2*Sqrt[c]*Sqrt[d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2])])/(c^(3/2)*e^2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d*(2*c*d - b*e) + e*(2*c*d - b*e)*x))/(c*e^2*(2*c*d - b*e)^2*Sqrt[d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2]) - (g*ArcTan[(e*(b + 2*c*x))/(2*Sqrt[c]*Sqrt[d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2])])/(c^(3/2)*e^2)}
+((f + g*x)/((d + e*x)^1*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)), (2*(4*c*e*f + 2*c*d*g - 3*b*e*g)*(b + 2*c*x))/(3*e*(2*c*d - b*e)^3*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - (2*(e*f - d*g))/(3*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), x, 2),
+((f + g*x)/((d + e*x)^2*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)), (8*c*(6*c*e*f + 4*c*d*g - 5*b*e*g)*(b + 2*c*x))/(15*e*(2*c*d - b*e)^4*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - (2*(e*f - d*g))/(5*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - (2*(6*c*e*f + 4*c*d*g - 5*b*e*g))/(15*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), x, 3),
+((f + g*x)/((d + e*x)^3*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)), (16*c^2*(8*c*e*f + 6*c*d*g - 7*b*e*g)*(b + 2*c*x))/(35*e*(2*c*d - b*e)^5*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - (2*(e*f - d*g))/(7*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^3*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - (2*(8*c*e*f + 6*c*d*g - 7*b*e*g))/(35*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - (4*c*(8*c*e*f + 6*c*d*g - 7*b*e*g))/(35*e^2*(2*c*d - b*e)^3*(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), x, 4),
+
+
+(((d + e*x)^5*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x)^5)/(3*c*e^2*(2*c*d - b*e)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) - (2*(4*c*e*f + 10*c*d*g - 7*b*e*g)*(d + e*x)^3)/(3*c^2*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - (5*(4*c*e*f + 10*c*d*g - 7*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(4*c^4*e^2) - (5*(4*c*e*f + 10*c*d*g - 7*b*e*g)*(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(6*c^3*e^2*(2*c*d - b*e)) + (5*(2*c*d - b*e)*(4*c*e*f + 10*c*d*g - 7*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(8*c^(9//2)*e^2), x, 6),
+(((d + e*x)^4*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x)^4)/(3*c*e^2*(2*c*d - b*e)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) - (2*(2*c*e*f + 8*c*d*g - 5*b*e*g)*(d + e*x)^2)/(3*c^2*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - ((2*c*e*f + 8*c*d*g - 5*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(c^3*e^2*(2*c*d - b*e)) + ((2*c*e*f + 8*c*d*g - 5*b*e*g)*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(2*c^(7//2)*e^2), x, 5),
+(((d + e*x)^3*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x)^3)/(3*c*e^2*(2*c*d - b*e)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) - (2*g*(d + e*x))/(c^2*e^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (g*atan((e*(b + 2*c*x))/(2*sqrt(c)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))))/(c^(5//2)*e^2), x, 4),
+(((d + e*x)^2*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x)^2)/(3*c*e^2*(2*c*d - b*e)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) + (2*(2*c*e*f - 4*c*d*g + b*e*g)*(d + e*x))/(3*c*e^2*(2*c*d - b*e)^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), x, 2),
+(((d + e*x)^1*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d*(2*c*d - b*e) + e*(2*c*d - b*e)*x))/(3*c*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) + (2*(4*c*e*f - 2*c*d*g - b*e*g)*(b + 2*c*x))/(3*c*e*(2*c*d - b*e)^3*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), x, 2),
+((f + g*x)/((d + e*x)^1*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2)), (2*(8*c*e*f + 2*c*d*g - 5*b*e*g)*(b + 2*c*x))/(15*e*(2*c*d - b*e)^3*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) - (2*(e*f - d*g))/(5*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) + (16*c*(8*c*e*f + 2*c*d*g - 5*b*e*g)*(b + 2*c*x))/(15*e*(2*c*d - b*e)^5*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), x, 3),
+((f + g*x)/((d + e*x)^2*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2)), (16*c*(10*c*e*f + 4*c*d*g - 7*b*e*g)*(b + 2*c*x))/(105*e*(2*c*d - b*e)^4*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) - (2*(e*f - d*g))/(7*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^2*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) - (2*(10*c*e*f + 4*c*d*g - 7*b*e*g))/(35*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) + (128*c^2*(10*c*e*f + 4*c*d*g - 7*b*e*g)*(b + 2*c*x))/(105*e*(2*c*d - b*e)^6*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), x, 4),
+((f + g*x)/((d + e*x)^3*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2)), (32*c^2*(4*c*e*f + 2*c*d*g - 3*b*e*g)*(b + 2*c*x))/(63*e*(2*c*d - b*e)^5*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) - (2*(e*f - d*g))/(9*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^3*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) - (2*(4*c*e*f + 2*c*d*g - 3*b*e*g))/(21*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^2*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) - (4*c*(4*c*e*f + 2*c*d*g - 3*b*e*g))/(21*e^2*(2*c*d - b*e)^3*(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) + (256*c^3*(4*c*e*f + 2*c*d*g - 3*b*e*g)*(b + 2*c*x))/(63*e*(2*c*d - b*e)^7*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (A+B x) (c d^2-b d e-b e^2 x-c e^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2), (-32*(2*c*d - b*e)^3*(11*c*e*f + 5*c*d*g - 8*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(3465*c^5*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - (16*(2*c*d - b*e)^2*(11*c*e*f + 5*c*d*g - 8*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(1155*c^4*e^2*sqrt(d + e*x)) - (4*(2*c*d - b*e)*(11*c*e*f + 5*c*d*g - 8*b*e*g)*sqrt(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(231*c^3*e^2) - (2*(11*c*e*f + 5*c*d*g - 8*b*e*g)*(d + e*x)^(3//2)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(99*c^2*e^2) - (2*g*(d + e*x)^(5//2)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(11*c*e^2), x, 5),
+((d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2), (-16*(2*c*d - b*e)^2*(3*c*e*f + c*d*g - 2*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(315*c^4*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - (8*(2*c*d - b*e)*(3*c*e*f + c*d*g - 2*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(105*c^3*e^2*sqrt(d + e*x)) - (2*(3*c*e*f + c*d*g - 2*b*e*g)*sqrt(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(21*c^2*e^2) - (2*g*(d + e*x)^(3//2)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(9*c*e^2), x, 4),
+((d + e*x)^(1//2)*(f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2), (-4*(2*c*d - b*e)*(7*c*e*f + c*d*g - 4*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(105*c^3*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(7*c*e*f + c*d*g - 4*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(35*c^2*e^2*sqrt(d + e*x)) - (2*g*sqrt(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(7*c*e^2), x, 3),
+(((f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(d + e*x)^(1//2), (-2*(5*c*e*f - c*d*g - 2*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(15*c^2*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - (2*g*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(5*c*e^2*sqrt(d + e*x)), x, 2),
+(((f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(d + e*x)^(3//2), (2*(e*f - d*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(e^2*sqrt(d + e*x)) - (2*g*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(3*c*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - (2*sqrt(2*c*d - b*e)*(e*f - d*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/e^2, x, 4),
+(((f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(d + e*x)^(5//2), -(((c*e*f - 5*c*d*g + 2*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))) - ((e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2)) + ((c*e*f - 5*c*d*g + 2*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(e^2*sqrt(2*c*d - b*e)), x, 4),
+(((f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(d + e*x)^(7//2), -((c*e*f + 7*c*d*g - 4*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(4*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)) - ((e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(2*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2)) + (c*(c*e*f + 7*c*d*g - 4*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(4*e^2*(2*c*d - b*e)^(3//2)), x, 4),
+(((f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(d + e*x)^(9//2), -((c*e*f + 3*c*d*g - 2*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(4*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2)) + (c*(c*e*f + 3*c*d*g - 2*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(8*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(3//2)) - ((e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(3*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2)) + (c^2*(c*e*f + 3*c*d*g - 2*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(8*e^2*(2*c*d - b*e)^(5//2)), x, 5),
+(((f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(d + e*x)^(11//2), -((5*c*e*f + 11*c*d*g - 8*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(24*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2)) + (c*(5*c*e*f + 11*c*d*g - 8*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(96*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(5//2)) + (c^2*(5*c*e*f + 11*c*d*g - 8*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(64*e^2*(2*c*d - b*e)^3*(d + e*x)^(3//2)) - ((e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(4*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(11//2)) + (c^3*(5*c*e*f + 11*c*d*g - 8*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(64*e^2*(2*c*d - b*e)^(7//2)), x, 6),
+
+
+((d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2), (-256*(2*c*d - b*e)^4*(3*c*e*f + c*d*g - 2*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(45045*c^6*e^2*(d + e*x)^(5//2)) - (128*(2*c*d - b*e)^3*(3*c*e*f + c*d*g - 2*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(9009*c^5*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - (32*(2*c*d - b*e)^2*(3*c*e*f + c*d*g - 2*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(1287*c^4*e^2*sqrt(d + e*x)) - (16*(2*c*d - b*e)*(3*c*e*f + c*d*g - 2*b*e*g)*sqrt(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(429*c^3*e^2) - (2*(3*c*e*f + c*d*g - 2*b*e*g)*(d + e*x)^(3//2)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(39*c^2*e^2) - (2*g*(d + e*x)^(5//2)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(15*c*e^2), x, 6),
+((d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2), (-32*(2*c*d - b*e)^3*(13*c*e*f + 3*c*d*g - 8*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(15015*c^5*e^2*(d + e*x)^(5//2)) - (16*(2*c*d - b*e)^2*(13*c*e*f + 3*c*d*g - 8*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(3003*c^4*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - (4*(2*c*d - b*e)*(13*c*e*f + 3*c*d*g - 8*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(429*c^3*e^2*sqrt(d + e*x)) - (2*(13*c*e*f + 3*c*d*g - 8*b*e*g)*sqrt(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(143*c^2*e^2) - (2*g*(d + e*x)^(3//2)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(13*c*e^2), x, 5),
+((d + e*x)^(1//2)*(f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2), (-16*(2*c*d - b*e)^2*(11*c*e*f + c*d*g - 6*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(3465*c^4*e^2*(d + e*x)^(5//2)) - (8*(2*c*d - b*e)*(11*c*e*f + c*d*g - 6*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(693*c^3*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(11*c*e*f + c*d*g - 6*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(99*c^2*e^2*sqrt(d + e*x)) - (2*g*sqrt(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(11*c*e^2), x, 4),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(1//2), (-4*(2*c*d - b*e)*(9*c*e*f - c*d*g - 4*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(315*c^3*e^2*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(9*c*e*f - c*d*g - 4*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(63*c^2*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - (2*g*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(9*c*e^2*sqrt(d + e*x)), x, 3),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(3//2), (-2*(7*c*e*f - 3*c*d*g - 2*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(35*c^2*e^2*(d + e*x)^(5//2)) - (2*g*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(7*c*e^2*(d + e*x)^(3//2)), x, 2),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(5//2), (2*(2*c*d - b*e)*(e*f - d*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(e^2*sqrt(d + e*x)) + (2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(3*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - (2*g*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(5*c*e^2*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(2*c*d - b*e)^(3//2)*(e*f - d*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/e^2, x, 5),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(7//2), -(((3*c*e*f - 7*c*d*g + 2*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(e^2*sqrt(d + e*x))) - ((3*c*e*f - 7*c*d*g + 2*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(3*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)) - ((e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2)) + (sqrt(2*c*d - b*e)*(3*c*e*f - 7*c*d*g + 2*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/e^2, x, 5),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(9//2), (3*c*(c*e*f - 9*c*d*g + 4*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(4*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)) + ((c*e*f - 9*c*d*g + 4*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(4*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2)) - ((e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(2*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2)) - (3*c*(c*e*f - 9*c*d*g + 4*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(4*e^2*sqrt(2*c*d - b*e)), x, 5),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(11//2), (c*(c*e*f + 11*c*d*g - 6*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(8*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)) - ((c*e*f + 11*c*d*g - 6*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(12*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2)) - ((e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(3*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(11//2)) - (c^2*(c*e*f + 11*c*d*g - 6*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(8*e^2*(2*c*d - b*e)^(3//2)), x, 5),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(d + e*x)^(13//2), (c*(3*c*e*f + 13*c*d*g - 8*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(32*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2)) - (c^2*(3*c*e*f + 13*c*d*g - 8*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(64*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(3//2)) - ((3*c*e*f + 13*c*d*g - 8*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(24*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2)) - ((e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(4*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(13//2)) - (c^3*(3*c*e*f + 13*c*d*g - 8*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(64*e^2*(2*c*d - b*e)^(5//2)), x, 6),
+
+
+((d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (-512*(2*c*d - b*e)^5*(19*c*e*f + 5*c*d*g - 12*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(2909907*c^7*e^2*(d + e*x)^(7//2)) - (256*(2*c*d - b*e)^4*(19*c*e*f + 5*c*d*g - 12*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(415701*c^6*e^2*(d + e*x)^(5//2)) - (64*(2*c*d - b*e)^3*(19*c*e*f + 5*c*d*g - 12*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(46189*c^5*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - (32*(2*c*d - b*e)^2*(19*c*e*f + 5*c*d*g - 12*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(12597*c^4*e^2*sqrt(d + e*x)) - (4*(2*c*d - b*e)*(19*c*e*f + 5*c*d*g - 12*b*e*g)*sqrt(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(969*c^3*e^2) - (2*(19*c*e*f + 5*c*d*g - 12*b*e*g)*(d + e*x)^(3//2)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(323*c^2*e^2) - (2*g*(d + e*x)^(5//2)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(19*c*e^2), x, 7),
+((d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (-256*(2*c*d - b*e)^4*(17*c*e*f + 3*c*d*g - 10*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(765765*c^6*e^2*(d + e*x)^(7//2)) - (128*(2*c*d - b*e)^3*(17*c*e*f + 3*c*d*g - 10*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(109395*c^5*e^2*(d + e*x)^(5//2)) - (32*(2*c*d - b*e)^2*(17*c*e*f + 3*c*d*g - 10*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(12155*c^4*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - (16*(2*c*d - b*e)*(17*c*e*f + 3*c*d*g - 10*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(3315*c^3*e^2*sqrt(d + e*x)) - (2*(17*c*e*f + 3*c*d*g - 10*b*e*g)*sqrt(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(255*c^2*e^2) - (2*g*(d + e*x)^(3//2)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(17*c*e^2), x, 6),
+((d + e*x)^(1//2)*(f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (-32*(2*c*d - b*e)^3*(15*c*e*f + c*d*g - 8*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(45045*c^5*e^2*(d + e*x)^(7//2)) - (16*(2*c*d - b*e)^2*(15*c*e*f + c*d*g - 8*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(6435*c^4*e^2*(d + e*x)^(5//2)) - (4*(2*c*d - b*e)*(15*c*e*f + c*d*g - 8*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(715*c^3*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(15*c*e*f + c*d*g - 8*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(195*c^2*e^2*sqrt(d + e*x)) - (2*g*sqrt(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(15*c*e^2), x, 5),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(1//2), (-16*(2*c*d - b*e)^2*(13*c*e*f - c*d*g - 6*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(9009*c^4*e^2*(d + e*x)^(7//2)) - (8*(2*c*d - b*e)*(13*c*e*f - c*d*g - 6*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(1287*c^3*e^2*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(13*c*e*f - c*d*g - 6*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(143*c^2*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - (2*g*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(13*c*e^2*sqrt(d + e*x)), x, 4),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(3//2), -((4*(2*c*d - b*e)*(11*c*e*f - 3*c*d*g - 4*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(693*c^3*e^2*(d + e*x)^(7//2))) - (2*(11*c*e*f - 3*c*d*g - 4*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(99*c^2*e^2*(d + e*x)^(5//2)) - (2*g*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(11*c*e^2*(d + e*x)^(3//2)), x, 3),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(5//2), (-2*(9*c*e*f - 5*c*d*g - 2*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(63*c^2*e^2*(d + e*x)^(7//2)) - (2*g*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(9*c*e^2*(d + e*x)^(5//2)), x, 2),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(7//2), (2*(2*c*d - b*e)^2*(e*f - d*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(e^2*sqrt(d + e*x)) + (2*(2*c*d - b*e)*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(3*e^2*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(5*e^2*(d + e*x)^(5//2)) - (2*g*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(7*c*e^2*(d + e*x)^(7//2)) - (2*(2*c*d - b*e)^(5//2)*(e*f - d*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/e^2, x, 6),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(9//2), -(((2*c*d - b*e)*(5*c*e*f - 9*c*d*g + 2*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(e^2*sqrt(d + e*x))) - ((5*c*e*f - 9*c*d*g + 2*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(3*e^2*(d + e*x)^(3//2)) - ((5*c*e*f - 9*c*d*g + 2*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(5*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2)) - ((e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2)) + ((2*c*d - b*e)^(3//2)*(5*c*e*f - 9*c*d*g + 2*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/e^2, x, 6),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(11//2), (5*c*(3*c*e*f - 11*c*d*g + 4*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(4*e^2*sqrt(d + e*x)) + (5*c*(3*c*e*f - 11*c*d*g + 4*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(12*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)) + ((3*c*e*f - 11*c*d*g + 4*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(4*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2)) - ((e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(2*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(11//2)) - (5*c*sqrt(2*c*d - b*e)*(3*c*e*f - 11*c*d*g + 4*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(4*e^2), x, 6),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(13//2), (-5*c^2*(c*e*f - 13*c*d*g + 6*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(8*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)) - (5*c*(c*e*f - 13*c*d*g + 6*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(24*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2)) + ((c*e*f - 13*c*d*g + 6*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(12*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2)) - ((e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(3*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(13//2)) + (5*c^2*(c*e*f - 13*c*d*g + 6*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(8*e^2*sqrt(2*c*d - b*e)), x, 6),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(15//2), (-5*c^2*(c*e*f + 15*c*d*g - 8*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(64*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)) + (5*c*(c*e*f + 15*c*d*g - 8*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(96*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(7//2)) - ((c*e*f + 15*c*d*g - 8*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(24*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(11//2)) - ((e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(4*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(15//2)) + (5*c^3*(c*e*f + 15*c*d*g - 8*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(64*e^2*(2*c*d - b*e)^(3//2)), x, 6),
+(((f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(d + e*x)^(17//2), -((c^2*(3*c*e*f + 17*c*d*g - 10*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(64*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2))) + (c^3*(3*c*e*f + 17*c*d*g - 10*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(128*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (c*(3*c*e*f + 17*c*d*g - 10*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(48*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(9//2)) - ((3*c*e*f + 17*c*d*g - 10*b*e*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(40*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(13//2)) - ((e*f - d*g)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(5*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(17//2)) + (c^4*(3*c*e*f + 17*c*d*g - 10*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(128*e^2*(2*c*d - b*e)^(5//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((d + e*x)^(5//2)*(f + g*x))/sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2), (-16*(2*c*d - b*e)^2*(7*c*e*f + 5*c*d*g - 6*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(105*c^4*e^2*sqrt(d + e*x)) - (8*(2*c*d - b*e)*(7*c*e*f + 5*c*d*g - 6*b*e*g)*sqrt(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(105*c^3*e^2) - (2*(7*c*e*f + 5*c*d*g - 6*b*e*g)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(35*c^2*e^2) - (2*g*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(7*c*e^2), x, 4),
+(((d + e*x)^(3//2)*(f + g*x))/sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2), (-4*(2*c*d - b*e)*(5*c*e*f + 3*c*d*g - 4*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(15*c^3*e^2*sqrt(d + e*x)) - (2*(5*c*e*f + 3*c*d*g - 4*b*e*g)*sqrt(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(15*c^2*e^2) - (2*g*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(5*c*e^2), x, 3),
+(((d + e*x)^(1//2)*(f + g*x))/sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2), (-2*(3*c*e*f + c*d*g - 2*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(3*c^2*e^2*sqrt(d + e*x)) - (2*g*sqrt(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(3*c*e^2), x, 2),
+((f + g*x)/((d + e*x)^(1//2)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), (-2*g*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(c*e^2*sqrt(d + e*x)) - (2*(e*f - d*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(e^2*sqrt(2*c*d - b*e)), x, 3),
+((f + g*x)/((d + e*x)^(3//2)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), -(((e*f - d*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2))) - ((c*e*f + 3*c*d*g - 2*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(e^2*(2*c*d - b*e)^(3//2)), x, 3),
+((f + g*x)/((d + e*x)^(5//2)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), -((e*f - d*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(2*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2)) - ((3*c*e*f + 5*c*d*g - 4*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(4*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(3//2)) - (c*(3*c*e*f + 5*c*d*g - 4*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(4*e^2*(2*c*d - b*e)^(5//2)), x, 4),
+
+
+(((d + e*x)^(9//2)*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x)^(9//2))/(c*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (32*(2*c*d - b*e)^2*(7*c*e*f + 9*c*d*g - 8*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(35*c^5*e^2*sqrt(d + e*x)) + (16*(2*c*d - b*e)*(7*c*e*f + 9*c*d*g - 8*b*e*g)*sqrt(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(35*c^4*e^2) + (12*(7*c*e*f + 9*c*d*g - 8*b*e*g)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(35*c^3*e^2) + (2*(7*c*e*f + 9*c*d*g - 8*b*e*g)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(7*c^2*e^2*(2*c*d - b*e)), x, 5),
+(((d + e*x)^(7//2)*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x)^(7//2))/(c*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (16*(2*c*d - b*e)*(5*c*e*f + 7*c*d*g - 6*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(15*c^4*e^2*sqrt(d + e*x)) + (8*(5*c*e*f + 7*c*d*g - 6*b*e*g)*sqrt(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(15*c^3*e^2) + (2*(5*c*e*f + 7*c*d*g - 6*b*e*g)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(5*c^2*e^2*(2*c*d - b*e)), x, 4),
+(((d + e*x)^(5//2)*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x)^(5//2))/(c*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (4*(3*c*e*f + 5*c*d*g - 4*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(3*c^3*e^2*sqrt(d + e*x)) + (2*(3*c*e*f + 5*c*d*g - 4*b*e*g)*sqrt(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(3*c^2*e^2*(2*c*d - b*e)), x, 3),
+(((d + e*x)^(3//2)*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x)^(3//2))/(c*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (2*(c*e*f + 3*c*d*g - 2*b*e*g)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(c^2*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)), x, 2),
+(((d + e*x)^(1//2)*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*sqrt(d + e*x))/(c*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - (2*(e*f - d*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(e^2*(2*c*d - b*e)^(3//2)), x, 3),
+((f + g*x)/((d + e*x)^(1//2)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)), -((e*f - d*g)/(e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))) + ((3*c*e*f + c*d*g - 2*b*e*g)*sqrt(d + e*x))/(e^2*(2*c*d - b*e)^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - ((3*c*e*f + c*d*g - 2*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(e^2*(2*c*d - b*e)^(5//2)), x, 4),
+((f + g*x)/((d + e*x)^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)), -(e*f - d*g)/(2*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - (5*c*e*f + 3*c*d*g - 4*b*e*g)/(4*e^2*(2*c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (3*c*(5*c*e*f + 3*c*d*g - 4*b*e*g)*sqrt(d + e*x))/(4*e^2*(2*c*d - b*e)^3*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - (3*c*(5*c*e*f + 3*c*d*g - 4*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(4*e^2*(2*c*d - b*e)^(7//2)), x, 5),
+((f + g*x)/((d + e*x)^(5//2)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)), -(e*f - d*g)/(3*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - (7*c*e*f + 5*c*d*g - 6*b*e*g)/(12*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - (5*c*(7*c*e*f + 5*c*d*g - 6*b*e*g))/(24*e^2*(2*c*d - b*e)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (5*c^2*(7*c*e*f + 5*c*d*g - 6*b*e*g)*sqrt(d + e*x))/(8*e^2*(2*c*d - b*e)^4*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - (5*c^2*(7*c*e*f + 5*c*d*g - 6*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(8*e^2*(2*c*d - b*e)^(9//2)), x, 6),
+
+
+(((d + e*x)^(13//2)*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x)^(13//2))/(3*c*e^2*(2*c*d - b*e)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) - (256*(2*c*d - b*e)^3*(7*c*e*f + 13*c*d*g - 10*b*e*g)*sqrt(d + e*x))/(105*c^6*e^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (128*(2*c*d - b*e)^2*(7*c*e*f + 13*c*d*g - 10*b*e*g)*(d + e*x)^(3//2))/(105*c^5*e^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (32*(2*c*d - b*e)*(7*c*e*f + 13*c*d*g - 10*b*e*g)*(d + e*x)^(5//2))/(105*c^4*e^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (16*(7*c*e*f + 13*c*d*g - 10*b*e*g)*(d + e*x)^(7//2))/(105*c^3*e^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (2*(7*c*e*f + 13*c*d*g - 10*b*e*g)*(d + e*x)^(9//2))/(21*c^2*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), x, 6),
+(((d + e*x)^(11//2)*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x)^(11//2))/(3*c*e^2*(2*c*d - b*e)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) - (32*(2*c*d - b*e)^2*(5*c*e*f + 11*c*d*g - 8*b*e*g)*sqrt(d + e*x))/(15*c^5*e^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (16*(2*c*d - b*e)*(5*c*e*f + 11*c*d*g - 8*b*e*g)*(d + e*x)^(3//2))/(15*c^4*e^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (4*(5*c*e*f + 11*c*d*g - 8*b*e*g)*(d + e*x)^(5//2))/(15*c^3*e^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (2*(5*c*e*f + 11*c*d*g - 8*b*e*g)*(d + e*x)^(7//2))/(15*c^2*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), x, 5),
+(((d + e*x)^(9//2)*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x)^(9//2))/(3*c*e^2*(2*c*d - b*e)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) - (16*(2*c*d - b*e)*(c*e*f + 3*c*d*g - 2*b*e*g)*sqrt(d + e*x))/(3*c^4*e^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (8*(c*e*f + 3*c*d*g - 2*b*e*g)*(d + e*x)^(3//2))/(3*c^3*e^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (2*(c*e*f + 3*c*d*g - 2*b*e*g)*(d + e*x)^(5//2))/(3*c^2*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), x, 4),
+(((d + e*x)^(7//2)*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x)^(7//2))/(3*c*e^2*(2*c*d - b*e)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) - (4*(c*e*f + 7*c*d*g - 4*b*e*g)*sqrt(d + e*x))/(3*c^3*e^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (2*(c*e*f + 7*c*d*g - 4*b*e*g)*(d + e*x)^(3//2))/(3*c^2*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), x, 3),
+(((d + e*x)^(5//2)*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x)^(5//2))/(3*c*e^2*(2*c*d - b*e)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) + (2*(c*e*f - 5*c*d*g + 2*b*e*g)*sqrt(d + e*x))/(3*c^2*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), x, 2),
+(((d + e*x)^(3//2)*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x)^(3//2))/(3*c*e^2*(2*c*d - b*e)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) + (2*(e*f - d*g)*sqrt(d + e*x))/(e^2*(2*c*d - b*e)^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - (2*(e*f - d*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(e^2*(2*c*d - b*e)^(5//2)), x, 4),
+(((d + e*x)^(1//2)*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (2*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*sqrt(d + e*x))/(3*c*e^2*(2*c*d - b*e)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) - (5*c*e*f - c*d*g - 2*b*e*g)/(3*c*e^2*(2*c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + ((5*c*e*f - c*d*g - 2*b*e*g)*sqrt(d + e*x))/(e^2*(2*c*d - b*e)^3*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - ((5*c*e*f - c*d*g - 2*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(e^2*(2*c*d - b*e)^(7//2)), x, 5),
+((f + g*x)/((d + e*x)^(1//2)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2)), -((e*f - d*g)/(2*e^2*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))) + ((7*c*e*f + c*d*g - 4*b*e*g)*sqrt(d + e*x))/(6*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) - (5*(7*c*e*f + c*d*g - 4*b*e*g))/(12*e^2*(2*c*d - b*e)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (5*c*(7*c*e*f + c*d*g - 4*b*e*g)*sqrt(d + e*x))/(4*e^2*(2*c*d - b*e)^4*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - (5*c*(7*c*e*f + c*d*g - 4*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(4*e^2*(2*c*d - b*e)^(9//2)), x, 6),
+((f + g*x)/((d + e*x)^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2)), -(e*f - d*g)/(3*e^2*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3//2)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) - (3*c*e*f + c*d*g - 2*b*e*g)/(4*e^2*(2*c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) + (7*c*(3*c*e*f + c*d*g - 2*b*e*g)*sqrt(d + e*x))/(12*e^2*(2*c*d - b*e)^3*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) - (35*c*(3*c*e*f + c*d*g - 2*b*e*g))/(24*e^2*(2*c*d - b*e)^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) + (35*c^2*(3*c*e*f + c*d*g - 2*b*e*g)*sqrt(d + e*x))/(8*e^2*(2*c*d - b*e)^5*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - (35*c^2*(3*c*e*f + c*d*g - 2*b*e*g)*atanh(sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)/(sqrt(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))))/(8*e^2*(2*c*d - b*e)^(11//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x) (c d^2-b d e-b e^2 x-c e^2 x^2)^(p/2) when m symbolic
+
+
+((d + e*x)^m*(f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), -((g*(d + e*x)^m*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(7//2))/(c*e^2*(7 + m))) + ((2*c*d - b*e)^2*(b*e*g*(7 + 2*m) - 2*c*(d*g*m + e*f*(7 + m)))*(d + e*x)^m*((c*(d + e*x))/(2*c*d - b*e))^(-(1//2) - m)*(c*d - b*e - c*e*x)^3*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(7//2, -(5//2) - m, 9//2, (c*d - b*e - c*e*x)/(2*c*d - b*e)))/(7*c^4*e^2*(7 + m)), x, 5),
+((d + e*x)^m*(f + g*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2), -((g*(d + e*x)^m*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2))/(c*e^2*(5 + m))) + ((2*c*d - b*e)*(b*e*g*(5 + 2*m) - 2*c*(d*g*m + e*f*(5 + m)))*(d + e*x)^m*((c*(d + e*x))/(2*c*d - b*e))^(-(1//2) - m)*(c*d - b*e - c*e*x)^2*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -(3//2) - m, 7//2, (c*d - b*e - c*e*x)/(2*c*d - b*e)))/(5*c^3*e^2*(5 + m)), x, 5),
+((d + e*x)^m*(f + g*x)*sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2), -((g*(d + e*x)^m*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2))/(c*e^2*(3 + m))) + ((b*e*g*(3 + 2*m) - 2*c*(d*g*m + e*f*(3 + m)))*(d + e*x)^m*((c*(d + e*x))/(2*c*d - b*e))^(-(1//2) - m)*(c*d - b*e - c*e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -(1//2) - m, 5//2, (c*d - b*e - c*e*x)/(2*c*d - b*e)))/(3*c^2*e^2*(3 + m)), x, 5),
+(((d + e*x)^m*(f + g*x))/sqrt(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2), -((g*(d + e*x)^m*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2))/(c*e^2*(1 + m))) + ((b*e*g*(1 + 2*m) - 2*c*(d*g*m + e*f*(1 + m)))*(d + e*x)^m*((c*(d + e*x))/(2*c*d - b*e))^(1//2 - m)*(c*d - b*e - c*e*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 1//2 - m, 3//2, (c*d - b*e - c*e*x)/(2*c*d - b*e)))/(c^2*e^2*(1 + m)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), x, 5),
+(((d + e*x)^m*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2), (g*(d + e*x)^m)/(c*e^2*(1 - m)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)) - ((b*e*g*(1 - 2*m) - 2*c*(e*f*(1 - m) - d*g*m))*(d + e*x)^m*((c*(d + e*x))/(2*c*d - b*e))^(1//2 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), 3//2 - m, 1//2, (c*d - b*e - c*e*x)/(2*c*d - b*e)))/(c*e^2*(2*c*d - b*e)*(1 - m)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), x, 5),
+(((d + e*x)^m*(f + g*x))/(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(5//2), (g*(d + e*x)^m)/(c*e^2*(3 - m)*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(3//2)) - ((b*e*g*(3 - 2*m) - 2*c*(e*f*(3 - m) - d*g*m))*(d + e*x)^m*((c*(d + e*x))/(2*c*d - b*e))^(1//2 - m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), 5//2 - m, -(1//2), (c*d - b*e - c*e*x)/(2*c*d - b*e)))/(3*e^2*(2*c*d - b*e)^2*(3 - m)*(c*d - b*e - c*e*x)*sqrt(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x) (c d^2-b d e-b e^2 x-c e^2 x^2)^p when p symbolic
+
+
+((d + e*x)^m*(c*d*m - b*e*(1 + m + p) - c*e*(2 + m + 2*p)*x)*(c*d^2 - b*d*e - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^p, ((d + e*x)^m*(d*(c*d - b*e) - b*e^2*x - c*e^2*x^2)^(1 + p))/e, x, 1),
+
+
+((d + e*x)^(-3 - 2*p)*(f + g*x)*(d*(e*f + d*g + d*g*p) + e*(e*f + 3*d*g + 2*d*g*p)*x + e^2*g*(2 + p)*x^2)^p, -(((d + e*x)^(-3 - 2*p)*(d*(e*f + d*g*(1 + p)) + e*(e*f + d*g*(3 + 2*p))*x + e^2*g*(2 + p)*x^2)^(1 + p))/(e^2*(2 + p))), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p when c f^2-b f g+a g^2=0
+
+
+((d + e*x)^2*(f + g*x)/(c*f^2 - b*f*g - b*g^2*x - c*g^2*x^2)^2, (c*e*f + c*d*g - b*e*g)^2/(c^2*g^3*(2*c*f - b*g)*(c*f - b*g - c*g*x)) + ((e*f - d*g)^2*log(f + g*x))/(g^3*(2*c*f - b*g)^2) + ((3*c*e*f - c*d*g - b*e*g)*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*log(c*f - b*g - c*g*x))/(c^2*g^3*(2*c*f - b*g)^2), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p when m=p, b d+a e=0 and c d+b e=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^p (A+B x) (a+b x+c x^2)^p when b d+a e=0 and c d+b e=0
+
+
+((a + b*x)*(1 + x)^4*(1 - x + x^2)^4, a*x + (b*x^2)/2 + a*x^4 + (4*b*x^5)/5 + (6*a*x^7)/7 + (3*b*x^8)/4 + (2*a*x^10)/5 + (4*b*x^11)/11 + (a*x^13)/13 + (b*x^14)/14, x, 2),
+((a + b*x)*(1 + x)^3*(1 - x + x^2)^3, a*x + (b*x^2)/2 + (3*a*x^4)/4 + (3*b*x^5)/5 + (3*a*x^7)/7 + (3*b*x^8)/8 + (a*x^10)/10 + (b*x^11)/11, x, 2),
+((a + b*x)*(1 + x)^2*(1 - x + x^2)^2, a*x + (b*x^2)/2 + (a*x^4)/2 + (2*b*x^5)/5 + (a*x^7)/7 + (b*x^8)/8, x, 2),
+((a + b*x)*(1 + x)^1*(1 - x + x^2)^1, a*x + (b*x^2)/2 + (a*x^4)/4 + (b*x^5)/5, x, 2),
+((a + b*x)/((1 + x)^1*(1 - x + x^2)^1), -(((a + b)*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/sqrt(3)) + (1//3)*(a - b)*log(1 + x) - (1//6)*(a - b)*log(1 - x + x^2), x, 6),
+((a + b*x)/((1 + x)^2*(1 - x + x^2)^2), (x*(a + b*x))/(3*(1 + x^3)) - ((2*a + b)*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) + (1//9)*(2*a - b)*log(1 + x) - (1//18)*(2*a - b)*log(1 - x + x^2), x, 8),
+((a + b*x)/((1 + x)^3*(1 - x + x^2)^3), (x*(a + b*x))/(6*(1 + x^3)^2) + (x*(5*a + 4*b*x))/(18*(1 + x^3)) - ((5*a + 2*b)*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)) + (1//27)*(5*a - 2*b)*log(1 + x) - (1//54)*(5*a - 2*b)*log(1 - x + x^2), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(p/2) (A+B x) (a+b x+c x^2)^(p/2) when b d+a e=0 and c d+b e=0
+
+
+((a + b*x)*(1 + x)^(3//2)*(1 - x + x^2)^(3//2), (54*b*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/(91*(1 + sqrt(3) + x)) + (18*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)*(91*a*x + 55*b*x^2))/5005 + (2//143)*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)*(13*a*x + 11*b*x^2)*(1 + x^3) - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b*(1 + x)^(3//2)*sqrt(1 - x + x^2)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*(1 + x^3)) + (18*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(91*a - 55*(1 - sqrt(3))*b)*(1 + x)^(3//2)*sqrt(1 - x + x^2)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(5005*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*(1 + x^3)), x, 6),
+((a + b*x)*(1 + x)^(1//2)*(1 - x + x^2)^(1//2), (6*b*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/(7*(1 + sqrt(3) + x)) + (2//35)*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)*(7*a*x + 5*b*x^2) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b*(1 + x)^(3//2)*sqrt(1 - x + x^2)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*(1 + x^3)) + (2*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(7*a - 5*(1 - sqrt(3))*b)*(1 + x)^(3//2)*sqrt(1 - x + x^2)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(35*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*(1 + x^3)), x, 5),
+((a + b*x)/((1 + x)^(1//2)*(1 - x + x^2)^(1//2)), (2*b*(1 + x^3))/(sqrt(1 + x)*(1 + sqrt(3) + x)*sqrt(1 - x + x^2)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*(a - (1 - sqrt(3))*b)*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 4),
+((a + b*x)/((1 + x)^(3//2)*(1 - x + x^2)^(3//2)), (2*x*(a + b*x))/(3*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) - (2*b*(1 + x^3))/(3*sqrt(1 + x)*(1 + sqrt(3) + x)*sqrt(1 - x + x^2)) + (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*(a + b - sqrt(3)*b)*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 5),
+((a + b*x)/((1 + x)^(5//2)*(1 - x + x^2)^(5//2)), (2*x*(7*a + 5*b*x))/(27*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) + (2*x*(a + b*x))/(9*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)*(1 + x^3)) - (10*b*(1 + x^3))/(27*sqrt(1 + x)*(1 + sqrt(3) + x)*sqrt(1 - x + x^2)) + (5*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*b*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*(7*a + 5*(1 - sqrt(3))*b)*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x) (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x) (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^4*(a + b*x + c*x^2), -(((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^5)/(5*e^4)) - ((A*e*(2*c*d - b*e) - B*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e)))*(d + e*x)^6)/(6*e^4) - ((3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^4) + (B*c*(d + e*x)^8)/(8*e^4), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2), -(((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^4)/(4*e^4)) - ((A*e*(2*c*d - b*e) - B*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e)))*(d + e*x)^5)/(5*e^4) - ((3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^4) + (B*c*(d + e*x)^7)/(7*e^4), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2), -(((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^3)/(3*e^4)) - ((A*e*(2*c*d - b*e) - B*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e)))*(d + e*x)^4)/(4*e^4) - ((3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^5)/(5*e^4) + (B*c*(d + e*x)^6)/(6*e^4), x, 2),
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2), a*A*d*x + (1//2)*(A*b*d + a*B*d + a*A*e)*x^2 + (1//3)*(b*B*d + A*c*d + A*b*e + a*B*e)*x^3 + (1//4)*(B*c*d + b*B*e + A*c*e)*x^4 + (1//5)*B*c*e*x^5, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0*(a + b*x + c*x^2), a*A*x + ((A*b + a*B)*x^2)/2 + ((b*B + A*c)*x^3)/3 + (B*c*x^4)/4, x, 2),
+
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^1, -(((A*e*(c*d - b*e) - B*(c*d^2 - e*(b*d - a*e)))*x)/e^3) - ((B*c*d - b*B*e - A*c*e)*x^2)/(2*e^2) + (B*c*x^3)/(3*e) - ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^2, -(((2*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*x)/e^3) + (B*c*x^2)/(2*e^2) + ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(e^4*(d + e*x)) - ((A*e*(2*c*d - b*e) - B*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e)))*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^3, (B*c*x)/e^3 + ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(2*e^4*(d + e*x)^2) + (A*e*(2*c*d - b*e) - B*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e)))/(e^4*(d + e*x)) - ((3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^4, ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(3*e^4*(d + e*x)^3) + (A*e*(2*c*d - b*e) - B*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e)))/(2*e^4*(d + e*x)^2) + (3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)/(e^4*(d + e*x)) + (B*c*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^5, ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(4*e^4*(d + e*x)^4) + (A*e*(2*c*d - b*e) - B*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e)))/(3*e^4*(d + e*x)^3) + (3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)/(2*e^4*(d + e*x)^2) - (B*c)/(e^4*(d + e*x)), x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^6, ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(5*e^4*(d + e*x)^5) + (A*e*(2*c*d - b*e) - B*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e)))/(4*e^4*(d + e*x)^4) + (3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)/(3*e^4*(d + e*x)^3) - (B*c)/(2*e^4*(d + e*x)^2), x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^7, ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(6*e^4*(d + e*x)^6) + (A*e*(2*c*d - b*e) - B*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e)))/(5*e^4*(d + e*x)^5) + (3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)/(4*e^4*(d + e*x)^4) - (B*c)/(3*e^4*(d + e*x)^3), x, 2),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^5*(a + b*x + c*x^2)^2, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^6)/(6*e^6)) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(5*c*d^2 - e*(3*b*d - a*e)))*(d + e*x)^7)/(7*e^6) - ((B*(10*c^2*d^3 + b*e^2*(3*b*d - 2*a*e) - 6*c*d*e*(2*b*d - a*e)) - A*e*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e)))*(d + e*x)^8)/(8*e^6) - ((2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(4*b*d - a*e)))*(d + e*x)^9)/(9*e^6) - (c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^10)/(10*e^6) + (B*c^2*(d + e*x)^11)/(11*e^6), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^2, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^5)/(5*e^6)) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(5*c*d^2 - e*(3*b*d - a*e)))*(d + e*x)^6)/(6*e^6) - ((B*(10*c^2*d^3 + b*e^2*(3*b*d - 2*a*e) - 6*c*d*e*(2*b*d - a*e)) - A*e*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e)))*(d + e*x)^7)/(7*e^6) - ((2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(4*b*d - a*e)))*(d + e*x)^8)/(8*e^6) - (c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^9)/(9*e^6) + (B*c^2*(d + e*x)^10)/(10*e^6), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^2, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^4)/(4*e^6)) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(5*c*d^2 - e*(3*b*d - a*e)))*(d + e*x)^5)/(5*e^6) - ((B*(10*c^2*d^3 + b*e^2*(3*b*d - 2*a*e) - 6*c*d*e*(2*b*d - a*e)) - A*e*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e)))*(d + e*x)^6)/(6*e^6) - ((2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(4*b*d - a*e)))*(d + e*x)^7)/(7*e^6) - (c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^8)/(8*e^6) + (B*c^2*(d + e*x)^9)/(9*e^6), x, 2),
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^2, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^3)/(3*e^6)) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(5*c*d^2 - e*(3*b*d - a*e)))*(d + e*x)^4)/(4*e^6) - ((B*(10*c^2*d^3 + b*e^2*(3*b*d - 2*a*e) - 6*c*d*e*(2*b*d - a*e)) - A*e*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e)))*(d + e*x)^5)/(5*e^6) - ((2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(4*b*d - a*e)))*(d + e*x)^6)/(6*e^6) - (c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^6) + (B*c^2*(d + e*x)^8)/(8*e^6), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^2, a^2*A*d*x + (1//2)*a*(2*A*b*d + a*B*d + a*A*e)*x^2 + (1//3)*(a*B*(2*b*d + a*e) + A*(b^2*d + 2*a*c*d + 2*a*b*e))*x^3 + (1//4)*(b^2*(B*d + A*e) + 2*a*c*(B*d + A*e) + 2*b*(A*c*d + a*B*e))*x^4 + (1//5)*(b^2*B*e + 2*b*c*(B*d + A*e) + c*(A*c*d + 2*a*B*e))*x^5 + (1//6)*c*(B*c*d + 2*b*B*e + A*c*e)*x^6 + (1//7)*B*c^2*e*x^7, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0*(a + b*x + c*x^2)^2, a^2*A*x + (1//2)*a*(2*A*b + a*B)*x^2 + (1//3)*(2*a*b*B + A*(b^2 + 2*a*c))*x^3 + (1//4)*(b^2*B + 2*A*b*c + 2*a*B*c)*x^4 + (1//5)*c*(2*b*B + A*c)*x^5 + (1//6)*B*c^2*x^6, x, 2),
+
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^1, -(((A*e*(c*d - b*e)*(c*d^2 - e*(b*d - 2*a*e)) - B*(c*d^2 - e*(b*d - a*e))^2)*x)/e^5) - ((B*(c*d - b*e)*(c*d^2 - e*(b*d - 2*a*e)) - A*e*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d - a*e)))*x^2)/(2*e^4) - ((A*c*e*(c*d - 2*b*e) - B*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d - a*e)))*x^3)/(3*e^3) - (c*(B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*x^4)/(4*e^2) + (B*c^2*x^5)/(5*e) - ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^2, -(((2*B*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - e*(b*d - a*e)) - A*e*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(2*b*d - a*e)))*x)/e^5) - ((2*A*c*e*(c*d - b*e) - B*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(2*b*d - a*e)))*x^2)/(2*e^4) - (c*(2*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*x^3)/(3*e^3) + (B*c^2*x^4)/(4*e^2) + ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(e^6*(d + e*x)) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(5*c*d^2 - e*(3*b*d - a*e)))*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^3, -(((A*c*e*(3*c*d - 2*b*e) - B*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e)))*x)/e^5) - (c*(3*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*x^2)/(2*e^4) + (B*c^2*x^3)/(3*e^3) + ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(2*e^6*(d + e*x)^2) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(5*c*d^2 - e*(3*b*d - a*e))))/(e^6*(d + e*x)) - ((B*(10*c^2*d^3 + b*e^2*(3*b*d - 2*a*e) - 6*c*d*e*(2*b*d - a*e)) - A*e*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e)))*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^4, -((c*(4*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*x)/e^5) + (B*c^2*x^2)/(2*e^4) + ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(3*e^6*(d + e*x)^3) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(5*c*d^2 - e*(3*b*d - a*e))))/(2*e^6*(d + e*x)^2) + (B*(10*c^2*d^3 + b*e^2*(3*b*d - 2*a*e) - 6*c*d*e*(2*b*d - a*e)) - A*e*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e)))/(e^6*(d + e*x)) - ((2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(4*b*d - a*e)))*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^5, (B*c^2*x)/e^5 + ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(4*e^6*(d + e*x)^4) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(5*c*d^2 - e*(3*b*d - a*e))))/(3*e^6*(d + e*x)^3) + (B*(10*c^2*d^3 + b*e^2*(3*b*d - 2*a*e) - 6*c*d*e*(2*b*d - a*e)) - A*e*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e)))/(2*e^6*(d + e*x)^2) + (2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(4*b*d - a*e)))/(e^6*(d + e*x)) - (c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^6, ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(5*e^6*(d + e*x)^5) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(5*c*d^2 - e*(3*b*d - a*e))))/(4*e^6*(d + e*x)^4) + (B*(10*c^2*d^3 + b*e^2*(3*b*d - 2*a*e) - 6*c*d*e*(2*b*d - a*e)) - A*e*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e)))/(3*e^6*(d + e*x)^3) + (2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(4*b*d - a*e)))/(2*e^6*(d + e*x)^2) + (c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e))/(e^6*(d + e*x)) + (B*c^2*log(d + e*x))/e^6, x, 2),
+
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^7, ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(6*e^6*(d + e*x)^6) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(5*c*d^2 - e*(3*b*d - a*e))))/(5*e^6*(d + e*x)^5) + (B*(10*c^2*d^3 + b*e^2*(3*b*d - 2*a*e) - 6*c*d*e*(2*b*d - a*e)) - A*e*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e)))/(4*e^6*(d + e*x)^4) + (2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(4*b*d - a*e)))/(3*e^6*(d + e*x)^3) + (c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e))/(2*e^6*(d + e*x)^2) - (B*c^2)/(e^6*(d + e*x)), x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^8, ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(7*e^6*(d + e*x)^7) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(5*c*d^2 - e*(3*b*d - a*e))))/(6*e^6*(d + e*x)^6) + (B*(10*c^2*d^3 + b*e^2*(3*b*d - 2*a*e) - 6*c*d*e*(2*b*d - a*e)) - A*e*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e)))/(5*e^6*(d + e*x)^5) + (2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(4*b*d - a*e)))/(4*e^6*(d + e*x)^4) + (c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e))/(3*e^6*(d + e*x)^3) - (B*c^2)/(2*e^6*(d + e*x)^2), x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x)^9, ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)/(8*e^6*(d + e*x)^8) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(5*c*d^2 - e*(3*b*d - a*e))))/(7*e^6*(d + e*x)^7) + (B*(10*c^2*d^3 + b*e^2*(3*b*d - 2*a*e) - 6*c*d*e*(2*b*d - a*e)) - A*e*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e)))/(6*e^6*(d + e*x)^6) + (2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(4*b*d - a*e)))/(5*e^6*(d + e*x)^5) + (c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e))/(4*e^6*(d + e*x)^4) - (B*c^2)/(3*e^6*(d + e*x)^3), x, 2),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^5*(a + b*x + c*x^2)^3, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^6)/(6*e^8)) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c*d^2 - e*(4*b*d - a*e)))*(d + e*x)^7)/(7*e^8) - (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(B*(7*c^2*d^3 - c*d*e*(8*b*d - 3*a*e) + b*e^2*(2*b*d - a*e)) - A*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))*(d + e*x)^8)/(8*e^8) - ((A*e*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)) - B*(35*c^3*d^4 - b^2*e^3*(4*b*d - 3*a*e) - 30*c^2*d^2*e*(2*b*d - a*e) + 3*c*e^2*(10*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + a^2*e^2)))*(d + e*x)^9)/(9*e^8) - ((B*(35*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(5*b*d - 2*a*e) - 15*c^2*d*e*(3*b*d - a*e)) - 3*A*c*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))*(d + e*x)^10)/(10*e^8) - (3*c*(A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(6*b*d - a*e)))*(d + e*x)^11)/(11*e^8) - (c^2*(7*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^12)/(12*e^8) + (B*c^3*(d + e*x)^13)/(13*e^8), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^3, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^5)/(5*e^8)) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c*d^2 - e*(4*b*d - a*e)))*(d + e*x)^6)/(6*e^8) - (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(B*(7*c^2*d^3 - c*d*e*(8*b*d - 3*a*e) + b*e^2*(2*b*d - a*e)) - A*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))*(d + e*x)^7)/(7*e^8) - ((A*e*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)) - B*(35*c^3*d^4 - b^2*e^3*(4*b*d - 3*a*e) - 30*c^2*d^2*e*(2*b*d - a*e) + 3*c*e^2*(10*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + a^2*e^2)))*(d + e*x)^8)/(8*e^8) - ((B*(35*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(5*b*d - 2*a*e) - 15*c^2*d*e*(3*b*d - a*e)) - 3*A*c*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))*(d + e*x)^9)/(9*e^8) - (3*c*(A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(6*b*d - a*e)))*(d + e*x)^10)/(10*e^8) - (c^2*(7*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^11)/(11*e^8) + (B*c^3*(d + e*x)^12)/(12*e^8), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^3, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^4)/(4*e^8)) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c*d^2 - e*(4*b*d - a*e)))*(d + e*x)^5)/(5*e^8) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(B*(7*c^2*d^3 - c*d*e*(8*b*d - 3*a*e) + b*e^2*(2*b*d - a*e)) - A*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))*(d + e*x)^6)/(2*e^8) - ((A*e*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)) - B*(35*c^3*d^4 - b^2*e^3*(4*b*d - 3*a*e) - 30*c^2*d^2*e*(2*b*d - a*e) + 3*c*e^2*(10*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + a^2*e^2)))*(d + e*x)^7)/(7*e^8) - ((B*(35*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(5*b*d - 2*a*e) - 15*c^2*d*e*(3*b*d - a*e)) - 3*A*c*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))*(d + e*x)^8)/(8*e^8) - (c*(A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(6*b*d - a*e)))*(d + e*x)^9)/(3*e^8) - (c^2*(7*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^10)/(10*e^8) + (B*c^3*(d + e*x)^11)/(11*e^8), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^3, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^3)/(3*e^8)) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c*d^2 - e*(4*b*d - a*e)))*(d + e*x)^4)/(4*e^8) - (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(B*(7*c^2*d^3 - c*d*e*(8*b*d - 3*a*e) + b*e^2*(2*b*d - a*e)) - A*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))*(d + e*x)^5)/(5*e^8) - ((A*e*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)) - B*(35*c^3*d^4 - b^2*e^3*(4*b*d - 3*a*e) - 30*c^2*d^2*e*(2*b*d - a*e) + 3*c*e^2*(10*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + a^2*e^2)))*(d + e*x)^6)/(6*e^8) - ((B*(35*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(5*b*d - 2*a*e) - 15*c^2*d*e*(3*b*d - a*e)) - 3*A*c*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))*(d + e*x)^7)/(7*e^8) - (3*c*(A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(6*b*d - a*e)))*(d + e*x)^8)/(8*e^8) - (c^2*(7*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^9)/(9*e^8) + (B*c^3*(d + e*x)^10)/(10*e^8), x, 2),
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^3, a^3*A*d*x + (1//2)*a^2*(3*A*b*d + a*B*d + a*A*e)*x^2 + (1//3)*a*(a*B*(3*b*d + a*e) + 3*A*(b^2*d + a*c*d + a*b*e))*x^3 + (1//4)*(3*a*B*(b^2*d + a*c*d + a*b*e) + A*(b^3*d + 6*a*b*c*d + 3*a*b^2*e + 3*a^2*c*e))*x^4 + (1//5)*(b^3*(B*d + A*e) + 6*a*b*c*(B*d + A*e) + 3*b^2*(A*c*d + a*B*e) + 3*a*c*(A*c*d + a*B*e))*x^5 + (1//6)*(b^3*B*e + 3*b^2*c*(B*d + A*e) + 3*a*c^2*(B*d + A*e) + 3*b*c*(A*c*d + 2*a*B*e))*x^6 + (1//7)*c*(3*b^2*B*e + 3*b*c*(B*d + A*e) + c*(A*c*d + 3*a*B*e))*x^7 + (1//8)*c^2*(B*c*d + 3*b*B*e + A*c*e)*x^8 + (1//9)*B*c^3*e*x^9, x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0*(a + b*x + c*x^2)^3, a^3*A*x + (1//2)*a^2*(3*A*b + a*B)*x^2 + a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x^3 + (1//4)*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^4 + (1//5)*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^5 + (1//2)*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^6 + (1//7)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^7 + (1//8)*B*c^3*x^8, x, 2),
+
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^1, -(((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c*d^2 - e*(4*b*d - a*e)))*x)/e^7) - (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(B*(7*c^2*d^3 - c*d*e*(8*b*d - 3*a*e) + b*e^2*(2*b*d - a*e)) - A*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))*(d + e*x)^2)/(2*e^8) - ((A*e*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)) - B*(35*c^3*d^4 - b^2*e^3*(4*b*d - 3*a*e) - 30*c^2*d^2*e*(2*b*d - a*e) + 3*c*e^2*(10*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + a^2*e^2)))*(d + e*x)^3)/(3*e^8) - ((B*(35*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(5*b*d - 2*a*e) - 15*c^2*d*e*(3*b*d - a*e)) - 3*A*c*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))*(d + e*x)^4)/(4*e^8) - (3*c*(A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(6*b*d - a*e)))*(d + e*x)^5)/(5*e^8) - (c^2*(7*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^8) + (B*c^3*(d + e*x)^7)/(7*e^8) - ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^2, -(((3*B*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - e*(b*d - a*e))^2 - A*e*(5*c^3*d^4 - b^2*e^3*(2*b*d - 3*a*e) - 3*c^2*d^2*e*(4*b*d - 3*a*e) + 3*c*e^2*(3*b^2*d^2 - 4*a*b*d*e + a^2*e^2)))*x)/e^7) - ((A*e*(c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - 6*a*e)) - B*(5*c^3*d^4 - b^2*e^3*(2*b*d - 3*a*e) - 3*c^2*d^2*e*(4*b*d - 3*a*e) + 3*c*e^2*(3*b^2*d^2 - 4*a*b*d*e + a^2*e^2)))*x^2)/(2*e^6) - ((B*(c*d - b*e)*(4*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - 6*a*e)) - 3*A*c*e*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(2*b*d - a*e)))*x^3)/(3*e^5) - (c*(A*c*e*(2*c*d - 3*b*e) - 3*B*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(2*b*d - a*e)))*x^4)/(4*e^4) - (c^2*(2*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e)*x^5)/(5*e^3) + (B*c^3*x^6)/(6*e^2) + ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(e^8*(d + e*x)) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c*d^2 - e*(4*b*d - a*e)))*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^3, -(((A*e*(10*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(3*b*d - 2*a*e) - 9*c^2*d*e*(2*b*d - a*e)) - 3*B*(5*c^3*d^4 - 2*c^2*d^2*e*(5*b*d - 3*a*e) - b^2*e^3*(b*d - a*e) + c*e^2*(6*b^2*d^2 - 6*a*b*d*e + a^2*e^2)))*x)/e^7) - ((B*(10*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(3*b*d - 2*a*e) - 9*c^2*d*e*(2*b*d - a*e)) - 3*A*c*e*(2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d - a*e)))*x^2)/(2*e^6) - (c*(A*c*e*(c*d - b*e) - B*(2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d - a*e)))*x^3)/e^5 - (c^2*(3*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e)*x^4)/(4*e^4) + (B*c^3*x^5)/(5*e^3) + ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(2*e^8*(d + e*x)^2) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c*d^2 - e*(4*b*d - a*e))))/(e^8*(d + e*x)) - (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(B*(7*c^2*d^3 - c*d*e*(8*b*d - 3*a*e) + b*e^2*(2*b*d - a*e)) - A*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^4, -(((B*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)) - A*c*e*(10*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 3*c*e*(4*b*d - a*e)))*x)/e^7) - (c*(A*c*e*(4*c*d - 3*b*e) - B*(10*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 3*c*e*(4*b*d - a*e)))*x^2)/(2*e^6) - (c^2*(4*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e)*x^3)/(3*e^5) + (B*c^3*x^4)/(4*e^4) + ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(3*e^8*(d + e*x)^3) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c*d^2 - e*(4*b*d - a*e))))/(2*e^8*(d + e*x)^2) + (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(B*(7*c^2*d^3 - c*d*e*(8*b*d - 3*a*e) + b*e^2*(2*b*d - a*e)) - A*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))))/(e^8*(d + e*x)) - ((A*e*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)) - B*(35*c^3*d^4 - b^2*e^3*(4*b*d - 3*a*e) - 30*c^2*d^2*e*(2*b*d - a*e) + 3*c*e^2*(10*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + a^2*e^2)))*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^5, -((c*(A*c*e*(5*c*d - 3*b*e) - 3*B*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))*x)/e^7) - (c^2*(5*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e)*x^2)/(2*e^6) + (B*c^3*x^3)/(3*e^5) + ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(4*e^8*(d + e*x)^4) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c*d^2 - e*(4*b*d - a*e))))/(3*e^8*(d + e*x)^3) + (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(B*(7*c^2*d^3 - c*d*e*(8*b*d - 3*a*e) + b*e^2*(2*b*d - a*e)) - A*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))))/(2*e^8*(d + e*x)^2) + (A*e*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)) - B*(35*c^3*d^4 - b^2*e^3*(4*b*d - 3*a*e) - 30*c^2*d^2*e*(2*b*d - a*e) + 3*c*e^2*(10*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + a^2*e^2)))/(e^8*(d + e*x)) - ((B*(35*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(5*b*d - 2*a*e) - 15*c^2*d*e*(3*b*d - a*e)) - 3*A*c*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^6, -((c^2*(6*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e)*x)/e^7) + (B*c^3*x^2)/(2*e^6) + ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(5*e^8*(d + e*x)^5) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c*d^2 - e*(4*b*d - a*e))))/(4*e^8*(d + e*x)^4) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(B*(7*c^2*d^3 - c*d*e*(8*b*d - 3*a*e) + b*e^2*(2*b*d - a*e)) - A*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))))/(e^8*(d + e*x)^3) + (A*e*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)) - B*(35*c^3*d^4 - b^2*e^3*(4*b*d - 3*a*e) - 30*c^2*d^2*e*(2*b*d - a*e) + 3*c*e^2*(10*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + a^2*e^2)))/(2*e^8*(d + e*x)^2) + (B*(35*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(5*b*d - 2*a*e) - 15*c^2*d*e*(3*b*d - a*e)) - 3*A*c*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(e^8*(d + e*x)) - (3*c*(A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(6*b*d - a*e)))*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^7, (B*c^3*x)/e^7 + ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(6*e^8*(d + e*x)^6) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c*d^2 - e*(4*b*d - a*e))))/(5*e^8*(d + e*x)^5) + (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(B*(7*c^2*d^3 - c*d*e*(8*b*d - 3*a*e) + b*e^2*(2*b*d - a*e)) - A*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))))/(4*e^8*(d + e*x)^4) + (A*e*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)) - B*(35*c^3*d^4 - b^2*e^3*(4*b*d - 3*a*e) - 30*c^2*d^2*e*(2*b*d - a*e) + 3*c*e^2*(10*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + a^2*e^2)))/(3*e^8*(d + e*x)^3) + (B*(35*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(5*b*d - 2*a*e) - 15*c^2*d*e*(3*b*d - a*e)) - 3*A*c*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(2*e^8*(d + e*x)^2) + (3*c*(A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(6*b*d - a*e))))/(e^8*(d + e*x)) - (c^2*(7*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e)*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^8, ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(7*e^8*(d + e*x)^7) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c*d^2 - e*(4*b*d - a*e))))/(6*e^8*(d + e*x)^6) + (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(B*(7*c^2*d^3 - c*d*e*(8*b*d - 3*a*e) + b*e^2*(2*b*d - a*e)) - A*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))))/(5*e^8*(d + e*x)^5) + (A*e*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)) - B*(35*c^3*d^4 - b^2*e^3*(4*b*d - 3*a*e) - 30*c^2*d^2*e*(2*b*d - a*e) + 3*c*e^2*(10*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + a^2*e^2)))/(4*e^8*(d + e*x)^4) + (B*(35*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(5*b*d - 2*a*e) - 15*c^2*d*e*(3*b*d - a*e)) - 3*A*c*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(3*e^8*(d + e*x)^3) + (3*c*(A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(6*b*d - a*e))))/(2*e^8*(d + e*x)^2) + (c^2*(7*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e))/(e^8*(d + e*x)) + (B*c^3*log(d + e*x))/e^8, x, 2),
+
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^9, ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(8*e^8*(d + e*x)^8) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c*d^2 - e*(4*b*d - a*e))))/(7*e^8*(d + e*x)^7) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(B*(7*c^2*d^3 - c*d*e*(8*b*d - 3*a*e) + b*e^2*(2*b*d - a*e)) - A*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))))/(2*e^8*(d + e*x)^6) + (A*e*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)) - B*(35*c^3*d^4 - b^2*e^3*(4*b*d - 3*a*e) - 30*c^2*d^2*e*(2*b*d - a*e) + 3*c*e^2*(10*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + a^2*e^2)))/(5*e^8*(d + e*x)^5) + (B*(35*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(5*b*d - 2*a*e) - 15*c^2*d*e*(3*b*d - a*e)) - 3*A*c*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(4*e^8*(d + e*x)^4) + (c*(A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(6*b*d - a*e))))/(e^8*(d + e*x)^3) + (c^2*(7*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e))/(2*e^8*(d + e*x)^2) - (B*c^3)/(e^8*(d + e*x)), x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^10, ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(9*e^8*(d + e*x)^9) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c*d^2 - e*(4*b*d - a*e))))/(8*e^8*(d + e*x)^8) + (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(B*(7*c^2*d^3 - c*d*e*(8*b*d - 3*a*e) + b*e^2*(2*b*d - a*e)) - A*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))))/(7*e^8*(d + e*x)^7) + (A*e*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)) - B*(35*c^3*d^4 - b^2*e^3*(4*b*d - 3*a*e) - 30*c^2*d^2*e*(2*b*d - a*e) + 3*c*e^2*(10*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + a^2*e^2)))/(6*e^8*(d + e*x)^6) + (B*(35*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(5*b*d - 2*a*e) - 15*c^2*d*e*(3*b*d - a*e)) - 3*A*c*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(5*e^8*(d + e*x)^5) + (3*c*(A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(6*b*d - a*e))))/(4*e^8*(d + e*x)^4) + (c^2*(7*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e))/(3*e^8*(d + e*x)^3) - (B*c^3)/(2*e^8*(d + e*x)^2), x, 2),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3/(d + e*x)^11, ((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)/(10*e^8*(d + e*x)^10) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c*d^2 - e*(4*b*d - a*e))))/(9*e^8*(d + e*x)^9) + (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(B*(7*c^2*d^3 - c*d*e*(8*b*d - 3*a*e) + b*e^2*(2*b*d - a*e)) - A*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e))))/(8*e^8*(d + e*x)^8) + (A*e*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)) - B*(35*c^3*d^4 - b^2*e^3*(4*b*d - 3*a*e) - 30*c^2*d^2*e*(2*b*d - a*e) + 3*c*e^2*(10*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + a^2*e^2)))/(7*e^8*(d + e*x)^7) + (B*(35*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(5*b*d - 2*a*e) - 15*c^2*d*e*(3*b*d - a*e)) - 3*A*c*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))/(6*e^8*(d + e*x)^6) + (3*c*(A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(6*b*d - a*e))))/(5*e^8*(d + e*x)^5) + (c^2*(7*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e))/(4*e^8*(d + e*x)^4) - (B*c^3)/(3*e^8*(d + e*x)^3), x, 2),
+
+
+(x*(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2), -((d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^4*(1 + m))) + ((3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e))*(d + e*x)^(2 + m))/(e^4*(2 + m)) - ((3*c*d - b*e)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^4*(3 + m)) + (c*(d + e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)), x, 2),
+
+(x*(d + e*x)^5*(a + b*x + c*x^2), -((d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^6)/(6*e^4)) + ((3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e))*(d + e*x)^7)/(7*e^4) - ((3*c*d - b*e)*(d + e*x)^8)/(8*e^4) + (c*(d + e*x)^9)/(9*e^4), x, 2),
+(x*(d + e*x)^4*(a + b*x + c*x^2), -((d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^5)/(5*e^4)) + ((3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e))*(d + e*x)^6)/(6*e^4) - ((3*c*d - b*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^4) + (c*(d + e*x)^8)/(8*e^4), x, 2),
+(x*(d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2), -((d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^4)/(4*e^4)) + ((3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e))*(d + e*x)^5)/(5*e^4) - ((3*c*d - b*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^4) + (c*(d + e*x)^7)/(7*e^4), x, 2),
+
+(x*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2), (1//2)*a*d^2*x^2 + (1//3)*d*(b*d + 2*a*e)*x^3 + (1//4)*(c*d^2 + e*(2*b*d + a*e))*x^4 + (1//5)*e*(2*c*d + b*e)*x^5 + (1//6)*c*e^2*x^6, x, 2),
+(x*(d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2), (1//2)*a*d*x^2 + (1//3)*(b*d + a*e)*x^3 + (1//4)*(c*d + b*e)*x^4 + (1//5)*c*e*x^5, x, 2),
+(x*(d + e*x)^0*(a + b*x + c*x^2), (a*x^2)/2 + (b*x^3)/3 + (c*x^4)/4, x, 2),
+
+(x*(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^1, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/e^3 - ((c*d - b*e)*x^2)/(2*e^2) + (c*x^3)/(3*e) - (d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+(x*(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^2, -(((2*c*d - b*e)*x)/e^3) + (c*x^2)/(2*e^2) + (d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(e^4*(d + e*x)) + ((3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e))*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+(x*(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^3, (c*x)/e^3 + (d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(2*e^4*(d + e*x)^2) - (3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e))/(e^4*(d + e*x)) - ((3*c*d - b*e)*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+(x*(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^4, (d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(3*e^4*(d + e*x)^3) - (3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e))/(2*e^4*(d + e*x)^2) + (3*c*d - b*e)/(e^4*(d + e*x)) + (c*log(d + e*x))/e^4, x, 2),
+
+(x*(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^5, (d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(4*e^4*(d + e*x)^4) - (3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e))/(3*e^4*(d + e*x)^3) + (3*c*d - b*e)/(2*e^4*(d + e*x)^2) - c/(e^4*(d + e*x)), x, 2),
+(x*(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^6, (d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(5*e^4*(d + e*x)^5) - (3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e))/(4*e^4*(d + e*x)^4) + (3*c*d - b*e)/(3*e^4*(d + e*x)^3) - c/(2*e^4*(d + e*x)^2), x, 2),
+(x*(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^7, (d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(6*e^4*(d + e*x)^6) - (3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e))/(5*e^4*(d + e*x)^5) + (3*c*d - b*e)/(4*e^4*(d + e*x)^4) - c/(3*e^4*(d + e*x)^3), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^3/(a + b*x + c*x^2), (e*(A*c*e*(3*c*d - b*e) + B*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + a*e)))*x)/c^3 + (e^2*(3*B*c*d - b*B*e + A*c*e)*x^2)/(2*c^2) + (B*e^3*x^3)/(3*c) - ((b^4*B*e^3 - b^3*c*e^2*(3*B*d + A*e) + b^2*c*e*(3*B*c*d^2 + 3*A*c*d*e - 4*a*B*e^2) - b*c^2*(B*c*d^3 + 3*A*c*d^2*e - 9*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3) + 2*c^2*(A*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) - a*B*e*(3*c*d^2 - a*e^2)))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^4*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((A*c*e*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + a*e)) + B*(c^3*d^3 - b^3*e^3 - 3*c^2*d*e*(b*d + a*e) + b*c*e^2*(3*b*d + 2*a*e)))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^4), x, 6),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2/(a + b*x + c*x^2), (e*(2*B*c*d - b*B*e + A*c*e)*x)/c^2 + (B*e^2*x^2)/(2*c) + ((b^3*B*e^2 - b^2*c*e*(2*B*d + A*e) - 2*c^2*(A*c*d^2 - 2*a*B*d*e - a*A*e^2) + b*c*(B*c*d^2 + 2*A*c*d*e - 3*a*B*e^2))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((A*c*e*(2*c*d - b*e) + B*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(2*b*d + a*e)))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^3), x, 6),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1/(a + b*x + c*x^2), (B*e*x)/c - ((b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e) + 2*c*(A*c*d - a*B*e))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((B*c*d - b*B*e + A*c*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^2), x, 5),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0/(a + b*x + c*x^2), ((b*B - 2*A*c)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (B*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c), x, 4),
+(((A + B*x)/(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^1, ((b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - ((B*d - A*e)*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2) + ((B*d - A*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 6),
+(((A + B*x)/(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^2, (B*d - A*e)/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)) - ((A*b^2*e^2 + 2*c*(A*c*d^2 + 2*a*B*d*e - a*A*e^2) - b*(B*c*d^2 + 2*A*c*d*e + a*B*e^2))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + ((A*e*(2*c*d - b*e) - B*(c*d^2 - a*e^2))*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2 - ((A*e*(2*c*d - b*e) - B*(c*d^2 - a*e^2))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2), x, 6),
+(((A + B*x)/(a + b*x + c*x^2))/(d + e*x)^3, (B*d - A*e)/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2) - (A*e*(2*c*d - b*e) - B*(c*d^2 - a*e^2))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)) + ((A*b^3*e^3 - b^2*e^2*(3*A*c*d + a*B*e) + b*c*(B*c*d^3 + 3*A*c*d^2*e + 3*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3) - 2*c*(A*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) + a*B*e*(3*c*d^2 - a*e^2)))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) - ((B*(c^2*d^3 - 3*a*c*d*e^2 + a*b*e^3) - A*e*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + a*e)))*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3 + ((B*(c^2*d^3 - 3*a*c*d*e^2 + a*b*e^3) - A*e*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + a*e)))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3), x, 6),
+
+
+((d + e*x)^4*(f + g*x)/(a + b*x + c*x^2)^3, ((d + e*x)^3*(2*a*c*(e*f + d*g) - b*(c*d*f + a*e*g) - (2*c^2*d*f + b^2*e*g - c*(b*e*f + b*d*g + 2*a*e*g))*x))/(2*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2) + (1/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)))*((d + e*x)*(b^3*e*(c*d^2 - 2*a*e^2)*g - b^2*c*d*(a*e^2*g + 3*c*d*(2*e*f + d*g)) + 2*b*c*(3*c^2*d^3*f + 7*a^2*e^3*g + a*c*d*e*(9*e*f + 7*d*g)) - 4*a*c^2*e*(3*c*d^2*f + a*e*(3*e*f + 8*d*g)) + (12*c^4*d^3*f - 2*b^4*e^3*g + b^2*c*e^2*(b*d + 15*a*e)*g - 2*c^3*d*(3*b*d*(3*e*f + d*g) - 2*a*e*(3*e*f + 4*d*g)) - c^2*e*(16*a^2*e^2*g - b^2*d*(6*e*f + 5*d*g) + 2*a*b*e*(3*e*f + 11*d*g)))*x)) - ((12*c^5*d^4*f - b^5*e^4*g + 10*a*b^3*c*e^4*g - 30*a^2*b*c^2*e^4*g - 2*c^4*d^2*(3*b*d*(4*e*f + d*g) - 4*a*e*(3*e*f + 2*d*g)) + 4*c^3*e*(b^2*d^2*(3*e*f + 2*d*g) - 3*a*b*d*e*(2*e*f + 3*d*g) + 3*a^2*e^2*(e*f + 4*d*g)))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)) + (e^4*g*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^3), x, 6),
+((d + e*x)^3*(f + g*x)/(a + b*x + c*x^2)^3, -(((d + e*x)^3*(b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)) + (3*(2*c*d*f - b*e*f - b*d*g + 2*a*e*g)*(d + e*x)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (6*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(2*c*d*f - b*e*f - b*d*g + 2*a*e*g)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 4),
+((d + e*x)^2*(f + g*x)/(a + b*x + c*x^2)^3, -(((d + e*x)^2*(b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (1/(2*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)))*(8*a*c*e*(2*c*d*f + a*e*g) - 6*b*c*(c*d^2*f + a*e*(e*f + 2*d*g)) + b^2*(a*e^2*g + c*d*(2*e*f + 3*d*g)) - (12*c^3*d^2*f - b^3*e^2*g - 2*b*c*e*(a*e*g - 2*b*(e*f + d*g)) - 2*c^2*(2*a*e*(e*f - 2*d*g) + 3*b*d*(2*e*f + d*g)))*x) - (2*(6*c^2*d^2*f + b*e*(b*e*f + 2*b*d*g - 3*a*e*g) - c*(3*b*d*(2*e*f + d*g) - 2*a*e*(e*f + 2*d*g)))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 4),
+((d + e*x)^1*(f + g*x)/(a + b*x + c*x^2)^3, (2*a*c*(e*f + d*g) - b*(c*d*f + a*e*g) - (2*c^2*d*f + b^2*e*g - c*(b*e*f + b*d*g + 2*a*e*g))*x)/(2*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2) + ((6*c^2*d*f + b^2*e*g + c*(2*a*e*g - 3*b*(e*f + d*g)))*(b + 2*c*x))/(2*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (2*(6*c^2*d*f + b^2*e*g + c*(2*a*e*g - 3*b*(e*f + d*g)))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 4),
+((d + e*x)^0*(f + g*x)/(a + b*x + c*x^2)^3, -((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)) + (3*(2*c*f - b*g)*(b + 2*c*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (6*c*(2*c*f - b*g)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 4),
+((f + g*x)/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^3), -((b*c*d*f - b^2*e*f + 2*a*c*e*f - 2*a*c*d*g + a*b*e*g + c*(2*c*d*f + 2*a*e*g - b*(e*f + d*g))*x)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^2)) - (1/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(a + b*x + c*x^2)))*(3*a*c*e*(2*c*d - b*e)*(2*c*d*f + 2*a*e*g - b*(e*f + d*g)) - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(6*c^2*d^2*f - 2*b^2*e*(e*f - d*g) + c*(2*a*e*(4*e*f - d*g) - 3*b*d*(e*f + d*g))) + c*(3*c*e*(b*d - 2*a*e)*(2*c*d*f + 2*a*e*g - b*(e*f + d*g)) - (2*c*d - b*e)*(6*c^2*d^2*f - 2*b^2*e*(e*f - d*g) + c*(2*a*e*(4*e*f - d*g) - 3*b*d*(e*f + d*g))))*x) - (1/((b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3))*((12*c^5*d^5*f - b^5*e^4*(e*f - d*g) + 10*a*b^3*c*e^4*(e*f - d*g) + 2*c^4*d^3*(2*a*e*(10*e*f - d*g) - 3*b*d*(5*e*f + d*g)) - 6*c^2*e^2*(2*b^3*d^3*g - 6*a*b^2*d^2*e*g - 2*a^3*e^3*g + a^2*b*e^2*(5*e*f + d*g)) + 4*c^3*d*e*(3*a^2*e^2*(5*e*f - 2*d*g) - 3*a*b*d*e*(5*e*f + d*g) + b^2*d^2*(5*e*f + 4*d*g)))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (e^4*(e*f - d*g)*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3 - (e^4*(e*f - d*g)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3), x, 8),
+((f + g*x)/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^3), (e*(6*c^4*d^4*f - b^3*e^3*(3*b*e*f - 2*b*d*g - a*e*g) - b*c*e^2*(7*a^2*e^2*g - a*b*e*(21*e*f - 13*d*g) - 3*b^2*d*(e*f - d*g)) + c^3*d^2*(4*a*e*(6*e*f - d*g) - 3*b*d*(4*e*f + d*g)) - c^2*e*(2*a^2*e^2*(15*e*f - 22*d*g) + 6*a*b*d*e*(4*e*f + d*g) - b^2*d^2*(3*e*f + 7*d*g))))/((b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)) - (b*c*d*f - b^2*e*f + 2*a*c*e*f - 2*a*c*d*g + a*b*e*g + c*(2*c*d*f + 2*a*e*g - b*(e*f + d*g))*x)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^2) - (1/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)))*(4*a*c*e*(2*c*d - b*e)*(2*c*d*f + 2*a*e*g - b*(e*f + d*g)) - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(6*c^2*d^2*f - b*e*(3*b*e*f - 2*b*d*g - a*e*g) + c*(2*a*e*(5*e*f - 2*d*g) - b*d*(2*e*f + 3*d*g))) - c*(12*c^3*d^3*f + b^2*e^2*(3*b*e*f - 2*b*d*g - a*e*g) + 2*c^2*d*(2*a*e*(9*e*f - 2*d*g) - 3*b*d*(3*e*f + d*g)) + c*e*(11*b^2*d^2*g + 16*a^2*e^2*g - 2*a*b*e*(9*e*f + 5*d*g)))*x) - (1/((b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4))*((12*c^6*d^6*f + b^5*e^5*(3*b*e*f - 2*b*d*g - a*e*g) + b^3*c*e^4*(10*a^2*e^2*g - b^2*d*(6*e*f - 5*d*g) - 10*a*b*e*(3*e*f - 2*d*g)) - 10*a*b*c^2*e^4*(3*a^2*e^2*g - b^2*d*(6*e*f - 5*d*g) - 3*a*b*e*(3*e*f - 2*d*g)) - 10*c^3*e^2*(2*b^3*d^4*g - 8*a*b^2*d^3*e*g + 6*a^3*e^3*(e*f - 2*d*g) + 3*a^2*b*d*e^2*(6*e*f - d*g)) + 2*c^5*d^4*(2*a*e*(15*e*f - 2*d*g) - 3*b*d*(6*e*f + d*g)) + 10*c^4*d^2*e*(2*a^2*e^2*(9*e*f - 4*d*g) - a*b*d*e*(12*e*f + d*g) + b^2*d^2*(3*e*f + 2*d*g)))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (e^4*(c*d*(6*e*f - 5*d*g) - e*(3*b*e*f - 2*b*d*g - a*e*g))*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4 - (e^4*(c*d*(6*e*f - 5*d*g) - e*(3*b*e*f - 2*b*d*g - a*e*g))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4), x, 8),
+
+
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^4)/(2 + 5*x + 3*x^2), (11576*x)/81 + (1156*x^2)/27 + (32*x^3)/27 - (4*x^4)/3 - 6*log(1 + x) + (10625//243)*log(2 + 3*x), x, 5),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^3)/(2 + 5*x + 3*x^2), (922*x)/27 + (26*x^2)/9 - (8*x^3)/9 - 6*log(1 + x) + (2125//81)*log(2 + 3*x), x, 5),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^2)/(2 + 5*x + 3*x^2), (44*x)/9 - (2*x^2)/3 - 6*log(1 + x) + (425//27)*log(2 + 3*x), x, 5),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^1)/(2 + 5*x + 3*x^2), (-2*x)/3 - 6*log(1 + x) + (85*log(2 + 3*x))/9, x, 4),
+((5 - x)/(2 + 5*x + 3*x^2), -6*log(1 + x) + (17*log(2 + 3*x))/3, x, 3),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^1*(2 + 5*x + 3*x^2)), -6*log(1 + x) + (13*log(3 + 2*x))/5 + (17*log(2 + 3*x))/5, x, 2),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)), -13/(5*(3 + 2*x)) - 6*log(1 + x) + (99*log(3 + 2*x))/25 + (51*log(2 + 3*x))/25, x, 2),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^3*(2 + 5*x + 3*x^2)), -13/(10*(3 + 2*x)^2) - 99/(25*(3 + 2*x)) - 6*log(1 + x) + (597*log(3 + 2*x))/125 + (153*log(2 + 3*x))/125, x, 2),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^4*(2 + 5*x + 3*x^2)), -13/(15*(3 + 2*x)^3) - 99/(50*(3 + 2*x)^2) - 597/(125*(3 + 2*x)) - 6*log(1 + x) + (3291*log(3 + 2*x))/625 + (459*log(2 + 3*x))/625, x, 2),
+
+
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^4)/(2 + 5*x + 3*x^2)^2, (112*x)/27 - (8*x^2)/9 - (11597 + 12083*x)/(81*(2 + 5*x + 3*x^2)) + 83*log(1 + x) - (1625//27)*log(2 + 3*x), x, 7),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^3)/(2 + 5*x + 3*x^2)^2, -((8*x)/9) - (2449 + 2611*x)/(27*(2 + 5*x + 3*x^2)) + 71*log(1 + x) - (1825//27)*log(2 + 3*x), x, 7),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^2)/(2 + 5*x + 3*x^2)^2, -((533 + 587*x)/(9*(2 + 5*x + 3*x^2))) + 59*log(1 + x) - (535//9)*log(2 + 3*x), x, 5),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^1)/(2 + 5*x + 3*x^2)^2, -((121 + 139*x)/(3*(2 + 5*x + 3*x^2))) + 47*log(1 + x) - 47*log(2 + 3*x), x, 4),
+((5 - x)/(2 + 5*x + 3*x^2)^2, -((29 + 35*x)/(2 + 5*x + 3*x^2)) + 35*log(1 + x) - 35*log(2 + 3*x), x, 4),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^1*(2 + 5*x + 3*x^2)^2), (-3*(37 + 47*x))/(5*(2 + 5*x + 3*x^2)) + 23*log(1 + x) + (52*log(3 + 2*x))/25 - (627*log(2 + 3*x))/25, x, 3),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^2), -454/(25*(3 + 2*x)) - (3*(37 + 47*x))/(5*(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)) + 11*log(1 + x) + (812*log(3 + 2*x))/125 - (2187*log(2 + 3*x))/125, x, 3),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^3*(2 + 5*x + 3*x^2)^2), -428/(25*(3 + 2*x)^2) - 2618/(125*(3 + 2*x)) - (3*(37 + 47*x))/(5*(3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)) - log(1 + x) + (8104*log(3 + 2*x))/625 - (7479*log(2 + 3*x))/625, x, 3),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^4*(2 + 5*x + 3*x^2)^2), -1258/(75*(3 + 2*x)^3) - 2212/(125*(3 + 2*x)^2) - 16522/(625*(3 + 2*x)) - (3*(37 + 47*x))/(5*(3 + 2*x)^3*(2 + 5*x + 3*x^2)) - 13*log(1 + x) + (65816*log(3 + 2*x))/3125 - (25191*log(2 + 3*x))/3125, x, 3),
+
+
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^5)/(2 + 5*x + 3*x^2)^3, -((32*x)/27) - (56041 + 57499*x)/(486*(2 + 5*x + 3*x^2)^2) + (398585 + 502254*x)/(486*(2 + 5*x + 3*x^2)) - 1085*log(1 + x) + (29375//27)*log(2 + 3*x), x, 8),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^4)/(2 + 5*x + 3*x^2)^3, -((11597 + 12083*x)/(162*(2 + 5*x + 3*x^2)^2)) + (7*(16651 + 20298*x))/(162*(2 + 5*x + 3*x^2)) - 883*log(1 + x) + (23825//27)*log(2 + 3*x), x, 6),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^3)/(2 + 5*x + 3*x^2)^3, -(((3 + 2*x)^3*(29 + 35*x))/(2*(2 + 5*x + 3*x^2)^2)) + (141*(3 + 2*x)*(7 + 8*x))/(2*(2 + 5*x + 3*x^2)) - 705*log(1 + x) + 705*log(2 + 3*x), x, 5),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^2)/(2 + 5*x + 3*x^2)^3, -((533 + 587*x)/(18*(2 + 5*x + 3*x^2)^2)) + (8269 + 9918*x)/(18*(2 + 5*x + 3*x^2)) - 551*log(1 + x) + 551*log(2 + 3*x), x, 6),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^1)/(2 + 5*x + 3*x^2)^3, -((121 + 139*x)/(6*(2 + 5*x + 3*x^2)^2)) + (421*(5 + 6*x))/(6*(2 + 5*x + 3*x^2)) - 421*log(1 + x) + 421*log(2 + 3*x), x, 5),
+((5 - x)/(2 + 5*x + 3*x^2)^3, -((29 + 35*x)/(2*(2 + 5*x + 3*x^2)^2)) + (105*(5 + 6*x))/(2*(2 + 5*x + 3*x^2)) - 315*log(1 + x) + 315*log(2 + 3*x), x, 5),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^1*(2 + 5*x + 3*x^2)^3), (-3*(37 + 47*x))/(10*(2 + 5*x + 3*x^2)^2) + (9587 + 11442*x)/(50*(2 + 5*x + 3*x^2)) - 233*log(1 + x) + (208*log(3 + 2*x))/125 + (28917*log(2 + 3*x))/125, x, 4),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^3), 12946/(125*(3 + 2*x)) - (3*(37 + 47*x))/(10*(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^2) + (9293 + 10848*x)/(50*(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)) - 175*log(1 + x) + (4912*log(3 + 2*x))/625 + (104463*log(2 + 3*x))/625, x, 4),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^3*(2 + 5*x + 3*x^2)^3), 11856/(125*(3 + 2*x)^2) + 35886/(625*(3 + 2*x)) - (3*(37 + 47*x))/(10*(3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^2) + (8999 + 10254*x)/(50*(3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)) - 141*log(1 + x) + (68592*log(3 + 2*x))/3125 + (372033*log(2 + 3*x))/3125, x, 4),
+
+
+(x^1*(1 + x)^2/(1 + x + x^2)^3, -(((1 + x)*(1 + 2*x))/(6*(1 + x + x^2)^2)) - 1/(6*(1 + x + x^2)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x) (a+b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+# {(f + g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2)*(d + e*x)^3, x, 9, -((7*(b^2 - 4*a*c)^3*(640*c^4*d^3*f + 65*b^4*e^3*g - 104*b^2*c*e^2*(b*e*f + 3*b*d*g + a*e*g) - 64*c^3*d*(3*a*e*(e*f + d*g) + 5*b*d*(3*e*f + d*g)) + 16*c^2*e*(a^2*e^2*g + 33*b^2*d*(e*f + d*g) + 6*a*b*e*(e*f + 3*d*g)))*(b + 2*c*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(2097152*c^8)) + (7*(b^2 - 4*a*c)^2*(640*c^4*d^3*f + 65*b^4*e^3*g - 104*b^2*c*e^2*(b*e*f + 3*b*d*g + a*e*g) - 64*c^3*d*(3*a*e*(e*f + d*g) + 5*b*d*(3*e*f + d*g)) + 16*c^2*e*(a^2*e^2*g + 33*b^2*d*(e*f + d*g) + 6*a*b*e*(e*f + 3*d*g)))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(786432*c^7) - (7*(b^2 - 4*a*c)*(640*c^4*d^3*f + 65*b^4*e^3*g - 104*b^2*c*e^2*(b*e*f + 3*b*d*g + a*e*g) - 64*c^3*d*(3*a*e*(e*f + d*g) + 5*b*d*(3*e*f + d*g)) + 16*c^2*e*(a^2*e^2*g + 33*b^2*d*(e*f + d*g) + 6*a*b*e*(e*f + 3*d*g)))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(245760*c^6) + ((640*c^4*d^3*f + 65*b^4*e^3*g - 104*b^2*c*e^2*(b*e*f + 3*b*d*g + a*e*g) - 64*c^3*d*(3*a*e*(e*f + d*g) + 5*b*d*(3*e*f + d*g)) + 16*c^2*e*(a^2*e^2*g + 33*b^2*d*(e*f + d*g) + 6*a*b*e*(e*f + 3*d*g)))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2))/(10240*c^5) + ((8*c*e*f + 2*c*d*g - 5*b*e*g)*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(9/2))/(88*c^2) + (g*(d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(9/2))/(12*c) - ((715*b^3*e^3*g - 160*c^3*d^2*(48*e*f + d*g) - 52*b*c*e^2*(17*a*e*g + 22*b*(e*f + 3*d*g)) + 8*c^2*e*(80*a*e*(e*f + 3*d*g) + 3*b*d*(242*e*f + 167*d*g)) - 18*c*e*(65*b^2*e^2*g + 8*c^2*d*(26*e*f + d*g) - 4*c*e*(26*b*e*f + 28*b*d*g + 11*a*e*g))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(9/2))/(31680*c^4) + (7*(b^2 - 4*a*c)^4*(640*c^4*d^3*f + 65*b^4*e^3*g - 104*b^2*c*e^2*(b*e*f + 3*b*d*g + a*e*g) - 64*c^3*d*(3*a*e*(e*f + d*g) + 5*b*d*(3*e*f + d*g)) + 16*c^2*e*(a^2*e^2*g + 33*b^2*d*(e*f + d*g) + 6*a*b*e*(e*f + 3*d*g)))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(4194304*c^(17/2))}
+((f + g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2)*(d + e*x)^2, -((7*(b^2 - 4*a*c)^3*(80*c^3*d^2*f - 13*b^3*e^2*g + 2*b*c*e*(6*a*e*g + 11*b*(e*f + 2*d*g)) - 8*c^2*(5*b*d*(2*e*f + d*g) + a*e*(e*f + 2*d*g)))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(262144*c^7)) + (7*(b^2 - 4*a*c)^2*(80*c^3*d^2*f - 13*b^3*e^2*g + 2*b*c*e*(6*a*e*g + 11*b*(e*f + 2*d*g)) - 8*c^2*(5*b*d*(2*e*f + d*g) + a*e*(e*f + 2*d*g)))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(98304*c^6) - (7*(b^2 - 4*a*c)*(80*c^3*d^2*f - 13*b^3*e^2*g + 2*b*c*e*(6*a*e*g + 11*b*(e*f + 2*d*g)) - 8*c^2*(5*b*d*(2*e*f + d*g) + a*e*(e*f + 2*d*g)))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(30720*c^5) + ((80*c^3*d^2*f - 13*b^3*e^2*g + 2*b*c*e*(6*a*e*g + 11*b*(e*f + 2*d*g)) - 8*c^2*(5*b*d*(2*e*f + d*g) + a*e*(e*f + 2*d*g)))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(1280*c^4) + (g*(d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(9//2))/(11*c) + ((143*b^2*e^2*g + 80*c^2*d*(11*e*f + d*g) - 2*c*e*(40*a*e*g + 121*b*(e*f + 2*d*g)) + 18*c*e*(22*c*e*f + 4*c*d*g - 13*b*e*g)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(9//2))/(3960*c^3) + (7*(b^2 - 4*a*c)^4*(80*c^3*d^2*f - 13*b^3*e^2*g + 2*b*c*e*(6*a*e*g + 11*b*(e*f + 2*d*g)) - 8*c^2*(5*b*d*(2*e*f + d*g) + a*e*(e*f + 2*d*g)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(524288*c^(15//2)), x, 8),
+((f + g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2)*(d + e*x)^1, -((7*(b^2 - 4*a*c)^3*(40*c^2*d*f + 11*b^2*e*g - 4*c*(a*e*g + 5*b*(e*f + d*g)))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(131072*c^6)) + (7*(b^2 - 4*a*c)^2*(40*c^2*d*f + 11*b^2*e*g - 4*c*(a*e*g + 5*b*(e*f + d*g)))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(49152*c^5) - (7*(b^2 - 4*a*c)*(40*c^2*d*f + 11*b^2*e*g - 4*c*(a*e*g + 5*b*(e*f + d*g)))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(15360*c^4) + ((40*c^2*d*f + 11*b^2*e*g - 4*c*(a*e*g + 5*b*(e*f + d*g)))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(640*c^3) - ((11*b*e*g - 20*c*(e*f + d*g) - 18*c*e*g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(9//2))/(180*c^2) + (7*(b^2 - 4*a*c)^4*(40*c^2*d*f + 11*b^2*e*g - 4*c*(a*e*g + 5*b*(e*f + d*g)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(262144*c^(13//2)), x, 7),
+((f + g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2)*(d + e*x)^0, -((35*(b^2 - 4*a*c)^3*(2*c*f - b*g)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(32768*c^5)) + (35*(b^2 - 4*a*c)^2*(2*c*f - b*g)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(12288*c^4) - (7*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*f - b*g)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(768*c^3) + ((2*c*f - b*g)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(32*c^2) + (g*(a + b*x + c*x^2)^(9//2))/(9*c) + (35*(b^2 - 4*a*c)^4*(2*c*f - b*g)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(65536*c^(11//2)), x, 7),
+
+# {(f + g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2)/(d + e*x)^1, x, 9, -((35*(b^2 - 4*a*c)^3*g*(b + 2*c*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(16384*c^4*e)) - (5*(b^2 - 4*a*c)^2*(2*c*d - b*e)*(e*f - d*g)*(b + 2*c*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(1024*c^3*e^3) + (3*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*(b + 2*c*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(128*c^2*e^5) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(e*f - d*g)*(8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 4*a*e) - 2*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(8*c*e^8) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(e*f - d*g)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(3*e^6) + (35*(b^2 - 4*a*c)^2*g*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(6144*c^3*e) + (5*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(e*f - d*g)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(384*c^2*e^3) - ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(16*c*e^5) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(5*e^4) - (7*(b^2 - 4*a*c)*g*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(384*c^2*e) - ((2*c*d - b*e)*(e*f - d*g)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(24*c*e^3) + ((e*f - d*g)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2))/(7*e^2) + (g*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2))/(16*c*e) + (35*(b^2 - 4*a*c)^4*g*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(32768*c^(9/2)*e) + (5*(b^2 - 4*a*c)^3*(2*c*d - b*e)*(e*f - d*g)*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2048*c^(7/2)*e^3) - (3*(b^2 - 4*a*c)^2*(2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(256*c^(5/2)*e^5) - ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(8*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 3*a*e))*(e*f - d*g)*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(16*c^(3/2)*e^9) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7/2)*(e*f - d*g)*ArcTanh[(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*Sqrt[c*d^2 - b*d*e + a*e^2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/e^9, -((1/(16384*c^4*e^8))*((35*b^7*e^7*g - 16384*c^7*d^6*(e*f - d*g) + 4096*c^6*d^4*e*(13*b*d - 12*a*e)*(e*f - d*g) - 1024*c^5*d^2*e^2*(58*b^2*d^2 - 107*a*b*d*e + 48*a^2*e^2)*(e*f - d*g) + 256*c^4*e^3*(93*b^3*d^3 - 258*a*b^2*d^2*e + 230*a^2*b*d*e^2 - 64*a^3*e^3)*(e*f - d*g) - 20*b^5*c*e^6*(4*b*e*f - 4*b*d*g + 21*a*e*g) + 16*b^3*c^2*e^5*(105*a^2*e^2*g - 14*b^2*d*(e*f - d*g) + 64*a*b*e*(e*f - d*g)) - 64*b*c^3*e^4*(35*a^3*e^3*g + 14*b^3*d^2*(e*f - d*g) - 56*a*b^2*d*e*(e*f - d*g) + 76*a^2*b*e^2*(e*f - d*g)) + 2*c*e*(35*b^6*e^6*g + 4096*c^6*d^5*(e*f - d*g) - 1024*c^5*d^3*e*(10*b*d - 11*a*e)*(e*f - d*g) + 256*c^4*d*e^2*(29*b^2*d^2 - 66*a*b*d*e + 38*a^2*e^2)*(e*f - d*g) - 20*b^4*c*e^5*(4*b*e*f - 4*b*d*g + 21*a*e*g) + 16*b^2*c^2*e^4*(105*a^2*e^2*g - 14*b^2*d*(e*f - d*g) + 64*a*b*e*(e*f - d*g)) - 64*c^3*e^3*(35*a^3*e^3*g + 14*b^3*d^2*(e*f - d*g) - 56*a*b^2*d*e*(e*f - d*g) + 76*a^2*b*e^2*(e*f - d*g)))*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])) + (1/(6144*c^3*e^6))*((35*b^5*e^5*g + 2048*c^5*d^4*(e*f - d*g) - 256*c^4*d^2*e*(19*b*d - 16*a*e)*(e*f - d*g) + 128*c^3*e^2*(25*b^2*d^2 - 43*a*b*d*e + 16*a^2*e^2)*(e*f - d*g) - 40*b^3*c*e^4*(2*b*e*f - 2*b*d*g + 7*a*e*g) + 16*b*c^2*e^3*(35*a^2*e^2*g - 14*b^2*d*(e*f - d*g) + 44*a*b*e*(e*f - d*g)) + 2*c*e*(35*b^4*e^4*g - 768*c^4*d^3*(e*f - d*g) + 128*c^3*d*e*(9*b*d - 11*a*e)*(e*f - d*g) - 40*b^2*c*e^3*(2*b*e*f - 2*b*d*g + 7*a*e*g) + 16*c^2*e^2*(35*a^2*e^2*g - 14*b^2*d*(e*f - d*g) + 44*a*b*e*(e*f - d*g)))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)) - ((35*b^3*e^3*g - 384*c^3*d^2*(e*f - d*g) + 32*c^2*e*(17*b*d - 12*a*e)*(e*f - d*g) - 20*b*c*e^2*(4*b*e*f - 4*b*d*g + 7*a*e*g) + 10*c*e*(7*b^2*e^2*g + 32*c^2*d*(e*f - d*g) - 4*c*e*(4*b*e*f - 4*b*d*g + 7*a*e*g))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(1920*c^2*e^4) + ((16*c*e*f - 16*c*d*g + 7*b*e*g + 14*c*e*g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2))/(112*c*e^2) + (1/(32768*c^(9/2)*e^9))*((35*b^8*e^8*g - 32768*c^8*d^7*(e*f - d*g) + 114688*c^7*d^5*e*(b*d - a*e)*(e*f - d*g) - 143360*c^6*d^3*e^2*(b*d - a*e)^2*(e*f - d*g) + 71680*c^5*d*e^3*(b*d - a*e)^3*(e*f - d*g) - 80*b^6*c*e^7*(b*e*f - b*d*g + 7*a*e*g) + 224*b^4*c^2*e^6*(15*a^2*e^2*g - b^2*d*(e*f - d*g) + 6*a*b*e*(e*f - d*g)) - 896*b^2*c^3*e^5*(10*a^3*e^3*g + b^3*d^2*(e*f - d*g) - 5*a*b^2*d*e*(e*f - d*g) + 10*a^2*b*e^2*(e*f - d*g)) + 8960*c^4*e^4*(a^4*e^4*g - b^4*d^3*(e*f - d*g) + 4*a*b^3*d^2*e*(e*f - d*g) - 6*a^2*b^2*d*e^2*(e*f - d*g) + 4*a^3*b*e^3*(e*f - d*g)))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])]) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7/2)*(e*f - d*g)*ArcTanh[(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*Sqrt[c*d^2 - b*d*e + a*e^2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/e^9}
+# {(f + g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2)/(d + e*x)^2, x, 9, (5*(b^2 - 4*a*c)^2*(b*e*g + 2*c*(7*e*f - 8*d*g))*(b + 2*c*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(1024*c^3*e^3) - (3*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(2*c*d*(7*e*f - 8*d*g) - e*(7*b*e*f - 9*b*d*g + 2*a*e*g))*(b + 2*c*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(256*c^2*e^5) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(2*c*d*(7*e*f - 8*d*g) - e*(7*b*e*f - 9*b*d*g + 2*a*e*g))*(8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 4*a*e) - 2*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(16*c*e^8) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(2*c*d*(7*e*f - 8*d*g) - e*(7*b*e*f - 9*b*d*g + 2*a*e*g))*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(6*e^6) - (5*(b^2 - 4*a*c)*(b*e*g + 2*c*(7*e*f - 8*d*g))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(384*c^2*e^3) + ((2*c*d - b*e)*(2*c*d*(7*e*f - 8*d*g) - e*(7*b*e*f - 9*b*d*g + 2*a*e*g))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(32*c*e^5) - ((2*c*d*(7*e*f - 8*d*g) - e*(7*b*e*f - 9*b*d*g + 2*a*e*g))*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(10*e^4) + ((14*c*e*f - 16*c*d*g + b*e*g)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(24*c*e^3) - ((7*e*f - 8*d*g - e*g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2))/(7*e^2*(d + e*x)) - (5*(b^2 - 4*a*c)^3*(b*e*g + 2*c*(7*e*f - 8*d*g))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2048*c^(7/2)*e^3) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*(2*c*d - b*e)*(2*c*d*(7*e*f - 8*d*g) - e*(7*b*e*f - 9*b*d*g + 2*a*e*g))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(512*c^(5/2)*e^5) + ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(8*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 3*a*e))*(2*c*d*(7*e*f - 8*d*g) - e*(7*b*e*f - 9*b*d*g + 2*a*e*g))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(32*c^(3/2)*e^9) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5/2)*(2*c*d*(7*e*f - 8*d*g) - e*(7*b*e*f - 9*b*d*g + 2*a*e*g))*ArcTanh[(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*Sqrt[c*d^2 - b*d*e + a*e^2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*e^9), ((3*(5*b^6*e^6*g - 1024*c^6*d^5*(7*e*f - 8*d*g) + 16*c^3*e^3*(64*a^3*e^3*g - 2*a*b^2*d*e*(322*e*f - 451*d*g) + b^3*d^2*(343*e*f - 436*d*g) + 2*a^2*b*e^2*(147*e*f - 262*d*g)) + 256*c^5*d^3*e*(b*d*(77*e*f - 90*d*g) - 4*a*e*(14*e*f - 17*d*g)) + 64*c^4*d*e^2*(a*b*d*e*(385*e*f - 492*d*g) - 2*b^2*d^2*(140*e*f - 169*d*g) - 16*a^2*e^2*(7*e*f - 10*d*g)) - 2*b^4*c*e^5*(32*a*e*g + 7*b*(e*f - 2*d*g)) + 8*b^2*c^2*e^4*(38*a^2*e^2*g - 7*b^2*d*(2*e*f - 3*d*g) + 28*a*b*e*(e*f - 2*d*g))) - 2*c*e*(-8*c*e*(2*c*d - b*e)*(12*c*e*(b*d - 2*a*e)*(7*b*e*f - 8*b*d*g + 2*a*e*g) - d*(12*b*c*d - 5*b^2*e - 4*a*c*e)*(14*c*e*f - 16*c*d*g + b*e*g)) + 2*(8*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e - (3*b^2*e^2)/2 + 6*a*c*e^2)*(12*c*e*(2*c*d - b*e)*(7*b*e*f - 8*b*d*g + 2*a*e*g) - (24*c^2*d^2 - 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d - 5*a*e))*(b*e*g + 2*c*(7*e*f - 8*d*g))))*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(3072*c^3*e^8) - ((5*b^4*e^4*g + 128*c^4*d^3*(7*e*f - 8*d*g) - 8*c^2*e^2*(16*a^2*e^2*g + a*b*e*(91*e*f - 134*d*g) - b^2*d*(98*e*f - 123*d*g)) - 16*c^3*d*e*(b*d*(105*e*f - 124*d*g) - 8*a*e*(7*e*f - 9*d*g)) - 2*b^2*c*e^3*(22*a*e*g + 7*b*(e*f - 2*d*g)) + 2*c*e*(12*c*e*(2*c*d - b*e)*(7*b*e*f - 8*b*d*g + 2*a*e*g) - (24*c^2*d^2 - 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d - 5*a*e))*(b*e*g + 2*c*(7*e*f - 8*d*g)))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(384*c^2*e^6) + ((5*b^2*e^2*g - 24*c^2*d*(7*e*f - 8*d*g) + 2*c*e*(77*b*e*f - 94*b*d*g + 12*a*e*g) + 10*c*e*(14*c*e*f - 16*c*d*g + b*e*g)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(120*c*e^4) - ((7*e*f - 8*d*g - e*g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2))/(7*e^2*(d + e*x)) - ((5*b^7*e^7*g - 2048*c^7*d^6*(7*e*f - 8*d*g) - 14*b^5*c*e^6*(b*e*f - 2*b*d*g + 6*a*e*g) + 7168*c^6*d^4*e*(b*d*(6*e*f - 7*d*g) - a*e*(5*e*f - 6*d*g)) - 8960*c^5*d^2*e^2*(b*d - a*e)*(b*d*(5*e*f - 6*d*g) - a*e*(3*e*f - 4*d*g)) + 4480*c^4*e^3*(b*d - a*e)^2*(b*d*(4*e*f - 5*d*g) - a*e*(e*f - 2*d*g)) + 56*b^3*c^2*e^5*(10*a^2*e^2*g - b^2*d*(2*e*f - 3*d*g) + 5*a*b*e*(e*f - 2*d*g)) - 560*b*c^3*e^4*(4*a^3*e^3*g + b^3*d^2*(3*e*f - 4*d*g) - 4*a*b^2*d*e*(2*e*f - 3*d*g) + 6*a^2*b*e^2*(e*f - 2*d*g)))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2048*c^(7/2)*e^9) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5/2)*(2*c*d*(7*e*f - 8*d*g) - e*(7*b*e*f - 9*b*d*g + 2*a*e*g))*ArcTanh[(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*Sqrt[c*d^2 - b*d*e + a*e^2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*e^9)}
+# {(f + g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2)/(d + e*x)^3, x, 9, -((7*(b^2 - 4*a*c)*(b^2*e^2*g - 24*c^2*d*(3*e*f - 4*d*g) + 4*c*e*(9*b*e*f - 15*b*d*g + 5*a*e*g))*(b + 2*c*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(512*c^2*e^5)) + (7*(8*c^2*d^2*(3*e*f - 4*d*g) + b*e^2*(5*b*e*f - 9*b*d*g + 4*a*e*g) + 4*c*e*(a*e*(e*f - 3*d*g) - 3*b*d*(2*e*f - 3*d*g)))*(8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 4*a*e) - 2*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(64*c*e^8) + (7*(8*c^2*d^2*(3*e*f - 4*d*g) + b*e^2*(5*b*e*f - 9*b*d*g + 4*a*e*g) + 4*c*e*(a*e*(e*f - 3*d*g) - 3*b*d*(2*e*f - 3*d*g)))*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(24*e^6) + (7*(b^2*e^2*g - 24*c^2*d*(3*e*f - 4*d*g) + 4*c*e*(9*b*e*f - 15*b*d*g + 5*a*e*g))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(192*c*e^5) + (7*(12*c*d*(3*e*f - 4*d*g) - e*(15*b*e*f - 26*b*d*g + 10*a*e*g) + e*(6*c*e*f - 8*c*d*g + b*e*g)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(60*e^4*(d + e*x)) - ((3*e*f - 4*d*g - e*g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2))/(6*e^2*(d + e*x)^2) + (7*(b^2 - 4*a*c)^2*(b^2*e^2*g - 24*c^2*d*(3*e*f - 4*d*g) + 4*c*e*(9*b*e*f - 15*b*d*g + 5*a*e*g))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(1024*c^(5/2)*e^5) - (7*(2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 3*a*e))*(8*c^2*d^2*(3*e*f - 4*d*g) + b*e^2*(5*b*e*f - 9*b*d*g + 4*a*e*g) + 4*c*e*(a*e*(e*f - 3*d*g) - 3*b*d*(2*e*f - 3*d*g)))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(128*c^(3/2)*e^9) + (7*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3/2)*(8*c^2*d^2*(3*e*f - 4*d*g) + b*e^2*(5*b*e*f - 9*b*d*g + 4*a*e*g) + 4*c*e*(a*e*(e*f - 3*d*g) - 3*b*d*(2*e*f - 3*d*g)))*ArcTanh[(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*Sqrt[c*d^2 - b*d*e + a*e^2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(8*e^9), -((7*(3*(b^5*e^5*g - 512*c^5*d^4*(3*e*f - 4*d*g) - 4*b^3*c*e^4*(b*e*f - 3*b*d*g + 4*a*e*g) - 8*b*c^2*e^3*(42*a^2*e^2*g - b^2*d*(65*e*f - 114*d*g) + 2*a*b*e*(31*e*f - 77*d*g)) + 128*c^4*d^2*e*(b*d*(27*e*f - 38*d*g) - 2*a*e*(7*e*f - 11*d*g)) + 32*c^3*e^2*(a*b*d*e*(67*e*f - 122*d*g) - 4*b^2*d^2*(19*e*f - 29*d*g) - 8*a^2*e^2*(e*f - 3*d*g))) - 2*c*e*(2*(8*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e - (3*b^2*e^2)/2 + 6*a*c*e^2)*(b^2*e^2*g - 24*c^2*d*(3*e*f - 4*d*g) + 4*c*e*(9*b*e*f - 15*b*d*g + 5*a*e*g)) - 8*c*e*(2*c*d - b*e)*(5*b*e*(3*b*e*f - 4*b*d*g + 2*a*e*g) - 2*(3*b*d - a*e)*(6*c*e*f - 8*c*d*g + b*e*g)))*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(1536*c^2*e^8)) + (7*(b^3*e^3*g + 64*c^3*d^2*(3*e*f - 4*d*g) + 4*b*c*e^2*(19*b*e*f - 33*b*d*g + 13*a*e*g) - 8*c^2*e*(3*b*d*(11*e*f - 16*d*g) - 4*a*e*(e*f - 3*d*g)) + 2*c*e*(b^2*e^2*g - 24*c^2*d*(3*e*f - 4*d*g) + 4*c*e*(9*b*e*f - 15*b*d*g + 5*a*e*g))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(192*c*e^6) + (7*(12*c*d*(3*e*f - 4*d*g) - e*(15*b*e*f - 26*b*d*g + 10*a*e*g) + e*(6*c*e*f - 8*c*d*g + b*e*g)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(60*e^4*(d + e*x)) - ((3*e*f - 4*d*g - e*g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2))/(6*e^2*(d + e*x)^2) + (7*(b^6*e^6*g - 1024*c^6*d^5*(3*e*f - 4*d*g) - 4*b^4*c*e^5*(b*e*f - 3*b*d*g + 5*a*e*g) - 320*c^3*e^3*(b*d - a*e)*(a^2*e^2*g + a*b*e*(3*e*f - 8*d*g) - 2*b^2*d*(3*e*f - 5*d*g)) + 512*c^5*d^3*e*(3*b*d*(5*e*f - 7*d*g) - 5*a*e*(2*e*f - 3*d*g)) + 40*b^2*c^2*e^4*(6*a^2*e^2*g + 4*a*b*e*(e*f - 3*d*g) - 3*b^2*d*(e*f - 2*d*g)) + 640*c^4*d*e^2*(4*a*b*d*e*(3*e*f - 5*d*g) - 5*b^2*d^2*(2*e*f - 3*d*g) - 3*a^2*e^2*(e*f - 2*d*g)))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(1024*c^(5/2)*e^9) + (7*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3/2)*(8*c^2*d^2*(3*e*f - 4*d*g) + b*e^2*(5*b*e*f - 9*b*d*g + 4*a*e*g) + 4*c*e*(a*e*(e*f - 3*d*g) - 3*b*d*(2*e*f - 3*d*g)))*ArcTanh[(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*Sqrt[c*d^2 - b*d*e + a*e^2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(8*e^9)}
+((f + g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2)/(d + e*x)^4, (1/(128*c*e^8))*(7*(b^4*e^4*g - 128*c^4*d^3*(5*e*f - 8*d*g) + 8*c^2*e^2*(8*a^2*e^2*g + a*b*e*(25*e*f - 92*d*g) - 2*b^2*d*(35*e*f - 73*d*g)) + 2*b^2*c*e^3*(62*a*e*g + 5*b*(7*e*f - 20*d*g)) + 32*c^3*d*e*(b*d*(35*e*f - 62*d*g) - 2*a*e*(5*e*f - 12*d*g)) + 2*c*e*(b^3*e^3*g + 32*c^3*d^2*(5*e*f - 8*d*g) - 8*c^2*e*(2*b*d*(10*e*f - 19*d*g) - a*e*(5*e*f - 16*d*g)) + 2*b*c*e^2*(22*a*e*g + 5*b*(3*e*f - 8*d*g)))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (7*(16*c^2*d^2*(5*e*f - 8*d*g) + b*e^2*(10*b*e*f - 29*b*d*g + 18*a*e*g) - 2*c*e*(b*d*(35*e*f - 68*d*g) - 2*a*e*(5*e*f - 16*d*g)) - e*(b^2*e^2*g - 4*c^2*d*(5*e*f - 8*d*g) + 2*c*e*(5*b*e*f - 11*b*d*g + 4*a*e*g))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(48*e^6*(d + e*x)) + (7*(6*c*d*(5*e*f - 8*d*g) - e*(10*b*e*f - 25*b*d*g + 12*a*e*g) + e*(10*c*e*f - 16*c*d*g + 3*b*e*g)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(120*e^4*(d + e*x)^2) - ((5*e*f - 8*d*g - 3*e*g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(15*e^2*(d + e*x)^3) - (1/(256*c^(3//2)*e^9))*(7*(b^5*e^5*g - 256*c^5*d^4*(5*e*f - 8*d*g) - 10*b^3*c*e^4*(b*e*f - 4*b*d*g + 4*a*e*g) - 80*b*c^2*e^3*(3*a^2*e^2*g - 2*b^2*d*(2*e*f - 5*d*g) + 3*a*b*e*(e*f - 4*d*g)) + 160*c^3*e^2*(4*a*b*d*e*(2*e*f - 5*d*g) - a^2*e^2*(e*f - 4*d*g) - 10*b^2*d^2*(e*f - 2*d*g)) + 640*c^4*d^2*e*(b*d*(4*e*f - 7*d*g) - 2*a*e*(e*f - 2*d*g)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))) - (7*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(16*c^3*d^3*(5*e*f - 8*d*g) - 5*b^2*e^3*(b*e*f - 3*b*d*g + 2*a*e*g) - 2*c*e^2*(4*a^2*e^2*g - b^2*d*(25*e*f - 54*d*g) + 2*a*b*e*(5*e*f - 19*d*g)) + 8*c^2*d*e*(a*e*(5*e*f - 12*d*g) - 3*b*d*(5*e*f - 9*d*g)))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*e^9), x, 9),
+((f + g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2)/(d + e*x)^5, (1/(64*e^8*(d + e*x)))*(35*(64*c^3*d^3*(e*f - 2*d*g) - b^2*e^3*(b*e*f - 8*b*d*g + 6*a*e*g) - 4*c*e^2*(2*a^2*e^2*g + a*b*e*(3*e*f - 16*d*g) - 2*b^2*d*(3*e*f - 10*d*g)) - 16*c^2*d*e*(b*d*(5*e*f - 12*d*g) - 2*a*e*(e*f - 3*d*g)) + e*(b^3*e^3*g + 32*c^3*d^2*(e*f - 2*d*g) + 6*b*c*e^2*(b*e*f - 4*b*d*g + 2*a*e*g) - 8*c^2*e*(2*b*d*(2*e*f - 5*d*g) - a*e*(e*f - 4*d*g)))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (35*(16*c^2*d^2*(e*f - 2*d*g) + b*e^2*(b*e*f - 6*b*d*g + 4*a*e*g) - 4*c*e*(b*d*(3*e*f - 8*d*g) - a*e*(e*f - 4*d*g)) - e*(b^2*e^2*g - 8*c^2*d*(e*f - 2*d*g) + 4*c*e*(b*e*f - 3*b*d*g + a*e*g))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(96*e^6*(d + e*x)^2) + (7*(4*c*d*(e*f - 2*d*g) - e*(b*e*f - 4*b*d*g + 2*a*e*g) + e*(2*c*e*f - 4*c*d*g + b*e*g)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(24*e^4*(d + e*x)^3) - ((e*f - 2*d*g - e*g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(4*e^2*(d + e*x)^4) + (35*(b^4*e^4*g - 128*c^4*d^3*(e*f - 2*d*g) + 8*b^2*c*e^3*(b*e*f - 5*b*d*g + 3*a*e*g) + 16*c^2*e^2*(a^2*e^2*g + 2*a*b*e*(e*f - 5*d*g) - 5*b^2*d*(e*f - 3*d*g)) + 64*c^3*d*e*(b*d*(3*e*f - 7*d*g) - a*e*(e*f - 3*d*g)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*sqrt(c)*e^9) + (1/(128*e^9*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)))*(35*(128*c^4*d^4*(e*f - 2*d*g) + b^3*e^4*(b*e*f - 9*b*d*g + 8*a*e*g) + 8*b*c*e^3*(4*a^2*e^2*g + a*b*e*(3*e*f - 17*d*g) - b^2*d*(4*e*f - 15*d*g)) + 16*c^2*e^2*(b^2*d^2*(10*e*f - 27*d*g) - 2*a*b*d*e*(4*e*f - 13*d*g) + a^2*e^2*(e*f - 5*d*g)) - 64*c^3*d^2*e*(b*d*(4*e*f - 9*d*g) - a*e*(2*e*f - 5*d*g)))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))), x, 9),
+((f + g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2)/(d + e*x)^6, -((7*(5*b^3*e^3*g + 16*c^3*d^2*(3*e*f - 8*d*g) + 10*b*c*e^2*(b*e*f - 6*b*d*g + 2*a*e*g) - 8*c^2*e*(3*b*d*(2*e*f - 7*d*g) - a*e*(e*f - 6*d*g)))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(16*e^8*(d + e*x))) - (1/(128*e^7*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2))*(7*(32*c^3*d^3*(3*e*f - 8*d*g) - b^2*e^3*(b*e*f - 31*b*d*g + 30*a*e*g) + 8*c^2*d*e*(a*e*(11*e*f - 36*d*g) - 2*b*d*(9*e*f - 29*d*g)) - 2*c*e^2*(20*a^2*e^2*g + 2*a*b*e*(11*e*f - 61*d*g) - 5*b^2*d*(5*e*f - 24*d*g)))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (7*(16*c^2*d^2*(3*e*f - 8*d*g) + b*e^2*(b*e*f - 21*b*d*g + 10*a*e*g) + 2*c*e*(4*a*e*(e*f - 6*d*g) - 15*b*d*(e*f - 4*d*g)) - 2*e*(5*b^2*e^2*g - 6*c^2*d*(3*e*f - 8*d*g) + c*e*(9*b*e*f - 39*b*d*g + 10*a*e*g))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(48*e^6*(d + e*x)^3) + (7*(6*c*d*(3*e*f - 8*d*g) - e*(3*b*e*f - 23*b*d*g + 10*a*e*g) + 2*e*(6*c*e*f - 16*c*d*g + 5*b*e*g)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(120*e^4*(d + e*x)^4) - ((3*e*f - 8*d*g - 5*e*g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(15*e^2*(d + e*x)^5) + (7*sqrt(c)*(5*b^3*e^3*g + 16*c^3*d^2*(3*e*f - 8*d*g) + 10*b*c*e^2*(b*e*f - 6*b*d*g + 2*a*e*g) - 8*c^2*e*(3*b*d*(2*e*f - 7*d*g) - a*e*(e*f - 6*d*g)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*e^9) + (1/(256*e^7*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)))*(7*(b^2 - 4*a*c)*(32*c^3*d^3*(3*e*f - 8*d*g) - b^2*e^3*(b*e*f - 31*b*d*g + 30*a*e*g) + 8*c^2*d*e*(a*e*(11*e*f - 36*d*g) - 2*b*d*(9*e*f - 29*d*g)) - 2*c*e^2*(20*a^2*e^2*g + 2*a*b*e*(11*e*f - 61*d*g) - 5*b^2*d*(5*e*f - 24*d*g)))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))) - (7*(2*c*d - b*e)*(5*b^3*e^3*g + 16*c^3*d^2*(3*e*f - 8*d*g) + 10*b*c*e^2*(b*e*f - 6*b*d*g + 2*a*e*g) - 8*c^2*e*(3*b*d*(2*e*f - 7*d*g) - a*e*(e*f - 6*d*g)))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(32*e^9*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 13),
+((f + g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2)/(d + e*x)^7, -((7*c*(5*b^2*e^2*g - 8*c^2*d*(e*f - 4*d*g) + 4*c*e*(b*e*f - 7*b*d*g + a*e*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*e^8*(d + e*x))) - (7*(2*c*d - b*e)*(5*b^2*e^2*g - 8*c^2*d*(e*f - 4*d*g) + 4*c*e*(b*e*f - 7*b*d*g + a*e*g))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*e^7*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2) - (7*(b^2 - 4*a*c)*(24*c^2*d^2*(e*f - 4*d*g) + b*e^2*(b*e*f - 37*b*d*g + 36*a*e*g) + 4*c*e*(a*e*(5*e*f - 23*d*g) - 3*b*d*(2*e*f - 11*d*g)))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(512*e^5*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^2) - (7*(5*b^2*e^2*g - 8*c^2*d*(e*f - 4*d*g) + 4*c*e*(b*e*f - 7*b*d*g + a*e*g))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*e^6*(d + e*x)^3) + (7*(24*c^2*d^2*(e*f - 4*d*g) + b*e^2*(b*e*f - 37*b*d*g + 36*a*e*g) + 4*c*e*(a*e*(5*e*f - 23*d*g) - 3*b*d*(2*e*f - 11*d*g)))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*e^5*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^4) + (7*(12*c*d*(e*f - 4*d*g) - e*(b*e*f - 22*b*d*g + 6*a*e*g) + 5*e*(2*c*e*f - 8*c*d*g + 3*b*e*g)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(60*e^4*(d + e*x)^5) - ((e*f - 4*d*g - 3*e*g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(6*e^2*(d + e*x)^6) + (7*c^(3//2)*(5*b^2*e^2*g - 8*c^2*d*(e*f - 4*d*g) + 4*c*e*(b*e*f - 7*b*d*g + a*e*g))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*e^9) + (7*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(5*b^2*e^2*g - 8*c^2*d*(e*f - 4*d*g) + 4*c*e*(b*e*f - 7*b*d*g + a*e*g))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*e^7*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)) - (7*c*(2*c*d - b*e)*(5*b^2*e^2*g - 8*c^2*d*(e*f - 4*d*g) + 4*c*e*(b*e*f - 7*b*d*g + a*e*g))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*e^9*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (7*(b^2 - 4*a*c)^2*(24*c^2*d^2*(e*f - 4*d*g) + b*e^2*(b*e*f - 37*b*d*g + 36*a*e*g) + 4*c*e*(a*e*(5*e*f - 23*d*g) - 3*b*d*(2*e*f - 11*d*g)))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(1024*e^5*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)), x, 18),
+((f + g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2)/(d + e*x)^8, -((c^2*(2*c*e*f - 16*c*d*g + 7*b*e*g)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*e^8*(d + e*x))) - (c*(2*c*d - b*e)*(2*c*e*f - 16*c*d*g + 7*b*e*g)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(16*e^7*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2) + (3*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(7*b*e*g + 2*c*(e*f - 8*d*g))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(256*e^5*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^2) - (5*(b^2 - 4*a*c)^2*(2*c*d*(e*f - 8*d*g) - e*(b*e*f - 15*b*d*g + 14*a*e*g))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1024*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^2) - (c*(2*c*e*f - 16*c*d*g + 7*b*e*g)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(6*e^6*(d + e*x)^3) - ((2*c*d - b*e)*(2*c*e*f - 16*c*d*g + 7*b*e*g)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(32*e^5*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^4) + (5*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d*(e*f - 8*d*g) - e*(b*e*f - 15*b*d*g + 14*a*e*g))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(384*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^4) - ((2*c*e*f - 16*c*d*g + 7*b*e*g)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(10*e^4*(d + e*x)^5) - ((2*c*d*(e*f - 8*d*g) - e*(b*e*f - 15*b*d*g + 14*a*e*g))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(24*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^6) - ((e*f - 8*d*g - 7*e*g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(7*e^2*(d + e*x)^7) + (c^(5//2)*(2*c*e*f - 16*c*d*g + 7*b*e*g)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*e^9) - (3*(b^2 - 4*a*c)^2*(2*c*d - b*e)*(2*c*e*f - 16*c*d*g + 7*b*e*g)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(512*e^5*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)) + (c*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*(7*b*e*g + 2*c*(e*f - 8*d*g))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(32*e^7*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)) - (c^2*(2*c*d - b*e)*(7*b*e*g + 2*c*(e*f - 8*d*g))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(4*e^9*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (5*(b^2 - 4*a*c)^3*(2*c*d*(e*f - 8*d*g) - e*(b*e*f - 15*b*d*g + 14*a*e*g))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2048*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7//2)), x, 24),
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+
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+# {(f + g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2)/(d + e*x)^13, x, 10, -((1/(2097152*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^8*(d + e*x)^2))*(7*(b^2 - 4*a*c)^3*(640*c^4*d^4*f + 13*b^3*e^3*(5*b*e*f + 3*b*d*g - 8*a*e*g) - 64*c^3*d^2*(a*e*(6*e*f - 13*d*g) + 5*b*d*(4*e*f + d*g)) + 16*c^2*e*(a^2*e^2*(e*f - 13*d*g) + 6*a*b*d*e*(4*e*f - 11*d*g) + 3*b^2*d^2*(22*e*f + 9*d*g)) + 8*b*c*e^2*(12*a^2*e^2*g - a*b*e*(13*e*f - 67*d*g) - b^2*d*(52*e*f + 27*d*g)))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])) + (1/(786432*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^7*(d + e*x)^4))*(7*(b^2 - 4*a*c)^2*(640*c^4*d^4*f + 13*b^3*e^3*(5*b*e*f + 3*b*d*g - 8*a*e*g) - 64*c^3*d^2*(a*e*(6*e*f - 13*d*g) + 5*b*d*(4*e*f + d*g)) + 16*c^2*e*(a^2*e^2*(e*f - 13*d*g) + 6*a*b*d*e*(4*e*f - 11*d*g) + 3*b^2*d^2*(22*e*f + 9*d*g)) + 8*b*c*e^2*(12*a^2*e^2*g - a*b*e*(13*e*f - 67*d*g) - b^2*d*(52*e*f + 27*d*g)))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)) - (1/(245760*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^6*(d + e*x)^6))*(7*(b^2 - 4*a*c)*(640*c^4*d^4*f + 13*b^3*e^3*(5*b*e*f + 3*b*d*g - 8*a*e*g) - 64*c^3*d^2*(a*e*(6*e*f - 13*d*g) + 5*b*d*(4*e*f + d*g)) + 16*c^2*e*(a^2*e^2*(e*f - 13*d*g) + 6*a*b*d*e*(4*e*f - 11*d*g) + 3*b^2*d^2*(22*e*f + 9*d*g)) + 8*b*c*e^2*(12*a^2*e^2*g - a*b*e*(13*e*f - 67*d*g) - b^2*d*(52*e*f + 27*d*g)))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)) + (1/(10240*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^5*(d + e*x)^8))*((640*c^4*d^4*f + 13*b^3*e^3*(5*b*e*f + 3*b*d*g - 8*a*e*g) - 64*c^3*d^2*(a*e*(6*e*f - 13*d*g) + 5*b*d*(4*e*f + d*g)) + 16*c^2*e*(a^2*e^2*(e*f - 13*d*g) + 6*a*b*d*e*(4*e*f - 11*d*g) + 3*b^2*d^2*(22*e*f + 9*d*g)) + 8*b*c*e^2*(12*a^2*e^2*g - a*b*e*(13*e*f - 67*d*g) - b^2*d*(52*e*f + 27*d*g)))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2)) - ((e*f - d*g)*(a + b*x + c*x^2)^(9/2))/(12*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^12) - ((2*c*d*(5*e*f - d*g) - e*(5*b*e*f + 3*b*d*g - 8*a*e*g))*(a + b*x + c*x^2)^(9/2))/(88*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^11) - ((8*c^2*d^2*(27*e*f - d*g) + 13*b*e^2*(5*b*e*f + 3*b*d*g - 8*a*e*g) - 4*c*e*(a*e*(11*e*f - 63*d*g) + 6*b*d*(9*e*f + 4*d*g)))*(a + b*x + c*x^2)^(9/2))/(1760*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^10) - ((16*c^3*d^3*(247*e*f - d*g) - 143*b^2*e^3*(5*b*e*f + 3*b*d*g - 8*a*e*g) - 8*c^2*d*e*(a*e*(221*e*f - 633*d*g) + 3*b*d*(247*e*f + 81*d*g)) - 2*c*e^2*(320*a^2*e^2*g - 2*a*b*e*(221*e*f - 1045*d*g) - b^2*d*(1703*e*f + 837*d*g)))*(a + b*x + c*x^2)^(9/2))/(31680*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4*(d + e*x)^9) + (1/(4194304*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(17/2)))*(7*(b^2 - 4*a*c)^4*(640*c^4*d^4*f + 13*b^3*e^3*(5*b*e*f + 3*b*d*g - 8*a*e*g) - 64*c^3*d^2*(a*e*(6*e*f - 13*d*g) + 5*b*d*(4*e*f + d*g)) + 16*c^2*e*(a^2*e^2*(e*f - 13*d*g) + 6*a*b*d*e*(4*e*f - 11*d*g) + 3*b^2*d^2*(22*e*f + 9*d*g)) + 8*b*c*e^2*(12*a^2*e^2*g - a*b*e*(13*e*f - 67*d*g) - b^2*d*(52*e*f + 27*d*g)))*ArcTanh[(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*Sqrt[c*d^2 - b*d*e + a*e^2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])} *)
+
+
+((5 - x)*(3 + 2*x)^4*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (25969*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/15552 + (478//315)*(3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2) + (229//378)*(3 + 2*x)^3*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2) - (1//21)*(3 + 2*x)^4*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2) + ((874301 + 378774*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/68040 - (25969*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(31104*sqrt(3)), x, 7),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (6221*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/5184 + (11//15)*(3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2) - (1//18)*(3 + 2*x)^3*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2) + ((27487 + 11538*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/3240 - (6221*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(10368*sqrt(3)), x, 6),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^2*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (2267*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/2592 - (1//15)*(3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2) + ((7969 + 3006*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/1620 - (2267*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(5184*sqrt(3)), x, 5),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^1*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (559//864)*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (1//108)*(109 - 18*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2) - (559*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(1728*sqrt(3)), x, 4),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^0*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (35*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/72 - (2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)/9 - (35*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(144*sqrt(3)), x, 4),
+
+(((5 - x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3 + 2*x)^1, ((73 - 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/24 - (311*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(48*sqrt(3)) + (13*sqrt(5)*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/8, x, 6),
+(((5 - x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3 + 2*x)^2, -((8 + x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(2*(3 + 2*x)) + (43*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(8*sqrt(3)) - (57*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(8*sqrt(5)), x, 6),
+(((5 - x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3 + 2*x)^3, ((121 + 124*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(40*(3 + 2*x)^2) - (1//8)*sqrt(3)*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))) + (27*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(80*sqrt(5)), x, 6),
+
+(((5 - x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3 + 2*x)^4, (47*(7 + 8*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(200*(3 + 2*x)^2) - (13*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(15*(3 + 2*x)^3) - (47*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(400*sqrt(5)), x, 4),
+(((5 - x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3 + 2*x)^5, (153*(7 + 8*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(800*(3 + 2*x)^2) - (13*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(20*(3 + 2*x)^4) - (4*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(5*(3 + 2*x)^3) - (153*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(1600*sqrt(5)), x, 5),
+(((5 - x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3 + 2*x)^6, (3159*(7 + 8*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(20000*(3 + 2*x)^2) - (13*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(25*(3 + 2*x)^5) - (339*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(500*(3 + 2*x)^4) - (87*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(125*(3 + 2*x)^3) - (3159*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(40000*sqrt(5)), x, 6),
+(((5 - x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3 + 2*x)^7, (26453*(7 + 8*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(200000*(3 + 2*x)^2) - (13*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(30*(3 + 2*x)^6) - (73*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(125*(3 + 2*x)^5) - (3113*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(5000*(3 + 2*x)^4) - (2237*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(3750*(3 + 2*x)^3) - (26453*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(400000*sqrt(5)), x, 7),
+
+
+((5 - x)*(3 + 2*x)^4*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), -((454969*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/4478976) + (454969*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/559872 + (487//486)*(3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2) + (299//648)*(3 + 2*x)^3*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2) - (1//27)*(3 + 2*x)^4*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2) + ((420721 + 188910*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/58320 + (454969*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(8957952*sqrt(3)), x, 8),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^3*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), -((12277*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/165888) + (12277*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/20736 + (67//126)*(3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2) - (1//24)*(3 + 2*x)^3*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2) + ((75451 + 33210*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/15120 + (12277*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(331776*sqrt(3)), x, 7),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), -((1129*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/20736) + (1129*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/2592 - (1//21)*(3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2) + ((5827 + 2370*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/1890 + (1129*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(41472*sqrt(3)), x, 6),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^1*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), -((839*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/20736) + (839*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/2592 + (1//270)*(161 - 30*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2) + (839*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(41472*sqrt(3)), x, 5),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^0*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), (-35*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/1152 + (35*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/144 - (2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2)/15 + (35*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(2304*sqrt(3)), x, 5),
+
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^1, ((175 - 414*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/128 + ((47 - 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/48 - (2011*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(256*sqrt(3)) + (65*sqrt(5)*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/32, x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^2, -((361 - 726*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/96 - ((21 + x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(6*(3 + 2*x)) + (3743*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(192*sqrt(3)) - (161*sqrt(5)*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/32, x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^3, (3*(93 + 43*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(16*(3 + 2*x)) - ((8 + x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(4*(3 + 2*x)^2) - (343//64)*sqrt(3)*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))) + (1329*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(64*sqrt(5)), x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^4, -(((845 + 402*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(160*(3 + 2*x))) + ((383 + 342*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(120*(3 + 2*x)^3) + (51//32)*sqrt(3)*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))) - (1973*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(320*sqrt(5)), x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^5, ((2087 + 1528*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3200*(3 + 2*x)^2) + ((333 + 352*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(240*(3 + 2*x)^4) - (3//32)*sqrt(3)*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))) + (2359*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(6400*sqrt(5)), x, 7),
+
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^6, -((141*(7 + 8*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(16000*(3 + 2*x)^2)) + (47*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(400*(3 + 2*x)^4) - (13*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(25*(3 + 2*x)^5) + (141*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(32000*sqrt(5)), x, 5),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^7, -((1141*(7 + 8*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(160000*(3 + 2*x)^2)) + (1141*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(12000*(3 + 2*x)^4) - (13*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(30*(3 + 2*x)^6) - (167*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(375*(3 + 2*x)^5) + (1141*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(320000*sqrt(5)), x, 6),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^8, -((4663*(7 + 8*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(800000*(3 + 2*x)^2)) + (4663*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(60000*(3 + 2*x)^4) - (13*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(35*(3 + 2*x)^7) - (433*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(1050*(3 + 2*x)^6) - (4892*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(13125*(3 + 2*x)^5) + (4663*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(1600000*sqrt(5)), x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^9, -((153927*(7 + 8*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(32000000*(3 + 2*x)^2)) + (51309*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(800000*(3 + 2*x)^4) - (13*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(40*(3 + 2*x)^8) - (19*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(50*(3 + 2*x)^7) - (717*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(2000*(3 + 2*x)^6) - (3879*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(12500*(3 + 2*x)^5) + (153927*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(64000000*sqrt(5)), x, 8),
+
+
+((5 - x)*(3 + 2*x)^4*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), (249299*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/35831808 - (249299*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/4478976 + (249299*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/466560 + (3298*(3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/4455 + (41//110)*(3 + 2*x)^3*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2) - (1//33)*(3 + 2*x)^4*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2) + ((7405817 + 3365726*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/1496880 - (249299*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(71663616*sqrt(3)), x, 9),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^3*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), (182917*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/35831808 - (182917*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/4478976 + (182917*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/466560 + (169//405)*(3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2) - (1//30)*(3 + 2*x)^3*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2) + ((477101 + 213878*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/136080 - (182917*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(71663616*sqrt(3)), x, 8),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), (22535*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/5971968 - (22535*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/746496 + (4507*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/15552 - (1//27)*(3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2) + ((10211 + 4298*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/4536 - (22535*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(11943936*sqrt(3)), x, 7),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^1*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), (1865*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/663552 - (1865*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/82944 + (373*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/1728 + (1//168)*(71 - 14*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2) - (1865*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(1327104*sqrt(3)), x, 6),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^0*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), (175*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/82944 - (175*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/10368 + (35*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/216 - (2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)/21 - (175*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(165888*sqrt(3)), x, 6),
+
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^1, ((51455 - 106734*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/27648 + ((25 - 5586*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/3456 + ((209 - 30*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/360 - (543811*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(55296*sqrt(3)) + (325*sqrt(5)*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/128, x, 8),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^2, -((3865 - 8082*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/512 - ((65 - 1194*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/192 - ((34 + x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(10*(3 + 2*x)) + (41053*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(1024*sqrt(3)) - (1325*sqrt(5)*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/128, x, 8),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^3, (5*(3763 - 7854*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/1536 + (5*(573 + 164*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(192*(3 + 2*x)) - ((29 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(16*(3 + 2*x)^2) - (199615*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(3072*sqrt(3)) + (4295//256)*sqrt(5)*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))), x, 8),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^4, -((5*(736 + 343*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(64*(3 + 2*x))) + (5*(93 + 43*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(48*(3 + 2*x)^2) - ((8 + x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(6*(3 + 2*x)^3) + (13505*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(256*sqrt(3)) - (3487//256)*sqrt(5)*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))), x, 8),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^5, ((12265 + 5718*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(512*(3 + 2*x)) - ((3727 + 2898*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(384*(3 + 2*x)^3) - ((19 + 4*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(16*(3 + 2*x)^4) - (1875//256)*sqrt(3)*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))) + (29047*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(1024*sqrt(5)), x, 8),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^6, -(((57845 + 26934*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(12800*(3 + 2*x))) + ((17051 + 13074*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(9600*(3 + 2*x)^3) + ((119 + 114*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(80*(3 + 2*x)^5) + (177//128)*sqrt(3)*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))) - (137111*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(25600*sqrt(5)), x, 8),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^7, ((14083 + 10952*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(25600*(3 + 2*x)^2) + ((437 + 328*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(1920*(3 + 2*x)^4) + ((109 + 116*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(120*(3 + 2*x)^6) - (9//128)*sqrt(3)*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))) + (13931*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(51200*sqrt(5)), x, 8),
+
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^8, (47*(7 + 8*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(128000*(3 + 2*x)^2) - (47*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(9600*(3 + 2*x)^4) + (47*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(600*(3 + 2*x)^6) - (13*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/(35*(3 + 2*x)^7) - (47*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(256000*sqrt(5)), x, 6),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^9, (1517*(7 + 8*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(5120000*(3 + 2*x)^2) - (1517*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(384000*(3 + 2*x)^4) + (1517*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(24000*(3 + 2*x)^6) - (13*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/(40*(3 + 2*x)^8) - (107*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/(350*(3 + 2*x)^7) - (1517*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(10240000*sqrt(5)), x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^10, (6167*(7 + 8*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(25600000*(3 + 2*x)^2) - (6167*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(1920000*(3 + 2*x)^4) + (6167*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(120000*(3 + 2*x)^6) - (13*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/(45*(3 + 2*x)^9) - (527*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/(1800*(3 + 2*x)^8) - (1321*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/(5250*(3 + 2*x)^7) - (6167*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(51200000*sqrt(5)), x, 8),
+
+
+((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)*(3 + 2*x)^4, -((2595845*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/5159780352) + (2595845*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/644972544 - (519169*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/13436928 + (74167*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/186624 + (205//351)*(3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2) + (439*(3 + 2*x)^3*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2))/1404 - (1//39)*(3 + 2*x)^4*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2) + ((852175 + 389394*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2))/227448 + (2595845*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(10319560704*sqrt(3)), x, 10),
+((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)*(3 + 2*x)^3, -((637609*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/1719926784) + (637609*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/214990848 - (637609*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/22394880 + (91087*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/311040 + (34//99)*(3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2) - (1//36)*(3 + 2*x)^3*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2) + ((863825 + 390798*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2))/320760 + (637609*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(3439853568*sqrt(3)), x, 9),
+((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)*(3 + 2*x)^2, -((39389*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/143327232) + (39389*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/17915904 - (39389*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/1866240 + (5627*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/25920 - (1//33)*(3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2) + ((47425 + 20358*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2))/26730 + (39389*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(286654464*sqrt(3)), x, 8),
+((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)*(3 + 2*x)^1, -((9793*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/47775744) + (9793*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/5971968 - (9793*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/622080 + (1399*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/8640 + (1//810)*(265 - 54*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2) + (9793*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(95551488*sqrt(3)), x, 7),
+((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)*(3 + 2*x)^0, -((1225*(5 + 6*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/7962624) + (1225*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/995328 - (245*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/20736 + (35//288)*(5 + 6*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2) - (1//27)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2) + (1225*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(15925248*sqrt(3)), x, 7),
+
+((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)/(3 + 2*x)^1, (5*(1229315 - 2568342*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/2654208 + (5*(6205 - 127338*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/331776 - ((589 + 7446*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/6912 + (1//672)*(277 - 42*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2) - (65251715*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(5308416*sqrt(3)) + (1625//512)*sqrt(5)*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))), x, 9),
+((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)/(3 + 2*x)^2, -(((1454315 - 3037062*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/110592) - ((6925 - 151098*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/13824 + ((283 + 8310*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/1440 - ((47 + x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/(14*(3 + 2*x)) + (15434623*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(221184*sqrt(3)) - (9225//512)*sqrt(5)*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))), x, 9),
+((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)/(3 + 2*x)^3, (7*(167495 - 349806*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/36864 + (7*(805 - 17394*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/4608 + (7*(584 + 121*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(240*(3 + 2*x)) - ((21 + x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/(12*(3 + 2*x)^2) - (12443893*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(73728*sqrt(3)) + (44625*sqrt(5)*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/1024, x, 9),
+((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)/(3 + 2*x)^4, -((7*(37375 - 78054*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/6144) - (7*(5713 + 1652*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(768*(3 + 2*x)) + (7*(1171 + 414*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(960*(3 + 2*x)^2) - ((37 + 3*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/(30*(3 + 2*x)^3) + (2776697*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(12288*sqrt(3)) - (59745*sqrt(5)*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/1024, x, 9),
+((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)/(3 + 2*x)^5, (35*(5795 + 2701*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(1024*(3 + 2*x)) - (35*(736 + 343*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(768*(3 + 2*x)^2) + (7*(93 + 43*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(96*(3 + 2*x)^3) - ((8 + x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/(8*(3 + 2*x)^4) - (744275*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(4096*sqrt(3)) + (192171*sqrt(5)*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/4096, x, 9),
+((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)/(3 + 2*x)^6, -((21*(47145 + 21974*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(10240*(3 + 2*x))) + (7*(42733 + 33142*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(7680*(3 + 2*x)^3) + (7*(1003 + 548*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(960*(3 + 2*x)^4) - ((27 + 5*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/(30*(3 + 2*x)^5) + (30275*sqrt(3)*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/1024 - (2345091*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(20480*sqrt(5)), x, 9),
+((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)/(3 + 2*x)^7, (63*(44365 + 20678*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(102400*(3 + 2*x)) - (7*(40201 + 31174*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(25600*(3 + 2*x)^3) - (7*(1301 + 1046*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(1920*(3 + 2*x)^5) - ((11 + 3*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/(12*(3 + 2*x)^6) - (8547*sqrt(3)*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/1024 + (6620481*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(204800*sqrt(5)), x, 9),
+((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)/(3 + 2*x)^8, -((3*(131465 + 61278*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(102400*(3 + 2*x))) + ((39767 + 30858*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(25600*(3 + 2*x)^3) + (3*(135 + 106*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(640*(3 + 2*x)^5) + ((269 + 266*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/(280*(3 + 2*x)^7) + (603//512)*sqrt(3)*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))) - (934161*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(204800*sqrt(5)), x, 9),
+((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)/(3 + 2*x)^9, (3*(559841 + 434104*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(4096000*(3 + 2*x)^2) + ((20959 + 17096*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(102400*(3 + 2*x)^4) + ((881 + 664*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(6400*(3 + 2*x)^6) + ((757 + 808*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/(1120*(3 + 2*x)^8) - (27//512)*sqrt(3)*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))) + (1673211*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(8192000*sqrt(5)), x, 9),
+
+((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)/(3 + 2*x)^10, -((329*(7 + 8*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(20480000*(3 + 2*x)^2)) + (329*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(1536000*(3 + 2*x)^4) - (329*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(96000*(3 + 2*x)^6) + (47*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/(800*(3 + 2*x)^8) - (13*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2))/(45*(3 + 2*x)^9) + (329*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(40960000*sqrt(5)), x, 7),
+((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)/(3 + 2*x)^11, -((13251*(7 + 8*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(1024000000*(3 + 2*x)^2)) + (4417*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(25600000*(3 + 2*x)^4) - (4417*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(1600000*(3 + 2*x)^6) + (1893*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/(40000*(3 + 2*x)^8) - (13*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2))/(50*(3 + 2*x)^10) - (29*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2))/(125*(3 + 2*x)^9) + (13251*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(2048000000*sqrt(5)), x, 8),
+((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)/(3 + 2*x)^12, -((53697*(7 + 8*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(5120000000*(3 + 2*x)^2)) + (17899*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(128000000*(3 + 2*x)^4) - (17899*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(8000000*(3 + 2*x)^6) + (7671*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/(200000*(3 + 2*x)^8) - (13*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2))/(55*(3 + 2*x)^11) - (621*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2))/(2750*(3 + 2*x)^10) - (3904*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2))/(20625*(3 + 2*x)^9) + (53697*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(10240000000*sqrt(5)), x, 9),
+((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2)/(3 + 2*x)^13, -((175119*(7 + 8*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(20480000000*(3 + 2*x)^2)) + (58373*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(512000000*(3 + 2*x)^4) - (58373*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(32000000*(3 + 2*x)^6) + (25017*(7 + 8*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/(800000*(3 + 2*x)^8) - (13*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2))/(60*(3 + 2*x)^12) - (12*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2))/(55*(3 + 2*x)^11) - (2067*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2))/(11000*(3 + 2*x)^10) - (6379*(2 + 5*x + 3*x^2)^(9//2))/(41250*(3 + 2*x)^9) + (175119*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(40960000000*sqrt(5)), x, 10),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^3/sqrt(a + b*x + c*x^2), ((6*B*c*d - 7*b*B*e + 8*A*c*e)*(d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*c^2) + (B*(d + e*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c) + ((8*A*c*e*(64*c^2*d^2 + 15*b^2*e^2 - 2*c*e*(27*b*d + 8*a*e)) + B*(96*c^3*d^3 - 105*b^3*e^3 + 20*b*c*e^2*(18*b*d + 11*a*e) - 8*c^2*d*e*(47*b*d + 48*a*e)) + 2*c*e*(40*A*c*e*(2*c*d - b*e) + B*(24*c^2*d^2 + 35*b^2*e^2 - 4*c*e*(16*b*d + 9*a*e)))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(192*c^4) + ((35*b^4*B*e^3 - 40*b^3*c*e^2*(3*B*d + A*e) + 24*b^2*c*e*(6*B*c*d^2 + 6*A*c*d*e - 5*a*B*e^2) - 32*b*c^2*(2*B*c*d^3 + 6*A*c*d^2*e - 9*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3) + 16*c^2*(4*A*c*d*(2*c*d^2 - 3*a*e^2) - 3*a*B*e*(4*c*d^2 - a*e^2)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(9//2)), x, 5),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2/sqrt(a + b*x + c*x^2), (B*(d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c) + ((6*A*c*e*(8*c*d - 3*b*e) + B*(16*c^2*d^2 + 15*b^2*e^2 - 4*c*e*(9*b*d + 4*a*e)) + 2*c*e*(4*B*c*d - 5*b*B*e + 6*A*c*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*c^3) - ((5*b^3*B*e^2 - 6*b^2*c*e*(2*B*d + A*e) - 8*c^2*(2*A*c*d^2 - 2*a*B*d*e - a*A*e^2) + 4*b*c*(2*B*c*d^2 + 4*A*c*d*e - 3*a*B*e^2))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(7//2)), x, 4),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1/sqrt(a + b*x + c*x^2), -(((3*b*B*e - 4*c*(B*d + A*e) - 2*B*c*e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c^2)) + ((3*b^2*B*e - 4*b*c*(B*d + A*e) + 4*c*(2*A*c*d - a*B*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(5//2)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0/sqrt(a + b*x + c*x^2), (B*sqrt(a + b*x + c*x^2))/c - ((b*B - 2*A*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(3//2)), x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)^1*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (B*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(c)*e) - ((B*d - A*e)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(e*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), ((B*d - A*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)) - ((b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)), x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), ((B*d - A*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2) - ((3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(2*c*d^2 + e*(b*d - 4*a*e)))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)) + ((b^2*e*(B*d + 3*A*e) + 4*c*(2*A*c*d^2 + 3*a*B*d*e - a*A*e^2) - 4*b*(B*c*d^2 + 2*A*c*d*e + a*B*e^2))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)), x, 4),
+((A + B*x)/((d + e*x)^4*sqrt(a + b*x + c*x^2)), ((B*d - A*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^3) - ((5*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(4*c*d^2 + e*(b*d - 6*a*e)))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(12*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^2) + ((B*(8*c^2*d^3 + 2*c*d*e*(5*b*d - 26*a*e) - 3*b*e^2*(b*d - 6*a*e)) - A*e*(44*c^2*d^2 + 15*b^2*e^2 - 4*c*e*(11*b*d + 4*a*e)))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)) - ((b^3*e^2*(B*d + 5*A*e) - 2*b^2*e*(2*B*c*d^2 + 9*A*c*d*e + 3*a*B*e^2) + 4*b*c*(2*B*c*d^3 + 6*A*c*d^2*e + 5*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3) - 8*c*(A*c*d*(2*c*d^2 - 3*a*e^2) + a*B*e*(4*c*d^2 - a*e^2)))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7//2)), x, 5),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^3/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (2*(d + e*x)^2*(2*a*c*(B*d + A*e) - b*(A*c*d + a*B*e) - (b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e) + 2*c*(A*c*d - a*B*e))*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (e*(15*b^3*B*e^2 - 12*b^2*c*e*(3*B*d + A*e) - 32*c^2*(A*c*d^2 - 3*a*B*d*e - a*A*e^2) + 4*b*c*(4*B*c*d^2 + 6*A*c*d*e - 13*a*B*e^2) - 2*c*e*(8*A*c^2*d + 5*b^2*B*e - 4*c*(b*B*d + A*b*e + 3*a*B*e))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c^3*(b^2 - 4*a*c)) + (3*e*(4*A*c*e*(2*c*d - b*e) + B*(8*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(3*b*d + a*e)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(7//2)), x, 4),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (2*(d + e*x)*(2*a*c*(B*d + A*e) - b*(A*c*d + a*B*e) - (b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e) + 2*c*(A*c*d - a*B*e))*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (e*(4*A*c^2*d + 3*b^2*B*e - 2*c*(b*B*d + A*b*e + 4*a*B*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(c^2*(b^2 - 4*a*c)) + (e*(4*B*c*d - 3*b*B*e + 2*A*c*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(5//2)), x, 4),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (2*(2*a*c*(B*d + A*e) - b*(A*c*d + a*B*e) - (b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e) + 2*c*(A*c*d - a*B*e))*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (B*e*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/c^(3//2), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))), x, 1),
+((A + B*x)/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), (2*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) + c*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (e*(B*d - A*e)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2), x, 4),
+((A + B*x)/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), (2*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) + c*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (e*(b^2*e*(B*d - 3*A*e) - 4*c*(A*c*d^2 + 3*a*B*d*e - 2*a*A*e^2) + 2*b*(B*c*d^2 + 2*A*c*d*e + a*B*e^2))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)) + (e*(3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(4*c*d^2 - e*(b*d + 2*a*e)))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)), x, 4),
+((A + B*x)/((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), (2*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) + c*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (e*(b^2*e*(B*d - 5*A*e) - 4*c*(2*A*c*d^2 + 5*a*B*d*e - 3*a*A*e^2) + 4*b*(B*c*d^2 + 2*A*c*d*e + a*B*e^2))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^2) - (e*(3*b^3*e^2*(B*d - 5*A*e) - 2*b^2*e*(5*B*c*d^2 - 19*A*c*d*e - 6*a*B*e^2) - 4*b*c*(2*B*c*d^3 + 6*A*c*d^2*e + 9*a*B*d*e^2 - 13*a*A*e^3) + 8*c*(A*c*d*(2*c*d^2 - 13*a*e^2) + a*B*e*(11*c*d^2 - 4*a*e^2)))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)) + (3*e*(A*e*(16*c^2*d^2 + 5*b^2*e^2 - 4*c*e*(4*b*d + a*e)) - B*(8*c^2*d^3 - 4*c*d*e*(b*d + 3*a*e) + b*e^2*(b*d + 4*a*e)))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7//2)), x, 5),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^4/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (2*(d + e*x)^3*(2*a*c*(B*d + A*e) - b*(A*c*d + a*B*e) - (b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e) + 2*c*(A*c*d - a*B*e))*x))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) + (1/(3*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(2*(d + e*x)*(b^3*B*e*(c*d^2 - 5*a*e^2) - 8*a*c^2*e*(A*c*d^2 + 8*a*B*d*e + 3*a*A*e^2) - 2*b^2*c*(2*B*c*d^3 + 5*A*c*d^2*e - 2*a*B*d*e^2 - a*A*e^3) + 4*b*c*(2*A*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2) + a*B*e*(5*c*d^2 + 7*a*e^2)) - (5*b^4*B*e^3 - 2*b^3*c*e^2*(3*B*d + A*e) - 4*b^2*c*e*(B*c*d^2 + A*c*d*e + 8*a*B*e^2) + 8*b*c^2*(B*c*d^3 + 3*A*c*d^2*e + 6*a*B*d*e^2 + 2*a*A*e^3) - 16*c^2*(2*a*B*e*(c*d^2 - a*e^2) + A*c*d*(c*d^2 + 2*a*e^2)))*x)) + (e*(15*b^4*B*e^3 - 2*b^3*c*e^2*(7*B*d + 3*A*e) - 4*b^2*c*e*(2*B*c*d^2 + A*c*d*e + 25*a*B*e^2) + 8*b*c^2*(2*B*c*d^3 + 6*A*c*d^2*e + 13*a*B*d*e^2 + 5*a*A*e^3) - 16*c^2*(4*a*B*e*(c*d^2 - 2*a*e^2) + A*c*d*(2*c*d^2 + 5*a*e^2)))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c^3*(b^2 - 4*a*c)^2) + (e^3*(8*B*c*d - 5*b*B*e + 2*A*c*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(7//2)), x, 5),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (2*(d + e*x)^2*(2*a*c*(B*d + A*e) - b*(A*c*d + a*B*e) - (b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e) + 2*c*(A*c*d - a*B*e))*x))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (1/(3*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(2*(4*b^2*c^2*d^2*(B*d + 2*A*e) + 16*a*c^2*e*(A*c*d^2 + 3*a*B*d*e + a*A*e^2) - b^3*B*(c*d^2*e - 3*a*e^3) - 4*b*c*(5*a*B*e*(c*d^2 + a*e^2) + 2*A*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2)) - (2*b^3*B*c*d*e^2 - 3*b^4*B*e^3 + 2*b^2*c*e*(3*B*c*d^2 + 4*A*c*d*e + 11*a*B*e^2) - 8*b*c^2*(B*c*d^3 + 3*A*c*d^2*e + 4*a*B*d*e^2 + a*A*e^3) + 8*c^2*(3*a*B*e*(c*d^2 - a*e^2) + 2*A*c*d*(c*d^2 + a*e^2)))*x)) + (B*e^3*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/c^(5//2), x, 4),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x)*(d + e*x)^2)/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (8*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (2*(2*a*c*(B*d + A*e) - b*(A*c*d + a*B*e) - (b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e) + 2*c*(A*c*d - a*B*e))*x))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) + (2*(b^2*B*e - 4*b*c*(B*d + A*e) + 4*c*(2*A*c*d + a*B*e))*(b + 2*c*x))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (8*(b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+((A + B*x)/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), (2*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) + c*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) + (1/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(2*(4*a*c*e*(2*c*d - b*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(3*b^2*e*(B*d - A*e) - 4*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(2*A*c*d^2 - a*B*d*e + 3*a*A*e^2)) + c*(4*c*e*(b*d - 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (2*c*d - b*e)*(3*b^2*e*(B*d - A*e) - 4*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(2*A*c*d^2 - a*B*d*e + 3*a*A*e^2)))*x)) - (e^3*(B*d - A*e)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)), (2*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) + c*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) + (1/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(2*(6*a*c*e*(2*c*d - b*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(b^2*e*(3*B*d - 5*A*e) + 8*c*(A*c*d^2 - a*B*d*e + 2*a*A*e^2) - 2*b*(2*B*c*d^2 + A*c*d*e - a*B*e^2)) + c*(6*c*e*(b*d - 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (2*c*d - b*e)*(b^2*e*(3*B*d - 5*A*e) + 8*c*(A*c*d^2 - a*B*d*e + 2*a*A*e^2) - 2*b*(2*B*c*d^2 + A*c*d*e - a*B*e^2)))*x)) + (e*(3*b^4*e^3*(3*B*d - 5*A*e) - 2*b^3*e^2*(9*B*c*d^2 - 10*A*c*d*e - 3*a*B*e^2) + 4*b^2*c*e*(10*B*c*d^3 + 3*A*c*d^2*e - 14*a*B*d*e^2 + 25*a*A*e^3) - 16*c^2*(a*B*d*e*(2*c*d^2 - 13*a*e^2) - A*(2*c^2*d^4 + 9*a*c*d^2*e^2 - 8*a^2*e^4)) - 8*b*c*(2*A*c*d*e*(4*c*d^2 + 9*a*e^2) + B*(2*c^2*d^4 + 3*a*c*d^2*e^2 + 5*a^2*e^4)))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)) + (e^3*(5*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(8*c*d^2 - e*(3*b*d + 2*a*e)))*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7//2)), x, 5),
+
+
+# {(A + B*x)*(d + e*x)^7/(a + b*x + c*x^2)^(7/2), x, 6, (2*(d + e*x)^6*(2*a*c*(B*d + A*e) - b*(A*c*d + a*B*e) - (b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e) + 2*c*(A*c*d - a*B*e))*x))/(5*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)) + (1/(15*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)))*(2*(d + e*x)^4*(3*b^3*B*e*(c*d^2 - 3*a*e^2) - 16*a*c^2*e*(A*c*d^2 + 7*a*B*d*e + 3*a*A*e^2) - 4*b^2*c*(2*B*c*d^3 + 5*A*c*d^2*e - a*B*d*e^2 - a*A*e^3) + 4*b*c*(4*A*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2) + a*B*e*(9*c*d^2 + 13*a*e^2)) - (9*b^4*B*e^3 - 2*b^3*c*e^2*(5*B*d + 2*A*e) - 2*b^2*c*e*(5*B*c*d^2 + 4*A*c*d*e + 29*a*B*e^2) + 8*b*c^2*(2*B*c*d^3 + 6*A*c*d^2*e + 11*a*B*d*e^2 + 4*a*A*e^3) - 8*c^2*(7*a*B*e*(c*d^2 - a*e^2) + 4*A*c*d*(c*d^2 + 2*a*e^2)))*x)) + (1/(15*c^3*(b^2 - 4*a*c)^3*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*(2*(d + e*x)^2*(9*b^5*B*e^3*(c*d^2 - 7*a*e^2) - 64*a^2*c^3*e^3*(2*A*c*d^2 - 49*a*B*d*e - 12*a*A*e^2) - 4*b^4*c*e^2*(B*c*d^3 + A*c*d^2*e - 22*a*B*d*e^2 - 7*a*A*e^3) - 8*b^3*c*e*(A*c*d*e*(27*c*d^2 + a*e^2) + B*(13*c^2*d^4 + 8*a*c*d^2*e^2 - 71*a^2*e^4)) - 16*b*c^2*(2*A*c*d*(4*c^2*d^4 + 13*a*c*d^2*e^2 + 19*a^2*e^4) + a*B*e*(14*c^2*d^4 + 73*a*c*d^2*e^2 + 87*a^2*e^4)) + 16*b^2*c^2*(A*e*(20*c^2*d^4 + 43*a*c*d^2*e^2 - 15*a^2*e^4) + B*(4*c^2*d^5 + 41*a*c*d^3*e^2 - 51*a^2*d*e^4)) - (63*b^6*B*e^5 - 2*b^5*c*e^4*(53*B*d + 14*A*e) - 2*b^4*c*e^3*(5*B*c*d^2 - 8*A*c*d*e + 311*a*B*e^2) + 8*b^3*c^2*e^2*(B*c*d^3 - A*c*d^2*e + 133*a*B*d*e^2 + 33*a*A*e^3) + 32*c^3*(7*a*B*e*(2*c^2*d^4 + 11*a*c*d^2*e^2 - 5*a^2*e^4) + 2*A*c*d*(4*c^2*d^4 + 13*a*c*d^2*e^2 + 23*a^2*e^4)) + 16*b^2*c^2*e*(A*c*d*e*(27*c*d^2 - 7*a*e^2) + B*(13*c^2*d^4 + 4*a*c*d^2*e^2 + 114*a^2*e^4)) - 32*b*c^3*(A*e*(20*c^2*d^4 + 39*a*c*d^2*e^2 + 23*a^2*e^4) + B*(4*c^2*d^5 + 41*a*c*d^3*e^2 + 100*a^2*d*e^4)))*x)) - (1/(60*c^5*(b^2 - 4*a*c)^3))*(e*(945*b^7*B*e^6 - 420*b^6*c*e^5*(7*B*d + A*e) + 84*b^5*c*e^4*(24*B*c*d^2 + 10*A*c*d*e - 125*a*B*e^2) + 32*b^4*c^2*e^3*(22*B*c*d^3 + 7*A*c*d^2*e + 980*a*B*d*e^2 + 140*a*A*e^3) - 16*b^3*c^2*e^2*(4*A*c*d*e*(c*d^2 + 140*a*e^2) - B*(12*c^2*d^4 - 1396*a*c*d^2*e^2 + 2359*a^2*e^4)) - 192*b^2*c^3*e*(A*e*(44*c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 + 77*a^2*e^4) + B*(20*c^2*d^5 + 34*a*c*d^3*e^2 + 539*a^2*d*e^4)) + 64*b*c^3*(22*A*c*d*e*(8*c^2*d^4 + 22*a*c*d^2*e^2 + 21*a^2*e^4) + B*(32*c^3*d^6 + 388*a*c^2*d^4*e^2 + 1212*a^2*c*d^2*e^4 - 663*a^3*e^6)) - 512*c^4*(7*a*B*d*e*(2*c^2*d^4 + 13*a*c*d^2*e^2 - 24*a^2*e^4) + A*(8*c^3*d^6 + 34*a*c^2*d^4*e^2 + 72*a^2*c*d^2*e^4 - 24*a^3*e^6)) - 2*c*e*(315*b^6*B*e^5 - 28*b^5*c*e^4*(17*B*d + 5*A*e) - 4*b^4*c*e^3*(20*B*c*d^2 - 14*A*c*d*e + 791*a*B*e^2) + 32*b^3*c^2*e^2*(3*B*c*d^3 + 5*A*c*d^2*e + 152*a*B*d*e^2 + 42*a*A*e^3) + 64*c^3*(7*a*B*e*(4*c^2*d^4 + 24*a*c*d^2*e^2 - 15*a^2*e^4) + 2*A*c*d*(8*c^2*d^4 + 30*a*c*d^2*e^2 + 57*a^2*e^4)) + 16*b^2*c^2*e*(4*A*c*d*e*(25*c*d^2 - 12*a*e^2) + B*(52*c^2*d^4 + 12*a*c*d^2*e^2 + 597*a^2*e^4)) - 64*b*c^3*(A*e*(40*c^2*d^4 + 90*a*c*d^2*e^2 + 57*a^2*e^4) + B*(8*c^2*d^5 + 86*a*c*d^3*e^2 + 225*a^2*d*e^4)))*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (7*e^5*(4*A*c*e*(2*c*d - b*e) + B*(24*c^2*d^2 + 9*b^2*e^2 - 4*c*e*(7*b*d + a*e)))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(8*c^(11/2))}
+((A + B*x)*(d + e*x)^6/(a + b*x + c*x^2)^(7//2), (2*(d + e*x)^5*(2*a*c*(B*d + A*e) - b*(A*c*d + a*B*e) - (b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e) + 2*c*(A*c*d - a*B*e))*x))/(5*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)) + (1/(15*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)))*(2*(d + e*x)^3*(b^3*B*e*(3*c*d^2 - 7*a*e^2) - 8*a*c^2*e*(3*A*c*d^2 + 12*a*B*d*e + 5*a*A*e^2) - 2*b^2*c*(4*B*c*d^3 + 9*A*c*d^2*e - a*A*e^3) + 4*b*c*(4*A*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2) + a*B*e*(9*c*d^2 + 11*a*e^2)) - (7*b^4*B*e^3 - 2*b^3*c*e^2*(3*B*d + A*e) - 12*b^2*c*e*(B*c*d^2 + A*c*d*e + 4*a*B*e^2) + 8*b*c^2*(2*B*c*d^3 + 6*A*c*d^2*e + 9*a*B*d*e^2 + 3*a*A*e^3) - 16*c^2*(3*a*B*e*(c*d^2 - a*e^2) + A*c*d*(2*c*d^2 + 3*a*e^2)))*x)) + (1/(15*c^3*(b^2 - 4*a*c)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(2*(d + e*x)*(7*b^5*B*e^3*(c*d^2 - 5*a*e^2) - 2*b^4*c*e^3*(A*c*d^2 - 16*a*B*d*e - 5*a*A*e^2) - 8*b^3*c*e*(A*c*d*e*(21*c*d^2 - a*e^2) + 6*B*(2*c^2*d^4 + a*c*d^2*e^2 - 7*a^2*e^4)) + 32*a*c^3*e*(6*a*B*d*e*(c*d^2 + 11*a*e^2) + A*(4*c^2*d^4 + 9*a*c*d^2*e^2 + 15*a^2*e^4)) - 16*b*c^2*(2*A*c*d*(4*c^2*d^4 + 19*a*c*d^2*e^2 + 21*a^2*e^4) + a*B*e*(16*c^2*d^4 + 75*a*c*d^2*e^2 + 57*a^2*e^4)) + 16*b^2*c^2*(6*A*e*(3*c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 - a^2*e^4) + B*(4*c^2*d^5 + 37*a*c*d^3*e^2 - 21*a^2*d*e^4)) - (35*b^6*B*e^5 - 2*b^5*c*e^4*(23*B*d + 5*A*e) - 4*b^4*c*e^3*(5*B*c*d^2 + A*c*d*e + 91*a*B*e^2) - 8*b^3*c^2*e^2*(5*B*c*d^3 + 7*A*c*d^2*e - 63*a*B*d*e^2 - 13*a*A*e^3) + 64*c^3*(6*a*B*e*(c^2*d^4 + 4*a*c*d^2*e^2 - 2*a^2*e^4) + A*c*d*(4*c^2*d^4 + 11*a*c*d^2*e^2 + 12*a^2*e^4)) + 16*b^2*c^2*e*(A*c*d*e*(29*c*d^2 + 9*a*e^2) + B*(14*c^2*d^4 + 21*a*c*d^2*e^2 + 72*a^2*e^4)) - 32*b*c^3*(A*e*(20*c^2*d^4 + 33*a*c*d^2*e^2 + 12*a^2*e^4) + B*(4*c^2*d^5 + 35*a*c*d^3*e^2 + 60*a^2*d*e^4)))*x)) + (1/(15*c^4*(b^2 - 4*a*c)^3))*(e*(105*b^6*B*e^5 - 10*b^5*c*e^4*(11*B*d + 3*A*e) - 16*b^3*c^2*e^2*(3*B*c*d^3 + A*c*d^2*e - 78*a*B*d*e^2 - 20*a*A*e^3) - 4*b^4*c*e^3*(5*A*c*d*e + 8*B*(2*c*d^2 + 35*a*e^2)) + 16*b^2*c^2*e*(6*A*c*d*e*(9*c*d^2 + 2*a*e^2) + 7*B*(4*c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 + 33*a^2*e^4)) + 64*c^3*(6*a*B*e*(2*c^2*d^4 + 9*a*c*d^2*e^2 - 8*a^2*e^4) + A*c*d*(8*c^2*d^4 + 26*a*c*d^2*e^2 + 33*a^2*e^4)) - 32*b*c^3*(A*e*(40*c^2*d^4 + 78*a*c*d^2*e^2 + 33*a^2*e^4) + B*(8*c^2*d^5 + 74*a*c*d^3*e^2 + 141*a^2*d*e^4)))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (e^5*(12*B*c*d - 7*b*B*e + 2*A*c*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(9//2)), x, 6),
+((A + B*x)*(d + e*x)^5/(a + b*x + c*x^2)^(7//2), (2*(d + e*x)^4*(2*a*c*(B*d + A*e) - b*(A*c*d + a*B*e) - (b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e) + 2*c*(A*c*d - a*B*e))*x))/(5*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)) + (1/(15*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)))*(2*(d + e*x)^2*(b^3*B*e*(3*c*d^2 - 5*a*e^2) - 4*b^2*c*d*(2*B*c*d^2 + 4*A*c*d*e + a*B*e^2) - 16*a*c^2*e*(5*a*B*d*e + 2*A*(c*d^2 + a*e^2)) + 4*b*c*(9*a*B*e*(c*d^2 + a*e^2) + 4*A*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2)) + (2*b^3*B*c*d*e^2 - 5*b^4*B*e^3 + 2*b^2*c*e*(7*B*c*d^2 + 8*A*c*d*e + 19*a*B*e^2) - 8*b*c^2*(2*B*c*d^3 + 6*A*c*d^2*e + 7*a*B*d*e^2 + 2*a*A*e^3) + 8*c^2*(5*a*B*e*(c*d^2 - a*e^2) + 4*A*c*d*(c*d^2 + a*e^2)))*x)) + (1/(15*c^3*(b^2 - 4*a*c)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(2*(4*b^4*B*c^2*d^3*e^2 + 5*b^5*B*e^3*(c*d^2 - 3*a*e^2) + 32*b^2*c^3*d^2*(2*B*c*d^3 + 8*A*c*d^2*e + 17*a*B*d*e^2 + 16*a*A*e^3) + 64*a*c^3*e*(4*A*(c*d^2 + a*e^2)^2 + 5*a*B*d*e*(c*d^2 + 4*a*e^2)) - 8*b^3*c*e*(16*A*c^2*d^3*e + B*(11*c^2*d^4 + 7*a*c*d^2*e^2 - 20*a^2*e^4)) - 16*b*c^2*(8*A*c*d*(c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 + 5*a^2*e^4) + a*B*e*(18*c^2*d^4 + 71*a*c*d^2*e^2 + 33*a^2*e^4)) + (10*b^5*B*c*d*e^4 - 15*b^6*B*e^5 + 2*b^4*B*c*e^3*(3*c*d^2 + 85*a*e^2) + 16*b^3*c^2*d*e^2*(6*B*c*d^2 + 8*A*c*d*e - 7*a*B*e^2) - 32*c^3*(8*A*c*d*(c*d^2 + a*e^2)^2 + 5*a*B*e*(2*c^2*d^4 + 5*a*c*d^2*e^2 - 3*a^2*e^4)) - 16*b^2*c^2*e*(16*A*c*d*e*(2*c*d^2 + a*e^2) + B*(15*c^2*d^4 + 29*a*c*d^2*e^2 + 39*a^2*e^4)) + 32*b*c^3*(4*A*e*(5*c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4) + B*(4*c^2*d^5 + 28*a*c*d^3*e^2 + 29*a^2*d*e^4)))*x)) + (B*e^5*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/c^(7//2), x, 5),
+((A + B*x)*(d + e*x)^4/(a + b*x + c*x^2)^(7//2), -((2*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x)*(d + e*x)^4)/(5*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))) - (16*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(d + e*x)^2*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(15*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) + (128*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(15*(b^2 - 4*a*c)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^3/(a + b*x + c*x^2)^(7//2), -((2*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x)*(d + e*x)^3)/(5*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))) - (4*(d + e*x)^2*(4*a*A*c*e + b^2*(4*B*d + 3*A*e) - 8*b*(A*c*d + a*B*e) - (b^2*B*e - 8*b*c*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d + 3*a*B*e))*x))/(15*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (16*(b^2*e*(5*B*d + 3*A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 + 3*a*B*d*e + a*A*e^2) - 8*b*(B*c*d^2 + 2*A*c*d*e + a*B*e^2))*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x))/(15*(b^2 - 4*a*c)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^2/(a + b*x + c*x^2)^(7//2), -((2*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x)*(d + e*x)^2)/(5*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))) - (8*(4*a*c*e*(3*A*c*d + a*B*e) - 4*b*c*(A*c*d^2 + 2*a*B*d*e + a*A*e^2) + b^2*(2*B*c*d^2 + A*c*d*e + a*B*e^2) + (b^3*B*e^2 - 3*b^2*c*e*(B*d + A*e) + 4*b*c^2*d*(B*d + 2*A*e) - 4*c^2*(2*A*c*d^2 + a*B*d*e - a*A*e^2))*x))/(15*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) + (8*(b^3*B*e^2 - 6*b^2*c*e*(2*B*d + A*e) - 8*c^2*(4*A*c*d^2 + 2*a*B*d*e + a*A*e^2) + 4*b*c*(4*B*c*d^2 + 8*A*c*d*e + 3*a*B*e^2))*(b + 2*c*x))/(15*c*(b^2 - 4*a*c)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^1/(a + b*x + c*x^2)^(7//2), (2*(2*a*c*(B*d + A*e) - b*(A*c*d + a*B*e) - (b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e) + 2*c*(A*c*d - a*B*e))*x))/(5*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)) + (2*(3*b^2*B*e - 8*b*c*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d + a*B*e))*(b + 2*c*x))/(15*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (16*(3*b^2*B*e - 8*b*c*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d + a*B*e))*(b + 2*c*x))/(15*(b^2 - 4*a*c)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)*(d + e*x)^0/(a + b*x + c*x^2)^(7//2), -((2*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x))/(5*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))) - (16*(b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x))/(15*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) + (128*c*(b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x))/(15*(b^2 - 4*a*c)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 3),
+((A + B*x)/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(7//2)), (2*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) + c*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x))/(5*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)) + (2*(8*a*c*e*(2*c*d - b*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2)) + c*(8*c*e*(b*d - 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (2*c*d - b*e)*(5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2)))*x))/(15*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) + (1/(15*(b^2 - 4*a*c)^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(2*(4*a*c*e*(2*c*d - b*e)*(8*c*e*(b*d - 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (2*c*d - b*e)*(5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2))) - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(8*c*d*e*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(4*b*c*d - 3*b^2*e + 4*a*c*e) + (8*c^2*d^2 - 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 3*a*e))*(5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2))) + c*(4*c*e*(b*d - 2*a*e)*(8*c*e*(b*d - 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (2*c*d - b*e)*(5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2))) - (2*c*d - b*e)*(8*c*d*e*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(4*b*c*d - 3*b^2*e + 4*a*c*e) + (8*c^2*d^2 - 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 3*a*e))*(5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2))))*x)) - (e^5*(B*d - A*e)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7//2), x, 6),
+# {(A + B*x)/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(7/2)), x, 6, (2*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) + c*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x))/(5*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)) + (1/(15*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)))*(2*(10*a*c*e*(2*c*d - b*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(b^2*e*(5*B*d - 7*A*e) + 8*c*(2*A*c*d^2 - a*B*d*e + 3*a*A*e^2) - b*(8*B*c*d^2 + 6*A*c*d*e - 2*a*B*e^2)) + c*(10*c*e*(b*d - 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (2*c*d - b*e)*(b^2*e*(5*B*d - 7*A*e) + 8*c*(2*A*c*d^2 - a*B*d*e + 3*a*A*e^2) - b*(8*B*c*d^2 + 6*A*c*d*e - 2*a*B*e^2)))*x)) + (1/(15*(b^2 - 4*a*c)^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*(2*(6*a*c*e*(2*c*d - b*e)*(10*c*e*(b*d - 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (2*c*d - b*e)*(b^2*e*(5*B*d - 7*A*e) + 8*c*(2*A*c*d^2 - a*B*d*e + 3*a*A*e^2) - b*(8*B*c*d^2 + 6*A*c*d*e - 2*a*B*e^2))) - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(20*c*e*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*((1/2)*b*d*(4*c*d - 3*b*e) + a*e*(4*c*d - b*e)) + (8*c^2*d^2 - 5*b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d - 8*a*e))*(b^2*e*(5*B*d - 7*A*e) + 8*c*(2*A*c*d^2 - a*B*d*e + 3*a*A*e^2) - b*(8*B*c*d^2 + 6*A*c*d*e - 2*a*B*e^2))) + c*(6*c*e*(b*d - 2*a*e)*(10*c*e*(b*d - 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (2*c*d - b*e)*(b^2*e*(5*B*d - 7*A*e) + 8*c*(2*A*c*d^2 - a*B*d*e + 3*a*A*e^2) - b*(8*B*c*d^2 + 6*A*c*d*e - 2*a*B*e^2))) - (2*c*d - b*e)*(20*c*e*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*((1/2)*b*d*(4*c*d - 3*b*e) + a*e*(4*c*d - b*e)) + (8*c^2*d^2 - 5*b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d - 8*a*e))*(b^2*e*(5*B*d - 7*A*e) + 8*c*(2*A*c*d^2 - a*B*d*e + 3*a*A*e^2) - b*(8*B*c*d^2 + 6*A*c*d*e - 2*a*B*e^2))))*x)) + (1/(15*(b^2 - 4*a*c)^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4*(d + e*x)))*(e*(15*b^6*e^5*(5*B*d - 7*A*e) - 10*b^5*e^4*(13*B*c*d^2 - 14*A*c*d*e - 3*a*B*e^2) + 4*b^4*c*e^3*(7*A*e*(3*c*d^2 + 40*a*e^2) - 5*B*(4*c*d^3 + 39*a*d*e^2)) + 16*b^3*c*e^2*(2*A*c*d*e*(2*c*d^2 - 49*a*e^2) + B*(51*c^2*d^4 + 91*a*c*d^2*e^2 - 20*a^2*e^4)) - 16*b^2*c^2*e*(A*e*(82*c^2*d^4 + 54*a*c*d^2*e^2 + 231*a^2*e^4) + B*(52*c^2*d^5 + 168*a*c*d^3*e^2 - 153*a^2*d*e^4)) + 64*c^3*(a*B*d*e*(4*c^2*d^4 + 28*a*c*d^2*e^2 - 81*a^2*e^4) - A*(8*c^3*d^6 + 38*a*c^2*d^4*e^2 + 87*a^2*c*d^2*e^4 - 48*a^3*e^6)) + 32*b*c^2*(2*A*c*d*e*(24*c^2*d^4 + 76*a*c*d^2*e^2 + 87*a^2*e^4) + B*(8*c^3*d^6 + 18*a*c^2*d^4*e^2 + 3*a^2*c*d^2*e^4 + 33*a^3*e^6)))*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (e^5*(7*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(12*c*d^2 - e*(5*b*d + 2*a*e)))*ArcTanh[(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*Sqrt[c*d^2 - b*d*e + a*e^2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(9/2))}
+
+
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^4)/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (391//135)*(3 + 2*x)^2*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (53//60)*(3 + 2*x)^3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) - (1//15)*(3 + 2*x)^4*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (1//648)*(27519 + 9650*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (28051*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(1296*sqrt(3)), x, 6),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^3)/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (32//27)*(3 + 2*x)^2*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) - (1//12)*(3 + 2*x)^3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (5//648)*(3261 + 1078*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (19405*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(1296*sqrt(3)), x, 5),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^2)/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (-(1//9))*(3 + 2*x)^2*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (1//54)*(699 + 194*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (1147*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(108*sqrt(3)), x, 4),
+(((5 - x)*(3 + 2*x))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (1//6)*(19 - 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (31*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(4*sqrt(3)), x, 3),
+((5 - x)/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), -sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)/3 + (35*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(6*sqrt(3)), x, 3),
+((5 - x)/((3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), -atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)))/(2*sqrt(3)) + (13*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(2*sqrt(5)), x, 5),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^2*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), (-13*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(5*(3 + 2*x)) + (47*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(10*sqrt(5)), x, 3),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), (-13*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(10*(3 + 2*x)^2) - (73*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(25*(3 + 2*x)) + (389*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(100*sqrt(5)), x, 4),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^4*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), (-13*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(15*(3 + 2*x)^3) - (49*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(30*(3 + 2*x)^2) - (72*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(25*(3 + 2*x)) + (331*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(100*sqrt(5)), x, 5),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^5*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), (-13*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(20*(3 + 2*x)^4) - (86*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(75*(3 + 2*x)^3) - (41*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(24*(3 + 2*x)^2) - (681*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(250*(3 + 2*x)) + (5771*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(2000*sqrt(5)), x, 6),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^6*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), -((13*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(25*(3 + 2*x)^5)) - (443*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(500*(3 + 2*x)^4) - (2321*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(1875*(3 + 2*x)^3) - (1007*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(600*(3 + 2*x)^2) - (15891*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(6250*(3 + 2*x)) + (128381*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(50000*sqrt(5)), x, 7),
+
+
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^4)/(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), -((2*(3 + 2*x)^3*(121 + 139*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))) + (1664//27)*(3 + 2*x)^2*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (10//81)*(3369 + 1438*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (6265*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(81*sqrt(3)), x, 5),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^3)/(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), -((2*(3 + 2*x)^2*(121 + 139*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))) + (2//9)*(1239 + 554*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (247*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(9*sqrt(3)), x, 4),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^2)/(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), -((2*(3 + 2*x)*(121 + 139*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))) + (184//3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + 2*sqrt(3)*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))), x, 4),
+(((5 - x)*(3 + 2*x))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), -((2*(121 + 139*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))) - (2*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(3*sqrt(3)), x, 3),
+((5 - x)/(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), (-2*(29 + 35*x))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), x, 1),
+((5 - x)/((3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)), (-6*(37 + 47*x))/(5*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (26*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(5*sqrt(5)), x, 4),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)), (-6*(37 + 47*x))/(5*(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (856*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(25*(3 + 2*x)) + (302*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(25*sqrt(5)), x, 4),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^3*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)), (-6*(37 + 47*x))/(5*(3 + 2*x)^2*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (166*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(5*(3 + 2*x)^2) - (864*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(25*(3 + 2*x)) + (483*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(25*sqrt(5)), x, 5),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^4*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)), (-6*(37 + 47*x))/(5*(3 + 2*x)^3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (2464*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(75*(3 + 2*x)^3) - (478*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(15*(3 + 2*x)^2) - (4632*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(125*(3 + 2*x)) + (3289*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(125*sqrt(5)), x, 6),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^5*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)), (-6*(37 + 47*x))/(5*(3 + 2*x)^4*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (817*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(25*(3 + 2*x)^4) - (11596*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(375*(3 + 2*x)^3) - (973*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(30*(3 + 2*x)^2) - (25458*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(625*(3 + 2*x)) + (82039*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(2500*sqrt(5)), x, 7),
+
+
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^4)/(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), -((2*(3 + 2*x)^3*(121 + 139*x))/(9*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))) + (4*(3 + 2*x)*(6809 + 7976*x))/(27*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (6848//9)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (152*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(27*sqrt(3)), x, 5),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^3)/(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), -((2*(3 + 2*x)^2*(121 + 139*x))/(9*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))) + (4*(2481 + 2834*x))/(9*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (8*atanh((5 + 6*x)/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(9*sqrt(3)), x, 4),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^2)/(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), (-2*(3 + 2*x)^2*(29 + 35*x))/(3*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) + (376*(7 + 8*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 2),
+(((5 - x)*(3 + 2*x))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), -((2*(121 + 139*x))/(9*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))) + (1124*(5 + 6*x))/(9*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 2),
+((5 - x)/(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), (-2*(29 + 35*x))/(3*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) + (280*(5 + 6*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 2),
+((5 - x)/((3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2)), (-2*(37 + 47*x))/(5*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) + (12*(701 + 836*x))/(25*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (104*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(25*sqrt(5)), x, 5),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2)), (-2*(37 + 47*x))/(5*(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) + (4*(401 + 462*x))/(5*(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (4416*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(25*(3 + 2*x)) + (408*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(25*sqrt(5)), x, 5),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^3*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2)), (-2*(37 + 47*x))/(5*(3 + 2*x)^2*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) + (4*(1907 + 2112*x))/(25*(3 + 2*x)^2*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (152*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3 + 2*x)^2 + (11808*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(125*(3 + 2*x)) + (4884*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(125*sqrt(5)), x, 6),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^4*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2)), (-2*(37 + 47*x))/(5*(3 + 2*x)^3*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) + (12*(603 + 638*x))/(25*(3 + 2*x)^3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (47552*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(375*(3 + 2*x)^3) + (1048*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(15*(3 + 2*x)^2) + (9696*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(625*(3 + 2*x)) + (46108*atanh((7 + 8*x)/(2*sqrt(5)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))))/(625*sqrt(5)), x, 7),
+
+
+((-1 + x)/((1 + x)*sqrt(1 + x + x^2)), asinh((1 + 2*x)/sqrt(3)) + 2*atanh((1 - x)/(2*sqrt(1 + x + x^2))), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (A+B x) (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((5 - x)*(3 + 2*x)^(7//2)*(2 + 5*x + 3*x^2), (65//72)*(3 + 2*x)^(9//2) - (109//88)*(3 + 2*x)^(11//2) + (47//104)*(3 + 2*x)^(13//2) - (1//40)*(3 + 2*x)^(15//2), x, 2),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2), (65//56)*(3 + 2*x)^(7//2) - (109//72)*(3 + 2*x)^(9//2) + (47//88)*(3 + 2*x)^(11//2) - (3//104)*(3 + 2*x)^(13//2), x, 2),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2), (13//8)*(3 + 2*x)^(5//2) - (109//56)*(3 + 2*x)^(7//2) + (47//72)*(3 + 2*x)^(9//2) - (3//88)*(3 + 2*x)^(11//2), x, 2),
+((5 - x)*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2), (65//24)*(3 + 2*x)^(3//2) - (109//40)*(3 + 2*x)^(5//2) + (47//56)*(3 + 2*x)^(7//2) - (1//24)*(3 + 2*x)^(9//2), x, 2),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2))/sqrt(3 + 2*x), (65//8)*sqrt(3 + 2*x) - (109//24)*(3 + 2*x)^(3//2) + (47//40)*(3 + 2*x)^(5//2) - (3//56)*(3 + 2*x)^(7//2), x, 2),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2))/(3 + 2*x)^(3//2), -(65/(8*sqrt(3 + 2*x))) - (109//8)*sqrt(3 + 2*x) + (47//24)*(3 + 2*x)^(3//2) - (3//40)*(3 + 2*x)^(5//2), x, 2),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2))/(3 + 2*x)^(5//2), -(65/(24*(3 + 2*x)^(3//2))) + 109/(8*sqrt(3 + 2*x)) + (47//8)*sqrt(3 + 2*x) - (1//8)*(3 + 2*x)^(3//2), x, 2),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2))/(3 + 2*x)^(7//2), -(13/(8*(3 + 2*x)^(5//2))) + 109/(24*(3 + 2*x)^(3//2)) - 47/(8*sqrt(3 + 2*x)) - (3//8)*sqrt(3 + 2*x), x, 2),
+
+
+((5 - x)*(3 + 2*x)^(7//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^2, (325//288)*(3 + 2*x)^(9//2) - (1065//352)*(3 + 2*x)^(11//2) + (651//208)*(3 + 2*x)^(13//2) - (359//240)*(3 + 2*x)^(15//2) + (165//544)*(3 + 2*x)^(17//2) - (9//608)*(3 + 2*x)^(19//2), x, 2),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^2, (325//224)*(3 + 2*x)^(7//2) - (355//96)*(3 + 2*x)^(9//2) + (651//176)*(3 + 2*x)^(11//2) - (359//208)*(3 + 2*x)^(13//2) + (11//32)*(3 + 2*x)^(15//2) - (9//544)*(3 + 2*x)^(17//2), x, 2),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^2, (65//32)*(3 + 2*x)^(5//2) - (1065//224)*(3 + 2*x)^(7//2) + (217//48)*(3 + 2*x)^(9//2) - (359//176)*(3 + 2*x)^(11//2) + (165//416)*(3 + 2*x)^(13//2) - (3//160)*(3 + 2*x)^(15//2), x, 2),
+((5 - x)*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^2, (325//96)*(3 + 2*x)^(3//2) - (213//32)*(3 + 2*x)^(5//2) + (93//16)*(3 + 2*x)^(7//2) - (359//144)*(3 + 2*x)^(9//2) + (15//32)*(3 + 2*x)^(11//2) - (9//416)*(3 + 2*x)^(13//2), x, 2),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^2)/sqrt(3 + 2*x), (325//32)*sqrt(3 + 2*x) - (355//32)*(3 + 2*x)^(3//2) + (651//80)*(3 + 2*x)^(5//2) - (359//112)*(3 + 2*x)^(7//2) + (55//96)*(3 + 2*x)^(9//2) - (9//352)*(3 + 2*x)^(11//2), x, 2),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^2)/(3 + 2*x)^(3//2), -(325/(32*sqrt(3 + 2*x))) - (1065//32)*sqrt(3 + 2*x) + (217//16)*(3 + 2*x)^(3//2) - (359//80)*(3 + 2*x)^(5//2) + (165//224)*(3 + 2*x)^(7//2) - (1//32)*(3 + 2*x)^(9//2), x, 2),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^2)/(3 + 2*x)^(5//2), -(325/(96*(3 + 2*x)^(3//2))) + 1065/(32*sqrt(3 + 2*x)) + (651//16)*sqrt(3 + 2*x) - (359//48)*(3 + 2*x)^(3//2) + (33//32)*(3 + 2*x)^(5//2) - (9//224)*(3 + 2*x)^(7//2), x, 2),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^2)/(3 + 2*x)^(7//2), -(65/(32*(3 + 2*x)^(5//2))) + 355/(32*(3 + 2*x)^(3//2)) - 651/(16*sqrt(3 + 2*x)) - (359//16)*sqrt(3 + 2*x) + (55//32)*(3 + 2*x)^(3//2) - (9//160)*(3 + 2*x)^(5//2), x, 2),
+
+
+((5 - x)*(3 + 2*x)^(7//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^3, (1625*(3 + 2*x)^(9//2))/1152 - (7925*(3 + 2*x)^(11//2))/1408 + (16005*(3 + 2*x)^(13//2))/1664 - (17201*(3 + 2*x)^(15//2))/1920 + (10475*(3 + 2*x)^(17//2))/2176 - (3519*(3 + 2*x)^(19//2))/2432 + (27//128)*(3 + 2*x)^(21//2) - (27*(3 + 2*x)^(23//2))/2944, x, 2),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^3, (1625//896)*(3 + 2*x)^(7//2) - (7925*(3 + 2*x)^(9//2))/1152 + (1455//128)*(3 + 2*x)^(11//2) - (17201*(3 + 2*x)^(13//2))/1664 + (2095//384)*(3 + 2*x)^(15//2) - (207//128)*(3 + 2*x)^(17//2) + (567*(3 + 2*x)^(19//2))/2432 - (9//896)*(3 + 2*x)^(21//2), x, 2),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^3, (325//128)*(3 + 2*x)^(5//2) - (7925//896)*(3 + 2*x)^(7//2) + (5335//384)*(3 + 2*x)^(9//2) - (17201*(3 + 2*x)^(11//2))/1408 + (10475*(3 + 2*x)^(13//2))/1664 - (1173//640)*(3 + 2*x)^(15//2) + (567*(3 + 2*x)^(17//2))/2176 - (27*(3 + 2*x)^(19//2))/2432, x, 2),
+((5 - x)*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^3, (1625//384)*(3 + 2*x)^(3//2) - (1585//128)*(3 + 2*x)^(5//2) + (16005//896)*(3 + 2*x)^(7//2) - (17201*(3 + 2*x)^(9//2))/1152 + (10475*(3 + 2*x)^(11//2))/1408 - (3519*(3 + 2*x)^(13//2))/1664 + (189//640)*(3 + 2*x)^(15//2) - (27*(3 + 2*x)^(17//2))/2176, x, 2),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^3)/sqrt(3 + 2*x), (1625//128)*sqrt(3 + 2*x) - (7925//384)*(3 + 2*x)^(3//2) + (3201//128)*(3 + 2*x)^(5//2) - (17201//896)*(3 + 2*x)^(7//2) + (10475*(3 + 2*x)^(9//2))/1152 - (3519*(3 + 2*x)^(11//2))/1408 + (567*(3 + 2*x)^(13//2))/1664 - (9//640)*(3 + 2*x)^(15//2), x, 2),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^3)/(3 + 2*x)^(3//2), -(1625/(128*sqrt(3 + 2*x))) - (7925//128)*sqrt(3 + 2*x) + (5335//128)*(3 + 2*x)^(3//2) - (17201//640)*(3 + 2*x)^(5//2) + (10475//896)*(3 + 2*x)^(7//2) - (391//128)*(3 + 2*x)^(9//2) + (567*(3 + 2*x)^(11//2))/1408 - (27*(3 + 2*x)^(13//2))/1664, x, 2),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^3)/(3 + 2*x)^(5//2), -(1625/(384*(3 + 2*x)^(3//2))) + 7925/(128*sqrt(3 + 2*x)) + (16005//128)*sqrt(3 + 2*x) - (17201//384)*(3 + 2*x)^(3//2) + (2095//128)*(3 + 2*x)^(5//2) - (3519//896)*(3 + 2*x)^(7//2) + (63//128)*(3 + 2*x)^(9//2) - (27*(3 + 2*x)^(11//2))/1408, x, 2),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^3)/(3 + 2*x)^(7//2), -(325/(128*(3 + 2*x)^(5//2))) + 7925/(384*(3 + 2*x)^(3//2)) - 16005/(128*sqrt(3 + 2*x)) - (17201//128)*sqrt(3 + 2*x) + (10475//384)*(3 + 2*x)^(3//2) - (3519//640)*(3 + 2*x)^(5//2) + (81//128)*(3 + 2*x)^(7//2) - (3//128)*(3 + 2*x)^(9//2), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(7//2))/(2 + 5*x + 3*x^2), (3278*sqrt(3 + 2*x))/81 + (526*(3 + 2*x)^(3//2))/81 + (62*(3 + 2*x)^(5//2))/45 - (2*(3 + 2*x)^(7//2))/21 + 12*atanh(sqrt(3 + 2*x)) - (4250*sqrt(5//3)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)))/81, x, 8),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(5//2))/(2 + 5*x + 3*x^2), (526*sqrt(3 + 2*x))/27 + (62*(3 + 2*x)^(3//2))/27 - (2*(3 + 2*x)^(5//2))/15 + 12*atanh(sqrt(3 + 2*x)) - (850*sqrt(5//3)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)))/27, x, 7),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(3//2))/(2 + 5*x + 3*x^2), (62*sqrt(3 + 2*x))/9 - (2*(3 + 2*x)^(3//2))/9 + 12*atanh(sqrt(3 + 2*x)) - (170*sqrt(5//3)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)))/9, x, 6),
+(((5 - x)*sqrt(3 + 2*x))/(2 + 5*x + 3*x^2), (-2*sqrt(3 + 2*x))/3 + 12*atanh(sqrt(3 + 2*x)) - (34*sqrt(5//3)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)))/3, x, 5),
+((5 - x)/(sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)), 12*atanh(sqrt(3 + 2*x)) - (34*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)))/sqrt(15), x, 4),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)), -26/(5*sqrt(3 + 2*x)) + 12*atanh(sqrt(3 + 2*x)) - (34*sqrt(3//5)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)))/5, x, 5),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)), -26/(15*(3 + 2*x)^(3//2)) - 198/(25*sqrt(3 + 2*x)) + 12*atanh(sqrt(3 + 2*x)) - (102*sqrt(3//5)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)))/25, x, 6),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^(7//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)), -26/(25*(3 + 2*x)^(5//2)) - 66/(25*(3 + 2*x)^(3//2)) - 1194/(125*sqrt(3 + 2*x)) + 12*atanh(sqrt(3 + 2*x)) - (306*sqrt(3//5)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)))/125, x, 7),
+
+
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(7//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^2, (1358//27)*sqrt(3 + 2*x) + (826//27)*(3 + 2*x)^(3//2) - ((3 + 2*x)^(5//2)*(121 + 139*x))/(3*(2 + 5*x + 3*x^2)) - 154*atanh(sqrt(3 + 2*x)) + (2800//27)*sqrt(5//3)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)), x, 7),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(5//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^2, 30*sqrt(3 + 2*x) - ((3 + 2*x)^(3//2)*(121 + 139*x))/(3*(2 + 5*x + 3*x^2)) - 130*atanh(sqrt(3 + 2*x)) + 100*sqrt(5//3)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)), x, 6),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(3//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^2, -((sqrt(3 + 2*x)*(121 + 139*x))/(3*(2 + 5*x + 3*x^2))) - 106*atanh(sqrt(3 + 2*x)) + (248//3)*sqrt(5//3)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)), x, 5),
+(((5 - x)*sqrt(3 + 2*x))/(2 + 5*x + 3*x^2)^2, -((sqrt(3 + 2*x)*(29 + 35*x))/(2 + 5*x + 3*x^2)) - 82*atanh(sqrt(3 + 2*x)) + (316*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)))/sqrt(15), x, 5),
+((5 - x)/(sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^2), (-3*sqrt(3 + 2*x)*(37 + 47*x))/(5*(2 + 5*x + 3*x^2)) - 58*atanh(sqrt(3 + 2*x)) + (384*sqrt(3//5)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)))/5, x, 5),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^2), -506/(25*sqrt(3 + 2*x)) - (3*(37 + 47*x))/(5*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)) - 34*atanh(sqrt(3 + 2*x)) + (1356*sqrt(3//5)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)))/25, x, 6),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^2), -262/(15*(3 + 2*x)^(3//2)) - 686/(25*sqrt(3 + 2*x)) - (3*(37 + 47*x))/(5*(3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)) - 10*atanh(sqrt(3 + 2*x)) + (936*sqrt(3//5)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)))/25, x, 7),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^(7//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^2), -2114/(125*(3 + 2*x)^(5//2)) - 7042/(375*(3 + 2*x)^(3//2)) - 24626/(625*sqrt(3 + 2*x)) - (3*(37 + 47*x))/(5*(3 + 2*x)^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)) + 14*atanh(sqrt(3 + 2*x)) + (15876*sqrt(3//5)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)))/625, x, 8),
+
+
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(9//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^3, (-(3983//9))*sqrt(3 + 2*x) - ((3 + 2*x)^(7//2)*(121 + 139*x))/(6*(2 + 5*x + 3*x^2)^2) + ((3 + 2*x)^(3//2)*(10832 + 12473*x))/(18*(2 + 5*x + 3*x^2)) + 1962*atanh(sqrt(3 + 2*x)) - (13675//9)*sqrt(5//3)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)), x, 7),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(7//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^3, -(((3 + 2*x)^(5//2)*(121 + 139*x))/(6*(2 + 5*x + 3*x^2)^2)) + (7*sqrt(3 + 2*x)*(546 + 619*x))/(6*(2 + 5*x + 3*x^2)) + 1582*atanh(sqrt(3 + 2*x)) - 1225*sqrt(5//3)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)), x, 6),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(5//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^3, -(((3 + 2*x)^(3//2)*(121 + 139*x))/(6*(2 + 5*x + 3*x^2)^2)) + (25*sqrt(3 + 2*x)*(112 + 131*x))/(6*(2 + 5*x + 3*x^2)) + 1250*atanh(sqrt(3 + 2*x)) - (2905//3)*sqrt(5//3)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)), x, 6),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(3//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^3, -((sqrt(3 + 2*x)*(121 + 139*x))/(6*(2 + 5*x + 3*x^2)^2)) + (sqrt(3 + 2*x)*(2090 + 2529*x))/(6*(2 + 5*x + 3*x^2)) + 966*atanh(sqrt(3 + 2*x)) - 1247*sqrt(3//5)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)), x, 6),
+(((5 - x)*sqrt(3 + 2*x))/(2 + 5*x + 3*x^2)^3, -(sqrt(3 + 2*x)*(29 + 35*x))/(2*(2 + 5*x + 3*x^2)^2) + (3*sqrt(3 + 2*x)*(878 + 1063*x))/(10*(2 + 5*x + 3*x^2)) + 730*atanh(sqrt(3 + 2*x)) - (4713*sqrt(3//5)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)))/5, x, 6),
+((5 - x)/(sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^3), (-3*sqrt(3 + 2*x)*(37 + 47*x))/(10*(2 + 5*x + 3*x^2)^2) + (sqrt(3 + 2*x)*(9734 + 11739*x))/(50*(2 + 5*x + 3*x^2)) + 542*atanh(sqrt(3 + 2*x)) - (17463*sqrt(3//5)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)))/25, x, 6),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^3), 2667/(25*sqrt(3 + 2*x)) - (3*(37 + 47*x))/(10*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^2) + (1888 + 2229*x)/(10*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)) + 402*atanh(sqrt(3 + 2*x)) - (12717*sqrt(3//5)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)))/25, x, 7),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^3), 7451/(75*(3 + 2*x)^(3//2)) + 6853/(125*sqrt(3 + 2*x)) - (3*(37 + 47*x))/(10*(3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^2) + (9146 + 10551*x)/(50*(3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)) + 310*atanh(sqrt(3 + 2*x)) - (45603*sqrt(3//5)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)))/125, x, 8),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^(7//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^3), 56399/(625*(3 + 2*x)^(5//2)) + 102697/(1875*(3 + 2*x)^(3//2)) - 24409/(3125*sqrt(3 + 2*x)) - (3*(37 + 47*x))/(10*(3 + 2*x)^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^2) + (8852 + 9957*x)/(50*(3 + 2*x)^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)) + 266*atanh(sqrt(3 + 2*x)) - (806841*sqrt(3//5)*atanh(sqrt(3//5)*sqrt(3 + 2*x)))/3125, x, 9),
+
+
+# {(5 + Sqrt[35] + 10*x)/(Sqrt[1 + 2*x]*(2 + 3*x + 5*x^2)), x, 6, -2*Sqrt[10/(-2 + Sqrt[35])]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[35]] - Sqrt[10 + 20*x])/Sqrt[-2 + Sqrt[35]]] + 2*Sqrt[10/(-2 + Sqrt[35])]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[35]] + Sqrt[10 + 20*x])/Sqrt[-2 + Sqrt[35]]], -2*Sqrt[10/(-2 + Sqrt[35])]*ArcTan[(Sqrt[10*(2 + Sqrt[35])] - 10*Sqrt[1 + 2*x])/Sqrt[10*(-2 + Sqrt[35])]] + 2*Sqrt[10/(-2 + Sqrt[35])]*ArcTan[(Sqrt[10*(2 + Sqrt[35])] + 10*Sqrt[1 + 2*x])/Sqrt[10*(-2 + Sqrt[35])]]}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (A+B x) (a+b x+c x^2)^(p/2)
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((5 - x)*(3 + 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (sqrt(3 + 2*x)*(250447 + 280359*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/56133 + (12130*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/6237 + (730*(3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/891 - (2*(3 + 2*x)^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/33 - (32567*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(16038*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (168145*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(112266*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 9),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (sqrt(3 + 2*x)*(27914 + 30033*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/8505 + (202*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/189 - (2*(3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/27 - (4729*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(2430*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (5773*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(3402*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+((5 - x)*sqrt(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (sqrt(3 + 2*x)*(2327 + 2169*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/945 - (2*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/21 - (697*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(270*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (1039*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(378*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+(((5 - x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/sqrt(3 + 2*x), ((88 - 9*x)*sqrt(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/45 - (761*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(90*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (191*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(18*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 6),
+(((5 - x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3 + 2*x)^(3//2), -((21 + x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3*sqrt(3 + 2*x)) + (121*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(6*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (161*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(6*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 6),
+(((5 - x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3 + 2*x)^(5//2), ((146 + 119*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(15*(3 + 2*x)^(3//2)) - (67*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(10*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (17*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(2*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 6),
+(((5 - x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3 + 2*x)^(7//2), (49*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(125*sqrt(3 + 2*x)) + ((32 + 43*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(25*(3 + 2*x)^(5//2)) - (49*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(250*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (9*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(50*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+(((5 - x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3 + 2*x)^(9//2), (183*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(875*(3 + 2*x)^(3//2)) + (159*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(625*sqrt(3 + 2*x)) + ((46 + 139*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(175*(3 + 2*x)^(7//2)) - (159*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(1250*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (183*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(1750*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+
+
+((5 - x)*(3 + 2*x)^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), -(sqrt(3 + 2*x)*(6006884 + 7817373*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/21891870 + (sqrt(3 + 2*x)*(534271 + 629153*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/243243 + (13318*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/11583 + (202*(3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/351 - (2*(3 + 2*x)^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/45 - (207851*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(6254820*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (1015187*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(8756748*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 10),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), -(sqrt(3 + 2*x)*(486863 + 783711*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/2432430 + (sqrt(3 + 2*x)*(43822 + 50771*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/27027 + (886*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/1287 - (2*(3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/39 - (152657*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(694980*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (332459*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(972972*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 9),
+((5 - x)*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), -(sqrt(3 + 2*x)*(1246 + 3987*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/8910 + (sqrt(3 + 2*x)*(119 + 127*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/99 - (2*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/33 - (15283*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(17820*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (4153*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(3564*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/sqrt(3 + 2*x), -(sqrt(3 + 2*x)*(107 + 12429*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/5670 + ((52 - 7*x)*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/63 - (11123*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(1620*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (20501*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(2268*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^(3//2), -((136 - 2493*x)*sqrt(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/210 - ((47 + x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(7*sqrt(3 + 2*x)) + (2411*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(60*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (4427*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(84*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^(5//2), ((241 + 69*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(10*sqrt(3 + 2*x)) - ((37 + 3*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(15*(3 + 2*x)^(3//2)) - (367*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(20*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (289*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(4*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^(7//2), -(((614 + 181*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(50*sqrt(3 + 2*x))) + ((408 + 337*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(75*(3 + 2*x)^(5//2)) + (2779*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(100*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (243*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(20*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^(9//2), ((8561 + 6179*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(1750*(3 + 2*x)^(3//2)) + ((358 + 347*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(175*(3 + 2*x)^(7//2)) - (721*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(500*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (1327*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(700*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^(11//2), -((23*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(11250*sqrt(3 + 2*x))) - ((189 + 211*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(2250*(3 + 2*x)^(5//2)) + ((44 + 51*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(45*(3 + 2*x)^(9//2)) + (23*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(7500*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (7*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(1500*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(3 + 2*x)^(13//2), (14807*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(866250*(3 + 2*x)^(3//2)) + (5861*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(618750*sqrt(3 + 2*x)) - ((15647 + 14773*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(57750*(3 + 2*x)^(7//2)) + ((258 + 367*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(495*(3 + 2*x)^(11//2)) - (5861*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(412500*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (14807*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(577500*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 9),
+
+
+((5 - x)*(3 + 2*x)^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), (25*sqrt(3 + 2*x)*(749099 + 216603*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/942809868 - (125*sqrt(3 + 2*x)*(64006 + 79583*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/52378326 + (25*sqrt(3 + 2*x)*(72737 + 86493*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/1247103 + (2350*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/2907 + (430*(3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/969 - (2*(3 + 2*x)^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/57 - (16503475*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(269374248*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (142149125*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(1885619736*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 11),
+((5 - x)*(3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), ((12174838 - 22593339*x)*sqrt(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/744323580 - (sqrt(3 + 2*x)*(949997 + 1332121*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/8270262 + (sqrt(3 + 2*x)*(1063774 + 1253571*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/984555 + (1166*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/2295 - (2*(3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/51 - (34355693*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(212663880*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (62005241*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(297729432*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 10),
+((5 - x)*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), ((287729 - 2667537*x)*sqrt(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/14594580 - (sqrt(3 + 2*x)*(15076 + 34643*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/162162 + (sqrt(3 + 2*x)*(15467 + 17193*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/19305 - (2*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(7//2))/45 - (2742319*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(4169880*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (5021353*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(5837832*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 9),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/sqrt(3 + 2*x), ((34372 - 676791*x)*sqrt(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/324324 - (5*sqrt(3 + 2*x)*(563 + 4669*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/18018 + ((224 - 33*x)*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/429 - (651617*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(92664*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (5983645*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(648648*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^(3//2), -((21871 - 471213*x)*sqrt(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/24948 + (5*sqrt(3 + 2*x)*(218 + 3031*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/1386 - ((73 + x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(11*sqrt(3 + 2*x)) + (451331*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(7128*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (4145485*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(49896*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^(5//2), (5//756)*(326 - 6957*x)*sqrt(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (5*(745 + 121*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(126*sqrt(3 + 2*x)) - ((21 + x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(9*(3 + 2*x)^(3//2)) - (33335*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(216*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (306175*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(1512*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^(7//2), -(((10763 + 3117*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(140*sqrt(3 + 2*x))) + ((2291 + 879*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(210*(3 + 2*x)^(3//2)) - ((53 + 5*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(35*(3 + 2*x)^(5//2)) + (2333*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(40*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (12857*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(56*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^(9//2), ((6292 + 1823*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(140*sqrt(3 + 2*x)) - ((3354 + 2531*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(210*(3 + 2*x)^(5//2)) - ((43 + 7*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(35*(3 + 2*x)^(7//2)) - (4091*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(40*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (2505*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(56*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^(11//2), -(((27213 + 7877*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(2100*sqrt(3 + 2*x))) + ((14311 + 10729*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(3150*(3 + 2*x)^(5//2)) + ((124 + 113*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(63*(3 + 2*x)^(9//2)) + (17699*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(600*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (32513*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(840*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^(13//2), ((1301762 + 948443*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(346500*(3 + 2*x)^(3//2)) + ((24161 + 18699*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(34650*(3 + 2*x)^(7//2)) + ((114 + 115*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(99*(3 + 2*x)^(11//2)) - (107857*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(33000*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (198109*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(46200*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^(15//2), -((5083*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(247500*sqrt(3 + 2*x))) + ((21492 + 17833*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(346500*(3 + 2*x)^(5//2)) + ((73 - 33*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(6930*(3 + 2*x)^(9//2)) + ((8 + 9*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(11*(3 + 2*x)^(13//2)) + (5083*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(165000*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (9421*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(231000*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 9),
+(((5 - x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(3 + 2*x)^(17//2), (594851*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(112612500*(3 + 2*x)^(3//2)) + (335723*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(80437500*sqrt(3 + 2*x)) - ((386846 + 328339*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(7507500*(3 + 2*x)^(7//2)) - ((8901 + 8399*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))/(64350*(3 + 2*x)^(11//2)) + ((94 + 119*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2))/(195*(3 + 2*x)^(15//2)) - (335723*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(53625000*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (594851*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(75075000*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 10),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(5//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (1010*sqrt(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/189 + (10*(3 + 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/7 - (2*(3 + 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/21 + (865*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(27*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (2525*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(189*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(3//2))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (326*sqrt(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/135 - (2*(3 + 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/15 + (2743*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(135*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (163*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(27*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+(((5 - x)*sqrt(3 + 2*x))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2), (-2*sqrt(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/9 + (101*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(9*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (5*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(9*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 6),
+((5 - x)/(sqrt(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), -((sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))) + (13*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 5),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), (-26*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(5*sqrt(3 + 2*x)) + (13*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(5*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 6),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), (-26*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(15*(3 + 2*x)^(3//2)) - (386*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(75*sqrt(3 + 2*x)) + (193*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(25*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (13*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(5*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^(7//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), (-26*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(25*(3 + 2*x)^(5//2)) - (782*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(375*(3 + 2*x)^(3//2)) - (9002*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(1875*sqrt(3 + 2*x)) + (4501*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(625*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (391*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(125*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+
+
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(7//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), -((2*(3 + 2*x)^(5//2)*(121 + 139*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))) + (12068//135)*sqrt(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (308//5)*(3 + 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (34174*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(135*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (6034*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(27*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(5//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), -((2*(3 + 2*x)^(3//2)*(121 + 139*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))) + (1660//27)*sqrt(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (3830*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(27*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (4150*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(27*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(3//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), -((2*sqrt(3 + 2*x)*(121 + 139*x))/(3*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))) + (274*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(3*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (350*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(3*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 6),
+(((5 - x)*sqrt(3 + 2*x))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2), (-2*sqrt(3 + 2*x)*(29 + 35*x))/sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) + (70*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (94*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 6),
+((5 - x)/(sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)), (-6*sqrt(3 + 2*x)*(37 + 47*x))/(5*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (94*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(5*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (70*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 6),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)), (-6*(37 + 47*x))/(5*sqrt(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (908*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(25*sqrt(3 + 2*x)) + (454*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(25*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (94*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(5*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)), (-6*(37 + 47*x))/(5*(3 + 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (2516*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(75*(3 + 2*x)^(3//2)) - (14876*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(375*sqrt(3 + 2*x)) + (7438*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(125*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (1258*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(25*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^(7//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)), (-6*(37 + 47*x))/(5*(3 + 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (4124*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(125*(3 + 2*x)^(5//2)) - (61468*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(1875*(3 + 2*x)^(3//2)) - (426748*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(9375*sqrt(3 + 2*x)) + (213374*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(3125*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (30734*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(625*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 9),
+
+
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(9//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), -((2*(3 + 2*x)^(7//2)*(121 + 139*x))/(9*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))) + (4*(3 + 2*x)^(3//2)*(2164 + 2571*x))/(9*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (59512//81)*sqrt(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2) - (110516*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(81*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (148780*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(81*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(7//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), -((2*(3 + 2*x)^(5//2)*(121 + 139*x))/(9*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))) + (28*sqrt(3 + 2*x)*(1018 + 1177*x))/(27*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (31892*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(27*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (41860*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(27*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(5//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), -((2*(3 + 2*x)^(3//2)*(121 + 139*x))/(9*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))) + (20*sqrt(3 + 2*x)*(364 + 431*x))/(9*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (8620*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(9*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (11300*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(9*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+(((5 - x)*(3 + 2*x)^(3//2))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), -((2*sqrt(3 + 2*x)*(121 + 139*x))/(9*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2))) + (4*sqrt(3 + 2*x)*(1390 + 1689*x))/(9*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (2252*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(3*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (2956*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -(2//3)))/(3*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+(((5 - x)*sqrt(3 + 2*x))/(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2), (-2*sqrt(3 + 2*x)*(29 + 35*x))/(3*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) + (4*sqrt(3 + 2*x)*(1759 + 2139*x))/(15*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (2852*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(5*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (748*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+((5 - x)/(sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2)), (-2*sqrt(3 + 2*x)*(37 + 47*x))/(5*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) + (4*sqrt(3 + 2*x)*(2152 + 2607*x))/(25*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) - (3476*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(25*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (916*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(5*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 7),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2)), (-2*(37 + 47*x))/(5*sqrt(3 + 2*x)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) + (4*(2054 + 2409*x))/(25*sqrt(3 + 2*x)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (23464*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(125*sqrt(3 + 2*x)) - (11732*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(125*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (3212*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(25*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 8),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2)), (-2*(37 + 47*x))/(5*(3 + 2*x)^(3//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) + (12*(652 + 737*x))/(25*(3 + 2*x)^(3//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (61672*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(375*(3 + 2*x)^(3//2)) + (190792*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(1875*sqrt(3 + 2*x)) - (95396*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(625*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (30836*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(125*sqrt(3)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 9),
+((5 - x)/((3 + 2*x)^(7//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(5//2)), (-2*(37 + 47*x))/(5*(3 + 2*x)^(5//2)*(2 + 5*x + 3*x^2)^(3//2)) + (4*(1858 + 2013*x))/(25*(3 + 2*x)^(5//2)*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (87144*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(625*(3 + 2*x)^(5//2)) + (258536*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(3125*(3 + 2*x)^(3//2)) + (215096*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2))/(15625*sqrt(3 + 2*x)) - (107548*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(15625*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)) + (129268*sqrt(3)*sqrt(-2 - 5*x - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*sqrt(1 + x)), -2//3))/(3125*sqrt(2 + 5*x + 3*x^2)), x, 10),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2)/sqrt(a + b*x + c*x^2), (2*(3*B*c*d - 4*b*B*e + 5*A*c*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*c^2) + (2*B*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*c) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(10*A*c*e*(2*c*d - b*e) + B*(3*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - c*e*(13*b*d + 9*a*e)))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*c^3*e*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(3*B*c*d - 4*b*B*e + 5*A*c*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*c^3*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(1//2)/sqrt(a + b*x + c*x^2), (2*B*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(B*c*d - 2*b*B*e + 3*A*c*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c^2*e*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*B*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c^2*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(1//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (sqrt(2)*B*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(c*e*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(B*d - A*e)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(c*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (2*(B*d - A*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(B*d - A*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*B*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(c*e*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (2*(B*d - A*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(c*d^2 + e*(b*d - 3*a*e)))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(c*d^2 + e*(b*d - 3*a*e)))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(B*d - A*e)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^(5//2)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (2*(d + e*x)^(3//2)*(2*a*c*(B*d + A*e) - b*(A*c*d + a*B*e) - (b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e) + 2*c*(A*c*d - a*B*e))*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*e*(4*b^2*B*e - 3*b*c*(B*d + A*e) + 2*c*(3*A*c*d - 5*a*B*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c^2*(b^2 - 4*a*c)) - (sqrt(2)*(8*b^3*B*e^2 - b^2*c*e*(13*B*d + 6*A*e) - 2*c^2*(3*A*c*d^2 - 20*a*B*d*e - 9*a*A*e^2) + b*c*(3*B*c*d^2 + 6*A*c*d*e - 29*a*B*e^2))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(4*b^2*B*e - 3*b*c*(B*d + A*e) + 2*c*(3*A*c*d - 5*a*B*e))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(3//2)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (2*sqrt(d + e*x)*(2*a*c*(B*d + A*e) - b*(A*c*d + a*B*e) - (b^2*B*e - b*c*(B*d + A*e) + 2*c*(A*c*d - a*B*e))*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(2)*(2*A*c^2*d + 2*b^2*B*e - c*(b*B*d + A*b*e + 6*a*B*e))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*(b*B - 2*A*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((A + B*x)*(d + e*x)^(1//2)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x)*sqrt(d + e*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - (sqrt(2)*(b*B - 2*A*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), (2*sqrt(d + e*x)*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) + c*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(2)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*(b*B - 2*A*c)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((A + B*x)/((d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), (2*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) + c*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*e*(b^2*e*(B*d - 2*A*e) - 2*c*(A*c*d^2 + 4*a*B*d*e - 3*a*A*e^2) + b*(B*c*d^2 + 2*A*c*d*e + a*B*e^2))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) - (sqrt(2)*(b^2*e*(B*d - 2*A*e) - 2*c*(A*c*d^2 + 4*a*B*d*e - 3*a*A*e^2) + b*(B*c*d^2 + 2*A*c*d*e + a*B*e^2))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x) (a+b x+c x^2)^p when m symbolic
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^3, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^(1 + m))/(e^8*(1 + m))) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(3*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c*d^2 - e*(4*b*d - a*e)))*(d + e*x)^(2 + m))/(e^8*(2 + m)) - (3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(B*(7*c^2*d^3 - c*d*e*(8*b*d - 3*a*e) + b*e^2*(2*b*d - a*e)) - A*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))*(d + e*x)^(3 + m))/(e^8*(3 + m)) - ((A*e*(2*c*d - b*e)*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*a*e)) - B*(35*c^3*d^4 - b^2*e^3*(4*b*d - 3*a*e) - 30*c^2*d^2*e*(2*b*d - a*e) + 3*c*e^2*(10*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + a^2*e^2)))*(d + e*x)^(4 + m))/(e^8*(4 + m)) - ((B*(35*c^3*d^3 - b^3*e^3 + 3*b*c*e^2*(5*b*d - 2*a*e) - 15*c^2*d*e*(3*b*d - a*e)) - 3*A*c*e*(5*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d - a*e)))*(d + e*x)^(5 + m))/(e^8*(5 + m)) - (3*c*(A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(7*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(6*b*d - a*e)))*(d + e*x)^(6 + m))/(e^8*(6 + m)) - (c^2*(7*B*c*d - 3*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(7 + m))/(e^8*(7 + m)) + (B*c^3*(d + e*x)^(8 + m))/(e^8*(8 + m)), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^2, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(1 + m))/(e^6*(1 + m))) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(2*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(5*c*d^2 - e*(3*b*d - a*e)))*(d + e*x)^(2 + m))/(e^6*(2 + m)) - ((B*(10*c^2*d^3 + b*e^2*(3*b*d - 2*a*e) - 6*c*d*e*(2*b*d - a*e)) - A*e*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(3*b*d - a*e)))*(d + e*x)^(3 + m))/(e^6*(3 + m)) - ((2*A*c*e*(2*c*d - b*e) - B*(10*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(4*b*d - a*e)))*(d + e*x)^(4 + m))/(e^6*(4 + m)) - (c*(5*B*c*d - 2*b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(5 + m))/(e^6*(5 + m)) + (B*c^2*(d + e*x)^(6 + m))/(e^6*(6 + m)), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^1, -(((B*d - A*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^4*(1 + m))) - ((A*e*(2*c*d - b*e) - B*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e)))*(d + e*x)^(2 + m))/(e^4*(2 + m)) - ((3*B*c*d - b*B*e - A*c*e)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^4*(3 + m)) + (B*c*(d + e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)), x, 2),
+((A + B*x)*(d + e*x)^m/(a + b*x + c*x^2)^1, -(((B - (b*B - 2*A*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + m))) - ((B + (b*B - 2*A*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + m)), x, 4),
+((A + B*x)*(d + e*x)^m/(a + b*x + c*x^2)^2, ((d + e*x)^(1 + m)*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) + c*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)) + (c*(e*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*m - (2*b*(B*c*d^2 + 2*A*c*d*e + a*B*e^2) - b^2*e*(B*d*(2 - m) + A*e*m) - 4*c*(A*(c*d^2 + a*e^2*(1 - m)) + a*B*d*e*m))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(1 + m)) + (c*(e*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*m + (2*b*(B*c*d^2 + 2*A*c*d*e + a*B*e^2) - b^2*e*(B*d*(2 - m) + A*e*m) - 4*c*(A*(c*d^2 + a*e^2*(1 - m)) + a*B*d*e*m))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(1 + m)), x, 5),
+
+
+((A + B*x)*(d + e*x)^(m + 1)/(a + b*x + c*x^2), -(((B - (b*B - 2*A*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2 + m, 3 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(2 + m))) - ((B + (b*B - 2*A*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2 + m, 3 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(2 + m)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x) (a+b x+c x^2)^p when p symbolic
+
+
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^p/(d + e*x)^(2*p + 3), ((B*d - A*e)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/((d + e*x)^(2*(1 + p))*(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(1 + p))) - ((b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)*(d + e*x)^(-1 - 2*p)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 - 2*p, -p, -2*p, -((4*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(d + e*x))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))))/(((2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))^p/(2*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(1 + 2*p)), x, 2),
+]
+# Total integrals translated: 2653
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.4 (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.4 (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..0c86e587
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.4 (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p.jl	
@@ -0,0 +1,1904 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (g x)^m (d+e x)^n (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (g x)^m (d+e x)^n (a+b x+c x^2)^p when b=0 and c d^2+a e^2=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^1 (d^2 - e^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^2*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(1//2), (d^3*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*e^2) - (d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(3*e^3) - (d*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(4*e^2) + (d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(5*e^3) + (d^5*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(8*e^3), x, 10),
+
+
+(x^4*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2), (3*d^7*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(128*e^4) + (d^5*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(64*e^4) - (4*d^2*x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(63*e^3) - (d*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(8*e^2) - (x^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(9*e) - (d^3*(128*d + 315*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(5040*e^5) + (3*d^9*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(128*e^5), x, 8),
+(x^3*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2), (3*d^6*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(128*e^3) + (d^4*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(64*e^3) - (d*x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(7*e^2) - (x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(8*e) - (d^2*(32*d + 35*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(560*e^4) + (3*d^8*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(128*e^4), x, 7),
+(x^2*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2), (d^5*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(16*e^2) + (d^3*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(24*e^2) - (d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(5*e^3) - (d*x*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(6*e^2) + (d^2 - e^2*x^2)^(7//2)/(7*e^3) + (d^7*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(16*e^3), x, 12),
+(x^1*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2), (d^4*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(16*e) + (d^2*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(24*e) - ((6*d + 5*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(30*e^2) + (d^6*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(16*e^2), x, 5),
+(x^1*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2), (d^4*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(16*e) + (d^2*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(24*e) - ((6*d + 5*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(30*e^2) + (d^6*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(16*e^2), x, 5),
+((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/x^1, (1//8)*d^2*(8*d + 3*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (1//12)*(4*d + 3*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2) + (3//8)*d^4*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - d^4*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 8),
+((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/x^2, (1//2)*d*e*(2*d - 3*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2) - ((3*d - e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(3*x) - (3//2)*d^3*e*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - d^3*e*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 8),
+((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/x^3, -((3*d*e*(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*x)) - ((d - e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(2*x^2) - (3//2)*d^2*e^2*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (3//2)*d^2*e^2*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 8),
+((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/x^4, (e^2*(2*d - 3*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*x) - ((2*d + 3*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(6*x^3) + d*e^3*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (3//2)*d*e^3*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 8),
+((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/x^5, (e^2*(3*d + 8*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*x^2) - ((3*d + 4*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(12*x^4) + e^4*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (3//8)*e^4*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 8),
+((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/x^6, (3*e^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*x^2) - (e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(4*x^4) - (d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(5*d*x^5) - (3*e^5*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(8*d), x, 6),
+((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/x^7, (e^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(16*d*x^2) - (e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(24*d*x^4) - (d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(6*d*x^6) - (e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(5*d^2*x^5) - (e^6*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(16*d^2), x, 7),
+((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/x^8, (e^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(16*d^2*x^2) - (e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(24*d^2*x^4) - (d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(7*d*x^7) - (e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(6*d^2*x^6) - (2*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(35*d^3*x^5) - (e^7*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(16*d^3), x, 8),
+((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/x^9, (3*e^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(128*d^3*x^2) - (e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(64*d^3*x^4) - (d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(8*d*x^8) - (e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(7*d^2*x^7) - (e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(16*d^3*x^6) - (2*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(35*d^4*x^5) - (3*e^8*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(128*d^4), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^2*(d + e*x)/(d^2 - e^2*x^2)^(1//2), -((d^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e^3) - (d*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e^2) + (d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/(3*e^3) + (d^3*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e^3), x, 8),
+
+
+(x^2*(d + e*x)/(d^2 - e^2*x^2)^(3//2), (d*(d + e*x))/(e^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + sqrt(d^2 - e^2*x^2)/e^3 - (d*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e^3, x, 5),
+
+
+(x^2*(d + e*x)/(d^2 - e^2*x^2)^(5//2), (x^2*(d + e*x))/(3*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - 2/(3*e^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+
+
+(x^7*(d + e*x)/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (x^6*(d + e*x))/(5*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (x^4*(6*d + 7*e*x))/(15*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (x^2*(24*d + 35*e*x))/(15*e^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + ((32*d + 35*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(10*e^8) - (7*d^2*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e^8), x, 6),
+(x^6*(d + e*x)/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (x^5*(d + e*x))/(5*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (x^3*(5*d + 6*e*x))/(15*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (x*(5*d + 8*e*x))/(5*e^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (16*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*e^7) - (d*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e^7, x, 6),
+(x^5*(d + e*x)/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (x^4*(d + e*x))/(5*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (x^2*(4*d + 5*e*x))/(15*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (8*d + 15*e*x)/(15*e^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e^6, x, 5),
+(x^4*(d + e*x)/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (x^4*(d + e*x))/(5*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (4*d^2)/(15*e^5*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + 4/(5*e^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 4),
+(x^3*(d + e*x)/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (x^2*(d + e*x))/(5*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (2*d + 3*e*x)/(15*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + x/(5*d^2*e^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+(x^2*(d + e*x)/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (x^2*(d + e*x))/(5*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (2*(d - e*x))/(15*d*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (2*x)/(15*d^3*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+(x^1*(d + e*x)/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (d + e*x)/(5*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - x/(15*d^2*e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (2*x)/(15*d^4*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+(x^0*(d + e*x)/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (d + e*x)/(5*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (4*x)/(15*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (8*x)/(15*d^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)/(x^1*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (d + e*x)/(5*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (5*d + 4*e*x)/(15*d^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (15*d + 8*e*x)/(15*d^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d)/d^6, x, 7),
+((d + e*x)/(x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (d + e*x)/(5*d^2*x*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (6*d + 5*e*x)/(15*d^4*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (8*d + 5*e*x)/(5*d^6*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (16*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*d^7*x) - (e*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/d^7, x, 7),
+((d + e*x)/(x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (d + e*x)/(5*d^2*x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (7*d + 6*e*x)/(15*d^4*x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (35*d + 24*e*x)/(15*d^6*x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (7*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*d^7*x^2) - (16*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*d^8*x) - (7*e^2*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(2*d^8), x, 8),
+
+
+(x^2*(d + e*x)/(d^2 - e^2*x^2)^(9//2), (x^2*(d + e*x))/(7*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)) - (2*(d - 2*e*x))/(35*d*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (4*x)/(105*d^3*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (8*x)/(105*d^5*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 4),
+
+(x^2*(d + e*x)/(d^2 - e^2*x^2)^(11//2), (x^2*(d + e*x))/(9*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^(9//2)) - (2*(d - 3*e*x))/(63*d*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)) - (2*x)/(105*d^3*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (8*x)/(315*d^5*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (16*x)/(315*d^7*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 5),
+
+
+(x^2*(1 - a*x)/(1 - a^2*x^2)^(3//2), -((1 - a*x)/(a^3*sqrt(1 - a^2*x^2))) - sqrt(1 - a^2*x^2)/a^3 - asin(a*x)/a^3, x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^2 (d^2 - e^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4*(d + e*x)^2/sqrt(d^2 - e^2*x^2), -((8*d^3*x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*e^3)) - (11*d^2*x^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(24*e^2) - (2*d*x^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*e) - (1//6)*x^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2) - (d^4*(256*d + 165*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(240*e^5) + (11*d^6*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(16*e^5), x, 7),
+(x^3*(d + e*x)^2/sqrt(d^2 - e^2*x^2), -((3*d^2*x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*e^2)) - (d*x^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e) - (1//5)*x^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2) - (3*d^3*(8*d + 5*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(20*e^4) + (3*d^5*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(4*e^4), x, 6),
+(x^2*(d + e*x)^2/sqrt(d^2 - e^2*x^2), -((2*d*x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*e)) - (1//4)*x^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2) - (d^2*(32*d + 21*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(24*e^3) + (7*d^4*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(8*e^3), x, 5),
+(x^1*(d + e*x)^2/sqrt(d^2 - e^2*x^2), (-(1//3))*x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2) - (d*(5*d + 3*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*e^2) + (d^3*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e^2, x, 4),
+(x^0*(d + e*x)^2/sqrt(d^2 - e^2*x^2), -((3*d*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e)) - ((d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e) + (3*d^2*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e), x, 4),
+((d + e*x)^2/(x^1*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -sqrt(d^2 - e^2*x^2) + 2*d*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - d*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 7),
+((d + e*x)^2/(x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/x) + e*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - 2*e*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 7),
+((d + e*x)^2/(x^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(2*x^2)) - (2*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(d*x) - (3*e^2*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(2*d), x, 5),
+((d + e*x)^2/(x^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(3*x^3)) - (e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(d*x^2) - (5*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*d^2*x) - (e^3*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/d^2, x, 6),
+((d + e*x)^2/(x^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(4*x^4)) - (2*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*d*x^3) - (7*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*d^2*x^2) - (4*e^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*d^3*x) - (7*e^4*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(8*d^3), x, 7),
+((d + e*x)^2/(x^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(5*x^5)) - (e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*d*x^4) - (3*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*d^2*x^3) - (3*e^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(4*d^3*x^2) - (6*e^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*d^4*x) - (3*e^5*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(4*d^4), x, 8),
+
+
+(x^5*(d + e*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (d^4*(d + e*x)^2)/(5*e^6*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (22*d^3*(d + e*x))/(15*e^6*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (2*d*(30*d + 23*e*x))/(15*e^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + sqrt(d^2 - e^2*x^2)/e^6 - (2*d*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e^6, x, 6),
+(x^4*(d + e*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (d^3*(d + e*x)^2)/(5*e^5*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (17*d^2*(d + e*x))/(15*e^5*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (2*(15*d + 13*e*x))/(15*e^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e^5, x, 6),
+(x^3*(d + e*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (d^2*(d + e*x)^2)/(5*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (4*d*(d + e*x))/(5*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (5*d + 2*e*x)/(5*d*e^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+(x^2*(d + e*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (d*(d + e*x)^2)/(5*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (7*(d + e*x))/(15*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + x/(15*d^2*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+(x^1*(d + e*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (d + e*x)^2/(5*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (2*(d + e*x))/(15*d*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (4*x)/(15*d^3*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+(x^0*(d + e*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (2*(d + e*x))/(5*e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + x/(5*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (2*x)/(5*d^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^2/(x^1*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (2*(d + e*x))/(5*d*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (5*d + 8*e*x)/(15*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (15*d + 16*e*x)/(15*d^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d)/d^5, x, 7),
+((d + e*x)^2/(x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (2*e*(d + e*x))/(5*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (e*(10*d + 13*e*x))/(15*d^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (e*(30*d + 41*e*x))/(15*d^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d^6*x) - (2*e*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/d^6, x, 7),
+((d + e*x)^2/(x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (2*e^2*(d + e*x))/(5*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (e^2*(5*d + 6*e*x))/(5*d^5*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (2*e^2*(10*d + 11*e*x))/(5*d^7*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(2*d^6*x^2) - (2*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(d^7*x) - (9*e^2*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(2*d^7), x, 8),
+((d + e*x)^2/(x^4*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (2*e^3*(d + e*x))/(5*d^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (e^3*(20*d + 23*e*x))/(15*d^6*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (2*e^3*(45*d + 53*e*x))/(15*d^8*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(3*d^6*x^3) - (e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(d^7*x^2) - (14*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*d^8*x) - (7*e^3*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/d^8, x, 9),
+
+
+(x^3*(1 + x)^2/sqrt(1 - x^2), (-(3//5))*x^2*sqrt(1 - x^2) - (1//2)*x^3*sqrt(1 - x^2) - (1//5)*x^4*sqrt(1 - x^2) - (3//20)*(8 + 5*x)*sqrt(1 - x^2) + (3*asin(x))/4, x, 5),
+(x^2*(1 + x)^2/sqrt(1 - x^2), (-(2//3))*x^2*sqrt(1 - x^2) - (1//4)*x^3*sqrt(1 - x^2) - (1//24)*(32 + 21*x)*sqrt(1 - x^2) + (7*asin(x))/8, x, 4),
+(x^1*(1 + x)^2/sqrt(1 - x^2), (-(1//3))*x^2*sqrt(1 - x^2) - (1//3)*(5 + 3*x)*sqrt(1 - x^2) + asin(x), x, 3),
+(x^0*(1 + x)^2/sqrt(1 - x^2), (-(3//2))*sqrt(1 - x^2) - (1//2)*(1 + x)*sqrt(1 - x^2) + (3*asin(x))/2, x, 3),
+((1 + x)^2/(x^1*sqrt(1 - x^2)), -sqrt(1 - x^2) + 2*asin(x) - atanh(sqrt(1 - x^2)), x, 6),
+((1 + x)^2/(x^2*sqrt(1 - x^2)), -(sqrt(1 - x^2)/x) + asin(x) - 2*atanh(sqrt(1 - x^2)), x, 6),
+((1 + x)^2/(x^3*sqrt(1 - x^2)), -(sqrt(1 - x^2)/(2*x^2)) - (2*sqrt(1 - x^2))/x - (3//2)*atanh(sqrt(1 - x^2)), x, 5),
+((1 + x)^2/(x^4*sqrt(1 - x^2)), -(sqrt(1 - x^2)/(3*x^3)) - sqrt(1 - x^2)/x^2 - (5*sqrt(1 - x^2))/(3*x) - atanh(sqrt(1 - x^2)), x, 6),
+((1 + x)^2/(x^5*sqrt(1 - x^2)), -(sqrt(1 - x^2)/(4*x^4)) - (2*sqrt(1 - x^2))/(3*x^3) - (7*sqrt(1 - x^2))/(8*x^2) - (4*sqrt(1 - x^2))/(3*x) - (7//8)*atanh(sqrt(1 - x^2)), x, 7),
+((1 + x)^2/(x^6*sqrt(1 - x^2)), -(sqrt(1 - x^2)/(5*x^5)) - sqrt(1 - x^2)/(2*x^4) - (3*sqrt(1 - x^2))/(5*x^3) - (3*sqrt(1 - x^2))/(4*x^2) - (6*sqrt(1 - x^2))/(5*x) - (3//4)*atanh(sqrt(1 - x^2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^3 (d^2 - e^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)/x^5, -((e^2*(13*d + 8*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*x^2)) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(4*x^4) - (e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/x^3 - e^4*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (13//8)*e^4*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 9),
+
+
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)*x^5, (35*d^12*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2048*e^5) + (35*d^10*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(3072*e^5) + (7*d^8*x*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(768*e^5) - (124*d^5*x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(1287*e^4) - (7*d^4*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(48*e^3) - (31*d^3*x^4*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(143*e^2) - (7*d^2*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(24*e) - (3//13)*d*x^6*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2) - (1//14)*e*x^7*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2) - (d^6*(31744*d + 63063*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(1153152*e^6) + (35*d^14*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2048*e^6), x, 12),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)*x^4, (27*d^11*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(1024*e^4) + (9*d^9*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(512*e^4) + (9*d^7*x*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(640*e^4) - (20*d^4*x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(143*e^3) - (9*d^3*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(40*e^2) - (45*d^2*x^4*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(143*e) - (1//4)*d*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2) - (1//13)*e*x^6*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2) - (d^5*(12800*d + 27027*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(320320*e^5) + (27*d^13*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(1024*e^5), x, 11),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)*x^3, (41*d^10*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(1024*e^3) + (41*d^8*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(1536*e^3) + (41*d^6*x*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(1920*e^3) - (23*d^3*x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(99*e^2) - (41*d^2*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(120*e) - (3//11)*d*x^4*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2) - (1//12)*e*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2) - (d^4*(14720*d + 28413*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(221760*e^4) + (41*d^12*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(1024*e^4), x, 10),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)*x^2, (19*d^9*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(256*e^2) + (19*d^7*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(384*e^2) + (19*d^5*x*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(480*e^2) - (37*d^2*x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(99*e) - (3//10)*d*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2) - (1//11)*e*x^4*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2) - (d^3*(5920*d + 13167*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(55440*e^3) + (19*d^11*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(256*e^3), x, 9),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)*x^1, (33*d^8*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(256*e) + (11*d^6*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(128*e) + (11*d^4*x*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(160*e) - (33*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(560*e^2) - (11*d^2*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(240*e^2) - (d*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(30*e^2) - ((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(10*e^2) + (33*d^10*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(256*e^2), x, 9),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)*x^0, (55//128)*d^7*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (55//192)*d^5*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2) + (11//48)*d^3*x*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2) - (11*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(56*e) - (11*d*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(72*e) - ((d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(9*e) + (55*d^9*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(128*e), x, 8),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/x^1, (1//128)*d^6*(128*d + 125*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (1//192)*d^4*(64*d + 125*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2) + (1//240)*d^2*(48*d + 125*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2) - (3//7)*d*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2) - (1//8)*e*x*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2) + (125//128)*d^8*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - d^8*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 11),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/x^2, (3//16)*d^5*e*(16*d - 5*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (1//8)*d^3*e*(8*d - 5*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2) + (1//10)*d*e*(6*d - 5*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2) - (1//7)*e*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/x - (15//16)*d^7*e*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - 3*d^7*e*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 11),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/x^3, (1//16)*d^4*e^2*(8*d - 85*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (1//24)*d^2*e^2*(4*d - 85*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2) + (1//30)*e^2*(3*d - 85*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(2*x^2) - (3*e*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/x - (85//16)*d^6*e^2*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (1//2)*d^6*e^2*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 11),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/x^4, (-(1//8))*d^3*e^3*(52*d + 25*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2) - (1//12)*d*e^3*(26*d + 25*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2) - (e^2*(50*d + 39*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(30*x) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(3*x^3) - (3*e*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(2*x^2) - (25//8)*d^5*e^3*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (13//2)*d^5*e^3*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 11),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/x^5, (-(45//8))*d^2*e^4*(d - e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (15*d*e^3*(2*d - e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(8*x) - (3*e^2*(3*d + 2*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(8*x^2) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(4*x^4) - (e*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/x^3 + (45//8)*d^4*e^4*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (45//8)*d^4*e^4*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 11),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/x^6, (d^2*e^4*(52*d + 25*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*x) + (d*e^3*(25*d - 52*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(24*x^2) - (e^2*(52*d + 25*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(60*x^3) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(5*x^5) - (3*e*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(4*x^4) + (13//2)*d^3*e^5*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (25//8)*d^3*e^5*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 11),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/x^7, -((d*e^5*(8*d - 85*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(16*x)) + (d*e^3*(8*d + 85*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(48*x^3) - (e^2*(85*d + 12*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(120*x^4) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(6*x^6) - (3*e*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(5*x^5) - (1//2)*d^2*e^6*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (85//16)*d^2*e^6*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 11),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/x^8, -((3*e^6*(16*d - 5*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(16*x)) + (e^4*(16*d + 5*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(16*x^3) - (e^2*(24*d + 5*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(40*x^5) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(7*x^7) - (e*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(2*x^6) - 3*d*e^7*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (15//16)*d*e^7*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 11),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/x^9, -((e^6*(125*d + 128*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(128*x^2)) + (e^4*(125*d + 64*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(192*x^4) - (e^2*(125*d + 48*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(240*x^6) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(8*x^8) - (3*e*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(7*x^7) - e^8*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (125//128)*e^8*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 11),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/x^10, -((55*e^7*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(128*x^2)) + (55*e^5*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(192*x^4) - (11*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(48*x^6) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(9*x^9) - (3*e*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(8*x^8) - (29*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(63*d*x^7) + (55*e^9*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(128*d), x, 9),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/x^11, -((33*e^8*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(256*d*x^2)) + (11*e^6*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(128*d*x^4) - (11*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(160*d*x^6) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(10*x^10) - (e*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(3*x^9) - (33*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(80*d*x^8) - (5*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(21*d^2*x^7) + (33*e^10*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(256*d^2), x, 10),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/x^12, -((19*e^9*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(256*d^2*x^2)) + (19*e^7*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(384*d^2*x^4) - (19*e^5*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(480*d^2*x^6) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(11*x^11) - (3*e*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(10*x^10) - (37*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(99*d*x^9) - (19*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(80*d^2*x^8) - (74*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(693*d^3*x^7) + (19*e^11*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(256*d^3), x, 11),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5*(d + e*x)^3/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (d^4*(d + e*x)^3)/(5*e^6*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (23*d^3*(d + e*x)^2)/(15*e^6*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (127*d^2*(d + e*x))/(15*e^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (3*d*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e^6 + (x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e^5) - (13*d^2*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e^6), x, 7),
+(x^4*(d + e*x)^3/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (d^3*(d + e*x)^3)/(5*e^5*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (6*d^2*(d + e*x)^2)/(5*e^5*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (24*d*(d + e*x))/(5*e^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + sqrt(d^2 - e^2*x^2)/e^5 - (3*d*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e^5, x, 6),
+(x^3*(d + e*x)^3/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (d^2*(d + e*x)^3)/(5*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (13*d*(d + e*x)^2)/(15*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (32*(d + e*x))/(15*e^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e^4, x, 5),
+(x^2*(d + e*x)^3/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (d*(d + e*x)^3)/(5*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (8*(d + e*x)^2)/(15*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (7*(d + e*x))/(15*d*e^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+(x^1*(d + e*x)^3/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (d + e*x)^3/(5*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (2*(d + e*x))/(5*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - x/(5*d^2*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+(x^0*(d + e*x)^3/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(5*d*e*(d - e*x)^3) + (2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*d^2*e*(d - e*x)^2) + (2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*d^3*e*(d - e*x)), x, 4),
+((d + e*x)^3/(x^1*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (4*(d + e*x))/(5*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (5*d + 11*e*x)/(15*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (15*d + 22*e*x)/(15*d^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d)/d^4, x, 7),
+((d + e*x)^3/(x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (4*e*(d + e*x))/(5*d*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (e*(5*d + 7*e*x))/(5*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (e*(15*d + 19*e*x))/(5*d^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d^5*x) - (3*e*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/d^5, x, 7),
+((d + e*x)^3/(x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (4*e^2*(d + e*x))/(5*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (e^2*(25*d + 31*e*x))/(15*d^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (e^2*(90*d + 107*e*x))/(15*d^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(2*d^5*x^2) - (3*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(d^6*x) - (13*e^2*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(2*d^6), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m / (d+e x)^1 (d^2 - e^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d + e*x), (4*d^2*x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*e^3) - (d*x^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(4*e^2) + (x^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*e) + (d^3*(64*d - 45*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(120*e^5) + (3*d^5*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(8*e^5), x, 7),
+(x^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d + e*x), -((d*x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*e^2)) + (x^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(4*e) - (d^2*(16*d - 9*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(24*e^4) - (3*d^4*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(8*e^4), x, 6),
+(x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d + e*x), (d*(2*d - e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e^3) - (d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/(3*e^3) + (d^3*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e^3), x, 6),
+(x^1*sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d + e*x), -(((2*d - e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e^2)) - (d^2*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e^2), x, 4),
+(x^0*sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d + e*x), sqrt(d^2 - e^2*x^2)/e + (d*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e, x, 3),
+(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(x^1*(d + e*x)), -atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 7),
+(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(x^2*(d + e*x)), -(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d*x)) + (e*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/d, x, 5),
+(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(x^3*(d + e*x)), -(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(2*d*x^2)) + (e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(d^2*x) - (e^2*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(2*d^2), x, 6),
+(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(x^4*(d + e*x)), -(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(3*d*x^3)) + (e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*d^2*x^2) - (2*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*d^3*x) + (e^3*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(2*d^3), x, 7),
+(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(x^5*(d + e*x)), -(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(4*d*x^4)) + (e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*d^2*x^3) - (3*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*d^3*x^2) + (2*e^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*d^4*x) - (3*e^4*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(8*d^4), x, 8),
+
+
+(x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/(d + e*x), (d^3*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*e^2) + (d*(4*d - 3*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(12*e^3) - (d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(5*e^3) + (d^5*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(8*e^3), x, 7),
+
+
+(x^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x), (3*d^7*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(128*e^4) + (d^5*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(64*e^4) + (4*d^2*x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(63*e^3) - (d*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(8*e^2) + (x^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(9*e) + (d^3*(128*d - 315*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(5040*e^5) + (3*d^9*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(128*e^5), x, 9),
+(x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x), -((3*d^6*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(128*e^3)) - (d^4*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(64*e^3) - (d*x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(7*e^2) + (x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(8*e) - (d^2*(32*d - 35*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(560*e^4) - (3*d^8*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(128*e^4), x, 8),
+(x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x), (d^5*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(16*e^2) + (d^3*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(24*e^2) + (d*(6*d - 5*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(30*e^3) - (d^2 - e^2*x^2)^(7//2)/(7*e^3) + (d^7*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(16*e^3), x, 8),
+(x^1*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x), -((d^4*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(16*e)) - (d^2*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(24*e) - ((6*d - 5*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(30*e^2) - (d^6*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(16*e^2), x, 6),
+(x^0*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x), (3*d^3*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/8 + (d*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/4 + (d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(5*e) + (3*d^5*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(8*e), x, 5),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^1*(d + e*x)), (1//8)*d^2*(8*d - 3*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (1//12)*(4*d - 3*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2) - (3//8)*d^4*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - d^4*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^2*(d + e*x)), (-(1//2))*d*e*(2*d + 3*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2) - ((3*d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(3*x) - (3//2)*d^3*e*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + d^3*e*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^3*(d + e*x)), (3*d*e*(d - e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*x) - ((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(2*x^2) + (3//2)*d^2*e^2*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (3//2)*d^2*e^2*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^4*(d + e*x)), (e^2*(2*d + 3*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*x) - ((2*d - 3*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(6*x^3) + d*e^3*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (3//2)*d*e^3*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^5*(d + e*x)), (e^2*(3*d - 8*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*x^2) - ((3*d - 4*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(12*x^4) - e^4*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (3//8)*e^4*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^6*(d + e*x)), -((3*e^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*x^2)) + (e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(4*x^4) - (d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(5*d*x^5) + (3*e^5*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(8*d), x, 7),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^7*(d + e*x)), (e^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(16*d*x^2) - (e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(24*d*x^4) - (d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(6*d*x^6) + (e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(5*d^2*x^5) - (e^6*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(16*d^2), x, 8),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^8*(d + e*x)), -((e^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(16*d^2*x^2)) + (e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(24*d^2*x^4) - (d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(7*d*x^7) + (e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(6*d^2*x^6) - (2*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(35*d^3*x^5) + (e^7*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(16*d^3), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^9*(d + e*x)), (3*e^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(128*d^3*x^2) - (e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(64*d^3*x^4) - (d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(8*d*x^8) + (e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(7*d^2*x^7) - (e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(16*d^3*x^6) + (2*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(35*d^4*x^5) - (3*e^8*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(128*d^4), x, 10),
+
+
+((x*sqrt(1 - x^2))/(1 + x), (-(1//2))*(2 - x)*sqrt(1 - x^2) - asin(x)/2, x, 3),
+
+
+((1 - a^2*x^2)^(3//2)/(x^2*(1 - a*x)), -(((1 - a*x)*sqrt(1 - a^2*x^2))/x) - a*asin(a*x) - a*atanh(sqrt(1 - a^2*x^2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4/((d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), (x^3*(d - e*x))/(e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (4*x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*e^3) - (d*(16*d - 9*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(6*e^5) - (3*d^3*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e^5), x, 6),
+(x^3/((d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), (x^2*(d - e*x))/(e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + ((4*d - 3*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e^4) + (3*d^2*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e^4), x, 5),
+(x^2/((d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/e^3) - (d*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(e^3*(d + e*x)) - (d*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e^3, x, 5),
+(x^1/((d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(e^2*(d + e*x)) + atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e^2, x, 3),
+(x^0/((d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d*e*(d + e*x))), x, 1),
+(1/(x^1*(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d^2*(d + e*x)) - atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d)/d^2, x, 5),
+(1/(x^2*(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -((2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(d^3*x)) + sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d^2*x*(d + e*x)) + (e*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/d^3, x, 5),
+(1/(x^3*(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -((3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*d^3*x^2)) + (2*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(d^4*x) + sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d^2*x^2*(d + e*x)) - (3*e^2*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(2*d^4), x, 6),
+
+
+(x^5/((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)), (x^4*(d - e*x))/(3*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (x^2*(4*d - 5*e*x))/(3*e^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - ((16*d - 15*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(6*e^6) - (5*d^2*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e^6), x, 6),
+(x^4/((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)), (x^3*(d - e*x))/(3*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (x*(3*d - 4*e*x))/(3*e^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (8*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*e^5) + (d*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e^5, x, 6),
+(x^3/((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)), (x^2*(d - e*x))/(3*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (2*d - 3*e*x)/(3*e^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e^4, x, 5),
+(x^2/((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)), 2/(3*e^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - x^2/(3*d*e*(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+(x^1/((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)), x/(3*d^2*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + 1/(3*e^2*(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 2),
+(x^0/((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)), (2*x)/(3*d^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - 1/(3*d*e*(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 2),
+(1/(x^1*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)), (3*d - 2*e*x)/(3*d^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + 1/(3*d^2*(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d)/d^4, x, 6),
+(1/(x^2*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)), (4*d - 3*e*x)/(3*d^4*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + 1/(3*d^2*x*(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (8*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*d^5*x) + (e*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/d^5, x, 6),
+(1/(x^3*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)), (5*d - 4*e*x)/(3*d^4*x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + 1/(3*d^2*x^2*(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (5*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*d^5*x^2) + (8*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*d^6*x) - (5*e^2*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(2*d^6), x, 7),
+
+
+(x^7/((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)), (x^6*(d - e*x))/(5*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (x^4*(6*d - 7*e*x))/(15*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (x^2*(24*d - 35*e*x))/(15*e^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + ((32*d - 35*e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(10*e^8) + (7*d^2*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e^8), x, 7),
+(x^6/((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)), (x^5*(d - e*x))/(5*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (x^3*(5*d - 6*e*x))/(15*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (x*(5*d - 8*e*x))/(5*e^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (16*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*e^7) - (d*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e^7, x, 7),
+(x^5/((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)), (x^4*(d - e*x))/(5*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (x^2*(4*d - 5*e*x))/(15*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (8*d - 15*e*x)/(15*e^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e^6, x, 6),
+(x^4/((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)), -((x^4*(d - e*x))/(5*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))) + (4*d^2)/(15*e^5*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - 4/(5*e^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 5),
+(x^3/((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)), (x^2*(d - e*x))/(5*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (2*d - 3*e*x)/(15*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - x/(5*d^2*e^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 4),
+(x^2/((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)), -(x^2/(5*d*e*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))) + (2*(d + e*x))/(15*d*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (2*x)/(15*d^3*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+(x^1/((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)), x/(15*d^2*e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + 1/(5*e^2*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (2*x)/(15*d^4*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+(x^0/((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)), (4*x)/(15*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - 1/(5*d*e*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (8*x)/(15*d^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+(1/(x^1*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)), (5*d - 4*e*x)/(15*d^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + 1/(5*d^2*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (15*d - 8*e*x)/(15*d^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d)/d^6, x, 7),
+(1/(x^2*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)), (6*d - 5*e*x)/(15*d^4*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + 1/(5*d^2*x*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (8*d - 5*e*x)/(5*d^6*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (16*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*d^7*x) + (e*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/d^7, x, 7),
+(1/(x^3*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)), (7*d - 6*e*x)/(15*d^4*x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + 1/(5*d^2*x^2*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (35*d - 24*e*x)/(15*d^6*x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (7*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*d^7*x^2) + (16*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*d^8*x) - (7*e^2*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(2*d^8), x, 8),
+(1/(x^4*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)), (8*d - 7*e*x)/(15*d^4*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + 1/(5*d^2*x^3*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (48*d - 35*e*x)/(15*d^6*x^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (64*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*d^7*x^3) + (7*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*d^8*x^2) - (128*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*d^9*x) + (7*e^3*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(2*d^9), x, 9),
+
+
+(x^3/((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (x^2*(d - e*x))/(7*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)) - (2*d - 3*e*x)/(35*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - x/(35*d^2*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (2*x)/(35*d^4*e^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 5),
+(x^2/((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), -(x^2/(7*d*e*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))) + (2*(d + 2*e*x))/(35*d*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (4*x)/(105*d^3*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (8*x)/(105*d^5*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 4),
+
+
+(x^3/((1 + a*x)*sqrt(1 - a^2*x^2)), (x^2*(1 - a*x))/(a^2*sqrt(1 - a^2*x^2)) + ((4 - 3*a*x)*sqrt(1 - a^2*x^2))/(2*a^4) + (3*asin(a*x))/(2*a^4), x, 4),
+(x^2/((1 + a*x)*sqrt(1 - a^2*x^2)), -(sqrt(1 - a^2*x^2)/a^3) - sqrt(1 - a^2*x^2)/(a^3*(1 + a*x)) - asin(a*x)/a^3, x, 4),
+(x^1/((1 + a*x)*sqrt(1 - a^2*x^2)), sqrt(1 - a^2*x^2)/(a^2*(1 + a*x)) + asin(a*x)/a^2, x, 2),
+(x^0/((1 + a*x)*sqrt(1 - a^2*x^2)), -(sqrt(1 - a^2*x^2)/(a*(1 + a*x))), x, 1),
+(1/(x^1*(1 - a*x)*sqrt(1 - a^2*x^2)), sqrt(1 - a^2*x^2)/(1 - a*x) - atanh(sqrt(1 - a^2*x^2)), x, 5),
+(1/(x^2*(1 - a*x)*sqrt(1 - a^2*x^2)), -((2*sqrt(1 - a^2*x^2))/x) + sqrt(1 - a^2*x^2)/(x*(1 - a*x)) - a*atanh(sqrt(1 - a^2*x^2)), x, 5),
+(1/(x^3*(1 - a*x)*sqrt(1 - a^2*x^2)), -((3*sqrt(1 - a^2*x^2))/(2*x^2)) - (2*a*sqrt(1 - a^2*x^2))/x + sqrt(1 - a^2*x^2)/(x^2*(1 - a*x)) - (3//2)*a^2*atanh(sqrt(1 - a^2*x^2)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m / (d+e x)^2 (d^2 - e^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^5*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^2, -((5*d^7*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(64*e^5)) - (4*d^4*x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(21*e^4) + (5*d^3*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(24*e^3) - (5*d^2*x^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(21*e^2) + (d*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(4*e) - (1//9)*x^6*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2) - (d^5*(256*d - 315*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(2016*e^6) - (5*d^9*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(64*e^6), x, 10),
+(x^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^2, (13*d^6*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(128*e^4) + (8*d^3*x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(35*e^3) - (13*d^2*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(48*e^2) + (2*d*x^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(7*e) - (1//8)*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2) + (d^4*(1024*d - 1365*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(6720*e^5) + (13*d^8*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(128*e^5), x, 9),
+(x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^2, -((d^5*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*e^3)) - (11*d^2*x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(35*e^2) + (d*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(3*e) - (1//7)*x^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2) - (d^3*(88*d - 105*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(420*e^4) - (d^7*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(8*e^4), x, 8),
+(x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^2, (3*d^4*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(16*e^2) + (2*d*x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(5*e) - (1//6)*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2) + (d^2*(32*d - 45*e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(120*e^3) + (3*d^6*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(16*e^3), x, 7),
+(x^1*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^2, -(d^3*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(4*e) - (d*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(6*e) - (2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(15*e^2) - (d^2 - e^2*x^2)^(7//2)/(3*e^2*(d + e*x)^2) - (d^5*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(4*e^2), x, 6),
+(x^0*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^2, (5//8)*d^2*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (5*d*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(12*e) + ((d - e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(4*e) + (5*d^4*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(8*e), x, 6),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^1*(d + e*x)^2), d*(d - e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2) - (1//3)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2) - d^3*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - d^3*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^2*(d + e*x)^2), (-(1//2))*e*(4*d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2) - (d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/x - (1//2)*d^2*e*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + 2*d^2*e*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^3*(d + e*x)^2), (e*(4*d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*x) - (d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/(2*x^2) + 2*d*e^2*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (1//2)*d*e^2*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^4*(d + e*x)^2), (e*(d - e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/x^2 - (d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/(3*x^3) - e^3*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - e^3*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^5*(d + e*x)^2), -((5*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*x^2)) - (d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/(4*x^4) + (2*e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(3*d*x^3) + (5*e^4*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(8*d), x, 7),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^6*(d + e*x)^2), (e^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(4*d*x^2) - (d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/(5*x^5) + (e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(2*d*x^4) - (7*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(15*d^2*x^3) - (e^5*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(4*d^2), x, 8),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^7*(d + e*x)^2), -((3*e^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(16*d^2*x^2)) - (d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/(6*x^6) + (2*e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(5*d*x^5) - (3*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(8*d^2*x^4) + (4*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(15*d^3*x^3) + (3*e^6*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(16*d^3), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^8*(d + e*x)^2), (e^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*d^3*x^2) - (d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/(7*x^7) + (e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(3*d*x^6) - (11*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(35*d^2*x^5) + (e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(4*d^3*x^4) - (22*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(105*d^4*x^3) - (e^7*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(8*d^4), x, 10),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4/((d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)), -((d^3*(d - e*x)^2)/(5*e^5*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))) + (17*d^2*(d - e*x))/(15*e^5*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (2*(15*d - 13*e*x))/(15*e^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e^5, x, 7),
+(x^3/((d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)), (d^2*(d - e*x)^2)/(5*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (4*d*(d - e*x))/(5*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (5*d - 2*e*x)/(5*d*e^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 4),
+# {x^2/((d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3/2)), x, 4, x/(15*d^2*e^2*Sqrt[d^2 - e^2*x^2]) - d/(5*e^3*(d + e*x)^2*Sqrt[d^2 - e^2*x^2]) + 7/(15*e^3*(d + e*x)*Sqrt[d^2 - e^2*x^2]), -((d*(d - e*x)^2)/(5*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5/2))) + (7*(d - e*x))/(15*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3/2)) + x/(15*d^2*e^2*Sqrt[d^2 - e^2*x^2])}
+(x^1/((d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)), (4*x)/(15*d^3*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + 1/(5*e^2*(d + e*x)^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - 2/(15*d*e^2*(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+(x^0/((d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)), (2*x)/(5*d^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - 1/(5*d*e*(d + e*x)^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - 1/(5*d^2*e*(d + e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+(1/(x^1*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)), (2*(d - e*x))/(5*d*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (5*d - 8*e*x)/(15*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (15*d - 16*e*x)/(15*d^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d)/d^5, x, 8),
+(1/(x^2*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)), -((2*e*(d - e*x))/(5*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))) - (e*(10*d - 13*e*x))/(15*d^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (e*(30*d - 41*e*x))/(15*d^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d^6*x) + (2*e*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/d^6, x, 8),
+(1/(x^3*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)), (2*e^2*(d - e*x))/(5*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (e^2*(5*d - 6*e*x))/(5*d^5*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (2*e^2*(10*d - 11*e*x))/(5*d^7*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(2*d^6*x^2) + (2*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(d^7*x) - (9*e^2*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(2*d^7), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m / (d+e x)^3 (d^2 - e^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5/((d + e*x)^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), (d^4*(d - e*x)^3)/(5*e^6*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (23*d^3*(d - e*x)^2)/(15*e^6*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (127*d^2*(d - e*x))/(15*e^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (3*d*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e^6 - (x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e^5) + (13*d^2*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e^6), x, 8),
+(x^4/((d + e*x)^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -((d^3*(d - e*x)^3)/(5*e^5*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))) + (6*d^2*(d - e*x)^2)/(5*e^5*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (24*d*(d - e*x))/(5*e^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/e^5 - (3*d*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e^5, x, 7),
+(x^3/((d + e*x)^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), (d^2*(d - e*x)^3)/(5*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (13*d*(d - e*x)^2)/(15*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (32*(d - e*x))/(15*e^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e^4, x, 6),
+(x^2/((d + e*x)^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -((d*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*e^3*(d + e*x)^3)) + (8*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*e^3*(d + e*x)^2) - (7*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*d*e^3*(d + e*x)), x, 4),
+(x^1/((d + e*x)^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(5*e^2*(d + e*x)^3) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(5*d*e^2*(d + e*x)^2) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(5*d^2*e^2*(d + e*x)), x, 3),
+(x^0/((d + e*x)^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(5*d*e*(d + e*x)^3)) - (2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*d^2*e*(d + e*x)^2) - (2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*d^3*e*(d + e*x)), x, 3),
+(1/(x^1*(d + e*x)^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), (4*(d - e*x))/(5*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (5*d - 11*e*x)/(15*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (15*d - 22*e*x)/(15*d^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d)/d^4, x, 8),
+(1/(x^2*(d + e*x)^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -((4*e*(d - e*x))/(5*d*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))) - (e*(5*d - 7*e*x))/(5*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (e*(15*d - 19*e*x))/(5*d^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d^5*x) + (3*e*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/d^5, x, 8),
+(1/(x^3*(d + e*x)^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), (4*e^2*(d - e*x))/(5*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (e^2*(25*d - 31*e*x))/(15*d^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (e^2*(90*d - 107*e*x))/(15*d^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(2*d^5*x^2) + (3*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(d^6*x) - (13*e^2*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(2*d^6), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m / (d+e x)^4 (d^2 - e^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d + e*x)^4, (d^4*(d - e*x)^4)/(5*e^6*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (8*d^3*(d - e*x)^3)/(5*e^6*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (10*d^2*(d - e*x)^2)/(e^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (59*d^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*e^6) - (2*d*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e^5 + (x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*e^4) + (18*d^3*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e^6, x, 9),
+(x^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d + e*x)^4, -((d^3*(d - e*x)^4)/(5*e^5*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))) + (19*d^2*(d - e*x)^3)/(15*e^5*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (6*d*(d - e*x)^2)/(e^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - ((20*d - e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e^5) - (19*d^2*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e^5), x, 7),
+(x^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d + e*x)^4, (8*d*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(e^4*(d + e*x)) + (d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(5*e^4*(d + e*x)^4) - (14*d*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(15*e^4*(d + e*x)^3) - (d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/(e^4*(d + e*x)^2) + (4*d*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e^4, x, 9),
+(x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d + e*x)^4, -((2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(e^3*(d + e*x))) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(5*e^3*(d + e*x)^4) + (3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(5*e^3*(d + e*x)^3) - atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e^3, x, 8),
+(x^1*sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d + e*x)^4, (d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/(5*e^2*(d + e*x)^4) - (4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(15*d*e^2*(d + e*x)^3), x, 2),
+(x^0*sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d + e*x)^4, -((d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/(5*d*e*(d + e*x)^4)) - (d^2 - e^2*x^2)^(3//2)/(15*d^2*e*(d + e*x)^3), x, 2),
+(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(x^1*(d + e*x)^4), (8*d*(d - e*x))/(5*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (4*e*x)/(5*d*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (5*d - 8*e*x)/(5*d^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d)/d^3, x, 8),
+(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(x^2*(d + e*x)^4), -((8*e*(d - e*x))/(5*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))) - (4*e*(5*d - 8*e*x))/(15*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (e*(60*d - 79*e*x))/(15*d^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d^4*x) + (4*e*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/d^4, x, 8),
+(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(x^3*(d + e*x)^4), (8*e^2*(d - e*x))/(5*d*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (4*e^2*(10*d - 13*e*x))/(15*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (e^2*(135*d - 164*e*x))/(15*d^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(2*d^4*x^2) + (4*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(d^5*x) - (19*e^2*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(2*d^5), x, 9),
+(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(x^4*(d + e*x)^4), -((8*e^3*(d - e*x))/(5*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))) - (4*e^3*(5*d - 6*e*x))/(5*d^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (e^3*(80*d - 93*e*x))/(5*d^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(3*d^4*x^3) + (2*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(d^5*x^2) - (29*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*d^6*x) + (18*e^3*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/d^6, x, 10),
+
+
+(x^5*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^4, (d^4*(d - e*x)^4)/(e^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (515*d^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(21*e^6) - (49*d^5*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(4*e^5) + (121*d^4*x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(21*e^4) - (17*d^3*x^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(6*e^3) + (11*d^2*x^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(7*e^2) - (2*d*x^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*e) + (1//7)*x^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (65*d^7*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(4*e^6), x, 11),
+(x^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^4, -((d^3*(d - e*x)^4)/(e^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2))) - (337*d^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*e^5) + (175*d^4*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(16*e^4) - (71*d^3*x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*e^3) + (47*d^2*x^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(24*e^2) - (4*d*x^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*e) + (1//6)*x^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2) - (239*d^6*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(16*e^5), x, 10),
+(x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^4, (d^2*(d - e*x)^4)/(e^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (101*d^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*e^4) - (19*d^3*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e^3) + (18*d^2*x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*e^2) - (d*x^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e + (1//5)*x^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (27*d^5*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e^4), x, 9),
+(x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^4, -((d*(d - e*x)^4)/(e^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))) - (95*d^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*e^3) - (95*d^2*(d - e*x)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(24*e^3) - (19*d*(d - e*x)^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(12*e^3) - ((d - e*x)^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(4*e^3) - (95*d^4*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(8*e^3), x, 8),
+(x^1*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^4, (10*d*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e + (20*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(3*e^2) + (8*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(e^2*(d + e*x)^2) + (d^2 - e^2*x^2)^(7//2)/(e^2*(d + e*x)^4) + (10*d^3*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e^2, x, 6),
+(x^0*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^4, -((15*d*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e)) - (5*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(2*e*(d + e*x)) - (2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))/(e*(d + e*x)^3) - (15*d^2*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e), x, 5),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^1*(d + e*x)^4), (8*d*(d - e*x))/sqrt(d^2 - e^2*x^2) + sqrt(d^2 - e^2*x^2) + 4*d*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - d*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^2*(d + e*x)^4), -((8*e*(d - e*x))/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/x - e*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + 4*e*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^3*(d + e*x)^4), (8*e^2*(d - e*x))/(d*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(2*x^2) + (4*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(d*x) - (15*e^2*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(2*d), x, 7),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^4*(d + e*x)^4), -((8*e^3*(d - e*x))/(d^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(3*x^3) + (2*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(d*x^2) - (23*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*d^2*x) + (10*e^3*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/d^2, x, 8),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^5*(d + e*x)^4), (8*e^4*(d - e*x))/(d^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(4*x^4) + (4*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*d*x^3) - (31*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*d^2*x^2) + (32*e^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*d^3*x) - (95*e^4*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(8*d^3), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(x^6*(d + e*x)^4), -((8*e^5*(d - e*x))/(d^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2))) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(5*x^5) + (e*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(d*x^4) - (13*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*d^2*x^3) + (11*e^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*d^3*x^2) - (66*e^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*d^4*x) + (27*e^5*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/(2*d^4), x, 10),
+
+
+(x^2*sqrt(1 - a^2*x^2)/(1 - a*x)^4, (2*sqrt(1 - a^2*x^2))/(a^3*(1 - a*x)) + (1 - a^2*x^2)^(3//2)/(5*a^3*(1 - a*x)^4) - (3*(1 - a^2*x^2)^(3//2))/(5*a^3*(1 - a*x)^3) - asin(a*x)/a^3, x, 7),
+(x^2*sqrt(1 - a^2*x^2)/(1 - a*x)^5, (1 - a^2*x^2)^(3//2)/(7*a^3*(1 - a*x)^5) - (12*(1 - a^2*x^2)^(3//2))/(35*a^3*(1 - a*x)^4) + (23*(1 - a^2*x^2)^(3//2))/(105*a^3*(1 - a*x)^3), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^3/((d + e*x)^4*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), -((24*x)/(5005*d^3*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2))) + d^2/(13*e^4*(d + e*x)^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (30*d)/(143*e^4*(d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + 21/(143*e^4*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + 4/(1001*d*e^4*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (32*x)/(5005*d^5*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (64*x)/(5005*d^7*e^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 9),
+(x^2/((d + e*x)^4*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (14*x)/(2145*d^4*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - d/(13*e^3*(d + e*x)^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + 17/(143*e^3*(d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 7/(1287*d*e^3*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 7/(1287*d^2*e^3*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (56*x)/(6435*d^6*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (112*x)/(6435*d^8*e^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 8),
+(x^1/((d + e*x)^4*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (64*x)/(2145*d^5*e*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + 1/(13*e^2*(d + e*x)^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 4/(143*d*e^2*(d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 32/(1287*d^2*e^2*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 32/(1287*d^3*e^2*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (256*x)/(6435*d^7*e*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (512*x)/(6435*d^9*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 7),
+(x^0/((d + e*x)^4*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (48*x)/(715*d^6*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 1/(13*d*e*(d + e*x)^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 9/(143*d^2*e*(d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 8/(143*d^3*e*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - 8/(143*d^4*e*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (64*x)/(715*d^8*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (128*x)/(715*d^10*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 7),
+(1/(x^1*(d + e*x)^4*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (8*d*(d - e*x))/(13*(d^2 - e^2*x^2)^(13//2)) - (4*e*x)/(13*d*(d^2 - e^2*x^2)^(11//2)) + (13*d - 40*e*x)/(117*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(9//2)) + (117*d - 320*e*x)/(819*d^5*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)) + (273*d - 640*e*x)/(1365*d^7*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (273*d - 512*e*x)/(819*d^9*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (819*d - 1024*e*x)/(819*d^11*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d)/d^11, x, 12),
+(1/(x^2*(d + e*x)^4*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), -((8*e*(d - e*x))/(13*(d^2 - e^2*x^2)^(13//2))) - (4*e*(13*d - 24*e*x))/(143*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(11//2)) - (e*(572*d - 1103*e*x))/(1287*d^4*(d^2 - e^2*x^2)^(9//2)) - (e*(5148*d - 10111*e*x))/(9009*d^6*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)) - (e*(12012*d - 23225*e*x))/(15015*d^8*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (e*(12012*d - 21583*e*x))/(9009*d^10*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) - (e*(36036*d - 52175*e*x))/(9009*d^12*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d^12*x) + (4*e*atanh(sqrt(d^2 - e^2*x^2)/d))/d^12, x, 12),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^(n/2) (d^2 - e^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(c - a*c*x)*sqrt(1 - a^2*x^2)/x^2, -((a*c*sqrt(1 - a^2*x^2))/sqrt(c - a*c*x)) - (c^2*(1 - a^2*x^2)^(3//2))/(x*(c - a*c*x)^(3//2)) + a*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*sqrt(1 - a^2*x^2))/sqrt(c - a*c*x)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(sqrt(c - a*c*x)/(x*sqrt(1 - a^2*x^2)), -2*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*sqrt(1 - a^2*x^2))/sqrt(c - a*c*x)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (g x)^(m/2) (d+e x)^(n/2) (d^2 - e^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# Following pairs of integrands are equal.
+(sqrt(1 - a*x)/sqrt(x), sqrt(x)*sqrt(1 - a*x) + asin(sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(a), x, 3),
+(sqrt(1 - a^2*x^2)/(sqrt(x)*sqrt(1 + a*x)), sqrt(x)*sqrt(1 - a*x) + asin(sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(a), x, 4),
+
+(sqrt(1 + a*x)/sqrt(x), sqrt(x)*sqrt(1 + a*x) + asinh(sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(a), x, 3),
+(sqrt(1 - a^2*x^2)/(sqrt(x)*sqrt(1 - a*x)), sqrt(x)*sqrt(1 + a*x) + asinh(sqrt(a)*sqrt(x))/sqrt(a), x, 4),
+
+(sqrt(x)*sqrt(1 - a*x), -((sqrt(x)*sqrt(1 - a*x))/(4*a)) + (1//2)*x^(3//2)*sqrt(1 - a*x) + asin(sqrt(a)*sqrt(x))/(4*a^(3//2)), x, 4),
+(sqrt(x)*sqrt(1 - a^2*x^2)/sqrt(1 + a*x), -((sqrt(x)*sqrt(1 - a*x))/(4*a)) + (1//2)*x^(3//2)*sqrt(1 - a*x) + asin(sqrt(a)*sqrt(x))/(4*a^(3//2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (g x)^m (d+e x)^n (d^2 - e^2 x^2)^(p/2) when m symbolic
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((g*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)*(d + e*x)^3, -((3*d*(g*x)^(1 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(g*(8 + m))) - (e*(g*x)^(2 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(g^2*(9 + m)) + (d^7*(11 + 4*m)*(g*x)^(1 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(5//2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(g*(1 + m)*(8 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)) + (d^6*e*(29 + 4*m)*(g*x)^(2 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(5//2), (2 + m)/2, (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(g^2*(2 + m)*(9 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)), x, 7),
+((g*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)*(d + e*x)^2, -(((g*x)^(1 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2))/(g*(8 + m))) + (d^6*(9 + 2*m)*(g*x)^(1 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(5//2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(g*(1 + m)*(8 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)) + (2*d^5*e*(g*x)^(2 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(5//2), (2 + m)/2, (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(g^2*(2 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)), x, 6),
+((g*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)*(d + e*x)^1, (d^5*(g*x)^(1 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(5//2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(g*(1 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)) + (d^4*e*(g*x)^(2 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(5//2), (2 + m)/2, (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(g^2*(2 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)), x, 5),
+((g*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)*(d + e*x)^0, (d^4*(g*x)^(1 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(5//2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(g*(1 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)), x, 2),
+((g*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^1, (d^3*(g*x)^(1 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(g*(1 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)) - (d^2*e*(g*x)^(2 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), (2 + m)/2, (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(g^2*(2 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)), x, 8),
+((g*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^2, -(((g*x)^(1 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(g*(4 + m))) + (d^2*(5 + 2*m)*(g*x)^(1 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(g*(1 + m)*(4 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)) - (2*d*e*(g*x)^(2 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), (2 + m)/2, (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(g^2*(2 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)), x, 7),
+((g*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^3, -((3*d*(g*x)^(1 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(g*(2 + m))) + (e*(g*x)^(2 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(g^2*(3 + m)) + (d^3*(5 + 4*m)*(g*x)^(1 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(g*(1 + m)*(2 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (d^2*e*(11 + 4*m)*(g*x)^(2 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(g^2*(2 + m)*(3 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((g*x)^m*(d + e*x)^3/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (4*(g*x)^(1 + m)*(d + e*x))/(5*g*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + ((1 - 4*m)*(g*x)^(1 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(5*d^3*g*(1 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (e*(7 - 4*m)*(g*x)^(2 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(5*d^4*g^2*(2 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 6),
+((g*x)^m*(d + e*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), (2*(g*x)^(1 + m)*(d + e*x))/(5*d*g*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + ((3 - 2*m)*(g*x)^(1 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(5*d^4*g*(1 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (2*e*(3 - m)*(g*x)^(2 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(5*d^5*g^2*(2 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 6),
+# {(g*x)^m*(d + e*x)^1/(d^2 - e^2*x^2)^(7/2), x, 5, ((g*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-4 + m), (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2])/(d*g*(1 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^(5/2)) + (e*(g*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-3 + m), (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2])/(d^2*g^2*(2 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^(5/2)), ((g*x)^(1 + m)*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*Hypergeometric2F1[7/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2])/(d^5*g*(1 + m)*Sqrt[d^2 - e^2*x^2]) + (e*(g*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*Hypergeometric2F1[7/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2])/(d^6*g^2*(2 + m)*Sqrt[d^2 - e^2*x^2])}
+((g*x)^m*(d + e*x)^0/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), ((g*x)^(1 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(7//2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(d^6*g*(1 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 2),
+((g*x)^m/((d + e*x)^1*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), ((g*x)^(1 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(9//2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(d^7*g*(1 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (e*(g*x)^(2 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(9//2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(d^8*g^2*(2 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 8),
+((g*x)^m/((d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (2*(g*x)^(1 + m)*(d - e*x))/(9*d*g*(d^2 - e^2*x^2)^(9//2)) + ((7 - 2*m)*(g*x)^(1 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(9//2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(9*d^8*g*(1 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (2*e*(7 - m)*(g*x)^(2 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(9//2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(9*d^9*g^2*(2 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 7),
+((g*x)^m/((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (4*(g*x)^(1 + m)*(d - e*x))/(11*g*(d^2 - e^2*x^2)^(11//2)) + ((7 - 4*m)*(g*x)^(1 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(11//2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(11*d^9*g*(1 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (e*(25 - 4*m)*(g*x)^(2 + m)*sqrt(1 - (e^2*x^2)/d^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(11//2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/(11*d^10*g^2*(2 + m)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^n (d^2 - e^2 x^2)^p when p symbolic
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(x^5*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^p, -((d^5*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(2*e^6*(1 + p))) + (d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(2 + p))/(e^6*(2 + p)) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^(3 + p))/(2*e^6*(3 + p)) + ((1//7)*e*x^7*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(7//2, -p, 9//2, (e^2*x^2)/d^2))/(1 - (e^2*x^2)/d^2)^p, x, 6),
+(x^4*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^p, -((d^4*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(2*e^5*(1 + p))) + (d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(2 + p))/(e^5*(2 + p)) - (d^2 - e^2*x^2)^(3 + p)/(2*e^5*(3 + p)) + ((1//5)*d*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -p, 7//2, (e^2*x^2)/d^2))/(1 - (e^2*x^2)/d^2)^p, x, 6),
+(x^3*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^p, -((d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(2*e^4*(1 + p))) + (d*(d^2 - e^2*x^2)^(2 + p))/(2*e^4*(2 + p)) + ((1//5)*e*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -p, 7//2, (e^2*x^2)/d^2))/(1 - (e^2*x^2)/d^2)^p, x, 6),
+(x^2*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^p, -((d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(2*e^3*(1 + p))) + (d^2 - e^2*x^2)^(2 + p)/(2*e^3*(2 + p)) + ((1//3)*d*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -p, 5//2, (e^2*x^2)/d^2))/(1 - (e^2*x^2)/d^2)^p, x, 6),
+(x^1*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^p, -((d*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(2*e^2*(1 + p))) + ((1//3)*e*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -p, 5//2, (e^2*x^2)/d^2))/(1 - (e^2*x^2)/d^2)^p, x, 4),
+(x^0*(d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^p, -((d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/(2*e*(1 + p))) + (d*x*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, (e^2*x^2)/d^2))/(1 - (e^2*x^2)/d^2)^p, x, 3),
+((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^p/x^1, (e*x*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, (e^2*x^2)/d^2))/(1 - (e^2*x^2)/d^2)^p - ((d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*d*(1 + p)), x, 5),
+((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^p/x^2, -((d*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), -p, 1//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*x)) - (e*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*d^2*(1 + p)), x, 5),
+((d + e*x)*(d^2 - e^2*x^2)^p/x^3, -((e*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), -p, 1//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*x)) - (e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + p, 2 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*d^3*(1 + p)), x, 5),
+
+
+(x^5*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^p, -((d^6*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(e^6*(1 + p))) + (5*d^4*(d^2 - e^2*x^2)^(2 + p))/(2*e^6*(2 + p)) - (2*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3 + p))/(e^6*(3 + p)) + (d^2 - e^2*x^2)^(4 + p)/(2*e^6*(4 + p)) + ((2//7)*d*e*x^7*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(7//2, -p, 9//2, (e^2*x^2)/d^2))/(1 - (e^2*x^2)/d^2)^p, x, 7),
+(x^4*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^p, -((d^5*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(e^5*(1 + p))) - (x^5*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(7 + 2*p) + (2*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(2 + p))/(e^5*(2 + p)) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^(3 + p))/(e^5*(3 + p)) + (2*d^2*(6 + p)*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -p, 7//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(5*(7 + 2*p))), x, 8),
+(x^3*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^p, -((d^4*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(e^4*(1 + p))) + (3*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(2 + p))/(2*e^4*(2 + p)) - (d^2 - e^2*x^2)^(3 + p)/(2*e^4*(3 + p)) + ((2//5)*d*e*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -p, 7//2, (e^2*x^2)/d^2))/(1 - (e^2*x^2)/d^2)^p, x, 7),
+(x^2*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^p, -((d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(e^3*(1 + p))) - (x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(5 + 2*p) + (d*(d^2 - e^2*x^2)^(2 + p))/(e^3*(2 + p)) + (2*d^2*(4 + p)*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -p, 5//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(3*(5 + 2*p))), x, 8),
+(x^1*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^p, -((d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(e^2*(1 + p))) + (d^2 - e^2*x^2)^(2 + p)/(2*e^2*(2 + p)) + ((2//3)*d*e*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -p, 5//2, (e^2*x^2)/d^2))/(1 - (e^2*x^2)/d^2)^p, x, 7),
+(x^0*(d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^p, -((2^(2 + p)*d*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-2 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)))/(e*(1 + p))), x, 2),
+((d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^p/x^1, -((d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/(2*(1 + p))) + (2*d*e*x*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, (e^2*x^2)/d^2))/(1 - (e^2*x^2)/d^2)^p - ((d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*(1 + p)), x, 7),
+((d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^p/x^2, -((d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/x) - (2*e^2*p*x*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, (e^2*x^2)/d^2))/(1 - (e^2*x^2)/d^2)^p - (e*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(d*(1 + p)), x, 6),
+((d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^p/x^3, -((d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/(2*x^2)) - (2*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), -p, 1//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*x) - (e^2*(1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*d^2*(1 + p)), x, 6),
+
+
+(x^5*(d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^p, -((2*d^7*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(e^6*(1 + p))) - (e*x^7*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(9 + 2*p) + (11*d^5*(d^2 - e^2*x^2)^(2 + p))/(2*e^6*(2 + p)) - (5*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3 + p))/(e^6*(3 + p)) + (3*d*(d^2 - e^2*x^2)^(4 + p))/(2*e^6*(4 + p)) + (2*d^2*e*(17 + 3*p)*x^7*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(7//2, -p, 9//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(7*(9 + 2*p))), x, 7),
+(x^4*(d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^p, -((2*d^6*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(e^5*(1 + p))) - (3*d*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(7 + 2*p) + (9*d^4*(d^2 - e^2*x^2)^(2 + p))/(2*e^5*(2 + p)) - (3*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3 + p))/(e^5*(3 + p)) + (d^2 - e^2*x^2)^(4 + p)/(2*e^5*(4 + p)) + (2*d^3*(11 + p)*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -p, 7//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(5*(7 + 2*p))), x, 7),
+(x^3*(d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^p, -((2*d^5*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(e^4*(1 + p))) - (e*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(7 + 2*p) + (7*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(2 + p))/(2*e^4*(2 + p)) - (3*d*(d^2 - e^2*x^2)^(3 + p))/(2*e^4*(3 + p)) + (2*d^2*e*(13 + 3*p)*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -p, 7//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(5*(7 + 2*p))), x, 7),
+(x^2*(d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^p, -((2*d^4*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(e^3*(1 + p))) - (3*d*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(5 + 2*p) + (5*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(2 + p))/(2*e^3*(2 + p)) - (d^2 - e^2*x^2)^(3 + p)/(2*e^3*(3 + p)) + (2*d^3*(7 + p)*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -p, 5//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(3*(5 + 2*p))), x, 7),
+# {x^1*(d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^p, x, 3, If[$VersionNumber>=8, -(((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(e^2*(5 + 2*p))) - (3*2^(3 + p)*d^3*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-3 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)])/(e^2*(1 + p)*(5 + 2*p)), -(((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(e^2*(5 + 2*p))) - (3*2^(3 + p)*d^3*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-3 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)])/(e^2*(5 + 7*p + 2*p^2))]}
+(x^0*(d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^p, -((2^(3 + p)*d^2*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-3 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)))/(e*(1 + p))), x, 2),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^p/x^1, -((3*d*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(2*(1 + p))) - (e*x*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(3 + 2*p) + (2*d^2*e*(5 + 3*p)*x*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(3 + 2*p)) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*(1 + p)), x, 7),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^p/x^2, -((e*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(2*(1 + p))) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/x + (2*d*e^2*(1 - p)*x*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, (e^2*x^2)/d^2))/(1 - (e^2*x^2)/d^2)^p - (3*e*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*(1 + p)), x, 8),
+((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^p/x^3, -((d*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(2*x^2)) - (3*e*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/x - (2*e^3*(1 + 3*p)*x*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, (e^2*x^2)/d^2))/(1 - (e^2*x^2)/d^2)^p - (e^2*(3 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*d*(1 + p)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(x^4*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x), (d^4*(d^2 - e^2*x^2)^p)/(2*e^5*p) - (d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(e^5*(1 + p)) + (d^2 - e^2*x^2)^(2 + p)/(2*e^5*(2 + p)) + (x^5*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, 1 - p, 7//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(5*d)), x, 7),
+(x^3*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x), -((d^3*(d^2 - e^2*x^2)^p)/(2*e^4*p)) + (d*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(2*e^4*(1 + p)) - (e*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, 1 - p, 7//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(5*d^2)), x, 7),
+(x^2*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x), (d^2*(d^2 - e^2*x^2)^p)/(2*e^3*p) - (d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/(2*e^3*(1 + p)) + (x^3*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, 1 - p, 5//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(3*d)), x, 7),
+(x^1*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x), -((d*(d^2 - e^2*x^2)^p)/(2*e^2*p)) - (e*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, 1 - p, 5//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(3*d^2)), x, 5),
+(x^0*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x), -((2^(-1 + p)*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)))/(d^2*e*(1 + p))), x, 2),
+((d^2 - e^2*x^2)^p/(x^1*(d + e*x)), -((e*x*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 1 - p, 3//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*d^2)) - ((d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, p, 1 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*d*p), x, 6),
+((d^2 - e^2*x^2)^p/(x^2*(d + e*x)), -(((d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), 1 - p, 1//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(d*x))) + (e*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, p, 1 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*d^2*p), x, 6),
+((d^2 - e^2*x^2)^p/(x^3*(d + e*x)), (e*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), 1 - p, 1//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(d^2*x)) - (e^2*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, p, 1 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*d^3*p), x, 6),
+
+
+(x^5*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^2, (d^6*(d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p))/(e^6*(1 - p)) + (5*d^4*(d^2 - e^2*x^2)^p)/(2*e^6*p) - (2*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(e^6*(1 + p)) + (d^2 - e^2*x^2)^(2 + p)/(2*e^6*(2 + p)) - (2*e*x^7*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(7//2, 2 - p, 9//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(7*d^3)), x, 8),
+(x^4*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^2, -((d^5*(d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p))/(e^5*(1 - p))) - (x^5*(d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p))/(3 + 2*p) - (2*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^p)/(e^5*p) + (d*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(e^5*(1 + p)) + (2*(4 + p)*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, 2 - p, 7//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(5*d^2*(3 + 2*p))), x, 9),
+(x^3*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^2, (d^4*(d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p))/(e^4*(1 - p)) + (3*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^p)/(2*e^4*p) - (d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/(2*e^4*(1 + p)) - (2*e*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, 2 - p, 7//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(5*d^3)), x, 8),
+(x^2*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^2, -((d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p))/(e^3*(1 - p))) - (x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p))/(1 + 2*p) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^p)/(e^3*p) + (2*(2 + p)*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, 2 - p, 5//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(3*d^2*(1 + 2*p))), x, 9),
+(x^1*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^2, (d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/(2*e^2*(1 - p)*(d + e*x)^2) - (2^(-1 + p)*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)))/(d^2*e^2*(1 - p^2)), x, 3),
+(x^0*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^2, -((2^(-2 + p)*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)))/(d^3*e*(1 + p))), x, 2),
+((d^2 - e^2*x^2)^p/(x^1*(d + e*x)^2), (d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p)/(1 - p) - (2*e*x*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 2 - p, 3//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*d^3) - ((d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, p, 1 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*d^2*p), x, 8),
+((d^2 - e^2*x^2)^p/(x^2*(d + e*x)^2), -((d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p)/x) + (2*e^2*(2 - p)*x*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 2 - p, 3//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*d^4) - (e*(d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -1 + p, p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(d*(1 - p)), x, 7),
+((d^2 - e^2*x^2)^p/(x^3*(d + e*x)^2), -((d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p)/(2*x^2)) + (2*e*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), 2 - p, 1//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(d^3*x)) + (e^2*(3 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -1 + p, p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*d^2*(1 - p)), x, 7),
+((d^2 - e^2*x^2)^p/(x^4*(d + e*x)^2), -((d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p)/(3*x^3)) - (2*e^2*(4 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), 2 - p, 1//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(3*d^4*x)) - (e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, -1 + p, p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(d^3*(1 - p)), x, 7),
+((d^2 - e^2*x^2)^p/(x^5*(d + e*x)^2), -((d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p)/(4*x^4)) + (2*e*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), 2 - p, -(1//2), (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(3*d^3*x^3)) + (e^4*(5 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, -1 + p, p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(4*d^4*(1 - p)), x, 7),
+
+
+(x^4*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^3, -((2*d^6*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p))/(e^5*(2 - p))) - (3*d*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p))/(1 + 2*p) + (9*d^4*(d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p))/(2*e^5*(1 - p)) + (3*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^p)/(e^5*p) - (d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/(2*e^5*(1 + p)) + (2*(8 + p)*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, 3 - p, 7//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(5*d^3*(1 + 2*p))), x, 8),
+(x^3*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^3, (2*d^5*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p))/(e^4*(2 - p)) + (e*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p))/(1 + 2*p) - (7*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p))/(2*e^4*(1 - p)) - (3*d*(d^2 - e^2*x^2)^p)/(2*e^4*p) - (2*e*(4 + 3*p)*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, 3 - p, 7//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(5*d^4*(1 + 2*p))), x, 8),
+# {x^2*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^3, x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((d*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(2*e^3*(2 - p)*(d + e*x)^3)) - (d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/(2*e^3*p*(d + e*x)^2) + (2^(-3 + p)*(4 + p)*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[2 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)])/(d^2*e^3*(2 - p)*p*(1 + p)), -((d*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(2*e^3*(2 - p)*(d + e*x)^3)) - (d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/(2*e^3*p*(d + e*x)^2) + (2^(-3 + p)*(4 + p)*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[2 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)])/(d^2*e^3*p*(2 + p - p^2))]}
+# {x^1*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^3, x, 3, If[$VersionNumber>=8, (d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/(2*e^2*(2 - p)*(d + e*x)^3) - (3*2^(-3 + p)*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[2 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)])/(d^3*e^2*(2 - p)*(1 + p)), (d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/(2*e^2*(2 - p)*(d + e*x)^3) - (3*2^(-3 + p)*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[2 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)])/(d^3*e^2*(2 + p - p^2))]}
+(x^0*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^3, -((2^(-3 + p)*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)))/(d^4*e*(1 + p))), x, 2),
+((d^2 - e^2*x^2)^p/(x^1*(d + e*x)^3), (2*d*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p))/(2 - p) - (e*x*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p))/(3 - 2*p) - (2*e*(4 - 3*p)*x*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 3 - p, 3//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(d^4*(3 - 2*p))) + ((d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -1 + p, p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*d*(1 - p)), x, 8),
+((d^2 - e^2*x^2)^p/(x^2*(d + e*x)^3), -((2*e*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p))/(2 - p)) - (d*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p))/x + (2*e^2*(4 - p)*x*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 3 - p, 3//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*d^5) - (3*e*(d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -1 + p, p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*d^2*(1 - p)), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^p/(x^3*(d + e*x)^3), -((d*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p))/(2*x^2)) + (3*e*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p))/x - (2*e^3*(8 - 3*p)*x*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 3 - p, 3//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*d^6) + (e^2*(6 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -2 + p, -1 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*d*(2 - p)), x, 8),
+((d^2 - e^2*x^2)^p/(x^4*(d + e*x)^3), -((d*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p))/(3*x^3)) + (3*e*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p))/(2*x^2) - (2*e^2*(8 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), 3 - p, 1//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(3*d^5*x)) - (e^3*(10 - 3*p)*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -2 + p, -1 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*d^2*(2 - p)), x, 8),
+((d^2 - e^2*x^2)^p/(x^5*(d + e*x)^3), -((d*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p))/(4*x^4)) + (e*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p))/x^3 + (2*e^3*(4 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), 3 - p, 1//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(d^6*x)) + (e^4*(10 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, -2 + p, -1 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(4*d^3*(2 - p)), x, 8),
+
+
+(x^4*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^4, -((4*d^7*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p))/(e^5*(3 - p))) + (d^2*(13 + 12*p)*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p))/(1 - 4*p^2) - (e^2*x^7*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p))/(1 + 2*p) + (10*d^5*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p))/(e^5*(2 - p)) - (8*d^3*(d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p))/(e^5*(1 - p)) - (2*d*(d^2 - e^2*x^2)^p)/(e^5*p) - (4*(16 + 15*p + p^2)*x^5*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, 4 - p, 7//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(5*d^4*(1 - 4*p^2))), x, 9),
+# {x^3*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^4, x, 5, If[$VersionNumber>=8, (d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(2*e^4*(3 - p)*(d + e*x)^4) - (d*(1 + 2*p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(e^4*(1 - 2*p)*p*(d + e*x)^3) - (d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/(2*e^4*p*(d + e*x)^2) + (3*2^(-2 + p)*(2 + p)*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[3 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)])/(d^2*e^4*(1 - 2*p)*(3 - p)*p*(1 + p)), (d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(2*e^4*(3 - p)*(d + e*x)^4) - (d*(1 + 2*p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(e^4*(1 - 2*p)*p*(d + e*x)^3) - (d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/(2*e^4*p*(d + e*x)^2) + (3*2^(-2 + p)*(2 + p)*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[3 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)])/(d^2*e^4*p*(3 - 4*p - 5*p^2 + 2*p^3))]}
+# {x^2*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^4, x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((d*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(2*e^3*(3 - p)*(d + e*x)^4)) + (d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/(e^3*(1 - 2*p)*(d + e*x)^3) - (2^(-3 + p)*(7 + p)*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[3 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)])/(d^3*e^3*(1 - 2*p)*(3 - p)*(1 + p)), -((d*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(2*e^3*(3 - p)*(d + e*x)^4)) + (d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/(e^3*(1 - 2*p)*(d + e*x)^3) - (2^(-3 + p)*(7 + p)*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[3 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)])/(d^3*e^3*(3 - 4*p - 5*p^2 + 2*p^3))]}
+# {x^1*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^4, x, 3, If[$VersionNumber>=8, (d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/(2*e^2*(3 - p)*(d + e*x)^4) - (2^(-2 + p)*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[3 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)])/(d^4*e^2*(3 - p)*(1 + p)), (d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/(2*e^2*(3 - p)*(d + e*x)^4) - (2^(-2 + p)*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[3 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)])/(d^4*e^2*(3 + 2*p - p^2))]}
+(x^0*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^4, -((2^(-4 + p)*(1 + (e*x)/d)^(-1 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)))/(d^5*e*(1 + p))), x, 2),
+((d^2 - e^2*x^2)^p/(x^1*(d + e*x)^4), (4*d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p))/(3 - p) - (4*d*e*x*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p))/(5 - 2*p) - (d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p)/(2*(2 - p)) - (8*e*(2 - p)*x*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 4 - p, 3//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(d^5*(5 - 2*p))) + ((d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -2 + p, -1 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*(2 - p)), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^p/(x^2*(d + e*x)^4), -((4*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p))/(3 - p)) - (d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p))/x + (e^2*x*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p))/(5 - 2*p) + (4*e^2*(16 - 9*p + p^2)*x*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 4 - p, 3//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(d^6*(5 - 2*p))) - (2*e*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -2 + p, -1 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(d*(2 - p)), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^p/(x^3*(d + e*x)^4), (e^2*(11 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p))/(2*(3 - p)) - (d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p))/(2*x^2) + (4*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p))/x - (8*e^3*(4 - p)*x*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 4 - p, 3//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*d^7) + (e^2*(10 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -2 + p, -1 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(2*d^2*(2 - p)), x, 10),
+((d^2 - e^2*x^2)^p/(x^4*(d + e*x)^4), -((d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p))/(3*x^3)) + (2*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p))/x^2 - (e^2*(27 - 2*p)*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p))/(3*x) + (4*e^4*(48 - 17*p + p^2)*x*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 4 - p, 3//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(3*d^8)) - (2*e^3*(5 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -3 + p, -2 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(d*(3 - p)), x, 9),
+((d^2 - e^2*x^2)^p/(x^5*(d + e*x)^4), -((d^2*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p))/(4*x^4)) + (4*d*e*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p))/(3*x^3) - (e^2*(17 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p))/(4*x^2) + (8*e^3*(6 - p)*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), 4 - p, 1//2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(3*d^7*x)) + (e^4*(70 - 21*p + p^2)*(d^2 - e^2*x^2)^(-3 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -3 + p, -2 + p, 1 - (e^2*x^2)/d^2))/(4*d^2*(3 - p)), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (g x)^m (d+e x)^n (d^2 - e^2 x^2)^p when m and p symbolic
+
+
+((g*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^p*(d + e*x)^3, -((3*d*(g*x)^(1 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(g*(3 + m + 2*p))) - (e*(g*x)^(2 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(g^2*(4 + m + 2*p)) + (2*d^3*(3 + 2*m + p)*(g*x)^(1 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(g*(1 + m)*(3 + m + 2*p))) + (2*d^2*e*(7 + 2*m + 3*p)*(g*x)^(2 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((2 + m)/2, -p, (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(g^2*(2 + m)*(4 + m + 2*p))), x, 7),
+((g*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^p*(d + e*x)^2, -(((g*x)^(1 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^(1 + p))/(g*(3 + m + 2*p))) + (2*d^2*(2 + m + p)*(g*x)^(1 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(g*(1 + m)*(3 + m + 2*p))) + (2*d*e*(g*x)^(2 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((2 + m)/2, -p, (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(g^2*(2 + m))), x, 6),
+((g*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^p*(d + e*x)^1, (d*(g*x)^(1 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(g*(1 + m))) + (e*(g*x)^(2 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((2 + m)/2, -p, (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(g^2*(2 + m))), x, 5),
+((g*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^p*(d + e*x)^0, ((g*x)^(1 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(g*(1 + m))), x, 2),
+((g*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^1, ((g*x)^(1 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, 1 - p, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(d*g*(1 + m))) - (e*(g*x)^(2 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((2 + m)/2, 1 - p, (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(d^2*g^2*(2 + m))), x, 8),
+((g*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^2, ((g*x)^(1 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^(-1 + p))/(g*(1 - m - 2*p)) - (2*(m + p)*(g*x)^(1 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, 2 - p, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(d^2*g*(1 + m)*(1 - m - 2*p))) - (2*e*(g*x)^(2 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((2 + m)/2, 2 - p, (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(d^3*g^2*(2 + m))), x, 7),
+((g*x)^m*(d^2 - e^2*x^2)^p/(d + e*x)^3, (3*d*(g*x)^(1 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p))/(g*(3 - m - 2*p)) - (e*(g*x)^(2 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^(-2 + p))/(g^2*(2 - m - 2*p)) - (2*(2*m + p)*(g*x)^(1 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, 3 - p, (3 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(d^3*g*(1 + m)*(3 - m - 2*p))) - (2*e*(2 - 2*m - 3*p)*(g*x)^(2 + m)*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((2 + m)/2, 3 - p, (4 + m)/2, (e^2*x^2)/d^2))/((1 - (e^2*x^2)/d^2)^p*(d^4*g^2*(2 + m)*(2 - m - 2*p))), x, 8),
+
+
+((g*x)^m*(1 - a^2*x^2)^p/(1 + a*x), ((g*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, 1 - p, (3 + m)/2, a^2*x^2))/(g*(1 + m)) - (a*(g*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((2 + m)/2, 1 - p, (4 + m)/2, a^2*x^2))/(g^2*(2 + m)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (g x)^m (d+e x)^n (d^2 - e^2 x^2)^p when n and p symbolic
+
+
+((g*x)^m*(d + e*x)^n*(d^2 - e^2*x^2)^p, ((g*x)^(1 + m)*(d + e*x)^n*(1 + (e*x)/d)^(-n - p)*(d^2 - e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -p, -n - p, 2 + m, (e*x)/d, -((e*x)/d)))/((1 - (e*x)/d)^p*(g*(1 + m))), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (g x)^m (d+e x)^n (a+b x+c x^2)^p when b=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^(n/2) (a+c x^2)^p
+
+
+(x*sqrt(1 + x)/(1 + x^2), 2*sqrt(1 + x) + atan((sqrt(2*(1 + sqrt(2))) - 2*sqrt(1 + x))/sqrt(2*(-1 + sqrt(2))))/sqrt(2*(1 + sqrt(2))) - atan((sqrt(2*(1 + sqrt(2))) + 2*sqrt(1 + x))/sqrt(2*(-1 + sqrt(2))))/sqrt(2*(1 + sqrt(2))) + (1//2)*sqrt((1//2)*(1 + sqrt(2)))*log(1 + sqrt(2) + x - sqrt(2*(1 + sqrt(2)))*sqrt(1 + x)) - (1//2)*sqrt((1//2)*(1 + sqrt(2)))*log(1 + sqrt(2) + x + sqrt(2*(1 + sqrt(2)))*sqrt(1 + x)), x, 11),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m / (d+e x)^1 (a+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^4*sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x), (d*(8*c*d^3 - e*(4*c*d^2 - a*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*c*e^5) + ((47*c*d^2 - 8*a*e^2)*(a + c*x^2)^(3//2))/(60*c^2*e^3) - (13*d*(d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(20*c*e^3) + ((d + e*x)^2*(a + c*x^2)^(3//2))/(5*c*e^3) - (d*(8*c^2*d^4 + 4*a*c*d^2*e^2 - a^2*e^4)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*c^(3//2)*e^6) - (d^4*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/e^6, x, 9),
+(x^3*sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x), -(((8*c*d^3 - e*(4*c*d^2 - a*e^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*c*e^4)) - (7*d*(a + c*x^2)^(3//2))/(12*c*e^2) + ((d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(4*c*e^2) + ((8*c^2*d^4 + 4*a*c*d^2*e^2 - a^2*e^4)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*c^(3//2)*e^5) + (d^3*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/e^5, x, 8),
+(x^2*sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x), (d*(2*d - e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*e^3) + (a + c*x^2)^(3//2)/(3*c*e) - (d*(2*c*d^2 + a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*sqrt(c)*e^4) - (d^2*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/e^4, x, 8),
+(x^1*sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x), -(((2*d - e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*e^2)) + ((2*c*d^2 + a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*sqrt(c)*e^3) + (d*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/e^3, x, 6),
+(x^0*sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x), sqrt(a + c*x^2)/e - (sqrt(c)*d*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/e^2 - (sqrt(c*d^2 + a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/e^2, x, 6),
+(sqrt(a + c*x^2)/(x^1*(d + e*x)), (sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/e + (sqrt(c*d^2 + a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(d*e) - (sqrt(a)*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/d, x, 9),
+(sqrt(a + c*x^2)/(x^2*(d + e*x)), -(sqrt(a + c*x^2)/(d*x)) - (sqrt(c*d^2 + a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/d^2 + (sqrt(a)*e*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/d^2, x, 15),
+(sqrt(a + c*x^2)/(x^3*(d + e*x)), -(sqrt(a + c*x^2)/(2*d*x^2)) + (e*sqrt(a + c*x^2))/(d^2*x) + (e*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/d^3 - (c*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*d) - (sqrt(a)*e^2*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/d^3, x, 19),
+(sqrt(a + c*x^2)/(x^4*(d + e*x)), (e*sqrt(a + c*x^2))/(2*d^2*x^2) - (e^2*sqrt(a + c*x^2))/(d^3*x) - (a + c*x^2)^(3//2)/(3*a*d*x^3) - (e^2*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/d^4 + (c*e*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*d^2) + (sqrt(a)*e^3*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/d^4, x, 20),
+(sqrt(a + c*x^2)/(x^5*(d + e*x)), -(sqrt(a + c*x^2)/(4*d*x^4)) - (c*sqrt(a + c*x^2))/(8*a*d*x^2) - (e^2*sqrt(a + c*x^2))/(2*d^3*x^2) + (e^3*sqrt(a + c*x^2))/(d^4*x) + (e*(a + c*x^2)^(3//2))/(3*a*d^2*x^3) + (e^3*sqrt(c*d^2 + a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/d^5 + (c^2*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(8*a^(3//2)*d) - (c*e^2*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*d^3) - (sqrt(a)*e^4*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/d^5, x, 25),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4/((d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), ((11*c*d^2 - 4*a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))/(6*c^2*e^3) - (7*d*(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(6*c*e^3) + ((d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2))/(3*c*e^3) - (d*(2*c*d^2 - a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*c^(3//2)*e^4) - (d^4*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(e^4*sqrt(c*d^2 + a*e^2)), x, 8),
+(x^3/((d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), -((3*d*sqrt(a + c*x^2))/(2*c*e^2)) + ((d + e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*c*e^2) + ((2*c*d^2 - a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*c^(3//2)*e^3) + (d^3*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(e^3*sqrt(c*d^2 + a*e^2)), x, 7),
+(x^2/((d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), sqrt(a + c*x^2)/(c*e) - (d*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(sqrt(c)*e^2) - (d^2*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(e^2*sqrt(c*d^2 + a*e^2)), x, 7),
+(x^1/((d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2))/(sqrt(c)*e) + (d*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(e*sqrt(c*d^2 + a*e^2)), x, 5),
+(x^0/((d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), -(atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2)))/sqrt(c*d^2 + a*e^2)), x, 2),
+(1/(x^1*(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), (e*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(d*sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a))/(sqrt(a)*d), x, 7),
+(1/(x^2*(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), -(sqrt(a + c*x^2)/(a*d*x)) - (e^2*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(d^2*sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + (e*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*d^2), x, 8),
+(1/(x^3*(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), -(sqrt(a + c*x^2)/(2*a*d*x^2)) + (e*sqrt(a + c*x^2))/(a*d^2*x) + (e^3*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(d^3*sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + (c*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*d) - (e^2*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*d^3), x, 12),
+
+
+(x^4/((d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2)), (a*(a*e + c*d*x))/(c^2*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2)) + sqrt(a + c*x^2)/(c^2*e) - (d*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(c^(3//2)*e^2) - (d^4*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(e^2*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)), x, 7),
+(x^3/((d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2)), (a*(d - e*x))/(c*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2)) + atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2))/(c^(3//2)*e) + (d^3*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(e*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)), x, 6),
+(x^2/((d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2)), -((a*e + c*d*x)/(c*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))) - (d^2*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(c*d^2 + a*e^2)^(3//2), x, 4),
+(x^1/((d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2)), -((d - e*x)/((c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))) + (d*e*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(c*d^2 + a*e^2)^(3//2), x, 4),
+(x^0/((d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2)), (a*e + c*d*x)/(a*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2)) - (e^2*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(c*d^2 + a*e^2)^(3//2), x, 4),
+(1/(x^1*(d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2)), 1/(a*d*sqrt(a + c*x^2)) - (e*(a*e + c*d*x))/(a*d*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2)) + (e^3*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(d*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)) - atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a))/(a^(3//2)*d), x, 10),
+(1/(x^2*(d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2)), -(e/(a*d^2*sqrt(a + c*x^2))) - 1/(a*d*x*sqrt(a + c*x^2)) - (2*c*x)/(a^2*d*sqrt(a + c*x^2)) + (e^2*(a*e + c*d*x))/(a*d^2*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2)) - (e^4*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(d^2*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)) + (e*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*d^2), x, 12),
+(1/(x^3*(d + e*x)*(a + c*x^2)^(3//2)), -((3*c)/(2*a^2*d*sqrt(a + c*x^2))) + e^2/(a*d^3*sqrt(a + c*x^2)) - 1/(2*a*d*x^2*sqrt(a + c*x^2)) + e/(a*d^2*x*sqrt(a + c*x^2)) + (2*c*e*x)/(a^2*d^2*sqrt(a + c*x^2)) - (e^3*(a*e + c*d*x))/(a*d^3*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2)) + (e^5*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(d^3*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)) + (3*c*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)*d) - (e^2*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*d^3), x, 17),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m / (d+e x)^2 (a+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5/((d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2)), ((13*c*d^2 - 2*a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))/(3*c^2*e^4) + (d^5*sqrt(a + c*x^2))/(e^4*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)) - (5*d*(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*c*e^4) + ((d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2))/(3*c*e^4) - (d*(4*c*d^2 - a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(c^(3//2)*e^5) - (d^4*(4*c*d^2 + 5*a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(e^5*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)), x, 9),
+(x^4/((d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2)), -((5*d*sqrt(a + c*x^2))/(2*c*e^3)) - (d^4*sqrt(a + c*x^2))/(e^3*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)) + ((d + e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*c*e^3) + ((6*c*d^2 - a*e^2)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*c^(3//2)*e^4) + (d^3*(3*c*d^2 + 4*a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(e^4*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)), x, 8),
+(x^3/((d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2)), sqrt(a + c*x^2)/(c*e^2) + (d^3*sqrt(a + c*x^2))/(e^2*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)) - (2*d*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(sqrt(c)*e^3) - (d^2*(2*c*d^2 + 3*a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(e^3*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)), x, 7),
+(x^2/((d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2)), -((d^2*sqrt(a + c*x^2))/(e*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x))) + atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2))/(sqrt(c)*e^2) + (d*(c*d^2 + 2*a*e^2)*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(e^2*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)), x, 6),
+(x^1/((d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2)), (d*sqrt(a + c*x^2))/((c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)) - (a*e*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(c*d^2 + a*e^2)^(3//2), x, 3),
+(x^0/((d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2)), -((e*sqrt(a + c*x^2))/((c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x))) - (c*d*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(c*d^2 + a*e^2)^(3//2), x, 3),
+(1/(x^1*(d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2)), (e^2*sqrt(a + c*x^2))/(d*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)) + (c*e*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(c*d^2 + a*e^2)^(3//2) + (e*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(d^2*sqrt(c*d^2 + a*e^2)) - atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a))/(sqrt(a)*d^2), x, 10),
+(1/(x^2*(d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2)), -(sqrt(a + c*x^2)/(a*d^2*x)) - (e^3*sqrt(a + c*x^2))/(d^2*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)) - (c*e^2*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(d*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)) - (2*e^2*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(d^3*sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + (2*e*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*d^3), x, 11),
+(1/(x^3*(d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2)), -(sqrt(a + c*x^2)/(2*a*d^2*x^2)) + (2*e*sqrt(a + c*x^2))/(a*d^3*x) + (e^4*sqrt(a + c*x^2))/(d^3*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)) + (c*e^3*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(d^2*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)) + (3*e^3*atanh((a*e - c*d*x)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(d^4*sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + (c*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*d^2) - (3*e^2*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*d^4), x, 15),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^n (a+c x^2)^p when n symbolic
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^2*(a + b*x)^n*(c + d*x^2), (a^2*(b^2*c + a^2*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n)) - (2*a*(b^2*c + 2*a^2*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^5*(2 + n)) + ((b^2*c + 6*a^2*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^5*(3 + n)) - (4*a*d*(a + b*x)^(4 + n))/(b^5*(4 + n)) + (d*(a + b*x)^(5 + n))/(b^5*(5 + n)), x, 2),
+(x^1*(a + b*x)^n*(c + d*x^2), -((a*(b^2*c + a^2*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^4*(1 + n))) + ((b^2*c + 3*a^2*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^4*(2 + n)) - (3*a*d*(a + b*x)^(3 + n))/(b^4*(3 + n)) + (d*(a + b*x)^(4 + n))/(b^4*(4 + n)), x, 2),
+(x^0*(a + b*x)^n*(c + d*x^2), ((b^2*c + a^2*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^3*(1 + n)) - (2*a*d*(a + b*x)^(2 + n))/(b^3*(2 + n)) + (d*(a + b*x)^(3 + n))/(b^3*(3 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n*(c + d*x^2)/x^1, -((a*d*(a + b*x)^(1 + n))/(b^2*(1 + n))) + (d*(a + b*x)^(2 + n))/(b^2*(2 + n)) - (c*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a*(1 + n)), x, 3),
+
+
+(x^2*(a + b*x)^n*(c + d*x^2)^2, (a^2*(b^2*c + a^2*d)^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b^7*(1 + n)) - (2*a*(b^2*c + a^2*d)*(b^2*c + 3*a^2*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^7*(2 + n)) + ((b^4*c^2 + 12*a^2*b^2*c*d + 15*a^4*d^2)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^7*(3 + n)) - (4*a*d*(2*b^2*c + 5*a^2*d)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^7*(4 + n)) + (d*(2*b^2*c + 15*a^2*d)*(a + b*x)^(5 + n))/(b^7*(5 + n)) - (6*a*d^2*(a + b*x)^(6 + n))/(b^7*(6 + n)) + (d^2*(a + b*x)^(7 + n))/(b^7*(7 + n)), x, 2),
+(x^1*(a + b*x)^n*(c + d*x^2)^2, -((a*(b^2*c + a^2*d)^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b^6*(1 + n))) + ((b^2*c + a^2*d)*(b^2*c + 5*a^2*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^6*(2 + n)) - (2*a*d*(3*b^2*c + 5*a^2*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^6*(3 + n)) + (2*d*(b^2*c + 5*a^2*d)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^6*(4 + n)) - (5*a*d^2*(a + b*x)^(5 + n))/(b^6*(5 + n)) + (d^2*(a + b*x)^(6 + n))/(b^6*(6 + n)), x, 2),
+(x^0*(a + b*x)^n*(c + d*x^2)^2, ((b^2*c + a^2*d)^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n)) - (4*a*d*(b^2*c + a^2*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^5*(2 + n)) + (2*d*(b^2*c + 3*a^2*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^5*(3 + n)) - (4*a*d^2*(a + b*x)^(4 + n))/(b^5*(4 + n)) + (d^2*(a + b*x)^(5 + n))/(b^5*(5 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n*(c + d*x^2)^2/x^1, -((a*d*(2*b^2*c + a^2*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^4*(1 + n))) + (d*(2*b^2*c + 3*a^2*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^4*(2 + n)) - (3*a*d^2*(a + b*x)^(3 + n))/(b^4*(3 + n)) + (d^2*(a + b*x)^(4 + n))/(b^4*(4 + n)) - (c^2*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a*(1 + n)), x, 4),
+
+
+(x^2*(a + b*x)^n*(c + d*x^2)^3, (a^2*(b^2*c + a^2*d)^3*(a + b*x)^(1 + n))/(b^9*(1 + n)) - (2*a*(b^2*c + a^2*d)^2*(b^2*c + 4*a^2*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^9*(2 + n)) + ((b^2*c + a^2*d)*(b^4*c^2 + 17*a^2*b^2*c*d + 28*a^4*d^2)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^9*(3 + n)) - (4*a*d*(3*b^4*c^2 + 15*a^2*b^2*c*d + 14*a^4*d^2)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^9*(4 + n)) + (d*(3*b^4*c^2 + 45*a^2*b^2*c*d + 70*a^4*d^2)*(a + b*x)^(5 + n))/(b^9*(5 + n)) - (2*a*d^2*(9*b^2*c + 28*a^2*d)*(a + b*x)^(6 + n))/(b^9*(6 + n)) + (d^2*(3*b^2*c + 28*a^2*d)*(a + b*x)^(7 + n))/(b^9*(7 + n)) - (8*a*d^3*(a + b*x)^(8 + n))/(b^9*(8 + n)) + (d^3*(a + b*x)^(9 + n))/(b^9*(9 + n)), x, 2),
+(x^1*(a + b*x)^n*(c + d*x^2)^3, -((a*(b^2*c + a^2*d)^3*(a + b*x)^(1 + n))/(b^8*(1 + n))) + ((b^2*c + a^2*d)^2*(b^2*c + 7*a^2*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^8*(2 + n)) - (3*a*d*(b^2*c + a^2*d)*(3*b^2*c + 7*a^2*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^8*(3 + n)) + (d*(3*b^4*c^2 + 30*a^2*b^2*c*d + 35*a^4*d^2)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^8*(4 + n)) - (5*a*d^2*(3*b^2*c + 7*a^2*d)*(a + b*x)^(5 + n))/(b^8*(5 + n)) + (3*d^2*(b^2*c + 7*a^2*d)*(a + b*x)^(6 + n))/(b^8*(6 + n)) - (7*a*d^3*(a + b*x)^(7 + n))/(b^8*(7 + n)) + (d^3*(a + b*x)^(8 + n))/(b^8*(8 + n)), x, 2),
+(x^0*(a + b*x)^n*(c + d*x^2)^3, ((b^2*c + a^2*d)^3*(a + b*x)^(1 + n))/(b^7*(1 + n)) - (6*a*d*(b^2*c + a^2*d)^2*(a + b*x)^(2 + n))/(b^7*(2 + n)) + (3*d*(b^2*c + a^2*d)*(b^2*c + 5*a^2*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^7*(3 + n)) - (4*a*d^2*(3*b^2*c + 5*a^2*d)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^7*(4 + n)) + (3*d^2*(b^2*c + 5*a^2*d)*(a + b*x)^(5 + n))/(b^7*(5 + n)) - (6*a*d^3*(a + b*x)^(6 + n))/(b^7*(6 + n)) + (d^3*(a + b*x)^(7 + n))/(b^7*(7 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n*(c + d*x^2)^3/x^1, -((a*d*(3*b^4*c^2 + 3*a^2*b^2*c*d + a^4*d^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^6*(1 + n))) + (d*(3*b^4*c^2 + 9*a^2*b^2*c*d + 5*a^4*d^2)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^6*(2 + n)) - (a*d^2*(9*b^2*c + 10*a^2*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^6*(3 + n)) + (d^2*(3*b^2*c + 10*a^2*d)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^6*(4 + n)) - (5*a*d^3*(a + b*x)^(5 + n))/(b^6*(5 + n)) + (d^3*(a + b*x)^(6 + n))/(b^6*(6 + n)) - (c^3*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a*(1 + n)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4*(d + e*x)^n/(a + c*x^2), ((c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)^(1 + n))/(c^2*e^3*(1 + n)) - (2*d*(d + e*x)^(2 + n))/(c*e^3*(2 + n)) + (d + e*x)^(3 + n)/(c*e^3*(3 + n)) + ((-a)^(3//2)*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(2*c^2*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(1 + n)) - ((-a)^(3//2)*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(2*c^2*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(1 + n)), x, 6),
+(x^3*(d + e*x)^n/(a + c*x^2), -((d*(d + e*x)^(1 + n))/(c*e^2*(1 + n))) + (d + e*x)^(2 + n)/(c*e^2*(2 + n)) + (a*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(2*c^(3//2)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(1 + n)) + (a*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(2*c^(3//2)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(1 + n)), x, 6),
+(x^2*(d + e*x)^n/(a + c*x^2), (d + e*x)^(1 + n)/(c*e*(1 + n)) + (sqrt(-a)*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(2*c*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(1 + n)) - (sqrt(-a)*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(2*c*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(1 + n)), x, 6),
+(x^1*(d + e*x)^n/(a + c*x^2), -(((d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(2*sqrt(c)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(1 + n))) - ((d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(2*sqrt(c)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(1 + n)), x, 4),
+(x^0*(d + e*x)^n/(a + c*x^2), ((d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(2*sqrt(-a)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(1 + n)) - ((d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(2*sqrt(-a)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(1 + n)), x, 4),
+((d + e*x)^n/(x^1*(a + c*x^2)), (sqrt(c)*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(2*a*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(1 + n)) + (sqrt(c)*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(2*a*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(1 + n)) - ((d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (e*x)/d))/(a*d*(1 + n)), x, 7),
+((d + e*x)^n/(x^2*(a + c*x^2)), (c*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(2*(-a)^(3//2)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(1 + n)) - (c*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(2*(-a)^(3//2)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(1 + n)) + (e*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, 1 + (e*x)/d))/(a*d^2*(1 + n)), x, 7),
+
+
+(x^4*(d + e*x)^n/(a + c*x^2)^2, (d + e*x)^(1 + n)/(c^2*e*(1 + n)) + (a*(a*e + c*d*x)*(d + e*x)^(1 + n))/(2*c^2*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2)) + ((3*sqrt(-a)*c*d^2 + a*sqrt(c)*d*e*n + sqrt(-a)*a*e^2*(3 + n))*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(4*c^2*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + n)) - ((3*sqrt(-a)*c*d^2 - a*sqrt(c)*d*e*n + sqrt(-a)*a*e^2*(3 + n))*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(4*c^2*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + n)), x, 5),
+(x^3*(d + e*x)^n/(a + c*x^2)^2, (a*(d - e*x)*(d + e*x)^(1 + n))/(2*c*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2)) + ((sqrt(-a)*d*e*n - (2*c*d^2 + a*e^2*(2 + n))/sqrt(c))*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(4*c*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + n)) - ((2*c*d^2 + sqrt(-a)*sqrt(c)*d*e*n + a*e^2*(2 + n))*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(4*c^(3//2)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + n)), x, 5),
+(x^2*(d + e*x)^n/(a + c*x^2)^2, -(((a*e + c*d*x)*(d + e*x)^(1 + n))/(2*c*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2))) + ((c*d^2 - sqrt(-a)*sqrt(c)*d*e*n + a*e^2*(1 + n))*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(4*sqrt(-a)*c*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + n)) - ((c*d^2 + sqrt(-a)*sqrt(c)*d*e*n + a*e^2*(1 + n))*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(4*sqrt(-a)*c*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + n)), x, 5),
+(x^1*(d + e*x)^n/(a + c*x^2)^2, -(((d - e*x)*(d + e*x)^(1 + n))/(2*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2))) + (e*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*n*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(4*sqrt(-a)*sqrt(c)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + n)) + (e*(sqrt(-a)*sqrt(c)*d + a*e)*n*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(4*a*sqrt(c)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + n)), x, 5),
+(x^0*(d + e*x)^n/(a + c*x^2)^2, ((a*e + c*d*x)*(d + e*x)^(1 + n))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2)) - ((c*d^2 + a*e^2*(1 - n) + sqrt(-a)*sqrt(c)*d*e*n)*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(4*(-a)^(3//2)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + n)) + ((c*d^2 + a*e^2*(1 - n) - sqrt(-a)*sqrt(c)*d*e*n)*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(4*(-a)^(3//2)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + n)), x, 5),
+((d + e*x)^n/(x^1*(a + c*x^2)^2), (c*(d - e*x)*(d + e*x)^(1 + n))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2)) + (sqrt(c)*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(2*a^2*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(1 + n)) + (sqrt(c)*e*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*n*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(4*(-a)^(3//2)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + n)) + (sqrt(c)*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(2*a^2*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(1 + n)) - (sqrt(c)*e*(sqrt(-a)*sqrt(c)*d + a*e)*n*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(4*a^2*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + n)) - ((d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (e*x)/d))/(a^2*d*(1 + n)), x, 12),
+((d + e*x)^n/(x^2*(a + c*x^2)^2), -((c*(a*e + c*d*x)*(d + e*x)^(1 + n))/(2*a^2*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2))) - (c*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(2*(-a)^(5//2)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(1 + n)) - (c*(c*d^2 + a*e^2*(1 - n) + sqrt(-a)*sqrt(c)*d*e*n)*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)))/(4*(-a)^(5//2)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + n)) + (c*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(2*(-a)^(5//2)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(1 + n)) + (c*(c*d^2 + a*e^2*(1 - n) - sqrt(-a)*sqrt(c)*d*e*n)*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (sqrt(c)*(d + e*x))/(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)))/(4*(-a)^(5//2)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + n)) + (e*(d + e*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, 1 + (e*x)/d))/(a^2*d^2*(1 + n)), x, 12),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (g x)^m (d+e x)^n (a+c x^2)^p when m and n symbolic
+
+
+((g*x)^m*(d + e*x)^n*(a + c*x^2)^2, -((c*d*(2 + m)*(c*d^2*(12 + 7*m + m^2) + 2*a*e^2*(20 + m^2 + 9*n + n^2 + m*(9 + 2*n)))*(g*x)^(1 + m)*(d + e*x)^(1 + n))/(e^4*g*(2 + m + n)*(3 + m + n)*(4 + m + n)*(5 + m + n))) + (c*(c*d^2*(12 + 7*m + m^2) + 2*a*e^2*(20 + m^2 + 9*n + n^2 + m*(9 + 2*n)))*(g*x)^(2 + m)*(d + e*x)^(1 + n))/(e^3*g^2*(3 + m + n)*(4 + m + n)*(5 + m + n)) - (c^2*d*(4 + m)*(g*x)^(3 + m)*(d + e*x)^(1 + n))/(e^2*g^3*(4 + m + n)*(5 + m + n)) + (c^2*(g*x)^(4 + m)*(d + e*x)^(1 + n))/(e*g^4*(5 + m + n)) + ((a^2*e^4*(2 + m + n)*(3 + m + n)*(4 + m + n)*(5 + m + n) + c*d^2*(1 + m)*(2 + m)*(c*d^2*(12 + 7*m + m^2) + 2*a*e^2*(20 + m^2 + 9*n + n^2 + m*(9 + 2*n))))*(g*x)^(1 + m)*(d + e*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -((e*x)/d)))/(1 + (e*x)/d)^n/(e^4*g*(1 + m)*(2 + m + n)*(3 + m + n)*(4 + m + n)*(5 + m + n)), x, 6),
+((g*x)^m*(d + e*x)^n*(a + c*x^2)^1, -((c*d*(2 + m)*(g*x)^(1 + m)*(d + e*x)^(1 + n))/(e^2*g*(2 + m + n)*(3 + m + n))) + (c*(g*x)^(2 + m)*(d + e*x)^(1 + n))/(e*g^2*(3 + m + n)) + ((c*d^2*(1 + m)*(2 + m) + a*e^2*(2 + m + n)*(3 + m + n))*(g*x)^(1 + m)*(d + e*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -((e*x)/d)))/((1 + (e*x)/d)^n*(e^2*g*(1 + m)*(2 + m + n)*(3 + m + n))), x, 4),
+((g*x)^m*(d + e*x)^n/(a + c*x^2)^1, ((g*x)^(1 + m)*(d + e*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 1, 2 + m, -((e*x)/d), -((sqrt(c)*x)/sqrt(-a))))/((1 + (e*x)/d)^n*(2*a*g*(1 + m))) + ((g*x)^(1 + m)*(d + e*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 1, 2 + m, -((e*x)/d), (sqrt(c)*x)/sqrt(-a)))/((1 + (e*x)/d)^n*(2*a*g*(1 + m))), x, 6),
+((g*x)^m*(d + e*x)^n/(a + c*x^2)^2, ((g*x)^(1 + m)*(d + e*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 1, 2 + m, -((e*x)/d), -((sqrt(c)*x)/sqrt(-a))))/((1 + (e*x)/d)^n*(4*a^2*g*(1 + m))) + ((g*x)^(1 + m)*(d + e*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 1, 2 + m, -((e*x)/d), (sqrt(c)*x)/sqrt(-a)))/((1 + (e*x)/d)^n*(4*a^2*g*(1 + m))) + ((g*x)^(1 + m)*(d + e*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 2, 2 + m, -((e*x)/d), -((sqrt(c)*x)/sqrt(-a))))/((1 + (e*x)/d)^n*(4*a^2*g*(1 + m))) + ((g*x)^(1 + m)*(d + e*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 2, 2 + m, -((e*x)/d), (sqrt(c)*x)/sqrt(-a)))/((1 + (e*x)/d)^n*(4*a^2*g*(1 + m))), x, 12),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^n (a+c x^2)^p when p symbolic
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n>0
+
+
+(x^5*(d + e*x)*(a + b*x^2)^p, (a^2*d*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b^3*(1 + p)) - (a*d*(a + b*x^2)^(2 + p))/(b^3*(2 + p)) + (d*(a + b*x^2)^(3 + p))/(2*b^3*(3 + p)) + (e*x^7*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(7//2, -p, 9//2, -((b*x^2)/a)))/(7*(1 + (b*x^2)/a)^p), x, 6),
+(x^4*(d + e*x)*(a + b*x^2)^p, (a^2*e*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b^3*(1 + p)) - (a*e*(a + b*x^2)^(2 + p))/(b^3*(2 + p)) + (e*(a + b*x^2)^(3 + p))/(2*b^3*(3 + p)) + (d*x^5*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -p, 7//2, -((b*x^2)/a)))/(5*(1 + (b*x^2)/a)^p), x, 6),
+(x^3*(d + e*x)*(a + b*x^2)^p, -(a*d*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b^2*(1 + p)) + (d*(a + b*x^2)^(2 + p))/(2*b^2*(2 + p)) + (e*x^5*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -p, 7//2, -((b*x^2)/a)))/(5*(1 + (b*x^2)/a)^p), x, 6),
+(x^2*(d + e*x)*(a + b*x^2)^p, -(a*e*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b^2*(1 + p)) + (e*(a + b*x^2)^(2 + p))/(2*b^2*(2 + p)) + (d*x^3*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -p, 5//2, -((b*x^2)/a)))/(3*(1 + (b*x^2)/a)^p), x, 6),
+(x^1*(d + e*x)*(a + b*x^2)^p, (d*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b*(1 + p)) + (e*x^3*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -p, 5//2, -((b*x^2)/a)))/(3*(1 + (b*x^2)/a)^p), x, 4),
+(x^0*(d + e*x)*(a + b*x^2)^p, (e*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b*(1 + p)) + (d*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/(1 + (b*x^2)/a)^p, x, 3),
+(((d + e*x)*(a + b*x^2)^p)/x^1, (e*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/(1 + (b*x^2)/a)^p - (d*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^2)/a))/(2*a*(1 + p)), x, 5),
+(((d + e*x)*(a + b*x^2)^p)/x^2, -((d*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1//2, -p, 1//2, -((b*x^2)/a)))/(x*(1 + (b*x^2)/a)^p)) - (e*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^2)/a))/(2*a*(1 + p)), x, 5),
+(((d + e*x)*(a + b*x^2)^p)/x^3, -((e*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1//2, -p, 1//2, -((b*x^2)/a)))/(x*(1 + (b*x^2)/a)^p)) + (b*d*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^2)/a))/(2*a^2*(1 + p)), x, 5),
+
+
+(x^5*(d + e*x)^2*(a + b*x^2)^p, (a^2*(b*d^2 - a*e^2)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b^4*(1 + p)) - (a*(2*b*d^2 - 3*a*e^2)*(a + b*x^2)^(2 + p))/(2*b^4*(2 + p)) + ((b*d^2 - 3*a*e^2)*(a + b*x^2)^(3 + p))/(2*b^4*(3 + p)) + (e^2*(a + b*x^2)^(4 + p))/(2*b^4*(4 + p)) + (2*d*e*x^7*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(7//2, -p, 9//2, -((b*x^2)/a)))/(7*(1 + (b*x^2)/a)^p), x, 7),
+(x^4*(d + e*x)^2*(a + b*x^2)^p, (a^2*d*e*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b^3*(1 + p)) + (e^2*x^5*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b*(7 + 2*p)) - (2*a*d*e*(a + b*x^2)^(2 + p))/(b^3*(2 + p)) + (d*e*(a + b*x^2)^(3 + p))/(b^3*(3 + p)) - ((5*a*e^2 - b*d^2*(7 + 2*p))*x^5*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -p, 7//2, -((b*x^2)/a)))/(5*b*(7 + 2*p)*(1 + (b*x^2)/a)^p), x, 8),
+(x^3*(d + e*x)^2*(a + b*x^2)^p, -(a*(b*d^2 - a*e^2)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b^3*(1 + p)) + ((b*d^2 - 2*a*e^2)*(a + b*x^2)^(2 + p))/(2*b^3*(2 + p)) + (e^2*(a + b*x^2)^(3 + p))/(2*b^3*(3 + p)) + (2*d*e*x^5*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -p, 7//2, -((b*x^2)/a)))/(5*(1 + (b*x^2)/a)^p), x, 7),
+(x^2*(d + e*x)^2*(a + b*x^2)^p, -((a*d*e*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b^2*(1 + p))) + (e^2*x^3*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b*(5 + 2*p)) + (d*e*(a + b*x^2)^(2 + p))/(b^2*(2 + p)) - ((3*a*e^2 - b*d^2*(5 + 2*p))*x^3*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -p, 5//2, -((b*x^2)/a)))/(3*b*(5 + 2*p)*(1 + (b*x^2)/a)^p), x, 8),
+(x^1*(d + e*x)^2*(a + b*x^2)^p, ((b*d^2 - a*e^2)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b^2*(1 + p)) + (e^2*(a + b*x^2)^(2 + p))/(2*b^2*(2 + p)) + (2*d*e*x^3*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -p, 5//2, -((b*x^2)/a)))/(3*(1 + (b*x^2)/a)^p), x, 7),
+# {x^0*(d + e*x)^2*(a + b*x^2)^p, x, 4, If[$VersionNumber>=8, (d*e*(2 + p)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b*(1 + p)*(3 + 2*p)) + (e*(d + e*x)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b*(3 + 2*p)) - ((a*e^2 - b*d^2*(3 + 2*p))*x*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(b*(3 + 2*p))), (d*e*(2 + p)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b*(3 + 5*p + 2*p^2)) + (e*(d + e*x)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b*(3 + 2*p)) - ((a*e^2 - b*d^2*(3 + 2*p))*x*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(b*(3 + 2*p)))]}
+(((d + e*x)^2*(a + b*x^2)^p)/x^1, (e^2*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b*(1 + p)) + (2*d*e*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/(1 + (b*x^2)/a)^p - (d^2*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^2)/a))/(2*a*(1 + p)), x, 7),
+(((d + e*x)^2*(a + b*x^2)^p)/x^2, -((d^2*(a + b*x^2)^(1 + p))/(a*x)) + ((a*e^2 + b*d^2*(1 + 2*p))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/(a*(1 + (b*x^2)/a)^p) - (d*e*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^2)/a))/(a*(1 + p)), x, 6),
+(((d + e*x)^2*(a + b*x^2)^p)/x^3, -(d^2*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*a*x^2) - (2*d*e*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1//2, -p, 1//2, -((b*x^2)/a)))/(x*(1 + (b*x^2)/a)^p) - ((a*e^2 + b*d^2*p)*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^2)/a))/(2*a^2*(1 + p)), x, 6),
+
+
+(x^5*(d + e*x)^3*(a + b*x^2)^p, (a^2*d*(b*d^2 - 3*a*e^2)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b^4*(1 + p)) + (e^3*x^7*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b*(9 + 2*p)) - (a*d*(2*b*d^2 - 9*a*e^2)*(a + b*x^2)^(2 + p))/(2*b^4*(2 + p)) + (d*(b*d^2 - 9*a*e^2)*(a + b*x^2)^(3 + p))/(2*b^4*(3 + p)) + (3*d*e^2*(a + b*x^2)^(4 + p))/(2*b^4*(4 + p)) - (e*(7*a*e^2 - 3*b*d^2*(9 + 2*p))*x^7*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(7//2, -p, 9//2, -((b*x^2)/a)))/(7*b*(9 + 2*p)*(1 + (b*x^2)/a)^p), x, 7),
+(x^4*(d + e*x)^3*(a + b*x^2)^p, (a^2*e*(3*b*d^2 - a*e^2)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b^4*(1 + p)) + (3*d*e^2*x^5*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b*(7 + 2*p)) - (3*a*e*(2*b*d^2 - a*e^2)*(a + b*x^2)^(2 + p))/(2*b^4*(2 + p)) + (3*e*(b*d^2 - a*e^2)*(a + b*x^2)^(3 + p))/(2*b^4*(3 + p)) + (e^3*(a + b*x^2)^(4 + p))/(2*b^4*(4 + p)) - (d*(15*a*e^2 - b*d^2*(7 + 2*p))*x^5*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -p, 7//2, -((b*x^2)/a)))/(5*b*(7 + 2*p)*(1 + (b*x^2)/a)^p), x, 7),
+(x^3*(d + e*x)^3*(a + b*x^2)^p, -(a*d*(b*d^2 - 3*a*e^2)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b^3*(1 + p)) + (e^3*x^5*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b*(7 + 2*p)) + (d*(b*d^2 - 6*a*e^2)*(a + b*x^2)^(2 + p))/(2*b^3*(2 + p)) + (3*d*e^2*(a + b*x^2)^(3 + p))/(2*b^3*(3 + p)) - (e*(5*a*e^2 - 3*b*d^2*(7 + 2*p))*x^5*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -p, 7//2, -((b*x^2)/a)))/(5*b*(7 + 2*p)*(1 + (b*x^2)/a)^p), x, 7),
+(x^2*(d + e*x)^3*(a + b*x^2)^p, -(a*e*(3*b*d^2 - a*e^2)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b^3*(1 + p)) + (3*d*e^2*x^3*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b*(5 + 2*p)) + (e*(3*b*d^2 - 2*a*e^2)*(a + b*x^2)^(2 + p))/(2*b^3*(2 + p)) + (e^3*(a + b*x^2)^(3 + p))/(2*b^3*(3 + p)) - (d*(9*a*e^2 - b*d^2*(5 + 2*p))*x^3*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -p, 5//2, -((b*x^2)/a)))/(3*b*(5 + 2*p)*(1 + (b*x^2)/a)^p), x, 7),
+(x^1*(d + e*x)^3*(a + b*x^2)^p, (d*(b*d^2 - 3*a*e^2)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b^2*(1 + p)) + (e^3*x^3*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b*(5 + 2*p)) + (3*d*e^2*(a + b*x^2)^(2 + p))/(2*b^2*(2 + p)) - (e*(a*e^2 - b*d^2*(5 + 2*p))*x^3*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -p, 5//2, -((b*x^2)/a)))/(b*(5 + 2*p)*(1 + (b*x^2)/a)^p), x, 7),
+# {x^0*(d + e*x)^3*(a + b*x^2)^p, x, 4, -((e*(a*e^2 - 3*b*d^2*(2 + p))*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b^2*(1 + p)*(2 + p))) + (3*d*e^2*x*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b*(3 + 2*p)) + (e^3*x^2*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b*(2 + p)) - (d*(3*a*e^2 - b*d^2*(3 + 2*p))*x*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(b*(3 + 2*p))), (e*(d + e*x)^2*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b*(2 + p)) - (e*((3 + 2*p)*(a*e^2 - b*d^2*(5 + 2*p)) - 2*b*d*e*(1 + p)*(3 + p)*x)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b^2*(2 + p)*(3 + 5*p + 2*p^2)) - (d*(3*a*e^2 - b*d^2*(3 + 2*p))*x*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(b*(3 + 2*p)))}
+(((d + e*x)^3*(a + b*x^2)^p)/x^1, (3*d*e^2*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b*(1 + p)) + (e^3*x*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b*(3 + 2*p)) - (e*(a*e^2 - 3*b*d^2*(3 + 2*p))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/(b*(3 + 2*p)*(1 + (b*x^2)/a)^p) - (d^3*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^2)/a))/(2*a*(1 + p)), x, 7),
+(((d + e*x)^3*(a + b*x^2)^p)/x^2, (e^3*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b*(1 + p)) - (d^3*(a + b*x^2)^(1 + p))/(a*x) + (d*(3*a*e^2 + b*d^2*(1 + 2*p))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/(a*(1 + (b*x^2)/a)^p) - (3*d^2*e*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^2)/a))/(2*a*(1 + p)), x, 8),
+(((d + e*x)^3*(a + b*x^2)^p)/x^3, -(d^3*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*a*x^2) - (3*d^2*e*(a + b*x^2)^(1 + p))/(a*x) + (e*(a*e^2 + 3*b*d^2*(1 + 2*p))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/(a*(1 + (b*x^2)/a)^p) - (d*(3*a*e^2 + b*d^2*p)*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^2)/a))/(2*a^2*(1 + p)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# n<0
+
+
+(x^4*(a + b*x^2)^p/(d + e*x), ((b*d^2 - a*e^2)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b^2*e^3*(1 + p)) + (a + b*x^2)^(2 + p)/(2*b^2*e*(2 + p)) + (x^5*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(5//2, -p, 1, 7//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(5*d)) - (d^4*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*e^3*(b*d^2 + a*e^2)*(1 + p)), x, 7),
+(x^3*(a + b*x^2)^p/(d + e*x), -((d*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*b*e^2*(1 + p))) - (e*x^5*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(5//2, -p, 1, 7//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(5*d^2)) + (d^3*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*e^2*(b*d^2 + a*e^2)*(1 + p)), x, 6),
+(x^2*(a + b*x^2)^p/(d + e*x), (a + b*x^2)^(1 + p)/(2*b*e*(1 + p)) + (x^3*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -p, 1, 5//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(3*d)) - (d^2*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*e*(b*d^2 + a*e^2)*(1 + p)), x, 6),
+(x^1*(a + b*x^2)^p/(d + e*x), -((x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 1, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*e)) + (x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*e) + (d*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*(b*d^2 + a*e^2)*(1 + p)), x, 9),
+(x^0*(a + b*x^2)^p/(d + e*x), (x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 1, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*d) - (e*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*(b*d^2 + a*e^2)*(1 + p)), x, 6),
+((a + b*x^2)^p/(x^1*(d + e*x)), -((e*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 1, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*d^2)) + (e^2*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*d*(b*d^2 + a*e^2)*(1 + p)) - ((a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^2)/a))/(2*a*d*(1 + p)), x, 7),
+((a + b*x^2)^p/(x^2*(d + e*x)), -(((a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//2), -p, 1, 1//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(d*x))) - (e^3*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*d^2*(b*d^2 + a*e^2)*(1 + p)) + (e*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^2)/a))/(2*a*d^2*(1 + p)), x, 7),
+((a + b*x^2)^p/(x^3*(d + e*x)), -((a + b*x^2)^(1 + p)/(2*a*d*x^2)) + (e*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//2), -p, 1, 1//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(d^2*x)) + (e^4*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*d^3*(b*d^2 + a*e^2)*(1 + p)) - ((a*e^2 + b*d^2*p)*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^2)/a))/(2*a^2*d^3*(1 + p)), x, 8),
+
+
+(x^4*(a + b*x^2)^p/(d + e*x)^2, -((d*(4 + 3*p)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b*e^3*(1 + p)*(3 + 2*p))) - (d^4*(a + b*x^2)^(1 + p))/(e^3*(b*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)) + ((d + e*x)*(a + b*x^2)^(1 + p))/(b*e^3*(3 + 2*p)) - (2*d^2*(2*a*e^2 + b*d^2*(2 + p))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 1, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(e^4*(b*d^2 + a*e^2))) - ((a^2*e^4 - 2*a*b*d^2*e^2*(4 + 3*p) - 2*b^2*d^4*(6 + 7*p + 2*p^2))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(b*e^4*(b*d^2 + a*e^2)*(3 + 2*p))) + (d^3*(2*a*e^2 + b*d^2*(2 + p))*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(e^3*(b*d^2 + a*e^2)^2*(1 + p)), x, 12),
+(x^3*(a + b*x^2)^p/(d + e*x)^2, (a + b*x^2)^(1 + p)/(2*b*e^2*(1 + p)) + (d^3*(a + b*x^2)^(1 + p))/(e^2*(b*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)) + (d*(3*a*e^2 + b*d^2*(3 + 2*p))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 1, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(e^3*(b*d^2 + a*e^2))) - (d*(2*a*e^2 + b*d^2*(3 + 2*p))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(e^3*(b*d^2 + a*e^2))) - (d^2*(3*a*e^2 + b*d^2*(3 + 2*p))*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*e^2*(b*d^2 + a*e^2)^2*(1 + p)), x, 11),
+(x^2*(a + b*x^2)^p/(d + e*x)^2, -((d^2*(a + b*x^2)^(1 + p))/(e*(b*d^2 + a*e^2)*(d + e*x))) - (2*(a*e^2 + b*d^2*(1 + p))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 1, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(e^2*(b*d^2 + a*e^2))) + ((a*e^2 + 2*b*d^2*(1 + p))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(e^2*(b*d^2 + a*e^2))) + (d*(a*e^2 + b*d^2*(1 + p))*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(e*(b*d^2 + a*e^2)^2*(1 + p)), x, 10),
+(x^1*(a + b*x^2)^p/(d + e*x)^2, (d*(a + b*x^2)^(1 + p))/((b*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)) + ((a*e^2 + b*d^2*(1 + 2*p))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 1, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(d*e*(b*d^2 + a*e^2))) - (b*d*(1 + 2*p)*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(e*(b*d^2 + a*e^2))) - ((a*e^2 + b*d^2*(1 + 2*p))*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*(b*d^2 + a*e^2)^2*(1 + p)), x, 10),
+# {x^0*(a + b*x^2)^p/(d + e*x)^2, x, 8, (e^2*x*(a + b*x^2)^(1 + p))/((b*d^2 + a*e^2)*(d^2 - e^2*x^2)) - (2*b*p*x*(a + b*x^2)^p*AppellF1[1/2, -p, 1, 3/2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(b*d^2 + a*e^2)) + (b*(1 + 2*p)*x*(a + b*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(b*d^2 + a*e^2)) - (b*d*e*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[2, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)])/((b*d^2 + a*e^2)^2*(1 + p)), (x*(a + b*x^2)^p*AppellF1[1/2, -p, 2, 3/2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2])/((1 + (b*x^2)/a)^p*d^2) + (e^2*x^3*(a + b*x^2)^p*AppellF1[3/2, -p, 2, 5/2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2])/((1 + (b*x^2)/a)^p*(3*d^4)) - (b*d*e*(a + b*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[2, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)])/((b*d^2 + a*e^2)^2*(1 + p))}
+((a + b*x^2)^p/(x^1*(d + e*x)^2), -((e*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 1, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*d^3)) - (e*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 2, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*d^3) - (e^3*x^3*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -p, 2, 5//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(3*d^5)) + (e^2*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*d^2*(b*d^2 + a*e^2)*(1 + p)) - ((a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^2)/a))/(2*a*d^2*(1 + p)) + (b*e^2*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/((b*d^2 + a*e^2)^2*(1 + p)), x, 18),
+((a + b*x^2)^p/(x^2*(d + e*x)^2), (2*e^2*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 1, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*d^4) + (e^2*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 2, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*d^4) + (e^4*x^3*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -p, 2, 5//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(3*d^6)) - ((a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), -p, 1//2, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(d^2*x)) - (e^3*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(d^3*(b*d^2 + a*e^2)*(1 + p)) + (e*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^2)/a))/(a*d^3*(1 + p)) - (b*e^3*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(d*(b*d^2 + a*e^2)^2*(1 + p)), x, 20),
+
+
+(x^4*(a + b*x^2)^p/(d + e*x)^3, (a + b*x^2)^(1 + p)/(2*b*e^3*(1 + p)) - (d^4*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*e^3*(b*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^2) + (d^3*(4*a*e^2 + b*d^2*(3 + p))*(a + b*x^2)^(1 + p))/(e^3*(b*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)) + (d*(6*a^2*e^4 + 3*a*b*d^2*e^2*(4 + 3*p) + b^2*d^4*(6 + 7*p + 2*p^2))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 1, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(e^4*(b*d^2 + a*e^2)^2)) - (d*(3*a^2*e^4 + 2*a*b*d^2*e^2*(5 + 4*p) + b^2*d^4*(6 + 7*p + 2*p^2))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(e^4*(b*d^2 + a*e^2)^2)) - (d^2*(6*a^2*e^4 + 3*a*b*d^2*e^2*(4 + 3*p) + b^2*d^4*(6 + 7*p + 2*p^2))*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*e^3*(b*d^2 + a*e^2)^3*(1 + p)), x, 12),
+(x^3*(a + b*x^2)^p/(d + e*x)^3, (d^3*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*e^2*(b*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^2) - (d^2*(3*a*e^2 + b*d^2*(2 + p))*(a + b*x^2)^(1 + p))/(e^2*(b*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)) - ((3*a^2*e^4 + a*b*d^2*e^2*(6 + 7*p) + b^2*d^4*(3 + 5*p + 2*p^2))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 1, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(e^3*(b*d^2 + a*e^2)^2)) + ((a^2*e^4 + a*b*d^2*e^2*(5 + 6*p) + b^2*d^4*(3 + 5*p + 2*p^2))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(e^3*(b*d^2 + a*e^2)^2)) + (d*(3*a^2*e^4 + a*b*d^2*e^2*(6 + 7*p) + b^2*d^4*(3 + 5*p + 2*p^2))*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*e^2*(b*d^2 + a*e^2)^3*(1 + p)), x, 11),
+(x^2*(a + b*x^2)^p/(d + e*x)^3, -((d^2*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*e*(b*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^2)) + (d*(2*a*e^2 + b*d^2*(1 + p))*(a + b*x^2)^(1 + p))/(e*(b*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)) + ((a^2*e^4 + a*b*d^2*e^2*(2 + 5*p) + b^2*d^4*(1 + 3*p + 2*p^2))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 1, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(d*e^2*(b*d^2 + a*e^2)^2)) - (b*d*(1 + 2*p)*(2*a*e^2 + b*d^2*(1 + p))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(e^2*(b*d^2 + a*e^2)^2)) - ((a^2*e^4 + a*b*d^2*e^2*(2 + 5*p) + b^2*d^4*(1 + 3*p + 2*p^2))*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*e*(b*d^2 + a*e^2)^3*(1 + p)), x, 11),
+(x^1*(a + b*x^2)^p/(d + e*x)^3, (d*(a + b*x^2)^(1 + p))/(2*(b*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^2) - ((a*e^2 + b*d^2*p)*(a + b*x^2)^(1 + p))/((b*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)) - (b*p*(3*a*e^2 + b*d^2*(1 + 2*p))*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 1, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(e*(b*d^2 + a*e^2)^2)) + (b*(1 + 2*p)*(a*e^2 + b*d^2*p)*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(e*(b*d^2 + a*e^2)^2)) + (b*d*p*(3*a*e^2 + b*d^2*(1 + 2*p))*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*(b*d^2 + a*e^2)^3*(1 + p)), x, 11),
+(x^0*(a + b*x^2)^p/(d + e*x)^3, -((d^2*e*(a + b*x^2)^(1 + p))/(4*(b*d^2 + a*e^2)*(d^2 - e^2*x^2)^2)) + (x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 3, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*d^3) + (e^2*x^3*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -p, 3, 5//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*d^5) + (b*e*(2*a*e^2 + b*d^2*(1 + p))*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(4*(b*d^2 + a*e^2)^3*(1 + p)) - (3*b^2*d^2*e*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*(b*d^2 + a*e^2)^3*(1 + p)), x, 11),
+((a + b*x^2)^p/(x^1*(d + e*x)^3), (d*e^2*(a + b*x^2)^(1 + p))/(4*(b*d^2 + a*e^2)*(d^2 - e^2*x^2)^2) - (e*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 1, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*d^4) - (e*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 2, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*d^4) - (e*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 3, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*d^4) - (e^3*x^3*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -p, 2, 5//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(3*d^6)) - (e^3*x^3*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -p, 3, 5//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*d^6) + (e^2*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*d^3*(b*d^2 + a*e^2)*(1 + p)) - ((a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^2)/a))/(2*a*d^3*(1 + p)) + (b*e^2*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(d*(b*d^2 + a*e^2)^2*(1 + p)) - (b*e^2*(2*a*e^2 + b*d^2*(1 + p))*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(4*d*(b*d^2 + a*e^2)^3*(1 + p)) + (3*b^2*d*e^2*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*(b*d^2 + a*e^2)^3*(1 + p)), x, 29),
+((a + b*x^2)^p/(x^2*(d + e*x)^3), -((e^3*(a + b*x^2)^(1 + p))/(4*(b*d^2 + a*e^2)*(d^2 - e^2*x^2)^2)) + (3*e^2*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 1, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*d^5) + (2*e^2*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 2, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*d^5) + (e^2*x*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, 3, 3//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*d^5) + (2*e^4*x^3*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -p, 2, 5//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(3*d^7)) + (e^4*x^3*(a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -p, 3, 5//2, -((b*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (b*x^2)/a)^p*d^7) - ((a + b*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), -p, 1//2, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^p*(d^3*x)) - (3*e^3*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*d^4*(b*d^2 + a*e^2)*(1 + p)) + (3*e*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*x^2)/a))/(2*a*d^4*(1 + p)) - (2*b*e^3*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(d^2*(b*d^2 + a*e^2)^2*(1 + p)) + (b*e^3*(2*a*e^2 + b*d^2*(1 + p))*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(4*d^2*(b*d^2 + a*e^2)^3*(1 + p)) - (3*b^2*e^3*(a + b*x^2)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 + p, 2 + p, (e^2*(a + b*x^2))/(b*d^2 + a*e^2)))/(2*(b*d^2 + a*e^2)^3*(1 + p)), x, 31),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (g x)^m (d+e x)^n (a+c x^2)^p when m and p symbolic
+
+
+((g*x)^m*(d + e*x)^3*(a + c*x^2)^p, (3*d*e^2*(g*x)^(1 + m)*(a + c*x^2)^(1 + p))/(c*g*(3 + m + 2*p)) + (e^3*(g*x)^(2 + m)*(a + c*x^2)^(1 + p))/(c*g^2*(4 + m + 2*p)) - (d*(3*a*e^2*(1 + m) - c*d^2*(3 + m + 2*p))*(g*x)^(1 + m)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(c*g*(1 + m)*(3 + m + 2*p))) - (e*(a*e^2*(2 + m) - 3*c*d^2*(4 + m + 2*p))*(g*x)^(2 + m)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((2 + m)/2, -p, (4 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(c*g^2*(2 + m)*(4 + m + 2*p))), x, 7),
+((g*x)^m*(d + e*x)^2*(a + c*x^2)^p, (e^2*(g*x)^(1 + m)*(a + c*x^2)^(1 + p))/(c*g*(3 + m + 2*p)) - ((a*e^2*(1 + m) - c*d^2*(3 + m + 2*p))*(g*x)^(1 + m)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(c*g*(1 + m)*(3 + m + 2*p))) + (2*d*e*(g*x)^(2 + m)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((2 + m)/2, -p, (4 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(g^2*(2 + m))), x, 6),
+((g*x)^m*(d + e*x)^1*(a + c*x^2)^p, (d*(g*x)^(1 + m)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(g*(1 + m))) + (e*(g*x)^(2 + m)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((2 + m)/2, -p, (4 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(g^2*(2 + m))), x, 5),
+((g*x)^m*(d + e*x)^0*(a + c*x^2)^p, ((g*x)^(1 + m)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, -((c*x^2)/a)))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(g*(1 + m))), x, 2),
+((g*x)^m/(d + e*x)^1*(a + c*x^2)^p, (x*(g*x)^m*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/2, -p, 1, (3 + m)/2, -((c*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(d*(1 + m))) - (e*x^2*(g*x)^m*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1((2 + m)/2, -p, 1, (4 + m)/2, -((c*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(d^2*(2 + m))), x, 5),
+((g*x)^m/(d + e*x)^2*(a + c*x^2)^p, (x*(g*x)^m*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/2, -p, 2, (3 + m)/2, -((c*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(d^2*(1 + m))) - (2*e*x^2*(g*x)^m*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1((2 + m)/2, -p, 2, (4 + m)/2, -((c*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(d^3*(2 + m))) + (e^2*x^3*(g*x)^m*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1((3 + m)/2, -p, 2, (5 + m)/2, -((c*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(d^4*(3 + m))), x, 8),
+((g*x)^m/(d + e*x)^3*(a + c*x^2)^p, (x*(g*x)^m*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/2, -p, 3, (3 + m)/2, -((c*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(d^3*(1 + m))) - (3*e*x^2*(g*x)^m*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1((2 + m)/2, -p, 3, (4 + m)/2, -((c*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(d^4*(2 + m))) + (3*e^2*x^3*(g*x)^m*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1((3 + m)/2, -p, 3, (5 + m)/2, -((c*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(d^5*(3 + m))) - (e^3*x^4*(g*x)^m*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1((4 + m)/2, -p, 3, (6 + m)/2, -((c*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(d^6*(4 + m))), x, 10),
+
+
+# ::Section::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^n (a+b x+c x^2)^p when b^2-4 a c=0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^n (a+b x+c x^2)^p when c d^2-b d e+a e^2=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^2 / (d+e x) (a d e+(c d^2+a e^2) x+c d e x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(d + e*x), (1//24)*(a/(c*d) - (7*d)/e^2)*x^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2) + (x^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*e) - ((105*c^3*d^6 - 25*a*c^2*d^4*e^2 - 17*a^2*c*d^2*e^4 - 15*a^3*e^6 - 2*c*d*e*(35*c^2*d^4 - 6*a*c*d^2*e^2 - 5*a^2*e^4)*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(192*c^3*d^3*e^4) + ((c*d^2 - a*e^2)*(35*c^3*d^6 + 15*a*c^2*d^4*e^2 + 9*a^2*c*d^2*e^4 + 5*a^3*e^6)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(128*c^(7//2)*d^(7//2)*e^(9//2)), x, 6),
+(x^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(d + e*x), (x^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*e) + (((5*c*d^2 - 3*a*e^2)*(3*c*d^2 + a*e^2) - 2*c*d*e*(5*c*d^2 - a*e^2)*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(24*c^2*d^2*e^3) - ((c*d^2 - a*e^2)*(5*c^2*d^4 + 2*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(16*c^(5//2)*d^(5//2)*e^(7//2)), x, 5),
+(x^1*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(d + e*x), (-(1//4))*(a/(c*d) + (3*d)/e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2) + (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(2*c*d*e*(d + e*x)) + ((c*d^2 - a*e^2)*(3*c*d^2 + a*e^2)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(8*c^(3//2)*d^(3//2)*e^(5//2)), x, 4),
+(x^0*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(d + e*x), sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/e - ((c*d^2 - a*e^2)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*e^(3//2)), x, 3),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(x^1*(d + e*x)), (sqrt(c)*sqrt(d)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/sqrt(e) - (sqrt(a)*sqrt(e)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/sqrt(d), x, 6),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(x^2*(d + e*x)), -(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(d*x)) - ((c*d^2 - a*e^2)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(2*sqrt(a)*d^(3//2)*sqrt(e)), x, 4),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(x^3*(d + e*x)), -(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(2*d*x^2)) - ((c/(a*e) - (3*e)/d^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*x) + ((c*d^2 - a*e^2)*(c*d^2 + 3*a*e^2)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(8*a^(3//2)*d^(5//2)*e^(3//2)), x, 5),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(x^4*(d + e*x)), -(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(3*d*x^3)) - ((c/(a*e) - (5*e)/d^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(12*x^2) + ((3*c*d^2 - 5*a*e^2)*(c*d^2 + 3*a*e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(24*a^2*d^3*e^2*x) - ((c*d^2 - a*e^2)*(c^2*d^4 + 2*a*c*d^2*e^2 + 5*a^2*e^4)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(16*a^(5//2)*d^(7//2)*e^(5//2)), x, 6),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(x^5*(d + e*x)), -(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(4*d*x^4)) - ((c/(a*e) - (7*e)/d^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(24*x^3) + ((5*c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 - 35*a^2*e^4)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(96*a^2*d^3*e^2*x^2) - ((15*c^3*d^6 + 17*a*c^2*d^4*e^2 + 25*a^2*c*d^2*e^4 - 105*a^3*e^6)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(192*a^3*d^4*e^3*x) + ((c*d^2 - a*e^2)*(5*c^3*d^6 + 9*a*c^2*d^4*e^2 + 15*a^2*c*d^2*e^4 + 35*a^3*e^6)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(128*a^(7//2)*d^(9//2)*e^(7//2)), x, 7),
+
+
+(x^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x), ((21*c^4*d^8 - 6*a^2*c^2*d^4*e^4 - 8*a^3*c*d^2*e^6 - 7*a^4*e^8)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(512*c^4*d^4*e^5) + (1//20)*(a/(c*d) - (3*d)/e^2)*x^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2) + (x^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(6*e) - ((105*c^3*d^6 - 21*a*c^2*d^4*e^2 - 33*a^2*c*d^2*e^4 - 35*a^3*e^6 - 6*c*d*e*(21*c^2*d^4 - 6*a*c*d^2*e^2 - 7*a^2*e^4)*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(960*c^3*d^3*e^4) - ((c*d^2 - a*e^2)^3*(21*c^3*d^6 + 21*a*c^2*d^4*e^2 + 15*a^2*c*d^2*e^4 + 7*a^3*e^6)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(1024*c^(9//2)*d^(9//2)*e^(11//2)), x, 7),
+(x^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x), -(((c*d^2 - a*e^2)*(7*c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(128*c^3*d^3*e^4)) + (x^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(5*e) + ((35*c^2*d^4 - 12*a*c*d^2*e^2 - 15*a^2*e^4 - 6*c*d*e*(7*c*d^2 - 3*a*e^2)*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(240*c^2*d^2*e^3) + ((c*d^2 - a*e^2)^3*(7*c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(256*c^(7//2)*d^(7//2)*e^(9//2)), x, 6),
+(x^1*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x), ((c*d^2 - a*e^2)*(5*c*d^2 + 3*a*e^2)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*c^2*d^2*e^3) - (1//24)*((3*a)/(c*d) + (5*d)/e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2) + (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(4*c*d*e*(d + e*x)) - ((c*d^2 - a*e^2)^3*(5*c*d^2 + 3*a*e^2)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(128*c^(5//2)*d^(5//2)*e^(7//2)), x, 5),
+(x^0*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x), (1//8)*(a/(c*d) - d/e^2)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2) + (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(3*e) + ((c*d^2 - a*e^2)^3*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(16*c^(3//2)*d^(3//2)*e^(5//2)), x, 4),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(x^1*(d + e*x)), ((c*d^2 + 5*a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*e) - ((c^2*d^4 - 6*a*c*d^2*e^2 - 3*a^2*e^4)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(8*sqrt(c)*sqrt(d)*e^(3//2)) - a^(3//2)*sqrt(d)*e^(3//2)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))), x, 7),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(x^2*(d + e*x)), -(((a*e - c*d*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/x) + (sqrt(c)*sqrt(d)*(c*d^2 + 3*a*e^2)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(2*sqrt(e)) - (sqrt(a)*sqrt(e)*(3*c*d^2 + a*e^2)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(2*sqrt(d)), x, 7),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(x^3*(d + e*x)), -(((2*a*d*e + (5*c*d^2 + a*e^2)*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*d*x^2)) + c^(3//2)*d^(3//2)*sqrt(e)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) - ((3*c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 - a^2*e^4)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(8*sqrt(a)*d^(3//2)*sqrt(e)), x, 7),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(x^4*(d + e*x)), -(((c/(a*e) - e/d^2)*(2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*x^2)) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(3*d*x^3) + ((c*d^2 - a*e^2)^3*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(16*a^(3//2)*d^(5//2)*e^(3//2)), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(x^5*(d + e*x)), ((c*d^2 - a*e^2)*(3*c*d^2 + 5*a*e^2)*(2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*a^2*d^3*e^2*x^2) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(4*d*x^4) - (((3*c)/(a*e) - (5*e)/d^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(24*x^3) - ((c*d^2 - a*e^2)^3*(3*c*d^2 + 5*a*e^2)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(128*a^(5//2)*d^(7//2)*e^(5//2)), x, 6),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(x^6*(d + e*x)), -(((c*d^2 - a*e^2)*(3*c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 + 7*a^2*e^4)*(2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(128*a^3*d^4*e^3*x^2)) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(5*d*x^5) - (((3*c)/(a*e) - (7*e)/d^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(40*x^4) + ((15*c^2*d^4 + 12*a*c*d^2*e^2 - 35*a^2*e^4)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(240*a^2*d^3*e^2*x^3) + ((c*d^2 - a*e^2)^3*(3*c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 + 7*a^2*e^4)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(256*a^(7//2)*d^(9//2)*e^(7//2)), x, 7),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(x^7*(d + e*x)), ((7*c^4*d^8 + 8*a*c^3*d^6*e^2 + 6*a^2*c^2*d^4*e^4 - 21*a^4*e^8)*(2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(512*a^4*d^5*e^4*x^2) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(6*d*x^6) - ((c/(a*e) - (3*e)/d^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(20*x^5) + ((7*c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 - 21*a^2*e^4)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(160*a^2*d^3*e^2*x^4) - ((35*c^3*d^6 + 33*a*c^2*d^4*e^2 + 21*a^2*c*d^2*e^4 - 105*a^3*e^6)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(960*a^3*d^4*e^3*x^3) - ((c*d^2 - a*e^2)^3*(7*c^3*d^6 + 15*a*c^2*d^4*e^2 + 21*a^2*c*d^2*e^4 + 21*a^3*e^6)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(1024*a^(9//2)*d^(11//2)*e^(9//2)), x, 8),
+
+
+(x^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x), -((3*(c*d^2 - a*e^2)^3*(33*c^3*d^6 + 45*a*c^2*d^4*e^2 + 35*a^2*c*d^2*e^4 + 15*a^3*e^6)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(16384*c^5*d^5*e^6)) + ((c*d^2 - a*e^2)*(33*c^3*d^6 + 45*a*c^2*d^4*e^2 + 35*a^2*c*d^2*e^4 + 15*a^3*e^6)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(2048*c^4*d^4*e^5) + (1//112)*((5*a)/(c*d) - (11*d)/e^2)*x^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2) + (x^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(8*e) - ((231*c^3*d^6 - 15*a*c^2*d^4*e^2 - 95*a^2*c*d^2*e^4 - 105*a^3*e^6 - 10*c*d*e*(33*c^2*d^4 - 10*a*c*d^2*e^2 - 15*a^2*e^4)*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(4480*c^3*d^3*e^4) + (3*(c*d^2 - a*e^2)^5*(33*c^3*d^6 + 45*a*c^2*d^4*e^2 + 35*a^2*c*d^2*e^4 + 15*a^3*e^6)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(32768*c^(11//2)*d^(11//2)*e^(13//2)), x, 8),
+(x^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x), ((c*d^2 - a*e^2)^3*(9*c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 + 5*a^2*e^4)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(1024*c^4*d^4*e^5) - ((c*d^2 - a*e^2)*(9*c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 + 5*a^2*e^4)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(384*c^3*d^3*e^4) + (x^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(7*e) + ((63*c^2*d^4 - 20*a*c*d^2*e^2 - 35*a^2*e^4 - 10*c*d*e*(9*c*d^2 - 5*a*e^2)*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(840*c^2*d^2*e^3) - ((c*d^2 - a*e^2)^5*(9*c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 + 5*a^2*e^4)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(2048*c^(9//2)*d^(9//2)*e^(11//2)), x, 7),
+(x^1*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x), -(((c*d^2 - a*e^2)^3*(7*c*d^2 + 5*a*e^2)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(512*c^3*d^3*e^4)) + ((c*d^2 - a*e^2)*(7*c*d^2 + 5*a*e^2)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(192*c^2*d^2*e^3) - (1//60)*((5*a)/(c*d) + (7*d)/e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2) + (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2)/(6*c*d*e*(d + e*x)) + ((c*d^2 - a*e^2)^5*(7*c*d^2 + 5*a*e^2)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(1024*c^(7//2)*d^(7//2)*e^(9//2)), x, 6),
+(x^0*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x), (3*(c*d^2 - a*e^2)^3*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(128*c^2*d^2*e^3) + (1//16)*(a/(c*d) - d/e^2)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2) + (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(5*e) - (3*(c*d^2 - a*e^2)^5*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(256*c^(5//2)*d^(5//2)*e^(7//2)), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(x^1*(d + e*x)), -(((3*c^3*d^6 - 11*a*c^2*d^4*e^2 - 83*a^2*c*d^2*e^4 - 5*a^3*e^6 + 2*c*d*e*(c*d^2 - 5*a*e^2)*(3*c*d^2 + a*e^2)*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*c*d*e^2)) + ((3*c*d^2 + 11*a*e^2 + 6*c*d*e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(24*e) + ((3*c^4*d^8 - 20*a*c^3*d^6*e^2 + 90*a^2*c^2*d^4*e^4 + 60*a^3*c*d^2*e^6 - 5*a^4*e^8)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(128*c^(3//2)*d^(3//2)*e^(5//2)) - a^(5//2)*d^(3//2)*e^(5//2)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))), x, 8),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(x^2*(d + e*x)), ((c^2*d^4 + 28*a*c*d^2*e^2 + 19*a^2*e^4 + 2*c*d*e*(c*d^2 + 7*a*e^2)*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*e) - ((3*a*e - c*d*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*x) - ((c^3*d^6 - 15*a*c^2*d^4*e^2 - 45*a^2*c*d^2*e^4 - 5*a^3*e^6)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(16*sqrt(c)*sqrt(d)*e^(3//2)) - (1//2)*a^(3//2)*sqrt(d)*e^(3//2)*(5*c*d^2 + 3*a*e^2)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))), x, 8),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(x^3*(d + e*x)), -((3*(a*e*(3*c*d^2 + a*e^2) - c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2)*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*x)) - ((a*e - c*d*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(2*x^2) + (3*sqrt(c)*sqrt(d)*(c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 + 5*a^2*e^4)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(8*sqrt(e)) - (3*sqrt(a)*sqrt(e)*(5*c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(8*sqrt(d)), x, 8),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(x^4*(d + e*x)), -(((5*c^2*d^4 + 12*a*c*d^2*e^2 - a^2*e^4 - 2*c*d*e*(7*c*d^2 + a*e^2)*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*d*x)) - ((4*a*d*e + 3*(3*c*d^2 + a*e^2)*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(12*d*x^3) + (1//2)*c^(3//2)*d^(3//2)*sqrt(e)*(3*c*d^2 + 5*a*e^2)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) - ((5*c^3*d^6 + 45*a*c^2*d^4*e^2 + 15*a^2*c*d^2*e^4 - a^3*e^6)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(16*sqrt(a)*d^(3//2)*sqrt(e)), x, 8),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(x^5*(d + e*x)), -(((2*a*d*e*(5*c*d^2 - a*e^2)*(c*d^2 + 3*a*e^2) + (5*c^3*d^6 + 83*a*c^2*d^4*e^2 + 11*a^2*c*d^2*e^4 - 3*a^3*e^6)*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*a*d^2*e*x^2)) - ((6*a*d*e + (11*c*d^2 + 3*a*e^2)*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(24*d*x^4) + c^(5//2)*d^(5//2)*e^(3//2)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) + ((5*c^4*d^8 - 60*a*c^3*d^6*e^2 - 90*a^2*c^2*d^4*e^4 + 20*a^3*c*d^2*e^6 - 3*a^4*e^8)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(128*a^(3//2)*d^(5//2)*e^(3//2)), x, 8),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(x^6*(d + e*x)), (3*(c*d^2 - a*e^2)^3*(2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(128*a^2*d^3*e^2*x^2) - ((c/(a*e) - e/d^2)*(2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(16*x^4) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(5*d*x^5) - (3*(c*d^2 - a*e^2)^5*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(256*a^(5//2)*d^(7//2)*e^(5//2)), x, 6),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(x^7*(d + e*x)), -(((c*d^2 - a*e^2)^3*(5*c*d^2 + 7*a*e^2)*(2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(512*a^3*d^4*e^3*x^2)) + ((c*d^2 - a*e^2)*(5*c*d^2 + 7*a*e^2)*(2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(192*a^2*d^3*e^2*x^4) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(6*d*x^6) - (((5*c)/(a*e) - (7*e)/d^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(60*x^5) + ((c*d^2 - a*e^2)^5*(5*c*d^2 + 7*a*e^2)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(1024*a^(7//2)*d^(9//2)*e^(7//2)), x, 7),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(x^8*(d + e*x)), ((c*d^2 - a*e^2)^3*(5*c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 + 9*a^2*e^4)*(2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(1024*a^4*d^5*e^4*x^2) - ((c*d^2 - a*e^2)*(5*c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 + 9*a^2*e^4)*(2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(384*a^3*d^4*e^3*x^4) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(7*d*x^7) - (((5*c)/(a*e) - (9*e)/d^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(84*x^6) + ((35*c^2*d^4 + 20*a*c*d^2*e^2 - 63*a^2*e^4)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(840*a^2*d^3*e^2*x^5) - ((c*d^2 - a*e^2)^5*(5*c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 + 9*a^2*e^4)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(2048*a^(9//2)*d^(11//2)*e^(9//2)), x, 8),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(x^9*(d + e*x)), -((3*(c*d^2 - a*e^2)^3*(15*c^3*d^6 + 35*a*c^2*d^4*e^2 + 45*a^2*c*d^2*e^4 + 33*a^3*e^6)*(2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(16384*a^5*d^6*e^5*x^2)) + ((c*d^2 - a*e^2)*(15*c^3*d^6 + 35*a*c^2*d^4*e^2 + 45*a^2*c*d^2*e^4 + 33*a^3*e^6)*(2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(2048*a^4*d^5*e^4*x^4) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(8*d*x^8) - (((5*c)/(a*e) - (11*e)/d^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(112*x^7) + ((15*c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 - 33*a^2*e^4)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(448*a^2*d^3*e^2*x^6) - ((105*c^3*d^6 + 95*a*c^2*d^4*e^2 + 15*a^2*c*d^2*e^4 - 231*a^3*e^6)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(4480*a^3*d^4*e^3*x^5) + (3*(c*d^2 - a*e^2)^5*(15*c^3*d^6 + 35*a*c^2*d^4*e^2 + 45*a^2*c*d^2*e^4 + 33*a^3*e^6)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(32768*a^(11//2)*d^(13//2)*e^(11//2)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+# {x^3/((d + e*x)*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2]), x, 5, -((3*(3*c*d^2 + a*e^2)*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2])/(4*c^2*d^2*e^3)) - (2*d^3*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2])/(e^3*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)) + ((d + e*x)*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2])/(2*c*d*e^3) + (3*(5*c^2*d^4 + 2*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4)*ArcTanh[(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[d]*Sqrt[e]*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2])])/(8*c^(5/2)*d^(5/2)*e^(7/2)), -((2*d*x^2*(a*e*(c*d^2 - a*e^2) + c*d*(c*d^2 - a*e^2)*x))/(e*(c*d^2 - a*e^2)^2*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2])) - (((5*c*d^2 - 3*a*e^2)*(3*c*d^2 + a*e^2) - 2*c*d*e*(5*c*d^2 - a*e^2)*x)*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2])/(4*c^2*d^2*e^3*(c*d^2 - a*e^2)) + (3*(5*c^2*d^4 + 2*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4)*ArcTanh[(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[d]*Sqrt[e]*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2])])/(8*c^(5/2)*d^(5/2)*e^(7/2))}
+(x^2/((d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(c*d*e^2) + (2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(e^2*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)) - ((3*c*d^2 + a*e^2)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(2*c^(3//2)*d^(3//2)*e^(5//2)), x, 4),
+(x^1/((d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), -((2*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(e*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x))) + atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)))/(sqrt(c)*sqrt(d)*e^(3//2)), x, 3),
+(x^0/((d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), (2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/((c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)), x, 1),
+(1/(x^1*(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), -((2*e*(a*e + c*d*x))/(d*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) - atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)))/(sqrt(a)*d^(3//2)*sqrt(e)), x, 5),
+(1/(x^2*(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), -((2*e*(a*e + c*d*x))/(d*(c*d^2 - a*e^2)*x*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) - ((c*d^2 - 3*a*e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(a*d^2*e*(c*d^2 - a*e^2)*x) + ((c*d^2 + 3*a*e^2)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(2*a^(3//2)*d^(5//2)*e^(3//2)), x, 5),
+(1/(x^3*(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), -((2*e*(a*e + c*d*x))/(d*(c*d^2 - a*e^2)*x^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) - ((c*d^2 - 5*a*e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(2*a*d^2*e*(c*d^2 - a*e^2)*x^2) + ((3*c*d^2 - 5*a*e^2)*(c*d^2 + 3*a*e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*a^2*d^3*e^2*(c*d^2 - a*e^2)*x) - (3*(c^2*d^4 + 2*a*c*d^2*e^2 + 5*a^2*e^4)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(8*a^(5//2)*d^(7//2)*e^(5//2)), x, 6),
+
+
+(x^5/((d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), -((2*d*x^4*(a*e*(c*d^2 - a*e^2) + c*d*(c*d^2 - a*e^2)*x))/(3*e*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) - (2*x^2*(a*d*e*(c*d^2 - a*e^2)*(7*c^2*d^4 - 12*a*c*d^2*e^2 - 3*a^2*e^4) + (c*d^2 - a*e^2)*(7*c^3*d^6 - 11*a*c^2*d^4*e^2 - a^2*c*d^2*e^4 - 3*a^3*e^6)*x))/(3*c*d*e^2*(c*d^2 - a*e^2)^4*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - ((105*c^4*d^8 - 190*a*c^3*d^6*e^2 + 36*a^2*c^2*d^4*e^4 + 30*a^3*c*d^2*e^6 - 45*a^4*e^8 - 2*c*d*e*(35*c^3*d^6 - 61*a*c^2*d^4*e^2 + 9*a^2*c*d^2*e^4 - 15*a^3*e^6)*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(12*c^3*d^3*e^4*(c*d^2 - a*e^2)^3) + (5*(7*c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(8*c^(7//2)*d^(7//2)*e^(9//2)), x, 6),
+(x^4/((d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), -((2*d*x^3*(a*e*(c*d^2 - a*e^2) + c*d*(c*d^2 - a*e^2)*x))/(3*e*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) - (2*x*(a*d*e*(c*d^2 - a*e^2)*(5*c^2*d^4 - 10*a*c*d^2*e^2 - 3*a^2*e^4) + (c*d^2 - a*e^2)*(5*c^3*d^6 - 9*a*c^2*d^4*e^2 - a^2*c*d^2*e^4 - 3*a^3*e^6)*x))/(3*c*d*e^2*(c*d^2 - a*e^2)^4*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + ((15*c^3*d^6 - 31*a*c^2*d^4*e^2 + 9*a^2*c*d^2*e^4 - 9*a^3*e^6)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*c^2*d^2*e^3*(c*d^2 - a*e^2)^3) - ((5*c*d^2 + 3*a*e^2)*atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(2*c^(5//2)*d^(5//2)*e^(7//2)), x, 6),
+(x^3/((d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), -((2*d*x^2*(a*e*(c*d^2 - a*e^2) + c*d*(c*d^2 - a*e^2)*x))/(3*e*(c*d^2 - a*e^2)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) - (2*(a*d*e*(c*d^2 - 3*a*e^2)*(3*c*d^2 + a*e^2) + (3*c^3*d^6 - 7*a*c^2*d^4*e^2 - a^2*c*d^2*e^4 - 3*a^3*e^6)*x))/(3*c*d*e^2*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + atanh((c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)))/(c^(3//2)*d^(3//2)*e^(5//2)), x, 5),
+(x^2/((d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), (2*x^2)/(3*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - (8*a*e*(2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x))/(3*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 3),
+(x^1/((d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), -((2*d)/(3*e*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) + (2*(c*d^2 + 3*a*e^2)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(3*e*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 2),
+(x^0/((d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), 2/(3*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - (8*c*d*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(3*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 2),
+(1/(x^1*(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), -((2*e*(a*e + c*d*x))/(3*d*(c*d^2 - a*e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) + (2*(3*c^3*d^6 + a*c^2*d^4*e^2 + 7*a^2*c*d^2*e^4 - 3*a^3*e^6 + c*d*e*(3*c*d^2 - a*e^2)*(c*d^2 + 3*a*e^2)*x))/(3*a*d^2*e*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)))/(a^(3//2)*d^(5//2)*e^(3//2)), x, 6),
+(1/(x^2*(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), -((2*e*(a*e + c*d*x))/(3*d*(c*d^2 - a*e^2)*x*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) + (2*(3*c^3*d^6 + a*c^2*d^4*e^2 + 9*a^2*c*d^2*e^4 - 5*a^3*e^6 + c*d*e*(3*c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 - 5*a^2*e^4)*x))/(3*a*d^2*e*(c*d^2 - a*e^2)^3*x*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - ((9*c^3*d^6 - 9*a*c^2*d^4*e^2 + 31*a^2*c*d^2*e^4 - 15*a^3*e^6)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*a^2*d^3*e^2*(c*d^2 - a*e^2)^3*x) + ((3*c*d^2 + 5*a*e^2)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(2*a^(5//2)*d^(7//2)*e^(5//2)), x, 6),
+(1/(x^3*(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), -((2*e*(a*e + c*d*x))/(3*d*(c*d^2 - a*e^2)*x^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) + (2*(3*c^3*d^6 + a*c^2*d^4*e^2 + 11*a^2*c*d^2*e^4 - 7*a^3*e^6 + c*d*e*(3*c^2*d^4 + 12*a*c*d^2*e^2 - 7*a^2*e^4)*x))/(3*a*d^2*e*(c*d^2 - a*e^2)^3*x^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - ((15*c^3*d^6 - 9*a*c^2*d^4*e^2 + 61*a^2*c*d^2*e^4 - 35*a^3*e^6)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(6*a^2*d^3*e^2*(c*d^2 - a*e^2)^3*x^2) + ((45*c^4*d^8 - 30*a*c^3*d^6*e^2 - 36*a^2*c^2*d^4*e^4 + 190*a^3*c*d^2*e^6 - 105*a^4*e^8)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(12*a^3*d^4*e^3*(c*d^2 - a*e^2)^3*x) - (5*(3*c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 + 7*a^2*e^4)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(8*a^(7//2)*d^(9//2)*e^(7//2)), x, 7),
+(1/(x^4*(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)), -((2*e*(a*e + c*d*x))/(3*d*(c*d^2 - a*e^2)*x^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) + (2*(3*c^3*d^6 + a*c^2*d^4*e^2 + 13*a^2*c*d^2*e^4 - 9*a^3*e^6 + c*d*e*(3*c^2*d^4 + 14*a*c*d^2*e^2 - 9*a^2*e^4)*x))/(3*a*d^2*e*(c*d^2 - a*e^2)^3*x^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - ((7*c^3*d^6 - 3*a*c^2*d^4*e^2 + 33*a^2*c*d^2*e^4 - 21*a^3*e^6)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*a^2*d^3*e^2*(c*d^2 - a*e^2)^3*x^3) + ((35*c^4*d^8 - 16*a*c^3*d^6*e^2 - 18*a^2*c^2*d^4*e^4 + 168*a^3*c*d^2*e^6 - 105*a^4*e^8)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(12*a^3*d^4*e^3*(c*d^2 - a*e^2)^3*x^2) - ((105*c^5*d^10 - 55*a*c^4*d^8*e^2 - 54*a^2*c^3*d^6*e^4 - 78*a^3*c^2*d^4*e^6 + 525*a^4*c*d^2*e^8 - 315*a^5*e^10)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(24*a^4*d^5*e^4*(c*d^2 - a*e^2)^3*x) + (5*(7*c^3*d^6 + 15*a*c^2*d^4*e^2 + 21*a^2*c*d^2*e^4 + 21*a^3*e^6)*atanh((2*a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))))/(16*a^(9//2)*d^(11//2)*e^(9//2)), x, 8),
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+
+(x^2/(d + e*x)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2), (2*x^2)/(5*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) - (8*(a*d*e*(c*d^2 - a*e^2)*(c*d^2 + 3*a*e^2) + (c^3*d^6 + a^2*c*d^2*e^4 - 2*a^3*e^6)*x))/(15*e*(c*d^2 - a*e^2)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) + (8*(c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 + 5*a^2*e^4)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(15*e*(c*d^2 - a*e^2)^5*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 3),
+
+
+(x^2/(d + e*x)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2), (2*x^2)/(7*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)) - (8*(2*a*d*e*(c*d^2 + 2*a*e^2) + (2*c^2*d^4 + a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*x))/(35*e*(c*d^2 - a*e^2)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)) + (16*(3*c^2*d^4 + 14*a*c*d^2*e^2 + 7*a^2*e^4)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(105*e*(c*d^2 - a*e^2)^5*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)) - (128*c*d*(3*c^2*d^4 + 14*a*c*d^2*e^2 + 7*a^2*e^4)*(c*d^2 + a*e^2 + 2*c*d*e*x))/(105*(c*d^2 - a*e^2)^7*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 4),
+
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^p (a+b x+c x^2)^p when b d+a e=0 and c d+b e=0
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^(p/2) (a+b x+c x^2)^(p/2) when b d+a e=0 and c d+b e=0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+(x^3*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2), (6*x*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/55 + (2*x^4*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/11 - (4*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)^(3//2)*sqrt(1 - x + x^2)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(55*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*(1 + x^3)), x, 4),
+(x^2*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2), (2//9)*(1 + x)^(3//2)*(1 - x + x^2)^(3//2), x, 1),
+(x*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2), (2*x^2*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/7 + (6*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/(7*(1 + sqrt(3) + x)) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)^(3//2)*sqrt(1 - x + x^2)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*(1 + x^3)) + (2*sqrt(2)*3^(3//4)*(1 + x)^(3//2)*sqrt(1 - x + x^2)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*(1 + x^3)), x, 5),
+(sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2), (2*x*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/5 + (2*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)^(3//2)*sqrt(1 - x + x^2)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(5*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*(1 + x^3)), x, 3),
+((sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/x, (2*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/3 - (2*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)*atanh(sqrt(1 + x^3)))/(3*sqrt(1 + x^3)), x, 5),
+((sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/x^2, -((sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/x) + (3*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/(1 + sqrt(3) + x) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)^(3//2)*sqrt(1 - x + x^2)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*(1 + x^3)) + (sqrt(2)*3^(3//4)*(1 + x)^(3//2)*sqrt(1 - x + x^2)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*(1 + x^3)), x, 5),
+((sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/x^3, -(sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/(2*x^2) + (3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)^(3//2)*sqrt(1 - x + x^2)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*(1 + x^3)), x, 3),
+
+
+(x^3*(1 + x)^(3//2)*(1 - x + x^2)^(3//2), (54*x*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/935 + (18*x^4*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/187 + (2*x^4*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)*(1 + x^3))/17 - (36*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)^(3//2)*sqrt(1 - x + x^2)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(935*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*(1 + x^3)), x, 5),
+(x^2*(1 + x)^(3//2)*(1 - x + x^2)^(3//2), (2//15)*(1 + x)^(5//2)*(1 - x + x^2)^(5//2), x, 1),
+(x*(1 + x)^(3//2)*(1 - x + x^2)^(3//2), (18*x^2*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/91 + (54*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/(91*(1 + sqrt(3) + x)) + (2*x^2*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)*(1 + x^3))/13 - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)^(3//2)*sqrt(1 - x + x^2)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*(1 + x^3)) + (18*sqrt(2)*3^(3//4)*(1 + x)^(3//2)*sqrt(1 - x + x^2)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(91*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*(1 + x^3)), x, 6),
+((1 + x)^(3//2)*(1 - x + x^2)^(3//2), (18*x*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/55 + (2*x*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)*(1 + x^3))/11 + (18*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)^(3//2)*sqrt(1 - x + x^2)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(55*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*(1 + x^3)), x, 4),
+(((1 + x)^(3//2)*(1 - x + x^2)^(3//2))/x, (2*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/3 + (2*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)*(1 + x^3))/9 - (2*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)*atanh(sqrt(1 + x^3)))/(3*sqrt(1 + x^3)), x, 6),
+(((1 + x)^(3//2)*(1 - x + x^2)^(3//2))/x^2, (9*x^2*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/7 + (27*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/(7*(1 + sqrt(3) + x)) - (sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)*(1 + x^3))/x - (27*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)^(3//2)*sqrt(1 - x + x^2)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(14*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*(1 + x^3)) + (9*sqrt(2)*3^(3//4)*(1 + x)^(3//2)*sqrt(1 - x + x^2)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(7*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*(1 + x^3)), x, 6),
+(((1 + x)^(3//2)*(1 - x + x^2)^(3//2))/x^3, (9*x*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))/10 - (sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)*(1 + x^3))/(2*x^2) + (9*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)^(3//2)*sqrt(1 - x + x^2)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(10*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*(1 + x^3)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^3/(sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)), (2*x*(1 + x^3))/(5*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) - (4*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(5*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 3),
+(x^2/(sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)), (2//3)*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2), x, 1),
+(x/(sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)), (2*(1 + x^3))/(sqrt(1 + x)*(1 + sqrt(3) + x)*sqrt(1 - x + x^2)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 4),
+(1/(sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)), (2*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 2),
+(1/(x*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)), (-2*sqrt(1 + x^3)*atanh(sqrt(1 + x^3)))/(3*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 4),
+(1/(x^2*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)), -((1 + x^3)/(x*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2))) + (1 + x^3)/(sqrt(1 + x)*(1 + sqrt(3) + x)*sqrt(1 - x + x^2)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)) + (sqrt(2)*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 5),
+(1/(x^3*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)), -(1 + x^3)/(2*x^2*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) - (sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 3),
+
+
+(x^3/((1 + x)^(3//2)*(1 - x + x^2)^(3//2)), (-2*x)/(3*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) + (4*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 3),
+(x^2/((1 + x)^(3//2)*(1 - x + x^2)^(3//2)), -2/(3*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 1),
+(x/((1 + x)^(3//2)*(1 - x + x^2)^(3//2)), (2*x^2)/(3*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) - (2*(1 + x^3))/(3*sqrt(1 + x)*(1 + sqrt(3) + x)*sqrt(1 - x + x^2)) + (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 5),
+(1/((1 + x)^(3//2)*(1 - x + x^2)^(3//2)), (2*x)/(3*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 3),
+(1/(x*(1 + x)^(3//2)*(1 - x + x^2)^(3//2)), 2/(3*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) - (2*sqrt(1 + x^3)*atanh(sqrt(1 + x^3)))/(3*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 5),
+(1/(x^2*(1 + x)^(3//2)*(1 - x + x^2)^(3//2)), 2/(3*x*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) - (5*(1 + x^3))/(3*x*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) + (5*(1 + x^3))/(3*sqrt(1 + x)*(1 + sqrt(3) + x)*sqrt(1 - x + x^2)) - (5*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(6*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)) + (5*sqrt(2)*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 6),
+(1/(x^3*(1 + x)^(3//2)*(1 - x + x^2)^(3//2)), 2/(3*x^2*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) - (7*(1 + x^3))/(6*x^2*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) - (7*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(6*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 4),
+
+
+(x^3/((1 + x)^(5//2)*(1 - x + x^2)^(5//2)), (4*x)/(27*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) - (2*x)/(9*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)*(1 + x^3)) + (4*sqrt(2 + sqrt(3))*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 4),
+(x^2/((1 + x)^(5//2)*(1 - x + x^2)^(5//2)), -(2/(9*(1 + x)^(3//2)*(1 - x + x^2)^(3//2))), x, 1),
+(x/((1 + x)^(5//2)*(1 - x + x^2)^(5//2)), (10*x^2)/(27*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) + (2*x^2)/(9*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)*(1 + x^3)) - (10*(1 + x^3))/(27*sqrt(1 + x)*(1 + sqrt(3) + x)*sqrt(1 - x + x^2)) + (5*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)) - (10*sqrt(2)*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 6),
+(1/((1 + x)^(5//2)*(1 - x + x^2)^(5//2)), (14*x)/(27*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) + (2*x)/(9*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)*(1 + x^3)) + (14*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 4),
+(1/(x*(1 + x)^(5//2)*(1 - x + x^2)^(5//2)), 2/(3*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) + 2/(9*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)*(1 + x^3)) - (2*sqrt(1 + x^3)*atanh(sqrt(1 + x^3)))/(3*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 6),
+(1/(x^2*(1 + x)^(5//2)*(1 - x + x^2)^(5//2)), 22/(27*x*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) + 2/(9*x*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)*(1 + x^3)) - (55*(1 + x^3))/(27*x*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) + (55*(1 + x^3))/(27*sqrt(1 + x)*(1 + sqrt(3) + x)*sqrt(1 - x + x^2)) - (55*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(54*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)) + (55*sqrt(2)*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 7),
+(1/(x^3*(1 + x)^(5//2)*(1 - x + x^2)^(5//2)), 26/(27*x^2*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) + 2/(9*x^2*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)*(1 + x^3)) - (91*(1 + x^3))/(54*x^2*sqrt(1 + x)*sqrt(1 - x + x^2)) - (91*sqrt(2 + sqrt(3))/3^(1//4)*sqrt(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(54*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 - x + x^2)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^n (a+b x+c x^2)^p
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^n (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x/((-1 + x)^3*(3 + 5*x + 4*x^2)^2), -(21/(736*(1 - x)^2)) - 97/(4416*(1 - x)) + (39 + 44*x)/(276*(1 - x)^2*(3 + 5*x + 4*x^2)) + (6023*atan((5 + 8*x)/sqrt(23)))/(52992*sqrt(23)) + (11*log(1 - x))/2304 - (11*log(3 + 5*x + 4*x^2))/4608, x, 7),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^n (a+b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^(n/2) (a+b x+c x^2)^p
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4*sqrt(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2), -((2*b*(b^2 - 2*a*c)*sqrt(d + e*x))/c^4) + (2*(c^2*d^2 + b^2*e^2 + c*e*(b*d - a*e))*(d + e*x)^(3//2))/(3*c^3*e^3) - (2*(2*c*d + b*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*c^2*e^3) + (2*(d + e*x)^(7//2))/(7*c*e^3) + (sqrt(2)*(b^3*c*d - 2*a*b*c^2*d - b^4*e + 3*a*b^2*c*e - a^2*c^2*e - (b^4*c*d - 4*a*b^2*c^2*d + 2*a^2*c^3*d - b^5*e + 5*a*b^3*c*e - 5*a^2*b*c^2*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(9//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (sqrt(2)*(b^3*c*d - 2*a*b*c^2*d - b^4*e + 3*a*b^2*c*e - a^2*c^2*e + (b^4*c*d - 4*a*b^2*c^2*d + 2*a^2*c^3*d - b^5*e + 5*a*b^3*c*e - 5*a^2*b*c^2*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(9//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 6),
+# {x^3*Sqrt[d + e*x]/(a + b*x + c*x^2), x, 6, (2*(b^2 - a*c)*Sqrt[d + e*x])/c^3 - (2*(c*d + b*e)*(d + e*x)^(3/2))/(3*c^2*e^2) + (2*(d + e*x)^(5/2))/(5*c*e^2) + ((b^3 - 3*a*b*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b^2 - a*c))*Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]])/(Sqrt[2]*c^(7/2)*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) - ((b^3 - 3*a*b*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b^2 - a*c))*Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]])/(Sqrt[2]*c^(7/2)*Sqrt[b^2 - 4*a*c]), (2*(b^2 - a*c)*Sqrt[d + e*x])/c^3 - (2*(c*d + b*e)*(d + e*x)^(3/2))/(3*c^2*e^2) + (2*(d + e*x)^(5/2))/(5*c*e^2) - (Sqrt[2]*(b^2*c*d - a*c^2*d - b^3*e + 2*a*b*c*e - (b^3*c*d - 3*a*b*c^2*d - b^4*e + 4*a*b^2*c*e - 2*a^2*c^2*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]])/(c^(7/2)*Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]) - (Sqrt[2]*(b^2*c*d - a*c^2*d - b^3*e + 2*a*b*c*e + (b^3*c*d - 3*a*b*c^2*d - b^4*e + 4*a*b^2*c*e - 2*a^2*c^2*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]])/(c^(7/2)*Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e])}
+(x^2*sqrt(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2), -((2*b*sqrt(d + e*x))/c^2) + (2*(d + e*x)^(3//2))/(3*c*e) + (sqrt(2)*(b*c*d - b^2*e + a*c*e - (b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(5//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (sqrt(2)*(b*c*d - b^2*e + a*c*e + (b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(5//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 6),
+(x^1*sqrt(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2), (2*sqrt(d + e*x))/c + (sqrt(2)*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(3//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (sqrt(2)*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(3//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 5),
+(x^0*sqrt(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2), -((sqrt(2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 4),
+(sqrt(d + e*x)/(x^1*(a + b*x + c*x^2)), -((2*sqrt(d)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/a) + (sqrt(2)*sqrt(c)*(b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (sqrt(2)*sqrt(c)*(b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 7),
+# {Sqrt[d + e*x]/(x^2*(a + b*x + c*x^2)), x, 9, If[$VersionNumber>=8, -(Sqrt[d + e*x]/(a*x)) + (e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(a*Sqrt[d]) + (2*(b*d - a*e)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(a^2*Sqrt[d]) - (Sqrt[2]*Sqrt[c]*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b*d - a*e))*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]])/(a^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]) + (Sqrt[2]*Sqrt[c]*(b^2*d - b*(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d + a*e) - a*(2*c*d - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e))*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]])/(a^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]), -(Sqrt[d + e*x]/(a*x)) + (e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(a*Sqrt[d]) + (2*(b*d - a*e)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(a^2*Sqrt[d]) - (Sqrt[2]*Sqrt[c]*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b*d - a*e))*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]])/(a^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]) + (Sqrt[2]*Sqrt[c]*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b*d - a*e))*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]])/(a^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e])]}
+(sqrt(d + e*x)/(x^3*(a + b*x + c*x^2)), -(sqrt(d + e*x)/(2*a*x^2)) + (3*e*sqrt(d + e*x))/(4*a*d*x) + ((b*d - a*e)*sqrt(d + e*x))/(a^2*d*x) - (3*e^2*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(4*a*d^(3//2)) - (e*(b*d - a*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(a^2*d^(3//2)) - (2*(b^2*d - a*c*d - a*b*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(a^3*sqrt(d)) + (sqrt(2)*sqrt(c)*(b^3*d - a*c*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*e) + b^2*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - a*e) - a*b*(3*c*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(a^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (sqrt(2)*sqrt(c)*(b^3*d - b^2*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e) + a*c*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 2*a*e) - a*b*(3*c*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(a^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 12),
+
+
+(x^4*(d + e*x)^(3//2)/(a + b*x + c*x^2), -((2*(b^3*c*d - 2*a*b*c^2*d - b^4*e + 3*a*b^2*c*e - a^2*c^2*e)*sqrt(d + e*x))/c^5) - (2*b*(b^2 - 2*a*c)*(d + e*x)^(3//2))/(3*c^4) + (2*(c^2*d^2 + b^2*e^2 + c*e*(b*d - a*e))*(d + e*x)^(5//2))/(5*c^3*e^3) - (2*(2*c*d + b*e)*(d + e*x)^(7//2))/(7*c^2*e^3) + (2*(d + e*x)^(9//2))/(9*c*e^3) + (sqrt(2)*((b*c*d - b^2*e + a*c*e)*(b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e) + (2*b^5*c*d*e - 10*a*b^3*c^2*d*e + 10*a^2*b*c^3*d*e - b^6*e^2 + a*b^2*c^2*(4*c*d^2 - 9*a*e^2) - b^4*c*(c*d^2 - 6*a*e^2) - 2*a^2*c^3*(c*d^2 - a*e^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(11//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (sqrt(2)*((b*c*d - b^2*e + a*c*e)*(b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e) - (2*b^5*c*d*e - 10*a*b^3*c^2*d*e + 10*a^2*b*c^3*d*e - b^6*e^2 + a*b^2*c^2*(4*c*d^2 - 9*a*e^2) - b^4*c*(c*d^2 - 6*a*e^2) - 2*a^2*c^3*(c*d^2 - a*e^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(11//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 6),
+(x^3*(d + e*x)^(3//2)/(a + b*x + c*x^2), (2*(b^2*c*d - a*c^2*d - b^3*e + 2*a*b*c*e)*sqrt(d + e*x))/c^4 + (2*(b^2 - a*c)*(d + e*x)^(3//2))/(3*c^3) - (2*(c*d + b*e)*(d + e*x)^(5//2))/(5*c^2*e^2) + (2*(d + e*x)^(7//2))/(7*c*e^2) + (sqrt(2)*(2*b^3*c*d*e - 4*a*b*c^2*d*e - b^4*e^2 - b^2*c*(c*d^2 - 3*a*e^2) + a*c^2*(c*d^2 - a*e^2) - (2*b^4*c*d*e - 8*a*b^2*c^2*d*e + 4*a^2*c^3*d*e - b^5*e^2 - b^3*c*(c*d^2 - 5*a*e^2) + a*b*c^2*(3*c*d^2 - 5*a*e^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(9//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (sqrt(2)*(2*b^3*c*d*e - 4*a*b*c^2*d*e - b^4*e^2 - b^2*c*(c*d^2 - 3*a*e^2) + a*c^2*(c*d^2 - a*e^2) + (2*b^4*c*d*e - 8*a*b^2*c^2*d*e + 4*a^2*c^3*d*e - b^5*e^2 - b^3*c*(c*d^2 - 5*a*e^2) + a*b*c^2*(3*c*d^2 - 5*a*e^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(9//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 6),
+(x^2*(d + e*x)^(3//2)/(a + b*x + c*x^2), -((2*(b*c*d - b^2*e + a*c*e)*sqrt(d + e*x))/c^3) - (2*b*(d + e*x)^(3//2))/(3*c^2) + (2*(d + e*x)^(5//2))/(5*c*e) + (sqrt(2)*((c*d - b*e)*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) + (2*b^3*c*d*e - 6*a*b*c^2*d*e - b^4*e^2 - b^2*c*(c*d^2 - 4*a*e^2) + 2*a*c^2*(c*d^2 - a*e^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(7//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (sqrt(2)*((c*d - b*e)*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) - (2*b^3*c*d*e - 6*a*b*c^2*d*e - b^4*e^2 - b^2*c*(c*d^2 - 4*a*e^2) + 2*a*c^2*(c*d^2 - a*e^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(7//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 6),
+(x^1*(d + e*x)^(3//2)/(a + b*x + c*x^2), (2*(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x))/c^2 + (2*(d + e*x)^(3//2))/(3*c) + (sqrt(2)*(b^3*e^2 - b^2*e*(2*c*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e) + c*(a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^2 - c*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 4*a*e)) + b*c*(c*d^2 + e*(2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 3*a*e)))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(5//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (sqrt(2)*(b^3*e^2 - b^2*e*(2*c*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*e) + b*c*(c*d^2 - e*(2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 3*a*e)) - c*(a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^2 - c*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 4*a*e)))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(5//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 6),
+(x^0*(d + e*x)^(3//2)/(a + b*x + c*x^2), (2*e*sqrt(d + e*x))/c - (sqrt(2)*(2*c^2*d^2 + b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(3//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (sqrt(2)*(2*c^2*d^2 + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c^(3//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 5),
+((d + e*x)^(3//2)/(x^1*(a + b*x + c*x^2)), -((2*d^(3//2)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/a) - (sqrt(2)*(a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^2 - c*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 4*a*e) - b*(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(a*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (sqrt(2)*(a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^2 - c*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 4*a*e) + b*(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(a*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 7),
+((d + e*x)^(3//2)/(x^2*(a + b*x + c*x^2)), -((d*sqrt(d + e*x))/(a*x)) + (sqrt(d)*e*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/a + (2*sqrt(d)*(b*d - 2*a*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/a^2 - (sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2*d^2 + b*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*e) - 2*a*(c*d^2 + e*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - a*e)))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2*d^2 - b*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 2*a*e) - 2*a*(c*d^2 - e*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e)))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 9),
+((d + e*x)^(3//2)/(x^3*(a + b*x + c*x^2)), -((d*sqrt(d + e*x))/(2*a*x^2)) + (3*e*sqrt(d + e*x))/(4*a*x) + ((b*d - 2*a*e)*sqrt(d + e*x))/(a^2*x) - (3*e^2*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(4*a*sqrt(d)) - (e*(b*d - 2*a*e)*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(a^2*sqrt(d)) - (2*(b^2*d^2 - 2*a*b*d*e - a*(c*d^2 - a*e^2))*atanh(sqrt(d + e*x)/sqrt(d)))/(a^3*sqrt(d)) + (sqrt(2)*sqrt(c)*(b^3*d^2 + b^2*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*e) + a*(a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^2 - c*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 4*a*e)) - a*b*(3*c*d^2 + e*(2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - a*e)))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(a^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (sqrt(2)*sqrt(c)*(b^3*d^2 - b^2*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 2*a*e) - a*b*(3*c*d^2 - e*(2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e)) - a*(a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^2 - c*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 4*a*e)))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(a^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 12),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^n (a+b x+c x^2)^p when n symbolic
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(x^m*(e + f*x)^n/(a + b*x + c*x^2), (2*c*x^(1 + m)*(e + f*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 1, 2 + m, -((f*x)/e), -((2*c*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (f*x)/e)^n*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(1 + m))) - (2*c*x^(1 + m)*(e + f*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 1, 2 + m, -((f*x)/e), -((2*c*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (f*x)/e)^n*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(1 + m))), x, 6),
+
+
+(x^3*(e + f*x)^n/(a + b*x + c*x^2), -(((c*e + b*f)*(e + f*x)^(1 + n))/(c^2*f^2*(1 + n))) + (e + f*x)^(2 + n)/(c*f^2*(2 + n)) + ((a - b^2/c + (b*(b^2 - 3*a*c))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (2*c*(e + f*x))/(2*c*e - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)))/(c*(2*c*e - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*(1 + n)) + ((a - b^2/c - (b*(b^2 - 3*a*c))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (2*c*(e + f*x))/(2*c*e - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)))/(c*(2*c*e - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*(1 + n)), x, 4),
+(x^2*(e + f*x)^n/(a + b*x + c*x^2), (e + f*x)^(1 + n)/(c*f*(1 + n)) + ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (2*c*(e + f*x))/(2*c*e - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)))/(c*(2*c*e - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*(1 + n)) + ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (2*c*(e + f*x))/(2*c*e - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)))/(c*(2*c*e - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*(1 + n)), x, 4),
+(x^1*(e + f*x)^n/(a + b*x + c*x^2), -(((1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (2*c*(e + f*x))/(2*c*e - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)))/((2*c*e - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*(1 + n))) - ((1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (2*c*(e + f*x))/(2*c*e - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)))/((2*c*e - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*(1 + n)), x, 4),
+(x^0*(e + f*x)^n/(a + b*x + c*x^2), -((2*c*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (2*c*(e + f*x))/(2*c*e - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*e - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*(1 + n))) + (2*c*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (2*c*(e + f*x))/(2*c*e - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*e - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*(1 + n)), x, 4),
+((e + f*x)^n/(x^1*(a + b*x + c*x^2)), (c*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (2*c*(e + f*x))/(2*c*e - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)))/(a*(2*c*e - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*(1 + n)) + (c*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (2*c*(e + f*x))/(2*c*e - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)))/(a*(2*c*e - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*(1 + n)) - ((e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (f*x)/e))/(a*e*(1 + n)), x, 7),
+((e + f*x)^n/(x^2*(a + b*x + c*x^2)), -((c*(b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (2*c*(e + f*x))/(2*c*e - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)))/(a^2*(2*c*e - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*(1 + n))) - (c*(b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (2*c*(e + f*x))/(2*c*e - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)))/(a^2*(2*c*e - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*(1 + n)) + (b*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (f*x)/e))/(a^2*e*(1 + n)) + (f*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, 1 + (f*x)/e))/(a*e^2*(1 + n)), x, 8),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p when b=0 and c d^2+a e^2=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^2 (d^2-e^2 x^2)^p
+
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+((d + e*x)^4*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2), -((d^2*(7*e^2*f^2 + 16*d*e*f*g + 8*d^2*g^2)*x)/e^2) - (d*(2*e^2*f^2 + 7*d*e*f*g + 4*d^2*g^2)*x^2)/e - (1//3)*(e*f + d*g)*(e*f + 7*d*g)*x^3 - (1//2)*e*g*(e*f + 2*d*g)*x^4 - (1//5)*e^2*g^2*x^5 - (8*d^3*(e*f + d*g)^2*log(d - e*x))/e^3, x, 3),
+((d + e*x)^3*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2), -((d*(e*f + 2*d*g)*(3*e*f + 2*d*g)*x)/e^2) - ((e^2*f^2 + 6*d*e*f*g + 4*d^2*g^2)*x^2)/(2*e) - (1//3)*g*(2*e*f + 3*d*g)*x^3 - (1//4)*e*g^2*x^4 - (4*d^2*(e*f + d*g)^2*log(d - e*x))/e^3, x, 3),
+((d + e*x)^2*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2), -((2*d*g*(e*f + d*g)*x)/e^2) - (d*(f + g*x)^2)/e - (f + g*x)^3/(3*g) - (2*d*(e*f + d*g)^2*log(d - e*x))/e^3, x, 3),
+((d + e*x)^1*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2), -((g*(e*f + d*g)*x)/e^2) - (f + g*x)^2/(2*e) - ((e*f + d*g)^2*log(d - e*x))/e^3, x, 3),
+((d + e*x)^0*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2), -((g^2*x)/e^2) - ((e*f + d*g)^2*log(d - e*x))/(2*d*e^3) + ((e*f - d*g)^2*log(d + e*x))/(2*d*e^3), x, 5),
+((f + g*x)^2/((d + e*x)^1*(d^2 - e^2*x^2)), -((e*f - d*g)^2/(2*d*e^3*(d + e*x))) - ((e*f + d*g)^2*log(d - e*x))/(4*d^2*e^3) + ((e*f - d*g)*(e*f + 3*d*g)*log(d + e*x))/(4*d^2*e^3), x, 3),
+((f + g*x)^2/((d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)), -((e*f - d*g)^2/(4*d*e^3*(d + e*x)^2)) - ((e*f - d*g)*(e*f + 3*d*g))/(4*d^2*e^3*(d + e*x)) + ((e*f + d*g)^2*atanh((e*x)/d))/(4*d^3*e^3), x, 4),
+((f + g*x)^2/((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)), -((e*f - d*g)^2/(6*d*e^3*(d + e*x)^3)) - ((e*f - d*g)*(e*f + 3*d*g))/(8*d^2*e^3*(d + e*x)^2) - (e*f + d*g)^2/(8*d^3*e^3*(d + e*x)) + ((e*f + d*g)^2*atanh((e*x)/d))/(8*d^4*e^3), x, 4),
+((f + g*x)^2/((d + e*x)^4*(d^2 - e^2*x^2)), -((e*f - d*g)^2/(8*d*e^3*(d + e*x)^4)) - ((e*f - d*g)*(e*f + 3*d*g))/(12*d^2*e^3*(d + e*x)^3) - (e*f + d*g)^2/(16*d^3*e^3*(d + e*x)^2) - (e*f + d*g)^2/(16*d^4*e^3*(d + e*x)) + ((e*f + d*g)^2*atanh((e*x)/d))/(16*d^5*e^3), x, 4),
+
+
+((d + e*x)^7*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^2, (d^3*(49*e^2*f^2 + 160*d*e*f*g + 112*d^2*g^2)*x)/e^2 + (d^2*(23*e^2*f^2 + 98*d*e*f*g + 80*d^2*g^2)*x^2)/(2*e) + (1//3)*d*(7*e^2*f^2 + 46*d*e*f*g + 49*d^2*g^2)*x^3 + (1//4)*e*(e^2*f^2 + 14*d*e*f*g + 23*d^2*g^2)*x^4 + (1//5)*e^2*g*(2*e*f + 7*d*g)*x^5 + (1//6)*e^3*g^2*x^6 + (32*d^5*(e*f + d*g)^2)/(e^3*(d - e*x)) + (16*d^4*(e*f + d*g)*(5*e*f + 9*d*g)*log(d - e*x))/e^3, x, 3),
+((d + e*x)^6*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^2, (d^2*(17*e^2*f^2 + 64*d*e*f*g + 48*d^2*g^2)*x)/e^2 + (d*(3*e^2*f^2 + 17*d*e*f*g + 16*d^2*g^2)*x^2)/e + (1//3)*(e^2*f^2 + 12*d*e*f*g + 17*d^2*g^2)*x^3 + (1//2)*e*g*(e*f + 3*d*g)*x^4 + (1//5)*e^2*g^2*x^5 + (16*d^4*(e*f + d*g)^2)/(e^3*(d - e*x)) + (32*d^3*(e*f + d*g)*(e*f + 2*d*g)*log(d - e*x))/e^3, x, 3),
+((d + e*x)^5*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^2, (d*(5*e^2*f^2 + 24*d*e*f*g + 20*d^2*g^2)*x)/e^2 + ((e^2*f^2 + 10*d*e*f*g + 12*d^2*g^2)*x^2)/(2*e) + (1//3)*g*(2*e*f + 5*d*g)*x^3 + (1//4)*e*g^2*x^4 + (8*d^3*(e*f + d*g)^2)/(e^3*(d - e*x)) + (4*d^2*(e*f + d*g)*(3*e*f + 7*d*g)*log(d - e*x))/e^3, x, 3),
+((d + e*x)^4*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^2, ((e^2*f^2 + 8*d*e*f*g + 8*d^2*g^2)*x)/e^2 + (g*(e*f + 2*d*g)*x^2)/e + (g^2*x^3)/3 + (4*d^2*(e*f + d*g)^2)/(e^3*(d - e*x)) + (4*d*(e*f + d*g)*(e*f + 3*d*g)*log(d - e*x))/e^3, x, 3),
+((d + e*x)^3*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^2, (g*(2*e*f + 3*d*g)*x)/e^2 + (g^2*x^2)/(2*e) + (2*d*(e*f + d*g)^2)/(e^3*(d - e*x)) + ((e*f + d*g)*(e*f + 5*d*g)*log(d - e*x))/e^3, x, 3),
+((d + e*x)^2*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^2, (g^2*x)/e^2 + (e*f + d*g)^2/(e^3*(d - e*x)) + (2*g*(e*f + d*g)*log(d - e*x))/e^3, x, 3),
+((d + e*x)^1*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^2, (e*f + d*g)^2/(2*d*e^3*(d - e*x)) - ((e*f - 3*d*g)*(e*f + d*g)*log(d - e*x))/(4*d^2*e^3) + ((e*f - d*g)^2*log(d + e*x))/(4*d^2*e^3), x, 3),
+((d + e*x)^0*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^2, ((d^2*g + e^2*f*x)*(f + g*x))/(2*d^2*e^2*(d^2 - e^2*x^2)) + ((e*f - d*g)*(e*f + d*g)*atanh((e*x)/d))/(2*d^3*e^3), x, 2),
+((f + g*x)^2/((d + e*x)^1*(d^2 - e^2*x^2)^2), (e*f + d*g)^2/(8*d^3*e^3*(d - e*x)) - (e*f - d*g)^2/(8*d^2*e^3*(d + e*x)^2) - (e^2*f^2 - d^2*g^2)/(4*d^3*e^3*(d + e*x)) + ((3*e*f - d*g)*(e*f + d*g)*atanh((e*x)/d))/(8*d^4*e^3), x, 4),
+((f + g*x)^2/((d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^2), (e*f + d*g)^2/(16*d^4*e^3*(d - e*x)) - (e*f - d*g)^2/(12*d^2*e^3*(d + e*x)^3) - (e^2*f^2 - d^2*g^2)/(8*d^3*e^3*(d + e*x)^2) - ((3*e*f - d*g)*(e*f + d*g))/(16*d^4*e^3*(d + e*x)) + (f*(e*f + d*g)*atanh((e*x)/d))/(4*d^5*e^2), x, 4),
+((f + g*x)^2/((d + e*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^2), (e*f + d*g)^2/(32*d^5*e^3*(d - e*x)) - (e*f - d*g)^2/(16*d^2*e^3*(d + e*x)^4) - (e^2*f^2 - d^2*g^2)/(12*d^3*e^3*(d + e*x)^3) - ((3*e*f - d*g)*(e*f + d*g))/(32*d^4*e^3*(d + e*x)^2) - (f*(e*f + d*g))/(8*d^5*e^2*(d + e*x)) + ((e*f + d*g)*(5*e*f + d*g)*atanh((e*x)/d))/(32*d^6*e^3), x, 4),
+((f + g*x)^2/((d + e*x)^4*(d^2 - e^2*x^2)^2), (e*f + d*g)^2/(64*d^6*e^3*(d - e*x)) - (e*f - d*g)^2/(20*d^2*e^3*(d + e*x)^5) - (e^2*f^2 - d^2*g^2)/(16*d^3*e^3*(d + e*x)^4) - ((3*e*f - d*g)*(e*f + d*g))/(48*d^4*e^3*(d + e*x)^3) - (f*(e*f + d*g))/(16*d^5*e^2*(d + e*x)^2) - ((e*f + d*g)*(5*e*f + d*g))/(64*d^6*e^3*(d + e*x)) + ((e*f + d*g)*(3*e*f + d*g)*atanh((e*x)/d))/(32*d^7*e^3), x, 4),
+
+
+((d + e*x)^7*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^3, -((d*(7*e^2*f^2 + 48*d*e*f*g + 56*d^2*g^2)*x)/e^2) - ((e*f + 2*d*g)*(e*f + 12*d*g)*x^2)/(2*e) - (1//3)*g*(2*e*f + 7*d*g)*x^3 - (1//4)*e*g^2*x^4 + (8*d^4*(e*f + d*g)^2)/(e^3*(d - e*x)^2) - (32*d^3*(e*f + d*g)*(e*f + 2*d*g))/(e^3*(d - e*x)) - (8*d^2*(3*e^2*f^2 + 14*d*e*f*g + 13*d^2*g^2)*log(d - e*x))/e^3, x, 3),
+((d + e*x)^6*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^3, -(((e^2*f^2 + 12*d*e*f*g + 18*d^2*g^2)*x)/e^2) - (g*(e*f + 3*d*g)*x^2)/e - (g^2*x^3)/3 + (4*d^3*(e*f + d*g)^2)/(e^3*(d - e*x)^2) - (4*d^2*(e*f + d*g)*(3*e*f + 7*d*g))/(e^3*(d - e*x)) - (2*d*(3*e^2*f^2 + 18*d*e*f*g + 19*d^2*g^2)*log(d - e*x))/e^3, x, 3),
+((d + e*x)^5*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^3, -((g*(2*e*f + 5*d*g)*x)/e^2) - (g^2*x^2)/(2*e) + (2*d^2*(e*f + d*g)^2)/(e^3*(d - e*x)^2) - (4*d*(e*f + d*g)*(e*f + 3*d*g))/(e^3*(d - e*x)) - ((e^2*f^2 + 10*d*e*f*g + 13*d^2*g^2)*log(d - e*x))/e^3, x, 3),
+((d + e*x)^4*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^3, -((g^2*x)/e^2) + (d*(e*f + d*g)^2)/(e^3*(d - e*x)^2) - ((e*f + d*g)*(e*f + 5*d*g))/(e^3*(d - e*x)) - (2*g*(e*f + 2*d*g)*log(d - e*x))/e^3, x, 3),
+((d + e*x)^3*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^3, (e*f + d*g)^2/(2*e^3*(d - e*x)^2) - (2*g*(e*f + d*g))/(e^3*(d - e*x)) - (g^2*log(d - e*x))/e^3, x, 3),
+((d + e*x)^2*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^3, (e*f + d*g)^2/(4*d*e^3*(d - e*x)^2) + ((e*f - 3*d*g)*(e*f + d*g))/(4*d^2*e^3*(d - e*x)) + ((e*f - d*g)^2*atanh((e*x)/d))/(4*d^3*e^3), x, 4),
+((d + e*x)^1*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^3, (e*f + d*g)^2/(8*d^2*e^3*(d - e*x)^2) + (e^2*f^2 - d^2*g^2)/(4*d^3*e^3*(d - e*x)) - (e*f - d*g)^2/(8*d^3*e^3*(d + e*x)) + ((e*f - d*g)*(3*e*f + d*g)*atanh((e*x)/d))/(8*d^4*e^3), x, 4),
+((d + e*x)^0*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^3, ((d^2*g + e^2*f*x)*(f + g*x))/(4*d^2*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^2) + (2*d^2*f*g + (3*e^2*f^2 - d^2*g^2)*x)/(8*d^4*e^2*(d^2 - e^2*x^2)) + ((3*e^2*f^2 - d^2*g^2)*atanh((e*x)/d))/(8*d^5*e^3), x, 3),
+((f + g*x)^2/((d + e*x)^1*(d^2 - e^2*x^2)^3), (e*f + d*g)^2/(32*d^4*e^3*(d - e*x)^2) + (f*(e*f + d*g))/(8*d^5*e^2*(d - e*x)) - (e*f - d*g)^2/(24*d^3*e^3*(d + e*x)^3) - ((e*f - d*g)*(3*e*f + d*g))/(32*d^4*e^3*(d + e*x)^2) - (3*e^2*f^2 - d^2*g^2)/(16*d^5*e^3*(d + e*x)) + ((5*e^2*f^2 + 2*d*e*f*g - d^2*g^2)*atanh((e*x)/d))/(16*d^6*e^3), x, 4),
+((f + g*x)^2/((d + e*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^3), (e*f + d*g)^2/(64*d^5*e^3*(d - e*x)^2) + ((e*f + d*g)*(5*e*f + d*g))/(64*d^6*e^3*(d - e*x)) - (e*f - d*g)^2/(32*d^3*e^3*(d + e*x)^4) - ((e*f - d*g)*(3*e*f + d*g))/(48*d^4*e^3*(d + e*x)^3) - (3*e^2*f^2 - d^2*g^2)/(32*d^5*e^3*(d + e*x)^2) - (5*e^2*f^2 + 2*d*e*f*g - d^2*g^2)/(32*d^6*e^3*(d + e*x)) + ((15*e^2*f^2 + 10*d*e*f*g - d^2*g^2)*atanh((e*x)/d))/(64*d^7*e^3), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^n (d^2-e^2 x^2)^(p/2)
+
+
+((d + e*x)^3*(f + g*x)^5/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), ((e*f + d*g)^5*(d + e*x)^3)/(5*d*e^6*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + ((2*e*f - 23*d*g)*(e*f + d*g)^4*(d + e*x)^2)/(15*d^2*e^6*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + ((e*f + d*g)^3*(2*e^2*f^2 - 21*d*e*f*g + 127*d^2*g^2)*(d + e*x))/(15*d^3*e^6*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (g^4*(5*e*f + 3*d*g)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e^6 + (g^5*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e^5) - (g^3*(20*e^2*f^2 + 30*d*e*f*g + 13*d^2*g^2)*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e^6), x, 7),
+((d + e*x)^3*(f + g*x)^4/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), ((e*f + d*g)^4*(d + e*x)^3)/(5*d*e^5*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (2*(e*f - 9*d*g)*(e*f + d*g)^3*(d + e*x)^2)/(15*d^2*e^5*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (2*(e*f + d*g)^2*(e^2*f^2 - 8*d*e*f*g + 36*d^2*g^2)*(d + e*x))/(15*d^3*e^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (g^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e^5 - (g^3*(4*e*f + 3*d*g)*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e^5, x, 6),
+((d + e*x)^3*(f + g*x)^3/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), ((e*f + d*g)^3*(d + e*x)^3)/(5*d*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + ((2*e*f - 13*d*g)*(e*f + d*g)^2*(d + e*x)^2)/(15*d^2*e^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + ((e*f + d*g)*(2*e^2*f^2 - 11*d*e*f*g + 32*d^2*g^2)*(d + e*x))/(15*d^3*e^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) - (g^3*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e^4, x, 5),
+((d + e*x)^3*(f + g*x)^2/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), ((e*f + d*g)^2*(d + e*x)^3)/(5*d*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (2*(e*f - 4*d*g)*(e*f + d*g)*(d + e*x)^2)/(15*d^2*e^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + ((2*e^2*f^2 - 6*d*e*f*g + 7*d^2*g^2)*(d + e*x))/(15*d^3*e^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^3*(f + g*x)^1/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), ((e*f + d*g)*(d + e*x)^3)/(5*d*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) + (2*(2*e*f - 3*d*g)*(d + e*x))/(15*d*e^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + ((2*e*f - 3*d*g)*x)/(15*d^3*e*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), x, 3),
+((d + e*x)^3*(f + g*x)^0/(d^2 - e^2*x^2)^(7//2), sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(5*d*e*(d - e*x)^3) + (2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*d^2*e*(d - e*x)^2) + (2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*d^3*e*(d - e*x)), x, 4),
+((d + e*x)^3/((f + g*x)^1*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (4*d*(d + e*x))/(5*(e*f + d*g)*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (5*d*(e*f - d*g) - e*(e*f + 11*d*g)*x)/(15*d*(e*f + d*g)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (15*d^3*g^2 + e*(2*e^2*f^2 + 9*d*e*f*g + 22*d^2*g^2)*x)/(15*d^3*(e*f + d*g)^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (g^3*atan((d^2*g + e^2*f*x)/(sqrt(e^2*f^2 - d^2*g^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))))/((e*f + d*g)^3*sqrt(e^2*f^2 - d^2*g^2)), x, 6),
+((d + e*x)^3/((f + g*x)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (4*d*e*(d + e*x))/(5*(e*f + d*g)^2*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (e*(5*d*(e*f - 3*d*g) - e*(e*f + 21*d*g)*x))/(15*d*(e*f + d*g)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (e*(45*d^3*g^2 + e*(2*e^2*f^2 + 14*d*e*f*g + 57*d^2*g^2)*x))/(15*d^3*(e*f + d*g)^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (g^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/((e*f - d*g)*(e*f + d*g)^4*(f + g*x)) + (e*g^3*(4*e*f - 3*d*g)*atan((d^2*g + e^2*f*x)/(sqrt(e^2*f^2 - d^2*g^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))))/((e*f - d*g)*(e*f + d*g)^4*sqrt(e^2*f^2 - d^2*g^2)), x, 6),
+((d + e*x)^3/((f + g*x)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(7//2)), (4*d*e^2*(d + e*x))/(5*(e*f + d*g)^3*(d^2 - e^2*x^2)^(5//2)) - (e^2*(5*d*(e*f - 5*d*g) - e*(e*f + 31*d*g)*x))/(15*d*(e*f + d*g)^4*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2)) + (e^2*(90*d^3*g^2 + e*(2*e^2*f^2 + 19*d*e*f*g + 107*d^2*g^2)*x))/(15*d^3*(e*f + d*g)^5*sqrt(d^2 - e^2*x^2)) + (g^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*(e*f - d*g)*(e*f + d*g)^4*(f + g*x)^2) + (3*e*g^4*(3*e*f - 2*d*g)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*(e*f - d*g)^2*(e*f + d*g)^5*(f + g*x)) + (e^2*g^3*(20*e^2*f^2 - 30*d*e*f*g + 13*d^2*g^2)*atan((d^2*g + e^2*f*x)/(sqrt(e^2*f^2 - d^2*g^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))))/(2*(e*f - d*g)^2*(e*f + d*g)^5*sqrt(e^2*f^2 - d^2*g^2)), x, 7),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p when b=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^(n/2) (a+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0 & n>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0 & n<0
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+
+((a + c*x^2)/((d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)), -((2*(c*d^2 + a*e^2))/(e^2*(e*f - d*g)*sqrt(d + e*x))) + (2*c*sqrt(d + e*x))/(e^2*g) - (2*(c*f^2 + a*g^2)*atan((sqrt(g)*sqrt(d + e*x))/sqrt(e*f - d*g)))/(g^(3//2)*(e*f - d*g)^(3//2)), x, 4),
+
+
+((d + e*x)^3*(a + c*x^2)/sqrt(f + g*x), -((2*(e*f - d*g)^3*(c*f^2 + a*g^2)*sqrt(f + g*x))/g^6) + (2*(e*f - d*g)^2*(3*a*e*g^2 + c*f*(5*e*f - 2*d*g))*(f + g*x)^(3//2))/(3*g^6) - (2*(e*f - d*g)*(3*a*e^2*g^2 + c*(10*e^2*f^2 - 8*d*e*f*g + d^2*g^2))*(f + g*x)^(5//2))/(5*g^6) + (2*e*(a*e^2*g^2 + c*(10*e^2*f^2 - 12*d*e*f*g + 3*d^2*g^2))*(f + g*x)^(7//2))/(7*g^6) - (2*c*e^2*(5*e*f - 3*d*g)*(f + g*x)^(9//2))/(9*g^6) + (2*c*e^3*(f + g*x)^(11//2))/(11*g^6), x, 3),
+((d + e*x)^2*(a + c*x^2)/sqrt(f + g*x), (2*(e*f - d*g)^2*(c*f^2 + a*g^2)*sqrt(f + g*x))/g^5 - (4*(e*f - d*g)*(a*e*g^2 + c*f*(2*e*f - d*g))*(f + g*x)^(3//2))/(3*g^5) + (2*(a*e^2*g^2 + c*(6*e^2*f^2 - 6*d*e*f*g + d^2*g^2))*(f + g*x)^(5//2))/(5*g^5) - (4*c*e*(2*e*f - d*g)*(f + g*x)^(7//2))/(7*g^5) + (2*c*e^2*(f + g*x)^(9//2))/(9*g^5), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a + c*x^2)/sqrt(f + g*x), -((2*(e*f - d*g)*(c*f^2 + a*g^2)*sqrt(f + g*x))/g^4) + (2*(a*e*g^2 + c*f*(3*e*f - 2*d*g))*(f + g*x)^(3//2))/(3*g^4) - (2*c*(3*e*f - d*g)*(f + g*x)^(5//2))/(5*g^4) + (2*c*e*(f + g*x)^(7//2))/(7*g^4), x, 2),
+((d + e*x)^0*(a + c*x^2)/sqrt(f + g*x), (2*(c*f^2 + a*g^2)*sqrt(f + g*x))/g^3 - (4*c*f*(f + g*x)^(3//2))/(3*g^3) + (2*c*(f + g*x)^(5//2))/(5*g^3), x, 2),
+((a + c*x^2)/((d + e*x)^1*sqrt(f + g*x)), -((2*c*(e*f + d*g)*sqrt(f + g*x))/(e^2*g^2)) + (2*c*(f + g*x)^(3//2))/(3*e*g^2) - (2*(c*d^2 + a*e^2)*atanh((sqrt(e)*sqrt(f + g*x))/sqrt(e*f - d*g)))/(e^(5//2)*sqrt(e*f - d*g)), x, 4),
+((a + c*x^2)/((d + e*x)^2*sqrt(f + g*x)), (2*c*sqrt(f + g*x))/(e^2*g) - ((a + (c*d^2)/e^2)*sqrt(f + g*x))/((e*f - d*g)*(d + e*x)) + ((a*e^2*g + c*d*(4*e*f - 3*d*g))*atanh((sqrt(e)*sqrt(f + g*x))/sqrt(e*f - d*g)))/(e^(5//2)*(e*f - d*g)^(3//2)), x, 4),
+((a + c*x^2)/((d + e*x)^3*sqrt(f + g*x)), -(((a + (c*d^2)/e^2)*sqrt(f + g*x))/(2*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2)) + ((3*a*e^2*g + c*d*(8*e*f - 5*d*g))*sqrt(f + g*x))/(4*e^2*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)) - ((3*a*e^2*g^2 + c*(8*e^2*f^2 - 8*d*e*f*g + 3*d^2*g^2))*atanh((sqrt(e)*sqrt(f + g*x))/sqrt(e*f - d*g)))/(4*e^(5//2)*(e*f - d*g)^(5//2)), x, 4),
+
+
+((d + e*x)^3*(a + c*x^2)/(f + g*x)^(3//2), (2*(e*f - d*g)^3*(c*f^2 + a*g^2))/(g^6*sqrt(f + g*x)) + (2*(e*f - d*g)^2*(3*a*e*g^2 + c*f*(5*e*f - 2*d*g))*sqrt(f + g*x))/g^6 - (2*(e*f - d*g)*(3*a*e^2*g^2 + c*(10*e^2*f^2 - 8*d*e*f*g + d^2*g^2))*(f + g*x)^(3//2))/(3*g^6) + (2*e*(a*e^2*g^2 + c*(10*e^2*f^2 - 12*d*e*f*g + 3*d^2*g^2))*(f + g*x)^(5//2))/(5*g^6) - (2*c*e^2*(5*e*f - 3*d*g)*(f + g*x)^(7//2))/(7*g^6) + (2*c*e^3*(f + g*x)^(9//2))/(9*g^6), x, 3),
+((d + e*x)^2*(a + c*x^2)/(f + g*x)^(3//2), -((2*(e*f - d*g)^2*(c*f^2 + a*g^2))/(g^5*sqrt(f + g*x))) - (4*(e*f - d*g)*(a*e*g^2 + c*f*(2*e*f - d*g))*sqrt(f + g*x))/g^5 + (2*(a*e^2*g^2 + c*(6*e^2*f^2 - 6*d*e*f*g + d^2*g^2))*(f + g*x)^(3//2))/(3*g^5) - (4*c*e*(2*e*f - d*g)*(f + g*x)^(5//2))/(5*g^5) + (2*c*e^2*(f + g*x)^(7//2))/(7*g^5), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a + c*x^2)/(f + g*x)^(3//2), (2*(e*f - d*g)*(c*f^2 + a*g^2))/(g^4*sqrt(f + g*x)) + (2*(a*e*g^2 + c*f*(3*e*f - 2*d*g))*sqrt(f + g*x))/g^4 - (2*c*(3*e*f - d*g)*(f + g*x)^(3//2))/(3*g^4) + (2*c*e*(f + g*x)^(5//2))/(5*g^4), x, 2),
+((d + e*x)^0*(a + c*x^2)/(f + g*x)^(3//2), -((2*(c*f^2 + a*g^2))/(g^3*sqrt(f + g*x))) - (4*c*f*sqrt(f + g*x))/g^3 + (2*c*(f + g*x)^(3//2))/(3*g^3), x, 2),
+((a + c*x^2)/((d + e*x)^1*(f + g*x)^(3//2)), (2*(c*f^2 + a*g^2))/(g^2*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)) + (2*c*sqrt(f + g*x))/(e*g^2) - (2*(c*d^2 + a*e^2)*atanh((sqrt(e)*sqrt(f + g*x))/sqrt(e*f - d*g)))/(e^(3//2)*(e*f - d*g)^(3//2)), x, 4),
+((a + c*x^2)/((d + e*x)^2*(f + g*x)^(3//2)), -((2*(c*f^2 + a*g^2))/(g*(e*f - d*g)^2*sqrt(f + g*x))) - ((c*d^2 + a*e^2)*sqrt(f + g*x))/(e*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)) + ((3*a*e^2*g + c*d*(4*e*f - d*g))*atanh((sqrt(e)*sqrt(f + g*x))/sqrt(e*f - d*g)))/(e^(3//2)*(e*f - d*g)^(5//2)), x, 4),
+((a + c*x^2)/((d + e*x)^3*(f + g*x)^(3//2)), (2*(c*f^2 + a*g^2))/((e*f - d*g)^3*sqrt(f + g*x)) - ((c*d^2 + a*e^2)*sqrt(f + g*x))/(2*e*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)^2) + ((7*a*e^2*g + c*d*(8*e*f - d*g))*sqrt(f + g*x))/(4*e*(e*f - d*g)^3*(d + e*x)) - ((15*a*e^2*g^2 + c*(8*e^2*f^2 + 8*d*e*f*g - d^2*g^2))*atanh((sqrt(e)*sqrt(f + g*x))/sqrt(e*f - d*g)))/(4*e^(3//2)*(e*f - d*g)^(7//2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (f+g x)^(n/2) (a+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + c*x^2)/(sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x)), -((c*(3*e*f + 5*d*g)*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x))/(4*e^2*g^2)) + (c*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(f + g*x))/(2*e^2*g) + ((8*a*e^2*g^2 + c*(3*e^2*f^2 + 2*d*e*f*g + 3*d^2*g^2))*atanh((sqrt(g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(e)*sqrt(f + g*x))))/(4*e^(5//2)*g^(5//2)), x, 5),
+
+
+((-1 + 2*x^2)/(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)), sqrt(-1 + x)*x*sqrt(1 + x), x, 1),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^(3//2)*sqrt(f + g*x)/(a + c*x^2), (e*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x))/c + (sqrt(e)*(e*f + 3*d*g)*atanh((sqrt(g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(e)*sqrt(f + g*x))))/(c*sqrt(g)) + (((a*(a*e^2*g - c*d*(2*e*f + d*g)))/sqrt(c) - sqrt(-a)*(c*d^2*f - a*e*(e*f + 2*d*g)))*atanh((sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(a*c*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)) + (((a*(a*e^2*g - c*d*(2*e*f + d*g)))/sqrt(c) + sqrt(-a)*(c*d^2*f - a*e*(e*f + 2*d*g)))*atanh((sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(a*c*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)), x, 11),
+((d + e*x)^(1//2)*sqrt(f + g*x)/(a + c*x^2), (2*sqrt(e)*sqrt(g)*atanh((sqrt(g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(e)*sqrt(f + g*x))))/c + ((c*d*f - a*e*g - sqrt(-a)*sqrt(c)*(e*f + d*g))*atanh((sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*c*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)) - ((c*d*f - a*e*g + sqrt(-a)*sqrt(c)*(e*f + d*g))*atanh((sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*c*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)), x, 10),
+(sqrt(f + g*x)/((d + e*x)^(1//2)*(a + c*x^2)), (sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)*atanh((sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)) - (sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)*atanh((sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)), x, 6),
+(sqrt(f + g*x)/((d + e*x)^(3//2)*(a + c*x^2)), -((2*e*sqrt(f + g*x))/((c*d^2 + a*e^2)*sqrt(d + e*x))) + ((c*d*f + a*e*g + sqrt(-a)*sqrt(c)*(e*f - d*g))*atanh((sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)) - ((c*d*f + a*e*g - sqrt(-a)*sqrt(c)*(e*f - d*g))*atanh((sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)), x, 8),
+(sqrt(f + g*x)/((d + e*x)^(5//2)*(a + c*x^2)), -((2*e*sqrt(f + g*x))/(3*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))) + (4*e*g*sqrt(f + g*x))/(3*(c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt(d + e*x)) + (e*(c*d*f + a*e*g - sqrt(-a)*sqrt(c)*(e*f - d*g))*sqrt(f + g*x))/(sqrt(-a)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt(d + e*x)) - (e*(c*d*f + a*e*g + sqrt(-a)*sqrt(c)*(e*f - d*g))*sqrt(f + g*x))/(sqrt(-a)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt(d + e*x)) + (sqrt(c)*(c*d*f + a*e*g + sqrt(-a)*sqrt(c)*(e*f - d*g))*atanh((sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)) + (sqrt(c)*(sqrt(-a)*c*d*f + sqrt(-a)*a*e*g + a*sqrt(c)*(e*f - d*g))*atanh((sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(a*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)), x, 11),
+
+
+((d + e*x)^(3//2)/(sqrt(f + g*x)*(a + c*x^2)), (2*e^(3//2)*atanh((sqrt(g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(e)*sqrt(f + g*x))))/(c*sqrt(g)) + ((c*d^2 - 2*sqrt(-a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*atanh((sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*c*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)) - ((c*d^2 + 2*sqrt(-a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*atanh((sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*c*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)), x, 11),
+((d + e*x)^(1//2)/(sqrt(f + g*x)*(a + c*x^2)), (sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*atanh((sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)) - (sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*atanh((sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*sqrt(f + g*x)*(a + c*x^2)), atanh((sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x)))/(sqrt(-a)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)) - atanh((sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x)))/(sqrt(-a)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*sqrt(f + g*x)*(a + c*x^2)), -((e*sqrt(f + g*x))/(sqrt(-a)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(e*f - d*g)*sqrt(d + e*x))) + (e*sqrt(f + g*x))/(sqrt(-a)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(e*f - d*g)*sqrt(d + e*x)) + (sqrt(c)*atanh((sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)^(3//2)*sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)) - (sqrt(c)*atanh((sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)^(3//2)*sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)), x, 8),
+
+
+((d + e*x)^(3//2)/((f + g*x)^(3//2)*(a + c*x^2)), (2*(e*f - d*g)*sqrt(d + e*x))/((c*f^2 + a*g^2)*sqrt(f + g*x)) - (2*sqrt(e)*(e*f - d*g)*atanh((sqrt(g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(g)*(c*f^2 + a*g^2)) - (sqrt(e)*(c*d*f + a*e*g - sqrt(-a)*sqrt(c)*(e*f - d*g))*atanh((sqrt(g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt(g)*(c*f^2 + a*g^2)) + (sqrt(e)*(c*d*f + a*e*g + sqrt(-a)*sqrt(c)*(e*f - d*g))*atanh((sqrt(g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt(g)*(c*f^2 + a*g^2)) + (sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(c*d*f + a*e*g - sqrt(-a)*sqrt(c)*(e*f - d*g))*atanh((sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)*(c*f^2 + a*g^2)) - (sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(c*d*f + a*e*g + sqrt(-a)*sqrt(c)*(e*f - d*g))*atanh((sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)*(c*f^2 + a*g^2)), x, 21),
+((d + e*x)^(1//2)/((f + g*x)^(3//2)*(a + c*x^2)), -((2*g*sqrt(d + e*x))/((c*f^2 + a*g^2)*sqrt(f + g*x))) + ((c*d*f + a*e*g - sqrt(-a)*sqrt(c)*(e*f - d*g))*atanh((sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)*(c*f^2 + a*g^2)) - ((c*d*f + a*e*g + sqrt(-a)*sqrt(c)*(e*f - d*g))*atanh((sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)*(c*f^2 + a*g^2)), x, 8),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*(f + g*x)^(3//2)*(a + c*x^2)), (g*sqrt(d + e*x))/(sqrt(-a)*(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)) - (g*sqrt(d + e*x))/(sqrt(-a)*(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)) + (sqrt(c)*atanh((sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)^(3//2)) - (sqrt(c)*atanh((sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)^(3//2)), x, 8),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^(3//2)*(a + c*x^2)), -(e/(sqrt(-a)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(e*f - d*g)*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x))) + e/(sqrt(-a)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(e*f - d*g)*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x)) + (g*(2*sqrt(-a)*e*g - sqrt(c)*(e*f + d*g))*sqrt(d + e*x))/(sqrt(-a)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)*(e*f - d*g)^2*sqrt(f + g*x)) + (g*(2*sqrt(-a)*e*g + sqrt(c)*(e*f + d*g))*sqrt(d + e*x))/(sqrt(-a)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)*(e*f - d*g)^2*sqrt(f + g*x)) + (c*atanh((sqrt(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*(sqrt(c)*d - sqrt(-a)*e)^(3//2)*(sqrt(c)*f - sqrt(-a)*g)^(3//2)) - (c*atanh((sqrt(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(-a)*(sqrt(c)*d + sqrt(-a)*e)^(3//2)*(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)^(3//2)), x, 12),
+
+
+(sqrt(x)/(sqrt(1 + x)*(1 + x^2)), (-(1//2))*(1 - I)^(3//2)*atanh((sqrt(1 - I)*sqrt(x))/sqrt(1 + x)) - (1//2)*(1 + I)^(3//2)*atanh((sqrt(1 + I)*sqrt(x))/sqrt(1 + x)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^n (a+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((f + g*x)^2*sqrt(1 - x^2)/(1 - x)^4, ((f + g)^2*(1 + x)^4)/(5*(1 - x^2)^(5//2)) + ((f - 9*g)*(f + g)*(1 + x)^3)/(15*(1 - x^2)^(3//2)) + (2*g^2*(1 + x))/sqrt(1 - x^2) - g^2*asin(x), x, 5),
+
+
+((1 - a^2*x^2)^(3//2)/((c + d*x)*(1 - a*x)^2), -(sqrt(1 - a^2*x^2)/d) - ((a*c - 2*d)*asin(a*x))/d^2 + ((a*c - d)^2*atan((d + a^2*c*x)/(sqrt(a^2*c^2 - d^2)*sqrt(1 - a^2*x^2))))/(d^2*sqrt(a^2*c^2 - d^2)), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((1 + a*x)^2/((c + d*x)*sqrt(1 - a^2*x^2)), -(sqrt(1 - a^2*x^2)/d) - ((a*c - 2*d)*asin(a*x))/d^2 + ((a*c - d)^2*atan((d + a^2*c*x)/(sqrt(a^2*c^2 - d^2)*sqrt(1 - a^2*x^2))))/(d^2*sqrt(a^2*c^2 - d^2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^(n/2) (a+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0 & n>0
+
+
+((d + e*x)^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2), (-2*(150*a^2*e^4*g^4 - 6*a*c*e^2*g^2*(2*e^2*f^2 - 33*d*e*f*g + 165*d^2*g^2) + c^2*(187*e^4*f^4 - 732*d*e^3*f^3*g + 1098*d^2*e^2*f^2*g^2 - 798*d^3*e*f*g^3 + 315*d^4*g^4))*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3465*c^2*e*g^4) + (2*(d + e*x)^4*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(11*e) - (2*(2*a*e^2*g^2*(74*e*f - 231*d*g) - c*(233*e^3*f^3 - 843*d*e^2*f^2*g + 1107*d^2*e*f*g^2 - 567*d^3*g^3))*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2))/(3465*c*g^4) + (2*e*(18*a*e^2*g^2 - c*(29*e^2*f^2 - 96*d*e*f*g + 81*d^2*g^2))*(f + g*x)^(5//2)*sqrt(a + c*x^2))/(693*c*g^4) + (2*e^2*(e*f - 3*d*g)*(f + g*x)^(7//2)*sqrt(a + c*x^2))/(99*g^4) + (4*sqrt(-a)*(3*a^2*e^2*g^4*(26*e*f + 231*d*g) - c^2*f^2*(64*e^3*f^3 - 264*d*e^2*f^2*g + 396*d^2*e*f*g^2 - 231*d^3*g^3) - 9*a*c*g^2*(6*e^3*f^3 - 33*d*e^2*f^2*g + 88*d^2*e*f*g^2 + 77*d^3*g^3))*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(3465*c^(3//2)*g^5*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) - (4*sqrt(-a)*(c*f^2 + a*g^2)*(75*a^2*e^3*g^4 - 3*a*c*e*g^2*(2*e^2*f^2 - 33*d*e*f*g + 165*d^2*g^2) - c^2*f*(64*e^3*f^3 - 264*d*e^2*f^2*g + 396*d^2*e*f*g^2 - 231*d^3*g^3))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(3465*c^(5//2)*g^5*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 10),
+((d + e*x)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2), (-2*(6*a*e^2*g^2*(e*f - 10*d*g) - c*(19*e^3*f^3 - 57*d*e^2*f^2*g + 63*d^2*e*f*g^2 - 35*d^3*g^3))*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(315*c*e*g^3) + (2*(d + e*x)^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(9*e) + (4*(7*a*e^2*g^2 - c*(8*e^2*f^2 - 24*d*e*f*g + 21*d^2*g^2))*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2))/(315*c*g^3) + (2*e*(e*f - 3*d*g)*(f + g*x)^(5//2)*sqrt(a + c*x^2))/(63*g^3) + (4*sqrt(-a)*(21*a^2*e^2*g^4 + 3*a*c*g^2*(3*e^2*f^2 - 16*d*e*f*g - 21*d^2*g^2) + c^2*f^2*(8*e^2*f^2 - 24*d*e*f*g + 21*d^2*g^2))*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(315*c^(3//2)*g^4*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) - (4*sqrt(-a)*(c*f^2 + a*g^2)*(3*a*e*g^2*(e*f - 10*d*g) + c*f*(8*e^2*f^2 - 24*d*e*f*g + 21*d^2*g^2))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(315*c^(3//2)*g^4*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 9),
+((d + e*x)^1*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2), (-2*sqrt(f + g*x)*(5*a*e*g^2 + c*f*(4*e*f - 7*d*g) - 3*c*g*(e*f + 7*d*g)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(105*c*g^2) + (2*e*sqrt(f + g*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(7*c) - (4*sqrt(-a)*(c*f^2*(4*e*f - 7*d*g) + a*g^2*(8*e*f + 21*d*g))*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(105*sqrt(c)*g^3*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) + (4*sqrt(-a)*(c*f^2 + a*g^2)*(5*a*e*g^2 + c*f*(4*e*f - 7*d*g))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(105*c^(3//2)*g^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^0*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2), (-4*f*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(15*g) + (2*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2))/(5*g) + (4*sqrt(-a)*(c*f^2 - 3*a*g^2)*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(15*sqrt(c)*g^2*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) - (4*sqrt(-a)*f*(c*f^2 + a*g^2)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(15*sqrt(c)*g^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x)^1, (2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*e) - (2*sqrt(-a)*sqrt(c)*(e*f - 3*d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(3*e^2*g*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) + (2*sqrt(-a)*sqrt(c)*f*(e*f - 3*d*g)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(3*e^2*g*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (2*sqrt(-a)*(2*a*e^2*g - 3*c*d*(e*f - d*g))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(3*sqrt(c)*e^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (2*(c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(e^3*((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 14),
+(sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x)^2, -((sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(e*(d + e*x))) - (3*sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(e^2*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) + (3*sqrt(-a)*sqrt(c)*f*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(e^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (sqrt(-a)*sqrt(c)*(2*e*f - 3*d*g)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(e^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - ((a*e^2*g - c*d*(2*e*f - 3*d*g))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(e^3*((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 14),
+(sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x)^3, -((sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*e*(d + e*x)^2)) - ((a*e^2*g - c*d*(2*e*f - 3*d*g))*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(4*e*(c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)*(d + e*x)) - (sqrt(-a)*sqrt(c)*(a*e^2*g - c*d*(2*e*f - 3*d*g))*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(4*e^2*(c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) - (3*sqrt(-a)*sqrt(c)*g*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(2*e^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (sqrt(-a)*sqrt(c)*f*(a*e^2*g - c*d*(2*e*f - 3*d*g))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(4*e^2*(c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (sqrt(-a)*sqrt(c)*d*g*(a*e^2*g - c*d*(2*e*f - 3*d*g))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(4*e^3*(c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (c*(e*f - 3*d*g)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(e^3*((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) + ((a*e^2*g - c*d*(2*e*f - 3*d*g))^2*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(4*e^3*((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*(c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 23),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0 & n<0
+
+
+((d + e*x)^3*sqrt(a + c*x^2)/sqrt(f + g*x), (-4*(9*a*e^2*g^2*(2*e*f - 5*d*g) + c*(76*e^3*f^3 - 204*d*e^2*f^2*g + 168*d^2*e*f*g^2 - 35*d^3*g^3))*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(315*c*g^4) + (2*(d + e*x)^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(9*g) + (4*e*(7*a*e^2*g^2 + c*(64*e^2*f^2 - 111*d*e*f*g + 42*d^2*g^2))*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2))/(315*c*g^4) - (4*e^2*(4*e*f - 3*d*g)*(f + g*x)^(5//2)*sqrt(a + c*x^2))/(63*g^4) + (4*sqrt(-a)*(21*a^2*e^3*g^4 - 3*a*c*e*g^2*(10*e^2*f^2 - 39*d*e*f*g + 63*d^2*g^2) - c^2*f*(64*e^3*f^3 - 216*d*e^2*f^2*g + 252*d^2*e*f*g^2 - 105*d^3*g^3))*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(315*c^(3//2)*g^5*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) - (4*sqrt(-a)*(c*f^2 + a*g^2)*(9*a*e^2*g^2*(2*e*f - 5*d*g) - c*(64*e^3*f^3 - 216*d*e^2*f^2*g + 252*d^2*e*f*g^2 - 105*d^3*g^3))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(315*c^(3//2)*g^5*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 9),
+((d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2)/sqrt(f + g*x), (4*(5*a*e^2*g^2 + c*(21*e^2*f^2 - 34*d*e*f*g + 10*d^2*g^2))*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(105*c*g^3) + (2*(d + e*x)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(7*g) - (4*e*(3*e*f - 2*d*g)*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2))/(35*g^3) + (4*sqrt(-a)*(a*e*g^2*(13*e*f - 42*d*g) + c*f*(24*e^2*f^2 - 56*d*e*f*g + 35*d^2*g^2))*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(105*sqrt(c)*g^4*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) + (4*sqrt(-a)*(c*f^2 + a*g^2)*(5*a*e^2*g^2 - c*(24*e^2*f^2 - 56*d*e*f*g + 35*d^2*g^2))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(105*c^(3//2)*g^4*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+((d + e*x)^1*sqrt(a + c*x^2)/sqrt(f + g*x), (-2*sqrt(f + g*x)*(4*e*f - 5*d*g - 3*e*g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(15*g^2) - (4*sqrt(-a)*(3*a*e*g^2 + c*f*(4*e*f - 5*d*g))*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(15*sqrt(c)*g^3*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) + (4*sqrt(-a)*(4*e*f - 5*d*g)*(c*f^2 + a*g^2)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(15*sqrt(c)*g^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+((d + e*x)^0*sqrt(a + c*x^2)/sqrt(f + g*x), (2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*g) + (4*sqrt(-a)*sqrt(c)*f*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(3*g^2*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) - (4*sqrt(-a)*(c*f^2 + a*g^2)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(3*sqrt(c)*g^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+(sqrt(a + c*x^2)/((d + e*x)^1*sqrt(f + g*x)), (-2*sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(e*g*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) + (2*sqrt(-a)*sqrt(c)*(e*f + d*g)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(e^2*g*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (2*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(e^2*((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 10),
+(sqrt(a + c*x^2)/((d + e*x)^2*sqrt(f + g*x)), -((sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/((e*f - d*g)*(d + e*x))) - (sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(e*(e*f - d*g)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) + (sqrt(-a)*sqrt(c)*f*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(e*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (sqrt(-a)*sqrt(c)*(2*e*f - d*g)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(e^2*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) + ((a*e^2*g + c*d*(2*e*f - d*g))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(e^2*((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 14),
+(sqrt(a + c*x^2)/((d + e*x)^3*sqrt(f + g*x)), -((sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2)) + ((3*a*e^2*g + c*d*(2*e*f + d*g))*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(4*(c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)) + (sqrt(-a)*sqrt(c)*(3*a*e^2*g + c*d*(2*e*f + d*g))*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(4*e*(c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)^2*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) + (sqrt(-a)*sqrt(c)*g*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(2*e^2*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (sqrt(-a)*sqrt(c)*f*(3*a*e^2*g + c*d*(2*e*f + d*g))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(4*e*(c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (sqrt(-a)*sqrt(c)*d*g*(3*a*e^2*g + c*d*(2*e*f + d*g))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(4*e^2*(c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (c*(e*f + d*g)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(e^2*((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - ((a*e^2*g - c*d*(2*e*f - 3*d*g))*(3*a*e^2*g + c*d*(2*e*f + d*g))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(4*e^2*((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*(c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 23),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0 & n>0
+
+
+((d + e*x)^3*sqrt(f + g*x)/sqrt(a + c*x^2), (-2*e*(25*a*e^2*g^2 + c*(7*e^2*f^2 + 12*d*e*f*g - 90*d^2*g^2))*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(105*c^2*g^2) + (2*e*(d + e*x)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(7*c) + (2*e^2*(e*f + 11*d*g)*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x^2))/(35*c*g^2) + (2*sqrt(-a)*(a*e^2*g^2*(19*e*f + 189*d*g) - c*(8*e^3*f^3 - 42*d*e^2*f^2*g + 105*d^2*e*f*g^2 + 105*d^3*g^3))*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(105*c^(3//2)*g^3*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) - (2*sqrt(-a)*e*(c*f^2 + a*g^2)*(25*a*e^2*g^2 - c*(8*e^2*f^2 - 42*d*e*f*g + 105*d^2*g^2))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(105*c^(5//2)*g^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 8),
+((d + e*x)^2*sqrt(f + g*x)/sqrt(a + c*x^2), (2*e*(e*f + 7*d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(15*c*g) + (2*e*(d + e*x)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(5*c) + (2*sqrt(-a)*(9*a*e^2*g^2 + c*(2*e^2*f^2 - 10*d*e*f*g - 15*d^2*g^2))*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(15*c^(3//2)*g^2*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) - (4*sqrt(-a)*e*(e*f - 5*d*g)*(c*f^2 + a*g^2)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(15*c^(3//2)*g^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^1*sqrt(f + g*x)/sqrt(a + c*x^2), (2*e*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*c) - (2*sqrt(-a)*(e*f + 3*d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(3*sqrt(c)*g*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) + (2*sqrt(-a)*e*(c*f^2 + a*g^2)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(3*c^(3//2)*g*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 6),
+((d + e*x)^0*sqrt(f + g*x)/sqrt(a + c*x^2), (-2*sqrt(-a)*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(sqrt(c)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)), x, 2),
+(sqrt(f + g*x)/((d + e*x)^1*sqrt(a + c*x^2)), (-2*sqrt(-a)*g*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(sqrt(c)*e*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (2*(e*f - d*g)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(e*((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+(sqrt(f + g*x)/((d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^2)), -((e*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/((c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x))) - (sqrt(-a)*sqrt(c)*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/((c*d^2 + a*e^2)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) + (sqrt(-a)*sqrt(c)*f*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/((c*d^2 + a*e^2)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (sqrt(-a)*sqrt(c)*d*g*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(e*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - ((a*e^2*g + c*d*(2*e*f - d*g))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(e*((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 14),
+(sqrt(f + g*x)/((d + e*x)^3*sqrt(a + c*x^2)), -(e*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^2) - (e*(a*e^2*g + c*d*(6*e*f - 5*d*g))*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(4*(c*d^2 + a*e^2)^2*(e*f - d*g)*(d + e*x)) - (sqrt(-a)*sqrt(c)*(a*e^2*g + c*d*(6*e*f - 5*d*g))*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(4*(c*d^2 + a*e^2)^2*(e*f - d*g)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) + (sqrt(-a)*sqrt(c)*g*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(2*e*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (sqrt(-a)*sqrt(c)*f*(a*e^2*g + c*d*(6*e*f - 5*d*g))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(4*(c*d^2 + a*e^2)^2*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (sqrt(-a)*sqrt(c)*d*g*(a*e^2*g + c*d*(6*e*f - 5*d*g))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(4*e*(c*d^2 + a*e^2)^2*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (c*(e*f - 3*d*g)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(e*((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) + ((a*e^2*g + c*d*(6*e*f - 5*d*g))*(a*e^2*g - c*d*(2*e*f - 3*d*g))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(4*e*((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 23),
+
+
+# {(f + g*x)^(5/2)/((d + e*x)*Sqrt[a + c*x^2]), x, 16, (2*g^2*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + c*x^2])/(3*c*e) - (2*Sqrt[-a]*g*(7*e*f - 3*d*g)*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[1 + (c*x^2)/a]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 + (a*Sqrt[c]*x)/(-a)^(3/2)]/Sqrt[2]], (2*a*g)/((-Sqrt[-a])*Sqrt[c]*f + a*g)])/(3*Sqrt[c]*e^2*Sqrt[(Sqrt[c]*(f + g*x))/(Sqrt[c]*f + Sqrt[-a]*g)]*Sqrt[a + c*x^2]) + (2*Sqrt[-a]*g*(a*e^2*g^2 + c*(-2*e^2*f^2 + 6*d*e*f*g - 3*d^2*g^2))*Sqrt[(Sqrt[c]*(f + g*x))/(Sqrt[c]*f + Sqrt[-a]*g)]*Sqrt[1 + (c*x^2)/a]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 + (a*Sqrt[c]*x)/(-a)^(3/2)]/Sqrt[2]], (2*a*g)/((-Sqrt[-a])*Sqrt[c]*f + a*g)])/(3*c^(3/2)*e^3*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + c*x^2]) - (2*(e*f - d*g)^2*Sqrt[(g*(Sqrt[-a] - Sqrt[c]*x))/(Sqrt[c]*f + Sqrt[-a]*g)]*Sqrt[-((g*(Sqrt[-a] + Sqrt[c]*x))/(Sqrt[c]*f - Sqrt[-a]*g))]*EllipticPi[(e*(f + (Sqrt[-a]*g)/Sqrt[c]))/(e*f - d*g), ArcSin[Sqrt[c/(c*f + Sqrt[-a]*Sqrt[c]*g)]*Sqrt[f + g*x]], (Sqrt[c]*f + Sqrt[-a]*g)/(Sqrt[c]*f - Sqrt[-a]*g)])/(e^3*Sqrt[c/(c*f + Sqrt[-a]*Sqrt[c]*g)]*Sqrt[a + c*x^2]), (2*g^2*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + c*x^2])/(3*c*e) - (8*Sqrt[-a]*f*g*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[1 + (c*x^2)/a]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - (Sqrt[c]*x)/Sqrt[-a]]/Sqrt[2]], -((2*a*g)/(Sqrt[-a]*Sqrt[c]*f - a*g))])/(3*Sqrt[c]*e*Sqrt[(Sqrt[c]*(f + g*x))/(Sqrt[c]*f + Sqrt[-a]*g)]*Sqrt[a + c*x^2]) - (2*Sqrt[-a]*g*(e*f - d*g)*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[1 + (c*x^2)/a]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - (Sqrt[c]*x)/Sqrt[-a]]/Sqrt[2]], -((2*a*g)/(Sqrt[-a]*Sqrt[c]*f - a*g))])/(Sqrt[c]*e^2*Sqrt[(Sqrt[c]*(f + g*x))/(Sqrt[c]*f + Sqrt[-a]*g)]*Sqrt[a + c*x^2]) - (2*Sqrt[-a]*g*(e*f - d*g)^2*Sqrt[(Sqrt[c]*(f + g*x))/(Sqrt[c]*f + Sqrt[-a]*g)]*Sqrt[1 + (c*x^2)/a]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - (Sqrt[c]*x)/Sqrt[-a]]/Sqrt[2]], -((2*a*g)/(Sqrt[-a]*Sqrt[c]*f - a*g))])/(Sqrt[c]*e^3*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + c*x^2]) + (2*Sqrt[-a]*g*(c*f^2 + a*g^2)*Sqrt[(Sqrt[c]*(f + g*x))/(Sqrt[c]*f + Sqrt[-a]*g)]*Sqrt[1 + (c*x^2)/a]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - (Sqrt[c]*x)/Sqrt[-a]]/Sqrt[2]], -((2*a*g)/(Sqrt[-a]*Sqrt[c]*f - a*g))])/(3*c^(3/2)*e*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + c*x^2]) - (2*(e*f - d*g)^3*Sqrt[(Sqrt[c]*(f + g*x))/(Sqrt[c]*f + Sqrt[-a]*g)]*Sqrt[1 + (c*x^2)/a]*EllipticPi[(2*e)/((Sqrt[c]*d)/Sqrt[-a] + e), ArcSin[Sqrt[1 - (Sqrt[c]*x)/Sqrt[-a]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[-a]*g)/(Sqrt[c]*f + Sqrt[-a]*g)])/(e^3*((Sqrt[c]*d)/Sqrt[-a] + e)*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + c*x^2])}
+
+
+((f + g*x)^(3//2)/((d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), -((2*sqrt(-a)*g*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(sqrt(c)*e*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2))) - (2*sqrt(-a)*g*(e*f - d*g)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(sqrt(c)*e^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (2*(e*f - d*g)^2*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(e^2*((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 10),
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0 & n<0
+
+
+((d + e*x)^3/(sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), (-8*e^2*(e*f - 3*d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(15*c*g^2) + (2*e^2*(d + e*x)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(5*c*g) + (2*sqrt(-a)*e*(9*a*e^2*g^2 - c*(8*e^2*f^2 - 30*d*e*f*g + 45*d^2*g^2))*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(15*c^(3//2)*g^3*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) - (2*sqrt(-a)*(a*e^2*g^2*(7*e*f - 15*d*g) - c*(8*e^3*f^3 - 30*d*e^2*f^2*g + 45*d^2*e*f*g^2 - 15*d^3*g^3))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(15*c^(3//2)*g^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^2/(sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), (2*e^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(3*c*g) + (4*sqrt(-a)*e*(e*f - 3*d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(3*sqrt(c)*g^2*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) - (2*sqrt(-a)*((3*c*d^2 - a*e^2)*g^2 + 2*c*e*f*(e*f - 3*d*g))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(3*c^(3//2)*g^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^1/(sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), (-2*sqrt(-a)*e*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(sqrt(c)*g*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) + (2*sqrt(-a)*(e*f - d*g)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(sqrt(c)*g*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 5),
+((d + e*x)^0/(sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), (-2*sqrt(-a)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/(sqrt(c)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), (-2*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 4),
+(1/((d + e*x)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), -((e^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/((c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)*(d + e*x))) - (sqrt(-a)*sqrt(c)*e*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/((c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) + (sqrt(-a)*sqrt(c)*e*f*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/((c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (sqrt(-a)*sqrt(c)*d*g*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (-2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g)))/((c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) + ((a*e^2*g - c*d*(2*e*f - 3*d*g))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*(c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 14),
+(1/((d + e*x)^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), -((e^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2)) + (3*e^2*(a*e^2*g - c*d*(2*e*f - 3*d*g))*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(4*(c*d^2 + a*e^2)^2*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)) + (3*sqrt(-a)*sqrt(c)*e*(a*e^2*g - c*d*(2*e*f - 3*d*g))*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(4*(c*d^2 + a*e^2)^2*(e*f - d*g)^2*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) + (sqrt(-a)*sqrt(c)*g*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(2*(c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (3*sqrt(-a)*sqrt(c)*e*f*(a*e^2*g - c*d*(2*e*f - 3*d*g))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(4*(c*d^2 + a*e^2)^2*(e*f - d*g)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (3*sqrt(-a)*sqrt(c)*d*g*(a*e^2*g - c*d*(2*e*f - 3*d*g))*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(4*(c*d^2 + a*e^2)^2*(e*f - d*g)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) + (c*(e*f - 3*d*g)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*(c*d^2 + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (3*(a*e^2*g - c*d*(2*e*f - 3*d*g))^2*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(4*((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*(e*f - d*g)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 23),
+
+
+(1/((f + g*x)^(3//2)*(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), (2*g^2*sqrt(a + c*x^2))/((e*f - d*g)*(c*f^2 + a*g^2)*sqrt(f + g*x)) + (2*sqrt(-a)*sqrt(c)*g*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/((e*f - d*g)*(c*f^2 + a*g^2)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) - (2*e*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 10),
+
+
+(1/((f + g*x)^(5//2)*(d + e*x)*sqrt(a + c*x^2)), (2*g^2*sqrt(a + c*x^2))/(3*(e*f - d*g)*(c*f^2 + a*g^2)*(f + g*x)^(3//2)) + (8*c*f*g^2*sqrt(a + c*x^2))/(3*(e*f - d*g)*(c*f^2 + a*g^2)^2*sqrt(f + g*x)) + (2*e*g^2*sqrt(a + c*x^2))/((e*f - d*g)^2*(c*f^2 + a*g^2)*sqrt(f + g*x)) + (8*sqrt(-a)*c^(3//2)*f*g*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(3*(e*f - d*g)*(c*f^2 + a*g^2)^2*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) + (2*sqrt(-a)*sqrt(c)*e*g*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/((e*f - d*g)^2*(c*f^2 + a*g^2)*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(a + c*x^2)) - (2*sqrt(-a)*sqrt(c)*g*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), -((2*a*g)/(sqrt(-a)*sqrt(c)*f - a*g))))/(3*(e*f - d*g)*(c*f^2 + a*g^2)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)) - (2*e^2*sqrt((sqrt(c)*(f + g*x))/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g))*sqrt(1 + (c*x^2)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e), asin(sqrt(1 - (sqrt(c)*x)/sqrt(-a))/sqrt(2)), (2*sqrt(-a)*g)/(sqrt(c)*f + sqrt(-a)*g)))/(((sqrt(c)*d)/sqrt(-a) + e)*(e*f - d*g)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), x, 17),
+
+
+(1/((d + e*x)*sqrt(f + g*x)*sqrt(1 + c*x^2)), -((2*sqrt((sqrt(-c)*(f + g*x))/(sqrt(-c)*f + g))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*e)/(sqrt(-c)*d + e), asin(sqrt(1 - sqrt(-c)*x)/sqrt(2)), (2*g)/(sqrt(-c)*f + g)))/((sqrt(-c)*d + e)*sqrt(f + g*x))), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (f+g x)^(n/2) (a+c x^2)^(p/2)
+
+
+(1/(sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + c*x^2)), -(((c*f^2 + a*g^2)^(1//4)*(d + e*x)*sqrt(((e*f - d*g)^2*(a + c*x^2))/((c*f^2 + a*g^2)*(d + e*x)^2))*(1 + (sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(f + g*x))/(sqrt(c*f^2 + a*g^2)*(d + e*x)))*sqrt((1 - (2*(c*d*f + a*e*g)*(f + g*x))/((c*f^2 + a*g^2)*(d + e*x)) + ((c*d^2 + a*e^2)*(f + g*x)^2)/((c*f^2 + a*g^2)*(d + e*x)^2))/(1 + (sqrt(c*d^2 + a*e^2)*(f + g*x))/(sqrt(c*f^2 + a*g^2)*(d + e*x)))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(((c*d^2 + a*e^2)^(1//4)*sqrt(f + g*x))/((c*f^2 + a*g^2)^(1//4)*sqrt(d + e*x))), (1//2)*(1 + (c*d*f + a*e*g)/(sqrt(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(c*f^2 + a*g^2)))))/((c*d^2 + a*e^2)^(1//4)*(e*f - d*g)*sqrt(a + c*x^2)*sqrt(1 - (2*(c*d*f + a*e*g)*(f + g*x))/((c*f^2 + a*g^2)*(d + e*x)) + ((c*d^2 + a*e^2)*(f + g*x)^2)/((c*f^2 + a*g^2)*(d + e*x)^2)))), x, 2),
+
+
+(1/(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)*sqrt(-1 + 2*x^2)), (sqrt(1 - 2*x^2)*sqrt(1 - x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), 2))/(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)*sqrt(-1 + 2*x^2)), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p when c d^2-b d e+a e^2=0 and m+p=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) / (a d e+(c d^2+a e^2) x+c d e x^2)^(m/2) (f+g x)^n
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# m>0
+
+
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)*(f + g*x)^3, -((16*(c*d*f - a*e*g)^2*(2*a*e^2*g - c*d*(3*e*f - d*g))*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(35*c^4*d^4*e*sqrt(d + e*x))) + (16*g*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(35*c^3*d^3*e) + (12*(c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(35*c^2*d^2*sqrt(d + e*x)) + (2*(f + g*x)^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(7*c*d*sqrt(d + e*x)), x, 4),
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)*(f + g*x)^2, -((8*(c*d*f - a*e*g)*(2*a*e^2*g - c*d*(3*e*f - d*g))*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(15*c^3*d^3*e*sqrt(d + e*x))) + (8*g*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(15*c^2*d^2*e) + (2*(f + g*x)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(5*c*d*sqrt(d + e*x)), x, 3),
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)*(f + g*x)^1, -((2*(2*a*e^2*g - c*d*(3*e*f - d*g))*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*c^2*d^2*e*sqrt(d + e*x))) + (2*g*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*c*d*e), x, 2),
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)*(f + g*x)^0, (2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(c*d*sqrt(d + e*x)), x, 1),
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(f + g*x)^1, (2*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(sqrt(g)*sqrt(c*d*f - a*e*g)), x, 2),
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(f + g*x)^2, sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/((c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)) + (c*d*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(sqrt(g)*(c*d*f - a*e*g)^(3//2)), x, 3),
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(f + g*x)^3, sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(2*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^2) + (3*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)) + (3*c^2*d^2*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(4*sqrt(g)*(c*d*f - a*e*g)^(5//2)), x, 4),
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(f + g*x)^4, sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(3*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^3) + (5*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(12*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^2) + (5*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*(c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)) + (5*c^3*d^3*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(8*sqrt(g)*(c*d*f - a*e*g)^(7//2)), x, 5),
+
+
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)*(f + g*x)^3, -((2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^3)/(c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) - (16*g*(c*d*f - a*e*g)*(2*a*e^2*g - c*d*(3*e*f - d*g))*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(5*c^4*d^4*e*sqrt(d + e*x)) + (16*g^2*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(5*c^3*d^3*e) + (12*g*(f + g*x)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(5*c^2*d^2*sqrt(d + e*x)), x, 4),
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)*(f + g*x)^2, -((2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^2)/(c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) - (8*g*(2*a*e^2*g - c*d*(3*e*f - d*g))*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*c^3*d^3*e*sqrt(d + e*x)) + (8*g^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*c^2*d^2*e), x, 3),
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)*(f + g*x)^1, -((2*(c*d*f - a*e*g)*(d + e*x)^(3//2))/(c*d*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) - (2*(2*a*e^2*g - c*d*(e*f + d*g))*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x)), x, 2),
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)*(f + g*x)^0, -((2*sqrt(d + e*x))/(c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))), x, 1),
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(f + g*x)^1, -((2*sqrt(d + e*x))/((c*d*f - a*e*g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) - (2*sqrt(g)*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(c*d*f - a*e*g)^(3//2), x, 3),
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(f + g*x)^2, -((2*sqrt(d + e*x))/((c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) - (3*g*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/((c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)) - (3*c*d*sqrt(g)*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(c*d*f - a*e*g)^(5//2), x, 4),
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(f + g*x)^3, -((2*sqrt(d + e*x))/((c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) - (5*g*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(2*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^2) - (15*c*d*g*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*(c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)) - (15*c^2*d^2*sqrt(g)*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(4*(c*d*f - a*e*g)^(7//2)), x, 5),
+
+
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)*(f + g*x)^3, -((2*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^3)/(3*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) - (4*g*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^2)/(c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - (16*g^2*(2*a*e^2*g - c*d*(3*e*f - d*g))*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*c^4*d^4*e*sqrt(d + e*x)) + (16*g^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*c^3*d^3*e), x, 4),
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)*(f + g*x)^2, -((2*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^2)/(3*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) - (8*g*(c*d*f - a*e*g)*(d + e*x)^(3//2))/(3*c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) - (8*g*(2*a*e^2*g - c*d*(e*f + d*g))*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*c^3*d^3*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(d + e*x)), x, 3),
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)*(f + g*x)^1, -((2*(c*d*f - a*e*g)*(d + e*x)^(5//2))/(3*c*d*(c*d^2 - a*e^2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) + (2*(2*a*e^2*g + c*d*(e*f - 3*d*g))*sqrt(d + e*x))/(3*c^2*d^2*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)*(f + g*x)^0, -((2*(d + e*x)^(3//2))/(3*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))), x, 1),
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(f + g*x)^1, -((2*(d + e*x)^(3//2))/(3*(c*d*f - a*e*g)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) + (2*g*sqrt(d + e*x))/((c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (2*g^(3//2)*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(c*d*f - a*e*g)^(5//2), x, 4),
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(f + g*x)^2, -((2*(d + e*x)^(3//2))/(3*(c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) + (10*g*sqrt(d + e*x))/(3*(c*d*f - a*e*g)^2*(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (5*g^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/((c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)) + (5*c*d*g^(3//2)*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(c*d*f - a*e*g)^(7//2), x, 5),
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(f + g*x)^3, -((2*(d + e*x)^(3//2))/(3*(c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) + (14*g*sqrt(d + e*x))/(3*(c*d*f - a*e*g)^2*(f + g*x)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (35*g^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(6*(c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^2) + (35*c*d*g^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*(c*d*f - a*e*g)^4*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)) + (35*c^2*d^2*g^(3//2)*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(4*(c*d*f - a*e*g)^(9//2)), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# m<0
+
+
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^4, -((128*(c*d*f - a*e*g)^3*(2*a*e^2*g - c*d*(5*e*f - 3*d*g))*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3465*c^5*d^5*e*(d + e*x)^(3//2))) + (128*g*(c*d*f - a*e*g)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(1155*c^4*d^4*e*sqrt(d + e*x)) + (32*(c*d*f - a*e*g)^2*(f + g*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(231*c^3*d^3*(d + e*x)^(3//2)) + (16*(c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(99*c^2*d^2*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(f + g*x)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(11*c*d*(d + e*x)^(3//2)), x, 5),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^3, -((16*(c*d*f - a*e*g)^2*(2*a*e^2*g - c*d*(5*e*f - 3*d*g))*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(315*c^4*d^4*e*(d + e*x)^(3//2))) + (16*g*(c*d*f - a*e*g)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(105*c^3*d^3*e*sqrt(d + e*x)) + (4*(c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(21*c^2*d^2*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(f + g*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(9*c*d*(d + e*x)^(3//2)), x, 4),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^2, -((8*(c*d*f - a*e*g)*(2*a*e^2*g - c*d*(5*e*f - 3*d*g))*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(105*c^3*d^3*e*(d + e*x)^(3//2))) + (8*g*(c*d*f - a*e*g)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(35*c^2*d^2*e*sqrt(d + e*x)) + (2*(f + g*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(7*c*d*(d + e*x)^(3//2)), x, 3),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^1, -((2*(2*a*e^2*g - c*d*(5*e*f - 3*d*g))*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(15*c^2*d^2*e*(d + e*x)^(3//2))) + (2*g*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(5*c*d*e*sqrt(d + e*x)), x, 2),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^0, (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*c*d*(d + e*x)^(3//2)), x, 1),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)/(f + g*x)^1, (2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(g*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(c*d*f - a*e*g)*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/g^(3//2), x, 3),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)/(f + g*x)^2, -(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(g*sqrt(d + e*x)*(f + g*x))) + (c*d*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(g^(3//2)*sqrt(c*d*f - a*e*g)), x, 3),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)/(f + g*x)^3, -(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(2*g*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^2)) + (c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*g*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)) + (c^2*d^2*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(4*g^(3//2)*(c*d*f - a*e*g)^(3//2)), x, 4),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)/(f + g*x)^4, -(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(3*g*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^3)) + (c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(12*g*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^2) + (c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*g*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)) + (c^3*d^3*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(8*g^(3//2)*(c*d*f - a*e*g)^(5//2)), x, 5),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)/(f + g*x)^5, -(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(4*g*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^4)) + (c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(24*g*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^3) + (5*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(96*g*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^2) + (5*c^3*d^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*g*(c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)) + (5*c^4*d^4*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(64*g^(3//2)*(c*d*f - a*e*g)^(7//2)), x, 6),
+
+
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^4, -((128*(c*d*f - a*e*g)^3*(2*a*e^2*g - c*d*(7*e*f - 5*d*g))*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(15015*c^5*d^5*e*(d + e*x)^(5//2))) + (128*g*(c*d*f - a*e*g)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(3003*c^4*d^4*e*(d + e*x)^(3//2)) + (32*(c*d*f - a*e*g)^2*(f + g*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(429*c^3*d^3*(d + e*x)^(5//2)) + (16*(c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(143*c^2*d^2*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(f + g*x)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(13*c*d*(d + e*x)^(5//2)), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^3, -((16*(c*d*f - a*e*g)^2*(2*a*e^2*g - c*d*(7*e*f - 5*d*g))*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(1155*c^4*d^4*e*(d + e*x)^(5//2))) + (16*g*(c*d*f - a*e*g)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(231*c^3*d^3*e*(d + e*x)^(3//2)) + (4*(c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(33*c^2*d^2*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(f + g*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(11*c*d*(d + e*x)^(5//2)), x, 4),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^2, -((8*(c*d*f - a*e*g)*(2*a*e^2*g - c*d*(7*e*f - 5*d*g))*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(315*c^3*d^3*e*(d + e*x)^(5//2))) + (8*g*(c*d*f - a*e*g)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(63*c^2*d^2*e*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(f + g*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(9*c*d*(d + e*x)^(5//2)), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^1, -((2*(2*a*e^2*g - c*d*(7*e*f - 5*d*g))*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(35*c^2*d^2*e*(d + e*x)^(5//2))) + (2*g*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(7*c*d*e*(d + e*x)^(3//2)), x, 2),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^0, (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(5*c*d*(d + e*x)^(5//2)), x, 1),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)/(f + g*x)^1, -((2*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(g^2*sqrt(d + e*x))) + (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*g*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(c*d*f - a*e*g)^(3//2)*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/g^(5//2), x, 4),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)/(f + g*x)^2, (3*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(g^2*sqrt(d + e*x)) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(g*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)) - (3*c*d*sqrt(c*d*f - a*e*g)*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/g^(5//2), x, 4),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)/(f + g*x)^3, -((3*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*g^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x))) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(2*g*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^2) + (3*c^2*d^2*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(4*g^(5//2)*sqrt(c*d*f - a*e*g)), x, 4),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)/(f + g*x)^4, -((c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*g^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^2)) + (c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*g^2*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(3*g*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^3) + (c^3*d^3*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(8*g^(5//2)*(c*d*f - a*e*g)^(3//2)), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)/(f + g*x)^5, -((c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*g^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^3)) + (c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(32*g^2*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^2) + (3*c^3*d^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*g^2*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(4*g*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^4) + (3*c^4*d^4*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(64*g^(5//2)*(c*d*f - a*e*g)^(5//2)), x, 6),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)/(f + g*x)^6, -((3*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(40*g^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^4)) + (c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(80*g^2*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^3) + (c^3*d^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*g^2*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^2) + (3*c^4*d^4*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(128*g^2*(c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(5*g*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^5) + (3*c^5*d^5*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(128*g^(5//2)*(c*d*f - a*e*g)^(7//2)), x, 7),
+
+
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^4, -((128*(c*d*f - a*e*g)^3*(2*a*e^2*g - c*d*(9*e*f - 7*d*g))*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(45045*c^5*d^5*e*(d + e*x)^(7//2))) + (128*g*(c*d*f - a*e*g)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(6435*c^4*d^4*e*(d + e*x)^(5//2)) + (32*(c*d*f - a*e*g)^2*(f + g*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(715*c^3*d^3*(d + e*x)^(7//2)) + (16*(c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(195*c^2*d^2*(d + e*x)^(7//2)) + (2*(f + g*x)^4*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(15*c*d*(d + e*x)^(7//2)), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^3, -((16*(c*d*f - a*e*g)^2*(2*a*e^2*g - c*d*(9*e*f - 7*d*g))*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(3003*c^4*d^4*e*(d + e*x)^(7//2))) + (16*g*(c*d*f - a*e*g)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(429*c^3*d^3*e*(d + e*x)^(5//2)) + (12*(c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(143*c^2*d^2*(d + e*x)^(7//2)) + (2*(f + g*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(13*c*d*(d + e*x)^(7//2)), x, 4),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^2, -((8*(c*d*f - a*e*g)*(2*a*e^2*g - c*d*(9*e*f - 7*d*g))*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(693*c^3*d^3*e*(d + e*x)^(7//2))) + (8*g*(c*d*f - a*e*g)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(99*c^2*d^2*e*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(f + g*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(11*c*d*(d + e*x)^(7//2)), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^1, -((2*(2*a*e^2*g - c*d*(9*e*f - 7*d*g))*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(63*c^2*d^2*e*(d + e*x)^(7//2))) + (2*g*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(9*c*d*e*(d + e*x)^(5//2)), x, 2),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^0, (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(7*c*d*(d + e*x)^(7//2)), x, 1),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)/(f + g*x)^1, (2*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(g^3*sqrt(d + e*x)) - (2*(c*d*f - a*e*g)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*g^2*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(5*g*(d + e*x)^(5//2)) - (2*(c*d*f - a*e*g)^(5//2)*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/g^(7//2), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)/(f + g*x)^2, -((5*c*d*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(g^3*sqrt(d + e*x))) + (5*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*g^2*(d + e*x)^(3//2)) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(g*(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)) + (5*c*d*(c*d*f - a*e*g)^(3//2)*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/g^(7//2), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)/(f + g*x)^3, (15*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*g^3*sqrt(d + e*x)) - (5*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(4*g^2*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(2*g*(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^2) - (15*c^2*d^2*sqrt(c*d*f - a*e*g)*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(4*g^(7//2)), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)/(f + g*x)^4, -((5*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*g^3*sqrt(d + e*x)*(f + g*x))) - (5*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(12*g^2*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^2) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(3*g*(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^3) + (5*c^3*d^3*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(8*g^(7//2)*sqrt(c*d*f - a*e*g)), x, 5),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)/(f + g*x)^5, -((5*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(32*g^3*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^2)) + (5*c^3*d^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*g^3*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)) - (5*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(24*g^2*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^3) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(4*g*(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^4) + (5*c^4*d^4*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(64*g^(7//2)*(c*d*f - a*e*g)^(3//2)), x, 6),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)/(f + g*x)^6, -((c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(16*g^3*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^3)) + (c^3*d^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*g^3*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^2) + (3*c^4*d^4*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(128*g^3*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)) - (c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(8*g^2*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^4) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(5*g*(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^5) + (3*c^5*d^5*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(128*g^(7//2)*(c*d*f - a*e*g)^(5//2)), x, 7),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)/(f + g*x)^7, -((c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(32*g^3*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^4)) + (c^3*d^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(192*g^3*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^3) + (5*c^4*d^4*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(768*g^3*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^2) + (5*c^5*d^5*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(512*g^3*(c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)) - (c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(12*g^2*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^5) - (a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(6*g*(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^6) + (5*c^6*d^6*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(512*g^(7//2)*(c*d*f - a*e*g)^(7//2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) / (a d e+(c d^2+a e^2) x+c d e x^2)^(m/2) (f+g x)^(n/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# m>0
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+
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)*(f + g*x)^(5//2), (5*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*c^3*d^3*sqrt(d + e*x)) + (5*(c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(12*c^2*d^2*sqrt(d + e*x)) + ((f + g*x)^(5//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*c*d*sqrt(d + e*x)) + (5*(c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(8*c^(7//2)*d^(7//2)*sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 7),
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)*(f + g*x)^(3//2), (3*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*c^2*d^2*sqrt(d + e*x)) + ((f + g*x)^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(2*c*d*sqrt(d + e*x)) + (3*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(4*c^(5//2)*d^(5//2)*sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 6),
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)*(f + g*x)^(1//2), (sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(c*d*sqrt(d + e*x)) + ((c*d*f - a*e*g)*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(c^(3//2)*d^(3//2)*sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 5),
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(f + g*x)^(1//2), (2*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 4),
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(f + g*x)^(3//2), (2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/((c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x)), x, 1),
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(f + g*x)^(5//2), (2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^(3//2)) + (4*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x)), x, 2),
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(f + g*x)^(7//2), (2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(5*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^(5//2)) + (8*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(15*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^(3//2)) + (16*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(15*(c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x)), x, 3),
+(sqrt(d + e*x)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(f + g*x)^(9//2), (2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(7*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^(7//2)) + (12*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(35*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^(5//2)) + (16*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(35*(c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^(3//2)) + (32*c^3*d^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(35*(c*d*f - a*e*g)^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x)), x, 4),
+
+
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)*(f + g*x)^(5//2), (15*g*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)*sqrt(f + g*x))/(4*c^3*d^3*sqrt(d + e*x)) + (5*g*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)*(f + g*x)^(3//2))/(2*c^2*d^2*sqrt(d + e*x)) - (2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^(5//2))/(c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (15*sqrt(g)*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(4*c^(7//2)*d^(7//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)*(f + g*x)^(3//2), -((2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^(3//2))/(c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) + (3*g*sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(c^2*d^2*sqrt(d + e*x)) + (3*sqrt(g)*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(c^(5//2)*d^(5//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 6),
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)*(f + g*x)^(1//2), -((2*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x))/(c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) + (2*sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(c^(3//2)*d^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 5),
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(f + g*x)^(1//2), -((2*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x))/((c*d*f - a*e*g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))), x, 1),
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(f + g*x)^(3//2), -((2*sqrt(d + e*x))/((c*d*f - a*e*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) - (4*g*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/((c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x)), x, 2),
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(f + g*x)^(5//2), -((2*sqrt(d + e*x))/((c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) - (8*g*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^(3//2)) - (16*c*d*g*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*(c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x)), x, 3),
+((d + e*x)^(3//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(f + g*x)^(7//2), -((2*sqrt(d + e*x))/((c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)^(5//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))) - (12*g*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(5*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^(5//2)) - (16*c*d*g*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(5*(c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^(3//2)) - (32*c^2*d^2*g*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(5*(c*d*f - a*e*g)^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x)), x, 4),
+
+
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)*(f + g*x)^(5//2), -((2*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^(5//2))/(3*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) - (10*g*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^(3//2))/(3*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (5*g^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(c^3*d^3*sqrt(d + e*x)) + (5*g^(3//2)*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(c^(7//2)*d^(7//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)*(f + g*x)^(3//2), -((2*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^(3//2))/(3*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) - (2*g*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x))/(c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (2*g^(3//2)*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(c^(5//2)*d^(5//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 6),
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)*(f + g*x)^(1//2), -((2*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^(3//2))/(3*(c*d*f - a*e*g)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))), x, 1),
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(f + g*x)^(1//2), -((2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(f + g*x))/(3*(c*d*f - a*e*g)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) + (4*g*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x))/(3*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(f + g*x)^(3//2), -((2*(d + e*x)^(3//2))/(3*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(f + g*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) + (8*g*sqrt(d + e*x))/(3*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (16*g^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*(c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x)), x, 3),
+((d + e*x)^(5//2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(f + g*x)^(5//2), -((2*(d + e*x)^(3//2))/(3*(c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))) + (4*g*sqrt(d + e*x))/((c*d*f - a*e*g)^2*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)) + (16*g^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*(c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^(3//2)) + (32*c*d*g^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*(c*d*f - a*e*g)^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# m<0
+
+
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^(5//2), -((5*(c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*c^3*d^3*g*sqrt(d + e*x))) - (5*(c*d*f - a*e*g)^2*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(96*c^2*d^2*g*sqrt(d + e*x)) + (((a*e)/(c*d) - f/g)*(f + g*x)^(5//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(24*sqrt(d + e*x)) + ((f + g*x)^(7//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*g*sqrt(d + e*x)) - (5*(c*d*f - a*e*g)^4*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(64*c^(7//2)*d^(7//2)*g^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 8),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^(3//2), -(((c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*c^2*d^2*g*sqrt(d + e*x))) + (((a*e)/(c*d) - f/g)*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(12*sqrt(d + e*x)) + ((f + g*x)^(5//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*g*sqrt(d + e*x)) - ((c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(8*c^(5//2)*d^(5//2)*g^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 7),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^(1//2), (((a*e)/(c*d) - f/g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*sqrt(d + e*x)) + ((f + g*x)^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(2*g*sqrt(d + e*x)) - ((c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(4*c^(3//2)*d^(3//2)*g^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 6),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)/(f + g*x)^(1//2), (sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(g*sqrt(d + e*x)) - ((c*d*f - a*e*g)*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(c)*sqrt(d)*g^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 5),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)/(f + g*x)^(3//2), -((2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(g*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x))) + (2*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(g^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 5),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)/(f + g*x)^(5//2), (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*(c*d*f - a*e*g)*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^(3//2)), x, 1),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)/(f + g*x)^(7//2), (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(5*(c*d*f - a*e*g)*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^(5//2)) + (4*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(15*(c*d*f - a*e*g)^2*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^(3//2)), x, 2),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)/(f + g*x)^(9//2), (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(7*(c*d*f - a*e*g)*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^(7//2)) + (8*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(35*(c*d*f - a*e*g)^2*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^(5//2)) + (16*c^2*d^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(105*(c*d*f - a*e*g)^3*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^(3//2)), x, 3),
+(sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/sqrt(d + e*x)/(f + g*x)^(11//2), (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(9*(c*d*f - a*e*g)*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^(9//2)) + (4*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(21*(c*d*f - a*e*g)^2*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^(7//2)) + (16*c^2*d^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(105*(c*d*f - a*e*g)^3*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^(5//2)) + (32*c^3*d^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(315*(c*d*f - a*e*g)^4*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^(3//2)), x, 4),
+
+
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^(3//2), (3*(c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*c^2*d^2*g^2*sqrt(d + e*x)) + ((c*d*f - a*e*g)^2*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(32*c*d*g^2*sqrt(d + e*x)) - ((c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)^(5//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*g^2*sqrt(d + e*x)) + ((f + g*x)^(5//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(4*g*(d + e*x)^(3//2)) + (3*(c*d*f - a*e*g)^4*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(64*c^(5//2)*d^(5//2)*g^(5//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 8),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^(1//2), ((c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*c*d*g^2*sqrt(d + e*x)) - ((c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*g^2*sqrt(d + e*x)) + ((f + g*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*g*(d + e*x)^(3//2)) + ((c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(8*c^(3//2)*d^(3//2)*g^(5//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 7),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)/(f + g*x)^(1//2), -((3*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*g^2*sqrt(d + e*x))) + (sqrt(f + g*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(2*g*(d + e*x)^(3//2)) + (3*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(4*sqrt(c)*sqrt(d)*g^(5//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 6),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)/(f + g*x)^(3//2), (3*c*d*sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(g^2*sqrt(d + e*x)) - (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(g*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(f + g*x)) - (3*sqrt(c)*sqrt(d)*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(g^(5//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 6),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)/(f + g*x)^(5//2), -((2*c*d*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(g^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x))) - (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*g*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^(3//2)) + (2*c^(3//2)*d^(3//2)*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(g^(5//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 6),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)/(f + g*x)^(7//2), (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(5*(c*d*f - a*e*g)*(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^(5//2)), x, 1),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)/(f + g*x)^(9//2), (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(7*(c*d*f - a*e*g)*(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^(7//2)) + (4*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(35*(c*d*f - a*e*g)^2*(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^(5//2)), x, 2),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)/(f + g*x)^(11//2), (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(9*(c*d*f - a*e*g)*(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^(9//2)) + (8*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(63*(c*d*f - a*e*g)^2*(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^(7//2)) + (16*c^2*d^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(315*(c*d*f - a*e*g)^3*(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^(5//2)), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2)/(d + e*x)^(3//2)/(f + g*x)^(13//2), (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(11*(c*d*f - a*e*g)*(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^(11//2)) + (4*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(33*(c*d*f - a*e*g)^2*(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^(9//2)) + (16*c^2*d^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(231*(c*d*f - a*e*g)^3*(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^(7//2)) + (32*c^3*d^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(1155*(c*d*f - a*e*g)^4*(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^(5//2)), x, 4),
+
+
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^(3//2), -((3*(c*d*f - a*e*g)^4*sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(128*c^2*d^2*g^3*sqrt(d + e*x))) - ((c*d*f - a*e*g)^3*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*c*d*g^3*sqrt(d + e*x)) + ((c*d*f - a*e*g)^2*(f + g*x)^(5//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(16*g^3*sqrt(d + e*x)) - ((c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)^(5//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(8*g^2*(d + e*x)^(3//2)) + ((f + g*x)^(5//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(5*g*(d + e*x)^(5//2)) - (3*(c*d*f - a*e*g)^5*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(128*c^(5//2)*d^(5//2)*g^(7//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 9),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^(1//2), -((5*(c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(64*c*d*g^3*sqrt(d + e*x))) + (5*(c*d*f - a*e*g)^2*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(32*g^3*sqrt(d + e*x)) - (5*(c*d*f - a*e*g)*(f + g*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(24*g^2*(d + e*x)^(3//2)) + ((f + g*x)^(3//2)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(4*g*(d + e*x)^(5//2)) - (5*(c*d*f - a*e*g)^4*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(64*c^(3//2)*d^(3//2)*g^(7//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 8),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)/(f + g*x)^(1//2), (5*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*g^3*sqrt(d + e*x)) - (5*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(f + g*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(12*g^2*(d + e*x)^(3//2)) + (sqrt(f + g*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(3*g*(d + e*x)^(5//2)) - (5*(c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(8*sqrt(c)*sqrt(d)*g^(7//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 7),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)/(f + g*x)^(3//2), -((15*c*d*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*g^3*sqrt(d + e*x))) + (5*c*d*sqrt(f + g*x)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(2*g^2*(d + e*x)^(3//2)) - (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(g*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(f + g*x)) + (15*sqrt(c)*sqrt(d)*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(4*g^(7//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 7),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)/(f + g*x)^(5//2), (5*c^2*d^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(g^3*sqrt(d + e*x)) - (10*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*g^2*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(f + g*x)) - (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(3*g*(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^(3//2)) - (5*c^(3//2)*d^(3//2)*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(g^(7//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 7),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)/(f + g*x)^(7//2), -((2*c^2*d^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(g^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x))) - (2*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3//2))/(3*g^2*(d + e*x)^(3//2)*(f + g*x)^(3//2)) - (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2))/(5*g*(d + e*x)^(5//2)*(f + g*x)^(5//2)) + (2*c^(5//2)*d^(5//2)*sqrt(a*e + c*d*x)*sqrt(d + e*x)*atanh((sqrt(g)*sqrt(a*e + c*d*x))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt(f + g*x))))/(g^(7//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)), x, 7),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)/(f + g*x)^(9//2), (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(7*(c*d*f - a*e*g)*(d + e*x)^(7//2)*(f + g*x)^(7//2)), x, 1),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)/(f + g*x)^(11//2), (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(9*(c*d*f - a*e*g)*(d + e*x)^(7//2)*(f + g*x)^(9//2)) + (4*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(63*(c*d*f - a*e*g)^2*(d + e*x)^(7//2)*(f + g*x)^(7//2)), x, 2),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)/(f + g*x)^(13//2), (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(11*(c*d*f - a*e*g)*(d + e*x)^(7//2)*(f + g*x)^(11//2)) + (8*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(99*(c*d*f - a*e*g)^2*(d + e*x)^(7//2)*(f + g*x)^(9//2)) + (16*c^2*d^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(693*(c*d*f - a*e*g)^3*(d + e*x)^(7//2)*(f + g*x)^(7//2)), x, 3),
+((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5//2)/(d + e*x)^(5//2)/(f + g*x)^(15//2), (2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(13*(c*d*f - a*e*g)*(d + e*x)^(7//2)*(f + g*x)^(13//2)) + (12*c*d*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(143*(c*d*f - a*e*g)^2*(d + e*x)^(7//2)*(f + g*x)^(11//2)) + (16*c^2*d^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(429*(c*d*f - a*e*g)^3*(d + e*x)^(7//2)*(f + g*x)^(9//2)) + (32*c^3*d^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(7//2))/(3003*(c*d*f - a*e*g)^4*(d + e*x)^(7//2)*(f + g*x)^(7//2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) / (a d e+(c d^2+a e^2) x+c d e x^2)^(m/2) (f+g x)^n when n symbolic
+
+
+# {(d + e*x)^(5/2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5/2)*(f + g*x)^n, x, 3, -(((a*e + c*d*x)*(d + e*x)^(5/2)*(f + g*x)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, -(1/2) + n, 2 + n, (c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g)])/((c*d*f - a*e*g)*(1 + n)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5/2))), -((2*Sqrt[d + e*x]*(f + g*x)^n*Hypergeometric2F1[-(3/2), -n, -(1/2), -((g*(a*e + c*d*x))/(c*d*f - a*e*g))])/(((c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g))^n*(3*c*d*(a*e + c*d*x)*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2])))}
+# {(d + e*x)^(3/2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3/2)*(f + g*x)^n, x, 3, -(((a*e + c*d*x)*(d + e*x)^(3/2)*(f + g*x)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + n, 2 + n, (c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g)])/((c*d*f - a*e*g)*(1 + n)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3/2))), -((2*Sqrt[d + e*x]*(f + g*x)^n*Hypergeometric2F1[-(1/2), -n, 1/2, -((g*(a*e + c*d*x))/(c*d*f - a*e*g))])/(((c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g))^n*(c*d*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2])))}
+# {(d + e*x)^(1/2)/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1/2)*(f + g*x)^n, x, 3, -(((a*e + c*d*x)*Sqrt[d + e*x]*(f + g*x)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 3/2 + n, 2 + n, (c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g)])/((c*d*f - a*e*g)*(1 + n)*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2])), (2*(a*e + c*d*x)*Sqrt[d + e*x]*(f + g*x)^n*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, -((g*(a*e + c*d*x))/(c*d*f - a*e*g))])/(((c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g))^n*(c*d*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2]))}
+# {(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1/2)/(d + e*x)^(1/2)*(f + g*x)^n, x, 3, -(((a*e + c*d*x)*(f + g*x)^(1 + n)*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2]*Hypergeometric2F1[1, 5/2 + n, 2 + n, (c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g)])/((c*d*f - a*e*g)*(1 + n)*Sqrt[d + e*x])), (2*(a*e + c*d*x)*(f + g*x)^n*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2]*Hypergeometric2F1[3/2, -n, 5/2, -((g*(a*e + c*d*x))/(c*d*f - a*e*g))])/(((c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g))^n*(3*c*d*Sqrt[d + e*x]))}
+# {(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3/2)/(d + e*x)^(3/2)*(f + g*x)^n, x, 3, -(((a*e + c*d*x)*(f + g*x)^(1 + n)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(3/2)*Hypergeometric2F1[1, 7/2 + n, 2 + n, (c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g)])/((c*d*f - a*e*g)*(1 + n)*(d + e*x)^(3/2))), (2*(a*e + c*d*x)^2*(f + g*x)^n*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2]*Hypergeometric2F1[5/2, -n, 7/2, -((g*(a*e + c*d*x))/(c*d*f - a*e*g))])/(((c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g))^n*(5*c*d*Sqrt[d + e*x]))}
+# {(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5/2)/(d + e*x)^(5/2)*(f + g*x)^n, x, 3, -(((a*e + c*d*x)*(f + g*x)^(1 + n)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(5/2)*Hypergeometric2F1[1, 9/2 + n, 2 + n, (c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g)])/((c*d*f - a*e*g)*(1 + n)*(d + e*x)^(5/2))), (2*(a*e + c*d*x)^3*(f + g*x)^n*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2]*Hypergeometric2F1[7/2, -n, 9/2, -((g*(a*e + c*d*x))/(c*d*f - a*e*g))])/(((c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g))^n*(7*c*d*Sqrt[d + e*x]))}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m / (a d e+(c d^2+a e^2) x+c d e x^2)^m (f+g x)^n when m symbolic
+
+
+# {(d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*(f + g*x)^n, x, 3, -(((a*e + c*d*x)*(d + e*x)^m*(f + g*x)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 2 - m + n, 2 + n, (c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g)])/((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*((c*d*f - a*e*g)*(1 + n)))), ((-((g*(a*e + c*d*x))/(c*d*f - a*e*g)))^m*(d + e*x)^m*(f + g*x)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[m, 1 + n, 2 + n, (c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g)])/((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*(g*(1 + n)))}
+
+
+# {(d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*(f + g*x)^3, x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((6*(c*d*f - a*e*g)^2*(a*e^2*g + c*d*(d*g*(1 - m) - e*f*(2 - m)))*(d + e*x)^(-1 + m)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 - m))/(c^4*d^4*e*(1 - m)*(2 - m)*(3 - m)*(4 - m))) + (6*g*(c*d*f - a*e*g)^2*(d + e*x)^m*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 - m))/(c^3*d^3*e*(2 - m)*(3 - m)*(4 - m)) + (3*(c*d*f - a*e*g)*(d + e*x)^(-1 + m)*(f + g*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 - m))/(c^2*d^2*(3 - m)*(4 - m)) + ((d + e*x)^(-1 + m)*(f + g*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 - m))/(c*d*(4 - m)), -((6*(c*d*f - a*e*g)^2*(a*e^2*g + c*d*(d*g*(1 - m) - e*f*(2 - m)))*(d + e*x)^(-1 + m)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 - m))/(c^4*d^4*e*(12 - 7*m + m^2)*(2 - 3*m + m^2))) + (6*g*(c*d*f - a*e*g)^2*(d + e*x)^m*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 - m))/(c^3*d^3*e*(2 - m)*(3 - m)*(4 - m)) + (3*(c*d*f - a*e*g)*(d + e*x)^(-1 + m)*(f + g*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 - m))/(c^2*d^2*(3 - m)*(4 - m)) + ((d + e*x)^(-1 + m)*(f + g*x)^3*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 - m))/(c*d*(4 - m))]}
+((d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*(f + g*x)^2, -((2*(c*d*f - a*e*g)*(a*e^2*g + c*d*(d*g*(1 - m) - e*f*(2 - m)))*(d + e*x)^(-1 + m)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 - m))/(c^3*d^3*e*(1 - m)*(2 - m)*(3 - m))) + (2*g*(c*d*f - a*e*g)*(d + e*x)^m*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 - m))/(c^2*d^2*e*(2 - m)*(3 - m)) + ((d + e*x)^(-1 + m)*(f + g*x)^2*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 - m))/(c*d*(3 - m)), x, 3),
+((d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*(f + g*x)^1, -(((a*e^2*g + c*d*(d*g*(1 - m) - e*f*(2 - m)))*(d + e*x)^(-1 + m)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 - m))/(c^2*d^2*e*(1 - m)*(2 - m))) + (g*(d + e*x)^m*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 - m))/(c*d*e*(2 - m)), x, 2),
+((d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*(f + g*x)^0, ((d + e*x)^(-1 + m)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 - m))/(c*d*(1 - m)), x, 1),
+((d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m/(f + g*x)^1, ((a*e + c*d*x)*(d + e*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 - m, 2 - m, -((g*(a*e + c*d*x))/(c*d*f - a*e*g))))/((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*((c*d*f - a*e*g)*(1 - m))), x, 2),
+((d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m/(f + g*x)^2, (c*d*(a*e + c*d*x)*(d + e*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 - m, 2 - m, -((g*(a*e + c*d*x))/(c*d*f - a*e*g))))/((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*((c*d*f - a*e*g)^2*(1 - m))), x, 2),
+((d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m/(f + g*x)^3, (c^2*d^2*(a*e + c*d*x)*(d + e*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1 - m, 2 - m, -((g*(a*e + c*d*x))/(c*d*f - a*e*g))))/((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*((c*d*f - a*e*g)^3*(1 - m))), x, 2),
+
+
+((d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*(f + g*x)^(3//2), (2*(-((g*(a*e + c*d*x))/(c*d*f - a*e*g)))^m*(d + e*x)^m*(f + g*x)^(5//2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, m, 7//2, (c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g)))/((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*(5*g)), x, 3),
+((d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*(f + g*x)^(1//2), (2*(-((g*(a*e + c*d*x))/(c*d*f - a*e*g)))^m*(d + e*x)^m*(f + g*x)^(3//2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, m, 5//2, (c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g)))/((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*(3*g)), x, 3),
+((d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m/(f + g*x)^(1//2), (2*(-((g*(a*e + c*d*x))/(c*d*f - a*e*g)))^m*(d + e*x)^m*sqrt(f + g*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, m, 3//2, (c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g)))/((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*g), x, 3),
+((d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m/(f + g*x)^(3//2), -((2*(-((g*(a*e + c*d*x))/(c*d*f - a*e*g)))^m*(d + e*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), m, 1//2, (c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g)))/((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*(g*sqrt(f + g*x)))), x, 3),
+((d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m/(f + g*x)^(5//2), -((2*(-((g*(a*e + c*d*x))/(c*d*f - a*e*g)))^m*(d + e*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), m, -(1//2), (c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g)))/((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*(3*g*(f + g*x)^(3//2)))), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*(a*e + c*d*x)^n, ((a*e + c*d*x)^n*(d + e*x)^(-1 + m)*(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^(1 - m))/(c*d*(1 - m + n)), x, 1),
+
+((d + e*x)^m/(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*(c*d^2*e*g - e*(c*d^2 + a*e^2)*g - c*d*e^2*g*x)^(m-1), -(((d + e*x)^m*((-a)*e^3*g - c*d*e^2*g*x)^m*log(a*e + c*d*x))/((a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)^m*(c*d*e^2*g))), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p when c d^2-b d e+a e^2=0 and m+p-1=0
+
+
+# {(d + e*x)^(3/2)/Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2]*(f + g*x)^n, x, 4, (2*e*(f + g*x)^(1 + n)*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2])/(c*d*g*(3 + 2*n)*Sqrt[d + e*x]) + ((2*a*e^2*g*(1 + n) + c*d*(e*f - d*g*(3 + 2*n)))*(a*e + c*d*x)*Sqrt[d + e*x]*(f + g*x)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 3/2 + n, 2 + n, (c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g)])/(c*d*g*(c*d*f - a*e*g)*(1 + n)*(3 + 2*n)*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2]), (2*e*(f + g*x)^(1 + n)*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2])/(c*d*g*(3 + 2*n)*Sqrt[d + e*x]) - (2*(2*a*e^2*g*(1 + n) + c*d*(e*f - d*g*(3 + 2*n)))*(a*e + c*d*x)*Sqrt[d + e*x]*(f + g*x)^n*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, -((g*(a*e + c*d*x))/(c*d*f - a*e*g))])/(((c*d*(f + g*x))/(c*d*f - a*e*g))^n*(c^2*d^2*g*(3 + 2*n)*Sqrt[a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2]))}
+
+((d + e*x)^(3//2)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)*(f + g*x)^4, (128*(c*d*f - a*e*g)^3*(10*a*e^2*g + c*d*(e*f - 11*d*g))*(2*a*e^2*g - c*d*(3*e*f - d*g))*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3465*c^6*d^6*e*g*sqrt(d + e*x)) - (128*(c*d*f - a*e*g)^3*(10*a*e^2*g + c*d*(e*f - 11*d*g))*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3465*c^5*d^5*e) - (32*(c*d*f - a*e*g)^2*(10*a*e^2*g + c*d*(e*f - 11*d*g))*(f + g*x)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(1155*c^4*d^4*g*sqrt(d + e*x)) - (16*(c*d*f - a*e*g)*(10*a*e^2*g + c*d*(e*f - 11*d*g))*(f + g*x)^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(693*c^3*d^3*g*sqrt(d + e*x)) - (2*(10*a*e^2*g + c*d*(e*f - 11*d*g))*(f + g*x)^4*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(99*c^2*d^2*g*sqrt(d + e*x)) + (2*e*(f + g*x)^5*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(11*c*d*g*sqrt(d + e*x)), x, 6),
+((d + e*x)^(3//2)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)*(f + g*x)^3, (16*(c*d*f - a*e*g)^2*(8*a*e^2*g + c*d*(e*f - 9*d*g))*(2*a*e^2*g - c*d*(3*e*f - d*g))*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(315*c^5*d^5*e*g*sqrt(d + e*x)) - (16*(c*d*f - a*e*g)^2*(8*a*e^2*g + c*d*(e*f - 9*d*g))*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(315*c^4*d^4*e) - (4*(c*d*f - a*e*g)*(8*a*e^2*g + c*d*(e*f - 9*d*g))*(f + g*x)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(105*c^3*d^3*g*sqrt(d + e*x)) - (2*(8*a*e^2*g + c*d*(e*f - 9*d*g))*(f + g*x)^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(63*c^2*d^2*g*sqrt(d + e*x)) + (2*e*(f + g*x)^4*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(9*c*d*g*sqrt(d + e*x)), x, 5),
+((d + e*x)^(3//2)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)*(f + g*x)^2, (8*(c*d*f - a*e*g)*(6*a*e^2*g + c*d*(e*f - 7*d*g))*(2*a*e^2*g - c*d*(3*e*f - d*g))*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(105*c^4*d^4*e*g*sqrt(d + e*x)) - (8*(c*d*f - a*e*g)*(6*a*e^2*g + c*d*(e*f - 7*d*g))*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(105*c^3*d^3*e) - (2*(6*a*e^2*g + c*d*(e*f - 7*d*g))*(f + g*x)^2*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(35*c^2*d^2*g*sqrt(d + e*x)) + (2*e*(f + g*x)^3*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(7*c*d*g*sqrt(d + e*x)), x, 4),
+((d + e*x)^(3//2)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)*(f + g*x)^1, -((4*(c*d^2 - a*e^2)*(4*a*e^2*g - c*d*(5*e*f - d*g))*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(15*c^3*d^3*e*sqrt(d + e*x))) - (2*(4*a*e^2*g - c*d*(5*e*f - d*g))*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(15*c^2*d^2*e) + (2*g*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(5*c*d*e), x, 3),
+((d + e*x)^(3//2)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)*(f + g*x)^0, (4*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*c^2*d^2*sqrt(d + e*x)) + (2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*c*d), x, 2),
+((d + e*x)^(3//2)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(f + g*x)^1, (2*e*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(c*d*g*sqrt(d + e*x)) - (2*(e*f - d*g)*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(g^(3//2)*sqrt(c*d*f - a*e*g)), x, 3),
+((d + e*x)^(3//2)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(f + g*x)^2, -(((e*f - d*g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(g*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*(f + g*x))) - ((2*a*e^2*g - c*d*(e*f + d*g))*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(g^(3//2)*(c*d*f - a*e*g)^(3//2)), x, 3),
+((d + e*x)^(3//2)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(f + g*x)^3, -(((e*f - d*g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(2*g*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^2)) - ((4*a*e^2*g - c*d*(e*f + 3*d*g))*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(4*g*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)) - (c*d*(4*a*e^2*g - c*d*(e*f + 3*d*g))*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(4*g^(3//2)*(c*d*f - a*e*g)^(5//2)), x, 4),
+((d + e*x)^(3//2)/sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2)/(f + g*x)^4, -(((e*f - d*g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(3*g*(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^3)) - ((6*a*e^2*g - c*d*(e*f + 5*d*g))*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(12*g*(c*d*f - a*e*g)^2*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)^2) - (c*d*(6*a*e^2*g - c*d*(e*f + 5*d*g))*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(8*g*(c*d*f - a*e*g)^3*sqrt(d + e*x)*(f + g*x)) - (c^2*d^2*(6*a*e^2*g - c*d*(e*f + 5*d*g))*atan((sqrt(g)*sqrt(a*d*e + (c*d^2 + a*e^2)*x + c*d*e*x^2))/(sqrt(c*d*f - a*e*g)*sqrt(d + e*x))))/(8*g^(3//2)*(c*d*f - a*e*g)^(7//2)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^m (a+b x+c x^2)^p when e f+d g=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (1+d x)^(m/2) (1-d x)^(m/2) (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# m>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# m<0
+
+
+((a + b*x + c*x^2)^3/(sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), -((b*(24*c^2 + 10*b^2*d^2 + 60*a*c*d^2 + 45*a^2*d^4)*sqrt(1 - d^2*x^2))/(15*d^6)) - ((5*c^3 + 18*b^2*c*d^2 + 18*a*c^2*d^2 + 24*a*b^2*d^4 + 24*a^2*c*d^4)*x*sqrt(1 - d^2*x^2))/(16*d^6) - (b*(12*c^2 + 5*b^2*d^2 + 30*a*c*d^2)*x^2*sqrt(1 - d^2*x^2))/(15*d^4) - (c*(5*c^2 + 18*b^2*d^2 + 18*a*c*d^2)*x^3*sqrt(1 - d^2*x^2))/(24*d^4) - (3*b*c^2*x^4*sqrt(1 - d^2*x^2))/(5*d^2) - (c^3*x^5*sqrt(1 - d^2*x^2))/(6*d^2) + ((5*c^3 + 18*b^2*c*d^2 + 18*a*c^2*d^2 + 24*a*b^2*d^4 + 24*a^2*c*d^4 + 16*a^3*d^6)*asin(d*x))/(16*d^7), x, 8),
+((a + b*x + c*x^2)^2/(sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), -((2*b*(2*c + 3*a*d^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))/(3*d^4)) - ((4*b^2 + c*(8*a + (3*c)/d^2))*x*sqrt(1 - d^2*x^2))/(8*d^2) - (2*b*c*x^2*sqrt(1 - d^2*x^2))/(3*d^2) - (c^2*x^3*sqrt(1 - d^2*x^2))/(4*d^2) + ((3*c^2 + 4*b^2*d^2 + 8*a*c*d^2 + 8*a^2*d^4)*asin(d*x))/(8*d^5), x, 6),
+((a + b*x + c*x^2)^1/(sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), -((b*sqrt(1 - d^2*x^2))/d^2) - (c*x*sqrt(1 - d^2*x^2))/(2*d^2) + ((c + 2*a*d^2)*asin(d*x))/(2*d^3), x, 4),
+(1/((a + b*x + c*x^2)^1*sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), -((sqrt(2)*c*atanh((2*c + (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*c^2 + 2*a*c*d^2 - b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c^2 + 2*a*c*d^2 - b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2))) + (sqrt(2)*c*atanh((2*c + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*c^2 + 2*a*c*d^2 - b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c^2 + 2*a*c*d^2 - b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2)), x, 6),
+(1/((a + b*x + c*x^2)^2*sqrt(1 + d*x)*sqrt(1 - d*x)), -(((b*(b^2*d^2 - c*(c + 3*a*d^2)) - c*(2*c^2 - b^2*d^2 + 2*a*c*d^2)*x)*sqrt(1 - d^2*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*(b^2*d^2 - (c + a*d^2)^2)*(a + b*x + c*x^2))) - (c*(4*c^3 + 12*a*c^2*d^2 - a*b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^4 - c*d^2*(5*b^2 - b*sqrt(b^2 - 4*a*c) - 8*a^2*d^2))*atanh((2*c + (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*c^2 + 2*a*c*d^2 - b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c^2 + 2*a*c*d^2 - b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2)*(b^2*d^2 - (c + a*d^2)^2)) + (c*(4*c^3 + 12*a*c^2*d^2 - 2*a*b^2*d^4 - b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2*(c - a*d^2) - 4*c*d^2*(b^2 - 2*a^2*d^2))*atanh((2*c + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*c^2 + 2*a*c*d^2 - b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c^2 + 2*a*c*d^2 - b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2)*(b^2*d^2 - (c + a*d^2)^2)), x, 7),
+
+
+((a + b*x + c*x^2)^3/((1 + d*x)^(3//2)*(1 - d*x)^(3//2)), (b*(3*a^2 + (3*c^2)/d^4 + b^2/d^2 + (6*a*c)/d^2)*d^4 + (c + a*d^2)*(c^2 + 3*b^2*d^2 + 2*a*c*d^2 + a^2*d^4)*x)/(d^6*sqrt(1 - d^2*x^2)) + (b*(5*c^2 + b^2*d^2 + 6*a*c*d^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))/d^6 + (c*(7*c^2 + 12*b^2*d^2 + 12*a*c*d^2)*x*sqrt(1 - d^2*x^2))/(8*d^6) + (b*c^2*x^2*sqrt(1 - d^2*x^2))/d^4 + (c^3*x^3*sqrt(1 - d^2*x^2))/(4*d^4) - (3*(5*c^3 + 12*b^2*c*d^2 + 12*a*c^2*d^2 + 8*a*b^2*d^4 + 8*a^2*c*d^4)*asin(d*x))/(8*d^7), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)^2/((1 + d*x)^(3//2)*(1 - d*x)^(3//2)), (2*b*(a + c/d^2)*d^2 + (c^2 + b^2*d^2 + 2*a*c*d^2 + a^2*d^4)*x)/(d^4*sqrt(1 - d^2*x^2)) + (2*b*c*sqrt(1 - d^2*x^2))/d^4 + (c^2*x*sqrt(1 - d^2*x^2))/(2*d^4) - ((2*b^2 + c*(4*a + (3*c)/d^2))*asin(d*x))/(2*d^3), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^1/((1 + d*x)^(3//2)*(1 - d*x)^(3//2)), (b + (c + a*d^2)*x)/(d^2*sqrt(1 - d^2*x^2)) - (c*asin(d*x))/d^3, x, 4),
+(1/((a + b*x + c*x^2)^1*(1 + d*x)^(3//2)*(1 - d*x)^(3//2)), (d^2*(b - (c + a*d^2)*x))/((b^2*d^2 - (c + a*d^2)^2)*sqrt(1 - d^2*x^2)) + (c*(2*c^2 + 2*a*c*d^2 - b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2)*atanh((2*c + (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*c^2 + 2*a*c*d^2 - b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c^2 + 2*a*c*d^2 - b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2)*(b^2*d^2 - (c + a*d^2)^2)) - (c*(2*c^2 + 2*a*c*d^2 - b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2)*atanh((2*c + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*c^2 + 2*a*c*d^2 - b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c^2 + 2*a*c*d^2 - b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2)*(b^2*d^2 - (c + a*d^2)^2)), x, 7),
+(1/((a + b*x + c*x^2)^2*(1 + d*x)^(3//2)*(1 - d*x)^(3//2)), -((d^2*(b*(c^3 + 2*b^2*c*d^2 - 10*a*c^2*d^2 + 3*a*b^2*d^4 - 11*a^2*c*d^4) - (2*c^4 + b^2*d^4*(2*b^2 + a^2*d^2) - c^2*d^2*(b^2 + 6*a^2*d^2) - c*(6*a*b^2*d^4 + 4*a^3*d^6))*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c - b*d + a*d^2)^2*(c + b*d + a*d^2)^2*sqrt(1 - d^2*x^2))) - (b*(b^2*d^2 - c*(c + 3*a*d^2)) - c*(2*c^2 - b^2*d^2 + 2*a*c*d^2)*x)/((b^2 - 4*a*c)*(b^2*d^2 - (c + a*d^2)^2)*(a + b*x + c*x^2)*sqrt(1 - d^2*x^2)) + (c*(4*c^5 + 24*a*c^4*d^2 + 3*a*b^3*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^6 - c^3*d^2*(9*b^2 - b*sqrt(b^2 - 4*a*c) - 36*a^2*d^2) - 2*a*c^2*d^4*(7*b^2 + 5*b*sqrt(b^2 - 4*a*c) - 8*a^2*d^2) + b*c*d^4*(2*b^3 + 2*b^2*sqrt(b^2 - 4*a*c) - 17*a^2*b*d^2 - 11*a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d^2))*atanh((2*c + (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*c^2 + 2*a*c*d^2 - b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(2*c^2 + 2*a*c*d^2 - b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2)*(c^2 - b^2*d^2 + 2*a*c*d^2 + a^2*d^4)^2) + (c*(b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^4*(c^3 + 2*b^2*c*d^2 - 10*a*c^2*d^2 + 3*a*b^2*d^4 - 11*a^2*c*d^4) - 2*(2*c^5*d^2 + 12*a*c^4*d^4 + 3*a*b^4*d^8 + 2*b^2*c*d^6*(b^2 - 7*a^2*d^2) - c^3*(4*b^2*d^4 - 18*a^2*d^6) - 4*c^2*(3*a*b^2*d^6 - 2*a^3*d^8)))*atanh((2*c + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*c^2 + 2*a*c*d^2 - b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2)*sqrt(1 - d^2*x^2))))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*d^2*sqrt(2*c^2 + 2*a*c*d^2 - b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2)*(c^2 - b^2*d^2 + 2*a*c*d^2 + a^2*d^4)^2), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (1+d x)^m (1-d x)^m (a+b x+c x^2)^p when m symbolic
+
+
+((1 + e*x)^m*(1 - e*x)^m*(a + c*x^2)^p, (x*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, -m, 3//2, -((c*x^2)/a), e^2*x^2))/(1 + (c*x^2)/a)^p, x, 3),
+((d + e*x)^m*(d - e*x)^m*(a + c*x^2)^p, (x*(d - e*x)^m*(d + e*x)^m*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, -m, 3//2, -((c*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(1 - (e^2*x^2)/d^2)^m), x, 4),
+((d + e*x)^m*(d*f - e*f*x)^m*(a + c*x^2)^p, (x*(d + e*x)^m*(d*f - e*f*x)^m*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, -m, 3//2, -((c*x^2)/a), (e^2*x^2)/d^2))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(1 - (e^2*x^2)/d^2)^m), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p when 2 c d-b e=0
+
+
+((d + e*x)^3*(f + g*x)^n*(a + 2*c*d*x + c*e*x^2), -(((e*f - d*g)^3*(a*g^2 + c*f*(e*f - 2*d*g))*(f + g*x)^(1 + n))/(g^6*(1 + n))) + ((e*f - d*g)^2*(3*a*e*g^2 + c*(5*e^2*f^2 - 10*d*e*f*g + 2*d^2*g^2))*(f + g*x)^(2 + n))/(g^6*(2 + n)) - (e*(e*f - d*g)*(3*a*e*g^2 + c*(10*e^2*f^2 - 20*d*e*f*g + 7*d^2*g^2))*(f + g*x)^(3 + n))/(g^6*(3 + n)) + (e^2*(a*e*g^2 + c*(10*e^2*f^2 - 20*d*e*f*g + 9*d^2*g^2))*(f + g*x)^(4 + n))/(g^6*(4 + n)) - (5*c*e^3*(e*f - d*g)*(f + g*x)^(5 + n))/(g^6*(5 + n)) + (c*e^4*(f + g*x)^(6 + n))/(g^6*(6 + n)), x, 2),
+((d + e*x)^2*(f + g*x)^n*(a + 2*c*d*x + c*e*x^2), ((e*f - d*g)^2*(a*g^2 + c*f*(e*f - 2*d*g))*(f + g*x)^(1 + n))/(g^5*(1 + n)) - (2*(e*f - d*g)*(a*e*g^2 + c*(2*e^2*f^2 - 4*d*e*f*g + d^2*g^2))*(f + g*x)^(2 + n))/(g^5*(2 + n)) + (e*(a*e*g^2 + c*(6*e^2*f^2 - 12*d*e*f*g + 5*d^2*g^2))*(f + g*x)^(3 + n))/(g^5*(3 + n)) - (4*c*e^2*(e*f - d*g)*(f + g*x)^(4 + n))/(g^5*(4 + n)) + (c*e^3*(f + g*x)^(5 + n))/(g^5*(5 + n)), x, 2),
+((d + e*x)^1*(f + g*x)^n*(a + 2*c*d*x + c*e*x^2), -(((e*f - d*g)*(a*g^2 + c*f*(e*f - 2*d*g))*(f + g*x)^(1 + n))/(g^4*(1 + n))) + ((a*e*g^2 + c*(3*e^2*f^2 - 6*d*e*f*g + 2*d^2*g^2))*(f + g*x)^(2 + n))/(g^4*(2 + n)) - (3*c*e*(e*f - d*g)*(f + g*x)^(3 + n))/(g^4*(3 + n)) + (c*e^2*(f + g*x)^(4 + n))/(g^4*(4 + n)), x, 2),
+((d + e*x)^0*(f + g*x)^n*(a + 2*c*d*x + c*e*x^2), ((a*g^2 + c*f*(e*f - 2*d*g))*(f + g*x)^(1 + n))/(g^3*(1 + n)) - (2*c*(e*f - d*g)*(f + g*x)^(2 + n))/(g^3*(2 + n)) + (c*e*(f + g*x)^(3 + n))/(g^3*(3 + n)), x, 2),
+((f + g*x)^n*(a + 2*c*d*x + c*e*x^2)/(d + e*x)^1, -((c*(e*f - d*g)*(f + g*x)^(1 + n))/(e*g^2*(1 + n))) + (c*(f + g*x)^(2 + n))/(g^2*(2 + n)) + ((c*d^2 - a*e)*(f + g*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (e*(f + g*x))/(e*f - d*g)))/(e*(e*f - d*g)*(1 + n)), x, 3),
+((f + g*x)^n*(a + 2*c*d*x + c*e*x^2)/(d + e*x)^2, (c*(f + g*x)^(1 + n))/(e*g*(1 + n)) - ((c*d^2 - a*e)*g*(f + g*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, (e*(f + g*x))/(e*f - d*g)))/(e*(e*f - d*g)^2*(1 + n)), x, 3),
+((f + g*x)^n*(a + 2*c*d*x + c*e*x^2)/(d + e*x)^3, -(((a - (c*d^2)/e)*(f + g*x)^(1 + n))/(2*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2)) - ((c*d^2 - a*e)*g*(1 - n)*(f + g*x)^(1 + n))/(2*e*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)) + ((a*e*g^2*(1 - n)*n - c*(2*e^2*f^2 - 4*d*e*f*g + d^2*g^2*(2 + n - n^2)))*(f + g*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (e*(f + g*x))/(e*f - d*g)))/(2*e*(e*f - d*g)^3*(1 + n)), x, 3),
+((f + g*x)^n*(a + 2*c*d*x + c*e*x^2)/(d + e*x)^4, -(((a - (c*d^2)/e)*(f + g*x)^(1 + n))/(3*(e*f - d*g)*(d + e*x)^3)) - ((c*d^2 - a*e)*g*(2 - n)*(f + g*x)^(1 + n))/(6*e*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)^2) + (g*(a*e*g^2*(2 - 3*n + n^2) + c*(6*e^2*f^2 - 12*d*e*f*g + d^2*g^2*(4 + 3*n - n^2)))*(f + g*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, (e*(f + g*x))/(e*f - d*g)))/(6*e*(e*f - d*g)^4*(1 + n)), x, 3),
+
+
+((d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + 2*c*d*x + c*e*x^2), -((c*(e*f - d*g)*(2 + m)*(d + e*x)^(1 + m)*(f + g*x)^(1 + n))/(e*g^2*(2 + m + n)*(3 + m + n))) + (c*(d + e*x)^(2 + m)*(f + g*x)^(1 + n))/(e*g*(3 + m + n)) + (1/(e^2*g^2*(1 + m)*(2 + m + n)*(3 + m + n)))*(((c*(e*f - d*g)*(2 + m)*(e*f*(1 + m) + d*g*(1 + n)) + g*(2 + m + n)*(a*e*g*(3 + m + n) - c*d*(e*f*(2 + m) + d*g*(1 + n))))*(d + e*x)^(1 + m)*(f + g*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))))/((e*(f + g*x))/(e*f - d*g))^n), x, 4),
+
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((a + b*x + c*x^2)/((d + e*x)*(f + g*x)), (c*x)/(e*g) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*log(d + e*x))/(e^2*(e*f - d*g)) - ((c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*log(f + g*x))/(g^2*(e*f - d*g)), x, 2),
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+
+((a + b*x + c*x^2)^2/((d + e*x)*(f + g*x)), ((b^2*e^2*g^2 - 2*c*e*g*(b*e*f + b*d*g - a*e*g) + c^2*(e^2*f^2 + d*e*f*g + d^2*g^2))*x)/(e^3*g^3) - (c*(c*e*f + c*d*g - 2*b*e*g)*x^2)/(2*e^2*g^2) + (c^2*x^3)/(3*e*g) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*log(d + e*x))/(e^4*(e*f - d*g)) - ((c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^2*log(f + g*x))/(g^4*(e*f - d*g)), x, 2),
+
+
+((a + b*x + c*x^2)^3/((d + e*x)*(f + g*x)), -((1/(e^5*g^5))*((b^2*e^3*g^3*(b*e*f + b*d*g - 3*a*e*g) - c^3*(e^4*f^4 + d*e^3*f^3*g + d^2*e^2*f^2*g^2 + d^3*e*f*g^3 + d^4*g^4) - 3*c*e^2*g^2*(a^2*e^2*g^2 - 2*a*b*e*g*(e*f + d*g) + b^2*(e^2*f^2 + d*e*f*g + d^2*g^2)) - 3*c^2*e*g*(a*e*g*(e^2*f^2 + d*e*f*g + d^2*g^2) - b*(e^3*f^3 + d*e^2*f^2*g + d^2*e*f*g^2 + d^3*g^3)))*x)) + ((b^3*e^3*g^3 - 3*b*c*e^2*g^2*(b*e*f + b*d*g - 2*a*e*g) - c^3*(e^3*f^3 + d*e^2*f^2*g + d^2*e*f*g^2 + d^3*g^3) - 3*c^2*e*g*(a*e*g*(e*f + d*g) - b*(e^2*f^2 + d*e*f*g + d^2*g^2)))*x^2)/(2*e^4*g^4) + (c*(3*b^2*e^2*g^2 - 3*c*e*g*(b*e*f + b*d*g - a*e*g) + c^2*(e^2*f^2 + d*e*f*g + d^2*g^2))*x^3)/(3*e^3*g^3) - (c^2*(c*e*f + c*d*g - 3*b*e*g)*x^4)/(4*e^2*g^2) + (c^3*x^5)/(5*e*g) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*log(d + e*x))/(e^6*(e*f - d*g)) - ((c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^3*log(f + g*x))/(g^6*(e*f - d*g)), x, 2),
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(1/((a + b*x + c*x^2)*(d + e*x)*(f + g*x)), -(((2*c^2*d*f + b^2*e*g - c*(b*e*f + b*d*g + 2*a*e*g))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(c*f^2 - g*(b*f - a*g)))) + (e^2*log(d + e*x))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)) - (g^2*log(f + g*x))/((e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)) - ((c*e*f + c*d*g - b*e*g)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(c*f^2 - g*(b*f - a*g))), x, 6),
+
+
+(1/((a + b*x + c*x^2)^2*(d + e*x)*(f + g*x)), -((b^3*e*g - b^2*c*(e*f + d*g) + 2*a*c^2*(e*f + d*g) + b*c*(c*d*f - 3*a*e*g) + c*(2*c^2*d*f + b^2*e*g - c*(b*e*f + b*d*g + 2*a*e*g))*x)/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(c*f^2 - g*(b*f - a*g))*(a + b*x + c*x^2))) + (2*c*(2*c^2*d*f + b^2*e*g - c*(b*e*f + b*d*g + 2*a*e*g))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(c*f^2 - g*(b*f - a*g))) + ((b^2*e^2*g^2*(b*e*f + b*d*g - 2*a*e*g) - 2*c^3*d*f*(e^2*f^2 + d*e*f*g + d^2*g^2) + 2*c*e*g*(a^2*e^2*g^2 + a*b*e*g*(e*f + d*g) - b^2*(e*f + d*g)^2) - c^2*(4*a*d*e^2*f*g^2 - b*(e^3*f^3 + 5*d*e^2*f^2*g + 5*d^2*e*f*g^2 + d^3*g^3)))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(c*f^2 - g*(b*f - a*g))^2) + (e^4*log(d + e*x))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(e*f - d*g)) - (g^4*log(f + g*x))/((e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^2) - ((c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(c*(e^2*f^2 + d^2*g^2) + e*g*(2*a*e*g - b*(e*f + d*g)))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(c*f^2 - g*(b*f - a*g))^2), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^(n/2) (a+b x+c x^2)^p
+
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+# ::Subsubsection::
+# p>0 & n>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0 & n<0
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+((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)/sqrt(f + g*x), -((2*(e*f - d*g)^3*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(f + g*x))/g^6) + (2*(e*f - d*g)^2*(c*f*(5*e*f - 2*d*g) - g*(4*b*e*f - b*d*g - 3*a*e*g))*(f + g*x)^(3//2))/(3*g^6) + (2*(e*f - d*g)*(3*e*g*(2*b*e*f - b*d*g - a*e*g) - c*(10*e^2*f^2 - 8*d*e*f*g + d^2*g^2))*(f + g*x)^(5//2))/(5*g^6) - (2*e*(e*g*(4*b*e*f - 3*b*d*g - a*e*g) - c*(10*e^2*f^2 - 12*d*e*f*g + 3*d^2*g^2))*(f + g*x)^(7//2))/(7*g^6) - (2*e^2*(5*c*e*f - 3*c*d*g - b*e*g)*(f + g*x)^(9//2))/(9*g^6) + (2*c*e^3*(f + g*x)^(11//2))/(11*g^6), x, 3),
+((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)/sqrt(f + g*x), (2*(e*f - d*g)^2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(f + g*x))/g^5 - (2*(e*f - d*g)*(2*c*f*(2*e*f - d*g) - g*(3*b*e*f - b*d*g - 2*a*e*g))*(f + g*x)^(3//2))/(3*g^5) - (2*(e*g*(3*b*e*f - 2*b*d*g - a*e*g) - c*(6*e^2*f^2 - 6*d*e*f*g + d^2*g^2))*(f + g*x)^(5//2))/(5*g^5) - (2*e*(4*c*e*f - 2*c*d*g - b*e*g)*(f + g*x)^(7//2))/(7*g^5) + (2*c*e^2*(f + g*x)^(9//2))/(9*g^5), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)/sqrt(f + g*x), -((2*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(f + g*x))/g^4) + (2*(c*f*(3*e*f - 2*d*g) - g*(2*b*e*f - b*d*g - a*e*g))*(f + g*x)^(3//2))/(3*g^4) - (2*(3*c*e*f - c*d*g - b*e*g)*(f + g*x)^(5//2))/(5*g^4) + (2*c*e*(f + g*x)^(7//2))/(7*g^4), x, 2),
+((d + e*x)^0*(a + b*x + c*x^2)/sqrt(f + g*x), (2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(f + g*x))/g^3 - (2*(2*c*f - b*g)*(f + g*x)^(3//2))/(3*g^3) + (2*c*(f + g*x)^(5//2))/(5*g^3), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/((d + e*x)^1*sqrt(f + g*x)), (2*(b*e*g - c*(e*f + d*g))*sqrt(f + g*x))/(e^2*g^2) + (2*c*(f + g*x)^(3//2))/(3*e*g^2) - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((sqrt(e)*sqrt(f + g*x))/sqrt(e*f - d*g)))/(e^(5//2)*sqrt(e*f - d*g)), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)/((d + e*x)^2*sqrt(f + g*x)), (2*c*sqrt(f + g*x))/(e^2*g) - ((a + (d*(c*d - b*e))/e^2)*sqrt(f + g*x))/((e*f - d*g)*(d + e*x)) + ((c*d*(4*e*f - 3*d*g) - e*(2*b*e*f - b*d*g - a*e*g))*atanh((sqrt(e)*sqrt(f + g*x))/sqrt(e*f - d*g)))/(e^(5//2)*(e*f - d*g)^(3//2)), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)/((d + e*x)^3*sqrt(f + g*x)), -(((a + (d*(c*d - b*e))/e^2)*sqrt(f + g*x))/(2*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2)) + ((c*d*(8*e*f - 5*d*g) - e*(4*b*e*f - b*d*g - 3*a*e*g))*sqrt(f + g*x))/(4*e^2*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)) + ((e*g*(4*b*e*f - b*d*g - 3*a*e*g) - c*(8*e^2*f^2 - 8*d*e*f*g + 3*d^2*g^2))*atanh((sqrt(e)*sqrt(f + g*x))/sqrt(e*f - d*g)))/(4*e^(5//2)*(e*f - d*g)^(5//2)), x, 4),
+
+
+((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)/(f + g*x)^(3//2), (2*(e*f - d*g)^3*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2))/(g^6*sqrt(f + g*x)) + (2*(e*f - d*g)^2*(c*f*(5*e*f - 2*d*g) - g*(4*b*e*f - b*d*g - 3*a*e*g))*sqrt(f + g*x))/g^6 + (2*(e*f - d*g)*(3*e*g*(2*b*e*f - b*d*g - a*e*g) - c*(10*e^2*f^2 - 8*d*e*f*g + d^2*g^2))*(f + g*x)^(3//2))/(3*g^6) - (2*e*(e*g*(4*b*e*f - 3*b*d*g - a*e*g) - c*(10*e^2*f^2 - 12*d*e*f*g + 3*d^2*g^2))*(f + g*x)^(5//2))/(5*g^6) - (2*e^2*(5*c*e*f - 3*c*d*g - b*e*g)*(f + g*x)^(7//2))/(7*g^6) + (2*c*e^3*(f + g*x)^(9//2))/(9*g^6), x, 3),
+((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)/(f + g*x)^(3//2), -((2*(e*f - d*g)^2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2))/(g^5*sqrt(f + g*x))) - (2*(e*f - d*g)*(2*c*f*(2*e*f - d*g) - g*(3*b*e*f - b*d*g - 2*a*e*g))*sqrt(f + g*x))/g^5 - (2*(e*g*(3*b*e*f - 2*b*d*g - a*e*g) - c*(6*e^2*f^2 - 6*d*e*f*g + d^2*g^2))*(f + g*x)^(3//2))/(3*g^5) - (2*e*(4*c*e*f - 2*c*d*g - b*e*g)*(f + g*x)^(5//2))/(5*g^5) + (2*c*e^2*(f + g*x)^(7//2))/(7*g^5), x, 3),
+((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)/(f + g*x)^(3//2), (2*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2))/(g^4*sqrt(f + g*x)) + (2*(c*f*(3*e*f - 2*d*g) - g*(2*b*e*f - b*d*g - a*e*g))*sqrt(f + g*x))/g^4 - (2*(3*c*e*f - c*d*g - b*e*g)*(f + g*x)^(3//2))/(3*g^4) + (2*c*e*(f + g*x)^(5//2))/(5*g^4), x, 2),
+((d + e*x)^0*(a + b*x + c*x^2)/(f + g*x)^(3//2), -((2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2))/(g^3*sqrt(f + g*x))) - (2*(2*c*f - b*g)*sqrt(f + g*x))/g^3 + (2*c*(f + g*x)^(3//2))/(3*g^3), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)/((d + e*x)^1*(f + g*x)^(3//2)), (2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2))/(g^2*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)) + (2*c*sqrt(f + g*x))/(e*g^2) - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((sqrt(e)*sqrt(f + g*x))/sqrt(e*f - d*g)))/(e^(3//2)*(e*f - d*g)^(3//2)), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)/((d + e*x)^2*(f + g*x)^(3//2)), -((2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2))/(g*(e*f - d*g)^2*sqrt(f + g*x))) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(f + g*x))/(e*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)) + ((c*d*(4*e*f - d*g) - e*(2*b*e*f + b*d*g - 3*a*e*g))*atanh((sqrt(e)*sqrt(f + g*x))/sqrt(e*f - d*g)))/(e^(3//2)*(e*f - d*g)^(5//2)), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)/((d + e*x)^3*(f + g*x)^(3//2)), (2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2))/((e*f - d*g)^3*sqrt(f + g*x)) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(f + g*x))/(2*e*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)^2) + ((c*d*(8*e*f - d*g) - e*(4*b*e*f + 3*b*d*g - 7*a*e*g))*sqrt(f + g*x))/(4*e*(e*f - d*g)^3*(d + e*x)) - ((c*(8*e^2*f^2 + 8*d*e*f*g - d^2*g^2) + 3*e*g*(5*a*e*g - b*(4*e*f + d*g)))*atanh((sqrt(e)*sqrt(f + g*x))/sqrt(e*f - d*g)))/(4*e^(3//2)*(e*f - d*g)^(7//2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (f+g x)^(n/2) (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)/(1 + x - x^2), -acosh(x) + sqrt((2//5)*(-1 + sqrt(5)))*atan(sqrt(1 + x)/(sqrt(-2 + sqrt(5))*sqrt(-1 + x))) + sqrt((2//5)*(1 + sqrt(5)))*atanh(sqrt(1 + x)/(sqrt(2 + sqrt(5))*sqrt(-1 + x))), x, -9),
+
+
+((a + b*x + c*x^2)/(sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x)), -(((3*c*e*f + 5*c*d*g - 4*b*e*g)*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x))/(4*e^2*g^2)) + (c*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(f + g*x))/(2*e^2*g) + ((c*(3*e^2*f^2 + 2*d*e*f*g + 3*d^2*g^2) + 4*e*g*(2*a*e*g - b*(e*f + d*g)))*atanh((sqrt(g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(e)*sqrt(f + g*x))))/(4*e^(5//2)*g^(5//2)), x, 5),
+
+
+((a + b*x + c*x^2)*(d + e*x)^(3//2)/sqrt(f + g*x), -(((e*f - d*g)*(c*(35*e^2*f^2 + 10*d*e*f*g + 3*d^2*g^2) + 8*e*g*(6*a*e*g - b*(5*e*f + d*g)))*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x))/(64*e^2*g^4)) + ((c*(35*e^2*f^2 + 10*d*e*f*g + 3*d^2*g^2) + 8*e*g*(6*a*e*g - b*(5*e*f + d*g)))*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(f + g*x))/(96*e^2*g^3) - ((7*c*e*f + 9*c*d*g - 8*b*e*g)*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(f + g*x))/(24*e^2*g^2) + (c*(d + e*x)^(7//2)*sqrt(f + g*x))/(4*e^2*g) + ((e*f - d*g)^2*(c*(35*e^2*f^2 + 10*d*e*f*g + 3*d^2*g^2) + 8*e*g*(6*a*e*g - b*(5*e*f + d*g)))*atanh((sqrt(g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(e)*sqrt(f + g*x))))/(64*e^(5//2)*g^(9//2)), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)*(d + e*x)^(1//2)/sqrt(f + g*x), ((c*(5*e^2*f^2 + 2*d*e*f*g + d^2*g^2) + 2*e*g*(4*a*e*g - b*(3*e*f + d*g)))*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x))/(8*e^2*g^3) - ((5*c*e*f + 7*c*d*g - 6*b*e*g)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(f + g*x))/(12*e^2*g^2) + (c*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(f + g*x))/(3*e^2*g) - ((e*f - d*g)*(c*(5*e^2*f^2 + 2*d*e*f*g + d^2*g^2) + 2*e*g*(4*a*e*g - b*(3*e*f + d*g)))*atanh((sqrt(g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(e)*sqrt(f + g*x))))/(8*e^(5//2)*g^(7//2)), x, 6),
+((a + b*x + c*x^2)/((d + e*x)^(1//2)*sqrt(f + g*x)), -(((3*c*e*f + 5*c*d*g - 4*b*e*g)*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x))/(4*e^2*g^2)) + (c*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(f + g*x))/(2*e^2*g) + ((c*(3*e^2*f^2 + 2*d*e*f*g + 3*d^2*g^2) + 4*e*g*(2*a*e*g - b*(e*f + d*g)))*atanh((sqrt(g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(e)*sqrt(f + g*x))))/(4*e^(5//2)*g^(5//2)), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)/((d + e*x)^(3//2)*sqrt(f + g*x)), -((2*(a + (d*(c*d - b*e))/e^2)*sqrt(f + g*x))/((e*f - d*g)*sqrt(d + e*x))) + (c*sqrt(d + e*x)*sqrt(f + g*x))/(e^2*g) - ((c*e*f + 3*c*d*g - 2*b*e*g)*atanh((sqrt(g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(e)*sqrt(f + g*x))))/(e^(5//2)*g^(3//2)), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)/((d + e*x)^(5//2)*sqrt(f + g*x)), -((2*(a + (d*(c*d - b*e))/e^2)*sqrt(f + g*x))/(3*(e*f - d*g)*(d + e*x)^(3//2))) + (2*(c*(6*d*e*f - 4*d^2*g) - e*(3*b*e*f - b*d*g - 2*a*e*g))*sqrt(f + g*x))/(3*e^2*(e*f - d*g)^2*sqrt(d + e*x)) + (2*c*atanh((sqrt(g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(e)*sqrt(f + g*x))))/(e^(5//2)*sqrt(g)), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)/((d + e*x)^(7//2)*sqrt(f + g*x)), -((2*(a + (d*(c*d - b*e))/e^2)*sqrt(f + g*x))/(5*(e*f - d*g)*(d + e*x)^(5//2))) + (2*(2*c*d*(5*e*f - 3*d*g) - e*(5*b*e*f - b*d*g - 4*a*e*g))*sqrt(f + g*x))/(15*e^2*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(2*e*g*(5*b*e*f - b*d*g - 4*a*e*g) - c*(15*e^2*f^2 - 10*d*e*f*g + 3*d^2*g^2))*sqrt(f + g*x))/(15*e^2*(e*f - d*g)^3*sqrt(d + e*x)), x, 3),
+((a + b*x + c*x^2)/((d + e*x)^(9//2)*sqrt(f + g*x)), -((2*(a + (d*(c*d - b*e))/e^2)*sqrt(f + g*x))/(7*(e*f - d*g)*(d + e*x)^(7//2))) + (2*(2*c*d*(7*e*f - 4*d*g) - e*(7*b*e*f - b*d*g - 6*a*e*g))*sqrt(f + g*x))/(35*e^2*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)^(5//2)) + (2*(4*e*g*(7*b*e*f - b*d*g - 6*a*e*g) - c*(35*e^2*f^2 - 14*d*e*f*g + 3*d^2*g^2))*sqrt(f + g*x))/(105*e^2*(e*f - d*g)^3*(d + e*x)^(3//2)) - (4*g*(4*e*g*(7*b*e*f - b*d*g - 6*a*e*g) - c*(35*e^2*f^2 - 14*d*e*f*g + 3*d^2*g^2))*sqrt(f + g*x))/(105*e^2*(e*f - d*g)^4*sqrt(d + e*x)), x, 4),
+
+
+((d + e*x)^(1//2)*(a + b*x + c*x^2)/(e + f*x)^(3//2), (2*(a + (e*(c*e - b*f))/f^2)*(d + e*x)^(3//2))/((e^2 - d*f)*sqrt(e + f*x)) + ((4*e*f*(3*b*e^2 - b*d*f - 2*a*e*f) - c*(15*e^4 - 6*d*e^2*f - d^2*f^2))*sqrt(d + e*x)*sqrt(e + f*x))/(4*e*f^3*(e^2 - d*f)) + (c*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(e + f*x))/(2*e*f^2) - ((4*e*f*(3*b*e^2 - b*d*f - 2*a*e*f) - c*(15*e^4 - 6*d*e^2*f - d^2*f^2))*atanh((sqrt(f)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(e)*sqrt(e + f*x))))/(4*e^(3//2)*f^(7//2)), x, 6),
+
+
+((15*d^2 + 20*d*e*x + 8*e^2*x^2)*(d + e*x)^(3//2)/sqrt(a + b*x), ((b*d - a*e)*(73*b^2*d^2 - 90*a*b*d*e + 35*a^2*e^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/(8*b^4) + ((73*b^2*d^2 - 90*a*b*d*e + 35*a^2*e^2)*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/(12*b^3) + ((17*b*d - 13*a*e)*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(5//2))/(3*b^2) + (2*e*(a + b*x)^(3//2)*(d + e*x)^(5//2))/b^2 + ((b*d - a*e)^2*(73*b^2*d^2 - 90*a*b*d*e + 35*a^2*e^2)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(8*b^(9//2)*sqrt(e)), x, 7),
+((15*d^2 + 20*d*e*x + 8*e^2*x^2)*(d + e*x)^(1//2)/sqrt(a + b*x), ((11*b^2*d^2 - 13*a*b*d*e + 5*a^2*e^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/b^3 + (2*(4*b*d - 3*a*e)*sqrt(a + b*x)*(d + e*x)^(3//2))/b^2 + (8*e*(a + b*x)^(3//2)*(d + e*x)^(3//2))/(3*b^2) + ((b*d - a*e)*(11*b^2*d^2 - 13*a*b*d*e + 5*a^2*e^2)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(b^(7//2)*sqrt(e)), x, 6),
+((15*d^2 + 20*d*e*x + 8*e^2*x^2)/((d + e*x)^(1//2)*sqrt(a + b*x)), (2*(7*b*d - 5*a*e)*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/b^2 + (4*e*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(d + e*x))/b^2 + (2*(8*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + 3*a^2*e^2)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(b^(5//2)*sqrt(e)), x, 5),
+((15*d^2 + 20*d*e*x + 8*e^2*x^2)/((d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x)), (6*d^2*sqrt(a + b*x))/((b*d - a*e)*sqrt(d + e*x)) + (8*sqrt(a + b*x)*sqrt(d + e*x))/b + (8*(2*b*d - a*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(b^(3//2)*sqrt(e)), x, 5),
+((15*d^2 + 20*d*e*x + 8*e^2*x^2)/((d + e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x)), (2*d^2*sqrt(a + b*x))/((b*d - a*e)*(d + e*x)^(3//2)) + (4*d*(3*b*d - 2*a*e)*sqrt(a + b*x))/((b*d - a*e)^2*sqrt(d + e*x)) + (16*atanh((sqrt(e)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(d + e*x))))/(sqrt(b)*sqrt(e)), x, 5),
+((15*d^2 + 20*d*e*x + 8*e^2*x^2)/((d + e*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x)), (6*d^2*sqrt(a + b*x))/(5*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(5//2)) + (8*d*(8*b*d - 5*a*e)*sqrt(a + b*x))/(15*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (16*(23*b^2*d^2 - 35*a*b*d*e + 15*a^2*e^2)*sqrt(a + b*x))/(15*(b*d - a*e)^3*sqrt(d + e*x)), x, 3),
+((15*d^2 + 20*d*e*x + 8*e^2*x^2)/((d + e*x)^(9//2)*sqrt(a + b*x)), (6*d^2*sqrt(a + b*x))/(7*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(7//2)) + (4*d*(23*b*d - 14*a*e)*sqrt(a + b*x))/(35*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^(5//2)) + (16*(58*b^2*d^2 - 84*a*b*d*e + 35*a^2*e^2)*sqrt(a + b*x))/(105*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^(3//2)) + (32*b*(58*b^2*d^2 - 84*a*b*d*e + 35*a^2*e^2)*sqrt(a + b*x))/(105*(b*d - a*e)^4*sqrt(d + e*x)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^(3//2)/(sqrt(f + g*x)*(a + b*x + c*x^2)), (2*e^(3//2)*atanh((sqrt(g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(e)*sqrt(f + g*x))))/(c*sqrt(g)) - (2*(e*(2*c*d - b*e) + (2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*sqrt(f + g*x))))/(c*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)) - (2*(e*(2*c*d - b*e) - (2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*sqrt(f + g*x))))/(c*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*sqrt(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)), x, 11),
+((d + e*x)^(1//2)/(sqrt(f + g*x)*(a + b*x + c*x^2)), -((2*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))) + (2*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*sqrt(f + g*x)*(a + b*x + c*x^2)), -((4*c*atanh((sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))) + (4*c*atanh((sqrt(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*sqrt(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)), x, 6),
+(1/((d + e*x)^(3//2)*sqrt(f + g*x)*(a + b*x + c*x^2)), (4*c*e*sqrt(f + g*x))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(e*f - d*g)*sqrt(d + e*x)) - (4*c*e*sqrt(f + g*x))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(e*f - d*g)*sqrt(d + e*x)) - (8*c^2*atanh((sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)^(3//2)*sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)) + (8*c^2*atanh((sqrt(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*sqrt(d + e*x))/(sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*sqrt(f + g*x))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)^(3//2)*sqrt(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((f + g*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x), ((5*b^3*e^3*g^3 + 64*c^3*(e*f - d*g)^3 - 4*b*c*e^2*g^2*(6*b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g) + 16*b*c^2*e*g*(3*e^2*f^2 - 3*d*e*f*g + d^2*g^2) + 2*c*e*g*(5*b^2*e^2*g^2 - 4*c*e*g*(6*b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g) + 16*c^2*(3*e^2*f^2 - 3*d*e*f*g + d^2*g^2))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*c^3*e^4) + (g^2*(24*c*e*f - 14*c*d*g - 5*b*e*g)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*c^2*e^2) + (g^3*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(4*c*e^2) - (1/(128*c^(7//2)*e^5))*((4*c*e*(2*c*d - b*e)*(16*c^2*e^2*f^3 + 5*b^2*d*e*g^3 - 4*c*d*g^2*(6*b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g)) - 2*(4*c^2*d^2 - (b^2*e^2)/2 - 2*c*e*(b*d - a*e))*g*(5*b^2*e^2*g^2 - 4*c*e*g*(6*b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g) + 16*c^2*(3*e^2*f^2 - 3*d*e*f*g + d^2*g^2)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))) + (sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)^3*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^5, x, 8),
+((f + g*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x), -(((b^2*e^2*g^2 - 8*c^2*(e*f - d*g)^2 - 2*b*c*e*g*(2*e*f - d*g) - 2*c*e*g*(4*c*e*f - 2*c*d*g - b*e*g)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c^2*e^3)) + (g^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*c*e) + (((8*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - a*e))*g*(4*c*e*f - 2*c*d*g - b*e*g) - 4*c*e*(2*c*d - b*e)*(2*c*e*f^2 - b*d*g^2))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(5//2)*e^4) + (sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)^2*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^4, x, 7),
+((f + g*x)^1*sqrt(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x), ((4*c*e*f - 4*c*d*g + b*e*g + 2*c*e*g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c*e^2) - ((b^2*e^2*g + 8*c^2*d*(e*f - d*g) - 4*c*e*(b*e*f - b*d*g + a*e*g))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(3//2)*e^3) + (sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^3, x, 6),
+((f + g*x)^0*sqrt(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x), sqrt(a + b*x + c*x^2)/e - ((2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*e^2) + (sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^2, x, 6),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)/((d + e*x)*(f + g*x)^1), (sqrt(c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(e*g) + (sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(e*(e*f - d*g)) - (sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(g*(e*f - d*g)), x, 8),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)/((d + e*x)*(f + g*x)^2), sqrt(a + b*x + c*x^2)/((e*f - d*g)*(f + g*x)) - ((2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*(e*f - d*g)^2) + (e*(2*c*f - b*g)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*g*(e*f - d*g)^2) - (sqrt(c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(g*(e*f - d*g)) + (sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(e*f - d*g)^2 + ((2*c*f - b*g)*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*g*(e*f - d*g)*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)) - (e*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(g*(e*f - d*g)^2), x, 20),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)/((d + e*x)*(f + g*x)^3), (e*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((e*f - d*g)^2*(f + g*x)) - (g*(b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(f + g*x)^2) - (e*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*(e*f - d*g)^3) + (e^2*(2*c*f - b*g)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*g*(e*f - d*g)^3) - (sqrt(c)*e*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(g*(e*f - d*g)^2) + (e*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(e*f - d*g)^3 + ((b^2 - 4*a*c)*g*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^(3//2)) + (e*(2*c*f - b*g)*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*g*(e*f - d*g)^2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)) - (e^2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(g*(e*f - d*g)^3), x, 23),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)/((d + e*x)*(f + g*x)^4), (e^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((e*f - d*g)^3*(f + g*x)) - (g*(2*c*f - b*g)*(b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^2*(f + g*x)^2) - (e*g*(b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*(e*f - d*g)^2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(f + g*x)^2) + (g^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(f + g*x)^3) - (e^2*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*(e*f - d*g)^4) + (e^3*(2*c*f - b*g)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*g*(e*f - d*g)^4) - (sqrt(c)*e^2*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(g*(e*f - d*g)^3) + (e^2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(e*f - d*g)^4 + ((b^2 - 4*a*c)*g*(2*c*f - b*g)*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^(5//2)) + ((b^2 - 4*a*c)*e*g*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*(e*f - d*g)^2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^(3//2)) + (e^2*(2*c*f - b*g)*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*g*(e*f - d*g)^3*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)) - (e^3*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(g*(e*f - d*g)^4), x, 27),
+
+
+((f + g*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x), -((1/(1536*c^4*e^6))*((3*(7*b^5*e^5*g^3 - 512*c^5*d^2*(e*f - d*g)^3 + 128*c^4*e*(5*b*d - 4*a*e)*(e*f - d*g)^3 - 4*b^3*c*e^4*g^2*(9*b*e*f - 3*b*d*g + 8*a*e*g) + 8*b*c^2*e^3*g*(2*a^2*e^2*g^2 + 6*a*b*e*g*(3*e*f - d*g) + 3*b^2*(3*e^2*f^2 - 3*d*e*f*g + d^2*g^2)) - 32*b*c^3*e^2*(2*b*(e*f - d*g)^3 + 3*a*e*g*(3*e^2*f^2 - 3*d*e*f*g + d^2*g^2))) + 2*c*e*(8*c*e*(2*c*d - b*e)*(24*c^2*e^2*f^3 + 7*b^2*d*e*g^3 - 4*c*d*g^2*(9*b*e*f - 3*b*d*g + a*e*g)) - 2*(8*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e - (3*b^2*e^2)/2 + 6*a*c*e^2)*g*(7*b^2*e^2*g^2 - 4*c*e*g*(9*b*e*f - 3*b*d*g + a*e*g) + 24*c^2*(3*e^2*f^2 - 3*d*e*f*g + d^2*g^2)))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (1/(192*c^3*e^4))*((7*b^3*e^3*g^3 + 64*c^3*(e*f - d*g)^3 - 4*b*c*e^2*g^2*(9*b*e*f - 3*b*d*g + a*e*g) + 24*b*c^2*e*g*(3*e^2*f^2 - 3*d*e*f*g + d^2*g^2) + 2*c*e*g*(7*b^2*e^2*g^2 - 4*c*e*g*(9*b*e*f - 3*b*d*g + a*e*g) + 24*c^2*(3*e^2*f^2 - 3*d*e*f*g + d^2*g^2))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) + (g^2*(36*c*e*f - 22*c*d*g - 7*b*e*g)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(60*c^2*e^2) + (g^3*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(6*c*e^2) + (1/(3072*c^(9//2)*e^7))*((4*c*e*(2*c*d - b*e)*(8*c*e*(b*d - 2*a*e)*(24*c^2*e^2*f^3 + 7*b^2*d*e*g^3 - 4*c*d*g^2*(9*b*e*f - 3*b*d*g + a*e*g)) - d*(8*b*c*d - 3*b^2*e - 4*a*c*e)*g*(7*b^2*e^2*g^2 - 4*c*e*g*(9*b*e*f - 3*b*d*g + a*e*g) + 24*c^2*(3*e^2*f^2 - 3*d*e*f*g + d^2*g^2))) - 2*(4*c^2*d^2 - (b^2*e^2)/2 - 2*c*e*(b*d - a*e))*(8*c*e*(2*c*d - b*e)*(24*c^2*e^2*f^3 + 7*b^2*d*e*g^3 - 4*c*d*g^2*(9*b*e*f - 3*b*d*g + a*e*g)) - 2*(8*c^2*d^2 - 4*b*c*d*e - (3*b^2*e^2)/2 + 6*a*c*e^2)*g*(7*b^2*e^2*g^2 - 4*c*e*g*(9*b*e*f - 3*b*d*g + a*e*g) + 24*c^2*(3*e^2*f^2 - 3*d*e*f*g + d^2*g^2))))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*(e*f - d*g)^3*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^7, x, 9),
+((f + g*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x), (1/(128*c^3*e^5))*((3*b^4*e^4*g^2 + 128*c^4*d^2*(e*f - d*g)^2 - 32*c^3*e*(5*b*d - 4*a*e)*(e*f - d*g)^2 - 6*b^2*c*e^3*g*(2*b*e*f - b*d*g + 2*a*e*g) + 8*b*c^2*e^2*(2*b*(e*f - d*g)^2 + 3*a*e*g*(2*e*f - d*g)) + 2*c*e*((16*c^2*d^2 - 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 3*a*e))*g*(4*c*e*f - 2*c*d*g - b*e*g) - 8*c*e*(2*c*d - b*e)*(2*c*e*f^2 - b*d*g^2))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - ((3*b^2*e^2*g^2 - 16*c^2*(e*f - d*g)^2 - 6*b*c*e*g*(2*e*f - d*g) - 6*c*e*g*(4*c*e*f - 2*c*d*g - b*e*g)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(48*c^2*e^3) + (g^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*c*e) - (1/(256*c^(7//2)*e^6))*((3*b^5*e^5*g^2 + 256*c^5*d^3*(e*f - d*g)^2 - 384*c^4*d*e*(b*d - a*e)*(e*f - d*g)^2 - 6*b^3*c*e^4*g*(2*b*e*f - b*d*g + 4*a*e*g) + 16*b*c^2*e^3*(3*a^2*e^2*g^2 + b^2*(e*f - d*g)^2 + 3*a*b*e*g*(2*e*f - d*g)) + 96*c^3*e^2*(b^2*d*(e*f - d*g)^2 - 2*a*b*e*(e*f - d*g)^2 - a^2*e^2*g*(2*e*f - d*g)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*(e*f - d*g)^2*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^6, x, 8),
+((f + g*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x), -((1/(64*c^2*e^4))*((3*b^3*e^3*g - 64*c^3*d^2*(e*f - d*g) + 16*c^2*e*(5*b*d - 4*a*e)*(e*f - d*g) - 4*b*c*e^2*(2*b*e*f - 2*b*d*g + 3*a*e*g) + 2*c*e*(3*b^2*e^2*g + 16*c^2*d*(e*f - d*g) - 4*c*e*(2*b*e*f - 2*b*d*g + 3*a*e*g))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + ((8*c*e*f - 8*c*d*g + 3*b*e*g + 6*c*e*g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*c*e^2) + (1/(128*c^(5//2)*e^5))*((3*b^4*e^4*g - 128*c^4*d^3*(e*f - d*g) + 192*c^3*d*e*(b*d - a*e)*(e*f - d*g) - 8*b^2*c*e^3*(b*e*f - b*d*g + 3*a*e*g) + 48*c^2*e^2*(a^2*e^2*g - b^2*d*(e*f - d*g) + 2*a*b*e*(e*f - d*g)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*(e*f - d*g)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^5, x, 7),
+((f + g*x)^0*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x), ((8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 4*a*e) - 2*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c*e^3) + (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(3*e) - ((2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*e^4) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/e^4, x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/((d + e*x)*(f + g*x)^1), ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(e^2*(e*f - d*g)) - ((4*c*e*f^2 - g*(5*b*e*f - b*d*g - 4*a*e*g) - 2*c*g*(e*f - d*g)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*e*g^2*(e*f - d*g)) - ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*e^3*(e*f - d*g)) + ((8*c^2*e*f^3 + b*g^2*(3*b*e*f + b*d*g - 4*a*e*g) - 4*c*g*(3*b*e*f^2 - a*g*(3*e*f - d*g)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(c)*e*g^3*(e*f - d*g)) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(e^3*(e*f - d*g)) - ((c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^(3//2)*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(g^3*(e*f - d*g)), x, 13),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/((d + e*x)*(f + g*x)^2), ((8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 4*a*e) - 2*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c*e*(e*f - d*g)^2) + (3*(4*c*f - 3*b*g - 2*c*g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*g^2*(e*f - d*g)) - (e*(8*c^2*f^2 + b^2*g^2 - 2*c*g*(5*b*f - 4*a*g) - 2*c*g*(2*c*f - b*g)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c*g^2*(e*f - d*g)^2) + (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/((e*f - d*g)*(f + g*x)) - ((2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*e^2*(e*f - d*g)^2) + (e*(2*c*f - b*g)*(8*c^2*f^2 - b^2*g^2 - 4*c*g*(2*b*f - 3*a*g))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*g^3*(e*f - d*g)^2) - (3*(8*c^2*f^2 + b^2*g^2 - 4*c*g*(2*b*f - a*g))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(c)*g^3*(e*f - d*g)) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(e^2*(e*f - d*g)^2) + (3*(2*c*f - b*g)*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*g^3*(e*f - d*g)) - (e*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^(3//2)*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(g^3*(e*f - d*g)^2), x, 23),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/((d + e*x)*(f + g*x)^3), ((8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 4*a*e) - 2*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c*(e*f - d*g)^3) + (3*e*(4*c*f - 3*b*g - 2*c*g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*g^2*(e*f - d*g)^2) - (3*(4*c*f - b*g + 2*c*g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*g^2*(e*f - d*g)*(f + g*x)) - (e^2*(8*c^2*f^2 + b^2*g^2 - 2*c*g*(5*b*f - 4*a*g) - 2*c*g*(2*c*f - b*g)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c*g^2*(e*f - d*g)^3) + (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(2*(e*f - d*g)*(f + g*x)^2) + (e*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/((e*f - d*g)^2*(f + g*x)) - ((2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*e*(e*f - d*g)^3) + (3*sqrt(c)*(2*c*f - b*g)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*g^3*(e*f - d*g)) + (e^2*(2*c*f - b*g)*(8*c^2*f^2 - b^2*g^2 - 4*c*g*(2*b*f - 3*a*g))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*g^3*(e*f - d*g)^3) - (3*e*(8*c^2*f^2 + b^2*g^2 - 4*c*g*(2*b*f - a*g))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(c)*g^3*(e*f - d*g)^2) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(e*(e*f - d*g)^3) + (3*e*(2*c*f - b*g)*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*g^3*(e*f - d*g)^2) - (e^2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^(3//2)*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(g^3*(e*f - d*g)^3) - (3*(8*c^2*f^2 + b^2*g^2 - 4*c*g*(2*b*f - a*g))*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*g^3*(e*f - d*g)*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)), x, 30),
+
+
+((a + b*x + c*x^2)^(5//2)/((d + e*x)*(f + g*x)), ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 4*a*e) - 2*c*e*(2*c*d - b*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c*e^4*(e*f - d*g)) - (1/(64*c*e*g^4*(e*f - d*g)))*((64*c^3*e*f^4 - 16*c^2*e*f^2*g*(9*b*f - 8*a*g) - b^2*g^3*(5*b*e*f + 3*b*d*g - 8*a*e*g) + 4*c*g^2*(22*b^2*e*f^2 + 16*a^2*e*g^2 - 3*a*b*g*(13*e*f - d*g)) - 2*c*g*(16*c^2*e*f^3 + b*g^2*(5*b*e*f + 3*b*d*g - 8*a*e*g) - 4*c*g*(6*b*e*f^2 - a*g*(7*e*f - 3*d*g)))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*e^2*(e*f - d*g)) - ((8*c*e*f^2 - g*(11*b*e*f - 3*b*d*g - 8*a*e*g) - 6*c*g*(e*f - d*g)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*e*g^2*(e*f - d*g)) - ((2*c*d - b*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(8*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*e^5*(e*f - d*g)) + ((128*c^4*e*f^5 - 320*c^3*e*f^3*g*(b*f - a*g) - b^3*g^4*(5*b*e*f + 3*b*d*g - 8*a*e*g) + 48*c^2*g^2*(5*b^2*e*f^3 - 10*a*b*e*f^2*g + a^2*g^2*(5*e*f - d*g)) - 8*b*c*g^3*(5*b^2*e*f^2 + 12*a^2*e*g^2 - 3*a*b*g*(5*e*f + d*g)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(3//2)*e*g^5*(e*f - d*g)) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(e^5*(e*f - d*g)) - ((c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^(5//2)*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(g^5*(e*f - d*g)), x, 15),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((f + g*x)^4/((d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (g^2*(15*b^2*e^2*g^2 - 4*c*e*g*(18*b*e*f - 7*b*d*g + 4*a*e*g) + 4*c^2*(36*e^2*f^2 - 36*d*e*f*g + 11*d^2*g^2))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*c^3*e^3) + (g^3*(24*c*e*f - 14*c*d*g - 5*b*e*g)*(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(12*c^2*e^3) + (g^4*(d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c*e^3) - (1/(16*c^(7//2)*e^4))*(g*(5*b^3*e^3*g^3 - 6*b*c*e^2*g^2*(4*b*e*f - b*d*g + 2*a*e*g) - 16*c^3*(4*e^3*f^3 - 6*d*e^2*f^2*g + 4*d^2*e*f*g^2 - d^3*g^3) + 8*c^2*e*g*(a*e*g*(4*e*f - d*g) + b*(6*e^2*f^2 - 4*d*e*f*g + d^2*g^2)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))) + ((e*f - d*g)^4*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(e^4*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 8),
+((f + g*x)^3/((d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (3*g^2*(4*c*e*f - 2*c*d*g - b*e*g)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c^2*e^2) + (g^3*(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*c*e^2) + (g*(3*b^2*e^2*g^2 - 4*c*e*g*(3*b*e*f - b*d*g + a*e*g) + 8*c^2*(3*e^2*f^2 - 3*d*e*f*g + d^2*g^2))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(5//2)*e^3) + ((e*f - d*g)^3*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(e^3*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 7),
+((f + g*x)^2/((d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (g^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(c*e) + (g*(4*c*e*f - 2*c*d*g - b*e*g)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(3//2)*e^2) + ((e*f - d*g)^2*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(e^2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 6),
+((f + g*x)^1/((d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (g*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(c)*e) + ((e*f - d*g)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(e*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 5),
+((f + g*x)^0/((d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))/sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2), x, 2),
+(1/((d + e*x)*(f + g*x)^1*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (e*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)) - (g*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/((e*f - d*g)*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)), x, 6),
+(1/((d + e*x)*(f + g*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (g^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(f + g*x)) + (e^2*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)^2) - (g*(2*c*f - b*g)*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^(3//2)) - (e*g*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/((e*f - d*g)^2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)), x, 9),
+(1/((d + e*x)*(f + g*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (g^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(f + g*x)^2) + (3*g^2*(2*c*f - b*g)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^2*(f + g*x)) + (e*g^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((e*f - d*g)^2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(f + g*x)) + (e^3*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)^3) - (e*g*(2*c*f - b*g)*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*(e*f - d*g)^2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^(3//2)) - (e^2*g*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/((e*f - d*g)^3*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)) - (g*(8*c^2*f^2 + 3*b^2*g^2 - 4*c*g*(2*b*f + a*g))*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^(5//2)), x, 13),
+
+
+((f + g*x)^4/((d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*(a*b^3*d*g^4 - b^2*(c^2*e*f^4 + 4*a*c*d*f*g^3 + a^2*e*g^4) + 2*a*c*(a^2*e*g^4 + c^2*f^3*(e*f - 4*d*g) - 2*a*c*f*g^2*(3*e*f - 2*d*g)) + b*c*(c^2*d*f^4 + a^2*g^3*(4*e*f - 3*d*g) + 2*a*c*f^2*g*(2*e*f + 3*d*g)) + (2*c^4*d*f^4 + b^3*(b*d - a*e)*g^4 - b*c*g^3*(4*b^2*d*f - 3*a^2*e*g - 4*a*b*(e*f - d*g)) + 2*c^2*g^2*(3*b^2*d*f^2 - 3*a*b*f*(e*f - 2*d*g) - a^2*g*(4*e*f - d*g)) + c^3*f^2*(4*a*g*(2*e*f - 3*d*g) - b*f*(e*f + 4*d*g)))*x))/(c^2*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (g^4*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(c^2*e) + (g^3*(8*c*e*f - 2*c*d*g - 3*b*e*g)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(5//2)*e^2) + ((e*f - d*g)^4*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)), x, 7),
+((f + g*x)^3/((d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), (2*(b^2*(c*e*f^3 + a*d*g^3) - 2*a*c*(c*f^2*(e*f - 3*d*g) - a*g^2*(3*e*f - d*g)) - b*(c^2*d*f^3 + a^2*e*g^3 + 3*a*c*f*g*(e*f + d*g)) - (2*c^3*d*f^3 - b^2*(b*d - a*e)*g^3 + c*g^2*(3*b^2*d*f - 3*a*b*e*f + 3*a*b*d*g - 2*a^2*e*g) + c^2*f*(6*a*g*(e*f - d*g) - b*f*(e*f + 3*d*g)))*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (g^3*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(c^(3//2)*e) + ((e*f - d*g)^3*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)), x, 6),
+((f + g*x)^2/((d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), (2*(b^2*e*f^2 + 2*a*(a*e*g^2 - c*f*(e*f - 2*d*g)) - b*(c*d*f^2 + a*g*(2*e*f + d*g)) - (2*c^2*d*f^2 + b*(b*d - a*e)*g^2 + c*(2*a*g*(2*e*f - d*g) - b*f*(e*f + 2*d*g)))*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + ((e*f - d*g)^2*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2), x, 4),
+((f + g*x)^1/((d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*(b*c*d*f - b^2*e*f + 2*a*c*e*f - 2*a*c*d*g + a*b*e*g + c*(2*c*d*f + 2*a*e*g - b*(e*f + d*g))*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (e*(e*f - d*g)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2), x, 4),
+((f + g*x)^0/((d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (e^2*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2), x, 4),
+(1/((d + e*x)*(f + g*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*e*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (2*g*(b*c*f - b^2*g + 2*a*c*g + c*(2*c*f - b*g)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (e^3*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*(e*f - d*g)) - (g^3*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/((e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^(3//2)), x, 10),
+(1/((d + e*x)*(f + g*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*e^2*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (2*e*g*(b*c*f - b^2*g + 2*a*c*g + c*(2*c*f - b*g)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(e*f - d*g)^2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*g*(b*c*f - b^2*g + 2*a*c*g + c*(2*c*f - b*g)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (g^2*(4*c^2*f^2 + 3*b^2*g^2 - 4*c*g*(b*f + 2*a*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^2*(f + g*x)) + (e^4*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*(e*f - d*g)^2) - (3*g^3*(2*c*f - b*g)*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^(5//2)) - (e*g^3*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/((e*f - d*g)^2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^(3//2)), x, 14),
+(1/((d + e*x)*(f + g*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -((2*e^3*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (2*e^2*g*(b*c*f - b^2*g + 2*a*c*g + c*(2*c*f - b*g)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(e*f - d*g)^3*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*g*(b*c*f - b^2*g + 2*a*c*g + c*(2*c*f - b*g)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(f + g*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*e*g*(b*c*f - b^2*g + 2*a*c*g + c*(2*c*f - b*g)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(e*f - d*g)^2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (g^2*(8*c^2*f^2 + 5*b^2*g^2 - 4*c*g*(2*b*f + 3*a*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^2*(f + g*x)^2) + (e*g^2*(4*c^2*f^2 + 3*b^2*g^2 - 4*c*g*(b*f + 2*a*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*(e*f - d*g)^2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^2*(f + g*x)) + (g^2*(2*c*f - b*g)*(8*c^2*f^2 + 15*b^2*g^2 - 4*c*g*(2*b*f + 13*a*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^3*(f + g*x)) + (e^5*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*(e*f - d*g)^3) - (3*e*g^3*(2*c*f - b*g)*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*(e*f - d*g)^2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^(5//2)) - (e^2*g^3*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/((e*f - d*g)^3*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^(3//2)) - (3*g^3*(16*c^2*f^2 + 5*b^2*g^2 - 4*c*g*(4*b*f + a*g))*atanh((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/(2*sqrt(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^(7//2)), x, 19),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^(n/2) (a+b x+c x^2)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0 & n>0
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+((d + e*x)^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2), (-2*(64*b^4*e^4*g^4 + 4*b^2*c*e^3*g^3*(7*b*e*f - 66*b*d*g - 69*a*e*g) + c^4*(187*e^4*f^4 - 732*d*e^3*f^3*g + 1098*d^2*e^2*f^2*g^2 - 798*d^3*e*f*g^3 + 315*d^4*g^4) + 3*c^2*e^2*g^2*(50*a^2*e^2*g^2 - a*b*e*g*(29*e*f - 297*d*g) + 3*b^2*(e^2*f^2 - 11*d*e*f*g + 44*d^2*g^2)) - c^3*e*g*(6*a*e*g*(2*e^2*f^2 - 33*d*e*f*g + 165*d^2*g^2) + b*(8*e^3*f^3 - 99*d^2*e*f*g^2 + 231*d^3*g^3)))*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3465*c^4*e*g^4) + (2*(d + e*x)^4*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(11*e) + (2*(48*b^3*e^3*g^3 + b*c*e^2*g^2*(67*b*e*f - 198*b*d*g - 157*a*e*g) + c^3*(233*e^3*f^3 - 843*d*e^2*f^2*g + 1107*d^2*e*f*g^2 - 567*d^3*g^3) - c^2*e*g*(2*a*e*g*(74*e*f - 231*d*g) - 3*b*(24*e^2*f^2 - 88*d*e*f*g + 99*d^2*g^2)))*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3465*c^3*g^4) - (2*e*(8*b^2*e^2*g^2 + c*e*g*(19*b*e*f - 33*b*d*g - 18*a*e*g) + c^2*(29*e^2*f^2 - 96*d*e*f*g + 81*d^2*g^2))*(f + g*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(693*c^2*g^4) + (2*e^2*(c*e*f - 3*c*d*g + b*e*g)*(f + g*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(99*c*g^4) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(128*b^5*e^3*g^5 - 8*b^3*c*e^2*g^4*(7*b*e*f + 66*b*d*g + 87*a*e*g) + 2*c^5*f^2*(64*e^3*f^3 - 264*d*e^2*f^2*g + 396*d^2*e*f*g^2 - 231*d^3*g^3) + b*c^2*e*g^3*(771*a^2*e^2*g^2 + 6*a*b*e*g*(43*e*f + 396*d*g) - b^2*(37*e^2*f^2 - 264*d*e*f*g - 792*d^2*g^2)) - c^4*g*(b*f*(56*e^3*f^3 - 264*d*e^2*f^2*g + 495*d^2*e*f*g^2 - 462*d^3*g^3) - 18*a*g*(6*e^3*f^3 - 33*d*e^2*f^2*g + 88*d^2*e*f*g^2 + 77*d^3*g^3)) - c^3*g^2*(6*a^2*e^2*g^2*(26*e*f + 231*d*g) - 9*a*b*e*g*(15*e^2*f^2 - 110*d*e*f*g - 319*d^2*g^2) + b^2*(37*e^3*f^3 - 198*d*e^2*f^2*g + 495*d^2*e*f*g^2 + 462*d^3*g^3)))*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(3465*c^5*g^5*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(64*b^4*e^3*g^4 + 4*b^2*c*e^2*g^3*(7*b*e*f - 66*b*d*g - 69*a*e*g) - 2*c^4*f*(64*e^3*f^3 - 264*d*e^2*f^2*g + 396*d^2*e*f*g^2 - 231*d^3*g^3) + 3*c^2*e*g^2*(50*a^2*e^2*g^2 - a*b*e*g*(29*e*f - 297*d*g) + 3*b^2*(e^2*f^2 - 11*d*e*f*g + 44*d^2*g^2)) - c^3*g*(6*a*e*g*(2*e^2*f^2 - 33*d*e*f*g + 165*d^2*g^2) + b*(8*e^3*f^3 - 99*d^2*e*f*g^2 + 231*d^3*g^3)))*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(3465*c^5*g^5*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 10),
+((d + e*x)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2), (2*(8*b^3*e^3*g^3 + 3*b*c*e^2*g^2*(b*e*f - 8*b*d*g - 9*a*e*g) + c^3*(19*e^3*f^3 - 57*d*e^2*f^2*g + 63*d^2*e*f*g^2 - 35*d^3*g^3) - 3*c^2*e*g^2*(2*a*e*(e*f - 10*d*g) + b*d*(2*e*f - 7*d*g)))*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(315*c^3*e*g^3) + (2*(d + e*x)^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(9*e) - (4*(3*b^2*e^2*g^2 + c*e*g*(4*b*e*f - 9*b*d*g - 7*a*e*g) + c^2*(8*e^2*f^2 - 24*d*e*f*g + 21*d^2*g^2))*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(315*c^2*g^3) + (2*e*(c*e*f - 3*c*d*g + b*e*g)*(f + g*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(63*c*g^3) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(8*b^4*e^2*g^4 - 4*b^2*c*e*g^3*(b*e*f + 6*b*d*g + 9*a*e*g) + c^4*f^2*(8*e^2*f^2 - 24*d*e*f*g + 21*d^2*g^2) + 3*c^2*g^2*(7*a^2*e^2*g^2 + a*b*e*g*(5*e*f + 29*d*g) - b^2*(e^2*f^2 - 5*d*e*f*g - 7*d^2*g^2)) + c^3*g*(3*a*g*(3*e^2*f^2 - 16*d*e*f*g - 21*d^2*g^2) - b*f*(4*e^2*f^2 - 15*d*e*f*g + 21*d^2*g^2)))*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(315*c^4*g^4*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(8*b^3*e^2*g^3 + 3*b*c*e*g^2*(b*e*f - 8*b*d*g - 9*a*e*g) - 2*c^3*f*(8*e^2*f^2 - 24*d*e*f*g + 21*d^2*g^2) - 3*c^2*g^2*(2*a*e*(e*f - 10*d*g) + b*d*(2*e*f - 7*d*g)))*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(315*c^4*g^4*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 9),
+((d + e*x)^1*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2), (-2*sqrt(f + g*x)*(4*b^2*e*g^2 + c^2*f*(4*e*f - 7*d*g) - c*g*(2*b*e*f + 7*b*d*g - 5*a*e*g) - 3*c*g*(c*e*f + 7*c*d*g - 4*b*e*g)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(105*c^2*g^2) + (2*e*sqrt(f + g*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*c) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*((c*e*f + 7*c*d*g - 4*b*e*g)*(8*c^2*f^2 - 2*b^2*g^2 - 3*c*g*(b*f - 2*a*g)) - 5*c*g*(2*c*f - b*g)*(7*c*d*f - e*(3*b*f + a*g)))*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(105*c^3*g^3*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(4*b^2*e*g^2 - 2*c^2*f*(4*e*f - 7*d*g) + c*g*(b*e*f - 7*b*d*g - 10*a*e*g))*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(105*c^3*g^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^0*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2), (-2*(2*c*f - b*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*c*g) + (2*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*g) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c^2*f^2 + b^2*g^2 - c*g*(b*f + 3*a*g))*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(15*c^2*g^2*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*f - b*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(15*c^2*g^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+# {Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]/(d + e*x)^1, x, 15, (2*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(3*e) + (Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(c*e*f - 3*c*d*g + b*e*g)*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(3*c*e^2*g*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (1/(3*c*e^3*g*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + x*(b + c*x)]))*2*Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(e*g*(b*e*f - 3*b*d*g + 2*a*e*g) + c*((-e^2)*f^2 + 3*d^2*g^2))*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[(c*(a + x*(b + c*x)))/(-b^2 + 4*a*c)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(-2*c*f + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)] - (1/(Sqrt[c]*e^3*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*Sqrt[2]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*EllipticPi[(e*(2*c*f - b*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g))/(2*c*(e*f - d*g)), ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]], (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)], (2*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(3*e) + (Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(c*e*f - 3*c*d*g + b*e*g)*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(3*c*e^2*g*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (2*Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*f*(c*e*f - 3*c*d*g + b*e*g)*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(3*c*e^2*g*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (2*Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(3*c*d*(e*f - d*g) - e*(2*b*e*f - 3*b*d*g + 2*a*e*g))*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(3*c*e^3*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (1/(Sqrt[c]*e^3*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*(Sqrt[2]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*EllipticPi[(e*(2*c*f - b*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g))/(2*c*(e*f - d*g)), ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]], (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)])}
+# {Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]/(d + e*x)^2, x, 15, -((Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(e*(d + e*x))) + (3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(Sqrt[2]*e^2*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(2*b*e*g - c*(e*f + 3*d*g))*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[(c*(a + x*(b + c*x)))/(-b^2 + 4*a*c)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(-2*c*f + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)])/(c*e^3*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + x*(b + c*x)]) + (1/(Sqrt[2]*Sqrt[c]*e^3*(e*f - d*g)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*(Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]*(c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*EllipticPi[(e*(2*c*f - b*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g))/(2*c*(e*f - d*g)), ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]], (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)]), -((Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(e*(d + e*x))) + (3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(Sqrt[2]*e^2*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (3*Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*f*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(e^2*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(2*c*e*f - 3*c*d*g + 2*b*e*g)*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(c*e^3*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (1/(Sqrt[2]*Sqrt[c]*e^3*(e*f - d*g)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*(Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]*(c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*EllipticPi[(e*(2*c*f - b*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g))/(2*c*(e*f - d*g)), ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]], (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)])}
+# {Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]/(d + e*x)^3, x, 25, -((Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(2*e*(d + e*x)^2)) + ((c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(4*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*(d + e*x)) - (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(4*Sqrt[2]*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*((-c)*d*(2*e*f + 3*d*g) + e*(b*e*f + 4*b*d*g - 5*a*e*g))*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[(c*(a + x*(b + c*x)))/(-b^2 + 4*a*c)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(-2*c*f + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)])/(2*Sqrt[2]*e^3*(c*d^2 + e*((-b)*d + a*e))*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + x*(b + c*x)]) + (Sqrt[2*c*f - b*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g]*(b^2*e^4*f^2 + a^2*e^4*g^2 + c^2*d^3*g*(4*e*f - 3*d*g) - 2*a*c*e^2*(2*e^2*f^2 - 6*d*e*f*g + 3*d^2*g^2) - 2*b*e*g*(a*e^3*f + c*d^2*(3*e*f - 2*d*g)))*Sqrt[(g*(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] - 2*c*x))/(2*c*f + (-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[(g*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(-2*c*f + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*EllipticPi[(2*c*e*f - b*e*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e*g)/(2*c*e*f - 2*c*d*g), ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[2*c*f - b*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g]], (2*c*f + (-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)])/(4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*e^3*(c*d^2 + e*((-b)*d + a*e))*(e*f - d*g)^2*Sqrt[a + x*(b + c*x)]), -((Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(2*e*(d + e*x)^2)) + ((c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(4*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*(d + e*x)) - (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(4*Sqrt[2]*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(Sqrt[2]*e^3*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*f*(c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(2*Sqrt[2]*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d*g*(c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(2*Sqrt[2]*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (1/(Sqrt[2]*Sqrt[c]*e^3*(e*f - d*g)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*(Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]*(c*e*f - 3*c*d*g + b*e*g)*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*EllipticPi[(e*(2*c*f - b*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g))/(2*c*(e*f - d*g)), ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]], (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)]) + (Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]*(c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))^2*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*EllipticPi[(e*(2*c*f - b*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g))/(2*c*(e*f - d*g)), ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]], (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)])/(4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)^2*Sqrt[a + b*x + c*x^2])}
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+((d + e*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)/sqrt(f + g*x), (2*(8*b^3*e^3*g^3 + 3*b*c*e^2*g^2*(5*b*e*f - 12*b*d*g - 9*a*e*g) - c^3*(152*e^3*f^3 - 408*d*e^2*f^2*g + 336*d^2*e*f*g^2 - 70*d^3*g^3) - 3*c^2*e*g*(6*a*e*g*(2*e*f - 5*d*g) - b*(8*e^2*f^2 - 24*d*e*f*g + 21*d^2*g^2)))*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(315*c^3*g^4) + (2*(d + e*x)^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(9*g) - (2*e*(6*b^2*e^2*g^2 + c*e*g*(17*b*e*f - 27*b*d*g - 14*a*e*g) - 2*c^2*(64*e^2*f^2 - 111*d*e*f*g + 42*d^2*g^2))*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(315*c^2*g^4) - (2*e^2*(8*c*e*f - 6*c*d*g - b*e*g)*(f + g*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(63*c*g^4) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(16*b^4*e^3*g^4 + 8*b^2*c*e^2*g^3*(2*b*e*f - 9*b*d*g - 9*a*e*g) - 2*c^4*f*(64*e^3*f^3 - 216*d*e^2*f^2*g + 252*d^2*e*f*g^2 - 105*d^3*g^3) + 3*c^2*e*g^2*(14*a^2*e^2*g^2 - a*b*e*g*(19*e*f - 87*d*g) + b^2*(7*e^2*f^2 - 27*d*e*f*g + 42*d^2*g^2)) - c^3*g*(6*a*e*g*(10*e^2*f^2 - 39*d*e*f*g + 63*d^2*g^2) - b*(40*e^3*f^3 - 144*d*e^2*f^2*g + 189*d^2*e*f*g^2 - 105*d^3*g^3)))*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(315*c^4*g^5*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(8*b^3*e^3*g^3 + 3*b*c*e^2*g^2*(5*b*e*f - 12*b*d*g - 9*a*e*g) + 2*c^3*(64*e^3*f^3 - 216*d*e^2*f^2*g + 252*d^2*e*f*g^2 - 105*d^3*g^3) - 3*c^2*e*g*(6*a*e*g*(2*e*f - 5*d*g) - b*(8*e^2*f^2 - 24*d*e*f*g + 21*d^2*g^2)))*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(315*c^4*g^5*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 9),
+((d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)/sqrt(f + g*x), (-4*(2*b^2*e^2*g^2 + c*e*g*(4*b*e*f - 7*b*d*g - 5*a*e*g) - c^2*(21*e^2*f^2 - 34*d*e*f*g + 10*d^2*g^2))*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(105*c^2*g^3) + (2*(d + e*x)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(7*g) - (2*e*(6*c*e*f - 4*c*d*g - b*e*g)*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(35*c*g^3) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(8*b^3*e^2*g^3 + b*c*e*g^2*(9*b*e*f - 28*b*d*g - 29*a*e*g) - 2*c^3*f*(24*e^2*f^2 - 56*d*e*f*g + 35*d^2*g^2) - c^2*g*(2*a*e*g*(13*e*f - 42*d*g) - b*(16*e^2*f^2 - 42*d*e*f*g + 35*d^2*g^2)))*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(105*c^3*g^4*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(2*b^2*e^2*g^2 + c*e*g*(4*b*e*f - 7*b*d*g - 5*a*e*g) + c^2*(24*e^2*f^2 - 56*d*e*f*g + 35*d^2*g^2))*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(105*c^3*g^4*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((d + e*x)^1*sqrt(a + b*x + c*x^2)/sqrt(f + g*x), (-2*sqrt(f + g*x)*(4*c*e*f - 5*c*d*g - b*e*g - 3*c*e*g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*c*g^2) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*b^2*e*g^2 - 2*c^2*f*(4*e*f - 5*d*g) + c*g*(3*b*e*f - 5*b*d*g - 6*a*e*g))*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(15*c^2*g^3*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(8*c*e*f - 10*c*d*g + b*e*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(15*c^2*g^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((d + e*x)^0*sqrt(a + b*x + c*x^2)/sqrt(f + g*x), (2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*g) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*f - b*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(3*c*g^2*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(3*c*g^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)/((d + e*x)^1*sqrt(f + g*x)), (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(e*g*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(c*e^2*g*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((e*(2*c*f - b*g + sqrt(b^2 - 4*a*c)*g))/(2*c*(e*f - d*g)), asin((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(f + g*x))/sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)), (b - sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)))/(sqrt(c)*e^2*(e*f - d*g)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 11),
+# {Sqrt[a + b*x + c*x^2]/((d + e*x)^2*Sqrt[f + g*x]), x, 15, -((Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/((e*f - d*g)*(d + e*x))) + (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(Sqrt[2]*e*(e*f - d*g)*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[(c*(a + x*(b + c*x)))/(-b^2 + 4*a*c)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(-2*c*f + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)])/(e^2*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + x*(b + c*x)]) - (Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]*(e^2*(b*f - a*g) - c*d*(2*e*f - d*g))*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*EllipticPi[(e*(2*c*f - b*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g))/(2*c*(e*f - d*g)), ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]], (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)])/(Sqrt[2]*Sqrt[c]*e^2*(e*f - d*g)^2*Sqrt[a + b*x + c*x^2]), -((Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/((e*f - d*g)*(d + e*x))) + (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (-2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)])/(Sqrt[2]*e*(e*f - d*g)*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*f*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (-2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)])/(e*(e*f - d*g)*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(2*e*f - d*g)*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (-2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)])/(e^2*(e*f - d*g)*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]*(e^2*(b*f - a*g) - c*d*(2*e*f - d*g))*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*EllipticPi[(e*(2*c*f - b*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g))/(2*c*(e*f - d*g)), ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]], (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)])/(Sqrt[2]*Sqrt[c]*e^2*(e*f - d*g)^2*Sqrt[a + b*x + c*x^2])}
+# {Sqrt[a + b*x + c*x^2]/((d + e*x)^3*Sqrt[f + g*x]), x, 25, -((Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(2*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2)) + ((c*d*(2*e*f + d*g) - e*(b*e*f + 2*b*d*g - 3*a*e*g))*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)) - (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(c*d*(2*e*f + d*g) - e*(b*e*f + 2*b*d*g - 3*a*e*g))*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(4*Sqrt[2]*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)^2*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(e^2*(b*f - a*g) + c*d*(-2*e*f + d*g))*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[(c*(a + x*(b + c*x)))/(-b^2 + 4*a*c)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(-2*c*f + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)])/(2*Sqrt[2]*e^2*(c*d^2 + e*((-b)*d + a*e))*(e*f - d*g)*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + x*(b + c*x)]) - (Sqrt[2*c*f - b*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g]*(3*a^2*e^4*g^2 + c^2*d^3*g*(4*e*f - d*g) + b^2*e^3*f*((-e)*f + 4*d*g) + 2*a*c*e^2*(2*e^2*f^2 - 2*d*e*f*g + 3*d^2*g^2) - 2*b*e^2*g*(3*c*d^2*f + a*e*(e*f + 2*d*g)))*Sqrt[(g*(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] - 2*c*x))/(2*c*f + (-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[(g*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(-2*c*f + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*EllipticPi[(2*c*e*f - b*e*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e*g)/(2*c*e*f - 2*c*d*g), ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[2*c*f - b*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g]], (2*c*f + (-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)])/(4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*e^2*(c*d^2 + e*((-b)*d + a*e))*(e*f - d*g)^3*Sqrt[a + x*(b + c*x)]), -((Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(2*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2)) + ((c*d*(2*e*f + d*g) - e*(b*e*f + 2*b*d*g - 3*a*e*g))*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)) - (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(c*d*(2*e*f + d*g) - e*(b*e*f + 2*b*d*g - 3*a*e*g))*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(4*Sqrt[2]*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)^2*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(Sqrt[2]*e^2*(e*f - d*g)*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*f*(c*d*(2*e*f + d*g) - e*(b*e*f + 2*b*d*g - 3*a*e*g))*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(2*Sqrt[2]*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)^2*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d*g*(c*d*(2*e*f + d*g) - e*(b*e*f + 2*b*d*g - 3*a*e*g))*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(2*Sqrt[2]*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)^2*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (1/(Sqrt[2]*Sqrt[c]*e^2*(e*f - d*g)^2*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*(Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*EllipticPi[(e*(2*c*f - b*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g))/(2*c*(e*f - d*g)), ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]], (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)]) + (Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]*(c*d*(2*e*f + d*g) - e*(b*e*f + 2*b*d*g - 3*a*e*g))*(c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*EllipticPi[(e*(2*c*f - b*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g))/(2*c*(e*f - d*g)), ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]], (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)])/(4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)^3*Sqrt[a + b*x + c*x^2])}
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0 & n>0
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+((d + e*x)^3*sqrt(f + g*x)/sqrt(a + b*x + c*x^2), (2*e*(24*b^2*e^2*g^2 + c*e*g*(13*b*e*f - 84*b*d*g - 25*a*e*g) - c^2*(7*e^2*f^2 + 12*d*e*f*g - 90*d^2*g^2))*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(105*c^3*g^2) + (2*e*(d + e*x)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(7*c) + (2*e^2*(c*e*f + 11*c*d*g - 6*b*e*g)*(f + g*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(35*c^2*g^2) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(48*b^3*e^3*g^3 - 8*b*c*e^2*g^2*(2*b*e*f + 21*b*d*g + 13*a*e*g) - c^3*(8*e^3*f^3 - 42*d*e^2*f^2*g + 105*d^2*e*f*g^2 + 105*d^3*g^3) + c^2*e*g*(a*e*g*(19*e*f + 189*d*g) - b*(9*e^2*f^2 - 63*d*e*f*g - 210*d^2*g^2)))*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(105*c^4*g^3*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(24*b^2*e^2*g^2 + c*e*g*(13*b*e*f - 84*b*d*g - 25*a*e*g) + c^2*(8*e^2*f^2 - 42*d*e*f*g + 105*d^2*g^2))*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(105*c^4*g^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+((d + e*x)^2*sqrt(f + g*x)/sqrt(a + b*x + c*x^2), (2*e*(c*e*f + 7*c*d*g - 4*b*e*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*c^2*g) + (2*e*(d + e*x)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*c) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(8*b^2*e^2*g^2 - c*e*g*(3*b*e*f + 20*b*d*g + 9*a*e*g) - c^2*(2*e^2*f^2 - 10*d*e*f*g - 15*d^2*g^2))*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(15*c^3*g^2*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (4*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(c*e*f - 5*c*d*g + 2*b*e*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(15*c^3*g^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^1*sqrt(f + g*x)/sqrt(a + b*x + c*x^2), (2*e*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*e*f + 3*c*d*g - 2*b*e*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(3*c^2*g*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(3*c^2*g*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((d + e*x)^0*sqrt(f + g*x)/sqrt(a + b*x + c*x^2), (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(c*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+(sqrt(f + g*x)/((d + e*x)^1*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(c*e*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(2)*sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((e*(2*c*f - b*g + sqrt(b^2 - 4*a*c)*g))/(2*c*(e*f - d*g)), asin((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(f + g*x))/sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)), (b - sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)))/(sqrt(c)*e*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+(sqrt(f + g*x)/((d + e*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((e*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x))) + (sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(sqrt(2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*f*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*g*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*(e^2*(b*f - a*g) - c*d*(2*e*f - d*g))*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((e*(2*c*f - b*g + sqrt(b^2 - 4*a*c)*g))/(2*c*(e*f - d*g)), asin((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(f + g*x))/sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)), (b - sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)))/(sqrt(2)*sqrt(c)*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 15),
+(sqrt(f + g*x)/((d + e*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -(e*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2) - (e*(c*d*(6*e*f - 5*d*g) - e*(3*b*e*f - 2*b*d*g - a*e*g))*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(e*f - d*g)*(d + e*x)) + (sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d*(6*e*f - 5*d*g) - e*(3*b*e*f - 2*b*d*g - a*e*g))*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(4*sqrt(2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(e*f - d*g)*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(b^2 - 4*a*c)*g*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(sqrt(2)*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(b^2 - 4*a*c)*f*(c*d*(6*e*f - 5*d*g) - e*(3*b*e*f - 2*b*d*g - a*e*g))*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(2*sqrt(2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*g*(c*d*(6*e*f - 5*d*g) - e*(3*b*e*f - 2*b*d*g - a*e*g))*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(2*sqrt(2)*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*(c*e*f - 3*c*d*g + b*e*g)*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((e*(2*c*f - b*g + sqrt(b^2 - 4*a*c)*g))/(2*c*(e*f - d*g)), asin((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(f + g*x))/sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)), (b - sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)))/(sqrt(2)*sqrt(c)*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*(c*d*(6*e*f - 5*d*g) - e*(3*b*e*f - 2*b*d*g - a*e*g))*(c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((e*(2*c*f - b*g + sqrt(b^2 - 4*a*c)*g))/(2*c*(e*f - d*g)), asin((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(f + g*x))/sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)), (b - sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)))/(4*sqrt(2)*sqrt(c)*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(e*f - d*g)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 25),
+
+
+((f + g*x)^(3//2)/((d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))))/(c*e*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g*(e*f - d*g)*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))))/(c*e^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(2)*sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*(e*f - d*g)*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((e*(2*c*f - b*g + sqrt(b^2 - 4*a*c)*g))/(2*c*(e*f - d*g)), asin((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(f + g*x))/sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)), (b - sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)))/(sqrt(c)*e^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 11),
+
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+((f + g*x)^(5//2)/((d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (2*g^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c*e) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g*(2*c*f - b*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))))/(3*c^2*e*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))))/(c*e^2*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g*(e*f - d*g)^2*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))))/(c*e^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))))/(3*c^2*e*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(2)*sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*(e*f - d*g)^2*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((e*(2*c*f - b*g + sqrt(b^2 - 4*a*c)*g))/(2*c*(e*f - d*g)), asin((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(f + g*x))/sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)), (b - sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)))/(sqrt(c)*e^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 17),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0 & n<0
+
+
+((d + e*x)^3/(sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (-8*e^2*(c*e*f - 3*c*d*g + b*e*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*c^2*g^2) + (2*e^2*(d + e*x)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*c*g) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(8*b^2*e^2*g^2 + c*e*g*(7*b*e*f - 30*b*d*g - 9*a*e*g) + c^2*(8*e^2*f^2 - 30*d*e*f*g + 45*d^2*g^2))*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(15*c^3*g^3*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(4*b*e^3*g^2*(b*f - a*g) + c^2*(8*e^3*f^3 - 30*d*e^2*f^2*g + 45*d^2*e*f*g^2 - 15*d^3*g^3) - c*e^2*g*(a*g*(7*e*f - 15*d*g) - 3*b*f*(e*f - 5*d*g)))*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(15*c^3*g^3*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^2/(sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (2*e^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c*g) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(c*e*f - 3*c*d*g + b*e*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(3*c^2*g^2*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(e^2*g*(b*f - a*g) + c*(2*e^2*f^2 - 6*d*e*f*g + 3*d^2*g^2))*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(3*c^2*g^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((d + e*x)^1/(sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(c*g*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(e*f - d*g)*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(c*g*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+((d + e*x)^0/(sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(c*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((sqrt(2)*sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((e*(2*c*f - b*g + sqrt(b^2 - 4*a*c)*g))/(2*c*(e*f - d*g)), asin((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(f + g*x))/sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)), (b - sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)))/(sqrt(c)*(e*f - d*g)*sqrt(a + b*x + c*x^2))), x, 5),
+(1/((d + e*x)^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((e^2*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*(d + e*x))) + (sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/(sqrt(2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*f*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*g*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), (-2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*(c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((e*(2*c*f - b*g + sqrt(b^2 - 4*a*c)*g))/(2*c*(e*f - d*g)), asin((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(f + g*x))/sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)), (b - sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)))/(sqrt(2)*sqrt(c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 15),
+# {1/((d + e*x)^3*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]), x, 25, -((e^2*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2)) - (3*e^2*(c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)) + (3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e*(c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(4*Sqrt[2]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(e*f - d*g)^2*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(c*d*(-6*e*f + 7*d*g) + e*(3*b*e*f - 4*b*d*g + a*e*g))*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[(c*(a + x*(b + c*x)))/(-b^2 + 4*a*c)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(-2*c*f + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)])/(2*Sqrt[2]*(c*d^2 + e*((-b)*d + a*e))^2*(e*f - d*g)*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + x*(b + c*x)]) + (Sqrt[2*c*f - b*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g]*(c^2*d^2*(8*e^2*f^2 - 20*d*e*f*g + 15*d^2*g^2) + 2*c*e*(b*d*(-4*e^2*f^2 + 11*d*e*f*g - 10*d^2*g^2) + a*e*(-2*e^2*f^2 + 2*d*e*f*g + 3*d^2*g^2)) + e^2*(3*a^2*e^2*g^2 + 2*a*b*e*g*(e*f - 4*d*g) + b^2*(3*e^2*f^2 - 8*d*e*f*g + 8*d^2*g^2)))*Sqrt[(g*(-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] - 2*c*x))/(2*c*f + (-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[(g*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(-2*c*f + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*EllipticPi[(2*c*e*f - b*e*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e*g)/(2*c*e*f - 2*c*d*g), ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[2*c*f - b*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g]], (2*c*f + (-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)])/(4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*(c*d^2 + e*((-b)*d + a*e))^2*((-e)*f + d*g)^3*Sqrt[a + x*(b + c*x)]), -((e^2*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2)) - (3*e^2*(c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)) + (3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e*(c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(4*Sqrt[2]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(e*f - d*g)^2*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(Sqrt[2]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e*f*(c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(2*Sqrt[2]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(e*f - d*g)^2*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d*g*(c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*Sqrt[(c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g)/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g))])/(2*Sqrt[2]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(e*f - d*g)^2*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]*(c*e*f - 3*c*d*g + b*e*g)*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*EllipticPi[(e*(2*c*f - b*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g))/(2*c*(e*f - d*g)), ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]], (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)])/(Sqrt[2]*Sqrt[c]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)^2*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (3*Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]*(c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))^2*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*Sqrt[1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g)]*EllipticPi[(e*(2*c*f - b*g + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*g))/(2*c*(e*f - d*g)), ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[2*c*f - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g]], (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*f)/g)])/(4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(e*f - d*g)^3*Sqrt[a + b*x + c*x^2])}
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+(1/((f + g*x)^(3//2)*(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (2*g^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(f + g*x)) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))))/((e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(2)*e*sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((e*(2*c*f - b*g + sqrt(b^2 - 4*a*c)*g))/(2*c*(e*f - d*g)), asin((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(f + g*x))/sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)), (b - sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)))/(sqrt(c)*(e*f - d*g)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 11),
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+(1/((f + g*x)^(5//2)*(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (2*g^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(f + g*x)^(3//2)) + (4*g^2*(2*c*f - b*g)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^2*sqrt(f + g*x)) + (2*e*g^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((e*f - d*g)^2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(f + g*x)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g*(2*c*f - b*g)*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))))/(3*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^2*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*g*sqrt(f + g*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))))/((e*f - d*g)^2*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g*sqrt((c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*g)/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))))/(3*(e*f - d*g)*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (sqrt(2)*e^2*sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*sqrt(1 - (2*c*(f + g*x))/(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((e*(2*c*f - b*g + sqrt(b^2 - 4*a*c)*g))/(2*c*(e*f - d*g)), asin((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(f + g*x))/sqrt(2*c*f - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)), (b - sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*c*f)/g)))/(sqrt(c)*(e*f - d*g)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 18),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (f+g x)^(n/2) (a+b x+c x^2)^(p/2)
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+# {(d + e*x)^(5/2)/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]), x, 0, 0}
+# {(d + e*x)^(3/2)/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]), x, 0, 0} *)
+((d + e*x)^(1//2)/(sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (sqrt(2)*sqrt(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)*sqrt(((e*f - d*g)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/((2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*(d + e*x)))*sqrt(((e*f - d*g)*(2*a + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x))/((b*f + sqrt(b^2 - 4*a*c)*f - 2*a*g)*(d + e*x)))*(d + e*x)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((e*(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*g), asin((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*sqrt(f + g*x))/(sqrt(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g)*sqrt(d + e*x))), ((b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*e)*(2*c*f - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*g))/((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b*f + sqrt(b^2 - 4*a*c)*f - 2*a*g))))/(sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*g*sqrt((2*a*c)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)) + c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 1),
+(1/((d + e*x)^(1//2)*sqrt(f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -(((c*f^2 - g*(b*f - a*g))^(1//4)*(d + e*x)*sqrt(((e*f - d*g)^2*(a + b*x + c*x^2))/((c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(d + e*x)^2))*(1 + (sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(f + g*x))/(sqrt(c*f^2 - g*(b*f - a*g))*(d + e*x)))*sqrt((1 - ((2*c*d*f + 2*a*e*g - b*(e*f + d*g))*(f + g*x))/((c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(d + e*x)) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(f + g*x)^2)/((c*f^2 - g*(b*f - a*g))*(d + e*x)^2))/(1 + (sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(f + g*x))/(sqrt(c*f^2 - g*(b*f - a*g))*(d + e*x)))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4)*sqrt(f + g*x))/((c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^(1//4)*sqrt(d + e*x))), (1//4)*(2 + (2*c*d*f + 2*a*e*g - b*(e*f + d*g))/(sqrt(c*d^2 - e*(b*d - a*e))*sqrt(c*f^2 - g*(b*f - a*g))))))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(1//4)*(e*f - d*g)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*sqrt(1 - ((2*c*d*f + 2*a*e*g - b*(e*f + d*g))*(f + g*x))/((c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(d + e*x)) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(f + g*x)^2)/((c*f^2 - g*(b*f - a*g))*(d + e*x)^2)))), x, 2),
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+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p when m symbolic
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p when m symbolic
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+# ::Subsubsection::Closed::
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+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)*(f + g*x)^2, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)^(1 + m))/(e^5*(1 + m)) - ((e*f - d*g)*(2*c*d*(e*f - 2*d*g) - e*(b*e*f - 3*b*d*g + 2*a*e*g))*(d + e*x)^(2 + m))/(e^5*(2 + m)) + ((e*g*(2*b*e*f - 3*b*d*g + a*e*g) + c*(e^2*f^2 - 6*d*e*f*g + 6*d^2*g^2))*(d + e*x)^(3 + m))/(e^5*(3 + m)) + (g*(2*c*e*f - 4*c*d*g + b*e*g)*(d + e*x)^(4 + m))/(e^5*(4 + m)) + (c*g^2*(d + e*x)^(5 + m))/(e^5*(5 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)*(f + g*x)^1, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^4*(1 + m)) - ((c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*(d + e*x)^(2 + m))/(e^4*(2 + m)) + ((c*e*f - 3*c*d*g + b*e*g)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^4*(3 + m)) + (c*g*(d + e*x)^(4 + m))/(e^4*(4 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)/(f + g*x)^1, -(((c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^2*g^2*(1 + m))) + (c*(d + e*x)^(2 + m))/(e^2*g*(2 + m)) + ((c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))))/(g^2*(e*f - d*g)*(1 + m)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)/(f + g*x)^2, (c*(d + e*x)^(1 + m))/(e*g^2*(1 + m)) + ((a + (f*(c*f - b*g))/g^2)*(d + e*x)^(1 + m))/((e*f - d*g)*(f + g*x)) + ((c*f*(2*d*g - e*f*(2 + m)) - g*(a*e*g*m + b*(d*g - e*f*(1 + m))))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))))/(g^2*(e*f - d*g)^2*(1 + m)), x, 3),
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)/(f + g*x)^3, ((a + (f*(c*f - b*g))/g^2)*(d + e*x)^(1 + m))/(2*(e*f - d*g)*(f + g*x)^2) + ((c*f*(4*d*g - e*f*(3 + m)) + g*(a*e*g*(1 - m) - b*(2*d*g - e*f*(1 + m))))*(d + e*x)^(1 + m))/(2*g^2*(e*f - d*g)^2*(f + g*x)) + ((c*(2*d^2*g^2 - 4*d*e*f*g*(1 + m) + e^2*f^2*(2 + 3*m + m^2)) - e*g*m*(a*e*g*(1 - m) - b*(2*d*g - e*f*(1 + m))))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))))/(2*g^2*(e*f - d*g)^3*(1 + m)), x, 3),
+
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+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^2*(f + g*x)^2, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)^(1 + m))/(e^7*(1 + m)) - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(e*f - d*g)*(c*d*(2*e*f - 3*d*g) - e*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g))*(d + e*x)^(2 + m))/(e^7*(2 + m)) + ((c^2*d^2*(6*e^2*f^2 - 20*d*e*f*g + 15*d^2*g^2) + e^2*(a^2*e^2*g^2 + 2*a*b*e*g*(2*e*f - 3*d*g) + b^2*(e^2*f^2 - 6*d*e*f*g + 6*d^2*g^2)) + 2*c*e*(a*e*(e^2*f^2 - 6*d*e*f*g + 6*d^2*g^2) - b*d*(3*e^2*f^2 - 12*d*e*f*g + 10*d^2*g^2)))*(d + e*x)^(3 + m))/(e^7*(3 + m)) + (2*(b*e^2*g*(b*e*f - 2*b*d*g + a*e*g) - 2*c^2*d*(e^2*f^2 - 5*d*e*f*g + 5*d^2*g^2) + c*e*(2*a*e*g*(e*f - 2*d*g) + b*(e^2*f^2 - 8*d*e*f*g + 10*d^2*g^2)))*(d + e*x)^(4 + m))/(e^7*(4 + m)) + ((b^2*e^2*g^2 + 2*c*e*g*(2*b*e*f - 5*b*d*g + a*e*g) + c^2*(e^2*f^2 - 10*d*e*f*g + 15*d^2*g^2))*(d + e*x)^(5 + m))/(e^7*(5 + m)) + (2*c*g*(c*e*f - 3*c*d*g + b*e*g)*(d + e*x)^(6 + m))/(e^7*(6 + m)) + (c^2*g^2*(d + e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^2*(f + g*x)^1, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(e*f - d*g)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^6*(1 + m)) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(c*d*(4*e*f - 5*d*g) - e*(2*b*e*f - 3*b*d*g + a*e*g))*(d + e*x)^(2 + m))/(e^6*(2 + m)) + ((2*c^2*d^2*(3*e*f - 5*d*g) + b*e^2*(b*e*f - 3*b*d*g + 2*a*e*g) + 2*c*e*(a*e*(e*f - 3*d*g) - 3*b*d*(e*f - 2*d*g)))*(d + e*x)^(3 + m))/(e^6*(3 + m)) + ((b^2*e^2*g - 2*c^2*d*(2*e*f - 5*d*g) + 2*c*e*(b*e*f - 4*b*d*g + a*e*g))*(d + e*x)^(4 + m))/(e^6*(4 + m)) + (c*(c*e*f - 5*c*d*g + 2*b*e*g)*(d + e*x)^(5 + m))/(e^6*(5 + m)) + (c^2*g*(d + e*x)^(6 + m))/(e^6*(6 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^2/(f + g*x)^1, ((b*e*g - c*(e*f + d*g))*(c*(e^2*f^2 + d^2*g^2) + e*g*(2*a*e*g - b*(e*f + d*g)))*(d + e*x)^(1 + m))/(e^4*g^4*(1 + m)) + ((b^2*e^2*g^2 + c^2*(e^2*f^2 + 2*d*e*f*g + 3*d^2*g^2) + 2*c*e*g*(a*e*g - b*(e*f + 2*d*g)))*(d + e*x)^(2 + m))/(e^4*g^3*(2 + m)) - (c*(c*e*f + 3*c*d*g - 2*b*e*g)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^4*g^2*(3 + m)) + (c^2*(d + e*x)^(4 + m))/(e^4*g*(4 + m)) + ((c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^2*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))))/(g^4*(e*f - d*g)*(1 + m)), x, 4),
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^2/(f + g*x)^2, ((b^2*e^2*g^2 + c^2*(3*e^2*f^2 + 2*d*e*f*g + d^2*g^2) + 2*c*e*g*(a*e*g - b*(2*e*f + d*g)))*(d + e*x)^(1 + m))/(e^3*g^4*(1 + m)) - (2*c*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^3*g^3*(2 + m)) + (c^2*(d + e*x)^(3 + m))/(e^3*g^2*(3 + m)) + ((c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^2*(d + e*x)^(1 + m))/(g^4*(e*f - d*g)*(f + g*x)) + ((c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(c*f*(4*d*g - e*f*(4 + m)) - g*(a*e*g*m + b*(2*d*g - e*f*(2 + m))))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))))/(g^4*(e*f - d*g)^2*(1 + m)), x, 4),
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^2/(f + g*x)^3, -((c*(3*c*e*f + c*d*g - 2*b*e*g)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^2*g^4*(1 + m))) + (c^2*(d + e*x)^(2 + m))/(e^2*g^3*(2 + m)) + ((c*f^2 - b*f*g + a*g^2)^2*(d + e*x)^(1 + m))/(2*g^4*(e*f - d*g)*(f + g*x)^2) + ((c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(c*f*(8*d*g - e*f*(7 + m)) + g*(a*e*g*(1 - m) - b*(4*d*g - e*f*(3 + m))))*(d + e*x)^(1 + m))/(2*g^4*(e*f - d*g)^2*(f + g*x)) + (1/(2*g^4*(e*f - d*g)^3*(1 + m)))*((c^2*f^2*(12*d^2*g^2 - 8*d*e*f*g*(3 + m) + e^2*f^2*(12 + 7*m + m^2)) - g^2*(a^2*e^2*g^2*(1 - m)*m - 2*a*b*e*g*m*(2*d*g - e*f*(1 + m)) - b^2*(2*d^2*g^2 - 4*d*e*f*g*(1 + m) + e^2*f^2*(2 + 3*m + m^2))) + 2*c*g*(a*g*(2*d^2*g^2 - 4*d*e*f*g*(1 + m) + e^2*f^2*(2 + 3*m + m^2)) - b*f*(6*d^2*g^2 - 6*d*e*f*g*(2 + m) + e^2*f^2*(6 + 5*m + m^2))))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g)))), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((1 + 4*x)^m*(2 + 3*x)^4/(1 - 5*x + 3*x^2), (3687*(1 + 4*x)^(1 + m))/(64*(1 + m)) + (207*(1 + 4*x)^(2 + m))/(32*(2 + m)) + (27*(1 + 4*x)^(3 + m))/(64*(3 + m)) - (3*(5499 - 1631*sqrt(13))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 - 2*sqrt(13))))/(26*(13 - 2*sqrt(13))*(1 + m)) - (3*(5499 + 1631*sqrt(13))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 + 2*sqrt(13))))/(26*(13 + 2*sqrt(13))*(1 + m)), x, 4),
+((1 + 4*x)^m*(2 + 3*x)^3/(1 - 5*x + 3*x^2), (123*(1 + 4*x)^(1 + m))/(16*(1 + m)) + (9*(1 + 4*x)^(2 + m))/(16*(2 + m)) - (3*(416 - 135*sqrt(13))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 - 2*sqrt(13))))/(13*(13 - 2*sqrt(13))*(1 + m)) - (3*(416 + 135*sqrt(13))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 + 2*sqrt(13))))/(13*(13 + 2*sqrt(13))*(1 + m)), x, 4),
+((1 + 4*x)^m*(2 + 3*x)^2/(1 - 5*x + 3*x^2), (3*(1 + 4*x)^(1 + m))/(4*(1 + m)) - (3*(117 - 47*sqrt(13))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 - 2*sqrt(13))))/(26*(13 - 2*sqrt(13))*(1 + m)) - (3*(117 + 47*sqrt(13))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 + 2*sqrt(13))))/(26*(13 + 2*sqrt(13))*(1 + m)), x, 4),
+((1 + 4*x)^m*(2 + 3*x)^1/(1 - 5*x + 3*x^2), -((3*(13 - 9*sqrt(13))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 - 2*sqrt(13))))/(26*(13 - 2*sqrt(13))*(1 + m))) - (3*(13 + 9*sqrt(13))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 + 2*sqrt(13))))/(26*(13 + 2*sqrt(13))*(1 + m)), x, 4),
+((1 + 4*x)^m*(2 + 3*x)^0/(1 - 5*x + 3*x^2), (3*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 - 2*sqrt(13))))/(sqrt(13)*(13 - 2*sqrt(13))*(1 + m)) - (3*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 + 2*sqrt(13))))/(sqrt(13)*(13 + 2*sqrt(13))*(1 + m)), x, 4),
+((1 + 4*x)^m/((2 + 3*x)^1*(1 - 5*x + 3*x^2)), (3*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (-(3//5))*(1 + 4*x)))/(85*(1 + m)) + (3*(13 + 9*sqrt(13))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 - 2*sqrt(13))))/(442*(13 - 2*sqrt(13))*(1 + m)) + (3*(13 - 9*sqrt(13))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 + 2*sqrt(13))))/(442*(13 + 2*sqrt(13))*(1 + m)), x, 7),
+((1 + 4*x)^m/((2 + 3*x)^2*(1 - 5*x + 3*x^2)), (27*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (-(3//5))*(1 + 4*x)))/(1445*(1 + m)) + (3*(117 + 47*sqrt(13))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 - 2*sqrt(13))))/(7514*(13 - 2*sqrt(13))*(1 + m)) + (3*(117 - 47*sqrt(13))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 + 2*sqrt(13))))/(7514*(13 + 2*sqrt(13))*(1 + m)) + (12*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, (-(3//5))*(1 + 4*x)))/(425*(1 + m)), x, 8),
+
+
+((1 + 4*x)^m*(2 + 3*x)^4/(1 - 5*x + 3*x^2)^2, (9*(1 + 4*x)^(1 + m))/(4*(1 + m)) + ((844 - 2355*x)*(1 + 4*x)^(1 + m))/(39*(1 - 5*x + 3*x^2)) - ((13689 - sqrt(13)*(297 + 4474*m - 1570*sqrt(13)*m))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 - 2*sqrt(13))))/(169*(13 - 2*sqrt(13))*(1 + m)) - ((13689 + sqrt(13)*(297 + 4474*m + 1570*sqrt(13)*m))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 + 2*sqrt(13))))/(169*(13 + 2*sqrt(13))*(1 + m)), x, 5),
+((1 + 4*x)^m*(2 + 3*x)^3/(1 - 5*x + 3*x^2)^2, ((209 - 426*x)*(1 + 4*x)^(1 + m))/(39*(1 - 5*x + 3*x^2)) - ((1521 + sqrt(13)*(1701 - 1168*m + 568*sqrt(13)*m))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 - 2*sqrt(13))))/(338*(13 - 2*sqrt(13))*(1 + m)) + ((sqrt(13)*(1701 - 1168*m) - 13*(117 + 568*m))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 + 2*sqrt(13))))/(338*(13 + 2*sqrt(13))*(1 + m)), x, 5),
+((1 + 4*x)^m*(2 + 3*x)^2/(1 - 5*x + 3*x^2)^2, ((61 - 87*x)*(1 + 4*x)^(1 + m))/(39*(1 - 5*x + 3*x^2)) - (2*(153 - (23 - 29*sqrt(13))*m)*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 - 2*sqrt(13))))/(13*sqrt(13)*(13 - 2*sqrt(13))*(1 + m)) + (2*(153 - (23 + 29*sqrt(13))*m)*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 + 2*sqrt(13))))/(13*sqrt(13)*(13 + 2*sqrt(13))*(1 + m)), x, 5),
+((1 + 4*x)^m*(2 + 3*x)^1/(1 - 5*x + 3*x^2)^2, ((20 - 21*x)*(1 + 4*x)^(1 + m))/(39*(1 - 5*x + 3*x^2)) - ((81 + 2*(5 + 7*sqrt(13))*m)*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 - 2*sqrt(13))))/(13*sqrt(13)*(13 - 2*sqrt(13))*(1 + m)) + ((81 + 2*(5 - 7*sqrt(13))*m)*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 + 2*sqrt(13))))/(13*sqrt(13)*(13 + 2*sqrt(13))*(1 + m)), x, 5),
+((1 + 4*x)^m*(2 + 3*x)^0/(1 - 5*x + 3*x^2)^2, ((7 - 6*x)*(1 + 4*x)^(1 + m))/(39*(1 - 5*x + 3*x^2)) - (2*(9 + 2*(2 + sqrt(13))*m)*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 - 2*sqrt(13))))/(13*sqrt(13)*(13 - 2*sqrt(13))*(1 + m)) + (2*(9 + 2*(2 - sqrt(13))*m)*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 + 2*sqrt(13))))/(13*sqrt(13)*(13 + 2*sqrt(13))*(1 + m)), x, 5),
+((1 + 4*x)^m/((2 + 3*x)^1*(1 - 5*x + 3*x^2)^2), ((43 - 33*x)*(1 + 4*x)^(1 + m))/(663*(1 - 5*x + 3*x^2)) + (9*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (-(3//5))*(1 + 4*x)))/(1445*(1 + m)) + (9*(13 + 9*sqrt(13))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 - 2*sqrt(13))))/(7514*(13 - 2*sqrt(13))*(1 + m)) - ((81 + (62 + 22*sqrt(13))*m)*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 - 2*sqrt(13))))/(221*sqrt(13)*(13 - 2*sqrt(13))*(1 + m)) + (9*(13 - 9*sqrt(13))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 + 2*sqrt(13))))/(7514*(13 + 2*sqrt(13))*(1 + m)) + ((81 + (62 - 22*sqrt(13))*m)*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 + 2*sqrt(13))))/(221*sqrt(13)*(13 + 2*sqrt(13))*(1 + m)), x, 12),
+((1 + 4*x)^m/((2 + 3*x)^2*(1 - 5*x + 3*x^2)^2), ((268 - 195*x)*(1 + 4*x)^(1 + m))/(11271*(1 - 5*x + 3*x^2)) + (162*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (-(3//5))*(1 + 4*x)))/(24565*(1 + m)) + (9*(117 + 64*sqrt(13))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 - 2*sqrt(13))))/(63869*(13 - 2*sqrt(13))*(1 + m)) - ((423 + 2*(211 + 65*sqrt(13))*m)*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 - 2*sqrt(13))))/(3757*sqrt(13)*(13 - 2*sqrt(13))*(1 + m)) + (9*(117 - 64*sqrt(13))*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 + 2*sqrt(13))))/(63869*(13 + 2*sqrt(13))*(1 + m)) + ((423 + (422 - 130*sqrt(13))*m)*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (3*(1 + 4*x))/(13 + 2*sqrt(13))))/(3757*sqrt(13)*(13 + 2*sqrt(13))*(1 + m)) + (36*(1 + 4*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, (-(3//5))*(1 + 4*x)))/(7225*(1 + m)), x, 13),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^(n/2) (a+b x+c x^2)^p when m symbolic
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)/(e + f*x)^(3//2), (2*(a + (e*(c*e - b*f))/f^2)*(d + e*x)^(1 + m))/((e^2 - d*f)*sqrt(e + f*x)) + (2*c*(d + e*x)^(1 + m)*sqrt(e + f*x))/(e*f^2*(3 + 2*m)) + (2*(c*(d^2*f^2 + 4*d*e^2*f*(1 + m) - 4*e^4*(2 + 3*m + m^2)) - e*f*(3 + 2*m)*(a*e*f*(1 + 2*m) + b*(d*f - 2*e^2*(1 + m))))*(d + e*x)^m*sqrt(e + f*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -m, 3//2, (e*(e + f*x))/(e^2 - d*f)))/((-((f*(d + e*x))/(e^2 - d*f)))^m*(e*f^3*(e^2 - d*f)*(3 + 2*m))), x, 4),
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+# ::Subsubsection::
+# p<0
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^(p/2) when m symbolic
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((d + e*x)^m*sqrt(a + b*x + c*x^2)*(f + g*x)^2, (g^2*(d + e*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(c*e*(4 + m)) + ((e*(b*d - a*e)*g^2*(1 + m) + c*(3*d^2*g^2 + e^2*f^2*(4 + m) - 2*d*e*f*g*(4 + m)))*(d + e*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -(1//2), -(1//2), 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(c*e^3*(1 + m)*(4 + m)*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))) - (g*(b*e*g*(5 + 2*m) + 2*c*(3*d*g - 2*e*f*(4 + m)))*(d + e*x)^(2 + m)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, -(1//2), -(1//2), 3 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(2*c*e^3*(2 + m)*(4 + m)*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))), x, 6),
+((d + e*x)^m*sqrt(a + b*x + c*x^2)*(f + g*x)^1, ((e*f - d*g)*(d + e*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -(1//2), -(1//2), 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(e^2*(1 + m)*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))) + (g*(d + e*x)^(2 + m)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, -(1//2), -(1//2), 3 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(e^2*(2 + m)*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))), x, 5),
+((d + e*x)^m*sqrt(a + b*x + c*x^2)*(f + g*x)^0, ((d + e*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -(1//2), -(1//2), 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(e*(1 + m)*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))), x, 2),
+((d + e*x)^m*sqrt(a + b*x + c*x^2)/(f + g*x)^1, Unintegrable(((d + e*x)^m*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(f + g*x), x), x, 0),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+((d + e*x)^m*(f + g*x)^2/sqrt(a + b*x + c*x^2), (g^2*(d + e*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(c*e*(2 + m)) + (1/(c*e^3*(1 + m)*(2 + m)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*((e*(b*d - a*e)*g^2*(1 + m) + c*(d^2*g^2 + e^2*f^2*(2 + m) - 2*d*e*f*g*(2 + m)))*(d + e*x)^(1 + m)*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, 1//2, 1//2, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))) - (1/(2*c*e^3*(2 + m)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(g*(b*e*g*(3 + 2*m) + c*(2*d*g - 4*e*f*(2 + m)))*(d + e*x)^(2 + m)*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, 1//2, 1//2, 3 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))), x, 6),
+((d + e*x)^m*(f + g*x)^1/sqrt(a + b*x + c*x^2), ((e*f - d*g)*(d + e*x)^(1 + m)*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, 1//2, 1//2, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(e^2*(1 + m)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (g*(d + e*x)^(2 + m)*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, 1//2, 1//2, 3 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(e^2*(2 + m)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+((d + e*x)^m*(f + g*x)^0/sqrt(a + b*x + c*x^2), ((d + e*x)^(1 + m)*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, 1//2, 1//2, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(e*(1 + m)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 2),
+((d + e*x)^m/((f + g*x)^1*sqrt(a + b*x + c*x^2)), Unintegrable((d + e*x)^m/((f + g*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x), x, 0),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p when m and n symbolic
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+((d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + b*x + c*x^2)^1, ((b*e*g*(3 + m + n) - c*(e*f*(2 + m) + d*g*(4 + m + 2*n)))*(d + e*x)^(1 + m)*(f + g*x)^(1 + n))/(e^2*g^2*(2 + m + n)*(3 + m + n)) + (c*(d + e*x)^(2 + m)*(f + g*x)^(1 + n))/(e^2*g*(3 + m + n)) + (1/(e^3*g^2*(1 + m)*(2 + m + n)*(3 + m + n)))*(((g*(2 + m + n)*(a*e^2*g*(3 + m + n) - c*d*(e*f*(2 + m) + d*g*(1 + n))) - (e*f*(1 + m) + d*g*(1 + n))*(b*e*g*(3 + m + n) - c*(e*f*(2 + m) + d*g*(4 + m + 2*n))))*(d + e*x)^(1 + m)*(f + g*x)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + m, -n, 2 + m, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))))/((e*(f + g*x))/(e*f - d*g))^n), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (f+g x)^n (a+b x+c x^2)^p when m and p symbolic
+
+
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p*(f + g*x)^2, (g^2*(d + e*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(c*e*(3 + m + 2*p)) + (1/(c*e^3*(1 + m)*(3 + m + 2*p)))*(((e*(b*d - a*e)*g^2*(1 + m) + c*(2*d^2*g^2*(1 + p) + e^2*f^2*(3 + m + 2*p) - 2*d*e*f*g*(3 + m + 2*p)))*(d + e*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -p, -p, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p)) - (1/(c*e^3*(2 + m)*(3 + m + 2*p)))*((g*(b*e*g*(2 + m + p) + 2*c*(d*g*(1 + p) - e*f*(3 + m + 2*p)))*(d + e*x)^(2 + m)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, -p, -p, 3 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p)), x, 6),
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p*(f + g*x)^1, (1/(e^2*(1 + m)))*(((e*f - d*g)*(d + e*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -p, -p, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p)) + (1/(e^2*(2 + m)))*((g*(d + e*x)^(2 + m)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, -p, -p, 3 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p)), x, 5),
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p*(f + g*x)^0, (1/(e*(1 + m)))*(((d + e*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -p, -p, 2 + m, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/((1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p*(1 - (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))^p)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p/(f + g*x)^1, Unintegrable(((d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p)/(f + g*x), x), x, 0),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (g x)^m (d+e x)^n (a+b/x+c/x^2)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (g x)^m (d+e x)^n (a+b/x+c/x^2)^p with b=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^(n/2) (a+c/x^2)^p
+
+
+(1/(x^2*sqrt(1 - 1/(c^2*x^2))*sqrt(d + e*x)), -((2*sqrt((c*(d + e*x))/(c*d + e))*sqrt(1 - c^2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(2, asin(sqrt(1 - c*x)/sqrt(2)), (2*e)/(c*d + e)))/(sqrt(1 - 1/(c^2*x^2))*x*sqrt(d + e*x))), x, 5),
+]
+# Total integrals translated: 928
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.5 (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.5 (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q.jl
new file mode 100644
index 00000000..fb0195f7
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.5 (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q.jl	
@@ -0,0 +1,317 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q with c e-b f=0
+
+
+# {(a + b*x + b*f/e*x^2)^3/Sqrt[d + e*x + f*x^2], x, 0, (1/1024)*((1/(3*e^3*f^3))*(2*b*(e + 2*f*x)*Sqrt[d + x*(e + f*x)]*(1152*a^2*e^2*f^2 - 72*a*b*e*f*(3*e^2 - 8*e*f*x + 4*f*(3*d - 2*f*x^2)) + b^2*(15*e^4 - 40*e^3*f*x + 32*e*f^2*x*(-5*d + 8*f*x^2) + 8*e^2*f*(7*d + 11*f*x^2) + 16*f^2*(15*d^2 - 10*d*f*x^2 + 8*f^2*x^4)))) - ((-1024*a^3*e^3*f^3 + 384*a^2*b*e^2*f^2*(e^2 + 4*d*f) - 24*a*b^2*e*f*(3*e^4 + 8*d*e^2*f + 48*d^2*f^2) + b^3*(5*e^6 + 12*d*e^4*f + 48*d^2*e^2*f^2 + 320*d^3*f^3))*Log[e + 2*f*x + 2*Sqrt[f]*Sqrt[d + x*(e + f*x)]])/(e^3*f^(7/2)))}
+# {(a + b*x + b*f/e*x^2)^2/Sqrt[d + e*x + f*x^2], x, 0, (1/(128*e^2*f^(5/2)))*(2*b*Sqrt[f]*(e + 2*f*x)*Sqrt[d + x*(e + f*x)]*(32*a*e*f + b*(-3*e^2 + 8*e*f*x + 4*f*(-3*d + 2*f*x^2))) + (128*a^2*e^2*f^2 - 32*a*b*e*f*(e^2 + 4*d*f) + b^2*(3*e^4 + 8*d*e^2*f + 48*d^2*f^2))*Log[e + 2*f*x + 2*Sqrt[f]*Sqrt[d + x*(e + f*x)]])} *)
+((a + b*x + b*f/e*x^2)^1/sqrt(d + e*x + f*x^2), (b*sqrt(d + e*x + f*x^2))/(4*f) + (b*x*sqrt(d + e*x + f*x^2))/(2*e) + ((8*a*f - b*(e + (4*d*f)/e))*atanh((e + 2*f*x)/(2*sqrt(f)*sqrt(d + e*x + f*x^2))))/(8*f^(3//2)), x, 4),
+(1/((a + b*x + b*f/e*x^2)^1*sqrt(d + e*x + f*x^2)), -((2*sqrt(e)*atanh((sqrt(b*d - a*e)*(e + 2*f*x))/(sqrt(e)*sqrt(b*e - 4*a*f)*sqrt(d + e*x + f*x^2))))/(sqrt(b*d - a*e)*sqrt(b*e - 4*a*f))), x, 2),
+# {1/((a + b*x + b*f/e*x^2)^2*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x, 0, (1/(2*((-b)*d + a*e)))*(Sqrt[e]*((2*b*Sqrt[e]*(e + 2*f*x)*Sqrt[d + x*(e + f*x)])/((b*e - 4*a*f)*(a*e + b*x*(e + f*x))) + ((-8*a*e*f + b*(e^2 + 4*d*f))*Log[(-Sqrt[b])*Sqrt[e]*Sqrt[b*e - 4*a*f] + b*(e + 2*f*x)])/(Sqrt[b*d - a*e]*(b*e - 4*a*f)^(3/2)) + ((8*a*e*f - b*(e^2 + 4*d*f))*Log[Sqrt[b]*Sqrt[e]*Sqrt[b*e - 4*a*f] + b*(e + 2*f*x)])/(Sqrt[b*d - a*e]*(b*e - 4*a*f)^(3/2)) + ((-8*a*e*f + b*(e^2 + 4*d*f))*Log[Sqrt[b]*(e^(3/2)*Sqrt[b*e - 4*a*f] + Sqrt[b]*(e^2 - 4*d*f) + 2*Sqrt[e]*f*Sqrt[b*e - 4*a*f]*x - 4*Sqrt[b*d - a*e]*f*Sqrt[d + x*(e + f*x)])])/(Sqrt[b*d - a*e]*(b*e - 4*a*f)^(3/2)) + ((8*a*e*f - b*(e^2 + 4*d*f))*Log[Sqrt[b]*(e^(3/2)*Sqrt[b*e - 4*a*f] - Sqrt[b]*(e^2 - 4*d*f) + 2*Sqrt[e]*f*Sqrt[b*e - 4*a*f]*x + 4*Sqrt[b*d - a*e]*f*Sqrt[d + x*(e + f*x)])])/(Sqrt[b*d - a*e]*(b*e - 4*a*f)^(3/2))))}
+# {1/((a + b*x + b*f/e*x^2)^3*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x, 0, (1/8)*Sqrt[e]*((2*b*Sqrt[e]*(e + 2*f*x)*Sqrt[d + x*(e + f*x)]*(-32*a^2*e^2*f + a*b*e*(5*e^2 - 24*e*f*x + 4*f*(5*d - 6*f*x^2)) + b^2*(3*e^2*x*(e + f*x) - 2*d*(e^2 - 6*e*f*x - 6*f^2*x^2))))/((b*d - a*e)^2*(b*e - 4*a*f)^2*(a*e + b*x*(e + f*x))^2) + ((128*a^2*e^2*f^2 - 32*a*b*e*f*(e^2 + 4*d*f) + b^2*(3*e^4 + 8*d*e^2*f + 48*d^2*f^2))*Log[(-Sqrt[b])*Sqrt[e]*Sqrt[b*e - 4*a*f] + b*(e + 2*f*x)])/((b*d - a*e)^(5/2)*(b*e - 4*a*f)^(5/2)) - ((128*a^2*e^2*f^2 - 32*a*b*e*f*(e^2 + 4*d*f) + b^2*(3*e^4 + 8*d*e^2*f + 48*d^2*f^2))*Log[Sqrt[b]*Sqrt[e]*Sqrt[b*e - 4*a*f] + b*(e + 2*f*x)])/((b*d - a*e)^(5/2)*(b*e - 4*a*f)^(5/2)) + ((128*a^2*e^2*f^2 - 32*a*b*e*f*(e^2 + 4*d*f) + b^2*(3*e^4 + 8*d*e^2*f + 48*d^2*f^2))*Log[Sqrt[b]*(e^(3/2)*Sqrt[b*e - 4*a*f] + Sqrt[b]*(e^2 - 4*d*f) + 2*Sqrt[e]*f*Sqrt[b*e - 4*a*f]*x - 4*Sqrt[b*d - a*e]*f*Sqrt[d + x*(e + f*x)])])/((b*d - a*e)^(5/2)*(b*e - 4*a*f)^(5/2)) - ((128*a^2*e^2*f^2 - 32*a*b*e*f*(e^2 + 4*d*f) + b^2*(3*e^4 + 8*d*e^2*f + 48*d^2*f^2))*Log[Sqrt[b]*(e^(3/2)*Sqrt[b*e - 4*a*f] - Sqrt[b]*(e^2 - 4*d*f) + 2*Sqrt[e]*f*Sqrt[b*e - 4*a*f]*x + 4*Sqrt[b*d - a*e]*f*Sqrt[d + x*(e + f*x)])])/((b*d - a*e)^(5/2)*(b*e - 4*a*f)^(5/2)))} *)
+
+
+(1/(sqrt(a + b*x + c*x^2)*(d + b*x + c*x^2)^1), -((2*atanh((sqrt(a - d)*(b + 2*c*x))/(sqrt(b^2 - 4*c*d)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(a - d)*sqrt(b^2 - 4*c*d))), x, 2),
+(1/(sqrt(a + b*x + c*x^2)*(d + b*x + c*x^2)^2), -(((b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((a - d)*(b^2 - 4*c*d)*(d + b*x + c*x^2))) + ((b^2 + 4*c*(a - 2*d))*atanh((sqrt(a - d)*(b + 2*c*x))/(sqrt(b^2 - 4*c*d)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/((a - d)^(3//2)*(b^2 - 4*c*d)^(3//2)), x, 4),
+(1/(sqrt(a + b*x + c*x^2)*(d + b*x + c*x^2)^3), -(((b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*(a - d)*(b^2 - 4*c*d)*(d + b*x + c*x^2)^2)) + (3*(b^2 + 4*c*(a - 2*d))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*(a - d)^2*(b^2 - 4*c*d)^2*(d + b*x + c*x^2)) - ((3*b^4 + 8*b^2*c*(a - 4*d) + 16*c^2*(3*a^2 - 8*a*d + 8*d^2))*atanh((sqrt(a - d)*(b + 2*c*x))/(sqrt(b^2 - 4*c*d)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(4*(a - d)^(5//2)*(b^2 - 4*c*d)^(5//2)), x, 5),
+(1/(sqrt(a + b*x + c*x^2)*(d + b*x + c*x^2)^4), -(((b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*(a - d)*(b^2 - 4*c*d)*(d + b*x + c*x^2)^3)) + (5*(b^2 + 4*c*(a - 2*d))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(12*(a - d)^2*(b^2 - 4*c*d)^2*(d + b*x + c*x^2)^2) - ((15*b^4 + 8*b^2*c*(7*a - 22*d) + 16*c^2*(15*a^2 - 44*a*d + 44*d^2))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*(a - d)^3*(b^2 - 4*c*d)^3*(d + b*x + c*x^2)) + ((b^2 + 4*c*(a - 2*d))*(5*b^4 - 8*b^2*c*(a + 4*d) + 16*c^2*(5*a^2 - 8*a*d + 8*d^2))*atanh((sqrt(a - d)*(b + 2*c*x))/(sqrt(b^2 - 4*c*d)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*(a - d)^(7//2)*(b^2 - 4*c*d)^(7//2)), x, 6),
+
+
+(1/((a*e + b*e*x + b*f*x^2)^2*sqrt(d + e*x + f*x^2)), -((b*(e + 2*f*x)*sqrt(d + e*x + f*x^2))/(e*(b*d - a*e)*(b*e - 4*a*f)*(a*e + b*e*x + b*f*x^2))) - ((8*a*e*f - b*(e^2 + 4*d*f))*atanh((sqrt(b*d - a*e)*(e + 2*f*x))/(sqrt(e)*sqrt(b*e - 4*a*f)*sqrt(d + e*x + f*x^2))))/(e^(3//2)*(b*d - a*e)^(3//2)*(b*e - 4*a*f)^(3//2)), x, 4),
+
+
+(1/((4 + 2*x + x^2)*sqrt(5 + 2*x + x^2)), atan((1 + x)/(sqrt(3)*sqrt(5 + 2*x + x^2)))/sqrt(3), x, 2),
+
+
+((a + e*x/2 + c*x^2)^p*(2*a + e*x + 2*c*x^2)^q, -((2^(1 + q)*(-((e - sqrt(-16*a*c + e^2) + 4*c*x)/sqrt(-16*a*c + e^2)))^(-1 - p - q)*(2*a + e*x + 2*c*x^2)^(1 + p + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p - q, 1 + p + q, 2 + p + q, (e + sqrt(-16*a*c + e^2) + 4*c*x)/(2*sqrt(-16*a*c + e^2))))/(sqrt(-16*a*c + e^2)*(1 + p + q))), x, 2),
+((a + c*e*x/f + c*x^2)^p*(a*f/c + e*x + f*x^2)^q, -((2^(1 + p + q)*sqrt(c)*(-((sqrt(c)*(e - sqrt(c*e^2 - 4*a*f^2)/sqrt(c) + 2*f*x))/sqrt(c*e^2 - 4*a*f^2)))^(-1 - p - q)*(a + (c*e*x)/f + c*x^2)^p*((a*f)/c + e*x + f*x^2)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p - q, 1 + p + q, 2 + p + q, (sqrt(c)*(e + sqrt(c*e^2 - 4*a*f^2)/sqrt(c) + 2*f*x))/(2*sqrt(c*e^2 - 4*a*f^2))))/(sqrt(c*e^2 - 4*a*f^2)*(1 + p + q))), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q with e=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x+c x^2)^p (d+f x^2)^q with b^2-4 a c=0
+
+
+(sqrt(1 + 2*x + x^2)/sqrt(1 + x^2), (sqrt(1 + x^2)*sqrt(1 + 2*x + x^2))/(1 + x) + (sqrt(1 + 2*x + x^2)*asinh(x))/(1 + x), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x+c x^2)^(p/2) (d+f x^2)^q
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/((-1 + x^2)^2*sqrt(-1 + x + x^2)), sqrt(-1 + x + x^2)/(2*(1 - x^2)) - (1//8)*atan((3 + x)/(2*sqrt(-1 + x + x^2))) - (5//8)*atanh((1 - 3*x)/(2*sqrt(-1 + x + x^2))), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x+c x^2)^(p/2) (d+f x^2)^(q/2)
+
+
+(1/(sqrt(a + b*x + c*x^2)*sqrt(d + f*x^2)), -(((b^2*d + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*(c*d - a*f))^(1//4)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)^(3//2)*sqrt(2*a + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x)*sqrt(((4*a*c - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^2)^2*(d + f*x^2))/(((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^2*d + 4*a^2*f)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)^2))*(1 + (sqrt(2*c^2*d - 2*a*c*f + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*(2*a + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x))/(sqrt(b^2*d + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*(c*d - a*f))*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))*sqrt((1 - (4*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d + a*f)*(2*a + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x))/(((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^2*d + 4*a^2*f)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)) + ((4*c^2*d + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^2*f)*(2*a + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x)^2)/(((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^2*d + 4*a^2*f)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)^2))/(1 + (sqrt(2*c^2*d - 2*a*c*f + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*(2*a + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x))/(sqrt(b^2*d + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*(c*d - a*f))*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(((2*c^2*d - 2*a*c*f + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)^(1//4)*sqrt(2*a + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x))/((b^2*d + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*(c*d - a*f))^(1//4)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))), (1//2)*(1 + ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d + a*f))/(sqrt(2*c^2*d - 2*a*c*f + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*sqrt(b^2*d + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*(c*d - a*f))))))/((4*a*c - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^2)*(2*c^2*d - 2*a*c*f + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)^(1//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*sqrt(d + f*x^2)*sqrt(1 - (4*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d + a*f)*(2*a + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x))/(((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^2*d + 4*a^2*f)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)) + ((4*c^2*d + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^2*f)*(2*a + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x)^2)/(((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^2*d + 4*a^2*f)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)^2)))), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q
+
+
+(sqrt(-3 - 4*x - x^2)/(3 + 4*x + 2*x^2), (-(1//2))*asin(2 + x) - atan((1 - (3 + x)/sqrt(-3 - 4*x - x^2))/sqrt(2))/sqrt(2) + atan((1 + (3 + x)/sqrt(-3 - 4*x - x^2))/sqrt(2))/sqrt(2) - (1//2)*atanh(x/sqrt(-3 - 4*x - x^2)), x, 16),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (3-x+2 x^2)^p (2+3 x+5 x^2)^q
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^4, 48*x + 136*x^2 + (1064*x^3)/3 + 656*x^4 + (5099*x^5)/5 + (2377*x^6)/2 + 1176*x^7 + (3415*x^8)/4 + (5075*x^9)/9 + (475*x^10)/2 + (1250*x^11)/11, x, 2),
+((3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^3, 24*x + 50*x^2 + (322*x^3)/3 + (579*x^4)/4 + (876*x^5)/5 + 134*x^6 + (720*x^7)/7 + (325*x^8)/8 + (250*x^9)/9, x, 2),
+((3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^2, 12*x + 16*x^2 + (83*x^3)/3 + (85*x^4)/4 + (103*x^5)/5 + (35*x^6)/6 + (50*x^7)/7, x, 2),
+((3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^1, 6*x + (7*x^2)/2 + (16*x^3)/3 + x^4//4 + 2*x^5, x, 2),
+((3 - x + 2*x^2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^1, (2*x)/5 + (143*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(25*sqrt(31)) - (11*log(2 + 3*x + 5*x^2))/50, x, 6),
+((3 - x + 2*x^2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^2, (11*(7 + 13*x))/(155*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (82*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(31*sqrt(31)), x, 4),
+((3 - x + 2*x^2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^3, (11*(7 + 13*x))/(310*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (553*(3 + 10*x))/(9610*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (1106*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(961*sqrt(31)), x, 5),
+
+
+((3 - x + 2*x^2)^2*(2 + 3*x + 5*x^2)^4, 144*x + 384*x^2 + (3016*x^3)/3 + 1838*x^4 + (14801*x^5)/5 + (10771*x^6)/3 + (27763*x^7)/7 + 3315*x^8 + (24859*x^9)/9 + 1571*x^10 + (11525*x^11)/11 + (875*x^12)/3 + (2500*x^13)/13, x, 2),
+((3 - x + 2*x^2)^2*(2 + 3*x + 5*x^2)^3, 72*x + 138*x^2 + (914*x^3)/3 + (1615*x^4)/4 + (2693*x^5)/5 + 449*x^6 + 444*x^7 + (1863*x^8)/8 + (1865*x^9)/9 + 40*x^10 + (500*x^11)/11, x, 2),
+((3 - x + 2*x^2)^2*(2 + 3*x + 5*x^2)^2, 36*x + 42*x^2 + (241*x^3)/3 + 59*x^4 + 78*x^5 + (86*x^6)/3 + (321*x^7)/7 + (5*x^8)/2 + (100*x^9)/9, x, 2),
+((3 - x + 2*x^2)^2*(2 + 3*x + 5*x^2)^1, 18*x + (15*x^2)/2 + (53*x^3)/3 + x^4//4 + (61*x^5)/5 - (4*x^6)/3 + (20*x^7)/7, x, 2),
+((3 - x + 2*x^2)^2/(2 + 3*x + 5*x^2)^1, (381*x)/125 - (16*x^2)/25 + (4*x^3)/15 + (8349*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(625*sqrt(31)) - (1573*log(2 + 3*x + 5*x^2))/1250, x, 6),
+((3 - x + 2*x^2)^2/(2 + 3*x + 5*x^2)^2, (4*x)/25 + (121*(61 + 69*x))/(3875*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (41932*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(3875*sqrt(31)) - (22//125)*log(2 + 3*x + 5*x^2), x, 7),
+((3 - x + 2*x^2)^2/(2 + 3*x + 5*x^2)^3, (121*(61 + 69*x))/(7750*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (11*(17557 + 45710*x))/(240250*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (4330*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(961*sqrt(31)), x, 5),
+((3 - x + 2*x^2)^2/(2 + 3*x + 5*x^2)^4, (121*(61 + 69*x))/(11625*(2 + 3*x + 5*x^2)^3) + (11*(4579 + 12060*x))/(120125*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (16688*(3 + 10*x))/(148955*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (66752*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(29791*sqrt(31)), x, 6),
+
+
+((3 - x + 2*x^2)^3*(2 + 3*x + 5*x^2)^4, 432*x + 1080*x^2 + 2856*x^3 + 5144*x^4 + (43083*x^5)/5 + (64529*x^6)/6 + (91349*x^7)/7 + (94881*x^8)/8 + (103583*x^9)/9 + (75311*x^10)/10 + (68583*x^11)/11 + (30395*x^12)/12 + (27050*x^13)/13 + (2250*x^14)/7 + (1000*x^15)/3, x, 2),
+((3 - x + 2*x^2)^3*(2 + 3*x + 5*x^2)^3, 216*x + 378*x^2 + 870*x^3 + (4483*x^4)/4 + (8292*x^5)/5 + (2873*x^6)/2 + (12016*x^7)/7 + (7869*x^8)/8 + (3316*x^9)/3 + (3061*x^10)/10 + (4830*x^11)/11 + 25*x^12 + (1000*x^13)/13, x, 2),
+((3 - x + 2*x^2)^3*(2 + 3*x + 5*x^2)^2, 108*x + 108*x^2 + 237*x^3 + (635*x^4)/4 + (1416*x^5)/5 + (299*x^6)/3 + (1571*x^7)/7 + (83*x^8)/8 + (922*x^9)/9 - 6*x^10 + (200*x^11)/11, x, 2),
+((3 - x + 2*x^2)^3*(2 + 3*x + 5*x^2)^1, 54*x + (27*x^2)/2 + 60*x^3 - 5*x^4 + (288*x^5)/5 - (83*x^6)/6 + (190*x^7)/7 - (9*x^8)/2 + (40*x^9)/9, x, 2),
+((3 - x + 2*x^2)^3/(2 + 3*x + 5*x^2)^1, (49508*x)/3125 - (7451*x^2)/1250 + (1222*x^3)/375 - (21*x^4)/25 + (8*x^5)/25 + (328757*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(15625*sqrt(31)) - (158389*log(2 + 3*x + 5*x^2))/31250, x, 6),
+((3 - x + 2*x^2)^3/(2 + 3*x + 5*x^2)^2, (1466*x)/625 - (54*x^2)/125 + (8*x^3)/75 + (1331*(443 + 247*x))/(96875*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (3819607*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(96875*sqrt(31)) - (10769*log(2 + 3*x + 5*x^2))/6250, x, 7),
+((3 - x + 2*x^2)^3/(2 + 3*x + 5*x^2)^3, (8*x)/125 + (1331*(443 + 247*x))/(193750*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (121*(188381 + 342840*x))/(6006250*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (11341176*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(600625*sqrt(31)) - (66//625)*log(2 + 3*x + 5*x^2), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((2 + 3*x + 5*x^2)^4/(3 - x + 2*x^2), (122691*x)/128 - (28747*x^2)/128 - (21229*x^3)/96 + (6245*x^4)/64 + (1855*x^5)/8 + (3625*x^6)/24 + (625*x^7)/14 + (1156639*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(256*sqrt(23)) + (307461//512)*log(3 - x + 2*x^2), x, 6),
+((2 + 3*x + 5*x^2)^3/(3 - x + 2*x^2), -((4795*x)/32) - (829*x^2)/32 + (965*x^3)/24 + (575*x^4)/16 + (25*x^5)/2 - (59895*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(64*sqrt(23)) + (1331//128)*log(3 - x + 2*x^2), x, 6),
+((2 + 3*x + 5*x^2)^2/(3 - x + 2*x^2), (51*x)/8 + (85*x^2)/8 + (25*x^3)/6 + (847*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(16*sqrt(23)) - (363//32)*log(3 - x + 2*x^2), x, 6),
+((2 + 3*x + 5*x^2)^1/(3 - x + 2*x^2), (5*x)/2 + (33*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(4*sqrt(23)) + (11*log(3 - x + 2*x^2))/8, x, 6),
+(1/((3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^1), (3*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(22*sqrt(23)) + (13*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(22*sqrt(31)) - log(3 - x + 2*x^2)/44 + log(2 + 3*x + 5*x^2)/44, x, 9),
+(1/((3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^2), (4 + 65*x)/(682*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (7*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(484*sqrt(23)) + (2891*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(15004*sqrt(31)) + (3*log(3 - x + 2*x^2))/968 - (3*log(2 + 3*x + 5*x^2))/968, x, 10),
+(1/((3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^3), (4 + 65*x)/(1364*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (7923 + 21605*x)/(465124*(2 + 3*x + 5*x^2)) - (45*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(10648*sqrt(23)) + (847793*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(10232728*sqrt(31)) - log(3 - x + 2*x^2)/21296 + log(2 + 3*x + 5*x^2)/21296, x, 11),
+
+
+((2 + 3*x + 5*x^2)^4/(3 - x + 2*x^2)^2, -((89359*x)/64) - (1185*x^2)/8 + (9775*x^3)/48 + (2125*x^4)/16 + (125*x^5)/4 - (14641*(101 + 79*x))/(2944*(3 - x + 2*x^2)) - (13292697*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(1472*sqrt(23)) - (30613//128)*log(3 - x + 2*x^2), x, 7),
+((2 + 3*x + 5*x^2)^3/(3 - x + 2*x^2)^2, (915*x)/16 + (175*x^2)/4 + (125*x^3)/12 - (1331*(17 - 45*x))/(736*(3 - x + 2*x^2)) + (223971*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(368*sqrt(23)) - (2057//32)*log(3 - x + 2*x^2), x, 7),
+((2 + 3*x + 5*x^2)^2/(3 - x + 2*x^2)^2, (25*x)/4 + (121*(19 - 7*x))/(184*(3 - x + 2*x^2)) + (1859*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(92*sqrt(23)) + (55//8)*log(3 - x + 2*x^2), x, 7),
+((2 + 3*x + 5*x^2)^1/(3 - x + 2*x^2)^2, (-11*(5 + 3*x))/(46*(3 - x + 2*x^2)) - (82*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(23*sqrt(23)), x, 4),
+(1/((3 - x + 2*x^2)^2*(2 + 3*x + 5*x^2)^1), (13 - 6*x)/(506*(3 - x + 2*x^2)) + (241*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(11132*sqrt(23)) + (69*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(484*sqrt(31)) - (13*log(3 - x + 2*x^2))/968 + (13*log(2 + 3*x + 5*x^2))/968, x, 10),
+(1/((3 - x + 2*x^2)^2*(2 + 3*x + 5*x^2)^2), (-25*(117 - 137*x))/(172546*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (13 - 6*x)/(506*(3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (2769*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(122452*sqrt(23)) + (12643*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(165044*sqrt(31)) + (19*log(3 - x + 2*x^2))/10648 - (19*log(2 + 3*x + 5*x^2))/10648, x, 11),
+(1/((3 - x + 2*x^2)^2*(2 + 3*x + 5*x^2)^3), -(9446 - 5765*x)/(690184*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (13 - 6*x)/(506*(3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (1765599 + 3996965*x)/(235352744*(2 + 3*x + 5*x^2)) - (25557*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(5387888*sqrt(23)) + (4464079*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(225120016*sqrt(31)) + (97*log(3 - x + 2*x^2))/468512 - (97*log(2 + 3*x + 5*x^2))/468512, x, 12),
+
+
+((2 + 3*x + 5*x^2)^4/(3 - x + 2*x^2)^3, (2725*x)/8 + (4875*x^2)/32 + (625*x^3)/24 - (14641*(101 + 79*x))/(5888*(3 - x + 2*x^2)^2) + (1331*(5229 + 76420*x))/(135424*(3 - x + 2*x^2)) + (63799791*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(16928*sqrt(23)) - (13915//64)*log(3 - x + 2*x^2), x, 8),
+((2 + 3*x + 5*x^2)^3/(3 - x + 2*x^2)^3, (125*x)/8 - (1331*(17 - 45*x))/(1472*(3 - x + 2*x^2)^2) + (121*(21193 - 12828*x))/(33856*(3 - x + 2*x^2)) + (165099*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(8464*sqrt(23)) + (825//32)*log(3 - x + 2*x^2), x, 8),
+((2 + 3*x + 5*x^2)^2/(3 - x + 2*x^2)^3, (121*(19 - 7*x))/(368*(3 - x + 2*x^2)^2) - (55*(975 + 332*x))/(8464*(3 - x + 2*x^2)) - (4330*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(529*sqrt(23)), x, 5),
+((2 + 3*x + 5*x^2)^1/(3 - x + 2*x^2)^3, (-11*(5 + 3*x))/(92*(3 - x + 2*x^2)^2) - (131*(1 - 4*x))/(2116*(3 - x + 2*x^2)) - (262*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(529*sqrt(23)), x, 5),
+(1/((3 - x + 2*x^2)^3*(2 + 3*x + 5*x^2)^1), (13 - 6*x)/(1012*(3 - x + 2*x^2)^2) + (3625 - 746*x)/(256036*(3 - x + 2*x^2)) - (53403*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(5632792*sqrt(23)) + (247*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(10648*sqrt(31)) - (119*log(3 - x + 2*x^2))/21296 + (119*log(2 + 3*x + 5*x^2))/21296, x, 11),
+(1/((3 - x + 2*x^2)^3*(2 + 3*x + 5*x^2)^2), -(2328909 + 252815*x)/(174616552*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (13 - 6*x)/(1012*(3 - x + 2*x^2)^2*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (9665 - 1446*x)/(512072*(3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (2038497*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(123921424*sqrt(23)) + (246757*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(7261936*sqrt(31)) + (181*log(3 - x + 2*x^2))/468512 - (181*log(2 + 3*x + 5*x^2))/468512, x, 12),
+(1/((3 - x + 2*x^2)^3*(2 + 3*x + 5*x^2)^3), (-5*(223707 + 77020*x))/(87308276*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (13 - 6*x)/(1012*(3 - x + 2*x^2)^2*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (5*(302 - 35*x))/(64009*(3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (15*(2618306 + 7140435*x))/(14886061058*(2 + 3*x + 5*x^2)) - (880575*atan((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(340783916*sqrt(23)) + (2768835*atan((3 + 10*x)/sqrt(31)))/(619080044*sqrt(31)) + (405*log(3 - x + 2*x^2))/1288408 - (405*log(2 + 3*x + 5*x^2))/1288408, x, 13),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (3-x+2 x^2)^(p/2) (2+3 x+5 x^2)^q
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^4, -((359471503*(1 - 4*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/67108864) + (27185733541*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/440401920 + (804243809*x*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/36700160 - (83948353*x^2*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/2293760 + (8325631*x^3*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/1032192 + (4796405*x^4*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/43008 + (233225*x^5*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/1536 + (14125//144)*x^6*(3 - x + 2*x^2)^(3//2) + (125//4)*x^7*(3 - x + 2*x^2)^(3//2) - (8267844569*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(134217728*sqrt(2)), x, 11),
+(sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^3, -((6766097*(1 - 4*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/2097152) - (22548119*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/4587520 - (9627393*x*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/1146880 + (531681*x^2*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/71680 + (247435*x^3*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/10752 + (8825//448)*x^4*(3 - x + 2*x^2)^(3//2) + (125//16)*x^5*(3 - x + 2*x^2)^(3//2) - (155620231*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(4194304*sqrt(2)), x, 9),
+(sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^2, (12371*(1 - 4*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/16384 - (2107*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/3072 + (769//256)*x*(3 - x + 2*x^2)^(3//2) + (63//16)*x^2*(3 - x + 2*x^2)^(3//2) + (25//12)*x^3*(3 - x + 2*x^2)^(3//2) + (284533*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(32768*sqrt(2)), x, 7),
+(sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^1, (-(81//512))*(1 - 4*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (73//96)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2) + (5//8)*x*(3 - x + 2*x^2)^(3//2) - (1863*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(1024*sqrt(2)), x, 5),
+(sqrt(3 - x + 2*x^2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^1, -(sqrt(2)*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/5 + (sqrt((11*(13 + 10*sqrt(2)))/31)*atan((sqrt(11/(62*(13 + 10*sqrt(2))))*(6 + 7*sqrt(2) + (20 + 13*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/5 - (sqrt((11*(-13 + 10*sqrt(2)))/31)*atanh((sqrt(11/(62*(-13 + 10*sqrt(2))))*(6 - 7*sqrt(2) + (20 - 13*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/5, x, 8),
+(sqrt(3 - x + 2*x^2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^2, ((3 + 10*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(31*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (sqrt((70517 + 49942*sqrt(2))/682)*atan((sqrt(11/(31*(70517 + 49942*sqrt(2))))*(419 + 277*sqrt(2) + (973 + 696*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/62 - (sqrt((-70517 + 49942*sqrt(2))/682)*atanh((sqrt(11/(31*(-70517 + 49942*sqrt(2))))*(419 - 277*sqrt(2) + (973 - 696*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/62, x, 6),
+(sqrt(3 - x + 2*x^2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^3, ((3 + 10*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(62*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + ((3464 + 13665*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(84568*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (sqrt((112285869463 + 79399380740*sqrt(2))/682)*atan((sqrt(11/(31*(112285869463 + 79399380740*sqrt(2))))*(509587 + 362788*sqrt(2) + (1235163 + 872375*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/169136 - (sqrt((-112285869463 + 79399380740*sqrt(2))/682)*atanh((sqrt(11/(31*(-112285869463 + 79399380740*sqrt(2))))*(509587 - 362788*sqrt(2) + (1235163 - 872375*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/169136, x, 7),
+
+
+((3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^4, -((26366414481*(1 - 4*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/2147483648) - (382121949*(1 - 4*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/134217728 + (2124689283*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/146800640 + (48669967*x*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/22020096 - (56422489*x^2*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/8257536 + (10444117*x^3*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/294912 + (941905*x^4*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/9216 + (95165//768)*x^5*(3 - x + 2*x^2)^(5//2) + (7625//96)*x^6*(3 - x + 2*x^2)^(5//2) + (625//24)*x^7*(3 - x + 2*x^2)^(5//2) - (606427533063*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(4294967296*sqrt(2)), x, 12),
+((3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^3, -((46077855*(1 - 4*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/33554432) - (667795*(1 - 4*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/2097152 - (4625907*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/2293760 - (81685*x*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/114688 + (384739*x^2*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/43008 + (27785*x^3*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/1536 + (725//48)*x^4*(3 - x + 2*x^2)^(5//2) + (25//4)*x^5*(3 - x + 2*x^2)^(5//2) - (1059790665*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(67108864*sqrt(2)), x, 10),
+((3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^2, (558739*(1 - 4*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/1048576 + (24293*(1 - 4*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/196608 + (73861*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/215040 + (24499*x*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/10752 + (1235//448)*x^2*(3 - x + 2*x^2)^(5//2) + (25//16)*x^3*(3 - x + 2*x^2)^(5//2) + (12850997*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(2097152*sqrt(2)), x, 8),
+((3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^1, -((4117*(1 - 4*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/8192) - (179*(1 - 4*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/1536 + (107//240)*(3 - x + 2*x^2)^(5//2) + (5//12)*x*(3 - x + 2*x^2)^(5//2) - (94691*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(16384*sqrt(2)), x, 6),
+((3 - x + 2*x^2)^(3//2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^1, -((49 - 20*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/100 - (2203*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(1000*sqrt(2)) + (11*sqrt((11*(247 + 500*sqrt(2)))/31)*atan((sqrt(11/(62*(247 + 500*sqrt(2))))*(8 + 61*sqrt(2) + (130 + 69*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/125 - (11*sqrt((11*(-247 + 500*sqrt(2)))/31)*atanh((sqrt(11/(62*(-247 + 500*sqrt(2))))*(8 - 61*sqrt(2) + (130 - 69*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/125, x, 9),
+((3 - x + 2*x^2)^(3//2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^2, (4*(4 - 5*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/155 + ((3 + 10*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(31*(2 + 3*x + 5*x^2)) - (2*sqrt(2)*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/25 + (sqrt((11*(3169333 + 2265350*sqrt(2)))/31)*atan((sqrt(11/(62*(3169333 + 2265350*sqrt(2))))*(3514 + 2963*sqrt(2) + (9440 + 6477*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/1550 - (sqrt((11*(-3169333 + 2265350*sqrt(2)))/31)*atanh((sqrt(11/(62*(-3169333 + 2265350*sqrt(2))))*(3514 - 2963*sqrt(2) + (9440 - 6477*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/1550, x, 10),
+((3 - x + 2*x^2)^(3//2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^3, ((3 + 10*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(62*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (3*(277 + 696*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(3844*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (3*sqrt((366990269 + 259509026*sqrt(2))/682)*atan((sqrt(11/(31*(366990269 + 259509026*sqrt(2))))*(29367 + 20575*sqrt(2) + (70517 + 49942*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/7688 - (3*sqrt((-366990269 + 259509026*sqrt(2))/682)*atanh((sqrt(11/(31*(-366990269 + 259509026*sqrt(2))))*(29367 - 20575*sqrt(2) + (70517 - 49942*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/7688, x, 7),
+
+
+((3 - x + 2*x^2)^(5//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^4, -((636602271789*(1 - 4*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/34359738368) - (9226119881*(1 - 4*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/2147483648 - (401135647*(1 - 4*x)*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/335544320 + (25250178739*(3 - x + 2*x^2)^(7//2))/5725224960 + (112244125*x*(3 - x + 2*x^2)^(7//2))/122683392 + (122595067*x^2*(3 - x + 2*x^2)^(7//2))/19169280 + (23460839*x^3*(3 - x + 2*x^2)^(7//2))/532480 + (3684995*x^4*(3 - x + 2*x^2)^(7//2))/39936 + (1046225*x^5*(3 - x + 2*x^2)^(7//2))/9984 + (13875//208)*x^6*(3 - x + 2*x^2)^(7//2) + (625//28)*x^7*(3 - x + 2*x^2)^(7//2) - (14641852251147*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(68719476736*sqrt(2)), x, 13),
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+((3 - x + 2*x^2)^(5//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^1, -((732665*(1 - 4*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/524288) - (31855*(1 - 4*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/98304 - (277*(1 - 4*x)*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/3072 + (141//448)*(3 - x + 2*x^2)^(7//2) + (5//16)*x*(3 - x + 2*x^2)^(7//2) - (16851295*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(1048576*sqrt(2)), x, 7),
+((3 - x + 2*x^2)^(5//2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^1, -((226249 - 99620*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/80000 - ((103 - 60*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/600 - (7216203*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(800000*sqrt(2)) - (121*sqrt((11*(-15457 + 25000*sqrt(2)))/31)*atan((sqrt(11/(62*(-15457 + 25000*sqrt(2))))*(196 - 443*sqrt(2) - (690 + 247*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/3125 + (121*sqrt((11*(15457 + 25000*sqrt(2)))/31)*atanh((sqrt(11/(62*(15457 + 25000*sqrt(2))))*(196 + 443*sqrt(2) - (690 - 247*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/3125, x, 10),
+((3 - x + 2*x^2)^(5//2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^2, -((1277 + 2240*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/7750 + (4*(4 - 5*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/155 + ((3 + 10*x)*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(31*(2 + 3*x + 5*x^2)) - (4799*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(2500*sqrt(2)) + (11*sqrt((11*(224510383 + 194487500*sqrt(2)))/31)*atan((sqrt(11/(62*(224510383 + 194487500*sqrt(2))))*(21136 + 33287*sqrt(2) + (87710 + 54423*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/38750 - (11*sqrt((11*(-224510383 + 194487500*sqrt(2)))/31)*atanh((sqrt(11/(62*(-224510383 + 194487500*sqrt(2))))*(21136 - 33287*sqrt(2) + (87710 - 54423*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/38750, x, 11),
+((3 - x + 2*x^2)^(5//2)/(2 + 3*x + 5*x^2)^3, ((11359 - 12920*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/48050 + ((3 + 10*x)*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(62*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + ((769 + 2336*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(3844*(2 + 3*x + 5*x^2)) - (4*sqrt(2)*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/125 + (sqrt(11*(1 + 4*sqrt(2)))*(2937349 + 1978861*sqrt(2))*atan((sqrt(11/(62*(3531015707557 + 2498852071250*sqrt(2))))*(3957722 + 2937349*sqrt(2) + (9832420 + 6895071*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/29791000 - ((2937349 - 1978861*sqrt(2))*sqrt(11*(-1 + 4*sqrt(2)))*atanh((sqrt(11/(62*(-3531015707557 + 2498852071250*sqrt(2))))*(3957722 - 2937349*sqrt(2) + (9832420 - 6895071*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/29791000, x, 11),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((2 + 3*x + 5*x^2)^4/sqrt(3 - x + 2*x^2), (16493087661*sqrt(3 - x + 2*x^2))/29360128 + (1572007407*x*sqrt(3 - x + 2*x^2))/7340032 - (15428243*x^2*sqrt(3 - x + 2*x^2))/131072 - (19750457*x^3*sqrt(3 - x + 2*x^2))/229376 + (686531*x^4*sqrt(3 - x + 2*x^2))/6144 + (2116475*x^5*sqrt(3 - x + 2*x^2))/10752 + (57375//448)*x^6*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (625//16)*x^7*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (2899366573*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(8388608*sqrt(2)), x, 10),
+((2 + 3*x + 5*x^2)^3/sqrt(3 - x + 2*x^2), -((203373*sqrt(3 - x + 2*x^2))/32768) - (372783*x*sqrt(3 - x + 2*x^2))/8192 - (3387*x^2*sqrt(3 - x + 2*x^2))/1024 + (8185//256)*x^3*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (1355//48)*x^4*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (125//12)*x^5*sqrt(3 - x + 2*x^2) - (9267707*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(65536*sqrt(2)), x, 8),
+((2 + 3*x + 5*x^2)^2/sqrt(3 - x + 2*x^2), -((11373*sqrt(3 - x + 2*x^2))/1024) + (3443//768)*x*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (655//96)*x^2*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (25//8)*x^3*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (30725*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(2048*sqrt(2)), x, 6),
+((2 + 3*x + 5*x^2)^1/sqrt(3 - x + 2*x^2), (39//16)*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (5//4)*x*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (17*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(32*sqrt(2)), x, 4),
+(1/(sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^1), sqrt((1//682)*(13 + 10*sqrt(2)))*atan((sqrt(11/(31*(13 + 10*sqrt(2))))*(7 + 3*sqrt(2) + (13 + 10*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)) - sqrt((1//682)*(-13 + 10*sqrt(2)))*atanh((sqrt(11/(31*(-13 + 10*sqrt(2))))*(7 - 3*sqrt(2) + (13 - 10*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)), x, 5),
+(1/(sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^2), ((4 + 65*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(682*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (sqrt((2343727 + 1678700*sqrt(2))/682)*atan((sqrt(11/(31*(2343727 + 1678700*sqrt(2))))*(2119 + 1816*sqrt(2) + (5751 + 3935*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/1364 - (sqrt((-2343727 + 1678700*sqrt(2))/682)*atanh((sqrt(11/(31*(-2343727 + 1678700*sqrt(2))))*(2119 - 1816*sqrt(2) + (5751 - 3935*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/1364, x, 6),
+(1/(sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^3), ((4 + 65*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(1364*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + ((26794 + 86265*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(1860496*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (25*sqrt((6414867847 + 4536374600*sqrt(2))/682)*atan((sqrt(11/(31*(6414867847 + 4536374600*sqrt(2))))*(123161 + 85754*sqrt(2) + (294669 + 208915*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/3720992 - (25*sqrt((-6414867847 + 4536374600*sqrt(2))/682)*atanh((sqrt(11/(31*(-6414867847 + 4536374600*sqrt(2))))*(123161 - 85754*sqrt(2) + (294669 - 208915*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/3720992, x, 7),
+
+
+((2 + 3*x + 5*x^2)^4/(3 - x + 2*x^2)^(3//2), -((14641*(101 + 79*x))/(1472*sqrt(3 - x + 2*x^2))) - (31009685*sqrt(3 - x + 2*x^2))/65536 - (8992487*x*sqrt(3 - x + 2*x^2))/16384 - (111315*x^2*sqrt(3 - x + 2*x^2))/2048 + (79425//512)*x^3*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (10075//96)*x^4*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (625//24)*x^5*sqrt(3 - x + 2*x^2) - (310445587*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(131072*sqrt(2)), x, 9),
+((2 + 3*x + 5*x^2)^3/(3 - x + 2*x^2)^(3//2), -((1331*(17 - 45*x))/(368*sqrt(3 - x + 2*x^2))) - (181561*sqrt(3 - x + 2*x^2))/2048 + (15565//512)*x*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (1825//64)*x^2*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (125//16)*x^3*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (1168881*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(4096*sqrt(2)), x, 7),
+((2 + 3*x + 5*x^2)^2/(3 - x + 2*x^2)^(3//2), (121*(19 - 7*x))/(92*sqrt(3 - x + 2*x^2)) + (415//32)*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (25//8)*x*sqrt(3 - x + 2*x^2) - (223*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(64*sqrt(2)), x, 5),
+((2 + 3*x + 5*x^2)^1/(3 - x + 2*x^2)^(3//2), (-11*(5 + 3*x))/(23*sqrt(3 - x + 2*x^2)) - (5*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(2*sqrt(2)), x, 4),
+(1/((3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^1), (13 - 6*x)/(253*sqrt(3 - x + 2*x^2)) + (sqrt((247 + 500*sqrt(2))/682)*atan((sqrt(11/(31*(247 + 500*sqrt(2))))*(61 + 4*sqrt(2) + (69 + 65*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/22 - (sqrt((-247 + 500*sqrt(2))/682)*atanh((sqrt(11/(31*(-247 + 500*sqrt(2))))*(61 - 4*sqrt(2) + (69 - 65*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/22, x, 6),
+(1/((3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^2), -((6315 - 2306*x)/(345092*sqrt(3 - x + 2*x^2))) + (4 + 65*x)/(682*sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (sqrt((1//682)*(129694447 + 103775000*sqrt(2)))*atan((sqrt(11/(31*(129694447 + 103775000*sqrt(2))))*(12611 + 16454*sqrt(2) + (45519 + 29065*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/30008 - (sqrt((1//682)*(-129694447 + 103775000*sqrt(2)))*atanh((sqrt(11/(31*(-129694447 + 103775000*sqrt(2))))*(12611 - 16454*sqrt(2) + (45519 - 29065*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/30008, x, 7),
+(1/((3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^3), -((4353943 - 6508666*x)/(941410976*sqrt(3 - x + 2*x^2))) + (4 + 65*x)/(1364*sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (5*(7318 + 17315*x))/(1860496*sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (3*sqrt((1//682)*(13874275807943 + 9819738650000*sqrt(2)))*atan((sqrt(11/(31*(13874275807943 + 9819738650000*sqrt(2))))*(5538393 + 4123702*sqrt(2) + (13785797 + 9662095*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/81861824 - (3*sqrt((1//682)*(-13874275807943 + 9819738650000*sqrt(2)))*atanh((sqrt(11/(31*(-13874275807943 + 9819738650000*sqrt(2))))*(5538393 - 4123702*sqrt(2) + (13785797 - 9662095*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/81861824, x, 8),
+
+
+((2 + 3*x + 5*x^2)^4/(3 - x + 2*x^2)^(5//2), -((14641*(101 + 79*x))/(4416*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))) + (1331*(7409 + 116368*x))/(101568*sqrt(3 - x + 2*x^2)) - (1308645*sqrt(3 - x + 2*x^2))/4096 + (526075*x*sqrt(3 - x + 2*x^2))/3072 + (38375//384)*x^2*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (625//32)*x^3*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (16955197*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(8192*sqrt(2)), x, 8),
+((2 + 3*x + 5*x^2)^3/(3 - x + 2*x^2)^(5//2), -((1331*(17 - 45*x))/(1104*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))) + (121*(10679 - 6744*x))/(8464*sqrt(3 - x + 2*x^2)) + (3175//64)*sqrt(3 - x + 2*x^2) + (125//16)*x*sqrt(3 - x + 2*x^2) - (7495*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(128*sqrt(2)), x, 6),
+((2 + 3*x + 5*x^2)^2/(3 - x + 2*x^2)^(5//2), (121*(19 - 7*x))/(276*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)) - (11*(7351 + 2336*x))/(6348*sqrt(3 - x + 2*x^2)) - (25*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(4*sqrt(2)), x, 5),
+((2 + 3*x + 5*x^2)^1/(3 - x + 2*x^2)^(5//2), (-11*(5 + 3*x))/(69*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)) - (71*(1 - 4*x))/(529*sqrt(3 - x + 2*x^2)), x, 3),
+(1/((3 - x + 2*x^2)^(5//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^1), (13 - 6*x)/(759*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)) + (3603 - 658*x)/(128018*sqrt(3 - x + 2*x^2)) + (sqrt((-15457 + 25000*sqrt(2))/682)*atan((sqrt(11/(31*(-15457 + 25000*sqrt(2))))*(443 - 98*sqrt(2) + (247 + 345*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/484 - (sqrt((15457 + 25000*sqrt(2))/682)*atanh((sqrt(11/(31*(15457 + 25000*sqrt(2))))*(443 + 98*sqrt(2) + (247 - 345*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/484, x, 7),
+(1/((3 - x + 2*x^2)^(5//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^2), -((15101 - 8654*x)/(1035276*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))) - (3133427 + 1352542*x)/(523849656*sqrt(3 - x + 2*x^2)) + (4 + 65*x)/(682*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (625*sqrt((1//682)*(30463 + 23600*sqrt(2)))*atan((sqrt(11/(31*(30463 + 23600*sqrt(2))))*(203 + 242*sqrt(2) + (687 + 445*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/660176 - (625*sqrt((1//682)*(-30463 + 23600*sqrt(2)))*atanh((sqrt(11/(31*(-30463 + 23600*sqrt(2))))*(203 - 242*sqrt(2) + (687 - 445*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/660176, x, 8),
+(1/((3 - x + 2*x^2)^(5//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^3), -((12280939 - 19536786*x)/(2824232928*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))) - (1134826571 - 1504660754*x)/(476353953856*sqrt(3 - x + 2*x^2)) + (4 + 65*x)/(1364*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^2) + (46386 + 86885*x)/(1860496*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)) + (35*sqrt((1//682)*(2243059557247 + 2011748500000*sqrt(2)))*atan((sqrt(11/(31*(2243059557247 + 2011748500000*sqrt(2))))*(1432939 + 2428746*sqrt(2) + (6290431 + 3861685*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/1800960128 - (35*sqrt((1//682)*(-2243059557247 + 2011748500000*sqrt(2)))*atanh((sqrt(11/(31*(-2243059557247 + 2011748500000*sqrt(2))))*(1432939 - 2428746*sqrt(2) + (6290431 - 3861685*sqrt(2))*x))/sqrt(3 - x + 2*x^2)))/1800960128, x, 9),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x+c x^2)^(p/2) (d+e x+f x^2)^q
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+# {(a + b*x + c*x^2)^(1/2)*(d + e*x + f*x^2)^3, x, 6, (1/(1720320*c^7*(143*b^2*f^2 - 4*c*f*(54*b*e + 35*a*f) + 24*c^2*(e^2 + 14*d*f))^3))*((131720904315*b^13*f^9 - 2456333880*b^11*c*f^8*(441*b*e + 548*a*f) + 58720256*c^13*d^4*e*(2817*e^4 - 2509*d*e^2*f - 104811*d^2*f^2) + 3435432*b^9*c^2*f^7*(2906104*a*b*e*f + 1513454*a^2*f^2 + 3*b^2*(367815*e^2 + 148291*d*f)) - 6864*b^7*c^3*f^6*(4844738160*a^2*b*e*f^2 + 1430272288*a^3*f^3 + 2*a*b^2*f*(2271998449*e^2 + 987763205*d*f) + 7*b^3*(152102440*e^3 + 219389313*d*e*f)) + 2112*b^5*c^4*f^5*(24169194592*a^3*b*e*f^3 + 4616148740*a^4*f^4 + 4*a^2*b^2*f^2*(10343131919*e^2 + 5081383957*d*f) + a*b^3*e*f*(25124312976*e^2 + 39230349275*d*f) + b^4*(3964733325*e^4 + 14150785012*d*e^2*f + 3521258312*d^2*f^2)) - 384*b^3*c^5*f^4*(98858656272*a^4*b*e*f^4 + 12770105600*a^5*f^5 + 8*a^3*b^2*f^3*(33774448497*e^2 + 20066897839*d*f) + 4*a^2*b^3*e*f^2*(78672480478*e^2 + 141628968517*d*f) + 8*a*b^4*f*(17248082453*e^4 + 66825300104*d*e^2*f + 17948203559*d^2*f^2) + b^5*(14877496620*e^5 + 115369116303*d*e^3*f + 108539289287*d^2*e*f^2)) - 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62232813*d^2*e^2*f^2 - 206079503*d^3*f^3) + a*b*d*(157590*e^8 - 3308772*d*e^6*f - 105205186*d^2*e^4*f^2 - 637198919*d^3*e^2*f^3 - 215178992*d^4*f^4) - a^2*e*(24336*e^8 + 296412*d*e^6*f + 9185868*d^2*e^4*f^2 + 108609592*d^3*e^2*f^3 + 438813277*d^4*f^4)) + 65536*c^10*(a^3*e*f^2*(235344*e^6 + 24336056*d*e^4*f + 356185137*d^2*e^2*f^2 + 1596586796*d^3*f^3) - 2*a*b^2*e*(74970*e^8 - 2475126*d*e^6*f - 186470652*d^2*e^4*f^2 - 1716697504*d^3*e^2*f^3 - 2176332655*d^4*f^4) - b^3*d*(92610*e^8 + 2682224*d*e^6*f - 169582890*d^2*e^4*f^2 - 1350506795*d^3*e^2*f^3 - 448983808*d^4*f^4) + a^2*b*f*(1311996*e^8 + 45170568*d*e^6*f + 822639183*d^2*e^4*f^2 + 4639404056*d^3*e^2*f^3 + 1569223628*d^4*f^4)) + 4096*c^8*f*(4900*a^5*e*f^5*(49748*e^2 + 571991*d*f) + 4*a^4*b*f^4*(335664737*e^4 + 4352751844*d*e^2*f + 2659134940*d^2*f^2) + 8*a^3*b^2*e*f^3*(326402082*e^4 + 5376699867*d*e^2*f + 9864342320*d^2*f^2) + 2*a^2*b^3*f^2*(1083351109*e^6 + 22792548487*d*e^4*f + 80652437601*d^2*e^2*f^2 + 23088009882*d^3*f^3) + a*b^4*e*f*(385500416*e^6 + 15586684480*d*e^4*f + 103082137027*d^2*e^2*f^2 + 99922313028*d^3*f^3) + b^5*(9287460*e^8 + 610183392*d*e^6*f + 10831211407*d^2*e^4*f^2 + 32393340072*d^3*e^2*f^3 + 7742418780*d^4*f^4)) - 16384*c^9*(2*a^4*e*f^4*(9455980*e^4 + 245971509*d*e^2*f + 1490134345*d^2*f^2) + 2*a^3*b*f^3*(27896093*e^6 + 942789737*d*e^4*f + 6734466683*d^2*e^2*f^2 + 2818017342*d^3*f^3) + a^2*b^2*e*f^2*(64485312*e^6 + 2236392612*d*e^4*f + 20942743419*d^2*e^2*f^2 + 28182484148*d^3*f^3) + 2*a*b^3*f*(1413776*e^8 + 302603620*d*e^6*f + 5043948047*d^2*e^4*f^2 + 15157082192*d^3*e^2*f^3 + 3786148212*d^4*f^4) + b^4*(79380*e^9 + 7359744*d*e^7*f + 387317052*d^2*e^5*f^2 + 4841825320*d^3*e^3*f^3 + 6006507169*d^4*e*f^4)) - 2*c*(43906968105*b^12*f^9 - 245633388*b^10*c*f^8*(1379*b*e + 1532*a*f) - 1048576*c^12*d^3*(110583*e^6 - 138989*d*e^4*f - 3407607*d^2*e^2*f^2 + 6050520*d^3*f^3) + 490776*b^8*c^2*f^7*(5250974*a*b*e*f + 2416686*a^2*f^2 + b^2*(2223718*e^2 + 1038323*d*f)) - 13728*b^6*c^3*f^6*(492065076*a^2*b*e*f^2 + 132738080*a^3*f^3 + 3*a*b^2*f*(176858050*e^2 + 90858339*d*f) + 4*b^3*(34352969*e^3 + 58728241*d*e*f)) + 384*b^4*c^4*f^5*(20792658316*a^3*b*e*f^3 + 3839829922*a^4*f^4 + 6*a^2*b^2*f^2*(6629794868*e^2 + 4130919793*d*f) + 8*a*b^3*e*f*(3557498735*e^2 + 6646367013*d*f) + b^4*(4810071476*e^4 + 21483980518*d*e^2*f + 6029817079*d^2*f^2)) - 256*b^2*c^5*f^4*(17343268532*a^4*b*e*f^4 + 2278284400*a^5*f^5 + 32*a^2*b^3*e*f^2*(2118571586*e^2 + 4977069483*d*f) + 4*a^3*b^2*f^3*(12498823148*e^2 + 10633907561*d*f) + 4*a*b^4*f*(9079346892*e^4 + 42883026358*d*e^2*f + 13991098693*d^2*f^2) + b^5*(3656895921*e^5 + 42555368646*d*e^3*f + 44375607562*d^2*e*f^2)) + 512*c^6*f^3*(1738059400*a^5*b*e*f^5 + 180075000*a^6*f^6 + 32*a^3*b^3*e*f^3*(546455027*e^2 + 1963706809*d*f) + 4*a^4*b^2*f^4*(2013949206*e^2 + 2779080325*d*f) + 8*a^2*b^4*f^2*(2523548465*e^4 + 15625583676*d*e^2*f + 6737286624*d^2*f^2) + 2*a*b^5*e*f*(4283098239*e^4 + 45932792594*d*e^2*f + 56997445662*d^2*f^2) + b^6*(156962533*e^6 + 15148524573*d*e^4*f + 42416899375*d^2*e^2*f^2 + 8988921370*d^3*f^3)) - 2048*c^7*f^2*(4900*a^5*f^5*(17082*e^2 + 109025*d*f) + 16*a^4*b*e*f^4*(35569619*e^2 + 263912775*d*f) + 8*a^3*b^2*f^3*(151347142*e^4 + 1783396074*d*e^2*f + 1268677179*d^2*f^2) + 2*a^2*b^3*e*f^2*(755059707*e^4 + 10821624946*d*e^2*f + 19337083422*d^2*f^2) + a*b^4*f*(484282925*e^6 + 12583857267*d*e^4*f + 42853302525*d^2*e^2*f^2 + 12075228174*d^3*f^3) - 2*b^5*(43960616*e^7 - 608750961*d*e^5*f - 5171674308*d^2*e^3*f^2 - 3722883984*d^3*e*f^3)) + 4096*c^8*f*(8*a^4*f^4*(2433286*e^4 + 51672950*d*e^2*f + 160566875*d^2*f^2) + 4*a^3*b*e*f^3*(9758445*e^4 + 488337830*d*e^2*f + 1895086858*d^2*f^2) + 8*a*b^3*e*f*(2104466*e^6 + 184423833*d*e^4*f + 1841718672*d^2*e^2*f^2 + 2016546368*d^3*f^3) + 2*a^2*b^2*f^2*(56510211*e^6 + 1528505919*d*e^4*f + 8653400253*d^2*e^2*f^2 + 4009042702*d^3*f^3) - b^4*(23205028*e^8 + 85161440*d*e^6*f - 2817028113*d^2*e^4*f^2 - 4815589600*d^3*e^2*f^3 - 458527624*d^4*f^4)) + 262144*c^11*d*(2*b*d*e*(331749*e^6 + 771040*d*e^4*f - 18149947*d^2*e^2*f^2 + 22672692*d^3*f^3) - a*(41022*e^8 - 458838*d*e^6*f + 2085770*d^2*e^4*f^2 + 39393795*d^3*e^2*f^3 - 1584660*d^4*f^4)) + 65536*c^10*(4*a*b*e*(20511*e^8 - 130662*d*e^6*f + 375627*d^2*e^4*f^2 + 87130670*d^3*e^2*f^3 + 74825940*d^4*f^4) - b^2*d*(1285974*e^8 + 14374050*d*e^6*f - 131864546*d^2*e^4*f^2 - 30466239*d^3*e^2*f^3 + 92275428*d^4*f^4) + a^2*f*(156924*e^8 - 127560*d*e^6*f + 12735729*d^2*e^4*f^2 + 174417264*d^3*e^2*f^3 + 186029480*d^4*f^4)) + 32768*c^9*(a^3*f^3*(265221*e^6 - 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b^3*(17885*e^4 - 71136*d*e^2*f - 157520*d^2*f^2)) + 512*c^5*(4*b*d*(180*e^4 - 138*d*e^2*f - 5453*d^2*f^2) - a*e*(117*e^4 + 1289*d*e^2*f + 6069*d^2*f^2)) + 128*c^4*(a^2*e*f^2*(1103*e^2 + 21518*d*f) + 2*a*b*f*(467*e^4 + 11496*d*e^2*f + 41048*d^2*f^2) - b^2*(1575*e^5 + 15247*d*e^3*f - 127245*d^2*e*f^2))) + (656*c^3*d*e - 1001*b^3*f^2 + 22*b*c*f*(77*b*e + 54*a*f) - 8*c^2*(56*b*e^2 + 292*b*d*f + 61*a*e*f))*(184041*b^6*f^5 - 572*b^4*c*f^4*(1310*b*e + 1241*a*f) + 6144*c^6*d*(81*e^4 + 171*d*e^2*f - 1715*d^2*f^2) + 8*b^2*c^2*f^3*(304952*a*b*e*f + 49974*a^2*f^2 + b^2*(200467*e^2 - 170170*d*f)) - 64*c^3*f^2*(3306*a^2*b*e*f^2 + 6125*a^3*f^3 + 9*a*b^2*f*(6913*e^2 - 2974*d*f) + b^3*(34992*e^3 - 71702*d*e*f)) + 128*c^4*f*(4*a*b*e*f*(6078*e^2 - 6079*d*f) + a^2*f^2*(1439*e^2 - 2450*d*f) + b^2*(11796*e^4 - 13704*d*e^2*f - 67987*d^2*f^2)) - 512*c^5*(a*f*(996*e^4 + 4188*d*e^2*f - 14455*d^2*f^2) + 18*b*(27*e^5 + 330*d*e^3*f - 1487*d^2*e*f^2))) + 6*c*(143*b^2*f^2 - 4*c*f*(54*b*e + 35*a*f) + 24*c^2*(e^2 + 14*d*f))*(184041*b^6*f^5 - 572*b^4*c*f^4*(1310*b*e + 1241*a*f) + 6144*c^6*d*(81*e^4 + 171*d*e^2*f - 1715*d^2*f^2) + 8*b^2*c^2*f^3*(304952*a*b*e*f + 49974*a^2*f^2 + b^2*(200467*e^2 - 170170*d*f)) - 64*c^3*f^2*(3306*a^2*b*e*f^2 + 6125*a^3*f^3 + 9*a*b^2*f*(6913*e^2 - 2974*d*f) + b^3*(34992*e^3 - 71702*d*e*f)) + 128*c^4*f*(4*a*b*e*f*(6078*e^2 - 6079*d*f) + a^2*f^2*(1439*e^2 - 2450*d*f) + b^2*(11796*e^4 - 13704*d*e^2*f - 67987*d^2*f^2)) - 512*c^5*(a*f*(996*e^4 + 4188*d*e^2*f - 14455*d^2*f^2) + 18*b*(27*e^5 + 330*d*e^3*f - 1487*d^2*e*f^2)))*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]*(224*c^2*d^2 - 60*b*c*d*e - 80*a*c*e^2 + 39*b^2*d*f - 28*a*c*d*f + 52*a*b*e*f + (328*c^2*d*e + 13*b*f*(7*b*e + 8*a*f) - 4*c*(35*b*e^2 - 2*b*d*f + 61*a*e*f))*x + (143*b^2*f^2 - 4*c*f*(54*b*e + 35*a*f) + 24*c^2*(e^2 + 14*d*f))*x^2)) + (1/(13440*c^3*(143*b^2*f^2 - 4*c*f*(54*b*e + 35*a*f) + 24*c^2*(e^2 + 14*d*f))^2))*((143*b^3*f^3 + 4*b*c*f^2*(193*b*e - 243*a*f) - 8*c^2*f*(181*b*e^2 - 34*b*d*f - 34*a*e*f) + 32*c^3*(9*e^3 + 44*d*e*f) + 10*c*f*(143*b^2*f^2 - 4*c*f*(54*b*e + 35*a*f) + 24*c^2*(e^2 + 14*d*f))*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]*(224*c^2*d^2 - 60*b*c*d*e - 80*a*c*e^2 + 39*b^2*d*f - 28*a*c*d*f + 52*a*b*e*f + (328*c^2*d*e + 13*b*f*(7*b*e + 8*a*f) - 4*c*(35*b*e^2 - 2*b*d*f + 61*a*e*f))*x + (143*b^2*f^2 - 4*c*f*(54*b*e + 35*a*f) + 24*c^2*(e^2 + 14*d*f))*x^2)^2) - (1/(32768*c^(15/2)))*((b^2 - 4*a*c)*(4096*c^6*d^3 + 429*b^6*f^3 - 396*b^4*c*f^2*(4*b*e + 5*a*f) - 3072*c^5*d*(2*b*d*e + a*(e^2 + d*f)) + 144*b^2*c^2*f*(40*a*b*e*f + 15*a^2*f^2 + 14*b^2*(e^2 + d*f)) + 768*c^4*(5*b^2*d*(e^2 + d*f) + 2*a^2*f*(e^2 + d*f) + 2*a*b*e*(e^2 + 6*d*f)) - 64*c^3*(60*a^2*b*e*f^2 + 5*a^3*f^3 + 84*a*b^2*f*(e^2 + d*f) + 14*b^3*(e^3 + 6*d*e*f)))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])}
+((a + b*x + c*x^2)^(1//2)*(d + e*x + f*x^2)^2, ((128*c^4*d^2 + 21*b^4*f^2 - 56*b^2*c*f*(b*e + a*f) - 32*c^3*(4*b*d*e + a*(e^2 + 2*d*f)) + 8*c^2*(12*a*b*e*f + 2*a^2*f^2 + 5*b^2*(e^2 + 2*d*f)))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(512*c^5) + ((640*c^3*d*e - 105*b^3*f^2 + 28*b*c*f*(10*b*e + 7*a*f) - 8*c^2*(32*a*e*f + 25*b*(e^2 + 2*d*f)))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(960*c^4) + ((21*b^2*f^2 - 4*c*f*(14*b*e + 5*a*f) + 40*c^2*(e^2 + 2*d*f))*x*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(160*c^3) + (f*(8*c*e - 3*b*f)*x^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(20*c^2) + (f^2*x^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(6*c) - ((b^2 - 4*a*c)*(128*c^4*d^2 + 21*b^4*f^2 - 56*b^2*c*f*(b*e + a*f) - 32*c^3*(4*b*d*e + a*(e^2 + 2*d*f)) + 8*c^2*(12*a*b*e*f + 2*a^2*f^2 + 5*b^2*(e^2 + 2*d*f)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(1024*c^(11//2)), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)^(1//2)*(d + e*x + f*x^2)^1, ((16*c^2*d - 8*b*c*e + 5*b^2*f - 4*a*c*f)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*c^3) + ((8*c*e - 5*b*f)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*c^2) + (f*x*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(4*c) - ((b^2 - 4*a*c)*(16*c^2*d + 5*b^2*f - 4*c*(2*b*e + a*f))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(7//2)), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(d + e*x + f*x^2)^1, (sqrt(c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/f - (sqrt(c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + f*(2*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + (sqrt(c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + f*(2*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)), x, 8),
+((a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(d + e*x + f*x^2)^2, -(((e + 2*f*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((e^2 - 4*d*f)*(d + e*x + f*x^2))) - ((f*(b*e - 4*a*f) - (c*e - b*f)*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*(e^2 - 4*d*f)^(3//2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))) + ((f*(b*e - 4*a*f) - (c*e - b*f)*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*(e^2 - 4*d*f)^(3//2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 6),
+# {(a + b*x + c*x^2)^(1/2)/(d + e*x + f*x^2)^3, x, 7, -(((e + 2*f*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(2*(e^2 - 4*d*f)*(d + e*x + f*x^2)^2)) + ((f*(8*c*d + b*e - 12*a*f)*(c*d*e - 2*b*d*f + a*e*f) - (f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f))*(2*c*d*e + 12*a*e*f - b*(e^2 + 10*d*f)) + f*(2*c^2*d*(e^2 + 8*d*f) - f*(24*a*b*e*f - 24*a^2*f^2 - b^2*(e^2 + 20*d*f)) + c*(2*a*f*(11*e^2 - 20*d*f) - b*(e^3 + 20*d*e*f)))*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(4*(e^2 - 4*d*f)^2*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*(d + e*x + f*x^2)) - (f*((c*e - b*f)*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])*(24*c^2*d^2 - 24*a*b*e*f + 24*a^2*f^2 + b^2*(e^2 + 20*d*f) - 4*c*(6*b*d*e - 5*a*e^2 + 8*a*d*f)) + 2*(b^3*e*f*(e^2 - 16*d*f) - 4*b*e*f*(3*c^2*d^2 + 15*a^2*f^2 + 2*a*c*(2*e^2 + d*f)) + b^2*(a*f^2*(11*e^2 + 52*d*f) - c*(e^4 - 17*d*e^2*f + 4*d^2*f^2)) + 4*a*(12*a^2*f^4 + a*c*f^2*(13*e^2 - 28*d*f) + c^2*(e^4 - 5*d*e^2*f + 16*d^2*f^2))))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(8*Sqrt[2]*(e^2 - 4*d*f)^(5/2)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]) + (f*((c*e - b*f)*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])*(24*c^2*d^2 - 24*a*b*e*f + 24*a^2*f^2 + b^2*(e^2 + 20*d*f) - 4*c*(6*b*d*e - 5*a*e^2 + 8*a*d*f)) + 2*(b^3*e*f*(e^2 - 16*d*f) - 4*b*e*f*(3*c^2*d^2 + 15*a^2*f^2 + 2*a*c*(2*e^2 + d*f)) + b^2*(a*f^2*(11*e^2 + 52*d*f) - c*(e^4 - 17*d*e^2*f + 4*d^2*f^2)) + 4*a*(12*a^2*f^4 + a*c*f^2*(13*e^2 - 28*d*f) + c^2*(e^4 - 5*d*e^2*f + 16*d^2*f^2))))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(8*Sqrt[2]*(e^2 - 4*d*f)^(5/2)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])}
+
+
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)^2, -(((b^2 - 4*a*c)*(768*c^4*d^2 + 99*b^4*f^2 - 72*b^2*c*f*(4*b*e + 3*a*f) - 128*c^3*(6*b*d*e + a*(e^2 + 2*d*f)) + 16*c^2*(24*a*b*e*f + 3*a^2*f^2 + 14*b^2*(e^2 + 2*d*f)))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(16384*c^6)) + ((768*c^4*d^2 + 99*b^4*f^2 - 72*b^2*c*f*(4*b*e + 3*a*f) - 128*c^3*(6*b*d*e + a*(e^2 + 2*d*f)) + 16*c^2*(24*a*b*e*f + 3*a^2*f^2 + 14*b^2*(e^2 + 2*d*f)))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(6144*c^5) + ((5376*c^3*d*e - 693*b^3*f^2 + 36*b*c*f*(56*b*e + 31*a*f) - 32*c^2*(48*a*e*f + 49*b*(e^2 + 2*d*f)))*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(13440*c^4) + ((99*b^2*f^2 - 12*c*f*(24*b*e + 7*a*f) + 224*c^2*(e^2 + 2*d*f))*x*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(1344*c^3) + (f*(32*c*e - 11*b*f)*x^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(112*c^2) + (f^2*x^3*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(8*c) + ((b^2 - 4*a*c)^2*(768*c^4*d^2 + 99*b^4*f^2 - 72*b^2*c*f*(4*b*e + 3*a*f) - 128*c^3*(6*b*d*e + a*(e^2 + 2*d*f)) + 16*c^2*(24*a*b*e*f + 3*a^2*f^2 + 14*b^2*(e^2 + 2*d*f)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(32768*c^(13//2)), x, 8),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)^1, -(((b^2 - 4*a*c)*(24*c^2*d + 7*b^2*f - 4*c*(3*b*e + a*f))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(512*c^4)) + ((24*c^2*d - 12*b*c*e + 7*b^2*f - 4*a*c*f)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*c^3) + ((12*c*e - 7*b*f)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(60*c^2) + (f*x*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(6*c) + ((b^2 - 4*a*c)^2*(24*c^2*d + 7*b^2*f - 4*c*(3*b*e + a*f))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(1024*c^(9//2)), x, 6),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x + f*x^2)^1, -(((4*c*e - 5*b*f - 2*c*f*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*f^2)) + ((3*b^2*f^2 - 12*c*f*(b*e - a*f) + 8*c^2*(e^2 - d*f))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(c)*f^3) + (((c*e - b*f)*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*(f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f)) - 2*f*(2*c*d*f*(b*e - a*f) - f^2*(b^2*d - a^2*f) - c^2*d*(e^2 - d*f)))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^3*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))) - (((c*e - b*f)*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*(f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f)) - 2*f*(2*c*d*f*(b*e - a*f) - f^2*(b^2*d - a^2*f) - c^2*d*(e^2 - d*f)))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^3*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 9),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x + f*x^2)^2, -(((c*e - 2*b*f - 2*c*f*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(f*(e^2 - 4*d*f))) - ((e + 2*f*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/((e^2 - 4*d*f)*(d + e*x + f*x^2)) + (c^(3//2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/f^2 - (((c*e - b*f)*(f*(b*e - 2*a*f) + 2*c*(e^2 - 5*d*f))*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) - 2*f*(2*c^2*d*(e^2 - 4*d*f) + f*(2*b^2*d*f + 4*a*f*(c*d + a*f) - b*e*(c*d + 3*a*f))))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(2)*f^2*(e^2 - 4*d*f)^(3//2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))) + (((c*e - b*f)*(f*(b*e - 2*a*f) + 2*c*(e^2 - 5*d*f))*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) - 2*f*(2*c^2*d*(e^2 - 4*d*f) + f*(2*b^2*d*f + 4*a*f*(c*d + a*f) - b*e*(c*d + 3*a*f))))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(2)*f^2*(e^2 - 4*d*f)^(3//2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 10),
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x + f*x^2)^3, -(((e + 2*f*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(2*(e^2 - 4*d*f)*(d + e*x + f*x^2)^2)) + (3*(4*c*d*e + 4*a*e*f - b*(e^2 + 4*d*f) + 2*(c*e^2 - 2*b*e*f + 4*a*f^2)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*(e^2 - 4*d*f)^2*(d + e*x + f*x^2)) - (3*(2*(2*c*d - b*e + 2*a*f)*(c*e - b*f)*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) - f*(4*b*e*(c*d + 3*a*f) - b^2*(e^2 + 4*d*f) - 4*a*(c*e^2 + 4*a*f^2)))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(4*sqrt(2)*(e^2 - 4*d*f)^(5//2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))) + (3*(2*(2*c*d - b*e + 2*a*f)*(c*e - b*f)*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) - f*(4*b*e*(c*d + 3*a*f) - b^2*(e^2 + 4*d*f) - 4*a*(c*e^2 + 4*a*f^2)))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(4*sqrt(2)*(e^2 - 4*d*f)^(5//2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 7),
+# {(a + b*x + c*x^2)^(3/2)/(d + e*x + f*x^2)^4, x, 8, -(((e + 2*f*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(3*(e^2 - 4*d*f)*(d + e*x + f*x^2)^3)) + ((20*c*d*e - 3*b*e^2 - 28*b*d*f + 20*a*e*f + 2*(7*c*e^2 - 8*c*d*f - 10*b*e*f + 20*a*f^2)*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(12*(e^2 - 4*d*f)^2*(d + e*x + f*x^2)^2) + (((f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f))*(40*c^2*d^2*e + 240*a^2*e*f^2 - 20*a*b*f*(7*e^2 + 10*d*f) + b^2*(3*e^3 + 128*d*e*f) + c*(52*a*e^3 + 72*a*d*e*f - 8*b*d*(8*e^2 + 13*d*f))) - (c*d*e - 2*b*d*f + a*e*f)*(8*c^2*d*(3*e^2 + 8*d*f) - 4*c*f*(15*b*d*e + 13*a*e^2 - 32*a*d*f) + f*(140*a*b*e*f - 240*a^2*f^2 - b^2*(3*e^2 + 28*d*f))) - f*(8*c^3*d^2*(11*e^2 + 16*d*f) + 3*f*(b*e - 2*a*f)*(80*a*b*e*f - 80*a^2*f^2 - b^2*(e^2 + 76*d*f)) - 4*c^2*(2*b*d*e*(11*e^2 + 46*d*f) - a*(19*e^4 + 6*d*e^2*f + 32*d^2*f^2)) + c*(32*a^2*f^2*(17*e^2 - 23*d*f) - 4*a*b*e*f*(79*e^2 + 44*d*f) + b^2*(3*e^4 + 310*d*e^2*f + 152*d^2*f^2)))*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(24*(e^2 - 4*d*f)^3*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*(d + e*x + f*x^2)) + (((c*e - b*f)*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])*(16*c^3*d^2*(e^2 + 6*d*f) + 8*c^2*e*(a*e*(2*e^2 + 7*d*f) - 2*b*d*(e^2 + 11*d*f)) + 2*c*f*(12*a^2*f*(7*e^2 - 8*d*f) - 2*a*b*e*(23*e^2 + 28*d*f) + b^2*d*(49*e^2 + 44*d*f)) + f*(b*e - 2*a*f)*(80*a*b*e*f - 80*a^2*f^2 - b^2*(e^2 + 76*d*f))) - 2*f*(b^4*f*(e^4 - 30*d*e^2*f - 56*d^2*f^2) + b^3*e*(a*f^2*(23*e^2 + 308*d*f) - c*(e^4 - 37*d*e^2*f - 108*d^2*f^2)) - 8*a*(40*a^3*f^5 + 4*a^2*c*f^3*(13*e^2 - 22*d*f) + c^3*d*e^2*(e^2 + 6*d*f) + 6*a*c^2*f*(2*e^4 - 5*d*e^2*f + 8*d^2*f^2)) + 4*b*e*(140*a^3*f^4 + 3*a^2*c*f^2*(29*e^2 - 16*d*f) + 2*c^3*d^2*(e^2 + 6*d*f) + 3*a*c^2*(e^4 + 9*d*e^2*f + 8*d^2*f^2)) - 6*b^2*(4*a^2*f^3*(11*e^2 + 16*d*f) + 2*a*c*f*(3*e^4 + 31*d*e^2*f - 12*d^2*f^2) + c^2*d*(e^4 + 14*d*e^2*f + 8*d^2*f^2))))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(16*Sqrt[2]*(e^2 - 4*d*f)^(7/2)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]) - (((c*e - b*f)*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])*(16*c^3*d^2*(e^2 + 6*d*f) + 8*c^2*e*(a*e*(2*e^2 + 7*d*f) - 2*b*d*(e^2 + 11*d*f)) + 2*c*f*(12*a^2*f*(7*e^2 - 8*d*f) - 2*a*b*e*(23*e^2 + 28*d*f) + b^2*d*(49*e^2 + 44*d*f)) + f*(b*e - 2*a*f)*(80*a*b*e*f - 80*a^2*f^2 - b^2*(e^2 + 76*d*f))) - 2*f*(b^4*f*(e^4 - 30*d*e^2*f - 56*d^2*f^2) + b^3*e*(a*f^2*(23*e^2 + 308*d*f) - c*(e^4 - 37*d*e^2*f - 108*d^2*f^2)) - 8*a*(40*a^3*f^5 + 4*a^2*c*f^3*(13*e^2 - 22*d*f) + c^3*d*e^2*(e^2 + 6*d*f) + 6*a*c^2*f*(2*e^4 - 5*d*e^2*f + 8*d^2*f^2)) + 4*b*e*(140*a^3*f^4 + 3*a^2*c*f^2*(29*e^2 - 16*d*f) + 2*c^3*d^2*(e^2 + 6*d*f) + 3*a*c^2*(e^4 + 9*d*e^2*f + 8*d^2*f^2)) - 6*b^2*(4*a^2*f^3*(11*e^2 + 16*d*f) + 2*a*c*f*(3*e^4 + 31*d*e^2*f - 12*d^2*f^2) + c^2*d*(e^4 + 14*d*e^2*f + 8*d^2*f^2))))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(16*Sqrt[2]*(e^2 - 4*d*f)^(7/2)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])}
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((a + b*x + c*x^2)^(-1//2)*(d + e*x + f*x^2)^3, (1/(7680*c^6))*((23040*c^5*d^2*e - 3465*b^5*f^3 + 420*b^3*c*f^2*(27*b*e + 34*a*f) - 504*b*c^2*f*(70*a*b*e*f + 22*a^2*f^2 + 25*b^2*(e^2 + d*f)) - 640*c^4*(27*b*d*(e^2 + d*f) + 8*a*e*(e^2 + 6*d*f)) + 96*c^3*(128*a^2*e*f^2 + 275*a*b*f*(e^2 + d*f) + 50*b^2*(e^3 + 6*d*e*f)))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + ((1155*b^4*f^3 - 252*b^2*c*f^2*(15*b*e + 14*a*f) + 5760*c^4*d*(e^2 + d*f) + 24*c^2*f*(322*a*b*e*f + 50*a^2*f^2 + 175*b^2*(e^2 + d*f)) - 160*c^3*(27*a*f*(e^2 + d*f) + 10*b*(e^3 + 6*d*e*f)))*x*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3840*c^5) - ((231*b^3*f^3 - 36*b*c*f^2*(21*b*e + 13*a*f) - 320*c^3*(e^3 + 6*d*e*f) + 24*c^2*f*(32*a*e*f + 35*b*(e^2 + d*f)))*x^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(960*c^4) + (f*(99*b^2*f^2 - 4*c*f*(81*b*e + 25*a*f) + 360*c^2*(e^2 + d*f))*x^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(480*c^3) + (f^2*(36*c*e - 11*b*f)*x^4*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(60*c^2) + (f^3*x^5*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(6*c) + (1/(1024*c^(13//2)))*((1024*c^6*d^3 + 231*b^6*f^3 - 252*b^4*c*f^2*(3*b*e + 5*a*f) - 1536*c^5*d*(b*d*e + a*(e^2 + d*f)) + 840*b^2*c^2*f*(4*a*b*e*f + 2*a^2*f^2 + b^2*(e^2 + d*f)) + 384*c^4*(3*b^2*d*(e^2 + d*f) + 3*a^2*f*(e^2 + d*f) + 2*a*b*e*(e^2 + 6*d*f)) - 320*c^3*(9*a^2*b*e*f^2 + a^3*f^3 + 9*a*b^2*f*(e^2 + d*f) + b^3*(e^3 + 6*d*e*f)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))), x, 8),
+((a + b*x + c*x^2)^(-1//2)*(d + e*x + f*x^2)^2, ((384*c^3*d*e - 105*b^3*f^2 + 20*b*c*f*(12*b*e + 11*a*f) - 16*c^2*(16*a*e*f + 9*b*(e^2 + 2*d*f)))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(192*c^4) + ((35*b^2*f^2 - 4*c*f*(20*b*e + 9*a*f) + 48*c^2*(e^2 + 2*d*f))*x*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(96*c^3) + (f*(16*c*e - 7*b*f)*x^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*c^2) + (f^2*x^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c) + ((128*c^4*d^2 + 35*b^4*f^2 - 40*b^2*c*f*(2*b*e + 3*a*f) - 64*c^3*(2*b*d*e + a*(e^2 + 2*d*f)) + 48*c^2*(4*a*b*e*f + a^2*f^2 + b^2*(e^2 + 2*d*f)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(9//2)), x, 6),
+((a + b*x + c*x^2)^(-1//2)*(d + e*x + f*x^2)^1, ((4*c*e - 3*b*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c^2) + (f*x*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*c) + ((8*c^2*d + 3*b^2*f - 4*c*(b*e + a*f))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(5//2)), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)^(-1//2)/(d + e*x + f*x^2)^1, -((sqrt(2)*f*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + (sqrt(2)*f*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(-1//2)/(d + e*x + f*x^2)^2, ((f*(b*e^2 - 2*b*d*f - a*e*f) - c*(e^3 - 3*d*e*f) + f*(f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((e^2 - 4*d*f)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*(d + e*x + f*x^2)) + ((f*(2*c*d - b*e + 2*a*f)*(c*e - b*f)*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) - 2*f*(2*c^2*d*(e^2 - 4*d*f) + f*(3*a*b*e*f - 4*a^2*f^2 + b^2*(e^2 - 6*d*f)) - c*(4*a*f*(e^2 - 3*d*f) + b*(e^3 - 5*d*e*f))))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(2)*(e^2 - 4*d*f)^(3//2)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))) - ((f*(2*c*d - b*e + 2*a*f)*(c*e - b*f)*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) - 2*f*(2*c^2*d*(e^2 - 4*d*f) + f*(3*a*b*e*f - 4*a^2*f^2 + b^2*(e^2 - 6*d*f)) - c*(4*a*f*(e^2 - 3*d*f) + b*(e^3 - 5*d*e*f))))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(2)*(e^2 - 4*d*f)^(3//2)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 6),
+# {(a + b*x + c*x^2)^(-1/2)/(d + e*x + f*x^2)^3, x, 7, ((f*(b*e^2 - 2*b*d*f - a*e*f) - c*(e^3 - 3*d*e*f) + f*(f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f))*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(2*(e^2 - 4*d*f)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*(d + e*x + f*x^2)^2) + ((f*(c*d*e - 2*b*d*f + a*e*f)*(8*c^2*d*(e^2 - 3*d*f) + f*(7*a*b*e*f - 12*a^2*f^2 + b^2*(3*e^2 - 14*d*f)) - c*(2*a*f*(5*e^2 - 18*d*f) + 3*b*(e^3 - 3*d*e*f))) - (c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2)*(c^2*(6*d*e^3 - 26*d^2*e*f) - f*(12*a^2*e*f^2 - a*b*f*(7*e^2 + 10*d*f) - b^2*(3*e^3 - 19*d*e*f)) - c*(2*a*e*f*(5*e^2 - 13*d*f) + b*(3*e^4 - 16*d*e^2*f - 2*d^2*f^2))) - 3*f*(2*c^3*d*(e^4 - 7*d*e^2*f + 8*d^2*f^2) - f^2*(b*e - 2*a*f)*(4*a*b*e*f - 4*a^2*f^2 + b^2*(e^2 - 8*d*f)) + 2*c*f*(3*a*b*e^3*f - a^2*f^2*(7*e^2 - 16*d*f) + b^2*(e^4 - 8*d*e^2*f + 4*d^2*f^2)) - c^2*(4*a*f*(e^4 - 5*d*e^2*f + 10*d^2*f^2) + b*(e^5 - 6*d*e^3*f - 4*d^2*e*f^2)))*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(4*(e^2 - 4*d*f)^2*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))^2*(d + e*x + f*x^2)) + ((f*(c*e - b*f)*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])*(8*c^3*d^2*(e^2 - 7*d*f) - 3*f*(b*e - 2*a*f)*(4*a*b*e*f - 4*a^2*f^2 + b^2*(e^2 - 8*d*f)) - c*(8*a^2*f^2*(5*e^2 - 11*d*f) - 8*a*b*e*f*(2*e^2 + d*f) - b^2*(3*e^4 - 22*d*e^2*f - 32*d^2*f^2)) - 4*c^2*(b*d*e*(2*e^2 - 17*d*f) + a*(e^4 + 2*d^2*f^2))) - 2*f*(8*c^4*d^2*(e^2 - 4*d*f)^2 - 3*f^2*(28*a^3*b*e*f^3 - 16*a^4*f^4 - 2*a*b^3*e*f*(e^2 - 14*d*f) - 9*a^2*b^2*f^2*(e^2 + 4*d*f) - b^4*(e^4 - 9*d*e^2*f + 28*d^2*f^2)) + 2*c*f*(2*a^3*f^3*(23*e^2 - 56*d*f) - 2*a^2*b*e*f^2*(16*e^2 - 19*d*f) - a*b^2*f*(11*e^4 - 123*d*e^2*f + 172*d^2*f^2) - b^3*(3*e^5 - 26*d*e^3*f + 74*d^2*e*f^2)) - 4*c^3*(b*d*e*(2*e^4 - 17*d*e^2*f + 39*d^2*f^2) + a*(e^6 - d*e^4*f - 39*d^2*e^2*f^2 + 96*d^3*f^3)) + c^2*(8*a^2*f^2*(5*e^4 - 29*d*e^2*f + 54*d^2*f^2) + 4*a*b*e*f*(5*e^4 - 43*d*e^2*f + 65*d^2*f^2) + b^2*(3*e^6 - 17*d*e^4*f - 9*d^2*e^2*f^2 + 188*d^3*f^3))))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(8*Sqrt[2]*(e^2 - 4*d*f)^(5/2)*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))^2*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]) - ((f*(c*e - b*f)*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])*(8*c^3*d^2*(e^2 - 7*d*f) - 3*f*(b*e - 2*a*f)*(4*a*b*e*f - 4*a^2*f^2 + b^2*(e^2 - 8*d*f)) - c*(8*a^2*f^2*(5*e^2 - 11*d*f) - 8*a*b*e*f*(2*e^2 + d*f) - b^2*(3*e^4 - 22*d*e^2*f - 32*d^2*f^2)) - 4*c^2*(b*d*e*(2*e^2 - 17*d*f) + a*(e^4 + 2*d^2*f^2))) - 2*f*(8*c^4*d^2*(e^2 - 4*d*f)^2 - 3*f^2*(28*a^3*b*e*f^3 - 16*a^4*f^4 - 2*a*b^3*e*f*(e^2 - 14*d*f) - 9*a^2*b^2*f^2*(e^2 + 4*d*f) - b^4*(e^4 - 9*d*e^2*f + 28*d^2*f^2)) + 2*c*f*(2*a^3*f^3*(23*e^2 - 56*d*f) - 2*a^2*b*e*f^2*(16*e^2 - 19*d*f) - a*b^2*f*(11*e^4 - 123*d*e^2*f + 172*d^2*f^2) - b^3*(3*e^5 - 26*d*e^3*f + 74*d^2*e*f^2)) - 4*c^3*(b*d*e*(2*e^4 - 17*d*e^2*f + 39*d^2*f^2) + a*(e^6 - d*e^4*f - 39*d^2*e^2*f^2 + 96*d^3*f^3)) + c^2*(8*a^2*f^2*(5*e^4 - 29*d*e^2*f + 54*d^2*f^2) + 4*a*b*e*f*(5*e^4 - 43*d*e^2*f + 65*d^2*f^2) + b^2*(3*e^6 - 17*d*e^4*f - 9*d^2*e^2*f^2 + 188*d^3*f^3))))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(8*Sqrt[2]*(e^2 - 4*d*f)^(5/2)*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))^2*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])}
+
+
+((a + b*x + c*x^2)^(-3//2)*(d + e*x + f*x^2)^3, (1/(c^5*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(2*(3*a*b^4*c*e*f^2 - a*b^5*f^3 + a*b^3*c*f*(5*a*f^2 - 3*c*(e^2 + d*f)) - b*c^2*(c^3*d^3 + 5*a^3*f^3 + 3*a*c^2*d*(e^2 + d*f) - 9*a^2*c*f*(e^2 + d*f)) - a*b^2*c^2*e*(12*a*f^2 - c*(e^2 + 6*d*f)) + 2*a*c^3*e*(3*c^2*d^2 + 3*a^2*f^2 - a*c*(e^2 + 6*d*f)) - (2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*(c^4*d^2 - b*c^3*d*e + b^2*c^2*e^2 - 3*a*c^3*e^2 + b^2*c^2*d*f - 2*a*c^3*d*f - 2*b^3*c*e*f + 7*a*b*c^2*e*f + b^4*f^2 - 4*a*b^2*c*f^2 + a^2*c^2*f^2)*x)) - ((187*b^3*f^3 - 4*b*c*f^2*(114*b*e + 73*a*f) - 64*c^3*(e^3 + 6*d*e*f) + 16*c^2*f*(20*a*e*f + 21*b*(e^2 + d*f)))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*c^5) + (f*(41*b^2*f^2 - 4*c*f*(22*b*e + 7*a*f) + 48*c^2*(e^2 + d*f))*x*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(32*c^4) + (f^2*(8*c*e - 5*b*f)*x^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c^3) + (f^3*x^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c^2) + (3*(105*b^4*f^3 - 280*b^2*c*f^2*(b*e + a*f) + 128*c^4*d*(e^2 + d*f) + 80*c^2*f*(6*a*b*e*f + a^2*f^2 + 3*b^2*(e^2 + d*f)) - 64*c^3*(3*a*f*(e^2 + d*f) + b*(e^3 + 6*d*e*f)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(11//2)), x, 7),
+((a + b*x + c*x^2)^(-3//2)*(d + e*x + f*x^2)^2, (2*(2*a*b^2*c*e*f - a*b^3*f^2 + 4*a*c^2*e*(c*d - a*f) - b*c*(c^2*d^2 - 3*a^2*f^2 + a*c*(e^2 + 2*d*f)) - (2*c^4*d^2 + b^4*f^2 - 2*b^2*c*f*(b*e + 2*a*f) - 2*c^3*(b*d*e + a*(e^2 + 2*d*f)) + c^2*(6*a*b*e*f + 2*a^2*f^2 + b^2*(e^2 + 2*d*f)))*x))/(c^3*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (f*(8*c*e - 7*b*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c^3) + (f^2*x*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*c^2) + ((15*b^2*f^2 - 12*c*f*(2*b*e + a*f) + 8*c^2*(e^2 + 2*d*f))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(7//2)), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(-3//2)*(d + e*x + f*x^2)^1, (2*(c*(2*a*e - b*(d + (a*f)/c)) - (2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (f*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/c^(3//2), x, 4),
+((a + b*x + c*x^2)^(-3//2)/(d + e*x + f*x^2)^1, (2*(b^2*c*e - 2*a*c^2*e - b^3*f - b*c*(c*d - 3*a*f) - c*(2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*x))/((b^2 - 4*a*c)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (f*(c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + f*(2*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*sqrt(c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + f*(2*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))))) + (f*(c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + f*(2*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*sqrt(c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + f*(2*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))))), x, 6),
+# {(a + b*x + c*x^2)^(-3/2)/(d + e*x + f*x^2)^2, x, 7, (c*(b*c*d - 2*a*c*e + a*b*f)*(2*c^2*d*(e^2 - 4*d*f) - c*(3*b*e^3 - 11*b*d*e*f - 4*a*d*f^2) - f*(3*a*b*e*f - 4*a^2*f^2 - b^2*(3*e^2 - 10*d*f))) - (2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f))*(b^3*f*(3*e^2 - 10*d*f) + 2*a*c*e*(2*c*e^2 - 7*c*d*f + a*f^2) - b^2*(3*c*e^3 - 11*c*d*e*f + 2*a*e*f^2) + b*(2*a^2*f^3 - a*c*f*(5*e^2 - 18*d*f) + 2*c^2*d*(e^2 - 4*d*f))) - c*(4*c^4*d^2*(e^2 - 4*d*f) - b^2*f^2*(2*a*b*e*f - 2*a^2*f^2 - b^2*(3*e^2 - 10*d*f)) + 2*c*f*(4*a^2*b*e*f^2 - 4*a^3*f^3 - a*b^2*f*(5*e^2 - 18*d*f) - b^3*(3*e^3 - 11*d*e*f)) - c^2*(4*a^2*e^2*f^2 - 4*a*b*e*f*(5*e^2 - 18*d*f) - b^2*(3*e^4 - 8*d*e^2*f - 14*d^2*f^2)) - 4*c^3*(b*d*e*(e^2 - 4*d*f) + 2*a*(e^4 - 3*d*e^2*f - 3*d^2*f^2)))*x)/((b^2 - 4*a*c)*(e^2 - 4*d*f)*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))^2*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (f*(b*e^2 - 2*b*d*f - a*e*f) - c*(e^3 - 3*d*e*f) + f*(f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f))*x)/((e^2 - 4*d*f)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*Sqrt[a + b*x + c*x^2]*(d + e*x + f*x^2)) + (f*((c*e - b*f)*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])*(2*c^2*d*(3*e^2 - 11*d*f) - f*(2*a*b*e*f - 2*a^2*f^2 - b^2*(3*e^2 - 10*d*f)) - c*(4*a*f*(e^2 - 5*d*f) + b*(3*e^3 - 10*d*e*f))) - 2*(2*c^3*d*(3*e^4 - 14*d*e^2*f + 8*d^2*f^2) + f^2*(5*a^2*b*e*f^2 - 4*a^3*f^3 + 2*a*b^2*f*(e^2 - 8*d*f) - b^3*(3*e^3 - 13*d*e*f)) - 2*c*f*(4*a^2*f^2*(e^2 - 3*d*f) - a*b*e*f*(e^2 - d*f) - b^2*(3*e^4 - 13*d*e^2*f + 2*d^2*f^2)) - c^2*(4*a*f*(e^2 - 3*d*f)^2 + b*(3*e^5 - 7*d*e^3*f - 21*d^2*e*f^2))))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*Sqrt[2]*(e^2 - 4*d*f)^(3/2)*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))^2*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]) - (f*((c*e - b*f)*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])*(2*c^2*d*(3*e^2 - 11*d*f) - f*(2*a*b*e*f - 2*a^2*f^2 - b^2*(3*e^2 - 10*d*f)) - c*(4*a*f*(e^2 - 5*d*f) + b*(3*e^3 - 10*d*e*f))) - 2*(2*c^3*d*(3*e^4 - 14*d*e^2*f + 8*d^2*f^2) + f^2*(5*a^2*b*e*f^2 - 4*a^3*f^3 + 2*a*b^2*f*(e^2 - 8*d*f) - b^3*(3*e^3 - 13*d*e*f)) - 2*c*f*(4*a^2*f^2*(e^2 - 3*d*f) - a*b*e*f*(e^2 - d*f) - b^2*(3*e^4 - 13*d*e^2*f + 2*d^2*f^2)) - c^2*(4*a*f*(e^2 - 3*d*f)^2 + b*(3*e^5 - 7*d*e^3*f - 21*d^2*e*f^2))))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*Sqrt[2]*(e^2 - 4*d*f)^(3/2)*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))^2*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])}
+
+
+((a + b*x + c*x^2)^(-5//2)*(d + e*x + f*x^2)^3, (1/(3*c^5*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)))*(2*(3*a*b^4*c*e*f^2 - a*b^5*f^3 + a*b^3*c*f*(5*a*f^2 - 3*c*(e^2 + d*f)) - b*c^2*(c^3*d^3 + 5*a^3*f^3 + 3*a*c^2*d*(e^2 + d*f) - 9*a^2*c*f*(e^2 + d*f)) - a*b^2*c^2*e*(12*a*f^2 - c*(e^2 + 6*d*f)) + 2*a*c^3*e*(3*c^2*d^2 + 3*a^2*f^2 - a*c*(e^2 + 6*d*f)) - (2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*(c^4*d^2 - b*c^3*d*e + b^2*c^2*e^2 - 3*a*c^3*e^2 + b^2*c^2*d*f - 2*a*c^3*d*f - 2*b^3*c*e*f + 7*a*b*c^2*e*f + b^4*f^2 - 4*a*b^2*c*f^2 + a^2*c^2*f^2)*x)) - (1/(3*c^5*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(2*(3*b^6*c*e*f^2 - b^7*f^3 + 3*b^5*c*f*(6*a*f^2 - c*(e^2 + d*f)) - 3*b^3*c^2*(29*a^2*f^3 + c^2*d*(e^2 + d*f) - 10*a*c*f*(e^2 + d*f)) - 4*b*c^3*(2*c^3*d^3 - 29*a^3*f^3 + 3*a*c^2*d*(e^2 + d*f) + 24*a^2*c*f*(e^2 + d*f)) - 24*a^2*c^4*e*(6*a*f^2 - c*(e^2 + 6*d*f)) - b^4*c^2*e*(42*a*f^2 - c*(e^2 + 6*d*f)) + 6*b^2*c^3*e*(2*c^2*d^2 + 28*a^2*f^2 - a*c*(e^2 + 6*d*f)) - c*(16*c^6*d^3 - 10*b^6*f^3 + 3*b^4*c*f^2*(7*b*e + 26*a*f) - 24*c^5*d*(b*d*e - a*(e^2 + d*f)) - 6*b^2*c^2*f*(25*a*b*e*f + 27*a^2*f^2 + 2*b^2*(e^2 + d*f)) + 6*c^4*(b^2*d*(e^2 + d*f) - 16*a^2*f*(e^2 + d*f) - 2*a*b*e*(e^2 + 6*d*f)) + c^3*(240*a^2*b*e*f^2 + 56*a^3*f^3 + 84*a*b^2*f*(e^2 + d*f) + b^3*(e^3 + 6*d*e*f)))*x)) + (f^2*(12*c*e - 11*b*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c^4) + (f^3*x*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*c^3) + (f*(35*b^2*f^2 - 20*c*f*(3*b*e + a*f) + 24*c^2*(e^2 + d*f))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(9//2)), x, 6),
+((a + b*x + c*x^2)^(-5//2)*(d + e*x + f*x^2)^2, (2*(2*a*b^2*c*e*f - a*b^3*f^2 + 4*a*c^2*e*(c*d - a*f) - b*c*(c^2*d^2 - 3*a^2*f^2 + a*c*(e^2 + 2*d*f)) - (2*c^4*d^2 + b^4*f^2 - 2*b^2*c*f*(b*e + 2*a*f) - 2*c^3*(b*d*e + a*(e^2 + 2*d*f)) + c^2*(6*a*b*e*f + 2*a^2*f^2 + b^2*(e^2 + 2*d*f)))*x))/(3*c^3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (1/(3*c^3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(2*(2*b^4*c*e*f + 48*a^2*c^3*e*f - b^5*f^2 + 4*b^2*c^2*e*(2*c*d - 3*a*f) + b^3*c*(10*a*f^2 - c*(e^2 + 2*d*f)) - 4*b*c^2*(2*c^2*d^2 + 8*a^2*f^2 + a*c*(e^2 + 2*d*f)) - 2*c*(8*c^4*d^2 - 2*b^4*f^2 + b^2*c*f*(b*e + 14*a*f) - c^3*(8*b*d*e - 4*a*(e^2 + 2*d*f)) - c^2*(12*a*b*e*f + 16*a^2*f^2 - b^2*(e^2 + 2*d*f)))*x)) + (f^2*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/c^(5//2), x, 5),
+((a + b*x + c*x^2)^(-5//2)*(d + e*x + f*x^2)^1, (2*(c*(2*a*e - b*(d + (a*f)/c)) - (2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*x))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) + (2*(8*c*d - 4*b*e + 4*a*f + (b^2*f)/c)*(b + 2*c*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 3),
+# {(a + b*x + c*x^2)^(-5/2)/(d + e*x + f*x^2)^1, x, 7, (2*(b^2*c*e - 2*a*c^2*e - b^3*f - b*c*(c*d - 3*a*f) - c*(2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)) - (1/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))^2*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*(2*(c*(b*c*d - 2*a*c*e + a*b*f)*(8*c^3*d^2 + b^2*f*(3*b*e - 7*a*f) - 4*c^2*(b*d*e - 3*a*e^2 + 7*a*d*f) - c*(8*a*b*e*f - 20*a^2*f^2 + b^2*(3*e^2 - 7*d*f))) - (2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f))*(3*b^4*e*f - 4*a*c^2*e*(2*c*d + a*f) - b^2*c*e*(4*c*d + 13*a*f) - b^3*(3*c*e^2 - 7*c*d*f + 6*a*f^2) + 4*b*c*(2*c^2*d^2 + 6*a^2*f^2 + a*c*(4*e^2 - 5*d*f))) - c*(16*c^5*d^3 + 3*b^4*f^2*(b*e - 2*a*f) - 8*c^4*d*(3*b*d*e - 5*a*e^2 + 9*a*d*f) - 2*b^2*c*f*(7*a*b*e*f - 19*a^2*f^2 + b^2*(3*e^2 - 4*d*f)) - 2*c^3*(8*a^2*f*(e^2 - 6*d*f) + 2*a*b*e*(5*e^2 + 2*d*f) - b^2*d*(e^2 + 15*d*f)) - c^2*(16*a^2*b*e*f^2 + 40*a^3*f^3 - 4*a*b^2*f*(10*e^2 - 11*d*f) - b^3*(3*e^3 - 10*d*e*f)))*x)) - (f*((c*e - b*f)*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])*(f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f)) + 2*(c^2*(e^4 - 3*d*e^2*f + d^2*f^2) - f^2*(2*a*b*e*f - a^2*f^2 - b^2*(e^2 - d*f)) + 2*c*f*(a*f*(e^2 - d*f) - b*(e^3 - 2*d*e*f))))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))^2*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]) + (f*((c*e - b*f)*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])*(f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f)) + 2*(c^2*(e^4 - 3*d*e^2*f + d^2*f^2) - f^2*(2*a*b*e*f - a^2*f^2 - b^2*(e^2 - d*f)) + 2*c*f*(a*f*(e^2 - d*f) - b*(e^3 - 2*d*e*f))))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))^2*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])}
+# {(a + b*x + c*x^2)^(-5/2)/(d + e*x + f*x^2)^2, x, 8, -(((2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f))*(b^3*f*(5*e^2 - 14*d*f) + 2*a*c*e*(4*c*e^2 - 13*c*d*f + 3*a*f^2) - b^2*(5*c*e^3 - 17*c*d*e*f + 6*a*e*f^2) + b*(6*a^2*f^3 - a*c*f*(7*e^2 - 22*d*f) + 2*c^2*d*(e^2 - 4*d*f))) - c*(b*c*d - 2*a*c*e + a*b*f)*(2*c^2*d*(e^2 - 4*d*f) - f*(9*a*b*e*f - 12*a^2*f^2 - b^2*(5*e^2 - 14*d*f)) + c*(4*a*f*(e^2 - d*f) - b*(5*e^3 - 17*d*e*f))) + c*(4*c^4*d^2*(e^2 - 4*d*f) - b^2*f^2*(6*a*b*e*f - 6*a^2*f^2 - b^2*(5*e^2 - 14*d*f)) + 2*c*f*(12*a^2*b*e*f^2 - 12*a^3*f^3 - a*b^2*f*(7*e^2 - 22*d*f) - b^3*(5*e^3 - 17*d*e*f)) + c^2*(12*a*b*e*f*(3*e^2 - 10*d*f) - 4*a^2*f^2*(5*e^2 - 8*d*f) + b^2*(5*e^4 - 16*d*e^2*f - 10*d^2*f^2)) - 4*c^3*(b*d*e*(e^2 - 4*d*f) + 2*a*(2*e^4 - 7*d*e^2*f - d^2*f^2)))*x)/(3*(b^2 - 4*a*c)*(e^2 - 4*d*f)*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))^2*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))) + (3*b^8*e*f^3*(5*e^2 - 19*d*f) + b^6*e*f*(9*a^2*f^4 - a*c*f^2*(56*e^2 - 227*d*f) + 3*c^2*(15*e^4 - 62*d*e^2*f + 14*d^2*f^2)) + 48*a^2*c^3*e*(a^3*f^5 - 3*a^2*c*f^3*(2*e^2 - 9*d*f) + c^3*d*(5*e^4 - 27*d*e^2*f + 29*d^2*f^2) - a*c^2*f*(2*e^4 - 23*d*e^2*f + 57*d^2*f^2)) - b^7*f^2*(3*a*f^2*(11*e^2 - 38*d*f) + c*(45*e^4 - 191*d*e^2*f + 68*d^2*f^2)) - b^4*c*e*(69*a^3*f^5 + a^2*c*f^3*(248*e^2 - 833*d*f) + 3*a*c^2*f*(114*e^4 - 491*d*e^2*f + 185*d^2*f^2) - c^3*d*(25*e^4 - 151*d*e^2*f + 207*d^2*f^2)) + 8*b^2*c^2*e*(15*a^4*f^5 + a^3*c*f^3*(121*e^2 - 439*d*f) - 4*c^4*d^3*(e^2 - 4*d*f) - 3*a*c^3*d*(8*e^4 - 40*d*e^2*f + 33*d^2*f^2) + a^2*c^2*f*(80*e^4 - 395*d*e^2*f + 327*d^2*f^2)) - b^5*(6*a^3*f^6 - a^2*c*f^4*(269*e^2 - 968*d*f) - 3*a*c^2*f^2*(107*e^4 - 482*d*e^2*f + 262*d^2*f^2) + 3*c^3*(5*e^6 - 9*d*e^4*f - 57*d^2*e^2*f^2 + 60*d^3*f^3)) - 8*b*c^2*(12*a^5*f^6 - 2*a^4*c*f^4*(13*e^2 - 88*d*f) - 2*c^5*d^4*(e^2 - 4*d*f) + a^3*c^2*f^2*(27*e^4 + 26*d*e^2*f - 428*d^2*f^2) - a*c^4*d^2*(9*e^4 - 50*d*e^2*f + 56*d^2*f^2) + a^2*c^3*(23*e^6 - 50*d*e^4*f - 228*d^2*e^2*f^2 + 288*d^3*f^3)) + 2*b^3*c*(24*a^4*f^6 - 298*a^3*c*f^4*(e^2 - 4*d*f) + c^4*d^2*(3*e^4 + 10*d*e^2*f - 88*d^2*f^2) - 3*a^2*c^2*f^2*(81*e^4 - 450*d*e^2*f + 496*d^2*f^2) + a*c^3*(55*e^6 - 88*d*e^4*f - 654*d^2*e^2*f^2 + 600*d^3*f^3)) + c*(32*c^7*d^4*(e^2 - 4*d*f) - 16*c^6*d^2*(e^2 - 4*d*f)*(4*b*d*e - 9*a*e^2 + 14*a*d*f) - 3*b^4*f^3*(b*e - 2*a*f)*(a*b*e*f - a^2*f^2 - b^2*(5*e^2 - 19*d*f)) - b^2*c*f^2*(72*a^3*b*e*f^3 - 48*a^4*f^4 - a^2*b^2*f^2*(247*e^2 - 862*d*f) + 2*a*b^3*e*f*(23*e^2 - 89*d*f) + b^4*(45*e^4 - 196*d*e^2*f + 82*d^2*f^2)) + c^2*f*(144*a^4*b*e*f^4 - 96*a^5*f^5 - 4*a^2*b^3*e*f^2*(67*e^2 - 244*d*f) - 16*a^3*b^2*f^3*(28*e^2 - 103*d*f) + 3*a*b^4*f*(97*e^4 - 444*d*e^2*f + 266*d^2*f^2) + 3*b^5*(15*e^5 - 67*d*e^3*f + 31*d^2*e*f^2)) + c^3*(16*a^3*b*e*f^3*(49*e^2 - 178*d*f) - 16*a^4*f^4*(e^2 + 14*d*f) - 24*a*b^3*e*f*(13*e^4 - 60*d*e^2*f + 35*d^2*f^2) - 12*a^2*b^2*f^2*(27*e^4 - 154*d*e^2*f + 196*d^2*f^2) - 3*b^4*(5*e^6 - 14*d*e^4*f - 39*d^2*e^2*f^2 + 62*d^3*f^3)) + 4*c^5*(b^2*d^2*(3*e^4 + 10*d*e^2*f - 88*d^2*f^2) - 12*a*b*d*e*(3*e^4 - 13*d*e^2*f + 4*d^2*f^2) - 4*a^2*(8*e^6 - 38*d*e^4*f - 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a*b^3*e*f*(11*e^2 - 49*d*f) + 3*a^2*b^2*f^2*(e^2 - 10*d*f) + b^4*(5*e^4 - 24*d*e^2*f + 14*d^2*f^2)) + c*f^2*(6*a*b^2*e^2*f*(3*e^2 - 13*d*f) + 3*a^2*b*e*f^2*(3*e^2 - 7*d*f) - 12*a^3*f^3*(e^2 - 3*d*f) - b^3*(15*e^5 - 77*d*e^3*f + 65*d^2*e*f^2)) - 3*c^2*f*(a*b*e*f*(e^4 + 7*d*e^2*f - 47*d^2*f^2) + 2*a^2*f^2*(2*e^4 - 11*d*e^2*f + 14*d^2*f^2) - b^2*(5*e^6 - 24*d*e^4*f + 13*d^2*e^2*f^2 + 10*d^3*f^3)) - c^3*(2*a*f*(2*e^6 - 25*d*e^4*f + 78*d^2*e^2*f^2 - 38*d^3*f^3) + b*(5*e^7 - 9*d*e^5*f - 76*d^2*e^3*f^2 + 127*d^3*e*f^3))))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*Sqrt[2]*(e^2 - 4*d*f)^(3/2)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))^3*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]) - (f*((c*e - b*f)*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])*(2*c^3*d*(5*e^4 - 27*d*e^2*f + 29*d^2*f^2) + f^2*(b*e - 2*a*f)*(a*b*e*f - a^2*f^2 - b^2*(5*e^2 - 19*d*f)) - c*f*(a*b*e*f*(7*e^2 - 22*d*f) + 6*a^2*f^2*(2*e^2 - 9*d*f) - b^2*(10*e^4 - 43*d*e^2*f + 18*d^2*f^2)) - c^2*(2*a*f*(2*e^4 - 23*d*e^2*f + 57*d^2*f^2) + b*(5*e^5 - 14*d*e^3*f - 21*d^2*e*f^2))) - 2*(2*c^4*d*(5*e^6 - 32*d*e^4*f + 51*d^2*e^2*f^2 - 12*d^3*f^3) + f^3*(7*a^3*b*e*f^3 - 4*a^4*f^4 - a*b^3*e*f*(11*e^2 - 49*d*f) + 3*a^2*b^2*f^2*(e^2 - 10*d*f) + b^4*(5*e^4 - 24*d*e^2*f + 14*d^2*f^2)) + c*f^2*(6*a*b^2*e^2*f*(3*e^2 - 13*d*f) + 3*a^2*b*e*f^2*(3*e^2 - 7*d*f) - 12*a^3*f^3*(e^2 - 3*d*f) - b^3*(15*e^5 - 77*d*e^3*f + 65*d^2*e*f^2)) - 3*c^2*f*(a*b*e*f*(e^4 + 7*d*e^2*f - 47*d^2*f^2) + 2*a^2*f^2*(2*e^4 - 11*d*e^2*f + 14*d^2*f^2) - b^2*(5*e^6 - 24*d*e^4*f + 13*d^2*e^2*f^2 + 10*d^3*f^3)) - c^3*(2*a*f*(2*e^6 - 25*d*e^4*f + 78*d^2*e^2*f^2 - 38*d^3*f^3) + b*(5*e^7 - 9*d*e^5*f - 76*d^2*e^3*f^2 + 127*d^3*e*f^3))))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*Sqrt[2]*(e^2 - 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+
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+(1/(sqrt(-7 + 2*x + 5*x^2)*(8 + 12*x + 5*x^2)), (1//10)*atan((5*(2 + x))/(2*sqrt(-7 + 2*x + 5*x^2))) + (1//5)*atanh((5*(1 + x))/sqrt(-7 + 2*x + 5*x^2)), x, 5),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x+c x^2)^(p/2) (d+e x+f x^2)^(q/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+# {Sqrt[3 - x + 2*x^2]/(2 + 3*x + 5*x^2)^(5/2), x, 0, 0} *)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/(sqrt(a + b*x + c*x^2)*sqrt(d + e*x + f*x^2)), -(((b^2*d + b*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - a*e) - a*(2*c*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e - 2*a*f))^(1//4)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)^(3//2)*sqrt(2*a + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x)*sqrt(((4*a*c - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^2)^2*(d + e*x + f*x^2))/(((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^2*d - 2*a*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e + 4*a^2*f)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)^2))*(1 + (sqrt(2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*e - b*f))*(2*a + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x))/(sqrt(b^2*d + b*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - a*e) - a*(2*c*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e - 2*a*f))*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))*sqrt((1 - ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(2*c*d - b*e + 2*a*f)*(2*a + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x))/((b^2*d + b*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - a*e) - a*(2*c*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e - 2*a*f))*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)) + ((4*c^2*d - 2*c*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^2*f)*(2*a + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x)^2)/(((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^2*d - 2*a*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e + 4*a^2*f)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)^2))/(1 + (sqrt(2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*e - b*f))*(2*a + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x))/(sqrt(b^2*d + b*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - a*e) - a*(2*c*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e - 2*a*f))*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(((2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*e - b*f))^(1//4)*sqrt(2*a + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x))/((b^2*d + b*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - a*e) - a*(2*c*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e - 2*a*f))^(1//4)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))), (1//4)*(2 + ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(2*c*d - b*e + 2*a*f))/(sqrt(b^2*d + b*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - a*e) - a*(2*c*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e - 2*a*f))*sqrt(2*c^2*d + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f - c*(b*e + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e + 2*a*f))))))/((4*a*c - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^2)*(2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*e - b*f))^(1//4)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*sqrt(d + e*x + f*x^2)*sqrt(1 - ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(2*c*d - b*e + 2*a*f)*(2*a + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x))/((b^2*d + b*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - a*e) - a*(2*c*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e - 2*a*f))*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)) + ((4*c^2*d - 2*c*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^2*f)*(2*a + (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x)^2)/(((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^2*d - 2*a*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e + 4*a^2*f)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)^2)))), x, 3),
+
+
+# {(2 + 3*x + 5*x^2)^(5/2)/Sqrt[3 - x + 2*x^2], x, 0, 0}
+((2 + 3*x + 5*x^2)^(3//2)/sqrt(3 - x + 2*x^2), 0, x, 0),
+# {(2 + 3*x + 5*x^2)^(1/2)/Sqrt[3 - x + 2*x^2], x, 0, 0} *)
+# {1/(Sqrt[3 - x + 2*x^2]*(2 + 3*x + 5*x^2)^(1/2)), x, 3, If[$VersionNumber<11, (Sqrt[23/11]*(1 - I*Sqrt[23] - 4*x)*Sqrt[-1 + I*Sqrt[23] + 4*x]*Sqrt[6 - (1 - I*Sqrt[23])*x]*Sqrt[((11*I - Sqrt[23])*(2 + 3*x + 5*x^2))/((7*I + Sqrt[23])*(1 - I*Sqrt[23] - 4*x)^2)]*(1 - (Sqrt[-((3*I - Sqrt[23])/(7*I + Sqrt[23]))]*(6 - (1 - I*Sqrt[23])*x))/(1 - I*Sqrt[23] - 4*x))*Sqrt[(11 - (41*(I + Sqrt[23])*(6 - (1 - I*Sqrt[23])*x))/((7*I + Sqrt[23])*(1 - I*Sqrt[23] - 4*x)) - (11*(3*I - Sqrt[23])*(6 - (1 - I*Sqrt[23])*x)^2)/((7*I + Sqrt[23])*(1 - I*Sqrt[23] - 4*x)^2))/(1 - (Sqrt[-((3*I - Sqrt[23])/(7*I + Sqrt[23]))]*(6 - (1 - I*Sqrt[23])*x))/(1 - I*Sqrt[23] - 4*x))^2]*EllipticF[2*ArcTan[((-((3*I - Sqrt[23])/(7*I + Sqrt[23])))^(1/4)*Sqrt[6 - (1 - I*Sqrt[23])*x])/Sqrt[-1 + I*Sqrt[23] + 4*x]], (66*I - 22*Sqrt[23] + 41*Sqrt[-((23*(3*I - Sqrt[23]))/(7*I + Sqrt[23]))] + 41*I*Sqrt[-((3*I - Sqrt[23])/(7*I + Sqrt[23]))])/(44*(3*I - Sqrt[23]))])/((23 + I*Sqrt[23])*(-((3*I - Sqrt[23])/(7*I + Sqrt[23])))^(1/4)*Sqrt[3 - x + 2*x^2]*Sqrt[2 + 3*x + 5*x^2]*Sqrt[11 - (41*(I + Sqrt[23])*(6 - (1 - I*Sqrt[23])*x))/((7*I + Sqrt[23])*(1 - I*Sqrt[23] - 4*x)) - (11*(3*I - Sqrt[23])*(6 - (1 - I*Sqrt[23])*x)^2)/((7*I + Sqrt[23])*(1 - I*Sqrt[23] - 4*x)^2)]), (Sqrt[23/11]*(1 - I*Sqrt[23] - 4*x)*Sqrt[-1 + I*Sqrt[23] + 4*x]*Sqrt[6 - (1 - I*Sqrt[23])*x]*Sqrt[((11*I - Sqrt[23])*(2 + 3*x + 5*x^2))/((7*I + Sqrt[23])*(1 - I*Sqrt[23] - 4*x)^2)]*(1 - (Sqrt[-((3*I - Sqrt[23])/(7*I + Sqrt[23]))]*(6 - (1 - I*Sqrt[23])*x))/(1 - I*Sqrt[23] - 4*x))*Sqrt[(11 - (41*(I + Sqrt[23])*(6 - (1 - I*Sqrt[23])*x))/((7*I + Sqrt[23])*(1 - I*Sqrt[23] - 4*x)) - (11*(3*I - Sqrt[23])*(6 - (1 - I*Sqrt[23])*x)^2)/((7*I + Sqrt[23])*(1 - I*Sqrt[23] - 4*x)^2))/(1 - (Sqrt[-((3*I - Sqrt[23])/(7*I + Sqrt[23]))]*(6 - (1 - I*Sqrt[23])*x))/(1 - I*Sqrt[23] - 4*x))^2]*EllipticF[2*ArcTan[((-((3*I - Sqrt[23])/(7*I + Sqrt[23])))^(1/4)*Sqrt[6 - (1 - I*Sqrt[23])*x])/Sqrt[-1 + I*Sqrt[23] + 4*x]], (1/88)*(44 - (41*(I + Sqrt[23]))/Sqrt[11 + I*Sqrt[23]])])/((23 + I*Sqrt[23])*(-((3*I - Sqrt[23])/(7*I + Sqrt[23])))^(1/4)*Sqrt[3 - x + 2*x^2]*Sqrt[2 + 3*x + 5*x^2]*Sqrt[11 - (41*(I + Sqrt[23])*(6 - (1 - I*Sqrt[23])*x))/((7*I + Sqrt[23])*(1 - I*Sqrt[23] - 4*x)) - (11*(3*I - Sqrt[23])*(6 - (1 - I*Sqrt[23])*x)^2)/((7*I + Sqrt[23])*(1 - I*Sqrt[23] - 4*x)^2)])]}
+# {1/(Sqrt[3 - x + 2*x^2]*(2 + 3*x + 5*x^2)^(3/2)), x, 0, 0}
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+
+
+# {(2 + 3*x + 5*x^2)^(5/2)/(3 - x + 2*x^2)^(3/2), x, 0, 0}
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+
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+# {(2 + 3*x + 5*x^2)^(5/2)/(3 - x + 2*x^2)^(5/2), x, 0, 0}
+((2 + 3*x + 5*x^2)^(3//2)/(3 - x + 2*x^2)^(5//2), 0, x, 0),
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+(1/((3 - x + 2*x^2)^(5//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^(1//2)), 0, x, 0),
+(1/((3 - x + 2*x^2)^(5//2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^(3//2)), 0, x, 0),
+# {1/((3 - x + 2*x^2)^(5/2)*(2 + 3*x + 5*x^2)^(5/2)), x, 0, 0} *)
+]
+# Total integrals translated: 139
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.6 (g+h x)^m (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.6 (g+h x)^m (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q.jl
new file mode 100644
index 00000000..4e084bfd
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.6 (g+h x)^m (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q.jl	
@@ -0,0 +1,381 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (g+h x) (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q
+
+
+# ::Section::
+# Integrands of the form (g+h x) (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q with b^2-4 a c=0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (g+h x) (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q with e=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (g+h x) (a+b x+c x^2)^p (d+f x^2)^q
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^1/(d + f*x^2), ((b*B + A*c)*x)/f + (B*c*x^2)/(2*f) - ((b*B*d + A*c*d - a*A*f)*atan((sqrt(f)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(d)*f^(3//2)) - ((B*c*d - A*b*f - a*B*f)*log(d + f*x^2))/(2*f^2), x, 5),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2/(d + f*x^2), ((A*b^2*f - A*c*(c*d - 2*a*f) - b*B*(2*c*d - 2*a*f))*x)/f^2 + ((2*A*b*c*f - B*(c^2*d - b^2*f - 2*a*c*f))*x^2)/(2*f^2) + (c*(2*b*B + A*c)*x^3)/(3*f) + (B*c^2*x^4)/(4*f) - ((A*b^2*d*f - 2*b*B*d*(c*d - a*f) - A*(c*d - a*f)^2)*atan((sqrt(f)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(d)*f^(5//2)) - ((2*A*b*f*(c*d - a*f) - B*(c^2*d^2 - 2*a*c*d*f - f*(b^2*d - a^2*f)))*log(d + f*x^2))/(2*f^3), x, 5),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^3/(d + f*x^2), -(((b^3*B*d*f + 3*A*b^2*f*(c*d - a*f) - 3*b*B*(c*d - a*f)^2 - A*c*(c^2*d^2 - 3*a*c*d*f + 3*a^2*f^2))*x)/f^3) - ((A*b*f*(3*c^2*d - b^2*f - 6*a*c*f) - B*(c^3*d^2 - 3*a*c^2*d*f + 3*a*b^2*f^2 - 3*c*f*(b^2*d - a^2*f)))*x^2)/(2*f^3) + ((b^3*B*f + 3*A*b^2*c*f - A*c^2*(c*d - 3*a*f) - 3*b*B*c*(c*d - 2*a*f))*x^3)/(3*f^2) + (c*(3*A*b*c*f - B*(c^2*d - 3*b^2*f - 3*a*c*f))*x^4)/(4*f^2) + (c^2*(3*b*B + A*c)*x^5)/(5*f) + (B*c^3*x^6)/(6*f) + ((b^3*B*d^2*f + 3*A*b^2*d*f*(c*d - a*f) - 3*b*B*d*(c*d - a*f)^2 - A*(c*d - a*f)^3)*atan((sqrt(f)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(d)*f^(7//2)) + ((A*b*f*(3*c^2*d^2 - 6*a*c*d*f - f*(b^2*d - 3*a^2*f)) - B*(c*d - a*f)*(c^2*d^2 - 2*a*c*d*f - f*(3*b^2*d - a^2*f)))*log(d + f*x^2))/(2*f^4), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((A + B*x)/(a + b*x + c*x^2)^1/(d + f*x^2), (sqrt(f)*(b*B*d - A*c*d + a*A*f)*atan((sqrt(f)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(d)*(c^2*d^2 - 2*a*c*d*f + f*(b^2*d + a^2*f))) - ((A*b^2*f + 2*A*c*(c*d - a*f) - b*B*(c*d + a*f))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c^2*d^2 - 2*a*c*d*f + f*(b^2*d + a^2*f))) + ((B*c*d + A*b*f - a*B*f)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c^2*d^2 - 2*a*c*d*f + f*(b^2*d + a^2*f))) - ((B*c*d + A*b*f - a*B*f)*log(d + f*x^2))/(2*(c^2*d^2 - 2*a*c*d*f + f*(b^2*d + a^2*f))), x, 8),
+((A + B*x)/(a + b*x + c*x^2)^2/(d + f*x^2), (A*b*c*(c*d + a*f) - (A*b - a*B)*(2*c^2*d + b^2*f - 2*a*c*f) - c*(A*b^2*f + 2*A*c*(c*d - a*f) - b*B*(c*d + a*f))*x)/((b^2 - 4*a*c)*(b^2*d*f + (c*d - a*f)^2)*(a + b*x + c*x^2)) - (f^(3//2)*(A*b^2*d*f + 2*b*B*d*(c*d - a*f) - A*(c*d - a*f)^2)*atan((sqrt(f)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(d)*(c^2*d^2 - 2*a*c*d*f + f*(b^2*d + a^2*f))^2) - ((b^5*B*d*f^2 - 2*A*b^4*f^2*(c*d - a*f) - 4*A*c^2*(c*d - 3*a*f)*(c*d - a*f)^2 + b^3*B*f*(5*c^2*d^2 - 4*a*c*d*f - a^2*f^2) - 4*A*b^2*c*f*(2*c^2*d^2 - 3*a*c*d*f + 3*a^2*f^2) + 2*b*B*c*(c^3*d^3 - 7*a*c^2*d^2*f + 3*a^2*c*d*f^2 + 3*a^3*f^3))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(c^2*d^2 - 2*a*c*d*f + f*(b^2*d + a^2*f))^2) - (f*(2*A*b*f*(c*d - a*f) + B*(c^2*d^2 - 2*a*c*d*f - f*(b^2*d - a^2*f)))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c^2*d^2 - 2*a*c*d*f + f*(b^2*d + a^2*f))^2) + (f*(2*A*b*f*(c*d - a*f) + B*(c^2*d^2 - 2*a*c*d*f - f*(b^2*d - a^2*f)))*log(d + f*x^2))/(2*(c^2*d^2 - 2*a*c*d*f + f*(b^2*d + a^2*f))^2), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (g+h x) (a+b x+c x^2)^(p/2) (d+f x^2)^q
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(d - f*x^2), -((B*sqrt(a + b*x + c*x^2))/f) - ((b*B + 2*A*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*f) - ((B*sqrt(d) - A*sqrt(f))*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(d)*f^(3//2)) + ((B*sqrt(d) + A*sqrt(f))*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(d)*f^(3//2)), x, 9),
+# {(A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)/(d + f*x^2), x, 10, -(((B*c*d - A*b*f - a*B*f)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/f^2) + ((b*B + 2*A*c)*(b + 2*c*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(8*c*f) + (B*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(3*f) + ((b*f*(b*B*d + A*c*d - a*A*f) - (c*d - a*f)*(B*c*d - A*b*f - a*B*f) - (Sqrt[f]*(A*b^2*d*f - 2*b*B*d*(c*d - a*f) - A*(c*d - a*f)^2))/Sqrt[-d])*ArcTan[(b*Sqrt[-d] - 2*a*Sqrt[f] + (2*c*Sqrt[-d] - b*Sqrt[f])*x)/(2*Sqrt[c*d + b*Sqrt[-d]*Sqrt[f] - a*f]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*f^(5/2)*Sqrt[c*d + b*Sqrt[-d]*Sqrt[f] - a*f]) - ((b*f*(b*B*d + A*c*d - a*A*f) - (c*d - a*f)*(B*c*d - A*b*f - a*B*f) + (Sqrt[f]*(A*b^2*d*f - 2*b*B*d*(c*d - a*f) - A*(c*d - a*f)^2))/Sqrt[-d])*ArcTan[(b*Sqrt[-d] + 2*a*Sqrt[f] + (2*c*Sqrt[-d] + b*Sqrt[f])*x)/(2*Sqrt[c*d - b*Sqrt[-d]*Sqrt[f] - a*f]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*f^(5/2)*Sqrt[c*d - b*Sqrt[-d]*Sqrt[f] - a*f]) - ((b^2 - 4*a*c)*(b*B + 2*A*c)*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(16*c^(3/2)*f) + ((A*b^2*f - 2*A*c*(c*d - a*f) - b*B*(3*c*d - a*f))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*Sqrt[c]*f^2)}
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((A + B*x)/((a + b*x + c*x^2)^(1//2)*(d - f*x^2)), -(((B - (A*sqrt(f))/sqrt(d))*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(f)*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f))) + ((B + (A*sqrt(f))/sqrt(d))*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(f)*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)), x, 5),
+((A + B*x)/((a + b*x + c*x^2)^(3//2)*(d - f*x^2)), -((2*(a*B*(2*c^2*d - b^2*f + 2*a*c*f) + A*(b^3*f - b*c*(c*d + 3*a*f)) + c*(A*b^2*f + b*B*(c*d - a*f) - 2*A*c*(c*d + a*f))*x))/((b^2 - 4*a*c)*(b^2*d*f - (c*d + a*f)^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - ((B*sqrt(d) - A*sqrt(f))*sqrt(f)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(d)*(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)) + ((B*sqrt(d) + A*sqrt(f))*sqrt(f)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(d)*(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)), x, 6),
+((A + B*x)/((a + b*x + c*x^2)^(5//2)*(d - f*x^2)), -((2*(a*B*(2*c^2*d - b^2*f + 2*a*c*f) + A*(b^3*f - b*c*(c*d + 3*a*f)) + c*(A*b^2*f + b*B*(c*d - a*f) - 2*A*c*(c*d + a*f))*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(b^2*d*f - (c*d + a*f)^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) - (2*(3*b^6*B*d*f^2 + 24*a^2*B*c^2*f*(c*d + a*f)^2 - A*b^5*f^2*(7*c*d + 6*a*f) - b^4*B*f*(7*c^2*d^2 + 14*a*c*d*f - 3*a^2*f^2) + A*b^3*c*f*(15*c^2*d^2 + 46*a*c*d*f + 43*a^2*f^2) + 2*b^2*B*c*(2*c^3*d^3 + 5*a*c^2*d^2*f + 4*a^2*c*d*f^2 - 11*a^3*f^3) - 4*A*b*c^2*(2*c^3*d^3 + 9*a*c^2*d^2*f + 24*a^2*c*d*f^2 + 17*a^3*f^3) + c*(3*b^5*B*d*f^2 - 2*A*b^4*f^2*(4*c*d + 3*a*f) - 8*A*c^2*(c*d + a*f)^2*(2*c*d + 5*a*f) - b^3*B*f*(17*c^2*d^2 + 10*a*c*d*f - 3*a^2*f^2) + 2*A*b^2*c*f*(15*c^2*d^2 + 22*a*c*d*f + 19*a^2*f^2) + 4*b*B*c*(2*c^3*d^3 + 11*a*c^2*d^2*f + 4*a^2*c*d*f^2 - 5*a^3*f^3))*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(c^2*d^2 + 2*a*c*d*f - f*(b^2*d - a^2*f))^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - ((B*sqrt(d) - A*sqrt(f))*f^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(d)*(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(5//2)) + ((B*sqrt(d) + A*sqrt(f))*f^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(d)*(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(5//2)), x, 7),
+
+
+((1 + 2*x)/(sqrt(-1 + x + x^2)*(-1 + x^2)), (-(1//2))*atan((3 + x)/(2*sqrt(-1 + x + x^2))) + (3//2)*atanh((1 - 3*x)/(2*sqrt(-1 + x + x^2))), x, 5),
+
+
+((1 + 2*x)/(sqrt(-1 + x + x^2)*(1 + x^2)), (-sqrt((1//2)*(2 + sqrt(5))))*atan((5 + 2*sqrt(5) - sqrt(5)*x)/(sqrt(10*(2 + sqrt(5)))*sqrt(-1 + x + x^2))) + sqrt((1//2)*(-2 + sqrt(5)))*atanh((5 - 2*sqrt(5) + sqrt(5)*x)/(sqrt(10*(-2 + sqrt(5)))*sqrt(-1 + x + x^2))), x, 5),
+
+
+((a - c + b*x)/((1 + x^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((sqrt(a^2 + b^2 + c*(c - sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)) - a*(2*c - sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)))*atan((b*sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2) - (b^2 + (a - c)*(a - c + sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)))*x)/(sqrt(2)*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1//4)*sqrt(a^2 + b^2 + c*(c - sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)) - a*(2*c - sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1//4))) - (sqrt(a^2 + b^2 + c*(c + sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)) - a*(2*c + sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)))*atanh((b*sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2) + (b^2 + (a - c)*(a - c - sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)))*x)/(sqrt(2)*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1//4)*sqrt(a^2 + b^2 + c*(c + sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)) - a*(2*c + sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1//4)), x, 5),
+
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (g+h x) (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (g+h x) (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q
+
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^1/(d + e*x + f*x^2), -(((B*c*e - b*B*f - A*c*f)*x)/f^2) + (B*c*x^2)/(2*f) - ((A*f*(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2) + B*(f*(b*e^2 - 2*b*d*f - a*e*f) - c*(e^3 - 3*d*e*f)))*atanh((e + 2*f*x)/sqrt(e^2 - 4*d*f)))/(f^3*sqrt(e^2 - 4*d*f)) - ((A*f*(c*e - b*f) - B*(c*e^2 - c*d*f - b*e*f + a*f^2))*log(d + e*x + f*x^2))/(2*f^3), x, 6),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^2/(d + e*x + f*x^2), ((B*(c*e - b*f)*(f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f)) + A*f*(b^2*f^2 - 2*c*f*(b*e - a*f) + c^2*(e^2 - d*f)))*x)/f^4 - ((A*c*f*(c*e - 2*b*f) - B*(b^2*f^2 - 2*c*f*(b*e - a*f) + c^2*(e^2 - d*f)))*x^2)/(2*f^3) - (c*(B*c*e - 2*b*B*f - A*c*f)*x^3)/(3*f^2) + (B*c^2*x^4)/(4*f) - ((A*f*(c^2*(e^4 - 4*d*e^2*f + 2*d^2*f^2) - f^2*(2*a*b*e*f - 2*a^2*f^2 - b^2*(e^2 - 2*d*f)) + 2*c*f*(a*f*(e^2 - 2*d*f) - b*(e^3 - 3*d*e*f))) - B*(c^2*(e^5 - 5*d*e^3*f + 5*d^2*e*f^2) + f^2*(a^2*e*f^2 - 2*a*b*f*(e^2 - 2*d*f) + b^2*(e^3 - 3*d*e*f)) + 2*c*f*(a*e*f*(e^2 - 3*d*f) - b*(e^4 - 4*d*e^2*f + 2*d^2*f^2))))*atanh((e + 2*f*x)/sqrt(e^2 - 4*d*f)))/(f^5*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + ((A*f*(c*e - b*f)*(f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f)) + B*(c^2*(e^4 - 3*d*e^2*f + d^2*f^2) - f^2*(2*a*b*e*f - a^2*f^2 - b^2*(e^2 - d*f)) + 2*c*f*(a*f*(e^2 - d*f) - b*(e^3 - 2*d*e*f))))*log(d + e*x + f*x^2))/(2*f^5), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+((A + B*x)/((a + b*x + c*x^2)^1*(d + e*x + f*x^2)), -(((A*b^2*f + 2*c*(A*c*d + a*B*e - a*A*f) - b*(B*c*d + A*c*e + a*B*f))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f))))) + ((B*(c*d*e - 2*b*d*f + a*e*f) - A*(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2))*atanh((e + 2*f*x)/sqrt(e^2 - 4*d*f)))/(sqrt(e^2 - 4*d*f)*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))) + ((B*c*d - A*c*e + A*b*f - a*B*f)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))) - ((B*c*d - A*c*e + A*b*f - a*B*f)*log(d + e*x + f*x^2))/(2*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))), x, 9),
+((A + B*x)/((a + b*x + c*x^2)^2*(d + e*x + f*x^2)), -((A*c*(2*a*c*e - b*(c*d + a*f)) + (A*b - a*B)*(2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f)) + c*(A*b^2*f + 2*c*(A*c*d + a*B*e - a*A*f) - b*(B*c*d + A*c*e + a*B*f))*x)/((b^2 - 4*a*c)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*(a + b*x + c*x^2))) - (1/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))^2))*((b^5*(B*d - A*e)*f^2 - 2*b^4*f*(B*c*d*e - A*(c*e^2 - c*d*f + a*f^2)) - 4*c^2*(A*(c^3*d^3 - 3*a^3*f^3 - a^2*c*f*(e^2 - 7*d*f) + a*c^2*d*(3*e^2 - 5*d*f)) - a*B*e*(c^2*d^2 - 3*a^2*f^2 - a*c*(e^2 - 2*d*f))) - 4*b^2*c*(B*c^2*d^2*e + A*f*(2*c^2*d^2 + 3*a^2*f^2 + 3*a*c*(e^2 - d*f))) + 2*b*c*(B*(c^3*d^3 + 3*a^3*f^3 + a*c^2*d*(e^2 - 7*d*f) + 3*a^2*c*f*(e^2 + d*f)) + A*c*e*(3*c^2*d^2 + 3*a^2*f^2 + a*c*(3*e^2 + 2*d*f))) - b^3*(A*c*e*(c*e^2 - 2*c*d*f - 4*a*f^2) + B*(4*a*c*d*f^2 + a^2*f^3 - c^2*d*(e^2 + 5*d*f))))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((B*(c^2*d*e*(e^2 - 3*d*f) - 2*c*d*f*(b*e^2 - 2*b*d*f - a*e*f) + f^2*(b^2*d*e - 4*a*b*d*f + a^2*e*f)) - A*(c^2*(e^4 - 4*d*e^2*f + 2*d^2*f^2) - f^2*(2*a*b*e*f - 2*a^2*f^2 - b^2*(e^2 - 2*d*f)) + 2*c*f*(a*f*(e^2 - 2*d*f) - b*(e^3 - 3*d*e*f))))*atanh((e + 2*f*x)/sqrt(e^2 - 4*d*f)))/(sqrt(e^2 - 4*d*f)*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))^2) + ((A*(c*e - b*f)*(f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f)) - B*(2*c*d*f*(b*e - a*f) - f^2*(b^2*d - a^2*f) - c^2*d*(e^2 - d*f)))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))^2) - ((A*(c*e - b*f)*(f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f)) - B*(2*c*d*f*(b*e - a*f) - f^2*(b^2*d - a^2*f) - c^2*d*(e^2 - d*f)))*log(d + e*x + f*x^2))/(2*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))^2), x, 10),
+
+
+((g + h*x)/((a + b*x + c*x^2)*(a*d + b*d*x + c*d*x^2)^2), -((b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*(b^2 - 4*a*c)*d^2*(a + b*x + c*x^2)^2)) + (3*(2*c*g - b*h)*(b + 2*c*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*d^2*(a + b*x + c*x^2)) - (6*c*(2*c*g - b*h)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(5//2)*d^2), x, 5),
+((g + h*x)/((a + b*x + c*x^2)^2*(a*d + b*d*x + c*d*x^2)), -((b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*(b^2 - 4*a*c)*d*(a + b*x + c*x^2)^2)) + (3*(2*c*g - b*h)*(b + 2*c*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*d*(a + b*x + c*x^2)) - (6*c*(2*c*g - b*h)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(5//2)*d), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (g+h x) (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^(q/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
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+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(d + e*x + f*x^2), (B*sqrt(a + b*x + c*x^2))/f - ((2*B*c*e - b*B*f - 2*A*c*f)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*f^2) + ((2*f*(A*f*(c*d - a*f) - B*d*(c*e - b*f)) - (e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*(A*f*(c*e - b*f) + B*(f*(b*e - a*f) - c*(e^2 - d*f))))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))) - ((2*f*(A*f*(c*d - a*f) - B*d*(c*e - b*f)) - (e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*(A*f*(c*e - b*f) + B*(f*(b*e - a*f) - c*(e^2 - d*f))))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 9),
+((A + B*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x + f*x^2), -((1/(8*c*f^3))*((2*A*c*f*(4*c*e - 5*b*f) - B*(b^2*f^2 - 2*c*f*(5*b*e - 4*a*f) + 8*c^2*(e^2 - d*f)) + 2*c*f*(2*B*c*e - b*B*f - 2*A*c*f)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (B*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*f) + (1/(16*c^(3//2)*f^4))*((2*A*c*f*(3*b^2*f^2 - 12*c*f*(b*e - a*f) + 8*c^2*(e^2 - d*f)) - B*(b^3*f^3 + 6*b*c*f^2*(b*e - 2*a*f) - 24*c^2*f*(b*e^2 - b*d*f - a*e*f) + 16*c^3*(e^3 - 2*d*e*f)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))) - ((2*c*f*(B*d*(c*e - b*f)*(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2) + A*f*(2*c*d*f*(b*e - a*f) - f^2*(b^2*d - a^2*f) - c^2*d*(e^2 - d*f))) - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*(A*f*(c*e - b*f)*(f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f)) + B*(c^2*(e^4 - 3*d*e^2*f + d^2*f^2) - f^2*(2*a*b*e*f - a^2*f^2 - b^2*(e^2 - d*f)) + 2*c*f*(a*f*(e^2 - d*f) - b*(e^3 - 2*d*e*f)))))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*c*f^4*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))) + ((2*f*(B*d*(c*e - b*f)*(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2) + A*f*(2*c*d*f*(b*e - a*f) - f^2*(b^2*d - a^2*f) - c^2*d*(e^2 - d*f))) - (e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*(A*f*(c*e - b*f)*(f*(b*e - 2*a*f) - c*(e^2 - 2*d*f)) + B*(c^2*(e^4 - 3*d*e^2*f + d^2*f^2) - f^2*(2*a*b*e*f - a^2*f^2 - b^2*(e^2 - d*f)) + 2*c*f*(a*f*(e^2 - d*f) - b*(e^3 - 2*d*e*f)))))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^4*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 10),
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
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+((A + B*x)/((a + b*x + c*x^2)*sqrt(d + e*x + f*x^2)), ((b*B - 2*A*c - B*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((4*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e + 2*(c*e - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*e - b*f))*sqrt(d + e*x + f*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*e - b*f))) + ((2*A*c - B*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atanh((4*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e + 2*(c*e - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*e - b*f))*sqrt(d + e*x + f*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*e - b*f))), x, 5),
+((A + B*x)/((a + 0*x + c*x^2)*sqrt(d + e*x + f*x^2)), (sqrt(a*B*e + A*(c*d - a*f - sqrt(c^2*d^2 + a^2*f^2 + a*c*(e^2 - 2*d*f))))*sqrt((-A)*c*e + B*(c*d - a*f + sqrt(c^2*d^2 + a^2*f^2 + a*c*(e^2 - 2*d*f))))*atanh((sqrt(e)*(a*(A*c*e - B*(c*d - a*f + sqrt(c^2*d^2 + a^2*f^2 + a*c*(e^2 - 2*d*f)))) - c*(a*B*e + A*(c*d - a*f - sqrt(c^2*d^2 + a^2*f^2 + a*c*(e^2 - 2*d*f))))*x))/(sqrt(2)*sqrt(a)*sqrt(c)*sqrt(a*B*e + A*(c*d - a*f - sqrt(c^2*d^2 + a^2*f^2 + a*c*(e^2 - 2*d*f))))*sqrt((-A)*c*e + B*(c*d - a*f + sqrt(c^2*d^2 + a^2*f^2 + a*c*(e^2 - 2*d*f))))*sqrt(d + e*x + f*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(a)*sqrt(c)*sqrt(e)*sqrt(c^2*d^2 + a^2*f^2 + a*c*(e^2 - 2*d*f))) - (sqrt((-A)*c*e + B*(c*d - a*f - sqrt(c^2*d^2 + a^2*f^2 + a*c*(e^2 - 2*d*f))))*sqrt(a*B*e + A*(c*d - a*f + sqrt(c^2*d^2 + a^2*f^2 + a*c*(e^2 - 2*d*f))))*atanh((sqrt(e)*(a*(A*c*e - B*(c*d - a*f - sqrt(c^2*d^2 + a^2*f^2 + a*c*(e^2 - 2*d*f)))) - c*(a*B*e + A*(c*d - a*f + sqrt(c^2*d^2 + a^2*f^2 + a*c*(e^2 - 2*d*f))))*x))/(sqrt(2)*sqrt(a)*sqrt(c)*sqrt((-A)*c*e + B*(c*d - a*f - sqrt(c^2*d^2 + a^2*f^2 + a*c*(e^2 - 2*d*f))))*sqrt(a*B*e + A*(c*d - a*f + sqrt(c^2*d^2 + a^2*f^2 + a*c*(e^2 - 2*d*f))))*sqrt(d + e*x + f*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(a)*sqrt(c)*sqrt(e)*sqrt(c^2*d^2 + a^2*f^2 + a*c*(e^2 - 2*d*f))), x, 5),
+((A + B*x)/((a + b*x + c*x^2)*sqrt(d + 0*x + f*x^2)), ((b*B - 2*A*c - B*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*c^2*d - 2*a*c*f + b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*sqrt(d + f*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c^2*d - 2*a*c*f + b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)) + ((2*A*c - B*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atanh((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*c^2*d - 2*a*c*f + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)*sqrt(d + f*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c^2*d - 2*a*c*f + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f)), x, 5),
+((A + B*x)/((a + 0*x + c*x^2)*sqrt(d + 0*x + f*x^2)), (A*atan((sqrt(c*d - a*f)*x)/(sqrt(a)*sqrt(d + f*x^2))))/(sqrt(a)*sqrt(c*d - a*f)) - (B*atanh((sqrt(c)*sqrt(d + f*x^2))/sqrt(c*d - a*f)))/(sqrt(c)*sqrt(c*d - a*f)), x, 6),
+
+
+((2 + x)/((2 + 4*x - 3*x^2)*(1 + 3*x - 2*x^2)^(1//2)), (1//2)*sqrt(-(13//5) + sqrt(10))*atan((3*(4 - sqrt(10)) + (1 + 4*sqrt(10))*x)/(2*sqrt(1 + sqrt(10))*sqrt(1 + 3*x - 2*x^2))) + (1//2)*sqrt(13//5 + sqrt(10))*atanh((3*(4 + sqrt(10)) + (1 - 4*sqrt(10))*x)/(2*sqrt(-1 + sqrt(10))*sqrt(1 + 3*x - 2*x^2))), x, 5),
+((2 + x)/((2 + 4*x - 3*x^2)*(1 + 3*x - 2*x^2)^(3//2)), -((2*(15 + 14*x))/(17*sqrt(1 + 3*x - 2*x^2))) - (9//2)*sqrt((1//5)*(-3 + sqrt(10)))*atan((3*(4 - sqrt(10)) + (1 + 4*sqrt(10))*x)/(2*sqrt(1 + sqrt(10))*sqrt(1 + 3*x - 2*x^2))) + (9//2)*sqrt((1//5)*(3 + sqrt(10)))*atanh((3*(4 + sqrt(10)) + (1 - 4*sqrt(10))*x)/(2*sqrt(-1 + sqrt(10))*sqrt(1 + 3*x - 2*x^2))), x, 7),
+((2 + x)/((2 + 4*x - 3*x^2)*(1 + 3*x - 2*x^2)^(5//2)), -((2*(15 + 14*x))/(51*(1 + 3*x - 2*x^2)^(3//2))) - (2*(291 + 4814*x))/(867*sqrt(1 + 3*x - 2*x^2)) + (9//2)*sqrt((1//5)*(-53 + 17*sqrt(10)))*atan((3*(4 - sqrt(10)) + (1 + 4*sqrt(10))*x)/(2*sqrt(1 + sqrt(10))*sqrt(1 + 3*x - 2*x^2))) + (9//2)*sqrt((1//5)*(53 + 17*sqrt(10)))*atanh((3*(4 + sqrt(10)) + (1 - 4*sqrt(10))*x)/(2*sqrt(-1 + sqrt(10))*sqrt(1 + 3*x - 2*x^2))), x, 7),
+
+
+((2 + x)/((2 + 4*x - 3*x^2)*(1 + 3*x + 2*x^2)^(1//2)), (-(1//2))*sqrt(1 + (7*sqrt(2//5))/5)*atanh((3*(4 - sqrt(10)) + (17 - 4*sqrt(10))*x)/(2*sqrt(55 - 17*sqrt(10))*sqrt(1 + 3*x + 2*x^2))) + (1//2)*sqrt(1 - (7*sqrt(2//5))/5)*atanh((3*(4 + sqrt(10)) + (17 + 4*sqrt(10))*x)/(2*sqrt(55 + 17*sqrt(10))*sqrt(1 + 3*x + 2*x^2))), x, 5),
+((2 + x)/((2 + 4*x - 3*x^2)*(1 + 3*x + 2*x^2)^(3//2)), (2*(21 + 22*x))/(5*sqrt(1 + 3*x + 2*x^2)) - (1//10)*sqrt((3//5)*(2065 + 653*sqrt(10)))*atanh((3*(4 - sqrt(10)) + (17 - 4*sqrt(10))*x)/(2*sqrt(55 - 17*sqrt(10))*sqrt(1 + 3*x + 2*x^2))) + (1//10)*sqrt((3//5)*(2065 - 653*sqrt(10)))*atanh((3*(4 + sqrt(10)) + (17 + 4*sqrt(10))*x)/(2*sqrt(55 + 17*sqrt(10))*sqrt(1 + 3*x + 2*x^2))), x, 6),
+((2 + x)/((2 + 4*x - 3*x^2)*(1 + 3*x + 2*x^2)^(5//2)), (2*(21 + 22*x))/(15*(1 + 3*x + 2*x^2)^(3//2)) + (2*(273 + 230*x))/(15*sqrt(1 + 3*x + 2*x^2)) - (1//50)*sqrt((1//3)*(4885115 + 1544809*sqrt(10)))*atanh((3*(4 - sqrt(10)) + (17 - 4*sqrt(10))*x)/(2*sqrt(55 - 17*sqrt(10))*sqrt(1 + 3*x + 2*x^2))) + (1//50)*sqrt((1//3)*(4885115 - 1544809*sqrt(10)))*atanh((3*(4 + sqrt(10)) + (17 + 4*sqrt(10))*x)/(2*sqrt(55 + 17*sqrt(10))*sqrt(1 + 3*x + 2*x^2))), x, 7),
+
+
+((1 + x)/((4 + 2*x + x^2)*sqrt(5 + 2*x + x^2)), -atanh(sqrt(5 + 2*x + x^2)), x, 2),
+((4 + x)/((4 + 2*x + x^2)*sqrt(5 + 2*x + x^2)), sqrt(3)*atan((1 + x)/(sqrt(3)*sqrt(5 + 2*x + x^2))) - atanh(sqrt(5 + 2*x + x^2)), x, 5),
+
+
+((1 + 2*x)/((3 + x + x^2)*sqrt(5 + x + x^2)), (-sqrt(2))*atanh(sqrt(5 + x + x^2)/sqrt(2)), x, 2),
+(x/((3 + x + x^2)*sqrt(5 + x + x^2)), -(atan((sqrt(2//11)*(1 + 2*x))/sqrt(5 + x + x^2))/sqrt(22)) - atanh(sqrt(5 + x + x^2)/sqrt(2))/sqrt(2), x, 5),
+
+
+((A + B*x)/(sqrt(d + e*x + f*x^2)*(a*e + b*e*x + b*f*x^2)^2), -((((A*b - 2*a*B)*e - b*(B*e - 2*A*f)*x)*sqrt(d + e*x + f*x^2))/(e*(b*d - a*e)*(b*e - 4*a*f)*(a*e + b*e*x + b*f*x^2))) + ((B*e - 2*A*f)*(8*a*e*f - b*(e^2 + 4*d*f))*atanh((sqrt(b*d - a*e)*(e + 2*f*x))/(sqrt(e)*sqrt(b*e - 4*a*f)*sqrt(d + e*x + f*x^2))))/(2*e^(3//2)*(b*d - a*e)^(3//2)*f*(b*e - 4*a*f)^(3//2)) + (B*atanh((sqrt(b)*sqrt(d + e*x + f*x^2))/sqrt(b*d - a*e)))/(2*sqrt(b)*(b*d - a*e)^(3//2)*f), x, 6),
+
+
+((g + h*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)/(a*d + b*d*x + c*d*x^2)^2, -((2*(b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x))/((b^2 - 4*a*c)*d^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))), x, 2),
+
+
+((3 + 2*x)/(sqrt(-3 - 4*x - x^2)*(3 + 4*x + 2*x^2)), atanh(x/sqrt(-3 - 4*x - x^2)), x, 2),
+((3 + 4*x)/(sqrt(-3 - 4*x - x^2)*(3 + 4*x + 2*x^2)), sqrt(2)*atan((1 - (3 + x)/sqrt(-3 - 4*x - x^2))/sqrt(2)) - sqrt(2)*atan((1 + (3 + x)/sqrt(-3 - 4*x - x^2))/sqrt(2)) + atanh(x/sqrt(-3 - 4*x - x^2)), x, 13),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (g+h x) (a+b x+c x^2)^(p/2) (d+e x+f x^2)^(q/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# q>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
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+
+((g + h*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)/(a*d + b*d*x + c*d*x^2)^(3//2), -(((2*c*g - b*h)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*sqrt(a*d + b*d*x + c*d*x^2))) + (h*sqrt(a + b*x + c*x^2)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c*d*sqrt(a*d + b*d*x + c*d*x^2)), x, 5),
+
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (g+h x)^m (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^(n/2) (d+f x^2)^(p/2)
+
+
+(x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + d*x^2), -((a*c*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(8*d*(a + b*x))) + (b*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2))/(5*d*(a + b*x)) - ((8*b*c - 15*a*d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2))/(60*d^2*(a + b*x)) - (a*c^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(8*d^(3//2)*(a + b*x)), x, 6),
+(x^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + d*x^2), -((b*c*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(8*d*(a + b*x))) + ((4*a + 3*b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2))/(12*d*(a + b*x)) - (b*c^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(8*d^(3//2)*(a + b*x)), x, 5),
+(x^0*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + d*x^2), (a*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(2*(a + b*x)) + (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*(c + d*x^2)^(3//2))/(3*d*(a + b*x)) + (a*c*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(2*sqrt(d)*(a + b*x)), x, 5),
+(1/x^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + d*x^2), ((2*a + b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(2*(a + b*x)) + (b*c*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(2*sqrt(d)*(a + b*x)) - (a*sqrt(c)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(a + b*x), x, 8),
+(1/x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + d*x^2), -(((a - b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(x*(a + b*x))) + (a*sqrt(d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(a + b*x) - (b*sqrt(c)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(a + b*x), x, 8),
+(1/x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + d*x^2), -(((a + 2*b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + d*x^2))/(2*x^2*(a + b*x))) + (b*sqrt(d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(a + b*x) - (a*d*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(2*sqrt(c)*(a + b*x)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^(n/2) (d+e x+f x^2)^(p/2)
+
+
+(x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + e*x + d*x^2), -(((2*a*d*(4*c*d - 5*e^2) - b*(12*c*d*e - 7*e^3))*(e + 2*d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + e*x + d*x^2))/(128*d^4*(a + b*x))) + (b*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*(c + e*x + d*x^2)^(3//2))/(5*d*(a + b*x)) - ((32*b*c*d + 50*a*d*e - 35*b*e^2 - 6*d*(10*a*d - 7*b*e)*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*(c + e*x + d*x^2)^(3//2))/(240*d^3*(a + b*x)) - ((4*c*d - e^2)*(8*a*c*d^2 - 12*b*c*d*e - 10*a*d*e^2 + 7*b*e^3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*atanh((e + 2*d*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(256*d^(9//2)*(a + b*x)), x, 6),
+(x^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + e*x + d*x^2), -(((4*b*c*d + 8*a*d*e - 5*b*e^2)*(e + 2*d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + e*x + d*x^2))/(64*d^3*(a + b*x))) + ((8*a*d - 5*b*e + 6*b*d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*(c + e*x + d*x^2)^(3//2))/(24*d^2*(a + b*x)) - ((4*c*d - e^2)*(4*b*c*d + 8*a*d*e - 5*b*e^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*atanh((e + 2*d*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(128*d^(7//2)*(a + b*x)), x, 5),
+(x^0*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + e*x + d*x^2), ((2*a*d - b*e)*(e + 2*d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + e*x + d*x^2))/(8*d^2*(a + b*x)) + (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*(c + e*x + d*x^2)^(3//2))/(3*d*(a + b*x)) + ((2*a*d - b*e)*(4*c*d - e^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*atanh((e + 2*d*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(16*d^(5//2)*(a + b*x)), x, 5),
+(1/x^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + e*x + d*x^2), ((4*a*d + b*e + 2*b*d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + e*x + d*x^2))/(4*d*(a + b*x)) + ((4*b*c*d + 4*a*d*e - b*e^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*atanh((e + 2*d*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(8*d^(3//2)*(a + b*x)) - (a*sqrt(c)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*atanh((2*c + e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(a + b*x), x, 7),
+(1/x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + e*x + d*x^2), -(((a - b*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + e*x + d*x^2))/(x*(a + b*x))) + ((2*a*d + b*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*atanh((e + 2*d*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(2*sqrt(d)*(a + b*x)) - ((2*b*c + a*e)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*atanh((2*c + e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(2*sqrt(c)*(a + b*x)), x, 7),
+(1/x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + e*x + d*x^2), -(((2*a*c + (4*b*c + a*e)*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*sqrt(c + e*x + d*x^2))/(4*c*x^2*(a + b*x))) + (b*sqrt(d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*atanh((e + 2*d*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(a + b*x) - ((4*a*c*d + 4*b*c*e - a*e^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)*atanh((2*c + e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(8*c^(3//2)*(a + b*x)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x+c x^2)^(p/2) / (d+e x+f x^2) when b=0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^2*sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x + f*x^2), -(((2*e - f*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*f^2)) + ((a*f^2 + 2*c*(e^2 - d*f))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*sqrt(c)*f^3) - ((e*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*(a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f)) - 2*d*f*(a*f^2 + c*(e^2 - d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^3*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + ((e*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*(a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f)) - 2*d*f*(a*f^2 + c*(e^2 - d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^3*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))), x, 9),
+(x^1*sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x + f*x^2), sqrt(a + c*x^2)/f - (sqrt(c)*e*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/f^2 - ((2*c*d*e*f - (e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*(a*f^2 + c*(e^2 - d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + ((2*c*d*e*f - (e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*(a*f^2 + c*(e^2 - d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))), x, 9),
+(x^0*sqrt(a + c*x^2)/(d + e*x + f*x^2), (sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/f - (sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + (sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)), x, 8),
+(sqrt(a + c*x^2)/(x^1*(d + e*x + f*x^2)), ((2*a*e*f + (c*d - a*f)*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) - ((2*a*e*f + (c*d - a*f)*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) - (sqrt(a)*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/d, x, 12),
+(sqrt(a + c*x^2)/(x^2*(d + e*x + f*x^2)), -(sqrt(a + c*x^2)/(d*x)) - (f*(2*c*d^2 + a*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + (f*(2*c*d^2 + a*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + (sqrt(a)*e*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/d^2, x, 18),
+(sqrt(a + c*x^2)/(x^3*(d + e*x + f*x^2)), -(sqrt(a + c*x^2)/(2*d*x^2)) + (e*sqrt(a + c*x^2))/(d^2*x) + (f*(c*d^2*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + a*(e^3 - 3*d*e*f + e^2*sqrt(e^2 - 4*d*f) - d*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d^3*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) - (f*(c*d^2*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + a*(e^3 - 3*d*e*f - e^2*sqrt(e^2 - 4*d*f) + d*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d^3*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) - (c*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*d) - (sqrt(a)*(e^2 - d*f)*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/d^3, x, 22),
+
+
+(x^2*(a + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x + f*x^2), -(((8*e*(a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f)) - f*(3*a*f^2 + 4*c*(e^2 - d*f))*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*f^4)) - ((4*e - 3*f*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(12*f^2) + ((3*a^2*f^4 + 12*a*c*f^2*(e^2 - d*f) + 8*c^2*(e^4 - 3*d*e^2*f + d^2*f^2))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*sqrt(c)*f^5) - ((a^2*f^4*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*a*c*f^2*(e^4 - 4*d*e^2*f + 2*d^2*f^2 - e^3*sqrt(e^2 - 4*d*f) + 2*d*e*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + c^2*(e^6 - 6*d*e^4*f + 9*d^2*e^2*f^2 - 2*d^3*f^3 - e^5*sqrt(e^2 - 4*d*f) + 4*d*e^3*f*sqrt(e^2 - 4*d*f) - 3*d^2*e*f^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^5*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + ((a^2*f^4*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*a*c*f^2*(e^4 - 4*d*e^2*f + 2*d^2*f^2 + e^3*sqrt(e^2 - 4*d*f) - 2*d*e*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + c^2*(e^6 - 6*d*e^4*f + 9*d^2*e^2*f^2 - 2*d^3*f^3 + e^5*sqrt(e^2 - 4*d*f) - 4*d*e^3*f*sqrt(e^2 - 4*d*f) + 3*d^2*e*f^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^5*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))), x, 10),
+(x^1*(a + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x + f*x^2), ((2*(a*f^2 + c*(e^2 - d*f)) - c*e*f*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*f^3) + (a + c*x^2)^(3//2)/(3*f) - (sqrt(c)*e*(3*a*f^2 + 2*c*(e^2 - 2*d*f))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*f^4) - ((2*c*d*e*f*(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f)) - (e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*(a^2*f^4 + 2*a*c*f^2*(e^2 - d*f) + c^2*(e^4 - 3*d*e^2*f + d^2*f^2)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^4*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + ((2*c*d*e*f*(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f)) - (e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*(a^2*f^4 + 2*a*c*f^2*(e^2 - d*f) + c^2*(e^4 - 3*d*e^2*f + d^2*f^2)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^4*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))), x, 10),
+(x^0*(a + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x + f*x^2), -((c*(2*e - f*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*f^2)) + (sqrt(c)*(3*a*f^2 + 2*c*(e^2 - d*f))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*f^3) - ((c*e*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f)) - 2*f*(2*a*c*d*f^2 - a^2*f^3 + c^2*d*(e^2 - d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^3*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + ((c*e*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f)) - 2*f*(2*a*c*d*f^2 - a^2*f^3 + c^2*d*(e^2 - d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^3*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))), x, 9),
+((a + c*x^2)^(3//2)/(x^1*(d + e*x + f*x^2)), (a*sqrt(a + c*x^2))/d + ((c*d - a*f)*sqrt(a + c*x^2))/(d*f) - (c^(3//2)*e*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/f^2 - ((2*e*f*(c^2*d^2 - a^2*f^2) - (c^2*d*e^2 - f*(c*d - a*f)^2)*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d*f^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + ((2*e*f*(c^2*d^2 - a^2*f^2) - (c^2*d*e^2 - f*(c*d - a*f)^2)*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d*f^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) - (a^(3//2)*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/d, x, 17),
+((a + c*x^2)^(3//2)/(x^2*(d + e*x + f*x^2)), -((a*e*sqrt(a + c*x^2))/d^2) + (3*c*x*sqrt(a + c*x^2))/(2*d) + ((2*a*e - c*d*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*d^2) - (a + c*x^2)^(3//2)/(d*x) + (3*a*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*d) + (sqrt(c)*(2*c*d - 3*a*f)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*d*f) - ((4*a*c*d^2*f^2 + c^2*d^2*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + a^2*f^2*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d^2*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + ((4*a*c*d^2*f^2 + a^2*f^2*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + c^2*d^2*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d^2*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + (a^(3//2)*e*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/d^2, x, 21),
+((a + c*x^2)^(3//2)/(x^3*(d + e*x + f*x^2)), (3*c*sqrt(a + c*x^2))/(2*d) + (a*(e^2 - d*f)*sqrt(a + c*x^2))/d^3 - (3*c*e*x*sqrt(a + c*x^2))/(2*d^2) - ((2*(c*d^2 + a*(e^2 - d*f)) - c*d*e*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*d^3) - (a + c*x^2)^(3//2)/(2*d*x^2) + (e*(a + c*x^2)^(3//2))/(d^2*x) + ((c^2*d^3*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*a*c*d^2*f*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + a^2*f*(e^3 - 3*d*e*f + e^2*sqrt(e^2 - 4*d*f) - d*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d^3*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) - ((2*a*c*d^2*f*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + c^2*d^3*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + a^2*f*(e^3 - 3*d*e*f - e^2*sqrt(e^2 - 4*d*f) + d*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d^3*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) - (3*sqrt(a)*c*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(2*d) - (a^(3//2)*(e^2 - d*f)*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/d^3, x, 26),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^3/(sqrt(a + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2)), sqrt(a + c*x^2)/(c*f) - (e*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(sqrt(c)*f^2) - ((2*d*e*f - (e^2 - d*f)*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + ((2*d*e*f - (e^2 - d*f)*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))), x, 10),
+(x^2/(sqrt(a + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2)), atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2))/(sqrt(c)*f) - ((e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) - ((2*d*f - e*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))), x, 8),
+(x^1/(sqrt(a + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2)), ((e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) - ((e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))), x, 5),
+(x^0/(sqrt(a + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2)), -((sqrt(2)*f*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f))))) + (sqrt(2)*f*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))), x, 5),
+(1/(x^1*sqrt(a + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2)), (f*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) - (f*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) - atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a))/(sqrt(a)*d), x, 10),
+(1/(x^2*sqrt(a + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2)), -(sqrt(a + c*x^2)/(a*d*x)) - (f*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + (f*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + (e*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*d^2), x, 11),
+(1/(x^3*sqrt(a + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2)), -sqrt(a + c*x^2)/(2*a*d*x^2) + (e*sqrt(a + c*x^2))/(a*d^2*x) + (f*(2*e^3 - 4*d*e*f - (e^2 - d*f)*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d^3*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) - (f*(2*e^3 - 4*d*e*f - (e^2 - d*f)*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d^3*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + (c*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*d) - ((e^2 - d*f)*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*d^3), x, 15),
+
+
+(x^3/((a + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)), -(1/(c*f*sqrt(a + c*x^2))) - (e*x)/(a*f^2*sqrt(a + c*x^2)) + (a*f*(c*d^2 + a*(e^2 - d*f)) + c*e*(c*d^2 + a*(e^2 - 2*d*f))*x)/(a*f^2*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*sqrt(a + c*x^2)) - ((2*a*d*e*f - (e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*(c*d^2 + a*(e^2 - d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + ((2*a*d*e*f - (e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*(c*d^2 + a*(e^2 - d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))), x, 10),
+(x^2/((a + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)), -((a*e + (c*d - a*f)*x)/((a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*sqrt(a + c*x^2))) - (f*(2*d*(c*d - a*f) + a*e*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + (f*(2*d*(c*d - a*f) + a*e*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))), x, 6),
+(x^1/((a + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)), -((c*d - a*f - c*e*x)/((a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*sqrt(a + c*x^2))) + (f*(2*c*d*e - (c*d - a*f)*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) - (f*(2*c*d*e - (c*d - a*f)*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))), x, 6),
+(x^0/((a + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)), (c*(a*e + (c*d - a*f)*x))/(a*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*sqrt(a + c*x^2)) - (f*(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + (f*(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))), x, 6),
+(1/(x^1*(a + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)), 1/(a*d*sqrt(a + c*x^2)) - (a*(a*f^2 + c*(e^2 - d*f)) + c^2*d*e*x)/(a*d*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*sqrt(a + c*x^2)) + (f*(2*e*(a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f)) - (e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*(a*f^2 + c*(e^2 - d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d*sqrt(e^2 - 4*d*f)*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) - (f*(2*e*(a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f)) - (e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*(a*f^2 + c*(e^2 - d*f)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d*sqrt(e^2 - 4*d*f)*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) - atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a))/(a^(3//2)*d), x, 12),
+(1/(x^2*(a + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)), -(e/(a*d^2*sqrt(a + c*x^2))) - 1/(a*d*x*sqrt(a + c*x^2)) - (2*c*x)/(a^2*d*sqrt(a + c*x^2)) + (a*e*(a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f)) + c*d*(a*f^2 + c*(e^2 - d*f))*x)/(a*d^2*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*sqrt(a + c*x^2)) + (f*(e*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*(a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f)) - 2*(a*f^2*(e^2 - d*f) + c*(e^4 - 3*d*e^2*f + d^2*f^2)))*atanh((2*a*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) - (f*(e*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*(a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f)) - 2*(a*f^2*(e^2 - d*f) + c*(e^4 - 3*d*e^2*f + d^2*f^2)))*atanh((2*a*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(sqrt(2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))*sqrt(a + c*x^2))))/(sqrt(2)*d^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*sqrt(2*a*f^2 + c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + (e*atanh(sqrt(a + c*x^2)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*d^2), x, 14),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x+c x^2)^(p/2) / (d+e x+f x^2) when e=0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(d - f*x^2), -((d*sqrt(a + b*x + c*x^2))/f^2) + (b*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c^2*f) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(3*c*f) - (b*d*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*f^2) - (b*(b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(5//2)*f) - (d*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f^(5//2)) + (d*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f^(5//2)), x, 15),
+(x^2*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(d - f*x^2), -(((b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c*f)) - ((8*c^2*d - b^2*f + 4*a*c*f)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(3//2)*f^2) + (sqrt(d)*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f^2) + (sqrt(d)*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f^2), x, 9),
+(x^1*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(d - f*x^2), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/f) - (b*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*f) - (sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f^(3//2)) + (sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f^(3//2)), x, 9),
+(x^0*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(d - f*x^2), -((sqrt(c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/f) + (sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(d)*f) + (sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(d)*f), x, 8),
+(1/x^1*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(d - f*x^2), -((sqrt(a)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/d) - (sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d*sqrt(f)) + (sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d*sqrt(f)), x, 17),
+(1/x^2*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(d - f*x^2), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(d*x)) - (b*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(a)*d) + (sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d^(3//2)) + (sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d^(3//2)), x, 16),
+(1/x^3*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(d - f*x^2), -(((2*a + b*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*a*d*x^2)) + ((b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*a^(3//2)*d) - (sqrt(a)*f*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/d^2 - (sqrt(f)*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d^2) + (sqrt(f)*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d^2), x, 20),
+
+
+(x^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d - f*x^2), -((3*b*(b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(128*c^3*f)) - (d*(8*c^2*d + b^2*f + 8*a*c*f + 2*b*c*f*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c*f^3) - (d*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*f^2) + (b*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(16*c^2*f) - (a + b*x + c*x^2)^(5//2)/(5*c*f) + (3*b*(b^2 - 4*a*c)^2*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*c^(7//2)*f) - (b*d*(24*c^2*d - b^2*f + 12*a*c*f)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*f^3) - (d*(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f^(7//2)) + (d*(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f^(7//2)), x, 17),
+(x^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d - f*x^2), -(((b*(80*c^2*d - 3*b^2*f + 12*a*c*f) + 2*c*(16*c^2*d - 3*b^2*f + 12*a*c*f)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*c^2*f^2)) - ((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(8*c*f) - ((128*c^4*d^2 + 192*a*c^3*d*f + 3*b^4*f^2 - 24*a*b^2*c*f^2 + 48*c^2*f*(b^2*d + a^2*f))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(5//2)*f^3) + (sqrt(d)*(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f^3) + (sqrt(d)*(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f^3), x, 10),
+(x^1*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d - f*x^2), -(((8*c^2*d + b^2*f + 8*a*c*f + 2*b*c*f*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c*f^2)) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(3*f) - (b*(24*c^2*d - b^2*f + 12*a*c*f)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*f^2) - ((c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f^(5//2)) + ((c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f^(5//2)), x, 10),
+(x^0*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d - f*x^2), -(((5*b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*f)) - ((8*c^2*d + 3*b^2*f + 12*a*c*f)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(c)*f^2) + ((c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(d)*f^2) + ((c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(d)*f^2), x, 9),
+(1/x^1*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d - f*x^2), ((b^2 + 8*a*c + 2*b*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c*d) - ((8*c^2*d + b^2*f + 8*a*c*f + 2*b*c*f*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c*d*f) - (a^(3//2)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/d - (b*(b^2 - 12*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*d) - (b*(24*c^2*d - b^2*f + 12*a*c*f)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*d*f) - ((c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d*f^(3//2)) + ((c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d*f^(3//2)), x, 19),
+(1/x^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d - f*x^2), (3*(3*b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*d) - ((5*b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*d) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d*x) - (3*sqrt(a)*b*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d) + (3*(b^2 + 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(c)*d) - ((8*c^2*d + 3*b^2*f + 12*a*c*f)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(c)*d*f) + ((c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d^(3//2)*f) + ((c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d^(3//2)*f), x, 18),
+(1/x^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d - f*x^2), -((3*(b - 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*d*x)) + (f*(b^2 + 8*a*c + 2*b*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c*d^2) - ((8*c^2*d + b^2*f + 8*a*c*f + 2*b*c*f*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c*d^2) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(2*d*x^2) - (3*(b^2 + 4*a*c)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(a)*d) - (a^(3//2)*f*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/d^2 + (3*b*sqrt(c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d) - (b*(b^2 - 12*a*c)*f*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*d^2) - (b*(24*c^2*d - b^2*f + 12*a*c*f)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*d^2) - ((c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d^2*sqrt(f)) + ((c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d^2*sqrt(f)), x, 26),
+
+
+((a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(1 - x^2), (-(1//4))*(5*b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2) - (1//2)*(a - b + c)^(3//2)*atanh((2*a - b + (b - 2*c)*x)/(2*sqrt(a - b + c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - ((3*b^2 + 12*a*c + 8*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(c)) + (1//2)*(a + b + c)^(3//2)*atanh((2*a + b + (b + 2*c)*x)/(2*sqrt(a + b + c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))), x, 9),
+
+
+(sqrt(-1 - x + x^2)/(1 - x^2), (-(1//2))*atan((3 - x)/(2*sqrt(-1 - x + x^2))) + atanh((1 - 2*x)/(2*sqrt(-1 - x + x^2))) + (1//2)*atanh((1 + 3*x)/(2*sqrt(-1 - x + x^2))), x, 8),
+
+
+((x + x^2)^(3//2)/(1 + x^2), (1//4)*(5 + 2*x)*sqrt(x + x^2) + sqrt(1 + sqrt(2))*atan((1 + sqrt(2) - x)/(sqrt(2*(1 + sqrt(2)))*sqrt(x + x^2))) - sqrt(-1 + sqrt(2))*atanh((1 - sqrt(2) - x)/(sqrt(2*(-1 + sqrt(2)))*sqrt(x + x^2))) - (5//4)*atanh(x/sqrt(x + x^2)), x, 10),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4/((a + b*x + c*x^2)^(1//2)*(d - f*x^2)), (3*b*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c^2*f) - (x*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*c*f) - (d*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(c)*f^2) - ((3*b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(5//2)*f) + (d^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f^2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)) + (d^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f^2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)), x, 13),
+(x^3/((a + b*x + c*x^2)^(1//2)*(d - f*x^2)), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(c*f)) + (b*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(3//2)*f) - (d*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f^(3//2)*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)) + (d*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f^(3//2)*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)), x, 10),
+(x^2/((a + b*x + c*x^2)^(1//2)*(d - f*x^2)), -(atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))/(sqrt(c)*f)) + (sqrt(d)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)) + (sqrt(d)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)), x, 8),
+(x^1/((a + b*x + c*x^2)^(1//2)*(d - f*x^2)), -(atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))/(2*sqrt(f)*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f))) + atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))/(2*sqrt(f)*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)), x, 5),
+(x^0/((a + b*x + c*x^2)^(1//2)*(d - f*x^2)), atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)) + atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)), x, 5),
+(1/(x^1*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)*(d - f*x^2)), -(atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))/(sqrt(a)*d)) - (sqrt(f)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)) + (sqrt(f)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)), x, 9),
+(1/(x^2*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)*(d - f*x^2)), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(a*d*x)) + (b*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*a^(3//2)*d) + (f*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d^(3//2)*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)) + (f*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d^(3//2)*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)), x, 10),
+(1/(x^3*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)*(d - f*x^2)), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(2*a*d*x^2)) + (3*b*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*a^2*d*x) - ((3*b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*a^(5//2)*d) - (f*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(a)*d^2) - (f^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d^2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)) + (f^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d^2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)), x, 13),
+
+
+(x^4/((a + b*x + c*x^2)^(3//2)*(d - f*x^2)), -((2*x*(2*a + b*x))/((b^2 - 4*a*c)*f*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (2*d*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)*f^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*d^2*(b*(b^2*f - c*(c*d + 3*a*f)) - c*(2*c^2*d - b^2*f + 2*a*c*f)*x))/((b^2 - 4*a*c)*f^2*(b^2*d*f - (c*d + a*f)^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*b*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(c*(b^2 - 4*a*c)*f) - atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))/(c^(3//2)*f) + (d^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f*(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)) + (d^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*f*(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)), x, 13),
+(x^3/((a + b*x + c*x^2)^(3//2)*(d - f*x^2)), -((2*(2*a + b*x))/((b^2 - 4*a*c)*f*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - (2*d*(a*(2*c^2*d - b^2*f + 2*a*c*f) + b*c*(c*d - a*f)*x))/((b^2 - 4*a*c)*f*(b^2*d*f - (c*d + a*f)^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (d*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(f)*(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)) + (d*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(f)*(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)), x, 9),
+(x^2/((a + b*x + c*x^2)^(3//2)*(d - f*x^2)), (2*(a*b*(c*d - a*f) + c*(b^2*d - 2*a*(c*d + a*f))*x))/((b^2 - 4*a*c)*(b^2*d*f - (c*d + a*f)^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (sqrt(d)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)) + (sqrt(d)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)), x, 6),
+(x^1/((a + b*x + c*x^2)^(3//2)*(d - f*x^2)), -((2*(a*(2*c^2*d - b^2*f + 2*a*c*f) + b*c*(c*d - a*f)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(b^2*d*f - (c*d + a*f)^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - (sqrt(f)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)) + (sqrt(f)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)), x, 6),
+(x^0/((a + b*x + c*x^2)^(3//2)*(d - f*x^2)), -((2*(b*(b^2*f - c*(c*d + 3*a*f)) - c*(2*c^2*d - b^2*f + 2*a*c*f)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(b^2*d*f - (c*d + a*f)^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (f*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(d)*(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)) + (f*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(d)*(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)), x, 6),
+(1/(x^1*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)*(d - f*x^2)), (2*(b^2 - 2*a*c + b*c*x))/(a*(b^2 - 4*a*c)*d*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*f*(a*(2*c^2*d - b^2*f + 2*a*c*f) + b*c*(c*d - a*f)*x))/((b^2 - 4*a*c)*d*(b^2*d*f - (c*d + a*f)^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))/(a^(3//2)*d) - (f^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d*(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)) + (f^(3//2)*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d*(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)), x, 12),
+(1/(x^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)*(d - f*x^2)), (2*(b^2 - 2*a*c + b*c*x))/(a*(b^2 - 4*a*c)*d*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*f*(b*(b^2*f - c*(c*d + 3*a*f)) - c*(2*c^2*d - b^2*f + 2*a*c*f)*x))/((b^2 - 4*a*c)*d*(b^2*d*f - (c*d + a*f)^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - ((3*b^2 - 8*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*d*x) + (3*b*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*a^(5//2)*d) + (f^2*atanh((b*sqrt(d) - 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) - b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d^(3//2)*(c*d - b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)) + (f^2*atanh((b*sqrt(d) + 2*a*sqrt(f) + (2*c*sqrt(d) + b*sqrt(f))*x)/(2*sqrt(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d^(3//2)*(c*d + b*sqrt(d)*sqrt(f) + a*f)^(3//2)), x, 12),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x+c x^2)^(p/2) / (d+e x+f x^2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+# {x^2*(a + b*x + c*x^2)^(1/2)/(d + e*x + f*x^2), x, 9, If[$VersionNumber>=8, -(((4*c*e - b*f - 2*c*f*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(4*c*f^2)) - ((b^2*f^2 + 4*c*f*(b*e - a*f) - 8*c^2*(e^2 - d*f))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(8*c^(3/2)*f^3) - ((c*(e^4 - 4*d*e^2*f + 2*d^2*f^2 - e^3*Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*d*e*f*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(a*f*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) - b*(e^3 - 3*d*e*f - e^2*Sqrt[e^2 - 4*d*f] + d*f*Sqrt[e^2 - 4*d*f])))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*f^3*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]) + ((c*(e^4 - 4*d*e^2*f + 2*d^2*f^2 + e^3*Sqrt[e^2 - 4*d*f] - 2*d*e*f*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(a*f*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) - b*(e^3 - 3*d*e*f + e^2*Sqrt[e^2 - 4*d*f] - d*f*Sqrt[e^2 - 4*d*f])))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*f^3*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]), -(((4*c*e - b*f - 2*c*f*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(4*c*f^2)) - ((b^2*f^2 + 4*c*f*(b*e - a*f) - 8*c^2*(e^2 - d*f))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(8*c^(3/2)*f^3) - ((c*(e^4 - 4*d*e^2*f + 2*d^2*f^2 - e^3*Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*d*e*f*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(a*f*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) - b*(e^3 - 3*d*e*f - e^2*Sqrt[e^2 - 4*d*f] + d*f*Sqrt[e^2 - 4*d*f])))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*f^3*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]) + ((c*(e^4 - 4*d*e^2*f + 2*d^2*f^2 + e^3*Sqrt[e^2 - 4*d*f] - 2*d*e*f*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(a*f*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) - b*(e^3 - 3*d*e*f + e^2*Sqrt[e^2 - 4*d*f] - d*f*Sqrt[e^2 - 4*d*f])))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*f^3*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])]}
+(x^1*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(d + e*x + f*x^2), sqrt(a + b*x + c*x^2)/f - ((2*c*e - b*f)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*f^2) - ((2*d*f*(c*e - b*f) + (e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*(f*(b*e - a*f) - c*(e^2 - d*f)))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))) + ((2*d*f*(c*e - b*f) + (e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*(f*(b*e - a*f) - c*(e^2 - d*f)))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 9),
+(x^0*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)/(d + e*x + f*x^2), (sqrt(c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/f - (sqrt(c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + f*(2*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + (sqrt(c*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + f*(2*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)), x, 8),
+# {1/x^1*(a + b*x + c*x^2)^(1/2)/(d + e*x + f*x^2), x, 17, If[$VersionNumber>=8, -((Sqrt[a]*ArcTanh[(2*a + b*x)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/d) + ((c*d*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) - f*(2*b*d - a*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]) - ((c*d*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) - f*(2*b*d - a*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]), -((Sqrt[a]*ArcTanh[(2*a + b*x)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/d) + ((c*d*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) - f*(2*b*d - a*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]) - ((c*d*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) - f*(2*b*d - a*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])]}
+# {1/x^2*(a + b*x + c*x^2)^(1/2)/(d + e*x + f*x^2), x, 23, If[$VersionNumber>=8, -(Sqrt[a + b*x + c*x^2]/(d*x)) - (b*ArcTanh[(2*a + b*x)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*Sqrt[a]*d) + (Sqrt[a]*e*ArcTanh[(2*a + b*x)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/d^2 + (Sqrt[c]*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/d - (b*e*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*Sqrt[c]*d^2) - ((2*c*d - b*e)*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*Sqrt[c]*d^2) - (f*(2*c*d^2 - b*d*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + a*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*d^2*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]) + (f*(2*c*d^2 - b*d*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + a*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*d^2*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]), -(Sqrt[a + b*x + c*x^2]/(d*x)) - (b*ArcTanh[(2*a + b*x)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*Sqrt[a]*d) + (Sqrt[a]*e*ArcTanh[(2*a + b*x)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/d^2 + (Sqrt[c]*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/d - (b*e*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*Sqrt[c]*d^2) - ((2*c*d - b*e)*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*Sqrt[c]*d^2) - (f*(2*c*d^2 - b*d*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + a*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*d^2*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]) + (f*(2*c*d^2 - b*d*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + a*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*d^2*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])]}
+
+
+# {x^2*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)/(d + e*x + f*x^2), x, 15, ((d*f*(c*e - b*f) + e*(f*(c*d - a*f) - e*(c*e - b*f)))*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/f^4 - (3*(b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(64*c^2*f) + ((2*c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f)*(b + 2*c*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(8*c*f^3) - (e*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(3*f^2) + ((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(8*c*f) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(128*c^(5/2)*f) - ((b^2 - 4*a*c)*(2*c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f)*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(16*c^(3/2)*f^3) - ((3*b*c*e^3*f - e*(6*b*c*d + (b^2 + 2*a*c)*e)*f^2 + (b^2*d + 2*a*c*d + a*b*e)*f^3 - 2*c^2*(e^4 - 3*d*e^2*f + d^2*f^2))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*Sqrt[c]*f^5) + (((f*(c*d - a*f) - e*(c*e - b*f))*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])*(2*d*f*(c*e - b*f) + e*(f*(c*d - a*f) - e*(c*e - b*f))) - 2*d*f*(f*(c*d - a*f)*(f*(c*d - a*f) - e*(c*e - b*f)) - (c*e - b*f)*(d*f*(c*e - b*f) + e*(f*(c*d - a*f) - e*(c*e - b*f)))))*ArcTanh[(b*e - 4*a*f - b*Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*(c*e - b*f - c*Sqrt[e^2 - 4*d*f])*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(f^5*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*Sqrt[4*a*f^2 - 2*b*f*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])^2]) - (((f*(c*d - a*f) - e*(c*e - b*f))*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])*(2*d*f*(c*e - b*f) + e*(f*(c*d - a*f) - e*(c*e - b*f))) - 2*d*f*(f*(c*d - a*f)*(f*(c*d - a*f) - e*(c*e - b*f)) - (c*e - b*f)*(d*f*(c*e - b*f) + e*(f*(c*d - a*f) - e*(c*e - b*f)))))*ArcTanh[(b*e - 4*a*f + b*Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*(c*e - b*f + c*Sqrt[e^2 - 4*d*f])*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(f^5*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*Sqrt[4*a*f^2 - 2*b*f*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])^2])}
+(x^1*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x + f*x^2), ((c*e^2 - c*d*f - b*e*f + a*f^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/f^3 - ((2*c*e - b*f)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c*f^2) + (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(3*f) + ((b^2 - 4*a*c)*(2*c*e - b*f)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*f^2) + ((3*b*c*e^2*f - (3*b*c*d + b^2*e + 2*a*c*e)*f^2 + a*b*f^3 - 2*c^2*e*(e^2 - 2*d*f))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*f^4) + ((2*d*f*(c*e - b*f)*(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2) + (e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*(2*b*c*e^3*f - e*(4*b*c*d + (b^2 + 2*a*c)*e)*f^2 + (b^2*d + 2*a*c*d + 2*a*b*e)*f^3 - a^2*f^4 - c^2*(e^4 - 3*d*e^2*f + d^2*f^2)))*atanh((b*e - 4*a*f - b*sqrt(e^2 - 4*d*f) + 2*(c*e - b*f - c*sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(f^4*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(4*a*f^2 - 2*b*f*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))^2)) - ((2*d*f*(c*e - b*f)*(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2) + (e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*(2*b*c*e^3*f - e*(4*b*c*d + (b^2 + 2*a*c)*e)*f^2 + (b^2*d + 2*a*c*d + 2*a*b*e)*f^3 - a^2*f^4 - c^2*(e^4 - 3*d*e^2*f + d^2*f^2)))*atanh((b*e - 4*a*f + b*sqrt(e^2 - 4*d*f) + 2*(c*e - b*f + c*sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(f^4*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(4*a*f^2 - 2*b*f*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))^2)), x, 10),
+(x^0*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x + f*x^2), -(((c*e - b*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/f^2) + ((b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*f) - ((b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(c)*f) - ((3*b*c*e*f - (b^2 + 2*a*c)*f^2 - 2*c^2*(e^2 - d*f))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*f^3) + (((c*e - b*f)*(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2)*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*f*(2*b*c*d*e*f - (b^2 + 2*a*c)*d*f^2 + a^2*f^3 - c^2*d*(e^2 - d*f)))*atanh((b*e - 4*a*f - b*sqrt(e^2 - 4*d*f) + 2*(c*e - b*f - c*sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(f^3*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(4*a*f^2 - 2*b*f*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))^2)) - (((c*e - b*f)*(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2)*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*f*(2*b*c*d*e*f - (b^2 + 2*a*c)*d*f^2 + a^2*f^3 - c^2*d*(e^2 - d*f)))*atanh((b*e - 4*a*f + b*sqrt(e^2 - 4*d*f) + 2*(c*e - b*f + c*sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(f^3*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(4*a*f^2 - 2*b*f*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))^2)), x, 9),
+(1/x^1*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x + f*x^2), ((c*d - a*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(d*f) - (b*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c*d) + ((b^2 + 8*a*c + 2*b*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c*d) - (a^(3//2)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/d - (b*(b^2 - 12*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*d) + (b*(b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*d) - ((2*c^2*d*e - 3*b*c*d*f + a*b*f^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*d*f^2) + ((2*f*(c*d - a*f)*(c*d*e - 2*b*d*f + a*e*f) + (e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*(2*b*c*d*e*f - (b^2 + 2*a*c)*d*f^2 + a^2*f^3 - c^2*d*(e^2 - d*f)))*atanh((b*e - 4*a*f - b*sqrt(e^2 - 4*d*f) + 2*(c*e - b*f - c*sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(d*f^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(4*a*f^2 - 2*b*f*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))^2)) - ((2*f*(c*d - a*f)*(c*d*e - 2*b*d*f + a*e*f) + (e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*(2*b*c*d*e*f - (b^2 + 2*a*c)*d*f^2 + a^2*f^3 - c^2*d*(e^2 - d*f)))*atanh((b*e - 4*a*f + b*sqrt(e^2 - 4*d*f) + 2*(c*e - b*f + c*sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(d*f^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(4*a*f^2 - 2*b*f*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))^2)), x, 17),
+(1/x^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d + e*x + f*x^2), -(((b*d - a*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/d^2) - ((2*c*d - b*e)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c*d^2) + (3*(3*b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*d) - (e*(b^2 + 8*a*c + 2*b*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c*d^2) - (a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(d*x) - (3*sqrt(a)*b*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*d) + (a^(3//2)*e*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/d^2 + (3*(b^2 + 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(c)*d) + (b*(b^2 - 12*a*c)*e*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*d^2) + ((b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*d^2) + ((2*c^2*d^2 - b^2*d*f - 2*a*c*d*f + a*b*e*f)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*d^2*f) - ((2*a^2*d*f^3 + a*f^2*(2*b*d*e + 2*b*d*sqrt(e^2 - 4*d*f) - a*e*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))) + d^2*(2*f*(b*c*e - (b^2 + 2*a*c)*f - b*c*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + c^2*(2*d*f - e*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))))*atanh((b*e - 4*a*f - b*sqrt(e^2 - 4*d*f) + 2*(c*e - b*f - c*sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(d^2*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(4*a*f^2 - 2*b*f*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))^2)) + ((2*a^2*d*f^3 + a*f^2*(2*b*d*e - 2*b*d*sqrt(e^2 - 4*d*f) - a*e*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))) + d^2*(2*f*(b*c*e - (b^2 + 2*a*c)*f + b*c*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + c^2*(2*d*f - e*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))))*atanh((b*e - 4*a*f + b*sqrt(e^2 - 4*d*f) + 2*(c*e - b*f + c*sqrt(e^2 - 4*d*f))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(d^2*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(4*a*f^2 - 2*b*f*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))^2)), x, 22),
+# {1/x^3*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)/(d + e*x + f*x^2), x, 27, ((e*(c*e - b*f)*(e^2 - 2*d*f) + (e^2 - d*f)*(f*(c*d - a*f) - e*(c*e - b*f)))*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(d^3*f^2) - (3*(b - 2*c*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(4*d*x) + ((2*c*d*e - b*e^2 + b*d*f)*(b + 2*c*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(8*c*d^3) - (3*e*(3*b + 2*c*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(4*d^2) + ((e^2 - d*f)*(b^2 + 8*a*c + 2*b*c*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(8*c*d^3) - (a + b*x + c*x^2)^(3/2)/(2*d*x^2) + (e*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))/(d^2*x) - (3*(b^2 + 4*a*c)*ArcTanh[(2*a + b*x)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(8*Sqrt[a]*d) + (3*Sqrt[a]*b*e*ArcTanh[(2*a + b*x)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*d^2) - (a^(3/2)*(e^2 - d*f)*ArcTanh[(2*a + b*x)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/d^3 + (3*b*Sqrt[c]*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*d) - (3*(b^2 + 4*a*c)*e*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(8*Sqrt[c]*d^2) - (b*(b^2 - 12*a*c)*(e^2 - d*f)*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(16*c^(3/2)*d^3) - ((b^2 - 4*a*c)*(2*c*d*e - b*e^2 + b*d*f)*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(16*c^(3/2)*d^3) - ((3*b*c*d^2 - b^2*d*e - 2*a*c*d*e + a*b*e^2 - a*b*d*f)*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*Sqrt[c]*d^3) - (1/(d^3*f^3*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*Sqrt[4*a*f^2 - 2*b*f*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])^2]))*((2*f*(f*(c*d - a*f)*(e*(c*d - a*f)*(e^2 - 2*d*f) - d*(c*e - b*f)*(e^2 - d*f)) - d*(c*e - b*f)*(e*(c*e - b*f)*(e^2 - 2*d*f) + (e^2 - d*f)*(f*(c*d - a*f) - e*(c*e - b*f)))) - (e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])*(f*(c*e - b*f)*(e*(c*d - a*f)*(e^2 - 2*d*f) - d*(c*e - b*f)*(e^2 - d*f)) + (f*(c*d - a*f) - e*(c*e - b*f))*(e*(c*e - b*f)*(e^2 - 2*d*f) + (e^2 - d*f)*(f*(c*d - a*f) - e*(c*e - b*f)))))*ArcTanh[(b*e - 4*a*f - b*Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*(c*e - b*f - c*Sqrt[e^2 - 4*d*f])*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])]) + (1/(d^3*f^3*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*Sqrt[4*a*f^2 - 2*b*f*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])^2]))*((2*f*(f*(c*d - a*f)*(e*(c*d - a*f)*(e^2 - 2*d*f) - d*(c*e - b*f)*(e^2 - d*f)) - d*(c*e - b*f)*(e*(c*e - b*f)*(e^2 - 2*d*f) + (e^2 - d*f)*(f*(c*d - a*f) - e*(c*e - b*f)))) - (e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])*(f*(c*e - b*f)*(e*(c*d - a*f)*(e^2 - 2*d*f) - d*(c*e - b*f)*(e^2 - d*f)) + (f*(c*d - a*f) - e*(c*e - b*f))*(e*(c*e - b*f)*(e^2 - 2*d*f) + (e^2 - d*f)*(f*(c*d - a*f) - e*(c*e - b*f)))))*ArcTanh[(b*e - 4*a*f + b*Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*(c*e - b*f + c*Sqrt[e^2 - 4*d*f])*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])} *)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^3/((a + b*x + c*x^2)^(1//2)*(d + e*x + f*x^2)), sqrt(a + b*x + c*x^2)/(c*f) - (e*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(c)*f^2) - (b*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(3//2)*f) - ((2*d*e*f - (e^2 - d*f)*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))) + ((2*d*e*f - (e^2 - d*f)*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*f^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 12),
+(x^2/((a + b*x + c*x^2)^(1//2)*(d + e*x + f*x^2)), atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))/(sqrt(c)*f) - ((e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))) - ((2*d*f - e*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*f*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 8),
+(x^1/((a + b*x + c*x^2)^(1//2)*(d + e*x + f*x^2)), ((e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))) - ((e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 5),
+(x^0/((a + b*x + c*x^2)^(1//2)*(d + e*x + f*x^2)), -((sqrt(2)*f*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f)))) + (sqrt(2)*f*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 5),
+(1/(x^1*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)*(d + e*x + f*x^2)), -(atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))/(sqrt(a)*d)) + (f*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*d*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))) - (f*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*d*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 9),
+(1/(x^2*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)*(d + e*x + f*x^2)), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(a*d*x)) + (b*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*a^(3//2)*d) + (e*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(a)*d^2) - (f*(e^2 - 2*d*f + e*sqrt(e^2 - 4*d*f))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*d^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f)) + f*(2*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))))) + (f*(e^2 - 2*d*f - e*sqrt(e^2 - 4*d*f))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*d^2*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 12),
+(1/(x^3*(a + b*x + c*x^2)^(1//2)*(d + e*x + f*x^2)), -(sqrt(a + b*x + c*x^2)/(2*a*d*x^2)) + (3*b*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*a^2*d*x) + (e*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(a*d^2*x) - ((3*b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*a^(5//2)*d) - (b*e*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*a^(3//2)*d^2) - ((e^2 - d*f)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(a)*d^3) + (f*(2*e^3 - 4*d*e*f - (e^2 - d*f)*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*d^3*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))) - (f*(2*e^3 - 4*d*e*f - (e^2 - d*f)*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*d^3*sqrt(e^2 - 4*d*f)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 16),
+
+
+(x^3/((a + b*x + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)), (2*(2*a + b*x))/((b^2 - 4*a*c)*f*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*e*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)*f^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*(c*d*e*(b*c*d - 2*a*c*e + a*b*f) - (b*d*e - a*e^2 + a*d*f)*(2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f)) + c*((b*c*d - 2*a*c*e + a*b*f)*(e^2 - d*f) - d*e*(2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f)))*x))/((b^2 - 4*a*c)*f^2*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + ((2*d*(b*d - a*e)*f + (e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*(c*d^2 - b*d*e + a*(e^2 - d*f)))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))) - ((2*d*(b*d - a*e)*f + (e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*(c*d^2 - b*d*e + a*(e^2 - d*f)))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 10),
+(x^2/((a + b*x + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)), -((2*(a*(b*c*d - 2*a*c*e + a*b*f) + c*(b^2*d - a*b*e - 2*a*(c*d - a*f))*x))/((b^2 - 4*a*c)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - (f*(2*d*(c*d - a*f) - (b*d - a*e)*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))) + (f*(2*d*(c*d - a*f) - (b*d - a*e)*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 6),
+(x^1/((a + b*x + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)), (2*(a*(2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f) + c*(b*c*d - 2*a*c*e + a*b*f)*x))/((b^2 - 4*a*c)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (f*(2*d*(c*e - b*f) - (c*d - a*f)*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))) - (f*(2*d*(c*e - b*f) - (c*d - a*f)*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*sqrt(e^2 - 4*d*f)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 6),
+# {x^0/((a + b*x + c*x^2)^(3/2)*(d + e*x + f*x^2)), x, 6, If[$VersionNumber>=8, (2*(b^2*c*e - 2*a*c^2*e - b^3*f - b*c*(c*d - 3*a*f) - c*(2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*x))/((b^2 - 4*a*c)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (f*(c*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]) + (f*(c*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]), (2*(b^2*c*e - 2*a*c^2*e - b^3*f - b*c*(c*d - 3*a*f) - c*(2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*x))/((b^2 - 4*a*c)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (f*(c*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]) + (f*(c*(e^2 - 2*d*f - e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*Sqrt[c*(e^2 - 2*d*f + e*Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + f*(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])]}
+(1/(x^1*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)), (2*(b^2 - 2*a*c + b*c*x))/(a*(b^2 - 4*a*c)*d*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*(c*e*(2*a*c*e - b*(c*d + a*f)) + (b*e - a*f)*(2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f)) + c*(2*c^2*d*e + b*f*(b*e - a*f) - b*c*(e^2 + d*f))*x))/((b^2 - 4*a*c)*d*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))/(a^(3//2)*d) + (f*((e - sqrt(e^2 - 4*d*f))*(f*(b*e - a*f) - c*(e^2 - d*f)) - 2*(f*(b*e^2 - b*d*f - a*e*f) - c*(e^3 - 2*d*e*f)))*atanh((4*a*f - b*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e - sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*d*sqrt(e^2 - 4*d*f)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))) - (f*((e + sqrt(e^2 - 4*d*f))*(f*(b*e - a*f) - c*(e^2 - d*f)) - 2*(f*(b*e^2 - b*d*f - a*e*f) - c*(e^3 - 2*d*e*f)))*atanh((4*a*f - b*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)) + 2*(b*f - c*(e + sqrt(e^2 - 4*d*f)))*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(2)*d*sqrt(e^2 - 4*d*f)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*sqrt(c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*sqrt(e^2 - 4*d*f))), x, 12),
+# {1/(x^2*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)*(d + e*x + f*x^2)), x, 13, -((2*e*(b^2 - 2*a*c + b*c*x))/(a*(b^2 - 4*a*c)*d^2*Sqrt[a + b*x + c*x^2])) + (2*(b^2 - 2*a*c + b*c*x))/(a*(b^2 - 4*a*c)*d*x*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (2*(2*a*c*(f*(b*e^2 - b*d*f - a*e*f) - c*(e^3 - 2*d*e*f)) - b*(a*e*f*(c*e - b*f) + (e^2 - d*f)*(c^2*d + b^2*f - c*(b*e + a*f))) + c*(b*c*e^3 - 2*a*c*d*f^2 - 2*c^2*d*(e^2 - d*f) - b*f*(b*e^2 - b*d*f - a*e*f))*x))/((b^2 - 4*a*c)*d^2*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - ((3*b^2 - 8*a*c)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*d*x) + (3*b*ArcTanh[(2*a + b*x)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*a^(5/2)*d) + (e*ArcTanh[(2*a + b*x)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(a^(3/2)*d^2) - (f*((e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])*(f*(b*e^2 - b*d*f - a*e*f) - c*(e^3 - 2*d*e*f)) - 2*(d*e*f*(c*e - b*f) + (e^2 - d*f)*(f*(b*e - a*f) - c*(e^2 - d*f))))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*d^2*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 - (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f)))) + (f*((e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])*(f*(b*e^2 - b*d*f - a*e*f) - c*(e^3 - 2*d*e*f)) - 2*(d*e*f*(c*e - b*f) + (e^2 - d*f)*(f*(b*e - a*f) - c*(e^2 - d*f))))*ArcTanh[(4*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]) + 2*(b*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))*x)/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[2]*d^2*Sqrt[e^2 - 4*d*f]*Sqrt[c*e^2 - 2*c*d*f - b*e*f + 2*a*f^2 + (c*e - b*f)*Sqrt[e^2 - 4*d*f]]*(c^2*d^2 + f*(b^2*d - a*b*e + a^2*f) - c*(b*d*e - a*(e^2 - 2*d*f))))}
+
+
+(x^4/(sqrt(-3 - 4*x - x^2)*(3 + 4*x + 2*x^2)), (5//2)*sqrt(-3 - 4*x - x^2) - (1//4)*x*sqrt(-3 - 4*x - x^2) + (11//2)*asin(2 + x) + atan((1 - (3 + x)/sqrt(-3 - 4*x - x^2))/sqrt(2))/(2*sqrt(2)) - atan((1 + (3 + x)/sqrt(-3 - 4*x - x^2))/sqrt(2))/(2*sqrt(2)) - (5//4)*atanh(x/sqrt(-3 - 4*x - x^2)), x, 24),
+(x^3/(sqrt(-3 - 4*x - x^2)*(3 + 4*x + 2*x^2)), (-(1//2))*sqrt(-3 - 4*x - x^2) - 2*asin(2 + x) + atan((1 - (3 + x)/sqrt(-3 - 4*x - x^2))/sqrt(2))/(2*sqrt(2)) - atan((1 + (3 + x)/sqrt(-3 - 4*x - x^2))/sqrt(2))/(2*sqrt(2)) + atanh(x/sqrt(-3 - 4*x - x^2)), x, 20),
+(x^2/(sqrt(-3 - 4*x - x^2)*(3 + 4*x + 2*x^2)), (1//2)*asin(2 + x) - atan((1 - (3 + x)/sqrt(-3 - 4*x - x^2))/sqrt(2))/sqrt(2) + atan((1 + (3 + x)/sqrt(-3 - 4*x - x^2))/sqrt(2))/sqrt(2) - (1//2)*atanh(x/sqrt(-3 - 4*x - x^2)), x, 16),
+# {x^1/(Sqrt[-3 - 4*x - x^2]*(3 + 4*x + 2*x^2)), x, 6, -(ArcTan[(1 - (3*Sqrt[-1 - x])/Sqrt[3 + x])/Sqrt[2]]/Sqrt[2]) + ArcTan[(1 + (3*Sqrt[-1 - x])/Sqrt[3 + x])/Sqrt[2]]/Sqrt[2], ArcTan[(1 - (3 + x)/Sqrt[-3 - 4*x - x^2])/Sqrt[2]]/Sqrt[2] - ArcTan[(1 + (3 + x)/Sqrt[-3 - 4*x - x^2])/Sqrt[2]]/Sqrt[2]}
+(x^0/(sqrt(-3 - 4*x - x^2)*(3 + 4*x + 2*x^2)), (-(1//3))*sqrt(2)*atan((1 - (3 + x)/sqrt(-3 - 4*x - x^2))/sqrt(2)) + (1//3)*sqrt(2)*atan((1 + (3 + x)/sqrt(-3 - 4*x - x^2))/sqrt(2)) + (1//3)*atanh(x/sqrt(-3 - 4*x - x^2)), x, 10),
+(1/(x^1*sqrt(-3 - 4*x - x^2)*(3 + 4*x + 2*x^2)), -(atan((3 + 2*x)/(sqrt(3)*sqrt(-3 - 4*x - x^2)))/(3*sqrt(3))) + (1//9)*sqrt(2)*atan((1 - (3 + x)/sqrt(-3 - 4*x - x^2))/sqrt(2)) - (1//9)*sqrt(2)*atan((1 + (3 + x)/sqrt(-3 - 4*x - x^2))/sqrt(2)) - (4//9)*atanh(x/sqrt(-3 - 4*x - x^2)), x, 17),
+(1/(x^2*sqrt(-3 - 4*x - x^2)*(3 + 4*x + 2*x^2)), sqrt(-3 - 4*x - x^2)/(9*x) + (2*atan((3 + 2*x)/(sqrt(3)*sqrt(-3 - 4*x - x^2))))/(3*sqrt(3)) + (2//27)*sqrt(2)*atan((1 - (3 + x)/sqrt(-3 - 4*x - x^2))/sqrt(2)) - (2//27)*sqrt(2)*atan((1 + (3 + x)/sqrt(-3 - 4*x - x^2))/sqrt(2)) + (10//27)*atanh(x/sqrt(-3 - 4*x - x^2)), x, 20),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (g+h x)^m (a+b x+c x^2)^p (d+e x+f x^2)^q
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (g+h x)^m (a+b x+c x^2)^(p/2) (d+e x+f x^2)^q
+
+
+((2 + 3*x)^2*(30 + 31*x - 12*x^2)^2*(6 + 17*x + 12*x^2)^(1//2), (125455*(17 + 24*x)*sqrt(6 + 17*x + 12*x^2))/150994944 - (125455*(17 + 24*x)*(6 + 17*x + 12*x^2)^(3//2))/4718592 + (25091*(17 + 24*x)*(6 + 17*x + 12*x^2)^(5//2))/24576 - (873*(6 + 17*x + 12*x^2)^(7//2))/1792 - (1//32)*(10 - 3*x)*(6 + 17*x + 12*x^2)^(7//2) - (125455*atanh((17 + 24*x)/(4*sqrt(3)*sqrt(6 + 17*x + 12*x^2))))/(603979776*sqrt(3)), x, 8),
+((2 + 3*x)^1*(30 + 31*x - 12*x^2)^1*(6 + 17*x + 12*x^2)^(1//2), -((97*(17 + 24*x)*sqrt(6 + 17*x + 12*x^2))/24576) + (97//768)*(17 + 24*x)*(6 + 17*x + 12*x^2)^(3//2) - (1//20)*(6 + 17*x + 12*x^2)^(5//2) + (97*atanh((17 + 24*x)/(4*sqrt(3)*sqrt(6 + 17*x + 12*x^2))))/(98304*sqrt(3)), x, 6),
+((2 + 3*x)^(-1)*(30 + 31*x - 12*x^2)^(-1)*(6 + 17*x + 12*x^2)^(1//2), (1//42)*atanh((206 + 291*x)/(84*sqrt(6 + 17*x + 12*x^2))), x, 3),
+((2 + 3*x)^(-2)*(30 + 31*x - 12*x^2)^(-2)*(6 + 17*x + 12*x^2)^(1//2), -((275 + 388*x)/(98*(10 - 3*x)*sqrt(6 + 17*x + 12*x^2))) + (3137*sqrt(6 + 17*x + 12*x^2))/(38416*(10 - 3*x)) + (97*atanh((206 + 291*x)/(84*sqrt(6 + 17*x + 12*x^2))))/3226944, x, 5),
+((2 + 3*x)^(-3)*(30 + 31*x - 12*x^2)^(-3)*(6 + 17*x + 12*x^2)^(1//2), -((275 + 388*x)/(294*(10 - 3*x)^2*(6 + 17*x + 12*x^2)^(3//2))) + (738029 + 1042556*x)/(8232*(10 - 3*x)^2*sqrt(6 + 17*x + 12*x^2)) - (50555899*sqrt(6 + 17*x + 12*x^2))/(19361664*(10 - 3*x)^2) - (1634466587*sqrt(6 + 17*x + 12*x^2))/(7589772288*(10 - 3*x)) + (40325*atanh((206 + 291*x)/(84*sqrt(6 + 17*x + 12*x^2))))/637540872192, x, 7),
+
+
+# The following integrands are equal.
+((-3 + 2*x)*(-3*x + x^2)^(2//3), (3//5)*(-3*x + x^2)^(5//3), x, 1),
+((-3 + 2*x)*(x*(-3 + x))^(2//3), (3//5)*(-((3 - x)*x))^(5//3), x, 1),
+((x*(9 - 9*x + 2*x^2))/(-3*x + x^2)^(1//3), (3//5)*(-3*x + x^2)^(5//3), x, 2),
+((x*(9 - 9*x + 2*x^2))/(x*(-3 + x))^(1//3), (3//5)*(-3*x + x^2)^(5//3), x, 3),
+
+
+# {(A + B*x)^2*(a + ((B^2*c*d^2 + a*A^2*f^2)/(A*B*d*f))*x + c*x^2)^2*(d + ((B^2*d + A^2*f)/(A*B))*x + f*x^2)^(1/2), x, 8, (5*(B^2*d - A^2*f)^4*(9*B^4*c^2*d^4 + 2*A^2*B^2*c*d^2*f*(7*c*d - 16*a*f) + A^4*f^2*(9*c^2*d^2 - 32*a*c*d*f + 32*a^2*f^2))*((B*d)/A + (A*f)/B + 2*f*x)*Sqrt[d + ((B*d)/A + (A*f)/B)*x + f*x^2])/(16384*A^6*B^4*d^2*f^7) - (5*(B^2*d - A^2*f)^2*(9*B^4*c^2*d^4 + 2*A^2*B^2*c*d^2*f*(7*c*d - 16*a*f) + A^4*f^2*(9*c^2*d^2 - 32*a*c*d*f + 32*a^2*f^2))*((B*d)/A + (A*f)/B + 2*f*x)*(d + ((B*d)/A + (A*f)/B)*x + f*x^2)^(3/2))/(6144*A^4*B^2*d^2*f^6) + ((9*B^4*c^2*d^4 + 2*A^2*B^2*c*d^2*f*(7*c*d - 16*a*f) + A^4*f^2*(9*c^2*d^2 - 32*a*c*d*f + 32*a^2*f^2))*((B*d)/A + (A*f)/B + 2*f*x)*(d + ((B*d)/A + (A*f)/B)*x + f*x^2)^(5/2))/(384*A^2*d^2*f^5) - (9*B*c*((B^2*c*d)/(A*f) + A*(c - (2*a*f)/d))*(d + ((B*d)/A + (A*f)/B)*x + f*x^2)^(7/2))/(112*f^3) + (B*c*(a*A*f + B*c*d*x)*(d + ((B*d)/A + (A*f)/B)*x + f*x^2)^(7/2))/(8*d*f^3) - (5*(B^2*d - A^2*f)^6*(9*B^4*c^2*d^4 + 2*A^2*B^2*c*d^2*f*(7*c*d - 16*a*f) + A^4*f^2*(9*c^2*d^2 - 32*a*c*d*f + 32*a^2*f^2))*ArcTanh[((B*d)/A + (A*f)/B + 2*f*x)/(2*Sqrt[f]*Sqrt[d + ((B*d)/A + (A*f)/B)*x + f*x^2])])/(32768*A^8*B^6*d^2*f^(15/2))}
+((A + B*x)^1*(a + ((B^2*c*d^2 + a*A^2*f^2)/(A*B*d*f))*x + c*x^2)^1*(d + ((B^2*d + A^2*f)/(A*B))*x + f*x^2)^(1//2), (3*(B^2*d - A^2*f)^2*(B^2*c*d^2 + A^2*f*(c*d - 2*a*f))*((B*d)/A + (A*f)/B + 2*f*x)*sqrt(d + ((B*d)/A + (A*f)/B)*x + f*x^2))/(128*A^3*B^2*d*f^4) - ((A*c + (B^2*c*d)/(A*f) - (2*a*A*f)/d)*((B*d)/A + (A*f)/B + 2*f*x)*(d + ((B*d)/A + (A*f)/B)*x + f*x^2)^(3//2))/(16*f^2) + (B*c*(d + ((B*d)/A + (A*f)/B)*x + f*x^2)^(5//2))/(5*f^2) - (3*(B^2*d - A^2*f)^4*(B^2*c*d^2 + A^2*f*(c*d - 2*a*f))*atanh(((B*d)/A + (A*f)/B + 2*f*x)/(2*sqrt(f)*sqrt(d + ((B*d)/A + (A*f)/B)*x + f*x^2))))/(256*A^5*B^4*d*f^(9//2)), x, 6),
+((A + B*x)^(-1)*(a + ((B^2*c*d^2 + a*A^2*f^2)/(A*B*d*f))*x + c*x^2)^(-1)*(d + ((B^2*d + A^2*f)/(A*B))*x + f*x^2)^(1//2), (d*f*atanh((d*f*(a*B - (2*B*c*d)/f + (a*A^2*f)/(B*d) - ((B^2*c*d)/(A*f) + A*(c - (2*a*f)/d))*x))/(2*sqrt(c*d - a*f)*sqrt(B^2*c*d^2 - a*A^2*f^2)*sqrt(d + ((B*d)/A + (A*f)/B)*x + f*x^2))))/(sqrt(c*d - a*f)*sqrt(B^2*c*d^2 - a*A^2*f^2)), x, 3),
+# {(A + B*x)^(-2)*(a + ((B^2*c*d^2 + a*A^2*f^2)/(A*B*d*f))*x + c*x^2)^(-2)*(d + ((B^2*d + A^2*f)/(A*B))*x + f*x^2)^(1/2), x, 6, (2*A*B^2*d^2*f^3*(A*d*((B^3*c*d^2)/(A^2*f) - a*B*f + (A^2*f*(c*d - a*f))/(B*d)) + (B^2*c*d^2 + A^2*f*(c*d - 2*a*f))*x))/((c*d - a*f)*(B^2*d - A^2*f)^2*(B^2*c*d^2 - a*A^2*f^2)*(a*A*f + B*c*d*x)*Sqrt[d + ((B*d)/A + (A*f)/B)*x + f*x^2]) - (B^3*c*d^3*f^2*(3*B^4*c^2*d^4 - 2*A^2*B^2*c*d^2*f*(c*d + 2*a*f) + A^4*f^2*(3*c^2*d^2 - 4*a*c*d*f + 4*a^2*f^2))*Sqrt[d + ((B*d)/A + (A*f)/B)*x + f*x^2])/((c*d - a*f)^2*(B^2*d - A^2*f)^2*(B^2*c*d^2 - a*A^2*f^2)^2*(a*A*f + B*c*d*x)) + (3*B^2*c^2*d^4*f^2*(B^2*c*d^2 + A^2*f*(c*d - 2*a*f))*ArcTanh[(d*f*((2*B*c*d)/f - a*(B + (A^2*f)/(B*d)) + ((B^2*c*d)/(A*f) + A*(c - (2*a*f)/d))*x))/(2*Sqrt[c*d - a*f]*Sqrt[B^2*c*d^2 - a*A^2*f^2]*Sqrt[d + ((B*d)/A + (A*f)/B)*x + f*x^2])])/(2*A*(c*d - a*f)^(5/2)*(B^2*c*d^2 - a*A^2*f^2)^(5/2))} *)
+
+
+((g + h*x)/((-((c*g^2)/h^2) + 9*c*x^2)^(1//3)*(g^2 + 3*h^2*x^2)), ((1 - (9*h^2*x^2)/g^2)^(1//3)*atan(1/sqrt(3) - (2^(2//3)*(1 - (3*h*x)/g)^(2//3))/(sqrt(3)*(1 + (3*h*x)/g)^(1//3))))/(2^(2//3)*sqrt(3)*h*(-((c*g^2)/h^2) + 9*c*x^2)^(1//3)) + ((1 - (9*h^2*x^2)/g^2)^(1//3)*log(g^2 + 3*h^2*x^2))/(6*2^(2//3)*h*(-((c*g^2)/h^2) + 9*c*x^2)^(1//3)) - ((1 - (9*h^2*x^2)/g^2)^(1//3)*log((1 - (3*h*x)/g)^(2//3) + 2^(1//3)*(1 + (3*h*x)/g)^(1//3)))/(2*2^(2//3)*h*(-((c*g^2)/h^2) + 9*c*x^2)^(1//3)), x, 2),
+
+((g + h*x)/((((-c^2)*g^2 + b*c*g*h + 2*b^2*h^2)/(9*c*h^2) + b*x + c*x^2)^(1//3)*((f*(b^2 - ((-c^2)*g^2 + b*c*g*h + 2*b^2*h^2)/(3*h^2)))/c^2 + (b*f*x)/c + f*x^2)), (3*3^(1//6)*h*((c*h^2*(((c*g - 2*b*h)*(c*g + b*h))/(c*h^2) - 9*b*x - 9*c*x^2))/(2*c*g - b*h)^2)^(1//3)*atan(1/sqrt(3) - (2^(2//3)*(1 - (3*h*(b + 2*c*x))/(2*c*g - b*h))^(2//3))/(sqrt(3)*(1 + (3*h*(b + 2*c*x))/(2*c*g - b*h))^(1//3))))/(f*(-(((c*g - 2*b*h)*(c*g + b*h))/(c*h^2)) + 9*b*x + 9*c*x^2)^(1//3)) + (3^(2//3)*h*((c*h^2*(((c*g - 2*b*h)*(c*g + b*h))/(c*h^2) - 9*b*x - 9*c*x^2))/(2*c*g - b*h)^2)^(1//3)*log((f*(c^2*g^2 - b*c*g*h + b^2*h^2))/(3*c^2*h^2) + (b*f*x)/c + f*x^2))/(2*f*(-(((c*g - 2*b*h)*(c*g + b*h))/(c*h^2)) + 9*b*x + 9*c*x^2)^(1//3)) - (3*3^(2//3)*h*((c*h^2*(((c*g - 2*b*h)*(c*g + b*h))/(c*h^2) - 9*b*x - 9*c*x^2))/(2*c*g - b*h)^2)^(1//3)*log((1 - (3*h*(b + 2*c*x))/(2*c*g - b*h))^(2//3) + 2^(1//3)*(1 + (3*h*(b + 2*c*x))/(2*c*g - b*h))^(1//3)))/(2*f*(-(((c*g - 2*b*h)*(c*g + b*h))/(c*h^2)) + 9*b*x + 9*c*x^2)^(1//3)), x, 2),
+]
+# Total integrals translated: 144
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.9 P(x) (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.9 P(x) (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..a64e28a0
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.1 Quadratic/1.2.1.9 P(x) (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p.jl	
@@ -0,0 +1,828 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form P2[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P2[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p when b=0 and c d^2+a e^2=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P2[x] (d+e x)^m (d^2-e^2 x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^2*(A + B*x + C*x^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2), (d^2*(3*C*d^2 + 4*B*d*e + 10*A*e^2)*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(16*e^2) - (d*(4*C*d^2 + e*(7*B*d + 10*A*e))*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(15*e^3) - ((3*C*d^2 + 2*e*(2*B*d + A*e))*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(8*e^2) - ((2*C*d + B*e)*x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(5*e) - (1//6)*C*x^3*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2) + (d^4*(3*C*d^2 + 4*B*d*e + 10*A*e^2)*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(16*e^3), x, 7),
+((d + e*x)^1*(A + B*x + C*x^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2), (d*(C*d^2 + e*(B*d + 4*A*e))*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*e^2) - ((2*C*d^2 + 5*e*(B*d + A*e))*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(15*e^3) - ((C*d + B*e)*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(4*e^2) - (C*x^2*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(5*e) + (d^3*(C*d^2 + e*(B*d + 4*A*e))*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(8*e^3), x, 6),
+((d + e*x)^0*(A + B*x + C*x^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2), (1//8)*(4*A + (C*d^2)/e^2)*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2) - (B*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(3*e^2) - (C*x*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(4*e^2) + (d^2*(C*d^2 + 4*A*e^2)*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(8*e^3), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d + e*x)^1, ((C*d^2 - e*(B*d - 2*A*e))*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e^3) - (C*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(3*e^3) + ((C*d - B*e)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(2*e^3*(d + e*x)) + (d*(C*d^2 - e*(B*d - 2*A*e))*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e^3), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d + e*x)^2, -(((5*C*d^2 - 2*e*(2*B*d - A*e))*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*d*e^3)) - ((C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(d*e^3*(d + e*x)^2) - (C*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(2*e^3*(d + e*x)) - ((5*C*d^2 - 2*e*(2*B*d - A*e))*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e^3), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d + e*x)^3, (2*(3*C*d - B*e)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(e^3*(d + e*x)) - ((C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(3*d*e^3*(d + e*x)^3) - (C*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(e^3*(d + e*x)^2) + ((3*C*d - B*e)*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e^3, x, 5),
+((A + B*x + C*x^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d + e*x)^4, -((2*C*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(e^3*(d + e*x))) - ((C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(5*d*e^3*(d + e*x)^4) + ((2*C*d - B*e)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(3*d*e^3*(d + e*x)^3) - ((C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(15*d^2*e^3*(d + e*x)^3) - (C*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e^3, x, 8),
+((A + B*x + C*x^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d + e*x)^5, -(((C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(7*d*e^3*(d + e*x)^5)) + (C*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(e^3*(d + e*x)^4) - ((23*C*d^2 + e*(5*B*d + 2*A*e))*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(35*d^2*e^3*(d + e*x)^4) - ((23*C*d^2 + e*(5*B*d + 2*A*e))*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(105*d^3*e^3*(d + e*x)^3), x, 4),
+((A + B*x + C*x^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2)/(d + e*x)^6, -(((C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(9*d*e^3*(d + e*x)^6)) + (C*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(2*e^3*(d + e*x)^5) - ((11*C*d^2 + 2*e*(2*B*d + A*e))*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(42*d^2*e^3*(d + e*x)^5) - ((11*C*d^2 + 2*e*(2*B*d + A*e))*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(105*d^3*e^3*(d + e*x)^4) - ((11*C*d^2 + 2*e*(2*B*d + A*e))*(d^2 - e^2*x^2)^(3//2))/(315*d^4*e^3*(d + e*x)^3), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^3*(A + B*x + C*x^2)/sqrt(d^2 - e^2*x^2), -((d^2*(38*C*d^2 + 45*B*d*e + 55*A*e^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*e^3)) - (d*(13*C*d^2 + 15*B*d*e + 12*A*e^2)*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*e^2) - ((19*C*d^2 + 5*e*(3*B*d + A*e))*x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*e) - (1//4)*(3*C*d + B*e)*x^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2) - (1//5)*C*e*x^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (d^3*(13*C*d^2 + 15*B*d*e + 20*A*e^2)*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(8*e^3), x, 7),
+((d + e*x)^2*(A + B*x + C*x^2)/sqrt(d^2 - e^2*x^2), -((d*(4*C*d^2 + e*(5*B*d + 6*A*e))*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*e^3)) - ((7*C*d^2 + 4*e*(2*B*d + A*e))*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(8*e^2) - ((2*C*d + B*e)*x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*e) - (1//4)*C*x^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2) + (d^2*(7*C*d^2 + 8*B*d*e + 12*A*e^2)*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(8*e^3), x, 6),
+((d + e*x)^1*(A + B*x + C*x^2)/sqrt(d^2 - e^2*x^2), -(((2*C*d^2 + 3*e*(B*d + A*e))*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*e^3)) - ((C*d + B*e)*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e^2) - (C*x^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*e) + (d*(C*d^2 + e*(B*d + 2*A*e))*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e^3), x, 5),
+((d + e*x)^0*(A + B*x + C*x^2)/sqrt(d^2 - e^2*x^2), -((B*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e^2) - (C*x*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e^2) + ((C*d^2 + 2*A*e^2)*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(2*e^3), x, 4),
+((A + B*x + C*x^2)/((d + e*x)^1*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -((C*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/e^3) - ((C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(d*e^3*(d + e*x)) - ((C*d - B*e)*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e^3, x, 4),
+((A + B*x + C*x^2)/((d + e*x)^2*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -(((C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*d*e^3*(d + e*x)^2)) + ((2*C*d - B*e)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(d*e^3*(d + e*x)) - ((C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(3*d^2*e^3*(d + e*x)) + (C*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/e^3, x, 7),
+((A + B*x + C*x^2)/((d + e*x)^3*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -(((C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(5*d*e^3*(d + e*x)^3)) + (C*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(e^3*(d + e*x)^2) - ((7*C*d^2 + e*(3*B*d + 2*A*e))*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*d^2*e^3*(d + e*x)^2) - ((7*C*d^2 + e*(3*B*d + 2*A*e))*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(15*d^3*e^3*(d + e*x)), x, 4),
+((A + B*x + C*x^2)/((d + e*x)^4*sqrt(d^2 - e^2*x^2)), -(((C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(7*d*e^3*(d + e*x)^4)) + (C*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(2*e^3*(d + e*x)^3) - ((13*C*d^2 + 8*B*d*e + 6*A*e^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(70*d^2*e^3*(d + e*x)^3) - ((13*C*d^2 + 8*B*d*e + 6*A*e^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(105*d^3*e^3*(d + e*x)^2) - ((13*C*d^2 + 8*B*d*e + 6*A*e^2)*sqrt(d^2 - e^2*x^2))/(105*d^4*e^3*(d + e*x)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P2[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p when b=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+c x^2)^p (A+B x+C x^2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^3*(A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2), ((c*d^2 + a*e^2)*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*(d + e*x)^4)/(4*e^5) - ((a*e^2*(2*C*d - B*e) + c*d*(4*C*d^2 - e*(3*B*d - 2*A*e)))*(d + e*x)^5)/(5*e^5) + ((a*C*e^2 + c*(6*C*d^2 - e*(3*B*d - A*e)))*(d + e*x)^6)/(6*e^5) - (c*(4*C*d - B*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^5) + (c*C*(d + e*x)^8)/(8*e^5), x, 2),
+((d + e*x)^2*(A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2), ((c*d^2 + a*e^2)*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*(d + e*x)^3)/(3*e^5) - ((a*e^2*(2*C*d - B*e) + c*d*(4*C*d^2 - e*(3*B*d - 2*A*e)))*(d + e*x)^4)/(4*e^5) + ((a*C*e^2 + c*(6*C*d^2 - e*(3*B*d - A*e)))*(d + e*x)^5)/(5*e^5) - (c*(4*C*d - B*e)*(d + e*x)^6)/(6*e^5) + (c*C*(d + e*x)^7)/(7*e^5), x, 2),
+((d + e*x)^1*(A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2), a*A*d*x + (1//2)*a*(B*d + A*e)*x^2 + (1//3)*(A*c*d + a*C*d + a*B*e)*x^3 + (1//4)*(B*c*d + A*c*e + a*C*e)*x^4 + (1//5)*c*(C*d + B*e)*x^5 + (1//6)*c*C*e*x^6, x, 2),
+((d + e*x)^0*(A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2), a*A*x + (1//2)*a*B*x^2 + (1//3)*(A*c + a*C)*x^3 + (1//4)*B*c*x^4 + (1//5)*c*C*x^5, x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2)/(d + e*x)^1, -(((a*e^2*(C*d - B*e) + c*d*(C*d^2 - e*(B*d - A*e)))*x)/e^4) + ((a*C*e^2 + c*(C*d^2 - e*(B*d - A*e)))*x^2)/(2*e^3) - (c*(C*d - B*e)*x^3)/(3*e^2) + (c*C*x^4)/(4*e) + ((c*d^2 + a*e^2)*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2)/(d + e*x)^2, ((a*C*e^2 + c*(3*C*d^2 - e*(2*B*d - A*e)))*x)/e^4 - (c*(2*C*d - B*e)*x^2)/(2*e^3) + (c*C*x^3)/(3*e^2) - ((c*d^2 + a*e^2)*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2))/(e^5*(d + e*x)) - ((a*e^2*(2*C*d - B*e) + c*d*(4*C*d^2 - e*(3*B*d - 2*A*e)))*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2)/(d + e*x)^3, -((c*(3*C*d - B*e)*x)/e^4) + (c*C*x^2)/(2*e^3) - ((c*d^2 + a*e^2)*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2))/(2*e^5*(d + e*x)^2) + (a*e^2*(2*C*d - B*e) + c*d*(4*C*d^2 - e*(3*B*d - 2*A*e)))/(e^5*(d + e*x)) + ((a*C*e^2 + c*(6*C*d^2 - e*(3*B*d - A*e)))*log(d + e*x))/e^5, x, 2),
+
+
+((d + e*x)^3*(A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2)^2, a^2*A*d^3*x + (1//3)*a*d*(a*d*(C*d + 3*B*e) + A*(2*c*d^2 + 3*a*e^2))*x^3 + (1//4)*a^2*e*(3*C*d^2 + e*(3*B*d + A*e))*x^4 + (1//5)*(A*c*d*(c*d^2 + 6*a*e^2) + a*(a*e^2*(3*C*d + B*e) + 2*c*d^2*(C*d + 3*B*e)))*x^5 + (1//6)*a*e*(a*C*e^2 + 2*c*(3*C*d^2 + e*(3*B*d + A*e)))*x^6 + (1//7)*c*(2*a*e^2*(3*C*d + B*e) + c*d*(C*d^2 + 3*e*(B*d + A*e)))*x^7 + (1//8)*c*e*(2*a*C*e^2 + c*(3*C*d^2 + e*(3*B*d + A*e)))*x^8 + (1//9)*c^2*e^2*(3*C*d + B*e)*x^9 + (1//10)*c^2*C*e^3*x^10 + (d^2*(B*d + 3*A*e)*(a + c*x^2)^3)/(6*c), x, 3),
+((d + e*x)^2*(A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2)^2, a^2*A*d^2*x + (1//3)*a*(a*d*(C*d + 2*B*e) + A*(2*c*d^2 + a*e^2))*x^3 + (1//4)*a^2*e*(2*C*d + B*e)*x^4 + (1//5)*(A*c*(c*d^2 + 2*a*e^2) + a*(a*C*e^2 + 2*c*d*(C*d + 2*B*e)))*x^5 + (1//3)*a*c*e*(2*C*d + B*e)*x^6 + (1//7)*c*(2*a*C*e^2 + c*(C*d^2 + e*(2*B*d + A*e)))*x^7 + (1//8)*c^2*e*(2*C*d + B*e)*x^8 + (1//9)*c^2*C*e^2*x^9 + (d*(B*d + 2*A*e)*(a + c*x^2)^3)/(6*c), x, 3),
+((d + e*x)^1*(A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2)^2, a^2*A*d*x + (1//3)*a*(2*A*c*d + a*C*d + a*B*e)*x^3 + (1//4)*a^2*C*e*x^4 + (1//5)*c*(A*c*d + 2*a*(C*d + B*e))*x^5 + (1//3)*a*c*C*e*x^6 + (1//7)*c^2*(C*d + B*e)*x^7 + (1//8)*c^2*C*e*x^8 + ((B*d + A*e)*(a + c*x^2)^3)/(6*c), x, 3),
+((d + e*x)^0*(A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2)^2, a^2*A*x + (1//3)*a*(2*A*c + a*C)*x^3 + (1//5)*c*(A*c + 2*a*C)*x^5 + (1//7)*c^2*C*x^7 + (B*(a + c*x^2)^3)/(6*c), x, 3),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2)^2/(d + e*x)^1, -(((a^2*e^4*(C*d - B*e) + c^2*d^3*(C*d^2 - e*(B*d - A*e)) + 2*a*c*d*e^2*(C*d^2 - e*(B*d - A*e)))*x)/e^6) + ((a^2*C*e^4 + c^2*d^2*(C*d^2 - e*(B*d - A*e)) + 2*a*c*e^2*(C*d^2 - e*(B*d - A*e)))*x^2)/(2*e^5) - (c*(2*a*e^2*(C*d - B*e) + c*d*(C*d^2 - e*(B*d - A*e)))*x^3)/(3*e^4) + (c*(2*a*C*e^2 + c*(C*d^2 - e*(B*d - A*e)))*x^4)/(4*e^3) - (c^2*(C*d - B*e)*x^5)/(5*e^2) + (c^2*C*x^6)/(6*e) + ((c*d^2 + a*e^2)^2*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2)^2/(d + e*x)^2, ((a^2*C*e^4 + c^2*d^2*(5*C*d^2 - e*(4*B*d - 3*A*e)) + 2*a*c*e^2*(3*C*d^2 - e*(2*B*d - A*e)))*x)/e^6 - (c*(2*a*e^2*(2*C*d - B*e) + c*d*(4*C*d^2 - e*(3*B*d - 2*A*e)))*x^2)/(2*e^5) + (c*(2*a*C*e^2 + c*(3*C*d^2 - e*(2*B*d - A*e)))*x^3)/(3*e^4) - (c^2*(2*C*d - B*e)*x^4)/(4*e^3) + (c^2*C*x^5)/(5*e^2) - ((c*d^2 + a*e^2)^2*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2))/(e^7*(d + e*x)) - ((c*d^2 + a*e^2)*(a*e^2*(2*C*d - B*e) + c*d*(6*C*d^2 - e*(5*B*d - 4*A*e)))*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2)^2/(d + e*x)^3, -((c*(2*a*e^2*(3*C*d - B*e) + c*d*(10*C*d^2 - 3*e*(2*B*d - A*e)))*x)/e^6) + (c*(2*a*C*e^2 + c*(6*C*d^2 - e*(3*B*d - A*e)))*x^2)/(2*e^5) - (c^2*(3*C*d - B*e)*x^3)/(3*e^4) + (c^2*C*x^4)/(4*e^3) - ((c*d^2 + a*e^2)^2*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2))/(2*e^7*(d + e*x)^2) + ((c*d^2 + a*e^2)*(a*e^2*(2*C*d - B*e) + c*d*(6*C*d^2 - e*(5*B*d - 4*A*e))))/(e^7*(d + e*x)) + ((a^2*C*e^4 + c^2*d^2*(15*C*d^2 - 2*e*(5*B*d - 3*A*e)) + 2*a*c*e^2*(6*C*d^2 - e*(3*B*d - A*e)))*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+
+
+((d + e*x)^3*(A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2)^3, a^3*A*d^3*x + (1//3)*a^2*d*(a*d*(C*d + 3*B*e) + 3*A*(c*d^2 + a*e^2))*x^3 + (1//4)*a^3*e*(3*C*d^2 + e*(3*B*d + A*e))*x^4 + (1//5)*a*(3*A*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2) + a*(a*e^2*(3*C*d + B*e) + 3*c*d^2*(C*d + 3*B*e)))*x^5 + (1//6)*a^2*e*(a*C*e^2 + 3*c*(3*C*d^2 + e*(3*B*d + A*e)))*x^6 + (1//7)*c*(A*c*d*(c*d^2 + 9*a*e^2) + 3*a*(a*e^2*(3*C*d + B*e) + c*d^2*(C*d + 3*B*e)))*x^7 + (3//8)*a*c*e*(a*C*e^2 + c*(3*C*d^2 + e*(3*B*d + A*e)))*x^8 + (1//9)*c^2*(3*a*e^2*(3*C*d + B*e) + c*d*(C*d^2 + 3*e*(B*d + A*e)))*x^9 + (1//10)*c^2*e*(3*a*C*e^2 + c*(3*C*d^2 + e*(3*B*d + A*e)))*x^10 + (1//11)*c^3*e^2*(3*C*d + B*e)*x^11 + (1//12)*c^3*C*e^3*x^12 + (d^2*(B*d + 3*A*e)*(a + c*x^2)^4)/(8*c), x, 3),
+((d + e*x)^2*(A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2)^3, a^3*A*d^2*x + (1//3)*a^2*(a*d*(C*d + 2*B*e) + A*(3*c*d^2 + a*e^2))*x^3 + (1//4)*a^3*e*(2*C*d + B*e)*x^4 + (1//5)*a*(3*A*c*(c*d^2 + a*e^2) + a*(a*C*e^2 + 3*c*d*(C*d + 2*B*e)))*x^5 + (1//2)*a^2*c*e*(2*C*d + B*e)*x^6 + (1//7)*c*(A*c*(c*d^2 + 3*a*e^2) + 3*a*(a*C*e^2 + c*d*(C*d + 2*B*e)))*x^7 + (3//8)*a*c^2*e*(2*C*d + B*e)*x^8 + (1//9)*c^2*(3*a*C*e^2 + c*(C*d^2 + e*(2*B*d + A*e)))*x^9 + (1//10)*c^3*e*(2*C*d + B*e)*x^10 + (1//11)*c^3*C*e^2*x^11 + (d*(B*d + 2*A*e)*(a + c*x^2)^4)/(8*c), x, 3),
+((d + e*x)^1*(A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2)^3, a^3*A*d*x + (1//3)*a^2*(3*A*c*d + a*C*d + a*B*e)*x^3 + (1//4)*a^3*C*e*x^4 + (3//5)*a*c*(A*c*d + a*C*d + a*B*e)*x^5 + (1//2)*a^2*c*C*e*x^6 + (1//7)*c^2*(A*c*d + 3*a*(C*d + B*e))*x^7 + (3//8)*a*c^2*C*e*x^8 + (1//9)*c^3*(C*d + B*e)*x^9 + (1//10)*c^3*C*e*x^10 + ((B*d + A*e)*(a + c*x^2)^4)/(8*c), x, 3),
+((d + e*x)^0*(A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2)^3, a^3*A*x + (1//3)*a^2*(3*A*c + a*C)*x^3 + (3//5)*a*c*(A*c + a*C)*x^5 + (1//7)*c^2*(A*c + 3*a*C)*x^7 + (1//9)*c^3*C*x^9 + (B*(a + c*x^2)^4)/(8*c), x, 3),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2)^3/(d + e*x)^1, -(((c*d^2 + a*e^2)^2*(a*e^2*(2*C*d - B*e) + c*d*(8*C*d^2 - e*(7*B*d - 6*A*e)))*x)/e^8) + ((c*d^2 + a*e^2)*(a^2*C*e^4 + c^2*d^2*(28*C*d^2 - 3*e*(7*B*d - 5*A*e)) + a*c*e^2*(17*C*d^2 - 3*e*(3*B*d - A*e)))*(d + e*x)^2)/(2*e^9) - (c*(3*a^2*e^4*(4*C*d - B*e) + c^2*d^3*(56*C*d^2 - 5*e*(7*B*d - 4*A*e)) + 6*a*c*d*e^2*(10*C*d^2 - e*(5*B*d - 2*A*e)))*(d + e*x)^3)/(3*e^9) + (c*(3*a^2*C*e^4 + 5*c^2*d^2*(14*C*d^2 - e*(7*B*d - 3*A*e)) + 3*a*c*e^2*(15*C*d^2 - e*(5*B*d - A*e)))*(d + e*x)^4)/(4*e^9) - (c^2*(3*a*e^2*(6*C*d - B*e) + c*d*(56*C*d^2 - 3*e*(7*B*d - 2*A*e)))*(d + e*x)^5)/(5*e^9) + (c^2*(3*a*C*e^2 + c*(28*C*d^2 - e*(7*B*d - A*e)))*(d + e*x)^6)/(6*e^9) - (c^3*(8*C*d - B*e)*(d + e*x)^7)/(7*e^9) + (c^3*C*(d + e*x)^8)/(8*e^9) + ((c*d^2 + a*e^2)^3*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*log(d + e*x))/e^9, x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2)^3/(d + e*x)^2, ((a^3*C*e^6 + c^3*d^4*(7*C*d^2 - e*(6*B*d - 5*A*e)) + 3*a*c^2*d^2*e^2*(5*C*d^2 - e*(4*B*d - 3*A*e)) + 3*a^2*c*e^4*(3*C*d^2 - e*(2*B*d - A*e)))*x)/e^8 - (c*(3*a^2*e^4*(2*C*d - B*e) + c^2*d^3*(6*C*d^2 - e*(5*B*d - 4*A*e)) + 3*a*c*d*e^2*(4*C*d^2 - e*(3*B*d - 2*A*e)))*x^2)/(2*e^7) + (c*(3*a^2*C*e^4 + c^2*d^2*(5*C*d^2 - e*(4*B*d - 3*A*e)) + 3*a*c*e^2*(3*C*d^2 - e*(2*B*d - A*e)))*x^3)/(3*e^6) - (c^2*(3*a*e^2*(2*C*d - B*e) + c*d*(4*C*d^2 - e*(3*B*d - 2*A*e)))*x^4)/(4*e^5) + (c^2*(3*a*C*e^2 + c*(3*C*d^2 - e*(2*B*d - A*e)))*x^5)/(5*e^4) - (c^3*(2*C*d - B*e)*x^6)/(6*e^3) + (c^3*C*x^7)/(7*e^2) - ((c*d^2 + a*e^2)^3*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2))/(e^9*(d + e*x)) - ((c*d^2 + a*e^2)^2*(a*e^2*(2*C*d - B*e) + c*d*(8*C*d^2 - e*(7*B*d - 6*A*e)))*log(d + e*x))/e^9, x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2)^3/(d + e*x)^3, -((c*(3*a^2*e^4*(3*C*d - B*e) + c^2*d^3*(21*C*d^2 - 5*e*(3*B*d - 2*A*e)) + 3*a*c*d*e^2*(10*C*d^2 - 3*e*(2*B*d - A*e)))*x)/e^8) + (c*(3*a^2*C*e^4 + c^2*d^2*(15*C*d^2 - 2*e*(5*B*d - 3*A*e)) + 3*a*c*e^2*(6*C*d^2 - e*(3*B*d - A*e)))*x^2)/(2*e^7) - (c^2*(3*a*e^2*(3*C*d - B*e) + c*d*(10*C*d^2 - 3*e*(2*B*d - A*e)))*x^3)/(3*e^6) + (c^2*(3*a*C*e^2 + c*(6*C*d^2 - e*(3*B*d - A*e)))*x^4)/(4*e^5) - (c^3*(3*C*d - B*e)*x^5)/(5*e^4) + (c^3*C*x^6)/(6*e^3) - ((c*d^2 + a*e^2)^3*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2))/(2*e^9*(d + e*x)^2) + ((c*d^2 + a*e^2)^2*(a*e^2*(2*C*d - B*e) + c*d*(8*C*d^2 - e*(7*B*d - 6*A*e))))/(e^9*(d + e*x)) + ((c*d^2 + a*e^2)*(a^2*C*e^4 + c^2*d^2*(28*C*d^2 - 3*e*(7*B*d - 5*A*e)) + a*c*e^2*(17*C*d^2 - 3*e*(3*B*d - A*e)))*log(d + e*x))/e^9, x, 2),
+
+
+((a + b*x^2)*(-a*d + 4*b*c*x + 3*b*d*x^2)/(c + d*x)^2, (a + b*x^2)^2/(c + d*x), x, 1),
+((a + b*x^2)*(-a*d + b*x*(4*c + 3*d*x))/(c + d*x)^2, (a + b*x^2)^2/(c + d*x), x, 1),
+
+
+((a + b*x^2)^2*(-a*d + 6*b*c*x + 5*b*d*x^2)/(c + d*x)^2, (a + b*x^2)^3/(c + d*x), x, 1),
+((a + b*x^2)^2*(-a*d + b*x*(6*c + 5*d*x))/(c + d*x)^2, (a + b*x^2)^3/(c + d*x), x, 1),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^3*(A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2), -(((a*e^2*(3*C*d + B*e) - c*d*(C*d^2 + 3*e*(B*d + A*e)))*x)/c^2) - (e*(a*C*e^2 - c*(3*C*d^2 + e*(3*B*d + A*e)))*x^2)/(2*c^2) + (e^2*(3*C*d + B*e)*x^3)/(3*c) + (C*e^3*x^4)/(4*c) + ((A*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) + a*(a*e^2*(3*C*d + B*e) - c*d^2*(C*d + 3*B*e)))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*c^(5//2)) + ((B*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) + (A*c - a*C)*e*(3*c*d^2 - a*e^2))*log(a + c*x^2))/(2*c^3), x, 5),
+((d + e*x)^2*(A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2), -(((a*C*e^2 - c*(C*d^2 + e*(2*B*d + A*e)))*x)/c^2) + (e*(2*C*d + B*e)*x^2)/(2*c) + (C*e^2*x^3)/(3*c) + ((A*c*(c*d^2 - a*e^2) + a*(a*C*e^2 - c*d*(C*d + 2*B*e)))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*c^(5//2)) + ((B*c*d^2 + 2*A*c*d*e - 2*a*C*d*e - a*B*e^2)*log(a + c*x^2))/(2*c^2), x, 5),
+((d + e*x)^1*(A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2), ((C*d + B*e)*x)/c + (C*e*x^2)/(2*c) + ((A*c*d - a*(C*d + B*e))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*c^(3//2)) + ((B*c*d + A*c*e - a*C*e)*log(a + c*x^2))/(2*c^2), x, 5),
+((d + e*x)^0*(A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2), (C*x)/c + ((A*c - a*C)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*c^(3//2)) + (B*log(a + c*x^2))/(2*c), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)/(d + e*x)^1, ((A*c*d - a*C*d + a*B*e)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*sqrt(c)*(c*d^2 + a*e^2)) + ((C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*log(d + e*x))/(e*(c*d^2 + a*e^2)) + ((B*c*d - A*c*e + a*C*e)*log(a + c*x^2))/(2*c*(c*d^2 + a*e^2)), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)/(d + e*x)^2, -((C*d^2 - B*d*e + A*e^2)/(e*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x))) + ((A*c*(c*d^2 - a*e^2) + a*(a*C*e^2 - c*d*(C*d - 2*B*e)))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*sqrt(c)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - ((B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + 2*a*C*d*e - a*B*e^2)*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^2 + ((B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + 2*a*C*d*e - a*B*e^2)*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^2), x, 5),
+((A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)/(d + e*x)^3, -((C*d^2 - B*d*e + A*e^2)/(2*e*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)^2)) + (B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + 2*a*C*d*e - a*B*e^2)/((c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)) + (sqrt(c)*(A*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) - a*(c*d^2*(C*d - 3*B*e) - a*e^2*(3*C*d - B*e)))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(c*d^2 + a*e^2)^3) - ((B*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) - (A*c - a*C)*e*(3*c*d^2 - a*e^2))*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^3 + ((B*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) - (A*c - a*C)*e*(3*c*d^2 - a*e^2))*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^3), x, 5),
+
+
+((d + e*x)^3*(A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^2, -((3*e^2*(A*c*d - a*(3*C*d + B*e))*x)/(2*a*c^2)) - ((A*c - 2*a*C)*e^3*x^2)/(2*a*c^2) - ((a*B - (A*c - a*C)*x)*(d + e*x)^3)/(2*a*c*(a + c*x^2)) + ((A*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2) - a*(3*a*e^2*(3*C*d + B*e) - c*d^2*(C*d + 3*B*e)))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*c^(5//2)) - (e*(2*a*C*e^2 - c*(3*C*d^2 + e*(3*B*d + A*e)))*log(a + c*x^2))/(2*c^3), x, 6),
+((d + e*x)^2*(A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^2, -(((A*c - 3*a*C)*e^2*x)/(2*a*c^2)) - ((a*B - (A*c - a*C)*x)*(d + e*x)^2)/(2*a*c*(a + c*x^2)) + ((a*(A*c - 3*a*C)*e^2 + c*d*(A*c*d + a*C*d + 2*a*B*e))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*c^(5//2)) + (e*(2*C*d + B*e)*log(a + c*x^2))/(2*c^2), x, 5),
+((d + e*x)^1*(A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^2, -(((a*B - (A*c - a*C)*x)*(d + e*x))/(2*a*c*(a + c*x^2))) + ((A*c*d + a*C*d + a*B*e)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*c^(3//2)) + (C*e*log(a + c*x^2))/(2*c^2), x, 4),
+((d + e*x)^0*(A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^2, -((a*B - (A*c - a*C)*x)/(2*a*c*(a + c*x^2))) + ((A*c + a*C)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*c^(3//2)), x, 3),
+((A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^2/(d + e*x)^1, -((a*(B*c*d - A*c*e + a*C*e) - c*(A*c*d - a*C*d + a*B*e)*x)/(2*a*c*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2))) + ((a*(C*d - B*e)*(c*d^2 - a*e^2) + A*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*sqrt(c)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (e*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^2 - (e*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^2), x, 6),
+((A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^2/(d + e*x)^2, -((e*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2))/((c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x))) - (a*(B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + 2*a*C*d*e - a*B*e^2) - (A*c*(c*d^2 - a*e^2) + a*(a*C*e^2 - c*d*(C*d - 2*B*e)))*x)/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)^2*(a + c*x^2)) + ((A*c*(c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 - 3*a^2*e^4) + a*(a^2*C*e^4 + c^2*d^3*(C*d - 2*B*e) - 6*a*c*d*e^2*(C*d - B*e)))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*sqrt(c)*(c*d^2 + a*e^2)^3) - (e*(a*e^2*(2*C*d - B*e) - c*d*(2*C*d^2 - e*(3*B*d - 4*A*e)))*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^3 + (e*(a*e^2*(2*C*d - B*e) - c*d*(2*C*d^2 - e*(3*B*d - 4*A*e)))*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^3), x, 6),
+((A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^2/(d + e*x)^3, -((e*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x)^2)) + (e*(a*e^2*(2*C*d - B*e) - c*d*(2*C*d^2 - e*(3*B*d - 4*A*e))))/((c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)) - (a*(B*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) - (A*c - a*C)*e*(3*c*d^2 - a*e^2)) - c*(A*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) - a*(c*d^2*(C*d - 3*B*e) - a*e^2*(3*C*d - B*e)))*x)/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)^3*(a + c*x^2)) + (sqrt(c)*(A*c*d*(c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 - 15*a^2*e^4) - a*(2*a*c*d^2*e^2*(7*C*d - 9*B*e) - c^2*d^4*(C*d - 3*B*e) - 3*a^2*e^4*(3*C*d - B*e)))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)^4) + (e*(a^2*C*e^4 + c^2*d^2*(3*C*d^2 - 2*e*(3*B*d - 5*A*e)) - 2*a*c*e^2*(4*C*d^2 - e*(3*B*d - A*e)))*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^4 - (e*(a^2*C*e^4 + c^2*d^2*(3*C*d^2 - 2*e*(3*B*d - 5*A*e)) - 2*a*c*e^2*(4*C*d^2 - e*(3*B*d - A*e)))*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^4), x, 6),
+
+
+# {(d + e*x)^3*(A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^3, x, 5, If[$VersionNumber>=8, -(((a*B - (A*c - a*C)*x)*(d + e*x)^3)/(4*a*c*(a + c*x^2)^2)) - ((d + e*x)*(a*e*(3*A*c*d + 5*a*C*d + 3*a*B*e) - (3*A*c^2*d^2 - a*(4*a*C*e^2 - c*d*(C*d + 3*B*e)))*x))/(8*a^2*c^2*(a + c*x^2)) + ((3*a*e^2*(A*c*d + 3*a*C*d + a*B*e) + c*d^2*(3*A*c*d + a*C*d + 3*a*B*e))*ArcTan[(Sqrt[c]*x)/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*c^(5/2)) + (C*e^3*Log[a + c*x^2])/(2*c^3), -(((a*B - (A*c - a*C)*x)*(d + e*x)^3)/(4*a*c*(a + c*x^2)^2)) - ((d + e*x)*(a*e*(3*A*c*d + 5*a*C*d + 3*a*B*e) - (3*A*c^2*d^2 - a*(4*a*C*e^2 - c*d*(C*d + 3*B*e)))*x))/(8*a^2*c^2*(a + c*x^2)) + ((3*A*c*d*(c*d^2 + a*e^2) + a*(3*a*e^2*(3*C*d + B*e) + c*d^2*(C*d + 3*B*e)))*ArcTan[(Sqrt[c]*x)/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*c^(5/2)) + (C*e^3*Log[a + c*x^2])/(2*c^3)]}
+# {(d + e*x)^2*(A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^3, x, 3, -(((a*B - (A*c - a*C)*x)*(d + e*x)^2)/(4*a*c*(a + c*x^2)^2)) - ((d + e*x)*(a*(A*c + 3*a*C)*e - c*(3*A*c*d + a*C*d + 2*a*B*e)*x))/(8*a^2*c^2*(a + c*x^2)) + ((a*(A*c + 3*a*C)*e^2 + c*d*(3*A*c*d + a*C*d + 2*a*B*e))*ArcTan[(Sqrt[c]*x)/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*c^(5/2)), -(((a*B - (A*c - a*C)*x)*(d + e*x)^2)/(4*a*c*(a + c*x^2)^2)) - (2*a*e*(2*A*c*d + 2*a*C*d + a*B*e) + (a*(A*c + 3*a*C)*e^2 - c*d*(3*A*c*d + a*C*d + 2*a*B*e))*x)/(8*a^2*c^2*(a + c*x^2)) + ((a*(A*c + 3*a*C)*e^2 + c*d*(3*A*c*d + a*C*d + 2*a*B*e))*ArcTan[(Sqrt[c]*x)/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*c^(5/2))}
+((d + e*x)^1*(A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^3, -(((a*B - (A*c - a*C)*x)*(d + e*x))/(4*a*c*(a + c*x^2)^2)) - (2*a*(A*c + a*C)*e - c*(3*A*c*d + a*C*d + a*B*e)*x)/(8*a^2*c^2*(a + c*x^2)) + ((3*A*c*d + a*C*d + a*B*e)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*c^(3//2)), x, 3),
+((d + e*x)^0*(A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^3, -((a*B - (A*c - a*C)*x)/(4*a*c*(a + c*x^2)^2)) + ((3*A*c + a*C)*x)/(8*a^2*c*(a + c*x^2)) + ((3*A*c + a*C)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*c^(3//2)), x, 4),
+((A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^3/(d + e*x)^1, -((a*(B*c*d - A*c*e + a*C*e) - c*(A*c*d - a*C*d + a*B*e)*x)/(4*a*c*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^2)^2)) + (4*a^2*e*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2) + (a*(C*d - B*e)*(c*d^2 - 3*a*e^2) + A*c*d*(3*c*d^2 + 7*a*e^2))*x)/(8*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(a + c*x^2)) + ((a*(C*d - B*e)*(c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 - 3*a^2*e^4) + A*c*d*(3*c^2*d^4 + 10*a*c*d^2*e^2 + 15*a^2*e^4))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*sqrt(c)*(c*d^2 + a*e^2)^3) + (e^3*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^3 - (e^3*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^3), x, 7),
+((A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^3/(d + e*x)^2, -((e^3*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2))/((c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x))) - (a*(B*c*d^2 - 2*A*c*d*e + 2*a*C*d*e - a*B*e^2) - (A*c*(c*d^2 - a*e^2) + a*(a*C*e^2 - c*d*(C*d - 2*B*e)))*x)/(4*a*(c*d^2 + a*e^2)^2*(a + c*x^2)^2) - (4*a^2*e*(a*e^2*(2*C*d - B*e) - c*d*(2*C*d^2 - e*(3*B*d - 4*A*e))) - (A*c*(3*c^2*d^4 + 12*a*c*d^2*e^2 - 7*a^2*e^4) + a*(3*a^2*C*e^4 - 2*a*c*d*e^2*(6*C*d - 7*B*e) + c^2*d^3*(C*d - 2*B*e)))*x)/(8*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^3*(a + c*x^2)) + ((3*A*c*(c^3*d^6 + 5*a*c^2*d^4*e^2 + 15*a^2*c*d^2*e^4 - 5*a^3*e^6) + a*(3*a^3*C*e^6 + a*c^2*d^3*e^2*(13*C*d - 20*B*e) - 3*a^2*c*d*e^4*(11*C*d - 10*B*e) + c^3*d^5*(C*d - 2*B*e)))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*sqrt(c)*(c*d^2 + a*e^2)^4) - (e^3*(a*e^2*(2*C*d - B*e) - c*d*(4*C*d^2 - e*(5*B*d - 6*A*e)))*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^4 + (e^3*(a*e^2*(2*C*d - B*e) - c*d*(4*C*d^2 - e*(5*B*d - 6*A*e)))*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^4), x, 7),
+((A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^3/(d + e*x)^3, -((e^3*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x)^2)) + (e^3*(a*e^2*(2*C*d - B*e) - c*d*(4*C*d^2 - e*(5*B*d - 6*A*e))))/((c*d^2 + a*e^2)^4*(d + e*x)) - (a*(B*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) - (A*c - a*C)*e*(3*c*d^2 - a*e^2)) - c*(A*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) - a*(c*d^2*(C*d - 3*B*e) - a*e^2*(3*C*d - B*e)))*x)/(4*a*(c*d^2 + a*e^2)^3*(a + c*x^2)^2) + (1/(8*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^4*(a + c*x^2)))*(4*a^2*e*(a^2*C*e^4 + c^2*d^2*(3*C*d^2 - 2*e*(3*B*d - 5*A*e)) - 2*a*c*e^2*(4*C*d^2 - e*(3*B*d - A*e))) + c*(3*A*c*d*(c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 - 11*a^2*e^4) - a*(2*a*c*d^2*e^2*(13*C*d - 19*B*e) - c^2*d^4*(C*d - 3*B*e) - 7*a^2*e^4*(3*C*d - B*e)))*x) + (1/(8*a^(5//2)*(c*d^2 + a*e^2)^5))*(sqrt(c)*(3*A*c*d*(c^3*d^6 + 7*a*c^2*d^4*e^2 + 35*a^2*c*d^2*e^4 - 35*a^3*e^6) + a*(a*c^2*d^4*e^2*(23*C*d - 45*B*e) - 5*a^2*c*d^2*e^4*(25*C*d - 27*B*e) + c^3*d^6*(C*d - 3*B*e) + 15*a^3*e^6*(3*C*d - B*e)))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a))) + (e^3*(a^2*C*e^4 - a*c*e^2*(13*C*d^2 - 9*B*d*e + 3*A*e^2) + c^2*d^2*(10*C*d^2 - 3*e*(5*B*d - 7*A*e)))*log(d + e*x))/(c*d^2 + a*e^2)^5 - (e^3*(a^2*C*e^4 - a*c*e^2*(13*C*d^2 - 9*B*d*e + 3*A*e^2) + c^2*d^2*(10*C*d^2 - 3*e*(5*B*d - 7*A*e)))*log(a + c*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^5), x, 7),
+
+
+((d + e*x)^4*(A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^4, -(((a*B - (A*c - a*C)*x)*(d + e*x)^4)/(6*a*c*(a + c*x^2)^3)) - ((d + e*x)^3*(a*(A*c + 5*a*C)*e - c*(5*A*c*d + a*C*d + 4*a*B*e)*x))/(24*a^2*c^2*(a + c*x^2)^2) - ((a*(A*c + 5*a*C)*e^2 + c*d*(5*A*c*d + a*C*d + 4*a*B*e))*(a*e - c*d*x)*(d + e*x))/(16*a^3*c^3*(a + c*x^2)) + ((c*d^2 + a*e^2)*(a*(A*c + 5*a*C)*e^2 + c*d*(5*A*c*d + a*C*d + 4*a*B*e))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(16*a^(7//2)*c^(7//2)), x, 4),
+# {(d + e*x)^3*(A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^4, x, 4, -(((a*B - (A*c - a*C)*x)*(d + e*x)^3)/(6*a*c*(a + c*x^2)^3)) - ((d + e*x)^2*(2*a*(A*c + 2*a*C)*e - c*(5*A*c*d + a*C*d + 3*a*B*e)*x))/(24*a^2*c^2*(a + c*x^2)^2) - ((d + e*x)*(a*e*(5*A*c*d + a*C*d + 3*a*B*e) - (4*a*(A*c + 2*a*C)*e^2 + 3*c*d*(5*A*c*d + a*C*d + 3*a*B*e))*x))/(48*a^3*c^2*(a + c*x^2)) + ((A*c*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) + a*(a*e^2*(3*C*d + B*e) + c*d^2*(C*d + 3*B*e)))*ArcTan[(Sqrt[c]*x)/Sqrt[a]])/(16*a^(7/2)*c^(5/2)), -(((a*B - (A*c - a*C)*x)*(d + e*x)^3)/(6*a*c*(a + c*x^2)^3)) - ((d + e*x)^2*(2*a*(A*c + 2*a*C)*e - c*(5*A*c*d + a*C*d + 3*a*B*e)*x))/(24*a^2*c^2*(a + c*x^2)^2) - (4*a*e*(A*c*(5*c*d^2 + a*e^2) + a*(2*a*C*e^2 + c*d*(C*d + 3*B*e))) - c*(A*c*d*(15*c*d^2 - a*e^2) + a*(a*e^2*(7*C*d - 3*B*e) + 3*c*d^2*(C*d + 3*B*e)))*x)/(48*a^3*c^3*(a + c*x^2)) + ((A*c*d*(5*c*d^2 + 3*a*e^2) + a*(a*e^2*(3*C*d + B*e) + c*d^2*(C*d + 3*B*e)))*ArcTan[(Sqrt[c]*x)/Sqrt[a]])/(16*a^(7/2)*c^(5/2))}
+((d + e*x)^2*(A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^4, -(((a*B - (A*c - a*C)*x)*(d + e*x)^2)/(6*a*c*(a + c*x^2)^3)) - (2*a*e*(4*A*c*d + 2*a*C*d + a*B*e) + (3*a*(A*c + a*C)*e^2 - c*d*(5*A*c*d + a*C*d + 2*a*B*e))*x)/(24*a^2*c^2*(a + c*x^2)^2) + ((a*(A*c + a*C)*e^2 + c*d*(5*A*c*d + a*C*d + 2*a*B*e))*x)/(16*a^3*c^2*(a + c*x^2)) + ((a*(A*c + a*C)*e^2 + c*d*(5*A*c*d + a*C*d + 2*a*B*e))*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(16*a^(7//2)*c^(5//2)), x, 4),
+((d + e*x)^1*(A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^4, -(((a*B - (A*c - a*C)*x)*(d + e*x))/(6*a*c*(a + c*x^2)^3)) - (2*a*(2*A*c + a*C)*e - c*(5*A*c*d + a*C*d + a*B*e)*x)/(24*a^2*c^2*(a + c*x^2)^2) + ((5*A*c*d + a*C*d + a*B*e)*x)/(16*a^3*c*(a + c*x^2)) + ((5*A*c*d + a*C*d + a*B*e)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(16*a^(7//2)*c^(3//2)), x, 4),
+((d + e*x)^0*(A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^4, -((a*B - (A*c - a*C)*x)/(6*a*c*(a + c*x^2)^3)) + ((5*A*c + a*C)*x)/(24*a^2*c*(a + c*x^2)^2) + ((5*A*c + a*C)*x)/(16*a^3*c*(a + c*x^2)) + ((5*A*c + a*C)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/(16*a^(7//2)*c^(3//2)), x, 5),
+
+
+(x^3*(1 + x + x^2)/(1 + x^2)^2, (3*x)/2 + x^2//2 - x^3/(2*(1 + x^2)) - (3*atan(x))/2 - (1//2)*log(1 + x^2), x, 6),
+(x^2*(1 + x + x^2)/(1 + x^2)^2, x - x^2/(2*(1 + x^2)) - atan(x) + (1//2)*log(1 + x^2), x, 5),
+(x^1*(1 + x + x^2)/(1 + x^2)^2, -(x/(2*(1 + x^2))) + atan(x)/2 + (1//2)*log(1 + x^2), x, 4),
+(x^0*(1 + x + x^2)/(1 + x^2)^2, -(1/(2*(1 + x^2))) + atan(x), x, 3),
+((1 + x + x^2)/(x^1*(1 + x^2)^2), x/(2*(1 + x^2)) + atan(x)/2 + log(x) - (1//2)*log(1 + x^2), x, 6),
+((1 + x + x^2)/(x^2*(1 + x^2)^2), -(1/x) + 1/(2*(1 + x^2)) - atan(x) + log(x) - (1//2)*log(1 + x^2), x, 6),
+((1 + x + x^2)/(x^3*(1 + x^2)^2), -(1/(2*x^2)) - 1/x - x/(2*(1 + x^2)) - (3*atan(x))/2 - log(x) + (1//2)*log(1 + x^2), x, 6),
+
+
+# {(1 + 2*x + x^2)/(1 + x^2)^2, x, 3, -(1/(1 + x^2)) + ArcTan[x], -(((1 - x)*(1 + x))/(2*(1 + x^2))) + ArcTan[x]}
+((2 + 12*x + 3*x^2)/(4 + x^2)^2, -((24 + 5*x)/(4*(4 + x^2))) + (7//8)*atan(x/2), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+c x^2)^(p/2) (A+B x+C x^2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((g + h*x)^3*sqrt(a + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2), ((8*c^2*d*g^3 + a^2*h^2*(3*f*g + e*h) - 2*a*c*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)))*x*sqrt(a + c*x^2))/(16*c^2) - ((8*a*f*h^2 + c*(3*f*g^2 - 7*h*(e*g + 2*d*h)))*(g + h*x)^2*(a + c*x^2)^(3//2))/(70*c^2*h) - ((3*f*g - 7*e*h)*(g + h*x)^3*(a + c*x^2)^(3//2))/(42*c*h) + (f*(g + h*x)^4*(a + c*x^2)^(3//2))/(7*c*h) + ((8*(8*a^2*f*h^4 - 2*a*c*h^2*(15*f*g^2 + 7*h*(3*e*g + d*h)) - c^2*g^2*(3*f*g^2 - 7*h*(e*g + 12*d*h))) - 3*c*h*(a*h^2*(41*f*g + 35*e*h) + 2*c*g*(3*f*g^2 - 7*h*(e*g + 7*d*h)))*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(840*c^3*h) + (a*(8*c^2*d*g^3 + a^2*h^2*(3*f*g + e*h) - 2*a*c*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(16*c^(5//2)), x, 7),
+((g + h*x)^2*sqrt(a + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2), ((8*c^2*d*g^2 + a^2*f*h^2 - 2*a*c*(f*g^2 + h*(2*e*g + d*h)))*x*sqrt(a + c*x^2))/(16*c^2) - ((f*g - 2*e*h)*(g + h*x)^2*(a + c*x^2)^(3//2))/(10*c*h) + (f*(g + h*x)^3*(a + c*x^2)^(3//2))/(6*c*h) - ((8*(2*a*h^2*(2*f*g + e*h) + c*g*(f*g^2 - 2*h*(e*g + 5*d*h))) - 3*h*(5*(2*c*d - a*f)*h^2 - 2*c*g*(f*g - 2*e*h))*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(120*c^2*h) + (a*(8*c^2*d*g^2 + a^2*f*h^2 - 2*a*c*(f*g^2 + h*(2*e*g + d*h)))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(16*c^(5//2)), x, 6),
+((g + h*x)^1*sqrt(a + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2), ((4*c*d*g - a*(f*g + e*h))*x*sqrt(a + c*x^2))/(8*c) + (f*(g + h*x)^2*(a + c*x^2)^(3//2))/(5*c*h) - ((4*(2*a*f*h^2 + c*(3*f*g^2 - 5*h*(e*g + d*h))) + 3*c*h*(3*f*g - 5*e*h)*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(60*c^2*h) + (a*(4*c*d*g - a*f*g - a*e*h)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*c^(3//2)), x, 5),
+((g + h*x)^0*sqrt(a + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2), ((4*c*d - a*f)*x*sqrt(a + c*x^2))/(8*c) + (e*(a + c*x^2)^(3//2))/(3*c) + (f*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(4*c) + (a*(4*c*d - a*f)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*c^(3//2)), x, 5),
+(sqrt(a + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2)/(g + h*x)^1, ((2*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2) - h*(f*g - e*h)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*h^3) + (f*(a + c*x^2)^(3//2))/(3*c*h) - ((2*c*d*g*h^2 + (f*g - e*h)*(2*c*g^2 + a*h^2))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*sqrt(c)*h^4) - (sqrt(c*g^2 + a*h^2)*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/h^4, x, 7),
+(sqrt(a + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2)/(g + h*x)^2, -(((2*(a*h^2*(2*f*g - e*h) + c*g*(3*f*g^2 - h*(2*e*g - d*h))) - h*(a*f*h^2 + c*(3*f*g^2 - 2*h*(e*g - d*h)))*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*h^3*(c*g^2 + a*h^2))) - ((f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*(a + c*x^2)^(3//2))/(h*(c*g^2 + a*h^2)*(g + h*x)) + ((a*f*h^2 + 2*c*(3*f*g^2 - h*(2*e*g - d*h)))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*sqrt(c)*h^4) + ((a*h^2*(2*f*g - e*h) + c*g*(3*f*g^2 - h*(2*e*g - d*h)))*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(h^4*sqrt(c*g^2 + a*h^2)), x, 7),
+(sqrt(a + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2)/(g + h*x)^3, ((2*(3*f*g - e*h)*(c*g^2 + a*h^2) + h*(2*a*f*h^2 + c*(3*f*g^2 - h*(e*g - d*h)))*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*h^3*(c*g^2 + a*h^2)*(g + h*x)) - ((f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*(a + c*x^2)^(3//2))/(2*h*(c*g^2 + a*h^2)*(g + h*x)^2) - (sqrt(c)*(3*f*g - e*h)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/h^4 - ((2*a^2*f*h^4 + 2*c^2*g^3*(3*f*g - e*h) + a*c*h^2*(9*f*g^2 - h*(3*e*g - d*h)))*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(2*h^4*(c*g^2 + a*h^2)^(3//2)), x, 7),
+(sqrt(a + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2)/(g + h*x)^4, -(((2*c^2*f*g^5 + a^2*e*h^5 + a*c*g*h^2*(3*f*g^2 + d*h^2) + h*(2*a^2*f*h^4 + a*c*g*h^2*(6*f*g - e*h) + c^2*(3*f*g^4 - d*g^2*h^2))*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*h^3*(c*g^2 + a*h^2)^2*(g + h*x)^2)) - ((f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*(a + c*x^2)^(3//2))/(3*h*(c*g^2 + a*h^2)*(g + h*x)^3) + (sqrt(c)*f*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/h^4 + (c*(2*c^2*f*g^5 + a^2*h^4*(4*f*g - e*h) + a*c*g*h^2*(5*f*g^2 - d*h^2))*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(2*h^4*(c*g^2 + a*h^2)^(5//2)), x, 7),
+(sqrt(a + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2)/(g + h*x)^5, -(((4*c^2*d*g^2 + 4*a^2*f*h^2 - a*c*(f*g^2 - h*(5*e*g - d*h)))*(a*h - c*g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*(c*g^2 + a*h^2)^3*(g + h*x)^2)) - ((f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*(a + c*x^2)^(3//2))/(4*h*(c*g^2 + a*h^2)*(g + h*x)^4) + ((4*a*h^2*(2*f*g - e*h) + c*g*(3*f*g^2 + h*(e*g - 5*d*h)))*(a + c*x^2)^(3//2))/(12*h*(c*g^2 + a*h^2)^2*(g + h*x)^3) - (a*c*(4*c^2*d*g^2 + 4*a^2*f*h^2 - a*c*(f*g^2 - h*(5*e*g - d*h)))*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(8*(c*g^2 + a*h^2)^(7//2)), x, 5),
+(sqrt(a + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2)/(g + h*x)^6, -((c*(4*c^2*d*g^3 + a^2*h^2*(6*f*g - e*h) - a*c*g*(f*g^2 - 3*h*(2*e*g - d*h)))*(a*h - c*g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*(c*g^2 + a*h^2)^4*(g + h*x)^2)) - ((f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*(a + c*x^2)^(3//2))/(5*h*(c*g^2 + a*h^2)*(g + h*x)^5) + ((5*a*h^2*(2*f*g - e*h) + c*g*(3*f*g^2 + h*(2*e*g - 7*d*h)))*(a + c*x^2)^(3//2))/(20*h*(c*g^2 + a*h^2)^2*(g + h*x)^4) - ((20*a^2*f*h^4 - c^2*g^2*(3*f*g^2 + h*(2*e*g - 27*d*h)) - a*c*h^2*(18*f*g^2 - h*(33*e*g - 8*d*h)))*(a + c*x^2)^(3//2))/(60*h*(c*g^2 + a*h^2)^3*(g + h*x)^3) - (a*c^2*(4*c^2*d*g^3 + a^2*h^2*(6*f*g - e*h) - a*c*g*(f*g^2 - 3*h*(2*e*g - d*h)))*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(8*(c*g^2 + a*h^2)^(9//2)), x, 6),
+
+
+((g + h*x)^3*(a + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2), (a*(48*c^2*d*g^3 + 3*a^2*h^2*(3*f*g + e*h) - 8*a*c*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)))*x*sqrt(a + c*x^2))/(128*c^2) + ((48*c^2*d*g^3 + 3*a^2*h^2*(3*f*g + e*h) - 8*a*c*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)))*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(192*c^2) + ((8*(9*c*d - 4*a*f)*h^2 - 3*c*g*(5*f*g - 9*e*h))*(g + h*x)^2*(a + c*x^2)^(5//2))/(504*c^2*h) - ((5*f*g - 9*e*h)*(g + h*x)^3*(a + c*x^2)^(5//2))/(72*c*h) + (f*(g + h*x)^4*(a + c*x^2)^(5//2))/(9*c*h) + ((4*(32*a^2*f*h^4 - 8*a*c*h^2*(17*f*g^2 + 9*h*(3*e*g + d*h)) - 3*c^2*g^2*(5*f*g^2 - 3*h*(3*e*g + 64*d*h))) - 5*c*h*(a*h^2*(61*f*g + 63*e*h) + 2*c*g*(5*f*g^2 - 9*h*(e*g + 12*d*h)))*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(5040*c^3*h) + (a^2*(48*c^2*d*g^3 + 3*a^2*h^2*(3*f*g + e*h) - 8*a*c*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(128*c^(5//2)), x, 8),
+((g + h*x)^2*(a + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2), (a*(48*c^2*d*g^2 + 3*a^2*f*h^2 - 8*a*c*(f*g^2 + h*(2*e*g + d*h)))*x*sqrt(a + c*x^2))/(128*c^2) + ((48*c^2*d*g^2 + 3*a^2*f*h^2 - 8*a*c*(f*g^2 + h*(2*e*g + d*h)))*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(192*c^2) - ((5*f*g - 8*e*h)*(g + h*x)^2*(a + c*x^2)^(5//2))/(56*c*h) + (f*(g + h*x)^3*(a + c*x^2)^(5//2))/(8*c*h) - ((12*(8*a*h^2*(2*f*g + e*h) + c*g*(5*f*g^2 - 8*h*(e*g + 7*d*h))) - 5*h*(7*(8*c*d - 3*a*f)*h^2 - 2*c*g*(5*f*g - 8*e*h))*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(1680*c^2*h) + (a^2*(48*c^2*d*g^2 + 3*a^2*f*h^2 - 8*a*c*(f*g^2 + h*(2*e*g + d*h)))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(128*c^(5//2)), x, 7),
+((g + h*x)^1*(a + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2), (a*(6*c*d*g - a*f*g - a*e*h)*x*sqrt(a + c*x^2))/(16*c) + ((6*c*d*g - a*(f*g + e*h))*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(24*c) + (f*(g + h*x)^2*(a + c*x^2)^(5//2))/(7*c*h) - ((6*(2*a*f*h^2 + c*(5*f*g^2 - 7*h*(e*g + d*h))) + 5*c*h*(5*f*g - 7*e*h)*x)*(a + c*x^2)^(5//2))/(210*c^2*h) + (a^2*(6*c*d*g - a*f*g - a*e*h)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(16*c^(3//2)), x, 6),
+((g + h*x)^0*(a + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2), (a*(6*c*d - a*f)*x*sqrt(a + c*x^2))/(16*c) + ((6*c*d - a*f)*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(24*c) + (e*(a + c*x^2)^(5//2))/(5*c) + (f*x*(a + c*x^2)^(5//2))/(6*c) + (a^2*(6*c*d - a*f)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(16*c^(3//2)), x, 6),
+((a + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)/(g + h*x)^1, ((8*(c*g^2 + a*h^2)*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2) - h*(4*c*d*g*h^2 + (f*g - e*h)*(4*c*g^2 + 3*a*h^2))*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*h^5) + ((4*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2) - 3*h*(f*g - e*h)*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(12*h^3) + (f*(a + c*x^2)^(5//2))/(5*c*h) - ((3*a^2*h^4*(f*g - e*h) + 8*c^2*g^3*(f*g^2 - h*(e*g - d*h)) + 12*a*c*g*h^2*(f*g^2 - h*(e*g - d*h)))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*sqrt(c)*h^6) - ((c*g^2 + a*h^2)^(3//2)*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/h^6, x, 8),
+((a + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)/(g + h*x)^2, -(((8*(a*h^2*(2*f*g - e*h) + c*g*(5*f*g^2 - h*(4*e*g - 3*d*h))) - h*(20*c*f*g^2 - 16*c*e*g*h + 12*c*d*h^2 + 3*a*f*h^2)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*h^5)) - ((4*(a*h^2*(2*f*g - e*h) + c*g*(5*f*g^2 - h*(4*e*g - 3*d*h))) - 3*h*(a*f*h^2 + c*(5*f*g^2 - 4*h*(e*g - d*h)))*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(12*h^3*(c*g^2 + a*h^2)) - ((f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*(a + c*x^2)^(5//2))/(h*(c*g^2 + a*h^2)*(g + h*x)) + ((3*a^2*f*h^4 + 8*c^2*g^2*(5*f*g^2 - h*(4*e*g - 3*d*h)) + 12*a*c*h^2*(3*f*g^2 - h*(2*e*g - d*h)))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*sqrt(c)*h^6) + (sqrt(c*g^2 + a*h^2)*(a*h^2*(2*f*g - e*h) + c*g*(5*f*g^2 - h*(4*e*g - 3*d*h)))*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/h^6, x, 8),
+((a + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)/(g + h*x)^3, ((2*a^2*f*h^4 + 2*c^2*g^2*(10*f*g^2 - 3*h*(2*e*g - d*h)) + a*c*h^2*(19*f*g^2 - 3*h*(3*e*g - d*h)) - c*h*(a*h^2*(7*f*g - 3*e*h) + c*g*(10*f*g^2 - 3*h*(2*e*g - d*h)))*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*h^5*(c*g^2 + a*h^2)) - ((2*(c*g*(6*e*g - (10*f*g^2)/h - 3*d*h) - a*h*(7*f*g - 3*e*h)) - (2*a*f*h^2 + c*(5*f*g^2 - 3*h*(e*g - d*h)))*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(6*h^2*(c*g^2 + a*h^2)*(g + h*x)) - ((f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*(a + c*x^2)^(5//2))/(2*h*(c*g^2 + a*h^2)*(g + h*x)^2) - (sqrt(c)*(3*a*h^2*(3*f*g - e*h) + 2*c*g*(10*f*g^2 - 3*h*(2*e*g - d*h)))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*h^6) - ((2*a^2*f*h^4 + 2*c^2*g^2*(10*f*g^2 - 3*h*(2*e*g - d*h)) + a*c*h^2*(19*f*g^2 - 3*h*(3*e*g - d*h)))*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(2*h^6*sqrt(c*g^2 + a*h^2)), x, 8),
+((a + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)/(g + h*x)^4, -((((c*g^2 + a*h^2)*(3*a*f*h^2 + 2*c*(10*f*g^2 - h*(4*e*g - d*h))) + c*h*(3*a*h^2*(3*f*g - e*h) + c*g*(10*f*g^2 - h*(4*e*g - d*h)))*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*h^5*(c*g^2 + a*h^2)*(g + h*x))) - ((c*g*(4*e*g - (10*f*g^2)/h - d*h) - 3*a*h*(3*f*g - e*h) - (3*a*f*h^2 + c*(5*f*g^2 - 2*h*(e*g - d*h)))*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(6*h^2*(c*g^2 + a*h^2)*(g + h*x)^2) - ((f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*(a + c*x^2)^(5//2))/(3*h*(c*g^2 + a*h^2)*(g + h*x)^3) + (sqrt(c)*(3*a*f*h^2 + 2*c*(10*f*g^2 - h*(4*e*g - d*h)))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*h^6) + (c*(3*a^2*h^4*(4*f*g - e*h) + 2*c^2*g^3*(10*f*g^2 - h*(4*e*g - d*h)) + 3*a*c*g*h^2*(11*f*g^2 - h*(4*e*g - d*h)))*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(2*h^6*(c*g^2 + a*h^2)^(3//2)), x, 8),
+((a + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)/(g + h*x)^5, (c*(8*(5*f*g - e*h)*(c*g^2 + a*h^2)^2 + h*(12*a^2*f*h^4 + 4*c^2*g^3*(5*f*g - e*h) + a*c*h^2*(35*f*g^2 - h*(7*e*g - 3*d*h)))*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*h^5*(c*g^2 + a*h^2)^2*(g + h*x)) + ((4*a^2*h^4*(f*g - 2*e*h) - 4*c^2*g^4*(5*f*g - e*h) - a*c*g*h^2*(25*f*g^2 - h*(5*e*g - 9*d*h)) - 3*h*(4*a^2*f*h^4 + a*c*h^2*(17*f*g^2 - h*(5*e*g - d*h)) + 2*c^2*g^2*(5*f*g^2 - h*(e*g + d*h)))*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(24*h^3*(c*g^2 + a*h^2)^2*(g + h*x)^3) - ((f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*(a + c*x^2)^(5//2))/(4*h*(c*g^2 + a*h^2)*(g + h*x)^4) - (c^(3//2)*(5*f*g - e*h)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/h^6 - (c*(12*a^3*f*h^6 + 8*c^3*g^5*(5*f*g - e*h) + 20*a*c^2*g^3*h^2*(5*f*g - e*h) + 3*a^2*c*h^4*(25*f*g^2 - h*(5*e*g - d*h)))*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(8*h^6*(c*g^2 + a*h^2)^(5//2)), x, 8),
+((a + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)/(g + h*x)^6, -((c*(8*c^3*f*g^7 + 20*a*c^2*f*g^5*h^2 - a^3*h^6*(2*f*g - 3*e*h) + a^2*c*g*h^4*(13*f*g^2 + 3*d*h^2) + h*(12*c^3*f*g^6 + 8*a^3*f*h^6 + a^2*c*g*h^4*(34*f*g - 3*e*h) + a*c^2*g^2*h^2*(35*f*g^2 - 3*d*h^2))*x)*sqrt(a + c*x^2))/(8*h^5*(c*g^2 + a*h^2)^3*(g + h*x)^2)) - ((4*c^2*f*g^5 - a^2*h^4*(2*f*g - 3*e*h) + a*c*g*h^2*(5*f*g^2 + 3*d*h^2) + h*(4*a^2*f*h^4 + a*c*g*h^2*(14*f*g - 3*e*h) + c^2*(7*f*g^4 - 3*d*g^2*h^2))*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(12*h^3*(c*g^2 + a*h^2)^2*(g + h*x)^4) - ((f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*(a + c*x^2)^(5//2))/(5*h*(c*g^2 + a*h^2)*(g + h*x)^5) + (c^(3//2)*f*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/h^6 + (c^2*(8*c^3*f*g^7 + 28*a*c^2*f*g^5*h^2 + 3*a^3*h^6*(6*f*g - e*h) + a^2*c*g*h^4*(35*f*g^2 - 3*d*h^2))*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(8*h^6*(c*g^2 + a*h^2)^(7//2)), x, 8),
+((a + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)/(g + h*x)^7, -((a*c*(6*c^2*d*g^2 + 6*a^2*f*h^2 - a*c*(f*g^2 - h*(7*e*g - d*h)))*(a*h - c*g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(16*(c*g^2 + a*h^2)^4*(g + h*x)^2)) - ((6*c^2*d*g^2 + 6*a^2*f*h^2 - a*c*(f*g^2 - h*(7*e*g - d*h)))*(a*h - c*g*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(24*(c*g^2 + a*h^2)^3*(g + h*x)^4) - ((f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*(a + c*x^2)^(5//2))/(6*h*(c*g^2 + a*h^2)*(g + h*x)^6) + ((6*a*h^2*(2*f*g - e*h) + c*g*(5*f*g^2 + h*(e*g - 7*d*h)))*(a + c*x^2)^(5//2))/(30*h*(c*g^2 + a*h^2)^2*(g + h*x)^5) - (a^2*c^2*(6*c^2*d*g^2 + 6*a^2*f*h^2 - a*c*(f*g^2 - h*(7*e*g - d*h)))*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(16*(c*g^2 + a*h^2)^(9//2)), x, 6),
+((a + c*x^2)^(3//2)*(d + e*x + f*x^2)/(g + h*x)^8, -((a*c^2*(6*c^2*d*g^3 + a^2*h^2*(8*f*g - e*h) - a*c*g*(f*g^2 - h*(8*e*g - 3*d*h)))*(a*h - c*g*x)*sqrt(a + c*x^2))/(16*(c*g^2 + a*h^2)^5*(g + h*x)^2)) - (c*(6*c^2*d*g^3 + a^2*h^2*(8*f*g - e*h) - a*c*g*(f*g^2 - h*(8*e*g - 3*d*h)))*(a*h - c*g*x)*(a + c*x^2)^(3//2))/(24*(c*g^2 + a*h^2)^4*(g + h*x)^4) - ((f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*(a + c*x^2)^(5//2))/(7*h*(c*g^2 + a*h^2)*(g + h*x)^7) + ((7*a*h^2*(2*f*g - e*h) + c*g*(5*f*g^2 + h*(2*e*g - 9*d*h)))*(a + c*x^2)^(5//2))/(42*h*(c*g^2 + a*h^2)^2*(g + h*x)^6) - ((42*a^2*f*h^4 - c^2*g^2*(5*f*g^2 + h*(2*e*g - 51*d*h)) - a*c*h^2*(26*f*g^2 - h*(61*e*g - 12*d*h)))*(a + c*x^2)^(5//2))/(210*h*(c*g^2 + a*h^2)^3*(g + h*x)^5) - (a^2*c^3*(6*c^2*d*g^3 + a^2*h^2*(8*f*g - e*h) - a*c*g*(f*g^2 - h*(8*e*g - 3*d*h)))*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(16*(c*g^2 + a*h^2)^(11//2)), x, 7),
+
+
+((A + B*x + C*x^2)*(a + c*x^2)^(5//2), (5*a^2*(8*A*c - a*C)*x*sqrt(a + c*x^2))/(128*c) + (5*a*(8*A*c - a*C)*x*(a + c*x^2)^(3//2))/(192*c) + ((8*A*c - a*C)*x*(a + c*x^2)^(5//2))/(48*c) + (B*(a + c*x^2)^(7//2))/(7*c) + (C*x*(a + c*x^2)^(7//2))/(8*c) + (5*a^3*(8*A*c - a*C)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(128*c^(3//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((g + h*x)^3*(d + e*x + f*x^2)/sqrt(a + c*x^2), ((4*(5*c*d - 4*a*f)*h^2 - 3*c*g*(f*g - 5*e*h))*(g + h*x)^2*sqrt(a + c*x^2))/(60*c^2*h) - ((f*g - 5*e*h)*(g + h*x)^3*sqrt(a + c*x^2))/(20*c*h) + (f*(g + h*x)^4*sqrt(a + c*x^2))/(5*c*h) + ((4*(16*a^2*f*h^4 - 4*a*c*h^2*(13*f*g^2 + 5*h*(3*e*g + d*h)) - c^2*g^2*(3*f*g^2 - 5*h*(3*e*g + 16*d*h))) - c*h*(a*h^2*(71*f*g + 45*e*h) + 2*c*g*(3*f*g^2 - 5*h*(3*e*g + 10*d*h)))*x)*sqrt(a + c*x^2))/(120*c^3*h) + ((8*c^2*d*g^3 + 3*a^2*h^2*(3*f*g + e*h) - 4*a*c*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*c^(5//2)), x, 6),
+((g + h*x)^2*(d + e*x + f*x^2)/sqrt(a + c*x^2), -(((f*g - 4*e*h)*(g + h*x)^2*sqrt(a + c*x^2))/(12*c*h)) + (f*(g + h*x)^3*sqrt(a + c*x^2))/(4*c*h) - ((4*(4*a*h^2*(2*f*g + e*h) + c*g*(f*g^2 - 4*h*(e*g + 3*d*h))) - h*(3*(4*c*d - 3*a*f)*h^2 - 2*c*g*(f*g - 4*e*h))*x)*sqrt(a + c*x^2))/(24*c^2*h) + ((8*c^2*d*g^2 + 3*a^2*f*h^2 - 4*a*c*(f*g^2 + h*(2*e*g + d*h)))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(8*c^(5//2)), x, 5),
+((g + h*x)^1*(d + e*x + f*x^2)/sqrt(a + c*x^2), (f*(g + h*x)^2*sqrt(a + c*x^2))/(3*c*h) - ((2*(2*a*f*h^2 + c*(f*g^2 - 3*h*(e*g + d*h))) + c*h*(f*g - 3*e*h)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(6*c^2*h) + ((2*c*d*g - a*(f*g + e*h))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*c^(3//2)), x, 4),
+((g + h*x)^0*(d + e*x + f*x^2)/sqrt(a + c*x^2), (e*sqrt(a + c*x^2))/c + (f*x*sqrt(a + c*x^2))/(2*c) + ((2*c*d - a*f)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*c^(3//2)), x, 4),
+((d + e*x + f*x^2)/((g + h*x)^1*sqrt(a + c*x^2)), (f*sqrt(a + c*x^2))/(c*h) - ((f*g - e*h)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(sqrt(c)*h^2) - ((f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(h^2*sqrt(c*g^2 + a*h^2)), x, 6),
+((d + e*x + f*x^2)/((g + h*x)^2*sqrt(a + c*x^2)), -(((f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*sqrt(a + c*x^2))/(h*(c*g^2 + a*h^2)*(g + h*x))) + (f*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(sqrt(c)*h^2) + ((a*h^2*(2*f*g - e*h) + c*(f*g^3 - d*g*h^2))*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(h^2*(c*g^2 + a*h^2)^(3//2)), x, 6),
+((d + e*x + f*x^2)/((g + h*x)^3*sqrt(a + c*x^2)), -(((f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*sqrt(a + c*x^2))/(2*h*(c*g^2 + a*h^2)*(g + h*x)^2)) + ((2*a*h^2*(2*f*g - e*h) + c*g*(f*g^2 + h*(e*g - 3*d*h)))*sqrt(a + c*x^2))/(2*h*(c*g^2 + a*h^2)^2*(g + h*x)) - ((2*c^2*d*g^2 + 2*a^2*f*h^2 - a*c*(f*g^2 - h*(3*e*g - d*h)))*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(2*(c*g^2 + a*h^2)^(5//2)), x, 4),
+
+
+((g + h*x)^3*(d + e*x + f*x^2)/(a + c*x^2)^(3//2), -(((a*e - (c*d - a*f)*x)*(g + h*x)^3)/(a*c*sqrt(a + c*x^2))) - ((3*c*d - 4*a*f)*h*(g + h*x)^2*sqrt(a + c*x^2))/(3*a*c^2) - (h*(4*(3*c^2*d*g^2 + 4*a^2*f*h^2 - a*c*(7*f*g^2 + 3*h*(3*e*g + d*h))) + c*h*(6*c*d*g - 11*a*f*g - 9*a*e*h)*x)*sqrt(a + c*x^2))/(6*a*c^3) - ((3*a*h^2*(3*f*g + e*h) - 2*c*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*c^(5//2)), x, 5),
+((g + h*x)^2*(d + e*x + f*x^2)/(a + c*x^2)^(3//2), -(((a*e - (c*d - a*f)*x)*(g + h*x)^2)/(a*c*sqrt(a + c*x^2))) - (h*(4*(c*d*g - a*(2*f*g + e*h)) + (2*c*d - 3*a*f)*h*x)*sqrt(a + c*x^2))/(2*a*c^2) + (((2*c*d - 3*a*f)*h^2 + 2*c*g*(f*g + 2*e*h))*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/(2*c^(5//2)), x, 4),
+((g + h*x)^1*(d + e*x + f*x^2)/(a + c*x^2)^(3//2), -(((a*e - (c*d - a*f)*x)*(g + h*x))/(a*c*sqrt(a + c*x^2))) - ((c*d - 2*a*f)*h*sqrt(a + c*x^2))/(a*c^2) + ((f*g + e*h)*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/c^(3//2), x, 4),
+((g + h*x)^0*(d + e*x + f*x^2)/(a + c*x^2)^(3//2), -((a*e - (c*d - a*f)*x)/(a*c*sqrt(a + c*x^2))) + (f*atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(a + c*x^2)))/c^(3//2), x, 4),
+((d + e*x + f*x^2)/((g + h*x)^1*(a + c*x^2)^(3//2)), -((a*(c*e*g - c*d*h + a*f*h) - c*(c*d*g - a*f*g + a*e*h)*x)/(a*c*(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))) - ((f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(c*g^2 + a*h^2)^(3//2), x, 4),
+((d + e*x + f*x^2)/((g + h*x)^2*(a + c*x^2)^(3//2)), -((a*(c*g*(e*g - 2*d*h) + a*h*(2*f*g - e*h)) - (c^2*d*g^2 + a^2*f*h^2 - a*c*(f*g^2 - h*(2*e*g - d*h)))*x)/(a*(c*g^2 + a*h^2)^2*sqrt(a + c*x^2))) - (h*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*sqrt(a + c*x^2))/((c*g^2 + a*h^2)^2*(g + h*x)) + ((a*h^2*(2*f*g - e*h) - c*g*(f*g^2 - h*(2*e*g - 3*d*h)))*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(c*g^2 + a*h^2)^(5//2), x, 4),
+((d + e*x + f*x^2)/((g + h*x)^3*(a + c*x^2)^(3//2)), (a*(a^2*f*h^3 - c^2*g^2*(e*g - 3*d*h) - a*c*h*(3*f*g^2 - h*(3*e*g - d*h))) + c*(c^2*d*g^3 + a^2*h^2*(3*f*g - e*h) - a*c*g*(f*g^2 - 3*h*(e*g - d*h)))*x)/(a*(c*g^2 + a*h^2)^3*sqrt(a + c*x^2)) - (h*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*sqrt(a + c*x^2))/(2*(c*g^2 + a*h^2)^2*(g + h*x)^2) + (h*(2*a*h^2*(2*f*g - e*h) - c*g*(3*f*g^2 - h*(5*e*g - 7*d*h)))*sqrt(a + c*x^2))/(2*(c*g^2 + a*h^2)^3*(g + h*x)) - ((2*a^2*f*h^4 - a*c*h^2*(11*f*g^2 - 9*e*g*h + 3*d*h^2) + 2*c^2*g^2*(f*g^2 - 3*e*g*h + 6*d*h^2))*atanh((a*h - c*g*x)/(sqrt(c*g^2 + a*h^2)*sqrt(a + c*x^2))))/(2*(c*g^2 + a*h^2)^(7//2)), x, 5),
+
+
+((A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^(5//2), -((a*B - (A*c - a*C)*x)/(3*a*c*(a + c*x^2)^(3//2))) + ((2*A*c + a*C)*x)/(3*a^2*c*sqrt(a + c*x^2)), x, 3),
+((A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^(7//2), -((a*B - (A*c - a*C)*x)/(5*a*c*(a + c*x^2)^(5//2))) + ((4*A*c + a*C)*x)/(15*a^2*c*(a + c*x^2)^(3//2)) + (2*(4*A*c + a*C)*x)/(15*a^3*c*sqrt(a + c*x^2)), x, 4),
+((A + B*x + C*x^2)/(a + c*x^2)^(9//2), -((a*B - (A*c - a*C)*x)/(7*a*c*(a + c*x^2)^(7//2))) + ((6*A*c + a*C)*x)/(35*a^2*c*(a + c*x^2)^(5//2)) + (4*(6*A*c + a*C)*x)/(105*a^3*c*(a + c*x^2)^(3//2)) + (8*(6*A*c + a*C)*x)/(105*a^4*c*sqrt(a + c*x^2)), x, 5),
+
+
+(((1 + 2*x)^3*(1 + 3*x + 4*x^2))/sqrt(2 + 3*x^2), (-(19//540))*(1 + 2*x)^2*sqrt(2 + 3*x^2) + (13//60)*(1 + 2*x)^3*sqrt(2 + 3*x^2) + (2//15)*(1 + 2*x)^4*sqrt(2 + 3*x^2) - (1//810)*(3937 + 2073*x)*sqrt(2 + 3*x^2) + (5*asinh(sqrt(3//2)*x))/(3*sqrt(3)), x, 5),
+(((1 + 2*x)^2*(1 + 3*x + 4*x^2))/sqrt(2 + 3*x^2), (5//18)*(1 + 2*x)^2*sqrt(2 + 3*x^2) + (1//6)*(1 + 2*x)^3*sqrt(2 + 3*x^2) - (1//27)*(61 + 3*x)*sqrt(2 + 3*x^2) - sqrt(3)*asinh(sqrt(3//2)*x), x, 4),
+(((1 + 2*x)*(1 + 3*x + 4*x^2))/sqrt(2 + 3*x^2), (2//9)*(1 + 2*x)^2*sqrt(2 + 3*x^2) + (7//27)*(1 + 3*x)*sqrt(2 + 3*x^2) - (7*asinh(sqrt(3//2)*x))/(3*sqrt(3)), x, 3),
+((1 + 3*x + 4*x^2)/((1 + 2*x)*sqrt(2 + 3*x^2)), (2*sqrt(2 + 3*x^2))/3 + asinh(sqrt(3//2)*x)/(2*sqrt(3)) - atanh((4 - 3*x)/(sqrt(11)*sqrt(2 + 3*x^2)))/(2*sqrt(11)), x, 5),
+((1 + 3*x + 4*x^2)/((1 + 2*x)^2*sqrt(2 + 3*x^2)), -sqrt(2 + 3*x^2)/(11*(1 + 2*x)) + asinh(sqrt(3//2)*x)/sqrt(3) + (4*atanh((4 - 3*x)/(sqrt(11)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(11*sqrt(11)), x, 5),
+((1 + 3*x + 4*x^2)/((1 + 2*x)^3*sqrt(2 + 3*x^2)), -sqrt(2 + 3*x^2)/(22*(1 + 2*x)^2) + (13*sqrt(2 + 3*x^2))/(242*(1 + 2*x)) - (103*atanh((4 - 3*x)/(sqrt(11)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(121*sqrt(11)), x, 4),
+
+
+(((1 + 2*x)^3*(1 + 3*x + 4*x^2))/(2 + 3*x^2)^(3//2), (398 + 279*x)/(54*sqrt(2 + 3*x^2)) + (292//81)*sqrt(2 + 3*x^2) + 4*x*sqrt(2 + 3*x^2) + (32//27)*x^2*sqrt(2 + 3*x^2) - (38*asinh(sqrt(3//2)*x))/(3*sqrt(3)), x, 5),
+(((1 + 2*x)^2*(1 + 3*x + 4*x^2))/(2 + 3*x^2)^(3//2), (70 - 47*x)/(18*sqrt(2 + 3*x^2)) + (28//9)*sqrt(2 + 3*x^2) + (8//9)*x*sqrt(2 + 3*x^2) + (4*asinh(sqrt(3//2)*x))/(3*sqrt(3)), x, 4),
+(((1 + 2*x)*(1 + 3*x + 4*x^2))/(2 + 3*x^2)^(3//2), (2 - 51*x)/(18*sqrt(2 + 3*x^2)) + (8//9)*sqrt(2 + 3*x^2) + (10*asinh(sqrt(3//2)*x))/(3*sqrt(3)), x, 3),
+((1 + 3*x + 4*x^2)/((1 + 2*x)*(2 + 3*x^2)^(3//2)), -(38 - 21*x)/(66*sqrt(2 + 3*x^2)) - (2*atanh((4 - 3*x)/(sqrt(11)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(11*sqrt(11)), x, 4),
+((1 + 3*x + 4*x^2)/((1 + 2*x)^2*(2 + 3*x^2)^(3//2)), -(10 - 97*x)/(242*sqrt(2 + 3*x^2)) - (4*sqrt(2 + 3*x^2))/(121*(1 + 2*x)) + (4*atanh((4 - 3*x)/(sqrt(11)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(121*sqrt(11)), x, 4),
+((1 + 3*x + 4*x^2)/((1 + 2*x)^3*(2 + 3*x^2)^(3//2)), (358 + 351*x)/(2662*sqrt(2 + 3*x^2)) - (2*sqrt(2 + 3*x^2))/(121*(1 + 2*x)^2) + (2*sqrt(2 + 3*x^2))/(1331*(1 + 2*x)) - (322*atanh((4 - 3*x)/(sqrt(11)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(1331*sqrt(11)), x, 5),
+
+
+(((1 + 2*x)^3*(1 + 3*x + 4*x^2))/(2 + 3*x^2)^(5//2), (398 + 279*x)/(162*(2 + 3*x^2)^(3//2)) - (152 + 465*x)/(54*sqrt(2 + 3*x^2)) + (32//27)*sqrt(2 + 3*x^2) + (8*asinh(sqrt(3//2)*x))/sqrt(3), x, 4),
+(((1 + 2*x)^2*(1 + 3*x + 4*x^2))/(2 + 3*x^2)^(5//2), (70 - 47*x)/(54*(2 + 3*x^2)^(3//2)) - (168 + 59*x)/(54*sqrt(2 + 3*x^2)) + (16*asinh(sqrt(3//2)*x))/(9*sqrt(3)), x, 4),
+(((1 + 2*x)*(1 + 3*x + 4*x^2))/(2 + 3*x^2)^(5//2), (2 - 51*x)/(54*(2 + 3*x^2)^(3//2)) - (16 - 13*x)/(18*sqrt(2 + 3*x^2)), x, 2),
+((1 + 3*x + 4*x^2)/((1 + 2*x)*(2 + 3*x^2)^(5//2)), -(38 - 21*x)/(198*(2 + 3*x^2)^(3//2)) + (24 + 95*x)/(726*sqrt(2 + 3*x^2)) - (8*atanh((4 - 3*x)/(sqrt(11)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(121*sqrt(11)), x, 5),
+((1 + 3*x + 4*x^2)/((1 + 2*x)^2*(2 + 3*x^2)^(5//2)), -(10 - 97*x)/(726*(2 + 3*x^2)^(3//2)) + (24 + 887*x)/(7986*sqrt(2 + 3*x^2)) - (16*sqrt(2 + 3*x^2))/(1331*(1 + 2*x)) - (32*atanh((4 - 3*x)/(sqrt(11)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(1331*sqrt(11)), x, 5),
+((1 + 3*x + 4*x^2)/((1 + 2*x)^3*(2 + 3*x^2)^(5//2)), (358 + 351*x)/(7986*(2 + 3*x^2)^(3//2)) + (1216 + 2133*x)/(29282*sqrt(2 + 3*x^2)) - (8*sqrt(2 + 3*x^2))/(1331*(1 + 2*x)^2) - (8*sqrt(2 + 3*x^2))/(1331*(1 + 2*x)) - (1216*atanh((4 - 3*x)/(sqrt(11)*sqrt(2 + 3*x^2))))/(14641*sqrt(11)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+c x^2)^p (A+B x+C x^2) when m and/or p symbolic
+
+
+((g + h*x)^m*(a + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2), (f*(g + h*x)^(1 + m)*(a + c*x^2)^(1 + p))/(c*h*(3 + m + 2*p)) - ((1/(c*h^3*(1 + m)*(3 + m + 2*p)))*(a*f*h^2*(1 + m) - c*(2*f*g^2*(1 + p) - h*(e*g - d*h)*(3 + m + 2*p)))*(g + h*x)^(1 + m)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -p, -p, 2 + m, (g + h*x)/(g - (sqrt(-a)*h)/sqrt(c)), (g + h*x)/(g + (sqrt(-a)*h)/sqrt(c))))/((1 - (g + h*x)/(g - (sqrt(-a)*h)/sqrt(c)))^p*(1 - (g + h*x)/(g + (sqrt(-a)*h)/sqrt(c)))^p) - ((2*f*g*(1 + p) - e*h*(3 + m + 2*p))*(g + h*x)^(2 + m)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, -p, -p, 3 + m, (g + h*x)/(g - (sqrt(-a)*h)/sqrt(c)), (g + h*x)/(g + (sqrt(-a)*h)/sqrt(c))))/((1 - (g + h*x)/(g - (sqrt(-a)*h)/sqrt(c)))^p*(1 - (g + h*x)/(g + (sqrt(-a)*h)/sqrt(c)))^p*(h^3*(2 + m)*(3 + m + 2*p))), x, 6),
+
+
+((g + h*x)^m*sqrt(a + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2), (f*(g + h*x)^(1 + m)*(a + c*x^2)^(3//2))/(c*h*(4 + m)) - ((a*f*h^2*(1 + m) - c*(3*f*g^2 - h*(e*g - d*h)*(4 + m)))*(g + h*x)^(1 + m)*sqrt(a + c*x^2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -(1//2), -(1//2), 2 + m, (g + h*x)/(g - (sqrt(-a)*h)/sqrt(c)), (g + h*x)/(g + (sqrt(-a)*h)/sqrt(c))))/(c*h^3*(1 + m)*(4 + m)*sqrt(1 - (g + h*x)/(g - (sqrt(-a)*h)/sqrt(c)))*sqrt(1 - (g + h*x)/(g + (sqrt(-a)*h)/sqrt(c)))) - ((3*f*g - e*h*(4 + m))*(g + h*x)^(2 + m)*sqrt(a + c*x^2)*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, -(1//2), -(1//2), 3 + m, (g + h*x)/(g - (sqrt(-a)*h)/sqrt(c)), (g + h*x)/(g + (sqrt(-a)*h)/sqrt(c))))/(h^3*(2 + m)*(4 + m)*sqrt(1 - (g + h*x)/(g - (sqrt(-a)*h)/sqrt(c)))*sqrt(1 - (g + h*x)/(g + (sqrt(-a)*h)/sqrt(c)))), x, 6),
+
+
+((g + h*x)^(-3 - 2*p)*(a + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2), -(((f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*(a + c*x^2)^(1 + p))/((g + h*x)^(2*(1 + p))*(2*h*(c*g^2 + a*h^2)*(1 + p)))) - (f*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-2*p, -p, -p, 1 - 2*p, (g + h*x)/(g - (sqrt(-a)*h)/sqrt(c)), (g + h*x)/(g + (sqrt(-a)*h)/sqrt(c))))/((g + h*x)^(2*p)*(1 - (g + h*x)/(g - (sqrt(-a)*h)/sqrt(c)))^p*(1 - (g + h*x)/(g + (sqrt(-a)*h)/sqrt(c)))^p*(2*h^3*p)) + (1/(h^2*(sqrt(c)*g + sqrt(-a)*h)*(c*g^2 + a*h^2)*(1 + 2*p)))*(((a*h^2*(2*f*g - e*h) + c*(f*g^3 - d*g*h^2))*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x)*(g + h*x)^(-1 - 2*p)*(a + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 - 2*p, -p, -2*p, (2*sqrt(-a)*sqrt(c)*(g + h*x))/((sqrt(c)*g - sqrt(-a)*h)*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x))))/(-(((sqrt(c)*g + sqrt(-a)*h)*(sqrt(-a) + sqrt(c)*x))/((sqrt(c)*g - sqrt(-a)*h)*(sqrt(-a) - sqrt(c)*x))))^p), x, 5),
+
+
+# ::Section::
+# Integrands of the form P2[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p when b^2-4 a c=0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P2[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p when c d^2-b d e+a e^2=0
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x+C x^2) (c d^2-b d e-b e^2 x-c e^2 x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (A+B x+C x^2) (c d^2-b d e-b e^2 x-c e^2 x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (A+B x+C x^2) (c d^2-b d e-b e^2 x-c e^2 x^2)^p when p symbolic
+
+
+((d + e*x)^m*(-c*d^2 + b*d*e + b*e^2*x + c*e^2*x^2)^p*(-(c*d - b*e)*f + (c*e*f - c*d*g + b*e*g)*x + c*e*g*x^2), (g*(d + e*x)^(-1 + m)*((-d)*(c*d - b*e) + b*e^2*x + c*e^2*x^2)^(2 + p))/(c*e^2*(3 + m + 2*p)) - ((b*e*g*(1 + m + p) + c*(d*g*(1 - m) - e*f*(3 + m + 2*p)))*(d + e*x)^m*((c*(d + e*x))/(2*c*d - b*e))^(-m - p)*(c*d - b*e - c*e*x)^2*((-d)*(c*d - b*e) + b*e^2*x + c*e^2*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-m - p, 2 + p, 3 + p, (c*d - b*e - c*e*x)/(2*c*d - b*e)))/(c^2*e^2*(2 + p)*(3 + m + 2*p)), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P2[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (A+B x+C x^2) (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p with B=0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((A + C*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^4, a^4*A*x + 2*a^3*A*b*x^2 + (1//3)*a^2*(6*A*b^2 + 4*a*A*c + a^2*C)*x^3 + a*b*(A*(b^2 + 3*a*c) + a^2*C)*x^4 + (1//5)*(A*(b^4 + 12*a*b^2*c + 6*a^2*c^2) + 2*a^2*(3*b^2 + 2*a*c)*C)*x^5 + (2//3)*b*(b^2 + 3*a*c)*(A*c + a*C)*x^6 + (1//7)*(2*A*c^2*(3*b^2 + 2*a*c) + (b^4 + 12*a*b^2*c + 6*a^2*c^2)*C)*x^7 + (1//2)*b*c*(A*c^2 + (b^2 + 3*a*c)*C)*x^8 + (1//9)*c^2*(A*c^2 + 6*b^2*C + 4*a*c*C)*x^9 + (2//5)*b*c^3*C*x^10 + (1//11)*c^4*C*x^11, x, 2),
+((A + C*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^3, a^3*A*x + (3//2)*a^2*A*b*x^2 + (1//3)*a*(3*A*(b^2 + a*c) + a^2*C)*x^3 + (1//4)*b*(A*(b^2 + 6*a*c) + 3*a^2*C)*x^4 + (3//5)*(b^2 + a*c)*(A*c + a*C)*x^5 + (1//6)*b*(3*A*c^2 + (b^2 + 6*a*c)*C)*x^6 + (1//7)*c*(A*c^2 + 3*(b^2 + a*c)*C)*x^7 + (3//8)*b*c^2*C*x^8 + (1//9)*c^3*C*x^9, x, 2),
+((A + C*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^2, a^2*A*x + a*A*b*x^2 + (1//3)*(A*(b^2 + 2*a*c) + a^2*C)*x^3 + (1//2)*b*(A*c + a*C)*x^4 + (1//5)*(A*c^2 + (b^2 + 2*a*c)*C)*x^5 + (1//3)*b*c*C*x^6 + (1//7)*c^2*C*x^7, x, 2),
+((A + C*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^1, a*A*x + (1//2)*A*b*x^2 + (1//3)*(A*c + a*C)*x^3 + (1//4)*b*C*x^4 + (1//5)*c*C*x^5, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((A + C*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^1, (C*x)/c - ((2*A*c^2 + (b^2 - 2*a*c)*C)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (b*C*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^2), x, 6),
+((A + C*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^2, -((b*c*(A + (a*C)/c) + (2*A*c^2 + (b^2 - 2*a*c)*C)*x)/(c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2))) + (4*(A*c + a*C)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 4),
+((A + C*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^3, -((b*c*(A + (a*C)/c) + (2*A*c^2 + (b^2 - 2*a*c)*C)*x)/(2*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)) + ((6*A*c + 2*a*C + (b^2*C)/c)*(b + 2*c*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (2*(6*A*c^2 + (b^2 + 2*a*c)*C)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 5),
+((A + C*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^4, -((b*c*(A + (a*C)/c) + (2*A*c^2 + (b^2 - 2*a*c)*C)*x)/(3*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^3)) + ((5*A*c + (a + b^2/c)*C)*(b + 2*c*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^2) - (2*(5*A*c^2 + (b^2 + a*c)*C)*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^3*(a + b*x + c*x^2)) + (8*c*(5*A*c^2 + (b^2 + a*c)*C)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(7//2), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (A+B x+C x^2) (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^3*(f + g*x + h*x^2)/(a + b*x + c*x^2), -(((b^3*e^3*h - c^3*d*(3*e^2*f + 3*d*e*g + d^2*h) - b*c*e^2*(b*e*g + 3*b*d*h + 2*a*e*h) + c^2*e*(a*e*(e*g + 3*d*h) + b*(e^2*f + 3*d*e*g + 3*d^2*h)))*x)/c^4) + (e*(b^2*e^2*h + c^2*(e^2*f + 3*d*e*g + 3*d^2*h) - c*e*(b*e*g + 3*b*d*h + a*e*h))*x^2)/(2*c^3) + (e^2*(c*e*g + 3*c*d*h - b*e*h)*x^3)/(3*c^2) + (e^3*h*x^4)/(4*c) - (1/(c^5*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*((2*c^5*d^3*f - b^5*e^3*h + b^3*c*e^2*(b*e*g + 3*b*d*h + 5*a*e*h) - c^4*d*(b*d*(3*e*f + d*g) + 2*a*(3*e^2*f + 3*d*e*g + d^2*h)) - b*c^2*e*(5*a^2*e^2*h + 4*a*b*e*(e*g + 3*d*h) + b^2*(e^2*f + 3*d*e*g + 3*d^2*h)) + c^3*(2*a^2*e^2*(e*g + 3*d*h) + b^2*d*(3*e^2*f + 3*d*e*g + d^2*h) + 3*a*b*e*(e^2*f + 3*d*e*g + 3*d^2*h)))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((c^4*d^2*(3*e*f + d*g) + b^4*e^3*h - b^2*c*e^2*(b*e*g + 3*b*d*h + 3*a*e*h) + c^2*e*(a^2*e^2*h + 2*a*b*e*(e*g + 3*d*h) + b^2*(e^2*f + 3*d*e*g + 3*d^2*h)) - c^3*(b*d*(3*e^2*f + 3*d*e*g + d^2*h) + a*e*(e^2*f + 3*d*e*g + 3*d^2*h)))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^5), x, 6),
+((d + e*x)^2*(f + g*x + h*x^2)/(a + b*x + c*x^2), ((b^2*e^2*h + c^2*(e^2*f + 2*d*e*g + d^2*h) - c*e*(b*e*g + 2*b*d*h + a*e*h))*x)/c^3 + (e*(c*e*g + 2*c*d*h - b*e*h)*x^2)/(2*c^2) + (e^2*h*x^3)/(3*c) - ((2*c^4*d^2*f + b^4*e^2*h - b^2*c*e*(b*e*g + 2*b*d*h + 4*a*e*h) - c^3*(b*d*(2*e*f + d*g) + 2*a*(e^2*f + 2*d*e*g + d^2*h)) + c^2*(2*a^2*e^2*h + 3*a*b*e*(e*g + 2*d*h) + b^2*(e^2*f + 2*d*e*g + d^2*h)))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^4*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((c^3*d*(2*e*f + d*g) - b^3*e^2*h + b*c*e*(b*e*g + 2*b*d*h + 2*a*e*h) - c^2*(a*e*(e*g + 2*d*h) + b*(e^2*f + 2*d*e*g + d^2*h)))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^4), x, 6),
+((d + e*x)^1*(f + g*x + h*x^2)/(a + b*x + c*x^2), ((c*e*g + c*d*h - b*e*h)*x)/c^2 + (e*h*x^2)/(2*c) - ((2*c^3*d*f - b^3*e*h - c^2*(b*e*f + b*d*g + 2*a*e*g + 2*a*d*h) + b*c*(b*e*g + b*d*h + 3*a*e*h))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((c^2*(e*f + d*g) + b^2*e*h - c*(b*e*g + b*d*h + a*e*h))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^3), x, 6),
+((d + e*x)^0*(f + g*x + h*x^2)/(a + b*x + c*x^2), (h*x)/c - ((2*c^2*f - b*c*g + b^2*h - 2*a*c*h)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((c*g - b*h)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^2), x, 6),
+((f + g*x + h*x^2)/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)), -(((2*c^2*d*f + b*(b*d - a*e)*h - c*(b*e*f + b*d*g - 2*a*e*g + 2*a*d*h))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))) + ((e^2*f - d*e*g + d^2*h)*log(d + e*x))/(e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - ((c*e*f - c*d*g + b*d*h - a*e*h)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 6),
+((f + g*x + h*x^2)/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)), -((e^2*f - d*e*g + d^2*h)/(e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x))) - ((2*c^2*d^2*f + 2*a^2*e^2*h - a*b*e*(e*g + 2*d*h) + b^2*(e^2*f + d^2*h) - c*(b*d*(2*e*f + d*g) + 2*a*(e^2*f - 2*d*e*g + d^2*h)))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + ((c*d*(2*e*f - d*g) + a*e*(e*g - 2*d*h) - b*(e^2*f - d^2*h))*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2 - ((c*d*(2*e*f - d*g) + a*e*(e*g - 2*d*h) - b*(e^2*f - d^2*h))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2), x, 6),
+((f + g*x + h*x^2)/((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)), -((e^2*f - d*e*g + d^2*h)/(2*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2)) - (c*d*(2*e*f - d*g) + a*e*(e*g - 2*d*h) - b*(e^2*f - d^2*h))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)) - ((2*c^3*d^3*f - b*e^3*(b^2*f - a*b*g + a^2*h) - c^2*d*(b*d*(3*e*f + d*g) + 2*a*(3*e^2*f - 3*d*e*g + d^2*h)) - c*(2*a^2*e^2*(e*g - 3*d*h) - 3*a*b*e*(e^2*f - d*e*g - d^2*h) - b^2*(3*d*e^2*f + d^3*h)))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) + ((c^2*d^2*(3*e*f - d*g) + e^3*(b^2*f - a*b*g + a^2*h) - c*(a*e*(e^2*f - 3*d*e*g + 3*d^2*h) + b*(3*d*e^2*f - d^3*h)))*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3 - ((c^2*d^2*(3*e*f - d*g) + e^3*(b^2*f - a*b*g + a^2*h) - c*(a*e*(e^2*f - 3*d*e*g + 3*d^2*h) + b*(3*d*e^2*f - d^3*h)))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3), x, 6),
+
+
+# {(d + e*x)^3*(f + g*x + h*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^2, x, 8, If[$VersionNumber>=8, (e^2*(6*c^3*d*f - 3*b^3*e*h - c^2*(b*e*f + 3*b*d*g + 6*a*e*g + 18*a*d*h) + b*c*(2*b*e*g + 6*b*d*h + 11*a*e*h))*x)/(c^3*(b^2 - 4*a*c)) + (e^3*(4*c^2*f - 2*b*c*g + 3*b^2*h - 8*a*c*h)*x^2)/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)) + ((d + e*x)^3*(c*(2*a*g - b*(f + (a*h)/c)) - (2*c^2*f - b*c*g + b^2*h - 2*a*c*h)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (1/(c^4*(b^2 - 4*a*c)^(3/2)))*((4*c^5*d^3*f + 3*b^5*e^3*h - 2*b^3*c*e^2*(b*e*g + 3*b*d*h + 10*a*e*h) - 2*c^4*d*(b*d*(3*e*f + d*g) - 2*a*(3*e^2*f + 3*d*e*g + d^2*h)) - 6*a*c^3*e*(2*a*e*(e*g + 3*d*h) + b*(e^2*f + 3*d*e*g + 3*d^2*h)) + b*c^2*e*(30*a^2*e^2*h + 12*a*b*e*(e*g + 3*d*h) + b^2*(e^2*f + 3*d*e*g + 3*d^2*h)))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + (e*(3*b^2*e^2*h + c^2*(e^2*f + 3*d*e*g + 3*d^2*h) - 2*c*e*(b*e*g + 3*b*d*h + a*e*h))*Log[a + b*x + c*x^2])/(2*c^4), (e^2*(6*c^3*d*f - 3*b^3*e*h - c^2*(b*e*f + 3*b*d*g + 6*a*e*g + 18*a*d*h) + b*c*(2*b*e*g + 6*b*d*h + 11*a*e*h))*x)/(c^3*(b^2 - 4*a*c)) + (e^3*(4*c^2*f + 3*b^2*h - 2*c*(b*g + 4*a*h))*x^2)/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)) + ((d + e*x)^3*(c*(2*a*g - b*(f + (a*h)/c)) - (2*c^2*f - b*c*g + b^2*h - 2*a*c*h)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + ((4*c^5*d^3*f + 3*b^5*e^3*h - 2*b^3*c*e^2*(b*e*g + 3*b*d*h + 10*a*e*h) - 2*c^4*d*(b*d*(3*e*f + d*g) - 2*a*(3*e^2*f + 3*d*e*g + d^2*h)) - 6*a*c^3*e*(2*a*e*(e*g + 3*d*h) + b*(e^2*f + 3*d*e*g + 3*d^2*h)) + b*c^2*e*(30*a^2*e^2*h + 12*a*b*e*(e*g + 3*d*h) + b^2*(e^2*f + 3*d*e*g + 3*d^2*h)))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(c^4*(b^2 - 4*a*c)^(3/2)) + (e*(3*b^2*e^2*h + c^2*(e^2*f + 3*d*e*g + 3*d^2*h) - 2*c*e*(b*e*g + 3*b*d*h + a*e*h))*Log[a + b*x + c*x^2])/(2*c^4)]}
+# {(d + e*x)^2*(f + g*x + h*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^2, x, 6, If[$VersionNumber>=8, (e^2*(2*c^2*f - b*c*g + 2*b^2*h - 6*a*c*h)*x)/(c^2*(b^2 - 4*a*c)) + ((d + e*x)^2*(c*(2*a*g - b*(f + (a*h)/c)) - (2*c^2*f - b*c*g + b^2*h - 2*a*c*h)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + ((4*c^4*d^2*f - 2*b^4*e^2*h - 6*a*c^2*e*(b*e*g + 2*b*d*h + 2*a*e*h) + b^2*c*e*(b*e*g + 2*b*d*h + 12*a*e*h) - c^3*(2*b*d*(2*e*f + d*g) - 4*a*(e^2*f + 2*d*e*g + d^2*h)))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(c^3*(b^2 - 4*a*c)^(3/2)) + (e*(c*e*g + 2*c*d*h - 2*b*e*h)*Log[a + b*x + c*x^2])/(2*c^3), (e^2*(2*c^2*f + 2*b^2*h - c*(b*g + 6*a*h))*x)/(c^2*(b^2 - 4*a*c)) + ((d + e*x)^2*(c*(2*a*g - b*(f + (a*h)/c)) - (2*c^2*f - b*c*g + b^2*h - 2*a*c*h)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + ((4*c^4*d^2*f - 2*b^4*e^2*h - 6*a*c^2*e*(b*e*g + 2*b*d*h + 2*a*e*h) + b^2*c*e*(b*e*g + 2*b*d*h + 12*a*e*h) - c^3*(2*b*d*(2*e*f + d*g) - 4*a*(e^2*f + 2*d*e*g + d^2*h)))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(c^3*(b^2 - 4*a*c)^(3/2)) + (e*(c*e*g + 2*c*d*h - 2*b*e*h)*Log[a + b*x + c*x^2])/(2*c^3)]}
+((d + e*x)^1*(f + g*x + h*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^2, ((d + e*x)*(c*(2*a*g - b*(f + (a*h)/c)) - (2*c^2*f - b*c*g + b^2*h - 2*a*c*h)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + ((4*c^3*d*f + b^3*e*h - 6*a*b*c*e*h - 2*c^2*(b*(e*f + d*g) - 2*a*(e*g + d*h)))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + (e*h*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^2), x, 5),
+((d + e*x)^0*(f + g*x + h*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^2, (c*(2*a*g - b*(f + (a*h)/c)) - (2*c^2*f - b*c*g + b^2*h - 2*a*c*h)*x)/(c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (2*(2*c*f - b*g + 2*a*h)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 4),
+((f + g*x + h*x^2)/((d + e*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^2), (b^2*e*f - b*(c*d*f + a*e*g + a*d*h) - 2*a*(c*e*f - c*d*g - a*e*h) - (2*c^2*d*f + b*(b*d - a*e)*h - c*(b*e*f + b*d*g - 2*a*e*g + 2*a*d*h))*x)/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)) + ((4*c^3*d^3*f + b*e*(4*a*b*d*e*h - 2*a^2*e^2*h + b^2*(e^2*f - d*e*g - d^2*h)) - 2*c^2*d*(b*d*(3*e*f + d*g) - 2*a*(3*e^2*f - d*e*g + d^2*h)) + 2*c*e*(2*b^2*d^2*g + 2*a^2*e*(e*g - d*h) - a*b*(3*e^2*f + d*e*g + d^2*h)))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + (e*(e^2*f - d*e*g + d^2*h)*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2 - (e*(e^2*f - d*e*g + d^2*h)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2), x, 7),
+((f + g*x + h*x^2)/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^2), -((e*(e^2*f - d*e*g + d^2*h))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x))) - (b^3*e^2*f - b^2*e*(2*c*d*f + a*e*g) + 2*a*c*(c*d*(2*e*f - d*g) + a*e*(e*g - 2*d*h)) + b*(c^2*d^2*f + a^2*e^2*h - a*c*(3*e^2*f - 2*d*e*g - d^2*h)) + c*(2*c^2*d^2*f + 2*a^2*e^2*h - a*b*e*(e*g + 2*d*h) + b^2*(e^2*f + d^2*h) - c*(b*d*(2*e*f + d*g) + 2*a*(e^2*f - 2*d*e*g + d^2*h)))*x)/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(a + b*x + c*x^2)) + ((4*c^4*d^4*f - b^3*e^3*(2*b*e*f - b*d*g - a*e*g + 2*a*d*h) - 2*c^3*d^2*(b*d*(4*e*f + d*g) - 2*a*(6*e^2*f - 2*d*e*g + d^2*h)) - 6*c^2*e*(4*a*b*d*e^2*f - b^2*d^3*g + 2*a^2*e*(e^2*f - 2*d*e*g + 2*d^2*h)) - c*e*(6*a^2*b*e^3*g - 4*a^3*e^3*h - b^3*d*(4*e^2*f - 3*d*e*g - 2*d^2*h) - 6*a*b^2*e*(2*e^2*f - d*e*g + 2*d^2*h)))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) - (e*(e^2*(2*b*e*f - b*d*g - a*e*g + 2*a*d*h) - c*d*(4*e^2*f - 3*d*e*g + 2*d^2*h))*log(d + e*x))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3 + (e*(e^2*(2*b*e*f - b*d*g - a*e*g + 2*a*d*h) - c*d*(4*e^2*f - 3*d*e*g + 2*d^2*h))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3), x, 7),
+# {(f + g*x + h*x^2)/((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^2), x, 8, -((e*(e^2*f - d*e*g + d^2*h))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^2)) + (e*(e^2*(2*b*e*f - b*d*g - a*e*g + 2*a*d*h) - c*d*(4*e^2*f - 3*d*e*g + 2*d^2*h)))/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)) + (1/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(a + b*x + c*x^2)))*(b^4*e^3*f - b^3*e^2*(3*c*d*f + a*e*g) + b^2*e*(3*c^2*d^2*f - a*c*e*(4*e*f - 3*d*g) + a^2*e^2*h) - b*c*(c^2*d^3*f - 3*a^2*e^2*(e*g - d*h) - a*c*d*(9*e^2*f - 3*d*e*g - d^2*h)) - 2*a*c*(c^2*d^2*(3*e*f - d*g) + a^2*e^3*h - a*c*e*(e^2*f - 3*d*e*g + 3*d^2*h)) - c*(2*c^3*d^3*f - b*e^3*(b^2*f - a*b*g + a^2*h) - c^2*d*(b*d*(3*e*f + d*g) + 2*a*(3*e^2*f - 3*d*e*g + d^2*h)) - c*(2*a^2*e^2*(e*g - 3*d*h) - 3*a*b*e*(e^2*f - d*e*g - d^2*h) - b^2*(3*d*e^2*f + d^3*h)))*x) + (1/((b^2 - 4*a*c)^(3/2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4))*((4*c^5*d^5*f + b^3*e^4*(b^2*(3*e*f - d*g) + a^2*e*h - 2*a*b*(e*g - d*h)) - 2*c^4*d^3*(b*d*(5*e*f + d*g) - 2*a*(10*e^2*f - 3*d*e*g + d^2*h)) - 2*b*c*e^3*(b^3*d*(5*e*f - 2*d*g) + 3*a^3*e^2*h - 6*a^2*b*e*(e*g - d*h) + 2*a*b^2*(5*e^2*f - 3*d*e*g + 2*d^2*h)) - c^2*e*(12*a^3*e^3*(e*g - 3*d*h) - b^3*d^2*(10*e^2*f - 6*d*e*g - 3*d^2*h) - 6*a^2*b*e^2*(5*e^2*f - 7*d*e*g + 2*d^2*h) - 12*a*b^2*d*e*(5*e^2*f - 2*d*e*g + 2*d^2*h)) + 2*c^3*d*e*(4*b^2*d^3*g - a*b*d*(30*e^2*f - 2*d*e*g - d^2*h) - 2*a^2*e*(15*e^2*f - 18*d*e*g + 14*d^2*h)))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + (e*(c^2*d^2*(10*e^2*f - 6*d*e*g + 3*d^2*h) + e^3*(b^2*(3*e*f - d*g) + a^2*e*h - 2*a*b*(e*g - d*h)) - 2*c*e^2*(b*d*(5*e*f - 2*d*g) + a*(e^2*f - 3*d*e*g + 4*d^2*h)))*Log[d + e*x])/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4 - (e*(c^2*d^2*(10*e^2*f - 6*d*e*g + 3*d^2*h) + e^3*(b^2*(3*e*f - d*g) + a^2*e*h - 2*a*b*(e*g - d*h)) - 2*c*e^2*(b*d*(5*e*f - 2*d*g) + a*(e^2*f - 3*d*e*g + 4*d^2*h)))*Log[a + b*x + c*x^2])/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4)}
+
+
+(x^3*(1 + x + x^2)/(1 - x + x^2)^2, 3*x + x^2//2 + (2*(2 - x))/(3*(1 - x + x^2)) + (10*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) + 2*log(1 - x + x^2), x, 7),
+(x^2*(1 + x + x^2)/(1 - x + x^2)^2, x + (2*(1 - 2*x))/(3*(1 - x + x^2)) - (7*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) + (3//2)*log(1 - x + x^2), x, 7),
+(x^1*(1 + x + x^2)/(1 - x + x^2)^2, -((2*(1 + x))/(3*(1 - x + x^2))) - (11*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) + (1//2)*log(1 - x + x^2), x, 5),
+(x^0*(1 + x + x^2)/(1 - x + x^2)^2, -((2*(2 - x))/(3*(1 - x + x^2))) - (10*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)), x, 4),
+((1 + x + x^2)/(x^1*(1 - x + x^2)^2), -((2*(1 - 2*x))/(3*(1 - x + x^2))) - (11*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) + log(x) - (1//2)*log(1 - x + x^2), x, 7),
+((1 + x + x^2)/(x^2*(1 - x + x^2)^2), -(1/x) + (2*(1 + x))/(3*(1 - x + x^2)) - (7*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) + 3*log(x) - (3//2)*log(1 - x + x^2), x, 7),
+((1 + x + x^2)/(x^3*(1 - x + x^2)^2), -(1/(2*x^2)) - 3/x + (2*(2 - x))/(3*(1 - x + x^2)) + (10*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) + 4*log(x) - 2*log(1 - x + x^2), x, 7),
+
+
+((1 - x^2)/(1 + x + x^2)^2, x/(1 + x + x^2), x, 1),
+((1 + x^2)/(1 + x + x^2), x + atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) - log(1 + x + x^2)/2, x, 6),
+((-1 + x^2)/(25 - 6*x + x^2), x - 2*atan((1//4)*(-3 + x)) + 3*log(25 - 6*x + x^2), x, 6),
+((-10 + 3*x^2)/(4 - 4*x + x^2), 2/(2 - x) + 3*x + 12*log(2 - x), x, 3),
+((8 + x^2)/(6 - 5*x + x^2), x - 12*log(2 - x) + 17*log(3 - x), x, 5),
+
+
+((-4 + 3*x + x^2)/(-8 - 2*x + x^2), x + 4*log(4 - x) + log(2 + x), x, 5),
+((7 + 5*x + 4*x^2)/(5 + 4*x + 4*x^2), x + (3//8)*atan(1//2 + x) + (1//8)*log(5 + 4*x + 4*x^2), x, 6),
+((2 - x + x^2)/(-5 + 2*x + x^2), x - (1//6)*(9 - 5*sqrt(6))*log(1 - sqrt(6) + x) - (1//6)*(9 + 5*sqrt(6))*log(1 + sqrt(6) + x), x, 5),
+((1 + 4*x + 3*x^2)/(4 + 7*x + 2*x^2)^2, -((2 + 3*x)/(2*(4 + 7*x + 2*x^2))), x, 2),
+((1 + x + x^2)/(3 + 2*x + x^2)^2, (1 - x)/(4*(3 + 2*x + x^2)) + (3*atan((1 + x)/sqrt(2)))/(4*sqrt(2)), x, 4),
+((-1 + 2*x + 5*x^2)/(1 + x + x^2)^4, -(x/(1 + x + x^2)^3), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (A+B x+C x^2) (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^(p/2) with B=0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((A + C*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (5*(b^2 - 4*a*c)^2*(32*A*c^2 + 9*b^2*C - 4*a*c*C)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(16384*c^5) - (5*(b^2 - 4*a*c)*(32*A*c^2 + 9*b^2*C - 4*a*c*C)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(6144*c^4) + ((32*A*c^2 + 9*b^2*C - 4*a*c*C)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(384*c^3) - (9*b*C*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(112*c^2) + (C*x*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))/(8*c) - (5*(b^2 - 4*a*c)^3*(32*A*c^2 + 9*b^2*C - 4*a*c*C)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(32768*c^(11//2)), x, 7),
+((A + C*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -(((b^2 - 4*a*c)*(24*A*c^2 + 7*b^2*C - 4*a*c*C)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(512*c^4)) + ((24*A*c^2 + 7*b^2*C - 4*a*c*C)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*c^3) - (7*b*C*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(60*c^2) + (C*x*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(6*c) + ((b^2 - 4*a*c)^2*(24*A*c^2 + 7*b^2*C - 4*a*c*C)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(1024*c^(9//2)), x, 6),
+((A + C*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(1//2), ((16*A*c^2 + 5*b^2*C - 4*a*c*C)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*c^3) - (5*b*C*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*c^2) + (C*x*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(4*c) - ((b^2 - 4*a*c)*(16*A*c^2 + 5*b^2*C - 4*a*c*C)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(7//2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((A + C*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^(1//2), -((3*b*C*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c^2)) + (C*x*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*c) + ((8*A*c^2 + 3*b^2*C - 4*a*c*C)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(5//2)), x, 4),
+((A + C*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), -((2*(b*c*(A + (a*C)/c) + (2*A*c^2 + (b^2 - 2*a*c)*C)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (C*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/c^(3//2), x, 4),
+((A + C*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), -((2*(b*c*(A + (a*C)/c) + (2*A*c^2 + (b^2 - 2*a*c)*C)*x))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))) + (2*(8*A*c + 4*a*C + (b^2*C)/c)*(b + 2*c*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 3),
+((A + C*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^(7//2), -((2*(b*c*(A + (a*C)/c) + (2*A*c^2 + (b^2 - 2*a*c)*C)*x))/(5*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))) + (2*(16*A*c + 4*a*C + (3*b^2*C)/c)*(b + 2*c*x))/(15*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (16*(16*A*c^2 + 3*b^2*C + 4*a*c*C)*(b + 2*c*x))/(15*(b^2 - 4*a*c)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 4),
+((A + C*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^(9//2), -((2*(b*c*(A + (a*C)/c) + (2*A*c^2 + (b^2 - 2*a*c)*C)*x))/(7*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(7//2))) + (2*(24*A*c + 4*a*C + (5*b^2*C)/c)*(b + 2*c*x))/(35*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)) - (32*(24*A*c^2 + 5*b^2*C + 4*a*c*C)*(b + 2*c*x))/(105*(b^2 - 4*a*c)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) + (256*c*(24*A*c^2 + 5*b^2*C + 4*a*c*C)*(b + 2*c*x))/(105*(b^2 - 4*a*c)^4*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (A+B x+C x^2) (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x + f*x^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*(g + h*x)^3, (1/(1024*c^6))*((256*c^5*d*g^3 - 33*b^5*f*h^3 + 6*b^3*c*h^2*(20*a*f*h + 7*b*(3*f*g + e*h)) - 8*b*c^2*h*(10*a^2*f*h^2 + 14*a*b*h*(3*f*g + e*h) + 7*b^2*(3*f*g^2 + 3*e*g*h + d*h^2)) - 64*c^4*g*(2*b*g*(e*g + 3*d*h) + a*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h))) + 16*c^3*(2*a^2*h^2*(3*f*g + e*h) + 5*b^2*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)) + 6*a*b*h*(3*f*g^2 + h*(3*e*g + d*h))))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + ((33*b^2*f*h^2 - 2*c*h*(8*b*f*g + 21*b*e*h + 16*a*f*h) - 4*c^2*(3*f*g^2 - 7*h*(e*g + 2*d*h)))*(g + h*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(280*c^3*h) - ((6*c*f*g - 14*c*e*h + 11*b*f*h)*(g + h*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(84*c^2*h) + (f*(g + h*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*c*h) + (1/(13440*c^5*h))*((1155*b^4*f*h^4 - 128*c^4*g^2*(3*f*g^2 - 7*h*(e*g + 12*d*h)) - 42*b^2*c*h^3*(78*a*f*h + 35*b*(3*f*g + e*h)) + 8*c^2*h^2*(128*a^2*f*h^2 + 343*a*b*h*(3*f*g + e*h) + b^2*(537*f*g^2 + 245*h*(3*e*g + d*h))) - 16*c^3*h*(16*a*h*(15*f*g^2 + 7*h*(3*e*g + d*h)) + b*g*(17*f*g^2 + 21*h*(19*e*g + 25*d*h))) - 6*c*h*(231*b^3*f*h^3 - 6*b*c*h^2*(59*b*f*g + 49*b*e*h + 74*a*f*h) + 16*c^3*g*(3*f*g^2 - 7*h*(e*g + 7*d*h)) + 8*c^2*h*(a*h*(41*f*g + 35*e*h) + b*(5*f*g^2 + 7*h*(9*e*g + 7*d*h))))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (1/(2048*c^(13//2)))*((b^2 - 4*a*c)*(256*c^5*d*g^3 - 33*b^5*f*h^3 + 6*b^3*c*h^2*(20*a*f*h + 7*b*(3*f*g + e*h)) - 8*b*c^2*h*(10*a^2*f*h^2 + 14*a*b*h*(3*f*g + e*h) + 7*b^2*(3*f*g^2 + 3*e*g*h + d*h^2)) - 64*c^4*g*(2*b*g*(e*g + 3*d*h) + a*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h))) + 16*c^3*(2*a^2*h^2*(3*f*g + e*h) + 5*b^2*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)) + 6*a*b*h*(3*f*g^2 + h*(3*e*g + d*h))))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))), x, 7),
+((d + e*x + f*x^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*(g + h*x)^2, ((128*c^4*d*g^2 + 21*b^4*f*h^2 - 28*b^2*c*h*(2*b*f*g + b*e*h + 2*a*f*h) - 32*c^3*(2*b*g*(e*g + 2*d*h) + a*(f*g^2 + 2*e*g*h + d*h^2)) + 8*c^2*(2*a^2*f*h^2 + 6*a*b*h*(2*f*g + e*h) + 5*b^2*(f*g^2 + 2*e*g*h + d*h^2)))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(512*c^5) - ((2*c*f*g - 4*c*e*h + 3*b*f*h)*(g + h*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(20*c^2*h) + (f*(g + h*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(6*c*h) - ((105*b^3*f*h^3 + 64*c^3*g*(f*g^2 - 2*h*(e*g + 5*d*h)) - 28*b*c*h^2*(7*a*f*h + 5*b*(2*f*g + e*h)) + 8*c^2*h*(16*a*h*(2*f*g + e*h) + b*(7*f*g^2 + 25*h*(2*e*g + d*h))) - 6*c*h*(21*b^2*f*h^2 - 4*c*h*(2*b*f*g + 7*b*e*h + 5*a*f*h) - 8*c^2*(f*g^2 - h*(2*e*g + 5*d*h)))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(960*c^4*h) - ((b^2 - 4*a*c)*(128*c^4*d*g^2 + 21*b^4*f*h^2 - 28*b^2*c*h*(2*b*f*g + b*e*h + 2*a*f*h) - 32*c^3*(2*b*g*(e*g + 2*d*h) + a*(f*g^2 + 2*e*g*h + d*h^2)) + 8*c^2*(2*a^2*f*h^2 + 6*a*b*h*(2*f*g + e*h) + 5*b^2*(f*g^2 + 2*e*g*h + d*h^2)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(1024*c^(11//2)), x, 6),
+((d + e*x + f*x^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*(g + h*x)^1, ((32*c^3*d*g - 7*b^3*f*h - 8*c^2*(2*b*e*g + a*f*g + 2*b*d*h + a*e*h) + 2*b*c*(6*a*f*h + 5*b*(f*g + e*h)))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(128*c^4) + (f*(g + h*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*c*h) + ((35*b^2*f*h^2 - 16*c^2*(3*f*g^2 - 5*h*(e*g + d*h)) - 2*c*h*(16*a*f*h + 25*b*(f*g + e*h)) - 6*c*h*(6*c*f*g - 10*c*e*h + 7*b*f*h)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(240*c^3*h) - ((b^2 - 4*a*c)*(32*c^3*d*g - 7*b^3*f*h - 8*c^2*(2*b*e*g + a*f*g + 2*b*d*h + a*e*h) + 2*b*c*(6*a*f*h + 5*b*(f*g + e*h)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*c^(9//2)), x, 5),
+((d + e*x + f*x^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*(g + h*x)^0, ((16*c^2*d - 8*b*c*e + 5*b^2*f - 4*a*c*f)*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*c^3) + ((8*c*e - 5*b*f)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*c^2) + (f*x*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(4*c) - ((b^2 - 4*a*c)*(16*c^2*d + 5*b^2*f - 4*c*(2*b*e + a*f))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(7//2)), x, 5),
+((d + e*x + f*x^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)/(g + h*x)^1, -(((4*c*h*(b*f*g - 2*c*d*h) - (4*c*g - b*h)*(2*c*f*g - 2*c*e*h + b*f*h) + 2*c*h*(2*c*f*g - 2*c*e*h + b*f*h)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(8*c^2*h^3)) + (f*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*c*h) + ((4*c*h*(2*c*g - b*h)*(b*f*g - 2*c*d*h) - (2*c*f*g - 2*c*e*h + b*f*h)*(8*c^2*g^2 - b^2*h^2 - 4*c*h*(b*g - a*h)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(5//2)*h^4) + (sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*atanh((b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/h^4, x, 7),
+((d + e*x + f*x^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)/(g + h*x)^2, -(((b*f*h^2*(b*g - a*h) + 4*c^2*g*(3*f*g^2 - h*(2*e*g - d*h)) + c*h*(4*a*h*(2*f*g - e*h) - b*(13*f*g^2 - 8*e*g*h + 4*d*h^2)) + 2*c*h^2*(2*c*e*g + b*f*g - (3*c*f*g^2)/h - 2*c*d*h - a*f*h)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c*h^3*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2))) - ((f*g^2 - h*(e*g - d*h))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(h*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*(g + h*x)) - ((b^2*f*h^2 + 4*c*h*(2*b*f*g - b*e*h - a*f*h) - 8*c^2*(3*f*g^2 - h*(2*e*g - d*h)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(3//2)*h^4) - ((2*c*g*(3*f*g^2 - h*(2*e*g - d*h)) + h*(2*a*h*(2*f*g - e*h) - b*(5*f*g^2 - 3*e*g*h + d*h^2)))*atanh((b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*h^4*sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)), x, 7),
+((d + e*x + f*x^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)/(g + h*x)^3, (((4*c*g^2*(3*f*g - e*h))/h + 4*a*h*(3*f*g - e*h) - b*(11*f*g^2 - 3*e*g*h - d*h^2) - 2*h*(c*e*g + 2*b*f*g - (3*c*f*g^2)/h - c*d*h - 2*a*f*h)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*h^2*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*(g + h*x)) - ((f*g^2 - h*(e*g - d*h))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(2*h*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*(g + h*x)^2) - ((6*c*f*g - 2*c*e*h - b*f*h)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*h^4) + ((8*c^2*g^3*(3*f*g - e*h) - 4*c*h*(b*g^2*(10*f*g - 3*e*h) - a*h*(9*f*g^2 - 3*e*g*h + d*h^2)) + h^2*(8*a^2*f*h^2 - 4*a*b*h*(6*f*g - e*h) + b^2*(15*f*g^2 - h*(3*e*g + d*h))))*atanh((b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*h^4*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^(3//2)), x, 7),
+((d + e*x + f*x^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)/(g + h*x)^4, -((1/(8*h^3*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^2*(g + h*x)^2))*((8*c^2*f*g^5 - 2*c*g*h*(7*b*f*g^3 - 6*a*f*g^2*h + b*d*g*h^2 - 2*a*d*h^3) + h^2*(4*a^2*e*h^3 + b^2*g*(5*f*g^2 + e*g*h + d*h^2) - 2*a*b*h*(3*f*g^2 + 2*e*g*h + d*h^2)) + h*(4*c^2*(3*f*g^4 - d*g^2*h^2) + h^2*(8*a^2*f*h^2 - 2*a*b*h*(10*f*g - e*h) + b^2*(11*f*g^2 - h*(e*g + d*h))) + 2*c*g*h*(2*a*h*(6*f*g - e*h) - b*(12*f*g^2 - h*(e*g + 2*d*h))))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - ((f*g^2 - h*(e*g - d*h))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*h*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*(g + h*x)^3) + (sqrt(c)*f*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/h^4 - (1/(16*h^4*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^(5//2)))*((16*c^3*f*g^5 - 8*c^2*g*h*(5*b*f*g^3 - 5*a*f*g^2*h + a*d*h^3) - b*h^3*(8*a^2*f*h^2 - 2*a*b*h*(6*f*g + e*h) + b^2*(5*f*g^2 + e*g*h + d*h^2)) + 2*c*h^2*(4*a^2*h^2*(4*f*g - e*h) - 2*a*b*h*(15*f*g^2 - e*g*h - d*h^2) + b^2*(15*f*g^3 + d*g*h^2)))*atanh((b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))), x, 7),
+((d + e*x + f*x^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)/(g + h*x)^5, ((16*c^2*d*g^2 + 16*a^2*f*h^2 - 8*a*b*h*(2*f*g + e*h) + b^2*(5*f*g^2 + 3*e*g*h + 5*d*h^2) - 4*c*(2*b*g*(e*g + 2*d*h) + a*(f*g^2 - 5*e*g*h + d*h^2)))*(b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(64*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^3*(g + h*x)^2) - ((f*g^2 - h*(e*g - d*h))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(4*h*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*(g + h*x)^4) + ((2*c*g*(3*f*g^2 + h*(e*g - 5*d*h)) + h*(8*a*h*(2*f*g - e*h) - b*(11*f*g^2 - 3*e*g*h - 5*d*h^2)))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*h*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^2*(g + h*x)^3) - ((b^2 - 4*a*c)*(16*c^2*d*g^2 + 16*a^2*f*h^2 - 8*a*b*h*(2*f*g + e*h) + b^2*(5*f*g^2 + 3*e*g*h + 5*d*h^2) - 4*c*(2*b*g*(e*g + 2*d*h) + a*(f*g^2 - 5*e*g*h + d*h^2)))*atanh((b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^(7//2)), x, 5),
+((d + e*x + f*x^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)/(g + h*x)^6, (1/(128*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^4*(g + h*x)^2))*((32*c^3*d*g^3 - 8*c^2*g*(2*b*g*(e*g + 3*d*h) + a*(f*g^2 - 6*e*g*h + 3*d*h^2)) - b*h*(16*a^2*f*h^2 - 2*a*b*h*(6*f*g + 5*e*h) + b^2*(3*f*g^2 + 3*e*g*h + 7*d*h^2)) + 2*c*(4*a^2*h^2*(6*f*g - e*h) - 6*a*b*h*(3*f*g^2 + 3*e*g*h - d*h^2) + b^2*g*(5*f*g^2 + 6*e*g*h + 15*d*h^2)))*(b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - ((f*g^2 - h*(e*g - d*h))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*h*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*(g + h*x)^5) + ((2*c*g*(3*f*g^2 + h*(2*e*g - 7*d*h)) + h*(10*a*h*(2*f*g - e*h) - b*(13*f*g^2 - 3*e*g*h - 7*d*h^2)))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(40*h*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^2*(g + h*x)^4) + ((4*c^2*g^2*(3*f*g^2 + h*(2*e*g - 27*d*h)) - 5*h^2*(16*a^2*f*h^2 - 2*a*b*h*(6*f*g + 5*e*h) + b^2*(3*f*g^2 + 3*e*g*h + 7*d*h^2)) - 2*c*h*(b*g*(16*f*g^2 - 21*e*g*h - 54*d*h^2) - 2*a*h*(18*f*g^2 - 33*e*g*h + 8*d*h^2)))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(240*h*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^3*(g + h*x)^3) - (1/(256*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^(9//2)))*((b^2 - 4*a*c)*(32*c^3*d*g^3 - 8*c^2*g*(2*b*g*(e*g + 3*d*h) + a*(f*g^2 - 6*e*g*h + 3*d*h^2)) - b*h*(16*a^2*f*h^2 - 2*a*b*h*(6*f*g + 5*e*h) + b^2*(3*f*g^2 + 3*e*g*h + 7*d*h^2)) + 2*c*(4*a^2*h^2*(6*f*g - e*h) - 6*a*b*h*(3*f*g^2 + 3*e*g*h - d*h^2) + b^2*g*(5*f*g^2 + 6*e*g*h + 15*d*h^2)))*atanh((b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))), x, 6),
+
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+((d + e*x + f*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)*(g + h*x)^3, -((1/(32768*c^7))*((b^2 - 4*a*c)*(1536*c^5*d*g^3 - 143*b^5*f*h^3 + 22*b^3*c*h^2*(20*a*f*h + 9*b*(3*f*g + e*h)) - 48*b*c^2*h*(5*a^2*f*h^2 + 9*a*b*h*(3*f*g + e*h) + 6*b^2*(3*f*g^2 + 3*e*g*h + d*h^2)) - 256*c^4*g*(3*b*g*(e*g + 3*d*h) + a*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h))) + 32*c^3*(3*a^2*h^2*(3*f*g + e*h) + 14*b^2*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)) + 12*a*b*h*(3*f*g^2 + h*(3*e*g + d*h))))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (1/(12288*c^6))*((1536*c^5*d*g^3 - 143*b^5*f*h^3 + 22*b^3*c*h^2*(20*a*f*h + 9*b*(3*f*g + e*h)) - 48*b*c^2*h*(5*a^2*f*h^2 + 9*a*b*h*(3*f*g + e*h) + 6*b^2*(3*f*g^2 + 3*e*g*h + d*h^2)) - 256*c^4*g*(3*b*g*(e*g + 3*d*h) + a*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h))) + 32*c^3*(3*a^2*h^2*(3*f*g + e*h) + 14*b^2*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)) + 12*a*b*h*(3*f*g^2 + h*(3*e*g + d*h))))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) + ((143*b^2*f*h^2 - 2*c*h*(24*b*f*g + 99*b*e*h + 64*a*f*h) - 12*c^2*(5*f*g^2 - 3*h*(3*e*g + 8*d*h)))*(g + h*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(2016*c^3*h) - ((10*c*f*g - 18*c*e*h + 13*b*f*h)*(g + h*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(144*c^2*h) + (f*(g + h*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(9*c*h) + (1/(80640*c^5*h))*((3003*b^4*f*h^4 - 192*c^4*g^2*(5*f*g^2 - 3*h*(3*e*g + 64*d*h)) - 198*b^2*c*h^3*(38*a*f*h + 21*b*(3*f*g + e*h)) + 8*c^2*h^2*(256*a^2*f*h^2 + 837*a*b*h*(3*f*g + e*h) + b^2*(1553*f*g^2 + 756*h*(3*e*g + d*h))) - 16*c^3*h*(32*a*h*(17*f*g^2 + 9*h*(3*e*g + d*h)) + b*g*(13*f*g^2 + 9*h*(141*e*g + 196*d*h))) - 10*c*h*(429*b^3*f*h^3 - 22*b*c*h^2*(29*b*f*g + 27*b*e*h + 34*a*f*h) + 16*c^3*g*(5*f*g^2 - 9*h*(e*g + 12*d*h)) + 8*c^2*h*(a*h*(61*f*g + 63*e*h) + 3*b*(f*g^2 + 6*h*(7*e*g + 6*d*h))))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)) + (1/(65536*c^(15//2)))*((b^2 - 4*a*c)^2*(1536*c^5*d*g^3 - 143*b^5*f*h^3 + 22*b^3*c*h^2*(20*a*f*h + 9*b*(3*f*g + e*h)) - 48*b*c^2*h*(5*a^2*f*h^2 + 9*a*b*h*(3*f*g + e*h) + 6*b^2*(3*f*g^2 + 3*e*g*h + d*h^2)) - 256*c^4*g*(3*b*g*(e*g + 3*d*h) + a*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h))) + 32*c^3*(3*a^2*h^2*(3*f*g + e*h) + 14*b^2*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)) + 12*a*b*h*(3*f*g^2 + h*(3*e*g + d*h))))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))), x, 8),
+((d + e*x + f*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)*(g + h*x)^2, -((1/(16384*c^6))*((b^2 - 4*a*c)*(768*c^4*d*g^2 + 99*b^4*f*h^2 - 72*b^2*c*h*(4*b*f*g + 2*b*e*h + 3*a*f*h) - 128*c^3*(3*b*g*(e*g + 2*d*h) + a*(f*g^2 + 2*e*g*h + d*h^2)) + 16*c^2*(3*a^2*f*h^2 + 12*a*b*h*(2*f*g + e*h) + 14*b^2*(f*g^2 + 2*e*g*h + d*h^2)))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) + (1/(6144*c^5))*((768*c^4*d*g^2 + 99*b^4*f*h^2 - 72*b^2*c*h*(4*b*f*g + 2*b*e*h + 3*a*f*h) - 128*c^3*(3*b*g*(e*g + 2*d*h) + a*(f*g^2 + 2*e*g*h + d*h^2)) + 16*c^2*(3*a^2*f*h^2 + 12*a*b*h*(2*f*g + e*h) + 14*b^2*(f*g^2 + 2*e*g*h + d*h^2)))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - ((10*c*f*g - 16*c*e*h + 11*b*f*h)*(g + h*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(112*c^2*h) + (f*(g + h*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(8*c*h) - (1/(13440*c^4*h))*((693*b^3*f*h^3 + 96*c^3*g*(5*f*g^2 - 8*h*(e*g + 7*d*h)) - 36*b*c*h^2*(31*a*f*h + 28*b*(2*f*g + e*h)) + 8*c^2*h*(96*a*h*(2*f*g + e*h) + b*(31*f*g^2 + 196*h*(2*e*g + d*h))) - 10*c*h*(99*b^2*f*h^2 - 8*c^2*(5*f*g^2 - 4*h*(2*e*g + 7*d*h)) - 12*c*h*(7*a*f*h + 2*b*(f*g + 6*e*h)))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2)) + (1/(32768*c^(13//2)))*((b^2 - 4*a*c)^2*(768*c^4*d*g^2 + 99*b^4*f*h^2 - 72*b^2*c*h*(4*b*f*g + 2*b*e*h + 3*a*f*h) - 128*c^3*(3*b*g*(e*g + 2*d*h) + a*(f*g^2 + 2*e*g*h + d*h^2)) + 16*c^2*(3*a^2*f*h^2 + 12*a*b*h*(2*f*g + e*h) + 14*b^2*(f*g^2 + 2*e*g*h + d*h^2)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))), x, 7),
+((d + e*x + f*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)*(g + h*x)^1, -(((b^2 - 4*a*c)*(48*c^3*d*g - 9*b^3*f*h - 8*c^2*(3*b*e*g + a*f*g + 3*b*d*h + a*e*h) + 2*b*c*(6*a*f*h + 7*b*(f*g + e*h)))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1024*c^5)) + ((48*c^3*d*g - 9*b^3*f*h - 8*c^2*(3*b*e*g + a*f*g + 3*b*d*h + a*e*h) + 2*b*c*(6*a*f*h + 7*b*(f*g + e*h)))*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(384*c^4) + (f*(g + h*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(7*c*h) + ((63*b^2*f*h^2 - 24*c^2*(5*f*g^2 - 7*h*(e*g + d*h)) - 2*c*h*(24*a*f*h + 49*b*(f*g + e*h)) - 10*c*h*(10*c*f*g - 14*c*e*h + 9*b*f*h)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(840*c^3*h) + ((b^2 - 4*a*c)^2*(48*c^3*d*g - 9*b^3*f*h - 8*c^2*(3*b*e*g + a*f*g + 3*b*d*h + a*e*h) + 2*b*c*(6*a*f*h + 7*b*(f*g + e*h)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2048*c^(11//2)), x, 6),
+((d + e*x + f*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)*(g + h*x)^0, -(((b^2 - 4*a*c)*(24*c^2*d + 7*b^2*f - 4*c*(3*b*e + a*f))*(b + 2*c*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(512*c^4)) + ((24*c^2*d - 12*b*c*e + 7*b^2*f - 4*a*c*f)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(192*c^3) + ((12*c*e - 7*b*f)*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(60*c^2) + (f*x*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(6*c) + ((b^2 - 4*a*c)^2*(24*c^2*d + 7*b^2*f - 4*c*(3*b*e + a*f))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(1024*c^(9//2)), x, 6),
+((d + e*x + f*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(g + h*x)^1, (1/(128*c^3*h^5))*((3*b^4*f*h^4 + 6*b^2*c*h^3*(b*f*g - b*e*h - 2*a*f*h) + 128*c^4*g^2*(f*g^2 - h*(e*g - d*h)) - 32*c^3*h*(5*b*g - 4*a*h)*(f*g^2 - h*(e*g - d*h)) - 8*b*c^2*h^2*(3*a*h*(f*g - e*h) - 2*b*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)) + 2*c*h*(8*c*h*(2*c*g - b*h)*(b*f*g - 2*c*d*h) - (2*c*f*g - 2*c*e*h + b*f*h)*(16*c^2*g^2 - 3*b^2*h^2 - 4*c*h*(2*b*g - 3*a*h)))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - ((8*c*h*(b*f*g - 2*c*d*h) - (8*c*g - 3*b*h)*(2*c*f*g - 2*c*e*h + b*f*h) + 6*c*h*(2*c*f*g - 2*c*e*h + b*f*h)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(48*c^2*h^3) + (f*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(5*c*h) - (1/(256*c^(7//2)*h^6))*((4*c*h*(2*c*g - b*h)*(8*c*h*(b*g - 2*a*h)*(b*f*g - 2*c*d*h) - g*(8*b*c*g - 3*b^2*h - 4*a*c*h)*(2*c*f*g - 2*c*e*h + b*f*h)) - 2*(4*c^2*g^2 - (b^2*h^2)/2 - 2*c*h*(b*g - a*h))*(8*c*h*(2*c*g - b*h)*(b*f*g - 2*c*d*h) - (2*c*f*g - 2*c*e*h + b*f*h)*(16*c^2*g^2 - 3*b^2*h^2 - 4*c*h*(2*b*g - 3*a*h))))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))) + ((c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^(3//2)*(f*g^2 - h*(e*g - d*h))*atanh((b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/h^6, x, 8),
+((d + e*x + f*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(g + h*x)^2, -((1/(64*c^2*h^5))*((3*b^3*f*h^3 + 4*b*c*h^2*(4*b*f*g - 2*b*e*h - 3*a*f*h) + 64*c^3*g*(5*f*g^2 - h*(4*e*g - 3*d*h)) + 16*c^2*h*(4*a*h*(2*f*g - e*h) - b*(19*f*g^2 - 14*e*g*h + 9*d*h^2)) + 2*c*h*(3*b^2*f*h^2 + 4*c*h*(4*b*f*g - 2*b*e*h - 3*a*f*h) - 16*c^2*(5*f*g^2 - h*(4*e*g - 3*d*h)))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - ((3*b*f*h^2*(b*g - a*h) + 8*c^2*g*(5*f*g^2 - h*(4*e*g - 3*d*h)) + c*h*(8*a*h*(2*f*g - e*h) - b*(43*f*g^2 - 8*h*(4*e*g - 3*d*h))) + 6*c*h^2*(4*c*e*g + b*f*g - (5*c*f*g^2)/h - 4*c*d*h - a*f*h)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(24*c*h^3*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)) - ((f*g^2 - h*(e*g - d*h))*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(h*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*(g + h*x)) + (1/(128*c^(5//2)*h^6))*((3*b^4*f*h^4 + 8*b^2*c*h^3*(2*b*f*g - b*e*h - 3*a*f*h) + 128*c^4*g^2*(5*f*g^2 - h*(4*e*g - 3*d*h)) + 48*c^2*h^2*(a^2*f*h^2 - 2*a*b*h*(2*f*g - e*h) + b^2*(3*f*g^2 - 2*e*g*h + d*h^2)) + 192*c^3*h*(a*h*(3*f*g^2 - 2*e*g*h + d*h^2) - b*g*(4*f*g^2 - 3*e*g*h + 2*d*h^2)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))) - (sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*(2*c*g*(5*f*g^2 - h*(4*e*g - 3*d*h)) + h*(2*a*h*(2*f*g - e*h) - b*(7*f*g^2 - 5*e*g*h + 3*d*h^2)))*atanh((b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*h^6), x, 8),
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+((d + e*x + f*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)/(g + h*x)^4, -((1/(8*h^5*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*(g + h*x)))*((8*c^2*g^2*(10*f*g^2 - h*(4*e*g - d*h)) - 2*c*h*(3*b*g*(18*f*g^2 - 6*e*g*h + d*h^2) - 2*a*h*(23*f*g^2 - 8*e*g*h + 2*d*h^2)) + h^2*(12*a^2*f*h^2 - 6*a*b*h*(7*f*g - e*h) + b^2*(29*f*g^2 - h*(5*e*g + d*h))) + 2*h*(3*b*f*h^2*(b*g - a*h) + 2*c^2*g*(10*f*g^2 - h*(4*e*g - d*h)) + c*h*(6*a*h*(3*f*g - e*h) - b*(22*f*g^2 - 7*e*g*h + d*h^2)))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - ((2*c*g*(4*e*g - (10*f*g^2)/h - d*h) - 6*a*h*(3*f*g - e*h) + b*(17*f*g^2 - h*(5*e*g + d*h)) + 2*h*(2*c*e*g + 3*b*f*g - (5*c*f*g^2)/h - 2*c*d*h - 3*a*f*h)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(12*h^2*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*(g + h*x)^2) - ((f*g^2 - h*(e*g - d*h))*(a + b*x + c*x^2)^(5//2))/(3*h*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*(g + h*x)^3) + ((3*b^2*f*h^2 - 12*c*h*(4*b*f*g - b*e*h - a*f*h) + 8*c^2*(10*f*g^2 - h*(4*e*g - d*h)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(c)*h^6) - (1/(16*h^6*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^(3//2)))*((16*c^3*g^3*(10*f*g^2 - h*(4*e*g - d*h)) - b*h^3*(24*a^2*f*h^2 - 6*a*b*h*(10*f*g - e*h) + b^2*(35*f*g^2 - 5*e*g*h - d*h^2)) + 6*c*h^2*(4*a^2*h^2*(4*f*g - e*h) + b^2*g*(35*f*g^2 - 10*e*g*h + d*h^2) - 2*a*b*h*(25*f*g^2 - 7*e*g*h + d*h^2)) - 24*c^2*g*h*(b*g*(14*f*g^2 - 5*e*g*h + d*h^2) - a*h*(11*f*g^2 - 4*e*g*h + d*h^2)))*atanh((b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))), x, 8),
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+
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+((1 + 2*x)^3*sqrt(2 - x + 3*x^2)*(1 + 3*x + 4*x^2), (5393*(1 - 6*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/15552 + (17*(1 + 2*x)^2*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/105 + (67*(1 + 2*x)^3*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/378 + (2*(1 + 2*x)^4*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/21 - ((75295 + 26982*x)*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/68040 + (124039*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(31104*sqrt(3)), x, 7),
+((1 + 2*x)^2*sqrt(2 - x + 3*x^2)*(1 + 3*x + 4*x^2), (235*(1 - 6*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/1296 + ((1 + 2*x)^2*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/5 + ((1 + 2*x)^3*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/9 + ((25 + 306*x)*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/810 + (5405*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(2592*sqrt(3)), x, 6),
+((1 + 2*x)^1*sqrt(2 - x + 3*x^2)*(1 + 3*x + 4*x^2), (19*(1 - 6*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/2592 + (2*(1 + 2*x)^2*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/15 + ((745 + 738*x)*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/1620 + (437*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(5184*sqrt(3)), x, 5),
+((sqrt(2 - x + 3*x^2)*(1 + 3*x + 4*x^2))/(1 + 2*x)^1, ((13 + 30*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/72 + (2*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/9 - (43*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(144*sqrt(3)) - (sqrt(13)*atanh((9 - 8*x)/(2*sqrt(13)*sqrt(2 - x + 3*x^2))))/8, x, 7),
+((sqrt(2 - x + 3*x^2)*(1 + 3*x + 4*x^2))/(1 + 2*x)^2, -((67 - 96*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/156 - (2 - x + 3*x^2)^(3//2)/(13*(1 + 2*x)) - (11*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(6*sqrt(3)) + (17*atanh((9 - 8*x)/(2*sqrt(13)*sqrt(2 - x + 3*x^2))))/(8*sqrt(13)), x, 7),
+((sqrt(2 - x + 3*x^2)*(1 + 3*x + 4*x^2))/(1 + 2*x)^3, (11*(7 + 10*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/(104*(1 + 2*x)) - (2 - x + 3*x^2)^(3//2)/(26*(1 + 2*x)^2) + (11*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(8*sqrt(3)) - (803*atanh((9 - 8*x)/(2*sqrt(13)*sqrt(2 - x + 3*x^2))))/(208*sqrt(13)), x, 7),
+
+
+((1 + 2*x)^3*(2 - x + 3*x^2)^(3//2)*(1 + 3*x + 4*x^2), (1255639*(1 - 6*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/4478976 + (54593*(1 - 6*x)*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/559872 - (11*(283 - 5850*x)*(2 - x + 3*x^2)^(5//2))/58320 + (913//486)*x^2*(2 - x + 3*x^2)^(5//2) + (77//81)*x^3*(2 - x + 3*x^2)^(5//2) + (2//27)*(1 + 2*x)^4*(2 - x + 3*x^2)^(5//2) + (28879697*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(8957952*sqrt(3)), x, 9),
+((1 + 2*x)^2*(2 - x + 3*x^2)^(3//2)*(1 + 3*x + 4*x^2), (2093*(1 - 6*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/27648 + (91*(1 - 6*x)*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/3456 + (8*(1 + 2*x)^2*(2 - x + 3*x^2)^(5//2))/63 + ((1 + 2*x)^3*(2 - x + 3*x^2)^(5//2))/12 + (13*(29 + 50*x)*(2 - x + 3*x^2)^(5//2))/2520 + (48139*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(55296*sqrt(3)), x, 7),
+((1 + 2*x)^1*(2 - x + 3*x^2)^(3//2)*(1 + 3*x + 4*x^2), (-1633*(1 - 6*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/20736 - (71*(1 - 6*x)*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/2592 + (2*(1 + 2*x)^2*(2 - x + 3*x^2)^(5//2))/21 + ((109 + 102*x)*(2 - x + 3*x^2)^(5//2))/378 - (37559*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(41472*sqrt(3)), x, 6),
+(((2 - x + 3*x^2)^(3//2)*(1 + 3*x + 4*x^2))/(1 + 2*x)^1, ((869 + 402*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/1152 + ((7 + 30*x)*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/144 + (2*(2 - x + 3*x^2)^(5//2))/15 + (2203*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(2304*sqrt(3)) - (13*sqrt(13)*atanh((9 - 8*x)/(2*sqrt(13)*sqrt(2 - x + 3*x^2))))/32, x, 8),
+(((2 - x + 3*x^2)^(3//2)*(1 + 3*x + 4*x^2))/(1 + 2*x)^2, -((349 - 294*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/192 - ((23 - 38*x)*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/104 - (2 - x + 3*x^2)^(5//2)/(13*(1 + 2*x)) - (2327*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(384*sqrt(3)) + (25*sqrt(13)*atanh((9 - 8*x)/(2*sqrt(13)*sqrt(2 - x + 3*x^2))))/32, x, 8),
+(((2 - x + 3*x^2)^(3//2)*(1 + 3*x + 4*x^2))/(1 + 2*x)^3, ((1858 - 771*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/624 + ((151 + 122*x)*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/(312*(1 + 2*x)) - (2 - x + 3*x^2)^(5//2)/(26*(1 + 2*x)^2) + (1519*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(192*sqrt(3)) - (1153*atanh((9 - 8*x)/(2*sqrt(13)*sqrt(2 - x + 3*x^2))))/(64*sqrt(13)), x, 8),
+
+
+((1 + 2*x)^3*(2 - x + 3*x^2)^(5//2)*(1 + 3*x + 4*x^2), (2692081*(1 - 6*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/11943936 + (117047*(1 - 6*x)*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/1492992 + (5089*(1 - 6*x)*(2 - x + 3*x^2)^(5//2))/155520 - ((26353 - 21350*x)*(2 - x + 3*x^2)^(7//2))/498960 + (133*(1 + 2*x)^2*(2 - x + 3*x^2)^(7//2))/1485 + (29*(1 + 2*x)^3*(2 - x + 3*x^2)^(7//2))/330 + (2*(1 + 2*x)^4*(2 - x + 3*x^2)^(7//2))/33 + (61917863*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(23887872*sqrt(3)), x, 9),
+((1 + 2*x)^2*(2 - x + 3*x^2)^(5//2)*(1 + 3*x + 4*x^2), (-154997*(1 - 6*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/4478976 - (6739*(1 - 6*x)*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/559872 - (293*(1 - 6*x)*(2 - x + 3*x^2)^(5//2))/58320 + (37*(1 + 2*x)^2*(2 - x + 3*x^2)^(7//2))/405 + ((1 + 2*x)^3*(2 - x + 3*x^2)^(7//2))/15 + ((2731 + 3430*x)*(2 - x + 3*x^2)^(7//2))/17010 - (3564931*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(8957952*sqrt(3)), x, 8),
+((1 + 2*x)^1*(2 - x + 3*x^2)^(5//2)*(1 + 3*x + 4*x^2), (-1177025*(1 - 6*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/5971968 - (51175*(1 - 6*x)*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/746496 - (445*(1 - 6*x)*(2 - x + 3*x^2)^(5//2))/15552 + (2*(1 + 2*x)^2*(2 - x + 3*x^2)^(7//2))/27 + ((137 + 122*x)*(2 - x + 3*x^2)^(7//2))/648 - (27071575*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(11943936*sqrt(3)), x, 7),
+(((2 - x + 3*x^2)^(5//2)*(1 + 3*x + 4*x^2))/(1 + 2*x)^1, ((221999 - 17850*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/82944 + ((2449 + 2154*x)*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/10368 + ((29 + 150*x)*(2 - x + 3*x^2)^(5//2))/1080 + (2*(2 - x + 3*x^2)^(7//2))/21 + (944521*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(165888*sqrt(3)) - (169*sqrt(13)*atanh((9 - 8*x)/(2*sqrt(13)*sqrt(2 - x + 3*x^2))))/128, x, 9),
+(((2 - x + 3*x^2)^(5//2)*(1 + 3*x + 4*x^2))/(1 + 2*x)^2, (-11*(4727 - 3090*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/6912 - (11*(67 - 78*x)*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/864 - (11*(37 - 60*x)*(2 - x + 3*x^2)^(5//2))/2340 - (2 - x + 3*x^2)^(7//2)/(13*(1 + 2*x)) - (315623*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(13824*sqrt(3)) + (429*sqrt(13)*atanh((9 - 8*x)/(2*sqrt(13)*sqrt(2 - x + 3*x^2))))/128, x, 9),
+(((2 - x + 3*x^2)^(5//2)*(1 + 3*x + 4*x^2))/(1 + 2*x)^3, ((21317 - 10470*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/1536 + ((1227 - 838*x)*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))/832 + ((257 + 134*x)*(2 - x + 3*x^2)^(5//2))/(520*(1 + 2*x)) - (2 - x + 3*x^2)^(7//2)/(26*(1 + 2*x)^2) + (118423*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(3072*sqrt(3)) - (1631*sqrt(13)*atanh((9 - 8*x)/(2*sqrt(13)*sqrt(2 - x + 3*x^2))))/256, x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((g + h*x)^3*(d + e*x + f*x^2)/sqrt(a + b*x + c*x^2), ((63*b^2*f*h^2 - 2*c*h*(24*b*f*g + 35*b*e*h + 32*a*f*h) - c^2*(12*f*g^2 - 20*h*(3*e*g + 4*d*h)))*(g + h*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(240*c^3*h) - ((9*b*f*h + 2*c*(f*g - 5*e*h))*(g + h*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(40*c^2*h) + (f*(g + h*x)^4*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*c*h) + (1/(1920*c^5*h))*((945*b^4*f*h^4 - 64*c^4*g^2*(3*f*g^2 - 5*h*(3*e*g + 16*d*h)) - 210*b^2*c*h^3*(14*a*f*h + 5*b*(3*f*g + e*h)) + 8*c^2*h^2*(128*a^2*f*h^2 + 275*a*b*h*(3*f*g + e*h) + 3*b^2*(129*f*g^2 + 50*h*(3*e*g + d*h))) - 16*c^3*h*(16*a*h*(13*f*g^2 + 5*h*(3*e*g + d*h)) + b*g*(39*f*g^2 + 5*h*(47*e*g + 54*d*h))) - 2*c*h*(315*b^3*f*h^3 - 14*b*c*h^2*(39*b*f*g + 25*b*e*h + 46*a*f*h) + 16*c^3*g*(3*f*g^2 - 5*h*(3*e*g + 10*d*h)) + 8*c^2*h*(a*h*(71*f*g + 45*e*h) + b*(21*f*g^2 + 80*e*g*h + 50*d*h^2)))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (1/(256*c^(11//2)))*((256*c^5*d*g^3 - 63*b^5*f*h^3 + 70*b^3*c*h^2*(3*b*f*g + b*e*h + 4*a*f*h) - 80*b*c^2*h*(3*a^2*f*h^2 + 3*a*b*h*(3*f*g + e*h) + b^2*(3*f*g^2 + 3*e*g*h + d*h^2)) - 128*c^4*g*(b*g*(e*g + 3*d*h) + a*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h))) + 96*c^3*(a^2*h^2*(3*f*g + e*h) + b^2*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)) + 2*a*b*h*(3*f*g^2 + h*(3*e*g + d*h))))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))), x, 6),
+((g + h*x)^2*(d + e*x + f*x^2)/sqrt(a + b*x + c*x^2), -(((2*c*f*g - 8*c*e*h + 7*b*f*h)*(g + h*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*c^2*h)) + (f*(g + h*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c*h) - (1/(192*c^4*h))*((105*b^3*f*h^3 + 32*c^3*g*(f*g^2 - 4*h*(e*g + 3*d*h)) - 20*b*c*h^2*(11*a*f*h + 6*b*(2*f*g + e*h)) + 8*c^2*h*(16*a*h*(2*f*g + e*h) + b*(11*f*g^2 + 18*h*(2*e*g + d*h))) - 2*c*h*(35*b^2*f*h^2 - 4*c*h*(6*b*f*g + 10*b*e*h + 9*a*f*h) - 8*c^2*(f*g^2 - 2*h*(2*e*g + 3*d*h)))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + ((128*c^4*d*g^2 + 35*b^4*f*h^2 - 40*b^2*c*h*(2*b*f*g + b*e*h + 3*a*f*h) - 64*c^3*(b*g*(e*g + 2*d*h) + a*(f*g^2 + 2*e*g*h + d*h^2)) + 48*c^2*(a^2*f*h^2 + 2*a*b*h*(2*f*g + e*h) + b^2*(f*g^2 + 2*e*g*h + d*h^2)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(9//2)), x, 5),
+((g + h*x)^1*(d + e*x + f*x^2)/sqrt(a + b*x + c*x^2), (f*(g + h*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c*h) + ((15*b^2*f*h^2 - 8*c^2*(f*g^2 - 3*h*(e*g + d*h)) - 2*c*h*(8*a*f*h + 9*b*(f*g + e*h)) - 2*c*h*(2*c*f*g - 6*c*e*h + 5*b*f*h)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*c^3*h) + ((16*c^3*d*g - 5*b^3*f*h - 8*c^2*(b*e*g + a*f*g + b*d*h + a*e*h) + 6*b*c*(b*f*g + b*e*h + 2*a*f*h))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(7//2)), x, 4),
+((g + h*x)^0*(d + e*x + f*x^2)/sqrt(a + b*x + c*x^2), ((4*c*e - 3*b*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c^2) + (f*x*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*c) + ((8*c^2*d + 3*b^2*f - 4*c*(b*e + a*f))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(5//2)), x, 4),
+((d + e*x + f*x^2)/((g + h*x)^1*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (f*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(c*h) - ((2*c*f*g - 2*c*e*h + b*f*h)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(3//2)*h^2) + ((f*g^2 - h*(e*g - d*h))*atanh((b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(h^2*sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)), x, 6),
+((d + e*x + f*x^2)/((g + h*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -(((f*g^2 - h*(e*g - d*h))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(h*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*(g + h*x))) + (f*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(c)*h^2) - ((2*c*(f*g^3 - d*g*h^2) + h*(2*a*h*(2*f*g - e*h) - b*(3*f*g^2 - e*g*h - d*h^2)))*atanh((b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*h^2*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^(3//2)), x, 6),
+((d + e*x + f*x^2)/((g + h*x)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -(((f*g^2 - h*(e*g - d*h))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*h*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*(g + h*x)^2)) + ((2*c*g*(f*g^2 + h*(e*g - 3*d*h)) + h*(4*a*h*(2*f*g - e*h) - b*(5*f*g^2 - e*g*h - 3*d*h^2)))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*h*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^2*(g + h*x)) + ((8*c^2*d*g^2 + 8*a^2*f*h^2 - 4*a*b*h*(2*f*g + e*h) + b^2*(3*f*g^2 + e*g*h + 3*d*h^2) - 4*c*(b*g*(e*g + 2*d*h) + a*(f*g^2 - 3*e*g*h + d*h^2)))*atanh((b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^(5//2)), x, 4),
+
+
+((g + h*x)^3*(d + e*x + f*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (2*(c*(2*a*e - b*(d + (a*f)/c)) - (2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*x)*(g + h*x)^3)/(c*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + ((12*c^2*d - 6*b*c*e + 7*b^2*f - 16*a*c*f)*h*(g + h*x)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c^2*(b^2 - 4*a*c)) + (1/(24*c^4*(b^2 - 4*a*c)))*(h*(192*c^4*d*g^2 + 105*b^4*f*h^2 - 10*b^2*c*h*(46*a*f*h + 9*b*(3*f*g + e*h)) - 16*c^3*(3*b*g*(2*e*g + 3*d*h) + 4*a*(7*f*g^2 + 9*e*g*h + 3*d*h^2)) + 8*c^2*(32*a^2*f*h^2 + 39*a*b*h*(3*f*g + e*h) + b^2*(20*f*g^2 + 9*h*(3*e*g + d*h))) + 2*c*h*(48*c^3*d*g - 35*b^3*f*h - 8*c^2*(3*b*e*g + 11*a*f*g + 3*b*d*h + 9*a*e*h) + 2*b*c*(17*b*f*g + 15*b*e*h + 58*a*f*h))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - ((35*b^3*f*h^3 - 30*b*c*h^2*(3*b*f*g + b*e*h + 2*a*f*h) - 16*c^3*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)) + 24*c^2*h*(a*h*(3*f*g + e*h) + b*(3*f*g^2 + 3*e*g*h + d*h^2)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(9//2)), x, 5),
+((g + h*x)^2*(d + e*x + f*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (2*(c*(2*a*e - b*(d + (a*f)/c)) - (2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*x)*(g + h*x)^2)/(c*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (h*(32*c^3*d*g - 15*b^3*f*h - 8*c^2*(2*b*e*g + 8*a*f*g + b*d*h + 4*a*e*h) + 4*b*c*(6*b*f*g + 3*b*e*h + 13*a*f*h) + 2*c*(8*c^2*d - 4*b*c*e + 5*b^2*f - 12*a*c*f)*h*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c^3*(b^2 - 4*a*c)) + ((15*b^2*f*h^2 - 12*c*h*(2*b*f*g + b*e*h + a*f*h) + 8*c^2*(f*g^2 + h*(2*e*g + d*h)))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(7//2)), x, 4),
+# {(g + h*x)^1*(d + e*x + f*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^(3/2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (2*(c*(2*a*e - b*(d + (a*f)/c)) - (2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*x)*(g + h*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + ((4*c^2*d - 2*b*c*e + 3*b^2*f - 8*a*c*f)*h*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(c^2*(b^2 - 4*a*c)) - ((3*b*f*h - 2*c*(f*g + e*h))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*c^(5/2)), (2*(c*(2*a*e - b*(d + (a*f)/c)) - (2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*x)*(g + h*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + ((4*c^2*d + 3*b^2*f - 2*c*(b*e + 4*a*f))*h*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(c^2*(b^2 - 4*a*c)) - ((3*b*f*h - 2*c*(f*g + e*h))*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*c^(5/2))]}
+((g + h*x)^0*(d + e*x + f*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^(3//2), (2*(c*(2*a*e - b*(d + (a*f)/c)) - (2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (f*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/c^(3//2), x, 4),
+((d + e*x + f*x^2)/((g + h*x)^1*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), (2*(b^2*d*h - b*(c*d*g + a*f*g + a*e*h) + 2*a*(c*e*g - c*d*h + a*f*h) - (2*c^2*d*g + b*f*(b*g - a*h) - c*(b*e*g + 2*a*f*g + b*d*h - 2*a*e*h))*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + ((f*g^2 - h*(e*g - d*h))*atanh((b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^(3//2), x, 4),
+((d + e*x + f*x^2)/((g + h*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), -((1/((b^2 - 4*a*c)*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(2*(b^3*d*h^2 - b^2*h*(2*c*d*g + a*e*h) - 2*a*c*(c*g*(e*g - 2*d*h) + a*h*(2*f*g - e*h)) + b*(c^2*d*g^2 + a^2*f*h^2 + a*c*(f*g^2 + 2*e*g*h - 3*d*h^2)) + c*(2*c^2*d*g^2 + 2*a^2*f*h^2 - a*b*h*(2*f*g + e*h) + b^2*(f*g^2 + d*h^2) - c*(b*g*(e*g + 2*d*h) + 2*a*(f*g^2 - 2*e*g*h + d*h^2)))*x))) - (h*(f*g^2 - h*(e*g - d*h))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/((c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^2*(g + h*x)) + ((2*c*g*(f*g^2 - h*(2*e*g - 3*d*h)) - h*(2*a*h*(2*f*g - e*h) - b*(f*g^2 + e*g*h - 3*d*h^2)))*atanh((b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^(5//2)), x, 4),
+((d + e*x + f*x^2)/((g + h*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)), (1/((b^2 - 4*a*c)*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(2*(b^4*d*h^3 - b^3*h^2*(3*c*d*g + a*e*h) + b^2*h*(3*c^2*d*g^2 + a^2*f*h^2 + a*c*h*(3*e*g - 4*d*h)) - b*c*(c^2*d*g^3 + 3*a^2*h^2*(f*g - e*h) + a*c*g*(f*g^2 + 3*e*g*h - 9*d*h^2)) - 2*a*c*(a^2*f*h^3 - c^2*g^2*(e*g - 3*d*h) - a*c*h*(3*f*g^2 - 3*e*g*h + d*h^2)) - c*(2*c^3*d*g^3 - b*(b^2*d - a*b*e + a^2*f)*h^3 - c^2*g*(b*g*(e*g + 3*d*h) + 2*a*(f*g^2 - 3*e*g*h + 3*d*h^2)) + c*(2*a^2*h^2*(3*f*g - e*h) - 3*a*b*h*(f*g^2 + e*g*h - d*h^2) + b^2*(f*g^3 + 3*d*g*h^2)))*x)) - (h*(f*g^2 - h*(e*g - d*h))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^2*(g + h*x)^2) - (h*(2*c*g*(3*f*g^2 - h*(5*e*g - 7*d*h)) - h*(4*a*h*(2*f*g - e*h) - b*(f*g^2 + 3*e*g*h - 7*d*h^2)))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^3*(g + h*x)) + ((8*c^2*g^2*(f*g^2 - 3*e*g*h + 6*d*h^2) + h^2*(8*a^2*f*h^2 + 4*a*b*h*(2*f*g - 3*e*h) - b^2*(f*g^2 + 3*h*(e*g - 5*d*h))) - 4*c*h*(a*h*(11*f*g^2 - 9*e*g*h + 3*d*h^2) - b*g*(2*f*g^2 + 3*h*(e*g - 4*d*h))))*atanh((b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*sqrt(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^(7//2)), x, 5),
+
+
+(((1 + 2*x)^3*(1 + 3*x + 4*x^2))/sqrt(2 - x + 3*x^2), (44*(1 + 2*x)^2*sqrt(2 - x + 3*x^2))/135 + (19*(1 + 2*x)^3*sqrt(2 - x + 3*x^2))/60 + (2*(1 + 2*x)^4*sqrt(2 - x + 3*x^2))/15 - ((24897 + 6298*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/3240 + (9211*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(1296*sqrt(3)), x, 6),
+(((1 + 2*x)^2*(1 + 3*x + 4*x^2))/sqrt(2 - x + 3*x^2), (-143*(3 - 2*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/324 + (11*(1 + 2*x)^2*sqrt(2 - x + 3*x^2))/27 + ((1 + 2*x)^3*sqrt(2 - x + 3*x^2))/6 + (4147*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(648*sqrt(3)), x, 5),
+(((1 + 2*x)^1*(1 + 3*x + 4*x^2))/sqrt(2 - x + 3*x^2), (2*(1 + 2*x)^2*sqrt(2 - x + 3*x^2))/9 + ((69 + 62*x)*sqrt(2 - x + 3*x^2))/54 + (251*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(108*sqrt(3)), x, 4),
+((1 + 3*x + 4*x^2)/((1 + 2*x)^1*sqrt(2 - x + 3*x^2)), (2*sqrt(2 - x + 3*x^2))/3 - (5*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(6*sqrt(3)) - atanh((9 - 8*x)/(2*sqrt(13)*sqrt(2 - x + 3*x^2)))/(2*sqrt(13)), x, 6),
+((1 + 3*x + 4*x^2)/((1 + 2*x)^2*sqrt(2 - x + 3*x^2)), -sqrt(2 - x + 3*x^2)/(13*(1 + 2*x)) - asinh((1 - 6*x)/sqrt(23))/sqrt(3) + (9*atanh((9 - 8*x)/(2*sqrt(13)*sqrt(2 - x + 3*x^2))))/(26*sqrt(13)), x, 6),
+((1 + 3*x + 4*x^2)/((1 + 2*x)^3*sqrt(2 - x + 3*x^2)), -sqrt(2 - x + 3*x^2)/(26*(1 + 2*x)^2) + (7*sqrt(2 - x + 3*x^2))/(169*(1 + 2*x)) - (581*atanh((9 - 8*x)/(2*sqrt(13)*sqrt(2 - x + 3*x^2))))/(676*sqrt(13)), x, 4),
+
+
+(((1 + 2*x)^3*(1 + 3*x + 4*x^2))/(2 - x + 3*x^2)^(3//2), (2*(12839 - 3871*x))/(1863*sqrt(2 - x + 3*x^2)) + (746//81)*sqrt(2 - x + 3*x^2) + (412//81)*x*sqrt(2 - x + 3*x^2) + (32//27)*x^2*sqrt(2 - x + 3*x^2) + (353*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(81*sqrt(3)), x, 6),
+(((1 + 2*x)^2*(1 + 3*x + 4*x^2))/(2 - x + 3*x^2)^(3//2), (2*(1249 - 2273*x))/(621*sqrt(2 - x + 3*x^2)) + (112//27)*sqrt(2 - x + 3*x^2) + (8//9)*x*sqrt(2 - x + 3*x^2) - (64*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(9*sqrt(3)), x, 5),
+(((1 + 2*x)^1*(1 + 3*x + 4*x^2))/(2 - x + 3*x^2)^(3//2), -((2*(73 + 367*x))/(207*sqrt(2 - x + 3*x^2))) + (8//9)*sqrt(2 - x + 3*x^2) - (14*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(3*sqrt(3)), x, 4),
+((1 + 3*x + 4*x^2)/((1 + 2*x)^1*(2 - x + 3*x^2)^(3//2)), (-2*(101 - 77*x))/(299*sqrt(2 - x + 3*x^2)) - (2*atanh((9 - 8*x)/(2*sqrt(13)*sqrt(2 - x + 3*x^2))))/(13*sqrt(13)), x, 4),
+((1 + 3*x + 4*x^2)/((1 + 2*x)^2*(2 - x + 3*x^2)^(3//2)), -((2*(197 - 837*x))/(3887*sqrt(2 - x + 3*x^2))) - (4*sqrt(2 - x + 3*x^2))/(169*(1 + 2*x)) + (2*atanh((9 - 8*x)/(2*sqrt(13)*sqrt(2 - x + 3*x^2))))/(169*sqrt(13)), x, 4),
+((1 + 3*x + 4*x^2)/((1 + 2*x)^3*(2 - x + 3*x^2)^(3//2)), (2*(2363 + 3693*x))/(50531*sqrt(2 - x + 3*x^2)) - (2*sqrt(2 - x + 3*x^2))/(169*(1 + 2*x)^2) - (4*sqrt(2 - x + 3*x^2))/(2197*(1 + 2*x)) - (487*atanh((9 - 8*x)/(2*sqrt(13)*sqrt(2 - x + 3*x^2))))/(2197*sqrt(13)), x, 5),
+
+
+(((1 + 2*x)^3*(1 + 3*x + 4*x^2))/(2 - x + 3*x^2)^(5//2), (2*(12839 - 3871*x))/(5589*(2 - x + 3*x^2)^(3//2)) - (28*(35809 + 42240*x))/(128547*sqrt(2 - x + 3*x^2)) + (32//27)*sqrt(2 - x + 3*x^2) - (296*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(27*sqrt(3)), x, 5),
+(((1 + 2*x)^2*(1 + 3*x + 4*x^2))/(2 - x + 3*x^2)^(5//2), (2*(1249 - 2273*x))/(1863*(2 - x + 3*x^2)^(3//2)) - (8*(23257 - 1473*x))/(42849*sqrt(2 - x + 3*x^2)) - (16*asinh((1 - 6*x)/sqrt(23)))/(9*sqrt(3)), x, 5),
+(((1 + 2*x)^1*(1 + 3*x + 4*x^2))/(2 - x + 3*x^2)^(5//2), -((2*(73 + 367*x))/(621*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))) - (4*(3889 - 4290*x))/(14283*sqrt(2 - x + 3*x^2)), x, 2),
+((1 + 3*x + 4*x^2)/((1 + 2*x)^1*(2 - x + 3*x^2)^(5//2)), (-2*(101 - 77*x))/(897*(2 - x + 3*x^2)^(3//2)) - (4*(691 - 13668*x))/(268203*sqrt(2 - x + 3*x^2)) - (8*atanh((9 - 8*x)/(2*sqrt(13)*sqrt(2 - x + 3*x^2))))/(169*sqrt(13)), x, 5),
+((1 + 3*x + 4*x^2)/((1 + 2*x)^2*(2 - x + 3*x^2)^(5//2)), -((2*(197 - 837*x))/(11661*(2 - x + 3*x^2)^(3//2))) - (24*(841 - 6633*x))/(1162213*sqrt(2 - x + 3*x^2)) - (16*sqrt(2 - x + 3*x^2))/(2197*(1 + 2*x)) - (56*atanh((9 - 8*x)/(2*sqrt(13)*sqrt(2 - x + 3*x^2))))/(2197*sqrt(13)), x, 5),
+((1 + 3*x + 4*x^2)/((1 + 2*x)^3*(2 - x + 3*x^2)^(5//2)), (2*(2363 + 3693*x))/(151593*(2 - x + 3*x^2)^(3//2)) + (12*(25771 + 103526*x))/(15108769*sqrt(2 - x + 3*x^2)) - (8*sqrt(2 - x + 3*x^2))/(2197*(1 + 2*x)^2) - (144*sqrt(2 - x + 3*x^2))/(28561*(1 + 2*x)) - (2084*atanh((9 - 8*x)/(2*sqrt(13)*sqrt(2 - x + 3*x^2))))/(28561*sqrt(13)), x, 6),
+
+
+((d + e*x + f*x^2)/((g + h*x)*(-c*g^2 + b*g*h + b*h^2*x + c*h^2*x^2)^(3//2)), -(f/(c*h^3*sqrt((-g)*(c*g - b*h) + b*h^2*x + c*h^2*x^2))) + ((6*b*c*e*h^2 - 3*b^2*f*h^2 + 4*c^2*(f*g^2 - h*(e*g + 2*d*h)))*(b + 2*c*x))/(3*c*h^2*(2*c*g - b*h)^3*sqrt((-g)*(c*g - b*h) + b*h^2*x + c*h^2*x^2)) + (2*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2))/(3*h^3*(2*c*g - b*h)*(g + h*x)*sqrt((-g)*(c*g - b*h) + b*h^2*x + c*h^2*x^2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (A+B x+C x^2) (d+e x)^(m/2) (a+b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+
+((d + e*x)^(1//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*(A + B*x + C*x^2), (1/(315*c^3*e^3))*(2*sqrt(d + e*x)*(8*b^3*C*e^3 - 3*b*c*e^2*(b*C*d + 4*b*B*e - a*C*e) + c^3*d*(8*C*d^2 - 3*e*(4*B*d - 7*A*e)) + 3*c^2*e*(a*e*(C*d - 5*B*e) - b*(C*d^2 - 2*B*d*e - 7*A*e^2)) + 3*c*e*(8*b^2*C*e^2 - c*e*(b*C*d + 12*b*B*e + 7*a*C*e) - c^2*(2*C*d^2 - 3*e*(B*d + 7*A*e)))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*(2*c*C*d - 3*B*c*e + 2*b*C*e)*sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(21*c^2*e) + (2*C*(d + e*x)^(3//2)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(9*c*e) + (1/(315*c^4*e^4*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*(4*c^2*d^2 - b^2*e^2 - (3//2)*c*e*(b*d - 2*a*e))*(8*b^2*C*e^2 - c*e*(b*C*d + 12*b*B*e + 7*a*C*e) - c^2*(2*C*d^2 - 3*e*(B*d + 7*A*e))) - 5*c*e*(2*c*d - b*e)*(6*b^2*C*d*e + c*e*(21*A*c*d - 5*a*C*d - 3*a*B*e) + b*(2*a*C*e^2 - c*d*(C*d + 9*B*e))))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))) - (1/(315*c^4*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(8*b^3*C*e^3 - 3*c^2*e^2*(b*B*d + 2*a*C*d - 7*A*b*e - 10*a*B*e) + 3*b*c*e^2*(b*C*d - 4*b*B*e - 9*a*C*e) - 2*c^3*d*(8*C*d^2 - 3*e*(4*B*d - 7*A*e)))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))), x, 8),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)*(A + B*x + C*x^2)/(d + e*x)^(1//2), -((2*sqrt(d + e*x)*(5*c*e*(3*b*C*d - 7*A*c*e + a*C*e) - (4*c*d - b*e)*(6*c*C*d - 7*B*c*e + 4*b*C*e) + 3*c*e*(6*c*C*d - 7*B*c*e + 4*b*C*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(105*c^2*e^3)) + (2*C*sqrt(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*c*e) + (1/(105*c^3*e^4*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(5*c*e*(2*c*d - b*e)*(3*b*C*d - 7*A*c*e + a*C*e) - (6*c*C*d - 7*B*c*e + 4*b*C*e)*(8*c^2*d^2 - 2*b^2*e^2 - 3*c*e*(b*d - 2*a*e)))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))) + (1/(105*c^3*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(4*b^2*C*e^2 + c*e*(8*b*C*d - 7*b*B*e - 10*a*C*e) + c^2*(48*C*d^2 - 14*e*(4*B*d - 5*A*e)))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))), x, 7),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)*(A + B*x + C*x^2)/(d + e*x)^(3//2), -((2*sqrt(d + e*x)*(b*C*e^2*(b*d - a*e) + c^2*d*(24*C*d^2 - 5*e*(4*B*d - 3*A*e)) + c*e*(a*e*(9*C*d - 5*B*e) - 5*b*(5*C*d^2 - 4*B*d*e + 3*A*e^2)) + 3*c*e^2*(5*B*c*d + b*C*d - (6*c*C*d^2)/e - 5*A*c*e - a*C*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*c*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))) - (2*(C*d^2 - e*(B*d - A*e))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*b^2*C*e^2 + c*e*(8*b*C*d - 5*b*B*e - 6*a*C*e) - c^2*(48*C*d^2 - 10*e*(4*B*d - 3*A*e)))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*c^2*e^4*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (1/(15*c^2*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b*C*e^2*(b*d - a*e) - 2*c^2*d*(24*C*d^2 - 5*e*(4*B*d - 3*A*e)) - c*e*(2*a*e*(9*C*d - 5*B*e) - b*(32*C*d^2 - 5*e*(5*B*d - 3*A*e))))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))), x, 7),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)*(A + B*x + C*x^2)/(d + e*x)^(5//2), -((2*(e*(b*d - a*e)*(7*C*d - 3*B*e) - c*d*(8*C*d^2 - e*(4*B*d - A*e)) + e^2*(B*c*d + b*C*d - (2*c*C*d^2)/e - A*c*e - a*C*e)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x))) - (2*(C*d^2 - e*(B*d - A*e))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(3*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2)) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*(4*c*d - (b*e)/2)*(B*c*d + b*C*d - (2*c*C*d^2)/e - A*c*e - a*C*e) + 6*c*(b*d*(C*d - B*e) + e*(A*c*d - a*C*d + a*B*e)))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(e*(8*b*C*d - 3*b*B*e - 2*a*C*e) - 2*c*(8*C*d^2 - e*(4*B*d - A*e)))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c*e^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)*(A + B*x + C*x^2)/(d + e*x)^(7//2), -((1/(15*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2)))*(2*(c^2*d^3*(24*C*d^2 - e*(4*B*d + A*e)) + e^2*(15*b^2*C*d^3 + 5*a^2*e^2*(C*d + B*e) - a*b*e*(22*C*d^2 + 3*B*d*e + 2*A*e^2)) - c*d*e*(b*d*(41*C*d^2 - 6*B*d*e + A*e^2) - a*e*(37*C*d^2 - 7*B*d*e + 7*A*e^2)) + e*(5*c^2*d^2*(6*C*d^2 - e*(B*d + A*e)) + e^2*(15*a^2*C*e^2 - 5*a*b*e*(8*C*d - B*e) + b^2*(23*C*d^2 - 3*B*d*e - 2*A*e^2)) - c*e*(5*b*d*(11*C*d^2 - 2*B*d*e - A*e^2) - a*e*(53*C*d^2 - 13*B*d*e + 3*A*e^2)))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))) - (2*(C*d^2 - e*(B*d - A*e))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(5*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2)) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c^2*d^2*(24*C*d^2 - e*(4*B*d + A*e)) + e^2*(30*a^2*C*e^2 - 5*a*b*e*(14*C*d - B*e) + b^2*(38*C*d^2 - 3*B*d*e - 2*A*e^2)) - c*e*(b*d*(88*C*d^2 - 13*B*d*e - 2*A*e^2) - 2*a*e*(43*C*d^2 - 8*B*d*e + 3*A*e^2)))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*e^4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (1/(15*c*e^4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(15*b*C*e^2*(b*d - a*e) + 2*c^2*d*(24*C*d^2 - e*(4*B*d + A*e)) + c*e*(10*a*e*(5*C*d - B*e) - b*(64*C*d^2 - 9*B*d*e - A*e^2)))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))), x, 7),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)*(A + B*x + C*x^2)/(d + e*x)^(9//2), (1/(105*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*sqrt(d + e*x)))*(2*(2*c^3*d^3*(24*C*d^2 + e*(4*B*d + 3*A*e)) - b*e^3*(35*a^2*C*e^2 - 14*a*b*e*(3*C*d + B*e) + b^2*(15*C*d^2 + 6*B*d*e + 8*A*e^2)) + c^2*d*e*(2*a*e*(69*C*d^2 + e*(15*B*d - 29*A*e)) - b*d*(128*C*d^2 + e*(19*B*d + 9*A*e))) + c*e^2*(14*a^2*e^2*(11*C*d - 3*B*e) - a*b*e*(237*C*d^2 + e*(B*d - 29*A*e)) + b^2*d*(103*C*d^2 + e*(9*B*d + 19*A*e))))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (1/(105*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(5//2)))*(2*(c^2*d^3*(24*C*d^2 + e*(4*B*d + 3*A*e)) - e^2*(7*a^2*e^2*(C*d - 3*B*e) - b^2*d*(15*C*d^2 + 6*B*d*e + 8*A*e^2) + a*b*e*(12*C*d^2 + 23*B*d*e + 12*A*e^2)) - c*d*e*(b*d*(43*C*d^2 + 6*B*d*e + 15*A*e^2) - a*e*(33*C*d^2 + 9*B*d*e + 19*A*e^2)) + e*(7*c^2*d^2*(6*C*d^2 + e*(B*d - 3*A*e)) + e^2*(35*a^2*C*e^2 - 7*a*b*e*(12*C*d - B*e) + b^2*(45*C*d^2 - 3*B*d*e - 4*A*e^2)) + c*e*(a*e*(93*C*d^2 - 9*B*d*e - 5*A*e^2) - b*(91*C*d^3 - 21*A*d*e^2)))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*(C*d^2 - e*(B*d - A*e))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(7*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(7//2)) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c^3*d^3*(24*C*d^2 + e*(4*B*d + 3*A*e)) - b*e^3*(35*a^2*C*e^2 - 14*a*b*e*(3*C*d + B*e) + b^2*(15*C*d^2 + 6*B*d*e + 8*A*e^2)) + c^2*d*e*(2*a*e*(69*C*d^2 + e*(15*B*d - 29*A*e)) - b*d*(128*C*d^2 + e*(19*B*d + 9*A*e))) + c*e^2*(14*a^2*e^2*(11*C*d - 3*B*e) - a*b*e*(237*C*d^2 + e*(B*d - 29*A*e)) + b^2*d*(103*C*d^2 + e*(9*B*d + 19*A*e))))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(105*e^4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c^2*d^2*(24*C*d^2 + e*(4*B*d + 3*A*e)) + c*e*(2*a*e*(51*C*d^2 + e*(12*B*d - 5*A*e)) - b*d*(104*C*d^2 + 3*e*(5*B*d + 2*A*e))) + e^2*(70*a^2*C*e^2 - 7*a*b*e*(18*C*d + B*e) + b^2*(60*C*d^2 + e*(3*B*d + 4*A*e))))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(105*e^4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+(sqrt(a + b*x + c*x^2)*(A + B*x + C*x^2)/(d + e*x)^(11//2), (1/(315*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)^(3//2)))*(2*(2*c^3*d^3*(8*C*d^2 + e*(4*B*d + 5*A*e)) + 3*c^2*d*e*(2*a*e*(9*C*d^2 + 7*B*d*e - 9*A*e^2) - b*d*(16*C*d^2 + 7*B*d*e + 5*A*e^2)) + 3*c*e^2*(2*a^2*e^2*(17*C*d - 5*B*e) - a*b*e*(41*C*d^2 + 5*B*d*e - 9*A*e^2) + b^2*d*(15*C*d^2 + 3*B*d*e + 7*A*e^2)) - b*e^3*(21*a^2*C*e^2 - 6*a*b*e*(3*C*d + 2*B*e) + b^2*(5*C*d^2 + 4*B*d*e + 8*A*e^2)))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (1/(315*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4*sqrt(d + e*x)))*(2*(2*c^4*d^4*(8*C*d^2 + e*(4*B*d + 5*A*e)) + 2*b^2*e^4*(21*a^2*C*e^2 - 6*a*b*e*(3*C*d + 2*B*e) + b^2*(5*C*d^2 + 4*B*d*e + 8*A*e^2)) - 6*c^2*e^2*(a*b*d*e*(30*C*d^2 - 5*B*d*e - 34*A*e^2) - a^2*e^2*(30*C*d^2 - 36*B*d*e + 7*A*e^2) - b^2*d^2*(11*C*d^2 + 3*B*d*e + 11*A*e^2)) - c*e^3*(126*a^3*C*e^3 - 3*a^2*b*e^2*(12*C*d + 29*B*e) - 6*a*b^2*e*(5*C*d^2 + 7*B*d*e - 12*A*e^2) + b^3*d*(20*C*d^2 + 25*B*d*e + 56*A*e^2)) + c^3*d^2*e*(6*a*e*(11*C*d^2 + 8*B*d*e - 34*A*e^2) - b*d*(56*C*d^2 + 5*e*(5*B*d + 4*A*e))))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (1/(105*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(7//2)))*(2*(c^2*d^3*(8*C*d^2 + e*(4*B*d + 5*A*e)) - e^2*(3*a^2*e^2*(3*C*d - 5*B*e) - a*b*e*(2*C*d^2 - 17*B*d*e - 10*A*e^2) - b^2*d*(5*C*d^2 + 4*B*d*e + 8*A*e^2)) - c*d*e*(3*b*d*(5*C*d^2 + 2*B*d*e + 5*A*e^2) - a*e*(7*C*d^2 + 11*B*d*e + 13*A*e^2)) + e*(3*c^2*d^2*(6*C*d^2 + e*(3*B*d - 5*A*e)) + c*e*(a*e*(47*C*d^2 + B*d*e - 7*A*e^2) - 3*b*d*(15*C*d^2 + 2*B*d*e - 5*A*e^2)) + e^2*(21*a^2*C*e^2 - 3*a*b*e*(16*C*d - B*e) + b^2*(25*C*d^2 - e*(B*d + 2*A*e))))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*(C*d^2 - e*(B*d - A*e))*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(9*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(9//2)) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c^4*d^4*(8*C*d^2 + e*(4*B*d + 5*A*e)) + 2*b^2*e^4*(21*a^2*C*e^2 - 6*a*b*e*(3*C*d + 2*B*e) + b^2*(5*C*d^2 + 4*B*d*e + 8*A*e^2)) - 6*c^2*e^2*(a*b*d*e*(30*C*d^2 - 5*B*d*e - 34*A*e^2) - a^2*e^2*(30*C*d^2 - 36*B*d*e + 7*A*e^2) - b^2*d^2*(11*C*d^2 + 3*B*d*e + 11*A*e^2)) - c*e^3*(126*a^3*C*e^3 - 3*a^2*b*e^2*(12*C*d + 29*B*e) - 6*a*b^2*e*(5*C*d^2 + 7*B*d*e - 12*A*e^2) + b^3*d*(20*C*d^2 + 25*B*d*e + 56*A*e^2)) + c^3*d^2*e*(6*a*e*(11*C*d^2 + 8*B*d*e - 34*A*e^2) - b*d*(56*C*d^2 + 5*e*(5*B*d + 4*A*e))))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(315*e^4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c^3*d^3*(8*C*d^2 + e*(4*B*d + 5*A*e)) + 3*c^2*d*e*(2*a*e*(9*C*d^2 + 7*B*d*e - 9*A*e^2) - b*d*(16*C*d^2 + 7*B*d*e + 5*A*e^2)) + 3*c*e^2*(2*a^2*e^2*(17*C*d - 5*B*e) - a*b*e*(41*C*d^2 + 5*B*d*e - 9*A*e^2) + b^2*d*(15*C*d^2 + 3*B*d*e + 7*A*e^2)) - b*e^3*(21*a^2*C*e^2 - 6*a*b*e*(3*C*d + 2*B*e) + b^2*(5*C*d^2 + 4*B*d*e + 8*A*e^2)))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(315*e^4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 9),
+
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
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+((d + e*x)^(3//2)*(A + B*x + C*x^2)/(sqrt(a + b*x + c*x^2)), (2*(24*b^2*C*e^2 - c*e*(15*b*C*d + 28*b*B*e + 25*a*C*e) - c^2*(6*C*d^2 - 7*e*(3*B*d + 5*A*e)))*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(105*c^3*e) - (2*(2*c*C*d - 7*B*c*e + 6*b*C*e)*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(35*c^2*e) + (2*C*(d + e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(7*c*e) - (1/(105*c^4*e^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(48*b^3*C*e^3 - 8*b*c*e^2*(9*b*C*d + 7*b*B*e + 13*a*C*e) + c^3*d*(6*C*d^2 - 7*e*(3*B*d + 20*A*e)) + c^2*e*(a*e*(82*C*d + 63*B*e) + b*(12*C*d^2 + 91*B*d*e + 70*A*e^2)))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))) - (1/(105*c^4*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))*(2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(24*b^2*C*e^2 - c*e*(15*b*C*d + 28*b*B*e + 25*a*C*e) - c^2*(6*C*d^2 - 7*e*(3*B*d + 5*A*e)))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))), x, 8),
+((d + e*x)^(1//2)*(A + B*x + C*x^2)/(sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((2*(2*c*C*d - 5*B*c*e + 4*b*C*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*c^2*e)) + (2*C*(d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*c*e) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(8*b^2*C*e^2 - c*e*(3*b*C*d + 10*b*B*e + 9*a*C*e) - c^2*(2*C*d^2 - 5*e*(B*d + 3*A*e)))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*c^3*e^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*C*d - 5*B*c*e + 4*b*C*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*c^3*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((A + B*x + C*x^2)/((d + e*x)^(1//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (2*C*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c*e) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*C*d - 3*B*c*e + 2*b*C*e)*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c^2*e^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(C*e*(b*d - a*e) + c*(2*C*d^2 - 3*e*(B*d - A*e)))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c^2*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((A + B*x + C*x^2)/((d + e*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((2*(C*d^2 - e*(B*d - A*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x))) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(C*e*(b*d - a*e) - c*(2*C*d^2 - e*(B*d - A*e)))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(c*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*C*d - B*e)*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(c*e^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 6),
+((A + B*x + C*x^2)/((d + e*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((2*(C*d^2 - e*(B*d - A*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(3//2))) + (2*(c*d*(2*C*d^2 + e*(B*d - 4*A*e)) + e*(3*a*e*(2*C*d - B*e) - b*(4*C*d^2 - B*d*e - 2*A*e^2)))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d*(2*C*d^2 + e*(B*d - 4*A*e)) + e*(3*a*e*(2*C*d - B*e) - b*(4*C*d^2 - B*d*e - 2*A*e^2)))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(3*C*e*(b*d - a*e) - c*(2*C*d^2 + e*(B*d - A*e)))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*c*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 7),
+((A + B*x + C*x^2)/((d + e*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((2*(C*d^2 - e*(B*d - A*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^(5//2))) + (2*(c*d*(2*C*d^2 + e*(3*B*d - 8*A*e)) + e*(5*a*e*(2*C*d - B*e) - b*(6*C*d^2 - B*d*e - 4*A*e^2)))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^(3//2)) + (2*(c^2*d^2*(2*C*d^2 + e*(3*B*d - 23*A*e)) - e^2*(15*a^2*C*e^2 - 10*a*b*e*(C*d + B*e) + b^2*(3*C*d^2 + 2*B*d*e + 8*A*e^2)) - c*e*(b*d*(7*C*d^2 - 7*B*d*e - 23*A*e^2) - a*e*(19*C*d^2 - 29*B*d*e + 9*A*e^2)))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(15*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*sqrt(d + e*x)) - (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c^2*d^2*(2*C*d^2 + e*(3*B*d - 23*A*e)) - e^2*(15*a^2*C*e^2 - 10*a*b*e*(C*d + B*e) + b^2*(3*C*d^2 + 2*B*d*e + 8*A*e^2)) - c*e*(b*d*(7*C*d^2 - 7*B*d*e - 23*A*e^2) - a*e*(19*C*d^2 - 29*B*d*e + 9*A*e^2)))*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d*(2*C*d^2 + e*(3*B*d - 8*A*e)) + e*(5*a*e*(2*C*d - B*e) - b*(6*C*d^2 - B*d*e - 4*A*e^2)))*sqrt((c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (A+B x+C x^2) (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p when m and/or p symbolic
+
+
+((g + h*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2), (f*(g + h*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/(c*h*(3 + m + 2*p)) + (1/(c*h^3*(1 + m)*(3 + m + 2*p)))*(((f*h*(b*g - a*h)*(1 + m) + c*(2*f*g^2*(1 + p) - h*(e*g - d*h)*(3 + m + 2*p)))*(g + h*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -p, -p, 2 + m, (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*h), (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*h)))/((1 - (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*h))^p*(1 - (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*h))^p)) - ((b*f*h*(2 + m + p) + c*(2*f*g*(1 + p) - e*h*(3 + m + 2*p)))*(g + h*x)^(2 + m)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, -p, -p, 3 + m, (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*h), (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*h)))/((1 - (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*h))^p*(1 - (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*h))^p*(c*h^3*(2 + m)*(3 + m + 2*p))), x, 6),
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+((g + h*x)^m*sqrt(a + b*x + c*x^2)*(d + e*x + f*x^2), (f*(g + h*x)^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2))/(c*h*(4 + m)) + ((f*h*(b*g - a*h)*(1 + m) + c*(3*f*g^2 - h*(e*g - d*h)*(4 + m)))*(g + h*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -(1//2), -(1//2), 2 + m, (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*h), (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*h)))/(c*h^3*(1 + m)*(4 + m)*sqrt(1 - (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*h))*sqrt(1 - (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*h))) - ((b*f*h*(5 + 2*m) + c*(6*f*g - 2*e*h*(4 + m)))*(g + h*x)^(2 + m)*sqrt(a + b*x + c*x^2)*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + m, -(1//2), -(1//2), 3 + m, (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*h), (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*h)))/(2*c*h^3*(2 + m)*(4 + m)*sqrt(1 - (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*h))*sqrt(1 - (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*h))), x, 6),
+
+
+((g + h*x)^(-3 - 2*p)*(a + b*x + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2), -(((f*g^2 - h*(e*g - d*h))*(a + b*x + c*x^2)^(1 + p))/((g + h*x)^(2*(1 + p))*(2*h*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*(1 + p)))) - (f*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-2*p, -p, -p, 1 - 2*p, (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*h), (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*h)))/((g + h*x)^(2*p)*(1 - (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*h))^p*(1 - (2*c*(g + h*x))/(2*c*g - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*h))^p*(2*h^3*p)) - ((2*c*(f*g^3 - d*g*h^2) + h*(2*a*h*(2*f*g - e*h) - b*(3*f*g^2 - e*g*h - d*h^2)))*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)*(g + h*x)^(-1 - 2*p)*(a + b*x + c*x^2)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-1 - 2*p, -p, -2*p, -((4*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(g + h*x))/((2*c*g - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*h)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))))/(((2*c*g - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*h)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x))/((2*c*g - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*h)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))^p/(2*h^2*(2*c*g - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*h)*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*(1 + 2*p)), x, 5),
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+((2*c*d*f + 2*b*f^2*(3 + 2*p)*x + 2*c*f^2*(3 + 2*p)*x^2)*(d + f*x^2)^p, (b*f*(3 + 2*p)*(d + f*x^2)^(1 + p))/(1 + p) + 2*c*f*x*(d + f*x^2)^(1 + p), x, 3),
+((-2*c*e^2 + 2*c*d*f - c*e^2*p + 2*c*f^2*(3 + 2*p)*x^2)*(d + e*x + f*x^2)^p, -((c*e*(2 + p)*(d + e*x + f*x^2)^(1 + p))/(1 + p)) + 2*c*f*x*(d + e*x + f*x^2)^(1 + p), x, 2),
+((-2*c*e^2 + 2*c*d*f + 3*b*e*f - c*e^2*p + 2*b*e*f*p + b*2*f^2*(3 + 2*p)*x + c*2*f^2*(3 + 2*p)*x^2)*(d + e*x + f*x^2)^p, -(((c*e*(2 + p) - b*f*(3 + 2*p))*(d + e*x + f*x^2)^(1 + p))/(1 + p)) + 2*c*f*x*(d + e*x + f*x^2)^(1 + p), x, 2),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form P3[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p
+
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+# ::Section::
+# Integrands of the form P3[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p when b^2-4 a c=0
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+# ::Section::
+# Integrands of the form P3[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p when b=0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P3[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P3[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^5*(d*(6*b*d + 5*a*e) + (12*c*d^2 + 17*b*d*e + 5*a*e^2)*x + e*(29*c*d + 11*b*e)*x^2 + 17*c*e^2*x^3), (d + e*x)^5*(a + b*x + c*x^2)^6, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((x^2 + x^3)/(-2 + x + x^2), x^2//2 + (2//3)*log(1 - x) + (4//3)*log(2 + x), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P3[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+(x^2*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/sqrt(a + b*x + c*x^2), ((80*c^2*e - 70*b*c*f + 63*b^2*g - 64*a*c*g)*x^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(240*c^3) + ((10*c*f - 9*b*g)*x^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(40*c^2) + (g*x^4*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*c) - (1/(1920*c^5))*((1050*b^3*c*f + 40*b*c^2*(36*c*d - 55*a*f) - 945*b^4*g - 60*b^2*c*(20*c*e - 49*a*g) + 256*a*c^2*(5*c*e - 4*a*g) - 2*c*(480*c^3*d - 40*c^2*(10*b*e + 9*a*f) - 315*b^3*g + 14*b*c*(25*b*f + 46*a*g))*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + ((70*b^4*c*f + 48*b^2*c^2*(2*c*d - 5*a*f) - 32*a*c^3*(4*c*d - 3*a*f) - 63*b^5*g - 40*b^3*c*(2*c*e - 7*a*g) + 48*a*b*c^2*(4*c*e - 5*a*g))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*c^(11//2)), x, 6),
+(x^1*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/sqrt(a + b*x + c*x^2), ((8*c*f - 7*b*g)*x^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*c^2) + (g*x^3*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c) + ((192*c^3*d - 16*c^2*(9*b*e + 8*a*f) - 105*b^3*g + 20*b*c*(6*b*f + 11*a*g) + 2*c*(48*c^2*e - 40*b*c*f + 35*b^2*g - 36*a*c*g)*x)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(192*c^4) - ((40*b^3*c*f + 32*b*c^2*(2*c*d - 3*a*f) - 35*b^4*g - 24*b^2*c*(2*c*e - 5*a*g) + 16*a*c^2*(4*c*e - 3*a*g))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(9//2)), x, 5),
+(x^0*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/sqrt(a + b*x + c*x^2), ((24*c^2*e - 18*b*c*f + 15*b^2*g - 16*a*c*g)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*c^3) + ((6*c*f - 5*b*g)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(12*c^2) + (g*x^2*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*c) + ((16*c^3*d - 8*c^2*(b*e + a*f) - 5*b^3*g + 6*b*c*(b*f + 2*a*g))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(7//2)), x, 5),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(x^1*sqrt(a + b*x + c*x^2)), ((4*c*f - 3*b*g)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*c^2) + (g*x*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*c) - (d*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/sqrt(a) + ((8*c^2*e + 3*b^2*g - 4*c*(b*f + a*g))*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(5//2)), x, 7),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(x^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)), (g*sqrt(a + b*x + c*x^2))/c - (d*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(a*x) + ((b*d - 2*a*e)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*a^(3//2)) + ((2*c*f - b*g)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(3//2)), x, 7),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(x^3*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((d*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(2*a*x^2)) + ((3*b*d - 4*a*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*a^2*x) + (g*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/sqrt(c) - ((3*b^2*d - 4*a*c*d - 4*a*b*e + 8*a^2*f)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*a^(5//2)), x, 7),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(x^4*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((d*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(3*a*x^3)) + ((5*b*d - 6*a*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(12*a^2*x^2) - ((15*b^2*d - 16*a*c*d - 18*a*b*e + 24*a^2*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*a^3*x) + ((5*b^3*d - 6*a*b^2*e - 4*a*b*(3*c*d - 2*a*f) + 8*a^2*(c*e - 2*a*g))*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*a^(7//2)), x, 5),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(x^5*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((d*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(4*a*x^4)) + ((7*b*d - 8*a*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(24*a^2*x^3) - ((35*b^2*d - 36*a*c*d - 40*a*b*e + 48*a^2*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(96*a^3*x^2) + ((105*b^3*d - 120*a*b^2*e - 4*a*b*(55*c*d - 36*a*f) + 64*a^2*(2*c*e - 3*a*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(192*a^4*x) - ((35*b^4*d - 40*a*b^3*e + 16*a^2*c*(3*c*d - 4*a*f) - 24*a*b^2*(5*c*d - 2*a*f) + 32*a^2*b*(3*c*e - 2*a*g))*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*a^(9//2)), x, 6),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(x^6*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -((d*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(5*a*x^5)) + ((9*b*d - 10*a*e)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(40*a^2*x^4) - ((63*b^2*d - 64*a*c*d - 70*a*b*e + 80*a^2*f)*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(240*a^3*x^3) + ((315*b^3*d - 350*a*b^2*e - 4*a*b*(161*c*d - 100*a*f) + 120*a^2*(3*c*e - 4*a*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(960*a^4*x^2) - ((945*b^4*d - 1050*a*b^3*e - 60*a*b^2*(49*c*d - 20*a*f) + 256*a^2*c*(4*c*d - 5*a*f) + 40*a^2*b*(55*c*e - 36*a*g))*sqrt(a + b*x + c*x^2))/(1920*a^5*x) + ((63*b^5*d - 70*a*b^4*e + 48*a^2*b*c*(5*c*d - 4*a*f) - 40*a*b^3*(7*c*d - 2*a*f) - 32*a^3*c*(3*c*e - 4*a*g) + 48*a^2*b^2*(5*c*e - 2*a*g))*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*a^(11//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p (f+g x+h x^2) when m and/or p symbolic
+
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+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form P4[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p
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+
+# ::Section::
+# Integrands of the form P4[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p when b=0
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P4[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P4[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^3*(3 + 2*x + 5*x^2)*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4), ((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)*(4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4)*(d + e*x)^4)/(4*e^7) - ((120*d^5 + 85*d^4*e + 68*d^3*e^2 + 12*d^2*e^3 + 42*d*e^4 - 7*e^5)*(d + e*x)^5)/(5*e^7) + ((300*d^4 + 170*d^3*e + 102*d^2*e^2 + 12*d*e^3 + 21*e^4)*(d + e*x)^6)/(6*e^7) - (2*(200*d^3 + 85*d^2*e + 34*d*e^2 + 2*e^3)*(d + e*x)^7)/(7*e^7) + ((300*d^2 + 85*d*e + 17*e^2)*(d + e*x)^8)/(8*e^7) - ((120*d + 17*e)*(d + e*x)^9)/(9*e^7) + (2*(d + e*x)^10)/e^7, x, 2),
+((d + e*x)^2*(3 + 2*x + 5*x^2)*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4), 6*d^2*x + (1//2)*d*(7*d + 12*e)*x^2 + (1//3)*(21*d^2 + 14*d*e + 6*e^2)*x^3 - (1//4)*(4*d^2 - 42*d*e - 7*e^2)*x^4 + (1//5)*(17*d^2 - 8*d*e + 21*e^2)*x^5 - (1//6)*(17*d^2 - 34*d*e + 4*e^2)*x^6 + (1//7)*(20*d^2 - 34*d*e + 17*e^2)*x^7 + (1//8)*(40*d - 17*e)*e*x^8 + (20*e^2*x^9)/9, x, 2),
+((d + e*x)^1*(3 + 2*x + 5*x^2)*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4), 6*d*x + (1//2)*(7*d + 6*e)*x^2 + (7//3)*(3*d + e)*x^3 - (1//4)*(4*d - 21*e)*x^4 + (1//5)*(17*d - 4*e)*x^5 - (17//6)*(d - e)*x^6 + (1//7)*(20*d - 17*e)*x^7 + (5*e*x^8)/2, x, 2),
+((d + e*x)^0*(3 + 2*x + 5*x^2)*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4), 6*x + (7*x^2)/2 + 7*x^3 - x^4 + (17*x^5)/5 - (17*x^6)/6 + (20*x^7)/7, x, 2),
+((3 + 2*x + 5*x^2)*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(d + e*x)^1, -(((20*d^5 + 17*d^4*e + 17*d^3*e^2 + 4*d^2*e^3 + 21*d*e^4 - 7*e^5)*x)/e^6) + ((20*d^4 + 17*d^3*e + 17*d^2*e^2 + 4*d*e^3 + 21*e^4)*x^2)/(2*e^5) - ((20*d^3 + 17*d^2*e + 17*d*e^2 + 4*e^3)*x^3)/(3*e^4) + ((20*d^2 + 17*d*e + 17*e^2)*x^4)/(4*e^3) - ((20*d + 17*e)*x^5)/(5*e^2) + (10*x^6)/(3*e) + ((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)*(4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4)*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((3 + 2*x + 5*x^2)*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(d + e*x)^2, ((100*d^4 + 68*d^3*e + 51*d^2*e^2 + 8*d*e^3 + 21*e^4)*x)/e^6 - ((80*d^3 + 51*d^2*e + 34*d*e^2 + 4*e^3)*x^2)/(2*e^5) + ((60*d^2 + 34*d*e + 17*e^2)*x^3)/(3*e^4) - ((40*d + 17*e)*x^4)/(4*e^3) + (4*x^5)/e^2 - ((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)*(4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4))/(e^7*(d + e*x)) - ((120*d^5 + 85*d^4*e + 68*d^3*e^2 + 12*d^2*e^3 + 42*d*e^4 - 7*e^5)*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+((3 + 2*x + 5*x^2)*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(d + e*x)^3, -(((200*d^3 + 102*d^2*e + 51*d*e^2 + 4*e^3)*x)/e^6) + ((120*d^2 + 51*d*e + 17*e^2)*x^2)/(2*e^5) - ((60*d + 17*e)*x^3)/(3*e^4) + (5*x^4)/e^3 - ((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)*(4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4))/(2*e^7*(d + e*x)^2) + (120*d^5 + 85*d^4*e + 68*d^3*e^2 + 12*d^2*e^3 + 42*d*e^4 - 7*e^5)/(e^7*(d + e*x)) + ((300*d^4 + 170*d^3*e + 102*d^2*e^2 + 12*d*e^3 + 21*e^4)*log(d + e*x))/e^7, x, 2),
+
+
+((d + e*x)^3*(3 + 2*x + 5*x^2)^2*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4), ((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2*(4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4)*(d + e*x)^4)/(4*e^9) - ((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)*(160*d^5 + 127*d^4*e + 88*d^3*e^2 - 4*d^2*e^3 + 64*d*e^4 - 11*e^5)*(d + e*x)^5)/(5*e^9) + ((2800*d^6 + 945*d^5*e + 1665*d^4*e^2 + 370*d^3*e^3 + 888*d^2*e^4 - 195*d*e^5 + 107*e^6)*(d + e*x)^6)/(6*e^9) - ((5600*d^5 + 1575*d^4*e + 2220*d^3*e^2 + 370*d^2*e^3 + 592*d*e^4 - 65*e^5)*(d + e*x)^7)/(7*e^9) + ((7000*d^4 + 1575*d^3*e + 1665*d^2*e^2 + 185*d*e^3 + 148*e^4)*(d + e*x)^8)/(8*e^9) - ((5600*d^3 + 945*d^2*e + 666*d*e^2 + 37*e^3)*(d + e*x)^9)/(9*e^9) + ((2800*d^2 + 315*d*e + 111*e^2)*(d + e*x)^10)/(10*e^9) - (5*(160*d + 9*e)*(d + e*x)^11)/(11*e^9) + (25*(d + e*x)^12)/(3*e^9), x, 2),
+((d + e*x)^2*(3 + 2*x + 5*x^2)^2*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4), 18*d^2*x + (3//2)*d*(11*d + 12*e)*x^2 + (1//3)*(107*d^2 + 66*d*e + 18*e^2)*x^3 + (1//4)*(65*d^2 + 214*d*e + 33*e^2)*x^4 + (1//5)*(148*d^2 + 130*d*e + 107*e^2)*x^5 - (1//6)*(37*d^2 - 296*d*e - 65*e^2)*x^6 + (37//7)*(3*d^2 - 2*d*e + 4*e^2)*x^7 - (1//8)*(45*d^2 - 222*d*e + 37*e^2)*x^8 + (1//9)*(100*d^2 - 90*d*e + 111*e^2)*x^9 + (1//2)*(40*d - 9*e)*e*x^10 + (100*e^2*x^11)/11, x, 2),
+((d + e*x)^1*(3 + 2*x + 5*x^2)^2*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4), 18*d*x + (3//2)*(11*d + 6*e)*x^2 + (1//3)*(107*d + 33*e)*x^3 + (1//4)*(65*d + 107*e)*x^4 + (1//5)*(148*d + 65*e)*x^5 - (37//6)*(d - 4*e)*x^6 + (37//7)*(3*d - e)*x^7 - (3//8)*(15*d - 37*e)*x^8 + (5//9)*(20*d - 9*e)*x^9 + 10*e*x^10, x, 2),
+((d + e*x)^0*(3 + 2*x + 5*x^2)^2*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4), 18*x + (33*x^2)/2 + (107*x^3)/3 + (65*x^4)/4 + (148*x^5)/5 - (37*x^6)/6 + (111*x^7)/7 - (45*x^8)/8 + (100*x^9)/9, x, 2),
+((3 + 2*x + 5*x^2)^2*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(d + e*x)^1, -(((100*d^7 + 45*d^6*e + 111*d^5*e^2 + 37*d^4*e^3 + 148*d^3*e^4 - 65*d^2*e^5 + 107*d*e^6 - 33*e^7)*x)/e^8) + ((100*d^6 + 45*d^5*e + 111*d^4*e^2 + 37*d^3*e^3 + 148*d^2*e^4 - 65*d*e^5 + 107*e^6)*x^2)/(2*e^7) - ((100*d^5 + 45*d^4*e + 111*d^3*e^2 + 37*d^2*e^3 + 148*d*e^4 - 65*e^5)*x^3)/(3*e^6) + ((100*d^4 + 45*d^3*e + 111*d^2*e^2 + 37*d*e^3 + 148*e^4)*x^4)/(4*e^5) - ((100*d^3 + 45*d^2*e + 111*d*e^2 + 37*e^3)*x^5)/(5*e^4) + ((100*d^2 + 45*d*e + 111*e^2)*x^6)/(6*e^3) - (5*(20*d + 9*e)*x^7)/(7*e^2) + (25*x^8)/(2*e) + ((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2*(4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4)*log(d + e*x))/e^9, x, 2),
+((3 + 2*x + 5*x^2)^2*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(d + e*x)^2, ((700*d^6 + 270*d^5*e + 555*d^4*e^2 + 148*d^3*e^3 + 444*d^2*e^4 - 130*d*e^5 + 107*e^6)*x)/e^8 - ((600*d^5 + 225*d^4*e + 444*d^3*e^2 + 111*d^2*e^3 + 296*d*e^4 - 65*e^5)*x^2)/(2*e^7) + ((500*d^4 + 180*d^3*e + 333*d^2*e^2 + 74*d*e^3 + 148*e^4)*x^3)/(3*e^6) - ((400*d^3 + 135*d^2*e + 222*d*e^2 + 37*e^3)*x^4)/(4*e^5) + (3*(100*d^2 + 30*d*e + 37*e^2)*x^5)/(5*e^4) - (5*(40*d + 9*e)*x^6)/(6*e^3) + (100*x^7)/(7*e^2) - ((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2*(4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4))/(e^9*(d + e*x)) - ((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)*(160*d^5 + 127*d^4*e + 88*d^3*e^2 - 4*d^2*e^3 + 64*d*e^4 - 11*e^5)*log(d + e*x))/e^9, x, 2),
+((3 + 2*x + 5*x^2)^2*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(d + e*x)^3, -(((2100*d^5 + 675*d^4*e + 1110*d^3*e^2 + 222*d^2*e^3 + 444*d*e^4 - 65*e^5)*x)/e^8) + ((1500*d^4 + 450*d^3*e + 666*d^2*e^2 + 111*d*e^3 + 148*e^4)*x^2)/(2*e^7) - ((1000*d^3 + 270*d^2*e + 333*d*e^2 + 37*e^3)*x^3)/(3*e^6) + (3*(200*d^2 + 45*d*e + 37*e^2)*x^4)/(4*e^5) - (3*(20*d + 3*e)*x^5)/e^4 + (50*x^6)/(3*e^3) - ((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2*(4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4))/(2*e^9*(d + e*x)^2) + ((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)*(160*d^5 + 127*d^4*e + 88*d^3*e^2 - 4*d^2*e^3 + 64*d*e^4 - 11*e^5))/(e^9*(d + e*x)) + ((2800*d^6 + 945*d^5*e + 1665*d^4*e^2 + 370*d^3*e^3 + 888*d^2*e^4 - 195*d*e^5 + 107*e^6)*log(d + e*x))/e^9, x, 2),
+((3 + 2*x + 5*x^2)^2*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(d + e*x)^4, (2*(1750*d^4 + 450*d^3*e + 555*d^2*e^2 + 74*d*e^3 + 74*e^4)*x)/e^8 - ((2000*d^3 + 450*d^2*e + 444*d*e^2 + 37*e^3)*x^2)/(2*e^7) + ((1000*d^2 + 180*d*e + 111*e^2)*x^3)/(3*e^6) - (5*(80*d + 9*e)*x^4)/(4*e^5) + (20*x^5)/e^4 - ((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2*(4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4))/(3*e^9*(d + e*x)^3) + ((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)*(160*d^5 + 127*d^4*e + 88*d^3*e^2 - 4*d^2*e^3 + 64*d*e^4 - 11*e^5))/(2*e^9*(d + e*x)^2) - (2800*d^6 + 945*d^5*e + 1665*d^4*e^2 + 370*d^3*e^3 + 888*d^2*e^4 - 195*d*e^5 + 107*e^6)/(e^9*(d + e*x)) - ((5600*d^5 + 1575*d^4*e + 2220*d^3*e^2 + 370*d^2*e^3 + 592*d*e^4 - 65*e^5)*log(d + e*x))/e^9, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^3*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(3 + 2*x + 5*x^2), ((10125*d^3 + 34350*d^2*e - 13215*d*e^2 - 5108*e^3)*x)/15625 - ((4125*d^3 - 6075*d^2*e - 6870*d*e^2 + 881*e^3)*x^2)/6250 + ((500*d^3 - 2475*d^2*e + 1215*d*e^2 + 458*e^3)*x^3)/1875 + (3//500)*e*(100*d^2 - 165*d*e + 27*e^2)*x^4 + (3//125)*(20*d - 11*e)*e^2*x^5 + (2*e^3*x^6)/15 - ((52875*d^3 + 449175*d^2*e - 274845*d*e^2 - 53189*e^3)*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(78125*sqrt(14)) + ((57250*d^3 - 66075*d^2*e - 76620*d*e^2 + 23431*e^3)*log(3 + 2*x + 5*x^2))/156250, x, 6),
+((d + e*x)^2*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(3 + 2*x + 5*x^2), ((2025*d^2 + 4580*d*e - 881*e^2)*x)/3125 - ((825*d^2 - 810*d*e - 458*e^2)*x^2)/1250 + (1//375)*(100*d^2 - 330*d*e + 81*e^2)*x^3 + (1//100)*(40*d - 33*e)*e*x^4 + (4*e^2*x^5)/25 - ((10575*d^2 + 59890*d*e - 18323*e^2)*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(15625*sqrt(14)) + ((5725*d^2 - 4405*d*e - 2554*e^2)*log(3 + 2*x + 5*x^2))/15625, x, 6),
+((d + e*x)^1*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(3 + 2*x + 5*x^2), (1//625)*(405*d + 458*e)*x - (3//250)*(55*d - 27*e)*x^2 + (1//75)*(20*d - 33*e)*x^3 + (e*x^4)/5 - ((2115*d + 5989*e)*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(3125*sqrt(14)) + ((2290*d - 881*e)*log(3 + 2*x + 5*x^2))/6250, x, 6),
+((d + e*x)^0*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(3 + 2*x + 5*x^2), (81*x)/125 - (33*x^2)/50 + (4*x^3)/15 - (423*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(625*sqrt(14)) + (229//625)*log(3 + 2*x + 5*x^2), x, 6),
+((2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/((d + e*x)^1*(3 + 2*x + 5*x^2)), -(((20*d + 33*e)*x)/(25*e^2)) + (2*x^2)/(5*e) - ((423*d - 1367*e)*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(125*sqrt(14)*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)) + ((4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4)*log(d + e*x))/(e^3*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)) + ((458*d - 7*e)*log(3 + 2*x + 5*x^2))/(250*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)), x, 6),
+((2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/((d + e*x)^2*(3 + 2*x + 5*x^2)), (4*x)/(5*e^2) - (4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4)/(e^3*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)*(d + e*x)) - ((423*d^2 - 2734*d*e + 293*e^2)*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(25*sqrt(14)*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2) - ((40*d^5 + d^4*e + 28*d^3*e^2 + 44*d^2*e^3 - 2*d*e^4 + e^5)*log(d + e*x))/(e^3*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2) + ((229*d^2 - 7*d*e - 136*e^2)*log(3 + 2*x + 5*x^2))/(25*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2), x, 6),
+((2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/((d + e*x)^3*(3 + 2*x + 5*x^2)), -((4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4)/(2*e^3*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)*(d + e*x)^2)) + (40*d^5 + d^4*e + 28*d^3*e^2 + 44*d^2*e^3 - 2*d*e^4 + e^5)/(e^3*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2*(d + e*x)) - ((423*d^3 - 4101*d^2*e + 879*d*e^2 + 703*e^3)*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(5*sqrt(14)*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^3) + ((100*d^6 - 120*d^5*e + 228*d^4*e^2 - 242*d^3*e^3 + 141*d^2*e^4 + 120*d*e^5 - e^6)*log(d + e*x))/(e^3*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^3) + ((458*d^3 - 21*d^2*e - 816*d*e^2 + 113*e^3)*log(3 + 2*x + 5*x^2))/(10*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^3), x, 6),
+
+
+((d + e*x)^3*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(3 + 2*x + 5*x^2)^2, ((2800*d^3 - 17220*d^2*e + 9921*d*e^2 + 6053*e^3)*x)/17500 + (e*(840*d^2 - 1722*d*e + 373*e^2)*x^2)/3500 + (1//375)*(60*d - 41*e)*e^2*x^3 + (e^3*x^4)/25 - ((1367 + 423*x)*(d + e*x)^3)/(3500*(3 + 2*x + 5*x^2)) + ((32825*d^3 + 317565*d^2*e - 221643*d*e^2 - 67499*e^3)*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(87500*sqrt(14)) - ((1025*d^3 - 1545*d^2*e - 2601*d*e^2 + 832*e^3)*log(3 + 2*x + 5*x^2))/6250, x, 7),
+((d + e*x)^2*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(3 + 2*x + 5*x^2)^2, ((2800*d^2 - 11480*d*e + 3307*e^2)*x)/17500 + (1//250)*(40*d - 41*e)*e*x^2 + (4*e^2*x^3)/75 - ((1367 + 423*x)*(d + e*x)^2)/(3500*(3 + 2*x + 5*x^2)) + ((32825*d^2 + 211710*d*e - 73881*e^2)*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(87500*sqrt(14)) - ((1025*d^2 - 1030*d*e - 867*e^2)*log(3 + 2*x + 5*x^2))/6250, x, 7),
+((d + e*x)^1*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(3 + 2*x + 5*x^2)^2, (1//125)*(20*d - 41*e)*x + (2*e*x^2)/25 - ((1367 + 423*x)*(d + e*x))/(3500*(3 + 2*x + 5*x^2)) + ((6565*d + 21171*e)*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(17500*sqrt(14)) - ((205*d - 103*e)*log(3 + 2*x + 5*x^2))/1250, x, 7),
+((d + e*x)^0*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(3 + 2*x + 5*x^2)^2, (4*x)/25 - (1367 + 423*x)/(3500*(3 + 2*x + 5*x^2)) + (1313*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(3500*sqrt(14)) - (41//250)*log(3 + 2*x + 5*x^2), x, 7),
+((2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/((d + e*x)^1*(3 + 2*x + 5*x^2)^2), -((1367*d - 293*e + (423*d - 1367*e)*x)/(700*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)*(3 + 2*x + 5*x^2))) + ((6565*d^3 - 26423*d^2*e + 11089*d*e^2 - 6623*e^3)*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(700*sqrt(14)*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2) + ((4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4)*log(d + e*x))/(e*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2) - ((205*d^3 - 61*d^2*e + 23*d*e^2 + 14*e^3)*log(3 + 2*x + 5*x^2))/(50*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2), x, 7),
+((2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/((d + e*x)^2*(3 + 2*x + 5*x^2)^2), -((4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4)/(e*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2*(d + e*x))) - (1367*d^2 - 586*d*e - 703*e^2 + (423*d^2 - 2734*d*e + 293*e^2)*x)/(140*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2*(3 + 2*x + 5*x^2)) + ((1313*d^4 - 10044*d^3*e + 4290*d^2*e^2 + 156*d*e^3 - 271*e^4)*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(28*sqrt(14)*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^3) + ((41*d^4 - 8*d^3*e - 60*d^2*e^2 + 24*d*e^3 - 5*e^4)*log(d + e*x))/(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^3 - ((41*d^4 - 8*d^3*e - 60*d^2*e^2 + 24*d*e^3 - 5*e^4)*log(3 + 2*x + 5*x^2))/(2*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^3), x, 7),
+((2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/((d + e*x)^3*(3 + 2*x + 5*x^2)^2), -((4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4)/(2*e*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2*(d + e*x)^2)) - (41*d^4 - 8*d^3*e - 60*d^2*e^2 + 24*d*e^3 - 5*e^4)/((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^3*(d + e*x)) - (1367*d^3 - 879*d^2*e - 2109*d*e^2 + 457*e^3 + (423*d^3 - 4101*d^2*e + 879*d*e^2 + 703*e^3)*x)/(28*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^3*(3 + 2*x + 5*x^2)) + ((6565*d^5 - 74017*d^4*e + 35022*d^3*e^2 + 42858*d^2*e^3 - 17247*d*e^4 + 579*e^5)*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(28*sqrt(14)*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^4) + ((205*d^5 - 19*d^4*e - 846*d^3*e^2 + 396*d^2*e^3 + 57*d*e^4 - 21*e^5)*log(d + e*x))/(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^4 - ((205*d^5 - 19*d^4*e - 846*d^3*e^2 + 396*d^2*e^3 + 57*d*e^4 - 21*e^5)*log(3 + 2*x + 5*x^2))/(2*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^4), x, 7),
+
+
+((d + e*x)^3*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(3 + 2*x + 5*x^2)^3, ((83065*d - 126009*e)*e^2*x)/980000 + (2*e^3*x^2)/125 - ((1367 + 423*x)*(d + e*x)^3)/(7000*(3 + 2*x + 5*x^2)^2) + ((d + e*x)^2*(3*(11449*d - 2105*e) + (11015*d + 49177*e)*x))/(196000*(3 + 2*x + 5*x^2)) + (3*(353125*d^3 - 855175*d^2*e + 74085*d*e^2 + 556349*e^3)*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(4900000*sqrt(14)) + (3*e*(100*d^2 - 245*d*e + 47*e^2)*log(3 + 2*x + 5*x^2))/6250, x, 8),
+((d + e*x)^2*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(3 + 2*x + 5*x^2)^3, (4*e^2*x)/125 - ((1367 + 423*x)*(d + e*x)^2)/(7000*(3 + 2*x + 5*x^2)^2) + ((d + e*x)*(34347*d - 6413*e + 5*(2203*d + 8553*e)*x))/(196000*(3 + 2*x + 5*x^2)) + ((211875*d^2 - 342070*d*e + 14817*e^2)*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(980000*sqrt(14)) + ((40*d - 49*e)*e*log(3 + 2*x + 5*x^2))/1250, x, 8),
+((d + e*x)^1*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(3 + 2*x + 5*x^2)^3, -(((1367 + 423*x)*(d + e*x))/(7000*(3 + 2*x + 5*x^2)^2)) + (34347*d - 6511*e + (11015*d + 36353*e)*x)/(196000*(3 + 2*x + 5*x^2)) + ((42375*d - 34207*e)*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(196000*sqrt(14)) + (2//125)*e*log(3 + 2*x + 5*x^2), x, 6),
+((d + e*x)^0*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/(3 + 2*x + 5*x^2)^3, -((1367 + 423*x)/(7000*(3 + 2*x + 5*x^2)^2)) + (34347 + 11015*x)/(196000*(3 + 2*x + 5*x^2)) + (339*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(1568*sqrt(14)), x, 5),
+((2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/((d + e*x)^1*(3 + 2*x + 5*x^2)^3), -((1367*d - 293*e + (423*d - 1367*e)*x)/(1400*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)*(3 + 2*x + 5*x^2)^2)) + (171735*d^3 - 92989*d^2*e + 36207*d*e^2 + 1831*e^3 + 25*(2203*d^3 - 9033*d^2*e + 3635*d*e^2 - 1829*e^3)*x)/(39200*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2*(3 + 2*x + 5*x^2)) + ((42375*d^5 - 16643*d^4*e + 58530*d^3*e^2 - 56058*d^2*e^3 + 31811*d*e^4 - 8623*e^5)*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(1568*sqrt(14)*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^3) + (e*(4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4)*log(d + e*x))/(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^3 - (e*(4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4)*log(3 + 2*x + 5*x^2))/(2*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^3), x, 8),
+((2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4)/((d + e*x)^2*(3 + 2*x + 5*x^2)^3), -((e*(4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4))/((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^3*(d + e*x))) - (1367*d^2 - 586*d*e - 703*e^2 + (423*d^2 - 2734*d*e + 293*e^2)*x)/(280*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2*(3 + 2*x + 5*x^2)^2) + (171735*d^4 - 117284*d^3*e - 200502*d^2*e^2 + 104428*d*e^3 - 23189*e^4 + 5*(11015*d^4 - 85924*d^3*e + 34698*d^2*e^2 + 10348*d*e^3 - 3589*e^4)*x)/(7840*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^3*(3 + 2*x + 5*x^2)) + ((211875*d^6 + 3070*d^5*e + 209039*d^4*e^2 - 921444*d^3*e^3 + 380621*d^2*e^4 - 49586*d*e^5 - 43695*e^6)*atan((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(1568*sqrt(14)*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^4) + (e*(40*d^5 + 83*d^4*e + 12*d^3*e^2 - 76*d^2*e^3 + 46*d*e^4 - 9*e^5)*log(d + e*x))/(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^4 - (e*(40*d^5 + 83*d^4*e + 12*d^3*e^2 - 76*d^2*e^3 + 46*d*e^4 - 9*e^5)*log(3 + 2*x + 5*x^2))/(2*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^4), x, 8),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m P4[x] (a+b x+c x^2)^(p/2)
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((5 + 2*x)^1*sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4), (-51435*(1 - 4*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/32768 + (11433*(5 + 2*x)^2*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/4480 - (823*(5 + 2*x)^3*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/1344 + (5*(5 + 2*x)^4*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/112 - ((1005757 + 295276*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/71680 - (1183005*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(65536*sqrt(2)), x, 7),
+((5 + 2*x)^0*sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4), (-4609*(1 - 4*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/16384 + (287*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/5120 - (71*x*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/1280 + (7*x^2*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/80 + (5*x^3*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/12 - (106007*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(32768*sqrt(2)), x, 7),
+((sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4))/(5 + 2*x)^1, ((489587 - 80844*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/4096 + (4535*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/768 - (127*(5 + 2*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/128 + ((5 + 2*x)^2*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/16 + (5627989*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(8192*sqrt(2)) - (11001*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(16*sqrt(2)), x, 9),
+((sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4))/(5 + 2*x)^2, -((1996953 - 333380*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/18432 - (541*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/384 - (3667*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(576*(5 + 2*x)) + (5*(5 + 2*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/64 - (2551847*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(4096*sqrt(2)) + (239201*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(384*sqrt(2)), x, 9),
+((sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4))/(5 + 2*x)^3, (5*(661065 - 110099*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/82944 + (5*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/48 - (3667*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(1152*(5 + 2*x)^2) + (357391*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(82944*(5 + 2*x)) + (117315*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(512*sqrt(2)) - (12670805*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(55296*sqrt(2)), x, 9),
+((sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4))/(5 + 2*x)^4, -((44378877 - 7400779*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/5971968 - (3667*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(1728*(5 + 2*x)^3) + (158527*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(82944*(5 + 2*x)^2) - (6467659*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(5971968*(5 + 2*x)) - (10939*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(256*sqrt(2)) + (170114729*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(3981312*sqrt(2)), x, 9),
+((sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4))/(5 + 2*x)^5, (7*(52836655 + 9616196*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(95551488*(5 + 2*x)) - (3667*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(2304*(5 + 2*x)^4) + (593771*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(497664*(5 + 2*x)^3) - (9363383*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(23887872*(5 + 2*x)^2) + (259*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(64*sqrt(2)) - (4640586097*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(1146617856*sqrt(2)), x, 9),
+((sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4))/(5 + 2*x)^6, -((4583087983 + 3174439702*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(6879707136*(5 + 2*x)^2) - (3667*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(2880*(5 + 2*x)^5) + (711961*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(829440*(5 + 2*x)^4) - (38732321*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(179159040*(5 + 2*x)^3) - (5*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(32*sqrt(2)) + (12895597463*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(82556485632*sqrt(2)), x, 9),
+((sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4))/(5 + 2*x)^7, (-1172725*(17 - 22*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(330225942528*(5 + 2*x)^2) - (3667*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(3456*(5 + 2*x)^6) + (92239*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(138240*(5 + 2*x)^5) - (5703277*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(39813120*(5 + 2*x)^4) + (87677717*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(8599633920*(5 + 2*x)^3) - (26972675*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(3962711310336*sqrt(2)), x, 7),
+((sqrt(3 - x + 2*x^2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4))/(5 + 2*x)^8, (-12568315*(17 - 22*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(23776267862016*(5 + 2*x)^2) - (3667*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(4032*(5 + 2*x)^7) + (948341*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(1741824*(5 + 2*x)^6) - (1464037*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(13934592*(5 + 2*x)^5) + (19414831*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(4013162496*(5 + 2*x)^4) + (246159769*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(866843099136*(5 + 2*x)^3) - (289071245*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(285315214344192*sqrt(2)), x, 8),
+
+
+((5 + 2*x)^1*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4), (-6398163*(1 - 4*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/2097152 - (92727*(1 - 4*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/131072 + (69415*(5 + 2*x)^2*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/32256 - (1121*(5 + 2*x)^3*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/2304 + (5*(5 + 2*x)^4*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/144 - (3*(661397 + 215900*x)*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/143360 - (147157749*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(4194304*sqrt(2)), x, 8),
+((5 + 2*x)^0*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4), (-593193*(1 - 4*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/1048576 - (8597*(1 - 4*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/65536 + (1167*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/14336 + (125*x*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/3584 + (23*x^2*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/448 + (5*x^3*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/16 - (13643439*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(2097152*sqrt(2)), x, 8),
+(((3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4))/(5 + 2*x)^1, ((141051019 - 23482924*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/65536 + ((500141 - 123060*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/12288 + (3505*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/896 - (311*(5 + 2*x)*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/448 + (5*(5 + 2*x)^2*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/112 + (1622009981*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(131072*sqrt(2)) - (99009*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(8*sqrt(2)), x, 10),
+(((3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4))/(5 + 2*x)^2, -((85448933 - 14243732*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/32768 - ((909513 - 226052*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/18432 - (839*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/960 - (3667*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(576*(5 + 2*x)) + (5*(5 + 2*x)*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/96 - (982669459*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(65536*sqrt(2)) + (959625*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(64*sqrt(2)), x, 10),
+(((3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4))/(5 + 2*x)^3, ((33741483 - 5623292*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/24576 + ((2154633 - 534617*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/82944 + (3 - x + 2*x^2)^(5//2)/16 - (3667*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(1152*(5 + 2*x)^2) + (438065*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(82944*(5 + 2*x)) + (129342063*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(16384*sqrt(2)) - (8083915*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(1024*sqrt(2)), x, 10),
+(((3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4))/(5 + 2*x)^4, -((135068604 - 22512089*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/331776 - ((138006843 - 34265045*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/17915904 - (3667*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(1728*(5 + 2*x)^3) + (556255*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(248832*(5 + 2*x)^2) - (32865365*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(17915904*(5 + 2*x)) - (19176431*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(8192*sqrt(2)) + (517762327*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(221184*sqrt(2)), x, 10),
+(((3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4))/(5 + 2*x)^5, ((2339916063 - 389975609*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/31850496 + ((762984903 + 67865260*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(95551488*(5 + 2*x)) - (3667*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(2304*(5 + 2*x)^4) + (224815*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(165888*(5 + 2*x)^3) - (14477995*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(23887872*(5 + 2*x)^2) + (432565*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(1024*sqrt(2)) - (8969688643*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(21233664*sqrt(2)), x, 10),
+(((3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4))/(5 + 2*x)^6, -((5658774871 + 1028823716*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(127401984*(5 + 2*x)) + ((246012435 + 44773976*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(95551488*(5 + 2*x)^2) - (3667*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(2880*(5 + 2*x)^5) + (158527*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(165888*(5 + 2*x)^4) - (3730507*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(11943936*(5 + 2*x)^3) - (23775*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(512*sqrt(2)) + (70991525167*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(1528823808*sqrt(2)), x, 10),
+(((3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4))/(5 + 2*x)^7, ((151764102421 + 27596573612*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(55037657088*(5 + 2*x)) - ((9802984711 + 6793718806*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(13759414272*(5 + 2*x)^3) - (3667*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(3456*(5 + 2*x)^6) + (182165*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(248832*(5 + 2*x)^5) - (14087245*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(71663616*(5 + 2*x)^4) + (369*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(128*sqrt(2)) - (1903976002333*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(660451885056*sqrt(2)), x, 10),
+(((3 - x + 2*x^2)^(3//2)*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4))/(5 + 2*x)^8, -((146583836191 + 101679102454*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(440301256704*(5 + 2*x)^2) - ((463558457 + 411822458*x)*(3 - x + 2*x^2)^(3//2))/(2293235712*(5 + 2*x)^4) - (3667*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(4032*(5 + 2*x)^7) + (114335*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(193536*(5 + 2*x)^6) - (1930441*(3 - x + 2*x^2)^(5//2))/(13934592*(5 + 2*x)^5) - (5*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(64*sqrt(2)) + (412760561351*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(5283615080448*sqrt(2)), x, 10),
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+# p<0
+
+
+((5 + 2*x)^1*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/sqrt(3 - x + 2*x^2), (761*(5 + 2*x)^2*sqrt(3 - x + 2*x^2))/256 - (105*(5 + 2*x)^3*sqrt(3 - x + 2*x^2))/128 + ((5 + 2*x)^4*sqrt(3 - x + 2*x^2))/16 - ((19227 + 4676*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/2048 - (85429*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(4096*sqrt(2)), x, 6),
+((5 + 2*x)^0*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/sqrt(3 - x + 2*x^2), (-505*sqrt(3 - x + 2*x^2))/1024 - (409*x*sqrt(3 - x + 2*x^2))/768 + (19*x^2*sqrt(3 - x + 2*x^2))/96 + (5*x^3*sqrt(3 - x + 2*x^2))/8 - (6863*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(2048*sqrt(2)), x, 6),
+((2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/((5 + 2*x)^1*sqrt(3 - x + 2*x^2)), (1669*sqrt(3 - x + 2*x^2))/128 - (337*(5 + 2*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/192 + (5*(5 + 2*x)^2*sqrt(3 - x + 2*x^2))/48 + (9657*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(256*sqrt(2)) - (3667*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(96*sqrt(2)), x, 8),
+((2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/((5 + 2*x)^2*sqrt(3 - x + 2*x^2)), (-243*sqrt(3 - x + 2*x^2))/64 - (3667*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(576*(5 + 2*x)) + (5*(5 + 2*x)*sqrt(3 - x + 2*x^2))/32 - (2943*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(128*sqrt(2)) + (158527*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(6912*sqrt(2)), x, 8),
+((2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/((5 + 2*x)^3*sqrt(3 - x + 2*x^2)), (5*sqrt(3 - x + 2*x^2))/16 - (3667*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(1152*(5 + 2*x)^2) + (92239*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(27648*(5 + 2*x)) + (149*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(32*sqrt(2)) - (1546507*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(331776*sqrt(2)), x, 8),
+((2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/((5 + 2*x)^4*sqrt(3 - x + 2*x^2)), (-3667*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(1728*(5 + 2*x)^3) + (394907*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(248832*(5 + 2*x)^2) - (3163415*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(5971968*(5 + 2*x)) - (5*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(16*sqrt(2)) + (22389491*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(71663616*sqrt(2)), x, 8),
+((2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/((5 + 2*x)^5*sqrt(3 - x + 2*x^2)), (-3667*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(2304*(5 + 2*x)^4) + (513097*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(497664*(5 + 2*x)^3) - (16295969*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(71663616*(5 + 2*x)^2) + (26800085*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(1719926784*(5 + 2*x)) + (2053207*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(20639121408*sqrt(2)), x, 6),
+
+
+((5 + 2*x)^2*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/(3 - x + 2*x^2)^(3//2), (-4*(346 - 533*x))/(23*sqrt(3 - x + 2*x^2)) - (13153*sqrt(3 - x + 2*x^2))/512 + (2645*x*sqrt(3 - x + 2*x^2))/128 + (153*x^2*sqrt(3 - x + 2*x^2))/16 + (5*x^3*sqrt(3 - x + 2*x^2))/4 + (144217*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(1024*sqrt(2)), x, 7),
+((5 + 2*x)^1*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/(3 - x + 2*x^2)^(3//2), -(53 - 373*x)/(23*sqrt(3 - x + 2*x^2)) + (33*sqrt(3 - x + 2*x^2))/64 + (193*x*sqrt(3 - x + 2*x^2))/48 + (5*x^2*sqrt(3 - x + 2*x^2))/6 + (3111*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(128*sqrt(2)), x, 6),
+((5 + 2*x)^0*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/(3 - x + 2*x^2)^(3//2), (89 + 219*x)/(92*sqrt(3 - x + 2*x^2)) + (27*sqrt(3 - x + 2*x^2))/32 + (5*x*sqrt(3 - x + 2*x^2))/8 + (213*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(64*sqrt(2)), x, 5),
+((2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/((5 + 2*x)^1*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)), (1191 + 917*x)/(3312*sqrt(3 - x + 2*x^2)) + (5*sqrt(3 - x + 2*x^2))/8 + (39*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(16*sqrt(2)) - (3667*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(1728*sqrt(2)), x, 7),
+((2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/((5 + 2*x)^2*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)), (9897 + 2203*x)/(119232*sqrt(3 - x + 2*x^2)) - (3667*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(10368*(5 + 2*x)) - (5*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(8*sqrt(2)) + (25951*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(41472*sqrt(2)), x, 7),
+((2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/((5 + 2*x)^3*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)), (65991 - 8779*x)/(4292352*sqrt(3 - x + 2*x^2)) - (3667*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(20736*(5 + 2*x)^2) + (115369*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(1492992*(5 + 2*x)) - (52631*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(5971968*sqrt(2)), x, 5),
+((2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/((5 + 2*x)^4*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)), (369609 - 175877*x)/(154524672*sqrt(3 - x + 2*x^2)) - (3667*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(31104*(5 + 2*x)^3) + (152885*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(4478976*(5 + 2*x)^2) + (430799*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(107495424*(5 + 2*x)) - (3505819*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(1289945088*sqrt(2)), x, 6),
+
+
+((5 + 2*x)^2*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/(3 - x + 2*x^2)^(5//2), (-4*(346 - 533*x))/(69*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)) + (4*(18982 - 20383*x))/(1587*sqrt(3 - x + 2*x^2)) + (247*sqrt(3 - x + 2*x^2))/16 + (5*x*sqrt(3 - x + 2*x^2))/4 - (1471*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(32*sqrt(2)), x, 6),
+((5 + 2*x)^1*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/(3 - x + 2*x^2)^(5//2), -(53 - 373*x)/(69*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)) + (6055 - 28981*x)/(3174*sqrt(3 - x + 2*x^2)) + (5*sqrt(3 - x + 2*x^2))/4 - (71*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(8*sqrt(2)), x, 5),
+((5 + 2*x)^0*(2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/(3 - x + 2*x^2)^(5//2), (89 + 219*x)/(276*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)) - (1465 + 2604*x)/(2116*sqrt(3 - x + 2*x^2)) - (5*asinh((1 - 4*x)/sqrt(23)))/(4*sqrt(2)), x, 5),
+((2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/((5 + 2*x)^1*(3 - x + 2*x^2)^(5//2)), (1191 + 917*x)/(9936*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)) - (335337 + 146729*x)/(1371168*sqrt(3 - x + 2*x^2)) - (3667*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(31104*sqrt(2)), x, 5),
+((2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/((5 + 2*x)^2*(3 - x + 2*x^2)^(5//2)), (9897 + 2203*x)/(357696*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)) - (1255878 - 62021*x)/(24681024*sqrt(3 - x + 2*x^2)) - (3667*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(186624*(5 + 2*x)) - (2821*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(2239488*sqrt(2)), x, 5),
+((2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/((5 + 2*x)^3*(3 - x + 2*x^2)^(5//2)), (65991 - 8779*x)/(12877056*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)) - (4679797 - 2148263*x)/(592344576*sqrt(3 - x + 2*x^2)) - (3667*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(373248*(5 + 2*x)^2) - (45979*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(26873856*(5 + 2*x)) + (774079*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(322486272*sqrt(2)), x, 6),
+((2 + x + 3*x^2 - x^3 + 5*x^4)/((5 + 2*x)^4*(3 - x + 2*x^2)^(5//2)), (369609 - 175877*x)/(463574016*(3 - x + 2*x^2)^(3//2)) - (27754539 - 31190998*x)/(31986607104*sqrt(3 - x + 2*x^2)) - (3667*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(559872*(5 + 2*x)^3) - (89137*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(80621568*(5 + 2*x)^2) + (475357*sqrt(3 - x + 2*x^2))/(1934917632*(5 + 2*x)) + (4778789*atanh((17 - 22*x)/(12*sqrt(2)*sqrt(3 - x + 2*x^2))))/(7739670528*sqrt(2)), x, 7),
+
+
+# Note: Tests the case when q+2*p+1==0.
+((f + g*x + h*x^2 + i*x^3 + j*x^4)/(a + b*x + c*x^2)^(5//2), (2*(a*b^2*c*i + 2*a*c^2*(c*g - a*i) - a*b^3*j - b*c*(c^2*f + a*c*h - 3*a^2*j) - (2*c^4*f - c^3*(b*g + 2*a*h) + b^4*j - b^2*c*(b*i + 4*a*j) + c^2*(b^2*h + 3*a*b*i + 2*a^2*j))*x))/(3*c^3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^(3//2)) - (2*(b^4*c*i + 24*a^2*c^3*i + 2*b^2*c^2*(2*c*g - 3*a*i) - b^5*j - b^3*c*(c*h - 10*a*j) - 4*b*c^2*(2*c^2*f + a*c*h + 8*a^2*j) - c*(16*c^4*f - c^3*(8*b*g - 8*a*h) - 4*b^4*j + b^2*c*(b*i + 28*a*j) + 2*c^2*(b^2*h - 6*a*b*i - 16*a^2*j))*x))/(3*c^3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x + c*x^2)) + (j*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/c^(5//2), x, 5),
+((f + g*x + h*x^2 + i*x^3 + j*x^4)/(a + b*x - c*x^2)^(5//2), (2*(a*b^2*c*i + 2*a*c^2*(c*g + a*i) + a*b^3*j - b*c*(c^2*f - a*c*h - 3*a^2*j) + (2*c^4*f + c^3*(b*g + 2*a*h) + b^4*j + b^2*c*(b*i + 4*a*j) + c^2*(b^2*h + 3*a*b*i + 2*a^2*j))*x))/(3*c^3*(b^2 + 4*a*c)*(a + b*x - c*x^2)^(3//2)) - (2*(b^4*c*i + 24*a^2*c^3*i + 2*b^2*c^2*(2*c*g + 3*a*i) + b^5*j + b^3*c*(c*h + 10*a*j) + 4*b*c^2*(2*c^2*f - a*c*h + 8*a^2*j) - c*(16*c^4*f + 8*c^3*(b*g - a*h) - 4*b^4*j - b^2*c*(b*i + 28*a*j) + 2*c^2*(b^2*h - 6*a*b*i - 16*a^2*j))*x))/(3*c^3*(b^2 + 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x - c*x^2)) - (j*atan((b - 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x - c*x^2))))/c^(5//2), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P4[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p with m symbolic
+
+
+((d + e*x)^m*(3 + 2*x + 5*x^2)^3*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4), ((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^3*(4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^11*(1 + m)) - ((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2*(200*d^5 + 169*d^4*e + 108*d^3*e^2 - 20*d^2*e^3 + 86*d*e^4 - 15*e^5)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^11*(2 + m)) + (3*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)*(1500*d^6 + 660*d^5*e + 792*d^4*e^2 + 58*d^3*e^3 + 547*d^2*e^4 - 156*d*e^5 + 53*e^6)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^11*(3 + m)) - (2*(30000*d^7 + 1050*d^6*e + 21420*d^5*e^2 + 1715*d^4*e^3 + 9990*d^3*e^4 - 2550*d^2*e^5 + 2218*d*e^6 - 287*e^7)*(d + e*x)^(4 + m))/(e^11*(4 + m)) + ((105000*d^6 + 3150*d^5*e + 53550*d^4*e^2 + 3430*d^3*e^3 + 14985*d^2*e^4 - 2550*d*e^5 + 1109*e^6)*(d + e*x)^(5 + m))/(e^11*(5 + m)) - (6*(21000*d^5 + 525*d^4*e + 7140*d^3*e^2 + 343*d^2*e^3 + 999*d*e^4 - 85*e^5)*(d + e*x)^(6 + m))/(e^11*(6 + m)) + ((105000*d^4 + 2100*d^3*e + 21420*d^2*e^2 + 686*d*e^3 + 999*e^4)*(d + e*x)^(7 + m))/(e^11*(7 + m)) - (2*(30000*d^3 + 450*d^2*e + 3060*d*e^2 + 49*e^3)*(d + e*x)^(8 + m))/(e^11*(8 + m)) + (45*(500*d^2 + 5*d*e + 17*e^2)*(d + e*x)^(9 + m))/(e^11*(9 + m)) - (25*(200*d + e)*(d + e*x)^(10 + m))/(e^11*(10 + m)) + (500*(d + e*x)^(11 + m))/(e^11*(11 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(3 + 2*x + 5*x^2)^2*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4), ((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)^2*(4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^9*(1 + m)) - ((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)*(160*d^5 + 127*d^4*e + 88*d^3*e^2 - 4*d^2*e^3 + 64*d*e^4 - 11*e^5)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^9*(2 + m)) + ((2800*d^6 + 945*d^5*e + 1665*d^4*e^2 + 370*d^3*e^3 + 888*d^2*e^4 - 195*d*e^5 + 107*e^6)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^9*(3 + m)) - ((5600*d^5 + 1575*d^4*e + 2220*d^3*e^2 + 370*d^2*e^3 + 592*d*e^4 - 65*e^5)*(d + e*x)^(4 + m))/(e^9*(4 + m)) + ((7000*d^4 + 1575*d^3*e + 1665*d^2*e^2 + 185*d*e^3 + 148*e^4)*(d + e*x)^(5 + m))/(e^9*(5 + m)) - ((5600*d^3 + 945*d^2*e + 666*d*e^2 + 37*e^3)*(d + e*x)^(6 + m))/(e^9*(6 + m)) + ((2800*d^2 + 315*d*e + 111*e^2)*(d + e*x)^(7 + m))/(e^9*(7 + m)) - (5*(160*d + 9*e)*(d + e*x)^(8 + m))/(e^9*(8 + m)) + (100*(d + e*x)^(9 + m))/(e^9*(9 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m*(3 + 2*x + 5*x^2)^1*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4), ((5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)*(4*d^4 + 5*d^3*e + 3*d^2*e^2 - d*e^3 + 2*e^4)*(d + e*x)^(1 + m))/(e^7*(1 + m)) - ((120*d^5 + 85*d^4*e + 68*d^3*e^2 + 12*d^2*e^3 + 42*d*e^4 - 7*e^5)*(d + e*x)^(2 + m))/(e^7*(2 + m)) + ((300*d^4 + 170*d^3*e + 102*d^2*e^2 + 12*d*e^3 + 21*e^4)*(d + e*x)^(3 + m))/(e^7*(3 + m)) - (2*(200*d^3 + 85*d^2*e + 34*d*e^2 + 2*e^3)*(d + e*x)^(4 + m))/(e^7*(4 + m)) + ((300*d^2 + 85*d*e + 17*e^2)*(d + e*x)^(5 + m))/(e^7*(5 + m)) - ((120*d + 17*e)*(d + e*x)^(6 + m))/(e^7*(6 + m)) + (20*(d + e*x)^(7 + m))/(e^7*(7 + m)), x, 2),
+((d + e*x)^m/(3 + 2*x + 5*x^2)^1*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4), ((100*d^2 + 165*d*e + 81*e^2)*(d + e*x)^(1 + m))/(125*e^3*(1 + m)) - ((40*d + 33*e)*(d + e*x)^(2 + m))/(25*e^3*(2 + m)) + (4*(d + e*x)^(3 + m))/(5*e^3*(3 + m)) - ((6412*I - 423*sqrt(14))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (5*(d + e*x))/(5*d - e + I*sqrt(14)*e)))/(3500*(5*I*d - (I + sqrt(14))*e)*(1 + m)) - ((6412*I + 423*sqrt(14))*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (5*(d + e*x))/(5*d - (1 + I*sqrt(14))*e)))/(3500*(5*I*d - (I - sqrt(14))*e)*(1 + m)), x, 4),
+((d + e*x)^m/(3 + 2*x + 5*x^2)^2*(2 + 1*x + 3*x^2 - 5*x^3 + 4*x^4), (4*(d + e*x)^(1 + m))/(25*e*(1 + m)) - ((1367*d - 293*e + (423*d - 1367*e)*x)*(d + e*x)^(1 + m))/(700*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)*(3 + 2*x + 5*x^2)) + ((80360*d^2 - 32144*d*e + 48216*e^2 + I*sqrt(14)*(6565*d^2 - 2*d*e*(1313 - 3206*m) + e^2*(3939 - 98*m)) - 5922*d*e*m + 19138*e^2*m)*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (5*(d + e*x))/(5*d - e + I*sqrt(14)*e)))/(19600*(5*d + I*(I + sqrt(14))*e)*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)*(1 + m)) + ((80360*d^2 - 32144*d*e + 48216*e^2 - I*sqrt(14)*(6565*d^2 - 2*d*e*(1313 - 3206*m) + e^2*(3939 - 98*m)) - 5922*d*e*m + 19138*e^2*m)*(d + e*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (5*(d + e*x))/(5*d - (1 + I*sqrt(14))*e)))/(19600*(5*d - (1 + I*sqrt(14))*e)*(5*d^2 - 2*d*e + 3*e^2)*(1 + m)), x, 5),
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+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form Pq[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form Pq[x] (d+e x)^m (a+b x+c x^2)^p
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m Pq[x] (a+b x+c x^2)^p
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+# Note: Tests the case when q+2*p+1==0.
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + i*x^5)/(a + b*x + c*x^2)^3, -((a*b^3*c*h + b*c^2*(c^2*d + a*c*f - 3*a^2*h) - a*b^4*i - a*b^2*c*(c*g - 4*a*i) - 2*a*c^2*(c^2*e - a*c*g + a^2*i) + (2*c^5*d - c^4*(b*e + 2*a*f) + c^3*(b^2*f + 3*a*b*g + 2*a^2*h) - b^5*i + b^3*c*(b*h + 5*a*i) - b*c^2*(b^2*g + 4*a*b*h + 5*a^2*i))*x)/(2*c^4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2)) + (1/(2*c^4*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)))*(b^5*c*h + b^3*c^2*(c*f - 8*a*h) + 2*b*c^3*(3*c^2*d + a*c*f + 11*a^2*h) - b^6*i - b^4*c*(c*g - 11*a*i) - 16*a^2*c^3*(c*g - 2*a*i) - b^2*c^2*(3*c^2*e - 5*a*c*g + 39*a^2*i) + 2*c*(6*c^5*d - c^4*(3*b*e - 2*a*f) + c^3*(b^2*f - 3*a*b*g - 10*a^2*h) + 2*b^5*i - b^3*c*(b*h + 15*a*i) + a*b*c^2*(8*b*h + 25*a*i))*x) - ((12*c^5*d - c^4*(6*b*e - 4*a*f) + 2*c^3*(b^2*f - 3*a*b*g + 6*a^2*h) - b^5*i + 10*a*b^3*c*i - 30*a^2*b*c^2*i)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)) + (i*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^3), x, 6),
+
+
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + j*x^5 + k*x^6 + l*x^7 + m*x^8)/(a + b*x + c*x^2), ((c^6*f - c^5*(b*g + a*h) + c^4*(b^2*h + 2*a*b*j + a^2*k) + b^6*m - b^4*c*(b*l + 5*a*m) + b^2*c^2*(b^2*k + 4*a*b*l + 6*a^2*m) - c^3*(b^3*j + 3*a*b^2*k + 3*a^2*b*l + a^3*m))*x)/c^7 + ((c^5*g - c^4*(b*h + a*j) + c^3*(b^2*j + 2*a*b*k + a^2*l) - b^5*m + b^3*c*(b*l + 4*a*m) - b*c^2*(b^2*k + 3*a*b*l + 3*a^2*m))*x^2)/(2*c^6) + ((c^4*h - c^3*(b*j + a*k) + b^4*m - b^2*c*(b*l + 3*a*m) + c^2*(b^2*k + 2*a*b*l + a^2*m))*x^3)/(3*c^5) + ((c^3*j - c^2*(b*k + a*l) - b^3*m + b*c*(b*l + 2*a*m))*x^4)/(4*c^4) + ((c^2*k + b^2*m - c*(b*l + a*m))*x^5)/(5*c^3) + ((c*l - b*m)*x^6)/(6*c^2) + (m*x^7)/(7*c) - (1/(c^8*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*((2*c^8*d - c^7*(b*e + 2*a*f) + c^6*(b^2*f + 3*a*b*g + 2*a^2*h) - c^5*(b^3*g + 4*a*b^2*h + 5*a^2*b*j + 2*a^3*k) + b^8*m - b^6*c*(b*l + 8*a*m) + b^4*c^2*(b^2*k + 7*a*b*l + 20*a^2*m) - b^2*c^3*(b^3*j + 6*a*b^2*k + 14*a^2*b*l + 16*a^3*m) + c^4*(b^4*h + 5*a*b^3*j + 9*a^2*b^2*k + 7*a^3*b*l + 2*a^4*m))*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((c^7*e - c^6*(b*f + a*g) + c^5*(b^2*g + 2*a*b*h + a^2*j) - c^4*(b^3*h + 3*a*b^2*j + 3*a^2*b*k + a^3*l) - b^7*m + b^5*c*(b*l + 6*a*m) - b^3*c^2*(b^2*k + 5*a*b*l + 10*a^2*m) + b*c^3*(b^3*j + 4*a*b^2*k + 6*a^2*b*l + 4*a^3*m))*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^8), x, 6),
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+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m Pq[x] (a+b x+c x^2)^(p/2)
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+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form Pq[x] (d+e x+f x^2)^m (a+b x+c x^2)^p
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form Pq[x] (d+e x+f x^2)^m (a+b x+c x^2)^p
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x+f x^2)^m Pq[x] (a+b x+c x^2)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((1 + 4*x - 7*x^2)^3*(2 + 5*x + x^2)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2), -((77159983*(1 + 5*x)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/31250000) - (1968340667*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/131250000 + (1045360143*x*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/43750000 + (98060877*x^2*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/4375000 - (90960857*x^3*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/1575000 - (888751*x^4*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/105000 + (190939*x^5*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/3000 - (50519*x^6*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/2250 - (343//50)*x^7*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2) - (540119881*asinh((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(15625000*sqrt(5)), x, 11),
+((1 + 4*x - 7*x^2)^2*(2 + 5*x + x^2)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2), -((2521723*(1 + 5*x)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/1250000) + (198439*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/750000 + (1781669*x*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/250000 - (77509*x^2*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/25000 - (25277*x^3*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/3000 + (989//200)*x^4*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2) + (49//40)*x^5*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2) - (17652061*asinh((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(625000*sqrt(5)), x, 9),
+((1 + 4*x - 7*x^2)^1*(2 + 5*x + x^2)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2), -((4633*(1 + 5*x)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/12500) + (7819*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/7500 + (2149*x*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/2500 - (289//250)*x^2*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2) - (7//30)*x^3*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2) - (32431*asinh((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(6250*sqrt(5)), x, 7),
+(((2 + 5*x + x^2)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/(1 + 4*x - 7*x^2)^1, (-(1//490))*(397 + 35*x)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2) - (8233*asinh((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(1715*sqrt(5)) - (3//343)*sqrt((1//11)*(497041 - 146555*sqrt(11)))*atanh((23 - sqrt(11) + (17 - 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 - 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))) + (3//343)*sqrt((1//11)*(497041 + 146555*sqrt(11)))*atanh((23 + sqrt(11) + (17 + 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 + 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))), x, 9),
+(((2 + 5*x + x^2)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/(1 + 4*x - 7*x^2)^2, (3*(3 + 61*x)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/(154*(1 + 4*x - 7*x^2)) + (1//49)*sqrt(5)*asinh((1 + 5*x)/sqrt(14)) - (sqrt((325022311 + 39132731*sqrt(11))/1397)*atanh((23 - sqrt(11) + (17 - 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 - 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/2156 + (sqrt((325022311 - 39132731*sqrt(11))/1397)*atanh((23 + sqrt(11) + (17 + 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 + 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/2156, x, 9),
+(((2 + 5*x + x^2)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/(1 + 4*x - 7*x^2)^3, (3*(3 + 61*x)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/(308*(1 + 4*x - 7*x^2)^2) - ((272941 - 813113*x)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/(1721104*(1 + 4*x - 7*x^2)) - (sqrt((6492253020949 - 11879169071*sqrt(11))/1397)*atanh((23 - sqrt(11) + (17 - 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 - 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/491744 + (sqrt((6492253020949 + 11879169071*sqrt(11))/1397)*atanh((23 + sqrt(11) + (17 + 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 + 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/491744, x, 7),
+
+
+((1 + 4*x - 7*x^2)^3*(2 + 5*x + x^2)*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2), -((479652579*(1 + 5*x)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/312500000) - (22840599*(1 + 5*x)*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/62500000 - (6133820867*(3 + 2*x + 5*x^2)^(5//2))/1203125000 + (837379699*x*(3 + 2*x + 5*x^2)^(5//2))/72187500 + (2173004363*x^2*(3 + 2*x + 5*x^2)^(5//2))/173250000 - (190236913*x^3*(3 + 2*x + 5*x^2)^(5//2))/4950000 - (796559*x^4*(3 + 2*x + 5*x^2)^(5//2))/123750 + (1031177*x^5*(3 + 2*x + 5*x^2)^(5//2))/20625 - (61103*x^6*(3 + 2*x + 5*x^2)^(5//2))/3300 - (343//60)*x^7*(3 + 2*x + 5*x^2)^(5//2) - (3357568053*asinh((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(156250000*sqrt(5)), x, 12),
+((1 + 4*x - 7*x^2)^2*(2 + 5*x + x^2)*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2), -((14501781*(1 + 5*x)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/6250000) - (690561*(1 + 5*x)*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/1250000 + (505667*(3 + 2*x + 5*x^2)^(5//2))/2187500 + (86721*x*(3 + 2*x + 5*x^2)^(5//2))/21875 - (219271*x^2*(3 + 2*x + 5*x^2)^(5//2))/105000 - (18379*x^3*(3 + 2*x + 5*x^2)^(5//2))/3000 + (581//150)*x^4*(3 + 2*x + 5*x^2)^(5//2) + (49//50)*x^5*(3 + 2*x + 5*x^2)^(5//2) - (101512467*asinh((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(3125000*sqrt(5)), x, 10),
+((1 + 4*x - 7*x^2)^1*(2 + 5*x + x^2)*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2), -((128779*(1 + 5*x)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/250000) - (18397*(1 + 5*x)*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/150000 + (149509*(3 + 2*x + 5*x^2)^(5//2))/262500 + (2809*x*(3 + 2*x + 5*x^2)^(5//2))/5250 - (1163*x^2*(3 + 2*x + 5*x^2)^(5//2))/1400 - (7//40)*x^3*(3 + 2*x + 5*x^2)^(5//2) - (901453*asinh((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(125000*sqrt(5)), x, 8),
+(((2 + 5*x + x^2)*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/(1 + 4*x - 7*x^2)^1, -((3*(571621 + 196105*x)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/240100) - (1//980)*(267 + 35*x)*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2) - (34425687*asinh((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(840350*sqrt(5)) - (6*sqrt((2//11)*(8098902607 - 2434122235*sqrt(11)))*atanh((23 - sqrt(11) + (17 - 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 - 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/16807 + (6*sqrt((2//11)*(8098902607 + 2434122235*sqrt(11)))*atanh((23 + sqrt(11) + (17 + 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 + 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/16807, x, 10),
+(((2 + 5*x + x^2)*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/(1 + 4*x - 7*x^2)^2, ((5826 + 3395*x)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/3773 + (3*(3 + 61*x)*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/(154*(1 + 4*x - 7*x^2)) + (16691*asinh((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(2401*sqrt(5)) - (sqrt((1//22)*(52175400311 - 13155376531*sqrt(11)))*atanh((23 - sqrt(11) + (17 - 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 - 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/26411 - (sqrt((1//22)*(52175400311 + 13155376531*sqrt(11)))*atanh((23 + sqrt(11) + (17 + 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 + 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/26411, x, 10),
+(((2 + 5*x + x^2)*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/(1 + 4*x - 7*x^2)^3, -(((9495 - 37088*x)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/(23716*(1 + 4*x - 7*x^2))) + (3*(3 + 61*x)*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2))/(308*(1 + 4*x - 7*x^2)^2) - (5//343)*sqrt(5)*asinh((1 + 5*x)/sqrt(14)) - (sqrt((62294197250171 - 2085440742055*sqrt(11))/2794)*atanh((23 - sqrt(11) + (17 - 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 - 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/332024 + (sqrt((62294197250171 + 2085440742055*sqrt(11))/2794)*atanh((23 + sqrt(11) + (17 + 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 + 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/332024, x, 10),
+
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(((1 + 4*x - 7*x^2)^3*(2 + 5*x + x^2))/sqrt(3 + 2*x + 5*x^2), -((16515809*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/156250) + (5793077*x*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/75000 + (40722851*x^2*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/750000 - (5160533*x^3*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/50000 - (47807*x^4*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/3750 + (26159//300)*x^5*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2) - (1141//40)*x^6*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2) - (343//40)*x^7*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2) - (77513689*asinh((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(625000*sqrt(5)), x, 10),
+(((1 + 4*x - 7*x^2)^2*(2 + 5*x + x^2))/sqrt(3 + 2*x + 5*x^2), -((22053*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/31250) + (36073*x*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/1875 - (207427*x^2*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/37500 - (33259*x^3*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/2500 + (5131//750)*x^4*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2) + (49//30)*x^5*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2) - (1719097*asinh((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(31250*sqrt(5)), x, 8),
+(((1 + 4*x - 7*x^2)^1*(2 + 5*x + x^2))/sqrt(3 + 2*x + 5*x^2), (463//125)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2) + (59//30)*x*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2) - (571//300)*x^2*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2) - (7//20)*x^3*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2) - (1901*asinh((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(250*sqrt(5)), x, 6),
+((2 + 5*x + x^2)/((1 + 4*x - 7*x^2)^1*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2)), -(asinh((1 + 5*x)/sqrt(14))/(7*sqrt(5))) - (3//14)*sqrt((4091 - 1055*sqrt(11))/2794)*atanh((23 - sqrt(11) + (17 - 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 - 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))) + (3//14)*sqrt((4091 + 1055*sqrt(11))/2794)*atanh((23 + sqrt(11) + (17 + 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 + 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))), x, 8),
+((2 + 5*x + x^2)/((1 + 4*x - 7*x^2)^2*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2)), -((3*(40 - 371*x)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/(5588*(1 + 4*x - 7*x^2))) - (sqrt((3027900955 + 14035681*sqrt(11))/2794)*atanh((23 - sqrt(11) + (17 - 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 - 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/11176 + (sqrt((3027900955 - 14035681*sqrt(11))/2794)*atanh((23 + sqrt(11) + (17 + 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 + 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/11176, x, 6),
+((2 + 5*x + x^2)/((1 + 4*x - 7*x^2)^3*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2)), -((3*(40 - 371*x)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/(11176*(1 + 4*x - 7*x^2)^2)) - (7*(409769 - 1189370*x)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/(62451488*(1 + 4*x - 7*x^2)) - (7*(39370231 - 2538725*sqrt(11))*atanh((23 - sqrt(11) + (17 - 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 - 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/(124902976*sqrt(22*(125 - 17*sqrt(11)))) + (7*(39370231 + 2538725*sqrt(11))*atanh((23 + sqrt(11) + (17 + 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 + 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/(124902976*sqrt(22*(125 + 17*sqrt(11)))), x, 7),
+
+
+(((1 + 4*x - 7*x^2)^3*(2 + 5*x + x^2))/(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2), (16*(6122807 - 5338217*x))/(546875*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2)) + (15715799*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/156250 - (3192602*x*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/46875 - (2583293*x^2*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/187500 + (393659*x^3*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/12500 - (25921*x^4*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/3750 - (343//150)*x^5*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2) + (50047657*asinh((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(156250*sqrt(5)), x, 9),
+(((1 + 4*x - 7*x^2)^2*(2 + 5*x + x^2))/(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2), -((8*(12983 + 136602*x))/(21875*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))) - (5086*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/3125 - (8749*x*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))/1250 + (203//100)*x^2*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2) + (49//100)*x^3*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2) + (89583*asinh((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(1250*sqrt(5)), x, 7),
+(((1 + 4*x - 7*x^2)^1*(2 + 5*x + x^2))/(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2), -((2*(2321 + 2449*x))/(875*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))) - (261//250)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2) - (7//50)*x*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2) + (149*asinh((1 + 5*x)/sqrt(14)))/(25*sqrt(5)), x, 5),
+((2 + 5*x + x^2)/((1 + 4*x - 7*x^2)^1*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2)), -((131 - 605*x)/(3556*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))) - (3*sqrt((281693 - 25015*sqrt(11))/1397)*atanh((23 - sqrt(11) + (17 - 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 - 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/1016 + (3*sqrt((281693 + 25015*sqrt(11))/1397)*atanh((23 + sqrt(11) + (17 + 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 + 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/1016, x, 6),
+((2 + 5*x + x^2)/((1 + 4*x - 7*x^2)^2*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2)), -((76567 + 22755*x)/(19870928*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))) - (3*(40 - 371*x))/(5588*(1 + 4*x - 7*x^2)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2)) - (7*(541543 - 5144*sqrt(11))*atanh((23 - sqrt(11) + (17 - 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 - 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/(2838704*sqrt(22*(125 - 17*sqrt(11)))) + (7*(541543 + 5144*sqrt(11))*atanh((23 + sqrt(11) + (17 + 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 + 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/(2838704*sqrt(22*(125 + 17*sqrt(11)))), x, 7),
+((2 + 5*x + x^2)/((1 + 4*x - 7*x^2)^3*(3 + 2*x + 5*x^2)^(3//2)), -((5*(461370781 + 1118731375*x))/(222077491328*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))) - (3*(40 - 371*x))/(11176*(1 + 4*x - 7*x^2)^2*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2)) - (2701733 - 9148874*x)/(62451488*(1 + 4*x - 7*x^2)*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2)) - (7*(2792860024 - 84865895*sqrt(11))*atanh((23 - sqrt(11) + (17 - 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 - 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/(31725355904*sqrt(22*(125 - 17*sqrt(11)))) + (7*(2792860024 + 84865895*sqrt(11))*atanh((23 + sqrt(11) + (17 + 5*sqrt(11))*x)/(sqrt(2*(125 + 17*sqrt(11)))*sqrt(3 + 2*x + 5*x^2))))/(31725355904*sqrt(22*(125 + 17*sqrt(11)))), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x+f x^2)^m Pq[x] (a+b x+c x^2)^p with p and/or q symbolic
+
+
+((a + c*x^2)^p*(d + f*x^2)^q*(A + C*x^2), (A*x*(a + c*x^2)^p*(d + f*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, -q, 3//2, -((c*x^2)/a), -((f*x^2)/d)))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(1 + (f*x^2)/d)^q) + ((1//3)*C*x^3*(a + c*x^2)^p*(d + f*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -p, -q, 5//2, -((c*x^2)/a), -((f*x^2)/d)))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(1 + (f*x^2)/d)^q), x, 7),
+((a + c*x^2)^p*(d + f*x^2)^q*(A + B*x), (A*x*(a + c*x^2)^p*(d + f*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, -q, 3//2, -((c*x^2)/a), -((f*x^2)/d)))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(1 + (f*x^2)/d)^q) + (B*(a + c*x^2)^(1 + p)*(d + f*x^2)^q*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + p, -q, 2 + p, -((f*(a + c*x^2))/(c*d - a*f))))/(((c*(d + f*x^2))/(c*d - a*f))^q*(2*c*(1 + p))), x, 7),
+((a + c*x^2)^p*(d + f*x^2)^q*(A + B*x + C*x^2), (A*x*(a + c*x^2)^p*(d + f*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, -q, 3//2, -((c*x^2)/a), -((f*x^2)/d)))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(1 + (f*x^2)/d)^q) + ((1//3)*C*x^3*(a + c*x^2)^p*(d + f*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -p, -q, 5//2, -((c*x^2)/a), -((f*x^2)/d)))/((1 + (c*x^2)/a)^p*(1 + (f*x^2)/d)^q) + (B*(a + c*x^2)^(1 + p)*(d + f*x^2)^q*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1 + p, -q, 2 + p, -((f*(a + c*x^2))/(c*d - a*f))))/(((c*(d + f*x^2))/(c*d - a*f))^q*(2*c*(1 + p))), x, 11),
+]
+# Total integrals translated: 394
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.2 (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.2 (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..1fe6b120
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.2 (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p.jl	
@@ -0,0 +1,1601 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2+c x^4)^p with b^2-4 a c=0
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (a^2+2 a b x^2+b^2 x^4)^p
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (a^2+2 a b x^2+b^2 x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a^2+2 a b x^2+b^2 x^4)^(p/4)
+
+
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//4), (1//4)*x*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//4) + (3*a*x*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//4))/(8*(a + b*x^2)) + (3*sqrt(a)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//4)*asinh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*sqrt(b)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//2)), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1//4), (1//2)*x*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1//4) + (sqrt(a)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1//4)*asinh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*sqrt(b)*sqrt(1 + (b*x^2)/a)), x, 3),
+(1/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1//4), (sqrt(a)*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*asinh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(b)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1//4)), x, 2),
+(1/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//4), (x*(a + b*x^2))/(a*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//4)), x, 2),
+# {1/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5/4), x, 3, (x*(a + b*x^2))/(3*a*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5/4)) + (2*x)/(3*a^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1/4)), (2*x)/(3*a^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1/4)) + x/(3*a*(a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1/4))}
+# {1/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(7/4), x, 4, (x*(a + b*x^2))/(5*a*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(7/4)) + (4*x)/(15*a^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3/4)) + (8*x*(a + b*x^2))/(15*a^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3/4)), (4*x)/(15*a^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3/4)) + x/(5*a*(a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3/4)) + (8*x*(a + b*x^2))/(15*a^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3/4))}
+# {1/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(9/4), x, 5, (x*(a + b*x^2))/(7*a*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(9/4)) + (6*x)/(35*a^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5/4)) + (8*x*(a + b*x^2))/(35*a^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5/4)) + (16*x)/(35*a^4*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1/4)), (16*x)/(35*a^4*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1/4)) + x/(7*a*(a + b*x^2)^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1/4)) + (6*x)/(35*a^2*(a + b*x^2)^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1/4)) + (8*x)/(35*a^3*(a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1/4))}
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+(1/(a^2 + b + 2*a*x^2 + x^4), -(atan((sqrt(-a + sqrt(a^2 + b)) - sqrt(2)*x)/sqrt(a + sqrt(a^2 + b)))/(2*sqrt(2)*sqrt(a^2 + b)*sqrt(a + sqrt(a^2 + b)))) + atan((sqrt(-a + sqrt(a^2 + b)) + sqrt(2)*x)/sqrt(a + sqrt(a^2 + b)))/(2*sqrt(2)*sqrt(a^2 + b)*sqrt(a + sqrt(a^2 + b))) - log(sqrt(a^2 + b) - sqrt(2)*sqrt(-a + sqrt(a^2 + b))*x + x^2)/(4*sqrt(2)*sqrt(a^2 + b)*sqrt(-a + sqrt(a^2 + b))) + log(sqrt(a^2 + b) + sqrt(2)*sqrt(-a + sqrt(a^2 + b))*x + x^2)/(4*sqrt(2)*sqrt(a^2 + b)*sqrt(-a + sqrt(a^2 + b))), x, 9),
+(1/(-1 + a^2 + 2*a*x^2 + x^4), -(atan(x/sqrt(1 + a))/(2*sqrt(1 + a))) - atanh(x/sqrt(1 - a))/(2*sqrt(1 - a)), x, 3),
+# Tests that NegativeQ[b^2-4*a*c] returns True to avoid I in antiderivative!
+(1/(1 + a^2 + 2*a*x^2 + x^4), -(atan((sqrt(-a + sqrt(1 + a^2)) - sqrt(2)*x)/sqrt(a + sqrt(1 + a^2)))/(2*sqrt(2)*sqrt(1 + a^2)*sqrt(a + sqrt(1 + a^2)))) + atan((sqrt(-a + sqrt(1 + a^2)) + sqrt(2)*x)/sqrt(a + sqrt(1 + a^2)))/(2*sqrt(2)*sqrt(1 + a^2)*sqrt(a + sqrt(1 + a^2))) - log(sqrt(1 + a^2) - sqrt(2)*sqrt(-a + sqrt(1 + a^2))*x + x^2)/(4*sqrt(2)*sqrt(1 + a^2)*sqrt(-a + sqrt(1 + a^2))) + log(sqrt(1 + a^2) + sqrt(2)*sqrt(-a + sqrt(1 + a^2))*x + x^2)/(4*sqrt(2)*sqrt(1 + a^2)*sqrt(-a + sqrt(1 + a^2))), x, 9),
+
+(1/(4 - 5*x^2 + x^4), (-(1//6))*atanh(x/2) + atanh(x)/3, x, 3),
+(1/(3 + 4*x^2 + x^4), atan(x)/2 - atan(x/sqrt(3))/(2*sqrt(3)), x, 3),
+(1/(9 + 5*x^2 + x^4), -(atan((1 - 2*x)/sqrt(11))/(6*sqrt(11))) + atan((1 + 2*x)/sqrt(11))/(6*sqrt(11)) - (1//12)*log(3 - x + x^2) + (1//12)*log(3 + x + x^2), x, 9),
+(1/(1 - x^2 + x^4), (-(1//2))*atan(sqrt(3) - 2*x) + (1//2)*atan(sqrt(3) + 2*x) - log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)) + log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)), x, 9),
+(1/(2 + 2*x^2 + x^4), (-(1//4))*sqrt(-1 + sqrt(2))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(2))) - 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(2)))) + (1//4)*sqrt(-1 + sqrt(2))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(2))) + 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(2)))) - log(sqrt(2) - sqrt(2*(-1 + sqrt(2)))*x + x^2)/(8*sqrt(-1 + sqrt(2))) + log(sqrt(2) + sqrt(2*(-1 + sqrt(2)))*x + x^2)/(8*sqrt(-1 + sqrt(2))), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x^2+c x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/sqrt(2 + 5*x^2 - 3*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -6), x, 2),
+(1/sqrt(2 + 4*x^2 - 3*x^4), sqrt((1//6)*(2 + sqrt(10)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((1//2)*(-2 + sqrt(10)))*x), (1//3)*(-7 - 2*sqrt(10))), x, 2),
+(1/sqrt(2 + 3*x^2 - 3*x^4), sqrt(2/(-3 + sqrt(33)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(6/(3 + sqrt(33)))*x), (1//4)*(-7 - sqrt(33))), x, 2),
+(1/sqrt(2 + 2*x^2 - 3*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3/(1 + sqrt(7)))*x), (1//3)*(-4 - sqrt(7)))/sqrt(-1 + sqrt(7)), x, 2),
+(1/sqrt(2 + 1*x^2 - 3*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -(3//2))/sqrt(2), x, 2),
+(1/sqrt(2 + 0*x^2 - 3*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((3//2)^(1//4)*x), -1)/6^(1//4), x, 1),
+(1/sqrt(2 - 1*x^2 - 3*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3//2)*x), -(2//3))/sqrt(3), x, 2),
+(1/sqrt(2 - 2*x^2 - 3*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3/(-1 + sqrt(7)))*x), (1//3)*(-4 + sqrt(7)))/sqrt(1 + sqrt(7)), x, 2),
+(1/sqrt(2 - 3*x^2 - 3*x^4), sqrt(2/(3 + sqrt(33)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(6/(-3 + sqrt(33)))*x), (1//4)*(-7 + sqrt(33))), x, 2),
+(1/sqrt(2 - 4*x^2 - 3*x^4), sqrt((1//6)*(-2 + sqrt(10)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((1//2)*(2 + sqrt(10)))*x), (1//3)*(-7 + 2*sqrt(10))), x, 2),
+(1/sqrt(2 - 5*x^2 - 3*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(3)*x), -(1//6))/sqrt(6), x, 2),
+
+
+(1/sqrt(3 + 7*x^2 - 2*x^4), sqrt(2/(-7 + sqrt(73)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2*x)/sqrt(7 + sqrt(73))), (1//12)*(-61 - 7*sqrt(73))), x, 2),
+(1/sqrt(3 + 6*x^2 - 2*x^4), sqrt((1//6)*(3 + sqrt(15)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((1//3)*(-3 + sqrt(15)))*x), -4 - sqrt(15)), x, 2),
+(1/sqrt(3 + 5*x^2 - 2*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(3)), -6), x, 2),
+(1/sqrt(3 + 4*x^2 - 2*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(2/(2 + sqrt(10)))*x), (1//3)*(-7 - 2*sqrt(10)))/sqrt(-2 + sqrt(10)), x, 2),
+(1/sqrt(3 + 3*x^2 - 2*x^4), sqrt(2/(-3 + sqrt(33)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2*x)/sqrt(3 + sqrt(33))), (1//4)*(-7 - sqrt(33))), x, 2),
+(1/sqrt(3 + 2*x^2 - 2*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(2/(1 + sqrt(7)))*x), (1//3)*(-4 - sqrt(7)))/sqrt(-1 + sqrt(7)), x, 2),
+(1/sqrt(3 + 1*x^2 - 2*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(2//3)*x), -3//2)/sqrt(2), x, 2),
+(1/sqrt(3 + 0*x^2 - 2*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2//3)^(1//4)*x), -1)/6^(1//4), x, 1),
+(1/sqrt(3 - 1*x^2 - 2*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -2//3)/sqrt(3), x, 2),
+(1/sqrt(3 - 2*x^2 - 2*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(2/(-1 + sqrt(7)))*x), (1//3)*(-4 + sqrt(7)))/sqrt(1 + sqrt(7)), x, 2),
+(1/sqrt(3 - 3*x^2 - 2*x^4), sqrt(2/(3 + sqrt(33)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2*x)/sqrt(-3 + sqrt(33))), (1//4)*(-7 + sqrt(33))), x, 2),
+(1/sqrt(3 - 4*x^2 - 2*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(2/(-2 + sqrt(10)))*x), (1//3)*(-7 + 2*sqrt(10)))/sqrt(2 + sqrt(10)), x, 2),
+(1/sqrt(3 - 5*x^2 - 2*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(2)*x), -1//6)/sqrt(6), x, 2),
+(1/sqrt(3 - 6*x^2 - 2*x^4), sqrt((1//6)*(-3 + sqrt(15)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((1//3)*(3 + sqrt(15)))*x), -4 + sqrt(15)), x, 2),
+(1/sqrt(3 - 7*x^2 - 2*x^4), sqrt(2/(7 + sqrt(73)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2*x)/sqrt(-7 + sqrt(73))), (1//12)*(-61 + 7*sqrt(73))), x, 2),
+
+
+(1/sqrt(-2 + 5*x^2 + 3*x^4), (sqrt(2 + x^2)*sqrt(-1 + 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(7//2)*x)/sqrt(-1 + 3*x^2)), 6//7))/(sqrt(7)*sqrt(-2 + 5*x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 + 4*x^2 + 3*x^4), (sqrt((2 - (2 - sqrt(10))*x^2)/(2 - (2 + sqrt(10))*x^2))*sqrt(-2 + (2 + sqrt(10))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(3//4)*5^(1//4)*x)/sqrt(-2 + (2 + sqrt(10))*x^2)), (1//10)*(5 + sqrt(10))))/(2*10^(1//4)*sqrt(1/(2 - (2 + sqrt(10))*x^2))*sqrt(-2 + 4*x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 + 3*x^2 + 3*x^4), (sqrt((4 - (3 - sqrt(33))*x^2)/(4 - (3 + sqrt(33))*x^2))*sqrt(-4 + (3 + sqrt(33))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*33^(1//4)*x)/sqrt(-4 + (3 + sqrt(33))*x^2)), (1//22)*(11 + sqrt(33))))/(2*sqrt(2)*33^(1//4)*sqrt(1/(4 - (3 + sqrt(33))*x^2))*sqrt(-2 + 3*x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 + 2*x^2 + 3*x^4), (sqrt((2 - (1 - sqrt(7))*x^2)/(2 - (1 + sqrt(7))*x^2))*sqrt(-2 + (1 + sqrt(7))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*7^(1//4)*x)/sqrt(-2 + (1 + sqrt(7))*x^2)), (1//14)*(7 + sqrt(7))))/(2*7^(1//4)*sqrt(1/(2 - (1 + sqrt(7))*x^2))*sqrt(-2 + 2*x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 + 1*x^2 + 3*x^4), (sqrt(1 + x^2)*sqrt(-2 + 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(5)*x)/sqrt(-2 + 3*x^2)), 3//5))/(sqrt(5)*sqrt(-2 + x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 + 0*x^2 + 3*x^4), (sqrt(-2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 + sqrt(6)*x^2)/(2 - sqrt(6)*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(3//4)*3^(1//4)*x)/sqrt(-2 + sqrt(6)*x^2)), 1//2))/(2*6^(1//4)*sqrt(1/(2 - sqrt(6)*x^2))*sqrt(-2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 - 1*x^2 + 3*x^4), (sqrt(-1 + x^2)*sqrt(2 + 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(5//2)*x)/sqrt(-1 + x^2)), 2//5))/(sqrt(5)*sqrt(-2 - x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 - 2*x^2 + 3*x^4), (sqrt(-2 - (1 - sqrt(7))*x^2)*sqrt((2 + (1 + sqrt(7))*x^2)/(2 + (1 - sqrt(7))*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*7^(1//4)*x)/sqrt(-2 - (1 - sqrt(7))*x^2)), (1//14)*(7 - sqrt(7))))/(2*7^(1//4)*sqrt(1/(2 + (1 - sqrt(7))*x^2))*sqrt(-2 - 2*x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 - 3*x^2 + 3*x^4), (sqrt(-4 - (3 - sqrt(33))*x^2)*sqrt((4 + (3 + sqrt(33))*x^2)/(4 + (3 - sqrt(33))*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*33^(1//4)*x)/sqrt(-4 - (3 - sqrt(33))*x^2)), (1//22)*(11 - sqrt(33))))/(2*sqrt(2)*33^(1//4)*sqrt(1/(4 + (3 - sqrt(33))*x^2))*sqrt(-2 - 3*x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 - 4*x^2 + 3*x^4), (sqrt(-2 - (2 - sqrt(10))*x^2)*sqrt((2 + (2 + sqrt(10))*x^2)/(2 + (2 - sqrt(10))*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(3//4)*5^(1//4)*x)/sqrt(-2 - (2 - sqrt(10))*x^2)), (1//10)*(5 - sqrt(10))))/(2*10^(1//4)*sqrt(1/(2 + (2 - sqrt(10))*x^2))*sqrt(-2 - 4*x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 - 5*x^2 + 3*x^4), (sqrt(-2 + x^2)*sqrt(1 + 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(7)*x)/sqrt(-2 + x^2)), 1//7))/(sqrt(7)*sqrt(-2 - 5*x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+
+
+(1/sqrt(-3 + 7*x^2 + 2*x^4), (sqrt((6 - (7 - sqrt(73))*x^2)/(6 - (7 + sqrt(73))*x^2))*sqrt(-6 + (7 + sqrt(73))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*73^(1//4)*x)/sqrt(-6 + (7 + sqrt(73))*x^2)), (1//146)*(73 + 7*sqrt(73))))/(2*sqrt(3)*73^(1//4)*sqrt(1/(6 - (7 + sqrt(73))*x^2))*sqrt(-3 + 7*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 + 6*x^2 + 2*x^4), (sqrt((3 - (3 - sqrt(15))*x^2)/(3 - (3 + sqrt(15))*x^2))*sqrt(-3 + (3 + sqrt(15))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*15^(1//4)*x)/sqrt(-3 + (3 + sqrt(15))*x^2)), (1//10)*(5 + sqrt(15))))/(sqrt(2)*3^(3//4)*5^(1//4)*sqrt(1/(3 - (3 + sqrt(15))*x^2))*sqrt(-3 + 6*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 + 5*x^2 + 2*x^4), (sqrt(3 + x^2)*sqrt(-1 + 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(7//3)*x)/sqrt(-1 + 2*x^2)), 6//7))/(sqrt(7)*sqrt(-3 + 5*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 + 4*x^2 + 2*x^4), (sqrt((3 - (2 - sqrt(10))*x^2)/(3 - (2 + sqrt(10))*x^2))*sqrt(-3 + (2 + sqrt(10))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(3//4)*5^(1//4)*x)/sqrt(-3 + (2 + sqrt(10))*x^2)), (1//10)*(5 + sqrt(10))))/(2^(3//4)*sqrt(3)*5^(1//4)*sqrt(1/(3 - (2 + sqrt(10))*x^2))*sqrt(-3 + 4*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 + 3*x^2 + 2*x^4), (sqrt((6 - (3 - sqrt(33))*x^2)/(6 - (3 + sqrt(33))*x^2))*sqrt(-6 + (3 + sqrt(33))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*33^(1//4)*x)/sqrt(-6 + (3 + sqrt(33))*x^2)), (1//22)*(11 + sqrt(33))))/(2*3^(3//4)*11^(1//4)*sqrt(1/(6 - (3 + sqrt(33))*x^2))*sqrt(-3 + 3*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 + 2*x^2 + 2*x^4), (sqrt((3 - (1 - sqrt(7))*x^2)/(3 - (1 + sqrt(7))*x^2))*sqrt(-3 + (1 + sqrt(7))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*7^(1//4)*x)/sqrt(-3 + (1 + sqrt(7))*x^2)), (1//14)*(7 + sqrt(7))))/(sqrt(6)*7^(1//4)*sqrt(1/(3 - (1 + sqrt(7))*x^2))*sqrt(-3 + 2*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 + 1*x^2 + 2*x^4), (sqrt(-1 + x^2)*sqrt(3 + 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(5//3)*x)/sqrt(-1 + x^2)), 3//5))/(sqrt(5)*sqrt(-3 + x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 + 0*x^2 + 2*x^4), (sqrt(-3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 + sqrt(6)*x^2)/(3 - sqrt(6)*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(3//4)*3^(1//4)*x)/sqrt(-3 + sqrt(6)*x^2)), 1//2))/(6^(3//4)*sqrt(1/(3 - sqrt(6)*x^2))*sqrt(-3 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 - 1*x^2 + 2*x^4), (sqrt(1 + x^2)*sqrt(-3 + 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(5)*x)/sqrt(-3 + 2*x^2)), 2//5))/(sqrt(5)*sqrt(-3 - x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 - 2*x^2 + 2*x^4), (sqrt(-3 - (1 - sqrt(7))*x^2)*sqrt((3 + (1 + sqrt(7))*x^2)/(3 + (1 - sqrt(7))*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*7^(1//4)*x)/sqrt(-3 - (1 - sqrt(7))*x^2)), (1//14)*(7 - sqrt(7))))/(sqrt(6)*7^(1//4)*sqrt(1/(3 + (1 - sqrt(7))*x^2))*sqrt(-3 - 2*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 - 3*x^2 + 2*x^4), (sqrt(-6 - (3 - sqrt(33))*x^2)*sqrt((6 + (3 + sqrt(33))*x^2)/(6 + (3 - sqrt(33))*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*33^(1//4)*x)/sqrt(-6 - (3 - sqrt(33))*x^2)), (1//22)*(11 - sqrt(33))))/(2*3^(3//4)*11^(1//4)*sqrt(1/(6 + (3 - sqrt(33))*x^2))*sqrt(-3 - 3*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 - 4*x^2 + 2*x^4), (sqrt(-3 - (2 - sqrt(10))*x^2)*sqrt((3 + (2 + sqrt(10))*x^2)/(3 + (2 - sqrt(10))*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2^(3//4)*5^(1//4)*x)/sqrt(-3 - (2 - sqrt(10))*x^2)), (1//10)*(5 - sqrt(10))))/(2^(3//4)*sqrt(3)*5^(1//4)*sqrt(1/(3 + (2 - sqrt(10))*x^2))*sqrt(-3 - 4*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 - 5*x^2 + 2*x^4), (sqrt(-3 + x^2)*sqrt(1 + 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(7)*x)/sqrt(-3 + x^2)), 1//7))/(sqrt(7)*sqrt(-3 - 5*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+
+
+(1/sqrt(2 + 5*x^2 + 3*x^4), ((1 + x^2)*sqrt((2 + 3*x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), -(1//2)))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(2 + 4*x^2 + 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 + 4*x^2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), 1//2 - 1/sqrt(6)))/(2*6^(1//4)*sqrt(2 + 4*x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(2 + 3*x^2 + 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 + 3*x^2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), (1//8)*(4 - sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(2 + 3*x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(2 + 2*x^2 + 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 + 2*x^2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), (1//12)*(6 - sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(2 + 2*x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(2 + 1*x^2 + 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 + x^2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), (1//24)*(12 - sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(2 + x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(2 + 0*x^2 + 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), 1//2))/(2*6^(1//4)*sqrt(2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(2 - 1*x^2 + 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 - x^2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), (1//24)*(12 + sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(2 - x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(2 - 2*x^2 + 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 - 2*x^2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), (1//12)*(6 + sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(2 - 2*x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(2 - 3*x^2 + 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 - 3*x^2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), (1//8)*(4 + sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(2 - 3*x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(2 - 4*x^2 + 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 - 4*x^2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), 1//2 + 1/sqrt(6)))/(2*6^(1//4)*sqrt(2 - 4*x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(2 - 5*x^2 + 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 - 5*x^2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), (1//24)*(12 + 5*sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(2 - 5*x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(2 - 6*x^2 + 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 - 6*x^2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), (1//4)*(2 + sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(2 - 6*x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+
+
+(1/sqrt(3 + 9*x^2 + 2*x^4), (sqrt((6 + (9 - sqrt(57))*x^2)/(6 + (9 + sqrt(57))*x^2))*(6 + (9 + sqrt(57))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((1//6)*(9 + sqrt(57)))*x), (1//4)*(-19 + 3*sqrt(57))))/(sqrt(6*(9 + sqrt(57)))*sqrt(3 + 9*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(3 + 8*x^2 + 2*x^4), (sqrt((3 + (4 - sqrt(10))*x^2)/(3 + (4 + sqrt(10))*x^2))*(3 + (4 + sqrt(10))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((1//3)*(4 + sqrt(10)))*x), (-(2//3))*(5 - 2*sqrt(10))))/(sqrt(3*(4 + sqrt(10)))*sqrt(3 + 8*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(3 + 7*x^2 + 2*x^4), (sqrt((3 + x^2)/(1 + 2*x^2))*(1 + 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(2)*x), 5//6))/(sqrt(6)*sqrt(3 + 7*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(3 + 6*x^2 + 2*x^4), (sqrt((3 + (3 - sqrt(3))*x^2)/(3 + (3 + sqrt(3))*x^2))*(3 + (3 + sqrt(3))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((1//3)*(3 + sqrt(3)))*x), -1 + sqrt(3)))/(sqrt(3*(3 + sqrt(3)))*sqrt(3 + 6*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(3 + 5*x^2 + 2*x^4), ((1 + x^2)*sqrt((3 + 2*x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//3))/(sqrt(3)*sqrt(3 + 5*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(3 + 4*x^2 + 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 + 4*x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), 1//2 - 1/sqrt(6)))/(2*6^(1//4)*sqrt(3 + 4*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(3 + 3*x^2 + 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 + 3*x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), (4 - sqrt(6))/8))/(2*6^(1//4)*sqrt(3 + 3*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(3 + 2*x^2 + 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 + 2*x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), (6 - sqrt(6))/12))/(2*6^(1//4)*sqrt(3 + 2*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(3 + 1*x^2 + 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 + x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), (12 - sqrt(6))/24))/(2*6^(1//4)*sqrt(3 + x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(3 + 0*x^2 + 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), 1//2))/(2*6^(1//4)*sqrt(3 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(3 - 1*x^2 + 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 - x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), (12 + sqrt(6))/24))/(2*6^(1//4)*sqrt(3 - x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(3 - 2*x^2 + 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 - 2*x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), (6 + sqrt(6))/12))/(2*6^(1//4)*sqrt(3 - 2*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(3 - 3*x^2 + 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 - 3*x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), (4 + sqrt(6))/8))/(2*6^(1//4)*sqrt(3 - 3*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(3 - 4*x^2 + 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 - 4*x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), 1//2 + 1/sqrt(6)))/(2*6^(1//4)*sqrt(3 - 4*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(3 - 5*x^2 + 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 - 5*x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), (1//24)*(12 + 5*sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(3 - 5*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(3 - 6*x^2 + 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 - 6*x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), (1//4)*(2 + sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(3 - 6*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(3 - 7*x^2 + 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 - 7*x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), (1//24)*(12 + 7*sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(3 - 7*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+
+
+(1/sqrt(-3 + 7*x^2 - 2*x^4), -(SymbolicIntegration.elliptic_f(acos(x/sqrt(3)), 6//5)/sqrt(5)), x, 2),
+(1/sqrt(-3 + 6*x^2 - 2*x^4), -(SymbolicIntegration.elliptic_f(acos(sqrt((1//3)*(3 - sqrt(3)))*x), (1//2)*(1 + sqrt(3)))/(sqrt(2)*3^(1//4))), x, 2),
+(1/sqrt(-3 + 5*x^2 - 2*x^4), -SymbolicIntegration.elliptic_f(acos(sqrt(2//3)*x), 3), x, 2),
+(1/sqrt(-3 + 4*x^2 - 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 - 4*x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), 1//2 + 1/sqrt(6)))/(2*6^(1//4)*sqrt(-3 + 4*x^2 - 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 + 3*x^2 - 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 - 3*x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), (1//8)*(4 + sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(-3 + 3*x^2 - 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 + 2*x^2 - 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 - 2*x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), (1//12)*(6 + sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(-3 + 2*x^2 - 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 + 1*x^2 - 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 - x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), (1//24)*(12 + sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(-3 + x^2 - 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 + 0*x^2 - 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), 1//2))/(2*6^(1//4)*sqrt(-3 - 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 - 1*x^2 - 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 + x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), (1//24)*(12 - sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(-3 - x^2 - 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 - 2*x^2 - 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 + 2*x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), (1//12)*(6 - sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(-3 - 2*x^2 - 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 - 3*x^2 - 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 + 3*x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), (1//8)*(4 - sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(-3 - 3*x^2 - 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 - 4*x^2 - 2*x^4), ((3 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((3 + 4*x^2 + 2*x^4)/(3 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((2//3)^(1//4)*x), 1//2 - 1/sqrt(6)))/(2*6^(1//4)*sqrt(-3 - 4*x^2 - 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-3 - 5*x^2 - 2*x^4), (sqrt(3 + 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//3))/(sqrt(3)*sqrt(-1 - x^2)*sqrt((3 + 2*x^2)/(1 + x^2))), x, 2),
+
+
+(1/sqrt(-2 + 6*x^2 - 3*x^4), -(SymbolicIntegration.elliptic_f(acos(sqrt(3/(3 + sqrt(3)))*x), (1//2)*(1 + sqrt(3)))/(sqrt(2)*3^(1//4))), x, 2),
+(1/sqrt(-2 + 5*x^2 - 3*x^4), -SymbolicIntegration.elliptic_f(acos(x), 3), x, 2),
+(1/sqrt(-2 + 4*x^2 - 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 - 4*x^2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), 1//2 + 1/sqrt(6)))/(2*6^(1//4)*sqrt(-2 + 4*x^2 - 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 + 3*x^2 - 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 - 3*x^2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), (1//8)*(4 + sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(-2 + 3*x^2 - 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 + 2*x^2 - 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 - 2*x^2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), (1//12)*(6 + sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(-2 + 2*x^2 - 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 + 1*x^2 - 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 - x^2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), (1//24)*(12 + sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(-2 + x^2 - 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 + 0*x^2 - 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), 1//2))/(2*6^(1//4)*sqrt(-2 - 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 - 1*x^2 - 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 + x^2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), (1//24)*(12 - sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(-2 - x^2 - 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 - 2*x^2 - 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 + 2*x^2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), (1//12)*(6 - sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(-2 - 2*x^2 - 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 - 3*x^2 - 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 + 3*x^2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), (1//8)*(4 - sqrt(6))))/(2*6^(1//4)*sqrt(-2 - 3*x^2 - 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 - 4*x^2 - 3*x^4), ((2 + sqrt(6)*x^2)*sqrt((2 + 4*x^2 + 3*x^4)/(2 + sqrt(6)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((3//2)^(1//4)*x), 1//2 - 1/sqrt(6)))/(2*6^(1//4)*sqrt(-2 - 4*x^2 - 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(-2 - 5*x^2 - 3*x^4), -((sqrt(-2 - 3*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), -(1//2)))/(sqrt(2)*sqrt(1 + x^2)*sqrt((2 + 3*x^2)/(1 + x^2)))), x, 2),
+
+
+(1/sqrt(2 + 5*x^2 + 5*x^4), ((2 + sqrt(10)*x^2)*sqrt((2 + 5*x^2 + 5*x^4)/(2 + sqrt(10)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((5//2)^(1//4)*x), (1//8)*(4 - sqrt(10))))/(2*10^(1//4)*sqrt(2 + 5*x^2 + 5*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(2 + 5*x^2 + 4*x^4), ((1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((2 + 5*x^2 + 4*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//16)*(8 - 5*sqrt(2))))/(2*2^(3//4)*sqrt(2 + 5*x^2 + 4*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(2 + 5*x^2 + 3*x^4), ((1 + x^2)*sqrt((2 + 3*x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), -(1//2)))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 5*x^2 + 3*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(2 + 5*x^2 + 2*x^4), (sqrt((2 + x^2)/(1 + 2*x^2))*(1 + 2*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt(2)*x), 3//4))/(2*sqrt(2 + 5*x^2 + 2*x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(2 + 5*x^2 + 1*x^4), (sqrt((4 + (5 - sqrt(17))*x^2)/(4 + (5 + sqrt(17))*x^2))*(4 + (5 + sqrt(17))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((1//2)*sqrt(5 + sqrt(17))*x), (1//4)*(-17 + 5*sqrt(17))))/(2*sqrt(5 + sqrt(17))*sqrt(2 + 5*x^2 + x^4)), x, 1),
+(1/sqrt(2 + 5*x^2 - 1*x^4), sqrt(2/(-5 + sqrt(33)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(2/(5 + sqrt(33)))*x), (1//4)*(-29 - 5*sqrt(33))), x, 2),
+(1/sqrt(2 + 5*x^2 - 2*x^4), sqrt(2/(-5 + sqrt(41)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((2*x)/sqrt(5 + sqrt(41))), (1//8)*(-33 - 5*sqrt(41))), x, 2),
+(1/sqrt(2 + 5*x^2 - 3*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -6), x, 2),
+(1/sqrt(2 + 5*x^2 - 4*x^4), sqrt(2/(-5 + sqrt(57)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(2*sqrt(2/(5 + sqrt(57)))*x), (1//16)*(-41 - 5*sqrt(57))), x, 2),
+(1/sqrt(2 + 5*x^2 - 5*x^4), sqrt(2/(-5 + sqrt(65)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(10/(5 + sqrt(65)))*x), (1//4)*(-9 - sqrt(65))), x, 2),
+(1/sqrt(2 + 5*x^2 - 6*x^4), sqrt(2/(-5 + sqrt(73)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(2*sqrt(3/(5 + sqrt(73)))*x), (1//24)*(-49 - 5*sqrt(73))), x, 2),
+(1/sqrt(2 + 5*x^2 - 7*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -(7//2))/sqrt(2), x, 2),
+(1/sqrt(2 + 5*x^2 - 8*x^4), sqrt(2/(-5 + sqrt(89)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((4*x)/sqrt(5 + sqrt(89))), (1//32)*(-57 - 5*sqrt(89))), x, 2),
+(1/sqrt(2 + 5*x^2 - 9*x^4), sqrt(2/(-5 + sqrt(97)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(3*sqrt(2/(5 + sqrt(97)))*x), (1//36)*(-61 - 5*sqrt(97))), x, 2),
+
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p with a=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^2*(b*x^2 + c*x^4), (b*x^5)/5 + (c*x^7)/7, x, 2),
+(x^1*(b*x^2 + c*x^4), (b*x^4)/4 + (c*x^6)/6, x, 2),
+(x^0*(b*x^2 + c*x^4), (b*x^3)/3 + (c*x^5)/5, x, 1),
+((b*x^2 + c*x^4)/x^1, (b*x^2)/2 + (c*x^4)/4, x, 2),
+((b*x^2 + c*x^4)/x^2, b*x + (c*x^3)/3, x, 2),
+((b*x^2 + c*x^4)/x^3, (c*x^2)/2 + b*log(x), x, 2),
+((b*x^2 + c*x^4)/x^4, -(b/x) + c*x, x, 2),
+((b*x^2 + c*x^4)/x^5, -(b/(2*x^2)) + c*log(x), x, 2),
+((b*x^2 + c*x^4)/x^6, -(b/(3*x^3)) - c/x, x, 2),
+((b*x^2 + c*x^4)/x^7, -(b/(4*x^4)) - c/(2*x^2), x, 2),
+((b*x^2 + c*x^4)/x^8, -(b/(5*x^5)) - c/(3*x^3), x, 2),
+
+
+(x^0*(b*x^2 + c*x^4)^2, (b^2*x^5)/5 + (2//7)*b*c*x^7 + (c^2*x^9)/9, x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^2/x^1, (b^2*x^4)/4 + (1//3)*b*c*x^6 + (c^2*x^8)/8, x, 4),
+((b*x^2 + c*x^4)^2/x^2, (b^2*x^3)/3 + (2//5)*b*c*x^5 + (c^2*x^7)/7, x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^2/x^3, (b + c*x^2)^3/(6*c), x, 2),
+((b*x^2 + c*x^4)^2/x^4, b^2*x + (2//3)*b*c*x^3 + (c^2*x^5)/5, x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^2/x^5, b*c*x^2 + (c^2*x^4)/4 + b^2*log(x), x, 4),
+((b*x^2 + c*x^4)^2/x^6, -(b^2/x) + 2*b*c*x + (c^2*x^3)/3, x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^2/x^7, -(b^2/(2*x^2)) + (c^2*x^2)/2 + 2*b*c*log(x), x, 4),
+((b*x^2 + c*x^4)^2/x^8, -(b^2/(3*x^3)) - (2*b*c)/x + c^2*x, x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^2/x^9, -(b^2/(4*x^4)) - (b*c)/x^2 + c^2*log(x), x, 4),
+((b*x^2 + c*x^4)^2/x^10, -(b^2/(5*x^5)) - (2*b*c)/(3*x^3) - c^2/x, x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^2/x^11, -((b + c*x^2)^3/(6*b*x^6)), x, 2),
+((b*x^2 + c*x^4)^2/x^12, -(b^2/(7*x^7)) - (2*b*c)/(5*x^5) - c^2/(3*x^3), x, 3),
+
+
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^2, (b^3*x^5)/5 + (3//7)*b^2*c*x^7 + (1//3)*b*c^2*x^9 + (c^3*x^11)/11, x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^3, -((b*(b + c*x^2)^4)/(8*c^2)) + (b + c*x^2)^5/(10*c^2), x, 4),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^4, (b^3*x^3)/3 + (3//5)*b^2*c*x^5 + (3//7)*b*c^2*x^7 + (c^3*x^9)/9, x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^5, (b + c*x^2)^4/(8*c), x, 2),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^6, b^3*x + b^2*c*x^3 + (3//5)*b*c^2*x^5 + (c^3*x^7)/7, x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^7, (3//2)*b^2*c*x^2 + (3//4)*b*c^2*x^4 + (c^3*x^6)/6 + b^3*log(x), x, 4),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^8, -(b^3/x) + 3*b^2*c*x + b*c^2*x^3 + (c^3*x^5)/5, x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^9, -(b^3/(2*x^2)) + (3//2)*b*c^2*x^2 + (c^3*x^4)/4 + 3*b^2*c*log(x), x, 4),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^10, -(b^3/(3*x^3)) - (3*b^2*c)/x + 3*b*c^2*x + (c^3*x^3)/3, x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^11, -(b^3/(4*x^4)) - (3*b^2*c)/(2*x^2) + (c^3*x^2)/2 + 3*b*c^2*log(x), x, 4),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^12, -(b^3/(5*x^5)) - (b^2*c)/x^3 - (3*b*c^2)/x + c^3*x, x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^13, -(b^3/(6*x^6)) - (3*b^2*c)/(4*x^4) - (3*b*c^2)/(2*x^2) + c^3*log(x), x, 4),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^14, -(b^3/(7*x^7)) - (3*b^2*c)/(5*x^5) - (b*c^2)/x^3 - c^3/x, x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^15, -((b + c*x^2)^4/(8*b*x^8)), x, 2),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^16, -(b^3/(9*x^9)) - (3*b^2*c)/(7*x^7) - (3*b*c^2)/(5*x^5) - c^3/(3*x^3), x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^17, -((b + c*x^2)^4/(10*b*x^10)) + (c*(b + c*x^2)^4)/(40*b^2*x^8), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^10/(b*x^2 + c*x^4), -((b^3*x)/c^4) + (b^2*x^3)/(3*c^3) - (b*x^5)/(5*c^2) + x^7/(7*c) + (b^(7//2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/c^(9//2), x, 4),
+(x^9/(b*x^2 + c*x^4), (b^2*x^2)/(2*c^3) - (b*x^4)/(4*c^2) + x^6/(6*c) - (b^3*log(b + c*x^2))/(2*c^4), x, 4),
+(x^8/(b*x^2 + c*x^4), (b^2*x)/c^3 - (b*x^3)/(3*c^2) + x^5/(5*c) - (b^(5//2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/c^(7//2), x, 4),
+(x^7/(b*x^2 + c*x^4), -((b*x^2)/(2*c^2)) + x^4/(4*c) + (b^2*log(b + c*x^2))/(2*c^3), x, 4),
+(x^6/(b*x^2 + c*x^4), -((b*x)/c^2) + x^3/(3*c) + (b^(3//2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/c^(5//2), x, 4),
+(x^5/(b*x^2 + c*x^4), x^2/(2*c) - (b*log(b + c*x^2))/(2*c^2), x, 4),
+(x^4/(b*x^2 + c*x^4), x/c - (sqrt(b)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/c^(3//2), x, 3),
+(x^3/(b*x^2 + c*x^4), log(b + c*x^2)/(2*c), x, 2),
+(x^2/(b*x^2 + c*x^4), atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b))/(sqrt(b)*sqrt(c)), x, 2),
+(x^1/(b*x^2 + c*x^4), log(x)/b - log(b + c*x^2)/(2*b), x, 5),
+(x^0/(b*x^2 + c*x^4), -(1/(b*x)) - (sqrt(c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/b^(3//2), x, 3),
+(1/(x^1*(b*x^2 + c*x^4)), -(1/(2*b*x^2)) - (c*log(x))/b^2 + (c*log(b + c*x^2))/(2*b^2), x, 4),
+(1/(x^2*(b*x^2 + c*x^4)), -(1/(3*b*x^3)) + c/(b^2*x) + (c^(3//2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/b^(5//2), x, 4),
+(1/(x^3*(b*x^2 + c*x^4)), -(1/(4*b*x^4)) + c/(2*b^2*x^2) + (c^2*log(x))/b^3 - (c^2*log(b + c*x^2))/(2*b^3), x, 4),
+(1/(x^4*(b*x^2 + c*x^4)), -(1/(5*b*x^5)) + c/(3*b^2*x^3) - c^2/(b^3*x) - (c^(5//2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/b^(7//2), x, 5),
+(1/(x^5*(b*x^2 + c*x^4)), -(1/(6*b*x^6)) + c/(4*b^2*x^4) - c^2/(2*b^3*x^2) - (c^3*log(x))/b^4 + (c^3*log(b + c*x^2))/(2*b^4), x, 4),
+
+
+(x^12/(b*x^2 + c*x^4)^2, (7*b^2*x)/(2*c^4) - (7*b*x^3)/(6*c^3) + (7*x^5)/(10*c^2) - x^7/(2*c*(b + c*x^2)) - (7*b^(5//2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(2*c^(9//2)), x, 5),
+(x^11/(b*x^2 + c*x^4)^2, -((b*x^2)/c^3) + x^4/(4*c^2) + b^3/(2*c^4*(b + c*x^2)) + (3*b^2*log(b + c*x^2))/(2*c^4), x, 4),
+(x^10/(b*x^2 + c*x^4)^2, -((5*b*x)/(2*c^3)) + (5*x^3)/(6*c^2) - x^5/(2*c*(b + c*x^2)) + (5*b^(3//2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(2*c^(7//2)), x, 5),
+(x^9/(b*x^2 + c*x^4)^2, x^2/(2*c^2) - b^2/(2*c^3*(b + c*x^2)) - (b*log(b + c*x^2))/c^3, x, 4),
+(x^8/(b*x^2 + c*x^4)^2, (3*x)/(2*c^2) - x^3/(2*c*(b + c*x^2)) - (3*sqrt(b)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(2*c^(5//2)), x, 4),
+(x^7/(b*x^2 + c*x^4)^2, b/(2*c^2*(b + c*x^2)) + log(b + c*x^2)/(2*c^2), x, 4),
+(x^6/(b*x^2 + c*x^4)^2, -(x/(2*c*(b + c*x^2))) + atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b))/(2*sqrt(b)*c^(3//2)), x, 3),
+(x^5/(b*x^2 + c*x^4)^2, -(1/(2*c*(b + c*x^2))), x, 2),
+(x^4/(b*x^2 + c*x^4)^2, x/(2*b*(b + c*x^2)) + atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b))/(2*b^(3//2)*sqrt(c)), x, 3),
+(x^3/(b*x^2 + c*x^4)^2, 1/(2*b*(b + c*x^2)) + log(x)/b^2 - log(b + c*x^2)/(2*b^2), x, 4),
+(x^2/(b*x^2 + c*x^4)^2, -(3/(2*b^2*x)) + 1/(2*b*x*(b + c*x^2)) - (3*sqrt(c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(2*b^(5//2)), x, 4),
+(x^1/(b*x^2 + c*x^4)^2, -(1/(2*b^2*x^2)) - c/(2*b^2*(b + c*x^2)) - (2*c*log(x))/b^3 + (c*log(b + c*x^2))/b^3, x, 4),
+(x^0/(b*x^2 + c*x^4)^2, -(5/(6*b^2*x^3)) + (5*c)/(2*b^3*x) + 1/(2*b*x^3*(b + c*x^2)) + (5*c^(3//2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(2*b^(7//2)), x, 5),
+(1/(x^1*(b*x^2 + c*x^4)^2), -(1/(4*b^2*x^4)) + c/(b^3*x^2) + c^2/(2*b^3*(b + c*x^2)) + (3*c^2*log(x))/b^4 - (3*c^2*log(b + c*x^2))/(2*b^4), x, 4),
+(1/(x^2*(b*x^2 + c*x^4)^2), -(7/(10*b^2*x^5)) + (7*c)/(6*b^3*x^3) - (7*c^2)/(2*b^4*x) + 1/(2*b*x^5*(b + c*x^2)) - (7*c^(5//2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(2*b^(9//2)), x, 6),
+
+
+(x^14/(b*x^2 + c*x^4)^3, -((35*b*x)/(8*c^4)) + (35*x^3)/(24*c^3) - x^7/(4*c*(b + c*x^2)^2) - (7*x^5)/(8*c^2*(b + c*x^2)) + (35*b^(3//2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(8*c^(9//2)), x, 6),
+(x^13/(b*x^2 + c*x^4)^3, x^2/(2*c^3) + b^3/(4*c^4*(b + c*x^2)^2) - (3*b^2)/(2*c^4*(b + c*x^2)) - (3*b*log(b + c*x^2))/(2*c^4), x, 4),
+(x^12/(b*x^2 + c*x^4)^3, (15*x)/(8*c^3) - x^5/(4*c*(b + c*x^2)^2) - (5*x^3)/(8*c^2*(b + c*x^2)) - (15*sqrt(b)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(8*c^(7//2)), x, 5),
+(x^11/(b*x^2 + c*x^4)^3, -(b^2/(4*c^3*(b + c*x^2)^2)) + b/(c^3*(b + c*x^2)) + log(b + c*x^2)/(2*c^3), x, 4),
+(x^10/(b*x^2 + c*x^4)^3, -(x^3/(4*c*(b + c*x^2)^2)) - (3*x)/(8*c^2*(b + c*x^2)) + (3*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(8*sqrt(b)*c^(5//2)), x, 4),
+(x^9/(b*x^2 + c*x^4)^3, x^4/(4*b*(b + c*x^2)^2), x, 2),
+(x^8/(b*x^2 + c*x^4)^3, -(x/(4*c*(b + c*x^2)^2)) + x/(8*b*c*(b + c*x^2)) + atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b))/(8*b^(3//2)*c^(3//2)), x, 4),
+(x^7/(b*x^2 + c*x^4)^3, -(1/(4*c*(b + c*x^2)^2)), x, 2),
+(x^6/(b*x^2 + c*x^4)^3, x/(4*b*(b + c*x^2)^2) + (3*x)/(8*b^2*(b + c*x^2)) + (3*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(8*b^(5//2)*sqrt(c)), x, 4),
+(x^5/(b*x^2 + c*x^4)^3, 1/(4*b*(b + c*x^2)^2) + 1/(2*b^2*(b + c*x^2)) + log(x)/b^3 - log(b + c*x^2)/(2*b^3), x, 4),
+(x^4/(b*x^2 + c*x^4)^3, -(15/(8*b^3*x)) + 1/(4*b*x*(b + c*x^2)^2) + 5/(8*b^2*x*(b + c*x^2)) - (15*sqrt(c)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(8*b^(7//2)), x, 5),
+(x^3/(b*x^2 + c*x^4)^3, -(1/(2*b^3*x^2)) - c/(4*b^2*(b + c*x^2)^2) - c/(b^3*(b + c*x^2)) - (3*c*log(x))/b^4 + (3*c*log(b + c*x^2))/(2*b^4), x, 4),
+(x^2/(b*x^2 + c*x^4)^3, -(35/(24*b^3*x^3)) + (35*c)/(8*b^4*x) + 1/(4*b*x^3*(b + c*x^2)^2) + 7/(8*b^2*x^3*(b + c*x^2)) + (35*c^(3//2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(8*b^(9//2)), x, 6),
+(x^1/(b*x^2 + c*x^4)^3, -(1/(4*b^3*x^4)) + (3*c)/(2*b^4*x^2) + c^2/(4*b^3*(b + c*x^2)^2) + (3*c^2)/(2*b^4*(b + c*x^2)) + (6*c^2*log(x))/b^5 - (3*c^2*log(b + c*x^2))/b^5, x, 4),
+(x^0/(b*x^2 + c*x^4)^3, -(63/(40*b^3*x^5)) + (21*c)/(8*b^4*x^3) - (63*c^2)/(8*b^5*x) + 1/(4*b*x^5*(b + c*x^2)^2) + 9/(8*b^2*x^5*(b + c*x^2)) - (63*c^(5//2)*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(b)))/(8*b^(11//2)), x, 7),
+(1/(x^1*(b*x^2 + c*x^4)^3), -(1/(6*b^3*x^6)) + (3*c)/(4*b^4*x^4) - (3*c^2)/(b^5*x^2) - c^3/(4*b^4*(b + c*x^2)^2) - (2*c^3)/(b^5*(b + c*x^2)) - (10*c^3*log(x))/b^6 + (5*c^3*log(b + c*x^2))/b^6, x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (b x^2+c x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^5*sqrt(b*x^2 + c*x^4), (5*b^2*(b + 2*c*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(128*c^3) - (5*b*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(48*c^2) + (x^2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(8*c) - (5*b^4*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(128*c^(7//2)), x, 6),
+(x^3*sqrt(b*x^2 + c*x^4), -((b*(b + 2*c*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(16*c^2)) + (b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(6*c) + (b^3*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(16*c^(5//2)), x, 5),
+(x^1*sqrt(b*x^2 + c*x^4), ((b + 2*c*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(8*c) - (b^2*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(8*c^(3//2)), x, 4),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^1, (1//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4) + (b*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(2*sqrt(c)), x, 4),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^3, -(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^2) + sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^5, -((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(3*b*x^6)), x, 1),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^7, -((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(5*b*x^8)) + (2*c*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(15*b^2*x^6), x, 2),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^9, -((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(7*b*x^10)) + (4*c*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(35*b^2*x^8) - (8*c^2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(105*b^3*x^6), x, 3),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^11, -((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(9*b*x^12)) + (2*c*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(21*b^2*x^10) - (8*c^2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(105*b^3*x^8) + (16*c^3*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(315*b^4*x^6), x, 4),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^13, -((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(11*b*x^14)) + (8*c*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(99*b^2*x^12) - (16*c^2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(231*b^3*x^10) + (64*c^3*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(1155*b^4*x^8) - (128*c^4*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(3465*b^5*x^6), x, 5),
+
+(x^4*sqrt(b*x^2 + c*x^4), (8*b^2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(105*c^3*x^3) - (4*b*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(35*c^2*x) + (x*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(7*c), x, 3),
+(x^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4), -((2*b*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(15*c^2*x^3)) + (b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(5*c*x), x, 2),
+(x^0*sqrt(b*x^2 + c*x^4), (b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(3*c*x^3), x, 1),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^2, sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x - sqrt(b)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 3),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^4, -(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/(2*x^3)) - (c*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(2*sqrt(b)), x, 3),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^6, -(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/(4*x^5)) - (c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(8*b*x^3) + (c^2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(8*b^(3//2)), x, 4),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^8, -(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/(6*x^7)) - (c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(24*b*x^5) + (c^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(16*b^2*x^3) - (c^3*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(16*b^(5//2)), x, 5),
+
+
+(x^3*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (3*b^3*(b + 2*c*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(256*c^3) - (b*(b + 2*c*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(32*c^2) + (b*x^2 + c*x^4)^(5//2)/(10*c) - (3*b^5*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(256*c^(7//2)), x, 6),
+(x^1*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -((3*b^2*(b + 2*c*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(128*c^2)) + ((b + 2*c*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(16*c) + (3*b^4*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(128*c^(5//2)), x, 5),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^1, (b*(b + 2*c*x^2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(16*c) + (1//6)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2) - (b^3*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(16*c^(3//2)), x, 5),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^3, (3//8)*b*sqrt(b*x^2 + c*x^4) + (b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(4*x^2) + (3*b^2*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(8*sqrt(c)), x, 5),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^5, (3//2)*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4) - (b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^4 + (3//2)*b*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^7, -((c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^2) - (b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(3*x^6) + c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^9, -((b*x^2 + c*x^4)^(5//2)/(5*b*x^10)), x, 1),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^11, -((b*x^2 + c*x^4)^(5//2)/(7*b*x^12)) + (2*c*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(35*b^2*x^10), x, 2),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^13, -((b*x^2 + c*x^4)^(5//2)/(9*b*x^14)) + (4*c*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(63*b^2*x^12) - (8*c^2*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(315*b^3*x^10), x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^15, -((b*x^2 + c*x^4)^(5//2)/(11*b*x^16)) + (2*c*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(33*b^2*x^14) - (8*c^2*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(231*b^3*x^12) + (16*c^3*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(1155*b^4*x^10), x, 4),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^17, -((b*x^2 + c*x^4)^(5//2)/(13*b*x^18)) + (8*c*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(143*b^2*x^16) - (16*c^2*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(429*b^3*x^14) + (64*c^3*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(3003*b^4*x^12) - (128*c^4*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(15015*b^5*x^10), x, 5),
+
+(x^6*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (128*b^4*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(15015*c^5*x^5) - (64*b^3*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(3003*c^4*x^3) + (16*b^2*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(429*c^3*x) - (8*b*x*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(143*c^2) + (x^3*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(13*c), x, 5),
+(x^4*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -((16*b^3*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(1155*c^4*x^5)) + (8*b^2*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(231*c^3*x^3) - (2*b*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(33*c^2*x) + (x*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(11*c), x, 4),
+(x^2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (8*b^2*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(315*c^3*x^5) - (4*b*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(63*c^2*x^3) + (b*x^2 + c*x^4)^(5//2)/(9*c*x), x, 3),
+(x^0*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -((2*b*(b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(35*c^2*x^5)) + (b*x^2 + c*x^4)^(5//2)/(7*c*x^3), x, 2),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^2, (b*x^2 + c*x^4)^(5//2)/(5*c*x^5), x, 1),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^4, (b*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x + (b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(3*x^3) - b^(3//2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^6, (3*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(2*x) - (b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(2*x^5) - (3//2)*sqrt(b)*c*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^8, -((3*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(8*x^3)) - (b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(4*x^7) - (3*c^2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(8*sqrt(b)), x, 4),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^10, -((c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(8*x^5)) - (c^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(16*b*x^3) - (b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(6*x^9) + (c^3*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(16*b^(3//2)), x, 5),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^12, -((c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(16*x^7)) - (c^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(64*b*x^5) + (3*c^3*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(128*b^2*x^3) - (b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(8*x^11) - (3*c^4*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(128*b^(5//2)), x, 6),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^14, -((3*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(80*x^9)) - (c^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(160*b*x^7) + (c^3*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(128*b^2*x^5) - (3*c^4*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(256*b^3*x^3) - (b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(10*x^13) + (3*c^5*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(256*b^(7//2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^7/sqrt(b*x^2 + c*x^4), (5*b^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(16*c^3) - (5*b*x^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(24*c^2) + (x^4*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(6*c) - (5*b^3*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(16*c^(7//2)), x, 6),
+(x^5/sqrt(b*x^2 + c*x^4), -((3*b*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(8*c^2)) + (x^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(4*c) + (3*b^2*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(8*c^(5//2)), x, 5),
+(x^3/sqrt(b*x^2 + c*x^4), sqrt(b*x^2 + c*x^4)/(2*c) - (b*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(2*c^(3//2)), x, 4),
+(x^1/sqrt(b*x^2 + c*x^4), atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4))/sqrt(c), x, 3),
+(1/(x^1*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/(b*x^2)), x, 1),
+(1/(x^3*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/(3*b*x^4)) + (2*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*b^2*x^2), x, 2),
+(1/(x^5*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/(5*b*x^6)) + (4*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(15*b^2*x^4) - (8*c^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(15*b^3*x^2), x, 3),
+(1/(x^7*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/(7*b*x^8)) + (6*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(35*b^2*x^6) - (8*c^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(35*b^3*x^4) + (16*c^3*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(35*b^4*x^2), x, 4),
+
+(x^4/sqrt(b*x^2 + c*x^4), -((2*b*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*c^2*x)) + (x*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*c), x, 2),
+(x^2/sqrt(b*x^2 + c*x^4), sqrt(b*x^2 + c*x^4)/(c*x), x, 1),
+(x^0/sqrt(b*x^2 + c*x^4), -(atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4))/sqrt(b)), x, 2),
+(1/(x^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/(2*b*x^3)) + (c*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(2*b^(3//2)), x, 3),
+(1/(x^4*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/(4*b*x^5)) + (3*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(8*b^2*x^3) - (3*c^2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(8*b^(5//2)), x, 4),
+
+
+(x^9/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(x^6/(c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) - (15*b*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(8*c^3) + (5*x^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(4*c^2) + (15*b^2*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(8*c^(7//2)), x, 6),
+(x^7/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(x^4/(c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + (3*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(2*c^2) - (3*b*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(2*c^(5//2)), x, 5),
+(x^5/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(x^2/(c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4))/c^(3//2), x, 4),
+(x^3/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), x^2/(b*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 1),
+(x^1/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -((b + 2*c*x^2)/(b^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))), x, 2),
+(1/(x^1*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), 1/(b*x^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (4*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*b^2*x^4) + (8*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*b^3*x^2), x, 3),
+(1/(x^3*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), 1/(b*x^4*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (6*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*b^2*x^6) + (8*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*b^3*x^4) - (16*c^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*b^4*x^2), x, 4),
+(1/(x^5*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), 1/(b*x^6*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (8*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(7*b^2*x^8) + (48*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(35*b^3*x^6) - (64*c^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(35*b^4*x^4) + (128*c^3*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(35*b^5*x^2), x, 5),
+
+(x^6/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(x^3/(c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + (2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(c^2*x), x, 2),
+(x^4/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(x/(c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))), x, 1),
+(x^2/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), x/(b*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4))/b^(3//2), x, 3),
+(x^0/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), 1/(b*x*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (3*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(2*b^2*x^3) + (3*c*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(2*b^(5//2)), x, 4),
+(1/(x^2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), 1/(b*x^3*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (5*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(4*b^2*x^5) + (15*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(8*b^3*x^3) - (15*c^2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(8*b^(7//2)), x, 5),
+
+
+(x^3/sqrt(3*x^2 - 4*x^4), (-(1//8))*sqrt(3*x^2 - 4*x^4) - (3//32)*asin(1 - (8*x^2)/3), x, 4),
+(x^3/sqrt(-3*x^2 - 4*x^4), (-(1//8))*sqrt(-3*x^2 - 4*x^4) - (3//32)*asin(1 + (8*x^2)/3), x, 4),
+(x^3/sqrt(3*x^2 + 4*x^4), (1//8)*sqrt(3*x^2 + 4*x^4) - (3//16)*atanh((2*x^2)/sqrt(3*x^2 + 4*x^4)), x, 4),
+(x^3/sqrt(-3*x^2 + 4*x^4), (1//8)*sqrt(-3*x^2 + 4*x^4) + (3//16)*atanh((2*x^2)/sqrt(-3*x^2 + 4*x^4)), x, 4),
+(x^3/sqrt(a*x^2 + b*x^4), sqrt(a*x^2 + b*x^4)/(2*b) - (a*atanh((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a*x^2 + b*x^4)))/(2*b^(3//2)), x, 4),
+(x^3/sqrt(a*x^2 - b*x^4), -(sqrt(a*x^2 - b*x^4)/(2*b)) + (a*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a*x^2 - b*x^4)))/(2*b^(3//2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(7//2)*(b*x^2 + c*x^4), (2//13)*b*x^(13//2) + (2//17)*c*x^(17//2), x, 2),
+(x^(5//2)*(b*x^2 + c*x^4), (2//11)*b*x^(11//2) + (2//15)*c*x^(15//2), x, 2),
+(x^(3//2)*(b*x^2 + c*x^4), (2//9)*b*x^(9//2) + (2//13)*c*x^(13//2), x, 2),
+(x^(1//2)*(b*x^2 + c*x^4), (2//7)*b*x^(7//2) + (2//11)*c*x^(11//2), x, 2),
+((b*x^2 + c*x^4)/x^(1//2), (2//5)*b*x^(5//2) + (2//9)*c*x^(9//2), x, 2),
+((b*x^2 + c*x^4)/x^(3//2), (2//3)*b*x^(3//2) + (2//7)*c*x^(7//2), x, 2),
+((b*x^2 + c*x^4)/x^(5//2), 2*b*sqrt(x) + (2//5)*c*x^(5//2), x, 2),
+((b*x^2 + c*x^4)/x^(7//2), -((2*b)/sqrt(x)) + (2//3)*c*x^(3//2), x, 2),
+
+
+(x^(7//2)*(b*x^2 + c*x^4)^2, (2//17)*b^2*x^(17//2) + (4//21)*b*c*x^(21//2) + (2//25)*c^2*x^(25//2), x, 3),
+(x^(5//2)*(b*x^2 + c*x^4)^2, (2//15)*b^2*x^(15//2) + (4//19)*b*c*x^(19//2) + (2//23)*c^2*x^(23//2), x, 3),
+(x^(3//2)*(b*x^2 + c*x^4)^2, (2//13)*b^2*x^(13//2) + (4//17)*b*c*x^(17//2) + (2//21)*c^2*x^(21//2), x, 3),
+(x^(1//2)*(b*x^2 + c*x^4)^2, (2//11)*b^2*x^(11//2) + (4//15)*b*c*x^(15//2) + (2//19)*c^2*x^(19//2), x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^2/x^(1//2), (2//9)*b^2*x^(9//2) + (4//13)*b*c*x^(13//2) + (2//17)*c^2*x^(17//2), x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^2/x^(3//2), (2//7)*b^2*x^(7//2) + (4//11)*b*c*x^(11//2) + (2//15)*c^2*x^(15//2), x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^2/x^(5//2), (2//5)*b^2*x^(5//2) + (4//9)*b*c*x^(9//2) + (2//13)*c^2*x^(13//2), x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^2/x^(7//2), (2//3)*b^2*x^(3//2) + (4//7)*b*c*x^(7//2) + (2//11)*c^2*x^(11//2), x, 3),
+
+
+(x^(7//2)*(b*x^2 + c*x^4)^3, (2//21)*b^3*x^(21//2) + (6//25)*b^2*c*x^(25//2) + (6//29)*b*c^2*x^(29//2) + (2//33)*c^3*x^(33//2), x, 3),
+(x^(5//2)*(b*x^2 + c*x^4)^3, (2//19)*b^3*x^(19//2) + (6//23)*b^2*c*x^(23//2) + (2//9)*b*c^2*x^(27//2) + (2//31)*c^3*x^(31//2), x, 3),
+(x^(3//2)*(b*x^2 + c*x^4)^3, (2//17)*b^3*x^(17//2) + (2//7)*b^2*c*x^(21//2) + (6//25)*b*c^2*x^(25//2) + (2//29)*c^3*x^(29//2), x, 3),
+(x^(1//2)*(b*x^2 + c*x^4)^3, (2//15)*b^3*x^(15//2) + (6//19)*b^2*c*x^(19//2) + (6//23)*b*c^2*x^(23//2) + (2//27)*c^3*x^(27//2), x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^(1//2), (2//13)*b^3*x^(13//2) + (6//17)*b^2*c*x^(17//2) + (2//7)*b*c^2*x^(21//2) + (2//25)*c^3*x^(25//2), x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^(3//2), (2//11)*b^3*x^(11//2) + (2//5)*b^2*c*x^(15//2) + (6//19)*b*c^2*x^(19//2) + (2//23)*c^3*x^(23//2), x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^(5//2), (2//9)*b^3*x^(9//2) + (6//13)*b^2*c*x^(13//2) + (6//17)*b*c^2*x^(17//2) + (2//21)*c^3*x^(21//2), x, 3),
+((b*x^2 + c*x^4)^3/x^(7//2), (2//7)*b^3*x^(7//2) + (6//11)*b^2*c*x^(11//2) + (2//5)*b*c^2*x^(15//2) + (2//19)*c^3*x^(19//2), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^(13//2)/(b*x^2 + c*x^4), (-2*b*x^(3//2))/(3*c^2) + (2*x^(7//2))/(7*c) - (b^(7//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(11//4)) + (b^(7//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(11//4)) + (b^(7//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(11//4)) - (b^(7//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(11//4)), x, 13),
+(x^(11//2)/(b*x^2 + c*x^4), (-2*b*sqrt(x))/c^2 + (2*x^(5//2))/(5*c) - (b^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(9//4)) + (b^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(9//4)) - (b^(5//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(9//4)) + (b^(5//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(9//4)), x, 13),
+(x^(9//2)/(b*x^2 + c*x^4), (2*x^(3//2))/(3*c) + (b^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(7//4)) - (b^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(7//4)) - (b^(3//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(7//4)) + (b^(3//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(7//4)), x, 12),
+(x^(7//2)/(b*x^2 + c*x^4), (2*sqrt(x))/c + (b^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(5//4)) - (b^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*c^(5//4)) + (b^(1//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(5//4)) - (b^(1//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*c^(5//4)), x, 12),
+(x^(5//2)/(b*x^2 + c*x^4), -(atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4))/(sqrt(2)*b^(1//4)*c^(3//4))) + atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4))/(sqrt(2)*b^(1//4)*c^(3//4)) + log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x)/(2*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(3//4)) - log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x)/(2*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(3//4)), x, 11),
+(x^(3//2)/(b*x^2 + c*x^4), -(atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4))/(sqrt(2)*b^(3//4)*c^(1//4))) + atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4))/(sqrt(2)*b^(3//4)*c^(1//4)) - log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x)/(2*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(1//4)) + log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x)/(2*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(1//4)), x, 11),
+(sqrt(x)/(b*x^2 + c*x^4), -2/(b*sqrt(x)) + (c^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(5//4)) - (c^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(5//4)) - (c^(1//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(5//4)) + (c^(1//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(5//4)), x, 12),
+(1/(sqrt(x)*(b*x^2 + c*x^4)), -2/(3*b*x^(3//2)) + (c^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(7//4)) - (c^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(7//4)) + (c^(3//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(7//4)) - (c^(3//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(7//4)), x, 12),
+(1/(x^(3//2)*(b*x^2 + c*x^4)), -2/(5*b*x^(5//2)) + (2*c)/(b^2*sqrt(x)) - (c^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(9//4)) + (c^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(9//4)) + (c^(5//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(9//4)) - (c^(5//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(9//4)), x, 13),
+(1/(x^(5//2)*(b*x^2 + c*x^4)), -2/(7*b*x^(7//2)) + (2*c)/(3*b^2*x^(3//2)) - (c^(7//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(11//4)) + (c^(7//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(11//4)) - (c^(7//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(11//4)) + (c^(7//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(11//4)), x, 13),
+(1/(x^(7//2)*(b*x^2 + c*x^4)), -2/(9*b*x^(9//2)) + (2*c)/(5*b^2*x^(5//2)) - (2*c^2)/(b^3*sqrt(x)) + (c^(9//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(13//4)) - (c^(9//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(sqrt(2)*b^(13//4)) - (c^(9//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(13//4)) + (c^(9//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(2*sqrt(2)*b^(13//4)), x, 14),
+
+
+(x^(19//2)/(b*x^2 + c*x^4)^2, (-9*b*sqrt(x))/(2*c^3) + (9*x^(5//2))/(10*c^2) - x^(9//2)/(2*c*(b + c*x^2)) - (9*b^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(13//4)) + (9*b^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(13//4)) - (9*b^(5//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*c^(13//4)) + (9*b^(5//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*c^(13//4)), x, 14),
+(x^(17//2)/(b*x^2 + c*x^4)^2, (7*x^(3//2))/(6*c^2) - x^(7//2)/(2*c*(b + c*x^2)) + (7*b^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(11//4)) - (7*b^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(11//4)) - (7*b^(3//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*c^(11//4)) + (7*b^(3//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*c^(11//4)), x, 13),
+(x^(15//2)/(b*x^2 + c*x^4)^2, (5*sqrt(x))/(2*c^2) - x^(5//2)/(2*c*(b + c*x^2)) + (5*b^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(9//4)) - (5*b^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*c^(9//4)) + (5*b^(1//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*c^(9//4)) - (5*b^(1//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*c^(9//4)), x, 13),
+(x^(13//2)/(b*x^2 + c*x^4)^2, -x^(3//2)/(2*c*(b + c*x^2)) - (3*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(7//4)) + (3*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(7//4)) + (3*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(7//4)) - (3*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(7//4)), x, 12),
+(x^(11//2)/(b*x^2 + c*x^4)^2, -sqrt(x)/(2*c*(b + c*x^2)) - atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4))/(4*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(5//4)) + atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4))/(4*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(5//4)) - log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x)/(8*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(5//4)) + log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x)/(8*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(5//4)), x, 12),
+(x^(9//2)/(b*x^2 + c*x^4)^2, x^(3//2)/(2*b*(b + c*x^2)) - atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4))/(4*sqrt(2)*b^(5//4)*c^(3//4)) + atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4))/(4*sqrt(2)*b^(5//4)*c^(3//4)) + log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x)/(8*sqrt(2)*b^(5//4)*c^(3//4)) - log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x)/(8*sqrt(2)*b^(5//4)*c^(3//4)), x, 12),
+(x^(7//2)/(b*x^2 + c*x^4)^2, sqrt(x)/(2*b*(b + c*x^2)) - (3*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(7//4)*c^(1//4)) + (3*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(7//4)*c^(1//4)) - (3*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(7//4)*c^(1//4)) + (3*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(7//4)*c^(1//4)), x, 12),
+(x^(5//2)/(b*x^2 + c*x^4)^2, -5/(2*b^2*sqrt(x)) + 1/(2*b*sqrt(x)*(b + c*x^2)) + (5*c^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(9//4)) - (5*c^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(9//4)) - (5*c^(1//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(9//4)) + (5*c^(1//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(9//4)), x, 13),
+(x^(3//2)/(b*x^2 + c*x^4)^2, -7/(6*b^2*x^(3//2)) + 1/(2*b*x^(3//2)*(b + c*x^2)) + (7*c^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(11//4)) - (7*c^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(11//4)) + (7*c^(3//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(11//4)) - (7*c^(3//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(11//4)), x, 13),
+(sqrt(x)/(b*x^2 + c*x^4)^2, -9/(10*b^2*x^(5//2)) + (9*c)/(2*b^3*sqrt(x)) + 1/(2*b*x^(5//2)*(b + c*x^2)) - (9*c^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(13//4)) + (9*c^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(13//4)) + (9*c^(5//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(13//4)) - (9*c^(5//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(13//4)), x, 14),
+(1/(sqrt(x)*(b*x^2 + c*x^4)^2), -11/(14*b^2*x^(7//2)) + (11*c)/(6*b^3*x^(3//2)) + 1/(2*b*x^(7//2)*(b + c*x^2)) - (11*c^(7//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(15//4)) + (11*c^(7//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(15//4)) - (11*c^(7//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(15//4)) + (11*c^(7//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(15//4)), x, 14),
+(1/(x^(3//2)*(b*x^2 + c*x^4)^2), -13/(18*b^2*x^(9//2)) + (13*c)/(10*b^3*x^(5//2)) - (13*c^2)/(2*b^4*sqrt(x)) + 1/(2*b*x^(9//2)*(b + c*x^2)) + (13*c^(9//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(17//4)) - (13*c^(9//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(4*sqrt(2)*b^(17//4)) - (13*c^(9//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(17//4)) + (13*c^(9//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(8*sqrt(2)*b^(17//4)), x, 15),
+
+
+(x^(23//2)/(b*x^2 + c*x^4)^3, (45*sqrt(x))/(16*c^3) - x^(9//2)/(4*c*(b + c*x^2)^2) - (9*x^(5//2))/(16*c^2*(b + c*x^2)) + (45*b^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(13//4)) - (45*b^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*c^(13//4)) + (45*b^(1//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*c^(13//4)) - (45*b^(1//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*c^(13//4)), x, 14),
+(x^(21//2)/(b*x^2 + c*x^4)^3, -x^(7//2)/(4*c*(b + c*x^2)^2) - (7*x^(3//2))/(16*c^2*(b + c*x^2)) - (21*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(11//4)) + (21*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(11//4)) + (21*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(11//4)) - (21*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(1//4)*c^(11//4)), x, 13),
+(x^(19//2)/(b*x^2 + c*x^4)^3, -x^(5//2)/(4*c*(b + c*x^2)^2) - (5*sqrt(x))/(16*c^2*(b + c*x^2)) - (5*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(9//4)) + (5*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(9//4)) - (5*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(9//4)) + (5*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(3//4)*c^(9//4)), x, 13),
+(x^(17//2)/(b*x^2 + c*x^4)^3, -x^(3//2)/(4*c*(b + c*x^2)^2) + (3*x^(3//2))/(16*b*c*(b + c*x^2)) - (3*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(5//4)*c^(7//4)) + (3*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(5//4)*c^(7//4)) + (3*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(5//4)*c^(7//4)) - (3*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(5//4)*c^(7//4)), x, 13),
+(x^(15//2)/(b*x^2 + c*x^4)^3, -sqrt(x)/(4*c*(b + c*x^2)^2) + sqrt(x)/(16*b*c*(b + c*x^2)) - (3*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(7//4)*c^(5//4)) + (3*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(7//4)*c^(5//4)) - (3*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(7//4)*c^(5//4)) + (3*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(7//4)*c^(5//4)), x, 13),
+(x^(13//2)/(b*x^2 + c*x^4)^3, x^(3//2)/(4*b*(b + c*x^2)^2) + (5*x^(3//2))/(16*b^2*(b + c*x^2)) - (5*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(9//4)*c^(3//4)) + (5*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(9//4)*c^(3//4)) + (5*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(9//4)*c^(3//4)) - (5*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(9//4)*c^(3//4)), x, 13),
+(x^(11//2)/(b*x^2 + c*x^4)^3, sqrt(x)/(4*b*(b + c*x^2)^2) + (7*sqrt(x))/(16*b^2*(b + c*x^2)) - (21*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(11//4)*c^(1//4)) + (21*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(11//4)*c^(1//4)) - (21*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(11//4)*c^(1//4)) + (21*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(11//4)*c^(1//4)), x, 13),
+(x^(9//2)/(b*x^2 + c*x^4)^3, -45/(16*b^3*sqrt(x)) + 1/(4*b*sqrt(x)*(b + c*x^2)^2) + 9/(16*b^2*sqrt(x)*(b + c*x^2)) + (45*c^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(13//4)) - (45*c^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(13//4)) - (45*c^(1//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(13//4)) + (45*c^(1//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(13//4)), x, 14),
+(x^(7//2)/(b*x^2 + c*x^4)^3, -77/(48*b^3*x^(3//2)) + 1/(4*b*x^(3//2)*(b + c*x^2)^2) + 11/(16*b^2*x^(3//2)*(b + c*x^2)) + (77*c^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(15//4)) - (77*c^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(15//4)) + (77*c^(3//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(15//4)) - (77*c^(3//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(15//4)), x, 14),
+(x^(5//2)/(b*x^2 + c*x^4)^3, -117/(80*b^3*x^(5//2)) + (117*c)/(16*b^4*sqrt(x)) + 1/(4*b*x^(5//2)*(b + c*x^2)^2) + 13/(16*b^2*x^(5//2)*(b + c*x^2)) - (117*c^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(17//4)) + (117*c^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(17//4)) + (117*c^(5//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(17//4)) - (117*c^(5//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(17//4)), x, 15),
+(x^(3//2)/(b*x^2 + c*x^4)^3, -165/(112*b^3*x^(7//2)) + (55*c)/(16*b^4*x^(3//2)) + 1/(4*b*x^(7//2)*(b + c*x^2)^2) + 15/(16*b^2*x^(7//2)*(b + c*x^2)) - (165*c^(7//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(19//4)) + (165*c^(7//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(19//4)) - (165*c^(7//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(19//4)) + (165*c^(7//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(19//4)), x, 15),
+(sqrt(x)/(b*x^2 + c*x^4)^3, -221/(144*b^3*x^(9//2)) + (221*c)/(80*b^4*x^(5//2)) - (221*c^2)/(16*b^5*sqrt(x)) + 1/(4*b*x^(9//2)*(b + c*x^2)^2) + 17/(16*b^2*x^(9//2)*(b + c*x^2)) + (221*c^(9//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(21//4)) - (221*c^(9//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(21//4)) - (221*c^(9//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(21//4)) + (221*c^(9//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(21//4)), x, 16),
+(1/(sqrt(x)*(b*x^2 + c*x^4)^3), -285/(176*b^3*x^(11//2)) + (285*c)/(112*b^4*x^(7//2)) - (95*c^2)/(16*b^5*x^(3//2)) + 1/(4*b*x^(11//2)*(b + c*x^2)^2) + 19/(16*b^2*x^(11//2)*(b + c*x^2)) + (285*c^(11//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(23//4)) - (285*c^(11//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)))/(32*sqrt(2)*b^(23//4)) + (285*c^(11//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(23//4)) - (285*c^(11//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x) + sqrt(c)*x))/(64*sqrt(2)*b^(23//4)), x, 16),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (b x^2+c x^4)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+(x^(7//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4), (28*b^3*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(195*c^(5//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (28*b^2*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(585*c^2) + (4*b*x^(5//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(117*c) + (2//13)*x^(9//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4) - (28*b^(13//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(195*c^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (14*b^(13//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(195*c^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 8),
+(x^(5//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4), -((20*b^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(231*c^2*sqrt(x))) + (4*b*x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(77*c) + (2//11)*x^(7//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4) + (10*b^(11//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(231*c^(9//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+(x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4), -((4*b^2*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(15*c^(3//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + (4*b*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(45*c) + (2//9)*x^(5//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4) + (4*b^(9//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*c^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (2*b^(9//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*c^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+(sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4), (4*b*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(21*c*sqrt(x)) + (2//7)*x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4) - (2*b^(7//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(21*c^(5//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/sqrt(x), (4*b*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(5*sqrt(c)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (2//5)*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4) - (4*b^(5//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*c^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (2*b^(5//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*c^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^(3//2), (2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*sqrt(x)) + (2*b^(3//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(3*c^(1//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^(5//2), (4*sqrt(c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/((sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/x^(3//2) - (4*b^(1//4)*c^(1//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/sqrt(b*x^2 + c*x^4) + (2*b^(1//4)*c^(1//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/sqrt(b*x^2 + c*x^4), x, 6),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^(7//2), -((2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*x^(5//2))) + (2*c^(3//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(3*b^(1//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^(9//2), (4*c^(3//2)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(5*b*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*x^(7//2)) - (4*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*b*x^(3//2)) - (4*c^(5//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (2*c^(5//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*b^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^(11//2), -((2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(7*x^(9//2))) - (4*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(21*b*x^(5//2)) - (2*c^(7//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(21*b^(5//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^(13//2), -((4*c^(5//2)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(15*b^2*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) - (2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(9*x^(11//2)) - (4*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(45*b*x^(7//2)) + (4*c^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(15*b^2*x^(3//2)) + (4*c^(9//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*b^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (2*c^(9//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*b^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 8),
+(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/x^(15//2), -((2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(11*x^(13//2))) - (4*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(77*b*x^(9//2)) + (20*c^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(231*b^2*x^(5//2)) + (10*c^(11//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(231*b^(9//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+
+
+(x^(3//2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (56*b^4*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(1105*c^(5//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (56*b^3*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3315*c^2) + (8*b^2*x^(5//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(663*c) + (12//221)*b*x^(9//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4) + (2//17)*x^(5//2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2) - (56*b^(17//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(1105*c^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (28*b^(17//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(1105*c^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 9),
+(sqrt(x)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -((8*b^3*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(231*c^2*sqrt(x))) + (8*b^2*x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(385*c) + (4//55)*b*x^(7//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4) + (2//15)*x^(3//2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2) + (4*b^(15//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(231*c^(9//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/sqrt(x), -((8*b^3*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(65*c^(3//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + (8*b^2*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(195*c) + (4//39)*b*x^(5//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4) + (2//13)*sqrt(x)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2) + (8*b^(13//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(65*c^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (4*b^(13//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(65*c^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 8),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^(3//2), (8*b^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(77*c*sqrt(x)) + (12//77)*b*x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4) + (2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(11*sqrt(x)) - (4*b^(11//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(77*c^(5//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^(5//2), (8*b^2*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(15*sqrt(c)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (4//15)*b*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4) + (2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(9*x^(3//2)) - (8*b^(9//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*c^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (4*b^(9//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*c^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^(7//2), (4*b*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(7*sqrt(x)) + (2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(7*x^(5//2)) + (4*b^(7//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(7*c^(1//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^(9//2), (24*b*sqrt(c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(5*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (12//5)*c*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4) - (2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/x^(7//2) - (24*b^(5//4)*c^(1//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (12*b^(5//4)*c^(1//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
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+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^(13//2), (24*c^(3//2)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(5*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (12*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*x^(3//2)) - (2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(5*x^(11//2)) - (24*b^(1//4)*c^(5//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (12*b^(1//4)*c^(5//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^(15//2), -((4*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(7*x^(5//2))) - (2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(7*x^(13//2)) + (4*c^(7//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(7*b^(1//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^(17//2), (8*c^(5//2)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(15*b*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (4*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(15*x^(7//2)) - (8*c^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(15*b*x^(3//2)) - (2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(9*x^(15//2)) - (8*c^(9//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*b^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (4*c^(9//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*b^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 8),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^(19//2), -((12*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(77*x^(9//2))) - (8*c^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(77*b*x^(5//2)) - (2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(11*x^(17//2)) - (4*c^(11//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(77*b^(5//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^(21//2), -((8*c^(7//2)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(65*b^2*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) - (4*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(39*x^(11//2)) - (8*c^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(195*b*x^(7//2)) + (8*c^3*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(65*b^2*x^(3//2)) - (2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(13*x^(19//2)) + (8*c^(13//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(65*b^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (4*c^(13//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(65*b^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 9),
+((b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^(23//2), -((4*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(55*x^(13//2))) - (8*c^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(385*b*x^(9//2)) + (8*c^3*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(231*b^2*x^(5//2)) - (2*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(15*x^(21//2)) + (4*c^(15//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(231*b^(9//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(x^(13//2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4), (30*b^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(77*c^3*sqrt(x)) - (18*b*x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(77*c^2) + (2*x^(7//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(11*c) - (15*b^(11//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(77*c^(13//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+(x^(11//2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4), (14*b^2*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(15*c^(5//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (14*b*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(45*c^2) + (2*x^(5//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(9*c) - (14*b^(9//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*c^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (7*b^(9//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*c^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+(x^(9//2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4), -((10*b*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(21*c^2*sqrt(x))) + (2*x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(7*c) + (5*b^(7//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(21*c^(9//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(x^(7//2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4), -((6*b*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(5*c^(3//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + (2*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*c) + (6*b^(5//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*c^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (3*b^(5//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*c^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+(x^(5//2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4), (2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*c*sqrt(x)) - (b^(3//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(3*c^(5//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+(x^(3//2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4), (2*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(sqrt(c)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (2*b^(1//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(c^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (b^(1//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(c^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(sqrt(x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4), (x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(b^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 3),
+(1/(sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), (2*sqrt(c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(b*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(b*x^(3//2)) - (2*c^(1//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(b^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (c^(1//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(b^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+(1/(x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -((2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*b*x^(5//2))) - (c^(3//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(3*b^(5//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+(1/(x^(5//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -((6*c^(3//2)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(5*b^2*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) - (2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*b*x^(7//2)) + (6*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*b^2*x^(3//2)) + (6*c^(5//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*b^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (3*c^(5//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*b^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+(1/(x^(7//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -((2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(7*b*x^(9//2))) + (10*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(21*b^2*x^(5//2)) + (5*c^(7//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(21*b^(9//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(1/(x^(9//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), (14*c^(5//2)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(15*b^3*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(9*b*x^(11//2)) + (14*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(45*b^2*x^(7//2)) - (14*c^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(15*b^3*x^(3//2)) - (14*c^(9//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*b^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (7*c^(9//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*b^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 8),
+(1/(x^(11//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), -((2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(11*b*x^(13//2))) + (18*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(77*b^2*x^(9//2)) - (30*c^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(77*b^3*x^(5//2)) - (15*c^(11//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(77*b^(13//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+
+
+(x^(17//2)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(x^(11//2)/(c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) - (15*b*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(7*c^3*sqrt(x)) + (9*x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(7*c^2) + (15*b^(7//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(14*c^(13//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+(x^(15//2)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(x^(9//2)/(c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) - (21*b*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(5*c^(5//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (7*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*c^2) + (21*b^(5//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*c^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (21*b^(5//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(10*c^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+(x^(13//2)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(x^(7//2)/(c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + (5*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*c^2*sqrt(x)) - (5*b^(3//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(6*c^(9//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(x^(11//2)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(x^(5//2)/(c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + (3*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(c^(3//2)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (3*b^(1//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(c^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (3*b^(1//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(2*c^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+(x^(9//2)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(x^(3//2)/(c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))) + (x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(2*b^(1//4)*c^(5//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+(x^(7//2)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), x^(5//2)/(b*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (x^(3//2)*(b + c*x^2))/(b*sqrt(c)*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(b^(3//4)*c^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(2*b^(3//4)*c^(3//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+(x^(5//2)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), x^(3//2)/(b*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(2*b^(5//4)*c^(1//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+(x^(3//2)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), sqrt(x)/(b*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (3*sqrt(c)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(b^2*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (3*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(b^2*x^(3//2)) - (3*c^(1//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(b^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (3*c^(1//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(2*b^(7//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+(sqrt(x)/(b*x^2 + c*x^4)^(3//2), 1/(b*sqrt(x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (5*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*b^2*x^(5//2)) - (5*c^(3//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(6*b^(9//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(1/(sqrt(x)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), 1/(b*x^(3//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (21*c^(3//2)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(5*b^3*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (7*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*b^2*x^(7//2)) + (21*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(5*b^3*x^(3//2)) + (21*c^(5//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(5*b^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (21*c^(5//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(10*b^(11//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 8),
+(1/(x^(3//2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), 1/(b*x^(5//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (9*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(7*b^2*x^(9//2)) + (15*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(7*b^3*x^(5//2)) + (15*c^(7//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(14*b^(13//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+(1/(x^(5//2)*(b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), 1/(b*x^(7//2)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (77*c^(5//2)*x^(3//2)*(b + c*x^2))/(15*b^4*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) - (11*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(9*b^2*x^(11//2)) + (77*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(45*b^3*x^(7//2)) - (77*c^2*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(15*b^4*x^(3//2)) - (77*c^(9//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(15*b^(15//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)) + (77*c^(9//4)*x*(sqrt(b) + sqrt(c)*x)*sqrt((b + c*x^2)/(sqrt(b) + sqrt(c)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*sqrt(x))/b^(1//4)), 1//2))/(30*b^(15//4)*sqrt(b*x^2 + c*x^4)), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (b x^2+c x^4)^p with m symbolic
+
+
+((c*x)^m*(b*x^2 + c*x^4)^3, (b^3*x^7*(c*x)^m)/(7 + m) + (3*b^2*c*x^9*(c*x)^m)/(9 + m) + (3*b*c^2*x^11*(c*x)^m)/(11 + m) + (c^3*x^13*(c*x)^m)/(13 + m), x, 4),
+((c*x)^m*(b*x^2 + c*x^4)^2, (b^2*x^5*(c*x)^m)/(5 + m) + (2*b*c*x^7*(c*x)^m)/(7 + m) + (c^2*x^9*(c*x)^m)/(9 + m), x, 4),
+((c*x)^m*(b*x^2 + c*x^4)^1, (b*(c*x)^(3 + m))/(c^3*(3 + m)) + (c*x)^(5 + m)/(c^4*(5 + m)), x, 2),
+((c*x)^m/(b*x^2 + c*x^4)^1, -(((c*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1//2)*(-1 + m), (1 + m)/2, -((c*x^2)/b)))/(b*(1 - m)*x)), x, 3),
+((c*x)^m/(b*x^2 + c*x^4)^2, -(((c*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1//2)*(-3 + m), (1//2)*(-1 + m), -((c*x^2)/b)))/(b^2*(3 - m)*x^3)), x, 3),
+((c*x)^m/(b*x^2 + c*x^4)^3, -(((c*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, (1//2)*(-5 + m), (1//2)*(-3 + m), -((c*x^2)/b)))/(b^3*(5 - m)*x^5)), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p with b^2-4 a c=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a^2+2 a b x^2+b^2 x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (a^2*x^4)/4 + (1//3)*a*b*x^6 + (b^2*x^8)/8, x, 2),
+(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (a^2*x^3)/3 + (2//5)*a*b*x^5 + (b^2*x^7)/7, x, 2),
+(x^1*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (a^2*x^2)/2 + (1//2)*a*b*x^4 + (b^2*x^6)/6, x, 2),
+(x^0*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), a^2*x + (2//3)*a*b*x^3 + (b^2*x^5)/5, x, 1),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^1, a*b*x^2 + (b^2*x^4)/4 + a^2*log(x), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^2, -(a^2/x) + 2*a*b*x + (b^2*x^3)/3, x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^3, -(a^2/(2*x^2)) + (b^2*x^2)/2 + 2*a*b*log(x), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^4, -(a^2/(3*x^3)) - (2*a*b)/x + b^2*x, x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^5, -(a^2/(4*x^4)) - (a*b)/x^2 + b^2*log(x), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^6, -(a^2/(5*x^5)) - (2*a*b)/(3*x^3) - b^2/x, x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^7, -(a^2/(6*x^6)) - (a*b)/(2*x^4) - b^2/(2*x^2), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^8, -(a^2/(7*x^7)) - (2*a*b)/(5*x^5) - b^2/(3*x^3), x, 2),
+
+
+(x^6*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, (a^4*x^7)/7 + (4//9)*a^3*b*x^9 + (6//11)*a^2*b^2*x^11 + (4//13)*a*b^3*x^13 + (b^4*x^15)/15, x, 3),
+(x^5*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, (a^2*(a + b*x^2)^5)/(10*b^3) - (a*(a + b*x^2)^6)/(6*b^3) + (a + b*x^2)^7/(14*b^3), x, 4),
+(x^4*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, (a^4*x^5)/5 + (4//7)*a^3*b*x^7 + (2//3)*a^2*b^2*x^9 + (4//11)*a*b^3*x^11 + (b^4*x^13)/13, x, 3),
+(x^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, -((a*(a + b*x^2)^5)/(10*b^2)) + (a + b*x^2)^6/(12*b^2), x, 4),
+(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, (a^4*x^3)/3 + (4//5)*a^3*b*x^5 + (6//7)*a^2*b^2*x^7 + (4//9)*a*b^3*x^9 + (b^4*x^11)/11, x, 3),
+(x^1*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, (a + b*x^2)^5/(10*b), x, 2),
+(x^0*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, a^4*x + (4//3)*a^3*b*x^3 + (6//5)*a^2*b^2*x^5 + (4//7)*a*b^3*x^7 + (b^4*x^9)/9, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/x^1, 2*a^3*b*x^2 + (3//2)*a^2*b^2*x^4 + (2//3)*a*b^3*x^6 + (b^4*x^8)/8 + a^4*log(x), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/x^2, -(a^4/x) + 4*a^3*b*x + 2*a^2*b^2*x^3 + (4//5)*a*b^3*x^5 + (b^4*x^7)/7, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/x^3, -(a^4/(2*x^2)) + 3*a^2*b^2*x^2 + a*b^3*x^4 + (b^4*x^6)/6 + 4*a^3*b*log(x), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/x^4, -(a^4/(3*x^3)) - (4*a^3*b)/x + 6*a^2*b^2*x + (4//3)*a*b^3*x^3 + (b^4*x^5)/5, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/x^5, -(a^4/(4*x^4)) - (2*a^3*b)/x^2 + 2*a*b^3*x^2 + (b^4*x^4)/4 + 6*a^2*b^2*log(x), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/x^6, -(a^4/(5*x^5)) - (4*a^3*b)/(3*x^3) - (6*a^2*b^2)/x + 4*a*b^3*x + (b^4*x^3)/3, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/x^7, -(a^4/(6*x^6)) - (a^3*b)/x^4 - (3*a^2*b^2)/x^2 + (b^4*x^2)/2 + 4*a*b^3*log(x), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/x^8, -(a^4/(7*x^7)) - (4*a^3*b)/(5*x^5) - (2*a^2*b^2)/x^3 - (4*a*b^3)/x + b^4*x, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/x^9, -(a^4/(8*x^8)) - (2*a^3*b)/(3*x^6) - (3*a^2*b^2)/(2*x^4) - (2*a*b^3)/x^2 + b^4*log(x), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/x^10, -(a^4/(9*x^9)) - (4*a^3*b)/(7*x^7) - (6*a^2*b^2)/(5*x^5) - (4*a*b^3)/(3*x^3) - b^4/x, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/x^11, -((a + b*x^2)^5/(10*a*x^10)), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/x^12, -(a^4/(11*x^11)) - (4*a^3*b)/(9*x^9) - (6*a^2*b^2)/(7*x^7) - (4*a*b^3)/(5*x^5) - b^4/(3*x^3), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/x^13, -((a + b*x^2)^5/(12*a*x^12)) + (b*(a + b*x^2)^5)/(60*a^2*x^10), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/x^14, -(a^4/(13*x^13)) - (4*a^3*b)/(11*x^11) - (2*a^2*b^2)/(3*x^9) - (4*a*b^3)/(7*x^7) - b^4/(5*x^5), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/x^15, -(a^4/(14*x^14)) - (a^3*b)/(3*x^12) - (3*a^2*b^2)/(5*x^10) - (a*b^3)/(2*x^8) - b^4/(6*x^6), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/x^16, -(a^4/(15*x^15)) - (4*a^3*b)/(13*x^13) - (6*a^2*b^2)/(11*x^11) - (4*a*b^3)/(9*x^9) - b^4/(7*x^7), x, 3),
+
+
+(x^8*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, (a^6*x^9)/9 + (6//11)*a^5*b*x^11 + (15//13)*a^4*b^2*x^13 + (4//3)*a^3*b^3*x^15 + (15//17)*a^2*b^4*x^17 + (6//19)*a*b^5*x^19 + (b^6*x^21)/21, x, 3),
+(x^7*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -((a^3*(a + b*x^2)^7)/(14*b^4)) + (3*a^2*(a + b*x^2)^8)/(16*b^4) - (a*(a + b*x^2)^9)/(6*b^4) + (a + b*x^2)^10/(20*b^4), x, 4),
+(x^6*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, (a^6*x^7)/7 + (2//3)*a^5*b*x^9 + (15//11)*a^4*b^2*x^11 + (20//13)*a^3*b^3*x^13 + a^2*b^4*x^15 + (6//17)*a*b^5*x^17 + (b^6*x^19)/19, x, 3),
+(x^5*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, (a^2*(a + b*x^2)^7)/(14*b^3) - (a*(a + b*x^2)^8)/(8*b^3) + (a + b*x^2)^9/(18*b^3), x, 4),
+(x^4*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, (a^6*x^5)/5 + (6//7)*a^5*b*x^7 + (5//3)*a^4*b^2*x^9 + (20//11)*a^3*b^3*x^11 + (15//13)*a^2*b^4*x^13 + (2//5)*a*b^5*x^15 + (b^6*x^17)/17, x, 3),
+(x^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -((a*(a + b*x^2)^7)/(14*b^2)) + (a + b*x^2)^8/(16*b^2), x, 4),
+(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, (a^6*x^3)/3 + (6//5)*a^5*b*x^5 + (15//7)*a^4*b^2*x^7 + (20//9)*a^3*b^3*x^9 + (15//11)*a^2*b^4*x^11 + (6//13)*a*b^5*x^13 + (b^6*x^15)/15, x, 3),
+(x^1*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, (a + b*x^2)^7/(14*b), x, 2),
+(x^0*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, a^6*x + 2*a^5*b*x^3 + 3*a^4*b^2*x^5 + (20//7)*a^3*b^3*x^7 + (5//3)*a^2*b^4*x^9 + (6//11)*a*b^5*x^11 + (b^6*x^13)/13, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^1, 3*a^5*b*x^2 + (15//4)*a^4*b^2*x^4 + (10//3)*a^3*b^3*x^6 + (15//8)*a^2*b^4*x^8 + (3//5)*a*b^5*x^10 + (b^6*x^12)/12 + a^6*log(x), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^2, -(a^6/x) + 6*a^5*b*x + 5*a^4*b^2*x^3 + 4*a^3*b^3*x^5 + (15//7)*a^2*b^4*x^7 + (2//3)*a*b^5*x^9 + (b^6*x^11)/11, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^3, -(a^6/(2*x^2)) + (15//2)*a^4*b^2*x^2 + 5*a^3*b^3*x^4 + (5//2)*a^2*b^4*x^6 + (3//4)*a*b^5*x^8 + (b^6*x^10)/10 + 6*a^5*b*log(x), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^4, -(a^6/(3*x^3)) - (6*a^5*b)/x + 15*a^4*b^2*x + (20//3)*a^3*b^3*x^3 + 3*a^2*b^4*x^5 + (6//7)*a*b^5*x^7 + (b^6*x^9)/9, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^5, -(a^6/(4*x^4)) - (3*a^5*b)/x^2 + 10*a^3*b^3*x^2 + (15//4)*a^2*b^4*x^4 + a*b^5*x^6 + (b^6*x^8)/8 + 15*a^4*b^2*log(x), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^6, -(a^6/(5*x^5)) - (2*a^5*b)/x^3 - (15*a^4*b^2)/x + 20*a^3*b^3*x + 5*a^2*b^4*x^3 + (6//5)*a*b^5*x^5 + (b^6*x^7)/7, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^7, -(a^6/(6*x^6)) - (3*a^5*b)/(2*x^4) - (15*a^4*b^2)/(2*x^2) + (15//2)*a^2*b^4*x^2 + (3//2)*a*b^5*x^4 + (b^6*x^6)/6 + 20*a^3*b^3*log(x), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^8, -(a^6/(7*x^7)) - (6*a^5*b)/(5*x^5) - (5*a^4*b^2)/x^3 - (20*a^3*b^3)/x + 15*a^2*b^4*x + 2*a*b^5*x^3 + (b^6*x^5)/5, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^9, -(a^6/(8*x^8)) - (a^5*b)/x^6 - (15*a^4*b^2)/(4*x^4) - (10*a^3*b^3)/x^2 + 3*a*b^5*x^2 + (b^6*x^4)/4 + 15*a^2*b^4*log(x), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^10, -(a^6/(9*x^9)) - (6*a^5*b)/(7*x^7) - (3*a^4*b^2)/x^5 - (20*a^3*b^3)/(3*x^3) - (15*a^2*b^4)/x + 6*a*b^5*x + (b^6*x^3)/3, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^11, -(a^6/(10*x^10)) - (3*a^5*b)/(4*x^8) - (5*a^4*b^2)/(2*x^6) - (5*a^3*b^3)/x^4 - (15*a^2*b^4)/(2*x^2) + (b^6*x^2)/2 + 6*a*b^5*log(x), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^12, -(a^6/(11*x^11)) - (2*a^5*b)/(3*x^9) - (15*a^4*b^2)/(7*x^7) - (4*a^3*b^3)/x^5 - (5*a^2*b^4)/x^3 - (6*a*b^5)/x + b^6*x, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^13, -(a^6/(12*x^12)) - (3*a^5*b)/(5*x^10) - (15*a^4*b^2)/(8*x^8) - (10*a^3*b^3)/(3*x^6) - (15*a^2*b^4)/(4*x^4) - (3*a*b^5)/x^2 + b^6*log(x), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^14, -(a^6/(13*x^13)) - (6*a^5*b)/(11*x^11) - (5*a^4*b^2)/(3*x^9) - (20*a^3*b^3)/(7*x^7) - (3*a^2*b^4)/x^5 - (2*a*b^5)/x^3 - b^6/x, x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^15, -((a + b*x^2)^7/(14*a*x^14)), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^16, -(a^6/(15*x^15)) - (6*a^5*b)/(13*x^13) - (15*a^4*b^2)/(11*x^11) - (20*a^3*b^3)/(9*x^9) - (15*a^2*b^4)/(7*x^7) - (6*a*b^5)/(5*x^5) - b^6/(3*x^3), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^17, -((a + b*x^2)^7/(16*a*x^16)) + (b*(a + b*x^2)^7)/(112*a^2*x^14), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^18, -(a^6/(17*x^17)) - (2*a^5*b)/(5*x^15) - (15*a^4*b^2)/(13*x^13) - (20*a^3*b^3)/(11*x^11) - (5*a^2*b^4)/(3*x^9) - (6*a*b^5)/(7*x^7) - b^6/(5*x^5), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^19, -((a + b*x^2)^7/(18*a*x^18)) + (b*(a + b*x^2)^7)/(72*a^2*x^16) - (b^2*(a + b*x^2)^7)/(504*a^3*x^14), x, 5),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^20, -(a^6/(19*x^19)) - (6*a^5*b)/(17*x^17) - (a^4*b^2)/x^15 - (20*a^3*b^3)/(13*x^13) - (15*a^2*b^4)/(11*x^11) - (2*a*b^5)/(3*x^9) - b^6/(7*x^7), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^21, -((a + b*x^2)^7/(20*a*x^20)) + (b*(a + b*x^2)^7)/(60*a^2*x^18) - (b^2*(a + b*x^2)^7)/(240*a^3*x^16) + (b^3*(a + b*x^2)^7)/(1680*a^4*x^14), x, 6),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/x^22, -(a^6/(21*x^21)) - (6*a^5*b)/(19*x^19) - (15*a^4*b^2)/(17*x^17) - (4*a^3*b^3)/(3*x^15) - (15*a^2*b^4)/(13*x^13) - (6*a*b^5)/(11*x^11) - b^6/(9*x^9), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^11/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), -((2*a^3*x^2)/b^5) + (3*a^2*x^4)/(4*b^4) - (a*x^6)/(3*b^3) + x^8/(8*b^2) + a^5/(2*b^6*(a + b*x^2)) + (5*a^4*log(a + b*x^2))/(2*b^6), x, 4),
+(x^9/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (3*a^2*x^2)/(2*b^4) - (a*x^4)/(2*b^3) + x^6/(6*b^2) - a^4/(2*b^5*(a + b*x^2)) - (2*a^3*log(a + b*x^2))/b^5, x, 4),
+(x^7/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), -((a*x^2)/b^3) + x^4/(4*b^2) + a^3/(2*b^4*(a + b*x^2)) + (3*a^2*log(a + b*x^2))/(2*b^4), x, 4),
+(x^5/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), x^2/(2*b^2) - a^2/(2*b^3*(a + b*x^2)) - (a*log(a + b*x^2))/b^3, x, 4),
+(x^3/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), a/(2*b^2*(a + b*x^2)) + log(a + b*x^2)/(2*b^2), x, 4),
+(x^1/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), -(1/(2*b*(a + b*x^2))), x, 2),
+(1/(x^1*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), 1/(2*a*(a + b*x^2)) + log(x)/a^2 - log(a + b*x^2)/(2*a^2), x, 4),
+(1/(x^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), -(1/(2*a^2*x^2)) - b/(2*a^2*(a + b*x^2)) - (2*b*log(x))/a^3 + (b*log(a + b*x^2))/a^3, x, 4),
+(1/(x^5*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), -(1/(4*a^2*x^4)) + b/(a^3*x^2) + b^2/(2*a^3*(a + b*x^2)) + (3*b^2*log(x))/a^4 - (3*b^2*log(a + b*x^2))/(2*a^4), x, 4),
+
+(x^10/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), -((9*a^3*x)/(2*b^5)) + (3*a^2*x^3)/(2*b^4) - (9*a*x^5)/(10*b^3) + (9*x^7)/(14*b^2) - x^9/(2*b*(a + b*x^2)) + (9*a^(7//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(11//2)), x, 5),
+(x^8/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (7*a^2*x)/(2*b^4) - (7*a*x^3)/(6*b^3) + (7*x^5)/(10*b^2) - x^7/(2*b*(a + b*x^2)) - (7*a^(5//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(9//2)), x, 5),
+(x^6/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), -((5*a*x)/(2*b^3)) + (5*x^3)/(6*b^2) - x^5/(2*b*(a + b*x^2)) + (5*a^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(7//2)), x, 5),
+(x^4/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (3*x)/(2*b^2) - x^3/(2*b*(a + b*x^2)) - (3*sqrt(a)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*b^(5//2)), x, 4),
+(x^2/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), -(x/(2*b*(a + b*x^2))) + atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(2*sqrt(a)*b^(3//2)), x, 3),
+(x^0/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), x/(2*a*(a + b*x^2)) + atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(2*a^(3//2)*sqrt(b)), x, 3),
+(1/(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), -(3/(2*a^2*x)) + 1/(2*a*x*(a + b*x^2)) - (3*sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)), x, 4),
+(1/(x^4*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), -(5/(6*a^2*x^3)) + (5*b)/(2*a^3*x) + 1/(2*a*x^3*(a + b*x^2)) + (5*b^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(7//2)), x, 5),
+(1/(x^6*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), -(7/(10*a^2*x^5)) + (7*b)/(6*a^3*x^3) - (7*b^2)/(2*a^4*x) + 1/(2*a*x^5*(a + b*x^2)) - (7*b^(5//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(2*a^(9//2)), x, 6),
+
+
+(x^11/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, -((2*a*x^2)/b^5) + x^4/(4*b^4) + a^5/(6*b^6*(a + b*x^2)^3) - (5*a^4)/(4*b^6*(a + b*x^2)^2) + (5*a^3)/(b^6*(a + b*x^2)) + (5*a^2*log(a + b*x^2))/b^6, x, 4),
+(x^9/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, x^2/(2*b^4) - a^4/(6*b^5*(a + b*x^2)^3) + a^3/(b^5*(a + b*x^2)^2) - (3*a^2)/(b^5*(a + b*x^2)) - (2*a*log(a + b*x^2))/b^5, x, 4),
+(x^7/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, a^3/(6*b^4*(a + b*x^2)^3) - (3*a^2)/(4*b^4*(a + b*x^2)^2) + (3*a)/(2*b^4*(a + b*x^2)) + log(a + b*x^2)/(2*b^4), x, 4),
+(x^5/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, x^6/(6*a*(a + b*x^2)^3), x, 2),
+(x^3/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, a/(6*b^2*(a + b*x^2)^3) - 1/(4*b^2*(a + b*x^2)^2), x, 4),
+(x^1/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, -(1/(6*b*(a + b*x^2)^3)), x, 2),
+(1/(x^1*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2), 1/(6*a*(a + b*x^2)^3) + 1/(4*a^2*(a + b*x^2)^2) + 1/(2*a^3*(a + b*x^2)) + log(x)/a^4 - log(a + b*x^2)/(2*a^4), x, 4),
+(1/(x^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2), -(1/(2*a^4*x^2)) - b/(6*a^2*(a + b*x^2)^3) - b/(2*a^3*(a + b*x^2)^2) - (3*b)/(2*a^4*(a + b*x^2)) - (4*b*log(x))/a^5 + (2*b*log(a + b*x^2))/a^5, x, 4),
+(1/(x^5*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2), -(1/(4*a^4*x^4)) + (2*b)/(a^5*x^2) + b^2/(6*a^3*(a + b*x^2)^3) + (3*b^2)/(4*a^4*(a + b*x^2)^2) + (3*b^2)/(a^5*(a + b*x^2)) + (10*b^2*log(x))/a^6 - (5*b^2*log(a + b*x^2))/a^6, x, 4),
+
+(x^12/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, (231*a^2*x)/(16*b^6) - (77*a*x^3)/(16*b^5) + (231*x^5)/(80*b^4) - x^11/(6*b*(a + b*x^2)^3) - (11*x^9)/(24*b^2*(a + b*x^2)^2) - (33*x^7)/(16*b^3*(a + b*x^2)) - (231*a^(5//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(16*b^(13//2)), x, 7),
+(x^10/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, -((105*a*x)/(16*b^5)) + (35*x^3)/(16*b^4) - x^9/(6*b*(a + b*x^2)^3) - (3*x^7)/(8*b^2*(a + b*x^2)^2) - (21*x^5)/(16*b^3*(a + b*x^2)) + (105*a^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(16*b^(11//2)), x, 7),
+(x^8/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, (35*x)/(16*b^4) - x^7/(6*b*(a + b*x^2)^3) - (7*x^5)/(24*b^2*(a + b*x^2)^2) - (35*x^3)/(48*b^3*(a + b*x^2)) - (35*sqrt(a)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(16*b^(9//2)), x, 6),
+(x^6/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, -(x^5/(6*b*(a + b*x^2)^3)) - (5*x^3)/(24*b^2*(a + b*x^2)^2) - (5*x)/(16*b^3*(a + b*x^2)) + (5*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(16*sqrt(a)*b^(7//2)), x, 5),
+(x^4/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, -(x^3/(6*b*(a + b*x^2)^3)) - x/(8*b^2*(a + b*x^2)^2) + x/(16*a*b^2*(a + b*x^2)) + atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(16*a^(3//2)*b^(5//2)), x, 5),
+(x^2/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, -(x/(6*b*(a + b*x^2)^3)) + x/(24*a*b*(a + b*x^2)^2) + x/(16*a^2*b*(a + b*x^2)) + atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(16*a^(5//2)*b^(3//2)), x, 5),
+(x^0/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, x/(6*a*(a + b*x^2)^3) + (5*x)/(24*a^2*(a + b*x^2)^2) + (5*x)/(16*a^3*(a + b*x^2)) + (5*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(16*a^(7//2)*sqrt(b)), x, 5),
+(1/(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2), -(35/(16*a^4*x)) + 1/(6*a*x*(a + b*x^2)^3) + 7/(24*a^2*x*(a + b*x^2)^2) + 35/(48*a^3*x*(a + b*x^2)) - (35*sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(16*a^(9//2)), x, 6),
+(1/(x^4*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2), -(35/(16*a^4*x^3)) + (105*b)/(16*a^5*x) + 1/(6*a*x^3*(a + b*x^2)^3) + 3/(8*a^2*x^3*(a + b*x^2)^2) + 21/(16*a^3*x^3*(a + b*x^2)) + (105*b^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(16*a^(11//2)), x, 7),
+(1/(x^6*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2), -(231/(80*a^4*x^5)) + (77*b)/(16*a^5*x^3) - (231*b^2)/(16*a^6*x) + 1/(6*a*x^5*(a + b*x^2)^3) + 11/(24*a^2*x^5*(a + b*x^2)^2) + 33/(16*a^3*x^5*(a + b*x^2)) - (231*b^(5//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(16*a^(13//2)), x, 8),
+
+
+(x^15/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -((3*a*x^2)/b^7) + x^4/(4*b^6) + a^7/(10*b^8*(a + b*x^2)^5) - (7*a^6)/(8*b^8*(a + b*x^2)^4) + (7*a^5)/(2*b^8*(a + b*x^2)^3) - (35*a^4)/(4*b^8*(a + b*x^2)^2) + (35*a^3)/(2*b^8*(a + b*x^2)) + (21*a^2*log(a + b*x^2))/(2*b^8), x, 4),
+(x^13/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, x^2/(2*b^6) - a^6/(10*b^7*(a + b*x^2)^5) + (3*a^5)/(4*b^7*(a + b*x^2)^4) - (5*a^4)/(2*b^7*(a + b*x^2)^3) + (5*a^3)/(b^7*(a + b*x^2)^2) - (15*a^2)/(2*b^7*(a + b*x^2)) - (3*a*log(a + b*x^2))/b^7, x, 4),
+(x^11/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, a^5/(10*b^6*(a + b*x^2)^5) - (5*a^4)/(8*b^6*(a + b*x^2)^4) + (5*a^3)/(3*b^6*(a + b*x^2)^3) - (5*a^2)/(2*b^6*(a + b*x^2)^2) + (5*a)/(2*b^6*(a + b*x^2)) + log(a + b*x^2)/(2*b^6), x, 4),
+(x^9/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, x^10/(10*a*(a + b*x^2)^5), x, 2),
+(x^7/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, x^8/(10*a*(a + b*x^2)^5) + x^8/(40*a^2*(a + b*x^2)^4), x, 4),
+(x^5/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -(a^2/(10*b^3*(a + b*x^2)^5)) + a/(4*b^3*(a + b*x^2)^4) - 1/(6*b^3*(a + b*x^2)^3), x, 4),
+(x^3/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, a/(10*b^2*(a + b*x^2)^5) - 1/(8*b^2*(a + b*x^2)^4), x, 4),
+(x^1/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -(1/(10*b*(a + b*x^2)^5)), x, 2),
+(1/(x^1*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3), 1/(10*a*(a + b*x^2)^5) + 1/(8*a^2*(a + b*x^2)^4) + 1/(6*a^3*(a + b*x^2)^3) + 1/(4*a^4*(a + b*x^2)^2) + 1/(2*a^5*(a + b*x^2)) + log(x)/a^6 - log(a + b*x^2)/(2*a^6), x, 4),
+(1/(x^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3), -(1/(2*a^6*x^2)) - b/(10*a^2*(a + b*x^2)^5) - b/(4*a^3*(a + b*x^2)^4) - b/(2*a^4*(a + b*x^2)^3) - b/(a^5*(a + b*x^2)^2) - (5*b)/(2*a^6*(a + b*x^2)) - (6*b*log(x))/a^7 + (3*b*log(a + b*x^2))/a^7, x, 4),
+(1/(x^5*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3), -(1/(4*a^6*x^4)) + (3*b)/(a^7*x^2) + b^2/(10*a^3*(a + b*x^2)^5) + (3*b^2)/(8*a^4*(a + b*x^2)^4) + b^2/(a^5*(a + b*x^2)^3) + (5*b^2)/(2*a^6*(a + b*x^2)^2) + (15*b^2)/(2*a^7*(a + b*x^2)) + (21*b^2*log(x))/a^8 - (21*b^2*log(a + b*x^2))/(2*a^8), x, 4),
+
+(x^16/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, (9009*a^2*x)/(256*b^8) - (3003*a*x^3)/(256*b^7) + (9009*x^5)/(1280*b^6) - x^15/(10*b*(a + b*x^2)^5) - (3*x^13)/(16*b^2*(a + b*x^2)^4) - (13*x^11)/(32*b^3*(a + b*x^2)^3) - (143*x^9)/(128*b^4*(a + b*x^2)^2) - (1287*x^7)/(256*b^5*(a + b*x^2)) - (9009*a^(5//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(256*b^(17//2)), x, 9),
+(x^14/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -((3003*a*x)/(256*b^7)) + (1001*x^3)/(256*b^6) - x^13/(10*b*(a + b*x^2)^5) - (13*x^11)/(80*b^2*(a + b*x^2)^4) - (143*x^9)/(480*b^3*(a + b*x^2)^3) - (429*x^7)/(640*b^4*(a + b*x^2)^2) - (3003*x^5)/(1280*b^5*(a + b*x^2)) + (3003*a^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(256*b^(15//2)), x, 9),
+(x^12/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, (693*x)/(256*b^6) - x^11/(10*b*(a + b*x^2)^5) - (11*x^9)/(80*b^2*(a + b*x^2)^4) - (33*x^7)/(160*b^3*(a + b*x^2)^3) - (231*x^5)/(640*b^4*(a + b*x^2)^2) - (231*x^3)/(256*b^5*(a + b*x^2)) - (693*sqrt(a)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(256*b^(13//2)), x, 8),
+(x^10/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -(x^9/(10*b*(a + b*x^2)^5)) - (9*x^7)/(80*b^2*(a + b*x^2)^4) - (21*x^5)/(160*b^3*(a + b*x^2)^3) - (21*x^3)/(128*b^4*(a + b*x^2)^2) - (63*x)/(256*b^5*(a + b*x^2)) + (63*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(256*sqrt(a)*b^(11//2)), x, 7),
+(x^8/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -(x^7/(10*b*(a + b*x^2)^5)) - (7*x^5)/(80*b^2*(a + b*x^2)^4) - (7*x^3)/(96*b^3*(a + b*x^2)^3) - (7*x)/(128*b^4*(a + b*x^2)^2) + (7*x)/(256*a*b^4*(a + b*x^2)) + (7*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(256*a^(3//2)*b^(9//2)), x, 7),
+(x^6/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -(x^5/(10*b*(a + b*x^2)^5)) - x^3/(16*b^2*(a + b*x^2)^4) - x/(32*b^3*(a + b*x^2)^3) + x/(128*a*b^3*(a + b*x^2)^2) + (3*x)/(256*a^2*b^3*(a + b*x^2)) + (3*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(256*a^(5//2)*b^(7//2)), x, 7),
+(x^4/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -(x^3/(10*b*(a + b*x^2)^5)) - (3*x)/(80*b^2*(a + b*x^2)^4) + x/(160*a*b^2*(a + b*x^2)^3) + x/(128*a^2*b^2*(a + b*x^2)^2) + (3*x)/(256*a^3*b^2*(a + b*x^2)) + (3*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(256*a^(7//2)*b^(5//2)), x, 7),
+(x^2/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -(x/(10*b*(a + b*x^2)^5)) + x/(80*a*b*(a + b*x^2)^4) + (7*x)/(480*a^2*b*(a + b*x^2)^3) + (7*x)/(384*a^3*b*(a + b*x^2)^2) + (7*x)/(256*a^4*b*(a + b*x^2)) + (7*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(256*a^(9//2)*b^(3//2)), x, 7),
+(x^0/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, x/(10*a*(a + b*x^2)^5) + (9*x)/(80*a^2*(a + b*x^2)^4) + (21*x)/(160*a^3*(a + b*x^2)^3) + (21*x)/(128*a^4*(a + b*x^2)^2) + (63*x)/(256*a^5*(a + b*x^2)) + (63*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(256*a^(11//2)*sqrt(b)), x, 7),
+(1/(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3), -(693/(256*a^6*x)) + 1/(10*a*x*(a + b*x^2)^5) + 11/(80*a^2*x*(a + b*x^2)^4) + 33/(160*a^3*x*(a + b*x^2)^3) + 231/(640*a^4*x*(a + b*x^2)^2) + 231/(256*a^5*x*(a + b*x^2)) - (693*sqrt(b)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(256*a^(13//2)), x, 8),
+(1/(x^4*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3), -(1001/(256*a^6*x^3)) + (3003*b)/(256*a^7*x) + 1/(10*a*x^3*(a + b*x^2)^5) + 13/(80*a^2*x^3*(a + b*x^2)^4) + 143/(480*a^3*x^3*(a + b*x^2)^3) + 429/(640*a^4*x^3*(a + b*x^2)^2) + 3003/(1280*a^5*x^3*(a + b*x^2)) + (3003*b^(3//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(256*a^(15//2)), x, 9),
+(1/(x^6*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3), -(9009/(1280*a^6*x^5)) + (3003*b)/(256*a^7*x^3) - (9009*b^2)/(256*a^8*x) + 1/(10*a*x^5*(a + b*x^2)^5) + 3/(16*a^2*x^5*(a + b*x^2)^4) + 13/(32*a^3*x^5*(a + b*x^2)^3) + 143/(128*a^4*x^5*(a + b*x^2)^2) + 1287/(256*a^5*x^5*(a + b*x^2)) - (9009*b^(5//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(256*a^(17//2)), x, 10),
+
+
+(x^0/(1 + 2*x^2 + x^4), x/(2*(1 + x^2)) + atan(x)/2, x, 3),
+(x^1/(1 + 2*x^2 + x^4), -(1/(2*(1 + x^2))), x, 2),
+(x^2/(1 + 2*x^2 + x^4), -(x/(2*(1 + x^2))) + atan(x)/2, x, 3),
+(x^3/(1 + 2*x^2 + x^4), 1/(2*(1 + x^2)) + (1//2)*log(1 + x^2), x, 4),
+
+(x/(81 - 18*x^2 + x^4), 1/(2*(9 - x^2)), x, 2),
+(x^3/(16 - 8*x^2 + x^4), 2/(4 - x^2) + (1//2)*log(4 - x^2), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a^2+2 a b x^2+b^2 x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (a*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(6*(a + b*x^2)) + (b*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*(a + b*x^2)), x, 4),
+(x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), -((a*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*b^2)) + (a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/(6*b^2), x, 3),
+(x^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), ((a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*b), x, 2),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^1, (b*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*(a + b*x^2)) + (a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*log(x))/(a + b*x^2), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^3, -(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*x^2*(a + b*x^2)) + (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*log(x))/(a + b*x^2), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^5, -(((a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*a*x^4)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^7, -((a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*a*x^6) + (a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/(12*a^2*x^6), x, 1),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^9, -(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*x^8*(a + b*x^2)) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(6*x^6*(a + b*x^2)), x, 4),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^11, -(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(10*x^10*(a + b*x^2)) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*x^8*(a + b*x^2)), x, 4),
+
+(x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (a*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*(a + b*x^2)) + (b*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*(a + b*x^2)), x, 3),
+(x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (a*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*(a + b*x^2)) + (b*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*(a + b*x^2)), x, 3),
+(x^0*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (a*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(a + b*x^2) + (b*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*(a + b*x^2)), x, 2),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^2, -((a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x*(a + b*x^2))) + (b*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(a + b*x^2), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^4, -(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*x^3*(a + b*x^2)) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x*(a + b*x^2)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^6, -(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*x^5*(a + b*x^2)) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*x^3*(a + b*x^2)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^8, -(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*x^7*(a + b*x^2)) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*x^5*(a + b*x^2)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/x^10, -(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*x^9*(a + b*x^2)) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*x^7*(a + b*x^2)), x, 3),
+
+
+(x^9*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (a^3*x^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(10*(a + b*x^2)) + (a^2*b*x^12*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*(a + b*x^2)) + (3*a*b^2*x^14*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(14*(a + b*x^2)) + (b^3*x^16*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(16*(a + b*x^2)), x, 4),
+(x^7*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (a^3*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*(a + b*x^2)) + (3*a^2*b*x^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(10*(a + b*x^2)) + (a*b^2*x^12*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*(a + b*x^2)) + (b^3*x^14*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(14*(a + b*x^2)), x, 4),
+# {x^5*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3/2), x, 3, (a^2*(a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3/2))/(8*b^3) - (a*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5/2))/(5*b^3) + ((a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5/2))/(12*b^3), (a^2*(a + b*x^2)^3*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4])/(8*b^3) - (a*(a + b*x^2)^4*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4])/(5*b^3) + ((a + b*x^2)^5*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4])/(12*b^3)}
+(x^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), -((a*(a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2))/(8*b^2)) + (a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/(10*b^2), x, 3),
+(x^1*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), ((a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2))/(8*b), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/x^1, (3*a^2*b*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*(a + b*x^2)) + (3*a*b^2*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*(a + b*x^2)) + (b^3*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(6*(a + b*x^2)) + (a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*log(x))/(a + b*x^2), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/x^3, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*x^2*(a + b*x^2)) + (3*a*b^2*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*(a + b*x^2)) + (b^3*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*(a + b*x^2)) + (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*log(x))/(a + b*x^2), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/x^5, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*x^4*(a + b*x^2)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*x^2*(a + b*x^2)) + (b^3*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*(a + b*x^2)) + (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*log(x))/(a + b*x^2), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/x^7, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(6*x^6*(a + b*x^2)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*x^4*(a + b*x^2)) - (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*x^2*(a + b*x^2)) + (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*log(x))/(a + b*x^2), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/x^9, -((a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*a*x^8), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/x^11, -((a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2))/(8*a*x^10) + (a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/(40*a^2*x^10), x, 1),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/x^13, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(12*x^12*(a + b*x^2)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(10*x^10*(a + b*x^2)) - (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*x^8*(a + b*x^2)) - (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(6*x^6*(a + b*x^2)), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/x^15, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(14*x^14*(a + b*x^2)) - (a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*x^12*(a + b*x^2)) - (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(10*x^10*(a + b*x^2)) - (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*x^8*(a + b*x^2)), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/x^17, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(16*x^16*(a + b*x^2)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(14*x^14*(a + b*x^2)) - (a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*x^12*(a + b*x^2)) - (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(10*x^10*(a + b*x^2)), x, 4),
+
+(x^8*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (a^3*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*(a + b*x^2)) + (3*a^2*b*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*(a + b*x^2)) + (3*a*b^2*x^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*(a + b*x^2)) + (b^3*x^15*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(15*(a + b*x^2)), x, 3),
+(x^6*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (a^3*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*(a + b*x^2)) + (a^2*b*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*(a + b*x^2)) + (3*a*b^2*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*(a + b*x^2)) + (b^3*x^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*(a + b*x^2)), x, 3),
+(x^4*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (a^3*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*(a + b*x^2)) + (3*a^2*b*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*(a + b*x^2)) + (a*b^2*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*(a + b*x^2)) + (b^3*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*(a + b*x^2)), x, 3),
+(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (a^3*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*(a + b*x^2)) + (3*a^2*b*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*(a + b*x^2)) + (3*a*b^2*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*(a + b*x^2)) + (b^3*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*(a + b*x^2)), x, 3),
+(x^0*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (a^3*x*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2))/(a + b*x^2)^3 + (a^2*b*x^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2))/(a + b*x^2)^3 + (3*a*b^2*x^5*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2))/(5*(a + b*x^2)^3) + (b^3*x^7*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2))/(7*(a + b*x^2)^3), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/x^2, -((a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x*(a + b*x^2))) + (3*a^2*b*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(a + b*x^2) + (a*b^2*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(a + b*x^2) + (b^3*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/x^4, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*x^3*(a + b*x^2)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x*(a + b*x^2)) + (3*a*b^2*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(a + b*x^2) + (b^3*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/x^6, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*x^5*(a + b*x^2)) - (a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x^3*(a + b*x^2)) - (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x*(a + b*x^2)) + (b^3*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(a + b*x^2), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/x^8, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*x^7*(a + b*x^2)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*x^5*(a + b*x^2)) - (a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x^3*(a + b*x^2)) - (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/x^10, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*x^9*(a + b*x^2)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*x^7*(a + b*x^2)) - (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*x^5*(a + b*x^2)) - (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*x^3*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/x^12, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*x^11*(a + b*x^2)) - (a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*x^9*(a + b*x^2)) - (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*x^7*(a + b*x^2)) - (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*x^5*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/x^14, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*x^13*(a + b*x^2)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*x^11*(a + b*x^2)) - (a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*x^9*(a + b*x^2)) - (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*x^7*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/x^16, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(15*x^15*(a + b*x^2)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*x^13*(a + b*x^2)) - (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*x^11*(a + b*x^2)) - (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*x^9*(a + b*x^2)), x, 3),
+
+
+(x^13*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (a^5*x^14*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(14*(a + b*x^2)) + (5*a^4*b*x^16*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(16*(a + b*x^2)) + (5*a^3*b^2*x^18*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*(a + b*x^2)) + (a^2*b^3*x^20*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*(a + b*x^2)) + (5*a*b^4*x^22*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(22*(a + b*x^2)) + (b^5*x^24*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(24*(a + b*x^2)), x, 4),
+(x^11*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (a^5*x^12*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(12*(a + b*x^2)) + (5*a^4*b*x^14*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(14*(a + b*x^2)) + (5*a^3*b^2*x^16*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*(a + b*x^2)) + (5*a^2*b^3*x^18*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*(a + b*x^2)) + (a*b^4*x^20*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*(a + b*x^2)) + (b^5*x^22*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(22*(a + b*x^2)), x, 4),
+(x^9*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (a^4*(a + b*x^2)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(12*b^5) - (2*a^3*(a + b*x^2)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*b^5) + (3*a^2*(a + b*x^2)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*b^5) - (2*a*(a + b*x^2)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*b^5) + ((a + b*x^2)^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(20*b^5), x, 3),
+(x^7*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), -(a^3*(a + b*x^2)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(12*b^4) + (3*a^2*(a + b*x^2)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(14*b^4) - (3*a*(a + b*x^2)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(16*b^4) + ((a + b*x^2)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(18*b^4), x, 4),
+(x^5*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (a^2*(a + b*x^2)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(12*b^3) - (a*(a + b*x^2)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*b^3) + ((a + b*x^2)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(16*b^3), x, 4),
+(x^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), -((a*(a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2))/(12*b^2)) + (a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(7//2)/(14*b^2), x, 3),
+(x^1*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), ((a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2))/(12*b), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^1, (5*a^4*b*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*(a + b*x^2)) + (5*a^3*b^2*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*(a + b*x^2)) + (5*a^2*b^3*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*(a + b*x^2)) + (5*a*b^4*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*(a + b*x^2)) + (b^5*x^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(10*(a + b*x^2)) + (a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*log(x))/(a + b*x^2), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^3, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*x^2*(a + b*x^2)) + (5*a^3*b^2*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(a + b*x^2) + (5*a^2*b^3*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*(a + b*x^2)) + (5*a*b^4*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(6*(a + b*x^2)) + (b^5*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*(a + b*x^2)) + (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*log(x))/(a + b*x^2), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^5, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*x^4*(a + b*x^2)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*x^2*(a + b*x^2)) + (5*a^2*b^3*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(a + b*x^2) + (5*a*b^4*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*(a + b*x^2)) + (b^5*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(6*(a + b*x^2)) + (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*log(x))/(a + b*x^2), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^7, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(6*x^6*(a + b*x^2)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*x^4*(a + b*x^2)) - (5*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x^2*(a + b*x^2)) + (5*a*b^4*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*(a + b*x^2)) + (b^5*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*(a + b*x^2)) + (10*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*log(x))/(a + b*x^2), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^9, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*x^8*(a + b*x^2)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(6*x^6*(a + b*x^2)) - (5*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*x^4*(a + b*x^2)) - (5*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x^2*(a + b*x^2)) + (b^5*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*(a + b*x^2)) + (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*log(x))/(a + b*x^2), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^11, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(10*x^10*(a + b*x^2)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*x^8*(a + b*x^2)) - (5*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*x^6*(a + b*x^2)) - (5*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*x^4*(a + b*x^2)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*x^2*(a + b*x^2)) + (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*log(x))/(a + b*x^2), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^13, -((a + b*x^2)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(12*a*x^12), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^15, -((a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2))/(12*a*x^14) + (a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(7//2)/(84*a^2*x^14), x, 1),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^17, -((a + b*x^2)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(16*a*x^16) + (b*(a + b*x^2)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(56*a^2*x^14) - (b^2*(a + b*x^2)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(336*a^3*x^12), x, 5),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^19, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(18*x^18*(a + b*x^2)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(16*x^16*(a + b*x^2)) - (5*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*x^14*(a + b*x^2)) - (5*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(6*x^12*(a + b*x^2)) - (a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*x^10*(a + b*x^2)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*x^8*(a + b*x^2)), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^21, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(20*x^20*(a + b*x^2)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(18*x^18*(a + b*x^2)) - (5*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*x^16*(a + b*x^2)) - (5*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*x^14*(a + b*x^2)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(12*x^12*(a + b*x^2)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(10*x^10*(a + b*x^2)), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^23, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(22*x^22*(a + b*x^2)) - (a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*x^20*(a + b*x^2)) - (5*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*x^18*(a + b*x^2)) - (5*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*x^16*(a + b*x^2)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(14*x^14*(a + b*x^2)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(12*x^12*(a + b*x^2)), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^25, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(24*x^24*(a + b*x^2)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(22*x^22*(a + b*x^2)) - (a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*x^20*(a + b*x^2)) - (5*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*x^18*(a + b*x^2)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(16*x^16*(a + b*x^2)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(14*x^14*(a + b*x^2)), x, 4),
+
+(x^12*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (a^5*x^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*(a + b*x^2)) + (a^4*b*x^15*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*(a + b*x^2)) + (10*a^3*b^2*x^17*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(17*(a + b*x^2)) + (10*a^2*b^3*x^19*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(19*(a + b*x^2)) + (5*a*b^4*x^21*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(21*(a + b*x^2)) + (b^5*x^23*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(23*(a + b*x^2)), x, 3),
+(x^10*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (a^5*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*(a + b*x^2)) + (5*a^4*b*x^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*(a + b*x^2)) + (2*a^3*b^2*x^15*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*(a + b*x^2)) + (10*a^2*b^3*x^17*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(17*(a + b*x^2)) + (5*a*b^4*x^19*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(19*(a + b*x^2)) + (b^5*x^21*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(21*(a + b*x^2)), x, 3),
+(x^8*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (a^5*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*(a + b*x^2)) + (5*a^4*b*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*(a + b*x^2)) + (10*a^3*b^2*x^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*(a + b*x^2)) + (2*a^2*b^3*x^15*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*(a + b*x^2)) + (5*a*b^4*x^17*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(17*(a + b*x^2)) + (b^5*x^19*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(19*(a + b*x^2)), x, 3),
+(x^6*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (a^5*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*(a + b*x^2)) + (5*a^4*b*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*(a + b*x^2)) + (10*a^3*b^2*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*(a + b*x^2)) + (10*a^2*b^3*x^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*(a + b*x^2)) + (a*b^4*x^15*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*(a + b*x^2)) + (b^5*x^17*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(17*(a + b*x^2)), x, 3),
+(x^4*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (a^5*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*(a + b*x^2)) + (5*a^4*b*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*(a + b*x^2)) + (10*a^3*b^2*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*(a + b*x^2)) + (10*a^2*b^3*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*(a + b*x^2)) + (5*a*b^4*x^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*(a + b*x^2)) + (b^5*x^15*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(15*(a + b*x^2)), x, 3),
+(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (a^5*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*(a + b*x^2)) + (a^4*b*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(a + b*x^2) + (10*a^3*b^2*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*(a + b*x^2)) + (10*a^2*b^3*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*(a + b*x^2)) + (5*a*b^4*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*(a + b*x^2)) + (b^5*x^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*(a + b*x^2)), x, 3),
+(x^0*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (a^5*x*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2))/(a + b*x^2)^5 + (5*a^4*b*x^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2))/(3*(a + b*x^2)^5) + (2*a^3*b^2*x^5*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2))/(a + b*x^2)^5 + (10*a^2*b^3*x^7*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2))/(7*(a + b*x^2)^5) + (5*a*b^4*x^9*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2))/(9*(a + b*x^2)^5) + (b^5*x^11*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2))/(11*(a + b*x^2)^5), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^2, -((a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x*(a + b*x^2))) + (5*a^4*b*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(a + b*x^2) + (10*a^3*b^2*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*(a + b*x^2)) + (2*a^2*b^3*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(a + b*x^2) + (5*a*b^4*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*(a + b*x^2)) + (b^5*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^4, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*x^3*(a + b*x^2)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x*(a + b*x^2)) + (10*a^3*b^2*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(a + b*x^2) + (10*a^2*b^3*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*(a + b*x^2)) + (a*b^4*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(a + b*x^2) + (b^5*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^6, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*x^5*(a + b*x^2)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*x^3*(a + b*x^2)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x*(a + b*x^2)) + (10*a^2*b^3*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(a + b*x^2) + (5*a*b^4*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*(a + b*x^2)) + (b^5*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^8, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*x^7*(a + b*x^2)) - (a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x^5*(a + b*x^2)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*x^3*(a + b*x^2)) - (10*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x*(a + b*x^2)) + (5*a*b^4*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(a + b*x^2) + (b^5*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^10, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*x^9*(a + b*x^2)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*x^7*(a + b*x^2)) - (2*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x^5*(a + b*x^2)) - (10*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*x^3*(a + b*x^2)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x*(a + b*x^2)) + (b^5*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(a + b*x^2), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^12, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*x^11*(a + b*x^2)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*x^9*(a + b*x^2)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*x^7*(a + b*x^2)) - (2*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x^5*(a + b*x^2)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*x^3*(a + b*x^2)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^14, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*x^13*(a + b*x^2)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*x^11*(a + b*x^2)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*x^9*(a + b*x^2)) - (10*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*x^7*(a + b*x^2)) - (a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(x^5*(a + b*x^2)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*x^3*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^16, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(15*x^15*(a + b*x^2)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*x^13*(a + b*x^2)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*x^11*(a + b*x^2)) - (10*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*x^9*(a + b*x^2)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*x^7*(a + b*x^2)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*x^5*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^18, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(17*x^17*(a + b*x^2)) - (a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*x^15*(a + b*x^2)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*x^13*(a + b*x^2)) - (10*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*x^11*(a + b*x^2)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*x^9*(a + b*x^2)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*x^7*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^20, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(19*x^19*(a + b*x^2)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(17*x^17*(a + b*x^2)) - (2*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*x^15*(a + b*x^2)) - (10*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*x^13*(a + b*x^2)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*x^11*(a + b*x^2)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*x^9*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^22, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(21*x^21*(a + b*x^2)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(19*x^19*(a + b*x^2)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(17*x^17*(a + b*x^2)) - (2*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*x^15*(a + b*x^2)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*x^13*(a + b*x^2)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*x^11*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/x^24, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(23*x^23*(a + b*x^2)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(21*x^21*(a + b*x^2)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(19*x^19*(a + b*x^2)) - (10*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(17*x^17*(a + b*x^2)) - (a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*x^15*(a + b*x^2)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*x^13*(a + b*x^2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), -((a*x^2*(a + b*x^2))/(2*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))) + (x^4*(a + b*x^2))/(4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (a^2*(a + b*x^2)*log(a + b*x^2))/(2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+(x^3/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/(2*b^2) - (a*(a + b*x^2)*log(a + b*x^2))/(2*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+(x^1/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), ((a + b*x^2)*log(a + b*x^2))/(2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 3),
+(1/(x^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), ((a + b*x^2)*log(x))/(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - ((a + b*x^2)*log(a + b*x^2))/(2*a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 5),
+(1/(x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), -(a + b*x^2)/(2*a*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (b*(a + b*x^2)*log(x))/(a^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (b*(a + b*x^2)*log(a + b*x^2))/(2*a^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+
+(x^4/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), -((a*x*(a + b*x^2))/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))) + (x^3*(a + b*x^2))/(3*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (a^(3//2)*(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(b^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+(x^2/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (x*(a + b*x^2))/(b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (sqrt(a)*(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(b^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 3),
+(x^0/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), ((a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 2),
+(1/(x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), -((a + b*x^2)/(a*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))) - (sqrt(b)*(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 3),
+(1/(x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), -(a + b*x^2)/(3*a*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (b*(a + b*x^2))/(a^2*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (b^(3//2)*(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+
+
+(x^7/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), -((3*a^2)/(2*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))) + a^3/(4*b^4*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (x^2*(a + b*x^2))/(2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (3*a*(a + b*x^2)*log(a + b*x^2))/(2*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+(x^5/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), a/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - a^2/(4*b^3*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + ((a + b*x^2)*log(a + b*x^2))/(2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+# {x^3/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3/2), x, 3, x^4/(4*a*(a + b*x^2)*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4]), -(1/(2*b^2*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4])) + a/(4*b^2*(a + b*x^2)*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4])}
+(x^1/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), -(1/(4*b*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))), x, 2),
+(1/(x^1*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)), 1/(2*a^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 1/(4*a*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + ((a + b*x^2)*log(x))/(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - ((a + b*x^2)*log(a + b*x^2))/(2*a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+(1/(x^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)), -(b/(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))) - b/(4*a^2*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (a + b*x^2)/(2*a^3*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (3*b*(a + b*x^2)*log(x))/(a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (3*b*(a + b*x^2)*log(a + b*x^2))/(2*a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+
+(x^4/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (-3*x)/(8*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - x^3/(4*b*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (3*(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*sqrt(a)*b^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+(x^2/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), x/(8*a*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - x/(4*b*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + ((a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(3//2)*b^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+(x^0/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (x*(a + b*x^2))/(4*a*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)) + (3*x*(a + b*x^2)^2)/(8*a^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)) + (3*(a + b*x^2)^3*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*sqrt(b)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)), 5/(8*a^2*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 1/(4*a*x*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (15*(a + b*x^2))/(8*a^3*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (15*sqrt(b)*(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 5),
+(1/(x^4*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)), 7/(8*a^2*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 1/(4*a*x^3*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (35*(a + b*x^2))/(24*a^3*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (35*b*(a + b*x^2))/(8*a^4*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (35*b^(3//2)*(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 6),
+
+
+(x^11/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), -((5*a^2)/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))) + a^5/(8*b^6*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (5*a^4)/(6*b^6*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (5*a^3)/(2*b^6*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (x^2*(a + b*x^2))/(2*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (5*a*(a + b*x^2)*log(a + b*x^2))/(2*b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+(x^9/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (2*a)/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - a^4/(8*b^5*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (2*a^3)/(3*b^5*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (3*a^2)/(2*b^5*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + ((a + b*x^2)*log(a + b*x^2))/(2*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+(x^7/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), x^8/(8*a*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 3),
+(x^5/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), x^6/(24*a^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)) + x^6/(8*a*(a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)), x, 1),
+(x^3/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), a/(8*b^2*(a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)) - 1/(6*b^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)), x, 3),
+(x^1/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), -(1/(8*b*(a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2))), x, 2),
+(1/(x^1*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)), 1/(2*a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 1/(8*a*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 1/(6*a^2*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 1/(4*a^3*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + ((a + b*x^2)*log(x))/(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - ((a + b*x^2)*log(a + b*x^2))/(2*a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+(1/(x^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)), (-2*b)/(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - b/(8*a^2*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - b/(3*a^3*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (3*b)/(4*a^4*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (a + b*x^2)/(2*a^5*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (5*b*(a + b*x^2)*log(x))/(a^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (5*b*(a + b*x^2)*log(a + b*x^2))/(2*a^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+
+(x^6/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (5*x)/(128*a*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - x^5/(8*b*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (5*x^3)/(48*b^2*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (5*x)/(64*b^3*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (5*(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(128*a^(3//2)*b^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 6),
+(x^4/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (3*x)/(128*a^2*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - x^3/(8*b*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - x/(16*b^2*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + x/(64*a*b^2*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (3*(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(128*a^(5//2)*b^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 6),
+(x^2/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (5*x)/(128*a^3*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - x/(8*b*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + x/(48*a*b*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (5*x)/(192*a^2*b*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (5*(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(128*a^(7//2)*b^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 6),
+(x^0/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (x*(a + b*x^2))/(8*a*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)) + (7*x*(a + b*x^2)^2)/(48*a^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)) + (35*x*(a + b*x^2)^3)/(192*a^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)) + (35*x*(a + b*x^2)^4)/(128*a^4*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)) + (35*(a + b*x^2)^5*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(128*a^(9//2)*sqrt(b)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)), x, 6),
+(1/(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)), 105/(128*a^4*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 1/(8*a*x*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 3/(16*a^2*x*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 21/(64*a^3*x*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (315*(a + b*x^2))/(128*a^5*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (315*sqrt(b)*(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(128*a^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 7),
+(1/(x^4*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)), 231/(128*a^4*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 1/(8*a*x^3*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 11/(48*a^2*x^3*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 33/(64*a^3*x^3*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (385*(a + b*x^2))/(128*a^5*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (1155*b*(a + b*x^2))/(128*a^6*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (1155*b^(3//2)*(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(128*a^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a^2+2 a b x^2+b^2 x^4)^(p/3)
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+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+(x^2/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1//3), (3*x*(a + b*x^2))/(5*b*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1//3)) + (3*3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a^2*(1 + (b*x^2)/a)^(2//3)*(1 - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))*sqrt((1 + (1 + (b*x^2)/a)^(1//3) + (1 + (b*x^2)/a)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(5*b^2*x*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1//3)*sqrt(-((1 - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))^2))), x, 4),
+(x^0/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1//3), -((3^(3//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a*(1 + (b*x^2)/a)^(2//3)*(1 - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))*sqrt((1 + (1 + (b*x^2)/a)^(1//3) + (1 + (b*x^2)/a)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(b*x*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1//3)*sqrt(-((1 - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))^2)))), x, 3),
+(1/(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1//3)), -((a + b*x^2)/(a*x*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1//3))) + (sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + (b*x^2)/a)^(2//3)*(1 - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))*sqrt((1 + (1 + (b*x^2)/a)^(1//3) + (1 + (b*x^2)/a)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*x*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1//3)*sqrt(-((1 - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))^2))), x, 4),
+
+
+(x^2/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(2//3), -((3*x*(a + b*x^2))/(2*b*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(2//3))) - (9*a*x*(1 + (b*x^2)/a)^(4//3))/(2*b*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(2//3)*(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))) + (9*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a^2*(1 + (b*x^2)/a)^(4//3)*(1 - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))*sqrt((1 + (1 + (b*x^2)/a)^(1//3) + (1 + (b*x^2)/a)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(4*b^2*x*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(2//3)*sqrt(-((1 - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))^2))) - (3*3^(3//4)*a^2*(1 + (b*x^2)/a)^(4//3)*(1 - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))*sqrt((1 + (1 + (b*x^2)/a)^(1//3) + (1 + (b*x^2)/a)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(sqrt(2)*b^2*x*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(2//3)*sqrt(-((1 - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))^2))), x, 6),
+(x^0/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(2//3), (3*x*(a + b*x^2))/(2*a*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(2//3)) + (3*x*(1 + (b*x^2)/a)^(4//3))/(2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(2//3)*(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))) - (3*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*a*(1 + (b*x^2)/a)^(4//3)*(1 - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))*sqrt((1 + (1 + (b*x^2)/a)^(1//3) + (1 + (b*x^2)/a)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(4*b*x*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(2//3)*sqrt(-((1 - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))^2))) + (3^(3//4)*a*(1 + (b*x^2)/a)^(4//3)*(1 - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))*sqrt((1 + (1 + (b*x^2)/a)^(1//3) + (1 + (b*x^2)/a)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(sqrt(2)*b*x*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(2//3)*sqrt(-((1 - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))^2))), x, 6),
+(1/(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(2//3)), (3*(a + b*x^2))/(2*a*x*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(2//3)) - (5*(a + b*x^2)^2)/(2*a^2*x*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(2//3)) - (5*b*x*(1 + (b*x^2)/a)^(4//3))/(2*a*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(2//3)*(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))) + (5*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + (b*x^2)/a)^(4//3)*(1 - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))*sqrt((1 + (1 + (b*x^2)/a)^(1//3) + (1 + (b*x^2)/a)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 + sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(4*x*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(2//3)*sqrt(-((1 - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))^2))) - (5*(1 + (b*x^2)/a)^(4//3)*(1 - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))*sqrt((1 + (1 + (b*x^2)/a)^(1//3) + (1 + (b*x^2)/a)^(2//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))), -7 + 4*sqrt(3)))/(sqrt(2)*3^(1//4)*x*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(2//3)*sqrt(-((1 - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))/(1 - sqrt(3) - (1 + (b*x^2)/a)^(1//3))^2))), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^(m/2) (a^2+2 a b x^2+b^2 x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (2*a^2*(d*x)^(7//2))/(7*d) + (4*a*b*(d*x)^(11//2))/(11*d^3) + (2*b^2*(d*x)^(15//2))/(15*d^5), x, 2),
+((d*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (2*a^2*(d*x)^(5//2))/(5*d) + (4*a*b*(d*x)^(9//2))/(9*d^3) + (2*b^2*(d*x)^(13//2))/(13*d^5), x, 2),
+(sqrt(d*x)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (2*a^2*(d*x)^(3//2))/(3*d) + (4*a*b*(d*x)^(7//2))/(7*d^3) + (2*b^2*(d*x)^(11//2))/(11*d^5), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/sqrt(d*x), (2*a^2*sqrt(d*x))/d + (4*a*b*(d*x)^(5//2))/(5*d^3) + (2*b^2*(d*x)^(9//2))/(9*d^5), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/(d*x)^(3//2), (-2*a^2)/(d*sqrt(d*x)) + (4*a*b*(d*x)^(3//2))/(3*d^3) + (2*b^2*(d*x)^(7//2))/(7*d^5), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/(d*x)^(5//2), (-2*a^2)/(3*d*(d*x)^(3//2)) + (4*a*b*sqrt(d*x))/d^3 + (2*b^2*(d*x)^(5//2))/(5*d^5), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/(d*x)^(7//2), (-2*a^2)/(5*d*(d*x)^(5//2)) - (4*a*b)/(d^3*sqrt(d*x)) + (2*b^2*(d*x)^(3//2))/(3*d^5), x, 2),
+
+
+((d*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, (2*a^4*(d*x)^(7//2))/(7*d) + (8*a^3*b*(d*x)^(11//2))/(11*d^3) + (4*a^2*b^2*(d*x)^(15//2))/(5*d^5) + (8*a*b^3*(d*x)^(19//2))/(19*d^7) + (2*b^4*(d*x)^(23//2))/(23*d^9), x, 3),
+((d*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, (2*a^4*(d*x)^(5//2))/(5*d) + (8*a^3*b*(d*x)^(9//2))/(9*d^3) + (12*a^2*b^2*(d*x)^(13//2))/(13*d^5) + (8*a*b^3*(d*x)^(17//2))/(17*d^7) + (2*b^4*(d*x)^(21//2))/(21*d^9), x, 3),
+(sqrt(d*x)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, (2*a^4*(d*x)^(3//2))/(3*d) + (8*a^3*b*(d*x)^(7//2))/(7*d^3) + (12*a^2*b^2*(d*x)^(11//2))/(11*d^5) + (8*a*b^3*(d*x)^(15//2))/(15*d^7) + (2*b^4*(d*x)^(19//2))/(19*d^9), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/sqrt(d*x), (2*a^4*sqrt(d*x))/d + (8*a^3*b*(d*x)^(5//2))/(5*d^3) + (4*a^2*b^2*(d*x)^(9//2))/(3*d^5) + (8*a*b^3*(d*x)^(13//2))/(13*d^7) + (2*b^4*(d*x)^(17//2))/(17*d^9), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/(d*x)^(3//2), (-2*a^4)/(d*sqrt(d*x)) + (8*a^3*b*(d*x)^(3//2))/(3*d^3) + (12*a^2*b^2*(d*x)^(7//2))/(7*d^5) + (8*a*b^3*(d*x)^(11//2))/(11*d^7) + (2*b^4*(d*x)^(15//2))/(15*d^9), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/(d*x)^(5//2), (-2*a^4)/(3*d*(d*x)^(3//2)) + (8*a^3*b*sqrt(d*x))/d^3 + (12*a^2*b^2*(d*x)^(5//2))/(5*d^5) + (8*a*b^3*(d*x)^(9//2))/(9*d^7) + (2*b^4*(d*x)^(13//2))/(13*d^9), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2/(d*x)^(7//2), (-2*a^4)/(5*d*(d*x)^(5//2)) - (8*a^3*b)/(d^3*sqrt(d*x)) + (4*a^2*b^2*(d*x)^(3//2))/d^5 + (8*a*b^3*(d*x)^(7//2))/(7*d^7) + (2*b^4*(d*x)^(11//2))/(11*d^9), x, 3),
+
+
+((d*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, (2*a^6*(d*x)^(7//2))/(7*d) + (12*a^5*b*(d*x)^(11//2))/(11*d^3) + (2*a^4*b^2*(d*x)^(15//2))/d^5 + (40*a^3*b^3*(d*x)^(19//2))/(19*d^7) + (30*a^2*b^4*(d*x)^(23//2))/(23*d^9) + (4*a*b^5*(d*x)^(27//2))/(9*d^11) + (2*b^6*(d*x)^(31//2))/(31*d^13), x, 3),
+((d*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, (2*a^6*(d*x)^(5//2))/(5*d) + (4*a^5*b*(d*x)^(9//2))/(3*d^3) + (30*a^4*b^2*(d*x)^(13//2))/(13*d^5) + (40*a^3*b^3*(d*x)^(17//2))/(17*d^7) + (10*a^2*b^4*(d*x)^(21//2))/(7*d^9) + (12*a*b^5*(d*x)^(25//2))/(25*d^11) + (2*b^6*(d*x)^(29//2))/(29*d^13), x, 3),
+(sqrt(d*x)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, (2*a^6*(d*x)^(3//2))/(3*d) + (12*a^5*b*(d*x)^(7//2))/(7*d^3) + (30*a^4*b^2*(d*x)^(11//2))/(11*d^5) + (8*a^3*b^3*(d*x)^(15//2))/(3*d^7) + (30*a^2*b^4*(d*x)^(19//2))/(19*d^9) + (12*a*b^5*(d*x)^(23//2))/(23*d^11) + (2*b^6*(d*x)^(27//2))/(27*d^13), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/sqrt(d*x), (2*a^6*sqrt(d*x))/d + (12*a^5*b*(d*x)^(5//2))/(5*d^3) + (10*a^4*b^2*(d*x)^(9//2))/(3*d^5) + (40*a^3*b^3*(d*x)^(13//2))/(13*d^7) + (30*a^2*b^4*(d*x)^(17//2))/(17*d^9) + (4*a*b^5*(d*x)^(21//2))/(7*d^11) + (2*b^6*(d*x)^(25//2))/(25*d^13), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/(d*x)^(3//2), (-2*a^6)/(d*sqrt(d*x)) + (4*a^5*b*(d*x)^(3//2))/d^3 + (30*a^4*b^2*(d*x)^(7//2))/(7*d^5) + (40*a^3*b^3*(d*x)^(11//2))/(11*d^7) + (2*a^2*b^4*(d*x)^(15//2))/d^9 + (12*a*b^5*(d*x)^(19//2))/(19*d^11) + (2*b^6*(d*x)^(23//2))/(23*d^13), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/(d*x)^(5//2), (-2*a^6)/(3*d*(d*x)^(3//2)) + (12*a^5*b*sqrt(d*x))/d^3 + (6*a^4*b^2*(d*x)^(5//2))/d^5 + (40*a^3*b^3*(d*x)^(9//2))/(9*d^7) + (30*a^2*b^4*(d*x)^(13//2))/(13*d^9) + (12*a*b^5*(d*x)^(17//2))/(17*d^11) + (2*b^6*(d*x)^(21//2))/(21*d^13), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3/(d*x)^(7//2), (-2*a^6)/(5*d*(d*x)^(5//2)) - (12*a^5*b)/(d^3*sqrt(d*x)) + (10*a^4*b^2*(d*x)^(3//2))/d^5 + (40*a^3*b^3*(d*x)^(7//2))/(7*d^7) + (30*a^2*b^4*(d*x)^(11//2))/(11*d^9) + (4*a*b^5*(d*x)^(15//2))/(5*d^11) + (2*b^6*(d*x)^(19//2))/(19*d^13), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d*x)^(11//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (-9*a*d^5*sqrt(d*x))/(2*b^3) + (9*d^3*(d*x)^(5//2))/(10*b^2) - (d*(d*x)^(9//2))/(2*b*(a + b*x^2)) - (9*a^(5//4)*d^(11//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*b^(13//4)) + (9*a^(5//4)*d^(11//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*b^(13//4)) - (9*a^(5//4)*d^(11//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*b^(13//4)) + (9*a^(5//4)*d^(11//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*b^(13//4)), x, 14),
+((d*x)^(9//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (7*d^3*(d*x)^(3//2))/(6*b^2) - (d*(d*x)^(7//2))/(2*b*(a + b*x^2)) + (7*a^(3//4)*d^(9//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*b^(11//4)) - (7*a^(3//4)*d^(9//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*b^(11//4)) - (7*a^(3//4)*d^(9//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*b^(11//4)) + (7*a^(3//4)*d^(9//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*b^(11//4)), x, 13),
+((d*x)^(7//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (5*d^3*sqrt(d*x))/(2*b^2) - (d*(d*x)^(5//2))/(2*b*(a + b*x^2)) + (5*a^(1//4)*d^(7//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*b^(9//4)) - (5*a^(1//4)*d^(7//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*b^(9//4)) + (5*a^(1//4)*d^(7//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*b^(9//4)) - (5*a^(1//4)*d^(7//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*b^(9//4)), x, 13),
+((d*x)^(5//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), -(d*(d*x)^(3//2))/(2*b*(a + b*x^2)) - (3*d^(5//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(7//4)) + (3*d^(5//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(7//4)) + (3*d^(5//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(7//4)) - (3*d^(5//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(7//4)), x, 12),
+((d*x)^(3//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), -(d*sqrt(d*x))/(2*b*(a + b*x^2)) - (d^(3//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) + (d^(3//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) - (d^(3//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)) + (d^(3//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(5//4)), x, 12),
+(sqrt(d*x)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (d*x)^(3//2)/(2*a*d*(a + b*x^2)) - (sqrt(d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(3//4)) + (sqrt(d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(3//4)) + (sqrt(d)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(3//4)) - (sqrt(d)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(3//4)), x, 12),
+(1/(sqrt(d*x)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), sqrt(d*x)/(2*a*d*(a + b*x^2)) - (3*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(1//4)*sqrt(d)) + (3*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(1//4)*sqrt(d)) - (3*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(1//4)*sqrt(d)) + (3*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(1//4)*sqrt(d)), x, 12),
+(1/((d*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), -5/(2*a^2*d*sqrt(d*x)) + 1/(2*a*d*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)) + (5*b^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*a^(9//4)*d^(3//2)) - (5*b^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*a^(9//4)*d^(3//2)) - (5*b^(1//4)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*a^(9//4)*d^(3//2)) + (5*b^(1//4)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*a^(9//4)*d^(3//2)), x, 13),
+(1/((d*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), -7/(6*a^2*d*(d*x)^(3//2)) + 1/(2*a*d*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2)) + (7*b^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*a^(11//4)*d^(5//2)) - (7*b^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*a^(11//4)*d^(5//2)) + (7*b^(3//4)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*a^(11//4)*d^(5//2)) - (7*b^(3//4)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*a^(11//4)*d^(5//2)), x, 13),
+(1/((d*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), -9/(10*a^2*d*(d*x)^(5//2)) + (9*b)/(2*a^3*d^3*sqrt(d*x)) + 1/(2*a*d*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2)) - (9*b^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*a^(13//4)*d^(7//2)) + (9*b^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(4*sqrt(2)*a^(13//4)*d^(7//2)) + (9*b^(5//4)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*a^(13//4)*d^(7//2)) - (9*b^(5//4)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(8*sqrt(2)*a^(13//4)*d^(7//2)), x, 14),
+
+
+((d*x)^(19//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, (-663*a*d^9*sqrt(d*x))/(64*b^5) + (663*d^7*(d*x)^(5//2))/(320*b^4) - (d*(d*x)^(17//2))/(6*b*(a + b*x^2)^3) - (17*d^3*(d*x)^(13//2))/(48*b^2*(a + b*x^2)^2) - (221*d^5*(d*x)^(9//2))/(192*b^3*(a + b*x^2)) - (663*a^(5//4)*d^(19//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*b^(21//4)) + (663*a^(5//4)*d^(19//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*b^(21//4)) - (663*a^(5//4)*d^(19//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*b^(21//4)) + (663*a^(5//4)*d^(19//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*b^(21//4)), x, 16),
+((d*x)^(17//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, (385*d^7*(d*x)^(3//2))/(192*b^4) - (d*(d*x)^(15//2))/(6*b*(a + b*x^2)^3) - (5*d^3*(d*x)^(11//2))/(16*b^2*(a + b*x^2)^2) - (55*d^5*(d*x)^(7//2))/(64*b^3*(a + b*x^2)) + (385*a^(3//4)*d^(17//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*b^(19//4)) - (385*a^(3//4)*d^(17//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*b^(19//4)) - (385*a^(3//4)*d^(17//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*b^(19//4)) + (385*a^(3//4)*d^(17//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*b^(19//4)), x, 15),
+((d*x)^(15//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, (195*d^7*sqrt(d*x))/(64*b^4) - (d*(d*x)^(13//2))/(6*b*(a + b*x^2)^3) - (13*d^3*(d*x)^(9//2))/(48*b^2*(a + b*x^2)^2) - (39*d^5*(d*x)^(5//2))/(64*b^3*(a + b*x^2)) + (195*a^(1//4)*d^(15//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*b^(17//4)) - (195*a^(1//4)*d^(15//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*b^(17//4)) + (195*a^(1//4)*d^(15//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*b^(17//4)) - (195*a^(1//4)*d^(15//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*b^(17//4)), x, 15),
+((d*x)^(13//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, -(d*(d*x)^(11//2))/(6*b*(a + b*x^2)^3) - (11*d^3*(d*x)^(7//2))/(48*b^2*(a + b*x^2)^2) - (77*d^5*(d*x)^(3//2))/(192*b^3*(a + b*x^2)) - (77*d^(13//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(15//4)) + (77*d^(13//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(15//4)) + (77*d^(13//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(15//4)) - (77*d^(13//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(15//4)), x, 14),
+((d*x)^(11//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, -(d*(d*x)^(9//2))/(6*b*(a + b*x^2)^3) - (3*d^3*(d*x)^(5//2))/(16*b^2*(a + b*x^2)^2) - (15*d^5*sqrt(d*x))/(64*b^3*(a + b*x^2)) - (15*d^(11//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(13//4)) + (15*d^(11//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(13//4)) - (15*d^(11//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(13//4)) + (15*d^(11//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(13//4)), x, 14),
+((d*x)^(9//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, -(d*(d*x)^(7//2))/(6*b*(a + b*x^2)^3) - (7*d^3*(d*x)^(3//2))/(48*b^2*(a + b*x^2)^2) + (7*d^3*(d*x)^(3//2))/(64*a*b^2*(a + b*x^2)) - (7*d^(9//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(11//4)) + (7*d^(9//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(11//4)) + (7*d^(9//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(11//4)) - (7*d^(9//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(11//4)), x, 14),
+((d*x)^(7//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, -(d*(d*x)^(5//2))/(6*b*(a + b*x^2)^3) - (5*d^3*sqrt(d*x))/(48*b^2*(a + b*x^2)^2) + (5*d^3*sqrt(d*x))/(192*a*b^2*(a + b*x^2)) - (5*d^(7//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(9//4)) + (5*d^(7//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(9//4)) - (5*d^(7//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(9//4)) + (5*d^(7//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(9//4)), x, 14),
+((d*x)^(5//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, -(d*(d*x)^(3//2))/(6*b*(a + b*x^2)^3) + (d*(d*x)^(3//2))/(16*a*b*(a + b*x^2)^2) + (5*d*(d*x)^(3//2))/(64*a^2*b*(a + b*x^2)) - (5*d^(5//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(7//4)) + (5*d^(5//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(7//4)) + (5*d^(5//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(7//4)) - (5*d^(5//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(7//4)), x, 14),
+((d*x)^(3//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, -(d*sqrt(d*x))/(6*b*(a + b*x^2)^3) + (d*sqrt(d*x))/(48*a*b*(a + b*x^2)^2) + (7*d*sqrt(d*x))/(192*a^2*b*(a + b*x^2)) - (7*d^(3//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)) + (7*d^(3//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)) - (7*d^(3//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)) + (7*d^(3//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(5//4)), x, 14),
+(sqrt(d*x)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, (d*x)^(3//2)/(6*a*d*(a + b*x^2)^3) + (3*(d*x)^(3//2))/(16*a^2*d*(a + b*x^2)^2) + (15*(d*x)^(3//2))/(64*a^3*d*(a + b*x^2)) - (15*sqrt(d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(3//4)) + (15*sqrt(d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(3//4)) + (15*sqrt(d)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(3//4)) - (15*sqrt(d)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(3//4)), x, 14),
+(1/(sqrt(d*x)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2), sqrt(d*x)/(6*a*d*(a + b*x^2)^3) + (11*sqrt(d*x))/(48*a^2*d*(a + b*x^2)^2) + (77*sqrt(d*x))/(192*a^3*d*(a + b*x^2)) - (77*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(1//4)*sqrt(d)) + (77*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(1//4)*sqrt(d)) - (77*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(1//4)*sqrt(d)) + (77*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(1//4)*sqrt(d)), x, 14),
+(1/((d*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2), -195/(64*a^4*d*sqrt(d*x)) + 1/(6*a*d*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)^3) + 13/(48*a^2*d*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)^2) + 39/(64*a^3*d*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)) + (195*b^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(17//4)*d^(3//2)) - (195*b^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(17//4)*d^(3//2)) - (195*b^(1//4)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(17//4)*d^(3//2)) + (195*b^(1//4)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(17//4)*d^(3//2)), x, 15),
+(1/((d*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2), -385/(192*a^4*d*(d*x)^(3//2)) + 1/(6*a*d*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^3) + 5/(16*a^2*d*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^2) + 55/(64*a^3*d*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2)) + (385*b^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(19//4)*d^(5//2)) - (385*b^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(19//4)*d^(5//2)) + (385*b^(3//4)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(19//4)*d^(5//2)) - (385*b^(3//4)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(19//4)*d^(5//2)), x, 15),
+(1/((d*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2), -663/(320*a^4*d*(d*x)^(5//2)) + (663*b)/(64*a^5*d^3*sqrt(d*x)) + 1/(6*a*d*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^3) + 17/(48*a^2*d*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^2) + 221/(192*a^3*d*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2)) - (663*b^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(21//4)*d^(7//2)) + (663*b^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(128*sqrt(2)*a^(21//4)*d^(7//2)) + (663*b^(5//4)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(21//4)*d^(7//2)) - (663*b^(5//4)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(256*sqrt(2)*a^(21//4)*d^(7//2)), x, 16),
+
+
+((d*x)^(27//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, (-69615*a*d^13*sqrt(d*x))/(4096*b^7) + (13923*d^11*(d*x)^(5//2))/(4096*b^6) - (d*(d*x)^(25//2))/(10*b*(a + b*x^2)^5) - (5*d^3*(d*x)^(21//2))/(32*b^2*(a + b*x^2)^4) - (35*d^5*(d*x)^(17//2))/(128*b^3*(a + b*x^2)^3) - (595*d^7*(d*x)^(13//2))/(1024*b^4*(a + b*x^2)^2) - (7735*d^9*(d*x)^(9//2))/(4096*b^5*(a + b*x^2)) - (69615*a^(5//4)*d^(27//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*b^(29//4)) + (69615*a^(5//4)*d^(27//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*b^(29//4)) - (69615*a^(5//4)*d^(27//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*b^(29//4)) + (69615*a^(5//4)*d^(27//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*b^(29//4)), x, 18),
+((d*x)^(25//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, (33649*d^11*(d*x)^(3//2))/(12288*b^6) - (d*(d*x)^(23//2))/(10*b*(a + b*x^2)^5) - (23*d^3*(d*x)^(19//2))/(160*b^2*(a + b*x^2)^4) - (437*d^5*(d*x)^(15//2))/(1920*b^3*(a + b*x^2)^3) - (437*d^7*(d*x)^(11//2))/(1024*b^4*(a + b*x^2)^2) - (4807*d^9*(d*x)^(7//2))/(4096*b^5*(a + b*x^2)) + (33649*a^(3//4)*d^(25//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*b^(27//4)) - (33649*a^(3//4)*d^(25//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*b^(27//4)) - (33649*a^(3//4)*d^(25//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*b^(27//4)) + (33649*a^(3//4)*d^(25//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*b^(27//4)), x, 17),
+((d*x)^(23//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, (13923*d^11*sqrt(d*x))/(4096*b^6) - (d*(d*x)^(21//2))/(10*b*(a + b*x^2)^5) - (21*d^3*(d*x)^(17//2))/(160*b^2*(a + b*x^2)^4) - (119*d^5*(d*x)^(13//2))/(640*b^3*(a + b*x^2)^3) - (1547*d^7*(d*x)^(9//2))/(5120*b^4*(a + b*x^2)^2) - (13923*d^9*(d*x)^(5//2))/(20480*b^5*(a + b*x^2)) + (13923*a^(1//4)*d^(23//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*b^(25//4)) - (13923*a^(1//4)*d^(23//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*b^(25//4)) + (13923*a^(1//4)*d^(23//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*b^(25//4)) - (13923*a^(1//4)*d^(23//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*b^(25//4)), x, 17),
+((d*x)^(21//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -(d*(d*x)^(19//2))/(10*b*(a + b*x^2)^5) - (19*d^3*(d*x)^(15//2))/(160*b^2*(a + b*x^2)^4) - (19*d^5*(d*x)^(11//2))/(128*b^3*(a + b*x^2)^3) - (209*d^7*(d*x)^(7//2))/(1024*b^4*(a + b*x^2)^2) - (1463*d^9*(d*x)^(3//2))/(4096*b^5*(a + b*x^2)) - (4389*d^(21//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(23//4)) + (4389*d^(21//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(23//4)) + (4389*d^(21//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(23//4)) - (4389*d^(21//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(23//4)), x, 16),
+((d*x)^(19//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -(d*(d*x)^(17//2))/(10*b*(a + b*x^2)^5) - (17*d^3*(d*x)^(13//2))/(160*b^2*(a + b*x^2)^4) - (221*d^5*(d*x)^(9//2))/(1920*b^3*(a + b*x^2)^3) - (663*d^7*(d*x)^(5//2))/(5120*b^4*(a + b*x^2)^2) - (663*d^9*sqrt(d*x))/(4096*b^5*(a + b*x^2)) - (663*d^(19//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(21//4)) + (663*d^(19//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(21//4)) - (663*d^(19//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(21//4)) + (663*d^(19//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(21//4)), x, 16),
+((d*x)^(17//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -(d*(d*x)^(15//2))/(10*b*(a + b*x^2)^5) - (3*d^3*(d*x)^(11//2))/(32*b^2*(a + b*x^2)^4) - (11*d^5*(d*x)^(7//2))/(128*b^3*(a + b*x^2)^3) - (77*d^7*(d*x)^(3//2))/(1024*b^4*(a + b*x^2)^2) + (231*d^7*(d*x)^(3//2))/(4096*a*b^4*(a + b*x^2)) - (231*d^(17//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(19//4)) + (231*d^(17//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(19//4)) + (231*d^(17//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(19//4)) - (231*d^(17//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(19//4)), x, 16),
+((d*x)^(15//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -(d*(d*x)^(13//2))/(10*b*(a + b*x^2)^5) - (13*d^3*(d*x)^(9//2))/(160*b^2*(a + b*x^2)^4) - (39*d^5*(d*x)^(5//2))/(640*b^3*(a + b*x^2)^3) - (39*d^7*sqrt(d*x))/(1024*b^4*(a + b*x^2)^2) + (39*d^7*sqrt(d*x))/(4096*a*b^4*(a + b*x^2)) - (117*d^(15//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(17//4)) + (117*d^(15//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(17//4)) - (117*d^(15//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(17//4)) + (117*d^(15//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(17//4)), x, 16),
+((d*x)^(13//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -(d*(d*x)^(11//2))/(10*b*(a + b*x^2)^5) - (11*d^3*(d*x)^(7//2))/(160*b^2*(a + b*x^2)^4) - (77*d^5*(d*x)^(3//2))/(1920*b^3*(a + b*x^2)^3) + (77*d^5*(d*x)^(3//2))/(5120*a*b^3*(a + b*x^2)^2) + (77*d^5*(d*x)^(3//2))/(4096*a^2*b^3*(a + b*x^2)) - (77*d^(13//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(15//4)) + (77*d^(13//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(15//4)) + (77*d^(13//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(15//4)) - (77*d^(13//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(15//4)), x, 16),
+((d*x)^(11//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -(d*(d*x)^(9//2))/(10*b*(a + b*x^2)^5) - (9*d^3*(d*x)^(5//2))/(160*b^2*(a + b*x^2)^4) - (3*d^5*sqrt(d*x))/(128*b^3*(a + b*x^2)^3) + (3*d^5*sqrt(d*x))/(1024*a*b^3*(a + b*x^2)^2) + (21*d^5*sqrt(d*x))/(4096*a^2*b^3*(a + b*x^2)) - (63*d^(11//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(13//4)) + (63*d^(11//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(13//4)) - (63*d^(11//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(13//4)) + (63*d^(11//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(13//4)), x, 16),
+((d*x)^(9//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -(d*(d*x)^(7//2))/(10*b*(a + b*x^2)^5) - (7*d^3*(d*x)^(3//2))/(160*b^2*(a + b*x^2)^4) + (7*d^3*(d*x)^(3//2))/(640*a*b^2*(a + b*x^2)^3) + (63*d^3*(d*x)^(3//2))/(5120*a^2*b^2*(a + b*x^2)^2) + (63*d^3*(d*x)^(3//2))/(4096*a^3*b^2*(a + b*x^2)) - (63*d^(9//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(11//4)) + (63*d^(9//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(11//4)) + (63*d^(9//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(11//4)) - (63*d^(9//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(11//4)), x, 16),
+((d*x)^(7//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -(d*(d*x)^(5//2))/(10*b*(a + b*x^2)^5) - (d^3*sqrt(d*x))/(32*b^2*(a + b*x^2)^4) + (d^3*sqrt(d*x))/(384*a*b^2*(a + b*x^2)^3) + (11*d^3*sqrt(d*x))/(3072*a^2*b^2*(a + b*x^2)^2) + (77*d^3*sqrt(d*x))/(12288*a^3*b^2*(a + b*x^2)) - (77*d^(7//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(9//4)) + (77*d^(7//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(9//4)) - (77*d^(7//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(9//4)) + (77*d^(7//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(9//4)), x, 16),
+((d*x)^(5//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -(d*(d*x)^(3//2))/(10*b*(a + b*x^2)^5) + (3*d*(d*x)^(3//2))/(160*a*b*(a + b*x^2)^4) + (13*d*(d*x)^(3//2))/(640*a^2*b*(a + b*x^2)^3) + (117*d*(d*x)^(3//2))/(5120*a^3*b*(a + b*x^2)^2) + (117*d*(d*x)^(3//2))/(4096*a^4*b*(a + b*x^2)) - (117*d^(5//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(17//4)*b^(7//4)) + (117*d^(5//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(17//4)*b^(7//4)) + (117*d^(5//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(17//4)*b^(7//4)) - (117*d^(5//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(17//4)*b^(7//4)), x, 16),
+((d*x)^(3//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, -(d*sqrt(d*x))/(10*b*(a + b*x^2)^5) + (d*sqrt(d*x))/(160*a*b*(a + b*x^2)^4) + (d*sqrt(d*x))/(128*a^2*b*(a + b*x^2)^3) + (11*d*sqrt(d*x))/(1024*a^3*b*(a + b*x^2)^2) + (77*d*sqrt(d*x))/(4096*a^4*b*(a + b*x^2)) - (231*d^(3//2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(19//4)*b^(5//4)) + (231*d^(3//2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(19//4)*b^(5//4)) - (231*d^(3//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(19//4)*b^(5//4)) + (231*d^(3//2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(19//4)*b^(5//4)), x, 16),
+(sqrt(d*x)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, (d*x)^(3//2)/(10*a*d*(a + b*x^2)^5) + (17*(d*x)^(3//2))/(160*a^2*d*(a + b*x^2)^4) + (221*(d*x)^(3//2))/(1920*a^3*d*(a + b*x^2)^3) + (663*(d*x)^(3//2))/(5120*a^4*d*(a + b*x^2)^2) + (663*(d*x)^(3//2))/(4096*a^5*d*(a + b*x^2)) - (663*sqrt(d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(21//4)*b^(3//4)) + (663*sqrt(d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(21//4)*b^(3//4)) + (663*sqrt(d)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(21//4)*b^(3//4)) - (663*sqrt(d)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(21//4)*b^(3//4)), x, 16),
+(1/(sqrt(d*x)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3), sqrt(d*x)/(10*a*d*(a + b*x^2)^5) + (19*sqrt(d*x))/(160*a^2*d*(a + b*x^2)^4) + (19*sqrt(d*x))/(128*a^3*d*(a + b*x^2)^3) + (209*sqrt(d*x))/(1024*a^4*d*(a + b*x^2)^2) + (1463*sqrt(d*x))/(4096*a^5*d*(a + b*x^2)) - (4389*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(23//4)*b^(1//4)*sqrt(d)) + (4389*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(23//4)*b^(1//4)*sqrt(d)) - (4389*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(23//4)*b^(1//4)*sqrt(d)) + (4389*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(23//4)*b^(1//4)*sqrt(d)), x, 16),
+(1/((d*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3), -13923/(4096*a^6*d*sqrt(d*x)) + 1/(10*a*d*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)^5) + 21/(160*a^2*d*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)^4) + 119/(640*a^3*d*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)^3) + 1547/(5120*a^4*d*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)^2) + 13923/(20480*a^5*d*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)) + (13923*b^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(25//4)*d^(3//2)) - (13923*b^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(25//4)*d^(3//2)) - (13923*b^(1//4)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(25//4)*d^(3//2)) + (13923*b^(1//4)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(25//4)*d^(3//2)), x, 17),
+(1/((d*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3), -33649/(12288*a^6*d*(d*x)^(3//2)) + 1/(10*a*d*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^5) + 23/(160*a^2*d*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^4) + 437/(1920*a^3*d*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^3) + 437/(1024*a^4*d*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^2) + 4807/(4096*a^5*d*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2)) + (33649*b^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(27//4)*d^(5//2)) - (33649*b^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(27//4)*d^(5//2)) + (33649*b^(3//4)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(27//4)*d^(5//2)) - (33649*b^(3//4)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(27//4)*d^(5//2)), x, 17),
+(1/((d*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3), -13923/(4096*a^6*d*(d*x)^(5//2)) + (69615*b)/(4096*a^7*d^3*sqrt(d*x)) + 1/(10*a*d*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^5) + 5/(32*a^2*d*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^4) + 35/(128*a^3*d*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^3) + 595/(1024*a^4*d*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^2) + 7735/(4096*a^5*d*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2)) - (69615*b^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(29//4)*d^(7//2)) + (69615*b^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(8192*sqrt(2)*a^(29//4)*d^(7//2)) + (69615*b^(5//4)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(29//4)*d^(7//2)) - (69615*b^(5//4)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(16384*sqrt(2)*a^(29//4)*d^(7//2)), x, 18),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^(m/2) (a^2+2 a b x^2+b^2 x^4)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((d*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (2*a*(d*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*d*(a + b*x^2)) + (2*b*(d*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*d^3*(a + b*x^2)), x, 3),
+((d*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (2*a*(d*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*d*(a + b*x^2)) + (2*b*(d*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*d^3*(a + b*x^2)), x, 3),
+(sqrt(d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (2*a*(d*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*d*(a + b*x^2)) + (2*b*(d*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*d^3*(a + b*x^2)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/sqrt(d*x), (2*a*sqrt(d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d*(a + b*x^2)) + (2*b*(d*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*d^3*(a + b*x^2)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/(d*x)^(3//2), (-2*a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)) + (2*b*(d*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*d^3*(a + b*x^2)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/(d*x)^(5//2), (-2*a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*d*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2)) + (2*b*sqrt(d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^3*(a + b*x^2)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)/(d*x)^(7//2), (-2*a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*d*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2)) - (2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^3*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)), x, 3),
+
+
+((d*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (2*a^3*(d*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*d*(a + b*x^2)) + (6*a^2*b*(d*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*d^3*(a + b*x^2)) + (2*a*b^2*(d*x)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*d^5*(a + b*x^2)) + (2*b^3*(d*x)^(19//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(19*d^7*(a + b*x^2)), x, 3),
+((d*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (2*a^3*(d*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*d*(a + b*x^2)) + (2*a^2*b*(d*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*d^3*(a + b*x^2)) + (6*a*b^2*(d*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*d^5*(a + b*x^2)) + (2*b^3*(d*x)^(17//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(17*d^7*(a + b*x^2)), x, 3),
+(sqrt(d*x)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (2*a^3*(d*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*d*(a + b*x^2)) + (6*a^2*b*(d*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*d^3*(a + b*x^2)) + (6*a*b^2*(d*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*d^5*(a + b*x^2)) + (2*b^3*(d*x)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(15*d^7*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/sqrt(d*x), (2*a^3*sqrt(d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d*(a + b*x^2)) + (6*a^2*b*(d*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*d^3*(a + b*x^2)) + (2*a*b^2*(d*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*d^5*(a + b*x^2)) + (2*b^3*(d*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*d^7*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/(d*x)^(3//2), (-2*a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)) + (2*a^2*b*(d*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^3*(a + b*x^2)) + (6*a*b^2*(d*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*d^5*(a + b*x^2)) + (2*b^3*(d*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*d^7*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/(d*x)^(5//2), (-2*a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*d*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2)) + (6*a^2*b*sqrt(d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^3*(a + b*x^2)) + (6*a*b^2*(d*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*d^5*(a + b*x^2)) + (2*b^3*(d*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*d^7*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)/(d*x)^(7//2), (-2*a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*d*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2)) - (6*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^3*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)) + (2*a*b^2*(d*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^5*(a + b*x^2)) + (2*b^3*(d*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*d^7*(a + b*x^2)), x, 3),
+
+
+((d*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (2*a^5*(d*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*d*(a + b*x^2)) + (10*a^4*b*(d*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*d^3*(a + b*x^2)) + (4*a^3*b^2*(d*x)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*d^5*(a + b*x^2)) + (20*a^2*b^3*(d*x)^(19//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(19*d^7*(a + b*x^2)) + (10*a*b^4*(d*x)^(23//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(23*d^9*(a + b*x^2)) + (2*b^5*(d*x)^(27//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(27*d^11*(a + b*x^2)), x, 3),
+((d*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (2*a^5*(d*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*d*(a + b*x^2)) + (10*a^4*b*(d*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*d^3*(a + b*x^2)) + (20*a^3*b^2*(d*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*d^5*(a + b*x^2)) + (20*a^2*b^3*(d*x)^(17//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(17*d^7*(a + b*x^2)) + (10*a*b^4*(d*x)^(21//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(21*d^9*(a + b*x^2)) + (2*b^5*(d*x)^(25//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(25*d^11*(a + b*x^2)), x, 3),
+(sqrt(d*x)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (2*a^5*(d*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*d*(a + b*x^2)) + (10*a^4*b*(d*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*d^3*(a + b*x^2)) + (20*a^3*b^2*(d*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*d^5*(a + b*x^2)) + (4*a^2*b^3*(d*x)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*d^7*(a + b*x^2)) + (10*a*b^4*(d*x)^(19//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(19*d^9*(a + b*x^2)) + (2*b^5*(d*x)^(23//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(23*d^11*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/sqrt(d*x), (2*a^5*sqrt(d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d*(a + b*x^2)) + (2*a^4*b*(d*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^3*(a + b*x^2)) + (20*a^3*b^2*(d*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*d^5*(a + b*x^2)) + (20*a^2*b^3*(d*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*d^7*(a + b*x^2)) + (10*a*b^4*(d*x)^(17//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(17*d^9*(a + b*x^2)) + (2*b^5*(d*x)^(21//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(21*d^11*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/(d*x)^(3//2), (-2*a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)) + (10*a^4*b*(d*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*d^3*(a + b*x^2)) + (20*a^3*b^2*(d*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*d^5*(a + b*x^2)) + (20*a^2*b^3*(d*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*d^7*(a + b*x^2)) + (2*a*b^4*(d*x)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*d^9*(a + b*x^2)) + (2*b^5*(d*x)^(19//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(19*d^11*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/(d*x)^(5//2), (-2*a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*d*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2)) + (10*a^4*b*sqrt(d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^3*(a + b*x^2)) + (4*a^3*b^2*(d*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^5*(a + b*x^2)) + (20*a^2*b^3*(d*x)^(9//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(9*d^7*(a + b*x^2)) + (10*a*b^4*(d*x)^(13//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(13*d^9*(a + b*x^2)) + (2*b^5*(d*x)^(17//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(17*d^11*(a + b*x^2)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)/(d*x)^(7//2), (-2*a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*d*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2)) - (10*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^3*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)) + (20*a^3*b^2*(d*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*d^5*(a + b*x^2)) + (20*a^2*b^3*(d*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(7*d^7*(a + b*x^2)) + (10*a*b^4*(d*x)^(11//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(11*d^9*(a + b*x^2)) + (2*b^5*(d*x)^(15//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(15*d^11*(a + b*x^2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d*x)^(7//2)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (-2*a*d^3*sqrt(d*x)*(a + b*x^2))/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (2*d*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2))/(5*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (a^(5//4)*d^(7//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(sqrt(2)*b^(9//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (a^(5//4)*d^(7//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(sqrt(2)*b^(9//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (a^(5//4)*d^(7//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(2*sqrt(2)*b^(9//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (a^(5//4)*d^(7//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(2*sqrt(2)*b^(9//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 13),
+((d*x)^(5//2)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (2*d*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2))/(3*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (a^(3//4)*d^(5//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(sqrt(2)*b^(7//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (a^(3//4)*d^(5//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(sqrt(2)*b^(7//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (a^(3//4)*d^(5//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(2*sqrt(2)*b^(7//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (a^(3//4)*d^(5//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(2*sqrt(2)*b^(7//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 12),
+((d*x)^(3//2)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (2*d*sqrt(d*x)*(a + b*x^2))/(b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (a^(1//4)*d^(3//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(sqrt(2)*b^(5//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (a^(1//4)*d^(3//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(sqrt(2)*b^(5//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (a^(1//4)*d^(3//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(2*sqrt(2)*b^(5//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (a^(1//4)*d^(3//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(2*sqrt(2)*b^(5//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 12),
+(sqrt(d*x)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), -((sqrt(d)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(sqrt(2)*a^(1//4)*b^(3//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))) + (sqrt(d)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(sqrt(2)*a^(1//4)*b^(3//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (sqrt(d)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(3//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (sqrt(d)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(3//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 11),
+(1/(sqrt(d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), -(((a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)*sqrt(d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))) + ((a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)*sqrt(d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - ((a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)*sqrt(d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + ((a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)*sqrt(d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 11),
+(1/((d*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), (-2*(a + b*x^2))/(a*d*sqrt(d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (b^(1//4)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(sqrt(2)*a^(5//4)*d^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (b^(1//4)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(sqrt(2)*a^(5//4)*d^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (b^(1//4)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*d^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (b^(1//4)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*d^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 12),
+(1/((d*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), (-2*(a + b*x^2))/(3*a*d*(d*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (b^(3//4)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(sqrt(2)*a^(7//4)*d^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (b^(3//4)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(sqrt(2)*a^(7//4)*d^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (b^(3//4)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)*d^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (b^(3//4)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)*d^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 12),
+(1/((d*x)^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), (-2*(a + b*x^2))/(5*a*d*(d*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (2*b*(a + b*x^2))/(a^2*d^3*sqrt(d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (b^(5//4)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(sqrt(2)*a^(9//4)*d^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (b^(5//4)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(sqrt(2)*a^(9//4)*d^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (b^(5//4)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)*d^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (b^(5//4)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)*d^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 13),
+
+
+((d*x)^(15//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (-13*d^3*(d*x)^(9//2))/(16*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(d*x)^(13//2))/(4*b*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (117*a*d^7*sqrt(d*x)*(a + b*x^2))/(16*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (117*d^5*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2))/(80*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (117*a^(5//4)*d^(15//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*b^(17//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (117*a^(5//4)*d^(15//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*b^(17//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (117*a^(5//4)*d^(15//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*b^(17//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (117*a^(5//4)*d^(15//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*b^(17//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 15),
+((d*x)^(13//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (-11*d^3*(d*x)^(7//2))/(16*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(d*x)^(11//2))/(4*b*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (77*d^5*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2))/(48*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (77*a^(3//4)*d^(13//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*b^(15//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (77*a^(3//4)*d^(13//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*b^(15//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (77*a^(3//4)*d^(13//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*b^(15//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (77*a^(3//4)*d^(13//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*b^(15//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 14),
+((d*x)^(11//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (-9*d^3*(d*x)^(5//2))/(16*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(d*x)^(9//2))/(4*b*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (45*d^5*sqrt(d*x)*(a + b*x^2))/(16*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (45*a^(1//4)*d^(11//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*b^(13//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (45*a^(1//4)*d^(11//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*b^(13//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (45*a^(1//4)*d^(11//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*b^(13//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (45*a^(1//4)*d^(11//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*b^(13//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 14),
+((d*x)^(9//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (-7*d^3*(d*x)^(3//2))/(16*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(d*x)^(7//2))/(4*b*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (21*d^(9//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(11//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (21*d^(9//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(11//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (21*d^(9//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(11//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (21*d^(9//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(11//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 13),
+((d*x)^(7//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (-5*d^3*sqrt(d*x))/(16*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(d*x)^(5//2))/(4*b*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (5*d^(7//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(9//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (5*d^(7//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(9//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (5*d^(7//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(9//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (5*d^(7//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(9//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 13),
+((d*x)^(5//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (3*d*(d*x)^(3//2))/(16*a*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(d*x)^(3//2))/(4*b*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (3*d^(5//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(7//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (3*d^(5//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(7//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (3*d^(5//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(7//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (3*d^(5//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(7//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 13),
+((d*x)^(3//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (d*sqrt(d*x))/(16*a*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*sqrt(d*x))/(4*b*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (3*d^(3//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (3*d^(3//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (3*d^(3//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (3*d^(3//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(5//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 13),
+(sqrt(d*x)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (5*(d*x)^(3//2))/(16*a^2*d*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (d*x)^(3//2)/(4*a*d*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (5*sqrt(d)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(3//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (5*sqrt(d)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(3//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (5*sqrt(d)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(3//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (5*sqrt(d)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(3//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 13),
+(1/(sqrt(d*x)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)), (7*sqrt(d*x))/(16*a^2*d*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + sqrt(d*x)/(4*a*d*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (21*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(1//4)*sqrt(d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (21*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(1//4)*sqrt(d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (21*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(1//4)*sqrt(d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (21*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(1//4)*sqrt(d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 13),
+(1/((d*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)), 9/(16*a^2*d*sqrt(d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 1/(4*a*d*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (45*(a + b*x^2))/(16*a^3*d*sqrt(d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (45*b^(1//4)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*a^(13//4)*d^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (45*b^(1//4)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*a^(13//4)*d^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (45*b^(1//4)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*a^(13//4)*d^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (45*b^(1//4)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*a^(13//4)*d^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 14),
+(1/((d*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)), 11/(16*a^2*d*(d*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 1/(4*a*d*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (77*(a + b*x^2))/(48*a^3*d*(d*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (77*b^(3//4)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*a^(15//4)*d^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (77*b^(3//4)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*a^(15//4)*d^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (77*b^(3//4)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*a^(15//4)*d^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (77*b^(3//4)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*a^(15//4)*d^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 14),
+(1/((d*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)), 13/(16*a^2*d*(d*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 1/(4*a*d*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (117*(a + b*x^2))/(80*a^3*d*(d*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (117*b*(a + b*x^2))/(16*a^4*d^3*sqrt(d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (117*b^(5//4)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*a^(17//4)*d^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (117*b^(5//4)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(32*sqrt(2)*a^(17//4)*d^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (117*b^(5//4)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*a^(17//4)*d^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (117*b^(5//4)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(64*sqrt(2)*a^(17//4)*d^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 15),
+
+
+((d*x)^(23//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (-1547*d^7*(d*x)^(9//2))/(1024*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(d*x)^(21//2))/(8*b*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (7*d^3*(d*x)^(17//2))/(32*b^2*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (119*d^5*(d*x)^(13//2))/(256*b^3*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (13923*a*d^11*sqrt(d*x)*(a + b*x^2))/(1024*b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (13923*d^9*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2))/(5120*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (13923*a^(5//4)*d^(23//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*b^(25//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (13923*a^(5//4)*d^(23//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*b^(25//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (13923*a^(5//4)*d^(23//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*b^(25//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (13923*a^(5//4)*d^(23//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*b^(25//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 17),
+((d*x)^(21//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (-1045*d^7*(d*x)^(7//2))/(1024*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(d*x)^(19//2))/(8*b*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (19*d^3*(d*x)^(15//2))/(96*b^2*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (95*d^5*(d*x)^(11//2))/(256*b^3*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (7315*d^9*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2))/(3072*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (7315*a^(3//4)*d^(21//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*b^(23//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (7315*a^(3//4)*d^(21//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*b^(23//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (7315*a^(3//4)*d^(21//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*b^(23//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (7315*a^(3//4)*d^(21//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*b^(23//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 16),
+((d*x)^(19//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (-663*d^7*(d*x)^(5//2))/(1024*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(d*x)^(17//2))/(8*b*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (17*d^3*(d*x)^(13//2))/(96*b^2*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (221*d^5*(d*x)^(9//2))/(768*b^3*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (3315*d^9*sqrt(d*x)*(a + b*x^2))/(1024*b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (3315*a^(1//4)*d^(19//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*b^(21//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (3315*a^(1//4)*d^(19//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*b^(21//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (3315*a^(1//4)*d^(19//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*b^(21//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (3315*a^(1//4)*d^(19//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*b^(21//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 16),
+((d*x)^(17//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (-385*d^7*(d*x)^(3//2))/(1024*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(d*x)^(15//2))/(8*b*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (5*d^3*(d*x)^(11//2))/(32*b^2*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (55*d^5*(d*x)^(7//2))/(256*b^3*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (1155*d^(17//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(19//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (1155*d^(17//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(19//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (1155*d^(17//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(19//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (1155*d^(17//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(19//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 15),
+((d*x)^(15//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (-195*d^7*sqrt(d*x))/(1024*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(d*x)^(13//2))/(8*b*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (13*d^3*(d*x)^(9//2))/(96*b^2*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (39*d^5*(d*x)^(5//2))/(256*b^3*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (195*d^(15//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(17//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (195*d^(15//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(17//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (195*d^(15//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(17//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (195*d^(15//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(17//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 15),
+((d*x)^(13//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (77*d^5*(d*x)^(3//2))/(1024*a*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(d*x)^(11//2))/(8*b*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (11*d^3*(d*x)^(7//2))/(96*b^2*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (77*d^5*(d*x)^(3//2))/(768*b^3*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (77*d^(13//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(15//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (77*d^(13//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(15//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (77*d^(13//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(15//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (77*d^(13//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(5//4)*b^(15//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 15),
+((d*x)^(11//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (15*d^5*sqrt(d*x))/(1024*a*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(d*x)^(9//2))/(8*b*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (3*d^3*(d*x)^(5//2))/(32*b^2*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (15*d^5*sqrt(d*x))/(256*b^3*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (45*d^(11//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(13//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (45*d^(11//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(13//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (45*d^(11//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(13//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (45*d^(11//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(7//4)*b^(13//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 15),
+((d*x)^(9//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (35*d^3*(d*x)^(3//2))/(1024*a^2*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(d*x)^(7//2))/(8*b*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (7*d^3*(d*x)^(3//2))/(96*b^2*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (7*d^3*(d*x)^(3//2))/(256*a*b^2*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (35*d^(9//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(11//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (35*d^(9//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(11//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (35*d^(9//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(11//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (35*d^(9//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(9//4)*b^(11//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 15),
+((d*x)^(7//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (35*d^3*sqrt(d*x))/(3072*a^2*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(d*x)^(5//2))/(8*b*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (5*d^3*sqrt(d*x))/(96*b^2*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (5*d^3*sqrt(d*x))/(768*a*b^2*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (35*d^(7//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(9//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (35*d^(7//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(9//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (35*d^(7//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(9//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (35*d^(7//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(11//4)*b^(9//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 15),
+((d*x)^(5//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (45*d*(d*x)^(3//2))/(1024*a^3*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(d*x)^(3//2))/(8*b*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (d*(d*x)^(3//2))/(32*a*b*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (9*d*(d*x)^(3//2))/(256*a^2*b*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (45*d^(5//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(7//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (45*d^(5//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(7//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (45*d^(5//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(7//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (45*d^(5//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(13//4)*b^(7//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 15),
+((d*x)^(3//2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (77*d*sqrt(d*x))/(3072*a^3*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*sqrt(d*x))/(8*b*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (d*sqrt(d*x))/(96*a*b*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (11*d*sqrt(d*x))/(768*a^2*b*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (77*d^(3//2)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(5//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (77*d^(3//2)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(5//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (77*d^(3//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(5//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (77*d^(3//2)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(15//4)*b^(5//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 15),
+(sqrt(d*x)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (195*(d*x)^(3//2))/(1024*a^4*d*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (d*x)^(3//2)/(8*a*d*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (13*(d*x)^(3//2))/(96*a^2*d*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (39*(d*x)^(3//2))/(256*a^3*d*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (195*sqrt(d)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(17//4)*b^(3//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (195*sqrt(d)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(17//4)*b^(3//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (195*sqrt(d)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(17//4)*b^(3//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (195*sqrt(d)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(17//4)*b^(3//4)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 15),
+(1/(sqrt(d*x)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)), (385*sqrt(d*x))/(1024*a^4*d*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + sqrt(d*x)/(8*a*d*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (5*sqrt(d*x))/(32*a^2*d*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (55*sqrt(d*x))/(256*a^3*d*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (1155*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(19//4)*b^(1//4)*sqrt(d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (1155*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(19//4)*b^(1//4)*sqrt(d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (1155*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(19//4)*b^(1//4)*sqrt(d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (1155*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(19//4)*b^(1//4)*sqrt(d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 15),
+(1/((d*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)), 663/(1024*a^4*d*sqrt(d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 1/(8*a*d*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 17/(96*a^2*d*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 221/(768*a^3*d*sqrt(d*x)*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (3315*(a + b*x^2))/(1024*a^5*d*sqrt(d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (3315*b^(1//4)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(21//4)*d^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (3315*b^(1//4)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(21//4)*d^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (3315*b^(1//4)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(21//4)*d^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (3315*b^(1//4)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(21//4)*d^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 16),
+(1/((d*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)), 1045/(1024*a^4*d*(d*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 1/(8*a*d*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 19/(96*a^2*d*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 95/(256*a^3*d*(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (7315*(a + b*x^2))/(3072*a^5*d*(d*x)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (7315*b^(3//4)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(23//4)*d^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (7315*b^(3//4)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(23//4)*d^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (7315*b^(3//4)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(23//4)*d^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (7315*b^(3//4)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(23//4)*d^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 16),
+(1/((d*x)^(7//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2)), 1547/(1024*a^4*d*(d*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 1/(8*a*d*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 7/(32*a^2*d*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + 119/(256*a^3*d*(d*x)^(5//2)*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (13923*(a + b*x^2))/(5120*a^5*d*(d*x)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (13923*b*(a + b*x^2))/(1024*a^6*d^3*sqrt(d*x)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (13923*b^(5//4)*(a + b*x^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(25//4)*d^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (13923*b^(5//4)*(a + b*x^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*sqrt(d*x))/(a^(1//4)*sqrt(d))))/(2048*sqrt(2)*a^(25//4)*d^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (13923*b^(5//4)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(25//4)*d^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (13923*b^(5//4)*(a + b*x^2)*log(sqrt(a)*sqrt(d) + sqrt(b)*sqrt(d)*x + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d*x)))/(4096*sqrt(2)*a^(25//4)*d^(7//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 17),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a^2+2 a b x^2+b^2 x^4)^p with m symbolic
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+((d*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, (a^6*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (6*a^5*b*(d*x)^(3 + m))/(d^3*(3 + m)) + (15*a^4*b^2*(d*x)^(5 + m))/(d^5*(5 + m)) + (20*a^3*b^3*(d*x)^(7 + m))/(d^7*(7 + m)) + (15*a^2*b^4*(d*x)^(9 + m))/(d^9*(9 + m)) + (6*a*b^5*(d*x)^(11 + m))/(d^11*(11 + m)) + (b^6*(d*x)^(13 + m))/(d^13*(13 + m)), x, 3),
+((d*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, (a^4*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (4*a^3*b*(d*x)^(3 + m))/(d^3*(3 + m)) + (6*a^2*b^2*(d*x)^(5 + m))/(d^5*(5 + m)) + (4*a*b^3*(d*x)^(7 + m))/(d^7*(7 + m)) + (b^4*(d*x)^(9 + m))/(d^9*(9 + m)), x, 3),
+((d*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (a^2*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (2*a*b*(d*x)^(3 + m))/(d^3*(3 + m)) + (b^2*(d*x)^(5 + m))/(d^5*(5 + m)), x, 2),
+((d*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), ((d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a^2*d*(1 + m)), x, 2),
+((d*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^2, ((d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a^4*d*(1 + m)), x, 2),
+((d*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^3, ((d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(6, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a^6*d*(1 + m)), x, 2),
+
+
+((d*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (a^5*(d*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d*(1 + m)*(a + b*x^2)) + (5*a^4*b*(d*x)^(3 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^3*(3 + m)*(a + b*x^2)) + (10*a^3*b^2*(d*x)^(5 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^5*(5 + m)*(a + b*x^2)) + (10*a^2*b^3*(d*x)^(7 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^7*(7 + m)*(a + b*x^2)) + (5*a*b^4*(d*x)^(9 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^9*(9 + m)*(a + b*x^2)) + (b^5*(d*x)^(11 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^11*(11 + m)*(a + b*x^2)), x, 3),
+((d*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (a^3*(d*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d*(1 + m)*(a + b*x^2)) + (3*a^2*b*(d*x)^(3 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^3*(3 + m)*(a + b*x^2)) + (3*a*b^2*(d*x)^(5 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^5*(5 + m)*(a + b*x^2)) + (b^3*(d*x)^(7 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^7*(7 + m)*(a + b*x^2)), x, 3),
+((d*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1//2), (a*(d*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d*(1 + m)*(a + b*x^2)) + (b*(d*x)^(3 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(d^3*(3 + m)*(a + b*x^2)), x, 3),
+((d*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1//2), ((d*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*d*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 2),
+((d*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), ((d*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a^3*d*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 2),
+((d*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), ((d*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a^5*d*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a^2+2 a b x^2+b^2 x^4)^p with p symbolic
+
+
+# {(d*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p, x, 2, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(3 + m + 4*p), (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/(a*d*(1 + m)), ((d*x)^(1 + m)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, -2*p, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)])/((1 + (b*x^2)/a)^(2*p)*(d*(1 + m)))}
+
+
+(x^7*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p, -((a^3*(a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p)/(2*b^4*(1 + 2*p))) + (3*a^2*(a + b*x^2)^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p)/(4*b^4*(1 + p)) - (3*a*(a + b*x^2)^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p)/(2*b^4*(3 + 2*p)) + ((a + b*x^2)^4*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p)/(4*b^4*(2 + p)), x, 4),
+(x^5*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p, (a^2*(a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p)/(2*b^3*(1 + 2*p)) - (a*(a + b*x^2)^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p)/(2*b^3*(1 + p)) + ((a + b*x^2)^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p)/(2*b^3*(3 + 2*p)), x, 4),
+(x^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p, -((a*(a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p)/(2*b^2*(1 + 2*p))) + ((a + b*x^2)^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p)/(4*b^2*(1 + p)), x, 4),
+(x^1*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p, ((a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p)/(2*b*(1 + 2*p)), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p/x^1, -(((a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + 2*p, 2*(1 + p), 1 + (b*x^2)/a))/(2*a*(1 + 2*p))), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p/x^3, (b*(a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + 2*p, 2*(1 + p), 1 + (b*x^2)/a))/(2*a^2*(1 + 2*p)), x, 3),
+
+(x^4*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p, ((1//5)*x^5*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//2, -2*p, 7//2, -((b*x^2)/a)))/(1 + (b*x^2)/a)^(2*p), x, 2),
+(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p, ((1//3)*x^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -2*p, 5//2, -((b*x^2)/a)))/(1 + (b*x^2)/a)^(2*p), x, 2),
+(x^0*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p, (x*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -2*p, 3//2, -((b*x^2)/a)))/(1 + (b*x^2)/a)^(2*p), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p/x^2, -(((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), -2*p, 1//2, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^(2*p)*x)), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p/x^4, -(((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), -2*p, -(1//2), -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^(2*p)*(3*x^3))), x, 2),
+
+
+((d*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p, (2*(d*x)^(5//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//4, -2*p, 9//4, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^(2*p)*(5*d)), x, 2),
+((d*x)^(1//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p, (2*(d*x)^(3//2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//4, -2*p, 7//4, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^(2*p)*(3*d)), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p/(d*x)^(1//2), (2*sqrt(d*x)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//4, -2*p, 5//4, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^(2*p)*d), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p/(d*x)^(3//2), -((2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//4), -2*p, 3//4, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^(2*p)*(d*sqrt(d*x)))), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p/(d*x)^(5//2), -((2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//4), -2*p, 1//4, -((b*x^2)/a)))/((1 + (b*x^2)/a)^(2*p)*(3*d*(d*x)^(3//2)))), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4), (a*x^3)/3 + (b*x^5)/5 + (c*x^7)/7, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^2 + c*x^4), (a*x^2)/2 + (b*x^4)/4 + (c*x^6)/6, x, 2),
+(x^0*(a + b*x^2 + c*x^4), a*x + (b*x^3)/3 + (c*x^5)/5, x, 1),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/x^1, (b*x^2)/2 + (c*x^4)/4 + a*log(x), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/x^2, -(a/x) + b*x + (c*x^3)/3, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/x^3, -(a/(2*x^2)) + (c*x^2)/2 + b*log(x), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/x^4, -(a/(3*x^3)) - b/x + c*x, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/x^5, -(a/(4*x^4)) - b/(2*x^2) + c*log(x), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/x^6, -(a/(5*x^5)) - b/(3*x^3) - c/x, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/x^7, -(a/(6*x^6)) - b/(4*x^4) - c/(2*x^2), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/x^8, -(a/(7*x^7)) - b/(5*x^5) - c/(3*x^3), x, 2),
+
+
+(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (a^2*x^3)/3 + (2//5)*a*b*x^5 + (1//7)*(b^2 + 2*a*c)*x^7 + (2//9)*b*c*x^9 + (c^2*x^11)/11, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (a^2*x^2)/2 + (1//2)*a*b*x^4 + (1//6)*(b^2 + 2*a*c)*x^6 + (1//4)*b*c*x^8 + (c^2*x^10)/10, x, 3),
+(x^0*(a + b*x^2 + c*x^4)^2, a^2*x + (2//3)*a*b*x^3 + (1//5)*(b^2 + 2*a*c)*x^5 + (2//7)*b*c*x^7 + (c^2*x^9)/9, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^1, a*b*x^2 + (1//4)*(b^2 + 2*a*c)*x^4 + (1//3)*b*c*x^6 + (c^2*x^8)/8 + a^2*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^2, -(a^2/x) + 2*a*b*x + (1//3)*(b^2 + 2*a*c)*x^3 + (2//5)*b*c*x^5 + (c^2*x^7)/7, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^3, -(a^2/(2*x^2)) + (1//2)*(b^2 + 2*a*c)*x^2 + (1//2)*b*c*x^4 + (c^2*x^6)/6 + 2*a*b*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^4, -(a^2/(3*x^3)) - (2*a*b)/x + (b^2 + 2*a*c)*x + (2//3)*b*c*x^3 + (c^2*x^5)/5, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^5, -(a^2/(4*x^4)) - (a*b)/x^2 + b*c*x^2 + (c^2*x^4)/4 + (b^2 + 2*a*c)*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^6, -(a^2/(5*x^5)) - (2*a*b)/(3*x^3) - (b^2 + 2*a*c)/x + 2*b*c*x + (c^2*x^3)/3, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^7, -(a^2/(6*x^6)) - (a*b)/(2*x^4) - (b^2 + 2*a*c)/(2*x^2) + (c^2*x^2)/2 + 2*b*c*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^8, -(a^2/(7*x^7)) - (2*a*b)/(5*x^5) - (b^2 + 2*a*c)/(3*x^3) - (2*b*c)/x + c^2*x, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^9, -(a^2/(8*x^8)) - (a*b)/(3*x^6) - (b^2 + 2*a*c)/(4*x^4) - (b*c)/x^2 + c^2*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^10, -(a^2/(9*x^9)) - (2*a*b)/(7*x^7) - (b^2 + 2*a*c)/(5*x^5) - (2*b*c)/(3*x^3) - c^2/x, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^11, -(a^2/(10*x^10)) - (a*b)/(4*x^8) - (b^2 + 2*a*c)/(6*x^6) - (b*c)/(2*x^4) - c^2/(2*x^2), x, 3),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^12, -(a^2/(11*x^11)) - (2*a*b)/(9*x^9) - (b^2 + 2*a*c)/(7*x^7) - (2*b*c)/(5*x^5) - c^2/(3*x^3), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^13, -(a^2/(12*x^12)) - (a*b)/(5*x^10) - (b^2 + 2*a*c)/(8*x^8) - (b*c)/(3*x^6) - c^2/(4*x^4), x, 3),
+
+
+(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (a^3*x^3)/3 + (3//5)*a^2*b*x^5 + (3//7)*a*(b^2 + a*c)*x^7 + (1//9)*b*(b^2 + 6*a*c)*x^9 + (3//11)*c*(b^2 + a*c)*x^11 + (3//13)*b*c^2*x^13 + (c^3*x^15)/15, x, 2),
+(x^1*(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (a^3*x^2)/2 + (3//4)*a^2*b*x^4 + (1//2)*a*(b^2 + a*c)*x^6 + (1//8)*b*(b^2 + 6*a*c)*x^8 + (3//10)*c*(b^2 + a*c)*x^10 + (1//4)*b*c^2*x^12 + (c^3*x^14)/14, x, 3),
+(x^0*(a + b*x^2 + c*x^4)^3, a^3*x + a^2*b*x^3 + (3//5)*a*(b^2 + a*c)*x^5 + (1//7)*b*(b^2 + 6*a*c)*x^7 + (1//3)*c*(b^2 + a*c)*x^9 + (3//11)*b*c^2*x^11 + (c^3*x^13)/13, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^3/x^1, (3//2)*a^2*b*x^2 + (3//4)*a*(b^2 + a*c)*x^4 + (1//6)*b*(b^2 + 6*a*c)*x^6 + (3//8)*c*(b^2 + a*c)*x^8 + (3//10)*b*c^2*x^10 + (c^3*x^12)/12 + a^3*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^3/x^2, -(a^3/x) + 3*a^2*b*x + a*(b^2 + a*c)*x^3 + (1//5)*b*(b^2 + 6*a*c)*x^5 + (3//7)*c*(b^2 + a*c)*x^7 + (1//3)*b*c^2*x^9 + (c^3*x^11)/11, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^3/x^3, -(a^3/(2*x^2)) + (3//2)*a*(b^2 + a*c)*x^2 + (1//4)*b*(b^2 + 6*a*c)*x^4 + (1//2)*c*(b^2 + a*c)*x^6 + (3//8)*b*c^2*x^8 + (c^3*x^10)/10 + 3*a^2*b*log(x), x, 3),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^3/x^4, -(a^3/(3*x^3)) - (3*a^2*b)/x + 3*a*(b^2 + a*c)*x + (1//3)*b*(b^2 + 6*a*c)*x^3 + (3//5)*c*(b^2 + a*c)*x^5 + (3//7)*b*c^2*x^7 + (c^3*x^9)/9, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^7/(a + b*x^2 + c*x^4), -((b*x^2)/(2*c^2)) + x^4/(4*c) + (b*(b^2 - 3*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((b^2 - a*c)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^3), x, 7),
+(x^5/(a + b*x^2 + c*x^4), x^2/(2*c) - ((b^2 - 2*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (b*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^2), x, 6),
+(x^3/(a + b*x^2 + c*x^4), (b*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + log(a + b*x^2 + c*x^4)/(4*c), x, 5),
+(x^1/(a + b*x^2 + c*x^4), -(atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 3),
+(1/(x^1*(a + b*x^2 + c*x^4)), (b*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + log(x)/a - log(a + b*x^2 + c*x^4)/(4*a), x, 7),
+(1/(x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(1/(2*a*x^2)) - ((b^2 - 2*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^2), x, 8),
+(1/(x^5*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(1/(4*a*x^4)) + b/(2*a^2*x^2) + (b*(b^2 - 3*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((b^2 - a*c)*log(x))/a^3 - ((b^2 - a*c)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^3), x, 8),
+
+(x^6/(a + b*x^2 + c*x^4), -((b*x)/c^2) + x^3/(3*c) + ((b^2 - a*c - (b*(b^2 - 3*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b^2 - a*c + (b*(b^2 - 3*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^4/(a + b*x^2 + c*x^4), x/c - ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+(x^2/(a + b*x^2 + c*x^4), -((sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 3),
+(x^0/(a + b*x^2 + c*x^4), (sqrt(2)*sqrt(c)*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(2)*sqrt(c)*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 3),
+(1/(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(1/(a*x)) - (sqrt(c)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+(1/(x^4*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(1/(3*a*x^3)) + b/(a^2*x) + (sqrt(c)*(b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+
+
+(x^7/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((b*x^2)/(2*c*(b^2 - 4*a*c))) + (x^4*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (b*(b^2 - 6*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + log(a + b*x^2 + c*x^4)/(4*c^2), x, 7),
+(x^5/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (x^2*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (2*a*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 4),
+(x^3/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (2*a + b*x^2)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (b*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 4),
+(x^1/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((b + 2*c*x^2)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4))) + (2*c*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 4),
+(1/(x^1*(a + b*x^2 + c*x^4)^2), (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (b*(b^2 - 6*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + log(x)/a^2 - log(a + b*x^2 + c*x^4)/(4*a^2), x, 8),
+(1/(x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)^2), -((b^2 - 3*a*c)/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^2)) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((b^4 - 6*a*b^2*c + 6*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) - (2*b*log(x))/a^3 + (b*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(2*a^3), x, 8),
+
+(x^8/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, ((3*b^2 - 10*a*c)*x)/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)) - (b*x^3)/(2*c*(b^2 - 4*a*c)) + (x^5*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((3*b^3 - 13*a*b*c - (3*b^4 - 19*a*b^2*c + 20*a^2*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((3*b^3 - 13*a*b*c + (3*b^4 - 19*a*b^2*c + 20*a^2*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+(x^6/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((b*x)/(2*c*(b^2 - 4*a*c))) + (x^3*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b^2 - 6*a*c - (b*(b^2 - 8*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b^2 - 6*a*c + (b*(b^2 - 8*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^4/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (x*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b - (b^2 + 4*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b^2 + 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+(x^2/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((x*(b + 2*c*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4))) + (sqrt(c)*(2*b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(2*b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+(x^0/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (x*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(c)*(b^2 - 12*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(b^2 - 12*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+(1/(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)^2), -((3*b^2 - 10*a*c)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x)) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*x*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (sqrt(c)*(3*b^3 - 16*a*b*c + (3*b^2 - 10*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(3*b^3 - 16*a*b*c - (3*b^2 - 10*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+
+
+(x^11/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((b*(b^2 - 7*a*c)*x^2)/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2)) + (x^8*(2*a + b*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + (x^4*(a*(b^2 - 16*a*c) + b*(b^2 - 10*a*c)*x^2))/(4*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (b*(b^4 - 10*a*b^2*c + 30*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^3*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)) + log(a + b*x^2 + c*x^4)/(4*c^3), x, 8),
+(x^9/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (x^6*(2*a + b*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) - (3*a*x^2*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (6*a^2*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 5),
+(x^7/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((x^6*(b + 2*c*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2)) + (3*b*x^2*(2*a + b*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (3*a*b*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 5),
+(x^5/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (x^2*(2*a + b*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + (3*a*b + (b^2 + 2*a*c)*x^2)/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((b^2 + 2*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 5),
+(x^3/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (2*a + b*x^2)/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) - (3*b*(b + 2*c*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (3*b*c*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 5),
+(x^1/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((b + 2*c*x^2)/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2)) + (3*c*(b + 2*c*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (6*c^2*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 5),
+(1/(x^1*(a + b*x^2 + c*x^4)^3), (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + (2*b^4 - 15*a*b^2*c + 16*a^2*c^2 + 2*b*c*(b^2 - 7*a*c)*x^2)/(4*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (b*(b^4 - 10*a*b^2*c + 30*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)) + log(x)/a^3 - log(a + b*x^2 + c*x^4)/(4*a^3), x, 9),
+(1/(x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)^3), -((3*(b^2 - 5*a*c)*(b^2 - 2*a*c))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*x^2)) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + (3*b^4 - 20*a*b^2*c + 20*a^2*c^2 + 3*b*c*(b^2 - 6*a*c)*x^2)/(4*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (3*(b^6 - 10*a*b^4*c + 30*a^2*b^2*c^2 - 20*a^3*c^3)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^4*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)) - (3*b*log(x))/a^4 + (3*b*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^4), x, 9),
+
+(x^10/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((3*b*(b^2 - 8*a*c)*x)/(8*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2)) + ((b^2 - 28*a*c)*x^3)/(8*c*(b^2 - 4*a*c)^2) + (x^7*(2*a + b*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + (x^5*(12*a*b - (b^2 - 28*a*c)*x^2))/(8*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (3*(b^4 - 9*a*b^2*c + 28*a^2*c^2 - (b^5 - 11*a*b^3*c + 44*a^2*b*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (3*(b^4 - 9*a*b^2*c + 28*a^2*c^2 + (b^5 - 11*a*b^3*c + 44*a^2*b*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 7),
+(x^8/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -(((b^2 + 20*a*c)*x)/(8*c*(b^2 - 4*a*c)^2)) + (x^5*(2*a + b*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + (x^3*(12*a*b + (b^2 + 20*a*c)*x^2))/(8*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b^3 - 16*a*b*c - (b^4 - 18*a*b^2*c - 40*a^2*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b^3 - 16*a*b*c + (b^4 - 18*a*b^2*c - 40*a^2*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+(x^6/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (x^3*(2*a + b*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + (3*x*(4*a*b + (b^2 + 4*a*c)*x^2))/(8*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (3*(b^2 + 4*a*c - (b*(b^2 + 12*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (3*(b^2 + 4*a*c + (b*(b^2 + 12*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^4/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (x*(2*a + b*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) - (x*(7*b^2 - 4*a*c + 12*b*c*x^2))/(8*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (3*sqrt(c)*(3*b^2 + 4*a*c - 2*b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (3*sqrt(c)*(3*b^2 + 4*a*c + 2*b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^2/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((x*(b + 2*c*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2)) + (x*(b*(b^2 + 8*a*c) + c*(b^2 + 20*a*c)*x^2))/(8*a*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(c)*(b^2 + 20*a*c + (b*(b^2 - 52*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(b^2 + 20*a*c - (b*(b^2 - 52*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^0/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (x*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2))/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + (x*((b^2 - 7*a*c)*(3*b^2 - 4*a*c) + 3*b*c*(b^2 - 8*a*c)*x^2))/(8*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (3*sqrt(c)*(b^4 - 10*a*b^2*c + 56*a^2*c^2 + b*(b^2 - 8*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (3*sqrt(c)*(b^3 - 8*a*b*c - (b^4 - 10*a*b^2*c + 56*a^2*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(1/(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)^3), -((3*(5*b^2 - 12*a*c)*(b^2 - 5*a*c))/(8*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*x)) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*x*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + (5*b^4 - 35*a*b^2*c + 36*a^2*c^2 + b*c*(5*b^2 - 32*a*c)*x^2)/(8*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*x*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (3*sqrt(c)*((5*b^2 - 12*a*c)*(b^2 - 5*a*c) + (b*(5*b^4 - 47*a*b^2*c + 124*a^2*c^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (3*sqrt(c)*((5*b^2 - 12*a*c)*(b^2 - 5*a*c) - (5*b^5 - 47*a*b^3*c + 124*a^2*b*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+
+
+(x^5/(a - b*x^2 + c*x^4), x^2/(2*c) + ((b^2 - 2*a*c)*atanh((b - 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (b*log(a - b*x^2 + c*x^4))/(4*c^2), x, 6),
+(x^3/(a - b*x^2 + c*x^4), (b*atanh((b - 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + log(a - b*x^2 + c*x^4)/(4*c), x, 5),
+(x^1/(a - b*x^2 + c*x^4), atanh((b - 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c), x, 3),
+(1/(x^1*(a - b*x^2 + c*x^4)), (b*atanh((b - 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + log(x)/a - log(a - b*x^2 + c*x^4)/(4*a), x, 7),
+(1/(x^3*(a - b*x^2 + c*x^4)), -(1/(2*a*x^2)) + ((b^2 - 2*a*c)*atanh((b - 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (b*log(x))/a^2 - (b*log(a - b*x^2 + c*x^4))/(4*a^2), x, 8),
+
+(x^4/(a - b*x^2 + c*x^4), x/c - ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+(x^2/(a - b*x^2 + c*x^4), (sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 3),
+(x^0/(a - b*x^2 + c*x^4), (sqrt(2)*sqrt(c)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(2)*sqrt(c)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 3),
+(1/(x^2*(a - b*x^2 + c*x^4)), -(1/(a*x)) + (sqrt(c)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+
+
+(x^5/(a - b + 2*a*x^2 + a*x^4), x^2/(2*a) - ((a + b)*atanh((sqrt(a)*(1 + x^2))/sqrt(b)))/(2*a^(3//2)*sqrt(b)) - log(a - b + 2*a*x^2 + a*x^4)/(2*a), x, 6),
+(x^3/(a - b + 2*a*x^2 + a*x^4), atanh((sqrt(a)*(1 + x^2))/sqrt(b))/(2*sqrt(a)*sqrt(b)) + log(a - b + 2*a*x^2 + a*x^4)/(4*a), x, 5),
+(x^1/(a - b + 2*a*x^2 + a*x^4), -(atanh((sqrt(a)*(1 + x^2))/sqrt(b))/(2*sqrt(a)*sqrt(b))), x, 3),
+(1/(x^1*(a - b + 2*a*x^2 + a*x^4)), (sqrt(a)*atanh((sqrt(a)*(1 + x^2))/sqrt(b)))/(2*(a - b)*sqrt(b)) + log(x)/(a - b) - log(a - b + 2*a*x^2 + a*x^4)/(4*(a - b)), x, 7),
+(1/(x^3*(a - b + 2*a*x^2 + a*x^4)), -(1/(2*(a - b)*x^2)) - (sqrt(a)*(a + b)*atanh((sqrt(a)*(1 + x^2))/sqrt(b)))/(2*(a - b)^2*sqrt(b)) - (2*a*log(x))/(a - b)^2 + (a*log(a - b + 2*a*x^2 + a*x^4))/(2*(a - b)^2), x, 8),
+
+(x^4/(a - b + 2*a*x^2 + a*x^4), x/a + ((sqrt(a) - sqrt(b))^(3//2)*atan((a^(1//4)*x)/sqrt(sqrt(a) - sqrt(b))))/(2*a^(5//4)*sqrt(b)) - ((sqrt(a) + sqrt(b))^(3//2)*atan((a^(1//4)*x)/sqrt(sqrt(a) + sqrt(b))))/(2*a^(5//4)*sqrt(b)), x, 4),
+(x^2/(a - b + 2*a*x^2 + a*x^4), -((sqrt(sqrt(a) - sqrt(b))*atan((a^(1//4)*x)/sqrt(sqrt(a) - sqrt(b))))/(2*a^(3//4)*sqrt(b))) + (sqrt(sqrt(a) + sqrt(b))*atan((a^(1//4)*x)/sqrt(sqrt(a) + sqrt(b))))/(2*a^(3//4)*sqrt(b)), x, 3),
+(x^0/(a - b + 2*a*x^2 + a*x^4), atan((a^(1//4)*x)/sqrt(sqrt(a) - sqrt(b)))/(2*a^(1//4)*sqrt(sqrt(a) - sqrt(b))*sqrt(b)) - atan((a^(1//4)*x)/sqrt(sqrt(a) + sqrt(b)))/(2*a^(1//4)*sqrt(sqrt(a) + sqrt(b))*sqrt(b)), x, 3),
+(1/(x^2*(a - b + 2*a*x^2 + a*x^4)), -(1/((a - b)*x)) - (a^(1//4)*atan((a^(1//4)*x)/sqrt(sqrt(a) - sqrt(b))))/(2*(sqrt(a) - sqrt(b))^(3//2)*sqrt(b)) + (a^(1//4)*atan((a^(1//4)*x)/sqrt(sqrt(a) + sqrt(b))))/(2*(sqrt(a) + sqrt(b))^(3//2)*sqrt(b)), x, 4),
+
+
+(x^5/(a + b + 2*a*x^2 + a*x^4), x^2/(2*a) + ((a - b)*atan((sqrt(a)*(1 + x^2))/sqrt(b)))/(2*a^(3//2)*sqrt(b)) - log(a + b + 2*a*x^2 + a*x^4)/(2*a), x, 6),
+(x^3/(a + b + 2*a*x^2 + a*x^4), -(atan((sqrt(a)*(1 + x^2))/sqrt(b))/(2*sqrt(a)*sqrt(b))) + log(a + b + 2*a*x^2 + a*x^4)/(4*a), x, 5),
+(x^1/(a + b + 2*a*x^2 + a*x^4), atan((sqrt(a)*(1 + x^2))/sqrt(b))/(2*sqrt(a)*sqrt(b)), x, 3),
+(1/(x^1*(a + b + 2*a*x^2 + a*x^4)), -((sqrt(a)*atan((sqrt(a)*(1 + x^2))/sqrt(b)))/(2*sqrt(b)*(a + b))) + log(x)/(a + b) - log(a + b + 2*a*x^2 + a*x^4)/(4*(a + b)), x, 7),
+(1/(x^3*(a + b + 2*a*x^2 + a*x^4)), -(1/(2*(a + b)*x^2)) + (sqrt(a)*(a - b)*atan((sqrt(a)*(1 + x^2))/sqrt(b)))/(2*sqrt(b)*(a + b)^2) - (2*a*log(x))/(a + b)^2 + (a*log(a + b + 2*a*x^2 + a*x^4))/(2*(a + b)^2), x, 8),
+
+(x^4/(a + b + 2*a*x^2 + a*x^4), x/a + ((a + b + 2*sqrt(a)*sqrt(a + b))*atan((sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b)) - sqrt(2)*a^(1//4)*x)/sqrt(sqrt(a) + sqrt(a + b))))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*sqrt(a + b)*sqrt(sqrt(a) + sqrt(a + b))) - ((a + b + 2*sqrt(a)*sqrt(a + b))*atan((sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b)) + sqrt(2)*a^(1//4)*x)/sqrt(sqrt(a) + sqrt(a + b))))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*sqrt(a + b)*sqrt(sqrt(a) + sqrt(a + b))) + ((a + b - 2*sqrt(a)*sqrt(a + b))*log(sqrt(a + b) - sqrt(2)*a^(1//4)*sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b))*x + sqrt(a)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*sqrt(a + b)*sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b))) - ((a + b - 2*sqrt(a)*sqrt(a + b))*log(sqrt(a + b) + sqrt(2)*a^(1//4)*sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b))*x + sqrt(a)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*sqrt(a + b)*sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b))), x, 10),
+(x^2/(a + b + 2*a*x^2 + a*x^4), -(atan((sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b)) - sqrt(2)*a^(1//4)*x)/sqrt(sqrt(a) + sqrt(a + b)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*sqrt(sqrt(a) + sqrt(a + b)))) + atan((sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b)) + sqrt(2)*a^(1//4)*x)/sqrt(sqrt(a) + sqrt(a + b)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*sqrt(sqrt(a) + sqrt(a + b))) + log(sqrt(a + b) - sqrt(2)*a^(1//4)*sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b))*x + sqrt(a)*x^2)/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b))) - log(sqrt(a + b) + sqrt(2)*a^(1//4)*sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b))*x + sqrt(a)*x^2)/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b))), x, 9),
+(x^0/(a + b + 2*a*x^2 + a*x^4), -(atan((sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b)) - sqrt(2)*a^(1//4)*x)/sqrt(sqrt(a) + sqrt(a + b)))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*sqrt(a + b)*sqrt(sqrt(a) + sqrt(a + b)))) + atan((sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b)) + sqrt(2)*a^(1//4)*x)/sqrt(sqrt(a) + sqrt(a + b)))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*sqrt(a + b)*sqrt(sqrt(a) + sqrt(a + b))) - log(sqrt(a + b) - sqrt(2)*a^(1//4)*sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b))*x + sqrt(a)*x^2)/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*sqrt(a + b)*sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b))) + log(sqrt(a + b) + sqrt(2)*a^(1//4)*sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b))*x + sqrt(a)*x^2)/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*sqrt(a + b)*sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b))), x, 9),
+(1/(x^2*(a + b + 2*a*x^2 + a*x^4)), -(1/((a + b)*x)) + (a^(1//4)*(2*sqrt(a) + sqrt(a + b))*atan((sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b)) - sqrt(2)*a^(1//4)*x)/sqrt(sqrt(a) + sqrt(a + b))))/(2*sqrt(2)*(a + b)^(3//2)*sqrt(sqrt(a) + sqrt(a + b))) - (a^(1//4)*(2*sqrt(a) + sqrt(a + b))*atan((sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b)) + sqrt(2)*a^(1//4)*x)/sqrt(sqrt(a) + sqrt(a + b))))/(2*sqrt(2)*(a + b)^(3//2)*sqrt(sqrt(a) + sqrt(a + b))) + (a^(1//4)*(2*sqrt(a) - sqrt(a + b))*log(sqrt(a + b) - sqrt(2)*a^(1//4)*sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b))*x + sqrt(a)*x^2))/(4*sqrt(2)*(a + b)^(3//2)*sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b))) - (a^(1//4)*(2*sqrt(a) - sqrt(a + b))*log(sqrt(a + b) + sqrt(2)*a^(1//4)*sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b))*x + sqrt(a)*x^2))/(4*sqrt(2)*(a + b)^(3//2)*sqrt(-sqrt(a) + sqrt(a + b))), x, 10),
+
+
+(x/(1 + x^2 + x^4), atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3))/sqrt(3), x, 3),
+(x/(10 + 2*x^2 + x^4), (1//6)*atan((1//3)*(1 + x^2)), x, 3),
+
+(x^2/(20 + 9*x^2 + x^4), -2*atan(x/2) + sqrt(5)*atan(x/sqrt(5)), x, 3),
+(x^2/(1 - x^2 + x^4), (-(1//2))*atan(sqrt(3) - 2*x) + (1//2)*atan(sqrt(3) + 2*x) + log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)) - log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)), x, 9),
+(x^2/(2 - 2*x^2 + x^4), (-(1//2))*sqrt((1//2)*(1 + sqrt(2)))*atan((sqrt(2*(1 + sqrt(2))) - 2*x)/sqrt(2*(-1 + sqrt(2)))) + (1//2)*sqrt((1//2)*(1 + sqrt(2)))*atan((sqrt(2*(1 + sqrt(2))) + 2*x)/sqrt(2*(-1 + sqrt(2)))) + log(sqrt(2) - sqrt(2*(1 + sqrt(2)))*x + x^2)/(4*sqrt(2*(1 + sqrt(2)))) - log(sqrt(2) + sqrt(2*(1 + sqrt(2)))*x + x^2)/(4*sqrt(2*(1 + sqrt(2)))), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^7*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), -((b*(7*b^2 - 12*a*c)*(b + 2*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(256*c^4)) + (x^4*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(10*c) + ((35*b^2 - 32*a*c - 42*b*c*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(480*c^3) + (b*(7*b^2 - 12*a*c)*(b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(512*c^(9//2)), x, 6),
+(x^5*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), ((5*b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(128*c^3) - (5*b*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(48*c^2) + (x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(8*c) - ((b^2 - 4*a*c)*(5*b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(256*c^(7//2)), x, 6),
+(x^3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), -((b*(b + 2*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(16*c^2)) + (a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(6*c) + (b*(b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(32*c^(5//2)), x, 5),
+(x^1*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), ((b + 2*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(8*c) - ((b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(16*c^(3//2)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/x^1, (1//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4) - (1//2)*sqrt(a)*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))) + (b*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*sqrt(c)), x, 7),
+(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/x^3, -(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(2*x^2)) - (b*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*sqrt(a)) + (1//2)*sqrt(c)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))), x, 7),
+(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/x^5, -(((2*a + b*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(8*a*x^4)) + ((b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(16*a^(3//2)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/x^7, (b*(2*a + b*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(16*a^2*x^4) - (a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(6*a*x^6) - (b*(b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(32*a^(5//2)), x, 5),
+(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/x^9, -(((5*b^2 - 4*a*c)*(2*a + b*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(128*a^3*x^4)) - (a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(8*a*x^8) + (5*b*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(48*a^2*x^6) + ((b^2 - 4*a*c)*(5*b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(256*a^(7//2)), x, 6),
+(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/x^11, (b*(7*b^2 - 12*a*c)*(2*a + b*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(256*a^4*x^4) - (a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(10*a*x^10) + (7*b*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(80*a^2*x^8) - ((35*b^2 - 32*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(480*a^3*x^6) - (b*(7*b^2 - 12*a*c)*(b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(512*a^(9//2)), x, 7),
+
+(x^4*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), -((2*(2*b^2 - 5*a*c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(105*c^2)) + (b*(8*b^2 - 29*a*c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(105*c^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (x^3*(b + 5*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(35*c) - (a^(1//4)*b*(8*b^2 - 29*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(105*c^(11//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (a^(1//4)*(8*b^3 - 29*a*b*c + 2*sqrt(a)*sqrt(c)*(2*b^2 - 5*a*c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(210*c^(11//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(x^2*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), -((2*(b^2 - 3*a*c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(15*c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2))) + (x*(b + 3*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(15*c) + (2*a^(1//4)*(b^2 - 3*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(15*c^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (a^(1//4)*(2*b^2 + sqrt(a)*b*sqrt(c) - 6*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(30*c^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+(x^0*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (1//3)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4) + (b*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (a^(1//4)*b*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(3*c^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (a^(1//4)*(b + 2*sqrt(a)*sqrt(c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(6*c^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/x^2, -(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/x) + (2*sqrt(c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2) - (2*a^(1//4)*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4) + ((b + 2*sqrt(a)*sqrt(c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/x^4, -(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(3*x^3)) - (b*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*a*x) + (b*sqrt(c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*a*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (b*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(3*a^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b + 2*sqrt(a)*sqrt(c))*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(6*a^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/x^6, -(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(5*x^5)) - (b*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(15*a*x^3) + (2*(b^2 - 3*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(15*a^2*x) - (2*sqrt(c)*(b^2 - 3*a*c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(15*a^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (2*c^(1//4)*(b^2 - 3*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(15*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (c^(1//4)*(2*b^2 + sqrt(a)*b*sqrt(c) - 6*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(30*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+
+
+(x^7*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (3*b*(b^2 - 4*a*c)*(3*b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(2048*c^5) - (b*(3*b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(256*c^4) + (x^4*(a + b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(14*c) + ((21*b^2 - 16*a*c - 30*b*c*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(560*c^3) - (3*b*(b^2 - 4*a*c)^2*(3*b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4096*c^(11//2)), x, 7),
+(x^5*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(((b^2 - 4*a*c)*(7*b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(1024*c^4)) + ((7*b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(384*c^3) - (7*b*(a + b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(120*c^2) + (x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(12*c) + ((b^2 - 4*a*c)^2*(7*b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2048*c^(9//2)), x, 7),
+(x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (3*b*(b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(256*c^3) - (b*(b + 2*c*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(32*c^2) + (a + b*x^2 + c*x^4)^(5//2)/(10*c) - (3*b*(b^2 - 4*a*c)^2*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(512*c^(7//2)), x, 6),
+(x^1*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -((3*(b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(128*c^2)) + ((b + 2*c*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(16*c) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(256*c^(5//2)), x, 5),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^1, ((b^2 + 8*a*c + 2*b*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(16*c) + (1//6)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2) - (1//2)*a^(3//2)*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))) - (b*(b^2 - 12*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(32*c^(3//2)), x, 8),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^3, (3//8)*(3*b + 2*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4) - (a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(2*x^2) - (3//4)*sqrt(a)*b*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))) + (3*(b^2 + 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(16*sqrt(c)), x, 8),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^5, -((3*(b - 2*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(8*x^2)) - (a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(4*x^4) - (3*(b^2 + 4*a*c)*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(16*sqrt(a)) + (3//4)*b*sqrt(c)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))), x, 8),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^7, -(((2*a*b + (b^2 + 8*a*c)*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(16*a*x^4)) - (a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(6*x^6) + (b*(b^2 - 12*a*c)*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(32*a^(3//2)) + (1//2)*c^(3//2)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))), x, 8),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^9, (3*(b^2 - 4*a*c)*(2*a + b*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(128*a^2*x^4) - ((2*a + b*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(16*a*x^8) - (3*(b^2 - 4*a*c)^2*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(256*a^(5//2)), x, 5),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^11, -((3*b*(b^2 - 4*a*c)*(2*a + b*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(256*a^3*x^4)) + (b*(2*a + b*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(32*a^2*x^8) - (a + b*x^2 + c*x^4)^(5//2)/(10*a*x^10) + (3*b*(b^2 - 4*a*c)^2*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(512*a^(7//2)), x, 6),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^13, ((b^2 - 4*a*c)*(7*b^2 - 4*a*c)*(2*a + b*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(1024*a^4*x^4) - ((7*b^2 - 4*a*c)*(2*a + b*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(384*a^3*x^8) - (a + b*x^2 + c*x^4)^(5//2)/(12*a*x^12) + (7*b*(a + b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(120*a^2*x^10) - ((b^2 - 4*a*c)^2*(7*b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2048*a^(9//2)), x, 7),
+
+(x^4*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), ((8*b^4 - 51*a*b^2*c + 60*a^2*c^2)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(1155*c^3) - (8*b*(2*b^2 - 9*a*c)*(b^2 - 3*a*c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(1155*c^(7//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (x^3*(b*(2*b^2 + a*c) + 10*c*(b^2 - 3*a*c)*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(385*c^2) + (x^3*(b + 3*c*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(33*c) + (8*a^(1//4)*b*(2*b^2 - 9*a*c)*(b^2 - 3*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(1155*c^(15//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (a^(1//4)*(8*b*(2*b^2 - 9*a*c)*(b^2 - 3*a*c) + sqrt(a)*sqrt(c)*(8*b^4 - 51*a*b^2*c + 60*a^2*c^2))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2310*c^(15//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), ((8*b^4 - 57*a*b^2*c + 84*a^2*c^2)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(315*c^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (x*(b*(4*b^2 - 9*a*c) + 6*c*(2*b^2 - 7*a*c)*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(315*c^2) + (x*(3*b + 7*c*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(63*c) - (a^(1//4)*(8*b^4 - 57*a*b^2*c + 84*a^2*c^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(315*c^(11//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (a^(1//4)*(8*b^4 - 57*a*b^2*c + 84*a^2*c^2 + 4*sqrt(a)*b*sqrt(c)*(b^2 - 6*a*c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(630*c^(11//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(x^0*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -((2*b*(b^2 - 8*a*c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(35*c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2))) + (x*(b^2 + 10*a*c + 3*b*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(35*c) + (1//7)*x*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2) + (2*a^(1//4)*b*(b^2 - 8*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(35*c^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (a^(1//4)*(sqrt(a)*sqrt(c)*(b^2 - 20*a*c) + 2*b*(b^2 - 8*a*c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(70*c^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^2, ((b^2 + 12*a*c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(5*sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (1//5)*x*(7*b + 6*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4) - (a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x - (a^(1//4)*(b^2 + 12*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(5*c^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (a^(1//4)*(b^2 + 8*sqrt(a)*b*sqrt(c) + 12*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(10*c^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^4, (8*b*sqrt(c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - ((3*b - 2*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*x) - (a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(3*x^3) - (8*a^(1//4)*b*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((3*b^2 + 8*sqrt(a)*b*sqrt(c) + 4*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(6*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^6, -(((b^2 + 12*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(5*a*x)) + (sqrt(c)*(b^2 + 12*a*c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(5*a*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - ((b - 6*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(5*x^3) - (a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(5*x^5) - (c^(1//4)*(b^2 + 12*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(5*a^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (c^(1//4)*(b^2 + 8*sqrt(a)*b*sqrt(c) + 12*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(10*a^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/x^8, -(((b^2 - 20*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(35*a*x^3)) + (2*b*(b^2 - 8*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(35*a^2*x) - (2*b*sqrt(c)*(b^2 - 8*a*c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(35*a^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (3*(b + 10*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(35*x^5) - (a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(7*x^7) + (2*b*c^(1//4)*(b^2 - 8*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(35*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (c^(1//4)*(sqrt(a)*sqrt(c)*(b^2 - 20*a*c) + 2*b*(b^2 - 8*a*c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(70*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+
+
+(sqrt(3 - 2*x^2 - x^4), (1//3)*x*sqrt(3 - 2*x^2 - x^4) - (2*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -(1//3)))/sqrt(3) + (4*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -(1//3)))/sqrt(3), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^7/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (x^4*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(6*c) + ((15*b^2 - 16*a*c - 10*b*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(48*c^3) - (b*(5*b^2 - 12*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(32*c^(7//2)), x, 5),
+(x^5/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), -((3*b*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(8*c^2)) + (x^2*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c) + ((3*b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(16*c^(5//2)), x, 5),
+(x^3/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(2*c) - (b*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*c^(3//2)), x, 4),
+(x^1/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)))/(2*sqrt(c)), x, 3),
+(1/(x^1*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -(atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)))/(2*sqrt(a))), x, 3),
+(1/(x^3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(2*a*x^2)) + (b*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*a^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^5*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(4*a*x^4)) + (3*b*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(8*a^2*x^2) - ((3*b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(16*a^(5//2)), x, 5),
+(1/(x^7*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(6*a*x^6)) + (5*b*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(24*a^2*x^4) - ((15*b^2 - 16*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(48*a^3*x^2) + (b*(5*b^2 - 12*a*c)*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(32*a^(7//2)), x, 6),
+
+(x^4/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*c) - (2*b*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (2*a^(1//4)*b*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(3*c^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (a^(1//4)*(2*b + sqrt(a)*sqrt(c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(6*c^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+(x^2/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (a^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(c^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (a^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*c^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 3),
+(x^0/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), ((sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 1),
+(1/(x^2*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(a*x)) + (sqrt(c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(a*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(a^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(1/(x^4*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(3*a*x^3)) + (2*b*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*a^2*x) - (2*b*sqrt(c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*a^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (2*b*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(3*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((2*b + sqrt(a)*sqrt(c))*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(6*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+
+
+(x^7/sqrt(a + b*x^2 - c*x^4), -((x^4*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4))/(6*c)) - ((15*b^2 + 16*a*c + 10*b*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4))/(48*c^3) - (b*(5*b^2 + 12*a*c)*atan((b - 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4))))/(32*c^(7//2)), x, 5),
+(x^5/sqrt(a + b*x^2 - c*x^4), -((3*b*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4))/(8*c^2)) - (x^2*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4))/(4*c) - ((3*b^2 + 4*a*c)*atan((b - 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4))))/(16*c^(5//2)), x, 5),
+(x^3/sqrt(a + b*x^2 - c*x^4), -(sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)/(2*c)) - (b*atan((b - 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4))))/(4*c^(3//2)), x, 4),
+(x^1/sqrt(a + b*x^2 - c*x^4), -(atan((b - 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)))/(2*sqrt(c))), x, 3),
+(1/(x^1*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4)), -(atan((2*a - b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4)))/(2*sqrt(a))), x, 3),
+(1/(x^3*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4)), sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4)/(2*a*x^2) - (b*atan((2*a - b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*a^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^5*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4)), sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4)/(4*a*x^4) + (3*b*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4))/(8*a^2*x^2) - ((3*b^2 + 4*a*c)*atan((2*a - b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4))))/(16*a^(5//2)), x, 5),
+(1/(x^7*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4)), sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4)/(6*a*x^6) + (5*b*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4))/(24*a^2*x^4) + ((15*b^2 + 16*a*c)*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4))/(48*a^3*x^2) - (b*(5*b^2 + 12*a*c)*atan((2*a - b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4))))/(32*a^(7//2)), x, 6),
+
+(x^4/sqrt(a + b*x^2 - c*x^4), -((x*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4))/(3*c)) - (b*(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(3*sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)) + (sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*(b^2 + a*c - b*sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(3*sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)), x, 5),
+(x^2/sqrt(a + b*x^2 - c*x^4), -(((b - sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4))) + ((b - sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)), x, 4),
+(x^0/sqrt(a + b*x^2 - c*x^4), (sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)), x, 2),
+(1/(x^2*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)), -(sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)/(a*x)) + ((b - sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)) - ((b - sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)), x, 6),
+(1/(x^4*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)), -(sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)/(3*a*x^3)) + (2*b*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4))/(3*a^2*x) - (b*(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(3*sqrt(2)*a^2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)) + (sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*(b^2 + a*c - b*sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(3*sqrt(2)*a^2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)), x, 6),
+
+
+(x^9/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (x^6*(2*a + b*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (b*x^4*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(c*(b^2 - 4*a*c)) - ((b*(15*b^2 - 52*a*c) - 2*c*(5*b^2 - 12*a*c)*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(8*c^3*(b^2 - 4*a*c)) + (3*(5*b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(16*c^(7//2)), x, 6),
+(x^7/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (x^4*(2*a + b*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((3*b^2 - 8*a*c - 2*b*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)) - (3*b*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*c^(5//2)), x, 5),
+(x^5/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (x^2*(2*a + b*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (b*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(c*(b^2 - 4*a*c)) + atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)))/(2*c^(3//2)), x, 5),
+(x^3/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (2*a + b*x^2)/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 2),
+(x^1/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -((b + 2*c*x^2)/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))), x, 2),
+(1/(x^1*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)))/(2*a^(3//2)), x, 5),
+(1/(x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(a*(b^2 - 4*a*c)*x^2*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((3*b^2 - 8*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^2) + (3*b*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*a^(5//2)), x, 5),
+(1/(x^5*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(a*(b^2 - 4*a*c)*x^4*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((5*b^2 - 12*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^4) + (b*(15*b^2 - 52*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(8*a^3*(b^2 - 4*a*c)*x^2) - (3*(5*b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(16*a^(7//2)), x, 6),
+
+(x^6/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (x^3*(2*a + b*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (b*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(c*(b^2 - 4*a*c)) + (2*(b^2 - 3*a*c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (2*a^(1//4)*(b^2 - 3*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(c^(7//4)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (a^(1//4)*(2*b^2 + sqrt(a)*b*sqrt(c) - 6*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*c^(7//4)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(x^4/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (x*(2*a + b*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (b*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (a^(1//4)*b*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(c^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (a^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*(b - 2*sqrt(a)*sqrt(c))*c^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+(x^2/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -((x*(b + 2*c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))) + (2*sqrt(c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/((b^2 - 4*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (2*a^(1//4)*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(1//4)*(b - 2*sqrt(a)*sqrt(c))*c^(1//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+(x^0/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (x*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2))/(a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (b*sqrt(c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (b*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(a^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(3//4)*(b - 2*sqrt(a)*sqrt(c))*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+(1/(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(a*(b^2 - 4*a*c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (2*(b^2 - 3*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*x) + (2*sqrt(c)*(b^2 - 3*a*c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (2*c^(1//4)*(b^2 - 3*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(a^(7//4)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (c^(1//4)*(2*b^2 + sqrt(a)*b*sqrt(c) - 6*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(7//4)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+
+
+# Must check to ensure constant term is not zero!
+(x^4/sqrt(2 + 2*a - 2*(1 + a) + b*x^2 + c*x^4), -((2*b*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*c^2*x)) + (x*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*c), x, 3),
+(x^3/sqrt(2 + 2*a - 2*(1 + a) + b*x^2 + c*x^4), sqrt(b*x^2 + c*x^4)/(2*c) - (b*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(2*c^(3//2)), x, 5),
+(x^2/sqrt(2 + 2*a - 2*(1 + a) + b*x^2 + c*x^4), sqrt(b*x^2 + c*x^4)/(c*x), x, 2),
+(x^1/sqrt(2 + 2*a - 2*(1 + a) + b*x^2 + c*x^4), atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(b*x^2 + c*x^4))/sqrt(c), x, 4),
+(x^0/sqrt(2 + 2*a - 2*(1 + a) + b*x^2 + c*x^4), -(atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4))/sqrt(b)), x, 3),
+(1/(x^1*sqrt(2 + 2*a - 2*(1 + a) + b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/(b*x^2)), x, 2),
+(1/(x^2*sqrt(2 + 2*a - 2*(1 + a) + b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/(2*b*x^3)) + (c*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(2*b^(3//2)), x, 4),
+(1/(x^3*sqrt(2 + 2*a - 2*(1 + a) + b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/(3*b*x^4)) + (2*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(3*b^2*x^2), x, 3),
+(1/(x^4*sqrt(2 + 2*a - 2*(1 + a) + b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(b*x^2 + c*x^4)/(4*b*x^5)) + (3*c*sqrt(b*x^2 + c*x^4))/(8*b^2*x^3) - (3*c^2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + c*x^4)))/(8*b^(5//2)), x, 5),
+
+
+# Must check to ensure coefficient is not zero!
+(x^4/sqrt(a + (2 + 2*b - 2*(1 + b))*x^2 + c*x^4), (x*sqrt(a + c*x^4))/(3*c) - (a^(3//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(6*c^(5//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 3),
+(x^3/sqrt(a + (2 + 2*b - 2*(1 + b))*x^2 + c*x^4), sqrt(a + c*x^4)/(2*c), x, 2),
+(x^2/sqrt(a + (2 + 2*b - 2*(1 + b))*x^2 + c*x^4), (x*sqrt(a + c*x^4))/(sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (a^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)) + (a^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 4),
+(x^1/sqrt(a + (2 + 2*b - 2*(1 + b))*x^2 + c*x^4), atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a + c*x^4))/(2*sqrt(c)), x, 4),
+(x^0/sqrt(a + (2 + 2*b - 2*(1 + b))*x^2 + c*x^4), ((sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 2),
+(1/(x^1*sqrt(a + (2 + 2*b - 2*(1 + b))*x^2 + c*x^4)), -(atanh(sqrt(a + c*x^4)/sqrt(a))/(2*sqrt(a))), x, 4),
+(1/(x^2*sqrt(a + (2 + 2*b - 2*(1 + b))*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(a + c*x^4)/(a*x)) + (sqrt(c)*x*sqrt(a + c*x^4))/(a*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(a^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)) + (c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 5),
+(1/(x^3*sqrt(a + (2 + 2*b - 2*(1 + b))*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(a + c*x^4)/(2*a*x^2)), x, 2),
+(1/(x^4*sqrt(a + (2 + 2*b - 2*(1 + b))*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(a + c*x^4)/(3*a*x^3)) - (c^(3//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(6*a^(5//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 3),
+
+
+# Must check to ensure coefficient is not zero!
+(x^4/sqrt(a + b*x^2 + (2 + 2*c - 2*(1 + c))*x^4), -((3*a*x*sqrt(a + b*x^2))/(8*b^2)) + (x^3*sqrt(a + b*x^2))/(4*b) + (3*a^2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*b^(5//2)), x, 5),
+(x^3/sqrt(a + b*x^2 + (2 + 2*c - 2*(1 + c))*x^4), -((a*sqrt(a + b*x^2))/b^2) + (a + b*x^2)^(3//2)/(3*b^2), x, 4),
+(x^2/sqrt(a + b*x^2 + (2 + 2*c - 2*(1 + c))*x^4), (x*sqrt(a + b*x^2))/(2*b) - (a*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*b^(3//2)), x, 4),
+(x^1/sqrt(a + b*x^2 + (2 + 2*c - 2*(1 + c))*x^4), sqrt(a + b*x^2)/b, x, 2),
+(x^0/sqrt(a + b*x^2 + (2 + 2*c - 2*(1 + c))*x^4), atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2))/sqrt(b), x, 3),
+(1/(x^1*sqrt(a + b*x^2 + (2 + 2*c - 2*(1 + c))*x^4)), -(atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a))/sqrt(a)), x, 4),
+(1/(x^2*sqrt(a + b*x^2 + (2 + 2*c - 2*(1 + c))*x^4)), -(sqrt(a + b*x^2)/(a*x)), x, 2),
+(1/(x^3*sqrt(a + b*x^2 + (2 + 2*c - 2*(1 + c))*x^4)), -(sqrt(a + b*x^2)/(2*a*x^2)) + (b*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)), x, 5),
+(1/(x^4*sqrt(a + b*x^2 + (2 + 2*c - 2*(1 + c))*x^4)), -(sqrt(a + b*x^2)/(3*a*x^3)) + (2*b*sqrt(a + b*x^2))/(3*a^2*x), x, 3),
+
+
+# Must check to ensure constant term is not zero!
+(x^4/sqrt(2 + 2*a - 2*(1 + a) + c*x^4), x^5/(3*sqrt(c*x^4)), x, 3),
+(x^3/sqrt(2 + 2*a - 2*(1 + a) + c*x^4), x^4/(2*sqrt(c*x^4)), x, 3),
+(x^2/sqrt(2 + 2*a - 2*(1 + a) + c*x^4), x^3/sqrt(c*x^4), x, 3),
+(x^1/sqrt(2 + 2*a - 2*(1 + a) + c*x^4), x^2*log(x)/sqrt(c*x^4), x, 3),
+(x^0/sqrt(2 + 2*a - 2*(1 + a) + c*x^4), -(x/sqrt(c*x^4)), x, 3),
+(1/(x^1*sqrt(2 + 2*a - 2*(1 + a) + c*x^4)), -(1/(2*sqrt(c*x^4))), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(2 + 2*a - 2*(1 + a) + c*x^4)), -(1/(3*x*sqrt(c*x^4))), x, 3),
+(1/(x^3*sqrt(2 + 2*a - 2*(1 + a) + c*x^4)), -(1/(4*x^2*sqrt(c*x^4))), x, 3),
+(1/(x^4*sqrt(2 + 2*a - 2*(1 + a) + c*x^4)), -(1/(5*x^3*sqrt(c*x^4))), x, 3),
+
+
+# Must check to ensure coefficient is not zero!
+(x^4/sqrt(a + (2 + 2*c - 2*(1 + c))*x^4), x^5/(5*sqrt(a)), x, 3),
+(x^3/sqrt(a + (2 + 2*c - 2*(1 + c))*x^4), x^4/(4*sqrt(a)), x, 3),
+(x^2/sqrt(a + (2 + 2*c - 2*(1 + c))*x^4), x^3/(3*sqrt(a)), x, 3),
+(x^1/sqrt(a + (2 + 2*c - 2*(1 + c))*x^4), x^2/(2*sqrt(a)), x, 3),
+(x^0/sqrt(a + (2 + 2*c - 2*(1 + c))*x^4), x/sqrt(a), x, 2),
+(1/(x^1*sqrt(a + (2 + 2*c - 2*(1 + c))*x^4)), log(x)/sqrt(a), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(a + (2 + 2*c - 2*(1 + c))*x^4)), -(1/(sqrt(a)*x)), x, 3),
+(1/(x^3*sqrt(a + (2 + 2*c - 2*(1 + c))*x^4)), -(1/(2*sqrt(a)*x^2)), x, 3),
+(1/(x^4*sqrt(a + (2 + 2*c - 2*(1 + c))*x^4)), -(1/(3*sqrt(a)*x^3)), x, 3),
+
+
+(1/sqrt(3 - 2*x^2 - x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -(1//3))/sqrt(3), x, 2),
+
+
+(1/sqrt(-1 + 5*x^2 - x^4), -(SymbolicIntegration.elliptic_f(acos(sqrt(2/(5 + sqrt(21)))*x), (1//42)*(21 + 5*sqrt(21)))/21^(1//4)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^(m/2) (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(5//2)*(a + b*x^2 + c*x^4), (2//7)*a*x^(7//2) + (2//11)*b*x^(11//2) + (2//15)*c*x^(15//2), x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x^2 + c*x^4), (2//5)*a*x^(5//2) + (2//9)*b*x^(9//2) + (2//13)*c*x^(13//2), x, 2),
+(x^(1//2)*(a + b*x^2 + c*x^4), (2//3)*a*x^(3//2) + (2//7)*b*x^(7//2) + (2//11)*c*x^(11//2), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/x^(1//2), 2*a*sqrt(x) + (2//5)*b*x^(5//2) + (2//9)*c*x^(9//2), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/x^(3//2), -((2*a)/sqrt(x)) + (2//3)*b*x^(3//2) + (2//7)*c*x^(7//2), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/x^(5//2), -((2*a)/(3*x^(3//2))) + 2*b*sqrt(x) + (2//5)*c*x^(5//2), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/x^(7//2), -((2*a)/(5*x^(5//2))) - (2*b)/sqrt(x) + (2//3)*c*x^(3//2), x, 2),
+
+
+(x^(5//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (2//7)*a^2*x^(7//2) + (4//11)*a*b*x^(11//2) + (2//15)*(b^2 + 2*a*c)*x^(15//2) + (4//19)*b*c*x^(19//2) + (2//23)*c^2*x^(23//2), x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (2//5)*a^2*x^(5//2) + (4//9)*a*b*x^(9//2) + (2//13)*(b^2 + 2*a*c)*x^(13//2) + (4//17)*b*c*x^(17//2) + (2//21)*c^2*x^(21//2), x, 2),
+(x^(1//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (2//3)*a^2*x^(3//2) + (4//7)*a*b*x^(7//2) + (2//11)*(b^2 + 2*a*c)*x^(11//2) + (4//15)*b*c*x^(15//2) + (2//19)*c^2*x^(19//2), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^(1//2), 2*a^2*sqrt(x) + (4//5)*a*b*x^(5//2) + (2//9)*(b^2 + 2*a*c)*x^(9//2) + (4//13)*b*c*x^(13//2) + (2//17)*c^2*x^(17//2), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^(3//2), -((2*a^2)/sqrt(x)) + (4//3)*a*b*x^(3//2) + (2//7)*(b^2 + 2*a*c)*x^(7//2) + (4//11)*b*c*x^(11//2) + (2//15)*c^2*x^(15//2), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^(5//2), -((2*a^2)/(3*x^(3//2))) + 4*a*b*sqrt(x) + (2//5)*(b^2 + 2*a*c)*x^(5//2) + (4//9)*b*c*x^(9//2) + (2//13)*c^2*x^(13//2), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^(7//2), -((2*a^2)/(5*x^(5//2))) - (4*a*b)/sqrt(x) + (2//3)*(b^2 + 2*a*c)*x^(3//2) + (4//7)*b*c*x^(7//2) + (2//11)*c^2*x^(11//2), x, 2),
+
+
+(x^(5//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (2//7)*a^3*x^(7//2) + (6//11)*a^2*b*x^(11//2) + (2//5)*a*(b^2 + a*c)*x^(15//2) + (2//19)*b*(b^2 + 6*a*c)*x^(19//2) + (6//23)*c*(b^2 + a*c)*x^(23//2) + (2//9)*b*c^2*x^(27//2) + (2//31)*c^3*x^(31//2), x, 2),
+(x^(3//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (2//5)*a^3*x^(5//2) + (2//3)*a^2*b*x^(9//2) + (6//13)*a*(b^2 + a*c)*x^(13//2) + (2//17)*b*(b^2 + 6*a*c)*x^(17//2) + (2//7)*c*(b^2 + a*c)*x^(21//2) + (6//25)*b*c^2*x^(25//2) + (2//29)*c^3*x^(29//2), x, 2),
+(x^(1//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (2//3)*a^3*x^(3//2) + (6//7)*a^2*b*x^(7//2) + (6//11)*a*(b^2 + a*c)*x^(11//2) + (2//15)*b*(b^2 + 6*a*c)*x^(15//2) + (6//19)*c*(b^2 + a*c)*x^(19//2) + (6//23)*b*c^2*x^(23//2) + (2//27)*c^3*x^(27//2), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^3/x^(1//2), 2*a^3*sqrt(x) + (6//5)*a^2*b*x^(5//2) + (2//3)*a*(b^2 + a*c)*x^(9//2) + (2//13)*b*(b^2 + 6*a*c)*x^(13//2) + (6//17)*c*(b^2 + a*c)*x^(17//2) + (2//7)*b*c^2*x^(21//2) + (2//25)*c^3*x^(25//2), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^3/x^(3//2), -((2*a^3)/sqrt(x)) + 2*a^2*b*x^(3//2) + (6//7)*a*(b^2 + a*c)*x^(7//2) + (2//11)*b*(b^2 + 6*a*c)*x^(11//2) + (2//5)*c*(b^2 + a*c)*x^(15//2) + (6//19)*b*c^2*x^(19//2) + (2//23)*c^3*x^(23//2), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^3/x^(5//2), -((2*a^3)/(3*x^(3//2))) + 6*a^2*b*sqrt(x) + (6//5)*a*(b^2 + a*c)*x^(5//2) + (2//9)*b*(b^2 + 6*a*c)*x^(9//2) + (6//13)*c*(b^2 + a*c)*x^(13//2) + (6//17)*b*c^2*x^(17//2) + (2//21)*c^3*x^(21//2), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^3/x^(7//2), -((2*a^3)/(5*x^(5//2))) - (6*a^2*b)/sqrt(x) + 2*a*(b^2 + a*c)*x^(3//2) + (2//7)*b*(b^2 + 6*a*c)*x^(7//2) + (6//11)*c*(b^2 + a*c)*x^(11//2) + (2//5)*b*c^2*x^(15//2) + (2//19)*c^3*x^(19//2), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^(9//2)/(a + b*x^2 + c*x^4), (2*x^(3//2))/(3*c) - ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*c^(7//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*c^(7//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*c^(7//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*c^(7//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), x, 9),
+(x^(7//2)/(a + b*x^2 + c*x^4), (2*sqrt(x))/c + ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(1//4)*c^(5//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(1//4)*c^(5//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(1//4)*c^(5//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(1//4)*c^(5//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)), x, 9),
+(x^(5//2)/(a + b*x^2 + c*x^4), -(((-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*c^(3//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*c^(3//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*c^(3//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*c^(3//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 8),
+(x^(3//2)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 8),
+(x^(1//2)/(a + b*x^2 + c*x^4), -((2^(1//4)*c^(1//4)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4))) + (2^(1//4)*c^(1//4)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + (2^(1//4)*c^(1//4)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - (2^(1//4)*c^(1//4)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), x, 8),
+(1/(x^(1//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), (2^(3//4)*c^(3//4)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - (2^(3//4)*c^(3//4)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + (2^(3//4)*c^(3//4)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - (2^(3//4)*c^(3//4)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)), x, 8),
+(1/(x^(3//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(2/(a*sqrt(x))) - (c^(1//4)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*a*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - (c^(1//4)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*a*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + (c^(1//4)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*a*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + (c^(1//4)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*a*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), x, 9),
+(1/(x^(5//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(2/(3*a*x^(3//2))) + (c^(3//4)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(1//4)*a*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + (c^(3//4)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(1//4)*a*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + (c^(3//4)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(1//4)*a*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + (c^(3//4)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(1//4)*a*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)), x, 9),
+(1/(x^(7//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(2/(5*a*x^(5//2))) + (2*b)/(a^2*sqrt(x)) + (c^(1//4)*(b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*a^2*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + (c^(1//4)*(b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*a^2*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - (c^(1//4)*(b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*a^2*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - (c^(1//4)*(b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*a^2*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), x, 10),
+
+
+(x^(13//2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((b*x^(3//2))/(2*c*(b^2 - 4*a*c))) + (x^(7//2)*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((3*b^3 - 20*a*b*c + (3*b^2 - 14*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(3//4)*c^(7//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - ((3*b^3 - 20*a*b*c - (3*b^2 - 14*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(3//4)*c^(7//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - ((3*b^3 - 20*a*b*c + (3*b^2 - 14*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(3//4)*c^(7//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + ((3*b^3 - 20*a*b*c - (3*b^2 - 14*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(3//4)*c^(7//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), x, 10),
+(x^(11//2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((b*sqrt(x))/(2*c*(b^2 - 4*a*c))) + (x^(5//2)*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((b^2 - 10*a*c + (b*(b^2 - 12*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(1//4)*c^(5//4)*(b^2 - 4*a*c)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - ((b^2 - 10*a*c - (b*(b^2 - 12*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(1//4)*c^(5//4)*(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - ((b^2 - 10*a*c + (b*(b^2 - 12*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(1//4)*c^(5//4)*(b^2 - 4*a*c)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - ((b^2 - 10*a*c - (b*(b^2 - 12*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(1//4)*c^(5//4)*(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)), x, 10),
+(x^(9//2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (x^(3//2)*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b^2 + 12*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(3//4)*c^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + ((b - (b^2 + 12*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(3//4)*c^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - ((b^2 + 12*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(3//4)*c^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - ((b - (b^2 + 12*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(3//4)*c^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), x, 9),
+(x^(7//2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (sqrt(x)*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((3*b^2 + 4*a*c + 3*b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(1//4)*c^(1//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + ((3*b^2 + 4*a*c - 3*b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(1//4)*c^(1//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - ((3*b^2 + 4*a*c + 3*b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(1//4)*c^(1//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + ((3*b^2 + 4*a*c - 3*b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(1//4)*c^(1//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)), x, 9),
+(x^(5//2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((x^(3//2)*(b + 2*c*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4))) - (c^(1//4)*(4*b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + (c^(1//4)*(4*b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + (c^(1//4)*(4*b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - (c^(1//4)*(4*b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), x, 9),
+(x^(3//2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((sqrt(x)*(b + 2*c*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4))) + (c^(3//4)*(3 + (4*b)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*(b^2 - 4*a*c)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + (c^(3//4)*(3 - (4*b)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + (c^(3//4)*(3 + (4*b)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*(b^2 - 4*a*c)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + (c^(3//4)*(3 - (4*b)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)), x, 9),
+(x^(1//2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (x^(3//2)*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (c^(1//4)*(b - (b^2 - 20*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(3//4)*a*(b^2 - 4*a*c)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + (c^(1//4)*(b + (b^2 - 20*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(3//4)*a*(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - (c^(1//4)*(b - (b^2 - 20*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(3//4)*a*(b^2 - 4*a*c)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - (c^(1//4)*(b + (b^2 - 20*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(3//4)*a*(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), x, 9),
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+(1/(x^(3//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2), -((5*b^2 - 18*a*c)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(x))) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(x)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (c^(1//4)*(5*b^3 - 28*a*b*c - (5*b^2 - 18*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(3//4)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - (c^(1//4)*(5*b^3 - 28*a*b*c + (5*b^2 - 18*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(3//4)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - (c^(1//4)*(5*b^3 - 28*a*b*c - (5*b^2 - 18*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(3//4)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + (c^(1//4)*(5*b^3 - 28*a*b*c + (5*b^2 - 18*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(4*2^(3//4)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), x, 10),
+
+
+(x^(15//2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((3*(b^2 + 12*a*c)*sqrt(x))/(16*c*(b^2 - 4*a*c)^2)) + (x^(9//2)*(2*a + b*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + (3*x^(5//2)*(8*a*b + (b^2 + 12*a*c)*x^2))/(16*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (3*(b^3 - 28*a*b*c + (b^4 - 30*a*b^2*c - 24*a^2*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(1//4)*c^(5//4)*(b^2 - 4*a*c)^2*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - (3*(b^3 - 28*a*b*c - (b^4 - 30*a*b^2*c - 24*a^2*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(1//4)*c^(5//4)*(b^2 - 4*a*c)^2*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - (3*(b^3 - 28*a*b*c + (b^4 - 30*a*b^2*c - 24*a^2*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(1//4)*c^(5//4)*(b^2 - 4*a*c)^2*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - (3*(b^3 - 28*a*b*c - (b^4 - 30*a*b^2*c - 24*a^2*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(1//4)*c^(5//4)*(b^2 - 4*a*c)^2*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)), x, 11),
+(x^(13//2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (x^(7//2)*(2*a + b*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + (x^(3//2)*(24*a*b + (5*b^2 + 28*a*c)*x^2))/(16*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((5*b^3 + 172*a*b*c + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(5*b^2 + 28*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(3//4)*c^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + ((5*b^2 + 28*a*c - (5*b^3 + 172*a*b*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(3//4)*c^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)^2*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - ((5*b^3 + 172*a*b*c + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(5*b^2 + 28*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(3//4)*c^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - ((5*b^2 + 28*a*c - (5*b^3 + 172*a*b*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(3//4)*c^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)^2*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), x, 10),
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+(x^(7//2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (sqrt(x)*(2*a + b*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) - (sqrt(x)*(13*b^2 - 4*a*c + 24*b*c*x^2))/(16*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (c^(3//4)*(41*b^2 + 28*a*c + 36*b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(16*2^(1//4)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - (c^(3//4)*(41*b^2 + 28*a*c - 36*b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(16*2^(1//4)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + (c^(3//4)*(41*b^2 + 28*a*c + 36*b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(16*2^(1//4)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - (c^(3//4)*(41*b^2 + 28*a*c - 36*b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(16*2^(1//4)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)), x, 10),
+(x^(5//2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((x^(3//2)*(b + 2*c*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2)) + (3*x^(3//2)*(b*(b^2 + 4*a*c) + c*(b^2 + 12*a*c)*x^2))/(16*a*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (3*c^(1//4)*(b^2 + 12*a*c - b^3/sqrt(b^2 - 4*a*c) + (68*a*b*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(3//4)*a*(b^2 - 4*a*c)^2*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + (3*c^(1//4)*(b^3 - 68*a*b*c + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b^2 + 12*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(3//4)*a*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - (3*c^(1//4)*(b^2 + 12*a*c - b^3/sqrt(b^2 - 4*a*c) + (68*a*b*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(3//4)*a*(b^2 - 4*a*c)^2*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - (3*c^(1//4)*(b^3 - 68*a*b*c + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b^2 + 12*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(3//4)*a*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), x, 10),
+(x^(3//2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((sqrt(x)*(b + 2*c*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2)) + (sqrt(x)*(b*(b^2 + 20*a*c) + c*(b^2 + 44*a*c)*x^2))/(16*a*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (3*c^(3//4)*(b^2 + 44*a*c - b^3/sqrt(b^2 - 4*a*c) + (68*a*b*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(1//4)*a*(b^2 - 4*a*c)^2*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - (3*c^(3//4)*(b^3 - 68*a*b*c + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b^2 + 44*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(1//4)*a*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - (3*c^(3//4)*(b^2 + 44*a*c - b^3/sqrt(b^2 - 4*a*c) + (68*a*b*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(1//4)*a*(b^2 - 4*a*c)^2*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - (3*c^(3//4)*(b^3 - 68*a*b*c + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b^2 + 44*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(1//4)*a*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)), x, 10),
+(x^(1//2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (x^(3//2)*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2))/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + (x^(3//2)*(5*b^4 - 45*a*b^2*c + 52*a^2*c^2 + b*c*(5*b^2 - 44*a*c)*x^2))/(16*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (c^(1//4)*(5*b^4 - 54*a*b^2*c + 520*a^2*c^2 - b*(5*b^2 - 44*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(3//4)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + (c^(1//4)*(5*b^4 - 54*a*b^2*c + 520*a^2*c^2 + b*(5*b^2 - 44*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(3//4)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + (c^(1//4)*(5*b^4 - 54*a*b^2*c + 520*a^2*c^2 - b*(5*b^2 - 44*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(3//4)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - (c^(1//4)*(5*b^4 - 54*a*b^2*c + 520*a^2*c^2 + b*(5*b^2 - 44*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(3//4)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), x, 10),
+(1/(x^(1//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^3), (sqrt(x)*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2))/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + (sqrt(x)*(7*b^4 - 55*a*b^2*c + 60*a^2*c^2 + b*c*(7*b^2 - 52*a*c)*x^2))/(16*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (3*c^(3//4)*(7*b^4 - 66*a*b^2*c + 280*a^2*c^2 - b*(7*b^2 - 52*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(1//4)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - (3*c^(3//4)*(7*b^4 - 66*a*b^2*c + 280*a^2*c^2 + b*(7*b^2 - 52*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(1//4)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + (3*c^(3//4)*(7*b^4 - 66*a*b^2*c + 280*a^2*c^2 - b*(7*b^2 - 52*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(1//4)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - (3*c^(3//4)*(7*b^4 - 66*a*b^2*c + 280*a^2*c^2 + b*(7*b^2 - 52*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(x))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(32*2^(1//4)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)), x, 10),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^(m/2) (a+b x^2+c x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (2*(d*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(5//4, -(1//2), -(1//2), 9//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(5*d*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+((d*x)^(1//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (2*(d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, -(1//2), -(1//2), 7//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*d*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+(1/(d*x)^(1//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (2*sqrt(d*x)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//4, -(1//2), -(1//2), 5//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(d*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+(1/(d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), -((2*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//4), -(1//2), -(1//2), 3//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(d*sqrt(d*x)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))), x, 2),
+
+
+((d*x)^(3//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (2*a*(d*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(5//4, -(3//2), -(3//2), 9//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(5*d*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+((d*x)^(1//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (2*a*(d*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, -(3//2), -(3//2), 7//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*d*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+(1/(d*x)^(1//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (2*a*sqrt(d*x)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//4, -(3//2), -(3//2), 5//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(d*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+(1/(d*x)^(3//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -((2*a*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//4), -(3//2), -(3//2), 3//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(d*sqrt(d*x)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d*x)^(3//2)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (2*(d*x)^(5//2)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(5//4, 1//2, 1//2, 9//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(5*d*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 2),
+((d*x)^(1//2)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (2*(d*x)^(3//2)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, 1//2, 1//2, 7//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*d*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 2),
+(1/(d*x)^(1//2)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (2*sqrt(d*x)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(1//4, 1//2, 1//2, 5//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(d*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 2),
+(1/(d*x)^(3//2)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), -((2*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//4), 1//2, 1//2, 3//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(d*sqrt(d*x)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))), x, 2),
+
+
+((d*x)^(3//2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (2*(d*x)^(5//2)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(5//4, 3//2, 3//2, 9//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(5*a*d*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 2),
+((d*x)^(1//2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (2*(d*x)^(3//2)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, 3//2, 3//2, 7//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*a*d*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 2),
+(1/(d*x)^(1//2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (2*sqrt(d*x)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(1//4, 3//2, 3//2, 5//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*d*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 2),
+(1/(d*x)^(3//2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -((2*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//4), 3//2, 3//2, 3//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*d*sqrt(d*x)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p with m symbolic
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+
+((d*x)^m*(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (a^3*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (3*a^2*b*(d*x)^(3 + m))/(d^3*(3 + m)) + (3*a*(b^2 + a*c)*(d*x)^(5 + m))/(d^5*(5 + m)) + (b*(b^2 + 6*a*c)*(d*x)^(7 + m))/(d^7*(7 + m)) + (3*c*(b^2 + a*c)*(d*x)^(9 + m))/(d^9*(9 + m)) + (3*b*c^2*(d*x)^(11 + m))/(d^11*(11 + m)) + (c^3*(d*x)^(13 + m))/(d^13*(13 + m)), x, 2),
+((d*x)^m*(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (a^2*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (2*a*b*(d*x)^(3 + m))/(d^3*(3 + m)) + ((b^2 + 2*a*c)*(d*x)^(5 + m))/(d^5*(5 + m)) + (2*b*c*(d*x)^(7 + m))/(d^7*(7 + m)) + (c^2*(d*x)^(9 + m))/(d^9*(9 + m)), x, 2),
+((d*x)^m*(a + b*x^2 + c*x^4)^1, (a*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (b*(d*x)^(3 + m))/(d^3*(3 + m)) + (c*(d*x)^(5 + m))/(d^5*(5 + m)), x, 2),
+((d*x)^m/(a + b*x^2 + c*x^4)^1, (2*c*(d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*(1 + m)) - (2*c*(d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*(1 + m)), x, 3),
+((d*x)^m/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, ((d*x)^(1 + m)*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*d*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (c*(b^2*(1 - m) + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 - m) - 4*a*c*(3 - m))*(d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*(1 + m)) - (c*(b^2*(1 - m) - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 - m) - 4*a*c*(3 - m))*(d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*(1 + m)), x, 4),
+
+
+((d*x)^m*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (a*(d*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/2, -(3//2), -(3//2), (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(d*(1 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+((d*x)^m*(a + b*x^2 + c*x^4)^(1//2), ((d*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/2, -(1//2), -(1//2), (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(d*(1 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+((d*x)^m/(a + b*x^2 + c*x^4)^(1//2), ((d*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/2, 1//2, 1//2, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(d*(1 + m)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 2),
+((d*x)^m/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), ((d*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/2, 3//2, 3//2, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*d*(1 + m)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p with p symbolic
+
+
+((d*x)^m*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*x^2 + c*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/2, -p, -p, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(d*(1 + m))), x, 2),
+
+
+# {(a + b*x^2 + c*x^4)^p*x^7, x, 4, If[$VersionNumber>=8, (x^4*(a + b*x^2 + c*x^4)^(1 + p))/(4*c*(2 + p)) + ((b^2*(2 + p)*(3 + p) - 2*a*c*(3 + 2*p) - 2*b*c*(1 + p)*(3 + p)*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(1 + p))/(8*c^3*(1 + p)*(2 + p)*(3 + 2*p)) - (2^(-2 + p)*b*(6*a*c - b^2*(3 + p))*(-((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x^2)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(-1 - p)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-p, 1 + p, 2 + p, (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x^2)/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(c^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(1 + p)*(3 + 2*p)), (x^4*(a + b*x^2 + c*x^4)^(1 + p))/(4*c*(2 + p)) + ((b^2*(2 + p)*(3 + p) - 2*a*c*(3 + 2*p) - 2*b*c*(1 + p)*(3 + p)*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(1 + p))/(8*c^3*(2 + p)*(3 + 5*p + 2*p^2)) - (2^(-2 + p)*b*(6*a*c - b^2*(3 + p))*(-((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x^2)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(-1 - p)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-p, 1 + p, 2 + p, (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x^2)/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(c^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(1 + p)*(3 + 2*p))]}
+# {(a + b*x^2 + c*x^4)^p*x^5, x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((b*(2 + p)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(1 + p))/(4*c^2*(1 + p)*(3 + 2*p))) + (x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)^(1 + p))/(2*c*(3 + 2*p)) + (2^(-1 + p)*(2*a*c - b^2*(2 + p))*(-((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x^2)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(-1 - p)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-p, 1 + p, 2 + p, (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x^2)/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(c^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(1 + p)*(3 + 2*p)), -((b*(2 + p)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(1 + p))/(4*c^2*(3 + 5*p + 2*p^2))) + (x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)^(1 + p))/(2*c*(3 + 2*p)) + (2^(-1 + p)*(2*a*c - b^2*(2 + p))*(-((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x^2)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(-1 - p)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-p, 1 + p, 2 + p, (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x^2)/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(c^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(1 + p)*(3 + 2*p))]}
+((a + b*x^2 + c*x^4)^p*x^3, (a + b*x^2 + c*x^4)^(1 + p)/(4*c*(1 + p)) + (2^(-1 + p)*b*(-((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(-1 - p)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1 + p, 2 + p, (b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^2)/(2*sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 + p)), x, 3),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^p*x^1, -((2^p*(-((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(-1 - p)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1 + p, 2 + p, (b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^2)/(2*sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 + p))), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^p/x^1, (4^(-1 + p)*(a + b*x^2 + c*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-2*p, -p, -p, 1 - 2*p, -((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*c*x^2)), -((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*c*x^2))))/(((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^2)/(c*x^2))^p*((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^2)/(c*x^2))^p*p), x, 3),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^p/x^3, -((2^(-1 + 2*p)*(a + b*x^2 + c*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 - 2*p, -p, -p, 2*(1 - p), -((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*c*x^2)), -((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*c*x^2))))/(((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^2)/(c*x^2))^p*((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^2)/(c*x^2))^p*((1 - 2*p)*x^2))), x, 3),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^p/x^5, -((4^(-1 + p)*(a + b*x^2 + c*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(2*(1 - p), -p, -p, 3 - 2*p, -((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*c*x^2)), -((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*c*x^2))))/(((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^2)/(c*x^2))^p*((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^2)/(c*x^2))^p*((1 - p)*x^4))), x, 3),
+
+((a + b*x^2 + c*x^4)^p*x^4, ((1//5)*x^5*(a + b*x^2 + c*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(5//2, -p, -p, 7//2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^p*x^2, ((1//3)*x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -p, -p, 5//2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^p*x^0, (x*(a + b*x^2 + c*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, -p, 3//2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^p/x^2, -(((a + b*x^2 + c*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//2), -p, -p, 1//2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*x)), x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^p/x^4, -(((a + b*x^2 + c*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-(3//2), -p, -p, -(1//2), -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(3*x^3))), x, 2),
+]
+# Total integrals translated: 1118
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.3 (d+e x^2)^m (a+b x^2+c x^4)^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.3 (d+e x^2)^m (a+b x^2+c x^4)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..ece59693
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.3 (d+e x^2)^m (a+b x^2+c x^4)^p.jl	
@@ -0,0 +1,890 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^p with b=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2) (a+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((c + d*x^2)/(a + b*x^4), -(((sqrt(b)*c + sqrt(a)*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4))) + ((sqrt(b)*c + sqrt(a)*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)) - ((sqrt(b)*c - sqrt(a)*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)) + ((sqrt(b)*c - sqrt(a)*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)), x, 9),
+((c - d*x^2)/(a + b*x^4), -(((sqrt(b)*c - sqrt(a)*d)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4))) + ((sqrt(b)*c - sqrt(a)*d)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)) - ((sqrt(b)*c + sqrt(a)*d)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)) + ((sqrt(b)*c + sqrt(a)*d)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)), x, 9),
+
+((c + d*x^2)/(a - b*x^4), ((sqrt(b)*c - sqrt(a)*d)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)*b^(3//4)) + ((sqrt(b)*c + sqrt(a)*d)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)*b^(3//4)), x, 3),
+((c - d*x^2)/(a - b*x^4), ((sqrt(b)*c + sqrt(a)*d)*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)*b^(3//4)) + ((sqrt(b)*c - sqrt(a)*d)*atanh((b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)*b^(3//4)), x, 3),
+
+
+((2 + 3*x^2)/(4 + 9*x^4), -(atan(1 - sqrt(3)*x)/(2*sqrt(3))) + atan(1 + sqrt(3)*x)/(2*sqrt(3)), x, 5),
+((2 - 3*x^2)/(4 + 9*x^4), -(log(2 - 2*sqrt(3)*x + 3*x^2)/(4*sqrt(3))) + log(2 + 2*sqrt(3)*x + 3*x^2)/(4*sqrt(3)), x, 3),
+
+((2 + 3*x^2)/(4 - 9*x^4), atanh(sqrt(3//2)*x)/sqrt(6), x, 2),
+((2 - 3*x^2)/(4 - 9*x^4), atan(sqrt(3//2)*x)/sqrt(6), x, 2),
+
+
+((sqrt(a)*sqrt(b) + b*x^2)/(a + b*x^4), -((b^(1//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(1//4))) + (b^(1//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(sqrt(2)*a^(1//4)), x, 5),
+((sqrt(a)*sqrt(b) - b*x^2)/(a + b*x^4), -((b^(1//4)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(2*sqrt(2)*a^(1//4))) + (b^(1//4)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)), x, 3),
+
+
+((d + e*x^2)/(d^2 + e^2*x^4), -(atan(1 - (sqrt(2)*sqrt(e)*x)/sqrt(d))/(sqrt(2)*sqrt(d)*sqrt(e))) + atan(1 + (sqrt(2)*sqrt(e)*x)/sqrt(d))/(sqrt(2)*sqrt(d)*sqrt(e)), x, 5),
+((d - e*x^2)/(d^2 + e^2*x^4), -(log(d - sqrt(2)*sqrt(d)*sqrt(e)*x + e*x^2)/(2*sqrt(2)*sqrt(d)*sqrt(e))) + log(d + sqrt(2)*sqrt(d)*sqrt(e)*x + e*x^2)/(2*sqrt(2)*sqrt(d)*sqrt(e)), x, 3),
+
+
+((5 + 2*x^2)/(-1 + x^4), -((3*atan(x))/2) - (7*atanh(x))/2, x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2) (a+c x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((1 + b*x^2)/sqrt(1 - b^2*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b)*x), -1)/sqrt(b), x, 2),
+((1 - b*x^2)/sqrt(1 - b^2*x^4), -(SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b)*x), -1)/sqrt(b)) + (2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b)*x), -1))/sqrt(b), x, 5),
+
+((1 + b*x^2)/sqrt(-1 + b^2*x^4), (sqrt(1 - b^2*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b)*x), -1))/(sqrt(b)*sqrt(-1 + b^2*x^4)), x, 3),
+((1 - b*x^2)/sqrt(-1 + b^2*x^4), -((sqrt(1 - b^2*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(b)*x), -1))/(sqrt(b)*sqrt(-1 + b^2*x^4))) + (2*sqrt(1 - b^2*x^4)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(b)*x), -1))/(sqrt(b)*sqrt(-1 + b^2*x^4)), x, 6),
+
+
+((1 - b*x^2)/sqrt(1 + b^2*x^4), -((x*sqrt(1 + b^2*x^4))/(1 + b*x^2)) + ((1 + b*x^2)*sqrt((1 + b^2*x^4)/(1 + b*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(sqrt(b)*x), 1//2))/(sqrt(b)*sqrt(1 + b^2*x^4)), x, 1),
+((1 + b*x^2)/sqrt(1 + b^2*x^4), (x*sqrt(1 + b^2*x^4))/(1 + b*x^2) - ((1 + b*x^2)*sqrt((1 + b^2*x^4)/(1 + b*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(sqrt(b)*x), 1//2))/(sqrt(b)*sqrt(1 + b^2*x^4)) + ((1 + b*x^2)*sqrt((1 + b^2*x^4)/(1 + b*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(sqrt(b)*x), 1//2))/(sqrt(b)*sqrt(1 + b^2*x^4)), x, 3),
+
+((1 - b*x^2)/sqrt(-1 - b^2*x^4), (x*sqrt(-1 - b^2*x^4))/(1 + b*x^2) + ((1 + b*x^2)*sqrt((1 + b^2*x^4)/(1 + b*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(sqrt(b)*x), 1//2))/(sqrt(b)*sqrt(-1 - b^2*x^4)), x, 1),
+((1 + b*x^2)/sqrt(-1 - b^2*x^4), -((x*sqrt(-1 - b^2*x^4))/(1 + b*x^2)) - ((1 + b*x^2)*sqrt((1 + b^2*x^4)/(1 + b*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(sqrt(b)*x), 1//2))/(sqrt(b)*sqrt(-1 - b^2*x^4)) + ((1 + b*x^2)*sqrt((1 + b^2*x^4)/(1 + b*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(sqrt(b)*x), 1//2))/(sqrt(b)*sqrt(-1 - b^2*x^4)), x, 3),
+
+
+# Following pairs of integrands are equal.
+(sqrt(1 + c^2*x^2)/sqrt(1 - c^2*x^2), SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(c*x), -1)/c, x, 1),
+((1 + c^2*x^2)/sqrt(1 - c^4*x^4), SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(c*x), -1)/c, x, 2),
+
+(sqrt(1 - c^2*x^2)/sqrt(1 + c^2*x^2), -(SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(c*x), -1)/c) + (2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(c*x), -1))/c, x, 4),
+((1 - c^2*x^2)/sqrt(1 - c^4*x^4), -(SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(c*x), -1)/c) + (2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(c*x), -1))/c, x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^p with c d^2-a e^2=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^p with c d^2-a e^2=0
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x^2)/(d^2 + b*x^2 + e^2*x^4), -(atan((sqrt(-b + 2*d*e) - 2*e*x)/sqrt(b + 2*d*e))/sqrt(b + 2*d*e)) + atan((sqrt(-b + 2*d*e) + 2*e*x)/sqrt(b + 2*d*e))/sqrt(b + 2*d*e), x, 5),
+((d + e*x^2)/(d^2 + f*x^2 + e^2*x^4), -(atan((sqrt(2*d*e - f) - 2*e*x)/sqrt(2*d*e + f))/sqrt(2*d*e + f)) + atan((sqrt(2*d*e - f) + 2*e*x)/sqrt(2*d*e + f))/sqrt(2*d*e + f), x, 5),
+
+((d + e*x^2)/(d^2 - b*x^2 + e^2*x^4), atanh((sqrt(b + 2*d*e) - 2*e*x)/sqrt(b - 2*d*e))/sqrt(b - 2*d*e) - atanh((sqrt(b + 2*d*e) + 2*e*x)/sqrt(b - 2*d*e))/sqrt(b - 2*d*e), x, 5),
+((d + e*x^2)/(d^2 - f*x^2 + e^2*x^4), -(atan((sqrt(2*d*e + f) - 2*e*x)/sqrt(2*d*e - f))/sqrt(2*d*e - f)) + atan((sqrt(2*d*e + f) + 2*e*x)/sqrt(2*d*e - f))/sqrt(2*d*e - f), x, 5),
+
+
+((d - e*x^2)/(d^2 + b*x^2 + e^2*x^4), -(log(d - sqrt(-b + 2*d*e)*x + e*x^2)/(2*sqrt(-b + 2*d*e))) + log(d + sqrt(-b + 2*d*e)*x + e*x^2)/(2*sqrt(-b + 2*d*e)), x, 3),
+((d - e*x^2)/(d^2 + f*x^2 + e^2*x^4), -(log(d - sqrt(2*d*e - f)*x + e*x^2)/(2*sqrt(2*d*e - f))) + log(d + sqrt(2*d*e - f)*x + e*x^2)/(2*sqrt(2*d*e - f)), x, 3),
+
+((d - e*x^2)/(d^2 - b*x^2 + e^2*x^4), -(log(d - sqrt(b + 2*d*e)*x + e*x^2)/(2*sqrt(b + 2*d*e))) + log(d + sqrt(b + 2*d*e)*x + e*x^2)/(2*sqrt(b + 2*d*e)), x, 3),
+((d - e*x^2)/(d^2 - f*x^2 + e^2*x^4), -(log(d - sqrt(2*d*e + f)*x + e*x^2)/(2*sqrt(2*d*e + f))) + log(d + sqrt(2*d*e + f)*x + e*x^2)/(2*sqrt(2*d*e + f)), x, 3),
+
+
+((d - e*x^2)/(c*d^2/e^2 + b*x^2 + c*x^4), -((e^(3//2)*log(sqrt(c)*d - sqrt(e)*sqrt(2*c*d - b*e)*x + sqrt(c)*e*x^2))/(2*sqrt(c)*sqrt(2*c*d - b*e))) + (e^(3//2)*log(sqrt(c)*d + sqrt(e)*sqrt(2*c*d - b*e)*x + sqrt(c)*e*x^2))/(2*sqrt(c)*sqrt(2*c*d - b*e)), x, 3),
+((d + e*x^2)/(c*d^2/e^2 + b*x^2 + c*x^4), -((e^(3//2)*atan((sqrt(2*c*d - b*e) - 2*sqrt(c)*sqrt(e)*x)/sqrt(2*c*d + b*e)))/(sqrt(c)*sqrt(2*c*d + b*e))) + (e^(3//2)*atan((sqrt(2*c*d - b*e) + 2*sqrt(c)*sqrt(e)*x)/sqrt(2*c*d + b*e)))/(sqrt(c)*sqrt(2*c*d + b*e)), x, 5),
+((d + e*x^2)/(b*x^2 + c*(d^2/e^2 + x^4)), -((e^(3//2)*atan((sqrt(2*c*d - b*e) - 2*sqrt(c)*sqrt(e)*x)/sqrt(2*c*d + b*e)))/(sqrt(c)*sqrt(2*c*d + b*e))) + (e^(3//2)*atan((sqrt(2*c*d - b*e) + 2*sqrt(c)*sqrt(e)*x)/sqrt(2*c*d + b*e)))/(sqrt(c)*sqrt(2*c*d + b*e)), x, 6),
+
+
+((a - b*x^2)/(a^2 + (-1 + 2*a*b)*x^2 + b^2*x^4), (-(1//2))*log(a - x + b*x^2) + (1//2)*log(a + x + b*x^2), x, 3),
+((a + b*x^2)/(a^2 + (-1 + 2*a*b)*x^2 + b^2*x^4), atanh((1 - 2*b*x)/sqrt(1 - 4*a*b))/sqrt(1 - 4*a*b) - atanh((1 + 2*b*x)/sqrt(1 - 4*a*b))/sqrt(1 - 4*a*b), x, 5),
+
+
+((1 + 2*x^2)/(1 + b*x^2 + 4*x^4), -(atan((sqrt(4 - b) - 4*x)/sqrt(4 + b))/sqrt(4 + b)) + atan((sqrt(4 - b) + 4*x)/sqrt(4 + b))/sqrt(4 + b), x, 5),
+((1 + 2*x^2)/(1 - b*x^2 + 4*x^4), -(atan((sqrt(4 + b) - 4*x)/sqrt(4 - b))/sqrt(4 - b)) + atan((sqrt(4 + b) + 4*x)/sqrt(4 - b))/sqrt(4 - b), x, 5),
+
+((1 + 2*x^2)/(1 + 6*x^2 + 4*x^4), atan((2*x)/sqrt(3 - sqrt(5)))/sqrt(10) + atan((2*x)/sqrt(3 + sqrt(5)))/sqrt(10), x, 3),
+((1 + 2*x^2)/(1 + 5*x^2 + 4*x^4), atan(x)/3 + atan(2*x)/3, x, 3),
+((1 + 2*x^2)/(1 + 4*x^2 + 4*x^4), atan(sqrt(2)*x)/sqrt(2), x, 3),
+((1 + 2*x^2)/(1 + 3*x^2 + 4*x^4), -(atan((1 - 4*x)/sqrt(7))/sqrt(7)) + atan((1 + 4*x)/sqrt(7))/sqrt(7), x, 5),
+((1 + 2*x^2)/(1 + 2*x^2 + 4*x^4), -(atan((1 - 2*sqrt(2)*x)/sqrt(3))/sqrt(6)) + atan((1 + 2*sqrt(2)*x)/sqrt(3))/sqrt(6), x, 5),
+((1 + 2*x^2)/(1 + 1*x^2 + 4*x^4), -(atan((sqrt(3) - 4*x)/sqrt(5))/sqrt(5)) + atan((sqrt(3) + 4*x)/sqrt(5))/sqrt(5), x, 5),
+((1 + 2*x^2)/(1 + 0*x^2 + 4*x^4), -atan(1 - 2*x)/2 + atan(1 + 2*x)/2, x, 5),
+((1 + 2*x^2)/(1 - 1*x^2 + 4*x^4), -(atan((sqrt(5) - 4*x)/sqrt(3))/sqrt(3)) + atan((sqrt(5) + 4*x)/sqrt(3))/sqrt(3), x, 5),
+((1 + 2*x^2)/(1 - 2*x^2 + 4*x^4), -(atan(sqrt(3) - 2*sqrt(2)*x)/sqrt(2)) + atan(sqrt(3) + 2*sqrt(2)*x)/sqrt(2), x, 5),
+((1 + 2*x^2)/(1 - 3*x^2 + 4*x^4), -atan(sqrt(7) - 4*x) + atan(sqrt(7) + 4*x), x, 5),
+((1 + 2*x^2)/(1 - 4*x^2 + 4*x^4), x/(1 - 2*x^2), x, 2),
+((1 + 2*x^2)/(1 - 5*x^2 + 4*x^4), (-(1//2))*log(1 - 2*x) + (1//2)*log(1 - x) - (1//2)*log(1 + x) + (1//2)*log(1 + 2*x), x, 7),
+((1 + 2*x^2)/(1 - 6*x^2 + 4*x^4), atanh(sqrt(5) - 2*sqrt(2)*x)/sqrt(2) - atanh(sqrt(5) + 2*sqrt(2)*x)/sqrt(2), x, 5),
+
+
+((1 - 2*x^2)/(1 + b*x^2 + 4*x^4), -(log(1 - sqrt(4 - b)*x + 2*x^2)/(2*sqrt(4 - b))) + log(1 + sqrt(4 - b)*x + 2*x^2)/(2*sqrt(4 - b)), x, 3),
+
+((1 - 2*x^2)/(1 + 6*x^2 + 4*x^4), atan((2*x)/sqrt(3 - sqrt(5)))/sqrt(2) - atan((2*x)/sqrt(3 + sqrt(5)))/sqrt(2), x, 3),
+((1 - 2*x^2)/(1 + 5*x^2 + 4*x^4), -atan(x) + atan(2*x), x, 3),
+((1 - 2*x^2)/(1 + 4*x^2 + 4*x^4), x/(1 + 2*x^2), x, 2),
+((1 - 2*x^2)/(1 + 3*x^2 + 4*x^4), (-(1//2))*log(1 - x + 2*x^2) + (1//2)*log(1 + x + 2*x^2), x, 3),
+((1 - 2*x^2)/(1 + 2*x^2 + 4*x^4), -(log(1 - sqrt(2)*x + 2*x^2)/(2*sqrt(2))) + log(1 + sqrt(2)*x + 2*x^2)/(2*sqrt(2)), x, 3),
+((1 - 2*x^2)/(1 + 1*x^2 + 4*x^4), -(log(1 - sqrt(3)*x + 2*x^2)/(2*sqrt(3))) + log(1 + sqrt(3)*x + 2*x^2)/(2*sqrt(3)), x, 3),
+((1 - 2*x^2)/(1 + 0*x^2 + 4*x^4), -log(1 - 2*x + 2*x^2)/4 + log(1 + 2*x + 2*x^2)/4, x, 3),
+((1 - 2*x^2)/(1 - 1*x^2 + 4*x^4), -(log(1 - sqrt(5)*x + 2*x^2)/(2*sqrt(5))) + log(1 + sqrt(5)*x + 2*x^2)/(2*sqrt(5)), x, 3),
+((1 - 2*x^2)/(1 - 2*x^2 + 4*x^4), -(log(1 - sqrt(6)*x + 2*x^2)/(2*sqrt(6))) + log(1 + sqrt(6)*x + 2*x^2)/(2*sqrt(6)), x, 3),
+((1 - 2*x^2)/(1 - 3*x^2 + 4*x^4), -(log(1 - sqrt(7)*x + 2*x^2)/(2*sqrt(7))) + log(1 + sqrt(7)*x + 2*x^2)/(2*sqrt(7)), x, 3),
+((1 - 2*x^2)/(1 - 4*x^2 + 4*x^4), atanh(sqrt(2)*x)/sqrt(2), x, 3),
+((1 - 2*x^2)/(1 - 5*x^2 + 4*x^4), (-(1//6))*log(1 - 2*x) - (1//6)*log(1 - x) + (1//6)*log(1 + x) + (1//6)*log(1 + 2*x), x, 7),
+((1 - 2*x^2)/(1 - 6*x^2 + 4*x^4), -(atanh((1 - 2*sqrt(2)*x)/sqrt(5))/sqrt(10)) + atanh((1 + 2*sqrt(2)*x)/sqrt(5))/sqrt(10), x, 5),
+
+
+((1 + x^2)/(1 + b*x^2 + x^4), -(atan((sqrt(2 - b) - 2*x)/sqrt(2 + b))/sqrt(2 + b)) + atan((sqrt(2 - b) + 2*x)/sqrt(2 + b))/sqrt(2 + b), x, 5),
+
+((1 + x^2)/(1 + 5*x^2 + x^4), atan(sqrt(2/(5 + sqrt(21)))*x)/sqrt(7) + atan(sqrt((1//2)*(5 + sqrt(21)))*x)/sqrt(7), x, 3),
+((1 + x^2)/(1 + 4*x^2 + x^4), atan(x/sqrt(2 - sqrt(3)))/sqrt(6) + atan(x/sqrt(2 + sqrt(3)))/sqrt(6), x, 3),
+((1 + x^2)/(1 + 3*x^2 + x^4), atan(sqrt(2/(3 + sqrt(5)))*x)/sqrt(5) + atan(sqrt((1//2)*(3 + sqrt(5)))*x)/sqrt(5), x, 3),
+((1 + x^2)/(1 + 2*x^2 + x^4), atan(x), x, 2),
+((1 + x^2)/(1 + 1*x^2 + x^4), -(atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3)) + atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3), x, 5),
+((1 + x^2)/(1 + 0*x^2 + x^4), -(atan(1 - sqrt(2)*x)/sqrt(2)) + atan(1 + sqrt(2)*x)/sqrt(2), x, 5),
+((1 + x^2)/(1 - 1*x^2 + x^4), -atan(sqrt(3) - 2*x) + atan(sqrt(3) + 2*x), x, 5),
+((1 + x^2)/(1 - 2*x^2 + x^4), x/(1 - x^2), x, 2),
+((1 + x^2)/(1 - 3*x^2 + x^4), (1//2)*log(1 - sqrt(5) - 2*x) + (1//2)*log(1 + sqrt(5) - 2*x) - (1//2)*log(1 - sqrt(5) + 2*x) - (1//2)*log(1 + sqrt(5) + 2*x), x, 7),
+((1 + x^2)/(1 - 4*x^2 + x^4), atanh(sqrt(3) - sqrt(2)*x)/sqrt(2) - atanh(sqrt(3) + sqrt(2)*x)/sqrt(2), x, 5),
+((1 + x^2)/(1 - 5*x^2 + x^4), atanh((sqrt(7) - 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) - atanh((sqrt(7) + 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3), x, 5),
+
+
+((1 - x^2)/(1 + b*x^2 + x^4), -(log(1 - sqrt(2 - b)*x + x^2)/(2*sqrt(2 - b))) + log(1 + sqrt(2 - b)*x + x^2)/(2*sqrt(2 - b)), x, 3),
+
+((1 - x^2)/(1 + 5*x^2 + x^4), -(atan(sqrt(2/(5 + sqrt(21)))*x)/sqrt(3)) + atan(sqrt((1//2)*(5 + sqrt(21)))*x)/sqrt(3), x, 3),
+((1 - x^2)/(1 + 4*x^2 + x^4), atan(x/sqrt(2 - sqrt(3)))/sqrt(2) - atan(x/sqrt(2 + sqrt(3)))/sqrt(2), x, 3),
+((1 - x^2)/(1 + 3*x^2 + x^4), -atan(sqrt(2/(3 + sqrt(5)))*x) + atan(sqrt((1//2)*(3 + sqrt(5)))*x), x, 3),
+((1 - x^2)/(1 + 2*x^2 + x^4), x/(1 + x^2), x, 2),
+((1 - x^2)/(1 + 1*x^2 + x^4), (-(1//2))*log(1 - x + x^2) + (1//2)*log(1 + x + x^2), x, 3),
+((1 - x^2)/(1 + 0*x^2 + x^4), -(log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(2*sqrt(2))) + log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(2*sqrt(2)), x, 3),
+((1 - x^2)/(1 - 1*x^2 + x^4), -(log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(2*sqrt(3))) + log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(2*sqrt(3)), x, 3),
+((1 - x^2)/(1 - 2*x^2 + x^4), atanh(x), x, 3),
+((1 - x^2)/(1 - 3*x^2 + x^4), -(atanh((1 - 2*x)/sqrt(5))/sqrt(5)) + atanh((1 + 2*x)/sqrt(5))/sqrt(5), x, 5),
+((1 - x^2)/(1 - 4*x^2 + x^4), -(atanh((1 - sqrt(2)*x)/sqrt(3))/sqrt(6)) + atanh((1 + sqrt(2)*x)/sqrt(3))/sqrt(6), x, 5),
+((1 - x^2)/(1 - 5*x^2 + x^4), -(atanh((sqrt(3) - 2*x)/sqrt(7))/sqrt(7)) + atanh((sqrt(3) + 2*x)/sqrt(7))/sqrt(7), x, 5),
+
+
+(-(1 + 3*x^2)/(1 + 2*x^2 + 9*x^4), atan((1 - 3*x)/sqrt(2))/(2*sqrt(2)) - atan((1 + 3*x)/sqrt(2))/(2*sqrt(2)), x, 5),
+((1 + 3*x^2)/(-1 - 2*x^2 - 9*x^4), atan((1 - 3*x)/sqrt(2))/(2*sqrt(2)) - atan((1 + 3*x)/sqrt(2))/(2*sqrt(2)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((3 + 2*x^2)/(1 - 2*x^2 + x^4), (5*x)/(2*(1 - x^2)) + atanh(x)/2, x, 3),
+
+
+((2 + 3*x^2)/(5 - 8*x^2 + 3*x^4), (5*atanh(x))/2 - (7//2)*sqrt(3//5)*atanh(sqrt(3//5)*x), x, 3),
+((d + e*x^2)/(5 - 8*x^2 + 3*x^4), (1//2)*(d + e)*atanh(x) - ((3*d + 5*e)*atanh(sqrt(3//5)*x))/(2*sqrt(15)), x, 3),
+
+
+((3 + x^2)/(1 + 3*x^2 + x^4), (-(1//10))*sqrt(180 - 80*sqrt(5))*atan(sqrt(2/(3 + sqrt(5)))*x) + ((3 + sqrt(5))^(3//2)*atan(sqrt((1//2)*(3 + sqrt(5)))*x))/(2*sqrt(10)), x, 3),
+
+((a + b*x^2)/(1 + x^2 + x^4), -(((a + b)*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(2*sqrt(3))) + ((a + b)*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(2*sqrt(3)) - (1//4)*(a - b)*log(1 - x + x^2) + (1//4)*(a - b)*log(1 + x + x^2), x, 9),
+((a + b*x^2)/(1 + x^2 + x^4)^2, (x*(a + b - (a - 2*b)*x^2))/(6*(1 + x^2 + x^4)) - ((4*a + b)*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(12*sqrt(3)) + ((4*a + b)*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(12*sqrt(3)) - (1//8)*(2*a - b)*log(1 - x + x^2) + (1//8)*(2*a - b)*log(1 + x + x^2), x, 10),
+
+((a + b*x^2)/(2 + x^2 + x^4), (-(1//2))*sqrt((1//14)*(-1 + 2*sqrt(2)))*(a + sqrt(2)*b)*atan((sqrt(-1 + 2*sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(1 + 2*sqrt(2))) + (1//2)*sqrt((1//14)*(-1 + 2*sqrt(2)))*(a + sqrt(2)*b)*atan((sqrt(-1 + 2*sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(1 + 2*sqrt(2))) - ((a - sqrt(2)*b)*log(sqrt(2) - sqrt(-1 + 2*sqrt(2))*x + x^2))/(4*sqrt(2*(-1 + 2*sqrt(2)))) + ((a - sqrt(2)*b)*log(sqrt(2) + sqrt(-1 + 2*sqrt(2))*x + x^2))/(4*sqrt(2*(-1 + 2*sqrt(2)))), x, 9),
+((a + b*x^2)/(2 + x^2 + x^4)^2, (x*(3*a + 2*b - (a - 4*b)*x^2))/(28*(2 + x^2 + x^4)) - (1//56)*sqrt((1//14)*(-1 + 2*sqrt(2)))*((11 - sqrt(2))*a - (2 - 4*sqrt(2))*b)*atan((sqrt(-1 + 2*sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(1 + 2*sqrt(2))) + (1//56)*sqrt((1//14)*(-1 + 2*sqrt(2)))*((11 - sqrt(2))*a - (2 - 4*sqrt(2))*b)*atan((sqrt(-1 + 2*sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(1 + 2*sqrt(2))) - ((11*a + sqrt(2)*(a - 4*b) - 2*b)*log(sqrt(2) - sqrt(-1 + 2*sqrt(2))*x + x^2))/(112*sqrt(2*(-1 + 2*sqrt(2)))) + (((11 + sqrt(2))*a - 2*(b + 2*sqrt(2)*b))*log(sqrt(2) + sqrt(-1 + 2*sqrt(2))*x + x^2))/(112*sqrt(2*(-1 + 2*sqrt(2)))), x, 10),
+
+((sqrt(2) - x^2)/(1 - sqrt(2)*x^2 + x^4), -(atan((sqrt(2 + sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(2*sqrt(2 + sqrt(2)))) + atan((sqrt(2 + sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(2*sqrt(2 + sqrt(2))) - (1//4)*sqrt(1 + 1/sqrt(2))*log(1 - sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2) + (1//4)*sqrt(1 + 1/sqrt(2))*log(1 + sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2), x, 9),
+((sqrt(2) + x^2)/(1 + sqrt(2)*x^2 + x^4), -(atan((sqrt(2 - sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(2*sqrt(2 - sqrt(2)))) + atan((sqrt(2 - sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(2*sqrt(2 - sqrt(2))) - (1//4)*sqrt(1 - 1/sqrt(2))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2) + (1//4)*sqrt(1 - 1/sqrt(2))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2), x, 9),
+
+((sqrt(2) - x^2)/(1 + b*x^2 + x^4), ((1 - sqrt(2))*atan((sqrt(2 - b) - 2*x)/sqrt(2 + b)))/(2*sqrt(2 + b)) - ((1 - sqrt(2))*atan((sqrt(2 - b) + 2*x)/sqrt(2 + b)))/(2*sqrt(2 + b)) - ((1 + sqrt(2))*log(1 - sqrt(2 - b)*x + x^2))/(4*sqrt(2 - b)) + ((1 + sqrt(2))*log(1 + sqrt(2 - b)*x + x^2))/(4*sqrt(2 - b)), x, 9),
+((sqrt(2) + x^2)/(1 + b*x^2 + x^4), -(((1 + sqrt(2))*atan((sqrt(2 - b) - 2*x)/sqrt(2 + b)))/(2*sqrt(2 + b))) + ((1 + sqrt(2))*atan((sqrt(2 - b) + 2*x)/sqrt(2 + b)))/(2*sqrt(2 + b)) + ((1 - sqrt(2))*log(1 - sqrt(2 - b)*x + x^2))/(4*sqrt(2 - b)) - ((1 - sqrt(2))*log(1 + sqrt(2 - b)*x + x^2))/(4*sqrt(2 - b)), x, 9),
+
+
+((2*a - x^2)/(a^2 - a*x^2 + x^4), -(atan(sqrt(3) - (2*x)/sqrt(a))/(2*sqrt(a))) + atan(sqrt(3) + (2*x)/sqrt(a))/(2*sqrt(a)) - (sqrt(3)*log(a - sqrt(3)*sqrt(a)*x + x^2))/(4*sqrt(a)) + (sqrt(3)*log(a + sqrt(3)*sqrt(a)*x + x^2))/(4*sqrt(a)), x, 9),
+((2*sqrt(a) - x^2)/(a - sqrt(a)*x^2 + x^4), -(atan(sqrt(3) - (2*x)/a^(1//4))/(2*a^(1//4))) + atan(sqrt(3) + (2*x)/a^(1//4))/(2*a^(1//4)) - (sqrt(3)*log(sqrt(a) - sqrt(3)*a^(1//4)*x + x^2))/(4*a^(1//4)) + (sqrt(3)*log(sqrt(a) + sqrt(3)*a^(1//4)*x + x^2))/(4*a^(1//4)), x, 9),
+((2*b^(2//3) + x^2)/(b^(4//3) + b^(2//3)*x^2 + x^4), -(log(b^(2//3) - b^(1//3)*x + x^2)/(4*b^(1//3))) + log(b^(2//3) + b^(1//3)*x + x^2)/(4*b^(1//3)) - (sqrt(3)*atan((b^(1//3) - 2*x)/(sqrt(3)*b^(1//3))))/(2*b^(1//3)) + (sqrt(3)*atan((b^(1//3) + 2*x)/(sqrt(3)*b^(1//3))))/(2*b^(1//3)), x, 9),
+
+((A + B*x^2)/(a^2 - a*x^2 + x^4), -(((A + a*B)*atan(sqrt(3) - (2*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2))) + ((A + a*B)*atan(sqrt(3) + (2*x)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)) - ((A - a*B)*log(a - sqrt(3)*sqrt(a)*x + x^2))/(4*sqrt(3)*a^(3//2)) + ((A - a*B)*log(a + sqrt(3)*sqrt(a)*x + x^2))/(4*sqrt(3)*a^(3//2)), x, 9),
+((A + B*x^2)/(a - sqrt(a)*x^2 + x^4), -(((A + sqrt(a)*B)*atan(sqrt(3) - (2*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4))) + ((A + sqrt(a)*B)*atan(sqrt(3) + (2*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)) - ((A - sqrt(a)*B)*log(sqrt(a) - sqrt(3)*a^(1//4)*x + x^2))/(4*sqrt(3)*a^(3//4)) + ((A - sqrt(a)*B)*log(sqrt(a) + sqrt(3)*a^(1//4)*x + x^2))/(4*sqrt(3)*a^(3//4)), x, 9),
+
+((A + B*x^2)/(a - sqrt(a*c)*x^2 + c*x^4), -(((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*atan((sqrt(2*sqrt(a)*sqrt(c) + sqrt(a*c)) - 2*sqrt(c)*x)/sqrt(2*sqrt(a)*sqrt(c) - sqrt(a*c))))/(2*sqrt(a)*sqrt(c)*sqrt(2*sqrt(a)*sqrt(c) - sqrt(a*c)))) + ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*atan((sqrt(2*sqrt(a)*sqrt(c) + sqrt(a*c)) + 2*sqrt(c)*x)/sqrt(2*sqrt(a)*sqrt(c) - sqrt(a*c))))/(2*sqrt(a)*sqrt(c)*sqrt(2*sqrt(a)*sqrt(c) - sqrt(a*c))) - ((A - (sqrt(a)*B)/sqrt(c))*log(sqrt(a) - sqrt(2*sqrt(a)*sqrt(c) + sqrt(a*c))*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(a)*sqrt(2*sqrt(a)*sqrt(c) + sqrt(a*c))) + ((A - (sqrt(a)*B)/sqrt(c))*log(sqrt(a) + sqrt(2*sqrt(a)*sqrt(c) + sqrt(a*c))*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(a)*sqrt(2*sqrt(a)*sqrt(c) + sqrt(a*c))), x, 9),
+((A + B*x^2)/(a - sqrt(a)*sqrt(c)*x^2 + c*x^4), -(((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*atan(sqrt(3) - (2*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)*c^(3//4))) + ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*atan(sqrt(3) + (2*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*a^(3//4)*c^(3//4)) - ((A - (sqrt(a)*B)/sqrt(c))*log(sqrt(a) - sqrt(3)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(3)*a^(3//4)*c^(1//4)) + ((A - (sqrt(a)*B)/sqrt(c))*log(sqrt(a) + sqrt(3)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(3)*a^(3//4)*c^(1//4)), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+((3 - x^2)/sqrt(3 + 1*x^2 - x^4), (-sqrt((1//2)*(-1 + sqrt(13))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(2/(1 + sqrt(13)))*x), (1//6)*(-7 - sqrt(13))) + sqrt(7 + 2*sqrt(13))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(2/(1 + sqrt(13)))*x), (1//6)*(-7 - sqrt(13))), x, 4),
+((3 - x^2)/sqrt(3 + 2*x^2 - x^4), -SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(3)), -3) + 4*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(3)), -3), x, 5),
+((3 - x^2)/sqrt(3 + 3*x^2 - x^4), (-sqrt((1//2)*(-3 + sqrt(21))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(2/(3 + sqrt(21)))*x), (1//2)*(-5 - sqrt(21))) + sqrt(9 + 2*sqrt(21))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(2/(3 + sqrt(21)))*x), (1//2)*(-5 - sqrt(21))), x, 4),
+
+((3 - x^2)/sqrt(3 - 1*x^2 - x^4), (-sqrt((1//2)*(1 + sqrt(13))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(2/(-1 + sqrt(13)))*x), (1//6)*(-7 + sqrt(13))) + sqrt(5 + 2*sqrt(13))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(2/(-1 + sqrt(13)))*x), (1//6)*(-7 + sqrt(13))), x, 4),
+((3 - x^2)/sqrt(3 - 2*x^2 - x^4), (-sqrt(3))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -(1//3)) + 2*sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -(1//3)), x, 4),
+((3 - x^2)/sqrt(3 - 3*x^2 - x^4), (-sqrt((1//2)*(3 + sqrt(21))))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(2/(-3 + sqrt(21)))*x), (1//2)*(-5 + sqrt(21))) + sqrt(3 + 2*sqrt(21))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(2/(-3 + sqrt(21)))*x), (1//2)*(-5 + sqrt(21))), x, 4),
+
+
+((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^2)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (2*sqrt(c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2) - (2*a^(1//4)*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4) + ((b + 2*sqrt(a)*sqrt(c) - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 3),
+
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+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p with b=0
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^q (a+c x^4)^p
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((d + e*x^2)^4*(a + c*x^4), a*d^4*x + (4*a*d^3*e*x^3)/3 + (d^2*(c*d^2 + 6*a*e^2)*x^5)/5 + (4*d*e*(c*d^2 + a*e^2)*x^7)/7 + (e^2*(6*c*d^2 + a*e^2)*x^9)/9 + (4*c*d*e^3*x^11)/11 + (c*e^4*x^13)/13, x, 2),
+((d + e*x^2)^3*(a + c*x^4), a*d^3*x + a*d^2*e*x^3 + (d*(c*d^2 + 3*a*e^2)*x^5)/5 + (e*(3*c*d^2 + a*e^2)*x^7)/7 + (c*d*e^2*x^9)/3 + (c*e^3*x^11)/11, x, 2),
+((d + e*x^2)^2*(a + c*x^4), a*d^2*x + (2*a*d*e*x^3)/3 + ((c*d^2 + a*e^2)*x^5)/5 + (2*c*d*e*x^7)/7 + (c*e^2*x^9)/9, x, 2),
+((d + e*x^2)^1*(a + c*x^4), a*d*x + (a*e*x^3)/3 + (c*d*x^5)/5 + (c*e*x^7)/7, x, 2),
+((a + c*x^4)/(d + e*x^2)^1, -((c*d*x)/e^2) + (c*x^3)/(3*e) + ((c*d^2 + a*e^2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(d)*e^(5//2)), x, 3),
+((a + c*x^4)/(d + e*x^2)^2, (c*x)/e^2 + ((a + (c*d^2)/e^2)*x)/(2*d*(d + e*x^2)) - ((3*c*d^2 - a*e^2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*d^(3//2)*e^(5//2)), x, 3),
+((a + c*x^4)/(d + e*x^2)^3, ((a + (c*d^2)/e^2)*x)/(4*d*(d + e*x^2)^2) + (((3*a)/d^2 - (5*c)/e^2)*x)/(8*(d + e*x^2)) + (3*(c*d^2 + a*e^2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(8*d^(5//2)*e^(5//2)), x, 3),
+((a + c*x^4)/(d + e*x^2)^4, ((a + (c*d^2)/e^2)*x)/(6*d*(d + e*x^2)^3) + (((5*a)/d^2 - (7*c)/e^2)*x)/(24*(d + e*x^2)^2) + (((5*a)/d^2 + c/e^2)*x)/(16*d*(d + e*x^2)) + ((c*d^2 + 5*a*e^2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(16*d^(7//2)*e^(5//2)), x, 4),
+
+
+((d + e*x^2)^3*(a + c*x^4)^2, a^2*d^3*x + a^2*d^2*e*x^3 + (a*d*(2*c*d^2 + 3*a*e^2)*x^5)/5 + (a*e*(6*c*d^2 + a*e^2)*x^7)/7 + (c*d*(c*d^2 + 6*a*e^2)*x^9)/9 + (c*e*(3*c*d^2 + 2*a*e^2)*x^11)/11 + (3*c^2*d*e^2*x^13)/13 + (c^2*e^3*x^15)/15, x, 2),
+((d + e*x^2)^2*(a + c*x^4)^2, a^2*d^2*x + (2*a^2*d*e*x^3)/3 + (a*(2*c*d^2 + a*e^2)*x^5)/5 + (4*a*c*d*e*x^7)/7 + (c*(c*d^2 + 2*a*e^2)*x^9)/9 + (2*c^2*d*e*x^11)/11 + (c^2*e^2*x^13)/13, x, 2),
+((d + e*x^2)^1*(a + c*x^4)^2, a^2*d*x + (a^2*e*x^3)/3 + (2*a*c*d*x^5)/5 + (2*a*c*e*x^7)/7 + (c^2*d*x^9)/9 + (c^2*e*x^11)/11, x, 2),
+((d + e*x^2)^0*(a + c*x^4)^2, a^2*x + (2*a*c*x^5)/5 + (c^2*x^9)/9, x, 2),
+((a + c*x^4)^2/(d + e*x^2)^1, -((c*d*(c*d^2 + 2*a*e^2)*x)/e^4) + (c*(c*d^2 + 2*a*e^2)*x^3)/(3*e^3) - (c^2*d*x^5)/(5*e^2) + (c^2*x^7)/(7*e) + ((c*d^2 + a*e^2)^2*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(d)*e^(9//2)), x, 3),
+((a + c*x^4)^2/(d + e*x^2)^2, (c*(3*c*d^2 + 2*a*e^2)*x)/e^4 - (2*c^2*d*x^3)/(3*e^3) + (c^2*x^5)/(5*e^2) + ((c*d^2 + a*e^2)^2*x)/(2*d*e^4*(d + e*x^2)) - ((7*c*d^2 - a*e^2)*(c*d^2 + a*e^2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*d^(3//2)*e^(9//2)), x, 4),
+((a + c*x^4)^2/(d + e*x^2)^3, -((3*c^2*d*x)/e^4) + (c^2*x^3)/(3*e^3) + ((c*d^2 + a*e^2)^2*x)/(4*d*e^4*(d + e*x^2)^2) + ((3*a^2 - (13*c^2*d^4)/e^4 - (10*a*c*d^2)/e^2)*x)/(8*d^2*(d + e*x^2)) + ((35*c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 + 3*a^2*e^4)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(8*d^(5//2)*e^(9//2)), x, 5),
+((a + c*x^4)^2/(d + e*x^2)^4, (c^2*x)/e^4 + ((c*d^2 + a*e^2)^2*x)/(6*d*e^4*(d + e*x^2)^3) + ((5*a^2 - (19*c^2*d^4)/e^4 - (14*a*c*d^2)/e^2)*x)/(24*d^2*(d + e*x^2)^2) + ((5*a^2 + (29*c^2*d^4)/e^4 + (2*a*c*d^2)/e^2)*x)/(16*d^3*(d + e*x^2)) - ((35*c^2*d^4 - 2*a*c*d^2*e^2 - 5*a^2*e^4)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(16*d^(7//2)*e^(9//2)), x, 5),
+((a + c*x^4)^2/(d + e*x^2)^5, ((c*d^2 + a*e^2)^2*x)/(8*d*e^4*(d + e*x^2)^4) + ((7*a^2 - (25*c^2*d^4)/e^4 - (18*a*c*d^2)/e^2)*x)/(48*d^2*(d + e*x^2)^3) + ((35*a^2 + (163*c^2*d^4)/e^4 + (6*a*c*d^2)/e^2)*x)/(192*d^3*(d + e*x^2)^2) - ((93*c^2*d^4 - 6*a*c*d^2*e^2 - 35*a^2*e^4)*x)/(128*d^4*e^4*(d + e*x^2)) + ((35*c^2*d^4 + 6*a*c*d^2*e^2 + 35*a^2*e^4)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(128*d^(9//2)*e^(9//2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x^2)^4/(a + c*x^4), (e^2*(6*c*d^2 - a*e^2)*x)/c^2 + (4*d*e^3*x^3)/(3*c) + (e^4*x^5)/(5*c) - ((c^2*d^4 - 6*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4 + 4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e*(c*d^2 - a*e^2))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(9//4)) + ((c^2*d^4 - 6*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4 + 4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e*(c*d^2 - a*e^2))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(9//4)) - ((c^2*d^4 - 6*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4 - 4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e*(c*d^2 - a*e^2))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(9//4)) + ((c^2*d^4 - 6*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4 - 4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e*(c*d^2 - a*e^2))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(9//4)), x, 11),
+((d + e*x^2)^3/(a + c*x^4), (3*d*e^2*x)/c + (e^3*x^3)/(3*c) - ((sqrt(c)*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) + sqrt(a)*e*(3*c*d^2 - a*e^2))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(7//4)) + ((sqrt(c)*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) + sqrt(a)*e*(3*c*d^2 - a*e^2))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(7//4)) - ((sqrt(c)*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) - sqrt(a)*e*(3*c*d^2 - a*e^2))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(7//4)) + ((sqrt(c)*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) - sqrt(a)*e*(3*c*d^2 - a*e^2))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(7//4)), x, 11),
+((d + e*x^2)^2/(a + c*x^4), (e^2*x)/c - ((c*d^2 + 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(5//4)) + ((c*d^2 + 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(5//4)) - ((c*d^2 - 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(5//4)) + ((c*d^2 - 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(5//4)), x, 11),
+((d + e*x^2)^1/(a + c*x^4), -((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)) + ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)) - ((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)) + ((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)), x, 9),
+((d + e*x^2)^0/(a + c*x^4), -atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(1//4)) + atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(1//4)) - log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2)/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(1//4)) + log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2)/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(1//4)), x, 9),
+(1/((d + e*x^2)^1*(a + c*x^4)), (e^(3//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(d)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(1//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(1//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(1//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(1//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)), x, 12),
+(1/((d + e*x^2)^2*(a + c*x^4)), (e^2*x)/(2*d*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x^2)) + (2*c*sqrt(d)*e^(3//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(c*d^2 + a*e^2)^2 + (e^(3//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*d^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(3//4)*(c*d^2 - 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (c^(3//4)*(c*d^2 - 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (c^(3//4)*(c*d^2 + 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (c^(3//4)*(c*d^2 + 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2), x, 14),
+
+
+((d + e*x^2)^3/(a + c*x^4)^2, -((e^3*x^3)/(c*(a + c*x^4))) + (x*(d*(c*d^2 - 3*a*e^2) + 3*e*(c*d^2 + a*e^2)*x^2))/(4*a*c*(a + c*x^4)) - (3*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(7//4)) + (3*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(7//4)) - (3*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(7//4)) + (3*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(7//4)), x, 11),
+((d + e*x^2)^2/(a + c*x^4)^2, -(e^2*x)/(3*c*(a + c*x^4)) + (x*(3*c*d^2 + a*e^2 + 6*c*d*e*x^2))/(12*a*c*(a + c*x^4)) - ((3*c*d^2 + 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e + a*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(5//4)) + ((3*c*d^2 + 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e + a*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(5//4)) - ((3*c*d^2 - 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e + a*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(5//4)) + ((3*c*d^2 - 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e + a*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(5//4)), x, 11),
+((d + e*x^2)^1/(a + c*x^4)^2, (x*(d + e*x^2))/(4*a*(a + c*x^4)) - ((3*sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(3//4)) + ((3*sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(3//4)) - ((3*sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(3//4)) + ((3*sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(3//4)), x, 10),
+((d + e*x^2)^0/(a + c*x^4)^2, x/(4*a*(a + c*x^4)) - (3*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(1//4)) + (3*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(1//4)) - (3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(1//4)) + (3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(1//4)), x, 10),
+(1/((d + e*x^2)^1*(a + c*x^4)^2), (c*x*(d - e*x^2))/(4*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^4)) + (e^(7//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(d)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (c^(1//4)*e^2*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (c^(1//4)*(3*sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(1//4)*e^2*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (c^(1//4)*(3*sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(1//4)*e^2*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (c^(1//4)*(3*sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(1//4)*e^2*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (c^(1//4)*(3*sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)), x, 22),
+(1/((d + e*x^2)^2*(a + c*x^4)^2), (e^4*x)/(2*d*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x^2)) + (c*x*(c*d^2 - a*e^2 - 2*c*d*e*x^2))/(4*a*(c*d^2 + a*e^2)^2*(a + c*x^4)) + (4*c*sqrt(d)*e^(7//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(c*d^2 + a*e^2)^3 + (e^(7//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*d^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (c^(3//4)*e^2*(3*c*d^2 - 4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^3) - (c^(3//4)*(3*c*d^2 - 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - 3*a*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (c^(3//4)*e^2*(3*c*d^2 - 4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^3) + (c^(3//4)*(3*c*d^2 - 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - 3*a*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (c^(3//4)*e^2*(3*c*d^2 + 4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^3) - (c^(3//4)*(3*c*d^2 + 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - 3*a*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (c^(3//4)*e^2*(3*c*d^2 + 4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^3) + (c^(3//4)*(3*c*d^2 + 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - 3*a*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2), x, 24),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^q (a+c x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x^2)^4/sqrt(a + c*x^4), (e^2*(42*c*d^2 - 5*a*e^2)*x*sqrt(a + c*x^4))/(21*c^2) + (4*d*e^3*x^3*sqrt(a + c*x^4))/(5*c) + (e^4*x^5*sqrt(a + c*x^4))/(7*c) + (4*d*e*(5*c*d^2 - 3*a*e^2)*x*sqrt(a + c*x^4))/(5*c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (4*a^(1//4)*d*e*(5*c*d^2 - 3*a*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*c^(7//4)*sqrt(a + c*x^4)) + ((105*c^2*d^4 + 420*sqrt(a)*c^(3//2)*d^3*e - 210*a*c*d^2*e^2 - 252*a^(3//2)*sqrt(c)*d*e^3 + 25*a^2*e^4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(210*a^(1//4)*c^(9//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 6),
+((d + e*x^2)^3/sqrt(a + c*x^4), (d*e^2*x*sqrt(a + c*x^4))/c + (e^3*x^3*sqrt(a + c*x^4))/(5*c) + (3*e*(5*c*d^2 - a*e^2)*x*sqrt(a + c*x^4))/(5*c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (3*a^(1//4)*e*(5*c*d^2 - a*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*c^(7//4)*sqrt(a + c*x^4)) + (a^(1//4)*(15*c*d^2*e - 3*a*e^3 + (5*sqrt(c)*d*(c*d^2 - a*e^2))/sqrt(a))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(10*c^(7//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 5),
+((d + e*x^2)^2/sqrt(a + c*x^4), (e^2*x*sqrt(a + c*x^4))/(3*c) + (2*d*e*x*sqrt(a + c*x^4))/(sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (2*a^(1//4)*d*e*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)) + ((3*c*d^2 + 6*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - a*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(6*a^(1//4)*c^(5//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 4),
+((d + e*x^2)^1/sqrt(a + c*x^4), (e*x*sqrt(a + c*x^4))/(sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (a^(1//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)) + (a^(1//4)*((sqrt(c)*d)/sqrt(a) + e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 3),
+(1/((d + e*x^2)^1*sqrt(a + c*x^4)), (sqrt(e)*atan((sqrt(c*d^2 + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + c*x^4))))/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*sqrt(a + c*x^4)) - (a^(3//4)*((sqrt(c)*d)/sqrt(a) + e)^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*c^(1//4)*d*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(a + c*x^4)), x, 3),
+(1/((d + e*x^2)^2*sqrt(a + c*x^4)), -((sqrt(c)*e*x*sqrt(a + c*x^4))/(2*d*(c*d^2 + a*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2))) + (e^2*x*sqrt(a + c*x^4))/(2*d*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x^2)) + (sqrt(e)*(3*c*d^2 + a*e^2)*atan((sqrt(c*d^2 + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + c*x^4))))/(4*d^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)) + (a^(1//4)*c^(1//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*d*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^4)) + (c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*d*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*sqrt(a + c*x^4)) - ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(3*c*d^2 + a*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(8*a^(1//4)*c^(1//4)*d^2*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^4)), x, 6),
+(1/((d + e*x^2)^3*sqrt(a + c*x^4)), -((3*sqrt(c)*e*(3*c*d^2 + a*e^2)*x*sqrt(a + c*x^4))/(8*d^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2))) + (e^2*x*sqrt(a + c*x^4))/(4*d*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x^2)^2) + (3*e^2*(3*c*d^2 + a*e^2)*x*sqrt(a + c*x^4))/(8*d^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x^2)) + (3*sqrt(e)*(5*c^2*d^4 + 2*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4)*atan((sqrt(c*d^2 + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + c*x^4))))/(16*d^(5//2)*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)) + (3*a^(1//4)*c^(1//4)*e*(3*c*d^2 + a*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(8*d^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(a + c*x^4)) + (c^(1//4)*(4*c*d^2 - sqrt(a)*sqrt(c)*d*e + 3*a*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(8*a^(1//4)*d^2*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^4)) - (3*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(5*c^2*d^4 + 2*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(32*a^(1//4)*c^(1//4)*d^3*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(a + c*x^4)), x, 7),
+
+
+((d + e*x^2)^3/sqrt(a - c*x^4), -((d*e^2*x*sqrt(a - c*x^4))/c) - (e^3*x^3*sqrt(a - c*x^4))/(5*c) + (3*a^(3//4)*e*(5*c*d^2 + a*e^2)*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(5*c^(7//4)*sqrt(a - c*x^4)) + (a^(3//4)*((5*sqrt(c)*d*(c*d^2 + a*e^2))/sqrt(a) - 3*e*(5*c*d^2 + a*e^2))*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(5*c^(7//4)*sqrt(a - c*x^4)), x, 8),
+((d + e*x^2)^2/sqrt(a - c*x^4), -((e^2*x*sqrt(a - c*x^4))/(3*c)) + (2*a^(3//4)*d*e*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(c^(3//4)*sqrt(a - c*x^4)) + (a^(1//4)*(3*c*d^2 - 6*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e + a*e^2)*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(3*c^(5//4)*sqrt(a - c*x^4)), x, 7),
+((d + e*x^2)^1/sqrt(a - c*x^4), (a^(3//4)*e*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(c^(3//4)*sqrt(a - c*x^4)) + (a^(3//4)*((sqrt(c)*d)/sqrt(a) - e)*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(c^(3//4)*sqrt(a - c*x^4)), x, 6),
+(1/((d + e*x^2)^1*sqrt(a - c*x^4)), (a^(1//4)*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*e)/(sqrt(c)*d)), asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(c^(1//4)*d*sqrt(a - c*x^4)), x, 2),
+(1/((d + e*x^2)^2*sqrt(a - c*x^4)), -((e^2*x*sqrt(a - c*x^4))/(2*d*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x^2))) - (a^(3//4)*c^(1//4)*e*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(2*d*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(a - c*x^4)) - (a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(2*d*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*sqrt(a - c*x^4)) + (a^(1//4)*(3*c*d^2 - a*e^2)*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*e)/(sqrt(c)*d)), asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(2*c^(1//4)*d^2*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(a - c*x^4)), x, 10),
+(1/((d + e*x^2)^3*sqrt(a - c*x^4)), -((e^2*x*sqrt(a - c*x^4))/(4*d*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x^2)^2)) - (3*e^2*(3*c*d^2 - a*e^2)*x*sqrt(a - c*x^4))/(8*d^2*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x^2)) - (3*a^(3//4)*c^(1//4)*e*(3*c*d^2 - a*e^2)*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(8*d^2*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(a - c*x^4)) - (a^(1//4)*c^(1//4)*(7*c*d^2 - 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e - 3*a*e^2)*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(8*d^2*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(a - c*x^4)) + (3*a^(1//4)*(5*c^2*d^4 - 2*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4)*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*e)/(sqrt(c)*d)), asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(8*c^(1//4)*d^3*(c*d^2 - a*e^2)^2*sqrt(a - c*x^4)), x, 11),
+(1/((d + e*x^2)^4*sqrt(a - c*x^4)), -((e^2*x*sqrt(a - c*x^4))/(6*d*(c*d^2 - a*e^2)*(d + e*x^2)^3)) - (5*e^2*(3*c*d^2 - a*e^2)*x*sqrt(a - c*x^4))/(24*d^2*(c*d^2 - a*e^2)^2*(d + e*x^2)^2) - (e^2*(29*c^2*d^4 - 14*a*c*d^2*e^2 + 5*a^2*e^4)*x*sqrt(a - c*x^4))/(16*d^3*(c*d^2 - a*e^2)^3*(d + e*x^2)) - (a^(3//4)*c^(1//4)*e*(29*c^2*d^4 - 14*a*c*d^2*e^2 + 5*a^2*e^4)*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(16*d^3*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(a - c*x^4)) - (a^(1//4)*c^(1//4)*(57*c^2*d^4 - 30*sqrt(a)*c^(3//2)*d^3*e - 32*a*c*d^2*e^2 + 10*a^(3//2)*sqrt(c)*d*e^3 + 15*a^2*e^4)*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(48*d^3*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)^3*sqrt(a - c*x^4)) + (a^(1//4)*(35*c^3*d^6 - 7*a*c^2*d^4*e^2 + 17*a^2*c*d^2*e^4 - 5*a^3*e^6)*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*e)/(sqrt(c)*d)), asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(16*c^(1//4)*d^4*(c*d^2 - a*e^2)^3*sqrt(a - c*x^4)), x, 12),
+
+
+((d + e*x^2)/sqrt(-a + c*x^4), (a^(3//4)*e*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(c^(3//4)*sqrt(-a + c*x^4)) + (a^(3//4)*((sqrt(c)*d)/sqrt(a) - e)*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(c^(3//4)*sqrt(-a + c*x^4)), x, 6),
+(1/((d + e*x^2)*sqrt(-a + c*x^4)), (a^(1//4)*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(a)*e)/(sqrt(c)*d)), asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(c^(1//4)*d*sqrt(-a + c*x^4)), x, 2),
+
+
+((sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)/sqrt(-a + c*x^4), (a^(3//4)*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(c^(1//4)*sqrt(-a + c*x^4)), x, 3),
+((1 + sqrt(c/a)*x^2)/sqrt(-a + c*x^4), (sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((c/a)^(1//4)*x), -1))/((c/a)^(1//4)*sqrt(-a + c*x^4)), x, 3),
+
+
+((d + e*x^2)/sqrt(-a - c*x^4), -((e*x*sqrt(-a - c*x^4))/(sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2))) - (a^(1//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(c^(3//4)*sqrt(-a - c*x^4)) + (a^(1//4)*((sqrt(c)*d)/sqrt(a) + e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*c^(3//4)*sqrt(-a - c*x^4)), x, 3),
+(1/((d + e*x^2)*sqrt(-a - c*x^4)), (sqrt(e)*atan((sqrt((-c)*d^2 - a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(-a - c*x^4))))/(2*sqrt(d)*sqrt((-c)*d^2 - a*e^2)) + (c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*sqrt(-a - c*x^4)) - (a^(3//4)*((sqrt(c)*d)/sqrt(a) + e)^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*c^(1//4)*d*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(-a - c*x^4)), x, 3),
+
+
+(1/((a + b*x^2)*sqrt(4 - 5*x^4)), SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((2*b)/(sqrt(5)*a)), asin((5^(1//4)*x)/sqrt(2)), -1)/(sqrt(2)*5^(1//4)*a), x, 2),
+(1/((a + b*x^2)*sqrt(4 + 5*x^4)), (sqrt(b)*atan((sqrt(5*a^2 + 4*b^2)*x)/(sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(4 + 5*x^4))))/(2*sqrt(a)*sqrt(5*a^2 + 4*b^2)) + (5^(1//4)*(sqrt(5)*a + 2*b)*(2 + sqrt(5)*x^2)*sqrt((4 + 5*x^4)/(2 + sqrt(5)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((5^(1//4)*x)/sqrt(2)), 1//2))/(2*sqrt(2)*(5*a^2 - 4*b^2)*sqrt(4 + 5*x^4)) - ((sqrt(5)*a + 2*b)^2*(2 + sqrt(5)*x^2)*sqrt((4 + 5*x^4)/(2 + sqrt(5)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(5)*a - 2*b)^2/(8*sqrt(5)*a*b)), 2*atan((5^(1//4)*x)/sqrt(2)), 1//2))/(4*sqrt(2)*5^(1//4)*a*(5*a^2 - 4*b^2)*sqrt(4 + 5*x^4)), x, 3),
+
+(1/((a + b*x^2)*sqrt(4 - d*x^4)), SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((2*b)/(a*sqrt(d))), asin((d^(1//4)*x)/sqrt(2)), -1)/(sqrt(2)*a*d^(1//4)), x, 1),
+(1/((a + b*x^2)*sqrt(4 + d*x^4)), (sqrt(b)*atan((sqrt(4*b^2 + a^2*d)*x)/(sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(4 + d*x^4))))/(2*sqrt(a)*sqrt(4*b^2 + a^2*d)) - (d^(1//4)*(2 + sqrt(d)*x^2)*sqrt((4 + d*x^4)/(2 + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d^(1//4)*x)/sqrt(2)), 1//2))/(2*sqrt(2)*(2*b - a*sqrt(d))*sqrt(4 + d*x^4)) + ((2*b + a*sqrt(d))*(2 + sqrt(d)*x^2)*sqrt((4 + d*x^4)/(2 + sqrt(d)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((2*b - a*sqrt(d))^2/(8*a*b*sqrt(d))), 2*atan((d^(1//4)*x)/sqrt(2)), 1//2))/(4*sqrt(2)*a*(2*b - a*sqrt(d))*d^(1//4)*sqrt(4 + d*x^4)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^(q/2) (a+c x^4)^(p/2)
+
+
+(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(1 - x^4), (a*sqrt(1 - x^2)*sqrt((a*(1 + x^2))/(a + b*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(b/(a + b), asin((sqrt(a + b)*x)/sqrt(a + b*x^2)), -((a - b)/(a + b))))/(sqrt(a + b)*sqrt(1 + x^2)*sqrt((a*(1 - x^2))/(a + b*x^2))), x, -1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^q (a+c x^4)^p with p symbolic
+
+
+((c + e*x^2)^q*(a + b*x^4)^p, Unintegrable((c + e*x^2)^q*(a + b*x^4)^p, x), x, 0),
+
+
+((c + e*x^2)^3*(a + b*x^4)^p, (e^3*x^3*(a + b*x^4)^(1 + p))/(b*(7 + 4*p)) + (c^3*x*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//4, -p, 5//4, -((b*x^4)/a)))/(1 + (b*x^4)/a)^p - (e*(a*e^2 - b*c^2*(7 + 4*p))*x^3*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//4, -p, 7//4, -((b*x^4)/a)))/((1 + (b*x^4)/a)^p*(b*(7 + 4*p))) + ((3//5)*c*e^2*x^5*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//4, -p, 9//4, -((b*x^4)/a)))/(1 + (b*x^4)/a)^p, x, 9),
+((c + e*x^2)^2*(a + b*x^4)^p, (e^2*x*(a + b*x^4)^(1 + p))/(b*(5 + 4*p)) - ((a*e^2 - b*c^2*(5 + 4*p))*x*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//4, -p, 5//4, -((b*x^4)/a)))/((1 + (b*x^4)/a)^p*(b*(5 + 4*p))) + ((2//3)*c*e*x^3*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//4, -p, 7//4, -((b*x^4)/a)))/(1 + (b*x^4)/a)^p, x, 7),
+((c + e*x^2)^1*(a + b*x^4)^p, (c*x*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//4, -p, 5//4, -((b*x^4)/a)))/(1 + (b*x^4)/a)^p + ((1//3)*e*x^3*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//4, -p, 7//4, -((b*x^4)/a)))/(1 + (b*x^4)/a)^p, x, 6),
+((c + e*x^2)^0*(a + b*x^4)^p, (x*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//4, -p, 5//4, -((b*x^4)/a)))/(1 + (b*x^4)/a)^p, x, 2),
+((a + b*x^4)^p/(c + e*x^2)^1, (x*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//4, -p, 1, 5//4, -((b*x^4)/a), (e^2*x^4)/c^2))/((1 + (b*x^4)/a)^p*c) - (e*x^3*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, -p, 1, 7//4, -((b*x^4)/a), (e^2*x^4)/c^2))/((1 + (b*x^4)/a)^p*(3*c^2)), x, 6),
+((a + b*x^4)^p/(c + e*x^2)^2, (x*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//4, -p, 2, 5//4, -((b*x^4)/a), (e^2*x^4)/c^2))/((1 + (b*x^4)/a)^p*c^2) - (2*e*x^3*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, -p, 2, 7//4, -((b*x^4)/a), (e^2*x^4)/c^2))/((1 + (b*x^4)/a)^p*(3*c^3)) + (e^2*x^5*(a + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(5//4, -p, 2, 9//4, -((b*x^4)/a), (e^2*x^4)/c^2))/((1 + (b*x^4)/a)^p*(5*c^4)), x, 8),
+
+
+((1 - x^2)^3*(1 + b*x^4)^p, -((x^3*(1 + b*x^4)^(1 + p))/(b*(7 + 4*p))) + x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//4, -p, 5//4, (-b)*x^4) + ((1 - b*(7 + 4*p))*x^3*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//4, -p, 7//4, (-b)*x^4))/(b*(7 + 4*p)) + (3//5)*x^5*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//4, -p, 9//4, (-b)*x^4), x, 6),
+((1 - x^2)^2*(1 + b*x^4)^p, (x*(1 + b*x^4)^(1 + p))/(b*(5 + 4*p)) - ((1 - b*(5 + 4*p))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//4, -p, 5//4, (-b)*x^4))/(b*(5 + 4*p)) - (2//3)*x^3*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//4, -p, 7//4, (-b)*x^4), x, 5),
+((1 - x^2)^1*(1 + b*x^4)^p, x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//4, -p, 5//4, (-b)*x^4) - (1//3)*x^3*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//4, -p, 7//4, (-b)*x^4), x, 4),
+((1 - x^2)^0*(1 + b*x^4)^p, x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//4, -p, 5//4, (-b)*x^4), x, 1),
+((1 + b*x^4)^p/(1 - x^2)^1, x*SymbolicIntegration.appell_f1(1//4, 1, -p, 5//4, x^4, (-b)*x^4) + (1//3)*x^3*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, 1, -p, 7//4, x^4, (-b)*x^4), x, 4),
+((1 + b*x^4)^p/(1 - x^2)^2, x*SymbolicIntegration.appell_f1(1//4, 2, -p, 5//4, x^4, (-b)*x^4) + (2//3)*x^3*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, 2, -p, 7//4, x^4, (-b)*x^4) + (1//5)*x^5*SymbolicIntegration.appell_f1(5//4, 2, -p, 9//4, x^4, (-b)*x^4), x, 5),
+((1 + b*x^4)^p/(1 - x^2)^3, x*SymbolicIntegration.appell_f1(1//4, 3, -p, 5//4, x^4, (-b)*x^4) + x^3*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, 3, -p, 7//4, x^4, (-b)*x^4) + (3//5)*x^5*SymbolicIntegration.appell_f1(5//4, 3, -p, 9//4, x^4, (-b)*x^4) + (1//7)*x^7*SymbolicIntegration.appell_f1(7//4, 3, -p, 11//4, x^4, (-b)*x^4), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p with b=0 and c d^2+a e^2=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^q (d^2-e^2 x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x^2)^4/(d^2 - e^2*x^4), -7*d^2*x - (4//3)*d*e*x^3 - (e^2*x^5)/5 + (8*d^(5//2)*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/sqrt(e), x, 4),
+((d + e*x^2)^3/(d^2 - e^2*x^4), -3*d*x - (e*x^3)/3 + (4*d^(3//2)*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/sqrt(e), x, 4),
+((d + e*x^2)^2/(d^2 - e^2*x^4), -x + (2*sqrt(d)*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/sqrt(e), x, 3),
+((d + e*x^2)^1/(d^2 - e^2*x^4), atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d))/(sqrt(d)*sqrt(e)), x, 2),
+(1/((d + e*x^2)^1*(d^2 - e^2*x^4)), x/(4*d^2*(d + e*x^2)) + atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d))/(2*d^(5//2)*sqrt(e)) + atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d))/(4*d^(5//2)*sqrt(e)), x, 5),
+(1/((d + e*x^2)^2*(d^2 - e^2*x^4)), x/(8*d^2*(d + e*x^2)^2) + (5*x)/(16*d^3*(d + e*x^2)) + (7*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(16*d^(7//2)*sqrt(e)) + atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d))/(8*d^(7//2)*sqrt(e)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^(q/2) (d^2-e^2 x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x^2)^(3//2)/(d^2 - e^2*x^4), -(atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2))/sqrt(e)) + (sqrt(2)*atanh((sqrt(2)*sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/sqrt(e), x, 6),
+((d + e*x^2)^(1//2)/(d^2 - e^2*x^4), atanh((sqrt(2)*sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2))/(sqrt(2)*d*sqrt(e)), x, 3),
+(1/((d + e*x^2)^(1//2)*(d^2 - e^2*x^4)), x/(2*d^2*sqrt(d + e*x^2)) + atanh((sqrt(2)*sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2))/(2*sqrt(2)*d^2*sqrt(e)), x, 4),
+(1/((d + e*x^2)^(3//2)*(d^2 - e^2*x^4)), x/(6*d^2*(d + e*x^2)^(3//2)) + (7*x)/(12*d^3*sqrt(d + e*x^2)) + atanh((sqrt(2)*sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2))/(4*sqrt(2)*d^3*sqrt(e)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^(q/2) (d^2-e^2 x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((a + b*x^2)^(5//2)/sqrt(a^2 - b^2*x^4), -((9*a*x*(a - b*x^2)*sqrt(a + b*x^2))/(8*sqrt(a^2 - b^2*x^4))) - (x*(a - b*x^2)*(a + b*x^2)^(3//2))/(4*sqrt(a^2 - b^2*x^4)) + (19*a^2*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a - b*x^2)))/(8*sqrt(b)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)), x, 5),
+((a + b*x^2)^(3//2)/sqrt(a^2 - b^2*x^4), -((x*(a - b*x^2)*sqrt(a + b*x^2))/(2*sqrt(a^2 - b^2*x^4))) + (3*a*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a - b*x^2)))/(2*sqrt(b)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)), x, 4),
+((a + b*x^2)^(1//2)/sqrt(a^2 - b^2*x^4), (sqrt(a - b*x^2)*sqrt(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a - b*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)), x, 3),
+(1/((a + b*x^2)^(1//2)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)), (sqrt(a - b*x^2)*sqrt(a + b*x^2)*atan((sqrt(2)*sqrt(b)*x)/sqrt(a - b*x^2)))/(sqrt(2)*a*sqrt(b)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)), x, 3),
+(1/((a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)), (x*(a - b*x^2))/(4*a^2*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)) + (3*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(a + b*x^2)*atan((sqrt(2)*sqrt(b)*x)/sqrt(a - b*x^2)))/(4*sqrt(2)*a^2*sqrt(b)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)), x, 4),
+(1/((a + b*x^2)^(5//2)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)), (x*(a - b*x^2))/(8*a^2*(a + b*x^2)^(3//2)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)) + (9*x*(a - b*x^2))/(32*a^3*sqrt(a + b*x^2)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)) + (19*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(a + b*x^2)*atan((sqrt(2)*sqrt(b)*x)/sqrt(a - b*x^2)))/(32*sqrt(2)*a^3*sqrt(b)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)), x, 6),
+
+
+((a - b*x^2)^(5//2)/sqrt(a^2 - b^2*x^4), -((9*a*x*sqrt(a - b*x^2)*(a + b*x^2))/(8*sqrt(a^2 - b^2*x^4))) - (x*(a - b*x^2)^(3//2)*(a + b*x^2))/(4*sqrt(a^2 - b^2*x^4)) + (19*a^2*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(a + b*x^2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(8*sqrt(b)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)), x, 5),
+((a - b*x^2)^(3//2)/sqrt(a^2 - b^2*x^4), -((x*sqrt(a - b*x^2)*(a + b*x^2))/(2*sqrt(a^2 - b^2*x^4))) + (3*a*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(a + b*x^2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(2*sqrt(b)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)), x, 4),
+((a - b*x^2)^(1//2)/sqrt(a^2 - b^2*x^4), (sqrt(a - b*x^2)*sqrt(a + b*x^2)*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)), x, 3),
+(1/((a - b*x^2)^(1//2)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)), (sqrt(a - b*x^2)*sqrt(a + b*x^2)*atanh((sqrt(2)*sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(sqrt(2)*a*sqrt(b)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)), x, 3),
+(1/((a - b*x^2)^(3//2)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)), (x*(a + b*x^2))/(4*a^2*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)) + (3*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(a + b*x^2)*atanh((sqrt(2)*sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(4*sqrt(2)*a^2*sqrt(b)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)), x, 4),
+(1/((a - b*x^2)^(5//2)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)), (x*(a + b*x^2))/(8*a^2*(a - b*x^2)^(3//2)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)) + (9*x*(a + b*x^2))/(32*a^3*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)) + (19*sqrt(a - b*x^2)*sqrt(a + b*x^2)*atanh((sqrt(2)*sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(32*sqrt(2)*a^3*sqrt(b)*sqrt(a^2 - b^2*x^4)), x, 6),
+
+
+(sqrt(-1 + x^2)/sqrt(-1 + x^4), (sqrt(-1 + x^2)*sqrt(1 + x^2)*asinh(x))/sqrt(-1 + x^4), x, 2),
+# {Sqrt[1 + x^2]/Sqrt[-1 + x^4], x, 3, -((Sqrt[-1 + x^4]*ArcSin[x])/Sqrt[1 - x^4]), (Sqrt[-1 + x^2]*Sqrt[1 + x^2]*ArcTanh[x/Sqrt[-1 + x^2]])/Sqrt[-1 + x^4]}
+
+
+# {(-Sqrt[-1 + x^2] + Sqrt[1 + x^2])/Sqrt[-1 + x^4], x, 7, -((Sqrt[-1 + x^4]*ArcSin[x])/(Sqrt[1 - x^2]*Sqrt[1 + x^2])) + (Sqrt[-1 + x^2]*Sqrt[-1 + x^4]*ArcSinh[x])/((1 - x^2)*Sqrt[1 + x^2]), -((Sqrt[-1 + x^2]*Sqrt[1 + x^2]*ArcSinh[x])/Sqrt[-1 + x^4]) + (Sqrt[-1 + x^2]*Sqrt[1 + x^2]*ArcTanh[x/Sqrt[-1 + x^2]])/Sqrt[-1 + x^4]}
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p with c d^2-b d e+a e^2=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^q (-c d^2+b d e+b e^2 x^2+c e^2 x^4)^p
+
+
+((d + e*x^2)^4/(-c*d^2 + b*d*e + b*e^2*x^2 + c*e^2*x^4), ((7*c^2*d^2 - 5*b*c*d*e + b^2*e^2)*x)/c^3 + (e*(4*c*d - b*e)*x^3)/(3*c^2) + (e^2*x^5)/(5*c) - ((2*c*d - b*e)^3*atanh((sqrt(c)*sqrt(e)*x)/sqrt(c*d - b*e)))/(c^(7//2)*sqrt(e)*sqrt(c*d - b*e)), x, 4),
+((d + e*x^2)^3/(-c*d^2 + b*d*e + b*e^2*x^2 + c*e^2*x^4), ((3*c*d - b*e)*x)/c^2 + (e*x^3)/(3*c) - ((2*c*d - b*e)^2*atanh((sqrt(c)*sqrt(e)*x)/sqrt(c*d - b*e)))/(c^(5//2)*sqrt(e)*sqrt(c*d - b*e)), x, 4),
+((d + e*x^2)^2/(-c*d^2 + b*d*e + b*e^2*x^2 + c*e^2*x^4), x/c - ((2*c*d - b*e)*atanh((sqrt(c)*sqrt(e)*x)/sqrt(c*d - b*e)))/(c^(3//2)*sqrt(e)*sqrt(c*d - b*e)), x, 3),
+((d + e*x^2)^1/(-c*d^2 + b*d*e + b*e^2*x^2 + c*e^2*x^4), -(atanh((sqrt(c)*sqrt(e)*x)/sqrt(c*d - b*e))/(sqrt(c)*sqrt(e)*sqrt(c*d - b*e))), x, 2),
+(1/((d + e*x^2)^1*(-c*d^2 + b*d*e + b*e^2*x^2 + c*e^2*x^4)), -(x/(2*d*(2*c*d - b*e)*(d + e*x^2))) - ((4*c*d - b*e)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*d^(3//2)*sqrt(e)*(2*c*d - b*e)^2) - (c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(e)*x)/sqrt(c*d - b*e)))/(sqrt(e)*sqrt(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)^2), x, 5),
+(1/((d + e*x^2)^2*(-c*d^2 + b*d*e + b*e^2*x^2 + c*e^2*x^4)), -(x/(4*d*(2*c*d - b*e)*(d + e*x^2)^2)) - ((10*c*d - 3*b*e)*x)/(8*d^2*(2*c*d - b*e)^2*(d + e*x^2)) - ((28*c^2*d^2 - 16*b*c*d*e + 3*b^2*e^2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(8*d^(5//2)*sqrt(e)*(2*c*d - b*e)^3) - (c^(5//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt(e)*x)/sqrt(c*d - b*e)))/(sqrt(e)*sqrt(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)^3), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^(q/2) (-c d^2+b d e+b e^2 x^2+c e^2 x^4)^p
+
+
+((d + e*x^2)^(5//2)/(-c*d^2 + b*d*e + b*e^2*x^2 + c*e^2*x^4), (x*sqrt(d + e*x^2))/(2*c) + ((5*c*d - 2*b*e)*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(2*c^2*sqrt(e)) - ((2*c*d - b*e)^(3//2)*atanh((sqrt(e)*sqrt(2*c*d - b*e)*x)/(sqrt(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x^2))))/(c^2*sqrt(e)*sqrt(c*d - b*e)), x, 7),
+((d + e*x^2)^(3//2)/(-c*d^2 + b*d*e + b*e^2*x^2 + c*e^2*x^4), atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2))/(c*sqrt(e)) - (sqrt(2*c*d - b*e)*atanh((sqrt(e)*sqrt(2*c*d - b*e)*x)/(sqrt(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x^2))))/(c*sqrt(e)*sqrt(c*d - b*e)), x, 6),
+((d + e*x^2)^(1//2)/(-c*d^2 + b*d*e + b*e^2*x^2 + c*e^2*x^4), -(atanh((sqrt(e)*sqrt(2*c*d - b*e)*x)/(sqrt(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x^2)))/(sqrt(e)*sqrt(c*d - b*e)*sqrt(2*c*d - b*e))), x, 3),
+(1/((d + e*x^2)^(1//2)*(-c*d^2 + b*d*e + b*e^2*x^2 + c*e^2*x^4)), -(x/(d*(2*c*d - b*e)*sqrt(d + e*x^2))) - (c*atanh((sqrt(e)*sqrt(2*c*d - b*e)*x)/(sqrt(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x^2))))/(sqrt(e)*sqrt(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)^(3//2)), x, 4),
+(1/((d + e*x^2)^(3//2)*(-c*d^2 + b*d*e + b*e^2*x^2 + c*e^2*x^4)), -(x/(3*d*(2*c*d - b*e)*(d + e*x^2)^(3//2))) - ((7*c*d - 2*b*e)*x)/(3*d^2*(2*c*d - b*e)^2*sqrt(d + e*x^2)) - (c^2*atanh((sqrt(e)*sqrt(2*c*d - b*e)*x)/(sqrt(c*d - b*e)*sqrt(d + e*x^2))))/(sqrt(e)*sqrt(c*d - b*e)*(2*c*d - b*e)^(5//2)), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p with c d^2-a e^2=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^(p/2) with c d^2-a e^2=0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((1 + x^2)^3*sqrt(1 + x^2 + x^4), (26*x*sqrt(1 + x^2 + x^4))/(45*(1 + x^2)) + (2//45)*x*(7 + 6*x^2)*sqrt(1 + x^2 + x^4) + (1//3)*x*(1 + x^2 + x^4)^(3//2) + (1//9)*x^3*(1 + x^2 + x^4)^(3//2) - (26*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//4))/(45*sqrt(1 + x^2 + x^4)) + (7*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//4))/(15*sqrt(1 + x^2 + x^4)), x, 6),
+((1 + x^2)^2*sqrt(1 + x^2 + x^4), (2*x*sqrt(1 + x^2 + x^4))/(3*(1 + x^2)) + (2//21)*x*(4 + 3*x^2)*sqrt(1 + x^2 + x^4) + (1//7)*x*(1 + x^2 + x^4)^(3//2) - (2*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//4))/(3*sqrt(1 + x^2 + x^4)) + (4*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//4))/(7*sqrt(1 + x^2 + x^4)), x, 5),
+((1 + x^2)^1*sqrt(1 + x^2 + x^4), (3*x*sqrt(1 + x^2 + x^4))/(5*(1 + x^2)) + (1//5)*x*(2 + x^2)*sqrt(1 + x^2 + x^4) - (3*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//4))/(5*sqrt(1 + x^2 + x^4)) + (3*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//4))/(5*sqrt(1 + x^2 + x^4)), x, 4),
+(sqrt(1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^1, (x*sqrt(1 + x^2 + x^4))/(1 + x^2) + (1//2)*atan(x/sqrt(1 + x^2 + x^4)) - ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//4))/sqrt(1 + x^2 + x^4) + (3*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//4))/(4*sqrt(1 + x^2 + x^4)), x, 8),
+(sqrt(1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2, ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//4))/(2*sqrt(1 + x^2 + x^4)), x, 1),
+(sqrt(1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^3, (x*sqrt(1 + x^2 + x^4))/(4*(1 + x^2)^2) + (1//4)*atan(x/sqrt(1 + x^2 + x^4)) + ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//4))/(4*sqrt(1 + x^2 + x^4)), x, 23),
+(sqrt(1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^4, (x*sqrt(1 + x^2 + x^4))/(6*(1 + x^2)^3) + (x*sqrt(1 + x^2 + x^4))/(6*(1 + x^2)^2) + (1//4)*atan(x/sqrt(1 + x^2 + x^4)) + ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//4))/(3*sqrt(1 + x^2 + x^4)) - ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//4))/(8*sqrt(1 + x^2 + x^4)), x, 26),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((1 + x^2)^3/sqrt(1 + x^2 + x^4), (11//15)*x*sqrt(1 + x^2 + x^4) + (1//5)*x^3*sqrt(1 + x^2 + x^4) + (14*x*sqrt(1 + x^2 + x^4))/(15*(1 + x^2)) - (14*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//4))/(15*sqrt(1 + x^2 + x^4)) + (3*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//4))/(5*sqrt(1 + x^2 + x^4)), x, 5),
+((1 + x^2)^2/sqrt(1 + x^2 + x^4), (1//3)*x*sqrt(1 + x^2 + x^4) + (4*x*sqrt(1 + x^2 + x^4))/(3*(1 + x^2)) - (4*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//4))/(3*sqrt(1 + x^2 + x^4)) + ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//4))/sqrt(1 + x^2 + x^4), x, 4),
+((1 + x^2)^1/sqrt(1 + x^2 + x^4), (x*sqrt(1 + x^2 + x^4))/(1 + x^2) - ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//4))/sqrt(1 + x^2 + x^4) + ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//4))/sqrt(1 + x^2 + x^4), x, 3),
+(1/((1 + x^2)^1*sqrt(1 + x^2 + x^4)), (1//2)*atan(x/sqrt(1 + x^2 + x^4)) + ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//4))/(4*sqrt(1 + x^2 + x^4)), x, 4),
+(1/((1 + x^2)^2*sqrt(1 + x^2 + x^4)), (1//2)*atan(x/sqrt(1 + x^2 + x^4)) + ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//4))/(2*sqrt(1 + x^2 + x^4)) - ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//4))/(4*sqrt(1 + x^2 + x^4)), x, 8),
+(1/((1 + x^2)^3*sqrt(1 + x^2 + x^4)), (x*sqrt(1 + x^2 + x^4))/(4*(1 + x^2)^2) + (1//4)*atan(x/sqrt(1 + x^2 + x^4)) + (3*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//4))/(4*sqrt(1 + x^2 + x^4)) - ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//4))/(2*sqrt(1 + x^2 + x^4)), x, 9),
+
+
+((1 + x^2)^3/(1 + x^2 + x^4)^(3//2), -((x*(1 - x^2))/(3*sqrt(1 + x^2 + x^4))) + (2*x*sqrt(1 + x^2 + x^4))/(3*(1 + x^2)) - (2*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//4))/(3*sqrt(1 + x^2 + x^4)) + ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//4))/sqrt(1 + x^2 + x^4), x, 4),
+((1 + x^2)^2/(1 + x^2 + x^4)^(3//2), (x*(1 + 2*x^2))/(3*sqrt(1 + x^2 + x^4)) - (2*x*sqrt(1 + x^2 + x^4))/(3*(1 + x^2)) + (2*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//4))/(3*sqrt(1 + x^2 + x^4)), x, 2),
+((1 + x^2)^1/(1 + x^2 + x^4)^(3//2), (x*(2 + x^2))/(3*sqrt(1 + x^2 + x^4)) - (x*sqrt(1 + x^2 + x^4))/(3*(1 + x^2)) + ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//4))/(3*sqrt(1 + x^2 + x^4)), x, 2),
+(1/((1 + x^2)^1*(1 + x^2 + x^4)^(3//2)), -((x*(1 + 2*x^2))/(3*sqrt(1 + x^2 + x^4))) + (2*x*sqrt(1 + x^2 + x^4))/(3*(1 + x^2)) + (1//2)*atan(x/sqrt(1 + x^2 + x^4)) - (2*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//4))/(3*sqrt(1 + x^2 + x^4)) + (3*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//4))/(4*sqrt(1 + x^2 + x^4)), x, 9),
+(1/((1 + x^2)^2*(1 + x^2 + x^4)^(3//2)), -((x*(2 + x^2))/(3*sqrt(1 + x^2 + x^4))) + (x*sqrt(1 + x^2 + x^4))/(3*(1 + x^2)) + atan(x/sqrt(1 + x^2 + x^4)) + ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//4))/(6*sqrt(1 + x^2 + x^4)), x, 16),
+(1/((1 + x^2)^3*(1 + x^2 + x^4)^(3//2)), -((x*(1 - x^2))/(3*sqrt(1 + x^2 + x^4))) + (x*sqrt(1 + x^2 + x^4))/(4*(1 + x^2)^2) - (x*sqrt(1 + x^2 + x^4))/(3*(1 + x^2)) + (3//4)*atan(x/sqrt(1 + x^2 + x^4)) + (19*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x), 1//4))/(12*sqrt(1 + x^2 + x^4)) - (5*(1 + x^2)*sqrt((1 + x^2 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//4))/(4*sqrt(1 + x^2 + x^4)), x, 23),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a + b*x^2 + c*x^4)*(d + e*x^2)^4, a*d^4*x + (d^3*(b*d + 4*a*e)*x^3)/3 + (d^2*(c*d^2 + 4*b*d*e + 6*a*e^2)*x^5)/5 + (2*d*e*(2*c*d^2 + e*(3*b*d + 2*a*e))*x^7)/7 + (e^2*(6*c*d^2 + e*(4*b*d + a*e))*x^9)/9 + (e^3*(4*c*d + b*e)*x^11)/11 + (c*e^4*x^13)/13, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)*(d + e*x^2)^3, a*d^3*x + (d^2*(b*d + 3*a*e)*x^3)/3 + (d*(c*d^2 + 3*e*(b*d + a*e))*x^5)/5 + (e*(3*c*d^2 + e*(3*b*d + a*e))*x^7)/7 + (e^2*(3*c*d + b*e)*x^9)/9 + (c*e^3*x^11)/11, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)*(d + e*x^2)^2, a*d^2*x + (d*(b*d + 2*a*e)*x^3)/3 + ((c*d^2 + e*(2*b*d + a*e))*x^5)/5 + (e*(2*c*d + b*e)*x^7)/7 + (c*e^2*x^9)/9, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)*(d + e*x^2)^1, a*d*x + ((b*d + a*e)*x^3)/3 + ((c*d + b*e)*x^5)/5 + (c*e*x^7)/7, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^1, -(((c*d - b*e)*x)/e^2) + (c*x^3)/(3*e) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(d)*e^(5//2)), x, 3),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^2, (c*x)/e^2 + ((a + (d*(c*d - b*e))/e^2)*x)/(2*d*(d + e*x^2)) - ((3*c*d^2 - e*(b*d + a*e))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*d^(3//2)*e^(5//2)), x, 3),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^3, ((a + (d*(c*d - b*e))/e^2)*x)/(4*d*(d + e*x^2)^2) - ((5*c*d^2 - e*(b*d + 3*a*e))*x)/(8*d^2*e^2*(d + e*x^2)) + ((3*c*d^2 + e*(b*d + 3*a*e))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(8*d^(5//2)*e^(5//2)), x, 3),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^4, ((a + (d*(c*d - b*e))/e^2)*x)/(6*d*(d + e*x^2)^3) - ((7*c*d^2 - e*(b*d + 5*a*e))*x)/(24*d^2*e^2*(d + e*x^2)^2) + ((c*d^2 + e*(b*d + 5*a*e))*x)/(16*d^3*e^2*(d + e*x^2)) + ((c*d^2 + e*(b*d + 5*a*e))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(16*d^(7//2)*e^(5//2)), x, 4),
+
+
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2*(d + e*x^2)^3, a^2*d^3*x + (1//3)*a*d^2*(2*b*d + 3*a*e)*x^3 + (1//5)*d*(b^2*d^2 + 6*a*b*d*e + a*(2*c*d^2 + 3*a*e^2))*x^5 + (1//7)*(2*b*c*d^3 + 3*b^2*d^2*e + 6*a*c*d^2*e + 6*a*b*d*e^2 + a^2*e^3)*x^7 + (1//9)*(c^2*d^3 + 6*c*d*e*(b*d + a*e) + b*e^2*(3*b*d + 2*a*e))*x^9 + (1//11)*e*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 + 2*c*e*(3*b*d + a*e))*x^11 + (1//13)*c*e^2*(3*c*d + 2*b*e)*x^13 + (1//15)*c^2*e^3*x^15, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2*(d + e*x^2)^2, a^2*d^2*x + (2//3)*a*d*(b*d + a*e)*x^3 + (1//5)*(b^2*d^2 + 4*a*b*d*e + a*(2*c*d^2 + a*e^2))*x^5 + (2//7)*(b*c*d^2 + b^2*d*e + 2*a*c*d*e + a*b*e^2)*x^7 + (1//9)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 + 2*c*e*(2*b*d + a*e))*x^9 + (2//11)*c*e*(c*d + b*e)*x^11 + (1//13)*c^2*e^2*x^13, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2*(d + e*x^2)^1, a^2*d*x + (1//3)*a*(2*b*d + a*e)*x^3 + (1//5)*(b^2*d + 2*a*c*d + 2*a*b*e)*x^5 + (1//7)*(2*b*c*d + b^2*e + 2*a*c*e)*x^7 + (1//9)*c*(c*d + 2*b*e)*x^9 + (1//11)*c^2*e*x^11, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2*(d + e*x^2)^0, a^2*x + (2//3)*a*b*x^3 + (1//5)*(b^2 + 2*a*c)*x^5 + (2//7)*b*c*x^7 + (c^2*x^9)/9, x, 2),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/(d + e*x^2)^1, -(((c*d - b*e)*(c*d^2 - e*(b*d - 2*a*e))*x)/e^4) + ((c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d - a*e))*x^3)/(3*e^3) - (c*(c*d - 2*b*e)*x^5)/(5*e^2) + (c^2*x^7)/(7*e) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(d)*e^(9//2)), x, 3),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/(d + e*x^2)^2, ((3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(2*b*d - a*e))*x)/e^4 - (2*c*(c*d - b*e)*x^3)/(3*e^3) + (c^2*x^5)/(5*e^2) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*x)/(2*d*e^4*(d + e*x^2)) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(7*c*d^2 - e*(3*b*d + a*e))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*d^(3//2)*e^(9//2)), x, 4),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/(d + e*x^2)^3, -((c*(3*c*d - 2*b*e)*x)/e^4) + (c^2*x^3)/(3*e^3) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*x)/(4*d*e^4*(d + e*x^2)^2) - ((13*c*d^2 - 5*b*d*e - 3*a*e^2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(8*d^2*e^4*(d + e*x^2)) + ((35*c^2*d^4 - 6*c*d^2*e*(5*b*d - a*e) + e^2*(3*b^2*d^2 + 2*a*b*d*e + 3*a^2*e^2))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(8*d^(5//2)*e^(9//2)), x, 5),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/(d + e*x^2)^4, (c^2*x)/e^4 + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*x)/(6*d*e^4*(d + e*x^2)^3) - ((19*c*d^2 - 7*b*d*e - 5*a*e^2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(24*d^2*e^4*(d + e*x^2)^2) + ((29*c^2*d^4 - 2*c*d^2*e*(11*b*d - a*e) + e^2*(b^2*d^2 + 2*a*b*d*e + 5*a^2*e^2))*x)/(16*d^3*e^4*(d + e*x^2)) - ((35*c^2*d^4 - 2*c*d^2*e*(5*b*d + a*e) - e^2*(b^2*d^2 + 2*a*b*d*e + 5*a^2*e^2))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(16*d^(7//2)*e^(9//2)), x, 5),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^2/(d + e*x^2)^5, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*x)/(8*d*e^4*(d + e*x^2)^4) - ((25*c*d^2 - 9*b*d*e - 7*a*e^2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(48*d^2*e^4*(d + e*x^2)^3) + ((163*c^2*d^4 - 2*c*d^2*e*(59*b*d - 3*a*e) + e^2*(3*b^2*d^2 + 10*a*b*d*e + 35*a^2*e^2))*x)/(192*d^3*e^4*(d + e*x^2)^2) - ((93*c^2*d^4 - 2*c*d^2*e*(5*b*d + 3*a*e) - e^2*(3*b^2*d^2 + 10*a*b*d*e + 35*a^2*e^2))*x)/(128*d^4*e^4*(d + e*x^2)) + ((35*c^2*d^4 + 2*c*d^2*e*(5*b*d + 3*a*e) + e^2*(3*b^2*d^2 + 10*a*b*d*e + 35*a^2*e^2))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(128*d^(9//2)*e^(9//2)), x, 5),
+
+
+# Following integrands are equal:
+((a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^2, (c*x)/e^2 + ((a + (d*(c*d - b*e))/e^2)*x)/(2*d*(d + e*x^2)) - ((3*c*d^2 - e*(b*d + a*e))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*d^(3//2)*e^(5//2)), x, 3),
+((a + x^2*(b + c*x^2))/(d + e*x^2)^2, (c*x)/e^2 + ((a + (d*(c*d - b*e))/e^2)*x)/(2*d*(d + e*x^2)) - ((3*c*d^2 - e*(b*d + a*e))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*d^(3//2)*e^(5//2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x^2)^4/(a + b*x^2 + c*x^4), (e^2*(6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(4*b*d + a*e))*x)/c^3 + (e^3*(4*c*d - b*e)*x^3)/(3*c^2) + (e^4*x^5)/(5*c) + ((e*(2*c*d - b*e)*(2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e)) + (2*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(b*d + a*e) - 4*c^3*d^2*e*(b*d + 3*a*e) + 2*c^2*e^2*(3*b^2*d^2 + 6*a*b*d*e + a^2*e^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(7//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((e*(2*c*d - b*e)*(2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e)) - (2*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(b*d + a*e) - 4*c^3*d^2*e*(b*d + 3*a*e) + 2*c^2*e^2*(3*b^2*d^2 + 6*a*b*d*e + a^2*e^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(7//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+((d + e*x^2)^3/(a + b*x^2 + c*x^4), (e^2*(3*c*d - b*e)*x)/c^2 + (e^3*x^3)/(3*c) + ((e*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + a*e)) + ((2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e)))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((e*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + a*e)) - ((2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e)))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+((d + e*x^2)^2/(a + b*x^2 + c*x^4), (e^2*x)/c + ((e*(2*c*d - b*e) + (2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((e*(2*c*d - b*e) - (2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+((d + e*x^2)^1/(a + b*x^2 + c*x^4), ((e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 3),
+((d + e*x^2)^0/(a + b*x^2 + c*x^4), (sqrt(2)*sqrt(c)*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(2)*sqrt(c)*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 3),
+(1/((d + e*x^2)^1*(a + b*x^2 + c*x^4)), -((sqrt(c)*(e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))) - (sqrt(c)*(e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (e^(3//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(d)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 6),
+(1/((d + e*x^2)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)), (e^2*x)/(2*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x^2)) + (sqrt(c)*(2*c^2*d^2 + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) - (sqrt(c)*(2*c^2*d^2 + b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + (e^(3//2)*(2*c*d - b*e)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(d)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + (e^(3//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*d^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 8),
+
+
+((d + e*x^2)^3/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (x*(c*(b^2*d^3 - 2*a*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) - (a*b*e*(3*c*d^2 + a*e^2))/c) - (a*b^2*e^3 + 2*a*c*e*(3*c*d^2 - a*e^2) - b*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2))*x^2))/(2*a*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((a*b^3*e^3 + 6*a*c*(2*c*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)*(c*d^2 + a*e^2) - b^2*(c^2*d^3 - 3*a*c*d*e^2 + a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^3) - b*c*(a*e^2*(3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 8*a*e) + c*d^2*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 12*a*e)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((a*b^3*e^3 + 6*a*c*(2*c*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)*(c*d^2 + a*e^2) - b^2*(c^2*d^3 - 3*a*c*d*e^2 - a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^3) + b*c*(c*d^2*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 12*a*e) + a*e^2*(3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 8*a*e)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+((d + e*x^2)^2/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (x*(b^2*d^2 - 2*a*b*d*e - 2*a*(c*d^2 - a*e^2) + (b*c*d^2 - 4*a*c*d*e + a*b*e^2)*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b*c*d^2 - 4*a*c*d*e + a*b*e^2 + (8*a*b*c*d*e + b^2*(c*d^2 - a*e^2) - 4*a*c*(3*c*d^2 + a*e^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b*c*d^2 - 4*a*c*d*e + a*b*e^2 - (8*a*b*c*d*e + b^2*(c*d^2 - a*e^2) - 4*a*c*(3*c*d^2 + a*e^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+((d + e*x^2)^1/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (x*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e + c*(b*d - 2*a*e)*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(c)*(b*d - 2*a*e + (b^2*d - 12*a*c*d + 4*a*b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(b*d - 2*a*e - (b^2*d - 12*a*c*d + 4*a*b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+((d + e*x^2)^0/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (x*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(c)*(b^2 - 12*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(b^2 - 12*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+(1/((d + e*x^2)^1*(a + b*x^2 + c*x^4)^2), (x*(b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e + c*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (sqrt(c)*e^2*(e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + (sqrt(c)*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + (b^2*c*d - 12*a*c^2*d - b^3*e + 8*a*b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - (sqrt(c)*e^2*(e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + (sqrt(c)*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e - (b^2*c*d - 12*a*c^2*d - b^3*e + 8*a*b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (e^(7//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(d)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2), x, 10),
+(1/((d + e*x^2)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)^2), (e^4*x)/(2*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x^2)) + (x*(a*b*c*e*(2*c*d - b*e) + (b^2 - 2*a*c)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(2*b*d + a*e)) - c*(2*b^2*c*d*e - 4*a*c^2*d*e - b^3*e^2 - b*c*(c*d^2 - 3*a*e^2))*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(2)*sqrt(c)*e^2*(3*c^2*d^2 + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - c*e*(3*b*d + 2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) + (sqrt(c)*(b^4*e^2 - b^3*e*(2*c*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*e) - 4*a*c^2*(3*c*d^2 - e*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 3*a*e)) + b^2*c*(c*d^2 - e*(2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 9*a*e)) - b*c*(3*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^2 - c*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 16*a*e)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) - (sqrt(2)*sqrt(c)*e^2*(3*c^2*d^2 + b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - c*e*(3*b*d - 2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) - (sqrt(c)*(b^4*e^2 - b^3*e*(2*c*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e) + b*c*(3*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^2 - c*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 16*a*e)) + b^2*c*(c*d^2 + e*(2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 9*a*e)) - 4*a*c^2*(3*c*d^2 + e*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 3*a*e)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + (2*e^(7//2)*(2*c*d - b*e)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(d)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) + (e^(7//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*d^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2), x, 12),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^(q/2) (a+b x^2+c x^4)^p
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((a + b*x^2 + c*x^4)*(d + e*x^2)^(5//2), (d^2*(3*c*d^2 - 10*b*d*e + 80*a*e^2)*x*sqrt(d + e*x^2))/(256*e^2) + (d*(3*c*d^2 - 10*b*d*e + 80*a*e^2)*x*(d + e*x^2)^(3//2))/(384*e^2) + ((3*c*d^2 - 10*b*d*e + 80*a*e^2)*x*(d + e*x^2)^(5//2))/(480*e^2) - ((3*c*d - 10*b*e)*x*(d + e*x^2)^(7//2))/(80*e^2) + (c*x^3*(d + e*x^2)^(7//2))/(10*e) + (d^3*(3*c*d^2 - 10*b*d*e + 80*a*e^2)*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(256*e^(5//2)), x, 7),
+((a + b*x^2 + c*x^4)*(d + e*x^2)^(3//2), (d*(3*c*d^2 - 8*b*d*e + 48*a*e^2)*x*sqrt(d + e*x^2))/(128*e^2) + ((3*c*d^2 - 8*b*d*e + 48*a*e^2)*x*(d + e*x^2)^(3//2))/(192*e^2) - ((3*c*d - 8*b*e)*x*(d + e*x^2)^(5//2))/(48*e^2) + (c*x^3*(d + e*x^2)^(5//2))/(8*e) + (d^2*(3*c*d^2 - 8*b*d*e + 48*a*e^2)*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(128*e^(5//2)), x, 6),
+((a + b*x^2 + c*x^4)*(d + e*x^2)^(1//2), ((c*d^2 - 2*b*d*e + 8*a*e^2)*x*sqrt(d + e*x^2))/(16*e^2) - ((c*d - 2*b*e)*x*(d + e*x^2)^(3//2))/(8*e^2) + (c*x^3*(d + e*x^2)^(3//2))/(6*e) + (d*(c*d^2 - 2*b*d*e + 8*a*e^2)*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(16*e^(5//2)), x, 5),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^(1//2), -(((3*c*d - 4*b*e)*x*sqrt(d + e*x^2))/(8*e^2)) + (c*x^3*sqrt(d + e*x^2))/(4*e) + ((3*c*d^2 - 4*b*d*e + 8*a*e^2)*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(8*e^(5//2)), x, 4),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^(3//2), ((a + (d*(c*d - b*e))/e^2)*x)/(d*sqrt(d + e*x^2)) + (c*x*sqrt(d + e*x^2))/(2*e^2) - ((3*c*d - 2*b*e)*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(2*e^(5//2)), x, 4),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^(5//2), ((a + (d*(c*d - b*e))/e^2)*x)/(3*d*(d + e*x^2)^(3//2)) - ((4*c*d^2 - e*(b*d + 2*a*e))*x)/(3*d^2*e^2*sqrt(d + e*x^2)) + (c*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/e^(5//2), x, 4),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^(7//2), (a*x)/(d*(d + e*x^2)^(5//2)) + ((b*d + 4*a*e)*x^3)/(3*d^2*(d + e*x^2)^(5//2)) + ((3*c*d^2 + 2*e*(b*d + 4*a*e))*x^5)/(15*d^3*(d + e*x^2)^(5//2)), x, 4),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^(9//2), (a*x)/(d*(d + e*x^2)^(7//2)) + ((b*d + 6*a*e)*x^3)/(3*d^2*(d + e*x^2)^(7//2)) + ((3*c*d^2 + 4*e*(b*d + 6*a*e))*x^5)/(15*d^3*(d + e*x^2)^(7//2)) + (2*e*(3*c*d^2 + 4*e*(b*d + 6*a*e))*x^7)/(105*d^4*(d + e*x^2)^(7//2)), x, 5),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^(11//2), (a*x)/(d*(d + e*x^2)^(9//2)) + ((b*d + 8*a*e)*x^3)/(3*d^2*(d + e*x^2)^(9//2)) + ((c*d^2 + 2*e*(b*d + 8*a*e))*x^5)/(5*d^3*(d + e*x^2)^(9//2)) + (4*e*(c*d^2 + 2*e*(b*d + 8*a*e))*x^7)/(35*d^4*(d + e*x^2)^(9//2)) + (8*e^2*(c*d^2 + 2*e*(b*d + 8*a*e))*x^9)/(315*d^5*(d + e*x^2)^(9//2)), x, 6),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^(13//2), (a*x)/(d*(d + e*x^2)^(11//2)) + ((b*d + 10*a*e)*x^3)/(3*d^2*(d + e*x^2)^(11//2)) + ((3*c*d^2 + 8*e*(b*d + 10*a*e))*x^5)/(15*d^3*(d + e*x^2)^(11//2)) + (2*e*(3*c*d^2 + 8*e*(b*d + 10*a*e))*x^7)/(35*d^4*(d + e*x^2)^(11//2)) + (8*e^2*(3*c*d^2 + 8*e*(b*d + 10*a*e))*x^9)/(315*d^5*(d + e*x^2)^(11//2)) + (16*e^3*(3*c*d^2 + 8*e*(b*d + 10*a*e))*x^11)/(3465*d^6*(d + e*x^2)^(11//2)), x, 7),
+
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+# ::Subsubsection::
+# p<0
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (7+5 x^2)^q (2+3 x^2+x^4)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+(sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)*(7 + 5*x^2)^3, (577*x*(2 + x^2))/(3*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (1//21)*x*(2608 + 757*x^2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + (275//7)*x*(2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2) + (125//9)*x^3*(2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2) - (577*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(3*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (2945*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(21*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 6),
+(sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)*(7 + 5*x^2)^2, (31*x*(2 + x^2))/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + (1//21)*x*(407 + 114*x^2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + (25//7)*x*(2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2) - (31*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + (472*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(21*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 5),
+(sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)*(7 + 5*x^2)^1, (5*x*(2 + x^2))/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + (1//3)*x*(10 + 3*x^2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) - (5*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + (11*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(3*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 4),
+(sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)*(7 + 5*x^2)^0, (x*(2 + x^2))/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + (1//3)*x*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) - (sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + (2*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(3*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 4),
+# {Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]/(7 + 5*x^2)^1, x, 8, (x*(2 + x^2))/(5*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) - (Sqrt[2]*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticE[ArcTan[x], 1/2])/(5*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + ((1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(2 + 2*x^2)]*EllipticF[ArcTan[x], 1/2])/(5*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + (3*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticPi[2/7, ArcTan[x], 1/2])/(35*Sqrt[2]*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]), (x*(2 + x^2))/(5*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) - (Sqrt[2]*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticE[ArcTan[x], 1/2])/(5*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) - (3*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticF[ArcTan[x], 1/2])/(25*Sqrt[2]*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + (4*Sqrt[2]*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticF[ArcTan[x], 1/2])/(25*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + (3*(2 + x^2)*EllipticPi[2/7, ArcTan[x], 1/2])/(35*Sqrt[2]*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4])}
+(sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)/(7 + 5*x^2)^2, -((x*(2 + x^2))/(70*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4))) + (x*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4))/(14*(7 + 5*x^2)) + ((1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(35*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (3*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(140*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) - ((2 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(2//7, atan(x), 1//2))/(980*sqrt(2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 8),
+(sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)/(7 + 5*x^2)^3, -((11*x*(2 + x^2))/(11760*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4))) + (x*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4))/(28*(7 + 5*x^2)^2) + (11*x*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4))/(2352*(7 + 5*x^2)) + (11*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(5880*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (81*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(7840*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) - (1201*(2 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(2//7, atan(x), 1//2))/(164640*sqrt(2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 25),
+
+
+((2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2)*(7 + 5*x^2)^3, (20884*x*(2 + x^2))/(65*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (x*(1032541 + 297911*x^2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4))/5005 + (x*(208212 + 65345*x^2)*(2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2))/3003 + (3825//143)*x*(2 + 3*x^2 + x^4)^(5//2) + (125//13)*x^3*(2 + 3*x^2 + x^4)^(5//2) - (20884*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(65*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (1171349*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(5005*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 7),
+((2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2)*(7 + 5*x^2)^2, (742*x*(2 + x^2))/(15*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (x*(36783 + 10643*x^2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4))/1155 + (1//693)*x*(7281 + 2240*x^2)*(2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2) + (25//11)*x*(2 + 3*x^2 + x^4)^(5//2) - (742*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(15*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (13879*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(385*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 6),
+((2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2)*(7 + 5*x^2)^1, (116*x*(2 + x^2))/(15*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (1//105)*x*(519 + 149*x^2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + (1//63)*x*(108 + 35*x^2)*(2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2) - (116*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(15*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (197*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(35*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 5),
+((2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2)*(7 + 5*x^2)^0, (6*x*(2 + x^2))/(5*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (1//35)*x*(29 + 9*x^2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + (1//7)*x*(2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2) - (6*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(5*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (31*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(35*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 5),
+((2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2)/(7 + 5*x^2)^1, (24*x*(2 + x^2))/(125*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (1//75)*x*(11 + 3*x^2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) - (24*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(125*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (56*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(375*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) - (9*sqrt(2)*(2 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(2//7, atan(x), 1//2))/(875*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 13),
+# {(2 + 3*x^2 + x^4)^(3/2)/(7 + 5*x^2)^2, x, 21, (9*x*(2 + x^2))/(175*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + (1/75)*x*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4] - (3*x*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4])/(175*(7 + 5*x^2)) - (9*Sqrt[2]*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticE[ArcTan[x], 1/2])/(175*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + (59*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(2 + 2*x^2)]*EllipticF[ArcTan[x], 1/2])/(1050*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + (9*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(2 + 2*x^2)]*EllipticPi[2/7, ArcTan[x], 1/2])/(2450*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]), (9*x*(2 + x^2))/(175*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + (1/75)*x*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4] - (3*x*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4])/(175*(7 + 5*x^2)) - (9*Sqrt[2]*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticE[ArcTan[x], 1/2])/(175*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + (81*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticF[ArcTan[x], 1/2])/(8750*Sqrt[2]*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + (44*Sqrt[2]*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticF[ArcTan[x], 1/2])/(1875*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) - (39*(2 + x^2)*EllipticPi[2/7, ArcTan[x], 1/2])/(12250*Sqrt[2]*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + (3*Sqrt[2]*(2 + x^2)*EllipticPi[2/7, ArcTan[x], 1/2])/(875*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4])}
+# {(2 + 3*x^2 + x^4)^(3/2)/(7 + 5*x^2)^3, x, 27, (3*x*(2 + x^2))/(392*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) - (3*x*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4])/(350*(7 + 5*x^2)^2) + (17*x*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4])/(9800*(7 + 5*x^2)) - (3*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(2 + 2*x^2)]*EllipticE[ArcTan[x], 1/2])/(196*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + (5*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(2 + 2*x^2)]*EllipticF[ArcTan[x], 1/2])/(784*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + (141*(2 + x^2)*EllipticPi[2/7, ArcTan[x], 1/2])/(27440*Sqrt[2]*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]), (3*x*(2 + x^2))/(392*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) - (3*x*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4])/(350*(7 + 5*x^2)^2) + (17*x*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4])/(9800*(7 + 5*x^2)) - (39*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticE[ArcTan[x], 1/2])/(24500*Sqrt[2]*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) - (6*Sqrt[2]*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticE[ArcTan[x], 1/2])/(875*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + (5*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticF[ArcTan[x], 1/2])/(784*Sqrt[2]*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + (141*(2 + x^2)*EllipticPi[2/7, ArcTan[x], 1/2])/(27440*Sqrt[2]*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4])}
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((7 + 5*x^2)^3/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4), (135*x*(2 + x^2))/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + 75*x*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + 25*x^3*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) - (135*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + (193*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 5),
+((7 + 5*x^2)^2/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4), (20*x*(2 + x^2))/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + (25//3)*x*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) - (20*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + (97*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(3*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 4),
+((7 + 5*x^2)^1/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4), (5*x*(2 + x^2))/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) - (5*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + (7*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 3),
+((7 + 5*x^2)^0/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4), ((1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 1),
+(1/((7 + 5*x^2)^1*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), ((1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(2*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) - (5*(2 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(2//7, atan(x), 1//2))/(14*sqrt(2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 4),
+(1/((7 + 5*x^2)^2*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), (5*x*(2 + x^2))/(84*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) - (25*x*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4))/(84*(7 + 5*x^2)) - (5*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(42*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (9*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(56*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) - (65*(2 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(2//7, atan(x), 1//2))/(1176*sqrt(2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 9),
+(1/((7 + 5*x^2)^3*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), (65*x*(2 + x^2))/(4704*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) - (25*x*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4))/(168*(7 + 5*x^2)^2) - (325*x*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4))/(4704*(7 + 5*x^2)) - (65*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(2352*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (631*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(9408*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) - (2525*(2 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(2//7, atan(x), 1//2))/(65856*sqrt(2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 10),
+
+
+((7 + 5*x^2)^5/(2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2), (7679*x*(2 + x^2))/(2*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) - (x*(115 + 179*x^2))/(2*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (5000//3)*x*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + 625*x^3*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) - (7679*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (15383*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(3*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 6),
+((7 + 5*x^2)^4/(2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2), (637*x*(2 + x^2))/(2*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (x*(145 + 113*x^2))/(2*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (625//3)*x*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) - (637*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (1067*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(3*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 5),
+((7 + 5*x^2)^3/(2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2), (x*(5 - 11*x^2))/(2*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (261*x*(2 + x^2))/(2*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) - (261*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (169*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 4),
+((7 + 5*x^2)^2/(2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2), -((17*x*(2 + x^2))/(2*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4))) + (x*(25 + 17*x^2))/(2*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (17*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (6*sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4), x, 4),
+((7 + 5*x^2)^1/(2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2), -((x*(2 + x^2))/(2*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4))) + (x*(5 + x^2))/(2*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + ((1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + ((1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 4),
+((7 + 5*x^2)^0/(2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2), -((3*x*(2 + x^2))/(2*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4))) + (x*(5 + 3*x^2))/(2*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (3*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) - (sqrt(2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4), x, 4),
+# {1/((7 + 5*x^2)^1*(2 + 3*x^2 + x^4)^(3/2)), x, 9, x/(6*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + (Sqrt[2]*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticE[ArcTan[x], 1/2])/(3*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) - (9*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(2 + 2*x^2)]*EllipticF[ArcTan[x], 1/2])/(4*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + (125*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticPi[2/7, ArcTan[x], 1/2])/(84*Sqrt[2]*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]), -((x*(2 + x^2))/(3*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4])) + (x*(5 + 2*x^2))/(6*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + (Sqrt[2]*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticE[ArcTan[x], 1/2])/(3*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) - (9*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticF[ArcTan[x], 1/2])/(4*Sqrt[2]*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + (125*(2 + x^2)*EllipticPi[2/7, ArcTan[x], 1/2])/(84*Sqrt[2]*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4])}
+(1/((7 + 5*x^2)^2*(2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2)), -((31*x*(2 + x^2))/(56*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4))) + (x*(20 + 11*x^2))/(36*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (625*x*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4))/(504*(7 + 5*x^2)) + (31*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(28*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) - (463*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(336*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (375*(2 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(2//7, atan(x), 1//2))/(784*sqrt(2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 19),
+(1/((7 + 5*x^2)^3*(2 + 3*x^2 + x^4)^(3//2)), -((5797*x*(2 + x^2))/(28224*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4))) + (x*(50 + 23*x^2))/(216*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (625*x*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4))/(1008*(7 + 5*x^2)^2) + (41875*x*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4))/(84672*(7 + 5*x^2)) + (5797*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(14112*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) - (49907*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(56448*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (192625*(2 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(2//7, atan(x), 1//2))/(395136*sqrt(2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 29),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (7+5 x^2)^q (2+x^2-x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(2 + x^2 - x^4)*(7 + 5*x^2)^4, (1//231)*x*(177953 + 717372*x^2)*sqrt(2 + x^2 - x^4) - (116100//77)*x*(2 + x^2 - x^4)^(3//2) - (14500//33)*x^3*(2 + x^2 - x^4)^(3//2) - (625//11)*x^5*(2 + x^2 - x^4)^(3//2) + (3764813//231)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) - (539419//77)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 8),
+(sqrt(2 + x^2 - x^4)*(7 + 5*x^2)^3, (1//63)*x*(5956 + 14691*x^2)*sqrt(2 + x^2 - x^4) - (1825//21)*x*(2 + x^2 - x^4)^(3//2) - (125//9)*x^3*(2 + x^2 - x^4)^(3//2) + (79411//63)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) - (8735//21)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 7),
+(sqrt(2 + x^2 - x^4)*(7 + 5*x^2)^2, (1//21)*x*(275 + 354*x^2)*sqrt(2 + x^2 - x^4) - (25//7)*x*(2 + x^2 - x^4)^(3//2) + (2045//21)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) - (79//7)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 6),
+(sqrt(2 + x^2 - x^4)*(7 + 5*x^2)^1, x*(2 + x^2)*sqrt(2 + x^2 - x^4) + 7*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) + 3*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 5),
+(sqrt(2 + x^2 - x^4)*(7 + 5*x^2)^0, (1//3)*x*sqrt(2 + x^2 - x^4) + (1//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) + SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 5),
+(sqrt(2 + x^2 - x^4)/(7 + 5*x^2)^1, (-(1//5))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) + (17//25)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2) - (34//175)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(10//7), asin(x/sqrt(2)), -2), x, 7),
+(sqrt(2 + x^2 - x^4)/(7 + 5*x^2)^2, (x*sqrt(2 + x^2 - x^4))/(14*(7 + 5*x^2)) + (1//70)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) - (6//175)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2) + (99*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(10//7), asin(x/sqrt(2)), -2))/2450, x, 7),
+(sqrt(2 + x^2 - x^4)/(7 + 5*x^2)^3, (x*sqrt(2 + x^2 - x^4))/(28*(7 + 5*x^2)^2) - (31*x*sqrt(2 + x^2 - x^4))/(13328*(7 + 5*x^2)) - (31*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2))/66640 - (269*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2))/166600 + (16601*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(10//7), asin(x/sqrt(2)), -2))/2332400, x, 21),
+
+
+((2 + x^2 - x^4)^(3//2)*(7 + 5*x^2)^4, (3*x*(2193559 + 7837383*x^2)*sqrt(2 + x^2 - x^4))/5005 - (x*(69817 - 1581440*x^2)*(2 + x^2 - x^4)^(3//2))/1001 - (132300//143)*x*(2 + x^2 - x^4)^(5//2) - (11750//39)*x^3*(2 + x^2 - x^4)^(5//2) - (125//3)*x^5*(2 + x^2 - x^4)^(5//2) + (124141422*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2))/5005 - (50794416*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2))/5005, x, 9),
+((2 + x^2 - x^4)^(3//2)*(7 + 5*x^2)^3, (x*(2512273 + 5712051*x^2)*sqrt(2 + x^2 - x^4))/15015 + (x*(33792 + 374045*x^2)*(2 + x^2 - x^4)^(3//2))/3003 - (7825//143)*x*(2 + x^2 - x^4)^(5//2) - (125//13)*x^3*(2 + x^2 - x^4)^(5//2) + (31072528*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2))/15015 - (3199778*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2))/5005, x, 8),
+((2 + x^2 - x^4)^(3//2)*(7 + 5*x^2)^2, (1//495)*x*(11497 + 14889*x^2)*sqrt(2 + x^2 - x^4) + (1//99)*x*(363 + 920*x^2)*(2 + x^2 - x^4)^(3//2) - (25//11)*x*(2 + x^2 - x^4)^(5//2) + (85942//495)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) - (3392//165)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 7),
+((2 + x^2 - x^4)^(3//2)*(7 + 5*x^2)^1, (1//315)*x*(1087 + 669*x^2)*sqrt(2 + x^2 - x^4) + (1//63)*x*(48 + 35*x^2)*(2 + x^2 - x^4)^(3//2) + (4432//315)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) + (418//105)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 6),
+((2 + x^2 - x^4)^(3//2)*(7 + 5*x^2)^0, (1//35)*x*(19 + 3*x^2)*sqrt(2 + x^2 - x^4) + (1//7)*x*(2 + x^2 - x^4)^(3//2) + (34//35)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) + (48//35)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 6),
+((2 + x^2 - x^4)^(3//2)/(7 + 5*x^2)^1, (1//75)*x*(13 - 3*x^2)*sqrt(2 + x^2 - x^4) + (92//375)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) - (178//625)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2) + (1156*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(10//7), asin(x/sqrt(2)), -2))/4375, x, 13),
+((2 + x^2 - x^4)^(3//2)/(7 + 5*x^2)^2, (-(1//75))*x*sqrt(2 + x^2 - x^4) - (17*x*sqrt(2 + x^2 - x^4))/(175*(7 + 5*x^2)) - (97//525)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) + (458//875)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2) - (1241*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(10//7), asin(x/sqrt(2)), -2))/6125, x, 21),
+((2 + x^2 - x^4)^(3//2)/(7 + 5*x^2)^3, -((17*x*sqrt(2 + x^2 - x^4))/(350*(7 + 5*x^2)^2)) + (563*x*sqrt(2 + x^2 - x^4))/(9800*(7 + 5*x^2)) + (191*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2))/9800 - (1251*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2))/24500 + (9879*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(10//7), asin(x/sqrt(2)), -2))/343000, x, 27),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((7 + 5*x^2)^3/sqrt(2 + x^2 - x^4), (-(625//3))*x*sqrt(2 + x^2 - x^4) - 25*x^3*sqrt(2 + x^2 - x^4) + (3905//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) - 542*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 6),
+((7 + 5*x^2)^2/sqrt(2 + x^2 - x^4), (-(25//3))*x*sqrt(2 + x^2 - x^4) + (260//3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) - 21*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 5),
+((7 + 5*x^2)^1/sqrt(2 + x^2 - x^4), 5*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) + 2*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 4),
+((7 + 5*x^2)^0/sqrt(2 + x^2 - x^4), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 2),
+(1/((7 + 5*x^2)^1*sqrt(2 + x^2 - x^4)), (1//7)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(10//7), asin(x/sqrt(2)), -2), x, 2),
+(1/((7 + 5*x^2)^2*sqrt(2 + x^2 - x^4)), -((25*x*sqrt(2 + x^2 - x^4))/(476*(7 + 5*x^2))) - (5//476)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) - (1//238)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2) + (167*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(10//7), asin(x/sqrt(2)), -2))/3332, x, 8),
+(1/((7 + 5*x^2)^3*sqrt(2 + x^2 - x^4)), -((25*x*sqrt(2 + x^2 - x^4))/(952*(7 + 5*x^2)^2)) - (12525*x*sqrt(2 + x^2 - x^4))/(453152*(7 + 5*x^2)) - (2505*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2))/453152 - (263*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2))/226576 + (58915*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(10//7), asin(x/sqrt(2)), -2))/3172064, x, 9),
+
+
+((7 + 5*x^2)^5/(2 + x^2 - x^4)^(3//2), (x*(1419985 + 1419793*x^2))/(18*sqrt(2 + x^2 - x^4)) + (27500//3)*x*sqrt(2 + x^2 - x^4) + 625*x^3*sqrt(2 + x^2 - x^4) - (3482293//18)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) + (627857//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 7),
+((7 + 5*x^2)^4/(2 + x^2 - x^4)^(3//2), (x*(83585 + 83489*x^2))/(18*sqrt(2 + x^2 - x^4)) + (625//3)*x*sqrt(2 + x^2 - x^4) - (165239//18)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) + (31921//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 6),
+((7 + 5*x^2)^3/(2 + x^2 - x^4)^(3//2), (x*(4945 + 4897*x^2))/(18*sqrt(2 + x^2 - x^4)) - (7147//18)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) + (1763//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 5),
+((7 + 5*x^2)^2/(2 + x^2 - x^4)^(3//2), (x*(305 + 281*x^2))/(18*sqrt(2 + x^2 - x^4)) - (281//18)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) + (139//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 5),
+((7 + 5*x^2)^1/(2 + x^2 - x^4)^(3//2), (x*(25 + 13*x^2))/(18*sqrt(2 + x^2 - x^4)) - (13//18)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) + (17//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 5),
+((7 + 5*x^2)^0/(2 + x^2 - x^4)^(3//2), (x*(5 - x^2))/(18*sqrt(2 + x^2 - x^4)) + (1//18)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) + (1//6)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2), x, 5),
+(1/((7 + 5*x^2)^1*(2 + x^2 - x^4)^(3//2)), (x*(35 - 16*x^2))/(306*sqrt(2 + x^2 - x^4)) + (8//153)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2) + (1//102)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2) - (25//238)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(10//7), asin(x/sqrt(2)), -2), x, 8),
+(1/((7 + 5*x^2)^2*(2 + x^2 - x^4)^(3//2)), (x*(580 - 287*x^2))/(10404*sqrt(2 + x^2 - x^4)) + (625*x*sqrt(2 + x^2 - x^4))/(16184*(7 + 5*x^2)) + (5143*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2))/145656 + (89*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2))/24276 - (10825*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(10//7), asin(x/sqrt(2)), -2))/113288, x, 17),
+(1/((7 + 5*x^2)^3*(2 + x^2 - x^4)^(3//2)), (x*(9830 - 4909*x^2))/(353736*sqrt(2 + x^2 - x^4)) + (625*x*sqrt(2 + x^2 - x^4))/(32368*(7 + 5*x^2)^2) + (645625*x*sqrt(2 + x^2 - x^4))/(15407168*(7 + 5*x^2)) + (3086453*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x/sqrt(2)), -2))/138664512 + (60409*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x/sqrt(2)), -2))/23110752 - (6898575*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(10//7), asin(x/sqrt(2)), -2))/107850176, x, 26),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (7+5 x^2)^q (4+3 x^2+x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)*(7 + 5*x^2)^4, (51665*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(33*(2 + x^2)) + (1//33)*x*(18727 + 4516*x^2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) + (3050//11)*x*(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2) + (23500//99)*x^3*(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2) + (625//11)*x^5*(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2) - (51665*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(33*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (33159*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(11*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 7),
+(sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)*(7 + 5*x^2)^3, (4717*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(21*(2 + x^2)) + (1//21)*x*(1708 + 407*x^2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) + (275//7)*x*(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2) + (125//9)*x^3*(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2) - (4717*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(21*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (1301*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(3*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 6),
+(sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)*(7 + 5*x^2)^2, (319*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(7*(2 + x^2)) + (1//7)*x*(119 + 38*x^2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) + (25//7)*x*(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2) - (319*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(7*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (81*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 5),
+(sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)*(7 + 5*x^2)^1, (9*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(2 + x^2) + (1//3)*x*(10 + 3*x^2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) - (9*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) + (49*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(3*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 4),
+(sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)*(7 + 5*x^2)^0, (1//3)*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) + (x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(2 + x^2) - (sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) + (7*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(3*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 4),
+(sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)/(7 + 5*x^2)^1, (x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(5*(2 + x^2)) + (1//5)*sqrt(11//35)*atan((2*sqrt(11//35)*x)/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - (sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(5*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (9*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(25*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - (11*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(75*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (187*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(9//280), 2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(525*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 7),
+(sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)/(7 + 5*x^2)^2, -((x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(70*(2 + x^2))) + (x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(14*(7 + 5*x^2)) + (51*atan((2*sqrt(11//35)*x)/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)))/(280*sqrt(385)) + ((2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(35*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - ((2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(35*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (289*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(9//280), 2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(9800*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 7),
+(sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)/(7 + 5*x^2)^3, -((139*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(86240*(2 + x^2))) + (x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(28*(7 + 5*x^2)^2) + (139*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(17248*(7 + 5*x^2)) + (14999*atan((2*sqrt(11//35)*x)/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)))/(344960*sqrt(385)) + (139*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(43120*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - (23*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(2940*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (254983*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(9//280), 2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(36220800*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 18),
+
+
+((4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2)*(7 + 5*x^2)^4, (12665086*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(2145*(2 + x^2)) + (7*x*(661429 + 174989*x^2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/2145 + (x*(452001 + 131080*x^2)*(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2))/1287 + (92150//429)*x*(4 + 3*x^2 + x^4)^(5//2) + (2250//13)*x^3*(4 + 3*x^2 + x^4)^(5//2) + (125//3)*x^5*(4 + 3*x^2 + x^4)^(5//2) - (12665086*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(2145*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (2383556*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(429*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 8),
+((4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2)*(7 + 5*x^2)^3, (4525662*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(5005*(2 + x^2)) + (x*(1653701 + 435441*x^2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/5005 + (x*(53504 + 15365*x^2)*(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2))/1001 + (3825//143)*x*(4 + 3*x^2 + x^4)^(5//2) + (125//13)*x^3*(4 + 3*x^2 + x^4)^(5//2) - (4525662*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(5005*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (121826*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(143*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 7),
+((4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2)*(7 + 5*x^2)^2, (175346*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(1155*(2 + x^2)) + (x*(64533 + 18253*x^2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/1155 + (1//693)*x*(6831 + 2240*x^2)*(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2) + (25//11)*x*(4 + 3*x^2 + x^4)^(5//2) - (175346*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(1155*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (4628*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(33*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 6),
+((4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2)*(7 + 5*x^2)^1, (2798*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(105*(2 + x^2)) + (1//105)*x*(1029 + 289*x^2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) + (1//63)*x*(108 + 35*x^2)*(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2) - (2798*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(105*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (74*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(3*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 5),
+((4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2)*(7 + 5*x^2)^0, (138*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(35*(2 + x^2)) + (1//35)*x*(49 + 9*x^2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) + (1//7)*x*(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2) - (138*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(35*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (4*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4), x, 5),
+((4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2)/(7 + 5*x^2)^1, (94*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(125*(2 + x^2)) + (1//75)*x*(11 + 3*x^2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) + (44//125)*sqrt(11//35)*atan((2*sqrt(11//35)*x)/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - (94*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(125*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (54*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(125*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (4114*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(9//280), 2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(13125*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 12),
+# {(4 + 3*x^2 + x^4)^(3/2)/(7 + 5*x^2)^2, x, 19, (1/75)*x*Sqrt[4 + 3*x^2 + x^4] + (4*x*Sqrt[4 + 3*x^2 + x^4])/(175*(2 + x^2)) + (22*x*Sqrt[4 + 3*x^2 + x^4])/(175*(7 + 5*x^2)) + (13/350)*Sqrt[11/35]*ArcTan[(2*Sqrt[11/35]*x)/Sqrt[4 + 3*x^2 + x^4]] - (4*Sqrt[2]*(2 + x^2)*Sqrt[(4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[x/Sqrt[2]], 1/8])/(175*Sqrt[4 + 3*x^2 + x^4]) + (4*Sqrt[2]*(2 + x^2)*Sqrt[(4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[x/Sqrt[2]], 1/8])/(175*Sqrt[4 + 3*x^2 + x^4]) + (2431*(2 + x^2)*Sqrt[(4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2]*EllipticPi[-(9/280), 2*ArcTan[x/Sqrt[2]], 1/8])/(36750*Sqrt[2]*Sqrt[4 + 3*x^2 + x^4]), (1/75)*x*Sqrt[4 + 3*x^2 + x^4] + (4*x*Sqrt[4 + 3*x^2 + x^4])/(175*(2 + x^2)) + (22*x*Sqrt[4 + 3*x^2 + x^4])/(175*(7 + 5*x^2)) + (13/350)*Sqrt[11/35]*ArcTan[(2*Sqrt[11/35]*x)/Sqrt[4 + 3*x^2 + x^4]] - (4*Sqrt[2]*(2 + x^2)*Sqrt[(4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[x/Sqrt[2]], 1/8])/(175*Sqrt[4 + 3*x^2 + x^4]) + (4*Sqrt[2]*(2 + x^2)*Sqrt[(4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[x/Sqrt[2]], 1/8])/(175*Sqrt[4 + 3*x^2 + x^4]) + (6919*(2 + x^2)*Sqrt[(4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2]*EllipticPi[-(9/280), 2*ArcTan[x/Sqrt[2]], 1/8])/(183750*Sqrt[2]*Sqrt[4 + 3*x^2 + x^4]) + (187*Sqrt[2]*(2 + x^2)*Sqrt[(4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2]*EllipticPi[-(9/280), 2*ArcTan[x/Sqrt[2]], 1/8])/(13125*Sqrt[4 + 3*x^2 + x^4])}
+((4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2)/(7 + 5*x^2)^3, (9*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(1960*(2 + x^2)) + (11*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(175*(7 + 5*x^2)^2) + (167*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(9800*(7 + 5*x^2)) + (1347*atan((2*sqrt(11//35)*x)/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)))/(7840*sqrt(385)) + (111*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(24500*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - (6*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(875*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - (817*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(91875*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - (22*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(13125*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (7633*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(9//280), 2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(274400*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 22),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((7 + 5*x^2)^3/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4), 75*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) + 25*x^3*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) - (15*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(2 + x^2) + (15*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) + (13*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(2*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 5),
+((7 + 5*x^2)^2/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4), (25//3)*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) + (20*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(2 + x^2) - (20*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) + (167*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(6*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 4),
+((7 + 5*x^2)^1/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4), (5*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(2 + x^2) - (5*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) + (17*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(2*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 3),
+((7 + 5*x^2)^0/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4), ((2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(2*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 1),
+(1/((7 + 5*x^2)^1*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), (1//4)*sqrt(5//77)*atan((2*sqrt(11//35)*x)/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - ((2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(6*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (17*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(9//280), 2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(84*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 3),
+(1/((7 + 5*x^2)^2*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), -((5*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(616*(2 + x^2))) + (25*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(616*(7 + 5*x^2)) + (37*sqrt(5//77)*atan((2*sqrt(11//35)*x)/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)))/2464 + (5*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(308*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - ((2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(42*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (629*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(9//280), 2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(51744*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 6),
+(1/((7 + 5*x^2)^3*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), -((555*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(758912*(2 + x^2))) + (25*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(1232*(7 + 5*x^2)^2) + (2775*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(758912*(7 + 5*x^2)) - (3285*sqrt(5//77)*atan((2*sqrt(11//35)*x)/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)))/3035648 + (555*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(379456*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - ((2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(8624*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - (18615*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(9//280), 2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(21249536*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 7),
+
+
+((7 + 5*x^2)^5/(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2), (x*(99493 + 45779*x^2))/(28*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (5000//3)*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) + 625*x^3*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) - (220779*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(28*(2 + x^2)) + (220779*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(14*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - (130729*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(12*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 6),
+((7 + 5*x^2)^4/(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2), (x*(2719 - 4023*x^2))/(28*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (625//3)*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4) + (14523*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(28*(2 + x^2)) - (14523*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(14*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (4243*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(12*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 5),
+((7 + 5*x^2)^3/(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2), -((x*(2323 + 949*x^2))/(28*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))) + (4449*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(28*(2 + x^2)) - (4449*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(14*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (973*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(4*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 4),
+((7 + 5*x^2)^2/(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2), -((x*(9 - 113*x^2))/(28*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))) - (113*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(28*(2 + x^2)) + (113*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(14*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (9*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(4*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 4),
+((7 + 5*x^2)^1/(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2), (x*(53 + 19*x^2))/(28*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - (19*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(28*(2 + x^2)) + (19*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(14*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - (3*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(4*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 4),
+((7 + 5*x^2)^0/(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2), -((x*(1 + 3*x^2))/(28*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))) + (3*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(28*(2 + x^2)) - (3*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(14*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + ((2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(4*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 4),
+(1/((7 + 5*x^2)^1*(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2)), -((x*(13 + 4*x^2))/(308*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))) + (x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(77*(2 + x^2)) + (25//176)*sqrt(5//77)*atan((2*sqrt(11//35)*x)/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - (sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(77*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - ((2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(12*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (425*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(9//280), 2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(3696*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 8),
+(1/((7 + 5*x^2)^2*(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2)), (x*(24 + 37*x^2))/(13552*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - (199*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(27104*(2 + x^2)) + (625*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(27104*(7 + 5*x^2)) + (575*sqrt(5//77)*atan((2*sqrt(11//35)*x)/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)))/108416 + (199*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(13552*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - (2*sqrt(2)*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(231*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (9775*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(9//280), 2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(2276736*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 15),
+(1/((7 + 5*x^2)^3*(4 + 3*x^2 + x^4)^(3//2)), (x*(548 + 139*x^2))/(596288*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - (18159*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(33392128*(2 + x^2)) + (625*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(54208*(7 + 5*x^2)^2) + (51875*x*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4))/(33392128*(7 + 5*x^2)) - (529425*sqrt(5//77)*atan((2*sqrt(11//35)*x)/sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)))/133568512 + (18159*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(16696064*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) + (843*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(379456*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)) - (3000075*(2 + x^2)*sqrt((4 + 3*x^2 + x^4)/(2 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(9//280), 2*atan(x/sqrt(2)), 1//8))/(934979584*sqrt(2)*sqrt(4 + 3*x^2 + x^4)), x, 22),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+((d + e*x^2)^3/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (e^2*(15*c*d - 4*b*e)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(15*c^2) + (e^3*x^3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(5*c) + (e*(45*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - 3*c*e*(10*b*d + 3*a*e))*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(15*c^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (1/(15*c^(11//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)))*(a^(1//4)*e*(45*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - 3*c*e*(10*b*d + 3*a*e))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c))))) + (1/(30*c^(11//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)))*(a^(1//4)*((sqrt(c)*(15*c^2*d^3 - 15*a*c*d*e^2 + 4*a*b*e^3))/sqrt(a) + e*(45*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - 3*c*e*(10*b*d + 3*a*e)))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c))))), x, 5),
+((d + e*x^2)^2/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (e^2*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*c) + (2*e*(3*c*d - b*e)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (2*a^(1//4)*e*(3*c*d - b*e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(3*c^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (1/(6*c^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)))*(a^(1//4)*(2*e*(3*c*d - b*e) + (sqrt(c)*(3*c*d^2 - a*e^2))/sqrt(a))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c))))), x, 4),
+((d + e*x^2)^1/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (e*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (a^(1//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(c^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (a^(1//4)*((sqrt(c)*d)/sqrt(a) + e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*c^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 3),
+(1/((d + e*x^2)^1*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), (sqrt(e)*atan((sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*sqrt(d)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(1//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (a^(3//4)*((sqrt(c)*d)/sqrt(a) + e)^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(4*c^(1//4)*d*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 3),
+(1/((d + e*x^2)^2*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -((sqrt(c)*e*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(2*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2))) + (e^2*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(2*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x^2)) + (sqrt(e)*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e))*atan((sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*d^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)) + (a^(1//4)*c^(1//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(1//4)*d*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(8*a^(1//4)*c^(1//4)*d^2*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+# {1/((d + e*x^2)^3*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x, 0, 0}
+
+
+((d + e*x^2)^3/sqrt(a + b*x^2 - c*x^4), -((e^2*(15*c*d + 4*b*e)*x*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4))/(15*c^2)) - (e^3*x^3*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4))/(5*c) - ((b - sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*e*(45*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 + 3*c*e*(10*b*d + 3*a*e))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(30*sqrt(2)*c^(7//2)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)) + ((b - sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*((2*c*(15*c^2*d^3 + 15*a*c*d*e^2 + 4*a*b*e^3))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)) + e*(45*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 + 3*c*e*(10*b*d + 3*a*e)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(30*sqrt(2)*c^(7//2)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)), x, 6),
+((d + e*x^2)^2/sqrt(a + b*x^2 - c*x^4), -((e^2*x*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4))/(3*c)) - ((b - sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*e*(3*c*d + b*e)*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(3*sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)) + (sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*(3*c^2*d^2 + b*(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))*e^2 + c*e*(3*b*d - 3*sqrt(b^2 + 4*a*c)*d + a*e))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(3*sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)), x, 5),
+((d + e*x^2)^1/sqrt(a + b*x^2 - c*x^4), -(((b - sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*e*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4))) + (sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*(2*c*d + (b - sqrt(b^2 + 4*a*c))*e)*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)), x, 4),
+(1/((d + e*x^2)^1*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)), (sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(((b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*e)/(2*c*d)), asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*d*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)), x, 2),
+(1/((d + e*x^2)^2*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)), -((e^2*x*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4))/(2*d*(c*d^2 + b*d*e - a*e^2)*(d + e*x^2))) + ((b - sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*e*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*sqrt(c)*d*(c*d^2 + e*(b*d - a*e))*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)) - (sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*(2*c*d + (b - sqrt(b^2 + 4*a*c))*e)*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*sqrt(c)*d*(c*d^2 + e*(b*d - a*e))*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)) + (sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*(3*c*d^2 + e*(2*b*d - a*e))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 - (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(((b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*e)/(2*c*d)), asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b + sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*d^2*(c*d^2 + e*(b*d - a*e))*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)), x, 8),
+# {1/((d + e*x^2)^3*Sqrt[a + b*x^2 - c*x^4]), x, 0, 0}
+
+
+((d + e*x^2)/sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4), ((b - sqrt(b^2 + 4*a*c))*e*x*(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(2*c*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4)) - ((b - sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*e*(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), -((2*sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))))/(2*sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt((1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))/(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))))*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*d*(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), -((2*sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt((1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))/(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))))*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(1/((d + e*x^2)*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4)), (sqrt(-b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(((b - sqrt(b^2 + 4*a*c))*e)/(2*c*d), asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(-b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b - sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*d*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4)), x, 2),
+
+
+((d + e*x^2)/sqrt(-a + b*x^2 - c*x^4), -((e*x*sqrt(-a + b*x^2 - c*x^4))/(sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2))) - (a^(1//4)*e*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a - b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 + b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(c^(3//4)*sqrt(-a + b*x^2 - c*x^4)) + (a^(1//4)*((sqrt(c)*d)/sqrt(a) + e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a - b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 + b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*c^(3//4)*sqrt(-a + b*x^2 - c*x^4)), x, 3),
+# {1/((d + e*x^2)*Sqrt[-a + b*x^2 - c*x^4]), x, 3, If[$VersionNumber>=8, (Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[(-c)*d^2 - e*(b*d + a*e)]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[e]*Sqrt[-a + b*x^2 - c*x^4])])/(2*Sqrt[d]*Sqrt[(-c)*d^2 - e*(b*d + a*e)]) + (c^(1/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a - b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 + b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(2*a^(1/4)*(Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*Sqrt[-a + b*x^2 - c*x^4]) - (a^(3/4)*((Sqrt[c]*d)/Sqrt[a] + e)^2*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a - b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c]*d*e)), 2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 + b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(4*c^(1/4)*d*(c*d^2 - a*e^2)*Sqrt[-a + b*x^2 - c*x^4]), (Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[(-c)*d^2 - b*d*e - a*e^2]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[e]*Sqrt[-a + b*x^2 - c*x^4])])/(2*Sqrt[d]*Sqrt[(-c)*d^2 - b*d*e - a*e^2]) + (c^(1/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a - b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 + b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(2*a^(1/4)*(Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*Sqrt[-a + b*x^2 - c*x^4]) - (a^(3/4)*((Sqrt[c]*d)/Sqrt[a] + e)^2*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a - b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c]*d*e)), 2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 + b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(4*c^(1/4)*d*(c*d^2 - a*e^2)*Sqrt[-a + b*x^2 - c*x^4])]}
+
+
+((d + e*x^2)^3/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4), (3*e*(5*d^2 - 10*d*e + 6*e^2)*x*(2 + x^2))/(5*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + (1//5)*(5*d - 4*e)*e^2*x*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + (1//5)*e^3*x^3*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) - (3*sqrt(2)*e*(5*d^2 - 10*d*e + 6*e^2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(5*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) + ((5*d^3 - 10*d*e^2 + 8*e^3)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(5*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 5),
+((d + e*x^2)^2/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4), (2*(d - e)*e*x*(2 + x^2))/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + (1//3)*e^2*x*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) - (2*sqrt(2)*(d - e)*e*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + ((3*d^2 - 2*e^2)*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(3*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 4),
+((d + e*x^2)^1/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4), (e*x*(2 + x^2))/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) - (sqrt(2)*e*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/sqrt(2 + 3*x^2 + x^4) + (d*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 3),
+# {1/((d + e*x^2)^1*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]), x, 4, ((1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticF[ArcTan[x], 1/2])/(Sqrt[2]*(d - e)*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) - (e*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticPi[1 - e/d, ArcTan[x], 1/2])/(Sqrt[2]*d*(d - e)*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]), ((1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticF[ArcTan[x], 1/2])/(Sqrt[2]*(d - e)*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) - (e*(2 + x^2)*EllipticPi[1 - e/d, ArcTan[x], 1/2])/(Sqrt[2]*d*(d - e)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4])}
+# {1/((d + e*x^2)^2*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]), x, 9, -((e*x*(2 + x^2))/(2*d*(d^2 - 3*d*e + 2*e^2)*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4])) + (e^2*x*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4])/(2*d*(d^2 - 3*d*e + 2*e^2)*(d + e*x^2)) + (e*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticE[ArcTan[x], 1/2])/(Sqrt[2]*d*(d - 2*e)*(d - e)*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + ((2*d - e)*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(2 + 2*x^2)]*EllipticF[ArcTan[x], 1/2])/(2*d*(d - e)^2*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) - (e*(3*d^2 - 6*d*e + 2*e^2)*(2 + x^2)*EllipticPi[1 - e/d, ArcTan[x], 1/2])/(2*Sqrt[2]*d^2*(d - 2*e)*(d - e)^2*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]), -((e*x*(2 + x^2))/(2*d*(d^2 - 3*d*e + 2*e^2)*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4])) + (e^2*x*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4])/(2*d*(d^2 - 3*d*e + 2*e^2)*(d + e*x^2)) + (e*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticE[ArcTan[x], 1/2])/(Sqrt[2]*d*(d - 2*e)*(d - e)*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) - ((1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticF[ArcTan[x], 1/2])/(2*Sqrt[2]*(d - 2*e)*(d - e)*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) + ((3*d^2 - 6*d*e + 2*e^2)*(1 + x^2)*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*EllipticF[ArcTan[x], 1/2])/(2*Sqrt[2]*d*(d - 2*e)*(d - e)^2*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4]) - (e*(3*d^2 - 6*d*e + 2*e^2)*(2 + x^2)*EllipticPi[1 - e/d, ArcTan[x], 1/2])/(2*Sqrt[2]*d^2*(d - 2*e)*(d - e)^2*Sqrt[(2 + x^2)/(1 + x^2)]*Sqrt[2 + 3*x^2 + x^4])}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p with p symbolic
+
+
+((c + e*x^2)^q*(a + c*x^2 + b*x^4)^p, Unintegrable((c + e*x^2)^q*(a + c*x^2 + b*x^4)^p, x), x, 0),
+
+
+# {(c + e*x^2)^3*(a + c*x^2 + b*x^4)^p, x, 8, If[$VersionNumber>=8, (c*e^2*(21*b - 5*e + 12*b*p - 2*e*p)*x*(a + c*x^2 + b*x^4)^(1 + p))/(b^2*(5 + 4*p)*(7 + 4*p)) + (e^3*x^3*(a + c*x^2 + b*x^4)^(1 + p))/(b*(7 + 4*p)) + (c*(a*e^3*(5 + 2*p) - 3*a*b*e^2*(7 + 4*p) + b^2*c^2*(35 + 48*p + 16*p^2))*x*(a + c*x^2 + b*x^4)^p*AppellF1[1/2, -p, -p, 3/2, -((2*b*x^2)/(c - Sqrt[-4*a*b + c^2])), -((2*b*x^2)/(c + Sqrt[-4*a*b + c^2]))])/((1 + (2*b*x^2)/(c - Sqrt[-4*a*b + c^2]))^p*(1 + (2*b*x^2)/(c + Sqrt[-4*a*b + c^2]))^p*(b^2*(5 + 4*p)*(7 + 4*p))) + ((1/(3*b^2*(5 + 4*p)*(7 + 4*p)))*e*(c^2*e^2*(15 + 16*p + 4*p^2) + 3*b^2*c^2*(35 + 48*p + 16*p^2) - 3*b*e*(a*e*(5 + 4*p) + c^2*(21 + 26*p + 8*p^2)))*x^3*(a + c*x^2 + b*x^4)^p*AppellF1[3/2, -p, -p, 5/2, -((2*b*x^2)/(c - Sqrt[-4*a*b + c^2])), -((2*b*x^2)/(c + Sqrt[-4*a*b + c^2]))])/((1 + (2*b*x^2)/(c - Sqrt[-4*a*b + c^2]))^p*(1 + (2*b*x^2)/(c + Sqrt[-4*a*b + c^2]))^p), -((c*e^2*(e*(5 + 2*p) - 3*b*(7 + 4*p))*x*(a + c*x^2 + b*x^4)^(1 + p))/(b^2*(35 + 48*p + 16*p^2))) + (e^3*x^3*(a + c*x^2 + b*x^4)^(1 + p))/(b*(7 + 4*p)) + (c*(a*e^3*(5 + 2*p) - 3*a*b*e^2*(7 + 4*p) + b^2*c^2*(35 + 48*p + 16*p^2))*x*(a + c*x^2 + b*x^4)^p*AppellF1[1/2, -p, -p, 3/2, -((2*b*x^2)/(c - Sqrt[-4*a*b + c^2])), -((2*b*x^2)/(c + Sqrt[-4*a*b + c^2]))])/((1 + (2*b*x^2)/(c - Sqrt[-4*a*b + c^2]))^p*(1 + (2*b*x^2)/(c + Sqrt[-4*a*b + c^2]))^p*(b^2*(5 + 4*p)*(7 + 4*p))) + (1/(3*b^2*(5 + 4*p)*(7 + 4*p)))*((e*(c^2*e^2*(15 + 16*p + 4*p^2) + 3*b^2*c^2*(35 + 48*p + 16*p^2) - 3*b*e*(a*e*(5 + 4*p) + c^2*(21 + 26*p + 8*p^2)))*x^3*(a + c*x^2 + b*x^4)^p*AppellF1[3/2, -p, -p, 5/2, -((2*b*x^2)/(c - Sqrt[-4*a*b + c^2])), -((2*b*x^2)/(c + Sqrt[-4*a*b + c^2]))])/((1 + (2*b*x^2)/(c - Sqrt[-4*a*b + c^2]))^p*(1 + (2*b*x^2)/(c + Sqrt[-4*a*b + c^2]))^p))]}
+((c + e*x^2)^2*(a + c*x^2 + b*x^4)^p, (e^2*x*(a + c*x^2 + b*x^4)^(1 + p))/(b*(5 + 4*p)) - ((a*e^2 - b*c^2*(5 + 4*p))*x*(a + c*x^2 + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, -p, 3//2, -((2*b*x^2)/(c - sqrt(-4*a*b + c^2))), -((2*b*x^2)/(c + sqrt(-4*a*b + c^2)))))/((1 + (2*b*x^2)/(c - sqrt(-4*a*b + c^2)))^p*(1 + (2*b*x^2)/(c + sqrt(-4*a*b + c^2)))^p*(b*(5 + 4*p))) + (c*e*(10*b - 3*e + 8*b*p - 2*e*p)*x^3*(a + c*x^2 + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -p, -p, 5//2, -((2*b*x^2)/(c - sqrt(-4*a*b + c^2))), -((2*b*x^2)/(c + sqrt(-4*a*b + c^2)))))/((1 + (2*b*x^2)/(c - sqrt(-4*a*b + c^2)))^p*(1 + (2*b*x^2)/(c + sqrt(-4*a*b + c^2)))^p*(3*b*(5 + 4*p))), x, 7),
+((c + e*x^2)^1*(a + c*x^2 + b*x^4)^p, (c*x*(a + c*x^2 + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, -p, 3//2, -((2*b*x^2)/(c - sqrt(-4*a*b + c^2))), -((2*b*x^2)/(c + sqrt(-4*a*b + c^2)))))/((1 + (2*b*x^2)/(c - sqrt(-4*a*b + c^2)))^p*(1 + (2*b*x^2)/(c + sqrt(-4*a*b + c^2)))^p) + ((1//3)*e*x^3*(a + c*x^2 + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3//2, -p, -p, 5//2, -((2*b*x^2)/(c - sqrt(-4*a*b + c^2))), -((2*b*x^2)/(c + sqrt(-4*a*b + c^2)))))/((1 + (2*b*x^2)/(c - sqrt(-4*a*b + c^2)))^p*(1 + (2*b*x^2)/(c + sqrt(-4*a*b + c^2)))^p), x, 6),
+((c + e*x^2)^0*(a + c*x^2 + b*x^4)^p, (x*(a + c*x^2 + b*x^4)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -p, -p, 3//2, -((2*b*x^2)/(c - sqrt(-4*a*b + c^2))), -((2*b*x^2)/(c + sqrt(-4*a*b + c^2)))))/((1 + (2*b*x^2)/(c - sqrt(-4*a*b + c^2)))^p*(1 + (2*b*x^2)/(c + sqrt(-4*a*b + c^2)))^p), x, 2),
+((a + c*x^2 + b*x^4)^p/(c + e*x^2)^1, Unintegrable((a + c*x^2 + b*x^4)^p/(c + e*x^2), x), x, 0),
+((a + c*x^2 + b*x^4)^p/(c + e*x^2)^2, Unintegrable((a + c*x^2 + b*x^4)^p/(c + e*x^2)^2, x), x, 0),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^q (f+g x)^r (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^q (f+g x)^r (a+b x^2+c x^4)^p with b=0
+
+
+((f + g*x)/((d + e*x)*sqrt(a + c*x^4)), ((e*f - d*g)*atan((sqrt((-c)*d^4 - a*e^4)*x)/(d*e*sqrt(a + c*x^4))))/(2*sqrt((-c)*d^4 - a*e^4)) - ((e*f - d*g)*atanh((a*e^2 + c*d^2*x^2)/(sqrt(c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4))))/(2*sqrt(c*d^4 + a*e^4)) + ((sqrt(c)*d*f + sqrt(a)*e*g)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*c^(1//4)*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*sqrt(a + c*x^4)) - ((sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*(e*f - d*g)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*c^(1//4)*d*e*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*sqrt(a + c*x^4)), x, 8),
+
+
+((f + g*x)/((d + e*x)*sqrt(-a + c*x^4)), ((e*f - d*g)*atanh((a*e^2 - c*d^2*x^2)/(sqrt(c*d^4 - a*e^4)*sqrt(-a + c*x^4))))/(2*sqrt(c*d^4 - a*e^4)) + (a^(1//4)*g*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(c^(1//4)*e*sqrt(-a + c*x^4)) + (a^(1//4)*(e*f - d*g)*sqrt(1 - (c*x^4)/a)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(a)*e^2)/(sqrt(c)*d^2), asin((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), -1))/(c^(1//4)*d*e*sqrt(-a + c*x^4)), x, 10),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^q (f+g x)^r (a+b x^2+c x^4)^p with e^2 f^2+4 d e f g+d^2 g^2=0, 4 c d e f+2 c d^2 g-b e^2 g=0 and 4 a e^5 f+c d^5 g+15 a d e^4 g=0
+
+
+((1 - sqrt(3) + x)/((1 + sqrt(3) + x)*sqrt(-4 + 4*sqrt(3)*x^2 + x^4)), (1//3)*sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*atanh((1 - sqrt(3) + x)^2/(sqrt(3*(-3 + 2*sqrt(3)))*sqrt(-4 + 4*sqrt(3)*x^2 + x^4))), x, 2),
+
+
+((1 + sqrt(3) + x)/((1 - sqrt(3) + x)*sqrt(-4 - 4*sqrt(3)*x^2 + x^4)), -(1//3)*sqrt(3 + 2*sqrt(3))*atan((1 + sqrt(3) + x)^2/(sqrt(3*(3 + 2*sqrt(3)))*sqrt(-4 - 4*sqrt(3)*x^2 + x^4))), x, 2),
+
+
+((1 - sqrt(3) + 2*x)/((1 + sqrt(3) + 2*x)*sqrt(-1 + 4*sqrt(3)*x^2 + 4*x^4)), (1//3)*sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*atanh((1 - sqrt(3) + 2*x)^2/(2*sqrt(3*(-3 + 2*sqrt(3)))*sqrt(-1 + 4*sqrt(3)*x^2 + 4*x^4))), x, 2),
+
+
+((1 + sqrt(3) + 2*x)/((1 - sqrt(3) + 2*x)*sqrt(-1 - 4*sqrt(3)*x^2 + 4*x^4)), (-(1//3))*sqrt(3 + 2*sqrt(3))*atan((1 + sqrt(3) + 2*x)^2/(2*sqrt(3*(3 + 2*sqrt(3)))*sqrt(-1 - 4*sqrt(3)*x^2 + 4*x^4))), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^q (f+g x)^r (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (d+e x)^q (f+g x)^r (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^q (f+g x)^r (a+b x^2+c x^4)^(p/2)
+
+
+# {(f + g*x)/((d + e*x)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x, 8, If[$VersionNumber>=8, ((e*f - d*g)*ArcTan[(Sqrt[(-c)*d^4 - b*d^2*e^2 - a*e^4]*x)/(d*e*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])])/(2*Sqrt[(-c)*d^4 - e^2*(b*d^2 + a*e^2)]) - ((e*f - d*g)*ArcTanh[(b*d^2 + 2*a*e^2 + (2*c*d^2 + b*e^2)*x^2)/(2*Sqrt[c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4]*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])])/(2*Sqrt[c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4]) + ((Sqrt[c]*d*f + Sqrt[a]*e*g)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(2*a^(1/4)*c^(1/4)*(Sqrt[c]*d^2 + Sqrt[a]*e^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]) - ((Sqrt[c]*d^2 - Sqrt[a]*e^2)*(e*f - d*g)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[c]*d^2 + Sqrt[a]*e^2)^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c]*d^2*e^2), 2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(4*a^(1/4)*c^(1/4)*d*e*(Sqrt[c]*d^2 + Sqrt[a]*e^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), ((e*f - d*g)*ArcTan[(Sqrt[(-c)*d^4 - b*d^2*e^2 - a*e^4]*x)/(d*e*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])])/(2*Sqrt[(-c)*d^4 - b*d^2*e^2 - a*e^4]) - ((e*f - d*g)*ArcTanh[(b*d^2 + 2*a*e^2 + (2*c*d^2 + b*e^2)*x^2)/(2*Sqrt[c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4]*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])])/(2*Sqrt[c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4]) + ((Sqrt[c]*d*f + Sqrt[a]*e*g)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(2*a^(1/4)*c^(1/4)*(Sqrt[c]*d^2 + Sqrt[a]*e^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]) - ((Sqrt[c]*d^2 - Sqrt[a]*e^2)*(e*f - d*g)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[c]*d^2 + Sqrt[a]*e^2)^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c]*d^2*e^2), 2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(4*a^(1/4)*c^(1/4)*d*e*(Sqrt[c]*d^2 + Sqrt[a]*e^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])]}
+
+
+((f + g*x)/((d + e*x)*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4)), -(((e*f - d*g)*atanh((b*d^2 - 2*a*e^2 + (2*c*d^2 + b*e^2)*x^2)/(2*sqrt(c*d^4 + b*d^2*e^2 - a*e^4)*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*sqrt(c*d^4 + b*d^2*e^2 - a*e^4))) + (sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*g*(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), -((2*sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*e*sqrt((1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))/(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))))*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(-b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*(e*f - d*g)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 + 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-(((b - sqrt(b^2 + 4*a*c))*e^2)/(2*c*d^2)), asin((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(-b + sqrt(b^2 + 4*a*c))), (b - sqrt(b^2 + 4*a*c))/(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*d*e*sqrt(-a + b*x^2 + c*x^4)), x, 10),
+]
+# Total integrals translated: 401
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..b30681e9
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl	
@@ -0,0 +1,784 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^p with b=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x^2) (a+c x^4)^p
+
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(d + e*x^2)*(a + c*x^4)^5, (1//4)*a^5*d*x^4 + (1//6)*a^5*e*x^6 + (5//8)*a^4*c*d*x^8 + (1//2)*a^4*c*e*x^10 + (5//6)*a^3*c^2*d*x^12 + (5//7)*a^3*c^2*e*x^14 + (5//8)*a^2*c^3*d*x^16 + (5//9)*a^2*c^3*e*x^18 + (1//4)*a*c^4*d*x^20 + (5//22)*a*c^4*e*x^22 + (1//24)*c^5*d*x^24 + (1//26)*c^5*e*x^26, x, 3),
+(x^2*(d + e*x^2)*(a + c*x^4)^5, (1//3)*a^5*d*x^3 + (1//5)*a^5*e*x^5 + (5//7)*a^4*c*d*x^7 + (5//9)*a^4*c*e*x^9 + (10//11)*a^3*c^2*d*x^11 + (10//13)*a^3*c^2*e*x^13 + (2//3)*a^2*c^3*d*x^15 + (10//17)*a^2*c^3*e*x^17 + (5//19)*a*c^4*d*x^19 + (5//21)*a*c^4*e*x^21 + (1//23)*c^5*d*x^23 + (1//25)*c^5*e*x^25, x, 2),
+(x^1*(d + e*x^2)*(a + c*x^4)^5, (1//2)*a^5*d*x^2 + (5//6)*a^4*c*d*x^6 + a^3*c^2*d*x^10 + (5//7)*a^2*c^3*d*x^14 + (5//18)*a*c^4*d*x^18 + (1//22)*c^5*d*x^22 + (e*(a + c*x^4)^6)/(24*c), x, 4),
+(x^0*(d + e*x^2)*(a + c*x^4)^5, a^5*d*x + (1//3)*a^5*e*x^3 + a^4*c*d*x^5 + (5//7)*a^4*c*e*x^7 + (10//9)*a^3*c^2*d*x^9 + (10//11)*a^3*c^2*e*x^11 + (10//13)*a^2*c^3*d*x^13 + (2//3)*a^2*c^3*e*x^15 + (5//17)*a*c^4*d*x^17 + (5//19)*a*c^4*e*x^19 + (1//21)*c^5*d*x^21 + (1//23)*c^5*e*x^23, x, 2),
+(1/x^1*(d + e*x^2)*(a + c*x^4)^5, (1//2)*a^5*e*x^2 + (5//4)*a^4*c*d*x^4 + (5//6)*a^4*c*e*x^6 + (5//4)*a^3*c^2*d*x^8 + a^3*c^2*e*x^10 + (5//6)*a^2*c^3*d*x^12 + (5//7)*a^2*c^3*e*x^14 + (5//16)*a*c^4*d*x^16 + (5//18)*a*c^4*e*x^18 + (1//20)*c^5*d*x^20 + (1//22)*c^5*e*x^22 + a^5*d*log(x), x, 3),
+(1/x^2*(d + e*x^2)*(a + c*x^4)^5, -((a^5*d)/x) + a^5*e*x + (5//3)*a^4*c*d*x^3 + a^4*c*e*x^5 + (10//7)*a^3*c^2*d*x^7 + (10//9)*a^3*c^2*e*x^9 + (10//11)*a^2*c^3*d*x^11 + (10//13)*a^2*c^3*e*x^13 + (1//3)*a*c^4*d*x^15 + (5//17)*a*c^4*e*x^17 + (1//19)*c^5*d*x^19 + (1//21)*c^5*e*x^21, x, 2),
+(1/x^3*(d + e*x^2)*(a + c*x^4)^5, -((a^5*d)/(2*x^2)) + (5//2)*a^4*c*d*x^2 + (5//4)*a^4*c*e*x^4 + (5//3)*a^3*c^2*d*x^6 + (5//4)*a^3*c^2*e*x^8 + a^2*c^3*d*x^10 + (5//6)*a^2*c^3*e*x^12 + (5//14)*a*c^4*d*x^14 + (5//16)*a*c^4*e*x^16 + (1//18)*c^5*d*x^18 + (1//20)*c^5*e*x^20 + a^5*e*log(x), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x^2) (a+c x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^5*(2 + 3*x^2)*sqrt(5 + x^4), (-5*x^2*sqrt(5 + x^4))/8 + (3*x^4*(5 + x^4)^(3//2))/10 - ((4 - x^2)*(5 + x^4)^(3//2))/4 - (25*asinh(x^2/sqrt(5)))/8, x, 5),
+(x^3*(2 + 3*x^2)*sqrt(5 + x^4), (-15*x^2*sqrt(5 + x^4))/16 + ((8 + 9*x^2)*(5 + x^4)^(3//2))/24 - (75*asinh(x^2/sqrt(5)))/16, x, 4),
+(x^1*(2 + 3*x^2)*sqrt(5 + x^4), (x^2*sqrt(5 + x^4))/2 + (5 + x^4)^(3//2)/2 + (5*asinh(x^2/sqrt(5)))/2, x, 4),
+((2 + 3*x^2)*sqrt(5 + x^4)/x^1, ((4 + 3*x^2)*sqrt(5 + x^4))/4 + (15*asinh(x^2/sqrt(5)))/4 - sqrt(5)*atanh(sqrt(5 + x^4)/sqrt(5)), x, 7),
+((2 + 3*x^2)*sqrt(5 + x^4)/x^3, -((2 - 3*x^2)*sqrt(5 + x^4))/(2*x^2) + asinh(x^2/sqrt(5)) - (3*sqrt(5)*atanh(sqrt(5 + x^4)/sqrt(5)))/2, x, 7),
+((2 + 3*x^2)*sqrt(5 + x^4)/x^5, -(((1 + 3*x^2)*sqrt(5 + x^4))/(2*x^4)) + (3//2)*asinh(x^2/sqrt(5)) - atanh(sqrt(5 + x^4)/sqrt(5))/(2*sqrt(5)), x, 7),
+((2 + 3*x^2)*sqrt(5 + x^4)/x^7, -((3*sqrt(5 + x^4))/(4*x^4)) - (5 + x^4)^(3//2)/(15*x^6) - (3*atanh(sqrt(5 + x^4)/sqrt(5)))/(4*sqrt(5)), x, 6),
+
+(x^4*(2 + 3*x^2)*sqrt(5 + x^4), (20*x*sqrt(5 + x^4))/21 + (2*x^3*sqrt(5 + x^4))/3 - (10*x*sqrt(5 + x^4))/(sqrt(5) + x^2) + (x^5*(6 + 7*x^2)*sqrt(5 + x^4))/21 + (10*5^(1//4)*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/sqrt(5 + x^4) - (5*5^(1//4)*(21 + 2*sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(21*sqrt(5 + x^4)), x, 6),
+(x^2*(2 + 3*x^2)*sqrt(5 + x^4), (10*x*sqrt(5 + x^4))/7 + (4*x*sqrt(5 + x^4))/(sqrt(5) + x^2) + (x^3*(14 + 15*x^2)*sqrt(5 + x^4))/35 - (4*5^(1//4)*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/sqrt(5 + x^4) + (5^(1//4)*(14 - 5*sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(7*sqrt(5 + x^4)), x, 5),
+(x^0*(2 + 3*x^2)*sqrt(5 + x^4), (6*x*sqrt(5 + x^4))/(sqrt(5) + x^2) + (x*(10 + 9*x^2)*sqrt(5 + x^4))/15 - (6*5^(1//4)*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/sqrt(5 + x^4) + (5^(1//4)*(9 + 2*sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(3*sqrt(5 + x^4)), x, 4),
+((2 + 3*x^2)*sqrt(5 + x^4)/x^2, -(((2 - x^2)*sqrt(5 + x^4))/x) + (4*x*sqrt(5 + x^4))/(sqrt(5) + x^2) - (4*5^(1//4)*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/sqrt(5 + x^4) + (5^(1//4)*(2 + sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/sqrt(5 + x^4), x, 4),
+((2 + 3*x^2)*sqrt(5 + x^4)/x^4, (-6*sqrt(5 + x^4))/x - ((2 - 9*x^2)*sqrt(5 + x^4))/(3*x^3) + (6*x*sqrt(5 + x^4))/(sqrt(5) + x^2) - (6*5^(1//4)*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/sqrt(5 + x^4) + ((2 + 9*sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(3*5^(1//4)*sqrt(5 + x^4)), x, 5),
+
+
+(x^5*(2 + 3*x^2)*(5 + x^4)^(3//2), (-(25//16))*x^2*sqrt(5 + x^4) - (5//24)*x^2*(5 + x^4)^(3//2) + (3//14)*x^4*(5 + x^4)^(5//2) - (1//42)*(18 - 7*x^2)*(5 + x^4)^(5//2) - (125//16)*asinh(x^2/sqrt(5)), x, 6),
+(x^3*(2 + 3*x^2)*(5 + x^4)^(3//2), (-(75//32))*x^2*sqrt(5 + x^4) - (5//16)*x^2*(5 + x^4)^(3//2) + (1//20)*(4 + 5*x^2)*(5 + x^4)^(5//2) - (375//32)*asinh(x^2/sqrt(5)), x, 5),
+(x^1*(2 + 3*x^2)*(5 + x^4)^(3//2), (15//8)*x^2*sqrt(5 + x^4) + (1//4)*x^2*(5 + x^4)^(3//2) + (3//10)*(5 + x^4)^(5//2) + (75//8)*asinh(x^2/sqrt(5)), x, 5),
+((2 + 3*x^2)*(5 + x^4)^(3//2)/x^1, (5//16)*(16 + 9*x^2)*sqrt(5 + x^4) + (1//24)*(8 + 9*x^2)*(5 + x^4)^(3//2) + (225//16)*asinh(x^2/sqrt(5)) - 5*sqrt(5)*atanh(sqrt(5 + x^4)/sqrt(5)), x, 8),
+((2 + 3*x^2)*(5 + x^4)^(3//2)/x^3, (3//2)*(5 + x^2)*sqrt(5 + x^4) - ((2 - x^2)*(5 + x^4)^(3//2))/(2*x^2) + (15//2)*asinh(x^2/sqrt(5)) - (15//2)*sqrt(5)*atanh(sqrt(5 + x^4)/sqrt(5)), x, 8),
+((2 + 3*x^2)*(5 + x^4)^(3//2)/x^5, -((3*(15 - 2*x^2)*sqrt(5 + x^4))/(4*x^2)) - ((2 - 3*x^2)*(5 + x^4)^(3//2))/(4*x^4) + (45//4)*asinh(x^2/sqrt(5)) - (3//2)*sqrt(5)*atanh(sqrt(5 + x^4)/sqrt(5)), x, 8),
+((2 + 3*x^2)*(5 + x^4)^(3//2)/x^7, -(((4 - 9*x^2)*sqrt(5 + x^4))/(4*x^2)) - ((4 + 9*x^2)*(5 + x^4)^(3//2))/(12*x^6) + asinh(x^2/sqrt(5)) - (9//4)*sqrt(5)*atanh(sqrt(5 + x^4)/sqrt(5)), x, 8),
+
+(x^4*(2 + 3*x^2)*(5 + x^4)^(3//2), (200//77)*x*sqrt(5 + x^4) + (20//13)*x^3*sqrt(5 + x^4) - (300*x*sqrt(5 + x^4))/(13*(sqrt(5) + x^2)) + (10*x^5*(78 + 77*x^2)*sqrt(5 + x^4))/1001 + (1//143)*x^5*(26 + 33*x^2)*(5 + x^4)^(3//2) + (300*5^(1//4)*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(13*sqrt(5 + x^4)) - (50*5^(1//4)*(231 + 26*sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(1001*sqrt(5 + x^4)), x, 7),
+(x^2*(2 + 3*x^2)*(5 + x^4)^(3//2), (300//77)*x*sqrt(5 + x^4) + (40*x*sqrt(5 + x^4))/(3*(sqrt(5) + x^2)) + (2//231)*x^3*(154 + 135*x^2)*sqrt(5 + x^4) + (1//99)*x^3*(22 + 27*x^2)*(5 + x^4)^(3//2) - (40*5^(1//4)*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(3*sqrt(5 + x^4)) + (10*5^(1//4)*(154 - 45*sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(231*sqrt(5 + x^4)), x, 6),
+(x^0*(2 + 3*x^2)*(5 + x^4)^(3//2), (20*x*sqrt(5 + x^4))/(sqrt(5) + x^2) + (2//7)*x*(10 + 7*x^2)*sqrt(5 + x^4) + (1//21)*x*(6 + 7*x^2)*(5 + x^4)^(3//2) - (20*5^(1//4)*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/sqrt(5 + x^4) + (10*5^(1//4)*(7 + 2*sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(7*sqrt(5 + x^4)), x, 5),
+((2 + 3*x^2)*(5 + x^4)^(3//2)/x^2, (24*x*sqrt(5 + x^4))/(sqrt(5) + x^2) + (6//35)*x*(25 + 14*x^2)*sqrt(5 + x^4) - ((14 - 3*x^2)*(5 + x^4)^(3//2))/(7*x) - (24*5^(1//4)*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/sqrt(5 + x^4) + (6*5^(1//4)*(14 + 5*sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(7*sqrt(5 + x^4)), x, 5),
+((2 + 3*x^2)*(5 + x^4)^(3//2)/x^4, -((2*(27 - 2*x^2)*sqrt(5 + x^4))/(3*x)) + (36*x*sqrt(5 + x^4))/(sqrt(5) + x^2) - ((10 - 9*x^2)*(5 + x^4)^(3//2))/(15*x^3) - (36*5^(1//4)*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/sqrt(5 + x^4) + (2*5^(1//4)*(27 + 2*sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(3*sqrt(5 + x^4)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^7*(2 + 3*x^2)/sqrt(5 + x^4), (1//3)*x^4*sqrt(5 + x^4) + (3//8)*x^6*sqrt(5 + x^4) - (5//48)*(32 + 27*x^2)*sqrt(5 + x^4) + (225//16)*asinh(x^2/sqrt(5)), x, 5),
+(x^5*(2 + 3*x^2)/sqrt(5 + x^4), (x^4*sqrt(5 + x^4))/2 - ((10 - x^2)*sqrt(5 + x^4))/2 - (5*asinh(x^2/sqrt(5)))/2, x, 4),
+(x^3*(2 + 3*x^2)/sqrt(5 + x^4), ((4 + 3*x^2)*sqrt(5 + x^4))/4 - (15*asinh(x^2/sqrt(5)))/4, x, 3),
+((x^1*(2 + 3*x^2))/sqrt(5 + x^4), (3*sqrt(5 + x^4))/2 + asinh(x^2/sqrt(5)), x, 3),
+((2 + 3*x^2)/(x^1*sqrt(5 + x^4)), (3*asinh(x^2/sqrt(5)))/2 - atanh(sqrt(5 + x^4)/sqrt(5))/sqrt(5), x, 6),
+((2 + 3*x^2)/(x^3*sqrt(5 + x^4)), -sqrt(5 + x^4)/(5*x^2) - (3*atanh(sqrt(5 + x^4)/sqrt(5)))/(2*sqrt(5)), x, 5),
+((2 + 3*x^2)/(x^5*sqrt(5 + x^4)), -(sqrt(5 + x^4)/(10*x^4)) - (3*sqrt(5 + x^4))/(10*x^2) + atanh(sqrt(5 + x^4)/sqrt(5))/(10*sqrt(5)), x, 6),
+
+(x^4*(2 + 3*x^2)/sqrt(5 + x^4), (2*x*sqrt(5 + x^4))/3 + (3*x^3*sqrt(5 + x^4))/5 - (9*x*sqrt(5 + x^4))/(sqrt(5) + x^2) + (9*5^(1//4)*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/sqrt(5 + x^4) - (5^(1//4)*(27 + 2*sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(6*sqrt(5 + x^4)), x, 5),
+(x^2*(2 + 3*x^2)/sqrt(5 + x^4), x*sqrt(5 + x^4) + (2*x*sqrt(5 + x^4))/(sqrt(5) + x^2) - (2*5^(1//4)*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/sqrt(5 + x^4) + (5^(1//4)*(2 - sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(2*sqrt(5 + x^4)), x, 4),
+(x^0*(2 + 3*x^2)/sqrt(5 + x^4), (3*x*sqrt(5 + x^4))/(sqrt(5) + x^2) - (3*5^(1//4)*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/sqrt(5 + x^4) + ((2 + 3*sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(2*5^(1//4)*sqrt(5 + x^4)), x, 3),
+((2 + 3*x^2)/(x^2*sqrt(5 + x^4)), (-2*sqrt(5 + x^4))/(5*x) + (2*x*sqrt(5 + x^4))/(5*(sqrt(5) + x^2)) - (2*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(5^(3//4)*sqrt(5 + x^4)) + ((2 + 3*sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(2*5^(3//4)*sqrt(5 + x^4)), x, 4),
+((2 + 3*x^2)/(x^4*sqrt(5 + x^4)), (-2*sqrt(5 + x^4))/(15*x^3) - (3*sqrt(5 + x^4))/(5*x) + (3*x*sqrt(5 + x^4))/(5*(sqrt(5) + x^2)) - (3*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(5^(3//4)*sqrt(5 + x^4)) - ((2 - 9*sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(30*5^(1//4)*sqrt(5 + x^4)), x, 5),
+
+
+(x^7*(2 + 3*x^2)/(5 + x^4)^(3//2), -((x^4*(2 + 3*x^2))/(2*sqrt(5 + x^4))) + (1//4)*(8 + 9*x^2)*sqrt(5 + x^4) - (45//4)*asinh(x^2/sqrt(5)), x, 4),
+(x^5*(2 + 3*x^2)/(5 + x^4)^(3//2), -((x^2*(2 + 3*x^2))/(2*sqrt(5 + x^4))) + 3*sqrt(5 + x^4) + asinh(x^2/sqrt(5)), x, 4),
+(x^3*(2 + 3*x^2)/(5 + x^4)^(3//2), -(2 + 3*x^2)/(2*sqrt(5 + x^4)) + (3*asinh(x^2/sqrt(5)))/2, x, 3),
+((x^1*(2 + 3*x^2))/(5 + x^4)^(3//2), -(15 - 2*x^2)/(10*sqrt(5 + x^4)), x, 2),
+((2 + 3*x^2)/(x^1*(5 + x^4)^(3//2)), (2 + 3*x^2)/(10*sqrt(5 + x^4)) - atanh(sqrt(5 + x^4)/sqrt(5))/(5*sqrt(5)), x, 6),
+((2 + 3*x^2)/(x^3*(5 + x^4)^(3//2)), (2 + 3*x^2)/(10*x^2*sqrt(5 + x^4)) - (2*sqrt(5 + x^4))/(25*x^2) - (3*atanh(sqrt(5 + x^4)/sqrt(5)))/(10*sqrt(5)), x, 6),
+
+(x^4*(2 + 3*x^2)/(5 + x^4)^(3//2), -(x^3*(15 - 2*x^2))/(10*sqrt(5 + x^4)) - (x*sqrt(5 + x^4))/5 + (9*x*sqrt(5 + x^4))/(2*(sqrt(5) + x^2)) - (9*5^(1//4)*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(2*sqrt(5 + x^4)) + ((2 + 9*sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(4*5^(1//4)*sqrt(5 + x^4)), x, 5),
+(x^2*(2 + 3*x^2)/(5 + x^4)^(3//2), -(x*(15 - 2*x^2))/(10*sqrt(5 + x^4)) - (x*sqrt(5 + x^4))/(5*(sqrt(5) + x^2)) + ((sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(5^(3//4)*sqrt(5 + x^4)) - ((2 - 3*sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(4*5^(3//4)*sqrt(5 + x^4)), x, 4),
+(x^0*(2 + 3*x^2)/(5 + x^4)^(3//2), (x*(2 + 3*x^2))/(10*sqrt(5 + x^4)) - (3*x*sqrt(5 + x^4))/(10*(sqrt(5) + x^2)) + (3*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(2*5^(3//4)*sqrt(5 + x^4)) + ((2 - 3*sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(20*5^(1//4)*sqrt(5 + x^4)), x, 4),
+((2 + 3*x^2)/(x^2*(5 + x^4)^(3//2)), (2 + 3*x^2)/(10*x*sqrt(5 + x^4)) - (3*sqrt(5 + x^4))/(25*x) + (3*x*sqrt(5 + x^4))/(25*(sqrt(5) + x^2)) - (3*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(5*5^(3//4)*sqrt(5 + x^4)) + (3*(2 + sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(20*5^(3//4)*sqrt(5 + x^4)), x, 5),
+((2 + 3*x^2)/(x^4*(5 + x^4)^(3//2)), (2 + 3*x^2)/(10*x^3*sqrt(5 + x^4)) - sqrt(5 + x^4)/(15*x^3) - (9*sqrt(5 + x^4))/(50*x) + (9*x*sqrt(5 + x^4))/(50*(sqrt(5) + x^2)) - (9*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(10*5^(3//4)*sqrt(5 + x^4)) + ((27 - 2*sqrt(5))*(sqrt(5) + x^2)*sqrt((5 + x^4)/(sqrt(5) + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x/5^(1//4)), 1//2))/(60*5^(3//4)*sqrt(5 + x^4)), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^p with b^2-4 a c=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2) (a^2+2 a b x^2+b^2 x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((f*x)^m*(d + e*x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5, (d*(f*x)^(1 + m))/(f*(1 + m)) + ((10*d + e)*(f*x)^(3 + m))/(f^3*(3 + m)) + (5*(9*d + 2*e)*(f*x)^(5 + m))/(f^5*(5 + m)) + (15*(8*d + 3*e)*(f*x)^(7 + m))/(f^7*(7 + m)) + (30*(7*d + 4*e)*(f*x)^(9 + m))/(f^9*(9 + m)) + (42*(6*d + 5*e)*(f*x)^(11 + m))/(f^11*(11 + m)) + (42*(5*d + 6*e)*(f*x)^(13 + m))/(f^13*(13 + m)) + (30*(4*d + 7*e)*(f*x)^(15 + m))/(f^15*(15 + m)) + (15*(3*d + 8*e)*(f*x)^(17 + m))/(f^17*(17 + m)) + (5*(2*d + 9*e)*(f*x)^(19 + m))/(f^19*(19 + m)) + ((d + 10*e)*(f*x)^(21 + m))/(f^21*(21 + m)) + (e*(f*x)^(23 + m))/(f^23*(23 + m)), x, 3),
+
+(x^5*(d + e*x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5, (1//22)*(d - e)*(1 + x^2)^11 - (1//24)*(2*d - 3*e)*(1 + x^2)^12 + (1//26)*(d - 3*e)*(1 + x^2)^13 + (1//28)*e*(1 + x^2)^14, x, 4),
+(x^4*(d + e*x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5, (d*x^5)/5 + (1//7)*(10*d + e)*x^7 + (5//9)*(9*d + 2*e)*x^9 + (15//11)*(8*d + 3*e)*x^11 + (30//13)*(7*d + 4*e)*x^13 + (14//5)*(6*d + 5*e)*x^15 + (42//17)*(5*d + 6*e)*x^17 + (30//19)*(4*d + 7*e)*x^19 + (5//7)*(3*d + 8*e)*x^21 + (5//23)*(2*d + 9*e)*x^23 + (1//25)*(d + 10*e)*x^25 + (e*x^27)/27, x, 3),
+(x^3*(d + e*x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5, (-(1//22))*(d - e)*(1 + x^2)^11 + (1//24)*(d - 2*e)*(1 + x^2)^12 + (1//26)*e*(1 + x^2)^13, x, 4),
+(x^2*(d + e*x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5, (d*x^3)/3 + (1//5)*(10*d + e)*x^5 + (5//7)*(9*d + 2*e)*x^7 + (5//3)*(8*d + 3*e)*x^9 + (30//11)*(7*d + 4*e)*x^11 + (42//13)*(6*d + 5*e)*x^13 + (14//5)*(5*d + 6*e)*x^15 + (30//17)*(4*d + 7*e)*x^17 + (15//19)*(3*d + 8*e)*x^19 + (5//21)*(2*d + 9*e)*x^21 + (1//23)*(d + 10*e)*x^23 + (e*x^25)/25, x, 3),
+(x^1*(d + e*x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5, (1//22)*(d - e)*(1 + x^2)^11 + (1//24)*e*(1 + x^2)^12, x, 4),
+(x^0*(d + e*x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5, d*x + (1//3)*(10*d + e)*x^3 + (9*d + 2*e)*x^5 + (15//7)*(8*d + 3*e)*x^7 + (10//3)*(7*d + 4*e)*x^9 + (42//11)*(6*d + 5*e)*x^11 + (42//13)*(5*d + 6*e)*x^13 + 2*(4*d + 7*e)*x^15 + (15//17)*(3*d + 8*e)*x^17 + (5//19)*(2*d + 9*e)*x^19 + (1//21)*(d + 10*e)*x^21 + (e*x^23)/23, x, 3),
+((d + e*x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5/x^1, 5*d*x^2 + (45*d*x^4)/4 + 20*d*x^6 + (105*d*x^8)/4 + (126*d*x^10)/5 + (35*d*x^12)/2 + (60*d*x^14)/7 + (45*d*x^16)/16 + (5*d*x^18)/9 + (d*x^20)/20 + (1//22)*e*(1 + x^2)^11 + d*log(x), x, 5),
+((d + e*x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5/x^2, -(d/x) + (10*d + e)*x + (5//3)*(9*d + 2*e)*x^3 + 3*(8*d + 3*e)*x^5 + (30//7)*(7*d + 4*e)*x^7 + (14//3)*(6*d + 5*e)*x^9 + (42//11)*(5*d + 6*e)*x^11 + (30//13)*(4*d + 7*e)*x^13 + (3*d + 8*e)*x^15 + (5//17)*(2*d + 9*e)*x^17 + (1//19)*(d + 10*e)*x^19 + (e*x^21)/21, x, 3),
+((d + e*x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5/x^3, -(d/(2*x^2)) + (5//2)*(9*d + 2*e)*x^2 + (15//4)*(8*d + 3*e)*x^4 + 5*(7*d + 4*e)*x^6 + (21//4)*(6*d + 5*e)*x^8 + (21//5)*(5*d + 6*e)*x^10 + (5//2)*(4*d + 7*e)*x^12 + (15//14)*(3*d + 8*e)*x^14 + (5//16)*(2*d + 9*e)*x^16 + (1//18)*(d + 10*e)*x^18 + (e*x^20)/20 + (10*d + e)*log(x), x, 4),
+
+
+((f*x)^m*(1 + x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5, (f*x)^(1 + m)/(f*(1 + m)) + (11*(f*x)^(3 + m))/(f^3*(3 + m)) + (55*(f*x)^(5 + m))/(f^5*(5 + m)) + (165*(f*x)^(7 + m))/(f^7*(7 + m)) + (330*(f*x)^(9 + m))/(f^9*(9 + m)) + (462*(f*x)^(11 + m))/(f^11*(11 + m)) + (462*(f*x)^(13 + m))/(f^13*(13 + m)) + (330*(f*x)^(15 + m))/(f^15*(15 + m)) + (165*(f*x)^(17 + m))/(f^17*(17 + m)) + (55*(f*x)^(19 + m))/(f^19*(19 + m)) + (11*(f*x)^(21 + m))/(f^21*(21 + m)) + (f*x)^(23 + m)/(f^23*(23 + m)), x, 3),
+
+(x^5*(1 + x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5, (1//24)*(1 + x^2)^12 - (1//13)*(1 + x^2)^13 + (1//28)*(1 + x^2)^14, x, 4),
+(x^4*(1 + x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5, x^5//5 + (11*x^7)/7 + (55*x^9)/9 + 15*x^11 + (330*x^13)/13 + (154*x^15)/5 + (462*x^17)/17 + (330*x^19)/19 + (55*x^21)/7 + (55*x^23)/23 + (11*x^25)/25 + x^27//27, x, 3),
+(x^3*(1 + x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5, (-(1//24))*(1 + x^2)^12 + (1//26)*(1 + x^2)^13, x, 4),
+(x^2*(1 + x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5, x^3//3 + (11*x^5)/5 + (55*x^7)/7 + (55*x^9)/3 + 30*x^11 + (462*x^13)/13 + (154*x^15)/5 + (330*x^17)/17 + (165*x^19)/19 + (55*x^21)/21 + (11*x^23)/23 + x^25//25, x, 3),
+(x^1*(1 + x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5, (1//24)*(1 + x^2)^12, x, 2),
+(x^0*(1 + x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5, x + (11*x^3)/3 + 11*x^5 + (165*x^7)/7 + (110*x^9)/3 + 42*x^11 + (462*x^13)/13 + 22*x^15 + (165*x^17)/17 + (55*x^19)/19 + (11*x^21)/21 + x^23//23, x, 3),
+((1 + x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5/x^1, (11*x^2)/2 + (55*x^4)/4 + (55*x^6)/2 + (165*x^8)/4 + (231*x^10)/5 + (77*x^12)/2 + (165*x^14)/7 + (165*x^16)/16 + (55*x^18)/18 + (11*x^20)/20 + x^22//22 + log(x), x, 4),
+((1 + x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5/x^2, -(1/x) + 11*x + (55*x^3)/3 + 33*x^5 + (330*x^7)/7 + (154*x^9)/3 + 42*x^11 + (330*x^13)/13 + 11*x^15 + (55*x^17)/17 + (11*x^19)/19 + x^21//21, x, 3),
+((1 + x^2)*(1 + 2*x^2 + x^4)^5/x^3, -(1/(2*x^2)) + (55*x^2)/2 + (165*x^4)/4 + 55*x^6 + (231*x^8)/4 + (231*x^10)/5 + (55*x^12)/2 + (165*x^14)/14 + (55*x^16)/16 + (11*x^18)/18 + x^20//20 + 11*log(x), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2) (a^2+2 a b x^2+b^2 x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^2*(d + e*x^2)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), ((b*d - a*e)*x*(a + b*x^2))/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (e*x^3*(a + b*x^2))/(3*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (sqrt(a)*(b*d - a*e)*(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(b^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+(x^1*(d + e*x^2)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*b^2) + ((b*d - a*e)*(a + b*x^2)*log(a + b*x^2))/(2*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+(x^0*(d + e*x^2)/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4), (e*x*(a + b*x^2))/(b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + ((b*d - a*e)*(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*b^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 3),
+((d + e*x^2)/(x^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), (d*(a + b*x^2)*log(x))/(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - ((b*d - a*e)*(a + b*x^2)*log(a + b*x^2))/(2*a*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+((d + e*x^2)/(x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), -((d*(a + b*x^2))/(a*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))) - ((b*d - a*e)*(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*sqrt(b)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 3),
+((d + e*x^2)/(x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), -((d*(a + b*x^2))/(2*a*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))) - ((b*d - a*e)*(a + b*x^2)*log(x))/(a^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + ((b*d - a*e)*(a + b*x^2)*log(a + b*x^2))/(2*a^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+
+
+(x^2*(d + e*x^2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), ((b*d - 5*a*e)*x)/(8*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - ((b*d - a*e)*x)/(4*b^2*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + ((b*d + 3*a*e)*(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(3//2)*b^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+(x^1*(d + e*x^2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), -(e/(2*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))) - (b*d - a*e)/(4*b^2*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 3),
+(x^0*(d + e*x^2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), ((3*b*d + a*e)*x)/(8*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + ((b*d - a*e)*x)/(4*a*b*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + ((3*b*d + a*e)*(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*b^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+((d + e*x^2)/(x^1*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)), d/(2*a^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (b*d - a*e)/(4*a*b*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + (d*(a + b*x^2)*log(x))/(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(a + b*x^2)*log(a + b*x^2))/(2*a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+((d + e*x^2)/(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)), -(((7*b*d - 3*a*e)*x)/(8*a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))) - ((b*d - a*e)*x)/(4*a^2*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(a + b*x^2))/(a^3*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (3*(5*b*d - a*e)*(a + b*x^2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(8*a^(7//2)*sqrt(b)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 5),
+((d + e*x^2)/(x^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2)), -((2*b*d - a*e)/(2*a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))) - (b*d - a*e)/(4*a^2*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - (d*(a + b*x^2))/(2*a^3*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) - ((3*b*d - a*e)*(a + b*x^2)*log(x))/(a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + ((3*b*d - a*e)*(a + b*x^2)*log(a + b*x^2))/(2*a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2) (a^2+2 a b x^2+b^2 x^4)^p with m symbolic
+
+
+((f*x)^m*(d + e*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(5//2), (a^5*d*(f*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(f*(1 + m)*(a + b*x^2)) + (a^4*(5*b*d + a*e)*(f*x)^(3 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(f^3*(3 + m)*(a + b*x^2)) + (5*a^3*b*(2*b*d + a*e)*(f*x)^(5 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(f^5*(5 + m)*(a + b*x^2)) + (10*a^2*b^2*(b*d + a*e)*(f*x)^(7 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(f^7*(7 + m)*(a + b*x^2)) + (5*a*b^3*(b*d + 2*a*e)*(f*x)^(9 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(f^9*(9 + m)*(a + b*x^2)) + (b^4*(b*d + 5*a*e)*(f*x)^(11 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(f^11*(11 + m)*(a + b*x^2)) + (b^5*e*(f*x)^(13 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(f^13*(13 + m)*(a + b*x^2)), x, 3),
+((f*x)^m*(d + e*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), (a^3*d*(f*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(f*(1 + m)*(a + b*x^2)) + (a^2*(3*b*d + a*e)*(f*x)^(3 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(f^3*(3 + m)*(a + b*x^2)) + (3*a*b*(b*d + a*e)*(f*x)^(5 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(f^5*(5 + m)*(a + b*x^2)) + (b^2*(b*d + 3*a*e)*(f*x)^(7 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(f^7*(7 + m)*(a + b*x^2)) + (b^3*e*(f*x)^(9 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(f^9*(9 + m)*(a + b*x^2)), x, 3),
+((f*x)^m*(d + e*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1//2), (a*d*(f*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(f*(1 + m)*(a + b*x^2)) + ((b*d + a*e)*(f*x)^(3 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(f^3*(3 + m)*(a + b*x^2)) + (b*e*(f*x)^(5 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(f^5*(5 + m)*(a + b*x^2)), x, 3),
+((f*x)^m*(d + e*x^2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1//2), (e*(f*x)^(1 + m)*(a + b*x^2))/(b*f*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + ((b*d - a*e)*(f*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(a*b*f*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 3),
+((f*x)^m*(d + e*x^2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(3//2), ((b*d - a*e)*(f*x)^(1 + m))/(4*a*b*f*(a + b*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)) + ((b*d*(3 - m) + a*e*(1 + m))*(f*x)^(1 + m)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((b*x^2)/a)))/(4*a^3*b*f*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2) (a^2+2 a b x^2+b^2 x^4)^p with p symbolic
+
+
+(x^1*(a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p, (a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^(1 + p)/(4*b*(1 + p)), x, 2),
+(x^3*(a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p, -((a*(a + b*x^2)^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p)/(4*b^2*(1 + p))) + ((a + b*x^2)^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p)/(2*b^2*(3 + 2*p)), x, 5),
+(x^5*(a + b*x^2)*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p, (a^2*(a + b*x^2)^2*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p)/(4*b^3*(1 + p)) - (a*(a + b*x^2)^3*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p)/(b^3*(3 + 2*p)) + ((a + b*x^2)^4*(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)^p)/(4*b^3*(2 + p)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(A + B*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (1//4)*a^3*A*x^4 + (1//6)*a^2*(3*A*b + a*B)*x^6 + (3//8)*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x^8 + (1//10)*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^10 + (1//12)*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^12 + (3//14)*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^14 + (1//16)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^16 + (1//18)*B*c^3*x^18, x, 3),
+(x^2*(A + B*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (1//3)*a^3*A*x^3 + (1//5)*a^2*(3*A*b + a*B)*x^5 + (3//7)*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x^7 + (1//9)*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^9 + (1//11)*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^11 + (3//13)*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^13 + (1//15)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^15 + (1//17)*B*c^3*x^17, x, 2),
+(x^1*(A + B*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (1//2)*a^3*A*x^2 + (1//4)*a^2*(3*A*b + a*B)*x^4 + (1//2)*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x^6 + (1//8)*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^8 + (1//10)*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^10 + (1//4)*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^12 + (1//14)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^14 + (1//16)*B*c^3*x^16, x, 3),
+(x^0*(A + B*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^3, a^3*A*x + (1//3)*a^2*(3*A*b + a*B)*x^3 + (3//5)*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x^5 + (1//7)*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^7 + (1//9)*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^9 + (3//11)*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^11 + (1//13)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^13 + (1//15)*B*c^3*x^15, x, 2),
+(1/x^1*(A + B*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (1//2)*a^2*(3*A*b + a*B)*x^2 + (3//4)*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x^4 + (1//6)*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^6 + (1//8)*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^8 + (3//10)*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^10 + (1//12)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^12 + (1//14)*B*c^3*x^14 + a^3*A*log(x), x, 3),
+(1/x^2*(A + B*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((a^3*A)/x) + a^2*(3*A*b + a*B)*x + a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x^3 + (1//5)*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^5 + (1//7)*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^7 + (1//3)*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^9 + (1//11)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^11 + (1//13)*B*c^3*x^13, x, 2),
+(1/x^3*(A + B*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((a^3*A)/(2*x^2)) + (3//2)*a*(a*b*B + A*(b^2 + a*c))*x^2 + (1//4)*(3*a*B*(b^2 + a*c) + A*(b^3 + 6*a*b*c))*x^4 + (1//6)*(b^3*B + 3*A*b^2*c + 6*a*b*B*c + 3*a*A*c^2)*x^6 + (3//8)*c*(b^2*B + A*b*c + a*B*c)*x^8 + (1//10)*c^2*(3*b*B + A*c)*x^10 + (1//12)*B*c^3*x^12 + a^2*(3*A*b + a*B)*log(x), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), -(((b*B - A*c)*x^2)/(2*c^2)) + (B*x^4)/(4*c) + ((b^3*B - A*b^2*c - 3*a*b*B*c + 2*a*A*c^2)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((b^2*B - A*b*c - a*B*c)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^3), x, 7),
+(x^3*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), (B*x^2)/(2*c) - ((b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((b*B - A*c)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^2), x, 6),
+(x^1*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((b*B - 2*A*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (B*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c), x, 5),
+(x^(-1)*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((A*b - 2*a*B)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (A*log(x))/a - (A*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a), x, 7),
+(x^(-3)*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), -(A/(2*a*x^2)) - ((A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((A*b - a*B)*log(x))/a^2 + ((A*b - a*B)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^2), x, 7),
+
+(x^4*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), -(((b*B - A*c)*x)/c^2) + (B*x^3)/(3*c) + ((b^2*B - A*b*c - a*B*c - (b^3*B - A*b^2*c - 3*a*b*B*c + 2*a*A*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b^2*B - A*b*c - a*B*c + (b^3*B - A*b^2*c - 3*a*b*B*c + 2*a*A*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^2*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), (B*x)/c - ((b*B - A*c - (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((b*B - A*c + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+(x^0*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((B - (b*B - 2*A*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((B + (b*B - 2*A*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 3),
+(x^(-2)*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), -(A/(a*x)) - (sqrt(c)*(A + (A*b - 2*a*B)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(A - (A*b - 2*a*B)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+(x^(-4)*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), -(A/(3*a*x^3)) + (A*b - a*B)/(a^2*x) - (sqrt(c)*(a*B*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)) - A*(b^2 - 2*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(a*B*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)) - A*(b^2 - 2*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+
+
+(x^7*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, ((2*b^2*B - A*b*c - 6*a*B*c)*x^2)/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)) - (x^4*(a*(b*B - 2*A*c) + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*x^2))/(2*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((2*b^4*B - A*b^3*c - 12*a*b^2*B*c + 6*a*A*b*c^2 + 12*a^2*B*c^2)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) - ((2*b*B - A*c)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^3), x, 7),
+(x^5*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((x^2*(a*(b*B - 2*A*c) + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*x^2))/(2*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4))) + ((b^3*B - 6*a*b*B*c + 4*a*A*c^2)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + (B*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^2), x, 6),
+(x^3*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((a*(b*B - 2*A*c) + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*x^2)/(2*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4))) - ((A*b - 2*a*B)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 4),
+(x^1*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x^2)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4))) - ((b*B - 2*A*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 4),
+(x^(-1)*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((a*b*B - A*(b^2 - 2*a*c) - (A*b - 2*a*B)*c*x^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4))) + ((4*a^2*B*c + A*(b^3 - 6*a*b*c))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + (A*log(x))/a^2 - (A*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^2), x, 8),
+(x^(-3)*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((2*A*b^2 - a*b*B - 6*a*A*c)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^2)) - (a*b*B - A*(b^2 - 2*a*c) - (A*b - 2*a*B)*c*x^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((a*b*B*(b^2 - 6*a*c) - 2*A*(b^4 - 6*a*b^2*c + 6*a^2*c^2))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) - ((2*A*b - a*B)*log(x))/a^3 + ((2*A*b - a*B)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^3), x, 8),
+
+(x^6*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, ((3*b^2*B - A*b*c - 10*a*B*c)*x)/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)) - ((b*B - 2*A*c)*x^3)/(2*c*(b^2 - 4*a*c)) - (x^5*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((3*b^3*B - A*b^2*c - 13*a*b*B*c + 6*a*A*c^2 - (3*b^4*B - A*b^3*c - 19*a*b^2*B*c + 8*a*A*b*c^2 + 20*a^2*B*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((3*b^3*B - A*b^2*c - 13*a*b*B*c + 6*a*A*c^2 + (3*b^4*B - A*b^3*c - 19*a*b^2*B*c + 8*a*A*b*c^2 + 20*a^2*B*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+(x^4*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -(((b*B - 2*A*c)*x)/(2*c*(b^2 - 4*a*c))) - (x^3*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b^2*B + A*b*c - 6*a*B*c - (b^3*B + A*b^2*c - 8*a*b*B*c + 4*a*A*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b^2*B + A*b*c - 6*a*B*c + (b^3*B + A*b^2*c - 8*a*b*B*c + 4*a*A*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^2*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((x*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4))) + ((b*B - 2*A*c - (b^2*B - 4*A*b*c + 4*a*B*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b*B - 2*A*c + (b^2*B - 4*A*b*c + 4*a*B*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+(x^0*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (x*(A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c + (A*b - 2*a*B)*c*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(c)*(A*b - 2*a*B + (4*a*b*B + A*(b^2 - 12*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(A*b - 2*a*B - (A*b^2 + 4*a*b*B - 12*a*A*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+(x^(-2)*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((3*A*b^2 - a*b*B - 10*a*A*c)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x)) - (a*b*B - A*(b^2 - 2*a*c) - (A*b - 2*a*B)*c*x^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*x*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(c)*(a*B*(b^2 - 12*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - A*(3*b^3 - 16*a*b*c + 3*b^2*sqrt(b^2 - 4*a*c) - 10*a*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(3*A*b^2 - a*b*B - 10*a*A*c + (a*B*(b^2 - 12*a*c) - A*(3*b^3 - 16*a*b*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^(-4)*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((5*A*b^2 - 3*a*b*B - 14*a*A*c)/(6*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^3)) - (a*B*(3*b^2 - 10*a*c) - A*(5*b^3 - 19*a*b*c))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)*x) - (a*b*B - A*(b^2 - 2*a*c) - (A*b - 2*a*B)*c*x^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (sqrt(c)*(a*B*(3*b^3 - 16*a*b*c + 3*b^2*sqrt(b^2 - 4*a*c) - 10*a*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - A*(5*b^4 - 29*a*b^2*c + 28*a^2*c^2 + 5*b^3*sqrt(b^2 - 4*a*c) - 19*a*b*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(a*B*(3*b^3 - 16*a*b*c - 3*b^2*sqrt(b^2 - 4*a*c) + 10*a*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - A*(5*b^4 - 29*a*b^2*c + 28*a^2*c^2 - 5*b^3*sqrt(b^2 - 4*a*c) + 19*a*b*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+
+
+(x^11*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, ((3*b^4*B - A*b^3*c - 21*a*b^2*B*c + 7*a*A*b*c^2 + 30*a^2*B*c^2)*x^2)/(2*c^3*(b^2 - 4*a*c)^2) - (x^8*(a*(b*B - 2*A*c) + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*x^2))/(4*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) - (x^4*(a*(3*b^3*B - A*b^2*c - 18*a*b*B*c + 16*a*A*c^2) + (3*b^4*B - A*b^3*c - 20*a*b^2*B*c + 10*a*A*b*c^2 + 20*a^2*B*c^2)*x^2))/(4*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((3*b^6*B - A*b^5*c - 30*a*b^4*B*c + 10*a*A*b^3*c^2 + 90*a^2*b^2*B*c^2 - 30*a^2*A*b*c^3 - 60*a^3*B*c^3)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^4*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)) - ((3*b*B - A*c)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^4), x, 8),
+(x^9*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((x^6*(a*(b*B - 2*A*c) + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*x^2))/(4*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2)) - (x^2*(2*a*(b^3*B - 7*a*b*B*c + 6*a*A*c^2) + (2*b^4*B - 15*a*b^2*B*c + 6*a*A*b*c^2 + 16*a^2*B*c^2)*x^2))/(4*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b^5*B - 10*a*b^3*B*c + 30*a^2*b*B*c^2 - 12*a^2*A*c^3)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^3*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)) + (B*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^3), x, 7),
+(x^7*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((x^6*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2)) + (3*(A*b - 2*a*B)*x^2*(2*a + b*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (3*a*(A*b - 2*a*B)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 5),
+(x^5*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((x^4*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2)) - (a*(b^2*B - 6*A*b*c + 8*a*B*c) + (b^3*B - 4*A*b^2*c + 2*a*b*B*c + 4*a*A*c^2)*x^2)/(4*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((3*a*b*B - A*(b^2 + 2*a*c))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 5),
+(x^3*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((a*(b*B - 2*A*c) + (b^2*B - A*b*c - 2*a*B*c)*x^2)/(4*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2)) + ((b^2*B - 3*A*b*c + 2*a*B*c)*(b + 2*c*x^2))/(4*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((b^2*B - 3*A*b*c + 2*a*B*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 5),
+(x^1*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x^2)/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2)) - (3*(b*B - 2*A*c)*(b + 2*c*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (3*c*(b*B - 2*A*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 5),
+(x^(-1)*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((a*b*B - A*(b^2 - 2*a*c) - (A*b - 2*a*B)*c*x^2)/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2)) + (6*a^2*b*B*c + A*(2*b^4 - 15*a*b^2*c + 16*a^2*c^2) + 2*c*(6*a^2*B*c + A*(b^3 - 7*a*b*c))*x^2)/(4*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((12*a^3*B*c^2 - A*(b^5 - 10*a*b^3*c + 30*a^2*b*c^2))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)) + (A*log(x))/a^3 - (A*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^3), x, 9),
+(x^(-3)*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (a*b*B*(b^2 - 7*a*c) - 3*A*(b^4 - 7*a*b^2*c + 10*a^2*c^2))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*x^2) - (a*b*B - A*(b^2 - 2*a*c) - (A*b - 2*a*B)*c*x^2)/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) - (a*b*B*(b^2 - 10*a*c) - A*(3*b^4 - 20*a*b^2*c + 20*a^2*c^2) + c*(a*B*(b^2 - 16*a*c) - 3*A*(b^3 - 6*a*b*c))*x^2)/(4*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((a*b*B*(b^4 - 10*a*b^2*c + 30*a^2*c^2) - 3*A*(b^6 - 10*a*b^4*c + 30*a^2*b^2*c^2 - 20*a^3*c^3))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^4*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)) - ((3*A*b - a*B)*log(x))/a^4 + ((3*A*b - a*B)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^4), x, 9),
+
+(x^8*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -(((3*b^3*B + A*b^2*c - 24*a*b*B*c + 20*a*A*c^2)*x)/(8*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2)) + ((b^2*B + 12*A*b*c - 28*a*B*c)*x^3)/(8*c*(b^2 - 4*a*c)^2) - (x^7*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) - (x^5*(7*A*b^2 - 12*a*b*B - 4*a*A*c + (b^2*B + 12*A*b*c - 28*a*B*c)*x^2))/(8*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((3*b^4*B + A*b^3*c - 27*a*b^2*B*c - 16*a*A*b*c^2 + 84*a^2*B*c^2 - (3*b^5*B + A*b^4*c - 33*a*b^3*B*c - 18*a*A*b^2*c^2 + 132*a^2*b*B*c^2 - 40*a^2*A*c^3)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((3*b^4*B + A*b^3*c - 27*a*b^2*B*c - 16*a*A*b*c^2 + 84*a^2*B*c^2 + (3*b^5*B + A*b^4*c - 33*a*b^3*B*c - 18*a*A*b^2*c^2 + 132*a^2*b*B*c^2 - 40*a^2*A*c^3)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 7),
+(x^6*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -(((b^2*B - 12*A*b*c + 20*a*B*c)*x)/(8*c*(b^2 - 4*a*c)^2)) - (x^5*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) - (x^3*(5*A*b^2 - 12*a*b*B + 4*a*A*c - (b^2*B - 12*A*b*c + 20*a*B*c)*x^2))/(8*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b^3*B + 3*A*b^2*c - 16*a*b*B*c + 12*a*A*c^2 - (b^4*B + 3*A*b^3*c - 18*a*b^2*B*c + 36*a*A*b*c^2 - 40*a^2*B*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b^3*B + 3*A*b^2*c - 16*a*b*B*c + 12*a*A*c^2 + (b^4*B + 3*A*b^3*c - 18*a*b^2*B*c + 36*a*A*b*c^2 - 40*a^2*B*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+(x^4*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((x^3*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2)) + (3*x*(4*a*b*B - A*(b^2 + 4*a*c) + (b^2*B - 4*A*b*c + 4*a*B*c)*x^2))/(8*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (3*(b^2*B - 4*A*b*c + 4*a*B*c - (b^3*B - 6*A*b^2*c + 12*a*b*B*c - 8*a*A*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (3*(b^2*B - 4*A*b*c + 4*a*B*c + (b^3*B - 6*A*b^2*c + 12*a*b*B*c - 8*a*A*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^2*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((x*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2)) - (x*(a*B*(7*b^2 - 4*a*c) - A*(b^3 + 8*a*b*c) + c*(12*a*b*B - A*(b^2 + 20*a*c))*x^2))/(8*a*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(c)*(6*a*B*(3*b^2 + 4*a*c - 2*b*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + A*(b^3 - 52*a*b*c + b^2*sqrt(b^2 - 4*a*c) + 20*a*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(6*a*B*(3*b^2 + 4*a*c + 2*b*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + A*(b^3 - 52*a*b*c - b^2*sqrt(b^2 - 4*a*c) - 20*a*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^0*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (x*(A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c + (A*b - 2*a*B)*c*x^2))/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + (x*(a*b*B*(b^2 + 8*a*c) + A*(3*b^4 - 25*a*b^2*c + 28*a^2*c^2) + c*(a*B*(b^2 + 20*a*c) + 3*A*(b^3 - 8*a*b*c))*x^2))/(8*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(c)*(a*B*(b^2 + 20*a*c) + 3*A*(b^3 - 8*a*b*c) + (a*b*B*(b^2 - 52*a*c) + 3*A*(b^4 - 10*a*b^2*c + 56*a^2*c^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(a*B*(b^2 + 20*a*c) + 3*A*(b^3 - 8*a*b*c) - (a*b*B*(b^2 - 52*a*c) + 3*A*(b^4 - 10*a*b^2*c + 56*a^2*c^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+# {x^(-2)*(A + B*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, x, 6, -((3*(5*A*b^4 - a*b^3*B - 37*a*A*b^2*c + 4*a^2*c*(2*b*B + 15*A*c)))/(8*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*x)) - ((-A)*b^2 + a*b*B + 2*a*A*c + ((-A)*b*c + 2*a*B*c)*x^2)/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*x*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + (5*A*b^4 - a*b^3*B - 35*a*A*b^2*c + 4*a^2*c*(4*b*B + 9*A*c) + c*(5*A*b^3 - a*b^2*B - 32*a*A*b*c + 28*a^2*B*c)*x^2)/(8*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*x*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (3*Sqrt[c]*(5*A*b^5 - 56*a^3*B*c^2 - 37*a*A*b^2*c*Sqrt[b^2 - 4*a*c] - b^4*(a*B - 5*A*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) - a*b^3*(47*A*c + B*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) + 2*a^2*c*(5*b^2*B + 4*b*B*Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*A*c*(31*b + 15*Sqrt[b^2 - 4*a*c])))*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*x)/Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(8*Sqrt[2]*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(5/2)*Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + (3*Sqrt[c]*(5*A*b^5 - 56*a^3*B*c^2 + 37*a*A*b^2*c*Sqrt[b^2 - 4*a*c] - b^4*(a*B + 5*A*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) - a*b^3*(47*A*c - B*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) + 2*a^2*c*(5*b^2*B - 4*b*B*Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*A*c*(31*b - 15*Sqrt[b^2 - 4*a*c])))*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*x)/Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(8*Sqrt[2]*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(5/2)*Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]])}
+
+
+(x*(-7 + 4*x^2)/(4 - 5*x^2 + x^4), (1//2)*log(1 - x^2) + (3//2)*log(4 - x^2), x, 4),
+((-7*x + 4*x^3)/(4 - 5*x^2 + x^4), (1//2)*log(1 - x^2) + (3//2)*log(4 - x^2), x, 5),
+
+(x*(2 + x^2)/(1 + x^2 + x^4), (1//2)*sqrt(3)*atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3)) + (1//4)*log(1 + x^2 + x^4), x, 5),
+((2*x + x^3)/(1 + x^2 + x^4), (1//2)*sqrt(3)*atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3)) + (1//4)*log(1 + x^2 + x^4), x, 6),
+
+((11*x + 2*x^3)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, (5 + 9*x^2)/(8*(3 + 2*x^2 + x^4)) + (9*atan((1 + x^2)/sqrt(2)))/(8*sqrt(2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^5*(2 + 3*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), (-(1633//256))*(5 + 2*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) + (3//10)*x^4*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2) + (1//480)*(1837 - 510*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2) + (21229//512)*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))), x, 6),
+(x^3*(2 + 3*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), (259*(5 + 2*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/128 - ((59 - 18*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2))/48 - (3367*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))))/256, x, 5),
+(x^1*(2 + 3*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), (-11*(5 + 2*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/16 + (3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2)/2 + (143*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))))/32, x, 5),
+((2 + 3*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)/x^1, ((23 + 6*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/8 + atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)))/16 - sqrt(3)*atanh((6 + 5*x^2)/(2*sqrt(3)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))), x, 7),
+((2 + 3*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)/x^3, -((2 - 3*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(2*x^2) + (19*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))))/4 - (7*atanh((6 + 5*x^2)/(2*sqrt(3)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))))/sqrt(3), x, 7),
+((2 + 3*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)/x^5, -(((6 + 23*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(12*x^4)) + (3//2)*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))) - (77*atanh((6 + 5*x^2)/(2*sqrt(3)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))))/(24*sqrt(3)), x, 7),
+((2 + 3*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)/x^7, -(((6 + 5*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(18*x^4)) - (3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2)/(9*x^6) + (13*atanh((6 + 5*x^2)/(2*sqrt(3)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))))/(36*sqrt(3)), x, 5),
+((2 + 3*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)/x^9, (67*(6 + 5*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(1728*x^4) - (3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2)/(12*x^8) - (11*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2))/(216*x^6) - (871*atanh((6 + 5*x^2)/(2*sqrt(3)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))))/(3456*sqrt(3)), x, 6),
+((2 + 3*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)/x^11, -((161*(6 + 5*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(5184*x^4)) - (3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2)/(15*x^10) - (3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2)/(36*x^8) + (173*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2))/(3240*x^6) + (2093*atanh((6 + 5*x^2)/(2*sqrt(3)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))))/(10368*sqrt(3)), x, 7),
+
+(x^4*(2 + 3*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), (-1924*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(105*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (13*x*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/3 - (26*x^3*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/35 + (x^5*(11 + 7*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/21 + (962*sqrt((2*(5 + sqrt(13)))/3)*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(105*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (13*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(sqrt(6*(5 + sqrt(13)))*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), x, 6),
+(x^2*(2 + 3*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), (1247*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(210*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (4*x*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/3 + (x^3*(29 + 15*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/35 - (1247*sqrt((5 + sqrt(13))/6)*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(210*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (2*sqrt(2/(3*(5 + sqrt(13))))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), x, 5),
+(x^0*(2 + 3*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), (-23*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(15*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (x*(25 + 9*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/15 + (23*sqrt((5 + sqrt(13))/6)*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(15*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(sqrt(6*(5 + sqrt(13)))*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), x, 4),
+((2 + 3*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)/x^2, (9*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - ((2 - x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/x - (3*sqrt((3*(5 + sqrt(13)))/2)*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (8*sqrt(2/(3*(5 + sqrt(13))))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), x, 4),
+((2 + 3*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)/x^4, (32*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(9*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (64*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(9*x) - ((2 - 9*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(3*x^3) - (16*sqrt((2*(5 + sqrt(13)))/3)*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(9*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (49*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(3*sqrt(6*(5 + sqrt(13)))*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), x, 5),
+
+
+(x^5*(2 + 3*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2), (28379*(5 + 2*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/2048 - (2183//768)*(5 + 2*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2) + (3//14)*x^4*(3 + 5*x^2 + x^4)^(5//2) + ((3313 - 1070*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(5//2))/1680 - (368927*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))))/4096, x, 7),
+(x^3*(2 + 3*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2), -((4797*(5 + 2*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/1024) + (123//128)*(5 + 2*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2) - (1//40)*(27 - 10*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(5//2) + (62361*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))))/2048, x, 6),
+(x^1*(2 + 3*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2), (429//256)*(5 + 2*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) - (11//32)*(5 + 2*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2) + (3//10)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(5//2) - (5577//512)*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))), x, 6),
+((2 + 3*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2)/x^1, (1//128)*(199 - 74*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) + (1//48)*(61 + 18*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2) + (2401//256)*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))) - 3*sqrt(3)*atanh((6 + 5*x^2)/(2*sqrt(3)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))), x, 8),
+((2 + 3*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2)/x^3, (3//16)*(109 + 18*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) - ((2 - x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2))/(2*x^2) + (609//32)*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))) - 12*sqrt(3)*atanh((6 + 5*x^2)/(2*sqrt(3)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))), x, 8),
+((2 + 3*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2)/x^5, -((3*(28 - 19*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(8*x^2)) - ((2 - 3*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2))/(4*x^4) + (453//16)*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))) - (127//8)*sqrt(3)*atanh((6 + 5*x^2)/(2*sqrt(3)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))), x, 8),
+((2 + 3*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2)/x^7, -(((67 - 32*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(12*x^2)) - ((2 + 7*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2))/(6*x^6) + (49//4)*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))) - (527*atanh((6 + 5*x^2)/(2*sqrt(3)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))))/(24*sqrt(3)), x, 8),
+
+(x^4*(2 + 3*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2), (176723*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(4290*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (4210//429)*x*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) + (1251//715)*x^3*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) - (1//429)*x^5*(283 + 272*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) + (1//143)*x^5*(71 + 33*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2) - (176723*sqrt((1//6)*(5 + sqrt(13)))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((1//6)*(5 + sqrt(13)))*x), (1//6)*(-13 + 5*sqrt(13))))/(4290*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (2105*sqrt(2/(3*(5 + sqrt(13))))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((1//6)*(5 + sqrt(13)))*x), (1//6)*(-13 + 5*sqrt(13))))/(143*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), x, 7),
+(x^2*(2 + 3*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2), -((49949*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(3465*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))) + (353//99)*x*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) - (x^3*(911 + 890*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/1155 + (1//99)*x^3*(67 + 27*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2) + (49949*sqrt((1//6)*(5 + sqrt(13)))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((1//6)*(5 + sqrt(13)))*x), (1//6)*(-13 + 5*sqrt(13))))/(3465*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (353*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((1//6)*(5 + sqrt(13)))*x), (1//6)*(-13 + 5*sqrt(13))))/(33*sqrt(6*(5 + sqrt(13)))*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), x, 6),
+(x^0*(2 + 3*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2), (203*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(30*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (1//15)*x*(5 + 12*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) + (1//3)*x*(3 + x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2) - (203*sqrt((1//6)*(5 + sqrt(13)))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((1//6)*(5 + sqrt(13)))*x), (1//6)*(-13 + 5*sqrt(13))))/(30*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (5*sqrt(2/(3*(5 + sqrt(13))))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((1//6)*(5 + sqrt(13)))*x), (1//6)*(-13 + 5*sqrt(13))))/sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), x, 5),
+((2 + 3*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2)/x^2, (412*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(35*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (1//35)*x*(655 + 129*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) - ((14 - 3*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2))/(7*x) - (206*sqrt((2//3)*(5 + sqrt(13)))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((1//6)*(5 + sqrt(13)))*x), (1//6)*(-13 + 5*sqrt(13))))/(35*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (19*sqrt(3/(2*(5 + sqrt(13))))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((1//6)*(5 + sqrt(13)))*x), (1//6)*(-13 + 5*sqrt(13))))/sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), x, 5),
+((2 + 3*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2)/x^4, (949*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(30*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (13*(24 - 5*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(15*x) - ((10 - 9*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2))/(15*x^3) - (949*sqrt((1//6)*(5 + sqrt(13)))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((1//6)*(5 + sqrt(13)))*x), (1//6)*(-13 + 5*sqrt(13))))/(30*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (65*sqrt(2/(3*(5 + sqrt(13))))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((1//6)*(5 + sqrt(13)))*x), (1//6)*(-13 + 5*sqrt(13))))/sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), x, 5),
+((2 + 3*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2)/x^6, (361*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(15*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (722*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(15*x) - ((40 - 87*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(5*x^3) - ((2 - 5*x^2)*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2))/(5*x^5) - (361*sqrt((1//6)*(5 + sqrt(13)))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((1//6)*(5 + sqrt(13)))*x), (1//6)*(-13 + 5*sqrt(13))))/(15*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (103*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((1//6)*(5 + sqrt(13)))*x), (1//6)*(-13 + 5*sqrt(13))))/(sqrt(6*(5 + sqrt(13)))*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5*(A + B*x^2)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (B*x^4*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(6*c) + ((15*b^2*B - 18*A*b*c - 16*a*B*c - 2*c*(5*b*B - 6*A*c)*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(48*c^3) - ((5*b^3*B - 6*A*b^2*c - 12*a*b*B*c + 8*a*A*c^2)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(32*c^(7//2)), x, 5),
+(x^3*(A + B*x^2)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), -(((3*b*B - 4*A*c - 2*B*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(8*c^2)) + ((3*b^2*B - 4*A*b*c - 4*a*B*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(16*c^(5//2)), x, 4),
+(x^1*(A + B*x^2)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (B*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(2*c) - ((b*B - 2*A*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*c^(3//2)), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^1*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -((A*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*sqrt(a))) + (B*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*sqrt(c)), x, 6),
+((A + B*x^2)/(x^3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -((A*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(2*a*x^2)) + ((A*b - 2*a*B)*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*a^(3//2)), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^5*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -((A*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a*x^4)) + ((3*A*b - 4*a*B)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(8*a^2*x^2) - ((3*A*b^2 - 4*a*b*B - 4*a*A*c)*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(16*a^(5//2)), x, 5),
+((A + B*x^2)/(x^7*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -((A*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(6*a*x^6)) + ((5*A*b - 6*a*B)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(24*a^2*x^4) - ((15*A*b^2 - 18*a*b*B - 16*a*A*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(48*a^3*x^2) + ((5*A*b^3 - 6*a*b^2*B - 12*a*A*b*c + 8*a^2*B*c)*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(32*a^(7//2)), x, 6),
+
+(x^4*(A + B*x^2)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), -(((4*b*B - 5*A*c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(15*c^2)) + (B*x^3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(5*c) + ((8*b^2*B - 10*A*b*c - 9*a*B*c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(15*c^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (a^(1//4)*(8*b^2*B - 10*A*b*c - 9*a*B*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(15*c^(11//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (a^(1//4)*(8*b^2*B - 10*A*b*c - 9*a*B*c + sqrt(a)*sqrt(c)*(4*b*B - 5*A*c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(30*c^(11//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+(x^2*(A + B*x^2)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (B*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*c) - ((2*b*B - 3*A*c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (a^(1//4)*(2*b*B - 3*A*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(3*c^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (a^(1//4)*(2*b*B + sqrt(a)*B*sqrt(c) - 3*A*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(6*c^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+(x^0*(A + B*x^2)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (B*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (a^(1//4)*B*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(c^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (a^(1//4)*(B + (A*sqrt(c))/sqrt(a))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*c^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 3),
+((A + B*x^2)/(x^2*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -((A*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(a*x)) + (A*sqrt(c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(a*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (A*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(a^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((sqrt(a)*B + A*sqrt(c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(3//4)*c^(1//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+((A + B*x^2)/(x^4*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -((A*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*a*x^3)) + ((2*A*b - 3*a*B)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*a^2*x) - ((2*A*b - 3*a*B)*sqrt(c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*a^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + ((2*A*b - 3*a*B)*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(3*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((2*A*b - 3*a*B + sqrt(a)*A*sqrt(c))*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(6*a^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+
+
+(x^7*(2 + 3*x^2)/sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), (-(89//48))*x^4*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) + (3//8)*x^6*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) - (1//384)*(24243 - 3802*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) + (32801//256)*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))), x, 6),
+(x^5*(2 + 3*x^2)/sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), (1//2)*x^4*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) + (3//16)*(89 - 14*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) - (1083//32)*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))), x, 5),
+(x^3*(2 + 3*x^2)/sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), -((37 - 6*x^2)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/8 + (149*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))))/16, x, 4),
+(x^1*(2 + 3*x^2)/sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), (3*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/2 - (11*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))))/4, x, 4),
+((2 + 3*x^2)/(x^1*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), (3*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))))/2 - atanh((6 + 5*x^2)/(2*sqrt(3)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)))/sqrt(3), x, 6),
+((2 + 3*x^2)/(x^3*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), -sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)/(3*x^2) - (2*atanh((6 + 5*x^2)/(2*sqrt(3)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))))/(3*sqrt(3)), x, 4),
+((2 + 3*x^2)/(x^5*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), -(sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)/(6*x^4)) - sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)/(12*x^2) + (1//8)*sqrt(3)*atanh((6 + 5*x^2)/(2*sqrt(3)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))), x, 5),
+((2 + 3*x^2)/(x^7*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), -(sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)/(9*x^6)) - sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)/(54*x^4) + (13*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(108*x^2) - (61*atanh((6 + 5*x^2)/(2*sqrt(3)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))))/(216*sqrt(3)), x, 6),
+
+(x^4*(2 + 3*x^2)/sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), (419*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(30*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (10*x*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/3 + (3*x^3*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/5 - (419*sqrt((5 + sqrt(13))/6)*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(30*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (5*sqrt(2/(3*(5 + sqrt(13))))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), x, 5),
+(x^2*(2 + 3*x^2)/sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), (-4*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) + x*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) + (2*sqrt((2*(5 + sqrt(13)))/3)*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) - (sqrt(3/(2*(5 + sqrt(13))))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), x, 4),
+(x^0*(2 + 3*x^2)/sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), (3*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (sqrt((3*(5 + sqrt(13)))/2)*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (sqrt(2/(3*(5 + sqrt(13))))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), x, 3),
+((2 + 3*x^2)/(x^2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), (x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(3*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(3*x) - (sqrt((5 + sqrt(13))/6)*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(3*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (sqrt(3/(2*(5 + sqrt(13))))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/sqrt(3 + 5*x^2 + x^4), x, 4),
+((2 + 3*x^2)/(x^4*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), (7*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(54*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(9*x^3) - (7*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(27*x) - (7*sqrt((5 + sqrt(13))/6)*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(54*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (sqrt(2/(3*(5 + sqrt(13))))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(9*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), x, 5),
+
+
+(x^5*(2 + 3*x^2)/(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2), -((x^2*(33 + 47*x^2))/(13*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))) + (133//26)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4) - (41//4)*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))), x, 5),
+(x^3*(2 + 3*x^2)/(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2), -(33 + 47*x^2)/(13*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (3*atanh((5 + 2*x^2)/(2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))))/2, x, 4),
+(x^1*(2 + 3*x^2)/(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2), (8 + 11*x^2)/(13*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), x, 2),
+((2 + 3*x^2)/(x^1*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2)), -(7 + 8*x^2)/(39*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - atanh((6 + 5*x^2)/(2*sqrt(3)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)))/(3*sqrt(3)), x, 5),
+((2 + 3*x^2)/(x^3*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2)), -(7 + 8*x^2)/(39*x^2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (2*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(39*x^2) + atanh((6 + 5*x^2)/(2*sqrt(3)*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)))/(3*sqrt(3)), x, 5),
+
+(x^4*(2 + 3*x^2)/(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2), (43*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(13*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (x^3*(8 + 11*x^2))/(13*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (11*x*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/13 - (43*sqrt((5 + sqrt(13))/6)*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(13*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (11*sqrt(3/(2*(5 + sqrt(13))))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(13*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), x, 5),
+(x^2*(2 + 3*x^2)/(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2), (-11*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(26*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (x*(8 + 11*x^2))/(13*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (11*sqrt((5 + sqrt(13))/6)*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(26*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (4*sqrt(2/(3*(5 + sqrt(13))))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(13*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), x, 4),
+(x^0*(2 + 3*x^2)/(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2), (4*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(39*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (x*(7 + 8*x^2))/(39*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (2*sqrt((2*(5 + sqrt(13)))/3)*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(39*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) + (11*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(13*sqrt(6*(5 + sqrt(13)))*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), x, 4),
+((2 + 3*x^2)/(x^2*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2)), (19*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(234*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (7 + 8*x^2)/(39*x*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (19*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(117*x) - (19*sqrt((5 + sqrt(13))/6)*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(234*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (4*sqrt(2/(3*(5 + sqrt(13))))*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(39*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), x, 5),
+((2 + 3*x^2)/(x^4*(3 + 5*x^2 + x^4)^(3//2)), (-133*x*(5 + sqrt(13) + 2*x^2))/(1053*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (7 + 8*x^2)/(39*x^3*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (5*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(351*x^3) + (266*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4))/(1053*x) + (133*sqrt((5 + sqrt(13))/6)*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(1053*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)) - (5*sqrt((6 + (5 - sqrt(13))*x^2)/(6 + (5 + sqrt(13))*x^2))*(6 + (5 + sqrt(13))*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(sqrt((5 + sqrt(13))/6)*x), (-13 + 5*sqrt(13))/6))/(351*sqrt(6*(5 + sqrt(13)))*sqrt(3 + 5*x^2 + x^4)), x, 6),
+
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+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (f x)^(m/2) (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^p
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^(m/2) (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((d + e*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*(f*x)^(3//2), (2*d*(f*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(5//4, -(1//2), -(1//2), 9//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(5*f*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))) + (2*e*(f*x)^(9//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(9//4, -(1//2), -(1//2), 13//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(9*f^3*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 6),
+((d + e*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*(f*x)^(1//2), (2*d*(f*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, -(1//2), -(1//2), 7//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*f*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))) + (2*e*(f*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(7//4, -(1//2), -(1//2), 11//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(7*f^3*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 6),
+((d + e*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(f*x)^(1//2), (2*d*sqrt(f*x)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//4, -(1//2), -(1//2), 5//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(f*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))) + (2*e*(f*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(5//4, -(1//2), -(1//2), 9//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(5*f^3*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 6),
+((d + e*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(f*x)^(3//2), -((2*d*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//4), -(1//2), -(1//2), 3//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(f*sqrt(f*x)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))) + (2*e*(f*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, -(1//2), -(1//2), 7//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*f^3*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 6),
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+((d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)*(f*x)^(3//2), (2*a*d*(f*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(5//4, -(3//2), -(3//2), 9//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(5*f*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))) + (2*a*e*(f*x)^(9//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(9//4, -(3//2), -(3//2), 13//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(9*f^3*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 6),
+((d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)*(f*x)^(1//2), (2*a*d*(f*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, -(3//2), -(3//2), 7//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*f*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))) + (2*a*e*(f*x)^(7//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(7//4, -(3//2), -(3//2), 11//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(7*f^3*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 6),
+((d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(f*x)^(1//2), (2*a*d*sqrt(f*x)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//4, -(3//2), -(3//2), 5//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(f*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))) + (2*a*e*(f*x)^(5//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(5//4, -(3//2), -(3//2), 9//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(5*f^3*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 6),
+((d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(f*x)^(3//2), -((2*a*d*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//4), -(3//2), -(3//2), 3//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(f*sqrt(f*x)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))) + (2*a*e*(f*x)^(3//2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, -(3//2), -(3//2), 7//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*f^3*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 6),
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+((d + e*x^2)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*(f*x)^(3//2), (2*d*(f*x)^(5//2)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(5//4, 1//2, 1//2, 9//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(5*f*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (2*e*(f*x)^(9//2)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(9//4, 1//2, 1//2, 13//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(9*f^3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+((d + e*x^2)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*(f*x)^(1//2), (2*d*(f*x)^(3//2)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, 1//2, 1//2, 7//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*f*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (2*e*(f*x)^(7//2)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(7//4, 1//2, 1//2, 11//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(7*f^3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+((d + e*x^2)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(f*x)^(1//2), (2*d*sqrt(f*x)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(1//4, 1//2, 1//2, 5//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(f*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (2*e*(f*x)^(5//2)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(5//4, 1//2, 1//2, 9//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(5*f^3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+((d + e*x^2)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(f*x)^(3//2), -((2*d*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//4), 1//2, 1//2, 3//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(f*sqrt(f*x)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))) + (2*e*(f*x)^(3//2)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, 1//2, 1//2, 7//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*f^3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
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+((d + e*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)*(f*x)^(3//2), (2*d*(f*x)^(5//2)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(5//4, 3//2, 3//2, 9//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(5*a*f*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (2*e*(f*x)^(9//2)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(9//4, 3//2, 3//2, 13//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(9*a*f^3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+((d + e*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)*(f*x)^(1//2), (2*d*(f*x)^(3//2)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, 3//2, 3//2, 7//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*a*f*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (2*e*(f*x)^(7//2)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(7//4, 3//2, 3//2, 11//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(7*a*f^3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+((d + e*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(f*x)^(1//2), (2*d*sqrt(f*x)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(1//4, 3//2, 3//2, 5//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*f*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (2*e*(f*x)^(5//2)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(5//4, 3//2, 3//2, 9//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(5*a*f^3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+((d + e*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(f*x)^(3//2), -((2*d*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//4), 3//2, 3//2, 3//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*f*sqrt(f*x)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))) + (2*e*(f*x)^(3//2)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, 3//2, 3//2, 7//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*a*f^3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^p with m symbolic
+
+
+((f*x)^m*(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (a^3*d*(f*x)^(1 + m))/(f*(1 + m)) + (a^2*(3*b*d + a*e)*(f*x)^(3 + m))/(f^3*(3 + m)) + (3*a*(b^2*d + a*c*d + a*b*e)*(f*x)^(5 + m))/(f^5*(5 + m)) + ((b^3*d + 6*a*b*c*d + 3*a*b^2*e + 3*a^2*c*e)*(f*x)^(7 + m))/(f^7*(7 + m)) + ((3*b^2*c*d + 3*a*c^2*d + b^3*e + 6*a*b*c*e)*(f*x)^(9 + m))/(f^9*(9 + m)) + (3*c*(b*c*d + b^2*e + a*c*e)*(f*x)^(11 + m))/(f^11*(11 + m)) + (c^2*(c*d + 3*b*e)*(f*x)^(13 + m))/(f^13*(13 + m)) + (c^3*e*(f*x)^(15 + m))/(f^15*(15 + m)), x, 2),
+((f*x)^m*(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (a^2*d*(f*x)^(1 + m))/(f*(1 + m)) + (a*(2*b*d + a*e)*(f*x)^(3 + m))/(f^3*(3 + m)) + ((b^2*d + 2*a*c*d + 2*a*b*e)*(f*x)^(5 + m))/(f^5*(5 + m)) + ((2*b*c*d + b^2*e + 2*a*c*e)*(f*x)^(7 + m))/(f^7*(7 + m)) + (c*(c*d + 2*b*e)*(f*x)^(9 + m))/(f^9*(9 + m)) + (c^2*e*(f*x)^(11 + m))/(f^11*(11 + m)), x, 2),
+((f*x)^m*(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^1, (a*d*(f*x)^(1 + m))/(f*(1 + m)) + ((b*d + a*e)*(f*x)^(3 + m))/(f^3*(3 + m)) + ((c*d + b*e)*(f*x)^(5 + m))/(f^5*(5 + m)) + (c*e*(f*x)^(7 + m))/(f^7*(7 + m)), x, 2),
+((f*x)^m*(d + e*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^1, ((e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(f*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f*(1 + m)) + ((e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(f*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f*(1 + m)), x, 3),
+((f*x)^m*(d + e*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, ((f*x)^(1 + m)*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e + c*(b*d - 2*a*e)*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*f*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (c*(b*(4*a*e + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - m)) - 2*a*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(1 - m) + 2*c*d*(3 - m)) + b^2*(d - d*m))*(f*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f*(1 + m)) - (c*(b*(4*a*e - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - m)) + 2*a*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(1 - m) - 2*c*d*(3 - m)) + b^2*d*(1 - m))*(f*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f*(1 + m)), x, 4),
+
+
+((f*x)^m*(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (a*d*(f*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/2, -(3//2), -(3//2), (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(f*(1 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))) + (a*e*(f*x)^(3 + m)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1((3 + m)/2, -(3//2), -(3//2), (5 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(f^3*(3 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 6),
+((f*x)^m*(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(1//2), (d*(f*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/2, -(1//2), -(1//2), (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(f*(1 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))) + (e*(f*x)^(3 + m)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*SymbolicIntegration.appell_f1((3 + m)/2, -(1//2), -(1//2), (5 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(f^3*(3 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 6),
+((f*x)^m*(d + e*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^(1//2), (d*(f*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/2, 1//2, 1//2, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(f*(1 + m)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (e*(f*x)^(3 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1((3 + m)/2, 1//2, 1//2, (5 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(f^3*(3 + m)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+((f*x)^m*(d + e*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (d*(f*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/2, 3//2, 3//2, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*f*(1 + m)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (e*(f*x)^(3 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1((3 + m)/2, 3//2, 3//2, (5 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*f^3*(3 + m)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+
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+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p with b=0
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m / (d+e x^2) (a+c x^4)^p
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(x^9/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)), -(d*x^2)/(2*c*e^2) + x^4/(4*c*e) + (a^(3//2)*d*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*c^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)) + (d^4*log(d + e*x^2))/(2*e^3*(c*d^2 + a*e^2)) - (a^2*e*log(a + c*x^4))/(4*c^2*(c*d^2 + a*e^2)), x, 6),
+(x^7/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)), x^2/(2*c*e) - (a^(3//2)*e*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*c^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)) - (d^3*log(d + e*x^2))/(2*e^2*(c*d^2 + a*e^2)) - (a*d*log(a + c*x^4))/(4*c*(c*d^2 + a*e^2)), x, 6),
+(x^5/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)), -(sqrt(a)*d*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(c)*(c*d^2 + a*e^2)) + (d^2*log(d + e*x^2))/(2*e*(c*d^2 + a*e^2)) + (a*e*log(a + c*x^4))/(4*c*(c*d^2 + a*e^2)), x, 6),
+(x^3/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)), (sqrt(a)*e*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(c)*(c*d^2 + a*e^2)) - (d*log(d + e*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)) + (d*log(a + c*x^4))/(4*(c*d^2 + a*e^2)), x, 6),
+(x/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)), (sqrt(c)*d*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*(c*d^2 + a*e^2)) + (e*log(d + e*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)) - (e*log(a + c*x^4))/(4*(c*d^2 + a*e^2)), x, 6),
+(1/(x*(d + e*x^2)*(a + c*x^4)), -(sqrt(c)*e*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*(c*d^2 + a*e^2)) + log(x)/(a*d) - (e^2*log(d + e*x^2))/(2*d*(c*d^2 + a*e^2)) - (c*d*log(a + c*x^4))/(4*a*(c*d^2 + a*e^2)), x, 6),
+(1/(x^3*(d + e*x^2)*(a + c*x^4)), -1/(2*a*d*x^2) - (c^(3//2)*d*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)) - (e*log(x))/(a*d^2) + (e^3*log(d + e*x^2))/(2*d^2*(c*d^2 + a*e^2)) + (c*e*log(a + c*x^4))/(4*a*(c*d^2 + a*e^2)), x, 6),
+(1/(x^5*(d + e*x^2)*(a + c*x^4)), -1/(4*a*d*x^4) + e/(2*a*d^2*x^2) + (c^(3//2)*e*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)) - ((c*d^2 - a*e^2)*log(x))/(a^2*d^3) - (e^4*log(d + e*x^2))/(2*d^3*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^2*d*log(a + c*x^4))/(4*a^2*(c*d^2 + a*e^2)), x, 6),
+
+(x^8/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)), -((d*x)/(c*e^2)) + x^3/(3*c*e) + (d^(7//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(e^(5//2)*(c*d^2 + a*e^2)) - (a^(5//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (a^(5//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (a^(5//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (a^(5//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)), x, 12),
+(x^6/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)), x/(c*e) - (d^(5//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(e^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)) + (a^(3//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(5//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (a^(3//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(5//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (a^(3//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(5//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (a^(3//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(5//4)*(c*d^2 + a*e^2)), x, 12),
+(x^4/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)), (d^(3//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(e)*(c*d^2 + a*e^2)) + (a^(1//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (a^(1//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (a^(1//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (a^(1//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)), x, 12),
+(x^2/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)), -((sqrt(d)*sqrt(e)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(c*d^2 + a*e^2)) - ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + ((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - ((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)), x, 12),
+(1/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)), (e^(3//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(d)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(1//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(1//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(1//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(1//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)), x, 12),
+(1/(x^2*(d + e*x^2)*(a + c*x^4)), -(1/(a*d*x)) - (e^(5//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(d^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(3//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(3//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(5//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(3//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(3//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(5//4)*(c*d^2 + a*e^2)), x, 12),
+(1/(x^4*(d + e*x^2)*(a + c*x^4)), -1/(3*a*d*x^3) + e/(a*d^2*x) + (e^(7//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(d^(5//2)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(5//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(5//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(5//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(5//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)), x, 12),
+
+
+(x^9/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)^2), (a*(a*e + c*d*x^2))/(4*c^2*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^4)) - (sqrt(a)*d*(3*c*d^2 + a*e^2)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(4*c^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (d^4*log(d + e*x^2))/(2*e*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (a*e*(2*c*d^2 + a*e^2)*log(a + c*x^4))/(4*c^2*(c*d^2 + a*e^2)^2), x, 7),
+(x^7/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)^2), (a*(d - e*x^2))/(4*c*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^4)) + (sqrt(a)*e*(3*c*d^2 + a*e^2)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(4*c^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (d^3*log(d + e*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (d^3*log(a + c*x^4))/(4*(c*d^2 + a*e^2)^2), x, 7),
+(x^5/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)^2), -(a*e + c*d*x^2)/(4*c*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^4)) + (d*(c*d^2 - a*e^2)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (d^2*e*log(d + e*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (d^2*e*log(a + c*x^4))/(4*(c*d^2 + a*e^2)^2), x, 7),
+(x^3/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)^2), -(d - e*x^2)/(4*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^4)) - (e*(c*d^2 - a*e^2)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (d*e^2*log(d + e*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (d*e^2*log(a + c*x^4))/(4*(c*d^2 + a*e^2)^2), x, 7),
+(x/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)^2), (a*e + c*d*x^2)/(4*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^4)) + (sqrt(c)*d*(c*d^2 + 3*a*e^2)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (e^3*log(d + e*x^2))/(2*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (e^3*log(a + c*x^4))/(4*(c*d^2 + a*e^2)^2), x, 7),
+(1/(x*(d + e*x^2)*(a + c*x^4)^2), (c*(d - e*x^2))/(4*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^4)) - (sqrt(c)*e^3*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (sqrt(c)*e*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)) + log(x)/(a^2*d) - (e^4*log(d + e*x^2))/(2*d*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (c*d*(c*d^2 + 2*a*e^2)*log(a + c*x^4))/(4*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2), x, 8),
+(1/(x^3*(d + e*x^2)*(a + c*x^4)^2), -1/(2*a^2*d*x^2) - (c*(a*e + c*d*x^2))/(4*a^2*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^4)) - (c^(3//2)*d*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(5//2)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(3//2)*d*(c*d^2 + 2*a*e^2)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (e*log(x))/(a^2*d^2) + (e^5*log(d + e*x^2))/(2*d^2*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (c*e*(c*d^2 + 2*a*e^2)*log(a + c*x^4))/(4*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2), x, 8),
+(1/(x^5*(d + e*x^2)*(a + c*x^4)^2), -1/(4*a^2*d*x^4) + e/(2*a^2*d^2*x^2) - (c^2*(d - e*x^2))/(4*a^2*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^4)) + (c^(3//2)*e*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(5//2)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(3//2)*e*(c*d^2 + 2*a*e^2)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - ((2*c*d^2 - a*e^2)*log(x))/(a^3*d^3) - (e^6*log(d + e*x^2))/(2*d^3*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (c^2*d*(2*c*d^2 + 3*a*e^2)*log(a + c*x^4))/(4*a^3*(c*d^2 + a*e^2)^2), x, 8),
+
+(x^8/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)^2), (d*x)/(4*c*(c*d^2 + a*e^2)) - (x^3*(a*e + c*d*x^2))/(4*c*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^4)) + (d^(7//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(e)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (a^(1//4)*d^2*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (a^(1//4)*(sqrt(c)*d - 3*sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*c^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (a^(1//4)*d^2*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (a^(1//4)*(sqrt(c)*d - 3*sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*c^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (a^(1//4)*d^2*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (a^(1//4)*(sqrt(c)*d + 3*sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*c^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (a^(1//4)*d^2*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (a^(1//4)*(sqrt(c)*d + 3*sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*c^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)), x, 24),
+(x^6/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)^2), -(x*(a*e + c*d*x^2))/(4*c*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^4)) - (d^(5//2)*sqrt(e)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(c*d^2 + a*e^2)^2 - (d^2*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + ((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(5//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (d^2*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - ((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(5//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (d^2*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(5//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (d^2*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(5//4)*(c*d^2 + a*e^2)), x, 23),
+(x^4/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)^2), -(x*(d - e*x^2))/(4*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^4)) + (d^(3//2)*e^(3//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(c*d^2 + a*e^2)^2 - (c^(1//4)*d^2*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + ((3*sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(1//4)*d^2*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - ((3*sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(1//4)*d^2*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + ((3*sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(1//4)*d^2*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - ((3*sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)), x, 23),
+(x^2/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)^2), (x*(a*e + c*d*x^2))/(4*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^4)) - (sqrt(d)*e^(5//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(c*d^2 + a*e^2)^2 + (c^(1//4)*d*e*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - ((sqrt(c)*d + 3*sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(1//4)*d*e*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + ((sqrt(c)*d + 3*sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(1//4)*d*e*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + ((sqrt(c)*d - 3*sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(1//4)*d*e*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - ((sqrt(c)*d - 3*sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(5//4)*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)), x, 23),
+(1/((d + e*x^2)*(a + c*x^4)^2), (c*x*(d - e*x^2))/(4*a*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^4)) + (e^(7//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(d)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (c^(1//4)*e^2*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (c^(1//4)*(3*sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(1//4)*e^2*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (c^(1//4)*(3*sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(1//4)*e^2*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (c^(1//4)*(3*sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(1//4)*e^2*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (c^(1//4)*(3*sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^2 + a*e^2)), x, 22),
+(1/(x^2*(d + e*x^2)*(a + c*x^4)^2), -(1/(a^2*d*x)) - (c*x*(a*e + c*d*x^2))/(4*a^2*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^4)) - (e^(9//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(d^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (c^(3//4)*(sqrt(c)*d + 3*sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(9//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(3//4)*(a^(3//2)*e^3 + sqrt(c)*d*(c*d^2 + 2*a*e^2))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (c^(3//4)*(sqrt(c)*d + 3*sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(9//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(3//4)*(a^(3//2)*e^3 + sqrt(c)*d*(c*d^2 + 2*a*e^2))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(9//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (c^(3//4)*(sqrt(c)*d - 3*sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(9//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(3//4)*(a^(3//2)*e^3 - sqrt(c)*d*(c*d^2 + 2*a*e^2))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(9//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (c^(3//4)*(sqrt(c)*d - 3*sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(9//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(3//4)*(a^(3//2)*e^3 - sqrt(c)*d*(c*d^2 + 2*a*e^2))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(9//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2), x, 22),
+(1/(x^4*(d + e*x^2)*(a + c*x^4)^2), -1/(3*a^2*d*x^3) + e/(a^2*d^2*x) - (c^2*x*(d - e*x^2))/(4*a^2*(c*d^2 + a*e^2)*(a + c*x^4)) + (e^(11//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(d^(5//2)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (c^(5//4)*(3*sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(5//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + 2*a*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (c^(5//4)*(3*sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(5//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + 2*a*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (c^(5//4)*(3*sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^2 + a*e^2)) + (c^(5//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(c*d^2 + 2*a*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (c^(5//4)*(3*sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^2 + a*e^2)) - (c^(5//4)*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(c*d^2 + 2*a*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2), x, 22),
+
+
+(x^2/((1 + x^2)*sqrt(1 + x^4)), -(atan((sqrt(2)*x)/sqrt(1 + x^4))/(2*sqrt(2))) + ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(4*sqrt(1 + x^4)), x, 4),
+(x^2/((1 - x^2)*sqrt(1 + x^4)), atanh((sqrt(2)*x)/sqrt(1 + x^4))/(2*sqrt(2)) - ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(4*sqrt(1 + x^4)), x, 4),
+(x^2/((1 + x^2)*sqrt(1 - x^4)), -((x*(1 - x^2))/(2*sqrt(1 - x^4))) - (sqrt(1 - x^2)*sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -1))/(2*sqrt(1 - x^4)) + (sqrt(1 - x^2)*sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -1))/sqrt(1 - x^4), x, 6),
+(x^2/((1 - x^2)*sqrt(1 - x^4)), (x*(1 + x^2))/(2*sqrt(1 - x^4)) - (sqrt(1 - x^2)*sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -1))/(2*sqrt(1 - x^4)), x, 3),
+
+(x^2/((1 + x^2)*sqrt(-1 + x^4)), -((x*(1 - x^2))/(2*sqrt(-1 + x^4))) - (sqrt(1 - x^2)*sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -1))/(2*sqrt(-1 + x^4)) + (sqrt(-1 + x^2)*sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((sqrt(2)*x)/sqrt(-1 + x^2)), 1//2))/(sqrt(2)*sqrt(-1 + x^4)), x, 7),
+(x^2/((1 - x^2)*sqrt(-1 + x^4)), (x*(1 + x^2))/(2*sqrt(-1 + x^4)) - (sqrt(1 - x^2)*sqrt(1 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -1))/(2*sqrt(-1 + x^4)), x, 4),
+(x^2/((1 + x^2)*sqrt(-1 - x^4)), -(atanh((sqrt(2)*x)/sqrt(-1 - x^4))/(2*sqrt(2))) + ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(4*sqrt(-1 - x^4)), x, 4),
+(x^2/((1 - x^2)*sqrt(-1 - x^4)), atan((sqrt(2)*x)/sqrt(-1 - x^4))/(2*sqrt(2)) - ((1 + x^2)*sqrt((1 + x^4)/(1 + x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(x), 1//2))/(4*sqrt(-1 - x^4)), x, 4),
+
+
+# ::Section::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p with b^2-4 a c=0 and 2 c d-b e=0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p with b^2-4 a c=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^(q/2) (a^2+2 a b x^2+b^2 x^4)^(p/2)
+
+
+(x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*sqrt(c + d*x^2), -((c*(b*c - 2*a*d)*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(16*d^2*(a + b*x^2))) - ((b*c - 2*a*d)*x^3*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*d*(a + b*x^2)) + (b*x^3*(c + d*x^2)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(6*d*(a + b*x^2)) + (c^2*(b*c - 2*a*d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(16*d^(5//2)*(a + b*x^2)), x, 6),
+(x^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*sqrt(c + d*x^2), -(((b*c - a*d)*(c + d*x^2)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*d^2*(a + b*x^2))) + (b*(c + d*x^2)^(5//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*d^2*(a + b*x^2)), x, 4),
+(x^0*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*sqrt(c + d*x^2), -(((b*c - 4*a*d)*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*d*(a + b*x^2))) + (b*x*(c + d*x^2)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*d*(a + b*x^2)) - (c*(b*c - 4*a*d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(8*d^(3//2)*(a + b*x^2)), x, 5),
+(1/x^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*sqrt(c + d*x^2), (a*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(a + b*x^2) + (b*(c + d*x^2)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*d*(a + b*x^2)) - (a*sqrt(c)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(a + b*x^2), x, 6),
+(1/x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*sqrt(c + d*x^2), ((b*c + 2*a*d)*x*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*c*(a + b*x^2)) - (a*(c + d*x^2)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(c*x*(a + b*x^2)) + ((b*c + 2*a*d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*atanh((sqrt(d)*x)/sqrt(c + d*x^2)))/(2*sqrt(d)*(a + b*x^2)), x, 5),
+(1/x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*sqrt(c + d*x^2), ((2*b*c + a*d)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*c*(a + b*x^2)) - (a*(c + d*x^2)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*c*x^2*(a + b*x^2)) - ((2*b*c + a*d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*atanh(sqrt(c + d*x^2)/sqrt(c)))/(2*sqrt(c)*(a + b*x^2)), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
+
+
+((d + e*x^2)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)*x^3, (1//4)*a*d^2*x^4 + (1//6)*d*(b*d + 2*a*e)*x^6 + (1//8)*(c*d^2 + e*(2*b*d + a*e))*x^8 + (1//10)*e*(2*c*d + b*e)*x^10 + (1//12)*c*e^2*x^12, x, 3),
+((d + e*x^2)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)*x^2, (1//3)*a*d^2*x^3 + (1//5)*d*(b*d + 2*a*e)*x^5 + (1//7)*(c*d^2 + e*(2*b*d + a*e))*x^7 + (1//9)*e*(2*c*d + b*e)*x^9 + (1//11)*c*e^2*x^11, x, 2),
+((d + e*x^2)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)*x^1, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x^2)^3)/(6*e^3) - ((2*c*d - b*e)*(d + e*x^2)^4)/(8*e^3) + (c*(d + e*x^2)^5)/(10*e^3), x, 3),
+((d + e*x^2)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)*x^0, a*d^2*x + (1//3)*d*(b*d + 2*a*e)*x^3 + (1//5)*(c*d^2 + e*(2*b*d + a*e))*x^5 + (1//7)*e*(2*c*d + b*e)*x^7 + (1//9)*c*e^2*x^9, x, 2),
+((d + e*x^2)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)/x^1, (1//2)*d*(b*d + 2*a*e)*x^2 + (1//4)*(c*d^2 + e*(2*b*d + a*e))*x^4 + (1//6)*e*(2*c*d + b*e)*x^6 + (1//8)*c*e^2*x^8 + a*d^2*log(x), x, 3),
+((d + e*x^2)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)/x^2, -((a*d^2)/x) + d*(b*d + 2*a*e)*x + (1//3)*(c*d^2 + e*(2*b*d + a*e))*x^3 + (1//5)*e*(2*c*d + b*e)*x^5 + (1//7)*c*e^2*x^7, x, 2),
+((d + e*x^2)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)/x^3, -((a*d^2)/(2*x^2)) + (1//2)*(c*d^2 + e*(2*b*d + a*e))*x^2 + (1//4)*e*(2*c*d + b*e)*x^4 + (1//6)*c*e^2*x^6 + d*(b*d + 2*a*e)*log(x), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+(x^6*(a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^2, -((d*(4*c*d^2 - e*(3*b*d - 2*a*e))*x)/e^5) + ((3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e))*x^3)/(3*e^4) - ((2*c*d - b*e)*x^5)/(5*e^3) + (c*x^7)/(7*e^2) - (d^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(2*e^5*(d + e*x^2)) + (d^(3//2)*(9*c*d^2 - e*(7*b*d - 5*a*e))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*e^(11//2)), x, 4),
+(x^4*(a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^2, ((3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e))*x)/e^4 - ((2*c*d - b*e)*x^3)/(3*e^3) + (c*x^5)/(5*e^2) + (d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(2*e^4*(d + e*x^2)) - (sqrt(d)*(7*c*d^2 - e*(5*b*d - 3*a*e))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*e^(9//2)), x, 4),
+(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^2, -(((2*c*d - b*e)*x)/e^3) + (c*x^3)/(3*e^2) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(2*e^3*(d + e*x^2)) + ((5*c*d^2 - e*(3*b*d - a*e))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*sqrt(d)*e^(7//2)), x, 4),
+(x^0*(a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^2, (c*x)/e^2 + ((a + (d*(c*d - b*e))/e^2)*x)/(2*d*(d + e*x^2)) - ((3*c*d^2 - e*(b*d + a*e))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*d^(3//2)*e^(5//2)), x, 3),
+(1/x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^2, -(a/(d^2*x)) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(2*d^2*e*(d + e*x^2)) + ((c*d^2 + e*(b*d - 3*a*e))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*d^(5//2)*e^(3//2)), x, 3),
+(1/x^4*(a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^2, -(a/(3*d^2*x^3)) - (b*d - 2*a*e)/(d^3*x) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(2*d^3*(d + e*x^2)) + ((c*d^2 - e*(3*b*d - 5*a*e))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*d^(7//2)*sqrt(e)), x, 4),
+(1/x^6*(a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^2, -(a/(5*d^2*x^5)) - (b*d - 2*a*e)/(3*d^3*x^3) - (c*d^2 - e*(2*b*d - 3*a*e))/(d^4*x) - (e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(2*d^4*(d + e*x^2)) - (sqrt(e)*(3*c*d^2 - (e*(5*b*d - 7*a*e)))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*d^(9//2)), x, 4),
+(1/x^8*(a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^2, -(a/(7*d^2*x^7)) - (b*d - 2*a*e)/(5*d^3*x^5) - (c*d^2 - e*(2*b*d - 3*a*e))/(3*d^4*x^3) + (e*(2*c*d^2 - e*(3*b*d - 4*a*e)))/(d^5*x) + (e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(2*d^5*(d + e*x^2)) + (e^(3//2)*(5*c*d^2 - (e*(7*b*d - 9*a*e)))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(2*d^(11//2)), x, 4),
+
+
+(x^6*(a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^3, ((6*c*d^2 - e*(3*b*d - a*e))*x)/e^5 - ((3*c*d - b*e)*x^3)/(3*e^4) + (c*x^5)/(5*e^3) - (d^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(4*e^5*(d + e*x^2)^2) + (d*(17*c*d^2 - e*(13*b*d - 9*a*e))*x)/(8*e^5*(d + e*x^2)) - (sqrt(d)*(63*c*d^2 - 35*b*d*e + 15*a*e^2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(8*e^(11//2)), x, 5),
+(x^4*(a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^3, -(((3*c*d - b*e)*x)/e^4) + (c*x^3)/(3*e^3) + (d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(4*e^4*(d + e*x^2)^2) - ((13*c*d^2 - e*(9*b*d - 5*a*e))*x)/(8*e^4*(d + e*x^2)) + ((35*c*d^2 - 3*e*(5*b*d - a*e))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(8*sqrt(d)*e^(9//2)), x, 5),
+(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^3, (c*x)/e^3 - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(4*e^3*(d + e*x^2)^2) + ((9*c*d^2 - e*(5*b*d - a*e))*x)/(8*d*e^3*(d + e*x^2)) - ((15*c*d^2 - e*(3*b*d + a*e))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(8*d^(3//2)*e^(7//2)), x, 4),
+(x^0*(a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^3, ((a + (d*(c*d - b*e))/e^2)*x)/(4*d*(d + e*x^2)^2) - ((5*c*d^2 - e*(b*d + 3*a*e))*x)/(8*d^2*e^2*(d + e*x^2)) + ((3*c*d^2 + e*(b*d + 3*a*e))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(8*d^(5//2)*e^(5//2)), x, 3),
+(1/x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^3, -(a/(d^3*x)) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(4*d^2*e*(d + e*x^2)^2) + ((c*d^2 + e*(3*b*d - 7*a*e))*x)/(8*d^3*e*(d + e*x^2)) + ((c*d^2 + 3*e*(b*d - 5*a*e))*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(8*d^(7//2)*e^(3//2)), x, 4),
+(1/x^4*(a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^3, -(a/(3*d^3*x^3)) - (b*d - 3*a*e)/(d^4*x) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(4*d^3*(d + e*x^2)^2) + ((3*c*d^2 - e*(7*b*d - 11*a*e))*x)/(8*d^4*(d + e*x^2)) + ((3*c*d^2 - 15*b*d*e + 35*a*e^2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(8*d^(9//2)*sqrt(e)), x, 5),
+(1/x^6*(a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2)^3, -(a/(5*d^3*x^5)) - (b*d - 3*a*e)/(3*d^4*x^3) - (c*d^2 - 3*b*d*e + 6*a*e^2)/(d^5*x) - (e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(4*d^4*(d + e*x^2)^2) - (e*(7*c*d^2 - e*(11*b*d - 15*a*e))*x)/(8*d^5*(d + e*x^2)) - (sqrt(e)*(15*c*d^2 - 35*b*d*e + 63*a*e^2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(8*d^(11//2)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m / (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^9/((d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(((c*d + b*e)*x^2)/(2*c^2*e^2)) + x^4/(4*c*e) - ((b^4*d - 4*a*b^2*c*d + 2*a^2*c^2*d - a*b^3*e + 3*a^2*b*c*e)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (d^4*log(d + e*x^2))/(2*e^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - ((b^3*d - 2*a*b*c*d - a*b^2*e + a^2*c*e)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 7),
+(x^7/((d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), x^2/(2*c*e) + ((b^3*d - 3*a*b*c*d - a*b^2*e + 2*a^2*c*e)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - (d^3*log(d + e*x^2))/(2*e^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + ((b^2*d - a*c*d - a*b*e)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 7),
+(x^5/((d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(((b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))) + (d^2*log(d + e*x^2))/(2*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - ((b*d - a*e)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 7),
+(x^3/((d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), ((b*d - 2*a*e)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - (d*log(d + e*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (d*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 7),
+(x^1/((d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(((2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))) + (e*log(d + e*x^2))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - (e*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 7),
+(1/(x^1*(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), ((b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + log(x)/(a*d) - (e^2*log(d + e*x^2))/(2*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - ((c*d - b*e)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 7),
+(1/(x^3*(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(1/(2*a*d*x^2)) - ((b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - ((b*d + a*e)*log(x))/(a^2*d^2) + (e^3*log(d + e*x^2))/(2*d^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + ((b*c*d - b^2*e + a*c*e)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 7),
+(1/(x^5*(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(1/(4*a*d*x^4)) + (b*d + a*e)/(2*a^2*d^2*x^2) + ((b^3*c*d - 3*a*b*c^2*d - b^4*e + 4*a*b^2*c*e - 2*a^2*c^2*e)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + ((b^2*d^2 + a*b*d*e - a*(c*d^2 - a*e^2))*log(x))/(a^3*d^3) - (e^4*log(d + e*x^2))/(2*d^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - ((b^2*c*d - a*c^2*d - b^3*e + 2*a*b*c*e)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 7),
+
+(x^8/((d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(((c*d + b*e)*x)/(c^2*e^2)) + x^3/(3*c*e) - ((b^3*d - 2*a*b*c*d - a*b^2*e + a^2*c*e - (b^4*d - 4*a*b^2*c*d + 2*a^2*c^2*d - a*b^3*e + 3*a^2*b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - ((b^3*d - 2*a*b*c*d - a*b^2*e + a^2*c*e + (b^4*d - 4*a*b^2*c*d + 2*a^2*c^2*d - a*b^3*e + 3*a^2*b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (d^(7//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(e^(5//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 6),
+(x^6/((d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), x/(c*e) + ((b^2*d - a*c*d - a*b*e - (b^3*d - 3*a*b*c*d - a*b^2*e + 2*a^2*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + ((b^2*d - a*c*d - a*b*e + (b^3*d - 3*a*b*c*d - a*b^2*e + 2*a^2*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - (d^(5//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(e^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 6),
+(x^4/((d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(((b*d - a*e - (b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))) - ((b*d - a*e + (b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (d^(3//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 6),
+(x^2/((d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), (sqrt(c)*(d - (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (sqrt(c)*(d + (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - (sqrt(d)*sqrt(e)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2), x, 6),
+(x^0/((d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -((sqrt(c)*(e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))) - (sqrt(c)*(e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (e^(3//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(sqrt(d)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 6),
+(1/(x^2*(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(1/(a*d*x)) - (sqrt(c)*(c*d - b*e + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - (sqrt(c)*(c*d - b*e - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - (e^(5//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(d^(3//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 6),
+(1/(x^4*(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(1/(3*a*d*x^3)) + (b*d + a*e)/(a^2*d^2*x) + (sqrt(c)*(b*c*d - b^2*e + a*c*e + (b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (sqrt(c)*(b*c*d - b^2*e + a*c*e - (b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (e^(7//2)*atan((sqrt(e)*x)/sqrt(d)))/(d^(5//2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 6),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^(m/2) / (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^p
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(1/(sqrt(f*x)*(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), (c^(3//4)*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(f*x))/((-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)*sqrt(f))))/(2^(1//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(f)) - (c^(3//4)*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(f*x))/((-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)*sqrt(f))))/(2^(1//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(f)) - (e^(7//4)*atan(1 - (sqrt(2)*e^(1//4)*sqrt(f*x))/(d^(1//4)*sqrt(f))))/(sqrt(2)*d^(3//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(f)) + (e^(7//4)*atan(1 + (sqrt(2)*e^(1//4)*sqrt(f*x))/(d^(1//4)*sqrt(f))))/(sqrt(2)*d^(3//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(f)) + (c^(3//4)*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(f*x))/((-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)*sqrt(f))))/(2^(1//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(f)) - (c^(3//4)*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(f*x))/((-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)*sqrt(f))))/(2^(1//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(f)) - (e^(7//4)*log(sqrt(d)*sqrt(f) + sqrt(e)*sqrt(f)*x - sqrt(2)*d^(1//4)*e^(1//4)*sqrt(f*x)))/(2*sqrt(2)*d^(3//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(f)) + (e^(7//4)*log(sqrt(d)*sqrt(f) + sqrt(e)*sqrt(f)*x + sqrt(2)*d^(1//4)*e^(1//4)*sqrt(f*x)))/(2*sqrt(2)*d^(3//4)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(f)), x, 19),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m / (d+e x^2) (a+b x^2+c x^4)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+
+(x^5*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2), (((2*c*d - b*e)*(4*c*d + b*e) - 2*c*e*(2*c*d + b*e)*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(16*c^2*e^3) + (a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(6*c*e) - ((16*c^3*d^3 - b^3*e^3 - 2*b*c*e^2*(b*d - 2*a*e) - 8*c^2*d*e*(b*d - a*e))*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(32*c^(5//2)*e^4) + (d^2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*e^4), x, 8),
+(x^3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2), -((4*c*d - b*e - 2*c*e*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(8*c*e^2) + ((8*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - a*e))*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(16*c^(3//2)*e^3) - (d*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*e^3), x, 7),
+(x^1*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(d + e*x^2), sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(2*e) - ((2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*sqrt(c)*e^2) + (sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*e^2), x, 7),
+(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(x^1*(d + e*x^2)), -(sqrt(a)*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*d) + (sqrt(c)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*e) - (sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*d*e), x, 9),
+(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(x^3*(d + e*x^2)), -sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(2*d*x^2) - (b*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*sqrt(a)*d) + (sqrt(a)*e*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*d^2) + (sqrt(c)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*d) - (b*e*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*sqrt(c)*d^2) - ((2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*sqrt(c)*d^2) + (sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*d^2), x, 21),
+
+# {x^4*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]/(3 + 2*x^2), x, 17, (-(1/60))*x*(13 - 6*x^2)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4] + (109*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(60*Sqrt[2]*(1 + Sqrt[2]*x^2)) + (3/16)*Sqrt[15]*ArcTan[(Sqrt[5/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]] - (109*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(60*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + ((-70 + 263*Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(60*2^(3/4)*(-2 + 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (15*(3 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 - 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(16*2^(3/4)*(2 - 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]), (-(1/4))*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4] + (1/30)*x*(1 + 3*x^2)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4] + (109*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(60*Sqrt[2]*(1 + Sqrt[2]*x^2)) + (3/16)*Sqrt[15]*ArcTan[(Sqrt[5/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]] - (109*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(60*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (139*(1 - Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(240*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - ((1 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(4*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (45*(3 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(112*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (15*(3 + Sqrt[2])^2*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 - 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(224*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])}
+# {x^2*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]/(3 + 2*x^2), x, 13, (1/6)*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4] - (7*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(6*Sqrt[2]*(1 + Sqrt[2]*x^2)) - (1/8)*Sqrt[15]*ArcTan[(Sqrt[5/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]] + (7*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(6*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - ((-4 + 17*Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(6*2^(3/4)*(-2 + 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (5*(3 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 - 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(8*2^(3/4)*(2 - 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]), (1/6)*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4] - (7*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(6*Sqrt[2]*(1 + Sqrt[2]*x^2)) - (1/8)*Sqrt[15]*ArcTan[(Sqrt[5/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]] + (7*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(6*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (3*(1 - Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(8*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + ((1 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(6*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (15*(3 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(56*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (5*(3 + Sqrt[2])^2*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 - 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(112*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])}
+# {x^0*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]/(3 + 2*x^2), x, 7, (x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(Sqrt[2]*(1 + Sqrt[2]*x^2)) + (1/4)*Sqrt[5/3]*ArcTan[(Sqrt[5/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]] - ((1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (2^(3/4)*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/((-2 + 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (5*(3 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 - 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(12*2^(3/4)*(2 - 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]), (x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(Sqrt[2]*(1 + Sqrt[2]*x^2)) + (1/4)*Sqrt[5/3]*ArcTan[(Sqrt[5/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]] - ((1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - ((1 - Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(4*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (5*(3 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(28*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (5*(3 + Sqrt[2])^2*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 - 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(168*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])}
+(sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(x^2*(3 + 2*x^2)), -(sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(3*x)) + (sqrt(2)*x*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(3*(1 + sqrt(2)*x^2)) - (1//6)*sqrt(5//3)*atan((sqrt(5//3)*x)/sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) - (2^(1//4)*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(3*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) + ((3 + sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(21*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) + (5*(3 + sqrt(2))^2*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((1//24)*(12 - 11*sqrt(2)), 2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(252*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)), x, 8),
+(sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(x^4*(3 + 2*x^2)), -(sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(9*x^3)) + (1//9)*sqrt(5//3)*atan((sqrt(5//3)*x)/sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) - ((1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(9*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) + (5*(3 + sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(63*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) - (5*(3 + sqrt(2))^2*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((1//24)*(12 - 11*sqrt(2)), 2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(378*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)), x, 7),
+(sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(x^6*(3 + 2*x^2)), -(sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(15*x^5)) + (4*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(135*x^3) - (4*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(45*x) + (4*sqrt(2)*x*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(45*(1 + sqrt(2)*x^2)) - (2//27)*sqrt(5//3)*atan((sqrt(5//3)*x)/sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) - (4*2^(1//4)*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(45*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) + (5*2^(1//4)*(5 - 3*sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(189*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) - (2^(1//4)*(19 - 2*sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(135*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) + (5*(3 + sqrt(2))^2*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((1//24)*(12 - 11*sqrt(2)), 2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(567*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)), x, 13),
+
+
+(x^5*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(d + e*x^2), ((128*c^4*d^4 + 3*b^4*e^4 - 32*c^3*d^2*e*(5*b*d - 4*a*e) + 8*b*c^2*d*e^2*(2*b*d - 3*a*e) + 6*b^2*c*e^3*(b*d - 2*a*e) - 2*c*e*(32*c^3*d^3 - 3*b^3*e^3 - 8*c^2*d*e*(2*b*d - 3*a*e) - 6*b*c*e^2*(b*d - 2*a*e))*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(256*c^3*e^5) + ((16*c^2*d^2 - 6*b*c*d*e - 3*b^2*e^2 - 6*c*e*(2*c*d + b*e)*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(96*c^2*e^3) + (a + b*x^2 + c*x^4)^(5//2)/(10*c*e) - ((256*c^5*d^5 + 3*b^5*e^5 + 6*b^3*c*e^4*(b*d - 4*a*e) - 384*c^4*d^3*e*(b*d - a*e) + 96*c^3*d*e^2*(b*d - a*e)^2 + 16*b*c^2*e^3*(b^2*d^2 - 3*a*b*d*e + 3*a^2*e^2))*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(512*c^(7//2)*e^6) + (d^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*e^6), x, 9),
+(x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(d + e*x^2), -((64*c^3*d^3 + 3*b^3*e^3 - 16*c^2*d*e*(5*b*d - 4*a*e) + 4*b*c*e^2*(2*b*d - 3*a*e) - 2*c*e*(16*c^2*d^2 - 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 3*a*e))*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(128*c^2*e^4) - ((8*c*d - 3*b*e - 6*c*e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(48*c*e^2) + ((128*c^4*d^4 + 3*b^4*e^4 + 8*b^2*c*e^3*(b*d - 3*a*e) - 192*c^3*d^2*e*(b*d - a*e) + 48*c^2*e^2*(b*d - a*e)^2)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(256*c^(5//2)*e^5) - (d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*e^5), x, 8),
+(x^1*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(d + e*x^2), ((8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 4*a*e) - 2*c*e*(2*c*d - b*e)*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(16*c*e^3) + (a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(6*e) - ((2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(32*c^(3//2)*e^4) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*e^4), x, 8),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(x^1*(d + e*x^2)), (a*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(2*d) - ((4*c*d^2 - e*(5*b*d - 4*a*e) - 2*c*d*e*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(8*d*e^2) - (a^(3//2)*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*d) + (a*b*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*sqrt(c)*d) + ((8*c^2*d^3 + b*e^2*(3*b*d - 4*a*e) - 12*c*d*e*(b*d - a*e))*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(16*sqrt(c)*d*e^3) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*d*e^3), x, 14),
+((a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(x^3*(d + e*x^2)), (3*(3*b + 2*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(8*d) - (e*(b^2 + 8*a*c + 2*b*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(16*c*d^2) + ((8*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 4*a*e) - 2*c*e*(2*c*d - b*e)*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(16*c*d^2*e) - (a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)/(2*d*x^2) - (3*sqrt(a)*b*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*d) + (a^(3//2)*e*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*d^2) + (3*(b^2 + 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(16*sqrt(c)*d) + (b*(b^2 - 12*a*c)*e*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(32*c^(3//2)*d^2) - ((2*c*d - b*e)*(8*c^2*d^2 - b^2*e^2 - 4*c*e*(2*b*d - 3*a*e))*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(32*c^(3//2)*d^2*e^2) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*d^2*e^2), x, 24),
+
+# {x^2*(1 + 2*x^2 + 2*x^4)^(3/2)/(3 - 2*x^2), x, 19, (-(213/140))*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4] - (27/70)*x^3*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4] - (2211*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(140*Sqrt[2]*(1 + Sqrt[2]*x^2)) - (1/14)*x*(1 + 2*x^2 + 2*x^4)^(3/2) + (17/16)*Sqrt[51]*ArcTanh[(Sqrt[17/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]] + (2211*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(140*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (3*(514 + 2717*Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(140*2^(3/4)*(2 + 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (289*(3 - Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 + 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(16*2^(3/4)*(2 + 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]), (-(3/35))*x*(2 + x^2)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4] - (3/20)*x*(9 + 2*x^2)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4] - (309*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(20*Sqrt[2]*(1 + Sqrt[2]*x^2)) - (6*Sqrt[2]*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(35*(1 + Sqrt[2]*x^2)) - (1/14)*x*(1 + 2*x^2 + 2*x^4)^(3/2) + (17/16)*Sqrt[51]*ArcTanh[(Sqrt[17/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]] + (309*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(20*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (6*2^(1/4)*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(35*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (867*(3 - Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(112*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (51*(5 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(16*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (3*(3 + 2*Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(70*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (3*(9 + 8*Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(20*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (289*(11 - 6*Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 + 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(224*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])}
+# {x^0*(1 + 2*x^2 + 2*x^4)^(3/2)/(3 - 2*x^2), x, 12, (-(1/10))*x*(9 + 2*x^2)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4] - (103*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(10*Sqrt[2]*(1 + Sqrt[2]*x^2)) + (17/8)*Sqrt[17/3]*ArcTanh[(Sqrt[17/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]] + (103*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(10*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - ((66 + 383*Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(10*2^(3/4)*(2 + 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (289*(3 - Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 + 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(24*2^(3/4)*(2 + 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]), (-(1/10))*x*(9 + 2*x^2)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4] - (103*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(10*Sqrt[2]*(1 + Sqrt[2]*x^2)) + (17/8)*Sqrt[17/3]*ArcTanh[(Sqrt[17/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]] + (103*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(10*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (289*(3 - Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(56*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (17*(5 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(8*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - ((9 + 8*Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(10*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (289*(11 - 6*Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 + 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(336*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])}
+((1 + 2*x^2 + 2*x^4)^(3//2)/(x^2*(3 - 2*x^2)), -(((1 + x^2)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(3*x)) - (17*x*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(3*sqrt(2)*(1 + sqrt(2)*x^2)) + (sqrt(2)*x*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(3*(1 + sqrt(2)*x^2)) + (17//12)*sqrt(17//3)*atanh((sqrt(17//3)*x)/sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) + (17*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(3*2^(3//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) - (2^(1//4)*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(3*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) + ((1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(3*2^(3//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) + (289*(3 - sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(84*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) - (17*(5 + sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(12*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) - (289*(11 - 6*sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((1//24)*(12 + 11*sqrt(2)), 2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(504*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)), x, 13),
+((1 + 2*x^2 + 2*x^4)^(3//2)/(x^4*(3 - 2*x^2)), -((2*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/x) - ((1 - 8*x^2)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(9*x^3) + (sqrt(2)*x*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(9*(1 + sqrt(2)*x^2)) + (17//18)*sqrt(17//3)*atanh((sqrt(17//3)*x)/sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) - (2^(1//4)*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(9*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) + (289*(3 - sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(126*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) - (17*(5 + sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(18*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) + (2^(1//4)*(9 + 5*sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(9*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) - (289*(11 - 6*sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((1//24)*(12 + 11*sqrt(2)), 2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(756*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)), x, 13),
+((1 + 2*x^2 + 2*x^4)^(3//2)/(x^6*(3 - 2*x^2)), (74*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(135*x^3) - (262*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(135*x) - ((3 + 40*x^2)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(45*x^5) + (262*sqrt(2)*x*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(135*(1 + sqrt(2)*x^2)) + (17//27)*sqrt(17//3)*atanh((sqrt(17//3)*x)/sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) - (262*2^(1//4)*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(135*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) + (85*2^(3//4)*(3 - sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(189*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) + (2^(3//4)*(37 + 23*sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(135*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) - (289*(11 - 6*sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((1//24)*(12 + 11*sqrt(2)), 2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(1134*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)), x, 15),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5/((d + e*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(2*c*e) - ((2*c*d + b*e)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*c^(3//2)*e^2) + (d^2*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*e^2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 7),
+(x^3/((d + e*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)))/(2*sqrt(c)*e) - (d*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*e*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 6),
+(x^1/((d + e*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)))/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 3),
+(1/(x^1*(d + e*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -(atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)))/(2*sqrt(a)*d)) - (e*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*d*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 7),
+(1/(x^3*(d + e*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(2*a*d*x^2)) + (b*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*a^(3//2)*d) + (e*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*sqrt(a)*d^2) + (e^2*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*d^2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 10),
+
+(x^4/((3 + 2*x^2)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)), (x*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(2*sqrt(2)*(1 + sqrt(2)*x^2)) - (3*sqrt(3//10)*(3 - sqrt(2))*atan((sqrt(5//3)*x)/sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)))/(4*(2 - 3*sqrt(2))) - ((1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(2*2^(3//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) + ((1 - 3*sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(2*2^(3//4)*(2 - 3*sqrt(2))*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) + (3*(3 + sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((1//24)*(12 - 11*sqrt(2)), 2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(8*2^(3//4)*(2 - 3*sqrt(2))*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)), x, 4),
+(x^2/((3 + 2*x^2)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)), (-(1//4))*sqrt(3//5)*atan((sqrt(5//3)*x)/sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) - ((3 + sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(14*2^(3//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) + ((3 + sqrt(2))^2*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((1//24)*(12 - 11*sqrt(2)), 2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(56*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)), x, 3),
+(x^0/((3 + 2*x^2)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)), atan((sqrt(5//3)*x)/sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(2*sqrt(15)) + ((3 + sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(14*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) - ((3 + sqrt(2))^2*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((1//24)*(12 - 11*sqrt(2)), 2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(84*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)), x, 3),
+(1/(x^2*(3 + 2*x^2)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)), -(sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(3*x)) + (sqrt(2)*x*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(3*(1 + sqrt(2)*x^2)) - atan((sqrt(5//3)*x)/sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(3*sqrt(15)) - (2^(1//4)*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(3*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) + ((5 - 3*sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(21*2^(3//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) + ((3 + sqrt(2))^2*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((1//24)*(12 - 11*sqrt(2)), 2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(126*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)), x, 6),
+(1/(x^4*(3 + 2*x^2)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)), -(sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(9*x^3)) + (2*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(3*x) - (2*sqrt(2)*x*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4))/(3*(1 + sqrt(2)*x^2)) + (2*atan((sqrt(5//3)*x)/sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)))/(9*sqrt(15)) + (2*2^(1//4)*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(3*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) - ((1 + 19*sqrt(2))*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(63*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) - ((3 + sqrt(2))^2*(1 + sqrt(2)*x^2)*sqrt((1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + sqrt(2)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((1//24)*(12 - 11*sqrt(2)), 2*atan(2^(1//4)*x), (1//4)*(2 - sqrt(2))))/(189*2^(1//4)*sqrt(1 + 2*x^2 + 2*x^4)), x, 7),
+
+
+(x^7/((d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), (a*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e) + (b^3*d - 3*a*b*c*d - a*b^2*e + 2*a^2*c*e)*x^2)/(c*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)))/(2*c^(3//2)*e) - (d^3*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)), x, 7),
+(x^5/((d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), -((a*(b*d - 2*a*e) + (b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e)*x^2)/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))) + (d^2*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)), x, 5),
+(x^3/((d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), (a*(2*c*d - b*e) + c*(b*d - 2*a*e)*x^2)/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (d*e*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)), x, 5),
+(x^1/((d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), -((b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x^2)/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))) + (e^2*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)), x, 5),
+(1/(x^1*(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(a*(b^2 - 4*a*c)*d*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (e*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)))/(2*a^(3//2)*d) - (e^3*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)), x, 11),
+(1/(x^3*(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)), -((e*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2))/(a*(b^2 - 4*a*c)*d^2*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(a*(b^2 - 4*a*c)*d*x^2*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (e^2*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*d^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((3*b^2 - 8*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*d*x^2) + (3*b*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*a^(5//2)*d) + (e*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*a^(3//2)*d^2) + (e^4*atanh((b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x^2)/(2*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*d^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)), x, 15),
+
+# {x^8/((3 + 2*x^2)*(1 + 2*x^2 + 2*x^4)^(3/2)), x, 10, (x^3*(1 - 2*x^2))/(20*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (1/20)*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4] + (x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(10*Sqrt[2]*(1 + Sqrt[2]*x^2)) + (27/80)*Sqrt[3/5]*ArcTan[(Sqrt[5/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]] - ((1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(10*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + ((-2 + 7*Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(8*2^(3/4)*(-2 + 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (27*(3 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 - 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(80*2^(3/4)*(2 - 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]), (x^3*(1 - 2*x^2))/(20*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (1/20)*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4] + (x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(10*Sqrt[2]*(1 + Sqrt[2]*x^2)) - (27*Sqrt[3/10]*(3 - Sqrt[2])*ArcTan[(Sqrt[5/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]])/(40*(2 - 3*Sqrt[2])) - ((1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(10*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (9*(1 - 3*Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(20*2^(3/4)*(2 - 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - ((7 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(40*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (27*(3 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 - 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(80*2^(3/4)*(2 - 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])}
+# {x^6/((3 + 2*x^2)*(1 + 2*x^2 + 2*x^4)^(3/2)), x, 8, (x*(1 - 2*x^2))/(20*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(10*Sqrt[2]*(1 + Sqrt[2]*x^2)) - (9/40)*Sqrt[3/5]*ArcTan[(Sqrt[5/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]] - ((1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(10*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - ((2^(1/4) + 2^(3/4))*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(8*(-2 + 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (9*(3 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 - 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(40*2^(3/4)*(2 - 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]), (x*(1 - 2*x^2))/(20*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(10*Sqrt[2]*(1 + Sqrt[2]*x^2)) - (9/40)*Sqrt[3/5]*ArcTan[(Sqrt[5/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]] - ((1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(10*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - ((1 - Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(40*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (9*(3 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(140*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (9*(3 + Sqrt[2])^2*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 - 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(560*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])}
+# {x^4/((3 + 2*x^2)*(1 + 2*x^2 + 2*x^4)^(3/2)), x, 8, -((x*(2 + x^2))/(10*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])) + (x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(10*Sqrt[2]*(1 + Sqrt[2]*x^2)) + (3/20)*Sqrt[3/5]*ArcTan[(Sqrt[5/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]] - ((1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(10*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + ((2 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(4*2^(3/4)*(-2 + 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (3*(3 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 - 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(20*2^(3/4)*(2 - 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]), -((x*(2 + x^2))/(10*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])) + (x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(10*Sqrt[2]*(1 + Sqrt[2]*x^2)) + (3/20)*Sqrt[3/5]*ArcTan[(Sqrt[5/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]] - ((1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(10*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + ((1 - Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(20*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + (9*(3 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(140*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (3*(3 + Sqrt[2])^2*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 - 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(280*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])}
+# {x^2/((3 + 2*x^2)*(1 + 2*x^2 + 2*x^4)^(3/2)), x, 8, (x*(3 + 4*x^2))/(10*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (Sqrt[2]*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(5*(1 + Sqrt[2]*x^2)) - (1/10)*Sqrt[3/5]*ArcTan[(Sqrt[5/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]] + (2^(1/4)*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(5*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - ((2^(1/4) + 2^(3/4))*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(4*(-2 + 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - ((3 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 - 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(10*2^(3/4)*(2 - 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]), (x*(3 + 4*x^2))/(10*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (Sqrt[2]*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(5*(1 + Sqrt[2]*x^2)) - (1/10)*Sqrt[3/5]*ArcTan[(Sqrt[5/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]] + (2^(1/4)*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(5*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (3*(3 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(70*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - ((1 + 2*Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(20*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + ((3 + Sqrt[2])^2*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 - 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(140*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])}
+# {x^0/((3 + 2*x^2)*(1 + 2*x^2 + 2*x^4)^(3/2)), x, 8, -((x*(1 + 3*x^2))/(5*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])) + (3*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(5*Sqrt[2]*(1 + Sqrt[2]*x^2)) + ArcTan[(Sqrt[5/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]]/(5*Sqrt[15]) - (3*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(5*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + ((2 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(2*2^(3/4)*(-2 + 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + ((3 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 - 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(15*2^(3/4)*(2 - 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]), -((x*(1 + 3*x^2))/(5*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])) + (3*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(5*Sqrt[2]*(1 + Sqrt[2]*x^2)) + ArcTan[(Sqrt[5/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]]/(5*Sqrt[15]) - (3*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(5*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + ((3 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(35*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + ((3 + 2*Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(10*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - ((3 + Sqrt[2])^2*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 - 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(210*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])}
+# {1/(x^2*(3 + 2*x^2)*(1 + 2*x^2 + 2*x^4)^(3/2)), x, 15, -(x/(3*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])) + (2*x*(1 + 3*x^2))/(15*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]/(3*x) + (2*Sqrt[2]*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(15*(1 + Sqrt[2]*x^2)) - (2*ArcTan[(Sqrt[5/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]])/(15*Sqrt[15]) - (2*2^(1/4)*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(15*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + ((-7 + 3*Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(3*2^(3/4)*(-2 + 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (2^(1/4)*(3 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 - 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(45*(2 - 3*Sqrt[2])*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]), -(x/(3*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])) + (2*x*(1 + 3*x^2))/(15*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]/(3*x) + (2*Sqrt[2]*x*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])/(15*(1 + Sqrt[2]*x^2)) - (2*ArcTan[(Sqrt[5/3]*x)/Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]])/(15*Sqrt[15]) - (2*2^(1/4)*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(15*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - ((1 - Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(6*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - (2^(3/4)*(3 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(105*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) - ((3 + 2*Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(15*2^(3/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4]) + ((3 + Sqrt[2])^2*(1 + Sqrt[2]*x^2)*Sqrt[(1 + 2*x^2 + 2*x^4)/(1 + Sqrt[2]*x^2)^2]*EllipticPi[(1/24)*(12 - 11*Sqrt[2]), 2*ArcTan[2^(1/4)*x], (1/4)*(2 - Sqrt[2])])/(315*2^(1/4)*Sqrt[1 + 2*x^2 + 2*x^4])}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^(q/2) / (a+b x^2+c x^4)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
+
+
+(x^7*sqrt(d + e*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((b^2 - a*c)*sqrt(d + e*x^2))/c^3 - ((c*d + b*e)*(d + e*x^2)^(3//2))/(3*c^2*e^2) + (d + e*x^2)^(5//2)/(5*c*e^2) - ((b^2*c*d - a*c^2*d - b^3*e + 2*a*b*c*e - (b^3*c*d - 3*a*b*c^2*d - b^4*e + 4*a*b^2*c*e - 2*a^2*c^2*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*c^(7//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - ((b^2*c*d - a*c^2*d - b^3*e + 2*a*b*c*e + (b^3*c*d - 3*a*b*c^2*d - b^4*e + 4*a*b^2*c*e - 2*a^2*c^2*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*c^(7//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 7),
+(x^5*sqrt(d + e*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), -((b*sqrt(d + e*x^2))/c^2) + (d + e*x^2)^(3//2)/(3*c*e) + ((b*c*d - b^2*e + a*c*e - (b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + ((b*c*d - b^2*e + a*c*e + (b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 7),
+(x^3*sqrt(d + e*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), sqrt(d + e*x^2)/c + ((b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - ((b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 6),
+(x^1*sqrt(d + e*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), -((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 5),
+(sqrt(d + e*x^2)/(x^1*(a + b*x^2 + c*x^4)), -((sqrt(d)*atanh(sqrt(d + e*x^2)/sqrt(d)))/a) + (sqrt(c)*(b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (sqrt(c)*(b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 8),
+# {Sqrt[d + e*x^2]/(x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 10, If[$VersionNumber>=8, -(Sqrt[d + e*x^2]/(2*a*x^2)) + (e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(2*a*Sqrt[d]) + ((b*d - a*e)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(a^2*Sqrt[d]) - (Sqrt[c]*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b*d - a*e))*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x^2])/Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]])/(Sqrt[2]*a^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]) + (Sqrt[c]*(b^2*d - b*(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d + a*e) - a*(2*c*d - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e))*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x^2])/Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]])/(Sqrt[2]*a^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]), -(Sqrt[d + e*x^2]/(2*a*x^2)) + (e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(2*a*Sqrt[d]) + ((b*d - a*e)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(a^2*Sqrt[d]) - (Sqrt[c]*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b*d - a*e))*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x^2])/Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]])/(Sqrt[2]*a^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]) + (Sqrt[c]*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b*d - a*e))*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x^2])/Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]])/(Sqrt[2]*a^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e])]}
+(sqrt(d + e*x^2)/(x^5*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(d + e*x^2)/(4*a*x^4)) + (3*e*sqrt(d + e*x^2))/(8*a*d*x^2) + ((b*d - a*e)*sqrt(d + e*x^2))/(2*a^2*d*x^2) - (3*e^2*atanh(sqrt(d + e*x^2)/sqrt(d)))/(8*a*d^(3//2)) - (e*(b*d - a*e)*atanh(sqrt(d + e*x^2)/sqrt(d)))/(2*a^2*d^(3//2)) - ((b^2*d - a*c*d - a*b*e)*atanh(sqrt(d + e*x^2)/sqrt(d)))/(a^3*sqrt(d)) + (sqrt(c)*(b^3*d - a*c*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*e) + b^2*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - a*e) - a*b*(3*c*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*a^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (sqrt(c)*(b^3*d - b^2*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e) + a*c*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 2*a*e) - a*b*(3*c*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*a^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 13),
+
+(x^4*sqrt(d + e*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), (x*sqrt(d + e*x^2))/(2*c) - ((b*c*d - b^2*e + a*c*e - (b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(c^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - ((b*c*d - b^2*e + a*c*e + (b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(c^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + ((c*d - 2*b*e)*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(2*c^2*sqrt(e)), x, 10),
+(x^2*sqrt(d + e*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((c*d - b*e - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(c*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + ((c*d - b*e + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(c*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (sqrt(e)*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/c, x, 9),
+(x^0*sqrt(d + e*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), (sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 11),
+(sqrt(d + e*x^2)/(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(d + e*x^2)/(a*x)) - (c*(d + (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(a*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (c*(d - (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(a*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 8),
+(sqrt(d + e*x^2)/(x^4*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(d + e*x^2)/(3*a*x^3)) + (2*e*sqrt(d + e*x^2))/(3*a*d*x) + ((b*d - a*e)*sqrt(d + e*x^2))/(a^2*d*x) + (c*(b*d - a*e + (b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(a^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (c*(b*d - a*e - (b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(a^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 12),
+(sqrt(d + e*x^2)/(x^6*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(d + e*x^2)/(5*a*x^5)) + (4*e*sqrt(d + e*x^2))/(15*a*d*x^3) + ((b*d - a*e)*sqrt(d + e*x^2))/(3*a^2*d*x^3) - (8*e^2*sqrt(d + e*x^2))/(15*a*d^2*x) - (2*e*(b*d - a*e)*sqrt(d + e*x^2))/(3*a^2*d^2*x) - ((b^2*d - a*c*d - a*b*e)*sqrt(d + e*x^2))/(a^3*d*x) - (c*(b^2*d - a*c*d - a*b*e + (b^3*d - 3*a*b*c*d - a*b^2*e + 2*a^2*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(a^3*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (c*(b^2*d - a*c*d - a*b*e - (b^3*d - 3*a*b*c*d - a*b^2*e + 2*a^2*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(a^3*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 15),
+
+
+(x^3*(d + e*x^2)^(3//2)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((c*d - b*e)*sqrt(d + e*x^2))/c^2 + (d + e*x^2)^(3//2)/(3*c) + ((b^3*e^2 - b^2*e*(2*c*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e) + c*(a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^2 - c*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 4*a*e)) + b*c*(c*d^2 + e*(2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 3*a*e)))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - ((b^3*e^2 - b^2*e*(2*c*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*e) + b*c*(c*d^2 - e*(2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 3*a*e)) - c*(a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^2 - c*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 4*a*e)))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 7),
+(x^1*(d + e*x^2)^(3//2)/(a + b*x^2 + c*x^4), (e*sqrt(d + e*x^2))/c - ((2*c^2*d^2 + b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + ((2*c^2*d^2 + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 6),
+((d + e*x^2)^(3//2)/(x^1*(a + b*x^2 + c*x^4)), -((d^(3//2)*atanh(sqrt(d + e*x^2)/sqrt(d)))/a) - ((a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^2 - c*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 4*a*e) - b*(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*a*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - ((a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^2 - c*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 4*a*e) + b*(c*d^2 + a*e^2))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*a*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 8),
+((d + e*x^2)^(3//2)/(x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)), -((d*sqrt(d + e*x^2))/(2*a*x^2)) + (sqrt(d)*e*atanh(sqrt(d + e*x^2)/sqrt(d)))/(2*a) + (sqrt(d)*(b*d - 2*a*e)*atanh(sqrt(d + e*x^2)/sqrt(d)))/a^2 - (sqrt(c)*(b^2*d^2 + b*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 2*a*e) - 2*a*(c*d^2 + e*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - a*e)))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (sqrt(c)*(b^2*d^2 - b*d*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 2*a*e) - 2*a*(c*d^2 - e*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e)))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(d + e*x^2))/sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(2)*a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 10),
+
+(x^4*(d + e*x^2)^(3//2)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((3*c*d - 4*b*e)*x*sqrt(d + e*x^2))/(8*c^2) + (x*(d + e*x^2)^(3//2))/(4*c) - (sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b*c*d - b^2*e + a*c*e - (b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(2*c^3*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b*c*d - b^2*e + a*c*e + (b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(2*c^3*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (d*(3*c*d - 4*b*e)*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(8*c^2*sqrt(e)) - (sqrt(e)*(b*c*d - b^2*e + a*c*e - (b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(2*c^3) - (sqrt(e)*(b*c*d - b^2*e + a*c*e + (b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(2*c^3), x, 17),
+(x^2*(d + e*x^2)^(3//2)/(a + b*x^2 + c*x^4), (e*x*sqrt(d + e*x^2))/(2*c) + (sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d - b*e - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(2*c^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d - b*e + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(2*c^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (d*sqrt(e)*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(2*c) + (sqrt(e)*(c*d - b*e - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(2*c^2) + (sqrt(e)*(c*d - b*e + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(2*c^2), x, 16),
+(x^0*(d + e*x^2)^(3//2)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((2*c^2*d^2 + b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - ((2*c^2*d^2 + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (sqrt(e)*(3*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(2*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (sqrt(e)*(3*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(2*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 13),
+((d + e*x^2)^(3//2)/(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)), -((d*sqrt(d + e*x^2))/(a*x)) - ((2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)^(3//2)*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//2)) + ((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)^(3//2)*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//2)), x, -16),
+((d + e*x^2)^(3//2)/(x^4*(a + b*x^2 + c*x^4)), ((b*d - a*e)*sqrt(d + e*x^2))/(a^2*x) - (d + e*x^2)^(3//2)/(3*a*x^3) + (sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b*d - a*e + (b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(2*a^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(b*d - a*e - (b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(2*a^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(e)*(b*d - a*e)*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/a^2 + (sqrt(e)*(b*d - a*e - (b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(2*a^2) + (sqrt(e)*(b*d - a*e + (b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(2*a^2), x, 19),
+
+
+(x^5*sqrt(1 - x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), -((b*sqrt(1 - x^2))/c^2) - (1 - x^2)^(3//2)/(3*c) + ((b^2 - a*c + b*c - (b^3 - 3*a*b*c + b^2*c - 2*a*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(1 - x^2))/sqrt(b + 2*c - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(b + 2*c - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b^2 - a*c + b*c + (b^3 - 3*a*b*c + b^2*c - 2*a*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(1 - x^2))/sqrt(b + 2*c + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(b + 2*c + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 7),
+(x^3*sqrt(1 - x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), sqrt(1 - x^2)/c - ((b + c - (b^2 - 2*a*c + b*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(1 - x^2))/sqrt(b + 2*c - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b + 2*c - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((b + c + (b^2 - 2*a*c + b*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(1 - x^2))/sqrt(b + 2*c + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b + 2*c + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+(x^1*sqrt(1 - x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), -((sqrt(b + 2*c - sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(1 - x^2))/sqrt(b + 2*c - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(b + 2*c + sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(1 - x^2))/sqrt(b + 2*c + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 5),
+(sqrt(1 - x^2)/(x^1*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(atanh(sqrt(1 - x^2))/a) + (sqrt(c)*(2*a + b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(1 - x^2))/sqrt(b + 2*c - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + 2*c - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(2*a + b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(1 - x^2))/sqrt(b + 2*c + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + 2*c + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 8),
+(sqrt(1 - x^2)/(x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(1/(4*a*(1 - sqrt(1 - x^2)))) + 1/(4*a*(1 + sqrt(1 - x^2))) + ((a + 2*b)*atanh(sqrt(1 - x^2)))/(2*a^2) - (sqrt(c)*(a + b + (b^2 + a*(b - 2*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(1 - x^2))/sqrt(b + 2*c - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^2*sqrt(b + 2*c - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(a + b - (b^2 + a*(b - 2*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(1 - x^2))/sqrt(b + 2*c + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^2*sqrt(b + 2*c + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 8),
+
+(x^4*sqrt(1 - x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), (x*sqrt(1 - x^2))/(2*c) + ((2*b + c)*asin(x))/(2*c^2) - ((b^2 - a*c + b*c - (b^3 - 3*a*b*c + b^2*c - 2*a*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(b + 2*c - sqrt(b^2 - 4*a*c))*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(1 - x^2))))/(c^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(b + 2*c - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((b^2 - a*c + b*c + (b^3 - 3*a*b*c + b^2*c - 2*a*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(b + 2*c + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(1 - x^2))))/(c^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(b + 2*c + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 9),
+(x^2*sqrt(1 - x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), -(asin(x)/c) + ((b + c - (b^2 - 2*a*c + b*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(b + 2*c - sqrt(b^2 - 4*a*c))*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(1 - x^2))))/(c*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(b + 2*c - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b + c + (b^2 - 2*a*c + b*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(b + 2*c + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(1 - x^2))))/(c*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(b + 2*c + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 8),
+(x^0*sqrt(1 - x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), (sqrt(b + 2*c - sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(b + 2*c - sqrt(b^2 - 4*a*c))*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(1 - x^2))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(b + 2*c + sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(b + 2*c + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(1 - x^2))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 9),
+(sqrt(1 - x^2)/(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(1 - x^2)/(a*x)) - (c*(1 + (2*a + b)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(b + 2*c - sqrt(b^2 - 4*a*c))*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(1 - x^2))))/(a*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(b + 2*c - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (c*(1 - (2*a + b)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(b + 2*c + sqrt(b^2 - 4*a*c))*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(1 - x^2))))/(a*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(b + 2*c + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 8),
+
+
+(x^2*sqrt(1 - x^2)/(-1 + x^2 + x^4), -asin(x) + sqrt((1//5)*(2 + sqrt(5)))*atan((sqrt((1//2)*(1 + sqrt(5)))*x)/sqrt(1 - x^2)) - sqrt((1//5)*(-2 + sqrt(5)))*atanh((sqrt((1//2)*(-1 + sqrt(5)))*x)/sqrt(1 - x^2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+(x^8/(sqrt(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -((3*d*x*sqrt(d + e*x^2))/(8*c*e^2)) - (b*x*sqrt(d + e*x^2))/(2*c^2*e) + (x^3*sqrt(d + e*x^2))/(4*c*e) - ((b^3 - 2*a*b*c - (b^4 - 4*a*b^2*c + 2*a^2*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(c^3*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - ((b^3 - 2*a*b*c + (b^4 - 4*a*b^2*c + 2*a^2*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(c^3*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (3*d^2*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(8*c*e^(5//2)) + (b*d*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(2*c^2*e^(3//2)) + ((b^2 - a*c)*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(c^3*sqrt(e)), x, 17),
+(x^6/(sqrt(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), (x*sqrt(d + e*x^2))/(2*c*e) + ((b^2 - a*c - (b*(b^2 - 3*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(c^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + ((b^2 - a*c + (b*(b^2 - 3*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(c^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (d*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(2*c*e^(3//2)) - (b*atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2)))/(c^2*sqrt(e)), x, 13),
+(x^4/(sqrt(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(c*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))) - ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(c*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + atanh((sqrt(e)*x)/sqrt(d + e*x^2))/(c*sqrt(e)), x, 10),
+(x^2/(sqrt(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -((sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))) + (sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 6),
+(x^0/(sqrt(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), (2*c*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (2*c*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 5),
+(1/(x^2*sqrt(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(d + e*x^2)/(a*d*x)) - (c*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(a*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (c*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(a*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 9),
+(1/(x^4*sqrt(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(d + e*x^2)/(3*a*d*x^3)) + (b*sqrt(d + e*x^2))/(a^2*d*x) + (2*e*sqrt(d + e*x^2))/(3*a*d^2*x) + (c*(b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(a^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) + (c*(b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(a^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 11),
+(1/(x^6*sqrt(d + e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(sqrt(d + e*x^2)/(5*a*d*x^5)) + (b*sqrt(d + e*x^2))/(3*a^2*d*x^3) + (4*e*sqrt(d + e*x^2))/(15*a*d^2*x^3) - ((b^2 - a*c)*sqrt(d + e*x^2))/(a^3*d*x) - (2*b*e*sqrt(d + e*x^2))/(3*a^2*d^2*x) - (8*e^2*sqrt(d + e*x^2))/(15*a*d^3*x) - (c*(b^2 - a*c + (b*(b^2 - 3*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(a^3*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)) - (c*(b^2 - a*c - (b*(b^2 - 3*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(a^3*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), x, 14),
+
+
+# {x^6/((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 14, -((d^2*x)/(e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[d + e*x^2])) + (2*(b^2 - a*c - (b*(b^2 - 3*a*c))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*x)/(Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[d + e*x^2])])/(c*Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*(2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)^(3/2)) + (2*(b^2 - a*c + (b*(b^2 - 3*a*c))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*x)/(Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[d + e*x^2])])/(c*Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)^(3/2)) + ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/(c*e^(3/2)), -((d^2*x)/(e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[d + e*x^2])) + ((b^2*d - a*c*d - a*b*e - (b^3*d - 3*a*b*c*d - a*b^2*e + 2*a^2*c*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*x)/(Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[d + e*x^2])])/(c*Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + ((b^2*d - a*c*d - a*b*e + (b^3*d - 3*a*b*c*d - a*b^2*e + 2*a^2*c*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*x)/(Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[d + e*x^2])])/(c*Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (d^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(e^(3/2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - ((b*d - a*e)*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(c*Sqrt[e]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))}
+(x^4/((d + e*x^2)^(3//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), (d*x)/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x^2)) - ((b*d - a*e - (b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - ((b*d - a*e + (b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 8),
+(x^2/((d + e*x^2)^(3//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), -((e*x)/((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x^2))) + (c*(d - (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (c*(d + (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 8),
+(x^0/((d + e*x^2)^(3//2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), (e^2*x)/(d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(d + e*x^2)) - (c*(e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - (c*(e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x)/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(d + e*x^2))))/(sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*sqrt(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 8),
+# {1/(x^2*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 12, (-d - 2*e*x^2)/(a*d^2*x*Sqrt[d + e*x^2]) + (e*(c*d - b*e)*x)/(a*d*(c*d^2 + e*((-b)*d + a*e))*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*c^2*(1 + b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*x)/(Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[d + e*x^2])])/(a*Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*(2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)^(3/2)) - (2*c^2*(1 - b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*x)/(Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[d + e*x^2])])/(a*Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)^(3/2)), -(e^2/(d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x*Sqrt[d + e*x^2])) - (2*e^3*x)/(d^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[d + e*x^2]) - ((c*d - b*e)*Sqrt[d + e*x^2])/(a*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x) - (c*(c*d - b*e + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*x)/(Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[d + e*x^2])])/(a*Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - (c*(c*d - b*e - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*x)/(Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[d + e*x^2])])/(a*Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))}
+# {1/(x^4*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 15, -(1/(3*a*d*x^3*Sqrt[d + e*x^2])) + (3*b*d + 4*a*e)/(3*a^2*d^2*x*Sqrt[d + e*x^2]) + (2*e*(3*b*d + 4*a*e)*x)/(3*a^2*d^3*Sqrt[d + e*x^2]) - (e*(b*c*d - b^2*e + a*c*e)*x)/(a^2*d*(c*d^2 + e*((-b)*d + a*e))*Sqrt[d + e*x^2]) + (2*c^2*(b + (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*x)/(Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[d + e*x^2])])/(a^2*Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*(2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)^(3/2)) + (2*c^2*(b - (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*x)/(Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[d + e*x^2])])/(a^2*Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)^(3/2)), -(e^2/(3*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x^3*Sqrt[d + e*x^2])) + (4*e^3)/(3*d^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x*Sqrt[d + e*x^2]) + (8*e^4*x)/(3*d^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[d + e*x^2]) - ((c*d - b*e)*Sqrt[d + e*x^2])/(3*a*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x^3) + (2*e*(c*d - b*e)*Sqrt[d + e*x^2])/(3*a*d^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x) + ((b*c*d - b^2*e + a*c*e)*Sqrt[d + e*x^2])/(a^2*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x) + (c*(b*c*d - b^2*e + a*c*e + (b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*x)/(Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[d + e*x^2])])/(a^2*Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (c*(b*c*d - b^2*e + a*c*e - (b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*x)/(Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[d + e*x^2])])/(a^2*Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p with q symbolic
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((f*x)^m*(d + e*x^2)^q/(a + b*x^2 + c*x^4), (2*c*(f*x)^(1 + m)*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/2, 1, -q, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f*(1 + m))) - (2*c*(f*x)^(1 + m)*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/2, 1, -q, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f*(1 + m))), x, 6),
+
+
+(x^7*(d + e*x^2)^q/(a + b*x^2 + c*x^4), -(((c*d + b*e)*(d + e*x^2)^(1 + q))/(2*c^2*e^2*(1 + q))) + (d + e*x^2)^(2 + q)/(2*c*e^2*(2 + q)) + ((a - b^2/c + (b*(b^2 - 3*a*c))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*(d + e*x^2)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + q, 2 + q, (2*c*(d + e*x^2))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(2*c*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + q)) + ((a - b^2/c - (b*(b^2 - 3*a*c))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*(d + e*x^2)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + q, 2 + q, (2*c*(d + e*x^2))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(2*c*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + q)), x, 5),
+(x^5*(d + e*x^2)^q/(a + b*x^2 + c*x^4), (d + e*x^2)^(1 + q)/(2*c*e*(1 + q)) + ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x^2)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + q, 2 + q, (2*c*(d + e*x^2))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(2*c*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + q)) + ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x^2)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + q, 2 + q, (2*c*(d + e*x^2))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(2*c*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + q)), x, 5),
+(x^3*(d + e*x^2)^q/(a + b*x^2 + c*x^4), -(((1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x^2)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + q, 2 + q, (2*c*(d + e*x^2))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(2*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + q))) - ((1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x^2)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + q, 2 + q, (2*c*(d + e*x^2))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(2*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + q)), x, 5),
+(x^1*(d + e*x^2)^q/(a + b*x^2 + c*x^4), -((c*(d + e*x^2)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + q, 2 + q, (2*c*(d + e*x^2))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + q))) + (c*(d + e*x^2)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + q, 2 + q, (2*c*(d + e*x^2))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + q)), x, 5),
+((d + e*x^2)^q/(x^1*(a + b*x^2 + c*x^4)), (c*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x^2)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + q, 2 + q, (2*c*(d + e*x^2))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(2*a*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + q)) + (c*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x^2)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + q, 2 + q, (2*c*(d + e*x^2))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(2*a*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + q)) - ((d + e*x^2)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + q, 2 + q, 1 + (e*x^2)/d))/(2*a*d*(1 + q)), x, 8),
+((d + e*x^2)^q/(x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)), -((c*(b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x^2)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + q, 2 + q, (2*c*(d + e*x^2))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(2*a^2*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + q))) - (c*(b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x^2)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + q, 2 + q, (2*c*(d + e*x^2))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(2*a^2*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*(1 + q)) + (b*(d + e*x^2)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + q, 2 + q, 1 + (e*x^2)/d))/(2*a^2*d*(1 + q)) + (e*(d + e*x^2)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + q, 2 + q, 1 + (e*x^2)/d))/(2*a*d^2*(1 + q)), x, 9),
+
+(x^6*(d + e*x^2)^q/(a + b*x^2 + c*x^4), ((b^2 - a*c - (b*(b^2 - 3*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1, -q, 3//2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(c^2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))) + ((b^2 - a*c + (b*(b^2 - 3*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1, -q, 3//2, -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(c^2*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))) - (b*x*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -q, 3//2, -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*c^2) + (x^3*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3//2, -q, 5//2, -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(3*c)), x, 12),
+(x^4*(d + e*x^2)^q/(a + b*x^2 + c*x^4), -(((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1, -q, 3//2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(c*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))) - ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1, -q, 3//2, -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(c*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))) + (x*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, -q, 3//2, -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*c), x, 10),
+(x^2*(d + e*x^2)^q/(a + b*x^2 + c*x^4), -((x*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1, -q, 3//2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (x*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1, -q, 3//2, -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 6),
+(x^0*(d + e*x^2)^q/(a + b*x^2 + c*x^4), -((2*c*x*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1, -q, 3//2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)))) - (2*c*x*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1, -q, 3//2, -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+((d + e*x^2)^q/(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)), -((c*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1, -q, 3//2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(a*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))) - (c*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1, -q, 3//2, -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(a*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))) - ((d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), -q, 1//2, -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(a*x)), x, 10),
+((d + e*x^2)^q/(x^4*(a + b*x^2 + c*x^4)), (c*(b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1, -q, 3//2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(a^2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))) + (c*(b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1, -q, 3//2, -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(a^2*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))) - ((d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(3//2), -q, -(1//2), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(3*a*x^3)) + (b*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//2), -q, 1//2, -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(a^2*x)), x, 12),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e/x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e/x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p with b=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e/x^2)^(q/2) (a+c x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0 & q>0
+
+
+# {Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]/Sqrt[1 - c^4*x^4], x, 5, (-(1/c))*ArcTanh[Sqrt[1 - c^4*x^4]/(c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)], -((Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+]
+# Total integrals translated: 397
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.5 P(x) (a+b x^2+c x^4)^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.5 P(x) (a+b x^2+c x^4)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..b8f1235b
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.5 P(x) (a+b x^2+c x^4)^p.jl	
@@ -0,0 +1,187 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Section::
+# Integrands of the form Poly(x) (a+b x^2+c x^4)^p
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+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form Poly(x) (a+b x^2+c x^4)^p
+
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+# p>0
+
+
+((d + e*x)*(a + b*x^2 + c*x^4), a*d*x + (1//2)*a*e*x^2 + (1//3)*b*d*x^3 + (1//4)*b*e*x^4 + (1//5)*c*d*x^5 + (1//6)*c*e*x^6, x, 2),
+((d + e*x + f*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4), a*d*x + (1//2)*a*e*x^2 + (1//3)*(b*d + a*f)*x^3 + (1//4)*b*e*x^4 + (1//5)*(c*d + b*f)*x^5 + (1//6)*c*e*x^6 + (1//7)*c*f*x^7, x, 2),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)*(a + b*x^2 + c*x^4), a*d*x + (1//2)*a*e*x^2 + (1//3)*(b*d + a*f)*x^3 + (1//4)*(b*e + a*g)*x^4 + (1//5)*(c*d + b*f)*x^5 + (1//6)*(c*e + b*g)*x^6 + (1//7)*c*f*x^7 + (1//8)*c*g*x^8, x, 2),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4)*(a + b*x^2 + c*x^4), a*d*x + (1//2)*a*e*x^2 + (1//3)*(b*d + a*f)*x^3 + (1//4)*(b*e + a*g)*x^4 + (1//5)*(c*d + b*f + a*h)*x^5 + (1//6)*(c*e + b*g)*x^6 + (1//7)*(c*f + b*h)*x^7 + (1//8)*c*g*x^8 + (1//9)*c*h*x^9, x, 2),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + i*x^5)*(a + b*x^2 + c*x^4), a*d*x + (1//2)*a*e*x^2 + (1//3)*(b*d + a*f)*x^3 + (1//4)*(b*e + a*g)*x^4 + (1//5)*(c*d + b*f + a*h)*x^5 + (1//6)*(c*e + b*g + a*i)*x^6 + (1//7)*(c*f + b*h)*x^7 + (1//8)*(c*g + b*i)*x^8 + (1//9)*c*h*x^9 + (1//10)*c*i*x^10, x, 2),
+
+
+((d + e*x)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2, a^2*d*x + (1//2)*a^2*e*x^2 + (2//3)*a*b*d*x^3 + (1//2)*a*b*e*x^4 + (1//5)*(b^2 + 2*a*c)*d*x^5 + (1//6)*(b^2 + 2*a*c)*e*x^6 + (2//7)*b*c*d*x^7 + (1//4)*b*c*e*x^8 + (1//9)*c^2*d*x^9 + (1//10)*c^2*e*x^10, x, 2),
+((d + e*x + f*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2, a^2*d*x + (1//2)*a^2*e*x^2 + (1//3)*a*(2*b*d + a*f)*x^3 + (1//2)*a*b*e*x^4 + (1//5)*(b^2*d + 2*a*c*d + 2*a*b*f)*x^5 + (1//6)*(b^2 + 2*a*c)*e*x^6 + (1//7)*(2*b*c*d + b^2*f + 2*a*c*f)*x^7 + (1//4)*b*c*e*x^8 + (1//9)*c*(c*d + 2*b*f)*x^9 + (1//10)*c^2*e*x^10 + (1//11)*c^2*f*x^11, x, 2),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2, a^2*d*x + (1//2)*a^2*e*x^2 + (1//3)*a*(2*b*d + a*f)*x^3 + (1//4)*a*(2*b*e + a*g)*x^4 + (1//5)*(b^2*d + 2*a*c*d + 2*a*b*f)*x^5 + (1//6)*(b^2*e + 2*a*c*e + 2*a*b*g)*x^6 + (1//7)*(2*b*c*d + b^2*f + 2*a*c*f)*x^7 + (1//8)*(2*b*c*e + b^2*g + 2*a*c*g)*x^8 + (1//9)*c*(c*d + 2*b*f)*x^9 + (1//10)*c*(c*e + 2*b*g)*x^10 + (1//11)*c^2*f*x^11 + (1//12)*c^2*g*x^12, x, 2),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2, a^2*d*x + (1//2)*a^2*e*x^2 + (1//3)*a*(2*b*d + a*f)*x^3 + (1//4)*a*(2*b*e + a*g)*x^4 + (1//5)*(b^2*d + 2*a*b*f + a*(2*c*d + a*h))*x^5 + (1//6)*(b^2*e + 2*a*c*e + 2*a*b*g)*x^6 + (1//7)*(b^2*f + 2*a*c*f + 2*b*(c*d + a*h))*x^7 + (1//8)*(2*b*c*e + b^2*g + 2*a*c*g)*x^8 + (1//9)*(c^2*d + b^2*h + 2*c*(b*f + a*h))*x^9 + (1//10)*c*(c*e + 2*b*g)*x^10 + (1//11)*c*(c*f + 2*b*h)*x^11 + (1//12)*c^2*g*x^12 + (1//13)*c^2*h*x^13, x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)/(4 - 5*x^2 + x^4), (-(1//6))*d*atanh(x/2) + (1//3)*d*atanh(x) - (1//6)*e*log(1 - x^2) + (1//6)*e*log(4 - x^2), x, 10),
+((d + e*x + f*x^2)/(4 - 5*x^2 + x^4), (-(1//6))*(d + 4*f)*atanh(x/2) + (1//3)*(d + f)*atanh(x) - (1//6)*e*log(1 - x^2) + (1//6)*e*log(4 - x^2), x, 9),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(4 - 5*x^2 + x^4), (-(1//6))*(d + 4*f)*atanh(x/2) + (1//3)*(d + f)*atanh(x) - (1//6)*(e + g)*log(1 - x^2) + (1//6)*(e + 4*g)*log(4 - x^2), x, 8),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4)/(4 - 5*x^2 + x^4), h*x - (1//6)*(d + 4*f + 16*h)*atanh(x/2) + (1//3)*(d + f + h)*atanh(x) - (1//6)*(e + g)*log(1 - x^2) + (1//6)*(e + 4*g)*log(4 - x^2), x, 10),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + i*x^5)/(4 - 5*x^2 + x^4), h*x + (i*x^2)/2 - (1//6)*(d + 4*f + 16*h)*atanh(x/2) + (1//3)*(d + f + h)*atanh(x) - (1//6)*(e + g + i)*log(1 - x^2) + (1//6)*(e + 4*g + 16*i)*log(4 - x^2), x, 12),
+
+((d + e*x)/(1 + x^2 + x^4), -((d*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(2*sqrt(3))) + (d*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(2*sqrt(3)) + (e*atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3)))/sqrt(3) - (1//4)*d*log(1 - x + x^2) + (1//4)*d*log(1 + x + x^2), x, 15),
+((d + e*x + f*x^2)/(1 + x^2 + x^4), -(((d + f)*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(2*sqrt(3))) + ((d + f)*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(2*sqrt(3)) + (e*atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3)))/sqrt(3) - (1//4)*(d - f)*log(1 - x + x^2) + (1//4)*(d - f)*log(1 + x + x^2), x, 14),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(1 + x^2 + x^4), -(((d + f)*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(2*sqrt(3))) + ((d + f)*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(2*sqrt(3)) + ((2*e - g)*atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3)))/(2*sqrt(3)) - (1//4)*(d - f)*log(1 - x + x^2) + (1//4)*(d - f)*log(1 + x + x^2) + (1//4)*g*log(1 + x^2 + x^4), x, 15),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4)/(1 + x^2 + x^4), h*x - ((d + f - 2*h)*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(2*sqrt(3)) + ((d + f - 2*h)*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(2*sqrt(3)) + ((2*e - g)*atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3)))/(2*sqrt(3)) - (1//4)*(d - f)*log(1 - x + x^2) + (1//4)*(d - f)*log(1 + x + x^2) + (1//4)*g*log(1 + x^2 + x^4), x, 17),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + i*x^5)/(1 + x^2 + x^4), h*x + (i*x^2)/2 - ((d + f - 2*h)*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(2*sqrt(3)) + ((d + f - 2*h)*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(2*sqrt(3)) + ((2*e - g - i)*atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3)))/(2*sqrt(3)) - (1//4)*(d - f)*log(1 - x + x^2) + (1//4)*(d - f)*log(1 + x + x^2) + (1//4)*(g - i)*log(1 + x^2 + x^4), x, 19),
+
+((d + e*x)/(a + b*x^2 + c*x^4), (sqrt(2)*sqrt(c)*d*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(2)*sqrt(c)*d*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (e*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/sqrt(b^2 - 4*a*c), x, 9),
+((d + e*x + f*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((f + (2*c*d - b*f)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((f - (2*c*d - b*f)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (e*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/sqrt(b^2 - 4*a*c), x, 8),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((f + (2*c*d - b*f)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((f - (2*c*d - b*f)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((2*c*e - b*g)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (g*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c), x, 9),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4), (h*x)/c + ((c*f - b*h + (2*c^2*d + b^2*h - c*(b*f + 2*a*h))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((c*f - b*h - (2*c^2*d - b*c*f + b^2*h - 2*a*c*h)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((2*c*e - b*g)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (g*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c), x, 11),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + i*x^5)/(a + b*x^2 + c*x^4), (h*x)/c + (i*x^2)/(2*c) + ((c*f - b*h + (2*c^2*d + b^2*h - c*(b*f + 2*a*h))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((c*f - b*h - (2*c^2*d - b*c*f + b^2*h - 2*a*c*h)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((2*c^2*e - b*c*g + b^2*i - 2*a*c*i)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((c*g - b*i)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^2), x, 13),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + j*x^5 + k*x^6 + l*x^7 + m*x^8)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((c^2*h + b^2*m - c*(b*k + a*m))*x)/c^3 + ((c*j - b*l)*x^2)/(2*c^2) + ((c*k - b*m)*x^3)/(3*c^2) + (l*x^4)/(4*c) + (m*x^5)/(5*c) + ((c^3*f - c^2*(b*h + a*k) - b^3*m + b*c*(b*k + 2*a*m) + (2*c^4*d - c^3*(b*f + 2*a*h) + b^4*m - b^2*c*(b*k + 4*a*m) + c^2*(b^2*h + 3*a*b*k + 2*a^2*m))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(7//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((c^3*f - c^2*(b*h + a*k) - b^3*m + b*c*(b*k + 2*a*m) - (2*c^4*d - c^3*(b*f + 2*a*h) + b^4*m - b^2*c*(b*k + 4*a*m) + c^2*(b^2*h + 3*a*b*k + 2*a^2*m))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(7//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((2*c^3*e - c^2*(b*g + 2*a*j) - b^3*l + b*c*(b*j + 3*a*l))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((c^2*g + b^2*l - c*(b*j + a*l))*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^3), x, 13),
+
+
+((d + e*x)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, (d*x*(17 - 5*x^2))/(72*(4 - 5*x^2 + x^4)) + (e*(5 - 2*x^2))/(18*(4 - 5*x^2 + x^4)) + (19//432)*d*atanh(x/2) - (1//54)*d*atanh(x) + (1//27)*e*log(1 - x^2) - (1//27)*e*log(4 - x^2), x, 12),
+((d + e*x + f*x^2)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, (e*(5 - 2*x^2))/(18*(4 - 5*x^2 + x^4)) + (x*(17*d + 20*f - (5*d + 8*f)*x^2))/(72*(4 - 5*x^2 + x^4)) + (1//432)*(19*d + 52*f)*atanh(x/2) - (1//54)*(d + 7*f)*atanh(x) + (1//27)*e*log(1 - x^2) - (1//27)*e*log(4 - x^2), x, 11),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, (x*(17*d + 20*f - (5*d + 8*f)*x^2))/(72*(4 - 5*x^2 + x^4)) + (5*e + 8*g - (2*e + 5*g)*x^2)/(18*(4 - 5*x^2 + x^4)) + (1//432)*(19*d + 52*f)*atanh(x/2) - (1//54)*(d + 7*f)*atanh(x) + (1//54)*(2*e + 5*g)*log(1 - x^2) - (1//54)*(2*e + 5*g)*log(4 - x^2), x, 10),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, (5*e + 8*g - (2*e + 5*g)*x^2)/(18*(4 - 5*x^2 + x^4)) + (x*(17*d + 20*f + 32*h - (5*d + 8*f + 20*h)*x^2))/(72*(4 - 5*x^2 + x^4)) + (1//432)*(19*d + 52*f + 112*h)*atanh(x/2) - (1//54)*(d + 7*f + 13*h)*atanh(x) + (1//54)*(2*e + 5*g)*log(1 - x^2) - (1//54)*(2*e + 5*g)*log(4 - x^2), x, 10),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + i*x^5)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, (x*(17*d + 20*f + 32*h - (5*d + 8*f + 20*h)*x^2))/(72*(4 - 5*x^2 + x^4)) + (5*e + 8*g + 20*i - (2*e + 5*g + 17*i)*x^2)/(18*(4 - 5*x^2 + x^4)) + (1//432)*(19*d + 52*f + 112*h)*atanh(x/2) - (1//54)*(d + 7*f + 13*h)*atanh(x) + (1//54)*(2*e + 5*g + 8*i)*log(1 - x^2) - (1//54)*(2*e + 5*g + 8*i)*log(4 - x^2), x, 11),
+
+((d + e*x)/(1 + x^2 + x^4)^2, (d*x*(1 - x^2))/(6*(1 + x^2 + x^4)) + (e*(1 + 2*x^2))/(6*(1 + x^2 + x^4)) - (d*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) + (d*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) + (2*e*atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) - (1//4)*d*log(1 - x + x^2) + (1//4)*d*log(1 + x + x^2), x, 17),
+((d + e*x + f*x^2)/(1 + x^2 + x^4)^2, (e*(1 + 2*x^2))/(6*(1 + x^2 + x^4)) + (x*(d + f - (d - 2*f)*x^2))/(6*(1 + x^2 + x^4)) - ((4*d + f)*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(12*sqrt(3)) + ((4*d + f)*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(12*sqrt(3)) + (2*e*atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) - (1//8)*(2*d - f)*log(1 - x + x^2) + (1//8)*(2*d - f)*log(1 + x + x^2), x, 16),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(1 + x^2 + x^4)^2, (x*(d + f - (d - 2*f)*x^2))/(6*(1 + x^2 + x^4)) + (e - 2*g + (2*e - g)*x^2)/(6*(1 + x^2 + x^4)) - ((4*d + f)*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(12*sqrt(3)) + ((4*d + f)*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(12*sqrt(3)) + ((2*e - g)*atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) - (1//8)*(2*d - f)*log(1 - x + x^2) + (1//8)*(2*d - f)*log(1 + x + x^2), x, 15),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4)/(1 + x^2 + x^4)^2, (e - 2*g + (2*e - g)*x^2)/(6*(1 + x^2 + x^4)) + (x*(d + f - 2*h - (d - 2*f + h)*x^2))/(6*(1 + x^2 + x^4)) - ((4*d + f + h)*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(12*sqrt(3)) + ((4*d + f + h)*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(12*sqrt(3)) + ((2*e - g)*atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) - (1//8)*(2*d - f + h)*log(1 - x + x^2) + (1//8)*(2*d - f + h)*log(1 + x + x^2), x, 15),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + i*x^5)/(1 + x^2 + x^4)^2, (x*(d + f - 2*h - (d - 2*f + h)*x^2))/(6*(1 + x^2 + x^4)) + (e - 2*g + i + (2*e - g - i)*x^2)/(6*(1 + x^2 + x^4)) - ((4*d + f + h)*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(12*sqrt(3)) + ((4*d + f + h)*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(12*sqrt(3)) + ((2*e - g + 2*i)*atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) - (1//8)*(2*d - f + h)*log(1 - x + x^2) + (1//8)*(2*d - f + h)*log(1 + x + x^2), x, 16),
+
+((d + e*x)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((e*(b + 2*c*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4))) + (d*x*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(c)*(b^2 - 12*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(b^2 - 12*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (2*c*e*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 11),
+((d + e*x + f*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((e*(b + 2*c*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4))) + (x*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*f + c*(b*d - 2*a*f)*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(c)*(b*d - 2*a*f + (b^2*d - 12*a*c*d + 4*a*b*f)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(b*d - 2*a*f - (b^2*d - 12*a*c*d + 4*a*b*f)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (2*c*e*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 10),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (x*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*f + c*(b*d - 2*a*f)*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (b*e - 2*a*g + (2*c*e - b*g)*x^2)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(c)*(b*d - 2*a*f + (b^2*d - 12*a*c*d + 4*a*b*f)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(b*d - 2*a*f - (b^2*d - 12*a*c*d + 4*a*b*f)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((2*c*e - b*g)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 9),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((b*e - 2*a*g + (2*c*e - b*g)*x^2)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4))) + (x*(b^2*d - a*b*f - 2*a*(c*d - a*h) + (b*c*d - 2*a*c*f + a*b*h)*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b*c*d - 2*a*c*f + a*b*h + (4*a*b*c*f + b^2*(c*d - a*h) - 4*a*c*(3*c*d + a*h))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b*c*d - 2*a*c*f + a*b*h - (4*a*b*c*f + b^2*(c*d - a*h) - 4*a*c*(3*c*d + a*h))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((2*c*e - b*g)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 9),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + i*x^5)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (x*(b^2*d - a*b*f - 2*a*(c*d - a*h) + (b*c*d - 2*a*c*f + a*b*h)*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (2*a*c*g - b*(c*e + a*i) - (2*c^2*e - b*c*g + b^2*i - 2*a*c*i)*x^2)/(2*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b*c*d - 2*a*c*f + a*b*h + (4*a*b*c*f + b^2*(c*d - a*h) - 4*a*c*(3*c*d + a*h))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b*c*d - 2*a*c*f + a*b*h - (4*a*b*c*f + b^2*(c*d - a*h) - 4*a*c*(3*c*d + a*h))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((2*c*e - b*g + 2*a*i)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 10),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + j*x^5 + k*x^6 + l*x^7 + m*x^8)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (m*x)/c^2 - (b*c*(c*e + a*j) - a*b^2*l - 2*a*c*(c*g - a*l) + (2*c^3*e - c^2*(b*g + 2*a*j) - b^3*l + b*c*(b*j + 3*a*l))*x^2)/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (x*(a*b*c*(c*f + a*k) - b^2*(c^2*d + a^2*m) + 2*a*c*(c^2*d - a*c*h + a^2*m) + (a*b^2*c*k + 2*a*c^2*(c*f - a*k) - a*b^3*m - b*c*(c^2*d + a*c*h - 3*a^2*m))*x^2))/(2*a*c^2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((a*b^2*c*k - 2*a*c^2*(c*f + 3*a*k) - 3*a*b^3*m + b*c*(c^2*d + a*c*h + 13*a^2*m) - (a*b^3*c*k - 4*a*b*c^2*(c*f + 2*a*k) - 3*a*b^4*m - b^2*c*(c^2*d - a*c*h - 19*a^2*m) + 4*a*c^2*(3*c^2*d + a*c*h - 5*a^2*m))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((a*b^2*c*k - 2*a*c^2*(c*f + 3*a*k) - 3*a*b^3*m + b*c*(c^2*d + a*c*h + 13*a^2*m) + (a*b^3*c*k - 4*a*b*c^2*(c*f + 2*a*k) - 3*a*b^4*m - b^2*c*(c^2*d - a*c*h - 19*a^2*m) + 4*a*c^2*(3*c^2*d + a*c*h - 5*a^2*m))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((4*c^3*e - c^2*(2*b*g - 4*a*j) + b^3*l - 6*a*b*c*l)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + (l*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^2), x, 13),
+
+
+((d + e*x)/(4 - 5*x^2 + x^4)^3, (d*x*(17 - 5*x^2))/(144*(4 - 5*x^2 + x^4)^2) + (e*(5 - 2*x^2))/(36*(4 - 5*x^2 + x^4)^2) - (d*x*(59 - 35*x^2))/(3456*(4 - 5*x^2 + x^4)) - (e*(5 - 2*x^2))/(54*(4 - 5*x^2 + x^4)) - (313*d*atanh(x/2))/20736 + (13//648)*d*atanh(x) - (1//81)*e*log(1 - x^2) + (1//81)*e*log(4 - x^2), x, 14),
+((d + e*x + f*x^2)/(4 - 5*x^2 + x^4)^3, (e*(5 - 2*x^2))/(36*(4 - 5*x^2 + x^4)^2) + (x*(17*d + 20*f - (5*d + 8*f)*x^2))/(144*(4 - 5*x^2 + x^4)^2) - (e*(5 - 2*x^2))/(54*(4 - 5*x^2 + x^4)) - (x*(59*d + 380*f - 35*(d + 4*f)*x^2))/(3456*(4 - 5*x^2 + x^4)) - ((313*d + 820*f)*atanh(x/2))/20736 + (1//648)*(13*d + 25*f)*atanh(x) - (1//81)*e*log(1 - x^2) + (1//81)*e*log(4 - x^2), x, 13),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(4 - 5*x^2 + x^4)^3, (x*(17*d + 20*f - (5*d + 8*f)*x^2))/(144*(4 - 5*x^2 + x^4)^2) + (5*e + 8*g - (2*e + 5*g)*x^2)/(36*(4 - 5*x^2 + x^4)^2) - ((2*e + 5*g)*(5 - 2*x^2))/(108*(4 - 5*x^2 + x^4)) - (x*(59*d + 380*f - 35*(d + 4*f)*x^2))/(3456*(4 - 5*x^2 + x^4)) - ((313*d + 820*f)*atanh(x/2))/20736 + (1//648)*(13*d + 25*f)*atanh(x) - (1//162)*(2*e + 5*g)*log(1 - x^2) + (1//162)*(2*e + 5*g)*log(4 - x^2), x, 12),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4)/(4 - 5*x^2 + x^4)^3, (5*e + 8*g - (2*e + 5*g)*x^2)/(36*(4 - 5*x^2 + x^4)^2) + (x*(17*d + 20*f + 32*h - (5*d + 8*f + 20*h)*x^2))/(144*(4 - 5*x^2 + x^4)^2) - ((2*e + 5*g)*(5 - 2*x^2))/(108*(4 - 5*x^2 + x^4)) - (x*(59*d + 380*f + 848*h - 5*(7*d + 28*f + 64*h)*x^2))/(3456*(4 - 5*x^2 + x^4)) - ((313*d + 820*f + 1936*h)*atanh(x/2))/20736 + (1//648)*(13*d + 25*f + 61*h)*atanh(x) - (1//162)*(2*e + 5*g)*log(1 - x^2) + (1//162)*(2*e + 5*g)*log(4 - x^2), x, 12),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + i*x^5)/(4 - 5*x^2 + x^4)^3, (x*(17*d + 20*f + 32*h - (5*d + 8*f + 20*h)*x^2))/(144*(4 - 5*x^2 + x^4)^2) + (5*e + 8*g + 20*i - (2*e + 5*g + 17*i)*x^2)/(36*(4 - 5*x^2 + x^4)^2) - ((2*e + 5*g + 11*i)*(5 - 2*x^2))/(108*(4 - 5*x^2 + x^4)) - (x*(59*d + 380*f + 848*h - 5*(7*d + 28*f + 64*h)*x^2))/(3456*(4 - 5*x^2 + x^4)) - ((313*d + 820*f + 1936*h)*atanh(x/2))/20736 + (1//648)*(13*d + 25*f + 61*h)*atanh(x) - (1//162)*(2*e + 5*g + 11*i)*log(1 - x^2) + (1//162)*(2*e + 5*g + 11*i)*log(4 - x^2), x, 13),
+
+((d + e*x)/(1 + x^2 + x^4)^3, (d*x*(1 - x^2))/(12*(1 + x^2 + x^4)^2) + (e*(1 + 2*x^2))/(12*(1 + x^2 + x^4)^2) + (d*x*(2 - 7*x^2))/(24*(1 + x^2 + x^4)) + (e*(1 + 2*x^2))/(6*(1 + x^2 + x^4)) - (13*d*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(48*sqrt(3)) + (13*d*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(48*sqrt(3)) + (2*e*atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) - (9//32)*d*log(1 - x + x^2) + (9//32)*d*log(1 + x + x^2), x, 19),
+((d + e*x + f*x^2)/(1 + x^2 + x^4)^3, (e*(1 + 2*x^2))/(12*(1 + x^2 + x^4)^2) + (x*(d + f - (d - 2*f)*x^2))/(12*(1 + x^2 + x^4)^2) + (e*(1 + 2*x^2))/(6*(1 + x^2 + x^4)) + (x*(2*d + 3*f - 7*(d - f)*x^2))/(24*(1 + x^2 + x^4)) - ((13*d + 2*f)*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(48*sqrt(3)) + ((13*d + 2*f)*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(48*sqrt(3)) + (2*e*atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) - (1//32)*(9*d - 4*f)*log(1 - x + x^2) + (1//32)*(9*d - 4*f)*log(1 + x + x^2), x, 18),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(1 + x^2 + x^4)^3, (x*(d + f - (d - 2*f)*x^2))/(12*(1 + x^2 + x^4)^2) + (e - 2*g + (2*e - g)*x^2)/(12*(1 + x^2 + x^4)^2) + ((2*e - g)*(1 + 2*x^2))/(12*(1 + x^2 + x^4)) + (x*(2*d + 3*f - 7*(d - f)*x^2))/(24*(1 + x^2 + x^4)) - ((13*d + 2*f)*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(48*sqrt(3)) + ((13*d + 2*f)*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(48*sqrt(3)) + ((2*e - g)*atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) - (1//32)*(9*d - 4*f)*log(1 - x + x^2) + (1//32)*(9*d - 4*f)*log(1 + x + x^2), x, 17),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4)/(1 + x^2 + x^4)^3, (e - 2*g + (2*e - g)*x^2)/(12*(1 + x^2 + x^4)^2) + (x*(d + f - 2*h - (d - 2*f + h)*x^2))/(12*(1 + x^2 + x^4)^2) + ((2*e - g)*(1 + 2*x^2))/(12*(1 + x^2 + x^4)) + (x*(2*d + 3*f - h - (7*d - 7*f + 4*h)*x^2))/(24*(1 + x^2 + x^4)) - ((13*d + 2*f + h)*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(48*sqrt(3)) + ((13*d + 2*f + h)*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(48*sqrt(3)) + ((2*e - g)*atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) - (1//32)*(9*d - 4*f + 3*h)*log(1 - x + x^2) + (1//32)*(9*d - 4*f + 3*h)*log(1 + x + x^2), x, 17),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + i*x^5)/(1 + x^2 + x^4)^3, (x*(d + f - 2*h - (d - 2*f + h)*x^2))/(12*(1 + x^2 + x^4)^2) + (e - 2*g + i + (2*e - g - i)*x^2)/(12*(1 + x^2 + x^4)^2) + ((2*e - g + i)*(1 + 2*x^2))/(12*(1 + x^2 + x^4)) + (x*(2*d + 3*f - h - (7*d - 7*f + 4*h)*x^2))/(24*(1 + x^2 + x^4)) - ((13*d + 2*f + h)*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/(48*sqrt(3)) + ((13*d + 2*f + h)*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(48*sqrt(3)) + ((2*e - g + i)*atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) - (1//32)*(9*d - 4*f + 3*h)*log(1 - x + x^2) + (1//32)*(9*d - 4*f + 3*h)*log(1 + x + x^2), x, 18),
+
+((d + e*x)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((e*(b + 2*c*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2)) + (d*x*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2))/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + (3*c*e*(b + 2*c*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (d*x*((b^2 - 7*a*c)*(3*b^2 - 4*a*c) + 3*b*c*(b^2 - 8*a*c)*x^2))/(8*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (3*sqrt(c)*(b^4 - 10*a*b^2*c + 56*a^2*c^2 + b*(b^2 - 8*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (3*sqrt(c)*(b^3 - 8*a*b*c - (b^4 - 10*a*b^2*c + 56*a^2*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (6*c^2*e*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 13),
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+((a*d + a*e*x + (b*d + a*f)*x^2 + b*e*x^3 + (c*d + b*f)*x^4 + c*e*x^5 + c*f*x^6)*(a + b*x^2 + c*x^4)^3, a^4*d*x + (1//2)*a^4*e*x^2 + (1//3)*a^3*(4*b*d + a*f)*x^3 + a^3*b*e*x^4 + (2//5)*a^2*(3*b^2*d + 2*a*c*d + 2*a*b*f)*x^5 + (1//3)*a^2*(3*b^2 + 2*a*c)*e*x^6 + (2//7)*a*(2*b^3*d + 6*a*b*c*d + 3*a*b^2*f + 2*a^2*c*f)*x^7 + (1//2)*a*b*(b^2 + 3*a*c)*e*x^8 + (1//9)*(b^4*d + 12*a*b^2*c*d + 6*a^2*c^2*d + 4*a*b^3*f + 12*a^2*b*c*f)*x^9 + (1//10)*(b^4 + 12*a*b^2*c + 6*a^2*c^2)*e*x^10 + (1//11)*(4*b^3*c*d + 12*a*b*c^2*d + b^4*f + 12*a*b^2*c*f + 6*a^2*c^2*f)*x^11 + (1//3)*b*c*(b^2 + 3*a*c)*e*x^12 + (2//13)*c*(3*b^2*c*d + 2*a*c^2*d + 2*b^3*f + 6*a*b*c*f)*x^13 + (1//7)*c^2*(3*b^2 + 2*a*c)*e*x^14 + (2//15)*c^2*(2*b*c*d + 3*b^2*f + 2*a*c*f)*x^15 + (1//4)*b*c^3*e*x^16 + (1//17)*c^3*(c*d + 4*b*f)*x^17 + (1//18)*c^4*e*x^18 + (1//19)*c^4*f*x^19, x, 2),
+((a*d + a*e*x + (b*d + a*f)*x^2 + b*e*x^3 + (c*d + b*f)*x^4 + c*e*x^5 + c*f*x^6)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2, a^3*d*x + (1//2)*a^3*e*x^2 + (1//3)*a^2*(3*b*d + a*f)*x^3 + (3//4)*a^2*b*e*x^4 + (3//5)*a*(b^2*d + a*c*d + a*b*f)*x^5 + (1//2)*a*(b^2 + a*c)*e*x^6 + (1//7)*(b^3*d + 6*a*b*c*d + 3*a*b^2*f + 3*a^2*c*f)*x^7 + (1//8)*b*(b^2 + 6*a*c)*e*x^8 + (1//9)*(3*b^2*c*d + 3*a*c^2*d + b^3*f + 6*a*b*c*f)*x^9 + (3//10)*c*(b^2 + a*c)*e*x^10 + (3//11)*c*(b*c*d + b^2*f + a*c*f)*x^11 + (1//4)*b*c^2*e*x^12 + (1//13)*c^2*(c*d + 3*b*f)*x^13 + (1//14)*c^3*e*x^14 + (1//15)*c^3*f*x^15, x, 2),
+((a*d + a*e*x + (b*d + a*f)*x^2 + b*e*x^3 + (c*d + b*f)*x^4 + c*e*x^5 + c*f*x^6)*(a + b*x^2 + c*x^4)^1, a^2*d*x + (1//2)*a^2*e*x^2 + (1//3)*a*(2*b*d + a*f)*x^3 + (1//2)*a*b*e*x^4 + (1//5)*(b^2*d + 2*a*c*d + 2*a*b*f)*x^5 + (1//6)*(b^2 + 2*a*c)*e*x^6 + (1//7)*(2*b*c*d + b^2*f + 2*a*c*f)*x^7 + (1//4)*b*c*e*x^8 + (1//9)*c*(c*d + 2*b*f)*x^9 + (1//10)*c^2*e*x^10 + (1//11)*c^2*f*x^11, x, 2),
+((a*d + a*e*x + (b*d + a*f)*x^2 + b*e*x^3 + (c*d + b*f)*x^4 + c*e*x^5 + c*f*x^6)/(a + b*x^2 + c*x^4)^1, d*x + (e*x^2)/2 + (f*x^3)/3, x, 2),
+((a*d + a*e*x + (b*d + a*f)*x^2 + b*e*x^3 + (c*d + b*f)*x^4 + c*e*x^5 + c*f*x^6)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, ((f + (2*c*d - b*f)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((f - (2*c*d - b*f)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (e*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/sqrt(b^2 - 4*a*c), x, 9),
+((a*d + a*e*x + (b*d + a*f)*x^2 + b*e*x^3 + (c*d + b*f)*x^4 + c*e*x^5 + c*f*x^6)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3, -((e*(b + 2*c*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4))) + (x*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*f + c*(b*d - 2*a*f)*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(c)*(b*d - 2*a*f + (b^2*d - 12*a*c*d + 4*a*b*f)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(b*d - 2*a*f - (b^2*d - 12*a*c*d + 4*a*b*f)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (2*c*e*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 11),
+((a*d + a*e*x + (b*d + a*f)*x^2 + b*e*x^3 + (c*d + b*f)*x^4 + c*e*x^5 + c*f*x^6)/(a + b*x^2 + c*x^4)^4, -((e*(b + 2*c*x^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2)) + (x*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*f + c*(b*d - 2*a*f)*x^2))/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + (3*c*e*(b + 2*c*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (x*(3*b^4*d - 25*a*b^2*c*d + 28*a^2*c^2*d + a*b^3*f + 8*a^2*b*c*f + c*(3*b^3*d - 24*a*b*c*d + a*b^2*f + 20*a^2*c*f)*x^2))/(8*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(c)*(3*b^4*d + b^3*(3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*f) - 4*a*b*c*(6*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 13*a*f) - a*b^2*(30*c*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*f) + 4*a^2*c*(42*c*d + 5*sqrt(b^2 - 4*a*c)*f))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(3*b^3*d - 24*a*b*c*d + a*b^2*f + 20*a^2*c*f - (3*b^4*d - 30*a*b^2*c*d + 168*a^2*c^2*d + a*b^3*f - 52*a^2*b*c*f)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (6*c^2*e*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 13),
+
+
+((2 - x - 2*x^2 + x^3)/(4 - 5*x^2 + x^4), log(2 + x), x, 2),
+((2 - x - 2*x^2 + x^3)*(d + e*x)/(4 - 5*x^2 + x^4), e*x + (d - 2*e)*log(2 + x), x, 3),
+((2 - x - 2*x^2 + x^3)*(d + e*x + f*x^2)/(4 - 5*x^2 + x^4), (e - 4*f)*x + (1//2)*f*(2 + x)^2 + (d - 2*e + 4*f)*log(2 + x), x, 3),
+((2 - x - 2*x^2 + x^3)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(4 - 5*x^2 + x^4), (e - 4*f + 12*g)*x + (1//2)*(f - 6*g)*(2 + x)^2 + (1//3)*g*(2 + x)^3 + (d - 2*e + 4*f - 8*g)*log(2 + x), x, 3),
+((2 - x - 2*x^2 + x^3)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4)/(4 - 5*x^2 + x^4), (e - 2*f + 4*g - 8*h)*x + (1//2)*(f - 2*g + 4*h)*x^2 + (1//3)*(g - 2*h)*x^3 + (h*x^4)/4 + (d - 2*e + 4*f - 8*g + 16*h)*log(2 + x), x, 3),
+((2 - x - 2*x^2 + x^3)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + i*x^5)/(4 - 5*x^2 + x^4), (e - 2*f + 4*g - 8*h + 16*i)*x + (1//2)*(f - 2*g + 4*h - 8*i)*x^2 + (1//3)*(g - 2*h + 4*i)*x^3 + (1//4)*(h - 2*i)*x^4 + (i*x^5)/5 + (d - 2*e + 4*f - 8*g + 16*h - 32*i)*log(2 + x), x, 3),
+
+((2 - 3*x + x^2)/(4 - 5*x^2 + x^4), log(1 + x) - log(2 + x), x, 4),
+((2 - 3*x + x^2)*(d + e*x)/(4 - 5*x^2 + x^4), (d - e)*log(1 + x) - (d - 2*e)*log(2 + x), x, 4),
+((2 - 3*x + x^2)*(d + e*x + f*x^2)/(4 - 5*x^2 + x^4), f*x + (d - e + f)*log(1 + x) - (d - 2*e + 4*f)*log(2 + x), x, 6),
+((2 - 3*x + x^2)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(4 - 5*x^2 + x^4), (f - 3*g)*x + (g*x^2)/2 + (d - e + f - g)*log(1 + x) - (d - 2*e + 4*f - 8*g)*log(2 + x), x, 6),
+((2 - 3*x + x^2)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4)/(4 - 5*x^2 + x^4), (f - 3*g + 7*h)*x + (1//2)*(g - 3*h)*x^2 + (h*x^3)/3 + (d - e + f - g + h)*log(1 + x) - (d - 2*e + 4*f - 8*g + 16*h)*log(2 + x), x, 6),
+((2 - 3*x + x^2)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + i*x^5)/(4 - 5*x^2 + x^4), (f - 3*g + 7*h - 15*i)*x + (1//2)*(g - 3*h + 7*i)*x^2 + (1//3)*(h - 3*i)*x^3 + (i*x^4)/4 + (d - e + f - g + h - i)*log(1 + x) - (d - 2*e + 4*f - 8*g + 16*h - 32*i)*log(2 + x), x, 6),
+
+((2 + x)/(4 - 5*x^2 + x^4), (-(1//2))*log(1 - x) + (1//3)*log(2 - x) + (1//6)*log(1 + x), x, 3),
+((2 + x)*(d + e*x)/(4 - 5*x^2 + x^4), (-(1//2))*(d + e)*log(1 - x) + (1//3)*(d + 2*e)*log(2 - x) + (1//6)*(d - e)*log(1 + x), x, 3),
+((2 + x)*(d + e*x + f*x^2)/(4 - 5*x^2 + x^4), (-(1//2))*(d + e + f)*log(1 - x) + (1//3)*(d + 2*e + 4*f)*log(2 - x) + (1//6)*(d - e + f)*log(1 + x), x, 3),
+((2 + x)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(4 - 5*x^2 + x^4), g*x - (1//2)*(d + e + f + g)*log(1 - x) + (1//3)*(d + 2*e + 4*f + 8*g)*log(2 - x) + (1//6)*(d - e + f - g)*log(1 + x), x, 3),
+((2 + x)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4)/(4 - 5*x^2 + x^4), (g + 2*h)*x + (h*x^2)/2 - (1//2)*(d + e + f + g + h)*log(1 - x) + (1//3)*(d + 2*e + 4*f + 8*g + 16*h)*log(2 - x) + (1//6)*(d - e + f - g + h)*log(1 + x), x, 3),
+((2 + x)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + i*x^5)/(4 - 5*x^2 + x^4), (g + 2*h + 5*i)*x + (1//2)*(h + 2*i)*x^2 + (i*x^3)/3 - (1//2)*(d + e + f + g + h + i)*log(1 - x) + (1//3)*(d + 2*e + 4*f + 8*g + 16*h + 32*i)*log(2 - x) + (1//6)*(d - e + f - g + h - i)*log(1 + x), x, 3),
+
+
+((2 - x - 2*x^2 + x^3)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, 1/(12*(2 + x)) - (1//18)*log(1 - x) + (1//48)*log(2 - x) + (1//6)*log(1 + x) - (19//144)*log(2 + x), x, 3),
+((2 - x - 2*x^2 + x^3)*(d + e*x)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, (d - 2*e)/(12*(2 + x)) - (1//18)*(d + e)*log(1 - x) + (1//48)*(d + 2*e)*log(2 - x) + (1//6)*(d - e)*log(1 + x) - (1//144)*(19*d - 26*e)*log(2 + x), x, 3),
+((2 - x - 2*x^2 + x^3)*(d + e*x + f*x^2)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, (d - 2*e + 4*f)/(12*(2 + x)) - (1//18)*(d + e + f)*log(1 - x) + (1//48)*(d + 2*e + 4*f)*log(2 - x) + (1//6)*(d - e + f)*log(1 + x) - (1//144)*(19*d - 26*e + 28*f)*log(2 + x), x, 3),
+((2 - x - 2*x^2 + x^3)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, (d - 2*e + 4*f - 8*g)/(12*(2 + x)) - (1//18)*(d + e + f + g)*log(1 - x) + (1//48)*(d + 2*e + 4*f + 8*g)*log(2 - x) + (1//6)*(d - e + f - g)*log(1 + x) - (1//144)*(19*d - 26*e + 28*f - 8*g)*log(2 + x), x, 3),
+((2 - x - 2*x^2 + x^3)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, (d - 2*e + 4*f - 8*g + 16*h)/(12*(2 + x)) - (1//18)*(d + e + f + g + h)*log(1 - x) + (1//48)*(d + 2*e + 4*f + 8*g + 16*h)*log(2 - x) + (1//6)*(d - e + f - g + h)*log(1 + x) - (1//144)*(19*d - 26*e + 28*f - 8*g - 80*h)*log(2 + x), x, 3),
+((2 - x - 2*x^2 + x^3)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + i*x^5)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, i*x + (d - 2*e + 4*f - 8*g + 16*h - 32*i)/(12*(2 + x)) - (1//18)*(d + e + f + g + h + i)*log(1 - x) + (1//48)*(d + 2*e + 4*f + 8*g + 16*h + 32*i)*log(2 - x) + (1//6)*(d - e + f - g + h - i)*log(1 + x) - (1//144)*(19*d - 26*e + 28*f - 8*g - 80*h + 352*i)*log(2 + x), x, 3),
+
+((2 - 3*x + x^2)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, -((5 + 3*x)/(12*(2 + 3*x + x^2))) - (1//36)*log(1 - x) + (1//144)*log(2 - x) - (7//36)*log(1 + x) + (31//144)*log(2 + x), x, 9),
+((2 - 3*x + x^2)*(d + e*x)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, -((5*d - 6*e + (3*d - 4*e)*x)/(12*(2 + 3*x + x^2))) - (1//36)*(d + e)*log(1 - x) + (1//144)*(d + 2*e)*log(2 - x) - (1//36)*(7*d - 13*e)*log(1 + x) + (1//144)*(31*d - 50*e)*log(2 + x), x, 9),
+((2 - 3*x + x^2)*(d + e*x + f*x^2)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, -((5*d - 6*e + 8*f + (3*d - 4*e + 6*f)*x)/(12*(2 + 3*x + x^2))) - (1//36)*(d + e + f)*log(1 - x) + (1//144)*(d + 2*e + 4*f)*log(2 - x) - (1//36)*(7*d - 13*e + 19*f)*log(1 + x) + (1//144)*(31*d - 50*e + 76*f)*log(2 + x), x, 9),
+((2 - 3*x + x^2)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, -((d - e + f - g)/(6*(1 + x))) - (d - 2*e + 4*f - 8*g)/(12*(2 + x)) - (1//36)*(d + e + f + g)*log(1 - x) + (1//144)*(d + 2*e + 4*f + 8*g)*log(2 - x) - (1//36)*(7*d - 13*e + 19*f - 25*g)*log(1 + x) + (1//144)*(31*d - 50*e + 76*f - 104*g)*log(2 + x), x, 3),
+((2 - 3*x + x^2)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, -((d - e + f - g + h)/(6*(1 + x))) - (d - 2*e + 4*f - 8*g + 16*h)/(12*(2 + x)) - (1//36)*(d + e + f + g + h)*log(1 - x) + (1//144)*(d + 2*e + 4*f + 8*g + 16*h)*log(2 - x) - (1//36)*(7*d - 13*e + 19*f - 25*g + 31*h)*log(1 + x) + (1//144)*(31*d - 50*e + 76*f - 104*g + 112*h)*log(2 + x), x, 3),
+((2 - 3*x + x^2)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + i*x^5)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, -((d - e + f - g + h - i)/(6*(1 + x))) - (d - 2*e + 4*f - 8*g + 16*h - 32*i)/(12*(2 + x)) - (1//36)*(d + e + f + g + h + i)*log(1 - x) + (1//144)*(d + 2*e + 4*f + 8*g + 16*h + 32*i)*log(2 - x) - (1//36)*(7*d - 13*e + 19*f - 25*g + 31*h - 37*i)*log(1 + x) + (1//144)*(31*d - 50*e + 76*f - 104*g + 112*h - 32*i)*log(2 + x), x, 3),
+
+((2 + x)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, 1/(12*(1 - x)) + 1/(36*(2 - x)) - 1/(36*(1 + x)) + (1//18)*log(1 - x) - (35//432)*log(2 - x) + (1//54)*log(1 + x) + (1//144)*log(2 + x), x, 3),
+((2 + x)*(d + e*x)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, (d + e)/(12*(1 - x)) + (d + 2*e)/(36*(2 - x)) - (d - e)/(36*(1 + x)) + (1//36)*(2*d + 5*e)*log(1 - x) - (1//432)*(35*d + 58*e)*log(2 - x) + (1//108)*(2*d + e)*log(1 + x) + (1//144)*(d - 2*e)*log(2 + x), x, 3),
+((2 + x)*(d + e*x + f*x^2)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, (d + e + f)/(12*(1 - x)) + (d + 2*e + 4*f)/(36*(2 - x)) - (d - e + f)/(36*(1 + x)) + (1//36)*(2*d + 5*e + 8*f)*log(1 - x) - (1//432)*(35*d + 58*e + 92*f)*log(2 - x) + (1//108)*(2*d + e - 4*f)*log(1 + x) + (1//144)*(d - 2*e + 4*f)*log(2 + x), x, 3),
+((2 + x)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, (d + e + f + g)/(12*(1 - x)) + (d + 2*e + 4*f + 8*g)/(36*(2 - x)) - (d - e + f - g)/(36*(1 + x)) + (1//36)*(2*d + 5*e + 8*f + 11*g)*log(1 - x) - (1//432)*(35*d + 58*e + 92*f + 136*g)*log(2 - x) + (1//108)*(2*d + e - 4*f + 7*g)*log(1 + x) + (1//144)*(d - 2*e + 4*f - 8*g)*log(2 + x), x, 3),
+((2 + x)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, (d + e + f + g + h)/(12*(1 - x)) + (d + 2*e + 4*f + 8*g + 16*h)/(36*(2 - x)) - (d - e + f - g + h)/(36*(1 + x)) + (1//36)*(2*d + 5*e + 8*f + 11*g + 14*h)*log(1 - x) - (1//432)*(35*d + 58*e + 92*f + 136*g + 176*h)*log(2 - x) + (1//108)*(2*d + e - 4*f + 7*g - 10*h)*log(1 + x) + (1//144)*(d - 2*e + 4*f - 8*g + 16*h)*log(2 + x), x, 3),
+((2 + x)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + i*x^5)/(4 - 5*x^2 + x^4)^2, (d + e + f + g + h + i)/(12*(1 - x)) + (d + 2*e + 4*f + 8*g + 16*h + 32*i)/(36*(2 - x)) - (d - e + f - g + h - i)/(36*(1 + x)) + (1//36)*(2*d + 5*e + 8*f + 11*g + 14*h + 17*i)*log(1 - x) - (1//432)*(35*d + 58*e + 92*f + 136*g + 176*h + 160*i)*log(2 - x) + (1//108)*(2*d + e - 4*f + 7*g - 10*h + 13*i)*log(1 + x) + (1//144)*(d - 2*e + 4*f - 8*g + 16*h - 32*i)*log(2 + x), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form Poly(x) (a+b x^2+c x^4)^(p/2)
+
+
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -(((18*b^3*c*d - 144*a*b*c^2*d - 8*b^4*f + 57*a*b^2*c*f - 84*a^2*c^2*f)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(315*c^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2))) - (3*(b^2 - 4*a*c)*(2*c*e - b*g)*(b + 2*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(256*c^3) + (x*(9*b^2*c*d + 90*a*c^2*d - 4*b^3*f + 9*a*b*c*f + 3*c*(9*b*c*d - 4*b^2*f + 14*a*c*f)*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(315*c^2) + ((2*c*e - b*g)*(b + 2*c*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(32*c^2) + (x*(3*(3*c*d + b*f) + 7*c*f*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(63*c) + (g*(a + b*x^2 + c*x^4)^(5//2))/(10*c) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*(2*c*e - b*g)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(512*c^(7//2)) + (a^(1//4)*(18*b^3*c*d - 144*a*b*c^2*d - 8*b^4*f + 57*a*b^2*c*f - 84*a^2*c^2*f)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(315*c^(11//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (a^(1//4)*(18*b^3*c*d - 144*a*b*c^2*d - 8*b^4*f + 57*a*b^2*c*f - 84*a^2*c^2*f + sqrt(a)*sqrt(c)*(9*b^2*c*d - 180*a*c^2*d - 4*b^3*f + 24*a*b*c*f))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(630*c^(11//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 12),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(1//2), ((5*b*c*d - 2*b^2*f + 6*a*c*f)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(15*c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + ((2*c*e - b*g)*(b + 2*c*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(16*c^2) + (x*(5*c*d + b*f + 3*c*f*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(15*c) + (g*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2))/(6*c) - ((b^2 - 4*a*c)*(2*c*e - b*g)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(32*c^(5//2)) - (a^(1//4)*(5*b*c*d - 2*b^2*f + 6*a*c*f)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(15*c^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (a^(1//4)*(b + 2*sqrt(a)*sqrt(c))*(5*c*d - 2*b*f + 3*sqrt(a)*sqrt(c)*f)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(30*c^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 10),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(a + b*x^2 + c*x^4)^(1//2), (g*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(2*c) + (f*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + ((2*c*e - b*g)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*c^(3//2)) - (a^(1//4)*f*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(c^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (a^(1//4)*((sqrt(c)*d)/sqrt(a) + f)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*c^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 8),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (x*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*f + c*(b*d - 2*a*f)*x^2))/(a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (b*e - 2*a*g + (2*c*e - b*g)*x^2)/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (sqrt(c)*(b*d - 2*a*f)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (c^(1//4)*(b*d - 2*a*f)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(a^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((sqrt(c)*d - sqrt(a)*f)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(3//4)*(b - 2*sqrt(a)*sqrt(c))*c^(1//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(a + b*x^2 + c*x^4)^(5//2), (x*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*f + c*(b*d - 2*a*f)*x^2))/(3*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)) - (b*e - 2*a*g + (2*c*e - b*g)*x^2)/(3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2)) + (4*(2*c*e - b*g)*(b + 2*c*x^2))/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (x*(2*b^4*d - 17*a*b^2*c*d + 20*a^2*c^2*d + a*b^3*f + 4*a^2*b*c*f + c*(2*b^3*d - 16*a*b*c*d + a*b^2*f + 12*a^2*c*f)*x^2))/(3*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (sqrt(c)*(2*b^3*d - 16*a*b*c*d + a*b^2*f + 12*a^2*c*f)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (c^(1//4)*(2*b^3*d - 16*a*b*c*d + a*b^2*f + 12*a^2*c*f)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(3*a^(7//4)*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - (c^(1//4)*(2*b^2*d - 3*sqrt(a)*b*sqrt(c)*d - 10*a*c*d + a*b*f + 6*a^(3//2)*sqrt(c)*f)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(6*a^(7//4)*(b - 2*sqrt(a)*sqrt(c))*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((a*g - c*g*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (g*x)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), x, 1),
+((a*g + e*x - c*g*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (g*x)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4) - (e*(b + 2*c*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+((a*g + f*x^3 - c*g*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (g*x)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4) + (f*(2*a + b*x^2))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+((a*g + e*x + f*x^3 - c*g*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (g*x)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4) - (b*e - 2*a*f + (2*c*e - b*f)*x^2)/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+]
+# Total integrals translated: 111
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.6 P(x) (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.6 P(x) (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..3716a6da
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.6 P(x) (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p.jl	
@@ -0,0 +1,266 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form P[x] (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P[x] (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P2[x] x^m (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)*x^2, (1//3)*a*A*x^3 + (1//4)*a*B*x^4 + (1//5)*(A*b + a*C)*x^5 + (1//6)*b*B*x^6 + (1//7)*(A*c + b*C)*x^7 + (1//8)*B*c*x^8 + (1//9)*c*C*x^9, x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)*x^1, (1//2)*a*A*x^2 + (1//3)*a*B*x^3 + (1//4)*(A*b + a*C)*x^4 + (1//5)*b*B*x^5 + (1//6)*(A*c + b*C)*x^6 + (1//7)*B*c*x^7 + (1//8)*c*C*x^8, x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)*x^0, a*A*x + (1//2)*a*B*x^2 + (1//3)*(A*b + a*C)*x^3 + (1//4)*b*B*x^4 + (1//5)*(A*c + b*C)*x^5 + (1//6)*B*c*x^6 + (1//7)*c*C*x^7, x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)/x^1, a*B*x + (1//2)*(A*b + a*C)*x^2 + (1//3)*b*B*x^3 + (1//4)*(A*c + b*C)*x^4 + (1//5)*B*c*x^5 + (1//6)*c*C*x^6 + a*A*log(x), x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)/x^2, -((a*A)/x) + (A*b + a*C)*x + (1//2)*b*B*x^2 + (1//3)*(A*c + b*C)*x^3 + (1//4)*B*c*x^4 + (1//5)*c*C*x^5 + a*B*log(x), x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)/x^3, -((a*A)/(2*x^2)) - (a*B)/x + b*B*x + (1//2)*(A*c + b*C)*x^2 + (1//3)*B*c*x^3 + (1//4)*c*C*x^4 + (A*b + a*C)*log(x), x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)/x^4, -((a*A)/(3*x^3)) - (a*B)/(2*x^2) - (A*b + a*C)/x + (A*c + b*C)*x + (1//2)*B*c*x^2 + (1//3)*c*C*x^3 + b*B*log(x), x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)/x^5, -((a*A)/(4*x^4)) - (a*B)/(3*x^3) - (A*b + a*C)/(2*x^2) - (b*B)/x + B*c*x + (1//2)*c*C*x^2 + (A*c + b*C)*log(x), x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)/x^6, -((a*A)/(5*x^5)) - (a*B)/(4*x^4) - (A*b + a*C)/(3*x^3) - (b*B)/(2*x^2) - (A*c + b*C)/x + c*C*x + B*c*log(x), x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)/x^7, -((a*A)/(6*x^6)) - (a*B)/(5*x^5) - (A*b + a*C)/(4*x^4) - (b*B)/(3*x^3) - (A*c + b*C)/(2*x^2) - (B*c)/x + c*C*log(x), x, 2),
+
+
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2*x^2, (1//3)*a^2*A*x^3 + (1//4)*a^2*B*x^4 + (1//5)*a*(2*A*b + a*C)*x^5 + (1//3)*a*b*B*x^6 + (1//7)*(A*(b^2 + 2*a*c) + 2*a*b*C)*x^7 + (1//8)*B*(b^2 + 2*a*c)*x^8 + (1//9)*(2*A*b*c + (b^2 + 2*a*c)*C)*x^9 + (1//5)*b*B*c*x^10 + (1//11)*c*(A*c + 2*b*C)*x^11 + (1//12)*B*c^2*x^12 + (1//13)*c^2*C*x^13, x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2*x^1, (1//2)*a^2*A*x^2 + (1//3)*a^2*B*x^3 + (1//4)*a*(2*A*b + a*C)*x^4 + (2//5)*a*b*B*x^5 + (1//6)*(A*(b^2 + 2*a*c) + 2*a*b*C)*x^6 + (1//7)*B*(b^2 + 2*a*c)*x^7 + (1//8)*(2*A*b*c + (b^2 + 2*a*c)*C)*x^8 + (2//9)*b*B*c*x^9 + (1//10)*c*(A*c + 2*b*C)*x^10 + (1//11)*B*c^2*x^11 + (1//12)*c^2*C*x^12, x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2*x^0, a^2*A*x + (1//2)*a^2*B*x^2 + (1//3)*a*(2*A*b + a*C)*x^3 + (1//2)*a*b*B*x^4 + (1//5)*(A*(b^2 + 2*a*c) + 2*a*b*C)*x^5 + (1//6)*B*(b^2 + 2*a*c)*x^6 + (1//7)*(2*A*b*c + (b^2 + 2*a*c)*C)*x^7 + (1//4)*b*B*c*x^8 + (1//9)*c*(A*c + 2*b*C)*x^9 + (1//10)*B*c^2*x^10 + (1//11)*c^2*C*x^11, x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^1, a^2*B*x + (1//2)*a*(2*A*b + a*C)*x^2 + (2//3)*a*b*B*x^3 + (1//4)*(A*(b^2 + 2*a*c) + 2*a*b*C)*x^4 + (1//5)*B*(b^2 + 2*a*c)*x^5 + (1//6)*(2*A*b*c + (b^2 + 2*a*c)*C)*x^6 + (2//7)*b*B*c*x^7 + (1//8)*c*(A*c + 2*b*C)*x^8 + (1//9)*B*c^2*x^9 + (1//10)*c^2*C*x^10 + a^2*A*log(x), x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^2, -((a^2*A)/x) + a*(2*A*b + a*C)*x + a*b*B*x^2 + (1//3)*(A*(b^2 + 2*a*c) + 2*a*b*C)*x^3 + (1//4)*B*(b^2 + 2*a*c)*x^4 + (1//5)*(2*A*b*c + (b^2 + 2*a*c)*C)*x^5 + (1//3)*b*B*c*x^6 + (1//7)*c*(A*c + 2*b*C)*x^7 + (1//8)*B*c^2*x^8 + (1//9)*c^2*C*x^9 + a^2*B*log(x), x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^3, -((a^2*A)/(2*x^2)) - (a^2*B)/x + 2*a*b*B*x + (1//2)*(A*(b^2 + 2*a*c) + 2*a*b*C)*x^2 + (1//3)*B*(b^2 + 2*a*c)*x^3 + (1//4)*(2*A*b*c + (b^2 + 2*a*c)*C)*x^4 + (2//5)*b*B*c*x^5 + (1//6)*c*(A*c + 2*b*C)*x^6 + (1//7)*B*c^2*x^7 + (1//8)*c^2*C*x^8 + a*(2*A*b + a*C)*log(x), x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^4, -((a^2*A)/(3*x^3)) - (a^2*B)/(2*x^2) - (a*(2*A*b + a*C))/x + (A*(b^2 + 2*a*c) + 2*a*b*C)*x + (1//2)*B*(b^2 + 2*a*c)*x^2 + (1//3)*(2*A*b*c + (b^2 + 2*a*c)*C)*x^3 + (1//2)*b*B*c*x^4 + (1//5)*c*(A*c + 2*b*C)*x^5 + (1//6)*B*c^2*x^6 + (1//7)*c^2*C*x^7 + 2*a*b*B*log(x), x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^5, -((a^2*A)/(4*x^4)) - (a^2*B)/(3*x^3) - (a*(2*A*b + a*C))/(2*x^2) - (2*a*b*B)/x + B*(b^2 + 2*a*c)*x + (1//2)*(2*A*b*c + (b^2 + 2*a*c)*C)*x^2 + (2//3)*b*B*c*x^3 + (1//4)*c*(A*c + 2*b*C)*x^4 + (1//5)*B*c^2*x^5 + (1//6)*c^2*C*x^6 + (A*(b^2 + 2*a*c) + 2*a*b*C)*log(x), x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^6, -((a^2*A)/(5*x^5)) - (a^2*B)/(4*x^4) - (a*(2*A*b + a*C))/(3*x^3) - (a*b*B)/x^2 - (A*(b^2 + 2*a*c) + 2*a*b*C)/x + (2*A*b*c + (b^2 + 2*a*c)*C)*x + b*B*c*x^2 + (1//3)*c*(A*c + 2*b*C)*x^3 + (1//4)*B*c^2*x^4 + (1//5)*c^2*C*x^5 + B*(b^2 + 2*a*c)*log(x), x, 2),
+((A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2/x^7, -((a^2*A)/(6*x^6)) - (a^2*B)/(5*x^5) - (a*(2*A*b + a*C))/(4*x^4) - (2*a*b*B)/(3*x^3) - (A*(b^2 + 2*a*c) + 2*a*b*C)/(2*x^2) - (B*(b^2 + 2*a*c))/x + 2*b*B*c*x + (1//2)*c*(A*c + 2*b*C)*x^2 + (1//3)*B*c^2*x^3 + (1//4)*c^2*C*x^4 + (2*A*b*c + (b^2 + 2*a*c)*C)*log(x), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((A*c - b*C)*x)/c^2 + (B*x^2)/(2*c) + (C*x^3)/(3*c) - ((A*b*c - b^2*C + a*c*C - (A*c*(b^2 - 2*a*c) - b*(b^2 - 3*a*c)*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((A*b*c - b^2*C + a*c*C + (A*c*(b^2 - 2*a*c) - b*(b^2 - 3*a*c)*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (B*(b^2 - 2*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (b*B*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^2), x, 13),
+(x^3*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), (B*x)/c + (C*x^2)/(2*c) - (B*(b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (B*(b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((A*b*c - b^2*C + 2*a*c*C)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((A*c - b*C)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^2), x, 12),
+(x^2*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), (C*x)/c + ((A*c - b*C - (A*b*c - (b^2 - 2*a*c)*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((A*c - b*C + (A*b*c - b^2*C + 2*a*c*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (b*B*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (B*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c), x, 11),
+(x^1*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), -((B*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (B*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((2*A*c - b*C)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (C*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c), x, 10),
+(x^0*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((C + (2*A*c - b*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((C - (2*A*c - b*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (B*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/sqrt(b^2 - 4*a*c), x, 8),
+((A + B*x + C*x^2)/(x^1*(a + b*x^2 + c*x^4)), (sqrt(2)*B*sqrt(c)*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(2)*B*sqrt(c)*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((A*b - 2*a*C)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (A*log(x))/a - (A*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a), x, 12),
+((A + B*x + C*x^2)/(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(A/(a*x)) - (sqrt(c)*(A + (A*b - 2*a*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(A - (A*b - 2*a*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (b*B*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (B*log(x))/a - (B*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a), x, 13),
+((A + B*x + C*x^2)/(x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(A/(2*a*x^2)) - B/(a*x) - (B*sqrt(c)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (B*sqrt(c)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((A*(b^2 - 2*a*c) - a*b*C)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((A*b - a*C)*log(x))/a^2 + ((A*b - a*C)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^2), x, 13),
+
+
+(x^4*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, ((2*A*c - b*C)*x)/(2*c*(b^2 - 4*a*c)) + (B*x^2*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (x^3*(A*b - 2*a*C + (2*A*c - b*C)*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((A*b*c + (b^2 - 6*a*c)*C - (A*c*(b^2 + 4*a*c) + b*(b^2 - 8*a*c)*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((A*b*c + (b^2 - 6*a*c)*C + (A*c*(b^2 + 4*a*c) + b*(b^2 - 8*a*c)*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (2*a*B*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 11),
+(x^3*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (B*x*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (a*(2*A*c - b*C) + (A*b*c - b^2*C + 2*a*c*C)*x^2)/(2*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (B*(b - (b^2 + 4*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (B*(b^2 + 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((A*b - 2*a*C)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 10),
+(x^2*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (B*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (x*(A*b - 2*a*C + (2*A*c - b*C)*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((2*A*c - b*C - (4*A*b*c - (b^2 + 4*a*c)*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((2*A*c - b*C + (4*A*b*c - (b^2 + 4*a*c)*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (b*B*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 10),
+(x^1*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((B*x*(b + 2*c*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4))) - (A*b - 2*a*C + (2*A*c - b*C)*x^2)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (B*sqrt(c)*(2*b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (B*sqrt(c)*(2*b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((2*A*c - b*C)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 10),
+(x^0*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((B*(b + 2*c*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4))) + (x*(A*b^2 - 2*a*A*c - a*b*C + c*(A*b - 2*a*C)*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(c)*(A*b - 2*a*C + (A*(b^2 - 12*a*c) + 4*a*b*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(A*b - 2*a*C - (A*b^2 - 12*a*A*c + 4*a*b*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (2*B*c*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 10),
+((A + B*x + C*x^2)/(x^1*(a + b*x^2 + c*x^4)^2), (B*x*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (A*(b^2 - 2*a*c) - a*b*C + c*(A*b - 2*a*C)*x^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (B*sqrt(c)*(b^2 - 12*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (B*sqrt(c)*(b^2 - 12*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((A*(b^3 - 6*a*b*c) + 4*a^2*c*C)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + (A*log(x))/a^2 - (A*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^2), x, 14),
+((A + B*x + C*x^2)/(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)^2), -((3*A*b^2 - 10*a*A*c - a*b*C)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x)) + (B*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (A*(b^2 - 2*a*c) - a*b*C + c*(A*b - 2*a*C)*x^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*x*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (sqrt(c)*(A*(3*b^3 - 16*a*b*c + 3*b^2*sqrt(b^2 - 4*a*c) - 10*a*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - a*(b^2 - 12*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*C)*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(3*A*b^2 - 10*a*A*c - a*b*C - (A*(3*b^3 - 16*a*b*c) - a*(b^2 - 12*a*c)*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (b*B*(b^2 - 6*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + (B*log(x))/a^2 - (B*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^2), x, 15),
+((A + B*x + C*x^2)/(x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)^2), -((2*A*b^2 - 6*a*A*c - a*b*C)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^2)) - (B*(3*b^2 - 10*a*c))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x) + (B*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*x*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (A*(b^2 - 2*a*c) - a*b*C + c*(A*b - 2*a*C)*x^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (B*sqrt(c)*(3*b^3 - 16*a*b*c + (3*b^2 - 10*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (B*sqrt(c)*(3*b^3 - 16*a*b*c - (3*b^2 - 10*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((2*A*(b^4 - 6*a*b^2*c + 6*a^2*c^2) - a*b*(b^2 - 6*a*c)*C)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) - ((2*A*b - a*C)*log(x))/a^3 + ((2*A*b - a*C)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^3), x, 15),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form P2[x] x^m (a+b x^2+c x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P2[x] (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p when m symbolic
+
+
+((d*x)^m*(A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^3, (a^3*A*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (a^3*B*(d*x)^(2 + m))/(d^2*(2 + m)) + (a^2*(3*A*b + a*C)*(d*x)^(3 + m))/(d^3*(3 + m)) + (3*a^2*b*B*(d*x)^(4 + m))/(d^4*(4 + m)) + (3*a*(A*(b^2 + a*c) + a*b*C)*(d*x)^(5 + m))/(d^5*(5 + m)) + (3*a*B*(b^2 + a*c)*(d*x)^(6 + m))/(d^6*(6 + m)) + ((A*(b^3 + 6*a*b*c) + 3*a*(b^2 + a*c)*C)*(d*x)^(7 + m))/(d^7*(7 + m)) + (b*B*(b^2 + 6*a*c)*(d*x)^(8 + m))/(d^8*(8 + m)) + ((3*A*c*(b^2 + a*c) + b*(b^2 + 6*a*c)*C)*(d*x)^(9 + m))/(d^9*(9 + m)) + (3*B*c*(b^2 + a*c)*(d*x)^(10 + m))/(d^10*(10 + m)) + (3*c*(A*b*c + (b^2 + a*c)*C)*(d*x)^(11 + m))/(d^11*(11 + m)) + (3*b*B*c^2*(d*x)^(12 + m))/(d^12*(12 + m)) + (c^2*(A*c + 3*b*C)*(d*x)^(13 + m))/(d^13*(13 + m)) + (B*c^3*(d*x)^(14 + m))/(d^14*(14 + m)) + (c^3*C*(d*x)^(15 + m))/(d^15*(15 + m)), x, 2),
+((d*x)^m*(A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (a^2*A*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (a^2*B*(d*x)^(2 + m))/(d^2*(2 + m)) + (a*(2*A*b + a*C)*(d*x)^(3 + m))/(d^3*(3 + m)) + (2*a*b*B*(d*x)^(4 + m))/(d^4*(4 + m)) + ((A*(b^2 + 2*a*c) + 2*a*b*C)*(d*x)^(5 + m))/(d^5*(5 + m)) + (B*(b^2 + 2*a*c)*(d*x)^(6 + m))/(d^6*(6 + m)) + ((2*A*b*c + (b^2 + 2*a*c)*C)*(d*x)^(7 + m))/(d^7*(7 + m)) + (2*b*B*c*(d*x)^(8 + m))/(d^8*(8 + m)) + (c*(A*c + 2*b*C)*(d*x)^(9 + m))/(d^9*(9 + m)) + (B*c^2*(d*x)^(10 + m))/(d^10*(10 + m)) + (c^2*C*(d*x)^(11 + m))/(d^11*(11 + m)), x, 2),
+((d*x)^m*(A + B*x + C*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^1, (a*A*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (a*B*(d*x)^(2 + m))/(d^2*(2 + m)) + ((A*b + a*C)*(d*x)^(3 + m))/(d^3*(3 + m)) + (b*B*(d*x)^(4 + m))/(d^4*(4 + m)) + ((A*c + b*C)*(d*x)^(5 + m))/(d^5*(5 + m)) + (B*c*(d*x)^(6 + m))/(d^6*(6 + m)) + (c*C*(d*x)^(7 + m))/(d^7*(7 + m)), x, 2),
+((d*x)^m*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^1, ((C + (2*A*c - b*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*(1 + m)) + ((C - (2*A*c - b*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*(1 + m)) + (2*B*c*(d*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2*(2 + m)) - (2*B*c*(d*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2*(2 + m)), x, 8),
+((d*x)^m*(A + B*x + C*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (B*(d*x)^(2 + m)*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*d^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((d*x)^(1 + m)*(A*(b^2 - 2*a*c) - a*b*C + c*(A*b - 2*a*C)*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*d*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (c*(2*a*C*(2*b - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 - m)) + A*(b^2*(1 - m) + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 - m) - 4*a*c*(3 - m)))*(d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*(1 + m)) - (c*(2*a*C*(2*b + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 - m)) + A*(b^2*(1 - m) - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 - m) - 4*a*c*(3 - m)))*(d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*(1 + m)) - (B*c*(4*a*c*(2 - m) + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*m)*(d*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2*(2 + m)) + (B*c*(4*a*c*(2 - m) + b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*m)*(d*x)^(2 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d^2*(2 + m)), x, 10),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P[x] x^m (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# Note: The following integrands are equal.
+(x^2*(A*x^0 + B*x^1 + C*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (B*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (x*(A*b - 2*a*C + (2*A*c - b*C)*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((2*A*c - b*C - (4*A*b*c - (b^2 + 4*a*c)*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((2*A*c - b*C + (4*A*b*c - (b^2 + 4*a*c)*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (b*B*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 10),
+(x^1*(A*x^1 + B*x^2 + C*x^3)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (B*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (x*(A*b - 2*a*C + (2*A*c - b*C)*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((2*A*c - b*C - (4*A*b*c - (b^2 + 4*a*c)*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((2*A*c - b*C + (4*A*b*c - (b^2 + 4*a*c)*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (b*B*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 11),
+(x^0*(A*x^2 + B*x^3 + C*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (B*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (x*(A*b - 2*a*C + (2*A*c - b*C)*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((2*A*c - b*C - (4*A*b*c - (b^2 + 4*a*c)*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((2*A*c - b*C + (4*A*b*c - (b^2 + 4*a*c)*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (b*B*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 11),
+((A*x^3 + B*x^4 + C*x^5)/(x^1*(a + b*x^2 + c*x^4)^2), (B*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (x*(A*b - 2*a*C + (2*A*c - b*C)*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((2*A*c - b*C - (4*A*b*c - (b^2 + 4*a*c)*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((2*A*c - b*C + (4*A*b*c - (b^2 + 4*a*c)*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (b*B*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 11),
+((A*x^4 + B*x^5 + C*x^6)/(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)^2), (B*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (x*(A*b - 2*a*C + (2*A*c - b*C)*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((2*A*c - b*C - (4*A*b*c - (b^2 + 4*a*c)*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((2*A*c - b*C + (4*A*b*c - (b^2 + 4*a*c)*C)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (b*B*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 11),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P[x^2] (d x)^m (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P2[x^2] x^m (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^7*(d + e*x^2 + f*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((b^2*c*e - a*c^2*e - b^3*f - b*c*(c*d - 2*a*f))*x^2)/(2*c^4) + ((c^2*d + b^2*f - c*(b*e + a*f))*x^4)/(4*c^3) + ((c*e - b*f)*x^6)/(6*c^2) + (f*x^8)/(8*c) - ((b^4*c*e - 4*a*b^2*c^2*e + 2*a^2*c^3*e - b^5*f - b^3*c*(c*d - 5*a*f) + a*b*c^2*(3*c*d - 5*a*f))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^5*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((b^3*c*e - 2*a*b*c^2*e - b^4*f - b^2*c*(c*d - 3*a*f) + a*c^2*(c*d - a*f))*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^5), x, 7),
+(x^5*(d + e*x^2 + f*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((c^2*d + b^2*f - c*(b*e + a*f))*x^2)/(2*c^3) + ((c*e - b*f)*x^4)/(4*c^2) + (f*x^6)/(6*c) + ((b^3*c*e - 3*a*b*c^2*e - b^4*f - b^2*c*(c*d - 4*a*f) + 2*a*c^2*(c*d - a*f))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^4*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((b^2*c*e - a*c^2*e - b^3*f - b*c*(c*d - 2*a*f))*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^4), x, 7),
+(x^3*(d + e*x^2 + f*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((c*e - b*f)*x^2)/(2*c^2) + (f*x^4)/(4*c) - ((b^2*c*e - 2*a*c^2*e - b^3*f - b*c*(c*d - 3*a*f))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((c^2*d + b^2*f - c*(b*e + a*f))*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^3), x, 7),
+(x^1*(d + e*x^2 + f*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4), (f*x^2)/(2*c) - ((2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((c*e - b*f)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^2), x, 7),
+((d + e*x^2 + f*x^4)/(x^1*(a + b*x^2 + c*x^4)), ((b*c*d - 2*a*c*e + a*b*f)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (d*log(x))/a - ((c*d - a*f)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a*c), x, 7),
+((d + e*x^2 + f*x^4)/(x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(d/(2*a*x^2)) - ((b^2*d - a*b*e - 2*a*(c*d - a*f))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((b*d - a*e)*log(x))/a^2 + ((b*d - a*e)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^2), x, 7),
+((d + e*x^2 + f*x^4)/(x^5*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(d/(4*a*x^4)) + (b*d - a*e)/(2*a^2*x^2) + ((b^3*d - a*b^2*e + 2*a^2*c*e - a*b*(3*c*d - a*f))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((b^2*d - a*b*e - a*(c*d - a*f))*log(x))/a^3 - ((b^2*d - a*b*e - a*(c*d - a*f))*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^3), x, 7),
+((d + e*x^2 + f*x^4)/(x^7*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(d/(6*a*x^6)) + (b*d - a*e)/(4*a^2*x^4) - (b^2*d - a*b*e - a*(c*d - a*f))/(2*a^3*x^2) - ((b^4*d - a*b^3*e + 3*a^2*b*c*e + 2*a^2*c*(c*d - a*f) - a*b^2*(4*c*d - a*f))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^4*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((b^3*d - a*b^2*e + a^2*c*e - a*b*(2*c*d - a*f))*log(x))/a^4 + ((b^3*d - a*b^2*e + a^2*c*e - a*b*(2*c*d - a*f))*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^4), x, 7),
+
+(x^4*(d + e*x^2 + f*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((c^2*d + b^2*f - c*(b*e + a*f))*x)/c^3 + ((c*e - b*f)*x^3)/(3*c^2) + (f*x^5)/(5*c) + ((b^2*c*e - a*c^2*e - b^3*f - b*c*(c*d - 2*a*f) - (b^3*c*e - 3*a*b*c^2*e - b^4*f - b^2*c*(c*d - 4*a*f) + 2*a*c^2*(c*d - a*f))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(7//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b^2*c*e - a*c^2*e - b^3*f - b*c*(c*d - 2*a*f) + (b^3*c*e - 3*a*b*c^2*e - b^4*f - b^2*c*(c*d - 4*a*f) + 2*a*c^2*(c*d - a*f))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(7//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^2*(d + e*x^2 + f*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((c*e - b*f)*x)/c^2 + (f*x^3)/(3*c) + ((c^2*d - b*c*e + b^2*f - a*c*f + (b^2*c*e - 2*a*c^2*e - b^3*f - b*c*(c*d - 3*a*f))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((c^2*d - b*c*e + b^2*f - a*c*f - (b^2*c*e - 2*a*c^2*e - b^3*f - b*c*(c*d - 3*a*f))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^0*(d + e*x^2 + f*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4), (f*x)/c + ((c*e - b*f + (2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((c*e - b*f - (2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+((d + e*x^2 + f*x^4)/(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(d/(a*x)) - ((c*d - a*f + (b*c*d - 2*a*c*e + a*b*f)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((c*d - a*f - (b*c*d - 2*a*c*e + a*b*f)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+((d + e*x^2 + f*x^4)/(x^4*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(d/(3*a*x^3)) + (b*d - a*e)/(a^2*x) + (sqrt(c)*(b*d - a*e + (b^2*d - a*b*e - 2*a*(c*d - a*f))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(b^2*d - b*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e) - a*(2*c*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*e - 2*a*f))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+((d + e*x^2 + f*x^4)/(x^6*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(d/(5*a*x^5)) + (b*d - a*e)/(3*a^2*x^3) - (b^2*d - a*b*e - a*(c*d - a*f))/(a^3*x) - (sqrt(c)*(b^2*d - a*b*e - a*(c*d - a*f) + (b^3*d - a*b^2*e + 2*a^2*c*e - a*b*(3*c*d - a*f))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^3*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(b^2*d - a*b*e - a*(c*d - a*f) - (b^3*d - a*b^2*e + 2*a^2*c*e - a*b*(3*c*d - a*f))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^3*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+
+
+(x^7*(d + e*x^2 + f*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, ((2*b^2*c*e - 6*a*c^2*e - 3*b^3*f - b*c*(c*d - 11*a*f))*x^2)/(2*c^3*(b^2 - 4*a*c)) + ((4*c^2*d + 3*b^2*f - 2*c*(b*e + 4*a*f))*x^4)/(4*c^2*(b^2 - 4*a*c)) + (x^6*(2*a*c*e - b*(c*d + a*f) - (2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*x^2))/(2*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((2*b^4*c*e - 12*a*b^2*c^2*e + 12*a^2*c^3*e - 3*b^5*f - b^3*c*(c*d - 20*a*f) + 6*a*b*c^2*(c*d - 5*a*f))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^4*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + ((c^2*d + 3*b^2*f - 2*c*(b*e + a*f))*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^4), x, 8),
+(x^5*(d + e*x^2 + f*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, ((2*c^2*d + 2*b^2*f - c*(b*e + 6*a*f))*x^2)/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)) + (x^4*(2*a*c*e - b*(c*d + a*f) - (2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*x^2))/(2*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((12*a^2*c^2*f - b^3*(c*e - 2*b*f) - 2*a*c*(2*c^2*d - 3*b*c*e + 6*b^2*f))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + ((c*e - 2*b*f)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^3), x, 7),
+(x^3*(d + e*x^2 + f*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (x^2*(2*a*c*e - b*(c*d + a*f) - (2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*x^2))/(2*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((4*a*c^2*e + b^3*f - 2*b*c*(c*d + 3*a*f))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + (f*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^2), x, 6),
+(x^1*(d + e*x^2 + f*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (2*a*c*e - b*(c*d + a*f) - (2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*x^2)/(2*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((2*c*d - b*e + 2*a*f)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 5),
+((d + e*x^2 + f*x^4)/(x^1*(a + b*x^2 + c*x^4)^2), (b^2*d - a*b*e - 2*a*(c*d - a*f) + (b*c*d - 2*a*c*e + a*b*f)*x^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b^3*d + 4*a^2*c*e - 2*a*b*(3*c*d + a*f))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + (d*log(x))/a^2 - (d*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^2), x, 8),
+((d + e*x^2 + f*x^4)/(x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)^2), -(d/(2*a^2*x^2)) - (b^3*d - a*b^2*e + 2*a^2*c*e - a*b*(3*c*d - a*f) + c*(b^2*d - a*b*e - 2*a*(c*d - a*f))*x^2)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((2*b^4*d - 12*a*b^2*c*d - a*b^3*e + 6*a^2*b*c*e + 4*a^2*c*(3*c*d - a*f))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) - ((2*b*d - a*e)*log(x))/a^3 + ((2*b*d - a*e)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^3), x, 8),
+((d + e*x^2 + f*x^4)/(x^5*(a + b*x^2 + c*x^4)^2), -(d/(4*a^2*x^4)) + (2*b*d - a*e)/(2*a^3*x^2) + (b^4*d - a*b^3*e + 3*a^2*b*c*e + 2*a^2*c*(c*d - a*f) - a*b^2*(4*c*d - a*f) + c*(b^3*d - a*b^2*e + 2*a^2*c*e - a*b*(3*c*d - a*f))*x^2)/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((3*b^5*d - 2*a*b^4*e + 12*a^2*b^2*c*e - 12*a^3*c^2*e + 6*a^2*b*c*(5*c*d - a*f) - a*b^3*(20*c*d - a*f))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^4*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + ((3*b^2*d - 2*a*b*e - a*(2*c*d - a*f))*log(x))/a^4 - ((3*b^2*d - 2*a*b*e - a*(2*c*d - a*f))*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^4), x, 8),
+
+(x^6*(d + e*x^2 + f*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, ((c*e - 2*b*f)*x)/c^3 + (f*x^3)/(3*c^2) + (x*(a*(b^2*c*e - 2*a*c^2*e - b^3*f - b*c*(c*d - 3*a*f)) + (b^3*c*e - 3*a*b*c^2*e - b^4*f - b^2*c*(c*d - 4*a*f) + 2*a*c^2*(c*d - a*f))*x^2))/(2*c^3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((3*b^3*c*e - 13*a*b*c^2*e - 5*b^4*f - b^2*c*(c*d - 24*a*f) + 2*a*c^2*(3*c*d - 7*a*f) - (3*b^4*c*e - 19*a*b^2*c^2*e + 20*a^2*c^3*e - 5*b^5*f - b^3*c*(c*d - 34*a*f) + 4*a*b*c^2*(2*c*d - 13*a*f))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(7//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((3*b^3*c*e - 13*a*b*c^2*e - 5*b^4*f - b^2*c*(c*d - 24*a*f) + 2*a*c^2*(3*c*d - 7*a*f) + (3*b^4*c*e - 19*a*b^2*c^2*e + 20*a^2*c^3*e - 5*b^5*f - b^3*c*(c*d - 34*a*f) + 4*a*b*c^2*(2*c*d - 13*a*f))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(7//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+(x^4*(d + e*x^2 + f*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (f*x)/c^2 + (x*(a*(2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f) - (b^2*c*e - 2*a*c^2*e - b^3*f - b*c*(c*d - 3*a*f))*x^2))/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b^2*c*e - 6*a*c^2*e - 3*b^3*f + b*c*(c*d + 13*a*f) - (b^3*c*e - 8*a*b*c^2*e - 3*b^4*f + 4*a*c^2*(c*d - 5*a*f) + b^2*c*(c*d + 19*a*f))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b^2*c*e - 6*a*c^2*e - 3*b^3*f + b*c*(c*d + 13*a*f) + (b^3*c*e - 8*a*b*c^2*e - 3*b^4*f + 4*a*c^2*(c*d - 5*a*f) + b^2*c*(c*d + 19*a*f))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+(x^2*(d + e*x^2 + f*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -((x*(b*c*d - 2*a*c*e + a*b*f + (2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f)*x^2))/(2*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4))) - ((2*c*d - b*e + 6*a*f - (b^2*f)/c + (b^2*c*e + 4*a*c^2*e + b^3*f - 4*b*c*(c*d + 2*a*f))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((2*c*d - b*e + 6*a*f - (b^2*f)/c - (b^2*c*e + 4*a*c^2*e + b^3*f - 4*b*c*(c*d + 2*a*f))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+(x^0*(d + e*x^2 + f*x^4)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (x*(b^2*d - a*b*e - 2*a*(c*d - a*f) + (b*c*d - 2*a*c*e + a*b*f)*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b*c*d - 2*a*c*e + a*b*f + (4*a*b*c*e + b^2*(c*d - a*f) - 4*a*c*(3*c*d + a*f))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b*c*d - 2*a*c*e + a*b*f - (4*a*b*c*e + b^2*(c*d - a*f) - 4*a*c*(3*c*d + a*f))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+((d + e*x^2 + f*x^4)/(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)^2), -(d/(a^2*x)) - (x*(a*((b^3*d)/a - b*(3*c*d + b*e) + a*(2*c*e + b*f)) + c*(b^2*d - a*b*e - 2*a*(c*d - a*f))*x^2))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (sqrt(c)*(3*b^2*d - a*b*e - 2*a*(5*c*d - a*f) + (3*b^3*d - a*b^2*e + 12*a^2*c*e - 4*a*b*(4*c*d + a*f))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(3*b^2*d - a*b*e - 2*a*(5*c*d - a*f) - (3*b^3*d - a*b^2*e + 12*a^2*c*e - 4*a*b*(4*c*d + a*f))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+((d + e*x^2 + f*x^4)/(x^4*(a + b*x^2 + c*x^4)^2), -(d/(3*a^2*x^3)) + (2*b*d - a*e)/(a^3*x) + (x*(a^2*((b^4*d)/a^2 + 2*c^2*d + 3*b*c*e - (b^2*(4*c*d + b*e))/a + b^2*f - 2*a*c*f) + c*(b^3*d - a*b^2*e + 2*a^2*c*e - a*b*(3*c*d - a*f))*x^2))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(c)*(5*b^4*d + b^3*(5*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 3*a*e) + 2*a^2*c*(14*c*d + 5*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e - 6*a*f) - a*b^2*(29*c*d + 3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e - a*f) - a*b*(19*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d - 16*a*c*e - a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*f))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(5*b^4*d - b^3*(5*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 3*a*e) + 2*a^2*c*(14*c*d - 5*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e - 6*a*f) - a*b^2*(29*c*d - 3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e - a*f) + a*b*(19*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 16*a*c*e - a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*f))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P3[x^2] x^m (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^9*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^2, (-(1//2))*(293*x^2) + (49*x^4)/2 - (9*x^6)/2 + (5*x^8)/8 + (414 + 415*x^2)/(2*(2 + 3*x^2 + x^4)) + 2*log(1 + x^2) + 392*log(2 + x^2), x, 7),
+(x^7*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^2, 49*x^2 - (27*x^4)/4 + (5*x^6)/6 - (206 + 207*x^2)/(2*(2 + 3*x^2 + x^4)) - (5//2)*log(1 + x^2) - 144*log(2 + x^2), x, 7),
+(x^5*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^2, -((27*x^2)/2) + (5*x^4)/4 + (102 + 103*x^2)/(2*(2 + 3*x^2 + x^4)) + 3*log(1 + x^2) + 46*log(2 + x^2), x, 7),
+(x^3*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^2, (5*x^2)/2 - (50 + 51*x^2)/(2*(2 + 3*x^2 + x^4)) - (7//2)*log(1 + x^2) - 10*log(2 + x^2), x, 7),
+(x^1*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^2, (24 + 25*x^2)/(2*(2 + 3*x^2 + x^4)) + 4*log(1 + x^2) - (3//2)*log(2 + x^2), x, 5),
+(1/x^1*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^2, -((11 + 12*x^2)/(2*(2 + 3*x^2 + x^4))) + log(x) - (9//2)*log(1 + x^2) + 4*log(2 + x^2), x, 4),
+(1/x^3*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^2, -(1/(2*x^2)) + (9 + 11*x^2)/(4*(2 + 3*x^2 + x^4)) - (11*log(x))/4 + 5*log(1 + x^2) - (29//8)*log(2 + x^2), x, 4),
+(1/x^5*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^2, -(1/(4*x^4)) + 11/(8*x^2) - (5 + 9*x^2)/(8*(2 + 3*x^2 + x^4)) + (23*log(x))/4 - (11//2)*log(1 + x^2) + (21//8)*log(2 + x^2), x, 4),
+
+(x^8*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^2, -293*x + (98*x^3)/3 - (27*x^5)/5 + (5*x^7)/7 - (x*(206 + 207*x^2))/(2*(2 + 3*x^2 + x^4)) + (9*atan(x))/2 + 340*sqrt(2)*atan(x/sqrt(2)), x, 6),
+(x^6*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^2, 98*x - 9*x^3 + x^5 + (x*(102 + 103*x^2))/(2*(2 + 3*x^2 + x^4)) - (11*atan(x))/2 - 118*sqrt(2)*atan(x/sqrt(2)), x, 6),
+(x^4*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^2, -27*x + (5*x^3)/3 - (x*(50 + 51*x^2))/(2*(2 + 3*x^2 + x^4)) + (13*atan(x))/2 + 33*sqrt(2)*atan(x/sqrt(2)), x, 6),
+(x^2*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^2, 5*x + (x*(24 + 25*x^2))/(2*(2 + 3*x^2 + x^4)) - (15*atan(x))/2 - (7*atan(x/sqrt(2)))/sqrt(2), x, 6),
+(x^0*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^2, -((x*(11 + 12*x^2))/(2*(2 + 3*x^2 + x^4))) + (17*atan(x))/2 - (19*atan(x/sqrt(2)))/(2*sqrt(2)), x, 4),
+(1/x^2*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^2, -(1/x) + (x*(9 + 11*x^2))/(4*(2 + 3*x^2 + x^4)) - (19*atan(x))/2 + (45*atan(x/sqrt(2)))/(4*sqrt(2)), x, 5),
+(1/x^4*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^2, -(1/(3*x^3)) + 11/(4*x) - (x*(5 + 9*x^2))/(8*(2 + 3*x^2 + x^4)) + (21*atan(x))/2 - (71*atan(x/sqrt(2)))/(8*sqrt(2)), x, 5),
+(1/x^6*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^2, -(1/(5*x^5)) + 11/(12*x^3) - 23/(4*x) - (x*(3 - 5*x^2))/(16*(2 + 3*x^2 + x^4)) - (23*atan(x))/2 + (97*atan(x/sqrt(2)))/(16*sqrt(2)), x, 5),
+(1/x^8*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^2, -(1/(7*x^7)) + 11/(20*x^5) - 23/(12*x^3) + 137/(16*x) + (x*(19 + 3*x^2))/(32*(2 + 3*x^2 + x^4)) + (25*atan(x))/2 - (123*atan(x/sqrt(2)))/(32*sqrt(2)), x, 5),
+
+
+(x^10*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^3, 214*x - 14*x^3 + x^5 + (x*(414 + 415*x^2))/(4*(2 + 3*x^2 + x^4)^2) + (x*(824 + 1669*x^2))/(8*(2 + 3*x^2 + x^4)) + (477*atan(x))/8 - 351*sqrt(2)*atan(x/sqrt(2)), x, 7),
+(x^8*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^3, -42*x + (5*x^3)/3 - (x*(206 + 207*x^2))/(4*(2 + 3*x^2 + x^4)^2) + (x*(24 - 409*x^2))/(8*(2 + 3*x^2 + x^4)) - (449*atan(x))/8 + (219*atan(x/sqrt(2)))/sqrt(2), x, 7),
+(x^6*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^3, 5*x + (x*(102 + 103*x^2))/(4*(2 + 3*x^2 + x^4)^2) - (x*(244 + 15*x^2))/(8*(2 + 3*x^2 + x^4)) + (413*atan(x))/8 - (191*atan(x/sqrt(2)))/(2*sqrt(2)), x, 7),
+(x^4*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^3, -((x*(50 + 51*x^2))/(4*(2 + 3*x^2 + x^4)^2)) + (x*(254 + 125*x^2))/(8*(2 + 3*x^2 + x^4)) - (369*atan(x))/8 + (267*atan(x/sqrt(2)))/(4*sqrt(2)), x, 5),
+(x^2*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^3, (x*(24 + 25*x^2))/(4*(2 + 3*x^2 + x^4)^2) - (x*(211 + 130*x^2))/(8*(2 + 3*x^2 + x^4)) + (317*atan(x))/8 - (447*atan(x/sqrt(2)))/(8*sqrt(2)), x, 5),
+(x^0*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^3, -((x*(11 + 12*x^2))/(4*(2 + 3*x^2 + x^4)^2)) + (x*(335 + 217*x^2))/(16*(2 + 3*x^2 + x^4)) - (257*atan(x))/8 + (731*atan(x/sqrt(2)))/(16*sqrt(2)), x, 5),
+(1/x^2*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^3, -(1/(2*x)) + (x*(9 + 11*x^2))/(8*(2 + 3*x^2 + x^4)^2) - (x*(547 + 347*x^2))/(32*(2 + 3*x^2 + x^4)) + (189*atan(x))/8 - (1119*atan(x/sqrt(2)))/(32*sqrt(2)), x, 6),
+(1/x^4*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^3, -(1/(6*x^3)) + 17/(8*x) - (x*(5 + 9*x^2))/(16*(2 + 3*x^2 + x^4)^2) + (x*(951 + 571*x^2))/(64*(2 + 3*x^2 + x^4)) - (113*atan(x))/8 + (1611*atan(x/sqrt(2)))/(64*sqrt(2)), x, 6),
+(1/x^6*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(2 + 3*x^2 + x^4)^3, -(1/(10*x^5)) + 17/(24*x^3) - 93/(16*x) - (x*(3 - 5*x^2))/(32*(2 + 3*x^2 + x^4)^2) - (x*(1771 + 999*x^2))/(128*(2 + 3*x^2 + x^4)) + (29*atan(x))/8 - (2207*atan(x/sqrt(2)))/(128*sqrt(2)), x, 6),
+
+
+(x^9*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, 19*x^2 + (19*x^4)/4 - (17*x^6)/6 + (5*x^8)/8 - (25*(15 + 7*x^2))/(8*(3 + 2*x^2 + x^4)) + (201*atan((1 + x^2)/sqrt(2)))/(8*sqrt(2)) - (183//4)*log(3 + 2*x^2 + x^4), x, 8),
+(x^7*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, (19*x^2)/2 - (17*x^4)/4 + (5*x^6)/6 + (25*(3 + 5*x^2))/(8*(3 + 2*x^2 + x^4)) - (455*atan((1 + x^2)/sqrt(2)))/(8*sqrt(2)) + (19//2)*log(3 + 2*x^2 + x^4), x, 8),
+(x^5*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, -((17*x^2)/2) + (5*x^4)/4 + (25*(3 - x^2))/(8*(3 + 2*x^2 + x^4)) + (203*atan((1 + x^2)/sqrt(2)))/(8*sqrt(2)) + (19//4)*log(3 + 2*x^2 + x^4), x, 8),
+(x^3*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, (5*x^2)/2 - (25*(3 + x^2))/(8*(3 + 2*x^2 + x^4)) - (17*atan((1 + x^2)/sqrt(2)))/(8*sqrt(2)) - (17//4)*log(3 + 2*x^2 + x^4), x, 8),
+(x^1*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, (25*(1 + x^2))/(8*(3 + 2*x^2 + x^4)) - (23*atan((1 + x^2)/sqrt(2)))/(8*sqrt(2)) + (5//4)*log(3 + 2*x^2 + x^4), x, 6),
+(1/x^1*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, (25*(1 - x^2))/(24*(3 + 2*x^2 + x^4)) + (89*atan((1 + x^2)/sqrt(2)))/(72*sqrt(2)) + (4*log(x))/9 - (1//9)*log(3 + 2*x^2 + x^4), x, 8),
+(1/x^3*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, -(2/(9*x^2)) - (25*(5 + x^2))/(72*(3 + 2*x^2 + x^4)) - (71*atan((1 + x^2)/sqrt(2)))/(216*sqrt(2)) - (13*log(x))/27 + (13//108)*log(3 + 2*x^2 + x^4), x, 8),
+(1/x^5*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, -(1/(9*x^4)) + 13/(54*x^2) + (25*(7 + 5*x^2))/(216*(3 + 2*x^2 + x^4)) + (125*atan((1 + x^2)/sqrt(2)))/(216*sqrt(2)) + (13*log(x))/27 - (13//108)*log(3 + 2*x^2 + x^4), x, 8),
+(1/x^7*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, -(2/(27*x^6)) + 13/(108*x^4) - 13/(54*x^2) + (25*(1 - 7*x^2))/(648*(3 + 2*x^2 + x^4)) - (1237*atan((1 + x^2)/sqrt(2)))/(1944*sqrt(2)) + (61*log(x))/243 - (61//972)*log(3 + 2*x^2 + x^4), x, 8),
+
+(x^8*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, 38*x + (19*x^3)/3 - (17*x^5)/5 + (5*x^7)/7 + (25*x*(3 + 5*x^2))/(8*(3 + 2*x^2 + x^4)) + (1//16)*sqrt((1//2)*(262771 + 618291*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) - 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) - (1//16)*sqrt((1//2)*(262771 + 618291*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) + 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) - (1//32)*sqrt((1//2)*(-262771 + 618291*sqrt(3)))*log(sqrt(3) - sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2) + (1//32)*sqrt((1//2)*(-262771 + 618291*sqrt(3)))*log(sqrt(3) + sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2), x, 12),
+(x^6*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, 19*x - (17*x^3)/3 + x^5 + (25*x*(3 - x^2))/(8*(3 + 2*x^2 + x^4)) + (3//16)*sqrt((3//2)*(-8669 + 5011*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) - 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) - (3//16)*sqrt((3//2)*(-8669 + 5011*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) + 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) + (3//32)*sqrt((3//2)*(8669 + 5011*sqrt(3)))*log(sqrt(3) - sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2) - (3//32)*sqrt((3//2)*(8669 + 5011*sqrt(3)))*log(sqrt(3) + sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2), x, 12),
+(x^4*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, -17*x + (5*x^3)/3 - (25*x*(3 + x^2))/(8*(3 + 2*x^2 + x^4)) - (1//16)*sqrt((1//2)*(14395 + 26499*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) - 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) + (1//16)*sqrt((1//2)*(14395 + 26499*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) + 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) - (1//32)*sqrt((1//2)*(-14395 + 26499*sqrt(3)))*log(sqrt(3) - sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2) + (1//32)*sqrt((1//2)*(-14395 + 26499*sqrt(3)))*log(sqrt(3) + sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2), x, 12),
+(x^2*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, 5*x + (25*x*(1 + x^2))/(8*(3 + 2*x^2 + x^4)) + (1//16)*sqrt((1//6)*(19291 + 12899*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) - 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) - (1//16)*sqrt((1//6)*(19291 + 12899*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) + 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) - (1//32)*sqrt((1//6)*(-19291 + 12899*sqrt(3)))*log(sqrt(3) - sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2) + (1//32)*sqrt((1//6)*(-19291 + 12899*sqrt(3)))*log(sqrt(3) + sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2), x, 12),
+(x^0*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, (25*x*(1 - x^2))/(24*(3 + 2*x^2 + x^4)) - (1//48)*sqrt((1//6)*(-11567 + 12897*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) - 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) + (1//48)*sqrt((1//6)*(-11567 + 12897*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) + 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) + (1//96)*sqrt((1//6)*(11567 + 12897*sqrt(3)))*log(sqrt(3) - sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2) - (1//96)*sqrt((1//6)*(11567 + 12897*sqrt(3)))*log(sqrt(3) + sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2), x, 10),
+(1/x^2*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, -(4/(9*x)) - (25*x*(5 + x^2))/(72*(3 + 2*x^2 + x^4)) + (1//48)*sqrt((1//6)*(-965 + 699*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) - 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) - (1//48)*sqrt((1//6)*(-965 + 699*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) + 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) - (1//96)*sqrt((1//6)*(965 + 699*sqrt(3)))*log(sqrt(3) - sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2) + (1//96)*sqrt((1//6)*(965 + 699*sqrt(3)))*log(sqrt(3) + sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2), x, 12),
+(1/x^4*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, -(4/(27*x^3)) + 13/(27*x) + (25*x*(7 + 5*x^2))/(216*(3 + 2*x^2 + x^4)) - (1//432)*sqrt((1//6)*(6073 + 56673*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) - 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) + (1//432)*sqrt((1//6)*(6073 + 56673*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) + 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) + (1//864)*sqrt((1//6)*(-6073 + 56673*sqrt(3)))*log(sqrt(3) - sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2) - (1//864)*sqrt((1//6)*(-6073 + 56673*sqrt(3)))*log(sqrt(3) + sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2), x, 12),
+(1/x^6*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, -(4/(45*x^5)) + 13/(81*x^3) - 13/(27*x) + (25*x*(1 - 7*x^2))/(648*(3 + 2*x^2 + x^4)) + (sqrt((1//6)*(-1139381 + 688419*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) - 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))))/1296 - (sqrt((1//6)*(-1139381 + 688419*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) + 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))))/1296 - (sqrt((1//6)*(1139381 + 688419*sqrt(3)))*log(sqrt(3) - sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2))/2592 + (sqrt((1//6)*(1139381 + 688419*sqrt(3)))*log(sqrt(3) + sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2))/2592, x, 12),
+
+
+(x^10*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^3, 58*x - 9*x^3 + x^5 - (25*x*(15 + 7*x^2))/(16*(3 + 2*x^2 + x^4)^2) + (x*(3305 + 252*x^2))/(64*(3 + 2*x^2 + x^4)) + (3//256)*sqrt(-8595619 + 7678611*sqrt(3))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) - 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) - (3//256)*sqrt(-8595619 + 7678611*sqrt(3))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) + 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) + (3//512)*sqrt(8595619 + 7678611*sqrt(3))*log(sqrt(3) - sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2) - (3//512)*sqrt(8595619 + 7678611*sqrt(3))*log(sqrt(3) + sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2), x, 13),
+(x^8*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^3, -27*x + (5*x^3)/3 + (25*x*(3 + 5*x^2))/(16*(3 + 2*x^2 + x^4)^2) - (x*(1468 + 835*x^2))/(64*(3 + 2*x^2 + x^4)) - (21//256)*sqrt(34271 + 22721*sqrt(3))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) - 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) + (21//256)*sqrt(34271 + 22721*sqrt(3))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) + 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) - (21//512)*sqrt(-34271 + 22721*sqrt(3))*log(sqrt(3) - sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2) + (21//512)*sqrt(-34271 + 22721*sqrt(3))*log(sqrt(3) + sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2), x, 13),
+(x^6*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^3, 5*x + (25*x*(3 - x^2))/(16*(3 + 2*x^2 + x^4)^2) + (7*x*(11 + 58*x^2))/(64*(3 + 2*x^2 + x^4)) + (1//256)*sqrt(827621 + 1176531*sqrt(3))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) - 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) - (1//256)*sqrt(827621 + 1176531*sqrt(3))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) + 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) - (1//512)*sqrt(-827621 + 1176531*sqrt(3))*log(sqrt(3) - sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2) + (1//512)*sqrt(-827621 + 1176531*sqrt(3))*log(sqrt(3) + sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2), x, 13),
+(x^4*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^3, -((25*x*(3 + x^2))/(16*(3 + 2*x^2 + x^4)^2)) + (x*(238 - 59*x^2))/(64*(3 + 2*x^2 + x^4)) - (1//256)*sqrt(3*(-48835 + 32827*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) - 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) + (1//256)*sqrt(3*(-48835 + 32827*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) + 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) + (1//512)*sqrt(3*(48835 + 32827*sqrt(3)))*log(sqrt(3) - sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2) - (1//512)*sqrt(3*(48835 + 32827*sqrt(3)))*log(sqrt(3) + sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2), x, 11),
+(x^2*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^3, (25*x*(1 + x^2))/(16*(3 + 2*x^2 + x^4)^2) - (x*(353 + 88*x^2))/(192*(3 + 2*x^2 + x^4)) - (11//768)*sqrt((1//3)*(-1825 + 1089*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) - 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) + (11//768)*sqrt((1//3)*(-1825 + 1089*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) + 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) - (11*sqrt((1//3)*(1825 + 1089*sqrt(3)))*log(sqrt(3) - sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2))/1536 + (11*sqrt((1//3)*(1825 + 1089*sqrt(3)))*log(sqrt(3) + sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2))/1536, x, 11),
+(x^0*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^3, (25*x*(1 - x^2))/(48*(3 + 2*x^2 + x^4)^2) + (x*(64 + 51*x^2))/(192*(3 + 2*x^2 + x^4)) - (1//256)*sqrt((1//3)*(-1291 + 1019*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) - 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) + (1//256)*sqrt((1//3)*(-1291 + 1019*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) + 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))) + (1//512)*sqrt((1//3)*(1291 + 1019*sqrt(3)))*log(sqrt(3) - sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2) - (1//512)*sqrt((1//3)*(1291 + 1019*sqrt(3)))*log(sqrt(3) + sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2), x, 11),
+(1/x^2*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^3, -(4/(27*x)) - (25*x*(5 + x^2))/(144*(3 + 2*x^2 + x^4)^2) - (x*(325 + 242*x^2))/(1728*(3 + 2*x^2 + x^4)) + (sqrt((1//3)*(59711 + 55161*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) - 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))))/2304 - (sqrt((1//3)*(59711 + 55161*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) + 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))))/2304 - (sqrt((1//3)*(-59711 + 55161*sqrt(3)))*log(sqrt(3) - sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2))/4608 + (sqrt((1//3)*(-59711 + 55161*sqrt(3)))*log(sqrt(3) + sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2))/4608, x, 13),
+(1/x^4*(4 + x^2 + 3*x^4 + 5*x^6)/(3 + 2*x^2 + x^4)^3, -(4/(81*x^3)) + 7/(27*x) + (25*x*(7 + 5*x^2))/(432*(3 + 2*x^2 + x^4)^2) + (x*(1474 + 1025*x^2))/(5184*(3 + 2*x^2 + x^4)) - (sqrt((1//3)*(10004741 + 11240451*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) - 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))))/20736 + (sqrt((1//3)*(10004741 + 11240451*sqrt(3)))*atan((sqrt(2*(-1 + sqrt(3))) + 2*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(3)))))/20736 + (sqrt((1//3)*(-10004741 + 11240451*sqrt(3)))*log(sqrt(3) - sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2))/41472 - (sqrt((1//3)*(-10004741 + 11240451*sqrt(3)))*log(sqrt(3) + sqrt(2*(-1 + sqrt(3)))*x + x^2))/41472, x, 13),
+
+
+(x^1*(d + e*x^2 + f*x^4 + g*x^6)/(a + b*x^2 + c*x^4), ((c*f - b*g)*x^2)/(2*c^2) + (g*x^4)/(4*c) - ((2*c^3*d - c^2*(b*e + 2*a*f) - b^3*g + b*c*(b*f + 3*a*g))*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((c^2*e + b^2*g - c*(b*f + a*g))*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^3), x, 7),
+
+(x^4*(d + e*x^2 + f*x^4 + g*x^6)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, ((c*f - 2*b*g)*x)/c^3 + (g*x^3)/(3*c^2) + (x*(a*(2*c^3*d - c^2*(b*e + 2*a*f) - b^3*g + b*c*(b*f + 3*a*g)) + (b^3*c*f + b*c^2*(c*d - 3*a*f) - b^4*g - b^2*c*(c*e - 4*a*g) + 2*a*c^2*(c*e - a*g))*x^2))/(2*c^3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((3*b^3*c*f - b*c^2*(c*d + 13*a*f) - 5*b^4*g - b^2*c*(c*e - 24*a*g) + 2*a*c^2*(3*c*e - 7*a*g) - (3*b^4*c*f - 4*a*c^3*(c*d - 5*a*f) - b^2*c^2*(c*d + 19*a*f) - 5*b^5*g - b^3*c*(c*e - 34*a*g) + 4*a*b*c^2*(2*c*e - 13*a*g))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(7//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((3*b^3*c*f - b*c^2*(c*d + 13*a*f) - 5*b^4*g - b^2*c*(c*e - 24*a*g) + 2*a*c^2*(3*c*e - 7*a*g) + (3*b^4*c*f - 4*a*c^3*(c*d - 5*a*f) - b^2*c^2*(c*d + 19*a*f) - 5*b^5*g - b^3*c*(c*e - 34*a*g) + 4*a*b*c^2*(2*c*e - 13*a*g))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(7//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+(x^2*(d + e*x^2 + f*x^4 + g*x^6)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (g*x)/c^2 - (x*(b*c*(c*d + a*f) - a*b^2*g - 2*a*c*(c*e - a*g) + (2*c^3*d - c^2*(b*e + 2*a*f) - b^3*g + b*c*(b*f + 3*a*g))*x^2))/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((2*c^3*d - c^2*(b*e - 6*a*f) + 3*b^3*g - b*c*(b*f + 13*a*g) + (b^3*c*f - 4*b*c^2*(c*d + 2*a*f) - 3*b^4*g + 4*a*c^2*(c*e - 5*a*g) + b^2*c*(c*e + 19*a*g))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((2*c^3*d - c^2*(b*e - 6*a*f) + 3*b^3*g - b*c*(b*f + 13*a*g) - (b^3*c*f - 4*b*c^2*(c*d + 2*a*f) - 3*b^4*g + 4*a*c^2*(c*e - 5*a*g) + b^2*c*(c*e + 19*a*g))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+(x^0*(d + e*x^2 + f*x^4 + g*x^6)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, (x*(c*(b^2*d - 2*a*(c*d - a*f) - (a*b*(c*e + a*g))/c) + (b*c*(c*d + a*f) - a*b^2*g - 2*a*c*(c*e - a*g))*x^2))/(2*a*c*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b*(c*d + a*f) + (a*b^2*g)/c - 2*a*(c*e + 3*a*g) + (b^2*c*(c*d - a*f) - 4*a*c^2*(3*c*d + a*f) - a*b^3*g + 4*a*b*c*(c*e + 2*a*g))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b*(c*d + a*f) + (a*b^2*g)/c - 2*a*(c*e + 3*a*g) - (b^2*c*(c*d - a*f) - 4*a*c^2*(3*c*d + a*f) - a*b^3*g + 4*a*b*c*(c*e + 2*a*g))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+(1/x^2*(d + e*x^2 + f*x^4 + g*x^6)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -(d/(a^2*x)) - (x*(a*((b^3*d)/a - b*(3*c*d + b*e) + a*(2*c*e + b*f) - 2*a^2*g) + (b^2*c*d - 2*a*c*(c*d - a*f) - a*b*(c*e + a*g))*x^2))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((3*b^2*c*d - 2*a*c*(5*c*d - a*f) - a*b*(c*e + a*g) + (3*b^3*c*d - 4*a*b*c*(4*c*d + a*f) - a*b^2*(c*e - a*g) + 4*a^2*c*(3*c*e + a*g))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^2*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((3*b^2*c*d - 2*a*c*(5*c*d - a*f) - a*b*(c*e + a*g) - (3*b^3*c*d - 4*a*b*c*(4*c*d + a*f) - a*b^2*(c*e - a*g) + 4*a^2*c*(3*c*e + a*g))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^2*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+(1/x^4*(d + e*x^2 + f*x^4 + g*x^6)/(a + b*x^2 + c*x^4)^2, -(d/(3*a^2*x^3)) + (2*b*d - a*e)/(a^3*x) + (x*(a^2*((b^4*d)/a^2 + 2*c^2*d + 3*b*c*e - (b^2*(4*c*d + b*e))/a + b^2*f - a*(2*c*f + b*g)) + c*(b^3*d - a*b^2*e - a*b*(3*c*d - a*f) + 2*a^2*(c*e - a*g))*x^2))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(c)*(5*b^3*d - 3*a*b^2*e - a*b*(19*c*d - a*f) + 2*a^2*(5*c*e - a*g) + (5*b^4*d - 3*a*b^3*e + 4*a^2*c*(7*c*d - 3*a*f) - a*b^2*(29*c*d - a*f) + 4*a^2*b*(4*c*e + a*g))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(5*b^3*d - 3*a*b^2*e - a*b*(19*c*d - a*f) + 2*a^2*(5*c*e - a*g) - (5*b^4*d - 3*a*b^3*e + 4*a^2*c*(7*c*d - 3*a*f) - a*b^2*(29*c*d - a*f) + 4*a^2*b*(4*c*e + a*g))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P2[x^2] x^m (a+b x^2+c x^4)^p with p symbolic
+
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+(x^2*(3*a + b*(5 + 2*p)*x^2 + c*(7 + 4*p)*x^4)*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)^(1 + p), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P[x^2] (d x)^m (a+b x)^p (a-b x)^p
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P2[x^2] x^m (a+b x)^(p/2) (a-b x)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+# {x^5*(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]), x, 5, -((d^4*(c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4)*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])/e^10) + (d^2*(4*c*d^4 + 3*b*d^2*e^2 + 2*a*e^4)*(d - e*x)^(3/2)*(d + e*x)^(3/2))/(3*e^10) - ((6*c*d^4 + 3*b*d^2*e^2 + a*e^4)*(d - e*x)^(5/2)*(d + e*x)^(5/2))/(5*e^10) + ((4*c*d^2 + b*e^2)*(d - e*x)^(7/2)*(d + e*x)^(7/2))/(7*e^10) - (c*(d - e*x)^(9/2)*(d + e*x)^(9/2))/(9*e^10), -((d^4*(c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4)*(d^2 - e^2*x^2))/(e^10*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])) + (d^2*(4*c*d^4 + 3*b*d^2*e^2 + 2*a*e^4)*(d^2 - e^2*x^2)^2)/(3*e^10*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - ((6*c*d^4 + 3*b*d^2*e^2 + a*e^4)*(d^2 - e^2*x^2)^3)/(5*e^10*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) + ((4*c*d^2 + b*e^2)*(d^2 - e^2*x^2)^4)/(7*e^10*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (c*(d^2 - e^2*x^2)^5)/(9*e^10*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])}
+# {x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]), x, 4, -((d^2*(c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4)*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])/e^8) + ((3*c*d^4 + 2*b*d^2*e^2 + a*e^4)*(d - e*x)^(3/2)*(d + e*x)^(3/2))/(3*e^8) - ((3*c*d^2 + b*e^2)*(d - e*x)^(5/2)*(d + e*x)^(5/2))/(5*e^8) + (c*(d - e*x)^(7/2)*(d + e*x)^(7/2))/(7*e^8), -((d^2*(c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4)*(d^2 - e^2*x^2))/(e^8*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])) + ((3*c*d^4 + 2*b*d^2*e^2 + a*e^4)*(d^2 - e^2*x^2)^2)/(3*e^8*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - ((3*c*d^2 + b*e^2)*(d^2 - e^2*x^2)^3)/(5*e^8*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) + (c*(d^2 - e^2*x^2)^4)/(7*e^8*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])}
+# {x^1*(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]), x, 4, -(((c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4)*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])/e^6) + ((2*c*d^2 + b*e^2)*(d - e*x)^(3/2)*(d + e*x)^(3/2))/(3*e^6) - (c*(d - e*x)^(5/2)*(d + e*x)^(5/2))/(5*e^6), -(((c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4)*(d^2 - e^2*x^2))/(e^6*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])) + ((2*c*d^2 + b*e^2)*(d^2 - e^2*x^2)^2)/(3*e^6*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (c*(d^2 - e^2*x^2)^3)/(5*e^6*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])}
+# {(a + b*x^2 + c*x^4)/(x^1*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]), x, 6, -(((c*d^2 + b*e^2)*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])/e^4) + (c*(d - e*x)^(3/2)*(d + e*x)^(3/2))/(3*e^4) - (a*ArcTanh[(Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])/d])/d, -(((c*d^2 + b*e^2)*(d^2 - e^2*x^2))/(e^4*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])) + (c*(d^2 - e^2*x^2)^2)/(3*e^4*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (a*Sqrt[d^2 - e^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[d^2 - e^2*x^2]/d])/(d*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])}
+# {(a + b*x^2 + c*x^4)/(x^3*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]), x, 6, -((c*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])/e^2) - (a*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])/(2*d^2*x^2) - ((2*b*d^2 + a*e^2)*ArcTanh[(Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])/d])/(2*d^3), -((c*(d^2 - e^2*x^2))/(e^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])) - (a*(d^2 - e^2*x^2))/(2*d^2*x^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - ((2*b*d^2 + a*e^2)*Sqrt[d^2 - e^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[d^2 - e^2*x^2]/d])/(2*d^3*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])}
+# {(a + b*x^2 + c*x^4)/(x^5*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]), x, 6, -((a*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])/(4*d^2*x^4)) - ((4*b*d^2 + 3*a*e^2)*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])/(8*d^4*x^2) - ((8*c*d^4 + 4*b*d^2*e^2 + 3*a*e^4)*ArcTanh[(Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])/d])/(8*d^5), -((a*(d^2 - e^2*x^2))/(4*d^2*x^4*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])) - ((4*b*d^2 + 3*a*e^2)*(d^2 - e^2*x^2))/(8*d^4*x^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - ((8*c*d^4 + 4*b*d^2*e^2 + 3*a*e^4)*Sqrt[d^2 - e^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[d^2 - e^2*x^2]/d])/(8*d^5*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])}
+# {(a + b*x^2 + c*x^4)/(x^7*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]), x, 7, -(a*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])/(6*d^2*x^6) - ((6*b*d^2 + 5*a*e^2)*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])/(24*d^4*x^4) - ((8*c*d^4 + 6*b*d^2*e^2 + 5*a*e^4)*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])/(16*d^6*x^2) - (e^2*(8*c*d^4 + 6*b*d^2*e^2 + 5*a*e^4)*Sqrt[d^2 - e^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[d^2 - e^2*x^2]/d])/(16*d^7*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]), -((a*(d^2 - e^2*x^2))/(6*d^2*x^6*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])) - ((6*b*d^2 + 5*a*e^2)*(d^2 - e^2*x^2))/(24*d^4*x^4*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - ((8*c*d^4 + 6*b*d^2*e^2 + 5*a*e^4)*(d^2 - e^2*x^2))/(16*d^6*x^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (e^2*(8*c*d^4 + 6*b*d^2*e^2 + 5*a*e^4)*Sqrt[d^2 - e^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[d^2 - e^2*x^2]/d])/(16*d^7*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])}
+
+# {x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]), x, 6, -((5*c*d^4 + 6*b*d^2*e^2 + 8*a*e^4)*x*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])/(16*e^6) - ((5*c*d^2 + 6*b*e^2)*x^3*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])/(24*e^4) + (c*x^5*(-d + e*x)*Sqrt[d + e*x])/(6*e^2*Sqrt[d - e*x]) + (d^2*(5*c*d^4 + 6*b*d^2*e^2 + 8*a*e^4)*Sqrt[d^2 - e^2*x^2]*ArcTan[(e*x)/Sqrt[d^2 - e^2*x^2]])/(16*e^7*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]), -(((5*c*d^4 + 6*b*d^2*e^2 + 8*a*e^4)*x*(d^2 - e^2*x^2))/(16*e^6*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])) - ((5*c*d^2 + 6*b*e^2)*x^3*(d^2 - e^2*x^2))/(24*e^4*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (c*x^5*(d^2 - e^2*x^2))/(6*e^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) + (d^2*(5*c*d^4 + 6*b*d^2*e^2 + 8*a*e^4)*Sqrt[d^2 - e^2*x^2]*ArcTan[(e*x)/Sqrt[d^2 - e^2*x^2]])/(16*e^7*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])}
+# {x^0*(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]), x, 5, -(((3*c*d^2 + 4*b*e^2)*x*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])/(8*e^4)) + (c*x^3*(-d + e*x)*Sqrt[d + e*x])/(4*e^2*Sqrt[d - e*x]) - ((3*c*d^4 + 4*b*d^2*e^2 + 8*a*e^4)*ArcTan[Sqrt[d - e*x]/Sqrt[d + e*x]])/(4*e^5), -(((3*c*d^2 + 4*b*e^2)*x*(d^2 - e^2*x^2))/(8*e^4*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])) - (c*x^3*(d^2 - e^2*x^2))/(4*e^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) + ((3*c*d^4 + 4*b*d^2*e^2 + 8*a*e^4)*Sqrt[d^2 - e^2*x^2]*ArcTan[(e*x)/Sqrt[d^2 - e^2*x^2]])/(8*e^5*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])}
+# {(a + b*x^2 + c*x^4)/(x^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]), x, 5 , -((a*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])/(d^2*x)) + (c*x*(-d + e*x)*Sqrt[d + e*x])/(2*e^2*Sqrt[d - e*x]) - ((c*d^2 + 2*b*e^2)*ArcTan[Sqrt[d - e*x]/Sqrt[d + e*x]])/e^3, -((a*(d^2 - e^2*x^2))/(d^2*x*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])) - (c*x*(d^2 - e^2*x^2))/(2*e^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) + ((c*d^2 + 2*b*e^2)*Sqrt[d^2 - e^2*x^2]*ArcTan[(e*x)/Sqrt[d^2 - e^2*x^2]])/(2*e^3*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])}
+((a + b*x^2 + c*x^4)/(x^4*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x)), -((a*(d^2 - e^2*x^2))/(3*d^2*x^3*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x))) - ((3*b*d^2 + 2*a*e^2)*(d^2 - e^2*x^2))/(3*d^4*x*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x)) + (c*sqrt(d^2 - e^2*x^2)*atan((e*x)/sqrt(d^2 - e^2*x^2)))/(e*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x)), x, 5),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/(x^6*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x)), -((a*(d^2 - e^2*x^2))/(5*d^2*x^5*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x))) - ((5*b*d^2 + 4*a*e^2)*(d^2 - e^2*x^2))/(15*d^4*x^3*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x)) - ((15*c*d^4 + 10*b*d^2*e^2 + 8*a*e^4)*(d^2 - e^2*x^2))/(15*d^6*x*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x)), x, 4),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/(x^8*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x)), -((a*(d^2 - e^2*x^2))/(7*d^2*x^7*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x))) - ((7*b*d^2 + 6*a*e^2)*(d^2 - e^2*x^2))/(35*d^4*x^5*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x)) - ((35*c*d^4 + 28*b*d^2*e^2 + 24*a*e^4)*(d^2 - e^2*x^2))/(105*d^6*x^3*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x)) - (2*e^2*(35*c*d^4 + 28*b*d^2*e^2 + 24*a*e^4)*(d^2 - e^2*x^2))/(105*d^8*x*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x)), x, 5),
+((a + b*x^2 + c*x^4)/(x^10*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x)), -((a*(d^2 - e^2*x^2))/(9*d^2*x^9*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x))) - ((9*b*d^2 + 8*a*e^2)*(d^2 - e^2*x^2))/(63*d^4*x^7*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x)) - ((21*c*d^4 + 18*b*d^2*e^2 + 16*a*e^4)*(d^2 - e^2*x^2))/(105*d^6*x^5*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x)) - (4*e^2*(21*c*d^4 + 18*b*d^2*e^2 + 16*a*e^4)*(d^2 - e^2*x^2))/(315*d^8*x^3*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x)) - (8*e^4*(21*c*d^4 + 18*b*d^2*e^2 + 16*a*e^4)*(d^2 - e^2*x^2))/(315*d^10*x*sqrt(d - e*x)*sqrt(d + e*x)), x, 6),
+]
+# Total integrals translated: 135
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.7 P(x) (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.7 P(x) (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..31c3e7d3
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.7 P(x) (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl	
@@ -0,0 +1,180 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form P[x] (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P2[x] (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p when b=0
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (A+B x^2) (d+e x^2)^q (a+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (A+B x^2) (d+e x^2)^q (a+c x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+# {(A + B*x^2)*(d + e*x^2)^3/Sqrt[a + c*x^4], x, 15, (e*(21*B*c*d^2 + 21*A*c*d*e - 5*a*B*e^2)*x*Sqrt[a + c*x^4])/(21*c^2) + (e^2*(3*B*d + A*e)*x^3*Sqrt[a + c*x^4])/(5*c) + (B*e^3*x^5*Sqrt[a + c*x^4])/(7*c) + ((5*B*c*d^3 + 15*A*c*d^2*e - 9*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3)*x*Sqrt[a + c*x^4])/(5*c^(3/2)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)) - (a^(1/4)*(5*B*c*d^3 + 15*A*c*d^2*e - 9*a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(5*c^(7/4)*Sqrt[a + c*x^4]) + ((105*A*c^2*d^3 + 25*a^2*B*e^3 - 105*a*c*d*e*(B*d + A*e) - 63*a^(3/2)*Sqrt[c]*e^2*(3*B*d + A*e) + 105*Sqrt[a]*c^(3/2)*d^2*(B*d + 3*A*e))*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(210*a^(1/4)*c^(9/4)*Sqrt[a + c*x^4]), -((5*a*B*e^3*x*Sqrt[a + c*x^4])/(21*c^2)) + (d*e*(B*d + A*e)*x*Sqrt[a + c*x^4])/c + (e^2*(3*B*d + A*e)*x^3*Sqrt[a + c*x^4])/(5*c) + (B*e^3*x^5*Sqrt[a + c*x^4])/(7*c) - (3*a*e^2*(3*B*d + A*e)*x*Sqrt[a + c*x^4])/(5*c^(3/2)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)) + (d^2*(B*d + 3*A*e)*x*Sqrt[a + c*x^4])/(Sqrt[c]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)) + (3*a^(5/4)*e^2*(3*B*d + A*e)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(5*c^(7/4)*Sqrt[a + c*x^4]) - (a^(1/4)*d^2*(B*d + 3*A*e)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(c^(3/4)*Sqrt[a + c*x^4]) + (A*d^3*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(2*a^(1/4)*c^(1/4)*Sqrt[a + c*x^4]) + (5*a^(7/4)*B*e^3*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(42*c^(9/4)*Sqrt[a + c*x^4]) - (a^(3/4)*d*e*(B*d + A*e)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(2*c^(5/4)*Sqrt[a + c*x^4]) - (3*a^(5/4)*e^2*(3*B*d + A*e)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(10*c^(7/4)*Sqrt[a + c*x^4]) + (a^(1/4)*d^2*(B*d + 3*A*e)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(2*c^(3/4)*Sqrt[a + c*x^4])}
+# {(A + B*x^2)*(d + e*x^2)^2/Sqrt[a + c*x^4], x, 12, (e*(2*B*d + A*e)*x*Sqrt[a + c*x^4])/(3*c) + (B*e^2*x^3*Sqrt[a + c*x^4])/(5*c) + ((5*B*c*d^2 + 10*A*c*d*e - 3*a*B*e^2)*x*Sqrt[a + c*x^4])/(5*c^(3/2)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)) - (a^(1/4)*(5*B*c*d^2 + 10*A*c*d*e - 3*a*B*e^2)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(5*c^(7/4)*Sqrt[a + c*x^4]) + ((15*A*c^(3/2)*d^2 - 9*a^(3/2)*B*e^2 - 5*a*Sqrt[c]*e*(2*B*d + A*e) + 15*Sqrt[a]*c*d*(B*d + 2*A*e))*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(30*a^(1/4)*c^(7/4)*Sqrt[a + c*x^4]), (e*(2*B*d + A*e)*x*Sqrt[a + c*x^4])/(3*c) + (B*e^2*x^3*Sqrt[a + c*x^4])/(5*c) - (3*a*B*e^2*x*Sqrt[a + c*x^4])/(5*c^(3/2)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)) + (d*(B*d + 2*A*e)*x*Sqrt[a + c*x^4])/(Sqrt[c]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)) + (3*a^(5/4)*B*e^2*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(5*c^(7/4)*Sqrt[a + c*x^4]) - (a^(1/4)*d*(B*d + 2*A*e)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(c^(3/4)*Sqrt[a + c*x^4]) + (A*d^2*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(2*a^(1/4)*c^(1/4)*Sqrt[a + c*x^4]) - (3*a^(5/4)*B*e^2*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(10*c^(7/4)*Sqrt[a + c*x^4]) - (a^(3/4)*e*(2*B*d + A*e)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(6*c^(5/4)*Sqrt[a + c*x^4]) + (a^(1/4)*d*(B*d + 2*A*e)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(2*c^(3/4)*Sqrt[a + c*x^4])}
+# {(A + B*x^2)*(d + e*x^2)^1/Sqrt[a + c*x^4], x, 8, (B*e*x*Sqrt[a + c*x^4])/(3*c) + ((B*d + A*e)*x*Sqrt[a + c*x^4])/(Sqrt[c]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)) - (a^(1/4)*(B*d + A*e)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(c^(3/4)*Sqrt[a + c*x^4]) + (a^(1/4)*(3*Sqrt[c]*(B*d + A*e) + (3*A*c*d - a*B*e)/Sqrt[a])*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(6*c^(5/4)*Sqrt[a + c*x^4]), (B*e*x*Sqrt[a + c*x^4])/(3*c) + ((B*d + A*e)*x*Sqrt[a + c*x^4])/(Sqrt[c]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)) - (a^(1/4)*(B*d + A*e)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(c^(3/4)*Sqrt[a + c*x^4]) + (A*d*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(2*a^(1/4)*c^(1/4)*Sqrt[a + c*x^4]) - (a^(3/4)*B*e*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(6*c^(5/4)*Sqrt[a + c*x^4]) + (a^(1/4)*(B*d + A*e)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(2*c^(3/4)*Sqrt[a + c*x^4])}
+((A + B*x^2)*(d + e*x^2)^0/sqrt(a + c*x^4), (B*x*sqrt(a + c*x^4))/(sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (a^(1//4)*B*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)) + (a^(1//4)*(B + (A*sqrt(c))/sqrt(a))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 3),
+((A + B*x^2)/((d + e*x^2)^1*sqrt(a + c*x^4)), -(((B*d - A*e)*atan((sqrt(c*d^2 + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + c*x^4))))/(2*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(c*d^2 + a*e^2))) - ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*c^(1//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*sqrt(a + c*x^4)) + (a^(3//4)*((sqrt(c)*d)/sqrt(a) + e)^2*(B*d - A*e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*c^(1//4)*d*e*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(a + c*x^4)), x, 3),
+((A + B*x^2)/((d + e*x^2)^2*sqrt(a + c*x^4)), (sqrt(c)*(B*d - A*e)*x*sqrt(a + c*x^4))/(2*d*(c*d^2 + a*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (e*(B*d - A*e)*x*sqrt(a + c*x^4))/(2*d*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x^2)) - ((B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e - a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*atan((sqrt(c*d^2 + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + c*x^4))))/(4*d^(3//2)*sqrt(e)*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)) - (a^(1//4)*c^(1//4)*(B*d - A*e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*d*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^4)) + (A*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*d*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*sqrt(a + c*x^4)) + ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e - a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(8*a^(1//4)*c^(1//4)*d^2*e*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^4)), x, 6),
+((A + B*x^2)/((d + e*x^2)^3*sqrt(a + c*x^4)), (sqrt(c)*(5*B*c*d^3 - 9*A*c*d^2*e - a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3)*x*sqrt(a + c*x^4))/(8*d^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (e*(B*d - A*e)*x*sqrt(a + c*x^4))/(4*d*(c*d^2 + a*e^2)*(d + e*x^2)^2) - (e*(5*B*c*d^3 - 9*A*c*d^2*e - a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3)*x*sqrt(a + c*x^4))/(8*d^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x^2)) + ((3*A*e*(5*c^2*d^4 + 2*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4) - B*(3*c^2*d^5 - 10*a*c*d^3*e^2 - a^2*d*e^4))*atan((sqrt(c*d^2 + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + c*x^4))))/(16*d^(5//2)*sqrt(e)*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)) - (a^(1//4)*c^(1//4)*(5*B*c*d^3 - 9*A*c*d^2*e - a*B*d*e^2 - 3*a*A*e^3)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(8*d^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(a + c*x^4)) + (c^(1//4)*(4*A*c*d^2 + sqrt(a)*sqrt(c)*d*(B*d - A*e) + a*e*(B*d + 3*A*e))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(8*a^(1//4)*d^2*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^4)) - ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(3*A*e*(5*c^2*d^4 + 2*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4) - B*(3*c^2*d^5 - 10*a*c*d^3*e^2 - a^2*d*e^4))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(32*a^(1//4)*c^(1//4)*d^3*e*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(a + c*x^4)), x, 7),
+
+
+((A + B*x^2)*(d + e*x^2)^3/(a + c*x^4)^(3//2), (x*(A*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) - a*B*e*(3*c*d^2 - a*e^2) + c*(B*c*d^3 + 3*A*c*d^2*e - 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*x^2))/(2*a*c^2*sqrt(a + c*x^4)) + (B*e^3*x*sqrt(a + c*x^4))/(3*c^2) + (e^2*(3*B*d + A*e)*x*sqrt(a + c*x^4))/(c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - ((B*c*d^3 + 3*A*c*d^2*e - 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*x*sqrt(a + c*x^4))/(2*a*c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (a^(1//4)*e^2*(3*B*d + A*e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(c^(7//4)*sqrt(a + c*x^4)) + ((B*c*d^3 + 3*A*c*d^2*e - 3*a*B*d*e^2 - a*A*e^3)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*c^(7//4)*sqrt(a + c*x^4)) - (a^(3//4)*B*e^3*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(6*c^(9//4)*sqrt(a + c*x^4)) + (a^(1//4)*e^2*(3*B*d + A*e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*c^(7//4)*sqrt(a + c*x^4)) + (e*(3*B*c*d^2 + 3*A*c*d*e - a*B*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*c^(9//4)*sqrt(a + c*x^4)) + ((A*c^2*d^3 + a^2*B*e^3 - 3*a*c*d*e*(B*d + A*e) + a^(3//2)*sqrt(c)*e^2*(3*B*d + A*e) - sqrt(a)*c^(3//2)*d^2*(B*d + 3*A*e))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(5//4)*c^(9//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 12),
+((A + B*x^2)*(d + e*x^2)^2/(a + c*x^4)^(3//2), (x*(A*c*d^2 - 2*a*B*d*e - a*A*e^2 + (B*c*d^2 + 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*x^2))/(2*a*c*sqrt(a + c*x^4)) + (B*e^2*x*sqrt(a + c*x^4))/(c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - ((B*c*d^2 + 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*x*sqrt(a + c*x^4))/(2*a*c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (a^(1//4)*B*e^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(c^(7//4)*sqrt(a + c*x^4)) + ((B*c*d^2 + 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*c^(7//4)*sqrt(a + c*x^4)) + (a^(1//4)*B*e^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*c^(7//4)*sqrt(a + c*x^4)) + (e*(2*B*d + A*e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*c^(5//4)*sqrt(a + c*x^4)) - ((B*c*d^2 + 2*A*c*d*e - a*B*e^2 - (sqrt(c)*(A*c*d^2 - 2*a*B*d*e - a*A*e^2))/sqrt(a))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(3//4)*c^(7//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 10),
+((A + B*x^2)*(d + e*x^2)^1/(a + c*x^4)^(3//2), (x*(A*c*d - a*B*e + c*(B*d + A*e)*x^2))/(2*a*c*sqrt(a + c*x^4)) - ((B*d + A*e)*x*sqrt(a + c*x^4))/(2*a*sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + ((B*d + A*e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)) + (B*e*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*c^(5//4)*sqrt(a + c*x^4)) + ((A*c*d - a*B*e - sqrt(a)*sqrt(c)*(B*d + A*e))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(5//4)*c^(5//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 7),
+((A + B*x^2)*(d + e*x^2)^0/(a + c*x^4)^(3//2), (x*(A + B*x^2))/(2*a*sqrt(a + c*x^4)) - (B*x*sqrt(a + c*x^4))/(2*a*sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (B*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)) - ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(5//4)*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 4),
+((A + B*x^2)/((d + e*x^2)^1*(a + c*x^4)^(3//2)), (x*(A*c*d + a*B*e + c*(B*d - A*e)*x^2))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^4)) - (sqrt(c)*(B*d - A*e)*x*sqrt(a + c*x^4))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (e^(3//2)*(B*d - A*e)*atan((sqrt(c*d^2 + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + c*x^4))))/(2*sqrt(d)*(c*d^2 + a*e^2)^(3//2)) + (c^(1//4)*(B*d - A*e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^4)) - (c^(1//4)*e*(B*d - A*e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^4)) + ((A*c*d + a*B*e - sqrt(a)*sqrt(c)*(B*d - A*e))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(5//4)*c^(1//4)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^4)) + (a^(3//4)*e*((sqrt(c)*d)/sqrt(a) + e)^2*(B*d - A*e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*c^(1//4)*d*(c^2*d^4 - a^2*e^4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 9),
+((A + B*x^2)/((d + e*x^2)^2*(a + c*x^4)^(3//2)), (c*x*(A*c*d^2 + 2*a*B*d*e - a*A*e^2 + (B*c*d^2 - 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*x^2))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(a + c*x^4)) + (sqrt(c)*e^2*(B*d - A*e)*x*sqrt(a + c*x^4))/(2*d*(c*d^2 + a*e^2)^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (sqrt(c)*(B*c*d^2 - 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*x*sqrt(a + c*x^4))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (e^3*(B*d - A*e)*x*sqrt(a + c*x^4))/(2*d*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x^2)) - (e^(3//2)*(B*d - A*e)*(3*c*d^2 + a*e^2)*atan((sqrt(c*d^2 + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + c*x^4))))/(4*d^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)) - (e^(3//2)*(B*c*d^2 - 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*atan((sqrt(c*d^2 + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + c*x^4))))/(2*sqrt(d)*(c*d^2 + a*e^2)^(5//2)) - (a^(1//4)*c^(1//4)*e^2*(B*d - A*e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*d*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(a + c*x^4)) + (c^(1//4)*(B*c*d^2 - 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(a + c*x^4)) - (c^(1//4)*e*(B*d - A*e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*d*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)*sqrt(a + c*x^4)) - (c^(1//4)*e*(B*c*d^2 - 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(a + c*x^4)) - (c^(1//4)*(B*c*d^2 - 2*A*c*d*e - a*B*e^2 - (sqrt(c)*(A*c*d^2 + 2*a*B*d*e - a*A*e^2))/sqrt(a))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(a + c*x^4)) + (e*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(B*d - A*e)*(3*c*d^2 + a*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(8*a^(1//4)*c^(1//4)*d^2*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(a + c*x^4)) + (a^(3//4)*e*((sqrt(c)*d)/sqrt(a) + e)^2*(B*c*d^2 - 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*c^(1//4)*d*(c*d^2 - a*e^2)*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(a + c*x^4)), x, 15),
+((A + B*x^2)/((d + e*x^2)^3*(a + c*x^4)^(3//2)), (c*x*(A*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) + a*B*e*(3*c*d^2 - a*e^2) + c*(B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e - 3*a*B*d*e^2 + a*A*e^3)*x^2))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)^3*sqrt(a + c*x^4)) + (3*sqrt(c)*e^2*(B*d - A*e)*(3*c*d^2 + a*e^2)*x*sqrt(a + c*x^4))/(8*d^2*(c*d^2 + a*e^2)^3*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (sqrt(c)*e^2*(B*c*d^2 - 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*x*sqrt(a + c*x^4))/(2*d*(c*d^2 + a*e^2)^3*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (c^(3//2)*(B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e - 3*a*B*d*e^2 + a*A*e^3)*x*sqrt(a + c*x^4))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)^3*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (e^3*(B*d - A*e)*x*sqrt(a + c*x^4))/(4*d*(c*d^2 + a*e^2)^2*(d + e*x^2)^2) - (3*e^3*(B*d - A*e)*(3*c*d^2 + a*e^2)*x*sqrt(a + c*x^4))/(8*d^2*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x^2)) - (e^3*(B*c*d^2 - 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*x*sqrt(a + c*x^4))/(2*d*(c*d^2 + a*e^2)^3*(d + e*x^2)) - (e^(3//2)*(3*c*d^2 + a*e^2)*(B*c*d^2 - 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*atan((sqrt(c*d^2 + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + c*x^4))))/(4*d^(3//2)*(c*d^2 + a*e^2)^(7//2)) - (c*e^(3//2)*(B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e - 3*a*B*d*e^2 + a*A*e^3)*atan((sqrt(c*d^2 + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + c*x^4))))/(2*sqrt(d)*(c*d^2 + a*e^2)^(7//2)) - (3*e^(3//2)*(B*d - A*e)*(5*c^2*d^4 + 2*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4)*atan((sqrt(c*d^2 + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + c*x^4))))/(16*d^(5//2)*(c*d^2 + a*e^2)^(7//2)) - (3*a^(1//4)*c^(1//4)*e^2*(B*d - A*e)*(3*c*d^2 + a*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(8*d^2*(c*d^2 + a*e^2)^3*sqrt(a + c*x^4)) - (a^(1//4)*c^(1//4)*e^2*(B*c*d^2 - 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*d*(c*d^2 + a*e^2)^3*sqrt(a + c*x^4)) + (c^(5//4)*(B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e - 3*a*B*d*e^2 + a*A*e^3)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*(c*d^2 + a*e^2)^3*sqrt(a + c*x^4)) - (c^(1//4)*e*(B*d - A*e)*(4*c*d^2 - sqrt(a)*sqrt(c)*d*e + 3*a*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(8*a^(1//4)*d^2*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(a + c*x^4)) - (c^(1//4)*e*(B*c*d^2 - 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*d*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)^2*sqrt(a + c*x^4)) - (c^(5//4)*e*(B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e - 3*a*B*d*e^2 + a*A*e^3)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3*sqrt(a + c*x^4)) + (c^(3//4)*(A*c^2*d^3 - a^2*B*e^3 - sqrt(a)*c^(3//2)*d^2*(B*d - 3*A*e) + 3*a*c*d*e*(B*d - A*e) + a^(3//2)*sqrt(c)*e^2*(3*B*d - A*e))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(5//4)*(c*d^2 + a*e^2)^3*sqrt(a + c*x^4)) + (e*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(3*c*d^2 + a*e^2)*(B*c*d^2 - 2*A*c*d*e - a*B*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(8*a^(1//4)*c^(1//4)*d^2*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3*sqrt(a + c*x^4)) + (a^(3//4)*c^(3//4)*e*((sqrt(c)*d)/sqrt(a) + e)^2*(B*c*d^3 - 3*A*c*d^2*e - 3*a*B*d*e^2 + a*A*e^3)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*d*(c*d^2 - a*e^2)*(c*d^2 + a*e^2)^3*sqrt(a + c*x^4)) + (3*e*(sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(B*d - A*e)*(5*c^2*d^4 + 2*a*c*d^2*e^2 + a^2*e^4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(32*a^(1//4)*c^(1//4)*d^3*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 + a*e^2)^3*sqrt(a + c*x^4)), x, 22),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (A+B x^2) (d+e x^2)^q (a+c x^4)^p when q symbolic
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+((A + B*x^2)*(d + e*x^2)^q/(a + c*x^4), ((A - (sqrt(-a)*B)/sqrt(c))*x*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1, -q, 3//2, -((sqrt(c)*x^2)/sqrt(-a)), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(2*a)) + ((A + (sqrt(-a)*B)/sqrt(c))*x*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1, -q, 3//2, (sqrt(c)*x^2)/sqrt(-a), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(2*a)), x, 6),
+
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P2[x] (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p when c d^2-b d e+a e^2=0
+
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+# ::Subsection::
+# Integrands of the form P2[x] (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p when c d^2-b d e+a e^2=0
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P2[x] (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^(p/2) when c d^2-b d e+a e^2=0
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+((2 + x^2)/((1 + x^2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), (sqrt(2)*(2 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan(x), 1//2))/(sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 2),
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P2[x] (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p
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+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (A+B x^2) (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^p
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (A+B x^2) (d+e x^2)^q (a+b x^2+c x^4)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+((A + B*x^2)*(d + e*x^2)^3/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (e*(7*A*c*e*(15*c*d - 4*b*e) + B*(105*c^2*d^2 + 24*b^2*e^2 - c*e*(84*b*d + 25*a*e)))*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(105*c^3) + (e^2*(21*B*c*d - 6*b*B*e + 7*A*c*e)*x^3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(35*c^2) + (B*e^3*x^5*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(7*c) + ((7*A*c*e*(45*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - 3*c*e*(10*b*d + 3*a*e)) + B*(105*c^3*d^3 - 48*b^3*e^3 - 21*c^2*d*e*(10*b*d + 9*a*e) + 8*b*c*e^2*(21*b*d + 13*a*e)))*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(105*c^(7//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (a^(1//4)*(7*A*c*e*(45*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - 3*c*e*(10*b*d + 3*a*e)) + B*(105*c^3*d^3 - 48*b^3*e^3 - 21*c^2*d*e*(10*b*d + 9*a*e) + 8*b*c*e^2*(21*b*d + 13*a*e)))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(105*c^(15//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (1/(210*c^(15//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)))*(a^(1//4)*(7*A*c*e*(45*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - 3*c*e*(10*b*d + 3*a*e)) + B*(105*c^3*d^3 - 48*b^3*e^3 - 21*c^2*d*e*(10*b*d + 9*a*e) + 8*b*c*e^2*(21*b*d + 13*a*e)) + (sqrt(c)*(7*A*c*(15*c^2*d^3 - 15*a*c*d*e^2 + 4*a*b*e^3) - a*B*e*(105*c^2*d^2 + 24*b^2*e^2 - c*e*(84*b*d + 25*a*e))))/sqrt(a))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c))))), x, 6),
+((A + B*x^2)*(d + e*x^2)^2/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (e*(10*B*c*d - 4*b*B*e + 5*A*c*e)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(15*c^2) + (B*e^2*x^3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(5*c) + ((10*A*c*e*(3*c*d - b*e) + B*(15*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - c*e*(20*b*d + 9*a*e)))*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(15*c^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (a^(1//4)*(10*A*c*e*(3*c*d - b*e) + B*(15*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - c*e*(20*b*d + 9*a*e)))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(15*c^(11//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (a^(1//4)*(10*A*c*e*(3*c*d - b*e) + B*(15*c^2*d^2 + 8*b^2*e^2 - c*e*(20*b*d + 9*a*e)) - (sqrt(c)*(2*a*B*e*(5*c*d - 2*b*e) - 5*A*c*(3*c*d^2 - a*e^2)))/sqrt(a))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(30*c^(11//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+((A + B*x^2)*(d + e*x^2)^1/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (B*e*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*c) + ((3*B*c*d - 2*b*B*e + 3*A*c*e)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (a^(1//4)*(3*B*c*d - 2*b*B*e + 3*A*c*e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(3*c^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (a^(1//4)*(3*B*c*d - 2*b*B*e + 3*A*c*e + (sqrt(c)*(3*A*c*d - a*B*e))/sqrt(a))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(6*c^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+((A + B*x^2)*(d + e*x^2)^0/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4), (B*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (a^(1//4)*B*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(c^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (a^(1//4)*(B + (A*sqrt(c))/sqrt(a))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*c^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 3),
+((A + B*x^2)/((d + e*x^2)^1*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -(((B*d - A*e)*atan((sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))) - ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(1//4)*c^(1//4)*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (a^(3//4)*((sqrt(c)*d)/sqrt(a) + e)^2*(B*d - A*e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(4*c^(1//4)*d*e*(c*d^2 - a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 3),
+((A + B*x^2)/((d + e*x^2)^2*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), (sqrt(c)*(B*d - A*e)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(2*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (e*(B*d - A*e)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(2*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x^2)) - ((B*(c*d^3 - a*d*e^2) - A*e*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e)))*atan((sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*d^(3//2)*sqrt(e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3//2)) - (a^(1//4)*c^(1//4)*(B*d - A*e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (A*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(1//4)*d*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(B*(c*d^3 - a*d*e^2) - A*e*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e)))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(8*a^(1//4)*c^(1//4)*d^2*e*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 6),
+((A + B*x^2)/((d + e*x^2)^3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -((sqrt(c)*(3*A*e*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e)) - B*d*(5*c*d^2 - e*(2*b*d + a*e)))*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(8*d^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2))) - (e*(B*d - A*e)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x^2)^2) + (e*(3*A*e*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e)) - B*d*(5*c*d^2 - e*(2*b*d + a*e)))*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(8*d^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x^2)) - ((B*d*(3*c^2*d^4 - 10*a*c*d^2*e^2 + a*e^3*(4*b*d - a*e)) - A*e*(15*c^2*d^4 - 2*c*d^2*e*(10*b*d - 3*a*e) + e^2*(8*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + 3*a^2*e^2)))*atan((sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(16*d^(5//2)*sqrt(e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5//2)) + (a^(1//4)*c^(1//4)*(3*A*e*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e)) - B*d*(5*c*d^2 - e*(2*b*d + a*e)))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(8*d^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (c^(1//4)*(sqrt(a)*sqrt(c)*d*(B*d - A*e) + a*e*(B*d + 3*A*e) + 4*A*d*(c*d - b*e))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(8*a^(1//4)*d^2*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(B*d*(3*c^2*d^4 - 10*a*c*d^2*e^2 + a*e^3*(4*b*d - a*e)) - A*e*(15*c^2*d^4 - 2*c*d^2*e*(10*b*d - 3*a*e) + e^2*(8*b^2*d^2 - 8*a*b*d*e + 3*a^2*e^2)))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(32*a^(1//4)*c^(1//4)*d^3*e*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+
+
+((A + B*x^2)*(d + e*x^2)^3/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (x*(A*c*(b^2*c*d^3 - 2*a*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) - a*b*e*(3*c*d^2 + a*e^2)) + a*B*(a*b^2*e^3 + 2*a*c*e*(3*c*d^2 - a*e^2) - b*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2)) - (a*B*(2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e)) + A*c*(a*b^2*e^3 + 2*a*c*e*(3*c*d^2 - a*e^2) - b*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2)))*x^2))/(a*c^2*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (B*e^3*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*c^2) + ((a*B*(6*c^3*d^3 - 8*b^3*e^3 - 9*c^2*d*e*(b*d + 6*a*e) + b*c*e^2*(18*b*d + 29*a*e)) + 3*A*c*(2*a*b^2*e^3 + 6*a*c*e*(c*d^2 - a*e^2) - b*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2)))*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*a*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - ((a*B*(6*c^3*d^3 - 8*b^3*e^3 - 9*c^2*d*e*(b*d + 6*a*e) + b*c*e^2*(18*b*d + 29*a*e)) + 3*A*c*(2*a*b^2*e^3 + 6*a*c*e*(c*d^2 - a*e^2) - b*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2)))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(3*a^(3//4)*c^(11//4)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((3*A*c^3*d^3 - 5*a^2*B*c*e^3 - 3*sqrt(a)*c^(5//2)*d^2*(B*d + 3*A*e) + a*e*(3*c*d - 2*b*e)*(3*B*c*d - 4*b*B*e + 3*A*c*e) + 3*a^(3//2)*sqrt(c)*e^2*(9*B*c*d - 4*b*B*e + 3*A*c*e))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(6*a^(3//4)*(b - 2*sqrt(a)*sqrt(c))*c^(11//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 5),
+((A + B*x^2)*(d + e*x^2)^2/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -((x*(a*B*(b*c*d^2 - 4*a*c*d*e + a*b*e^2) - A*c*(b^2*d^2 - 2*a*b*d*e - 2*a*(c*d^2 - a*e^2)) - (A*c*(b*c*d^2 - 4*a*c*d*e + a*b*e^2) - a*B*(2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e)))*x^2))/(a*c*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))) - ((A*c*(b*c*d^2 - 4*a*c*d*e + a*b*e^2) - 2*a*B*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e)))*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(a*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + ((A*c*(b*c*d^2 - 4*a*c*d*e + a*b*e^2) - 2*a*B*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e)))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(a^(3//4)*c^(7//4)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((A*c^2*d^2 + 3*a^(3//2)*B*sqrt(c)*e^2 - sqrt(a)*c^(3//2)*d*(B*d + 2*A*e) + a*e*(2*B*c*d - 2*b*B*e + A*c*e))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(3//4)*(b - 2*sqrt(a)*sqrt(c))*c^(7//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+((A + B*x^2)*(d + e*x^2)^1/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), -((x*(a*B*(b*d - 2*a*e) - A*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e) - (A*c*(b*d - 2*a*e) - a*B*(2*c*d - b*e))*x^2))/(a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))) - ((A*c*(b*d - 2*a*e) - a*B*(2*c*d - b*e))*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(a*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + ((A*c*(b*d - 2*a*e) - a*B*(2*c*d - b*e))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(a^(3//4)*c^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*(sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(3//4)*(b - 2*sqrt(a)*sqrt(c))*c^(3//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+((A + B*x^2)*(d + e*x^2)^0/(a + b*x^2 + c*x^4)^(3//2), (x*(A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c + (A*b - 2*a*B)*c*x^2))/(a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((A*b - 2*a*B)*sqrt(c)*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + ((A*b - 2*a*B)*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(a^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((sqrt(a)*B - A*sqrt(c))*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(3//4)*(b - 2*sqrt(a)*sqrt(c))*c^(1//4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 4),
+# {(A + B*x^2)/((d + e*x^2)^1*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3/2)), x, 9, -((x*(a*b*c*(B*d - A*e) - (b^2 - 2*a*c)*(A*c*d - A*b*e + a*B*e) + c*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e))*x^2))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])) + (Sqrt[c]*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e))*x*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])/(a*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)) - (e^(3/2)*(B*d - A*e)*ArcTan[(Sqrt[c*d^2 - b*d*e + a*e^2]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[e]*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])])/(2*Sqrt[d]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3/2)) - (c^(1/4)*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e))*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(a^(3/4)*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]) + ((Sqrt[a]*B - A*Sqrt[c])*c^(1/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2 - b/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c])])/(2*a^(3/4)*(b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[c])*(Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]) + (a^(3/4)*e*((Sqrt[c]*d)/Sqrt[a] + e)^2*(B*d - A*e)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c]*d*e)), 2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(4*c^(1/4)*d*(c*d^2 - a*e^2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), -((x*(a*b*c*(B*d - A*e) - (b^2 - 2*a*c)*(A*c*d - A*b*e + a*B*e) + c*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e))*x^2))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])) + (Sqrt[c]*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e))*x*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])/(a*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)) - (e^(3/2)*(B*d - A*e)*ArcTan[(Sqrt[c*d^2 - b*d*e + a*e^2]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[e]*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])])/(2*Sqrt[d]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(3/2)) - (c^(1/4)*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e))*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(a^(3/4)*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]) - (c^(1/4)*e*(B*d - A*e)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(2*a^(1/4)*(Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]) - (c^(1/4)*(a*B*e - Sqrt[a]*Sqrt[c]*(B*d - A*e) + A*(c*d - b*e))*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(2*a^(3/4)*(b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[c])*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]) + (a^(3/4)*e*((Sqrt[c]*d)/Sqrt[a] + e)^2*(B*d - A*e)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c]*d*e)), 2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(4*c^(1/4)*d*(c*d^2 - a*e^2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])}
+# {(A + B*x^2)/((d + e*x^2)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)^(3/2)), x, 15, (x*(a*b*c*(A*e*(2*c*d - b*e) - B*(c*d^2 - a*e^2)) + (b^2 - 2*a*c)*(a*B*e*(2*c*d - b*e) + A*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(2*b*d + a*e))) - c*(a*B*(2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e)) + A*(2*b^2*c*d*e - 4*a*c^2*d*e - b^3*e^2 - b*c*(c*d^2 - 3*a*e^2)))*x^2))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]) + (Sqrt[c]*(a*B*d*(-4*c^2*d^2 - 3*b^2*e^2 + 4*c*e*(b*d + 2*a*e)) + A*(2*b^3*d*e^2 + 2*b*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) - 4*a*c*e*(-2*c*d^2 + a*e^2) + b^2*(-4*c*d^2*e + a*e^3)))*x*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])/(2*a*(-b^2 + 4*a*c)*d*(c*d^2 + e*((-b)*d + a*e))^2*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)) - (e^3*(B*d - A*e)*x*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])/(2*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x^2)) + (e^(3/2)*(A*e*(7*c*d^2 - e*(4*b*d - a*e)) - B*d*(5*c*d^2 - e*(2*b*d + a*e)))*ArcTan[(Sqrt[c*d^2 - b*d*e + a*e^2]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[e]*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])])/(4*d^(3/2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5/2)) - (c^(1/4)*(a*B*d*(4*c^2*d^2 + 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d + 2*a*e)) - A*(2*b^3*d*e^2 + 2*b*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) - 4*a*c*e*(-2*c*d^2 + a*e^2) + b^2*(-4*c*d^2*e + a*e^3)))*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2 - b/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c])])/(2*a^(3/4)*(b^2 - 4*a*c)*d*(c*d^2 + e*((-b)*d + a*e))^2*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]) + (c^(1/4)*(a*Sqrt[c]*e*(B*d - 2*A*e) + Sqrt[a]*(B*d - A*e)*(c*d - b*e) + A*Sqrt[c]*d*((-c)*d + b*e))*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2 - b/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c])])/(2*a^(3/4)*(b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[c])*d*((-Sqrt[c])*d + Sqrt[a]*e)*((-c)*d^2 + e*(b*d - a*e))*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]) - (e*(Sqrt[c]*d + Sqrt[a]*e)*(A*e*(7*c*d^2 - e*(4*b*d - a*e)) - B*d*(5*c*d^2 - e*(2*b*d + a*e)))*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c]*d*e)), 2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(8*a^(1/4)*c^(1/4)*d^2*(Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), (1/(a*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))*x*(a*b*c*(A*e*(2*c*d - b*e) - B*(c*d^2 - a*e^2)) + (b^2 - 2*a*c)*(a*B*e*(2*c*d - b*e) + A*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(2*b*d + a*e))) - c*(a*B*(2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e)) + A*(2*b^2*c*d*e - 4*a*c^2*d*e - b^3*e^2 - b*c*(c*d^2 - 3*a*e^2)))*x^2) + (Sqrt[c]*e^2*(B*d - A*e)*x*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])/(2*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)) + (Sqrt[c]*(a*B*(2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e)) + A*(2*b^2*c*d*e - 4*a*c^2*d*e - b^3*e^2 - b*c*(c*d^2 - 3*a*e^2)))*x*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])/(a*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)) - (e^3*(B*d - A*e)*x*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])/(2*d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x^2)) - (e^(3/2)*(B*d - A*e)*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e))*ArcTan[(Sqrt[c*d^2 - b*d*e + a*e^2]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[e]*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])])/(4*d^(3/2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(5/2)) + (e^(3/2)*(A*e*(2*c*d - 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b*e) - B*(c*d^2 - a*e^2))*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(2*a^(1/4)*(Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]) - (c^(1/4)*(a^(3/2)*B*Sqrt[c]*e^2 + A*(c*d - b*e)^2 + a*e*(2*B*c*d - b*B*e - A*c*e) - Sqrt[a]*Sqrt[c]*(B*c*d^2 - A*e*(2*c*d - b*e)))*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(2*a^(3/4)*(b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[c])*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]) + (e*(Sqrt[c]*d + Sqrt[a]*e)*(B*d - A*e)*(3*c*d^2 - e*(2*b*d - a*e))*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c]*d*e)), 2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(8*a^(1/4)*c^(1/4)*d^2*(Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]) - (a^(3/4)*e*((Sqrt[c]*d)/Sqrt[a] + e)^2*(A*e*(2*c*d - b*e) - B*(c*d^2 - a*e^2))*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticPi[-((Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c]*d*e)), 2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))])/(4*c^(1/4)*d*(c*d^2 - a*e^2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])}
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+((sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)/((d + e*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -(((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*atan((sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))) + ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d*e)), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(4*a^(1//4)*c^(1//4)*d*e*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 1),
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+((1 + sqrt(c/a)*x^2)/((d + e*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -(((sqrt(c/a)*d - e)*atan((sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))) + ((sqrt(c/a)*d + e)*(1 + sqrt(c/a)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(a*(1 + sqrt(c/a)*x^2)^2))*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((sqrt(c/a)*d - e)^2/(4*sqrt(c/a)*d*e)), 2*atan((c/a)^(1//4)*x), (1//4)*(2 - (b*sqrt(c/a))/c)))/(4*(c/a)^(1//4)*d*e*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 1),
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+((946 + 315*x^2)/((7 + 5*x^2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), (631*(1 + x^2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan(x), 1//2))/(2*sqrt(2)*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)) - (2525*(2 + x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(2//7, atan(x), 1//2))/(14*sqrt(2)*sqrt((2 + x^2)/(1 + x^2))*sqrt(2 + 3*x^2 + x^4)), x, 4),
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+((A + B*x^2)*(d + e*x^2)^q/(a + b*x^2 + c*x^4), ((B - (b*B - 2*A*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1, -q, 3//2, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((B + (b*B - 2*A*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*(d + e*x^2)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1, -q, 3//2, -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^2)/d)))/((1 + (e*x^2)/d)^q*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
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+
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+(x*(1 + 2*x^2)/(sqrt(1 + x^2)*(1 + x^2 + x^4)), (-(1//2))*atan(sqrt(3) - 2*sqrt(1 + x^2)) + (1//2)*atan(sqrt(3) + 2*sqrt(1 + x^2)) + (1//4)*sqrt(3)*log(2 + x^2 - sqrt(3)*sqrt(1 + x^2)) - (1//4)*sqrt(3)*log(2 + x^2 + sqrt(3)*sqrt(1 + x^2)), x, 11),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^4)^q (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^4)^q (a+b x^2+c x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)/(a*d - c*d*x^4), -((sqrt(b - 2*sqrt(a)*sqrt(c))*atanh((sqrt(b - 2*sqrt(a)*sqrt(c))*x)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)))/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d)) + (sqrt(b + 2*sqrt(a)*sqrt(c))*atanh((sqrt(b + 2*sqrt(a)*sqrt(c))*x)/sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)))/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d), x, 4),
+(sqrt(a + b*x^2 - c*x^4)/(a*d + c*d*x^4), -((sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*atan((sqrt(b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*x*(b - sqrt(b^2 + 4*a*c) - 2*c*x^2))/(2*sqrt(2)*sqrt(a)*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4))))/(2*sqrt(2)*sqrt(a)*sqrt(c)*d)) + (sqrt(-b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*atanh((sqrt(-b + sqrt(b^2 + 4*a*c))*x*(b + sqrt(b^2 + 4*a*c) - 2*c*x^2))/(2*sqrt(2)*sqrt(a)*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 - c*x^4))))/(2*sqrt(2)*sqrt(a)*sqrt(c)*d), x, 1),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x+f x^2)^(n/2) (a^2+2 a b x^2+b^2 x^4)^(p/2)
+
+
+(x^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*sqrt(c + e*x + d*x^2), (e*(12*b*c*d - 16*a*d^2 - 7*b*e^2)*(e + 2*d*x)*sqrt(c + e*x + d*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(128*d^4*(a + b*x^2)) + (b*x^2*(c + e*x + d*x^2)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(5*d*(a + b*x^2)) - ((32*b*c*d - 80*a*d^2 - 35*b*e^2 + 42*b*d*e*x)*(c + e*x + d*x^2)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(240*d^3*(a + b*x^2)) + (e*(4*c*d - e^2)*(12*b*c*d - 16*a*d^2 - 7*b*e^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*atanh((e + 2*d*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(256*d^(9//2)*(a + b*x^2)), x, 6),
+(x^0*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*sqrt(c + e*x + d*x^2), -(((4*b*c*d - 16*a*d^2 - 5*b*e^2)*(e + 2*d*x)*sqrt(c + e*x + d*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(64*d^3*(a + b*x^2))) - (5*b*e*(c + e*x + d*x^2)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(24*d^2*(a + b*x^2)) + (b*x*(c + e*x + d*x^2)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*d*(a + b*x^2)) - ((4*c*d - e^2)*(4*b*c*d - 16*a*d^2 - 5*b*e^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*atanh((e + 2*d*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(128*d^(7//2)*(a + b*x^2)), x, 6),
+(1/x^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*sqrt(c + e*x + d*x^2), ((8*a*d^2 - b*e^2 - 2*b*d*e*x)*sqrt(c + e*x + d*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*d^2*(a + b*x^2)) + (b*(c + e*x + d*x^2)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*d*(a + b*x^2)) + (e*(8*a*d^2 - b*(4*c*d - e^2))*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*atanh((e + 2*d*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(16*d^(5//2)*(a + b*x^2)) - (a*sqrt(c)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*atanh((2*c + e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(a + b*x^2), x, 8),
+(1/x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*sqrt(c + e*x + d*x^2), (((b*c + 4*a*d)*e + 2*d*(b*c + 2*a*d)*x)*sqrt(c + e*x + d*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*c*d*(a + b*x^2)) - (a*(c + e*x + d*x^2)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(c*x*(a + b*x^2)) + ((4*b*c*d + 8*a*d^2 - b*e^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*atanh((e + 2*d*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(8*d^(3//2)*(a + b*x^2)) - (a*e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*atanh((2*c + e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(2*sqrt(c)*(a + b*x^2)), x, 8),
+(1/x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*sqrt(c + e*x + d*x^2), ((a*e + 2*(2*b*c + a*d)*x)*sqrt(c + e*x + d*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(4*c*x*(a + b*x^2)) - (a*(c + e*x + d*x^2)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(2*c*x^2*(a + b*x^2)) + (b*e*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*atanh((e + 2*d*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(2*sqrt(d)*(a + b*x^2)) - ((8*b*c^2 + 4*a*c*d - a*e^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*atanh((2*c + e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(8*c^(3//2)*(a + b*x^2)), x, 8),
+(1/x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*sqrt(c + e*x + d*x^2), ((2*a*c*e - (8*b*c^2 - a*e^2)*x)*sqrt(c + e*x + d*x^2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(8*c^2*x^2*(a + b*x^2)) - (a*(c + e*x + d*x^2)^(3//2)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4))/(3*c*x^3*(a + b*x^2)) + (b*sqrt(d)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*atanh((e + 2*d*x)/(2*sqrt(d)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(a + b*x^2) - (e*(8*b*c^2 - a*(4*c*d - e^2))*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4)*atanh((2*c + e*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(c + e*x + d*x^2))))/(16*c^(5//2)*(a + b*x^2)), x, 8),
+]
+# Total integrals translated: 37
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.8 P(x) (d+e x)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.8 P(x) (d+e x)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..376f3e38
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.2 Quartic/1.2.2.8 P(x) (d+e x)^q (a+b x^2+c x^4)^p.jl	
@@ -0,0 +1,44 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form P[x] (d+e x)^q (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^q (a+b x^2+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^q (a+c x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/((d + e*x)^1*sqrt(a + c*x^4)), (e*atan((sqrt((-c)*d^4 - a*e^4)*x)/(d*e*sqrt(a + c*x^4))))/(2*sqrt((-c)*d^4 - a*e^4)) - (e*atanh((a*e^2 + c*d^2*x^2)/(sqrt(c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4))))/(2*sqrt(c*d^4 + a*e^4)) + (c^(1//4)*d*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*sqrt(a + c*x^4)) - ((sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*c^(1//4)*d*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*sqrt(a + c*x^4)), x, 7),
+(1/((d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^4)), -((e^3*sqrt(a + c*x^4))/((c*d^4 + a*e^4)*(d + e*x))) + (sqrt(c)*e^2*x*sqrt(a + c*x^4))/((c*d^4 + a*e^4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (c*d^3*e*atan((sqrt((-c)*d^4 - a*e^4)*x)/(d*e*sqrt(a + c*x^4))))/((-c)*d^4 - a*e^4)^(3//2) - (c*d^3*e*atanh((a*e^2 + c*d^2*x^2)/(sqrt(c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4))))/(c*d^4 + a*e^4)^(3//2) - (a^(1//4)*c^(1//4)*e^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/((c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4)) + (c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*sqrt(a + c*x^4)) - (c^(3//4)*d^2*(sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*(c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 11),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^q (a+b x^2+c x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/((d + e*x)^1*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), (e*atan((sqrt((-c)*d^4 - b*d^2*e^2 - a*e^4)*x)/(d*e*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*sqrt((-c)*d^4 - b*d^2*e^2 - a*e^4)) - (e*atanh((b*d^2 + 2*a*e^2 + (2*c*d^2 + b*e^2)*x^2)/(2*sqrt(c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*sqrt(c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4)) + (c^(1//4)*d*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(1//4)*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(4*a^(1//4)*c^(1//4)*d*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 7),
+(1/((d + e*x)^2*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -((e^3*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/((c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4)*(d + e*x))) + (sqrt(c)*e^2*x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))/((c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (d*e*(2*c*d^2 + b*e^2)*atan((sqrt((-c)*d^4 - b*d^2*e^2 - a*e^4)*x)/(d*e*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*((-c)*d^4 - b*d^2*e^2 - a*e^4)^(3//2)) - (d*e*(2*c*d^2 + b*e^2)*atanh((b*d^2 + 2*a*e^2 + (2*c*d^2 + b*e^2)*x^2)/(2*sqrt(c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*(c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4)^(3//2)) - (a^(1//4)*c^(1//4)*e^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/((c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) + (c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(1//4)*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*(2*c*d^2 + b*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(4*a^(1//4)*c^(1//4)*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*(c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), x, 11),
+]
+# Total integrals translated: 4
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.2 (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.2 (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..69e8b8c8
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.2 (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,1320 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^3+c x^6)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^3+c x^6)^p with a=0
+
+
+((a*x^3 + b*x^6)^(5//3), -((3*a*(a*x^3 + b*x^6)^(8//3))/(88*b^2*x^8)) + (a*x^3 + b*x^6)^(8//3)/(11*b*x^5), x, 2),
+((a*x^3 + b*x^6)^(2//3), (a*x^3 + b*x^6)^(5//3)/(5*b*x^5), x, 1),
+(1/(a*x^3 + b*x^6)^(2//3), -((a*x^3 + b*x^6)^(1//3)/(a*x^2)), x, 1),
+(1/(a*x^3 + b*x^6)^(5//3), 1/(2*a*x^2*(a*x^3 + b*x^6)^(2//3)) - (3*(a*x^3 + b*x^6)^(1//3))/(4*a^2*x^5) + (9*b*(a*x^3 + b*x^6)^(1//3))/(4*a^3*x^2), x, 3),
+
+
+(1/(-x^3 + x^6), 1/(2*x^2) - atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) + (1//3)*log(1 - x) - (1//6)*log(1 + x + x^2), x, 8),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^3+c x^6)^p with b^2-4 a c=0
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a^2+2 a b x^3+b^2 x^6)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a^2+2 a b x^2+b^3 x^6)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6), (a*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(6*(a + b*x^3)) + (b*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(9*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6), (a*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(5*(a + b*x^3)) + (b*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6), (a*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*(a + b*x^3)) + (b*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6), ((a + b*x^3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(6*b), x, 2),
+(x^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6), (a*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*(a + b*x^3)) + (b*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(5*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^0*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6), (a*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3) + (b*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*(a + b*x^3)), x, 2),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)/x^1, (b*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*(a + b*x^3)) + (a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)*log(x))/(a + b*x^3), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)/x^2, -((a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x*(a + b*x^3))) + (b*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*(a + b*x^3)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)/x^3, -(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*x^2*(a + b*x^3)) + (b*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)/x^4, -(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*x^3*(a + b*x^3)) + (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)*log(x))/(a + b*x^3), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)/x^5, -(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*x^4*(a + b*x^3)) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x*(a + b*x^3)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)/x^6, -(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(5*x^5*(a + b*x^3)) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*x^2*(a + b*x^3)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)/x^7, -(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(6*x^6*(a + b*x^3)) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*x^3*(a + b*x^3)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)/x^8, -(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*x^7*(a + b*x^3)) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*x^4*(a + b*x^3)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)/x^9, -(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*x^8*(a + b*x^3)) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(5*x^5*(a + b*x^3)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)/x^10, -((a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(9*x^9*(a + b*x^3))) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(6*x^6*(a + b*x^3)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)/x^11, -(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(10*x^10*(a + b*x^3)) - (b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*x^7*(a + b*x^3)), x, 3),
+
+
+(x^9*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2), (a^3*x^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(10*(a + b*x^3)) + (3*a^2*b*x^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(13*(a + b*x^3)) + (3*a*b^2*x^16*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(16*(a + b*x^3)) + (b^3*x^19*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(19*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^8*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2), (a^2*(a + b*x^3)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(12*b^3) - (2*a*(a + b*x^3)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(15*b^3) + ((a + b*x^3)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(18*b^3), x, -4),
+(x^7*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2), (a^3*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*(a + b*x^3)) + (3*a^2*b*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(11*(a + b*x^3)) + (3*a*b^2*x^14*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(14*(a + b*x^3)) + (b^3*x^17*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(17*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^6*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2), (a^3*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*(a + b*x^3)) + (3*a^2*b*x^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(10*(a + b*x^3)) + (3*a*b^2*x^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(13*(a + b*x^3)) + (b^3*x^16*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(16*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^5*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2), -(a*(a + b*x^3)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(12*b^2) + ((a + b*x^3)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(15*b^2), x, 4),
+(x^4*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2), (a^3*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(5*(a + b*x^3)) + (3*a^2*b*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*(a + b*x^3)) + (3*a*b^2*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(11*(a + b*x^3)) + (b^3*x^14*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(14*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^3*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2), (a^3*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*(a + b*x^3)) + (3*a^2*b*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*(a + b*x^3)) + (3*a*b^2*x^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(10*(a + b*x^3)) + (b^3*x^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(13*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2), ((a + b*x^3)*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2))/(12*b), x, 2),
+(x^1*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2), (a^3*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*(a + b*x^3)) + (3*a^2*b*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(5*(a + b*x^3)) + (3*a*b^2*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*(a + b*x^3)) + (b^3*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(11*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^0*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2), (a^3*x*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2))/(a + b*x^3)^3 + (3*a^2*b*x^4*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2))/(4*(a + b*x^3)^3) + (3*a*b^2*x^7*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2))/(7*(a + b*x^3)^3) + (b^3*x^10*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2))/(10*(a + b*x^3)^3), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)/x^1, (a^2*b*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3) + (a*b^2*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*(a + b*x^3)) + (b^3*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(9*(a + b*x^3)) + (a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)*log(x))/(a + b*x^3), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)/x^2, -((a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x*(a + b*x^3))) + (3*a^2*b*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*(a + b*x^3)) + (3*a*b^2*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(5*(a + b*x^3)) + (b^3*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)/x^3, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*x^2*(a + b*x^3)) + (3*a^2*b*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3) + (3*a*b^2*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*(a + b*x^3)) + (b^3*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)/x^4, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*x^3*(a + b*x^3)) + (a*b^2*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3) + (b^3*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(6*(a + b*x^3)) + (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)*log(x))/(a + b*x^3), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)/x^5, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*x^4*(a + b*x^3)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x*(a + b*x^3)) + (3*a*b^2*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*(a + b*x^3)) + (b^3*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(5*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)/x^6, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(5*x^5*(a + b*x^3)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*x^2*(a + b*x^3)) + (3*a*b^2*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3) + (b^3*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)/x^7, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(6*x^6*(a + b*x^3)) - (a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x^3*(a + b*x^3)) + (b^3*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*(a + b*x^3)) + (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)*log(x))/(a + b*x^3), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)/x^8, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*x^7*(a + b*x^3)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*x^4*(a + b*x^3)) - (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x*(a + b*x^3)) + (b^3*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)/x^9, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*x^8*(a + b*x^3)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(5*x^5*(a + b*x^3)) - (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*x^2*(a + b*x^3)) + (b^3*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)/x^10, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(9*x^9*(a + b*x^3)) - (a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*x^6*(a + b*x^3)) - (a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x^3*(a + b*x^3)) + (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)*log(x))/(a + b*x^3), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)/x^11, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(10*x^10*(a + b*x^3)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*x^7*(a + b*x^3)) - (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*x^4*(a + b*x^3)) - (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)/x^12, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(11*x^11*(a + b*x^3)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*x^8*(a + b*x^3)) - (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(5*x^5*(a + b*x^3)) - (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*x^2*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)/x^13, -((a + b*x^3)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(12*a*x^12), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)/x^14, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(13*x^13*(a + b*x^3)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(10*x^10*(a + b*x^3)) - (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*x^7*(a + b*x^3)) - (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*x^4*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)/x^15, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(14*x^14*(a + b*x^3)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(11*x^11*(a + b*x^3)) - (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*x^8*(a + b*x^3)) - (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(5*x^5*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)/x^16, -(((a + b*x^3)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(15*a*x^15)) + (b*(a + b*x^3)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(60*a^2*x^12), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)/x^17, -(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(16*x^16*(a + b*x^3)) - (3*a^2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(13*x^13*(a + b*x^3)) - (3*a*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(10*x^10*(a + b*x^3)) - (b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*x^7*(a + b*x^3)), x, 3),
+
+
+(x^13*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), (a^5*x^14*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(14*(a + b*x^3)) + (5*a^4*b*x^17*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(17*(a + b*x^3)) + (a^3*b^2*x^20*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*(a + b*x^3)) + (10*a^2*b^3*x^23*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(23*(a + b*x^3)) + (5*a*b^4*x^26*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(26*(a + b*x^3)) + (b^5*x^29*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(29*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^12*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), (a^5*x^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(13*(a + b*x^3)) + (5*a^4*b*x^16*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(16*(a + b*x^3)) + (10*a^3*b^2*x^19*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(19*(a + b*x^3)) + (5*a^2*b^3*x^22*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(11*(a + b*x^3)) + (a*b^4*x^25*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(5*(a + b*x^3)) + (b^5*x^28*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(28*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^11*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), -(a^3*(a + b*x^3)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(18*b^4) + (a^2*(a + b*x^3)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*b^4) - (a*(a + b*x^3)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*b^4) + ((a + b*x^3)^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(27*b^4), x, 4),
+(x^10*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), (a^5*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(11*(a + b*x^3)) + (5*a^4*b*x^14*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(14*(a + b*x^3)) + (10*a^3*b^2*x^17*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(17*(a + b*x^3)) + (a^2*b^3*x^20*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*(a + b*x^3)) + (5*a*b^4*x^23*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(23*(a + b*x^3)) + (b^5*x^26*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(26*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^9*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), (a^5*x^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(10*(a + b*x^3)) + (5*a^4*b*x^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(13*(a + b*x^3)) + (5*a^3*b^2*x^16*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*(a + b*x^3)) + (10*a^2*b^3*x^19*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(19*(a + b*x^3)) + (5*a*b^4*x^22*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(22*(a + b*x^3)) + (b^5*x^25*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(25*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^8*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), (a^2*(a + b*x^3)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(18*b^3) - (2*a*(a + b*x^3)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(21*b^3) + ((a + b*x^3)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(24*b^3), x, 4),
+(x^7*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), (a^5*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*(a + b*x^3)) + (5*a^4*b*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(11*(a + b*x^3)) + (5*a^3*b^2*x^14*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*(a + b*x^3)) + (10*a^2*b^3*x^17*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(17*(a + b*x^3)) + (a*b^4*x^20*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*(a + b*x^3)) + (b^5*x^23*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(23*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^6*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), (a^5*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*(a + b*x^3)) + (a^4*b*x^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*(a + b*x^3)) + (10*a^3*b^2*x^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(13*(a + b*x^3)) + (5*a^2*b^3*x^16*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*(a + b*x^3)) + (5*a*b^4*x^19*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(19*(a + b*x^3)) + (b^5*x^22*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(22*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^5*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), -(a*(a + b*x^3)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(18*b^2) + ((a + b*x^3)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(21*b^2), x, 4),
+(x^4*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), (a^5*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(5*(a + b*x^3)) + (5*a^4*b*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*(a + b*x^3)) + (10*a^3*b^2*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(11*(a + b*x^3)) + (5*a^2*b^3*x^14*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*(a + b*x^3)) + (5*a*b^4*x^17*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(17*(a + b*x^3)) + (b^5*x^20*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(20*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^3*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), (a^5*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*(a + b*x^3)) + (5*a^4*b*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*(a + b*x^3)) + (a^3*b^2*x^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3) + (10*a^2*b^3*x^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(13*(a + b*x^3)) + (5*a*b^4*x^16*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(16*(a + b*x^3)) + (b^5*x^19*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(19*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), ((a + b*x^3)*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2))/(18*b), x, 2),
+(x^1*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), (a^5*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*(a + b*x^3)) + (a^4*b*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3) + (5*a^3*b^2*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*(a + b*x^3)) + (10*a^2*b^3*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(11*(a + b*x^3)) + (5*a*b^4*x^14*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(14*(a + b*x^3)) + (b^5*x^17*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(17*(a + b*x^3)), x, 3),
+(x^0*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), (a^5*x*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2))/(a + b*x^3)^5 + (5*a^4*b*x^4*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2))/(4*(a + b*x^3)^5) + (10*a^3*b^2*x^7*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2))/(7*(a + b*x^3)^5) + (a^2*b^3*x^10*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2))/(a + b*x^3)^5 + (5*a*b^4*x^13*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2))/(13*(a + b*x^3)^5) + (b^5*x^16*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2))/(16*(a + b*x^3)^5), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^1, (5*a^4*b*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*(a + b*x^3)) + (5*a^3*b^2*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*(a + b*x^3)) + (10*a^2*b^3*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(9*(a + b*x^3)) + (5*a*b^4*x^12*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(12*(a + b*x^3)) + (b^5*x^15*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(15*(a + b*x^3)) + (a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)*log(x))/(a + b*x^3), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^2, -((a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x*(a + b*x^3))) + (5*a^4*b*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*(a + b*x^3)) + (2*a^3*b^2*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3) + (5*a^2*b^3*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*(a + b*x^3)) + (5*a*b^4*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(11*(a + b*x^3)) + (b^5*x^14*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(14*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^3, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*x^2*(a + b*x^3)) + (5*a^4*b*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3) + (5*a^3*b^2*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*(a + b*x^3)) + (10*a^2*b^3*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*(a + b*x^3)) + (a*b^4*x^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*(a + b*x^3)) + (b^5*x^13*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(13*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^4, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*x^3*(a + b*x^3)) + (10*a^3*b^2*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*(a + b*x^3)) + (5*a^2*b^3*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*(a + b*x^3)) + (5*a*b^4*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(9*(a + b*x^3)) + (b^5*x^12*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(12*(a + b*x^3)) + (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)*log(x))/(a + b*x^3), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^5, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*x^4*(a + b*x^3)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x*(a + b*x^3)) + (5*a^3*b^2*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3) + (2*a^2*b^3*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3) + (5*a*b^4*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*(a + b*x^3)) + (b^5*x^11*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(11*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^6, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(5*x^5*(a + b*x^3)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*x^2*(a + b*x^3)) + (10*a^3*b^2*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3) + (5*a^2*b^3*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*(a + b*x^3)) + (5*a*b^4*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*(a + b*x^3)) + (b^5*x^10*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(10*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^7, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(6*x^6*(a + b*x^3)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*x^3*(a + b*x^3)) + (10*a^2*b^3*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*(a + b*x^3)) + (5*a*b^4*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(6*(a + b*x^3)) + (b^5*x^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(9*(a + b*x^3)) + (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)*log(x))/(a + b*x^3), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^8, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*x^7*(a + b*x^3)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*x^4*(a + b*x^3)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x*(a + b*x^3)) + (5*a^2*b^3*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3) + (a*b^4*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3) + (b^5*x^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^9, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*x^8*(a + b*x^3)) - (a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x^5*(a + b*x^3)) - (5*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x^2*(a + b*x^3)) + (10*a^2*b^3*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3) + (5*a*b^4*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*(a + b*x^3)) + (b^5*x^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^10, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(9*x^9*(a + b*x^3)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(6*x^6*(a + b*x^3)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*x^3*(a + b*x^3)) + (5*a*b^4*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*(a + b*x^3)) + (b^5*x^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(6*(a + b*x^3)) + (10*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)*log(x))/(a + b*x^3), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^11, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(10*x^10*(a + b*x^3)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*x^7*(a + b*x^3)) - (5*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*x^4*(a + b*x^3)) - (10*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x*(a + b*x^3)) + (5*a*b^4*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*(a + b*x^3)) + (b^5*x^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(5*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^12, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(11*x^11*(a + b*x^3)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*x^8*(a + b*x^3)) - (2*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x^5*(a + b*x^3)) - (5*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x^2*(a + b*x^3)) + (5*a*b^4*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3) + (b^5*x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^13, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(12*x^12*(a + b*x^3)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(9*x^9*(a + b*x^3)) - (5*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*x^6*(a + b*x^3)) - (10*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*x^3*(a + b*x^3)) + (b^5*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*(a + b*x^3)) + (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)*log(x))/(a + b*x^3), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^14, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(13*x^13*(a + b*x^3)) - (a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*x^10*(a + b*x^3)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*x^7*(a + b*x^3)) - (5*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*x^4*(a + b*x^3)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x*(a + b*x^3)) + (b^5*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^15, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(14*x^14*(a + b*x^3)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(11*x^11*(a + b*x^3)) - (5*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*x^8*(a + b*x^3)) - (2*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x^5*(a + b*x^3)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*x^2*(a + b*x^3)) + (b^5*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(a + b*x^3), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^16, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(15*x^15*(a + b*x^3)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(12*x^12*(a + b*x^3)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(9*x^9*(a + b*x^3)) - (5*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*x^6*(a + b*x^3)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(3*x^3*(a + b*x^3)) + (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)*log(x))/(a + b*x^3), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^17, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(16*x^16*(a + b*x^3)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(13*x^13*(a + b*x^3)) - (a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x^10*(a + b*x^3)) - (10*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*x^7*(a + b*x^3)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*x^4*(a + b*x^3)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^18, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(17*x^17*(a + b*x^3)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(14*x^14*(a + b*x^3)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(11*x^11*(a + b*x^3)) - (5*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*x^8*(a + b*x^3)) - (a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x^5*(a + b*x^3)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*x^2*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^19, -((a + b*x^3)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(18*a*x^18), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^20, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(19*x^19*(a + b*x^3)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(16*x^16*(a + b*x^3)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(13*x^13*(a + b*x^3)) - (a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(x^10*(a + b*x^3)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*x^7*(a + b*x^3)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*x^4*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^21, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(20*x^20*(a + b*x^3)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(17*x^17*(a + b*x^3)) - (5*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*x^14*(a + b*x^3)) - (10*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(11*x^11*(a + b*x^3)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*x^8*(a + b*x^3)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(5*x^5*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^22, -(((a + b*x^3)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(21*a*x^21)) + (b*(a + b*x^3)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(126*a^2*x^18), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^23, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(22*x^22*(a + b*x^3)) - (5*a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(19*x^19*(a + b*x^3)) - (5*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*x^16*(a + b*x^3)) - (10*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(13*x^13*(a + b*x^3)) - (a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(2*x^10*(a + b*x^3)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*x^7*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^24, -(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(23*x^23*(a + b*x^3)) - (a^4*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(4*x^20*(a + b*x^3)) - (10*a^3*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(17*x^17*(a + b*x^3)) - (5*a^2*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(7*x^14*(a + b*x^3)) - (5*a*b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(11*x^11*(a + b*x^3)) - (b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(8*x^8*(a + b*x^3)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)/x^25, -((a + b*x^3)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(24*a*x^24) + (b*(a + b*x^3)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(84*a^2*x^21) - (b^2*(a + b*x^3)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(504*a^3*x^18), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^4/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6), (x^2*(a + b*x^3))/(2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (a^(2//3)*(a + b*x^3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(5//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (a^(2//3)*(a + b*x^3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(5//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (a^(2//3)*(a + b*x^3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(5//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 8),
+(x^3/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6), (x*(a + b*x^3))/(b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (a^(1//3)*(a + b*x^3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(4//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (a^(1//3)*(a + b*x^3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(4//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (a^(1//3)*(a + b*x^3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(4//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 8),
+(x^2/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6), ((a + b*x^3)*log(a + b*x^3))/(3*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 3),
+(x^1/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6), -(((a + b*x^3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(1//3)*b^(2//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))) - ((a + b*x^3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(1//3)*b^(2//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + ((a + b*x^3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(1//3)*b^(2//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 7),
+(x^0/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6), -(((a + b*x^3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(1//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))) + ((a + b*x^3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(2//3)*b^(1//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - ((a + b*x^3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(2//3)*b^(1//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 7),
+(1/(x^1*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), ((a + b*x^3)*log(x))/(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - ((a + b*x^3)*log(a + b*x^3))/(3*a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 5),
+(1/(x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), -((a + b*x^3)/(a*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))) + (b^(1//3)*(a + b*x^3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(4//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (b^(1//3)*(a + b*x^3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(4//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (b^(1//3)*(a + b*x^3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(4//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 8),
+(1/(x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), -(a + b*x^3)/(2*a*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (b^(2//3)*(a + b*x^3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(5//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (b^(2//3)*(a + b*x^3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*a^(5//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (b^(2//3)*(a + b*x^3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*a^(5//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 8),
+(1/(x^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), -(a + b*x^3)/(3*a*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (b*(a + b*x^3)*log(x))/(a^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (b*(a + b*x^3)*log(a + b*x^3))/(3*a^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 4),
+
+
+(x^4/(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2), x^2/(9*a*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - x^2/(6*b*(a + b*x^3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - ((a + b*x^3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(4//3)*b^(5//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - ((a + b*x^3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(4//3)*b^(5//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + ((a + b*x^3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(4//3)*b^(5//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 9),
+(x^3/(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2), x/(18*a*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - x/(6*b*(a + b*x^3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - ((a + b*x^3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(5//3)*b^(4//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + ((a + b*x^3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(5//3)*b^(4//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - ((a + b*x^3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(5//3)*b^(4//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 9),
+(x^2/(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2), -(1/(6*b*(a + b*x^3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))), x, 2),
+(x^1/(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2), (2*x^2)/(9*a^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + x^2/(6*a*(a + b*x^3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (2*(a + b*x^3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(7//3)*b^(2//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (2*(a + b*x^3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(7//3)*b^(2//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + ((a + b*x^3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(27*a^(7//3)*b^(2//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 9),
+(x^0/(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2), (x*(a + b*x^3))/(6*a*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)) + (5*x*(a + b*x^3)^2)/(18*a^2*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)) - (5*(a + b*x^3)^3*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(8//3)*b^(1//3)*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)) + (5*(a + b*x^3)^3*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(8//3)*b^(1//3)*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)) - (5*(a + b*x^3)^3*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(54*a^(8//3)*b^(1//3)*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)), x, 9),
+(1/(x^1*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)), 1/(3*a^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + 1/(6*a*(a + b*x^3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + ((a + b*x^3)*log(x))/(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - ((a + b*x^3)*log(a + b*x^3))/(3*a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 4),
+(1/(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)), 7/(18*a^2*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + 1/(6*a*x*(a + b*x^3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (14*(a + b*x^3))/(9*a^3*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (14*b^(1//3)*(a + b*x^3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(10//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (14*b^(1//3)*(a + b*x^3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(10//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (7*b^(1//3)*(a + b*x^3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(27*a^(10//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 10),
+(1/(x^3*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)), 4/(9*a^2*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + 1/(6*a*x^2*(a + b*x^3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (10*(a + b*x^3))/(9*a^3*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (20*b^(2//3)*(a + b*x^3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(9*sqrt(3)*a^(11//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (20*b^(2//3)*(a + b*x^3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(27*a^(11//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (10*b^(2//3)*(a + b*x^3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(27*a^(11//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 10),
+(1/(x^4*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2)), (-2*b)/(3*a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - b/(6*a^2*(a + b*x^3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (a + b*x^3)/(3*a^3*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (3*b*(a + b*x^3)*log(x))/(a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (b*(a + b*x^3)*log(a + b*x^3))/(a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 4),
+
+
+(x^6/(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), (5*x)/(486*a^2*b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - x^4/(12*b*(a + b*x^3)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - x/(27*b^2*(a + b*x^3)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + x/(162*a*b^2*(a + b*x^3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (5*(a + b*x^3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(243*sqrt(3)*a^(8//3)*b^(7//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (5*(a + b*x^3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(729*a^(8//3)*b^(7//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (5*(a + b*x^3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(1458*a^(8//3)*b^(7//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 11),
+(x^5/(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), a/(12*b^2*(a + b*x^3)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - 1/(9*b^2*(a + b*x^3)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 4),
+(x^4/(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), (7*x^2)/(243*a^3*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - x^2/(12*b*(a + b*x^3)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + x^2/(54*a*b*(a + b*x^3)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (7*x^2)/(324*a^2*b*(a + b*x^3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (7*(a + b*x^3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(243*sqrt(3)*a^(10//3)*b^(5//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (7*(a + b*x^3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(729*a^(10//3)*b^(5//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (7*(a + b*x^3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(1458*a^(10//3)*b^(5//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 11),
+(x^3/(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), (5*x)/(243*a^3*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - x/(12*b*(a + b*x^3)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + x/(108*a*b*(a + b*x^3)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + x/(81*a^2*b*(a + b*x^3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (10*(a + b*x^3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(243*sqrt(3)*a^(11//3)*b^(4//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (10*(a + b*x^3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(729*a^(11//3)*b^(4//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (5*(a + b*x^3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(729*a^(11//3)*b^(4//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 11),
+(x^2/(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), -(1/(12*b*(a + b*x^3)*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2))), x, 2),
+(x^1/(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), (35*x^2)/(243*a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + x^2/(12*a*(a + b*x^3)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (5*x^2)/(54*a^2*(a + b*x^3)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (35*x^2)/(324*a^3*(a + b*x^3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (35*(a + b*x^3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(243*sqrt(3)*a^(13//3)*b^(2//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (35*(a + b*x^3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(729*a^(13//3)*b^(2//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (35*(a + b*x^3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(1458*a^(13//3)*b^(2//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 11),
+(x^0/(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), (x*(a + b*x^3))/(12*a*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)) + (11*x*(a + b*x^3)^2)/(108*a^2*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)) + (11*x*(a + b*x^3)^3)/(81*a^3*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)) + (55*x*(a + b*x^3)^4)/(243*a^4*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)) - (110*(a + b*x^3)^5*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(243*sqrt(3)*a^(14//3)*b^(1//3)*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)) + (110*(a + b*x^3)^5*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(729*a^(14//3)*b^(1//3)*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)) - (55*(a + b*x^3)^5*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(729*a^(14//3)*b^(1//3)*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)), x, 11),
+(1/(x^1*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)), 1/(3*a^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + 1/(12*a*(a + b*x^3)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + 1/(9*a^2*(a + b*x^3)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + 1/(6*a^3*(a + b*x^3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + ((a + b*x^3)*log(x))/(a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - ((a + b*x^3)*log(a + b*x^3))/(3*a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 4),
+(1/(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)), 455/(972*a^4*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + 1/(12*a*x*(a + b*x^3)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + 13/(108*a^2*x*(a + b*x^3)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + 65/(324*a^3*x*(a + b*x^3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (455*(a + b*x^3))/(243*a^5*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (455*b^(1//3)*(a + b*x^3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(243*sqrt(3)*a^(16//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (455*b^(1//3)*(a + b*x^3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(729*a^(16//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (455*b^(1//3)*(a + b*x^3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(1458*a^(16//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 12),
+(1/(x^3*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)), 154/(243*a^4*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + 1/(12*a*x^2*(a + b*x^3)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + 7/(54*a^2*x^2*(a + b*x^3)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + 77/(324*a^3*x^2*(a + b*x^3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (385*(a + b*x^3))/(243*a^5*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (770*b^(2//3)*(a + b*x^3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(243*sqrt(3)*a^(17//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (770*b^(2//3)*(a + b*x^3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(729*a^(17//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (385*b^(2//3)*(a + b*x^3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(729*a^(17//3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 12),
+(1/(x^4*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2)), (-4*b)/(3*a^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - b/(12*a^2*(a + b*x^3)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (2*b)/(9*a^3*(a + b*x^3)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - b/(2*a^4*(a + b*x^3)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (a + b*x^3)/(3*a^5*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) - (5*b*(a + b*x^3)*log(x))/(a^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)) + (5*b*(a + b*x^3)*log(a + b*x^3))/(3*a^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a^2+2 a b x^3+b^2 x^6)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a^2+2 a b x^3+b^2 x^6)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a^2+2 a b x^2+b^3 x^6)^p with m symbolic
+
+
+((d*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), (a^5*(d*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(d*(1 + m)*(a + b*x^3)) + (5*a^4*b*(d*x)^(4 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(d^4*(4 + m)*(a + b*x^3)) + (10*a^3*b^2*(d*x)^(7 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(d^7*(7 + m)*(a + b*x^3)) + (10*a^2*b^3*(d*x)^(10 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(d^10*(10 + m)*(a + b*x^3)) + (5*a*b^4*(d*x)^(13 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(d^13*(13 + m)*(a + b*x^3)) + (b^5*(d*x)^(16 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(d^16*(16 + m)*(a + b*x^3)), x, 3),
+((d*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2), (a^3*(d*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(d*(1 + m)*(a + b*x^3)) + (3*a^2*b*(d*x)^(4 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(d^4*(4 + m)*(a + b*x^3)) + (3*a*b^2*(d*x)^(7 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(d^7*(7 + m)*(a + b*x^3)) + (b^3*(d*x)^(10 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(d^10*(10 + m)*(a + b*x^3)), x, 3),
+((d*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(1//2), (a*(d*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(d*(1 + m)*(a + b*x^3)) + (b*(d*x)^(4 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6))/(d^4*(4 + m)*(a + b*x^3)), x, 3),
+((d*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(1//2), ((d*x)^(1 + m)*(a + b*x^3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/(a*d*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 2),
+((d*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(3//2), ((d*x)^(1 + m)*(a + b*x^3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/(a^3*d*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 2),
+((d*x)^m/(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^(5//2), ((d*x)^(1 + m)*(a + b*x^3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/(a^5*d*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a^2+2 a b x^2+b^3 x^6)^p with p symbolic
+
+
+((d*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p, ((d*x)^(1 + m)*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/3, -2*p, (4 + m)/3, -((b*x^3)/a)))/((1 + (b*x^3)/a)^(2*p)*(d*(1 + m))), x, 2),
+
+
+(x^11*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p, -((a^3*(a + b*x^3)*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p)/(3*b^4*(1 + 2*p))) + (a^2*(a + b*x^3)^2*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p)/(2*b^4*(1 + p)) - (a*(a + b*x^3)^3*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p)/(b^4*(3 + 2*p)) + ((a + b*x^3)^4*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p)/(6*b^4*(2 + p)), x, 4),
+(x^8*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p, (a^2*(a + b*x^3)*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p)/(3*b^3*(1 + 2*p)) - (a*(a + b*x^3)^2*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p)/(3*b^3*(1 + p)) + ((a + b*x^3)^3*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p)/(3*b^3*(3 + 2*p)), x, 4),
+(x^5*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p, -((a*(a + b*x^3)*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p)/(3*b^2*(1 + 2*p))) + ((a + b*x^3)^2*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p)/(6*b^2*(1 + p)), x, 4),
+(x^4*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p, ((1//5)*x^5*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(5//3, -2*p, 8//3, -((b*x^3)/a)))/(1 + (b*x^3)/a)^(2*p), x, 2),
+(x^3*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p, ((1//4)*x^4*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4//3, -2*p, 7//3, -((b*x^3)/a)))/(1 + (b*x^3)/a)^(2*p), x, 2),
+(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p, ((a + b*x^3)*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p)/(3*b*(1 + 2*p)), x, 2),
+# {x^1*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p, x, 2, (x^2*(a + b*x^3)*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p*Hypergeometric2F1[1, 5/3 + 2*p, 5/3, -((b*x^3)/a)])/(2*a), ((1/2)*x^2*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p*Hypergeometric2F1[2/3, -2*p, 5/3, -((b*x^3)/a)])/(1 + (b*x^3)/a)^(2*p)}
+# {x^0*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p, x, 3, (x*(a + b*x^3)*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p*Hypergeometric2F1[1, 4/3 + 2*p, 4/3, -((b*x^3)/a)])/a, (x*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p*Hypergeometric2F1[1/3, -2*p, 4/3, -((b*x^3)/a)])/(1 + (b*x^3)/a)^(2*p)}
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p/x^1, -(((a + b*x^3)*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + 2*p, 2*(1 + p), 1 + (b*x^3)/a))/(3*a*(1 + 2*p))), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p/x^2, -(((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//3), -2*p, 2//3, -((b*x^3)/a)))/((1 + (b*x^3)/a)^(2*p)*x)), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p/x^3, -(((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(2//3), -2*p, 1//3, -((b*x^3)/a)))/((1 + (b*x^3)/a)^(2*p)*(2*x^2))), x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p/x^4, (b*(a + b*x^3)*(a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + 2*p, 2*(1 + p), 1 + (b*x^3)/a))/(3*a^2*(1 + 2*p)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p/x^5, -(((a^2 + 2*a*b*x^3 + b^2*x^6)^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(4//3), -2*p, -(1//3), -((b*x^3)/a)))/((1 + (b*x^3)/a)^(2*p)*(4*x^4))), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^3+c x^6)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^3+c x^6)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^8/(a + b*x^3 + c*x^6), x^3/(3*c) - ((b^2 - 2*a*c)*atanh((b + 2*c*x^3)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(3*c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (b*log(a + b*x^3 + c*x^6))/(6*c^2), x, 6),
+(x^5/(a + b*x^3 + c*x^6), (b*atanh((b + 2*c*x^3)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(3*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + log(a + b*x^3 + c*x^6)/(6*c), x, 5),
+(x^2/(a + b*x^3 + c*x^6), -((2*atanh((b + 2*c*x^3)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(3*sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 3),
+(1/(x^1*(a + b*x^3 + c*x^6)), (b*atanh((b + 2*c*x^3)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(3*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + log(x)/a - log(a + b*x^3 + c*x^6)/(6*a), x, 7),
+(1/(x^4*(a + b*x^3 + c*x^6)), -(1/(3*a*x^3)) - ((b^2 - 2*a*c)*atanh((b + 2*c*x^3)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(3*a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x^3 + c*x^6))/(6*a^2), x, 8),
+
+(x^7/(a + b*x^3 + c*x^6), x^2/(2*c) + ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*c^(5//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) + ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*c^(5//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) + ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(2//3)*c^(5//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) + ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(2//3)*c^(5//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) - ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(2//3)*c^(5//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) - ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(2//3)*c^(5//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)), x, 14),
+(x^6/(a + b*x^3 + c*x^6), x/c + ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*c^(4//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*c^(4//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) - ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(1//3)*c^(4//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) - ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(1//3)*c^(4//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(1//3)*c^(4//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(1//3)*c^(4//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)), x, 14),
+(x^4/(a + b*x^3 + c*x^6), ((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*c^(2//3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*c^(2//3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(2//3)*c^(2//3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(2//3)*c^(2//3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(2//3)*c^(2//3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(2//3)*c^(2//3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 13),
+(x^3/(a + b*x^3 + c*x^6), ((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*c^(1//3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*c^(1//3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(1//3)*c^(1//3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(1//3)*c^(1//3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(1//3)*c^(1//3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(1//3)*c^(1//3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 13),
+(x^1/(a + b*x^3 + c*x^6), -((2^(1//3)*c^(1//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))) + (2^(1//3)*c^(1//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) - (2^(1//3)*c^(1//3)*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) + (2^(1//3)*c^(1//3)*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) + (c^(1//3)*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(3*2^(2//3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) - (c^(1//3)*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(3*2^(2//3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)), x, 13),
+(x^0/(a + b*x^3 + c*x^6), -((2^(2//3)*c^(2//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3))) + (2^(2//3)*c^(2//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + (2^(2//3)*c^(2//3)*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) - (2^(2//3)*c^(2//3)*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) - (c^(2//3)*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(3*2^(1//3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + (c^(2//3)*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(3*2^(1//3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)), x, 13),
+(1/(x^2*(a + b*x^3 + c*x^6)), -(1/(a*x)) + (c^(1//3)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*a*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) + (c^(1//3)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*a*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) + (c^(1//3)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(2//3)*a*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) + (c^(1//3)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(2//3)*a*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) - (c^(1//3)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(2//3)*a*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) - (c^(1//3)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(2//3)*a*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)), x, 14),
+(1/(x^3*(a + b*x^3 + c*x^6)), -(1/(2*a*x^2)) + (c^(2//3)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*a*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + (c^(2//3)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*a*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) - (c^(2//3)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(1//3)*a*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) - (c^(2//3)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(1//3)*a*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + (c^(2//3)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(1//3)*a*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + (c^(2//3)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(1//3)*a*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)), x, 14),
+
+
+(x^11/(3 + 4*x^3 + x^6), -((4*x^3)/3) + x^6//6 - (1//6)*log(1 + x^3) + (9//2)*log(3 + x^3), x, 6),
+(x^8/(3 + 4*x^3 + x^6), x^3//3 + (1//6)*log(1 + x^3) - (3//2)*log(3 + x^3), x, 5),
+(x^5/(3 + 4*x^3 + x^6), (-(1//6))*log(1 + x^3) + (1//2)*log(3 + x^3), x, 4),
+# {x^2/(3 + 4*x^3 + x^6), x, 4, (-(1/3))*ArcTanh[2 + x^3], (1/6)*Log[1 + x^3] - (1/6)*Log[3 + x^3]}
+(1/(x^1*(3 + 4*x^3 + x^6)), log(x)/3 - (1//6)*log(1 + x^3) + (1//18)*log(3 + x^3), x, 6),
+(1/(x^4*(3 + 4*x^3 + x^6)), -(1/(9*x^3)) - (4*log(x))/9 + (1//6)*log(1 + x^3) - (1//54)*log(3 + x^3), x, 4),
+(1/(x^7*(3 + 4*x^3 + x^6)), -(1/(18*x^6)) + 4/(27*x^3) + (13*log(x))/27 - (1//6)*log(1 + x^3) + (1//162)*log(3 + x^3), x, 4),
+
+(x^10/(3 + 4*x^3 + x^6), -2*x^2 + x^5//5 + atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - (9//2)*3^(1//6)*atan((3^(1//3) - 2*x)/3^(5//6)) + (1//6)*log(1 + x) - (3//2)*3^(2//3)*log(3^(1//3) + x) - (1//12)*log(1 - x + x^2) + (3//4)*3^(2//3)*log(3^(2//3) - 3^(1//3)*x + x^2), x, 15),
+(x^9/(3 + 4*x^3 + x^6), -4*x + x^4//4 + atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - (3//2)*3^(5//6)*atan((3^(1//3) - 2*x)/3^(5//6)) - (1//6)*log(1 + x) + (3//2)*3^(1//3)*log(3^(1//3) + x) + (1//12)*log(1 - x + x^2) - (3//4)*3^(1//3)*log(3^(2//3) - 3^(1//3)*x + x^2), x, 15),
+(x^7/(3 + 4*x^3 + x^6), x^2//2 - atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) + (3//2)*3^(1//6)*atan((3^(1//3) - 2*x)/3^(5//6)) - (1//6)*log(1 + x) + (1//2)*3^(2//3)*log(3^(1//3) + x) + (1//12)*log(1 - x + x^2) - (1//4)*3^(2//3)*log(3^(2//3) - 3^(1//3)*x + x^2), x, 14),
+(x^6/(3 + 4*x^3 + x^6), x - atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) + (1//2)*3^(5//6)*atan((3^(1//3) - 2*x)/3^(5//6)) + (1//6)*log(1 + x) - (1//2)*3^(1//3)*log(3^(1//3) + x) - (1//12)*log(1 - x + x^2) + (1//4)*3^(1//3)*log(3^(2//3) - 3^(1//3)*x + x^2), x, 14),
+(x^4/(3 + 4*x^3 + x^6), atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - (1//2)*3^(1//6)*atan((3^(1//3) - 2*x)/3^(5//6)) + (1//6)*log(1 + x) - log(3^(1//3) + x)/(2*3^(1//3)) - (1//12)*log(1 - x + x^2) + log(3^(2//3) - 3^(1//3)*x + x^2)/(4*3^(1//3)), x, 13),
+(x^3/(3 + 4*x^3 + x^6), atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - atan((3^(1//3) - 2*x)/3^(5//6))/(2*3^(1//6)) - (1//6)*log(1 + x) + log(3^(1//3) + x)/(2*3^(2//3)) + (1//12)*log(1 - x + x^2) - log(3^(2//3) - 3^(1//3)*x + x^2)/(4*3^(2//3)), x, 13),
+(x^1/(3 + 4*x^3 + x^6), -(atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3))) + atan((3^(1//3) - 2*x)/3^(5//6))/(2*3^(5//6)) - (1//6)*log(1 + x) + log(3^(1//3) + x)/(6*3^(1//3)) + (1//12)*log(1 - x + x^2) - log(3^(2//3) - 3^(1//3)*x + x^2)/(12*3^(1//3)), x, 13),
+(x^0/(3 + 4*x^3 + x^6), -(atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3))) + atan((3^(1//3) - 2*x)/3^(5//6))/(6*3^(1//6)) + (1//6)*log(1 + x) - log(3^(1//3) + x)/(6*3^(2//3)) - (1//12)*log(1 - x + x^2) + log(3^(2//3) - 3^(1//3)*x + x^2)/(12*3^(2//3)), x, 13),
+(1/(x^2*(3 + 4*x^3 + x^6)), -(1/(3*x)) + atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - atan((3^(1//3) - 2*x)/3^(5//6))/(6*3^(5//6)) + (1//6)*log(1 + x) - log(3^(1//3) + x)/(18*3^(1//3)) - (1//12)*log(1 - x + x^2) + log(3^(2//3) - 3^(1//3)*x + x^2)/(36*3^(1//3)), x, 14),
+(1/(x^3*(3 + 4*x^3 + x^6)), -(1/(6*x^2)) + atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - atan((3^(1//3) - 2*x)/3^(5//6))/(18*3^(1//6)) - (1//6)*log(1 + x) + log(3^(1//3) + x)/(18*3^(2//3)) + (1//12)*log(1 - x + x^2) - log(3^(2//3) - 3^(1//3)*x + x^2)/(36*3^(2//3)), x, 14),
+(1/(x^5*(3 + 4*x^3 + x^6)), -(1/(12*x^4)) + 4/(9*x) - atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) + atan((3^(1//3) - 2*x)/3^(5//6))/(18*3^(5//6)) - (1//6)*log(1 + x) + log(3^(1//3) + x)/(54*3^(1//3)) + (1//12)*log(1 - x + x^2) - log(3^(2//3) - 3^(1//3)*x + x^2)/(108*3^(1//3)), x, 15),
+(1/(x^6*(3 + 4*x^3 + x^6)), -(1/(15*x^5)) + 2/(9*x^2) - atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) + atan((3^(1//3) - 2*x)/3^(5//6))/(54*3^(1//6)) + (1//6)*log(1 + x) - log(3^(1//3) + x)/(54*3^(2//3)) - (1//12)*log(1 - x + x^2) + log(3^(2//3) - 3^(1//3)*x + x^2)/(108*3^(2//3)), x, 15),
+
+
+(x^6/(1 - x^3 + x^6), x + ((I - sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3)) - ((I + sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)) + ((3 - I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3)) + ((3 + I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)) - ((3 - I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3)) - ((3 + I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)), x, 14),
+(x^5/(1 - x^3 + x^6), -(atan((1 - 2*x^3)/sqrt(3))/(3*sqrt(3))) + (1//6)*log(1 - x^3 + x^6), x, 5),
+(x^4/(1 - x^3 + x^6), ((I + sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(2//3)*(1 - I*sqrt(3))^(1//3)) - ((I - sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(2//3)*(1 + I*sqrt(3))^(1//3)) + ((3 + I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(2//3)*(1 - I*sqrt(3))^(1//3)) + ((3 - I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(2//3)*(1 + I*sqrt(3))^(1//3)) - ((3 + I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(2//3)*(1 - I*sqrt(3))^(1//3)) - ((3 - I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(2//3)*(1 + I*sqrt(3))^(1//3)), x, 13),
+(x^3/(1 - x^3 + x^6), -(((I + sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3))) + ((I - sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)) + ((3 + I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3)) + ((3 - I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)) - ((3 + I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3)) - ((3 - I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)), x, 13),
+(x^2/(1 - x^3 + x^6), -((2*atan((1 - 2*x^3)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3))), x, 3),
+(x^1/(1 - x^3 + x^6), (I*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3)) - (I*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3)) + (I*log((1 - I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(3*sqrt(3)*((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3)) - (I*log((1 + I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(3*sqrt(3)*((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3)) - (I*log((1 - I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(3*2^(2//3)*sqrt(3)*(1 - I*sqrt(3))^(1//3)) + (I*log((1 + I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(3*2^(2//3)*sqrt(3)*(1 + I*sqrt(3))^(1//3)), x, 13),
+# {x^0/(1 - x^3 + x^6), x, 13, (-(1/3))*(-1)^(13/18)*ArcTan[(1 + 2*(-1)^(1/9)*x)/Sqrt[3]] + (1/3)*(-1)^(5/18)*ArcTan[(1 - 2*(-1)^(8/9)*x)/Sqrt[3]] - ((-1)^(5/18)*(Log[2] + 3*Log[(-1)^(1/9) - x]))/(9*Sqrt[3]) + ((-1)^(13/18)*Log[(-2^(1/3))*((-1)^(8/9) + x)])/(3*Sqrt[3]) - ((-1)^(13/18)*Log[(-2^(2/3))*((-1)^(7/9) + ((-1)^(8/9) - x)*x)])/(6*Sqrt[3]) + ((-1)^(5/18)*Log[2^(2/3)*((-1)^(2/9) + x*((-1)^(1/9) + x))])/(6*Sqrt[3]), -((I*ArcTan[(1 + (2*x)/((1/2)*(1 - I*Sqrt[3]))^(1/3))/Sqrt[3]])/(3*((1/2)*(1 - I*Sqrt[3]))^(2/3))) + (I*ArcTan[(1 + (2*x)/((1/2)*(1 + I*Sqrt[3]))^(1/3))/Sqrt[3]])/(3*((1/2)*(1 + I*Sqrt[3]))^(2/3)) + (I*Log[(1 - I*Sqrt[3])^(1/3) - 2^(1/3)*x])/(3*Sqrt[3]*((1/2)*(1 - I*Sqrt[3]))^(2/3)) - (I*Log[(1 + I*Sqrt[3])^(1/3) - 2^(1/3)*x])/(3*Sqrt[3]*((1/2)*(1 + I*Sqrt[3]))^(2/3)) - (I*Log[(1 - I*Sqrt[3])^(2/3) + (2*(1 - I*Sqrt[3]))^(1/3)*x + 2^(2/3)*x^2])/(3*2^(1/3)*Sqrt[3]*(1 - I*Sqrt[3])^(2/3)) + (I*Log[(1 + I*Sqrt[3])^(2/3) + (2*(1 + I*Sqrt[3]))^(1/3)*x + 2^(2/3)*x^2])/(3*2^(1/3)*Sqrt[3]*(1 + I*Sqrt[3])^(2/3))}
+(1/(x^1*(1 - x^3 + x^6)), -(atan((1 - 2*x^3)/sqrt(3))/(3*sqrt(3))) + log(x) - (1//6)*log(1 - x^3 + x^6), x, 7),
+(1/(x^2*(1 - x^3 + x^6)), -(1/x) + ((I - sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(2//3)*(1 - I*sqrt(3))^(1//3)) - ((I + sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(2//3)*(1 + I*sqrt(3))^(1//3)) - ((3 - I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(2//3)*(1 - I*sqrt(3))^(1//3)) - ((3 + I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(2//3)*(1 + I*sqrt(3))^(1//3)) + ((3 - I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(2//3)*(1 - I*sqrt(3))^(1//3)) + ((3 + I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(2//3)*(1 + I*sqrt(3))^(1//3)), x, 14),
+(1/(x^3*(1 - x^3 + x^6)), -(1/(2*x^2)) - ((I - sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3)) + ((I + sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)) - ((3 - I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3)) - ((3 + I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)) + ((3 - I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3)) + ((3 + I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)), x, 14),
+(1/(x^4*(1 - x^3 + x^6)), -(1/(3*x^3)) + atan((1 - 2*x^3)/sqrt(3))/(3*sqrt(3)) + log(x) - (1//6)*log(1 - x^3 + x^6), x, 8),
+(1/(x^5*(1 - x^3 + x^6)), -(1/(4*x^4)) - 1/x - ((I + sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(2//3)*(1 - I*sqrt(3))^(1//3)) + ((I - sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(2//3)*(1 + I*sqrt(3))^(1//3)) - ((3 + I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(2//3)*(1 - I*sqrt(3))^(1//3)) - ((3 - I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(2//3)*(1 + I*sqrt(3))^(1//3)) + ((3 + I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(2//3)*(1 - I*sqrt(3))^(1//3)) + ((3 - I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(2//3)*(1 + I*sqrt(3))^(1//3)), x, 16),
+
+
+(1/(2 + x^3 + x^6), (I*atan((1 - (2*x)/((1//2)*(1 - I*sqrt(7)))^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(21)*((1//2)*(1 - I*sqrt(7)))^(2//3)) - (I*atan((1 - (2*x)/((1//2)*(1 + I*sqrt(7)))^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(21)*((1//2)*(1 + I*sqrt(7)))^(2//3)) - (I*log((1 - I*sqrt(7))^(1//3) + 2^(1//3)*x))/(3*sqrt(7)*((1//2)*(1 - I*sqrt(7)))^(2//3)) + (I*log((1 + I*sqrt(7))^(1//3) + 2^(1//3)*x))/(3*sqrt(7)*((1//2)*(1 + I*sqrt(7)))^(2//3)) + (I*log((1 - I*sqrt(7))^(2//3) - (2*(1 - I*sqrt(7)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(3*2^(1//3)*sqrt(7)*(1 - I*sqrt(7))^(2//3)) - (I*log((1 + I*sqrt(7))^(2//3) - (2*(1 + I*sqrt(7)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(3*2^(1//3)*sqrt(7)*(1 + I*sqrt(7))^(2//3)), x, 13),
+(x^2/(2 + x^3 + x^6), (2*atan((1 + 2*x^3)/sqrt(7)))/(3*sqrt(7)), x, 3),
+(x^3/(2 + x^3 + x^6), -((I*((1//2)*(1 - I*sqrt(7)))^(1//3)*atan((1 - (2*x)/((1//2)*(1 - I*sqrt(7)))^(1//3))/sqrt(3)))/sqrt(21)) + (I*((1//2)*(1 + I*sqrt(7)))^(1//3)*atan((1 - (2*x)/((1//2)*(1 + I*sqrt(7)))^(1//3))/sqrt(3)))/sqrt(21) + ((7 + I*sqrt(7))*log((1 - I*sqrt(7))^(1//3) + 2^(1//3)*x))/(21*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(7))^(2//3)) + ((7 - I*sqrt(7))*log((1 + I*sqrt(7))^(1//3) + 2^(1//3)*x))/(21*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(7))^(2//3)) - ((7 + I*sqrt(7))*log((1 - I*sqrt(7))^(2//3) - (2*(1 - I*sqrt(7)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(42*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(7))^(2//3)) - ((7 - I*sqrt(7))*log((1 + I*sqrt(7))^(2//3) - (2*(1 + I*sqrt(7)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(42*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(7))^(2//3)), x, 13),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^3+c x^6)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*x^14, ((21*b^4 - 56*a*b^2*c + 16*a^2*c^2)*(b + 2*c*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(1536*c^5) - (b*x^6*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(20*c^2) + (x^9*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(18*c) - ((7*b*(15*b^2 - 28*a*c) - 6*c*(21*b^2 - 20*a*c)*x^3)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(2880*c^4) - ((b^2 - 4*a*c)*(21*b^4 - 56*a*b^2*c + 16*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(3072*c^(11//2)), x, 7),
+(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*x^11, -((b*(7*b^2 - 12*a*c)*(b + 2*c*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(384*c^4)) + (x^6*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(15*c) + ((35*b^2 - 32*a*c - 42*b*c*x^3)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(720*c^3) + (b*(7*b^2 - 12*a*c)*(b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(768*c^(9//2)), x, 6),
+(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*x^8, ((5*b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(192*c^3) - (5*b*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(72*c^2) + (x^3*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(12*c) - ((b^2 - 4*a*c)*(5*b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(384*c^(7//2)), x, 6),
+(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*x^5, -((b*(b + 2*c*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(24*c^2)) + (a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/(9*c) + (b*(b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(48*c^(5//2)), x, 5),
+(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*x^2, ((b + 2*c*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(12*c) - ((b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(24*c^(3//2)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/x^1, (1//3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6) - (1//3)*sqrt(a)*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))) + (b*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(6*sqrt(c)), x, 7),
+(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/x^4, -(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/(3*x^3)) - (b*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(6*sqrt(a)) + (1//3)*sqrt(c)*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))), x, 7),
+(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/x^7, -(((2*a + b*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(12*a*x^6)) + ((b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(24*a^(3//2)), x, 4),
+(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/x^10, (b*(2*a + b*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(24*a^2*x^6) - (a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/(9*a*x^9) - (b*(b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(48*a^(5//2)), x, 5),
+(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/x^13, -(((5*b^2 - 4*a*c)*(2*a + b*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(192*a^3*x^6)) - (a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/(12*a*x^12) + (5*b*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(72*a^2*x^9) + ((b^2 - 4*a*c)*(5*b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(384*a^(7//2)), x, 6),
+(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/x^16, (b*(7*b^2 - 12*a*c)*(2*a + b*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(384*a^4*x^6) - (a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/(15*a*x^15) + (7*b*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(120*a^2*x^12) - ((35*b^2 - 32*a*c)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(720*a^3*x^9) - (b*(7*b^2 - 12*a*c)*(b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(768*a^(9//2)), x, 7),
+
+(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*x^3, (x^4*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, -(1//2), -(1//2), 7//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(4*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*x^1, (x^2*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, -(1//2), -(1//2), 5//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*x^0, (x*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, -(1//2), -(1//2), 4//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/x^2, -((sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//3), -(1//2), -(1//2), 2//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(x*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))), x, 2),
+(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/x^3, -((sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), -(1//2), -(1//2), 1//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*x^2*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))), x, 2),
+
+
+((a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)*x^14, -(((b^2 - 4*a*c)*(33*b^4 - 72*a*b^2*c + 16*a^2*c^2)*(b + 2*c*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(16384*c^6)) + ((33*b^4 - 72*a*b^2*c + 16*a^2*c^2)*(b + 2*c*x^3)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(6144*c^5) - (11*b*x^6*(a + b*x^3 + c*x^6)^(5//2))/(336*c^2) + (x^9*(a + b*x^3 + c*x^6)^(5//2))/(24*c) - ((3*b*(77*b^2 - 124*a*c) - 10*c*(33*b^2 - 28*a*c)*x^3)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(5//2))/(13440*c^4) + ((b^2 - 4*a*c)^2*(33*b^4 - 72*a*b^2*c + 16*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(32768*c^(13//2)), x, 8),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)*x^11, (b*(b^2 - 4*a*c)*(3*b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(1024*c^5) - (b*(3*b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x^3)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(384*c^4) + (x^6*(a + b*x^3 + c*x^6)^(5//2))/(21*c) + ((21*b^2 - 16*a*c - 30*b*c*x^3)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(5//2))/(840*c^3) - (b*(b^2 - 4*a*c)^2*(3*b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(2048*c^(11//2)), x, 7),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)*x^8, -(((b^2 - 4*a*c)*(7*b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(1536*c^4)) + ((7*b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x^3)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(576*c^3) - (7*b*(a + b*x^3 + c*x^6)^(5//2))/(180*c^2) + (x^3*(a + b*x^3 + c*x^6)^(5//2))/(18*c) + ((b^2 - 4*a*c)^2*(7*b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(3072*c^(9//2)), x, 7),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)*x^5, (b*(b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(128*c^3) - (b*(b + 2*c*x^3)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(48*c^2) + (a + b*x^3 + c*x^6)^(5//2)/(15*c) - (b*(b^2 - 4*a*c)^2*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(256*c^(7//2)), x, 6),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)*x^2, -(((b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(64*c^2)) + ((b + 2*c*x^3)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(24*c) + ((b^2 - 4*a*c)^2*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(128*c^(5//2)), x, 5),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/x^1, ((b^2 + 8*a*c + 2*b*c*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(24*c) + (1//9)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2) - (1//3)*a^(3//2)*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))) - (b*(b^2 - 12*a*c)*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(48*c^(3//2)), x, 8),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/x^4, (1//4)*(3*b + 2*c*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6) - (a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/(3*x^3) - (1//2)*sqrt(a)*b*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))) + ((b^2 + 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(8*sqrt(c)), x, 8),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/x^7, -(((b - 2*c*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(4*x^3)) - (a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/(6*x^6) - ((b^2 + 4*a*c)*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(8*sqrt(a)) + (1//2)*b*sqrt(c)*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))), x, 8),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/x^10, -(((2*a*b + (b^2 + 8*a*c)*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(24*a*x^6)) - (a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/(9*x^9) + (b*(b^2 - 12*a*c)*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(48*a^(3//2)) + (1//3)*c^(3//2)*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))), x, 8),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/x^13, ((b^2 - 4*a*c)*(2*a + b*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(64*a^2*x^6) - ((2*a + b*x^3)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(24*a*x^12) - ((b^2 - 4*a*c)^2*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(128*a^(5//2)), x, 5),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/x^16, -((b*(b^2 - 4*a*c)*(2*a + b*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(128*a^3*x^6)) + (b*(2*a + b*x^3)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(48*a^2*x^12) - (a + b*x^3 + c*x^6)^(5//2)/(15*a*x^15) + (b*(b^2 - 4*a*c)^2*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(256*a^(7//2)), x, 6),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/x^19, ((b^2 - 4*a*c)*(7*b^2 - 4*a*c)*(2*a + b*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(1536*a^4*x^6) - ((7*b^2 - 4*a*c)*(2*a + b*x^3)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(576*a^3*x^12) - (a + b*x^3 + c*x^6)^(5//2)/(18*a*x^18) + (7*b*(a + b*x^3 + c*x^6)^(5//2))/(180*a^2*x^15) - ((b^2 - 4*a*c)^2*(7*b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(3072*a^(9//2)), x, 7),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/x^22, -((b*(b^2 - 4*a*c)*(3*b^2 - 4*a*c)*(2*a + b*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(1024*a^5*x^6)) + (b*(3*b^2 - 4*a*c)*(2*a + b*x^3)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2))/(384*a^4*x^12) - (a + b*x^3 + c*x^6)^(5//2)/(21*a*x^21) + (b*(a + b*x^3 + c*x^6)^(5//2))/(28*a^2*x^18) - ((21*b^2 - 16*a*c)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(5//2))/(840*a^3*x^15) + (b*(b^2 - 4*a*c)^2*(3*b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(2048*a^(11//2)), x, 8),
+
+((a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)*x^3, (a*x^4*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, -(3//2), -(3//2), 7//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(4*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)*x^1, (a*x^2*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, -(3//2), -(3//2), 5//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)*x^0, (a*x*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, -(3//2), -(3//2), 4//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/x^2, -((a*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//3), -(3//2), -(3//2), 2//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(x*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))), x, 2),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/x^3, -((a*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), -(3//2), -(3//2), 1//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*x^2*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*x^14, -((7*b*x^6*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(72*c^2)) + (x^9*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(12*c) - ((5*b*(21*b^2 - 44*a*c) - 2*c*(35*b^2 - 36*a*c)*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(576*c^4) + ((35*b^4 - 120*a*b^2*c + 48*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(384*c^(9//2)), x, 6),
+(1/sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*x^11, (x^6*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(9*c) + ((15*b^2 - 16*a*c - 10*b*c*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(72*c^3) - (b*(5*b^2 - 12*a*c)*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(48*c^(7//2)), x, 5),
+(1/sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*x^8, -((b*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(4*c^2)) + (x^3*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(6*c) + ((3*b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(24*c^(5//2)), x, 5),
+(1/sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*x^5, sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/(3*c) - (b*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(6*c^(3//2)), x, 4),
+(1/sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*x^2, atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)))/(3*sqrt(c)), x, 3),
+(1/sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/x^1, -(atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)))/(3*sqrt(a))), x, 3),
+(1/sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/x^4, -(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/(3*a*x^3)) + (b*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(6*a^(3//2)), x, 4),
+(1/sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/x^7, -(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/(6*a*x^6)) + (b*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(4*a^2*x^3) - ((3*b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(24*a^(5//2)), x, 5),
+(1/sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/x^10, -(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/(9*a*x^9)) + (5*b*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(36*a^2*x^6) - ((15*b^2 - 16*a*c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(72*a^3*x^3) + (b*(5*b^2 - 12*a*c)*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(48*a^(7//2)), x, 6),
+(1/sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/x^13, -(sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/(12*a*x^12)) + (7*b*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(72*a^2*x^9) - ((35*b^2 - 36*a*c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(288*a^3*x^6) + (5*b*(21*b^2 - 44*a*c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(576*a^4*x^3) - ((35*b^4 - 120*a*b^2*c + 48*a^2*c^2)*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(384*a^(9//2)), x, 7),
+
+(1/sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*x^3, (x^4*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 1//2, 1//2, 7//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(4*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)), x, 2),
+(1/sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*x^1, (x^2*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 1//2, 1//2, 5//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)), x, 2),
+(1/sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*x^0, (x*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 1//2, 1//2, 4//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/sqrt(a + b*x^3 + c*x^6), x, 2),
+(1/sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/x^2, -((sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//3), 1//2, 1//2, 2//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(x*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))), x, 2),
+(1/sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)/x^3, -((sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), 1//2, 1//2, 1//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*x^2*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))), x, 2),
+
+
+(1/(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)*x^14, (2*x^9*(2*a + b*x^3))/(3*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)) - (2*b*x^6*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)) - ((b*(15*b^2 - 52*a*c) - 2*c*(5*b^2 - 12*a*c)*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(12*c^3*(b^2 - 4*a*c)) + ((5*b^2 - 4*a*c)*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(8*c^(7//2)), x, 6),
+(1/(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)*x^11, (2*x^6*(2*a + b*x^3))/(3*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)) + ((3*b^2 - 8*a*c - 2*b*c*x^3)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(3*c^2*(b^2 - 4*a*c)) - (b*atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(2*c^(5//2)), x, 5),
+(1/(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)*x^8, (2*x^3*(2*a + b*x^3))/(3*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)) - (2*b*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(3*c*(b^2 - 4*a*c)) + atanh((b + 2*c*x^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)))/(3*c^(3//2)), x, 5),
+(1/(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)*x^5, (2*(2*a + b*x^3))/(3*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)), x, 2),
+(1/(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)*x^2, -((2*(b + 2*c*x^3))/(3*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))), x, 2),
+(1/(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/x^1, (2*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^3))/(3*a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)) - atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)))/(3*a^(3//2)), x, 5),
+(1/(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/x^4, (2*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^3))/(3*a*(b^2 - 4*a*c)*x^3*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)) - ((3*b^2 - 8*a*c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(3*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^3) + (b*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(2*a^(5//2)), x, 5),
+(1/(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/x^7, (2*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^3))/(3*a*(b^2 - 4*a*c)*x^6*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)) - ((5*b^2 - 12*a*c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(6*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^6) + (b*(15*b^2 - 52*a*c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(12*a^3*(b^2 - 4*a*c)*x^3) - ((5*b^2 - 4*a*c)*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(8*a^(7//2)), x, 6),
+(1/(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/x^10, (2*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^3))/(3*a*(b^2 - 4*a*c)*x^9*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)) - ((7*b^2 - 16*a*c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(9*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^9) + (b*(35*b^2 - 116*a*c)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(36*a^3*(b^2 - 4*a*c)*x^6) - ((105*b^4 - 460*a*b^2*c + 256*a^2*c^2)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))/(72*a^4*(b^2 - 4*a*c)*x^3) + (5*b*(7*b^2 - 12*a*c)*atanh((2*a + b*x^3)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))))/(48*a^(9//2)), x, 7),
+
+(1/(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)*x^3, (x^4*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 3//2, 3//2, 7//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(4*a*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)), x, 2),
+(1/(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)*x^1, (x^2*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 3//2, 3//2, 5//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*a*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)), x, 2),
+(1/(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)*x^0, (x*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 3//2, 3//2, 4//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)), x, 2),
+(1/(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/x^2, -((sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//3), 3//2, 3//2, 2//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*x*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))), x, 2),
+(1/(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2)/x^3, -((sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), 3//2, 3//2, 1//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*a*x^2*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^3+c x^6)^p with m symbolic
+
+
+((d*x)^m*(a + b*x^3 + c*x^6)^2, (a^2*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (2*a*b*(d*x)^(4 + m))/(d^4*(4 + m)) + ((b^2 + 2*a*c)*(d*x)^(7 + m))/(d^7*(7 + m)) + (2*b*c*(d*x)^(10 + m))/(d^10*(10 + m)) + (c^2*(d*x)^(13 + m))/(d^13*(13 + m)), x, 2),
+((d*x)^m*(a + b*x^3 + c*x^6)^1, (a*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (b*(d*x)^(4 + m))/(d^4*(4 + m)) + (c*(d*x)^(7 + m))/(d^7*(7 + m)), x, 2),
+((d*x)^m/(a + b*x^3 + c*x^6)^1, (2*c*(d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*(1 + m)) - (2*c*(d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*(1 + m)), x, 3),
+((d*x)^m/(a + b*x^3 + c*x^6)^2, ((d*x)^(1 + m)*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^3))/(3*a*(b^2 - 4*a*c)*d*(a + b*x^3 + c*x^6)) + (c*(b^2*(2 - m) + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2 - m) - 4*a*c*(5 - m))*(d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*(1 + m)) - (c*(b^2*(2 - m) - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2 - m) - 4*a*c*(5 - m))*(d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/3, (4 + m)/3, -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*(1 + m)), x, 4),
+
+
+((d*x)^m*(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2), (a*(d*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/3, -(3//2), -(3//2), (4 + m)/3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(d*(1 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+((d*x)^m*(a + b*x^3 + c*x^6)^(1//2), ((d*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/3, -(1//2), -(1//2), (4 + m)/3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(d*(1 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+((d*x)^m/(a + b*x^3 + c*x^6)^(1//2), ((d*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/3, 1//2, 1//2, (4 + m)/3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(d*(1 + m)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)), x, 2),
+((d*x)^m/(a + b*x^3 + c*x^6)^(3//2), ((d*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/3, 3//2, 3//2, (4 + m)/3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*d*(1 + m)*sqrt(a + b*x^3 + c*x^6)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^3+c x^6)^p with p symbolic
+
+
+((d*x)^m*(a + b*x^3 + c*x^6)^p, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*x^3 + c*x^6)^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/3, -p, -p, (4 + m)/3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(d*(1 + m))), x, 2),
+
+
+# {(a + b*x^3 + c*x^6)^p*x^8, x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((b*(2 + p)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(1 + p))/(6*c^2*(1 + p)*(3 + 2*p))) + (x^3*(a + b*x^3 + c*x^6)^(1 + p))/(3*c*(3 + 2*p)) + (2^p*(2*a*c - b^2*(2 + p))*(-((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x^3)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(-1 - p)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-p, 1 + p, 2 + p, (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x^3)/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(3*c^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(1 + p)*(3 + 2*p)), -((b*(2 + p)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(1 + p))/(6*c^2*(3 + 5*p + 2*p^2))) + (x^3*(a + b*x^3 + c*x^6)^(1 + p))/(3*c*(3 + 2*p)) + (2^p*(2*a*c - b^2*(2 + p))*(-((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x^3)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^(-1 - p)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-p, 1 + p, 2 + p, (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x^3)/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(3*c^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(1 + p)*(3 + 2*p))]}
+((a + b*x^3 + c*x^6)^p*x^5, (a + b*x^3 + c*x^6)^(1 + p)/(6*c*(1 + p)) + (2^p*b*(-((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^3)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(-1 - p)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1 + p, 2 + p, (b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^3)/(2*sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(3*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 + p)), x, 3),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^p*x^2, -((2^(1 + p)*(-((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^3)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))^(-1 - p)*(a + b*x^3 + c*x^6)^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-p, 1 + p, 2 + p, (b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^3)/(2*sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 + p))), x, 2),
+
+((a + b*x^3 + c*x^6)^p*x^4, ((1//5)*x^5*(a + b*x^3 + c*x^6)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(5//3, -p, -p, 8//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p), x, 2),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^p*x^3, ((1//4)*x^4*(a + b*x^3 + c*x^6)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, -p, -p, 7//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p), x, 2),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^p*x^1, ((1//2)*x^2*(a + b*x^3 + c*x^6)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, -p, -p, 5//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p), x, 2),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^p*x^0, (x*(a + b*x^3 + c*x^6)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, -p, -p, 4//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p), x, 2),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^p/x^1, (2^(-1 + 2*p)*(a + b*x^3 + c*x^6)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-2*p, -p, -p, 1 - 2*p, -((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*c*x^3)), -((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*c*x^3))))/(((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^3)/(c*x^3))^p*((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^3)/(c*x^3))^p*(3*p)), x, 3),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^p/x^2, -(((a + b*x^3 + c*x^6)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//3), -p, -p, 2//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*x)), x, 2),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^p/x^3, -(((a + b*x^3 + c*x^6)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), -p, -p, 1//3, -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(2*x^2))), x, 2),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^p/x^4, -((4^p*(a + b*x^3 + c*x^6)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 - 2*p, -p, -p, 2*(1 - p), -((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*c*x^3)), -((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*c*x^3))))/(((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^3)/(c*x^3))^p*((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^3)/(c*x^3))^p*(3*(1 - 2*p)*x^3))), x, 3),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^p/x^5, -(((a + b*x^3 + c*x^6)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-(4//3), -p, -p, -(1//3), -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(4*x^4))), x, 2),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^p/x^6, -(((a + b*x^3 + c*x^6)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(-(5//3), -p, -p, -(2//3), -((2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(5*x^5))), x, 2),
+((a + b*x^3 + c*x^6)^p/x^7, -((2^(-1 + 2*p)*(a + b*x^3 + c*x^6)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(2*(1 - p), -p, -p, 3 - 2*p, -((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*c*x^3)), -((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*c*x^3))))/(((b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^3)/(c*x^3))^p*((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^3)/(c*x^3))^p*(3*(1 - p)*x^6))), x, 3),
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+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^4+c x^8)^p
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^4+c x^8)^p with b^2-4 a c=0
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^4+c x^8)^p
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+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(x^m/(1 + 2*x^4 + x^8), (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/4, (5 + m)/4, -x^4))/(1 + m), x, 2),
+
+(x^9/(1 + 2*x^4 + x^8), (3*x^2)/4 - x^6/(4*(1 + x^4)) - (3*atan(x^2))/4, x, 5),
+(x^7/(1 + 2*x^4 + x^8), 1/(4*(1 + x^4)) + (1//4)*log(1 + x^4), x, 4),
+(x^5/(1 + 2*x^4 + x^8), -(x^2/(4*(1 + x^4))) + atan(x^2)/4, x, 4),
+(x^3/(1 + 2*x^4 + x^8), -(1/(4*(1 + x^4))), x, 2),
+(x^1/(1 + 2*x^4 + x^8), x^2/(4*(1 + x^4)) + atan(x^2)/4, x, 4),
+(1/(x^1*(1 + 2*x^4 + x^8)), 1/(4*(1 + x^4)) + log(x) - (1//4)*log(1 + x^4), x, 4),
+(1/(x^3*(1 + 2*x^4 + x^8)), -(3/(4*x^2)) + 1/(4*x^2*(1 + x^4)) - (3*atan(x^2))/4, x, 5),
+(1/(x^5*(1 + 2*x^4 + x^8)), -(1/(4*x^4)) - 1/(4*(1 + x^4)) - 2*log(x) + (1//2)*log(1 + x^4), x, 4),
+(1/(x^7*(1 + 2*x^4 + x^8)), -(5/(12*x^6)) + 5/(4*x^2) + 1/(4*x^6*(1 + x^4)) + (5*atan(x^2))/4, x, 6),
+
+(x^8/(1 + 2*x^4 + x^8), (5*x)/4 - x^5/(4*(1 + x^4)) + (5*atan(1 - sqrt(2)*x))/(8*sqrt(2)) - (5*atan(1 + sqrt(2)*x))/(8*sqrt(2)) + (5*log(1 - sqrt(2)*x + x^2))/(16*sqrt(2)) - (5*log(1 + sqrt(2)*x + x^2))/(16*sqrt(2)), x, 12),
+(x^6/(1 + 2*x^4 + x^8), -(x^3/(4*(1 + x^4))) - (3*atan(1 - sqrt(2)*x))/(8*sqrt(2)) + (3*atan(1 + sqrt(2)*x))/(8*sqrt(2)) + (3*log(1 - sqrt(2)*x + x^2))/(16*sqrt(2)) - (3*log(1 + sqrt(2)*x + x^2))/(16*sqrt(2)), x, 11),
+(x^4/(1 + 2*x^4 + x^8), -(x/(4*(1 + x^4))) - atan(1 - sqrt(2)*x)/(8*sqrt(2)) + atan(1 + sqrt(2)*x)/(8*sqrt(2)) - log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(16*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(16*sqrt(2)), x, 11),
+(x^2/(1 + 2*x^4 + x^8), x^3/(4*(1 + x^4)) - atan(1 - sqrt(2)*x)/(8*sqrt(2)) + atan(1 + sqrt(2)*x)/(8*sqrt(2)) + log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(16*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(16*sqrt(2)), x, 11),
+(1/(1 + 2*x^4 + x^8), x/(4*(1 + x^4)) - (3*atan(1 - sqrt(2)*x))/(8*sqrt(2)) + (3*atan(1 + sqrt(2)*x))/(8*sqrt(2)) - (3*log(1 - sqrt(2)*x + x^2))/(16*sqrt(2)) + (3*log(1 + sqrt(2)*x + x^2))/(16*sqrt(2)), x, 11),
+(1/(x^2*(1 + 2*x^4 + x^8)), -(5/(4*x)) + 1/(4*x*(1 + x^4)) + (5*atan(1 - sqrt(2)*x))/(8*sqrt(2)) - (5*atan(1 + sqrt(2)*x))/(8*sqrt(2)) - (5*log(1 - sqrt(2)*x + x^2))/(16*sqrt(2)) + (5*log(1 + sqrt(2)*x + x^2))/(16*sqrt(2)), x, 12),
+(1/(x^4*(1 + 2*x^4 + x^8)), -(7/(12*x^3)) + 1/(4*x^3*(1 + x^4)) + (7*atan(1 - sqrt(2)*x))/(8*sqrt(2)) - (7*atan(1 + sqrt(2)*x))/(8*sqrt(2)) + (7*log(1 - sqrt(2)*x + x^2))/(16*sqrt(2)) - (7*log(1 + sqrt(2)*x + x^2))/(16*sqrt(2)), x, 12),
+(1/(x^6*(1 + 2*x^4 + x^8)), -(9/(20*x^5)) + 9/(4*x) + 1/(4*x^5*(1 + x^4)) - (9*atan(1 - sqrt(2)*x))/(8*sqrt(2)) + (9*atan(1 + sqrt(2)*x))/(8*sqrt(2)) + (9*log(1 - sqrt(2)*x + x^2))/(16*sqrt(2)) - (9*log(1 + sqrt(2)*x + x^2))/(16*sqrt(2)), x, 13),
+(1/(x^8*(1 + 2*x^4 + x^8)), -(11/(28*x^7)) + 11/(12*x^3) + 1/(4*x^7*(1 + x^4)) - (11*atan(1 - sqrt(2)*x))/(8*sqrt(2)) + (11*atan(1 + sqrt(2)*x))/(8*sqrt(2)) - (11*log(1 - sqrt(2)*x + x^2))/(16*sqrt(2)) + (11*log(1 + sqrt(2)*x + x^2))/(16*sqrt(2)), x, 13),
+
+
+(x^m/(1 - 2*x^4 + x^8), (x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (1 + m)/4, (5 + m)/4, x^4))/(1 + m), x, 2),
+
+(x^9/(1 - 2*x^4 + x^8), (3*x^2)/4 + x^6/(4*(1 - x^4)) - (3*atanh(x^2))/4, x, 5),
+(x^7/(1 - 2*x^4 + x^8), 1/(4*(1 - x^4)) + (1//4)*log(1 - x^4), x, 4),
+(x^5/(1 - 2*x^4 + x^8), x^2/(4*(1 - x^4)) - atanh(x^2)/4, x, 4),
+(x^3/(1 - 2*x^4 + x^8), 1/(4*(1 - x^4)), x, 2),
+(x^1/(1 - 2*x^4 + x^8), x^2/(4*(1 - x^4)) + atanh(x^2)/4, x, 4),
+(1/(x^1*(1 - 2*x^4 + x^8)), 1/(4*(1 - x^4)) + log(x) - (1//4)*log(1 - x^4), x, 4),
+(1/(x^3*(1 - 2*x^4 + x^8)), -(3/(4*x^2)) + 1/(4*x^2*(1 - x^4)) + (3*atanh(x^2))/4, x, 5),
+(1/(x^5*(1 - 2*x^4 + x^8)), -(1/(4*x^4)) + 1/(4*(1 - x^4)) + 2*log(x) - (1//2)*log(1 - x^4), x, 4),
+(1/(x^7*(1 - 2*x^4 + x^8)), -(5/(12*x^6)) - 5/(4*x^2) + 1/(4*x^6*(1 - x^4)) + (5*atanh(x^2))/4, x, 6),
+
+(x^8/(1 - 2*x^4 + x^8), (5*x)/4 + x^5/(4*(1 - x^4)) - (5*atan(x))/8 - (5*atanh(x))/8, x, 6),
+(x^6/(1 - 2*x^4 + x^8), x^3/(4*(1 - x^4)) + (3*atan(x))/8 - (3*atanh(x))/8, x, 5),
+(x^4/(1 - 2*x^4 + x^8), x/(4*(1 - x^4)) - atan(x)/8 - atanh(x)/8, x, 5),
+(x^2/(1 - 2*x^4 + x^8), x^3/(4*(1 - x^4)) - atan(x)/8 + atanh(x)/8, x, 5),
+(1/(1 - 2*x^4 + x^8), x/(4*(1 - x^4)) + (3*atan(x))/8 + (3*atanh(x))/8, x, 5),
+(1/(x^2*(1 - 2*x^4 + x^8)), -(5/(4*x)) + 1/(4*x*(1 - x^4)) - (5*atan(x))/8 + (5*atanh(x))/8, x, 6),
+(1/(x^4*(1 - 2*x^4 + x^8)), -(7/(12*x^3)) + 1/(4*x^3*(1 - x^4)) + (7*atan(x))/8 + (7*atanh(x))/8, x, 6),
+(1/(x^6*(1 - 2*x^4 + x^8)), -(9/(20*x^5)) - 9/(4*x) + 1/(4*x^5*(1 - x^4)) - (9*atan(x))/8 + (9*atanh(x))/8, x, 7),
+(1/(x^8*(1 - 2*x^4 + x^8)), -(11/(28*x^7)) - 11/(12*x^3) + 1/(4*x^7*(1 - x^4)) + (11*atan(x))/8 + (11*atanh(x))/8, x, 7),
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+# Integrands of the form x^m (a+b x^4+c x^8)^(p/2)
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+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^4+c x^8)^p
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+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^4+c x^8)^(p/2)
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+# p<0
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^4+c x^8)^p
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+# Integrands of the form x^m (a+b x^4+c x^8)^p
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+(x^m/(a + b*x^4 + c*x^8), (2*c*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/4, (5 + m)/4, -((2*c*x^4)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(1 + m)) - (2*c*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/4, (5 + m)/4, -((2*c*x^4)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(1 + m)), x, 3),
+
+(x^11/(a + b*x^4 + c*x^8), x^4/(4*c) - ((b^2 - 2*a*c)*atanh((b + 2*c*x^4)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(4*c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (b*log(a + b*x^4 + c*x^8))/(8*c^2), x, 6),
+(x^9/(a + b*x^4 + c*x^8), x^2/(2*c) - ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x^2)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x^2)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^7/(a + b*x^4 + c*x^8), (b*atanh((b + 2*c*x^4)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(4*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + log(a + b*x^4 + c*x^8)/(8*c), x, 5),
+(x^5/(a + b*x^4 + c*x^8), -((sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x^2)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x^2)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 4),
+(x^3/(a + b*x^4 + c*x^8), -(atanh((b + 2*c*x^4)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 3),
+(x^1/(a + b*x^4 + c*x^8), (sqrt(c)*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x^2)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x^2)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+(1/(x^1*(a + b*x^4 + c*x^8)), (b*atanh((b + 2*c*x^4)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(4*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + log(x)/a - log(a + b*x^4 + c*x^8)/(8*a), x, 7),
+(1/(x^3*(a + b*x^4 + c*x^8)), -(1/(2*a*x^2)) - (sqrt(c)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x^2)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x^2)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(1/(x^5*(a + b*x^4 + c*x^8)), -(1/(4*a*x^4)) - ((b^2 - 2*a*c)*atanh((b + 2*c*x^4)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(4*a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x^4 + c*x^8))/(8*a^2), x, 8),
+
+(x^10/(a + b*x^4 + c*x^8), x^3/(3*c) - ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*c^(7//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*c^(7//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*c^(7//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*c^(7//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), x, 8),
+(x^8/(a + b*x^4 + c*x^8), x/c + ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(5//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(5//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(5//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(5//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)), x, 8),
+(x^6/(a + b*x^4 + c*x^8), -(((-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*c^(3//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*c^(3//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*c^(3//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*c^(3//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 7),
+(x^4/(a + b*x^4 + c*x^8), ((-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 7),
+(x^2/(a + b*x^4 + c*x^8), -((c^(1//4)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4))) + (c^(1//4)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + (c^(1//4)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - (c^(1//4)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(3//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), x, 7),
+(x^0/(a + b*x^4 + c*x^8), (c^(3//4)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(1//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - (c^(3//4)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(1//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + (c^(3//4)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(1//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - (c^(3//4)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2^(1//4)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)), x, 7),
+(1/(x^2*(a + b*x^4 + c*x^8)), -(1/(a*x)) - (c^(1//4)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*a*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - (c^(1//4)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*a*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + (c^(1//4)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*a*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + (c^(1//4)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*a*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), x, 8),
+(1/(x^4*(a + b*x^4 + c*x^8)), -(1/(3*a*x^3)) + (c^(3//4)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*a*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + (c^(3//4)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*a*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + (c^(3//4)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*a*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + (c^(3//4)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*a*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)), x, 8),
+
+
+(x^m/(1 + x^4 + x^8), (2*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/4, (5 + m)/4, -((2*x^4)/(1 - I*sqrt(3)))))/(sqrt(3)*(I + sqrt(3))*(1 + m)) - (2*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/4, (5 + m)/4, -((2*x^4)/(1 + I*sqrt(3)))))/(sqrt(3)*(I - sqrt(3))*(1 + m)), x, 3),
+
+(x^11/(1 + x^4 + x^8), x^4//4 - atan((1 + 2*x^4)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) - (1//8)*log(1 + x^4 + x^8), x, 6),
+(x^9/(1 + x^4 + x^8), x^2//2 + atan((1 - 2*x^2)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)), x, 7),
+(x^7/(1 + x^4 + x^8), -(atan((1 + 2*x^4)/sqrt(3))/(4*sqrt(3))) + (1//8)*log(1 + x^4 + x^8), x, 5),
+(x^5/(1 + x^4 + x^8), -(atan((1 - 2*x^2)/sqrt(3))/(4*sqrt(3))) + atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) + (1//8)*log(1 - x^2 + x^4) - (1//8)*log(1 + x^2 + x^4), x, 10),
+(x^3/(1 + x^4 + x^8), atan((1 + 2*x^4)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)), x, 3),
+(x^1/(1 + x^4 + x^8), -(atan((1 - 2*x^2)/sqrt(3))/(4*sqrt(3))) + atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) - (1//8)*log(1 - x^2 + x^4) + (1//8)*log(1 + x^2 + x^4), x, 10),
+(1/(x^1*(1 + x^4 + x^8)), -(atan((1 + 2*x^4)/sqrt(3))/(4*sqrt(3))) + log(x) - (1//8)*log(1 + x^4 + x^8), x, 7),
+(1/(x^3*(1 + x^4 + x^8)), -(1/(2*x^2)) + atan((1 - 2*x^2)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)), x, 7),
+(1/(x^5*(1 + x^4 + x^8)), -(1/(4*x^4)) - atan((1 + 2*x^4)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) - log(x) + (1//8)*log(1 + x^4 + x^8), x, 8),
+(1/(x^7*(1 + x^4 + x^8)), -(1/(6*x^6)) + 1/(2*x^2) - atan((1 - 2*x^2)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) + atan((1 + 2*x^2)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) + (1//8)*log(1 - x^2 + x^4) - (1//8)*log(1 + x^2 + x^4), x, 13),
+
+(x^8/(1 + x^4 + x^8), x + atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) + (1//4)*atan(sqrt(3) - 2*x) - atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) - (1//4)*atan(sqrt(3) + 2*x) + (1//8)*log(1 - x + x^2) - (1//8)*log(1 + x + x^2) + log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(8*sqrt(3)) - log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(8*sqrt(3)), x, 20),
+(x^6/(1 + x^4 + x^8), -(atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3))) + atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) + log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)) - log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)), x, 9),
+(x^4/(1 + x^4 + x^8), atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) - (1//4)*atan(sqrt(3) - 2*x) - atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) + (1//4)*atan(sqrt(3) + 2*x) - (1//8)*log(1 - x + x^2) + (1//8)*log(1 + x + x^2) + log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(8*sqrt(3)) - log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(8*sqrt(3)), x, 19),
+(x^2/(1 + x^4 + x^8), atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) - (1//4)*atan(sqrt(3) - 2*x) - atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) + (1//4)*atan(sqrt(3) + 2*x) + (1//8)*log(1 - x + x^2) - (1//8)*log(1 + x + x^2) - log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(8*sqrt(3)) + log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(8*sqrt(3)), x, 19),
+(x^0/(1 + x^4 + x^8), -(atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3))) + atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) - log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)) + log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)), x, 9),
+(1/(x^2*(1 + x^4 + x^8)), -(1/x) + atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) + (1//4)*atan(sqrt(3) - 2*x) - atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) - (1//4)*atan(sqrt(3) + 2*x) - (1//8)*log(1 - x + x^2) + (1//8)*log(1 + x + x^2) - log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(8*sqrt(3)) + log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(8*sqrt(3)), x, 20),
+(1/(x^4*(1 + x^4 + x^8)), -(1/(3*x^3)) + atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) + (1//4)*atan(sqrt(3) - 2*x) - atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) - (1//4)*atan(sqrt(3) + 2*x) + (1//8)*log(1 - x + x^2) - (1//8)*log(1 + x + x^2) + log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(8*sqrt(3)) - log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(8*sqrt(3)), x, 20),
+(1/(x^6*(1 + x^4 + x^8)), -(1/(5*x^5)) + 1/x - atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) + atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/(2*sqrt(3)) + log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)) - log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(4*sqrt(3)), x, 12),
+(1/(x^8*(1 + x^4 + x^8)), -(1/(7*x^7)) + 1/(3*x^3) + atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) - (1//4)*atan(sqrt(3) - 2*x) - atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) + (1//4)*atan(sqrt(3) + 2*x) - (1//8)*log(1 - x + x^2) + (1//8)*log(1 + x + x^2) + log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(8*sqrt(3)) - log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(8*sqrt(3)), x, 22),
+
+
+(x^m/(1 - x^4 + x^8), (2*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/4, (5 + m)/4, (2*x^4)/(1 - I*sqrt(3))))/(sqrt(3)*(I + sqrt(3))*(1 + m)) - (2*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/4, (5 + m)/4, (2*x^4)/(1 + I*sqrt(3))))/(sqrt(3)*(I - sqrt(3))*(1 + m)), x, 3),
+
+(x^11/(1 - x^4 + x^8), x^4//4 + atan((1 - 2*x^4)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) + (1//8)*log(1 - x^4 + x^8), x, 6),
+(x^9/(1 - x^4 + x^8), x^2//2 + log(1 - sqrt(3)*x^2 + x^4)/(4*sqrt(3)) - log(1 + sqrt(3)*x^2 + x^4)/(4*sqrt(3)), x, 5),
+(x^7/(1 - x^4 + x^8), -(atan((1 - 2*x^4)/sqrt(3))/(4*sqrt(3))) + (1//8)*log(1 - x^4 + x^8), x, 5),
+(x^5/(1 - x^4 + x^8), (-(1//4))*atan(sqrt(3) - 2*x^2) + (1//4)*atan(sqrt(3) + 2*x^2) + log(1 - sqrt(3)*x^2 + x^4)/(8*sqrt(3)) - log(1 + sqrt(3)*x^2 + x^4)/(8*sqrt(3)), x, 10),
+(x^3/(1 - x^4 + x^8), -(atan((1 - 2*x^4)/sqrt(3))/(2*sqrt(3))), x, 3),
+(x^1/(1 - x^4 + x^8), (-(1//4))*atan(sqrt(3) - 2*x^2) + (1//4)*atan(sqrt(3) + 2*x^2) - log(1 - sqrt(3)*x^2 + x^4)/(8*sqrt(3)) + log(1 + sqrt(3)*x^2 + x^4)/(8*sqrt(3)), x, 10),
+(1/(x^1*(1 - x^4 + x^8)), -(atan((1 - 2*x^4)/sqrt(3))/(4*sqrt(3))) + log(x) - (1//8)*log(1 - x^4 + x^8), x, 7),
+(1/(x^3*(1 - x^4 + x^8)), -(1/(2*x^2)) - log(1 - sqrt(3)*x^2 + x^4)/(4*sqrt(3)) + log(1 + sqrt(3)*x^2 + x^4)/(4*sqrt(3)), x, 5),
+(1/(x^5*(1 - x^4 + x^8)), -(1/(4*x^4)) + atan((1 - 2*x^4)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) + log(x) - (1//8)*log(1 - x^4 + x^8), x, 8),
+(1/(x^7*(1 - x^4 + x^8)), -(1/(6*x^6)) - 1/(2*x^2) + (1//4)*atan(sqrt(3) - 2*x^2) - (1//4)*atan(sqrt(3) + 2*x^2) - log(1 - sqrt(3)*x^2 + x^4)/(8*sqrt(3)) + log(1 + sqrt(3)*x^2 + x^4)/(8*sqrt(3)), x, 13),
+
+(x^8/(1 - x^4 + x^8), x + atan((sqrt(2 - sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))) - atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 + sqrt(3)))) - atan((sqrt(2 - sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))) + atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 + sqrt(3)))) - (1//8)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2) + (1//8)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2) + (1//8)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*log(1 - sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2) - (1//8)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*log(1 + sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2), x, 20),
+(x^6/(1 - x^4 + x^8), -(atan((sqrt(2 - sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(2*sqrt(6))) - atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) + atan((sqrt(2 - sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) + atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) + log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)) - log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)) + log(1 - sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)) - log(1 + sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)), x, 19),
+(x^4/(1 - x^4 + x^8), atan((sqrt(2 - sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 + sqrt(3)))) - atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))) - atan((sqrt(2 - sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 + sqrt(3)))) + atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))) - log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(8*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))) + log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(8*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))) + log(1 - sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2)/(8*sqrt(3*(2 + sqrt(3)))) - log(1 + sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2)/(8*sqrt(3*(2 + sqrt(3)))), x, 19),
+(x^2/(1 - x^4 + x^8), (1//4)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*atan((sqrt(2 - sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3))) - (1//4)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3))) - (1//4)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*atan((sqrt(2 - sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3))) + (1//4)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3))) + log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(8*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))) - log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(8*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))) - log(1 - sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2)/(8*sqrt(3*(2 + sqrt(3)))) + log(1 + sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2)/(8*sqrt(3*(2 + sqrt(3)))), x, 19),
+(x^0/(1 - x^4 + x^8), -(atan((sqrt(2 - sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(2*sqrt(6))) - atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) + atan((sqrt(2 - sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) + atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) - log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)) + log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)) - log(1 - sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)) + log(1 + sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)), x, 19),
+(1/(x^2*(1 - x^4 + x^8)), -(1/x) + atan((sqrt(2 - sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))) - atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 + sqrt(3)))) - atan((sqrt(2 - sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))) + atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 + sqrt(3)))) + (1//8)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2) - (1//8)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2) - (1//8)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*log(1 - sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2) + (1//8)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*log(1 + sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2), x, 22),
+(1/(x^4*(1 - x^4 + x^8)), -(1/(3*x^3)) - (1//4)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*atan((sqrt(2 - sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3))) + (1//4)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3))) + (1//4)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*atan((sqrt(2 - sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3))) - (1//4)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3))) + (1//8)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2) - (1//8)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2) - (1//8)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*log(1 - sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2) + (1//8)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*log(1 + sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2), x, 20),
+(1/(x^6*(1 - x^4 + x^8)), -(1/(5*x^5)) - 1/x + atan((sqrt(2 - sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) + atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) - atan((sqrt(2 - sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) - atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) - log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)) + log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)) - log(1 - sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)) + log(1 + sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)), x, 22),
+(1/(x^8*(1 - x^4 + x^8)), -(1/(7*x^7)) - 1/(3*x^3) - (1//4)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*atan((sqrt(2 - sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3))) + (1//4)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3))) + (1//4)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*atan((sqrt(2 - sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3))) - (1//4)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3))) + (1//8)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2) - (1//8)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2) - (1//8)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*log(1 - sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2) + (1//8)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*log(1 + sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2), x, 22),
+
+
+(x^m/(1 + 3*x^4 + x^8), (2*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/4, (5 + m)/4, -((2*x^4)/(3 - sqrt(5)))))/(sqrt(5)*(3 - sqrt(5))*(1 + m)) - (2*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/4, (5 + m)/4, -((2*x^4)/(3 + sqrt(5)))))/(sqrt(5)*(3 + sqrt(5))*(1 + m)), x, 3),
+
+(x^11/(1 + 3*x^4 + x^8), x^4//4 - (1//40)*(15 - 7*sqrt(5))*log(3 - sqrt(5) + 2*x^4) - (1//40)*(15 + 7*sqrt(5))*log(3 + sqrt(5) + 2*x^4), x, 5),
+(x^9/(1 + 3*x^4 + x^8), x^2//2 - (1//2)*sqrt((1//5)*(9 + 4*sqrt(5)))*atan(sqrt(2/(3 + sqrt(5)))*x^2) + (1//2)*sqrt((1//5)*(9 - 4*sqrt(5)))*atan(sqrt((1//2)*(3 + sqrt(5)))*x^2), x, 5),
+(x^7/(1 + 3*x^4 + x^8), (1//40)*(5 - 3*sqrt(5))*log(3 - sqrt(5) + 2*x^4) + (1//40)*(5 + 3*sqrt(5))*log(3 + sqrt(5) + 2*x^4), x, 4),
+(x^5/(1 + 3*x^4 + x^8), (1//2)*sqrt((1//10)*(3 + sqrt(5)))*atan(sqrt(2/(3 + sqrt(5)))*x^2) - (1//2)*sqrt((1//10)*(3 - sqrt(5)))*atan(sqrt((1//2)*(3 + sqrt(5)))*x^2), x, 4),
+(x^3/(1 + 3*x^4 + x^8), -(atanh((3 + 2*x^4)/sqrt(5))/(2*sqrt(5))), x, 3),
+(x^1/(1 + 3*x^4 + x^8), -(atan(sqrt(2/(3 + sqrt(5)))*x^2)/sqrt(10*(3 + sqrt(5)))) + (1//2)*sqrt((1//10)*(3 + sqrt(5)))*atan(sqrt((1//2)*(3 + sqrt(5)))*x^2), x, 4),
+(1/(x^1*(1 + 3*x^4 + x^8)), log(x) - (1//40)*(5 + 3*sqrt(5))*log(3 - sqrt(5) + 2*x^4) - (1//40)*(5 - 3*sqrt(5))*log(3 + sqrt(5) + 2*x^4), x, 6),
+(1/(x^3*(1 + 3*x^4 + x^8)), -(1/(2*x^2)) + (1//2)*sqrt((1//5)*(9 - 4*sqrt(5)))*atan(sqrt(2/(3 + sqrt(5)))*x^2) - ((3 + sqrt(5))^(3//2)*atan(sqrt((1//2)*(3 + sqrt(5)))*x^2))/(4*sqrt(10)), x, 5),
+(1/(x^5*(1 + 3*x^4 + x^8)), -(1/(4*x^4)) - 3*log(x) + (1//40)*(15 + 7*sqrt(5))*log(3 - sqrt(5) + 2*x^4) + (1//40)*(15 - 7*sqrt(5))*log(3 + sqrt(5) + 2*x^4), x, 7),
+(1/(x^7*(1 + 3*x^4 + x^8)), -(1/(6*x^6)) + 3/(2*x^2) - (1//2)*sqrt((1//10)*(123 - 55*sqrt(5)))*atan(sqrt(2/(3 + sqrt(5)))*x^2) + (1//2)*sqrt((1//10)*(123 + 55*sqrt(5)))*atan(sqrt((1//2)*(3 + sqrt(5)))*x^2), x, 6),
+
+(x^8/(1 + 3*x^4 + x^8), x -((123 - 55*sqrt(5))^(1//4)*atan(1 - (2^(3//4)*x)/(3 - sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(5)) + ((123 - 55*sqrt(5))^(1//4)*atan(1 + (2^(3//4)*x)/(3 - sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(5)) + ((123 + 55*sqrt(5))^(1//4)*atan(1 - (2^(3//4)*x)/(3 + sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(5)) - ((123 + 55*sqrt(5))^(1//4)*atan(1 + (2^(3//4)*x)/(3 + sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(5)) - ((123 - 55*sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 - sqrt(5))) - 2*(2*(3 - sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)*sqrt(5)) + ((123 - 55*sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 - sqrt(5))) + 2*(2*(3 - sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)*sqrt(5)) + ((123 + 55*sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 + sqrt(5))) - 2*(2*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)*sqrt(5)) - ((123 + 55*sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 + sqrt(5))) + 2*(2*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)*sqrt(5)), x, 20),
+# {x^6/(1 + 3*x^4 + x^8), x, 19, If[$VersionNumber<11, ((3 - Sqrt[5])^(3/4)*ArcTan[1 - (2^(3/4)*x)/(3 - Sqrt[5])^(1/4)])/(4*2^(1/4)*Sqrt[5]) - ((3 - Sqrt[5])^(3/4)*ArcTan[1 + (2^(3/4)*x)/(3 - Sqrt[5])^(1/4)])/(4*2^(1/4)*Sqrt[5]) - ((3 + Sqrt[5])^(3/4)*ArcTan[1 - (2^(3/4)*x)/(3 + Sqrt[5])^(1/4)])/(4*2^(1/4)*Sqrt[5]) + ((3 + Sqrt[5])^(3/4)*ArcTan[1 + (2^(3/4)*x)/(3 + Sqrt[5])^(1/4)])/(4*2^(1/4)*Sqrt[5]) - ((3 - Sqrt[5])^(3/4)*Log[Sqrt[2*(3 - Sqrt[5])] - 2*(2*(3 - Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2])/(8*2^(1/4)*Sqrt[5]) + ((3 - Sqrt[5])^(3/4)*Log[Sqrt[2*(3 - Sqrt[5])] + 2*(2*(3 - Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2])/(8*2^(1/4)*Sqrt[5]) + ((3 + Sqrt[5])^(3/4)*Log[Sqrt[2*(3 + Sqrt[5])] - 2*(2*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2])/(8*2^(1/4)*Sqrt[5]) - ((3 + Sqrt[5])^(3/4)*Log[Sqrt[2*(3 + Sqrt[5])] + 2*(2*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2])/(8*2^(1/4)*Sqrt[5]), ((9 - 4*Sqrt[5])^(1/4)*ArcTan[1 - (2^(3/4)*x)/(3 - Sqrt[5])^(1/4)])/(2*Sqrt[10]) - ((9 - 4*Sqrt[5])^(1/4)*ArcTan[1 + (2^(3/4)*x)/(3 - Sqrt[5])^(1/4)])/(2*Sqrt[10]) - ((3 + Sqrt[5])^(3/4)*ArcTan[1 - (2^(3/4)*x)/(3 + Sqrt[5])^(1/4)])/(4*2^(1/4)*Sqrt[5]) + ((3 + Sqrt[5])^(3/4)*ArcTan[1 + (2^(3/4)*x)/(3 + Sqrt[5])^(1/4)])/(4*2^(1/4)*Sqrt[5]) - ((9 - 4*Sqrt[5])^(1/4)*Log[Sqrt[2*(3 - Sqrt[5])] - 2*(2*(3 - Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2])/(4*Sqrt[10]) + ((9 - 4*Sqrt[5])^(1/4)*Log[Sqrt[2*(3 - Sqrt[5])] + 2*(2*(3 - Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2])/(4*Sqrt[10]) + ((3 + Sqrt[5])^(3/4)*Log[Sqrt[2*(3 + Sqrt[5])] - 2*(2*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2])/(8*2^(1/4)*Sqrt[5]) - ((3 + Sqrt[5])^(3/4)*Log[Sqrt[2*(3 + Sqrt[5])] + 2*(2*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2])/(8*2^(1/4)*Sqrt[5])]}
+(x^4/(1 + 3*x^4 + x^8), ((3 - sqrt(5))^(1//4)*atan(1 - (2^(3//4)*x)/(3 - sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(5)) - ((3 - sqrt(5))^(1//4)*atan(1 + (2^(3//4)*x)/(3 - sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(5)) - ((3 + sqrt(5))^(1//4)*atan(1 - (2^(3//4)*x)/(3 + sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(5)) + ((3 + sqrt(5))^(1//4)*atan(1 + (2^(3//4)*x)/(3 + sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(5)) + ((3 - sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 - sqrt(5))) - 2*(2*(3 - sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)*sqrt(5)) - ((3 - sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 - sqrt(5))) + 2*(2*(3 - sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)*sqrt(5)) - ((3 + sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 + sqrt(5))) - 2*(2*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)*sqrt(5)) + ((3 + sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 + sqrt(5))) + 2*(2*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)*sqrt(5)), x, 19),
+(x^2/(1 + 3*x^4 + x^8), -(atan(1 - (2^(3//4)*x)/(3 - sqrt(5))^(1//4))/(2*sqrt(5)*(2*(3 - sqrt(5)))^(1//4))) + atan(1 + (2^(3//4)*x)/(3 - sqrt(5))^(1//4))/(2*sqrt(5)*(2*(3 - sqrt(5)))^(1//4)) + atan(1 - (2^(3//4)*x)/(3 + sqrt(5))^(1//4))/(2*sqrt(5)*(2*(3 + sqrt(5)))^(1//4)) - atan(1 + (2^(3//4)*x)/(3 + sqrt(5))^(1//4))/(2*sqrt(5)*(2*(3 + sqrt(5)))^(1//4)) + log(sqrt(2*(3 - sqrt(5))) - 2*(2*(3 - sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2)/(4*sqrt(5)*(2*(3 - sqrt(5)))^(1//4)) - log(sqrt(2*(3 - sqrt(5))) + 2*(2*(3 - sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2)/(4*sqrt(5)*(2*(3 - sqrt(5)))^(1//4)) - log(sqrt(2*(3 + sqrt(5))) - 2*(2*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2)/(4*sqrt(5)*(2*(3 + sqrt(5)))^(1//4)) + log(sqrt(2*(3 + sqrt(5))) + 2*(2*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2)/(4*sqrt(5)*(2*(3 + sqrt(5)))^(1//4)), x, 19),
+# {x^0/(1 + 3*x^4 + x^8), x, 19, If[$VersionNumber<11, (-(1/20))*Sqrt[20 + 10*Sqrt[5]]*ArcTan[1 - Sqrt[1 + Sqrt[5]]*x] + (1/20)*Sqrt[-20 + 10*Sqrt[5]]*ArcTan[1 - Sqrt[-1 + Sqrt[5]]*x] + (1/20)*Sqrt[20 + 10*Sqrt[5]]*ArcTan[1 + Sqrt[1 + Sqrt[5]]*x] - (1/20)*Sqrt[-20 + 10*Sqrt[5]]*ArcTan[1 + Sqrt[-1 + Sqrt[5]]*x] - (1/40)*Sqrt[20 + 10*Sqrt[5]]*Log[-1 + Sqrt[5] - 2*Sqrt[-1 + Sqrt[5]]*x + 2*x^2] + (1/40)*Sqrt[20 + 10*Sqrt[5]]*Log[-1 + Sqrt[5] + 2*Sqrt[-1 + Sqrt[5]]*x + 2*x^2] + (1/40)*Sqrt[-20 + 10*Sqrt[5]]*Log[1 + Sqrt[5] - 2*Sqrt[1 + Sqrt[5]]*x + 2*x^2] - (1/40)*Sqrt[-20 + 10*Sqrt[5]]*Log[1 + Sqrt[5] + 2*Sqrt[1 + Sqrt[5]]*x + 2*x^2], -(((9 + 4*Sqrt[5])^(1/4)*ArcTan[1 - (2^(3/4)*x)/(3 - Sqrt[5])^(1/4)])/(2*Sqrt[10])) + ((9 + 4*Sqrt[5])^(1/4)*ArcTan[1 + (2^(3/4)*x)/(3 - Sqrt[5])^(1/4)])/(2*Sqrt[10]) + ArcTan[1 - (2^(3/4)*x)/(3 + Sqrt[5])^(1/4)]/(Sqrt[5]*(2*(3 + Sqrt[5]))^(3/4)) - ArcTan[1 + (2^(3/4)*x)/(3 + Sqrt[5])^(1/4)]/(Sqrt[5]*(2*(3 + Sqrt[5]))^(3/4)) - ((9 + 4*Sqrt[5])^(1/4)*Log[Sqrt[2*(3 - Sqrt[5])] - 2*(2*(3 - Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2])/(4*Sqrt[10]) + ((9 + 4*Sqrt[5])^(1/4)*Log[Sqrt[2*(3 - Sqrt[5])] + 2*(2*(3 - Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2])/(4*Sqrt[10]) + Log[Sqrt[2*(3 + Sqrt[5])] - 2*(2*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2]/(2*Sqrt[5]*(2*(3 + Sqrt[5]))^(3/4)) - Log[Sqrt[2*(3 + Sqrt[5])] + 2*(2*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2]/(2*Sqrt[5]*(2*(3 + Sqrt[5]))^(3/4))], -(ArcTan[1 - (2^(3/4)*x)/(3 - Sqrt[5])^(1/4)]/(Sqrt[5]*(2*(3 - Sqrt[5]))^(3/4))) + ArcTan[1 + (2^(3/4)*x)/(3 - Sqrt[5])^(1/4)]/(Sqrt[5]*(2*(3 - Sqrt[5]))^(3/4)) + ArcTan[1 - (2^(3/4)*x)/(3 + Sqrt[5])^(1/4)]/(Sqrt[5]*(2*(3 + Sqrt[5]))^(3/4)) - ArcTan[1 + (2^(3/4)*x)/(3 + Sqrt[5])^(1/4)]/(Sqrt[5]*(2*(3 + Sqrt[5]))^(3/4)) - Log[Sqrt[2*(3 - Sqrt[5])] - 2*(2*(3 - Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2]/(2*Sqrt[5]*(2*(3 - Sqrt[5]))^(3/4)) + Log[Sqrt[2*(3 - Sqrt[5])] + 2*(2*(3 - Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2]/(2*Sqrt[5]*(2*(3 - Sqrt[5]))^(3/4)) + Log[Sqrt[2*(3 + Sqrt[5])] - 2*(2*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2]/(2*Sqrt[5]*(2*(3 + Sqrt[5]))^(3/4)) - Log[Sqrt[2*(3 + Sqrt[5])] + 2*(2*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2]/(2*Sqrt[5]*(2*(3 + Sqrt[5]))^(3/4))}
+# {1/(x^2*(1 + 3*x^4 + x^8)), x, 20, If[$VersionNumber<11, -(1/x) + ((246 + 110*Sqrt[5])^(1/4)*ArcTan[1 - (2^(3/4)*x)/(3 - Sqrt[5])^(1/4)])/(4*Sqrt[5]) - ((246 + 110*Sqrt[5])^(1/4)*ArcTan[1 + (2^(3/4)*x)/(3 - Sqrt[5])^(1/4)])/(4*Sqrt[5]) - (1/20)*(6150 - 2750*Sqrt[5])^(1/4)*ArcTan[1 - (2^(3/4)*x)/(3 + Sqrt[5])^(1/4)] + (1/20)*(6150 - 2750*Sqrt[5])^(1/4)*ArcTan[1 + (2^(3/4)*x)/(3 + Sqrt[5])^(1/4)] - ((246 + 110*Sqrt[5])^(1/4)*Log[Sqrt[2*(3 - Sqrt[5])] - 2*(2*(3 - Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2])/(8*Sqrt[5]) + ((246 + 110*Sqrt[5])^(1/4)*Log[Sqrt[2*(3 - Sqrt[5])] + 2*(2*(3 - Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2])/(8*Sqrt[5]) + (1/40)*(6150 - 2750*Sqrt[5])^(1/4)*Log[Sqrt[2*(3 + Sqrt[5])] - 2*(2*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2] - (1/40)*(6150 - 2750*Sqrt[5])^(1/4)*Log[Sqrt[2*(3 + Sqrt[5])] + 2*(2*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2], -(1/x) + ((3 + Sqrt[5])^(5/4)*ArcTan[1 - (2^(3/4)*x)/(3 - Sqrt[5])^(1/4)])/(4*2^(3/4)*Sqrt[5]) - ((3 + Sqrt[5])^(5/4)*ArcTan[1 + (2^(3/4)*x)/(3 - Sqrt[5])^(1/4)])/(4*2^(3/4)*Sqrt[5]) - (1/20)*(6150 - 2750*Sqrt[5])^(1/4)*ArcTan[1 - (2^(3/4)*x)/(3 + Sqrt[5])^(1/4)] + (1/20)*(6150 - 2750*Sqrt[5])^(1/4)*ArcTan[1 + (2^(3/4)*x)/(3 + Sqrt[5])^(1/4)] - ((3 + Sqrt[5])^(5/4)*Log[Sqrt[2*(3 - Sqrt[5])] - 2*(2*(3 - Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2])/(8*2^(3/4)*Sqrt[5]) + ((3 + Sqrt[5])^(5/4)*Log[Sqrt[2*(3 - Sqrt[5])] + 2*(2*(3 - Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2])/(8*2^(3/4)*Sqrt[5]) + (1/40)*(6150 - 2750*Sqrt[5])^(1/4)*Log[Sqrt[2*(3 + Sqrt[5])] - 2*(2*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2] - (1/40)*(6150 - 2750*Sqrt[5])^(1/4)*Log[Sqrt[2*(3 + Sqrt[5])] + 2*(2*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x + 2*x^2]]}
+(1/(x^4*(1 + 3*x^4 + x^8)), -(1/(3*x^3)) + ((843 + 377*sqrt(5))^(1//4)*atan(1 - (2^(3//4)*x)/(3 - sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(5)) - ((843 + 377*sqrt(5))^(1//4)*atan(1 + (2^(3//4)*x)/(3 - sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(5)) - ((843 - 377*sqrt(5))^(1//4)*atan(1 - (2^(3//4)*x)/(3 + sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(5)) + ((843 - 377*sqrt(5))^(1//4)*atan(1 + (2^(3//4)*x)/(3 + sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(5)) + ((843 + 377*sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 - sqrt(5))) - 2*(2*(3 - sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)*sqrt(5)) - ((843 + 377*sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 - sqrt(5))) + 2*(2*(3 - sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)*sqrt(5)) - ((843 - 377*sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 + sqrt(5))) - 2*(2*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)*sqrt(5)) + ((843 - 377*sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 + sqrt(5))) + 2*(2*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)*sqrt(5)), x, 20),
+
+
+(x^m/(1 - 3*x^4 + x^8), (2*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/4, (5 + m)/4, (2*x^4)/(3 - sqrt(5))))/(sqrt(5)*(3 - sqrt(5))*(1 + m)) - (2*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/4, (5 + m)/4, (2*x^4)/(3 + sqrt(5))))/(sqrt(5)*(3 + sqrt(5))*(1 + m)), x, 3),
+
+(x^11/(1 - 3*x^4 + x^8), x^4//4 + (1//40)*(15 - 7*sqrt(5))*log(3 - sqrt(5) - 2*x^4) + (1//40)*(15 + 7*sqrt(5))*log(3 + sqrt(5) - 2*x^4), x, 5),
+(x^9/(1 - 3*x^4 + x^8), x^2//2 - (1//2)*sqrt((1//5)*(9 + 4*sqrt(5)))*atanh(sqrt(2/(3 + sqrt(5)))*x^2) + (1//2)*sqrt((1//5)*(9 - 4*sqrt(5)))*atanh(sqrt((1//2)*(3 + sqrt(5)))*x^2), x, 5),
+(x^7/(1 - 3*x^4 + x^8), (1//40)*(5 - 3*sqrt(5))*log(3 - sqrt(5) - 2*x^4) + (1//40)*(5 + 3*sqrt(5))*log(3 + sqrt(5) - 2*x^4), x, 4),
+(x^5/(1 - 3*x^4 + x^8), (-(1//2))*sqrt((1//10)*(3 + sqrt(5)))*atanh(sqrt(2/(3 + sqrt(5)))*x^2) + (1//2)*sqrt((1//10)*(3 - sqrt(5)))*atanh(sqrt((1//2)*(3 + sqrt(5)))*x^2), x, 4),
+(x^3/(1 - 3*x^4 + x^8), atanh((3 - 2*x^4)/sqrt(5))/(2*sqrt(5)), x, 3),
+(x^1/(1 - 3*x^4 + x^8), -(atanh(sqrt(2/(3 + sqrt(5)))*x^2)/sqrt(10*(3 + sqrt(5)))) + (1//2)*sqrt((1//10)*(3 + sqrt(5)))*atanh(sqrt((1//2)*(3 + sqrt(5)))*x^2), x, 4),
+(1/(x^1*(1 - 3*x^4 + x^8)), log(x) - (1//40)*(5 + 3*sqrt(5))*log(3 - sqrt(5) - 2*x^4) - (1//40)*(5 - 3*sqrt(5))*log(3 + sqrt(5) - 2*x^4), x, 6),
+(1/(x^3*(1 - 3*x^4 + x^8)), -(1/(2*x^2)) - (1//2)*sqrt((1//5)*(9 - 4*sqrt(5)))*atanh(sqrt(2/(3 + sqrt(5)))*x^2) + ((3 + sqrt(5))^(3//2)*atanh(sqrt((1//2)*(3 + sqrt(5)))*x^2))/(4*sqrt(10)), x, 5),
+(1/(x^5*(1 - 3*x^4 + x^8)), -(1/(4*x^4)) + 3*log(x) - (1//40)*(15 + 7*sqrt(5))*log(3 - sqrt(5) - 2*x^4) - (1//40)*(15 - 7*sqrt(5))*log(3 + sqrt(5) - 2*x^4), x, 7),
+(1/(x^7*(1 - 3*x^4 + x^8)), -(1/(6*x^6)) - 3/(2*x^2) - (1//2)*sqrt((1//10)*(123 - 55*sqrt(5)))*atanh(sqrt(2/(3 + sqrt(5)))*x^2) + (1//2)*sqrt((1//10)*(123 + 55*sqrt(5)))*atanh(sqrt((1//2)*(3 + sqrt(5)))*x^2), x, 6),
+
+(x^8/(1 - 3*x^4 + x^8), x - (((1//2)*(123 + 55*sqrt(5)))^(1//4)*atan((2/(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(2*sqrt(5)) + ((984 - 440*sqrt(5))^(1//4)*atan(((1//2)*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(4*sqrt(5)) - (((1//2)*(123 + 55*sqrt(5)))^(1//4)*atanh((2/(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(2*sqrt(5)) + ((984 - 440*sqrt(5))^(1//4)*atanh(((1//2)*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(4*sqrt(5)), x, 8),
+(x^6/(1 - 3*x^4 + x^8), ((3 + sqrt(5))^(3//4)*atan((2/(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(2*2^(3//4)*sqrt(5)) - ((144 - 64*sqrt(5))^(1//4)*atan(((1//2)*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(4*sqrt(5)) - ((3 + sqrt(5))^(3//4)*atanh((2/(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(2*2^(3//4)*sqrt(5)) + ((144 - 64*sqrt(5))^(1//4)*atanh(((1//2)*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(4*sqrt(5)), x, 7),
+(x^4/(1 - 3*x^4 + x^8), -((((1//2)*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*atan((2/(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(2*sqrt(5))) + (((1//2)*(3 - sqrt(5)))^(1//4)*atan(((1//2)*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(2*sqrt(5)) - (((1//2)*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*atanh((2/(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(2*sqrt(5)) + (((1//2)*(3 - sqrt(5)))^(1//4)*atanh(((1//2)*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(2*sqrt(5)), x, 7),
+# {x^2/(1 - 3*x^4 + x^8), x, 7, (1/20)*Sqrt[-10 + 10*Sqrt[5]]*ArcTan[(1/2)*Sqrt[-2 + 2*Sqrt[5]]*x] - (1/20)*Sqrt[10 + 10*Sqrt[5]]*ArcTan[(1/2)*Sqrt[2 + 2*Sqrt[5]]*x] - (1/20)*Sqrt[-10 + 10*Sqrt[5]]*ArcTanh[(1/2)*Sqrt[-2 + 2*Sqrt[5]]*x] + (1/20)*Sqrt[10 + 10*Sqrt[5]]*ArcTanh[(1/2)*Sqrt[2 + 2*Sqrt[5]]*x], ArcTan[(2/(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x]/(2^(3/4)*Sqrt[5]*(3 + Sqrt[5])^(1/4)) - (((1/2)*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*ArcTan[((1/2)*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x])/(2*Sqrt[5]) - ArcTanh[(2/(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x]/(2^(3/4)*Sqrt[5]*(3 + Sqrt[5])^(1/4)) + (((1/2)*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*ArcTanh[((1/2)*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x])/(2*Sqrt[5])}
+# {x^0/(1 - 3*x^4 + x^8), x, 7, If[$VersionNumber<11, -(ArcTan[(2/(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x]/(2^(1/4)*Sqrt[5]*(3 + Sqrt[5])^(3/4))) + ((9 + 4*Sqrt[5])^(1/4)*ArcTan[((1/2)*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x])/(2*Sqrt[5]) - ArcTanh[(2/(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x]/(2^(1/4)*Sqrt[5]*(3 + Sqrt[5])^(3/4)) + ((9 + 4*Sqrt[5])^(1/4)*ArcTanh[((1/2)*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x])/(2*Sqrt[5]), -(ArcTan[(2/(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x]/(2^(1/4)*Sqrt[5]*(3 + Sqrt[5])^(3/4))) + ((3 + Sqrt[5])^(3/4)*ArcTan[((1/2)*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x])/(2*2^(3/4)*Sqrt[5]) - ArcTanh[(2/(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x]/(2^(1/4)*Sqrt[5]*(3 + Sqrt[5])^(3/4)) + ((3 + Sqrt[5])^(3/4)*ArcTanh[((1/2)*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x])/(2*2^(3/4)*Sqrt[5])]}
+(1/(x^2*(1 - 3*x^4 + x^8)), -(1/x) + ((984 - 440*sqrt(5))^(1//4)*atan((2/(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(4*sqrt(5)) - ((3 + sqrt(5))^(5//4)*atan(((1//2)*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(4*2^(1//4)*sqrt(5)) - ((984 - 440*sqrt(5))^(1//4)*atanh((2/(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(4*sqrt(5)) + ((3 + sqrt(5))^(5//4)*atanh(((1//2)*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(4*2^(1//4)*sqrt(5)), x, 8),
+# {1/(x^4*(1 - 3*x^4 + x^8)), x, 8, If[$VersionNumber<11, -(1/(3*x^3)) - (((1/2)*(843 - 377*Sqrt[5]))^(1/4)*ArcTan[(2/(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x])/(2*Sqrt[5]) + (((1/2)*(843 + 377*Sqrt[5]))^(1/4)*ArcTan[((1/2)*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x])/(2*Sqrt[5]) - (((1/2)*(843 - 377*Sqrt[5]))^(1/4)*ArcTanh[(2/(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x])/(2*Sqrt[5]) + (((1/2)*(843 + 377*Sqrt[5]))^(1/4)*ArcTanh[((1/2)*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x])/(2*Sqrt[5]), -(1/(3*x^3)) - (((1/2)*(843 - 377*Sqrt[5]))^(1/4)*ArcTan[(2/(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x])/(2*Sqrt[5]) + ((3 + Sqrt[5])^(7/4)*ArcTan[((1/2)*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x])/(4*2^(3/4)*Sqrt[5]) - (((1/2)*(843 - 377*Sqrt[5]))^(1/4)*ArcTanh[(2/(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x])/(2*Sqrt[5]) + ((3 + Sqrt[5])^(7/4)*ArcTanh[((1/2)*(3 + Sqrt[5]))^(1/4)*x])/(4*2^(3/4)*Sqrt[5])]}
+(1/(x^6*(1 - 3*x^4 + x^8)), -(1/(5*x^5)) - 3/x + ((2889 - 1292*sqrt(5))^(1//4)*atan((2/(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(2*sqrt(5)) - ((2889 + 1292*sqrt(5))^(1//4)*atan(((1//2)*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(2*sqrt(5)) - ((2889 - 1292*sqrt(5))^(1//4)*atanh((2/(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(2*sqrt(5)) + ((2889 + 1292*sqrt(5))^(1//4)*atanh(((1//2)*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(2*sqrt(5)), x, 9),
+(1/(x^8*(1 - 3*x^4 + x^8)), -(1/(7*x^7)) - 1/x^3 - (((1//2)*(39603 - 17711*sqrt(5)))^(1//4)*atan((2/(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(2*sqrt(5)) + (((1//2)*(39603 + 17711*sqrt(5)))^(1//4)*atan(((1//2)*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(2*sqrt(5)) - (((1//2)*(39603 - 17711*sqrt(5)))^(1//4)*atanh((2/(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(2*sqrt(5)) + (((1//2)*(39603 + 17711*sqrt(5)))^(1//4)*atanh(((1//2)*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x))/(2*sqrt(5)), x, 9),
+
+
+(x^3/(2 + 3*x^4 + x^8), (1//4)*log(1 + x^4) - (1//4)*log(2 + x^4), x, 4),
+(x^11/(2 + 3*x^4 + x^8), x^4//4 + (1//4)*log(1 + x^4) - log(2 + x^4), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^4+c x^8)^(p/2)
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^4+c x^8)^p
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form x^(m/2) (a+b x^4+c x^8)^(p/2)
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^5+c x^10)^p
+
+
+# ::Section::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^5+c x^10)^p with b^2-4 a c=0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^5+c x^10)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^9/(2 + x^5 + x^10), -(atan((1 + 2*x^5)/sqrt(7))/(5*sqrt(7))) + (1//10)*log(2 + x^5 + x^10), x, 5),
+(x^4/(2 + x^5 + x^10), (2*atan((1 + 2*x^5)/sqrt(7)))/(5*sqrt(7)), x, 3),
+(1/(x^1*(1 + x^5 + x^10)), -atan((1 + 2*x^5)/sqrt(3))/(5*sqrt(3)) + log(x) - log(1 + x^5 + x^10)/10, x, 7),
+(1/(x^6*(1 + x^5 + x^10)), -(1/(5*x^5)) - atan((1 + 2*x^5)/sqrt(3))/(5*sqrt(3)) - log(x) + (1//10)*log(1 + x^5 + x^10), x, 8),
+
+
+(1/(x + x^6 + x^11), -atan((1 + 2*x^5)/sqrt(3))/(5*sqrt(3)) + log(x) - log(1 + x^5 + x^10)/10, x, 8),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p with integer n<0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b/x^1+c/x^2)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b/x+c/x^2)^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^3/(a/x^2 + b/x + c), -((b*(b^2 - 2*a*c)*x)/c^4) + ((b^2 - a*c)*x^2)/(2*c^3) - (b*x^3)/(3*c^2) + x^4/(4*c) + (b*(b^4 - 5*a*b^2*c + 5*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^5*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((b^4 - 3*a*b^2*c + a^2*c^2)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^5), x, 7),
+(x^2/(a/x^2 + b/x + c), ((b^2 - a*c)*x)/c^3 - (b*x^2)/(2*c^2) + x^3/(3*c) - ((b^4 - 4*a*b^2*c + 2*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^4*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (b*(b^2 - 2*a*c)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^4), x, 7),
+(x^1/(a/x^2 + b/x + c), -((b*x)/c^2) + x^2/(2*c) + (b*(b^2 - 3*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((b^2 - a*c)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^3), x, 7),
+(x^0/(a/x^2 + b/x + c), x/c - ((b^2 - 2*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (b*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^2), x, 6),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)*x^1), (b*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + log(a + b*x + c*x^2)/(2*c), x, 5),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)*x^2), (2*atanh((b + (2*a)/x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/sqrt(b^2 - 4*a*c), x, 3),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)*x^3), (b*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + log(x)/a - log(a + b*x + c*x^2)/(2*a), x, 7),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)*x^4), -(1/(a*x)) - ((b^2 - 2*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a^2), x, 8),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)*x^5), -1/(2*a*x^2) + b/(a^2*x) + (b*(b^2 - 3*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((b^2 - a*c)*log(x))/a^3 - ((b^2 - a*c)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a^3), x, 8),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)*x^6), -1/(3*a*x^3) + b/(2*a^2*x^2) - (b^2 - a*c)/(a^3*x) - ((b^4 - 4*a*b^2*c + 2*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^4*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (b*(b^2 - 2*a*c)*log(x))/a^4 + (b*(b^2 - 2*a*c)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a^4), x, 8),
+
+
+(x^1/(a/x^2 + b/x + c)^2, -((b*(3*b^2 - 11*a*c)*x)/(c^3*(b^2 - 4*a*c))) + ((3*b^2 - 8*a*c)*x^2)/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)) - (b*x^3)/(c*(b^2 - 4*a*c)) + (x^4*(2*a + b*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (b*(3*b^4 - 20*a*b^2*c + 30*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^4*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + ((3*b^2 - 2*a*c)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^4), x, 8),
+(x^0/(a/x^2 + b/x + c)^2, (2*(b^2 - 3*a*c)*x)/(c^2*(b^2 - 4*a*c)) - (b*x^2)/(c*(b^2 - 4*a*c)) + (x^3*(2*a + b*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) - (2*(b^4 - 6*a*b^2*c + 6*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) - (b*log(a + b*x + c*x^2))/c^3, x, 8),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)^2*x^1), -((b*x)/(c*(b^2 - 4*a*c))) + (x^2*(2*a + b*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (b*(b^2 - 6*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + log(a + b*x + c*x^2)/(2*c^2), x, 7),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)^2*x^2), (b + (2*a)/x)/((b^2 - 4*a*c)*(c + a/x^2 + b/x)) - (4*a*atanh((b + (2*a)/x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 4),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)^2*x^3), (2*a + b*x)/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) - (2*b*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 4),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)^2*x^4), -((b + 2*c*x)/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2))) + (4*c*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 4),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)^2*x^5), (b^2 - 2*a*c + b*c*x)/(a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (b*(b^2 - 6*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + log(x)/a^2 - log(a + b*x + c*x^2)/(2*a^2), x, 8),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)^2*x^6), (-2*(b^2 - 3*a*c))/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*x) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x)/(a*(b^2 - 4*a*c)*x*(a + b*x + c*x^2)) - (2*(b^4 - 6*a*b^2*c + 6*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) - (2*b*log(x))/a^3 + (b*log(a + b*x + c*x^2))/a^3, x, 8),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)^2*x^7), -((3*b^2 - 8*a*c)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^2)) + (b*(3*b^2 - 11*a*c))/(a^3*(b^2 - 4*a*c)*x) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x)/(a*(b^2 - 4*a*c)*x^2*(a + b*x + c*x^2)) + (b*(3*b^4 - 20*a*b^2*c + 30*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^4*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + ((3*b^2 - 2*a*c)*log(x))/a^4 - ((3*b^2 - 2*a*c)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a^4), x, 8),
+
+
+(x^0/(a/x^2 + b/x + c)^3, (3*(b^4 - 7*a*b^2*c + 10*a^2*c^2)*x)/(c^3*(b^2 - 4*a*c)^2) - (3*b*(b^2 - 6*a*c)*x^2)/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2) + (x^5*(2*a + b*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2) + (x^3*(a*(b^2 - 10*a*c) + b*(b^2 - 7*a*c)*x))/(c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (3*(b^6 - 10*a*b^4*c + 30*a^2*b^2*c^2 - 20*a^3*c^3)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^4*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)) - (3*b*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^4), x, 9),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)^3*x^1), -((b*(b^2 - 7*a*c)*x)/(c^2*(b^2 - 4*a*c)^2)) + (x^4*(2*a + b*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2) + (x^2*(a*(b^2 - 16*a*c) + b*(b^2 - 10*a*c)*x))/(2*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) + (b*(b^4 - 10*a*b^2*c + 30*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)) + log(a + b*x + c*x^2)/(2*c^3), x, 8),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)^3*x^2), (b + (2*a)/x)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(c + a/x^2 + b/x)^2) - (3*a*(b + (2*a)/x))/((b^2 - 4*a*c)^2*(c + a/x^2 + b/x)) + (12*a^2*atanh((b + (2*a)/x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 5),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)^3*x^3), -(x^3*(b + 2*c*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2) + (3*b*x*(2*a + b*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) + (6*a*b*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 5),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)^3*x^4), (x*(2*a + b*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2) + (3*a*b + (b^2 + 2*a*c)*x)/((b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (2*(b^2 + 2*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 5),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)^3*x^5), (2*a + b*x)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2) - (3*b*(b + 2*c*x))/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) + (6*b*c*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 5),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)^3*x^6), -(b + 2*c*x)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2) + (3*c*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) - (12*c^2*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(5//2), x, 5),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)^3*x^7), (b^2 - 2*a*c + b*c*x)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)^2) + (2*b^4 - 15*a*b^2*c + 16*a^2*c^2 + 2*b*c*(b^2 - 7*a*c)*x)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x + c*x^2)) + (b*(b^4 - 10*a*b^2*c + 30*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^3*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)) + log(x)/a^3 - log(a + b*x + c*x^2)/(2*a^3), x, 9),
+(1/((a/x^2 + b/x + c)^3*x^8), -((3*(b^2 - 5*a*c)*(b^2 - 2*a*c))/(a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*x)) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*x*(a + b*x + c*x^2)^2) + (3*b^4 - 20*a*b^2*c + 20*a^2*c^2 + 3*b*c*(b^2 - 6*a*c)*x)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*x*(a + b*x + c*x^2)) - (3*(b^6 - 10*a*b^4*c + 30*a^2*b^2*c^2 - 20*a^3*c^3)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^4*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)) - (3*b*log(x))/a^4 + (3*b*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a^4), x, 9),
+
+
+(x^2/(2/x^2 + 13/x + 15), (139*x)/3375 - (13*x^2)/450 + x^3//45 - (16//567)*log(2 + 3*x) + log(1 + 5*x)/4375, x, 6),
+(x^1/(2/x^2 + 13/x + 15), -((13*x)/225) + x^2//30 + (8//189)*log(2 + 3*x) - (1//875)*log(1 + 5*x), x, 6),
+(x^0/(2/x^2 + 13/x + 15), x/15 - (4//63)*log(2 + 3*x) + (1//175)*log(1 + 5*x), x, 5),
+(1/(x^1*(2/x^2 + 13/x + 15)), (2//21)*log(2 + 3*x) - (1//35)*log(1 + 5*x), x, 4),
+(1/(x^2*(2/x^2 + 13/x + 15)), (1//7)*log(5 + 1/x) - (1//7)*log(3 + 2/x), x, 4),
+(1/(x^3*(2/x^2 + 13/x + 15)), log(x)/2 + (3//14)*log(2 + 3*x) - (5//7)*log(1 + 5*x), x, 6),
+(1/(x^4*(2/x^2 + 13/x + 15)), -(1/(2*x)) - (13*log(x))/4 - (9//28)*log(2 + 3*x) + (25//7)*log(1 + 5*x), x, 4),
+(1/(x^5*(2/x^2 + 13/x + 15)), -(1/(4*x^2)) + 13/(4*x) + (139*log(x))/8 + (27//56)*log(2 + 3*x) - (125//7)*log(1 + 5*x), x, 4),
+(1/(x^6*(2/x^2 + 13/x + 15)), -(1/(6*x^3)) + 13/(8*x^2) - 139/(8*x) - (1417*log(x))/16 - (81//112)*log(2 + 3*x) + (625//7)*log(1 + 5*x), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b/x+c/x^2)^(p/2)
+
+
+((a + b/x + c/x^2)^(5//2), (-(5//24))*(a + c/x^2 + b/x)^(3//2)*(7*b + (6*c)/x) - (5*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*(b*(b^2 + 44*a*c) + (2*c*(b^2 + 12*a*c))/x))/(64*c) + (a + c/x^2 + b/x)^(5//2)*x + (5//2)*a^(3//2)*b*atanh((2*a + b/x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + c/x^2 + b/x))) + (5*(b^4 - 24*a*b^2*c - 48*a^2*c^2)*atanh((b + (2*c)/x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + c/x^2 + b/x))))/(128*c^(3//2)), x, 9),
+((a + b/x + c/x^2)^(3//2), (-(3//4))*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*(3*b + (2*c)/x) + (a + c/x^2 + b/x)^(3//2)*x + (3//2)*sqrt(a)*b*atanh((2*a + b/x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + c/x^2 + b/x))) - (3*(b^2 + 4*a*c)*atanh((b + (2*c)/x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + c/x^2 + b/x))))/(8*sqrt(c)), x, 8),
+((a + b/x + c/x^2)^(1//2), sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x + (b*atanh((2*a + b/x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + c/x^2 + b/x))))/(2*sqrt(a)) - sqrt(c)*atanh((b + (2*c)/x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + c/x^2 + b/x))), x, 7),
+(1/(a + b/x + c/x^2)^(1//2), (sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x)/a - (b*atanh((2*a + b/x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + c/x^2 + b/x))))/(2*a^(3//2)), x, 4),
+(1/(a + b/x + c/x^2)^(3//2), ((3*b^2 - 8*a*c)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x)/(a^2*(b^2 - 4*a*c)) - (2*(b^2 - 2*a*c + (b*c)/x)*x)/(a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)) - (3*b*atanh((2*a + b/x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + c/x^2 + b/x))))/(2*a^(5//2)), x, 5),
+(1/(a + b/x + c/x^2)^(5//2), ((15*b^4 - 100*a*b^2*c + 128*a^2*c^2)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x)/(3*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2) - (2*(b^2 - 2*a*c + (b*c)/x)*x)/(3*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + c/x^2 + b/x)^(3//2)) - (2*(5*b^4 - 32*a*b^2*c + 32*a^2*c^2 + (b*c*(5*b^2 - 28*a*c))/x)*x)/(3*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(a + c/x^2 + b/x)) - (5*b*atanh((2*a + b/x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + c/x^2 + b/x))))/(2*a^(7//2)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a^2+2 a b/x+b^2/x^2)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((a^2 + 2*a*b/x + b^2/x^2)^(1//2), (a*sqrt(a^2 + b^2/x^2 + (2*a*b)/x)*x)/(a + b/x) - (b*sqrt(a^2 + b^2/x^2 + (2*a*b)/x)*log(1/x))/(a + b/x), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b/x^2+c/x^4)^p
+
+
+(1/(a/x^4 + b/x^2 + c), x/c - ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b/x^3+c/x^6)^p
+
+
+(1/(a/x^6 + b/x^3 + c), x/c + ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*c^(4//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*c^(4//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) - ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(1//3)*c^(4//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) - ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(1//3)*c^(4//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(1//3)*c^(4//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(1//3)*c^(4//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)), x, 15),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b/x^4+c/x^8)^p
+
+
+(1/(a/x^8 + b/x^4 + c), x/c + ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(5//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(5//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(5//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(5//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)), x, 9),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p with fraction n>0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^(1/2)+c x^(2/2))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b Sqrt[x]+c x)^p
+
+
+(sqrt(a + b*sqrt(x) + c*x)/x, 2*sqrt(a + b*sqrt(x) + c*x) - 2*sqrt(a)*atanh((2*a + b*sqrt(x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*sqrt(x) + c*x))) + (b*atanh((b + 2*c*sqrt(x))/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*sqrt(x) + c*x))))/sqrt(c), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b Sqrt[x]+c x)^p with b^2-4 a c=0
+
+
+((b^2/(4*c) + b*sqrt(x) + c*x)^2, -((b*(b + 2*c*sqrt(x))^5)/(160*c^4)) + (b + 2*c*sqrt(x))^6/(192*c^4), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b Sqrt[x]+c x)^(p/2) with b^2-4 a c=0
+
+
+(1/(a^2 + 2*a*b*sqrt(x) + b^2*x)^(1//2), (2*sqrt(a^2 + 2*a*b*sqrt(x) + b^2*x))/b^2 - (2*a*(a + b*sqrt(x))*log(a + b*sqrt(x)))/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*sqrt(x) + b^2*x)), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^(1/3)+c x^(2/3))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^(1/3)+c x^(2/3))^(p/2) with b^2-4 a c=0
+
+
+((a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^(7//2), (3*a^2*(a + b*x^(1//3))^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3)))/(8*b^3) - (2*a*(a + b*x^(1//3))^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3)))/(3*b^3) + (3*(a + b*x^(1//3))^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3)))/(10*b^3), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^(5//2), (a^2*(a + b*x^(1//3))^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3)))/(2*b^3) - (6*a*(a + b*x^(1//3))^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3)))/(7*b^3) + (3*(a + b*x^(1//3))^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3)))/(8*b^3), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^(3//2), (3*a^2*(a + b*x^(1//3))^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3)))/(4*b^3) - (6*a*(a + b*x^(1//3))^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3)))/(5*b^3) + ((a + b*x^(1//3))^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3)))/(2*b^3), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^(1//2), (a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))*x)/(a + b*x^(1//3)) + (3*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))*x^(4//3))/(4*(a + b*x^(1//3))), x, 4),
+(1/(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^(1//2), -((3*a*(a + b*x^(1//3))*x^(1//3))/(b^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3)))) + (3*(a + b*x^(1//3))*x^(2//3))/(2*b*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))) + (3*a^2*(a + b*x^(1//3))*log(a + b*x^(1//3)))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))), x, 4),
+(1/(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^(3//2), (6*a)/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))) - (3*a^2)/(2*b^3*(a + b*x^(1//3))*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))) + (3*(a + b*x^(1//3))*log(a + b*x^(1//3)))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))), x, 4),
+(1/(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^(5//2), -((3*a^2)/(4*b^3*(a + b*x^(1//3))^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3)))) + (2*a)/(b^3*(a + b*x^(1//3))^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))) - 3/(2*b^3*(a + b*x^(1//3))*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))), x, 4),
+(1/(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^(7//2), -(a^2/(2*b^3*(a + b*x^(1//3))^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3)))) + (6*a)/(5*b^3*(a + b*x^(1//3))^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))) - 3/(4*b^3*(a + b*x^(1//3))^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))), x, 4),
+(1/(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^(9//2), -((3*a^2)/(8*b^3*(a + b*x^(1//3))^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3)))) + (6*a)/(7*b^3*(a + b*x^(1//3))^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))) - 1/(2*b^3*(a + b*x^(1//3))^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))), x, 4),
+(1/(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^(11//2), -((3*a^2)/(10*b^3*(a + b*x^(1//3))^9*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3)))) + (2*a)/(3*b^3*(a + b*x^(1//3))^8*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))) - 3/(8*b^3*(a + b*x^(1//3))^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^(1/3)+c x^(2/3))^p with b^2-4 a c=0 and p symbolic
+
+
+((d*x)^m*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p, ((a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p*x*(d*x)^m*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3*(1 + m), -2*p, 4 + 3*m, -((b*x^(1//3))/a)))/((1 + (b*x^(1//3))/a)^(2*p)*(1 + m)), x, 4),
+
+
+(x^2*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p, (3*a^9*(1 + (b*x^(1//3))/a)*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(b^9*(1 + 2*p)) - (12*a^9*(1 + (b*x^(1//3))/a)^2*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(b^9*(1 + p)) + (84*a^9*(1 + (b*x^(1//3))/a)^3*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(b^9*(3 + 2*p)) - (84*a^9*(1 + (b*x^(1//3))/a)^4*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(b^9*(2 + p)) + (210*a^9*(1 + (b*x^(1//3))/a)^5*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(b^9*(5 + 2*p)) - (84*a^9*(1 + (b*x^(1//3))/a)^6*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(b^9*(3 + p)) + (84*a^9*(1 + (b*x^(1//3))/a)^7*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(b^9*(7 + 2*p)) - (12*a^9*(1 + (b*x^(1//3))/a)^8*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(b^9*(4 + p)) + (3*a^9*(1 + (b*x^(1//3))/a)^9*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(b^9*(9 + 2*p)), x, 4),
+(x^1*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p, -((3*a^6*(1 + (b*x^(1//3))/a)*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(b^6*(1 + 2*p))) + (15*a^6*(1 + (b*x^(1//3))/a)^2*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(2*b^6*(1 + p)) - (30*a^6*(1 + (b*x^(1//3))/a)^3*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(b^6*(3 + 2*p)) + (15*a^6*(1 + (b*x^(1//3))/a)^4*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(b^6*(2 + p)) - (15*a^6*(1 + (b*x^(1//3))/a)^5*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(b^6*(5 + 2*p)) + (3*a^6*(1 + (b*x^(1//3))/a)^6*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(2*b^6*(3 + p)), x, 4),
+(x^0*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p, (3*a^2*(a + b*x^(1//3))*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(b^3*(1 + 2*p)) - (3*a*(a + b*x^(1//3))^2*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(b^3*(1 + p)) + (3*(a + b*x^(1//3))^3*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(b^3*(3 + 2*p)), x, 4),
+(1/x^1*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p, -((3*(1 + (b*x^(1//3))/a)*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + 2*p, 2*(1 + p), 1 + (b*x^(1//3))/a))/(1 + 2*p)), x, 3),
+(1/x^2*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p, (3*b^3*(1 + (b*x^(1//3))/a)*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, 1 + 2*p, 2*(1 + p), 1 + (b*x^(1//3))/a))/(a^3*(1 + 2*p)), x, 3),
+
+((a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p/x^2 - (2*b^3*(1 - 2*p)*(1 - p)*p*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(3*a^3*x), -(((a + b*x^(1//3))*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(a*x)) + (b*(1 - p)*(a + b*x^(1//3))*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(a^2*x^(2//3)) - (b^2*(1 - 2*p)*(1 - p)*(a + b*x^(1//3))*(a^2 + 2*a*b*x^(1//3) + b^2*x^(2//3))^p)/(a^3*x^(1//3)), x, -7),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^(1/4)+c x^(2/4))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^(1/4)+c Sqrt[x])^(p/2) with b^2-4 a c=0
+
+
+(1/(a^2 + 2*a*b*x^(1//4) + b^2*sqrt(x))^(3//2), -((12*a^2)/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//4) + b^2*sqrt(x)))) + (2*a^3)/(b^4*(a + b*x^(1//4))*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//4) + b^2*sqrt(x))) + (4*(a + b*x^(1//4))*x^(1//4))/(b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//4) + b^2*sqrt(x))) - (12*a*(a + b*x^(1//4))*log(a + b*x^(1//4)))/(b^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//4) + b^2*sqrt(x))), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^(1/6)+c x^(2/6))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^(1/6)+c x^(1/3))^(p/2) with b^2-4 a c=0
+
+
+(1/(a^2 + 2*a*b*x^(1//6) + b^2*x^(1//3))^(5//2), -((60*a^2)/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//6) + b^2*x^(1//3)))) + (3*a^5)/(2*b^6*(a + b*x^(1//6))^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//6) + b^2*x^(1//3))) - (10*a^4)/(b^6*(a + b*x^(1//6))^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//6) + b^2*x^(1//3))) + (30*a^3)/(b^6*(a + b*x^(1//6))*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//6) + b^2*x^(1//3))) + (6*(a + b*x^(1//6))*x^(1//6))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//6) + b^2*x^(1//3))) - (30*a*(a + b*x^(1//6))*log(a + b*x^(1//6)))/(b^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//6) + b^2*x^(1//3))), x, 4),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p with fraction n<0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b/x^(1/2)+c/x^(2/2))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b/x^(1/2)+c/x^(2/2)) with b^2-4 a c=0
+
+
+((a^2 + 2*a*b/x^(1//2) + b^2/x)^(3//2), -((2*b^3*sqrt(a^2 + b^2/x + (2*a*b)/sqrt(x)))/((a + b/sqrt(x))*sqrt(x))) + (6*a^2*b*sqrt(a^2 + b^2/x + (2*a*b)/sqrt(x))*sqrt(x))/(a + b/sqrt(x)) + (a^3*sqrt(a^2 + b^2/x + (2*a*b)/sqrt(x))*x)/(a + b/sqrt(x)) + (6*a*b^2*sqrt(a^2 + b^2/x + (2*a*b)/sqrt(x))*log(sqrt(x)))/(a + b/sqrt(x)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b/x^(1/3)+c/x^(2/3))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b/x^(1/3)+c/x^(2/3))^(p/2) with b^2-4 a c=0
+
+
+((a^2 + 2*a*b/x^(1//3) + b^2/x^(2//3))^(7//2), -((3*b^7*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3)))/(4*(a + b/x^(1//3))*x^(4//3))) - (7*a*b^6*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3)))/((a + b/x^(1//3))*x) - (63*a^2*b^5*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3)))/(2*(a + b/x^(1//3))*x^(2//3)) - (105*a^3*b^4*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3)))/((a + b/x^(1//3))*x^(1//3)) + (63*a^5*b^2*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*x^(1//3))/(a + b/x^(1//3)) + (21*a^6*b*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*x^(2//3))/(2*(a + b/x^(1//3))) + (a^7*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*x)/(a + b/x^(1//3)) + (105*a^4*b^3*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*log(x^(1//3)))/(a + b/x^(1//3)), x, 5),
+((a^2 + 2*a*b/x^(1//3) + b^2/x^(2//3))^(5//2), -((3*b^5*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3)))/(2*(a + b/x^(1//3))*x^(2//3))) - (15*a*b^4*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3)))/((a + b/x^(1//3))*x^(1//3)) + (30*a^3*b^2*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*x^(1//3))/(a + b/x^(1//3)) + (15*a^4*b*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*x^(2//3))/(2*(a + b/x^(1//3))) + (a^5*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*x)/(a + b/x^(1//3)) + (30*a^2*b^3*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*log(x^(1//3)))/(a + b/x^(1//3)), x, 5),
+((a^2 + 2*a*b/x^(1//3) + b^2/x^(2//3))^(3//2), (9*a*b^2*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*x^(1//3))/(a + b/x^(1//3)) + (9*a^2*b*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*x^(2//3))/(2*(a + b/x^(1//3))) + (a^3*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*x)/(a + b/x^(1//3)) + (3*b^3*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*log(x^(1//3)))/(a + b/x^(1//3)), x, 5),
+((a^2 + 2*a*b/x^(1//3) + b^2/x^(2//3))^(1//2), (3*b*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*x^(2//3))/(2*(a + b/x^(1//3))) + (a*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*x)/(a + b/x^(1//3)), x, 4),
+(1/(a^2 + 2*a*b/x^(1//3) + b^2/x^(2//3))^(1//2), (3*b^2*(a + b/x^(1//3))*x^(1//3))/(a^3*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))) - (3*b*(a + b/x^(1//3))*x^(2//3))/(2*a^2*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))) + ((a + b/x^(1//3))*x)/(a*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))) - (3*b^3*(a + b/x^(1//3))*log(b + a*x^(1//3)))/(a^4*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))), x, 5),
+(1/(a^2 + 2*a*b/x^(1//3) + b^2/x^(2//3))^(3//2), (3*b^5*(a + b/x^(1//3)))/(2*a^6*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*(b + a*x^(1//3))^2) - (15*b^4*(a + b/x^(1//3)))/(a^6*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*(b + a*x^(1//3))) + (18*b^2*(a + b/x^(1//3))*x^(1//3))/(a^5*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))) - (9*b*(a + b/x^(1//3))*x^(2//3))/(2*a^4*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))) + ((a + b/x^(1//3))*x)/(a^3*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))) - (30*b^3*(a + b/x^(1//3))*log(b + a*x^(1//3)))/(a^6*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))), x, 5),
+(1/(a^2 + 2*a*b/x^(1//3) + b^2/x^(2//3))^(5//2), (3*b^7*(a + b/x^(1//3)))/(4*a^8*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*(b + a*x^(1//3))^4) - (7*b^6*(a + b/x^(1//3)))/(a^8*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*(b + a*x^(1//3))^3) + (63*b^5*(a + b/x^(1//3)))/(2*a^8*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*(b + a*x^(1//3))^2) - (105*b^4*(a + b/x^(1//3)))/(a^8*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))*(b + a*x^(1//3))) + (45*b^2*(a + b/x^(1//3))*x^(1//3))/(a^7*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))) - (15*b*(a + b/x^(1//3))*x^(2//3))/(2*a^6*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))) + ((a + b/x^(1//3))*x)/(a^5*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))) - (105*b^3*(a + b/x^(1//3))*log(b + a*x^(1//3)))/(a^8*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//3) + (2*a*b)/x^(1//3))), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b/x^(1/4)+c/x^(2/4))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b/x^(1/4)+c/Sqrt[x])^(p/2) with b^2-4 a c=0
+
+
+((a^2 + 2*a*b/x^(1//4) + b^2/sqrt(x))^(5//2), -((4*b^5*sqrt(a^2 + b^2/sqrt(x) + (2*a*b)/x^(1//4)))/((a + b/x^(1//4))*x^(1//4))) + (40*a^2*b^3*sqrt(a^2 + b^2/sqrt(x) + (2*a*b)/x^(1//4))*x^(1//4))/(a + b/x^(1//4)) + (20*a^3*b^2*sqrt(a^2 + b^2/sqrt(x) + (2*a*b)/x^(1//4))*sqrt(x))/(a + b/x^(1//4)) + (20*a^4*b*sqrt(a^2 + b^2/sqrt(x) + (2*a*b)/x^(1//4))*x^(3//4))/(3*(a + b/x^(1//4))) + (a^5*sqrt(a^2 + b^2/sqrt(x) + (2*a*b)/x^(1//4))*x)/(a + b/x^(1//4)) + (20*a*b^4*sqrt(a^2 + b^2/sqrt(x) + (2*a*b)/x^(1//4))*log(x^(1//4)))/(a + b/x^(1//4)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b/x^(1/5)+c/x^(2/5))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b/x^(1/5)+c/x^(2/5))^(p/2) with b^2-4 a c=0
+
+
+((a^2 + 2*a*b/x^(1//5) + b^2/x^(2//5))^(5//2), (25*a*b^4*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//5) + (2*a*b)/x^(1//5))*x^(1//5))/(a + b/x^(1//5)) + (25*a^2*b^3*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//5) + (2*a*b)/x^(1//5))*x^(2//5))/(a + b/x^(1//5)) + (50*a^3*b^2*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//5) + (2*a*b)/x^(1//5))*x^(3//5))/(3*(a + b/x^(1//5))) + (25*a^4*b*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//5) + (2*a*b)/x^(1//5))*x^(4//5))/(4*(a + b/x^(1//5))) + (a^5*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//5) + (2*a*b)/x^(1//5))*x)/(a + b/x^(1//5)) + (5*b^5*sqrt(a^2 + b^2/x^(2//5) + (2*a*b)/x^(1//5))*log(x^(1//5)))/(a + b/x^(1//5)), x, 5),
+(1/(a^2 + 2*a*b*x^(1//5) + b^2*x^(2//5))^(5//2), (20*a)/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//5) + b^2*x^(2//5))) - (5*a^4)/(4*b^5*(a + b*x^(1//5))^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//5) + b^2*x^(2//5))) + (20*a^3)/(3*b^5*(a + b*x^(1//5))^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//5) + b^2*x^(2//5))) - (15*a^2)/(b^5*(a + b*x^(1//5))*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//5) + b^2*x^(2//5))) + (5*(a + b*x^(1//5))*log(a + b*x^(1//5)))/(b^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^(1//5) + b^2*x^(2//5))), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b/x^(1/6)+c/x^(2/6))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b/x^(1/6)+c/x^(1/3))^(p/2) with b^2-4 a c=0
+
+
+((a^2 + 2*a*b/x^(1//6) + b^2/x^(1//3))^(7//2), -((6*b^7*sqrt(a^2 + b^2/x^(1//3) + (2*a*b)/x^(1//6)))/((a + b/x^(1//6))*x^(1//6))) + (126*a^2*b^5*sqrt(a^2 + b^2/x^(1//3) + (2*a*b)/x^(1//6))*x^(1//6))/(a + b/x^(1//6)) + (105*a^3*b^4*sqrt(a^2 + b^2/x^(1//3) + (2*a*b)/x^(1//6))*x^(1//3))/(a + b/x^(1//6)) + (70*a^4*b^3*sqrt(a^2 + b^2/x^(1//3) + (2*a*b)/x^(1//6))*sqrt(x))/(a + b/x^(1//6)) + (63*a^5*b^2*sqrt(a^2 + b^2/x^(1//3) + (2*a*b)/x^(1//6))*x^(2//3))/(2*(a + b/x^(1//6))) + (42*a^6*b*sqrt(a^2 + b^2/x^(1//3) + (2*a*b)/x^(1//6))*x^(5//6))/(5*(a + b/x^(1//6))) + (a^7*sqrt(a^2 + b^2/x^(1//3) + (2*a*b)/x^(1//6))*x)/(a + b/x^(1//6)) + (42*a*b^6*sqrt(a^2 + b^2/x^(1//3) + (2*a*b)/x^(1//6))*log(x^(1//6)))/(a + b/x^(1//6)), x, 5),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p with symbolic n
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p with a=0
+
+
+(x^(4*n - 1)/(b*x^n + c*x^(2*n)), -((b*x^n)/(c^2*n)) + x^(2*n)/(2*c*n) + (b^2*log(b + c*x^n))/(c^3*n), x, 4),
+(x^(3*n - 1)/(b*x^n + c*x^(2*n)), x^n/(c*n) - (b*log(b + c*x^n))/(c^2*n), x, 4),
+(x^(2*n - 1)/(b*x^n + c*x^(2*n)), log(b + c*x^n)/(c*n), x, 2),
+(x^(1*n - 1)/(b*x^n + c*x^(2*n)), log(x)/b - log(b + c*x^n)/(b*n), x, 5),
+(x^(-1*n - 1)/(b*x^n + c*x^(2*n)), -(1/(x^(2*n)*(2*b*n))) + c/(x^n*(b^2*n)) + (c^2*log(x))/b^3 - (c^2*log(b + c*x^n))/(b^3*n), x, 4),
+(x^(-2*n - 1)/(b*x^n + c*x^(2*n)), -(1/(x^(3*n)*(3*b*n))) + c/(x^(2*n)*(2*b^2*n)) - c^2/(x^n*(b^3*n)) - (c^3*log(x))/b^4 + (c^3*log(b + c*x^n))/(b^4*n), x, 4),
+(x^(-3*n - 1)/(b*x^n + c*x^(2*n)), -(1/(x^(4*n)*(4*b*n))) + c/(x^(3*n)*(3*b^2*n)) - c^2/(x^(2*n)*(2*b^3*n)) + c^3/(x^n*(b^4*n)) + (c^4*log(x))/b^5 - (c^4*log(b + c*x^n))/(b^5*n), x, 4),
+
+
+(x^(n/4 - 1)/(b*x^n + c*x^(2*n)), -(4/(x^((3*n)/4)*(3*b*n))) + (sqrt(2)*c^(3//4)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x^(n/4))/b^(1//4)))/(b^(7//4)*n) - (sqrt(2)*c^(3//4)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x^(n/4))/b^(1//4)))/(b^(7//4)*n) + (c^(3//4)*log(sqrt(b) - sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*x^(n/4) + sqrt(c)*x^(n/2)))/(sqrt(2)*b^(7//4)*n) - (c^(3//4)*log(sqrt(b) + sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4)*x^(n/4) + sqrt(c)*x^(n/2)))/(sqrt(2)*b^(7//4)*n), x, 12),
+(x^(n/3 - 1)/(b*x^n + c*x^(2*n)), -(3/(x^((2*n)/3)*(2*b*n))) + (sqrt(3)*c^(2//3)*atan((b^(1//3) - 2*c^(1//3)*x^(n/3))/(sqrt(3)*b^(1//3))))/(b^(5//3)*n) - (c^(2//3)*log(b^(1//3) + c^(1//3)*x^(n/3)))/(b^(5//3)*n) + (c^(2//3)*log(b^(2//3) - b^(1//3)*c^(1//3)*x^(n/3) + c^(2//3)*x^((2*n)/3)))/(2*b^(5//3)*n), x, 9),
+(x^(n/2 - 1)/(b*x^n + c*x^(2*n)), -(2/(x^(n/2)*(b*n))) + (2*sqrt(c)*atan(sqrt(b)/(x^(n/2)*sqrt(c))))/(b^(3//2)*n), x, 5),
+(x^(-n/2 - 1)/(b*x^n + c*x^(2*n)), -(2/(x^((3*n)/2)*(3*b*n))) + (2*c)/(x^(n/2)*(b^2*n)) - (2*c^(3//2)*atan(sqrt(b)/(x^(n/2)*sqrt(c))))/(b^(5//2)*n), x, 6),
+# {x^(-n/3 - 1)/(b*x^n + c*x^(2*n)), x, 11, If[$VersionNumber>=8, -(3/(x^((4*n)/3)*(4*b*n))) + (3*c)/(x^(n/3)*(b^2*n)) + (Sqrt[3]*c^(4/3)*ArcTan[(c^(1/3) - (2*b^(1/3))/x^(n/3))/(Sqrt[3]*c^(1/3))])/(b^(7/3)*n) - (c^(4/3)*Log[c^(1/3) + b^(1/3)/x^(n/3)])/(b^(7/3)*n) + (c^(4/3)*Log[c^(2/3) + b^(2/3)/x^((2*n)/3) - (b^(1/3)*c^(1/3))/x^(n/3)])/(2*b^(7/3)*n), -(3/(x^((4*n)/3)*(4*b*n))) + (3*c)/(x^(n/3)*(b^2*n)) + (Sqrt[3]*c^(4/3)*ArcTan[(1 - (2*b^(1/3))/(x^(n/3)*c^(1/3)))/Sqrt[3]])/(b^(7/3)*n) - (c^(4/3)*Log[c^(1/3) + b^(1/3)/x^(n/3)])/(b^(7/3)*n) + (c^(4/3)*Log[c^(2/3) + b^(2/3)/x^((2*n)/3) - (b^(1/3)*c^(1/3))/x^(n/3)])/(2*b^(7/3)*n)]}
+(x^(-n/4 - 1)/(b*x^n + c*x^(2*n)), -(4/(x^((5*n)/4)*(5*b*n))) + (4*c)/(x^(n/4)*(b^2*n)) + (sqrt(2)*c^(5//4)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4))/(x^(n/4)*c^(1//4))))/(b^(9//4)*n) - (sqrt(2)*c^(5//4)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4))/(x^(n/4)*c^(1//4))))/(b^(9//4)*n) + (c^(5//4)*log(sqrt(c) + sqrt(b)/x^(n/2) - (sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4))/x^(n/4)))/(sqrt(2)*b^(9//4)*n) - (c^(5//4)*log(sqrt(c) + sqrt(b)/x^(n/2) + (sqrt(2)*b^(1//4)*c^(1//4))/x^(n/4)))/(sqrt(2)*b^(9//4)*n), x, 14),
+
+
+(x^(-n*(p - 1) - 1)*(b*x^n + c*x^(2*n))^p, (b*x^n + c*x^(2*n))^(1 + p)/(x^(n*(1 + p))*(c*n*(1 + p))), x, 1),
+(x^(-n*(2*p + 1) - 1)*(b*x^n + c*x^(2*n))^p, -((b*x^n + c*x^(2*n))^(1 + p)/(x^(2*n*(1 + p))*(b*n*(1 + p)))), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p with b^2-4 a c=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^(2 n-1) (a^2+2 a b x^n+b^2 x^(2 n))^(p/2)
+
+
+(x^(2*n - 1)*(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(5//2), -((a*(a + b*x^n)^6*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(6*n*(a*b^2 + b^3*x^n))) + ((a + b*x^n)^7*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(7*n*(a*b^2 + b^3*x^n)), x, 4),
+(x^(2*n - 1)*(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2), -((a*(a + b*x^n)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(4*n*(a*b^2 + b^3*x^n))) + ((a + b*x^n)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(5*n*(a*b^2 + b^3*x^n)), x, 4),
+(x^(2*n - 1)*(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(1//2), (a*x^(2*n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(2*n*(a + b*x^n)) + (b^2*x^(3*n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(3*n*(a*b + b^2*x^n)), x, 3),
+(x^(2*n - 1)/(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(1//2), (x^n*(a + b*x^n))/(b*n*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))) - (a*(a + b*x^n)*log(a + b*x^n))/(b^2*n*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))), x, 4),
+(x^(2*n - 1)/(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2), x^(2*n)/(2*a*n*(a + b*x^n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))), x, 2),
+(x^(2*n - 1)/(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(5//2), a/(4*b^2*n*(a + b*x^n)^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))) - 1/(3*b^2*n*(a + b*x^n)^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))), x, 4),
+(x^(2*n - 1)/(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(7//2), a/(6*b^2*n*(a + b*x^n)^5*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))) - 1/(5*b^2*n*(a + b*x^n)^4*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a^2+2 a b x^n+b^2 x^(2 n))^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))*(d*x)^m, (a*(d*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(d*(1 + m)*(a + b*x^n)) + (b^2*x^(1 + n)*(d*x)^m*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/((1 + m + n)*(a*b + b^2*x^n)), x, 5),
+
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))*x^2, (a*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(3*(a + b*x^n)) + (b^2*x^(3 + n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/((3 + n)*(a*b + b^2*x^n)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))*x^1, (a*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(2*(a + b*x^n)) + (b^2*x^(2 + n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/((2 + n)*(a*b + b^2*x^n)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))*x^0, (a*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(a + b*x^n) + (b^2*x^(1 + n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/((1 + n)*(a*b + b^2*x^n)), x, 2),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))/x^1, (b^2*x^n*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(n*(a*b + b^2*x^n)) + (a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))*log(x))/(a + b*x^n), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))/x^2, -((a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(x*(a + b*x^n))) - (b^2*x^(-1 + n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/((1 - n)*(a*b + b^2*x^n)), x, 3),
+(sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))/x^3, -((a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(2*x^2*(a + b*x^n))) - (b^2*x^(-2 + n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/((2 - n)*(a*b + b^2*x^n)), x, 3),
+
+
+((a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2)*(d*x)^m, (a^3*(d*x)^(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(d*(1 + m)*(a + b*x^n)) + (3*a^2*b^2*x^(1 + n)*(d*x)^m*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/((1 + m + n)*(a*b + b^2*x^n)) + (3*a*b^3*x^(1 + 2*n)*(d*x)^m*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/((1 + m + 2*n)*(a*b + b^2*x^n)) + (b^4*x^(1 + 3*n)*(d*x)^m*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/((1 + m + 3*n)*(a*b + b^2*x^n)), x, 9),
+
+((a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2)*x^2, (a^3*x^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(3*(a + b*x^n)) + (b^4*x^(3*(1 + n))*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(3*(1 + n)*(a*b + b^2*x^n)) + (3*a^2*b^2*x^(3 + n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/((3 + n)*(a*b + b^2*x^n)) + (3*a*b^3*x^(3 + 2*n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/((3 + 2*n)*(a*b + b^2*x^n)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2)*x^1, (a^3*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(2*(a + b*x^n)) + (3*a*b^3*x^(2*(1 + n))*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(2*(1 + n)*(a*b + b^2*x^n)) + (3*a^2*b^2*x^(2 + n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/((2 + n)*(a*b + b^2*x^n)) + (b^4*x^(2 + 3*n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/((2 + 3*n)*(a*b + b^2*x^n)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2)*x^0, (a^3*x*(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2))/(a + b*x^n)^3 + (3*a^2*b^4*x^(1 + n)*(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2))/((1 + n)*(a*b + b^2*x^n)^3) + (3*a*b^5*x^(1 + 2*n)*(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2))/((1 + 2*n)*(a*b + b^2*x^n)^3) + (b^6*x^(1 + 3*n)*(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2))/((1 + 3*n)*(a*b + b^2*x^n)^3), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2)/x^1, (3*a^2*b^2*x^n*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(n*(a*b + b^2*x^n)) + (3*a*b^3*x^(2*n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(2*n*(a*b + b^2*x^n)) + (b^4*x^(3*n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(3*n*(a*b + b^2*x^n)) + (a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))*log(x))/(a + b*x^n), x, 4),
+((a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2)/x^2, -((a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(x*(a + b*x^n))) - (3*a^2*b^2*x^(-1 + n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/((1 - n)*(a*b + b^2*x^n)) - (3*a*b^3*x^(-1 + 2*n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/((1 - 2*n)*(a*b + b^2*x^n)) - (b^4*x^(-1 + 3*n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/((1 - 3*n)*(a*b + b^2*x^n)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2)/x^3, -((a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(2*x^2*(a + b*x^n))) - (3*a*b^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/(x^(2*(1 - n))*(2*(1 - n)*(a*b + b^2*x^n))) - (3*a^2*b^2*x^(-2 + n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/((2 - n)*(a*b + b^2*x^n)) - (b^4*x^(-2 + 3*n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))/((2 - 3*n)*(a*b + b^2*x^n)), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))*(d*x)^m, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a*d*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))), x, 2),
+
+(1/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))*x^2, (x^3*(a + b*x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 3/n, (3 + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(3*a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))), x, 2),
+(1/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))*x^1, (x^2*(a + b*x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(2*a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))), x, 2),
+(1/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))*x^0, (x*(a + b*x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + (1/n), -((b*x^n)/a)))/(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))), x, 2),
+(1/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))/x^1, ((a + b*x^n)*log(x))/(a*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))) - ((a + b*x^n)*log(a + b*x^n))/(a*n*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))), x, 5),
+(1/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))/x^2, -(((a + b*x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -(1/n), -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a)))/(a*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))), x, 2),
+(1/sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))/x^3, -(((a + b*x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -(2/n), -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a)))/(2*a*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))), x, 2),
+
+
+(1/(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2)*(d*x)^m, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(a^3*d*(1 + m)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))), x, 2),
+
+(1/(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2)*x^2, (x^3*(a + b*x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 3/n, (3 + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(3*a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))), x, 2),
+(1/(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2)*x^1, (x^2*(a + b*x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 2/n, (2 + n)/n, -((b*x^n)/a)))/(2*a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))), x, 2),
+(1/(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2)*x^0, (x*(a + b*x^n)^3*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1/n, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a)))/(a^3*(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2)), x, 2),
+(1/(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2)/x^1, 1/(a^2*n*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))) + 1/(2*a*n*(a + b*x^n)*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))) + ((a + b*x^n)*log(x))/(a^3*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))) - ((a + b*x^n)*log(a + b*x^n))/(a^3*n*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))), x, 4),
+(1/(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2)/x^2, -(((a + b*x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, -(1/n), -((1 - n)/n), -((b*x^n)/a)))/(a^3*x*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))), x, 2),
+(1/(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(3//2)/x^3, -(((a + b*x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, -(2/n), -((2 - n)/n), -((b*x^n)/a)))/(2*a^3*x^2*sqrt(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a^2+2 a b x^n+b^2 x^(2 n))^p with p symbolic
+
+
+((a^2 + 2*a*b*x^(-1/(1 + 2*p)) + b^2*x^(-2/(1 + 2*p)))^p, (x*(a + b*x^(1/(-1 - 2*p)))*(a^2 + 2*a*b*x^(1/(-1 - 2*p)) + b^2/x^(2/(1 + 2*p)))^p)/a, x, 2),
+((a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(-(1+n)/(2*n)), (x*(a + b*x^n))/((a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^((1 + n)/(2*n))*a), x, 2),
+
+
+((a^2 + 2*a*b*x^(-1/(2*(1 + p))) + b^2*x^(-1/(1 + p)))^p, (2*(1 + p)*x*(a + b/x^(1/(2*(1 + p))))*(a^2 + b^2/x^(1/(1 + p)) + (2*a*b)/x^(1/(2*(1 + p))))^p)/(a*(1 + 2*p)) - (x*(a + b/x^(1/(2*(1 + p))))^2*(a^2 + b^2/x^(1/(1 + p)) + (2*a*b)/x^(1/(2*(1 + p))))^p)/(a^2*(1 + 2*p)), x, 3),
+((a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(-(1+2*n)/(2*n)), (x*(a + b*x^n)*(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^((1//2)*(-2 - 1/n)))/(a*(1 + n)) + (n*x*(a + b*x^n)^2*(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^((1//2)*(-2 - 1/n)))/(a^2*(1 + n)), x, 3),
+
+
+# {(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^p/(d*x)^(2*n*(p + 1) + 1), x, 3, -(((a + b*x^n)*(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^p)/((d*x)^(2*n*(1 + p))*(a*d*n*(1 + 2*p)))) + (a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^(1 + p)/((d*x)^(2*n*(1 + p))*(2*a^2*d*n*(1 + p)*(1 + 2*p))), -(((1 + (b*x^n)/a)*(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^p)/((d*x)^(2*n*(1 + p))*(d*n*(1 + 2*p)))) + ((1 + (b*x^n)/a)^2*(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^p)/((d*x)^(2*n*(1 + p))*(2*d*n*(1 + 3*p + 2*p^2)))}
+
+
+(x^(2*n - 1)*(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^p, -((a^2*(1 + (b*x^n)/a)*(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^p)/(b^2*n*(1 + 2*p))) + (a^2*(1 + (b*x^n)/a)^2*(a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n))^p)/(2*b^2*n*(1 + p)), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p with m=k n-1
+
+
+(x^(4*n - 1)/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), -((b*x^n)/(c^2*n)) + x^(2*n)/(2*c*n) + (b*(b^2 - 3*a*c)*atanh((b + 2*c*x^n)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*n) + ((b^2 - a*c)*log(a + b*x^n + c*x^(2*n)))/(2*c^3*n), x, 7),
+(x^(3*n - 1)/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), x^n/(c*n) - ((b^2 - 2*a*c)*atanh((b + 2*c*x^n)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*n) - (b*log(a + b*x^n + c*x^(2*n)))/(2*c^2*n), x, 6),
+(x^(2*n - 1)/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), (b*atanh((b + 2*c*x^n)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*n) + log(a + b*x^n + c*x^(2*n))/(2*c*n), x, 5),
+(x^(1*n - 1)/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), -((2*atanh((b + 2*c*x^n)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*n)), x, 3),
+(x^(-1*n - 1)/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), -(1/(x^n*(a*n))) - ((b^2 - 2*a*c)*atanh((b + 2*c*x^n)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*n) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x^n + c*x^(2*n)))/(2*a^2*n), x, 8),
+(x^(-2*n - 1)/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), -(1/(x^(2*n)*(2*a*n))) + b/(x^n*(a^2*n)) + (b*(b^2 - 3*a*c)*atanh((b + 2*c*x^n)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*n) + ((b^2 - a*c)*log(x))/a^3 - ((b^2 - a*c)*log(a + b*x^n + c*x^(2*n)))/(2*a^3*n), x, 8),
+(x^(-3*n - 1)/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), -(1/(x^(3*n)*(3*a*n))) + b/(x^(2*n)*(2*a^2*n)) - (b^2 - a*c)/(x^n*(a^3*n)) - ((b^4 - 4*a*b^2*c + 2*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x^n)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^4*sqrt(b^2 - 4*a*c)*n) - (b*(b^2 - 2*a*c)*log(x))/a^4 + (b*(b^2 - 2*a*c)*log(a + b*x^n + c*x^(2*n)))/(2*a^4*n), x, 8),
+
+
+(x^(n/4 - 1)/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), (2*2^(3//4)*c^(3//4)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x^(n/4))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*n) - (2*2^(3//4)*c^(3//4)*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x^(n/4))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*n) + (2*2^(3//4)*c^(3//4)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x^(n/4))/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*n) - (2*2^(3//4)*c^(3//4)*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x^(n/4))/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*n), x, 8),
+(x^(n/3 - 1)/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), -((2^(2//3)*sqrt(3)*c^(2//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x^(n/3))/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)*n)) + (2^(2//3)*sqrt(3)*c^(2//3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x^(n/3))/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)*n) + (2^(2//3)*c^(2//3)*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x^(n/3)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)*n) - (2^(2//3)*c^(2//3)*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x^(n/3)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)*n) - (c^(2//3)*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x^(n/3) + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^((2*n)/3)))/(2^(1//3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)*n) + (c^(2//3)*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x^(n/3) + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^((2*n)/3)))/(2^(1//3)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)*n), x, 14),
+(x^(n/2 - 1)/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), (2*sqrt(2)*sqrt(c)*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x^(n/2))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (2*sqrt(2)*sqrt(c)*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x^(n/2))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*n), x, 4),
+(x^(-n/2 - 1)/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), -(2/(x^(n/2)*(a*n))) + (sqrt(2)*(b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(a))/(x^(n/2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) + (sqrt(2)*(b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(a))/(x^(n/2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*n), x, 6),
+(x^(-n/3 - 1)/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), -(3/(x^(n/3)*(a*n))) - (sqrt(3)*(b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*a^(1//3))/(x^(n/3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*a^(4//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)*n) - (sqrt(3)*(b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*a^(1//3))/(x^(n/3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*a^(4//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)*n) + ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + (2^(1//3)*a^(1//3))/x^(n/3)))/(2^(1//3)*a^(4//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)*n) + ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + (2^(1//3)*a^(1//3))/x^(n/3)))/(2^(1//3)*a^(4//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)*n) - ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) + (2^(2//3)*a^(2//3))/x^((2*n)/3) - (2^(1//3)*a^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/x^(n/3)))/(2*2^(1//3)*a^(4//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)*n) - ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) + (2^(2//3)*a^(2//3))/x^((2*n)/3) - (2^(1//3)*a^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/x^(n/3)))/(2*2^(1//3)*a^(4//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)*n), x, 16),
+(x^(-n/4 - 1)/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), -(4/(x^(n/4)*(a*n))) - (2^(3//4)*(b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*a^(1//4))/(x^(n/4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4))))/(a^(5//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*n) - (2^(3//4)*(b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*a^(1//4))/(x^(n/4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4))))/(a^(5//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*n) - (2^(3//4)*(b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*a^(1//4))/(x^(n/4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4))))/(a^(5//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*n) - (2^(3//4)*(b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*a^(1//4))/(x^(n/4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4))))/(a^(5//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)*n), x, 10),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^2/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), -((2*c*x^3*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 3/n, (3 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)))) - (2*c*x^3*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 3/n, (3 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 3),
+(x^1/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), -((c*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2/n, (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (c*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2/n, (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 3),
+(x^0/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), -((2*c*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (2*c*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 3),
+(1/(x^1*(a + b*x^n + c*x^(2*n))), (b*atanh((b + 2*c*x^n)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*n) + log(x)/a - log(a + b*x^n + c*x^(2*n))/(2*a*n), x, 7),
+(1/(x^2*(a + b*x^n + c*x^(2*n))), (2*c*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -(1/n), -((1 - n)/n), -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*x) + (2*c*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -(1/n), -((1 - n)/n), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*x), x, 3),
+(1/(x^3*(a + b*x^n + c*x^(2*n))), (c*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -(2/n), -((2 - n)/n), -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*x^2) + (c*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, -(2/n), -((2 - n)/n), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*x^2), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)), (x^4*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))*SymbolicIntegration.appell_f1(4/n, -(1//2), -(1//2), (4 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(4*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+(x^2*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)), (x^3*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))*SymbolicIntegration.appell_f1(3/n, -(1//2), -(1//2), (3 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+(x^1*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)), (x^2*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))*SymbolicIntegration.appell_f1(2/n, -(1//2), -(1//2), (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+(sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)), (x*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, -(1//2), -(1//2), 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+(sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))/x^1, sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))/n - (sqrt(a)*atanh((2*a + b*x^n)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)))))/n + (b*atanh((b + 2*c*x^n)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)))))/(2*sqrt(c)*n), x, 7),
+(sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))/x^2, -((sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1/n), -(1//2), -(1//2), -((1 - n)/n), -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(x*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))), x, 2),
+(sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))/x^3, -((sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2/n), -(1//2), -(1//2), -((2 - n)/n), -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*x^2*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))), x, 2),
+
+
+(x^3*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2), (a*x^4*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))*SymbolicIntegration.appell_f1(4/n, -(3//2), -(3//2), (4 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(4*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+(x^2*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2), (a*x^3*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))*SymbolicIntegration.appell_f1(3/n, -(3//2), -(3//2), (3 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+(x^1*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2), (a*x^2*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))*SymbolicIntegration.appell_f1(2/n, -(3//2), -(3//2), (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2), (a*x*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, -(3//2), -(3//2), 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2)/x^1, ((b^2 + 8*a*c + 2*b*c*x^n)*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)))/(8*c*n) + (a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2)/(3*n) - (a^(3//2)*atanh((2*a + b*x^n)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)))))/n - (b*(b^2 - 12*a*c)*atanh((b + 2*c*x^n)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)))))/(16*c^(3//2)*n), x, 8),
+((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2)/x^2, -((a*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1/n), -(3//2), -(3//2), -((1 - n)/n), -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(x*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))), x, 2),
+((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2)/x^3, -((a*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2/n), -(3//2), -(3//2), -((2 - n)/n), -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*x^2*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^3/sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)), (x^4*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(4/n, 1//2, 1//2, (4 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(4*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x, 2),
+(x^2/sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)), (x^3*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(3/n, 1//2, 1//2, (3 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x, 2),
+(x^1/sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)), (x^2*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(2/n, 1//2, 1//2, (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x, 2),
+(1/sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)), (x*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, 1//2, 1//2, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)), x, 2),
+(1/(x^1*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))), -(atanh((2*a + b*x^n)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))))/(sqrt(a)*n)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))), -((sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1/n), 1//2, 1//2, -((1 - n)/n), -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(x*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)))), x, 2),
+(1/(x^3*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))), -((sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2/n), 1//2, 1//2, -((2 - n)/n), -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*x^2*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)))), x, 2),
+
+
+(x^3/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2), (x^4*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(4/n, 3//2, 3//2, (4 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(4*a*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x, 2),
+(x^2/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2), (x^3*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(3/n, 3//2, 3//2, (3 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*a*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x, 2),
+(x^1/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2), (x^2*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(2/n, 3//2, 3//2, (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*a*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x, 2),
+(1/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2), (x*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, 3//2, 3//2, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x, 2),
+(1/(x^1*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2)), (2*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*n*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))) - atanh((2*a + b*x^n)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))))/(a^(3//2)*n), x, 5),
+(1/(x^2*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2)), -((sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1/n), 3//2, 3//2, -((1 - n)/n), -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*x*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)))), x, 2),
+(1/(x^3*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2)), -((sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2/n), 3//2, 3//2, -((2 - n)/n), -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*a*x^2*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p with m symbolic
+
+
+((d*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^3, (3*a^2*b*x^(1 + n)*(d*x)^m)/(1 + m + n) + (3*a*(b^2 + a*c)*x^(1 + 2*n)*(d*x)^m)/(1 + m + 2*n) + (b*(b^2 + 6*a*c)*x^(1 + 3*n)*(d*x)^m)/(1 + m + 3*n) + (3*c*(b^2 + a*c)*x^(1 + 4*n)*(d*x)^m)/(1 + m + 4*n) + (3*b*c^2*x^(1 + 5*n)*(d*x)^m)/(1 + m + 5*n) + (c^3*x^(1 + 6*n)*(d*x)^m)/(1 + m + 6*n) + (a^3*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)), x, 14),
+((d*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2, (2*a*b*x^(1 + n)*(d*x)^m)/(1 + m + n) + ((b^2 + 2*a*c)*x^(1 + 2*n)*(d*x)^m)/(1 + m + 2*n) + (2*b*c*x^(1 + 3*n)*(d*x)^m)/(1 + m + 3*n) + (c^2*x^(1 + 4*n)*(d*x)^m)/(1 + m + 4*n) + (a^2*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)), x, 10),
+((d*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^1, (b*x^(1 + n)*(d*x)^m)/(1 + m + n) + (c*x^(1 + 2*n)*(d*x)^m)/(1 + m + 2*n) + (a*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)), x, 6),
+((d*x)^m/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^1, (2*c*(d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*(1 + m)) - (2*c*(d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*(1 + m)), x, 3),
+((d*x)^m/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2, ((d*x)^(1 + m)*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*d*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) + (c*((4*a*c*(1 + m - 2*n) - b^2*(1 + m - n))/sqrt(b^2 - 4*a*c) - b*(1 + m - n))*(d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*(1 + m)*n) - (c*(4*a*c*(1 + m - 2*n) - b^2*(1 + m - n) + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 + m - n))*(d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*(1 + m)*n), x, 5),
+((d*x)^m/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^3, ((d*x)^(1 + m)*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^n))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*d*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2) - ((d*x)^(1 + m)*(4*a^2*c^2*(1 + m - 4*n) - 5*a*b^2*c*(1 + m - 3*n) + b^4*(1 + m - 2*n) - b*c*(2*a*c*(2 + 2*m - 7*n) - b^2*(1 + m - 2*n))*x^n))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*d*n^2*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) - (1/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*(1 + m)*n^2))*(c*(b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*a*c*(2 + 2*m - 7*n) - b^2*(1 + m - 2*n))*(1 + m - n) - b^4*(1 + m^2 + m*(2 - 3*n) - 3*n + 2*n^2) + 6*a*b^2*c*(1 + m^2 + m*(2 - 4*n) - 4*n + 3*n^2) - 8*a^2*c^2*(1 + m^2 + m*(2 - 6*n) - 6*n + 8*n^2))*(d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))) - (1/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*d*(1 + m)*n^2))*(c*(b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*a*c*(2 + 2*m - 7*n) - b^2*(1 + m - 2*n))*(1 + m - n) + b^4*(1 + m^2 + m*(2 - 3*n) - 3*n + 2*n^2) - 6*a*b^2*c*(1 + m^2 + m*(2 - 4*n) - 4*n + 3*n^2) + 8*a^2*c^2*(1 + m^2 + m*(2 - 6*n) - 6*n + 8*n^2))*(d*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))), x, 6),
+
+
+((d*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2), (a*(d*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/n, -(3//2), -(3//2), (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(d*(1 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+((d*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(1//2), ((d*x)^(1 + m)*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/n, -(1//2), -(1//2), (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(d*(1 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 2),
+((d*x)^m/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(1//2), ((d*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/n, 1//2, 1//2, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(d*(1 + m)*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x, 2),
+((d*x)^m/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2), ((d*x)^(1 + m)*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/n, 3//2, 3//2, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*d*(1 + m)*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p with p symbolic
+
+
+((d*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/n, -p, -p, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(d*(1 + m))), x, 2),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b (d+e x)^n+c (d+e x)^(2 n))^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b (d+e x)^2+c (d+e x)^4)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b (d+e x)^2+c (d+e x)^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x)^3*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4), (a*(d + e*x)^4)/(4*e) + (b*(d + e*x)^6)/(6*e) + (c*(d + e*x)^8)/(8*e), x, 3),
+((d + e*x)^3*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2, (a^2*(d + e*x)^4)/(4*e) + (a*b*(d + e*x)^6)/(3*e) + ((b^2 + 2*a*c)*(d + e*x)^8)/(8*e) + (b*c*(d + e*x)^10)/(5*e) + (c^2*(d + e*x)^12)/(12*e), x, 4),
+((d + e*x)^3*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^3, (a^3*(d + e*x)^4)/(4*e) + (a^2*b*(d + e*x)^6)/(2*e) + (3*a*(b^2 + a*c)*(d + e*x)^8)/(8*e) + (b*(b^2 + 6*a*c)*(d + e*x)^10)/(10*e) + (c*(b^2 + a*c)*(d + e*x)^12)/(4*e) + (3*b*c^2*(d + e*x)^14)/(14*e) + (c^3*(d + e*x)^16)/(16*e), x, 4),
+
+
+((d*f + e*f*x)^3*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4), (a*f^3*(d + e*x)^4)/(4*e) + (b*f^3*(d + e*x)^6)/(6*e) + (c*f^3*(d + e*x)^8)/(8*e), x, 3),
+((d*f + e*f*x)^3*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2, (a^2*f^3*(d + e*x)^4)/(4*e) + (a*b*f^3*(d + e*x)^6)/(3*e) + ((b^2 + 2*a*c)*f^3*(d + e*x)^8)/(8*e) + (b*c*f^3*(d + e*x)^10)/(5*e) + (c^2*f^3*(d + e*x)^12)/(12*e), x, 4),
+((d*f + e*f*x)^3*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^3, (a^3*f^3*(d + e*x)^4)/(4*e) + (a^2*b*f^3*(d + e*x)^6)/(2*e) + (3*a*(b^2 + a*c)*f^3*(d + e*x)^8)/(8*e) + (b*(b^2 + 6*a*c)*f^3*(d + e*x)^10)/(10*e) + (c*(b^2 + a*c)*f^3*(d + e*x)^12)/(4*e) + (3*b*c^2*f^3*(d + e*x)^14)/(14*e) + (c^3*f^3*(d + e*x)^16)/(16*e), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x)^4/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4), x/c - ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e) - ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), x, 5),
+((d + e*x)^3/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4), (b*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e) + log(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)/(4*c*e), x, 6),
+((d + e*x)^2/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4), -((sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)) + (sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e), x, 4),
+((d + e*x)/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4), -(atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)), x, 4),
+(1/((d + e*x)*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)), (b*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e) + log(d + e*x)/(a*e) - log(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)/(4*a*e), x, 8),
+(1/((d + e*x)^2*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)), -(1/(a*e*(d + e*x))) - (sqrt(c)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e) - (sqrt(c)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), x, 5),
+(1/((d + e*x)^3*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)), -1/(2*a*e*(d + e*x)^2) - ((b^2 - 2*a*c)*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e) - (b*log(d + e*x))/(a^2*e) + (b*log(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4))/(4*a^2*e), x, 9),
+(1/((d + e*x)^4*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)), -(1/(3*a*e*(d + e*x)^3)) + b/(a^2*e*(d + e*x)) + (sqrt(c)*(b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e) + (sqrt(c)*(b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), x, 6),
+
+
+((d + e*x)^4/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2, ((d + e*x)*(2*a + b*(d + e*x)^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) + ((b - (b^2 + 4*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e) + ((b^2 + 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), x, 5),
+((d + e*x)^3/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2, (2*a + b*(d + e*x)^2)/(2*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) - (b*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*e), x, 5),
+((d + e*x)^2/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2, -((d + e*x)*(b + 2*c*(d + e*x)^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) + (sqrt(c)*(2*b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e) - (sqrt(c)*(2*b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), x, 5),
+((d + e*x)/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2, -(b + 2*c*(d + e*x)^2)/(2*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) + (2*c*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*e), x, 5),
+(1/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2, ((d/e + x)*(b^2 - 2*a*c + b*c*e^2*(d/e + x)^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*e^2*(d/e + x)^2 + c*e^4*(d/e + x)^4)) + (sqrt(c)*(b^2 - 12*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e) - (sqrt(c)*(b^2 - 12*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), x, 5),
+(1/((d + e*x)*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2), (b^2 - 2*a*c + b*c*(d + e*x)^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) + (b*(b^2 - 6*a*c)*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*e) + log(d + e*x)/(a^2*e) - log(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)/(4*a^2*e), x, 9),
+(1/((d + e*x)^2*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2), -((3*b^2 - 10*a*c)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*e*(d + e*x))) + (b^2 - 2*a*c + b*c*(d + e*x)^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*e*(d + e*x)*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) - (sqrt(c)*(3*b^3 - 16*a*b*c + (3*b^2 - 10*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e) + (sqrt(c)*(3*b^3 - 16*a*b*c - (3*b^2 - 10*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), x, 6),
+(1/((d + e*x)^3*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2), -((b^2 - 3*a*c)/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*e*(d + e*x)^2)) + (b^2 - 2*a*c + b*c*(d + e*x)^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*e*(d + e*x)^2*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) - ((b^4 - 6*a*b^2*c + 6*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*e) - (2*b*log(d + e*x))/(a^3*e) + (b*log(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4))/(2*a^3*e), x, 9),
+(1/((d + e*x)^4*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2), -((5*b^2 - 14*a*c)/(6*a^2*(b^2 - 4*a*c)*e*(d + e*x)^3)) + (b*(5*b^2 - 19*a*c))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)*e*(d + e*x)) + (b^2 - 2*a*c + b*c*(d + e*x)^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*e*(d + e*x)^3*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) + (sqrt(c)*(5*b^4 - 29*a*b^2*c + 28*a^2*c^2 + b*(5*b^2 - 19*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e) - (sqrt(c)*(5*b^4 - 29*a*b^2*c + 28*a^2*c^2 - b*(5*b^2 - 19*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), x, 7),
+
+
+((d + e*x)^4/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^3, ((d + e*x)*(2*a + b*(d + e*x)^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2) - ((d + e*x)*(7*b^2 - 4*a*c + 12*b*c*(d + e*x)^2))/(8*(b^2 - 4*a*c)^2*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) + (3*sqrt(c)*(3*b^2 + 4*a*c - 2*b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e) - (3*sqrt(c)*(3*b^2 + 4*a*c + 2*b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), x, 6),
+((d + e*x)^3/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^3, (2*a + b*(d + e*x)^2)/(4*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2) - (3*b*(b + 2*c*(d + e*x)^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)^2*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) + (3*b*c*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(5//2)*e), x, 6),
+((d + e*x)^2/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^3, -(((d + e*x)*(b + 2*c*(d + e*x)^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2)) + ((d + e*x)*(b*(b^2 + 8*a*c) + c*(b^2 + 20*a*c)*(d + e*x)^2))/(8*a*(b^2 - 4*a*c)^2*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) + (sqrt(c)*(b^2 + 20*a*c + (b*(b^2 - 52*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e) + (sqrt(c)*(b^2 + 20*a*c - (b*(b^2 - 52*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), x, 6),
+((d + e*x)/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^3, -(b + 2*c*(d + e*x)^2)/(4*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2) + (3*c*(b + 2*c*(d + e*x)^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) - (6*c^2*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(5//2)*e), x, 6),
+(1/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^3, ((d/e + x)*(b^2 - 2*a*c + b*c*e^2*(d/e + x)^2))/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*e^2*(d/e + x)^2 + c*e^4*(d/e + x)^4)^2) + ((d/e + x)*((b^2 - 7*a*c)*(3*b^2 - 4*a*c) + 3*b*c*(b^2 - 8*a*c)*e^2*(d/e + x)^2))/(8*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*e^2*(d/e + x)^2 + c*e^4*(d/e + x)^4)) + (3*sqrt(c)*(b^4 - 10*a*b^2*c + 56*a^2*c^2 + b*(b^2 - 8*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e) - (3*sqrt(c)*(b^4 - 10*a*b^2*c + 56*a^2*c^2 - b*(b^2 - 8*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), x, 6),
+(1/((d + e*x)*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^3), (b^2 - 2*a*c + b*c*(d + e*x)^2)/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2) + (2*b^4 - 15*a*b^2*c + 16*a^2*c^2 + 2*b*c*(b^2 - 7*a*c)*(d + e*x)^2)/(4*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) + (b*(b^4 - 10*a*b^2*c + 30*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*e) + log(d + e*x)/(a^3*e) - log(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)/(4*a^3*e), x, 10),
+(1/((d + e*x)^2*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^3), -((3*(5*b^2 - 12*a*c)*(b^2 - 5*a*c))/(8*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*e*(d + e*x))) + (b^2 - 2*a*c + b*c*(d + e*x)^2)/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*e*(d + e*x)*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2) + (5*b^4 - 35*a*b^2*c + 36*a^2*c^2 + b*c*(5*b^2 - 32*a*c)*(d + e*x)^2)/(8*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*e*(d + e*x)*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) - (3*sqrt(c)*((5*b^2 - 12*a*c)*(b^2 - 5*a*c) + (b*(5*b^4 - 47*a*b^2*c + 124*a^2*c^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e) - (3*sqrt(c)*((5*b^2 - 12*a*c)*(b^2 - 5*a*c) - (5*b^5 - 47*a*b^3*c + 124*a^2*b*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), x, 7),
+(1/((d + e*x)^3*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^3), -((3*(b^2 - 5*a*c)*(b^2 - 2*a*c))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*e*(d + e*x)^2)) + (b^2 - 2*a*c + b*c*(d + e*x)^2)/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*e*(d + e*x)^2*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2) + (3*b^4 - 20*a*b^2*c + 20*a^2*c^2 + 3*b*c*(b^2 - 6*a*c)*(d + e*x)^2)/(4*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*e*(d + e*x)^2*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) - (3*(b^6 - 10*a*b^4*c + 30*a^2*b^2*c^2 - 20*a^3*c^3)*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^4*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*e) - (3*b*log(d + e*x))/(a^4*e) + (3*b*log(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4))/(4*a^4*e), x, 10),
+
+
+((d*f + e*f*x)^4/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4), (f^4*x)/c - ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*f^4*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e) - ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*f^4*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), x, 5),
+((d*f + e*f*x)^3/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4), (b*f^3*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e) + (f^3*log(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4))/(4*c*e), x, 6),
+((d*f + e*f*x)^2/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4), -((sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f^2*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)) + (sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f^2*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e), x, 4),
+((d*f + e*f*x)/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4), -((f*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)), x, 4),
+(1/((d*f + e*f*x)*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)), (b*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*f) + log(d + e*x)/(a*e*f) - log(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)/(4*a*e*f), x, 8),
+(1/((d*f + e*f*x)^2*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)), -(1/(a*e*f^2*(d + e*x))) - (sqrt(c)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e*f^2) - (sqrt(c)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e*f^2), x, 5),
+(1/((d*f + e*f*x)^3*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)), -1/(2*a*e*f^3*(d + e*x)^2) - ((b^2 - 2*a*c)*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*f^3) - (b*log(d + e*x))/(a^2*e*f^3) + (b*log(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4))/(4*a^2*e*f^3), x, 9),
+(1/((d*f + e*f*x)^4*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)), -(1/(3*a*e*f^4*(d + e*x)^3)) + b/(a^2*e*f^4*(d + e*x)) + (sqrt(c)*(b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e*f^4) + (sqrt(c)*(b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e*f^4), x, 6),
+
+
+((d*f + e*f*x)^4/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2, (f^4*(d + e*x)*(2*a + b*(d + e*x)^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) + ((b - (b^2 + 4*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*f^4*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e) + ((b^2 + 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*f^4*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), x, 5),
+((d*f + e*f*x)^3/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2, (f^3*(2*a + b*(d + e*x)^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) - (b*f^3*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*e), x, 5),
+((d*f + e*f*x)^2/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2, -(f^2*(d + e*x)*(b + 2*c*(d + e*x)^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) + (sqrt(c)*(2*b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f^2*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e) - (sqrt(c)*(2*b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f^2*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), x, 5),
+((d*f + e*f*x)/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2, -(f*(b + 2*c*(d + e*x)^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) + (2*c*f*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*e), x, 5),
+(1/((d*f + e*f*x)*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2), (b^2 - 2*a*c + b*c*(d + e*x)^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*e*f*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) + (b*(b^2 - 6*a*c)*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*e*f) + log(d + e*x)/(a^2*e*f) - log(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)/(4*a^2*e*f), x, 9),
+(1/((d*f + e*f*x)^2*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2), -((3*b^2 - 10*a*c)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*e*f^2*(d + e*x))) + (b^2 - 2*a*c + b*c*(d + e*x)^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*e*f^2*(d + e*x)*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) - (sqrt(c)*(3*b^3 - 16*a*b*c + (3*b^2 - 10*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e*f^2) + (sqrt(c)*(3*b^3 - 16*a*b*c - (3*b^2 - 10*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e*f^2), x, 6),
+(1/((d*f + e*f*x)^3*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2), -((b^2 - 3*a*c)/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*e*f^3*(d + e*x)^2)) + (b^2 - 2*a*c + b*c*(d + e*x)^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*e*f^3*(d + e*x)^2*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) - ((b^4 - 6*a*b^2*c + 6*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*e*f^3) - (2*b*log(d + e*x))/(a^3*e*f^3) + (b*log(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4))/(2*a^3*e*f^3), x, 9),
+(1/((d*f + e*f*x)^4*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2), -((5*b^2 - 14*a*c)/(6*a^2*(b^2 - 4*a*c)*e*f^4*(d + e*x)^3)) + (b*(5*b^2 - 19*a*c))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)*e*f^4*(d + e*x)) + (b^2 - 2*a*c + b*c*(d + e*x)^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*e*f^4*(d + e*x)^3*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) + (sqrt(c)*(5*b^4 - 29*a*b^2*c + 28*a^2*c^2 + b*(5*b^2 - 19*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e*f^4) - (sqrt(c)*(5*b^4 - 29*a*b^2*c + 28*a^2*c^2 - b*(5*b^2 - 19*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e*f^4), x, 7),
+
+
+((d*f + e*f*x)^4/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^3, (f^4*(d + e*x)*(2*a + b*(d + e*x)^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2) - (f^4*(d + e*x)*(7*b^2 - 4*a*c + 12*b*c*(d + e*x)^2))/(8*(b^2 - 4*a*c)^2*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) + (3*sqrt(c)*(3*b^2 + 4*a*c - 2*b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*f^4*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e) - (3*sqrt(c)*(3*b^2 + 4*a*c + 2*b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*f^4*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(4*sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), x, 6),
+((d*f + e*f*x)^3/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^3, (f^3*(2*a + b*(d + e*x)^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2) - (3*b*f^3*(b + 2*c*(d + e*x)^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)^2*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) + (3*b*c*f^3*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(5//2)*e), x, 6),
+((d*f + e*f*x)^2/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^3, -((f^2*(d + e*x)*(b + 2*c*(d + e*x)^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2)) + (f^2*(d + e*x)*(b*(b^2 + 8*a*c) + c*(b^2 + 20*a*c)*(d + e*x)^2))/(8*a*(b^2 - 4*a*c)^2*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) + (sqrt(c)*(b^2 + 20*a*c + (b*(b^2 - 52*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*f^2*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e) + (sqrt(c)*(b^2 + 20*a*c - (b*(b^2 - 52*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*f^2*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e), x, 6),
+((d*f + e*f*x)/(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^3, -(f*(b + 2*c*(d + e*x)^2))/(4*(b^2 - 4*a*c)*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2) + (3*c*f*(b + 2*c*(d + e*x)^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)^2*e*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) - (6*c^2*f*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/((b^2 - 4*a*c)^(5//2)*e), x, 6),
+(1/((d*f + e*f*x)*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^3), (b^2 - 2*a*c + b*c*(d + e*x)^2)/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*e*f*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2) + (2*b^4 - 15*a*b^2*c + 16*a^2*c^2 + 2*b*c*(b^2 - 7*a*c)*(d + e*x)^2)/(4*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*e*f*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) + (b*(b^4 - 10*a*b^2*c + 30*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*e*f) + log(d + e*x)/(a^3*e*f) - log(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)/(4*a^3*e*f), x, 10),
+(1/((d*f + e*f*x)^2*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^3), -((3*(5*b^2 - 12*a*c)*(b^2 - 5*a*c))/(8*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*e*f^2*(d + e*x))) + (b^2 - 2*a*c + b*c*(d + e*x)^2)/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*e*f^2*(d + e*x)*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2) + (5*b^4 - 35*a*b^2*c + 36*a^2*c^2 + b*c*(5*b^2 - 32*a*c)*(d + e*x)^2)/(8*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*e*f^2*(d + e*x)*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) - (3*sqrt(c)*((5*b^2 - 12*a*c)*(b^2 - 5*a*c) + (b*(5*b^4 - 47*a*b^2*c + 124*a^2*c^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e*f^2) - (3*sqrt(c)*((5*b^2 - 12*a*c)*(b^2 - 5*a*c) - (5*b^5 - 47*a*b^3*c + 124*a^2*b*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*(d + e*x))/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(8*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e*f^2), x, 7),
+(1/((d*f + e*f*x)^3*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^3), -((3*(b^2 - 5*a*c)*(b^2 - 2*a*c))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)^2*e*f^3*(d + e*x)^2)) + (b^2 - 2*a*c + b*c*(d + e*x)^2)/(4*a*(b^2 - 4*a*c)*e*f^3*(d + e*x)^2*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)^2) + (3*b^4 - 20*a*b^2*c + 20*a^2*c^2 + 3*b*c*(b^2 - 6*a*c)*(d + e*x)^2)/(4*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*e*f^3*(d + e*x)^2*(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4)) - (3*(b^6 - 10*a*b^4*c + 30*a^2*b^2*c^2 - 20*a^3*c^3)*atanh((b + 2*c*(d + e*x)^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^4*(b^2 - 4*a*c)^(5//2)*e*f^3) - (3*b*log(d + e*x))/(a^4*e*f^3) + (3*b*log(a + b*(d + e*x)^2 + c*(d + e*x)^4))/(4*a^4*e*f^3), x, 10),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b (d+e x)^2+c (d+e x)^4)^(p/2)
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b (d+e x)^3+c (d+e x)^6)^p
+
+
+(x^1/sqrt(a + b*(d + e*x)^3 + c*(d + e*x)^6), -((d*(d + e*x)*sqrt(1 + (2*c*(d + e*x)^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*(d + e*x)^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 1//2, 1//2, 4//3, -((2*c*(d + e*x)^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*(d + e*x)^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(e^2*sqrt(a + b*(d + e*x)^3 + c*(d + e*x)^6))) + ((d + e*x)^2*sqrt(1 + (2*c*(d + e*x)^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*(d + e*x)^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 1//2, 1//2, 5//3, -((2*c*(d + e*x)^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*(d + e*x)^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*e^2*sqrt(a + b*(d + e*x)^3 + c*(d + e*x)^6)), x, 7),
+(x^2/sqrt(a + b*(d + e*x)^3 + c*(d + e*x)^6), (d^2*(d + e*x)*sqrt(1 + (2*c*(d + e*x)^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*(d + e*x)^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 1//2, 1//2, 4//3, -((2*c*(d + e*x)^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*(d + e*x)^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(e^3*sqrt(a + b*(d + e*x)^3 + c*(d + e*x)^6)) - (d*(d + e*x)^2*sqrt(1 + (2*c*(d + e*x)^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*(d + e*x)^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 1//2, 1//2, 5//3, -((2*c*(d + e*x)^3)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*(d + e*x)^3)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(e^3*sqrt(a + b*(d + e*x)^3 + c*(d + e*x)^6)) + atanh((b + 2*c*(d + e*x)^3)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*(d + e*x)^3 + c*(d + e*x)^6)))/(3*sqrt(c)*e^3), x, 10),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b (d+e x)^7+c (d+e x)^14)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b (d+e x)^7+c (d+e x)^14)^p
+
+
+((2 + 3*x)^6*(1 + (2 + 3*x)^7 + (2 + 3*x)^14), (1//21)*(2 + 3*x)^7 + (1//42)*(2 + 3*x)^14 + (1//63)*(2 + 3*x)^21, x, 3),
+((2 + 3*x)^6*(1 + (2 + 3*x)^7 + (2 + 3*x)^14)^2, (1//21)*(2 + 3*x)^7 + (1//21)*(2 + 3*x)^14 + (1//21)*(2 + 3*x)^21 + (1//42)*(2 + 3*x)^28 + (1//105)*(2 + 3*x)^35, x, 4),
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (d+e x)^m (a+b (d+e x)^7+c (d+e x)^14)^(p/2)
+]
+# Total integrals translated: 651
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.3 (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.3 (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..4ec52796
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+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.3 (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,294 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^3)^q (a+b x^3+c x^6)^p
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^3)^q (a+b x^3+c x^6)^p with b=0
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+((d + e*x^3)/(a + c*x^6), (d*atan((c^(1//6)*x)/a^(1//6)))/(3*a^(5//6)*c^(1//6)) - ((sqrt(c)*d + sqrt(3)*sqrt(a)*e)*atan(sqrt(3) - (2*c^(1//6)*x)/a^(1//6)))/(6*a^(5//6)*c^(2//3)) + ((sqrt(c)*d - sqrt(3)*sqrt(a)*e)*atan(sqrt(3) + (2*c^(1//6)*x)/a^(1//6)))/(6*a^(5//6)*c^(2//3)) - (e*log(a^(1//3) + c^(1//3)*x^2))/(6*a^(1//3)*c^(2//3)) - ((sqrt(3)*sqrt(c)*d - sqrt(a)*e)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*c^(1//6)*x + c^(1//3)*x^2))/(12*a^(5//6)*c^(2//3)) + ((sqrt(3)*sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*c^(1//6)*x + c^(1//3)*x^2))/(12*a^(5//6)*c^(2//3)), x, 12),
+((d + e*x^3)/(a - c*x^6), -(((d - (sqrt(a)*e)/sqrt(c))*atan((a^(1//6) - 2*c^(1//6)*x)/(sqrt(3)*a^(1//6))))/(2*sqrt(3)*a^(5//6)*c^(1//6))) + ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atan((a^(1//6) + 2*c^(1//6)*x)/(sqrt(3)*a^(1//6))))/(2*sqrt(3)*a^(5//6)*c^(2//3)) - ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(a^(1//6) - c^(1//6)*x))/(6*a^(5//6)*c^(2//3)) + ((d - (sqrt(a)*e)/sqrt(c))*log(a^(1//6) + c^(1//6)*x))/(6*a^(5//6)*c^(1//6)) - ((d - (sqrt(a)*e)/sqrt(c))*log(a^(1//3) - a^(1//6)*c^(1//6)*x + c^(1//3)*x^2))/(12*a^(5//6)*c^(1//6)) + ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*log(a^(1//3) + a^(1//6)*c^(1//6)*x + c^(1//3)*x^2))/(12*a^(5//6)*c^(2//3)), x, 13),
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+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^4)^q (a+b x^4+c x^8)^p
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^4)^q (a+b x^4+c x^8)^p with b=0
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+# {(d + e*x^4)/(a + c*x^8), x, 19, If[$VersionNumber>=8, -((Sqrt[2 - Sqrt[2]]*((1 + Sqrt[2])*Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a^(1/8) - 2*c^(1/8)*x)/(Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a^(1/8))])/(8*a^(7/8)*c^(5/8))) + (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*((1 - Sqrt[2])*Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a^(1/8) - 2*c^(1/8)*x)/(Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a^(1/8))])/(8*a^(7/8)*c^(5/8)) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*((1 + Sqrt[2])*Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a^(1/8) + 2*c^(1/8)*x)/(Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a^(1/8))])/(8*a^(7/8)*c^(5/8)) - (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*((1 - Sqrt[2])*Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a^(1/8) + 2*c^(1/8)*x)/(Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a^(1/8))])/(8*a^(7/8)*c^(5/8)) + (((1 - Sqrt[2])*Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*Log[a^(1/4) - Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a^(1/8)*c^(1/8)*x + c^(1/4)*x^2])/(8*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]*a^(7/8)*c^(5/8)) - (((1 - Sqrt[2])*Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*Log[a^(1/4) + Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a^(1/8)*c^(1/8)*x + c^(1/4)*x^2])/(8*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]*a^(7/8)*c^(5/8)) - (((1 + Sqrt[2])*Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*Log[a^(1/4) - Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a^(1/8)*c^(1/8)*x + c^(1/4)*x^2])/(8*Sqrt[2*(2 + Sqrt[2])]*a^(7/8)*c^(5/8)) + ((d + Sqrt[2]*d - (Sqrt[a]*e)/Sqrt[c])*Log[a^(1/4) + Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a^(1/8)*c^(1/8)*x + c^(1/4)*x^2])/(8*Sqrt[2*(2 + Sqrt[2])]*a^(7/8)*c^(1/8)), -((Sqrt[2 - Sqrt[2]]*((1 + Sqrt[2])*Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a^(1/8) - 2*c^(1/8)*x)/(Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a^(1/8))])/(8*a^(7/8)*c^(5/8))) + (((1 - Sqrt[2])*Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a^(1/8) - 2*c^(1/8)*x)/(Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a^(1/8))])/(4*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]*a^(7/8)*c^(5/8)) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*((1 + Sqrt[2])*Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a^(1/8) + 2*c^(1/8)*x)/(Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a^(1/8))])/(8*a^(7/8)*c^(5/8)) - (((1 - Sqrt[2])*Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a^(1/8) + 2*c^(1/8)*x)/(Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a^(1/8))])/(4*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]*a^(7/8)*c^(5/8)) + (((1 - Sqrt[2])*Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*Log[a^(1/4) - Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a^(1/8)*c^(1/8)*x + c^(1/4)*x^2])/(8*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]*a^(7/8)*c^(5/8)) - (((1 - Sqrt[2])*Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*Log[a^(1/4) + Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a^(1/8)*c^(1/8)*x + c^(1/4)*x^2])/(8*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]*a^(7/8)*c^(5/8)) - (((1 + Sqrt[2])*Sqrt[c]*d - Sqrt[a]*e)*Log[a^(1/4) - Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a^(1/8)*c^(1/8)*x + c^(1/4)*x^2])/(8*Sqrt[2*(2 + Sqrt[2])]*a^(7/8)*c^(5/8)) + ((d + Sqrt[2]*d - (Sqrt[a]*e)/Sqrt[c])*Log[a^(1/4) + Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a^(1/8)*c^(1/8)*x + c^(1/4)*x^2])/(8*Sqrt[2*(2 + Sqrt[2])]*a^(7/8)*c^(1/8))]}
+((d + e*x^4)/(a - c*x^8), ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atan((c^(1//8)*x)/a^(1//8)))/(4*a^(7//8)*c^(5//8)) - ((d - (sqrt(a)*e)/sqrt(c))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//8)*x)/a^(1//8)))/(4*sqrt(2)*a^(7//8)*c^(1//8)) + ((d - (sqrt(a)*e)/sqrt(c))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//8)*x)/a^(1//8)))/(4*sqrt(2)*a^(7//8)*c^(1//8)) + ((sqrt(c)*d + sqrt(a)*e)*atanh((c^(1//8)*x)/a^(1//8)))/(4*a^(7//8)*c^(5//8)) - ((d - (sqrt(a)*e)/sqrt(c))*log(a^(1//4) - sqrt(2)*a^(1//8)*c^(1//8)*x + c^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2)*a^(7//8)*c^(1//8)) + ((d - (sqrt(a)*e)/sqrt(c))*log(a^(1//4) + sqrt(2)*a^(1//8)*c^(1//8)*x + c^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2)*a^(7//8)*c^(1//8)), x, 13),
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^4)^q (a+b x^4+c x^8)^p with c d^2-a e^2=0
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^4)^q (a+b x^4+c x^8)^p with c d^2-a e^2=0
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+((d + e*x^4)/(d^2 + b*x^4 + e^2*x^8), -(atan((sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(-b + 2*d*e)) - 2*sqrt(e)*x)/sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(-b + 2*d*e)))/(4*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(-b + 2*d*e)))) - atan((sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(-b + 2*d*e)) - 2*sqrt(e)*x)/sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(-b + 2*d*e)))/(4*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(-b + 2*d*e))) + atan((sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(-b + 2*d*e)) + 2*sqrt(e)*x)/sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(-b + 2*d*e)))/(4*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(-b + 2*d*e))) + atan((sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(-b + 2*d*e)) + 2*sqrt(e)*x)/sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(-b + 2*d*e)))/(4*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(-b + 2*d*e))) - log(sqrt(d) - sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(-b + 2*d*e))*x + sqrt(e)*x^2)/(8*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(-b + 2*d*e))) + log(sqrt(d) + sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(-b + 2*d*e))*x + sqrt(e)*x^2)/(8*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(-b + 2*d*e))) - log(sqrt(d) - sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(-b + 2*d*e))*x + sqrt(e)*x^2)/(8*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(-b + 2*d*e))) + log(sqrt(d) + sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(-b + 2*d*e))*x + sqrt(e)*x^2)/(8*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(-b + 2*d*e))), x, 19),
+((d + e*x^4)/(d^2 + f*x^4 + e^2*x^8), -(atan((sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e - f)) - 2*sqrt(e)*x)/sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e - f)))/(4*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e - f)))) - atan((sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e - f)) - 2*sqrt(e)*x)/sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e - f)))/(4*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e - f))) + atan((sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e - f)) + 2*sqrt(e)*x)/sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e - f)))/(4*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e - f))) + atan((sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e - f)) + 2*sqrt(e)*x)/sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e - f)))/(4*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e - f))) - log(sqrt(d) - sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e - f))*x + sqrt(e)*x^2)/(8*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e - f))) + log(sqrt(d) + sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e - f))*x + sqrt(e)*x^2)/(8*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e - f))) - log(sqrt(d) - sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e - f))*x + sqrt(e)*x^2)/(8*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e - f))) + log(sqrt(d) + sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e - f))*x + sqrt(e)*x^2)/(8*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e - f))), x, 19),
+
+((d + e*x^4)/(d^2 - b*x^4 + e^2*x^8), -((sqrt(e)*atan((sqrt(2)*sqrt(e)*x)/sqrt(sqrt(b - 2*d*e) - sqrt(b + 2*d*e))))/(sqrt(2)*sqrt(b - 2*d*e)*sqrt(sqrt(b - 2*d*e) - sqrt(b + 2*d*e)))) - (sqrt(e)*atan((sqrt(2)*sqrt(e)*x)/sqrt(sqrt(b - 2*d*e) + sqrt(b + 2*d*e))))/(sqrt(2)*sqrt(b - 2*d*e)*sqrt(sqrt(b - 2*d*e) + sqrt(b + 2*d*e))) - (sqrt(e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(e)*x)/sqrt(sqrt(b - 2*d*e) - sqrt(b + 2*d*e))))/(sqrt(2)*sqrt(b - 2*d*e)*sqrt(sqrt(b - 2*d*e) - sqrt(b + 2*d*e))) - (sqrt(e)*atanh((sqrt(2)*sqrt(e)*x)/sqrt(sqrt(b - 2*d*e) + sqrt(b + 2*d*e))))/(sqrt(2)*sqrt(b - 2*d*e)*sqrt(sqrt(b - 2*d*e) + sqrt(b + 2*d*e))), x, 7),
+((d + e*x^4)/(d^2 - f*x^4 + e^2*x^8), -(atan((sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e + f)) - 2*sqrt(e)*x)/sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e + f)))/(4*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e + f)))) - atan((sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e + f)) - 2*sqrt(e)*x)/sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e + f)))/(4*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e + f))) + atan((sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e + f)) + 2*sqrt(e)*x)/sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e + f)))/(4*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e + f))) + atan((sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e + f)) + 2*sqrt(e)*x)/sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e + f)))/(4*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e + f))) - log(sqrt(d) - sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e + f))*x + sqrt(e)*x^2)/(8*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e + f))) + log(sqrt(d) + sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e + f))*x + sqrt(e)*x^2)/(8*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) - sqrt(2*d*e + f))) - log(sqrt(d) - sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e + f))*x + sqrt(e)*x^2)/(8*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e + f))) + log(sqrt(d) + sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e + f))*x + sqrt(e)*x^2)/(8*sqrt(d)*sqrt(2*sqrt(d)*sqrt(e) + sqrt(2*d*e + f))), x, 19),
+
+
+((1 + x^4)/(1 + b*x^4 + x^8), -(atan((sqrt(2 - sqrt(2 - b)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2 - b)))/(4*sqrt(2 + sqrt(2 - b)))) - atan((sqrt(2 + sqrt(2 - b)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2 - b)))/(4*sqrt(2 - sqrt(2 - b))) + atan((sqrt(2 - sqrt(2 - b)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2 - b)))/(4*sqrt(2 + sqrt(2 - b))) + atan((sqrt(2 + sqrt(2 - b)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2 - b)))/(4*sqrt(2 - sqrt(2 - b))) - log(1 - sqrt(2 - sqrt(2 - b))*x + x^2)/(8*sqrt(2 - sqrt(2 - b))) + log(1 + sqrt(2 - sqrt(2 - b))*x + x^2)/(8*sqrt(2 - sqrt(2 - b))) - log(1 - sqrt(2 + sqrt(2 - b))*x + x^2)/(8*sqrt(2 + sqrt(2 - b))) + log(1 + sqrt(2 + sqrt(2 - b))*x + x^2)/(8*sqrt(2 + sqrt(2 - b))), x, 19),
+
+((1 + x^4)/(1 + 3*x^4 + x^8), -(((3 + sqrt(5))^(1//4)*atan(1 - (2^(3//4)*x)/(3 - sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(5))) + ((3 + sqrt(5))^(1//4)*atan(1 + (2^(3//4)*x)/(3 - sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(5)) - ((3 - sqrt(5))^(1//4)*atan(1 - (2^(3//4)*x)/(3 + sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(5)) + ((3 - sqrt(5))^(1//4)*atan(1 + (2^(3//4)*x)/(3 + sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*sqrt(5)) - ((3 + sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 - sqrt(5))) - 2*(2*(3 - sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)*sqrt(5)) + ((3 + sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 - sqrt(5))) + 2*(2*(3 - sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)*sqrt(5)) - ((3 - sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 + sqrt(5))) - 2*(2*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)*sqrt(5)) + ((3 - sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 + sqrt(5))) + 2*(2*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)*sqrt(5)), x, 19),
+((1 + x^4)/(1 + 2*x^4 + x^8), -(atan(1 - sqrt(2)*x)/(2*sqrt(2))) + atan(1 + sqrt(2)*x)/(2*sqrt(2)) - log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(4*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(4*sqrt(2)), x, 10),
+((1 + x^4)/(1 + 1*x^4 + x^8), -(atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(4*sqrt(3))) - (1//4)*atan(sqrt(3) - 2*x) + atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) + (1//4)*atan(sqrt(3) + 2*x) - (1//8)*log(1 - x + x^2) + (1//8)*log(1 + x + x^2) - log(1 - sqrt(3)*x + x^2)/(8*sqrt(3)) + log(1 + sqrt(3)*x + x^2)/(8*sqrt(3)), x, 19),
+((1 + x^4)/(1 + 0*x^4 + x^8), (-(1//4))*sqrt((1//2)*(2 - sqrt(2)))*atan((sqrt(2 - sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2))) - (1//4)*sqrt((1//2)*(2 + sqrt(2)))*atan((sqrt(2 + sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2))) + (1//4)*sqrt((1//2)*(2 - sqrt(2)))*atan((sqrt(2 - sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2))) + (1//4)*sqrt((1//2)*(2 + sqrt(2)))*atan((sqrt(2 + sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2))) - log(1 - sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2 - sqrt(2))) + log(1 + sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2 - sqrt(2))) - log(1 - sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2 + sqrt(2))) + log(1 + sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2)/(8*sqrt(2 + sqrt(2))), x, 19),
+((1 + x^4)/(1 - 1*x^4 + x^8), (-(1//4))*sqrt(2 - sqrt(3))*atan((sqrt(2 - sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3))) - (1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3))) + (1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*atan((sqrt(2 - sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3))) + (1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3))) - log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(8*sqrt(2 - sqrt(3))) + log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(8*sqrt(2 - sqrt(3))) - log(1 - sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2)/(8*sqrt(2 + sqrt(3))) + log(1 + sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2)/(8*sqrt(2 + sqrt(3))), x, 19),
+((1 + x^4)/(1 - 2*x^4 + x^8), x/(2*(1 - x^4)) + atan(x)/4 + atanh(x)/4, x, 5),
+((1 + x^4)/(1 - 3*x^4 + x^8), atan(sqrt(2/(-1 + sqrt(5)))*x)/sqrt(2*(-1 + sqrt(5))) - atan(sqrt(2/(1 + sqrt(5)))*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(5))) + atanh(sqrt(2/(-1 + sqrt(5)))*x)/sqrt(2*(-1 + sqrt(5))) - atanh(sqrt(2/(1 + sqrt(5)))*x)/sqrt(2*(1 + sqrt(5))), x, 7),
+((1 + x^4)/(1 - 4*x^4 + x^8), atan((2^(1//4)*x)/sqrt(-1 + sqrt(3)))/(2*2^(1//4)*sqrt(-1 + sqrt(3))) - atan((2^(1//4)*x)/sqrt(1 + sqrt(3)))/(2*2^(1//4)*sqrt(1 + sqrt(3))) + atanh((2^(1//4)*x)/sqrt(-1 + sqrt(3)))/(2*2^(1//4)*sqrt(-1 + sqrt(3))) - atanh((2^(1//4)*x)/sqrt(1 + sqrt(3)))/(2*2^(1//4)*sqrt(1 + sqrt(3))), x, 7),
+((1 + x^4)/(1 - 5*x^4 + x^8), atan(sqrt(2/(-sqrt(3) + sqrt(7)))*x)/sqrt(6*(-sqrt(3) + sqrt(7))) - atan(sqrt(2/(sqrt(3) + sqrt(7)))*x)/sqrt(6*(sqrt(3) + sqrt(7))) + atanh(sqrt(2/(-sqrt(3) + sqrt(7)))*x)/sqrt(6*(-sqrt(3) + sqrt(7))) - atanh(sqrt(2/(sqrt(3) + sqrt(7)))*x)/sqrt(6*(sqrt(3) + sqrt(7))), x, 7),
+((1 + x^4)/(1 - 6*x^4 + x^8), atan(x/sqrt(-1 + sqrt(2)))/(4*sqrt(-1 + sqrt(2))) - atan(x/sqrt(1 + sqrt(2)))/(4*sqrt(1 + sqrt(2))) + atanh(x/sqrt(-1 + sqrt(2)))/(4*sqrt(-1 + sqrt(2))) - atanh(x/sqrt(1 + sqrt(2)))/(4*sqrt(1 + sqrt(2))), x, 7),
+
+
+((1 - x^4)/(1 + b*x^4 + x^8), -((sqrt(2 + b)*atan((sqrt(2 - sqrt(2 - b)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2 - b))))/(4*sqrt(2 - sqrt(2 - b))*sqrt(2 - b))) + (sqrt(2 + b)*atan((sqrt(2 + sqrt(2 - b)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2 - b))))/(4*sqrt(2 + sqrt(2 - b))*sqrt(2 - b)) + (sqrt(2 + b)*atan((sqrt(2 - sqrt(2 - b)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2 - b))))/(4*sqrt(2 - sqrt(2 - b))*sqrt(2 - b)) - (sqrt(2 + b)*atan((sqrt(2 + sqrt(2 - b)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2 - b))))/(4*sqrt(2 + sqrt(2 - b))*sqrt(2 - b)) + (sqrt(2 - sqrt(2 - b))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(2 - b))*x + x^2))/(8*sqrt(2 - b)) - (sqrt(2 - sqrt(2 - b))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(2 - b))*x + x^2))/(8*sqrt(2 - b)) - (sqrt(2 + sqrt(2 - b))*log(1 - sqrt(2 + sqrt(2 - b))*x + x^2))/(8*sqrt(2 - b)) + (sqrt(2 + sqrt(2 - b))*log(1 + sqrt(2 + sqrt(2 - b))*x + x^2))/(8*sqrt(2 - b)), x, 19),
+
+((1 - x^4)/(1 + 3*x^4 + x^8), -(((3 + sqrt(5))^(1//4)*atan(1 - (2^(3//4)*x)/(3 - sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4))) + ((3 + sqrt(5))^(1//4)*atan(1 + (2^(3//4)*x)/(3 - sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)) + ((3 - sqrt(5))^(1//4)*atan(1 - (2^(3//4)*x)/(3 + sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)) - ((3 - sqrt(5))^(1//4)*atan(1 + (2^(3//4)*x)/(3 + sqrt(5))^(1//4)))/(2*2^(3//4)) - ((3 + sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 - sqrt(5))) - 2*(2*(3 - sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)) + ((3 + sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 - sqrt(5))) + 2*(2*(3 - sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)) + ((3 - sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 + sqrt(5))) - 2*(2*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)) - ((3 - sqrt(5))^(1//4)*log(sqrt(2*(3 + sqrt(5))) + 2*(2*(3 + sqrt(5)))^(1//4)*x + 2*x^2))/(4*2^(3//4)), x, 19),
+((1 - x^4)/(1 + 2*x^4 + x^8), x/(2*(1 + x^4)) - atan(1 - sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) + atan(1 + sqrt(2)*x)/(4*sqrt(2)) - log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(8*sqrt(2)), x, 11),
+((1 - x^4)/(1 + 1*x^4 + x^8), (-(1//4))*sqrt(3)*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)) + (1//4)*atan(sqrt(3) - 2*x) + (1//4)*sqrt(3)*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)) - (1//4)*atan(sqrt(3) + 2*x) + (1//8)*log(1 - x + x^2) - (1//8)*log(1 + x + x^2) - (1//8)*sqrt(3)*log(1 - sqrt(3)*x + x^2) + (1//8)*sqrt(3)*log(1 + sqrt(3)*x + x^2), x, 19),
+((1 - x^4)/(1 + 0*x^4 + x^8), -(atan((sqrt(2 - sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2 - sqrt(2)))) + atan((sqrt(2 + sqrt(2)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(4*sqrt(2 + sqrt(2))) + atan((sqrt(2 - sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2 - sqrt(2))) - atan((sqrt(2 + sqrt(2)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(2)))/(4*sqrt(2 + sqrt(2))) + (1//8)*sqrt((1//2)*(2 - sqrt(2)))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2) - (1//8)*sqrt((1//2)*(2 - sqrt(2)))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(2))*x + x^2) - (1//8)*sqrt((1//2)*(2 + sqrt(2)))*log(1 - sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2) + (1//8)*sqrt((1//2)*(2 + sqrt(2)))*log(1 + sqrt(2 + sqrt(2))*x + x^2), x, 19),
+((1 - x^4)/(1 - 1*x^4 + x^8), -(atan((sqrt(2 - sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 - sqrt(3))))) + atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 + sqrt(3)))) + atan((sqrt(2 - sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))) - atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 + sqrt(3)))) + (1//8)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2) - (1//8)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2) - (1//8)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*log(1 - sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2) + (1//8)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*log(1 + sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2), x, 19),
+((1 - x^4)/(1 - 2*x^4 + x^8), atan(x)/2 + atanh(x)/2, x, 5),
+((1 - x^4)/(1 - 3*x^4 + x^8), atan(sqrt(2/(-1 + sqrt(5)))*x)/sqrt(10*(-1 + sqrt(5))) + atan(sqrt(2/(1 + sqrt(5)))*x)/sqrt(10*(1 + sqrt(5))) + atanh(sqrt(2/(-1 + sqrt(5)))*x)/sqrt(10*(-1 + sqrt(5))) + atanh(sqrt(2/(1 + sqrt(5)))*x)/sqrt(10*(1 + sqrt(5))), x, 7),
+((1 - x^4)/(1 - 4*x^4 + x^8), atan((2^(1//4)*x)/sqrt(-1 + sqrt(3)))/(2*2^(1//4)*sqrt(3*(-1 + sqrt(3)))) + atan((2^(1//4)*x)/sqrt(1 + sqrt(3)))/(2*2^(1//4)*sqrt(3*(1 + sqrt(3)))) + atanh((2^(1//4)*x)/sqrt(-1 + sqrt(3)))/(2*2^(1//4)*sqrt(3*(-1 + sqrt(3)))) + atanh((2^(1//4)*x)/sqrt(1 + sqrt(3)))/(2*2^(1//4)*sqrt(3*(1 + sqrt(3)))), x, 7),
+((1 - x^4)/(1 - 5*x^4 + x^8), atan(sqrt(2/(-sqrt(3) + sqrt(7)))*x)/sqrt(14*(-sqrt(3) + sqrt(7))) + atan(sqrt(2/(sqrt(3) + sqrt(7)))*x)/sqrt(14*(sqrt(3) + sqrt(7))) + atanh(sqrt(2/(-sqrt(3) + sqrt(7)))*x)/sqrt(14*(-sqrt(3) + sqrt(7))) + atanh(sqrt(2/(sqrt(3) + sqrt(7)))*x)/sqrt(14*(sqrt(3) + sqrt(7))), x, 7),
+((1 - x^4)/(1 - 6*x^4 + x^8), atan(x/sqrt(-1 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(-1 + sqrt(2)))) + atan(x/sqrt(1 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(1 + sqrt(2)))) + atanh(x/sqrt(-1 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(-1 + sqrt(2)))) + atanh(x/sqrt(1 + sqrt(2)))/(4*sqrt(2*(1 + sqrt(2)))), x, 7),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^4)^q (a+b x^4+c x^8)^p
+
+
+((-1 + sqrt(3) + 2*x^4)/(1 - x^4 + x^8), -(atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/sqrt(2)) + atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/sqrt(2) - log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(2*sqrt(2)) + log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(2*sqrt(2)), x, 9),
+((1 + (1 + sqrt(3))*x^4)/(1 - x^4 + x^8), (-(1//2))*sqrt(2 + sqrt(3))*atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3))) + (1//2)*sqrt(2 + sqrt(3))*atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3))) - (1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2) + (1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2), x, 9),
+((3 - 2*sqrt(3) + (-3 + sqrt(3))*x^4)/(1 - x^4 + x^8), (1//2)*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))*atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3))) - (1//2)*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))*atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3))) + (1//4)*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2) - (1//4)*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2), x, 9),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p with n<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e/x) (a/x^2+b/x+c)^p
+
+
+((d + e/x)/(a/x^2 + c), (d*x)/c - (sqrt(a)*d*atan((sqrt(c)*x)/sqrt(a)))/c^(3//2) + (e*log(a + c*x^2))/(2*c), x, 5),
+
+
+((d + e/x)/(a/x^2 + b/x + c), (d*x)/c - ((b^2*d - 2*a*c*d - b*c*e)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((b*d - c*e)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^2), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e/x^2) (a/x^4+b/x^2+c)^p
+
+
+((d + e/x^2)/(a/x^4 + c), (d*x)/c + ((sqrt(a)*d - sqrt(c)*e)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(5//4)) - ((sqrt(a)*d - sqrt(c)*e)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(5//4)) + ((sqrt(a)*d + sqrt(c)*e)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(5//4)) - ((sqrt(a)*d + sqrt(c)*e)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*c^(5//4)), x, 11),
+
+
+((d + e/x^2)/(a/x^4 + b/x^2 + c), (d*x)/c - ((b*d - c*e - (b^2*d - 2*a*c*d - b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((b*d - c*e + (b^2*d - 2*a*c*d - b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e/x^3) (a/x^6+b/x^3+c)^p
+
+
+((d + e/x^3)/(a/x^6 + c), (d*x)/c - (a^(1//6)*d*atan((c^(1//6)*x)/a^(1//6)))/(3*c^(7//6)) + ((sqrt(a)*d - sqrt(3)*sqrt(c)*e)*atan(sqrt(3) - (2*c^(1//6)*x)/a^(1//6)))/(6*a^(1//3)*c^(7//6)) - ((sqrt(a)*d + sqrt(3)*sqrt(c)*e)*atan(sqrt(3) + (2*c^(1//6)*x)/a^(1//6)))/(6*a^(1//3)*c^(7//6)) - (e*log(a^(1//3) + c^(1//3)*x^2))/(6*a^(1//3)*c^(2//3)) + ((sqrt(3)*sqrt(a)*d + sqrt(c)*e)*log(a^(1//3) - sqrt(3)*a^(1//6)*c^(1//6)*x + c^(1//3)*x^2))/(12*a^(1//3)*c^(7//6)) - ((sqrt(3)*sqrt(a)*d - sqrt(c)*e)*log(a^(1//3) + sqrt(3)*a^(1//6)*c^(1//6)*x + c^(1//3)*x^2))/(12*a^(1//3)*c^(7//6)), x, 14),
+
+
+((d + e/x^3)/(a/x^6 + b/x^3 + c), (d*x)/c + ((b*d - c*e - (b^2*d - 2*a*c*d - b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*c^(4//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + ((b*d - c*e + (b^2*d - 2*a*c*d - b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*c^(4//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) - ((b*d - c*e - (b^2*d - 2*a*c*d - b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(1//3)*c^(4//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) - ((b*d - c*e + (b^2*d - 2*a*c*d - b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(1//3)*c^(4//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + ((b*d - c*e - (b^2*d - 2*a*c*d - b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(1//3)*c^(4//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + ((b*d - c*e + (b^2*d - 2*a*c*d - b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(1//3)*c^(4//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)), x, 15),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e/x^4) (a/x^8+b/x^4+c)^p
+
+
+((d + e/x^4)/(a/x^8 + c), (d*x)/c + (sqrt(2 - sqrt(2))*((1 + sqrt(2))*sqrt(a)*d + sqrt(c)*e)*atan((sqrt(2 - sqrt(2))*a^(1//8) - 2*c^(1//8)*x)/(sqrt(2 + sqrt(2))*a^(1//8))))/(8*a^(3//8)*c^(9//8)) - (sqrt(2 + sqrt(2))*(sqrt(a)*(d - sqrt(2)*d) + sqrt(c)*e)*atan((sqrt(2 + sqrt(2))*a^(1//8) - 2*c^(1//8)*x)/(sqrt(2 - sqrt(2))*a^(1//8))))/(8*a^(3//8)*c^(9//8)) - (sqrt(2 - sqrt(2))*((1 + sqrt(2))*sqrt(a)*d + sqrt(c)*e)*atan((sqrt(2 - sqrt(2))*a^(1//8) + 2*c^(1//8)*x)/(sqrt(2 + sqrt(2))*a^(1//8))))/(8*a^(3//8)*c^(9//8)) + (sqrt(2 + sqrt(2))*(sqrt(a)*(d - sqrt(2)*d) + sqrt(c)*e)*atan((sqrt(2 + sqrt(2))*a^(1//8) + 2*c^(1//8)*x)/(sqrt(2 - sqrt(2))*a^(1//8))))/(8*a^(3//8)*c^(9//8)) - ((sqrt(a)*(d - sqrt(2)*d) + sqrt(c)*e)*log(a^(1//4) - sqrt(2 - sqrt(2))*a^(1//8)*c^(1//8)*x + c^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))*a^(3//8)*c^(9//8)) + ((sqrt(a)*(d - sqrt(2)*d) + sqrt(c)*e)*log(a^(1//4) + sqrt(2 - sqrt(2))*a^(1//8)*c^(1//8)*x + c^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2*(2 - sqrt(2)))*a^(3//8)*c^(9//8)) + (((1 + sqrt(2))*sqrt(a)*d + sqrt(c)*e)*log(a^(1//4) - sqrt(2 + sqrt(2))*a^(1//8)*c^(1//8)*x + c^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))*a^(3//8)*c^(9//8)) - (((1 + sqrt(2))*sqrt(a)*d + sqrt(c)*e)*log(a^(1//4) + sqrt(2 + sqrt(2))*a^(1//8)*c^(1//8)*x + c^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2*(2 + sqrt(2)))*a^(3//8)*c^(9//8)), x, 21),
+
+
+((d + e/x^4)/(a/x^8 + b/x^4 + c), (d*x)/c + ((b*d - c*e + (b^2*d - 2*a*c*d - b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(5//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + ((b*d - c*e - (b^2*d - 2*a*c*d - b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(5//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + ((b*d - c*e + (b^2*d - 2*a*c*d - b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(5//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + ((b*d - c*e - (b^2*d - 2*a*c*d - b*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(5//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)), x, 9),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p with b=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^n)^q (a+c x^(2 n))^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+((d + e*x^n)^3/(a + c*x^(2*n)), (3*d*e^2*x)/c + (e^3*x^(1 + n))/(c*(1 + n)) + (d*(c*d^2 - 3*a*e^2)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*c) + (e*(3*c*d^2 - a*e^2)*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*c*(1 + n)), x, 5),
+((d + e*x^n)^2/(a + c*x^(2*n)), (e^2*x)/c + ((c*d^2 - a*e^2)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*c) + (2*d*e*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*(1 + n)), x, 5),
+((d + e*x^n)^1/(a + c*x^(2*n)), (d*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/a + (e*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*(1 + n)), x, 3),
+(1/((d + e*x^n)^1*(a + c*x^(2*n))), (c*d*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*(c*d^2 + a*e^2)) + (e^2*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(d*(c*d^2 + a*e^2)) - (c*e*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*(c*d^2 + a*e^2)*(1 + n)), x, 6),
+(1/((d + e*x^n)^2*(a + c*x^(2*n))), (c*(c*d^2 - a*e^2)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*(c*d^2 + a*e^2)^2) + (2*c*e^2*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(c*d^2 + a*e^2)^2 - (2*c^2*d*e*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*(c*d^2 + a*e^2)^2*(1 + n)) + (e^2*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(d^2*(c*d^2 + a*e^2)), x, 7),
+
+((d + e*x^n)^1/(a - c*x^(2*n)), (d*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), (c*x^(2*n))/a))/a + (e*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), (c*x^(2*n))/a))/(a*(1 + n)), x, 3),
+
+
+((d + e*x^n)^3/(a + c*x^(2*n))^2, (x*(d*(c*d^2 - 3*a*e^2) + e*(3*c*d^2 - a*e^2)*x^n))/(2*a*c*n*(a + c*x^(2*n))) + (3*d*e^2*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*c) - (d*(c*d^2 - 3*a*e^2)*(1 - 2*n)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(2*a^2*c*n) + (e^3*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*c*(1 + n)) - (e*(3*c*d^2 - a*e^2)*(1 - n)*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(2*a^2*c*n*(1 + n)), x, 9),
+((d + e*x^n)^2/(a + c*x^(2*n))^2, (x*(c*d^2 - a*e^2 + 2*c*d*e*x^n))/(2*a*c*n*(a + c*x^(2*n))) + (e^2*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*c) - ((c*d^2 - a*e^2)*(1 - 2*n)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(2*a^2*c*n) - (d*e*(1 - n)*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a^2*n*(1 + n)), x, 7),
+((d + e*x^n)^1/(a + c*x^(2*n))^2, (x*(d + e*x^n))/(2*a*n*(a + c*x^(2*n))) - (d*(1 - 2*n)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(2*a^2*n) - (e*(1 - n)*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(2*a^2*n*(1 + n)), x, 4),
+(1/((d + e*x^n)^1*(a + c*x^(2*n))^2), (c*x*(d - e*x^n))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)*n*(a + c*x^(2*n))) + (c*d*e^2*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (c*d*(1 - 2*n)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(2*a^2*(c*d^2 + a*e^2)*n) + (e^4*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(d*(c*d^2 + a*e^2)^2) - (c*e^3*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*(c*d^2 + a*e^2)^2*(1 + n)) + (c*e*(1 - n)*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(2*a^2*(c*d^2 + a*e^2)*n*(1 + n)), x, 10),
+(1/((d + e*x^n)^2*(a + c*x^(2*n))^2), (c*x*(c*d^2 - a*e^2 - 2*c*d*e*x^n))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)^2*n*(a + c*x^(2*n))) + (c*e^2*(3*c*d^2 - a*e^2)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*(c*d^2 + a*e^2)^3) - (c*(c*d^2 - a*e^2)*(1 - 2*n)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(2*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*n) + (4*c*e^4*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(c*d^2 + a*e^2)^3 - (4*c^2*d*e^3*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*(c*d^2 + a*e^2)^3*(1 + n)) + (c^2*d*e*(1 - n)*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*n*(1 + n)) + (e^4*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(d^2*(c*d^2 + a*e^2)^2), x, 11),
+
+
+((d + e*x^n)^3/(a + c*x^(2*n))^3, (x*(d*(c*d^2 - 3*a*e^2) + e*(3*c*d^2 - a*e^2)*x^n))/(4*a*c*n*(a + c*x^(2*n))^2) + (e^2*x*(3*d + e*x^n))/(2*a*c*n*(a + c*x^(2*n))) - (x*(d*(c*d^2 - 3*a*e^2)*(1 - 4*n) + e*(3*c*d^2 - a*e^2)*(1 - 3*n)*x^n))/(8*a^2*c*n^2*(a + c*x^(2*n))) + (d*(c*d^2 - 3*a*e^2)*(1 - 4*n)*(1 - 2*n)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(8*a^3*c*n^2) - (3*d*e^2*(1 - 2*n)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(2*a^2*c*n) + (e*(3*c*d^2 - a*e^2)*(1 - 3*n)*(1 - n)*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(8*a^3*c*n^2*(1 + n)) - (e^3*(1 - n)*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(2*a^2*c*n*(1 + n)), x, 11),
+((d + e*x^n)^2/(a + c*x^(2*n))^3, (x*(c*d^2 - a*e^2 + 2*c*d*e*x^n))/(4*a*c*n*(a + c*x^(2*n))^2) - (x*((c*d^2 - a*e^2)*(1 - 4*n) + 2*c*d*e*(1 - 3*n)*x^n))/(8*a^2*c*n^2*(a + c*x^(2*n))) + ((c*d^2 - a*e^2)*(1 - 4*n)*(1 - 2*n)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(8*a^3*c*n^2) + (d*e*(1 - 3*n)*(1 - n)*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(4*a^3*n^2*(1 + n)) + (e^2*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a^2*c), x, 8),
+((d + e*x^n)^1/(a + c*x^(2*n))^3, (x*(d + e*x^n))/(4*a*n*(a + c*x^(2*n))^2) - (x*(d*(1 - 4*n) + e*(1 - 3*n)*x^n))/(8*a^2*n^2*(a + c*x^(2*n))) + (d*(1 - 4*n)*(1 - 2*n)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(8*a^3*n^2) + (e*(1 - 3*n)*(1 - n)*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(8*a^3*n^2*(1 + n)), x, 5),
+(1/((d + e*x^n)^1*(a + c*x^(2*n))^3), (c*x*(d - e*x^n))/(4*a*(c*d^2 + a*e^2)*n*(a + c*x^(2*n))^2) + (c*e^2*x*(d - e*x^n))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)^2*n*(a + c*x^(2*n))) - (c*x*(d*(1 - 4*n) - e*(1 - 3*n)*x^n))/(8*a^2*(c*d^2 + a*e^2)*n^2*(a + c*x^(2*n))) + (c*d*e^4*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*(c*d^2 + a*e^2)^3) + (c*d*(1 - 4*n)*(1 - 2*n)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(8*a^3*(c*d^2 + a*e^2)*n^2) - (c*d*e^2*(1 - 2*n)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(2*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*n) + (e^6*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(d*(c*d^2 + a*e^2)^3) - (c*e^5*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*(c*d^2 + a*e^2)^3*(1 + n)) - (c*e*(1 - 3*n)*(1 - n)*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(8*a^3*(c*d^2 + a*e^2)*n^2*(1 + n)) + (c*e^3*(1 - n)*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(2*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*n*(1 + n)), x, 15),
+(1/((d + e*x^n)^2*(a + c*x^(2*n))^3), (c*x*(c*d^2 - a*e^2 - 2*c*d*e*x^n))/(4*a*(c*d^2 + a*e^2)^2*n*(a + c*x^(2*n))^2) + (c*e^2*x*(3*c*d^2 - a*e^2 - 4*c*d*e*x^n))/(2*a*(c*d^2 + a*e^2)^3*n*(a + c*x^(2*n))) - (c*x*((c*d^2 - a*e^2)*(1 - 4*n) - 2*c*d*e*(1 - 3*n)*x^n))/(8*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^2*n^2*(a + c*x^(2*n))) + (c*e^4*(5*c*d^2 - a*e^2)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*(c*d^2 + a*e^2)^4) + (c*(c*d^2 - a*e^2)*(1 - 4*n)*(1 - 2*n)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(8*a^3*(c*d^2 + a*e^2)^2*n^2) - (c*e^2*(3*c*d^2 - a*e^2)*(1 - 2*n)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/(2*n), (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(2*a^2*(c*d^2 + a*e^2)^3*n) + (6*c*e^6*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(c*d^2 + a*e^2)^4 - (6*c^2*d*e^5*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a*(c*d^2 + a*e^2)^4*(1 + n)) - (c^2*d*e*(1 - 3*n)*(1 - n)*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(4*a^3*(c*d^2 + a*e^2)^2*n^2*(1 + n)) + (2*c^2*d*e^3*(1 - n)*x^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/(2*n), (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(a^2*(c*d^2 + a*e^2)^3*n*(1 + n)) + (e^6*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(d^2*(c*d^2 + a*e^2)^3), x, 16),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^n)^q (a+c x^(2 n))^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/((d + e*x^n)*sqrt(a + c*x^(2*n))), (x*sqrt(1 + (c*x^(2*n))/a)*SymbolicIntegration.appell_f1(1/(2*n), 1//2, 1, (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/(d*sqrt(a + c*x^(2*n))) - (e*x^(1 + n)*sqrt(1 + (c*x^(2*n))/a)*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + n)/(2*n), 1//2, 1, (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/(d^2*(1 + n)*sqrt(a + c*x^(2*n))), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^n)^q (a+c x^(2 n))^p with p symbolic
+
+
+((d + e*x^n)^q*(a + c*x^(2*n))^p, Unintegrable((d + e*x^n)^q*(a + c*x^(2*n))^p, x), x, 0),
+
+
+((a + c*x^(2*n))^p*(d + e*x^n)^3, (3*d*e^2*x^(1 + 2*n)*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1//2)*(2 + 1/n), -p, (1//2)*(4 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(1 + 2*n)) + (e^3*x^(1 + 3*n)*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1//2)*(3 + 1/n), -p, (1//2)*(5 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(1 + 3*n)) + (d^3*x*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1/(2*n), -p, (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(1 + (c*x^(2*n))/a)^p + (3*d^2*e*x^(1 + n)*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + n)/(2*n), -p, (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(1 + n)), x, 10),
+((a + c*x^(2*n))^p*(d + e*x^n)^2, (e^2*x^(1 + 2*n)*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1//2)*(2 + 1/n), -p, (1//2)*(4 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(1 + 2*n)) + (d^2*x*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1/(2*n), -p, (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(1 + (c*x^(2*n))/a)^p + (2*d*e*x^(1 + n)*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + n)/(2*n), -p, (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(1 + n)), x, 8),
+((a + c*x^(2*n))^p*(d + e*x^n)^1, (d*x*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1/(2*n), -p, (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/(1 + (c*x^(2*n))/a)^p + (e*x^(1 + n)*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + n)/(2*n), -p, (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a)))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(1 + n)), x, 6),
+((a + c*x^(2*n))^p/(d + e*x^n)^1, (x*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1/(2*n), -p, 1, (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*d) - (e*x^(1 + n)*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + n)/(2*n), -p, 1, (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(d^2*(1 + n))), x, 6),
+((a + c*x^(2*n))^p/(d + e*x^n)^2, (e^2*x^(1 + 2*n)*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1//2)*(2 + 1/n), -p, 2, (1//2)*(4 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(d^4*(1 + 2*n))) + (x*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1/(2*n), -p, 2, (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*d^2) - (2*e*x^(1 + n)*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + n)/(2*n), -p, 2, (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(d^3*(1 + n))), x, 8),
+((a + c*x^(2*n))^p/(d + e*x^n)^3, (3*e^2*x^(1 + 2*n)*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1//2)*(2 + 1/n), -p, 3, (1//2)*(4 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(d^5*(1 + 2*n))) - (e^3*x^(1 + 3*n)*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1//2)*(3 + 1/n), -p, 3, (1//2)*(5 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(d^6*(1 + 3*n))) + (x*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1/(2*n), -p, 3, (1//2)*(2 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*d^3) - (3*e*x^(1 + n)*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + n)/(2*n), -p, 3, (1//2)*(3 + 1/n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(d^4*(1 + n))), x, 10),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x^n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n)), a*d*x + ((b*d + a*e)*x^(1 + n))/(1 + n) + ((c*d + b*e)*x^(1 + 2*n))/(1 + 2*n) + (c*e*x^(1 + 3*n))/(1 + 3*n), x, 2),
+
+
+((d + e*x^n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2, a^2*d*x + (a*(2*b*d + a*e)*x^(1 + n))/(1 + n) + ((b^2*d + 2*a*c*d + 2*a*b*e)*x^(1 + 2*n))/(1 + 2*n) + ((2*b*c*d + b^2*e + 2*a*c*e)*x^(1 + 3*n))/(1 + 3*n) + (c*(c*d + 2*b*e)*x^(1 + 4*n))/(1 + 4*n) + (c^2*e*x^(1 + 5*n))/(1 + 5*n), x, 2),
+
+
+((d + e*x^n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^3, a^3*d*x + (a^2*(3*b*d + a*e)*x^(1 + n))/(1 + n) + (3*a*(b^2*d + a*c*d + a*b*e)*x^(1 + 2*n))/(1 + 2*n) + ((b^3*d + 6*a*b*c*d + 3*a*b^2*e + 3*a^2*c*e)*x^(1 + 3*n))/(1 + 3*n) + ((3*b^2*c*d + 3*a*c^2*d + b^3*e + 6*a*b*c*e)*x^(1 + 4*n))/(1 + 4*n) + (3*c*(b*c*d + b^2*e + a*c*e)*x^(1 + 5*n))/(1 + 5*n) + (c^2*(c*d + 3*b*e)*x^(1 + 6*n))/(1 + 6*n) + (c^3*e*x^(1 + 7*n))/(1 + 7*n), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((d + e*x^n)^3/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), (e^2*(3*c*d - b*e)*x)/c^2 + (e^3*x^(1 + n))/(c*(1 + n)) + ((3*c^2*d^2*e - 3*b*c*d*e^2 + b^2*e^3 - a*c*e^3 + ((2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e)))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(c^2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((3*c^2*d^2*e - 3*b*c*d*e^2 + b^2*e^3 - a*c*e^3 - ((2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e)))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(c^2*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+((d + e*x^n)^2/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), (e^2*x)/c + ((2*c*d*e - b*e^2 + (2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(c*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((2*c*d*e - b*e^2 - (2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(c*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+((d + e*x^n)^1/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), ((e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 3),
+(1/((d + e*x^n)^1*(a + b*x^n + c*x^(2*n))), -((c*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))) - (c*(e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + (e^2*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 6),
+(1/((d + e*x^n)^2*(a + b*x^n + c*x^(2*n))), -((c*(2*c^2*d^2 + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2)) - (c*(2*c^2*d^2 + b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + (e^2*(2*c*d - b*e)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + (e^2*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(d^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 7),
+(1/((d + e*x^n)^3*(a + b*x^n + c*x^(2*n))), -((c*(2*c^3*d^3 - b^2*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^3 - 3*c^2*d*e*(b*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 2*a*e) + c*e^2*(3*b^2*d + a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e + 3*b*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e)))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3)) - (c*(2*c^3*d^3 - b^2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^3 - 3*c^2*d*e*(b*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 2*a*e) + c*e^2*(3*b^2*d - 3*b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + 3*a*b*e - a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) + (e^2*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + a*e))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) + (e^2*(2*c*d - b*e)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(d^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + (e^2*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(d^3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 8),
+
+
+((d + e*x^n)^3/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2, (x*(b^2*c*d^3 - 2*a*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) - a*b*e*(3*c*d^2 + a*e^2) - (a*b^2*e^3 + 2*a*c*e*(3*c*d^2 - a*e^2) - b*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2))*x^n))/(a*c*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) + (e^2*(e + (6*c*d - 3*b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(c*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (((a*b^2*e^3 + 2*a*c*e*(3*c*d^2 - a*e^2) - b*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2))*(1 - n) + (b^2*c*d*(3*a*e^2*(1 - 3*n) - c*d^2*(1 - n)) - a*b^3*e^3*(1 - 3*n) + 4*a*c^2*d*(c*d^2 - 3*a*e^2)*(1 - 2*n) + 2*a*b*c*e*(a*e^2*(2 - 5*n) + 3*c*d^2*n))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*c*(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) + (e^2*(e - (3*(2*c*d - b*e))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(c*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (((a*b^2*e^3 + 2*a*c*e*(3*c*d^2 - a*e^2) - b*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2))*(1 - n) - (b^2*c*d*(3*a*e^2*(1 - 3*n) - c*d^2*(1 - n)) - a*b^3*e^3*(1 - 3*n) + 4*a*c^2*d*(c*d^2 - 3*a*e^2)*(1 - 2*n) + 2*a*b*c*e*(a*e^2*(2 - 5*n) + 3*c*d^2*n))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*c*(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*n), x, 9),
+((d + e*x^n)^2/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2, (x*(b^2*d^2 - 2*a*b*d*e - 2*a*(c*d^2 - a*e^2) + (b*c*d^2 - 4*a*c*d*e + a*b*e^2)*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) - (2*e^2*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (((b*c*d^2 - 4*a*c*d*e + a*b*e^2)*(1 - n) - (b^2*(a*e^2*(1 - 3*n) - c*d^2*(1 - n)) + 4*a*c*(c*d^2 - a*e^2)*(1 - 2*n) + 4*a*b*c*d*e*n)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (2*e^2*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (((b*c*d^2 - 4*a*c*d*e + a*b*e^2)*(1 - n) + (b^2*(a*e^2*(1 - 3*n) - c*d^2*(1 - n)) + 4*a*c*(c*d^2 - a*e^2)*(1 - 2*n) + 4*a*b*c*d*e*n)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*n), x, 9),
+((d + e*x^n)^1/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2, (x*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e + c*(b*d - 2*a*e)*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) - (c*(2*a*(2*c*d*(1 - 2*n) + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(1 - n)) - b^2*(d - d*n) - b*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n) - 2*a*e*n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (c*(2*a*(c*d*(2 - 4*n) - sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(1 - n)) - b^2*d*(1 - n) + b*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n) + 2*a*e*n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n), x, 4),
+(1/((d + e*x^n)^1*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2), (x*(b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e + c*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) - (c*e^2*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) - (c*((2*a*b*c*e*(2 - 3*n) - 4*a*c^2*d*(1 - 2*n) + b^2*c*d*(1 - n) - b^3*e*(1 - n))/sqrt(b^2 - 4*a*c) + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*n) - (c*e^2*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + (c*(b*c*(2*a*e*(2 - 3*n) - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n)) - 2*a*c*(2*c*d*(1 - 2*n) + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(1 - n)) - b^3*e*(1 - n) + b^2*(c*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*n) + (e^4*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2), x, 10),
+(1/((d + e*x^n)^2*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2), -((x*(2*b^3*c*d*e - 6*a*b*c^2*d*e - b^4*e^2 - b^2*c*(c*d^2 - 4*a*e^2) + 2*a*c^2*(c*d^2 - a*e^2) + c*(2*b^2*c*d*e - 4*a*c^2*d*e - b^3*e^2 - b*c*(c*d^2 - 3*a*e^2))*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n)))) - (2*c*e^2*(3*c^2*d^2 + b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - c*e*(3*b*d + 2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) + (c*(4*a*c^2*(e*(a*e*(1 - 2*n) + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n)) - c*d^2*(1 - 2*n)) - b^2*c*(e*(a*e*(5 - 7*n) + 2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n)) - c*d^2*(1 - n)) + b*c*(c*d*(4*a*e*(2 - 3*n) + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n)) - 3*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^2*(1 - n)) + b^4*e^2*(1 - n) - b^3*e*(2*c*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*n) - (2*c*e^2*(3*c^2*d^2 + b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - c*e*(3*b*d - 2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) + (c*(4*a*c^2*(e*(a*e*(1 - 2*n) - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n)) - c*d^2*(1 - 2*n)) - b^2*c*(e*(a*e*(5 - 7*n) - 2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n)) - c*d^2*(1 - n)) + b*c*(c*d*(4*a*e*(2 - 3*n) - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n)) + 3*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^2*(1 - n)) + b^4*e^2*(1 - n) - b^3*e*(2*c*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*n) + (2*e^4*(2*c*d - b*e)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) + (e^4*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(d^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2), x, 11),
+
+
+((d + e*x^n)^3/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^3, (x*(b^2*c*d^3 - 2*a*c*d*(c*d^2 - 3*a*e^2) - a*b*e*(3*c*d^2 + a*e^2) - (a*b^2*e^3 + 2*a*c*e*(3*c*d^2 - a*e^2) - b*c*d*(c*d^2 + 3*a*e^2))*x^n))/(2*a*c*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2) + (e^2*x*(3*b^2*c*d - 6*a*c^2*d - b^3*e + a*b*c*e + c*(3*b*c*d - b^2*e - 2*a*c*e)*x^n))/(a*c^2*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) - (1/(2*a^2*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2*n^2*(a + b*x^n + c*x^(2*n))))*(x*(a*b^2*c^2*d*(3*a*e^2*(1 - 9*n) - 5*c*d^2*(1 - 3*n)) + 4*a^2*c^3*d*(c*d^2 - 3*a*e^2)*(1 - 4*n) - 2*a*b^5*e^3*n + 2*a^2*b*c^2*e*(3*c*d^2*(2 - 3*n) - 5*a*e^2*n) - 3*a*b^3*c*e*(c*d^2 - 3*a*e^2*n) + b^4*c*d*(c*d^2*(1 - 2*n) + 6*a*e^2*n) + c*(4*a^2*c^2*e*(3*c*d^2 - a*e^2)*(1 - 3*n) - 2*a*b^4*e^3*n - 2*a*b*c^2*d*(c*d^2*(2 - 7*n) + 3*a*e^2*n) + b^3*c*d*(c*d^2*(1 - 2*n) + 6*a*e^2*n) - a*b^2*c*e*(3*c*d^2 - a*e^2*(1 + 2*n)))*x^n)) + (e^2*(b*c*(2*a*e*(2 - 5*n) + 3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n)) - 2*a*c*(6*c*d*(1 - 2*n) + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(1 - n)) - b^3*e*(1 - n) + b^2*(3*c*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*c*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) + (1/(2*a^2*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*n^2))*(((1 - n)*(4*a^2*c^2*e*(3*c*d^2 - a*e^2)*(1 - 3*n) - 2*a*b^4*e^3*n - 2*a*b*c^2*d*(c*d^2*(2 - 7*n) + 3*a*e^2*n) + b^3*c*d*(c*d^2*(1 - 2*n) + 6*a*e^2*n) - a*b^2*c*e*(3*c*d^2 - a*e^2*(1 + 2*n))) - (1/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(2*a*b^5*e^3*(1 - n)*n - b^4*c*d*(1 - n)*(c*d^2*(1 - 2*n) + 6*a*e^2*n) - 8*a^2*c^3*d*(c*d^2 - 3*a*e^2)*(1 - 6*n + 8*n^2) + 6*a*b^2*c^2*d*(c*d^2*(1 - 4*n + 3*n^2) - a*e^2*(1 - 10*n + 15*n^2)) - 4*a^2*b*c^2*e*(3*c*d^2*(1 - n - 3*n^2) + a*e^2*(1 - 11*n + 19*n^2)) + a*b^3*c*e*(3*c*d^2*(1 - n) + a*e^2*(1 - 19*n + 30*n^2))))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))) + (e^2*(b*c*(2*a*e*(2 - 5*n) - 3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n)) - 2*a*c*(6*c*d*(1 - 2*n) - sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(1 - n)) - b^3*e*(1 - n) + b^2*(3*c*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*c*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) + (1/(2*a^2*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*n^2))*(((1 - n)*(4*a^2*c^2*e*(3*c*d^2 - a*e^2)*(1 - 3*n) - 2*a*b^4*e^3*n - 2*a*b*c^2*d*(c*d^2*(2 - 7*n) + 3*a*e^2*n) + b^3*c*d*(c*d^2*(1 - 2*n) + 6*a*e^2*n) - a*b^2*c*e*(3*c*d^2 - a*e^2*(1 + 2*n))) + (1/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(2*a*b^5*e^3*(1 - n)*n - b^4*c*d*(1 - n)*(c*d^2*(1 - 2*n) + 6*a*e^2*n) - 8*a^2*c^3*d*(c*d^2 - 3*a*e^2)*(1 - 6*n + 8*n^2) + 6*a*b^2*c^2*d*(c*d^2*(1 - 4*n + 3*n^2) - a*e^2*(1 - 10*n + 15*n^2)) - 4*a^2*b*c^2*e*(3*c*d^2*(1 - n - 3*n^2) + a*e^2*(1 - 11*n + 19*n^2)) + a*b^3*c*e*(3*c*d^2*(1 - n) + a*e^2*(1 - 19*n + 30*n^2))))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))), x, 11),
+((d + e*x^n)^2/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^3, (x*(b^2*d^2 - 2*a*b*d*e - 2*a*(c*d^2 - a*e^2) + (b*c*d^2 - 4*a*c*d*e + a*b*e^2)*x^n))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2) + (e^2*x*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^n))/(a*c*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) + (1/(2*a^2*c*(b^2 - 4*a*c)^2*n^2*(a + b*x^n + c*x^(2*n))))*(x*(2*a*b^3*c*d*e - a*b^2*c*(a*e^2*(1 - 9*n) - 5*c*d^2*(1 - 3*n)) - 4*a^2*c^2*(c*d^2 - a*e^2)*(1 - 4*n) - 4*a^2*b*c^2*d*e*(2 - 3*n) - b^4*(c*d^2*(1 - 2*n) + 2*a*e^2*n) + c*(2*a*b^2*c*d*e - 8*a^2*c^2*d*e*(1 - 3*n) + 2*a*b*c*(c*d^2*(2 - 7*n) + a*e^2*n) - b^3*(c*d^2*(1 - 2*n) + 2*a*e^2*n))*x^n)) - (e^2*(4*a*c*(1 - 2*n) - b^2*(1 - n) - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (1/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*n^2))*(((1 - n)*(2*a*b^2*c*d*e - 8*a^2*c^2*d*e*(1 - 3*n) + 2*a*b*c*(c*d^2*(2 - 7*n) + a*e^2*n) - b^3*(c*d^2*(1 - 2*n) + 2*a*e^2*n)) + (2*a*b^3*c*d*e*(1 - n) - b^4*(1 - n)*(c*d^2*(1 - 2*n) + 2*a*e^2*n) - 8*a^2*b*c^2*d*e*(1 - n - 3*n^2) - 8*a^2*c^2*(c*d^2 - a*e^2)*(1 - 6*n + 8*n^2) + 2*a*b^2*c*(3*c*d^2*(1 - 4*n + 3*n^2) - a*e^2*(1 - 10*n + 15*n^2)))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))) - (e^2*(4*a*c*(1 - 2*n) - b^2*(1 - n) + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (1/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*n^2))*(((1 - n)*(2*a*b^2*c*d*e - 8*a^2*c^2*d*e*(1 - 3*n) + 2*a*b*c*(c*d^2*(2 - 7*n) + a*e^2*n) - b^3*(c*d^2*(1 - 2*n) + 2*a*e^2*n)) - (2*a*b^3*c*d*e*(1 - n) - b^4*(1 - n)*(c*d^2*(1 - 2*n) + 2*a*e^2*n) - 8*a^2*b*c^2*d*e*(1 - n - 3*n^2) - 8*a^2*c^2*(c*d^2 - a*e^2)*(1 - 6*n + 8*n^2) + 2*a*b^2*c*(3*c*d^2*(1 - 4*n + 3*n^2) - a*e^2*(1 - 10*n + 15*n^2)))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))), x, 11),
+((d + e*x^n)^1/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^3, (x*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e + c*(b*d - 2*a*e)*x^n))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2) + (x*(a*b^3*e - 4*a^2*c^2*d*(1 - 4*n) + 5*a*b^2*c*d*(1 - 3*n) - 2*a^2*b*c*e*(2 - 3*n) - b^4*d*(1 - 2*n) + c*(a*b^2*e + 2*a*b*c*d*(2 - 7*n) - 4*a^2*c*e*(1 - 3*n) - b^3*d*(1 - 2*n))*x^n))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*n^2*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) + (1/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n^2))*(c*(a*b^2*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*e + 6*c*d*(1 - 3*n))*(1 - n) + b^3*(a*e - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - 2*n))*(1 - n) - b^4*d*(1 - 3*n + 2*n^2) - 2*a*b*c*(2*a*e*(1 - n - 3*n^2) - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(2 - 9*n + 7*n^2)) - 4*a^2*c*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(1 - 4*n + 3*n^2) + 2*c*d*(1 - 6*n + 8*n^2)))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))) - (1/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n^2))*(c*(a*b^2*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*e - 6*c*d*(1 - 3*n))*(1 - n) - b^3*(a*e + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - 2*n))*(1 - n) + b^4*d*(1 - 3*n + 2*n^2) + 2*a*b*c*(2*a*e*(1 - n - 3*n^2) + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(2 - 9*n + 7*n^2)) - 4*a^2*c*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(1 - 4*n + 3*n^2) - 2*c*d*(1 - 6*n + 8*n^2)))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))), x, 5),
+(1/((d + e*x^n)^1*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^3), (x*(b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e + c*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*x^n))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2) + (e^2*x*(b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e + c*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) + (x*(2*a^2*b*c^2*e*(4 - 11*n) - 3*a*b^3*c*e*(2 - 5*n) - 4*a^2*c^3*d*(1 - 4*n) + 5*a*b^2*c^2*d*(1 - 3*n) - b^4*c*d*(1 - 2*n) + b^5*(e - 2*e*n) - c*(a*b^2*c*e*(5 - 14*n) - 2*a*b*c^2*d*(2 - 7*n) - 4*a^2*c^2*e*(1 - 3*n) + b^3*c*d*(1 - 2*n) - b^4*e*(1 - 2*n))*x^n))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*n^2*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) - (c*e^4*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) + (c*e^2*(b*c*(2*a*e*(2 - 3*n) + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n)) - 2*a*c*(2*c*d*(1 - 2*n) - sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(1 - n)) - b^3*e*(1 - n) + b^2*(c*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*n) - (1/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*n^2))*(c*(a*b^2*c*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(5 - 14*n) - 6*c*d*(1 - 3*n))*(1 - n) + b^3*c*(a*e*(7 - 18*n) + sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - 2*n))*(1 - n) - b^5*e*(1 - 3*n + 2*n^2) + b^4*(c*d - sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)*(1 - 3*n + 2*n^2) - 4*a^2*c^2*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(1 - 4*n + 3*n^2) - 2*c*d*(1 - 6*n + 8*n^2)) - 2*a*b*c^2*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(2 - 9*n + 7*n^2) + 2*a*e*(3 - 13*n + 13*n^2)))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))) - (c*e^4*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) + (c*e^2*(b*c*(2*a*e*(2 - 3*n) - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n)) - 2*a*c*(2*c*d*(1 - 2*n) + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(1 - n)) - b^3*e*(1 - n) + b^2*(c*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*n) + (1/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*n^2))*(c*(a*b^2*c*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(5 - 14*n) + 6*c*d*(1 - 3*n))*(1 - n) - b^3*c*(a*e*(7 - 18*n) - sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - 2*n))*(1 - n) + b^5*e*(1 - 3*n + 2*n^2) - b^4*(c*d + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)*(1 - 3*n + 2*n^2) - 4*a^2*c^2*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*(1 - 4*n + 3*n^2) + 2*c*d*(1 - 6*n + 8*n^2)) - 2*a*b*c^2*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(2 - 9*n + 7*n^2) - 2*a*e*(3 - 13*n + 13*n^2)))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))) + (e^6*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3), x, 15),
+(1/((d + e*x^n)^2*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^3), -((x*(2*b^3*c*d*e - 6*a*b*c^2*d*e - b^4*e^2 - b^2*c*(c*d^2 - 4*a*e^2) + 2*a*c^2*(c*d^2 - a*e^2) + c*(2*b^2*c*d*e - 4*a*c^2*d*e - b^3*e^2 - b*c*(c*d^2 - 3*a*e^2))*x^n))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2)) - (e^2*x*(5*b^3*c*d*e - 14*a*b*c^2*d*e - 2*b^4*e^2 - b^2*c*(3*c*d^2 - 7*a*e^2) + 2*a*c^2*(3*c*d^2 - a*e^2) + c*(5*b^2*c*d*e - 8*a*c^2*d*e - 2*b^3*e^2 - b*c*(3*c*d^2 - 5*a*e^2))*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) - (x*(a*b^2*c^2*(a*e^2*(13 - 37*n) - 5*c*d^2*(1 - 3*n)) - b^4*c*(a*e^2*(7 - 17*n) - c*d^2*(1 - 2*n)) - 4*a^2*b*c^3*d*e*(4 - 11*n) + 6*a*b^3*c^2*d*e*(2 - 5*n) + 4*a^2*c^3*(c*d^2 - a*e^2)*(1 - 4*n) - 2*b^5*c*d*e*(1 - 2*n) + b^6*e^2*(1 - 2*n) + c*(2*a*b*c^2*(a*e^2*(4 - 13*n) - c*d^2*(2 - 7*n)) - b^3*c*(2*a*e^2*(3 - 8*n) - c*d^2*(1 - 2*n)) + 2*a*b^2*c^2*d*e*(5 - 14*n) - 8*a^2*c^3*d*e*(1 - 3*n) - 2*b^4*c*d*e*(1 - 2*n) + b^5*e^2*(1 - 2*n))*x^n))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*n^2*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) - (c*e^4*(10*c^2*d^2 + 3*b*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(5*b*d + 3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4) + (c*e^2*(4*a*c^2*(e*(a*e*(1 - 2*n) + 2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n)) - 3*c*d^2*(1 - 2*n)) - b^2*c*(e*(a*e*(9 - 13*n) + 5*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n)) - 3*c*d^2*(1 - n)) + b*c*(c*d*(4*a*e*(5 - 8*n) + 3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n)) - 5*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^2*(1 - n)) + 2*b^4*e^2*(1 - n) - b^3*e*(5*c*d - 2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*n) + (c*((2*a*b*c^2*(a*e^2*(4 - 13*n) - c*d^2*(2 - 7*n)) - b^3*c*(2*a*e^2*(3 - 8*n) - c*d^2*(1 - 2*n)) + 2*a*b^2*c^2*d*e*(5 - 14*n) - 8*a^2*c^3*d*e*(1 - 3*n) - 2*b^4*c*d*e*(1 - 2*n) + b^5*e^2*(1 - 2*n))*(1 - n) - (1/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(b^4*c*(4*a*e^2*(2 - 5*n) - c*d^2*(1 - 2*n))*(1 - n) + 2*b^5*c*d*e*(1 - 3*n + 2*n^2) - b^6*e^2*(1 - 3*n + 2*n^2) - 8*a^2*c^3*(c*d^2 - a*e^2)*(1 - 6*n + 8*n^2) + 8*a^2*b*c^3*d*e*(3 - 13*n + 13*n^2) - 2*a*b^3*c^2*d*e*(7 - 25*n + 18*n^2) + 2*a*b^2*c^2*(3*c*d^2*(1 - 4*n + 3*n^2) - a*e^2*(9 - 38*n + 35*n^2))))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*n^2) - (c*e^4*(10*c^2*d^2 + 3*b*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e^2 - 2*c*e*(5*b*d - 3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d + a*e))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4) + (c*e^2*(4*a*c^2*(e*(a*e*(1 - 2*n) - 2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n)) - 3*c*d^2*(1 - 2*n)) - b^2*c*(e*(a*e*(9 - 13*n) - 5*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n)) - 3*c*d^2*(1 - n)) + b*c*(c*d*(4*a*e*(5 - 8*n) - 3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(1 - n)) + 5*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e^2*(1 - n)) + 2*b^4*e^2*(1 - n) - b^3*e*(5*c*d + 2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*n) + (c*((2*a*b*c^2*(a*e^2*(4 - 13*n) - c*d^2*(2 - 7*n)) - b^3*c*(2*a*e^2*(3 - 8*n) - c*d^2*(1 - 2*n)) + 2*a*b^2*c^2*d*e*(5 - 14*n) - 8*a^2*c^3*d*e*(1 - 3*n) - 2*b^4*c*d*e*(1 - 2*n) + b^5*e^2*(1 - 2*n))*(1 - n) + (1/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(b^4*c*(4*a*e^2*(2 - 5*n) - c*d^2*(1 - 2*n))*(1 - n) + 2*b^5*c*d*e*(1 - 3*n + 2*n^2) - b^6*e^2*(1 - 3*n + 2*n^2) - 8*a^2*c^3*(c*d^2 - a*e^2)*(1 - 6*n + 8*n^2) + 8*a^2*b*c^3*d*e*(3 - 13*n + 13*n^2) - 2*a*b^3*c^2*d*e*(7 - 25*n + 18*n^2) + 2*a*b^2*c^2*(3*c*d^2*(1 - 4*n + 3*n^2) - a*e^2*(9 - 38*n + 35*n^2))))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*n^2) + (3*e^6*(2*c*d - b*e)*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(d*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4) + (e^6*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1/n, 1 + 1/n, -((e*x^n)/d)))/(d^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3), x, 16),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((d + e*x^n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(1//2), (e*x^(1 + n)*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + 1/n, -(1//2), -(1//2), 2 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + n)*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))) + (d*x*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, -(1//2), -(1//2), 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 6),
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+
+((d + e*x^n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2), (a*e*x^(1 + n)*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + 1/n, -(3//2), -(3//2), 2 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + n)*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))) + (a*d*x*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, -(3//2), -(3//2), 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 6),
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+((d + e*x^n)/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(1//2), (e*x^(1 + n)*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + 1/n, 1//2, 1//2, 2 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + n)*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))) + (d*x*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, 1//2, 1//2, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)), x, 6),
+
+
+((d + e*x^n)/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2), (e*x^(1 + n)*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + 1/n, 3//2, 3//2, 2 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(1 + n)*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))) + (d*x*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, 3//2, 3//2, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x, 6),
+
+
+((d + e*x^n)/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(5//2), (e*x^(1 + n)*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + 1/n, 5//2, 5//2, 2 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a^2*(1 + n)*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))) + (d*x*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, 5//2, 5//2, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a^2*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p with p symbolic
+
+
+((d + e*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, Unintegrable((d + e*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x), x, 0),
+
+
+((a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*(d + e*x^n)^3, (3*d^2*e*x^(1 + n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + 1/n, -p, -p, 2 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + n)) + (3*d*e^2*x^(1 + 2*n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + 1/n, -p, -p, 3 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + 2*n)) + (e^3*x^(1 + 3*n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1(3 + 1/n, -p, -p, 4 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + 3*n)) + (d^3*x*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, -p, -p, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p), x, 10),
+((a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*(d + e*x^n)^2, (2*d*e*x^(1 + n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + 1/n, -p, -p, 2 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + n)) + (e^2*x^(1 + 2*n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1(2 + 1/n, -p, -p, 3 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + 2*n)) + (d^2*x*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, -p, -p, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p), x, 8),
+((a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*(d + e*x^n)^1, (e*x^(1 + n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + 1/n, -p, -p, 2 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + n)) + (d*x*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, -p, -p, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p), x, 6),
+((a + b*x^n + c*x^(2*n))^p/(d + e*x^n)^1, Unintegrable((a + b*x^n + c*x^(2*n))^p/(d + e*x^n), x), x, 0),
+((a + b*x^n + c*x^(2*n))^p/(d + e*x^n)^2, Unintegrable((a + b*x^n + c*x^(2*n))^p/(d + e*x^n)^2, x), x, 0),
+((a + b*x^n + c*x^(2*n))^p/(d + e*x^n)^3, Unintegrable((a + b*x^n + c*x^(2*n))^p/(d + e*x^n)^3, x), x, 0),
+]
+# Total integrals translated: 95
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.4 (f x)^m (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.4 (f x)^m (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..2e9c3084
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.4 (f x)^m (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,388 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^3)^q (a+b x^3+c x^6)^p
+
+
+# ::Section::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^3)^q (a+b x^3+c x^6)^p with b=0
+
+
+# ::Section::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^3)^q (a+b x^3+c x^6)^p with b^2-4 a c=0
+
+
+# ::Section::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^3)^q (a+b x^3+c x^6)^p with c d^2-b d e+a e^2=0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^3)^q (a+b x^3+c x^6)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^3)^q (a+b x^3+c x^6)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((d + e*x^3)^5*(a + b*x^3 + c*x^6), a*d^5*x + (1//4)*d^4*(b*d + 5*a*e)*x^4 + (1//7)*d^3*(c*d^2 + 5*e*(b*d + 2*a*e))*x^7 + (1//2)*d^2*e*(c*d^2 + 2*e*(b*d + a*e))*x^10 + (5//13)*d*e^2*(2*c*d^2 + e*(2*b*d + a*e))*x^13 + (1//16)*e^3*(10*c*d^2 + e*(5*b*d + a*e))*x^16 + (1//19)*e^4*(5*c*d + b*e)*x^19 + (1//22)*c*e^5*x^22, x, 2),
+((d + e*x^3)^4*(a + b*x^3 + c*x^6), a*d^4*x + (d^3*(b*d + 4*a*e)*x^4)/4 + (d^2*(c*d^2 + 4*b*d*e + 6*a*e^2)*x^7)/7 + (d*e*(2*c*d^2 + e*(3*b*d + 2*a*e))*x^10)/5 + (e^2*(6*c*d^2 + e*(4*b*d + a*e))*x^13)/13 + (e^3*(4*c*d + b*e)*x^16)/16 + (c*e^4*x^19)/19, x, 2),
+((d + e*x^3)^3*(a + b*x^3 + c*x^6), a*d^3*x + (d^2*(b*d + 3*a*e)*x^4)/4 + (d*(c*d^2 + 3*e*(b*d + a*e))*x^7)/7 + (e*(3*c*d^2 + e*(3*b*d + a*e))*x^10)/10 + (e^2*(3*c*d + b*e)*x^13)/13 + (c*e^3*x^16)/16, x, 2),
+((d + e*x^3)^2*(a + b*x^3 + c*x^6), a*d^2*x + (d*(b*d + 2*a*e)*x^4)/4 + ((c*d^2 + e*(2*b*d + a*e))*x^7)/7 + (e*(2*c*d + b*e)*x^10)/10 + (c*e^2*x^13)/13, x, 2),
+((d + e*x^3)*(a + b*x^3 + c*x^6), a*d*x + ((b*d + a*e)*x^4)/4 + ((c*d + b*e)*x^7)/7 + (c*e*x^10)/10, x, 2),
+((a + b*x^3 + c*x^6)/(d + e*x^3), -(((c*d - b*e)*x)/e^2) + (c*x^4)/(4*e) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*atan((d^(1//3) - 2*e^(1//3)*x)/(sqrt(3)*d^(1//3))))/(sqrt(3)*d^(2//3)*e^(7//3)) + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*log(d^(1//3) + e^(1//3)*x))/(3*d^(2//3)*e^(7//3)) - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*log(d^(2//3) - d^(1//3)*e^(1//3)*x + e^(2//3)*x^2))/(6*d^(2//3)*e^(7//3)), x, 8),
+((a + b*x^3 + c*x^6)/(d + e*x^3)^2, (c*x)/e^2 + ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(3*d*e^2*(d + e*x^3)) + ((4*c*d^2 - e*(b*d + 2*a*e))*atan((d^(1//3) - 2*e^(1//3)*x)/(sqrt(3)*d^(1//3))))/(3*sqrt(3)*d^(5//3)*e^(7//3)) - ((4*c*d^2 - e*(b*d + 2*a*e))*log(d^(1//3) + e^(1//3)*x))/(9*d^(5//3)*e^(7//3)) + ((4*c*d^2 - e*(b*d + 2*a*e))*log(d^(2//3) - d^(1//3)*e^(1//3)*x + e^(2//3)*x^2))/(18*d^(5//3)*e^(7//3)), x, 8),
+((a + b*x^3 + c*x^6)/(d + e*x^3)^3, ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(6*d*e^2*(d + e*x^3)^2) - ((7*c*d^2 - e*(b*d + 5*a*e))*x)/(18*d^2*e^2*(d + e*x^3)) - ((2*c*d^2 + e*(b*d + 5*a*e))*atan((d^(1//3) - 2*e^(1//3)*x)/(sqrt(3)*d^(1//3))))/(9*sqrt(3)*d^(8//3)*e^(7//3)) + ((2*c*d^2 + e*(b*d + 5*a*e))*log(d^(1//3) + e^(1//3)*x))/(27*d^(8//3)*e^(7//3)) - ((2*c*d^2 + e*(b*d + 5*a*e))*log(d^(2//3) - d^(1//3)*e^(1//3)*x + e^(2//3)*x^2))/(54*d^(8//3)*e^(7//3)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^8*(d + e*x^3)/(a + b*x^3 + c*x^6), ((c*d - b*e)*x^3)/(3*c^2) + (e*x^6)/(6*c) - ((b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e)*atanh((b + 2*c*x^3)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(3*c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((b*c*d - b^2*e + a*c*e)*log(a + b*x^3 + c*x^6))/(6*c^3), x, 7),
+(x^5*(d + e*x^3)/(a + b*x^3 + c*x^6), (e*x^3)/(3*c) + ((b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*atanh((b + 2*c*x^3)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(3*c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((c*d - b*e)*log(a + b*x^3 + c*x^6))/(6*c^2), x, 6),
+(x^2*(d + e*x^3)/(a + b*x^3 + c*x^6), -(((2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x^3)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(3*c*sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (e*log(a + b*x^3 + c*x^6))/(6*c), x, 5),
+(x^(-1)*(d + e*x^3)/(a + b*x^3 + c*x^6), ((b*d - 2*a*e)*atanh((b + 2*c*x^3)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(3*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (d*log(x))/a - (d*log(a + b*x^3 + c*x^6))/(6*a), x, 7),
+(x^(-4)*(d + e*x^3)/(a + b*x^3 + c*x^6), -(d/(3*a*x^3)) - ((b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e)*atanh((b + 2*c*x^3)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(3*a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - ((b*d - a*e)*log(x))/a^2 + ((b*d - a*e)*log(a + b*x^3 + c*x^6))/(6*a^2), x, 7),
+
+(x^4*(d + e*x^3)/(a + b*x^3 + c*x^6), (e*x^2)/(2*c) - ((c*d - b*e - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*c^(5//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) - ((c*d - b*e + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*c^(5//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) - ((c*d - b*e - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(2//3)*c^(5//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) - ((c*d - b*e + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(2//3)*c^(5//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) + ((c*d - b*e - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(2//3)*c^(5//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) + ((c*d - b*e + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(2//3)*c^(5//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)), x, 14),
+(x^3*(d + e*x^3)/(a + b*x^3 + c*x^6), (e*x)/c - ((c*d - b*e - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*c^(4//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) - ((c*d - b*e + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*c^(4//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + ((c*d - b*e - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(1//3)*c^(4//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + ((c*d - b*e + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(1//3)*c^(4//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) - ((c*d - b*e - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(1//3)*c^(4//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) - ((c*d - b*e + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(1//3)*c^(4//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)), x, 14),
+(x^1*(d + e*x^3)/(a + b*x^3 + c*x^6), -(((e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*c^(2//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))) - ((e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*c^(2//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) - ((e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(2//3)*c^(2//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) - ((e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(2//3)*c^(2//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) + ((e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(2//3)*c^(2//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) + ((e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(2//3)*c^(2//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)), x, 13),
+(x^0*(d + e*x^3)/(a + b*x^3 + c*x^6), -(((e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3))) - ((e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + ((e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + ((e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) - ((e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) - ((e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)), x, 13),
+(x^(-2)*(d + e*x^3)/(a + b*x^3 + c*x^6), -(d/(a*x)) + (c^(1//3)*(d + (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*a*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) + (c^(1//3)*(d - (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(2//3)*sqrt(3)*a*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) + (c^(1//3)*(d + (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(2//3)*a*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) + (c^(1//3)*(d - (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(2//3)*a*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) - (c^(1//3)*(d + (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(2//3)*a*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)) - (c^(1//3)*(d - (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(2//3)*a*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)), x, 14),
+(x^(-3)*(d + e*x^3)/(a + b*x^3 + c*x^6), -(d/(2*a*x^2)) + (c^(2//3)*(d + (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*a*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + (c^(2//3)*(d - (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((1 - (2*2^(1//3)*c^(1//3)*x)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3))/sqrt(3)))/(2^(1//3)*sqrt(3)*a*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) - (c^(2//3)*(d + (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(1//3)*a*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) - (c^(2//3)*(d - (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3) + 2^(1//3)*c^(1//3)*x))/(3*2^(1//3)*a*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + (c^(2//3)*(d + (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(1//3)*a*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)) + (c^(2//3)*(d - (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*log((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3) - 2^(1//3)*c^(1//3)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//3)*x + 2^(2//3)*c^(2//3)*x^2))/(6*2^(1//3)*a*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(2//3)), x, 14),
+
+
+(x^8*(1 - x^3)/(1 - x^3 + x^6), -(x^6//6) - atan((1 - 2*x^3)/sqrt(3))/(3*sqrt(3)) + (1//6)*log(1 - x^3 + x^6), x, 7),
+(x^5*(1 - x^3)/(1 - x^3 + x^6), -(x^3//3) - (2*atan((1 - 2*x^3)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)), x, 4),
+(x^2*(1 - x^3)/(1 - x^3 + x^6), -(atan((1 - 2*x^3)/sqrt(3))/(3*sqrt(3))) - (1//6)*log(1 - x^3 + x^6), x, 5),
+(x^(-1)*(1 - x^3)/(1 - x^3 + x^6), atan((1 - 2*x^3)/sqrt(3))/(3*sqrt(3)) + log(x) - (1//6)*log(1 - x^3 + x^6), x, 7),
+(x^(-4)*(1 - x^3)/(1 - x^3 + x^6), -(1/(3*x^3)) + (2*atan((1 - 2*x^3)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)), x, 5),
+
+(x^6*(1 - x^3)/(1 - x^3 + x^6), -(x^4//4) - ((I + sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3)) + ((I - sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)) + ((3 + I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3)) + ((3 - I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)) - ((3 + I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3)) - ((3 - I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)), x, 15),
+(x^4*(1 - x^3)/(1 - x^3 + x^6), -(x^2//2) + (I*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3)) - (I*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3)) + (I*log((1 - I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(3*sqrt(3)*((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3)) - (I*log((1 + I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(3*sqrt(3)*((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3)) - (I*log((1 - I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(3*2^(2//3)*sqrt(3)*(1 - I*sqrt(3))^(1//3)) + (I*log((1 + I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(3*2^(2//3)*sqrt(3)*(1 + I*sqrt(3))^(1//3)), x, 15),
+(x^3*(1 - x^3)/(1 - x^3 + x^6), -x - (I*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(2//3)) + (I*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(2//3)) + (I*log((1 - I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(3*sqrt(3)*((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(2//3)) - (I*log((1 + I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(3*sqrt(3)*((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(2//3)) - (I*log((1 - I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(3*2^(1//3)*sqrt(3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3)) + (I*log((1 + I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(3*2^(1//3)*sqrt(3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)), x, 14),
+(x^1*(1 - x^3)/(1 - x^3 + x^6), ((I - sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(2//3)*(1 - I*sqrt(3))^(1//3)) - ((I + sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(2//3)*(1 + I*sqrt(3))^(1//3)) - ((3 - I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(2//3)*(1 - I*sqrt(3))^(1//3)) - ((3 + I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(2//3)*(1 + I*sqrt(3))^(1//3)) + ((3 - I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(2//3)*(1 - I*sqrt(3))^(1//3)) + ((3 + I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(2//3)*(1 + I*sqrt(3))^(1//3)), x, 13),
+(x^0*(1 - x^3)/(1 - x^3 + x^6), -(((I - sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3))) + ((I + sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)) - ((3 - I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3)) - ((3 + I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)) + ((3 - I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3)) + ((3 + I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)), x, 13),
+(x^(-2)*(1 - x^3)/(1 - x^3 + x^6), -(1/x) - ((I + sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(2//3)*(1 - I*sqrt(3))^(1//3)) + ((I - sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(2//3)*(1 + I*sqrt(3))^(1//3)) - ((3 + I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(2//3)*(1 - I*sqrt(3))^(1//3)) - ((3 - I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(2//3)*(1 + I*sqrt(3))^(1//3)) + ((3 + I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(2//3)*(1 - I*sqrt(3))^(1//3)) + ((3 - I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(2//3)*(1 + I*sqrt(3))^(1//3)), x, 14),
+(x^(-3)*(1 - x^3)/(1 - x^3 + x^6), -(1/(2*x^2)) + ((I + sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3)) - ((I - sqrt(3))*atan((1 + (2*x)/((1//2)*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3))/sqrt(3)))/(3*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)) - ((3 + I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3)) - ((3 - I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(1//3) - 2^(1//3)*x))/(9*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)) + ((3 + I*sqrt(3))*log((1 - I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 - I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(1//3)*(1 - I*sqrt(3))^(2//3)) + ((3 - I*sqrt(3))*log((1 + I*sqrt(3))^(2//3) + (2*(1 + I*sqrt(3)))^(1//3)*x + 2^(2//3)*x^2))/(18*2^(1//3)*(1 + I*sqrt(3))^(2//3)), x, 15),
+
+
+((x^2*(-2 + x^3))/(1 - x^3 + x^6), atan((1 - 2*x^3)/sqrt(3))/sqrt(3) + (1//6)*log(1 - x^3 + x^6), x, 5),
+
+
+((1 + x^3)/(x*(1 - x^3 + x^6)), -(atan((1 - 2*x^3)/sqrt(3))/sqrt(3)) + log(x) - (1//6)*log(1 - x^3 + x^6), x, 7),
+((1 + x^3)/(x - x^4 + x^7), -(atan((1 - 2*x^3)/sqrt(3))/sqrt(3)) + log(x) - (1//6)*log(1 - x^3 + x^6), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^3)^(q/2) (a+b x^3+c x^6)^p
+
+
+((a + b*x^3 + c*x^6)*(d + e*x^3)^(5//2), (54*d^2*(16*c*d^2 - 58*b*d*e + 667*a*e^2)*x*sqrt(d + e*x^3))/(124729*e^2) + (30*d*(16*c*d^2 - 58*b*d*e + 667*a*e^2)*x*(d + e*x^3)^(3//2))/(124729*e^2) + (2*(16*c*d^2 - 58*b*d*e + 667*a*e^2)*x*(d + e*x^3)^(5//2))/(11339*e^2) - (2*(8*c*d - 29*b*e)*x*(d + e*x^3)^(7//2))/(667*e^2) + (2*c*x^4*(d + e*x^3)^(7//2))/(29*e) + (54*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*d^3*(16*c*d^2 - 58*b*d*e + 667*a*e^2)*(d^(1//3) + e^(1//3)*x)*sqrt((d^(2//3) - d^(1//3)*e^(1//3)*x + e^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(124729*e^(7//3)*sqrt((d^(1//3)*(d^(1//3) + e^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)^2)*sqrt(d + e*x^3)), x, 6),
+((a + b*x^3 + c*x^6)*(d + e*x^3)^(3//2), (18*d*(16*c*d^2 - 46*b*d*e + 391*a*e^2)*x*sqrt(d + e*x^3))/(21505*e^2) + (2*(16*c*d^2 - 46*b*d*e + 391*a*e^2)*x*(d + e*x^3)^(3//2))/(4301*e^2) - (2*(8*c*d - 23*b*e)*x*(d + e*x^3)^(5//2))/(391*e^2) + (2*c*x^4*(d + e*x^3)^(5//2))/(23*e) + (18*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*d^2*(16*c*d^2 - 46*b*d*e + 391*a*e^2)*(d^(1//3) + e^(1//3)*x)*sqrt((d^(2//3) - d^(1//3)*e^(1//3)*x + e^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(21505*e^(7//3)*sqrt((d^(1//3)*(d^(1//3) + e^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)^2)*sqrt(d + e*x^3)), x, 5),
+((a + b*x^3 + c*x^6)*(d + e*x^3)^(1//2), (2*(16*c*d^2 - 34*b*d*e + 187*a*e^2)*x*sqrt(d + e*x^3))/(935*e^2) - (2*(8*c*d - 17*b*e)*x*(d + e*x^3)^(3//2))/(187*e^2) + (2*c*x^4*(d + e*x^3)^(3//2))/(17*e) + (2*3^(3//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*d*(16*c*d^2 - 34*b*d*e + 187*a*e^2)*(d^(1//3) + e^(1//3)*x)*sqrt((d^(2//3) - d^(1//3)*e^(1//3)*x + e^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(935*e^(7//3)*sqrt((d^(1//3)*(d^(1//3) + e^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)^2)*sqrt(d + e*x^3)), x, 4),
+((a + b*x^3 + c*x^6)/(d + e*x^3)^(1//2), -((2*(8*c*d - 11*b*e)*x*sqrt(d + e*x^3))/(55*e^2)) + (2*c*x^4*sqrt(d + e*x^3))/(11*e) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(16*c*d^2 - 22*b*d*e + 55*a*e^2)*(d^(1//3) + e^(1//3)*x)*sqrt((d^(2//3) - d^(1//3)*e^(1//3)*x + e^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(55*3^(1//4)*e^(7//3)*sqrt((d^(1//3)*(d^(1//3) + e^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)^2)*sqrt(d + e*x^3)), x, 3),
+((a + b*x^3 + c*x^6)/(d + e*x^3)^(3//2), (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(3*d*e^2*sqrt(d + e*x^3)) + (2*c*x*sqrt(d + e*x^3))/(5*e^2) - (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(16*c*d^2 - 5*e*(2*b*d + a*e))*(d^(1//3) + e^(1//3)*x)*sqrt((d^(2//3) - d^(1//3)*e^(1//3)*x + e^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(15*3^(1//4)*d*e^(7//3)*sqrt((d^(1//3)*(d^(1//3) + e^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)^2)*sqrt(d + e*x^3)), x, 3),
+((a + b*x^3 + c*x^6)/(d + e*x^3)^(5//2), (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(9*d*e^2*(d + e*x^3)^(3//2)) - (2*(11*c*d^2 - 2*b*d*e - 7*a*e^2)*x)/(27*d^2*e^2*sqrt(d + e*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(16*c*d^2 + e*(2*b*d + 7*a*e))*(d^(1//3) + e^(1//3)*x)*sqrt((d^(2//3) - d^(1//3)*e^(1//3)*x + e^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(27*3^(1//4)*d^2*e^(7//3)*sqrt((d^(1//3)*(d^(1//3) + e^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)^2)*sqrt(d + e*x^3)), x, 3),
+((a + b*x^3 + c*x^6)/(d + e*x^3)^(7//2), (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(15*d*e^2*(d + e*x^3)^(5//2)) - (2*(17*c*d^2 - 2*b*d*e - 13*a*e^2)*x)/(135*d^2*e^2*(d + e*x^3)^(3//2)) + (2*(16*c*d^2 + 14*b*d*e + 91*a*e^2)*x)/(405*d^3*e^2*sqrt(d + e*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(16*c*d^2 + 14*b*d*e + 91*a*e^2)*(d^(1//3) + e^(1//3)*x)*sqrt((d^(2//3) - d^(1//3)*e^(1//3)*x + e^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(405*3^(1//4)*d^3*e^(7//3)*sqrt((d^(1//3)*(d^(1//3) + e^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)^2)*sqrt(d + e*x^3)), x, 4),
+((a + b*x^3 + c*x^6)/(d + e*x^3)^(9//2), (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(21*d*e^2*(d + e*x^3)^(7//2)) - (2*(23*c*d^2 - 2*b*d*e - 19*a*e^2)*x)/(315*d^2*e^2*(d + e*x^3)^(5//2)) + (2*(16*c*d^2 + 26*b*d*e + 247*a*e^2)*x)/(2835*d^3*e^2*(d + e*x^3)^(3//2)) + (2*(16*c*d^2 + 26*b*d*e + 247*a*e^2)*x)/(1215*d^4*e^2*sqrt(d + e*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(16*c*d^2 + 26*b*d*e + 247*a*e^2)*(d^(1//3) + e^(1//3)*x)*sqrt((d^(2//3) - d^(1//3)*e^(1//3)*x + e^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(1215*3^(1//4)*d^4*e^(7//3)*sqrt((d^(1//3)*(d^(1//3) + e^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*d^(1//3) + e^(1//3)*x)^2)*sqrt(d + e*x^3)), x, 5),
+
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+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^4)^q (a+b x^4+c x^8)^p
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+# ::Section::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^4)^q (a+b x^4+c x^8)^p with b=0
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+# ::Section::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^4)^q (a+b x^4+c x^8)^p with b^2-4 a c=0
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+# ::Section::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^4)^q (a+b x^4+c x^8)^p with c d^2-b d e+a e^2=0
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^4)^q (a+b x^4+c x^8)^p
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^4)^q (a+b x^4+c x^8)^p
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(x^4*(d + e*x^4)/(a + b*x^4 + c*x^8), (e*x)/c - ((c*d - b*e + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(5//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - ((c*d - b*e - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(5//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - ((c*d - b*e + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(5//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - ((c*d - b*e - (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(5//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)), x, 8),
+(x^3*(d + e*x^4)/(a + b*x^4 + c*x^8), -(((2*c*d - b*e)*atanh((b + 2*c*x^4)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(4*c*sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (e*log(a + b*x^4 + c*x^8))/(8*c), x, 5),
+(x^2*(d + e*x^4)/(a + b*x^4 + c*x^8), ((e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*c^(3//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + ((e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*c^(3//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - ((e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*c^(3//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - ((e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*c^(3//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), x, 7),
+(x^1*(d + e*x^4)/(a + b*x^4 + c*x^8), ((e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x^2)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x^2)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+(x^0*(d + e*x^4)/(a + b*x^4 + c*x^8), -(((e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(1//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4))) - ((e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(1//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - ((e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(1//4)*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) - ((e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*c^(1//4)*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)), x, 7),
+(x^(-1)*(d + e*x^4)/(a + b*x^4 + c*x^8), ((b*d - 2*a*e)*atanh((b + 2*c*x^4)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(4*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + (d*log(x))/a - (d*log(a + b*x^4 + c*x^8))/(8*a), x, 7),
+(x^(-2)*(d + e*x^4)/(a + b*x^4 + c*x^8), -(d/(a*x)) - (c^(1//4)*(d - (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*a*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) - (c^(1//4)*(d + (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*a*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + (c^(1//4)*(d - (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*a*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)) + (c^(1//4)*(d + (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(3//4)*a*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)), x, 8),
+(x^(-3)*(d + e*x^4)/(a + b*x^4 + c*x^8), -(d/(2*a*x^2)) - (sqrt(c)*(d + (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x^2)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(d - (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x^2)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^(-4)*(d + e*x^4)/(a + b*x^4 + c*x^8), -(d/(3*a*x^3)) + (c^(3//4)*(d - (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*a*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + (c^(3//4)*(d + (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*a*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + (c^(3//4)*(d - (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*a*(-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)) + (c^(3//4)*(d + (b*d - 2*a*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atanh((2^(1//4)*c^(1//4)*x)/(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(1//4)))/(2*2^(1//4)*a*(-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))^(3//4)), x, 8),
+
+
+(x^4*(1 - x^4)/(1 - x^4 + x^8), -x - atan((sqrt(2 - sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) - atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) + atan((sqrt(2 - sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) + atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) - log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)) + log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)) - log(1 - sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)) + log(1 + sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)), x, 20),
+(x^3*(1 - x^4)/(1 - x^4 + x^8), -(atan((1 - 2*x^4)/sqrt(3))/(4*sqrt(3))) - (1//8)*log(1 - x^4 + x^8), x, 5),
+(x^2*(1 - x^4)/(1 - x^4 + x^8), atan((sqrt(2 - sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))) - atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 + sqrt(3)))) - atan((sqrt(2 - sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))) + atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 + sqrt(3)))) + (1//8)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2) - (1//8)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2) - (1//8)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*log(1 - sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2) + (1//8)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*log(1 + sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2), x, 21),
+(x^1*(1 - x^4)/(1 - x^4 + x^8), -(log(1 - sqrt(3)*x^2 + x^4)/(4*sqrt(3))) + log(1 + sqrt(3)*x^2 + x^4)/(4*sqrt(3)), x, 4),
+(x^0*(1 - x^4)/(1 - x^4 + x^8), -(atan((sqrt(2 - sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 - sqrt(3))))) + atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 + sqrt(3)))) + atan((sqrt(2 - sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 - sqrt(3)))) - atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(4*sqrt(3*(2 + sqrt(3)))) + (1//8)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2) - (1//8)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2) - (1//8)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*log(1 - sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2) + (1//8)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*log(1 + sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2), x, 19),
+(x^(-1)*(1 - x^4)/(1 - x^4 + x^8), atan((1 - 2*x^4)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) + log(x) - (1//8)*log(1 - x^4 + x^8), x, 7),
+(x^(-2)*(1 - x^4)/(1 - x^4 + x^8), -(1/x) + atan((sqrt(2 - sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) + atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) - atan((sqrt(2 - sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) - atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3)))/(2*sqrt(6)) - log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)) + log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)) - log(1 - sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)) + log(1 + sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2)/(4*sqrt(6)), x, 20),
+(x^(-3)*(1 - x^4)/(1 - x^4 + x^8), -(1/(2*x^2)) + (1//4)*atan(sqrt(3) - 2*x^2) - (1//4)*atan(sqrt(3) + 2*x^2) - log(1 - sqrt(3)*x^2 + x^4)/(8*sqrt(3)) + log(1 + sqrt(3)*x^2 + x^4)/(8*sqrt(3)), x, 11),
+(x^(-4)*(1 - x^4)/(1 - x^4 + x^8), -(1/(3*x^3)) - (1//4)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*atan((sqrt(2 - sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3))) + (1//4)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*atan((sqrt(2 + sqrt(3)) - 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3))) + (1//4)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*atan((sqrt(2 - sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 + sqrt(3))) - (1//4)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*atan((sqrt(2 + sqrt(3)) + 2*x)/sqrt(2 - sqrt(3))) + (1//8)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*log(1 - sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2) - (1//8)*sqrt((1//3)*(2 + sqrt(3)))*log(1 + sqrt(2 - sqrt(3))*x + x^2) - (1//8)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*log(1 - sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2) + (1//8)*sqrt((1//3)*(2 - sqrt(3)))*log(1 + sqrt(2 + sqrt(3))*x + x^2), x, 21),
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+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x)^q (a+b/x+c/x^2)^p
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b/x+c/x^2)^p
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+(x^3/((a + c/x^2 + b/x)*(d + e*x)), ((a^2*d^2 + b^2*e^2 + a*e*(b*d - c*e))*x)/(a^3*e^3) - ((a*d + b*e)*x^2)/(2*a^2*e^2) + x^3/(3*a*e) + ((b^5*d - 5*a*b^3*c*d + 5*a^2*b*c^2*d - b^4*c*e + 4*a*b^2*c^2*e - 2*a^2*c^3*e)*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^4*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))) - (d^5*log(d + e*x))/(e^4*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))) + ((b^4*d - 3*a*b^2*c*d + a^2*c^2*d - b^3*c*e + 2*a*b*c^2*e)*log(c + b*x + a*x^2))/(2*a^4*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))), x, 7),
+(x^2/((a + c/x^2 + b/x)*(d + e*x)), -(((a*d + b*e)*x)/(a^2*e^2)) + x^2/(2*a*e) - ((b^4*d - 4*a*b^2*c*d + 2*a^2*c^2*d - b^3*c*e + 3*a*b*c^2*e)*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))) + (d^4*log(d + e*x))/(e^3*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))) - ((b^3*d - 2*a*b*c*d - b^2*c*e + a*c^2*e)*log(c + b*x + a*x^2))/(2*a^3*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))), x, 7),
+(x^1/((a + c/x^2 + b/x)*(d + e*x)), x/(a*e) + ((b^3*d - 3*a*b*c*d - b^2*c*e + 2*a*c^2*e)*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))) - (d^3*log(d + e*x))/(e^2*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))) + ((b^2*d - a*c*d - b*c*e)*log(c + b*x + a*x^2))/(2*a^2*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))), x, 7),
+(x^0/((a + c/x^2 + b/x)*(d + e*x)), -(((b^2*d - 2*a*c*d - b*c*e)*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e)))) + (d^2*log(d + e*x))/(e*(a*d^2 - b*d*e + c*e^2)) - ((b*d - c*e)*log(c + b*x + a*x^2))/(2*a*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))), x, 7),
+(1/(x^1*(a + c/x^2 + b/x)*(d + e*x)), ((b*d - 2*c*e)*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))) - (d*log(d + e*x))/(a*d^2 - e*(b*d - c*e)) + (d*log(c + b*x + a*x^2))/(2*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))), x, 7),
+(1/(x^2*(a + c/x^2 + b/x)*(d + e*x)), -(((2*a*d - b*e)*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e)))) + (e*log(d + e*x))/(a*d^2 - b*d*e + c*e^2) - (e*log(c + b*x + a*x^2))/(2*(a*d^2 - b*d*e + c*e^2)), x, 7),
+(1/(x^3*(a + c/x^2 + b/x)*(d + e*x)), ((a*b*d - b^2*e + 2*a*c*e)*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))) + log(x)/(c*d) - (e^2*log(d + e*x))/(d*(a*d^2 - b*d*e + c*e^2)) - ((a*d - b*e)*log(c + b*x + a*x^2))/(2*c*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))), x, 7),
+(1/(x^4*(a + c/x^2 + b/x)*(d + e*x)), -(1/(c*d*x)) + ((2*a^2*c*d + b^3*e - a*b*(b*d + 3*c*e))*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))) - ((b*d + c*e)*log(x))/(c^2*d^2) + (e^3*log(d + e*x))/(d^2*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))) + ((a*b*d - b^2*e + a*c*e)*log(c + b*x + a*x^2))/(2*c^2*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))), x, 7),
+(1/(x^5*(a + c/x^2 + b/x)*(d + e*x)), -(1/(2*c*d*x^2)) + (b*d + c*e)/(c^2*d^2*x) - ((b^4*e + a^2*c*(3*b*d + 2*c*e) - a*b^2*(b*d + 4*c*e))*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))) + ((b^2*d^2 + b*c*d*e - c*(a*d^2 - c*e^2))*log(x))/(c^3*d^3) - (e^4*log(d + e*x))/(d^3*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))) + ((a^2*c*d + b^3*e - a*b*(b*d + 2*c*e))*log(c + b*x + a*x^2))/(2*c^3*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))), x, 7),
+
+
+(x^3/((a + c/x^2 + b/x)*(d + e*x)^2), -(((2*a*d + b*e)*x)/(a^2*e^3)) + x^2/(2*a*e^2) + d^5/(e^4*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))*(d + e*x)) + ((b^5*d^2 - 2*b^4*c*d*e + 8*a*b^2*c^2*d*e - 4*a^2*c^3*d*e + a*b*c^2*(5*a*d^2 - 3*c*e^2) - b^3*c*(5*a*d^2 - c*e^2))*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2) + (d^4*(3*a*d^2 - e*(4*b*d - 5*c*e))*log(d + e*x))/(e^4*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2) + ((b^4*d^2 - 2*b^3*c*d*e + 4*a*b*c^2*d*e + a*c^2*(a*d^2 - c*e^2) - b^2*c*(3*a*d^2 - c*e^2))*log(c + b*x + a*x^2))/(2*a^3*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2), x, 7),
+(x^2/((a + c/x^2 + b/x)*(d + e*x)^2), x/(a*e^2) - d^4/(e^3*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))*(d + e*x)) - ((b^4*d^2 - 2*b^3*c*d*e + 6*a*b*c^2*d*e + 2*a*c^2*(a*d^2 - c*e^2) - b^2*c*(4*a*d^2 - c*e^2))*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2) - (d^3*(2*a*d^2 - e*(3*b*d - 4*c*e))*log(d + e*x))/(e^3*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2) - ((b*d - c*e)*(b^2*d - 2*a*c*d - b*c*e)*log(c + b*x + a*x^2))/(2*a^2*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2), x, 7),
+(x^1/((a + c/x^2 + b/x)*(d + e*x)^2), d^3/(e^2*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))*(d + e*x)) + ((b^3*d^2 - 2*b^2*c*d*e + 4*a*c^2*d*e - b*c*(3*a*d^2 - c*e^2))*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2) + (d^2*(a*d^2 - e*(2*b*d - 3*c*e))*log(d + e*x))/(e^2*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2) + ((b^2*d^2 - 2*b*c*d*e - c*(a*d^2 - c*e^2))*log(c + b*x + a*x^2))/(2*a*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2), x, 7),
+(x^0/((a + c/x^2 + b/x)*(d + e*x)^2), -(d^2/(e*(a*d^2 - b*d*e + c*e^2)*(d + e*x))) - ((b^2*d^2 - 2*b*c*d*e - 2*c*(a*d^2 - c*e^2))*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2) + (d*(b*d - 2*c*e)*log(d + e*x))/(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2 - (d*(b*d - 2*c*e)*log(c + b*x + a*x^2))/(2*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2), x, 7),
+(1/(x^1*(a + c/x^2 + b/x)*(d + e*x)^2), d/((a*d^2 - b*d*e + c*e^2)*(d + e*x)) + ((b*c*e^2 + a*d*(b*d - 4*c*e))*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2) - ((a*d^2 - c*e^2)*log(d + e*x))/(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2 + ((a*d^2 - c*e^2)*log(c + b*x + a*x^2))/(2*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2), x, 7),
+(1/(x^2*(a + c/x^2 + b/x)*(d + e*x)^2), -(e/((a*d^2 - b*d*e + c*e^2)*(d + e*x))) - ((2*a^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*a*e*(b*d + c*e))*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2) + (e*(2*a*d - b*e)*log(d + e*x))/(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2 - (e*(2*a*d - b*e)*log(c + b*x + a*x^2))/(2*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2), x, 8),
+(1/(x^3*(a + c/x^2 + b/x)*(d + e*x)^2), e^2/(d*(a*d^2 - b*d*e + c*e^2)*(d + e*x)) + ((b^3*e^2 - a*b*e*(2*b*d + 3*c*e) + a^2*d*(b*d + 4*c*e))*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2) + log(x)/(c*d^2) - (e^2*(3*a*d^2 - e*(2*b*d - c*e))*log(d + e*x))/(d^2*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2) - ((a^2*d^2 + b^2*e^2 - a*e*(2*b*d + c*e))*log(c + b*x + a*x^2))/(2*c*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2), x, 7),
+(1/(x^4*(a + c/x^2 + b/x)*(d + e*x)^2), -(1/(c*d^2*x)) - e^3/(d^2*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))*(d + e*x)) + ((2*a^3*c*d^2 - b^4*e^2 + 2*a*b^2*e*(b*d + 2*c*e) - a^2*(b^2*d^2 + 6*b*c*d*e + 2*c^2*e^2))*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2) - ((b*d + 2*c*e)*log(x))/(c^2*d^3) + (e^3*(4*a*d^2 - e*(3*b*d - 2*c*e))*log(d + e*x))/(d^3*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2) + ((a*d - b*e)*(a*b*d - b^2*e + 2*a*c*e)*log(c + b*x + a*x^2))/(2*c^2*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2), x, 7),
+(1/(x^5*(a + c/x^2 + b/x)*(d + e*x)^2), -(1/(2*c*d^2*x^2)) + (b*d + 2*c*e)/(c^2*d^3*x) + e^4/(d^3*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))*(d + e*x)) + ((b^5*e^2 - a^3*c*d*(3*b*d + 4*c*e) - a*b^3*e*(2*b*d + 5*c*e) + a^2*b*(b^2*d^2 + 8*b*c*d*e + 5*c^2*e^2))*atanh((b + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2) + ((b^2*d^2 + 2*b*c*d*e - c*(a*d^2 - 3*c*e^2))*log(x))/(c^3*d^4) - (e^4*(5*a*d^2 - e*(4*b*d - 3*c*e))*log(d + e*x))/(d^4*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2) + ((a^3*c*d^2 - b^4*e^2 + a*b^2*e*(2*b*d + 3*c*e) - a^2*(b^2*d^2 + 4*b*c*d*e + c^2*e^2))*log(c + b*x + a*x^2))/(2*c^3*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))^2), x, 7),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x)^(q/2) (a+b/x+c/x^2)^(p/2)
+
+
+(x^4*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b/x + c/x^2), -((2*(187*a^4*d^4 + 64*b^4*e^4 + 4*a*b^2*e^3*(7*b*d - 69*c*e) - 4*a^3*d^2*e*(2*b*d + 3*c*e) + 3*a^2*e^2*(3*b^2*d^2 - 29*b*c*d*e + 50*c^2*e^2))*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt(d + e*x))/(3465*a^4*e^4)) + (2//11)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x^5*sqrt(d + e*x) + (2*(233*a^3*d^3 + 48*b^3*e^3 + a*b*e^2*(67*b*d - 157*c*e) + 4*a^2*d*e*(18*b*d - 37*c*e))*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*(d + e*x)^(3//2))/(3465*a^3*e^4) - (2*(29*a^2*d^2 + 8*b^2*e^2 + a*e*(19*b*d - 18*c*e))*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*(d + e*x)^(5//2))/(693*a^2*e^4) + (2*(a*d + b*e)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*(d + e*x)^(7//2))/(99*a*e^4) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(128*a^5*d^5 + 128*b^5*e^5 - 4*a^4*d^3*e*(14*b*d - 27*c*e) - 8*a*b^3*e^4*(7*b*d + 87*c*e) - a^2*b*e^3*(37*b^2*d^2 - 258*b*c*d*e - 771*c^2*e^2) - a^3*d*e^2*(37*b^2*d^2 - 135*b*c*d*e + 156*c^2*e^2))*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((a*(c + b*x + a*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3465*a^5*e^5*sqrt((a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*(c + b*x + a*x^2)) - (1/(3465*a^5*e^5*sqrt(d + e*x)*(c + b*x + a*x^2)))*(2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))*(128*a^4*d^4 - 64*b^4*e^4 - 4*a*b^2*e^3*(7*b*d - 69*c*e) + 4*a^3*d^2*e*(2*b*d + 3*c*e) - 3*a^2*e^2*(3*b^2*d^2 - 29*b*c*d*e + 50*c^2*e^2))*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt((a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((a*(c + b*x + a*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))), x, 11),
+(x^3*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b/x + c/x^2), (2*(19*a^3*d^3 - 6*a^2*c*d*e^2 + 8*b^3*e^3 + 3*a*b*e^2*(b*d - 9*c*e))*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt(d + e*x))/(315*a^3*e^3) + (2//9)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x^4*sqrt(d + e*x) - (4*(8*a^2*d^2 + 3*b^2*e^2 + a*e*(4*b*d - 7*c*e))*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*(d + e*x)^(3//2))/(315*a^2*e^3) + (2*(a*d + b*e)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*(d + e*x)^(5//2))/(63*a*e^3) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(8*a^4*d^4 + 8*b^4*e^4 - a^3*d^2*e*(4*b*d - 9*c*e) - 4*a*b^2*e^3*(b*d + 9*c*e) - 3*a^2*e^2*(b^2*d^2 - 5*b*c*d*e - 7*c^2*e^2))*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((a*(c + b*x + a*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(315*a^4*e^4*sqrt((a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*(c + b*x + a*x^2)) + (1/(315*a^4*e^4*sqrt(d + e*x)*(c + b*x + a*x^2)))*(2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(16*a^3*d^3 + 6*a^2*c*d*e^2 - 8*b^3*e^3 - 3*a*b*e^2*(b*d - 9*c*e))*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt((a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((a*(c + b*x + a*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))), x, 10),
+(x^2*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b/x + c/x^2), -((2*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt(d + e*x)*(4*a^2*d^2 + 4*b^2*e^2 - a*e*(2*b*d - 5*c*e) - 3*a*e*(a*d - 4*b*e)*x))/(105*a^2*e^2)) + (2*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt(d + e*x)*(c + b*x + a*x^2))/(7*a) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(8*a^3*d^3 + 8*b^3*e^3 - a^2*d*e*(5*b*d - 16*c*e) - a*b*e^2*(5*b*d + 29*c*e))*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((a*(c + b*x + a*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(105*a^3*e^3*sqrt((a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*(c + b*x + a*x^2)) - (1/(105*a^3*e^3*sqrt(d + e*x)*(c + b*x + a*x^2)))*(2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(8*a^2*d^2 - 4*b^2*e^2 - a*e*(b*d - 10*c*e))*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt((a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((a*(c + b*x + a*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))), x, 8),
+(x^1*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b/x + c/x^2), -((2*(2*a*d - b*e)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt(d + e*x))/(15*a*e)) + (2*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*(d + e*x)^(3//2))/(5*e) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a^2*d^2 + b^2*e^2 - a*e*(b*d + 3*c*e))*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((a*(c + b*x + a*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*a^2*e^2*sqrt((a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*(c + b*x + a*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(2*a*d - b*e)*(a*d^2 - e*(b*d - c*e))*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt((a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((a*(c + b*x + a*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(15*a^2*e^2*sqrt(d + e*x)*(c + b*x + a*x^2)), x, 8),
+(x^0*sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b/x + c/x^2), (2//3)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt(d + e*x) + (sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d + b*e)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((a*(c + b*x + a*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*a*e*sqrt((a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*(c + b*x + a*x^2)) - (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*(a*d + b*e)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt((a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((a*(c + b*x + a*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*a*e*sqrt(d + e*x)*(c + b*x + a*x^2)) + (4*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b*d + c*e)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt((a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((a*(c + b*x + a*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(3*a*sqrt(d + e*x)*(c + b*x + a*x^2)) - (1/(sqrt(a)*(c + b*x + a*x^2)))*(sqrt(2)*c*sqrt(2*a*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt(1 - (2*a*(d + e*x))/(2*a*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(1 - (2*a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*a*d - b*e + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d), asin((sqrt(2)*sqrt(a)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*a*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), (b - sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*a*d)/e)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*a*d)/e))), x, 16),
+(sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b/x + c/x^2)/x^1, (-sqrt(a + c/x^2 + b/x))*sqrt(d + e*x) + (3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((a*(c + b*x + a*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(sqrt(2)*sqrt((a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*(c + b*x + a*x^2)) - (3*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*d*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt((a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((a*(c + b*x + a*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(sqrt(d + e*x)*(c + b*x + a*x^2)) + (2*sqrt(2)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a*d + b*e)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt((a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((a*(c + b*x + a*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(a*sqrt(d + e*x)*(c + b*x + a*x^2)) - ((b*d + c*e)*sqrt(2*a*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt(1 - (2*a*(d + e*x))/(2*a*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(1 - (2*a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*a*d - b*e + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d), asin((sqrt(2)*sqrt(a)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*a*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), (b - sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*a*d)/e)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*a*d)/e)))/(sqrt(2)*sqrt(a)*d*(c + b*x + a*x^2)), x, 16),
+(sqrt(d + e*x)*sqrt(a + b/x + c/x^2)/x^2, -(((b*d + c*e)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*sqrt(d + e*x))/(4*c*d)) - (sqrt(a + c/x^2 + b/x)*sqrt(d + e*x))/(2*x) + (sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b*d + c*e)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt(d + e*x)*sqrt(-((a*(c + b*x + a*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(4*sqrt(2)*c*d*sqrt((a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*(c + b*x + a*x^2)) + (3*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt((a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((a*(c + b*x + a*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(sqrt(2)*sqrt(d + e*x)*(c + b*x + a*x^2)) - (sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b*d + c*e)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt((a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(-((a*(c + b*x + a*x^2))/(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt((b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*a*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(2)), -((2*sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))))/(2*sqrt(2)*c*sqrt(d + e*x)*(c + b*x + a*x^2)) - ((a*d + b*e)*sqrt(2*a*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt(1 - (2*a*(d + e*x))/(2*a*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(1 - (2*a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*a*d - b*e + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d), asin((sqrt(2)*sqrt(a)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*a*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), (b - sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*a*d)/e)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*a*d)/e)))/(sqrt(2)*sqrt(a)*d*(c + b*x + a*x^2)) + ((b*d + c*e)^2*sqrt(2*a*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*sqrt(a + c/x^2 + b/x)*x*sqrt(1 - (2*a*(d + e*x))/(2*a*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*sqrt(1 - (2*a*(d + e*x))/(2*a*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e))*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*a*d - b*e + sqrt(b^2 - 4*a*c)*e)/(2*a*d), asin((sqrt(2)*sqrt(a)*sqrt(d + e*x))/sqrt(2*a*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)), (b - sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*a*d)/e)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) - (2*a*d)/e)))/(4*sqrt(2)*sqrt(a)*c*d^2*(c + b*x + a*x^2)), x, 24),
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+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p with symbolic n
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p with b=0
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^n)^q (a+c x^(2 n))^p with p symbolic
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+((f*x)^m*(d + e*x^n)^q*(a + c*x^(2*n))^p, Unintegrable((f*x)^m*(d + e*x^n)^q*(a + c*x^(2*n))^p, x), x, 0),
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+((f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p*(d + e*x^n)^3, (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/(2*n), -p, 1 + (1 + m)/(2*n), -((c*x^(2*n))/a)))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(f*(1 + m))) + (3*d^2*e*x^(1 + n)*(f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m + n)/(2*n), -p, (1 + m + 3*n)/(2*n), -((c*x^(2*n))/a)))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(1 + m + n)) + (3*d*e^2*x^(1 + 2*n)*(f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m + 2*n)/(2*n), -p, (1 + m + 4*n)/(2*n), -((c*x^(2*n))/a)))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(1 + m + 2*n)) + (e^3*x^(1 + 3*n)*(f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m + 3*n)/(2*n), -p, (1 + m + 5*n)/(2*n), -((c*x^(2*n))/a)))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(1 + m + 3*n)), x, 13),
+((f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p*(d + e*x^n)^2, (d^2*(f*x)^(1 + m)*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/(2*n), -p, 1 + (1 + m)/(2*n), -((c*x^(2*n))/a)))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(f*(1 + m))) + (2*d*e*x^(1 + n)*(f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m + n)/(2*n), -p, (1 + m + 3*n)/(2*n), -((c*x^(2*n))/a)))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(1 + m + n)) + (e^2*x^(1 + 2*n)*(f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m + 2*n)/(2*n), -p, (1 + m + 4*n)/(2*n), -((c*x^(2*n))/a)))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(1 + m + 2*n)), x, 10),
+((f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p*(d + e*x^n)^1, (d*(f*x)^(1 + m)*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m)/(2*n), -p, 1 + (1 + m)/(2*n), -((c*x^(2*n))/a)))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(f*(1 + m))) + (e*x^(1 + n)*(f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1((1 + m + n)/(2*n), -p, (1 + m + 3*n)/(2*n), -((c*x^(2*n))/a)))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(1 + m + n)), x, 7),
+((f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p/(d + e*x^n)^1, (x*(f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/(2*n), -p, 1, 1 + (1 + m)/(2*n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(d*(1 + m))) - (e*x^(1 + n)*(f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m + n)/(2*n), -p, 1, (1 + m + 3*n)/(2*n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(d^2*(1 + m + n))), x, 6),
+((f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p/(d + e*x^n)^2, (x*(f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/(2*n), -p, 2, 1 + (1 + m)/(2*n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(d^2*(1 + m))) - (2*e*x^(1 + n)*(f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m + n)/(2*n), -p, 2, (1 + m + 3*n)/(2*n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(d^3*(1 + m + n))) + (e^2*x^(1 + 2*n)*(f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m + 2*n)/(2*n), -p, 2, (1 + m + 4*n)/(2*n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(d^4*(1 + m + 2*n))), x, 8),
+((f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p/(d + e*x^n)^3, (x*(f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/(2*n), -p, 3, 1 + (1 + m)/(2*n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(d^3*(1 + m))) - (3*e*x^(1 + n)*(f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m + n)/(2*n), -p, 3, (1 + m + 3*n)/(2*n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(d^4*(1 + m + n))) + (3*e^2*x^(1 + 2*n)*(f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m + 2*n)/(2*n), -p, 3, (1 + m + 4*n)/(2*n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(d^5*(1 + m + 2*n))) - (e^3*x^(1 + 3*n)*(f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m + 3*n)/(2*n), -p, 3, (1 + m + 5*n)/(2*n), -((c*x^(2*n))/a), (e^2*x^(2*n))/d^2))/((1 + (c*x^(2*n))/a)^p*(d^6*(1 + m + 3*n))), x, 10),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p with 2 c d-b e=0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (b + 2 c x^n) (a + b x^n + c x^(2 n))^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^0*(b + 2*c*x^1)*(a + b*x^1 + c*x^2)^13, (1//14)*(a + b*x + c*x^2)^14, x, 1),
+(x^1*(b + 2*c*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^13, (1//28)*(a + b*x^2 + c*x^4)^14, x, 2),
+(x^2*(b + 2*c*x^3)*(a + b*x^3 + c*x^6)^13, (1//42)*(a + b*x^3 + c*x^6)^14, x, 2),
+(x^(n - 1)*(b + 2*c*x^n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^13, (a + b*x^n + c*x^(2*n))^14/(14*n), x, 2),
+
+
+(x^0*(b + 2*c*x^1)*(-a + b*x^1 + c*x^2)^13, (1//14)*(a - b*x - c*x^2)^14, x, 1),
+(x^1*(b + 2*c*x^2)*(-a + b*x^2 + c*x^4)^13, (1//28)*(a - b*x^2 - c*x^4)^14, x, 2),
+(x^2*(b + 2*c*x^3)*(-a + b*x^3 + c*x^6)^13, (1//42)*(a - b*x^3 - c*x^6)^14, x, 2),
+(x^(n - 1)*(b + 2*c*x^n)*(-a + b*x^n + c*x^(2*n))^13, (a - b*x^n - c*x^(2*n))^14/(14*n), x, 2),
+
+
+(x^0*(b + 2*c*x^1)*(b*x^1 + c*x^2)^13, (1//14)*(b*x + c*x^2)^14, x, 1),
+(x^1*(b + 2*c*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^13, (1//28)*x^28*(b + c*x^2)^14, x, 3),
+(x^2*(b + 2*c*x^3)*(b*x^3 + c*x^6)^13, (1//42)*x^42*(b + c*x^3)^14, x, 3),
+(x^(n - 1)*(b + 2*c*x^n)*(b*x^n + c*x^(2*n))^13, (x^(14*n)*(b + c*x^n)^14)/(14*n), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^0*(b + 2*c*x^1)/(a + b*x^1 + c*x^2), log(a + b*x + c*x^2), x, 1),
+(x^1*(b + 2*c*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), (1//2)*log(a + b*x^2 + c*x^4), x, 2),
+(x^2*(b + 2*c*x^3)/(a + b*x^3 + c*x^6), (1//3)*log(a + b*x^3 + c*x^6), x, 2),
+(x^(n - 1)*(b + 2*c*x^n)/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), log(a + b*x^n + c*x^(2*n))/n, x, 2),
+
+
+(x^0*(b + 2*c*x^1)/(a + b*x^1 + c*x^2)^8, -(1/(7*(a + b*x + c*x^2)^7)), x, 1),
+(x^1*(b + 2*c*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)^8, -(1/(14*(a + b*x^2 + c*x^4)^7)), x, 2),
+(x^2*(b + 2*c*x^3)/(a + b*x^3 + c*x^6)^8, -(1/(21*(a + b*x^3 + c*x^6)^7)), x, 2),
+(x^(n - 1)*(b + 2*c*x^n)/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^8, -(1/(7*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^7)), x, 2),
+
+
+(x^0*(b + 2*c*x^1)/(-a + b*x^1 + c*x^2), log(a - b*x - c*x^2), x, 1),
+(x^1*(b + 2*c*x^2)/(-a + b*x^2 + c*x^4), (1//2)*log(a - b*x^2 - c*x^4), x, 2),
+(x^2*(b + 2*c*x^3)/(-a + b*x^3 + c*x^6), (1//3)*log(a - b*x^3 - c*x^6), x, 2),
+(x^(n - 1)*(b + 2*c*x^n)/(-a + b*x^n + c*x^(2*n)), log(a - b*x^n - c*x^(2*n))/n, x, 2),
+
+
+(x^0*(b + 2*c*x^1)/(-a + b*x^1 + c*x^2)^8, 1/(7*(a - b*x - c*x^2)^7), x, 1),
+(x^1*(b + 2*c*x^2)/(-a + b*x^2 + c*x^4)^8, 1/(14*(a - b*x^2 - c*x^4)^7), x, 2),
+(x^2*(b + 2*c*x^3)/(-a + b*x^3 + c*x^6)^8, 1/(21*(a - b*x^3 - c*x^6)^7), x, 2),
+(x^(n - 1)*(b + 2*c*x^n)/(-a + b*x^n + c*x^(2*n))^8, 1/(7*n*(a - b*x^n - c*x^(2*n))^7), x, 2),
+
+
+(x^0*(b + 2*c*x^1)/(b*x^1 + c*x^2), log(b*x + c*x^2), x, 1),
+# {x^1*(b + 2*c*x^2)/(b*x^2 + c*x^4), x, 4, (1/2)*Log[b*x^2 + c*x^4], Log[x] + (1/2)*Log[b + c*x^2]}
+# {x^2*(b + 2*c*x^3)/(b*x^3 + c*x^6), x, 4, (1/3)*Log[b*x^3 + c*x^6], Log[x] + (1/3)*Log[b + c*x^3]}
+(x^(n - 1)*(b + 2*c*x^n)/(b*x^n + c*x^(2*n)), log(x) + log(b + c*x^n)/n, x, 4),
+
+
+(x^0*(b + 2*c*x^1)/(b*x^1 + c*x^2)^8, -(1/(7*(b*x + c*x^2)^7)), x, 1),
+(x^1*(b + 2*c*x^2)/(b*x^2 + c*x^4)^8, -(1/(14*x^14*(b + c*x^2)^7)), x, 3),
+(x^2*(b + 2*c*x^3)/(b*x^3 + c*x^6)^8, -(1/(21*x^21*(b + c*x^3)^7)), x, 3),
+(x^(n - 1)*(b + 2*c*x^n)/(b*x^n + c*x^(2*n))^8, -(1/(x^(7*n)*(7*n*(b + c*x^n)^7))), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (b + 2 c x^n) (a + b x^n + c x^(2 n))^p with p symbolic
+
+
+(x^0*(b + 2*c*x^1)*(a + b*x^1 + c*x^2)^p, (a + b*x + c*x^2)^(1 + p)/(1 + p), x, 1),
+(x^1*(b + 2*c*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, (a + b*x^2 + c*x^4)^(1 + p)/(2*(1 + p)), x, 2),
+(x^2*(b + 2*c*x^3)*(a + b*x^3 + c*x^6)^p, (a + b*x^3 + c*x^6)^(1 + p)/(3*(1 + p)), x, 2),
+(x^(n - 1)*(b + 2*c*x^n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, (a + b*x^n + c*x^(2*n))^(1 + p)/(n*(1 + p)), x, 2),
+
+
+(x^0*(b + 2*c*x^1)*(-a + b*x^1 + c*x^2)^p, (-a + b*x + c*x^2)^(1 + p)/(1 + p), x, 1),
+(x^1*(b + 2*c*x^2)*(-a + b*x^2 + c*x^4)^p, (-a + b*x^2 + c*x^4)^(1 + p)/(2*(1 + p)), x, 2),
+(x^2*(b + 2*c*x^3)*(-a + b*x^3 + c*x^6)^p, (-a + b*x^3 + c*x^6)^(1 + p)/(3*(1 + p)), x, 2),
+(x^(n - 1)*(b + 2*c*x^n)*(-a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, (-a + b*x^n + c*x^(2*n))^(1 + p)/(n*(1 + p)), x, 2),
+
+
+(x^0*(b + 2*c*x^1)*(b*x^1 + c*x^2)^p, (b*x + c*x^2)^(1 + p)/(1 + p), x, 1),
+(x^1*(b + 2*c*x^2)*(b*x^2 + c*x^4)^p, (b*x^2 + c*x^4)^(1 + p)/(2*(1 + p)), x, 1),
+(x^2*(b + 2*c*x^3)*(b*x^3 + c*x^6)^p, (b*x^3 + c*x^6)^(1 + p)/(3*(1 + p)), x, 1),
+(x^(n - 1)*(b + 2*c*x^n)*(b*x^n + c*x^(2*n))^p, (b*x^n + c*x^(2*n))^(1 + p)/(n*(1 + p)), x, 2),
+
+
+# ::Section::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p with b^2-4 a c=0
+
+
+# ::Section::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p with c d^2-b d e+a e^2=0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((f*x)^m*(d + e*x^n)/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), ((e + (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(f*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f*(1 + m)) + ((e - (2*c*d - b*e)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(f*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f*(1 + m)), x, 4),
+
+
+((f*x)^m*(d + e*x^n)/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2, ((f*x)^(1 + m)*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e + c*(b*d - 2*a*e)*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*f*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) - (c*((b*d - 2*a*e)*(1 + m - n) - (4*a*c*d*(1 + m - 2*n) - b^2*d*(1 + m - n) + 2*a*b*e*n)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(f*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f*(1 + m)*n) - (c*((b*d - 2*a*e)*(1 + m - n) + (4*a*c*d*(1 + m - 2*n) - b^2*d*(1 + m - n) + 2*a*b*e*n)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(f*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f*(1 + m)*n), x, 5),
+
+
+((f*x)^m*(d + e*x^n)/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^3, ((f*x)^(1 + m)*(b^2*d - 2*a*c*d - a*b*e + c*(b*d - 2*a*e)*x^n))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*f*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2) + ((f*x)^(1 + m)*((b^2 - 2*a*c)*(a*b*e*(1 + m) + 2*a*c*d*(1 + m - 4*n) - b^2*d*(1 + m - 2*n)) + a*b*c*(b*d - 2*a*e)*(1 + m - 3*n) + c*(a*b^2*e*(1 + m) + 2*a*b*c*d*(2 + 2*m - 7*n) - 4*a^2*c*e*(1 + m - 3*n) - b^3*d*(1 + m - 2*n))*x^n))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*f*n^2*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) - (1/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f*(1 + m)*n^2))*(c*((a*b^2*e*(1 + m) + 2*a*b*c*d*(2 + 2*m - 7*n) - 4*a^2*c*e*(1 + m - 3*n) - b^3*d*(1 + m - 2*n))*(1 + m - n) + (a*b^3*e*(1 + m)*(1 + m - n) - 4*a^2*b*c*e*(1 + m^2 + m*(2 - n) - n - 3*n^2) - b^4*d*(1 + m^2 + m*(2 - 3*n) - 3*n + 2*n^2) + 6*a*b^2*c*d*(1 + m^2 + m*(2 - 4*n) - 4*n + 3*n^2) - 8*a^2*c^2*d*(1 + m^2 + m*(2 - 6*n) - 6*n + 8*n^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(f*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))) - (1/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f*(1 + m)*n^2))*(c*((a*b^2*e*(1 + m) + 2*a*b*c*d*(2 + 2*m - 7*n) - 4*a^2*c*e*(1 + m - 3*n) - b^3*d*(1 + m - 2*n))*(1 + m - n) - (a*b^3*e*(1 + m)*(1 + m - n) - 4*a^2*b*c*e*(1 + m^2 + m*(2 - n) - n - 3*n^2) - b^4*d*(1 + m^2 + m*(2 - 3*n) - 3*n + 2*n^2) + 6*a*b^2*c*d*(1 + m^2 + m*(2 - 4*n) - 4*n + 3*n^2) - 8*a^2*c^2*d*(1 + m^2 + m*(2 - 6*n) - 6*n + 8*n^2))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(f*x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))), x, 6),
+
+
+((c^(1//3) - 2*d^(1//3)*x^(1//3))/(c*d^(1//3)*x^(2//3) - c^(2//3)*d^(2//3)*x + c^(1//3)*d*x^(4//3)), (-3*log(c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x^(1//3) + d^(2//3)*x^(2//3)))/(c^(1//3)*d^(2//3)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p with q symbolic
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((f*x)^m*(d + e*x^n)^q/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), (2*c*(f*x)^(1 + m)*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/n, 1, -q, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*f*(1 + m))) - (2*c*(f*x)^(1 + m)*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/n, 1, -q, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*(sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*f*(1 + m))), x, 5),
+
+
+(x^2*(d + e*x^n)^q/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), -((2*c*x^3*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(3/n, 1, -q, (3 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*(3*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))))) - (2*c*x^3*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(3/n, 1, -q, (3 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*(3*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)))), x, 5),
+(x^1*(d + e*x^n)^q/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), -((c*x^2*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(2/n, 1, -q, (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)))) - (c*x^2*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(2/n, 1, -q, (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^0*(d + e*x^n)^q/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), -((2*c*x*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, 1, -q, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)))) - (2*c*x*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, 1, -q, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+((d + e*x^n)^q/(x^1*(a + b*x^n + c*x^(2*n))), (c*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x^n)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + q, 2 + q, (2*c*(d + e*x^n))/(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(a*(2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*n*(1 + q)) + (c*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x^n)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + q, 2 + q, (2*c*(d + e*x^n))/(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)))/(a*(2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)*n*(1 + q)) - ((d + e*x^n)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + q, 2 + q, 1 + (e*x^n)/d))/(a*d*n*(1 + q)), x, 8),
+((d + e*x^n)^q/(x^2*(a + b*x^n + c*x^(2*n))), (2*c*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1/n), 1, -q, -((1 - n)/n), -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*((b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*x)) + (2*c*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1/n), 1, -q, -((1 - n)/n), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*((b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*x)), x, 5),
+((d + e*x^n)^q/(x^3*(a + b*x^n + c*x^(2*n))), (c*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2/n), 1, -q, -((2 - n)/n), -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*((b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*x^2)) + (c*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2/n), 1, -q, -((2 - n)/n), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*((b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*x^2)), x, 5),
+
+
+# {x^m*(d + e*x^n)^q/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2, x, 0, -((4*c^2*x^(1 + m)*(1 + (2*c*x^n)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))*(d + e*x^n)^q*AppellF1[(1 + m)/n, 1, -q, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])), -((e*x^n)/d)])/((1 + (e*x^n)/d)^q*((b^2 - 4*a*c)^(3/2)*(1 + m)*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x^n)))) + (4*c^2*x^(1 + m)*(1 + (2*c*x^n)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))*(d + e*x^n)^q*AppellF1[(1 + m)/n, 1, -q, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])), -((e*x^n)/d)])/((1 + (e*x^n)/d)^q*((b^2 - 4*a*c)^(3/2)*(1 + m)*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x^n))) + (4*c^2*x^(1 + m)*(1 + (2*c*x^n)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^2*(d + e*x^n)^q*AppellF1[(1 + m)/n, 2, -q, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])), -((e*x^n)/d)])/((1 + (e*x^n)/d)^q*((b^2 - 4*a*c)*(1 + m)*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x^n)^2)) + (4*c^2*x^(1 + m)*(1 + (2*c*x^n)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))^2*(d + e*x^n)^q*AppellF1[(1 + m)/n, 2, -q, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])), -((e*x^n)/d)])/((1 + (e*x^n)/d)^q*((b^2 - 4*a*c)*(1 + m)*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x^n)^2))}
+
+(x^2*(d + e*x^n)^q/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2, 0, x, 0),
+(x^1*(d + e*x^n)^q/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2, -((2*c^2*x^2*(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(2/n, 1, -q, (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^n)))) + (2*c^2*x^2*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(2/n, 1, -q, (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^n))) + (2*c^2*x^2*(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^2*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(2/n, 2, -q, (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*((b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^n)^2)) + (2*c^2*x^2*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^2*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(2/n, 2, -q, (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*((b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^n)^2)), x, 0),
+(x^0*(d + e*x^n)^q/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2, -((4*c^2*x*(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, 1, -q, (1 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^n)))) + (4*c^2*x*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, 1, -q, (1 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*((b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^n))) + (4*c^2*x*(1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^2*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, 2, -q, (1 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*((b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^n)^2)) + (4*c^2*x*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^2*(d + e*x^n)^q*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, 2, -q, (1 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((e*x^n)/d)))/((1 + (e*x^n)/d)^q*((b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x^n)^2)), x, 0),
+((d + e*x^n)^q/(x^1*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2), ((d + e*x)^(1 + q)*(b^2*c*d - 2*a*c^2*d - b^3*e + 3*a*b*c*e + c*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*x))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)) - (c*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1, 1 - q, -((2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/(e*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))))/(a^2*e*q*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)) - (c*(e*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*q - (2*b*c*(c*d^2 + a*e^2*(1 - 2*q)) + 4*a*c^2*d*e*q + b^3*e^2*q - b^2*c*d*e*(2 + q))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1, 1 - q, -((2*c*d - (b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/(e*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*q*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)) - (c*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1, 1 - q, -((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/(e*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))))/(a^2*e*q*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)) - (c*(e*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*q + (2*b*c*(c*d^2 + a*e^2*(1 - 2*q)) + 4*a*c^2*d*e*q + b^3*e^2*q - b^2*c*d*e*(2 + q))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*(d + e*x)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1, 1 - q, -((2*c*d - (b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*e)/(e*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*q*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c) + 2*c*x)) - ((d + e*x)^(1 + q)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + q, 2 + q, (d + e*x)/d))/(a^2*d*(1 + q)), x, 0),
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+# {(d + e*x^n)^q/(x^3*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2), x, 0, 0} *)
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f x)^m (d+e x^n)^q (a+b x^n+c x^(2 n))^p with p symbolic
+
+
+((f*x)^m*(d + e*x^n)^2*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, (d^2*(f*x)^(1 + m)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/n, -p, -p, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(f*(1 + m))) + (2*d*e*x^(1 + n)*(f*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m + n)/n, -p, -p, (1 + m + 2*n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + m + n)) + (e^2*x^(1 + 2*n)*(f*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m + 2*n)/n, -p, -p, (1 + m + 3*n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + m + 2*n)), x, 10),
+((f*x)^m*(d + e*x^n)^1*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, (d*(f*x)^(1 + m)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/n, -p, -p, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(f*(1 + m))) + (e*x^(1 + n)*(f*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m + n)/n, -p, -p, (1 + m + 2*n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + m + n)), x, 7),
+((f*x)^m*(d + e*x^n)^0*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, ((f*x)^(1 + m)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/n, -p, -p, (1 + m + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/((1 + (2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(1 + (2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))^p*(f*(1 + m))), x, 2),
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+((f*x)^m/(d + e*x^n)^2*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, Unintegrable(((f*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p)/(d + e*x^n)^2, x), x, 0),
+]
+# Total integrals translated: 159
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.5 P(x) (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.5 P(x) (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..41212149
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.3 General/1.2.3.5 P(x) (d x)^m (a+b x^n+c x^(2 n))^p.jl	
@@ -0,0 +1,115 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
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+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form Pq(x) (a+b x^n+c x^(2 n))^p
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form Pq(x) (a+b x^3+c x^6)^p
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+# Integrands of the form Pq(x) (a+b x^3+c x^6)^p
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+# Integrands of the form Pq(x) (a+b x^n+c x^(2 n))^p
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+# Integrands of the form Pq(x) (a+b x^n+c x^(2 n))^p
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+# p<0
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+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), -((2*c*d*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (2*c*d*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (c*e*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2/n, (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (c*e*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2/n, (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (2*c*f*x^3*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 3/n, (3 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (2*c*f*x^3*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 3/n, (3 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (c*g*x^4*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 4/n, (4 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (c*g*x^4*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 4/n, (4 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 13),
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+(1/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2, (x*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) - (c*(4*a*c*(1 - 2*n) - b^2*(1 - n) - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (c*(4*a*c*(1 - 2*n) - b^2*(1 - n) + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n), x, 4),
+((d + e*x)/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2, (d*x*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) + (e*x^2*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) - (c*d*(4*a*c*(1 - 2*n) - b^2*(1 - n) - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (c*d*(4*a*c*(1 - 2*n) - b^2*(1 - n) + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (c*e*(4*a*c*(1 - n) - b^2*(2 - n))*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2/n, (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (c*e*(4*a*c*(1 - n) - b^2*(2 - n))*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2/n, (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (2*b*c^2*e*(2 - n)*x^(2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (2 + n)/n, 2*(1 + 1/n), -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*n*(2 + n)) + (2*b*c^2*e*(2 - n)*x^(2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (2 + n)/n, 2*(1 + 1/n), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*n*(2 + n)), x, 15),
+((d + e*x + f*x^2)/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2, (d*x*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) + (e*x^2*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) + (f*x^3*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) - (c*d*(4*a*c*(1 - 2*n) - b^2*(1 - n) - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (c*d*(4*a*c*(1 - 2*n) - b^2*(1 - n) + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (c*e*(4*a*c*(1 - n) - b^2*(2 - n))*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2/n, (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (c*e*(4*a*c*(1 - n) - b^2*(2 - n))*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2/n, (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (2*c*f*(2*a*c*(3 - 2*n) - b^2*(3 - n))*x^3*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 3/n, (3 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (2*c*f*(2*a*c*(3 - 2*n) - b^2*(3 - n))*x^3*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 3/n, (3 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (2*b*c^2*e*(2 - n)*x^(2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (2 + n)/n, 2*(1 + 1/n), -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*n*(2 + n)) + (2*b*c^2*e*(2 - n)*x^(2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (2 + n)/n, 2*(1 + 1/n), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*n*(2 + n)) - (2*b*c^2*f*(3 - n)*x^(3 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (3 + n)/n, 2 + 3/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*n*(3 + n)) + (2*b*c^2*f*(3 - n)*x^(3 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (3 + n)/n, 2 + 3/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*n*(3 + n)), x, 24),
+((d + e*x + f*x^2 + g*x^3)/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2, (d*x*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) + (e*x^2*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) + (f*x^3*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) + (g*x^4*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^n))/(a*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) - (c*d*(4*a*c*(1 - 2*n) - b^2*(1 - n) - b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (c*d*(4*a*c*(1 - 2*n) - b^2*(1 - n) + b*sqrt(b^2 - 4*a*c)*(1 - n))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (c*e*(4*a*c*(1 - n) - b^2*(2 - n))*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2/n, (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (c*e*(4*a*c*(1 - n) - b^2*(2 - n))*x^2*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2/n, (2 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (2*c*f*(2*a*c*(3 - 2*n) - b^2*(3 - n))*x^3*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 3/n, (3 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (2*c*f*(2*a*c*(3 - 2*n) - b^2*(3 - n))*x^3*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 3/n, (3 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (c*g*(4*a*c*(2 - n) - b^2*(4 - n))*x^4*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 4/n, (4 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (c*g*(4*a*c*(2 - n) - b^2*(4 - n))*x^4*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 4/n, (4 + n)/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(b^2 - 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) - (2*b*c^2*e*(2 - n)*x^(2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (2 + n)/n, 2*(1 + 1/n), -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*n*(2 + n)) + (2*b*c^2*e*(2 - n)*x^(2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (2 + n)/n, 2*(1 + 1/n), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*n*(2 + n)) - (2*b*c^2*f*(3 - n)*x^(3 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (3 + n)/n, 2 + 3/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*n*(3 + n)) + (2*b*c^2*f*(3 - n)*x^(3 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (3 + n)/n, 2 + 3/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*n*(3 + n)) - (2*b*c^2*g*(4 - n)*x^(4 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (4 + n)/n, 2*(1 + 2/n), -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*n*(4 + n)) + (2*b*c^2*g*(4 - n)*x^(4 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (4 + n)/n, 2*(1 + 2/n), -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*n*(4 + n)), x, 33),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form Pq(x) (a+b x^n+c x^(2 n))^(p/2)
+
+
+((-a*h*x^(n/2 - 1) + c*f*x^(n - 1) + c*g*x^(2*n - 1) + c*h*x^((5*n)/2 - 1))/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2), -((2*(c*(b*f - 2*a*g) + (b^2 - 4*a*c)*h*x^(n/2) + c*(2*c*f - b*g)*x^n))/((b^2 - 4*a*c)*n*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form Pq(x) (a+b x^n+c x^(2 n))^p with p symbolic
+
+
+((a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*(a + b*(1 + n + n*p)*x^n + c*(1 + 2*n*(1 + p))*x^(2*n)), x*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(1 + p), x, 1),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m Pq(x) (a+b x^n+c x^(2 n))^p
+
+
+# ::Section::
+# Integrands of the form (d x)^m Pq(x) (a+b x^3+c x^6)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m Pq(x) (a+b x^n+c x^(2 n))^p with b=0
+
+
+((x^(n/4 - 1)*(-a*h + c*f*x^(n/4) + c*g*x^((3*n)/4) + c*h*x^n))/(a + c*x^n)^(3//2), -((2*(a*g + 2*a*h*x^(n/4) - c*f*x^(n/2)))/(a*n*sqrt(a + c*x^n))), x, 1),
+(((d*x)^(n/4 - 1)*(-a*h + c*f*x^(n/4) + c*g*x^((3*n)/4) + c*h*x^n))/(a + c*x^n)^(3//2), -((2*x^(1 - n/4)*(d*x)^((1//4)*(-4 + n))*(a*g + 2*a*h*x^(n/4) - c*f*x^(n/2)))/(a*n*sqrt(a + c*x^n))), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m Pq(x) (a+b x^n+c x^(2 n))^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m Pq(x) (a+b x^n+c x^(2 n))^(p/2)
+
+
+((x^(n/2 - 1)*(-a*h + c*f*x^(n/2) + c*g*x^((3*n)/2) + c*h*x^(2*n)))/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2), -((2*(c*(b*f - 2*a*g) + (b^2 - 4*a*c)*h*x^(n/2) + c*(2*c*f - b*g)*x^n))/((b^2 - 4*a*c)*n*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)))), x, 1),
+(((d*x)^(n/2 - 1)*(-a*h + c*f*x^(n/2) + c*g*x^((3*n)/2) + c*h*x^(2*n)))/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3//2), -((2*x^(1 - n/2)*(d*x)^((1//2)*(-2 + n))*(c*(b*f - 2*a*g) + (b^2 - 4*a*c)*h*x^(n/2) + c*(2*c*f - b*g)*x^n))/((b^2 - 4*a*c)*n*sqrt(a + b*x^n + c*x^(2*n)))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d x)^m Pq(x) (a+b x^n+c x^(2 n))^p with p symbolic
+
+
+((g*x)^m*(a*(1 + m) + b*(1 + m + n + n*p)*x^n + c*(1 + m + 2*n*(1 + p))*x^(2*n))*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, ((g*x)^(1 + m)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(1 + p))/g, x, 1),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form Pq(x^n) (a+b x^n+c x^(2 n))^p
+
+
+((A + B*x^n + C*x^(2*n) + D*x^(3*n))/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2, (x*(A*c*(b^2 - 2*a*c) - a*(b*B*c - 2*a*c*C + a*b*D) + (b*c*(A*c + a*C) - a*b^2*D - 2*a*c*(B*c - a*D))*x^n))/(a*c*(b^2 - 4*a*c)*n*(a + b*x^n + c*x^(2*n))) + ((a*b^2*D - b*c*(A*c + a*C)*(1 - n) + 2*a*c*(B*c*(1 - n) - a*D*(1 + n)) + (A*c^2*(4*a*c*(1 - 2*n) - b^2*(1 - n)) - a*(4*a*c^2*C + b^3*D - b^2*c*C*(1 - n) - 2*b*c*(B*c*n + a*D*(2 + n))))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*c*(b^2 - 4*a*c)*(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*n) + ((a*b^2*D - b*c*(A*c + a*C)*(1 - n) + 2*a*c*(B*c*(1 - n) - a*D*(1 + n)) - (A*c^2*(4*a*c*(1 - 2*n) - b^2*(1 - n)) - a*(4*a*c^2*C + b^3*D - b^2*c*C*(1 - n) - 2*b*c*(B*c*n + a*D*(2 + n))))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((2*c*x^n)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(a*c*(b^2 - 4*a*c)*(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*n), x, 4),
+]
+# Total integrals translated: 17
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.4 Improper/1.2.4.2 (d x)^m (a x^q+b x^n+c x^(2 n-q))^p.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.4 Improper/1.2.4.2 (d x)^m (a x^q+b x^n+c x^(2 n-q))^p.jl
new file mode 100644
index 00000000..e7cea5c0
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.2 Trinomial products/1.2.4 Improper/1.2.4.2 (d x)^m (a x^q+b x^n+c x^(2 n-q))^p.jl	
@@ -0,0 +1,280 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integration problems of the form x^m (a x^q+b x^n+c x^(2 n-q))^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a x^2+b x^3+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# x^m (a x^2+b x^3+c x^4)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^2*(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4), (a*x^5)/5 + (b*x^6)/6 + (c*x^7)/7, x, 2),
+(x*(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4), (a*x^4)/4 + (b*x^5)/5 + (c*x^6)/6, x, 2),
+(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4, (a*x^3)/3 + (b*x^4)/4 + (c*x^5)/5, x, 1),
+((a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)/x, (a*x^2)/2 + (b*x^3)/3 + (c*x^4)/4, x, 2),
+((a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)/x^2, a*x + (b*x^2)/2 + (c*x^3)/3, x, 2),
+
+
+(x^2*(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^2, (a^2*x^7)/7 + (a*b*x^8)/4 + ((b^2 + 2*a*c)*x^9)/9 + (b*c*x^10)/5 + (c^2*x^11)/11, x, 3),
+(x*(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^2, (a^2*x^6)/6 + (2*a*b*x^7)/7 + ((b^2 + 2*a*c)*x^8)/8 + (2*b*c*x^9)/9 + (c^2*x^10)/10, x, 3),
+((a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^2, (a^2*x^5)/5 + (a*b*x^6)/3 + ((b^2 + 2*a*c)*x^7)/7 + (b*c*x^8)/4 + (c^2*x^9)/9, x, 3),
+((a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^2/x, (a^2*x^4)/4 + (2*a*b*x^5)/5 + ((b^2 + 2*a*c)*x^6)/6 + (2*b*c*x^7)/7 + (c^2*x^8)/8, x, 3),
+((a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^2/x^2, (a^2*x^3)/3 + (a*b*x^4)/2 + ((b^2 + 2*a*c)*x^5)/5 + (b*c*x^6)/3 + (c^2*x^7)/7, x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4), -((b*x)/c^2) + x^2/(2*c) + (b*(b^2 - 3*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((b^2 - a*c)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^3), x, 7),
+(x^4/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4), x/c - ((b^2 - 2*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (b*log(a + b*x + c*x^2))/(2*c^2), x, 6),
+(x^3/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4), (b*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + log(a + b*x + c*x^2)/(2*c), x, 5),
+(x^2/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4), (-2*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/sqrt(b^2 - 4*a*c), x, 3),
+(x/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4), (b*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + log(x)/a - log(a + b*x + c*x^2)/(2*a), x, 7),
+((a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(-1), -(1/(a*x)) - ((b^2 - 2*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a^2), x, 8),
+(1/(x*(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), -1/(2*a*x^2) + b/(a^2*x) + (b*(b^2 - 3*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((b^2 - a*c)*log(x))/a^3 - ((b^2 - a*c)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a^3), x, 8),
+(1/(x^2*(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), -1/(3*a*x^3) + b/(2*a^2*x^2) - (b^2 - a*c)/(a^3*x) - ((b^4 - 4*a*b^2*c + 2*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^4*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (b*(b^2 - 2*a*c)*log(x))/a^4 + (b*(b^2 - 2*a*c)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a^4), x, 8),
+
+
+(x^8/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^2, (2*(b^2 - 3*a*c)*x)/(c^2*(b^2 - 4*a*c)) - (b*x^2)/(c*(b^2 - 4*a*c)) + (x^3*(2*a + b*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) - (2*(b^4 - 6*a*b^2*c + 6*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) - (b*log(a + b*x + c*x^2))/c^3, x, 8),
+(x^7/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^2, -((b*x)/(c*(b^2 - 4*a*c))) + (x^2*(2*a + b*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (b*(b^2 - 6*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + log(a + b*x + c*x^2)/(2*c^2), x, 7),
+(x^6/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^2, (x*(2*a + b*x))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (4*a*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 4),
+(x^5/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^2, (2*a + b*x)/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) - (2*b*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 4),
+(x^4/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^2, -((b + 2*c*x)/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2))) + (4*c*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 4),
+(x^3/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^2, (b^2 - 2*a*c + b*c*x)/(a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x + c*x^2)) + (b*(b^2 - 6*a*c)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + log(x)/a^2 - log(a + b*x + c*x^2)/(2*a^2), x, 8),
+(x^2/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^2, (-2*(b^2 - 3*a*c))/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*x) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x)/(a*(b^2 - 4*a*c)*x*(a + b*x + c*x^2)) - (2*(b^4 - 6*a*b^2*c + 6*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) - (2*b*log(x))/a^3 + (b*log(a + b*x + c*x^2))/a^3, x, 8),
+(x^1/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^2, -((3*b^2 - 8*a*c)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^2)) + (b*(3*b^2 - 11*a*c))/(a^3*(b^2 - 4*a*c)*x) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x)/(a*(b^2 - 4*a*c)*x^2*(a + b*x + c*x^2)) + (b*(3*b^4 - 20*a*b^2*c + 30*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^4*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + ((3*b^2 - 2*a*c)*log(x))/a^4 - ((3*b^2 - 2*a*c)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a^4), x, 8),
+(x^0/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^2, -((2*(2*b^2 - 5*a*c))/(3*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^3)) + (b*(2*b^2 - 7*a*c))/(a^3*(b^2 - 4*a*c)*x^2) - (2*(2*b^4 - 9*a*b^2*c + 5*a^2*c^2))/(a^4*(b^2 - 4*a*c)*x) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x)/(a*(b^2 - 4*a*c)*x^3*(a + b*x + c*x^2)) - (2*(2*b^6 - 15*a*b^4*c + 30*a^2*b^2*c^2 - 10*a^3*c^3)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^5*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) - (2*b*(2*b^2 - 3*a*c)*log(x))/a^5 + (b*(2*b^2 - 3*a*c)*log(a + b*x + c*x^2))/a^5, x, 8),
+(1/(x*(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^2), -((5*b^2 - 12*a*c)/(4*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^4)) + (b*(5*b^2 - 17*a*c))/(3*a^3*(b^2 - 4*a*c)*x^3) - (5*b^4 - 22*a*b^2*c + 12*a^2*c^2)/(2*a^4*(b^2 - 4*a*c)*x^2) + (b*(5*b^4 - 27*a*b^2*c + 29*a^2*c^2))/(a^5*(b^2 - 4*a*c)*x) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x)/(a*(b^2 - 4*a*c)*x^4*(a + b*x + c*x^2)) + (b*(5*b^6 - 42*a*b^4*c + 105*a^2*b^2*c^2 - 70*a^3*c^3)*atanh((b + 2*c*x)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^6*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + ((5*b^4 - 12*a*b^2*c + 3*a^2*c^2)*log(x))/a^6 - ((5*b^4 - 12*a*b^2*c + 3*a^2*c^2)*log(a + b*x + c*x^2))/(2*a^6), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# x^m (a x^2+b x^3+c x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4), (b*(35*b^2 - 116*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(960*c^3) - ((105*b^4 - 460*a*b^2*c + 256*a^2*c^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(1920*c^4*x) - ((7*b^2 - 16*a*c)*x*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(240*c^2) + (x^2*(b + 8*c*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(40*c) + (b*(7*b^2 - 12*a*c)*(b^2 - 4*a*c)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*c^(9//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 8),
+(x*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4), -(((5*b^2 - 12*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(96*c^2)) + (b*(15*b^2 - 52*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(192*c^3*x) + (x*(b + 6*c*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(24*c) - ((b^2 - 4*a*c)*(5*b^2 - 4*a*c)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(7//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 7),
+(sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4), -((b*(b + 2*c*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(8*c^2*x)) + ((a + b*x + c*x^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(3*c*x) + (b*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(5//2)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)), x, 5),
+(sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)/x, ((b + 2*c*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(4*c*x) - ((b^2 - 4*a*c)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(3//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 4),
+(sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)/x^2, sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)/x - (sqrt(a)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4) + (b*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 7),
+(sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)/x^3, -(sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)/x^2) - (b*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)) + (sqrt(c)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4), x, 7),
+(sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)/x^4, -(sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)/(2*x^3)) - (b*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(4*a*x^2) + ((b^2 - 4*a*c)*atanh((x*(2*a + b*x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))))/(8*a^(3//2)), x, 5),
+(sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)/x^5, -(sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)/(3*x^4)) - (b*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(12*a*x^3) + ((3*b^2 - 8*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(24*a^2*x^2) - (b*(b^2 - 4*a*c)*atanh((x*(2*a + b*x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))))/(16*a^(5//2)), x, 6),
+(sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)/x^6, -(sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)/(4*x^5)) - (b*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(24*a*x^4) + ((5*b^2 - 12*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(96*a^2*x^3) - (b*(15*b^2 - 52*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(192*a^3*x^2) + ((b^2 - 4*a*c)*(5*b^2 - 4*a*c)*atanh((x*(2*a + b*x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))))/(128*a^(7//2)), x, 7),
+
+
+(x*(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2), ((1155*b^6 - 8988*a*b^4*c + 18896*a^2*b^2*c^2 - 6720*a^3*c^3)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(286720*c^5) - (b*(3465*b^6 - 30660*a*b^4*c + 81648*a^2*b^2*c^2 - 58816*a^3*c^3)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(573440*c^6*x) - (b*(231*b^4 - 1560*a*b^2*c + 2416*a^2*c^2)*x*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(71680*c^4) + ((99*b^4 - 568*a*b^2*c + 560*a^2*c^2)*x^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(35840*c^3) - (x^3*(b*(11*b^2 + 68*a*c) + 10*c*(11*b^2 - 28*a*c)*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(4480*c^2) + (x*(3*b + 14*c*x)*(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2))/(112*c) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*(33*b^4 - 72*a*b^2*c + 16*a^2*c^2)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(32768*c^(13//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 10),
+((a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2), -((b*(105*b^4 - 728*a*b^2*c + 1168*a^2*c^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(17920*c^4)) + ((315*b^6 - 2520*a*b^4*c + 5488*a^2*b^2*c^2 - 2048*a^3*c^3)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(35840*c^5*x) + ((7*b^2 - 32*a*c)*(3*b^2 - 4*a*c)*x*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(4480*c^3) - (b*(9*b^2 - 44*a*c)*x^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(2240*c^2) + (x^3*(b^2 + 24*a*c + 10*b*c*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(280*c) + (1//7)*x*(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2) - (3*b*(b^2 - 4*a*c)^2*(3*b^2 - 4*a*c)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2048*c^(11//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 10),
+((a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2)/x, ((35*b^4 - 216*a*b^2*c + 240*a^2*c^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(3840*c^3) - (b*(105*b^4 - 760*a*b^2*c + 1296*a^2*c^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(7680*c^4*x) - (x*(b*(7*b^2 + 12*a*c) + 6*c*(7*b^2 - 20*a*c)*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(960*c^2) + ((3*b + 10*c*x)*(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2))/(60*c*x) + ((b^2 - 4*a*c)^2*(7*b^2 - 4*a*c)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(1024*c^(9//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 8),
+((a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2)/x^2, (3*b*(b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(128*c^3*x) - (b*(b + 2*c*x)*(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2))/(16*c^2*x^3) + (a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(5//2)/(5*c*x^5) - (3*b*(b^2 - 4*a*c)^2*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(256*c^(7//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 6),
+((a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2)/x^3, -((3*(b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(64*c^2*x)) + ((b + 2*c*x)*(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2))/(8*c*x^3) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(128*c^(5//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 5),
+((a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2)/x^4, ((b^2 + 8*a*c + 2*b*c*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(8*c*x) + (a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2)/(3*x^3) - (a^(3//2)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4) - (b*(b^2 - 12*a*c)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*c^(3//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 8),
+((a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2)/x^5, (3*(3*b + 2*c*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(4*x) - (a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2)/x^4 - (3*sqrt(a)*b*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)) + (3*(b^2 + 4*a*c)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 8),
+((a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2)/x^6, -((3*(b - 2*c*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(4*x^2)) - (a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2)/(2*x^5) - (3*(b^2 + 4*a*c)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*sqrt(a)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)) + (3*b*sqrt(c)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 8),
+((a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2)/x^7, ((b^2 - 8*a*c + 2*b*c*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(8*a*x^2) - (a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2)/(3*x^6) - (b*(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2))/(4*a*x^5) + (b*(b^2 - 12*a*c)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(16*a^(3//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)) + (c^(3//2)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4), x, 9),
+((a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2)/x^8, -(((b^2 - 12*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(32*a*x^3)) + (b*(3*b^2 - 20*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(64*a^2*x^2) - ((b + 6*c*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(8*x^4) - (a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2)/(4*x^7) - (3*(b^2 - 4*a*c)^2*atanh((x*(2*a + b*x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))))/(128*a^(5//2)), x, 7),
+((a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2)/x^9, -(((b^2 - 8*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(80*a*x^4)) + (b*(5*b^2 - 28*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(320*a^2*x^3) - ((15*b^4 - 100*a*b^2*c + 128*a^2*c^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(640*a^3*x^2) - (3*(b + 4*c*x)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(40*x^5) - (a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2)/(5*x^8) + (3*b*(b^2 - 4*a*c)^2*atanh((x*(2*a + b*x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))))/(256*a^(7//2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^3/sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4), -((3*b*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(4*c^2*x)) + sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)/(2*c) + ((3*b^2 - 4*a*c)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(5//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 6),
+(x^2/sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4), sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)/(c*x) - (b*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(3//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 4),
+(x/sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4), (x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(sqrt(c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 3),
+(1/sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4), -(atanh((x*(2*a + b*x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)))/sqrt(a)), x, 2),
+(1/(x*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), -(sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)/(a*x^2)) + (b*atanh((x*(2*a + b*x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))))/(2*a^(3//2)), x, 3),
+(1/(x^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), -(sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)/(2*a*x^3)) + (3*b*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(4*a^2*x^2) - ((3*b^2 - 4*a*c)*atanh((x*(2*a + b*x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))))/(8*a^(5//2)), x, 5),
+
+
+(x^7/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2), (2*x^4*(2*a + b*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)) + ((5*b^2 - 12*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)) - (b*(15*b^2 - 52*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(4*c^3*(b^2 - 4*a*c)*x) - (2*b*x*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(c*(b^2 - 4*a*c)) + (3*(5*b^2 - 4*a*c)*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(8*c^(7//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 8),
+(x^6/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2), (2*x^3*(2*a + b*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)) - (2*b*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(c*(b^2 - 4*a*c)) + ((3*b^2 - 8*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(c^2*(b^2 - 4*a*c)*x) - (3*b*x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(2*c^(5//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 7),
+(x^5/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2), (2*x^2*(2*a + b*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)) - (2*b*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(c*(b^2 - 4*a*c)*x) + (x*sqrt(a + b*x + c*x^2)*atanh((b + 2*c*x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x + c*x^2))))/(c^(3//2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 6),
+(x^4/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2), (2*x*(2*a + b*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)), x, 1),
+(x^3/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2), -((2*x*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))), x, 1),
+(x^2/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2), (2*x*(b^2 - 2*a*c + b*c*x))/(a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)) - atanh((x*(2*a + b*x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)))/a^(3//2), x, 3),
+(x/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2), (2*(b^2 - 2*a*c + b*c*x))/(a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)) - ((3*b^2 - 8*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^2) + (3*b*atanh((x*(2*a + b*x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))))/(2*a^(5//2)), x, 5),
+(1/(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2), (2*(b^2 - 2*a*c + b*c*x))/(a*(b^2 - 4*a*c)*x*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)) - ((5*b^2 - 12*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^3) + (b*(15*b^2 - 52*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(4*a^3*(b^2 - 4*a*c)*x^2) - (3*(5*b^2 - 4*a*c)*atanh((x*(2*a + b*x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))))/(8*a^(7//2)), x, 6),
+(1/(x*(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2)), (2*(b^2 - 2*a*c + b*c*x))/(a*(b^2 - 4*a*c)*x^2*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)) - ((7*b^2 - 16*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(3*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^4) + (b*(35*b^2 - 116*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(12*a^3*(b^2 - 4*a*c)*x^3) - ((105*b^4 - 460*a*b^2*c + 256*a^2*c^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(24*a^4*(b^2 - 4*a*c)*x^2) + (5*b*(7*b^2 - 12*a*c)*atanh((x*(2*a + b*x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))))/(16*a^(9//2)), x, 7),
+(1/(x^2*(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)^(3//2)), (2*(b^2 - 2*a*c + b*c*x))/(a*(b^2 - 4*a*c)*x^3*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)) - ((9*b^2 - 20*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(4*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^5) + (b*(21*b^2 - 68*a*c)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(8*a^3*(b^2 - 4*a*c)*x^4) - ((105*b^4 - 448*a*b^2*c + 240*a^2*c^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(32*a^4*(b^2 - 4*a*c)*x^3) + (b*(315*b^4 - 1680*a*b^2*c + 1808*a^2*c^2)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))/(64*a^5*(b^2 - 4*a*c)*x^2) - (15*(21*b^4 - 56*a*b^2*c + 16*a^2*c^2)*atanh((x*(2*a + b*x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4))))/(128*a^(11//2)), x, 8),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a x+b x^3+c x^5)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# x^m (a x+b x^3+c x^5)^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^m*(a*x + b*x^3 + c*x^5), (a*x^(2 + m))/(2 + m) + (b*x^(4 + m))/(4 + m) + (c*x^(6 + m))/(6 + m), x, 2),
+
+(x^2*(a*x + b*x^3 + c*x^5), (a*x^4)/4 + (b*x^6)/6 + (c*x^8)/8, x, 2),
+(x^1*(a*x + b*x^3 + c*x^5), (a*x^3)/3 + (b*x^5)/5 + (c*x^7)/7, x, 2),
+(x^0*(a*x + b*x^3 + c*x^5), (a*x^2)/2 + (b*x^4)/4 + (c*x^6)/6, x, 1),
+((a*x + b*x^3 + c*x^5)/x^1, a*x + (b*x^3)/3 + (c*x^5)/5, x, 2),
+((a*x + b*x^3 + c*x^5)/x^2, (b*x^2)/2 + (c*x^4)/4 + a*log(x), x, 2),
+((a*x + b*x^3 + c*x^5)/x^3, -(a/x) + b*x + (c*x^3)/3, x, 2),
+
+
+(x^m*(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2, (a^2*x^(3 + m))/(3 + m) + (2*a*b*x^(5 + m))/(5 + m) + ((b^2 + 2*a*c)*x^(7 + m))/(7 + m) + (2*b*c*x^(9 + m))/(9 + m) + (c^2*x^(11 + m))/(11 + m), x, 3),
+
+(x^2*(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2, (a^2*x^5)/5 + (2*a*b*x^7)/7 + ((b^2 + 2*a*c)*x^9)/9 + (2*b*c*x^11)/11 + (c^2*x^13)/13, x, 3),
+(x^1*(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2, (a^2*x^4)/4 + (a*b*x^6)/3 + ((b^2 + 2*a*c)*x^8)/8 + (b*c*x^10)/5 + (c^2*x^12)/12, x, 4),
+(x^0*(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2, (a^2*x^3)/3 + (2*a*b*x^5)/5 + ((b^2 + 2*a*c)*x^7)/7 + (2*b*c*x^9)/9 + (c^2*x^11)/11, x, 3),
+((a*x + b*x^3 + c*x^5)^2/x^1, (a^2*x^2)/2 + (a*b*x^4)/2 + ((b^2 + 2*a*c)*x^6)/6 + (b*c*x^8)/4 + (c^2*x^10)/10, x, 4),
+((a*x + b*x^3 + c*x^5)^2/x^2, a^2*x + (2*a*b*x^3)/3 + ((b^2 + 2*a*c)*x^5)/5 + (2*b*c*x^7)/7 + (c^2*x^9)/9, x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^8/(a*x + b*x^3 + c*x^5), -((b*x^2)/(2*c^2)) + x^4/(4*c) + (b*(b^2 - 3*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^3*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + ((b^2 - a*c)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^3), x, 8),
+(x^7/(a*x + b*x^3 + c*x^5), -((b*x)/c^2) + x^3/(3*c) + ((b^2 - a*c - (b*(b^2 - 3*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b^2 - a*c + (b*(b^2 - 3*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(5//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+(x^6/(a*x + b*x^3 + c*x^5), x^2/(2*c) - ((b^2 - 2*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (b*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*c^2), x, 7),
+(x^5/(a*x + b*x^3 + c*x^5), x/c - ((b - (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((b + (b^2 - 2*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*c^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^4/(a*x + b*x^3 + c*x^5), (b*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + log(a + b*x^2 + c*x^4)/(4*c), x, 6),
+(x^3/(a*x + b*x^3 + c*x^5), -((sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 4),
+(x^2/(a*x + b*x^3 + c*x^5), -(atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c)), x, 4),
+(x/(a*x + b*x^3 + c*x^5), (sqrt(2)*sqrt(c)*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(2)*sqrt(c)*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 4),
+(1/(a*x + b*x^3 + c*x^5), (b*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a*sqrt(b^2 - 4*a*c)) + log(x)/a - log(a + b*x^2 + c*x^4)/(4*a), x, 8),
+(1/(x*(a*x + b*x^3 + c*x^5)), -(1/(a*x)) - (sqrt(c)*(1 + b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(1 - b/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*a*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(1/(x^2*(a*x + b*x^3 + c*x^5)), -1/(2*a*x^2) - ((b^2 - 2*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^2*sqrt(b^2 - 4*a*c)) - (b*log(x))/a^2 + (b*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^2), x, 9),
+
+
+(x^11/(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2, ((b^2 - 3*a*c)*x^2)/(c^2*(b^2 - 4*a*c)) - (b*x^4)/(2*c*(b^2 - 4*a*c)) + (x^6*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((b^4 - 6*a*b^2*c + 6*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(c^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) - (b*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(2*c^3), x, 9),
+(x^10/(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2, ((3*b^2 - 10*a*c)*x)/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)) - (b*x^3)/(2*c*(b^2 - 4*a*c)) + (x^5*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((3*b^3 - 13*a*b*c - (3*b^4 - 19*a*b^2*c + 20*a^2*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - ((3*b^3 - 13*a*b*c + (3*b^4 - 19*a*b^2*c + 20*a^2*c^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(5//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 7),
+(x^9/(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2, -((b*x^2)/(2*c*(b^2 - 4*a*c))) + (x^4*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (b*(b^2 - 6*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + log(a + b*x^2 + c*x^4)/(4*c^2), x, 8),
+(x^8/(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2, -((b*x)/(2*c*(b^2 - 4*a*c))) + (x^3*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b^2 - 6*a*c - (b*(b^2 - 8*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b^2 - 6*a*c + (b*(b^2 - 8*a*c))/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*c^(3//2)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+(x^7/(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2, (x^2*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (2*a*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 5),
+(x^6/(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2, (x*(2*a + b*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b - (b^2 + 4*a*c)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((b^2 + 4*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*sqrt(c)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^5/(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2, (2*a + b*x^2)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (b*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 5),
+(x^4/(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2, -((x*(b + 2*c*x^2))/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4))) + (sqrt(c)*(2*b - sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(2*b + sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^3/(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2, -((b + 2*c*x^2)/(2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4))) + (2*c*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(b^2 - 4*a*c)^(3//2), x, 5),
+(x^2/(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2, (x*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2))/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(c)*(b^2 - 12*a*c + b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(b^2 - 12*a*c - b*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 5),
+(x^1/(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2, (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (b*(b^2 - 6*a*c)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + log(x)/a^2 - log(a + b*x^2 + c*x^4)/(4*a^2), x, 9),
+(x^0/(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2, -((3*b^2 - 10*a*c)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x)) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*x*(a + b*x^2 + c*x^4)) - (sqrt(c)*(3*b^3 - 16*a*b*c + (3*b^2 - 10*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + (sqrt(c)*(3*b^3 - 16*a*b*c - (3*b^2 - 10*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^2*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 6),
+(1/(x^1*(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2), -((b^2 - 3*a*c)/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^2)) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) - ((b^4 - 6*a*b^2*c + 6*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) - (2*b*log(x))/a^3 + (b*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(2*a^3), x, 9),
+(1/(x^2*(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2), -((5*b^2 - 14*a*c)/(6*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^3)) + (b*(5*b^2 - 19*a*c))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)*x) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*x^3*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (sqrt(c)*(5*b^4 - 29*a*b^2*c + 28*a^2*c^2 + b*(5*b^2 - 19*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (sqrt(c)*(5*b^4 - 29*a*b^2*c + 28*a^2*c^2 - b*(5*b^2 - 19*a*c)*sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(2*sqrt(2)*a^3*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))), x, 7),
+(1/(x^3*(a*x + b*x^3 + c*x^5)^2), -((3*b^2 - 8*a*c)/(4*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^4)) + (b*(3*b^2 - 11*a*c))/(2*a^3*(b^2 - 4*a*c)*x^2) + (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(2*a*(b^2 - 4*a*c)*x^4*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (b*(3*b^4 - 20*a*b^2*c + 30*a^2*c^2)*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/(2*a^4*(b^2 - 4*a*c)^(3//2)) + ((3*b^2 - 2*a*c)*log(x))/a^4 - ((3*b^2 - 2*a*c)*log(a + b*x^2 + c*x^4))/(4*a^4), x, 9),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# x^m (a x+b x^3+c x^5)^(p/2)
+
+
+(x/sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5), (2*x^2*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, 1//2, 1//2, 7//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# x^(m/2) (a x+b x^3+c x^5)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^(3//2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5), -((2*(b^2 - 3*a*c)*x^(3//2)*(a + b*x^2 + c*x^4))/(15*c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5))) + (sqrt(x)*(b + 3*c*x^2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5))/(15*c) + (2*a^(1//4)*(b^2 - 3*a*c)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(15*c^(7//4)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)) - (a^(1//4)*(2*b^2 + sqrt(a)*b*sqrt(c) - 6*a*c)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(30*c^(7//4)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)), x, 5),
+(sqrt(x)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5), ((b + 2*c*x^2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5))/(8*c*sqrt(x)) - ((b^2 - 4*a*c)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(16*c^(3//2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)), x, 5),
+(sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)/sqrt(x), (b*x^(3//2)*(a + b*x^2 + c*x^4))/(3*sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)) + (1//3)*sqrt(x)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5) - (a^(1//4)*b*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(3*c^(3//4)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)) + (a^(1//4)*(b + 2*sqrt(a)*sqrt(c))*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(6*c^(3//4)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)), x, 5),
+(sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)/x^(3//2), sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)/(2*sqrt(x)) - (sqrt(a)*sqrt(x)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)) + (b*sqrt(x)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(4*sqrt(c)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)), x, 8),
+
+
+(x^(3//2)*(a*x + b*x^3 + c*x^5)^(3//2), ((15*b^4 - 100*a*b^2*c + 128*a^2*c^2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5))/(1280*c^3*sqrt(x)) - (x^(3//2)*(b*(5*b^2 - 4*a*c) + 4*c*(5*b^2 - 16*a*c)*x^2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5))/(640*c^2) + (sqrt(x)*(3*b + 8*c*x^2)*(a*x + b*x^3 + c*x^5)^(3//2))/(80*c) - (3*b*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(x)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(512*c^(7//2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)), x, 8),
+(sqrt(x)*(a*x + b*x^3 + c*x^5)^(3//2), ((8*b^4 - 57*a*b^2*c + 84*a^2*c^2)*x^(3//2)*(a + b*x^2 + c*x^4))/(315*c^(5//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)) - (sqrt(x)*(b*(4*b^2 - 9*a*c) + 6*c*(2*b^2 - 7*a*c)*x^2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5))/(315*c^2) + ((3*b + 7*c*x^2)*(a*x + b*x^3 + c*x^5)^(3//2))/(63*c*sqrt(x)) - (a^(1//4)*(8*b^4 - 57*a*b^2*c + 84*a^2*c^2)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(315*c^(11//4)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)) + (a^(1//4)*(8*b^4 - 57*a*b^2*c + 84*a^2*c^2 + 4*sqrt(a)*b*sqrt(c)*(b^2 - 6*a*c))*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(630*c^(11//4)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)), x, 6),
+((a*x + b*x^3 + c*x^5)^(3//2)/sqrt(x), -((3*(b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*x^2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5))/(128*c^2*sqrt(x))) + ((b + 2*c*x^2)*(a*x + b*x^3 + c*x^5)^(3//2))/(16*c*x^(3//2)) + (3*(b^2 - 4*a*c)^2*sqrt(x)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(256*c^(5//2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)), x, 6),
+((a*x + b*x^3 + c*x^5)^(3//2)/x^(3//2), -((2*b*(b^2 - 8*a*c)*x^(3//2)*(a + b*x^2 + c*x^4))/(35*c^(3//2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5))) + (sqrt(x)*(b^2 + 10*a*c + 3*b*c*x^2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5))/(35*c) + (a*x + b*x^3 + c*x^5)^(3//2)/(7*sqrt(x)) + (2*a^(1//4)*b*(b^2 - 8*a*c)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(35*c^(7//4)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)) - (a^(1//4)*(sqrt(a)*sqrt(c)*(b^2 - 20*a*c) + 2*b*(b^2 - 8*a*c))*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(70*c^(7//4)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^(3//2)/sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5), (sqrt(x)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*atanh((b + 2*c*x^2)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4))))/(2*sqrt(c)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)), x, 4),
+(sqrt(x)/sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5), (sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)), x, 2),
+(1/(sqrt(x)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)), -(atanh((sqrt(x)*(2*a + b*x^2))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)))/(2*sqrt(a))), x, 2),
+(1/(x^(3//2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)), (sqrt(c)*x^(3//2)*(a + b*x^2 + c*x^4))/(a*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)) - sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)/(a*x^(3//2)) - (c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(a^(3//4)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)) + (c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(3//4)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)), x, 6),
+
+
+(x^(3//2)/(a*x + b*x^3 + c*x^5)^(3//2), (x^(3//2)*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2))/(a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)) - (b*sqrt(c)*x^(3//2)*(a + b*x^2 + c*x^4))/(a*(b^2 - 4*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)) + (b*c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(a^(3//4)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)) - (c^(1//4)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(3//4)*(b - 2*sqrt(a)*sqrt(c))*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)), x, 5),
+(sqrt(x)/(a*x + b*x^3 + c*x^5)^(3//2), (sqrt(x)*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2))/(a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)) - atanh((sqrt(x)*(2*a + b*x^2))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)))/(2*a^(3//2)), x, 3),
+(1/(sqrt(x)*(a*x + b*x^3 + c*x^5)^(3//2)), (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(a*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(x)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)) + (2*sqrt(c)*(b^2 - 3*a*c)*x^(3//2)*(a + b*x^2 + c*x^4))/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)) - (2*(b^2 - 3*a*c)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5))/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^(3//2)) - (2*c^(1//4)*(b^2 - 3*a*c)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(a^(7//4)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)) + (c^(1//4)*(2*b^2 + sqrt(a)*b*sqrt(c) - 6*a*c)*sqrt(x)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + b*x^2 + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), (1//4)*(2 - b/(sqrt(a)*sqrt(c)))))/(2*a^(7//4)*(b^2 - 4*a*c)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)), x, 6),
+(1/(x^(3//2)*(a*x + b*x^3 + c*x^5)^(3//2)), (b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)/(a*(b^2 - 4*a*c)*x^(3//2)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)) - ((3*b^2 - 8*a*c)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5))/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*x^(5//2)) + (3*b*atanh((sqrt(x)*(2*a + b*x^2))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5))))/(4*a^(5//2)), x, 5),
+
+
+(x^((3*(n - 1))/2)/(a*x^(n - 1) + b*x^n + c*x^(n + 1))^(3//2), -((2*x^((1//2)*(-1 + n))*(b + 2*c*x))/((b^2 - 4*a*c)*sqrt(a*x^(-1 + n) + b*x^n + c*x^(1 + n)))), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m (d+e x^2)^n (a x+b x^3+c x^5)^p
+
+
+# ::Subsection::
+# x^m (d+e x^2)^n (a x+b x^3+c x^5)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# x^m (d+e x^2)^n (a x+b x^3+c x^5)^(p/2)
+
+
+(x*(d + e*x^2)/sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5), (2*d*x^2*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(3//4, 1//2, 1//2, 7//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(3*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)) + (2*e*x^4*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c)))*sqrt(1 + (2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))*SymbolicIntegration.appell_f1(7//4, 1//2, 1//2, 11//4, -((2*c*x^2)/(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))), -((2*c*x^2)/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c)))))/(7*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::
+# x^(m/2) (d+e x^2)^n (a x+b x^3+c x^5)^(p/2)
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a x^q+b x^n+c x^(2 n-q))^p when m=q/2-1
+
+
+(1/sqrt(3*x^2 - 3*x^4 + x^6), -(atanh((x*(6 - 3*x^2))/(2*sqrt(3)*sqrt(3*x^2 - 3*x^4 + x^6)))/(2*sqrt(3))), x, 2),
+(1/sqrt(x^2*(3 - 3*x^2 + x^4)), -(atanh((x*(6 - 3*x^2))/(2*sqrt(3)*sqrt(3*x^2 - 3*x^4 + x^6)))/(2*sqrt(3))), x, 3),
+(1/sqrt(1 - (1 - x^2)^3), -(atanh((x*(6 - 3*x^2))/(2*sqrt(3)*sqrt(3*x^2 - 3*x^4 + x^6)))/(2*sqrt(3))), x, 3),
+
+
+(sqrt(3*x^2 - 3*x^4 + x^6), -(((3 - 2*x^2)*sqrt(3*x^2 - 3*x^4 + x^6))/(8*x)) - (3*sqrt(3*x^2 - 3*x^4 + x^6)*asinh((3 - 2*x^2)/sqrt(3)))/(16*x*sqrt(3 - 3*x^2 + x^4)), x, 5),
+(sqrt(x^2*(3 - 3*x^2 + x^4)), -(((3 - 2*x^2)*sqrt(3*x^2 - 3*x^4 + x^6))/(8*x)) - (3*sqrt(3*x^2 - 3*x^4 + x^6)*asinh((3 - 2*x^2)/sqrt(3)))/(16*x*sqrt(3 - 3*x^2 + x^4)), x, 6),
+(sqrt(1 - (1 - x^2)^3), -(((3 - 2*x^2)*sqrt(3*x^2 - 3*x^4 + x^6))/(8*x)) - (3*sqrt(3*x^2 - 3*x^4 + x^6)*asinh((3 - 2*x^2)/sqrt(3)))/(16*x*sqrt(3 - 3*x^2 + x^4)), x, 6),
+
+
+(1/(x*sqrt(a + b*x + c*x^2)), -(atanh((2*a + b*x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x + c*x^2)))/sqrt(a)), x, 2),
+(1/sqrt(x^2*(a + b*x + c*x^2)), -(atanh((x*(2*a + b*x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^2 + b*x^3 + c*x^4)))/sqrt(a)), x, 3),
+(1/(sqrt(x)*sqrt(x*(a + b*x + c*x^2))), -(atanh((sqrt(x)*(2*a + b*x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x + b*x^2 + c*x^3)))/sqrt(a)), x, 3),
+(sqrt(x)/sqrt(x^3*(a + b*x + c*x^2)), -(atanh((x^(3//2)*(2*a + b*x))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^3 + b*x^4 + c*x^5)))/sqrt(a)), x, 3),
+
+
+(1/(x*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), -(atanh((2*a + b*x^2)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)))/(2*sqrt(a))), x, 3),
+(1/sqrt(x^2*(a + b*x^2 + c*x^4)), -(atanh((x*(2*a + b*x^2))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^2 + b*x^4 + c*x^6)))/(2*sqrt(a))), x, 3),
+(1/(sqrt(x)*sqrt(x*(a + b*x^2 + c*x^4))), -(atanh((sqrt(x)*(2*a + b*x^2))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x + b*x^3 + c*x^5)))/(2*sqrt(a))), x, 3),
+(sqrt(x)/(sqrt(x^3*(a + b*x^2 + c*x^4))), -(atanh((x^(3//2)*(2*a + b*x^2))/(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^3 + b*x^5 + c*x^7)))/(2*sqrt(a))), x, 3),
+
+
+(1/(x*sqrt(3 - 3*x^2 + x^4)), -(atanh((sqrt(3)*(2 - x^2))/(2*sqrt(3 - 3*x^2 + x^4)))/(2*sqrt(3))), x, 3),
+(1/sqrt(x^2*(3 - 3*x^2 + x^4)), -(atanh((x*(6 - 3*x^2))/(2*sqrt(3)*sqrt(3*x^2 - 3*x^4 + x^6)))/(2*sqrt(3))), x, 3),
+(1/(sqrt(x)*sqrt(x*(3 - 3*x + x^2))), -(atanh((sqrt(3)*(2 - x)*sqrt(x))/(2*sqrt(3*x - 3*x^2 + x^3)))/sqrt(3)), x, 3),
+
+
+(x^(q/2 - 1)/sqrt(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q)), -(atanh((x^(q/2)*(2*a + b*x^(n - q)))/(2*sqrt(a)*sqrt(b*x^n + c*x^(2*n - q) + a*x^q)))/(sqrt(a)*(n - q))), x, 2),
+]
+# Total integrals translated: 140
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.3 Miscellaneous/1.3.1 Rational functions.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.3 Miscellaneous/1.3.1 Rational functions.jl
new file mode 100644
index 00000000..dcd2554d
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.3 Miscellaneous/1.3.1 Rational functions.jl	
@@ -0,0 +1,986 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form P[x]^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P3[x]^p
+
+
+(1/(2*sqrt(3)*b^(3//2) - 9*b*x + 9*x^3), 1/(3*sqrt(3)*sqrt(b)*(sqrt(3)*sqrt(b) - 3*x)) - log(sqrt(b) - sqrt(3)*x)/(27*b) + log(2*sqrt(b) + sqrt(3)*x)/(27*b), x, 3),
+
+
+((a^3 + 3*a^2*b*x + 3*a*b^2*x^2 + b^3*x^3)^p, ((a/b + x)*(b^3*(a/b + x)^3)^p)/(1 + 3*p), x, 3),
+
+((a^3 + 3*a^2*b*x + 3*a*b^2*x^2 + b^3*x^3)^3, (a + b*x)^10/(10*b), x, 2),
+((a^3 + 3*a^2*b*x + 3*a*b^2*x^2 + b^3*x^3)^2, (a + b*x)^7/(7*b), x, 2),
+((a^3 + 3*a^2*b*x + 3*a*b^2*x^2 + b^3*x^3)^1, a^3*x + (3//2)*a^2*b*x^2 + a*b^2*x^3 + (b^3*x^4)/4, x, 1),
+(1/(a^3 + 3*a^2*b*x + 3*a*b^2*x^2 + b^3*x^3)^1, -(1/(2*b*(a + b*x)^2)), x, 2),
+(1/(a^3 + 3*a^2*b*x + 3*a*b^2*x^2 + b^3*x^3)^2, -(1/(5*b*(a + b*x)^5)), x, 2),
+(1/(a^3 + 3*a^2*b*x + 3*a*b^2*x^2 + b^3*x^3)^3, -(1/(8*b*(a + b*x)^8)), x, 2),
+
+
+((3*a*b + 3*b^2*x + 3*b*c*x^2 + c^2*x^3)^3, -((b^3*(b^2 - 3*a*c)^3*x)/c^3) + (3*b^2*(b^2 - 3*a*c)^2*(b + c*x)^4)/(4*c^4) - (3*b*(b^2 - 3*a*c)*(b + c*x)^7)/(7*c^4) + (b + c*x)^10/(10*c^4), x, 3),
+((3*a*b + 3*b^2*x + 3*b*c*x^2 + c^2*x^3)^2, (b^2*(b^2 - 3*a*c)^2*x)/c^2 - (b*(b^2 - 3*a*c)*(b + c*x)^4)/(2*c^3) + (b + c*x)^7/(7*c^3), x, 3),
+((3*a*b + 3*b^2*x + 3*b*c*x^2 + c^2*x^3)^1, 3*a*b*x + (3*b^2*x^2)/2 + b*c*x^3 + (c^2*x^4)/4, x, 1),
+(1/(3*a*b + 3*b^2*x + 3*b*c*x^2 + c^2*x^3)^1, -(atan((b^(1//3) + (2*(b + c*x))/(b^2 - 3*a*c)^(1//3))/(sqrt(3)*b^(1//3)))/(sqrt(3)*b^(2//3)*(b^2 - 3*a*c)^(2//3))) + log(b - b^(1//3)*(b^2 - 3*a*c)^(1//3) + c*x)/(3*b^(2//3)*(b^2 - 3*a*c)^(2//3)) - log(b^(2//3)*(b^2 - 3*a*c)^(2//3) + b^(1//3)*c*(b^2 - 3*a*c)^(1//3)*(b/c + x) + c^2*(b/c + x)^2)/(6*b^(2//3)*(b^2 - 3*a*c)^(2//3)), x, 7),
+(1/(3*a*b + 3*b^2*x + 3*b*c*x^2 + c^2*x^3)^2, -((c*(b/c + x))/(3*b*(b^2 - 3*a*c)*(3*a*b + 3*b^2*x + 3*b*c*x^2 + c^2*x^3))) + (2*c*atan((b^(1//3) + (2*(b + c*x))/(b^2 - 3*a*c)^(1//3))/(sqrt(3)*b^(1//3))))/(3*sqrt(3)*b^(5//3)*(b^2 - 3*a*c)^(5//3)) - (2*c*log(b - b^(1//3)*(b^2 - 3*a*c)^(1//3) + c*x))/(9*b^(5//3)*(b^2 - 3*a*c)^(5//3)) + (c*log(b^(2//3)*(b^2 - 3*a*c)^(2//3) + b^(1//3)*c*(b^2 - 3*a*c)^(1//3)*(b/c + x) + c^2*(b/c + x)^2))/(9*b^(5//3)*(b^2 - 3*a*c)^(5//3)), x, 8),
+(1/(3*a*b + 3*b^2*x + 3*b*c*x^2 + c^2*x^3)^3, -((c*(b/c + x))/(6*b*(b^2 - 3*a*c)*(3*a*b + 3*b^2*x + 3*b*c*x^2 + c^2*x^3)^2)) + (5*c^2*(b/c + x))/(18*b^2*(b^2 - 3*a*c)^2*(3*a*b + 3*b^2*x + 3*b*c*x^2 + c^2*x^3)) - (5*c^2*atan((b^(1//3) + (2*(b + c*x))/(b^2 - 3*a*c)^(1//3))/(sqrt(3)*b^(1//3))))/(9*sqrt(3)*b^(8//3)*(b^2 - 3*a*c)^(8//3)) + (5*c^2*log(b - b^(1//3)*(b^2 - 3*a*c)^(1//3) + c*x))/(27*b^(8//3)*(b^2 - 3*a*c)^(8//3)) - (5*c^2*log(b^(2//3)*(b^2 - 3*a*c)^(2//3) + b^(1//3)*c*(b^2 - 3*a*c)^(1//3)*(b/c + x) + c^2*(b/c + x)^2))/(54*b^(8//3)*(b^2 - 3*a*c)^(8//3)), x, 9),
+
+
+(1/(1 + x + x^2 + x^3), atan(x)/2 + (1//2)*log(1 + x) - (1//4)*log(1 + x^2), x, 5),
+(1/(-1 + 4*x - 4*x^2 + 16*x^3), (-(1//10))*atan(2*x) + (1//5)*log(1 - 4*x) - (1//10)*log(1 + 4*x^2), x, 5),
+
+
+(1/(0 + 0*x + 0*x^2 + d*x^3), -(1/(2*d*x^2)), x, 2),
+(1/(0 + 0*x + c*x^2 + d*x^3), -(1/(c*x)) - (d*log(x))/c^2 + (d*log(c + d*x))/c^2, x, 3),
+(1/(0 + b*x + 0*x^2 + d*x^3), log(x)/b - log(b + d*x^2)/(2*b), x, 5),
+(1/(0 + b*x + c*x^2 + d*x^3), (c*atanh((c + 2*d*x)/sqrt(c^2 - 4*b*d)))/(b*sqrt(c^2 - 4*b*d)) + log(x)/b - log(b + c*x + d*x^2)/(2*b), x, 7),
+
+(1/(a + 0*x + 0*x^2 + d*x^3), -(atan((a^(1//3) - 2*d^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(2//3)*d^(1//3))) + log(a^(1//3) + d^(1//3)*x)/(3*a^(2//3)*d^(1//3)) - log(a^(2//3) - a^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/(6*a^(2//3)*d^(1//3)), x, 6),
+# {1/(a + 0*x + c*x^2 + d*x^3), x, 3, -((72*2^(1/3)*d*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(2/3)*Log[2^(2/3)*c^2 - c*(-4*c^3 - 6*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(1/3) + (-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(2/3) - 3*2^(1/3)*d*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(1/3)*x])/((2*(3*I + Sqrt[3])*c^2 + 2^(1/3)*(3*I - Sqrt[3])*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(2/3))*(2*(3*I - Sqrt[3])*c^2 + 2^(1/3)*(3*I + Sqrt[3])*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(2/3)))) - (12*2^(1/3)*Sqrt[3]*d*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(2/3)*Log[(2^(1/3)*c + (-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(1/3))*(2^(1/3)*(I + Sqrt[3])*c + (I - Sqrt[3])*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(1/3)) + 6*I*2^(1/3)*d*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(1/3)*x])/((2*c^2 - 2^(1/3)*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(2/3))*(2*(3*I + Sqrt[3])*c^2 + 2^(1/3)*(3*I - Sqrt[3])*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(2/3))) + (12*2^(1/3)*Sqrt[3]*d*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(2/3)*Log[(2^(1/3)*c + (-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(1/3))*(2^(1/3)*(I - Sqrt[3])*c + (I + Sqrt[3])*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(1/3)) + 6*I*2^(1/3)*d*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(1/3)*x])/((2*c^2 - 2^(1/3)*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(2/3))*(2*(3*I - Sqrt[3])*c^2 + 2^(1/3)*(3*I + Sqrt[3])*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(2/3)))}
+# {1/(a + b*x + 0*x^2 + d*x^3), x, 3, -((6*3^(1/6)*d^(1/3)*(3*Sqrt[3]*a*d - Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])*Log[2^(2/3)*3^(1/3)*b*d^(1/3) - (9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3) - 2^(1/3)*3^(2/3)*d^(2/3)*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(1/3)*x])/(18*3^(2/3)*a*b*d^(4/3) - 6*3^(1/6)*b*d^(1/3)*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)] - 6*2^(2/3)*b^2*d^(2/3)*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(1/3) - 9*6^(1/3)*a*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3) + 2^(1/3)*3^(5/6)*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)]*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3))) - (12*2^(1/3)*3^(1/6)*d^(1/3)*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3)*Log[2^(2/3)*3^(1/3)*(1 - I*Sqrt[3])*b*d^(1/3) - (1 + I*Sqrt[3])*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3) + 2*2^(1/3)*3^(2/3)*d^(2/3)*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(1/3)*x])/((6*b*d^(1/3) + 2^(1/3)*(27*a*d - 3*Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3))*(2*(3*I + Sqrt[3])*b*d^(1/3) + 2^(1/3)*3^(1/6)*(1 - I*Sqrt[3])*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3))) + (12*2^(1/3)*3^(2/3)*d^(1/3)*(3*Sqrt[3]*a*d - Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])*Log[2^(2/3)*3^(1/3)*(1 + I*Sqrt[3])*b*d^(1/3) + I*(I + Sqrt[3])*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3) + 2*2^(1/3)*3^(2/3)*d^(2/3)*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(1/3)*x])/((9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(1/3)*(6*b*d^(1/3) + 2^(1/3)*(27*a*d - 3*Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3))*(2*(3*I - Sqrt[3])*b*d^(1/3) + I*2^(1/3)*3^(1/6)*(I - Sqrt[3])*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3)))}
+# {1/(a + b*x + c*x^2 + d*x^3), x, 0, 0}
+
+
+((0 + 0*x + 0*x^2 + d*x^3)^n, (x*(d*x^3)^n)/(1 + 3*n), x, 2),
+((0 + 0*x + c*x^2 + d*x^3)^n, (x*(c*x^2 + d*x^3)^n*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-n, 1 + 2*n, 2*(1 + n), -((d*x)/c)))/((1 + (d*x)/c)^n*(1 + 2*n)), x, 3),
+# {(0 + b*x + 0*x^2 + d*x^3)^n, x, 3, (x*(b + d*x^2)*(b*x + d*x^3)^n*Hypergeometric2F1[1, (3*(1 + n))/2, (3 + n)/2, -((d*x^2)/b)])/(b*(1 + n)), (x*(b*x + d*x^3)^n*Hypergeometric2F1[-n, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -((d*x^2)/b)])/((1 + d*x^2/b)^n*(1 + n))}
+((0 + b*x + c*x^2 + d*x^3)^n, (x*(b*x + c*x^2 + d*x^3)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + n, -n, -n, 2 + n, -((2*d*x)/(c - sqrt(c^2 - 4*b*d))), -((2*d*x)/(c + sqrt(c^2 - 4*b*d)))))/((1 + (2*d*x)/(c - sqrt(c^2 - 4*b*d)))^n*(1 + (2*d*x)/(c + sqrt(c^2 - 4*b*d)))^n*(1 + n)), x, 3),
+
+# {(a + 0*x + 0*x^2 + d*x^3)^n, x, 2, (x*(a + d*x^3)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 4/3 + n, 4/3, -((d*x^3)/a)])/a, (x*(a + d*x^3)^n*Hypergeometric2F1[1/3, -n, 4/3, -((d*x^3)/a)])/(1 + d*x^3/a)^n}
+# {(a + 0*x + c*x^2 + d*x^3)^n, x, 2, (1/(3*d*(1 + n)))*((2^(-1 + (2*n)/3)*(2*c - (2*2^(1/3)*c^2)/(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(1/3) - 2^(2/3)*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(1/3) + 6*d*x)*(a + c*x^2 + d*x^3)^n*AppellF1[1 + n, -n, -n, 2 + n, -((3*d*(c - (2*c^2 + 2^(1/3)*(-2*c^3 - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)])^(2/3))/(2^(2/3)*(-2*c^3 - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)])^(1/3)) + 3*d*x))/(-3*d*(c - (2*c^2 + 2^(1/3)*(-2*c^3 - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)])^(2/3))/(2^(2/3)*(-2*c^3 - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)])^(1/3))) + 3*d*(c + (2*(1 + I*Sqrt[3])*c^2 + 2^(1/3)*(1 - I*Sqrt[3])*(-2*c^3 - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)])^(2/3))/(2*2^(2/3)*(-2*c^3 - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)])^(1/3))))), -((3*d*(c - (2*c^2 + 2^(1/3)*(-2*c^3 - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)])^(2/3))/(2^(2/3)*(-2*c^3 - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)])^(1/3)) + 3*d*x))/(-3*d*(c - (2*c^2 + 2^(1/3)*(-2*c^3 - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)])^(2/3))/(2^(2/3)*(-2*c^3 - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)])^(1/3))) + 3*d*(c + (2*(1 - I*Sqrt[3])*c^2 + 2^(1/3)*(1 + I*Sqrt[3])*(-2*c^3 - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)])^(2/3))/(2*2^(2/3)*(-2*c^3 - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)])^(1/3)))))])/(((I*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(1/3)*(4*c + (2^(1/3)*((2 + 2*I*Sqrt[3])*c^2 + 2^(1/3)*(1 - I*Sqrt[3])*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(2/3)))/(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(1/3) + 12*d*x))/(2*(3*I - Sqrt[3])*c^2 + 2^(1/3)*(3*I + Sqrt[3])*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(2/3)))^n*((I*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(1/3)*(4*c + (2^(1/3)*((2 - 2*I*Sqrt[3])*c^2 + 2^(1/3)*(1 + I*Sqrt[3])*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(2/3)))/(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(1/3) + 12*d*x))/(2*(3*I + Sqrt[3])*c^2 + 2^(1/3)*(3*I - Sqrt[3])*(-2*c^3 - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[a*(4*c^3 + 27*a*d^2)]))^(2/3)))^n))}
+# {(a + b*x + 0*x^2 + d*x^3)^n, x, 2, -((1/(d^(2/3)*(1 + n)))*((2^(-2 + (2*n)/3)*3^(-2 + (17*n)/6)*((2^(1/3)*3^(2/3)*(6*I*(I - Sqrt[3])*b*d^(1/3) - 2^(1/3)*3^(1/6)*(3*I - Sqrt[3])*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3)))/(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(1/3) - 36*d^(2/3)*x)*(a + b*x + d*x^3)^n*AppellF1[1 + n, -n, -n, 2 + n, (3*d*(-((6*(1 + I*Sqrt[3])*b*d - 2^(1/3)*3^(2/3)*(1 - I*Sqrt[3])*d^(2/3)*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3))/(2*2^(2/3)*3^(1/3)*d^(1/3)*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(1/3))) - 3*d*x))/(-(((3/2)^(2/3)*d^(2/3)*(6*(1 + I*Sqrt[3])*b*d - 2^(1/3)*3^(2/3)*(1 - I*Sqrt[3])*d^(2/3)*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3)))/(2*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(1/3))) + ((3/2)^(2/3)*d^(2/3)*(6*(1 - I*Sqrt[3])*b*d - 2^(1/3)*3^(2/3)*(1 + I*Sqrt[3])*d^(2/3)*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3)))/(2*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(1/3))), -((3*d*(-((6*(1 + I*Sqrt[3])*b*d - 2^(1/3)*3^(2/3)*(1 - I*Sqrt[3])*d^(2/3)*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3))/(2*2^(2/3)*3^(1/3)*d^(1/3)*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(1/3))) - 3*d*x))/(((3/2)^(2/3)*d^(2/3)*(6*b*d - 2^(1/3)*3^(2/3)*d^(2/3)*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3)))/(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(1/3) + ((3/2)^(2/3)*d^(2/3)*(6*(1 + I*Sqrt[3])*b*d - 2^(1/3)*3^(2/3)*(1 - I*Sqrt[3])*d^(2/3)*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3)))/(2*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(1/3))))])/((-((I*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(1/3)*((2^(1/3)*3^(2/3)*(6*I*(I + Sqrt[3])*b*d^(1/3) + 2^(1/3)*3^(1/6)*(3*I + Sqrt[3])*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3)))/(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(1/3) - 36*d^(2/3)*x))/(6*b*d^(1/3) + 2^(1/3)*(27*a*d - 3*Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3))))^n*(-(((9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(1/3)*((2^(1/3)*3^(2/3)*(6*b*d^(1/3) - 2^(1/3)*(27*a*d - 3*Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3)))/(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(1/3) - 18*d^(2/3)*x))/(2*I*(3*I - Sqrt[3])*b*d^(1/3) - 2^(1/3)*3^(1/6)*(I - Sqrt[3])*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[d*(4*b^3 + 27*a^2*d)])^(2/3))))^n)))}
+# {(a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^n, x, 2, (1/(3*d*(1 + n)))*((2^(-1 + (2*n)/3)*(2*c - (2^(1/3)*(2*c^2 - 6*b*d + 2^(1/3)*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2]))^(2/3)))/(-2*c^3 + 9*b*c*d - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2]))^(1/3) + 6*d*x)*(a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^n*AppellF1[1 + n, -n, -n, 2 + n, -((3*d*(c - (2*c^2 - 6*b*d + 2^(1/3)*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2])^(2/3))/(2^(2/3)*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2])^(1/3)) + 3*d*x))/(-3*d*(c - (2*c^2 - 6*b*d + 2^(1/3)*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2])^(2/3))/(2^(2/3)*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2])^(1/3))) + 3*d*(c + (2*(1 - I*Sqrt[3])*c^2 - 6*(1 - I*Sqrt[3])*b*d + I*2^(1/3)*(-I + Sqrt[3])*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2])^(2/3))/(2*2^(2/3)*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2])^(1/3))))), -((3*d*(c - (2*c^2 - 6*b*d + 2^(1/3)*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2])^(2/3))/(2^(2/3)*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2])^(1/3)) + 3*d*x))/(-3*d*(c - (2*c^2 - 6*b*d + 2^(1/3)*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2])^(2/3))/(2^(2/3)*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2])^(1/3))) + 3*d*(c + (2*(1 + I*Sqrt[3])*c^2 - 6*(1 + I*Sqrt[3])*b*d - I*2^(1/3)*(I + Sqrt[3])*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2])^(2/3))/(2*2^(2/3)*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 27*a*d^2 + 3*Sqrt[3]*d*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2])^(1/3)))))])/(((I*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2]))^(1/3)*(4*c + (2^(1/3)*((2 + 2*I*Sqrt[3])*c^2 + 6*I*(I - Sqrt[3])*b*d + 2^(1/3)*(1 - I*Sqrt[3])*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2]))^(2/3)))/(-2*c^3 + 9*b*c*d - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2]))^(1/3) + 12*d*x))/(2*(3*I - Sqrt[3])*c^2 - 6*(3*I - Sqrt[3])*b*d + 2^(1/3)*(3*I + Sqrt[3])*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2]))^(2/3)))^n*((I*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2]))^(1/3)*(4*c + (2^(1/3)*((2 - 2*I*Sqrt[3])*c^2 + 6*I*(I + Sqrt[3])*b*d + 2^(1/3)*(1 + I*Sqrt[3])*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2]))^(2/3)))/(-2*c^3 + 9*b*c*d - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2]))^(1/3) + 12*d*x))/(2*(3*I + Sqrt[3])*c^2 - 6*(3*I + Sqrt[3])*b*d + 2^(1/3)*(3*I - Sqrt[3])*(-2*c^3 + 9*b*c*d - 3*d*(9*a*d - Sqrt[3]*Sqrt[(-b^2)*c^2 + 4*a*c^3 + 4*b^3*d - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2]))^(2/3)))^n))}
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P4[x]^p
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a + 0 x + c x^2 + d x^3 + e x^4)^p when d^3 - 4 c d e=0
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+((4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)^4, (c^4*(c^3 + 4*a*d^2)^4*x)/d^8 - (8*c^5*(c^3 + 4*a*d^2)^3*(c/d + x)^3)/(3*d^6) + (4*c^3*(c^3 + 4*a*d^2)^2*(7*c^3 + 4*a*d^2)*(c/d + x)^5)/(5*d^4) - (8*c^4*(c^3 + 4*a*d^2)*(7*c^3 + 12*a*d^2)*(c/d + x)^7)/(7*d^2) + (2//9)*c^2*(35*c^6 + 120*a*c^3*d^2 + 48*a^2*d^4)*(c/d + x)^9 - (8//11)*c^3*d^2*(7*c^3 + 12*a*d^2)*(c/d + x)^11 + (4//13)*c*d^4*(7*c^3 + 4*a*d^2)*(c/d + x)^13 - (8//15)*c^2*d^6*(c/d + x)^15 + (1//17)*d^8*(c/d + x)^17, x, 3),
+((4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)^3, 64*a^3*c^3*x + 64*a^2*c^4*x^3 + 48*a^2*c^3*d*x^4 + (48//5)*a*c^2*(4*c^3 + a*d^2)*x^5 + 64*a*c^4*d*x^6 + (32//7)*c^3*(2*c^3 + 9*a*d^2)*x^7 + 12*c^2*d*(2*c^3 + a*d^2)*x^8 + (4//3)*c*d^2*(20*c^3 + a*d^2)*x^9 + 16*c^3*d^3*x^10 + (60//11)*c^2*d^4*x^11 + c*d^5*x^12 + (d^6*x^13)/13, x, 2),
+((4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)^2, 16*a^2*c^2*x + (32//3)*a*c^3*x^3 + 8*a*c^2*d*x^4 + (8//5)*c*(2*c^3 + a*d^2)*x^5 + (16//3)*c^3*d*x^6 + (24//7)*c^2*d^2*x^7 + c*d^3*x^8 + (d^4*x^9)/9, x, 2),
+((4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)^1, 4*a*c*x + (4*c^2*x^3)/3 + c*d*x^4 + (d^2*x^5)/5, x, 1),
+(1/(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)^1, -((d*atanh((sqrt(2)*c + c^(1//4)*sqrt(c^(3//2) + sqrt(c^3 + 4*a*d^2)) + sqrt(2)*d*x)/(c^(1//4)*sqrt(c^(3//2) - sqrt(c^3 + 4*a*d^2)))))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*sqrt(c^3 + 4*a*d^2)*sqrt(c^(3//2) - sqrt(c^3 + 4*a*d^2)))) + (d*atanh((c^(1//4)*sqrt(c^(3//2) + sqrt(c^3 + 4*a*d^2)) - sqrt(2)*(c + d*x))/(c^(1//4)*sqrt(c^(3//2) - sqrt(c^3 + 4*a*d^2)))))/(2*sqrt(2)*c^(3//4)*sqrt(c^3 + 4*a*d^2)*sqrt(c^(3//2) - sqrt(c^3 + 4*a*d^2))) - (d*log(sqrt(c)*sqrt(c^3 + 4*a*d^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*d*sqrt(c^(3//2) + sqrt(c^3 + 4*a*d^2))*(c/d + x) + d^2*(c/d + x)^2))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*sqrt(c^3 + 4*a*d^2)*sqrt(c^(3//2) + sqrt(c^3 + 4*a*d^2))) + (d*log(sqrt(c)*sqrt(c^3 + 4*a*d^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*d*sqrt(c^(3//2) + sqrt(c^3 + 4*a*d^2))*(c/d + x) + d^2*(c/d + x)^2))/(4*sqrt(2)*c^(3//4)*sqrt(c^3 + 4*a*d^2)*sqrt(c^(3//2) + sqrt(c^3 + 4*a*d^2))), x, 10),
+(1/(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)^2, -(((c/d + x)*(c^3 - 4*a*d^2 - c*d^2*(c/d + x)^2))/(16*a*c*(c^3 + 4*a*d^2)*(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4))) - (d*(c^3 + 12*a*d^2 + c^(3//2)*sqrt(c^3 + 4*a*d^2))*atanh((sqrt(2)*c + c^(1//4)*sqrt(c^(3//2) + sqrt(c^3 + 4*a*d^2)) + sqrt(2)*d*x)/(c^(1//4)*sqrt(c^(3//2) - sqrt(c^3 + 4*a*d^2)))))/(32*sqrt(2)*a*c^(7//4)*(c^3 + 4*a*d^2)^(3//2)*sqrt(c^(3//2) - sqrt(c^3 + 4*a*d^2))) + (d*(c^3 + 12*a*d^2 + c^(3//2)*sqrt(c^3 + 4*a*d^2))*atanh((c^(1//4)*sqrt(c^(3//2) + sqrt(c^3 + 4*a*d^2)) - sqrt(2)*(c + d*x))/(c^(1//4)*sqrt(c^(3//2) - sqrt(c^3 + 4*a*d^2)))))/(32*sqrt(2)*a*c^(7//4)*(c^3 + 4*a*d^2)^(3//2)*sqrt(c^(3//2) - sqrt(c^3 + 4*a*d^2))) - (d*(c^3 + 12*a*d^2 - c^(3//2)*sqrt(c^3 + 4*a*d^2))*log(sqrt(c)*sqrt(c^3 + 4*a*d^2) - sqrt(2)*c^(1//4)*d*sqrt(c^(3//2) + sqrt(c^3 + 4*a*d^2))*(c/d + x) + d^2*(c/d + x)^2))/(64*sqrt(2)*a*c^(7//4)*(c^3 + 4*a*d^2)^(3//2)*sqrt(c^(3//2) + sqrt(c^3 + 4*a*d^2))) + (d*(c^3 + 12*a*d^2 - c^(3//2)*sqrt(c^3 + 4*a*d^2))*log(sqrt(c)*sqrt(c^3 + 4*a*d^2) + sqrt(2)*c^(1//4)*d*sqrt(c^(3//2) + sqrt(c^3 + 4*a*d^2))*(c/d + x) + d^2*(c/d + x)^2))/(64*sqrt(2)*a*c^(7//4)*(c^3 + 4*a*d^2)^(3//2)*sqrt(c^(3//2) + sqrt(c^3 + 4*a*d^2))), x, 11),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a + b x + 0 x^2 + d x^3 + e x^4)^p when d^3 + 8 b e^2=0
+
+
+((8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4)^4, ((5*d^4 + 256*a*e^3)^4*x)/(1048576*e^4) - (d^2*(5*d^4 + 256*a*e^3)^3*(d/(4*e) + x)^3)/(8192*e^2) + ((5*d^4 + 256*a*e^3)^2*(59*d^4 + 256*a*e^3)*(d/(4*e) + x)^5)/5120 - (9//224)*d^2*e^2*(5*d^4 + 256*a*e^3)*(17*d^4 + 256*a*e^3)*(d/(4*e) + x)^7 + (1//24)*e^4*(601*d^8 + 20992*a*d^4*e^3 + 65536*a^2*e^6)*(d/(4*e) + x)^9 - (72//11)*d^2*e^6*(17*d^4 + 256*a*e^3)*(d/(4*e) + x)^11 + (64//13)*e^8*(59*d^4 + 256*a*e^3)*(d/(4*e) + x)^13 - (2048//5)*d^2*e^10*(d/(4*e) + x)^15 + (4096//17)*e^12*(d/(4*e) + x)^17, x, 3),
+((8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4)^3, 512*a^3*e^6*x - 96*a^2*d^3*e^4*x^2 + 8*a*d^6*e^2*x^3 - (1//4)*d*(d^8 - 1536*a^2*e^6)*x^4 - (384//5)*a*e^4*(d^4 - 4*a*e^3)*x^5 + 4*d^3*e^2*(d^4 - 16*a*e^3)*x^6 + (24//7)*d^2*e^3*(d^4 + 64*a*e^3)*x^7 - 24*d*e^4*(d^4 - 16*a*e^3)*x^8 - (128//3)*e^5*(d^4 - 4*a*e^3)*x^9 + 32*d^3*e^6*x^10 + (1536//11)*d^2*e^7*x^11 + 128*d*e^8*x^12 + (512*e^9*x^13)/13, x, 2),
+((8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4)^2, 64*a^2*e^4*x - 8*a*d^3*e^2*x^2 + (d^6*x^3)/3 + 32*a*d*e^4*x^4 - (16//5)*e^2*(d^4 - 8*a*e^3)*x^5 - (8//3)*d^3*e^3*x^6 + (64//7)*d^2*e^4*x^7 + 16*d*e^5*x^8 + (64*e^6*x^9)/9, x, 2),
+((8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4)^1, 8*a*e^2*x - (d^3*x^2)/2 + 2*d*e^2*x^4 + (8*e^3*x^5)/5, x, 1),
+(1/(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4)^1, (2*atanh((d + 4*e*x)/sqrt(3*d^2 - 2*sqrt(d^4 - 64*a*e^3))))/(sqrt(d^4 - 64*a*e^3)*sqrt(3*d^2 - 2*sqrt(d^4 - 64*a*e^3))) - (2*atanh((d + 4*e*x)/sqrt(3*d^2 + 2*sqrt(d^4 - 64*a*e^3))))/(sqrt(d^4 - 64*a*e^3)*sqrt(3*d^2 + 2*sqrt(d^4 - 64*a*e^3))), x, 4),
+(1/(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4)^2, (2*e*(d/(4*e) + x)*(13*d^4 - 256*a*e^3 - 48*d^2*e^2*(d/(4*e) + x)^2))/((5*d^8 - 64*a*d^4*e^3 - 16384*a^2*e^6)*(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4)) - (24*e*(d^4 + 128*a*e^3 - d^2*sqrt(d^4 - 64*a*e^3))*atanh((d + 4*e*x)/sqrt(3*d^2 - 2*sqrt(d^4 - 64*a*e^3))))/((d^4 - 64*a*e^3)^(3//2)*(5*d^4 + 256*a*e^3)*sqrt(3*d^2 - 2*sqrt(d^4 - 64*a*e^3))) + (24*e*(d^4 + 128*a*e^3 + d^2*sqrt(d^4 - 64*a*e^3))*atanh((d + 4*e*x)/sqrt(3*d^2 + 2*sqrt(d^4 - 64*a*e^3))))/((d^4 - 64*a*e^3)^(3//2)*(5*d^4 + 256*a*e^3)*sqrt(3*d^2 + 2*sqrt(d^4 - 64*a*e^3))), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a + b x + 0 x^2 + d x^3 + e x^4)^p when b^3 + 8 a^2 d=0
+
+
+((8 + 8*x - x^3 + 8*x^4)^4, 4096*x + 8192*x^2 + 8192*x^3 + 3584*x^4 + (14336*x^5)/5 + 7168*x^6 + 6784*x^7 + 1376*x^8 + 1408*x^9 + (21488*x^10)/5 + (25312*x^11)/11 - 448*x^12 + (10241*x^13)/13 + 1168*x^14 + (128*x^15)/5 - 128*x^16 + (4096*x^17)/17, x, 2),
+((8 + 8*x - x^3 + 8*x^4)^3, 512*x + 768*x^2 + 512*x^3 + 80*x^4 + (1152*x^5)/5 + 480*x^6 + (1560*x^7)/7 - 45*x^8 + 128*x^9 + (307*x^10)/2 + (24*x^11)/11 - 16*x^12 + (512*x^13)/13, x, 2),
+((8 + 8*x - x^3 + 8*x^4)^2, 64*x + 64*x^2 + (64*x^3)/3 - 4*x^4 + (112*x^5)/5 + (64*x^6)/3 + x^7//7 - 2*x^8 + (64*x^9)/9, x, 2),
+((8 + 8*x - x^3 + 8*x^4)^1, 8*x + 4*x^2 - x^4//4 + (8*x^5)/5, x, 1),
+(1/(8 + 8*x - x^3 + 8*x^4)^1, -(atan((3 - (1 + 4/x)^2)/(6*sqrt(7)))/(12*sqrt(7))) - (1//12)*sqrt((109 + 67*sqrt(29))/1218)*atan((2 - sqrt(6*(1 + sqrt(29))) + 8/x)/sqrt(6*(-1 + sqrt(29)))) - (1//12)*sqrt((109 + 67*sqrt(29))/1218)*atan((2 + sqrt(6*(1 + sqrt(29))) + 8/x)/sqrt(6*(-1 + sqrt(29)))) - (1//24)*sqrt((-109 + 67*sqrt(29))/1218)*log(3*sqrt(29) - sqrt(6*(1 + sqrt(29)))*(1 + 4/x) + (1 + 4/x)^2) + (1//24)*sqrt((-109 + 67*sqrt(29))/1218)*log(3*sqrt(29) + sqrt(6*(1 + sqrt(29)))*(1 + 4/x) + (1 + 4/x)^2), x, 16),
+(1/(8 + 8*x - x^3 + 8*x^4)^2, -((207 + 29*(1 + 4/x)^2)/(336*(261 - 6*(1 + 4/x)^2 + (1 + 4/x)^4))) + (5*(5157 + 199*(1 + 4/x)^2)*(1 + 4/x))/(87696*(261 - 6*(1 + 4/x)^2 + (1 + 4/x)^4)) - (17*atan((3 - (1 + 4/x)^2)/(6*sqrt(7))))/(1008*sqrt(7)) - (sqrt((180983329 + 45923327*sqrt(29))/1218)*atan((2 - sqrt(6*(1 + sqrt(29))) + 8/x)/sqrt(6*(-1 + sqrt(29)))))/87696 - (sqrt((180983329 + 45923327*sqrt(29))/1218)*atan((2 + sqrt(6*(1 + sqrt(29))) + 8/x)/sqrt(6*(-1 + sqrt(29)))))/87696 - (sqrt((-180983329 + 45923327*sqrt(29))/1218)*log(3*sqrt(29) - sqrt(6*(1 + sqrt(29)))*(1 + 4/x) + (1 + 4/x)^2))/175392 + (sqrt((-180983329 + 45923327*sqrt(29))/1218)*log(3*sqrt(29) + sqrt(6*(1 + sqrt(29)))*(1 + 4/x) + (1 + 4/x)^2))/175392, x, 18),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a + b x + c x^2 + 0 x^3 + e x^4)^p when b^2 - 4 a c=0
+
+
+((1 + 4*x + 4*x^2 + 4*x^4)^4, x + 8*x^2 + (112*x^3)/3 + 112*x^4 + (1136*x^5)/5 + (992*x^6)/3 + (2752*x^7)/7 + 448*x^8 + (4192*x^9)/9 + 384*x^10 + (3328*x^11)/11 + 256*x^12 + (1792*x^13)/13 + (512*x^14)/7 + (1024*x^15)/15 + (256*x^17)/17, x, 2),
+((1 + 4*x + 4*x^2 + 4*x^4)^3, x + 6*x^2 + 20*x^3 + 40*x^4 + (252*x^5)/5 + 48*x^6 + (352*x^7)/7 + 48*x^8 + (80*x^9)/3 + (96*x^10)/5 + (192*x^11)/11 + (64*x^13)/13, x, 2),
+((1 + 4*x + 4*x^2 + 4*x^4)^2, x + 4*x^2 + 8*x^3 + 8*x^4 + (24*x^5)/5 + (16*x^6)/3 + (32*x^7)/7 + (16*x^9)/9, x, 2),
+((1 + 4*x + 4*x^2 + 4*x^4)^1, x + 2*x^2 + (4*x^3)/3 + (4*x^5)/5, x, 1),
+(1/(1 + 4*x + 4*x^2 + 4*x^4)^1, (1//2)*atan((1//2)*(-1 + (1 + 1/x)^2)) - (1//2)*sqrt((1//5)*(2 + sqrt(5)))*atan((2 - sqrt(2*(1 + sqrt(5))) + 2/x)/sqrt(2*(-1 + sqrt(5)))) - (1//2)*sqrt((1//5)*(2 + sqrt(5)))*atan((2 + sqrt(2*(1 + sqrt(5))) + 2/x)/sqrt(2*(-1 + sqrt(5)))) - (1//4)*sqrt((1//5)*(-2 + sqrt(5)))*log(sqrt(5) - sqrt(2*(1 + sqrt(5)))*(1 + 1/x) + (1 + 1/x)^2) + (1//4)*sqrt((1//5)*(-2 + sqrt(5)))*log(sqrt(5) + sqrt(2*(1 + sqrt(5)))*(1 + 1/x) + (1 + 1/x)^2), x, 15),
+(1/(1 + 4*x + 4*x^2 + 4*x^4)^2, -((17 - (1 + 1/x)^2)/(2*(5 - 2*(1 + 1/x)^2 + (1 + 1/x)^4))) + ((59 - 17*(1 + 1/x)^2)*(1 + 1/x))/(10*(5 - 2*(1 + 1/x)^2 + (1 + 1/x)^4)) + (7//4)*atan((1//2)*(-1 + (1 + 1/x)^2)) - (1//20)*sqrt((1//10)*(5959 + 2665*sqrt(5)))*atan((2 - sqrt(2*(1 + sqrt(5))) + 2/x)/sqrt(2*(-1 + sqrt(5)))) - (1//20)*sqrt((1//10)*(5959 + 2665*sqrt(5)))*atan((2 + sqrt(2*(1 + sqrt(5))) + 2/x)/sqrt(2*(-1 + sqrt(5)))) + (1//40)*sqrt((1//10)*(-5959 + 2665*sqrt(5)))*log(sqrt(5) - sqrt(2*(1 + sqrt(5)))*(1 + 1/x) + (1 + 1/x)^2) - (1//40)*sqrt((1//10)*(-5959 + 2665*sqrt(5)))*log(sqrt(5) + sqrt(2*(1 + sqrt(5)))*(1 + 1/x) + (1 + 1/x)^2), x, 17),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a + b x + c x^2 + d x^3 + e x^4)^p when b^3 - 4 a b c + 8 a^2 d=0
+
+
+((8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)^4, 4096*x + 24576*x^2 + (237568*x^3)/3 + 139776*x^4 + (538624*x^5)/5 - 30720*x^6 - (566912*x^7)/7 + 36384*x^8 + (641152*x^9)/9 - (169584*x^10)/5 - (331040*x^11)/11 + 31128*x^12 - (12095*x^13)/13 - (75504*x^14)/7 + (102784*x^15)/15 - 1920*x^16 + (4096*x^17)/17, x, 2),
+((8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)^3, 512*x + 2304*x^2 + 5120*x^3 + 5040*x^4 - (384*x^5)/5 - 2976*x^6 + (5528*x^7)/7 + 2097*x^8 - (2936*x^9)/3 - (4527*x^10)/10 + (6936*x^11)/11 - 240*x^12 + (512*x^13)/13, x, 2),
+((8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)^2, 64*x + 192*x^2 + (704*x^3)/3 + 36*x^4 - (528*x^5)/5 + 24*x^6 + (353*x^7)/7 - 30*x^8 + (64*x^9)/9, x, 2),
+((8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)^1, 8*x + 12*x^2 + (8*x^3)/3 - (15*x^4)/4 + (8*x^5)/5, x, 1),
+(1/(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)^1, (-(1//4))*sqrt((5167 + 235*sqrt(517))/40326)*atan((6 - sqrt(2*(19 + sqrt(517))) + 8/x)/sqrt(2*(-19 + sqrt(517)))) - (1//4)*sqrt((5167 + 235*sqrt(517))/40326)*atan((6 + sqrt(2*(19 + sqrt(517))) + 8/x)/sqrt(2*(-19 + sqrt(517)))) + (1//4)*sqrt(3//13)*atan((8 + 12*x - 5*x^2)/(sqrt(39)*x^2)) - (1//8)*sqrt((-5167 + 235*sqrt(517))/40326)*log(sqrt(517) - sqrt(2*(19 + sqrt(517)))*(3 + 4/x) + (3 + 4/x)^2) + (1//8)*sqrt((-5167 + 235*sqrt(517))/40326)*log(sqrt(517) + sqrt(2*(19 + sqrt(517)))*(3 + 4/x) + (3 + 4/x)^2), x, 16),
+(1/(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)^2, -((3*(3359 - 107*(3 + 4/x)^2))/(208*(517 - 38*(3 + 4/x)^2 + (3 + 4/x)^4))) + ((3327931 - 129631*(3 + 4/x)^2)*(3 + 4/x))/(322608*(517 - 38*(3 + 4/x)^2 + (3 + 4/x)^4)) - (sqrt((19 + sqrt(517))/40326)*(1678181 + 74897*sqrt(517))*atan((6 - sqrt(2*(19 + sqrt(517))) + 8/x)/sqrt(2*(-19 + sqrt(517)))))/645216 - (sqrt((19 + sqrt(517))/40326)*(1678181 + 74897*sqrt(517))*atan((6 + sqrt(2*(19 + sqrt(517))) + 8/x)/sqrt(2*(-19 + sqrt(517)))))/645216 + (73//208)*sqrt(3//13)*atan((8 + 12*x - 5*x^2)/(sqrt(39)*x^2)) - (sqrt((-59644114671451 + 2623170438295*sqrt(517))/40326)*log(sqrt(517) - sqrt(2*(19 + sqrt(517)))*(3 + 4/x) + (3 + 4/x)^2))/645216 + (sqrt((-59644114671451 + 2623170438295*sqrt(517))/40326)*log(sqrt(517) + sqrt(2*(19 + sqrt(517)))*(3 + 4/x) + (3 + 4/x)^2))/645216, x, 18),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P5[x]^p
+
+
+((a^5 + 5*a^4*b*x + 10*a^3*b^2*x^2 + 10*a^2*b^3*x^3 + 5*a*b^4*x^4 + b^5*x^5)^3, (a + b*x)^16/(16*b), x, 2),
+((a^5 + 5*a^4*b*x + 10*a^3*b^2*x^2 + 10*a^2*b^3*x^3 + 5*a*b^4*x^4 + b^5*x^5)^2, (a + b*x)^11/(11*b), x, 2),
+# {(a^5 + 5*a^4*b*x + 10*a^3*b^2*x^2 + 10*a^2*b^3*x^3 + 5*a*b^4*x^4 + b^5*x^5)^1, x, 1, (a + b*x)^6/(6*b), a^5*x + (5/2)*a^4*b*x^2 + (10/3)*a^3*b^2*x^3 + (5/2)*a^2*b^3*x^4 + a*b^4*x^5 + (b^5*x^6)/6}
+(1/(a^5 + 5*a^4*b*x + 10*a^3*b^2*x^2 + 10*a^2*b^3*x^3 + 5*a*b^4*x^4 + b^5*x^5)^1, -(1/(4*b*(a + b*x)^4)), x, 2),
+(1/(a^5 + 5*a^4*b*x + 10*a^3*b^2*x^2 + 10*a^2*b^3*x^3 + 5*a*b^4*x^4 + b^5*x^5)^2, -(1/(9*b*(a + b*x)^9)), x, 2),
+(1/(a^5 + 5*a^4*b*x + 10*a^3*b^2*x^2 + 10*a^2*b^3*x^3 + 5*a*b^4*x^4 + b^5*x^5)^3, -(1/(14*b*(a + b*x)^14)), x, 2),
+
+
+(1/(1 + x^2 + x^3 + x^5), atan(x)/2 + (1//6)*log(1 + x) + (1//4)*log(1 + x^2) - (1//3)*log(1 - x + x^2), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P6[x]^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P3[x^2]^p
+
+
+((3 - 19*x^2 + 32*x^4 - 16*x^6)^4, 81*x - 684*x^3 + 4590*x^5 - (149700*x^7)/7 + (634321*x^9)/9 - (1841600*x^11)/11 + (3764416*x^13)/13 - (1094656*x^15)/3 + (5633536*x^17)/17 - (4014080*x^19)/19 + (1884160*x^21)/21 - (524288*x^23)/23 + (65536*x^25)/25, x, 5),
+((3 - 19*x^2 + 32*x^4 - 16*x^6)^3, 27*x - 171*x^3 + (4113*x^5)/5 - 2605*x^7 + (16448*x^9)/3 - (84912*x^11)/11 + (93440*x^13)/13 - (21248*x^15)/5 + (24576*x^17)/17 - (4096*x^19)/19, x, 5),
+((3 - 19*x^2 + 32*x^4 - 16*x^6)^2, 9*x - 38*x^3 + (553*x^5)/5 - (1312*x^7)/7 + (544*x^9)/3 - (1024*x^11)/11 + (256*x^13)/13, x, 5),
+((3 - 19*x^2 + 32*x^4 - 16*x^6)^1, 3*x - (19*x^3)/3 + (32*x^5)/5 - (16*x^7)/7, x, 1),
+(1/(3 - 19*x^2 + 32*x^4 - 16*x^6)^1, atanh(x)/3 + (1//3)*atanh(2*x) - atanh((2*x)/sqrt(3))/sqrt(3), x, 5),
+(1/(3 - 19*x^2 + 32*x^4 - 16*x^6)^2, 1/(18*(1 - 2*x)) + 1/(36*(1 - x)) - 1/(36*(1 + x)) - 1/(18*(1 + 2*x)) + (2*x)/(3*(3 - 4*x^2)) + (67*atanh(x))/54 - (7//27)*atanh(2*x) - (5*atanh((2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)), x, 7),
+(1/(3 - 19*x^2 + 32*x^4 - 16*x^6)^3, 1/(108*(1 - 2*x)^2) - 7/(108*(1 - 2*x)) + 1/(432*(1 - x)^2) + 67/(432*(1 - x)) - 1/(432*(1 + x)^2) - 67/(432*(1 + x)) - 1/(108*(1 + 2*x)^2) + 7/(108*(1 + 2*x)) - (2*x)/(3*(3 - 4*x^2)^2) + (5*x)/(3*(3 - 4*x^2)) + (3913*atanh(x))/648 + (67//162)*atanh(2*x) + (5*atanh((2*x)/sqrt(3)))/(6*sqrt(3)) - 4*sqrt(3)*atanh((2*x)/sqrt(3)), x, 10),
+
+
+# {1/(-1 + 7*x^2 - 7*x^4 + x^6)^2, x, 15, x/(32*(1 - x^2)) + (x*(99 - 17*x^2))/(128*(1 - 6*x^2 + x^4)) + (5*ArcTanh[x])/32 + (1/512)*(-4 + 3*Sqrt[2])*ArcTanh[(-1 + Sqrt[2])*x] + (1/512)*(4 + 3*Sqrt[2])*ArcTanh[(1 + Sqrt[2])*x], 1/(64*(1 - x)) - 1/(64*(1 + x)) + (41 + 17*x)/(256*(1 - 2*x - x^2)) - (41 - 17*x)/(256*(1 + 2*x - x^2)) - (17*ArcTanh[(1 - x)/Sqrt[2]])/(256*Sqrt[2]) + (5*ArcTanh[x])/32 + (17*ArcTanh[(1 + x)/Sqrt[2]])/(256*Sqrt[2]) + (1/512)*(2 - 7*Sqrt[2])*Log[1 - Sqrt[2] - x] + (1/512)*(2 + 7*Sqrt[2])*Log[1 + Sqrt[2] - x] - (1/512)*(2 - 7*Sqrt[2])*Log[1 - Sqrt[2] + x] - (1/512)*(2 + 7*Sqrt[2])*Log[1 + Sqrt[2] + x]}
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form x^m P[x]^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m P2[x]^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b (c+d x)^2)^p
+
+
+(x^3/(c + (a + b*x)^2), -((3*a*x)/b^3) + (a + b*x)^2/(2*b^4) - (a*(a^2 - 3*c)*atan((a + b*x)/sqrt(c)))/(b^4*sqrt(c)) + ((3*a^2 - c)*log(c + (a + b*x)^2))/(2*b^4), x, 6),
+(x^2/(c + (a + b*x)^2), x/b^2 + ((a^2 - c)*atan((a + b*x)/sqrt(c)))/(b^3*sqrt(c)) - (a*log(c + (a + b*x)^2))/b^3, x, 6),
+(x^1/(c + (a + b*x)^2), -((a*atan((a + b*x)/sqrt(c)))/(b^2*sqrt(c))) + log(c + (a + b*x)^2)/(2*b^2), x, 4),
+(x^0/(c + (a + b*x)^2), atan((a + b*x)/sqrt(c))/(b*sqrt(c)), x, 2),
+(1/(x^1*(c + (a + b*x)^2)), -((a*atan((a + b*x)/sqrt(c)))/(sqrt(c)*(a^2 + c))) + log(x)/(a^2 + c) - log(c + (a + b*x)^2)/(2*(a^2 + c)), x, 6),
+(1/(x^2*(c + (a + b*x)^2)), -(1/((a^2 + c)*x)) + (b*(a^2 - c)*atan((a + b*x)/sqrt(c)))/(sqrt(c)*(a^2 + c)^2) - (2*a*b*log(x))/(a^2 + c)^2 + (a*b*log(c + (a + b*x)^2))/(a^2 + c)^2, x, 7),
+(1/(x^3*(c + (a + b*x)^2)), -(1/(2*(a^2 + c)*x^2)) + (2*a*b)/((a^2 + c)^2*x) - (a*b^2*(a^2 - 3*c)*atan((a + b*x)/sqrt(c)))/(sqrt(c)*(a^2 + c)^3) + (b^2*(3*a^2 - c)*log(x))/(a^2 + c)^3 - (b^2*(3*a^2 - c)*log(c + (a + b*x)^2))/(2*(a^2 + c)^3), x, 7),
+
+
+(1/(a + b*(c + d*x)^2), atan((sqrt(b)*(c + d*x))/sqrt(a))/(sqrt(a)*sqrt(b)*d), x, 2),
+(1/(a + b*(c + d*x)^2)^2, (c + d*x)/(2*a*d*(a + b*(c + d*x)^2)) + atan((sqrt(b)*(c + d*x))/sqrt(a))/(2*a^(3//2)*sqrt(b)*d), x, 3),
+(1/(a + b*(c + d*x)^2)^3, (c + d*x)/(4*a*d*(a + b*(c + d*x)^2)^2) + (3*(c + d*x))/(8*a^2*d*(a + b*(c + d*x)^2)) + (3*atan((sqrt(b)*(c + d*x))/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*sqrt(b)*d), x, 4),
+(1/(sqrt(-a) + b*(c + d*x)^2), atan((sqrt(b)*(c + d*x))/(-a)^(1//4))/((-a)^(1//4)*d*sqrt(b)), x, 2),
+
+(1/(1 + (c + d*x)^2), atan(c + d*x)/d, x, 2),
+(1/(1 + (c + d*x)^2)^2, (c + d*x)/(2*d*(1 + (c + d*x)^2)) + atan(c + d*x)/(2*d), x, 3),
+(1/(1 + (c + d*x)^2)^3, (c + d*x)/(4*d*(1 + (c + d*x)^2)^2) + (3*(c + d*x))/(8*d*(1 + (c + d*x)^2)) + (3*atan(c + d*x))/(8*d), x, 4),
+
+(1/(1 - (c + d*x)^2), atanh(c + d*x)/d, x, 2),
+(1/(1 - (c + d*x)^2)^2, (c + d*x)/(2*d*(1 - (c + d*x)^2)) + atanh(c + d*x)/(2*d), x, 3),
+(1/(1 - (c + d*x)^2)^3, (c + d*x)/(4*d*(1 - (c + d*x)^2)^2) + (3*(c + d*x))/(8*d*(1 - (c + d*x)^2)) + (3*atanh(c + d*x))/(8*d), x, 4),
+
+(1/(1 - (1 + x)^2), atanh(1 + x), x, 2),
+(1/(1 - (1 + x)^2)^2, (1 + x)/(2*(1 - (1 + x)^2)) + (1//2)*atanh(1 + x), x, 3),
+(1/(1 - (1 + x)^2)^3, (1 + x)/(4*(1 - (1 + x)^2)^2) + (3*(1 + x))/(8*(1 - (1 + x)^2)) + (3//8)*atanh(1 + x), x, 4),
+
+
+((1 + (a + b*x)^2)^2/x, a*(2 + a^2)*b*x + (1//2)*(2 + a^2)*(a + b*x)^2 + (1//3)*a*(a + b*x)^3 + (1//4)*(a + b*x)^4 + (1 + a^2)^2*log(x), x, 3),
+(x^2/(1 + (-1 + x)^2), x + log(1 + (-1 + x)^2), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b (c+d x)^2)^(p/2)
+
+
+(x^2/sqrt(1 - (1 + x)^2), (3//2)*sqrt(1 - (1 + x)^2) - (1//2)*x*sqrt(1 - (1 + x)^2) + (3//2)*asin(1 + x), x, 4),
+(x^2/sqrt(1 - (a + b*x)^2), (3*a*sqrt(1 - (a + b*x)^2))/(2*b^3) - (x*sqrt(1 - (a + b*x)^2))/(2*b^2) + ((1 + 2*a^2)*asin(a + b*x))/(2*b^3), x, 4),
+(x^2/sqrt(1 + (a + b*x)^2), -((3*a*sqrt(1 + (a + b*x)^2))/(2*b^3)) + (x*sqrt(1 + (a + b*x)^2))/(2*b^2) - ((1 - 2*a^2)*asinh(a + b*x))/(2*b^3), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m P3[x]^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b (c+d x)^3)^p
+
+
+(x^3/(a + b*(c + d*x)^3), x/(b*d^3) + ((a - 3*a^(1//3)*b^(2//3)*c^2 + b*c^3)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(4//3)*d^4) - ((a + 3*a^(1//3)*b^(2//3)*c^2 + b*c^3)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(3*a^(2//3)*b^(4//3)*d^4) + ((a + 3*a^(1//3)*b^(2//3)*c^2 + b*c^3)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(6*a^(2//3)*b^(4//3)*d^4) - (c*log(a + b*(c + d*x)^3))/(b*d^4), x, 11),
+(x^2/(a + b*(c + d*x)^3), (c*(2*a^(1//3) - b^(1//3)*c)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(2//3)*d^3) + (c*(2*a^(1//3) + b^(1//3)*c)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(3*a^(2//3)*b^(2//3)*d^3) - (c*(2*a^(1//3) + b^(1//3)*c)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(6*a^(2//3)*b^(2//3)*d^3) + log(a + b*(c + d*x)^3)/(3*b*d^3), x, 9),
+(x/(a + b*(c + d*x)^3), -(((a^(1//3) - b^(1//3)*c)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(2//3)*d^2)) - ((a^(1//3) + b^(1//3)*c)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(3*a^(2//3)*b^(2//3)*d^2) + ((a^(1//3) + b^(1//3)*c)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(6*a^(2//3)*b^(2//3)*d^2), x, 7),
+(1/(a + b*(c + d*x)^3), -(atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3)))/(sqrt(3)*a^(2//3)*b^(1//3)*d)) + log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x))/(3*a^(2//3)*b^(1//3)*d) - log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2)/(6*a^(2//3)*b^(1//3)*d), x, 7),
+# {1/(x*(a + b*(c + d*x)^3)), x, 11, (b^(1/3)*c*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*(c + d*x))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(2/3)*(a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*c + b^(2/3)*c^2)) + Log[x]/(a + b*c^3) - Log[a^(1/3) + b^(1/3)*(c + d*x)]/(3*a^(2/3)*(a^(1/3) + b^(1/3)*c)) - ((2*a^(1/3) - b^(1/3)*c)*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*(c + d*x) + b^(2/3)*(c + d*x)^2])/(6*a^(2/3)*(a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*c + b^(2/3)*c^2)), (b^(1/3)*c*(a^(1/3) + b^(1/3)*c)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*(c + d*x))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(2/3)*(a + b*c^3)) + Log[x]/(a + b*c^3) + (b^(1/3)*c*(a^(1/3) - b^(1/3)*c)*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*(c + d*x)])/(3*a^(2/3)*(a + b*c^3)) - (b^(1/3)*c*(a^(1/3) - b^(1/3)*c)*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*(c + d*x) + b^(2/3)*(c + d*x)^2])/(6*a^(2/3)*(a + b*c^3)) - Log[a + b*(c + d*x)^3]/(3*(a + b*c^3))}
+(1/(x^2*(a + b*(c + d*x)^3)), -(1/((a + b*c^3)*x)) + (b^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*c)*(a^(1//3) + b^(1//3)*c)^3*d*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*(a + b*c^3)^2) - (3*b*c^2*d*log(x))/(a + b*c^3)^2 + (b^(1//3)*(a^(1//3)*(a - 2*b*c^3) - b^(1//3)*c*(2*a - b*c^3))*d*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(3*a^(2//3)*(a + b*c^3)^2) - (b^(1//3)*(a^(1//3)*(a - 2*b*c^3) - b^(1//3)*c*(2*a - b*c^3))*d*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(6*a^(2//3)*(a + b*c^3)^2) + (b*c^2*d*log(a + b*(c + d*x)^3))/(a + b*c^3)^2, x, 11),
+(1/(x^3*(a + b*(c + d*x)^3)), -(1/(2*(a + b*c^3)*x^2)) + (3*b*c^2*d)/((a + b*c^3)^2*x) + (b^(2//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*c)^3*(a - 3*a^(2//3)*b^(1//3)*c + b*c^3)*d^2*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*(c + d*x))/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*a^(2//3)*(a + b*c^3)^3) - (3*b*c*(a - 2*b*c^3)*d^2*log(x))/(a + b*c^3)^3 - (b^(2//3)*(a^2 + 6*a^(4//3)*b^(2//3)*c^2 - 7*a*b*c^3 - 3*a^(1//3)*b^(5//3)*c^5 + b^2*c^6)*d^2*log(a^(1//3) + b^(1//3)*(c + d*x)))/(3*a^(2//3)*(a + b*c^3)^3) + (b^(2//3)*(a^2 + 6*a^(4//3)*b^(2//3)*c^2 - 7*a*b*c^3 - 3*a^(1//3)*b^(5//3)*c^5 + b^2*c^6)*d^2*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*(c + d*x) + b^(2//3)*(c + d*x)^2))/(6*a^(2//3)*(a + b*c^3)^3) + (b*c*(a - 2*b*c^3)*d^2*log(a + b*(c + d*x)^3))/(a + b*c^3)^3, x, 11),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m P4[x]^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b (c+d x)^4)^p
+
+
+(x^3/(a + b*(c + d*x)^4), (3*c^2*atan((sqrt(b)*(c + d*x)^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*sqrt(b)*d^4) + (c*(3*sqrt(a) + sqrt(b)*c^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*(c + d*x))/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)*d^4) - (c*(3*sqrt(a) + sqrt(b)*c^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*(c + d*x))/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)*d^4) - (c*(3*sqrt(a) - sqrt(b)*c^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*(c + d*x) + sqrt(b)*(c + d*x)^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)*d^4) + (c*(3*sqrt(a) - sqrt(b)*c^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*(c + d*x) + sqrt(b)*(c + d*x)^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)*d^4) + log(a + b*(c + d*x)^4)/(4*b*d^4), x, 16),
+(x^2/(a + b*(c + d*x)^4), -((c*atan((sqrt(b)*(c + d*x)^2)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*sqrt(b)*d^3)) - ((sqrt(a) + sqrt(b)*c^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*(c + d*x))/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)*d^3) + ((sqrt(a) + sqrt(b)*c^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*(c + d*x))/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)*d^3) + ((sqrt(a) - sqrt(b)*c^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*(c + d*x) + sqrt(b)*(c + d*x)^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)*d^3) - ((sqrt(a) - sqrt(b)*c^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*(c + d*x) + sqrt(b)*(c + d*x)^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(3//4)*d^3), x, 14),
+(x^1/(a + b*(c + d*x)^4), atan((sqrt(b)*(c + d*x)^2)/sqrt(a))/(2*sqrt(a)*sqrt(b)*d^2) + (c*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*(c + d*x))/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)*d^2) - (c*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*(c + d*x))/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)*d^2) + (c*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*(c + d*x) + sqrt(b)*(c + d*x)^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)*d^2) - (c*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*(c + d*x) + sqrt(b)*(c + d*x)^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)*d^2), x, 14),
+(x^0/(a + b*(c + d*x)^4), -(atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*(c + d*x))/a^(1//4))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)*d)) + atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*(c + d*x))/a^(1//4))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)*d) - log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*(c + d*x) + sqrt(b)*(c + d*x)^2)/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)*d) + log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*(c + d*x) + sqrt(b)*(c + d*x)^2)/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*b^(1//4)*d), x, 10),
+(1/(x^1*(a + b*(c + d*x)^4)), -((sqrt(b)*c^2*atan((sqrt(b)*(c + d*x)^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*(a + b*c^4))) + (b^(1//4)*c*(sqrt(a) + sqrt(b)*c^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*(c + d*x))/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(a + b*c^4)) - (b^(1//4)*c*(sqrt(a) + sqrt(b)*c^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*(c + d*x))/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(a + b*c^4)) + log(x)/(a + b*c^4) - (b^(1//4)*c*(sqrt(a) - sqrt(b)*c^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*(c + d*x) + sqrt(b)*(c + d*x)^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(a + b*c^4)) + (b^(1//4)*c*(sqrt(a) - sqrt(b)*c^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*(c + d*x) + sqrt(b)*(c + d*x)^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(a + b*c^4)) - log(a + b*(c + d*x)^4)/(4*(a + b*c^4)), x, 18),
+(1/(x^2*(a + b*(c + d*x)^4)), -(1/((a + b*c^4)*x)) - (sqrt(b)*c*(a - b*c^4)*d*atan((sqrt(b)*(c + d*x)^2)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(a + b*c^4)^2) + (b^(1//4)*(sqrt(a)*(a - 3*b*c^4) + sqrt(b)*c^2*(3*a - b*c^4))*d*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*(c + d*x))/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(a + b*c^4)^2) - (b^(1//4)*(sqrt(a)*(a - 3*b*c^4) + sqrt(b)*c^2*(3*a - b*c^4))*d*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*(c + d*x))/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(a + b*c^4)^2) - (4*b*c^3*d*log(x))/(a + b*c^4)^2 - (b^(1//4)*(sqrt(a)*(a - 3*b*c^4) - sqrt(b)*c^2*(3*a - b*c^4))*d*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*(c + d*x) + sqrt(b)*(c + d*x)^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(a + b*c^4)^2) + (b^(1//4)*(sqrt(a)*(a - 3*b*c^4) - sqrt(b)*c^2*(3*a - b*c^4))*d*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*(c + d*x) + sqrt(b)*(c + d*x)^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(a + b*c^4)^2) + (b*c^3*d*log(a + b*(c + d*x)^4))/(a + b*c^4)^2, x, 18),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a + b x + c x^2 + d x^3 + e x^4)^p when d^3 - 4 c d e + 8 b e^2=0
+
+
+((a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^4, (-(8//3))*(3 + a)^3*(-1 + x)^3 + (4//5)*(3 - a)*(3 + a)^2*(-1 + x)^5 + (8//7)*(3 + a)*(5 + 3*a)*(-1 + x)^7 - (2//9)*(37 + 6*a - 3*a^2)*(-1 + x)^9 - (8//11)*(5 + 3*a)*(-1 + x)^11 + (4//13)*(3 - a)*(-1 + x)^13 + (8//15)*(-1 + x)^15 + (1//17)*(-1 + x)^17 + (3 + a)^4*x, x, 3),
+((a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^3, a^3*x + 12*a^2*x^2 + 8*(8 - a)*a*x^3 + (128 - 96*a + 3*a^2)*x^4 - (3//5)*(512 - 128*a + a^2)*x^5 + 8*(48 - 5*a)*x^6 - (32//7)*(70 - 3*a)*x^7 + 3*(64 - a)*x^8 - (1//3)*(256 - a)*x^9 + 28*x^10 - (72*x^11)/11 + x^12 - x^13//13, x, 2),
+((a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^2, a^2*x + 8*a*x^2 + (16//3)*(4 - a)*x^3 - 2*(16 - a)*x^4 + (2//5)*(64 - a)*x^5 - (40*x^6)/3 + (32*x^7)/7 - x^8 + x^9//9, x, 2),
+((a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^1, a*x + 4*x^2 - (8*x^3)/3 + x^4 - x^5//5, x, 1),
+(1/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^1, -(atan((-1 + x)/sqrt(1 - sqrt(4 + a)))/(2*sqrt(4 + a)*sqrt(1 - sqrt(4 + a)))) + atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a)))/(2*sqrt(4 + a)*sqrt(1 + sqrt(4 + a))), x, 4),
+(1/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^2, ((5 + a + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(4*(12 + 7*a + a^2)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) - ((10 + 3*a + sqrt(4 + a))*atan((-1 + x)/sqrt(1 - sqrt(4 + a))))/(8*(3 + a)*(4 + a)^(3//2)*sqrt(1 - sqrt(4 + a))) + ((10 + 3*a - sqrt(4 + a))*atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))))/(8*(3 + a)*(4 + a)^(3//2)*sqrt(1 + sqrt(4 + a))), x, 5),
+# {1/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^3, x, 6, If[$VersionNumber>=8, ((5 + a + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(8*(12 + 7*a + a^2)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^2) + (((6 + a)*(25 + 7*a) + 6*(7 + 2*a)*(-1 + x)^2)*(-1 + x))/(32*(3 + a)^2*(4 + a)^2*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) - (3*(80 + 7*a^2 + 14*Sqrt[4 + a] + a*(47 + 4*Sqrt[4 + a]))*ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 - Sqrt[4 + a]]])/(64*(3 + a)^2*(4 + a)^(5/2)*Sqrt[1 - Sqrt[4 + a]]) - (3*(14 + 4*a - (80 + 47*a + 7*a^2)/Sqrt[4 + a])*ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]])/(64*(3 + a)^2*(4 + a)^2*Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]), ((5 + a + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(8*(12 + 7*a + a^2)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^2) + (((6 + a)*(25 + 7*a) + 6*(7 + 2*a)*(-1 + x)^2)*(-1 + x))/(32*(12 + 7*a + a^2)^2*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) - (3*(80 + 7*a^2 + 14*Sqrt[4 + a] + a*(47 + 4*Sqrt[4 + a]))*ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 - Sqrt[4 + a]]])/(64*(3 + a)^2*(4 + a)^(5/2)*Sqrt[1 - Sqrt[4 + a]]) - (3*(14 + 4*a - (80 + 47*a + 7*a^2)/Sqrt[4 + a])*ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]])/(64*(3 + a)^2*(4 + a)^2*Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]])]}
+
+
+(x*(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^4, (a^4*x^2)/2 + (32*a^3*x^3)/3 + 8*(12 - a)*a^2*x^4 + (16//5)*a*(128 - 48*a + a^2)*x^5 + (2//3)*(1024 - 1536*a + 192*a^2 - a^3)*x^6 - (32//7)*(512 - 288*a + 15*a^2)*x^7 + 8*(128 - 3*a)*(4 - a)*x^8 - (16//3)*(896 - 128*a + a^2)*x^9 + (1//5)*(20480 - 1536*a + 3*a^2)*x^10 - (32//11)*(928 - 35*a)*x^11 + (8//3)*(524 - 9*a)*x^12 - (16//13)*(464 - 3*a)*x^13 + (2//7)*(640 - a)*x^14 - (224*x^15)/5 + 8*x^16 - (16*x^17)/17 + x^18//18, x, 2),
+(x*(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^3, (a^3*x^2)/2 + 8*a^2*x^3 + 6*(8 - a)*a*x^4 + (4//5)*(128 - 96*a + 3*a^2)*x^5 - (1//2)*(512 - 128*a + a^2)*x^6 + (48//7)*(48 - 5*a)*x^7 - 4*(70 - 3*a)*x^8 + (8//3)*(64 - a)*x^9 - (3//10)*(256 - a)*x^10 + (280*x^11)/11 - 6*x^12 + (12*x^13)/13 - x^14//14, x, 2),
+(x*(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^2, (a^2*x^2)/2 + (16*a*x^3)/3 + 4*(4 - a)*x^4 - (8//5)*(16 - a)*x^5 + (1//3)*(64 - a)*x^6 - (80*x^7)/7 + 4*x^8 - (8*x^9)/9 + x^10//10, x, 2),
+(x*(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^1, (a*x^2)/2 + (8*x^3)/3 - 2*x^4 + (4*x^5)/5 - x^6//6, x, 2),
+(x/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^1, -(atan((-1 + x)/sqrt(1 - sqrt(4 + a)))/(2*sqrt(4 + a)*sqrt(1 - sqrt(4 + a)))) + atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a)))/(2*sqrt(4 + a)*sqrt(1 + sqrt(4 + a))) + atanh((1 + (-1 + x)^2)/sqrt(4 + a))/(2*sqrt(4 + a)), x, 8),
+(x/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^2, (1 + (-1 + x)^2)/(4*(4 + a)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + ((5 + a + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(4*(12 + 7*a + a^2)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) - ((10 + 3*a + sqrt(4 + a))*atan((-1 + x)/sqrt(1 - sqrt(4 + a))))/(8*(3 + a)*(4 + a)^(3//2)*sqrt(1 - sqrt(4 + a))) + ((10 + 3*a - sqrt(4 + a))*atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))))/(8*(3 + a)*(4 + a)^(3//2)*sqrt(1 + sqrt(4 + a))) + atanh((1 + (-1 + x)^2)/sqrt(4 + a))/(4*(4 + a)^(3//2)), x, 10),
+# {x/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^3, x, 12, If[$VersionNumber>=8, (1 + (-1 + x)^2)/(8*(4 + a)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^2) + (3*(1 + (-1 + x)^2))/(16*(4 + a)^2*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + ((5 + a + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(8*(12 + 7*a + a^2)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^2) + (((6 + a)*(25 + 7*a) + 6*(7 + 2*a)*(-1 + x)^2)*(-1 + x))/(32*(3 + a)^2*(4 + a)^2*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) - (3*(80 + 7*a^2 + 14*Sqrt[4 + a] + a*(47 + 4*Sqrt[4 + a]))*ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 - Sqrt[4 + a]]])/(64*(3 + a)^2*(4 + a)^(5/2)*Sqrt[1 - Sqrt[4 + a]]) - (3*(14 + 4*a - (80 + 47*a + 7*a^2)/Sqrt[4 + a])*ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]])/(64*(3 + a)^2*(4 + a)^2*Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]) + (3*ArcTanh[(1 + (-1 + x)^2)/Sqrt[4 + a]])/(16*(4 + a)^(5/2)), (1 + (-1 + x)^2)/(8*(4 + a)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^2) + (3*(1 + (-1 + x)^2))/(16*(4 + a)^2*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + ((5 + a + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(8*(12 + 7*a + a^2)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^2) + (((6 + a)*(25 + 7*a) + 6*(7 + 2*a)*(-1 + x)^2)*(-1 + x))/(32*(12 + 7*a + a^2)^2*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) - (3*(80 + 7*a^2 + 14*Sqrt[4 + a] + a*(47 + 4*Sqrt[4 + a]))*ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 - Sqrt[4 + a]]])/(64*(3 + a)^2*(4 + a)^(5/2)*Sqrt[1 - Sqrt[4 + a]]) - (3*(14 + 4*a - (80 + 47*a + 7*a^2)/Sqrt[4 + a])*ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]])/(64*(3 + a)^2*(4 + a)^2*Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]) + (3*ArcTanh[(1 + (-1 + x)^2)/Sqrt[4 + a]])/(16*(4 + a)^(5/2))]}
+
+
+(x^2*(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^4, (a^4*x^3)/3 + 8*a^3*x^4 + (32//5)*(12 - a)*a^2*x^5 + (8//3)*a*(128 - 48*a + a^2)*x^6 + (4//7)*(1024 - 1536*a + 192*a^2 - a^3)*x^7 - 4*(512 - 288*a + 15*a^2)*x^8 + (64//9)*(128 - 3*a)*(4 - a)*x^9 - (24//5)*(896 - 128*a + a^2)*x^10 + (2//11)*(20480 - 1536*a + 3*a^2)*x^11 - (8//3)*(928 - 35*a)*x^12 + (32//13)*(524 - 9*a)*x^13 - (8//7)*(464 - 3*a)*x^14 + (4//15)*(640 - a)*x^15 - 42*x^16 + (128*x^17)/17 - (8*x^18)/9 + x^19//19, x, 2),
+(x^2*(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^3, (a^3*x^3)/3 + 6*a^2*x^4 + (24//5)*(8 - a)*a*x^5 + (2//3)*(128 - 96*a + 3*a^2)*x^6 - (3//7)*(512 - 128*a + a^2)*x^7 + 6*(48 - 5*a)*x^8 - (32//9)*(70 - 3*a)*x^9 + (12//5)*(64 - a)*x^10 - (3//11)*(256 - a)*x^11 + (70*x^12)/3 - (72*x^13)/13 + (6*x^14)/7 - x^15//15, x, 2),
+(x^2*(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^2, (a^2*x^3)/3 + 4*a*x^4 + (16//5)*(4 - a)*x^5 - (4//3)*(16 - a)*x^6 + (2//7)*(64 - a)*x^7 - 10*x^8 + (32*x^9)/9 - (4*x^10)/5 + x^11//11, x, 2),
+(x^2*(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^1, (a*x^3)/3 + 2*x^4 - (8*x^5)/5 + (2*x^6)/3 - x^7//7, x, 2),
+(x^2/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^1, -(atan((-1 + x)/sqrt(1 - sqrt(4 + a)))/(2*sqrt(1 - sqrt(4 + a)))) - atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a)))/(2*sqrt(1 + sqrt(4 + a))) + atanh((1 + (-1 + x)^2)/sqrt(4 + a))/sqrt(4 + a), x, 9),
+(x^2/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^2, (1 + (-1 + x)^2)/(2*(4 + a)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + ((4 + a)*(2 + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(4*(12 + 7*a + a^2)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) - ((4 + a + sqrt(4 + a))*atan((-1 + x)/sqrt(1 - sqrt(4 + a))))/(8*(3 + a)*(4 + a)*sqrt(1 - sqrt(4 + a))) - ((4 + a - sqrt(4 + a))*atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))))/(8*(3 + a)*(4 + a)*sqrt(1 + sqrt(4 + a))) + atanh((1 + (-1 + x)^2)/sqrt(4 + a))/(2*(4 + a)^(3//2)), x, 11),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m P6[x]^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b x^2+c x^3+d x^4+e x^6)^p when b^2-3 a d=0 and b^3-27 a^2 e=0
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+
+(x^4/(27*a^3 + 27*a^2*b*x^2 + 27*a^2*c*x^3 + 9*a*b^2*x^4 + b^3*x^6), -(((-1)^(1//3)*(2*(-1)^(1//3)*b + 3*a^(1//3)*c^(2//3))*atan((3*(-1)^(1//3)*a^(2//3)*c^(1//3) - 2*b*x)/(sqrt(3)*sqrt(a)*sqrt(4*b - 3*(-1)^(2//3)*a^(1//3)*c^(2//3)))))/(3*sqrt(3)*(1 + (-1)^(1//3))^2*a^(5//6)*b^2*sqrt(4*b - 3*(-1)^(2//3)*a^(1//3)*c^(2//3))*c^(2//3))) - ((2*b - 3*a^(1//3)*c^(2//3))*atan((3*a^(2//3)*c^(1//3) + 2*b*x)/(sqrt(3)*sqrt(a)*sqrt(4*b - 3*a^(1//3)*c^(2//3)))))/(9*sqrt(3)*a^(5//6)*b^2*sqrt(4*b - 3*a^(1//3)*c^(2//3))*c^(2//3)) - ((-1)^(2//3)*(2*b + 3*(-1)^(1//3)*a^(1//3)*c^(2//3))*atan((3*(-1)^(2//3)*a^(2//3)*c^(1//3) + 2*b*x)/(sqrt(3)*sqrt(a)*sqrt(4*b + 3*(-1)^(1//3)*a^(1//3)*c^(2//3)))))/(3*sqrt(3)*(1 - (-1)^(1//3))*(1 + (-1)^(1//3))^2*a^(5//6)*b^2*sqrt(4*b + 3*(-1)^(1//3)*a^(1//3)*c^(2//3))*c^(2//3)) - log(3*a + 3*a^(2//3)*c^(1//3)*x + b*x^2)/(18*a^(2//3)*b^2*c^(1//3)) + log(3*a - 3*(-1)^(1//3)*a^(2//3)*c^(1//3)*x + b*x^2)/(6*(1 + (-1)^(1//3))^2*a^(2//3)*b^2*c^(1//3)) + ((-1)^(1//3)*log(3*a + 3*(-1)^(2//3)*a^(2//3)*c^(1//3)*x + b*x^2))/(18*a^(2//3)*b^2*c^(1//3)), x, 14),
+(x^3/(27*a^3 + 27*a^2*b*x^2 + 27*a^2*c*x^3 + 9*a*b^2*x^4 + b^3*x^6), -(atan((3*(-1)^(1//3)*a^(2//3)*c^(1//3) - 2*b*x)/(sqrt(3)*sqrt(a)*sqrt(4*b - 3*(-1)^(2//3)*a^(1//3)*c^(2//3))))/(3*sqrt(3)*(1 + (-1)^(1//3))^2*a^(7//6)*b*sqrt(4*b - 3*(-1)^(2//3)*a^(1//3)*c^(2//3))*c^(1//3))) - atan((3*a^(2//3)*c^(1//3) + 2*b*x)/(sqrt(3)*sqrt(a)*sqrt(4*b - 3*a^(1//3)*c^(2//3))))/(9*sqrt(3)*a^(7//6)*b*sqrt(4*b - 3*a^(1//3)*c^(2//3))*c^(1//3)) + ((-1)^(1//3)*atan((3*(-1)^(2//3)*a^(2//3)*c^(1//3) + 2*b*x)/(sqrt(3)*sqrt(a)*sqrt(4*b + 3*(-1)^(1//3)*a^(1//3)*c^(2//3)))))/(3*sqrt(3)*(1 - (-1)^(1//3))*(1 + (-1)^(1//3))^2*a^(7//6)*b*sqrt(4*b + 3*(-1)^(1//3)*a^(1//3)*c^(2//3))*c^(1//3)) + log(3*a + 3*a^(2//3)*c^(1//3)*x + b*x^2)/(54*a^(4//3)*b*c^(2//3)) - ((-1)^(2//3)*log(3*a - 3*(-1)^(1//3)*a^(2//3)*c^(1//3)*x + b*x^2))/(18*(1 + (-1)^(1//3))^2*a^(4//3)*b*c^(2//3)) + ((-1)^(2//3)*log(3*a + 3*(-1)^(2//3)*a^(2//3)*c^(1//3)*x + b*x^2))/(54*a^(4//3)*b*c^(2//3)), x, 14),
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+(x^3/(216 + 108*x^2 + 324*x^3 + 18*x^4 + x^6)^2, ((-6)^(1//3)*(2*(-3)^(1//3) + 9*2^(1//3)) - 3*x)/(157464*(8 - 9*I*2^(1//3)*3^(1//6) + 3*2^(1//3)*3^(2//3))*(6 - 3*(-3)^(1//3)*2^(2//3)*x + x^2)) - ((-6)^(1//3)*(9*(-2)^(1//3) + 2*3^(1//3)) + 3*x)/(157464*(8 + 9*I*2^(1//3)*3^(1//6) + 3*2^(1//3)*3^(2//3))*(6 + 3*(-2)^(2//3)*3^(1//3)*x + x^2)) - (2*2^(1//3) - 3*6^(2//3) - 3^(1//3)*x)/(104976*(9*2^(1//3) - 4*3^(1//3))*(6 + 3*2^(2//3)*3^(1//3)*x + x^2)) + atan((3*(-3)^(1//3)*2^(2//3) - 2*x)/sqrt(6*(4 - 3*(-3)^(2//3)*2^(1//3))))/(26244*sqrt(3)*(8 - 9*I*2^(1//3)*3^(1//6) + 3*2^(1//3)*3^(2//3))^(3//2)) - ((9*I - 3^(1//3)*(2*I*2^(2//3) + 9*3^(1//6) + 2*2^(2//3)*sqrt(3)))*atan((3*(-3)^(1//3)*2^(2//3) - 2*x)/sqrt(6*(4 - 3*(-3)^(2//3)*2^(1//3)))))/(209952*(1 + (-1)^(1//3))^5*sqrt(2*(4 - 3*(-3)^(2//3)*2^(1//3)))) - atan((3*(-2)^(2//3)*3^(1//3) + 2*x)/sqrt(6*(4 + 3*(-2)^(1//3)*3^(2//3))))/(26244*sqrt(3)*(8 + 9*I*2^(1//3)*3^(1//6) + 3*2^(1//3)*3^(2//3))^(3//2)) + ((9*I + 3^(1//3)*(4*I*2^(2//3) - 9*3^(1//6)))*atan((3*(-2)^(2//3)*3^(1//3) + 2*x)/sqrt(6*(4 + 3*(-2)^(1//3)*3^(2//3)))))/(209952*(1 + (-1)^(1//3))^5*sqrt(2*(4 + 3*(-2)^(1//3)*3^(2//3)))) - atanh((2^(1//6)*(3*3^(1//3) + 2^(1//3)*x))/sqrt(3*(-4 + 3*2^(1//3)*3^(2//3))))/(52488*sqrt(6)*(-4 + 3*2^(1//3)*3^(2//3))^(3//2)) + ((2*2^(2//3) - 3*3^(2//3))*atanh((2^(1//6)*(3*3^(1//3) + 2^(1//3)*x))/sqrt(3*(-4 + 3*2^(1//3)*3^(2//3)))))/(944784*3^(1//6)*sqrt(2*(-4 + 3*2^(1//3)*3^(2//3)))) - (I*log(6 - 3*(-3)^(1//3)*2^(2//3)*x + x^2))/(23328*2^(2//3)*3^(5//6)*(1 + (-1)^(1//3))^5) + ((I + sqrt(3))*log(6 + 3*(-2)^(2//3)*3^(1//3)*x + x^2))/(46656*2^(2//3)*3^(5//6)*(1 + (-1)^(1//3))^5) + log(6 + 3*2^(2//3)*3^(1//3)*x + x^2)/(629856*2^(2//3)*3^(1//3)), x, 23),
+# {x^2/(216 + 108*x^2 + 324*x^3 + 18*x^4 + x^6)^2, x, 23, If[$VersionNumber>=8, -((27*((-2)^(2/3) + 2*(-1)^(1/3)*3^(2/3)) - 6^(1/3)*(9 + (-3)^(1/3)*2^(2/3))*x)/(104976*2^(2/3)*(1 + (-1)^(1/3))^4*(4 - 3*(-3)^(2/3)*2^(1/3))*(6 - 3*(-3)^(1/3)*2^(2/3)*x + x^2))) - (27*2^(2/3)*(1 + (-2)^(1/3)*3^(2/3)) - (-1)^(1/3)*3^(2/3)*(2 + 3*(-2)^(1/3)*3^(2/3))*x)/(472392*2^(2/3)*(8 + 9*I*2^(1/3)*3^(1/6) + 3*2^(1/3)*3^(2/3))*(6 + 3*(-2)^(2/3)*3^(1/3)*x + x^2)) + (9*(6 - 2^(2/3)*3^(1/3)) - (2 - 3*2^(1/3)*3^(2/3))*x)/(314928*2^(2/3)*3^(1/3)*(4 - 3*2^(1/3)*3^(2/3))*(6 + 3*2^(2/3)*3^(1/3)*x + x^2)) - ((1 + I*Sqrt[3] + 3*2^(1/3)*3^(2/3))*ArcTan[(3*(-3)^(1/3)*2^(2/3) - 2*x)/Sqrt[6*(4 - 3*(-3)^(2/3)*2^(1/3))]])/(8748*2^(2/3)*3^(5/6)*(1 + (-1)^(1/3))^4*(8 - 9*I*2^(1/3)*3^(1/6) + 3*2^(1/3)*3^(2/3))^(3/2)) + ((3*(-3)^(2/3) + (-1)^(1/3)*2^(2/3))*ArcTan[(3*(-2)^(2/3)*3^(1/3) + 2*x)/Sqrt[6*(4 + 3*(-2)^(1/3)*3^(2/3))]])/(17496*6^(5/6)*(1 - (-1)^(1/3))^2*(1 + (-1)^(1/3))^4*(4 + 3*(-2)^(1/3)*3^(2/3))^(3/2)) + ((I + Sqrt[3])*ArcTan[(3*(-2)^(2/3)*3^(1/3) + 2*x)/Sqrt[6*(4 + 3*(-2)^(1/3)*3^(2/3))]])/(34992*2^(1/6)*3^(1/3)*(1 + (-1)^(1/3))^5*Sqrt[4 + 3*(-2)^(1/3)*3^(2/3)]) + (I*ArcTan[(2^(1/6)*(3*(-3)^(1/3) - 2^(1/3)*x))/Sqrt[3*(4 - 3*(-3)^(2/3)*2^(1/3))]])/(17496*2^(1/6)*3^(1/3)*(1 + (-1)^(1/3))^5*Sqrt[4 - 3*(-3)^(2/3)*2^(1/3)]) - ((2^(2/3) - 3*3^(2/3))*ArcTanh[(2^(1/6)*(3*3^(1/3) + 2^(1/3)*x))/Sqrt[3*(-4 + 3*2^(1/3)*3^(2/3))]])/(17496*6^(5/6)*(1 - (-1)^(1/3))^2*(1 + (-1)^(1/3))^4*(-4 + 3*2^(1/3)*3^(2/3))^(3/2)) - ArcTanh[(2^(1/6)*(3*3^(1/3) + 2^(1/3)*x))/Sqrt[3*(-4 + 3*2^(1/3)*3^(2/3))]]/(157464*2^(1/6)*3^(5/6)*Sqrt[-4 + 3*2^(1/3)*3^(2/3)]) + ((I + Sqrt[3])*Log[6 - 3*(-3)^(1/3)*2^(2/3)*x + x^2])/(419904*2^(1/3)*3^(1/6)*(1 + (-1)^(1/3))^5) - (I*Log[6 + 3*(-2)^(2/3)*3^(1/3)*x + x^2])/(209952*2^(1/3)*3^(1/6)*(1 + (-1)^(1/3))^5) + Log[6 + 3*2^(2/3)*3^(1/3)*x + x^2]/(1889568*2^(1/3)*3^(2/3)), -((27*((-2)^(2/3) + 2*(-1)^(1/3)*3^(2/3)) - 6^(1/3)*(9 + (-3)^(1/3)*2^(2/3))*x)/(104976*2^(2/3)*(1 + (-1)^(1/3))^4*(4 - 3*(-3)^(2/3)*2^(1/3))*(6 - 3*(-3)^(1/3)*2^(2/3)*x + x^2))) - (27*(2^(2/3) + 2*(-1)^(1/3)*3^(2/3)) - (-1)^(1/3)*3^(2/3)*(2 + 3*(-2)^(1/3)*3^(2/3))*x)/(472392*2^(2/3)*(8 + 9*I*2^(1/3)*3^(1/6) + 3*2^(1/3)*3^(2/3))*(6 + 3*(-2)^(2/3)*3^(1/3)*x + x^2)) + (9*(6 - 2^(2/3)*3^(1/3)) - (2 - 3*2^(1/3)*3^(2/3))*x)/(314928*2^(2/3)*3^(1/3)*(4 - 3*2^(1/3)*3^(2/3))*(6 + 3*2^(2/3)*3^(1/3)*x + x^2)) - ((1 + I*Sqrt[3] + 3*2^(1/3)*3^(2/3))*ArcTan[(3*(-3)^(1/3)*2^(2/3) - 2*x)/Sqrt[6*(4 - 3*(-3)^(2/3)*2^(1/3))]])/(8748*2^(2/3)*3^(5/6)*(1 + (-1)^(1/3))^4*(8 - 9*I*2^(1/3)*3^(1/6) + 3*2^(1/3)*3^(2/3))^(3/2)) + ((3*(-3)^(2/3) + (-1)^(1/3)*2^(2/3))*ArcTan[(3*(-2)^(2/3)*3^(1/3) + 2*x)/Sqrt[6*(4 + 3*(-2)^(1/3)*3^(2/3))]])/(17496*6^(5/6)*(1 - (-1)^(1/3))^2*(1 + (-1)^(1/3))^4*(4 + 3*(-2)^(1/3)*3^(2/3))^(3/2)) + ((I + Sqrt[3])*ArcTan[(3*(-2)^(2/3)*3^(1/3) + 2*x)/Sqrt[6*(4 + 3*(-2)^(1/3)*3^(2/3))]])/(34992*2^(1/6)*3^(1/3)*(1 + (-1)^(1/3))^5*Sqrt[4 + 3*(-2)^(1/3)*3^(2/3)]) + (I*ArcTan[(2^(1/6)*(3*(-3)^(1/3) - 2^(1/3)*x))/Sqrt[3*(4 - 3*(-3)^(2/3)*2^(1/3))]])/(17496*2^(1/6)*3^(1/3)*(1 + (-1)^(1/3))^5*Sqrt[4 - 3*(-3)^(2/3)*2^(1/3)]) - ((2^(2/3) - 3*3^(2/3))*ArcTanh[(2^(1/6)*(3*3^(1/3) + 2^(1/3)*x))/Sqrt[3*(-4 + 3*2^(1/3)*3^(2/3))]])/(17496*6^(5/6)*(1 - (-1)^(1/3))^2*(1 + (-1)^(1/3))^4*(-4 + 3*2^(1/3)*3^(2/3))^(3/2)) - ArcTanh[(2^(1/6)*(3*3^(1/3) + 2^(1/3)*x))/Sqrt[3*(-4 + 3*2^(1/3)*3^(2/3))]]/(157464*2^(1/6)*3^(5/6)*Sqrt[-4 + 3*2^(1/3)*3^(2/3)]) + ((I + Sqrt[3])*Log[6 - 3*(-3)^(1/3)*2^(2/3)*x + x^2])/(419904*2^(1/3)*3^(1/6)*(1 + (-1)^(1/3))^5) - (I*Log[6 + 3*(-2)^(2/3)*3^(1/3)*x + x^2])/(209952*2^(1/3)*3^(1/6)*(1 + (-1)^(1/3))^5) + Log[6 + 3*2^(2/3)*3^(1/3)*x + x^2]/(1889568*2^(1/3)*3^(2/3))]}
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form P[x]^p Q[x]
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P1[x]^p Q[x]
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P1[x]^p Q5[x]
+
+
+# Can cancel GCD of numerator and denominator.
+((a^2*c + a^2*d*x + 2*a*b*c*x^2 + 2*a*b*d*x^3 + b^2*c*x^4 + b^2*d*x^5)/(c + d*x)^1, a^2*x + (2//3)*a*b*x^3 + (b^2*x^5)/5, x, 2),
+((a^2*c + a^2*d*x + 2*a*b*c*x^2 + 2*a*b*d*x^3 + b^2*c*x^4 + b^2*d*x^5)/(c + d*x)^2, -((b*c*(b*c^2 + 2*a*d^2)*x)/d^4) + (b*(b*c^2 + 2*a*d^2)*x^2)/(2*d^3) - (b^2*c*x^3)/(3*d^2) + (b^2*x^4)/(4*d) + ((b*c^2 + a*d^2)^2*log(c + d*x))/d^5, x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P2[x]^p Q[x]
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P2[x]^p Q1[x]
+
+
+(x^0*(b + 2*c*x^1)*(b*x + c*x^2)^13, (1//14)*(b*x + c*x^2)^14, x, 1),
+(x^14*(b + 2*c*x^2)*(b*x + c*x^3)^13, (1//28)*x^28*(b + c*x^2)^14, x, 3),
+(x^28*(b + 2*c*x^3)*(b*x + c*x^4)^13, (1//42)*x^42*(b + c*x^3)^14, x, 3),
+(x^(14*(n - 1))*(b + 2*c*x^n)*(b*x + c*x^(n+1))^13, (x^(14*n)*(b + c*x^n)^14)/(14*n), x, 3),
+
+(x^0*(b + 2*c*x^1)/(b*x + c*x^2), log(b*x + c*x^2), x, 1),
+(x^0*(b + 2*c*x^2)/(b*x + c*x^3), log(x) + (1//2)*log(b + c*x^2), x, 4),
+(x^0*(b + 2*c*x^3)/(b*x + c*x^4), log(x) + (1//3)*log(b + c*x^3), x, 4),
+(x^0*(b + 2*c*x^n)/(b*x + c*x^(n+1)), log(x) + log(b + c*x^n)/n, x, 4),
+
+(x^0*(b + 2*c*x^1)/(b*x + c*x^2)^8, -(1/(7*(b*x + c*x^2)^7)), x, 1),
+(x^(-7)*(b + 2*c*x^2)/(b*x + c*x^3)^8, -(1/(14*x^14*(b + c*x^2)^7)), x, 3),
+(x^(-14)*(b + 2*c*x^3)/(b*x + c*x^4)^8, -(1/(21*x^21*(b + c*x^3)^7)), x, 3),
+(x^(-7*(n - 1))*(b + 2*c*x^n)/(b*x + c*x^(n+1))^8, -(1/(x^(7*n)*(7*n*(b + c*x^n)^7))), x, 3),
+
+(x^0*(b + 2*c*x^1)*(b*x + c*x^2)^p, (b*x + c*x^2)^(1 + p)/(1 + p), x, 1),
+(x^(1 + p)*(b + 2*c*x^2)*(b*x + c*x^3)^p, (x^(1 + p)*(b*x + c*x^3)^(1 + p))/(2*(1 + p)), x, 1),
+(b*x^(1 + p)*(b*x + c*x^3)^p + 2*c*x^(3 + p)*(b*x + c*x^3)^p, (x^(1 + p)*(b*x + c*x^3)^(1 + p))/(2*(1 + p)), x, -7),
+
+(x^(2*(p + 1))*(b + 2*c*x^3)*(b*x + c*x^4)^p, (x^(2*(1 + p))*(b*x + c*x^4)^(1 + p))/(3*(1 + p)), x, 1),
+(x^((p + 1)*(n - 1))*(b + 2*c*x^n)*(b*x + c*x^(n+1))^p, (b*x + c*x^(1 + n))^(1 + p)/(x^((1 - n)*(1 + p))*(n*(1 + p))), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P2[x]^p Q5[x]
+
+
+# Can cancel GCD of numerator and denominator.
+((a^2*c + a^2*d*x + 2*a*b*c*x^2 + 2*a*b*d*x^3 + b^2*c*x^4 + b^2*d*x^5)/(a + b*x^2)^1, a*c*x + (1//2)*a*d*x^2 + (1//3)*b*c*x^3 + (1//4)*b*d*x^4, x, 2),
+((a^2*c + a^2*d*x + 2*a*b*c*x^2 + 2*a*b*d*x^3 + b^2*c*x^4 + b^2*d*x^5)/(a + b*x^2)^2, c*x + (d*x^2)/2, x, 3),
+((a^2*c + a^2*d*x + 2*a*b*c*x^2 + 2*a*b*d*x^3 + b^2*c*x^4 + b^2*d*x^5)/(a + b*x^2)^3, (c*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*sqrt(b)) + (d*log(a + b*x^2))/(2*b), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P3[x]^p Q[x]
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P3[x]^p Q2[x]
+
+
+((b + 2*c*x + 3*d*x^2)*(a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^n, (a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^(1 + n)/(1 + n), x, 1),
+((b + 2*c*x + 3*d*x^2)*(b*x + c*x^2 + d*x^3)^n, (b*x + c*x^2 + d*x^3)^(1 + n)/(1 + n), x, 1),
+((b + 2*c*x + 3*d*x^2)*x^n*(b + c*x + d*x^2)^n, (x^(1 + n)*(b + c*x + d*x^2)^(1 + n))/(1 + n), x, 1),
+
+((b + 3*d*x^2)*(a + b*x + d*x^3)^n, (a + b*x + d*x^3)^(1 + n)/(1 + n), x, 1),
+((b + 3*d*x^2)*(b*x + d*x^3)^n, (b*x + d*x^3)^(1 + n)/(1 + n), x, 1),
+((b + 3*d*x^2)*x^n*(b + d*x^2)^n, (x^(1 + n)*(b + d*x^2)^(1 + n))/(1 + n), x, 1),
+
+((2*c*x + 3*d*x^2)*(a + c*x^2 + d*x^3)^n, (a + c*x^2 + d*x^3)^(1 + n)/(1 + n), x, 1),
+((2*c*x + 3*d*x^2)*(c*x^2 + d*x^3)^n, (c*x^2 + d*x^3)^(1 + n)/(1 + n), x, 1),
+((2*c*x + 3*d*x^2)*x^n*(c*x + d*x^2)^n, (x^(1 + n)*(c*x + d*x^2)^(1 + n))/(1 + n), x, 2),
+((2*c*x + 3*d*x^2)*x^(2*n)*(c + d*x)^n, (x^(2*(1 + n))*(c + d*x)^(1 + n))/(1 + n), x, 1),
+
+(x*(2*c + 3*d*x)*(a + c*x^2 + d*x^3)^n, (a + c*x^2 + d*x^3)^(1 + n)/(1 + n), x, 1),
+(x*(2*c + 3*d*x)*(c*x^2 + d*x^3)^n, (c*x^2 + d*x^3)^(1 + n)/(1 + n), x, 1),
+
+
+((b + 2*c*x + 3*d*x^2)*(a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^7, (1//8)*(a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^8, x, 1),
+((b + 2*c*x + 3*d*x^2)*(b*x + c*x^2 + d*x^3)^7, (1//8)*(b*x + c*x^2 + d*x^3)^8, x, 1),
+(x^7*(b + 2*c*x + 3*d*x^2)*(b + c*x + d*x^2)^7, (1//8)*x^8*(b + c*x + d*x^2)^8, x, 1),
+
+((b + 3*d*x^2)*(a + b*x + d*x^3)^7, (1//8)*(a + b*x + d*x^3)^8, x, 1),
+
+((b + 3*d*x^2)*(b*x + d*x^3)^7, (1//8)*(b*x + d*x^3)^8, x, 1),
+(x^7*(b + 3*d*x^2)*(b + d*x^2)^7, (1//8)*x^8*(b + d*x^2)^8, x, 2),
+
+((2*c*x + 3*d*x^2)*(a + c*x^2 + d*x^3)^7, (1//8)*(a + c*x^2 + d*x^3)^8, x, 1),
+((2*c*x + 3*d*x^2)*(c*x^2 + d*x^3)^7, (1//8)*(c*x^2 + d*x^3)^8, x, 1),
+(x^7*(2*c*x + 3*d*x^2)*(c*x + d*x^2)^7, (1//8)*x^16*(c + d*x)^8, x, 2),
+(x^14*(2*c*x + 3*d*x^2)*(c + d*x)^7, (x^(2 + 2*7)*(c + d*x)^8)/8, x, 1),
+
+(x*(2*c + 3*d*x)*(a + c*x^2 + d*x^3)^7, (a + c*x^2 + d*x^3)^8//8, x, 1),
+(x*(2*c + 3*d*x)*(c*x^2 + d*x^3)^7, (1//8)*x^16*(c + d*x)^8, x, 2),
+(x^8*(2*c + 3*d*x)*(c*x + d*x^2)^7, (1//8)*x^8*(c*x + d*x^2)^8, x, 1),
+(x^15*(2*c + 3*d*x)*(c + d*x)^7, (x^(2 + 2*7)*(c + d*x)^8)/8, x, 1),
+
+
+((a + b*x)*(1 + (a*x + b*(x^2//2))^4), a*x + (b*x^2)/2 + (1//160)*x^5*(2*a + b*x)^5, x, 2),
+((a + b*x)*(1 + (c + a*x + b*(x^2//2))^4), a*x + (b*x^2)/2 + (1//5)*(c + a*x + (b*x^2)/2)^5, x, 2),
+
+((a + b*x)*(1 + (a*x + b*(x^2//2))^n), a*x + (b*x^2)/2 + (a*x + (b*x^2)/2)^(1 + n)/(1 + n), x, 2),
+((a + b*x)*(1 + (c + a*x + b*(x^2//2))^n), a*x + (b*x^2)/2 + (c + a*x + (b*x^2)/2)^(1 + n)/(1 + n), x, 2),
+
+((a + c*x^2)*(1 + (a*x + c*(x^3//3))^5), a*x + (c*x^3)/3 + (1//6)*(a*x + (c*x^3)/3)^6, x, 2),
+((a + c*x^2)*(1 + (d + a*x + c*(x^3//3))^5), a*x + (c*x^3)/3 + (1//6)*(d + a*x + (c*x^3)/3)^6, x, 2),
+
+((b*x + c*x^2)*(1 + (b*(x^2//2) + c*(x^3//3))^5), (b*x^2)/2 + (c*x^3)/3 + (x^12*(3*b + 2*c*x)^6)/279936, x, 2),
+((b*x + c*x^2)*(1 + (d + b*(x^2//2) + c*(x^3//3))^5), (b*x^2)/2 + (c*x^3)/3 + (1//6)*(d + (b*x^2)/2 + (c*x^3)/3)^6, x, 2),
+
+((a + b*x + c*x^2)*(1 + (a*x + b*(x^2//2) + c*(x^3//3))^5), a*x + (b*x^2)/2 + (c*x^3)/3 + (1//6)*(a*x + (b*x^2)/2 + (c*x^3)/3)^6, x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)*(1 + (d + a*x + b*(x^2//2) + c*(x^3//3))^5), a*x + (b*x^2)/2 + (c*x^3)/3 + (1//6)*(d + a*x + (b*x^2)/2 + (c*x^3)/3)^6, x, 2),
+
+((a + c*x^2)*(1 + (a*x + c*(x^3//3))^n), a*x + (c*x^3)/3 + (a*x + (c*x^3)/3)^(1 + n)/(1 + n), x, 2),
+((b*x + c*x^2)*(1 + (b*(x^2//2) + c*(x^3//3))^n), (b*x^2)/2 + (c*x^3)/3 + ((b*x^2)/2 + (c*x^3)/3)^(1 + n)/(1 + n), x, 2),
+((a + b*x + c*x^2)*(1 + (a*x + b*(x^2//2) + c*(x^3//3))^n), a*x + (b*x^2)/2 + (c*x^3)/3 + (a*x + (b*x^2)/2 + (c*x^3)/3)^(1 + n)/(1 + n), x, 2),
+
+
+((-4 + 4*x + x^2)*(5 - 12*x + 6*x^2 + x^3), (5 - 12*x + 6*x^2 + x^3)^2//6, x, 1),
+((2*x + x^3)*(1 + 4*x^2 + x^4), (1//8)*(1 + 4*x^2 + x^4)^2, x, 1),
+
+((1 + 2*x)*(x + x^2)^3*(-18 + 7*(x + x^2)^3)^2, 81*x^4*(1 + x)^4 - 36*x^7*(1 + x)^7 + (49//10)*x^10*(1 + x)^10, x, -3),
+(x^3*(1 + x)^3*(1 + 2*x)*(-18 + 7*x^3*(1 + x)^3)^2, 81*x^4*(1 + x)^4 - 36*x^7*(1 + x)^7 + (49//10)*x^10*(1 + x)^10, x, -2),
+
+((2 - x^2)/(1 - 6*x + x^3)^5, 1/(12*(1 - 6*x + x^3)^4), x, 1),
+((2*x + x^2)/(4 + 3*x^2 + x^3), log(4 + 3*x^2 + x^3)/3, x, 1),
+
+((1 + x + x^3)/(4*x + 2*x^2 + x^4), (1//4)*log(4*x + 2*x^2 + x^4), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P3[x]^p Q3[x]
+
+
+((b*c - a*d - 2*a*e*x - b*e*x^2 - 3*a*f*x^2 - 2*b*f*x^3)/(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)^2, a/(c + d*x + e*x^2 + f*x^3) + (b*x)/(c + d*x + e*x^2 + f*x^3), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P4[x]^p Q[x]
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P4[x]^p Q3[x]
+
+
+((A + B*x + C*x^2 + D*x^3)/(a + b*x + c*x^2 + b*x^3 + a*x^4), ((4*a^2*B + b*(b - sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c))*D - a*(A*(b - sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c)) + b*C - sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c)*C + 2*c*D))*atan((b - sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c) + 4*a*x)/(sqrt(2)*sqrt(4*a^2 + 2*a*c - b*(b - sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c))))))/(sqrt(2)*a*sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c)*sqrt(4*a^2 + 2*a*c - b*(b - sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c)))) - ((4*a^2*B + b*(b + sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c))*D - a*(A*(b + sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c)) + b*C + sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c)*C + 2*c*D))*atan((b + sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c) + 4*a*x)/(sqrt(2)*sqrt(4*a^2 + 2*a*c - b*(b + sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c))))))/(sqrt(2)*a*sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c)*sqrt(4*a^2 + 2*a*c - b*(b + sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c)))) - ((2*a*(A - C) + (b - sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c))*D)*log(2*a + (b - sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c))*x + 2*a*x^2))/(4*a*sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c)) + ((2*a*(A - C) + (b + sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c))*D)*log(2*a + (b + sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c))*x + 2*a*x^2))/(4*a*sqrt(8*a^2 + b^2 - 4*a*c)), x, 9),
+
+
+((2 + x - 4*x^2 + 2*x^3)/(1 - x + x^2 - x^3 + x^4), -((2*log(2 - (1 - sqrt(5))*x + 2*x^2))/(1 - sqrt(5))) - (2*log(2 - (1 + sqrt(5))*x + 2*x^2))/(1 + sqrt(5)), x, 3),
+
+
+# Integrands of the form (a + b x + c x^2 + d x^3 + e x^4)^p (A+B x+C x^2+D x^3) when d^3 - 4 c d e + 8 b e^2=0
+((3*x + 3*x^2 + x^3)/(1 + 4*x + 6*x^2 + 4*x^3 + x^4), 1/(3*(1 + x)^3) + log(1 + x), x, 4),
+((-1 + 3*x - 3*x^2 + x^3)/(1 + 4*x + 6*x^2 + 4*x^3 + x^4), 8/(3*(1 + x)^3) - 6/(1 + x)^2 + 6/(1 + x) + log(1 + x), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P4[x]^p Q8[x]
+
+
+((9 - 40*x - 18*x^2 + 174*x^4 + 24*x^5 + 26*x^6 - 39*x^8)/(3 + 2*x^2 + x^4)^3, (2*(1 - 2*x^2))/(3 + 2*x^2 + x^4)^2 - (2*x*(18 + 13*x^2))/(3 + 2*x^2 + x^4)^2 + (13*x)/(3 + 2*x^2 + x^4), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P5[x]^p Q[x]
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P5[x]^p Q5[x]
+
+
+((-1 + 4*x^5)/(1 + x + x^5)^2, -(x/(1 + x + x^5)), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form P6[x]^p Q[x]
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form P3[x^2]^p Q1[x^2]
+
+
+# {(1 + x^2)/(1 - 7*x^2 + 7*x^4 - x^6)^2, x, 15, x/(16*(1 - x^2)) + (x*(29 - 5*x^2))/(32*(1 - 6*x^2 + x^4)) + ArcTanh[x]/4 + (1/64)*((3 - 2*Sqrt[2])*ArcTanh[(-1 + Sqrt[2])*x] - (3 + 2*Sqrt[2])*ArcTanh[(1 + Sqrt[2])*x]), 1/(32*(1 - x)) - 1/(32*(1 + x)) + (12 + 5*x)/(64*(1 - 2*x - x^2)) - (12 - 5*x)/(64*(1 + 2*x - x^2)) - (5*ArcTanh[(1 - x)/Sqrt[2]])/(64*Sqrt[2]) + ArcTanh[x]/4 + (5*ArcTanh[(1 + x)/Sqrt[2]])/(64*Sqrt[2]) - (3/256)*(2 + 3*Sqrt[2])*Log[1 - Sqrt[2] - x] - (3/256)*(2 - 3*Sqrt[2])*Log[1 + Sqrt[2] - x] + (3/256)*(2 + 3*Sqrt[2])*Log[1 - Sqrt[2] + x] + (3/256)*(2 - 3*Sqrt[2])*Log[1 + Sqrt[2] + x]}
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands of the form x^m P[x]^p Q[x]
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m P3[x]^p Q[x]
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m P3[x]^p Q3[x]
+
+
+(x^m*(a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^p*(a*(1 + m) + x*(b*(2 + p + m) + x*(c*(3 + 2*p + m) + d*(4 + 3*p + m)*x))), x^(1 + m)*(a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^(1 + p), x, 1),
+
+
+(x^2*(3*a + b*(4 + p)*x + c*(5 + 2*p)*x^2 + d*(6 + 3*p)*x^3)*(a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^p, x^3*(a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^(1 + p), x, 1),
+(x^1*(2*a + b*(3 + p)*x + c*(4 + 2*p)*x^2 + d*(5 + 3*p)*x^3)*(a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^p, x^2*(a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^(1 + p), x, 1),
+(x^0*(1*a + b*(2 + p)*x + c*(3 + 2*p)*x^2 + d*(4 + 3*p)*x^3)*(a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^p, x^1*(a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^(1 + p), x, 1),
+(((a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^p*( 0*a + b*( 1 + p)*x + c*(2 + 2*p)*x^2 + d*(3 + 3*p)*x^3))/x^1, (a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^(1 + p)/x^0, x, 2),
+(((a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^p*(-1*a + b*( 0 + p)*x + c*(1 + 2*p)*x^2 + d*(2 + 3*p)*x^3))/x^2, (a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^(1 + p)/x^1, x, 1),
+(((a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^p*(-2*a + b*(-1 + p)*x + c*(0 + 2*p)*x^2 + d*(1 + 3*p)*x^3))/x^3, (a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^(1 + p)/x^2, x, 1),
+(((a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^p*(-3*a + b*(-2 + p)*x + c*(-1 + 2*p)*x^2 + d*(0 + 3*p)*x^3))/x^4, (a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^(1 + p)/x^3, x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m P4[x]^p Q[x]
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m P4[x]^p Q3[x]
+
+
+(x^4*(5 + x + 3*x^2 + 2*x^3)/(2 + x + 3*x^2 + x^3 + 2*x^4), (5*x)/4 - (3*x^2)/4 + x^3//3 + x^4//4 + (1//24)*sqrt(5//3)*atan((1 - 4*x)/sqrt(15)) - (10*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) + (1//3)*log(1 + x + x^2) - (13//48)*log(2 - x + 2*x^2), x, 10),
+(x^3*(5 + x + 3*x^2 + 2*x^3)/(2 + x + 3*x^2 + x^3 + 2*x^4), -((3*x)/2) + x^2//2 + x^3//3 + (5//12)*sqrt(5//3)*atan((1 - 4*x)/sqrt(15)) + (8*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) + (2//3)*log(1 + x + x^2) - (1//24)*log(2 - x + 2*x^2), x, 10),
+(x^2*(5 + x + 3*x^2 + 2*x^3)/(2 + x + 3*x^2 + x^3 + 2*x^4), x + x^2//2 + (1//6)*sqrt(5//3)*atan((1 - 4*x)/sqrt(15)) + (2*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) - log(1 + x + x^2) + (1//4)*log(2 - x + 2*x^2), x, 10),
+(x^1*(5 + x + 3*x^2 + 2*x^3)/(2 + x + 3*x^2 + x^3 + 2*x^4), x - (1//3)*sqrt(5//3)*atan((1 - 4*x)/sqrt(15)) - (10*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) + (1//3)*log(1 + x + x^2) + (1//6)*log(2 - x + 2*x^2), x, 10),
+(x^0*(5 + x + 3*x^2 + 2*x^3)/(2 + x + 3*x^2 + x^3 + 2*x^4), (-(1//3))*sqrt(5//3)*atan((1 - 4*x)/sqrt(15)) + (8*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) + (2//3)*log(1 + x + x^2) - (1//6)*log(2 - x + 2*x^2), x, 10),
+((5 + x + 3*x^2 + 2*x^3)/(x^1*(2 + x + 3*x^2 + x^3 + 2*x^4)), (1//6)*sqrt(5//3)*atan((1 - 4*x)/sqrt(15)) + (2*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) + (5*log(x))/2 - log(1 + x + x^2) - (1//4)*log(2 - x + 2*x^2), x, 13),
+((5 + x + 3*x^2 + 2*x^3)/(x^2*(2 + x + 3*x^2 + x^3 + 2*x^4)), -(5/(2*x)) + (5//12)*sqrt(5//3)*atan((1 - 4*x)/sqrt(15)) - (10*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) - (3*log(x))/4 + (1//3)*log(1 + x + x^2) + (1//24)*log(2 - x + 2*x^2), x, 13),
+((5 + x + 3*x^2 + 2*x^3)/(x^3*(2 + x + 3*x^2 + x^3 + 2*x^4)), -(5/(4*x^2)) + 3/(4*x) + (1//24)*sqrt(5//3)*atan((1 - 4*x)/sqrt(15)) + (8*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)) - (15*log(x))/8 + (2//3)*log(1 + x + x^2) + (13//48)*log(2 - x + 2*x^2), x, 13),
+
+
+(x^3*(5 + x + 3*x^2 + 2*x^3)/(2 + x + 5*x^2 + x^3 + 2*x^4), (-(1//28))*(35 - 9*I*sqrt(7))*x - (1//28)*(35 + 9*I*sqrt(7))*x + (1//28)*(7 - 5*I*sqrt(7))*x^2 + (1//28)*(7 + 5*I*sqrt(7))*x^2 + (1//42)*(7 - 5*I*sqrt(7))*x^3 + (1//42)*(7 + 5*I*sqrt(7))*x^3 + (11*(9*I + 5*sqrt(7))*atan((1 - I*sqrt(7) + 8*x)/sqrt(2*(35 + I*sqrt(7)))))/(4*sqrt(14*(35 + I*sqrt(7)))) - (11*(9*I - 5*sqrt(7))*atan((1 + I*sqrt(7) + 8*x)/sqrt(2*(35 - I*sqrt(7)))))/(4*sqrt(14*(35 - I*sqrt(7)))) + (3//112)*(7 - 11*I*sqrt(7))*log(4 + (1 - I*sqrt(7))*x + 4*x^2) + (3//112)*(7 + 11*I*sqrt(7))*log(4 + (1 + I*sqrt(7))*x + 4*x^2), x, 13),
+(x^2*(5 + x + 3*x^2 + 2*x^3)/(2 + x + 5*x^2 + x^3 + 2*x^4), (1//14)*(7 - 5*I*sqrt(7))*x + (1//14)*(7 + 5*I*sqrt(7))*x + (1//28)*(7 - 5*I*sqrt(7))*x^2 + (1//28)*(7 + 5*I*sqrt(7))*x^2 - ((53*I + sqrt(7))*atan((1 - I*sqrt(7) + 8*x)/sqrt(2*(35 + I*sqrt(7)))))/(2*sqrt(14*(35 + I*sqrt(7)))) + ((53*I - sqrt(7))*atan((1 + I*sqrt(7) + 8*x)/sqrt(2*(35 - I*sqrt(7)))))/(2*sqrt(14*(35 - I*sqrt(7)))) - (1//56)*(35 + 9*I*sqrt(7))*log(4 + (1 - I*sqrt(7))*x + 4*x^2) - (1//56)*(35 - 9*I*sqrt(7))*log(4 + (1 + I*sqrt(7))*x + 4*x^2), x, 13),
+(x^1*(5 + x + 3*x^2 + 2*x^3)/(2 + x + 5*x^2 + x^3 + 2*x^4), (1//14)*(7 - 5*I*sqrt(7))*x + (1//14)*(7 + 5*I*sqrt(7))*x - ((19*I + 7*sqrt(7))*atan((1 - I*sqrt(7) + 8*x)/sqrt(2*(35 + I*sqrt(7)))))/sqrt(14*(35 + I*sqrt(7))) + ((19*I - 7*sqrt(7))*atan((1 + I*sqrt(7) + 8*x)/sqrt(2*(35 - I*sqrt(7)))))/sqrt(14*(35 - I*sqrt(7))) + (1//28)*(7 + 5*I*sqrt(7))*log(4 + (1 - I*sqrt(7))*x + 4*x^2) + (1//28)*(7 - 5*I*sqrt(7))*log(4 + (1 + I*sqrt(7))*x + 4*x^2), x, 11),
+(x^0*(5 + x + 3*x^2 + 2*x^3)/(2 + x + 5*x^2 + x^3 + 2*x^4), ((19*I + 7*sqrt(7))*atan((1 - I*sqrt(7) + 8*x)/sqrt(2*(35 + I*sqrt(7)))))/sqrt(14*(35 + I*sqrt(7))) - ((19*I - 7*sqrt(7))*atan((1 + I*sqrt(7) + 8*x)/sqrt(2*(35 - I*sqrt(7)))))/sqrt(14*(35 - I*sqrt(7))) + (1//28)*(7 + 5*I*sqrt(7))*log(4 + (1 - I*sqrt(7))*x + 4*x^2) + (1//28)*(7 - 5*I*sqrt(7))*log(4 + (1 + I*sqrt(7))*x + 4*x^2), x, 9),
+((5 + x + 3*x^2 + 2*x^3)/(x^1*(2 + x + 5*x^2 + x^3 + 2*x^4)), -(((53 + I*sqrt(7))*atanh((I - sqrt(7) + 8*I*x)/sqrt(2*(35 - I*sqrt(7)))))/(2*sqrt(14*(35 - I*sqrt(7))))) + ((53 - I*sqrt(7))*atanh((I + sqrt(7) + 8*I*x)/sqrt(2*(35 + I*sqrt(7)))))/(2*sqrt(14*(35 + I*sqrt(7)))) + (1//28)*(35 - 9*I*sqrt(7))*log(x) + (1//28)*(35 + 9*I*sqrt(7))*log(x) - (1//56)*(35 - 9*I*sqrt(7))*log(4*I + (I - sqrt(7))*x + 4*I*x^2) - (1//56)*(35 + 9*I*sqrt(7))*log(4*I + (I + sqrt(7))*x + 4*I*x^2), x, 13),
+((5 + x + 3*x^2 + 2*x^3)/(x^2*(2 + x + 5*x^2 + x^3 + 2*x^4)), -((35 - 9*I*sqrt(7))/(28*x)) - (35 + 9*I*sqrt(7))/(28*x) + (11*(9 + 5*I*sqrt(7))*atanh((I - sqrt(7) + 8*I*x)/sqrt(2*(35 - I*sqrt(7)))))/(4*sqrt(14*(35 - I*sqrt(7)))) - (11*(9 - 5*I*sqrt(7))*atanh((I + sqrt(7) + 8*I*x)/sqrt(2*(35 + I*sqrt(7)))))/(4*sqrt(14*(35 + I*sqrt(7)))) - (3//56)*(7 - 11*I*sqrt(7))*log(x) - (3//56)*(7 + 11*I*sqrt(7))*log(x) + (3//112)*(7 + 11*I*sqrt(7))*log(4*I + (I - sqrt(7))*x + 4*I*x^2) + (3//112)*(7 - 11*I*sqrt(7))*log(4*I + (I + sqrt(7))*x + 4*I*x^2), x, 13),
+((5 + x + 3*x^2 + 2*x^3)/(x^3*(2 + x + 5*x^2 + x^3 + 2*x^4)), -((35 - 9*I*sqrt(7))/(56*x^2)) - (35 + 9*I*sqrt(7))/(56*x^2) + (3*(7 - 11*I*sqrt(7)))/(56*x) + (3*(7 + 11*I*sqrt(7)))/(56*x) + ((355 - 73*I*sqrt(7))*atanh((I - sqrt(7) + 8*I*x)/sqrt(2*(35 - I*sqrt(7)))))/(8*sqrt(14*(35 - I*sqrt(7)))) - ((355 + 73*I*sqrt(7))*atanh((I + sqrt(7) + 8*I*x)/sqrt(2*(35 + I*sqrt(7)))))/(8*sqrt(14*(35 + I*sqrt(7)))) - (1//16)*(35 - 9*I*sqrt(7))*log(x) - (1//16)*(35 + 9*I*sqrt(7))*log(x) + (1//32)*(35 - 9*I*sqrt(7))*log(4*I + (I - sqrt(7))*x + 4*I*x^2) + (1//32)*(35 + 9*I*sqrt(7))*log(4*I + (I + sqrt(7))*x + 4*I*x^2), x, 13),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m P6[x]^p Q2[x]
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m P3[x^2]^p Q1[x^2]
+
+
+(x^2*(3*a + b*x^2)/(a^2 + 2*a*b*x^2 + b^2*x^4 + c^2*x^6), atan((c*x^3)/(a + b*x^2))/c, x, 2),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands requiring algebraic expansion
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Problems from Calculus textbooks and competitions
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# Anton Calculus, 4th Edition
+
+
+((1 - 3*x^4)/((-2 + x)*(1 + x^2)^2), -((1 - 2*x)/(5*(1 + x^2))) - (46*atan(x))/25 - (47//25)*log(2 - x) - (14//25)*log(1 + x^2), x, 6),
+((-9 - 9*x + 2*x^2)/(-9*x + x^3), -log(3 - x) + log(x) + 2*log(3 + x), x, 3),
+((1 + 2*x^2 + x^5)/(-x + x^3), x + x^3//3 + 2*log(1 - x) - log(x) + log(1 + x), x, 3),
+((3 + 2*x^2)/((-1 + x)^2*x), 5/(1 - x) - log(1 - x) + 3*log(x), x, 2),
+((-1 + 2*x^2)/((-1 + 4*x)*(1 + x^2)), (3*atan(x))/17 - (7//34)*log(1 - 4*x) + (6//17)*log(1 + x^2), x, 5),
+((-3 + 2*x - 3*x^2 + x^3)/(1 + x^2), -3*x + x^2//2 + (1//2)*log(1 + x^2), x, 3),
+((x + 10*x^2 + 6*x^3 + x^4)/(10 + 6*x + x^2), x^3//3 - 3*atan(3 + x) + log(10 + 6*x + x^2)/2, x, 6),
+(1/(-18 + 27*x - 7*x^2 - 3*x^3 + x^4), (1//8)*log(1 - x) - (1//5)*log(2 - x) + (1//12)*log(3 - x) - (1//120)*log(3 + x), x, 2),
+((1 + x^3)/(-2 + x), 4*x + x^2 + x^3//3 + 9*log(2 - x), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# Ayres Calculus, 1964 edition
+
+
+((3*x - 4*x^2 + 3*x^3)/(1 + x^2), -4*x + (3*x^2)/2 + 4*atan(x), x, 4),
+((5 + 3*x)/(1 - x - x^2 + x^3), 4/(1 - x) + atanh(x), x, 3),
+((-1 - x - x^3 + x^4)/(-x^2 + x^3), -(1/x) + x^2//2 - 2*log(1 - x) + 2*log(x), x, 3),
+((2 + x + x^2 + x^3)/(2 + 3*x^2 + x^4), atan(x) + log(2 + x^2)/2, x, 6),
+((-4 + 8*x - 4*x^2 + 4*x^3 - x^4 + x^5)/(2 + x^2)^3, -(1/(2 + x^2)^2) - atan(x/sqrt(2))/sqrt(2) + (1//2)*log(2 + x^2), x, 5),
+((-1 - 3*x + x^2)/(-2*x + x^2 + x^3), -log(1 - x) + log(x)/2 + (3//2)*log(2 + x), x, 3),
+((3 - x + 3*x^2 - 2*x^3 + x^4)/(3*x - 2*x^2 + x^3), x^2//2 + log(x) - (1//2)*log(3 - 2*x + x^2), x, 4),
+((-1 + x + x^3)/(1 + x^2)^2, -(x/(2*(1 + x^2))) - atan(x)/2 + (1//2)*log(1 + x^2), x, 4),
+((1 + 2*x - x^2 + 8*x^3 + x^4)/((x + x^2)*(1 + x^3)), -(3/(1 + x)) - (2*atan((1 - 2*x)/sqrt(3)))/sqrt(3) + log(x) - 2*log(1 + x) + log(1 - x + x^2), x, 7),
+((15 - 5*x + x^2 + x^3)/((5 + x^2)*(3 + 2*x + x^2)), (-sqrt(5))*atan(x/sqrt(5)) + (5*atan((1 + x)/sqrt(2)))/sqrt(2) + (1//2)*log(3 + 2*x + x^2), x, 7),
+((-3 + 25*x + 23*x^2 + 32*x^3 + 15*x^4 + 7*x^5 + x^6)/((1 + x^2)^2*(2 + x + x^2)^2), -3/(1 + x^2) + (2 + x + x^2)^(-1) + log(1 + x^2) - log(2 + x + x^2), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# Edwards and Penney Calculus
+
+
+(1/((1 + x^2)*(4 + x^2)), (-(1//6))*atan(x/2) + atan(x)/3, x, 3),
+((a + b*x^3)/(1 + x^2), (b*x^2)/2 + a*atan(x) - (1//2)*b*log(1 + x^2), x, 5),
+((x + x^2)/((4 + x)*(-4 + x^2)), (-(1//2))*atanh(x/2) + log(4 + x), x, 4),
+((4 + x^2)/((1 + x^2)*(2 + x^2)), 3*atan(x) - sqrt(2)*atan(x/sqrt(2)), x, 3),
+((5 - 4*x + 3*x^2 + x^4)/((-1 + x)^2*(1 + x^2)), 5/(2*(1 - x)) + x + 2*atan(x) + (1//2)*log(1 - x) + (3//4)*log(1 + x^2), x, 5),
+((1 + x^4)/(2 + x^2), -2*x + x^3//3 + (5*atan(x/sqrt(2)))/sqrt(2), x, 3),
+((2 + 2*x + x^4)/(x^4 + x^5), -2/(3*x^3) + log(1 + x), x, 3),
+((-1 - 5*x + 2*x^2)/(2 - x - 2*x^2 + x^3), 2*log(1 - x) - log(2 - x) + log(1 + x), x, 2),
+((2 + x + x^3)/(1 + 2*x^2 + x^4), x/(1 + x^2) + atan(x) + (1//2)*log(1 + x^2), x, 5),
+((1 + 2*x + x^2 + x^3)/(1 + 2*x^2 + x^4), -(1/(2*(1 + x^2))) + atan(x) + (1//2)*log(1 + x^2), x, 5),
+((3 + 4*x)/((1 + x^2)*(2 + x^2)), 3*atan(x) - (3*atan(x/sqrt(2)))/sqrt(2) + 2*log(1 + x^2) - 2*log(2 + x^2), x, 8),
+((2 + x)/((1 + x^2)*(4 + x^2)), (-(1//3))*atan(x/2) + (2*atan(x))/3 + (1//6)*log(1 + x^2) - (1//6)*log(4 + x^2), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# Grossman Calculus
+
+
+((2 - x + x^3)/(-7 - 6*x + x^2), 6*x + x^2//2 + (169//4)*log(7 - x) - (1//4)*log(1 + x), x, 5),
+((-1 + x^5)/(-1 + x^2), x^2//2 + x^4//4 + log(1 + x), x, 4),
+((5 + 2*x - x^2 + x^3)/(1 + x + x^2), -2*x + x^2//2 + (11*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/sqrt(3) + (3//2)*log(1 + x + x^2), x, 6),
+((-3 + x - 2*x^3 + x^4)/(10 - 8*x + 2*x^2), (3*x)/2 + x^2//2 + x^3//6 + 6*atan(2 - x) + (3//4)*log(5 - 4*x + x^2), x, 6),
+((1 + 2*x + 3*x^2 + x^3)/((-3 + x)*(-2 + x)*(-1 + x)), x + (7//2)*log(1 - x) - 25*log(2 - x) + (61//2)*log(3 - x), x, 2),
+((2 - 7*x + x^2 - x^3 + x^4)/(-24 - 14*x + x^2 + x^3), -2*x + x^2//2 + (13//3)*log(4 - x) - (22//3)*log(2 + x) + 20*log(3 + x), x, 2),
+((2 + x^2)/((-1 + x)^2*x*(1 + x)), 3/(2*(1 - x)) - (5//4)*log(1 - x) + 2*log(x) - (3//4)*log(1 + x), x, 2),
+((3 + x^2 + x^3)/(2 + x^2)^2, (4 + x)/(4*(2 + x^2)) + (5*atan(x/sqrt(2)))/(4*sqrt(2)) + (1//2)*log(2 + x^2), x, 4),
+((-35 + 70*x - 4*x^2 + 2*x^3)/((26 - 10*x + x^2)*(17 - 2*x + x^2)), -((15033*atan(5 - x))/1025) - (4607*atan((1//4)*(-1 + x)))/4100 + (1003*log(26 - 10*x + x^2))/1025 + (22*log(17 - 2*x + x^2))/1025, x, 10),
+((2 + x^2)/((-5 + x)*(-3 + x)*(4 + x)), (-(11//14))*log(3 - x) + (3//2)*log(5 - x) + (2//7)*log(4 + x), x, 2),
+(x^4/((-1 + x)*(2 + x^2)), x + x^2//2 - (2//3)*sqrt(2)*atan(x/sqrt(2)) + (1//3)*log(1 - x) - (2//3)*log(2 + x^2), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# Spivak Calculus
+
+
+((-1 + 7*x + 2*x^2)/(-1 - x + x^2 + x^3), -3/(1 + x) + 2*log(1 - x), x, 2),
+((1 + 2*x)/(-1 + 3*x - 3*x^2 + x^3), -(3/(2*(1 - x)^2)) + 2/(1 - x), x, 2),
+((5 - 5*x + 7*x^2 + x^3)/((-1 + x)^2*(1 + x)^3), (1 - x)^(-1) - 2/(1 + x)^2, x, 2),
+((1 + 3*x + 3*x^2)/(1 + 2*x + 2*x^2 + x^3), (-2*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/sqrt(3) + log(1 + x) + log(1 + x + x^2), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# Stewart Calculus
+
+
+((-1 + 2*x + x^2)/(-2*x + 3*x^2 + 2*x^3), (1//10)*log(1 - 2*x) + log(x)/2 - (1//10)*log(2 + x), x, 3),
+((1 + 4*x - 2*x^2 + x^4)/(1 - x - x^2 + x^3), 2/(1 - x) + x + x^2//2 + log(1 - x) - log(1 + x), x, 2),
+((4 - x + 2*x^2)/(4*x + x^3), (-(1//2))*atan(x/2) + log(x) + (1//2)*log(4 + x^2), x, 6),
+((1 + x^2 + x^3)/((-1 + x)*x*(1 + x^2)^3*(1 + x + x^2)), (1 + x)/(8*(1 + x^2)^2) - (3*(1 - x))/(8*(1 + x^2)) + (3*x)/(16*(1 + x^2)) + (7*atan(x))/16 - atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) + (1//8)*log(1 - x) - log(x) + (15//16)*log(1 + x^2) - (1//2)*log(1 + x + x^2), x, 14),
+((1 - 3*x + 2*x^2 - x^3)/(1 + x^2)^2, (2 - x)/(2*(1 + x^2)) + (3*atan(x))/2 - (1//2)*log(1 + x^2), x, 4),
+((1 - 3*x + 2*x^2 - x^3)/(x*(1 + x^2)^2), -((1 + 2*x)/(2*(1 + x^2))) - 2*atan(x) + log(x) - (1//2)*log(1 + x^2), x, 6),
+((1 - x - x^2 + x^3 + x^4)/(-x + x^3), x + x^2//2 - log(x) + (1//2)*log(1 - x^2), x, 4),
+((2 - 4*x^2 + x^3)/((1 + x^2)*(2 + x^2)), 6*atan(x) - 5*sqrt(2)*atan(x/sqrt(2)) - log(1 + x^2)/2 + log(2 + x^2), x, 8),
+((1 + x^2 + x^4)/((1 + x^2)*(4 + x^2)^2), -((13*x)/(24*(4 + x^2))) + (25//144)*atan(x/2) + atan(x)/9, x, 6),
+((1 + x^2 + x^3)/(2*x^2 + x^3 + x^4), -(1/(2*x)) + atan((1 + 2*x)/sqrt(7))/(4*sqrt(7)) - log(x)/4 + (5//8)*log(2 + x + x^2), x, 7),
+# {(1 - 12*x + x^2 + x^3)/(-12 + x + x^2), x, 5, x^2/2 - (2/7)*ArcTanh[(1/7)*(1 + 2*x)], x^2/2 + (1/7)*Log[3 - x] - (1/7)*Log[4 + x]}
+((-3 + 5*x + 6*x^2)/(-3*x + 2*x^2 + x^3), 2*log(1 - x) + log(x) + 3*log(3 + x), x, 3),
+((-2 + 3*x + 5*x^2)/(2*x^2 + x^3), x^(-1) + 2*log(x) + 3*log(2 + x), x, 3),
+((18 - 2*x - 4*x^2)/(-6 + x + 4*x^2 + x^3), log(1 - x) - 2*log(2 + x) - 3*log(3 + x), x, 2),
+((1 + x - 2*x^2 + x^3)/(4 + 5*x^2 + x^4), (-(3//2))*atan(x/2) + atan(x) + (1//2)*log(4 + x^2), x, 7),
+((-32 + 5*x - 27*x^2 + 4*x^3)/(-70 - 299*x - 286*x^2 + 50*x^3 - 13*x^4 + 30*x^5), (3988*atan((1 + 2*x)/sqrt(19)))/(13685*sqrt(19)) - (3146*log(7 - 3*x))/80155 - (334//323)*log(1 + 2*x) + (4822*log(2 + 5*x))/4879 + (11049*log(5 + x + x^2))/260015, x, 6),
+# {(8 - 13*x^2 - 7*x^3 + 12*x^5)/(4 - 20*x + 41*x^2 - 80*x^3 + 116*x^4 - 80*x^5 + 100*x^6), x, 7, 5828/(9075*(2 - 5*x)) - (313 + 502*x)/(1452*(1 + 2*x^2)) + (503*ArcTan[Sqrt[2]*x])/(7986*Sqrt[2]) - (59096*Log[2 - 5*x])/99825 + (2843*Log[1 + 2*x^2])/7986, 5828/(9075*(2 - 5*x)) - (313 + 502*x)/(1452*(1 + 2*x^2)) - (251*ArcTan[Sqrt[2]*x])/(726*Sqrt[2]) + (272*Sqrt[2]*ArcTan[Sqrt[2]*x])/1331 - (59096*Log[2 - 5*x])/99825 + (2843*Log[1 + 2*x^2])/7986}
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# Thomas Calculus, 8th Edition
+
+
+((9 + x^4)/(x^2*(9 + x^2)), -x^(-1) + x - (10*atan(x/3))/3, x, 3),
+((2*x + x^4)/(1 + x^2), -x + x^3//3 + atan(x) + log(1 + x^2), x, 6),
+((-x + x^3)/((-1 + x)^2*(1 + x^2)), atan(x) + log(1 - x), x, 5),
+((2 + 5*x + 3*x^2 + 2*x^3)/(1 + x + x^2), x + x^2 + log(1 + x + x^2), x, 3),
+((3 - 4*x - 5*x^2 + 3*x^3)/(x^3*(-1 + x + x^2)), 3/(2*x^2) - 1/x + 3*log(x) - (1//10)*(15 - sqrt(5))*log(1 - sqrt(5) + 2*x) - (1//10)*(15 + sqrt(5))*log(1 + sqrt(5) + 2*x), x, 5),
+((4 + 8*x + 5*x^2 + 2*x^3)/(2 + 2*x + x^2)^2, -(1/(2 + 2*x + x^2)) - atan(1 + x) + log(2 + 2*x + x^2), x, 5),
+(((-1 + x)^4*x^4)/(1 + x^2), 4*x - (4*x^3)/3 + x^5 - (2*x^6)/3 + x^7//7 - 4*atan(x), x, 3),
+((-20*x + 4*x^2)/(9 - 10*x^2 + x^4), log(1 - x) - (1//2)*log(3 - x) + (3//2)*log(1 + x) - 2*log(3 + x), x, -11),
+((-1 + x + 4*x^3)/((-1 + x)*x^2*(1 + x^2)), -x^(-1) + atan(x) + 2*log(1 - x) - log(1 + x^2), x, 5),
+
+((1 - 3*x + 2*x^2 - 4*x^3 + x^4)/(1 + x^2)^3, -(1/(4*(1 + x^2)^2)) + 2/(1 + x^2) + atan(x), x, 4),
+((1 - 3*x + 2*x^2 - 4*x^3 + x^4)/(1 + 3*x^2 + 3*x^4 + x^6), -(1/(4*(1 + x^2)^2)) + 2/(1 + x^2) + atan(x), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# North Texas University Integration Competition
+
+
+((1 + x + 2*x^2 + 2*x^3)/(x^2 + x^3 + x^4), -x^(-1) + log(1 + x + x^2), x, 4),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Miscellaneous problems requiring algebraic expansion
+
+
+(x^2*(c + d*x)^2/(a + b*x^3), (2*c*d*x)/b + (d^2*x^2)/(2*b) + (a^(1//3)*d*(2*b^(1//3)*c + a^(1//3)*d)*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(5//3)) - (a^(1//3)*d*(2*b^(1//3)*c - a^(1//3)*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(5//3)) + (a^(1//3)*d*(2*b^(1//3)*c - a^(1//3)*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(5//3)) + (c^2*log(a + b*x^3))/(3*b), x, 10),
+
+
+((-x + 2*x^3 + 4*x^5)/(3 + 2*x^2 + x^4)^2, (5 - 7*x^2)/(8*(3 + 2*x^2 + x^4)) + (9*atan((1 + x^2)/sqrt(2)))/(8*sqrt(2)), x, 6),
+((x + x^5)/(1 + 2*x^2 + 2*x^4)^3, (3 + 4*x^2)/(16*(1 + 2*x^2 + 2*x^4)^2) + (1 + 2*x^2)/(2*(1 + 2*x^2 + 2*x^4)) + atan(1 + 2*x^2), x, 7),
+
+((a + b*x + c*x^2)/(d + e*x^2 + f*x^4), ((c - (c*e - 2*a*f)/sqrt(e^2 - 4*d*f))*atan((sqrt(2)*sqrt(f)*x)/sqrt(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))))/(sqrt(2)*sqrt(f)*sqrt(e - sqrt(e^2 - 4*d*f))) + ((c + (c*e - 2*a*f)/sqrt(e^2 - 4*d*f))*atan((sqrt(2)*sqrt(f)*x)/sqrt(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))))/(sqrt(2)*sqrt(f)*sqrt(e + sqrt(e^2 - 4*d*f))) - (b*atanh((e + 2*f*x^2)/sqrt(e^2 - 4*d*f)))/sqrt(e^2 - 4*d*f), x, 8),
+((d + e*x)^2/(a + b*x^2 + c*x^4), ((e^2 + (2*c*d^2 - b*e^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b - sqrt(b^2 - 4*a*c))) + ((e^2 - (2*c*d^2 - b*e^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c))*atan((sqrt(2)*sqrt(c)*x)/sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))))/(sqrt(2)*sqrt(c)*sqrt(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))) - (2*d*e*atanh((b + 2*c*x^2)/sqrt(b^2 - 4*a*c)))/sqrt(b^2 - 4*a*c), x, 8),
+
+
+(x^2/((c + d*x)*(a + b*x^1)), x/(b*d) + (a^2*log(a + b*x))/(b^2*(b*c - a*d)) - (c^2*log(c + d*x))/(d^2*(b*c - a*d)), x, 2),
+(x^2/((c + d*x)*(a + b*x^2)), -((sqrt(a)*c*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(sqrt(b)*(b*c^2 + a*d^2))) + (c^2*log(c + d*x))/(d*(b*c^2 + a*d^2)) + (a*d*log(a + b*x^2))/(2*b*(b*c^2 + a*d^2)), x, 5),
+(x^2/((c + d*x)*(a + b*x^3)), -((a^(1//3)*d*atan((a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/(sqrt(3)*a^(1//3))))/(sqrt(3)*b^(2//3)*(b^(2//3)*c^2 + a^(1//3)*b^(1//3)*c*d + a^(2//3)*d^2))) + (a^(1//3)*d*(b^(1//3)*c + a^(1//3)*d)*log(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/(3*b^(2//3)*(b*c^3 - a*d^3)) - (c^2*log(c + d*x))/(b*c^3 - a*d^3) - (a^(1//3)*d*(b^(1//3)*c + a^(1//3)*d)*log(a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2))/(6*b^(2//3)*(b*c^3 - a*d^3)) + (c^2*log(a + b*x^3))/(3*(b*c^3 - a*d^3)), x, 10),
+(x^2/((c + d*x)*(a + b*x^4)), (sqrt(a)*d^3*atan((sqrt(b)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(b)*(b*c^4 + a*d^4)) - (c*(sqrt(b)*c^2 - sqrt(a)*d^2)*atan(1 - (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*(b*c^4 + a*d^4)) + (c*(sqrt(b)*c^2 - sqrt(a)*d^2)*atan(1 + (sqrt(2)*b^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*(b*c^4 + a*d^4)) + (c^2*d*log(c + d*x))/(b*c^4 + a*d^4) + (c*(sqrt(b)*c^2 + sqrt(a)*d^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*(b*c^4 + a*d^4)) - (c*(sqrt(b)*c^2 + sqrt(a)*d^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*x + sqrt(b)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(1//4)*b^(1//4)*(b*c^4 + a*d^4)) - (c^2*d*log(a + b*x^4))/(4*(b*c^4 + a*d^4)), x, 16),
+
+
+(x^1/((1 - x^1)*(1 + x^1)^2), 1/(2*(1 + x)) + atanh(x)/2, x, 3),
+(x^2/((1 - x^2)*(1 + x^2)^2), -(x/(4*(1 + x^2))) + atanh(x)/4, x, 2),
+(x^3/((1 - x^3)*(1 + x^3)^2), -(x/(6*(1 + x^3))) + atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/(12*sqrt(3)) + atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/(4*sqrt(3)) - (1//12)*log(1 - x) - (1//36)*log(1 + x) + (1//72)*log(1 - x + x^2) + (1//24)*log(1 + x + x^2), x, 14),
+
+
+((9 + x + 3*x^2 + x^3)/((1 + x^2)*(3 + x^2)), 3*atan(x) + (1//2)*log(3 + x^2), x, 4),
+((3 + x + x^2 + x^3)/((1 + x^2)*(3 + x^2)), atan(x) + log(3 + x^2)/2, x, 4),
+((-4 + 6*x - x^2 + 3*x^3)/((1 + x^2)*(2 + x^2)), -3*atan(x) + sqrt(2)*atan(x/sqrt(2)) + (3*log(1 + x^2))/2, x, 6),
+
+
+(1/((4 - 4*x + x^2)*(5 - 4*x + x^2)), 1/(2 - x) + atan(2 - x), x, 4),
+
+((-3 + x + x^2)/((-3 + x)*x^2), -(1/x) + log(3 - x), x, 2),
+((1 + x + 4*x^2)/(x + 4*x^3), atan(2*x)/2 + log(x), x, 4),
+((1 - x + 3*x^2)/(-x^2 + x^3), 1/x + 3*log(1 - x), x, 3),
+((4 + 3*x + x^2)/(x + x^2), x + 4*log(x) - 2*log(1 + x), x, 3),
+((4 + x + 3*x^2)/(x + x^3), atan(x) + 4*log(x) - log(1 + x^2)/2, x, 6),
+
+((7 - 4*x + 8*x^2)/((1 + 4*x)*(1 + x^2)), -atan(x) + 2*log(1 + 4*x), x, 3),
+(x^2/((-1 + x)*(1 + 2*x + x^2)), 1/(2*(1 + x)) + (1//4)*log(1 - x) + (3//4)*log(1 + x), x, 3),
+((-4 + 3*x + x^2)/((-1 + 2*x)^2*(3 + 2*x)), -(9/(32*(1 - 2*x))) + (41//128)*log(1 - 2*x) - (25//128)*log(3 + 2*x), x, 2),
+((5 - 4*x + 3*x^2)/((-1 + x)*(1 + x^2)), -3*atan(x) + 2*log(1 - x) + (1//2)*log(1 + x^2), x, 5),
+((-1 - 2*x + x^2)/((-1 + x)^2*(1 + x^2)), 1/(-1 + x) + atan(x) + log(1 - x) - (1//2)*log(1 + x^2), x, 5),
+((5 + x^3)/((10 - 6*x + x^2)*(1//2 - x + x^2)), (-(261//221))*atan(1 - 2*x) - (1026//221)*atan(3 - x) + (56//221)*log(10 - 6*x + x^2) + (109//442)*log(1 - 2*x + 2*x^2), x, 10),
+
+((4 + 3*x + x^2)/((-3 + x)*(-2 + x)*(-1 + x)), 4*log(1 - x) - 14*log(2 - x) + 11*log(3 - x), x, 2),
+((1 + 16*x)/((5 + x)^2*(-3 + 2*x)*(1 + x + x^2)), -(79/(273*(5 + x))) + (451*atan((1 + 2*x)/sqrt(3)))/(2793*sqrt(3)) + (200*log(3 - 2*x))/3211 + (2731*log(5 + x))/24843 - (481*log(1 + x + x^2))/5586, x, 6),
+
+
+((-1 + x^3)/(1 + x + x^2), -x + x^2//2, x, 2),
+((-3 + x^3)/(-7 - 6*x + x^2), 6*x + x^2//2 + (85//2)*log(7 - x) + (1//2)*log(1 + x), x, 5),
+
+((1 + x^3)/(13 + 4*x + x^2)^2, (67 + 47*x)/(18*(13 + 4*x + x^2)) - (61//54)*atan((2 + x)/3) + (1//2)*log(13 + 4*x + x^2), x, 5),
+
+
+((-32 + 36*x - 42*x^2 + 21*x^3 - 10*x^4 + 3*x^5)/(x*(1 + x^2)*(4 + x^2)^2), (4 + x^2)^(-1) + atan(x/2)/2 + 2*atan(x) - 2*log(x) + log(4 + x^2), x, 7),
+
+
+((-1 + x^4 + 7*x^5 + x^9)/(-7 + 6*x^4 + x^8), x^2//2 - atan(1 - (sqrt(2)*x)/7^(1//4))/(2*sqrt(2)*7^(3//4)) + atan(1 + (sqrt(2)*x)/7^(1//4))/(2*sqrt(2)*7^(3//4)) - atanh(x^2)/2 - log(sqrt(7) - sqrt(2)*7^(1//4)*x + x^2)/(4*sqrt(2)*7^(3//4)) + log(sqrt(7) + sqrt(2)*7^(1//4)*x + x^2)/(4*sqrt(2)*7^(3//4)), x, 17),
+((1 + x^3 + x^6)/(x + x^5), x^2//2 - atan(x^2)/2 - atan(1 - sqrt(2)*x)/(2*sqrt(2)) + atan(1 + sqrt(2)*x)/(2*sqrt(2)) + log(x) + log(1 - sqrt(2)*x + x^2)/(4*sqrt(2)) - log(1 + sqrt(2)*x + x^2)/(4*sqrt(2)) - (1//4)*log(1 + x^4), x, 18),
+
+
+# Note: This test problem formerly caused stack overflow because the degree of the polynomial 
+# 	was not properly reduced by the Ostrogradskiy-Hermite method code. *)
+# {(a + 2*b*x - a*x^2)^4/(-1 + x^2)^5, x, 14, -((4*a*b*(3*a^2 - 2*b^2))/(3*(1 - x^2)^4)) + (11*a^4*x)/(5*(1 - x^2)^4) - (48*a^2*b^2*x)/(5*(1 - x^2)^4) + (6*b^4*x)/(5*(1 - x^2)^4) + (4*a*b*(9*a^2 - 8*b^2)*x^2)/(3*(1 - x^2)^4) - ((73*a^4 - 264*a^2*b^2 + 48*b^4)*x^3)/(15*(1 - x^2)^4) - (4*a*b*(3*a^2 - 2*b^2)*x^4)/(1 - x^2)^4 + (a^2*(11*a^2 - 24*b^2)*x^5)/(3*(1 - x^2)^4) + (4*a^3*b*x^6)/(1 - x^2)^4 - (a^4*x^7)/(1 - x^2)^4 - ((8*a^4 - 24*a^2*b^2 + 3*b^4)*x)/(15*(1 - x^2)^3) - ((8*a^4 - 24*a^2*b^2 + 3*b^4)*x)/(12*(1 - x^2)^2) - ((8*a^4 - 24*a^2*b^2 + 3*b^4)*x)/(8*(1 - x^2)) - (1/8)*(8*a^4 - 24*a^2*b^2 + 3*b^4)*ArcTanh[x]}
+
+
+((1 + x^2)/(-x + x^2), x + 2*log(1 - x) - log(x), x, 3),
+
+((1 + x^3)/(-x + x^3), x + log(1 - x) - log(x), x, 3),
+((1 + x^3)/(-x^2 + x^3), x^(-1) + x + 2*log(1 - x) - log(x), x, 3),
+((-1 + x^5)/(-x + x^3), x + x^3//3 + log(x) - log(1 + x), x, 3),
+((1 + x^4)/(x^3 + x^5), -1/(2*x^2) - log(x) + log(1 + x^2), x, 4),
+
+
+# Integrands of the form (a+b*x^m)/(c*x^n+d*x^p+e*x^q) where m, n, p and q are integers
+((1 + x^2)/(x + 2*x^2 + x^3), 2/(1 + x) + log(x), x, 4),
+((1 + x^5)/(-10*x - 3*x^2 + x^3), 19*x + (3*x^2)/2 + x^3//3 + (3126*log(5 - x))/35 - log(x)/10 - (31*log(2 + x))/14, x, 3),
+
+
+((15 - 5*x + x^2 + x^3)/((5 + x^2)*(3 + 2*x + x^2)), (-sqrt(5))*atan(x/sqrt(5)) + (5*atan((1 + x)/sqrt(2)))/sqrt(2) + (1//2)*log(3 + 2*x + x^2), x, 7),
+
+(1/((1 + x^2)*(3 + 10*x/(1 + x^2))), (-(1//8))*log(3 + x) + (1//8)*log(1 + 3*x), x, 4),
+
+
+# Integrands of the form x^m/(a*x^n+b*x^p+c*x^q) where m, n, p and q are integers
+# In some of the following examples gcd cancellation should occur without also partial fraction 
+# 	expansion, since that will result in unnecessary expansion. *)
+(x^3/(13 + 2/x + 15*x), (139*x)/3375 - (13*x^2)/450 + x^3//45 - (16//567)*log(2 + 3*x) + log(1 + 5*x)/4375, x, 6),
+(x^2/(13 + 2/x + 15*x), -((13*x)/225) + x^2//30 + (8//189)*log(2 + 3*x) - (1//875)*log(1 + 5*x), x, 6),
+(x/(13 + 2/x + 15*x), x/15 - (4//63)*log(2 + 3*x) + (1//175)*log(1 + 5*x), x, 5),
+(1/(13 + 2/x + 15*x), (2//21)*log(2 + 3*x) - (1//35)*log(1 + 5*x), x, 4),
+(1/(x*(13 + 2/x + 15*x)), (-(1//7))*log(2 + 3*x) + (1//7)*log(1 + 5*x), x, 4),
+(1/(x^2*(13 + 2/x + 15*x)), log(x)/2 + (3//14)*log(2 + 3*x) - (5//7)*log(1 + 5*x), x, 6),
+(1/(x^3*(13 + 2/x + 15*x)), -(1/(2*x)) - (13*log(x))/4 - (9//28)*log(2 + 3*x) + (25//7)*log(1 + 5*x), x, 4),
+(1/(x^4*(13 + 2/x + 15*x)), -(1/(4*x^2)) + 13/(4*x) + (139*log(x))/8 + (27//56)*log(2 + 3*x) - (125//7)*log(1 + 5*x), x, 4),
+(1/(x^5*(13 + 2/x + 15*x)), -(1/(6*x^3)) + 13/(8*x^2) - 139/(8*x) - (1417*log(x))/16 - (81//112)*log(2 + 3*x) + (625//7)*log(1 + 5*x), x, 4),
+
+
+(x^2/(2 - (1 + x^2)^4), (I*sqrt(1 - I*2^(1//4))*atan(x/sqrt(1 - I*2^(1//4))))/(4*2^(3//4)) - (I*sqrt(1 + I*2^(1//4))*atan(x/sqrt(1 + I*2^(1//4))))/(4*2^(3//4)) - (sqrt(1 + 2^(1//4))*atan(x/sqrt(1 + 2^(1//4))))/(4*2^(3//4)) + (sqrt(-1 + 2^(1//4))*atanh(x/sqrt(-1 + 2^(1//4))))/(4*2^(3//4)), x, 8),
+(x^2/(2 - (1 - x^2)^4), -((sqrt(-1 + 2^(1//4))*atan(x/sqrt(-1 + 2^(1//4))))/(4*2^(3//4))) - (I*sqrt(1 - I*2^(1//4))*atanh(x/sqrt(1 - I*2^(1//4))))/(4*2^(3//4)) + (I*sqrt(1 + I*2^(1//4))*atanh(x/sqrt(1 + I*2^(1//4))))/(4*2^(3//4)) + (sqrt(1 + 2^(1//4))*atanh(x/sqrt(1 + 2^(1//4))))/(4*2^(3//4)), x, 8),
+(x^2/(2 + (1 + x^2)^4), ((-1)^(1//4)*sqrt(1 - (-2)^(1//4))*atan(x/sqrt(1 - (-2)^(1//4))))/(4*2^(3//4)) - ((-1)^(3//4)*sqrt(1 + I*(-2)^(1//4))*atan(x/sqrt(1 + I*(-2)^(1//4))))/(4*2^(3//4)) - ((-1)^(1//4)*sqrt(1 + (-2)^(1//4))*atan(x/sqrt(1 + (-2)^(1//4))))/(4*2^(3//4)) + (1//8)*I*((-2)^(1//4) + sqrt(2))*sqrt((1 + I)/((1 + I) + 2^(3//4)))*atan(sqrt((1 + I)/((1 + I) + 2^(3//4)))*x), x, 8),
+(x^2/(2 + (1 - x^2)^4), -(((-1)^(1//4)*sqrt(1 - (-2)^(1//4))*atanh(x/sqrt(1 - (-2)^(1//4))))/(4*2^(3//4))) + ((-1)^(3//4)*sqrt(1 + I*(-2)^(1//4))*atanh(x/sqrt(1 + I*(-2)^(1//4))))/(4*2^(3//4)) + ((-1)^(1//4)*sqrt(1 + (-2)^(1//4))*atanh(x/sqrt(1 + (-2)^(1//4))))/(4*2^(3//4)) - (1//8)*I*((-2)^(1//4) + sqrt(2))*sqrt((1 + I)/((1 + I) + 2^(3//4)))*atanh(sqrt((1 + I)/((1 + I) + 2^(3//4)))*x), x, 8),
+
+
+((1 - x^2)/(a + b*(1 - x^2)^4), -(atan((b^(1//8)*x)/sqrt((-a)^(1//4) - b^(1//4)))/(4*sqrt(-a)*sqrt((-a)^(1//4) - b^(1//4))*b^(3//8))) - (sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) - b^(1//4))*atan((sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) + b^(1//4)) - sqrt(2)*b^(1//8)*x)/sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) - b^(1//4))))/(4*sqrt(2)*sqrt(-a)*sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b))*b^(3//8)) + (sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) - b^(1//4))*atan((sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) + b^(1//4)) + sqrt(2)*b^(1//8)*x)/sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) - b^(1//4))))/(4*sqrt(2)*sqrt(-a)*sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b))*b^(3//8)) + atanh((b^(1//8)*x)/sqrt((-a)^(1//4) + b^(1//4)))/(4*sqrt(-a)*sqrt((-a)^(1//4) + b^(1//4))*b^(3//8)) + (sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) + b^(1//4))*log(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) - sqrt(2)*sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) + b^(1//4))*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2)*sqrt(-a)*sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b))*b^(3//8)) - (sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) + b^(1//4))*log(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) + sqrt(2)*sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) + b^(1//4))*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2)*sqrt(-a)*sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b))*b^(3//8)), x, 16),
+((1 - x^2)/(a + b*(-1 + x^2)^4), -(atan((b^(1//8)*x)/sqrt((-a)^(1//4) - b^(1//4)))/(4*sqrt(-a)*sqrt((-a)^(1//4) - b^(1//4))*b^(3//8))) - (sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) - b^(1//4))*atan((sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) + b^(1//4)) - sqrt(2)*b^(1//8)*x)/sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) - b^(1//4))))/(4*sqrt(2)*sqrt(-a)*sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b))*b^(3//8)) + (sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) - b^(1//4))*atan((sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) + b^(1//4)) + sqrt(2)*b^(1//8)*x)/sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) - b^(1//4))))/(4*sqrt(2)*sqrt(-a)*sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b))*b^(3//8)) + atanh((b^(1//8)*x)/sqrt((-a)^(1//4) + b^(1//4)))/(4*sqrt(-a)*sqrt((-a)^(1//4) + b^(1//4))*b^(3//8)) + (sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) + b^(1//4))*log(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) - sqrt(2)*sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) + b^(1//4))*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2)*sqrt(-a)*sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b))*b^(3//8)) - (sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) + b^(1//4))*log(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) + sqrt(2)*sqrt(sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b)) + b^(1//4))*b^(1//8)*x + b^(1//4)*x^2))/(8*sqrt(2)*sqrt(-a)*sqrt(sqrt(-a) + sqrt(b))*b^(3//8)), x, 17),
+
+
+((1 + x^2)^2/(a*x^6 + b*(1 + x^2)^3), atan((sqrt(a^(1//3) + b^(1//3))*x)/b^(1//6))/(3*sqrt(a^(1//3) + b^(1//3))*b^(5//6)) + atan((sqrt((-(-1)^(1//3))*a^(1//3) + b^(1//3))*x)/b^(1//6))/(3*sqrt((-(-1)^(1//3))*a^(1//3) + b^(1//3))*b^(5//6)) + atan((sqrt((-1)^(2//3)*a^(1//3) + b^(1//3))*x)/b^(1//6))/(3*sqrt((-1)^(2//3)*a^(1//3) + b^(1//3))*b^(5//6)), x, -5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^p (a+c x^4)^q
+
+
+# ::Subsubsection::
+# q>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+((d + e*x)^3/(a + c*x^4), (3*d^2*e*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*sqrt(c)) - (d*(sqrt(c)*d^2 + 3*sqrt(a)*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)) + (d*(sqrt(c)*d^2 + 3*sqrt(a)*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)) - (d*(sqrt(c)*d^2 - 3*sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)) + (d*(sqrt(c)*d^2 - 3*sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)) + (e^3*log(a + c*x^4))/(4*c), x, 15),
+((d + e*x)^2/(a + c*x^4), (d*e*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*sqrt(c)) - ((sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)) + ((sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)) - ((sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)) + ((sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(3//4)), x, 13),
+((d + e*x)^1/(a + c*x^4), (e*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*sqrt(c)) - (d*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(1//4)) + (d*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(1//4)) - (d*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(1//4)) + (d*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(1//4)), x, 13),
+((d + e*x)^0/(a + c*x^4), -(atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(1//4))) + atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(1//4)) - log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2)/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(1//4)) + log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2)/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*c^(1//4)), x, 9),
+(1/((d + e*x)^1*(a + c*x^4)), -((sqrt(c)*d^2*e*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*(c*d^4 + a*e^4))) - (c^(1//4)*d*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)) + (c^(1//4)*d*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)) + (e^3*log(d + e*x))/(c*d^4 + a*e^4) - (c^(1//4)*d*(sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)) + (c^(1//4)*d*(sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)) - (e^3*log(a + c*x^4))/(4*(c*d^4 + a*e^4)), x, 17),
+(1/((d + e*x)^2*(a + c*x^4)), -(e^3/((c*d^4 + a*e^4)*(d + e*x))) - (sqrt(c)*d*e*(c*d^4 - a*e^4)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(c*d^4 + a*e^4)^2) - (c^(1//4)*(sqrt(c)*d^2*(c*d^4 - 3*a*e^4) + sqrt(a)*e^2*(3*c*d^4 - a*e^4))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) + (c^(1//4)*(sqrt(c)*d^2*(c*d^4 - 3*a*e^4) + sqrt(a)*e^2*(3*c*d^4 - a*e^4))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) + (4*c*d^3*e^3*log(d + e*x))/(c*d^4 + a*e^4)^2 - (c^(1//4)*(sqrt(c)*d^2*(c*d^4 - 3*a*e^4) - sqrt(a)*e^2*(3*c*d^4 - a*e^4))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) + (c^(1//4)*(sqrt(c)*d^2*(c*d^4 - 3*a*e^4) - sqrt(a)*e^2*(3*c*d^4 - a*e^4))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) - (c*d^3*e^3*log(a + c*x^4))/(c*d^4 + a*e^4)^2, x, 17),
+(1/((d + e*x)^3*(a + c*x^4)), -(e^3/(2*(c*d^4 + a*e^4)*(d + e*x)^2)) - (4*c*d^3*e^3)/((c*d^4 + a*e^4)^2*(d + e*x)) - (sqrt(c)*e*(3*c^2*d^8 - 12*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*(c*d^4 + a*e^4)^3) - (c^(3//4)*d*(c^2*d^8 - 12*a*c*d^4*e^4 + 3*a^2*e^8 + 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(3*c*d^4 - 5*a*e^4))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) + (c^(3//4)*d*(c^2*d^8 - 12*a*c*d^4*e^4 + 3*a^2*e^8 + 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(3*c*d^4 - 5*a*e^4))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) + (2*c*d^2*e^3*(5*c*d^4 - 3*a*e^4)*log(d + e*x))/(c*d^4 + a*e^4)^3 - (c^(3//4)*d*(c^2*d^8 - 12*a*c*d^4*e^4 + 3*a^2*e^8 - 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(3*c*d^4 - 5*a*e^4))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) + (c^(3//4)*d*(c^2*d^8 - 12*a*c*d^4*e^4 + 3*a^2*e^8 - 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(3*c*d^4 - 5*a*e^4))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) - (c*d^2*e^3*(5*c*d^4 - 3*a*e^4)*log(a + c*x^4))/(2*(c*d^4 + a*e^4)^3), x, 17),
+
+
+((d + e*x)^3/(a + c*x^4)^2, -((a*e^3 - c*x*(d^3 + 3*d^2*e*x + 3*d*e^2*x^2))/(4*a*c*(a + c*x^4))) + (3*d^2*e*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*sqrt(c)) - (3*d*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(3//4)) + (3*d*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(3//4)) - (3*d*(sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(3//4)) + (3*d*(sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(3//4)), x, 16),
+((d + e*x)^2/(a + c*x^4)^2, (x*(d + e*x)^2)/(4*a*(a + c*x^4)) + (d*e*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*sqrt(c)) - ((3*sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(3//4)) + ((3*sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(3//4)) - ((3*sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(3//4)) + ((3*sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(3//4)), x, 14),
+((d + e*x)^1/(a + c*x^4)^2, (x*(d + e*x))/(4*a*(a + c*x^4)) + (e*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*sqrt(c)) - (3*d*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(1//4)) + (3*d*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(1//4)) - (3*d*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(1//4)) + (3*d*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(1//4)), x, 14),
+((d + e*x)^0/(a + c*x^4)^2, x/(4*a*(a + c*x^4)) - (3*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(1//4)) + (3*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(1//4)) - (3*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(1//4)) + (3*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*c^(1//4)), x, 10),
+(1/((d + e*x)^1*(a + c*x^4)^2), (a*e^3 + c*x*(d^3 - d^2*e*x + d*e^2*x^2))/(4*a*(c*d^4 + a*e^4)*(a + c*x^4)) - (sqrt(c)*d^2*e^5*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*(c*d^4 + a*e^4)^2) - (sqrt(c)*d^2*e*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*(c*d^4 + a*e^4)) - (c^(1//4)*d*e^4*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) - (c^(1//4)*d*(3*sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)) + (c^(1//4)*d*e^4*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) + (c^(1//4)*d*(3*sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)) + (e^7*log(d + e*x))/(c*d^4 + a*e^4)^2 - (c^(1//4)*d*e^4*(sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) - (c^(1//4)*d*(3*sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)) + (c^(1//4)*d*e^4*(sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) + (c^(1//4)*d*(3*sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)) - (e^7*log(a + c*x^4))/(4*(c*d^4 + a*e^4)^2), x, 31),
+(1/((d + e*x)^2*(a + c*x^4)^2), -(e^7/((c*d^4 + a*e^4)^2*(d + e*x))) + (c*(4*a*d^3*e^3 + x*(d^2*(c*d^4 - 3*a*e^4) - 2*d*e*(c*d^4 - a*e^4)*x + e^2*(3*c*d^4 - a*e^4)*x^2)))/(4*a*(c*d^4 + a*e^4)^2*(a + c*x^4)) - (sqrt(c)*d*e^5*(3*c*d^4 - a*e^4)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(c*d^4 + a*e^4)^3) - (sqrt(c)*d*e*(c*d^4 - a*e^4)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*(c*d^4 + a*e^4)^2) - (c^(1//4)*(3*sqrt(c)*d^2*(c*d^4 - 3*a*e^4) + sqrt(a)*e^2*(3*c*d^4 - a*e^4))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) - (c^(1//4)*e^4*(sqrt(c)*d^2*(5*c*d^4 - 3*a*e^4) + sqrt(a)*e^2*(7*c*d^4 - a*e^4))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) + (c^(1//4)*(3*sqrt(c)*d^2*(c*d^4 - 3*a*e^4) + sqrt(a)*e^2*(3*c*d^4 - a*e^4))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) + (c^(1//4)*e^4*(sqrt(c)*d^2*(5*c*d^4 - 3*a*e^4) + sqrt(a)*e^2*(7*c*d^4 - a*e^4))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) + (8*c*d^3*e^7*log(d + e*x))/(c*d^4 + a*e^4)^3 - (c^(1//4)*(3*sqrt(c)*d^2*(c*d^4 - 3*a*e^4) - sqrt(a)*e^2*(3*c*d^4 - a*e^4))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) - (c^(1//4)*e^4*(sqrt(c)*d^2*(5*c*d^4 - 3*a*e^4) - sqrt(a)*e^2*(7*c*d^4 - a*e^4))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) + (c^(1//4)*(3*sqrt(c)*d^2*(c*d^4 - 3*a*e^4) - sqrt(a)*e^2*(3*c*d^4 - a*e^4))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) + (c^(1//4)*e^4*(sqrt(c)*d^2*(5*c*d^4 - 3*a*e^4) - sqrt(a)*e^2*(7*c*d^4 - a*e^4))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) - (2*c*d^3*e^7*log(a + c*x^4))/(c*d^4 + a*e^4)^3, x, 31),
+(1/((d + e*x)^3*(a + c*x^4)^2), -(e^7/(2*(c*d^4 + a*e^4)^2*(d + e*x)^2)) - (8*c*d^3*e^7)/((c*d^4 + a*e^4)^3*(d + e*x)) + (c*(2*a*d^2*e^3*(5*c*d^4 - 3*a*e^4) + x*(d*(c^2*d^8 - 12*a*c*d^4*e^4 + 3*a^2*e^8) - e*(3*c^2*d^8 - 12*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8)*x + 2*c*d^3*e^2*(3*c*d^4 - 5*a*e^4)*x^2)))/(4*a*(c*d^4 + a*e^4)^3*(a + c*x^4)) - (sqrt(c)*e^5*(21*c^2*d^8 - 26*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*(c*d^4 + a*e^4)^4) - (sqrt(c)*e*(3*c^2*d^8 - 12*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*(c*d^4 + a*e^4)^3) - (c^(3//4)*d*(3*c^2*d^8 - 36*a*c*d^4*e^4 + 9*a^2*e^8 + 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(3*c*d^4 - 5*a*e^4))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) - (c^(3//4)*d*e^4*(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(7*c*d^4 - 5*a*e^4) + 3*(5*c^2*d^8 - 10*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^4) + (c^(3//4)*d*(3*c^2*d^8 - 36*a*c*d^4*e^4 + 9*a^2*e^8 + 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(3*c*d^4 - 5*a*e^4))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) + (c^(3//4)*d*e^4*(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(7*c*d^4 - 5*a*e^4) + 3*(5*c^2*d^8 - 10*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^4) + (12*c*d^2*e^7*(3*c*d^4 - a*e^4)*log(d + e*x))/(c*d^4 + a*e^4)^4 - (c^(3//4)*d*(3*c^2*d^8 - 36*a*c*d^4*e^4 + 9*a^2*e^8 - 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(3*c*d^4 - 5*a*e^4))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) + (c^(3//4)*d*e^4*(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(7*c*d^4 - 5*a*e^4) - 3*(5*c^2*d^8 - 10*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^4) + (c^(3//4)*d*(3*c^2*d^8 - 36*a*c*d^4*e^4 + 9*a^2*e^8 - 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(3*c*d^4 - 5*a*e^4))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) - (c^(3//4)*d*e^4*(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(7*c*d^4 - 5*a*e^4) - 3*(5*c^2*d^8 - 10*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^4) - (3*c*d^2*e^7*(3*c*d^4 - a*e^4)*log(a + c*x^4))/(c*d^4 + a*e^4)^4, x, 31),
+
+
+((d + e*x)^3/(a + c*x^4)^3, (x*(7*d^3 + 18*d^2*e*x + 15*d*e^2*x^2))/(32*a^2*(a + c*x^4)) - (a*e^3 - c*x*(d^3 + 3*d^2*e*x + 3*d*e^2*x^2))/(8*a*c*(a + c*x^4)^2) + (9*d^2*e*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*sqrt(c)) - (3*d*(7*sqrt(c)*d^2 + 5*sqrt(a)*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(3//4)) + (3*d*(7*sqrt(c)*d^2 + 5*sqrt(a)*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(3//4)) - (3*d*(7*sqrt(c)*d^2 - 5*sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(3//4)) + (3*d*(7*sqrt(c)*d^2 - 5*sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(3//4)), x, 15),
+((d + e*x)^2/(a + c*x^4)^3, (x*(d + e*x)^2)/(8*a*(a + c*x^4)^2) + (x*(7*d^2 + 12*d*e*x + 5*e^2*x^2))/(32*a^2*(a + c*x^4)) + (3*d*e*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*sqrt(c)) - ((21*sqrt(c)*d^2 + 5*sqrt(a)*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(3//4)) + ((21*sqrt(c)*d^2 + 5*sqrt(a)*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(3//4)) - ((21*sqrt(c)*d^2 - 5*sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(3//4)) + ((21*sqrt(c)*d^2 - 5*sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(3//4)), x, 15),
+((d + e*x)^1/(a + c*x^4)^3, (x*(d + e*x))/(8*a*(a + c*x^4)^2) + (x*(7*d + 6*e*x))/(32*a^2*(a + c*x^4)) + (3*e*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*sqrt(c)) - (21*d*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(1//4)) + (21*d*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(1//4)) - (21*d*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(1//4)) + (21*d*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(1//4)), x, 15),
+((d + e*x)^0/(a + c*x^4)^3, x/(8*a*(a + c*x^4)^2) + (7*x)/(32*a^2*(a + c*x^4)) - (21*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(1//4)) + (21*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(1//4)) - (21*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(1//4)) + (21*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*c^(1//4)), x, 11),
+(1/((d + e*x)^1*(a + c*x^4)^3), (c*x*(7*d^3 - 6*d^2*e*x + 5*d*e^2*x^2))/(32*a^2*(c*d^4 + a*e^4)*(a + c*x^4)) + (a*e^3 + c*x*(d^3 - d^2*e*x + d*e^2*x^2))/(8*a*(c*d^4 + a*e^4)*(a + c*x^4)^2) + (e^4*(a*e^3 + c*x*(d^3 - d^2*e*x + d*e^2*x^2)))/(4*a*(c*d^4 + a*e^4)^2*(a + c*x^4)) - (sqrt(c)*d^2*e^9*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*(c*d^4 + a*e^4)^3) - (sqrt(c)*d^2*e^5*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*(c*d^4 + a*e^4)^2) - (3*sqrt(c)*d^2*e*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*(c*d^4 + a*e^4)) - (c^(1//4)*d*e^8*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) - (c^(1//4)*d*e^4*(3*sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) - (c^(1//4)*d*(21*sqrt(c)*d^2 + 5*sqrt(a)*e^2)*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^4 + a*e^4)) + (c^(1//4)*d*e^8*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) + (c^(1//4)*d*e^4*(3*sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) + (c^(1//4)*d*(21*sqrt(c)*d^2 + 5*sqrt(a)*e^2)*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^4 + a*e^4)) + (e^11*log(d + e*x))/(c*d^4 + a*e^4)^3 - (c^(1//4)*d*e^8*(sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) - (c^(1//4)*d*e^4*(3*sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) - (c^(1//4)*d*(21*sqrt(c)*d^2 - 5*sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^4 + a*e^4)) + (c^(1//4)*d*e^8*(sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) + (c^(1//4)*d*e^4*(3*sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) + (c^(1//4)*d*(21*sqrt(c)*d^2 - 5*sqrt(a)*e^2)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^4 + a*e^4)) - (e^11*log(a + c*x^4))/(4*(c*d^4 + a*e^4)^3), x, 46),
+(1/((d + e*x)^2*(a + c*x^4)^3), -(e^11/((c*d^4 + a*e^4)^3*(d + e*x))) + (c*x*(7*d^2*(c*d^4 - 3*a*e^4) - 12*d*e*(c*d^4 - a*e^4)*x + 5*e^2*(3*c*d^4 - a*e^4)*x^2))/(32*a^2*(c*d^4 + a*e^4)^2*(a + c*x^4)) + (c*(4*a*d^3*e^3 + x*(d^2*(c*d^4 - 3*a*e^4) - 2*d*e*(c*d^4 - a*e^4)*x + e^2*(3*c*d^4 - a*e^4)*x^2)))/(8*a*(c*d^4 + a*e^4)^2*(a + c*x^4)^2) + (c*e^4*(8*a*d^3*e^3 + x*(d^2*(5*c*d^4 - 3*a*e^4) - 2*d*e*(3*c*d^4 - a*e^4)*x + e^2*(7*c*d^4 - a*e^4)*x^2)))/(4*a*(c*d^4 + a*e^4)^3*(a + c*x^4)) - (sqrt(c)*d*e^9*(5*c*d^4 - a*e^4)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(c*d^4 + a*e^4)^4) - (sqrt(c)*d*e^5*(3*c*d^4 - a*e^4)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*(c*d^4 + a*e^4)^3) - (3*sqrt(c)*d*e*(c*d^4 - a*e^4)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*(c*d^4 + a*e^4)^2) - (c^(1//4)*(21*sqrt(c)*d^2*(c*d^4 - 3*a*e^4) + 5*sqrt(a)*e^2*(3*c*d^4 - a*e^4))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) - (c^(1//4)*e^4*(3*sqrt(c)*d^2*(5*c*d^4 - 3*a*e^4) + sqrt(a)*e^2*(7*c*d^4 - a*e^4))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) - (c^(1//4)*e^8*(3*sqrt(c)*d^2*(3*c*d^4 - a*e^4) + sqrt(a)*e^2*(11*c*d^4 - a*e^4))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^4) + (c^(1//4)*(21*sqrt(c)*d^2*(c*d^4 - 3*a*e^4) + 5*sqrt(a)*e^2*(3*c*d^4 - a*e^4))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) + (c^(1//4)*e^4*(3*sqrt(c)*d^2*(5*c*d^4 - 3*a*e^4) + sqrt(a)*e^2*(7*c*d^4 - a*e^4))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) + (c^(1//4)*e^8*(3*sqrt(c)*d^2*(3*c*d^4 - a*e^4) + sqrt(a)*e^2*(11*c*d^4 - a*e^4))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^4) + (12*c*d^3*e^11*log(d + e*x))/(c*d^4 + a*e^4)^4 - (c^(1//4)*e^8*(9*c^(3//2)*d^6 - 11*sqrt(a)*c*d^4*e^2 - 3*a*sqrt(c)*d^2*e^4 + a^(3//2)*e^6)*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^4) - (c^(1//4)*(21*sqrt(c)*d^2*(c*d^4 - 3*a*e^4) - 5*sqrt(a)*e^2*(3*c*d^4 - a*e^4))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) - (c^(1//4)*e^4*(3*sqrt(c)*d^2*(5*c*d^4 - 3*a*e^4) - sqrt(a)*e^2*(7*c*d^4 - a*e^4))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) + (c^(1//4)*e^8*(9*c^(3//2)*d^6 - 11*sqrt(a)*c*d^4*e^2 - 3*a*sqrt(c)*d^2*e^4 + a^(3//2)*e^6)*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^4) + (c^(1//4)*(21*sqrt(c)*d^2*(c*d^4 - 3*a*e^4) - 5*sqrt(a)*e^2*(3*c*d^4 - a*e^4))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2) + (c^(1//4)*e^4*(3*sqrt(c)*d^2*(5*c*d^4 - 3*a*e^4) - sqrt(a)*e^2*(7*c*d^4 - a*e^4))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) - (3*c*d^3*e^11*log(a + c*x^4))/(c*d^4 + a*e^4)^4, x, 46),
+(1/((d + e*x)^3*(a + c*x^4)^3), -(e^11/(2*(c*d^4 + a*e^4)^3*(d + e*x)^2)) - (12*c*d^3*e^11)/((c*d^4 + a*e^4)^4*(d + e*x)) + (c*x*(7*d*(c^2*d^8 - 12*a*c*d^4*e^4 + 3*a^2*e^8) - 6*e*(3*c^2*d^8 - 12*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8)*x + 10*c*d^3*e^2*(3*c*d^4 - 5*a*e^4)*x^2))/(32*a^2*(c*d^4 + a*e^4)^3*(a + c*x^4)) + (c*(2*a*d^2*e^3*(5*c*d^4 - 3*a*e^4) + x*(d*(c^2*d^8 - 12*a*c*d^4*e^4 + 3*a^2*e^8) - e*(3*c^2*d^8 - 12*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8)*x + 2*c*d^3*e^2*(3*c*d^4 - 5*a*e^4)*x^2)))/(8*a*(c*d^4 + a*e^4)^3*(a + c*x^4)^2) + (c*e^4*(12*a*d^2*e^3*(3*c*d^4 - a*e^4) + x*(3*d*(5*c^2*d^8 - 10*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8) - e*(21*c^2*d^8 - 26*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8)*x + 4*c*d^3*e^2*(7*c*d^4 - 5*a*e^4)*x^2)))/(4*a*(c*d^4 + a*e^4)^4*(a + c*x^4)) - (sqrt(c)*e^9*(55*c^2*d^8 - 40*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*(c*d^4 + a*e^4)^5) - (sqrt(c)*e^5*(21*c^2*d^8 - 26*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*(c*d^4 + a*e^4)^4) - (3*sqrt(c)*e*(3*c^2*d^8 - 12*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8)*atan((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*(c*d^4 + a*e^4)^3) - (3*c^(3//4)*d*e^8*(15*c^2*d^8 - 16*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8 + 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(11*c*d^4 - 5*a*e^4))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^5) - (c^(3//4)*d*e^4*(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(7*c*d^4 - 5*a*e^4) + 9*(5*c^2*d^8 - 10*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^4) - (c^(3//4)*d*(10*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(3*c*d^4 - 5*a*e^4) + 21*(c^2*d^8 - 12*a*c*d^4*e^4 + 3*a^2*e^8))*atan(1 - (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) + (3*c^(3//4)*d*e^8*(15*c^2*d^8 - 16*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8 + 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(11*c*d^4 - 5*a*e^4))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(2*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^5) + (c^(3//4)*d*e^4*(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(7*c*d^4 - 5*a*e^4) + 9*(5*c^2*d^8 - 10*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(8*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^4) + (c^(3//4)*d*(10*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(3*c*d^4 - 5*a*e^4) + 21*(c^2*d^8 - 12*a*c*d^4*e^4 + 3*a^2*e^8))*atan(1 + (sqrt(2)*c^(1//4)*x)/a^(1//4)))/(64*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) + (6*c*d^2*e^11*(13*c*d^4 - 3*a*e^4)*log(d + e*x))/(c*d^4 + a*e^4)^5 - (3*c^(3//4)*d*e^8*(15*c^2*d^8 - 16*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8 - 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(11*c*d^4 - 5*a*e^4))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^5) + (c^(3//4)*d*e^4*(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(7*c*d^4 - 5*a*e^4) - 9*(5*c^2*d^8 - 10*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^4) + (c^(3//4)*d*(10*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(3*c*d^4 - 5*a*e^4) - 21*(c^2*d^8 - 12*a*c*d^4*e^4 + 3*a^2*e^8))*log(sqrt(a) - sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) + (3*c^(3//4)*d*e^8*(15*c^2*d^8 - 16*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8 - 2*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(11*c*d^4 - 5*a*e^4))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(4*sqrt(2)*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)^5) - (c^(3//4)*d*e^4*(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(7*c*d^4 - 5*a*e^4) - 9*(5*c^2*d^8 - 10*a*c*d^4*e^4 + a^2*e^8))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(16*sqrt(2)*a^(7//4)*(c*d^4 + a*e^4)^4) - (c^(3//4)*d*(10*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2*(3*c*d^4 - 5*a*e^4) - 21*(c^2*d^8 - 12*a*c*d^4*e^4 + 3*a^2*e^8))*log(sqrt(a) + sqrt(2)*a^(1//4)*c^(1//4)*x + sqrt(c)*x^2))/(128*sqrt(2)*a^(11//4)*(c*d^4 + a*e^4)^3) - (3*c*d^2*e^11*(13*c*d^4 - 3*a*e^4)*log(a + c*x^4))/(2*(c*d^4 + a*e^4)^5), x, 46),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Integrands requiring algebraic simplification
+
+
+# Following pairs of integrands are equal.
+((-1 + x)/(1 - x + x^2), atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) + (1//2)*log(1 - x + x^2), x, 4),
+((-1 + x^2)/(1 + x^3), atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) + (1//2)*log(1 - x + x^2), x, 5),
+
+((-4 + 3*x)/(4 - 2*x + x^2), atan((1 - x)/sqrt(3))/sqrt(3) + (3//2)*log(4 - 2*x + x^2), x, 4),
+((-8 + 2*x + 3*x^2)/(8 + x^3), atan((1 - x)/sqrt(3))/sqrt(3) + (3//2)*log(4 - 2*x + x^2), x, 5),
+
+((2 + x)/(-1 + 2*x + x^2), (1//4)*(2 + sqrt(2))*log(1 - sqrt(2) + x) + (1//4)*(2 - sqrt(2))*log(1 + sqrt(2) + x), x, 3),
+((-4 + x^2)/(2 - 5*x + x^3), (1//4)*(2 + sqrt(2))*log(1 - sqrt(2) + x) + (1//4)*(2 - sqrt(2))*log(1 + sqrt(2) + x), x, 4),
+
+(2/(-1 + 4*x^2), -atanh(2*x), x, 2),
+(1/(-1 + 2*x) - 1/(1 + 2*x), (1//2)*log(1 - 2*x) - (1//2)*log(1 + 2*x), x, 1),
+
+(x/(1 - x^2)^5, 1/(8*(1 - x^2)^4), x, 1),
+# {-(1/(32*(-1 + x)^5)) + 3/(64*(-1 + x)^4) - 5/(128*(-1 + x)^3) + 5/(256*(-1 + x)^2) - 1/(32*(1 + x)^5) - 3/(64*(1 + x)^4) - 5/(128*(1 + x)^3) - 5/(256*(1 + x)^2), x, 1, 1/(8*(1 - x^2)^4), 1/(128*(1 - x)^4) + 1/(64*(1 - x)^3) + 5/(256*(1 - x)^2) + 5/(256*(1 - x)) + 1/(128*(1 + x)^4) + 1/(64*(1 + x)^3) + 5/(256*(1 + x)^2) + 5/(256*(1 + x))}
+
+((1 + x^6)/(-1 + x^6), x + atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) - atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) - (2*atanh(x))/3 + (1//6)*log(1 - x + x^2) - (1//6)*log(1 + x + x^2), x, 11),
+((1/x^3 + x^3)/(-(1/x^3) + x^3), x + atan((1 - 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) - atan((1 + 2*x)/sqrt(3))/sqrt(3) - (2*atanh(x))/3 + (1//6)*log(1 - x + x^2) - (1//6)*log(1 + x + x^2), x, 13),
+
+
+# ::Title::Closed::
+# Miscellaneous rational function integration problems
+
+
+((-x + x^3)/(6 + 2*x), 4*x - (3*x^2)/4 + x^3//6 - 12*log(3 + x), x, 3),
+((x + x^3)/(-1 + x), 2*x + x^2//2 + x^3//3 + 2*log(1 - x), x, 3),
+
+
+(a*c+(d+b*c)*x, a*c*x + (1//2)*(b*c + d)*x^2, x, 1),
+(d*x + c*(a + b*x), (d*x^2)/2 + (c*(a + b*x)^2)/(2*b), x, 1),
+
+
+((4 + 4*x)/(x^2*(1 + x^2)), -4/x - 4*atan(x) + 4*log(x) - 2*log(1 + x^2), x, 5),
+((24 + 8*x)/(x*(-4 + x^2)), 5*log(2 - x) - 6*log(x) + log(2 + x), x, 2),
+
+
+((-1 + x^2)/(-2*x + x^3), log(x)/2 + (1//4)*log(2 - x^2), x, 4),
+((1 + x^2)/(3*x + x^3), (1//3)*log(3*x + x^3), x, 1),
+((a + 3*b*x^2)/(a*x + b*x^3), log(a*x + b*x^3), x, 1),
+
+
+((-2 + 4*x)/(-x + x^3), log(1 - x) + 2*log(x) - 3*log(1 + x), x, 3),
+((4 + x)/(4*x + x^3), (1//2)*atan(x/2) + log(x) - (1//2)*log(4 + x^2), x, 6),
+
+((-x + 2*x^3)/(1 - x^2 + x^4), log(1 - x^2 + x^4)/2, x, 1),
+
+((-3 + x)/(2*x + 3*x^2 + x^3), -((3*log(x))/2) + 4*log(1 + x) - (5//2)*log(2 + x), x, 3),
+((2 + 4*x)/(x^2 + 2*x^3 + x^4), -(2/(x*(1 + x))), x, 3),
+((1 + x)/(-6*x + x^2 + x^3), (3//10)*log(2 - x) - log(x)/6 - (2//15)*log(3 + x), x, 3),
+
+((4*x^2 + x^3)/(x + x^3), x - atan(x) + 2*log(1 + x^2), x, 6),
+((x + 2*x^3)/(x^2 + x^4)^3, -(1/(4*(x^2 + x^4)^2)), x, 1),
+((a*x^2 + b*x^3)/(c*x^2 + d*x^3), (b*x)/d - ((b*c - a*d)*log(c + d*x))/d^2, x, 4),
+((x + x^2)/(-2*x - x^2 + x^3), log(2 - x), x, 2),
+
+
+((1 - 5*x^2)/(x^3*(1 + x^2)), -(1/(2*x^2)) - 6*log(x) + 3*log(1 + x^2), x, 3),
+((2*x)/((-1 + x)*(5 + x^2)), (1//3)*sqrt(5)*atan(x/sqrt(5)) + (1//3)*log(1 - x) - (1//6)*log(5 + x^2), x, 6),
+((2 + x^2)/(2 + x), -2*x + x^2//2 + 6*log(2 + x), x, 2),
+(1/((-3 + x)*(4 + x^2)), (-(3//26))*atan(x/2) + (1//13)*log(3 - x) - (1//26)*log(4 + x^2), x, 5),
+((-2 + 3*x^6)/(x*(5 + 2*x^6)), (-2*log(x))/5 + (19*log(5 + 2*x^6))/60, x, 3),
+
+
+((3 + 2*x)/((-2 + x)*(5 + x)), log(2 - x) + log(5 + x), x, 2),
+(x^4/(4 + 5*x^2 + x^4), x - (8//3)*atan(x/2) + atan(x)/3, x, 4),
+(1/((1 + x)*(2 + x)^2*(3 + x)^3), 1/(2 + x) + 1/(4*(3 + x)^2) + 5/(4*(3 + x)) + (1//8)*log(1 + x) + 2*log(2 + x) - (17//8)*log(3 + x), x, 2),
+(x/(-1 + x^2), (1//2)*log(1 - x^2), x, 1),
+((-1 + x^2)^(-2), x/(2*(1 - x^2)) + atanh(x)/2, x, 2),
+(x^2/(1 + x^2)^2, -(x/(2*(1 + x^2))) + atan(x)/2, x, 2),
+(1/(2 + 3*x), log(2 + 3*x)/3, x, 1),
+(1/(a^2 + x^2), atan(x/a)/a, x, 1),
+(1/(a + b*x^2), atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a))/(sqrt(a)*sqrt(b)), x, 1),
+(1/(2 - x + x^2), -((2*atan((1 - 2*x)/sqrt(7)))/sqrt(7)), x, 2),
+
+
+(x^2*(4 - x^2)^2, (16*x^3)/3 - (8*x^5)/5 + x^7//7, x, 2),
+(x*(1 - x^3)^2, x^2//2 - (2*x^5)/5 + x^8//8, x, 2),
+((-4 + 5*x^2 + x^3)/x^2, 4/x + 5*x + x^2//2, x, 2),
+((-1 + x)/(3 - 4*x + 3*x^2), atan((2 - 3*x)/sqrt(5))/(3*sqrt(5)) + (1//6)*log(3 - 4*x + 3*x^2), x, 4),
+
+
+((2 + x^3)^2, 4*x + x^4 + x^7//7, x, 2),
+((-4 + x^2)/(2 + x), -2*x + x^2//2, x, 2),
+(1/((2 + x)*(1 + x^2)), (2*atan(x))/5 + (1//5)*log(2 + x) - (1//10)*log(1 + x^2), x, 5),
+(1/((1 + x)*(1 + x^2)), atan(x)/2 + (1//2)*log(1 + x) - (1//4)*log(1 + x^2), x, 5),
+(x/((1 + x)*(1 + x^2)), atan(x)/2 - (1//2)*log(1 + x) + (1//4)*log(1 + x^2), x, 5),
+# {(2*x + x^2)/(1 + x)^2, x, 2, x^2/(1 + x), x + 1/(1 + x)}
+((-10 + x^2)/(4 + 9*x^2 + 2*x^4), atan(x/2) - (3*atan(sqrt(2)*x))/sqrt(2), x, 3),
+((31 + 5*x)/(11 - 4*x + 3*x^2), -((103*atan((2 - 3*x)/sqrt(29)))/(3*sqrt(29))) + (5//6)*log(11 - 4*x + 3*x^2), x, 4),
+
+
+((-2 + x^2 + x^3)/x^4, 2/(3*x^3) - x^(-1) + log(x), x, 2),
+((1 + x + x^3)/x^2, -(1/x) + x^2//2 + log(x), x, 2),
+((-2 + x^2)/(x*(2 + x^2)), -log(x) + log(2 + x^2), x, 3),
+
+
+((-3 + x)*(-7 + 4*x^2), 21*x - 4*x^3 + (1//16)*(7 - 4*x^2)^2, x, 2),
+((-2 + 7*x)^3, (1//28)*(2 - 7*x)^4, x, 1),
+((-7 + 4*x^2)/(3 + 2*x), -3*x + x^2 + log(3 + 2*x), x, 2),
+((1 + x)/((-1 + x)*x^2), 1/x + 2*log(1 - x) - 2*log(x), x, 2),
+
+
+(1/(4*x^2 + 4*x^3 + x^4), (1 + x)/(2*(1 - (1 + x)^2)) + (1//2)*atanh(1 + x), x, 3),
+((1 + x^2)/(1 + x), -x + x^2//2 + 2*log(1 + x), x, 2),
+((-1 + 3*x - 3*x^2 + x^3)/x^2, 1/x - 3*x + x^2//2 + 3*log(x), x, 2),
+(((3 - sqrt(37))/2 + x)*((3 + sqrt(37))/2 + x), -7*x + (3*x^2)/2 + x^3//3, x, 2),
+
+
+((4 + 3*x^2 + 2*x^3)/(1 + x)^4, -5/(3*(1 + x)^3) + 3/(1 + x) + 2*log(1 + x), x, 2),
+(x/((1 + x)^2*(1 + x^2)), 1/(2*(1 + x)) + atan(x)/2, x, 3),
+((7 - 2*x + 3*x^2 - x^3 + x^4)/(2 + x), -20*x + (9*x^2)/2 - x^3 + x^4//4 + 47*log(2 + x), x, 2),
+((-1 + x^3)/(-1 + x), x + x^2//2 + x^3//3, x, 2),
+((2 + 2*x)/((-1 + x)^3*(1 + x^2)), -(1/(1 - x)^2) + 1/(-1 + x) + atan(x), x, 3),
+
+
+(1/(b*x + c*(d + e*x)^2), -((2*atanh((b + 2*c*e*(d + e*x))/(sqrt(b)*sqrt(b + 4*c*d*e))))/(sqrt(b)*sqrt(b + 4*c*d*e))), x, 3),
+(1/(a + b*x + c*(d + e*x)^2), -((2*atanh((b + 2*c*e*(d + e*x))/sqrt(b^2 + 4*b*c*d*e - 4*a*c*e^2)))/sqrt(b^2 + 4*b*c*d*e - 4*a*c*e^2)), x, 3),
+
+
+(x^2/(1 + (-1 + x^2)^2), (-(1//2))*sqrt((1//2)*(1 + sqrt(2)))*atan((sqrt(2*(1 + sqrt(2))) - 2*x)/sqrt(2*(-1 + sqrt(2)))) + (1//2)*sqrt((1//2)*(1 + sqrt(2)))*atan((sqrt(2*(1 + sqrt(2))) + 2*x)/sqrt(2*(-1 + sqrt(2)))) + log(sqrt(2) - sqrt(2*(1 + sqrt(2)))*x + x^2)/(4*sqrt(2*(1 + sqrt(2)))) - log(sqrt(2) + sqrt(2*(1 + sqrt(2)))*x + x^2)/(4*sqrt(2*(1 + sqrt(2)))), x, 10),
+
+
+# Following integrands are equal.
+# Requires the Ostrogradskiy-Hermite method
+(-((15 - 36*x + 5*x^2 + 12*x^3 - 34*x^4 + 140*x^5 + 15*x^6 + 8*x^7 - 30*x^9)/(3 + x + x^4)^4), 2/(3 + x + x^4)^3 - (3*x)/(3 + x + x^4)^3 + (5*x^2)/(3 + x + x^4)^3 + x^4/(3 + x + x^4)^3 - (5*x^6)/(3 + x + x^4)^3, x, 5),
+((3*(-47 + 228*x + 120*x^2 + 19*x^3))/(3 + x + x^4)^4 + (42 - 320*x - 75*x^2 - 8*x^3)/(3 + x + x^4)^3 + (30*x)/(3 + x + x^4)^2, (2 - 3*x + 5*x^2 + x^4 - 5*x^6)/(3 + x + x^4)^3, x, -7),
+((-3 + 10*x + 4*x^3 - 30*x^5)/(3 + x + x^4)^3 - (3*(1 + 4*x^3)*(2 - 3*x + 5*x^2 + x^4 - 5*x^6))/(3 + x + x^4)^4, (2 - 3*x + 5*x^2 + x^4 - 5*x^6)/(3 + x + x^4)^3, x, -13),
+]
+# Total integrals translated: 481
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.3 Miscellaneous/1.3.2 Algebraic functions.jl b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.3 Miscellaneous/1.3.2 Algebraic functions.jl
new file mode 100644
index 00000000..f7bc79da
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/1 Algebraic functions/1.3 Miscellaneous/1.3.2 Algebraic functions.jl	
@@ -0,0 +1,2176 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+file_tests = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form u (a+b x^3)^p
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c+d x)^m (a+b x^3)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form 1 / ((c+d x) Sqrt[a+b x^3]) with b c^3 - 4 a d^3=0
+
+
+(1/((2^(2//3) + x)*sqrt(1 + x^3)), (2*atan((sqrt(3)*(1 + 2^(1//3)*x))/sqrt(1 + x^3)))/(3*sqrt(3)) + (2*2^(1//3)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+(1/((2^(2//3) - x)*sqrt(1 - x^3)), -((2*atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*x))/sqrt(1 - x^3)))/(3*sqrt(3))) - (2*2^(1//3)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 4),
+(1/((2^(2//3) - x)*sqrt(-1 + x^3)), -((2*atanh((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*x))/sqrt(-1 + x^3)))/(3*sqrt(3))) - (2*2^(1//3)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 4),
+(1/((2^(2//3) + x)*sqrt(-1 - x^3)), (2*atanh((sqrt(3)*(1 + 2^(1//3)*x))/sqrt(-1 - x^3)))/(3*sqrt(3)) + (2*2^(1//3)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 4),
+
+
+(1/((2^(2//3)*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(a + b*x^3)), (2*atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*b^(1//3)*x))/sqrt(a + b*x^3)))/(3*sqrt(3)*sqrt(a)*b^(1//3)) + (2*2^(1//3)*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(1/((2^(2//3)*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(a - b*x^3)), -((2*atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*b^(1//3)*x))/sqrt(a - b*x^3)))/(3*sqrt(3)*sqrt(a)*b^(1//3))) - (2*2^(1//3)*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a - b*x^3)), x, 4),
+(1/((2^(2//3)*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(-a + b*x^3)), -((2*atanh((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*b^(1//3)*x))/sqrt(-a + b*x^3)))/(3*sqrt(3)*sqrt(a)*b^(1//3))) - (2*2^(1//3)*sqrt(2 - sqrt(3))*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a + b*x^3)), x, 4),
+(1/((2^(2//3)*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(-a - b*x^3)), (2*atanh((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*b^(1//3)*x))/sqrt(-a - b*x^3)))/(3*sqrt(3)*sqrt(a)*b^(1//3)) + (2*2^(1//3)*sqrt(2 - sqrt(3))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(1//3)*b^(1//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a - b*x^3)), x, 4),
+
+
+(1/((c + d*x)*sqrt(c^3 + 4*d^3*x^3)), (2*atan((sqrt(3)*sqrt(c)*(c + 2*d*x))/sqrt(c^3 + 4*d^3*x^3)))/(3*sqrt(3)*c^(3//2)*d) + (2*2^(1//3)*sqrt(2 + sqrt(3))*(c + 2^(2//3)*d*x)*sqrt((c^2 - 2^(2//3)*c*d*x + 2*2^(1//3)*d^2*x^2)/((1 + sqrt(3))*c + 2^(2//3)*d*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c + 2^(2//3)*d*x)/((1 + sqrt(3))*c + 2^(2//3)*d*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*c*d*sqrt((c*(c + 2^(2//3)*d*x))/((1 + sqrt(3))*c + 2^(2//3)*d*x)^2)*sqrt(c^3 + 4*d^3*x^3)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form 1 / ((c+d x) Sqrt[a+b x^3]) with b^2 c^6-20 a b c^3 d^3-8 a^2 d^6=0
+
+
+(1/((1 + sqrt(3) + x)*sqrt(1 + x^3)), atan((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*(1 + x))/sqrt(1 + x^3))/sqrt(3*(3 + 2*sqrt(3))) + (sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+(1/((1 + sqrt(3) - x)*sqrt(1 - x^3)), -(atan((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*(1 - x))/sqrt(1 - x^3))/sqrt(3*(3 + 2*sqrt(3)))) - (sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 4),
+(1/((1 + sqrt(3) - x)*sqrt(-1 + x^3)), -(atanh((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*(1 - x))/sqrt(-1 + x^3))/sqrt(3*(3 + 2*sqrt(3)))) - (sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 4),
+(1/((1 + sqrt(3) + x)*sqrt(-1 - x^3)), atanh((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*(1 + x))/sqrt(-1 - x^3))/sqrt(3*(3 + 2*sqrt(3))) + (sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form 1 / ((c+d x) Sqrt[a+b x^3])
+
+
+(1/((3 + x)*sqrt(1 + x^3)), ((1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*atan((sqrt(13//2)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2))/sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)))/(sqrt(26)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)) + (2*sqrt(26 + 15*sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)) + (4*3^(1//4)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(97 - 56*sqrt(3), -asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt(2 - sqrt(3))*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 8),
+(1/((3 + x)*sqrt(1 - x^3)), -(((1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*atanh((sqrt(7)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2))/(2*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2))))/(2*sqrt(7)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3))) - (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*(4 + sqrt(3))*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((1//169)*(553 + 304*sqrt(3)), -asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(13*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 8),
+(1/((3 + x)*sqrt(-1 + x^3)), -(((1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*atanh((sqrt(7)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2))/(2*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2))))/(2*sqrt(7)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(-1 + x^3))) - (2*sqrt(62 - 35*sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(13*3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((1//169)*(553 + 304*sqrt(3)), -asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(13*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(-1 + x^3)), x, 8),
+(1/((3 + x)*sqrt(-1 - x^3)), ((1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*atan((sqrt(13//2)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2))/sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)))/(sqrt(26)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(-1 - x^3)) + (2*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)) + (4*3^(1//4)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(97 - 56*sqrt(3), -asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt(2 - sqrt(3))*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(-1 - x^3)), x, 8),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form 1 / ((c+d x) (a+b x^3)^(1/3)) when b c^3+a d^3=0
+
+
+(1/((c + d*x)*(-c^3 + d^3*x^3)^(1//3)), (sqrt(3)*atan((1 - (2^(1//3)*(c - d*x))/(-c^3 + d^3*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(2*2^(1//3)*c*d) + log((c - d*x)*(c + d*x)^2)/(4*2^(1//3)*c*d) - (3*log(d*(c - d*x) + 2^(2//3)*d*(-c^3 + d^3*x^3)^(1//3)))/(4*2^(1//3)*c*d), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form 1 / ((c+d x) (a+b x^3)^(1/3)) when 2 b c^3-a d^3=0
+
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+(1/((c + d*x)*(2*c^3 + d^3*x^3)^(1//3)), atan((1 + (2*d*x)/(2*c^3 + d^3*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*sqrt(3)*c*d) - (sqrt(3)*atan((1 + (2*(2*c + d*x))/(2*c^3 + d^3*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(2*c*d) - log(c + d*x)/(2*c*d) - log((-d)*x + (2*c^3 + d^3*x^3)^(1//3))/(4*c*d) + (3*log(d*(2*c + d*x) - d*(2*c^3 + d^3*x^3)^(1//3)))/(4*c*d), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form 1 / ((c+d x) (a+b x^3)^(2/3)) when 2 b c^3-a d^3=0
+
+
+(1/((c + d*x)*(2*c^3 + d^3*x^3)^(2//3)), -(atan((1 + (2*d*x)/(2*c^3 + d^3*x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2*sqrt(3)*c^2*d)) + (sqrt(3)*atan((1 + (2*(2*c + d*x))/(2*c^3 + d^3*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(2*c^2*d) - log(c + d*x)/(2*c^2*d) - log(d*x - (2*c^3 + d^3*x^3)^(1//3))/(4*c^2*d) + (3*log(d*(2*c + d*x) - d*(2*c^3 + d^3*x^3)^(1//3)))/(4*c^2*d), x, 1),
+
+
+(1/((1 + 2^(1//3)*x)*(1 + x^3)^(2//3)), -(atan((1 + (2*x)/(1 + x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3))) + (sqrt(3)*atan((1 + (2*(2^(2//3) + x))/(1 + x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/2^(2//3) - log(1 + 2^(1//3)*x)/2^(2//3) - log(x - (1 + x^3)^(1//3))/(2*2^(2//3)) + (3*log(2 + 2^(1//3)*x - 2^(1//3)*(1 + x^3)^(1//3)))/(2*2^(2//3)), x, 1),
+(1/((1 - 2^(1//3)*x)*(1 - x^3)^(2//3)), -((sqrt(3)*atan((1 + (2*2^(2//3) - 2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/2^(2//3)) + atan((1 - (2*x)/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3))/(2^(2//3)*sqrt(3)) + log(1 - 2^(1//3)*x)/2^(2//3) + log(-x - (1 - x^3)^(1//3))/(2*2^(2//3)) - (3*log(-2 + 2^(1//3)*x + 2^(1//3)*(1 - x^3)^(1//3)))/(2*2^(2//3)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c+d x)^m (a+b x^3)^(p/3)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((c + d*x)^4*(a + b*x^3)^(1//3), (3*a*c^2*d^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(2*b) + (a*d^4*x^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(18*b) + (1//30)*(a + b*x^3)^(1//3)*(15*c^4*x + 40*c^3*d*x^2 + 45*c^2*d^2*x^3 + 24*c*d^3*x^4 + 5*d^4*x^5) - (4*a*c^3*d*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(2//3)) + (a^2*d^4*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*b^(5//3)) + (a*c^4*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(2*(a + b*x^3)^(2//3)) + (a*c*d^3*x^4*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2//3, 4//3, 7//3, -((b*x^3)/a)))/(5*(a + b*x^3)^(2//3)) - (2*a*c^3*d*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(2//3)) + (a^2*d^4*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*b^(5//3)), x, 11),
+((c + d*x)^3*(a + b*x^3)^(1//3), (3*a*c*d^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(4*b) + (a*d^3*x*(a + b*x^3)^(1//3))/(10*b) + (1//20)*(a + b*x^3)^(1//3)*(10*c^3*x + 20*c^2*d*x^2 + 15*c*d^2*x^3 + 4*d^3*x^4) - (a*c^2*d*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(2//3)) + (a*(5*b*c^3 - a*d^3)*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(10*b*(a + b*x^3)^(2//3)) - (a*c^2*d*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*b^(2//3)), x, 9),
+((c + d*x)^2*(a + b*x^3)^(1//3), (a*d^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(4*b) + (1//12)*(a + b*x^3)^(1//3)*(6*c^2*x + 8*c*d*x^2 + 3*d^2*x^3) - (2*a*c*d*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(2//3)) + (a*c^2*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(2*(a + b*x^3)^(2//3)) - (a*c*d*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(2//3)), x, 8),
+((c + d*x)^1*(a + b*x^3)^(1//3), (1//6)*(3*c*x + 2*d*x^2)*(a + b*x^3)^(1//3) - (a*d*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(2//3)) + (a*c*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(2*(a + b*x^3)^(2//3)) - (a*d*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*b^(2//3)), x, 6),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(c + d*x)^1, (a + b*x^3)^(1//3)/d + (x*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, -(1//3), 1, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d^3*x^3)/c^3)))/(c*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)) + (b^(1//3)*c*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^2) - ((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*atan((1 + (2*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/(c*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^2) + ((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*atan((1 - (2*d*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c^3 - a*d^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^2) + ((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*log(c^3 + d^3*x^3))/(3*d^2) + (b^(1//3)*c*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^2) - ((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*log(((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/c - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^2) - ((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*log((b*c^3 - a*d^3)^(1//3) + d*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^2), x, 13),
+((a + b*x^3)^(1//3)/(c + d*x)^2, -((c^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(d*(c^3 + d^3*x^3))) - (d*x^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(c^3 + d^3*x^3) + (x*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, -(1//3), 2, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d^3*x^3)/c^3)))/(c^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)) - (d^3*x^4*(a + b*x^3)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, -(1//3), 2, 7//3, -((b*x^3)/a), -((d^3*x^3)/c^3)))/(2*c^5*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)) - (b^(1//3)*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^2) + (2*a*d*atan((1 + (2*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/(c*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*c*(b*c^3 - a*d^3)^(2//3)) + ((3*b*c^3 - 2*a*d^3)*atan((1 + (2*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/(c*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*c*d^2*(b*c^3 - a*d^3)^(2//3)) - (b*c^2*atan((1 - (2*d*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c^3 - a*d^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^2*(b*c^3 - a*d^3)^(2//3)) - (b*c^2*log(c^3 + d^3*x^3))/(6*d^2*(b*c^3 - a*d^3)^(2//3)) - (a*d*log(c^3 + d^3*x^3))/(9*c*(b*c^3 - a*d^3)^(2//3)) - ((3*b*c^3 - 2*a*d^3)*log(c^3 + d^3*x^3))/(18*c*d^2*(b*c^3 - a*d^3)^(2//3)) - (b^(1//3)*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^2) + (a*d*log(((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/c - (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*c*(b*c^3 - a*d^3)^(2//3)) + ((3*b*c^3 - 2*a*d^3)*log(((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/c - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*c*d^2*(b*c^3 - a*d^3)^(2//3)) + (b*c^2*log((b*c^3 - a*d^3)^(1//3) + d*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*d^2*(b*c^3 - a*d^3)^(2//3)), x, 20),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((c + d*x)^4/(a + b*x^3)^(1//3), (3*c^2*d^2*(a + b*x^3)^(2//3))/b + (4*c*d^3*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(3*b) + (c^4*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(1//3)) - (4*a*c*d^3*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(4//3)) + (2*c^3*d*x^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, -((b*x^3)/a)))/(a + b*x^3)^(1//3) + (d^4*x^5*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 5//3, 8//3, -((b*x^3)/a)))/(5*(a + b*x^3)^(1//3)) - (c^4*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*b^(1//3)) + (2*a*c*d^3*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(4//3)), x, 10),
+((c + d*x)^3/(a + b*x^3)^(1//3), (3*c*d^2*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*b) + (d^3*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(3*b) + (c^3*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(1//3)) - (a*d^3*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(4//3)) + (3*c^2*d*x^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, -((b*x^3)/a)))/(2*(a + b*x^3)^(1//3)) - (c^3*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*b^(1//3)) + (a*d^3*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*b^(4//3)), x, 8),
+((c + d*x)^2/(a + b*x^3)^(1//3), (d^2*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*b) + (c^2*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(1//3)) + (c*d*x^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, -((b*x^3)/a)))/(a + b*x^3)^(1//3) - (c^2*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*b^(1//3)), x, 7),
+((c + d*x)^1/(a + b*x^3)^(1//3), (c*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(1//3)) + (d*x^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 5//3, -((b*x^3)/a)))/(2*(a + b*x^3)^(1//3)) - (c*log((-b^(1//3))*x + (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*b^(1//3)), x, 5),
+(1/((c + d*x)^1*(a + b*x^3)^(1//3)), -((d*x^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 1//3, 1, 5//3, -((b*x^3)/a), -((d^3*x^3)/c^3)))/(2*c^2*(a + b*x^3)^(1//3))) + atan((1 + (2*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/(c*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3))/(sqrt(3)*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)) - atan((1 - (2*d*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c^3 - a*d^3)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)) + log(c^3 + d^3*x^3)/(3*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)) - log(((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/c - (a + b*x^3)^(1//3))/(2*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)) - log((b*c^3 - a*d^3)^(1//3) + d*(a + b*x^3)^(1//3))/(2*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)), x, 10),
+(1/((c + d*x)^2*(a + b*x^3)^(1//3)), (c^2*d^2*(a + b*x^3)^(2//3))/((b*c^3 - a*d^3)*(c^3 + d^3*x^3)) - (c*d^3*x*(a + b*x^3)^(2//3))/((b*c^3 - a*d^3)*(c^3 + d^3*x^3)) - (d*x^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 1//3, 2, 5//3, -((b*x^3)/a), -((d^3*x^3)/c^3)))/(c^3*(a + b*x^3)^(1//3)) + (d^4*x^5*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(5//3, 1//3, 2, 8//3, -((b*x^3)/a), -((d^3*x^3)/c^3)))/(5*c^6*(a + b*x^3)^(1//3)) + (2*a*d^3*atan((1 + (2*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/(c*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*c*(b*c^3 - a*d^3)^(4//3)) + ((3*b*c^3 - 2*a*d^3)*atan((1 + (2*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/(c*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*c*(b*c^3 - a*d^3)^(4//3)) - (b*c^2*atan((1 - (2*d*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c^3 - a*d^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*(b*c^3 - a*d^3)^(4//3)) + (b*c^2*log(c^3 + d^3*x^3))/(6*(b*c^3 - a*d^3)^(4//3)) + (a*d^3*log(c^3 + d^3*x^3))/(9*c*(b*c^3 - a*d^3)^(4//3)) + ((3*b*c^3 - 2*a*d^3)*log(c^3 + d^3*x^3))/(18*c*(b*c^3 - a*d^3)^(4//3)) - (a*d^3*log(((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/c - (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*c*(b*c^3 - a*d^3)^(4//3)) - ((3*b*c^3 - 2*a*d^3)*log(((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/c - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*c*(b*c^3 - a*d^3)^(4//3)) - (b*c^2*log((b*c^3 - a*d^3)^(1//3) + d*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*(b*c^3 - a*d^3)^(4//3)), x, 17),
+(1/((c + d*x)^3*(a + b*x^3)^(1//3)), (3*c^4*d^2*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*(b*c^3 - a*d^3)*(c^3 + d^3*x^3)^2) - (3*c^3*d^3*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(2*(b*c^3 - a*d^3)*(c^3 + d^3*x^3)^2) + (4*b*c^4*d^2*(a + b*x^3)^(2//3))/(3*(b*c^3 - a*d^3)^2*(c^3 + d^3*x^3)) - (c*d^2*(b*c^3 - 3*a*d^3)*(a + b*x^3)^(2//3))/(3*(b*c^3 - a*d^3)^2*(c^3 + d^3*x^3)) + (d^3*(3*b*c^3 - 7*a*d^3)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(18*(b*c^3 - a*d^3)^2*(c^3 + d^3*x^3)) - (d^3*(9*b*c^3 - 5*a*d^3)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(18*(b*c^3 - a*d^3)^2*(c^3 + d^3*x^3)) - (7*d^3*(3*b*c^3 + a*d^3)*x*(a + b*x^3)^(2//3))/(18*(b*c^3 - a*d^3)^2*(c^3 + d^3*x^3)) - (3*d*x^2*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 1//3, 3, 5//3, -((b*x^3)/a), -((d^3*x^3)/c^3)))/(2*c^4*(a + b*x^3)^(1//3)) + (6*d^4*x^5*(1 + (b*x^3)/a)^(1//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(5//3, 1//3, 3, 8//3, -((b*x^3)/a), -((d^3*x^3)/c^3)))/(5*c^7*(a + b*x^3)^(1//3)) + (2*a^2*d^6*atan((1 + (2*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/(c*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*c^2*(b*c^3 - a*d^3)^(7//3)) + (7*a*d^3*(3*b*c^3 - a*d^3)*atan((1 + (2*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/(c*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*c^2*(b*c^3 - a*d^3)^(7//3)) + ((9*b^2*c^6 - 12*a*b*c^3*d^3 + 5*a^2*d^6)*atan((1 + (2*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/(c*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(9*sqrt(3)*c^2*(b*c^3 - a*d^3)^(7//3)) - (4*b^2*c^4*atan((1 - (2*d*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c^3 - a*d^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*(b*c^3 - a*d^3)^(7//3)) + (b*c*(b*c^3 - 3*a*d^3)*atan((1 - (2*d*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c^3 - a*d^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*(b*c^3 - a*d^3)^(7//3)) + (2*b^2*c^4*log(c^3 + d^3*x^3))/(9*(b*c^3 - a*d^3)^(7//3)) + (a^2*d^6*log(c^3 + d^3*x^3))/(27*c^2*(b*c^3 - a*d^3)^(7//3)) - (b*c*(b*c^3 - 3*a*d^3)*log(c^3 + d^3*x^3))/(18*(b*c^3 - a*d^3)^(7//3)) + (7*a*d^3*(3*b*c^3 - a*d^3)*log(c^3 + d^3*x^3))/(54*c^2*(b*c^3 - a*d^3)^(7//3)) + ((9*b^2*c^6 - 12*a*b*c^3*d^3 + 5*a^2*d^6)*log(c^3 + d^3*x^3))/(54*c^2*(b*c^3 - a*d^3)^(7//3)) - (a^2*d^6*log(((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/c - (a + b*x^3)^(1//3)))/(9*c^2*(b*c^3 - a*d^3)^(7//3)) - (7*a*d^3*(3*b*c^3 - a*d^3)*log(((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/c - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*c^2*(b*c^3 - a*d^3)^(7//3)) - ((9*b^2*c^6 - 12*a*b*c^3*d^3 + 5*a^2*d^6)*log(((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/c - (a + b*x^3)^(1//3)))/(18*c^2*(b*c^3 - a*d^3)^(7//3)) - (2*b^2*c^4*log((b*c^3 - a*d^3)^(1//3) + d*(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*(b*c^3 - a*d^3)^(7//3)) + (b*c*(b*c^3 - 3*a*d^3)*log((b*c^3 - a*d^3)^(1//3) + d*(a + b*x^3)^(1//3)))/(6*(b*c^3 - a*d^3)^(7//3)), x, 32),
+
+
+((c + d*x)^4/(a + b*x^3)^(2//3), (6*c^2*d^2*(a + b*x^3)^(1//3))/b + (d^4*x^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(3*b) - (4*c^3*d*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(2//3)) + (2*a*d^4*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*b^(5//3)) + (c^4*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(a + b*x^3)^(2//3) + (c*d^3*x^4*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2//3, 4//3, 7//3, -((b*x^3)/a)))/(a + b*x^3)^(2//3) - (2*c^3*d*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/b^(2//3) + (a*d^4*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*b^(5//3)), x, 10),
+((c + d*x)^3/(a + b*x^3)^(2//3), (3*c*d^2*(a + b*x^3)^(1//3))/b + (d^3*x*(a + b*x^3)^(1//3))/(2*b) - (sqrt(3)*c^2*d*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/b^(2//3) + ((2*b*c^3 - a*d^3)*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(2*b*(a + b*x^3)^(2//3)) - (3*c^2*d*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*b^(2//3)), x, 8),
+((c + d*x)^2/(a + b*x^3)^(2//3), (d^2*(a + b*x^3)^(1//3))/b - (2*c*d*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(2//3)) + (c^2*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(a + b*x^3)^(2//3) - (c*d*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/b^(2//3), x, 7),
+((c + d*x)^1/(a + b*x^3)^(2//3), -((d*atan((1 + (2*b^(1//3)*x)/(a + b*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(2//3))) + (c*x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//3, 2//3, 4//3, -((b*x^3)/a)))/(a + b*x^3)^(2//3) - (d*log(b^(1//3)*x - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*b^(2//3)), x, 5),
+(1/((c + d*x)^1*(a + b*x^3)^(2//3)), (x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 2//3, 1, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d^3*x^3)/c^3)))/(c*(a + b*x^3)^(2//3)) + (d*atan((1 + (2*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/(c*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*(b*c^3 - a*d^3)^(2//3)) - (d*atan((1 - (2*d*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c^3 - a*d^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*(b*c^3 - a*d^3)^(2//3)) - (d*log(c^3 + d^3*x^3))/(3*(b*c^3 - a*d^3)^(2//3)) + (d*log(((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/c - (a + b*x^3)^(1//3)))/(2*(b*c^3 - a*d^3)^(2//3)) + (d*log((b*c^3 - a*d^3)^(1//3) + d*(a + b*x^3)^(1//3)))/(2*(b*c^3 - a*d^3)^(2//3)), x, 10),
+(1/((c + d*x)^2*(a + b*x^3)^(2//3)), (c^2*d^2*(a + b*x^3)^(1//3))/((b*c^3 - a*d^3)*(c^3 + d^3*x^3)) + (d^4*x^2*(a + b*x^3)^(1//3))/((b*c^3 - a*d^3)*(c^3 + d^3*x^3)) + (x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 2//3, 2, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d^3*x^3)/c^3)))/(c^2*(a + b*x^3)^(2//3)) - (d^3*x^4*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 2//3, 2, 7//3, -((b*x^3)/a), -((d^3*x^3)/c^3)))/(2*c^5*(a + b*x^3)^(2//3)) + (2*a*d^4*atan((1 + (2*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/(c*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*c*(b*c^3 - a*d^3)^(5//3)) + (2*d*(3*b*c^3 - a*d^3)*atan((1 + (2*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/(c*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*c*(b*c^3 - a*d^3)^(5//3)) - (2*b*c^2*d*atan((1 - (2*d*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c^3 - a*d^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*(b*c^3 - a*d^3)^(5//3)) - (b*c^2*d*log(c^3 + d^3*x^3))/(3*(b*c^3 - a*d^3)^(5//3)) - (a*d^4*log(c^3 + d^3*x^3))/(9*c*(b*c^3 - a*d^3)^(5//3)) - (d*(3*b*c^3 - a*d^3)*log(c^3 + d^3*x^3))/(9*c*(b*c^3 - a*d^3)^(5//3)) + (a*d^4*log(((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/c - (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*c*(b*c^3 - a*d^3)^(5//3)) + (d*(3*b*c^3 - a*d^3)*log(((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/c - (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*c*(b*c^3 - a*d^3)^(5//3)) + (b*c^2*d*log((b*c^3 - a*d^3)^(1//3) + d*(a + b*x^3)^(1//3)))/(b*c^3 - a*d^3)^(5//3), x, 18),
+(1/((c + d*x)^3*(a + b*x^3)^(2//3)), (3*c^4*d^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(2*(b*c^3 - a*d^3)*(c^3 + d^3*x^3)^2) + (3*c^2*d^4*x^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(2*(b*c^3 - a*d^3)*(c^3 + d^3*x^3)^2) + (5*b*c^4*d^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(3*(b*c^3 - a*d^3)^2*(c^3 + d^3*x^3)) - (c*d^2*(b*c^3 - 6*a*d^3)*(a + b*x^3)^(1//3))/(6*(b*c^3 - a*d^3)^2*(c^3 + d^3*x^3)) + (d^4*(9*b*c^3 - 4*a*d^3)*x^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(6*c*(b*c^3 - a*d^3)^2*(c^3 + d^3*x^3)) + (d^4*(3*b*c^3 + 2*a*d^3)*x^2*(a + b*x^3)^(1//3))/(3*c*(b*c^3 - a*d^3)^2*(c^3 + d^3*x^3)) + (x*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 2//3, 3, 4//3, -((b*x^3)/a), -((d^3*x^3)/c^3)))/(c^3*(a + b*x^3)^(2//3)) - (7*d^3*x^4*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 2//3, 3, 7//3, -((b*x^3)/a), -((d^3*x^3)/c^3)))/(4*c^6*(a + b*x^3)^(2//3)) + (d^6*x^7*(1 + (b*x^3)/a)^(2//3)*SymbolicIntegration.appell_f1(7//3, 2//3, 3, 10//3, -((b*x^3)/a), -((d^3*x^3)/c^3)))/(7*c^9*(a + b*x^3)^(2//3)) + (2*a*d^4*(6*b*c^3 - a*d^3)*atan((1 + (2*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/(c*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*c^2*(b*c^3 - a*d^3)^(8//3)) + (d*(9*b^2*c^6 - 6*a*b*c^3*d^3 + 2*a^2*d^6)*atan((1 + (2*(b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/(c*(a + b*x^3)^(1//3)))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*c^2*(b*c^3 - a*d^3)^(8//3)) - (10*b^2*c^4*d*atan((1 - (2*d*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c^3 - a*d^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*(b*c^3 - a*d^3)^(8//3)) + (b*c*d*(b*c^3 - 6*a*d^3)*atan((1 - (2*d*(a + b*x^3)^(1//3))/(b*c^3 - a*d^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(3*sqrt(3)*(b*c^3 - a*d^3)^(8//3)) - (5*b^2*c^4*d*log(c^3 + d^3*x^3))/(9*(b*c^3 - a*d^3)^(8//3)) + (b*c*d*(b*c^3 - 6*a*d^3)*log(c^3 + d^3*x^3))/(18*(b*c^3 - a*d^3)^(8//3)) - (a*d^4*(6*b*c^3 - a*d^3)*log(c^3 + d^3*x^3))/(9*c^2*(b*c^3 - a*d^3)^(8//3)) - (d*(9*b^2*c^6 - 6*a*b*c^3*d^3 + 2*a^2*d^6)*log(c^3 + d^3*x^3))/(18*c^2*(b*c^3 - a*d^3)^(8//3)) + (a*d^4*(6*b*c^3 - a*d^3)*log(((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/c - (a + b*x^3)^(1//3)))/(3*c^2*(b*c^3 - a*d^3)^(8//3)) + (d*(9*b^2*c^6 - 6*a*b*c^3*d^3 + 2*a^2*d^6)*log(((b*c^3 - a*d^3)^(1//3)*x)/c - (a + b*x^3)^(1//3)))/(6*c^2*(b*c^3 - a*d^3)^(8//3)) + (5*b^2*c^4*d*log((b*c^3 - a*d^3)^(1//3) + d*(a + b*x^3)^(1//3)))/(3*(b*c^3 - a*d^3)^(8//3)) - (b*c*d*(b*c^3 - 6*a*d^3)*log((b*c^3 - a*d^3)^(1//3) + d*(a + b*x^3)^(1//3)))/(6*(b*c^3 - a*d^3)^(8//3)), x, 30),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (c+d x)^m (e+f x)^n (a+b x^3)^p
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+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e+f x) / ((c+d x) Sqrt[a+b x^3]) with b c^3 - 4 a d^3=0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# 2 d e+c f = 0
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+((2^(2//3) - 2*x)/((2^(2//3) + x)*sqrt(1 + x^3)), (2*2^(2//3)*atan((sqrt(3)*(1 + 2^(1//3)*x))/sqrt(1 + x^3)))/sqrt(3), x, 2),
+((2^(2//3) + 2*x)/((2^(2//3) - x)*sqrt(1 - x^3)), -((2*2^(2//3)*atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*x))/sqrt(1 - x^3)))/sqrt(3)), x, 2),
+((2^(2//3) + 2*x)/((2^(2//3) - x)*sqrt(-1 + x^3)), -((2*2^(2//3)*atanh((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*x))/sqrt(-1 + x^3)))/sqrt(3)), x, 2),
+((2^(2//3) - 2*x)/((2^(2//3) + x)*sqrt(-1 - x^3)), (2*2^(2//3)*atanh((sqrt(3)*(1 + 2^(1//3)*x))/sqrt(-1 - x^3)))/sqrt(3), x, 2),
+
+
+((2^(2//3)*a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/((2^(2//3)*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(a + b*x^3)), (2*2^(2//3)*atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*b^(1//3)*x))/sqrt(a + b*x^3)))/(sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//3)), x, 2),
+((2^(2//3)*a^(1//3) + 2*b^(1//3)*x)/((2^(2//3)*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(a - b*x^3)), -((2*2^(2//3)*atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*b^(1//3)*x))/sqrt(a - b*x^3)))/(sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//3))), x, 2),
+((2^(2//3)*a^(1//3) + 2*b^(1//3)*x)/((2^(2//3)*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(-a + b*x^3)), -((2*2^(2//3)*atanh((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*b^(1//3)*x))/sqrt(-a + b*x^3)))/(sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//3))), x, 2),
+((2^(2//3)*a^(1//3) - 2*b^(1//3)*x)/((2^(2//3)*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(-a - b*x^3)), (2*2^(2//3)*atanh((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*b^(1//3)*x))/sqrt(-a - b*x^3)))/(sqrt(3)*a^(1//6)*b^(1//3)), x, 2),
+
+
+((c - 2*d*x)/((c + d*x)*sqrt(c^3 + 4*d^3*x^3)), (2*atan((sqrt(3)*sqrt(c)*(c + 2*d*x))/sqrt(c^3 + 4*d^3*x^3)))/(sqrt(3)*sqrt(c)*d), x, 2),
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# 2 d e+c f /= 0
+
+
+((2 + 3*x)/((2^(2//3) + x)*sqrt(1 + x^3)), (2*(2 - 2^(2//3)*3)*atan((sqrt(3)*(1 + 2^(1//3)*x))/sqrt(1 + x^3)))/(3*sqrt(3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(1//3)*2 + 3)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+((2 + 3*x)/((2^(2//3) - x)*sqrt(1 - x^3)), -((2*(2 + 3*2^(2//3))*atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*x))/sqrt(1 - x^3)))/(3*sqrt(3))) + (2*(3 - 2*2^(1//3))*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 4),
+((2 + 3*x)/((2^(2//3) - x)*sqrt(-1 + x^3)), -((2*(2 + 3*2^(2//3))*atanh((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*x))/sqrt(-1 + x^3)))/(3*sqrt(3))) + (2*(3 - 2*2^(1//3))*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 4),
+((2 + 3*x)/((2^(2//3) + x)*sqrt(-1 - x^3)), (2*(2 - 2^(2//3)*3)*atanh((sqrt(3)*(1 + 2^(1//3)*x))/sqrt(-1 - x^3)))/(3*sqrt(3)) + (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(2^(1//3)*2 + 3)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 4),
+
+
+((e + f*x)/((2^(2//3) + x)*sqrt(1 + x^3)), (2*(e - 2^(2//3)*f)*atan((sqrt(3)*(1 + 2^(1//3)*x))/sqrt(1 + x^3)))/(3*sqrt(3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(1//3)*e + f)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+((e + f*x)/((2^(2//3) - x)*sqrt(1 - x^3)), -((2*(e + 2^(2//3)*f)*atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*x))/sqrt(1 - x^3)))/(3*sqrt(3))) - (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(1//3)*e - f)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 4),
+((e + f*x)/((2^(2//3) - x)*sqrt(-1 + x^3)), -((2*(e + 2^(2//3)*f)*atanh((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*x))/sqrt(-1 + x^3)))/(3*sqrt(3))) - (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(2^(1//3)*e - f)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 4),
+((e + f*x)/((2^(2//3) + x)*sqrt(-1 - x^3)), (2*(e - 2^(2//3)*f)*atanh((sqrt(3)*(1 + 2^(1//3)*x))/sqrt(-1 - x^3)))/(3*sqrt(3)) + (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(2^(1//3)*e + f)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 4),
+
+
+((e + f*x)/((2^(2//3)*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(a + b*x^3)), (2*(b^(1//3)*e - 2^(2//3)*a^(1//3)*f)*atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*b^(1//3)*x))/sqrt(a + b*x^3)))/(3*sqrt(3)*sqrt(a)*b^(2//3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(1//3)*b^(1//3)*e + a^(1//3)*f)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(1//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+((e + f*x)/((2^(2//3)*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(a - b*x^3)), -((2*(b^(1//3)*e + 2^(2//3)*a^(1//3)*f)*atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*b^(1//3)*x))/sqrt(a - b*x^3)))/(3*sqrt(3)*sqrt(a)*b^(2//3))) - (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(2^(1//3)*b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(1//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a - b*x^3)), x, 4),
+((e + f*x)/((2^(2//3)*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(-a + b*x^3)), -((2*(b^(1//3)*e + 2^(2//3)*a^(1//3)*f)*atanh((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*b^(1//3)*x))/sqrt(-a + b*x^3)))/(3*sqrt(3)*sqrt(a)*b^(2//3))) - (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(2^(1//3)*b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(1//3)*b^(2//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a + b*x^3)), x, 4),
+((e + f*x)/((2^(2//3)*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(-a - b*x^3)), (2*(b^(1//3)*e - 2^(2//3)*a^(1//3)*f)*atanh((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*b^(1//3)*x))/sqrt(-a - b*x^3)))/(3*sqrt(3)*sqrt(a)*b^(2//3)) + (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(2^(1//3)*b^(1//3)*e + a^(1//3)*f)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(1//3)*b^(2//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a - b*x^3)), x, 4),
+
+
+((e + f*x)/((c + d*x)*sqrt(c^3 + 4*d^3*x^3)), (2*(d*e - c*f)*atan((sqrt(3)*sqrt(c)*(c + 2*d*x))/sqrt(c^3 + 4*d^3*x^3)))/(3*sqrt(3)*c^(3//2)*d^2) + (2^(1//3)*sqrt(2 + sqrt(3))*(2*d*e + c*f)*(c + 2^(2//3)*d*x)*sqrt((c^2 - 2^(2//3)*c*d*x + 2*2^(1//3)*d^2*x^2)/((1 + sqrt(3))*c + 2^(2//3)*d*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c + 2^(2//3)*d*x)/((1 + sqrt(3))*c + 2^(2//3)*d*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*c*d^2*sqrt((c*(c + 2^(2//3)*d*x))/((1 + sqrt(3))*c + 2^(2//3)*d*x)^2)*sqrt(c^3 + 4*d^3*x^3)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# e = 0
+
+
+(x/((2^(2//3) + x)*sqrt(1 + x^3)), -((2*2^(2//3)*atan((sqrt(3)*(1 + 2^(1//3)*x))/sqrt(1 + x^3)))/(3*sqrt(3))) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+(x/((2^(2//3) - x)*sqrt(1 - x^3)), -((2*2^(2//3)*atan((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*x))/sqrt(1 - x^3)))/(3*sqrt(3))) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 4),
+(x/((2^(2//3) - x)*sqrt(-1 + x^3)), -((2*2^(2//3)*atanh((sqrt(3)*(1 - 2^(1//3)*x))/sqrt(-1 + x^3)))/(3*sqrt(3))) + (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 4),
+(x/((2^(2//3) + x)*sqrt(-1 - x^3)), -((2*2^(2//3)*atanh((sqrt(3)*(1 + 2^(1//3)*x))/sqrt(-1 - x^3)))/(3*sqrt(3))) + (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 4),
+
+
+(x/((2^(2//3)*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(a + b*x^3)), -((2*2^(2//3)*atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*b^(1//3)*x))/sqrt(a + b*x^3)))/(3*sqrt(3)*a^(1//6)*b^(2//3))) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(x/((2^(2//3)*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(a - b*x^3)), -((2*2^(2//3)*atan((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*b^(1//3)*x))/sqrt(a - b*x^3)))/(3*sqrt(3)*a^(1//6)*b^(2//3))) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a - b*x^3)), x, 4),
+(x/((2^(2//3)*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(-a + b*x^3)), -((2*2^(2//3)*atanh((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) - 2^(1//3)*b^(1//3)*x))/sqrt(-a + b*x^3)))/(3*sqrt(3)*a^(1//6)*b^(2//3))) + (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a + b*x^3)), x, 4),
+(x/((2^(2//3)*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(-a - b*x^3)), -((2*2^(2//3)*atanh((sqrt(3)*a^(1//6)*(a^(1//3) + 2^(1//3)*b^(1//3)*x))/sqrt(-a - b*x^3)))/(3*sqrt(3)*a^(1//6)*b^(2//3))) + (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a - b*x^3)), x, 4),
+
+
+(x/((c + d*x)*sqrt(c^3 + 4*d^3*x^3)), -((2*atan((sqrt(3)*sqrt(c)*(c + 2*d*x))/sqrt(c^3 + 4*d^3*x^3)))/(3*sqrt(3)*sqrt(c)*d^2)) + (2^(1//3)*sqrt(2 + sqrt(3))*(c + 2^(2//3)*d*x)*sqrt((c^2 - 2^(2//3)*c*d*x + 2*2^(1//3)*d^2*x^2)/((1 + sqrt(3))*c + 2^(2//3)*d*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c + 2^(2//3)*d*x)/((1 + sqrt(3))*c + 2^(2//3)*d*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*d^2*sqrt((c*(c + 2^(2//3)*d*x))/((1 + sqrt(3))*c + 2^(2//3)*d*x)^2)*sqrt(c^3 + 4*d^3*x^3)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e+f x) / ((c+d x) Sqrt[a+b x^3]) with b c^3 + 8 a d^3=0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# 2 d e+c f = 0
+
+
+((1 + x)/((2 - x)*sqrt(1 + x^3)), (2//3)*atanh((1 + x)^2/(3*sqrt(1 + x^3))), x, 2),
+((1 - x)/((2 + x)*sqrt(1 - x^3)), (-(2//3))*atanh((1 - x)^2/(3*sqrt(1 - x^3))), x, 2),
+((1 - x)/((2 + x)*sqrt(-1 + x^3)), (-(2//3))*atan((1 - x)^2/(3*sqrt(-1 + x^3))), x, 2),
+((1 + x)/((2 - x)*sqrt(-1 - x^3)), (2//3)*atan((1 + x)^2/(3*sqrt(-1 - x^3))), x, 2),
+
+
+((a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((2*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(a + b*x^3)), (2*atanh((a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2/(3*a^(1//6)*sqrt(a + b*x^3))))/(3*a^(1//6)*b^(1//3)), x, 2),
+((a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((2*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(a - b*x^3)), -((2*atanh((a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2/(3*a^(1//6)*sqrt(a - b*x^3))))/(3*a^(1//6)*b^(1//3))), x, 2),
+((a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((2*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(-a + b*x^3)), -((2*atan((a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2/(3*a^(1//6)*sqrt(-a + b*x^3))))/(3*a^(1//6)*b^(1//3))), x, 2),
+((a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((2*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(-a - b*x^3)), (2*atan((a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2/(3*a^(1//6)*sqrt(-a - b*x^3))))/(3*a^(1//6)*b^(1//3)), x, 2),
+
+
+((c - 2*d*x)/((c + d*x)*sqrt(c^3 - 8*d^3*x^3)), -((2*atanh((c - 2*d*x)^2/(3*sqrt(c)*sqrt(c^3 - 8*d^3*x^3))))/(3*sqrt(c)*d)), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# 2 d e+c f /= 0
+
+
+((e + f*x)/((2 - x)*sqrt(1 + x^3)), (2//9)*(e + 2*f)*atanh((1 + x)^2/(3*sqrt(1 + x^3))) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(e - f)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+((e + f*x)/((2 + x)*sqrt(1 - x^3)), (-(2//9))*(e - 2*f)*atanh((1 - x)^2/(3*sqrt(1 - x^3))) - (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(e + f)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 4),
+((e + f*x)/((2 + x)*sqrt(-1 + x^3)), (-(2//9))*(e - 2*f)*atan((1 - x)^2/(3*sqrt(-1 + x^3))) - (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(e + f)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 4),
+((e + f*x)/((2 - x)*sqrt(-1 - x^3)), (2//9)*(e + 2*f)*atan((1 + x)^2/(3*sqrt(-1 - x^3))) + (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(e - f)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 4),
+
+
+((e + f*x)/((2*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(a + b*x^3)), (2*(b^(1//3)*e + 2*a^(1//3)*f)*atanh((a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2/(3*a^(1//6)*sqrt(a + b*x^3))))/(9*sqrt(a)*b^(2//3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(1//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+((e + f*x)/((2*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(a - b*x^3)), -((2*(b^(1//3)*e - 2*a^(1//3)*f)*atanh((a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2/(3*a^(1//6)*sqrt(a - b*x^3))))/(9*sqrt(a)*b^(2//3))) - (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(b^(1//3)*e + a^(1//3)*f)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(1//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a - b*x^3)), x, 4),
+((e + f*x)/((2*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(-a + b*x^3)), -((2*(b^(1//3)*e - 2*a^(1//3)*f)*atan((a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2/(3*a^(1//6)*sqrt(-a + b*x^3))))/(9*sqrt(a)*b^(2//3))) - (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(b^(1//3)*e + a^(1//3)*f)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(1//3)*b^(2//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a + b*x^3)), x, 4),
+((e + f*x)/((2*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(-a - b*x^3)), (2*(b^(1//3)*e + 2*a^(1//3)*f)*atan((a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2/(3*a^(1//6)*sqrt(-a - b*x^3))))/(9*sqrt(a)*b^(2//3)) + (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*a^(1//3)*b^(2//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a - b*x^3)), x, 4),
+
+
+((e + f*x)/((c + d*x)*sqrt(c^3 - 8*d^3*x^3)), -((2*(d*e - c*f)*atanh((c - 2*d*x)^2/(3*sqrt(c)*sqrt(c^3 - 8*d^3*x^3))))/(9*c^(3//2)*d^2)) - (sqrt(2 + sqrt(3))*(2*d*e + c*f)*(c - 2*d*x)*sqrt((c^2 + 2*c*d*x + 4*d^2*x^2)/((1 + sqrt(3))*c - 2*d*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c - 2*d*x)/((1 + sqrt(3))*c - 2*d*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*c*d^2*sqrt((c*(c - 2*d*x))/((1 + sqrt(3))*c - 2*d*x)^2)*sqrt(c^3 - 8*d^3*x^3)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# e = 0
+
+
+(x/((2 - x)*sqrt(1 + x^3)), (4//9)*atanh((1 + x)^2/(3*sqrt(1 + x^3))) - (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+(x/((2 + x)*sqrt(1 - x^3)), (4//9)*atanh((1 - x)^2/(3*sqrt(1 - x^3))) - (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 4),
+(x/((2 + x)*sqrt(-1 + x^3)), (4//9)*atan((1 - x)^2/(3*sqrt(-1 + x^3))) - (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 4),
+(x/((2 - x)*sqrt(-1 - x^3)), (4//9)*atan((1 + x)^2/(3*sqrt(-1 - x^3))) - (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 4),
+
+
+(x/((2*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(a + b*x^3)), (4*atanh((a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2/(3*a^(1//6)*sqrt(a + b*x^3))))/(9*a^(1//6)*b^(2//3)) - (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(x/((2*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(a - b*x^3)), (4*atanh((a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2/(3*a^(1//6)*sqrt(a - b*x^3))))/(9*a^(1//6)*b^(2//3)) - (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a - b*x^3)), x, 4),
+(x/((2*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(-a + b*x^3)), (4*atan((a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2/(3*a^(1//6)*sqrt(-a + b*x^3))))/(9*a^(1//6)*b^(2//3)) - (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a + b*x^3)), x, 4),
+(x/((2*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(-a - b*x^3)), (4*atan((a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2/(3*a^(1//6)*sqrt(-a - b*x^3))))/(9*a^(1//6)*b^(2//3)) - (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a - b*x^3)), x, 4),
+
+
+(x/((c + d*x)*sqrt(c^3 - 8*d^3*x^3)), (2*atanh((c - 2*d*x)^2/(3*sqrt(c)*sqrt(c^3 - 8*d^3*x^3))))/(9*sqrt(c)*d^2) - (sqrt(2 + sqrt(3))*(c - 2*d*x)*sqrt((c^2 + 2*c*d*x + 4*d^2*x^2)/((1 + sqrt(3))*c - 2*d*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c - 2*d*x)/((1 + sqrt(3))*c - 2*d*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3*3^(1//4)*d^2*sqrt((c*(c - 2*d*x))/((1 + sqrt(3))*c - 2*d*x)^2)*sqrt(c^3 - 8*d^3*x^3)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e+f x) / ((c+d x) Sqrt[a+b x^3]) with b^2 c^6-20 a b c^3 d^3-8 a^2 d^6=0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# 6 a d^4 e-c f (b c^3 - 22 a d^3) = 0
+
+
+((1 + sqrt(3) + x)/((1 - sqrt(3) + x)*sqrt(1 + x^3)), -((2*atanh((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*(1 + x))/sqrt(1 + x^3)))/sqrt(-3 + 2*sqrt(3))), x, 2),
+((1 + sqrt(3) - x)/((1 - sqrt(3) - x)*sqrt(1 - x^3)), (2*atanh((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*(1 - x))/sqrt(1 - x^3)))/sqrt(-3 + 2*sqrt(3)), x, 2),
+((1 + sqrt(3) - x)/((1 - sqrt(3) - x)*sqrt(-1 + x^3)), (2*atan((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*(1 - x))/sqrt(-1 + x^3)))/sqrt(-3 + 2*sqrt(3)), x, 2),
+((1 + sqrt(3) + x)/((1 - sqrt(3) + x)*sqrt(-1 - x^3)), -((2*atan((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*(1 + x))/sqrt(-1 - x^3)))/sqrt(-3 + 2*sqrt(3))), x, 2),
+
+
+(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(a + b*x^3)), -((2*atanh((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/sqrt(a + b*x^3)))/(sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*b^(1//3))), x, 2),
+(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(a - b*x^3)), (2*atanh((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/sqrt(a - b*x^3)))/(sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*b^(1//3)), x, 2),
+(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(-a + b*x^3)), (2*atan((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/sqrt(-a + b*x^3)))/(sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*b^(1//3)), x, 2),
+(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(-a - b*x^3)), -((2*atan((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/sqrt(-a - b*x^3)))/(sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*b^(1//3))), x, 2),
+
+
+((1 + sqrt(3) + (b/a)^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3) + (b/a)^(1//3)*x)*sqrt(a + b*x^3)), -((2*atanh((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*sqrt(a)*(1 + (b/a)^(1//3)*x))/sqrt(a + b*x^3)))/(sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*sqrt(a)*(b/a)^(1//3))), x, 2),
+((1 + sqrt(3) - (b/a)^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3) - (b/a)^(1//3)*x)*sqrt(a - b*x^3)), (2*atanh((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*sqrt(a)*(1 - (b/a)^(1//3)*x))/sqrt(a - b*x^3)))/(sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*sqrt(a)*(b/a)^(1//3)), x, 2),
+((1 + sqrt(3) - (b/a)^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3) - (b/a)^(1//3)*x)*sqrt(-a + b*x^3)), (2*atan((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*sqrt(a)*(1 - (b/a)^(1//3)*x))/sqrt(-a + b*x^3)))/(sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*sqrt(a)*(b/a)^(1//3)), x, 2),
+((1 + sqrt(3) + (b/a)^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3) + (b/a)^(1//3)*x)*sqrt(-a - b*x^3)), -((2*atan((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*sqrt(a)*(1 + (b/a)^(1//3)*x))/sqrt(-a - b*x^3)))/(sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*sqrt(a)*(b/a)^(1//3))), x, 2),
+
+
+((1 - sqrt(3) + x)/((1 + sqrt(3) + x)*sqrt(1 + x^3)), -((2*atan((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*(1 + x))/sqrt(1 + x^3)))/sqrt(3 + 2*sqrt(3))), x, 2),
+((1 - sqrt(3) - x)/((1 + sqrt(3) - x)*sqrt(1 - x^3)), (2*atan((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*(1 - x))/sqrt(1 - x^3)))/sqrt(3 + 2*sqrt(3)), x, 2),
+((1 - sqrt(3) - x)/((1 + sqrt(3) - x)*sqrt(-1 + x^3)), (2*atanh((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*(1 - x))/sqrt(-1 + x^3)))/sqrt(3 + 2*sqrt(3)), x, 2),
+((1 - sqrt(3) + x)/((1 + sqrt(3) + x)*sqrt(-1 - x^3)), -((2*atanh((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*(1 + x))/sqrt(-1 - x^3)))/sqrt(3 + 2*sqrt(3))), x, 2),
+
+
+(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(a + b*x^3)), -((2*atan((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/sqrt(a + b*x^3)))/(sqrt(3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*b^(1//3))), x, 2),
+(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(a - b*x^3)), (2*atan((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/sqrt(a - b*x^3)))/(sqrt(3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*b^(1//3)), x, 2),
+(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(-a + b*x^3)), (2*atanh((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/sqrt(-a + b*x^3)))/(sqrt(3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*b^(1//3)), x, 2),
+(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(-a - b*x^3)), -((2*atanh((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/sqrt(-a - b*x^3)))/(sqrt(3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*b^(1//3))), x, 2),
+
+
+((1 - sqrt(3) + (b/a)^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3) + (b/a)^(1//3)*x)*sqrt(a + b*x^3)), -((2*atan((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*sqrt(a)*(1 + (b/a)^(1//3)*x))/sqrt(a + b*x^3)))/(sqrt(3 + 2*sqrt(3))*sqrt(a)*(b/a)^(1//3))), x, 2),
+((1 - sqrt(3) - (b/a)^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3) - (b/a)^(1//3)*x)*sqrt(a - b*x^3)), (2*atan((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*sqrt(a)*(1 - (b/a)^(1//3)*x))/sqrt(a - b*x^3)))/(sqrt(3 + 2*sqrt(3))*sqrt(a)*(b/a)^(1//3)), x, 2),
+((1 - sqrt(3) - (b/a)^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3) - (b/a)^(1//3)*x)*sqrt(-a + b*x^3)), (2*atanh((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*sqrt(a)*(1 - (b/a)^(1//3)*x))/sqrt(-a + b*x^3)))/(sqrt(3 + 2*sqrt(3))*sqrt(a)*(b/a)^(1//3)), x, 2),
+((1 - sqrt(3) + (b/a)^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3) + (b/a)^(1//3)*x)*sqrt(-a - b*x^3)), -((2*atanh((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*sqrt(a)*(1 + (b/a)^(1//3)*x))/sqrt(-a - b*x^3)))/(sqrt(3 + 2*sqrt(3))*sqrt(a)*(b/a)^(1//3))), x, 2),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# 6 a d^4 e-c f (b c^3 - 22 a d^3) /= 0
+
+
+((1 + x)/((1 + sqrt(3) + x)*sqrt(1 + x^3)), -(atan((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*(1 + x))/sqrt(1 + x^3))/sqrt(3 + 2*sqrt(3))) + (sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+((1 + x)/((1 - sqrt(3) + x)*sqrt(1 + x^3)), -(atanh((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*(1 + x))/sqrt(1 + x^3))/sqrt(-3 + 2*sqrt(3))) + (sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+
+
+((e + f*x)/((1 + sqrt(3) + x)*sqrt(1 + x^3)), ((e - f - sqrt(3)*f)*atan((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*(1 + x))/sqrt(1 + x^3)))/sqrt(3*(3 + 2*sqrt(3))) + (sqrt(2 + sqrt(3))*(e - (1 - sqrt(3))*f)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+((e + f*x)/((1 + sqrt(3) - x)*sqrt(1 - x^3)), -(((e + f + sqrt(3)*f)*atan((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*(1 - x))/sqrt(1 - x^3)))/sqrt(3*(3 + 2*sqrt(3)))) - (sqrt(2 + sqrt(3))*(e + (1 - sqrt(3))*f)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 4),
+((e + f*x)/((1 + sqrt(3) - x)*sqrt(-1 + x^3)), -(((e + f + sqrt(3)*f)*atanh((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*(1 - x))/sqrt(-1 + x^3)))/sqrt(3*(3 + 2*sqrt(3)))) - (sqrt(2 - sqrt(3))*(e + (1 - sqrt(3))*f)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 4),
+((e + f*x)/((1 + sqrt(3) + x)*sqrt(-1 - x^3)), ((e - (1 + sqrt(3))*f)*atanh((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*(1 + x))/sqrt(-1 - x^3)))/sqrt(3*(3 + 2*sqrt(3))) + (sqrt(2 - sqrt(3))*(e - (1 - sqrt(3))*f)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 4),
+
+
+((e + f*x)/(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(a + b*x^3)), -(((b^(1//3)*e - (1 - sqrt(3))*a^(1//3)*f)*atanh((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/sqrt(a + b*x^3)))/(sqrt(3*(-3 + 2*sqrt(3)))*sqrt(a)*b^(2//3))) - (sqrt(2 + sqrt(3))*(b^(1//3)*e - (1 + sqrt(3))*a^(1//3)*f)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*a^(1//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+((e + f*x)/(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(a - b*x^3)), ((b^(1//3)*e + (1 - sqrt(3))*a^(1//3)*f)*atanh((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/sqrt(a - b*x^3)))/(sqrt(3*(-3 + 2*sqrt(3)))*sqrt(a)*b^(2//3)) + (sqrt(2 + sqrt(3))*(b^(1//3)*e + (1 + sqrt(3))*a^(1//3)*f)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*a^(1//3)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a - b*x^3)), x, 4),
+((e + f*x)/(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(-a + b*x^3)), ((b^(1//3)*e + (1 - sqrt(3))*a^(1//3)*f)*atan((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/sqrt(-a + b*x^3)))/(sqrt(3*(-3 + 2*sqrt(3)))*sqrt(a)*b^(2//3)) + (sqrt(2 - sqrt(3))*(b^(1//3)*e + (1 + sqrt(3))*a^(1//3)*f)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*a^(1//3)*b^(2//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a + b*x^3)), x, 4),
+((e + f*x)/(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(-a - b*x^3)), -(((b^(1//3)*e - (1 - sqrt(3))*a^(1//3)*f)*atan((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/sqrt(-a - b*x^3)))/(sqrt(3*(-3 + 2*sqrt(3)))*sqrt(a)*b^(2//3))) - (sqrt(2 - sqrt(3))*(b^(1//3)*e - (1 + sqrt(3))*a^(1//3)*f)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*a^(1//3)*b^(2//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a - b*x^3)), x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# e = 0
+
+
+(x/((1 + sqrt(3) + x)*sqrt(1 + x^3)), -((sqrt(2)*atan((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*(1 + x))/sqrt(1 + x^3)))/3^(3//4)) + (sqrt(2)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+(x/((1 + sqrt(3) - x)*sqrt(1 - x^3)), -((sqrt(2)*atan((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*(1 - x))/sqrt(1 - x^3)))/3^(3//4)) + (sqrt(2)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 4),
+(x/((1 + sqrt(3) - x)*sqrt(-1 + x^3)), -((sqrt(2)*atanh((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*(1 - x))/sqrt(-1 + x^3)))/3^(3//4)) + (2*sqrt(7//6 - 2/sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 4),
+(x/((1 + sqrt(3) + x)*sqrt(-1 - x^3)), -((sqrt(2)*atanh((sqrt(3 + 2*sqrt(3))*(1 + x))/sqrt(-1 - x^3)))/3^(3//4)) + (2*sqrt(7//6 - 2/sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 4),
+
+
+(x/((1 - sqrt(3) + x)*sqrt(1 + x^3)), -((sqrt(2)*atanh((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*(1 + x))/sqrt(1 + x^3)))/3^(3//4)) + (2*sqrt(7//6 + 2/sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+
+
+(x/(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(a + b*x^3)), -((sqrt(2)*atanh((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/sqrt(a + b*x^3)))/(3^(3//4)*a^(1//6)*b^(2//3))) + (2*sqrt(7//6 + 2/sqrt(3))*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a + b*x^3)), x, 4),
+(x/(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(a - b*x^3)), -((sqrt(2)*atanh((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/sqrt(a - b*x^3)))/(3^(3//4)*a^(1//6)*b^(2//3))) + (2*sqrt(7//6 + 2/sqrt(3))*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*b^(2//3)*sqrt((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*sqrt(a - b*x^3)), x, 4),
+(x/(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt(-a + b*x^3)), -((sqrt(2)*atan((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/sqrt(-a + b*x^3)))/(3^(3//4)*a^(1//6)*b^(2//3))) + (sqrt(2)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) + a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*b^(2//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) - b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) - b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a + b*x^3)), x, 4),
+(x/(((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt(-a - b*x^3)), -((sqrt(2)*atan((sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*a^(1//6)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/sqrt(-a - b*x^3)))/(3^(3//4)*a^(1//6)*b^(2//3))) + (sqrt(2)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x)*sqrt((a^(2//3) - a^(1//3)*b^(1//3)*x + b^(2//3)*x^2)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 + sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(3//4)*b^(2//3)*sqrt(-((a^(1//3)*(a^(1//3) + b^(1//3)*x))/((1 - sqrt(3))*a^(1//3) + b^(1//3)*x)^2))*sqrt(-a - b*x^3)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e+f x) / ((c+d x) Sqrt[a+b x^3]) with b^2 e^6-20 a b e^3 f^3-8 a^2 f^6=0
+
+
+((1 + sqrt(3) + x)/((c + d*x)*sqrt(1 + x^3)), -(((c - (1 + sqrt(3))*d)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*atan((sqrt(c^2 + c*d + d^2)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2))/(sqrt(c - d)*sqrt(d)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2))))/(sqrt(c - d)*sqrt(d)*sqrt(c^2 + c*d + d^2)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3))) - (4*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((c - (1 + sqrt(3))*d)^2/(c - (1 - sqrt(3))*d)^2, -asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/((c - (1 - sqrt(3))*d)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 6),
+((1 + sqrt(3) - x)/((c + d*x)*sqrt(1 - x^3)), -(((c + d + sqrt(3)*d)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*atanh((sqrt(c^2 - c*d + d^2)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2))/(sqrt(d)*sqrt(c + d)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2))))/(sqrt(d)*sqrt(c + d)*sqrt(c^2 - c*d + d^2)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3))) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((c + d + sqrt(3)*d)^2/(c + d - sqrt(3)*d)^2, -asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/((c + d - sqrt(3)*d)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 6),
+((1 + sqrt(3) - x)/((c + d*x)*sqrt(-1 + x^3)), -(((c + d + sqrt(3)*d)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*atanh((sqrt(c^2 - c*d + d^2)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2))/(sqrt(d)*sqrt(c + d)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2))))/(sqrt(d)*sqrt(c + d)*sqrt(c^2 - c*d + d^2)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(-1 + x^3))) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((c + d + sqrt(3)*d)^2/(c + d - sqrt(3)*d)^2, -asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/((c + d - sqrt(3)*d)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(-1 + x^3)), x, 6),
+((1 + sqrt(3) + x)/((c + d*x)*sqrt(-1 - x^3)), -(((c - (1 + sqrt(3))*d)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*atan((sqrt(c^2 + c*d + d^2)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2))/(sqrt(c - d)*sqrt(d)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2))))/(sqrt(c - d)*sqrt(d)*sqrt(c^2 + c*d + d^2)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(-1 - x^3))) - (4*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((c - (1 + sqrt(3))*d)^2/(c - (1 - sqrt(3))*d)^2, -asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/((c - (1 - sqrt(3))*d)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(-1 - x^3)), x, 6),
+
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+((1 - sqrt(3) + x)/((c + d*x)*sqrt(1 + x^3)), -(((c - (1 - sqrt(3))*d)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*atanh((2*sqrt(2 + sqrt(3))*sqrt(c^2 + c*d + d^2)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2)))/(sqrt(c - d)*sqrt(d)*sqrt(7 + 4*sqrt(3) + (1 + sqrt(3) + x)^2/(1 - sqrt(3) + x)^2))))/(sqrt(c - d)*sqrt(d)*sqrt(c^2 + c*d + d^2)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(1 + x^3))) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((c - (1 - sqrt(3))*d)^2/(c - (1 + sqrt(3))*d)^2, -asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/((c - d - sqrt(3)*d)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(1 + x^3)), x, 6),
+((1 - sqrt(3) - x)/((c + d*x)*sqrt(1 - x^3)), -(((c + d - sqrt(3)*d)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*atan((sqrt(c^2 - c*d + d^2)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2)))/(sqrt(d)*sqrt(c + d)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2))))/(sqrt(d)*sqrt(c + d)*sqrt(c^2 - c*d + d^2)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(1 - x^3))) - (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((c + d - sqrt(3)*d)^2/(c + d + sqrt(3)*d)^2, -asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/((c + d + sqrt(3)*d)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(1 - x^3)), x, 6),
+((1 - sqrt(3) - x)/((c + d*x)*sqrt(-1 + x^3)), -(((c + d - sqrt(3)*d)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*atan((sqrt(c^2 - c*d + d^2)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2)))/(sqrt(d)*sqrt(c + d)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2))))/(sqrt(d)*sqrt(c + d)*sqrt(c^2 - c*d + d^2)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3))) - (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((c + d - sqrt(3)*d)^2/(c + d + sqrt(3)*d)^2, -asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/((c + d + sqrt(3)*d)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 6),
+((1 - sqrt(3) + x)/((c + d*x)*sqrt(-1 - x^3)), -(((c - (1 - sqrt(3))*d)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*atanh((2*sqrt(2 + sqrt(3))*sqrt(c^2 + c*d + d^2)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2)))/(sqrt(c - d)*sqrt(d)*sqrt(7 + 4*sqrt(3) + (1 + sqrt(3) + x)^2/(1 - sqrt(3) + x)^2))))/(sqrt(c - d)*sqrt(d)*sqrt(c^2 + c*d + d^2)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3))) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((c - (1 - sqrt(3))*d)^2/(c - (1 + sqrt(3))*d)^2, -asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/((c - d - sqrt(3)*d)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 6),
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+((1 + sqrt(3) + x)/(x*sqrt(1 + x^3)), (-(2//3))*(1 + sqrt(3))*atanh(sqrt(1 + x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 5),
+((1 + sqrt(3) - x)/(x*sqrt(1 - x^3)), (-(2//3))*(1 + sqrt(3))*atanh(sqrt(1 - x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 5),
+((1 + sqrt(3) - x)/(x*sqrt(-1 + x^3)), (2//3)*(1 + sqrt(3))*atan(sqrt(-1 + x^3)) + (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 5),
+((1 + sqrt(3) + x)/(x*sqrt(-1 - x^3)), (2//3)*(1 + sqrt(3))*atan(sqrt(-1 - x^3)) + (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 5),
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+((1 - sqrt(3) + x)/(x*sqrt(1 + x^3)), (-(2//3))*(1 - sqrt(3))*atanh(sqrt(1 + x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 5),
+((1 - sqrt(3) - x)/(x*sqrt(1 - x^3)), (-(2//3))*(1 - sqrt(3))*atanh(sqrt(1 - x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 5),
+((1 - sqrt(3) - x)/(x*sqrt(-1 + x^3)), (2//3)*(1 - sqrt(3))*atan(sqrt(-1 + x^3)) + (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 5),
+((1 - sqrt(3) + x)/(x*sqrt(-1 - x^3)), (2//3)*(1 - sqrt(3))*atan(sqrt(-1 - x^3)) + (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 5),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e+f x) / ((c+d x) Sqrt[a+b x^3])
+
+
+(x/((3 + x)*sqrt(1 + x^3)), -((3*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*atan((sqrt(13//2)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2))/sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)))/(sqrt(26)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3))) - (2*sqrt(2*(97 + 56*sqrt(3)))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)) - (12*3^(1//4)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(97 - 56*sqrt(3), -asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt(2 - sqrt(3))*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 8),
+(x/((3 + x)*sqrt(1 - x^3)), (3*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*atanh((sqrt(7)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2))/(2*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2))))/(2*sqrt(7)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)) - (2*sqrt(2*(37 + 20*sqrt(3)))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(13*3^(1//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)) - (12*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((1//169)*(553 + 304*sqrt(3)), -asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(13*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 8),
+(x/((3 + x)*sqrt(-1 + x^3)), (3*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*atanh((sqrt(7)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2))/(2*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2))))/(2*sqrt(7)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(-1 + x^3)) - (2*sqrt(2)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*(4 + sqrt(3))*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)) - (12*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((1//169)*(553 + 304*sqrt(3)), -asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(13*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(-1 + x^3)), x, 8),
+(x/((3 + x)*sqrt(-1 - x^3)), -((3*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*atan((sqrt(13//2)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2))/sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)))/(sqrt(26)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(-1 - x^3))) - (2*sqrt(14 + 8*sqrt(3))*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)) - (12*3^(1//4)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(97 - 56*sqrt(3), -asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(sqrt(2 - sqrt(3))*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(-1 - x^3)), x, 8),
+
+
+((e + f*x)/((c + d*x)*sqrt(1 + x^3)), ((d*e - c*f)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*atan((sqrt(c^2 + c*d + d^2)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2))/(sqrt(c - d)*sqrt(d)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2))))/(sqrt(c - d)*sqrt(d)*sqrt(c^2 + c*d + d^2)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(e - f - sqrt(3)*f)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*(c - d - sqrt(3)*d)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(d*e - c*f)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((c - (1 + sqrt(3))*d)^2/(c - (1 - sqrt(3))*d)^2, -asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/((c^2 - 2*c*d - 2*d^2)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 8),
+((e + f*x)/((c + d*x)*sqrt(1 - x^3)), -(((d*e - c*f)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*atanh((sqrt(c^2 - c*d + d^2)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2))/(sqrt(d)*sqrt(c + d)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2))))/(sqrt(d)*sqrt(c + d)*sqrt(c^2 - c*d + d^2)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3))) - (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(e + f + sqrt(3)*f)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*(c + d + sqrt(3)*d)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(d*e - c*f)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((c + d + sqrt(3)*d)^2/(c + d - sqrt(3)*d)^2, -asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/((c^2 + 2*c*d - 2*d^2)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 8),
+((e + f*x)/((c + d*x)*sqrt(-1 + x^3)), -(((d*e - c*f)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*atanh((sqrt(c^2 - c*d + d^2)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2))/(sqrt(d)*sqrt(c + d)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2))))/(sqrt(d)*sqrt(c + d)*sqrt(c^2 - c*d + d^2)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(-1 + x^3))) - (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(e + f + sqrt(3)*f)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*(c + d + sqrt(3)*d)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(d*e - c*f)*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((c + d + sqrt(3)*d)^2/(c + d - sqrt(3)*d)^2, -asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/((c^2 + 2*c*d - 2*d^2)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(-1 + x^3)), x, 8),
+((e + f*x)/((c + d*x)*sqrt(-1 - x^3)), ((d*e - c*f)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*atan((sqrt(c^2 + c*d + d^2)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2))/(sqrt(c - d)*sqrt(d)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2))))/(sqrt(c - d)*sqrt(d)*sqrt(c^2 + c*d + d^2)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(-1 - x^3)) + (2*sqrt(2 - sqrt(3))*(e - f - sqrt(3)*f)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*(c - d - sqrt(3)*d)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)) + (4*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*(d*e - c*f)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((c - (1 + sqrt(3))*d)^2/(c - (1 - sqrt(3))*d)^2, -asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/((c^2 - 2*c*d - 2*d^2)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(-1 - x^3)), x, 8),
+
+
+((e + f*x)/(x*sqrt(1 + x^3)), (-(2//3))*e*atanh(sqrt(1 + x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*f*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 6),
+((e + f*x)/(x*sqrt(1 - x^3)), (-(2//3))*e*atanh(sqrt(1 - x^3)) - (2*sqrt(2 + sqrt(3))*f*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) - x)/(1 + sqrt(3) - x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 - x)/(1 + sqrt(3) - x)^2)*sqrt(1 - x^3)), x, 6),
+((e + f*x)/(x*sqrt(-1 + x^3)), (2//3)*e*atan(sqrt(-1 + x^3)) - (2*sqrt(2 - sqrt(3))*f*(1 - x)*sqrt((1 + x + x^2)/(1 - sqrt(3) - x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) - x)/(1 - sqrt(3) - x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt(-((1 - x)/(1 - sqrt(3) - x)^2))*sqrt(-1 + x^3)), x, 6),
+((e + f*x)/(x*sqrt(-1 - x^3)), (2//3)*e*atan(sqrt(-1 - x^3)) + (2*sqrt(2 - sqrt(3))*f*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 - sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 + sqrt(3) + x)/(1 - sqrt(3) + x)), -7 + 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt(-((1 + x)/(1 - sqrt(3) + x)^2))*sqrt(-1 - x^3)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e+f x) / ((c+d x) (a+b x^3)^(1/3)) when 2 b c^3-a d^3=0
+
+
+((c - d*x)/((c + d*x)*(2*c^3 + d^3*x^3)^(1//3)), -((sqrt(3)*atan((1 + (2*(2*c + d*x))/(2*c^3 + d^3*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/d) - log(c + d*x)/d + (3*log(d*(2*c + d*x) - d*(2*c^3 + d^3*x^3)^(1//3)))/(2*d), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e+f x) / ((c+d x) (a+b x^3)^(1/3)) when b c^3+a d^3=0
+
+
+((e + f*x)/((c + d*x)*(-c^3 + d^3*x^3)^(1//3)), (f*atan((1 + (2*d*x)/(-c^3 + d^3*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*d^2) + (sqrt(3)*(d*e - c*f)*atan((1 - (2^(1//3)*(c - d*x))/(-c^3 + d^3*x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/(2*2^(1//3)*c*d^2) + ((d*e - c*f)*log((c - d*x)*(c + d*x)^2))/(4*2^(1//3)*c*d^2) - (f*log((-d)*x + (-c^3 + d^3*x^3)^(1//3)))/(2*d^2) - (3*(d*e - c*f)*log(d*(c - d*x) + 2^(2//3)*d*(-c^3 + d^3*x^3)^(1//3)))/(4*2^(1//3)*c*d^2), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x)^n (a+b x^3)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x)^n (a+b x^3)^p with n symbolic
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^2*(a + b*x)^n*(c + d*x^3), (a^2*(b^3*c - a^3*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^6*(1 + n)) - (a*(2*b^3*c - 5*a^3*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^6*(2 + n)) + ((b^3*c - 10*a^3*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^6*(3 + n)) + (10*a^2*d*(a + b*x)^(4 + n))/(b^6*(4 + n)) - (5*a*d*(a + b*x)^(5 + n))/(b^6*(5 + n)) + (d*(a + b*x)^(6 + n))/(b^6*(6 + n)), x, 2),
+(x*(a + b*x)^n*(c + d*x^3), -((a*(b^3*c - a^3*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n))) + ((b^3*c - 4*a^3*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^5*(2 + n)) + (6*a^2*d*(a + b*x)^(3 + n))/(b^5*(3 + n)) - (4*a*d*(a + b*x)^(4 + n))/(b^5*(4 + n)) + (d*(a + b*x)^(5 + n))/(b^5*(5 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n*(c + d*x^3), ((b^3*c - a^3*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^4*(1 + n)) + (3*a^2*d*(a + b*x)^(2 + n))/(b^4*(2 + n)) - (3*a*d*(a + b*x)^(3 + n))/(b^4*(3 + n)) + (d*(a + b*x)^(4 + n))/(b^4*(4 + n)), x, 2),
+(1/x^1*(a + b*x)^n*(c + d*x^3), (a^2*d*(a + b*x)^(1 + n))/(b^3*(1 + n)) - (2*a*d*(a + b*x)^(2 + n))/(b^3*(2 + n)) + (d*(a + b*x)^(3 + n))/(b^3*(3 + n)) - (c*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a*(1 + n)), x, 3),
+
+
+(x^2*(a + b*x)^n*(c + d*x^3)^2, (a^2*(b^3*c - a^3*d)^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b^9*(1 + n)) - (2*a*(b^3*c - 4*a^3*d)*(b^3*c - a^3*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^9*(2 + n)) + ((b^6*c^2 - 20*a^3*b^3*c*d + 28*a^6*d^2)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^9*(3 + n)) + (4*a^2*d*(5*b^3*c - 14*a^3*d)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^9*(4 + n)) - (10*a*d*(b^3*c - 7*a^3*d)*(a + b*x)^(5 + n))/(b^9*(5 + n)) + (2*d*(b^3*c - 28*a^3*d)*(a + b*x)^(6 + n))/(b^9*(6 + n)) + (28*a^2*d^2*(a + b*x)^(7 + n))/(b^9*(7 + n)) - (8*a*d^2*(a + b*x)^(8 + n))/(b^9*(8 + n)) + (d^2*(a + b*x)^(9 + n))/(b^9*(9 + n)), x, 2),
+(x*(a + b*x)^n*(c + d*x^3)^2, -((a*(b^3*c - a^3*d)^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b^8*(1 + n))) + ((b^3*c - 7*a^3*d)*(b^3*c - a^3*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^8*(2 + n)) + (3*a^2*d*(4*b^3*c - 7*a^3*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^8*(3 + n)) - (a*d*(8*b^3*c - 35*a^3*d)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^8*(4 + n)) + (d*(2*b^3*c - 35*a^3*d)*(a + b*x)^(5 + n))/(b^8*(5 + n)) + (21*a^2*d^2*(a + b*x)^(6 + n))/(b^8*(6 + n)) - (7*a*d^2*(a + b*x)^(7 + n))/(b^8*(7 + n)) + (d^2*(a + b*x)^(8 + n))/(b^8*(8 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n*(c + d*x^3)^2, ((b^3*c - a^3*d)^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b^7*(1 + n)) + (6*a^2*d*(b^3*c - a^3*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^7*(2 + n)) - (3*a*d*(2*b^3*c - 5*a^3*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^7*(3 + n)) + (2*d*(b^3*c - 10*a^3*d)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^7*(4 + n)) + (15*a^2*d^2*(a + b*x)^(5 + n))/(b^7*(5 + n)) - (6*a*d^2*(a + b*x)^(6 + n))/(b^7*(6 + n)) + (d^2*(a + b*x)^(7 + n))/(b^7*(7 + n)), x, 2),
+(1/x^1*(a + b*x)^n*(c + d*x^3)^2, (a^2*d*(2*b^3*c - a^3*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^6*(1 + n)) - (a*d*(4*b^3*c - 5*a^3*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^6*(2 + n)) + (2*d*(b^3*c - 5*a^3*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^6*(3 + n)) + (10*a^2*d^2*(a + b*x)^(4 + n))/(b^6*(4 + n)) - (5*a*d^2*(a + b*x)^(5 + n))/(b^6*(5 + n)) + (d^2*(a + b*x)^(6 + n))/(b^6*(6 + n)) - (c^2*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a*(1 + n)), x, 3),
+
+
+(x^2*(a + b*x)^n*(c + d*x^3)^3, (a^2*(b^3*c - a^3*d)^3*(a + b*x)^(1 + n))/(b^12*(1 + n)) - (a*(2*b^3*c - 11*a^3*d)*(b^3*c - a^3*d)^2*(a + b*x)^(2 + n))/(b^12*(2 + n)) + ((b^3*c - a^3*d)*(b^6*c^2 - 29*a^3*b^3*c*d + 55*a^6*d^2)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^12*(3 + n)) + (3*a^2*d*(10*b^6*c^2 - 56*a^3*b^3*c*d + 55*a^6*d^2)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^12*(4 + n)) - (15*a*d*(b^6*c^2 - 14*a^3*b^3*c*d + 22*a^6*d^2)*(a + b*x)^(5 + n))/(b^12*(5 + n)) + (3*d*(b^6*c^2 - 56*a^3*b^3*c*d + 154*a^6*d^2)*(a + b*x)^(6 + n))/(b^12*(6 + n)) + (42*a^2*d^2*(2*b^3*c - 11*a^3*d)*(a + b*x)^(7 + n))/(b^12*(7 + n)) - (6*a*d^2*(4*b^3*c - 55*a^3*d)*(a + b*x)^(8 + n))/(b^12*(8 + n)) + (3*d^2*(b^3*c - 55*a^3*d)*(a + b*x)^(9 + n))/(b^12*(9 + n)) + (55*a^2*d^3*(a + b*x)^(10 + n))/(b^12*(10 + n)) - (11*a*d^3*(a + b*x)^(11 + n))/(b^12*(11 + n)) + (d^3*(a + b*x)^(12 + n))/(b^12*(12 + n)), x, 2),
+(x*(a + b*x)^n*(c + d*x^3)^3, -((a*(b^3*c - a^3*d)^3*(a + b*x)^(1 + n))/(b^11*(1 + n))) + ((b^3*c - 10*a^3*d)*(b^3*c - a^3*d)^2*(a + b*x)^(2 + n))/(b^11*(2 + n)) + (9*a^2*d*(2*b^3*c - 5*a^3*d)*(b^3*c - a^3*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^11*(3 + n)) - (3*a*d*(4*b^6*c^2 - 35*a^3*b^3*c*d + 40*a^6*d^2)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^11*(4 + n)) + (3*d*(b^6*c^2 - 35*a^3*b^3*c*d + 70*a^6*d^2)*(a + b*x)^(5 + n))/(b^11*(5 + n)) + (63*a^2*d^2*(b^3*c - 4*a^3*d)*(a + b*x)^(6 + n))/(b^11*(6 + n)) - (21*a*d^2*(b^3*c - 10*a^3*d)*(a + b*x)^(7 + n))/(b^11*(7 + n)) + (3*d^2*(b^3*c - 40*a^3*d)*(a + b*x)^(8 + n))/(b^11*(8 + n)) + (45*a^2*d^3*(a + b*x)^(9 + n))/(b^11*(9 + n)) - (10*a*d^3*(a + b*x)^(10 + n))/(b^11*(10 + n)) + (d^3*(a + b*x)^(11 + n))/(b^11*(11 + n)), x, 2),
+((a + b*x)^n*(c + d*x^3)^3, ((b^3*c - a^3*d)^3*(a + b*x)^(1 + n))/(b^10*(1 + n)) + (9*a^2*d*(b^3*c - a^3*d)^2*(a + b*x)^(2 + n))/(b^10*(2 + n)) - (9*a*d*(b^3*c - 4*a^3*d)*(b^3*c - a^3*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^10*(3 + n)) + (3*d*(b^6*c^2 - 20*a^3*b^3*c*d + 28*a^6*d^2)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^10*(4 + n)) + (9*a^2*d^2*(5*b^3*c - 14*a^3*d)*(a + b*x)^(5 + n))/(b^10*(5 + n)) - (18*a*d^2*(b^3*c - 7*a^3*d)*(a + b*x)^(6 + n))/(b^10*(6 + n)) + (3*d^2*(b^3*c - 28*a^3*d)*(a + b*x)^(7 + n))/(b^10*(7 + n)) + (36*a^2*d^3*(a + b*x)^(8 + n))/(b^10*(8 + n)) - (9*a*d^3*(a + b*x)^(9 + n))/(b^10*(9 + n)) + (d^3*(a + b*x)^(10 + n))/(b^10*(10 + n)), x, 2),
+(1/x^1*(a + b*x)^n*(c + d*x^3)^3, (a^2*d*(3*b^6*c^2 - 3*a^3*b^3*c*d + a^6*d^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^9*(1 + n)) - (a*d*(6*b^6*c^2 - 15*a^3*b^3*c*d + 8*a^6*d^2)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^9*(2 + n)) + (d*(3*b^6*c^2 - 30*a^3*b^3*c*d + 28*a^6*d^2)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^9*(3 + n)) + (2*a^2*d^2*(15*b^3*c - 28*a^3*d)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^9*(4 + n)) - (5*a*d^2*(3*b^3*c - 14*a^3*d)*(a + b*x)^(5 + n))/(b^9*(5 + n)) + (d^2*(3*b^3*c - 56*a^3*d)*(a + b*x)^(6 + n))/(b^9*(6 + n)) + (28*a^2*d^3*(a + b*x)^(7 + n))/(b^9*(7 + n)) - (8*a*d^3*(a + b*x)^(8 + n))/(b^9*(8 + n)) + (d^3*(a + b*x)^(9 + n))/(b^9*(9 + n)) - (c^3*(a + b*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a))/(a*(1 + n)), x, 3),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5*(e + f*x)^n/(a + b*x^3), (e^2*(e + f*x)^(1 + n))/(b*f^3*(1 + n)) - (2*e*(e + f*x)^(2 + n))/(b*f^3*(2 + n)) + (e + f*x)^(3 + n)/(b*f^3*(3 + n)) + (a*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b^(1//3)*(e + f*x))/(b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)))/(3*b^(5//3)*(b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)*(1 + n)) + (a*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b^(1//3)*(e + f*x))/(b^(1//3)*e + (-1)^(1//3)*a^(1//3)*f)))/(3*b^(5//3)*(b^(1//3)*e + (-1)^(1//3)*a^(1//3)*f)*(1 + n)) + (a*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b^(1//3)*(e + f*x))/(b^(1//3)*e - (-1)^(2//3)*a^(1//3)*f)))/(3*b^(5//3)*(b^(1//3)*e - (-1)^(2//3)*a^(1//3)*f)*(1 + n)), x, 7),
+(x^4*(e + f*x)^n/(a + b*x^3), -((e*(e + f*x)^(1 + n))/(b*f^2*(1 + n))) + (e + f*x)^(2 + n)/(b*f^2*(2 + n)) - (a^(2//3)*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b^(1//3)*(e + f*x))/(b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)))/(3*b^(4//3)*(b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)*(1 + n)) + ((-1)^(1//3)*a^(2//3)*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, ((-1)^(2//3)*b^(1//3)*(e + f*x))/((-1)^(2//3)*b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)))/(3*b^(4//3)*((-1)^(2//3)*b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)*(1 + n)) + ((-1)^(2//3)*a^(2//3)*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, ((-1)^(1//3)*b^(1//3)*(e + f*x))/((-1)^(1//3)*b^(1//3)*e + a^(1//3)*f)))/(3*b^(4//3)*((-1)^(1//3)*b^(1//3)*e + a^(1//3)*f)*(1 + n)), x, 7),
+(x^3*(e + f*x)^n/(a + b*x^3), (e + f*x)^(1 + n)/(b*f*(1 + n)) + (a^(1//3)*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b^(1//3)*(e + f*x))/(b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)))/(3*b*(b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)*(1 + n)) + (a^(1//3)*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, ((-1)^(2//3)*b^(1//3)*(e + f*x))/((-1)^(2//3)*b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)))/(3*b*((-1)^(2//3)*b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)*(1 + n)) - (a^(1//3)*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, ((-1)^(1//3)*b^(1//3)*(e + f*x))/((-1)^(1//3)*b^(1//3)*e + a^(1//3)*f)))/(3*b*((-1)^(1//3)*b^(1//3)*e + a^(1//3)*f)*(1 + n)), x, 7),
+(x^2*(e + f*x)^n/(a + b*x^3), -(((e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b^(1//3)*(e + f*x))/(b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)))/(3*b^(2//3)*(b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)*(1 + n))) - ((e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b^(1//3)*(e + f*x))/(b^(1//3)*e + (-1)^(1//3)*a^(1//3)*f)))/(3*b^(2//3)*(b^(1//3)*e + (-1)^(1//3)*a^(1//3)*f)*(1 + n)) - ((e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b^(1//3)*(e + f*x))/(b^(1//3)*e - (-1)^(2//3)*a^(1//3)*f)))/(3*b^(2//3)*(b^(1//3)*e - (-1)^(2//3)*a^(1//3)*f)*(1 + n)), x, 5),
+(x^1*(e + f*x)^n/(a + b*x^3), ((e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b^(1//3)*(e + f*x))/(b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)))/(3*a^(1//3)*b^(1//3)*(b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)*(1 + n)) - ((-1)^(1//3)*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, ((-1)^(2//3)*b^(1//3)*(e + f*x))/((-1)^(2//3)*b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)))/(3*a^(1//3)*b^(1//3)*((-1)^(2//3)*b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)*(1 + n)) - ((-1)^(2//3)*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, ((-1)^(1//3)*b^(1//3)*(e + f*x))/((-1)^(1//3)*b^(1//3)*e + a^(1//3)*f)))/(3*a^(1//3)*b^(1//3)*((-1)^(1//3)*b^(1//3)*e + a^(1//3)*f)*(1 + n)), x, 5),
+(x^0*(e + f*x)^n/(a + b*x^3), -(((e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b^(1//3)*(e + f*x))/(b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)))/(3*a^(2//3)*(b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)*(1 + n))) - ((e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, ((-1)^(2//3)*b^(1//3)*(e + f*x))/((-1)^(2//3)*b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)))/(3*a^(2//3)*((-1)^(2//3)*b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)*(1 + n)) + ((e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, ((-1)^(1//3)*b^(1//3)*(e + f*x))/((-1)^(1//3)*b^(1//3)*e + a^(1//3)*f)))/(3*a^(2//3)*((-1)^(1//3)*b^(1//3)*e + a^(1//3)*f)*(1 + n)), x, 5),
+((e + f*x)^n/(x^1*(a + b*x^3)), (b^(1//3)*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b^(1//3)*(e + f*x))/(b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)))/(3*a*(b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)*(1 + n)) + (b^(1//3)*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b^(1//3)*(e + f*x))/(b^(1//3)*e + (-1)^(1//3)*a^(1//3)*f)))/(3*a*(b^(1//3)*e + (-1)^(1//3)*a^(1//3)*f)*(1 + n)) + (b^(1//3)*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b^(1//3)*(e + f*x))/(b^(1//3)*e - (-1)^(2//3)*a^(1//3)*f)))/(3*a*(b^(1//3)*e - (-1)^(2//3)*a^(1//3)*f)*(1 + n)) - ((e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, 1 + (f*x)/e))/(a*e*(1 + n)), x, 8),
+((e + f*x)^n/(x^2*(a + b*x^3)), -((b^(2//3)*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b^(1//3)*(e + f*x))/(b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)))/(3*a^(4//3)*(b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)*(1 + n))) + ((-1)^(1//3)*b^(2//3)*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, ((-1)^(2//3)*b^(1//3)*(e + f*x))/((-1)^(2//3)*b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)))/(3*a^(4//3)*((-1)^(2//3)*b^(1//3)*e - a^(1//3)*f)*(1 + n)) + ((-1)^(2//3)*b^(2//3)*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, ((-1)^(1//3)*b^(1//3)*(e + f*x))/((-1)^(1//3)*b^(1//3)*e + a^(1//3)*f)))/(3*a^(4//3)*((-1)^(1//3)*b^(1//3)*e + a^(1//3)*f)*(1 + n)) + (f*(e + f*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, 1 + (f*x)/e))/(a*e^2*(1 + n)), x, 8),
+
+(x^2*(c + d*x)^(n + 1)/(a + b*x^3), -(((c + d*x)^(2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2 + n, 3 + n, (b^(1//3)*(c + d*x))/(b^(1//3)*c - a^(1//3)*d)))/(3*b^(2//3)*(b^(1//3)*c - a^(1//3)*d)*(2 + n))) - ((c + d*x)^(2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2 + n, 3 + n, (b^(1//3)*(c + d*x))/(b^(1//3)*c + (-1)^(1//3)*a^(1//3)*d)))/(3*b^(2//3)*(b^(1//3)*c + (-1)^(1//3)*a^(1//3)*d)*(2 + n)) - ((c + d*x)^(2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2 + n, 3 + n, (b^(1//3)*(c + d*x))/(b^(1//3)*c - (-1)^(2//3)*a^(1//3)*d)))/(3*b^(2//3)*(b^(1//3)*c - (-1)^(2//3)*a^(1//3)*d)*(2 + n)), x, 5),
+
+
+(x^m*(e + f*x)^n/(a + b*x^3), (x^(1 + m)*(e + f*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 1, 2 + m, -((f*x)/e), -((b^(1//3)*x)/a^(1//3))))/((1 + (f*x)/e)^n*(3*a*(1 + m))) + (x^(1 + m)*(e + f*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 1, 2 + m, -((f*x)/e), ((-1)^(1//3)*b^(1//3)*x)/a^(1//3)))/((1 + (f*x)/e)^n*(3*a*(1 + m))) + (x^(1 + m)*(e + f*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 + m, -n, 1, 2 + m, -((f*x)/e), -(((-1)^(2//3)*b^(1//3)*x)/a^(1//3))))/((1 + (f*x)/e)^n*(3*a*(1 + m))), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x)^n (a+b x^3)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(c + d*x^3)/(a + b*x), (2*sqrt(c + d*x^3))/(3*b) - (2*a*d^(1//3)*sqrt(c + d*x^3))/(b^2*((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)) - (c^(1//6)*sqrt(b*c^(1//3) - a*d^(1//3))*sqrt(b^2*c^(2//3) + a*b*c^(1//3)*d^(1//3) + a^2*d^(2//3))*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3)*(1 - (d^(1//3)*x)/c^(1//3) + (d^(2//3)*x^2)/c^(2//3)))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*atanh((sqrt(2 - sqrt(3))*sqrt(b^2*c^(2//3) + a*b*c^(1//3)*d^(1//3) + a^2*d^(2//3))*sqrt(1 - ((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2))/(3^(1//4)*sqrt(b)*c^(1//6)*sqrt(b*c^(1//3) - a*d^(1//3))*sqrt(7 - 4*sqrt(3) + ((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2))))/(b^(5//2)*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*a*c^(1//3)*d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^2*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) + (2*sqrt(2 + sqrt(3))*a*((1 - sqrt(3))*b*c^(1//3) + a*d^(1//3))*d^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*b^3*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (2*sqrt(2 + sqrt(3))*(b^3*c - a^3*d)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3) - c^(1//3)*d^(1//3)*x + d^(2//3)*x^2)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*b^3*((1 + sqrt(3))*b*c^(1//3) - a*d^(1//3))*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)) - (4*3^(1//4)*sqrt(2 + sqrt(3))*c^(1//3)*(b^3*c - a^3*d)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x)*sqrt((c^(2//3)*(1 - (d^(1//3)*x)/c^(1//3) + (d^(2//3)*x^2)/c^(2//3)))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(((1 + sqrt(3))*b*c^(1//3) - a*d^(1//3))^2/((1 - sqrt(3))*b*c^(1//3) - a*d^(1//3))^2, -asin(((1 - sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(b^2*(2*b^2*c^(2//3) + 2*a*b*c^(1//3)*d^(1//3) - a^2*d^(2//3))*sqrt((c^(1//3)*(c^(1//3) + d^(1//3)*x))/((1 + sqrt(3))*c^(1//3) + d^(1//3)*x)^2)*sqrt(c + d*x^3)), x, 13),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x)^n (a+b x^3)^p with p symbolic
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+
+((d^3 + e^3*x^3)^p/(d + e*x), ((d^3 + e^3*x^3)^p*SymbolicIntegration.appell_f1(p, -p, -p, 1 + p, -((2*(d + e*x))/((-3 + I*sqrt(3))*d)), (2*(d + e*x))/((3 + I*sqrt(3))*d)))/((1 + (2*(d + e*x))/((-3 + I*sqrt(3))*d))^p*(1 - (2*(d + e*x))/((3 + I*sqrt(3))*d))^p*(e*p)), x, -1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form  (c+d x+e x^2)^m (f+g x+h x^2)^n (a+b x^3)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f+g x+h x^2) / ((c+e x^2) Sqrt[a+b x^3]) with b g^3 - 8 a h^3 = 0 && g^2 + 2 f h = 0 && b c g - 4 a e h = 0
+
+
+((2 - 2*x - x^2)/((2 + x^2)*sqrt(1 + x^3)), 2*atan((1 + x)/sqrt(1 + x^3)), x, 2),
+((2 + 2*x - x^2)/((2 + x^2)*sqrt(1 - x^3)), -2*atan((1 - x)/sqrt(1 - x^3)), x, 2),
+((2 + 2*x - x^2)/((2 + x^2)*sqrt(-1 + x^3)), -2*atanh((1 - x)/sqrt(-1 + x^3)), x, 2),
+((2 - 2*x - x^2)/((2 + x^2)*sqrt(-1 - x^3)), 2*atanh((1 + x)/sqrt(-1 - x^3)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (f+g x+h x^2) / ((c+d x+e x^2) Sqrt[a+b x^3]) with b g^3 - 8 a h^3 = 0 && g^2 + 2 f h = 0 && b d f + b c g - 4 a e h = 0
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+((2 - 2*x - x^2)/((2 + d + d*x + x^2)*sqrt(1 + x^3)), (2*atan((sqrt(1 + d)*(1 + x))/sqrt(1 + x^3)))/sqrt(1 + d), x, 2),
+((2 + 2*x - x^2)/((2 - d + d*x + x^2)*sqrt(1 - x^3)), -((2*atan((sqrt(1 - d)*(1 - x))/sqrt(1 - x^3)))/sqrt(1 - d)), x, 2),
+((2 + 2*x - x^2)/((2 - d + d*x + x^2)*sqrt(-1 + x^3)), -((2*atanh((sqrt(1 - d)*(1 - x))/sqrt(-1 + x^3)))/sqrt(1 - d)), x, 2),
+((2 - 2*x - x^2)/((2 + d + d*x + x^2)*sqrt(-1 - x^3)), (2*atanh((sqrt(1 + d)*(1 + x))/sqrt(-1 - x^3)))/sqrt(1 + d), x, 2),
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+# ::Title::
+# Algebraic Function Integration Problems
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form u (a+b x^2+c x^4)^p
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x)^q (a+c x^4)^(p/2)
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+((d + e*x)^3*sqrt(a + c*x^4), (3*d^2*e*x^2*sqrt(a + c*x^4))/4 + (6*a*d*e^2*x*sqrt(a + c*x^4))/(5*sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (d*x*(5*d^2 + 9*e^2*x^2)*sqrt(a + c*x^4))/15 + (e^3*(a + c*x^4)^(3//2))/(6*c) + (3*a*d^2*e*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a + c*x^4)))/(4*sqrt(c)) - (6*a^(5//4)*d*e^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)) + (a^(3//4)*d*(5*sqrt(c)*d^2 + 9*sqrt(a)*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 11),
+((d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^4), (d*e*x^2*sqrt(a + c*x^4))/2 + (2*a*e^2*x*sqrt(a + c*x^4))/(5*sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (x*(5*d^2 + 3*e^2*x^2)*sqrt(a + c*x^4))/15 + (a*d*e*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a + c*x^4)))/(2*sqrt(c)) - (2*a^(5//4)*e^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(5*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)) + (a^(3//4)*(5*sqrt(c)*d^2 + 3*sqrt(a)*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(15*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 10),
+((d + e*x)^1*sqrt(a + c*x^4), (d*x*sqrt(a + c*x^4))/3 + (e*x^2*sqrt(a + c*x^4))/4 + (a*e*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a + c*x^4)))/(4*sqrt(c)) + (a^(3//4)*d*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(3*c^(1//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 8),
+((d + e*x)^0*sqrt(a + c*x^4), (x*sqrt(a + c*x^4))/3 + (a^(3//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(3*c^(1//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 2),
+(sqrt(a + c*x^4)/(d + e*x)^1, sqrt(a + c*x^4)/(2*e) - (sqrt(c)*d*x*sqrt(a + c*x^4))/(e^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (sqrt((-c)*d^4 - a*e^4)*atan((sqrt((-c)*d^4 - a*e^4)*x)/(d*e*sqrt(a + c*x^4))))/(2*e^3) + (sqrt(c)*d^2*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a + c*x^4)))/(2*e^3) - (sqrt(c*d^4 + a*e^4)*atanh((a*e^2 + c*d^2*x^2)/(sqrt(c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4))))/(2*e^3) + (a^(1//4)*c^(1//4)*d*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(e^2*sqrt(a + c*x^4)) - (a^(1//4)*c^(1//4)*d*((sqrt(c)*d^2)/sqrt(a) + e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*e^4*sqrt(a + c*x^4)) + (c^(1//4)*d*(c*d^4 + a*e^4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*e^4*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*sqrt(a + c*x^4)) - ((sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*(c*d^4 + a*e^4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*c^(1//4)*d*e^4*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*sqrt(a + c*x^4)), x, 15),
+(sqrt(a + c*x^4)/(d + e*x)^2, (2*sqrt(c)*x*sqrt(a + c*x^4))/(e^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (d*sqrt(a + c*x^4))/(e*(d^2 - e^2*x^2)) + (x*sqrt(a + c*x^4))/(d^2 - e^2*x^2) + (sqrt((-c)*d^4 - a*e^4)*atan((sqrt((-c)*d^4 - a*e^4)*x)/(d*e*sqrt(a + c*x^4))))/(2*d*e^3) - ((c*d^4 - a*e^4)*atan((sqrt((-c)*d^4 - a*e^4)*x)/(d*e*sqrt(a + c*x^4))))/(2*d*e^3*sqrt((-c)*d^4 - a*e^4)) - (sqrt(c)*d*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a + c*x^4)))/e^3 + (c*d^3*atanh((a*e^2 + c*d^2*x^2)/(sqrt(c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4))))/(e^3*sqrt(c*d^4 + a*e^4)) - (2*a^(1//4)*c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(e^2*sqrt(a + c*x^4)) + (3*a^(1//4)*c^(1//4)*((sqrt(c)*d^2)/sqrt(a) + e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*e^4*sqrt(a + c*x^4)) - (c^(1//4)*(sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*e^4*sqrt(a + c*x^4)) + (c^(1//4)*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*e^4*sqrt(a + c*x^4)) - (c^(1//4)*(c*d^4 + a*e^4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*e^4*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*sqrt(a + c*x^4)) + ((sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*c^(1//4)*d^2*e^4*sqrt(a + c*x^4)) + ((sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*(c*d^4 + a*e^4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*c^(1//4)*d^2*e^4*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*sqrt(a + c*x^4)), x, 32),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+((d + e*x)^3/sqrt(a + c*x^4), (e^3*sqrt(a + c*x^4))/(2*c) + (3*d*e^2*x*sqrt(a + c*x^4))/(sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (3*d^2*e*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a + c*x^4)))/(2*sqrt(c)) - (3*a^(1//4)*d*e^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)) + (d*(sqrt(c)*d^2 + 3*sqrt(a)*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 9),
+((d + e*x)^2/sqrt(a + c*x^4), (e^2*x*sqrt(a + c*x^4))/(sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (d*e*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a + c*x^4)))/sqrt(c) - (a^(1//4)*e^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)) + (a^(1//4)*((sqrt(c)*d^2)/sqrt(a) + e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 8),
+((d + e*x)^1/sqrt(a + c*x^4), (e*atanh((sqrt(c)*x^2)/sqrt(a + c*x^4)))/(2*sqrt(c)) + (d*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 6),
+((d + e*x)^0/sqrt(a + c*x^4), ((sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*c^(1//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 1),
+(1/((d + e*x)^1*sqrt(a + c*x^4)), (e*atan((sqrt((-c)*d^4 - a*e^4)*x)/(d*e*sqrt(a + c*x^4))))/(2*sqrt((-c)*d^4 - a*e^4)) - (e*atanh((a*e^2 + c*d^2*x^2)/(sqrt(c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4))))/(2*sqrt(c*d^4 + a*e^4)) + (c^(1//4)*d*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*sqrt(a + c*x^4)) - ((sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*c^(1//4)*d*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*sqrt(a + c*x^4)), x, 7),
+(1/((d + e*x)^2*sqrt(a + c*x^4)), -((e^3*sqrt(a + c*x^4))/((c*d^4 + a*e^4)*(d + e*x))) + (sqrt(c)*e^2*x*sqrt(a + c*x^4))/((c*d^4 + a*e^4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (c*d^3*e*atan((sqrt((-c)*d^4 - a*e^4)*x)/(d*e*sqrt(a + c*x^4))))/((-c)*d^4 - a*e^4)^(3//2) - (c*d^3*e*atanh((a*e^2 + c*d^2*x^2)/(sqrt(c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4))))/(c*d^4 + a*e^4)^(3//2) - (a^(1//4)*c^(1//4)*e^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/((c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4)) + (c^(1//4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*sqrt(a + c*x^4)) - (c^(3//4)*d^2*(sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*(c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 11),
+(1/((d + e*x)^3*sqrt(a + c*x^4)), -((e^3*sqrt(a + c*x^4))/(2*(c*d^4 + a*e^4)*(d + e*x)^2)) - (3*c*d^3*e^3*sqrt(a + c*x^4))/((c*d^4 + a*e^4)^2*(d + e*x)) + (3*c^(3//2)*d^3*e^2*x*sqrt(a + c*x^4))/((c*d^4 + a*e^4)^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (3*c*d^2*e*(c*d^4 - a*e^4)*atan((sqrt((-c)*d^4 - a*e^4)*x)/(d*e*sqrt(a + c*x^4))))/(2*((-c)*d^4 - a*e^4)^(5//2)) - (3*c*d^2*e*(c*d^4 - a*e^4)*atanh((a*e^2 + c*d^2*x^2)/(sqrt(c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4))))/(2*(c*d^4 + a*e^4)^(5//2)) - (3*a^(1//4)*c^(5//4)*d^3*e^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/((c*d^4 + a*e^4)^2*sqrt(a + c*x^4)) + (c^(3//4)*d*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*(c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4)) - (3*c^(3//4)*d*(sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*(c*d^4 + a*e^4)^2*sqrt(a + c*x^4)), x, 12),
+
+
+((d + e*x)^3/(a + c*x^4)^(3//2), (-3*d*e^2*x*sqrt(a + c*x^4))/(2*a*sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (a*e^3 - c*x*(d^3 + 3*d^2*e*x + 3*d*e^2*x^2))/(2*a*c*sqrt(a + c*x^4)) + (3*d*e^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)) + (d*(sqrt(c)*d^2 - 3*sqrt(a)*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(5//4)*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 4),
+((d + e*x)^2/(a + c*x^4)^(3//2), (x*(d + e*x)^2)/(2*a*sqrt(a + c*x^4)) - (e^2*x*sqrt(a + c*x^4))/(2*a*sqrt(c)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) + (e^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)) + ((sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(5//4)*c^(3//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 4),
+((d + e*x)^1/(a + c*x^4)^(3//2), (x*(d + e*x))/(2*a*sqrt(a + c*x^4)) + (d*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(5//4)*c^(1//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 3),
+((d + e*x)^0/(a + c*x^4)^(3//2), x/(2*a*sqrt(a + c*x^4)) + ((sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(5//4)*c^(1//4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 2),
+(1/((d + e*x)^1*(a + c*x^4)^(3//2)), (e*(a*e^2 - c*d^2*x^2))/(2*a*(c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4)) + (c*d*x*(d^2 + e^2*x^2))/(2*a*(c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4)) - (sqrt(c)*d*e^2*x*sqrt(a + c*x^4))/(2*a*(c*d^4 + a*e^4)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)) - (e^5*atan((sqrt((-c)*d^4 - a*e^4)*x)/(d*e*sqrt(a + c*x^4))))/(2*((-c)*d^4 - a*e^4)^(3//2)) - (e^5*atanh((a*e^2 + c*d^2*x^2)/(sqrt(c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4))))/(2*(c*d^4 + a*e^4)^(3//2)) + (c^(1//4)*d*e^2*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(3//4)*(c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4)) + (c^(1//4)*d*(sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(5//4)*(c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4)) + (c^(1//4)*d*e^4*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*(c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4)) - (e^4*(sqrt(c)*d^2 - sqrt(a)*e^2)*(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)*sqrt((a + c*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(c)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)^2/(4*sqrt(a)*sqrt(c)*d^2*e^2), 2*atan((c^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(4*a^(1//4)*c^(1//4)*d*(sqrt(c)*d^2 + sqrt(a)*e^2)*(c*d^4 + a*e^4)*sqrt(a + c*x^4)), x, 14),
+# {1/((d + e*x)^2*(a + c*x^4)^(3/2)), x, 79, (d*e*(a*e^2 - c*d^2*x^2))/(a*(c*d^4 + a*e^4)*(d^2 - e^2*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]) - (c*x*(d^2 + e^2*x^2))/(2*a*(c*d^4 + a*e^4)*Sqrt[a + c*x^4]) + (c*d^2*x*(c*d^4 - a*e^4 + 2*c*d^2*e^2*x^2))/(a*(c*d^4 + a*e^4)^2*Sqrt[a + c*x^4]) + (e^7*Sqrt[a + c*x^4])/(2*(c*d^4 + a*e^4)^2*(d - e*x)) - (e^7*Sqrt[a + c*x^4])/(2*(c*d^4 + a*e^4)^2*(d + e*x)) - (2*c^(3/2)*d^4*e^2*x*Sqrt[a + c*x^4])/(a*(c*d^4 + a*e^4)^2*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)) + (Sqrt[c]*e^6*x*Sqrt[a + c*x^4])/((c*d^4 + a*e^4)^2*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)) + (Sqrt[c]*e^2*x*Sqrt[a + c*x^4])/(2*a*(c*d^4 + a*e^4)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)) + (d*e^3*(c*d^4 - 2*a*e^4)*Sqrt[a + c*x^4])/(a*(c*d^4 + a*e^4)^2*(d^2 - e^2*x^2)) + (c*d^3*e^5*ArcTan[(Sqrt[(-c)*d^4 - a*e^4]*x)/(d*e*Sqrt[a + c*x^4])])/((-c)*d^4 - a*e^4)^(5/2) + (e^5*ArcTan[(Sqrt[(-c)*d^4 - a*e^4]*x)/(d*e*Sqrt[a + c*x^4])])/(2*d*((-c)*d^4 - a*e^4)^(3/2)) + (e^5*(5*c*d^4 + a*e^4)*ArcTan[(Sqrt[(-c)*d^4 - a*e^4]*x)/(d*e*Sqrt[a + c*x^4])])/(2*d*((-c)*d^4 - a*e^4)^(5/2)) - (3*c*d^3*e^5*ArcTanh[(a*e^2 + c*d^2*x^2)/(Sqrt[c*d^4 + a*e^4]*Sqrt[a + c*x^4])])/(c*d^4 + a*e^4)^(5/2) + (2*c^(5/4)*d^4*e^2*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(a^(3/4)*(c*d^4 + a*e^4)^2*Sqrt[a + c*x^4]) - (a^(1/4)*c^(1/4)*e^6*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/((c*d^4 + a*e^4)^2*Sqrt[a + c*x^4]) - (c^(1/4)*e^2*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(2*a^(3/4)*(c*d^4 + a*e^4)*Sqrt[a + c*x^4]) + (c^(3/4)*d^2*(c*d^4 - 2*Sqrt[a]*Sqrt[c]*d^2*e^2 - a*e^4)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(2*a^(5/4)*(c*d^4 + a*e^4)^2*Sqrt[a + c*x^4]) - (c^(1/4)*(Sqrt[c]*d^2 - Sqrt[a]*e^2)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(4*a^(5/4)*(c*d^4 + a*e^4)*Sqrt[a + c*x^4]) + (c^(1/4)*e^4*(5*c*d^4 + a*e^4)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(2*a^(1/4)*(Sqrt[c]*d^2 + Sqrt[a]*e^2)*(c*d^4 + a*e^4)^2*Sqrt[a + c*x^4]) - (c^(3/4)*d^2*e^4*(Sqrt[c]*d^2 - Sqrt[a]*e^2)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[c]*d^2 + Sqrt[a]*e^2)^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c]*d^2*e^2), 2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(2*a^(1/4)*(Sqrt[c]*d^2 + Sqrt[a]*e^2)*(c*d^4 + a*e^4)^2*Sqrt[a + c*x^4]) + (e^4*(Sqrt[c]*d^2 - Sqrt[a]*e^2)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[c]*d^2 + Sqrt[a]*e^2)^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c]*d^2*e^2), 2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(4*a^(1/4)*c^(1/4)*d^2*(Sqrt[c]*d^2 + Sqrt[a]*e^2)*(c*d^4 + a*e^4)*Sqrt[a + c*x^4]) - (e^4*(Sqrt[c]*d^2 - Sqrt[a]*e^2)*(5*c*d^4 + a*e^4)*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)*Sqrt[(a + c*x^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*x^2)^2]*EllipticPi[(Sqrt[c]*d^2 + Sqrt[a]*e^2)^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c]*d^2*e^2), 2*ArcTan[(c^(1/4)*x)/a^(1/4)], 1/2])/(4*a^(1/4)*c^(1/4)*d^2*(Sqrt[c]*d^2 + Sqrt[a]*e^2)*(c*d^4 + a*e^4)^2*Sqrt[a + c*x^4])}
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c+d x)^n (a+b x^4)^p with n symbolic
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+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(x^3*(c + d*x)^n/(a + b*x^4), -(((c + d*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b^(1//4)*(c + d*x))/(b^(1//4)*c - sqrt(-sqrt(-a))*d)))/(4*b^(3//4)*(b^(1//4)*c - sqrt(-sqrt(-a))*d)*(1 + n))) - ((c + d*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b^(1//4)*(c + d*x))/(b^(1//4)*c + sqrt(-sqrt(-a))*d)))/(4*b^(3//4)*(b^(1//4)*c + sqrt(-sqrt(-a))*d)*(1 + n)) - ((c + d*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b^(1//4)*(c + d*x))/(b^(1//4)*c - (-a)^(1//4)*d)))/(4*b^(3//4)*(b^(1//4)*c - (-a)^(1//4)*d)*(1 + n)) - ((c + d*x)^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + n, 2 + n, (b^(1//4)*(c + d*x))/(b^(1//4)*c + (-a)^(1//4)*d)))/(4*b^(3//4)*(b^(1//4)*c + (-a)^(1//4)*d)*(1 + n)), x, 10),
+(x^3*(c + d*x)^(n + 1)/(a + b*x^4), -(((c + d*x)^(2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2 + n, 3 + n, (b^(1//4)*(c + d*x))/(b^(1//4)*c - sqrt(-sqrt(-a))*d)))/(4*b^(3//4)*(b^(1//4)*c - sqrt(-sqrt(-a))*d)*(2 + n))) - ((c + d*x)^(2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2 + n, 3 + n, (b^(1//4)*(c + d*x))/(b^(1//4)*c + sqrt(-sqrt(-a))*d)))/(4*b^(3//4)*(b^(1//4)*c + sqrt(-sqrt(-a))*d)*(2 + n)) - ((c + d*x)^(2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2 + n, 3 + n, (b^(1//4)*(c + d*x))/(b^(1//4)*c - (-a)^(1//4)*d)))/(4*b^(3//4)*(b^(1//4)*c - (-a)^(1//4)*d)*(2 + n)) - ((c + d*x)^(2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 2 + n, 3 + n, (b^(1//4)*(c + d*x))/(b^(1//4)*c + (-a)^(1//4)*d)))/(4*b^(3//4)*(b^(1//4)*c + (-a)^(1//4)*d)*(2 + n)), x, 10),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (c+d x+e x^2)^n (a+b x^4)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
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+(1/((c + d*x + e*x^2)*sqrt(a + b*x^4)), -((e^2*atan((sqrt(2)*sqrt((-b)*d^4 + 4*b*c*d^2*e - 2*b*c^2*e^2 - 2*a*e^4 - b*d*sqrt(d^2 - 4*c*e)*(d^2 - 2*c*e))*x)/(e*(d + sqrt(d^2 - 4*c*e))*sqrt(a + b*x^4))))/(sqrt(2)*sqrt(d^2 - 4*c*e)*sqrt(-2*a*e^4 - b*(d^4 - 4*c*d^2*e + 2*c^2*e^2 + d^3*sqrt(d^2 - 4*c*e) - 2*c*d*e*sqrt(d^2 - 4*c*e))))) + (e^2*atan((sqrt(2)*sqrt((-b)*d^4 + 4*b*c*d^2*e - 2*b*c^2*e^2 - 2*a*e^4 + b*d*sqrt(d^2 - 4*c*e)*(d^2 - 2*c*e))*x)/(e*(d - sqrt(d^2 - 4*c*e))*sqrt(a + b*x^4))))/(sqrt(2)*sqrt(d^2 - 4*c*e)*sqrt(-2*a*e^4 - b*(d^4 - 4*c*d^2*e + 2*c^2*e^2 - d^3*sqrt(d^2 - 4*c*e) + 2*c*d*e*sqrt(d^2 - 4*c*e)))) - (e^2*atanh((4*a*e^2 + b*(d - sqrt(d^2 - 4*c*e))^2*x^2)/(2*sqrt(2)*sqrt(b*d^4 - 4*b*c*d^2*e + 2*b*c^2*e^2 + 2*a*e^4 - b*d*sqrt(d^2 - 4*c*e)*(d^2 - 2*c*e))*sqrt(a + b*x^4))))/(sqrt(2)*sqrt(d^2 - 4*c*e)*sqrt(b*d^4 - 4*b*c*d^2*e + 2*b*c^2*e^2 + 2*a*e^4 - b*d*sqrt(d^2 - 4*c*e)*(d^2 - 2*c*e))) + (e^2*atanh((4*a*e^2 + b*(d + sqrt(d^2 - 4*c*e))^2*x^2)/(2*sqrt(2)*sqrt(b*d^4 - 4*b*c*d^2*e + 2*b*c^2*e^2 + 2*a*e^4 + b*d*sqrt(d^2 - 4*c*e)*(d^2 - 2*c*e))*sqrt(a + b*x^4))))/(sqrt(2)*sqrt(d^2 - 4*c*e)*sqrt(b*d^4 - 4*b*c*d^2*e + 2*b*c^2*e^2 + 2*a*e^4 + b*d*sqrt(d^2 - 4*c*e)*(d^2 - 2*c*e))) + (b^(1//4)*e*(d - sqrt(d^2 - 4*c*e))*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*sqrt(d^2 - 4*c*e)*(2*sqrt(a)*e^2 + sqrt(b)*(d^2 - 2*c*e - d*sqrt(d^2 - 4*c*e)))*sqrt(a + b*x^4)) - (b^(1//4)*e*(d + sqrt(d^2 - 4*c*e))*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*sqrt(d^2 - 4*c*e)*(2*sqrt(a)*e^2 + sqrt(b)*(d^2 - 2*c*e + d*sqrt(d^2 - 4*c*e)))*sqrt(a + b*x^4)) + (e*(2*sqrt(a)*e^2 - sqrt(b)*(d^2 - 2*c*e - d*sqrt(d^2 - 4*c*e)))*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*sqrt(a)*e^2 + sqrt(b)*(d^2 - 2*c*e - d*sqrt(d^2 - 4*c*e)))^2/(4*sqrt(a)*sqrt(b)*e^2*(d - sqrt(d^2 - 4*c*e))^2), 2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d^2 - 4*c*e)*(d - sqrt(d^2 - 4*c*e))*(2*sqrt(a)*e^2 + sqrt(b)*(d^2 - 2*c*e - d*sqrt(d^2 - 4*c*e)))*sqrt(a + b*x^4)) - (e*(2*sqrt(a)*e^2 - sqrt(b)*(d^2 - 2*c*e + d*sqrt(d^2 - 4*c*e)))*(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)*sqrt((a + b*x^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*x^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_pi((2*sqrt(a)*e^2 + sqrt(b)*(d^2 - 2*c*e + d*sqrt(d^2 - 4*c*e)))^2/(4*sqrt(a)*sqrt(b)*e^2*(d + sqrt(d^2 - 4*c*e))^2), 2*atan((b^(1//4)*x)/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*b^(1//4)*sqrt(d^2 - 4*c*e)*(d + sqrt(d^2 - 4*c*e))*(2*sqrt(a)*e^2 + sqrt(b)*(d^2 - 2*c*e + d*sqrt(d^2 - 4*c*e)))*sqrt(a + b*x^4)), x, 16),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form u (c (a+b x^n)^q)^p
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+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c (a+b x^2)^q)^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
+
+
+(x^m*(c*(a + b*x^2)^2)^(3//2), (a^3*c*x^(1 + m)*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/((1 + m)*(a + b*x^2)) + (3*a^2*b*c*x^(3 + m)*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/((3 + m)*(a + b*x^2)) + (3*a*b^2*c*x^(5 + m)*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/((5 + m)*(a + b*x^2)) + (b^3*c*x^(7 + m)*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/((7 + m)*(a + b*x^2)), x, 3),
+
+
+(x^5*(c*(a + b*x^2)^2)^(3//2), (a^3*c*x^6*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(6*(a + b*x^2)) + (3*a^2*b*c*x^8*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(8*(a + b*x^2)) + (3*a*b^2*c*x^10*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(10*(a + b*x^2)) + (b^3*c*x^12*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(12*(a + b*x^2)), x, 4),
+(x^4*(c*(a + b*x^2)^2)^(3//2), (a^3*c*x^5*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(5*(a + b*x^2)) + (3*a^2*b*c*x^7*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(7*(a + b*x^2)) + (a*b^2*c*x^9*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(3*(a + b*x^2)) + (b^3*c*x^11*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(11*(a + b*x^2)), x, 3),
+(x^3*(c*(a + b*x^2)^2)^(3//2), -((a*c*(a + b*x^2)^3*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(8*b^2)) + (c*(a + b*x^2)^4*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(10*b^2), x, 4),
+(x^2*(c*(a + b*x^2)^2)^(3//2), (a^3*c*x^3*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(3*(a + b*x^2)) + (3*a^2*b*c*x^5*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(5*(a + b*x^2)) + (3*a*b^2*c*x^7*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(7*(a + b*x^2)) + (b^3*c*x^9*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(9*(a + b*x^2)), x, 3),
+(x^1*(c*(a + b*x^2)^2)^(3//2), (c*(a + b*x^2)^3*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(8*b), x, 3),
+(x^0*(c*(a + b*x^2)^2)^(3//2), (a^3*c*x*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(a + b*x^2) + (a^2*b*c*x^3*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(a + b*x^2) + (3*a*b^2*c*x^5*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(5*(a + b*x^2)) + (b^3*c*x^7*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(7*(a + b*x^2)), x, 3),
+((c*(a + b*x^2)^2)^(3//2)/x^1, (3*a^2*b*c*x^2*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(2*(a + b*x^2)) + (3*a*b^2*c*x^4*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(4*(a + b*x^2)) + (b^3*c*x^6*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(6*(a + b*x^2)) + (a^3*c*sqrt(c*(a + b*x^2)^2)*log(x))/(a + b*x^2), x, 4),
+((c*(a + b*x^2)^2)^(3//2)/x^2, -((a^3*c*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(x*(a + b*x^2))) + (3*a^2*b*c*x*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(a + b*x^2) + (a*b^2*c*x^3*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(a + b*x^2) + (b^3*c*x^5*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(5*(a + b*x^2)), x, 3),
+((c*(a + b*x^2)^2)^(3//2)/x^3, -((a^3*c*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(2*x^2*(a + b*x^2))) + (3*a*b^2*c*x^2*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(2*(a + b*x^2)) + (b^3*c*x^4*sqrt(c*(a + b*x^2)^2))/(4*(a + b*x^2)) + (3*a^2*b*c*sqrt(c*(a + b*x^2)^2)*log(x))/(a + b*x^2), x, 4),
+
+
+(x^2*(c*(a + b*x^2)^3)^(3//2), (7//128)*a^3*c*x^3*sqrt(c*(a + b*x^2)^3) + (21*a^5*c*x*sqrt(c*(a + b*x^2)^3))/(1024*b*(a + b*x^2)) + (21*a^4*c*x^3*sqrt(c*(a + b*x^2)^3))/(512*(a + b*x^2)) + (21//320)*a^2*c*x^3*(a + b*x^2)*sqrt(c*(a + b*x^2)^3) + (3//40)*a*c*x^3*(a + b*x^2)^2*sqrt(c*(a + b*x^2)^3) + (1//12)*c*x^3*(a + b*x^2)^3*sqrt(c*(a + b*x^2)^3) - (21*a^(9//2)*c*sqrt(c*(a + b*x^2)^3)*asinh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(1024*b^(3//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//2)), x, 8),
+(x^1*(c*(a + b*x^2)^3)^(3//2), (c*(a + b*x^2)^4*sqrt(c*(a + b*x^2)^3))/(11*b), x, 3),
+(x^0*(c*(a + b*x^2)^3)^(3//2), (21//128)*a^3*c*x*sqrt(c*(a + b*x^2)^3) + (63*a^4*c*x*sqrt(c*(a + b*x^2)^3))/(256*(a + b*x^2)) + (21//160)*a^2*c*x*(a + b*x^2)*sqrt(c*(a + b*x^2)^3) + (9//80)*a*c*x*(a + b*x^2)^2*sqrt(c*(a + b*x^2)^3) + (1//10)*c*x*(a + b*x^2)^3*sqrt(c*(a + b*x^2)^3) + (63*a^(7//2)*c*sqrt(c*(a + b*x^2)^3)*asinh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(256*sqrt(b)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//2)), x, 7),
+((c*(a + b*x^2)^3)^(3//2)/x^1, (1//3)*a^3*c*sqrt(c*(a + b*x^2)^3) + (a^4*c*sqrt(c*(a + b*x^2)^3))/(a + b*x^2) + (1//5)*a^2*c*(a + b*x^2)*sqrt(c*(a + b*x^2)^3) + (1//7)*a*c*(a + b*x^2)^2*sqrt(c*(a + b*x^2)^3) + (1//9)*c*(a + b*x^2)^3*sqrt(c*(a + b*x^2)^3) - (a^3*c*sqrt(c*(a + b*x^2)^3)*atanh(sqrt(1 + (b*x^2)/a)))/(1 + (b*x^2)/a)^(3//2), x, 9),
+((c*(a + b*x^2)^3)^(3//2)/x^2, (105//64)*a^2*b*c*x*sqrt(c*(a + b*x^2)^3) + (315*a^3*b*c*x*sqrt(c*(a + b*x^2)^3))/(128*(a + b*x^2)) + (21//16)*a*b*c*x*(a + b*x^2)*sqrt(c*(a + b*x^2)^3) + (9//8)*b*c*x*(a + b*x^2)^2*sqrt(c*(a + b*x^2)^3) - (c*(a + b*x^2)^3*sqrt(c*(a + b*x^2)^3))/x + (315*a^(5//2)*sqrt(b)*c*sqrt(c*(a + b*x^2)^3)*asinh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/(128*(1 + (b*x^2)/a)^(3//2)), x, 7),
+((c*(a + b*x^2)^3)^(3//2)/x^3, (3//2)*a^2*b*c*sqrt(c*(a + b*x^2)^3) + (9*a^3*b*c*sqrt(c*(a + b*x^2)^3))/(2*(a + b*x^2)) + (9//10)*a*b*c*(a + b*x^2)*sqrt(c*(a + b*x^2)^3) + (9//14)*b*c*(a + b*x^2)^2*sqrt(c*(a + b*x^2)^3) - (c*(a + b*x^2)^3*sqrt(c*(a + b*x^2)^3))/(2*x^2) - (9*a^2*b*c*sqrt(c*(a + b*x^2)^3)*atanh(sqrt(1 + (b*x^2)/a)))/(2*(1 + (b*x^2)/a)^(3//2)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q<0
+
+
+(x^2*(c/(a + b*x^2))^(3//2), -((c*x*sqrt(c/(a + b*x^2)))/b) + (sqrt(a)*c*sqrt(c/(a + b*x^2))*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*asinh((sqrt(b)*x)/sqrt(a)))/b^(3//2), x, 3),
+(x^1*(c/(a + b*x^2))^(3//2), -((c*sqrt(c/(a + b*x^2)))/b), x, 3),
+(x^0*(c/(a + b*x^2))^(3//2), (c*x*sqrt(c/(a + b*x^2)))/a, x, 2),
+((c/(a + b*x^2))^(3//2)/x^1, (c*sqrt(c/(a + b*x^2)))/a - (c*sqrt(c/(a + b*x^2))*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*atanh(sqrt(1 + (b*x^2)/a)))/a, x, 5),
+((c/(a + b*x^2))^(3//2)/x^2, -((c*sqrt(c/(a + b*x^2)))/(a*x)) - (2*b*c*x*sqrt(c/(a + b*x^2)))/a^2, x, 3),
+((c/(a + b*x^2))^(3//2)/x^3, -((3*b*c*sqrt(c/(a + b*x^2)))/(2*a^2)) - (c*sqrt(c/(a + b*x^2)))/(2*a*x^2) + (3*b*c*sqrt(c/(a + b*x^2))*sqrt(1 + (b*x^2)/a)*atanh(sqrt(1 + (b*x^2)/a)))/(2*a^2), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (c (a+b x^2)^(q/2))^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# q>0
+
+
+(x^7*(c*(a + b*x^2)^(1//2))^(3//2), -((2*a^3*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)*(a + b*x^2))/(7*b^4)) + (6*a^2*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)*(a + b*x^2)^2)/(11*b^4) - (2*a*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)*(a + b*x^2)^3)/(5*b^4) + (2*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)*(a + b*x^2)^4)/(19*b^4), x, 4),
+(x^5*(c*(a + b*x^2)^(1//2))^(3//2), (2*a^2*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)*(a + b*x^2))/(7*b^3) - (4*a*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)*(a + b*x^2)^2)/(11*b^3) + (2*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)*(a + b*x^2)^3)/(15*b^3), x, 4),
+(x^3*(c*(a + b*x^2)^(1//2))^(3//2), -((2*a*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)*(a + b*x^2))/(7*b^2)) + (2*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)*(a + b*x^2)^2)/(11*b^2), x, 4),
+(x^1*(c*(a + b*x^2)^(1//2))^(3//2), (2*c*sqrt(c*sqrt(a + b*x^2))*(a + b*x^2)^(3//2))/(7*b), x, 3),
+((c*(a + b*x^2)^(1//2))^(3//2)/x^1, (2//3)*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2) + ((c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)*atan((1 + (b*x^2)/a)^(1//4)))/(1 + (b*x^2)/a)^(3//4) - ((c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)*atanh((1 + (b*x^2)/a)^(1//4)))/(1 + (b*x^2)/a)^(3//4), x, 7),
+((c*(a + b*x^2)^(1//2))^(3//2)/x^3, -((c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)/(2*x^2)) + (3*b*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)*atan((1 + (b*x^2)/a)^(1//4)))/(4*a*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)) - (3*b*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)*atanh((1 + (b*x^2)/a)^(1//4)))/(4*a*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)), x, 7),
+
+(x^2*(c*(a + b*x^2)^(1//2))^(3//2), (2*a*x*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2))/(15*b) + (2//9)*x^3*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2) - (4*a^2*x*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2))/(15*b*(a + b*x^2)) + (4*a^(3//2)*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(15*b^(3//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)), x, 5),
+(x^0*(c*(a + b*x^2)^(1//2))^(3//2), (2//5)*x*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2) + (6*a*x*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2))/(5*(a + b*x^2)) - (6*sqrt(a)*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(5*sqrt(b)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)), x, 4),
+((c*(a + b*x^2)^(1//2))^(3//2)/x^2, -((c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)/x) + (3*b*x*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2))/(a + b*x^2) - (3*sqrt(b)*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(sqrt(a)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)), x, 4),
+((c*(a + b*x^2)^(1//2))^(3//2)/x^4, -((c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)/(3*x^3)) - (b*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2))/(2*a*x) + (b^2*x*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2))/(2*a*(a + b*x^2)) - (b^(3//2)*(c*sqrt(a + b*x^2))^(3//2)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*atan((sqrt(b)*x)/sqrt(a)), 2))/(2*a^(3//2)*(1 + (b*x^2)/a)^(3//4)), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# q<0
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form u (e (a+b x^n)^q (c+d x^n)^r)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (e (a+b x^2) (c+d x^2))^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt((b - x)*(-a + x)), (-(1//4))*(a + b - 2*x)*sqrt((-a)*b + (a + b)*x - x^2) - (1//8)*(a - b)^2*atan((a + b - 2*x)/(2*sqrt((-a)*b + (a + b)*x - x^2))), x, 4),
+
+
+(sqrt((1 - x^2)*(3 + x^2)), (1//3)*x*sqrt(3 - 2*x^2 - x^4) - (2*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(x), -(1//3)))/sqrt(3) + (4*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -(1//3)))/sqrt(3), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(1/sqrt((b - x)*(-a + x)), -atan((a + b - 2*x)/(2*sqrt((-a)*b + (a + b)*x - x^2))), x, 3),
+
+
+(1/sqrt((1 - x^2)*(3 + x^2)), SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(x), -(1//3))/sqrt(3), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (e (a+b x^2)/(c+d x^2))^(p/2)
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^5*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)), ((11*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d - a^2*d^2)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(16*b^2*d^3) - ((3*b*c + a*d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)^2)/(8*b*d^3) + (((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2)*(c + d*x^2)^3)/(6*b*d^2*e) - ((b*c - a*d)*(5*b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*sqrt(e)*atanh((sqrt(d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(e))))/(16*b^(5//2)*d^(7//2)), x, 6),
+(x^3*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)), -((5*b*c - a*d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(8*b*d^2) + (sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)^2)/(4*d^2) + ((b*c - a*d)*(3*b*c + a*d)*sqrt(e)*atanh((sqrt(d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(e))))/(8*b^(3//2)*d^(5//2)), x, 5),
+(x^1*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)), (sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(2*d) - ((b*c - a*d)*sqrt(e)*atanh((sqrt(d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(e))))/(2*sqrt(b)*d^(3//2)), x, 4),
+(sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))/x^1, -((sqrt(a)*sqrt(e)*atanh((sqrt(c)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/sqrt(c)) + (sqrt(b)*sqrt(e)*atanh((sqrt(d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(e))))/sqrt(d), x, 5),
+(sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))/x^3, ((b*c - a*d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(2*c*(a - (c*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) - ((b*c - a*d)*sqrt(e)*atanh((sqrt(c)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(2*sqrt(a)*c^(3//2)), x, 4),
+(sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))/x^5, -((b*c - a*d)^2*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(4*c^2*(a - (c*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^2) + ((b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(8*a*c^2*(a - (c*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) + ((b*c - a*d)*(b*c + 3*a*d)*sqrt(e)*atanh((sqrt(c)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(8*a^(3//2)*c^(5//2)), x, 5),
+(sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))/x^7, ((b*c - a*d)^2*(b*c + 3*a*d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(8*a*c^3*(a - (c*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^2) - ((b*c - a*d)*(b^2*c^2 + 2*a*b*c*d - 11*a^2*d^2)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(16*a^2*c^3*(a - (c*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) + ((b*c - a*d)^3*e^2*((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2))/(6*a*c^2*(a*e - (c*e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^3) - ((b*c - a*d)*(b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*sqrt(e)*atanh((sqrt(c)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(16*a^(5//2)*c^(7//2)), x, 6),
+
+(x^4*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)), ((8*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d - 2*a^2*d^2)*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(15*b^2*d^2) - ((4*b*c - a*d)*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(15*b*d^2) + (x^3*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(5*d) - (sqrt(c)*(8*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d - 2*a^2*d^2)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*b^2*d^(5//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))) + (c^(3//2)*(4*b*c - a*d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*b*d^(5//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))), x, 7),
+(x^2*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)), -((2*b*c - a*d)*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(3*b*d) + (x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(3*d) + (sqrt(c)*(2*b*c - a*d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*b*d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))) - (c^(3//2)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))), x, 6),
+(x^0*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)), x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)) - (sqrt(c)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))) + (sqrt(c)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))), x, 5),
+(sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))/x^2, (d*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/c - (sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(c*x) - (sqrt(d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(c)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))) + (b*sqrt(c)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))), x, 7),
+(sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))/x^4, (d*(b*c - 2*a*d)*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(3*a*c^2) - (sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(3*c*x^3) - ((b*c - 2*a*d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(3*a*c^2*x) - (sqrt(d)*(b*c - 2*a*d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a*c^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))) - (b*sqrt(d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a*sqrt(c)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))), x, 7),
+(sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))/x^6, -(d*(2*b^2*c^2 + 3*a*b*c*d - 8*a^2*d^2)*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(15*a^2*c^3) - (sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(5*c*x^5) - ((b*c - 4*a*d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(15*a*c^2*x^3) + ((2*b^2*c^2 + 3*a*b*c*d - 8*a^2*d^2)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(15*a^2*c^3*x) + (sqrt(d)*(2*b^2*c^2 + 3*a*b*c*d - 8*a^2*d^2)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*a^2*c^(5//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))) - (b*sqrt(d)*(b*c - 4*a*d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*a^2*c^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))), x, 8),
+
+
+(x^5*((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2), (c^2*(b*c - a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/d^4 + ((79*b^2*c^2 - 50*a*b*c*d - 5*a^2*d^2)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(48*b*d^4) - ((11*b*c + a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)^2)/(24*d^4) + (((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(5//2)*(c + d*x^2)^3)/(6*b*d^2*e) - ((b*c - a*d)*(35*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d - a^2*d^2)*e^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(e))))/(16*b^(3//2)*d^(9//2)), x, 7),
+(x^3*((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2), -((c*(b*c - a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/d^3) - ((9*b*c - 5*a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(8*d^3) + (b*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)^2)/(4*d^3) + (3*(b*c - a*d)*(5*b*c - a*d)*e^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(e))))/(8*sqrt(b)*d^(7//2)), x, 6),
+(x^1*((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2), (3*(b*c - a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(2*d^2) + (((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2)*(c + d*x^2))/(2*d) - (3*sqrt(b)*(b*c - a*d)*e^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(e))))/(2*d^(5//2)), x, 5),
+(((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2)/x^1, -(((b*c - a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(c*d)) - (a^(3//2)*e^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/c^(3//2) + (b^(3//2)*e^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(e))))/d^(3//2), x, 6),
+(((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2)/x^3, (3*(b*c - a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(2*c^2) + ((b*c - a*d)*((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2))/(2*c*(a - (c*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) - (3*sqrt(a)*(b*c - a*d)*e^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(2*c^(5//2)), x, 5),
+(((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2)/x^5, -((d*(b*c - a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/c^3) - (a*(b*c - a*d)^2*e^3*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(4*c^3*(a*e - (c*e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^2) + ((5*b*c - 9*a*d)*(b*c - a*d)*e^2*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(8*c^3*(a*e - (c*e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) - (3*(b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)*e^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(8*sqrt(a)*c^(7//2)), x, 6),
+(((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2)/x^7, (d^2*(b*c - a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/c^4 + ((b*c - a*d)^3*e^2*((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(5//2))/(6*a*c^2*(a*e - (c*e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^3) + ((b*c - a*d)^2*(b*c + 11*a*d)*e^3*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(24*c^4*(a*e - (c*e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^2) - ((b*c - a*d)*(5*b^2*c^2 + 50*a*b*c*d - 79*a^2*d^2)*e^2*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(48*a*c^4*(a*e - (c*e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) + ((b*c - a*d)*(b^2*c^2 + 10*a*b*c*d - 35*a^2*d^2)*e^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(16*a^(3//2)*c^(9//2)), x, 7),
+
+(x^4*((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2), -((16*a*c - (16*b*c^2)/d - (a^2*d)/b)*e*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(5*d^2) - (e*x^3*(a + b*x^2)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/d - ((8*b*c - 7*a*d)*e*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(5*d^3) + (6*b*e*x^3*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(5*d^2) - (sqrt(c)*(16*b^2*c^2 - 16*a*b*c*d + a^2*d^2)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(5*b*d^(7//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))) + (c^(3//2)*(8*b*c - 7*a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(5*d^(7//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))), x, 8),
+(x^2*((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2), -((8*b*c - 7*a*d)*e*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(3*d^2) - (e*x*(a + b*x^2)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/d + (4*b*e*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(3*d^2) + (sqrt(c)*(8*b*c - 7*a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*d^(5//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))) - (sqrt(c)*(4*b*c - 3*a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*d^(5//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))), x, 7),
+(x^0*((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2), -(((b*c - a*d)*e*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(c*d)) + ((2*b*c - a*d)*e*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(c*d) - ((2*b*c - a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(c)*d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))) + (b*sqrt(c)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))), x, 6),
+(((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2)/x^2, -(((b*c - a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(c*d*x)) - ((b*c - 2*a*d)*e*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/c^2 + ((b*c - 2*a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(c^2*d*x) + ((b*c - 2*a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(c^(3//2)*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))) + (b*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))), x, 7),
+(((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2)/x^4, -(((b*c - a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(c*d*x^3)) + (d*(7*b*c - 8*a*d)*e*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(3*c^3) + ((3*b*c - 4*a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(3*c^2*d*x^3) - ((7*b*c - 8*a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(3*c^3*x) - (sqrt(d)*(7*b*c - 8*a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*c^(5//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))) + (b*(3*b*c - 4*a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a*c^(3//2)*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))), x, 8),
+(((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2)/x^6, -(((b*c - a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(c*d*x^5)) + (d*(b^2*c^2 - 16*a*b*c*d + 16*a^2*d^2)*e*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(5*a*c^4) + ((5*b*c - 6*a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(5*c^2*d*x^5) - ((7*b*c - 8*a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(5*c^3*x^3) - ((b^2*c^2 - 16*a*b*c*d + 16*a^2*d^2)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(5*a*c^4*x) - (sqrt(d)*(b^2*c^2 - 16*a*b*c*d + 16*a^2*d^2)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(5*a*c^(7//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))) - (b*sqrt(d)*(7*b*c - 8*a*d)*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(5*a*c^(5//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))), x, 9),
+
+
+(x*sqrt((1 - x^2)/(1 + x^2)), (1//2)*sqrt((1 - x^2)/(1 + x^2))*(1 + x^2) - atan(sqrt((1 - x^2)/(1 + x^2))), x, 4),
+(x*sqrt((5 - 7*x^2)/(7 + 5*x^2)), (1//10)*sqrt((5 - 7*x^2)/(7 + 5*x^2))*(7 + 5*x^2) - (37*atan(sqrt(5//7)*sqrt((5 - 7*x^2)/(7 + 5*x^2))))/(5*sqrt(35)), x, 4),
+(x^2*sqrt((1 - x^3)/(1 + x^3)), (1//3)*sqrt((1 - x^3)/(1 + x^3))*(1 + x^3) - (2//3)*atan(sqrt((1 - x^3)/(1 + x^3))), x, 4),
+(x^8*sqrt((1 - x^3)/(1 + x^3)), (1//2)*sqrt((1 - x^3)/(1 + x^3))*(1 + x^3) - (1//6)*sqrt((1 - x^3)/(1 + x^3))*(1 + x^3)^2 - (1//9)*((1 - x^3)/(1 + x^3))^(3//2)*(1 + x^3)^3 - (1//3)*atan(sqrt((1 - x^3)/(1 + x^3))), x, 6),
+(x^9*sqrt((5 - 7*x^5)/(7 + 5*x^5)), (-(27//350))*sqrt((5 - 7*x^5)/(7 + 5*x^5))*(7 + 5*x^5) + (1//250)*sqrt((5 - 7*x^5)/(7 + 5*x^5))*(7 + 5*x^5)^2 + (2257*atan(sqrt(5//7)*sqrt((5 - 7*x^5)/(7 + 5*x^5))))/(875*sqrt(35)), x, 5),
+
+
+(sqrt(x^2/(-1 + x^2))/(1 + x^2), (sqrt(-(x^2/(1 - x^2)))*sqrt(-1 + x^2)*atan(sqrt(-1 + x^2)/sqrt(2)))/(sqrt(2)*x), x, 5),
+(sqrt(x^2/(-1 + a + (1 + a)*x^2))/(1 + x^2), (sqrt(-(x^2/(1 - a - (1 + a)*x^2)))*sqrt(-1 + a + (1 + a)*x^2)*atan(sqrt(-1 + a + (1 + a)*x^2)/sqrt(2)))/(sqrt(2)*x), x, 5),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5/sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)), ((b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(16*b^3*d^2*e) - ((3*b*c + 5*a*d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)^2)/(24*b^2*d^2*e) - (sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)^3*(a - (c*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(6*b*d*(b*c - a*d)*e) + ((b*c - a*d)*(b^2*c^2 + 2*a*b*c*d + 5*a^2*d^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(e))))/(16*b^(7//2)*d^(5//2)*sqrt(e)), x, 6),
+(x^3/sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)), -((b*c + 3*a*d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(8*b^2*d*e) + (sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)^2)/(4*b*d*e) - ((b*c - a*d)*(b*c + 3*a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(e))))/(8*b^(5//2)*d^(3//2)*sqrt(e)), x, 5),
+(x^1/sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)), (sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(2*b*e) + ((b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(e))))/(2*b^(3//2)*sqrt(d)*sqrt(e)), x, 4),
+(1/(x^1*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))), -((sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(sqrt(a)*sqrt(e))) + (sqrt(d)*atanh((sqrt(d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(e))))/(sqrt(b)*sqrt(e)), x, 5),
+(1/(x^3*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))), ((b*c - a*d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(2*a*(a*e - (c*e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) + ((b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(2*a^(3//2)*sqrt(c)*sqrt(e)), x, 4),
+(1/(x^5*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))), -((b*c - a*d)^2*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(4*a*c*(a*e - (c*e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^2) - ((b*c - a*d)*(3*b*c + a*d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(8*a^2*c*(a*e - (c*e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) - ((b*c - a*d)*(3*b*c + a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(8*a^(5//2)*c^(3//2)*sqrt(e)), x, 5),
+
+(x^4/sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)), ((b*c - 4*a*d)*x*(a + b*x^2))/(15*b^2*d*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) + (x^3*(a + b*x^2))/(5*b*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) - ((2*b^2*c^2 + 3*a*b*c*d - 8*a^2*d^2)*x*(a + b*x^2))/(15*b^3*d*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) + (sqrt(c)*(2*b^2*c^2 + 3*a*b*c*d - 8*a^2*d^2)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*b^3*d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) - (c^(3//2)*(b*c - 4*a*d)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(15*b^2*d^(3//2)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)), x, 7),
+(x^2/sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)), (x*(a + b*x^2))/(3*b*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) + ((b*c - 2*a*d)*x*(a + b*x^2))/(3*b^2*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) - (sqrt(c)*(b*c - 2*a*d)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*b^2*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) - (c^(3//2)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*b*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)), x, 6),
+(x^0/sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)), (d*x*(a + b*x^2))/(b*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) - (sqrt(c)*sqrt(d)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(b*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) + (c^(3//2)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt(d)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)), x, 5),
+(1/(x^2*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))), -((a + b*x^2)/(a*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))) + (d*x*(a + b*x^2))/(a*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) - (sqrt(c)*sqrt(d)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) + (sqrt(c)*sqrt(d)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)), x, 7),
+(1/(x^4*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))), -(a + b*x^2)/(3*a*x^3*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) + ((2*b*c - a*d)*(a + b*x^2))/(3*a^2*c*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) - (d*(2*b*c - a*d)*x*(a + b*x^2))/(3*a^2*c*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) + (sqrt(d)*(2*b*c - a*d)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a^2*sqrt(c)*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) - (b*sqrt(c)*sqrt(d)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a^2*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)), x, 7),
+
+
+(x^5/((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2), -((b^2*c^2 + 5*a*d*(2*b*c - 7*a*d))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(16*b^4*d*e^2) - ((b^2*c^2 + 5*a*d*(2*b*c - 7*a*d))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)^2)/(24*b^3*d*(b*c - a*d)*e^2) - (a^2*(c + d*x^2)^3)/(b*(b*c - a*d)^2*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) + ((b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + 7*a^2*d^2)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)^3)/(6*b^2*d*(b*c - a*d)^2*e^2) - ((b*c - a*d)*(b^2*c^2 + 5*a*d*(2*b*c - 7*a*d))*atanh((sqrt(d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(e))))/(16*b^(9//2)*d^(3//2)*e^(3//2)), x, 7),
+(x^3/((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2), (a*(b*c - a*d))/(b^3*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) + ((3*b*c - 7*a*d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2))/(8*b^3*e^2) + (sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)^2)/(4*b^2*e^2) + (3*(b*c - 5*a*d)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(e))))/(8*b^(7//2)*sqrt(d)*e^(3//2)), x, 6),
+(x^1/((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2), (-3*(b*c - a*d))/(2*b^2*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) + (c + d*x^2)/(2*b*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) + (3*sqrt(d)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(e))))/(2*b^(5//2)*e^(3//2)), x, 5),
+(1/(x^1*((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2)), (b*c - a*d)/(a*b*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) - (c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(a^(3//2)*e^(3//2)) + (d^(3//2)*atanh((sqrt(d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(e))))/(b^(3//2)*e^(3//2)), x, 6),
+(1/(x^3*((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2)), (-3*(b*c - a*d))/(2*a^2*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) + (b*c - a*d)/(2*a*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(a*e - (c*e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) + (3*sqrt(c)*(b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(2*a^(5//2)*e^(3//2)), x, 5),
+(1/(x^5*((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2)), (b*(b*c - a*d))/(a^3*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) - ((b*c - a*d)^2*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(4*a^2*(a*e - (c*e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^2) - ((7*b*c - 3*a*d)*(b*c - a*d)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(8*a^3*(a*e^2 - (c*e^2*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) - (3*(b*c - a*d)*(5*b*c - a*d)*atanh((sqrt(c)*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2)))/(sqrt(a)*sqrt(e))))/(8*a^(7//2)*sqrt(c)*e^(3//2)), x, 6),
+
+(x^4/((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2), ((7*b*c - 8*a*d)*x*(a + b*x^2))/(5*b^3*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) + (6*d*x^3*(a + b*x^2))/(5*b^2*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) + ((b^2*c^2 - 16*a*b*c*d + 16*a^2*d^2)*x*(a + b*x^2))/(5*b^4*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) - (x^3*(c + d*x^2))/(b*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) - (sqrt(c)*(b^2*c^2 - 16*a*b*c*d + 16*a^2*d^2)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(5*b^4*sqrt(d)*e*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) - (c^(3//2)*(7*b*c - 8*a*d)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(5*b^3*sqrt(d)*e*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)), x, 8),
+(x^2/((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2), (4*d*x*(a + b*x^2))/(3*b^2*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) + (d*(7*b*c - 8*a*d)*x*(a + b*x^2))/(3*b^3*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) - (x*(c + d*x^2))/(b*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) - (sqrt(c)*sqrt(d)*(7*b*c - 8*a*d)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*b^3*e*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) + (c^(3//2)*(3*b*c - 4*a*d)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a*b^2*sqrt(d)*e*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)), x, 7),
+(x^0/((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2), ((b*c - a*d)*x)/(a*b*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) - (d*(b*c - 2*a*d)*x*(a + b*x^2))/(a*b^2*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) + (sqrt(c)*sqrt(d)*(b*c - 2*a*d)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*b^2*e*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) + (c^(3//2)*sqrt(d)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a*b*e*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)), x, 6),
+(1/(x^2*((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2)), (b*c - a*d)/(a*b*e*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) - ((2*b*c - a*d)*(a + b*x^2))/(a^2*b*e*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) + (d*(2*b*c - a*d)*x*(a + b*x^2))/(a^2*b*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) - (sqrt(c)*sqrt(d)*(2*b*c - a*d)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a^2*b*e*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) + (c^(3//2)*sqrt(d)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(a^2*e*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)), x, 7),
+(1/(x^4*((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))^(3//2)), (b*c - a*d)/(a*b*e*x^3*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) - ((4*b*c - 3*a*d)*(a + b*x^2))/(3*a^2*b*e*x^3*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) + ((8*b*c - 7*a*d)*(a + b*x^2))/(3*a^3*e*x*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))) - (d*(8*b*c - 7*a*d)*x*(a + b*x^2))/(3*a^3*e*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) + (sqrt(c)*sqrt(d)*(8*b*c - 7*a*d)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a^3*e*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)) - (sqrt(c)*sqrt(d)*(4*b*c - 3*a*d)*(a + b*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), 1 - (b*c)/(a*d)))/(3*a^3*e*sqrt((c*(a + b*x^2))/(a*(c + d*x^2)))*sqrt((e*(a + b*x^2))/(c + d*x^2))*(c + d*x^2)), x, 8),
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b/(c+d x^2))^(p/2)
+
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+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
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+(x^5*sqrt(a + b/(c + d*x^2)), -((b^2 + 4*a*b*c - 8*a^2*c^2)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(16*a^2*d^3) - ((b + 4*a*c)*(c + d*x^2)^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(8*a*d^3) + ((c + d*x^2)^3*((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))^(3//2))/(6*a*d^3) + (b*(b^2 + 4*a*b*c + 8*a^2*c^2)*atanh(sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))/sqrt(a)))/(16*a^(5//2)*d^3), x, 7),
+(x^3*sqrt(a + b/(c + d*x^2)), ((b - 4*a*c)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(8*a*d^2) + ((c + d*x^2)^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(4*d^2) - (b*(b + 4*a*c)*atanh(sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))/sqrt(a)))/(8*a^(3//2)*d^2), x, 6),
+(x^1*sqrt(a + b/(c + d*x^2)), ((c + d*x^2)*sqrt(a + b/(c + d*x^2)))/(2*d) + (b*atanh(sqrt(a + b/(c + d*x^2))/sqrt(a)))/(2*sqrt(a)*d), x, 5),
+(sqrt(a + b/(c + d*x^2))/x^1, sqrt(a)*atanh(sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))/sqrt(a)) - (sqrt(b + a*c)*atanh((sqrt(c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/sqrt(b + a*c)))/sqrt(c), x, 6),
+(sqrt(a + b/(c + d*x^2))/x^3, -((c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(2*c*x^2) + (b*d*atanh((sqrt(c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/sqrt(b + a*c)))/(2*c^(3//2)*sqrt(b + a*c)), x, 5),
+(sqrt(a + b/(c + d*x^2))/x^5, ((5*b + 4*a*c)*d*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(8*c^2*(b + a*c)*x^2) - ((c + d*x^2)^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(4*c^2*x^4) - (b*(3*b + 4*a*c)*d^2*atanh((sqrt(c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/sqrt(b + a*c)))/(8*c^(5//2)*(b + a*c)^(3//2)), x, 6),
+(sqrt(a + b/(c + d*x^2))/x^7, -((11*b^2 + 20*a*b*c + 8*a^2*c^2)*d^2*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(16*c^3*(b + a*c)^2*x^2) + ((3*b + 4*a*c)*d*(c + d*x^2)^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(8*c^3*(b + a*c)*x^4) - ((c + d*x^2)^3*((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))^(3//2))/(6*c^2*(b + a*c)*x^6) + (b*(5*b^2 + 12*a*b*c + 8*a^2*c^2)*d^3*atanh((sqrt(c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/sqrt(b + a*c)))/(16*c^(7//2)*(b + a*c)^(5//2)), x, 7),
+
+(x^4*sqrt(a + b/(c + d*x^2)), -((2*b^2 + 7*a*b*c - 3*a^2*c^2)*x*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(15*a^2*d^2) + ((b - 3*a*c)*x*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(15*a*d^2) + (x^3*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(5*d) + (sqrt(c)*(2*b^2 + 7*a*b*c - 3*a^2*c^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(15*a^2*d^(5//2)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) - (c^(3//2)*(b - 3*a*c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(15*a*d^(5//2)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 8),
+(x^2*sqrt(a + b/(c + d*x^2)), ((b - a*c)*x*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(3*a*d) + (x*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(3*d) - (sqrt(c)*(b - a*c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(3*a*d^(3//2)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) - (c^(3//2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(3*d^(3//2)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 7),
+(x^0*sqrt(a + b/(c + d*x^2)), x*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)) - (sqrt(c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(sqrt(d)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) + (sqrt(c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(sqrt(d)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 6),
+(sqrt(a + b/(c + d*x^2))/x^2, (d*x*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/c - ((c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(c*x) - (sqrt(d)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(sqrt(c)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) + (a*sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/((b + a*c)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 8),
+(sqrt(a + b/(c + d*x^2))/x^4, -((2*b + a*c)*d^2*x*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(3*c^2*(b + a*c)) - ((c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(3*c*x^3) + ((2*b + a*c)*d*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(3*c^2*(b + a*c)*x) + ((2*b + a*c)*d^(3//2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(3*c^(3//2)*(b + a*c)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) - (a*d^(3//2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(3*sqrt(c)*(b + a*c)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 8),
+(sqrt(a + b/(c + d*x^2))/x^6, ((8*b^2 + 13*a*b*c + 3*a^2*c^2)*d^3*x*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(15*c^3*(b + a*c)^2) - ((c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(5*c*x^5) + ((4*b + 3*a*c)*d*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(15*c^2*(b + a*c)*x^3) - ((8*b^2 + 13*a*b*c + 3*a^2*c^2)*d^2*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(15*c^3*(b + a*c)^2*x) - ((8*b^2 + 13*a*b*c + 3*a^2*c^2)*d^(5//2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(15*c^(5//2)*(b + a*c)^2*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) + (a*(4*b + 3*a*c)*d^(5//2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(15*c^(3//2)*(b + a*c)^2*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 9),
+
+
+(x^5*(a + b/(c + d*x^2))^(3//2), -((b*c^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/d^3) - ((5*b^2 + 60*a*b*c - 24*a^2*c^2)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(48*a*d^3) - ((b + 12*a*c)*(c + d*x^2)^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(24*d^3) + ((c + d*x^2)^3*((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))^(5//2))/(6*a*d^3) - (b*(b^2 + 12*a*b*c - 24*a^2*c^2)*atanh(sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))/sqrt(a)))/(16*a^(3//2)*d^3), x, 8),
+(x^3*(a + b/(c + d*x^2))^(3//2), (b*c*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/d^2 + ((5*b - 4*a*c)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(8*d^2) + (a*(c + d*x^2)^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(4*d^2) + (3*b*(b - 4*a*c)*atanh(sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))/sqrt(a)))/(8*sqrt(a)*d^2), x, 7),
+(x^1*(a + b/(c + d*x^2))^(3//2), (-3*b*sqrt(a + b/(c + d*x^2)))/(2*d) + ((c + d*x^2)*(a + b/(c + d*x^2))^(3//2))/(2*d) + (3*sqrt(a)*b*atanh(sqrt(a + b/(c + d*x^2))/sqrt(a)))/(2*d), x, 6),
+((a + b/(c + d*x^2))^(3//2)/x^1, (b*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/c + a^(3//2)*atanh(sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))/sqrt(a)) - ((b + a*c)^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/sqrt(b + a*c)))/c^(3//2), x, 7),
+((a + b/(c + d*x^2))^(3//2)/x^3, (-3*b*d*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(2*c^2) - ((c + d*x^2)*((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))^(3//2))/(2*c*x^2) + (3*b*sqrt(b + a*c)*d*atanh((sqrt(c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/sqrt(b + a*c)))/(2*c^(5//2)), x, 6),
+((a + b/(c + d*x^2))^(3//2)/x^5, (b*d^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/c^3 + ((9*b + 4*a*c)*d*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(8*c^3*x^2) - ((b + a*c)*(c + d*x^2)^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(4*c^3*x^4) - (3*b*(5*b + 4*a*c)*d^2*atanh((sqrt(c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/sqrt(b + a*c)))/(8*c^(7//2)*sqrt(b + a*c)), x, 7),
+((a + b/(c + d*x^2))^(3//2)/x^7, -((b*d^3*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/c^4) - ((79*b^2 + 108*a*b*c + 24*a^2*c^2)*d^2*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(48*c^4*(b + a*c)*x^2) + ((11*b + 12*a*c)*d*(c + d*x^2)^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(24*c^4*x^4) - ((c + d*x^2)^3*((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))^(5//2))/(6*c^2*(b + a*c)*x^6) + (b*(35*b^2 + 60*a*b*c + 24*a^2*c^2)*d^3*atanh((sqrt(c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/sqrt(b + a*c)))/(16*c^(9//2)*(b + a*c)^(3//2)), x, 8),
+
+(x^4*(a + b/(c + d*x^2))^(3//2), ((b^2 - 14*a*b*c + a^2*c^2)*x*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(5*a*d^2) + ((7*b - a*c)*x*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(5*d^2) + (6*a*x^3*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(5*d) - (x^3*(b + a*c + a*d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/d - (sqrt(c)*(b^2 - 14*a*b*c + a^2*c^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(5*a*d^(5//2)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) - (c^(3//2)*(7*b - a*c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(5*d^(5//2)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 9),
+(x^2*(a + b/(c + d*x^2))^(3//2), ((7*b - a*c)*x*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(3*d) + (4*a*x*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(3*d) - (x*(b + a*c + a*d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/d - (sqrt(c)*(7*b - a*c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(3*d^(3//2)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) + (sqrt(c)*(3*b - a*c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(3*d^(3//2)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 8),
+(x^0*(a + b/(c + d*x^2))^(3//2), (b*x*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/c - ((b - a*c)*x*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/c + ((b - a*c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(sqrt(c)*sqrt(d)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) + (a*sqrt(c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(sqrt(d)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 7),
+((a + b/(c + d*x^2))^(3//2)/x^2, (b*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(c*x) + ((2*b + a*c)*d*x*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/c^2 - ((2*b + a*c)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(c^2*x) - ((2*b + a*c)*sqrt(d)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(c^(3//2)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) + (a*sqrt(d)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(sqrt(c)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 8),
+((a + b/(c + d*x^2))^(3//2)/x^4, (b*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(c*x^3) - ((8*b + a*c)*d^2*x*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(3*c^3) - ((4*b + a*c)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(3*c^2*x^3) + ((8*b + a*c)*d*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(3*c^3*x) + ((8*b + a*c)*d^(3//2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(3*c^(5//2)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) - (a*(4*b + a*c)*d^(3//2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(3*c^(3//2)*(b + a*c)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 9),
+((a + b/(c + d*x^2))^(3//2)/x^6, (b*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(c*x^5) + ((16*b^2 + 16*a*b*c + a^2*c^2)*d^3*x*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(5*c^4*(b + a*c)) - ((6*b + a*c)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(5*c^2*x^5) + ((8*b + a*c)*d*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(5*c^3*x^3) - ((16*b^2 + 16*a*b*c + a^2*c^2)*d^2*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(5*c^4*(b + a*c)*x) - ((16*b^2 + 16*a*b*c + a^2*c^2)*d^(5//2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(5*c^(7//2)*(b + a*c)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) + (a*(8*b + a*c)*d^(5//2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(5*c^(5//2)*(b + a*c)*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 10),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^5/sqrt(a + b/(c + d*x^2)), ((5*b^2 + 12*a*b*c + 8*a^2*c^2)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(16*a^3*d^3) - ((5*b + 8*a*c)*(c + d*x^2)^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(24*a^2*d^3) + (x^2*(c + d*x^2)^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(6*a*d^2) - (b*(5*b^2 + 12*a*b*c + 8*a^2*c^2)*atanh(sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))/sqrt(a)))/(16*a^(7//2)*d^3), x, 7),
+(x^3/sqrt(a + b/(c + d*x^2)), -((3*b + 4*a*c)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(8*a^2*d^2) + ((c + d*x^2)^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(4*a*d^2) + (b*(3*b + 4*a*c)*atanh(sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))/sqrt(a)))/(8*a^(5//2)*d^2), x, 6),
+(x^1/sqrt(a + b/(c + d*x^2)), ((c + d*x^2)*sqrt(a + b/(c + d*x^2)))/(2*a*d) - (b*atanh(sqrt(a + b/(c + d*x^2))/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*d), x, 5),
+(1/(x^1*sqrt(a + b/(c + d*x^2))), atanh(sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))/sqrt(a))/sqrt(a) - (sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/sqrt(b + a*c)))/sqrt(b + a*c), x, 6),
+(1/(x^3*sqrt(a + b/(c + d*x^2))), -((c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(2*(b + a*c)*x^2) - (b*d*atanh((sqrt(c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/sqrt(b + a*c)))/(2*sqrt(c)*(b + a*c)^(3//2)), x, 5),
+(1/(x^5*sqrt(a + b/(c + d*x^2))), ((b + 4*a*c)*d*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(8*c*(b + a*c)^2*x^2) - ((c + d*x^2)^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(4*c*(b + a*c)*x^4) + (b*(b + 4*a*c)*d^2*atanh((sqrt(c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/sqrt(b + a*c)))/(8*c^(3//2)*(b + a*c)^(5//2)), x, 6),
+
+(x^4/sqrt(a + b/(c + d*x^2)), -((4*b + 3*a*c)*x*(b + a*c + a*d*x^2))/(15*a^2*d^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) + (x^3*(b + a*c + a*d*x^2))/(5*a*d*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) + ((8*b^2 + 13*a*b*c + 3*a^2*c^2)*x*(b + a*c + a*d*x^2))/(15*a^3*d^2*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) - (sqrt(c)*(8*b^2 + 13*a*b*c + 3*a^2*c^2)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(15*a^3*d^(5//2)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) + (c^(3//2)*(4*b + 3*a*c)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(15*a^2*d^(5//2)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 8),
+(x^2/sqrt(a + b/(c + d*x^2)), (x*(b + a*c + a*d*x^2))/(3*a*d*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) - ((2*b + a*c)*x*(b + a*c + a*d*x^2))/(3*a^2*d*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) + (sqrt(c)*(2*b + a*c)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(3*a^2*d^(3//2)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) - (c^(3//2)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(3*a*d^(3//2)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 7),
+(x^0/sqrt(a + b/(c + d*x^2)), (x*(b + a*c + a*d*x^2))/(a*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) - (sqrt(c)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(a*sqrt(d)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) + (c^(3//2)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/((b + a*c)*sqrt(d)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 6),
+(1/(x^2*sqrt(a + b/(c + d*x^2))), -((b + a*c + a*d*x^2)/((b + a*c)*x*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))) + (d*x*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) - (sqrt(c)*sqrt(d)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/((b + a*c)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) + (sqrt(c)*sqrt(d)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/((b + a*c)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 8),
+(1/(x^4*sqrt(a + b/(c + d*x^2))), -(b + a*c + a*d*x^2)/(3*(b + a*c)*x^3*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) - ((b - a*c)*d*(b + a*c + a*d*x^2))/(3*c*(b + a*c)^2*x*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) + ((b - a*c)*d^2*x*(b + a*c + a*d*x^2))/(3*c*(b + a*c)^2*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) - ((b - a*c)*d^(3//2)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(3*sqrt(c)*(b + a*c)^2*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) - (a*sqrt(c)*d^(3//2)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(3*(b + a*c)^2*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 8),
+
+
+(x^5/(a + b/(c + d*x^2))^(3//2), -(((b + a*c)^2*(c + d*x^2)^3)/(a*b^2*d^3*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))) + ((35*b^2 + 60*a*b*c + 24*a^2*c^2)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(16*a^4*d^3) - ((35*b^2 + 60*a*b*c + 24*a^2*c^2)*(c + d*x^2)^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(24*a^3*b*d^3) + ((7*b^2 + 12*a*b*c + 6*a^2*c^2)*(c + d*x^2)^3*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(6*a^2*b^2*d^3) - (b*(35*b^2 + 60*a*b*c + 24*a^2*c^2)*atanh(sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))/sqrt(a)))/(16*a^(9//2)*d^3), x, 8),
+(x^3/(a + b/(c + d*x^2))^(3//2), -((b*(b + a*c))/(a^3*d^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))) - ((7*b + 4*a*c)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(8*a^3*d^2) + ((c + d*x^2)^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(4*a^2*d^2) + (3*b*(5*b + 4*a*c)*atanh(sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))/sqrt(a)))/(8*a^(7//2)*d^2), x, 7),
+(x^1/(a + b/(c + d*x^2))^(3//2), (3*b)/(2*a^2*d*sqrt(a + b/(c + d*x^2))) + (c + d*x^2)/(2*a*d*sqrt(a + b/(c + d*x^2))) - (3*b*atanh(sqrt(a + b/(c + d*x^2))/sqrt(a)))/(2*a^(5//2)*d), x, 6),
+(1/(x^1*(a + b/(c + d*x^2))^(3//2)), -(b/(a*(b + a*c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))) + atanh(sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))/sqrt(a))/a^(3//2) - (c^(3//2)*atanh((sqrt(c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/sqrt(b + a*c)))/(b + a*c)^(3//2), x, 7),
+(1/(x^3*(a + b/(c + d*x^2))^(3//2)), (3*b*d)/(2*(b + a*c)^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) - (c + d*x^2)/(2*(b + a*c)*x^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) - (3*b*sqrt(c)*d*atanh((sqrt(c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/sqrt(b + a*c)))/(2*(b + a*c)^(5//2)), x, 6),
+(1/(x^5*(a + b/(c + d*x^2))^(3//2)), -((a*b*d^2)/((b + a*c)^3*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))) - ((3*b - 4*a*c)*d*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(8*(b + a*c)^3*x^2) - ((c + d*x^2)^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/(4*(b + a*c)^2*x^4) - (3*b*(b - 4*a*c)*d^2*atanh((sqrt(c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))/sqrt(b + a*c)))/(8*sqrt(c)*(b + a*c)^(7//2)), x, 7),
+
+(x^4/(a + b/(c + d*x^2))^(3//2), -((x^3*(c + d*x^2))/(a*d*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))) - ((8*b + a*c)*x*(b + a*c + a*d*x^2))/(5*a^3*d^2*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) + (6*x^3*(b + a*c + a*d*x^2))/(5*a^2*d*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) + ((16*b^2 + 16*a*b*c + a^2*c^2)*x*(b + a*c + a*d*x^2))/(5*a^4*d^2*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) - (sqrt(c)*(16*b^2 + 16*a*b*c + a^2*c^2)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(5*a^4*d^(5//2)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) + (c^(3//2)*(8*b + a*c)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(5*a^3*d^(5//2)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 9),
+(x^2/(a + b/(c + d*x^2))^(3//2), -((x*(c + d*x^2))/(a*d*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))) + (4*x*(b + a*c + a*d*x^2))/(3*a^2*d*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) - ((8*b + a*c)*x*(b + a*c + a*d*x^2))/(3*a^3*d*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) + (sqrt(c)*(8*b + a*c)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(3*a^3*d^(3//2)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) - (c^(3//2)*(4*b + a*c)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(3*a^2*(b + a*c)*d^(3//2)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 8),
+(x^0/(a + b/(c + d*x^2))^(3//2), -((b*x)/(a*(b + a*c)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))) + ((2*b + a*c)*x*(b + a*c + a*d*x^2))/(a^2*(b + a*c)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) - (sqrt(c)*(2*b + a*c)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(a^2*(b + a*c)*sqrt(d)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) + (c^(3//2)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(a*(b + a*c)*sqrt(d)*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 7),
+(1/(x^2*(a + b/(c + d*x^2))^(3//2)), -(b/(a*(b + a*c)*x*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))) + ((b - a*c)*(b + a*c + a*d*x^2))/(a*(b + a*c)^2*x*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) - ((b - a*c)*d*x*(b + a*c + a*d*x^2))/(a*(b + a*c)^2*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) + (sqrt(c)*(b - a*c)*sqrt(d)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(a*(b + a*c)^2*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) + (c^(3//2)*sqrt(d)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/((b + a*c)^2*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 8),
+(1/(x^4*(a + b/(c + d*x^2))^(3//2)), -(b/(a*(b + a*c)*x^3*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2)))) + ((3*b - a*c)*(b + a*c + a*d*x^2))/(3*a*(b + a*c)^2*x^3*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) - ((7*b - a*c)*d*(b + a*c + a*d*x^2))/(3*(b + a*c)^3*x*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) + ((7*b - a*c)*d^2*x*(b + a*c + a*d*x^2))/(3*(b + a*c)^3*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))) - (sqrt(c)*(7*b - a*c)*d^(3//2)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(3*(b + a*c)^3*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))) + (sqrt(c)*(3*b - a*c)*d^(3//2)*(b + a*c + a*d*x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((sqrt(d)*x)/sqrt(c)), b/(b + a*c)))/(3*(b + a*c)^3*(c + d*x^2)*sqrt((b + a*c + a*d*x^2)/(c + d*x^2))*sqrt((c*(b + a*c + a*d*x^2))/((b + a*c)*(c + d*x^2)))), x, 9),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form u (a x^n)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form u (a x^n)^p
+
+
+# Integrands of the form Sqrt[a*x^n]/Sqrt[1+x^5] where n mod 10 = 3
+(sqrt(a*x^23)/sqrt(1 + x^5), -((3*sqrt(a*x^23)*sqrt(1 + x^5))/(20*x^9)) + (sqrt(a*x^23)*sqrt(1 + x^5))/(10*x^4) + (3*sqrt(a*x^23)*asinh(x^(5//2)))/(20*x^(23//2)), x, 6),
+(sqrt(a*x^13)/sqrt(1 + x^5), (sqrt(a*x^13)*sqrt(1 + x^5))/(5*x^4) - (sqrt(a*x^13)*asinh(x^(5//2)))/(5*x^(13//2)), x, 5),
+(sqrt(a*x^3)/sqrt(1 + x^5), (2*sqrt(a*x^3)*asinh(x^(5//2)))/(5*x^(3//2)), x, 4),
+(sqrt(a/x^7)/sqrt(1 + x^5), (-(2//5))*sqrt(a/x^7)*x*sqrt(1 + x^5), x, 2),
+(sqrt(a/x^17)/sqrt(1 + x^5), (-(2//15))*sqrt(a/x^17)*x*sqrt(1 + x^5) + (4//15)*sqrt(a/x^17)*x^6*sqrt(1 + x^5), x, 3),
+
+
+(sqrt(a*x^6)/(x*(1 - x^4)), -((sqrt(a*x^6)*atan(x))/(2*x^3)) + (sqrt(a*x^6)*atanh(x))/(2*x^3), x, 4),
+(sqrt(a*x^6)/(x - x^5), -((sqrt(a*x^6)*atan(x))/(2*x^3)) + (sqrt(a*x^6)*atanh(x))/(2*x^3), x, 5),
+((a*x^6)^(3//2)/(x*(1 - x^4)), -((a*sqrt(a*x^6))/x^2) - (1//5)*a*x^2*sqrt(a*x^6) + (a*sqrt(a*x^6)*atan(x))/(2*x^3) + (a*sqrt(a*x^6)*atanh(x))/(2*x^3), x, 6),
+
+(1/(1 - x^4) - sqrt(a*x^6)/(x*(1 - x^4)), atan(x)/2 + (sqrt(a*x^6)*atan(x))/(2*x^3) + atanh(x)/2 - (sqrt(a*x^6)*atanh(x))/(2*x^3), x, 8),
+(1/(1 - x^4) - sqrt(a*x^6)/(x - x^5), atan(x)/2 + (sqrt(a*x^6)*atan(x))/(2*x^3) + atanh(x)/2 - (sqrt(a*x^6)*atanh(x))/(2*x^3), x, 9),
+
+(sqrt(a*x^3)/(x - x^3), -((sqrt(a*x^3)*atan(sqrt(x)))/x^(3//2)) + (sqrt(a*x^3)*atanh(sqrt(x)))/x^(3//2), x, 6),
+
+
+(sqrt(a*x^4)/sqrt(1 + x^2), (sqrt(a*x^4)*sqrt(1 + x^2))/(2*x) - (sqrt(a*x^4)*asinh(x))/(2*x^2), x, 3),
+(sqrt(a*x^3)/sqrt(1 + x^2), (2*sqrt(a*x^3)*sqrt(1 + x^2))/(3*x) - (sqrt(a*x^3)*(1 + x)*sqrt((1 + x^2)/(1 + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(sqrt(x)), 1//2))/(3*x^(3//2)*sqrt(1 + x^2)), x, 4),
+(sqrt(a*x^2)/sqrt(1 + x^2), (sqrt(a*x^2)*sqrt(1 + x^2))/x, x, 2),
+(sqrt(a*x^1)/sqrt(1 + x^2), (2*sqrt(a*x)*sqrt(1 + x^2))/(1 + x) - (2*sqrt(a)*(1 + x)*sqrt((1 + x^2)/(1 + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(sqrt(a*x)/sqrt(a)), 1//2))/sqrt(1 + x^2) + (sqrt(a)*(1 + x)*sqrt((1 + x^2)/(1 + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(sqrt(a*x)/sqrt(a)), 1//2))/sqrt(1 + x^2), x, 4),
+(sqrt(a/x^1)/sqrt(1 + x^2), (sqrt(a/x)*sqrt(x)*(1 + x)*sqrt((1 + x^2)/(1 + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(sqrt(x)), 1//2))/sqrt(1 + x^2), x, 3),
+(sqrt(a/x^2)/sqrt(1 + x^2), (-sqrt(a/x^2))*x*atanh(sqrt(1 + x^2)), x, 4),
+(sqrt(a/x^3)/sqrt(1 + x^2), -2*sqrt(a/x^3)*x*sqrt(1 + x^2) + (2*sqrt(a/x^3)*x^2*sqrt(1 + x^2))/(1 + x) - (2*sqrt(a/x^3)*x^(3//2)*(1 + x)*sqrt((1 + x^2)/(1 + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan(sqrt(x)), 1//2))/sqrt(1 + x^2) + (sqrt(a/x^3)*x^(3//2)*(1 + x)*sqrt((1 + x^2)/(1 + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan(sqrt(x)), 1//2))/sqrt(1 + x^2), x, 6),
+(sqrt(a/x^4)/sqrt(1 + x^2), (-sqrt(a/x^4))*x*sqrt(1 + x^2), x, 2),
+
+
+(sqrt(a*x^4)/sqrt(1 + x^3), (2*sqrt(a*x^4)*sqrt(1 + x^3))/(3*x^2), x, 2),
+(sqrt(a*x^3)/sqrt(1 + x^3), ((1 + sqrt(3))*sqrt(a*x^3)*sqrt(1 + x^3))/(x*(1 + (1 + sqrt(3))*x)) - (3^(1//4)*sqrt(a*x^3)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + (1 + sqrt(3))*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((1 + (1 - sqrt(3))*x)/(1 + (1 + sqrt(3))*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(x*sqrt((x*(1 + x))/(1 + (1 + sqrt(3))*x)^2)*sqrt(1 + x^3)) - ((1 - sqrt(3))*sqrt(a*x^3)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + (1 + sqrt(3))*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((1 + (1 - sqrt(3))*x)/(1 + (1 + sqrt(3))*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(2*3^(1//4)*x*sqrt((x*(1 + x))/(1 + (1 + sqrt(3))*x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 5),
+(sqrt(a*x^2)/sqrt(1 + x^3), (2*sqrt(a*x^2)*sqrt(1 + x^3))/(x*(1 + sqrt(3) + x)) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*sqrt(a*x^2)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(x*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)) + (2*sqrt(2)*sqrt(a*x^2)*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*x*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+(sqrt(a*x^1)/sqrt(1 + x^3), (2//3)*sqrt(a)*asinh((a*x)^(3//2)/a^(3//2)), x, 3),
+(sqrt(a/x^1)/sqrt(1 + x^3), (sqrt(a/x)*x*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + (1 + sqrt(3))*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((1 + (1 - sqrt(3))*x)/(1 + (1 + sqrt(3))*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(3^(1//4)*sqrt((x*(1 + x))/(1 + (1 + sqrt(3))*x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 3),
+(sqrt(a/x^2)/sqrt(1 + x^3), (-(2//3))*sqrt(a/x^2)*x*atanh(sqrt(1 + x^3)), x, 4),
+(sqrt(a/x^3)/sqrt(1 + x^3), -2*sqrt(a/x^3)*x*sqrt(1 + x^3) + (2*(1 + sqrt(3))*sqrt(a/x^3)*x^2*sqrt(1 + x^3))/(1 + (1 + sqrt(3))*x) - (2*3^(1//4)*sqrt(a/x^3)*x^2*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + (1 + sqrt(3))*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(acos((1 + (1 - sqrt(3))*x)/(1 + (1 + sqrt(3))*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(sqrt((x*(1 + x))/(1 + (1 + sqrt(3))*x)^2)*sqrt(1 + x^3)) - ((1 - sqrt(3))*sqrt(a/x^3)*x^2*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + (1 + sqrt(3))*x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(acos((1 + (1 - sqrt(3))*x)/(1 + (1 + sqrt(3))*x)), (1//4)*(2 + sqrt(3))))/(3^(1//4)*sqrt((x*(1 + x))/(1 + (1 + sqrt(3))*x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 6),
+(sqrt(a/x^4)/sqrt(1 + x^3), (-sqrt(a/x^4))*x*sqrt(1 + x^3) + (sqrt(a/x^4)*x^2*sqrt(1 + x^3))/(1 + sqrt(3) + x) - (3^(1//4)*sqrt(2 - sqrt(3))*sqrt(a/x^4)*x^2*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(2*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)) + (sqrt(2)*sqrt(a/x^4)*x^2*(1 + x)*sqrt((1 - x + x^2)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin((1 - sqrt(3) + x)/(1 + sqrt(3) + x)), -7 - 4*sqrt(3)))/(3^(1//4)*sqrt((1 + x)/(1 + sqrt(3) + x)^2)*sqrt(1 + x^3)), x, 5),
+
+
+(sqrt(a*x^(2*n))/sqrt(1 + x^n), (x*sqrt(a*x^(2*n))*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 1 + 1/n, 2 + 1/n, -x^n))/(1 + n), x, 2),
+(sqrt(a*x^n)/sqrt(1 + x^n), (2*x*sqrt(a*x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1//2)*(1 + 2/n), (1//2)*(3 + 2/n), -x^n))/(2 + n), x, 2),
+(sqrt(a*x^(n/2))/sqrt(1 + x^n), (4*x*sqrt(a*x^(n/2))*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1//4)*(1 + 4/n), (1//4)*(5 + 4/n), -x^n))/(4 + n), x, 2),
+
+(sqrt(a*x^(2*n))/sqrt(1 + x^n) + (2*sqrt(a*x^(2*n)))/(x^n*((2 + n)*sqrt(1 + x^n))), (2*x^(1 - n)*sqrt(a*x^(2*n))*sqrt(1 + x^n))/(2 + n), x, -5),
+
+
+(sqrt(a*x)/(sqrt(d + e*x)*sqrt(e + f*x)), (2*sqrt(-e^2 + d*f)*sqrt(a*x)*sqrt((e*(e + f*x))/(e^2 - d*f))*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin((sqrt(f)*sqrt(d + e*x))/sqrt(-e^2 + d*f)), 1 - e^2/(d*f)))/(e*sqrt(f)*sqrt(-((e*x)/d))*sqrt(e + f*x)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a x^n)^p (b x^m)^q ...
+
+
+((a*x^m)^r, (x*(a*x^m)^r)/(1 + m*r), x, 2),
+((a*x^m)^r*(b*x^n)^s, (x*(a*x^m)^r*(b*x^n)^s)/(1 + m*r + n*s), x, 3),
+((a*x^m)^r*(b*x^n)^s*(c*x^p)^t, (x*(a*x^m)^r*(b*x^n)^s*(c*x^p)^t)/(1 + m*r + n*s + p*t), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form u (Sqrt[a+b x] + Sqrt[c+d x])^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (Sqrt[a+b x] + Sqrt[c+b x])^p
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p>0
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^2/(sqrt(a + b*x) + sqrt(c + b*x)), (2*a^2*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^3*(a - c)) - (4*a*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^3*(a - c)) + (2*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^3*(a - c)) - (2*c^2*(c + b*x)^(3//2))/(3*b^3*(a - c)) + (4*c*(c + b*x)^(5//2))/(5*b^3*(a - c)) - (2*(c + b*x)^(7//2))/(7*b^3*(a - c)), x, 5),
+(x^1/(sqrt(a + b*x) + sqrt(c + b*x)), -((2*a*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^2*(a - c))) + (2*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^2*(a - c)) + (2*c*(c + b*x)^(3//2))/(3*b^2*(a - c)) - (2*(c + b*x)^(5//2))/(5*b^2*(a - c)), x, 5),
+(x^0/(sqrt(a + b*x) + sqrt(c + b*x)), (2*(a + b*x)^(3//2))/(3*b*(a - c)) - (2*(c + b*x)^(3//2))/(3*b*(a - c)), x, 2),
+(1/(x^1*(sqrt(a + b*x) + sqrt(c + b*x))), (2*sqrt(a + b*x))/(a - c) - (2*sqrt(c + b*x))/(a - c) - (2*sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(a - c) + (2*sqrt(c)*atanh(sqrt(c + b*x)/sqrt(c)))/(a - c), x, 7),
+(1/(x^2*(sqrt(a + b*x) + sqrt(c + b*x))), -(sqrt(a + b*x)/((a - c)*x)) + sqrt(c + b*x)/((a - c)*x) - (b*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(a - c)) + (b*atanh(sqrt(c + b*x)/sqrt(c)))/((a - c)*sqrt(c)), x, 7),
+
+
+(x^2/(sqrt(a + b*x) + sqrt(c + b*x))^2, ((a + c)*x^3)/(3*(a - c)^2) + (b*x^4)/(2*(a - c)^2) - ((4*a*c - 5*(a + c)^2)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + b*x))/(32*b^3*(a - c)) + ((4*a*c - 5*(a + c)^2)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + b*x))/(16*b^3*(a - c)^2) + (5*(a + c)*(a + b*x)^(3//2)*(c + b*x)^(3//2))/(12*b^3*(a - c)^2) - (x*(a + b*x)^(3//2)*(c + b*x)^(3//2))/(2*b^2*(a - c)^2) - ((4*a*c - 5*(a + c)^2)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(c + b*x)))/(32*b^3), x, 9),
+(x^1/(sqrt(a + b*x) + sqrt(c + b*x))^2, ((a + c)*x^2)/(2*(a - c)^2) + (2*b*x^3)/(3*(a - c)^2) - ((a + c)*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + b*x))/(4*b^2*(a - c)) + ((a + c)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(c + b*x))/(2*b^2*(a - c)^2) - (2*(a + b*x)^(3//2)*(c + b*x)^(3//2))/(3*b^2*(a - c)^2) - ((a + c)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(c + b*x)))/(4*b^2), x, 8),
+# {x^0/(Sqrt[a + b*x] + Sqrt[c + b*x])^2, x, 7, (a - c)^2/(8*b*(Sqrt[a + b*x] + Sqrt[c + b*x])^4) + ArcTanh[Sqrt[a + b*x]/Sqrt[c + b*x]]/(2*b), ((a + c)*x)/(a - c)^2 + (b*x^2)/(a - c)^2 + (Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + b*x])/(2*b*(a - c)) - ((a + b*x)^(3/2)*Sqrt[c + b*x])/(b*(a - c)^2) + ArcTanh[Sqrt[a + b*x]/Sqrt[c + b*x]]/(2*b)}
+(1/(x^1*(sqrt(a + b*x) + sqrt(c + b*x))^2), (2*b*x)/(a - c)^2 - (2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + b*x))/(a - c)^2 - (2*(a + c)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(c + b*x)))/(a - c)^2 + (4*sqrt(a)*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + b*x))))/(a - c)^2 + ((a + c)*log(x))/(a - c)^2, x, 9),
+(1/(x^2*(sqrt(a + b*x) + sqrt(c + b*x))^2), -((a + c)/((a - c)^2*x)) + (2*sqrt(a + b*x)*sqrt(c + b*x))/((a - c)^2*x) - (4*b*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(c + b*x)))/(a - c)^2 + (2*b*(a + c)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(a)*sqrt(c + b*x))))/(sqrt(a)*(a - c)^2*sqrt(c)) + (2*b*log(x))/(a - c)^2, x, 9),
+
+
+(x^2/(sqrt(a + b*x) + sqrt(c + b*x))^3, -((8*a^3*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^3*(a - c)^3)) + (2*a^2*(a + 3*c)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^3*(a - c)^3) + (24*a^2*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^3*(a - c)^3) - (4*a*(a + 3*c)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^3*(a - c)^3) - (24*a*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^3*(a - c)^3) + (2*(a + 3*c)*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^3*(a - c)^3) + (8*(a + b*x)^(9//2))/(9*b^3*(a - c)^3) + (8*c^3*(c + b*x)^(3//2))/(3*b^3*(a - c)^3) - (2*c^2*(3*a + c)*(c + b*x)^(3//2))/(3*b^3*(a - c)^3) - (24*c^2*(c + b*x)^(5//2))/(5*b^3*(a - c)^3) + (4*c*(3*a + c)*(c + b*x)^(5//2))/(5*b^3*(a - c)^3) + (24*c*(c + b*x)^(7//2))/(7*b^3*(a - c)^3) - (2*(3*a + c)*(c + b*x)^(7//2))/(7*b^3*(a - c)^3) - (8*(c + b*x)^(9//2))/(9*b^3*(a - c)^3), x, 10),
+(x^1/(sqrt(a + b*x) + sqrt(c + b*x))^3, (8*a^2*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^2*(a - c)^3) - (2*a*(a + 3*c)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^2*(a - c)^3) - (16*a*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^2*(a - c)^3) + (2*(a + 3*c)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^2*(a - c)^3) + (8*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^2*(a - c)^3) - (8*c^2*(c + b*x)^(3//2))/(3*b^2*(a - c)^3) + (2*c*(3*a + c)*(c + b*x)^(3//2))/(3*b^2*(a - c)^3) + (16*c*(c + b*x)^(5//2))/(5*b^2*(a - c)^3) - (2*(3*a + c)*(c + b*x)^(5//2))/(5*b^2*(a - c)^3) - (8*(c + b*x)^(7//2))/(7*b^2*(a - c)^3), x, 10),
+# {x^0/(Sqrt[a + b*x] + Sqrt[c + b*x])^3, x, 6, (a - c)^2/(10*b*(Sqrt[a + b*x] + Sqrt[c + b*x])^5) - 1/(2*b*(Sqrt[a + b*x] + Sqrt[c + b*x])), -((8*a*(a + b*x)^(3/2))/(3*b*(a - c)^3)) + (2*(a + 3*c)*(a + b*x)^(3/2))/(3*b*(a - c)^3) + (8*(a + b*x)^(5/2))/(5*b*(a - c)^3) + (8*c*(c + b*x)^(3/2))/(3*b*(a - c)^3) - (2*(3*a + c)*(c + b*x)^(3/2))/(3*b*(a - c)^3) - (8*(c + b*x)^(5/2))/(5*b*(a - c)^3)}
+(1/(x^1*(sqrt(a + b*x) + sqrt(c + b*x))^3), (2*(a + 3*c)*sqrt(a + b*x))/(a - c)^3 + (8*(a + b*x)^(3//2))/(3*(a - c)^3) - (2*(3*a + c)*sqrt(c + b*x))/(a - c)^3 - (8*(c + b*x)^(3//2))/(3*(a - c)^3) - (2*sqrt(a)*(a + 3*c)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(a - c)^3 + (2*sqrt(c)*(3*a + c)*atanh(sqrt(c + b*x)/sqrt(c)))/(a - c)^3, x, 8),
+# {1/(x^2*(Sqrt[a + b*x] + Sqrt[c + b*x])^3), x, 14, (8*b*Sqrt[a + b*x])/(a - c)^3 - ((a + 3*c)*Sqrt[a + b*x])/((a - c)^3*x) - (8*b*Sqrt[c + b*x])/(a - c)^3 + ((3*a + c)*Sqrt[c + b*x])/((a - c)^3*x) - (3*b*(3*a + c)*ArcTanh[Sqrt[a + b*x]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a - c)^3) - (3*b*(a + 3*c)*ArcTanh[Sqrt[c + b*x]/Sqrt[c]])/(Sqrt[c]*(-a + c)^3), (8*b*Sqrt[a + b*x])/(a - c)^3 - ((a + 3*c)*Sqrt[a + b*x])/((a - c)^3*x) - (8*b*Sqrt[c + b*x])/(a - c)^3 + ((3*a + c)*Sqrt[c + b*x])/((a - c)^3*x) - (8*Sqrt[a]*b*ArcTanh[Sqrt[a + b*x]/Sqrt[a]])/(a - c)^3 - (b*(a + 3*c)*ArcTanh[Sqrt[a + b*x]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a - c)^3) + (8*b*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c + b*x]/Sqrt[c]])/(a - c)^3 + (b*(3*a + c)*ArcTanh[Sqrt[c + b*x]/Sqrt[c]])/((a - c)^3*Sqrt[c])}
+
+
+(1/(sqrt(x) + sqrt(1 + x)), -((2*x^(3//2))/3) + (2//3)*(1 + x)^(3//2), x, 3),
+(1/(sqrt(x) + sqrt(-1 + x)), (-(2//3))*(-1 + x)^(3//2) + (2*x^(3//2))/3, x, 3),
+
+(1/(sqrt(-1 + x) + sqrt(1 + x)), (-(1//3))*(-1 + x)^(3//2) + (1//3)*(1 + x)^(3//2), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (Sqrt[a+b x] + Sqrt[a+c x])^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))^2, x^4//2 - (2//3)*(1 - x^2)^(3//2) + (2//5)*(1 - x^2)^(5//2), x, 5),
+(x^2*(sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))^2, (2*x^3)/3 - (1//4)*x*sqrt(1 - x^2) + (1//2)*x^3*sqrt(1 - x^2) + asin(x)/4, x, 5),
+(x^1*(sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))^2, x^2 - (2//3)*(1 - x^2)^(3//2), x, 3),
+(x^0*(sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))^2, 2*x + x*sqrt(1 - x^2) + asin(x), x, 4),
+((sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))^2/x^1, 2*sqrt(1 - x^2) - 2*atanh(sqrt(1 - x^2)) + 2*log(x), x, 6),
+((sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))^2/x^2, -(2/x) - (2*sqrt(1 - x^2))/x - 2*asin(x), x, 4),
+((sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))^2/x^3, -(1/x^2) - sqrt(1 - x^2)/x^2 + atanh(sqrt(1 - x^2)), x, 6),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^3/(sqrt(a + b*x) + sqrt(a + c*x)), (2*a^2*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^3*(b - c)) - (4*a*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^3*(b - c)) + (2*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^3*(b - c)) - (2*a^2*(a + c*x)^(3//2))/(3*(b - c)*c^3) + (4*a*(a + c*x)^(5//2))/(5*(b - c)*c^3) - (2*(a + c*x)^(7//2))/(7*(b - c)*c^3), x, 5),
+(x^2/(sqrt(a + b*x) + sqrt(a + c*x)), -((2*a*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^2*(b - c))) + (2*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^2*(b - c)) + (2*a*(a + c*x)^(3//2))/(3*(b - c)*c^2) - (2*(a + c*x)^(5//2))/(5*(b - c)*c^2), x, 5),
+(x^1/(sqrt(a + b*x) + sqrt(a + c*x)), (2*(a + b*x)^(3//2))/(3*b*(b - c)) - (2*(a + c*x)^(3//2))/(3*(b - c)*c), x, 3),
+(x^0/(sqrt(a + b*x) + sqrt(a + c*x)), (2*sqrt(a + b*x))/(b - c) - (2*sqrt(a + c*x))/(b - c) - (2*sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(b - c) + (2*sqrt(a)*atanh(sqrt(a + c*x)/sqrt(a)))/(b - c), x, 8),
+(1/(x^1*(sqrt(a + b*x) + sqrt(a + c*x))), -(sqrt(a + b*x)/((b - c)*x)) + sqrt(a + c*x)/((b - c)*x) - (b*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(b - c)) + (c*atanh(sqrt(a + c*x)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(b - c)), x, 7),
+(1/(x^2*(sqrt(a + b*x) + sqrt(a + c*x))), -(sqrt(a + b*x)/(2*(b - c)*x^2)) - (b*sqrt(a + b*x))/(4*a*(b - c)*x) + sqrt(a + c*x)/(2*(b - c)*x^2) + (c*sqrt(a + c*x))/(4*a*(b - c)*x) + (b^2*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*(b - c)) - (c^2*atanh(sqrt(a + c*x)/sqrt(a)))/(4*a^(3//2)*(b - c)), x, 9),
+
+
+(x^3/(sqrt(a + b*x) + sqrt(a + c*x))^2, (a*x^2)/(b - c)^2 + ((b + c)*x^3)/(3*(b - c)^2) + (a^2*(b + c)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a + c*x))/(4*b^2*(b - c)*c^2) + (a*(b + c)*(a + b*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x))/(2*b^2*(b - c)^2*c) - (2*(a + b*x)^(3//2)*(a + c*x)^(3//2))/(3*b*(b - c)^2*c) - (a^3*(b + c)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(a + c*x))))/(4*b^(5//2)*c^(5//2)), x, 8),
+(x^2/(sqrt(a + b*x) + sqrt(a + c*x))^2, (2*a*x)/(b - c)^2 + ((b + c)*x^2)/(2*(b - c)^2) - (a*sqrt(a + b*x)*sqrt(a + c*x))/(2*b*(b - c)*c) - ((a + b*x)^(3//2)*sqrt(a + c*x))/(b*(b - c)^2) + (a^2*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(a + c*x))))/(2*b^(3//2)*c^(3//2)), x, 7),
+(x^1/(sqrt(a + b*x) + sqrt(a + c*x))^2, ((b + c)*x)/(b - c)^2 - (2*sqrt(a + b*x)*sqrt(a + c*x))/(b - c)^2 + (4*a*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a + c*x)))/(b - c)^2 - (2*a*(b + c)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(a + c*x))))/(sqrt(b)*(b - c)^2*sqrt(c)) + (2*a*log(x))/(b - c)^2, x, 9),
+(x^0/(sqrt(a + b*x) + sqrt(a + c*x))^2, -((2*a)/((b - c)^2*x)) + (2*sqrt(a + b*x)*sqrt(a + c*x))/((b - c)^2*x) + (2*(b + c)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a + c*x)))/(b - c)^2 - (4*sqrt(b)*sqrt(c)*atanh((sqrt(c)*sqrt(a + b*x))/(sqrt(b)*sqrt(a + c*x))))/(b - c)^2 + ((b + c)*log(x))/(b - c)^2, x, 9),
+(1/(x^1*(sqrt(a + b*x) + sqrt(a + c*x))^2), -(a/((b - c)^2*x^2)) - (b + c)/((b - c)^2*x) + (sqrt(a + b*x)*sqrt(a + c*x))/(2*a*(b - c)*x) + (sqrt(a + b*x)*(a + c*x)^(3//2))/(a*(b - c)^2*x^2) - atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a + c*x))/(2*a), x, 6),
+(1/(x^2*(sqrt(a + b*x) + sqrt(a + c*x))^2), -((2*a)/(3*(b - c)^2*x^3)) - (b + c)/(2*(b - c)^2*x^2) - ((b + c)*sqrt(a + b*x)*sqrt(a + c*x))/(4*a^2*(b - c)*x) - ((b + c)*sqrt(a + b*x)*(a + c*x)^(3//2))/(2*a^2*(b - c)^2*x^2) + (2*(a + b*x)^(3//2)*(a + c*x)^(3//2))/(3*a^2*(b - c)^2*x^3) + ((b + c)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a + c*x)))/(4*a^2), x, 7),
+
+
+(x^4/(sqrt(a + b*x) + sqrt(a + c*x))^3, -((8*a^2*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^2*(b - c)^3)) + (2*a^2*(b + 3*c)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^3*(b - c)^3) + (8*a*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^2*(b - c)^3) - (4*a*(b + 3*c)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^3*(b - c)^3) + (2*(b + 3*c)*(a + b*x)^(7//2))/(7*b^3*(b - c)^3) + (8*a^2*(a + c*x)^(3//2))/(3*(b - c)^3*c^2) - (2*a^2*(3*b + c)*(a + c*x)^(3//2))/(3*(b - c)^3*c^3) - (8*a*(a + c*x)^(5//2))/(5*(b - c)^3*c^2) + (4*a*(3*b + c)*(a + c*x)^(5//2))/(5*(b - c)^3*c^3) - (2*(3*b + c)*(a + c*x)^(7//2))/(7*(b - c)^3*c^3), x, 10),
+(x^3/(sqrt(a + b*x) + sqrt(a + c*x))^3, (8*a*(a + b*x)^(3//2))/(3*b*(b - c)^3) - (2*a*(b + 3*c)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b^2*(b - c)^3) + (2*(b + 3*c)*(a + b*x)^(5//2))/(5*b^2*(b - c)^3) - (8*a*(a + c*x)^(3//2))/(3*(b - c)^3*c) + (2*a*(3*b + c)*(a + c*x)^(3//2))/(3*(b - c)^3*c^2) - (2*(3*b + c)*(a + c*x)^(5//2))/(5*(b - c)^3*c^2), x, 6),
+(x^2/(sqrt(a + b*x) + sqrt(a + c*x))^3, (8*a*sqrt(a + b*x))/(b - c)^3 + (2*(b + 3*c)*(a + b*x)^(3//2))/(3*b*(b - c)^3) - (8*a*sqrt(a + c*x))/(b - c)^3 - (2*(3*b + c)*(a + c*x)^(3//2))/(3*(b - c)^3*c) - (8*a^(3//2)*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/(b - c)^3 + (8*a^(3//2)*atanh(sqrt(a + c*x)/sqrt(a)))/(b - c)^3, x, 8),
+# {x^1/(Sqrt[a + b*x] + Sqrt[a + c*x])^3, x, 14, (2*(b + 3*c)*Sqrt[a + b*x])/(b - c)^3 - (4*a*Sqrt[a + b*x])/((b - c)^3*x) - (2*(3*b + c)*Sqrt[a + c*x])/(b - c)^3 + (4*a*Sqrt[a + c*x])/((b - c)^3*x) - (6*Sqrt[a]*(b + c)*ArcTanh[Sqrt[a + b*x]/Sqrt[a]])/(b - c)^3 + (6*Sqrt[a]*(b + c)*ArcTanh[Sqrt[a + c*x]/Sqrt[a]])/(b - c)^3, (2*(b + 3*c)*Sqrt[a + b*x])/(b - c)^3 - (4*a*Sqrt[a + b*x])/((b - c)^3*x) - (2*(3*b + c)*Sqrt[a + c*x])/(b - c)^3 + (4*a*Sqrt[a + c*x])/((b - c)^3*x) - (4*Sqrt[a]*b*ArcTanh[Sqrt[a + b*x]/Sqrt[a]])/(b - c)^3 - (2*Sqrt[a]*(b + 3*c)*ArcTanh[Sqrt[a + b*x]/Sqrt[a]])/(b - c)^3 + (4*Sqrt[a]*c*ArcTanh[Sqrt[a + c*x]/Sqrt[a]])/(b - c)^3 + (2*Sqrt[a]*(3*b + c)*ArcTanh[Sqrt[a + c*x]/Sqrt[a]])/(b - c)^3}
+# {x^0/(Sqrt[a + b*x] + Sqrt[a + c*x])^3, x, 16, -((2*a*Sqrt[a + b*x])/((b - c)^3*x^2)) - ((2*b + 3*c)*Sqrt[a + b*x])/((b - c)^3*x) + (2*a*Sqrt[a + c*x])/((b - c)^3*x^2) + ((3*b + 2*c)*Sqrt[a + c*x])/((b - c)^3*x) - (3*b*c*ArcTanh[Sqrt[a + b*x]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(b - c)^3) + (3*b*c*ArcTanh[Sqrt[a + c*x]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(b - c)^3), -((2*a*Sqrt[a + b*x])/((b - c)^3*x^2)) - (b*Sqrt[a + b*x])/((b - c)^3*x) - ((b + 3*c)*Sqrt[a + b*x])/((b - c)^3*x) + (2*a*Sqrt[a + c*x])/((b - c)^3*x^2) + (c*Sqrt[a + c*x])/((b - c)^3*x) + ((3*b + c)*Sqrt[a + c*x])/((b - c)^3*x) + (b^2*ArcTanh[Sqrt[a + b*x]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(b - c)^3) - (b*(b + 3*c)*ArcTanh[Sqrt[a + b*x]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(b - c)^3) - (c^2*ArcTanh[Sqrt[a + c*x]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(b - c)^3) + (c*(3*b + c)*ArcTanh[Sqrt[a + c*x]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(b - c)^3)}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (e+f x)^m (Sqrt[a+b x] + Sqrt[a+c x])^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(sqrt(1 - x)*(sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x)), x - x^2//2 + (1//2)*x*sqrt(1 - x^2) + asin(x)/2, x, 4),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (-Sqrt[a+b x] - Sqrt[a+c x])^n (Sqrt[a+b x] + Sqrt[a+c x])^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(-sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))*(sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x)), -(x^4//2) + (2//3)*(1 - x^2)^(3//2) - (2//5)*(1 - x^2)^(5//2), x, 6),
+(x^2*(-sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))*(sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x)), -((2*x^3)/3) + (1//4)*x*sqrt(1 - x^2) - (1//2)*x^3*sqrt(1 - x^2) - asin(x)/4, x, 6),
+(x^1*(-sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))*(sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x)), -x^2 + (2//3)*(1 - x^2)^(3//2), x, 4),
+(x^0*(-sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))*(sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x)), -2*x - x*sqrt(1 - x^2) - asin(x), x, 5),
+((-sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))*(sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))/x^1, -2*sqrt(1 - x^2) + 2*atanh(sqrt(1 - x^2)) - 2*log(x), x, 7),
+((-sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))*(sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))/x^2, 2/x + (2*sqrt(1 - x^2))/x + 2*asin(x), x, 5),
+((-sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))*(sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))/x^3, 1/x^2 + sqrt(1 - x^2)/x^2 - atanh(sqrt(1 - x^2)), x, 7),
+
+
+# ::Subsubsection::
+# p<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (Sqrt[a+b x] - Sqrt[a+c x])^n (Sqrt[a+b x] + Sqrt[a+c x])^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+((sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x))/(-sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x)), sqrt(1 - x^2) - atanh(sqrt(1 - x^2)) + log(x), x, 15),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+((-sqrt(-1 + x) + sqrt(1 + x))/(sqrt(-1 + x) + sqrt(1 + x)), x^2//2 - (1//2)*sqrt(-1 + x)*x*sqrt(1 + x) + acosh(x)/2, x, 9),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (g+h x+i x^2)^m (d+e x+f Sqrt[a+b x+c x^2])^n
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x+f Sqrt[a+c x^2])^n when e^2-c f^2=0
+
+
+((d + e*x + f*sqrt(a + e^2/f^2*x^2))^n, (d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))^(1 + n)/(2*e*(1 + n)) + (a*f^2*(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, (d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))/d))/(2*d^2*e*(1 + n)), x, 4),
+
+((d + e*x + f*sqrt(a + e^2/f^2*x^2))^3, -((a*d^3*f^2)/(2*e*(e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))) + (a*d*f^2*(e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))/e + (a*f^2*(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))^2)/(4*e) + (d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))^4/(8*e) + (3*a*d^2*f^2*log(e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))/(2*e), x, 3),
+((d + e*x + f*sqrt(a + e^2/f^2*x^2))^2, -((a*d^2*f^2)/(2*e*(e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))) + (a*f^2*(e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))/(2*e) + (d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))^3/(6*e) + (a*d*f^2*log(e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))/e, x, 3),
+((d + e*x + f*sqrt(a + e^2/f^2*x^2))^1, d*x + (e*x^2)/2 + (1//2)*f*x*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2) + (a*f^2*atanh((e*x)/(f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))))/(2*e), x, 4),
+(1/(d + e*x + f*sqrt(a + e^2/f^2*x^2))^1, -((a*f^2)/(2*d*e*(e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))) - (a*f^2*log(e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))/(2*d^2*e) + ((1 + (a*f^2)/d^2)*log(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))/(2*e), x, 3),
+(1/(d + e*x + f*sqrt(a + e^2/f^2*x^2))^2, -((a*f^2)/(2*d^2*e*(e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))) - (1 + (a*f^2)/d^2)/(2*e*(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))) - (a*f^2*log(e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))/(d^3*e) + (a*f^2*log(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))/(d^3*e), x, 3),
+(1/(d + e*x + f*sqrt(a + e^2/f^2*x^2))^3, -((a*f^2)/(2*d^3*e*(e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))) - (1 + (a*f^2)/d^2)/(4*e*(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))^2) - (a*f^2)/(d^3*e*(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))) - (3*a*f^2*log(e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))/(2*d^4*e) + (3*a*f^2*log(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))/(2*d^4*e), x, 3),
+
+((d + e*x + f*sqrt(a + e^2/f^2*x^2))^(5//2), (2*a*d*f^2*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))/e - (a*d^2*f^2*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))/(2*e*(e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))) + (a*f^2*(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))^(3//2))/(3*e) + (d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))^(7//2)/(7*e) - (5*a*d^(3//2)*f^2*atanh(sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))/sqrt(d)))/(2*e), x, 6),
+((d + e*x + f*sqrt(a + e^2/f^2*x^2))^(3//2), (a*f^2*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))/e - (a*d*f^2*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))/(2*e*(e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))) + (d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))^(5//2)/(5*e) - (3*a*sqrt(d)*f^2*atanh(sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))/sqrt(d)))/(2*e), x, 6),
+((d + e*x + f*sqrt(a + e^2/f^2*x^2))^(1//2), -((a*f^2*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))/(2*e*(e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))) + (d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))^(3//2)/(3*e) - (a*f^2*atanh(sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))/sqrt(d)))/(2*sqrt(d)*e), x, 6),
+(1/(d + e*x + f*sqrt(a + e^2/f^2*x^2))^(1//2), sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))/e - (a*f^2*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))/(2*d*e*(e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))) + (a*f^2*atanh(sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))/sqrt(d)))/(2*d^(3//2)*e), x, 5),
+(1/(d + e*x + f*sqrt(a + e^2/f^2*x^2))^(3//2), -((1 + (a*f^2)/d^2)/(e*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))) - (a*f^2*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))/(2*d^2*e*(e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))) + (3*a*f^2*atanh(sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))/sqrt(d)))/(2*d^(5//2)*e), x, 5),
+(1/(d + e*x + f*sqrt(a + e^2/f^2*x^2))^(5//2), -((1 + (a*f^2)/d^2)/(3*e*(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))^(3//2))) - (2*a*f^2)/(d^3*e*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))) - (a*f^2*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2)))/(2*d^3*e*(e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))) + (5*a*f^2*atanh(sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + (e^2*x^2)/f^2))/sqrt(d)))/(2*d^(7//2)*e), x, 6),
+
+
+(sqrt(x - sqrt(-4 + x^2)), 4/sqrt(x - sqrt(-4 + x^2)) + (1//3)*(x - sqrt(-4 + x^2))^(3//2), x, 3),
+(sqrt(a*x + b*sqrt(c + a^2*x^2/b^2)), -((b^2*c)/(a*sqrt(a*x + b*sqrt(c + (a^2*x^2)/b^2)))) + (a*x + b*sqrt(c + (a^2*x^2)/b^2))^(3//2)/(3*a), x, 3),
+
+
+(sqrt(1 + sqrt(1 - x^2)), -((2*x^3)/(3*(1 + sqrt(1 - x^2))^(3//2))) + (2*x)/sqrt(1 + sqrt(1 - x^2)), x, 1),
+(sqrt(1 + sqrt(1 + x^2)), (2*x^3)/(3*(1 + sqrt(1 + x^2))^(3//2)) + (2*x)/sqrt(1 + sqrt(1 + x^2)), x, 1),
+(sqrt(5 + sqrt(25 + x^2)), (2*x^3)/(3*(5 + sqrt(25 + x^2))^(3//2)) + (10*x)/sqrt(5 + sqrt(25 + x^2)), x, 1),
+(sqrt(a + b*sqrt(a^2/b^2 + c*x^2)), (2*b^2*c*x^3)/(3*(a + b*sqrt(a^2/b^2 + c*x^2))^(3//2)) + (2*a*x)/sqrt(a + b*sqrt(a^2/b^2 + c*x^2)), x, 1),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (d+e x+f Sqrt[a+b x+c x^2])^n when e^2-c f^2=0
+
+
+((d + e*x + f*sqrt(a + b*x + e^2/f^2*x^2))^n, (d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2))^(1 + n)/(2*e*(1 + n)) + (f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2))^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + n, 2 + n, (2*e*(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/(2*d*e - b*f^2)))/(2*e*(2*d*e - b*f^2)^2*(1 + n)), x, 4),
+
+((d + e*x + f*sqrt(a + b*x + e^2/f^2*x^2))^3, (f^2*(2*d*e - b*f^2)*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*(e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/(8*e^4) + (f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2))^2)/(16*e^3) + (d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2))^4/(8*e) - (f^2*(2*d*e - b*f^2)^3*(4*a*e^2 - b^2*f^2))/(32*e^5*(b*f^2 + 2*e*(e*x + f*sqrt(a + (x*(b*f^2 + e^2*x))/f^2)))) + (3*f^2*(2*d*e - b*f^2)^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*log(b*f^2 + 2*e*(e*x + f*sqrt(a + (x*(b*f^2 + e^2*x))/f^2))))/(32*e^5), x, 3),
+((d + e*x + f*sqrt(a + b*x + e^2/f^2*x^2))^2, (f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*(e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/(8*e^3) + (d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2))^3/(6*e) - (f^2*(2*d*e - b*f^2)^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2))/(16*e^4*(b*f^2 + 2*e*(e*x + f*sqrt(a + (x*(b*f^2 + e^2*x))/f^2)))) + (f^2*(2*d*e - b*f^2)*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*log(b*f^2 + 2*e*(e*x + f*sqrt(a + (x*(b*f^2 + e^2*x))/f^2))))/(8*e^4), x, 3),
+((d + e*x + f*sqrt(a + b*x + e^2/f^2*x^2))^1, d*x + (e*x^2)/2 + (f*(b*f^2 + 2*e^2*x)*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2))/(4*e^2) + (f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*atanh((b*f^2 + 2*e^2*x)/(2*e*f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2))))/(8*e^3), x, 4),
+(1/(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + e^2/f^2*x^2))^1, -((f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2))/(2*e*(2*d*e - b*f^2)*(b*f^2 + 2*e*(e*x + f*sqrt(a + (x*(b*f^2 + e^2*x))/f^2))))) + (2*(d^2*e - b*d*f^2 + a*e*f^2)*log(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/(2*d*e - b*f^2)^2 - (f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*log(b*f^2 + 2*e*(e*x + f*sqrt(a + (x*(b*f^2 + e^2*x))/f^2))))/(2*e*(2*d*e - b*f^2)^2), x, 3),
+(1/(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + e^2/f^2*x^2))^2, -((2*(d^2*e - b*d*f^2 + a*e*f^2))/((2*d*e - b*f^2)^2*(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))) - (f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2))/((2*d*e - b*f^2)^2*(b*f^2 + 2*e*(e*x + f*sqrt(a + (x*(b*f^2 + e^2*x))/f^2)))) + (2*f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*log(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/(2*d*e - b*f^2)^3 - (2*f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*log(b*f^2 + 2*e*(e*x + f*sqrt(a + (x*(b*f^2 + e^2*x))/f^2))))/(2*d*e - b*f^2)^3, x, 3),
+(1/(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + e^2/f^2*x^2))^3, -((d^2*e - b*d*f^2 + a*e*f^2)/((2*d*e - b*f^2)^2*(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2))^2)) - (2*f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2))/((2*d*e - b*f^2)^3*(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2))) - (2*e*f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2))/((2*d*e - b*f^2)^3*(b*f^2 + 2*e*(e*x + f*sqrt(a + (x*(b*f^2 + e^2*x))/f^2)))) + (6*e*f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*log(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/(2*d*e - b*f^2)^4 - (6*e*f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*log(b*f^2 + 2*e*(e*x + f*sqrt(a + (x*(b*f^2 + e^2*x))/f^2))))/(2*d*e - b*f^2)^4, x, 3),
+
+((d + e*x + f*sqrt(a + b*x + e^2/f^2*x^2))^(5//2), (f^2*(2*d*e - b*f^2)*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/(4*e^4) + (f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2))^(3//2))/(12*e^3) + (d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2))^(7//2)/(7*e) - (f^2*(2*d*e - b*f^2)^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/(16*e^4*(b*f^2 + 2*e*(e*x + f*sqrt(a + (x*(b*f^2 + e^2*x))/f^2)))) - (5*f^2*(2*d*e - b*f^2)^(3//2)*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*atanh((sqrt(2)*sqrt(e)*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/sqrt(2*d*e - b*f^2)))/(16*sqrt(2)*e^(9//2)), x, 6),
+((d + e*x + f*sqrt(a + b*x + e^2/f^2*x^2))^(3//2), (f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/(4*e^3) + (d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2))^(5//2)/(5*e) - (f^2*(2*d*e - b*f^2)*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/(8*e^3*(b*f^2 + 2*e*(e*x + f*sqrt(a + (x*(b*f^2 + e^2*x))/f^2)))) - (3*f^2*sqrt(2*d*e - b*f^2)*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*atanh((sqrt(2)*sqrt(e)*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/sqrt(2*d*e - b*f^2)))/(8*sqrt(2)*e^(7//2)), x, 6),
+((d + e*x + f*sqrt(a + b*x + e^2/f^2*x^2))^(1//2), (d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2))^(3//2)/(3*e) - (f^2*(4*a - (b^2*f^2)/e^2)*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/(4*(b*f^2 + 2*e*(e*x + f*sqrt(a + (x*(b*f^2 + e^2*x))/f^2)))) - (f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*atanh((sqrt(2)*sqrt(e)*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/sqrt(2*d*e - b*f^2)))/(4*sqrt(2)*e^(5//2)*sqrt(2*d*e - b*f^2)), x, 6),
+(1/(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + e^2/f^2*x^2))^(1//2), sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2))/e - (f^2*(4*a*e - (b^2*f^2)/e)*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/(2*(2*d*e - b*f^2)*(b*f^2 + 2*e*(e*x + f*sqrt(a + (x*(b*f^2 + e^2*x))/f^2)))) + (f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*atanh((sqrt(2)*sqrt(e)*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/sqrt(2*d*e - b*f^2)))/(2*sqrt(2)*e^(3//2)*(2*d*e - b*f^2)^(3//2)), x, 5),
+(1/(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + e^2/f^2*x^2))^(3//2), -((4*(d^2*e - b*d*f^2 + a*e*f^2))/((2*d*e - b*f^2)^2*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))) - (f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/((2*d*e - b*f^2)^2*(b*f^2 + 2*e*(e*x + f*sqrt(a + (x*(b*f^2 + e^2*x))/f^2)))) + (3*f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*atanh((sqrt(2)*sqrt(e)*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/sqrt(2*d*e - b*f^2)))/(sqrt(2)*sqrt(e)*(2*d*e - b*f^2)^(5//2)), x, 5),
+(1/(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + e^2/f^2*x^2))^(5//2), -((4*(d^2*e - b*d*f^2 + a*e*f^2))/(3*(2*d*e - b*f^2)^2*(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2))^(3//2))) - (4*f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2))/((2*d*e - b*f^2)^3*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2))) - (2*e*f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/((2*d*e - b*f^2)^3*(b*f^2 + 2*e*(e*x + f*sqrt(a + (x*(b*f^2 + e^2*x))/f^2)))) + (5*sqrt(2)*sqrt(e)*f^2*(4*a*e^2 - b^2*f^2)*atanh((sqrt(2)*sqrt(e)*sqrt(d + e*x + f*sqrt(a + b*x + (e^2*x^2)/f^2)))/sqrt(2*d*e - b*f^2)))/(2*d*e - b*f^2)^(7//2), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+c x^2)^m (d x+e Sqrt[a+c x^2])^n
+
+
+((x + sqrt(a + x^2))^n*(a + x^2)^2, -((a^5*(x + sqrt(a + x^2))^(-5 + n))/(32*(5 - n))) - (5*a^4*(x + sqrt(a + x^2))^(-3 + n))/(32*(3 - n)) - (5*a^3*(x + sqrt(a + x^2))^(-1 + n))/(16*(1 - n)) + (5*a^2*(x + sqrt(a + x^2))^(1 + n))/(16*(1 + n)) + (5*a*(x + sqrt(a + x^2))^(3 + n))/(32*(3 + n)) + (x + sqrt(a + x^2))^(5 + n)/(32*(5 + n)), x, 3),
+((x + sqrt(a + x^2))^n*(a + x^2)^1, -((a^3*(x + sqrt(a + x^2))^(-3 + n))/(8*(3 - n))) - (3*a^2*(x + sqrt(a + x^2))^(-1 + n))/(8*(1 - n)) + (3*a*(x + sqrt(a + x^2))^(1 + n))/(8*(1 + n)) + (x + sqrt(a + x^2))^(3 + n)/(8*(3 + n)), x, 3),
+((x + sqrt(a + x^2))^n*(a + x^2)^0, -((a*(x + sqrt(a + x^2))^(-1 + n))/(2*(1 - n))) + (x + sqrt(a + x^2))^(1 + n)/(2*(1 + n)), x, 3),
+((x + sqrt(a + x^2))^n/(a + x^2)^1, (2*(x + sqrt(a + x^2))^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -((x + sqrt(a + x^2))^2/a)))/(a*(1 + n)), x, 2),
+((x + sqrt(a + x^2))^n/(a + x^2)^2, (8*(x + sqrt(a + x^2))^(3 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, (3 + n)/2, (5 + n)/2, -((x + sqrt(a + x^2))^2/a)))/(a^3*(3 + n)), x, 2),
+
+
+((x - sqrt(a + x^2))^n*(a + x^2)^2, -((a^5*(x - sqrt(a + x^2))^(-5 + n))/(32*(5 - n))) - (5*a^4*(x - sqrt(a + x^2))^(-3 + n))/(32*(3 - n)) - (5*a^3*(x - sqrt(a + x^2))^(-1 + n))/(16*(1 - n)) + (5*a^2*(x - sqrt(a + x^2))^(1 + n))/(16*(1 + n)) + (5*a*(x - sqrt(a + x^2))^(3 + n))/(32*(3 + n)) + (x - sqrt(a + x^2))^(5 + n)/(32*(5 + n)), x, 3),
+((x - sqrt(a + x^2))^n*(a + x^2)^1, -((a^3*(x - sqrt(a + x^2))^(-3 + n))/(8*(3 - n))) - (3*a^2*(x - sqrt(a + x^2))^(-1 + n))/(8*(1 - n)) + (3*a*(x - sqrt(a + x^2))^(1 + n))/(8*(1 + n)) + (x - sqrt(a + x^2))^(3 + n)/(8*(3 + n)), x, 3),
+((x - sqrt(a + x^2))^n*(a + x^2)^0, -((a*(x - sqrt(a + x^2))^(-1 + n))/(2*(1 - n))) + (x - sqrt(a + x^2))^(1 + n)/(2*(1 + n)), x, 3),
+((x - sqrt(a + x^2))^n/(a + x^2)^1, (2*(x - sqrt(a + x^2))^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -((x - sqrt(a + x^2))^2/a)))/(a*(1 + n)), x, 2),
+((x - sqrt(a + x^2))^n/(a + x^2)^2, (8*(x - sqrt(a + x^2))^(3 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, (3 + n)/2, (5 + n)/2, -((x - sqrt(a + x^2))^2/a)))/(a^3*(3 + n)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+c x^2)^(m/2) (d x+e Sqrt[a+c x^2])^n
+
+
+((x + sqrt(a + x^2))^n*(a + x^2)^(5//2), -((a^6*(x + sqrt(a + x^2))^(-6 + n))/(64*(6 - n))) - (3*a^5*(x + sqrt(a + x^2))^(-4 + n))/(32*(4 - n)) - (15*a^4*(x + sqrt(a + x^2))^(-2 + n))/(64*(2 - n)) + (5*a^3*(x + sqrt(a + x^2))^n)/(16*n) + (15*a^2*(x + sqrt(a + x^2))^(2 + n))/(64*(2 + n)) + (3*a*(x + sqrt(a + x^2))^(4 + n))/(32*(4 + n)) + (x + sqrt(a + x^2))^(6 + n)/(64*(6 + n)), x, 3),
+((x + sqrt(a + x^2))^n*(a + x^2)^(3//2), -((a^4*(x + sqrt(a + x^2))^(-4 + n))/(16*(4 - n))) - (a^3*(x + sqrt(a + x^2))^(-2 + n))/(4*(2 - n)) + (3*a^2*(x + sqrt(a + x^2))^n)/(8*n) + (a*(x + sqrt(a + x^2))^(2 + n))/(4*(2 + n)) + (x + sqrt(a + x^2))^(4 + n)/(16*(4 + n)), x, 3),
+((x + sqrt(a + x^2))^n*(a + x^2)^(1//2), -((a^2*(x + sqrt(a + x^2))^(-2 + n))/(4*(2 - n))) + (a*(x + sqrt(a + x^2))^n)/(2*n) + (x + sqrt(a + x^2))^(2 + n)/(4*(2 + n)), x, 3),
+((x + sqrt(a + x^2))^n/(a + x^2)^(1//2), (x + sqrt(a + x^2))^n/n, x, 2),
+((x + sqrt(a + x^2))^n/(a + x^2)^(3//2), (4*(x + sqrt(a + x^2))^(2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, -((x + sqrt(a + x^2))^2/a)))/(a^2*(2 + n)), x, 2),
+((x + sqrt(a + x^2))^n/(a + x^2)^(5//2), (16*(x + sqrt(a + x^2))^(4 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, (4 + n)/2, (6 + n)/2, -((x + sqrt(a + x^2))^2/a)))/(a^4*(4 + n)), x, 2),
+
+
+((x - sqrt(a + x^2))^n*(a + x^2)^(5//2), (a^6*(x - sqrt(a + x^2))^(-6 + n))/(64*(6 - n)) + (3*a^5*(x - sqrt(a + x^2))^(-4 + n))/(32*(4 - n)) + (15*a^4*(x - sqrt(a + x^2))^(-2 + n))/(64*(2 - n)) - (5*a^3*(x - sqrt(a + x^2))^n)/(16*n) - (15*a^2*(x - sqrt(a + x^2))^(2 + n))/(64*(2 + n)) - (3*a*(x - sqrt(a + x^2))^(4 + n))/(32*(4 + n)) - (x - sqrt(a + x^2))^(6 + n)/(64*(6 + n)), x, 3),
+((x - sqrt(a + x^2))^n*(a + x^2)^(3//2), (a^4*(x - sqrt(a + x^2))^(-4 + n))/(16*(4 - n)) + (a^3*(x - sqrt(a + x^2))^(-2 + n))/(4*(2 - n)) - (3*a^2*(x - sqrt(a + x^2))^n)/(8*n) - (a*(x - sqrt(a + x^2))^(2 + n))/(4*(2 + n)) - (x - sqrt(a + x^2))^(4 + n)/(16*(4 + n)), x, 3),
+((x - sqrt(a + x^2))^n*(a + x^2)^(1//2), (a^2*(x - sqrt(a + x^2))^(-2 + n))/(4*(2 - n)) - (a*(x - sqrt(a + x^2))^n)/(2*n) - (x - sqrt(a + x^2))^(2 + n)/(4*(2 + n)), x, 3),
+((x - sqrt(a + x^2))^n/(a + x^2)^(1//2), -((x - sqrt(a + x^2))^n/n), x, 2),
+((x - sqrt(a + x^2))^n/(a + x^2)^(3//2), -((4*(x - sqrt(a + x^2))^(2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, -((x - sqrt(a + x^2))^2/a)))/(a^2*(2 + n))), x, 2),
+((x - sqrt(a + x^2))^n/(a + x^2)^(5//2), -((16*(x - sqrt(a + x^2))^(4 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(4, (4 + n)/2, (6 + n)/2, -((x - sqrt(a + x^2))^2/a)))/(a^4*(4 + n))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (g+h x+i x^2)^m (d+e x+f Sqrt[a+b x+c x^2])^n
+
+
+((d + e*x + f*sqrt(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2))^n*(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2)^2, ((d^2 - a*f^2)^5*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(-5 + n))/(32*e*f^4*(5 - n)) - (5*(d^2 - a*f^2)^4*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(-3 + n))/(32*e*f^4*(3 - n)) + (5*(d^2 - a*f^2)^3*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(-1 + n))/(16*e*f^4*(1 - n)) + (5*(d^2 - a*f^2)^2*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(1 + n))/(16*e*f^4*(1 + n)) - (5*(d^2 - a*f^2)*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(3 + n))/(32*e*f^4*(3 + n)) + (d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(5 + n)/(32*e*f^4*(5 + n)), x, 4),
+((d + e*x + f*sqrt(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2))^n*(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2)^1, ((d^2 - a*f^2)^3*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(-3 + n))/(8*e*f^2*(3 - n)) - (3*(d^2 - a*f^2)^2*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(-1 + n))/(8*e*f^2*(1 - n)) - (3*(d^2 - a*f^2)*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(1 + n))/(8*e*f^2*(1 + n)) + (d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(3 + n)/(8*e*f^2*(3 + n)), x, 4),
+((d + e*x + f*sqrt(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2))^n*(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2)^0, ((d^2 - a*f^2)*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(-1 + n))/(2*e*(1 - n)) + (d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(1 + n)/(2*e*(1 + n)), x, 4),
+((d + e*x + f*sqrt(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2))^n/(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2)^1, -((2*f^2*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, (d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^2/(d^2 - a*f^2)))/(e*(d^2 - a*f^2)*(1 + n))), x, 2),
+((d + e*x + f*sqrt(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2))^n/(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2)^2, -((8*f^4*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(3 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(3, (3 + n)/2, (5 + n)/2, (d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^2/(d^2 - a*f^2)))/(e*(d^2 - a*f^2)^3*(3 + n))), x, 3),
+
+((d + e*x + f*sqrt((a*f^2 + e*x*(2*d + e*x))/f^2))^n*(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2)^0, ((d^2 - a*f^2)*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(-1 + n))/(2*e*(1 - n)) + (d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(1 + n)/(2*e*(1 + n)), x, 5),
+((d + e*x + f*sqrt((a*f^2 + e*x*(2*d + e*x))/f^2))^n/(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2)^1, -((2*f^2*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(1 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, (d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^2/(d^2 - a*f^2)))/(e*(d^2 - a*f^2)*(1 + n))), x, 3),
+
+
+((d + e*x + f*sqrt(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2))^n*(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2)^(3//2), -(((d^2 - a*f^2)^4*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(-4 + n))/(16*e*f^3*(4 - n))) + ((d^2 - a*f^2)^3*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(-2 + n))/(4*e*f^3*(2 - n)) + (3*(d^2 - a*f^2)^2*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^n)/(8*e*f^3*n) - ((d^2 - a*f^2)*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(2 + n))/(4*e*f^3*(2 + n)) + (d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(4 + n)/(16*e*f^3*(4 + n)), x, 4),
+((d + e*x + f*sqrt(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2))^n*(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2)^(1//2), -(((d^2 - a*f^2)^2*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(-2 + n))/(4*e*f*(2 - n))) - ((d^2 - a*f^2)*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^n)/(2*e*f*n) + (d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(2 + n)/(4*e*f*(2 + n)), x, 4),
+((d + e*x + f*sqrt(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2))^n/(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2)^(1//2), (f*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^n)/(e*n), x, 3),
+((d + e*x + f*sqrt(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2))^n/(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2)^(3//2), (4*f^3*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, (d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^2/(d^2 - a*f^2)))/(e*(d^2 - a*f^2)^2*(2 + n)), x, 3),
+
+((d + e*x + f*sqrt((a*f^2 + e*x*(2*d + e*x))/f^2))^n/((a*f^2 + e*x*(2*d + e*x))/f^2)^(1//2), (f*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^n)/(e*n), x, 4),
+
+
+((d + e*x + f*sqrt(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2))^n*(a*g + 2*d*e*g*x/f^2 + e^2*g*x^2/f^2)^(1//2), -(((d^2 - a*f^2)^2*sqrt(a*g + (2*d*e*g*x)/f^2 + (e^2*g*x^2)/f^2)*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(-2 + n))/(4*e*f*(2 - n)*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))) - ((d^2 - a*f^2)*sqrt(a*g + (2*d*e*g*x)/f^2 + (e^2*g*x^2)/f^2)*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^n)/(2*e*f*n*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2)) + (sqrt(a*g + (2*d*e*g*x)/f^2 + (e^2*g*x^2)/f^2)*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(2 + n))/(4*e*f*(2 + n)*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2)), x, 5),
+((d + e*x + f*sqrt(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2))^n/(a*g + 2*d*e*g*x/f^2 + e^2*g*x^2/f^2)^(1//2), (f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2)*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^n)/(e*n*sqrt(a*g + (2*d*e*g*x)/f^2 + (e^2*g*x^2)/f^2)), x, 4),
+((d + e*x + f*sqrt(a + 2*d*e*x/f^2 + e^2*x^2/f^2))^n/(a*g + 2*d*e*g*x/f^2 + e^2*g*x^2/f^2)^(3//2), (4*f^3*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2)*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^(2 + n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, (d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^2/(d^2 - a*f^2)))/(e*(d^2 - a*f^2)^2*g*(2 + n)*sqrt(a*g + (2*d*e*g*x)/f^2 + (e^2*g*x^2)/f^2)), x, 4),
+
+((d + e*x + f*sqrt((a*f^2 + e*x*(2*d + e*x))/f^2))^n/((a*f^2*g + e*g*x*(2*d + e*x))/f^2)^(1//2), (f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2)*(d + e*x + f*sqrt(a + (2*d*e*x)/f^2 + (e^2*x^2)/f^2))^n)/(e*n*sqrt(a*g + (2*d*e*g*x)/f^2 + (e^2*g*x^2)/f^2)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b x)^m (c+d x^2)^p (e+f x^2)^q
+
+
+(1/((a + b*x)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), -((b*atanh((sqrt(b^2*e + a^2*f)*sqrt(c + d*x^2))/(sqrt(b^2*c + a^2*d)*sqrt(e + f*x^2))))/(sqrt(b^2*c + a^2*d)*sqrt(b^2*e + a^2*f))) + (sqrt(-c)*sqrt(1 + (d*x^2)/c)*sqrt(1 + (f*x^2)/e)*SymbolicIntegration.elliptic_pi(-((b^2*c)/(a^2*d)), asin((sqrt(d)*x)/sqrt(-c)), (c*f)/(d*e)))/(a*sqrt(d)*sqrt(c + d*x^2)*sqrt(e + f*x^2)), x, 7),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m (A+B x^n) / (a+b x^(2 (m+1))+c x^n+d x^(2 n))
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (A+B x^n) / (a+b x^2+c x^n+d x^(2 n))
+
+
+((e - 2*f*x^2)/(e^2 + 4*d*f*x^2 + 4*e*f*x^2 + 4*f^2*x^4), -(log(e - 2*sqrt(-d)*sqrt(f)*x + 2*f*x^2)/(4*sqrt(-d)*sqrt(f))) + log(e + 2*sqrt(-d)*sqrt(f)*x + 2*f*x^2)/(4*sqrt(-d)*sqrt(f)), x, 4),
+((e - 2*f*x^2)/(e^2 - 4*d*f*x^2 + 4*e*f*x^2 + 4*f^2*x^4), -(log(e - 2*sqrt(d)*sqrt(f)*x + 2*f*x^2)/(4*sqrt(d)*sqrt(f))) + log(e + 2*sqrt(d)*sqrt(f)*x + 2*f*x^2)/(4*sqrt(d)*sqrt(f)), x, 4),
+
+((e - 4*f*x^3)/(e^2 + 4*d*f*x^2 + 4*e*f*x^3 + 4*f^2*x^6), atan((2*sqrt(d)*sqrt(f)*x)/(e + 2*f*x^3))/(2*sqrt(d)*sqrt(f)), x, 2),
+((e - 4*f*x^3)/(e^2 - 4*d*f*x^2 + 4*e*f*x^3 + 4*f^2*x^6), atanh((2*sqrt(d)*sqrt(f)*x)/(e + 2*f*x^3))/(2*sqrt(d)*sqrt(f)), x, 2),
+
+((e - 2*f*(-1 + n)*x^n)/(e^2 + 4*d*f*x^2 + 4*e*f*x^n + 4*f^2*x^(2*n)), atan((2*sqrt(d)*sqrt(f)*x)/(e + 2*f*x^n))/(2*sqrt(d)*sqrt(f)), x, 2),
+((e - 2*f*(-1 + n)*x^n)/(e^2 - 4*d*f*x^2 + 4*e*f*x^n + 4*f^2*x^(2*n)), atanh((2*sqrt(d)*sqrt(f)*x)/(e + 2*f*x^n))/(2*sqrt(d)*sqrt(f)), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (A+B x^n) / (a+b x^(2 (m+1))+c x^n+d x^(2 n))
+
+
+(x/(e^2 + 4*e*f*x^2 + 4*d*f*x^4 + 4*f^2*x^4), atan((sqrt(f)*(e + 2*(d + f)*x^2))/(sqrt(d)*e))/(4*sqrt(d)*e*sqrt(f)), x, 4),
+(x/(e^2 + 4*e*f*x^2 - 4*d*f*x^4 + 4*f^2*x^4), -(atanh((sqrt(f)*(e - 2*(d - f)*x^2))/(sqrt(d)*e))/(4*sqrt(d)*e*sqrt(f))), x, 4),
+
+((x^2*(3*e + 2*f*x^2))/(e^2 + 4*e*f*x^2 + 4*f^2*x^4 + 4*d*f*x^6), atan((2*sqrt(d)*sqrt(f)*x^3)/(e + 2*f*x^2))/(2*sqrt(d)*sqrt(f)), x, 2),
+((x^2*(3*e + 2*f*x^2))/(e^2 + 4*e*f*x^2 + 4*f^2*x^4 - 4*d*f*x^6), atanh((2*sqrt(d)*sqrt(f)*x^3)/(e + 2*f*x^2))/(2*sqrt(d)*sqrt(f)), x, 2),
+
+# {(x^m*(e*(1 + m) + 2*f*(-1 + m)*x^2))/(e^2 + 4*e*f*x^2 + 4*f^2*x^4 + 4*d*f*x^(2 + 2*m)), x, 2, ArcTan[(2*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x^(1 + m))/(e + 2*f*x^2)]/(2*Sqrt[d]*Sqrt[f]), ArcTan[(2*Sqrt[d]*Sqrt[f]*(1 - m^2)*x^(1 + m))/((1 - m)*(1 + m)*(e + 2*f*x^2))]/(2*Sqrt[d]*Sqrt[f])}
+# {(x^m*(e*(1 + m) + 2*f*(-1 + m)*x^2))/(e^2 + 4*e*f*x^2 + 4*f^2*x^4 - 4*d*f*x^(2 + 2*m)), x, 2, ArcTanh[(2*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x^(1 + m))/(e + 2*f*x^2)]/(2*Sqrt[d]*Sqrt[f]), ArcTanh[(2*Sqrt[d]*Sqrt[f]*(1 - m^2)*x^(1 + m))/((1 - m)*(1 + m)*(e + 2*f*x^2))]/(2*Sqrt[d]*Sqrt[f])}
+
+
+((x*(2*e - 2*f*x^3))/(e^2 + 4*e*f*x^3 + 4*d*f*x^4 + 4*f^2*x^6), atan((2*sqrt(d)*sqrt(f)*x^2)/(e + 2*f*x^3))/(2*sqrt(d)*sqrt(f)), x, 2),
+((x*(2*e - 2*f*x^3))/(e^2 + 4*e*f*x^3 - 4*d*f*x^4 + 4*f^2*x^6), atanh((2*sqrt(d)*sqrt(f)*x^2)/(e + 2*f*x^3))/(2*sqrt(d)*sqrt(f)), x, 2),
+
+(x^2/(e^2 + 4*e*f*x^3 + 4*d*f*x^6 + 4*f^2*x^6), atan((sqrt(f)*(e + 2*(d + f)*x^3))/(sqrt(d)*e))/(6*sqrt(d)*e*sqrt(f)), x, 4),
+(x^2/(e^2 + 4*e*f*x^3 - 4*d*f*x^6 + 4*f^2*x^6), -(atanh((sqrt(f)*(e - 2*(d - f)*x^3))/(sqrt(d)*e))/(6*sqrt(d)*e*sqrt(f))), x, 4),
+
+((x^m*(e*(1 + m) + 2*f*(-2 + m)*x^3))/(e^2 + 4*e*f*x^3 + 4*f^2*x^6 + 4*d*f*x^(2 + 2*m)), atan((2*sqrt(d)*sqrt(f)*x^(1 + m))/(e + 2*f*x^3))/(2*sqrt(d)*sqrt(f)), x, 2),
+((x^m*(e*(1 + m) + 2*f*(-2 + m)*x^3))/(e^2 + 4*e*f*x^3 + 4*f^2*x^6 - 4*d*f*x^(2 + 2*m)), atanh((2*sqrt(d)*sqrt(f)*x^(1 + m))/(e + 2*f*x^3))/(2*sqrt(d)*sqrt(f)), x, 2),
+
+
+((x^m*(e*(1 + m) + 2*f*(1 + m - n)*x^n))/(e^2 + 4*d*f*x^(2 + 2*m) + 4*e*f*x^n + 4*f^2*x^(2*n)), atan((2*sqrt(d)*sqrt(f)*x^(1 + m))/(e + 2*f*x^n))/(2*sqrt(d)*sqrt(f)), x, 2),
+((x^m*(e*(1 + m) + 2*f*(1 + m - n)*x^n))/(e^2 - 4*d*f*x^(2 + 2*m) + 4*e*f*x^n + 4*f^2*x^(2*n)), atanh((2*sqrt(d)*sqrt(f)*x^(1 + m))/(e + 2*f*x^n))/(2*sqrt(d)*sqrt(f)), x, 2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form u / (c+d x^n+e Sqrt[a+b x^n])
+
+
+(x^5/(a*c + b*c*x^2 + d*sqrt(a + b*x^2)), -(((2*a*c^2 - d^2)*x^2)/(2*b^2*c^3)) + (d*(2*a*c^2 - d^2)*sqrt(a + b*x^2))/(b^3*c^4) - (d*(a + b*x^2)^(3//2))/(3*b^3*c^2) + (a + b*x^2)^2/(4*b^3*c) + ((a*c^2 - d^2)^2*log(d + c*sqrt(a + b*x^2)))/(b^3*c^5), x, 4),
+(x^3/(a*c + b*c*x^2 + d*sqrt(a + b*x^2)), x^2/(2*b*c) - (d*sqrt(a + b*x^2))/(b^2*c^2) - ((a*c^2 - d^2)*log(d + c*sqrt(a + b*x^2)))/(b^2*c^3), x, 4),
+(x^1/(a*c + b*c*x^2 + d*sqrt(a + b*x^2)), log(d + c*sqrt(a + b*x^2))/(b*c), x, 3),
+(1/(x^1*(a*c + b*c*x^2 + d*sqrt(a + b*x^2))), (d*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*(a*c^2 - d^2)) + (c*log(x))/(a*c^2 - d^2) - (c*log(d + c*sqrt(a + b*x^2)))/(a*c^2 - d^2), x, 7),
+(1/(x^3*(a*c + b*c*x^2 + d*sqrt(a + b*x^2))), -((a*c - d*sqrt(a + b*x^2))/(2*a*(a*c^2 - d^2)*x^2)) - (b*d*(3*a*c^2 - d^2)*atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a)))/(2*a^(3//2)*(a*c^2 - d^2)^2) - (b*c^3*log(x))/(a*c^2 - d^2)^2 + (b*c^3*log(d + c*sqrt(a + b*x^2)))/(a*c^2 - d^2)^2, x, 8),
+
+(x^2/(a*c + b*c*x^2 + d*sqrt(a + b*x^2)), x/(b*c) - (sqrt(a*c^2 - d^2)*atan((sqrt(b)*c*x)/sqrt(a*c^2 - d^2)))/(b^(3//2)*c^2) + (sqrt(a*c^2 - d^2)*atan((sqrt(b)*d*x)/(sqrt(a*c^2 - d^2)*sqrt(a + b*x^2))))/(b^(3//2)*c^2) - (d*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a + b*x^2)))/(b^(3//2)*c^2), x, 8),
+(x^0/(a*c + b*c*x^2 + d*sqrt(a + b*x^2)), atan((sqrt(b)*c*x)/sqrt(a*c^2 - d^2))/(sqrt(b)*sqrt(a*c^2 - d^2)) - atan((sqrt(b)*d*x)/(sqrt(a*c^2 - d^2)*sqrt(a + b*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(a*c^2 - d^2)), x, 4),
+(1/(x^2*(a*c + b*c*x^2 + d*sqrt(a + b*x^2))), -(c/((a*c^2 - d^2)*x)) + (d*sqrt(a + b*x^2))/(a*(a*c^2 - d^2)*x) - (sqrt(b)*c^2*atan((sqrt(b)*c*x)/sqrt(a*c^2 - d^2)))/(a*c^2 - d^2)^(3//2) + (sqrt(b)*c^2*atan((sqrt(b)*d*x)/(sqrt(a*c^2 - d^2)*sqrt(a + b*x^2))))/(a*c^2 - d^2)^(3//2), x, 7),
+
+
+(x^8/(a*c + b*c*x^3 + d*sqrt(a + b*x^3)), -(((2*a*c^2 - d^2)*x^3)/(3*b^2*c^3)) + (2*d*(2*a*c^2 - d^2)*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^3*c^4) - (2*d*(a + b*x^3)^(3//2))/(9*b^3*c^2) + (a + b*x^3)^2/(6*b^3*c) + (2*(a*c^2 - d^2)^2*log(d + c*sqrt(a + b*x^3)))/(3*b^3*c^5), x, 4),
+(x^5/(a*c + b*c*x^3 + d*sqrt(a + b*x^3)), x^3/(3*b*c) - (2*d*sqrt(a + b*x^3))/(3*b^2*c^2) - (2*(a*c^2 - d^2)*log(d + c*sqrt(a + b*x^3)))/(3*b^2*c^3), x, 4),
+(x^2/(a*c + b*c*x^3 + d*sqrt(a + b*x^3)), (2*log(d + c*sqrt(a + b*x^3)))/(3*b*c), x, 3),
+(1/(x^1*(a*c + b*c*x^3 + d*sqrt(a + b*x^3))), (2*d*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*sqrt(a)*(a*c^2 - d^2)) + (c*log(x))/(a*c^2 - d^2) - (2*c*log(d + c*sqrt(a + b*x^3)))/(3*(a*c^2 - d^2)), x, 7),
+(1/(x^4*(a*c + b*c*x^3 + d*sqrt(a + b*x^3))), -((a*c - d*sqrt(a + b*x^3))/(3*a*(a*c^2 - d^2)*x^3)) - (b*d*(3*a*c^2 - d^2)*atanh(sqrt(a + b*x^3)/sqrt(a)))/(3*a^(3//2)*(a*c^2 - d^2)^2) - (b*c^3*log(x))/(a*c^2 - d^2)^2 + (2*b*c^3*log(d + c*sqrt(a + b*x^3)))/(3*(a*c^2 - d^2)^2), x, 8),
+
+(x^3/(a*c + b*c*x^3 + d*sqrt(a + b*x^3)), x/(b*c) - (d*x^4*sqrt(1 + (b*x^3)/a)*SymbolicIntegration.appell_f1(4//3, 1//2, 1, 7//3, -((b*x^3)/a), -((b*c^2*x^3)/(a*c^2 - d^2))))/(4*(a*c^2 - d^2)*sqrt(a + b*x^3)) + ((a*c^2 - d^2)^(1//3)*atan((1 - (2*b^(1//3)*c^(2//3)*x)/(a*c^2 - d^2)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(4//3)*c^(5//3)) - ((a*c^2 - d^2)^(1//3)*log((a*c^2 - d^2)^(1//3) + b^(1//3)*c^(2//3)*x))/(3*b^(4//3)*c^(5//3)) + ((a*c^2 - d^2)^(1//3)*log((a*c^2 - d^2)^(2//3) - b^(1//3)*c^(2//3)*(a*c^2 - d^2)^(1//3)*x + b^(2//3)*c^(4//3)*x^2))/(6*b^(4//3)*c^(5//3)), x, 10),
+(x^1/(a*c + b*c*x^3 + d*sqrt(a + b*x^3)), -((d*x^2*sqrt(1 + (b*x^3)/a)*SymbolicIntegration.appell_f1(2//3, 1//2, 1, 5//3, -((b*x^3)/a), -((b*c^2*x^3)/(a*c^2 - d^2))))/(2*(a*c^2 - d^2)*sqrt(a + b*x^3))) - atan((1 - (2*b^(1//3)*c^(2//3)*x)/(a*c^2 - d^2)^(1//3))/sqrt(3))/(sqrt(3)*b^(2//3)*c^(1//3)*(a*c^2 - d^2)^(1//3)) - log((a*c^2 - d^2)^(1//3) + b^(1//3)*c^(2//3)*x)/(3*b^(2//3)*c^(1//3)*(a*c^2 - d^2)^(1//3)) + log((a*c^2 - d^2)^(2//3) - b^(1//3)*c^(2//3)*(a*c^2 - d^2)^(1//3)*x + b^(2//3)*c^(4//3)*x^2)/(6*b^(2//3)*c^(1//3)*(a*c^2 - d^2)^(1//3)), x, 9),
+(x^0/(a*c + b*c*x^3 + d*sqrt(a + b*x^3)), -((d*x*sqrt(1 + (b*x^3)/a)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//3, 1//2, 1, 4//3, -((b*x^3)/a), -((b*c^2*x^3)/(a*c^2 - d^2))))/((a*c^2 - d^2)*sqrt(a + b*x^3))) - (c^(1//3)*atan((1 - (2*b^(1//3)*c^(2//3)*x)/(a*c^2 - d^2)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*b^(1//3)*(a*c^2 - d^2)^(2//3)) + (c^(1//3)*log((a*c^2 - d^2)^(1//3) + b^(1//3)*c^(2//3)*x))/(3*b^(1//3)*(a*c^2 - d^2)^(2//3)) - (c^(1//3)*log((a*c^2 - d^2)^(2//3) - b^(1//3)*c^(2//3)*(a*c^2 - d^2)^(1//3)*x + b^(2//3)*c^(4//3)*x^2))/(6*b^(1//3)*(a*c^2 - d^2)^(2//3)), x, 9),
+(1/(x^2*(a*c + b*c*x^3 + d*sqrt(a + b*x^3))), -(c/((a*c^2 - d^2)*x)) + (d*sqrt(1 + (b*x^3)/a)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(1//3), 1//2, 1, 2//3, -((b*x^3)/a), -((b*c^2*x^3)/(a*c^2 - d^2))))/((a*c^2 - d^2)*x*sqrt(a + b*x^3)) + (b^(1//3)*c^(5//3)*atan((1 - (2*b^(1//3)*c^(2//3)*x)/(a*c^2 - d^2)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*(a*c^2 - d^2)^(4//3)) + (b^(1//3)*c^(5//3)*log((a*c^2 - d^2)^(1//3) + b^(1//3)*c^(2//3)*x))/(3*(a*c^2 - d^2)^(4//3)) - (b^(1//3)*c^(5//3)*log((a*c^2 - d^2)^(2//3) - b^(1//3)*c^(2//3)*(a*c^2 - d^2)^(1//3)*x + b^(2//3)*c^(4//3)*x^2))/(6*(a*c^2 - d^2)^(4//3)), x, 10),
+(1/(x^3*(a*c + b*c*x^3 + d*sqrt(a + b*x^3))), -(c/(2*(a*c^2 - d^2)*x^2)) + (d*sqrt(1 + (b*x^3)/a)*SymbolicIntegration.appell_f1(-(2//3), 1//2, 1, 1//3, -((b*x^3)/a), -((b*c^2*x^3)/(a*c^2 - d^2))))/(2*(a*c^2 - d^2)*x^2*sqrt(a + b*x^3)) + (b^(2//3)*c^(7//3)*atan((1 - (2*b^(1//3)*c^(2//3)*x)/(a*c^2 - d^2)^(1//3))/sqrt(3)))/(sqrt(3)*(a*c^2 - d^2)^(5//3)) - (b^(2//3)*c^(7//3)*log((a*c^2 - d^2)^(1//3) + b^(1//3)*c^(2//3)*x))/(3*(a*c^2 - d^2)^(5//3)) + (b^(2//3)*c^(7//3)*log((a*c^2 - d^2)^(2//3) - b^(1//3)*c^(2//3)*(a*c^2 - d^2)^(1//3)*x + b^(2//3)*c^(4//3)*x^2))/(6*(a*c^2 - d^2)^(5//3)), x, 10),
+
+
+(1/(a*c + b*c*x^n + d*sqrt(a + b*x^n)), -((d*x*sqrt(1 + (b*x^n)/a)*SymbolicIntegration.appell_f1(1/n, 1//2, 1, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a), -((b*c^2*x^n)/(a*c^2 - d^2))))/((a*c^2 - d^2)*sqrt(a + b*x^n))) + (c*x*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*c^2*x^n)/(a*c^2 - d^2))))/(a*c^2 - d^2), x, 4),
+(x^m/(a*c + b*c*x^n + d*sqrt(a + b*x^n)), -((d*x^(1 + m)*sqrt(1 + (b*x^n)/a)*SymbolicIntegration.appell_f1((1 + m)/n, 1//2, 1, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a), -((b*c^2*x^n)/(a*c^2 - d^2))))/((a*c^2 - d^2)*(1 + m)*sqrt(a + b*x^n))) + (c*x^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*c^2*x^n)/(a*c^2 - d^2))))/((a*c^2 - d^2)*(1 + m)), x, 4),
+(x^(n-1)/(a*c + b*c*x^n + d*sqrt(a + b*x^n)), (2*log(d + c*sqrt(a + b*x^n)))/(b*c*n), x, 3),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form u (a x^m+b x^n+...)^p
+
+
+(1/(sqrt(x) + 4*x^(3//2)), atan(2*sqrt(x)), x, 3),
+(1/(sqrt(x) - x^(5//2)), atan(sqrt(x)) + atanh(sqrt(x)), x, 5),
+(1/(-x^(1//4) + sqrt(x)), 4*x^(1//4) + 2*sqrt(x) + 4*log(1 - x^(1//4)), x, 4),
+(1/(x^(1//3) + sqrt(x)), 6*x^(1//6) - 3*x^(1//3) + 2*sqrt(x) - 6*log(1 + x^(1//6)), x, 4),
+(1/(x^(1//4) + sqrt(x)), -4*x^(1//4) + 2*sqrt(x) + 4*log(1 + x^(1//4)), x, 4),
+(1/(-x^(1//3) + x^(2//3)), 3*x^(1//3) + 3*log(1 - x^(1//3)), x, 4),
+(1/(x^(-1//4) + sqrt(x)), 2*sqrt(x) + (4*atan((1 - 2*x^(1//4))/sqrt(3)))/sqrt(3) + (4//3)*log(1 + x^(1//4)) - (2//3)*log(1 - x^(1//4) + sqrt(x)), x, 9),
+(1/(x^(1//4) + x^(1//3)), -12*x^(1//12) + 6*x^(1//6) - 4*x^(1//4) + 3*x^(1//3) - (12*x^(5//12))/5 + 2*sqrt(x) - (12*x^(7//12))/7 + (3*x^(2//3))/2 + 12*log(1 + x^(1//12)), x, 4),
+(1/(x^(-1//3) + x^(-1//4)), 12*x^(1//12) - 6*x^(1//6) + 4*x^(1//4) - 3*x^(1//3) + (12*x^(5//12))/5 - 2*sqrt(x) + (12*x^(7//12))/7 - (3*x^(2//3))/2 + (4*x^(3//4))/3 - (6*x^(5//6))/5 + (12*x^(11//12))/11 - x + (12*x^(13//12))/13 - (6*x^(7//6))/7 + (4*x^(5//4))/5 - 12*log(1 + x^(1//12)), x, 4),
+(1/(-x^(-1//3) + sqrt(x)), 2*sqrt(x) + (3//5)*sqrt(2*(5 - sqrt(5)))*atan((1 - sqrt(5) + 4*x^(1//6))/sqrt(2*(5 + sqrt(5)))) - (3//5)*sqrt(2*(5 + sqrt(5)))*atan((1//2)*sqrt((1//10)*(5 + sqrt(5)))*(1 + sqrt(5) + 4*x^(1//6))) + (6//5)*log(1 - x^(1//6)) - (3//10)*(1 + sqrt(5))*log(2 + x^(1//6) - sqrt(5)*x^(1//6) + 2*x^(1//3)) - (3//10)*(1 - sqrt(5))*log(2 + x^(1//6) + sqrt(5)*x^(1//6) + 2*x^(1//3)), x, 9),
+
+
+(sqrt(x)/(x + x^2), 2*atan(sqrt(x)), x, 3),
+(x/(4*sqrt(x) + x), -8*sqrt(x) + x + 32*log(4 + sqrt(x)), x, 4),
+(sqrt(x)/(x^(1//3) + x), 2*sqrt(x) + (3*atan(1 - sqrt(2)*x^(1//6)))/sqrt(2) - (3*atan(1 + sqrt(2)*x^(1//6)))/sqrt(2) - (3*log(1 - sqrt(2)*x^(1//6) + x^(1//3)))/(2*sqrt(2)) + (3*log(1 + sqrt(2)*x^(1//6) + x^(1//3)))/(2*sqrt(2)), x, 13),
+(x^(1//3)/(x^(1//4) + sqrt(x)), -12*x^(1//12) + 3*x^(1//3) - (12*x^(7//12))/7 + (6*x^(5//6))/5 - 4*sqrt(3)*atan((1 - 2*x^(1//12))/sqrt(3)) + 6*log(1 + x^(1//12)) - 2*log(1 + x^(1//4)), x, 10),
+(sqrt(x)/(x^(1//4) + x^(1//3)), -12*x^(1//12) + 6*x^(1//6) - 4*x^(1//4) + 3*x^(1//3) - (12*x^(5//12))/5 + 2*sqrt(x) - (12*x^(7//12))/7 + (3*x^(2//3))/2 - (4*x^(3//4))/3 + (6*x^(5//6))/5 - (12*x^(11//12))/11 + x - (12*x^(13//12))/13 + (6*x^(7//6))/7 + 12*log(1 + x^(1//12)), x, 4),
+(sqrt(x)/(-x^(-1//3) + sqrt(x)), 6*x^(1//6) + x - (3//5)*sqrt(2*(5 + sqrt(5)))*atan((1 - sqrt(5) + 4*x^(1//6))/sqrt(2*(5 + sqrt(5)))) - (3//5)*sqrt(2*(5 - sqrt(5)))*atan((1//2)*sqrt((1//10)*(5 + sqrt(5)))*(1 + sqrt(5) + 4*x^(1//6))) + (6//5)*log(1 - x^(1//6)) - (3//10)*(1 - sqrt(5))*log(2 + x^(1//6) - sqrt(5)*x^(1//6) + 2*x^(1//3)) - (3//10)*(1 + sqrt(5))*log(2 + x^(1//6) + sqrt(5)*x^(1//6) + 2*x^(1//3)), x, 10),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form u (a + b x^n)^p when n<0
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form u (a + b/x)^p
+
+
+(x^m*sqrt(b - a/x)/sqrt(a - b*x), (2*sqrt(b - a/x)*x^(1 + m))/((1 + 2*m)*sqrt(a - b*x)), x, 3),
+
+(x^2*sqrt(b - a/x)/sqrt(a - b*x), (2*sqrt(b - a/x)*x^3)/(5*sqrt(a - b*x)), x, 3),
+(x^1*sqrt(b - a/x)/sqrt(a - b*x), (2*sqrt(b - a/x)*x^2)/(3*sqrt(a - b*x)), x, 3),
+(x^0*sqrt(b - a/x)/sqrt(a - b*x), (2*sqrt(b - a/x)*x)/sqrt(a - b*x), x, 3),
+(sqrt(b - a/x)/(x^1*sqrt(a - b*x)), -((2*sqrt(b - a/x))/sqrt(a - b*x)), x, 3),
+(sqrt(b - a/x)/(x^2*sqrt(a - b*x)), -((2*sqrt(b - a/x))/(3*x*sqrt(a - b*x))), x, 3),
+
+
+((a + b/x)^m*(c + d*x)^n, ((a + b/x)^m*x*(c + d*x)^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1 - m, -m, -n, 2 - m, -((a*x)/b), -((d*x)/c)))/((1 + (a*x)/b)^m*(1 + d*x/c)^n*(1 - m)), x, 4),
+
+((a + b/x)^m*(c + d*x)^2, (d*(6*a*c - b*d*(2 - m))*(a + b/x)^(1 + m)*x^2)/(6*a^2) + (d^2*(a + b/x)^(1 + m)*x^3)/(3*a) - (b*(6*a^2*c^2 - 6*a*b*c*d*(1 - m) + b^2*d^2*(2 - 3*m + m^2))*(a + b/x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, 1 + b/(a*x)))/(6*a^4*(1 + m)), x, 5),
+((a + b/x)^m*(c + d*x)^1, (d*(a + b/x)^(1 + m)*x^2)/(2*a) - (b*(2*a*c - b*d*(1 - m))*(a + b/x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, 1 + b/(a*x)))/(2*a^3*(1 + m)), x, 4),
+((a + b/x)^m*(c + d*x)^0, -((b*(a + b/x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, 1 + b/(a*x)))/(a^2*(1 + m))), x, 2),
+((a + b/x)^m/(c + d*x)^1, -((c*(a + b/x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, (c*(a + b/x))/(a*c - b*d)))/(d*(a*c - b*d)*(1 + m))) + ((a + b/x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + m, 2 + m, 1 + b/(a*x)))/(a*d*(1 + m)), x, 5),
+((a + b/x)^m/(c + d*x)^2, -((b*(a + b/x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, (c*(a + b/x))/(a*c - b*d)))/((a*c - b*d)^2*(1 + m))), x, 3),
+((a + b/x)^m/(c + d*x)^3, -((d*(a + b/x)^(1 + m))/(2*c*(a*c - b*d)*(d + c/x)^2)) - (b*(2*a*c - b*d*(1 + m))*(a + b/x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, (c*(a + b/x))/(a*c - b*d)))/(2*c*(a*c - b*d)^3*(1 + m)), x, 4),
+((a + b/x)^m/(c + d*x)^4, (d^2*(a + b/x)^(1 + m))/(3*c^2*(a*c - b*d)*(d + c/x)^3) - (d*(6*a*c - b*d*(4 + m))*(a + b/x)^(1 + m))/(6*c^2*(a*c - b*d)^2*(d + c/x)^2) - (b*(6*a^2*c^2 - 6*a*b*c*d*(1 + m) + b^2*d^2*(2 + 3*m + m^2))*(a + b/x)^(1 + m)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(2, 1 + m, 2 + m, (c*(a + b/x))/(a*c - b*d)))/(6*c^2*(a*c - b*d)^4*(1 + m)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form u (a + b/x^2)^p
+
+
+(x^m*sqrt(b - a/x^2)/sqrt(a - b*x^2), (sqrt(b - a/x^2)*x^(1 + m))/(m*sqrt(a - b*x^2)), x, 3),
+
+(x^2*sqrt(b - a/x^2)/sqrt(a - b*x^2), (sqrt(b - a/x^2)*x^3)/(2*sqrt(a - b*x^2)), x, 3),
+(x^1*sqrt(b - a/x^2)/sqrt(a - b*x^2), (sqrt(b - a/x^2)*x^2)/sqrt(a - b*x^2), x, 3),
+(x^0*sqrt(b - a/x^2)/sqrt(a - b*x^2), (sqrt(b - a/x^2)*x*log(x))/sqrt(a - b*x^2), x, 3),
+(sqrt(b - a/x^2)/(x^1*sqrt(a - b*x^2)), -(sqrt(b - a/x^2)/sqrt(a - b*x^2)), x, 3),
+(sqrt(b - a/x^2)/(x^2*sqrt(a - b*x^2)), -(sqrt(b - a/x^2)/(2*x*sqrt(a - b*x^2))), x, 3),
+
+
+((c + d*x)^(3//2)/sqrt(a + b/x^2), (2*c*sqrt(c + d*x)*(b + a*x^2))/(5*a*sqrt(a + b/x^2)*x) + (2*(c + d*x)^(3//2)*(b + a*x^2))/(5*a*sqrt(a + b/x^2)*x) + (2*sqrt(b)*(a*c^2 - 3*b*d^2)*sqrt(c + d*x)*sqrt(1 + (a*x^2)/b)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(sqrt(1 - (sqrt(-a)*x)/sqrt(b))/sqrt(2)), -((2*sqrt(-a)*sqrt(b)*d)/(a*c - sqrt(-a)*sqrt(b)*d))))/(5*(-a)^(3//2)*d*sqrt(a + b/x^2)*x*sqrt((a*(c + d*x))/(a*c - sqrt(-a)*sqrt(b)*d))) - (2*sqrt(b)*c*(a*c^2 + b*d^2)*sqrt((a*(c + d*x))/(a*c - sqrt(-a)*sqrt(b)*d))*sqrt(1 + (a*x^2)/b)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(sqrt(1 - (sqrt(-a)*x)/sqrt(b))/sqrt(2)), -((2*sqrt(-a)*sqrt(b)*d)/(a*c - sqrt(-a)*sqrt(b)*d))))/(5*(-a)^(3//2)*d*sqrt(a + b/x^2)*x*sqrt(c + d*x)), x, 8),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form y'[x] F[y[x]]
+
+
+((-1 + x^3)/(-4*x + x^4)^(2//3), (3//4)*(-4*x + x^4)^(1//3), x, 1),
+((2 - x^2)*(6*x - x^3)^(1//4), (4//15)*(6*x - x^3)^(5//4), x, 1),
+((1 + x^4)*sqrt(5*x + x^5), (2//15)*(5*x + x^5)^(3//2), x, 1),
+((2 + 5*x^4)*sqrt(2*x + x^5), (2//3)*(2*x + x^5)^(3//2), x, 1),
+
+((x + 3*x^2)/sqrt(x^2 + 2*x^3), sqrt(x^2 + 2*x^3), x, 1),
+
+
+((2 + (1 - 5*x)^(1//3))/(3 + (1 - 5*x)^(1//3)), (-(9//5))*(1 - 5*x)^(1//3) + (3//10)*(1 - 5*x)^(2//3) + x + (27//5)*log(3 + (1 - 5*x)^(1//3)), x, 4),
+
+
+((1 + sqrt(x))/(-1 + sqrt(x)), 4*sqrt(x) + x + 4*log(1 - sqrt(x)), x, 3),
+((1 - sqrt(2 + 3*x))/(1 + sqrt(2 + 3*x)), - x + (4//3)*sqrt(2 + 3*x) - (4//3)*log(1 + sqrt(2 + 3*x)), x, 4),
+((-1 + sqrt(a + b*x))/(1 + sqrt(a + b*x)), x - (4*sqrt(a + b*x))/b + (4*log(1 + sqrt(a + b*x)))/b, x, 4),
+
+
+# {(a + b*n*x^(n-1))/(a*x + b*x^n), x, 5, Log[a*x + b*x^n], n*Log[x] + Log[b + a*x^(1 - n)]}
+((a + b*n*x^(-1 + n))/(x^n*(b + a*x^(1 - n))), n*log(x) + log(b + a*x^(1 - n)), x, 4),
+
+
+(x^1*(a + b*x + c*x^2)^m*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)^n*(2*a*d + (3*b*d + 3*a*e + b*d*m + a*e*n)*x + (4*c*d + 4*b*e + 4*a*f + 2*c*d*m + b*e*m + b*e*n + 2*a*f*n)*x^2 + (5*c*e + 5*b*f + 5*a*g + 2*c*e*m + b*f*m + c*e*n + 2*b*f*n + 3*a*g*n)*x^3 + (6*c*f + 6*b*g + 2*c*f*m + b*g*m + 2*c*f*n + 3*b*g*n)*x^4 + c*g*(7 + 2*m + 3*n)*x^5), x^2*(a + b*x + c*x^2)^(1 + m)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)^(1 + n), x, 1),
+(x^0*(a + b*x + c*x^2)^m*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)^n*(  a*d + (2*b*d + 2*a*e + b*d*m + a*e*n)*x + (3*c*d + 3*b*e + 3*a*f + 2*c*d*m + b*e*m + b*e*n + 2*a*f*n)*x^2 + (4*c*e + 4*b*f + 4*a*g + 2*c*e*m + b*f*m + c*e*n + 2*b*f*n + 3*a*g*n)*x^3 + (5*c*f + 5*b*g + 2*c*f*m + b*g*m + 2*c*f*n + 3*b*g*n)*x^4 + c*g*(6 + 2*m + 3*n)*x^5), x^1*(a + b*x + c*x^2)^(1 + m)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)^(1 + n), x, 1),
+((a + b*x + c*x^2)^m*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)^n*(b*d + a*e + b*d*m + a*e*n + (2*c*d + 2*b*e + 2*a*f + 2*c*d*m + b*e*m + b*e*n + 2*a*f*n)*x + (3*c*e + 3*b*f + 3*a*g + 2*c*e*m + b*f*m + c*e*n + 2*b*f*n + 3*a*g*n)*x^2 + (4*c*f + 4*b*g + 2*c*f*m + b*g*m + 2*c*f*n + 3*b*g*n)*x^3 + c*g*(5 + 2*m + 3*n)*x^4), (a + b*x + c*x^2)^(1 + m)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)^(1 + n), x, 1),
+((a + b*x + c*x^2)^m*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)^n/x^2*((-a)*d + (b*d*m + a*e*n)*x + (c*d + b*e + a*f + 2*c*d*m + b*e*m + b*e*n + 2*a*f*n)*x^2 + (2*c*e + 2*b*f + 2*a*g + 2*c*e*m + b*f*m + c*e*n + 2*b*f*n + 3*a*g*n)*x^3 + (3*c*f + 3*b*g + 2*c*f*m + b*g*m + 2*c*f*n + 3*b*g*n)*x^4 + c*g*(4 + 2*m + 3*n)*x^5), ((a + b*x + c*x^2)^(1 + m)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)^(1 + n))/x, x, -2),
+((a + b*x + c*x^2)^m*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)^n/x^3*(-2*a*d + ((-b)*d - a*e + b*d*m + a*e*n)*x + (2*c*d*m + b*e*m + b*e*n + 2*a*f*n)*x^2 + (c*e + b*f + a*g + 2*c*e*m + b*f*m + c*e*n + 2*b*f*n + 3*a*g*n)*x^3 + (2*c*f + 2*b*g + 2*c*f*m + b*g*m + 2*c*f*n + 3*b*g*n)*x^4 + c*g*(3 + 2*m + 3*n)*x^5), ((a + b*x + c*x^2)^(1 + m)*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3)^(1 + n))/x^2, x, -2),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b (c+d x)^n)^p
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a+b (c+d x)^(1/2))^p
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p>0
+
+
+(x^3*(a + b*sqrt(c + d*x))^2, -((a^2*c^3*x)/d^3) - (4*a*b*c^3*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^4) + (c^2*(3*a^2 - b^2*c)*(c + d*x)^2)/(2*d^4) + (12*a*b*c^2*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^4) - (c*(a^2 - b^2*c)*(c + d*x)^3)/d^4 - (12*a*b*c*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^4) + ((a^2 - 3*b^2*c)*(c + d*x)^4)/(4*d^4) + (4*a*b*(c + d*x)^(9//2))/(9*d^4) + (b^2*(c + d*x)^5)/(5*d^4), x, 4),
+(x^2*(a + b*sqrt(c + d*x))^2, (a^2*c^2*x)/d^2 + (4*a*b*c^2*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^3) - (c*(2*a^2 - b^2*c)*(c + d*x)^2)/(2*d^3) - (8*a*b*c*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^3) + ((a^2 - 2*b^2*c)*(c + d*x)^3)/(3*d^3) + (4*a*b*(c + d*x)^(7//2))/(7*d^3) + (b^2*(c + d*x)^4)/(4*d^3), x, 4),
+(x^1*(a + b*sqrt(c + d*x))^2, -((a^2*c*x)/d) - (4*a*b*c*(c + d*x)^(3//2))/(3*d^2) + ((a^2 - b^2*c)*(c + d*x)^2)/(2*d^2) + (4*a*b*(c + d*x)^(5//2))/(5*d^2) + (b^2*(c + d*x)^3)/(3*d^2), x, 4),
+(x^0*(a + b*sqrt(c + d*x))^2, a^2*x + (4*a*b*(c + d*x)^(3//2))/(3*d) + (b^2*(c + d*x)^2)/(2*d), x, 4),
+((a + b*sqrt(c + d*x))^2/x^1, b^2*d*x + 4*a*b*sqrt(c + d*x) - 4*a*b*sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)) + (a^2 + b^2*c)*log(x), x, 7),
+((a + b*sqrt(c + d*x))^2/x^2, -((a + b*sqrt(c + d*x))^2/x) - (2*a*b*d*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/sqrt(c) + b^2*d*log(x), x, 6),
+((a + b*sqrt(c + d*x))^2/x^3, -((b*d*(b*c + a*sqrt(c + d*x)))/(2*c*x)) - (a + b*sqrt(c + d*x))^2/(2*x^2) + (a*b*d^2*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/(2*c^(3//2)), x, 6),
+
+
+(x^3*sqrt(a + b*sqrt(c + d*x)), -((4*a*(a^2 - b^2*c)^3*(a + b*sqrt(c + d*x))^(3//2))/(3*b^8*d^4)) + (4*(a^2 - b^2*c)^2*(7*a^2 - b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(5//2))/(5*b^8*d^4) - (12*a*(7*a^2 - 3*b^2*c)*(a^2 - b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(7//2))/(7*b^8*d^4) + (4*(35*a^4 - 30*a^2*b^2*c + 3*b^4*c^2)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(9//2))/(9*b^8*d^4) - (20*a*(7*a^2 - 3*b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(11//2))/(11*b^8*d^4) + (12*(7*a^2 - b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(13//2))/(13*b^8*d^4) - (28*a*(a + b*sqrt(c + d*x))^(15//2))/(15*b^8*d^4) + (4*(a + b*sqrt(c + d*x))^(17//2))/(17*b^8*d^4), x, 4),
+(x^2*sqrt(a + b*sqrt(c + d*x)), -((4*a*(a^2 - b^2*c)^2*(a + b*sqrt(c + d*x))^(3//2))/(3*b^6*d^3)) + (4*(5*a^4 - 6*a^2*b^2*c + b^4*c^2)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(5//2))/(5*b^6*d^3) - (8*a*(5*a^2 - 3*b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(7//2))/(7*b^6*d^3) + (8*(5*a^2 - b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(9//2))/(9*b^6*d^3) - (20*a*(a + b*sqrt(c + d*x))^(11//2))/(11*b^6*d^3) + (4*(a + b*sqrt(c + d*x))^(13//2))/(13*b^6*d^3), x, 4),
+(x^1*sqrt(a + b*sqrt(c + d*x)), -((4*a*(a^2 - b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(3//2))/(3*b^4*d^2)) + (4*(3*a^2 - b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(5//2))/(5*b^4*d^2) - (12*a*(a + b*sqrt(c + d*x))^(7//2))/(7*b^4*d^2) + (4*(a + b*sqrt(c + d*x))^(9//2))/(9*b^4*d^2), x, 4),
+(x^0*sqrt(a + b*sqrt(c + d*x)), -((4*a*(a + b*sqrt(c + d*x))^(3//2))/(3*b^2*d)) + (4*(a + b*sqrt(c + d*x))^(5//2))/(5*b^2*d), x, 4),
+(sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))/x^1, 4*sqrt(a + b*sqrt(c + d*x)) - 2*sqrt(a - b*sqrt(c))*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))/sqrt(a - b*sqrt(c))) - 2*sqrt(a + b*sqrt(c))*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))/sqrt(a + b*sqrt(c))), x, 7),
+(sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))/x^2, -(sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))/x) + (b*d*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))/sqrt(a - b*sqrt(c))))/(2*sqrt(a - b*sqrt(c))*sqrt(c)) - (b*d*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))/sqrt(a + b*sqrt(c))))/(2*sqrt(a + b*sqrt(c))*sqrt(c)), x, 8),
+(sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))/x^3, -(sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))/(2*x^2)) + (b*d*(b*c - a*sqrt(c + d*x))*sqrt(a + b*sqrt(c + d*x)))/(8*c*(a^2 - b^2*c)*x) - (b*(2*a - 3*b*sqrt(c))*d^2*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))/sqrt(a - b*sqrt(c))))/(16*(a - b*sqrt(c))^(3//2)*c^(3//2)) + (b*(2*a + 3*b*sqrt(c))*d^2*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))/sqrt(a + b*sqrt(c))))/(16*(a + b*sqrt(c))^(3//2)*c^(3//2)), x, 9),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p<0
+
+
+(x^3/(a + b*sqrt(c + d*x)), -((a*(a^4 - 3*a^2*b^2*c + 3*b^4*c^2)*x)/(b^6*d^3)) + (2*(a^2 - b^2*c)^3*sqrt(c + d*x))/(b^7*d^4) + (2*(a^4 - 3*a^2*b^2*c + 3*b^4*c^2)*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^5*d^4) - (a*(a^2 - 3*b^2*c)*(c + d*x)^2)/(2*b^4*d^4) + (2*(a^2 - 3*b^2*c)*(c + d*x)^(5//2))/(5*b^3*d^4) - (a*(c + d*x)^3)/(3*b^2*d^4) + (2*(c + d*x)^(7//2))/(7*b*d^4) - (2*a*(a^2 - b^2*c)^3*log(a + b*sqrt(c + d*x)))/(b^8*d^4), x, 4),
+(x^2/(a + b*sqrt(c + d*x)), -((a*(a^2 - 2*b^2*c)*x)/(b^4*d^2)) + (2*(a^2 - b^2*c)^2*sqrt(c + d*x))/(b^5*d^3) + (2*(a^2 - 2*b^2*c)*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^3*d^3) - (a*(c + d*x)^2)/(2*b^2*d^3) + (2*(c + d*x)^(5//2))/(5*b*d^3) - (2*a*(a^2 - b^2*c)^2*log(a + b*sqrt(c + d*x)))/(b^6*d^3), x, 4),
+(x^1/(a + b*sqrt(c + d*x)), -((a*x)/(b^2*d)) + (2*(a^2 - b^2*c)*sqrt(c + d*x))/(b^3*d^2) + (2*(c + d*x)^(3//2))/(3*b*d^2) - (2*a*(a^2 - b^2*c)*log(a + b*sqrt(c + d*x)))/(b^4*d^2), x, 4),
+(x^0/(a + b*sqrt(c + d*x)), (2*sqrt(c + d*x))/(b*d) - (2*a*log(a + b*sqrt(c + d*x)))/(b^2*d), x, 4),
+(1/(x^1*(a + b*sqrt(c + d*x))), (2*b*sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/(a^2 - b^2*c) + (a*log(x))/(a^2 - b^2*c) - (2*a*log(a + b*sqrt(c + d*x)))/(a^2 - b^2*c), x, 7),
+(1/(x^2*(a + b*sqrt(c + d*x))), -((a - b*sqrt(c + d*x))/((a^2 - b^2*c)*x)) + (b*(a^2 + b^2*c)*d*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/(sqrt(c)*(a^2 - b^2*c)^2) + (a*b^2*d*log(x))/(a^2 - b^2*c)^2 - (2*a*b^2*d*log(a + b*sqrt(c + d*x)))/(a^2 - b^2*c)^2, x, 8),
+(1/(x^3*(a + b*sqrt(c + d*x))), -((a - b*sqrt(c + d*x))/(2*(a^2 - b^2*c)*x^2)) - (b*d*(4*a*b*c - (a^2 + 3*b^2*c)*sqrt(c + d*x)))/(4*c*(a^2 - b^2*c)^2*x) - (b*(a^4 - 6*a^2*b^2*c - 3*b^4*c^2)*d^2*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/(4*c^(3//2)*(a^2 - b^2*c)^3) + (a*b^4*d^2*log(x))/(a^2 - b^2*c)^3 - (2*a*b^4*d^2*log(a + b*sqrt(c + d*x)))/(a^2 - b^2*c)^3, x, 9),
+
+
+(x^3/(a + b*sqrt(c + d*x))^2, ((5*a^4 - 9*a^2*b^2*c + 3*b^4*c^2)*x)/(b^6*d^3) - (12*a*(a^2 - b^2*c)^2*sqrt(c + d*x))/(b^7*d^4) - (4*a*(2*a^2 - 3*b^2*c)*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^5*d^4) + (3*(a^2 - b^2*c)*(c + d*x)^2)/(2*b^4*d^4) - (4*a*(c + d*x)^(5//2))/(5*b^3*d^4) + (c + d*x)^3/(3*b^2*d^4) + (2*a*(a^2 - b^2*c)^3)/(b^8*d^4*(a + b*sqrt(c + d*x))) + (2*(a^2 - b^2*c)^2*(7*a^2 - b^2*c)*log(a + b*sqrt(c + d*x)))/(b^8*d^4), x, 4),
+(x^2/(a + b*sqrt(c + d*x))^2, ((3*a^2 - 2*b^2*c)*x)/(b^4*d^2) - (8*a*(a^2 - b^2*c)*sqrt(c + d*x))/(b^5*d^3) - (4*a*(c + d*x)^(3//2))/(3*b^3*d^3) + (c + d*x)^2/(2*b^2*d^3) + (2*a*(a^2 - b^2*c)^2)/(b^6*d^3*(a + b*sqrt(c + d*x))) + (2*(5*a^4 - 6*a^2*b^2*c + b^4*c^2)*log(a + b*sqrt(c + d*x)))/(b^6*d^3), x, 4),
+(x^1/(a + b*sqrt(c + d*x))^2, x/(b^2*d) - (4*a*sqrt(c + d*x))/(b^3*d^2) + (2*a*(a^2 - b^2*c))/(b^4*d^2*(a + b*sqrt(c + d*x))) + (2*(3*a^2 - b^2*c)*log(a + b*sqrt(c + d*x)))/(b^4*d^2), x, 4),
+(x^0/(a + b*sqrt(c + d*x))^2, (2*a)/(b^2*d*(a + b*sqrt(c + d*x))) + (2*log(a + b*sqrt(c + d*x)))/(b^2*d), x, 4),
+(1/(x^1*(a + b*sqrt(c + d*x))^2), (2*a)/((a^2 - b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))) + (4*a*b*sqrt(c)*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/(a^2 - b^2*c)^2 + ((a^2 + b^2*c)*log(x))/(a^2 - b^2*c)^2 - (2*(a^2 + b^2*c)*log(a + b*sqrt(c + d*x)))/(a^2 - b^2*c)^2, x, 7),
+(1/(x^2*(a + b*sqrt(c + d*x))^2), (4*a*b^2*d)/((a^2 - b^2*c)^2*(a + b*sqrt(c + d*x))) - (a - b*sqrt(c + d*x))/((a^2 - b^2*c)*x*(a + b*sqrt(c + d*x))) + (2*a*b*(a^2 + 3*b^2*c)*d*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/(sqrt(c)*(a^2 - b^2*c)^3) + (b^2*(3*a^2 + b^2*c)*d*log(x))/(a^2 - b^2*c)^3 - (2*b^2*(3*a^2 + b^2*c)*d*log(a + b*sqrt(c + d*x)))/(a^2 - b^2*c)^3, x, 8),
+(1/(x^3*(a + b*sqrt(c + d*x))^2), (a*b^2*(a^2 + 11*b^2*c)*d^2)/(2*c*(a^2 - b^2*c)^3*(a + b*sqrt(c + d*x))) - (a - b*sqrt(c + d*x))/(2*(a^2 - b^2*c)*x^2*(a + b*sqrt(c + d*x))) - (b*d*(3*a*b*c - (a^2 + 2*b^2*c)*sqrt(c + d*x)))/(2*c*(a^2 - b^2*c)^2*x*(a + b*sqrt(c + d*x))) - (a*b*(a^4 - 10*a^2*b^2*c - 15*b^4*c^2)*d^2*atanh(sqrt(c + d*x)/sqrt(c)))/(2*c^(3//2)*(a^2 - b^2*c)^4) + (b^4*(5*a^2 + b^2*c)*d^2*log(x))/(a^2 - b^2*c)^4 - (2*b^4*(5*a^2 + b^2*c)*d^2*log(a + b*sqrt(c + d*x)))/(a^2 - b^2*c)^4, x, 9),
+
+
+(x^3/sqrt(a + b*sqrt(c + d*x)), -((4*a*(a^2 - b^2*c)^3*sqrt(a + b*sqrt(c + d*x)))/(b^8*d^4)) + (4*(a^2 - b^2*c)^2*(7*a^2 - b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(3//2))/(3*b^8*d^4) - (12*a*(7*a^2 - 3*b^2*c)*(a^2 - b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(5//2))/(5*b^8*d^4) + (4*(35*a^4 - 30*a^2*b^2*c + 3*b^4*c^2)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(7//2))/(7*b^8*d^4) - (20*a*(7*a^2 - 3*b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(9//2))/(9*b^8*d^4) + (12*(7*a^2 - b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(11//2))/(11*b^8*d^4) - (28*a*(a + b*sqrt(c + d*x))^(13//2))/(13*b^8*d^4) + (4*(a + b*sqrt(c + d*x))^(15//2))/(15*b^8*d^4), x, 4),
+(x^2/sqrt(a + b*sqrt(c + d*x)), -((4*a*(a^2 - b^2*c)^2*sqrt(a + b*sqrt(c + d*x)))/(b^6*d^3)) + (4*(5*a^4 - 6*a^2*b^2*c + b^4*c^2)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(3//2))/(3*b^6*d^3) - (8*a*(5*a^2 - 3*b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(5//2))/(5*b^6*d^3) + (8*(5*a^2 - b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(7//2))/(7*b^6*d^3) - (20*a*(a + b*sqrt(c + d*x))^(9//2))/(9*b^6*d^3) + (4*(a + b*sqrt(c + d*x))^(11//2))/(11*b^6*d^3), x, 4),
+(x^1/sqrt(a + b*sqrt(c + d*x)), -((4*a*(a^2 - b^2*c)*sqrt(a + b*sqrt(c + d*x)))/(b^4*d^2)) + (4*(3*a^2 - b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(3//2))/(3*b^4*d^2) - (12*a*(a + b*sqrt(c + d*x))^(5//2))/(5*b^4*d^2) + (4*(a + b*sqrt(c + d*x))^(7//2))/(7*b^4*d^2), x, 4),
+(x^0/sqrt(a + b*sqrt(c + d*x)), -((4*a*sqrt(a + b*sqrt(c + d*x)))/(b^2*d)) + (4*(a + b*sqrt(c + d*x))^(3//2))/(3*b^2*d), x, 4),
+(1/(x^1*sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))), -((2*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))/sqrt(a - b*sqrt(c))))/sqrt(a - b*sqrt(c))) - (2*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))/sqrt(a + b*sqrt(c))))/sqrt(a + b*sqrt(c)), x, 6),
+(1/(x^2*sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))), -(((a - b*sqrt(c + d*x))*sqrt(a + b*sqrt(c + d*x)))/((a^2 - b^2*c)*x)) - (b*d*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))/sqrt(a - b*sqrt(c))))/(2*(a - b*sqrt(c))^(3//2)*sqrt(c)) + (b*d*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))/sqrt(a + b*sqrt(c))))/(2*(a + b*sqrt(c))^(3//2)*sqrt(c)), x, 7),
+(1/(x^3*sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))), -(((a - b*sqrt(c + d*x))*sqrt(a + b*sqrt(c + d*x)))/(2*(a^2 - b^2*c)*x^2)) - (b*d*sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))*(6*a*b*c - (a^2 + 5*b^2*c)*sqrt(c + d*x)))/(8*c*(a^2 - b^2*c)^2*x) + (b*(2*a - 5*b*sqrt(c))*d^2*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))/sqrt(a - b*sqrt(c))))/(16*(a - b*sqrt(c))^(5//2)*c^(3//2)) - (b*(2*a + 5*b*sqrt(c))*d^2*atanh(sqrt(a + b*sqrt(c + d*x))/sqrt(a + b*sqrt(c))))/(16*(a + b*sqrt(c))^(5//2)*c^(3//2)), x, 8),
+
+
+# ::Subsubsection::Closed::
+# p symbolic
+
+
+(x^3*(a + b*sqrt(c + d*x))^p, -((2*a*(a^2 - b^2*c)^3*(a + b*sqrt(c + d*x))^(1 + p))/(b^8*d^4*(1 + p))) + (2*(a^2 - b^2*c)^2*(7*a^2 - b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(2 + p))/(b^8*d^4*(2 + p)) - (6*a*(7*a^2 - 3*b^2*c)*(a^2 - b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(3 + p))/(b^8*d^4*(3 + p)) + (2*(35*a^4 - 30*a^2*b^2*c + 3*b^4*c^2)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(4 + p))/(b^8*d^4*(4 + p)) - (10*a*(7*a^2 - 3*b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(5 + p))/(b^8*d^4*(5 + p)) + (6*(7*a^2 - b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(6 + p))/(b^8*d^4*(6 + p)) - (14*a*(a + b*sqrt(c + d*x))^(7 + p))/(b^8*d^4*(7 + p)) + (2*(a + b*sqrt(c + d*x))^(8 + p))/(b^8*d^4*(8 + p)), x, 4),
+(x^2*(a + b*sqrt(c + d*x))^p, -((2*a*(a^2 - b^2*c)^2*(a + b*sqrt(c + d*x))^(1 + p))/(b^6*d^3*(1 + p))) + (2*(5*a^4 - 6*a^2*b^2*c + b^4*c^2)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(2 + p))/(b^6*d^3*(2 + p)) - (4*a*(5*a^2 - 3*b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(3 + p))/(b^6*d^3*(3 + p)) + (4*(5*a^2 - b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(4 + p))/(b^6*d^3*(4 + p)) - (10*a*(a + b*sqrt(c + d*x))^(5 + p))/(b^6*d^3*(5 + p)) + (2*(a + b*sqrt(c + d*x))^(6 + p))/(b^6*d^3*(6 + p)), x, 4),
+(x^1*(a + b*sqrt(c + d*x))^p, -((2*a*(a^2 - b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(1 + p))/(b^4*d^2*(1 + p))) + (2*(3*a^2 - b^2*c)*(a + b*sqrt(c + d*x))^(2 + p))/(b^4*d^2*(2 + p)) - (6*a*(a + b*sqrt(c + d*x))^(3 + p))/(b^4*d^2*(3 + p)) + (2*(a + b*sqrt(c + d*x))^(4 + p))/(b^4*d^2*(4 + p)), x, 4),
+(x^0*(a + b*sqrt(c + d*x))^p, -((2*a*(a + b*sqrt(c + d*x))^(1 + p))/(b^2*d*(1 + p))) + (2*(a + b*sqrt(c + d*x))^(2 + p))/(b^2*d*(2 + p)), x, 4),
+((a + b*sqrt(c + d*x))^p/x^1, -(((a + b*sqrt(c + d*x))^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (a + b*sqrt(c + d*x))/(a - b*sqrt(c))))/((a - b*sqrt(c))*(1 + p))) - ((a + b*sqrt(c + d*x))^(1 + p)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1 + p, 2 + p, (a + b*sqrt(c + d*x))/(a + b*sqrt(c))))/((a + b*sqrt(c))*(1 + p)), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form x^m F[(c x)^n]
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a + b (c x)^n)^(p/2) / x
+
+
+((a + b*(c*x)^n)^(5//2)/x, (2*a^2*sqrt(a + b*(c*x)^n))/n + (2*a*(a + b*(c*x)^n)^(3//2))/(3*n) + (2*(a + b*(c*x)^n)^(5//2))/(5*n) - (2*a^(5//2)*atanh(sqrt(a + b*(c*x)^n)/sqrt(a)))/n, x, 8),
+((a + b*(c*x)^n)^(3//2)/x, (2*a*sqrt(a + b*(c*x)^n))/n + (2*(a + b*(c*x)^n)^(3//2))/(3*n) - (2*a^(3//2)*atanh(sqrt(a + b*(c*x)^n)/sqrt(a)))/n, x, 7),
+((a + b*(c*x)^n)^(1//2)/x, (2*sqrt(a + b*(c*x)^n))/n - (2*sqrt(a)*atanh(sqrt(a + b*(c*x)^n)/sqrt(a)))/n, x, 6),
+(1/(x*(a + b*(c*x)^n)^(1//2)), -((2*atanh(sqrt(a + b*(c*x)^n)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*n)), x, 5),
+(1/(x*(a + b*(c*x)^n)^(3//2)), 2/(a*n*sqrt(a + b*(c*x)^n)) - (2*atanh(sqrt(a + b*(c*x)^n)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*n), x, 6),
+(1/(x*(a + b*(c*x)^n)^(5//2)), 2/(3*a*n*(a + b*(c*x)^n)^(3//2)) + 2/(a^2*n*sqrt(a + b*(c*x)^n)) - (2*atanh(sqrt(a + b*(c*x)^n)/sqrt(a)))/(a^(5//2)*n), x, 7),
+
+((-a + b*(c*x)^n)^(5//2)/x, (2*a^2*sqrt(-a + b*(c*x)^n))/n - (2*a*(-a + b*(c*x)^n)^(3//2))/(3*n) + (2*(-a + b*(c*x)^n)^(5//2))/(5*n) - (2*a^(5//2)*atan(sqrt(-a + b*(c*x)^n)/sqrt(a)))/n, x, 8),
+((-a + b*(c*x)^n)^(3//2)/x, -((2*a*sqrt(-a + b*(c*x)^n))/n) + (2*(-a + b*(c*x)^n)^(3//2))/(3*n) + (2*a^(3//2)*atan(sqrt(-a + b*(c*x)^n)/sqrt(a)))/n, x, 7),
+((-a + b*(c*x)^n)^(1//2)/x, (2*sqrt(-a + b*(c*x)^n))/n - (2*sqrt(a)*atan(sqrt(-a + b*(c*x)^n)/sqrt(a)))/n, x, 6),
+(1/(x*(-a + b*(c*x)^n)^(1//2)), (2*atan(sqrt(-a + b*(c*x)^n)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*n), x, 5),
+(1/(x*(-a + b*(c*x)^n)^(3//2)), -(2/(a*n*sqrt(-a + b*(c*x)^n))) - (2*atan(sqrt(-a + b*(c*x)^n)/sqrt(a)))/(a^(3//2)*n), x, 6),
+(1/(x*(-a + b*(c*x)^n)^(5//2)), -(2/(3*a*n*(-a + b*(c*x)^n)^(3//2))) + 2/(a^2*n*sqrt(-a + b*(c*x)^n)) + (2*atan(sqrt(-a + b*(c*x)^n)/sqrt(a)))/(a^(5//2)*n), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# F[x^n] / x
+
+
+(1/(x*sqrt(a + b*x)), -((2*atanh(sqrt(a + b*x)/sqrt(a)))/sqrt(a)), x, 2),
+(1/(x*sqrt(a + b*(c*x)^m)), -((2*atanh(sqrt(a + b*(c*x)^m)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*m)), x, 5),
+(1/(x*sqrt(a + b*(c*(d*x)^m)^n)), -((2*atanh(sqrt(a + b*(c*(d*x)^m)^n)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*m*n)), x, 6),
+(1/(x*sqrt(a + b*(c*(d*(e*x)^m)^n)^p)), -((2*atanh(sqrt(a + b*(c*(d*(e*x)^m)^n)^p)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*m*n*p)), x, 7),
+(1/(x*sqrt(a + b*(c*(d*(e*(f*x)^m)^n)^p)^q)), -((2*atanh(sqrt(a + b*(c*(d*(e*(f*x)^m)^n)^p)^q)/sqrt(a)))/(sqrt(a)*m*n*p*q)), x, 8),
+
+
+(sqrt(-1 + 1/x^2)*(-1 + x^2)^3/x, (35//16)*sqrt(-1 + 1/x^2) - (35//48)*(-1 + 1/x^2)^(3//2)*x^2 - (7//24)*(-1 + 1/x^2)^(5//2)*x^4 - (1//6)*(-1 + 1/x^2)^(7//2)*x^6 - (35//16)*atan(sqrt(-1 + 1/x^2)), x, 8),
+(sqrt(-1 + 1/x^2)*(-1 + x^2)^2/x, (-(15//8))*sqrt(-1 + 1/x^2) + (5//8)*(-1 + 1/x^2)^(3//2)*x^2 + (1//4)*(-1 + 1/x^2)^(5//2)*x^4 + (15//8)*atan(sqrt(-1 + 1/x^2)), x, 7),
+(sqrt(-1 + 1/x^2)*(-1 + x^2)^1/x, (3//2)*sqrt(-1 + 1/x^2) - (1//2)*(-1 + 1/x^2)^(3//2)*x^2 - (3//2)*atan(sqrt(-1 + 1/x^2)), x, 6),
+(sqrt(-1 + 1/x^2)/(x*(-1 + x^2)^1), sqrt(-1 + 1/x^2), x, 2),
+(sqrt(-1 + 1/x^2)/(x*(-1 + x^2)^2), 1/sqrt(-1 + 1/x^2) - sqrt(-1 + 1/x^2), x, 4),
+(sqrt(-1 + 1/x^2)/(x*(-1 + x^2)^3), -(1/(3*(-1 + 1/x^2)^(3//2))) - 2/sqrt(-1 + 1/x^2) + sqrt(-1 + 1/x^2), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m F[x^n]
+
+
+(x*sqrt(1 + 1/x^2)/(1 + x^2)^2, 1/sqrt(1 + x^(-2)), x, 2),
+(1/(sqrt(1 + x^(-2))*x*(1 + x^2)), 1/sqrt(1 + x^(-2)), x, 2),
+
+(x/(a + b*x^2 + sqrt(a + b*x^2)), log(1 + sqrt(a + b*x^2))/b, x, 3),
+(x/(x^2 - (x^2)^(1//3)), (3//4)*log(1 - (x^2)^(2//3)), x, 3),
+(x*(1 + x^2)^3*sqrt(2 + 2*x^2 + x^4), (-(1//15))*(2 + 2*x^2 + x^4)^(3//2) + (1//10)*(1 + x^2)^2*(2 + 2*x^2 + x^4)^(3//2), x, 3),
+
+
+(x^5*sqrt(1 - x^3)*(1 + x^9)^2, (-(8//9))*(1 - x^3)^(3//2) + (32//15)*(1 - x^3)^(5//2) - (22//7)*(1 - x^3)^(7//2) + (86//27)*(1 - x^3)^(9//2) - (74//33)*(1 - x^3)^(11//2) + (14//13)*(1 - x^3)^(13//2) - (14//45)*(1 - x^3)^(15//2) + (2//51)*(1 - x^3)^(17//2), x, 3),
+
+
+# Note: Use the substitution u=x^2 instead of algebraic expansion. 
+(x/(a + b*x^2)^(3//2) + x/((1 + x^2)*sqrt(a + b*x^2)), -(1/(b*sqrt(a + b*x^2))) - atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a - b))/sqrt(a - b), x, 5),
+((x*(1 + a + x^2 + b*x^2))/((1 + x^2)*(a + b*x^2)^(3//2)), -(1/(b*sqrt(a + b*x^2))) - atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a - b))/sqrt(a - b), x, 5),
+
+(x/(a + b*x^2)^(5//2) + x/(a + b*x^2)^(3//2) + x/((1 + x^2)*sqrt(a + b*x^2)), -(1/(3*b*(a + b*x^2)^(3//2))) - 1/(b*sqrt(a + b*x^2)) - atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a - b))/sqrt(a - b), x, 6),
+((x*(1 + a + a^2 + x^2 + a*x^2 + b*x^2 + 2*a*b*x^2 + b*x^4 + b^2*x^4))/((1 + x^2)*(a + b*x^2)^(5//2)), -(1/(3*b*(a + b*x^2)^(3//2))) - 1/(b*sqrt(a + b*x^2)) - atanh(sqrt(a + b*x^2)/sqrt(a - b))/sqrt(a - b), x, 9),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form F[(a + b x)^(1/n), x]
+
+
+(1/sqrt(sqrt(x) + x), 2*sqrt(sqrt(x) + x) - 2*atanh(sqrt(x)/sqrt(sqrt(x) + x)), x, 4),
+(sqrt(sqrt(x) + x), (-(1//4))*sqrt(sqrt(x) + x) + (1//6)*sqrt(x)*sqrt(sqrt(x) + x) + (2//3)*x*sqrt(sqrt(x) + x) + (1//4)*atanh(sqrt(x)/sqrt(sqrt(x) + x)), x, 6),
+
+
+(sqrt(-x)*(sqrt(-x) + x), (2//5)*(-x)^(5//2) - x^2//2, x, 2),
+((5 + x^(1//4))/(-6 + x), 4*x^(1//4) - 2*6^(1//4)*atan(x^(1//4)/6^(1//4)) - 2*6^(1//4)*atanh(x^(1//4)/6^(1//4)) + 5*log(6 - x), x, 8),
+
+
+(1/(4 - x + sqrt(4 - x)), -2*log(1 + sqrt(4 - x)), x, 2),
+(1/(1 + x - sqrt(2 + x)), (1//5)*(5 - sqrt(5))*log(1 - sqrt(5) - 2*sqrt(2 + x)) + (1//5)*(5 + sqrt(5))*log(1 + sqrt(5) - 2*sqrt(2 + x)), x, 4),
+(1/(4 + x + sqrt(1 + x)), (-2*atan((1 + 2*sqrt(1 + x))/sqrt(11)))/sqrt(11) + log(4 + x + sqrt(1 + x)), x, 5),
+
+(1/(x - sqrt(1 + x)), (1//5)*(5 - sqrt(5))*log(1 - sqrt(5) - 2*sqrt(1 + x)) + (1//5)*(5 + sqrt(5))*log(1 + sqrt(5) - 2*sqrt(1 + x)), x, 4),
+(1/(x - sqrt(2 + x)), (4//3)*log(2 - sqrt(2 + x)) + (2//3)*log(1 + sqrt(2 + x)), x, 4),
+(1/(x - sqrt(1 - x)), (1//5)*(5 - sqrt(5))*log(1 - sqrt(5) + 2*sqrt(1 - x)) + (1//5)*(5 + sqrt(5))*log(1 + sqrt(5) + 2*sqrt(1 - x)), x, 4),
+
+
+(sqrt(1 + x + sqrt(x)), (-(1//4))*(1 + 2*sqrt(x))*sqrt(1 + sqrt(x) + x) + (2//3)*(1 + sqrt(x) + x)^(3//2) - (3//8)*asinh((1 + 2*sqrt(x))/sqrt(3)), x, 5),
+(sqrt(1 + x + sqrt(1 + x)), (2//3)*(1 + x + sqrt(1 + x))^(3//2) - (1//4)*sqrt(1 + x + sqrt(1 + x))*(1 + 2*sqrt(1 + x)) + (1//4)*atanh(sqrt(1 + x)/sqrt(1 + x + sqrt(1 + x))), x, 6),
+
+(sqrt(x + sqrt(-1 + x)), (-(1//4))*(1 + 2*sqrt(-1 + x))*sqrt(sqrt(-1 + x) + x) + (2//3)*(sqrt(-1 + x) + x)^(3//2) - (3//8)*asinh((1 + 2*sqrt(-1 + x))/sqrt(3)), x, 5),
+(sqrt(2*x + sqrt(-1 + 2*x)), (1//3)*(2*x + sqrt(-1 + 2*x))^(3//2) - (1//8)*sqrt(2*x + sqrt(-1 + 2*x))*(1 + 2*sqrt(-1 + 2*x)) - (3//16)*asinh((1 + 2*sqrt(-1 + 2*x))/sqrt(3)), x, 5),
+(sqrt(3*x + sqrt(-7 + 8*x)), -(((4 + 3*sqrt(-7 + 8*x))*sqrt(21 - 3*(7 - 8*x) + 8*sqrt(-7 + 8*x)))/(36*sqrt(2))) + (21 - 3*(7 - 8*x) + 8*sqrt(-7 + 8*x))^(3//2)/(72*sqrt(2)) - (47*asinh((4 + 3*sqrt(-7 + 8*x))/sqrt(47)))/(36*sqrt(6)), x, 5),
+
+(1/sqrt(x + sqrt(1 + x)), 2*sqrt(x + sqrt(1 + x)) - atanh((1 + 2*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(x + sqrt(1 + x)))), x, 4),
+
+
+((1 + x)/(4 + x + sqrt(-9 + 6*x)), x - 2*sqrt(3)*sqrt(-3 + 2*x) + 4*sqrt(6)*atan((3 + sqrt(-9 + 6*x))/(2*sqrt(6))) + 3*log(4 + x + sqrt(3)*sqrt(-3 + 2*x)), x, 7),
+((12 - x)/(4 + x + sqrt(-9 + 6*x)), -x + 2*sqrt(3)*sqrt(-3 + 2*x) - 21*sqrt(3//2)*atan((3 + sqrt(-9 + 6*x))/(2*sqrt(6))) + 10*log(4 + x + sqrt(3)*sqrt(-3 + 2*x)), x, 7),
+((-1 + x^3)/(sqrt(x)*(1 + x^2)), (2*x^(3//2))/3 + sqrt(2)*atan(1 - sqrt(2)*sqrt(x)) - sqrt(2)*atan(1 + sqrt(2)*sqrt(x)), x, 8),
+(1/(2*sqrt(-1 + x)*sqrt(-sqrt(-1 + x) + x)), -asinh((1 - 2*sqrt(-1 + x))/sqrt(3)), x, 4),
+# {(1 + x^(7/2))/(1 - x^2), x, 10, -2*Sqrt[x] - (2*x^(5/2))/5 + ArcTan[Sqrt[x]] - Log[1 - Sqrt[x]] + (1/2)*Log[1 + x], -2*Sqrt[x] - (2*x^(5/2))/5 + ArcTan[Sqrt[x]] + ArcTanh[Sqrt[x]] + ArcTanh[x]}
+
+((4 + 2*x)/((-1 + 2*x)^(1//3) + sqrt(-1 + 2*x)), -x + 18*(-1 + 2*x)^(1//6) - 9*(-1 + 2*x)^(1//3) + 6*sqrt(-1 + 2*x) - (3//4)*(-1 + 2*x)^(2//3) + (3//5)*(-1 + 2*x)^(5//6) + (3//7)*(-1 + 2*x)^(7//6) - (3//8)*(-1 + 2*x)^(4//3) + (1//3)*(-1 + 2*x)^(3//2) - 18*log(1 + (-1 + 2*x)^(1//6)), x, 3),
+
+
+# Integrands of the form Sqrt[a+b*Sqrt[c+d*Sqrt[e+f*x]]]
+(1/sqrt(2 + sqrt(1 + sqrt(x))), -48*sqrt(2 + sqrt(1 + sqrt(x))) + (88//3)*(2 + sqrt(1 + sqrt(x)))^(3//2) - (48//5)*(2 + sqrt(1 + sqrt(x)))^(5//2) + (8//7)*(2 + sqrt(1 + sqrt(x)))^(7//2), x, 5),
+(sqrt(2 + sqrt(4 + sqrt(x))), (64//5)*(2 + sqrt(4 + sqrt(x)))^(5//2) - (48//7)*(2 + sqrt(4 + sqrt(x)))^(7//2) + (8//9)*(2 + sqrt(4 + sqrt(x)))^(9//2), x, 5),
+(sqrt(2 - sqrt(4 + sqrt(-9 + 5*x))), (64//25)*(2 - sqrt(4 + sqrt(-9 + 5*x)))^(5//2) - (48//35)*(2 - sqrt(4 + sqrt(-9 + 5*x)))^(7//2) + (8//45)*(2 - sqrt(4 + sqrt(-9 + 5*x)))^(9//2), x, 5),
+(1/sqrt(2 + sqrt(1 + sqrt(x))), -48*sqrt(2 + sqrt(1 + sqrt(x))) + (88//3)*(2 + sqrt(1 + sqrt(x)))^(3//2) - (48//5)*(2 + sqrt(1 + sqrt(x)))^(5//2) + (8//7)*(2 + sqrt(1 + sqrt(x)))^(7//2), x, 5),
+
+# Integrands of the form Sqrt[a+b*Sqrt[c+d*Sqrt[e+f*Sqrt[g+h*x]]]]
+(sqrt(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + sqrt(x)))), (-(32//5))*(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + sqrt(x))))^(5//2) + (48//7)*(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + sqrt(x))))^(7//2) + (112//9)*(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + sqrt(x))))^(9//2) - (320//11)*(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + sqrt(x))))^(11//2) + (288//13)*(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + sqrt(x))))^(13//2) - (112//15)*(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + sqrt(x))))^(15//2) + (16//17)*(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + sqrt(x))))^(17//2), x, 6),
+(sqrt(2 + sqrt(3 + sqrt(-1 + 2*sqrt(x)))), (-(16//3))*(2 + sqrt(3 + sqrt(-1 + 2*sqrt(x))))^(3//2) + (136//5)*(2 + sqrt(3 + sqrt(-1 + 2*sqrt(x))))^(5//2) - (480//7)*(2 + sqrt(3 + sqrt(-1 + 2*sqrt(x))))^(7//2) + (304//3)*(2 + sqrt(3 + sqrt(-1 + 2*sqrt(x))))^(9//2) - (760//11)*(2 + sqrt(3 + sqrt(-1 + 2*sqrt(x))))^(11//2) + (300//13)*(2 + sqrt(3 + sqrt(-1 + 2*sqrt(x))))^(13//2) - (56//15)*(2 + sqrt(3 + sqrt(-1 + 2*sqrt(x))))^(15//2) + (4//17)*(2 + sqrt(3 + sqrt(-1 + 2*sqrt(x))))^(17//2), x, 5),
+
+(x*sqrt(1 + sqrt(1 + sqrt(-1 + x))), (16//5)*(1 + sqrt(1 + sqrt(-1 + x)))^(5//2) - (24//7)*(1 + sqrt(1 + sqrt(-1 + x)))^(7//2) + 8*(1 + sqrt(1 + sqrt(-1 + x)))^(9//2) - (160//11)*(1 + sqrt(1 + sqrt(-1 + x)))^(11//2) + (144//13)*(1 + sqrt(1 + sqrt(-1 + x)))^(13//2) - (56//15)*(1 + sqrt(1 + sqrt(-1 + x)))^(15//2) + (8//17)*(1 + sqrt(1 + sqrt(-1 + x)))^(17//2), x, 5),
+
+
+(1/(sqrt(-1 + x)*sqrt(-sqrt(-1 + x) + x)), -2*asinh((1 - 2*sqrt(-1 + x))/sqrt(3)), x, 3),
+# {1/Sqrt[1 + x + Sqrt[-1 + 2*x]], x, 4, 2*Sqrt[1 + x + Sqrt[-1 + 2*x]] - Sqrt[2]*ArcSinh[(1 + Sqrt[-1 + 2*x])/Sqrt[2]], Sqrt[2]*Sqrt[2 + 2*x + 2*Sqrt[-1 + 2*x]] - Sqrt[2]*ArcSinh[(1 + Sqrt[-1 + 2*x])/Sqrt[2]]}
+((q + p*x)/(sqrt(b + a*x)*(f + sqrt(b + a*x))), (p*x)/a - (2*f*p*sqrt(b + a*x))/a^2 - (2*(b*p - f^2*p - a*q)*log(f + sqrt(b + a*x)))/a^2, x, 3),
+(sqrt(1 - sqrt(x) - x), (-(1//4))*(1 + 2*sqrt(x))*sqrt(1 - sqrt(x) - x) - (2//3)*(1 - sqrt(x) - x)^(3//2) - (5//8)*asin((1 + 2*sqrt(x))/sqrt(5)), x, 5),
+
+((9 + 6*sqrt(x) + x)/(4*sqrt(x) + x), 4*sqrt(x) + x + 2*log(4 + sqrt(x)), x, 4),
+((6 - 8*x^(7//2))/(5 - 9*sqrt(x)), -((56145628*sqrt(x))/43046721) + (125000*x)/4782969 + (50000*x^(3//2))/1594323 + (2500*x^2)/59049 + (400*x^(5//2))/6561 + (200*x^3)/2187 + (80*x^(7//2))/567 + (2*x^4)/9 - (280728140*log(5 - 9*sqrt(x)))/387420489, x, 8),
+
+
+# Although the following optimal antiderivative contains the imaginary unit, it is continuous for x along the real line.
+# {(Sqrt[1 + x]*(1 + x^3))/(1 + x^2), x, 16, -2*Sqrt[1 + x] - (2/3)*(1 + x)^(3/2) + (2/5)*(1 + x)^(5/2) + (1 - I)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + x]/Sqrt[1 - I]] + (1 + I)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + x]/Sqrt[1 + I]], -2*Sqrt[1 + x] - (2/3)*(1 + x)^(3/2) + (2/5)*(1 + x)^(5/2) - Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + x])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]] + Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + x])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]] - Log[1 + Sqrt[2] + x - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + x]]/(2*Sqrt[1 + Sqrt[2]]) + Log[1 + Sqrt[2] + x + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + x]]/(2*Sqrt[1 + Sqrt[2]])}
+
+
+(sqrt(-1 - sqrt(x) + x)/((-1 + x)*sqrt(x)), atan((3 - sqrt(x))/(2*sqrt(-1 - sqrt(x) + x))) - 2*atanh((1 - 2*sqrt(x))/(2*sqrt(-1 - sqrt(x) + x))) - atanh((1 + 3*sqrt(x))/(2*sqrt(-1 - sqrt(x) + x))), x, 9),
+
+
+((1 + 2*sqrt(1 + x))/(x*sqrt(1 + x)*sqrt(x + sqrt(1 + x))), -atan((3 + sqrt(1 + x))/(2*sqrt(x + sqrt(1 + x)))) + 3*atanh((1 - 3*sqrt(1 + x))/(2*sqrt(x + sqrt(1 + x)))), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form F[((a + b x)/(c + d x))^(1/n), x]
+
+
+# Following pairs of integrands are equal:
+(1/(sqrt(x)*sqrt(1 + x)), 2*asinh(sqrt(x)), x, 2),
+(sqrt(x/(1 + x))/x, 2*asinh(sqrt(x)), x, 3),
+
+(sqrt(x)/sqrt(1 + x), sqrt(x)*sqrt(1 + x) - asinh(sqrt(x)), x, 3),
+(sqrt(x/(1 + x)), sqrt(x)*sqrt(1 + x) - asinh(sqrt(x)), x, 4),
+
+(sqrt(-1 + x)/(x^2*sqrt(1 + x)), -((sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x))/x) + atan(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)), x, 3),
+(sqrt((-1 + x)/(1 + x))/x^2, -((sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x))/x) + atan(sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x)), x, 4),
+
+(x^3*sqrt(-1 + x)/sqrt(1 + x), (-(3//8))*sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x) + (1//24)*(7 - 2*x)*(-1 + x)^(3//2)*sqrt(1 + x) + (1//4)*(-1 + x)^(3//2)*x^2*sqrt(1 + x) + (3*acosh(x))/8, x, 4),
+(x^3*sqrt((-1 + x)/(1 + x)), (-(3//8))*sqrt(-1 + x)*sqrt(1 + x) + (1//24)*(7 - 2*x)*(-1 + x)^(3//2)*sqrt(1 + x) + (1//4)*(-1 + x)^(3//2)*x^2*sqrt(1 + x) + (3*acosh(x))/8, x, 5),
+
+
+(sqrt(-(x/(1 + x)))/x, 2*atan(sqrt(-(x/(1 + x)))), x, 2),
+(sqrt((1 - x)/(1 + x))/(-1 + x), 2*atan(sqrt((1 - x)/(1 + x))), x, 2),
+(sqrt((a + b*x)/(c - b*x))/(a + b*x), (2*atan(sqrt((a + b*x)/(c - b*x))))/b, x, 3),
+(sqrt((a + b*x)/(c + d*x))/(a + b*x), (2*atanh((sqrt(d)*sqrt((a + b*x)/(c + d*x)))/sqrt(b)))/(sqrt(b)*sqrt(d)), x, 3),
+
+
+(sqrt(-(x/(1 + x))), sqrt(-(x/(1 + x)))*(1 + x) - atan(sqrt(-(x/(1 + x)))), x, 3),
+(sqrt((1 - x)/(1 + x)), sqrt((1 - x)/(1 + x))*(1 + x) - 2*atan(sqrt((1 - x)/(1 + x))), x, 3),
+
+(sqrt((a + x)/(a - x)), -((a - x)*sqrt((a + x)/(a - x))) + 2*a*atan(sqrt((a + x)/(a - x))), x, 3),
+(sqrt((-a + x)/(a + x)), sqrt(-((a - x)/(a + x)))*(a + x) - 2*a*atanh(sqrt(-((a - x)/(a + x)))), x, 3),
+(sqrt((a + b*x)/(c + d*x)), (sqrt((a + b*x)/(c + d*x))*(c + d*x))/d - ((b*c - a*d)*atanh((sqrt(d)*sqrt((a + b*x)/(c + d*x)))/sqrt(b)))/(sqrt(b)*d^(3//2)), x, 3),
+(sqrt((-1 + x)/(5 + 3*x)), (1//3)*sqrt(-1 + x)*sqrt(5 + 3*x) - (8*asinh((1//2)*sqrt(3//2)*sqrt(-1 + x)))/(3*sqrt(3)), x, 4),
+
+
+(sqrt((-1 + 5*x)/(1 + 7*x))/x^2, -((sqrt(-1 + 5*x)*sqrt(1 + 7*x))/x) - 12*atan(sqrt(1 + 7*x)/sqrt(-1 + 5*x)), x, 4),
+
+
+(x/(sqrt((1 - x)/(1 + x))*(1 + x)), (-sqrt((1 - x)/(1 + x)))*(1 + x), x, 3),
+(x/((1 + x)*sqrt(-1 + 2/(1 + x))), -((1 + x)*sqrt(-1 + 2/(1 + x))), x, 4),
+(x/((1 + x)*sqrt((2 + x)/(3 + x))), sqrt(2 + x)*sqrt(3 + x) - asinh(sqrt(2 + x)) + 2*sqrt(2)*atanh((sqrt(2)*sqrt(2 + x))/sqrt(3 + x)), x, 7),
+
+
+(sqrt(1 + 1/x)/(1 + x)^2, 2/sqrt(1 + x^(-1)), x, 2),
+(sqrt(1 + 1/x)/sqrt(1 - x^2), -((sqrt(1 + 1/x)*sqrt(x)*asin(1 - 2*x))/sqrt(1 + x)), x, 5),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form F[(a + b x + c x^2)^(n/2), x]
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Euler substitution #1 for Sqrt[a+b x+c x^2] when a>0
+
+
+(1/(x + sqrt(3 - 2*x - x^2))^1, atan((sqrt(3) - sqrt(3 - 2*x - x^2))/x) - (1//2)*log(-((3 - x - sqrt(3)*sqrt(3 - 2*x - x^2))/x^2)) + (1//14)*(7 + sqrt(7))*log(1 + sqrt(3) - sqrt(7) - (sqrt(3)*(sqrt(3) - sqrt(3 - 2*x - x^2)))/x) + (1//14)*(7 - sqrt(7))*log(1 + sqrt(3) + sqrt(7) - (sqrt(3)*(sqrt(3) - sqrt(3 - 2*x - x^2)))/x), x, 8),
+(1/(x + sqrt(3 - 2*x - x^2))^2, (2*(4 - sqrt(3) + (3*(sqrt(3) - sqrt(3 - 2*x - x^2)))/x))/(7*(2 - sqrt(3) - (2*(1 + sqrt(3))*(sqrt(3) - sqrt(3 - 2*x - x^2)))/x + (sqrt(3)*(sqrt(3) - sqrt(3 - 2*x - x^2))^2)/x^2)) + (8*atanh((3 - x - sqrt(3)*x - sqrt(3)*sqrt(3 - 2*x - x^2))/(sqrt(7)*x)))/(7*sqrt(7)), x, 5),
+(1/(x + sqrt(3 - 2*x - x^2))^3, -((4*(9 - 5*sqrt(3) + ((21 + 5*sqrt(3))*(sqrt(3) - sqrt(3 - 2*x - x^2)))/x))/(21*(2 - sqrt(3) - (2*(1 + sqrt(3))*(sqrt(3) - sqrt(3 - 2*x - x^2)))/x + (sqrt(3)*(sqrt(3) - sqrt(3 - 2*x - x^2))^2)/x^2)^2)) + (2*(18 - 43*sqrt(3) - ((18 + 49*sqrt(3))*(sqrt(3) - sqrt(3 - 2*x - x^2)))/x))/(147*(2 - sqrt(3) - (2*(1 + sqrt(3))*(sqrt(3) - sqrt(3 - 2*x - x^2)))/x + (sqrt(3)*(sqrt(3) - sqrt(3 - 2*x - x^2))^2)/x^2)) + (12*atanh((3 - x - sqrt(3)*x - sqrt(3)*sqrt(3 - 2*x - x^2))/(sqrt(7)*x)))/(49*sqrt(7)), x, 6),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Euler substitution #2 for Sqrt[a+b x+c x^2] when c>0
+
+
+(1/(x + sqrt(-3 - 2*x + x^2)), -(2/(1 - x - sqrt(-3 - 2*x + x^2))) + 2*log(1 - x - sqrt(-3 - 2*x + x^2)) - (3//2)*log(x + sqrt(-3 - 2*x + x^2)), x, 3),
+(1/(x + sqrt(-3 - 2*x + x^2))^2, -(2/(1 - x - sqrt(-3 - 2*x + x^2))) + 3/(2*(x + sqrt(-3 - 2*x + x^2))) + 4*log(1 - x - sqrt(-3 - 2*x + x^2)) - 4*log(x + sqrt(-3 - 2*x + x^2)), x, 3),
+(1/(x + sqrt(-3 - 2*x + x^2))^3, -(2/(1 - x - sqrt(-3 - 2*x + x^2))) + 3/(4*(x + sqrt(-3 - 2*x + x^2))^2) + 4/(x + sqrt(-3 - 2*x + x^2)) + 6*log(1 - x - sqrt(-3 - 2*x + x^2)) - 6*log(x + sqrt(-3 - 2*x + x^2)), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Euler substitution #3 for Sqrt[a+b x+c x^2] when a<0 and c<0
+
+
+(1/(x + sqrt(-3 - 4*x - x^2))^1, -atan(sqrt(-1 - x)/sqrt(3 + x)) - sqrt(2)*atan((1 - (3*sqrt(-1 - x))/sqrt(3 + x))/sqrt(2)) + (1//2)*log(3 + x) + (1//2)*log((3*sqrt(-1 - x) + sqrt(-1 - x)*x + x*sqrt(3 + x))/(3 + x)^(3//2)), x, 10),
+(1/(x + sqrt(-3 - 4*x - x^2))^2, (1 - sqrt(-1 - x)/sqrt(3 + x))/(1 - (3*(1 + x))/(3 + x) - (2*sqrt(-1 - x))/sqrt(3 + x)) + atan((1 - (3*sqrt(-1 - x))/sqrt(3 + x))/sqrt(2))/sqrt(2), x, 5),
+(1/(x + sqrt(-3 - 4*x - x^2))^3, -((13 - (27*sqrt(-1 - x))/sqrt(3 + x))/(18*(1 - (3*(1 + x))/(3 + x) - (2*sqrt(-1 - x))/sqrt(3 + x)))) - (2*(2 - sqrt(-1 - x)/sqrt(3 + x)))/(9*(1 - (3*(1 + x))/(3 + x) - (2*sqrt(-1 - x))/sqrt(3 + x))^2) - (3*atan((1 - (3*sqrt(-1 - x))/sqrt(3 + x))/sqrt(2)))/(2*sqrt(2)), x, 6),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form F[a + b x + c x^2 + d x^3 + e x^4, x] when d^3 - 4 c d e + 8 b e^2=0
+
+
+# It would be better to make the substitution u=x+x^2 than u=x+1/2, but that is tough to know...
+# {x^3*(1 + x)^3*(1 + 2*x)*Sqrt[1 - x^2 - 2*x^3 - x^4], x, 5, (-(1/15))*(1 - x^2 - 2*x^3 - x^4)^(3/2)*(2 + 3*x^2 + 6*x^3 + 3*x^4), (-(2/15))*(1 - x^2 - 2*x^3 - x^4)^(3/2) - (1/5)*x^2*(1 + x)^2*(1 - x^2 - 2*x^3 - x^4)^(3/2)}
+# {(1 + 2*x)*(x + x^2)^3*Sqrt[1 - (x + x^2)^2], x, 6, (-(1/15))*(1 - x^2 - 2*x^3 - x^4)^(3/2)*(2 + 3*x^2 + 6*x^3 + 3*x^4), (-(2/15))*(1 - x^2 - 2*x^3 - x^4)^(3/2) - (1/5)*x^2*(1 + x)^2*(1 - x^2 - 2*x^3 - x^4)^(3/2)}
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (0 + b x + c x^2 + d x^3 + e x^4)^p when d^3 - 4 c d e + 8 b e^2=0
+
+
+((8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(3//2), (2//35)*(13 - 3*(-1 + x)^2)*sqrt(3 - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)*(-1 + x) + (1//7)*(3 - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^(3//2)*(-1 + x) + (16//5)*sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(1 - x), -(1//3)) - (176//35)*sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(1 - x), -(1//3)), x, 7),
+((8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(1//2), (1//3)*sqrt(3 - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)*(-1 + x) + (2*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(1 - x), -(1//3)))/sqrt(3) - (4*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(1 - x), -(1//3)))/sqrt(3), x, 6),
+(1/(8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(1//2), -(SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(1 - x), -(1//3))/sqrt(3)), x, 3),
+(1/(8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(3//2), ((5 + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(24*sqrt(3 - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(1 - x), -(1//3))/(8*sqrt(3)) - SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(1 - x), -(1//3))/(4*sqrt(3)), x, 6),
+(1/(8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(5//2), ((5 + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(72*(3 - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^(3//2)) + ((26 + 7*(-1 + x)^2)*(-1 + x))/(432*sqrt(3 - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + (7*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(1 - x), -(1//3)))/(144*sqrt(3)) - (11*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(1 - x), -(1//3)))/(144*sqrt(3)), x, 7),
+
+
+(((2 - x)*x*(4 - 2*x + x^2))^(3//2), (2//35)*(13 - 3*(-1 + x)^2)*sqrt(3 - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)*(-1 + x) + (1//7)*(3 - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^(3//2)*(-1 + x) + (16//5)*sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(1 - x), -(1//3)) - (176//35)*sqrt(3)*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(1 - x), -(1//3)), x, 7),
+(((2 - x)*x*(4 - 2*x + x^2))^(1//2), (1//3)*sqrt(3 - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)*(-1 + x) + (2*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(1 - x), -(1//3)))/sqrt(3) - (4*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(1 - x), -(1//3)))/sqrt(3), x, 6),
+(1/((2 - x)*x*(4 - 2*x + x^2))^(1//2), -(SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(1 - x), -(1//3))/sqrt(3)), x, 3),
+(1/((2 - x)*x*(4 - 2*x + x^2))^(3//2), ((5 + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(24*sqrt(3 - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(1 - x), -(1//3))/(8*sqrt(3)) - SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(1 - x), -(1//3))/(4*sqrt(3)), x, 6),
+(1/((2 - x)*x*(4 - 2*x + x^2))^(5//2), ((5 + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(72*(3 - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^(3//2)) + ((26 + 7*(-1 + x)^2)*(-1 + x))/(432*sqrt(3 - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + (7*SymbolicIntegration.elliptic_e(asin(1 - x), -(1//3)))/(144*sqrt(3)) - (11*SymbolicIntegration.elliptic_f(asin(1 - x), -(1//3)))/(144*sqrt(3)), x, 7),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a + 0 x + c x^2 + d x^3 + e x^4)^p when d^3 - 4 c d e=0
+
+
+((4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)^(3//2), (1//7)*(c/d + x)*(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)^(3//2) + (2*c*(c/d + x)*sqrt(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)*(7*c^3 + 20*a*d^2 - 3*c*d^2*(c/d + x)^2))/(35*d^2) - (16*c^3*(c^3 + 8*a*d^2)*(c/d + x)*sqrt(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4))/(35*d^2*sqrt(c^3 + 4*a*d^2)*(sqrt(c) + (d^2*(c/d + x)^2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))) + (16*c^(13//4)*(c^3 + 4*a*d^2)^(3//4)*(c^3 + 8*a*d^2)*sqrt((d^2*(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4))/((c^3 + 4*a*d^2)*(sqrt(c) + (d^2*(c/d + x)^2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))^2))*(sqrt(c) + (d^2*(c/d + x)^2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c + d*x)/(c^(1//4)*(c^3 + 4*a*d^2)^(1//4))), (1//2)*(1 + c^(3//2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))))/(35*d^5*sqrt(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)) + (8*c^(7//4)*(c^3 + 4*a*d^2)^(3//4)*(sqrt(c^3 + 4*a*d^2)*(c^3 + 5*a*d^2) - c^(3//2)*(c^3 + 8*a*d^2))*sqrt((d^2*(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4))/((c^3 + 4*a*d^2)*(sqrt(c) + (d^2*(c/d + x)^2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))^2))*(sqrt(c) + (d^2*(c/d + x)^2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c + d*x)/(c^(1//4)*(c^3 + 4*a*d^2)^(1//4))), (1//2)*(1 + c^(3//2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))))/(35*d^5*sqrt(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)), x, 6),
+((4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)^(1//2), (1//3)*(c/d + x)*sqrt(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4) - (2*c^2*(c/d + x)*sqrt(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4))/(3*sqrt(c^3 + 4*a*d^2)*(sqrt(c) + (d^2*(c/d + x)^2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))) + (2*c^(9//4)*(c^3 + 4*a*d^2)^(3//4)*sqrt((d^2*(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4))/((c^3 + 4*a*d^2)*(sqrt(c) + (d^2*(c/d + x)^2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))^2))*(sqrt(c) + (d^2*(c/d + x)^2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c + d*x)/(c^(1//4)*(c^3 + 4*a*d^2)^(1//4))), (1//2)*(1 + c^(3//2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))))/(3*d^3*sqrt(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)) + (c^(3//4)*(c^3 + 4*a*d^2)^(1//4)*(c^3 + 4*a*d^2 - c^(3//2)*sqrt(c^3 + 4*a*d^2))*sqrt((d^2*(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4))/((c^3 + 4*a*d^2)*(sqrt(c) + (d^2*(c/d + x)^2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))^2))*(sqrt(c) + (d^2*(c/d + x)^2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c + d*x)/(c^(1//4)*(c^3 + 4*a*d^2)^(1//4))), (1//2)*(1 + c^(3//2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))))/(3*d^3*sqrt(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)), x, 5),
+(1/(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)^(1//2), ((c^3 + 4*a*d^2)^(1//4)*sqrt((d^2*(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4))/((c^3 + 4*a*d^2)*(sqrt(c) + (d^2*(c/d + x)^2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))^2))*(sqrt(c) + (d^2*(c/d + x)^2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c + d*x)/(c^(1//4)*(c^3 + 4*a*d^2)^(1//4))), (1//2)*(1 + c^(3//2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))))/(2*c^(1//4)*d*sqrt(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)), x, 2),
+(1/(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)^(3//2), -(((c/d + x)*(c^3 - 4*a*d^2 - c*d^2*(c/d + x)^2))/(8*a*c*(c^3 + 4*a*d^2)*sqrt(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4))) - (d^2*(c/d + x)*sqrt(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4))/(8*a*(c^3 + 4*a*d^2)^(3//2)*(sqrt(c) + (d^2*(c/d + x)^2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))) + (c^(1//4)*sqrt((d^2*(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4))/((c^3 + 4*a*d^2)*(sqrt(c) + (d^2*(c/d + x)^2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))^2))*(sqrt(c) + (d^2*(c/d + x)^2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((c + d*x)/(c^(1//4)*(c^3 + 4*a*d^2)^(1//4))), (1//2)*(1 + c^(3//2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))))/(8*a*d*(c^3 + 4*a*d^2)^(1//4)*sqrt(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)) + ((c^3 + 4*a*d^2 - c^(3//2)*sqrt(c^3 + 4*a*d^2))*sqrt((d^2*(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4))/((c^3 + 4*a*d^2)*(sqrt(c) + (d^2*(c/d + x)^2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))^2))*(sqrt(c) + (d^2*(c/d + x)^2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((c + d*x)/(c^(1//4)*(c^3 + 4*a*d^2)^(1//4))), (1//2)*(1 + c^(3//2)/sqrt(c^3 + 4*a*d^2))))/(16*a*c^(5//4)*d*(c^3 + 4*a*d^2)^(3//4)*sqrt(4*a*c + 4*c^2*x^2 + 4*c*d*x^3 + d^2*x^4)), x, 5),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a + b x + 0 x^2 + d x^3 + e x^4)^p when d^3 + 8 b e^2=0
+
+
+# {(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4)^(3/2), x, 7, ((d/(4*e) + x)*(43*d^4 + 1280*a*e^3 - 144*d^2*e^2*(d/(4*e) + x)^2)*Sqrt[(5*d^4)/e + 256*a*e^2 - 96*d^2*e*(d/(4*e) + x)^2 + 256*e^3*(d/(4*e) + x)^4])/(2240*Sqrt[2]*e) + ((d/(4*e) + x)*((5*d^4)/e + 256*a*e^2 - 96*d^2*e*(d/(4*e) + x)^2 + 256*e^3*(d/(4*e) + x)^4)^(3/2))/(896*Sqrt[2]) + (3*d^2*(d^4 + 512*a*e^3)*(3*d^2 - 2*Sqrt[d^4 - 64*a*e^3])*Sqrt[3*d^2 + 2*Sqrt[d^4 - 64*a*e^3]]*Sqrt[1 - (16*e^2*(d/(4*e) + x)^2)/(3*d^2 - 2*Sqrt[d^4 - 64*a*e^3])]*Sqrt[1 - (16*e^2*(d/(4*e) + x)^2)/(3*d^2 + 2*Sqrt[d^4 - 64*a*e^3])]*EllipticE[ArcSin[(4*e*(d/(4*e) + x))/Sqrt[3*d^2 + 2*Sqrt[d^4 - 64*a*e^3]]], (3*d^2 + 2*Sqrt[d^4 - 64*a*e^3])/(3*d^2 - 2*Sqrt[d^4 - 64*a*e^3])])/(1120*Sqrt[2]*e^3*Sqrt[(5*d^4)/e + 256*a*e^2 - 96*d^2*e*(d/(4*e) + x)^2 + 256*e^3*(d/(4*e) + x)^4]) + (Sqrt[3*d^2 + 2*Sqrt[d^4 - 64*a*e^3]]*(11*d^8 - 1984*a*d^4*e^3 + 81920*a^2*e^6 + 6*d^2*Sqrt[d^4 - 64*a*e^3]*(d^4 + 512*a*e^3))*Sqrt[1 - (16*e^2*(d/(4*e) + x)^2)/(3*d^2 - 2*Sqrt[d^4 - 64*a*e^3])]*Sqrt[1 - (16*e^2*(d/(4*e) + x)^2)/(3*d^2 + 2*Sqrt[d^4 - 64*a*e^3])]*EllipticF[ArcSin[(4*e*(d/(4*e) + x))/Sqrt[3*d^2 + 2*Sqrt[d^4 - 64*a*e^3]]], (3*d^2 + 2*Sqrt[d^4 - 64*a*e^3])/(3*d^2 - 2*Sqrt[d^4 - 64*a*e^3])])/(1120*Sqrt[2]*e^3*Sqrt[(5*d^4)/e + 256*a*e^2 - 96*d^2*e*(d/(4*e) + x)^2 + 256*e^3*(d/(4*e) + x)^4])}
+((8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4)^(1//2), (1//3)*(d/(4*e) + x)*sqrt(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4) - (2*d^2*(d/(4*e) + x)*sqrt(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4))/(sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3)*(1 + (16*e^2*(d/(4*e) + x)^2)/sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))) + (d^2*(5*d^4 + 256*a*e^3)^(3//4)*sqrt((e*(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4))/((5*d^4 + 256*a*e^3)*(1 + (16*e^2*(d/(4*e) + x)^2)/sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))^2))*(1 + (16*e^2*(d/(4*e) + x)^2)/sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d + 4*e*x)/(5*d^4 + 256*a*e^3)^(1//4)), (1//2)*(1 + (3*d^2)/sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))))/(8*sqrt(2)*e^2*sqrt(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4)) + ((5*d^4 + 256*a*e^3)^(1//4)*(5*d^4 + 256*a*e^3 - 3*d^2*sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))*sqrt((e*(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4))/((5*d^4 + 256*a*e^3)*(1 + (16*e^2*(d/(4*e) + x)^2)/sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))^2))*(1 + (16*e^2*(d/(4*e) + x)^2)/sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d + 4*e*x)/(5*d^4 + 256*a*e^3)^(1//4)), (1//2)*(1 + (3*d^2)/sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))))/(48*sqrt(2)*e^2*sqrt(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4)), x, 5),
+(1/(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4)^(1//2), ((5*d^4 + 256*a*e^3)^(1//4)*sqrt((e*(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4))/((5*d^4 + 256*a*e^3)*(1 + (16*e^2*(d/(4*e) + x)^2)/sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))^2))*(1 + (16*e^2*(d/(4*e) + x)^2)/sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d + 4*e*x)/(5*d^4 + 256*a*e^3)^(1//4)), (1//2)*(1 + (3*d^2)/sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))))/(sqrt(2)*e*sqrt(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4)), x, 2),
+(1/(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4)^(3//2), (4*e*(d/(4*e) + x)*(13*d^4 - 256*a*e^3 - 48*d^2*e^2*(d/(4*e) + x)^2))/((5*d^8 - 64*a*d^4*e^3 - 16384*a^2*e^6)*sqrt(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4)) + (384*d^2*e^2*(d/(4*e) + x)*sqrt(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4))/((d^4 - 64*a*e^3)*(5*d^4 + 256*a*e^3)^(3//2)*(1 + (16*e^2*(d/(4*e) + x)^2)/sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))) - (12*sqrt(2)*d^2*sqrt((e*(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4))/((5*d^4 + 256*a*e^3)*(1 + (16*e^2*(d/(4*e) + x)^2)/sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))^2))*(1 + (16*e^2*(d/(4*e) + x)^2)/sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((d + 4*e*x)/(5*d^4 + 256*a*e^3)^(1//4)), (1//2)*(1 + (3*d^2)/sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))))/((d^4 - 64*a*e^3)*(5*d^4 + 256*a*e^3)^(1//4)*sqrt(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4)) - (2*sqrt(2)*(5*d^4 + 256*a*e^3 - 3*d^2*sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))*sqrt((e*(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4))/((5*d^4 + 256*a*e^3)*(1 + (16*e^2*(d/(4*e) + x)^2)/sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))^2))*(1 + (16*e^2*(d/(4*e) + x)^2)/sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((d + 4*e*x)/(5*d^4 + 256*a*e^3)^(1//4)), (1//2)*(1 + (3*d^2)/sqrt(5*d^4 + 256*a*e^3))))/((d^4 - 64*a*e^3)*(5*d^4 + 256*a*e^3)^(3//4)*sqrt(8*a*e^2 - d^3*x + 8*d*e^2*x^3 + 8*e^3*x^4)), x, 5),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form x^m (a + b x + c x^2 + d x^3 + e x^4)^(p/2) when d^3 - 4 c d e + 8 b e^2=0
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+((a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(3//2), -((16*(7 + 2*a)*(1 - sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*(-1 + x))/(35*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4))) + (2//35)*(13 + 5*a - 3*(-1 + x)^2)*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)*(-1 + x) + (1//7)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^(3//2)*(-1 + x) + (16*(7 + 2*a)*(1 - sqrt(4 + a))*sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(35*sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + (4*(3 + a)*(16 + 5*a)*sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(35*sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)), x, 8),
+((a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(1//2), -((2*(1 - sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*(-1 + x))/(3*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4))) + (1//3)*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)*(-1 + x) + (2*(1 - sqrt(4 + a))*sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(3*sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + (2*(3 + a)*sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(3*sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)), x, 7),
+(1/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(1//2), (sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)), x, 3),
+# {1/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(3/2), x, 7, If[$VersionNumber>=8, ((5 + a + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(2*(12 + 7*a + a^2)*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) - ((1 - Sqrt[4 + a])*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*(-1 + x))/(2*(3 + a)*(4 + a)*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + ((1 - Sqrt[4 + a])*Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*EllipticE[ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]], -((2*Sqrt[4 + a])/(1 - Sqrt[4 + a]))])/(2*(3 + a)*(4 + a)*Sqrt[(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + Sqrt[4 + a]))]*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + (Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*EllipticF[ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]], -((2*Sqrt[4 + a])/(1 - Sqrt[4 + a]))])/(2*(4 + a)*Sqrt[(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + Sqrt[4 + a]))]*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]), ((5 + a + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(2*(12 + 7*a + a^2)*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) - ((1 - Sqrt[4 + a])*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*(-1 + x))/(2*(12 + 7*a + a^2)*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + ((1 - Sqrt[4 + a])*Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*EllipticE[ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]], -((2*Sqrt[4 + a])/(1 - Sqrt[4 + a]))])/(2*(12 + 7*a + a^2)*Sqrt[(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + Sqrt[4 + a]))]*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + (Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*EllipticF[ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]], -((2*Sqrt[4 + a])/(1 - Sqrt[4 + a]))])/(2*(4 + a)*Sqrt[(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + Sqrt[4 + a]))]*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4])]}
+# {1/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(5/2), x, 8, If[$VersionNumber>=8, ((5 + a + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(6*(12 + 7*a + a^2)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^(3/2)) + ((104 + 47*a + 5*a^2 + 4*(7 + 2*a)*(-1 + x)^2)*(-1 + x))/(12*(3 + a)^2*(4 + a)^2*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) - ((7 + 2*a)*(1 - Sqrt[4 + a])*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*(-1 + x))/(3*(3 + a)^2*(4 + a)^2*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + ((7 + 2*a)*(1 - Sqrt[4 + a])*Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*EllipticE[ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]], -((2*Sqrt[4 + a])/(1 - Sqrt[4 + a]))])/(3*(3 + a)^2*(4 + a)^2*Sqrt[(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + Sqrt[4 + a]))]*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + ((16 + 5*a)*Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*EllipticF[ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]], -((2*Sqrt[4 + a])/(1 - Sqrt[4 + a]))])/(12*(3 + a)*(4 + a)^2*Sqrt[(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + Sqrt[4 + a]))]*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]), ((5 + a + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(6*(12 + 7*a + a^2)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^(3/2)) + ((104 + 47*a + 5*a^2 + 4*(7 + 2*a)*(-1 + x)^2)*(-1 + x))/(12*(12 + 7*a + a^2)^2*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) - ((7 + 2*a)*(1 - Sqrt[4 + a])*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*(-1 + x))/(3*(12 + 7*a + a^2)^2*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + ((7 + 2*a)*(1 - Sqrt[4 + a])*Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*EllipticE[ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]], -((2*Sqrt[4 + a])/(1 - Sqrt[4 + a]))])/(3*(12 + 7*a + a^2)^2*Sqrt[(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + Sqrt[4 + a]))]*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + ((16 + 5*a)*Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*EllipticF[ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]], -((2*Sqrt[4 + a])/(1 - Sqrt[4 + a]))])/(12*(3 + a)*(4 + a)^2*Sqrt[(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + Sqrt[4 + a]))]*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4])]}
+
+
+(x*(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(3//2), (3//16)*(4 + a)*(1 + (-1 + x)^2)*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4) + (1//8)*(1 + (-1 + x)^2)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^(3//2) - (16*(7 + 2*a)*(1 - sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*(-1 + x))/(35*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + (2//35)*(13 + 5*a - 3*(-1 + x)^2)*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)*(-1 + x) + (1//7)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^(3//2)*(-1 + x) + (3//16)*(4 + a)^2*atan((1 + (-1 + x)^2)/sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + (16*(7 + 2*a)*(1 - sqrt(4 + a))*sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(35*sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + (4*(3 + a)*(16 + 5*a)*sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(35*sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)), x, 14),
+(x*(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(1//2), (1//4)*(1 + (-1 + x)^2)*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4) - (2*(1 - sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*(-1 + x))/(3*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + (1//3)*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)*(-1 + x) + (1//4)*(4 + a)*atan((1 + (-1 + x)^2)/sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + (2*(1 - sqrt(4 + a))*sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(3*sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + (2*(3 + a)*sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(3*sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)), x, 12),
+(x/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(1//2), (1//2)*atan((1 + (-1 + x)^2)/sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + (sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)), x, 7),
+# {x/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(3/2), x, 10, If[$VersionNumber>=8, (1 + (-1 + x)^2)/(2*(4 + a)*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + ((5 + a + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(2*(12 + 7*a + a^2)*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) - ((1 - Sqrt[4 + a])*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*(-1 + x))/(2*(3 + a)*(4 + a)*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + ((1 - Sqrt[4 + a])*Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*EllipticE[ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]], -((2*Sqrt[4 + a])/(1 - Sqrt[4 + a]))])/(2*(3 + a)*(4 + a)*Sqrt[(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + Sqrt[4 + a]))]*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + (Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*EllipticF[ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]], -((2*Sqrt[4 + a])/(1 - Sqrt[4 + a]))])/(2*(4 + a)*Sqrt[(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + Sqrt[4 + a]))]*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]), (1 + (-1 + x)^2)/(2*(4 + a)*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + ((5 + a + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(2*(12 + 7*a + a^2)*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) - ((1 - Sqrt[4 + a])*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*(-1 + x))/(2*(12 + 7*a + a^2)*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + ((1 - Sqrt[4 + a])*Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*EllipticE[ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]], -((2*Sqrt[4 + a])/(1 - Sqrt[4 + a]))])/(2*(12 + 7*a + a^2)*Sqrt[(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + Sqrt[4 + a]))]*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + (Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*EllipticF[ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]], -((2*Sqrt[4 + a])/(1 - Sqrt[4 + a]))])/(2*(4 + a)*Sqrt[(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + Sqrt[4 + a]))]*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4])]}
+# {x/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(5/2), x, 12, If[$VersionNumber>=8, (1 + (-1 + x)^2)/(6*(4 + a)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^(3/2)) + (1 + (-1 + x)^2)/(3*(4 + a)^2*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + ((5 + a + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(6*(12 + 7*a + a^2)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^(3/2)) + ((104 + 47*a + 5*a^2 + 4*(7 + 2*a)*(-1 + x)^2)*(-1 + x))/(12*(3 + a)^2*(4 + a)^2*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) - ((7 + 2*a)*(1 - Sqrt[4 + a])*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*(-1 + x))/(3*(3 + a)^2*(4 + a)^2*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + ((7 + 2*a)*(1 - Sqrt[4 + a])*Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*EllipticE[ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]], -((2*Sqrt[4 + a])/(1 - Sqrt[4 + a]))])/(3*(3 + a)^2*(4 + a)^2*Sqrt[(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + Sqrt[4 + a]))]*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + ((16 + 5*a)*Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*EllipticF[ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]], -((2*Sqrt[4 + a])/(1 - Sqrt[4 + a]))])/(12*(3 + a)*(4 + a)^2*Sqrt[(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + Sqrt[4 + a]))]*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]), (1 + (-1 + x)^2)/(6*(4 + a)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^(3/2)) + (1 + (-1 + x)^2)/(3*(4 + a)^2*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + ((5 + a + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(6*(12 + 7*a + a^2)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^(3/2)) + ((104 + 47*a + 5*a^2 + 4*(7 + 2*a)*(-1 + x)^2)*(-1 + x))/(12*(12 + 7*a + a^2)^2*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) - ((7 + 2*a)*(1 - Sqrt[4 + a])*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*(-1 + x))/(3*(12 + 7*a + a^2)^2*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + ((7 + 2*a)*(1 - Sqrt[4 + a])*Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*EllipticE[ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]], -((2*Sqrt[4 + a])/(1 - Sqrt[4 + a]))])/(3*(12 + 7*a + a^2)^2*Sqrt[(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + Sqrt[4 + a]))]*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4]) + ((16 + 5*a)*Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]*(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))*EllipticF[ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]], -((2*Sqrt[4 + a])/(1 - Sqrt[4 + a]))])/(12*(3 + a)*(4 + a)^2*Sqrt[(1 + (-1 + x)^2/(1 - Sqrt[4 + a]))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + Sqrt[4 + a]))]*Sqrt[3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4])]}
+
+
+(x^2*(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(3//2), (3//8)*(4 + a)*(1 + (-1 + x)^2)*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4) + (1//4)*(1 + (-1 + x)^2)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^(3//2) + (4*(140 + 111*a + 21*a^2)*(1 - sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*(-1 + x))/(315*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + (2//315)*(2*(80 + 27*a) + 3*(20 + 7*a)*(-1 + x)^2)*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)*(-1 + x) + (1//63)*(15 + 7*(-1 + x)^2)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^(3//2)*(-1 + x) + (3//8)*(4 + a)^2*atan((1 + (-1 + x)^2)/sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) - (4*(140 + 111*a + 21*a^2)*(1 - sqrt(4 + a))*sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(315*sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + (4*(3 + a)*(100 + 33*a)*sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(315*sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)), x, 15),
+(x^2*(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(1//2), (1//2)*(1 + (-1 + x)^2)*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4) + (2*(8 + 3*a)*(1 - sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*(-1 + x))/(15*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + (1//15)*(7 + 3*(-1 + x)^2)*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)*(-1 + x) + (1//2)*(4 + a)*atan((1 + (-1 + x)^2)/sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) - (2*(8 + 3*a)*(1 - sqrt(4 + a))*sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(15*sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + (8*(3 + a)*sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(15*sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)), x, 13),
+(x^2/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(1//2), ((1 - sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*(-1 + x))/sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4) + atan((1 + (-1 + x)^2)/sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) - ((1 - sqrt(4 + a))*sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + (sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)), x, 11),
+(x^2/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(3//2), (1 + (-1 + x)^2)/((4 + a)*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + ((4 + a)*(2 + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(2*(12 + 7*a + a^2)*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) - ((1 - sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*(-1 + x))/(2*(3 + a)*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + ((1 - sqrt(4 + a))*sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(2*(3 + a)*sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)), x, 10),
+(x^2/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^(5//2), (1 + (-1 + x)^2)/(3*(4 + a)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^(3//2)) + (2*(1 + (-1 + x)^2))/(3*(4 + a)^2*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + ((4 + a)*(2 + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(6*(12 + 7*a + a^2)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^(3//2)) + ((29 + 7*a + (13 + 3*a)*(-1 + x)^2)*(-1 + x))/(12*(3 + a)^2*(4 + a)*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) - ((13 + 3*a)*(1 - sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*(-1 + x))/(12*(3 + a)^2*(4 + a)*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + ((13 + 3*a)*(1 - sqrt(4 + a))*sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_e(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(12*(3 + a)^2*(4 + a)*sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + (sqrt(1 + sqrt(4 + a))*(1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))*SymbolicIntegration.elliptic_f(atan((-1 + x)/sqrt(1 + sqrt(4 + a))), -((2*sqrt(4 + a))/(1 - sqrt(4 + a)))))/(12*(12 + 7*a + a^2)*sqrt((1 + (-1 + x)^2/(1 - sqrt(4 + a)))/(1 + (-1 + x)^2/(1 + sqrt(4 + a))))*sqrt(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)), x, 13),
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+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form F[a + b x + c x^2 + d x^3 + e x^4, x] when b^3 - 4 a b c + 8 a^2 d=0
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a + b x + 0 x^2 + d x^3 + e x^4)^p when b^3 + 8 a^2 d=0
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+# {(8 + 8*x - x^3 + 8*x^4)^(1/2), x, 6, 0}
+(1/(8 + 8*x - x^3 + 8*x^4)^(1//2), -((x^2*sqrt((261 - 6*(1 + 4/x)^2 + (1 + 4/x)^4)/(87 + (sqrt(29)*(4 + x)^2)/x^2)^2)*(87 + (sqrt(29)*(4 + x)^2)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((4 + x)/(sqrt(3)*29^(1//4)*x)), (1//58)*(29 + sqrt(29))))/(8*sqrt(3)*29^(1//4)*sqrt(8 + 8*x - x^3 + 8*x^4))), x, 4),
+(1/(8 + 8*x - x^3 + 8*x^4)^(3//2), -(((66 - (1 + 4/x)^2)*x^2)/(1008*sqrt(8 + 8*x - x^3 + 8*x^4))) + ((216 - 7*(1 + 4/x)^2)*(1 + 4/x)*x^2)/(12528*sqrt(8 + 8*x - x^3 + 8*x^4)) + (7*(261 - 6*(1 + 4/x)^2 + (1 + 4/x)^4)*(1 + 4/x)*x^2)/(432*sqrt(29)*sqrt(8 + 8*x - x^3 + 8*x^4)*(87 + (sqrt(29)*(4 + x)^2)/x^2)) - (7*x^2*sqrt((261 - 6*(1 + 4/x)^2 + (1 + 4/x)^4)/(87 + (sqrt(29)*(4 + x)^2)/x^2)^2)*(87 + (sqrt(29)*(4 + x)^2)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((4 + x)/(sqrt(3)*29^(1//4)*x)), (1//58)*(29 + sqrt(29))))/(144*sqrt(3)*29^(3//4)*sqrt(8 + 8*x - x^3 + 8*x^4)) + ((14 - 5*sqrt(29))*x^2*sqrt((261 - 6*(1 + 4/x)^2 + (1 + 4/x)^4)/(87 + (sqrt(29)*(4 + x)^2)/x^2)^2)*(87 + (sqrt(29)*(4 + x)^2)/x^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((4 + x)/(sqrt(3)*29^(1//4)*x)), (1//58)*(29 + sqrt(29))))/(576*sqrt(3)*29^(3//4)*sqrt(8 + 8*x - x^3 + 8*x^4)), x, 10),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a + b x + c x^2 + 0 x^3 + e x^4)^p when b^2 - 4 a c=0
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+# {(1 + 4*x + 4*x^2 + 4*x^4)^(1/2), x, 0, 0}
+(1/(1 + 4*x + 4*x^2 + 4*x^4)^(1//2), -(((sqrt(5) + (1 + 1/x)^2)*sqrt((5 - 2*(1 + 1/x)^2 + (1 + 1/x)^4)/(sqrt(5) + (1 + 1/x)^2)^2)*x^2*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((1 + 1/x)/5^(1//4)), (1//10)*(5 + sqrt(5))))/(2*5^(1//4)*sqrt(1 + 4*x + 4*x^2 + 4*x^4))), x, 3),
+(1/(1 + 4*x + 4*x^2 + 4*x^4)^(3//2), -(((3 - (1 + 1/x)^2)*x^2)/sqrt(1 + 4*x + 4*x^2 + 4*x^4)) + ((13 - 9*(1 + 1/x)^2)*(1 + 1/x)*x^2)/(10*sqrt(1 + 4*x + 4*x^2 + 4*x^4)) + (9*(5 - 2*(1 + 1/x)^2 + (1 + 1/x)^4)*(1 + 1/x)*x^2)/(10*(sqrt(5) + (1 + 1/x)^2)*sqrt(1 + 4*x + 4*x^2 + 4*x^4)) - (9*(sqrt(5) + (1 + 1/x)^2)*sqrt((5 - 2*(1 + 1/x)^2 + (1 + 1/x)^4)/(sqrt(5) + (1 + 1/x)^2)^2)*x^2*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((1 + 1/x)/5^(1//4)), (1//10)*(5 + sqrt(5))))/(2*5^(3//4)*sqrt(1 + 4*x + 4*x^2 + 4*x^4)) + (3*(3 - sqrt(5))*(sqrt(5) + (1 + 1/x)^2)*sqrt((5 - 2*(1 + 1/x)^2 + (1 + 1/x)^4)/(sqrt(5) + (1 + 1/x)^2)^2)*x^2*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((1 + 1/x)/5^(1//4)), (1//10)*(5 + sqrt(5))))/(4*5^(3//4)*sqrt(1 + 4*x + 4*x^2 + 4*x^4)), x, 9),
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a + b x + c x^2 + d x^3 + e x^4)^p when b^3 - 4 a b c + 8 a^2 d=0
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+# {(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)^(1/2), x, 0, 0}
+(1/(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)^(1//2), -(((sqrt(517) + (3 + 4/x)^2)*sqrt((517 - 38*(3 + 4/x)^2 + (3 + 4/x)^4)/(sqrt(517) + (3 + 4/x)^2)^2)*x^2*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((4 + 3*x)/(517^(1//4)*x)), (517 + 19*sqrt(517))/1034))/(8*517^(1//4)*sqrt(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4))), x, 4),
+(1/(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)^(3//2), -(((172 - 7*(3 + 4/x)^2)*x^2)/(208*sqrt(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4))) + ((50896 - 2455*(3 + 4/x)^2)*(3 + 4/x)*x^2)/(322608*sqrt(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)) + (2455*(517 - 38*(3 + 4/x)^2 + (3 + 4/x)^4)*(3 + 4/x)*x^2)/(322608*(sqrt(517) + (3 + 4/x)^2)*sqrt(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)) - (2455*(sqrt(517) + (3 + 4/x)^2)*sqrt((517 - 38*(3 + 4/x)^2 + (3 + 4/x)^4)/(sqrt(517) + (3 + 4/x)^2)^2)*x^2*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((4 + 3*x)/(517^(1//4)*x)), (517 + 19*sqrt(517))/1034))/(624*517^(3//4)*sqrt(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)) + ((4910 - 203*sqrt(517))*(sqrt(517) + (3 + 4/x)^2)*sqrt((517 - 38*(3 + 4/x)^2 + (3 + 4/x)^4)/(sqrt(517) + (3 + 4/x)^2)^2)*x^2*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((4 + 3*x)/(517^(1//4)*x)), (517 + 19*sqrt(517))/1034))/(2496*517^(3//4)*sqrt(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)), x, 10),
+(1/(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)^(5//2), -(((124415 - 6308*(3 + 4/x)^2)*x^2)/(97344*sqrt(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4))) - ((64489 - 1399*(3 + 4/x)^2)*x^2)/(624*(517 - 38*(3 + 4/x)^2 + (3 + 4/x)^4)*sqrt(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)) + ((18932921731 - 1086525994*(3 + 4/x)^2)*(3 + 4/x)*x^2)/(78056941248*sqrt(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)) + ((11921698 - 359497*(3 + 4/x)^2)*(3 + 4/x)*x^2)/(483912*(517 - 38*(3 + 4/x)^2 + (3 + 4/x)^4)*sqrt(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)) + (543262997*(517 - 38*(3 + 4/x)^2 + (3 + 4/x)^4)*(3 + 4/x)*x^2)/(39028470624*(sqrt(517) + (3 + 4/x)^2)*sqrt(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)) - (543262997*(sqrt(517) + (3 + 4/x)^2)*sqrt((517 - 38*(3 + 4/x)^2 + (3 + 4/x)^4)/(sqrt(517) + (3 + 4/x)^2)^2)*x^2*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((4 + 3*x)/(517^(1//4)*x)), (517 + 19*sqrt(517))/1034))/(75490272*517^(3//4)*sqrt(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)) + ((4346103976 - 175318963*sqrt(517))*(sqrt(517) + (3 + 4/x)^2)*sqrt((517 - 38*(3 + 4/x)^2 + (3 + 4/x)^4)/(sqrt(517) + (3 + 4/x)^2)^2)*x^2*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((4 + 3*x)/(517^(1//4)*x)), (517 + 19*sqrt(517))/1034))/(1207844352*517^(3//4)*sqrt(8 + 24*x + 8*x^2 - 15*x^3 + 8*x^4)), x, 12),
+
+
+# {(9 - 6*x - 44*x^2 + 15*x^3 + 3*x^4)^(1/2), x, 6, 0}
+(1/(9 - 6*x - 44*x^2 + 15*x^3 + 3*x^4)^(1//2), -((sqrt((613 - 182*(1 - 6/x)^2 + (-1 + 6/x)^4)/(sqrt(613) + (6 - x)^2/x^2)^2)*(sqrt(613) + (6 - x)^2/x^2)*x^2*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((6 - x)/(613^(1//4)*x)), (613 + 91*sqrt(613))/1226))/(12*613^(1//4)*sqrt(9 - 6*x - 44*x^2 + 15*x^3 + 3*x^4))), x, 4),
+(1/(9 - 6*x - 44*x^2 + 15*x^3 + 3*x^4)^(3//2), -(((176 - 23*(1 - 6/x)^2)*x^2)/(51759*sqrt(9 - 6*x - 44*x^2 + 15*x^3 + 3*x^4))) + ((45401 - 3722*(1 - 6/x)^2)*(1 - 6/x)*x^2)/(31728267*sqrt(9 - 6*x - 44*x^2 + 15*x^3 + 3*x^4)) + (3722*(613 - 182*(1 - 6/x)^2 + (-1 + 6/x)^4)*(1 - 6/x)*x^2)/(31728267*(sqrt(613) + (6 - x)^2/x^2)*sqrt(9 - 6*x - 44*x^2 + 15*x^3 + 3*x^4)) + (3722*sqrt((613 - 182*(1 - 6/x)^2 + (-1 + 6/x)^4)/(sqrt(613) + (6 - x)^2/x^2)^2)*(sqrt(613) + (6 - x)^2/x^2)*x^2*SymbolicIntegration.elliptic_e(2*atan((6 - x)/(613^(1//4)*x)), (613 + 91*sqrt(613))/1226))/(51759*613^(3//4)*sqrt(9 - 6*x - 44*x^2 + 15*x^3 + 3*x^4)) - ((7444 - 145*sqrt(613))*sqrt((613 - 182*(1 - 6/x)^2 + (-1 + 6/x)^4)/(sqrt(613) + (6 - x)^2/x^2)^2)*(sqrt(613) + (6 - x)^2/x^2)*x^2*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((6 - x)/(613^(1//4)*x)), (613 + 91*sqrt(613))/1226))/(207036*613^(3//4)*sqrt(9 - 6*x - 44*x^2 + 15*x^3 + 3*x^4)), x, 10),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands requiring algebraic expansion
+
+
+((2*sqrt(3 - x) + 3/sqrt(1 + x))^2/x, -4*x + 12*asin((1 - x)/2) - 24*sqrt(3)*atanh((sqrt(3)*sqrt(1 + x))/sqrt(3 - x)) + 21*log(x) - 9*log(1 + x), x, 12),
+
+
+((-1 + x + x^2)/(1 + sqrt(1 + x^2)), -(1/x) - x + sqrt(1 + x^2) + sqrt(1 + x^2)/x + (1//2)*x*sqrt(1 + x^2) - asinh(x)/2 - log(1 + sqrt(1 + x^2)), x, 14),
+# {(-1 + x + x^2)/(1 + x + Sqrt[1 + x^2]), x, 12, (6*x^2 + 2*x^3 + (4 - 3*x - 2*x^2)*Sqrt[1 + x^2] - 3*ArcSinh[x] - 6*Log[1 + Sqrt[1 + x^2]])/12, x/2 + x^2/2 + x^3/6 - (1/4)*x*Sqrt[1 + x^2] - (1/6)*(1 + x^2)^(3/2) + 1/(2*(x + Sqrt[1 + x^2])) - ArcSinh[x]/4 + (1/2)*Log[x + Sqrt[1 + x^2]] - Log[1 + x + Sqrt[1 + x^2]]}
+
+
+((2*sqrt(-1 + x) + x)/(sqrt(-1 + x)*x), 2*sqrt(-1 + x) + 2*log(x), x, 2),
+
+
+# Positive integer powers of monomial sums
+((a + b*x^(2//3)+c*sqrt(x))^2, a^2*x + (4//3)*a*c*x^(3//2) + (6//5)*a*b*x^(5//3) + (c^2*x^2)/2 + (12//13)*b*c*x^(13//6) + (3//7)*b^2*x^(7//3), x, 4),
+((a + b*x^(2//3)+c*sqrt(x))^3, a^3*x + 2*a^2*c*x^(3//2) + (9//5)*a^2*b*x^(5//3) + (3//2)*a*c^2*x^2 + (36//13)*a*b*c*x^(13//6) + (9//7)*a*b^2*x^(7//3) + (2//5)*c^3*x^(5//2) + (9//8)*b*c^2*x^(8//3) + (18//17)*b^2*c*x^(17//6) + (b^3*x^3)/3, x, 4),
+
+
+((-1 + x^2)/(sqrt(a - b + b/x^2)*x^3), sqrt(a - b*(1 - 1/x^2))/b + atanh(sqrt(a - b*(1 - 1/x^2))/sqrt(a - b))/sqrt(a - b), x, 5),
+((-1 + x^2)/(sqrt(a + b*(-1 + 1/x^2))*x^3), sqrt(a - b*(1 - 1/x^2))/b + atanh(sqrt(a - b*(1 - 1/x^2))/sqrt(a - b))/sqrt(a - b), x, 6),
+
+
+((1 + x)/((4 + x^2)*sqrt(9 + x^2)), atan((sqrt(5)*x)/(2*sqrt(9 + x^2)))/(2*sqrt(5)) - atanh(sqrt(9 + x^2)/sqrt(5))/sqrt(5), x, 6),
+
+
+# Checks to ensure that expansion occurs before substitution for fractional powers of linears: 
+(x*(1 + sqrt(1 - x^2)), x^2//2 - (1//3)*(1 - x^2)^(3//2), x, 3),
+(x*(1 + sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x^2//2 - (1//3)*(1 - x^2)^(3//2), x, 3),
+
+(x*(1 + 1/(sqrt(2 + x)*sqrt(3 + x))), x^2//2 + sqrt(2 + x)*sqrt(3 + x) - 5*asinh(sqrt(2 + x)), x, 5),
+
+
+((x - sqrt(x^6))/(x*(1 - x^4)), atan(x)/2 + (sqrt(x^6)*atan(x))/(2*x^3) + atanh(x)/2 - (sqrt(x^6)*atanh(x))/(2*x^3), x, 9),
+((1 - sqrt(x^6)/x)/(1 - x^4), atan(x)/2 + (sqrt(x^6)*atan(x))/(2*x^3) + atanh(x)/2 - (sqrt(x^6)*atanh(x))/(2*x^3), x, 9),
+((x - sqrt(x^6))/(x - x^5), atan(x)/2 + (sqrt(x^6)*atan(x))/(2*x^3) + atanh(x)/2 - (sqrt(x^6)*atanh(x))/(2*x^3), x, 10),
+(x/(x + sqrt(x^6)), atan(x)/2 + (sqrt(x^6)*atan(x))/(2*x^3) + atanh(x)/2 - (sqrt(x^6)*atanh(x))/(2*x^3), x, 11),
+
+((sqrt(x) - sqrt(x^3))/(x - x^3), atan(sqrt(x)) + (sqrt(x^3)*atan(sqrt(x)))/x^(3//2) + atanh(sqrt(x)) - (sqrt(x^3)*atanh(sqrt(x)))/x^(3//2), x, 12),
+(1/(sqrt(x) + sqrt(x^3)), atan(sqrt(x)) + (sqrt(x^3)*atan(sqrt(x)))/x^(3//2) + atanh(sqrt(x)) - (sqrt(x^3)*atanh(sqrt(x)))/x^(3//2), x, 13),
+(1/(sqrt(-1 + x) + sqrt((-1 + x)^3)), atan(sqrt(-1 + x)) + (sqrt((-1 + x)^3)*atan(sqrt(-1 + x)))/(-1 + x)^(3//2) + atanh(sqrt(-1 + x)) - (sqrt((-1 + x)^3)*atanh(sqrt(-1 + x)))/(-1 + x)^(3//2), x, 14),
+
+
+# Following integrands are equal.
+(-3/(4 + 5*x)^2 - (5 + 4*x)/((4 + 5*x)^2*sqrt(1 - x^2)), 3/(5*(4 + 5*x)) + sqrt(1 - x^2)/(4 + 5*x), x, 2),
+((-5 - 4*x - 3*sqrt(1 - x^2))/((4 + 5*x)^2*sqrt(1 - x^2)), 3/(5*(4 + 5*x)) + sqrt(1 - x^2)/(4 + 5*x), x, 8),
+(1/((-5 - 4*x)*sqrt(1 - x^2) + 3*(1 - x^2)), 3/(5*(4 + 5*x)) + sqrt(1 - x^2)/(4 + 5*x), x, 16),
+(1/(3 - 3*x^2 - 5*sqrt(1 - x^2) - 4*x*sqrt(1 - x^2)), 3/(5*(4 + 5*x)) + sqrt(1 - x^2)/(4 + 5*x), x, 16),
+((-1 + sqrt(1 - x^2))/(sqrt(1 - x^2)*(2 + x - 2*sqrt(1 - x^2))^2), 3/(5*(4 + 5*x)) + sqrt(1 - x^2)/(4 + 5*x), x, 31),
+
+
+((a + b*x^(n-1))/(c*x + d*x^n), (b*log(x))/d - ((b*c - a*d)*log(d + c*x^(1 - n)))/(c*d*(1 - n)), x, 5),
+
+
+(sqrt(1 + 2*x^2)/(1 + sqrt(1 + 2*x^2)), -(1/(2*x)) + x + sqrt(1 + 2*x^2)/(2*x) - asinh(sqrt(2)*x)/sqrt(2), x, 6),
+(sqrt(-1 + 4*x^2)/(x + sqrt(-1 + 4*x^2)), (4*x)/3 - (1//3)*sqrt(-1 + 4*x^2) - atanh(sqrt(3)*x)/(3*sqrt(3)) + atanh(sqrt(3)*sqrt(-1 + 4*x^2))/(3*sqrt(3)), x, 8),
+
+
+((a + b*x + c*x^2)/(sqrt(-1 + x^2)*(d + e*x)^3), -(((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*sqrt(-1 + x^2))/(2*e*(d^2 - e^2)*(d + e*x)^2)) + ((c*(d^3 - 4*d*e^2) - e*(3*a*d*e - b*(d^2 + 2*e^2)))*sqrt(-1 + x^2))/(2*e*(d^2 - e^2)^2*(d + e*x)) - ((3*b*d*e - a*(2*d^2 + e^2) - c*(d^2 + 2*e^2))*atanh((e + d*x)/(sqrt(d^2 - e^2)*sqrt(-1 + x^2))))/(2*(d^2 - e^2)^(5//2)), x, 4),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands requiring algebraic simplification
+
+
+# Following pairs or triples of integrands are equal.
+((1 + 2*x^8)/(x*(1 + x^8)^(3//2)), -(1/(4*sqrt(1 + x^8))) - (1//4)*atanh(sqrt(1 + x^8)), x, 4),
+((sqrt(1 + x^8)*(1 + 2*x^8))/(x + 2*x^9 + x^17), -(1/(4*sqrt(1 + x^8))) - (1//4)*atanh(sqrt(1 + x^8)), x, 6),
+
+(1 - 9*x^2 + x/sqrt(1 - 9*x^2), x - 3*x^3 - (1//9)*sqrt(1 - 9*x^2), x, 2),
+((x + (1 - 9*x^2)^(3//2))/sqrt(1 - 9*x^2), x - 3*x^3 - (1//9)*sqrt(1 - 9*x^2), x, 3),
+
+(((-3 + 2*sqrt(x))*(-3*sqrt(x) + x)^(2//3))/sqrt(x), (6//5)*(-3*sqrt(x) + x)^(5//3), x, 2),
+((9 - 9*sqrt(x) + 2*x)/(-3*sqrt(x) + x)^(1//3), (6//5)*(-3*sqrt(x) + x)^(5//3), x, 3),
+
+(1/sqrt(4 - 9*x^2), (1//3)*asin((3*x)/2), x, 1),
+(1/(sqrt(2 - 3*x)*sqrt(2 + 3*x)), (1//3)*asin((3*x)/2), x, 2),
+(1/sqrt((2 - 3*x)*(2 + 3*x)), (1//3)*asin((3*x)/2), x, 2),
+
+(1/sqrt(15 - 2*x - x^2), -asin((1//4)*(-1 - x)), x, 2),
+(1/(sqrt(3 - x)*sqrt(5 + x)), -asin((1//4)*(-1 - x)), x, 3),
+(1/sqrt((3 - x)*(5 + x)), -asin((1//4)*(-1 - x)), x, 3),
+
+(1/sqrt(-15 - 8*x - x^2), asin(4 + x), x, 2),
+(1/(sqrt(-3 - x)*sqrt(5 + x)), asin(4 + x), x, 3),
+(1/sqrt((-(3 + x))*(5 + x)), asin(4 + x), x, 3),
+
+(1 - sqrt(x), x - (2*x^(3//2))/3, x, 1),
+((1 - x)/(1 + sqrt(x)), x - (2*x^(3//2))/3, x, 4),
+
+(sqrt(1/(1 - x^2)), sqrt(1/(1 - x^2))*sqrt(1 - x^2)*asin(x), x, 2),
+(sqrt((1 + x^2)/(1 - x^4)), sqrt(1/(1 - x^2))*sqrt(1 - x^2)*asin(x), x, 3),
+
+(sqrt(1/(-1 + x^2)), sqrt(1 - x^2)*sqrt(1/(-1 + x^2))*asin(x), x, 2),
+(sqrt((1 + x^2)/(-1 + x^4)), sqrt(1 - x^2)*sqrt(1/(-1 + x^2))*asin(x), x, 3),
+
+
+# Following pairs of integrands are equal.
+(1/sqrt(1 - x), -2*sqrt(1 - x), x, 1),
+(sqrt(1 + x)/sqrt(1 - x^2), -2*sqrt(1 - x), x, 2),
+
+(1/sqrt(1 + x), 2*sqrt(1 + x), x, 1),
+(sqrt(1 - x)/sqrt(1 - x^2), 2*sqrt(1 + x), x, 2),
+
+(sqrt(1 - x), (-(2//3))*(1 - x)^(3//2), x, 1),
+(sqrt(1 - x^2)/sqrt(1 + x), (-(2//3))*(1 - x)^(3//2), x, 2),
+
+(sqrt(1 + x), (2//3)*(1 + x)^(3//2), x, 1),
+(sqrt(1 - x^2)/sqrt(1 - x), (2//3)*(1 + x)^(3//2), x, 2),
+
+(sqrt(2 + 3*x)/sqrt(1 + x), sqrt(1 + x)*sqrt(2 + 3*x) - asinh(sqrt(2 + 3*x))/sqrt(3), x, 3),
+((sqrt(2 + 3*x)*sqrt(1 - x))/sqrt(1 - x^2), sqrt(1 + x)*sqrt(2 + 3*x) - asinh(sqrt(2 + 3*x))/sqrt(3), x, 4),
+
+((1 + x)^(3//2)/(x*(1 - x)^(3//2)), (4*sqrt(1 + x))/sqrt(1 - x) - asin(x) - atanh(sqrt(1 - x)*sqrt(1 + x)), x, 7),
+((1 + x)^3/(x*(1 - x^2)^(3//2)), (4*(1 + x))/sqrt(1 - x^2) - asin(x) - atanh(sqrt(1 - x^2)), x, 6),
+
+((1 + a*x)^(3//2)/(x*(1 - a*x)^(3//2)), (4*sqrt(1 + a*x))/sqrt(1 - a*x) - asin(a*x) - atanh(sqrt(1 - a*x)*sqrt(1 + a*x)), x, 7),
+((1 + a*x)^3/(x*(1 - a^2*x^2)^(3//2)), (4*(1 + a*x))/sqrt(1 - a^2*x^2) - asin(a*x) - atanh(sqrt(1 - a^2*x^2)), x, 6),
+
+
+# Following pairs of integrands are equal.
+(1/sqrt(1 - x^2), asin(x), x, 1),
+(sqrt(1 + x^2)/sqrt(1 - x^4), asin(x), x, 2),
+
+(1/sqrt(1 + x^2), asinh(x), x, 1),
+(sqrt(1 - x^2)/sqrt(1 - x^4), asinh(x), x, 2),
+
+(sqrt(1 - x^2), (1//2)*x*sqrt(1 - x^2) + asin(x)/2, x, 2),
+(sqrt(1 - x^4)/sqrt(1 + x^2), (1//2)*x*sqrt(1 - x^2) + asin(x)/2, x, 3),
+
+(sqrt(1 + x^2), (1//2)*x*sqrt(1 + x^2) + asinh(x)/2, x, 2),
+(sqrt(1 - x^4)/sqrt(1 - x^2), (1//2)*x*sqrt(1 + x^2) + asinh(x)/2, x, 3),
+
+
+# {((a + b + c*x^2)/d)^m, x, 3, (d*x*((a + b)/d + (c*x^2)/d)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 3/2 + m, 3/2, -((c*x^2)/(a + b))])/(a + b), (x*((a + b)/d + (c*x^2)/d)^m*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 3/2, -((c*x^2)/(a + b))])/(1 + c*x^2/(a + b))^m}
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands requiring rationalization of denominator
+
+
+(1/(x - sqrt(1 + x^2)), -(x^2//2) - (1//2)*x*sqrt(1 + x^2) - asinh(x)/2, x, 4),
+(1/(x - sqrt(1 - x^2)), -(asin(x)/2) - (1//2)*atanh(x/sqrt(1 - x^2)) + (1//4)*log(1 - 2*x^2), x, 7),
+(1/(x - sqrt(1 + 2*x^2)), -(sqrt(2)*asinh(sqrt(2)*x)) + atanh(x/sqrt(1 + 2*x^2)) - log(1 + x^2)/2, x, 7),
+
+
+# Integrands are equal.  Denominators needs to be rationalized before expansion.
+((2*x - x^3 + x^2*sqrt(2 - x^2))/(-2 + 2*x^2), -(x^2//4) + (1//4)*x*sqrt(2 - x^2) - (1//2)*atanh(x/sqrt(2 - x^2)) + (1//4)*log(1 - x^2), x, 10),
+((x*sqrt(2 - x^2))/(x - sqrt(2 - x^2)), -(x^2//4) + (1//4)*x*sqrt(2 - x^2) - (1//2)*atanh(x/sqrt(2 - x^2)) + (1//4)*log(1 - x) + (1//4)*log(1 + x), x, 12),
+
+(x/(-x + sqrt(2*x - x^2)), -(x/2) - (1//2)*sqrt(2*x - x^2) + (1//2)*atanh(sqrt(2*x - x^2)) - (1//2)*log(1 - x), x, 5),
+((x + sqrt(2*x - x^2))/(2 - 2*x), -(x/2) - (1//2)*sqrt(2*x - x^2) + (1//2)*atanh(sqrt(2*x - x^2)) - (1//2)*log(1 - x), x, 7),
+((sqrt(2 - x)*sqrt(x) + x)/(2 - 2*x), -(x/2) - (1//2)*sqrt(2*x - x^2) + (1//2)*atanh(sqrt(2*x - x^2)) - (1//2)*log(1 - x), x, 9),
+(sqrt(x)/(sqrt(2 - x) - sqrt(x)), (-(1//2))*sqrt(2 - x)*sqrt(x) - x/2 + (1//2)*atanh(sqrt(2 - x)*sqrt(x)) - (1//2)*log(1 - x), x, 7),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands requiring piecewise constant extraction
+
+
+# {1/((1 + x)*(-1 + x^2))^(2/3), x, 3, -((3*(1 - x^2))/(2*(-((1 + x)*(1 - x^2)))^(2/3))), -((3*(1 - x)*(1 + x))/(2*(-1 - x + x^2 + x^3)^(2/3)))}
+
+
+((-1 + x^2)/((1 + x^2)*sqrt(x*(1 + x^2))), -((2*x)/sqrt(x*(1 + x^2))), x, 2),
+((-1 + x^2)/((1 + x^2)*sqrt(x + x^3)), -((2*x)/sqrt(x + x^3)), x, 2),
+
+
+(sqrt((-1 + x^2)^2/(x*(1 + x^2)))/(1 + x^2), (2*x*sqrt((1 - x^2)^2/(x*(1 + x^2))))/(1 - x^2), x, 2),
+(sqrt((-1 + x^2)^2/(x + x^3))/(1 + x^2), (2*x*sqrt((1 - x^2)^2/(x + x^3)))/(1 - x^2), x, 3),
+
+
+(1/(sqrt(a + b/x^2)*sqrt(c + d*x^2)), (sqrt(b + a*x^2)*atanh((sqrt(d)*sqrt(b + a*x^2))/(sqrt(a)*sqrt(c + d*x^2))))/(sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(a + b/x^2)*x), x, 5),
+
+
+(sqrt(-2*x^2 + x^4)/((-1 + x^2)*(2 + x^2)), (2*sqrt(-2*x^2 + x^4)*atan((1//2)*sqrt(-2 + x^2)))/(3*x*sqrt(-2 + x^2)) - (sqrt(-2*x^2 + x^4)*atan(sqrt(-2 + x^2)))/(3*x*sqrt(-2 + x^2)), x, 7),
+
+# {Sqrt[1 - 1/(-1 + x^2)^2]/(2 - x^2), x, 13, ((1 - x^2)*Sqrt[1 - 1/(1 - x^2)^2]*ArcTan[Sqrt[-2 + x^2]])/(x*Sqrt[-2 + x^2]), ((1 - x^2)*Sqrt[-2*x^2 + x^4]*Sqrt[1 - 1/(1 - x^2)^2]*ArcTan[Sqrt[-2 + x^2]])/(x*Sqrt[-2 + x^2]*Sqrt[-1 + (-1 + x^2)^2])}
+(sqrt((-2*x^2 + x^4)/(-1 + x^2)^2)/(2 + x^2), -((2*(1 - x^2)*sqrt(-((2*x^2 - x^4)/(1 - x^2)^2))*atan((1//2)*sqrt(-2 + x^2)))/(3*x*sqrt(-2 + x^2))) + ((1 - x^2)*sqrt(-((2*x^2 - x^4)/(1 - x^2)^2))*atan(sqrt(-2 + x^2)))/(3*x*sqrt(-2 + x^2)), x, 8),
+
+
+((1 + 2*x/(1 + x^2))^(5//2), (-(4//3))*(1 - 2*x)*(1 + x)*sqrt(1 + (2*x)/(1 + x^2)) - ((1 - x)*(1 + x)^3*sqrt(1 + (2*x)/(1 + x^2)))/(3*(1 + x^2)) - ((4 + 3*x)*(1 + x^2)*sqrt(1 + (2*x)/(1 + x^2)))/(1 + x) + (5*sqrt(1 + x^2)*sqrt(1 + (2*x)/(1 + x^2))*asinh(x))/(1 + x), x, 6),
+((1 + 2*x/(1 + x^2))^(3//2), -((1 - x)*(1 + x)*sqrt(1 + (2*x)/(1 + x^2))) - (x*(1 + x^2)*sqrt(1 + (2*x)/(1 + x^2)))/(1 + x) + (3*sqrt(1 + x^2)*sqrt(1 + (2*x)/(1 + x^2))*asinh(x))/(1 + x), x, 6),
+((1 + 2*x/(1 + x^2))^(1//2), ((1 + x^2)*sqrt(1 + (2*x)/(1 + x^2)))/(1 + x) + (sqrt(1 + x^2)*sqrt(1 + (2*x)/(1 + x^2))*asinh(x))/(1 + x), x, 4),
+(1/(1 + 2*x/(1 + x^2))^(1//2), (1 + x)/sqrt(1 + (2*x)/(1 + x^2)) - ((1 + x)*asinh(x))/(sqrt(1 + x^2)*sqrt(1 + (2*x)/(1 + x^2))) - (sqrt(2)*(1 + x)*atanh((1 - x)/(sqrt(2)*sqrt(1 + x^2))))/(sqrt(1 + x^2)*sqrt(1 + (2*x)/(1 + x^2))), x, 7),
+(1/(1 + 2*x/(1 + x^2))^(3//2), (3*(2 + x))/(2*sqrt(1 + (2*x)/(1 + x^2))) - (1 + x^2)/(2*(1 + x)*sqrt(1 + (2*x)/(1 + x^2))) - (3*(1 + x)*asinh(x))/(sqrt(1 + x^2)*sqrt(1 + (2*x)/(1 + x^2))) - (9*(1 + x)*atanh((1 - x)/(sqrt(2)*sqrt(1 + x^2))))/(2*sqrt(2)*sqrt(1 + x^2)*sqrt(1 + (2*x)/(1 + x^2))), x, 8),
+
+
+(sqrt(1 + 2*x/(1 + x^2))/(1 + x^2), -(((1 - x)*sqrt(1 + (2*x)/(1 + x^2)))/(1 + x)), x, 3),
+
+
+# Piecewise constant extraction and simplification caused infinite recursion prior to version 4.89.
+(F(x)*sqrt(x - x^2), CannotIntegrate(sqrt(x - x^2)*F(x), x), x, 0),
+(F(x)/sqrt(x - x^2), CannotIntegrate(F(x)/sqrt(x - x^2), x), x, 0),
+
+(F(x)*(sqrt(1 - x)*sqrt(x)), CannotIntegrate(sqrt(x - x^2)*F(x), x), x, 1),
+(F(x)/(sqrt(1 - x)*sqrt(x)), CannotIntegrate(F(x)/sqrt(x - x^2), x), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands involving roots of improper binomials
+
+
+# Integrands of the form F[x^m*(a+b*x^n)^p] where m==-n*p
+(F((a + b*x)/x), CannotIntegrate(F(b + a/x), x), x, 1),
+(F((a + b*x^2)/x^2), CannotIntegrate(F(b + a/x^2), x), x, 1),
+(F(x/(a + b*x)), CannotIntegrate(F(x/(a + b*x)), x), x, 0),
+(F(x^2/(a + b*x^2)), CannotIntegrate(F(x^2/(a + b*x^2)), x), x, 0),
+(F(x^2/(a + b*x)^2), CannotIntegrate(F(x^2/(a + b*x)^2), x), x, 0),
+(F(x^4/(a + b*x^2)^2), CannotIntegrate(F(x^4/(a + b*x^2)^2), x), x, 0),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands involving nested radicals
+
+
+(sqrt(b*x^2 + sqrt(a + b^2*x^4))/sqrt(a + b^2*x^4), atanh((sqrt(2)*sqrt(b)*x)/sqrt(b*x^2 + sqrt(a + b^2*x^4)))/(sqrt(2)*sqrt(b)), x, 2),
+(sqrt(-b*x^2 + sqrt(a + b^2*x^4))/sqrt(a + b^2*x^4), atan((sqrt(2)*sqrt(b)*x)/sqrt((-b)*x^2 + sqrt(a + b^2*x^4)))/(sqrt(2)*sqrt(b)), x, 2),
+
+
+(sqrt(2*x^2 + sqrt(3 + 4*x^4))/((c + d*x)*sqrt(3 + 4*x^4)), ((1//2 - I/2)*atan((sqrt(3)*d + 2*I*c*x)/(sqrt(2*I*c^2 - sqrt(3)*d^2)*sqrt(sqrt(3) - 2*I*x^2))))/sqrt(2*I*c^2 - sqrt(3)*d^2) - ((1//2 + I/2)*atanh((sqrt(3)*d - 2*I*c*x)/(sqrt(2*I*c^2 + sqrt(3)*d^2)*sqrt(sqrt(3) + 2*I*x^2))))/sqrt(2*I*c^2 + sqrt(3)*d^2), x, 5),
+(sqrt(2*x^2 + sqrt(3 + 4*x^4))/((c + d*x)^2*sqrt(3 + 4*x^4)), ((1//2 - I/2)*d*sqrt(sqrt(3) - 2*I*x^2))/((2*I*c^2 - sqrt(3)*d^2)*(c + d*x)) - ((1//2 + I/2)*d*sqrt(sqrt(3) + 2*I*x^2))/((2*I*c^2 + sqrt(3)*d^2)*(c + d*x)) + ((1 + I)*c*atan((sqrt(3)*d + 2*I*c*x)/(sqrt(2*I*c^2 - sqrt(3)*d^2)*sqrt(sqrt(3) - 2*I*x^2))))/(2*I*c^2 - sqrt(3)*d^2)^(3//2) + ((1 - I)*c*atanh((sqrt(3)*d - 2*I*c*x)/(sqrt(2*I*c^2 + sqrt(3)*d^2)*sqrt(sqrt(3) + 2*I*x^2))))/(2*I*c^2 + sqrt(3)*d^2)^(3//2), x, 7),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Miscellaneous algebraic function integrands
+
+
+((-4 + x)/((1 + x^(1//3))*sqrt(x)), -30*x^(1//6) + 2*sqrt(x) - (6*x^(5//6))/5 + (6*x^(7//6))/7 + 30*atan(x^(1//6)), x, 6),
+((1 + sqrt(x))/(x^(5//6) + x^(7//6)), 3*x^(1//3) + 6*atan(x^(1//6)) - 3*log(1 + x^(1//3)), x, 7),
+((1 + sqrt(x))/((1 + x^(1//3))*sqrt(x)), 6*x^(1//6) - 3*x^(1//3) + (3*x^(2//3))/2 - 6*atan(x^(1//6)) + 3*log(1 + x^(1//3)), x, 8),
+
+
+(sqrt(2 + b/x^2)/(b + 2*x^2), -(acsch((sqrt(2)*x)/sqrt(b))/sqrt(b)), x, 3),
+(sqrt(2 - b/x^2)/(-b + 2*x^2), -(acsc((sqrt(2)*x)/sqrt(b))/sqrt(b)), x, 3),
+
+
+(sqrt(a + c/x^2)/(d + e*x), (sqrt(a)*atanh(sqrt(a + c/x^2)/sqrt(a)))/e - (sqrt(a*d^2 + c*e^2)*atanh((a*d - (c*e)/x)/(sqrt(a*d^2 + c*e^2)*sqrt(a + c/x^2))))/(d*e) - (sqrt(c)*atanh(sqrt(c)/(sqrt(a + c/x^2)*x)))/d, x, 11),
+(sqrt(a + b/x + c/x^2)/(d + e*x), (sqrt(a)*atanh((2*a + b/x)/(2*sqrt(a)*sqrt(a + c/x^2 + b/x))))/e - (sqrt(c)*atanh((b + (2*c)/x)/(2*sqrt(c)*sqrt(a + c/x^2 + b/x))))/d - (sqrt(a*d^2 - e*(b*d - c*e))*atanh((2*a*d - b*e + (b*d - 2*c*e)/x)/(2*sqrt(a*d^2 - e*(b*d - c*e))*sqrt(a + c/x^2 + b/x))))/(d*e), x, 10),
+
+
+((x^(1//6) + (x^3)^(1//5))/sqrt(x), (3*x^(2//3))/2 + (10*sqrt(x)*(x^3)^(1//5))/11, x, 4),
+
+
+((2 + x)/sqrt(4*x - x^2), -sqrt(4*x - x^2) - 4*asin(1 - x/2), x, 3),
+((3 + x)/(6*x + x^2)^(1//3), (3//4)*(6*x + x^2)^(2//3), x, 1),
+((4 + x)/(6*x - x^2)^(3//2), -((12 - 7*x)/(9*sqrt(6*x - x^2))), x, 1),
+(1/((1 + x)*sqrt(2*x + x^2)), atan(sqrt(2*x + x^2)), x, 2),
+(1/((1 + 2*x)*sqrt(x + x^2)), atan(2*sqrt(x + x^2)), x, 2),
+((-1 + x)/sqrt(2*x - x^2), -sqrt(2*x - x^2), x, 1),
+(sqrt(x - x^2)/(1 + x), sqrt(x - x^2) - (3//2)*asin(1 - 2*x) + sqrt(2)*atan((1 - 3*x)/(2*sqrt(2)*sqrt(x - x^2))), x, 6),
+
+(sqrt(x^(1//4) + x), (1//3)*x^(1//4)*sqrt(x^(1//4) + x) + (2//3)*x*sqrt(x^(1//4) + x) - (1//3)*atanh(sqrt(x)/sqrt(x^(1//4) + x)), x, 5),
+(sqrt(x + x^(3//2)), (32*(x + x^(3//2))^(3//2))/(105*x^(3//2)) - (16*(x + x^(3//2))^(3//2))/(35*x) + (4*(x + x^(3//2))^(3//2))/(7*sqrt(x)), x, 3),
+(x*sqrt(x + x^(3//2)), (-(32//99))*(x + x^(3//2))^(3//2) + (512*(x + x^(3//2))^(3//2))/(3465*x^(3//2)) - (256*(x + x^(3//2))^(3//2))/(1155*x) + (64*(x + x^(3//2))^(3//2))/(231*sqrt(x)) + (4//11)*sqrt(x)*(x + x^(3//2))^(3//2), x, 5),
+
+
+((1 - x^2)*sqrt(1/(2 - x^2)), x/(2*sqrt(1/(2 - x^2))), x, 2),
+
+
+(sqrt(x^2 + x^3 - x^4), -(((1 - 2*x)*sqrt(x^2 + x^3 - x^4))/(8*x)) - ((1 + x - x^2)*sqrt(x^2 + x^3 - x^4))/(3*x) - (5*sqrt(x^2 + x^3 - x^4)*asin((1 - 2*x)/sqrt(5)))/(16*x*sqrt(1 + x - x^2)), x, 5),
+
+
+(1/sqrt((a^2 + x^2)^3), (x*(a^2 + x^2))/(a^2*sqrt((a^2 + x^2)^3)), x, 2),
+
+
+(sqrt(x)/(1 + sqrt(x) + x), 2*sqrt(x) - (2*atan((1 + 2*sqrt(x))/sqrt(3)))/sqrt(3) - log(1 + sqrt(x) + x), x, 6),
+(x/(1 + sqrt(x) + x), -2*sqrt(x) + x + (4*atan((1 + 2*sqrt(x))/sqrt(3)))/sqrt(3), x, 5),
+(1/(sqrt(x)*(1 + sqrt(x) + x)^(7//2)), (4*(1 + 2*sqrt(x)))/(15*(1 + sqrt(x) + x)^(5//2)) + (64*(1 + 2*sqrt(x)))/(135*(1 + sqrt(x) + x)^(3//2)) + (512*(1 + 2*sqrt(x)))/(405*sqrt(1 + sqrt(x) + x)), x, 4),
+
+
+# {Sqrt[1+x^2]/(1-x^3), x, 0}
+
+
+((-1 + x)/(1 + sqrt(1 + x^2)), -(1/x) + sqrt(1 + x^2) + sqrt(1 + x^2)/x - asinh(x) - log(1 + sqrt(1 + x^2)), x, 10),
+
+(1/((1 + x)^(2//3)*(-1 + x^2)^(2//3)), (3*(-1 + x^2)^(1//3))/(2*(1 + x)^(2//3)), x, 1),
+
+
+((1 - x^6)^(2//3) + (1 - x^6)^(2//3)/x^6, -((1 - x^6)^(2//3)/(5*x^5)) + (1//5)*x*(1 - x^6)^(2//3), x, -3),
+
+
+((x^(-1 + m)*(2*a*m + b*(2*m - n)*x^n))/(2*(a + b*x^n)^(3//2)), x^m/sqrt(a + b*x^n), x, 2),
+
+
+((x - 2*x^3)/sqrt(2 + 3*x), (-(4//81))*sqrt(2 + 3*x) - (10//81)*(2 + 3*x)^(3//2) + (8//135)*(2 + 3*x)^(5//2) - (4//567)*(2 + 3*x)^(7//2), x, 3),
+
+
+(1/((1 + x)^(1//4) + sqrt(1 + x)), -4*(1 + x)^(1//4) + 2*sqrt(1 + x) + 4*log(1 + (1 + x)^(1//4)), x, 5),
+((1 + 2*x)/sqrt(x + x^2), 2*sqrt(x + x^2), x, 1),
+(1/(2*sqrt(x)*(1 + x)), atan(sqrt(x)), x, 3),
+(1/(x*sqrt(6*x - x^2)), -(sqrt(6*x - x^2)/(3*x)), x, 1),
+((1 + sqrt(x))*sqrt(x), (2*x^(3//2))/3 + x^2//2, x, 2),
+((1 - sqrt(x))/x^(1//3), (3*x^(2//3))/2 - (6*x^(7//6))/7, x, 2),
+(sqrt(x)/(1 + x^(1//3)), -6*x^(1//6) + 2*sqrt(x) - (6*x^(5//6))/5 + (6*x^(7//6))/7 + 6*atan(x^(1//6)), x, 7),
+
+((1 + sqrt(x))^(1//3)/x, 6*(1 + sqrt(x))^(1//3) - 2*sqrt(3)*atan((1 + 2*(1 + sqrt(x))^(1//3))/sqrt(3)) + 3*log(1 - (1 + sqrt(x))^(1//3)) - log(x)/2, x, 6),
+
+(1 - sqrt(x), x - (2*x^(3//2))/3, x, 1),
+(1 - x^(1//4), x - (4*x^(5//4))/5, x, 1),
+((1 - sqrt(x))/(1 + x^(1//4)), x - (4*x^(5//4))/5, x, 2),
+
+(1/sqrt((a + b*x)*(c + d*x)), atanh((b*c + a*d + 2*b*d*x)/(2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(d)), x, 3),
+(1/sqrt((a + b*x)*(c - d*x)), -(atan((b*c - a*d - 2*b*d*x)/(2*sqrt(b)*sqrt(d)*sqrt(a*c + (b*c - a*d)*x - b*d*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(d))), x, 3),
+
+(1/(sqrt(x)*(1 - x^2)), atan(sqrt(x)) + atanh(sqrt(x)), x, 4),
+(sqrt(x)/(x - x^3), atan(sqrt(x)) + atanh(sqrt(x)), x, 5),
+
+(x/(2 - sqrt(3) + (1 + sqrt(3))*x + x^2), sqrt((1//23)*(13 + 8*sqrt(3)))*atanh((1 + sqrt(3) + 2*x)/sqrt(2*(-2 + 3*sqrt(3)))) + (1//2)*log(2 - sqrt(3) + (1 + sqrt(3))*x + x^2), x, 4),
+(sqrt(x^2 + x^3), -((4*(x^2 + x^3)^(3//2))/(15*x^3)) + (2*(x^2 + x^3)^(3//2))/(5*x^2), x, 2),
+(1/((1 + x)*sqrt(2*x + x^2)), atan(sqrt(2*x + x^2)), x, 2),
+(sqrt(1 - sqrt(x) - x)*sqrt(x), (9//32)*(1 + 2*sqrt(x))*sqrt(1 - sqrt(x) - x) + (5//12)*(1 - sqrt(x) - x)^(3//2) - (1//2)*(1 - sqrt(x) - x)^(3//2)*sqrt(x) + (45//64)*asin((1 + 2*sqrt(x))/sqrt(5)), x, 6),
+
+((1 + sqrt(-3 + x))^(1//3), (-(3//2))*(1 + sqrt(-3 + x))^(4//3) + (6//7)*(1 + sqrt(-3 + x))^(7//3), x, 4),
+(1/sqrt(3 + sqrt(-1 + 2*x)), -6*sqrt(3 + sqrt(-1 + 2*x)) + (2//3)*(3 + sqrt(-1 + 2*x))^(3//2), x, 4),
+
+# {(Sqrt[x]+x)^(2/3), x, 0}
+# {(-3*x+x^2)^(-1/3), x, 0}
+
+
+(sqrt(1 - x)/(1 + sqrt(x)), -((2 - sqrt(x))*sqrt(1 - x)) - asin(sqrt(x)), x, 4),
+(sqrt(1 - x)/(1 - sqrt(x)), -((2 + sqrt(x))*sqrt(1 - x)) + asin(sqrt(x)), x, 4),
+
+
+(x/(x - sqrt(1 + x^2)), -(x^3//3) - (1//3)*(1 + x^2)^(3//2), x, 3),
+(x/(x - sqrt(1 - x^2)), x/2 + sqrt(1 - x^2)/2 - atanh(sqrt(2)*x)/(2*sqrt(2)) - atanh(sqrt(2)*sqrt(1 - x^2))/(2*sqrt(2)), x, 7),
+(x/(x - sqrt(1 + 2*x^2)), -x - sqrt(1 + 2*x^2) + atan(x) + atan(sqrt(1 + 2*x^2)), x, 7),
+
+
+(sqrt(x)*sqrt(sqrt(x) + x), (5//32)*(1 + 2*sqrt(x))*sqrt(sqrt(x) + x) - (5//12)*(sqrt(x) + x)^(3//2) + (1//2)*sqrt(x)*(sqrt(x) + x)^(3//2) - (5//32)*atanh(sqrt(x)/sqrt(sqrt(x) + x)), x, 6),
+
+((1 + x^(1//3))/(1 + sqrt(x)), -3*x^(1//3) + 2*sqrt(x) + (6*x^(5//6))/5 - 2*sqrt(3)*atan((1 - 2*x^(1//6))/sqrt(3)) - 4*log(1 + x^(1//6)) - log(1 - x^(1//6) + x^(1//3)), x, 10),
+((1 + x^(1//3))/(1 + x^(1//4)), 12*x^(1//12) + 4*x^(1//4) - 3*x^(1//3) - 2*sqrt(x) + (12*x^(7//12))/7 + (4*x^(3//4))/3 - (6*x^(5//6))/5 + (12*x^(13//12))/13 + 4*sqrt(3)*atan((1 - 2*x^(1//12))/sqrt(3)) - 8*log(1 + x^(1//12)) - 2*log(1 - x^(1//12) + x^(1//6)), x, 11),
+
+
+# {1/Sqrt[a*x+b*x^3], x, 0}
+
+(x^2/(-1 + x^2 + sqrt(1 - x^2)), x + asin(x), x, 3),
+
+
+(sqrt((1 + x)/x), sqrt(1 + 1/x)*x + atanh(sqrt(1 + 1/x)), x, 5),
+(sqrt((1 - x)/x), sqrt(-1 + 1/x)*x - atan(sqrt(-1 + 1/x)), x, 5),
+# {Sqrt[(-1 + x)/x], x, 5, Sqrt[-1 + x]*Sqrt[x] - ArcSinh[Sqrt[-1 + x]], Sqrt[(-1 + x)/x]*x - ArcTanh[Sqrt[(-1 + x)/x]]}
+(sqrt((1 + x)/x)/x, -2*sqrt(1 + 1/x) + 2*atanh(sqrt(1 + 1/x)), x, 5),
+
+(sqrt(x/(1 + x)), sqrt(x)*sqrt(1 + x) - asinh(sqrt(x)), x, 4),
+
+(1/sqrt((-1 - x)/x), (-x)*sqrt(-((1 + x)/x)) + atan(sqrt(-((1 + x)/x))), x, 5),
+
+(sqrt((4 - x)*x), (-(1//2))*(2 - x)*sqrt(4*x - x^2) - 2*asin(1 - x/2), x, 4),
+(1/sqrt((1 - x)*x), -asin(1 - 2*x), x, 3),
+
+(x/(x*(2 + x))^(3//2), x/sqrt(2*x + x^2), x, 2),
+
+
+(sqrt(1 + 1/x)/(1 - x^2), sqrt(2)*atanh(sqrt(1 + 1/x)/sqrt(2)), x, 5),
+
+
+(1/(1 + sqrt(5) - x^2 + sqrt(5)*x^2), (1//2)*atan(sqrt((1//2)*(3 - sqrt(5)))*x), x, 2),
+
+
+# Integrands equivalent to expressions of the form 1/Sqrt[a*x + b*x^2]
+(1/sqrt(a*x + b*x^2), (2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a*x + b*x^2)))/sqrt(b), x, 2),
+(1/sqrt(x*(a + b*x)), (2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a*x + b*x^2)))/sqrt(b), x, 3),
+(1/sqrt(x^2*(b + a/x)), (2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a*x + b*x^2)))/sqrt(b), x, 3),
+(1/sqrt(x^3*(b/x + a/x^2)), (2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a*x + b*x^2)))/sqrt(b), x, 3),
+(1/sqrt((a*x^2 + b*x^3)/x), (2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a*x + b*x^2)))/sqrt(b), x, 3),
+(1/sqrt((a*x^3 + b*x^4)/x^2), (2*atanh((sqrt(b)*x)/sqrt(a*x + b*x^2)))/sqrt(b), x, 3),
+
+
+# Integrands equivalent to expressions of the form 1/Sqrt[a*c*x + b*c*x^2]
+(1/sqrt(a*c*x + b*c*x^2), (2*atanh((sqrt(b)*sqrt(c)*x)/sqrt(a*c*x + b*c*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(c)), x, 2),
+(1/sqrt(c*(a*x + b*x^2)), (2*atanh((sqrt(b)*sqrt(c)*x)/sqrt(a*c*x + b*c*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(c)), x, 3),
+(1/sqrt(c*x*(a + b*x)), (2*atanh((sqrt(b)*sqrt(c)*x)/sqrt(a*c*x + b*c*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(c)), x, 3),
+(1/sqrt(c*x^2*(b + a/x)), (2*atanh((sqrt(b)*sqrt(c)*x)/sqrt(a*c*x + b*c*x^2)))/(sqrt(b)*sqrt(c)), x, 3),
+
+
+# Subproblems of Charlwood Fifty problems
+(sqrt(1 - x^2 + x*sqrt(-1 + x^2)), (1//4)*(3*x + sqrt(-1 + x^2))*sqrt(1 - x^2 + x*sqrt(-1 + x^2)) + (3*asin(x - sqrt(-1 + x^2)))/(4*sqrt(2)), x, -1),
+(sqrt(-x + sqrt(x)*sqrt(1 + x))/sqrt(1 + x), (1//2)*(sqrt(x) + 3*sqrt(1 + x))*sqrt(-x + sqrt(x)*sqrt(1 + x)) - (3*asin(sqrt(x) - sqrt(1 + x)))/(2*sqrt(2)), x, -1),
+(-((x + 2*sqrt(1 + x^2))/(x + x^3 + sqrt(1 + x^2))), (-sqrt(2*(1 + sqrt(5))))*atan(sqrt(-2 + sqrt(5))*(x + sqrt(1 + x^2))) + sqrt(2*(-1 + sqrt(5)))*atanh(sqrt(2 + sqrt(5))*(x + sqrt(1 + x^2))), x, -25),
+((1 + 2*x)/((1 + x^2)*sqrt(2 + 2*x + x^2)), (-sqrt((1//2)*(1 + sqrt(5))))*atan((2*sqrt(5) - (5 + sqrt(5))*x)/(sqrt(10*(1 + sqrt(5)))*sqrt(2 + 2*x + x^2))) - sqrt((1//2)*(-1 + sqrt(5)))*atanh((2*sqrt(5) + (5 - sqrt(5))*x)/(sqrt(10*(-1 + sqrt(5)))*sqrt(2 + 2*x + x^2))), x, 5),
+
+
+(1/((1 + x^4)*sqrt(-x^2 + sqrt(1 + x^4))), atan(x/sqrt(-x^2 + sqrt(1 + x^4))), x, 2),
+
+(1/((a + b*x^4)*sqrt(c*x^2 + d*sqrt(a + b*x^4))), atanh((sqrt(c)*x)/sqrt(c*x^2 + d*sqrt(a + b*x^4)))/(a*sqrt(c)), x, 2),
+(1/((a + b*x^4)*sqrt((-c)*x^2 + d*sqrt(a + b*x^4))), atan((sqrt(c)*x)/sqrt((-c)*x^2 + d*sqrt(a + b*x^4)))/(a*sqrt(c)), x, 2),
+
+
+(x/sqrt(a + b*c^4 + 4*b*c^3*d*x + 6*b*c^2*d^2*x^2 + 4*b*c*d^3*x^3 + b*d^4*x^4), atanh((sqrt(b)*d^2*(c/d + x)^2)/sqrt(a + b*d^4*(c/d + x)^4))/(2*sqrt(b)*d^2) - (c*(sqrt(a) + sqrt(b)*d^2*(c/d + x)^2)*sqrt((a + b*d^4*(c/d + x)^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*d^2*(c/d + x)^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*(c + d*x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*b^(1//4)*d^2*sqrt(a + b*d^4*(c/d + x)^4)), x, 7),
+(1/sqrt(a + b*c^4 + 4*b*c^3*d*x + 6*b*c^2*d^2*x^2 + 4*b*c*d^3*x^3 + b*d^4*x^4), ((sqrt(a) + sqrt(b)*d^2*(c/d + x)^2)*sqrt((a + b*d^4*(c/d + x)^4)/(sqrt(a) + sqrt(b)*d^2*(c/d + x)^2)^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f(2*atan((b^(1//4)*(c + d*x))/a^(1//4)), 1//2))/(2*a^(1//4)*b^(1//4)*d*sqrt(a + b*d^4*(c/d + x)^4)), x, 2),
+
+
+((a - c*x^4)/(sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)*(a*d + a*e*x^2 + c*d*x^4)), atanh((sqrt(b*d - a*e)*x)/(sqrt(d)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)))/(sqrt(d)*sqrt(b*d - a*e)), x, 2),
+((a - c*x^4)/(sqrt(a - b*x^2 + c*x^4)*(a*d + a*e*x^2 + c*d*x^4)), atan((sqrt(b*d + a*e)*x)/(sqrt(d)*sqrt(a - b*x^2 + c*x^4)))/(sqrt(d)*sqrt(b*d + a*e)), x, 2),
+
+
+(1/(sqrt(5 - 2*x + x^2)*(8 + x^3)), -(atan((1 - x)/(sqrt(3)*sqrt(5 - 2*x + x^2)))/(4*sqrt(3))) - atanh((7 - 3*x)/(sqrt(13)*sqrt(5 - 2*x + x^2)))/(12*sqrt(13)) + (1//12)*atanh(sqrt(5 - 2*x + x^2)), x, 9),
+
+
+(sqrt(x^2/(1 + x^2)), (sqrt(x^2)*sqrt(1 + x^2))/x, x, 3),
+(sqrt(x^n/(1 + x^n)), (2*x*sqrt(x^n)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, (1//2)*(1 + 2/n), (1//2)*(3 + 2/n), -x^n))/(2 + n), x, 3),
+
+
+((e*f - e*f*x^2)/((a*d + b*d*x + a*d*x^2)*sqrt(a + b*x + c*x^2 + b*x^3 + a*x^4)), (e*f*atan((a*b + (4*a^2 + b^2 - 2*a*c)*x + a*b*x^2)/(2*a*sqrt(2*a - c)*sqrt(a + b*x + c*x^2 + b*x^3 + a*x^4))))/(a*sqrt(2*a - c)*d), x, 1),
+((e*f - e*f*x^2)/(((-a)*d + b*d*x - a*d*x^2)*sqrt(-a + b*x + c*x^2 + b*x^3 - a*x^4)), (e*f*atanh((a*b - (4*a^2 + b^2 + 2*a*c)*x + a*b*x^2)/(2*a*sqrt(2*a + c)*sqrt(-a + b*x + c*x^2 + b*x^3 - a*x^4))))/(a*sqrt(2*a + c)*d), x, 1),
+
+
+(sqrt(a*x^2 + b*x*sqrt(-(a/b^2) + (a^2*x^2)/b^2))/(x*sqrt(-(a/b^2) + (a^2*x^2)/b^2)), (sqrt(2)*b*asinh((a*x + b*sqrt(-(a/b^2) + (a^2*x^2)/b^2))/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 2),
+(sqrt((-a)*x^2 + b*x*sqrt(a/b^2 + (a^2*x^2)/b^2))/(x*sqrt(a/b^2 + (a^2*x^2)/b^2)), (sqrt(2)*b*asin((a*x - b*sqrt(a/b^2 + (a^2*x^2)/b^2))/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 2),
+
+
+(sqrt(x*(a*x + b*sqrt(-(a/b^2) + (a^2*x^2)/b^2)))/(x*sqrt(-(a/b^2) + (a^2*x^2)/b^2)), (sqrt(2)*b*asinh((a*x + b*sqrt(-(a/b^2) + (a^2*x^2)/b^2))/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 3),
+(sqrt(x*((-a)*x + b*sqrt(a/b^2 + (a^2*x^2)/b^2)))/(x*sqrt(a/b^2 + (a^2*x^2)/b^2)), (sqrt(2)*b*asin((a*x - b*sqrt(a/b^2 + (a^2*x^2)/b^2))/sqrt(a)))/sqrt(a), x, 3),
+
+
+((sqrt(x - 1)*x - 4*sqrt(x - 1) + sqrt(x - 4)*x - sqrt(x - 4))/((1 + sqrt(x - 4) + sqrt(x - 1))*(x^2 - 5*x + 4)), 2*log(1 + sqrt(-4 + x) + sqrt(-1 + x)), x, 3),
+
+
+(1/(x*(3 + 3*x + x^2)*(3 + 3*x + 3*x^2 + x^3)^(1//3)), -(atan((1 + (2*3^(1//3)*(1 + x))/(2 + (1 + x)^3)^(1//3))/sqrt(3))/3^(5//6)) - log(1 - (1 + x)^3)/(6*3^(1//3)) + log(3^(1//3)*(1 + x) - (2 + (1 + x)^3)^(1//3))/(2*3^(1//3)), x, 3),
+
+
+((1 - x^2)/((1 - x + x^2)*(1 - x^3)^(2//3)), (sqrt(3)*atan((1 - (2*2^(1//3)*(1 - x))/(1 - x^3)^(1//3))/sqrt(3)))/2^(2//3) - log(1 + 2*(1 - x)^3 - x^3)/(2*2^(2//3)) + (3*log(2^(1//3)*(1 - x) + (1 - x^3)^(1//3)))/(2*2^(2//3)), x, -42),
+
+
+(x^2/(sqrt(-1 + x^4)*(1 + x^4)), (-(1//4))*atan((1 + x^2)/(x*sqrt(-1 + x^4))) - (1//4)*atanh((1 - x^2)/(x*sqrt(-1 + x^4))), x, -9),
+
+
+((a - c*x^4)/((a*e + c*d*x^2)*(d + e*x^2)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)), atan((sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*x)/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(a + b*x^2 + c*x^4)))/(sqrt(d)*sqrt(e)*sqrt(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x, 2),
+
+
+# {(1 - Sqrt[3] + x)/((1 + Sqrt[3] + x)*Sqrt[-4 + 2*Sqrt[3] + x^2]*Sqrt[2 - (-2 + Sqrt[3])*x^2]), x, -10, (1/3^(3/4))*ArcTanh[(1 - Sqrt[3] + x)^2/(3^(3/4)*Sqrt[-4 + 2*Sqrt[3] + x^2]*Sqrt[2 - (-2 + Sqrt[3])*x^2])]}
+# {(1 - Sqrt[3] + x)/((1 + Sqrt[3] + x)*Sqrt[(-4 + 2*Sqrt[3] + x^2)*(2 - (Sqrt[3] - 2)*x^2)]), x, -11, (1/3^(3/4))*ArcTanh[(1 - Sqrt[3] + x)^2/(3^(3/4)*Sqrt[(-4 + 2*Sqrt[3] + x^2)*(2 - (Sqrt[3] - 2)*x^2)])]} *)
+
+
+# Lack of gcd cancellation used to cause a zero-divide error in IntSum.
+(x + (1 - x^2)/(1 + x), x, x, 1),
+(1/(1/x + sqrt(1 - x^2)), asin(x) - atan((1 - 2*x^2)/sqrt(3))/sqrt(3) - atan(x/(sqrt(-((I - sqrt(3))/(I + sqrt(3))))*sqrt(1 - x^2)))/sqrt(3) - atan((sqrt(-((I - sqrt(3))/(I + sqrt(3))))*x)/sqrt(1 - x^2))/sqrt(3), x, 12),
+# {x*(Sqrt[1 - x^2]/(x - x^3 + Sqrt[1 - x^2])), x, 13, ArcSin[x] - ArcTan[(1 - 2*x^2)/Sqrt[3]]/Sqrt[3] - ArcTan[x/(Sqrt[-((I - Sqrt[3])/(I + Sqrt[3]))]*Sqrt[1 - x^2])]/Sqrt[3] - ArcTan[(Sqrt[-((I - Sqrt[3])/(I + Sqrt[3]))]*x)/Sqrt[1 - x^2]]/Sqrt[3], (1/4)*(1 - x)^2 - x^2/2 + (1/4)*(1 + x)^2 + ArcSin[x] - ArcTan[(1 - 2*x^2)/Sqrt[3]]/Sqrt[3] - ArcTan[x/(Sqrt[-((I - Sqrt[3])/(I + Sqrt[3]))]*Sqrt[1 - x^2])]/Sqrt[3] - ArcTan[(Sqrt[-((I - Sqrt[3])/(I + Sqrt[3]))]*x)/Sqrt[1 - x^2]]/Sqrt[3]}
+
+
+((1 - x^4)^n/(1 + x + x^2 + x^3)^n, -(((1 - x)*(1 - x^4)^n)/((1 + x + x^2 + x^3)^n*(1 + n))), x, -1),
+
+
+# Manuel Bronstein pseudo-elliptic integrals:
+(x/sqrt(-44375*b^4 + 576000*b^3*c*x + 576000*b^2*c^2*x^2 + 5308416*c^4*x^4), (1/(18432*c^2))*log(20738073600000000*b^8*c^4 + 597005697024000000*b^6*c^6*x^2 + 2583100705996800000*b^5*c^7*x^3 + 951050714480640000*b^4*c^8*x^4 + 21641687369515008000*b^3*c^9*x^5 + 32462531054272512000*b^2*c^10*x^6 + 149587343098087735296*c^12*x^8 + 5308416*sqrt(-44375*b^4 + 576000*b^3*c*x + 576000*b^2*c^2*x^2 + 5308416*c^4*x^4)*(12203125*b^6*c^4 + 79200000*b^5*c^5*x + 38880000*b^4*c^6*x^2 + 1105920000*b^3*c^7*x^3 + 1990656000*b^2*c^8*x^4 + 12230590464*c^10*x^6)), x, 1),
+
+# {(1 + 4*x)/Sqrt[9 + 120*x + 64*x^2 + 64*x^3 + 64*x^4], x, 2, (1/16)*Log[921 + 2864*x + 9280*x^2 + 13440*x^3 + 17024*x^4 + 19456*x^5 + 12288*x^6 + 8192*x^7 + 4096*x^8 + Sqrt[9 + 120*x + 64*x^2 + 64*x^3 + 64*x^4]*(179 + 444*x + 744*x^2 + 1280*x^3 + 960*x^4 + 768*x^5 + 512*x^6)], (1/16)*Log[921 + 2864*x + 9280*x^2 + 13440*x^3 + 17024*x^4 + 19456*x^5 + 12288*x^6 + 8192*x^7 + 4096*x^8 + 179*Sqrt[9 + 120*x + 64*x^2 + 64*x^3 + 64*x^4] + 444*x*Sqrt[9 + 120*x + 64*x^2 + 64*x^3 + 64*x^4] + 744*x^2*Sqrt[9 + 120*x + 64*x^2 + 64*x^3 + 64*x^4] + 1280*x^3*Sqrt[9 + 120*x + 64*x^2 + 64*x^3 + 64*x^4] + 960*x^4*Sqrt[9 + 120*x + 64*x^2 + 64*x^3 + 64*x^4] + 768*x^5*Sqrt[9 + 120*x + 64*x^2 + 64*x^3 + 64*x^4] + 512*x^6*Sqrt[9 + 120*x + 64*x^2 + 64*x^3 + 64*x^4]]}
+]
+# Total integrals translated: 1001
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/2 Exponentials/2.1 u (F^(c (a+b x)))^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/2 Exponentials/2.1 u (F^(c (a+b x)))^n.m
new file mode 100644
index 00000000..1c0d1c37
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/2 Exponentials/2.1 u (F^(c (a+b x)))^n.m	
@@ -0,0 +1,177 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form u (F^(c (a+b x)))^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u F^(c (a+b x))*)
+
+
+(* Note: The optimal antiderivatives in this file are for when the control variable $UseGamma is False. *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m F^(c (a+b x))*)
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^m, x, 1, (F^(c*(a - (b*d)/e))*(d + e*x)^m*Gamma[1 + m, -((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e)])/((-((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e))^m*(b*c*Log[F]))}
+
+{F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^4, x, 5, (24*e^4*F^(c*(a + b*x)))/(b^5*c^5*Log[F]^5) - (24*e^3*F^(c*(a + b*x))*(d + e*x))/(b^4*c^4*Log[F]^4) + (12*e^2*F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^2)/(b^3*c^3*Log[F]^3) - (4*e*F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^3)/(b^2*c^2*Log[F]^2) + (F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^4)/(b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^3, x, 4, -((6*e^3*F^(c*(a + b*x)))/(b^4*c^4*Log[F]^4)) + (6*e^2*F^(c*(a + b*x))*(d + e*x))/(b^3*c^3*Log[F]^3) - (3*e*F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^2)/(b^2*c^2*Log[F]^2) + (F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^3)/(b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^2, x, 3, (2*e^2*F^(c*(a + b*x)))/(b^3*c^3*Log[F]^3) - (2*e*F^(c*(a + b*x))*(d + e*x))/(b^2*c^2*Log[F]^2) + (F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^2)/(b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^1, x, 2, -((e*F^(c*(a + b*x)))/(b^2*c^2*Log[F]^2)) + (F^(c*(a + b*x))*(d + e*x))/(b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^0, x, 1, F^(c*(a + b*x))/(b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))/(d + e*x)^1, x, 1, (F^(c*(a - (b*d)/e))*ExpIntegralEi[(b*c*(d + e*x)*Log[F])/e])/e}
+{F^(c*(a + b*x))/(d + e*x)^2, x, 2, -(F^(c*(a + b*x))/(e*(d + e*x))) + (b*c*F^(c*(a - (b*d)/e))*ExpIntegralEi[(b*c*(d + e*x)*Log[F])/e]*Log[F])/e^2}
+{F^(c*(a + b*x))/(d + e*x)^3, x, 3, -(F^(c*(a + b*x))/(2*e*(d + e*x)^2)) - (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F])/(2*e^2*(d + e*x)) + (b^2*c^2*F^(c*(a - (b*d)/e))*ExpIntegralEi[(b*c*(d + e*x)*Log[F])/e]*Log[F]^2)/(2*e^3)}
+{F^(c*(a + b*x))/(d + e*x)^4, x, 4, -(F^(c*(a + b*x))/(3*e*(d + e*x)^3)) - (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F])/(6*e^2*(d + e*x)^2) - (b^2*c^2*F^(c*(a + b*x))*Log[F]^2)/(6*e^3*(d + e*x)) + (b^3*c^3*F^(c*(a - (b*d)/e))*ExpIntegralEi[(b*c*(d + e*x)*Log[F])/e]*Log[F]^3)/(6*e^4)}
+{F^(c*(a + b*x))/(d + e*x)^5, x, 5, -(F^(c*(a + b*x))/(4*e*(d + e*x)^4)) - (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F])/(12*e^2*(d + e*x)^3) - (b^2*c^2*F^(c*(a + b*x))*Log[F]^2)/(24*e^3*(d + e*x)^2) - (b^3*c^3*F^(c*(a + b*x))*Log[F]^3)/(24*e^4*(d + e*x)) + (b^4*c^4*F^(c*(a - (b*d)/e))*ExpIntegralEi[(b*c*(d + e*x)*Log[F])/e]*Log[F]^4)/(24*e^5)}
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*Expand[(d + e*x)^4], x, 6, (24*e^4*F^(c*(a + b*x)))/(b^5*c^5*Log[F]^5) - (24*e^3*F^(c*(a + b*x))*(d + e*x))/(b^4*c^4*Log[F]^4) + (12*e^2*F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^2)/(b^3*c^3*Log[F]^3) - (4*e*F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^3)/(b^2*c^2*Log[F]^2) + (F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^4)/(b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))*Expand[(d + e*x)^3], x, 5, -((6*e^3*F^(c*(a + b*x)))/(b^4*c^4*Log[F]^4)) + (6*e^2*F^(c*(a + b*x))*(d + e*x))/(b^3*c^3*Log[F]^3) - (3*e*F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^2)/(b^2*c^2*Log[F]^2) + (F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^3)/(b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))*Expand[(d + e*x)^2], x, 4, (2*e^2*F^(c*(a + b*x)))/(b^3*c^3*Log[F]^3) - (2*e*F^(c*(a + b*x))*(d + e*x))/(b^2*c^2*Log[F]^2) + (F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^2)/(b*c*Log[F])}
+
+{F^(c*(a + b*x))/Expand[(d + e*x)^2], x, 3, -(F^(c*(a + b*x))/(e*(d + e*x))) + (b*c*F^(c*(a - (b*d)/e))*ExpIntegralEi[(b*c*(d + e*x)*Log[F])/e]*Log[F])/e^2}
+{F^(c*(a + b*x))/Expand[(d + e*x)^3], x, 4, -(F^(c*(a + b*x))/(2*e*(d + e*x)^2)) - (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F])/(2*e^2*(d + e*x)) + (b^2*c^2*F^(c*(a - (b*d)/e))*ExpIntegralEi[(b*c*(d + e*x)*Log[F])/e]*Log[F]^2)/(2*e^3)}
+{F^(c*(a + b*x))/Expand[(d + e*x)^4], x, 5, -(F^(c*(a + b*x))/(3*e*(d + e*x)^3)) - (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F])/(6*e^2*(d + e*x)^2) - (b^2*c^2*F^(c*(a + b*x))*Log[F]^2)/(6*e^3*(d + e*x)) + (b^3*c^3*F^(c*(a - (b*d)/e))*ExpIntegralEi[(b*c*(d + e*x)*Log[F])/e]*Log[F]^3)/(6*e^4)}
+{F^(c*(a + b*x))/Expand[(d + e*x)^5], x, 6, -(F^(c*(a + b*x))/(4*e*(d + e*x)^4)) - (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F])/(12*e^2*(d + e*x)^3) - (b^2*c^2*F^(c*(a + b*x))*Log[F]^2)/(24*e^3*(d + e*x)^2) - (b^3*c^3*F^(c*(a + b*x))*Log[F]^3)/(24*e^4*(d + e*x)) + (b^4*c^4*F^(c*(a - (b*d)/e))*ExpIntegralEi[(b*c*(d + e*x)*Log[F])/e]*Log[F]^4)/(24*e^5)}
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*Expand[(d + e*x)^n]^m, x, 2, (F^(c*(a - (b*d)/e))*((d + e*x)^n)^m*Gamma[1 + m*n, -((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e)])/((-((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e))^(m*n)*(b*c*Log[F]))}
+
+{F^(c*(a + b*x))*Expand[(d + e*x)^4]^m, x, 2, (F^(c*(a - (b*d)/e))*((d + e*x)^4)^m*Gamma[1 + 4*m, -((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e)])/((-((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e))^(4*m)*(b*c*Log[F]))}
+{F^(c*(a + b*x))*Expand[(d + e*x)^3]^m, x, 2, (F^(c*(a - (b*d)/e))*((d + e*x)^3)^m*Gamma[1 + 3*m, -((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e)])/((-((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e))^(3*m)*(b*c*Log[F]))}
+{F^(c*(a + b*x))*Expand[(d + e*x)^2]^m, x, 2, (F^(c*(a - (b*d)/e))*((d + e*x)^2)^m*Gamma[1 + 2*m, -((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e)])/((-((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e))^(2*m)*(b*c*Log[F]))}
+{F^(c*(a + b*x))*Expand[(d + e*x)^1]^m, x, 1, (F^(c*(a - (b*d)/e))*(d + e*x)^m*Gamma[1 + m, -((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e)])/((-((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e))^m*(b*c*Log[F]))}
+{F^(c*(a + b*x))/Expand[(d + e*x)^1]^m, x, 1, (F^(c*(a - (b*d)/e))*Gamma[1 - m, -((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e)]*(-((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e))^m)/((d + e*x)^m*(b*c*Log[F]))}
+{F^(c*(a + b*x))/Expand[(d + e*x)^2]^m, x, 2, (F^(c*(a - (b*d)/e))*Gamma[1 - 2*m, -((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e)]*(-((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e))^(2*m))/(((d + e*x)^2)^m*(b*c*Log[F]))}
+{F^(c*(a + b*x))/Expand[(d + e*x)^3]^m, x, 2, (F^(c*(a - (b*d)/e))*Gamma[1 - 3*m, -((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e)]*(-((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e))^(3*m))/(((d + e*x)^3)^m*(b*c*Log[F]))}
+
+
+{F^(2 + 5*x), x, 1, F^(2 + 5*x)/(5*Log[F])}
+{F^(a + b*x), x, 1, F^(a + b*x)/(b*Log[F])}
+{10^(2 + 5*x), x, 1, (2^(2 + 5*x)*5^(1 + 5*x))/Log[10]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^(m/2) F^(c (a+b x))*)
+
+
+{x^(7/2)*F^(a + b*x), x, 6, (105*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*Sqrt[x]*Sqrt[Log[F]]])/(16*b^(9/2)*Log[F]^(9/2)) - (105*F^(a + b*x)*Sqrt[x])/(8*b^4*Log[F]^4) + (35*F^(a + b*x)*x^(3/2))/(4*b^3*Log[F]^3) - (7*F^(a + b*x)*x^(5/2))/(2*b^2*Log[F]^2) + (F^(a + b*x)*x^(7/2))/(b*Log[F])}
+{x^(5/2)*F^(a + b*x), x, 5, -((15*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*Sqrt[x]*Sqrt[Log[F]]])/(8*b^(7/2)*Log[F]^(7/2))) + (15*F^(a + b*x)*Sqrt[x])/(4*b^3*Log[F]^3) - (5*F^(a + b*x)*x^(3/2))/(2*b^2*Log[F]^2) + (F^(a + b*x)*x^(5/2))/(b*Log[F])}
+{x^(3/2)*F^(a + b*x), x, 4, (3*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*Sqrt[x]*Sqrt[Log[F]]])/(4*b^(5/2)*Log[F]^(5/2)) - (3*F^(a + b*x)*Sqrt[x])/(2*b^2*Log[F]^2) + (F^(a + b*x)*x^(3/2))/(b*Log[F])}
+{x^(1/2)*F^(a + b*x), x, 3, -((F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*Sqrt[x]*Sqrt[Log[F]]])/(2*b^(3/2)*Log[F]^(3/2))) + (F^(a + b*x)*Sqrt[x])/(b*Log[F])}
+{F^(a + b*x)/x^(1/2), x, 2, (F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*Sqrt[x]*Sqrt[Log[F]]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Log[F]])}
+{F^(a + b*x)/x^(3/2), x, 3, -((2*F^(a + b*x))/Sqrt[x]) + 2*Sqrt[b]*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*Sqrt[x]*Sqrt[Log[F]]]*Sqrt[Log[F]]}
+{F^(a + b*x)/x^(5/2), x, 4, -((2*F^(a + b*x))/(3*x^(3/2))) - (4*b*F^(a + b*x)*Log[F])/(3*Sqrt[x]) + (4/3)*b^(3/2)*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*Sqrt[x]*Sqrt[Log[F]]]*Log[F]^(3/2)}
+{F^(a + b*x)/x^(7/2), x, 5, -((2*F^(a + b*x))/(5*x^(5/2))) - (4*b*F^(a + b*x)*Log[F])/(15*x^(3/2)) - (8*b^2*F^(a + b*x)*Log[F]^2)/(15*Sqrt[x]) + (8/15)*b^(5/2)*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*Sqrt[x]*Sqrt[Log[F]]]*Log[F]^(5/2)}
+{F^(a + b*x)/x^(9/2), x, 6, -((2*F^(a + b*x))/(7*x^(7/2))) - (4*b*F^(a + b*x)*Log[F])/(35*x^(5/2)) - (8*b^2*F^(a + b*x)*Log[F]^2)/(105*x^(3/2)) - (16*b^3*F^(a + b*x)*Log[F]^3)/(105*Sqrt[x]) + (16/105)*b^(7/2)*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*Sqrt[x]*Sqrt[Log[F]]]*Log[F]^(7/2)}
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^(7/2), x, 6, (105*e^(7/2)*F^(c*(a - (b*d)/e))*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[Log[F]])/Sqrt[e]])/(16*b^(9/2)*c^(9/2)*Log[F]^(9/2)) - (105*e^3*F^(c*(a + b*x))*Sqrt[d + e*x])/(8*b^4*c^4*Log[F]^4) + (35*e^2*F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^(3/2))/(4*b^3*c^3*Log[F]^3) - (7*e*F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^(5/2))/(2*b^2*c^2*Log[F]^2) + (F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^(7/2))/(b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^(5/2), x, 5, -((15*e^(5/2)*F^(c*(a - (b*d)/e))*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[Log[F]])/Sqrt[e]])/(8*b^(7/2)*c^(7/2)*Log[F]^(7/2))) + (15*e^2*F^(c*(a + b*x))*Sqrt[d + e*x])/(4*b^3*c^3*Log[F]^3) - (5*e*F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^(3/2))/(2*b^2*c^2*Log[F]^2) + (F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^(5/2))/(b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^(3/2), x, 4, (3*e^(3/2)*F^(c*(a - (b*d)/e))*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[Log[F]])/Sqrt[e]])/(4*b^(5/2)*c^(5/2)*Log[F]^(5/2)) - (3*e*F^(c*(a + b*x))*Sqrt[d + e*x])/(2*b^2*c^2*Log[F]^2) + (F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^(3/2))/(b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))*(d + e*x)^(1/2), x, 3, -((Sqrt[e]*F^(c*(a - (b*d)/e))*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[Log[F]])/Sqrt[e]])/(2*b^(3/2)*c^(3/2)*Log[F]^(3/2))) + (F^(c*(a + b*x))*Sqrt[d + e*x])/(b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))/(d + e*x)^(1/2), x, 2, (F^(c*(a - (b*d)/e))*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[Log[F]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[e]*Sqrt[Log[F]])}
+{F^(c*(a + b*x))/(d + e*x)^(3/2), x, 3, -((2*F^(c*(a + b*x)))/(e*Sqrt[d + e*x])) + (2*Sqrt[b]*Sqrt[c]*F^(c*(a - (b*d)/e))*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[Log[F]])/Sqrt[e]]*Sqrt[Log[F]])/e^(3/2)}
+{F^(c*(a + b*x))/(d + e*x)^(5/2), x, 4, -((2*F^(c*(a + b*x)))/(3*e*(d + e*x)^(3/2))) - (4*b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F])/(3*e^2*Sqrt[d + e*x]) + (4*b^(3/2)*c^(3/2)*F^(c*(a - (b*d)/e))*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[Log[F]])/Sqrt[e]]*Log[F]^(3/2))/(3*e^(5/2))}
+{F^(c*(a + b*x))/(d + e*x)^(7/2), x, 5, -((2*F^(c*(a + b*x)))/(5*e*(d + e*x)^(5/2))) - (4*b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F])/(15*e^2*(d + e*x)^(3/2)) - (8*b^2*c^2*F^(c*(a + b*x))*Log[F]^2)/(15*e^3*Sqrt[d + e*x]) + (8*b^(5/2)*c^(5/2)*F^(c*(a - (b*d)/e))*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[Log[F]])/Sqrt[e]]*Log[F]^(5/2))/(15*e^(7/2))}
+{F^(c*(a + b*x))/(d + e*x)^(9/2), x, 6, -((2*F^(c*(a + b*x)))/(7*e*(d + e*x)^(7/2))) - (4*b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F])/(35*e^2*(d + e*x)^(5/2)) - (8*b^2*c^2*F^(c*(a + b*x))*Log[F]^2)/(105*e^3*(d + e*x)^(3/2)) - (16*b^3*c^3*F^(c*(a + b*x))*Log[F]^3)/(105*e^4*Sqrt[d + e*x]) + (16*b^(7/2)*c^(7/2)*F^(c*(a - (b*d)/e))*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c]*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[Log[F]])/Sqrt[e]]*Log[F]^(7/2))/(105*e^(9/2))}
+
+
+{x^(13/2)/E^(b*x), x, 9, -((135135*Sqrt[x])/(E^(b*x)*(64*b^7))) - (45045*x^(3/2))/(E^(b*x)*(32*b^6)) - (9009*x^(5/2))/(E^(b*x)*(16*b^5)) - (1287*x^(7/2))/(E^(b*x)*(8*b^4)) - (143*x^(9/2))/(E^(b*x)*(4*b^3)) - (13*x^(11/2))/(E^(b*x)*(2*b^2)) - x^(13/2)/(E^(b*x)*b) + (135135*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]*Sqrt[x]])/(128*b^(15/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^(m/3) (F^(c (a+b x)))^n*)
+
+
+{(d + e*x)^(4/3)*F^(c*(a + b*x)), x, 1, -((e*F^(c*(a - (b*d)/e))*(d + e*x)^(1/3)*Gamma[7/3, -((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e)])/(b^2*c^2*Log[F]^2*(-((b*c*(d + e*x)*Log[F])/e))^(1/3)))}
+
+
+{(d + e*x)^(4/3)*(F^(c*(a + b*x)))^n, x, 2, -((e*F^(c*(a - (b*d)/e)*n - c*n*(a + b*x))*(F^(c*(a + b*x)))^n*(d + e*x)^(1/3)*Gamma[7/3, -((b*c*n*(d + e*x)*Log[F])/e)])/(b^2*c^2*n^2*Log[F]^2*(-((b*c*n*(d + e*x)*Log[F])/e))^(1/3)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Px F^(c (a+b x))*)
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*(d + e*x), x, 2, -((e*F^(c*(a + b*x)))/(b^2*c^2*Log[F]^2)) + (F^(c*(a + b*x))*(d + e*x))/(b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))*(d + e*x + f*x^2), x, 8, (2*f*F^(c*(a + b*x)))/(b^3*c^3*Log[F]^3) - (e*F^(c*(a + b*x)))/(b^2*c^2*Log[F]^2) - (2*f*F^(c*(a + b*x))*x)/(b^2*c^2*Log[F]^2) + (d*F^(c*(a + b*x)))/(b*c*Log[F]) + (e*F^(c*(a + b*x))*x)/(b*c*Log[F]) + (f*F^(c*(a + b*x))*x^2)/(b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3), x, 12, -((6*F^(c*(a + b*x))*g)/(b^4*c^4*Log[F]^4)) + (2*f*F^(c*(a + b*x)))/(b^3*c^3*Log[F]^3) + (6*F^(c*(a + b*x))*g*x)/(b^3*c^3*Log[F]^3) - (e*F^(c*(a + b*x)))/(b^2*c^2*Log[F]^2) - (2*f*F^(c*(a + b*x))*x)/(b^2*c^2*Log[F]^2) - (3*F^(c*(a + b*x))*g*x^2)/(b^2*c^2*Log[F]^2) + (d*F^(c*(a + b*x)))/(b*c*Log[F]) + (e*F^(c*(a + b*x))*x)/(b*c*Log[F]) + (f*F^(c*(a + b*x))*x^2)/(b*c*Log[F]) + (F^(c*(a + b*x))*g*x^3)/(b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))*(d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4), x, 17, (24*F^(c*(a + b*x))*h)/(b^5*c^5*Log[F]^5) - (6*F^(c*(a + b*x))*g)/(b^4*c^4*Log[F]^4) - (24*F^(c*(a + b*x))*h*x)/(b^4*c^4*Log[F]^4) + (2*f*F^(c*(a + b*x)))/(b^3*c^3*Log[F]^3) + (6*F^(c*(a + b*x))*g*x)/(b^3*c^3*Log[F]^3) + (12*F^(c*(a + b*x))*h*x^2)/(b^3*c^3*Log[F]^3) - (e*F^(c*(a + b*x)))/(b^2*c^2*Log[F]^2) - (2*f*F^(c*(a + b*x))*x)/(b^2*c^2*Log[F]^2) - (3*F^(c*(a + b*x))*g*x^2)/(b^2*c^2*Log[F]^2) - (4*F^(c*(a + b*x))*h*x^3)/(b^2*c^2*Log[F]^2) + (d*F^(c*(a + b*x)))/(b*c*Log[F]) + (e*F^(c*(a + b*x))*x)/(b*c*Log[F]) + (f*F^(c*(a + b*x))*x^2)/(b*c*Log[F]) + (F^(c*(a + b*x))*g*x^3)/(b*c*Log[F]) + (F^(c*(a + b*x))*h*x^4)/(b*c*Log[F])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (e+f x)^n F^(a+b (c+d x))*)
+
+
+{x^m*(a + b*x)^3/E^(a + b*x), x, 6, -((a^3*x^m*Gamma[1 + m, b*x])/(E^a*(b*x)^m*b)) - (3*a^2*x^m*Gamma[2 + m, b*x])/(E^a*(b*x)^m*b) - (3*a*x^m*Gamma[3 + m, b*x])/(E^a*(b*x)^m*b) - (x^m*Gamma[4 + m, b*x])/(E^a*(b*x)^m*b)}
+
+{x^3*(a + b*x)^3/E^(a + b*x), x, 24, -((720*E^(-a - b*x))/b^4) - (360*a*E^(-a - b*x))/b^4 - (72*a^2*E^(-a - b*x))/b^4 - (6*a^3*E^(-a - b*x))/b^4 - (720*E^(-a - b*x)*x)/b^3 - (360*a*E^(-a - b*x)*x)/b^3 - (72*a^2*E^(-a - b*x)*x)/b^3 - (6*a^3*E^(-a - b*x)*x)/b^3 - (360*E^(-a - b*x)*x^2)/b^2 - (180*a*E^(-a - b*x)*x^2)/b^2 - (36*a^2*E^(-a - b*x)*x^2)/b^2 - (3*a^3*E^(-a - b*x)*x^2)/b^2 - (120*E^(-a - b*x)*x^3)/b - (60*a*E^(-a - b*x)*x^3)/b - (12*a^2*E^(-a - b*x)*x^3)/b - (a^3*E^(-a - b*x)*x^3)/b - 30*E^(-a - b*x)*x^4 - 15*a*E^(-a - b*x)*x^4 - 3*a^2*E^(-a - b*x)*x^4 - 6*b*E^(-a - b*x)*x^5 - 3*a*b*E^(-a - b*x)*x^5 - b^2*E^(-a - b*x)*x^6}
+{x^2*(a + b*x)^3/E^(a + b*x), x, 20, -((120*E^(-a - b*x))/b^3) - (72*a*E^(-a - b*x))/b^3 - (18*a^2*E^(-a - b*x))/b^3 - (2*a^3*E^(-a - b*x))/b^3 - (120*E^(-a - b*x)*x)/b^2 - (72*a*E^(-a - b*x)*x)/b^2 - (18*a^2*E^(-a - b*x)*x)/b^2 - (2*a^3*E^(-a - b*x)*x)/b^2 - (60*E^(-a - b*x)*x^2)/b - (36*a*E^(-a - b*x)*x^2)/b - (9*a^2*E^(-a - b*x)*x^2)/b - (a^3*E^(-a - b*x)*x^2)/b - 20*E^(-a - b*x)*x^3 - 12*a*E^(-a - b*x)*x^3 - 3*a^2*E^(-a - b*x)*x^3 - 5*b*E^(-a - b*x)*x^4 - 3*a*b*E^(-a - b*x)*x^4 - b^2*E^(-a - b*x)*x^5}
+{x^1*(a + b*x)^3/E^(a + b*x), x, 11, -((24*E^(-a - b*x))/b^2) + (6*a*E^(-a - b*x))/b^2 - (24*E^(-a - b*x)*(a + b*x))/b^2 + (6*a*E^(-a - b*x)*(a + b*x))/b^2 - (12*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^2)/b^2 + (3*a*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^2)/b^2 - (4*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^3)/b^2 + (a*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^3)/b^2 - (E^(-a - b*x)*(a + b*x)^4)/b^2}
+{x^0*(a + b*x)^3/E^(a + b*x), x, 4, -((6*E^(-a - b*x))/b) - (6*E^(-a - b*x)*(a + b*x))/b - (3*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^2)/b - (E^(-a - b*x)*(a + b*x)^3)/b}
+{(a + b*x)^3/(x^1*E^(a + b*x)), x, 9, -2*E^(-a - b*x) - 3*a*E^(-a - b*x) - 3*a^2*E^(-a - b*x) - 2*b*E^(-a - b*x)*x - 3*a*b*E^(-a - b*x)*x - b^2*E^(-a - b*x)*x^2 + (a^3*ExpIntegralEi[(-b)*x])/E^a}
+{(a + b*x)^3/(x^2*E^(a + b*x)), x, 8, (-b)*E^(-a - b*x) - 3*a*b*E^(-a - b*x) - (a^3*E^(-a - b*x))/x - b^2*E^(-a - b*x)*x + (3*a^2*b*ExpIntegralEi[(-b)*x])/E^a - (a^3*b*ExpIntegralEi[(-b)*x])/E^a}
+{(a + b*x)^3/(x^3*E^(a + b*x)), x, 9, (-b^2)*E^(-a - b*x) - (a^3*E^(-a - b*x))/(2*x^2) - (3*a^2*b*E^(-a - b*x))/x + (a^3*b*E^(-a - b*x))/(2*x) + (3*a*b^2*ExpIntegralEi[(-b)*x])/E^a - (3*a^2*b^2*ExpIntegralEi[(-b)*x])/E^a + ((1/2)*a^3*b^2*ExpIntegralEi[(-b)*x])/E^a}
+{(a + b*x)^3/(x^4*E^(a + b*x)), x, 12, -((a^3*E^(-a - b*x))/(3*x^3)) - (3*a^2*b*E^(-a - b*x))/(2*x^2) + (a^3*b*E^(-a - b*x))/(6*x^2) - (3*a*b^2*E^(-a - b*x))/x + (3*a^2*b^2*E^(-a - b*x))/(2*x) - (a^3*b^2*E^(-a - b*x))/(6*x) + (b^3*ExpIntegralEi[(-b)*x])/E^a - (3*a*b^3*ExpIntegralEi[(-b)*x])/E^a + ((3/2)*a^2*b^3*ExpIntegralEi[(-b)*x])/E^a - ((1/6)*a^3*b^3*ExpIntegralEi[(-b)*x])/E^a}
+
+
+{x^m*(e + f*x)^2*F^(a + b*(c + d*x)), x, 5, (f^2*F^(a + b*c)*x^m*Gamma[3 + m, (-b)*d*x*Log[F]])/(((-b)*d*x*Log[F])^m*(b^3*d^3*Log[F]^3)) - (2*e*f*F^(a + b*c)*x^m*Gamma[2 + m, (-b)*d*x*Log[F]])/(((-b)*d*x*Log[F])^m*(b^2*d^2*Log[F]^2)) + (e^2*F^(a + b*c)*x^m*Gamma[1 + m, (-b)*d*x*Log[F]])/(((-b)*d*x*Log[F])^m*(b*d*Log[F]))}
+
+{x^3*(e + f*x)^2*F^(a + b*(c + d*x)), x, 17, -((120*f^2*F^(a + b*c + b*d*x))/(b^6*d^6*Log[F]^6)) + (48*e*f*F^(a + b*c + b*d*x))/(b^5*d^5*Log[F]^5) + (120*f^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x)/(b^5*d^5*Log[F]^5) - (6*e^2*F^(a + b*c + b*d*x))/(b^4*d^4*Log[F]^4) - (48*e*f*F^(a + b*c + b*d*x)*x)/(b^4*d^4*Log[F]^4) - (60*f^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x^2)/(b^4*d^4*Log[F]^4) + (6*e^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x)/(b^3*d^3*Log[F]^3) + (24*e*f*F^(a + b*c + b*d*x)*x^2)/(b^3*d^3*Log[F]^3) + (20*f^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x^3)/(b^3*d^3*Log[F]^3) - (3*e^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x^2)/(b^2*d^2*Log[F]^2) - (8*e*f*F^(a + b*c + b*d*x)*x^3)/(b^2*d^2*Log[F]^2) - (5*f^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x^4)/(b^2*d^2*Log[F]^2) + (e^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x^3)/(b*d*Log[F]) + (2*e*f*F^(a + b*c + b*d*x)*x^4)/(b*d*Log[F]) + (f^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x^5)/(b*d*Log[F])}
+{x^2*(e + f*x)^2*F^(a + b*(c + d*x)), x, 14, (24*f^2*F^(a + b*c + b*d*x))/(b^5*d^5*Log[F]^5) - (12*e*f*F^(a + b*c + b*d*x))/(b^4*d^4*Log[F]^4) - (24*f^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x)/(b^4*d^4*Log[F]^4) + (2*e^2*F^(a + b*c + b*d*x))/(b^3*d^3*Log[F]^3) + (12*e*f*F^(a + b*c + b*d*x)*x)/(b^3*d^3*Log[F]^3) + (12*f^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x^2)/(b^3*d^3*Log[F]^3) - (2*e^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x)/(b^2*d^2*Log[F]^2) - (6*e*f*F^(a + b*c + b*d*x)*x^2)/(b^2*d^2*Log[F]^2) - (4*f^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x^3)/(b^2*d^2*Log[F]^2) + (e^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x^2)/(b*d*Log[F]) + (2*e*f*F^(a + b*c + b*d*x)*x^3)/(b*d*Log[F]) + (f^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x^4)/(b*d*Log[F])}
+{x^1*(e + f*x)^2*F^(a + b*(c + d*x)), x, 11, -((6*f^2*F^(a + b*c + b*d*x))/(b^4*d^4*Log[F]^4)) + (4*e*f*F^(a + b*c + b*d*x))/(b^3*d^3*Log[F]^3) + (6*f^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x)/(b^3*d^3*Log[F]^3) - (e^2*F^(a + b*c + b*d*x))/(b^2*d^2*Log[F]^2) - (4*e*f*F^(a + b*c + b*d*x)*x)/(b^2*d^2*Log[F]^2) - (3*f^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x^2)/(b^2*d^2*Log[F]^2) + (e^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x)/(b*d*Log[F]) + (2*e*f*F^(a + b*c + b*d*x)*x^2)/(b*d*Log[F]) + (f^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x^3)/(b*d*Log[F])}
+{x^0*(e + f*x)^2*F^(a + b*(c + d*x)), x, 4, (2*f^2*F^(a + b*c + b*d*x))/(b^3*d^3*Log[F]^3) - (2*f*F^(a + b*c + b*d*x)*(e + f*x))/(b^2*d^2*Log[F]^2) + (F^(a + b*c + b*d*x)*(e + f*x)^2)/(b*d*Log[F])}
+{(e + f*x)^2*F^(a + b*(c + d*x))/x^1, x, 6, e^2*F^(a + b*c)*ExpIntegralEi[b*d*x*Log[F]] - (f^2*F^(a + b*c + b*d*x))/(b^2*d^2*Log[F]^2) + (2*e*f*F^(a + b*c + b*d*x))/(b*d*Log[F]) + (f^2*F^(a + b*c + b*d*x)*x)/(b*d*Log[F])}
+{(e + f*x)^2*F^(a + b*(c + d*x))/x^2, x, 6, -((e^2*F^(a + b*c + b*d*x))/x) + 2*e*f*F^(a + b*c)*ExpIntegralEi[b*d*x*Log[F]] + (f^2*F^(a + b*c + b*d*x))/(b*d*Log[F]) + b*d*e^2*F^(a + b*c)*ExpIntegralEi[b*d*x*Log[F]]*Log[F]}
+{(e + f*x)^2*F^(a + b*(c + d*x))/x^3, x, 8, -((e^2*F^(a + b*c + b*d*x))/(2*x^2)) - (2*e*f*F^(a + b*c + b*d*x))/x + f^2*F^(a + b*c)*ExpIntegralEi[b*d*x*Log[F]] - (b*d*e^2*F^(a + b*c + b*d*x)*Log[F])/(2*x) + 2*b*d*e*f*F^(a + b*c)*ExpIntegralEi[b*d*x*Log[F]]*Log[F] + (1/2)*b^2*d^2*e^2*F^(a + b*c)*ExpIntegralEi[b*d*x*Log[F]]*Log[F]^2}
+{(e + f*x)^2*F^(a + b*(c + d*x))/x^4, x, 11, -((e^2*F^(a + b*c + b*d*x))/(3*x^3)) - (e*f*F^(a + b*c + b*d*x))/x^2 - (f^2*F^(a + b*c + b*d*x))/x - (b*d*e^2*F^(a + b*c + b*d*x)*Log[F])/(6*x^2) - (b*d*e*f*F^(a + b*c + b*d*x)*Log[F])/x + b*d*f^2*F^(a + b*c)*ExpIntegralEi[b*d*x*Log[F]]*Log[F] - (b^2*d^2*e^2*F^(a + b*c + b*d*x)*Log[F]^2)/(6*x) + b^2*d^2*e*f*F^(a + b*c)*ExpIntegralEi[b*d*x*Log[F]]*Log[F]^2 + (1/6)*b^3*d^3*e^2*F^(a + b*c)*ExpIntegralEi[b*d*x*Log[F]]*Log[F]^3}
+{(e + f*x)^2*F^(a + b*(c + d*x))/x^5, x, 14, -((e^2*F^(a + b*c + b*d*x))/(4*x^4)) - (2*e*f*F^(a + b*c + b*d*x))/(3*x^3) - (f^2*F^(a + b*c + b*d*x))/(2*x^2) - (b*d*e^2*F^(a + b*c + b*d*x)*Log[F])/(12*x^3) - (b*d*e*f*F^(a + b*c + b*d*x)*Log[F])/(3*x^2) - (b*d*f^2*F^(a + b*c + b*d*x)*Log[F])/(2*x) - (b^2*d^2*e^2*F^(a + b*c + b*d*x)*Log[F]^2)/(24*x^2) - (b^2*d^2*e*f*F^(a + b*c + b*d*x)*Log[F]^2)/(3*x) + (1/2)*b^2*d^2*f^2*F^(a + b*c)*ExpIntegralEi[b*d*x*Log[F]]*Log[F]^2 - (b^3*d^3*e^2*F^(a + b*c + b*d*x)*Log[F]^3)/(24*x) + (1/3)*b^3*d^3*e*f*F^(a + b*c)*ExpIntegralEi[b*d*x*Log[F]]*Log[F]^3 + (1/24)*b^4*d^4*e^2*F^(a + b*c)*ExpIntegralEi[b*d*x*Log[F]]*Log[F]^4}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b x)^n F^(e (a+b x))*)
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + b*x)^4/E^(a + b*x), x, 28, -((5040*d^3*E^(-a - b*x))/b^4) - (2160*d^2*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x))/b^4 - (360*d*(b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x))/b^4 - (24*(b*c - a*d)^3*E^(-a - b*x))/b^4 - (5040*d^3*E^(-a - b*x)*(a + b*x))/b^4 - (2160*d^2*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(a + b*x))/b^4 - (360*d*(b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x)*(a + b*x))/b^4 - (24*(b*c - a*d)^3*E^(-a - b*x)*(a + b*x))/b^4 - (2520*d^3*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^2)/b^4 - (1080*d^2*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^2)/b^4 - (180*d*(b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^2)/b^4 - (12*(b*c - a*d)^3*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^2)/b^4 - (840*d^3*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^3)/b^4 - (360*d^2*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^3)/b^4 - (60*d*(b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^3)/b^4 - (4*(b*c - a*d)^3*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^3)/b^4 - (210*d^3*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^4)/b^4 - (90*d^2*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^4)/b^4 - (15*d*(b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^4)/b^4 - ((b*c - a*d)^3*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^4)/b^4 - (42*d^3*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^5)/b^4 - (18*d^2*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^5)/b^4 - (3*d*(b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^5)/b^4 - (7*d^3*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^6)/b^4 - (3*d^2*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^6)/b^4 - (d^3*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^7)/b^4}
+{(c + d*x)^2*(a + b*x)^4/E^(a + b*x), x, 20, -((720*d^2*E^(-a - b*x))/b^3) - (240*d*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x))/b^3 - (24*(b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x))/b^3 - (720*d^2*E^(-a - b*x)*(a + b*x))/b^3 - (240*d*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(a + b*x))/b^3 - (24*(b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x)*(a + b*x))/b^3 - (360*d^2*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^2)/b^3 - (120*d*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^2)/b^3 - (12*(b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^2)/b^3 - (120*d^2*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^3)/b^3 - (40*d*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^3)/b^3 - (4*(b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^3)/b^3 - (30*d^2*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^4)/b^3 - (10*d*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^4)/b^3 - ((b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^4)/b^3 - (6*d^2*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^5)/b^3 - (2*d*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^5)/b^3 - (d^2*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^6)/b^3}
+{(c + d*x)^1*(a + b*x)^4/E^(a + b*x), x, 13, -((120*d*E^(-a - b*x))/b^2) - (24*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x))/b^2 - (120*d*E^(-a - b*x)*(a + b*x))/b^2 - (24*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(a + b*x))/b^2 - (60*d*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^2)/b^2 - (12*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^2)/b^2 - (20*d*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^3)/b^2 - (4*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^3)/b^2 - (5*d*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^4)/b^2 - ((b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^4)/b^2 - (d*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^5)/b^2}
+{(c + d*x)^0*(a + b*x)^4/E^(a + b*x), x, 5, -((24*E^(-a - b*x))/b) - (24*E^(-a - b*x)*(a + b*x))/b - (12*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^2)/b - (4*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^3)/b - (E^(-a - b*x)*(a + b*x)^4)/b}
+{(a + b*x)^4/((c + d*x)^1*E^(a + b*x)), x, 13, -((6*E^(-a - b*x))/d) + (2*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x))/d^2 - ((b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x))/d^3 + ((b*c - a*d)^3*E^(-a - b*x))/d^4 - (6*E^(-a - b*x)*(a + b*x))/d + (2*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(a + b*x))/d^2 - ((b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x)*(a + b*x))/d^3 - (3*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^2)/d + ((b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(a + b*x)^2)/d^2 - (E^(-a - b*x)*(a + b*x)^3)/d + ((b*c - a*d)^4*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/d^5}
+{(a + b*x)^4/((c + d*x)^2*E^(a + b*x)), x, 11, -((2*b*E^(-a - b*x))/d^2) + (4*b*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x))/d^3 - (6*b*(b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x))/d^4 - ((b*c - a*d)^4*E^(-a - b*x))/(d^5*(c + d*x)) - (2*b^2*E^(-a - b*x)*(c + d*x))/d^3 + (4*b^2*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(c + d*x))/d^4 - (b^3*E^(-a - b*x)*(c + d*x)^2)/d^4 - (4*b*(b*c - a*d)^3*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/d^5 - (b*(b*c - a*d)^4*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/d^6}
+{(a + b*x)^4/((c + d*x)^3*E^(a + b*x)), x, 11, -((b^2*E^(-a - b*x))/d^3) + (b^2*(3*b*c - 4*a*d)*E^(-a - b*x))/d^4 - (b^3*E^(-a - b*x)*x)/d^3 - ((b*c - a*d)^4*E^(-a - b*x))/(2*d^5*(c + d*x)^2) + (4*b*(b*c - a*d)^3*E^(-a - b*x))/(d^5*(c + d*x)) + (b*(b*c - a*d)^4*E^(-a - b*x))/(2*d^6*(c + d*x)) + (6*b^2*(b*c - a*d)^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/d^5 + (4*b^2*(b*c - a*d)^3*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/d^6 + (b^2*(b*c - a*d)^4*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(2*d^7)}
+{(a + b*x)^4/((c + d*x)^4*E^(a + b*x)), x, 13, -((b^3*E^(-a - b*x))/d^4) - ((b*c - a*d)^4*E^(-a - b*x))/(3*d^5*(c + d*x)^3) + (2*b*(b*c - a*d)^3*E^(-a - b*x))/(d^5*(c + d*x)^2) + (b*(b*c - a*d)^4*E^(-a - b*x))/(6*d^6*(c + d*x)^2) - (6*b^2*(b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x))/(d^5*(c + d*x)) - (2*b^2*(b*c - a*d)^3*E^(-a - b*x))/(d^6*(c + d*x)) - (b^2*(b*c - a*d)^4*E^(-a - b*x))/(6*d^7*(c + d*x)) - (4*b^3*(b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/d^5 - (6*b^3*(b*c - a*d)^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/d^6 - (2*b^3*(b*c - a*d)^3*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/d^7 - (b^3*(b*c - a*d)^4*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(6*d^8)}
+{(a + b*x)^4/((c + d*x)^5*E^(a + b*x)), x, 17, -(((b*c - a*d)^4*E^(-a - b*x))/(4*d^5*(c + d*x)^4)) + (4*b*(b*c - a*d)^3*E^(-a - b*x))/(3*d^5*(c + d*x)^3) + (b*(b*c - a*d)^4*E^(-a - b*x))/(12*d^6*(c + d*x)^3) - (3*b^2*(b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x))/(d^5*(c + d*x)^2) - (2*b^2*(b*c - a*d)^3*E^(-a - b*x))/(3*d^6*(c + d*x)^2) - (b^2*(b*c - a*d)^4*E^(-a - b*x))/(24*d^7*(c + d*x)^2) + (4*b^3*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x))/(d^5*(c + d*x)) + (3*b^3*(b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x))/(d^6*(c + d*x)) + (2*b^3*(b*c - a*d)^3*E^(-a - b*x))/(3*d^7*(c + d*x)) + (b^3*(b*c - a*d)^4*E^(-a - b*x))/(24*d^8*(c + d*x)) + (b^4*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/d^5 + (4*b^4*(b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/d^6 + (3*b^4*(b*c - a*d)^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/d^7 + (2*b^4*(b*c - a*d)^3*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(3*d^8) + (b^4*(b*c - a*d)^4*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(24*d^9)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m F(c (a+b x)) Log[d x] (e+(f+g x) Log[d x])*)
+
+
+{x^m*F^(c*(a + b*x))*Log[d*x]^n*(e + e*n + e*(1 + m + b*c*x*Log[F])*Log[d*x]), x, 1, e*F^(c*(a + b*x))*x^(1 + m)*Log[d*x]^(1 + n)}
+
+{x^2*F^(c*(a + b*x))*Log[d*x]^n*(e + e*n + e*(1 + 2 + b*c*x*Log[F])*Log[d*x]), x, 1, e*F^(c*(a + b*x))*x^3*Log[d*x]^(1 + n)}
+{x^1*F^(c*(a + b*x))*Log[d*x]^n*(e + e*n + e*(1 + 1 + b*c*x*Log[F])*Log[d*x]), x, 1, e*F^(c*(a + b*x))*x^2*Log[d*x]^(1 + n)}
+{x^0*F^(c*(a + b*x))*Log[d*x]^n*(e + e*n + e*(1 + 0 + b*c*x*Log[F])*Log[d*x]), x, 1, e*F^(c*(a + b*x))*x*Log[d*x]^(1 + n)}
+{1/x^1*F^(c*(a + b*x))*Log[d*x]^n*(e + e*n + e*(1 - 1 + b*c*x*Log[F])*Log[d*x]), x, 1, e*F^(c*(a + b*x))*Log[d*x]^(1 + n)}
+{1/x^2*F^(c*(a + b*x))*Log[d*x]^n*(e + e*n + e*(1 - 2 + b*c*x*Log[F])*Log[d*x]), x, 1, (e*F^(c*(a + b*x))*Log[d*x]^(1 + n))/x}
+{1/x^3*F^(c*(a + b*x))*Log[d*x]^n*(e + e*n + e*(1 - 3 + b*c*x*Log[F])*Log[d*x]), x, 1, (e*F^(c*(a + b*x))*Log[d*x]^(1 + n))/x^2}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (F^(c (a+b x)))^n*)
+
+
+{Sqrt[E^(a + b*x)]*x^4, x, 5, (768*Sqrt[E^(a + b*x)])/b^5 - (384*Sqrt[E^(a + b*x)]*x)/b^4 + (96*Sqrt[E^(a + b*x)]*x^2)/b^3 - (16*Sqrt[E^(a + b*x)]*x^3)/b^2 + (2*Sqrt[E^(a + b*x)]*x^4)/b}
+{Sqrt[E^(a + b*x)]*x^3, x, 4, -((96*Sqrt[E^(a + b*x)])/b^4) + (48*Sqrt[E^(a + b*x)]*x)/b^3 - (12*Sqrt[E^(a + b*x)]*x^2)/b^2 + (2*Sqrt[E^(a + b*x)]*x^3)/b}
+{Sqrt[E^(a + b*x)]*x^2, x, 3, (16*Sqrt[E^(a + b*x)])/b^3 - (8*Sqrt[E^(a + b*x)]*x)/b^2 + (2*Sqrt[E^(a + b*x)]*x^2)/b}
+{Sqrt[E^(a + b*x)]*x^1, x, 2, -((4*Sqrt[E^(a + b*x)])/b^2) + (2*Sqrt[E^(a + b*x)]*x)/b}
+{Sqrt[E^(a + b*x)]*x^0, x, 1, (2*Sqrt[E^(a + b*x)])/b}
+{Sqrt[E^(a + b*x)]/x^1, x, 2, (Sqrt[E^(a + b*x)]*ExpIntegralEi[(b*x)/2])/E^((b*x)/2)}
+{Sqrt[E^(a + b*x)]/x^2, x, 3, -(Sqrt[E^(a + b*x)]/x) + ((1/2)*b*Sqrt[E^(a + b*x)]*ExpIntegralEi[(b*x)/2])/E^((b*x)/2)}
+{Sqrt[E^(a + b*x)]/x^3, x, 4, -(Sqrt[E^(a + b*x)]/(2*x^2)) - (b*Sqrt[E^(a + b*x)])/(4*x) + ((1/8)*b^2*Sqrt[E^(a + b*x)]*ExpIntegralEi[(b*x)/2])/E^((b*x)/2)}
+{Sqrt[E^(a + b*x)]/x^4, x, 5, -(Sqrt[E^(a + b*x)]/(3*x^3)) - (b*Sqrt[E^(a + b*x)])/(12*x^2) - (b^2*Sqrt[E^(a + b*x)])/(24*x) + ((1/48)*b^3*Sqrt[E^(a + b*x)]*ExpIntegralEi[(b*x)/2])/E^((b*x)/2)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/2 Exponentials/2.2 (c+d x)^m (F^(g (e+f x)))^n (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/2 Exponentials/2.2 (c+d x)^m (F^(g (e+f x)))^n (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p.m
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index 00000000..f3164169
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/2 Exponentials/2.2 (c+d x)^m (F^(g (e+f x)))^n (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p.m	
@@ -0,0 +1,192 @@
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+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p*)
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+(*Integrands of the form x^m (a+b F^(e+f x))^p*)
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+{x^3/(a + b*E^(c + d*x)), x, 6, x^4/(4*a) - (x^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/a])/(a*d) - (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a*d^2) + (6*x*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a*d^3) - (6*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a*d^4)}
+{x^2/(a + b*E^(c + d*x)), x, 5, x^3/(3*a) - (x^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/a])/(a*d) - (2*x*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a*d^2) + (2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a*d^3)}
+{x^1/(a + b*E^(c + d*x)), x, 4, x^2/(2*a) - (x*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/a])/(a*d) - PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/a)]/(a*d^2)}
+{x^0/(a + b*E^(c + d*x)), x, 4, x/a - Log[a + b*E^(c + d*x)]/(a*d)}
+{1/(x^1*(a + b*E^(c + d*x))), x, 0, Unintegrable[1/((a + b*E^(c + d*x))*x), x]}
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+
+
+{x^3/(a + b*E^(c + d*x))^2, x, 13, -(x^3/(a^2*d)) + x^3/(a*d*(a + b*E^(c + d*x))) + x^4/(4*a^2) + (3*x^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/a])/(a^2*d^2) - (x^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/a])/(a^2*d) + (6*x*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a^2*d^3) - (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a^2*d^2) - (6*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a^2*d^4) + (6*x*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a^2*d^3) - (6*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a^2*d^4)}
+{x^2/(a + b*E^(c + d*x))^2, x, 11, -(x^2/(a^2*d)) + x^2/(a*d*(a + b*E^(c + d*x))) + x^3/(3*a^2) + (2*x*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/a])/(a^2*d^2) - (x^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/a])/(a^2*d) + (2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a^2*d^3) - (2*x*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a^2*d^2) + (2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a^2*d^3)}
+{x^1/(a + b*E^(c + d*x))^2, x, 10, -(x/(a^2*d)) + x/(a*d*(a + b*E^(c + d*x))) + x^2/(2*a^2) + Log[a + b*E^(c + d*x)]/(a^2*d^2) - (x*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/a])/(a^2*d) - PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/a)]/(a^2*d^2)}
+{x^0/(a + b*E^(c + d*x))^2, x, 3, 1/(a*d*(a + b*E^(c + d*x))) + x/a^2 - Log[a + b*E^(c + d*x)]/(a^2*d)}
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+
+{1/(a + b*E^(c - d*x))^2, x, 3, -(1/(a*d*(a + b*E^(c - d*x)))) + x/a^2 + Log[a + b*E^(c - d*x)]/(a^2*d)}
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+
+
+{x^3/(a + b*E^(c + d*x))^3, x, 26, (3*x^2)/(2*a^3*d^2) - (3*x^2)/(2*a^2*d^2*(a + b*E^(c + d*x))) - (3*x^3)/(2*a^3*d) + x^3/(2*a*d*(a + b*E^(c + d*x))^2) + x^3/(a^2*d*(a + b*E^(c + d*x))) + x^4/(4*a^3) - (3*x*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/a])/(a^3*d^3) + (9*x^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/a])/(2*a^3*d^2) - (x^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/a])/(a^3*d) - (3*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a^3*d^4) + (9*x*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a^3*d^3) - (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a^3*d^2) - (9*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a^3*d^4) + (6*x*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a^3*d^3) - (6*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a^3*d^4)}
+{x^2/(a + b*E^(c + d*x))^3, x, 23, x/(a^3*d^2) - x/(a^2*d^2*(a + b*E^(c + d*x))) - (3*x^2)/(2*a^3*d) + x^2/(2*a*d*(a + b*E^(c + d*x))^2) + x^2/(a^2*d*(a + b*E^(c + d*x))) + x^3/(3*a^3) - Log[a + b*E^(c + d*x)]/(a^3*d^3) + (3*x*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/a])/(a^3*d^2) - (x^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/a])/(a^3*d) + (3*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a^3*d^3) - (2*x*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a^3*d^2) + (2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/a)])/(a^3*d^3)}
+{x^1/(a + b*E^(c + d*x))^3, x, 15, -(1/(2*a^2*d^2*(a + b*E^(c + d*x)))) - (3*x)/(2*a^3*d) + x/(2*a*d*(a + b*E^(c + d*x))^2) + x/(a^2*d*(a + b*E^(c + d*x))) + x^2/(2*a^3) + (3*Log[a + b*E^(c + d*x)])/(2*a^3*d^2) - (x*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/a])/(a^3*d) - PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/a)]/(a^3*d^2)}
+{x^0/(a + b*E^(c + d*x))^3, x, 3, 1/(2*a*d*(a + b*E^(c + d*x))^2) + 1/(a^2*d*(a + b*E^(c + d*x))) + x/a^3 - Log[a + b*E^(c + d*x)]/(a^3*d)}
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+
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+{1/(a + b*E^(-c - d*x))^3, x, 3, -(1/(2*a*d*(a + b*E^(-c - d*x))^2)) - 1/(a^2*d*(a + b*E^(-c - d*x))) + x/a^3 + Log[a + b*E^(-c - d*x)]/(a^3*d)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
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+
+{(c + d*x)^3*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n), x, 6, (a*(c + d*x)^4)/(4*d) - (6*b*d^3*(F^(e*g + f*g*x))^n)/(f^4*g^4*n^4*Log[F]^4) + (6*b*d^2*(F^(e*g + f*g*x))^n*(c + d*x))/(f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) - (3*b*d*(F^(e*g + f*g*x))^n*(c + d*x)^2)/(f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) + (b*(F^(e*g + f*g*x))^n*(c + d*x)^3)/(f*g*n*Log[F])}
+{(c + d*x)^2*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n), x, 5, (a*(c + d*x)^3)/(3*d) + (2*b*d^2*(F^(e*g + f*g*x))^n)/(f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) - (2*b*d*(F^(e*g + f*g*x))^n*(c + d*x))/(f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) + (b*(F^(e*g + f*g*x))^n*(c + d*x)^2)/(f*g*n*Log[F])}
+{(c + d*x)^1*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n), x, 4, (a*(c + d*x)^2)/(2*d) - (b*d*(F^(e*g + f*g*x))^n)/(f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) + (b*(F^(e*g + f*g*x))^n*(c + d*x))/(f*g*n*Log[F])}
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+{(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/(c + d*x)^3, x, 6, -(a/(2*d*(c + d*x)^2)) - (b*(F^(e*g + f*g*x))^n)/(2*d*(c + d*x)^2) - (b*f*(F^(e*g + f*g*x))^n*g*n*Log[F])/(2*d^2*(c + d*x)) + (b*f^2*F^((e - (c*f)/d)*g*n - g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^n*g^2*n^2*ExpIntegralEi[(f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d]*Log[F]^2)/(2*d^3)}
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^2, x, 10, (a^2*(c + d*x)^4)/(4*d) - (12*a*b*d^3*(F^(e*g + f*g*x))^n)/(f^4*g^4*n^4*Log[F]^4) - (3*b^2*d^3*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n))/(8*f^4*g^4*n^4*Log[F]^4) + (12*a*b*d^2*(F^(e*g + f*g*x))^n*(c + d*x))/(f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) + (3*b^2*d^2*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n)*(c + d*x))/(4*f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) - (6*a*b*d*(F^(e*g + f*g*x))^n*(c + d*x)^2)/(f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) - (3*b^2*d*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n)*(c + d*x)^2)/(4*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) + (2*a*b*(F^(e*g + f*g*x))^n*(c + d*x)^3)/(f*g*n*Log[F]) + (b^2*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n)*(c + d*x)^3)/(2*f*g*n*Log[F])}
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+{(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^2/(c + d*x)^2, x, 8, -(a^2/(d*(c + d*x))) - (2*a*b*(F^(e*g + f*g*x))^n)/(d*(c + d*x)) - (b^2*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n))/(d*(c + d*x)) + (2*a*b*f*F^((e - (c*f)/d)*g*n - g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^n*g*n*ExpIntegralEi[(f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d]*Log[F])/d^2 + (2*b^2*f*F^(2*(e - (c*f)/d)*g*n - 2*g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n)*g*n*ExpIntegralEi[(2*f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d]*Log[F])/d^2}
+{(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^2/(c + d*x)^3, x, 10, -(a^2/(2*d*(c + d*x)^2)) - (a*b*(F^(e*g + f*g*x))^n)/(d*(c + d*x)^2) - (b^2*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n))/(2*d*(c + d*x)^2) - (a*b*f*(F^(e*g + f*g*x))^n*g*n*Log[F])/(d^2*(c + d*x)) - (b^2*f*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n)*g*n*Log[F])/(d^2*(c + d*x)) + (a*b*f^2*F^((e - (c*f)/d)*g*n - g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^n*g^2*n^2*ExpIntegralEi[(f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d]*Log[F]^2)/d^3 + (2*b^2*f^2*F^(2*(e - (c*f)/d)*g*n - 2*g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n)*g^2*n^2*ExpIntegralEi[(2*f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d]*Log[F]^2)/d^3}
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^3, x, 14, (a^3*(c + d*x)^4)/(4*d) - (18*a^2*b*d^3*(F^(e*g + f*g*x))^n)/(f^4*g^4*n^4*Log[F]^4) - (9*a*b^2*d^3*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n))/(8*f^4*g^4*n^4*Log[F]^4) - (2*b^3*d^3*(F^(e*g + f*g*x))^(3*n))/(27*f^4*g^4*n^4*Log[F]^4) + (18*a^2*b*d^2*(F^(e*g + f*g*x))^n*(c + d*x))/(f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) + (9*a*b^2*d^2*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n)*(c + d*x))/(4*f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) + (2*b^3*d^2*(F^(e*g + f*g*x))^(3*n)*(c + d*x))/(9*f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) - (9*a^2*b*d*(F^(e*g + f*g*x))^n*(c + d*x)^2)/(f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) - (9*a*b^2*d*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n)*(c + d*x)^2)/(4*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) - (b^3*d*(F^(e*g + f*g*x))^(3*n)*(c + d*x)^2)/(3*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) + (3*a^2*b*(F^(e*g + f*g*x))^n*(c + d*x)^3)/(f*g*n*Log[F]) + (3*a*b^2*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n)*(c + d*x)^3)/(2*f*g*n*Log[F]) + (b^3*(F^(e*g + f*g*x))^(3*n)*(c + d*x)^3)/(3*f*g*n*Log[F])}
+{(c + d*x)^2*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^3, x, 11, (a^3*(c + d*x)^3)/(3*d) + (6*a^2*b*d^2*(F^(e*g + f*g*x))^n)/(f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) + (3*a*b^2*d^2*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n))/(4*f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) + (2*b^3*d^2*(F^(e*g + f*g*x))^(3*n))/(27*f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) - (6*a^2*b*d*(F^(e*g + f*g*x))^n*(c + d*x))/(f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) - (3*a*b^2*d*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n)*(c + d*x))/(2*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) - (2*b^3*d*(F^(e*g + f*g*x))^(3*n)*(c + d*x))/(9*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) + (3*a^2*b*(F^(e*g + f*g*x))^n*(c + d*x)^2)/(f*g*n*Log[F]) + (3*a*b^2*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n)*(c + d*x)^2)/(2*f*g*n*Log[F]) + (b^3*(F^(e*g + f*g*x))^(3*n)*(c + d*x)^2)/(3*f*g*n*Log[F])}
+{(c + d*x)^1*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^3, x, 8, (a^3*(c + d*x)^2)/(2*d) - (3*a^2*b*d*(F^(e*g + f*g*x))^n)/(f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) - (3*a*b^2*d*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n))/(4*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) - (b^3*d*(F^(e*g + f*g*x))^(3*n))/(9*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) + (3*a^2*b*(F^(e*g + f*g*x))^n*(c + d*x))/(f*g*n*Log[F]) + (3*a*b^2*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n)*(c + d*x))/(2*f*g*n*Log[F]) + (b^3*(F^(e*g + f*g*x))^(3*n)*(c + d*x))/(3*f*g*n*Log[F])}
+{(c + d*x)^0*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^3, x, 4, a^3*x + (3*a^2*b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/(f*g*n*Log[F]) + (3*a*b^2*(F^(g*(e + f*x)))^(2*n))/(2*f*g*n*Log[F]) + (b^3*(F^(g*(e + f*x)))^(3*n))/(3*f*g*n*Log[F])}
+{(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^3/(c + d*x)^1, x, 8, (3*a^2*b*F^((e - (c*f)/d)*g*n - g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^n*ExpIntegralEi[(f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d])/d + (3*a*b^2*F^(2*(e - (c*f)/d)*g*n - 2*g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n)*ExpIntegralEi[(2*f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d])/d + (b^3*F^(3*(e - (c*f)/d)*g*n - 3*g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^(3*n)*ExpIntegralEi[(3*f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d])/d + (a^3*Log[c + d*x])/d}
+{(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^3/(c + d*x)^2, x, 11, -(a^3/(d*(c + d*x))) - (3*a^2*b*(F^(e*g + f*g*x))^n)/(d*(c + d*x)) - (3*a*b^2*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n))/(d*(c + d*x)) - (b^3*(F^(e*g + f*g*x))^(3*n))/(d*(c + d*x)) + (3*a^2*b*f*F^((e - (c*f)/d)*g*n - g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^n*g*n*ExpIntegralEi[(f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d]*Log[F])/d^2 + (6*a*b^2*f*F^(2*(e - (c*f)/d)*g*n - 2*g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n)*g*n*ExpIntegralEi[(2*f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d]*Log[F])/d^2 + (3*b^3*f*F^(3*(e - (c*f)/d)*g*n - 3*g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^(3*n)*g*n*ExpIntegralEi[(3*f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d]*Log[F])/d^2}
+{(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^3/(c + d*x)^3, x, 14, -(a^3/(2*d*(c + d*x)^2)) - (3*a^2*b*(F^(e*g + f*g*x))^n)/(2*d*(c + d*x)^2) - (3*a*b^2*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n))/(2*d*(c + d*x)^2) - (b^3*(F^(e*g + f*g*x))^(3*n))/(2*d*(c + d*x)^2) - (3*a^2*b*f*(F^(e*g + f*g*x))^n*g*n*Log[F])/(2*d^2*(c + d*x)) - (3*a*b^2*f*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n)*g*n*Log[F])/(d^2*(c + d*x)) - (3*b^3*f*(F^(e*g + f*g*x))^(3*n)*g*n*Log[F])/(2*d^2*(c + d*x)) + (3*a^2*b*f^2*F^((e - (c*f)/d)*g*n - g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^n*g^2*n^2*ExpIntegralEi[(f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d]*Log[F]^2)/(2*d^3) + (6*a*b^2*f^2*F^(2*(e - (c*f)/d)*g*n - 2*g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n)*g^2*n^2*ExpIntegralEi[(2*f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d]*Log[F]^2)/d^3 + (9*b^3*f^2*F^(3*(e - (c*f)/d)*g*n - 3*g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^(3*n)*g^2*n^2*ExpIntegralEi[(3*f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d]*Log[F]^2)/(2*d^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n), x, 6, (c + d*x)^4/(4*a*d) - ((c + d*x)^3*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(a*f*g*n*Log[F]) - (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a*f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) - (6*d^3*PolyLog[4, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a*f^4*g^4*n^4*Log[F]^4)}
+{(c + d*x)^2/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n), x, 5, (c + d*x)^3/(3*a*d) - ((c + d*x)^2*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(a*f*g*n*Log[F]) - (2*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) + (2*d^2*PolyLog[3, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a*f^3*g^3*n^3*Log[F]^3)}
+{(c + d*x)^1/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n), x, 4, (c + d*x)^2/(2*a*d) - ((c + d*x)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(a*f*g*n*Log[F]) - (d*PolyLog[2, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2)}
+{(c + d*x)^0/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n), x, 5, x/a - Log[a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n]/(a*f*g*n*Log[F])}
+{1/((c + d*x)^1*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)), x, 1, Unintegrable[1/((a + b*(F^(e*g + f*g*x))^n)*(c + d*x)), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)), x, 1, Unintegrable[1/((a + b*(F^(e*g + f*g*x))^n)*(c + d*x)^2), x]}
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^2, x, 13, (c + d*x)^4/(4*a^2*d) - (c + d*x)^3/(a^2*f*g*n*Log[F]) + (c + d*x)^3/(a*f*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)*g*n*Log[F]) + (3*d*(c + d*x)^2*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(a^2*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) - ((c + d*x)^3*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(a^2*f*g*n*Log[F]) + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^2*f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) - (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^2*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) - (6*d^3*PolyLog[3, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^2*f^4*g^4*n^4*Log[F]^4) + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^2*f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) - (6*d^3*PolyLog[4, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^2*f^4*g^4*n^4*Log[F]^4)}
+{(c + d*x)^2/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^2, x, 11, (c + d*x)^3/(3*a^2*d) - (c + d*x)^2/(a^2*f*g*n*Log[F]) + (c + d*x)^2/(a*f*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)*g*n*Log[F]) + (2*d*(c + d*x)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(a^2*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) - ((c + d*x)^2*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(a^2*f*g*n*Log[F]) + (2*d^2*PolyLog[2, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^2*f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) - (2*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^2*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) + (2*d^2*PolyLog[3, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^2*f^3*g^3*n^3*Log[F]^3)}
+{(c + d*x)^1/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^2, x, 11, (c + d*x)^2/(2*a^2*d) - (d*x)/(a^2*f*g*n*Log[F]) + (c + d*x)/(a*f*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)*g*n*Log[F]) + (d*Log[a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n])/(a^2*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) - ((c + d*x)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(a^2*f*g*n*Log[F]) - (d*PolyLog[2, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^2*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2)}
+{(c + d*x)^0/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^2, x, 4, x/a^2 + 1/(a*f*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)*g*n*Log[F]) - Log[a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n]/(a^2*f*g*n*Log[F])}
+{1/((c + d*x)^1*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^2), x, 1, Unintegrable[1/((a + b*(F^(e*g + f*g*x))^n)^2*(c + d*x)), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^2), x, 1, Unintegrable[1/((a + b*(F^(e*g + f*g*x))^n)^2*(c + d*x)^2), x]}
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^3, x, 26, (c + d*x)^4/(4*a^3*d) + (3*d*(c + d*x)^2)/(2*a^3*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) - (3*d*(c + d*x)^2)/(2*a^2*f^2*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)*g^2*n^2*Log[F]^2) - (3*(c + d*x)^3)/(2*a^3*f*g*n*Log[F]) + (c + d*x)^3/(2*a*f*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^2*g*n*Log[F]) + (c + d*x)^3/(a^2*f*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)*g*n*Log[F]) - (3*d^2*(c + d*x)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(a^3*f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) + (9*d*(c + d*x)^2*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(2*a^3*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) - ((c + d*x)^3*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(a^3*f*g*n*Log[F]) - (3*d^3*PolyLog[2, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^3*f^4*g^4*n^4*Log[F]^4) + (9*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^3*f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) - (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^3*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) - (9*d^3*PolyLog[3, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^3*f^4*g^4*n^4*Log[F]^4) + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^3*f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) - (6*d^3*PolyLog[4, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^3*f^4*g^4*n^4*Log[F]^4)}
+{(c + d*x)^2/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^3, x, 24, (c + d*x)^3/(3*a^3*d) + (d^2*x)/(a^3*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) - (d*(c + d*x))/(a^2*f^2*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)*g^2*n^2*Log[F]^2) - (3*(c + d*x)^2)/(2*a^3*f*g*n*Log[F]) + (c + d*x)^2/(2*a*f*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^2*g*n*Log[F]) + (c + d*x)^2/(a^2*f*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)*g*n*Log[F]) - (d^2*Log[a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n])/(a^3*f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) + (3*d*(c + d*x)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(a^3*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) - ((c + d*x)^2*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(a^3*f*g*n*Log[F]) + (3*d^2*PolyLog[2, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^3*f^3*g^3*n^3*Log[F]^3) - (2*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^3*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) + (2*d^2*PolyLog[3, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^3*f^3*g^3*n^3*Log[F]^3)}
+{(c + d*x)^1/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^3, x, 17, (c + d*x)^2/(2*a^3*d) - d/(2*a^2*f^2*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)*g^2*n^2*Log[F]^2) - (3*d*x)/(2*a^3*f*g*n*Log[F]) + (c + d*x)/(2*a*f*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^2*g*n*Log[F]) + (c + d*x)/(a^2*f*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)*g*n*Log[F]) + (3*d*Log[a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n])/(2*a^3*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2) - ((c + d*x)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(a^3*f*g*n*Log[F]) - (d*PolyLog[2, -((b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a)])/(a^3*f^2*g^2*n^2*Log[F]^2)}
+{(c + d*x)^0/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^3, x, 4, x/a^3 + 1/(2*a*f*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^2*g*n*Log[F]) + 1/(a^2*f*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)*g*n*Log[F]) - Log[a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n]/(a^3*f*g*n*Log[F])}
+{1/((c + d*x)^1*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^3), x, 1, Unintegrable[1/((a + b*(F^(e*g + f*g*x))^n)^3*(c + d*x)), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^3), x, 1, Unintegrable[1/((a + b*(F^(e*g + f*g*x))^n)^3*(c + d*x)^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^(m/2) (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[c + d*x]*(a + b*E^x), x, 5, b*E^x*Sqrt[c + d*x] + (2*a*(c + d*x)^(3/2))/(3*d) - ((1/2)*b*Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c + d*x]/Sqrt[d]])/E^(c/d)}
+
+
+{Sqrt[c + d*x]*(a + b*E^x)^2, x, 8, 2*a*b*E^x*Sqrt[c + d*x] + (1/2)*b^2*E^(2*x)*Sqrt[c + d*x] + (2*a^2*(c + d*x)^(3/2))/(3*d) - (a*b*Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c + d*x]/Sqrt[d]])/E^(c/d) - ((1/4)*b^2*Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/E^((2*c)/d)}
+
+
+{Sqrt[c + d*x]*(a + b*E^x)^3, x, 11, 3*a^2*b*E^x*Sqrt[c + d*x] + (3/2)*a*b^2*E^(2*x)*Sqrt[c + d*x] + (1/3)*b^3*E^(3*x)*Sqrt[c + d*x] + (2*a^3*(c + d*x)^(3/2))/(3*d) - ((3/2)*a^2*b*Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c + d*x]/Sqrt[d]])/E^(c/d) - ((3/4)*a*b^2*Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/E^((2*c)/d) - ((1/6)*b^3*Sqrt[d]*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/E^((3*c)/d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sqrt[c + d*x]/(a + b*E^x), x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + d*x]/(a + b*E^x), x]}
+
+
+{Sqrt[c + d*x]/(a + b*E^x)^2, x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + d*x]/(a + b*E^x)^2, x]}
+
+
+{Sqrt[c + d*x]/(a + b*E^x)^3, x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + d*x]/(a + b*E^x)^3, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p with m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^3, x, 8, (a^3*(c + d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (3^(-1 - m)*b^3*F^(3*(e - (c*f)/d)*g*n - 3*g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^(3*n)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((3*f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d)])/((-((f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d))^m*(f*g*n*Log[F])) + (3*2^(-1 - m)*a*b^2*F^(2*(e - (c*f)/d)*g*n - 2*g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((2*f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d)])/((-((f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d))^m*(f*g*n*Log[F])) + (3*a^2*b*F^((e - (c*f)/d)*g*n - g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^n*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d)])/((-((f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d))^m*(f*g*n*Log[F]))}
+{(c + d*x)^m*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^2, x, 6, (a^2*(c + d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (2^(-1 - m)*b^2*F^(2*(e - (c*f)/d)*g*n - 2*g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^(2*n)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((2*f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d)])/((-((f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d))^m*(f*g*n*Log[F])) + (2*a*b*F^((e - (c*f)/d)*g*n - g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^n*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d)])/((-((f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d))^m*(f*g*n*Log[F]))}
+{(c + d*x)^m*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^1, x, 4, (a*(c + d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (b*F^((e - (c*f)/d)*g*n - g*n*(e + f*x))*(F^(e*g + f*g*x))^n*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d)])/((-((f*g*n*(c + d*x)*Log[F])/d))^m*(f*g*n*Log[F]))}
+{(c + d*x)^m/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^1, x, 1, Unintegrable[(c + d*x)^m/(a + b*(F^(e*g + f*g*x))^n), x]}
+{(c + d*x)^m/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^2, x, 1, Unintegrable[(c + d*x)^m/(a + b*(F^(e*g + f*g*x))^n)^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p with p symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^p, x, 1, Unintegrable[(a + b*(F^(e*g + f*g*x))^n)^p*(c + d*x)^m, x]}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (F^(g (e+f x)))^n (a+b (F^(g (e+f x)))^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m F^(e+f x) (a+b F^(e+f x))^n*)
+
+
+{x^3*F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x)), x, 5, (x^3*Log[1 + (b*F^(c + d*x))/a])/(b*d*Log[F]) + (3*x^2*PolyLog[2, -((b*F^(c + d*x))/a)])/(b*d^2*Log[F]^2) - (6*x*PolyLog[3, -((b*F^(c + d*x))/a)])/(b*d^3*Log[F]^3) + (6*PolyLog[4, -((b*F^(c + d*x))/a)])/(b*d^4*Log[F]^4)}
+{x^2*F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x)), x, 4, (x^2*Log[1 + (b*F^(c + d*x))/a])/(b*d*Log[F]) + (2*x*PolyLog[2, -((b*F^(c + d*x))/a)])/(b*d^2*Log[F]^2) - (2*PolyLog[3, -((b*F^(c + d*x))/a)])/(b*d^3*Log[F]^3)}
+{x^1*F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x)), x, 3, (x*Log[1 + (b*F^(c + d*x))/a])/(b*d*Log[F]) + PolyLog[2, -((b*F^(c + d*x))/a)]/(b*d^2*Log[F]^2)}
+{x^0*F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x)), x, 2, Log[a + b*F^(c + d*x)]/(b*d*Log[F])}
+{1/x^1*F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x)), x, 0, Unintegrable[F^(c + d*x)/((a + b*F^(c + d*x))*x), x]}
+{1/x^2*F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x)), x, 0, Unintegrable[F^(c + d*x)/((a + b*F^(c + d*x))*x^2), x]}
+
+
+{x^3*F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x))^2, x, 6, x^3/(a*b*d*Log[F]) - x^3/(b*d*(a + b*F^(c + d*x))*Log[F]) - (3*x^2*Log[1 + (b*F^(c + d*x))/a])/(a*b*d^2*Log[F]^2) - (6*x*PolyLog[2, -((b*F^(c + d*x))/a)])/(a*b*d^3*Log[F]^3) + (6*PolyLog[3, -((b*F^(c + d*x))/a)])/(a*b*d^4*Log[F]^4)}
+{x^2*F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x))^2, x, 5, x^2/(a*b*d*Log[F]) - x^2/(b*d*(a + b*F^(c + d*x))*Log[F]) - (2*x*Log[1 + (b*F^(c + d*x))/a])/(a*b*d^2*Log[F]^2) - (2*PolyLog[2, -((b*F^(c + d*x))/a)])/(a*b*d^3*Log[F]^3)}
+{x^1*F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x))^2, x, 5, x/(a*b*d*Log[F]) - x/(b*d*(a + b*F^(c + d*x))*Log[F]) - Log[a + b*F^(c + d*x)]/(a*b*d^2*Log[F]^2)}
+{x^0*F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x))^2, x, 2, -(1/(b*d*(a + b*F^(c + d*x))*Log[F]))}
+{1/x^1*F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x))^2, x, 1, -(1/(b*d*(a + b*F^(c + d*x))*x*Log[F])) - Unintegrable[1/((a + b*F^(c + d*x))*x^2), x]/(b*d*Log[F])}
+{1/x^2*F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x))^2, x, 1, -(1/(b*d*(a + b*F^(c + d*x))*x^2*Log[F])) - (2*Unintegrable[1/((a + b*F^(c + d*x))*x^3), x])/(b*d*Log[F])}
+
+
+{x^3*F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x))^3, x, 12, -((3*x^2)/(2*a^2*b*d^2*Log[F]^2)) + (3*x^2)/(2*a*b*d^2*(a + b*F^(c + d*x))*Log[F]^2) + x^3/(2*a^2*b*d*Log[F]) - x^3/(2*b*d*(a + b*F^(c + d*x))^2*Log[F]) + (3*x*Log[1 + (b*F^(c + d*x))/a])/(a^2*b*d^3*Log[F]^3) - (3*x^2*Log[1 + (b*F^(c + d*x))/a])/(2*a^2*b*d^2*Log[F]^2) + (3*PolyLog[2, -((b*F^(c + d*x))/a)])/(a^2*b*d^4*Log[F]^4) - (3*x*PolyLog[2, -((b*F^(c + d*x))/a)])/(a^2*b*d^3*Log[F]^3) + (3*PolyLog[3, -((b*F^(c + d*x))/a)])/(a^2*b*d^4*Log[F]^4)}
+{x^2*F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x))^3, x, 11, -(x/(a^2*b*d^2*Log[F]^2)) + x/(a*b*d^2*(a + b*F^(c + d*x))*Log[F]^2) + x^2/(2*a^2*b*d*Log[F]) - x^2/(2*b*d*(a + b*F^(c + d*x))^2*Log[F]) + Log[a + b*F^(c + d*x)]/(a^2*b*d^3*Log[F]^3) - (x*Log[1 + (b*F^(c + d*x))/a])/(a^2*b*d^2*Log[F]^2) - PolyLog[2, -((b*F^(c + d*x))/a)]/(a^2*b*d^3*Log[F]^3)}
+{x^1*F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x))^3, x, 4, 1/(2*a*b*d^2*(a + b*F^(c + d*x))*Log[F]^2) + x/(2*a^2*b*d*Log[F]) - x/(2*b*d*(a + b*F^(c + d*x))^2*Log[F]) - Log[a + b*F^(c + d*x)]/(2*a^2*b*d^2*Log[F]^2)}
+{x^0*F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x))^3, x, 2, -(1/(2*b*d*(a + b*F^(c + d*x))^2*Log[F]))}
+{1/x^1*F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x))^3, x, 1, -(1/(2*b*d*(a + b*F^(c + d*x))^2*x*Log[F])) - Unintegrable[1/((a + b*F^(c + d*x))^2*x^2), x]/(2*b*d*Log[F])}
+{1/x^2*F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x))^3, x, 1, -(1/(2*b*d*(a + b*F^(c + d*x))^2*x^2*Log[F])) - Unintegrable[1/((a + b*F^(c + d*x))^2*x^3), x]/(b*d*Log[F])}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/2 Exponentials/2.3 Exponential functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/2 Exponentials/2.3 Exponential functions.m
new file mode 100644
index 00000000..f6e1c175
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/2 Exponentials/2.3 Exponential functions.m	
@@ -0,0 +1,1295 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration Problems Involving Exponentials*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (G^(h (f+g x)))^m (a+b (F^(e (c+d x)))^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F^(e+f x) (a+b F^(e+f x))^p*)
+
+
+{E^x/(4 + 6*E^x), x, 2, (1/6)*Log[2 + 3*E^x]}
+{E^x/(a + b*E^x), x, 2, Log[a + b*E^x]/b}
+{E^(d*x)/(a + b*E^(c + d*x)), x, 3, Log[a + b*E^(c + d*x)]/(E^c*(b*d))}
+{E^(c + d*x)/(a + b*E^(c + d*x)), x, 2, Log[a + b*E^(c + d*x)]/(b*d)}
+
+{E^x*(a + b*E^x)^n, x, 2, (a + b*E^x)^(1 + n)/(b*(1 + n))}
+{E^(d*x)*(a + b*E^(c + d*x))^n, x, 3, (a + b*E^(c + d*x))^(1 + n)/(E^c*(b*d*(1 + n)))}
+{E^(c + d*x)*(a + b*E^(c + d*x))^n, x, 2, (a + b*E^(c + d*x))^(1 + n)/(b*d*(1 + n))}
+
+
+{F^x/(a + b*F^x), x, 2, Log[a + b*F^x]/(b*Log[F])}
+{F^(d*x)/(a + b*F^(c + d*x)), x, 3, Log[a + b*F^(c + d*x)]/(F^c*(b*d*Log[F]))}
+{F^(c + d*x)/(a + b*F^(c + d*x)), x, 2, Log[a + b*F^(c + d*x)]/(b*d*Log[F])}
+
+{F^x*(a + b*F^x)^n, x, 2, (a + b*F^x)^(1 + n)/(b*(1 + n)*Log[F])}
+{F^(d*x)*(a + b*F^(c + d*x))^n, x, 3, (a + b*F^(c + d*x))^(1 + n)/(F^c*(b*d*(1 + n)*Log[F]))}
+{F^(c + d*x)*(a + b*F^(c + d*x))^n, x, 2, (a + b*F^(c + d*x))^(1 + n)/(b*d*(1 + n)*Log[F])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (G^(h (f+g x)))^m (a+b (F^(e (c+d x)))^n)^p when d e n Log[f]=g h m Log[g]*)
+
+
+{(E^x)^n*(a + b*(E^x)^n)^p, x, 2, (a + b*(E^x)^n)^(1 + p)/(b*n*(1 + p))}
+{E^(n*x)*(a + b*(E^x)^n)^p, x, 3, (E^(n*x)*(a + b*(E^x)^n)^(1 + p))/((E^x)^n*(b*n*(1 + p)))}
+
+
+{(F^(e*(c + d*x)))^n*(a + b*(F^(e*(c + d*x)))^n)^p, x, 2, (a + b*(F^(e*(c + d*x)))^n)^(1 + p)/(b*d*e*n*(1 + p)*Log[F])}
+
+
+{(G^(h*(f + g*x)))^(d*e*n*Log[F]/(g*h*Log[G]))*(a + b*(F^(e*(c + d*x)))^n)^p, x, 3, ((a + b*(F^(e*(c + d*x)))^n)^(1 + p)*(G^(h*(f + g*x)))^((d*e*n*Log[F])/(g*h*Log[G])))/((F^(e*(c + d*x)))^n*(b*d*e*n*(1 + p)*Log[F]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form G^(h (f+g x)) (a+b F^(e (c+d x)))^p*)
+
+
+{E^(2*x)/(a + b*E^x), x, 3, E^x/b - (a*Log[a + b*E^x])/b^2}
+{E^(2*x)/(a + b*E^x)^2, x, 3, a/(b^2*(a + b*E^x)) + Log[a + b*E^x]/b^2}
+{E^(2*x)/(a + b*E^x)^3, x, 2, E^(2*x)/(2*a*(a + b*E^x)^2)}
+{E^(2*x)/(a + b*E^x)^4, x, 3, a/(3*b^2*(a + b*E^x)^3) - 1/(2*b^2*(a + b*E^x)^2)}
+
+{E^(4*x)/(a + b*E^(2*x)), x, 3, E^(2*x)/(2*b) - (a*Log[a + b*E^(2*x)])/(2*b^2)}
+{E^(4*x)/(a + b*E^(2*x))^2, x, 3, a/(2*b^2*(a + b*E^(2*x))) + Log[a + b*E^(2*x)]/(2*b^2)}
+{E^(4*x)/(a + b*E^(2*x))^3, x, 2, E^(4*x)/(4*a*(a + b*E^(2*x))^2)}
+{E^(4*x)/(a + b*E^(2*x))^4, x, 3, a/(6*b^2*(a + b*E^(2*x))^3) - 1/(4*b^2*(a + b*E^(2*x))^2)}
+
+{E^(4*x)/(a + b*E^(2*x))^(2/3), x, 3, -((3*a*(a + b*E^(2*x))^(1/3))/(2*b^2)) + (3*(a + b*E^(2*x))^(4/3))/(8*b^2)}
+
+
+{E^(-n*x)*(a + b*E^(n*x)), x, 3, -(a/(E^(n*x)*n)) + b*x}
+{E^(-n*x)*(a + b*E^(n*x))^2, x, 3, -(a^2/(E^(n*x)*n)) + (b^2*E^(n*x))/n + 2*a*b*x}
+{E^(-n*x)*(a + b*E^(n*x))^3, x, 3, -(a^3/(E^(n*x)*n)) + (3*a*b^2*E^(n*x))/n + (b^3*E^(2*n*x))/(2*n) + 3*a^2*b*x}
+
+{E^(-n*x)/(a + b*E^(n*x)), x, 3, -(1/(E^(n*x)*(a*n))) - (b*x)/a^2 + (b*Log[a + b*E^(n*x)])/(a^2*n)}
+{E^(-n*x)/(a + b*E^(n*x))^2, x, 3, -(1/(E^(n*x)*(a^2*n))) - b/(a^2*(a + b*E^(n*x))*n) - (2*b*x)/a^3 + (2*b*Log[a + b*E^(n*x)])/(a^3*n)}
+{E^(-n*x)/(a + b*E^(n*x))^3, x, 3, -(1/(E^(n*x)*(a^3*n))) - b/(2*a^2*(a + b*E^(n*x))^2*n) - (2*b)/(a^3*(a + b*E^(n*x))*n) - (3*b*x)/a^4 + (3*b*Log[a + b*E^(n*x)])/(a^4*n)}
+
+
+{f^(a + b*x)/(c + d*f^(e + 2*b*x)), x, 2, (f^(a - e/2)*ArcTan[(Sqrt[d]*f^(e/2 + b*x))/Sqrt[c]])/(b*Sqrt[c]*Sqrt[d]*Log[f])}
+{f^(a + 2*b*x)/(c + d*f^(e + 2*b*x)), x, 3, (f^(a - e)*Log[c + d*f^(e + 2*b*x)])/(2*b*d*Log[f])}
+{f^(a + 3*b*x)/(c + d*f^(e + 2*b*x)), x, 3, f^((1/2)*(2*a - 3*e) + (1/2)*(e + 2*b*x))/(b*d*Log[f]) - (Sqrt[c]*f^(a - (3*e)/2)*ArcTan[(Sqrt[d]*f^((1/2)*(e + 2*b*x)))/Sqrt[c]])/(b*d^(3/2)*Log[f])}
+{f^(a + 4*b*x)/(c + d*f^(e + 2*b*x)), x, 3, f^(a - e + 2*b*x)/(2*b*d*Log[f]) - (c*f^(a - 2*e)*Log[c + d*f^(e + 2*b*x)])/(2*b*d^2*Log[f])}
+{f^(a + 5*b*x)/(c + d*f^(e + 2*b*x)), x, 4, -((c*f^((1/2)*(2*a - 5*e) + (1/2)*(e + 2*b*x)))/(b*d^2*Log[f])) + f^((1/2)*(2*a - 5*e) + (3/2)*(e + 2*b*x))/(3*b*d*Log[f]) + (c^(3/2)*f^(a - (5*e)/2)*ArcTan[(Sqrt[d]*f^((1/2)*(e + 2*b*x)))/Sqrt[c]])/(b*d^(5/2)*Log[f])}
+
+
+{x^0*E^x/(1 + E^(2*x)), x, 2, ArcTan[E^x]}
+{x^0*E^x/(1 - E^(2*x)), x, 2, ArcTanh[E^x]}
+{x^1*E^x/(1 - E^(2*x)), x, 3, x*ArcTanh[E^x] + (1/2)*PolyLog[2, -E^x] - (1/2)*PolyLog[2, E^x]}
+{x^2*E^x/(1 - E^(2*x)), x, 8, x^2*ArcTanh[E^x] + x*PolyLog[2, -E^x] - x*PolyLog[2, E^x] - PolyLog[3, -E^x] + PolyLog[3, E^x]}
+{x^3*E^x/(1 - E^(2*x)), x, 10, x^3*ArcTanh[E^x] + (3/2)*x^2*PolyLog[2, -E^x] - (3/2)*x^2*PolyLog[2, E^x] - 3*x*PolyLog[3, -E^x] + 3*x*PolyLog[3, E^x] + 3*PolyLog[4, -E^x] - 3*PolyLog[4, E^x]}
+
+
+{x^0*f^x/(a + b*f^(2*x)), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f])}
+{x^1*f^x/(a + b*f^(2*x)), x, 6, (x*ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]) - (I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^2) + (I*PolyLog[2, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^2)}
+{x^2*f^x/(a + b*f^(2*x)), x, 9, (x^2*ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]) - (I*x*PolyLog[2, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^2) + (I*x*PolyLog[2, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^2) + (I*PolyLog[3, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^3) - (I*PolyLog[3, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^3)}
+{x^3*f^x/(a + b*f^(2*x)), x, 11, (x^3*ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]) - (3*I*x^2*PolyLog[2, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^2) + (3*I*x^2*PolyLog[2, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^2) + (3*I*x*PolyLog[3, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^3) - (3*I*x*PolyLog[3, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^3) - (3*I*PolyLog[4, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^4) + (3*I*PolyLog[4, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^4)}
+
+
+{x^0*f^x/(a + b*f^(2*x))^2, x, 3, f^x/(2*a*(a + b*f^(2*x))*Log[f]) + ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]]/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f])}
+{x^1*f^x/(a + b*f^(2*x))^2, x, 8, -(ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]]/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^2)) + (f^x*x)/(2*a*(a + b*f^(2*x))*Log[f]) + (x*ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]) - (I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(4*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^2) + (I*PolyLog[2, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(4*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^2)}
+{x^2*f^x/(a + b*f^(2*x))^2, x, 16, -((x*ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^2)) + (f^x*x^2)/(2*a*(a + b*f^(2*x))*Log[f]) + (x^2*ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]) + (I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^3) - (I*x*PolyLog[2, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^2) - (I*PolyLog[2, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^3) + (I*x*PolyLog[2, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^2) + (I*PolyLog[3, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^3) - (I*PolyLog[3, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^3)}
+{x^3*f^x/(a + b*f^(2*x))^2, x, 21, -((3*x^2*ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^2)) + (f^x*x^3)/(2*a*(a + b*f^(2*x))*Log[f]) + (x^3*ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]) + (3*I*x*PolyLog[2, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^3) - (3*I*x^2*PolyLog[2, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(4*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^2) - (3*I*x*PolyLog[2, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^3) + (3*I*x^2*PolyLog[2, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(4*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^2) - (3*I*PolyLog[3, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^4) + (3*I*x*PolyLog[3, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^3) + (3*I*PolyLog[3, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^4) - (3*I*x*PolyLog[3, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^3) - (3*I*PolyLog[4, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^4) + (3*I*PolyLog[4, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*Log[f]^4)}
+
+
+{x^0*f^x/(a + b*f^(2*x))^3, x, 4, f^x/(4*a*(a + b*f^(2*x))^2*Log[f]) + (3*f^x)/(8*a^2*(a + b*f^(2*x))*Log[f]) + (3*ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f])}
+{x^1*f^x/(a + b*f^(2*x))^3, x, 11, -(f^x/(8*a^2*(a + b*f^(2*x))*Log[f]^2)) - ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]]/(2*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^2) + (f^x*x)/(4*a*(a + b*f^(2*x))^2*Log[f]) + (3*f^x*x)/(8*a^2*(a + b*f^(2*x))*Log[f]) + (3*x*ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]) - (3*I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(16*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^2) + (3*I*PolyLog[2, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(16*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^2)}
+{x^2*f^x/(a + b*f^(2*x))^3, x, 24, ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]]/(4*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^3) - (f^x*x)/(4*a^2*(a + b*f^(2*x))*Log[f]^2) - (x*ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^2) + (f^x*x^2)/(4*a*(a + b*f^(2*x))^2*Log[f]) + (3*f^x*x^2)/(8*a^2*(a + b*f^(2*x))*Log[f]) + (3*x^2*ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]) + (I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(2*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^3) - (3*I*x*PolyLog[2, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(8*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^2) - (I*PolyLog[2, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(2*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^3) + (3*I*x*PolyLog[2, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^2) + (3*I*PolyLog[3, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(8*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^3) - (3*I*PolyLog[3, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^3)}
+(* {x^3*f^x/(a + b*f^(2*x))^3, x, 30, (3*x*ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(4*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^3) - (3*f^x*x^2)/(8*a^2*(a + b*f^(2*x))*Log[f]^2) - (3*x^2*ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(2*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^2) + (x^3*((2*a^(3/2)*f^x)/(a + b*f^(2*x))^2 + (3*Sqrt[a]*f^x)/(a + b*f^(2*x)) + (3*ArcTan[(Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/Sqrt[b]))/(8*a^(5/2)*Log[f]) - (3*I*(2 - 8*x*Log[f] + 3*x^2*Log[f]^2)*PolyLog[2, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(16*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^4) + (3*I*(2 - 8*x*Log[f] + 3*x^2*Log[f]^2)*PolyLog[2, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(16*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^4) - (3*I*(4 - 3*x*Log[f])*PolyLog[3, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(8*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^4) + (3*I*(4 - 3*x*Log[f])*PolyLog[3, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^4) - (9*I*PolyLog[4, -((I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a])])/(8*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^4) + (9*I*PolyLog[4, (I*Sqrt[b]*f^x)/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*Sqrt[b]*Log[f]^4)} *)
+
+
+{x^0/(a*f^x + b*f^(-x)), x, 2, ArcTan[(Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f])}
+{x^1/(a*f^x + b*f^(-x)), x, 6, (x*ArcTan[(Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]) - (I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^2) + (I*PolyLog[2, (I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^2)}
+{x^2/(a*f^x + b*f^(-x)), x, 9, (x^2*ArcTan[(Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]) - (I*x*PolyLog[2, -((I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b])])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^2) + (I*x*PolyLog[2, (I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^2) + (I*PolyLog[3, -((I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b])])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^3) - (I*PolyLog[3, (I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^3)}
+{x^3/(a*f^x + b*f^(-x)), x, 11, (x^3*ArcTan[(Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]) - (3*I*x^2*PolyLog[2, -((I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^2) + (3*I*x^2*PolyLog[2, (I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^2) + (3*I*x*PolyLog[3, -((I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b])])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^3) - (3*I*x*PolyLog[3, (I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^3) - (3*I*PolyLog[4, -((I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b])])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^4) + (3*I*PolyLog[4, (I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[f]^4)}
+
+
+{x^0/(a*f^x + b*f^(-x))^2, x, 2, -(1/(2*a*(b + a*f^(2*x))*Log[f]))}
+{x^1/(a*f^x + b*f^(-x))^2, x, 6, x/(2*a*b*Log[f]) - x/(2*a*(b + a*f^(2*x))*Log[f]) - Log[b + a*f^(2*x)]/(4*a*b*Log[f]^2)}
+{x^2/(a*f^x + b*f^(-x))^2, x, 6, x^2/(2*a*b*Log[f]) - x^2/(2*a*(b + a*f^(2*x))*Log[f]) - (x*Log[1 + (a*f^(2*x))/b])/(2*a*b*Log[f]^2) - PolyLog[2, -((a*f^(2*x))/b)]/(4*a*b*Log[f]^3)}
+{x^3/(a*f^x + b*f^(-x))^2, x, 7, x^3/(2*a*b*Log[f]) - x^3/(2*a*(b + a*f^(2*x))*Log[f]) - (3*x^2*Log[1 + (a*f^(2*x))/b])/(4*a*b*Log[f]^2) - (3*x*PolyLog[2, -((a*f^(2*x))/b)])/(4*a*b*Log[f]^3) + (3*PolyLog[3, -((a*f^(2*x))/b)])/(8*a*b*Log[f]^4)}
+
+
+{x^0/(a*f^x + b*f^(-x))^3, x, 4, -(f^x/(4*a*(b + a*f^(2*x))^2*Log[f])) + f^x/(8*a*b*(b + a*f^(2*x))*Log[f]) + ArcTan[(Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]]/(8*a^(3/2)*b^(3/2)*Log[f])}
+{x^1/(a*f^x + b*f^(-x))^3, x, 22, f^x/(8*a*b*(b + a*f^(2*x))*Log[f]^2) - (f^x*x)/(4*a*(b + a*f^(2*x))^2*Log[f]) + (f^x*x)/(8*a*b*(b + a*f^(2*x))*Log[f]) + (x*ArcTan[(Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]])/(8*a^(3/2)*b^(3/2)*Log[f]) - (I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b])])/(16*a^(3/2)*b^(3/2)*Log[f]^2) + (I*PolyLog[2, (I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]])/(16*a^(3/2)*b^(3/2)*Log[f]^2)}
+{x^2/(a*f^x + b*f^(-x))^3, x, 43, -(ArcTan[(Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]]/(4*a^(3/2)*b^(3/2)*Log[f]^3)) + (f^x*x)/(4*a*b*(b + a*f^(2*x))*Log[f]^2) - (f^x*x^2)/(4*a*(b + a*f^(2*x))^2*Log[f]) + (f^x*x^2)/(8*a*b*(b + a*f^(2*x))*Log[f]) + (x^2*ArcTan[(Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]])/(8*a^(3/2)*b^(3/2)*Log[f]) - (I*x*PolyLog[2, -((I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b])])/(8*a^(3/2)*b^(3/2)*Log[f]^2) + (I*x*PolyLog[2, (I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]])/(8*a^(3/2)*b^(3/2)*Log[f]^2) + (I*PolyLog[3, -((I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b])])/(8*a^(3/2)*b^(3/2)*Log[f]^3) - (I*PolyLog[3, (I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]])/(8*a^(3/2)*b^(3/2)*Log[f]^3)}
+(* {x^3/(a*f^x + b*f^(-x))^3, x, 49, -((3*x*ArcTan[(Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]])/(4*a^(3/2)*b^(3/2)*Log[f]^3)) + (3*f^x*x^2)/(8*a*b*(b + a*f^(2*x))*Log[f]^2) - (f^x*(5 + (3*a*f^(2*x))/b)*x^3)/(8*a*(b + a*f^(2*x))^2*Log[f]) + (x^3*((4*Sqrt[a]*Sqrt[b]*f^x)/(b + a*f^(2*x)) + ArcTan[(Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]]))/(8*a^(3/2)*b^(3/2)*Log[f]) + (3*I*(2 - x^2*Log[f]^2)*PolyLog[2, -((I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b])])/(16*a^(3/2)*b^(3/2)*Log[f]^4) - (3*I*(2 - x^2*Log[f]^2)*PolyLog[2, (I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]])/(16*a^(3/2)*b^(3/2)*Log[f]^4) + (3*I*x*PolyLog[3, -((I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b])])/(8*a^(3/2)*b^(3/2)*Log[f]^3) - (3*I*x*PolyLog[3, (I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]])/(8*a^(3/2)*b^(3/2)*Log[f]^3) - (3*I*PolyLog[4, -((I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b])])/(8*a^(3/2)*b^(3/2)*Log[f]^4) + (3*I*PolyLog[4, (I*Sqrt[a]*f^x)/Sqrt[b]])/(8*a^(3/2)*b^(3/2)*Log[f]^4)} *)
+
+
+{f^(a + b*x + c*x^2)*g^(d + e*x + f*x^2), x, 3, (f^a*g^d*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*Log[f] + e*Log[g] + 2*x*(c*Log[f] + f*Log[g]))/(2*Sqrt[c*Log[f] + f*Log[g]])])/(E^((b*Log[f] + e*Log[g])^2/(4*(c*Log[f] + f*Log[g])))*(2*Sqrt[c*Log[f] + f*Log[g]]))}
+
+
+{F^(e*(c + d*x))*(a + b*G^(h*(f + g*x)))^n, x, 2, (F^(e*(c + d*x))*(a + b*G^(h*(f + g*x)))^n*Hypergeometric2F1[-n, (d*e*Log[F])/(g*h*Log[G]), 1 + (d*e*Log[F])/(g*h*Log[G]), -((b*G^(h*(f + g*x)))/a)])/((1 + (b*G^(h*(f + g*x)))/a)^n*(d*e*Log[F]))}
+
+
+{F^(e*(c + d*x))*H^(t*(r + s*x))/(a + b*F^(e*(c + d*x))), x, 2, (H^(t*(r + s*x))*Hypergeometric2F1[1, -((s*t*Log[H])/(d*e*Log[F])), 1 - (s*t*Log[H])/(d*e*Log[F]), -(a/(F^(e*(c + d*x))*b))])/(b*s*t*Log[H])}
+{F^(e*(f + d*x))*H^(t*(r + s*x))/(a + b*F^(e*(c + d*x))), x, 2, (H^(t*(r + s*x))*Hypergeometric2F1[1, -((s*t*Log[H])/(d*e*Log[F])), 1 - (s*t*Log[H])/(d*e*Log[F]), -(a/(F^(e*(c + d*x))*b))])/(F^(e*(c - f))*(b*s*t*Log[H]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m F^(a+b x^n)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{f^(a + b*x^2)*x^m, x, 1, (-(1/2))*f^a*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/2, (-b)*x^2*Log[f]]*((-b)*x^2*Log[f])^((1/2)*(-1 - m))}
+
+{f^(a + b*x^2)*x^11, x, 1, -((f^(a + b*x^2)*(120 - 120*b*x^2*Log[f] + 60*b^2*x^4*Log[f]^2 - 20*b^3*x^6*Log[f]^3 + 5*b^4*x^8*Log[f]^4 - b^5*x^10*Log[f]^5))/(2*b^6*Log[f]^6))}
+{f^(a + b*x^2)*x^9, x, 1, (f^(a + b*x^2)*(24 - 24*b*x^2*Log[f] + 12*b^2*x^4*Log[f]^2 - 4*b^3*x^6*Log[f]^3 + b^4*x^8*Log[f]^4))/(2*b^5*Log[f]^5)}
+{f^(a + b*x^2)*x^7, x, 4, -((3*f^(a + b*x^2))/(b^4*Log[f]^4)) + (3*f^(a + b*x^2)*x^2)/(b^3*Log[f]^3) - (3*f^(a + b*x^2)*x^4)/(2*b^2*Log[f]^2) + (f^(a + b*x^2)*x^6)/(2*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x^2)*x^5, x, 3, f^(a + b*x^2)/(b^3*Log[f]^3) - (f^(a + b*x^2)*x^2)/(b^2*Log[f]^2) + (f^(a + b*x^2)*x^4)/(2*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x^2)*x^3, x, 2, -(f^(a + b*x^2)/(2*b^2*Log[f]^2)) + (f^(a + b*x^2)*x^2)/(2*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x^2)*x^1, x, 1, f^(a + b*x^2)/(2*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x^2)/x^1, x, 1, (1/2)*f^a*ExpIntegralEi[b*x^2*Log[f]]}
+{f^(a + b*x^2)/x^3, x, 2, -(f^(a + b*x^2)/(2*x^2)) + (1/2)*b*f^a*ExpIntegralEi[b*x^2*Log[f]]*Log[f]}
+{f^(a + b*x^2)/x^5, x, 3, -(f^(a + b*x^2)/(4*x^4)) - (b*f^(a + b*x^2)*Log[f])/(4*x^2) + (1/4)*b^2*f^a*ExpIntegralEi[b*x^2*Log[f]]*Log[f]^2}
+{f^(a + b*x^2)/x^7, x, 4, -(f^(a + b*x^2)/(6*x^6)) - (b*f^(a + b*x^2)*Log[f])/(12*x^4) - (b^2*f^(a + b*x^2)*Log[f]^2)/(12*x^2) + (1/12)*b^3*f^a*ExpIntegralEi[b*x^2*Log[f]]*Log[f]^3}
+{f^(a + b*x^2)/x^9, x, 1, (-(1/2))*b^4*f^a*Gamma[-4, (-b)*x^2*Log[f]]*Log[f]^4}
+{f^(a + b*x^2)/x^11, x, 1, (1/2)*b^5*f^a*Gamma[-5, (-b)*x^2*Log[f]]*Log[f]^5}
+
+{f^(a + b*x^2)*x^12, x, 1, -((f^a*x^13*Gamma[13/2, (-b)*x^2*Log[f]])/(2*((-b)*x^2*Log[f])^(13/2)))}
+{f^(a + b*x^2)*x^10, x, 1, -((f^a*x^11*Gamma[11/2, (-b)*x^2*Log[f]])/(2*((-b)*x^2*Log[f])^(11/2)))}
+{f^(a + b*x^2)*x^8, x, 5, (105*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x*Sqrt[Log[f]]])/(32*b^(9/2)*Log[f]^(9/2)) - (105*f^(a + b*x^2)*x)/(16*b^4*Log[f]^4) + (35*f^(a + b*x^2)*x^3)/(8*b^3*Log[f]^3) - (7*f^(a + b*x^2)*x^5)/(4*b^2*Log[f]^2) + (f^(a + b*x^2)*x^7)/(2*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x^2)*x^6, x, 4, -((15*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x*Sqrt[Log[f]]])/(16*b^(7/2)*Log[f]^(7/2))) + (15*f^(a + b*x^2)*x)/(8*b^3*Log[f]^3) - (5*f^(a + b*x^2)*x^3)/(4*b^2*Log[f]^2) + (f^(a + b*x^2)*x^5)/(2*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x^2)*x^4, x, 3, (3*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x*Sqrt[Log[f]]])/(8*b^(5/2)*Log[f]^(5/2)) - (3*f^(a + b*x^2)*x)/(4*b^2*Log[f]^2) + (f^(a + b*x^2)*x^3)/(2*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x^2)*x^2, x, 2, -((f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x*Sqrt[Log[f]]])/(4*b^(3/2)*Log[f]^(3/2))) + (f^(a + b*x^2)*x)/(2*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x^2)*x^0, x, 1, (f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x*Sqrt[Log[f]]])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[Log[f]])}
+{f^(a + b*x^2)/x^2, x, 2, -(f^(a + b*x^2)/x) + Sqrt[b]*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x*Sqrt[Log[f]]]*Sqrt[Log[f]]}
+{f^(a + b*x^2)/x^4, x, 3, -(f^(a + b*x^2)/(3*x^3)) - (2*b*f^(a + b*x^2)*Log[f])/(3*x) + (2/3)*b^(3/2)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x*Sqrt[Log[f]]]*Log[f]^(3/2)}
+{f^(a + b*x^2)/x^6, x, 4, -(f^(a + b*x^2)/(5*x^5)) - (2*b*f^(a + b*x^2)*Log[f])/(15*x^3) - (4*b^2*f^(a + b*x^2)*Log[f]^2)/(15*x) + (4/15)*b^(5/2)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x*Sqrt[Log[f]]]*Log[f]^(5/2)}
+{f^(a + b*x^2)/x^8, x, 5, -(f^(a + b*x^2)/(7*x^7)) - (2*b*f^(a + b*x^2)*Log[f])/(35*x^5) - (4*b^2*f^(a + b*x^2)*Log[f]^2)/(105*x^3) - (8*b^3*f^(a + b*x^2)*Log[f]^3)/(105*x) + (8/105)*b^(7/2)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x*Sqrt[Log[f]]]*Log[f]^(7/2)}
+{f^(a + b*x^2)/x^10, x, 1, -((f^a*Gamma[-(9/2), (-b)*x^2*Log[f]]*((-b)*x^2*Log[f])^(9/2))/(2*x^9))}
+{f^(a + b*x^2)/x^12, x, 1, -((f^a*Gamma[-(11/2), (-b)*x^2*Log[f]]*((-b)*x^2*Log[f])^(11/2))/(2*x^11))}
+
+
+{f^(a + b*x^3)*x^m, x, 1, (-(1/3))*f^a*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/3, (-b)*x^3*Log[f]]*((-b)*x^3*Log[f])^((1/3)*(-1 - m))}
+
+{f^(a + b*x^3)*x^17, x, 1, -((f^(a + b*x^3)*(120 - 120*b*x^3*Log[f] + 60*b^2*x^6*Log[f]^2 - 20*b^3*x^9*Log[f]^3 + 5*b^4*x^12*Log[f]^4 - b^5*x^15*Log[f]^5))/(3*b^6*Log[f]^6))}
+{f^(a + b*x^3)*x^14, x, 1, (f^(a + b*x^3)*(24 - 24*b*x^3*Log[f] + 12*b^2*x^6*Log[f]^2 - 4*b^3*x^9*Log[f]^3 + b^4*x^12*Log[f]^4))/(3*b^5*Log[f]^5)}
+{f^(a + b*x^3)*x^11, x, 4, -((2*f^(a + b*x^3))/(b^4*Log[f]^4)) + (2*f^(a + b*x^3)*x^3)/(b^3*Log[f]^3) - (f^(a + b*x^3)*x^6)/(b^2*Log[f]^2) + (f^(a + b*x^3)*x^9)/(3*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x^3)*x^8, x, 3, (2*f^(a + b*x^3))/(3*b^3*Log[f]^3) - (2*f^(a + b*x^3)*x^3)/(3*b^2*Log[f]^2) + (f^(a + b*x^3)*x^6)/(3*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x^3)*x^5, x, 2, -(f^(a + b*x^3)/(3*b^2*Log[f]^2)) + (f^(a + b*x^3)*x^3)/(3*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x^3)*x^2, x, 1, f^(a + b*x^3)/(3*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x^3)/x^1, x, 1, (1/3)*f^a*ExpIntegralEi[b*x^3*Log[f]]}
+{f^(a + b*x^3)/x^4, x, 2, -(f^(a + b*x^3)/(3*x^3)) + (1/3)*b*f^a*ExpIntegralEi[b*x^3*Log[f]]*Log[f]}
+{f^(a + b*x^3)/x^7, x, 3, -(f^(a + b*x^3)/(6*x^6)) - (b*f^(a + b*x^3)*Log[f])/(6*x^3) + (1/6)*b^2*f^a*ExpIntegralEi[b*x^3*Log[f]]*Log[f]^2}
+{f^(a + b*x^3)/x^10, x, 4, -(f^(a + b*x^3)/(9*x^9)) - (b*f^(a + b*x^3)*Log[f])/(18*x^6) - (b^2*f^(a + b*x^3)*Log[f]^2)/(18*x^3) + (1/18)*b^3*f^a*ExpIntegralEi[b*x^3*Log[f]]*Log[f]^3}
+{f^(a + b*x^3)/x^13, x, 1, (-(1/3))*b^4*f^a*Gamma[-4, (-b)*x^3*Log[f]]*Log[f]^4}
+{f^(a + b*x^3)/x^16, x, 1, (1/3)*b^5*f^a*Gamma[-5, (-b)*x^3*Log[f]]*Log[f]^5}
+
+{f^(a + b*x^3)*x^4, x, 1, -((f^a*x^5*Gamma[5/3, (-b)*x^3*Log[f]])/(3*((-b)*x^3*Log[f])^(5/3)))}
+{f^(a + b*x^3)*x^3, x, 1, -((f^a*x^4*Gamma[4/3, (-b)*x^3*Log[f]])/(3*((-b)*x^3*Log[f])^(4/3)))}
+{f^(a + b*x^3)*x^1, x, 1, -((f^a*x^2*Gamma[2/3, (-b)*x^3*Log[f]])/(3*((-b)*x^3*Log[f])^(2/3)))}
+{f^(a + b*x^3)*x^0, x, 1, -((f^a*x*Gamma[1/3, (-b)*x^3*Log[f]])/(3*((-b)*x^3*Log[f])^(1/3)))}
+{f^(a + b*x^3)/x^2, x, 1, -((f^a*Gamma[-(1/3), (-b)*x^3*Log[f]]*((-b)*x^3*Log[f])^(1/3))/(3*x))}
+{f^(a + b*x^3)/x^3, x, 1, -((f^a*Gamma[-(2/3), (-b)*x^3*Log[f]]*((-b)*x^3*Log[f])^(2/3))/(3*x^2))}
+
+
+{E^(4*x^3)*x^2, x, 1, E^(4*x^3)/12}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{f^(a + b/x)*x^m, x, 1, f^a*x^(1 + m)*Gamma[-1 - m, -((b*Log[f])/x)]*(-((b*Log[f])/x))^(1 + m)}
+
+{f^(a + b/x)*x^4, x, 1, (-b^5)*f^a*Gamma[-5, -((b*Log[f])/x)]*Log[f]^5}
+{f^(a + b/x)*x^3, x, 1, b^4*f^a*Gamma[-4, -((b*Log[f])/x)]*Log[f]^4}
+{f^(a + b/x)*x^2, x, 4, (1/3)*f^(a + b/x)*x^3 + (1/6)*b*f^(a + b/x)*x^2*Log[f] + (1/6)*b^2*f^(a + b/x)*x*Log[f]^2 - (1/6)*b^3*f^a*ExpIntegralEi[(b*Log[f])/x]*Log[f]^3}
+{f^(a + b/x)*x^1, x, 3, (1/2)*f^(a + b/x)*x^2 + (1/2)*b*f^(a + b/x)*x*Log[f] - (1/2)*b^2*f^a*ExpIntegralEi[(b*Log[f])/x]*Log[f]^2}
+{f^(a + b/x)*x^0, x, 2, f^(a + b/x)*x - b*f^a*ExpIntegralEi[(b*Log[f])/x]*Log[f]}
+{f^(a + b/x)/x^1, x, 1, (-f^a)*ExpIntegralEi[(b*Log[f])/x]}
+{f^(a + b/x)/x^2, x, 1, -(f^(a + b/x)/(b*Log[f]))}
+{f^(a + b/x)/x^3, x, 2, f^(a + b/x)/(b^2*Log[f]^2) - f^(a + b/x)/(b*x*Log[f])}
+{f^(a + b/x)/x^4, x, 3, -((2*f^(a + b/x))/(b^3*Log[f]^3)) + (2*f^(a + b/x))/(b^2*x*Log[f]^2) - f^(a + b/x)/(b*x^2*Log[f])}
+{f^(a + b/x)/x^5, x, 4, (6*f^(a + b/x))/(b^4*Log[f]^4) - (6*f^(a + b/x))/(b^3*x*Log[f]^3) + (3*f^(a + b/x))/(b^2*x^2*Log[f]^2) - f^(a + b/x)/(b*x^3*Log[f])}
+{f^(a + b/x)/x^6, x, 1, -((f^(a + b/x)*(24*x^4 - 24*b*x^3*Log[f] + 12*b^2*x^2*Log[f]^2 - 4*b^3*x*Log[f]^3 + b^4*Log[f]^4))/(b^5*x^4*Log[f]^5))}
+{f^(a + b/x)/x^7, x, 1, (f^(a + b/x)*(120*x^5 - 120*b*x^4*Log[f] + 60*b^2*x^3*Log[f]^2 - 20*b^3*x^2*Log[f]^3 + 5*b^4*x*Log[f]^4 - b^5*Log[f]^5))/(b^6*x^5*Log[f]^6)}
+
+
+{f^(a + b/x^2)*x^m, x, 1, (1/2)*f^a*x^(1 + m)*Gamma[(1/2)*(-1 - m), -((b*Log[f])/x^2)]*(-((b*Log[f])/x^2))^((1 + m)/2)}
+
+{f^(a + b/x^2)*x^9, x, 1, (-(1/2))*b^5*f^a*Gamma[-5, -((b*Log[f])/x^2)]*Log[f]^5}
+{f^(a + b/x^2)*x^7, x, 1, (1/2)*b^4*f^a*Gamma[-4, -((b*Log[f])/x^2)]*Log[f]^4}
+{f^(a + b/x^2)*x^5, x, 4, (1/6)*f^(a + b/x^2)*x^6 + (1/12)*b*f^(a + b/x^2)*x^4*Log[f] + (1/12)*b^2*f^(a + b/x^2)*x^2*Log[f]^2 - (1/12)*b^3*f^a*ExpIntegralEi[(b*Log[f])/x^2]*Log[f]^3}
+{f^(a + b/x^2)*x^3, x, 3, (1/4)*f^(a + b/x^2)*x^4 + (1/4)*b*f^(a + b/x^2)*x^2*Log[f] - (1/4)*b^2*f^a*ExpIntegralEi[(b*Log[f])/x^2]*Log[f]^2}
+{f^(a + b/x^2)*x^1, x, 2, (1/2)*f^(a + b/x^2)*x^2 - (1/2)*b*f^a*ExpIntegralEi[(b*Log[f])/x^2]*Log[f]}
+{f^(a + b/x^2)/x^1, x, 1, (-(1/2))*f^a*ExpIntegralEi[(b*Log[f])/x^2]}
+{f^(a + b/x^2)/x^3, x, 1, -(f^(a + b/x^2)/(2*b*Log[f]))}
+{f^(a + b/x^2)/x^5, x, 2, f^(a + b/x^2)/(2*b^2*Log[f]^2) - f^(a + b/x^2)/(2*b*x^2*Log[f])}
+{f^(a + b/x^2)/x^7, x, 3, -(f^(a + b/x^2)/(b^3*Log[f]^3)) + f^(a + b/x^2)/(b^2*x^2*Log[f]^2) - f^(a + b/x^2)/(2*b*x^4*Log[f])}
+{f^(a + b/x^2)/x^9, x, 4, (3*f^(a + b/x^2))/(b^4*Log[f]^4) - (3*f^(a + b/x^2))/(b^3*x^2*Log[f]^3) + (3*f^(a + b/x^2))/(2*b^2*x^4*Log[f]^2) - f^(a + b/x^2)/(2*b*x^6*Log[f])}
+{f^(a + b/x^2)/x^11, x, 1, -((f^(a + b/x^2)*(24*x^8 - 24*b*x^6*Log[f] + 12*b^2*x^4*Log[f]^2 - 4*b^3*x^2*Log[f]^3 + b^4*Log[f]^4))/(2*b^5*x^8*Log[f]^5))}
+{f^(a + b/x^2)/x^13, x, 1, (f^(a + b/x^2)*(120*x^10 - 120*b*x^8*Log[f] + 60*b^2*x^6*Log[f]^2 - 20*b^3*x^4*Log[f]^3 + 5*b^4*x^2*Log[f]^4 - b^5*Log[f]^5))/(2*b^6*x^10*Log[f]^6)}
+
+{f^(a + b/x^2)*x^10, x, 1, (1/2)*f^a*x^11*Gamma[-(11/2), -((b*Log[f])/x^2)]*(-((b*Log[f])/x^2))^(11/2)}
+{f^(a + b/x^2)*x^8, x, 1, (1/2)*f^a*x^9*Gamma[-(9/2), -((b*Log[f])/x^2)]*(-((b*Log[f])/x^2))^(9/2)}
+{f^(a + b/x^2)*x^6, x, 6, (1/7)*f^(a + b/x^2)*x^7 + (2/35)*b*f^(a + b/x^2)*x^5*Log[f] + (4/105)*b^2*f^(a + b/x^2)*x^3*Log[f]^2 + (8/105)*b^3*f^(a + b/x^2)*x*Log[f]^3 - (8/105)*b^(7/2)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[Log[f]])/x]*Log[f]^(7/2)}
+{f^(a + b/x^2)*x^4, x, 5, (1/5)*f^(a + b/x^2)*x^5 + (2/15)*b*f^(a + b/x^2)*x^3*Log[f] + (4/15)*b^2*f^(a + b/x^2)*x*Log[f]^2 - (4/15)*b^(5/2)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[Log[f]])/x]*Log[f]^(5/2)}
+{f^(a + b/x^2)*x^2, x, 4, (1/3)*f^(a + b/x^2)*x^3 + (2/3)*b*f^(a + b/x^2)*x*Log[f] - (2/3)*b^(3/2)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[Log[f]])/x]*Log[f]^(3/2)}
+{f^(a + b/x^2)*x^0, x, 3, f^(a + b/x^2)*x - Sqrt[b]*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[Log[f]])/x]*Sqrt[Log[f]]}
+{f^(a + b/x^2)/x^2, x, 2, -((f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[Log[f]])/x])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[Log[f]]))}
+{f^(a + b/x^2)/x^4, x, 3, (f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[Log[f]])/x])/(4*b^(3/2)*Log[f]^(3/2)) - f^(a + b/x^2)/(2*b*x*Log[f])}
+{f^(a + b/x^2)/x^6, x, 4, -((3*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[Log[f]])/x])/(8*b^(5/2)*Log[f]^(5/2))) + (3*f^(a + b/x^2))/(4*b^2*x*Log[f]^2) - f^(a + b/x^2)/(2*b*x^3*Log[f])}
+{f^(a + b/x^2)/x^8, x, 5, (15*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[Log[f]])/x])/(16*b^(7/2)*Log[f]^(7/2)) - (15*f^(a + b/x^2))/(8*b^3*x*Log[f]^3) + (5*f^(a + b/x^2))/(4*b^2*x^3*Log[f]^2) - f^(a + b/x^2)/(2*b*x^5*Log[f])}
+{f^(a + b/x^2)/x^10, x, 6, -((105*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[Log[f]])/x])/(32*b^(9/2)*Log[f]^(9/2))) + (105*f^(a + b/x^2))/(16*b^4*x*Log[f]^4) - (35*f^(a + b/x^2))/(8*b^3*x^3*Log[f]^3) + (7*f^(a + b/x^2))/(4*b^2*x^5*Log[f]^2) - f^(a + b/x^2)/(2*b*x^7*Log[f])}
+{f^(a + b/x^2)/x^12, x, 1, (f^a*Gamma[11/2, -((b*Log[f])/x^2)])/(2*x^11*(-((b*Log[f])/x^2))^(11/2))}
+{f^(a + b/x^2)/x^14, x, 1, (f^a*Gamma[13/2, -((b*Log[f])/x^2)])/(2*x^13*(-((b*Log[f])/x^2))^(13/2))}
+
+
+{f^(a + b/x^3)*x^m, x, 1, (1/3)*f^a*x^(1 + m)*Gamma[(1/3)*(-1 - m), -((b*Log[f])/x^3)]*(-((b*Log[f])/x^3))^((1 + m)/3)}
+
+{f^(a + b/x^3)*x^14, x, 1, (-(1/3))*b^5*f^a*Gamma[-5, -((b*Log[f])/x^3)]*Log[f]^5}
+{f^(a + b/x^3)*x^11, x, 1, (1/3)*b^4*f^a*Gamma[-4, -((b*Log[f])/x^3)]*Log[f]^4}
+{f^(a + b/x^3)*x^8, x, 4, (1/9)*f^(a + b/x^3)*x^9 + (1/18)*b*f^(a + b/x^3)*x^6*Log[f] + (1/18)*b^2*f^(a + b/x^3)*x^3*Log[f]^2 - (1/18)*b^3*f^a*ExpIntegralEi[(b*Log[f])/x^3]*Log[f]^3}
+{f^(a + b/x^3)*x^5, x, 3, (1/6)*f^(a + b/x^3)*x^6 + (1/6)*b*f^(a + b/x^3)*x^3*Log[f] - (1/6)*b^2*f^a*ExpIntegralEi[(b*Log[f])/x^3]*Log[f]^2}
+{f^(a + b/x^3)*x^2, x, 2, (1/3)*f^(a + b/x^3)*x^3 - (1/3)*b*f^a*ExpIntegralEi[(b*Log[f])/x^3]*Log[f]}
+{f^(a + b/x^3)/x^1, x, 1, (-(1/3))*f^a*ExpIntegralEi[(b*Log[f])/x^3]}
+{f^(a + b/x^3)/x^4, x, 1, -(f^(a + b/x^3)/(3*b*Log[f]))}
+{f^(a + b/x^3)/x^7, x, 2, f^(a + b/x^3)/(3*b^2*Log[f]^2) - f^(a + b/x^3)/(3*b*x^3*Log[f])}
+{f^(a + b/x^3)/x^10, x, 3, -((2*f^(a + b/x^3))/(3*b^3*Log[f]^3)) + (2*f^(a + b/x^3))/(3*b^2*x^3*Log[f]^2) - f^(a + b/x^3)/(3*b*x^6*Log[f])}
+{f^(a + b/x^3)/x^13, x, 4, (2*f^(a + b/x^3))/(b^4*Log[f]^4) - (2*f^(a + b/x^3))/(b^3*x^3*Log[f]^3) + f^(a + b/x^3)/(b^2*x^6*Log[f]^2) - f^(a + b/x^3)/(3*b*x^9*Log[f])}
+{f^(a + b/x^3)/x^16, x, 1, -((f^(a + b/x^3)*(24*x^12 - 24*b*x^9*Log[f] + 12*b^2*x^6*Log[f]^2 - 4*b^3*x^3*Log[f]^3 + b^4*Log[f]^4))/(3*b^5*x^12*Log[f]^5))}
+{f^(a + b/x^3)/x^19, x, 1, (f^(a + b/x^3)*(120*x^15 - 120*b*x^12*Log[f] + 60*b^2*x^9*Log[f]^2 - 20*b^3*x^6*Log[f]^3 + 5*b^4*x^3*Log[f]^4 - b^5*Log[f]^5))/(3*b^6*x^15*Log[f]^6)}
+
+{f^(a + b/x^3)*x^4, x, 1, (1/3)*f^a*x^5*Gamma[-(5/3), -((b*Log[f])/x^3)]*(-((b*Log[f])/x^3))^(5/3)}
+{f^(a + b/x^3)*x^3, x, 1, (1/3)*f^a*x^4*Gamma[-(4/3), -((b*Log[f])/x^3)]*(-((b*Log[f])/x^3))^(4/3)}
+{f^(a + b/x^3)*x^1, x, 1, (1/3)*f^a*x^2*Gamma[-(2/3), -((b*Log[f])/x^3)]*(-((b*Log[f])/x^3))^(2/3)}
+{f^(a + b/x^3)*x^0, x, 1, (1/3)*f^a*x*Gamma[-(1/3), -((b*Log[f])/x^3)]*(-((b*Log[f])/x^3))^(1/3)}
+{f^(a + b/x^3)/x^2, x, 1, (f^a*Gamma[1/3, -((b*Log[f])/x^3)])/(3*x*(-((b*Log[f])/x^3))^(1/3))}
+{f^(a + b/x^3)/x^3, x, 1, (f^a*Gamma[2/3, -((b*Log[f])/x^3)])/(3*x^2*(-((b*Log[f])/x^3))^(2/3))}
+{f^(a + b/x^3)/x^5, x, 1, (f^a*Gamma[4/3, -((b*Log[f])/x^3)])/(3*x^4*(-((b*Log[f])/x^3))^(4/3))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n symbolic*)
+
+
+{f^(a + b*x^n)*x^m, x, 1, -((f^a*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, (-b)*x^n*Log[f]])/(((-b)*x^n*Log[f])^((1 + m)/n)*n))}
+
+{f^(a + b*x^n)*x^3, x, 1, -((f^a*x^4*Gamma[4/n, (-b)*x^n*Log[f]])/(((-b)*x^n*Log[f])^(4/n)*n))}
+{f^(a + b*x^n)*x^2, x, 1, -((f^a*x^3*Gamma[3/n, (-b)*x^n*Log[f]])/(((-b)*x^n*Log[f])^(3/n)*n))}
+{f^(a + b*x^n)*x^1, x, 1, -((f^a*x^2*Gamma[2/n, (-b)*x^n*Log[f]])/(((-b)*x^n*Log[f])^(2/n)*n))}
+{f^(a + b*x^n)*x^0, x, 1, -((f^a*x*Gamma[1/n, (-b)*x^n*Log[f]])/(((-b)*x^n*Log[f])^n^(-1)*n))}
+{f^(a + b*x^n)/x^1, x, 1, (f^a*ExpIntegralEi[b*x^n*Log[f]])/n}
+{f^(a + b*x^n)/x^2, x, 1, -((f^a*Gamma[-(1/n), (-b)*x^n*Log[f]]*((-b)*x^n*Log[f])^(1/n))/(n*x))}
+{f^(a + b*x^n)/x^3, x, 1, -((f^a*Gamma[-(2/n), (-b)*x^n*Log[f]]*((-b)*x^n*Log[f])^(2/n))/(n*x^2))}
+{f^(a + b*x^n)/x^4, x, 1, -((f^a*Gamma[-(3/n), (-b)*x^n*Log[f]]*((-b)*x^n*Log[f])^(3/n))/(n*x^3))}
+
+
+{f^(a + b*x^n)*x^(6*n/2-1), x, 3, (2*f^(a + b*x^n))/(b^3*n*Log[f]^3) - (2*f^(a + b*x^n)*x^n)/(b^2*n*Log[f]^2) + (f^(a + b*x^n)*x^(2*n))/(b*n*Log[f])}
+{f^(a + b*x^n)*x^(4*n/2-1), x, 2, -(f^(a + b*x^n)/(b^2*n*Log[f]^2)) + (f^(a + b*x^n)*x^n)/(b*n*Log[f])}
+{f^(a + b*x^n)*x^(2*n/2-1), x, 1, f^(a + b*x^n)/(b*n*Log[f])}
+{f^(a + b*x^n)*x^(0*n/2-1), x, 1, (f^a*ExpIntegralEi[b*x^n*Log[f]])/n}
+{f^(a + b*x^n)*x^(-2*n/2-1), x, 2, -(f^(a + b*x^n)/(x^n*n)) + (b*f^a*ExpIntegralEi[b*x^n*Log[f]]*Log[f])/n}
+{f^(a + b*x^n)*x^(-4*n/2-1), x, 3, -(f^(a + b*x^n)/(x^(2*n)*(2*n))) - (b*f^(a + b*x^n)*Log[f])/(x^n*(2*n)) + (b^2*f^a*ExpIntegralEi[b*x^n*Log[f]]*Log[f]^2)/(2*n)}
+
+{f^(a + b*x^n)*x^(5*n/2-1), x, 4, (3*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x^(n/2)*Sqrt[Log[f]]])/(4*b^(5/2)*n*Log[f]^(5/2)) - (3*f^(a + b*x^n)*x^(n/2))/(2*b^2*n*Log[f]^2) + (f^(a + b*x^n)*x^((3*n)/2))/(b*n*Log[f])}
+{f^(a + b*x^n)*x^(3*n/2-1), x, 3, -((f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x^(n/2)*Sqrt[Log[f]]])/(2*b^(3/2)*n*Log[f]^(3/2))) + (f^(a + b*x^n)*x^(n/2))/(b*n*Log[f])}
+{f^(a + b*x^n)*x^(1*n/2-1), x, 2, (f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x^(n/2)*Sqrt[Log[f]]])/(Sqrt[b]*n*Sqrt[Log[f]])}
+{f^(a + b*x^n)*x^(-1*n/2-1), x, 3, -((2*f^(a + b*x^n))/(x^(n/2)*n)) + (2*Sqrt[b]*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x^(n/2)*Sqrt[Log[f]]]*Sqrt[Log[f]])/n}
+{f^(a + b*x^n)*x^(-3*n/2-1), x, 4, -((2*f^(a + b*x^n))/(x^((3*n)/2)*(3*n))) - (4*b*f^(a + b*x^n)*Log[f])/(x^(n/2)*(3*n)) + (4*b^(3/2)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x^(n/2)*Sqrt[Log[f]]]*Log[f]^(3/2))/(3*n)}
+
+
+{x/E^(0.1*x), x, 2, -100./E^(0.1*x) - (10.*x)/E^(0.1*x)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m F^(c (a+b x)^n)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m F^(c (a+b x)^n)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{f^(c*(a + b*x)^2)*x^3, x, 8, -(f^(c*(a + b*x)^2)/(2*b^4*c^2*Log[f]^2)) + (3*a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*(a + b*x)*Sqrt[Log[f]]])/(4*b^4*c^(3/2)*Log[f]^(3/2)) + (3*a^2*f^(c*(a + b*x)^2))/(2*b^4*c*Log[f]) - (3*a*f^(c*(a + b*x)^2)*(a + b*x))/(2*b^4*c*Log[f]) + (f^(c*(a + b*x)^2)*(a + b*x)^2)/(2*b^4*c*Log[f]) - (a^3*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*(a + b*x)*Sqrt[Log[f]]])/(2*b^4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])}
+{f^(c*(a + b*x)^2)*x^2, x, 6, -((Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*(a + b*x)*Sqrt[Log[f]]])/(4*b^3*c^(3/2)*Log[f]^(3/2))) - (a*f^(c*(a + b*x)^2))/(b^3*c*Log[f]) + (f^(c*(a + b*x)^2)*(a + b*x))/(2*b^3*c*Log[f]) + (a^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*(a + b*x)*Sqrt[Log[f]]])/(2*b^3*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])}
+{f^(c*(a + b*x)^2)*x^1, x, 4, f^(c*(a + b*x)^2)/(2*b^2*c*Log[f]) - (a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*(a + b*x)*Sqrt[Log[f]]])/(2*b^2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])}
+{f^(c*(a + b*x)^2)*x^0, x, 1, (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*(a + b*x)*Sqrt[Log[f]]])/(2*b*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])}
+{f^(c*(a + b*x)^2)/x^1, x, 0, Unintegrable[f^(c*(a + b*x)^2)/x, x]}
+{f^(c*(a + b*x)^2)/x^2, x, 2, -(f^(c*(a + b*x)^2)/x) + b*Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*(a + b*x)*Sqrt[Log[f]]]*Sqrt[Log[f]] + 2*a*b*c*Log[f]*Unintegrable[f^(c*(a + b*x)^2)/x, x]}
+{f^(c*(a + b*x)^2)/x^3, x, 3, -(f^(c*(a + b*x)^2)/(2*x^2)) - (a*b*c*f^(c*(a + b*x)^2)*Log[f])/x + a*b^2*c^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*(a + b*x)*Sqrt[Log[f]]]*Log[f]^(3/2) + b^2*c*Log[f]*Unintegrable[f^(c*(a + b*x)^2)/x, x] + 2*a^2*b^2*c^2*Log[f]^2*Unintegrable[f^(c*(a + b*x)^2)/x, x]}
+
+
+{f^(c*(a + b*x)^3)*x^2, x, 5, f^(c*(a + b*x)^3)/(3*b^3*c*Log[f]) + (2*a*(a + b*x)^2*Gamma[2/3, (-c)*(a + b*x)^3*Log[f]])/(3*b^3*((-c)*(a + b*x)^3*Log[f])^(2/3)) - (a^2*(a + b*x)*Gamma[1/3, (-c)*(a + b*x)^3*Log[f]])/(3*b^3*((-c)*(a + b*x)^3*Log[f])^(1/3))}
+{f^(c*(a + b*x)^3)*x^1, x, 4, -(((a + b*x)^2*Gamma[2/3, (-c)*(a + b*x)^3*Log[f]])/(3*b^2*((-c)*(a + b*x)^3*Log[f])^(2/3))) + (a*(a + b*x)*Gamma[1/3, (-c)*(a + b*x)^3*Log[f]])/(3*b^2*((-c)*(a + b*x)^3*Log[f])^(1/3))}
+{f^(c*(a + b*x)^3)*x^0, x, 1, -(((a + b*x)*Gamma[1/3, (-c)*(a + b*x)^3*Log[f]])/(3*b*((-c)*(a + b*x)^3*Log[f])^(1/3)))}
+{f^(c*(a + b*x)^3)/x^1, x, 0, Unintegrable[f^(c*(a + b*x)^3)/x, x]}
+{f^(c*(a + b*x)^3)/x^2, x, 5, -(f^(c*(a + b*x)^3)/x) - (b*c*(a + b*x)^2*Gamma[2/3, (-c)*(a + b*x)^3*Log[f]]*Log[f])/((-c)*(a + b*x)^3*Log[f])^(2/3) - (a*b*c*(a + b*x)*Gamma[1/3, (-c)*(a + b*x)^3*Log[f]]*Log[f])/((-c)*(a + b*x)^3*Log[f])^(1/3) + 3*a^2*b*c*Log[f]*Unintegrable[f^(c*(a + b*x)^3)/x, x]}
+{f^(c*(a + b*x)^3)/x^3, x, 9, -(f^(c*(a + b*x)^3)/(2*x^2)) - (3*a^2*b*c*f^(c*(a + b*x)^3)*Log[f])/(2*x) - (3*a^2*b^2*c^2*(a + b*x)^2*Gamma[2/3, (-c)*(a + b*x)^3*Log[f]]*Log[f]^2)/(2*((-c)*(a + b*x)^3*Log[f])^(2/3)) - (b^2*c*(a + b*x)*Gamma[1/3, (-c)*(a + b*x)^3*Log[f]]*Log[f])/(2*((-c)*(a + b*x)^3*Log[f])^(1/3)) - (3*a^3*b^2*c^2*(a + b*x)*Gamma[1/3, (-c)*(a + b*x)^3*Log[f]]*Log[f]^2)/(2*((-c)*(a + b*x)^3*Log[f])^(1/3)) + 3*a*b^2*c*Log[f]*Unintegrable[f^(c*(a + b*x)^3)/x, x] + (9/2)*a^4*b^2*c^2*Log[f]^2*Unintegrable[f^(c*(a + b*x)^3)/x, x]}
+
+
+{E^(a^3 + 3*a^2*b*x + 3*a*b^2*x^2 + b^3*x^3)*x^4, x, 8, (2*a^2*E^(a + b*x)^3)/b^5 - (a^4*(a + b*x)*Gamma[1/3, -(a + b*x)^3])/(3*b^5*(-(a + b*x)^3)^(1/3)) + (4*a^3*(a + b*x)^2*Gamma[2/3, -(a + b*x)^3])/(3*b^5*(-(a + b*x)^3)^(2/3)) + (4*a*(a + b*x)^4*Gamma[4/3, -(a + b*x)^3])/(3*b^5*(-(a + b*x)^3)^(4/3)) - ((a + b*x)^5*Gamma[5/3, -(a + b*x)^3])/(3*b^5*(-(a + b*x)^3)^(5/3))}
+{E^(a^3 + 3*a^2*b*x + 3*a*b^2*x^2 + b^3*x^3)*x^3, x, 7, -((a*E^(a + b*x)^3)/b^4) + (a^3*(a + b*x)*Gamma[1/3, -(a + b*x)^3])/(3*b^4*(-(a + b*x)^3)^(1/3)) - (a^2*(a + b*x)^2*Gamma[2/3, -(a + b*x)^3])/(b^4*(-(a + b*x)^3)^(2/3)) - ((a + b*x)^4*Gamma[4/3, -(a + b*x)^3])/(3*b^4*(-(a + b*x)^3)^(4/3))}
+{E^(a^3 + 3*a^2*b*x + 3*a*b^2*x^2 + b^3*x^3)*x^2, x, 6, E^(a + b*x)^3/(3*b^3) - (a^2*(a + b*x)*Gamma[1/3, -(a + b*x)^3])/(3*b^3*(-(a + b*x)^3)^(1/3)) + (2*a*(a + b*x)^2*Gamma[2/3, -(a + b*x)^3])/(3*b^3*(-(a + b*x)^3)^(2/3))}
+{E^(a^3 + 3*a^2*b*x + 3*a*b^2*x^2 + b^3*x^3)*x^1, x, 5, (a*(a + b*x)*Gamma[1/3, -(a + b*x)^3])/(3*b^2*(-(a + b*x)^3)^(1/3)) - ((a + b*x)^2*Gamma[2/3, -(a + b*x)^3])/(3*b^2*(-(a + b*x)^3)^(2/3))}
+{E^(a^3 + 3*a^2*b*x + 3*a*b^2*x^2 + b^3*x^3)*x^0, x, 2, -(((a + b*x)*Gamma[1/3, -(a + b*x)^3])/(3*b*(-(a + b*x)^3)^(1/3)))}
+{E^(a^3 + 3*a^2*b*x + 3*a*b^2*x^2 + b^3*x^3)/x^1, x, 0, CannotIntegrate[E^(a^3 + 3*a^2*b*x + 3*a*b^2*x^2 + b^3*x^3)/x, x]}
+
+
+{E^(a^3 + 3*a^2*b*x + 3*a*b^2*x^2 + b^3*x^3)*x^m, x, 0, CannotIntegrate[E^(a^3 + 3*a^2*b*x + 3*a*b^2*x^2 + b^3*x^3)*x^m, x]}
+
+
+{E^Sqrt[5 + 3*x], x, 3, (-(2/3))*E^Sqrt[5 + 3*x] + (2/3)*E^Sqrt[5 + 3*x]*Sqrt[5 + 3*x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{f^(c/(a + b*x))*x^4, x, 13, (a^4*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x))/b^5 - (2*a^3*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x)^2)/b^5 + (2*a^2*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x)^3)/b^5 - (2*a^3*c*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x)*Log[f])/b^5 + (a^2*c*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x)^2*Log[f])/b^5 - (a^4*c*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)]*Log[f])/b^5 + (a^2*c^2*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x)*Log[f]^2)/b^5 + (2*a^3*c^2*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)]*Log[f]^2)/b^5 - (a^2*c^3*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)]*Log[f]^3)/b^5 - (4*a*c^4*Gamma[-4, -((c*Log[f])/(a + b*x))]*Log[f]^4)/b^5 - (c^5*Gamma[-5, -((c*Log[f])/(a + b*x))]*Log[f]^5)/b^5}
+{f^(c/(a + b*x))*x^3, x, 12, -((a^3*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x))/b^4) + (3*a^2*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x)^2)/(2*b^4) - (a*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x)^3)/b^4 + (3*a^2*c*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x)*Log[f])/(2*b^4) - (a*c*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x)^2*Log[f])/(2*b^4) + (a^3*c*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)]*Log[f])/b^4 - (a*c^2*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x)*Log[f]^2)/(2*b^4) - (3*a^2*c^2*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)]*Log[f]^2)/(2*b^4) + (a*c^3*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)]*Log[f]^3)/(2*b^4) + (c^4*Gamma[-4, -((c*Log[f])/(a + b*x))]*Log[f]^4)/b^4}
+{f^(c/(a + b*x))*x^2, x, 11, (a^2*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x))/b^3 - (a*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x)^2)/b^3 + (f^(c/(a + b*x))*(a + b*x)^3)/(3*b^3) - (a*c*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x)*Log[f])/b^3 + (c*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x)^2*Log[f])/(6*b^3) - (a^2*c*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)]*Log[f])/b^3 + (c^2*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x)*Log[f]^2)/(6*b^3) + (a*c^2*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)]*Log[f]^2)/b^3 - (c^3*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)]*Log[f]^3)/(6*b^3)}
+{f^(c/(a + b*x))*x^1, x, 7, -((a*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x))/b^2) + (f^(c/(a + b*x))*(a + b*x)^2)/(2*b^2) + (c*f^(c/(a + b*x))*(a + b*x)*Log[f])/(2*b^2) + (a*c*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)]*Log[f])/b^2 - (c^2*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)]*Log[f]^2)/(2*b^2)}
+{f^(c/(a + b*x))*x^0, x, 2, (f^(c/(a + b*x))*(a + b*x))/b - (c*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)]*Log[f])/b}
+{f^(c/(a + b*x))/x^1, x, 4, -ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)] + f^(c/a)*ExpIntegralEi[-((b*c*x*Log[f])/(a*(a + b*x)))]}
+{f^(c/(a + b*x))/x^2, x, 9, -((b*f^(c/(a + b*x)))/a) - f^(c/(a + b*x))/x - (b*c*f^(c/a)*ExpIntegralEi[-((b*c*x*Log[f])/(a*(a + b*x)))]*Log[f])/a^2}
+{f^(c/(a + b*x))/x^3, x, 18, (b^2*f^(c/(a + b*x)))/(2*a^2) - f^(c/(a + b*x))/(2*x^2) + (b^2*c*f^(c/(a + b*x))*Log[f])/(2*a^3) + (b*c*f^(c/(a + b*x))*Log[f])/(2*a^2*x) + (b^2*c*f^(c/a)*ExpIntegralEi[-((b*c*x*Log[f])/(a*(a + b*x)))]*Log[f])/a^3 + (b^2*c^2*f^(c/a)*ExpIntegralEi[-((b*c*x*Log[f])/(a*(a + b*x)))]*Log[f]^2)/(2*a^4)}
+
+
+{f^(c/(a + b*x)^2)*x^4, x, 19, (a^4*f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x))/b^5 - (2*a^3*f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x)^2)/b^5 + (2*a^2*f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x)^3)/b^5 - (a*f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x)^4)/b^5 + (f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x)^5)/(5*b^5) - (a^4*Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])/(a + b*x)]*Sqrt[Log[f]])/b^5 + (4*a^2*c*f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x)*Log[f])/b^5 - (a*c*f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x)^2*Log[f])/b^5 + (2*c*f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x)^3*Log[f])/(15*b^5) + (2*a^3*c*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)^2]*Log[f])/b^5 - (4*a^2*c^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])/(a + b*x)]*Log[f]^(3/2))/b^5 + (4*c^2*f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x)*Log[f]^2)/(15*b^5) + (a*c^2*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)^2]*Log[f]^2)/b^5 - (4*c^(5/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])/(a + b*x)]*Log[f]^(5/2))/(15*b^5)}
+{f^(c/(a + b*x)^2)*x^3, x, 14, -((a^3*f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x))/b^4) + (3*a^2*f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x)^2)/(2*b^4) - (a*f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x)^3)/b^4 + (f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x)^4)/(4*b^4) + (a^3*Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])/(a + b*x)]*Sqrt[Log[f]])/b^4 - (2*a*c*f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x)*Log[f])/b^4 + (c*f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x)^2*Log[f])/(4*b^4) - (3*a^2*c*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)^2]*Log[f])/(2*b^4) + (2*a*c^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])/(a + b*x)]*Log[f]^(3/2))/b^4 - (c^2*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)^2]*Log[f]^2)/(4*b^4)}
+{f^(c/(a + b*x)^2)*x^2, x, 11, (a^2*f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x))/b^3 - (a*f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x)^2)/b^3 + (f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x)^3)/(3*b^3) - (a^2*Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])/(a + b*x)]*Sqrt[Log[f]])/b^3 + (2*c*f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x)*Log[f])/(3*b^3) + (a*c*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)^2]*Log[f])/b^3 - (2*c^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])/(a + b*x)]*Log[f]^(3/2))/(3*b^3)}
+{f^(c/(a + b*x)^2)*x^1, x, 7, -((a*f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x))/b^2) + (f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x)^2)/(2*b^2) + (a*Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])/(a + b*x)]*Sqrt[Log[f]])/b^2 - (c*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)^2]*Log[f])/(2*b^2)}
+{f^(c/(a + b*x)^2)*x^0, x, 3, (f^(c/(a + b*x)^2)*(a + b*x))/b - (Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])/(a + b*x)]*Sqrt[Log[f]])/b}
+{f^(c/(a + b*x)^2)/x^1, x, 0, Unintegrable[f^(c/(a + b*x)^2)/x, x]}
+{f^(c/(a + b*x)^2)/x^2, x, 0, CannotIntegrate[f^(c/(a + b*x)^2)/x^2, x]}
+{f^(c/(a + b*x)^2)/x^3, x, 0, CannotIntegrate[f^(c/(a + b*x)^2)/x^3, x]}
+
+
+{f^(c/(a + b*x)^3)*x^4, x, 8, (2*a^2*f^(c/(a + b*x)^3)*(a + b*x)^3)/b^5 - (2*a^2*c*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)^3]*Log[f])/b^5 + (a^4*(a + b*x)*Gamma[-(1/3), -((c*Log[f])/(a + b*x)^3)]*(-((c*Log[f])/(a + b*x)^3))^(1/3))/(3*b^5) - (4*a^3*(a + b*x)^2*Gamma[-(2/3), -((c*Log[f])/(a + b*x)^3)]*(-((c*Log[f])/(a + b*x)^3))^(2/3))/(3*b^5) - (4*a*(a + b*x)^4*Gamma[-(4/3), -((c*Log[f])/(a + b*x)^3)]*(-((c*Log[f])/(a + b*x)^3))^(4/3))/(3*b^5) + ((a + b*x)^5*Gamma[-(5/3), -((c*Log[f])/(a + b*x)^3)]*(-((c*Log[f])/(a + b*x)^3))^(5/3))/(3*b^5)}
+{f^(c/(a + b*x)^3)*x^3, x, 7, -((a*f^(c/(a + b*x)^3)*(a + b*x)^3)/b^4) + (a*c*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)^3]*Log[f])/b^4 - (a^3*(a + b*x)*Gamma[-(1/3), -((c*Log[f])/(a + b*x)^3)]*(-((c*Log[f])/(a + b*x)^3))^(1/3))/(3*b^4) + (a^2*(a + b*x)^2*Gamma[-(2/3), -((c*Log[f])/(a + b*x)^3)]*(-((c*Log[f])/(a + b*x)^3))^(2/3))/b^4 + ((a + b*x)^4*Gamma[-(4/3), -((c*Log[f])/(a + b*x)^3)]*(-((c*Log[f])/(a + b*x)^3))^(4/3))/(3*b^4)}
+{f^(c/(a + b*x)^3)*x^2, x, 6, (f^(c/(a + b*x)^3)*(a + b*x)^3)/(3*b^3) - (c*ExpIntegralEi[(c*Log[f])/(a + b*x)^3]*Log[f])/(3*b^3) + (a^2*(a + b*x)*Gamma[-(1/3), -((c*Log[f])/(a + b*x)^3)]*(-((c*Log[f])/(a + b*x)^3))^(1/3))/(3*b^3) - (2*a*(a + b*x)^2*Gamma[-(2/3), -((c*Log[f])/(a + b*x)^3)]*(-((c*Log[f])/(a + b*x)^3))^(2/3))/(3*b^3)}
+{f^(c/(a + b*x)^3)*x^1, x, 4, -((a*(a + b*x)*Gamma[-(1/3), -((c*Log[f])/(a + b*x)^3)]*(-((c*Log[f])/(a + b*x)^3))^(1/3))/(3*b^2)) + ((a + b*x)^2*Gamma[-(2/3), -((c*Log[f])/(a + b*x)^3)]*(-((c*Log[f])/(a + b*x)^3))^(2/3))/(3*b^2)}
+{f^(c/(a + b*x)^3)*x^0, x, 1, ((a + b*x)*Gamma[-(1/3), -((c*Log[f])/(a + b*x)^3)]*(-((c*Log[f])/(a + b*x)^3))^(1/3))/(3*b)}
+{f^(c/(a + b*x)^3)/x^1, x, 0, Unintegrable[f^(c/(a + b*x)^3)/x, x]}
+{f^(c/(a + b*x)^3)/x^2, x, 0, CannotIntegrate[f^(c/(a + b*x)^3)/x^2, x]}
+{f^(c/(a + b*x)^3)/x^3, x, 0, CannotIntegrate[f^(c/(a + b*x)^3)/x^3, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m F^(c (a+b x)^n) with m symbolic*)
+
+
+{f^(c*(a + b*x)^3)*x^m, x, 0, CannotIntegrate[f^(c*(a + b*x)^3)*x^m, x]}
+{f^(c*(a + b*x)^2)*x^m, x, 1, Unintegrable[f^(a^2*c + 2*a*b*c*x + b^2*c*x^2)*x^m, x]}
+{f^(c*(a + b*x)^1)*x^m, x, 1, (f^(a*c)*x^m*Gamma[1 + m, (-b)*c*x*Log[f]])/(((-b)*c*x*Log[f])^m*(b*c*Log[f]))}
+{f^(c/(a + b*x)^1)*x^m, x, 0, CannotIntegrate[f^(c/(a + b*x))*x^m, x]}
+{f^(c/(a + b*x)^2)*x^m, x, 0, CannotIntegrate[f^(c/(a + b*x)^2)*x^m, x]}
+{f^(c/(a + b*x)^3)*x^m, x, 0, CannotIntegrate[f^(c/(a + b*x)^3)*x^m, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m F^(c (a+b x)^n) with n symbolic*)
+
+
+{f^(c*(a + b*x)^n)*x^m, x, 0, CannotIntegrate[f^(c*(a + b*x)^n)*x^m, x]}
+
+
+{f^(c*(a + b*x)^n)*x^3, x, 6, -(((a + b*x)^4*Gamma[4/n, (-c)*(a + b*x)^n*Log[f]])/(((-c)*(a + b*x)^n*Log[f])^(4/n)*(b^4*n))) + (3*a*(a + b*x)^3*Gamma[3/n, (-c)*(a + b*x)^n*Log[f]])/(((-c)*(a + b*x)^n*Log[f])^(3/n)*(b^4*n)) - (3*a^2*(a + b*x)^2*Gamma[2/n, (-c)*(a + b*x)^n*Log[f]])/(((-c)*(a + b*x)^n*Log[f])^(2/n)*(b^4*n)) + (a^3*(a + b*x)*Gamma[1/n, (-c)*(a + b*x)^n*Log[f]])/(((-c)*(a + b*x)^n*Log[f])^n^(-1)*(b^4*n))}
+{f^(c*(a + b*x)^n)*x^2, x, 5, -(((a + b*x)^3*Gamma[3/n, (-c)*(a + b*x)^n*Log[f]])/(((-c)*(a + b*x)^n*Log[f])^(3/n)*(b^3*n))) + (2*a*(a + b*x)^2*Gamma[2/n, (-c)*(a + b*x)^n*Log[f]])/(((-c)*(a + b*x)^n*Log[f])^(2/n)*(b^3*n)) - (a^2*(a + b*x)*Gamma[1/n, (-c)*(a + b*x)^n*Log[f]])/(((-c)*(a + b*x)^n*Log[f])^n^(-1)*(b^3*n))}
+{f^(c*(a + b*x)^n)*x^1, x, 4, -(((a + b*x)^2*Gamma[2/n, (-c)*(a + b*x)^n*Log[f]])/(((-c)*(a + b*x)^n*Log[f])^(2/n)*(b^2*n))) + (a*(a + b*x)*Gamma[1/n, (-c)*(a + b*x)^n*Log[f]])/(((-c)*(a + b*x)^n*Log[f])^n^(-1)*(b^2*n))}
+{f^(c*(a + b*x)^n)*x^0, x, 1, -(((a + b*x)*Gamma[1/n, (-c)*(a + b*x)^n*Log[f]])/(((-c)*(a + b*x)^n*Log[f])^n^(-1)*(b*n)))}
+{f^(c*(a + b*x)^n)/x^1, x, 0, Unintegrable[f^(c*(a + b*x)^n)/x, x]}
+{f^(c*(a + b*x)^n)/x^2, x, 0, CannotIntegrate[f^(c*(a + b*x)^n)/x^2, x]}
+{f^(c*(a + b*x)^n)/x^3, x, 0, CannotIntegrate[f^(c*(a + b*x)^n)/x^3, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m F^(a+b (c+d x)^n)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^m, x, 1, -((F^a*(c + d*x)^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/2, (-b)*(c + d*x)^2*Log[F]]*((-b)*(c + d*x)^2*Log[F])^((1/2)*(-1 - m)))/(2*d))}
+
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^11, x, 1, -((F^(a + b*(c + d*x)^2)*(120 - 120*b*(c + d*x)^2*Log[F] + 60*b^2*(c + d*x)^4*Log[F]^2 - 20*b^3*(c + d*x)^6*Log[F]^3 + 5*b^4*(c + d*x)^8*Log[F]^4 - b^5*(c + d*x)^10*Log[F]^5))/(2*b^6*d*Log[F]^6))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^9, x, 1, (F^(a + b*(c + d*x)^2)*(24 - 24*b*(c + d*x)^2*Log[F] + 12*b^2*(c + d*x)^4*Log[F]^2 - 4*b^3*(c + d*x)^6*Log[F]^3 + b^4*(c + d*x)^8*Log[F]^4))/(2*b^5*d*Log[F]^5)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^7, x, 4, -((3*F^(a + b*(c + d*x)^2))/(b^4*d*Log[F]^4)) + (3*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^2)/(b^3*d*Log[F]^3) - (3*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^4)/(2*b^2*d*Log[F]^2) + (F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^6)/(2*b*d*Log[F])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^5, x, 3, F^(a + b*(c + d*x)^2)/(b^3*d*Log[F]^3) - (F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^2)/(b^2*d*Log[F]^2) + (F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^4)/(2*b*d*Log[F])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^3, x, 2, -(F^(a + b*(c + d*x)^2)/(2*b^2*d*Log[F]^2)) + (F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^2)/(2*b*d*Log[F])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^1, x, 1, F^(a + b*(c + d*x)^2)/(2*b*d*Log[F])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)/(c + d*x)^1, x, 1, (F^a*ExpIntegralEi[b*(c + d*x)^2*Log[F]])/(2*d)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)/(c + d*x)^3, x, 2, -(F^(a + b*(c + d*x)^2)/(2*d*(c + d*x)^2)) + (b*F^a*ExpIntegralEi[b*(c + d*x)^2*Log[F]]*Log[F])/(2*d)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)/(c + d*x)^5, x, 3, -(F^(a + b*(c + d*x)^2)/(4*d*(c + d*x)^4)) - (b*F^(a + b*(c + d*x)^2)*Log[F])/(4*d*(c + d*x)^2) + (b^2*F^a*ExpIntegralEi[b*(c + d*x)^2*Log[F]]*Log[F]^2)/(4*d)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)/(c + d*x)^7, x, 4, -(F^(a + b*(c + d*x)^2)/(6*d*(c + d*x)^6)) - (b*F^(a + b*(c + d*x)^2)*Log[F])/(12*d*(c + d*x)^4) - (b^2*F^(a + b*(c + d*x)^2)*Log[F]^2)/(12*d*(c + d*x)^2) + (b^3*F^a*ExpIntegralEi[b*(c + d*x)^2*Log[F]]*Log[F]^3)/(12*d)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)/(c + d*x)^9, x, 1, -((b^4*F^a*Gamma[-4, (-b)*(c + d*x)^2*Log[F]]*Log[F]^4)/(2*d))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)/(c + d*x)^11, x, 1, (b^5*F^a*Gamma[-5, (-b)*(c + d*x)^2*Log[F]]*Log[F]^5)/(2*d)}
+
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^12, x, 1, -((F^a*(c + d*x)^13*Gamma[13/2, (-b)*(c + d*x)^2*Log[F]])/(2*d*((-b)*(c + d*x)^2*Log[F])^(13/2)))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^10, x, 1, -((F^a*(c + d*x)^11*Gamma[11/2, (-b)*(c + d*x)^2*Log[F]])/(2*d*((-b)*(c + d*x)^2*Log[F])^(11/2)))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^8, x, 5, (105*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]])/(32*b^(9/2)*d*Log[F]^(9/2)) - (105*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x))/(16*b^4*d*Log[F]^4) + (35*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^3)/(8*b^3*d*Log[F]^3) - (7*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^5)/(4*b^2*d*Log[F]^2) + (F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^7)/(2*b*d*Log[F])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^6, x, 4, -((15*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]])/(16*b^(7/2)*d*Log[F]^(7/2))) + (15*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x))/(8*b^3*d*Log[F]^3) - (5*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^3)/(4*b^2*d*Log[F]^2) + (F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^5)/(2*b*d*Log[F])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^4, x, 3, (3*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]])/(8*b^(5/2)*d*Log[F]^(5/2)) - (3*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x))/(4*b^2*d*Log[F]^2) + (F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^3)/(2*b*d*Log[F])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^2, x, 2, -((F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]])/(4*b^(3/2)*d*Log[F]^(3/2))) + (F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x))/(2*b*d*Log[F])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^0, x, 1, (F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]])/(2*Sqrt[b]*d*Sqrt[Log[F]])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)/(c + d*x)^2, x, 2, -(F^(a + b*(c + d*x)^2)/(d*(c + d*x))) + (Sqrt[b]*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]]*Sqrt[Log[F]])/d}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)/(c + d*x)^4, x, 3, -(F^(a + b*(c + d*x)^2)/(3*d*(c + d*x)^3)) - (2*b*F^(a + b*(c + d*x)^2)*Log[F])/(3*d*(c + d*x)) + (2*b^(3/2)*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]]*Log[F]^(3/2))/(3*d)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)/(c + d*x)^6, x, 4, -(F^(a + b*(c + d*x)^2)/(5*d*(c + d*x)^5)) - (2*b*F^(a + b*(c + d*x)^2)*Log[F])/(15*d*(c + d*x)^3) - (4*b^2*F^(a + b*(c + d*x)^2)*Log[F]^2)/(15*d*(c + d*x)) + (4*b^(5/2)*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]]*Log[F]^(5/2))/(15*d)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)/(c + d*x)^8, x, 5, -(F^(a + b*(c + d*x)^2)/(7*d*(c + d*x)^7)) - (2*b*F^(a + b*(c + d*x)^2)*Log[F])/(35*d*(c + d*x)^5) - (4*b^2*F^(a + b*(c + d*x)^2)*Log[F]^2)/(105*d*(c + d*x)^3) - (8*b^3*F^(a + b*(c + d*x)^2)*Log[F]^3)/(105*d*(c + d*x)) + (8*b^(7/2)*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]]*Log[F]^(7/2))/(105*d)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)/(c + d*x)^10, x, 1, -((F^a*Gamma[-(9/2), (-b)*(c + d*x)^2*Log[F]]*((-b)*(c + d*x)^2*Log[F])^(9/2))/(2*d*(c + d*x)^9))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)/(c + d*x)^12, x, 1, -((F^a*Gamma[-(11/2), (-b)*(c + d*x)^2*Log[F]]*((-b)*(c + d*x)^2*Log[F])^(11/2))/(2*d*(c + d*x)^11))}
+
+
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)*(c + d*x)^m, x, 1, -((F^a*(c + d*x)^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/3, (-b)*(c + d*x)^3*Log[F]]*((-b)*(c + d*x)^3*Log[F])^((1/3)*(-1 - m)))/(3*d))}
+
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)*(c + d*x)^17, x, 1, -((F^(a + b*(c + d*x)^3)*(120 - 120*b*(c + d*x)^3*Log[F] + 60*b^2*(c + d*x)^6*Log[F]^2 - 20*b^3*(c + d*x)^9*Log[F]^3 + 5*b^4*(c + d*x)^12*Log[F]^4 - b^5*(c + d*x)^15*Log[F]^5))/(3*b^6*d*Log[F]^6))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)*(c + d*x)^14, x, 1, (F^(a + b*(c + d*x)^3)*(24 - 24*b*(c + d*x)^3*Log[F] + 12*b^2*(c + d*x)^6*Log[F]^2 - 4*b^3*(c + d*x)^9*Log[F]^3 + b^4*(c + d*x)^12*Log[F]^4))/(3*b^5*d*Log[F]^5)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)*(c + d*x)^11, x, 4, -((2*F^(a + b*(c + d*x)^3))/(b^4*d*Log[F]^4)) + (2*F^(a + b*(c + d*x)^3)*(c + d*x)^3)/(b^3*d*Log[F]^3) - (F^(a + b*(c + d*x)^3)*(c + d*x)^6)/(b^2*d*Log[F]^2) + (F^(a + b*(c + d*x)^3)*(c + d*x)^9)/(3*b*d*Log[F])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)*(c + d*x)^8, x, 3, (2*F^(a + b*(c + d*x)^3))/(3*b^3*d*Log[F]^3) - (2*F^(a + b*(c + d*x)^3)*(c + d*x)^3)/(3*b^2*d*Log[F]^2) + (F^(a + b*(c + d*x)^3)*(c + d*x)^6)/(3*b*d*Log[F])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)*(c + d*x)^5, x, 2, -(F^(a + b*(c + d*x)^3)/(3*b^2*d*Log[F]^2)) + (F^(a + b*(c + d*x)^3)*(c + d*x)^3)/(3*b*d*Log[F])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)*(c + d*x)^2, x, 1, F^(a + b*(c + d*x)^3)/(3*b*d*Log[F])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)/(c + d*x)^1, x, 1, (F^a*ExpIntegralEi[b*(c + d*x)^3*Log[F]])/(3*d)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)/(c + d*x)^4, x, 2, -(F^(a + b*(c + d*x)^3)/(3*d*(c + d*x)^3)) + (b*F^a*ExpIntegralEi[b*(c + d*x)^3*Log[F]]*Log[F])/(3*d)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)/(c + d*x)^7, x, 3, -(F^(a + b*(c + d*x)^3)/(6*d*(c + d*x)^6)) - (b*F^(a + b*(c + d*x)^3)*Log[F])/(6*d*(c + d*x)^3) + (b^2*F^a*ExpIntegralEi[b*(c + d*x)^3*Log[F]]*Log[F]^2)/(6*d)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)/(c + d*x)^10, x, 4, -(F^(a + b*(c + d*x)^3)/(9*d*(c + d*x)^9)) - (b*F^(a + b*(c + d*x)^3)*Log[F])/(18*d*(c + d*x)^6) - (b^2*F^(a + b*(c + d*x)^3)*Log[F]^2)/(18*d*(c + d*x)^3) + (b^3*F^a*ExpIntegralEi[b*(c + d*x)^3*Log[F]]*Log[F]^3)/(18*d)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)/(c + d*x)^13, x, 1, -((b^4*F^a*Gamma[-4, (-b)*(c + d*x)^3*Log[F]]*Log[F]^4)/(3*d))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)/(c + d*x)^16, x, 1, (b^5*F^a*Gamma[-5, (-b)*(c + d*x)^3*Log[F]]*Log[F]^5)/(3*d)}
+
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)*(c + d*x)^3, x, 1, -((F^a*(c + d*x)^4*Gamma[4/3, (-b)*(c + d*x)^3*Log[F]])/(3*d*((-b)*(c + d*x)^3*Log[F])^(4/3)))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)*(c + d*x)^1, x, 1, -((F^a*(c + d*x)^2*Gamma[2/3, (-b)*(c + d*x)^3*Log[F]])/(3*d*((-b)*(c + d*x)^3*Log[F])^(2/3)))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)*(c + d*x)^0, x, 1, -((F^a*(c + d*x)*Gamma[1/3, (-b)*(c + d*x)^3*Log[F]])/(3*d*((-b)*(c + d*x)^3*Log[F])^(1/3)))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)/(c + d*x)^2, x, 1, -((F^a*Gamma[-(1/3), (-b)*(c + d*x)^3*Log[F]]*((-b)*(c + d*x)^3*Log[F])^(1/3))/(3*d*(c + d*x)))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)/(c + d*x)^3, x, 1, -((F^a*Gamma[-(2/3), (-b)*(c + d*x)^3*Log[F]]*((-b)*(c + d*x)^3*Log[F])^(2/3))/(3*d*(c + d*x)^2))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^3)/(c + d*x)^5, x, 1, -((F^a*Gamma[-(4/3), (-b)*(c + d*x)^3*Log[F]]*((-b)*(c + d*x)^3*Log[F])^(4/3))/(3*d*(c + d*x)^4))}
+
+
+{f^(a + b*(c + d*x)^(1/2)), x, 3, -((2*f^(a + b*Sqrt[c + d*x]))/(b^2*d*Log[f]^2)) + (2*f^(a + b*Sqrt[c + d*x])*Sqrt[c + d*x])/(b*d*Log[f])}
+{f^(a + b*(c + d*x)^(1/3)), x, 4, (6*f^(a + b*(c + d*x)^(1/3)))/(b^3*d*Log[f]^3) - (6*f^(a + b*(c + d*x)^(1/3))*(c + d*x)^(1/3))/(b^2*d*Log[f]^2) + (3*f^(a + b*(c + d*x)^(1/3))*(c + d*x)^(2/3))/(b*d*Log[f])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{F^(a + b/(c + d*x))*(c + d*x)^m, x, 1, (F^a*(c + d*x)^(1 + m)*Gamma[-1 - m, -((b*Log[F])/(c + d*x))]*(-((b*Log[F])/(c + d*x)))^(1 + m))/d}
+
+{F^(a + b/(c + d*x))*(c + d*x)^4, x, 1, -((b^5*F^a*Gamma[-5, -((b*Log[F])/(c + d*x))]*Log[F]^5)/d)}
+{F^(a + b/(c + d*x))*(c + d*x)^3, x, 1, (b^4*F^a*Gamma[-4, -((b*Log[F])/(c + d*x))]*Log[F]^4)/d}
+{F^(a + b/(c + d*x))*(c + d*x)^2, x, 4, (F^(a + b/(c + d*x))*(c + d*x)^3)/(3*d) + (b*F^(a + b/(c + d*x))*(c + d*x)^2*Log[F])/(6*d) + (b^2*F^(a + b/(c + d*x))*(c + d*x)*Log[F]^2)/(6*d) - (b^3*F^a*ExpIntegralEi[(b*Log[F])/(c + d*x)]*Log[F]^3)/(6*d)}
+{F^(a + b/(c + d*x))*(c + d*x)^1, x, 3, (F^(a + b/(c + d*x))*(c + d*x)^2)/(2*d) + (b*F^(a + b/(c + d*x))*(c + d*x)*Log[F])/(2*d) - (b^2*F^a*ExpIntegralEi[(b*Log[F])/(c + d*x)]*Log[F]^2)/(2*d)}
+{F^(a + b/(c + d*x))*(c + d*x)^0, x, 2, (F^(a + b/(c + d*x))*(c + d*x))/d - (b*F^a*ExpIntegralEi[(b*Log[F])/(c + d*x)]*Log[F])/d}
+{F^(a + b/(c + d*x))/(c + d*x)^1, x, 1, -((F^a*ExpIntegralEi[(b*Log[F])/(c + d*x)])/d)}
+{F^(a + b/(c + d*x))/(c + d*x)^2, x, 1, -(F^(a + b/(c + d*x))/(b*d*Log[F]))}
+{F^(a + b/(c + d*x))/(c + d*x)^3, x, 2, F^(a + b/(c + d*x))/(b^2*d*Log[F]^2) - F^(a + b/(c + d*x))/(b*d*(c + d*x)*Log[F])}
+{F^(a + b/(c + d*x))/(c + d*x)^4, x, 3, -((2*F^(a + b/(c + d*x)))/(b^3*d*Log[F]^3)) + (2*F^(a + b/(c + d*x)))/(b^2*d*(c + d*x)*Log[F]^2) - F^(a + b/(c + d*x))/(b*d*(c + d*x)^2*Log[F])}
+{F^(a + b/(c + d*x))/(c + d*x)^5, x, 4, (6*F^(a + b/(c + d*x)))/(b^4*d*Log[F]^4) - (6*F^(a + b/(c + d*x)))/(b^3*d*(c + d*x)*Log[F]^3) + (3*F^(a + b/(c + d*x)))/(b^2*d*(c + d*x)^2*Log[F]^2) - F^(a + b/(c + d*x))/(b*d*(c + d*x)^3*Log[F])}
+{F^(a + b/(c + d*x))/(c + d*x)^6, x, 1, -((F^(a + b/(c + d*x))*(24*(c + d*x)^4 - 24*b*(c + d*x)^3*Log[F] + 12*b^2*(c + d*x)^2*Log[F]^2 - 4*b^3*(c + d*x)*Log[F]^3 + b^4*Log[F]^4))/(b^5*d*(c + d*x)^4*Log[F]^5))}
+{F^(a + b/(c + d*x))/(c + d*x)^7, x, 1, (F^(a + b/(c + d*x))*(120*(c + d*x)^5 - 120*b*(c + d*x)^4*Log[F] + 60*b^2*(c + d*x)^3*Log[F]^2 - 20*b^3*(c + d*x)^2*Log[F]^3 + 5*b^4*(c + d*x)*Log[F]^4 - b^5*Log[F]^5))/(b^6*d*(c + d*x)^5*Log[F]^6)}
+
+
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^m, x, 1, (F^a*(c + d*x)^(1 + m)*Gamma[(1/2)*(-1 - m), -((b*Log[F])/(c + d*x)^2)]*(-((b*Log[F])/(c + d*x)^2))^((1 + m)/2))/(2*d)}
+
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^9, x, 1, -((b^5*F^a*Gamma[-5, -((b*Log[F])/(c + d*x)^2)]*Log[F]^5)/(2*d))}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^7, x, 1, (b^4*F^a*Gamma[-4, -((b*Log[F])/(c + d*x)^2)]*Log[F]^4)/(2*d)}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^5, x, 4, (F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^6)/(6*d) + (b*F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^4*Log[F])/(12*d) + (b^2*F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^2*Log[F]^2)/(12*d) - (b^3*F^a*ExpIntegralEi[(b*Log[F])/(c + d*x)^2]*Log[F]^3)/(12*d)}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^3, x, 3, (F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^4)/(4*d) + (b*F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^2*Log[F])/(4*d) - (b^2*F^a*ExpIntegralEi[(b*Log[F])/(c + d*x)^2]*Log[F]^2)/(4*d)}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^1, x, 2, (F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^2)/(2*d) - (b*F^a*ExpIntegralEi[(b*Log[F])/(c + d*x)^2]*Log[F])/(2*d)}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)/(c + d*x)^1, x, 1, -((F^a*ExpIntegralEi[(b*Log[F])/(c + d*x)^2])/(2*d))}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)/(c + d*x)^3, x, 1, -(F^(a + b/(c + d*x)^2)/(2*b*d*Log[F]))}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)/(c + d*x)^5, x, 2, F^(a + b/(c + d*x)^2)/(2*b^2*d*Log[F]^2) - F^(a + b/(c + d*x)^2)/(2*b*d*(c + d*x)^2*Log[F])}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)/(c + d*x)^7, x, 3, -(F^(a + b/(c + d*x)^2)/(b^3*d*Log[F]^3)) + F^(a + b/(c + d*x)^2)/(b^2*d*(c + d*x)^2*Log[F]^2) - F^(a + b/(c + d*x)^2)/(2*b*d*(c + d*x)^4*Log[F])}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)/(c + d*x)^9, x, 4, (3*F^(a + b/(c + d*x)^2))/(b^4*d*Log[F]^4) - (3*F^(a + b/(c + d*x)^2))/(b^3*d*(c + d*x)^2*Log[F]^3) + (3*F^(a + b/(c + d*x)^2))/(2*b^2*d*(c + d*x)^4*Log[F]^2) - F^(a + b/(c + d*x)^2)/(2*b*d*(c + d*x)^6*Log[F])}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)/(c + d*x)^11, x, 1, -((F^(a + b/(c + d*x)^2)*(24*(c + d*x)^8 - 24*b*(c + d*x)^6*Log[F] + 12*b^2*(c + d*x)^4*Log[F]^2 - 4*b^3*(c + d*x)^2*Log[F]^3 + b^4*Log[F]^4))/(2*b^5*d*(c + d*x)^8*Log[F]^5))}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)/(c + d*x)^13, x, 1, (F^(a + b/(c + d*x)^2)*(120*(c + d*x)^10 - 120*b*(c + d*x)^8*Log[F] + 60*b^2*(c + d*x)^6*Log[F]^2 - 20*b^3*(c + d*x)^4*Log[F]^3 + 5*b^4*(c + d*x)^2*Log[F]^4 - b^5*Log[F]^5))/(2*b^6*d*(c + d*x)^10*Log[F]^6)}
+
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^10, x, 1, (F^a*(c + d*x)^11*Gamma[-(11/2), -((b*Log[F])/(c + d*x)^2)]*(-((b*Log[F])/(c + d*x)^2))^(11/2))/(2*d)}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^8, x, 1, (F^a*(c + d*x)^9*Gamma[-(9/2), -((b*Log[F])/(c + d*x)^2)]*(-((b*Log[F])/(c + d*x)^2))^(9/2))/(2*d)}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^6, x, 6, (F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^7)/(7*d) + (2*b*F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^5*Log[F])/(35*d) + (4*b^2*F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^3*Log[F]^2)/(105*d) + (8*b^3*F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)*Log[F]^3)/(105*d) - (8*b^(7/2)*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[Log[F]])/(c + d*x)]*Log[F]^(7/2))/(105*d)}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^4, x, 5, (F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^5)/(5*d) + (2*b*F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^3*Log[F])/(15*d) + (4*b^2*F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)*Log[F]^2)/(15*d) - (4*b^(5/2)*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[Log[F]])/(c + d*x)]*Log[F]^(5/2))/(15*d)}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^2, x, 4, (F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^3)/(3*d) + (2*b*F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)*Log[F])/(3*d) - (2*b^(3/2)*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[Log[F]])/(c + d*x)]*Log[F]^(3/2))/(3*d)}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^0, x, 3, (F^(a + b/(c + d*x)^2)*(c + d*x))/d - (Sqrt[b]*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[Log[F]])/(c + d*x)]*Sqrt[Log[F]])/d}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)/(c + d*x)^2, x, 2, -((F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[Log[F]])/(c + d*x)])/(2*Sqrt[b]*d*Sqrt[Log[F]]))}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)/(c + d*x)^4, x, 3, (F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[Log[F]])/(c + d*x)])/(4*b^(3/2)*d*Log[F]^(3/2)) - F^(a + b/(c + d*x)^2)/(2*b*d*(c + d*x)*Log[F])}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)/(c + d*x)^6, x, 4, -((3*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[Log[F]])/(c + d*x)])/(8*b^(5/2)*d*Log[F]^(5/2))) + (3*F^(a + b/(c + d*x)^2))/(4*b^2*d*(c + d*x)*Log[F]^2) - F^(a + b/(c + d*x)^2)/(2*b*d*(c + d*x)^3*Log[F])}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)/(c + d*x)^8, x, 5, (15*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[Log[F]])/(c + d*x)])/(16*b^(7/2)*d*Log[F]^(7/2)) - (15*F^(a + b/(c + d*x)^2))/(8*b^3*d*(c + d*x)*Log[F]^3) + (5*F^(a + b/(c + d*x)^2))/(4*b^2*d*(c + d*x)^3*Log[F]^2) - F^(a + b/(c + d*x)^2)/(2*b*d*(c + d*x)^5*Log[F])}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)/(c + d*x)^10, x, 6, -((105*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[Log[F]])/(c + d*x)])/(32*b^(9/2)*d*Log[F]^(9/2))) + (105*F^(a + b/(c + d*x)^2))/(16*b^4*d*(c + d*x)*Log[F]^4) - (35*F^(a + b/(c + d*x)^2))/(8*b^3*d*(c + d*x)^3*Log[F]^3) + (7*F^(a + b/(c + d*x)^2))/(4*b^2*d*(c + d*x)^5*Log[F]^2) - F^(a + b/(c + d*x)^2)/(2*b*d*(c + d*x)^7*Log[F])}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)/(c + d*x)^12, x, 1, (F^a*Gamma[11/2, -((b*Log[F])/(c + d*x)^2)])/(2*d*(c + d*x)^11*(-((b*Log[F])/(c + d*x)^2))^(11/2))}
+{F^(a + b/(c + d*x)^2)/(c + d*x)^14, x, 1, (F^a*Gamma[13/2, -((b*Log[F])/(c + d*x)^2)])/(2*d*(c + d*x)^13*(-((b*Log[F])/(c + d*x)^2))^(13/2))}
+
+
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)*(c + d*x)^m, x, 1, (F^a*(c + d*x)^(1 + m)*Gamma[(1/3)*(-1 - m), -((b*Log[F])/(c + d*x)^3)]*(-((b*Log[F])/(c + d*x)^3))^((1 + m)/3))/(3*d)}
+
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)*(c + d*x)^14, x, 1, -((b^5*F^a*Gamma[-5, -((b*Log[F])/(c + d*x)^3)]*Log[F]^5)/(3*d))}
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)*(c + d*x)^11, x, 1, (b^4*F^a*Gamma[-4, -((b*Log[F])/(c + d*x)^3)]*Log[F]^4)/(3*d)}
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)*(c + d*x)^8, x, 4, (F^(a + b/(c + d*x)^3)*(c + d*x)^9)/(9*d) + (b*F^(a + b/(c + d*x)^3)*(c + d*x)^6*Log[F])/(18*d) + (b^2*F^(a + b/(c + d*x)^3)*(c + d*x)^3*Log[F]^2)/(18*d) - (b^3*F^a*ExpIntegralEi[(b*Log[F])/(c + d*x)^3]*Log[F]^3)/(18*d)}
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)*(c + d*x)^5, x, 3, (F^(a + b/(c + d*x)^3)*(c + d*x)^6)/(6*d) + (b*F^(a + b/(c + d*x)^3)*(c + d*x)^3*Log[F])/(6*d) - (b^2*F^a*ExpIntegralEi[(b*Log[F])/(c + d*x)^3]*Log[F]^2)/(6*d)}
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)*(c + d*x)^2, x, 2, (F^(a + b/(c + d*x)^3)*(c + d*x)^3)/(3*d) - (b*F^a*ExpIntegralEi[(b*Log[F])/(c + d*x)^3]*Log[F])/(3*d)}
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)/(c + d*x)^1, x, 1, -((F^a*ExpIntegralEi[(b*Log[F])/(c + d*x)^3])/(3*d))}
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)/(c + d*x)^4, x, 1, -(F^(a + b/(c + d*x)^3)/(3*b*d*Log[F]))}
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)/(c + d*x)^7, x, 2, F^(a + b/(c + d*x)^3)/(3*b^2*d*Log[F]^2) - F^(a + b/(c + d*x)^3)/(3*b*d*(c + d*x)^3*Log[F])}
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)/(c + d*x)^10, x, 3, -((2*F^(a + b/(c + d*x)^3))/(3*b^3*d*Log[F]^3)) + (2*F^(a + b/(c + d*x)^3))/(3*b^2*d*(c + d*x)^3*Log[F]^2) - F^(a + b/(c + d*x)^3)/(3*b*d*(c + d*x)^6*Log[F])}
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)/(c + d*x)^13, x, 4, (2*F^(a + b/(c + d*x)^3))/(b^4*d*Log[F]^4) - (2*F^(a + b/(c + d*x)^3))/(b^3*d*(c + d*x)^3*Log[F]^3) + F^(a + b/(c + d*x)^3)/(b^2*d*(c + d*x)^6*Log[F]^2) - F^(a + b/(c + d*x)^3)/(3*b*d*(c + d*x)^9*Log[F])}
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)/(c + d*x)^16, x, 1, -((F^(a + b/(c + d*x)^3)*(24*(c + d*x)^12 - 24*b*(c + d*x)^9*Log[F] + 12*b^2*(c + d*x)^6*Log[F]^2 - 4*b^3*(c + d*x)^3*Log[F]^3 + b^4*Log[F]^4))/(3*b^5*d*(c + d*x)^12*Log[F]^5))}
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)/(c + d*x)^19, x, 1, (F^(a + b/(c + d*x)^3)*(120*(c + d*x)^15 - 120*b*(c + d*x)^12*Log[F] + 60*b^2*(c + d*x)^9*Log[F]^2 - 20*b^3*(c + d*x)^6*Log[F]^3 + 5*b^4*(c + d*x)^3*Log[F]^4 - b^5*Log[F]^5))/(3*b^6*d*(c + d*x)^15*Log[F]^6)}
+
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)*(c + d*x)^3, x, 1, (F^a*(c + d*x)^4*Gamma[-(4/3), -((b*Log[F])/(c + d*x)^3)]*(-((b*Log[F])/(c + d*x)^3))^(4/3))/(3*d)}
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)*(c + d*x)^1, x, 1, (F^a*(c + d*x)^2*Gamma[-(2/3), -((b*Log[F])/(c + d*x)^3)]*(-((b*Log[F])/(c + d*x)^3))^(2/3))/(3*d)}
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)*(c + d*x)^0, x, 1, (F^a*(c + d*x)*Gamma[-(1/3), -((b*Log[F])/(c + d*x)^3)]*(-((b*Log[F])/(c + d*x)^3))^(1/3))/(3*d)}
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)/(c + d*x)^2, x, 1, (F^a*Gamma[1/3, -((b*Log[F])/(c + d*x)^3)])/(3*d*(c + d*x)*(-((b*Log[F])/(c + d*x)^3))^(1/3))}
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)/(c + d*x)^3, x, 1, (F^a*Gamma[2/3, -((b*Log[F])/(c + d*x)^3)])/(3*d*(c + d*x)^2*(-((b*Log[F])/(c + d*x)^3))^(2/3))}
+{F^(a + b/(c + d*x)^3)/(c + d*x)^5, x, 1, (F^a*Gamma[4/3, -((b*Log[F])/(c + d*x)^3)])/(3*d*(c + d*x)^4*(-((b*Log[F])/(c + d*x)^3))^(4/3))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n symbolic*)
+
+
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^m, x, 1, -((F^a*(c + d*x)^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, (-b)*(c + d*x)^n*Log[F]])/(((-b)*(c + d*x)^n*Log[F])^((1 + m)/n)*(d*n)))}
+
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^3, x, 1, -((F^a*(c + d*x)^4*Gamma[4/n, (-b)*(c + d*x)^n*Log[F]])/(((-b)*(c + d*x)^n*Log[F])^(4/n)*(d*n)))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^2, x, 1, -((F^a*(c + d*x)^3*Gamma[3/n, (-b)*(c + d*x)^n*Log[F]])/(((-b)*(c + d*x)^n*Log[F])^(3/n)*(d*n)))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^1, x, 1, -((F^a*(c + d*x)^2*Gamma[2/n, (-b)*(c + d*x)^n*Log[F]])/(((-b)*(c + d*x)^n*Log[F])^(2/n)*(d*n)))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^0, x, 1, -((F^a*(c + d*x)*Gamma[1/n, (-b)*(c + d*x)^n*Log[F]])/(((-b)*(c + d*x)^n*Log[F])^n^(-1)*(d*n)))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)/(c + d*x)^1, x, 1, (F^a*ExpIntegralEi[b*(c + d*x)^n*Log[F]])/(d*n)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)/(c + d*x)^2, x, 1, -((F^a*Gamma[-(1/n), (-b)*(c + d*x)^n*Log[F]]*((-b)*(c + d*x)^n*Log[F])^(1/n))/(d*n*(c + d*x)))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)/(c + d*x)^3, x, 1, -((F^a*Gamma[-(2/n), (-b)*(c + d*x)^n*Log[F]]*((-b)*(c + d*x)^n*Log[F])^(2/n))/(d*n*(c + d*x)^2))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)/(c + d*x)^4, x, 1, -((F^a*Gamma[-(3/n), (-b)*(c + d*x)^n*Log[F]]*((-b)*(c + d*x)^n*Log[F])^(3/n))/(d*n*(c + d*x)^3))}
+
+
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^(6*n - 1), x, 1, -((F^(a + b*(c + d*x)^n)*(120 - 120*b*(c + d*x)^n*Log[F] + 60*b^2*(c + d*x)^(2*n)*Log[F]^2 - 20*b^3*(c + d*x)^(3*n)*Log[F]^3 + 5*b^4*(c + d*x)^(4*n)*Log[F]^4 - b^5*(c + d*x)^(5*n)*Log[F]^5))/(b^6*d*n*Log[F]^6))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^(5*n - 1), x, 1, (F^(a + b*(c + d*x)^n)*(24 - 24*b*(c + d*x)^n*Log[F] + 12*b^2*(c + d*x)^(2*n)*Log[F]^2 - 4*b^3*(c + d*x)^(3*n)*Log[F]^3 + b^4*(c + d*x)^(4*n)*Log[F]^4))/(b^5*d*n*Log[F]^5)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^(4*n - 1), x, 4, -((6*F^(a + b*(c + d*x)^n))/(b^4*d*n*Log[F]^4)) + (6*F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^n)/(b^3*d*n*Log[F]^3) - (3*F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^(2*n))/(b^2*d*n*Log[F]^2) + (F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^(3*n))/(b*d*n*Log[F])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^(3*n - 1), x, 3, (2*F^(a + b*(c + d*x)^n))/(b^3*d*n*Log[F]^3) - (2*F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^n)/(b^2*d*n*Log[F]^2) + (F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^(2*n))/(b*d*n*Log[F])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^(2*n - 1), x, 2, -(F^(a + b*(c + d*x)^n)/(b^2*d*n*Log[F]^2)) + (F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^n)/(b*d*n*Log[F])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^(1*n - 1), x, 1, F^(a + b*(c + d*x)^n)/(b*d*n*Log[F])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^(0*n - 1), x, 1, (F^a*ExpIntegralEi[b*(c + d*x)^n*Log[F]])/(d*n)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^(-1*n - 1), x, 2, -(F^(a + b*(c + d*x)^n)/((c + d*x)^n*(d*n))) + (b*F^a*ExpIntegralEi[b*(c + d*x)^n*Log[F]]*Log[F])/(d*n)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^(-2*n - 1), x, 3, -(F^(a + b*(c + d*x)^n)/((c + d*x)^(2*n)*(2*d*n))) - (b*F^(a + b*(c + d*x)^n)*Log[F])/((c + d*x)^n*(2*d*n)) + (b^2*F^a*ExpIntegralEi[b*(c + d*x)^n*Log[F]]*Log[F]^2)/(2*d*n)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^(-3*n - 1), x, 4, -(F^(a + b*(c + d*x)^n)/((c + d*x)^(3*n)*(3*d*n))) - (b*F^(a + b*(c + d*x)^n)*Log[F])/((c + d*x)^(2*n)*(6*d*n)) - (b^2*F^(a + b*(c + d*x)^n)*Log[F]^2)/((c + d*x)^n*(6*d*n)) + (b^3*F^a*ExpIntegralEi[b*(c + d*x)^n*Log[F]]*Log[F]^3)/(6*d*n)}
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^(-4*n - 1), x, 1, -((b^4*F^a*Gamma[-4, (-b)*(c + d*x)^n*Log[F]]*Log[F]^4)/(d*n))}
+{F^(a + b*(c + d*x)^n)*(c + d*x)^(-5*n - 1), x, 1, (b^5*F^a*Gamma[-5, (-b)*(c + d*x)^n*Log[F]]*Log[F]^5)/(d*n)}
+
+
+{(a + b*x)^(n/2 - 1)*F^(c*(a + b*x)^n), x, 2, (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*(a + b*x)^(n/2)*Sqrt[Log[F]]])/(b*Sqrt[c]*n*Sqrt[Log[F]])}
+{(a + b*x)^(n/2 - 1)*F^(-c*(a + b*x)^n), x, 2, (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[c]*(a + b*x)^(n/2)*Sqrt[Log[F]]])/(b*Sqrt[c]*n*Sqrt[Log[F]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m F^(a+b (c+d x)^n)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(e + f*x)^5, x, 14, (f^5*F^(a + b*(c + d*x)^2))/(b^3*d^6*Log[F]^3) + (15*f^4*(d*e - c*f)*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]])/(8*b^(5/2)*d^6*Log[F]^(5/2)) - (5*f^3*(d*e - c*f)^2*F^(a + b*(c + d*x)^2))/(b^2*d^6*Log[F]^2) - (15*f^4*(d*e - c*f)*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x))/(4*b^2*d^6*Log[F]^2) - (f^5*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^2)/(b^2*d^6*Log[F]^2) - (5*f^2*(d*e - c*f)^3*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]])/(2*b^(3/2)*d^6*Log[F]^(3/2)) + (5*f*(d*e - c*f)^4*F^(a + b*(c + d*x)^2))/(2*b*d^6*Log[F]) + (5*f^2*(d*e - c*f)^3*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x))/(b*d^6*Log[F]) + (5*f^3*(d*e - c*f)^2*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^2)/(b*d^6*Log[F]) + (5*f^4*(d*e - c*f)*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^3)/(2*b*d^6*Log[F]) + (f^5*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^4)/(2*b*d^6*Log[F]) + ((d*e - c*f)^5*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]])/(2*Sqrt[b]*d^6*Sqrt[Log[F]])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(e + f*x)^4, x, 11, (3*f^4*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]])/(8*b^(5/2)*d^5*Log[F]^(5/2)) - (2*f^3*(d*e - c*f)*F^(a + b*(c + d*x)^2))/(b^2*d^5*Log[F]^2) - (3*f^4*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x))/(4*b^2*d^5*Log[F]^2) - (3*f^2*(d*e - c*f)^2*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]])/(2*b^(3/2)*d^5*Log[F]^(3/2)) + (2*f*(d*e - c*f)^3*F^(a + b*(c + d*x)^2))/(b*d^5*Log[F]) + (3*f^2*(d*e - c*f)^2*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x))/(b*d^5*Log[F]) + (2*f^3*(d*e - c*f)*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^2)/(b*d^5*Log[F]) + (f^4*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^3)/(2*b*d^5*Log[F]) + ((d*e - c*f)^4*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]])/(2*Sqrt[b]*d^5*Sqrt[Log[F]])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(e + f*x)^3, x, 8, -((f^3*F^(a + b*(c + d*x)^2))/(2*b^2*d^4*Log[F]^2)) - (3*f^2*(d*e - c*f)*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]])/(4*b^(3/2)*d^4*Log[F]^(3/2)) + (3*f*(d*e - c*f)^2*F^(a + b*(c + d*x)^2))/(2*b*d^4*Log[F]) + (3*f^2*(d*e - c*f)*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x))/(2*b*d^4*Log[F]) + (f^3*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x)^2)/(2*b*d^4*Log[F]) + ((d*e - c*f)^3*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]])/(2*Sqrt[b]*d^4*Sqrt[Log[F]])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(e + f*x)^2, x, 6, -((f^2*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]])/(4*b^(3/2)*d^3*Log[F]^(3/2))) + (f*(d*e - c*f)*F^(a + b*(c + d*x)^2))/(b*d^3*Log[F]) + (f^2*F^(a + b*(c + d*x)^2)*(c + d*x))/(2*b*d^3*Log[F]) + ((d*e - c*f)^2*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]])/(2*Sqrt[b]*d^3*Sqrt[Log[F]])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(e + f*x)^1, x, 4, (f*F^(a + b*(c + d*x)^2))/(2*b*d^2*Log[F]) + ((d*e - c*f)*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]])/(2*Sqrt[b]*d^2*Sqrt[Log[F]])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)*(e + f*x)^0, x, 1, (F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]])/(2*Sqrt[b]*d*Sqrt[Log[F]])}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)/(e + f*x)^1, x, 0, Unintegrable[F^(a + b*(c + d*x)^2)/(e + f*x), x]}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)/(e + f*x)^2, x, 2, -(F^(a + b*(c + d*x)^2)/(f*(e + f*x))) + (Sqrt[b]*d*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]]*Sqrt[Log[F]])/f^2 - (2*b*d*(d*e - c*f)*Log[F]*Unintegrable[F^(a + b*(c + d*x)^2)/(e + f*x), x])/f^2}
+{F^(a + b*(c + d*x)^2)/(e + f*x)^3, x, 3, -(F^(a + b*(c + d*x)^2)/(2*f*(e + f*x)^2)) + (b*d*(d*e - c*f)*F^(a + b*(c + d*x)^2)*Log[F])/(f^3*(e + f*x)) - (b^(3/2)*d^2*(d*e - c*f)*F^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*(c + d*x)*Sqrt[Log[F]]]*Log[F]^(3/2))/f^4 + (b*d^2*Log[F]*Unintegrable[F^(a + b*(c + d*x)^2)/(e + f*x), x])/f^2 + (2*b^2*d^2*(d*e - c*f)^2*Log[F]^2*Unintegrable[F^(a + b*(c + d*x)^2)/(e + f*x), x])/f^4}
+
+
+{E^(e*(c + d*x)^3)*(a + b*x)^3, x, 6, -((b^2*(b*c - a*d)*E^(e*(c + d*x)^3))/(d^4*e)) + ((b*c - a*d)^3*(c + d*x)*Gamma[1/3, (-e)*(c + d*x)^3])/(3*d^4*((-e)*(c + d*x)^3)^(1/3)) - (b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2*Gamma[2/3, (-e)*(c + d*x)^3])/(d^4*((-e)*(c + d*x)^3)^(2/3)) - (b^3*(c + d*x)^4*Gamma[4/3, (-e)*(c + d*x)^3])/(3*d^4*((-e)*(c + d*x)^3)^(4/3))}
+{E^(e*(c + d*x)^3)*(a + b*x)^2, x, 5, (b^2*E^(e*(c + d*x)^3))/(3*d^3*e) - ((b*c - a*d)^2*(c + d*x)*Gamma[1/3, (-e)*(c + d*x)^3])/(3*d^3*((-e)*(c + d*x)^3)^(1/3)) + (2*b*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2*Gamma[2/3, (-e)*(c + d*x)^3])/(3*d^3*((-e)*(c + d*x)^3)^(2/3))}
+{E^(e*(c + d*x)^3)*(a + b*x)^1, x, 4, ((b*c - a*d)*(c + d*x)*Gamma[1/3, -(e*(c + d*x)^3)])/(3*d^2*(-(e*(c + d*x)^3))^(1/3)) - (b*(c + d*x)^2*Gamma[2/3, -(e*(c + d*x)^3)])/(3*d^2*(-(e*(c + d*x)^3))^(2/3))}
+{E^(e*(c + d*x)^3)*(a + b*x)^0, x, 1, -(((c + d*x)*Gamma[1/3, (-e)*(c + d*x)^3])/(3*d*((-e)*(c + d*x)^3)^(1/3)))}
+{E^(e*(c + d*x)^3)/(a + b*x)^1, x, 0, Unintegrable[E^(e*(c + d*x)^3)/(a + b*x), x]}
+{E^(e*(c + d*x)^3)/(a + b*x)^2, x, 5, -(E^(e*(c + d*x)^3)/(b*(a + b*x))) - (d*(b*c - a*d)*e*(c + d*x)*Gamma[1/3, (-e)*(c + d*x)^3])/(b^3*((-e)*(c + d*x)^3)^(1/3)) - (d*e*(c + d*x)^2*Gamma[2/3, (-e)*(c + d*x)^3])/(b^2*((-e)*(c + d*x)^3)^(2/3)) + (3*d*(b*c - a*d)^2*e*Unintegrable[E^(e*(c + d*x)^3)/(a + b*x), x])/b^3}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{F^(a + b/(c + d*x))/(e + f*x)^1, x, 4, -((F^a*ExpIntegralEi[(b*Log[F])/(c + d*x)])/f) + (F^(a - (b*f)/(d*e - c*f))*ExpIntegralEi[(d*b*(e + f*x)*Log[F])/((d*e - c*f)*(c + d*x))])/f}
+{F^(a + b/(c + d*x))/(e + f*x)^2, x, 9, (d*F^(a + b/(c + d*x)))/(f*(d*e - c*f)) - F^(a + b/(c + d*x))/(f*(e + f*x)) - (b*d*F^(a - (b*f)/(d*e - c*f))*ExpIntegralEi[(b*d*(e + f*x)*Log[F])/((d*e - c*f)*(c + d*x))]*Log[F])/(d*e - c*f)^2}
+{F^(a + b/(c + d*x))/(e + f*x)^3, x, 18, (d^2*F^(a + b/(c + d*x)))/(2*f*(d*e - c*f)^2) - F^(a + b/(c + d*x))/(2*f*(e + f*x)^2) - (b*d^2*F^(a + b/(c + d*x))*Log[F])/(2*(d*e - c*f)^3) + (b*d*F^(a + b/(c + d*x))*Log[F])/(2*(d*e - c*f)^2*(e + f*x)) - (b*d^2*F^(a - (b*f)/(d*e - c*f))*ExpIntegralEi[(b*d*(e + f*x)*Log[F])/((d*e - c*f)*(c + d*x))]*Log[F])/(d*e - c*f)^3 + (b^2*d^2*f*F^(a - (b*f)/(d*e - c*f))*ExpIntegralEi[(b*d*(e + f*x)*Log[F])/((d*e - c*f)*(c + d*x))]*Log[F]^2)/(2*(d*e - c*f)^4)}
+{F^(a + b/(c + d*x))/(e + f*x)^4, x, 36, (d^3*F^(a + b/(c + d*x)))/(3*f*(d*e - c*f)^3) - F^(a + b/(c + d*x))/(3*f*(e + f*x)^3) - (5*b*d^3*F^(a + b/(c + d*x))*Log[F])/(6*(d*e - c*f)^4) + (b*d*F^(a + b/(c + d*x))*Log[F])/(6*(d*e - c*f)^2*(e + f*x)^2) + (2*b*d^2*F^(a + b/(c + d*x))*Log[F])/(3*(d*e - c*f)^3*(e + f*x)) - (b*d^3*F^(a - (b*f)/(d*e - c*f))*ExpIntegralEi[(b*d*(e + f*x)*Log[F])/((d*e - c*f)*(c + d*x))]*Log[F])/(d*e - c*f)^4 + (b^2*d^3*f*F^(a + b/(c + d*x))*Log[F]^2)/(6*(d*e - c*f)^5) - (b^2*d^2*f*F^(a + b/(c + d*x))*Log[F]^2)/(6*(d*e - c*f)^4*(e + f*x)) + (b^2*d^3*f*F^(a - (b*f)/(d*e - c*f))*ExpIntegralEi[(b*d*(e + f*x)*Log[F])/((d*e - c*f)*(c + d*x))]*Log[F]^2)/(d*e - c*f)^5 - (b^3*d^3*f^2*F^(a - (b*f)/(d*e - c*f))*ExpIntegralEi[(b*d*(e + f*x)*Log[F])/((d*e - c*f)*(c + d*x))]*Log[F]^3)/(6*(d*e - c*f)^6)}
+
+
+{E^(e/(c + d*x))*(a + b*x)^4, x, 13, ((b*c - a*d)^4*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x))/d^5 - (2*b*(b*c - a*d)^3*e*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x))/d^5 + (b^2*(b*c - a*d)^2*e^2*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x))/d^5 - (2*b*(b*c - a*d)^3*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x)^2)/d^5 + (b^2*(b*c - a*d)^2*e*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x)^2)/d^5 + (2*b^2*(b*c - a*d)^2*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x)^3)/d^5 - ((b*c - a*d)^4*e*ExpIntegralEi[e/(c + d*x)])/d^5 + (2*b*(b*c - a*d)^3*e^2*ExpIntegralEi[e/(c + d*x)])/d^5 - (b^2*(b*c - a*d)^2*e^3*ExpIntegralEi[e/(c + d*x)])/d^5 - (b^4*e^5*Gamma[-5, -(e/(c + d*x))])/d^5 - (4*b^3*(b*c - a*d)*e^4*Gamma[-4, -(e/(c + d*x))])/d^5}
+{E^(e/(c + d*x))*(a + b*x)^3, x, 12, -(((b*c - a*d)^3*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x))/d^4) + (3*b*(b*c - a*d)^2*e*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x))/(2*d^4) - (b^2*(b*c - a*d)*e^2*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x))/(2*d^4) + (3*b*(b*c - a*d)^2*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x)^2)/(2*d^4) - (b^2*(b*c - a*d)*e*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x)^2)/(2*d^4) - (b^2*(b*c - a*d)*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x)^3)/d^4 + ((b*c - a*d)^3*e*ExpIntegralEi[e/(c + d*x)])/d^4 - (3*b*(b*c - a*d)^2*e^2*ExpIntegralEi[e/(c + d*x)])/(2*d^4) + (b^2*(b*c - a*d)*e^3*ExpIntegralEi[e/(c + d*x)])/(2*d^4) + (b^3*e^4*Gamma[-4, -(e/(c + d*x))])/d^4}
+{E^(e/(c + d*x))*(a + b*x)^2, x, 11, ((b*c - a*d)^2*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x))/d^3 - (b*(b*c - a*d)*e*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x))/d^3 + (b^2*e^2*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x))/(6*d^3) - (b*(b*c - a*d)*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x)^2)/d^3 + (b^2*e*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x)^2)/(6*d^3) + (b^2*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x)^3)/(3*d^3) - ((b*c - a*d)^2*e*ExpIntegralEi[e/(c + d*x)])/d^3 + (b*(b*c - a*d)*e^2*ExpIntegralEi[e/(c + d*x)])/d^3 - (b^2*e^3*ExpIntegralEi[e/(c + d*x)])/(6*d^3)}
+{E^(e/(c + d*x))*(a + b*x)^1, x, 7, -(((b*c - a*d)*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x))/d^2) + (b*e*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x))/(2*d^2) + (b*E^(e/(c + d*x))*(c + d*x)^2)/(2*d^2) + ((b*c - a*d)*e*ExpIntegralEi[e/(c + d*x)])/d^2 - (b*e^2*ExpIntegralEi[e/(c + d*x)])/(2*d^2)}
+{E^(e/(c + d*x))*(a + b*x)^0, x, 2, (E^(e/(c + d*x))*(c + d*x))/d - (e*ExpIntegralEi[e/(c + d*x)])/d}
+{E^(e/(c + d*x))/(a + b*x)^1, x, 4, -(ExpIntegralEi[e/(c + d*x)]/b) + (E^((b*e)/(b*c - a*d))*ExpIntegralEi[-((d*e*(a + b*x))/((b*c - a*d)*(c + d*x)))])/b}
+{E^(e/(c + d*x))/(a + b*x)^2, x, 9, -((d*E^(e/(c + d*x)))/(b*(b*c - a*d))) - E^(e/(c + d*x))/(b*(a + b*x)) - (d*e*E^((b*e)/(b*c - a*d))*ExpIntegralEi[-((d*e*(a + b*x))/((b*c - a*d)*(c + d*x)))])/(b*c - a*d)^2}
+{E^(e/(c + d*x))/(a + b*x)^3, x, 18, (d^2*E^(e/(c + d*x)))/(2*b*(b*c - a*d)^2) + (d^2*e*E^(e/(c + d*x)))/(2*(b*c - a*d)^3) - E^(e/(c + d*x))/(2*b*(a + b*x)^2) + (d*e*E^(e/(c + d*x)))/(2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) + (d^2*e*E^((b*e)/(b*c - a*d))*ExpIntegralEi[-((d*e*(a + b*x))/((b*c - a*d)*(c + d*x)))])/(b*c - a*d)^3 + (b*d^2*e^2*E^((b*e)/(b*c - a*d))*ExpIntegralEi[-((d*e*(a + b*x))/((b*c - a*d)*(c + d*x)))])/(2*(b*c - a*d)^4)}
+
+
+{E^(e/(c + d*x)^2)*(a + b*x)^3, x, 14, -(((b*c - a*d)^3*E^(e/(c + d*x)^2)*(c + d*x))/d^4) - (2*b^2*(b*c - a*d)*e*E^(e/(c + d*x)^2)*(c + d*x))/d^4 + (3*b*(b*c - a*d)^2*E^(e/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^2)/(2*d^4) + (b^3*e*E^(e/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^2)/(4*d^4) - (b^2*(b*c - a*d)*E^(e/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^3)/d^4 + (b^3*E^(e/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^4)/(4*d^4) + ((b*c - a*d)^3*Sqrt[e]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[e]/(c + d*x)])/d^4 + (2*b^2*(b*c - a*d)*e^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[e]/(c + d*x)])/d^4 - (3*b*(b*c - a*d)^2*e*ExpIntegralEi[e/(c + d*x)^2])/(2*d^4) - (b^3*e^2*ExpIntegralEi[e/(c + d*x)^2])/(4*d^4)}
+{E^(e/(c + d*x)^2)*(a + b*x)^2, x, 11, ((b*c - a*d)^2*E^(e/(c + d*x)^2)*(c + d*x))/d^3 + (2*b^2*e*E^(e/(c + d*x)^2)*(c + d*x))/(3*d^3) - (b*(b*c - a*d)*E^(e/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^2)/d^3 + (b^2*E^(e/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^3)/(3*d^3) - ((b*c - a*d)^2*Sqrt[e]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[e]/(c + d*x)])/d^3 - (2*b^2*e^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[e]/(c + d*x)])/(3*d^3) + (b*(b*c - a*d)*e*ExpIntegralEi[e/(c + d*x)^2])/d^3}
+{E^(e/(c + d*x)^2)*(a + b*x)^1, x, 7, -(((b*c - a*d)*E^(e/(c + d*x)^2)*(c + d*x))/d^2) + (b*E^(e/(c + d*x)^2)*(c + d*x)^2)/(2*d^2) + ((b*c - a*d)*Sqrt[e]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[e]/(c + d*x)])/d^2 - (b*e*ExpIntegralEi[e/(c + d*x)^2])/(2*d^2)}
+{E^(e/(c + d*x)^2)*(a + b*x)^0, x, 3, (E^(e/(c + d*x)^2)*(c + d*x))/d - (Sqrt[e]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[e]/(c + d*x)])/d}
+{E^(e/(c + d*x)^2)/(a + b*x)^1, x, 0, Unintegrable[E^(e/(c + d*x)^2)/(a + b*x), x]}
+{E^(e/(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2, x, 0, CannotIntegrate[E^(e/(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2, x]}
+{E^(e/(c + d*x)^2)/(a + b*x)^3, x, 0, CannotIntegrate[E^(e/(c + d*x)^2)/(a + b*x)^3, x]}
+
+
+{E^(e/(c + d*x)^3)*(a + b*x)^3, x, 7, -((b^2*(b*c - a*d)*E^(e/(c + d*x)^3)*(c + d*x)^3)/d^4) + (b^2*(b*c - a*d)*e*ExpIntegralEi[e/(c + d*x)^3])/d^4 + (b^3*(-(e/(c + d*x)^3))^(4/3)*(c + d*x)^4*Gamma[-(4/3), -(e/(c + d*x)^3)])/(3*d^4) + (b*(b*c - a*d)^2*(-(e/(c + d*x)^3))^(2/3)*(c + d*x)^2*Gamma[-(2/3), -(e/(c + d*x)^3)])/d^4 - ((b*c - a*d)^3*(-(e/(c + d*x)^3))^(1/3)*(c + d*x)*Gamma[-(1/3), -(e/(c + d*x)^3)])/(3*d^4)}
+{E^(e/(c + d*x)^3)*(a + b*x)^2, x, 6, (b^2*E^(e/(c + d*x)^3)*(c + d*x)^3)/(3*d^3) - (b^2*e*ExpIntegralEi[e/(c + d*x)^3])/(3*d^3) - (2*b*(b*c - a*d)*(-(e/(c + d*x)^3))^(2/3)*(c + d*x)^2*Gamma[-(2/3), -(e/(c + d*x)^3)])/(3*d^3) + ((b*c - a*d)^2*(-(e/(c + d*x)^3))^(1/3)*(c + d*x)*Gamma[-(1/3), -(e/(c + d*x)^3)])/(3*d^3)}
+{E^(e/(c + d*x)^3)*(a + b*x)^1, x, 4, (b*(-(e/(c + d*x)^3))^(2/3)*(c + d*x)^2*Gamma[-(2/3), -(e/(c + d*x)^3)])/(3*d^2) - ((b*c - a*d)*(-(e/(c + d*x)^3))^(1/3)*(c + d*x)*Gamma[-(1/3), -(e/(c + d*x)^3)])/(3*d^2)}
+{E^(e/(c + d*x)^3)*(a + b*x)^0, x, 1, ((-(e/(c + d*x)^3))^(1/3)*(c + d*x)*Gamma[-(1/3), -(e/(c + d*x)^3)])/(3*d)}
+{E^(e/(c + d*x)^3)/(a + b*x)^1, x, 0, Unintegrable[E^(e/(c + d*x)^3)/(a + b*x), x]}
+{E^(e/(c + d*x)^3)/(a + b*x)^2, x, 0, CannotIntegrate[E^(e/(c + d*x)^3)/(a + b*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^m F^(e+f (a+b x)/(c+d x))*)
+
+
+{F^(e + f*(a + b*x)/(c + d*x))/(g + h*x)^1, x, 5, -((F^(e + (b*f)/d)*ExpIntegralEi[-(((b*c - a*d)*f*Log[F])/(d*(c + d*x)))])/h) + (F^(e + (f*(b*g - a*h))/(d*g - c*h))*ExpIntegralEi[-(((b*c - a*d)*f*(g + h*x)*Log[F])/((d*g - c*h)*(c + d*x)))])/h}
+{F^(e + f*(a + b*x)/(c + d*x))/(g + h*x)^2, x, 12, (d*F^(e + (b*f)/d - ((b*c - a*d)*f)/(d*(c + d*x))))/(h*(d*g - c*h)) - F^(e + (f*(a + b*x))/(c + d*x))/(h*(g + h*x)) + ((b*c - a*d)*f*F^(e + (f*(b*g - a*h))/(d*g - c*h))*ExpIntegralEi[-(((b*c - a*d)*f*(g + h*x)*Log[F])/((d*g - c*h)*(c + d*x)))]*Log[F])/(d*g - c*h)^2}
+{F^(e + f*(a + b*x)/(c + d*x))/(g + h*x)^3, x, 24, (d^2*F^(e + (b*f)/d - ((b*c - a*d)*f)/(d*(c + d*x))))/(2*h*(d*g - c*h)^2) - F^(e + (f*(a + b*x))/(c + d*x))/(2*h*(g + h*x)^2) + (d*(b*c - a*d)*f*F^(e + (b*f)/d - ((b*c - a*d)*f)/(d*(c + d*x)))*Log[F])/(2*(d*g - c*h)^3) - ((b*c - a*d)*f*F^(e + (f*(a + b*x))/(c + d*x))*Log[F])/(2*(d*g - c*h)^2*(g + h*x)) + (d*(b*c - a*d)*f*F^(e + (f*(b*g - a*h))/(d*g - c*h))*ExpIntegralEi[-(((b*c - a*d)*f*(g + h*x)*Log[F])/((d*g - c*h)*(c + d*x)))]*Log[F])/(d*g - c*h)^3 + ((b*c - a*d)^2*f^2*F^(e + (f*(b*g - a*h))/(d*g - c*h))*h*ExpIntegralEi[-(((b*c - a*d)*f*(g + h*x)*Log[F])/((d*g - c*h)*(c + d*x)))]*Log[F]^2)/(2*(d*g - c*h)^4)}
+{F^(e + f*(a + b*x)/(c + d*x))/(g + h*x)^4, x, 48, (d^3*F^(e + (b*f)/d - ((b*c - a*d)*f)/(d*(c + d*x))))/(3*h*(d*g - c*h)^3) - F^(e + (f*(a + b*x))/(c + d*x))/(3*h*(g + h*x)^3) + (5*d^2*(b*c - a*d)*f*F^(e + (b*f)/d - ((b*c - a*d)*f)/(d*(c + d*x)))*Log[F])/(6*(d*g - c*h)^4) - ((b*c - a*d)*f*F^(e + (f*(a + b*x))/(c + d*x))*Log[F])/(6*(d*g - c*h)^2*(g + h*x)^2) - (2*d*(b*c - a*d)*f*F^(e + (f*(a + b*x))/(c + d*x))*Log[F])/(3*(d*g - c*h)^3*(g + h*x)) + (d^2*(b*c - a*d)*f*F^(e + (f*(b*g - a*h))/(d*g - c*h))*ExpIntegralEi[-(((b*c - a*d)*f*(g + h*x)*Log[F])/((d*g - c*h)*(c + d*x)))]*Log[F])/(d*g - c*h)^4 + (d*(b*c - a*d)^2*f^2*F^(e + (b*f)/d - ((b*c - a*d)*f)/(d*(c + d*x)))*h*Log[F]^2)/(6*(d*g - c*h)^5) - ((b*c - a*d)^2*f^2*F^(e + (f*(a + b*x))/(c + d*x))*h*Log[F]^2)/(6*(d*g - c*h)^4*(g + h*x)) + (d*(b*c - a*d)^2*f^2*F^(e + (f*(b*g - a*h))/(d*g - c*h))*h*ExpIntegralEi[-(((b*c - a*d)*f*(g + h*x)*Log[F])/((d*g - c*h)*(c + d*x)))]*Log[F]^2)/(d*g - c*h)^5 + ((b*c - a*d)^3*f^3*F^(e + (f*(b*g - a*h))/(d*g - c*h))*h^2*ExpIntegralEi[-(((b*c - a*d)*f*(g + h*x)*Log[F])/((d*g - c*h)*(c + d*x)))]*Log[F]^3)/(6*(d*g - c*h)^6)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m F^(a+b x+c x^2)*)
+
+
+{x^3*f^(a + b*x + c*x^2), x, 10, -(f^(a + b*x + c*x^2)/(2*c^2*Log[f]^2)) + (3*b*f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(5/2)*Log[f]^(3/2)) + (b^2*f^(a + b*x + c*x^2))/(8*c^3*Log[f]) - (b*f^(a + b*x + c*x^2)*x)/(4*c^2*Log[f]) + (f^(a + b*x + c*x^2)*x^2)/(2*c*Log[f]) - (b^3*f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(16*c^(7/2)*Sqrt[Log[f]])}
+{x^2*f^(a + b*x + c*x^2), x, 6, -((f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*c^(3/2)*Log[f]^(3/2))) - (b*f^(a + b*x + c*x^2))/(4*c^2*Log[f]) + (f^(a + b*x + c*x^2)*x)/(2*c*Log[f]) + (b^2*f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(5/2)*Sqrt[Log[f]])}
+{x*f^(a + b*x + c*x^2), x, 3, f^(a + b*x + c*x^2)/(2*c*Log[f]) - (b*f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*c^(3/2)*Sqrt[Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2), x, 2, (f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2)/x, x, 0, Unintegrable[f^(a + b*x + c*x^2)/x, x]}
+{f^(a + b*x + c*x^2)/x^2, x, 3, -(f^(a + b*x + c*x^2)/x) + Sqrt[c]*f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])]*Sqrt[Log[f]] + b*Unintegrable[f^(a + b*x + c*x^2)/x, x]*Log[f]}
+
+
+{x^3*E^(a + b*x - c*x^2), x, 10, -((b^2*E^(a + b*x - c*x^2))/(8*c^3)) - E^(a + b*x - c*x^2)/(2*c^2) - (b*E^(a + b*x - c*x^2)*x)/(4*c^2) - (E^(a + b*x - c*x^2)*x^2)/(2*c) - (b^3*E^(a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(16*c^(7/2)) - (3*b*E^(a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(5/2))}
+{x^2*E^(a + b*x - c*x^2), x, 6, -((b*E^(a + b*x - c*x^2))/(4*c^2)) - (E^(a + b*x - c*x^2)*x)/(2*c) - (b^2*E^(a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(5/2)) - (E^(a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(4*c^(3/2))}
+{x*E^(a + b*x - c*x^2), x, 3, -(E^(a + b*x - c*x^2)/(2*c)) - (b*E^(a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(4*c^(3/2))}
+{E^(a + b*x - c*x^2), x, 2, -((E^(a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(2*Sqrt[c]))}
+{E^(a + b*x - c*x^2)/x, x, 0, Unintegrable[E^(a + b*x - c*x^2)/x, x]}
+{E^(a + b*x - c*x^2)/x^2, x, 3, -(E^(a + b*x - c*x^2)/x) + Sqrt[c]*E^(a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])] + b*Unintegrable[E^(a + b*x - c*x^2)/x, x]}
+
+
+{x^3*E^((a + b*x)*(c + d*x)), x, 11, -(E^(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)/(2*b^2*d^2)) + ((b*c + a*d)^2*E^(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2))/(8*b^3*d^3) - ((b*c + a*d)*E^(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)*x)/(4*b^2*d^2) + (E^(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)*x^2)/(2*b*d) + (3*(b*c + a*d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*c + a*d + 2*b*d*x)/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d])])/(E^((b*c - a*d)^2/(4*b*d))*(8*b^(5/2)*d^(5/2))) - ((b*c + a*d)^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*c + a*d + 2*b*d*x)/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d])])/(E^((b*c - a*d)^2/(4*b*d))*(16*b^(7/2)*d^(7/2)))}
+{x^2*E^((a + b*x)*(c + d*x)), x, 7, -(((b*c + a*d)*E^(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2))/(4*b^2*d^2)) + (E^(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)*x)/(2*b*d) - (Sqrt[Pi]*Erfi[(b*c + a*d + 2*b*d*x)/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d])])/(E^((b*c - a*d)^2/(4*b*d))*(4*b^(3/2)*d^(3/2))) + ((b*c + a*d)^2*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*c + a*d + 2*b*d*x)/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d])])/(E^((b*c - a*d)^2/(4*b*d))*(8*b^(5/2)*d^(5/2)))}
+{x*E^((a + b*x)*(c + d*x)), x, 4, E^(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)/(2*b*d) - ((b*c + a*d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*c + a*d + 2*b*d*x)/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d])])/(E^((b*c - a*d)^2/(4*b*d))*(4*b^(3/2)*d^(3/2)))}
+{E^((a + b*x)*(c + d*x)), x, 3, (Sqrt[Pi]*Erfi[(b*c + a*d + 2*b*d*x)/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d])])/(E^((b*c - a*d)^2/(4*b*d))*(2*Sqrt[b]*Sqrt[d]))}
+{E^((a + b*x)*(c + d*x))/x, x, 1, Unintegrable[E^(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)/x, x]}
+{E^((a + b*x)*(c + d*x))/x^2, x, 4, -(E^(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)/x) + (Sqrt[b]*Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*c + a*d + 2*b*d*x)/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d])])/E^((b*c - a*d)^2/(4*b*d)) + (b*c + a*d)*Unintegrable[E^(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2)/x, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m F^(a+b x+c x^2)*)
+
+
+{(d + e*x)^3*f^(a + b*x + c*x^2), x, 10, -((e^3*f^(a + b*x + c*x^2))/(2*c^2*Log[f]^2)) - (3*e^2*(2*c*d - b*e)*f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(5/2)*Log[f]^(3/2)) + (e*(2*c*d - b*e)^2*f^(a + b*x + c*x^2))/(8*c^3*Log[f]) + (e*(2*c*d - b*e)*f^(a + b*x + c*x^2)*(d + e*x))/(4*c^2*Log[f]) + (e*f^(a + b*x + c*x^2)*(d + e*x)^2)/(2*c*Log[f]) + ((2*c*d - b*e)^3*f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(16*c^(7/2)*Sqrt[Log[f]])}
+{(d + e*x)^2*f^(a + b*x + c*x^2), x, 6, -((e^2*f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*c^(3/2)*Log[f]^(3/2))) + (e*(2*c*d - b*e)*f^(a + b*x + c*x^2))/(4*c^2*Log[f]) + (e*f^(a + b*x + c*x^2)*(d + e*x))/(2*c*Log[f]) + ((2*c*d - b*e)^2*f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(5/2)*Sqrt[Log[f]])}
+{(d + e*x)*f^(a + b*x + c*x^2), x, 3, (e*f^(a + b*x + c*x^2))/(2*c*Log[f]) + ((2*c*d - b*e)*f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*c^(3/2)*Sqrt[Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x), x, 0, Unintegrable[f^(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x), x]}
+{f^(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^2, x, 3, -(f^(a + b*x + c*x^2)/(e*(d + e*x))) + (Sqrt[c]*f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])]*Sqrt[Log[f]])/e^2 - ((2*c*d - b*e)*Unintegrable[f^(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x), x]*Log[f])/e^2}
+{f^(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^3, x, 4, -(f^(a + b*x + c*x^2)/(2*e*(d + e*x)^2)) + ((2*c*d - b*e)*f^(a + b*x + c*x^2)*Log[f])/(2*e^3*(d + e*x)) + (c*Unintegrable[f^(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x), x]*Log[f])/e^2 - (Sqrt[c]*(2*c*d - b*e)*f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])]*Log[f]^(3/2))/(2*e^4) + ((2*c*d - b*e)^2*Unintegrable[f^(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x), x]*Log[f]^2)/(2*e^4)}
+
+
+{(b + 2*c*x)^3*f^(a + b*x + c*x^2), x, 2, -((4*c*f^(a + b*x + c*x^2))/Log[f]^2) + (f^(a + b*x + c*x^2)*(b + 2*c*x)^2)/Log[f]}
+{(b + 2*c*x)^2*f^(a + b*x + c*x^2), x, 3, -((Sqrt[c]*f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/Log[f]^(3/2)) + (f^(a + b*x + c*x^2)*(b + 2*c*x))/Log[f]}
+{(b + 2*c*x)*f^(a + b*x + c*x^2), x, 1, f^(a + b*x + c*x^2)/Log[f]}
+{f^(a + b*x + c*x^2)/(b + 2*c*x), x, 1, (f^(a - b^2/(4*c))*ExpIntegralEi[((b + 2*c*x)^2*Log[f])/(4*c)])/(4*c)}
+{f^(a + b*x + c*x^2)/(b + 2*c*x)^2, x, 3, -(f^(a + b*x + c*x^2)/(2*c*(b + 2*c*x))) + (f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])]*Sqrt[Log[f]])/(4*c^(3/2))}
+{f^(a + b*x + c*x^2)/(b + 2*c*x)^3, x, 2, -(f^(a + b*x + c*x^2)/(4*c*(b + 2*c*x)^2)) + (f^(a - b^2/(4*c))*ExpIntegralEi[((b + 2*c*x)^2*Log[f])/(4*c)]*Log[f])/(16*c^2)}
+
+
+{(b + 2*c*x)^3*f^(b*x + c*x^2), x, 2, -((4*c*f^(b*x + c*x^2))/Log[f]^2) + (f^(b*x + c*x^2)*(b + 2*c*x)^2)/Log[f]}
+{(b + 2*c*x)^2*f^(b*x + c*x^2), x, 3, -((Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(f^(b^2/(4*c))*Log[f]^(3/2))) + (f^(b*x + c*x^2)*(b + 2*c*x))/Log[f]}
+{(b + 2*c*x)*f^(b*x + c*x^2), x, 1, f^(b*x + c*x^2)/Log[f]}
+{f^(b*x + c*x^2)/(b + 2*c*x), x, 1, ExpIntegralEi[((b + 2*c*x)^2*Log[f])/(4*c)]/(f^(b^2/(4*c))*(4*c))}
+{f^(b*x + c*x^2)/(b + 2*c*x)^2, x, 3, -(f^(b*x + c*x^2)/(2*c*(b + 2*c*x))) + (Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])]*Sqrt[Log[f]])/(f^(b^2/(4*c))*(4*c^(3/2)))}
+{f^(b*x + c*x^2)/(b + 2*c*x)^3, x, 2, -(f^(b*x + c*x^2)/(4*c*(b + 2*c*x)^2)) + (ExpIntegralEi[((b + 2*c*x)^2*Log[f])/(4*c)]*Log[f])/(f^(b^2/(4*c))*(16*c^2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m F^(d+e x)^n (a+b x+c x^2)^p*)
+
+
+{E^(a + b*x)/(x^2*(c + d*x^2)), x, 8, -(E^(a + b*x)/(c*x)) + (b*E^a*ExpIntegralEi[b*x])/c + (Sqrt[d]*E^(a + (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d])*ExpIntegralEi[-((b*(Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x))/Sqrt[d])])/(2*(-c)^(3/2)) - (Sqrt[d]*E^(a - (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d])*ExpIntegralEi[(b*(Sqrt[-c] + Sqrt[d]*x))/Sqrt[d]])/(2*(-c)^(3/2))}
+{E^(a + b*x)/(x^1*(c + d*x^2)), x, 7, (E^a*ExpIntegralEi[b*x])/c - (E^(a + (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d])*ExpIntegralEi[-((b*(Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x))/Sqrt[d])])/(2*c) - (E^(a - (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d])*ExpIntegralEi[(b*(Sqrt[-c] + Sqrt[d]*x))/Sqrt[d]])/(2*c)}
+{x^0*E^(a + b*x)/(c + d*x^2), x, 4, (E^(a + (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d])*ExpIntegralEi[-((b*(Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x))/Sqrt[d])])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (E^(a - (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d])*ExpIntegralEi[(b*(Sqrt[-c] + Sqrt[d]*x))/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d])}
+{x^1*E^(a + b*x)/(c + d*x^2), x, 4, (E^(a + (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d])*ExpIntegralEi[-((b*(Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x))/Sqrt[d])])/(2*d) + (E^(a - (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d])*ExpIntegralEi[(b*(Sqrt[-c] + Sqrt[d]*x))/Sqrt[d]])/(2*d)}
+{x^2*E^(a + b*x)/(c + d*x^2), x, 7, E^(a + b*x)/(b*d) + (Sqrt[-c]*E^(a + (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d])*ExpIntegralEi[-((b*(Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x))/Sqrt[d])])/(2*d^(3/2)) - (Sqrt[-c]*E^(a - (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d])*ExpIntegralEi[(b*(Sqrt[-c] + Sqrt[d]*x))/Sqrt[d]])/(2*d^(3/2))}
+
+
+{E^(d + e*x)/(x^2*(a + b*x + c*x^2)), x, 9, -(E^(d + e*x)/(a*x)) - (b*E^d*ExpIntegralEi[e*x])/a^2 + (e*E^d*ExpIntegralEi[e*x])/a + ((b + (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*E^(d - ((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)/(2*c))*ExpIntegralEi[(e*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c)])/(2*a^2) + ((b - (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*E^(d - ((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)/(2*c))*ExpIntegralEi[(e*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c)])/(2*a^2)}
+{E^(d + e*x)/(x^1*(a + b*x + c*x^2)), x, 7, (E^d*ExpIntegralEi[e*x])/a - ((1 + b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*E^(d - ((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)/(2*c))*ExpIntegralEi[(e*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c)])/(2*a) - ((1 - b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*E^(d - ((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)/(2*c))*ExpIntegralEi[(e*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c)])/(2*a)}
+{x^0*E^(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2), x, 4, (E^(d - ((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)/(2*c))*ExpIntegralEi[(e*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c)])/Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (E^(d - ((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)/(2*c))*ExpIntegralEi[(e*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c)])/Sqrt[b^2 - 4*a*c]}
+{x^1*E^(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2), x, 4, ((1 - b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*E^(d - ((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)/(2*c))*ExpIntegralEi[(e*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c)])/(2*c) + ((1 + b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*E^(d - ((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)/(2*c))*ExpIntegralEi[(e*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c)])/(2*c)}
+{x^2*E^(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2), x, 7, E^(d + e*x)/(c*e) - ((b - (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*E^(d - ((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)/(2*c))*ExpIntegralEi[(e*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c)])/(2*c^2) - ((b + (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*E^(d - ((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)/(2*c))*ExpIntegralEi[(e*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c)])/(2*c^2)}
+{x^3*E^(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2), x, 9, -(E^(d + e*x)/(c*e^2)) - (b*E^(d + e*x))/(c^2*e) + (E^(d + e*x)*x)/(c*e) + ((b^2 - a*c - (b*(b^2 - 3*a*c))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*E^(d - ((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)/(2*c))*ExpIntegralEi[(e*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c)])/(2*c^3) + ((b^2 - a*c + (b*(b^2 - 3*a*c))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*E^(d - ((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)/(2*c))*ExpIntegralEi[(e*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c)])/(2*c^3)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form f^x / (a+b g^x)*)
+
+
+{4^x/(a + b*2^x), x, 3, 2^x/(b*Log[2]) - (a*Log[a + 2^x*b])/(b^2*Log[2])}
+{2^(2*x)/(a + b*2^x), x, 3, 2^x/(b*Log[2]) - (a*Log[a + 2^x*b])/(b^2*Log[2])}
+
+{4^x/(a - b*2^x), x, 3, -(2^x/(b*Log[2])) - (a*Log[a - 2^x*b])/(b^2*Log[2])}
+{2^(2*x)/(a - b*2^x), x, 3, -(2^x/(b*Log[2])) - (a*Log[a - 2^x*b])/(b^2*Log[2])}
+
+
+{4^x/(a + b/2^x), x, 3, (b^2*x)/a^3 + 2^(-1 + 2*x)/(a*Log[2]) - (2^x*b)/(a^2*Log[2]) + (b^2*Log[a + b/2^x])/(a^3*Log[2])}
+{2^(2*x)/(a + b/2^x), x, 3, (b^2*x)/a^3 + 2^(-1 + 2*x)/(a*Log[2]) - (2^x*b)/(a^2*Log[2]) + (b^2*Log[a + b/2^x])/(a^3*Log[2])}
+
+{4^x/(a - b/2^x), x, 3, (b^2*x)/a^3 + 2^(-1 + 2*x)/(a*Log[2]) + (2^x*b)/(a^2*Log[2]) + (b^2*Log[a - b/2^x])/(a^3*Log[2])}
+{2^(2*x)/(a - b/2^x), x, 3, (b^2*x)/a^3 + 2^(-1 + 2*x)/(a*Log[2]) + (2^x*b)/(a^2*Log[2]) + (b^2*Log[a - b/2^x])/(a^3*Log[2])}
+
+
+{2^x/(a + b*4^x), x, 2, ArcTan[(2^x*Sqrt[b])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[2])}
+{2^x/(a + b*2^(2*x)), x, 2, ArcTan[(2^x*Sqrt[b])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[2])}
+
+{2^x/(a - b*4^x), x, 2, ArcTanh[(2^x*Sqrt[b])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[2])}
+{2^x/(a - b*2^(2*x)), x, 2, ArcTanh[(2^x*Sqrt[b])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*Log[2])}
+
+
+{2^x/(a + b/4^x), x, 4, 2^x/(a*Log[2]) - (Sqrt[b]*ArcTan[(2^x*Sqrt[a])/Sqrt[b]])/(a^(3/2)*Log[2])}
+{2^x/(a + b/2^(2*x)), x, 4, 2^x/(a*Log[2]) - (Sqrt[b]*ArcTan[(2^x*Sqrt[a])/Sqrt[b]])/(a^(3/2)*Log[2])}
+
+{2^x/(a - b/4^x), x, 4, 2^x/(a*Log[2]) - (Sqrt[b]*ArcTanh[(2^x*Sqrt[a])/Sqrt[b]])/(a^(3/2)*Log[2])}
+{2^x/(a - b/2^(2*x)), x, 4, 2^x/(a*Log[2]) - (Sqrt[b]*ArcTanh[(2^x*Sqrt[a])/Sqrt[b]])/(a^(3/2)*Log[2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form f^x / Sqrt[a+b g^x]*)
+
+
+(* Contributed by Robert Israel in sci.math.symbolic *)
+{2^x/Sqrt[a + b*4^x], x, 3, ArcTanh[(2^x*Sqrt[b])/Sqrt[a + 4^x*b]]/(Sqrt[b]*Log[2])}
+{2^x/Sqrt[a + b*2^(2*x)], x, 3, ArcTanh[(2^x*Sqrt[b])/Sqrt[a + 4^x*b]]/(Sqrt[b]*Log[2])}
+
+{2^x/Sqrt[a - b*4^x], x, 3, ArcTan[(2^x*Sqrt[b])/Sqrt[a - 4^x*b]]/(Sqrt[b]*Log[2])}
+{2^x/Sqrt[a - b*2^(2*x)], x, 3, ArcTan[(2^x*Sqrt[b])/Sqrt[a - 4^x*b]]/(Sqrt[b]*Log[2])}
+
+
+{2^x/Sqrt[a + b/4^x], x, 2, (2^x*Sqrt[a + b/2^(2*x)])/(a*Log[2])}
+{2^x/Sqrt[a + b/2^(2*x)], x, 2, (2^x*Sqrt[a + b/2^(2*x)])/(a*Log[2])}
+
+{2^x/Sqrt[a - b/4^x], x, 2, (2^x*Sqrt[a - b/2^(2*x)])/(a*Log[2])}
+{2^x/Sqrt[a - b/2^(2*x)], x, 2, (2^x*Sqrt[a - b/2^(2*x)])/(a*Log[2])}
+
+
+{4^x/Sqrt[a + b*2^x], x, 3, -((2*a*Sqrt[a + 2^x*b])/(b^2*Log[2])) + (2*(a + 2^x*b)^(3/2))/(3*b^2*Log[2])}
+{2^(2*x)/Sqrt[a + b*2^x], x, 3, -((2*a*Sqrt[a + 2^x*b])/(b^2*Log[2])) + (2*(a + 2^x*b)^(3/2))/(3*b^2*Log[2])}
+
+{4^x/Sqrt[a - b*2^x], x, 3, -((2*a*Sqrt[a - 2^x*b])/(b^2*Log[2])) + (2*(a - 2^x*b)^(3/2))/(3*b^2*Log[2])}
+{2^(2*x)/Sqrt[a - b*2^x], x, 3, -((2*a*Sqrt[a - 2^x*b])/(b^2*Log[2])) + (2*(a - 2^x*b)^(3/2))/(3*b^2*Log[2])}
+
+
+{4^x/Sqrt[a + b/2^x], x, 5, (2^(-1 + 2*x)*Sqrt[a + b/2^x])/(a*Log[2]) - (3*2^(-2 + x)*b*Sqrt[a + b/2^x])/(a^2*Log[2]) + (3*b^2*ArcTanh[Sqrt[a + b/2^x]/Sqrt[a]])/(4*a^(5/2)*Log[2])}
+{2^(2*x)/Sqrt[a + b/2^x], x, 5, (2^(-1 + 2*x)*Sqrt[a + b/2^x])/(a*Log[2]) - (3*2^(-2 + x)*b*Sqrt[a + b/2^x])/(a^2*Log[2]) + (3*b^2*ArcTanh[Sqrt[a + b/2^x]/Sqrt[a]])/(4*a^(5/2)*Log[2])}
+
+{4^x/Sqrt[a - b/2^x], x, 5, (2^(-1 + 2*x)*Sqrt[a - b/2^x])/(a*Log[2]) + (3*2^(-2 + x)*b*Sqrt[a - b/2^x])/(a^2*Log[2]) + (3*b^2*ArcTanh[Sqrt[a - b/2^x]/Sqrt[a]])/(4*a^(5/2)*Log[2])}
+{2^(2*x)/Sqrt[a - b/2^x], x, 5, (2^(-1 + 2*x)*Sqrt[a - b/2^x])/(a*Log[2]) + (3*2^(-2 + x)*b*Sqrt[a - b/2^x])/(a^2*Log[2]) + (3*b^2*ArcTanh[Sqrt[a - b/2^x]/Sqrt[a]])/(4*a^(5/2)*Log[2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b f^(d+e x)+c f^(2 (d+e x)))^n*)
+
+
+{1/(1 + 2*E^x + E^(2*x)), x, 3, 1/(1 + E^x) + x - Log[1 + E^x]}
+{1/(2 + 3*E^x + E^(2*x)), x, 6, x/2 - Log[1 + E^x] + (1/2)*Log[2 + E^x]}
+{1/(-1 + E^x + E^(2*x)), x, 6, -x + (1/10)*(5 + Sqrt[5])*Log[1 - Sqrt[5] + 2*E^x] + (1/10)*(5 - Sqrt[5])*Log[1 + Sqrt[5] + 2*E^x]}
+{1/(3 + 3*E^x + E^(2*x)), x, 7, x/3 - ArcTan[(3 + 2*E^x)/Sqrt[3]]/Sqrt[3] - (1/6)*Log[3 + 3*E^x + E^(2*x)]}
+{1/(a + b*E^x + c*E^(2*x)), x, 7, x/a + (b*ArcTanh[(b + 2*c*E^x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(a*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) - Log[a + b*E^x + c*E^(2*x)]/(2*a)}
+
+{x/(1 + 2*E^x + E^(2*x)), x, 11, -x + x/(1 + E^x) + x^2/2 + Log[1 + E^x] - x*Log[1 + E^x] - PolyLog[2, -E^x]}
+{x/(2 + 3*E^x + E^(2*x)), x, 9, x^2/4 + (1/2)*x*Log[1 + E^x/2] - x*Log[1 + E^x] - PolyLog[2, -E^x] + (1/2)*PolyLog[2, -(E^x/2)]}
+{x/(-1 + E^x + E^(2*x)), x, 9, x^2/(Sqrt[5]*(1 - Sqrt[5])) - x^2/(Sqrt[5]*(1 + Sqrt[5])) - (2*x*Log[1 + (2*E^x)/(1 - Sqrt[5])])/(Sqrt[5]*(1 - Sqrt[5])) + (2*x*Log[1 + (2*E^x)/(1 + Sqrt[5])])/(Sqrt[5]*(1 + Sqrt[5])) - (2*PolyLog[2, -((2*E^x)/(1 - Sqrt[5]))])/(Sqrt[5]*(1 - Sqrt[5])) + (2*PolyLog[2, -((2*E^x)/(1 + Sqrt[5]))])/(Sqrt[5]*(1 + Sqrt[5]))}
+{x/(3 + 3*E^x + E^(2*x)), x, 9, -(x^2/(Sqrt[3]*(3*I - Sqrt[3]))) + x^2/(Sqrt[3]*(3*I + Sqrt[3])) - (2*x*Log[1 + (2*E^x)/(3 - I*Sqrt[3])])/(Sqrt[3]*(3*I + Sqrt[3])) + (2*x*Log[1 + (2*E^x)/(3 + I*Sqrt[3])])/(Sqrt[3]*(3*I - Sqrt[3])) - (2*PolyLog[2, -((2*E^x)/(3 - I*Sqrt[3]))])/(Sqrt[3]*(3*I + Sqrt[3])) + (2*PolyLog[2, -((2*E^x)/(3 + I*Sqrt[3]))])/(Sqrt[3]*(3*I - Sqrt[3]))}
+{x/(a + b*E^x + c*E^(2*x)), x, 9, -((c*x^2)/(b^2 - 4*a*c - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c])) - (c*x^2)/(b^2 - 4*a*c + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) + (2*c*x*Log[1 + (2*c*E^x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(b^2 - 4*a*c - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) + (2*c*x*Log[1 + (2*c*E^x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(b^2 - 4*a*c + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) + (2*c*PolyLog[2, -((2*c*E^x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(b^2 - 4*a*c - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) + (2*c*PolyLog[2, -((2*c*E^x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(b^2 - 4*a*c + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c])}
+
+{x^2/(1 + 2*E^x + E^(2*x)), x, 12, -x^2 + x^2/(1 + E^x) + x^3/3 + 2*x*Log[1 + E^x] - x^2*Log[1 + E^x] + 2*PolyLog[2, -E^x] - 2*x*PolyLog[2, -E^x] + 2*PolyLog[3, -E^x]}
+{x^2/(2 + 3*E^x + E^(2*x)), x, 11, x^3/6 + (1/2)*x^2*Log[1 + E^x/2] - x^2*Log[1 + E^x] - 2*x*PolyLog[2, -E^x] + x*PolyLog[2, -(E^x/2)] + 2*PolyLog[3, -E^x] - PolyLog[3, -(E^x/2)]}
+{x^2/(-1 + E^x + E^(2*x)), x, 11, (2*x^3)/(3*Sqrt[5]*(1 - Sqrt[5])) - (2*x^3)/(3*Sqrt[5]*(1 + Sqrt[5])) - (2*x^2*Log[1 + (2*E^x)/(1 - Sqrt[5])])/(Sqrt[5]*(1 - Sqrt[5])) + (2*x^2*Log[1 + (2*E^x)/(1 + Sqrt[5])])/(Sqrt[5]*(1 + Sqrt[5])) - (4*x*PolyLog[2, -((2*E^x)/(1 - Sqrt[5]))])/(Sqrt[5]*(1 - Sqrt[5])) + (4*x*PolyLog[2, -((2*E^x)/(1 + Sqrt[5]))])/(Sqrt[5]*(1 + Sqrt[5])) + (4*PolyLog[3, -((2*E^x)/(1 - Sqrt[5]))])/(Sqrt[5]*(1 - Sqrt[5])) - (4*PolyLog[3, -((2*E^x)/(1 + Sqrt[5]))])/(Sqrt[5]*(1 + Sqrt[5]))}
+{x^2/(3 + 3*E^x + E^(2*x)), x, 11, -((2*x^3)/(3*Sqrt[3]*(3*I - Sqrt[3]))) + (2*x^3)/(3*Sqrt[3]*(3*I + Sqrt[3])) - (2*x^2*Log[1 + (2*E^x)/(3 - I*Sqrt[3])])/(Sqrt[3]*(3*I + Sqrt[3])) + (2*x^2*Log[1 + (2*E^x)/(3 + I*Sqrt[3])])/(Sqrt[3]*(3*I - Sqrt[3])) - (4*x*PolyLog[2, -((2*E^x)/(3 - I*Sqrt[3]))])/(Sqrt[3]*(3*I + Sqrt[3])) + (4*x*PolyLog[2, -((2*E^x)/(3 + I*Sqrt[3]))])/(Sqrt[3]*(3*I - Sqrt[3])) + (4*PolyLog[3, -((2*E^x)/(3 - I*Sqrt[3]))])/(Sqrt[3]*(3*I + Sqrt[3])) - (4*PolyLog[3, -((2*E^x)/(3 + I*Sqrt[3]))])/(Sqrt[3]*(3*I - Sqrt[3]))}
+{x^2/(a + b*E^x + c*E^(2*x)), x, 11, -((2*c*x^3)/(3*(b^2 - 4*a*c - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]))) - (2*c*x^3)/(3*(b^2 - 4*a*c + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c])) + (2*c*x^2*Log[1 + (2*c*E^x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(b^2 - 4*a*c - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) + (2*c*x^2*Log[1 + (2*c*E^x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(b^2 - 4*a*c + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) + (4*c*x*PolyLog[2, -((2*c*E^x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(b^2 - 4*a*c - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) + (4*c*x*PolyLog[2, -((2*c*E^x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(b^2 - 4*a*c + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) - (4*c*PolyLog[3, -((2*c*E^x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(b^2 - 4*a*c - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) - (4*c*PolyLog[3, -((2*c*E^x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(b^2 - 4*a*c + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c])}
+
+
+{1/(1 + 2*f^(c + d*x) + f^(2*c + 2*d*x)), x, 3, x + 1/(d*(1 + f^(c + d*x))*Log[f]) - Log[1 + f^(c + d*x)]/(d*Log[f])}
+{1/(a + b*f^(c + d*x) + c*f^(2*c + 2*d*x)), x, 7, x/a + (b*ArcTanh[(b + 2*c*f^(c + d*x))/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(a*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d*Log[f]) - Log[a + b*f^(c + d*x) + c*f^(2*c + 2*d*x)]/(2*a*d*Log[f])}
+{1/(a + b*f^(g + h*x) + c*f^(2*(g + h*x))), x, 7, x/a + (b*ArcTanh[(b + 2*c*f^(g + h*x))/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(a*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*h*Log[f]) - Log[a + b*f^(g + h*x) + c*f^(2*g + 2*h*x)]/(2*a*h*Log[f])}
+
+{x/(1 + 2*f^(c + d*x) + f^(2*c + 2*d*x)), x, 11, x^2/2 - x/(d*Log[f]) + x/(d*(1 + f^(c + d*x))*Log[f]) + Log[1 + f^(c + d*x)]/(d^2*Log[f]^2) - (x*Log[1 + f^(c + d*x)])/(d*Log[f]) - PolyLog[2, -f^(c + d*x)]/(d^2*Log[f]^2)}
+{x/(a + b*f^(c + d*x) + c*f^(2*c + 2*d*x)), x, 9, -((c*x^2)/(b^2 - 4*a*c - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c])) - (c*x^2)/(b^2 - 4*a*c + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) - (2*c*x*Log[1 + (2*c*f^(c + d*x))/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*d*Log[f]) + (2*c*x*Log[1 + (2*c*f^(c + d*x))/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*d*Log[f]) - (2*c*PolyLog[2, -((2*c*f^(c + d*x))/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*d^2*Log[f]^2) + (2*c*PolyLog[2, -((2*c*f^(c + d*x))/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*d^2*Log[f]^2)}
+
+{x^2/(1 + 2*f^(c + d*x) + f^(2*c + 2*d*x)), x, 12, x^3/3 - x^2/(d*Log[f]) + x^2/(d*(1 + f^(c + d*x))*Log[f]) + (2*x*Log[1 + f^(c + d*x)])/(d^2*Log[f]^2) - (x^2*Log[1 + f^(c + d*x)])/(d*Log[f]) + (2*PolyLog[2, -f^(c + d*x)])/(d^3*Log[f]^3) - (2*x*PolyLog[2, -f^(c + d*x)])/(d^2*Log[f]^2) + (2*PolyLog[3, -f^(c + d*x)])/(d^3*Log[f]^3)}
+{x^2/(a + b*f^(c + d*x) + c*f^(2*c + 2*d*x)), x, 11, -((2*c*x^3)/(3*(b^2 - 4*a*c - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]))) - (2*c*x^3)/(3*(b^2 - 4*a*c + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c])) - (2*c*x^2*Log[1 + (2*c*f^(c + d*x))/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*d*Log[f]) + (2*c*x^2*Log[1 + (2*c*f^(c + d*x))/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*d*Log[f]) - (4*c*x*PolyLog[2, -((2*c*f^(c + d*x))/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*d^2*Log[f]^2) + (4*c*x*PolyLog[2, -((2*c*f^(c + d*x))/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*d^2*Log[f]^2) + (4*c*PolyLog[3, -((2*c*f^(c + d*x))/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*d^3*Log[f]^3) - (4*c*PolyLog[3, -((2*c*f^(c + d*x))/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*d^3*Log[f]^3)}
+
+
+{(d + e*f^(g + h*x))/(a + b*f^(g + h*x) + c*f^(2*g + 2*h*x)), x, 7, (d*x)/a + ((b*d - 2*a*e)*ArcTanh[(b + 2*c*f^(g + h*x))/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(a*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*h*Log[f]) - (d*Log[a + b*f^(g + h*x) + c*f^(2*g + 2*h*x)])/(2*a*h*Log[f])}
+{(d + e*f^(g + h*x))/(a + b*f^(g + h*x) + c*f^(2*(g + h*x))), x, 7, (d*x)/a + ((b*d - 2*a*e)*ArcTanh[(b + 2*c*f^(g + h*x))/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(a*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*h*Log[f]) - (d*Log[a + b*f^(g + h*x) + c*f^(2*g + 2*h*x)])/(2*a*h*Log[f])}
+
+
+{1/(2 + E^(-x) + E^x), x, 2, -(1/(1 + E^x))}
+{x/(2 + E^(-x) + E^x), x, 7, x - x/(1 + E^x) - Log[1 + E^x]}
+{x^2/(2 + E^(-x) + E^x), x, 7, x^2 - x^2/(1 + E^x) - 2*x*Log[1 + E^x] - 2*PolyLog[2, -E^x]}
+
+{1/(2 + f^(-c - d*x) + f^(c + d*x)), x, 2, -(1/(d*(1 + f^(c + d*x))*Log[f]))}
+{x/(2 + f^(-c - d*x) + f^(c + d*x)), x, 7, x/(d*Log[f]) - x/(d*(1 + f^(c + d*x))*Log[f]) - Log[1 + f^(c + d*x)]/(d^2*Log[f]^2)}
+{x^2/(2 + f^(-c - d*x) + f^(c + d*x)), x, 7, x^2/(d*Log[f]) - x^2/(d*(1 + f^(c + d*x))*Log[f]) - (2*x*Log[1 + f^(c + d*x)])/(d^2*Log[f]^2) - (2*PolyLog[2, -f^(c + d*x)])/(d^3*Log[f]^3)}
+
+
+{1/(2 + 3^(-x) + 3^x), x, 2, -(1/((1 + 3^x)*Log[3]))}
+{1/(1 - E^(-x) + 2*E^x), x, 4, (1/3)*Log[1 - 2*E^x] - (1/3)*Log[1 + E^x]}
+
+{1/(a + b*E^(-x) + c*E^x), x, 4, -((2*ArcTanh[(a + 2*c*E^x)/Sqrt[a^2 - 4*b*c]])/Sqrt[a^2 - 4*b*c])}
+{x/(a + b*E^(-x) + c*E^x), x, 8, (x*Log[1 + (2*c*E^x)/(a - Sqrt[a^2 - 4*b*c])])/Sqrt[a^2 - 4*b*c] - (x*Log[1 + (2*c*E^x)/(a + Sqrt[a^2 - 4*b*c])])/Sqrt[a^2 - 4*b*c] + PolyLog[2, -((2*c*E^x)/(a - Sqrt[a^2 - 4*b*c]))]/Sqrt[a^2 - 4*b*c] - PolyLog[2, -((2*c*E^x)/(a + Sqrt[a^2 - 4*b*c]))]/Sqrt[a^2 - 4*b*c]}
+{x^2/(a + b*E^(-x) + c*E^x), x, 10, (x^2*Log[1 + (2*c*E^x)/(a - Sqrt[a^2 - 4*b*c])])/Sqrt[a^2 - 4*b*c] - (x^2*Log[1 + (2*c*E^x)/(a + Sqrt[a^2 - 4*b*c])])/Sqrt[a^2 - 4*b*c] + (2*x*PolyLog[2, -((2*c*E^x)/(a - Sqrt[a^2 - 4*b*c]))])/Sqrt[a^2 - 4*b*c] - (2*x*PolyLog[2, -((2*c*E^x)/(a + Sqrt[a^2 - 4*b*c]))])/Sqrt[a^2 - 4*b*c] - (2*PolyLog[3, -((2*c*E^x)/(a - Sqrt[a^2 - 4*b*c]))])/Sqrt[a^2 - 4*b*c] + (2*PolyLog[3, -((2*c*E^x)/(a + Sqrt[a^2 - 4*b*c]))])/Sqrt[a^2 - 4*b*c]}
+
+{1/(a + b*f^(-c - d*x) + c*f^(c + d*x)), x, 4, -((2*ArcTanh[(a + 2*c*f^(c + d*x))/Sqrt[a^2 - 4*b*c]])/(Sqrt[a^2 - 4*b*c]*d*Log[f]))}
+{x/(a + b*f^(-c - d*x) + c*f^(c + d*x)), x, 8, (x*Log[1 + (2*c*f^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - 4*b*c])])/(Sqrt[a^2 - 4*b*c]*d*Log[f]) - (x*Log[1 + (2*c*f^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - 4*b*c])])/(Sqrt[a^2 - 4*b*c]*d*Log[f]) + PolyLog[2, -((2*c*f^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - 4*b*c]))]/(Sqrt[a^2 - 4*b*c]*d^2*Log[f]^2) - PolyLog[2, -((2*c*f^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - 4*b*c]))]/(Sqrt[a^2 - 4*b*c]*d^2*Log[f]^2)}
+{x^2/(a + b*f^(-c - d*x) + c*f^(c + d*x)), x, 10, (x^2*Log[1 + (2*c*f^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - 4*b*c])])/(Sqrt[a^2 - 4*b*c]*d*Log[f]) - (x^2*Log[1 + (2*c*f^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - 4*b*c])])/(Sqrt[a^2 - 4*b*c]*d*Log[f]) + (2*x*PolyLog[2, -((2*c*f^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - 4*b*c]))])/(Sqrt[a^2 - 4*b*c]*d^2*Log[f]^2) - (2*x*PolyLog[2, -((2*c*f^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - 4*b*c]))])/(Sqrt[a^2 - 4*b*c]*d^2*Log[f]^2) - (2*PolyLog[3, -((2*c*f^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - 4*b*c]))])/(Sqrt[a^2 - 4*b*c]*d^3*Log[f]^3) + (2*PolyLog[3, -((2*c*f^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - 4*b*c]))])/(Sqrt[a^2 - 4*b*c]*d^3*Log[f]^3)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u^m (a+b F^(c Sqrt[d+e x]/Sqrt[f+g x]))^n*)
+
+
+{(a + b*F^(c*Sqrt[d + e*x]/Sqrt[f + g*x]))^n/(d*f + (e*f + d*g)*x + e*g*x^2), x, 0, Unintegrable[(a + b*F^((c*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[f + g*x]))^n/(d*f + (e*f + d*g)*x + e*g*x^2), x]}
+
+
+{(a + b*F^(c*Sqrt[d + e*x]/Sqrt[f + g*x]))^3/(d*f + (e*f + d*g)*x + e*g*x^2), x, 6, (6*a^2*b*ExpIntegralEi[(c*Sqrt[d + e*x]*Log[F])/Sqrt[f + g*x]])/(e*f - d*g) + (6*a*b^2*ExpIntegralEi[(2*c*Sqrt[d + e*x]*Log[F])/Sqrt[f + g*x]])/(e*f - d*g) + (2*b^3*ExpIntegralEi[(3*c*Sqrt[d + e*x]*Log[F])/Sqrt[f + g*x]])/(e*f - d*g) + (2*a^3*Log[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[f + g*x]])/(e*f - d*g)}
+{(a + b*F^(c*Sqrt[d + e*x]/Sqrt[f + g*x]))^2/(d*f + (e*f + d*g)*x + e*g*x^2), x, 5, (4*a*b*ExpIntegralEi[(c*Sqrt[d + e*x]*Log[F])/Sqrt[f + g*x]])/(e*f - d*g) + (2*b^2*ExpIntegralEi[(2*c*Sqrt[d + e*x]*Log[F])/Sqrt[f + g*x]])/(e*f - d*g) + (2*a^2*Log[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[f + g*x]])/(e*f - d*g)}
+{(a + b*F^(c*Sqrt[d + e*x]/Sqrt[f + g*x]))^1/(d*f + (e*f + d*g)*x + e*g*x^2), x, 4, (2*b*ExpIntegralEi[(c*Sqrt[d + e*x]*Log[F])/Sqrt[f + g*x]])/(e*f - d*g) + (2*a*Log[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[f + g*x]])/(e*f - d*g)}
+{(a + b*F^(c*Sqrt[d + e*x]/Sqrt[f + g*x]))^0/(d*f + (e*f + d*g)*x + e*g*x^2), x, 3, Log[d + e*x]/(e*f - d*g) - Log[f + g*x]/(e*f - d*g)}
+{1/((a + b*F^(c*Sqrt[d + e*x]/Sqrt[f + g*x]))^1*(d*f + (e*f + d*g)*x + e*g*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((a + b*F^((c*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[f + g*x]))*(d*f + (e*f + d*g)*x + e*g*x^2)), x]}
+{1/((a + b*F^(c*Sqrt[d + e*x]/Sqrt[f + g*x]))^2*(d*f + (e*f + d*g)*x + e*g*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((a + b*F^((c*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[f + g*x]))^2*(d*f + (e*f + d*g)*x + e*g*x^2)), x]}
+
+
+{(a + b*F^(c*Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d*f - e*f*x]))^n/(d^2 - e^2*x^2), x, 0, Unintegrable[(a + b*F^((c*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[d*f - e*f*x]))^n/(d^2 - e^2*x^2), x]}
+
+
+{(a + b*F^(c*Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d*f - e*f*x]))^3/(d^2 - e^2*x^2), x, 6, (3*a^2*b*ExpIntegralEi[(c*Sqrt[d + e*x]*Log[F])/Sqrt[d*f - e*f*x]])/(d*e) + (3*a*b^2*ExpIntegralEi[(2*c*Sqrt[d + e*x]*Log[F])/Sqrt[d*f - e*f*x]])/(d*e) + (b^3*ExpIntegralEi[(3*c*Sqrt[d + e*x]*Log[F])/Sqrt[d*f - e*f*x]])/(d*e) + (a^3*Log[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d*f - e*f*x]])/(d*e)}
+{(a + b*F^(c*Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d*f - e*f*x]))^2/(d^2 - e^2*x^2), x, 5, (2*a*b*ExpIntegralEi[(c*Sqrt[d + e*x]*Log[F])/Sqrt[d*f - e*f*x]])/(d*e) + (b^2*ExpIntegralEi[(2*c*Sqrt[d + e*x]*Log[F])/Sqrt[d*f - e*f*x]])/(d*e) + (a^2*Log[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d*f - e*f*x]])/(d*e)}
+{(a + b*F^(c*Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d*f - e*f*x]))^1/(d^2 - e^2*x^2), x, 4, (b*ExpIntegralEi[(c*Sqrt[d + e*x]*Log[F])/Sqrt[d*f - e*f*x]])/(d*e) + (a*Log[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d*f - e*f*x]])/(d*e)}
+{(a + b*F^(c*Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d*f - e*f*x]))^0/(d^2 - e^2*x^2), x, 1, ArcTanh[(e*x)/d]/(d*e)}
+{1/((a + b*F^(c*Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d*f - e*f*x]))^1*(d^2 - e^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((a + b*F^((c*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[d*f - e*f*x]))*(d^2 - e^2*x^2)), x]}
+{1/((a + b*F^(c*Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d*f - e*f*x]))^2*(d^2 - e^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((a + b*F^((c*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[d*f - e*f*x]))^2*(d^2 - e^2*x^2)), x]}
+
+
+{(F^(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]))^n/(1 - a^2*x^2), x, 3, -(((F^(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]))^n*ExpIntegralEi[(n*Sqrt[1 - a*x]*Log[F])/Sqrt[1 + a*x]])/(F^((n*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])*a))}
+
+{(F^(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]))^3/(1 - a^2*x^2), x, 2, -(ExpIntegralEi[(3*Sqrt[1 - a*x]*Log[F])/Sqrt[1 + a*x]]/a)}
+{(F^(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]))^2/(1 - a^2*x^2), x, 2, -(ExpIntegralEi[(2*Sqrt[1 - a*x]*Log[F])/Sqrt[1 + a*x]]/a)}
+{(F^(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]))^1/(1 - a^2*x^2), x, 2, -(ExpIntegralEi[(Sqrt[1 - a*x]*Log[F])/Sqrt[1 + a*x]]/a)}
+{1/((F^(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]))^1*(1 - a^2*x^2)), x, 2, -(ExpIntegralEi[-((Sqrt[1 - a*x]*Log[F])/Sqrt[1 + a*x])]/a)}
+{1/((F^(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]))^2*(1 - a^2*x^2)), x, 2, -(ExpIntegralEi[-((2*Sqrt[1 - a*x]*Log[F])/Sqrt[1 + a*x])]/a)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m F^(a+b x) G^(c+d x)*)
+
+
+{x^2*a^x*b^x, x, 4, (2*a^x*b^x)/(Log[a] + Log[b])^3 - (2*a^x*b^x*x)/(Log[a] + Log[b])^2 + (a^x*b^x*x^2)/(Log[a] + Log[b])}
+{x*a^x*b^x, x, 3, -((a^x*b^x)/(Log[a] + Log[b])^2) + (a^x*b^x*x)/(Log[a] + Log[b])}
+{a^x*b^x, x, 2, (a^x*b^x)/(Log[a] + Log[b])}
+{a^x*b^x/x, x, 2, ExpIntegralEi[x*(Log[a] + Log[b])]}
+{a^x*b^x/x^2, x, 3, -((a^x*b^x)/x) + ExpIntegralEi[x*(Log[a] + Log[b])]*(Log[a] + Log[b])}
+{a^x*b^x/x^3, x, 4, -((a^x*b^x)/(2*x^2)) - (a^x*b^x*(Log[a] + Log[b]))/(2*x) + (1/2)*ExpIntegralEi[x*(Log[a] + Log[b])]*(Log[a] + Log[b])^2}
+
+
+{a^x*b^x*c^x, x, 3, (a^x*b^x*c^x)/(Log[a] + Log[b] + Log[c])}
+{a^x/b^x, x, 2, a^x/(b^x*(Log[a] - Log[b]))}
+
+{(a^x*x^2)/b^x, x, 4, (2*a^x)/(b^x*(Log[a] - Log[b])^3) - (2*a^x*x)/(b^x*(Log[a] - Log[b])^2) + (a^x*x^2)/(b^x*(Log[a] - Log[b]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (d+e F^(h+i x)) (a+b F^(h+i x)+c F^(2 h+2 i x))^n*)
+
+
+{(f + g*x)^3*(d + e*E^(h + i*x))/(a + b*E^(h + i*x) + c*E^(2*h + 2*i*x)), x, 13, ((e - (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(f + g*x)^4)/(4*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g) + ((e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(f + g*x)^4)/(4*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g) - ((e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(f + g*x)^3*Log[1 + (2*c*E^(h + i*x))/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*i) - ((e - (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(f + g*x)^3*Log[1 + (2*c*E^(h + i*x))/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*i) - (3*(e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g*(f + g*x)^2*PolyLog[2, -((2*c*E^(h + i*x))/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*i^2) - (3*(e - (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g*(f + g*x)^2*PolyLog[2, -((2*c*E^(h + i*x))/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*i^2) + (6*(e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g^2*(f + g*x)*PolyLog[3, -((2*c*E^(h + i*x))/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*i^3) + (6*(e - (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g^2*(f + g*x)*PolyLog[3, -((2*c*E^(h + i*x))/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*i^3) - (6*(e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g^3*PolyLog[4, -((2*c*E^(h + i*x))/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*i^4) - (6*(e - (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g^3*PolyLog[4, -((2*c*E^(h + i*x))/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*i^4)}
+{(f + g*x)^2*(d + e*E^(h + i*x))/(a + b*E^(h + i*x) + c*E^(2*h + 2*i*x)), x, 11, ((e - (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(f + g*x)^3)/(3*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g) + ((e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(f + g*x)^3)/(3*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g) - ((e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(f + g*x)^2*Log[1 + (2*c*E^(h + i*x))/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*i) - ((e - (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(f + g*x)^2*Log[1 + (2*c*E^(h + i*x))/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*i) - (2*(e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g*(f + g*x)*PolyLog[2, -((2*c*E^(h + i*x))/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*i^2) - (2*(e - (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g*(f + g*x)*PolyLog[2, -((2*c*E^(h + i*x))/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*i^2) + (2*(e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g^2*PolyLog[3, -((2*c*E^(h + i*x))/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*i^3) + (2*(e - (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g^2*PolyLog[3, -((2*c*E^(h + i*x))/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*i^3)}
+{(f + g*x)^1*(d + e*E^(h + i*x))/(a + b*E^(h + i*x) + c*E^(2*h + 2*i*x)), x, 9, ((e - (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(f + g*x)^2)/(2*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g) + ((e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(f + g*x)^2)/(2*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g) - ((e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(f + g*x)*Log[1 + (2*c*E^(h + i*x))/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*i) - ((e - (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(f + g*x)*Log[1 + (2*c*E^(h + i*x))/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*i) - ((e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g*PolyLog[2, -((2*c*E^(h + i*x))/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*i^2) - ((e - (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*g*PolyLog[2, -((2*c*E^(h + i*x))/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*i^2)}
+{(f + g*x)^0*(d + e*E^(h + i*x))/(a + b*E^(h + i*x) + c*E^(2*h + 2*i*x)), x, 7, (d*x)/a + ((b*d - 2*a*e)*ArcTanh[(b + 2*c*E^(h + i*x))/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(a*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*i) - (d*Log[a + b*E^(h + i*x) + c*E^(2*h + 2*i*x)])/(2*a*i)}
+{1/(f + g*x)^1*(d + e*E^(h + i*x))/(a + b*E^(h + i*x) + c*E^(2*h + 2*i*x)), x, 2, d*CannotIntegrate[1/((a + b*E^(h + i*x) + c*E^(2*h + 2*i*x))*(f + g*x)), x] + e*CannotIntegrate[E^(h + i*x)/((a + b*E^(h + i*x) + c*E^(2*h + 2*i*x))*(f + g*x)), x]}
+{1/(f + g*x)^2*(d + e*E^(h + i*x))/(a + b*E^(h + i*x) + c*E^(2*h + 2*i*x)), x, 2, d*CannotIntegrate[1/((a + b*E^(h + i*x) + c*E^(2*h + 2*i*x))*(f + g*x)^2), x] + e*CannotIntegrate[E^(h + i*x)/((a + b*E^(h + i*x) + c*E^(2*h + 2*i*x))*(f + g*x)^2), x]}
+
+
+{x*(b*e - a*e*E^(c + d*x))/(b*e - 2*a*e*E^(c + d*x) - b*e*E^(2*(c + d*x))), x, 9, x^2/2 - (x*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*d) - (x*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*d) - PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))]/(2*d^2) - PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))]/(2*d^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m F^(a+b Log[c+d x^n])*)
+
+
+{x^2*F^(a + b*Log[c + d*x^n]), x, 4, ((1/3)*F^a*x^3*(c + d*x^n)^(b*Log[F])*Hypergeometric2F1[3/n, (-b)*Log[F], (3 + n)/n, -((d*x^n)/c)])/(1 + (d*x^n)/c)^(b*Log[F])}
+{x^1*F^(a + b*Log[c + d*x^n]), x, 4, ((1/2)*F^a*x^2*(c + d*x^n)^(b*Log[F])*Hypergeometric2F1[2/n, (-b)*Log[F], (2 + n)/n, -((d*x^n)/c)])/(1 + (d*x^n)/c)^(b*Log[F])}
+{x^0*F^(a + b*Log[c + d*x^n]), x, 4, (F^a*x*(c + d*x^n)^(b*Log[F])*Hypergeometric2F1[1/n, (-b)*Log[F], 1 + 1/n, -((d*x^n)/c)])/(1 + (d*x^n)/c)^(b*Log[F])}
+{F^(a + b*Log[c + d*x^n])/x^1, x, 4, -((F^a*(c + d*x^n)^(1 + b*Log[F])*Hypergeometric2F1[1, 1 + b*Log[F], 2 + b*Log[F], 1 + (d*x^n)/c])/(c*n*(1 + b*Log[F])))}
+{F^(a + b*Log[c + d*x^n])/x^2, x, 4, -((F^a*(c + d*x^n)^(b*Log[F])*Hypergeometric2F1[-(1/n), (-b)*Log[F], -((1 - n)/n), -((d*x^n)/c)])/((1 + (d*x^n)/c)^(b*Log[F])*x))}
+{F^(a + b*Log[c + d*x^n])/x^3, x, 4, -((F^a*(c + d*x^n)^(b*Log[F])*Hypergeometric2F1[-(2/n), (-b)*Log[F], -((2 - n)/n), -((d*x^n)/c)])/((1 + (d*x^n)/c)^(b*Log[F])*(2*x^2)))}
+
+
+{(d x)^m*F^(a + b*Log[c + d*x^n]), x, 4, (F^a*(d*x)^(1 + m)*(c + d*x^n)^(b*Log[F])*Hypergeometric2F1[(1 + m)/n, (-b)*Log[F], (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)])/((1 + (d*x^n)/c)^(b*Log[F])*(d*(1 + m)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^m F^(f (a+b Log[c (d+e x)^n]^2))*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^m F^(f (a+b Log[c (d+e x)^n]^2)) when e g-d h=0*)
+
+
+{(d + e*x)^m*E^Log[(d + e*x)^n]^2, x, 3, (Sqrt[Pi]*(d + e*x)^(1 + m)*Erfi[(1 + m + 2*n*Log[(d + e*x)^n])/(2*n)])/(E^((1 + m)^2/(4*n^2))*((d + e*x)^n)^((1 + m)/n)*(2*e*n))}
+{(d*g + e*g*x)^m*F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2)), x, 3, (F^(a*f)*Sqrt[Pi]*(d*g + e*g*x)^(1 + m)*Erfi[(1 + m + 2*b*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])])/(E^((1 + m)^2/(4*b*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^((1 + m)/n)*(2*Sqrt[b]*e*Sqrt[f]*g*n*Sqrt[Log[F]]))}
+
+
+{(d*g + e*g*x)^2*F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2)), x, 3, (F^(a*f)*g^2*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^3*Erfi[(3 + 2*b*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])])/(E^(9/(4*b*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(2*Sqrt[b]*e*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]]))}
+{(d*g + e*g*x)^1*F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2)), x, 3, (F^(a*f)*g*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^2*Erfi[(1 + b*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(Sqrt[b]*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])])/(E^(1/(b*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(2*Sqrt[b]*e*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]]))}
+{(d*g + e*g*x)^0*F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2)), x, 3, (F^(a*f)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[(1 + 2*b*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])])/(E^(1/(4*b*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(2*Sqrt[b]*e*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]]))}
+{F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2))/(d*g + e*g*x)^1, x, 2, (F^(a*f)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]]*Log[c*(d + e*x)^n]])/(2*Sqrt[b]*e*Sqrt[f]*g*n*Sqrt[Log[F]])}
+{F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2))/(d*g + e*g*x)^2, x, 3, If[$VersionNumber>=8, -((F^(a*f)*Sqrt[Pi]*(c*(d + e*x)^n)^(1/n)*Erfi[(1 - 2*b*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])])/(E^(1/(4*b*f*n^2*Log[F]))*(2*Sqrt[b]*e*Sqrt[f]*g^2*n*(d + e*x)*Sqrt[Log[F]]))), (F^(a*f)*Sqrt[Pi]*(c*(d + e*x)^n)^(1/n)*Erfi[-((1 - 2*b*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]]))])/(E^(1/(4*b*f*n^2*Log[F]))*(2*Sqrt[b]*e*Sqrt[f]*g^2*n*(d + e*x)*Sqrt[Log[F]]))]}
+{F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2))/(d*g + e*g*x)^3, x, 3, If[$VersionNumber>=8, -((F^(a*f)*Sqrt[Pi]*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*Erfi[(1 - b*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(Sqrt[b]*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])])/(E^(1/(b*f*n^2*Log[F]))*(2*Sqrt[b]*e*Sqrt[f]*g^3*n*(d + e*x)^2*Sqrt[Log[F]]))), (F^(a*f)*Sqrt[Pi]*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*Erfi[-((1 - b*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(Sqrt[b]*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]]))])/(E^(1/(b*f*n^2*Log[F]))*(2*Sqrt[b]*e*Sqrt[f]*g^3*n*(d + e*x)^2*Sqrt[Log[F]]))]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^m F^(f (a+b Log[c (d+e x)^n]^2))*)
+
+
+{(g + h*x)^m*F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2)), x, 0, Unintegrable[F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2))*(g + h*x)^m, x]}
+
+
+{(g + h*x)^3*F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2)), x, 14, (3*F^(a*f)*h*(e*g - d*h)^2*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^2*Erfi[(1 + b*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(Sqrt[b]*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])])/(E^(1/(b*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(2*Sqrt[b]*e^4*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])) + (F^(a*f)*h^3*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^4*Erfi[(2 + b*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(Sqrt[b]*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])])/(E^(4/(b*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^(4/n)*(2*Sqrt[b]*e^4*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])) + (F^(a*f)*(e*g - d*h)^3*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[(1 + 2*b*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])])/(E^(1/(4*b*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(2*Sqrt[b]*e^4*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])) + (3*F^(a*f)*h^2*(e*g - d*h)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^3*Erfi[(3 + 2*b*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])])/(E^(9/(4*b*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(2*Sqrt[b]*e^4*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]]))}
+{(g + h*x)^2*F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2)), x, 11, (F^(a*f)*h*(e*g - d*h)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^2*Erfi[(1 + b*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(Sqrt[b]*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])])/(E^(1/(b*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(Sqrt[b]*e^3*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])) + (F^(a*f)*(e*g - d*h)^2*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[(1 + 2*b*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])])/(E^(1/(4*b*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(2*Sqrt[b]*e^3*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])) + (F^(a*f)*h^2*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^3*Erfi[(3 + 2*b*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])])/(E^(9/(4*b*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(2*Sqrt[b]*e^3*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]]))}
+{(g + h*x)^1*F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2)), x, 8, (F^(a*f)*h*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^2*Erfi[(1 + b*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(Sqrt[b]*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])])/(E^(1/(b*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(2*Sqrt[b]*e^2*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])) + (F^(a*f)*(e*g - d*h)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[(1 + 2*b*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])])/(E^(1/(4*b*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(2*Sqrt[b]*e^2*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]]))}
+{(g + h*x)^0*F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2)), x, 3, (F^(a*f)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[(1 + 2*b*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])])/(E^(1/(4*b*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(2*Sqrt[b]*e*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]]))}
+{F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2))/(g + h*x)^1, x, 0, Unintegrable[F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2))/(g + h*x), x]}
+{F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2))/(g + h*x)^2, x, 0, Unintegrable[F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2))/(g + h*x)^2, x]}
+{F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2))/(g + h*x)^3, x, 0, Unintegrable[F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2))/(g + h*x)^3, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^m F^(f (a+b Log[c (d+e x)^n])^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^m F^(f (a+b Log[c (d+e x)^n])^2) when e g-d h=0*)
+
+
+{(d*g + e*g*x)^m*F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x, 4, (F^(a^2*f)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*(d*g + e*g*x)^m*Erfi[(1 + m + 2*a*b*f*n*Log[F] + 2*b^2*f*n*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*b*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])])/(E^((1 + m + 2*a*b*f*n*Log[F])^2/(4*b^2*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^((1 + m)/n)*(2*b*e*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]]))}
+
+
+{(d*g + e*g*x)^2*F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x, 4, (g^2*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^3*Erfi[(3/n + 2*a*b*f*Log[F] + 2*b^2*f*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*b*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]])])/(E^((3*(3 + 4*a*b*f*n*Log[F]))/(4*b^2*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(2*b*e*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]]))}
+{(d*g + e*g*x)^1*F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x, 4, (g*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^2*Erfi[(1/n + a*b*f*Log[F] + b^2*f*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]])])/(E^((1 + 2*a*b*f*n*Log[F])/(b^2*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(2*b*e*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]]))}
+{(d*g + e*g*x)^0*F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x, 4, (Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[(1/n + 2*a*b*f*Log[F] + 2*b^2*f*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*b*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]])])/(E^((1 + 4*a*b*f*n*Log[F])/(4*b^2*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(2*b*e*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]]))}
+{F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(d*g + e*g*x)^1, x, 4, (Sqrt[Pi]*Erfi[a*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]] + b*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]]*Log[c*(d + e*x)^n]])/(2*b*e*Sqrt[f]*g*n*Sqrt[Log[F]])}
+{F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(d*g + e*g*x)^2, x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((E^(a/(b*n) - 1/(4*b^2*f*n^2*Log[F]))*Sqrt[Pi]*(c*(d + e*x)^n)^(1/n)*Erfi[(1/n - 2*a*b*f*Log[F] - 2*b^2*f*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*b*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]])])/(2*b*e*Sqrt[f]*g^2*n*(d + e*x)*Sqrt[Log[F]])), (E^(a/(b*n) - 1/(4*b^2*f*n^2*Log[F]))*Sqrt[Pi]*(c*(d + e*x)^n)^(1/n)*Erfi[-((1/n - 2*a*b*f*Log[F] - 2*b^2*f*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*b*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]]))])/(2*b*e*Sqrt[f]*g^2*n*(d + e*x)*Sqrt[Log[F]])]}
+{F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(d*g + e*g*x)^3, x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((Sqrt[Pi]*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*Erfi[(1/n - a*b*f*Log[F] - b^2*f*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]])])/(E^((1 - 2*a*b*f*n*Log[F])/(b^2*f*n^2*Log[F]))*(2*b*e*Sqrt[f]*g^3*n*(d + e*x)^2*Sqrt[Log[F]]))), (Sqrt[Pi]*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*Erfi[-((1/n - a*b*f*Log[F] - b^2*f*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]]))])/(E^((1 - 2*a*b*f*n*Log[F])/(b^2*f*n^2*Log[F]))*(2*b*e*Sqrt[f]*g^3*n*(d + e*x)^2*Sqrt[Log[F]]))]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^m F^(f (a+b Log[c (d+e x)^n])^2)*)
+
+
+{(g + h*x)^m*F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x, 0, Unintegrable[F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)*(g + h*x)^m, x]}
+
+
+{(g + h*x)^3*F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x, 18, (3*h*(e*g - d*h)^2*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^2*Erfi[(1/n + a*b*f*Log[F] + b^2*f*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]])])/(E^((1 + 2*a*b*f*n*Log[F])/(b^2*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(2*b*e^4*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])) + (h^3*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^4*Erfi[(2/n + a*b*f*Log[F] + b^2*f*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]])])/(E^((4*(1 + a*b*f*n*Log[F]))/(b^2*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^(4/n)*(2*b*e^4*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])) + ((e*g - d*h)^3*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[(1/n + 2*a*b*f*Log[F] + 2*b^2*f*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*b*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]])])/(E^((1 + 4*a*b*f*n*Log[F])/(4*b^2*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(2*b*e^4*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])) + (3*h^2*(e*g - d*h)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^3*Erfi[(3/n + 2*a*b*f*Log[F] + 2*b^2*f*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*b*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]])])/(E^((3*(3 + 4*a*b*f*n*Log[F]))/(4*b^2*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(2*b*e^4*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]]))}
+{(g + h*x)^2*F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x, 14, (h*(e*g - d*h)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^2*Erfi[(1/n + a*b*f*Log[F] + b^2*f*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]])])/(E^((1 + 2*a*b*f*n*Log[F])/(b^2*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(b*e^3*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])) + ((e*g - d*h)^2*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[(1/n + 2*a*b*f*Log[F] + 2*b^2*f*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*b*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]])])/(E^((1 + 4*a*b*f*n*Log[F])/(4*b^2*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(2*b*e^3*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])) + (h^2*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^3*Erfi[(3/n + 2*a*b*f*Log[F] + 2*b^2*f*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*b*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]])])/(E^((3*(3 + 4*a*b*f*n*Log[F]))/(4*b^2*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(2*b*e^3*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]]))}
+{(g + h*x)^1*F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x, 10, (h*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^2*Erfi[(1/n + a*b*f*Log[F] + b^2*f*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]])])/(E^((1 + 2*a*b*f*n*Log[F])/(b^2*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(2*b*e^2*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]])) + ((e*g - d*h)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[(1/n + 2*a*b*f*Log[F] + 2*b^2*f*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*b*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]])])/(E^((1 + 4*a*b*f*n*Log[F])/(4*b^2*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(2*b*e^2*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]]))}
+{(g + h*x)^0*F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x, 4, (Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[(1/n + 2*a*b*f*Log[F] + 2*b^2*f*Log[F]*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*b*Sqrt[f]*Sqrt[Log[F]])])/(E^((1 + 4*a*b*f*n*Log[F])/(4*b^2*f*n^2*Log[F]))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(2*b*e*Sqrt[f]*n*Sqrt[Log[F]]))}
+{F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(g + h*x)^1, x, 0, Unintegrable[F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(g + h*x), x]}
+{F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(g + h*x)^2, x, 0, Unintegrable[F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(g + h*x)^2, x]}
+{F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(g + h*x)^3, x, 0, Unintegrable[F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(g + h*x)^3, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u F^v D[v,x]*)
+
+
+{F^(a + b*x + c*x^3)*(b + 3*c*x^2), x, 1, F^(a + b*x + c*x^3)/Log[F]}
+{F^(1/(a + b*x + c*x^2))*(b + 2*c*x)/(a + b*x + c*x^2)^2, x, 1, -(F^(1/(a + b*x + c*x^2))/Log[F])}
+
+
+{E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^m*(b + 2*c*x), x, 2, ((a + b*x + c*x^2)^m*Gamma[1 + m, -a - b*x - c*x^2])/(-a - b*x - c*x^2)^m}
+
+{E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^3*(b + 2*c*x), x, 5, -6*E^(a + b*x + c*x^2) + 6*E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2) - 3*E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^2 + E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^3}
+{E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^2*(b + 2*c*x), x, 4, 2*E^(a + b*x + c*x^2) - 2*E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2) + E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^2}
+{E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^1*(b + 2*c*x), x, 3, -E^(a + b*x + c*x^2) + E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)}
+{E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^0*(b + 2*c*x), x, 1, E^(a + b*x + c*x^2)}
+{E^(a + b*x + c*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^1*(b + 2*c*x), x, 2, ExpIntegralEi[a + b*x + c*x^2]}
+{E^(a + b*x + c*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^2*(b + 2*c*x), x, 3, -(E^(a + b*x + c*x^2)/(a + b*x + c*x^2)) + ExpIntegralEi[a + b*x + c*x^2]}
+{E^(a + b*x + c*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^3*(b + 2*c*x), x, 4, -(E^(a + b*x + c*x^2)/(2*(a + b*x + c*x^2)^2)) - E^(a + b*x + c*x^2)/(2*(a + b*x + c*x^2)) + (1/2)*ExpIntegralEi[a + b*x + c*x^2]}
+
+
+{E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2)*(b + 2*c*x), x, 7, (-(105/8))*E^(a + b*x + c*x^2)*Sqrt[a + b*x + c*x^2] + (35/4)*E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2) - (7/2)*E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2) + E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2) + (105/16)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*x + c*x^2]]}
+{E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)*(b + 2*c*x), x, 6, (15/4)*E^(a + b*x + c*x^2)*Sqrt[a + b*x + c*x^2] - (5/2)*E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2) + E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2) - (15/8)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*x + c*x^2]]}
+{E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)*(b + 2*c*x), x, 5, (-(3/2))*E^(a + b*x + c*x^2)*Sqrt[a + b*x + c*x^2] + E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2) + (3/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*x + c*x^2]]}
+{E^(a + b*x + c*x^2)*(a + b*x + c*x^2)^(1/2)*(b + 2*c*x), x, 4, E^(a + b*x + c*x^2)*Sqrt[a + b*x + c*x^2] - (1/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*x + c*x^2]]}
+{E^(a + b*x + c*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^(1/2)*(b + 2*c*x), x, 3, Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*x + c*x^2]]}
+{E^(a + b*x + c*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^(3/2)*(b + 2*c*x), x, 4, -((2*E^(a + b*x + c*x^2))/Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + 2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*x + c*x^2]]}
+{E^(a + b*x + c*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^(5/2)*(b + 2*c*x), x, 5, -((2*E^(a + b*x + c*x^2))/(3*(a + b*x + c*x^2)^(3/2))) - (4*E^(a + b*x + c*x^2))/(3*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (4/3)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*x + c*x^2]]}
+{E^(a + b*x + c*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^(7/2)*(b + 2*c*x), x, 6, -((2*E^(a + b*x + c*x^2))/(5*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))) - (4*E^(a + b*x + c*x^2))/(15*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)) - (8*E^(a + b*x + c*x^2))/(15*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (8/15)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*x + c*x^2]]}
+{E^(a + b*x + c*x^2)/(a + b*x + c*x^2)^(9/2)*(b + 2*c*x), x, 7, -((2*E^(a + b*x + c*x^2))/(7*(a + b*x + c*x^2)^(7/2))) - (4*E^(a + b*x + c*x^2))/(35*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)) - (8*E^(a + b*x + c*x^2))/(105*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)) - (16*E^(a + b*x + c*x^2))/(105*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (16/105)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*x + c*x^2]]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Problems from Calculus textbooks*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Anton Calculus, 4th Edition*)
+
+
+{1/(E^x*Sqrt[1 - E^(-2*x)]), x, 2, -ArcSin[E^(-x)]}
+{E^x/(4 + E^(2*x)), x, 2, ArcTan[E^x/2]/2}
+{E^x/(1 - E^(2*x)), x, 2, ArcTanh[E^x]}
+{E^x/(3 - 4*E^(2*x)), x, 2, ArcTanh[(2*E^x)/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3])}
+{E^x*Sqrt[3 - 4*E^(2*x)], x, 3, (1/2)*E^x*Sqrt[3 - 4*E^(2*x)] + (3/4)*ArcSin[(2*E^x)/Sqrt[3]]}
+{E^x^2*x^3, x, 2, -(E^x^2/2) + (1/2)*E^x^2*x^2}
+{E^x*Sqrt[1 - E^(2*x)], x, 3, (1/2)*E^x*Sqrt[1 - E^(2*x)] + ArcSin[E^x]/2}
+{E^x/Sqrt[1 + E^x + E^(2*x)], x, 3, ArcSinh[(1 + 2*E^x)/Sqrt[3]]}
+{E^x/(-4 + E^(2*x)), x, 2, -ArcTanh[E^x/2]/2}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Ayres Calculus, 1964 edition*)
+
+
+{E^(2 - x^2)*x, x, 1, -E^(2 - x^2)/2}
+{E^x - x^E, x, 2, E^x - x^(1 + E)/(1 + E)}
+{(-1 + E^(2*x))/(3 + E^(2*x)), x, 3, -(x/3) + (2/3)*Log[3 + E^(2*x)]}
+{E^x/Sqrt[1 - E^(2*x)], x, 2, ArcSin[E^x]}
+{E^(2*x)/(1 + E^(4*x)), x, 2, ArcTan[E^(2*x)]/2}
+{1/(-3*E^x + E^(2*x)), x, 3, 1/(E^x*3) - x/9 + (1/9)*Log[3 - E^x]}
+{(E^x*(-2 + E^x))/(1 + E^x), x, 3, E^x - 3*Log[1 + E^x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Edwards and Penney Calculus*)
+
+
+{E^x/(-1 + E^(2*x)), x, 2, -ArcTanh[E^x]}
+{E^x/(1 + E^(2*x)), x, 2, ArcTan[E^x]}
+{(E^(-x) + E^x)/(-E^(-x) + E^x), x, 4, Log[E^(-x) - E^x], -x + Log[1 - E^(2*x)]}
+{(-E^(-x) + E^x)/(E^(-x) + E^x), x, 4, Log[E^(-x) + E^x], -x + Log[1 + E^(2*x)]}
+{(E^(-2*x) + E^(2*x))/(-E^(-2*x) + E^(2*x)), x, 4, -x + (1/2)*Log[1 - E^(4*x)]}
+{E^x/Sqrt[1 + E^(2*x)], x, 2, ArcSinh[E^x]}
+{E^Sqrt[4 + x]/Sqrt[4 + x], x, 1, 2*E^Sqrt[4 + x]}
+{x/Sqrt[-1 + E^(2*x^2)], x, 4, ArcTan[Sqrt[-1 + E^(2*x^2)]]/2}
+{E^x*Sqrt[9 + E^(2*x)], x, 3, (1/2)*E^x*Sqrt[9 + E^(2*x)] + (9/2)*ArcSinh[E^x/3]}
+{E^x*Sqrt[1 + E^(2*x)], x, 3, (1/2)*E^x*Sqrt[1 + E^(2*x)] + ArcSinh[E^x]/2}
+{(E^x^2*x)/(1 + E^(2*x^2)), x, 3, ArcTan[E^x^2]/2}
+{E^x^(3/2)*x^2, x, 3, (-(2/3))*E^x^(3/2) + (2/3)*E^x^(3/2)*x^(3/2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Grossman Calculus*)
+
+
+{E^x/Sqrt[-3 + E^(2*x)], x, 3, ArcTanh[E^x/Sqrt[-3 + E^(2*x)]]}
+{E^x/(16 - E^(2*x)), x, 2, ArcTanh[E^x/4]/4}
+{E^(5*x)/(1 + E^(10*x)), x, 2, ArcTan[E^(5*x)]/5}
+{E^(4*x)/Sqrt[16 + E^(8*x)], x, 2, ArcSinh[E^(4*x)/4]/4}
+{E^(4*x^3)*x^2*Cos[7*x^3], x, 2, (4/195)*E^(4*x^3)*Cos[7*x^3] + (7/195)*E^(4*x^3)*Sin[7*x^3]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Hughes, Hallet, Gleason, et al Calculus, 2nd Edition*)
+
+
+{E^(1 + x^2)*x, x, 1, E^(1 + x^2)/2}
+{E^(1 + x^3)*x^2, x, 1, E^(1 + x^3)/3}
+{E^Sqrt[x]/Sqrt[x], x, 1, 2*E^Sqrt[x]}
+{E^x^(1/3)/x^(2/3), x, 1, 3*E^x^(1/3)}
+{E^(3*x)*(-8 + 2*x^3 + x^5), x, 13, -((724*E^(3*x))/243) + (76/81)*E^(3*x)*x - (38/27)*E^(3*x)*x^2 + (38/27)*E^(3*x)*x^3 - (5/9)*E^(3*x)*x^4 + (1/3)*E^(3*x)*x^5}
+{(E^x + x)^2, x, 5, -2*E^x + E^(2*x)/2 + 2*E^x*x + x^3/3}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Spivak Calculus*)
+
+
+{(E^x + E^(2*x) + E^(3*x))/E^(4*x), x, 3, -(1/3)/E^(3*x) - 1/(E^(2*x)*2) - E^(-x)}
+{E^x/(1 + 2*E^x + E^(2*x)), x, 2, -(1 + E^x)^(-1)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Stewart Calculus*)
+
+
+{Cos[3*x]/E^x, x, 1, ((-(1/10))*Cos[3*x])/E^x + ((3/10)*Sin[3*x])/E^x}
+{E^(2*x)/(2 + 3*E^x + E^(2*x)), x, 4, -Log[1 + E^x] + 2*Log[2 + E^x]}
+{E^(2*x)/(1 + E^x), x, 3, E^x - Log[1 + E^x]}
+{E^(3*x)*Cos[5*x], x, 1, (3/34)*E^(3*x)*Cos[5*x] + (5/34)*E^(3*x)*Sin[5*x]}
+{E^x*Sech[E^x], x, 2, ArcTan[Sinh[E^x]]}
+{1/(E^x*(1 + 2*E^x)), x, 3, -E^(-x) - 2*x + 2*Log[1 + 2*E^x]}
+{E^x*Cos[4 + 3*x], x, 1, (1/10)*E^x*Cos[4 + 3*x] + (3/10)*E^x*Sin[4 + 3*x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Thomas Calculus, 8th Edition*)
+
+
+{E^x*Sec[1 - E^x]^3, x, 3, (-(1/2))*ArcTanh[Sin[1 - E^x]] - (1/2)*Sec[1 - E^x]*Tan[1 - E^x]}
+{(E^(-x) + E^x)*x, x, 6, -E^(-x) - E^x - x/E^x + E^x*x}
+{E^x/(2 + 3*E^x + E^(2*x)), x, 4, Log[1 + E^x] - Log[2 + E^x]}
+{E^(2*x)/(1 + E^x)^(1/3), x, 3, (-(3/2))*(1 + E^x)^(2/3) + (3/5)*(1 + E^x)^(5/3)}
+{E^(2*x)/(1 + E^x)^(1/4), x, 3, (-(4/3))*(1 + E^x)^(3/4) + (4/7)*(1 + E^x)^(7/4)}
+{(-E^x + 2*E^(2*x))/Sqrt[-1 - 6*E^x + 3*E^(2*x)], x, 4, (2/3)*Sqrt[-1 - 6*E^x + 3*E^(2*x)] - ArcTanh[(Sqrt[3]*(1 - E^x))/Sqrt[-1 - 6*E^x + 3*E^(2*x)]]/Sqrt[3]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Problems from integration competitions*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*MIT Integration Competition*)
+
+
+{E^x*(-5*x + x^2), x, 8, 7*E^x - 7*E^x*x + E^x*x^2}
+{E^(3*x)*(-x + x^2), x, 8, (5*E^(3*x))/27 - (5/9)*E^(3*x)*x + (1/3)*E^(3*x)*x^2}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*University of Wisconsin Integration Competition*)
+
+
+{E^x^x*x^(2*x)*(1 + Log[x]), x, -2, E^x^x*(-1 + x^x)}
+{(E^(5*x) + E^(7*x))/(E^(-x) + E^x), x, 2, E^(6*x)/6}
+{x^(-2 - x^(-1))*(1 - Log[x]), x, -2, -x^(-x^(-1))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Miscellaneous problems*)
+
+
+(* Note: Apart should NOT be used to expand integrands of this form! *)
+{(a + b*E^x)^2, x, 3, 2*a*b*E^x + (1/2)*b^2*E^(2*x) + a^2*x}
+{(a + b*E^x)^3, x, 3, 3*a^2*b*E^x + (3/2)*a*b^2*E^(2*x) + (1/3)*b^3*E^(3*x) + a^3*x}
+{(a + b*E^x)^4, x, 3, 4*a^3*b*E^x + 3*a^2*b^2*E^(2*x) + (4/3)*a*b^3*E^(3*x) + (1/4)*b^4*E^(4*x) + a^4*x}
+
+{1/Sqrt[a + b*E^(c + d*x)], x, 3, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*E^(c + d*x)]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d))}
+{1/Sqrt[-a + b*E^(c + d*x)], x, 3, (2*ArcTan[Sqrt[-a + b*E^(c + d*x)]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d)}
+
+{Sqrt[a + b*E^(c + d*x)], x, 4, (2*Sqrt[a + b*E^(c + d*x)])/d - (2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*E^(c + d*x)]/Sqrt[a]])/d}
+{Sqrt[-a + b*E^(c + d*x)], x, 4, (2*Sqrt[-a + b*E^(c + d*x)])/d - (2*Sqrt[a]*ArcTan[Sqrt[-a + b*E^(c + d*x)]/Sqrt[a]])/d}
+
+
+{E^(6*x)*Sin[3*x], x, 1, (-(1/15))*E^(6*x)*Cos[3*x] + (2/15)*E^(6*x)*Sin[3*x]}
+{E^(3*x)/(1 + E^(2*x)), x, 3, E^x - ArcTan[E^x]}
+{E^(3*x)/(-1 + E^(2*x)), x, 3, E^x - ArcTanh[E^x]}
+{1/(E^x*Sqrt[1 + E^(2*x)]), x, 2, -(Sqrt[1 + E^(2*x)]/E^x)}
+
+
+{E^x/(-1 - 8*E^x + E^(2*x)), x, 3, ArcTanh[(4 - E^x)/Sqrt[17]]/Sqrt[17]}
+{E^(7*x)*x^3, x, 4, -((6*E^(7*x))/2401) + (6/343)*E^(7*x)*x - (3/49)*E^(7*x)*x^2 + (1/7)*E^(7*x)*x^3}
+{E^(8 - 2*x)*x^3, x, 4, (-(3/8))*E^(8 - 2*x) - (3/4)*E^(8 - 2*x)*x - (3/4)*E^(8 - 2*x)*x^2 - (1/2)*E^(8 - 2*x)*x^3}
+{E^x*Sqrt[9 - E^(2*x)], x, 3, (1/2)*E^x*Sqrt[9 - E^(2*x)] + (9/2)*ArcSin[E^x/3]}
+{E^(6*x)*Sqrt[9 - E^(2*x)], x, 3, -27*(9 - E^(2*x))^(3/2) + (18/5)*(9 - E^(2*x))^(5/2) - (1/7)*(9 - E^(2*x))^(7/2)}
+{E^(6*x)/(9 - E^x)^(5/2), x, 3, 39366/(9 - E^x)^(3/2) - 65610/Sqrt[9 - E^x] - 14580*Sqrt[9 - E^x] + 540*(9 - E^x)^(3/2) - 18*(9 - E^x)^(5/2) + (2/7)*(9 - E^x)^(7/2)}
+{(2 - 7*E^x^4)^5*x^3, x, 4, -140*E^x^4 + 490*E^(2*x^4) - (3430*E^(3*x^4))/3 + (12005*E^(4*x^4))/8 - (16807*E^(5*x^4))/20 + 8*x^4}
+{E^x^2*Sqrt[1 - E^(2*x^2)]*x, x, 4, (1/4)*E^x^2*Sqrt[1 - E^(2*x^2)] + (1/4)*ArcSin[E^x^2]}
+{E^x^3*(1 - E^(4*x^3))^2*x^2, x, 4, E^x^3/3 - (2*E^(5*x^3))/15 + E^(9*x^3)/27}
+{E^(E^x + x), x, 2, E^E^x}
+{E^(E^E^x + E^x + x), x, 3, E^E^E^x}
+
+
+{(E^(-x) + E^x)^2, x, 4, -(1/2)/E^(2*x) + E^(2*x)/2 + 2*x}
+{1/(E^(-x) + E^x), x, 2, ArcTan[E^x]}
+{1/(E^(-x) + E^x)^2, x, 2, -1/(2*(1 + E^(2*x)))}
+
+
+{1/(-E^(-x) + E^x), x, 2, -ArcTanh[E^x]}
+{1/(-E^(-x) + E^x)^2, x, 2, 1/(2*(1 - E^(2*x)))}
+
+
+{E^x*(-E^(-x) + E^x)^2, x, 3, -E^(-x) - 2*E^x + E^(3*x)/3}
+{E^x*(-E^(-x) + E^x)^3, x, 4, 1/(E^(2*x)*2) - (3*E^(2*x))/2 + E^(4*x)/4 + 3*x}
+
+
+{(1 + 4^x)/(1 + 2^x), x, 3, x + 2^x/Log[2] - (2*Log[1 + 2^x])/Log[2]}
+{(1 + 4^x)/(1 + 2^(-x)), x, 3, -(2^x/Log[2]) + 2^(-1 + 2*x)/Log[2] + (2*Log[1 + 2^x])/Log[2]}
+
+{E^(a + x)^2/x^2 - (2*a*E^(a + x)^2)/x, x, 3, -(E^(a + x)^2/x) + Sqrt[Pi]*Erfi[a + x]}
+{(x^4 + x^6 + x^8)/E^x^2, x, 15, ((-(147/16))*x)/E^x^2 - ((49/8)*x^3)/E^x^2 - ((9/4)*x^5)/E^x^2 - ((1/2)*x^7)/E^x^2 + (147/32)*Sqrt[Pi]*Erf[x]}
+
+{1/(-E^x + E^(3*x)), x, 3, E^(-x) - ArcTanh[E^x]}
+{(E^x*(-5 + x + x^2))/(-1 + x)^2, x, 6, E^x - (3*E^x)/(1 - x)}
+{(E^x^2*x^3)/(1 + x^2)^2, x, 1, E^x^2/(2*(1 + x^2))}
+{E^(3*x)/Sqrt[25 + 16*E^(2*x)], x, 3, (1/32)*E^x*Sqrt[25 + 16*E^(2*x)] - (25/128)*ArcSinh[(4*E^x)/5]}
+
+(* {E^(a + b*x + c*x^2)/(d + e*x)^2, x, 0} *)
+{(1 + E^x)/Sqrt[E^x + x], x, 1, 2*Sqrt[E^x + x]}
+{(1 + E^x)/(E^x + x), x, 1, Log[E^x + x]}
+{E^x^2/x^2, x, 2, -(E^x^2/x) + Sqrt[Pi]*Erfi[x]}
+{(E^x^2*(1 + 4*x^4))/x^2, x, 6, -(E^x^2/x) + 2*E^x^2*x}
+
+{Sqrt[f^x]*(a + b*x)^2, x, 3, (16*b^2*Sqrt[f^x])/Log[f]^3 - (8*b*Sqrt[f^x]*(a + b*x))/Log[f]^2 + (2*Sqrt[f^x]*(a + b*x)^2)/Log[f]}
+
+{3^(1 + x^2)*x, x, 1, 3^(1 + x^2)/(2*Log[3])}
+{2^Sqrt[x]/Sqrt[x], x, 1, 2^(1 + Sqrt[x])/Log[2]}
+{2^x^(-1)/x^2, x, 1, -(2^x^(-1)/Log[2])}
+{2^(-x) + 2^x, x, 3, -(1/(2^x*Log[2])) + 2^x/Log[2]}
+{(2 - 3*x + x^2)/E^(4*x), x, 8, -(11/32)/E^(4*x) + ((5/8)*x)/E^(4*x) - ((1/4)*x^2)/E^(4*x)}
+{k^(x/2) + x^Sqrt[k], x, 2, x^(1 + Sqrt[k])/(1 + Sqrt[k]) + (2*k^(x/2))/Log[k]}
+{10^Sqrt[x]/Sqrt[x], x, 1, (2^(1 + Sqrt[x])*5^Sqrt[x])/Log[10]}
+
+
+(* Problems requiring simplification of irreducible integrands *)
+{E^x/(E^x + x)^(1/2) + 1/Sqrt[E^x + x], x, 2, 2*Sqrt[E^x + x]}
+{((1 + E^x)*x)/Sqrt[E^x + x] + 2*Sqrt[E^x + x], x, 6, 2*x*Sqrt[E^x + x]}
+{x/Sqrt[E^x + x] + (E^x*x)/Sqrt[E^x + x] + 2*Sqrt[E^x + x], x, 4, 2*x*Sqrt[E^x + x]}
+{((1 + E^x)*x)/Sqrt[E^x + x], x, 5, 2*x*Sqrt[E^x + x] - 2*CannotIntegrate[Sqrt[E^x + x], x]}
+{x/Sqrt[E^x + x] + (E^x*x)/Sqrt[E^x + x], x, 4, 2*x*Sqrt[E^x + x] - 2*CannotIntegrate[Sqrt[E^x + x], x]}
+{x*E^x/Sqrt[E^x + x], x, 2, 2*Sqrt[E^x + x] + 2*x*Sqrt[E^x + x] - CannotIntegrate[1/Sqrt[E^x + x], x] - 3*CannotIntegrate[Sqrt[E^x + x], x]}
+
+{(x^2*(5*E^x + 3*x^2))/(5*Sqrt[5*E^x + x^3]) + (4/5)*x*Sqrt[5*E^x + x^3], x, 4, (2/5)*x^2*Sqrt[5*E^x + x^3]}
+{x^2*E^x/Sqrt[5*E^x + x^3], x, 1, (2/5)*x^2*Sqrt[5*E^x + x^3] - (3/5)*CannotIntegrate[x^4/Sqrt[5*E^x + x^3], x] - (4/5)*CannotIntegrate[x*Sqrt[5*E^x + x^3], x]}
+
+{-((1 + E^x)/(E^x + x)^(1/3)), x, 1, (-(3/2))*(E^x + x)^(2/3)}
+{-(1/(E^x + x)^(1/3)) + x/(E^x + x)^(1/3) - (E^x + x)^(2/3), x, 2, (-(3/2))*(E^x + x)^(2/3)}
+{x/(E^x + x)^(1/3), x, 1, (-(3/2))*(E^x + x)^(2/3) + CannotIntegrate[1/(E^x + x)^(1/3), x] + CannotIntegrate[(E^x + x)^(2/3), x]}
+
+{(5*x + E^x*(3 + 2*x))/(E^x + x)^(1/3), x, 8, 3*x*(E^x + x)^(2/3)}
+{(2*x)/(E^x + x)^(1/3) + (2*E^x*x)/(E^x + x)^(1/3) + 3*(E^x + x)^(2/3), x, 4, 3*x*(E^x + x)^(2/3)}
+
+
+{E^x*(-E^(-x) + E^x)*(E^(-x) + E^x)^2, x, 3, 1/(E^(2*x)*2) + E^(2*x)/2 + E^(4*x)/4 - x}
+
+
+(* Unwise expansion leads to infinite recursion *)
+{x/(E^x + x), x, 0, CannotIntegrate[x/(E^x + x), x]}
+{x^2/Sqrt[E^x + x], x, 0, CannotIntegrate[x^2/Sqrt[E^x + x], x]}
+{E^x/(E^x + x), x, 0, CannotIntegrate[E^x/(E^x + x), x]}
+{E^x/(E^x + x^2), x, 0, CannotIntegrate[E^x/(E^x + x^2), x]}
+
+{F0[x]/(F0[x] + x), x, 2, x - CannotIntegrate[x/(x + F0[x]), x]}
+{F0[x]/(F0[x] + x^2), x, 2, x - CannotIntegrate[x^2/(x^2 + F0[x]), x]}
+{F0[x]/(F0[x] + x)^2, x, 2, -CannotIntegrate[x/(x + F0[x])^2, x] + CannotIntegrate[1/(x + F0[x]), x]}
+{F0[x]/(F0[x] + x^2)^2, x, 2, -CannotIntegrate[x^2/(x^2 + F0[x])^2, x] + CannotIntegrate[1/(x^2 + F0[x]), x]}
+
+
+{(a*F^(c + d*x))^m*(b*F^(e + f*x))^n, x, 4, ((a*F^(c + d*x))^m*(b*F^(e + f*x))^n)/((d*m + f*n)*Log[F])}
+
+
+{E^(a + b*x^n)*E^(c + d*x^n), x, 2, -((E^(a + c)*x*Gamma[1/n, -((b + d)*x^n)])/((-((b + d)*x^n))^n^(-1)*n))}
+{f^(a + b*x^n)*g^(c + d*x^n), x, 2, -((f^a*g^c*x*Gamma[1/n, (-x^n)*(b*Log[f] + d*Log[g])])/(((-x^n)*(b*Log[f] + d*Log[g]))^n^(-1)*n))}
+
+
+{x^m*E^(x^n), x, 1, -((x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, -x^n])/((-x^n)^((1 + m)/n)*n))}
+{x^m*f^(x^n), x, 1, -((x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, (-x^n)*Log[f]])/(((-x^n)*Log[f])^((1 + m)/n)*n))}
+
+{(a + b*x)^m*E^((a + b*x)^n), x, 1, -(((a + b*x)^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, -(a + b*x)^n])/((-(a + b*x)^n)^((1 + m)/n)*(b*n)))}
+{(a + b*x)^m*f^((a + b*x)^n), x, 1, -(((a + b*x)^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, (-(a + b*x)^n)*Log[f]])/(((-(a + b*x)^n)*Log[f])^((1 + m)/n)*(b*n)))}
+
+
+(* Contributed by Oleg Marichev, Wolfram Research *)
+{x*E^(a + b*x)^3, x, 4, (a*(a + b*x)*Gamma[1/3, -(a + b*x)^3])/(3*b^2*(-(a + b*x)^3)^(1/3)) - ((a + b*x)^2*Gamma[2/3, -(a + b*x)^3])/(3*b^2*(-(a + b*x)^3)^(2/3))}
+
+
+(* Problem posted on Maple Primes on 1 June 2017 *)
+{(5*x^2 + 3*(x + E^x)^(1/3) + E^x*(2*x^2 + 3*x))/(x*(x + E^x)^(1/3)), x, 8, 3*x*(E^x + x)^(2/3) + 3*Log[x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.1.2 (d x)^m (a+b log(c x^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.1.2 (d x)^m (a+b log(c x^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..f40cce66
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.1.2 (d x)^m (a+b log(c x^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,324 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Log[c x]^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*Log[c*x], x, 1, -x^4/16 + (x^4*Log[c*x])/4}
+{x^2*Log[c*x], x, 1, -x^3/9 + (x^3*Log[c*x])/3}
+{x^1*Log[c*x], x, 1, -x^2/4 + (x^2*Log[c*x])/2}
+{x^0*Log[c*x], x, 1, -x + x*Log[c*x]}
+{Log[c*x]/x^1, x, 1, Log[c*x]^2/2}
+{Log[c*x]/x^2, x, 1, -x^(-1) - Log[c*x]/x}
+{Log[c*x]/x^3, x, 1, -1/(4*x^2) - Log[c*x]/(2*x^2)}
+
+
+{x^3*Log[c*x]^2, x, 2, x^4/32 - (x^4*Log[c*x])/8 + (x^4*Log[c*x]^2)/4}
+{x^2*Log[c*x]^2, x, 2, (2*x^3)/27 - (2*x^3*Log[c*x])/9 + (x^3*Log[c*x]^2)/3}
+{x^1*Log[c*x]^2, x, 2, x^2/4 - (x^2*Log[c*x])/2 + (x^2*Log[c*x]^2)/2}
+{x^0*Log[c*x]^2, x, 2, 2*x - 2*x*Log[c*x] + x*Log[c*x]^2}
+{Log[c*x]^2/x^1, x, 2, Log[c*x]^3/3}
+{Log[c*x]^2/x^2, x, 2, -2/x - (2*Log[c*x])/x - Log[c*x]^2/x}
+{Log[c*x]^2/x^3, x, 2, -1/(4*x^2) - Log[c*x]/(2*x^2) - Log[c*x]^2/(2*x^2)}
+
+
+{x^3*Log[c*x]^3, x, 3, (-3*x^4)/128 + (3*x^4*Log[c*x])/32 - (3*x^4*Log[c*x]^2)/16 + (x^4*Log[c*x]^3)/4}
+{x^2*Log[c*x]^3, x, 3, (-2*x^3)/27 + (2*x^3*Log[c*x])/9 - (x^3*Log[c*x]^2)/3 + (x^3*Log[c*x]^3)/3}
+{x^1*Log[c*x]^3, x, 3, (-3*x^2)/8 + (3*x^2*Log[c*x])/4 - (3*x^2*Log[c*x]^2)/4 + (x^2*Log[c*x]^3)/2}
+{x^0*Log[c*x]^3, x, 3, -6*x + 6*x*Log[c*x] - 3*x*Log[c*x]^2 + x*Log[c*x]^3}
+{Log[c*x]^3/x^1, x, 2, Log[c*x]^4/4}
+{Log[c*x]^3/x^2, x, 3, -6/x - (6*Log[c*x])/x - (3*Log[c*x]^2)/x - Log[c*x]^3/x}
+{Log[c*x]^3/x^3, x, 3, -3/(8*x^2) - (3*Log[c*x])/(4*x^2) - (3*Log[c*x]^2)/(4*x^2) - Log[c*x]^3/(2*x^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3/Log[c*x], x, 2, ExpIntegralEi[4*Log[c*x]]/c^4}
+{x^2/Log[c*x], x, 2, ExpIntegralEi[3*Log[c*x]]/c^3}
+{x^1/Log[c*x], x, 2, ExpIntegralEi[2*Log[c*x]]/c^2}
+{x^0/Log[c*x], x, 1, LogIntegral[c*x]/c}
+{1/(x^1*Log[c*x]), x, 2, Log[Log[c*x]]}
+{1/(x^2*Log[c*x]), x, 2, c*ExpIntegralEi[-Log[c*x]]}
+{1/(x^3*Log[c*x]), x, 2, c^2*ExpIntegralEi[-2*Log[c*x]]}
+
+
+{x^3/Log[c*x]^2, x, 3, (4*ExpIntegralEi[4*Log[c*x]])/c^4 - x^4/Log[c*x]}
+{x^2/Log[c*x]^2, x, 3, (3*ExpIntegralEi[3*Log[c*x]])/c^3 - x^3/Log[c*x]}
+{x^1/Log[c*x]^2, x, 3, (2*ExpIntegralEi[2*Log[c*x]])/c^2 - x^2/Log[c*x]}
+{x^0/Log[c*x]^2, x, 2, -(x/Log[c*x]) + LogIntegral[c*x]/c}
+{1/(x^1*Log[c*x]^2), x, 2, -Log[c*x]^(-1)}
+{1/(x^2*Log[c*x]^2), x, 3, -(c*ExpIntegralEi[-Log[c*x]]) - 1/(x*Log[c*x])}
+{1/(x^3*Log[c*x]^2), x, 3, -2*c^2*ExpIntegralEi[-2*Log[c*x]] - 1/(x^2*Log[c*x])}
+
+
+{x^3/Log[c*x]^3, x, 4, (8*ExpIntegralEi[4*Log[c*x]])/c^4 - x^4/(2*Log[c*x]^2) - (2*x^4)/Log[c*x]}
+{x^2/Log[c*x]^3, x, 4, (9*ExpIntegralEi[3*Log[c*x]])/(2*c^3) - x^3/(2*Log[c*x]^2) - (3*x^3)/(2*Log[c*x])}
+{x^1/Log[c*x]^3, x, 4, (2*ExpIntegralEi[2*Log[c*x]])/c^2 - x^2/(2*Log[c*x]^2) - x^2/Log[c*x]}
+{x^0/Log[c*x]^3, x, 3, -(x/(2*Log[c*x]^2)) - x/(2*Log[c*x]) + LogIntegral[c*x]/(2*c)}
+{1/(x^1*Log[c*x]^3), x, 2, -1/(2*Log[c*x]^2)}
+{1/(x^2*Log[c*x]^3), x, 4, (1/2)*c*ExpIntegralEi[-Log[c*x]] - 1/(2*x*Log[c*x]^2) + 1/(2*x*Log[c*x])}
+{1/(x^3*Log[c*x]^3), x, 4, 2*c^2*ExpIntegralEi[-2*Log[c*x]] - 1/(2*x^2*Log[c*x]^2) + 1/(x^2*Log[c*x])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 1, -(b*n*x^4)/16 + (x^4*(a + b*Log[c*x^n]))/4}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 1, -(b*n*x^3)/9 + (x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/3}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n]), x, 1, -(b*n*x^2)/4 + (x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/2}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, a*x - b*n*x + b*x*Log[c*x^n]}
+{(a + b*Log[c*x^n])/x^1, x, 1, (a + b*Log[c*x^n])^2/(2*b*n)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/x^2, x, 1, -((b*n)/x) - (a + b*Log[c*x^n])/x}
+{(a + b*Log[c*x^n])/x^3, x, 1, -(b*n)/(4*x^2) - (a + b*Log[c*x^n])/(2*x^2)}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 2, (b^2*n^2*x^4)/32 - (b*n*x^4*(a + b*Log[c*x^n]))/8 + (x^4*(a + b*Log[c*x^n])^2)/4}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 2, (2*b^2*n^2*x^3)/27 - (2*b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/9 + (x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2)/3}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 2, (b^2*n^2*x^2)/4 - (b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/2 + (x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/2}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 3, -2*a*b*n*x + 2*b^2*n^2*x - 2*b^2*n*x*Log[c*x^n] + x*(a + b*Log[c*x^n])^2}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/x^1, x, 2, (a + b*Log[c*x^n])^3/(3*b*n)}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/x^2, x, 2, (-2*b^2*n^2)/x - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n]))/x - (a + b*Log[c*x^n])^2/x}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/x^3, x, 2, -(b^2*n^2)/(4*x^2) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (a + b*Log[c*x^n])^2/(2*x^2)}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 3, (-3*b^3*n^3*x^4)/128 + (3*b^2*n^2*x^4*(a + b*Log[c*x^n]))/32 - (3*b*n*x^4*(a + b*Log[c*x^n])^2)/16 + (x^4*(a + b*Log[c*x^n])^3)/4}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 3, (-2*b^3*n^3*x^3)/27 + (2*b^2*n^2*x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/9 - (b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2)/3 + (x^3*(a + b*Log[c*x^n])^3)/3}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 3, (-3*b^3*n^3*x^2)/8 + (3*b^2*n^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/4 - (3*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/4 + (x^2*(a + b*Log[c*x^n])^3)/2}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 4, 6*a*b^2*n^2*x - 6*b^3*n^3*x + 6*b^3*n^2*x*Log[c*x^n] - 3*b*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2 + x*(a + b*Log[c*x^n])^3}
+{(a + b*Log[c*x^n])^3/x^1, x, 2, (a + b*Log[c*x^n])^4/(4*b*n)}
+{(a + b*Log[c*x^n])^3/x^2, x, 3, (-6*b^3*n^3)/x - (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2)/x - (a + b*Log[c*x^n])^3/x}
+{(a + b*Log[c*x^n])^3/x^3, x, 3, (-3*b^3*n^3)/(8*x^2) - (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*x^2) - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*x^2) - (a + b*Log[c*x^n])^3/(2*x^2)}
+{(a + b*Log[c*x^n])^3/x^4, x, 3, (-2*b^3*n^3)/(27*x^3) - (2*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*x^3) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*x^3) - (a + b*Log[c*x^n])^3/(3*x^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3/(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, (x^4*ExpIntegralEi[(4*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(b*E^((4*a)/(b*n))*n*(c*x^n)^(4/n))}
+{x^2/(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, (x^3*ExpIntegralEi[(3*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(b*E^((3*a)/(b*n))*n*(c*x^n)^(3/n))}
+{x^1/(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, (x^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(b*E^((2*a)/(b*n))*n*(c*x^n)^(2/n))}
+{x^0/(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, (x*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*x^n])/(b*n)])/(b*E^(a/(b*n))*n*(c*x^n)^n^(-1))}
+{1/(x^1*(a + b*Log[c*x^n])), x, 2, Log[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n)}
+{1/(x^2*(a + b*Log[c*x^n])), x, 2, (E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)*ExpIntegralEi[-((a + b*Log[c*x^n])/(b*n))])/(b*n*x)}
+{1/(x^3*(a + b*Log[c*x^n])), x, 2, (E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*ExpIntegralEi[(-2*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(b*n*x^2)}
+{1/(x^4*(a + b*Log[c*x^n])), x, 2, (E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)*ExpIntegralEi[(-3*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(b*n*x^3)}
+
+
+{x^3/(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 3, (4*x^4*ExpIntegralEi[(4*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(b^2*E^((4*a)/(b*n))*n^2*(c*x^n)^(4/n)) - x^4/(b*n*(a + b*Log[c*x^n]))}
+{x^2/(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 3, (3*x^3*ExpIntegralEi[(3*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(b^2*E^((3*a)/(b*n))*n^2*(c*x^n)^(3/n)) - x^3/(b*n*(a + b*Log[c*x^n]))}
+{x^1/(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 3, (2*x^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(b^2*E^((2*a)/(b*n))*n^2*(c*x^n)^(2/n)) - x^2/(b*n*(a + b*Log[c*x^n]))}
+{x^0/(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 3, (x*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*x^n])/(b*n)])/(b^2*E^(a/(b*n))*n^2*(c*x^n)^n^(-1)) - x/(b*n*(a + b*Log[c*x^n]))}
+{1/(x^1*(a + b*Log[c*x^n])^2), x, 2, -(1/(b*n*(a + b*Log[c*x^n])))}
+{1/(x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2), x, 3, -((E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)*ExpIntegralEi[-((a + b*Log[c*x^n])/(b*n))])/(b^2*n^2*x)) - 1/(b*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))}
+{1/(x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2), x, 3, (-2*E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*ExpIntegralEi[(-2*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(b^2*n^2*x^2) - 1/(b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))}
+{1/(x^4*(a + b*Log[c*x^n])^2), x, 3, (-3*E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)*ExpIntegralEi[(-3*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(b^2*n^2*x^3) - 1/(b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n]))}
+
+
+{x^3/(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 4, (8*x^4*ExpIntegralEi[(4*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(b^3*E^((4*a)/(b*n))*n^3*(c*x^n)^(4/n)) - x^4/(2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2) - (2*x^4)/(b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))}
+{x^2/(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 4, (9*x^3*ExpIntegralEi[(3*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(2*b^3*E^((3*a)/(b*n))*n^3*(c*x^n)^(3/n)) - x^3/(2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2) - (3*x^3)/(2*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))}
+{x^1/(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 4, (2*x^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(b^3*E^((2*a)/(b*n))*n^3*(c*x^n)^(2/n)) - x^2/(2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2) - x^2/(b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))}
+{x^0/(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 4, (x*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*x^n])/(b*n)])/(2*b^3*E^(a/(b*n))*n^3*(c*x^n)^n^(-1)) - x/(2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2) - x/(2*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))}
+{1/(x^1*(a + b*Log[c*x^n])^3), x, 2, -1/(2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2)}
+{1/(x^2*(a + b*Log[c*x^n])^3), x, 4, (E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)*ExpIntegralEi[-((a + b*Log[c*x^n])/(b*n))])/(2*b^3*n^3*x) - 1/(2*b*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2) + 1/(2*b^2*n^2*x*(a + b*Log[c*x^n]))}
+{1/(x^3*(a + b*Log[c*x^n])^3), x, 4, (2*E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*ExpIntegralEi[(-2*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(b^3*n^3*x^2) - 1/(2*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2) + 1/(b^2*n^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))}
+{1/(x^4*(a + b*Log[c*x^n])^3), x, 4, (9*E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)*ExpIntegralEi[(-3*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(2*b^3*n^3*x^3) - 1/(2*b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2) + 3/(2*b^2*n^2*x^3*(a + b*Log[c*x^n]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^(m/2) (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(d*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 1, (-4*b*n*(d*x)^(7/2))/(49*d) + (2*(d*x)^(7/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*d)}
+{(d*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 1, (-4*b*n*(d*x)^(5/2))/(25*d) + (2*(d*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*d)}
+{(d*x)^(1/2)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 1, (-4*b*n*(d*x)^(3/2))/(9*d) + (2*(d*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(d*x)^(1/2), x, 1, (-4*b*n*Sqrt[d*x])/d + (2*Sqrt[d*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/d}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(d*x)^(3/2), x, 1, (-4*b*n)/(d*Sqrt[d*x]) - (2*(a + b*Log[c*x^n]))/(d*Sqrt[d*x])}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(d*x)^(5/2), x, 1, (-4*b*n)/(9*d*(d*x)^(3/2)) - (2*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d*(d*x)^(3/2))}
+
+
+{(d*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 2, (16*b^2*n^2*(d*x)^(7/2))/(343*d) - (8*b*n*(d*x)^(7/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(49*d) + (2*(d*x)^(7/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(7*d)}
+{(d*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 2, (16*b^2*n^2*(d*x)^(5/2))/(125*d) - (8*b*n*(d*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(25*d) + (2*(d*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(5*d)}
+{(d*x)^(1/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 2, (16*b^2*n^2*(d*x)^(3/2))/(27*d) - (8*b*n*(d*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*d) + (2*(d*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*d)}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(d*x)^(1/2), x, 2, (16*b^2*n^2*Sqrt[d*x])/d - (8*b*n*Sqrt[d*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/d + (2*Sqrt[d*x]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/d}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(d*x)^(3/2), x, 2, (-16*b^2*n^2)/(d*Sqrt[d*x]) - (8*b*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(d*Sqrt[d*x]) - (2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d*Sqrt[d*x])}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(d*x)^(5/2), x, 2, (-16*b^2*n^2)/(27*d*(d*x)^(3/2)) - (8*b*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*d*(d*x)^(3/2)) - (2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*d*(d*x)^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(d*x)^(5/2)/(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, ((d*x)^(7/2)*ExpIntegralEi[(7*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*b*n)])/(b*d*E^((7*a)/(2*b*n))*n*(c*x^n)^(7/(2*n)))}
+{(d*x)^(3/2)/(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, ((d*x)^(5/2)*ExpIntegralEi[(5*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*b*n)])/(b*d*E^((5*a)/(2*b*n))*n*(c*x^n)^(5/(2*n)))}
+{(d*x)^(1/2)/(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, ((d*x)^(3/2)*ExpIntegralEi[(3*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*b*n)])/(b*d*E^((3*a)/(2*b*n))*n*(c*x^n)^(3/(2*n)))}
+{1/((d*x)^(1/2)*(a + b*Log[c*x^n])), x, 2, (Sqrt[d*x]*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*x^n])/(2*b*n)])/(b*d*E^(a/(2*b*n))*n*(c*x^n)^(1/(2*n)))}
+{1/((d*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])), x, 2, (E^(a/(2*b*n))*(c*x^n)^(1/(2*n))*ExpIntegralEi[-(a + b*Log[c*x^n])/(2*b*n)])/(b*d*n*Sqrt[d*x])}
+{1/((d*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n])), x, 2, (E^((3*a)/(2*b*n))*(c*x^n)^(3/(2*n))*ExpIntegralEi[(-3*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*b*n)])/(b*d*n*(d*x)^(3/2))}
+
+
+{(d*x)^(5/2)/(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 3, (7*(d*x)^(7/2)*ExpIntegralEi[(7*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*b*n)])/(2*b^2*d*E^((7*a)/(2*b*n))*n^2*(c*x^n)^(7/(2*n))) - (d*x)^(7/2)/(b*d*n*(a + b*Log[c*x^n]))}
+{(d*x)^(3/2)/(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 3, (5*(d*x)^(5/2)*ExpIntegralEi[(5*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*b*n)])/(2*b^2*d*E^((5*a)/(2*b*n))*n^2*(c*x^n)^(5/(2*n))) - (d*x)^(5/2)/(b*d*n*(a + b*Log[c*x^n]))}
+{(d*x)^(1/2)/(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 3, (3*(d*x)^(3/2)*ExpIntegralEi[(3*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*b*n)])/(2*b^2*d*E^((3*a)/(2*b*n))*n^2*(c*x^n)^(3/(2*n))) - (d*x)^(3/2)/(b*d*n*(a + b*Log[c*x^n]))}
+{1/((d*x)^(1/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2), x, 3, (Sqrt[d*x]*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*x^n])/(2*b*n)])/(2*b^2*d*E^(a/(2*b*n))*n^2*(c*x^n)^(1/(2*n))) - Sqrt[d*x]/(b*d*n*(a + b*Log[c*x^n]))}
+{1/((d*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2), x, 3, -(E^(a/(2*b*n))*(c*x^n)^(1/(2*n))*ExpIntegralEi[-(a + b*Log[c*x^n])/(2*b*n)])/(2*b^2*d*n^2*Sqrt[d*x]) - 1/(b*d*n*Sqrt[d*x]*(a + b*Log[c*x^n]))}
+{1/((d*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2), x, 3, (-3*E^((3*a)/(2*b*n))*(c*x^n)^(3/(2*n))*ExpIntegralEi[(-3*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*b*n)])/(2*b^2*d*n^2*(d*x)^(3/2)) - 1/(b*d*n*(d*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Log[c x^n])^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(a + b*Log[c*x^n])^(1/2), x, 4, ((-(1/2))*Sqrt[b]*Sqrt[n]*Sqrt[Pi]*x*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*x^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)) + x*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]]}
+
+
+{x^3*Sqrt[Log[a*x^n]], x, 4, ((-(1/16))*Sqrt[n]*Sqrt[Pi]*x^4*Erfi[(2*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/(a*x^n)^(4/n) + (1/4)*x^4*Sqrt[Log[a*x^n]]}
+{x^2*Sqrt[Log[a*x^n]], x, 4, ((-(1/6))*Sqrt[n]*Sqrt[Pi/3]*x^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/(a*x^n)^(3/n) + (1/3)*x^3*Sqrt[Log[a*x^n]]}
+{x^1*Sqrt[Log[a*x^n]], x, 4, ((-(1/4))*Sqrt[n]*Sqrt[Pi/2]*x^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/(a*x^n)^(2/n) + (1/2)*x^2*Sqrt[Log[a*x^n]]}
+{x^0*Sqrt[Log[a*x^n]], x, 4, ((-(1/2))*Sqrt[n]*Sqrt[Pi]*x*Erfi[Sqrt[Log[a*x^n]]/Sqrt[n]])/(a*x^n)^n^(-1) + x*Sqrt[Log[a*x^n]]}
+{Sqrt[Log[a*x^n]]/x^1, x, 2, (2*Log[a*x^n]^(3/2))/(3*n)}
+{Sqrt[Log[a*x^n]]/x^2, x, 4, (Sqrt[n]*Sqrt[Pi]*(a*x^n)^(1/n)*Erf[Sqrt[Log[a*x^n]]/Sqrt[n]])/(2*x) - Sqrt[Log[a*x^n]]/x}
+{Sqrt[Log[a*x^n]]/x^3, x, 4, (Sqrt[n]*Sqrt[Pi/2]*(a*x^n)^(2/n)*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/(4*x^2) - Sqrt[Log[a*x^n]]/(2*x^2)}
+
+
+{x^3*Log[a*x^n]^(3/2), x, 5, ((3/128)*n^(3/2)*Sqrt[Pi]*x^4*Erfi[(2*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/(a*x^n)^(4/n) - (3/32)*n*x^4*Sqrt[Log[a*x^n]] + (1/4)*x^4*Log[a*x^n]^(3/2)}
+{x^2*Log[a*x^n]^(3/2), x, 5, ((1/12)*n^(3/2)*Sqrt[Pi/3]*x^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/(a*x^n)^(3/n) - (1/6)*n*x^3*Sqrt[Log[a*x^n]] + (1/3)*x^3*Log[a*x^n]^(3/2)}
+{x^1*Log[a*x^n]^(3/2), x, 5, ((3/16)*n^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*x^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/(a*x^n)^(2/n) - (3/8)*n*x^2*Sqrt[Log[a*x^n]] + (1/2)*x^2*Log[a*x^n]^(3/2)}
+{x^0*Log[a*x^n]^(3/2), x, 5, ((3/4)*n^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*Erfi[Sqrt[Log[a*x^n]]/Sqrt[n]])/(a*x^n)^n^(-1) - (3/2)*n*x*Sqrt[Log[a*x^n]] + x*Log[a*x^n]^(3/2)}
+{Log[a*x^n]^(3/2)/x^1, x, 2, (2*Log[a*x^n]^(5/2))/(5*n)}
+{Log[a*x^n]^(3/2)/x^2, x, 5, (3*n^(3/2)*Sqrt[Pi]*(a*x^n)^(1/n)*Erf[Sqrt[Log[a*x^n]]/Sqrt[n]])/(4*x) - (3*n*Sqrt[Log[a*x^n]])/(2*x) - Log[a*x^n]^(3/2)/x}
+{Log[a*x^n]^(3/2)/x^3, x, 5, (3*n^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*(a*x^n)^(2/n)*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/(16*x^2) - (3*n*Sqrt[Log[a*x^n]])/(8*x^2) - Log[a*x^n]^(3/2)/(2*x^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3/Sqrt[Log[a*x^n]], x, 3, (Sqrt[Pi]*x^4*Erfi[(2*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/(2*Sqrt[n]*(a*x^n)^(4/n))}
+{x^2/Sqrt[Log[a*x^n]], x, 3, (Sqrt[Pi/3]*x^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/(Sqrt[n]*(a*x^n)^(3/n))}
+{x^1/Sqrt[Log[a*x^n]], x, 3, (Sqrt[Pi/2]*x^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/(Sqrt[n]*(a*x^n)^(2/n))}
+{x^0/Sqrt[Log[a*x^n]], x, 3, (Sqrt[Pi]*x*Erfi[Sqrt[Log[a*x^n]]/Sqrt[n]])/(Sqrt[n]*(a*x^n)^n^(-1))}
+{1/(x^1*Sqrt[Log[a*x^n]]), x, 2, (2*Sqrt[Log[a*x^n]])/n}
+{1/(x^2*Sqrt[Log[a*x^n]]), x, 3, (Sqrt[Pi]*(a*x^n)^n^(-1)*Erf[Sqrt[Log[a*x^n]]/Sqrt[n]])/(Sqrt[n]*x)}
+{1/(x^3*Sqrt[Log[a*x^n]]), x, 3, (Sqrt[Pi/2]*(a*x^n)^(2/n)*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/(Sqrt[n]*x^2)}
+
+
+{x^3/Log[a*x^n]^(3/2), x, 4, (4*Sqrt[Pi]*x^4*Erfi[(2*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/(n^(3/2)*(a*x^n)^(4/n)) - (2*x^4)/(n*Sqrt[Log[a*x^n]])}
+{x^2/Log[a*x^n]^(3/2), x, 4, (2*Sqrt[3*Pi]*x^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/((a*x^n)^(3/n)*n^(3/2)) - (2*x^3)/(n*Sqrt[Log[a*x^n]])}
+{x^1/Log[a*x^n]^(3/2), x, 4, (2*Sqrt[2*Pi]*x^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/((a*x^n)^(2/n)*n^(3/2)) - (2*x^2)/(n*Sqrt[Log[a*x^n]])}
+{x^0/Log[a*x^n]^(3/2), x, 4, (2*Sqrt[Pi]*x*Erfi[Sqrt[Log[a*x^n]]/Sqrt[n]])/(n^(3/2)*(a*x^n)^n^(-1)) - (2*x)/(n*Sqrt[Log[a*x^n]])}
+{1/(x^1*Log[a*x^n]^(3/2)), x, 2, -2/(n*Sqrt[Log[a*x^n]])}
+{1/(x^2*Log[a*x^n]^(3/2)), x, 4, -((2*Sqrt[Pi]*(a*x^n)^(1/n)*Erf[Sqrt[Log[a*x^n]]/Sqrt[n]])/(n^(3/2)*x)) - 2/(n*x*Sqrt[Log[a*x^n]])}
+{1/(x^3*Log[a*x^n]^(3/2)), x, 4, -((2*Sqrt[2*Pi]*(a*x^n)^(2/n)*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/(n^(3/2)*x^2)) - 2/(n*x^2*Sqrt[Log[a*x^n]])}
+
+
+{x^3/Log[a*x^n]^(5/2), x, 5, (32*Sqrt[Pi]*x^4*Erfi[(2*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/((a*x^n)^(4/n)*(3*n^(5/2))) - (2*x^4)/(3*n*Log[a*x^n]^(3/2)) - (16*x^4)/(3*n^2*Sqrt[Log[a*x^n]])}
+{x^2/Log[a*x^n]^(5/2), x, 5, (4*Sqrt[3*Pi]*x^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/((a*x^n)^(3/n)*n^(5/2)) - (2*x^3)/(3*n*Log[a*x^n]^(3/2)) - (4*x^3)/(n^2*Sqrt[Log[a*x^n]])}
+{x^1/Log[a*x^n]^(5/2), x, 5, (8*Sqrt[2*Pi]*x^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/((a*x^n)^(2/n)*(3*n^(5/2))) - (2*x^2)/(3*n*Log[a*x^n]^(3/2)) - (8*x^2)/(3*n^2*Sqrt[Log[a*x^n]])}
+{x^0/Log[a*x^n]^(5/2), x, 5, (4*Sqrt[Pi]*x*Erfi[Sqrt[Log[a*x^n]]/Sqrt[n]])/((a*x^n)^n^(-1)*(3*n^(5/2))) - (2*x)/(3*n*Log[a*x^n]^(3/2)) - (4*x)/(3*n^2*Sqrt[Log[a*x^n]])}
+{1/(x^1*Log[a*x^n]^(5/2)), x, 2, -(2/(3*n*Log[a*x^n]^(3/2)))}
+{1/(x^2*Log[a*x^n]^(5/2)), x, 5, (4*Sqrt[Pi]*(a*x^n)^(1/n)*Erf[Sqrt[Log[a*x^n]]/Sqrt[n]])/(3*n^(5/2)*x) - 2/(3*n*x*Log[a*x^n]^(3/2)) + 4/(3*n^2*x*Sqrt[Log[a*x^n]])}
+{1/(x^3*Log[a*x^n]^(5/2)), x, 5, (8*Sqrt[2*Pi]*(a*x^n)^(2/n)*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/(3*n^(5/2)*x^2) - 2/(3*n*x^2*Log[a*x^n]^(3/2)) + 8/(3*n^2*x^2*Sqrt[Log[a*x^n]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b Log[c x^n])^p with m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*(a + a*(m + 1)/n*Log[c*x^n]), x, 1, (a*(d*x)^(1 + m)*Log[c*x^n])/(d*n)}
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 3, -((6*b^3*n^3*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)^4)) + (6*b^2*n^2*(d*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(d*(1 + m)^3) - (3*b*n*(d*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d*(1 + m)^2) + ((d*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(d*(1 + m))}
+{(d*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 2, (2*b^2*n^2*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)^3) - (2*b*n*(d*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(d*(1 + m)^2) + ((d*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d*(1 + m))}
+{(d*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])^1, x, 1, -((b*n*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)^2)) + ((d*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(d*(1 + m))}
+{(d*x)^m/(a + b*Log[c*x^n])^1, x, 2, ((d*x)^(1 + m)*ExpIntegralEi[((1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(E^((a*(1 + m))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m)/n)*(b*d*n))}
+{(d*x)^m/(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 3, ((1 + m)*(d*x)^(1 + m)*ExpIntegralEi[((1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(E^((a*(1 + m))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m)/n)*(b^2*d*n^2)) - (d*x)^(1 + m)/(b*d*n*(a + b*Log[c*x^n]))}
+{(d*x)^m/(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 4, ((1 + m)^2*(d*x)^(1 + m)*ExpIntegralEi[((1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(E^((a*(1 + m))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m)/n)*(2*b^3*d*n^3)) - (d*x)^(1 + m)/(2*b*d*n*(a + b*Log[c*x^n])^2) - ((1 + m)*(d*x)^(1 + m))/(2*b^2*d*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))}
+
+
+{(d*x)^(n - 1)*Log[c*x^n]^3, x, 3, -((6*(d*x)^n)/(d*n)) + (6*(d*x)^n*Log[c*x^n])/(d*n) - (3*(d*x)^n*Log[c*x^n]^2)/(d*n) + ((d*x)^n*Log[c*x^n]^3)/(d*n)}
+{(d*x)^(n - 1)*Log[c*x^n]^2, x, 2, (2*(d*x)^n)/(d*n) - (2*(d*x)^n*Log[c*x^n])/(d*n) + ((d*x)^n*Log[c*x^n]^2)/(d*n)}
+{(d*x)^(n - 1)*Log[c*x^n]^1, x, 1, -((d*x)^n/(d*n)) + ((d*x)^n*Log[c*x^n])/(d*n)}
+{(d*x)^(n - 1)/Log[c*x^n]^1, x, 3, (x^(1 - n)*(d*x)^(-1 + n)*LogIntegral[c*x^n])/(c*n)}
+{(d*x)^(n - 1)/Log[c*x^n]^2, x, 4, -((d*x)^n/(d*n*Log[c*x^n])) + (x^(1 - n)*(d*x)^(-1 + n)*LogIntegral[c*x^n])/(c*n)}
+{(d*x)^(n - 1)/Log[c*x^n]^3, x, 5, -((d*x)^n/(2*d*n*Log[c*x^n]^2)) - (d*x)^n/(2*d*n*Log[c*x^n]) + (x^(1 - n)*(d*x)^(-1 + n)*LogIntegral[c*x^n])/(2*c*n)}
+
+
+{x^m*Log[a*x^n]^(3/2), x, 5, (3*n^(3/2)*Sqrt[Pi]*x^(1 + m)*Erfi[(Sqrt[1 + m]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/((a*x^n)^((1 + m)/n)*(4*(1 + m)^(5/2))) - (3*n*x^(1 + m)*Sqrt[Log[a*x^n]])/(2*(1 + m)^2) + (x^(1 + m)*Log[a*x^n]^(3/2))/(1 + m)}
+{x^m*Log[a*x^n]^(1/2), x, 4, -((Sqrt[n]*Sqrt[Pi]*x^(1 + m)*Erfi[(Sqrt[1 + m]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/((a*x^n)^((1 + m)/n)*(2*(1 + m)^(3/2)))) + (x^(1 + m)*Sqrt[Log[a*x^n]])/(1 + m)}
+{x^m/Log[a*x^n]^(1/2), x, 3, (Sqrt[Pi]*x^(1 + m)*Erfi[(Sqrt[1 + m]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/((a*x^n)^((1 + m)/n)*(Sqrt[1 + m]*Sqrt[n]))}
+{x^m/Log[a*x^n]^(3/2), x, 4, (2*Sqrt[1 + m]*Sqrt[Pi]*x^(1 + m)*Erfi[(Sqrt[1 + m]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/((a*x^n)^((1 + m)/n)*n^(3/2)) - (2*x^(1 + m))/(n*Sqrt[Log[a*x^n]])}
+{x^m/Log[a*x^n]^(5/2), x, 5, (4*(1 + m)^(3/2)*Sqrt[Pi]*x^(1 + m)*Erfi[(Sqrt[1 + m]*Sqrt[Log[a*x^n]])/Sqrt[n]])/((a*x^n)^((1 + m)/n)*(3*n^(5/2))) - (2*x^(1 + m))/(3*n*Log[a*x^n]^(3/2)) - (4*(1 + m)*x^(1 + m))/(3*n^2*Sqrt[Log[a*x^n]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b Log[a x^n])^p with p symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])^p, x, 2, ((d*x)^(1 + m)*Gamma[1 + p, -(((1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^((a*(1 + m))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m)/n)*(-(((1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p*(d*(1 + m)))}
+
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])^p, x, 2, (3^(-1 - p)*x^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)*(-((a + b*Log[c*x^n])/(b*n)))^p)}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])^p, x, 2, (2^(-1 - p)*x^2*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*(-((a + b*Log[c*x^n])/(b*n)))^p)}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])^p, x, 2, (x*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*x^n])/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)*(-((a + b*Log[c*x^n])/(b*n)))^p)}
+{(a + b*Log[c*x^n])^p/x^1, x, 2, (a + b*Log[c*x^n])^(1 + p)/(b*n*(1 + p))}
+{(a + b*Log[c*x^n])^p/x^2, x, 2, -((E^(a/(b*n))*(c*x^n)^(1/n)*Gamma[1 + p, (a + b*Log[c*x^n])/(b*n)]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(((a + b*Log[c*x^n])/(b*n))^p*x))}
+{(a + b*Log[c*x^n])^p/x^3, x, 2, -((2^(-1 - p)*E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*Gamma[1 + p, (2*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(((a + b*Log[c*x^n])/(b*n))^p*x^2))}
+{(a + b*Log[c*x^n])^p/x^4, x, 2, -((3^(-1 - p)*E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)*Gamma[1 + p, (3*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(((a + b*Log[c*x^n])/(b*n))^p*x^3))}
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*Log[c*x])^p, x, 2, ((c*x)^(-1 - m)*(d*x)^(1 + m)*Gamma[1 + p, -(((1 + m)*(a + b*Log[c*x]))/b)]*(a + b*Log[c*x])^p)/(E^((a*(1 + m))/b)*(-(((1 + m)*(a + b*Log[c*x]))/b))^p*(d*(1 + m)))}
+
+{x^2*(a + b*Log[c*x])^p, x, 2, (3^(-1 - p)*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*x]))/b)]*(a + b*Log[c*x])^p)/(E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*x])/b))^p*c^3)}
+{x^1*(a + b*Log[c*x])^p, x, 2, (2^(-1 - p)*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*x]))/b)]*(a + b*Log[c*x])^p)/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*x])/b))^p*c^2)}
+{x^0*(a + b*Log[c*x])^p, x, 2, (Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*x])/b)]*(a + b*Log[c*x])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*x])/b))^p*c)}
+{(a + b*Log[c*x])^p/x^1, x, 2, (a + b*Log[c*x])^(1 + p)/(b*(1 + p))}
+{(a + b*Log[c*x])^p/x^2, x, 2, ((-c)*E^(a/b)*Gamma[1 + p, (a + b*Log[c*x])/b]*(a + b*Log[c*x])^p)/((a + b*Log[c*x])/b)^p}
+{(a + b*Log[c*x])^p/x^3, x, 2, ((-2^(-1 - p))*c^2*E^((2*a)/b)*Gamma[1 + p, (2*(a + b*Log[c*x]))/b]*(a + b*Log[c*x])^p)/((a + b*Log[c*x])/b)^p}
+{(a + b*Log[c*x])^p/x^4, x, 2, ((-3^(-1 - p))*c^3*E^((3*a)/b)*Gamma[1 + p, (3*(a + b*Log[c*x]))/b]*(a + b*Log[c*x])^p)/((a + b*Log[c*x])/b)^p}
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*Log[c*Sqrt[x]])^p, x, 2, ((d*x)^(1 + m)*Gamma[1 + p, -((2*(1 + m)*(a + b*Log[c*Sqrt[x]]))/b)]*(a + b*Log[c*Sqrt[x]])^p)/(2^p*E^((2*a*(1 + m))/b)*(c*Sqrt[x])^(2*(1 + m))*(-(((1 + m)*(a + b*Log[c*Sqrt[x]]))/b))^p*(d*(1 + m)))}
+
+{x^2*(a + b*Log[c*Sqrt[x]])^p, x, 2, (3^(-1 - p)*Gamma[1 + p, -((6*(a + b*Log[c*Sqrt[x]]))/b)]*(a + b*Log[c*Sqrt[x]])^p)/(2^p*E^((6*a)/b)*(-((a + b*Log[c*Sqrt[x]])/b))^p*c^6)}
+{x^1*(a + b*Log[c*Sqrt[x]])^p, x, 2, (2^(-1 - 2*p)*Gamma[1 + p, -((4*(a + b*Log[c*Sqrt[x]]))/b)]*(a + b*Log[c*Sqrt[x]])^p)/(E^((4*a)/b)*(-((a + b*Log[c*Sqrt[x]])/b))^p*c^4)}
+{x^0*(a + b*Log[c*Sqrt[x]])^p, x, 2, (Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*Sqrt[x]]))/b)]*(a + b*Log[c*Sqrt[x]])^p)/(2^p*E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*Sqrt[x]])/b))^p*c^2)}
+{(a + b*Log[c*Sqrt[x]])^p/x^1, x, 2, (2*(a + b*Log[c*Sqrt[x]])^(1 + p))/(b*(1 + p))}
+{(a + b*Log[c*Sqrt[x]])^p/x^2, x, 2, ((-2^(-p))*c^2*E^((2*a)/b)*Gamma[1 + p, (2*(a + b*Log[c*Sqrt[x]]))/b]*(a + b*Log[c*Sqrt[x]])^p)/((a + b*Log[c*Sqrt[x]])/b)^p}
+{(a + b*Log[c*Sqrt[x]])^p/x^3, x, 2, ((-2^(-1 - 2*p))*c^4*E^((4*a)/b)*Gamma[1 + p, (4*(a + b*Log[c*Sqrt[x]]))/b]*(a + b*Log[c*Sqrt[x]])^p)/((a + b*Log[c*Sqrt[x]])/b)^p}
+{(a + b*Log[c*Sqrt[x]])^p/x^4, x, 2, ((-2^(-p))*3^(-1 - p)*c^6*E^((6*a)/b)*Gamma[1 + p, (6*(a + b*Log[c*Sqrt[x]]))/b]*(a + b*Log[c*Sqrt[x]])^p)/((a + b*Log[c*Sqrt[x]])/b)^p}
+
+
+{x^(n - 1)*(a + b*Log[c*x^n])^p, x, 2, (Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*x^n])/b)]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*x^n])/b))^p*(c*n))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x^q)^m (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+{(d*x^q)^m*(a + b*Log[c*x^n])^p, x, 3, (x*(d*x^q)^m*Gamma[1 + p, -(((1 + m*q)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^((a + a*m*q)/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m*q)/n)*(-(((1 + m*q)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p*(1 + m*q))}
+
+
+{(d1*x^q1)^m1*(d2*x^q2)^m2*(a + b*Log[c*x^n])^p, x, 4, (x*(d1*x^q1)^m1*(d2*x^q2)^m2*Gamma[1 + p, -(((1 + m1*q1 + m2*q2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^((a*(1 + m1*q1 + m2*q2))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m1*q1 + m2*q2)/n)*(-(((1 + m1*q1 + m2*q2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p*(1 + m1*q1 + m2*q2))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.1.4 (f x)^m (d+e x^r)^q (a+b log(c x^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.1.4 (f x)^m (d+e x^r)^q (a+b log(c x^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..23b4ae03
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.1.4 (f x)^m (d+e x^r)^q (a+b log(c x^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,869 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^r)^q (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^1)^q (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b Log[c x^n])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{x^3*(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, (-(1/16))*b*d*n*x^4 - (1/25)*b*e*n*x^5 + (1/20)*(5*d*x^4 + 4*e*x^5)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^2*(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, (-(1/9))*b*d*n*x^3 - (1/16)*b*e*n*x^4 + (1/12)*(4*d*x^3 + 3*e*x^4)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^1*(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, (-(1/4))*b*d*n*x^2 - (1/9)*b*e*n*x^3 + (1/6)*(3*d*x^2 + 2*e*x^3)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^0*(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, (-b)*d*n*x - (1/4)*b*e*n*x^2 + d*x*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/2)*e*x^2*(a + b*Log[c*x^n])}
+{(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])/x^1, x, 4, a*e*x - b*e*n*x + b*e*x*Log[c*x^n] + (d*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*b*n)}
+{(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])/x^2, x, 4, -((b*d*n)/x) - (d*(a + b*Log[c*x^n]))/x + (e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*b*n), -((b*d*n)/x) - (1/2)*b*e*n*Log[x]^2 - (d*(a + b*Log[c*x^n]))/x + e*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+{(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])/x^3, x, 4, -((b*d*n)/(4*x^2)) - (b*e*n)/x + (b*e^2*n*Log[x])/(2*d) - ((d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d*x^2)}
+{(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])/x^4, x, 4, -((b*d*n)/(9*x^3)) - (b*e*n)/(4*x^2) - (d*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^3) - (e*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2)}
+
+
+{x^3*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, (-(1/16))*b*d^2*n*x^4 - (2/25)*b*d*e*n*x^5 - (1/36)*b*e^2*n*x^6 + (1/60)*(15*d^2*x^4 + 24*d*e*x^5 + 10*e^2*x^6)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^2*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, (-(1/9))*b*d^2*n*x^3 - (1/8)*b*d*e*n*x^4 - (1/25)*b*e^2*n*x^5 + (1/30)*(10*d^2*x^3 + 15*d*e*x^4 + 6*e^2*x^5)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^1*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, (-(1/4))*b*d^2*n*x^2 - (2/9)*b*d*e*n*x^3 - (1/16)*b*e^2*n*x^4 + (1/12)*(6*d^2*x^2 + 8*d*e*x^3 + 3*e^2*x^4)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^0*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, (-b)*d^2*n*x - (1/2)*b*d*e*n*x^2 - (1/9)*b*e^2*n*x^3 - (b*d^3*n*Log[x])/(3*e) + ((d + e*x)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n])/x^1, x, 3, (-(1/4))*b*n*(4*d + e*x)^2 - (1/2)*b*d^2*n*Log[x]^2 + 2*d*e*x*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/2)*e^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + d^2*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+{(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n])/x^2, x, 3, -((b*d^2*n)/x) - b*e^2*n*x - b*d*e*n*Log[x]^2 - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x + e^2*x*(a + b*Log[c*x^n]) + 2*d*e*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+{(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n])/x^3, x, 6, -((b*n*(d + 4*e*x)^2)/(4*x^2)) - (1/2)*b*e^2*n*Log[x]^2 - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (2*d*e*(a + b*Log[c*x^n]))/x + e^2*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+{(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n])/x^4, x, 4, -((b*d^2*n)/(9*x^3)) - (b*d*e*n)/(2*x^2) - (b*e^2*n)/x + (b*e^3*n*Log[x])/(3*d) - ((d + e*x)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d*x^3)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n])/x^5, x, 4, -((b*d^2*n)/(16*x^4)) - (2*b*d*e*n)/(9*x^3) - (b*e^2*n)/(4*x^2) - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*x^4) - (2*d*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^3) - (e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n])/x^6, x, 4, -((b*d^2*n)/(25*x^5)) - (b*d*e*n)/(8*x^4) - (b*e^2*n)/(9*x^3) - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*x^5) - (d*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^4) - (e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^3)}
+
+
+{x^3*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, (-(1/16))*b*d^3*n*x^4 - (3/25)*b*d^2*e*n*x^5 - (1/12)*b*d*e^2*n*x^6 - (1/49)*b*e^3*n*x^7 + (1/140)*(35*d^3*x^4 + 84*d^2*e*x^5 + 70*d*e^2*x^6 + 20*e^3*x^7)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^2*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, (-(1/9))*b*d^3*n*x^3 - (3/16)*b*d^2*e*n*x^4 - (3/25)*b*d*e^2*n*x^5 - (1/36)*b*e^3*n*x^6 + (1/60)*(20*d^3*x^3 + 45*d^2*e*x^4 + 36*d*e^2*x^5 + 10*e^3*x^6)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^1*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 5, (b*d^4*n*x)/(5*e) + (3/20)*b*d^3*n*x^2 + (1/15)*b*d^2*e*n*x^3 + (1/80)*b*d*e^2*n*x^4 - (b*n*(d + e*x)^5)/(25*e^2) + (b*d^5*n*Log[x])/(20*e^2) - (1/20)*((5*d*(d + e*x)^4)/e^2 - (4*(d + e*x)^5)/e^2)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^0*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, (-b)*d^3*n*x - (3/4)*b*d^2*e*n*x^2 - (1/3)*b*d*e^2*n*x^3 - (1/16)*b*e^3*n*x^4 - (b*d^4*n*Log[x])/(4*e) + ((d + e*x)^4*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e)}
+{(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*x^n])/x^1, x, 4, -3*b*d^2*e*n*x - (3/4)*b*d*e^2*n*x^2 - (1/9)*b*e^3*n*x^3 - (1/2)*b*d^3*n*Log[x]^2 + 3*d^2*e*x*(a + b*Log[c*x^n]) + (3/2)*d*e^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/3)*e^3*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) + d^3*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+{(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*x^n])/x^2, x, 3, -((b*d^3*n)/x) - 3*b*d*e^2*n*x - (1/4)*b*e^3*n*x^2 - (3/2)*b*d^2*e*n*Log[x]^2 - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x + 3*d*e^2*x*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/2)*e^3*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + 3*d^2*e*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+{(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*x^n])/x^3, x, 3, -((b*d^3*n)/(4*x^2)) - (3*b*d^2*e*n)/x - b*e^3*n*x - (3/2)*b*d*e^2*n*Log[x]^2 - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (3*d^2*e*(a + b*Log[c*x^n]))/x + e^3*x*(a + b*Log[c*x^n]) + 3*d*e^2*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+{(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*x^n])/x^4, x, 7, -((b*d^3*n)/(9*x^3)) - (3*b*d^2*e*n)/(4*x^2) - (3*b*d*e^2*n)/x - (1/2)*b*e^3*n*Log[x]^2 - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^3) - (3*d^2*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (3*d*e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x + e^3*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+{(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*x^n])/x^5, x, 4, -((b*d^3*n)/(16*x^4)) - (b*d^2*e*n)/(3*x^3) - (3*b*d*e^2*n)/(4*x^2) - (b*e^3*n)/x + (b*e^4*n*Log[x])/(4*d) - ((d + e*x)^4*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*d*x^4)}
+{(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*x^n])/x^6, x, 5, (b*d^2*e*n)/(80*x^4) + (b*d*e^2*n)/(15*x^3) + (3*b*e^3*n)/(20*x^2) + (b*e^4*n)/(5*d*x) - (b*n*(d + e*x)^5)/(25*d^2*x^5) - (b*e^5*n*Log[x])/(20*d^2) - ((d + e*x)^4*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*d*x^5) + (e*(d + e*x)^4*(a + b*Log[c*x^n]))/(20*d^2*x^4)}
+{(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*x^n])/x^7, x, 4, -((b*d^3*n)/(36*x^6)) - (3*b*d^2*e*n)/(25*x^5) - (3*b*d*e^2*n)/(16*x^4) - (b*e^3*n)/(9*x^3) - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*x^6) - (3*d^2*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*x^5) - (3*d*e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*x^4) - (e^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^3)}
+{(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*x^n])/x^8, x, 4, -((b*d^3*n)/(49*x^7)) - (b*d^2*e*n)/(12*x^6) - (3*b*d*e^2*n)/(25*x^5) - (b*e^3*n)/(16*x^4) - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*x^7) - (d^2*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^6) - (3*d*e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*x^5) - (e^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*x^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x), x, 8, (a*d^2*x)/e^3 - (b*d^2*n*x)/e^3 + (b*d*n*x^2)/(4*e^2) - (b*n*x^3)/(9*e) + (b*d^2*x*Log[c*x^n])/e^3 - (d*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^2) + (x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e) - (d^3*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/e^4 - (b*d^3*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^4}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x), x, 7, -((a*d*x)/e^2) + (b*d*n*x)/e^2 - (b*n*x^2)/(4*e) - (b*d*x*Log[c*x^n])/e^2 + (x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e) + (d^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/e^3 + (b*d^2*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^3}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x), x, 6, (a*x)/e - (b*n*x)/e + (b*x*Log[c*x^n])/e - (d*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/e^2 - (b*d*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^2}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x), x, 2, ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/e + (b*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*(d + e*x)), x, 2, -((Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/d) + (b*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*(d + e*x)), x, 4, -((b*n)/(d*x)) - (a + b*Log[c*x^n])/(d*x) + (e*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^2 - (b*e*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^2}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^3*(d + e*x)), x, 6, -((b*n)/(4*d*x^2)) + (b*e*n)/(d^2*x) - (a + b*Log[c*x^n])/(2*d*x^2) + (e*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^2*x) - (e^2*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^3 + (b*e^2*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^3}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^4*(d + e*x)), x, 8, -((b*n)/(9*d*x^3)) + (b*e*n)/(4*d^2*x^2) - (b*e^2*n)/(d^3*x) - (a + b*Log[c*x^n])/(3*d*x^3) + (e*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^2*x^2) - (e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^3*x) + (e^3*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^4 - (b*e^3*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^4}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^2, x, 8, (3*b*d*n*x)/e^3 - (d*(3*a + b*n)*x)/e^3 - (3*b*n*x^2)/(4*e^2) - (3*b*d*x*Log[c*x^n])/e^3 - (x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(e*(d + e*x)) + (x^2*(3*a + b*n + 3*b*Log[c*x^n]))/(2*e^2) + (d^2*(3*a + b*n + 3*b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/e^4 + (3*b*d^2*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^4}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^2, x, 7, -((b*n*x)/e^2) + (2*x*(a + b*Log[c*x^n]))/e^2 - (x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(e*(d + e*x)) - (d*(2*a + b*n + 2*b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/e^3 - (2*b*d*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^3, -((2*b*n*x)/e^2) + ((2*a + b*n)*x)/e^2 + (2*b*x*Log[c*x^n])/e^2 - (x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(e*(d + e*x)) - (d*(2*a + b*n + 2*b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/e^3 - (2*b*d*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^3}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^2, x, 3, -((x*(a + b*Log[c*x^n]))/(e*(d + e*x))) + ((a + b*n + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/e^2 + (b*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^2}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^2, x, 2, (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d*(d + e*x)) - (b*n*Log[d + e*x])/(d*e)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*(d + e*x)^2), x, 5, -((e*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^2*(d + e*x))) - (Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^2 + (b*n*Log[d + e*x])/d^2 + (b*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^2}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*(d + e*x)^2), x, 7, -((b*n)/(d^2*x)) - (a + b*Log[c*x^n])/(d^2*x) + (e^2*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^3*(d + e*x)) + (2*e*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^3 - (b*e*n*Log[d + e*x])/d^3 - (2*b*e*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^3}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^3*(d + e*x)^2), x, 8, -((b*n)/(4*d^2*x^2)) + (2*b*e*n)/(d^3*x) - (a + b*Log[c*x^n])/(2*d^2*x^2) + (2*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^3*x) - (e^3*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^4*(d + e*x)) - (3*e^2*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^4 + (b*e^2*n*Log[d + e*x])/d^4 + (3*b*e^2*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^4}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^3, x, 8, -((3*b*n*x)/e^3) + ((6*a + 5*b*n)*x)/(2*e^3) + (3*b*x*Log[c*x^n])/e^3 - (x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e*(d + e*x)^2) - (x^2*(3*a + b*n + 3*b*Log[c*x^n]))/(2*e^2*(d + e*x)) - (d*(6*a + 5*b*n + 6*b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(2*e^4) - (3*b*d*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^4}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^3, x, 4, -((x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e*(d + e*x)^2)) - (x*(2*a + b*n + 2*b*Log[c*x^n]))/(2*e^2*(d + e*x)) + ((2*a + 3*b*n + 2*b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(2*e^3) + (b*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^3}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^3, x, 3, -((b*n)/(2*e^2*(d + e*x))) + (x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d*(d + e*x)^2) - (b*n*Log[d + e*x])/(2*d*e^2)}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^3, x, 3, (b*n)/(2*d*e*(d + e*x)) + (b*n*Log[x])/(2*d^2*e) - (a + b*Log[c*x^n])/(2*e*(d + e*x)^2) - (b*n*Log[d + e*x])/(2*d^2*e)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*(d + e*x)^3), x, 9, -((b*n)/(2*d^2*(d + e*x))) - (b*n*Log[x])/(2*d^3) + (a + b*Log[c*x^n])/(2*d*(d + e*x)^2) - (e*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^3*(d + e*x)) - (Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^3 + (3*b*n*Log[d + e*x])/(2*d^3) + (b*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^3}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*(d + e*x)^3), x, 10, -((b*n)/(d^3*x)) + (b*e*n)/(2*d^3*(d + e*x)) + (b*e*n*Log[x])/(2*d^4) - (a + b*Log[c*x^n])/(d^3*x) - (e*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^2*(d + e*x)^2) + (2*e^2*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^4*(d + e*x)) + (3*e*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^4 - (5*b*e*n*Log[d + e*x])/(2*d^4) - (3*b*e*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^4}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^3*(d + e*x)^3), x, 11, -((b*n)/(4*d^3*x^2)) + (3*b*e*n)/(d^4*x) - (b*e^2*n)/(2*d^4*(d + e*x)) - (b*e^2*n*Log[x])/(2*d^5) - (a + b*Log[c*x^n])/(2*d^3*x^2) + (3*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^4*x) + (e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^3*(d + e*x)^2) - (3*e^3*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^5*(d + e*x)) - (6*e^2*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^5 + (7*b*e^2*n*Log[d + e*x])/(2*d^5) + (6*b*e^2*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^5}
+
+
+{x^5*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^4, x, 10, (10*b*d*n*x)/e^5 - (d*(60*a + 47*b*n)*x)/(6*e^5) - (5*b*n*x^2)/(2*e^4) - (10*b*d*x*Log[c*x^n])/e^5 - (x^5*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e*(d + e*x)^3) - (x^4*(5*a + b*n + 5*b*Log[c*x^n]))/(6*e^2*(d + e*x)^2) - (x^3*(20*a + 9*b*n + 20*b*Log[c*x^n]))/(6*e^3*(d + e*x)) + (x^2*(60*a + 47*b*n + 60*b*Log[c*x^n]))/(12*e^4) + (d^2*(60*a + 47*b*n + 60*b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(6*e^6) + (10*b*d^2*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^6}
+{x^4*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^4, x, 9, -((4*b*n*x)/e^4) + ((12*a + 13*b*n)*x)/(3*e^4) + (4*b*x*Log[c*x^n])/e^4 - (x^4*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e*(d + e*x)^3) - (x^3*(4*a + b*n + 4*b*Log[c*x^n]))/(6*e^2*(d + e*x)^2) - (x^2*(12*a + 7*b*n + 12*b*Log[c*x^n]))/(6*e^3*(d + e*x)) - (d*(12*a + 13*b*n + 12*b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(3*e^5) - (4*b*d*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^5}
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^4, x, 5, -((x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e*(d + e*x)^3)) - (x^2*(3*a + b*n + 3*b*Log[c*x^n]))/(6*e^2*(d + e*x)^2) - (x*(6*a + 5*b*n + 6*b*Log[c*x^n]))/(6*e^3*(d + e*x)) + ((6*a + 11*b*n + 6*b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(6*e^4) + (b*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^4}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^4, x, 3, (b*d*n)/(6*e^3*(d + e*x)^2) - (2*b*n)/(3*e^3*(d + e*x)) + (x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d*(d + e*x)^3) - (b*n*Log[d + e*x])/(3*d*e^3)}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^4, x, 4, -((b*n)/(6*e^2*(d + e*x)^2)) + (b*n)/(6*d*e^2*(d + e*x)) + (b*n*Log[x])/(6*d^2*e^2) + (d*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^2*(d + e*x)^3) - (a + b*Log[c*x^n])/(2*e^2*(d + e*x)^2) - (b*n*Log[d + e*x])/(6*d^2*e^2)}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^4, x, 3, (b*n)/(6*d*e*(d + e*x)^2) + (b*n)/(3*d^2*e*(d + e*x)) + (b*n*Log[x])/(3*d^3*e) - (a + b*Log[c*x^n])/(3*e*(d + e*x)^3) - (b*n*Log[d + e*x])/(3*d^3*e)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*(d + e*x)^4), x, 13, -((b*n)/(6*d^2*(d + e*x)^2)) - (5*b*n)/(6*d^3*(d + e*x)) - (5*b*n*Log[x])/(6*d^4) + (a + b*Log[c*x^n])/(3*d*(d + e*x)^3) + (a + b*Log[c*x^n])/(2*d^2*(d + e*x)^2) - (e*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^4*(d + e*x)) - (Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^4 + (11*b*n*Log[d + e*x])/(6*d^4) + (b*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^4}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*(d + e*x)^4), x, 13, -((b*n)/(d^4*x)) + (b*e*n)/(6*d^3*(d + e*x)^2) + (4*b*e*n)/(3*d^4*(d + e*x)) + (4*b*e*n*Log[x])/(3*d^5) - (a + b*Log[c*x^n])/(d^4*x) - (e*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^2*(d + e*x)^3) - (e*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^3*(d + e*x)^2) + (3*e^2*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^5*(d + e*x)) + (4*e*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^5 - (13*b*e*n*Log[d + e*x])/(3*d^5) - (4*b*e*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^5}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^3*(d + e*x)^4), x, 14, -((b*n)/(4*d^4*x^2)) + (4*b*e*n)/(d^5*x) - (b*e^2*n)/(6*d^4*(d + e*x)^2) - (11*b*e^2*n)/(6*d^5*(d + e*x)) - (11*b*e^2*n*Log[x])/(6*d^6) - (a + b*Log[c*x^n])/(2*d^4*x^2) + (4*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^5*x) + (e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^3*(d + e*x)^3) + (3*e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^4*(d + e*x)^2) - (6*e^3*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^6*(d + e*x)) - (10*e^2*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^6 + (47*b*e^2*n*Log[d + e*x])/(6*d^6) + (10*b*e^2*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^6}
+
+
+{x^8*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^7, x, 13, (28*b*d*n*x)/e^8 - (d*(280*a + 341*b*n)*x)/(10*e^8) - (7*b*n*x^2)/e^7 - (28*b*d*x*Log[c*x^n])/e^8 - (x^8*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*e*(d + e*x)^6) - (x^7*(8*a + b*n + 8*b*Log[c*x^n]))/(30*e^2*(d + e*x)^5) - (x^6*(56*a + 15*b*n + 56*b*Log[c*x^n]))/(120*e^3*(d + e*x)^4) - (x^5*(168*a + 73*b*n + 168*b*Log[c*x^n]))/(180*e^4*(d + e*x)^3) + (x^2*(280*a + 341*b*n + 280*b*Log[c*x^n]))/(20*e^7) - (x^4*(840*a + 533*b*n + 840*b*Log[c*x^n]))/(360*e^5*(d + e*x)^2) - (x^3*(840*a + 743*b*n + 840*b*Log[c*x^n]))/(90*e^6*(d + e*x)) + (d^2*(280*a + 341*b*n + 280*b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(10*e^9) + (28*b*d^2*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^9}
+{x^7*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^7, x, 12, -((7*b*n*x)/e^7) + ((140*a + 223*b*n)*x)/(20*e^7) + (7*b*x*Log[c*x^n])/e^7 - (x^7*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*e*(d + e*x)^6) - (x^6*(7*a + b*n + 7*b*Log[c*x^n]))/(30*e^2*(d + e*x)^5) - (x^5*(42*a + 13*b*n + 42*b*Log[c*x^n]))/(120*e^3*(d + e*x)^4) - (x^2*(140*a + 153*b*n + 140*b*Log[c*x^n]))/(40*e^6*(d + e*x)) - (x^4*(210*a + 107*b*n + 210*b*Log[c*x^n]))/(360*e^4*(d + e*x)^3) - (x^3*(420*a + 319*b*n + 420*b*Log[c*x^n]))/(360*e^5*(d + e*x)^2) - (d*(140*a + 223*b*n + 140*b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(20*e^8) - (7*b*d*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^8}
+{x^6*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^7, x, 8, -((x^6*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*e*(d + e*x)^6)) - (x^5*(6*a + b*n + 6*b*Log[c*x^n]))/(30*e^2*(d + e*x)^5) - (x^2*(20*a + 19*b*n + 20*b*Log[c*x^n]))/(40*e^5*(d + e*x)^2) - (x*(20*a + 29*b*n + 20*b*Log[c*x^n]))/(20*e^6*(d + e*x)) - (x^4*(30*a + 11*b*n + 30*b*Log[c*x^n]))/(120*e^3*(d + e*x)^4) - (x^3*(60*a + 37*b*n + 60*b*Log[c*x^n]))/(180*e^4*(d + e*x)^3) + ((20*a + 49*b*n + 20*b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(20*e^7) + (b*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^7}
+{x^5*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^7, x, 3, -((b*d^4*n)/(30*e^6*(d + e*x)^5)) + (5*b*d^3*n)/(24*e^6*(d + e*x)^4) - (5*b*d^2*n)/(9*e^6*(d + e*x)^3) + (5*b*d*n)/(6*e^6*(d + e*x)^2) - (5*b*n)/(6*e^6*(d + e*x)) + (x^6*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*d*(d + e*x)^6) - (b*n*Log[d + e*x])/(6*d*e^6)}
+{x^4*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^7, x, 5, -((b*n*x^5)/(30*d^2*(d + e*x)^5)) + (b*d^2*n)/(120*e^5*(d + e*x)^4) - (2*b*d*n)/(45*e^5*(d + e*x)^3) + (b*n)/(10*e^5*(d + e*x)^2) - (2*b*n)/(15*d*e^5*(d + e*x)) + (x^5*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*d*(d + e*x)^6) + (x^5*(a + b*Log[c*x^n]))/(30*d^2*(d + e*x)^5) - (b*n*Log[d + e*x])/(30*d^2*e^5)}
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^7, x, 4, -((b*d^2*n)/(30*e^4*(d + e*x)^5)) + (13*b*d*n)/(120*e^4*(d + e*x)^4) - (19*b*n)/(180*e^4*(d + e*x)^3) + (b*n)/(120*d*e^4*(d + e*x)^2) + (b*n)/(60*d^2*e^4*(d + e*x)) + (b*n*Log[x])/(60*d^3*e^4) + (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*e^4*(d + e*x)^6) - (3*d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^4*(d + e*x)^5) + (3*d*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e^4*(d + e*x)^4) - (a + b*Log[c*x^n])/(3*e^4*(d + e*x)^3) - (b*n*Log[d + e*x])/(60*d^3*e^4)}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^7, x, 4, (b*d*n)/(30*e^3*(d + e*x)^5) - (7*b*n)/(120*e^3*(d + e*x)^4) + (b*n)/(180*d*e^3*(d + e*x)^3) + (b*n)/(120*d^2*e^3*(d + e*x)^2) + (b*n)/(60*d^3*e^3*(d + e*x)) + (b*n*Log[x])/(60*d^4*e^3) - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*e^3*(d + e*x)^6) + (2*d*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^3*(d + e*x)^5) - (a + b*Log[c*x^n])/(4*e^3*(d + e*x)^4) - (b*n*Log[d + e*x])/(60*d^4*e^3)}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^7, x, 4, -((b*n)/(30*e^2*(d + e*x)^5)) + (b*n)/(120*d*e^2*(d + e*x)^4) + (b*n)/(90*d^2*e^2*(d + e*x)^3) + (b*n)/(60*d^3*e^2*(d + e*x)^2) + (b*n)/(30*d^4*e^2*(d + e*x)) + (b*n*Log[x])/(30*d^5*e^2) + (d*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*e^2*(d + e*x)^6) - (a + b*Log[c*x^n])/(5*e^2*(d + e*x)^5) - (b*n*Log[d + e*x])/(30*d^5*e^2)}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^7, x, 3, (b*n)/(30*d*e*(d + e*x)^5) + (b*n)/(24*d^2*e*(d + e*x)^4) + (b*n)/(18*d^3*e*(d + e*x)^3) + (b*n)/(12*d^4*e*(d + e*x)^2) + (b*n)/(6*d^5*e*(d + e*x)) + (b*n*Log[x])/(6*d^6*e) - (a + b*Log[c*x^n])/(6*e*(d + e*x)^6) - (b*n*Log[d + e*x])/(6*d^6*e)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*(d + e*x)^7), x, 25, -((b*n)/(30*d^2*(d + e*x)^5)) - (11*b*n)/(120*d^3*(d + e*x)^4) - (37*b*n)/(180*d^4*(d + e*x)^3) - (19*b*n)/(40*d^5*(d + e*x)^2) - (29*b*n)/(20*d^6*(d + e*x)) - (29*b*n*Log[x])/(20*d^7) + (a + b*Log[c*x^n])/(6*d*(d + e*x)^6) + (a + b*Log[c*x^n])/(5*d^2*(d + e*x)^5) + (a + b*Log[c*x^n])/(4*d^3*(d + e*x)^4) + (a + b*Log[c*x^n])/(3*d^4*(d + e*x)^3) + (a + b*Log[c*x^n])/(2*d^5*(d + e*x)^2) - (e*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^7*(d + e*x)) - (Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^7 + (49*b*n*Log[d + e*x])/(20*d^7) + (b*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^7}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*(d + e*x)^7), x, 22, -((b*n)/(d^7*x)) + (b*e*n)/(30*d^3*(d + e*x)^5) + (17*b*e*n)/(120*d^4*(d + e*x)^4) + (79*b*e*n)/(180*d^5*(d + e*x)^3) + (53*b*e*n)/(40*d^6*(d + e*x)^2) + (103*b*e*n)/(20*d^7*(d + e*x)) + (103*b*e*n*Log[x])/(20*d^8) - (a + b*Log[c*x^n])/(d^7*x) - (e*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*d^2*(d + e*x)^6) - (2*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*d^3*(d + e*x)^5) - (3*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*d^4*(d + e*x)^4) - (4*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^5*(d + e*x)^3) - (5*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^6*(d + e*x)^2) + (6*e^2*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^8*(d + e*x)) + (7*e*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^8 - (223*b*e*n*Log[d + e*x])/(20*d^8) - (7*b*e*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^8}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^3*(d + e*x)^7), x, 23, -((b*n)/(4*d^7*x^2)) + (7*b*e*n)/(d^8*x) - (b*e^2*n)/(30*d^4*(d + e*x)^5) - (23*b*e^2*n)/(120*d^5*(d + e*x)^4) - (34*b*e^2*n)/(45*d^6*(d + e*x)^3) - (14*b*e^2*n)/(5*d^7*(d + e*x)^2) - (131*b*e^2*n)/(10*d^8*(d + e*x)) - (131*b*e^2*n*Log[x])/(10*d^9) - (a + b*Log[c*x^n])/(2*d^7*x^2) + (7*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^8*x) + (e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*d^3*(d + e*x)^6) + (3*e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*d^4*(d + e*x)^5) + (3*e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^5*(d + e*x)^4) + (10*e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^6*(d + e*x)^3) + (15*e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^7*(d + e*x)^2) - (21*e^3*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^9*(d + e*x)) - (28*e^2*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^9 + (341*b*e^2*n*Log[d + e*x])/(10*d^9) + (28*b*e^2*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^9}
+
+
+{Log[c*x]/(1 - c*x), x, 1, PolyLog[2, 1 - c*x]/c}
+{Log[x/c]/(c - x), x, 1, PolyLog[2, 1 - x/c]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b Log[c x^n])^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{x^2*(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 6, (2/27)*b^2*d*n^2*x^3 + (1/32)*b^2*e*n^2*x^4 - (2/9)*b*d*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) - (1/8)*b*e*n*x^4*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/3)*d*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (1/4)*e*x^4*(a + b*Log[c*x^n])^2}
+{x^1*(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 6, (1/4)*b^2*d*n^2*x^2 + (2/27)*b^2*e*n^2*x^3 - (1/2)*b*d*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) - (2/9)*b*e*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/2)*d*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (1/3)*e*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2}
+{x^0*(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 7, -2*a*b*d*n*x + 2*b^2*d*n^2*x + (1/4)*b^2*e*n^2*x^2 - 2*b^2*d*n*x*Log[c*x^n] - (1/2)*b*e*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + d*x*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (1/2)*e*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2}
+{(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^1, x, 6, -2*a*b*e*n*x + 2*b^2*e*n^2*x - 2*b^2*e*n*x*Log[c*x^n] + e*x*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (d*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(3*b*n)}
+{(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^2, x, 6, -((2*b^2*d*n^2)/x) - (2*b*d*n*(a + b*Log[c*x^n]))/x - (d*(a + b*Log[c*x^n])^2)/x + (e*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(3*b*n)}
+{(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^3, x, 6, -((b^2*d*n^2)/(4*x^2)) - (2*b^2*e*n^2)/x - (b*d*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (2*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n]))/x - (d*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*x^2) - (e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/x}
+{(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^4, x, 6, -((2*b^2*d*n^2)/(27*x^3)) - (b^2*e*n^2)/(4*x^2) - (2*b*d*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*x^3) - (b*e*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (d*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*x^3) - (e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*x^2)}
+{(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^5, x, 6, -((b^2*d*n^2)/(32*x^4)) - (2*b^2*e*n^2)/(27*x^3) - (b*d*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*x^4) - (2*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*x^3) - (d*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*x^4) - (e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*x^3)}
+
+
+{x^2*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 8, (2/27)*b^2*d^2*n^2*x^3 + (1/16)*b^2*d*e*n^2*x^4 + (2/125)*b^2*e^2*n^2*x^5 - (2/9)*b*d^2*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) - (1/4)*b*d*e*n*x^4*(a + b*Log[c*x^n]) - (2/25)*b*e^2*n*x^5*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/3)*d^2*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (1/2)*d*e*x^4*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (1/5)*e^2*x^5*(a + b*Log[c*x^n])^2}
+{x^1*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 8, (1/4)*b^2*d^2*n^2*x^2 + (4/27)*b^2*d*e*n^2*x^3 + (1/32)*b^2*e^2*n^2*x^4 - (1/2)*b*d^2*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) - (4/9)*b*d*e*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) - (1/8)*b*e^2*n*x^4*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/2)*d^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (2/3)*d*e*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (1/4)*e^2*x^4*(a + b*Log[c*x^n])^2}
+{x^0*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 5, 2*b^2*d^2*n^2*x + (1/2)*b^2*d*e*n^2*x^2 + (2/27)*b^2*e^2*n^2*x^3 + (b^2*d^3*n^2*Log[x]^2)/(3*e) - 2*b*d^2*n*x*(a + b*Log[c*x^n]) - b*d*e*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) - (2/9)*b*e^2*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) - (2*b*d^3*n*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e) + ((d + e*x)^3*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*e)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^1, x, 14, -4*a*b*d*e*n*x + 4*b^2*d*e*n^2*x + (1/4)*b^2*e^2*n^2*x^2 - 4*b^2*d*e*n*x*Log[c*x^n] - (1/2)*b*e^2*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + 2*d*e*x*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (1/2)*e^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (d^2*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(3*b*n)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^2, x, 9, -((2*b^2*d^2*n^2)/x) - 2*a*b*e^2*n*x + 2*b^2*e^2*n^2*x - 2*b^2*e^2*n*x*Log[c*x^n] - (2*b*d^2*n*(a + b*Log[c*x^n]))/x - (d^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/x + e^2*x*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (2*d*e*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(3*b*n)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^3, x, 8, -((b^2*d^2*n^2)/(4*x^2)) - (4*b^2*d*e*n^2)/x - (b*d^2*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (4*b*d*e*n*(a + b*Log[c*x^n]))/x - (d^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*x^2) - (2*d*e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/x + (e^2*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(3*b*n)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^4, x, 8, -((2*b^2*d^2*n^2)/(27*x^3)) - (b^2*d*e*n^2)/(2*x^2) - (2*b^2*e^2*n^2)/x - (2*b*d^2*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*x^3) - (b*d*e*n*(a + b*Log[c*x^n]))/x^2 - (2*b*e^2*n*(a + b*Log[c*x^n]))/x - (d^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*x^3) - (d*e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/x^2 - (e^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/x}
+{(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^5, x, 8, -((b^2*d^2*n^2)/(32*x^4)) - (4*b^2*d*e*n^2)/(27*x^3) - (b^2*e^2*n^2)/(4*x^2) - (b*d^2*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*x^4) - (4*b*d*e*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*x^3) - (b*e^2*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (d^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*x^4) - (2*d*e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*x^3) - (e^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*x^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x), x, 12, -((2*a*b*d^2*n*x)/e^3) + (2*b^2*d^2*n^2*x)/e^3 - (b^2*d*n^2*x^2)/(4*e^2) + (2*b^2*n^2*x^3)/(27*e) - (2*b^2*d^2*n*x*Log[c*x^n])/e^3 + (b*d*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^2) - (2*b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*e) + (d^2*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/e^3 - (d*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*e^2) + (x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*e) - (d^3*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/e^4 - (2*b*d^3*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^4 + (2*b^2*d^3*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/e^4}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x), x, 10, (2*a*b*d*n*x)/e^2 - (2*b^2*d*n^2*x)/e^2 + (b^2*n^2*x^2)/(4*e) + (2*b^2*d*n*x*Log[c*x^n])/e^2 - (b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e) - (d*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/e^2 + (x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*e) + (d^2*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/e^3 + (2*b*d^2*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^3 - (2*b^2*d^2*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/e^3}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x), x, 8, -((2*a*b*n*x)/e) + (2*b^2*n^2*x)/e - (2*b^2*n*x*Log[c*x^n])/e + (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/e - (d*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/e^2 - (2*b*d*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^2 + (2*b^2*d*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/e^2}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x), x, 3, ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/e + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e - (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/e}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(x^1*(d + e*x)), x, 3, -((Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/d) + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d + (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -(d/(e*x))])/d}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(x^2*(d + e*x)), x, 6, -((2*b^2*n^2)/(d*x)) - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(d*x) - (a + b*Log[c*x^n])^2/(d*x) + (e*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/d^2 - (2*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^2 - (2*b^2*e*n^2*PolyLog[3, -(d/(e*x))])/d^2}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(x^3*(d + e*x)), x, 9, -((b^2*n^2)/(4*d*x^2)) + (2*b^2*e*n^2)/(d^2*x) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d*x^2) + (2*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^2*x) - (a + b*Log[c*x^n])^2/(2*d*x^2) + (e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d^2*x) - (e^2*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/d^3 + (2*b*e^2*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^3 + (2*b^2*e^2*n^2*PolyLog[3, -(d/(e*x))])/d^3}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(x^4*(d + e*x)), x, 12, -((2*b^2*n^2)/(27*d*x^3)) + (b^2*e*n^2)/(4*d^2*x^2) - (2*b^2*e^2*n^2)/(d^3*x) - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*d*x^3) + (b*e*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^2*x^2) - (2*b*e^2*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^3*x) - (a + b*Log[c*x^n])^2/(3*d*x^3) + (e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*d^2*x^2) - (e^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d^3*x) + (e^3*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/d^4 - (2*b*e^3*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^4 - (2*b^2*e^3*n^2*PolyLog[3, -(d/(e*x))])/d^4}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x)^2, x, 13, (4*a*b*d*n*x)/e^3 - (4*b^2*d*n^2*x)/e^3 + (b^2*n^2*x^2)/(4*e^2) + (4*b^2*d*n*x*Log[c*x^n])/e^3 - (b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^2) - (2*d*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/e^3 + (x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*e^2) - (d^2*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(e^3*(d + e*x)) + (2*b*d^2*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/e^4 + (3*d^2*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/e^4 + (2*b^2*d^2*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^4 + (6*b*d^2*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^4 - (6*b^2*d^2*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/e^4}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x)^2, x, 11, -((2*a*b*n*x)/e^2) + (2*b^2*n^2*x)/e^2 - (2*b^2*n*x*Log[c*x^n])/e^2 + (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/e^2 + (d*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(e^2*(d + e*x)) - (2*b*d*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/e^3 - (2*d*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/e^3 - (2*b^2*d*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^3 - (4*b*d*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^3 + (4*b^2*d*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/e^3}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x)^2, x, 8, -((x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(e*(d + e*x))) + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/e^2 + ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/e^2 + (2*b^2*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^2 + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^2 - (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/e^2}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x)^2, x, 3, (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d*(d + e*x)) - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(d*e) - (2*b^2*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/(d*e)}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(x^1*(d + e*x)^2), x, 7, -((e*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d^2*(d + e*x))) - (Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/d^2 + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/d^2 + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^2 + (2*b^2*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^2 + (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -(d/(e*x))])/d^2}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(x^2*(d + e*x)^2), x, 10, -((2*b^2*n^2)/(d^2*x)) - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^2*x) - (a + b*Log[c*x^n])^2/(d^2*x) + (e^2*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d^3*(d + e*x)) + (2*e*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/d^3 - (2*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/d^3 - (4*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^3 - (2*b^2*e*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^3 - (4*b^2*e*n^2*PolyLog[3, -(d/(e*x))])/d^3}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(x^3*(d + e*x)^2), x, 12, -((b^2*n^2)/(4*d^2*x^2)) + (4*b^2*e*n^2)/(d^3*x) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^2*x^2) + (4*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^3*x) - (a + b*Log[c*x^n])^2/(2*d^2*x^2) + (2*e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d^3*x) - (e^3*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d^4*(d + e*x)) - (3*e^2*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/d^4 + (2*b*e^2*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/d^4 + (6*b*e^2*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^4 + (2*b^2*e^2*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^4 + (6*b^2*e^2*n^2*PolyLog[3, -(d/(e*x))])/d^4}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x)^3, x, 17, -((2*a*b*n*x)/e^3) + (2*b^2*n^2*x)/e^3 - (2*b^2*n*x*Log[c*x^n])/e^3 + (b*d*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^3*(d + e*x)) - (d*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*e^4) + (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/e^3 + (d^3*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*e^4*(d + e*x)^2) + (3*d*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(e^3*(d + e*x)) - (b^2*d*n^2*Log[d + e*x])/e^4 - (5*b*d*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/e^4 - (3*d*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/e^4 - (5*b^2*d*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^4 - (6*b*d*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^4 + (6*b^2*d*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/e^4, -((2*a*b*n*x)/e^3) + (2*b^2*n^2*x)/e^3 - (2*b^2*n*x*Log[c*x^n])/e^3 + (b*d*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^3*(d + e*x)) + (b*d*n*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^4 + (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/e^3 + (d^3*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*e^4*(d + e*x)^2) + (3*d*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(e^3*(d + e*x)) - (b^2*d*n^2*Log[d + e*x])/e^4 - (6*b*d*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/e^4 - (3*d*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/e^4 - (b^2*d*n^2*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/e^4 - (6*b^2*d*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^4 - (6*b*d*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^4 + (6*b^2*d*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/e^4}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x)^3, x, 14, -((b*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^2*(d + e*x))) + (a + b*Log[c*x^n])^2/(2*e^3) - (d^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*e^3*(d + e*x)^2) - (2*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(e^2*(d + e*x)) + (b^2*n^2*Log[d + e*x])/e^3 + (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/e^3 + ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/e^3 + (3*b^2*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^3 + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^3 - (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/e^3, -((b*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^2*(d + e*x))) - (b*n*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^3 - (d^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*e^3*(d + e*x)^2) - (2*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(e^2*(d + e*x)) + (b^2*n^2*Log[d + e*x])/e^3 + (4*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/e^3 + ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/e^3 + (b^2*n^2*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/e^3 + (4*b^2*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^3 + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^3 - (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/e^3}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x)^3, x, 4, (b*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d*e*(d + e*x)) + (x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*d*(d + e*x)^2) - (b*n*(a + b*n + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(d*e^2) - (b^2*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/(d*e^2)}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x)^3, x, 6, -((b*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^2*(d + e*x))) - (b*n*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^2*e) - (a + b*Log[c*x^n])^2/(2*e*(d + e*x)^2) + (b^2*n^2*Log[d + e*x])/(d^2*e) + (b^2*n^2*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/(d^2*e)}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(x^1*(d + e*x)^3), x, 14, (b*e*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^3*(d + e*x)) - (a + b*Log[c*x^n])^2/(2*d^3) + (a + b*Log[c*x^n])^2/(2*d*(d + e*x)^2) - (e*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d^3*(d + e*x)) + (a + b*Log[c*x^n])^3/(3*b*d^3*n) - (b^2*n^2*Log[d + e*x])/d^3 + (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/d^3 - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/d^3 + (3*b^2*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^3 - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^3 + (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/d^3, (b*e*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^3*(d + e*x)) + (b*n*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^3 + (a + b*Log[c*x^n])^2/(2*d*(d + e*x)^2) - (e*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d^3*(d + e*x)) - (Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/d^3 - (b^2*n^2*Log[d + e*x])/d^3 + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/d^3 - (b^2*n^2*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^3 + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^3 + (2*b^2*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^3 + (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -(d/(e*x))])/d^3}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(x^2*(d + e*x)^3), x, 16, -((2*b^2*n^2)/(d^3*x)) - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^3*x) - (b*e^2*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^4*(d + e*x)) + (e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*d^4) - (a + b*Log[c*x^n])^2/(d^3*x) - (e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*d^2*(d + e*x)^2) + (2*e^2*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d^4*(d + e*x)) - (e*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(b*d^4*n) + (b^2*e*n^2*Log[d + e*x])/d^4 - (5*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/d^4 + (3*e*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/d^4 - (5*b^2*e*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^4 + (6*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^4 - (6*b^2*e*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/d^4, -((2*b^2*n^2)/(d^3*x)) - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^3*x) - (b*e^2*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^4*(d + e*x)) - (b*e*n*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^4 - (a + b*Log[c*x^n])^2/(d^3*x) - (e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*d^2*(d + e*x)^2) + (2*e^2*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d^4*(d + e*x)) + (3*e*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/d^4 + (b^2*e*n^2*Log[d + e*x])/d^4 - (4*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/d^4 + (b^2*e*n^2*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^4 - (6*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^4 - (4*b^2*e*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^4 - (6*b^2*e*n^2*PolyLog[3, -(d/(e*x))])/d^4}
+
+
+{x^4*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x)^4, x, 27, -((2*a*b*n*x)/e^4) + (2*b^2*n^2*x)/e^4 - (b^2*d^2*n^2)/(3*e^5*(d + e*x)) - (b^2*d*n^2*Log[x])/(3*e^5) - (2*b^2*n*x*Log[c*x^n])/e^4 + (b*d^3*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^5*(d + e*x)^2) + (10*b*d*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^4*(d + e*x)) - (5*d*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*e^5) + (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/e^4 - (d^4*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*e^5*(d + e*x)^3) + (2*d^3*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(e^5*(d + e*x)^2) + (6*d*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(e^4*(d + e*x)) - (3*b^2*d*n^2*Log[d + e*x])/e^5 - (26*b*d*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(3*e^5) - (4*d*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/e^5 - (26*b^2*d*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/(3*e^5) - (8*b*d*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^5 + (8*b^2*d*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/e^5, -((2*a*b*n*x)/e^4) + (2*b^2*n^2*x)/e^4 - (b^2*d^2*n^2)/(3*e^5*(d + e*x)) - (b^2*d*n^2*Log[x])/(3*e^5) - (2*b^2*n*x*Log[c*x^n])/e^4 + (b*d^3*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^5*(d + e*x)^2) + (10*b*d*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^4*(d + e*x)) + (10*b*d*n*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^5) + (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/e^4 - (d^4*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*e^5*(d + e*x)^3) + (2*d^3*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(e^5*(d + e*x)^2) + (6*d*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(e^4*(d + e*x)) - (3*b^2*d*n^2*Log[d + e*x])/e^5 - (12*b*d*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/e^5 - (4*d*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/e^5 - (10*b^2*d*n^2*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/(3*e^5) - (12*b^2*d*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^5 - (8*b*d*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^5 + (8*b^2*d*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/e^5}
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x)^4, x, 24, (b^2*d*n^2)/(3*e^4*(d + e*x)) + (b^2*n^2*Log[x])/(3*e^4) - (b*d^2*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^4*(d + e*x)^2) - (7*b*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^3*(d + e*x)) + (7*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(6*e^4) + (d^3*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*e^4*(d + e*x)^3) - (3*d^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*e^4*(d + e*x)^2) - (3*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(e^3*(d + e*x)) + (2*b^2*n^2*Log[d + e*x])/e^4 + (11*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(3*e^4) + ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/e^4 + (11*b^2*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/(3*e^4) + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^4 - (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/e^4, (b^2*d*n^2)/(3*e^4*(d + e*x)) + (b^2*n^2*Log[x])/(3*e^4) - (b*d^2*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^4*(d + e*x)^2) - (7*b*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^3*(d + e*x)) - (7*b*n*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^4) + (d^3*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*e^4*(d + e*x)^3) - (3*d^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*e^4*(d + e*x)^2) - (3*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(e^3*(d + e*x)) + (2*b^2*n^2*Log[d + e*x])/e^4 + (6*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/e^4 + ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/e^4 + (7*b^2*n^2*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/(3*e^4) + (6*b^2*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^4 + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e^4 - (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/e^4}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x)^4, x, 5, (b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d*e*(d + e*x)^2) + (x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*d*(d + e*x)^3) + (b*n*x*(2*a + b*n + 2*b*Log[c*x^n]))/(3*d*e^2*(d + e*x)) - (b*n*(2*a + 3*b*n + 2*b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(3*d*e^3) - (2*b^2*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/(3*d*e^3)}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x)^4, x, 8, (b^2*n^2)/(3*d*e^2*(d + e*x)) + (b*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d*e^2*(d + e*x)) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^2*(d + e*x)^2) + (a + b*Log[c*x^n])^2/(6*d^2*e^2) + (d*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*e^2*(d + e*x)^3) - (a + b*Log[c*x^n])^2/(2*e^2*(d + e*x)^2) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(3*d^2*e^2) - (b^2*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/(3*d^2*e^2), (b^2*n^2)/(3*d*e^2*(d + e*x)) - (b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^2*(d + e*x)^2) + (b*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^2*e*(d + e*x)) + (x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*d*(d + e*x)^3) + (x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(6*d^2*(d + e*x)^2) + (b^2*n^2*Log[d + e*x])/(3*d^2*e^2) - (b*n*(a + b*n + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(3*d^2*e^2) - (b^2*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/(3*d^2*e^2)}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x)^4, x, 10, -((b^2*n^2)/(3*d^2*e*(d + e*x))) - (b^2*n^2*Log[x])/(3*d^3*e) + (b*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d*e*(d + e*x)^2) - (2*b*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^3*(d + e*x)) - (2*b*n*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^3*e) - (a + b*Log[c*x^n])^2/(3*e*(d + e*x)^3) + (b^2*n^2*Log[d + e*x])/(d^3*e) + (2*b^2*n^2*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/(3*d^3*e)}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(x^1*(d + e*x)^4), x, 25, (b^2*n^2)/(3*d^3*(d + e*x)) + (b^2*n^2*Log[x])/(3*d^4) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^2*(d + e*x)^2) + (5*b*e*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^4*(d + e*x)) - (5*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(6*d^4) + (a + b*Log[c*x^n])^2/(3*d*(d + e*x)^3) + (a + b*Log[c*x^n])^2/(2*d^2*(d + e*x)^2) - (e*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d^4*(d + e*x)) + (a + b*Log[c*x^n])^3/(3*b*d^4*n) - (2*b^2*n^2*Log[d + e*x])/d^4 + (11*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(3*d^4) - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/d^4 + (11*b^2*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/(3*d^4) - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^4 + (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/d^4, (b^2*n^2)/(3*d^3*(d + e*x)) + (b^2*n^2*Log[x])/(3*d^4) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^2*(d + e*x)^2) + (5*b*e*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^4*(d + e*x)) + (5*b*n*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^4) + (a + b*Log[c*x^n])^2/(3*d*(d + e*x)^3) + (a + b*Log[c*x^n])^2/(2*d^2*(d + e*x)^2) - (e*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d^4*(d + e*x)) - (Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/d^4 - (2*b^2*n^2*Log[d + e*x])/d^4 + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/d^4 - (5*b^2*n^2*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/(3*d^4) + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^4 + (2*b^2*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^4 + (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -(d/(e*x))])/d^4}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(x^2*(d + e*x)^4), x, 26, -((2*b^2*n^2)/(d^4*x)) - (b^2*e*n^2)/(3*d^4*(d + e*x)) - (b^2*e*n^2*Log[x])/(3*d^5) - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^4*x) + (b*e*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^3*(d + e*x)^2) - (8*b*e^2*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^5*(d + e*x)) + (4*e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*d^5) - (a + b*Log[c*x^n])^2/(d^4*x) - (e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*d^2*(d + e*x)^3) - (e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d^3*(d + e*x)^2) + (3*e^2*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d^5*(d + e*x)) - (4*e*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(3*b*d^5*n) + (3*b^2*e*n^2*Log[d + e*x])/d^5 - (26*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(3*d^5) + (4*e*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/d^5 - (26*b^2*e*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/(3*d^5) + (8*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^5 - (8*b^2*e*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/d^5, -((2*b^2*n^2)/(d^4*x)) - (b^2*e*n^2)/(3*d^4*(d + e*x)) - (b^2*e*n^2*Log[x])/(3*d^5) - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^4*x) + (b*e*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^3*(d + e*x)^2) - (8*b*e^2*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^5*(d + e*x)) - (8*b*e*n*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^5) - (a + b*Log[c*x^n])^2/(d^4*x) - (e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*d^2*(d + e*x)^3) - (e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d^3*(d + e*x)^2) + (3*e^2*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d^5*(d + e*x)) + (4*e*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/d^5 + (3*b^2*e*n^2*Log[d + e*x])/d^5 - (6*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/d^5 + (8*b^2*e*n^2*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/(3*d^5) - (8*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^5 - (6*b^2*e*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^5 - (8*b^2*e*n^2*PolyLog[3, -(d/(e*x))])/d^5}
+
+
+{(x*Log[x]^2)/(d + e*x)^4, x, 8, -(x/(3*d^2*e*(d + e*x))) + (x*Log[x])/(3*d*e*(d + e*x)^2) + (x^2*(3*d + e*x)*Log[x]^2)/(6*d^2*(d + e*x)^3) - (Log[x]*Log[1 + (e*x)/d])/(3*d^2*e^2) - PolyLog[2, -((e*x)/d)]/(3*d^2*e^2), 1/(3*d*e^2*(d + e*x)) - (x^2*Log[x])/(3*d^2*(d + e*x)^2) + (x*Log[x])/(3*d^2*e*(d + e*x)) + (x^2*Log[x]^2)/(3*d*(d + e*x)^3) + (x^2*Log[x]^2)/(6*d^2*(d + e*x)^2) + Log[d + e*x]/(3*d^2*e^2) - ((1 + Log[x])*Log[1 + (e*x)/d])/(3*d^2*e^2) - PolyLog[2, -((e*x)/d)]/(3*d^2*e^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b Log[c x^n])^3*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*q>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{(a + b*Log[c*x^n])^3/(x*(d + e*x)), x, 4, -((Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/d) + (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d + (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -(d/(e*x))])/d + (6*b^3*n^3*PolyLog[4, -(d/(e*x))])/d}
+
+
+{(a + b*Log[c*x^n])^3/(x*(d + e*x)^2), x, 9, -((e*x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(d^2*(d + e*x))) - (Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/d^2 + (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/d^2 + (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^2 + (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^2 + (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -(d/(e*x))])/d^2 - (6*b^3*n^3*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/d^2 + (6*b^3*n^3*PolyLog[4, -(d/(e*x))])/d^2}
+
+
+{(a + b*Log[c*x^n])^3/(x*(d + e*x)^3), x, 18, (3*b*e*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*d^3*(d + e*x)) - (a + b*Log[c*x^n])^3/(2*d^3) + (a + b*Log[c*x^n])^3/(2*d*(d + e*x)^2) - (e*x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(d^3*(d + e*x)) + (a + b*Log[c*x^n])^4/(4*b*d^3*n) - (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/d^3 + (9*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/(2*d^3) - ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + (e*x)/d])/d^3 - (3*b^3*n^3*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^3 + (9*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^3 - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^3 - (9*b^3*n^3*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/d^3 + (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/d^3 - (6*b^3*n^3*PolyLog[4, -((e*x)/d)])/d^3, (3*b*e*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*d^3*(d + e*x)) + (3*b*n*Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*d^3) + (a + b*Log[c*x^n])^3/(2*d*(d + e*x)^2) - (e*x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(d^3*(d + e*x)) - (Log[1 + d/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/d^3 - (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/d^3 + (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/d^3 - (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^3 + (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d^3 - (3*b^3*n^3*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^3 + (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^3 - (3*b^3*n^3*PolyLog[3, -(d/(e*x))])/d^3 + (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -(d/(e*x))])/d^3 - (6*b^3*n^3*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/d^3 + (6*b^3*n^3*PolyLog[4, -(d/(e*x))])/d^3}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b Log[c x^n])^(1/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{(d + e*x)^1*(a + b*Log[c*x^n])^(1/2), x, 10, ((-(1/2))*Sqrt[b]*d*Sqrt[n]*Sqrt[Pi]*x*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*x^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)) - ((1/4)*Sqrt[b]*e*Sqrt[n]*Sqrt[Pi/2]*x^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)) + d*x*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]] + (1/2)*e*x^2*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]]}
+
+
+{(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n])^(1/2), x, 14, ((-(1/2))*Sqrt[b]*d^2*Sqrt[n]*Sqrt[Pi]*x*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*x^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)) - ((1/2)*Sqrt[b]*d*e*Sqrt[n]*Sqrt[Pi/2]*x^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)) - ((1/6)*Sqrt[b]*e^2*Sqrt[n]*Sqrt[Pi/3]*x^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)) + d^2*x*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]] + d*e*x^2*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]] + (1/3)*e^2*x^3*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]]}
+
+
+{(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*x^n])^(1/2), x, 18, ((-(1/2))*Sqrt[b]*d^3*Sqrt[n]*Sqrt[Pi]*x*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*x^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)) - ((1/16)*Sqrt[b]*e^3*Sqrt[n]*Sqrt[Pi]*x^4*Erfi[(2*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((4*a)/(b*n))*(c*x^n)^(4/n)) - ((3/4)*Sqrt[b]*d^2*e*Sqrt[n]*Sqrt[Pi/2]*x^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)) - ((1/2)*Sqrt[b]*d*e^2*Sqrt[n]*Sqrt[Pi/3]*x^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)) + d^3*x*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]] + (3/2)*d^2*e*x^2*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]] + d*e^2*x^3*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]] + (1/4)*e^3*x^4*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{(a + b*Log[c*x^n])^(1/2)/(d + e*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*Log[c*x^n]]/(d + e*x), x]}
+
+
+{(a + b*Log[c*x^n])^(1/2)/(d + e*x)^2, x, 1, (x*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]])/(d*(d + e*x)) - (b*n*Unintegrable[1/((d + e*x)*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]]), x])/(2*d)}
+
+
+{(a + b*Log[c*x^n])^(1/2)/(d + e*x)^3, x, 1, -(Sqrt[a + b*Log[c*x^n]]/(2*e*(d + e*x)^2)) + (b*n*Unintegrable[1/(x*(d + e*x)^2*Sqrt[a + b*Log[c*x^n]]), x])/(4*e)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^(q/2) (a+b Log[c x^n])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{x^3*Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]), x, If[$VersionNumber>=8, 8, 9], (64*b*d^4*n*Sqrt[d + e*x])/(315*e^4) + (64*b*d^3*n*(d + e*x)^(3/2))/(945*e^4) - (356*b*d^2*n*(d + e*x)^(5/2))/(1575*e^4) + (80*b*d*n*(d + e*x)^(7/2))/(441*e^4) - (4*b*n*(d + e*x)^(9/2))/(81*e^4) - (64*b*d^(9/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(315*e^4) - (2*d^3*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^4) + (6*d^2*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^4) - (6*d*(d + e*x)^(7/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*e^4) + (2*(d + e*x)^(9/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*e^4)}
+{x^2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]), x, If[$VersionNumber>=8, 6, 7], -((32*b*d^3*n*Sqrt[d + e*x])/(105*e^3)) - (32*b*d^2*n*(d + e*x)^(3/2))/(315*e^3) + (36*b*d*n*(d + e*x)^(5/2))/(175*e^3) - (4*b*n*(d + e*x)^(7/2))/(49*e^3) + (32*b*d^(7/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(105*e^3) + (2*d^2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^3) - (4*d*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^3) + (2*(d + e*x)^(7/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*e^3)}
+{x^1*Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]), x, If[$VersionNumber>=8, 7, 8], (8*b*d^2*n*Sqrt[d + e*x])/(15*e^2) + (8*b*d*n*(d + e*x)^(3/2))/(45*e^2) - (4*b*n*(d + e*x)^(5/2))/(25*e^2) - (8*b*d^(5/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(15*e^2) - (2*d*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^2) + (2*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^2)}
+{x^0*Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 5, -((4*b*d*n*Sqrt[d + e*x])/(3*e)) - (4*b*n*(d + e*x)^(3/2))/(9*e) + (4*b*d^(3/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(3*e) + (2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e)}
+{Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n])/x^1, x, 12, -4*b*n*Sqrt[d + e*x] + 4*b*Sqrt[d]*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]] + 2*b*Sqrt[d]*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]^2 + 2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]) - 2*Sqrt[d]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]) - 4*b*Sqrt[d]*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])] - 2*b*Sqrt[d]*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])]}
+{Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n])/x^2, x, 11, -((b*n*Sqrt[d + e*x])/x) - (b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/Sqrt[d] + (b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]^2)/Sqrt[d] - (Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/x - (e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/Sqrt[d] - (2*b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])])/Sqrt[d] - (b*e*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])])/Sqrt[d]}
+{Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n])/x^3, x, 16, -((b*n*Sqrt[d + e*x])/(4*x^2)) - (3*b*e*n*Sqrt[d + e*x])/(8*d*x) - (b*e^2*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(8*d^(3/2)) - (b*e^2*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]^2)/(4*d^(3/2)) - (Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (e*Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*d*x) + (e^2*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*d^(3/2)) + (b*e^2*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])])/(2*d^(3/2)) + (b*e^2*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])])/(4*d^(3/2))}
+
+
+{x^3*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 9, (64*b*d^5*n*Sqrt[d + e*x])/(1155*e^4) + (64*b*d^4*n*(d + e*x)^(3/2))/(3465*e^4) + (64*b*d^3*n*(d + e*x)^(5/2))/(5775*e^4) - (172*b*d^2*n*(d + e*x)^(7/2))/(1617*e^4) + (32*b*d*n*(d + e*x)^(9/2))/(297*e^4) - (4*b*n*(d + e*x)^(11/2))/(121*e^4) - (64*b*d^(11/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(1155*e^4) - (2*d^3*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^4) + (6*d^2*(d + e*x)^(7/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*e^4) - (2*d*(d + e*x)^(9/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^4) + (2*(d + e*x)^(11/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(11*e^4)}
+{x^2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 6, -((32*b*d^4*n*Sqrt[d + e*x])/(315*e^3)) - (32*b*d^3*n*(d + e*x)^(3/2))/(945*e^3) - (32*b*d^2*n*(d + e*x)^(5/2))/(1575*e^3) + (44*b*d*n*(d + e*x)^(7/2))/(441*e^3) - (4*b*n*(d + e*x)^(9/2))/(81*e^3) + (32*b*d^(9/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(315*e^3) + (2*d^2*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^3) - (4*d*(d + e*x)^(7/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*e^3) + (2*(d + e*x)^(9/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*e^3)}
+{x^1*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 8, (8*b*d^3*n*Sqrt[d + e*x])/(35*e^2) + (8*b*d^2*n*(d + e*x)^(3/2))/(105*e^2) + (8*b*d*n*(d + e*x)^(5/2))/(175*e^2) - (4*b*n*(d + e*x)^(7/2))/(49*e^2) - (8*b*d^(7/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(35*e^2) - (2*d*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^2) + (2*(d + e*x)^(7/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*e^2)}
+{x^0*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 6, -((4*b*d^2*n*Sqrt[d + e*x])/(5*e)) - (4*b*d*n*(d + e*x)^(3/2))/(15*e) - (4*b*n*(d + e*x)^(5/2))/(25*e) + (4*b*d^(5/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(5*e) + (2*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e)}
+{(d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])/x^1, x, 18, (-(16/3))*b*d*n*Sqrt[d + e*x] - (4/9)*b*n*(d + e*x)^(3/2) + (16/3)*b*d^(3/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]] + 2*b*d^(3/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]^2 + 2*d*Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]) + (2/3)*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]) - 2*d^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]) - 4*b*d^(3/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])] - 2*b*d^(3/2)*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])]}
+{(d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])/x^2, x, 14, -4*b*e*n*Sqrt[d + e*x] - (b*d*n*Sqrt[d + e*x])/x + 3*b*Sqrt[d]*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]] + 3*b*Sqrt[d]*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]^2 + 3*e*Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]) - ((d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/x - 3*Sqrt[d]*e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]) - 6*b*Sqrt[d]*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])] - 3*b*Sqrt[d]*e*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])]}
+{(d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])/x^3, x, 16, -((b*d*n*Sqrt[d + e*x])/(4*x^2)) - (11*b*e*n*Sqrt[d + e*x])/(8*x) - (9*b*e^2*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[d]) + (3*b*e^2*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]^2)/(4*Sqrt[d]) - (3*e*Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*x) - ((d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (3*e^2*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*Sqrt[d]) - (3*b*e^2*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])])/(2*Sqrt[d]) - (3*b*e^2*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])])/(4*Sqrt[d])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])/Sqrt[d + e*x], x, 7, (64*b*d^3*n*Sqrt[d + e*x])/(35*e^4) - (76*b*d^2*n*(d + e*x)^(3/2))/(105*e^4) + (64*b*d*n*(d + e*x)^(5/2))/(175*e^4) - (4*b*n*(d + e*x)^(7/2))/(49*e^4) - (64*b*d^(7/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(35*e^4) - (2*d^3*Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^4 + (2*d^2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/e^4 - (6*d*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^4) + (2*(d + e*x)^(7/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*e^4)}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])/Sqrt[d + e*x], x, 6, -((32*b*d^2*n*Sqrt[d + e*x])/(15*e^3)) + (28*b*d*n*(d + e*x)^(3/2))/(45*e^3) - (4*b*n*(d + e*x)^(5/2))/(25*e^3) + (32*b*d^(5/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(15*e^3) + (2*d^2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^3 - (4*d*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^3) + (2*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^3)}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])/Sqrt[d + e*x], x, 6, (8*b*d*n*Sqrt[d + e*x])/(3*e^2) - (4*b*n*(d + e*x)^(3/2))/(9*e^2) - (8*b*d^(3/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(3*e^2) - (2*d*Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^2 + (2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^2)}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])/Sqrt[d + e*x], x, 4, -((4*b*n*Sqrt[d + e*x])/e) + (4*b*Sqrt[d]*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/e + (2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/e}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*Sqrt[d + e*x]), x, 7, (2*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]^2)/Sqrt[d] - (2*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/Sqrt[d] - (4*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])])/Sqrt[d] - (2*b*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])])/Sqrt[d]}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*Sqrt[d + e*x]), x, 11, -((b*n*Sqrt[d + e*x])/(d*x)) - (b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/d^(3/2) - (b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]^2)/d^(3/2) - (Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(d*x) + (e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^(3/2) + (2*b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])])/d^(3/2) + (b*e*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])])/d^(3/2)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^3*Sqrt[d + e*x]), x, 16, -((b*n*Sqrt[d + e*x])/(4*d*x^2)) + (5*b*e*n*Sqrt[d + e*x])/(8*d^2*x) + (7*b*e^2*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(8*d^(5/2)) + (3*b*e^2*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]^2)/(4*d^(5/2)) - (Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d*x^2) + (3*e*Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*d^2*x) - (3*e^2*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*d^(5/2)) - (3*b*e^2*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])])/(2*d^(5/2)) - (3*b*e^2*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])])/(4*d^(5/2))}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^(3/2), x, 6, -((44*b*d^2*n*Sqrt[d + e*x])/(5*e^4)) + (16*b*d*n*(d + e*x)^(3/2))/(15*e^4) - (4*b*n*(d + e*x)^(5/2))/(25*e^4) + (64*b*d^(5/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(5*e^4) + (2*d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^4*Sqrt[d + e*x]) + (6*d^2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^4 - (2*d*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/e^4 + (2*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^4)}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^(3/2), x, 6, (20*b*d*n*Sqrt[d + e*x])/(3*e^3) - (4*b*n*(d + e*x)^(3/2))/(9*e^3) - (32*b*d^(3/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(3*e^3) - (2*d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^3*Sqrt[d + e*x]) - (4*d*Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^3 + (2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^3)}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^(3/2), x, 5, -((4*b*n*Sqrt[d + e*x])/e^2) + (8*b*Sqrt[d]*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/e^2 + (2*d*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^2*Sqrt[d + e*x]) + (2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^2}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^(3/2), x, 3, -((4*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/(Sqrt[d]*e)) - (2*(a + b*Log[c*x^n]))/(e*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*(d + e*x)^(3/2)), x, 11, (4*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/d^(3/2) + (2*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]^2)/d^(3/2) + (2*(a + b*Log[c*x^n]))/(d*Sqrt[d + e*x]) - (2*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^(3/2) - (4*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])])/d^(3/2) - (2*b*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])])/d^(3/2)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*(d + e*x)^(3/2)), x, If[$VersionNumber<9, 11, 15], -((b*n*Sqrt[d + e*x])/(d^2*x)) - (5*b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]])/d^(5/2) - (3*b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]^2)/d^(5/2) - (3*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^2*Sqrt[d + e*x]) - (a + b*Log[c*x^n])/(d*x*Sqrt[d + e*x]) + (3*e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^(5/2) + (6*b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])])/d^(5/2) + (3*b*e*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x])])/d^(5/2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q / (a+b Log[c x^n])*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*q>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{x^2/((d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])), x, 0, Unintegrable[x^2/((d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])), x]}
+{x^1/((d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])), x, 0, Unintegrable[x/((d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])), x]}
+{x^0/((d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])), x]}
+{1/(x^1*(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])), x]}
+{1/(x^2*(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(d + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x)^q (a+b Log[c x^n])^p when m symbolic*)
+
+
+{(f*x)^m*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 3, -((b*d^3*n*(f*x)^(1 + m))/(f*(1 + m)^2)) - (3*b*d^2*e*n*(f*x)^(2 + m))/(f^2*(2 + m)^2) - (3*b*d*e^2*n*(f*x)^(3 + m))/(f^3*(3 + m)^2) - (b*e^3*n*(f*x)^(4 + m))/(f^4*(4 + m)^2) + (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f*(1 + m)) + (3*d^2*e*(f*x)^(2 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f^2*(2 + m)) + (3*d*e^2*(f*x)^(3 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f^3*(3 + m)) + (e^3*(f*x)^(4 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f^4*(4 + m))}
+{(f*x)^m*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -((b*d^2*n*(f*x)^(1 + m))/(f*(1 + m)^2)) - (2*b*d*e*n*(f*x)^(2 + m))/(f^2*(2 + m)^2) - (b*e^2*n*(f*x)^(3 + m))/(f^3*(3 + m)^2) + (d^2*(f*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f*(1 + m)) + (2*d*e*(f*x)^(2 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f^2*(2 + m)) + (e^2*(f*x)^(3 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f^3*(3 + m))}
+{(f*x)^m*(d + e*x)^1*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -((b*d*n*(f*x)^(1 + m))/(f*(1 + m)^2)) - (b*e*n*(f*x)^(2 + m))/(f^2*(2 + m)^2) + (d*(f*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f*(1 + m)) + (e*(f*x)^(2 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f^2*(2 + m))}
+{(f*x)^m*(d + e*x)^0*(a + b*Log[c*x^n]), x, 1, -((b*n*(f*x)^(1 + m))/(f*(1 + m)^2)) + ((f*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f*(1 + m))}
+{(f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^1, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n]))/(d + e*x), x]}
+{(f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x)^2, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n]))/(d + e*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x)^q (a+b Log[c x^n])^p when q symbolic*)
+
+
+{x^1*(a + b*x)^m*Log[c*x^n], x, 0, Unintegrable[x*(a + b*x)^m*Log[c*x^n], x]}
+{x^0*(a + b*x)^m*Log[c*x^n], x, 2, (n*(a + b*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, 1 + (b*x)/a])/(a*b*(2 + 3*m + m^2)) + ((a + b*x)^(1 + m)*Log[c*x^n])/(b*(1 + m))}
+{(a + b*x)^m*Log[c*x^n]/x^1, x, 0, Unintegrable[((a + b*x)^m*Log[c*x^n])/x, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^q (a+b Log[c x^n])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{x^5*(d + e*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, (-(1/36))*b*d*n*x^6 - (1/64)*b*e*n*x^8 + (1/24)*(4*d*x^6 + 3*e*x^8)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^3*(d + e*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, (-(1/16))*b*d*n*x^4 - (1/36)*b*e*n*x^6 + (1/12)*(3*d*x^4 + 2*e*x^6)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^1*(d + e*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, (-(1/4))*b*d*n*x^2 - (1/16)*b*e*n*x^4 + (1/4)*(2*d*x^2 + e*x^4)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{((d + e*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]))/x^1, x, 4, -(b*e*n*x^2)/4 + (e*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/2 + (d*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*b*n)}
+{((d + e*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]))/x^3, x, 3, -(b*d*n)/(4*x^2) - (d*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) + (e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*b*n), -((b*d*n)/(4*x^2)) - (1/2)*b*e*n*Log[x]^2 - (d*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) + e*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+{((d + e*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]))/x^5, x, 4, -((b*d*n)/(16*x^4)) - (b*e*n)/(4*x^2) - (d*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*x^4) - (e*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2)}
+
+{x^4*(d + e*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, (-(1/25))*b*d*n*x^5 - (1/49)*b*e*n*x^7 + (1/35)*(7*d*x^5 + 5*e*x^7)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^2*(d + e*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, (-(1/9))*b*d*n*x^3 - (1/25)*b*e*n*x^5 + (1/15)*(5*d*x^3 + 3*e*x^5)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^0*(d + e*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, (-b)*d*n*x - (1/9)*b*e*n*x^3 + d*x*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/3)*e*x^3*(a + b*Log[c*x^n])}
+{((d + e*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]))/x^2, x, 2, -((b*d*n)/x) - b*e*n*x - (d*(a + b*Log[c*x^n]))/x + e*x*(a + b*Log[c*x^n])}
+{((d + e*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]))/x^4, x, 4, -((b*d*n)/(9*x^3)) - (b*e*n)/x - (d*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^3) - (e*(a + b*Log[c*x^n]))/x}
+{((d + e*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]))/x^6, x, 4, -((b*d*n)/(25*x^5)) - (b*e*n)/(9*x^3) - (d*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*x^5) - (e*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^3)}
+
+
+{x^5*(d + e*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, (-(1/36))*b*d^2*n*x^6 - (1/32)*b*d*e*n*x^8 - (1/100)*b*e^2*n*x^10 + (1/60)*(10*d^2*x^6 + 15*d*e*x^8 + 6*e^2*x^10)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^3*(d + e*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, (-(1/16))*b*d^2*n*x^4 - (1/18)*b*d*e*n*x^6 - (1/64)*b*e^2*n*x^8 + (1/24)*(6*d^2*x^4 + 8*d*e*x^6 + 3*e^2*x^8)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^1*(d + e*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 5, -(b*d^2*n*x^2)/4 - (b*d*e*n*x^4)/8 - (b*e^2*n*x^6)/36 - (b*d^3*n*Log[x])/(6*e) + ((d + e*x^2)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*e)}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x^1, x, 3, (-(1/2))*b*d*e*n*x^2 - (1/16)*b*e^2*n*x^4 - (1/2)*b*d^2*n*Log[x]^2 + d*e*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/4)*e^2*x^4*(a + b*Log[c*x^n]) + d^2*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x^3, x, 7, -((b*d^2*n)/(4*x^2)) - (1/4)*b*e^2*n*x^2 - b*d*e*n*Log[x]^2 - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) + (1/2)*e^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + 2*d*e*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x^5, x, 7, -((b*d^2*n)/(16*x^4)) - (b*d*e*n)/(2*x^2) - (1/2)*b*e^2*n*Log[x]^2 - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*x^4) - (d*e*(a + b*Log[c*x^n]))/x^2 + e^2*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+
+{x^4*(d + e*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, (-(1/25))*b*d^2*n*x^5 - (2/49)*b*d*e*n*x^7 - (1/81)*b*e^2*n*x^9 + (1/315)*(63*d^2*x^5 + 90*d*e*x^7 + 35*e^2*x^9)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^2*(d + e*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, (-(1/9))*b*d^2*n*x^3 - (2/25)*b*d*e*n*x^5 - (1/49)*b*e^2*n*x^7 + (1/105)*(35*d^2*x^3 + 42*d*e*x^5 + 15*e^2*x^7)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^0*(d + e*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, (-b)*d^2*n*x - (2/9)*b*d*e*n*x^3 - (1/25)*b*e^2*n*x^5 + d^2*x*(a + b*Log[c*x^n]) + (2/3)*d*e*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/5)*e^2*x^5*(a + b*Log[c*x^n])}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x^2, x, 2, -((b*d^2*n)/x) - 2*b*d*e*n*x - (1/9)*b*e^2*n*x^3 - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x + 2*d*e*x*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/3)*e^2*x^3*(a + b*Log[c*x^n])}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x^4, x, 2, -((b*d^2*n)/(9*x^3)) - (2*b*d*e*n)/x - b*e^2*n*x - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^3) - (2*d*e*(a + b*Log[c*x^n]))/x + e^2*x*(a + b*Log[c*x^n])}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x^6, x, 4, -((b*d^2*n)/(25*x^5)) - (2*b*d*e*n)/(9*x^3) - (b*e^2*n)/x - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*x^5) - (2*d*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^3) - (e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x^8, x, 4, -((b*d^2*n)/(49*x^7)) - (2*b*d*e*n)/(25*x^5) - (b*e^2*n)/(9*x^3) - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*x^7) - (2*d*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*x^5) - (e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^3)}
+
+
+{x^5*(d + e*x^2)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, (-(1/36))*b*d^3*n*x^6 - (3/64)*b*d^2*e*n*x^8 - (3/100)*b*d*e^2*n*x^10 - (1/144)*b*e^3*n*x^12 + (1/120)*(20*d^3*x^6 + 45*d^2*e*x^8 + 36*d*e^2*x^10 + 10*e^3*x^12)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^3*(d + e*x^2)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 6, (b*d^4*n*x^2)/(20*e) + (3/80)*b*d^3*n*x^4 + (1/60)*b*d^2*e*n*x^6 + (1/320)*b*d*e^2*n*x^8 - (b*n*(d + e*x^2)^5)/(100*e^2) + (b*d^5*n*Log[x])/(40*e^2) - (1/40)*((5*d*(d + e*x^2)^4)/e^2 - (4*(d + e*x^2)^5)/e^2)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^1*(d + e*x^2)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 5, -(b*d^3*n*x^2)/4 - (3*b*d^2*e*n*x^4)/16 - (b*d*e^2*n*x^6)/12 - (b*e^3*n*x^8)/64 - (b*d^4*n*Log[x])/(8*e) + ((d + e*x^2)^4*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*e)}
+{((d + e*x^2)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x^1, x, 5, (-(3/4))*b*d^2*e*n*x^2 - (3/16)*b*d*e^2*n*x^4 - (1/36)*b*e^3*n*x^6 - (1/2)*b*d^3*n*Log[x]^2 + (3/2)*d^2*e*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + (3/4)*d*e^2*x^4*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/6)*e^3*x^6*(a + b*Log[c*x^n]) + d^3*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+{((d + e*x^2)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x^3, x, 7, -((b*d^3*n)/(4*x^2)) - (3/4)*b*d*e^2*n*x^2 - (1/16)*b*e^3*n*x^4 - (3/2)*b*d^2*e*n*Log[x]^2 - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) + (3/2)*d*e^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/4)*e^3*x^4*(a + b*Log[c*x^n]) + 3*d^2*e*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+{((d + e*x^2)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x^5, x, 7, -((b*d^3*n)/(16*x^4)) - (3*b*d^2*e*n)/(4*x^2) - (1/4)*b*e^3*n*x^2 - (3/2)*b*d*e^2*n*Log[x]^2 - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*x^4) - (3*d^2*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) + (1/2)*e^3*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + 3*d*e^2*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+
+{x^4*(d + e*x^2)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, (-(1/25))*b*d^3*n*x^5 - (3/49)*b*d^2*e*n*x^7 - (1/27)*b*d*e^2*n*x^9 - (1/121)*b*e^3*n*x^11 + ((231*d^3*x^5 + 495*d^2*e*x^7 + 385*d*e^2*x^9 + 105*e^3*x^11)*(a + b*Log[c*x^n]))/1155}
+{x^2*(d + e*x^2)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, (-(1/9))*b*d^3*n*x^3 - (3/25)*b*d^2*e*n*x^5 - (3/49)*b*d*e^2*n*x^7 - (1/81)*b*e^3*n*x^9 + (1/315)*(105*d^3*x^3 + 189*d^2*e*x^5 + 135*d*e^2*x^7 + 35*e^3*x^9)*(a + b*Log[c*x^n])}
+{x^0*(d + e*x^2)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, (-b)*d^3*n*x - (1/3)*b*d^2*e*n*x^3 - (3/25)*b*d*e^2*n*x^5 - (1/49)*b*e^3*n*x^7 + d^3*x*(a + b*Log[c*x^n]) + d^2*e*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) + (3/5)*d*e^2*x^5*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/7)*e^3*x^7*(a + b*Log[c*x^n])}
+{((d + e*x^2)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x^2, x, 2, -((b*d^3*n)/x) - 3*b*d^2*e*n*x - (1/3)*b*d*e^2*n*x^3 - (1/25)*b*e^3*n*x^5 - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x + 3*d^2*e*x*(a + b*Log[c*x^n]) + d*e^2*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/5)*e^3*x^5*(a + b*Log[c*x^n])}
+{((d + e*x^2)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x^4, x, 3, -((b*d^3*n)/(9*x^3)) - (3*b*d^2*e*n)/x - 3*b*d*e^2*n*x - (1/9)*b*e^3*n*x^3 - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^3) - (3*d^2*e*(a + b*Log[c*x^n]))/x + 3*d*e^2*x*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/3)*e^3*x^3*(a + b*Log[c*x^n])}
+{((d + e*x^2)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x^6, x, 2, -((b*d^3*n)/(25*x^5)) - (b*d^2*e*n)/(3*x^3) - (3*b*d*e^2*n)/x - b*e^3*n*x - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*x^5) - (d^2*e*(a + b*Log[c*x^n]))/x^3 - (3*d*e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x + e^3*x*(a + b*Log[c*x^n])}
+{((d + e*x^2)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x^8, x, 4, -((b*d^3*n)/(49*x^7)) - (3*b*d^2*e*n)/(25*x^5) - (b*d*e^2*n)/(3*x^3) - (b*e^3*n)/x - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*x^7) - (3*d^2*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*x^5) - (d*e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x^3 - (e^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x}
+{((d + e*x^2)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x^10, x, 4, -((b*d^3*n)/(81*x^9)) - (3*b*d^2*e*n)/(49*x^7) - (3*b*d*e^2*n)/(25*x^5) - (b*e^3*n)/(9*x^3) - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*x^9) - (3*d^2*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*x^7) - (3*d*e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*x^5) - (e^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^3)}
+
+
+(* ::InheritFromParent:: *)
+(**)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{x^5*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2), x, 6, (b*d*n*x^2)/(4*e^2) - (b*n*x^4)/(16*e) - (d*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^2) + (x^4*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e) + (d^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x^2)/d])/(2*e^3) + (b*d^2*n*PolyLog[2, -((e*x^2)/d)])/(4*e^3)}
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2), x, 5, -((b*n*x^2)/(4*e)) + (x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e) - (d*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x^2)/d])/(2*e^2) - (b*d*n*PolyLog[2, -((e*x^2)/d)])/(4*e^2)}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2), x, 2, ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x^2)/d])/(2*e) + (b*n*PolyLog[2, -((e*x^2)/d)])/(4*e)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*(d + e*x^2)), x, 2, -((Log[1 + d/(e*x^2)]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d)) + (b*n*PolyLog[2, -(d/(e*x^2))])/(4*d)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^3*(d + e*x^2)), x, 4, -((b*n)/(4*d*x^2)) - (a + b*Log[c*x^n])/(2*d*x^2) + (e*Log[1 + d/(e*x^2)]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^2) - (b*e*n*PolyLog[2, -(d/(e*x^2))])/(4*d^2)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^5*(d + e*x^2)), x, 6, -((b*n)/(16*d*x^4)) + (b*e*n)/(4*d^2*x^2) - (a + b*Log[c*x^n])/(4*d*x^4) + (e*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^2*x^2) - (e^2*Log[1 + d/(e*x^2)]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^3) + (b*e^2*n*PolyLog[2, -(d/(e*x^2))])/(4*d^3)}
+
+{x^4*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2), x, 10, -((a*d*x)/e^2) + (b*d*n*x)/e^2 - (b*n*x^3)/(9*e) - (b*d*x*Log[c*x^n])/e^2 + (x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e) + (d^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^(5/2) - (I*b*d^(3/2)*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d])])/(2*e^(5/2)) + (I*b*d^(3/2)*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(2*e^(5/2))}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2), x, 9, (a*x)/e - (b*n*x)/e + (b*x*Log[c*x^n])/e - (Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^(3/2) + (I*b*Sqrt[d]*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d])])/(2*e^(3/2)) - (I*b*Sqrt[d]*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(2*e^(3/2))}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2), x, 5, (ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(Sqrt[d]*Sqrt[e]) - (I*b*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d])])/(2*Sqrt[d]*Sqrt[e]) + (I*b*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[d]*Sqrt[e])}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*(d + e*x^2)), x, 7, -((b*n)/(d*x)) - (a + b*Log[c*x^n])/(d*x) - (Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^(3/2) + (I*b*Sqrt[e]*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d])])/(2*d^(3/2)) - (I*b*Sqrt[e]*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(2*d^(3/2))}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^4*(d + e*x^2)), x, 9, -((b*n)/(9*d*x^3)) + (b*e*n)/(d^2*x) - (a + b*Log[c*x^n])/(3*d*x^3) + (e*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^2*x) + (e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/d^(5/2) - (I*b*e^(3/2)*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d])])/(2*d^(5/2)) + (I*b*e^(3/2)*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(2*d^(5/2))}
+
+
+{x^5*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^2, x, 7, -((b*n*x^2)/(4*e^2)) + (x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^2) + (d*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^2*(d + e*x^2)) - (b*d*n*Log[d + e*x^2])/(4*e^3) - (d*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x^2)/d])/e^3 - (b*d*n*PolyLog[2, -((e*x^2)/d)])/(2*e^3)}
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^2, x, 6, -((x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e*(d + e*x^2))) + (b*n*Log[d + e*x^2])/(4*e^2) + ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x^2)/d])/(2*e^2) + (b*n*PolyLog[2, -((e*x^2)/d)])/(4*e^2)}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^2, x, 2, (x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d*(d + e*x^2)) - (b*n*Log[d + e*x^2])/(4*d*e)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*(d + e*x^2)^2), x, 3, (a + b*Log[c*x^n])/(2*d*(d + e*x^2)) - (Log[1 + d/(e*x^2)]*(2*a - b*n + 2*b*Log[c*x^n]))/(4*d^2) + (b*n*PolyLog[2, -(d/(e*x^2))])/(4*d^2)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^3*(d + e*x^2)^2), x, 5, -((b*n)/(2*d^2*x^2)) + (a + b*Log[c*x^n])/(2*d*x^2*(d + e*x^2)) - (4*a - b*n + 4*b*Log[c*x^n])/(4*d^2*x^2) + (e*Log[1 + d/(e*x^2)]*(4*a - b*n + 4*b*Log[c*x^n]))/(4*d^3) - (b*e*n*PolyLog[2, -(d/(e*x^2))])/(2*d^3)}
+
+{x^4*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^2, x, 16, (a*x)/e^2 - (b*n*x)/e^2 - (b*Sqrt[d]*n*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(2*e^(5/2)) + (b*x*Log[c*x^n])/e^2 + (d*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^2*(d + e*x^2)) - (3*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^(5/2)) + (3*I*b*Sqrt[d]*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d])])/(4*e^(5/2)) - (3*I*b*Sqrt[d]*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(4*e^(5/2))}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^2, x, 14, (b*n*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[d]*e^(3/2)) - (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e*(d + e*x^2)) + (ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*Sqrt[d]*e^(3/2)) - (I*b*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d])])/(4*Sqrt[d]*e^(3/2)) + (I*b*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[d]*e^(3/2))}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^2, x, 7, -((b*n*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(2*d^(3/2)*Sqrt[e])) + (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d*(d + e*x^2)) + (ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^(3/2)*Sqrt[e]) - (I*b*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d])])/(4*d^(3/2)*Sqrt[e]) + (I*b*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(4*d^(3/2)*Sqrt[e])}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*(d + e*x^2)^2), x, 8, -((3*b*n)/(2*d^2*x)) + (a + b*Log[c*x^n])/(2*d*x*(d + e*x^2)) - (3*a - b*n + 3*b*Log[c*x^n])/(2*d^2*x) - (Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(3*a - b*n + 3*b*Log[c*x^n]))/(2*d^(5/2)) + (3*I*b*Sqrt[e]*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d])])/(4*d^(5/2)) - (3*I*b*Sqrt[e]*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(4*d^(5/2))}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^4*(d + e*x^2)^2), x, 10, -((5*b*n)/(18*d^2*x^3)) + (5*b*e*n)/(2*d^3*x) + (a + b*Log[c*x^n])/(2*d*x^3*(d + e*x^2)) - (5*a - b*n + 5*b*Log[c*x^n])/(6*d^2*x^3) + (e*(5*a - b*n + 5*b*Log[c*x^n]))/(2*d^3*x) + (e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(5*a - b*n + 5*b*Log[c*x^n]))/(2*d^(7/2)) - (5*I*b*e^(3/2)*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d])])/(4*d^(7/2)) + (5*I*b*e^(3/2)*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(4*d^(7/2))}
+
+
+{x^5*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^3, x, 10, (b*d*n)/(8*e^3*(d + e*x^2)) + (b*n*Log[x])/(4*e^3) - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e^3*(d + e*x^2)^2) - (x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^2*(d + e*x^2)) + (3*b*n*Log[d + e*x^2])/(8*e^3) + ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x^2)/d])/(2*e^3) + (b*n*PolyLog[2, -((e*x^2)/d)])/(4*e^3)}
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^3, x, 4, -((b*n)/(8*e^2*(d + e*x^2))) + (x^4*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*d*(d + e*x^2)^2) - (b*n*Log[d + e*x^2])/(8*d*e^2)}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^3, x, 4, (b*n)/(8*d*e*(d + e*x^2)) + (b*n*Log[x])/(4*d^2*e) - (a + b*Log[c*x^n])/(4*e*(d + e*x^2)^2) - (b*n*Log[d + e*x^2])/(8*d^2*e)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*(d + e*x^2)^3), x, 4, (a + b*Log[c*x^n])/(4*d*(d + e*x^2)^2) - (Log[1 + d/(e*x^2)]*(4*a - 3*b*n + 4*b*Log[c*x^n]))/(8*d^3) + (4*a - b*n + 4*b*Log[c*x^n])/(8*d^2*(d + e*x^2)) + (b*n*PolyLog[2, -(d/(e*x^2))])/(4*d^3)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^3*(d + e*x^2)^3), x, 6, -((3*b*n)/(4*d^3*x^2)) + (a + b*Log[c*x^n])/(4*d*x^2*(d + e*x^2)^2) + (6*a - b*n + 6*b*Log[c*x^n])/(8*d^2*x^2*(d + e*x^2)) - (12*a - 5*b*n + 12*b*Log[c*x^n])/(8*d^3*x^2) + (e*Log[1 + d/(e*x^2)]*(12*a - 5*b*n + 12*b*Log[c*x^n]))/(8*d^4) - (3*b*e*n*PolyLog[2, -(d/(e*x^2))])/(4*d^4)}
+
+{x^4*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^3, x, 24, -((b*n*x)/(8*e^2*(d + e*x^2))) + (b*n*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[d]*e^(5/2)) + (d*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e^2*(d + e*x^2)^2) - (5*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*e^2*(d + e*x^2)) + (3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*Sqrt[d]*e^(5/2)) - (3*I*b*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d])])/(16*Sqrt[d]*e^(5/2)) + (3*I*b*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(16*Sqrt[d]*e^(5/2))}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^3, x, 19, (b*n*x)/(8*d*e*(d + e*x^2)) - (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e*(d + e*x^2)^2) + (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*d*e*(d + e*x^2)) + (ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*d^(3/2)*e^(3/2)) - (I*b*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d])])/(16*d^(3/2)*e^(3/2)) + (I*b*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(16*d^(3/2)*e^(3/2))}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^3, x, 10, -((b*n*x)/(8*d^2*(d + e*x^2))) - (b*n*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(2*d^(5/2)*Sqrt[e]) + (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*d*(d + e*x^2)^2) + (3*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*d^2*(d + e*x^2)) + (3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*d^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*I*b*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d])])/(16*d^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*I*b*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(16*d^(5/2)*Sqrt[e])}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*(d + e*x^2)^3), x, 9, -((15*b*n)/(8*d^3*x)) + (a + b*Log[c*x^n])/(4*d*x*(d + e*x^2)^2) + (5*a - b*n + 5*b*Log[c*x^n])/(8*d^2*x*(d + e*x^2)) - (15*a - 8*b*n + 15*b*Log[c*x^n])/(8*d^3*x) - (Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(15*a - 8*b*n + 15*b*Log[c*x^n]))/(8*d^(7/2)) + (15*I*b*Sqrt[e]*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d])])/(16*d^(7/2)) - (15*I*b*Sqrt[e]*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(16*d^(7/2))}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^4*(d + e*x^2)^3), x, 11, -((35*b*n)/(72*d^3*x^3)) + (35*b*e*n)/(8*d^4*x) + (a + b*Log[c*x^n])/(4*d*x^3*(d + e*x^2)^2) + (7*a - b*n + 7*b*Log[c*x^n])/(8*d^2*x^3*(d + e*x^2)) - (35*a - 12*b*n + 35*b*Log[c*x^n])/(24*d^3*x^3) + (e*(35*a - 12*b*n + 35*b*Log[c*x^n]))/(8*d^4*x) + (e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(35*a - 12*b*n + 35*b*Log[c*x^n]))/(8*d^(9/2)) - (35*I*b*e^(3/2)*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d])])/(16*d^(9/2)) + (35*I*b*e^(3/2)*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(16*d^(9/2))}
+
+
+{x*Log[c*x^2]/(1 - c*x^2), x, 2, PolyLog[2, 1 - c*x^2]/(2*c)}
+{x*Log[x^2/c]/(c - x^2), x, 2, (1/2)*PolyLog[2, 1 - x^2/c]}
+
+
+{Log[x]/(1 - x^2), x, 2, ArcTanh[x]*Log[x] + (1/2)*PolyLog[2, -x] - (1/2)*PolyLog[2, x]}
+{Log[x]/(1 + x^2), x, 4, ArcTan[x]*Log[x] - (1/2)*I*PolyLog[2, (-I)*x] + (1/2)*I*PolyLog[2, I*x]}
+
+
+{(a + b*Log[c*x])/(1 - e*x^2), x, 3, (ArcTanh[Sqrt[e]*x]*(a + b*Log[c*x]))/Sqrt[e] + (b*PolyLog[2, (-Sqrt[e])*x])/(2*Sqrt[e]) - (b*PolyLog[2, Sqrt[e]*x])/(2*Sqrt[e])}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(1 - e*x^2), x, 3, (ArcTanh[Sqrt[e]*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/Sqrt[e] + (b*n*PolyLog[2, (-Sqrt[e])*x])/(2*Sqrt[e]) - (b*n*PolyLog[2, Sqrt[e]*x])/(2*Sqrt[e])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^q (a+b Log[c x^n])^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*q>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x^2)^2, x, 16, (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*(-d)^(3/2)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) + (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*(-d)^(3/2)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) + (b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d]])/(2*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d]])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d]])/(2*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d]])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (b^2*n^2*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d])])/(2*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d])])/(2*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (b^2*n^2*PolyLog[2, (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d]])/(2*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d]])/(2*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (b^2*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d])])/(2*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (b^2*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d]])/(2*(-d)^(3/2)*Sqrt[e])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^q (a+b Log[c x^n])^3*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*q>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{(a + b*Log[c*x^n])^3/(d + e*x^2)^2, x, 20, (x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(4*(-d)^(3/2)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) + (x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(4*(-d)^(3/2)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) + (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d]])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 - (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d]])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d]])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d]])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d])])/(2*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d]])/(2*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d]])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (3*b^3*n^3*PolyLog[3, -((Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d])])/(2*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d])])/(2*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (3*b^3*n^3*PolyLog[3, (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d]])/(2*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d]])/(2*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (3*b^3*n^3*PolyLog[4, -((Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d])])/(2*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (3*b^3*n^3*PolyLog[4, (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d]])/(2*(-d)^(3/2)*Sqrt[e])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^q (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*q>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{1/((d + e*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n])^1), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n])), x]}
+{1/((d + e*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^(q/2) (a+b Log[c x^n])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{x^5*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]), x, If[$VersionNumber>=8, 7, 8], -((8*b*d^3*n*Sqrt[d + e*x^2])/(105*e^3)) - (8*b*d^2*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(315*e^3) + (9*b*d*n*(d + e*x^2)^(5/2))/(175*e^3) - (b*n*(d + e*x^2)^(7/2))/(49*e^3) + (8*b*d^(7/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(105*e^3) + (d^2*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^3) - (2*d*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^3) + ((d + e*x^2)^(7/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*e^3)}
+{x^3*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]), x, If[$VersionNumber>=8, 8, 9], (2*b*d^2*n*Sqrt[d + e*x^2])/(15*e^2) + (2*b*d*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(45*e^2) - (b*n*(d + e*x^2)^(5/2))/(25*e^2) - (2*b*d^(5/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(15*e^2) - (d*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^2) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^2)}
+{x^1*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 6, -((b*d*n*Sqrt[d + e*x^2])/(3*e)) - (b*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(9*e) + (b*d^(3/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(3*e) + ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e)}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n])/x^1, x, 12, (-b)*n*Sqrt[d + e*x^2] + b*Sqrt[d]*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]] + (1/2)*b*Sqrt[d]*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]^2 + (Sqrt[d + e*x^2] - Sqrt[d]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])*(a + b*Log[c*x^n]) - b*Sqrt[d]*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])] - (1/2)*b*Sqrt[d]*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])]}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n])/x^3, x, 14, -((b*n*Sqrt[d + e*x^2])/(4*x^2)) - (b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[d]) + (b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]^2)/(4*Sqrt[d]) - (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*Sqrt[d]) - (b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])])/(2*Sqrt[d]) - (b*e*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])])/(4*Sqrt[d])}
+
+{x^4*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 19, (7*b*d^2*n*x*Sqrt[d + e*x^2])/(192*e^2) - (5*b*d*n*x^3*Sqrt[d + e*x^2])/(288*e) - (1/36)*b*n*x^5*Sqrt[d + e*x^2] + (5*b*d^(5/2)*n*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(192*e^(5/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*d^(5/2)*n*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(32*e^(5/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*d^(5/2)*n*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(16*e^(5/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (d^2*x*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/(16*e^2) + (d*x^3*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/(24*e) + (1/6)*x^5*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]) + (d^(5/2)*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(16*e^(5/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*d^(5/2)*n*Sqrt[d + e*x^2]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(32*e^(5/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d])}
+{x^2*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 15, -((3*b*d*n*x*Sqrt[d + e*x^2])/(32*e)) - (1/16)*b*n*x^3*Sqrt[d + e*x^2] - (b*d^(3/2)*n*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(32*e^(3/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*d^(3/2)*n*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(16*e^(3/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*d^(3/2)*n*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(8*e^(3/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (d*x*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*e) + (1/4)*x^3*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]) - (d^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*e^(3/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*d^(3/2)*n*Sqrt[d + e*x^2]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(16*e^(3/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d])}
+{x^0*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 11, (-(1/4))*b*n*x*Sqrt[d + e*x^2] + (b*d^(3/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(4*Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*d*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(4*Sqrt[e]) - (b*d^(3/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(2*Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2]) + (1/2)*x*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]) + (d^(3/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*d^(3/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(4*Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2])}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n])/x^2, x, 11, -((b*n*Sqrt[d + e*x^2])/x) + (b*Sqrt[e]*n*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*Sqrt[e]*n*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(2*Sqrt[d]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*Sqrt[e]*n*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/x + (Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*Sqrt[e]*n*Sqrt[d + e*x^2]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(2*Sqrt[d]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d])}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n])/x^4, x, 5, -((b*e*n*Sqrt[d + e*x^2])/(3*d*x)) - (b*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(9*d*x^3) + (b*e^(3/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(3*d) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d*x^3)}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n])/x^6, x, If[$VersionNumber>=8, 7, 8], If[$VersionNumber>=8, (2*b*e^2*n*Sqrt[d + e*x^2])/(15*d^2*x) + (2*b*e*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(45*d^2*x^3) - (b*n*(d + e*x^2)^(5/2))/(25*d^2*x^5) - (2*b*e^(5/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(15*d^2) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*d*x^5) + (2*e*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(15*d^2*x^3), (2*b*e^2*n*Sqrt[d + e*x^2])/(15*d^2*x) + (2*b*e*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(45*d^2*x^3) - (b*n*(d + e*x^2)^(5/2))/(25*d^2*x^5) - (2*b*e^(5/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(15*d^2) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*d*x^5) + (2*e*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(15*d^2*x^3)]}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n])/x^8, x, If[$VersionNumber>=8, 8, 9], If[$VersionNumber>=8, -((8*b*e^3*n*Sqrt[d + e*x^2])/(105*d^3*x)) - (8*b*e^2*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(315*d^3*x^3) - (b*n*(d + e*x^2)^(5/2))/(49*d^2*x^7) + (38*b*e*n*(d + e*x^2)^(5/2))/(1225*d^3*x^5) + (8*b*e^(7/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(105*d^3) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*d*x^7) + (4*e*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(35*d^2*x^5) - (8*e^2*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(105*d^3*x^3), -((8*b*e^3*n*Sqrt[d + e*x^2])/(105*d^3*x)) - (b*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(49*d*x^7) + (13*b*e*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(1225*d^2*x^5) + (62*b*e^2*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(11025*d^3*x^3) + (8*b*e^(7/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(105*d^3) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*d*x^7) + (4*e*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(35*d^2*x^5) - (8*e^2*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(105*d^3*x^3)]}
+
+
+{x^5*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 7, -((8*b*d^4*n*Sqrt[d + e*x^2])/(315*e^3)) - (8*b*d^3*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(945*e^3) - (8*b*d^2*n*(d + e*x^2)^(5/2))/(1575*e^3) + (11*b*d*n*(d + e*x^2)^(7/2))/(441*e^3) - (b*n*(d + e*x^2)^(9/2))/(81*e^3) + (8*b*d^(9/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(315*e^3) + (d^2*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^3) - (2*d*(d + e*x^2)^(7/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*e^3) + ((d + e*x^2)^(9/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*e^3)}
+{x^3*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 9, (2*b*d^3*n*Sqrt[d + e*x^2])/(35*e^2) + (2*b*d^2*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(105*e^2) + (2*b*d*n*(d + e*x^2)^(5/2))/(175*e^2) - (b*n*(d + e*x^2)^(7/2))/(49*e^2) - (2*b*d^(7/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(35*e^2) - (d*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^2) + ((d + e*x^2)^(7/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*e^2)}
+{x^1*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 7, -((b*d^2*n*Sqrt[d + e*x^2])/(5*e)) - (b*d*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(15*e) - (b*n*(d + e*x^2)^(5/2))/(25*e) + (b*d^(5/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(5*e) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e)}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])/x^1, x, 17, (-(4/3))*b*d*n*Sqrt[d + e*x^2] - (1/9)*b*n*(d + e*x^2)^(3/2) + (4/3)*b*d^(3/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]] + (1/2)*b*d^(3/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]^2 + (1/3)*(3*d*Sqrt[d + e*x^2] + (d + e*x^2)^(3/2) - 3*d^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])*(a + b*Log[c*x^n]) - b*d^(3/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])] - (1/2)*b*d^(3/2)*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])]}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])/x^3, x, 18, (-b)*e*n*Sqrt[d + e*x^2] - (b*d*n*Sqrt[d + e*x^2])/(4*x^2) + (3/4)*b*Sqrt[d]*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]] + (3/4)*b*Sqrt[d]*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]^2 + (3/2)*e*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (3/2)*Sqrt[d]*e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]) - (3/2)*b*Sqrt[d]*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])] - (3/4)*b*Sqrt[d]*e*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])]}
+
+{x^2*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 19, -((11*b*d^2*n*x*Sqrt[d + e*x^2])/(192*e)) - (23/288)*b*d*n*x^3*Sqrt[d + e*x^2] - (1/36)*b*e*n*x^5*Sqrt[d + e*x^2] - (b*d^(5/2)*n*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(192*e^(3/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*d^(5/2)*n*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(32*e^(3/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*d^(5/2)*n*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(16*e^(3/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (d^2*x*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/(16*e) + (1/8)*d*x^3*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/6)*x^3*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]) - (d^(5/2)*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(16*e^(3/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*d^(5/2)*n*Sqrt[d + e*x^2]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(32*e^(3/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d])}
+{x^0*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 16, (-(9/32))*b*d*n*x*Sqrt[d + e*x^2] - (1/16)*b*n*x*(d + e*x^2)^(3/2) + (3*b*d^(5/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(16*Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2]) - (9*b*d^2*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(32*Sqrt[e]) - (3*b*d^(5/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(8*Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2]) + (3/8)*d*x*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/4)*x*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]) + (3*d^(5/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2]) - (3*b*d^(5/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(16*Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])/x^2, x, 14, -((b*d*n*Sqrt[d + e*x^2])/x) - (1/4)*b*e*n*x*Sqrt[d + e*x^2] + (3*b*Sqrt[d]*Sqrt[e]*n*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (3*b*Sqrt[d]*Sqrt[e]*n*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(4*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (3*b*Sqrt[d]*Sqrt[e]*n*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(2*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (3/2)*e*x*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/x + (3*Sqrt[d]*Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (3*b*Sqrt[d]*Sqrt[e]*n*Sqrt[d + e*x^2]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(4*Sqrt[1 + (e*x^2)/d])}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])/x^4, x, 13, -((4*b*e*n*Sqrt[d + e*x^2])/(3*x)) - (b*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(9*x^3) + (4*b*e^(3/2)*n*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(3*Sqrt[d]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*e^(3/2)*n*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(2*Sqrt[d]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*e^(3/2)*n*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (e*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/x - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^3) + (e^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*e^(3/2)*n*Sqrt[d + e*x^2]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(2*Sqrt[d]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d])}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])/x^6, x, 6, -((b*e^2*n*Sqrt[d + e*x^2])/(5*d*x)) - (b*e*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(15*d*x^3) - (b*n*(d + e*x^2)^(5/2))/(25*d*x^5) + (b*e^(5/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(5*d) - ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*d*x^5)}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])/x^8, x, 8, (2*b*e^3*n*Sqrt[d + e*x^2])/(35*d^2*x) + (2*b*e^2*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(105*d^2*x^3) + (2*b*e*n*(d + e*x^2)^(5/2))/(175*d^2*x^5) - (b*n*(d + e*x^2)^(7/2))/(49*d^2*x^7) - (2*b*e^(7/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(35*d^2) - ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*d*x^7) + (2*e*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(35*d^2*x^5)}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])/x^10, x, 9, -((8*b*e^4*n*Sqrt[d + e*x^2])/(315*d^3*x)) - (8*b*e^3*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(945*d^3*x^3) - (8*b*e^2*n*(d + e*x^2)^(5/2))/(1575*d^3*x^5) - (b*n*(d + e*x^2)^(7/2))/(81*d^2*x^9) + (50*b*e*n*(d + e*x^2)^(7/2))/(3969*d^3*x^7) + (8*b*e^(9/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(315*d^3) - ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*d*x^9) + (4*e*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(63*d^2*x^7) - (8*e^2*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(315*d^3*x^5)}
+
+
+{x*Sqrt[4 + x^2]*Log[x], x, 6, (-(4/3))*Sqrt[4 + x^2] - (1/9)*(4 + x^2)^(3/2) + (8/3)*ArcTanh[Sqrt[4 + x^2]/2] + (1/3)*(4 + x^2)^(3/2)*Log[x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{x^5*(a + b*Log[c*x^n])/Sqrt[d + e*x^2], x, 7, -((8*b*d^2*n*Sqrt[d + e*x^2])/(15*e^3)) + (7*b*d*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(45*e^3) - (b*n*(d + e*x^2)^(5/2))/(25*e^3) + (8*b*d^(5/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(15*e^3) + (d^2*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^3 - (2*d*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^3) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^3)}
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])/Sqrt[d + e*x^2], x, 7, (2*b*d*n*Sqrt[d + e*x^2])/(3*e^2) - (b*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(9*e^2) - (2*b*d^(3/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(3*e^2) - (d*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^2 + ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^2)}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])/Sqrt[d + e*x^2], x, 5, -((b*n*Sqrt[d + e*x^2])/e) + (b*Sqrt[d]*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/e + (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/e}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*Sqrt[d + e*x^2]), x, 8, (b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]^2)/(2*Sqrt[d]) - (ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/Sqrt[d] - (b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])])/Sqrt[d] - (b*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])])/(2*Sqrt[d])}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^3*Sqrt[d + e*x^2]), x, 14, -((b*n*Sqrt[d + e*x^2])/(4*d*x^2)) - (b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(4*d^(3/2)) - (b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]^2)/(4*d^(3/2)) - (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d*x^2) + (e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^(3/2)) + (b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])])/(2*d^(3/2)) + (b*e*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])])/(4*d^(3/2))}
+
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])/Sqrt[d + e*x^2], x, 12, -((b*n*x*Sqrt[d + e*x^2])/(4*e)) - (b*d^(3/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(4*e^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*d^(3/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(4*e^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*d^(3/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(2*e^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2]) + (x*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e) - (d^(3/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*d^(3/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(4*e^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])/Sqrt[d + e*x^2], x, 7, (b*Sqrt[d]*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(2*Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*Sqrt[d]*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2]) + (Sqrt[d]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*Sqrt[d]*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(2*Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*Sqrt[d + e*x^2]), x, 4, -((b*n*Sqrt[d + e*x^2])/(d*x)) + (b*Sqrt[e]*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/d - (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/(d*x)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^4*Sqrt[d + e*x^2]), x, 6, (2*b*e*n*Sqrt[d + e*x^2])/(3*d^2*x) - (b*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(9*d^2*x^3) - (2*b*e^(3/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(3*d^2) - (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d*x^3) + (2*e*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^2*x)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^6*Sqrt[d + e*x^2]), x, 7, -((8*b*e^2*n*Sqrt[d + e*x^2])/(15*d^3*x)) - (b*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(25*d^2*x^5) + (26*b*e*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(225*d^3*x^3) + (8*b*e^(5/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(15*d^3) - (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*d*x^5) + (4*e*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/(15*d^2*x^3) - (8*e^2*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/(15*d^3*x)}
+
+
+{x^7*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 7, -((11*b*d^2*n*Sqrt[d + e*x^2])/(5*e^4)) + (4*b*d*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(15*e^4) - (b*n*(d + e*x^2)^(5/2))/(25*e^4) + (16*b*d^(5/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(5*e^4) + (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^4*Sqrt[d + e*x^2]) + (3*d^2*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^4 - (d*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/e^4 + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^4)}
+{x^5*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 7, (5*b*d*n*Sqrt[d + e*x^2])/(3*e^3) - (b*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(9*e^3) - (8*b*d^(3/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(3*e^3) - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^3*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*d*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^3 + ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^3)}
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 6, -((b*n*Sqrt[d + e*x^2])/e^2) + (2*b*Sqrt[d]*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/e^2 + (d*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^2}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 4, -((b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(Sqrt[d]*e)) - (a + b*Log[c*x^n])/(e*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 11, (b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/d^(3/2) + (b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]^2)/(2*d^(3/2)) + (1/(d*Sqrt[d + e*x^2]) - ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]/d^(3/2))*(a + b*Log[c*x^n]) - (b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])])/d^(3/2) - (b*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])])/(2*d^(3/2))}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^3*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 12, -((b*n*Sqrt[d + e*x^2])/(4*d^2*x^2)) - (5*b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(4*d^(5/2)) - (3*b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]^2)/(4*d^(5/2)) - (3*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^2*Sqrt[d + e*x^2]) - (a + b*Log[c*x^n])/(2*d*x^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (3*e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^(5/2)) + (3*b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])])/(2*d^(5/2)) + (3*b*e*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])])/(4*d^(5/2))}
+
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 11, (b*Sqrt[d]*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(e^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*Sqrt[d]*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(2*e^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*Sqrt[d]*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(e^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2]) - (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(e*Sqrt[d + e*x^2]) + (Sqrt[d]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*Sqrt[d]*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(2*e^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 3, -((b*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(d*Sqrt[e])) + (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 5, -((b*n*Sqrt[d + e*x^2])/(d^2*x)) + (2*b*Sqrt[e]*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/d^2 - (a + b*Log[c*x^n])/(d*x*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*e*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^2*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^4*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 6, -((b*n*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d^2*x^3)) + (14*b*e*n*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d^3*x) - (8*b*e^(3/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(3*d^3) - (a + b*Log[c*x^n])/(3*d*x^3*Sqrt[d + e*x^2]) + (4*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^2*x*Sqrt[d + e*x^2]) + (8*e^2*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^3*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^6*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 8, -((b*n*Sqrt[d + e*x^2])/(25*d^2*x^5)) + (14*b*e*n*Sqrt[d + e*x^2])/(75*d^3*x^3) - (148*b*e^2*n*Sqrt[d + e*x^2])/(75*d^4*x) + (16*b*e^(5/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(5*d^4) - (a + b*Log[c*x^n])/(5*d*x^5*Sqrt[d + e*x^2]) + (2*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*d^2*x^3*Sqrt[d + e*x^2]) - (8*e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*d^3*x*Sqrt[d + e*x^2]) - (16*e^3*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*d^4*Sqrt[d + e*x^2])}
+
+
+{x^7*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 9, -((b*d^2*n)/(3*e^4*Sqrt[d + e*x^2])) + (8*b*d*n*Sqrt[d + e*x^2])/(3*e^4) - (b*n*(d + e*x^2)^(3/2))/(9*e^4) - (16*b*d^(3/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(3*e^4) + (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^4*(d + e*x^2)^(3/2)) - (3*d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^4*Sqrt[d + e*x^2]) - (3*d*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^4 + ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^4)}
+{x^5*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 7, (b*d*n)/(3*e^3*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*n*Sqrt[d + e*x^2])/e^3 + (8*b*Sqrt[d]*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(3*e^3) - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^3*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*d*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^3*Sqrt[d + e*x^2]) + (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^3}
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 6, -((b*n)/(3*e^2*Sqrt[d + e*x^2])) - (2*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(3*Sqrt[d]*e^2) + (d*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^2*(d + e*x^2)^(3/2)) - (a + b*Log[c*x^n])/(e^2*Sqrt[d + e*x^2])}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 5, (b*n)/(3*d*e*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(3*d^(3/2)*e) - (a + b*Log[c*x^n])/(3*e*(d + e*x^2)^(3/2))}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*(d + e*x^2)^(5/2)), x, 15, -((b*n)/(3*d^2*Sqrt[d + e*x^2])) + (4*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)) + (b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]^2)/(2*d^(5/2)) + (1/3)*(1/(d*(d + e*x^2)^(3/2)) + 3/(d^2*Sqrt[d + e*x^2]) - (3*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/d^(5/2))*(a + b*Log[c*x^n]) - (b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])])/d^(5/2) - (b*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])])/(2*d^(5/2))}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^3*(d + e*x^2)^(5/2)), x, 14, (b*e*n)/(3*d^3*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*n*Sqrt[d + e*x^2])/(4*d^3*x^2) - (31*b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(12*d^(7/2)) - (5*b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]^2)/(4*d^(7/2)) - (5*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*d^2*(d + e*x^2)^(3/2)) - (a + b*Log[c*x^n])/(2*d*x^2*(d + e*x^2)^(3/2)) - (5*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^3*Sqrt[d + e*x^2]) + (5*e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^(7/2)) + (5*b*e*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])])/(2*d^(7/2)) + (5*b*e*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^2])])/(4*d^(7/2))}
+
+{x^6*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 24, If[$VersionNumber<11, (5*b*d*n*x)/(6*e^3*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*n*x^3)/(2*e^2*Sqrt[d + e*x^2]) - (3*b*n*x*Sqrt[d + e*x^2])/(4*e^3) - (31*b*d^(3/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(12*e^(7/2)*Sqrt[d + e*x^2]) - (5*b*d^(3/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(4*e^(7/2)*Sqrt[d + e*x^2]) - (5*b*d^(3/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*ArcTanh[E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(e^(7/2)*Sqrt[d + e*x^2]) + (5*b*d^(3/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[1 + E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(2*e^(7/2)*Sqrt[d + e*x^2]) - (x^5*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e*(d + e*x^2)^(3/2)) - (5*x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (5*x*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^3) - (5*d^(3/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^(7/2)*Sqrt[d + e*x^2]) + (5*b*d^(3/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(4*e^(7/2)*Sqrt[d + e*x^2]), (b*d*n*x)/(3*e^3*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*n*x*Sqrt[d + e*x^2])/(4*e^3) - (31*b*d^(3/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(12*e^(7/2)*Sqrt[d + e*x^2]) - (5*b*d^(3/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(4*e^(7/2)*Sqrt[d + e*x^2]) + (5*b*d^(3/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(2*e^(7/2)*Sqrt[d + e*x^2]) - (x^5*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e*(d + e*x^2)^(3/2)) - (5*x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (5*x*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^3) - (5*d^(3/2)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^(7/2)*Sqrt[d + e*x^2]) + (5*b*d^(3/2)*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(4*e^(7/2)*Sqrt[d + e*x^2])]}
+{x^4*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 13, -((b*n*x)/(3*e^2*Sqrt[d + e*x^2])) + (4*b*Sqrt[d]*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(3*e^(5/2)*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*Sqrt[d]*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(2*e^(5/2)*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*Sqrt[d]*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(e^(5/2)*Sqrt[d + e*x^2]) - (x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e*(d + e*x^2)^(3/2)) - (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (Sqrt[d]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^(5/2)*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*Sqrt[d]*n*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(2*e^(5/2)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 4, (b*n*x)/(3*d*e*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(3*d*e^(3/2)) + (x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d*(d + e*x^2)^(3/2))}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 5, -((b*n*x)/(3*d^2*Sqrt[d + e*x^2])) - (2*b*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(3*d^2*Sqrt[e]) + (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^2*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*(d + e*x^2)^(5/2)), x, 6, -((b*n)/(d^2*x*Sqrt[d + e*x^2])) - (2*b*e*n*x)/(3*d^3*Sqrt[d + e*x^2]) + (8*b*Sqrt[e]*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(3*d^3) - (a + b*Log[c*x^n])/(d*x*(d + e*x^2)^(3/2)) - (4*e*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^2*(d + e*x^2)^(3/2)) - (8*e*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^3*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^4*(d + e*x^2)^(5/2)), x, 7, -((b*e^2*n*x)/(3*d^4*Sqrt[d + e*x^2])) - (b*n*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d^3*x^3) + (23*b*e*n*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d^4*x) - (16*b*e^(3/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(3*d^4) - (a + b*Log[c*x^n])/(3*d*x^3*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*e*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^2*x*(d + e*x^2)^(3/2)) + (8*e^2*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^3*(d + e*x^2)^(3/2)) + (16*e^2*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^4*Sqrt[d + e*x^2])}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])/(Sqrt[d + e*x]*Sqrt[d - e*x]), x, 8, (2*b*d^2*n*(d^2 - e^2*x^2))/(3*e^4*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (b*n*(d^2 - e^2*x^2)^2)/(9*e^4*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (2*b*d^4*n*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]])/(3*e^4*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (d^2*(d^2 - e^2*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^4*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) + ((d^2 - e^2*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^4*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])/(Sqrt[d + e*x]*Sqrt[d - e*x]), x, 6, (b*n*(d^2 - e^2*x^2))/(e^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (b*d^2*n*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]])/(e^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - ((d^2 - e^2*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[d - e*x]), x, 8, (b*n*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]]^2)/(2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (b*n*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]]*Log[2/(1 - Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2])])/(Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (b*n*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*PolyLog[2, -((1 + Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2])/(1 - Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]))])/(2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^3*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[d - e*x]), x, 13, -((b*n*(d^2 - e^2*x^2))/(4*d^2*x^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])) + (b*e^2*n*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]])/(4*d^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) + (b*e^2*n*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]]^2)/(4*d^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - ((d^2 - e^2*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^2*x^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (e^2*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (b*e^2*n*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]]*Log[2/(1 - Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2])])/(2*d^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (b*e^2*n*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*PolyLog[2, -((1 + Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2])/(1 - Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]))])/(4*d^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])}
+
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])/(Sqrt[d + e*x]*Sqrt[d - e*x]), x, 12, (b*n*x*(d^2 - e^2*x^2))/(4*e^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) + (b*d^3*n*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*ArcSin[(e*x)/d])/(4*e^3*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) + (I*b*d^3*n*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*ArcSin[(e*x)/d]^2)/(4*e^3*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (b*d^3*n*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*ArcSin[(e*x)/d]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[(e*x)/d])])/(2*e^3*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (x*(d^2 - e^2*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^2*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) + (d^3*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*ArcSin[(e*x)/d]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^3*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) + (I*b*d^3*n*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[(e*x)/d])])/(4*e^3*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])/(Sqrt[d + e*x]*Sqrt[d - e*x]), x, 7, (I*b*d*n*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*ArcSin[(e*x)/d]^2)/(2*e*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (b*d*n*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*ArcSin[(e*x)/d]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[(e*x)/d])])/(e*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) + (d*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*ArcSin[(e*x)/d]*(a + b*Log[c*x^n]))/(e*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) + (I*b*d*n*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[(e*x)/d])])/(2*e*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[d - e*x]), x, 4, -((b*n*(d^2 - e^2*x^2))/(d^2*x*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])) - (b*e*n*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*ArcSin[(e*x)/d])/(d*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - ((d^2 - e^2*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^2*x*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^4*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[d - e*x]), x, 6, -((2*b*e^2*n*(d^2 - e^2*x^2))/(3*d^4*x*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])) - (b*n*(d^2 - e^2*x^2)^2)/(9*d^4*x^3*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (2*b*e^3*n*Sqrt[1 - (e^2*x^2)/d^2]*ArcSin[(e*x)/d])/(3*d^3*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - ((d^2 - e^2*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^2*x^3*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x]) - (2*e^2*(d^2 - e^2*x^2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^4*x*Sqrt[d - e*x]*Sqrt[d + e*x])}
+
+
+{x*Log[x]/Sqrt[-1 + x^2], x, 5, -Sqrt[-1 + x^2] + ArcTan[Sqrt[-1 + x^2]] + Sqrt[-1 + x^2]*Log[x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b Log[c x^n]) when m symbolic*)
+
+
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 3, -((b*d^3*n*(f*x)^(1 + m))/(f*(1 + m)^2)) - (3*b*d^2*e*n*(f*x)^(3 + m))/(f^3*(3 + m)^2) - (3*b*d*e^2*n*(f*x)^(5 + m))/(f^5*(5 + m)^2) - (b*e^3*n*(f*x)^(7 + m))/(f^7*(7 + m)^2) + (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f*(1 + m)) + (3*d^2*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f^3*(3 + m)) + (3*d*e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f^5*(5 + m)) + (e^3*(f*x)^(7 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f^7*(7 + m))}
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -((b*d^2*n*(f*x)^(1 + m))/(f*(1 + m)^2)) - (2*b*d*e*n*(f*x)^(3 + m))/(f^3*(3 + m)^2) - (b*e^2*n*(f*x)^(5 + m))/(f^5*(5 + m)^2) + (d^2*(f*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f*(1 + m)) + (2*d*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f^3*(3 + m)) + (e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f^5*(5 + m))}
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^1*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -((b*d*n*(f*x)^(1 + m))/(f*(1 + m)^2)) - (b*e*n*(f*x)^(3 + m))/(f^3*(3 + m)^2) + (d*(f*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f*(1 + m)) + (e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f^3*(3 + m))}
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^0*(a + b*Log[c*x^n]), x, 1, -((b*n*(f*x)^(1 + m))/(f*(1 + m)^2)) + ((f*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f*(1 + m))}
+{(f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^1, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n]))/(d + e*x^2), x]}
+{(f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n]))/(d + e*x^2)^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^3)^q (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x^3)^q (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+{(a + b*Log[c*x^n])^3/(d + e*x^3)^2, x, 26, If[$VersionNumber>=8, (x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(9*d^(5/3)*(d^(1/3) + e^(1/3)*x)) - ((-1)^(1/3)*x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*x)) + (x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(9*d^(5/3)*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/(3*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + (e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) + (3*(-1)^(1/3)*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)) - (2*I*Sqrt[3]*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 - ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^5*d^(5/3)*e^(1/3)) + ((-1)^(1/3)*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + ((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/(3*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + ((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)) - (2*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(3*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(3*d^(5/3)*e^(1/3)) + (6*(-1)^(1/3)*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)) - (6*I*Sqrt[3]*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^5*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(-1)^(1/3)*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(3*d^(5/3)*e^(1/3)) + (6*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -(((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*b^3*n^3*PolyLog[3, -((e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(3*d^(5/3)*e^(1/3)) - (4*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(3*d^(5/3)*e^(1/3)) - (6*(-1)^(1/3)*b^3*n^3*PolyLog[3, ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)) + (12*I*Sqrt[3]*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^5*d^(5/3)*e^(1/3)) - (2*(-1)^(1/3)*b^3*n^3*PolyLog[3, -(((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(3*d^(5/3)*e^(1/3)) - (12*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -(((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)) + (4*b^3*n^3*PolyLog[4, -((e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(3*d^(5/3)*e^(1/3)) - (12*I*Sqrt[3]*b^3*n^3*PolyLog[4, ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^5*d^(5/3)*e^(1/3)) + (12*b^3*n^3*PolyLog[4, -(((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)), (x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(9*d^(5/3)*(d^(1/3) + e^(1/3)*x)) - ((-1)^(1/3)*x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*x)) + (x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(9*d^(5/3)*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/(3*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + (e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) + (3*(-1)^(1/3)*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)) + ((-1)^(1/3)*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + ((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/(3*d^(5/3)*e^(1/3)) - (4*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 - ((1 - I*Sqrt[3])*e^(1/3)*x)/(2*d^(1/3))])/(9*(1 - I*Sqrt[3])*d^(5/3)*e^(1/3)) - (4*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 - ((1 + I*Sqrt[3])*e^(1/3)*x)/(2*d^(1/3))])/(9*(1 + I*Sqrt[3])*d^(5/3)*e^(1/3)) - (2*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(3*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(3*d^(5/3)*e^(1/3)) + (6*(-1)^(1/3)*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(-1)^(1/3)*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(3*d^(5/3)*e^(1/3)) - (4*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, ((1 - I*Sqrt[3])*e^(1/3)*x)/(2*d^(1/3))])/(3*(1 - I*Sqrt[3])*d^(5/3)*e^(1/3)) - (4*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, ((1 + I*Sqrt[3])*e^(1/3)*x)/(2*d^(1/3))])/(3*(1 + I*Sqrt[3])*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*b^3*n^3*PolyLog[3, -((e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(3*d^(5/3)*e^(1/3)) - (4*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(3*d^(5/3)*e^(1/3)) - (6*(-1)^(1/3)*b^3*n^3*PolyLog[3, ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)) - (2*(-1)^(1/3)*b^3*n^3*PolyLog[3, -(((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(3*d^(5/3)*e^(1/3)) + (8*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, ((1 - I*Sqrt[3])*e^(1/3)*x)/(2*d^(1/3))])/(3*(1 - I*Sqrt[3])*d^(5/3)*e^(1/3)) + (8*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, ((1 + I*Sqrt[3])*e^(1/3)*x)/(2*d^(1/3))])/(3*(1 + I*Sqrt[3])*d^(5/3)*e^(1/3)) + (4*b^3*n^3*PolyLog[4, -((e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(3*d^(5/3)*e^(1/3)) - (8*b^3*n^3*PolyLog[4, ((1 - I*Sqrt[3])*e^(1/3)*x)/(2*d^(1/3))])/(3*(1 - I*Sqrt[3])*d^(5/3)*e^(1/3)) - (8*b^3*n^3*PolyLog[4, ((1 + I*Sqrt[3])*e^(1/3)*x)/(2*d^(1/3))])/(3*(1 + I*Sqrt[3])*d^(5/3)*e^(1/3))]}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x^3)^2, x, 20, If[$VersionNumber>=8, (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(9*d^(5/3)*(d^(1/3) + e^(1/3)*x)) - ((-1)^(1/3)*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*x)) + (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(9*d^(5/3)*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)) - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(-1)^(1/3)*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)) - (2*I*Sqrt[3]*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^5*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(-1)^(1/3)*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + ((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + ((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)) - (2*b^2*n^2*PolyLog[2, -((e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) + (4*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(-1)^(1/3)*b^2*n^2*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)) - (4*I*Sqrt[3]*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^5*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(-1)^(1/3)*b^2*n^2*PolyLog[2, -(((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) + (4*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)) - (4*b^2*n^2*PolyLog[3, -((e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) + (4*I*Sqrt[3]*b^2*n^2*PolyLog[3, ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^5*d^(5/3)*e^(1/3)) - (4*b^2*n^2*PolyLog[3, -(((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)), (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(9*d^(5/3)*(d^(1/3) + e^(1/3)*x)) - ((-1)^(1/3)*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*x)) + (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(9*d^(5/3)*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)) - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(-1)^(1/3)*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(-1)^(1/3)*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + ((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) - (4*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - ((1 - I*Sqrt[3])*e^(1/3)*x)/(2*d^(1/3))])/(9*(1 - I*Sqrt[3])*d^(5/3)*e^(1/3)) - (4*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - ((1 + I*Sqrt[3])*e^(1/3)*x)/(2*d^(1/3))])/(9*(1 + I*Sqrt[3])*d^(5/3)*e^(1/3)) - (2*b^2*n^2*PolyLog[2, -((e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) + (4*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(-1)^(1/3)*b^2*n^2*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(-1)^(1/3)*b^2*n^2*PolyLog[2, -(((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) - (8*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, ((1 - I*Sqrt[3])*e^(1/3)*x)/(2*d^(1/3))])/(9*(1 - I*Sqrt[3])*d^(5/3)*e^(1/3)) - (8*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, ((1 + I*Sqrt[3])*e^(1/3)*x)/(2*d^(1/3))])/(9*(1 + I*Sqrt[3])*d^(5/3)*e^(1/3)) - (4*b^2*n^2*PolyLog[3, -((e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) + (8*b^2*n^2*PolyLog[3, ((1 - I*Sqrt[3])*e^(1/3)*x)/(2*d^(1/3))])/(9*(1 - I*Sqrt[3])*d^(5/3)*e^(1/3)) + (8*b^2*n^2*PolyLog[3, ((1 + I*Sqrt[3])*e^(1/3)*x)/(2*d^(1/3))])/(9*(1 + I*Sqrt[3])*d^(5/3)*e^(1/3))]}
+{(a + b*Log[c*x^n])^1/(d + e*x^3)^2, x, 14, If[$VersionNumber>=8, (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*d^(5/3)*(d^(1/3) + e^(1/3)*x)) - ((-1)^(1/3)*x*(a + b*Log[c*x^n]))/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*x)) + (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*d^(5/3)*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)) + ((-1)^(1/3)*b*n*Log[(-(-1)^(2/3))*d^(1/3) - e^(1/3)*x])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)) - (b*n*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) + ((-1)^(1/3)*b*n*Log[d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) - (2*I*Sqrt[3]*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^5*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + ((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*b*n*PolyLog[2, -((e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) - (2*I*Sqrt[3]*b*n*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/((1 + (-1)^(1/3))^5*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*b*n*PolyLog[2, -(((-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)), (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*d^(5/3)*(d^(1/3) + e^(1/3)*x)) - ((-1)^(1/3)*x*(a + b*Log[c*x^n]))/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*x)) + (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*d^(5/3)*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)) + ((-1)^(1/3)*b*n*Log[(-(-1)^(2/3))*d^(1/3) - e^(1/3)*x])/((1 + (-1)^(1/3))^4*d^(5/3)*e^(1/3)) - (b*n*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) + ((-1)^(1/3)*b*n*Log[d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e^(1/3)*x)/d^(1/3)])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) - (4*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - ((1 - I*Sqrt[3])*e^(1/3)*x)/(2*d^(1/3))])/(9*(1 - I*Sqrt[3])*d^(5/3)*e^(1/3)) - (4*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - ((1 + I*Sqrt[3])*e^(1/3)*x)/(2*d^(1/3))])/(9*(1 + I*Sqrt[3])*d^(5/3)*e^(1/3)) + (2*b*n*PolyLog[2, -((e^(1/3)*x)/d^(1/3))])/(9*d^(5/3)*e^(1/3)) - (4*b*n*PolyLog[2, ((1 - I*Sqrt[3])*e^(1/3)*x)/(2*d^(1/3))])/(9*(1 - I*Sqrt[3])*d^(5/3)*e^(1/3)) - (4*b*n*PolyLog[2, ((1 + I*Sqrt[3])*e^(1/3)*x)/(2*d^(1/3))])/(9*(1 + I*Sqrt[3])*d^(5/3)*e^(1/3))]}
+{1/((d + e*x^3)^2*(a + b*Log[c*x^n])^1), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^3)^2*(a + b*Log[c*x^n])), x]}
+{1/((d + e*x^3)^2*(a + b*Log[c*x^n])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^3)^2*(a + b*Log[c*x^n])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^r)^q (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e / x)^q (a+b Log[c x^n])*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*q>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e/x), x, 9, -((a*e^3*x)/d^4) + (b*e^3*n*x)/d^4 - (b*e^2*n*x^2)/(4*d^3) + (b*e*n*x^3)/(9*d^2) - (b*n*x^4)/(16*d) - (b*e^3*x*Log[c*x^n])/d^4 + (e^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^3) - (e*x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^2) + (x^4*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*d) + (e^4*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (d*x)/e])/d^5 + (b*e^4*n*PolyLog[2, -((d*x)/e)])/d^5}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e/x), x, 8, (a*e^2*x)/d^3 - (b*e^2*n*x)/d^3 + (b*e*n*x^2)/(4*d^2) - (b*n*x^3)/(9*d) + (b*e^2*x*Log[c*x^n])/d^3 - (e*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^2) + (x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d) - (e^3*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (d*x)/e])/d^4 - (b*e^3*n*PolyLog[2, -((d*x)/e)])/d^4}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e/x), x, 7, -((a*e*x)/d^2) + (b*e*n*x)/d^2 - (b*n*x^2)/(4*d) - (b*e*x*Log[c*x^n])/d^2 + (x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d) + (e^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (d*x)/e])/d^3 + (b*e^2*n*PolyLog[2, -((d*x)/e)])/d^3}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e/x), x, 6, (a*x)/d - (b*n*x)/d + (b*x*Log[c*x^n])/d - (e*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (d*x)/e])/d^2 - (b*e*n*PolyLog[2, -((d*x)/e)])/d^2}
+{(a + b*Log[c*x^n])/((d + e/x)*x^1), x, 3, ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (d*x)/e])/d + (b*n*PolyLog[2, -((d*x)/e)])/d}
+{(a + b*Log[c*x^n])/((d + e/x)*x^2), x, 2, -((Log[1 + e/(d*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/e) + (b*n*PolyLog[2, -(e/(d*x))])/e}
+{(a + b*Log[c*x^n])/((d + e/x)*x^3), x, 6, -((b*n)/(e*x)) - (a + b*Log[c*x^n])/(e*x) - (d*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*b*e^2*n) + (d*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (d*x)/e])/e^2 + (b*d*n*PolyLog[2, -((d*x)/e)])/e^2}
+{(a + b*Log[c*x^n])/((d + e/x)*x^4), x, 7, -((b*n)/(4*e*x^2)) + (b*d*n)/(e^2*x) - (a + b*Log[c*x^n])/(2*e*x^2) + (d*(a + b*Log[c*x^n]))/(e^2*x) + (d^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*b*e^3*n) - (d^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (d*x)/e])/e^3 - (b*d^2*n*PolyLog[2, -((d*x)/e)])/e^3}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x])/(d + e/x), x, 9, -((a*e^3*x)/d^4) + (b*e^3*x)/d^4 - (b*e^2*x^2)/(4*d^3) + (b*e*x^3)/(9*d^2) - (b*x^4)/(16*d) - (b*e^3*x*Log[c*x])/d^4 + (e^2*x^2*(a + b*Log[c*x]))/(2*d^3) - (e*x^3*(a + b*Log[c*x]))/(3*d^2) + (x^4*(a + b*Log[c*x]))/(4*d) + (e^4*(a + b*Log[c*x])*Log[1 + (d*x)/e])/d^5 + (b*e^4*PolyLog[2, -((d*x)/e)])/d^5}
+{x^2*(a + b*Log[c*x])/(d + e/x), x, 8, (a*e^2*x)/d^3 - (b*e^2*x)/d^3 + (b*e*x^2)/(4*d^2) - (b*x^3)/(9*d) + (b*e^2*x*Log[c*x])/d^3 - (e*x^2*(a + b*Log[c*x]))/(2*d^2) + (x^3*(a + b*Log[c*x]))/(3*d) - (e^3*(a + b*Log[c*x])*Log[1 + (d*x)/e])/d^4 - (b*e^3*PolyLog[2, -((d*x)/e)])/d^4}
+{x^1*(a + b*Log[c*x])/(d + e/x), x, 7, -((a*e*x)/d^2) + (b*e*x)/d^2 - (b*x^2)/(4*d) - (b*e*x*Log[c*x])/d^2 + (x^2*(a + b*Log[c*x]))/(2*d) + (e^2*(a + b*Log[c*x])*Log[1 + (d*x)/e])/d^3 + (b*e^2*PolyLog[2, -((d*x)/e)])/d^3}
+{x^0*(a + b*Log[c*x])/(d + e/x), x, 6, (a*x)/d - (b*x)/d + (b*x*Log[c*x])/d - (e*(a + b*Log[c*x])*Log[1 + (d*x)/e])/d^2 - (b*e*PolyLog[2, -((d*x)/e)])/d^2}
+{(a + b*Log[c*x])/((d + e/x)*x^1), x, 3, ((a + b*Log[c*x])*Log[1 + (d*x)/e])/d + (b*PolyLog[2, -((d*x)/e)])/d}
+{(a + b*Log[c*x])/((d + e/x)*x^2), x, 2, -((Log[1 + e/(d*x)]*(a + b*Log[c*x]))/e) + (b*PolyLog[2, -(e/(d*x))])/e}
+{(a + b*Log[c*x])/((d + e/x)*x^3), x, 6, -(b/(e*x)) - (a + b*Log[c*x])/(e*x) - (d*(a + b*Log[c*x])^2)/(2*b*e^2) + (d*(a + b*Log[c*x])*Log[1 + (d*x)/e])/e^2 + (b*d*PolyLog[2, -((d*x)/e)])/e^2}
+{(a + b*Log[c*x])/((d + e/x)*x^4), x, 7, -(b/(4*e*x^2)) + (b*d)/(e^2*x) - (a + b*Log[c*x])/(2*e*x^2) + (d*(a + b*Log[c*x]))/(e^2*x) + (d^2*(a + b*Log[c*x])^2)/(2*b*e^3) - (d^2*(a + b*Log[c*x])*Log[1 + (d*x)/e])/e^3 - (b*d^2*PolyLog[2, -((d*x)/e)])/e^3}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^n)^q (a+b Log[c x^n])^p when m=n-1 and c=-e/d*)
+
+
+{x^(n - 1)*Log[e*x^n]/(1 - e*x^n), x, 2, PolyLog[2, 1 - e*x^n]/(e*n)}
+{x^(n - 1)*Log[x^n/d]/(d - x^n), x, 2, PolyLog[2, 1 - x^n/d]/n}
+{x^(n - 1)*Log[-e*x^n/d]/(d + e*x^n), x, 2, -(PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d]/(e*n))}
+
+
+{Log[a/x]/(a*x - x^2), x, 4, PolyLog[2, 1 - a/x]/a} 
+{Log[a/x^2]/(a*x - x^3), x, 4, PolyLog[2, 1 - a/x^2]/(2*a)}
+{Log[a/x^(n - 1)]/(a*x - x^n), x, 3, -(PolyLog[2, 1 - a*x^(1 - n)]/(a*(1 - n)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^r)^q (a+b Log[c x^n])^p when m=r-1*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^m)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 5, -((b*d^3*n*x*(f*x)^(-1 + m))/m^2) - (3*b*d^2*e*n*x^(1 + m)*(f*x)^(-1 + m))/(4*m^2) - (b*d*e^2*n*x^(1 + 2*m)*(f*x)^(-1 + m))/(3*m^2) - (b*e^3*n*x^(1 + 3*m)*(f*x)^(-1 + m))/(16*m^2) - (b*d^4*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*Log[x])/(4*e*m) + (x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*(d + e*x^m)^4*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e*m)}
+{(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^m)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 5, -((b*d^2*n*x*(f*x)^(-1 + m))/m^2) - (b*d*e*n*x^(1 + m)*(f*x)^(-1 + m))/(2*m^2) - (b*e^2*n*x^(1 + 2*m)*(f*x)^(-1 + m))/(9*m^2) - (b*d^3*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*Log[x])/(3*e*m) + (x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*(d + e*x^m)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e*m)}
+{(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^m)^1*(a + b*Log[c*x^n]), x, 5, -((b*d*n*(f*x)^m)/(f*m^2)) - (b*e*n*x^m*(f*x)^m)/(4*f*m^2) + (d*(f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n]))/(f*m) + (e*x^m*(f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*f*m), -((b*d*n*x*(f*x)^(-1 + m))/m^2) - (b*e*n*x^(1 + m)*(f*x)^(-1 + m))/(4*m^2) - (b*d^2*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*Log[x])/(2*e*m) + (x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*(d + e*x^m)^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e*m)}
+{(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^m)^0*(a + b*Log[c*x^n]), x, 1, -((b*n*(f*x)^m)/(f*m^2)) + ((f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n]))/(f*m)}
+{(f*x)^(m - 1)*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^m)^1, x, 3, (x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x^m)/d])/(e*m) + (b*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*PolyLog[2, -((e*x^m)/d)])/(e*m^2)}
+{(f*x)^(m - 1)*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^m)^2, x, 3, ((f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n]))/(d*f*m*(d + e*x^m)) - (b*n*(f*x)^m*Log[d + e*x^m])/(x^m*(d*e*f*m^2))}
+{(f*x)^(m - 1)*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^m)^3, x, 5, (b*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m))/(2*d*e*m^2*(d + e*x^m)) + (b*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*Log[x])/(2*d^2*e*m) - (x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e*m*(d + e*x^m)^2) - (b*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*Log[d + e*x^m])/(2*d^2*e*m^2)}
+{(f*x)^(m - 1)*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^m)^4, x, 5, (b*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m))/(6*d*e*m^2*(d + e*x^m)^2) + (b*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m))/(3*d^2*e*m^2*(d + e*x^m)) + (b*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*Log[x])/(3*d^3*e*m) - (x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e*m*(d + e*x^m)^3) - (b*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*Log[d + e*x^m])/(3*d^3*e*m^2)}
+
+
+{(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^m)^3*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 7, (2*b^2*d^3*n^2*x*(f*x)^(-1 + m))/m^3 + (3*b^2*d^2*e*n^2*x^(1 + m)*(f*x)^(-1 + m))/(4*m^3) + (2*b^2*d*e^2*n^2*x^(1 + 2*m)*(f*x)^(-1 + m))/(9*m^3) + (b^2*e^3*n^2*x^(1 + 3*m)*(f*x)^(-1 + m))/(32*m^3) + (b^2*d^4*n^2*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*Log[x]^2)/(4*e*m) - (2*b*d^3*n*x*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/m^2 - (3*b*d^2*e*n*x^(1 + m)*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*m^2) - (2*b*d*e^2*n*x^(1 + 2*m)*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*m^2) - (b*e^3*n*x^(1 + 3*m)*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*m^2) - (b*d^4*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e*m) + (x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*(d + e*x^m)^4*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*e*m)}
+{(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^m)^2*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 7, (2*b^2*d^2*n^2*x*(f*x)^(-1 + m))/m^3 + (b^2*d*e*n^2*x^(1 + m)*(f*x)^(-1 + m))/(2*m^3) + (2*b^2*e^2*n^2*x^(1 + 2*m)*(f*x)^(-1 + m))/(27*m^3) + (b^2*d^3*n^2*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*Log[x]^2)/(3*e*m) - (2*b*d^2*n*x*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/m^2 - (b*d*e*n*x^(1 + m)*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/m^2 - (2*b*e^2*n*x^(1 + 2*m)*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*m^2) - (2*b*d^3*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e*m) + (x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*(d + e*x^m)^3*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*e*m)}
+{(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^m)^1*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 7, (2*b^2*d*n^2*x*(f*x)^(-1 + m))/m^3 + (b^2*e*n^2*x^(1 + m)*(f*x)^(-1 + m))/(4*m^3) + (b^2*d^2*n^2*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*Log[x]^2)/(2*e*m) - (2*b*d*n*x*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/m^2 - (b*e*n*x^(1 + m)*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*m^2) - (b*d^2*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(e*m) + (x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*(d + e*x^m)^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*e*m)}
+{(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^m)^0*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 2, (2*b^2*n^2*(f*x)^m)/(f*m^3) - (2*b*n*(f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n]))/(f*m^2) + ((f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(f*m)}
+{(f*x)^(m - 1)*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x^m)^1, x, 4, (x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x^m)/d])/(e*m) + (2*b*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x^m)/d)])/(e*m^2) - (2*b^2*n^2*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*PolyLog[3, -((e*x^m)/d)])/(e*m^3)}
+{(f*x)^(m - 1)*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x^m)^2, x, 4, -((x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(e*m*(d + e*x^m))) - (2*b*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d/(x^m*e)])/(d*e*m^2) + (2*b^2*n^2*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*PolyLog[2, -(d/(x^m*e))])/(d*e*m^3)}
+{(f*x)^(m - 1)*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x^m)^3, x, 7, -((b*n*x*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^2*m^2*(d + e*x^m))) - (x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*e*m*(d + e*x^m)^2) - (b*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d/(x^m*e)])/(d^2*e*m^2) + (b^2*n^2*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*Log[d + e*x^m])/(d^2*e*m^3) + (b^2*n^2*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*PolyLog[2, -(d/(x^m*e))])/(d^2*e*m^3)}
+{(f*x)^(m - 1)*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x^m)^4, x, 12, -((b^2*n^2*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m))/(3*d^2*e*m^3*(d + e*x^m))) - (b^2*n^2*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*Log[x])/(3*d^3*e*m^2) + (b*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d*e*m^2*(d + e*x^m)^2) - (2*b*n*x*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^3*m^2*(d + e*x^m)) - (x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*e*m*(d + e*x^m)^3) - (2*b*n*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d/(x^m*e)])/(3*d^3*e*m^2) + (b^2*n^2*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*Log[d + e*x^m])/(d^3*e*m^3) + (2*b^2*n^2*x^(1 - m)*(f*x)^(-1 + m)*PolyLog[2, -(d/(x^m*e))])/(3*d^3*e*m^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^r)^q (a+b Log[c x^n])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{x^5*(d + e*x^r)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -(b*d*n*x^6)/36 - (b*e*n*x^(6 + r))/(6 + r)^2 + ((d*x^6 + (6*e*x^(6 + r))/(6 + r))*(a + b*Log[c*x^n]))/6}
+{x^3*(d + e*x^r)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -(b*d*n*x^4)/16 - (b*e*n*x^(4 + r))/(4 + r)^2 + ((d*x^4 + (4*e*x^(4 + r))/(4 + r))*(a + b*Log[c*x^n]))/4}
+{x^1*(d + e*x^r)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -(b*d*n*x^2)/4 - (b*e*n*x^(2 + r))/(2 + r)^2 + ((d*x^2 + (2*e*x^(2 + r))/(2 + r))*(a + b*Log[c*x^n]))/2}
+{((d + e*x^r)*(a + b*Log[c*x^n]))/x^1, x, 4, -((b*e*n*x^r)/r^2) + (e*x^r*(a + b*Log[c*x^n]))/r + (d*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*b*n)}
+{((d + e*x^r)*(a + b*Log[c*x^n]))/x^3, x, 4, -((b*d*n)/(4*x^2)) - (b*e*n*x^(-2 + r))/(2 - r)^2 - (d*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (e*x^(-2 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(2 - r)}
+{((d + e*x^r)*(a + b*Log[c*x^n]))/x^5, x, 4, -((b*d*n)/(16*x^4)) - (b*e*n*x^(-4 + r))/(4 - r)^2 - (d*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*x^4) - (e*x^(-4 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(4 - r)}
+
+{x^4*(d + e*x^r)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -(b*d*n*x^5)/25 - (b*e*n*x^(5 + r))/(5 + r)^2 + ((d*x^5 + (5*e*x^(5 + r))/(5 + r))*(a + b*Log[c*x^n]))/5}
+{x^2*(d + e*x^r)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -(b*d*n*x^3)/9 - (b*e*n*x^(3 + r))/(3 + r)^2 + ((d*x^3 + (3*e*x^(3 + r))/(3 + r))*(a + b*Log[c*x^n]))/3}
+{x^0*(d + e*x^r)*(a + b*Log[c*x^n]), x, 3, (-b)*d*n*x - (b*e*n*x^(1 + r))/(1 + r)^2 + d*x*(a + b*Log[c*x^n]) + (e*x^(1 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 + r)}
+{((d + e*x^r)*(a + b*Log[c*x^n]))/x^2, x, 4, -((b*d*n)/x) - (b*e*n*x^(-1 + r))/(1 - r)^2 - (d*(a + b*Log[c*x^n]))/x - (e*x^(-1 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 - r)}
+{((d + e*x^r)*(a + b*Log[c*x^n]))/x^4, x, 4, -((b*d*n)/(9*x^3)) - (b*e*n*x^(-3 + r))/(3 - r)^2 - (d*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^3) - (e*x^(-3 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3 - r)}
+{((d + e*x^r)*(a + b*Log[c*x^n]))/x^6, x, 4, -((b*d*n)/(25*x^5)) - (b*e*n*x^(-5 + r))/(5 - r)^2 - (d*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*x^5) - (e*x^(-5 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5 - r)}
+
+
+{x^5*(d + e*x^r)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -(b*d^2*n*x^6)/36 - (b*e^2*n*x^(2*(3 + r)))/(4*(3 + r)^2) - (2*b*d*e*n*x^(6 + r))/(6 + r)^2 + ((d^2*x^6 + (3*e^2*x^(2*(3 + r)))/(3 + r) + (12*d*e*x^(6 + r))/(6 + r))*(a + b*Log[c*x^n]))/6}
+{x^3*(d + e*x^r)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -(b*d^2*n*x^4)/16 - (b*e^2*n*x^(2*(2 + r)))/(4*(2 + r)^2) - (2*b*d*e*n*x^(4 + r))/(4 + r)^2 + ((d^2*x^4 + (2*e^2*x^(2*(2 + r)))/(2 + r) + (8*d*e*x^(4 + r))/(4 + r))*(a + b*Log[c*x^n]))/4}
+{x^1*(d + e*x^r)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -(b*d^2*n*x^2)/4 - (b*e^2*n*x^(2*(1 + r)))/(4*(1 + r)^2) - (2*b*d*e*n*x^(2 + r))/(2 + r)^2 + ((d^2*x^2 + (e^2*x^(2*(1 + r)))/(1 + r) + (4*d*e*x^(2 + r))/(2 + r))*(a + b*Log[c*x^n]))/2}
+{((d + e*x^r)^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x^1, x, 5, -((2*b*d*e*n*x^r)/r^2) - (b*e^2*n*x^(2*r))/(4*r^2) - (1/2)*b*d^2*n*Log[x]^2 + (2*d*e*x^r*(a + b*Log[c*x^n]))/r + (e^2*x^(2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*r) + d^2*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+{((d + e*x^r)^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x^3, x, 4, -((b*d^2*n)/(4*x^2)) - (b*e^2*n)/(x^(2*(1 - r))*(4*(1 - r)^2)) - (2*b*d*e*n*x^(-2 + r))/(2 - r)^2 - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(x^(2*(1 - r))*(2*(1 - r))) - (2*d*e*x^(-2 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(2 - r)}
+{((d + e*x^r)^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x^5, x, 4, -((b*d^2*n)/(16*x^4)) - (b*e^2*n)/(x^(2*(2 - r))*(4*(2 - r)^2)) - (2*b*d*e*n*x^(-4 + r))/(4 - r)^2 - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*x^4) - (e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(x^(2*(2 - r))*(2*(2 - r))) - (2*d*e*x^(-4 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(4 - r)}
+
+{x^4*(d + e*x^r)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -(b*d^2*n*x^5)/25 - (2*b*d*e*n*x^(5 + r))/(5 + r)^2 - (b*e^2*n*x^(5 + 2*r))/(5 + 2*r)^2 + ((d^2*x^5 + (10*d*e*x^(5 + r))/(5 + r) + (5*e^2*x^(5 + 2*r))/(5 + 2*r))*(a + b*Log[c*x^n]))/5}
+{x^2*(d + e*x^r)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -(b*d^2*n*x^3)/9 - (2*b*d*e*n*x^(3 + r))/(3 + r)^2 - (b*e^2*n*x^(3 + 2*r))/(3 + 2*r)^2 + ((d^2*x^3 + (6*d*e*x^(3 + r))/(3 + r) + (3*e^2*x^(3 + 2*r))/(3 + 2*r))*(a + b*Log[c*x^n]))/3}
+{x^0*(d + e*x^r)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, (-b)*d^2*n*x - (2*b*d*e*n*x^(1 + r))/(1 + r)^2 - (b*e^2*n*x^(1 + 2*r))/(1 + 2*r)^2 + d^2*x*(a + b*Log[c*x^n]) + (2*d*e*x^(1 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 + r) + (e^2*x^(1 + 2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 + 2*r)}
+{((d + e*x^r)^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x^2, x, 3, -((b*d^2*n)/x) - (2*b*d*e*n*x^(-1 + r))/(1 - r)^2 - (b*e^2*n*x^(-1 + 2*r))/(1 - 2*r)^2 - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x - (2*d*e*x^(-1 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 - r) - (e^2*x^(-1 + 2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 - 2*r)}
+{((d + e*x^r)^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x^4, x, 4, -((b*d^2*n)/(9*x^3)) - (2*b*d*e*n*x^(-3 + r))/(3 - r)^2 - (b*e^2*n*x^(-3 + 2*r))/(3 - 2*r)^2 - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^3) - (2*d*e*x^(-3 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3 - r) - (e^2*x^(-3 + 2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3 - 2*r)}
+{((d + e*x^r)^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x^6, x, 4, -((b*d^2*n)/(25*x^5)) - (2*b*d*e*n*x^(-5 + r))/(5 - r)^2 - (b*e^2*n*x^(-5 + 2*r))/(5 - 2*r)^2 - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*x^5) - (2*d*e*x^(-5 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5 - r) - (e^2*x^(-5 + 2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5 - 2*r)}
+{((d + e*x^r)^2*(a + b*Log[c*x^n]))/x^8, x, 4, -((b*d^2*n)/(49*x^7)) - (2*b*d*e*n*x^(-7 + r))/(7 - r)^2 - (b*e^2*n*x^(-7 + 2*r))/(7 - 2*r)^2 - (d^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*x^7) - (2*d*e*x^(-7 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(7 - r) - (e^2*x^(-7 + 2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(7 - 2*r)}
+
+
+{x^5*(d + e*x^r)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -(b*d^3*n*x^6)/36 - (b*e^3*n*x^(3*(2 + r)))/(9*(2 + r)^2) - (3*b*d*e^2*n*x^(2*(3 + r)))/(4*(3 + r)^2) - (3*b*d^2*e*n*x^(6 + r))/(6 + r)^2 + ((d^3*x^6 + (2*e^3*x^(3*(2 + r)))/(2 + r) + (9*d*e^2*x^(2*(3 + r)))/(3 + r) + (18*d^2*e*x^(6 + r))/(6 + r))*(a + b*Log[c*x^n]))/6}
+{x^3*(d + e*x^r)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -(b*d^3*n*x^4)/16 - (3*b*d*e^2*n*x^(2*(2 + r)))/(4*(2 + r)^2) - (3*b*d^2*e*n*x^(4 + r))/(4 + r)^2 - (b*e^3*n*x^(4 + 3*r))/(4 + 3*r)^2 + ((d^3*x^4 + (6*d*e^2*x^(2*(2 + r)))/(2 + r) + (12*d^2*e*x^(4 + r))/(4 + r) + (4*e^3*x^(4 + 3*r))/(4 + 3*r))*(a + b*Log[c*x^n]))/4}
+{x^1*(d + e*x^r)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -(b*d^3*n*x^2)/4 - (3*b*d*e^2*n*x^(2*(1 + r)))/(4*(1 + r)^2) - (3*b*d^2*e*n*x^(2 + r))/(2 + r)^2 - (b*e^3*n*x^(2 + 3*r))/(2 + 3*r)^2 + ((d^3*x^2 + (3*d*e^2*x^(2*(1 + r)))/(1 + r) + (6*d^2*e*x^(2 + r))/(2 + r) + (2*e^3*x^(2 + 3*r))/(2 + 3*r))*(a + b*Log[c*x^n]))/2}
+{((d + e*x^r)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x^1, x, 5, -((3*b*d^2*e*n*x^r)/r^2) - (3*b*d*e^2*n*x^(2*r))/(4*r^2) - (b*e^3*n*x^(3*r))/(9*r^2) - (1/2)*b*d^3*n*Log[x]^2 + (3*d^2*e*x^r*(a + b*Log[c*x^n]))/r + (3*d*e^2*x^(2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*r) + (e^3*x^(3*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*r) + d^3*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+{((d + e*x^r)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x^3, x, 4, -((b*d^3*n)/(4*x^2)) - (3*b*d*e^2*n)/(x^(2*(1 - r))*(4*(1 - r)^2)) - (3*b*d^2*e*n*x^(-2 + r))/(2 - r)^2 - (b*e^3*n*x^(-2 + 3*r))/(2 - 3*r)^2 - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (3*d*e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(x^(2*(1 - r))*(2*(1 - r))) - (3*d^2*e*x^(-2 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(2 - r) - (e^3*x^(-2 + 3*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(2 - 3*r)}
+{((d + e*x^r)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x^5, x, 4, -((b*d^3*n)/(16*x^4)) - (3*b*d*e^2*n)/(x^(2*(2 - r))*(4*(2 - r)^2)) - (3*b*d^2*e*n*x^(-4 + r))/(4 - r)^2 - (b*e^3*n*x^(-4 + 3*r))/(4 - 3*r)^2 - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*x^4) - (3*d*e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(x^(2*(2 - r))*(2*(2 - r))) - (3*d^2*e*x^(-4 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(4 - r) - (e^3*x^(-4 + 3*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(4 - 3*r)}
+
+{x^4*(d + e*x^r)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -(b*d^3*n*x^5)/25 - (3*b*d^2*e*n*x^(5 + r))/(5 + r)^2 - (3*b*d*e^2*n*x^(5 + 2*r))/(5 + 2*r)^2 - (b*e^3*n*x^(5 + 3*r))/(5 + 3*r)^2 + ((d^3*x^5 + (15*d^2*e*x^(5 + r))/(5 + r) + (15*d*e^2*x^(5 + 2*r))/(5 + 2*r) + (5*e^3*x^(5 + 3*r))/(5 + 3*r))*(a + b*Log[c*x^n]))/5}
+{x^2*(d + e*x^r)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -(b*d^3*n*x^3)/9 - (b*e^3*n*x^(3*(1 + r)))/(9*(1 + r)^2) - (3*b*d^2*e*n*x^(3 + r))/(3 + r)^2 - (3*b*d*e^2*n*x^(3 + 2*r))/(3 + 2*r)^2 + ((d^3*x^3 + (e^3*x^(3*(1 + r)))/(1 + r) + (9*d^2*e*x^(3 + r))/(3 + r) + (9*d*e^2*x^(3 + 2*r))/(3 + 2*r))*(a + b*Log[c*x^n]))/3}
+{x^0*(d + e*x^r)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 2, (-b)*d^3*n*x - (3*b*d^2*e*n*x^(1 + r))/(1 + r)^2 - (3*b*d*e^2*n*x^(1 + 2*r))/(1 + 2*r)^2 - (b*e^3*n*x^(1 + 3*r))/(1 + 3*r)^2 + d^3*x*(a + b*Log[c*x^n]) + (3*d^2*e*x^(1 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 + r) + (3*d*e^2*x^(1 + 2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 + 2*r) + (e^3*x^(1 + 3*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 + 3*r)}
+{((d + e*x^r)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x^2, x, 3, -((b*d^3*n)/x) - (3*b*d^2*e*n*x^(-1 + r))/(1 - r)^2 - (3*b*d*e^2*n*x^(-1 + 2*r))/(1 - 2*r)^2 - (b*e^3*n*x^(-1 + 3*r))/(1 - 3*r)^2 - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x - (3*d^2*e*x^(-1 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 - r) - (3*d*e^2*x^(-1 + 2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 - 2*r) - (e^3*x^(-1 + 3*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 - 3*r)}
+{((d + e*x^r)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x^4, x, 4, -((b*d^3*n)/(9*x^3)) - (b*e^3*n)/(x^(3*(1 - r))*(9*(1 - r)^2)) - (3*b*d^2*e*n*x^(-3 + r))/(3 - r)^2 - (3*b*d*e^2*n*x^(-3 + 2*r))/(3 - 2*r)^2 - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^3) - (e^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(x^(3*(1 - r))*(3*(1 - r))) - (3*d^2*e*x^(-3 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3 - r) - (3*d*e^2*x^(-3 + 2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3 - 2*r)}
+{((d + e*x^r)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x^6, x, 4, -((b*d^3*n)/(25*x^5)) - (3*b*d^2*e*n*x^(-5 + r))/(5 - r)^2 - (3*b*d*e^2*n*x^(-5 + 2*r))/(5 - 2*r)^2 - (b*e^3*n*x^(-5 + 3*r))/(5 - 3*r)^2 - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*x^5) - (3*d^2*e*x^(-5 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5 - r) - (3*d*e^2*x^(-5 + 2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5 - 2*r) - (e^3*x^(-5 + 3*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(5 - 3*r)}
+{((d + e*x^r)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x^8, x, 4, -((b*d^3*n)/(49*x^7)) - (3*b*d^2*e*n*x^(-7 + r))/(7 - r)^2 - (3*b*d*e^2*n*x^(-7 + 2*r))/(7 - 2*r)^2 - (b*e^3*n*x^(-7 + 3*r))/(7 - 3*r)^2 - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(7*x^7) - (3*d^2*e*x^(-7 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(7 - r) - (3*d*e^2*x^(-7 + 2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(7 - 2*r) - (e^3*x^(-7 + 3*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(7 - 3*r)}
+{((d + e*x^r)^3*(a + b*Log[c*x^n]))/x^10, x, 4, -((b*d^3*n)/(81*x^9)) - (b*e^3*n)/(x^(3*(3 - r))*(9*(3 - r)^2)) - (3*b*d^2*e*n*x^(-9 + r))/(9 - r)^2 - (3*b*d*e^2*n*x^(-9 + 2*r))/(9 - 2*r)^2 - (d^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*x^9) - (e^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(x^(3*(3 - r))*(3*(3 - r))) - (3*d^2*e*x^(-9 + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(9 - r) - (3*d*e^2*x^(-9 + 2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(9 - 2*r)}
+
+
+(* ::InheritFromParent:: *)
+(**)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{(x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(d + e*x^r), x, 0, Unintegrable[(x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(d + e*x^r), x]}
+{(x^1*(a + b*Log[c*x^n]))/(d + e*x^r), x, 0, Unintegrable[(x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d + e*x^r), x]}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*(d + e*x^r)), x, 2, -(((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d/(e*x^r)])/(d*r)) + (b*n*PolyLog[2, -(d/(e*x^r))])/(d*r^2)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^3*(d + e*x^r)), x, 0, Unintegrable[(a + b*Log[c*x^n])/(x^3*(d + e*x^r)), x]}
+
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^r), x, 0, Unintegrable[(x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(d + e*x^r), x]}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^r), x, 0, Unintegrable[(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^r), x]}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*(d + e*x^r)), x, 0, Unintegrable[(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*(d + e*x^r)), x]}
+
+
+{(x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(d + e*x^r)^2, x, 0, Unintegrable[(x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(d + e*x^r)^2, x]}
+{(x^1*(a + b*Log[c*x^n]))/(d + e*x^r)^2, x, 0, Unintegrable[(x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d + e*x^r)^2, x]}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*(d + e*x^r)^2), x, 5, -((e*x^r*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^2*r*(d + e*x^r))) - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d/(x^r*e)])/(d^2*r) + (b*n*Log[d + e*x^r])/(d^2*r^2) + (b*n*PolyLog[2, -(d/(x^r*e))])/(d^2*r^2)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^3*(d + e*x^r)^2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Log[c*x^n])/(x^3*(d + e*x^r)^2), x]}
+
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^r)^2, x, 0, Unintegrable[(x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(d + e*x^r)^2, x]}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^r)^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^r)^2, x]}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*(d + e*x^r)^2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*(d + e*x^r)^2), x]}
+
+
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x*(c - x^(-n))), x, 4, (a*Log[1 - c*x^n])/(c*n) - (b*PolyLog[2, 1 - c*x^n])/(c*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x^r)^q (a+b Log[c x^n])^p/x*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(d + e*x^r)^3*(a + b*Log[c*x^n])/x, x, 5, -((3*b*d^2*e*n*x^r)/r^2) - (3*b*d*e^2*n*x^(2*r))/(4*r^2) - (b*e^3*n*x^(3*r))/(9*r^2) - (1/2)*b*d^3*n*Log[x]^2 + (3*d^2*e*x^r*(a + b*Log[c*x^n]))/r + (3*d*e^2*x^(2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*r) + (e^3*x^(3*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*r) + d^3*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+{(d + e*x^r)^2*(a + b*Log[c*x^n])/x, x, 5, -((2*b*d*e*n*x^r)/r^2) - (b*e^2*n*x^(2*r))/(4*r^2) - (1/2)*b*d^2*n*Log[x]^2 + (2*d*e*x^r*(a + b*Log[c*x^n]))/r + (e^2*x^(2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*r) + d^2*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n])}
+{(d + e*x^r)^1*(a + b*Log[c*x^n])/x, x, 4, -((b*e*n*x^r)/r^2) + (e*x^r*(a + b*Log[c*x^n]))/r + (d*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*b*n)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*(d + e*x^r)^1), x, 2, -(((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d/(x^r*e)])/(d*r)) + (b*n*PolyLog[2, -(d/(x^r*e))])/(d*r^2)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*(d + e*x^r)^2), x, 5, -((e*x^r*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^2*r*(d + e*x^r))) - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d/(x^r*e)])/(d^2*r) + (b*n*Log[d + e*x^r])/(d^2*r^2) + (b*n*PolyLog[2, -(d/(x^r*e))])/(d^2*r^2)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*(d + e*x^r)^3), x, 10, -((b*n)/(2*d^2*r^2*(d + e*x^r))) - (b*n*Log[x])/(2*d^3*r) + (a + b*Log[c*x^n])/(2*d*r*(d + e*x^r)^2) - (e*x^r*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^3*r*(d + e*x^r)) - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d/(x^r*e)])/(d^3*r) + (3*b*n*Log[d + e*x^r])/(2*d^3*r^2) + (b*n*PolyLog[2, -(d/(x^r*e))])/(d^3*r^2)}
+
+
+{(d + e*x^r)^3*(a + b*Log[c*x^n])^2/x, x, 10, (6*b^2*d^2*e*n^2*x^r)/r^3 + (3*b^2*d*e^2*n^2*x^(2*r))/(4*r^3) + (2*b^2*e^3*n^2*x^(3*r))/(27*r^3) - (6*b*d^2*e*n*x^r*(a + b*Log[c*x^n]))/r^2 - (3*b*d*e^2*n*x^(2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*r^2) - (2*b*e^3*n*x^(3*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*r^2) + (3*d^2*e*x^r*(a + b*Log[c*x^n])^2)/r + (3*d*e^2*x^(2*r)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*r) + (e^3*x^(3*r)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*r) + (d^3*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(3*b*n)}
+{(d + e*x^r)^2*(a + b*Log[c*x^n])^2/x, x, 8, (4*b^2*d*e*n^2*x^r)/r^3 + (b^2*e^2*n^2*x^(2*r))/(4*r^3) - (4*b*d*e*n*x^r*(a + b*Log[c*x^n]))/r^2 - (b*e^2*n*x^(2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*r^2) + (2*d*e*x^r*(a + b*Log[c*x^n])^2)/r + (e^2*x^(2*r)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*r) + (d^2*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(3*b*n)}
+{(d + e*x^r)^1*(a + b*Log[c*x^n])^2/x, x, 6, (2*b^2*e*n^2*x^r)/r^3 - (2*b*e*n*x^r*(a + b*Log[c*x^n]))/r^2 + (e*x^r*(a + b*Log[c*x^n])^2)/r + (d*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(3*b*n)}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(x^1*(d + e*x^r)^1), x, 3, -(((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + d/(x^r*e)])/(d*r)) + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(d/(x^r*e))])/(d*r^2) + (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -(d/(x^r*e))])/(d*r^3)}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(x^1*(d + e*x^r)^2), x, 7, (a + b*Log[c*x^n])^2/(d*r*(d + e*x^r)) + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d/(x^r*e)])/(d^2*r^2) - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + d/(x^r*e)])/(d^2*r) - (2*b^2*n^2*PolyLog[2, -(d/(x^r*e))])/(d^2*r^3) + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(d/(x^r*e))])/(d^2*r^2) + (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -(d/(x^r*e))])/(d^2*r^3)}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2/(x^1*(d + e*x^r)^3), x, 14, (b*e*n*x^r*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^3*r^2*(d + e*x^r)) + (a + b*Log[c*x^n])^2/(2*d*r*(d + e*x^r)^2) + (a + b*Log[c*x^n])^2/(d^2*r*(d + e*x^r)) + (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d/(x^r*e)])/(d^3*r^2) - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + d/(x^r*e)])/(d^3*r) - (b^2*n^2*Log[d + e*x^r])/(d^3*r^3) - (3*b^2*n^2*PolyLog[2, -(d/(x^r*e))])/(d^3*r^3) + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(d/(x^r*e))])/(d^3*r^2) + (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -(d/(x^r*e))])/(d^3*r^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^r)^(q/2) (a+b Log[c x^n])*)
+
+
+{(d + e*x^r)^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n])/x, x, 23, -((92*b*d^2*n*Sqrt[d + e*x^r])/(15*r^2)) - (32*b*d*n*(d + e*x^r)^(3/2))/(45*r^2) - (4*b*n*(d + e*x^r)^(5/2))/(25*r^2) + (92*b*d^(5/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]])/(15*r^2) + (2*b*d^(5/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]]^2)/r^2 + (2/15)*((15*d^2*Sqrt[d + e*x^r])/r + (5*d*(d + e*x^r)^(3/2))/r + (3*(d + e*x^r)^(5/2))/r - (15*d^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]])/r)*(a + b*Log[c*x^n]) - (4*b*d^(5/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^r])])/r^2 - (2*b*d^(5/2)*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^r])])/r^2}
+{(d + e*x^r)^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])/x, x, 17, -((16*b*d*n*Sqrt[d + e*x^r])/(3*r^2)) - (4*b*n*(d + e*x^r)^(3/2))/(9*r^2) + (16*b*d^(3/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]])/(3*r^2) + (2*b*d^(3/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]]^2)/r^2 + (2/3)*((3*d*Sqrt[d + e*x^r])/r + (d + e*x^r)^(3/2)/r - (3*d^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]])/r)*(a + b*Log[c*x^n]) - (4*b*d^(3/2)*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^r])])/r^2 - (2*b*d^(3/2)*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^r])])/r^2}
+{(d + e*x^r)^(1/2)*(a + b*Log[c*x^n])/x, x, 12, -((4*b*n*Sqrt[d + e*x^r])/r^2) + (4*b*Sqrt[d]*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]])/r^2 + (2*b*Sqrt[d]*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]]^2)/r^2 + 2*(Sqrt[d + e*x^r]/r - (Sqrt[d]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]])/r)*(a + b*Log[c*x^n]) - (4*b*Sqrt[d]*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^r])])/r^2 - (2*b*Sqrt[d]*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^r])])/r^2}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x*(d + e*x^r)^(1/2)), x, 8, (2*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]]^2)/(Sqrt[d]*r^2) - (2*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(Sqrt[d]*r) - (4*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^r])])/(Sqrt[d]*r^2) - (2*b*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^r])])/(Sqrt[d]*r^2)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x*(d + e*x^r)^(3/2)), x, 11, (4*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]])/(d^(3/2)*r^2) + (2*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]]^2)/(d^(3/2)*r^2) + 2*(1/(d*r*Sqrt[d + e*x^r]) - ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]]/(d^(3/2)*r))*(a + b*Log[c*x^n]) - (4*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^r])])/(d^(3/2)*r^2) - (2*b*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^r])])/(d^(3/2)*r^2)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x*(d + e*x^r)^(5/2)), x, 15, -((4*b*n)/(3*d^2*r^2*Sqrt[d + e*x^r])) + (16*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)*r^2) + (2*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]]^2)/(d^(5/2)*r^2) + (2/3)*(1/(d*r*(d + e*x^r)^(3/2)) + 3/(d^2*r*Sqrt[d + e*x^r]) - (3*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]])/(d^(5/2)*r))*(a + b*Log[c*x^n]) - (4*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^r])])/(d^(5/2)*r^2) - (2*b*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^r])])/(d^(5/2)*r^2)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x*(d + e*x^r)^(7/2)), x, 20, -((4*b*n)/(15*d^2*r^2*(d + e*x^r)^(3/2))) - (32*b*n)/(15*d^3*r^2*Sqrt[d + e*x^r]) + (92*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]])/(15*d^(7/2)*r^2) + (2*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]]^2)/(d^(7/2)*r^2) + (2/15)*(3/(d*r*(d + e*x^r)^(5/2)) + 5/(d^2*r*(d + e*x^r)^(3/2)) + 15/(d^3*r*Sqrt[d + e*x^r]) - (15*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]])/(d^(7/2)*r))*(a + b*Log[c*x^n]) - (4*b*n*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^r]/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^r])])/(d^(7/2)*r^2) - (2*b*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] - Sqrt[d + e*x^r])])/(d^(7/2)*r^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^r)^q (a+b Log[c x^n]) when m and r symbolic*)
+
+
+{(f*x)^m*(d + e*x^r)^3*(a + b*Log[c*x^n]), x, 9, -((3*b*d^2*e*n*x^(1 + r)*(f*x)^m)/(1 + m + r)^2) - (3*b*d*e^2*n*x^(1 + 2*r)*(f*x)^m)/(1 + m + 2*r)^2 - (b*e^3*n*x^(1 + 3*r)*(f*x)^m)/(1 + m + 3*r)^2 - (b*d^3*n*(f*x)^(1 + m))/(f*(1 + m)^2) + (3*d^2*e*x^(1 + r)*(f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 + m + r) + (3*d*e^2*x^(1 + 2*r)*(f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 + m + 2*r) + (e^3*x^(1 + 3*r)*(f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 + m + 3*r) + (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f*(1 + m))}
+{(f*x)^m*(d + e*x^r)^2*(a + b*Log[c*x^n]), x, 7, -((2*b*d*e*n*x^(1 + r)*(f*x)^m)/(1 + m + r)^2) - (b*e^2*n*x^(1 + 2*r)*(f*x)^m)/(1 + m + 2*r)^2 - (b*d^2*n*(f*x)^(1 + m))/(f*(1 + m)^2) + (2*d*e*x^(1 + r)*(f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 + m + r) + (e^2*x^(1 + 2*r)*(f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 + m + 2*r) + (d^2*(f*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f*(1 + m))}
+{(f*x)^m*(d + e*x^r)^1*(a + b*Log[c*x^n]), x, 6, -((b*e*n*x^(1 + r)*(f*x)^m)/(1 + m + r)^2) - (b*d*n*(f*x)^(1 + m))/(f*(1 + m)^2) + (e*x^(1 + r)*(f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n]))/(1 + m + r) + (d*(f*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f*(1 + m))}
+{(f*x)^m*(d + e*x^r)^0*(a + b*Log[c*x^n]), x, 1, -((b*n*(f*x)^(1 + m))/(f*(1 + m)^2)) + ((f*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(f*(1 + m))}
+{(f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^r)^1, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n]))/(d + e*x^r), x]}
+{(f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x^r)^2, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n]))/(d + e*x^r)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^r)^q (a+b Log[c x^n])^p when m, p and r symbolic*)
+
+
+{(d + e/x^(1/(q + 1)))^q*(a + b*Log[c*x^n]), x, 3, ((-b)*n*x*(d + e/x^(1/(1 + q)))^q*Hypergeometric2F1[-1 - q, -1 - q, -q, -(e/(x^(1/(1 + q))*d))])/(1 + e/(x^(1/(1 + q))*d))^q + (x*(d + e/x^(1/(1 + q)))^(1 + q)*(a + b*Log[c*x^n]))/d}
+
+
+{(d + e*x^r)^q*(a + b*Log[c*x^n])/(f*x)^(r*(q + 1) + 1), x, 3, -((b*n*(d + e*x^r)^q*Hypergeometric2F1[-1 - q, -1 - q, -q, -((e*x^r)/d)])/((f*x)^((1 + q)*r)*(1 + (e*x^r)/d)^q*(f*(1 + q)^2*r^2))) - ((d + e*x^r)^(1 + q)*(a + b*Log[c*x^n]))/((f*x)^((1 + q)*r)*(d*f*(1 + q)*r))}
+
+
+{(f*x)^m*(d + e*x^r)^3*(a + b*Log[c*x^n])^p, x, 13, (d^3*(f*x)^(1 + m)*Gamma[1 + p, -(((1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^((a*(1 + m))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m)/n)*(-(((1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p*(f*(1 + m))) + (3*d^2*e*x^(1 + r)*(f*x)^m*Gamma[1 + p, -(((1 + m + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^((a*(1 + m + r))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m + r)/n)*(-(((1 + m + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p*(1 + m + r)) + (3*d*e^2*x^(1 + 2*r)*(f*x)^m*Gamma[1 + p, -(((1 + m + 2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^((a*(1 + m + 2*r))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m + 2*r)/n)*(-(((1 + m + 2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p*(1 + m + 2*r)) + (e^3*x^(1 + 3*r)*(f*x)^m*Gamma[1 + p, -(((1 + m + 3*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^((a*(1 + m + 3*r))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m + 3*r)/n)*(-(((1 + m + 3*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p*(1 + m + 3*r))}
+{(f*x)^m*(d + e*x^r)^2*(a + b*Log[c*x^n])^p, x, 10, (d^2*(f*x)^(1 + m)*Gamma[1 + p, -(((1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^((a*(1 + m))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m)/n)*(-(((1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p*(f*(1 + m))) + (2*d*e*x^(1 + r)*(f*x)^m*Gamma[1 + p, -(((1 + m + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^((a*(1 + m + r))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m + r)/n)*(-(((1 + m + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p*(1 + m + r)) + (e^2*x^(1 + 2*r)*(f*x)^m*Gamma[1 + p, -(((1 + m + 2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^((a*(1 + m + 2*r))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m + 2*r)/n)*(-(((1 + m + 2*r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p*(1 + m + 2*r))}
+{(f*x)^m*(d + e*x^r)^1*(a + b*Log[c*x^n])^p, x, 7, (d*(f*x)^(1 + m)*Gamma[1 + p, -(((1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^((a*(1 + m))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m)/n)*(-(((1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p*(f*(1 + m))) + (e*x^(1 + r)*(f*x)^m*Gamma[1 + p, -(((1 + m + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^((a*(1 + m + r))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m + r)/n)*(-(((1 + m + r)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p*(1 + m + r))}
+{(f*x)^m*(d + e*x^r)^0*(a + b*Log[c*x^n])^p, x, 2, ((f*x)^(1 + m)*Gamma[1 + p, -(((1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^((a*(1 + m))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m)/n)*(-(((1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p*(f*(1 + m)))}
+{(f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])^p/(d + e*x^r)^1, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(d + e*x^r), x]}
+{(f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])^p/(d + e*x^r)^2, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(d + e*x^r)^2, x]}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (d+e x)^q (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (d+e x)^q (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+{(f + g*x)*(a + b*Log[c*x^n])^1/(d + e*x)^3, x, 3, (b*(e*f - d*g)*n)/(2*d*e^2*(d + e*x)) + (b*f^2*n*Log[x])/(2*d^2*(e*f - d*g)) - ((f + g*x)^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2) - (b*(e*f + d*g)*n*Log[d + e*x])/(2*d^2*e^2)}
+{(f + g*x)*(a + b*Log[c*x^n])^2/(d + e*x)^3, x, 8, -((b*(e*f - d*g)*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^2*e*(d + e*x))) + (f^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*d^2*(e*f - d*g)) - ((f + g*x)^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2) + (b^2*(e*f - d*g)*n^2*Log[d + e*x])/(d^2*e^2) - (b*(e*f + d*g)*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(d^2*e^2) - (b^2*(e*f + d*g)*n^2*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/(d^2*e^2)}
+{(f + g*x)*(a + b*Log[c*x^n])^3/(d + e*x)^3, x, 11, -((3*b*(e*f - d*g)*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*d^2*e*(d + e*x))) + (f^2*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(2*d^2*(e*f - d*g)) - ((f + g*x)^2*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(2*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2) + (3*b^2*(e*f - d*g)*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (e*x)/d])/(d^2*e^2) - (3*b*(e*f + d*g)*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (e*x)/d])/(2*d^2*e^2) + (3*b^3*(e*f - d*g)*n^3*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/(d^2*e^2) - (3*b^2*(e*f + d*g)*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/(d^2*e^2) + (3*b^3*(e*f + d*g)*n^3*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/(d^2*e^2)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.1.5 u (a+b log(c x^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.1.5 u (a+b log(c x^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..d233d62e
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.1.5 u (a+b log(c x^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,475 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form AF[x] (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g x)^m (d+e x+f x^2)^q RFx (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+{(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*x + f*x^2), x, 6, ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (2*f*x)/(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (2*f*x)/(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] + (b*n*PolyLog[2, -((2*f*x)/(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] - (b*n*PolyLog[2, -((2*f*x)/(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form EF[x] (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g x)^q Log[d (e+f x^m)] (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q Log[d (e+f x^1)] (a+b Log[c x^n])^p when d e=1*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x], x, 6, -((5*b*n*x)/(16*e^3)) + (3*b*n*x^2)/(32*e^2) - (7*b*n*x^3)/(144*e) + (1/32)*b*n*x^4 + (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e^3) - (x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*e^2) + (x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(12*e) - (1/16)*x^4*(a + b*Log[c*x^n]) + (b*n*Log[1 + e*x])/(16*e^4) - (1/16)*b*n*x^4*Log[1 + e*x] - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/(4*e^4) + (1/4)*x^4*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x] - (b*n*PolyLog[2, (-e)*x])/(4*e^4)}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x], x, 6, (4*b*n*x)/(9*e^2) - (5*b*n*x^2)/(36*e) + (2/27)*b*n*x^3 - (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^2) + (x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*e) - (1/9)*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) - (b*n*Log[1 + e*x])/(9*e^3) - (1/9)*b*n*x^3*Log[1 + e*x] + ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/(3*e^3) + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x] + (b*n*PolyLog[2, (-e)*x])/(3*e^3)}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x], x, 6, -((3*b*n*x)/(4*e)) + (1/4)*b*n*x^2 + (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e) - (1/4)*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + (b*n*Log[1 + e*x])/(4*e^2) - (1/4)*b*n*x^2*Log[1 + e*x] - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/(2*e^2) + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x] - (b*n*PolyLog[2, (-e)*x])/(2*e^2)}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x], x, 7, 2*b*n*x - x*(a + b*Log[c*x^n]) - (b*n*(1 + e*x)*Log[1 + e*x])/e + ((1 + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/e + (b*n*PolyLog[2, (-e)*x])/e}
+{(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x]/x^1, x, 2, -((a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-e)*x]) + b*n*PolyLog[3, (-e)*x]}
+{(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x]/x^2, x, 8, b*e*n*Log[x] - (1/2)*b*e*n*Log[x]^2 + e*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]) - b*e*n*Log[1 + e*x] - (b*n*Log[1 + e*x])/x - e*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x] - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/x - b*e*n*PolyLog[2, (-e)*x]}
+{(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x]/x^3, x, 7, -((3*b*e*n)/(4*x)) - (1/4)*b*e^2*n*Log[x] + (1/4)*b*e^2*n*Log[x]^2 - (e*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x) - (1/2)*e^2*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]) + (1/4)*b*e^2*n*Log[1 + e*x] - (b*n*Log[1 + e*x])/(4*x^2) + (1/2)*e^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x] - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/(2*x^2) + (1/2)*b*e^2*n*PolyLog[2, (-e)*x]}
+{(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x]/x^4, x, 7, -((5*b*e*n)/(36*x^2)) + (4*b*e^2*n)/(9*x) + (1/9)*b*e^3*n*Log[x] - (1/6)*b*e^3*n*Log[x]^2 - (e*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*x^2) + (e^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x) + (1/3)*e^3*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]) - (1/9)*b*e^3*n*Log[1 + e*x] - (b*n*Log[1 + e*x])/(9*x^3) - (1/3)*e^3*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x] - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/(3*x^3) - (1/3)*b*e^3*n*PolyLog[2, (-e)*x]}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x], x, 15, -((a*b*n*x)/(2*e^3)) + (21*b^2*n^2*x)/(32*e^3) - (7*b^2*n^2*x^2)/(64*e^2) + (37*b^2*n^2*x^3)/(864*e) - (3/128)*b^2*n^2*x^4 - (b^2*n*x*Log[c*x^n])/(2*e^3) - (b*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*e^3) + (3*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(16*e^2) - (7*b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(72*e) + (1/16)*b*n*x^4*(a + b*Log[c*x^n]) + (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*e^3) - (x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(8*e^2) + (x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(12*e) - (1/16)*x^4*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (b^2*n^2*Log[1 + e*x])/(32*e^4) + (1/32)*b^2*n^2*x^4*Log[1 + e*x] + (b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/(8*e^4) - (1/8)*b*n*x^4*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x] - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x])/(4*e^4) + (1/4)*x^4*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x] + (b^2*n^2*PolyLog[2, (-e)*x])/(8*e^4) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-e)*x])/(2*e^4) + (b^2*n^2*PolyLog[3, (-e)*x])/(2*e^4)}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x], x, 14, (2*a*b*n*x)/(3*e^2) - (26*b^2*n^2*x)/(27*e^2) + (19*b^2*n^2*x^2)/(108*e) - (2/27)*b^2*n^2*x^3 + (2*b^2*n*x*Log[c*x^n])/(3*e^2) + (2*b*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*e^2) - (5*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(18*e) + (4/27)*b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) - (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*e^2) + (x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(6*e) - (1/9)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (2*b^2*n^2*Log[1 + e*x])/(27*e^3) + (2/27)*b^2*n^2*x^3*Log[1 + e*x] - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/(9*e^3) - (2/9)*b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x] + ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x])/(3*e^3) + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x] - (2*b^2*n^2*PolyLog[2, (-e)*x])/(9*e^3) + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-e)*x])/(3*e^3) - (2*b^2*n^2*PolyLog[3, (-e)*x])/(3*e^3)}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x], x, 13, -((a*b*n*x)/e) + (7*b^2*n^2*x)/(4*e) - (3/8)*b^2*n^2*x^2 - (b^2*n*x*Log[c*x^n])/e - (b*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e) + (1/2)*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*e) - (1/4)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (b^2*n^2*Log[1 + e*x])/(4*e^2) + (1/4)*b^2*n^2*x^2*Log[1 + e*x] + (b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/(2*e^2) - (1/2)*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x] - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x])/(2*e^2) + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x] + (b^2*n^2*PolyLog[2, (-e)*x])/(2*e^2) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-e)*x])/e^2 + (b^2*n^2*PolyLog[3, (-e)*x])/e^2}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x], x, 14, 2*a*b*n*x - 6*b^2*n^2*x + 2*b^2*n*x*Log[c*x^n] + 2*b*n*x*(a + b*Log[c*x^n]) - x*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (2*b^2*n^2*(1 + e*x)*Log[1 + e*x])/e - (2*b*n*(1 + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/e + ((1 + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x])/e - (2*b^2*n^2*PolyLog[2, (-e)*x])/e + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-e)*x])/e - (2*b^2*n^2*PolyLog[3, (-e)*x])/e}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x]/x^1, x, 3, (-(a + b*Log[c*x^n])^2)*PolyLog[2, (-e)*x] + 2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (-e)*x] - 2*b^2*n^2*PolyLog[4, (-e)*x]}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x]/x^2, x, 10, 2*b^2*e*n^2*Log[x] - 2*b*e*n*Log[1 + 1/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]) - e*Log[1 + 1/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2 - 2*b^2*e*n^2*Log[1 + e*x] - (2*b^2*n^2*Log[1 + e*x])/x - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/x - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x])/x + 2*b^2*e*n^2*PolyLog[2, -(1/(e*x))] + 2*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(1/(e*x))] + 2*b^2*e*n^2*PolyLog[3, -(1/(e*x))]}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x]/x^3, x, 14, -((7*b^2*e*n^2)/(4*x)) - (1/4)*b^2*e^2*n^2*Log[x] - (3*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x) + (1/2)*b*e^2*n*Log[1 + 1/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]) - (e*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*x) + (1/2)*e^2*Log[1 + 1/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (1/4)*b^2*e^2*n^2*Log[1 + e*x] - (b^2*n^2*Log[1 + e*x])/(4*x^2) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/(2*x^2) - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x])/(2*x^2) - (1/2)*b^2*e^2*n^2*PolyLog[2, -(1/(e*x))] - b*e^2*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(1/(e*x))] - b^2*e^2*n^2*PolyLog[3, -(1/(e*x))]}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + e*x], x, 29, (15*a*b^2*n^2*x)/(8*e^3) - (255*b^3*n^3*x)/(128*e^3) + (45*b^3*n^3*x^2)/(256*e^2) - (175*b^3*n^3*x^3)/(3456*e) + (3/128)*b^3*n^3*x^4 + (15*b^3*n^2*x*Log[c*x^n])/(8*e^3) + (3*b^2*n^2*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(32*e^3) - (21*b^2*n^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(64*e^2) + (37*b^2*n^2*x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(288*e) - (9/128)*b^2*n^2*x^4*(a + b*Log[c*x^n]) - (15*b*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(16*e^3) + (9*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(32*e^2) - (7*b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(48*e) + (3/32)*b*n*x^4*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(4*e^3) - (x^2*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(8*e^2) + (x^3*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(12*e) - (1/16)*x^4*(a + b*Log[c*x^n])^3 + (3*b^3*n^3*Log[1 + e*x])/(128*e^4) - (3/128)*b^3*n^3*x^4*Log[1 + e*x] - (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/(32*e^4) + (3/32)*b^2*n^2*x^4*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x] + (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x])/(16*e^4) - (3/16)*b*n*x^4*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x] - ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + e*x])/(4*e^4) + (1/4)*x^4*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + e*x] - (3*b^3*n^3*PolyLog[2, (-e)*x])/(32*e^4) + (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-e)*x])/(8*e^4) - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, (-e)*x])/(4*e^4) - (3*b^3*n^3*PolyLog[3, (-e)*x])/(8*e^4) + (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (-e)*x])/(2*e^4) - (3*b^3*n^3*PolyLog[4, (-e)*x])/(2*e^4)}
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + e*x], x, 26, -((8*a*b^2*n^2*x)/(3*e^2)) + (80*b^3*n^3*x)/(27*e^2) - (65*b^3*n^3*x^2)/(216*e) + (8/81)*b^3*n^3*x^3 - (8*b^3*n^2*x*Log[c*x^n])/(3*e^2) - (2*b^2*n^2*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*e^2) + (19*b^2*n^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(36*e) - (2/9)*b^2*n^2*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) + (4*b*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*e^2) - (5*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(12*e) + (2/9)*b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(3*e^2) + (x^2*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(6*e) - (1/9)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^3 - (2*b^3*n^3*Log[1 + e*x])/(27*e^3) - (2/27)*b^3*n^3*x^3*Log[1 + e*x] + (2*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/(9*e^3) + (2/9)*b^2*n^2*x^3*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x] - (b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x])/(3*e^3) - (1/3)*b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x] + ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + e*x])/(3*e^3) + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + e*x] + (2*b^3*n^3*PolyLog[2, (-e)*x])/(9*e^3) - (2*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-e)*x])/(3*e^3) + (b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, (-e)*x])/e^3 + (2*b^3*n^3*PolyLog[3, (-e)*x])/(3*e^3) - (2*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (-e)*x])/e^3 + (2*b^3*n^3*PolyLog[4, (-e)*x])/e^3}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + e*x], x, 23, (9*a*b^2*n^2*x)/(2*e) - (45*b^3*n^3*x)/(8*e) + (3/4)*b^3*n^3*x^2 + (9*b^3*n^2*x*Log[c*x^n])/(2*e) + (3*b^2*n^2*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e) - (9/8)*b^2*n^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) - (9*b*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*e) + (3/4)*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(2*e) - (1/4)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^3 + (3*b^3*n^3*Log[1 + e*x])/(8*e^2) - (3/8)*b^3*n^3*x^2*Log[1 + e*x] - (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/(4*e^2) + (3/4)*b^2*n^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x] + (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x])/(4*e^2) - (3/4)*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x] - ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + e*x])/(2*e^2) + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + e*x] - (3*b^3*n^3*PolyLog[2, (-e)*x])/(4*e^2) + (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-e)*x])/(2*e^2) - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, (-e)*x])/(2*e^2) - (3*b^3*n^3*PolyLog[3, (-e)*x])/(2*e^2) + (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (-e)*x])/e^2 - (3*b^3*n^3*PolyLog[4, (-e)*x])/e^2}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + e*x], x, 24, -12*a*b^2*n^2*x + 24*b^3*n^3*x - 12*b^3*n^2*x*Log[c*x^n] - 6*b^2*n^2*x*(a + b*Log[c*x^n]) + 6*b*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2 - x*(a + b*Log[c*x^n])^3 - (6*b^3*n^3*(1 + e*x)*Log[1 + e*x])/e + (6*b^2*n^2*(1 + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/e - (3*b*n*(1 + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x])/e + ((1 + e*x)*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + e*x])/e + (6*b^3*n^3*PolyLog[2, (-e)*x])/e - (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-e)*x])/e + (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, (-e)*x])/e + (6*b^3*n^3*PolyLog[3, (-e)*x])/e - (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (-e)*x])/e + (6*b^3*n^3*PolyLog[4, (-e)*x])/e}
+{(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + e*x]/x^1, x, 4, (-(a + b*Log[c*x^n])^3)*PolyLog[2, (-e)*x] + 3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[3, (-e)*x] - 6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[4, (-e)*x] + 6*b^3*n^3*PolyLog[5, (-e)*x]}
+{(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + e*x]/x^2, x, 14, 6*b^3*e*n^3*Log[x] - 6*b^2*e*n^2*Log[1 + 1/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]) - 3*b*e*n*Log[1 + 1/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2 - e*Log[1 + 1/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^3 - 6*b^3*e*n^3*Log[1 + e*x] - (6*b^3*n^3*Log[1 + e*x])/x - (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/x - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x])/x - ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + e*x])/x + 6*b^3*e*n^3*PolyLog[2, -(1/(e*x))] + 6*b^2*e*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(1/(e*x))] + 3*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -(1/(e*x))] + 6*b^3*e*n^3*PolyLog[3, -(1/(e*x))] + 6*b^2*e*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -(1/(e*x))] + 6*b^3*e*n^3*PolyLog[4, -(1/(e*x))]}
+{(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + e*x]/x^3, x, 22, -((45*b^3*e*n^3)/(8*x)) - (3/8)*b^3*e^2*n^3*Log[x] - (21*b^2*e*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*x) + (3/4)*b^2*e^2*n^2*Log[1 + 1/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n]) - (9*b*e*n*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*x) + (3/4)*b*e^2*n*Log[1 + 1/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (e*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(2*x) + (1/2)*e^2*Log[1 + 1/(e*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^3 + (3/8)*b^3*e^2*n^3*Log[1 + e*x] - (3*b^3*n^3*Log[1 + e*x])/(8*x^2) - (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + e*x])/(4*x^2) - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + e*x])/(4*x^2) - ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + e*x])/(2*x^2) - (3/4)*b^3*e^2*n^3*PolyLog[2, -(1/(e*x))] - (3/2)*b^2*e^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(1/(e*x))] - (3/2)*b*e^2*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -(1/(e*x))] - (3/2)*b^3*e^2*n^3*PolyLog[3, -(1/(e*x))] - 3*b^2*e^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -(1/(e*x))] - 3*b^3*e^2*n^3*PolyLog[4, -(1/(e*x))]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q Log[d (e+f x^2)] (a+b Log[c x^n])^p when d e=1*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(1/d + f*x^2)], x, 7, -((3*b*n*x^2)/(16*d*f)) + (1/16)*b*n*x^4 + (x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*d*f) - (1/8)*x^4*(a + b*Log[c*x^n]) + (b*n*Log[1 + d*f*x^2])/(16*d^2*f^2) - (1/16)*b*n*x^4*Log[1 + d*f*x^2] - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2])/(4*d^2*f^2) + (1/4)*x^4*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2] - (b*n*PolyLog[2, (-d)*f*x^2])/(8*d^2*f^2)}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(1/d + f*x^2)], x, 8, (1/2)*b*n*x^2 - (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) - (b*n*(1 + d*f*x^2)*Log[1 + d*f*x^2])/(4*d*f) + ((1 + d*f*x^2)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2])/(2*d*f) + (b*n*PolyLog[2, (-d)*f*x^2])/(4*d*f)}
+{(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(1/d + f*x^2)]/x^1, x, 2, (-(1/2))*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-d)*f*x^2] + (1/4)*b*n*PolyLog[3, (-d)*f*x^2]}
+{(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(1/d + f*x^2)]/x^3, x, 9, (1/2)*b*d*f*n*Log[x] - (1/2)*b*d*f*n*Log[x]^2 + d*f*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]) - (1/4)*b*d*f*n*Log[1 + d*f*x^2] - (b*n*Log[1 + d*f*x^2])/(4*x^2) - (1/2)*d*f*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2] - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2])/(2*x^2) - (1/4)*b*d*f*n*PolyLog[2, (-d)*f*x^2]}
+
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(1/d + f*x^2)], x, 9, -((8*b*n*x)/(9*d*f)) + (4/27)*b*n*x^3 + (2*b*n*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x])/(9*d^(3/2)*f^(3/2)) + (2*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d*f) - (2/9)*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) - (2*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^(3/2)*f^(3/2)) - (1/9)*b*n*x^3*Log[1 + d*f*x^2] + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2] + (I*b*n*PolyLog[2, (-I)*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x])/(3*d^(3/2)*f^(3/2)) - (I*b*n*PolyLog[2, I*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x])/(3*d^(3/2)*f^(3/2))}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(1/d + f*x^2)], x, 8, 4*b*n*x - (2*b*n*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[f]) - 2*x*(a + b*Log[c*x^n]) + (2*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(Sqrt[d]*Sqrt[f]) - b*n*x*Log[1 + d*f*x^2] + x*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2] - (I*b*n*PolyLog[2, (-I)*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[f]) + (I*b*n*PolyLog[2, I*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[f])}
+{(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(1/d + f*x^2)]/x^2, x, 7, 2*b*Sqrt[d]*Sqrt[f]*n*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x] + 2*Sqrt[d]*Sqrt[f]*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x]*(a + b*Log[c*x^n]) - (b*n*Log[1 + d*f*x^2])/x - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2])/x - I*b*Sqrt[d]*Sqrt[f]*n*PolyLog[2, (-I)*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x] + I*b*Sqrt[d]*Sqrt[f]*n*PolyLog[2, I*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x]}
+{(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(1/d + f*x^2)]/x^4, x, 8, -((8*b*d*f*n)/(9*x)) - (2/9)*b*d^(3/2)*f^(3/2)*n*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x] - (2*d*f*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x) - (2/3)*d^(3/2)*f^(3/2)*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x]*(a + b*Log[c*x^n]) - (b*n*Log[1 + d*f*x^2])/(9*x^3) - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2])/(3*x^3) + (1/3)*I*b*d^(3/2)*f^(3/2)*n*PolyLog[2, (-I)*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x] - (1/3)*I*b*d^(3/2)*f^(3/2)*n*PolyLog[2, I*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x]}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(1/d + f*x^2)], x, 13, (7*b^2*n^2*x^2)/(32*d*f) - (3/64)*b^2*n^2*x^4 - (3*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*d*f) + (1/8)*b*n*x^4*(a + b*Log[c*x^n]) + (x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*d*f) - (1/8)*x^4*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (b^2*n^2*Log[1 + d*f*x^2])/(32*d^2*f^2) + (1/32)*b^2*n^2*x^4*Log[1 + d*f*x^2] + (b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2])/(8*d^2*f^2) - (1/8)*b*n*x^4*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2] - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + d*f*x^2])/(4*d^2*f^2) + (1/4)*x^4*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + d*f*x^2] + (b^2*n^2*PolyLog[2, (-d)*f*x^2])/(16*d^2*f^2) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-d)*f*x^2])/(4*d^2*f^2) + (b^2*n^2*PolyLog[3, (-d)*f*x^2])/(8*d^2*f^2)}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(1/d + f*x^2)], x, 15, (-(3/4))*b^2*n^2*x^2 + b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) - (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (b^2*n^2*(1 + d*f*x^2)*Log[1 + d*f*x^2])/(4*d*f) - (b*n*(1 + d*f*x^2)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2])/(2*d*f) + ((1 + d*f*x^2)*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + d*f*x^2])/(2*d*f) - (b^2*n^2*PolyLog[2, (-d)*f*x^2])/(4*d*f) + (b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-d)*f*x^2])/(2*d*f) - (b^2*n^2*PolyLog[3, (-d)*f*x^2])/(4*d*f)}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(1/d + f*x^2)]/x^1, x, 3, (-(1/2))*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, (-d)*f*x^2] + (1/2)*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (-d)*f*x^2] - (1/4)*b^2*n^2*PolyLog[4, (-d)*f*x^2]}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(1/d + f*x^2)]/x^3, x, 11, (1/2)*b^2*d*f*n^2*Log[x] - (1/2)*b*d*f*n*Log[1 + 1/(d*f*x^2)]*(a + b*Log[c*x^n]) - (1/2)*d*f*Log[1 + 1/(d*f*x^2)]*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (1/4)*b^2*d*f*n^2*Log[1 + d*f*x^2] - (b^2*n^2*Log[1 + d*f*x^2])/(4*x^2) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2])/(2*x^2) - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + d*f*x^2])/(2*x^2) + (1/4)*b^2*d*f*n^2*PolyLog[2, -(1/(d*f*x^2))] + (1/2)*b*d*f*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(1/(d*f*x^2))] + (1/4)*b^2*d*f*n^2*PolyLog[3, -(1/(d*f*x^2))]}
+
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(1/d + f*x^2)], x, 30, -((16*a*b*n*x)/(9*d*f)) + (52*b^2*n^2*x)/(27*d*f) - (4/27)*b^2*n^2*x^3 - (4*b^2*n^2*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x])/(27*d^(3/2)*f^(3/2)) - (16*b^2*n*x*Log[c*x^n])/(9*d*f) + (8/27)*b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) + (4*b*n*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*d^(3/2)*f^(3/2)) + (2*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*d*f) - (2/9)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2 - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x])/(3*(-d)^(3/2)*f^(3/2)) + ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x])/(3*(-d)^(3/2)*f^(3/2)) + (2/27)*b^2*n^2*x^3*Log[1 + d*f*x^2] - (2/9)*b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2] + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + d*f*x^2] + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-Sqrt[-d])*Sqrt[f]*x])/(3*(-d)^(3/2)*f^(3/2)) - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x])/(3*(-d)^(3/2)*f^(3/2)) - (2*I*b^2*n^2*PolyLog[2, (-I)*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x])/(9*d^(3/2)*f^(3/2)) + (2*I*b^2*n^2*PolyLog[2, I*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x])/(9*d^(3/2)*f^(3/2)) - (2*b^2*n^2*PolyLog[3, (-Sqrt[-d])*Sqrt[f]*x])/(3*(-d)^(3/2)*f^(3/2)) + (2*b^2*n^2*PolyLog[3, Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x])/(3*(-d)^(3/2)*f^(3/2))}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(1/d + f*x^2)], x, 26, 4*a*b*n*x - 8*b^2*n^2*x + 4*b*n*(a - b*n)*x - (4*b*n*(a - b*n)*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[f]) + 8*b^2*n*x*Log[c*x^n] - (4*b^2*n*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x]*Log[c*x^n])/(Sqrt[d]*Sqrt[f]) - 2*x*(a + b*Log[c*x^n])^2 - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f]) + ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f]) - 2*a*b*n*x*Log[1 + d*f*x^2] + 2*b^2*n^2*x*Log[1 + d*f*x^2] - 2*b^2*n*x*Log[c*x^n]*Log[1 + d*f*x^2] + x*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + d*f*x^2] + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-Sqrt[-d])*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f]) - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f]) + (2*I*b^2*n^2*PolyLog[2, (-I)*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[f]) - (2*I*b^2*n^2*PolyLog[2, I*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[f]) - (2*b^2*n^2*PolyLog[3, (-Sqrt[-d])*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f]) + (2*b^2*n^2*PolyLog[3, Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f])}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(1/d + f*x^2)]/x^2, x, 16, 4*b^2*Sqrt[d]*Sqrt[f]*n^2*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x] + 4*b*Sqrt[d]*Sqrt[f]*n*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x]*(a + b*Log[c*x^n]) + Sqrt[-d]*Sqrt[f]*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x] - Sqrt[-d]*Sqrt[f]*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x] - (2*b^2*n^2*Log[1 + d*f*x^2])/x - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2])/x - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + d*f*x^2])/x - 2*b*Sqrt[-d]*Sqrt[f]*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-Sqrt[-d])*Sqrt[f]*x] + 2*b*Sqrt[-d]*Sqrt[f]*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x] - 2*I*b^2*Sqrt[d]*Sqrt[f]*n^2*PolyLog[2, (-I)*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x] + 2*I*b^2*Sqrt[d]*Sqrt[f]*n^2*PolyLog[2, I*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x] + 2*b^2*Sqrt[-d]*Sqrt[f]*n^2*PolyLog[3, (-Sqrt[-d])*Sqrt[f]*x] - 2*b^2*Sqrt[-d]*Sqrt[f]*n^2*PolyLog[3, Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x]}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(1/d + f*x^2)]/x^4, x, 22, -((52*b^2*d*f*n^2)/(27*x)) - (4/27)*b^2*d^(3/2)*f^(3/2)*n^2*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x] - (16*b*d*f*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*x) - (4/9)*b*d^(3/2)*f^(3/2)*n*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x]*(a + b*Log[c*x^n]) - (2*d*f*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*x) + (1/3)*(-d)^(3/2)*f^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x] - (1/3)*(-d)^(3/2)*f^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x] - (2*b^2*n^2*Log[1 + d*f*x^2])/(27*x^3) - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2])/(9*x^3) - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + d*f*x^2])/(3*x^3) - (2/3)*b*(-d)^(3/2)*f^(3/2)*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-Sqrt[-d])*Sqrt[f]*x] + (2/3)*b*(-d)^(3/2)*f^(3/2)*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x] + (2/9)*I*b^2*d^(3/2)*f^(3/2)*n^2*PolyLog[2, (-I)*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x] - (2/9)*I*b^2*d^(3/2)*f^(3/2)*n^2*PolyLog[2, I*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x] + (2/3)*b^2*(-d)^(3/2)*f^(3/2)*n^2*PolyLog[3, (-Sqrt[-d])*Sqrt[f]*x] - (2/3)*b^2*(-d)^(3/2)*f^(3/2)*n^2*PolyLog[3, Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x]}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(1/d + f*x^2)], x, 22, -((45*b^3*n^3*x^2)/(128*d*f)) + (3/64)*b^3*n^3*x^4 + (21*b^2*n^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(32*d*f) - (9/64)*b^2*n^2*x^4*(a + b*Log[c*x^n]) - (9*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(16*d*f) + (3/16)*b*n*x^4*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (x^2*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(4*d*f) - (1/8)*x^4*(a + b*Log[c*x^n])^3 + (3*b^3*n^3*Log[1 + d*f*x^2])/(128*d^2*f^2) - (3/128)*b^3*n^3*x^4*Log[1 + d*f*x^2] - (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2])/(32*d^2*f^2) + (3/32)*b^2*n^2*x^4*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2] + (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + d*f*x^2])/(16*d^2*f^2) - (3/16)*b*n*x^4*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + d*f*x^2] - ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + d*f*x^2])/(4*d^2*f^2) + (1/4)*x^4*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + d*f*x^2] - (3*b^3*n^3*PolyLog[2, (-d)*f*x^2])/(64*d^2*f^2) + (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-d)*f*x^2])/(16*d^2*f^2) - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, (-d)*f*x^2])/(8*d^2*f^2) - (3*b^3*n^3*PolyLog[3, (-d)*f*x^2])/(32*d^2*f^2) + (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (-d)*f*x^2])/(8*d^2*f^2) - (3*b^3*n^3*PolyLog[4, (-d)*f*x^2])/(16*d^2*f^2)}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(1/d + f*x^2)], x, 24, (3/2)*b^3*n^3*x^2 - (9/4)*b^2*n^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + (3/2)*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^3 - (3*b^3*n^3*(1 + d*f*x^2)*Log[1 + d*f*x^2])/(8*d*f) + (3*b^2*n^2*(1 + d*f*x^2)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2])/(4*d*f) - (3*b*n*(1 + d*f*x^2)*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + d*f*x^2])/(4*d*f) + ((1 + d*f*x^2)*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + d*f*x^2])/(2*d*f) + (3*b^3*n^3*PolyLog[2, (-d)*f*x^2])/(8*d*f) - (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-d)*f*x^2])/(4*d*f) + (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, (-d)*f*x^2])/(4*d*f) + (3*b^3*n^3*PolyLog[3, (-d)*f*x^2])/(8*d*f) - (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (-d)*f*x^2])/(4*d*f) + (3*b^3*n^3*PolyLog[4, (-d)*f*x^2])/(8*d*f)}
+{(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(1/d + f*x^2)]/x^1, x, 4, (-(1/2))*(a + b*Log[c*x^n])^3*PolyLog[2, (-d)*f*x^2] + (3/4)*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[3, (-d)*f*x^2] - (3/4)*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[4, (-d)*f*x^2] + (3/8)*b^3*n^3*PolyLog[5, (-d)*f*x^2]}
+{(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(1/d + f*x^2)]/x^3, x, 15, (3/4)*b^3*d*f*n^3*Log[x] - (3/4)*b^2*d*f*n^2*Log[1 + 1/(d*f*x^2)]*(a + b*Log[c*x^n]) - (3/4)*b*d*f*n*Log[1 + 1/(d*f*x^2)]*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (1/2)*d*f*Log[1 + 1/(d*f*x^2)]*(a + b*Log[c*x^n])^3 - (3/8)*b^3*d*f*n^3*Log[1 + d*f*x^2] - (3*b^3*n^3*Log[1 + d*f*x^2])/(8*x^2) - (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2])/(4*x^2) - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + d*f*x^2])/(4*x^2) - ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + d*f*x^2])/(2*x^2) + (3/8)*b^3*d*f*n^3*PolyLog[2, -(1/(d*f*x^2))] + (3/4)*b^2*d*f*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(1/(d*f*x^2))] + (3/4)*b*d*f*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -(1/(d*f*x^2))] + (3/8)*b^3*d*f*n^3*PolyLog[3, -(1/(d*f*x^2))] + (3/4)*b^2*d*f*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -(1/(d*f*x^2))] + (3/8)*b^3*d*f*n^3*PolyLog[4, -(1/(d*f*x^2))]}
+
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(1/d + f*x^2)], x, 42, -24*a*b^2*n^2*x + 36*b^3*n^3*x - 12*b^2*n^2*(a - b*n)*x + (12*b^2*n^2*(a - b*n)*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[f]) - 36*b^3*n^2*x*Log[c*x^n] + (12*b^3*n^2*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x]*Log[c*x^n])/(Sqrt[d]*Sqrt[f]) + 12*b*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2 - 2*x*(a + b*Log[c*x^n])^3 + (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f]) - ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 - Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f]) - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f]) + ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f]) + 6*a*b^2*n^2*x*Log[1 + d*f*x^2] - 6*b^3*n^3*x*Log[1 + d*f*x^2] + 6*b^3*n^2*x*Log[c*x^n]*Log[1 + d*f*x^2] - 3*b*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + d*f*x^2] + x*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + d*f*x^2] - (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-Sqrt[-d])*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f]) + (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, (-Sqrt[-d])*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f]) + (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f]) - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f]) - (6*I*b^3*n^3*PolyLog[2, (-I)*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[f]) + (6*I*b^3*n^3*PolyLog[2, I*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[f]) + (6*b^3*n^3*PolyLog[3, (-Sqrt[-d])*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f]) - (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (-Sqrt[-d])*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f]) - (6*b^3*n^3*PolyLog[3, Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f]) + (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f]) + (6*b^3*n^3*PolyLog[4, (-Sqrt[-d])*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f]) - (6*b^3*n^3*PolyLog[4, Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x])/(Sqrt[-d]*Sqrt[f])}
+{(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(1/d + f*x^2)]/x^2, x, 26, 12*b^3*Sqrt[d]*Sqrt[f]*n^3*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x] + 12*b^2*Sqrt[d]*Sqrt[f]*n^2*ArcTan[Sqrt[d]*Sqrt[f]*x]*(a + b*Log[c*x^n]) + 3*b*Sqrt[-d]*Sqrt[f]*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x] + Sqrt[-d]*Sqrt[f]*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 - Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x] - 3*b*Sqrt[-d]*Sqrt[f]*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x] - Sqrt[-d]*Sqrt[f]*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x] - (6*b^3*n^3*Log[1 + d*f*x^2])/x - (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + d*f*x^2])/x - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + d*f*x^2])/x - ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + d*f*x^2])/x - 6*b^2*Sqrt[-d]*Sqrt[f]*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-Sqrt[-d])*Sqrt[f]*x] - 3*b*Sqrt[-d]*Sqrt[f]*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, (-Sqrt[-d])*Sqrt[f]*x] + 6*b^2*Sqrt[-d]*Sqrt[f]*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x] + 3*b*Sqrt[-d]*Sqrt[f]*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x] - 6*I*b^3*Sqrt[d]*Sqrt[f]*n^3*PolyLog[2, (-I)*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x] + 6*I*b^3*Sqrt[d]*Sqrt[f]*n^3*PolyLog[2, I*Sqrt[d]*Sqrt[f]*x] + 6*b^3*Sqrt[-d]*Sqrt[f]*n^3*PolyLog[3, (-Sqrt[-d])*Sqrt[f]*x] + 6*b^2*Sqrt[-d]*Sqrt[f]*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (-Sqrt[-d])*Sqrt[f]*x] - 6*b^3*Sqrt[-d]*Sqrt[f]*n^3*PolyLog[3, Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x] - 6*b^2*Sqrt[-d]*Sqrt[f]*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x] - 6*b^3*Sqrt[-d]*Sqrt[f]*n^3*PolyLog[4, (-Sqrt[-d])*Sqrt[f]*x] + 6*b^3*Sqrt[-d]*Sqrt[f]*n^3*PolyLog[4, Sqrt[-d]*Sqrt[f]*x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q Log[d (e+f x^(1/2))] (a+b Log[c x^n])^p when d e=1*)
+
+
+{x^2*Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 7, (-7*b*n*Sqrt[x])/(9*d^5*f^5) + (2*b*n*x)/(9*d^4*f^4) - (b*n*x^(3/2))/(9*d^3*f^3) + (5*b*n*x^2)/(72*d^2*f^2) - (11*b*n*x^(5/2))/(225*d*f) + (b*n*x^3)/27 + (b*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/(9*d^6*f^6) - (b*n*x^3*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/9 + (Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^5*f^5) - (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*d^4*f^4) + (x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*d^3*f^3) - (x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(12*d^2*f^2) + (x^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(15*d*f) - (x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/18 - (Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*d^6*f^6) + (x^3*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/3 - (2*b*n*PolyLog[2, -(d*f*Sqrt[x])])/(3*d^6*f^6)}
+{x^1*Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 7, (-5*b*n*Sqrt[x])/(4*d^3*f^3) + (3*b*n*x)/(8*d^2*f^2) - (7*b*n*x^(3/2))/(36*d*f) + (b*n*x^2)/8 + (b*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/(4*d^4*f^4) - (b*n*x^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/4 + (Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^3*f^3) - (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*d^2*f^2) + (x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*d*f) - (x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/8 - (Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^4*f^4) + (x^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/2 - (b*n*PolyLog[2, -(d*f*Sqrt[x])])/(d^4*f^4)}
+{x^0*Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 7, (-3*b*n*Sqrt[x])/(d*f) + b*n*x - b*n*x*Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])] + (b*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/(d^2*f^2) + (Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(d*f) - (x*(a + b*Log[c*x^n]))/2 + x*Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n]) - (Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^2*f^2) - (2*b*n*PolyLog[2, -(d*f*Sqrt[x])])/(d^2*f^2)}
+{Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])/x^1, x, 2, -2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(d*f*Sqrt[x])] + 4*b*n*PolyLog[3, -(d*f*Sqrt[x])]}
+{Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])/x^2, x, 8, (-3*b*d*f*n)/Sqrt[x] + b*d^2*f^2*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]] - (b*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/x - (b*d^2*f^2*n*Log[x])/2 + (b*d^2*f^2*n*Log[x]^2)/4 - (d*f*(a + b*Log[c*x^n]))/Sqrt[x] + d^2*f^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]) - (Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/x - (d^2*f^2*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/2 + 2*b*d^2*f^2*n*PolyLog[2, -(d*f*Sqrt[x])]}
+{Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])/x^3, x, 8, (-7*b*d*f*n)/(36*x^(3/2)) + (3*b*d^2*f^2*n)/(8*x) - (5*b*d^3*f^3*n)/(4*Sqrt[x]) + (b*d^4*f^4*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/4 - (b*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/(4*x^2) - (b*d^4*f^4*n*Log[x])/8 + (b*d^4*f^4*n*Log[x]^2)/8 - (d*f*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*x^(3/2)) + (d^2*f^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*x) - (d^3*f^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*Sqrt[x]) + (d^4*f^4*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/2 - (Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (d^4*f^4*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/4 + b*d^4*f^4*n*PolyLog[2, -(d*f*Sqrt[x])]}
+{Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])/x^4, x, 8, (-11*b*d*f*n)/(225*x^(5/2)) + (5*b*d^2*f^2*n)/(72*x^2) - (b*d^3*f^3*n)/(9*x^(3/2)) + (2*b*d^4*f^4*n)/(9*x) - (7*b*d^5*f^5*n)/(9*Sqrt[x]) + (b*d^6*f^6*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/9 - (b*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/(9*x^3) - (b*d^6*f^6*n*Log[x])/18 + (b*d^6*f^6*n*Log[x]^2)/12 - (d*f*(a + b*Log[c*x^n]))/(15*x^(5/2)) + (d^2*f^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(12*x^2) - (d^3*f^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*x^(3/2)) + (d^4*f^4*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*x) - (d^5*f^5*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*Sqrt[x]) + (d^6*f^6*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/3 - (Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^3) - (d^6*f^6*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/6 + (2*b*d^6*f^6*n*PolyLog[2, -(d*f*Sqrt[x])])/3}
+
+
+{x^2*Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 18, (86*b^2*n^2*Sqrt[x])/(27*d^5*f^5) + (a*b*n*x)/(3*d^4*f^4) - (13*b^2*n^2*x)/(27*d^4*f^4) + (14*b^2*n^2*x^(3/2))/(81*d^3*f^3) - (19*b^2*n^2*x^2)/(216*d^2*f^2) + (182*b^2*n^2*x^(5/2))/(3375*d*f) - (1/27)*b^2*n^2*x^3 - (2*b^2*n^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/(27*d^6*f^6) + (2/27)*b^2*n^2*x^3*Log[1 + d*f*Sqrt[x]] + (b^2*n*x*Log[c*x^n])/(3*d^4*f^4) - (14*b*n*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*d^5*f^5) + (b*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*d^4*f^4) - (2*b*n*x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*d^3*f^3) + (5*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(36*d^2*f^2) - (22*b*n*x^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(225*d*f) + (2/27)*b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) + (2*b*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*d^6*f^6) - (2/9)*b*n*x^3*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]) + (Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*d^5*f^5) - (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(6*d^4*f^4) + (x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(9*d^3*f^3) - (x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(12*d^2*f^2) + (x^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(15*d*f) - (1/18)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*d^6*f^6) + (1/3)*x^3*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (4*b^2*n^2*PolyLog[2, (-d)*f*Sqrt[x]])/(9*d^6*f^6) - (4*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-d)*f*Sqrt[x]])/(3*d^6*f^6) + (8*b^2*n^2*PolyLog[3, (-d)*f*Sqrt[x]])/(3*d^6*f^6)}
+{x^1*Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 16, (21*b^2*n^2*Sqrt[x])/(4*d^3*f^3) + (a*b*n*x)/(2*d^2*f^2) - (7*b^2*n^2*x)/(8*d^2*f^2) + (37*b^2*n^2*x^(3/2))/(108*d*f) - (3/16)*b^2*n^2*x^2 - (b^2*n^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/(4*d^4*f^4) + (1/4)*b^2*n^2*x^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]] + (b^2*n*x*Log[c*x^n])/(2*d^2*f^2) - (5*b*n*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^3*f^3) + (b*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*d^2*f^2) - (7*b*n*x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(18*d*f) + (1/4)*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + (b*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*d^4*f^4) - (1/2)*b*n*x^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]) + (Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*d^3*f^3) - (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*d^2*f^2) + (x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(6*d*f) - (1/8)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*d^4*f^4) + (1/2)*x^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (b^2*n^2*PolyLog[2, (-d)*f*Sqrt[x]])/(d^4*f^4) - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-d)*f*Sqrt[x]])/(d^4*f^4) + (4*b^2*n^2*PolyLog[3, (-d)*f*Sqrt[x]])/(d^4*f^4)}
+{x^0*Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 14, (14*b^2*n^2*Sqrt[x])/(d*f) + a*b*n*x - 3*b^2*n^2*x + 2*b^2*n^2*x*Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])] - (2*b^2*n^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/(d^2*f^2) + b^2*n*x*Log[c*x^n] - (6*b*n*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(d*f) + b*n*x*(a + b*Log[c*x^n]) - 2*b*n*x*Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n]) + (2*b*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^2*f^2) + (Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d*f) - (x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/2 + x*Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d^2*f^2) + (4*b^2*n^2*PolyLog[2, -(d*f*Sqrt[x])])/(d^2*f^2) - (4*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(d*f*Sqrt[x])])/(d^2*f^2) + (8*b^2*n^2*PolyLog[3, -(d*f*Sqrt[x])])/(d^2*f^2)}
+{Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^1, x, 3, -2*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -(d*f*Sqrt[x])] + 8*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -(d*f*Sqrt[x])] - 16*b^2*n^2*PolyLog[4, -(d*f*Sqrt[x])]}
+{Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^2, x, 17, -((14*b^2*d*f*n^2)/Sqrt[x]) + 2*b^2*d^2*f^2*n^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]] - (2*b^2*n^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/x - b^2*d^2*f^2*n^2*Log[x] + (1/2)*b^2*d^2*f^2*n^2*Log[x]^2 - (6*b*d*f*n*(a + b*Log[c*x^n]))/Sqrt[x] + 2*b*d^2*f^2*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]) - (2*b*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/x - b*d^2*f^2*n*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]) - (d*f*(a + b*Log[c*x^n])^2)/Sqrt[x] + d^2*f^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/x - (d^2*f^2*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(6*b*n) + 4*b^2*d^2*f^2*n^2*PolyLog[2, (-d)*f*Sqrt[x]] + 4*b*d^2*f^2*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-d)*f*Sqrt[x]] - 8*b^2*d^2*f^2*n^2*PolyLog[3, (-d)*f*Sqrt[x]]}
+{Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^3, x, 19, -((37*b^2*d*f*n^2)/(108*x^(3/2))) + (7*b^2*d^2*f^2*n^2)/(8*x) - (21*b^2*d^3*f^3*n^2)/(4*Sqrt[x]) + (1/4)*b^2*d^4*f^4*n^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]] - (b^2*n^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/(4*x^2) - (1/8)*b^2*d^4*f^4*n^2*Log[x] + (1/8)*b^2*d^4*f^4*n^2*Log[x]^2 - (7*b*d*f*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(18*x^(3/2)) + (3*b*d^2*f^2*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*x) - (5*b*d^3*f^3*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*Sqrt[x]) + (1/2)*b*d^4*f^4*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]) - (b*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (1/4)*b*d^4*f^4*n*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]) - (d*f*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(6*x^(3/2)) + (d^2*f^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*x) - (d^3*f^3*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*Sqrt[x]) + (1/2)*d^4*f^4*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*x^2) - (d^4*f^4*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(12*b*n) + b^2*d^4*f^4*n^2*PolyLog[2, (-d)*f*Sqrt[x]] + 2*b*d^4*f^4*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-d)*f*Sqrt[x]] - 4*b^2*d^4*f^4*n^2*PolyLog[3, (-d)*f*Sqrt[x]]}
+
+
+{x^1*Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 30, -((255*b^3*n^3*Sqrt[x])/(8*d^3*f^3)) - (9*a*b^2*n^2*x)/(4*d^2*f^2) + (45*b^3*n^3*x)/(16*d^2*f^2) - (175*b^3*n^3*x^(3/2))/(216*d*f) + (3/8)*b^3*n^3*x^2 + (3*b^3*n^3*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/(8*d^4*f^4) - (3/8)*b^3*n^3*x^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]] - (9*b^3*n^2*x*Log[c*x^n])/(4*d^2*f^2) + (63*b^2*n^2*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*d^3*f^3) - (3*b^2*n^2*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*d^2*f^2) + (37*b^2*n^2*x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(36*d*f) - (9/16)*b^2*n^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) - (3*b^2*n^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*d^4*f^4) + (3/4)*b^2*n^2*x^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]) - (15*b*n*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*d^3*f^3) + (9*b*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(8*d^2*f^2) - (7*b*n*x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(12*d*f) + (3/8)*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (3*b*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*d^4*f^4) - (3/4)*b*n*x^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(2*d^3*f^3) - (x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(4*d^2*f^2) + (x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(6*d*f) - (1/8)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^3 - (Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(2*d^4*f^4) + (1/2)*x^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^3 - (3*b^3*n^3*PolyLog[2, (-d)*f*Sqrt[x]])/(2*d^4*f^4) + (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-d)*f*Sqrt[x]])/(d^4*f^4) - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, (-d)*f*Sqrt[x]])/(d^4*f^4) - (6*b^3*n^3*PolyLog[3, (-d)*f*Sqrt[x]])/(d^4*f^4) + (12*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (-d)*f*Sqrt[x]])/(d^4*f^4) - (24*b^3*n^3*PolyLog[4, (-d)*f*Sqrt[x]])/(d^4*f^4)}
+{x^0*Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 24, (-90*b^3*n^3*Sqrt[x])/(d*f) - 6*a*b^2*n^2*x + 12*b^3*n^3*x - 6*b^3*n^3*x*Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])] + (6*b^3*n^3*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/(d^2*f^2) - 6*b^3*n^2*x*Log[c*x^n] + (42*b^2*n^2*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(d*f) - 3*b^2*n^2*x*(a + b*Log[c*x^n]) + 6*b^2*n^2*x*Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n]) - (6*b^2*n^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(d^2*f^2) - (9*b*n*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d*f) + 3*b*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2 - 3*b*n*x*Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (3*b*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(d^2*f^2) + (Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(d*f) - (x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/2 + x*Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^3 - (Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(d^2*f^2) - (12*b^3*n^3*PolyLog[2, -(d*f*Sqrt[x])])/(d^2*f^2) + (12*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(d*f*Sqrt[x])])/(d^2*f^2) - (6*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -(d*f*Sqrt[x])])/(d^2*f^2) - (24*b^3*n^3*PolyLog[3, -(d*f*Sqrt[x])])/(d^2*f^2) + (24*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -(d*f*Sqrt[x])])/(d^2*f^2) - (48*b^3*n^3*PolyLog[4, -(d*f*Sqrt[x])])/(d^2*f^2)}
+{Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^3/x^1, x, 4, -2*(a + b*Log[c*x^n])^3*PolyLog[2, -(d*f*Sqrt[x])] + 12*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[3, -(d*f*Sqrt[x])] - 48*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[4, -(d*f*Sqrt[x])] + 96*b^3*n^3*PolyLog[5, -(d*f*Sqrt[x])]}
+{Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^3/x^2, x, 28, -((90*b^3*d*f*n^3)/Sqrt[x]) + 6*b^3*d^2*f^2*n^3*Log[1 + d*f*Sqrt[x]] - (6*b^3*n^3*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/x - 3*b^3*d^2*f^2*n^3*Log[x] + (3/2)*b^3*d^2*f^2*n^3*Log[x]^2 - (42*b^2*d*f*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))/Sqrt[x] + 6*b^2*d^2*f^2*n^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]) - (6*b^2*n^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/x - 3*b^2*d^2*f^2*n^2*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]) - (9*b*d*f*n*(a + b*Log[c*x^n])^2)/Sqrt[x] + 3*b*d^2*f^2*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (3*b*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/x - (1/2)*d^2*f^2*(a + b*Log[c*x^n])^3 - (d*f*(a + b*Log[c*x^n])^3)/Sqrt[x] + d^2*f^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^3 - (Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/x - (d^2*f^2*(a + b*Log[c*x^n])^4)/(8*b*n) + 12*b^3*d^2*f^2*n^3*PolyLog[2, (-d)*f*Sqrt[x]] + 12*b^2*d^2*f^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-d)*f*Sqrt[x]] + 6*b*d^2*f^2*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, (-d)*f*Sqrt[x]] - 24*b^3*d^2*f^2*n^3*PolyLog[3, (-d)*f*Sqrt[x]] - 24*b^2*d^2*f^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (-d)*f*Sqrt[x]] + 48*b^3*d^2*f^2*n^3*PolyLog[4, (-d)*f*Sqrt[x]]}
+{Log[d*(1/d + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^3/x^3, x, 34, -((175*b^3*d*f*n^3)/(216*x^(3/2))) + (45*b^3*d^2*f^2*n^3)/(16*x) - (255*b^3*d^3*f^3*n^3)/(8*Sqrt[x]) + (3/8)*b^3*d^4*f^4*n^3*Log[1 + d*f*Sqrt[x]] - (3*b^3*n^3*Log[1 + d*f*Sqrt[x]])/(8*x^2) - (3/16)*b^3*d^4*f^4*n^3*Log[x] + (3/16)*b^3*d^4*f^4*n^3*Log[x]^2 - (37*b^2*d*f*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(36*x^(3/2)) + (21*b^2*d^2*f^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*x) - (63*b^2*d^3*f^3*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*Sqrt[x]) + (3/4)*b^2*d^4*f^4*n^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]) - (3*b^2*n^2*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*x^2) - (3/8)*b^2*d^4*f^4*n^2*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]) - (7*b*d*f*n*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(12*x^(3/2)) + (9*b*d^2*f^2*n*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(8*x) - (15*b*d^3*f^3*n*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*Sqrt[x]) + (3/4)*b*d^4*f^4*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (3*b*n*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*x^2) - (1/8)*d^4*f^4*(a + b*Log[c*x^n])^3 - (d*f*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(6*x^(3/2)) + (d^2*f^2*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(4*x) - (d^3*f^3*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(2*Sqrt[x]) + (1/2)*d^4*f^4*Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^3 - (Log[1 + d*f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(2*x^2) - (d^4*f^4*(a + b*Log[c*x^n])^4)/(16*b*n) + (3/2)*b^3*d^4*f^4*n^3*PolyLog[2, (-d)*f*Sqrt[x]] + 3*b^2*d^4*f^4*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-d)*f*Sqrt[x]] + 3*b*d^4*f^4*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, (-d)*f*Sqrt[x]] - 6*b^3*d^4*f^4*n^3*PolyLog[3, (-d)*f*Sqrt[x]] - 12*b^2*d^4*f^4*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (-d)*f*Sqrt[x]] + 24*b^3*d^4*f^4*n^3*PolyLog[4, (-d)*f*Sqrt[x]]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q Log[d (e+f x^m)] (a+b Log[c x^n])^p when d e=1*)
+
+
+{Log[d*(1/d + f*x^m)]*(a + b*Log[c*x^n])^4/x, x, 5, -(((a + b*Log[c*x^n])^4*PolyLog[2, (-d)*f*x^m])/m) + (4*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^3*PolyLog[3, (-d)*f*x^m])/m^2 - (12*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[4, (-d)*f*x^m])/m^3 + (24*b^3*n^3*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[5, (-d)*f*x^m])/m^4 - (24*b^4*n^4*PolyLog[6, (-d)*f*x^m])/m^5}
+{Log[d*(1/d + f*x^m)]*(a + b*Log[c*x^n])^3/x, x, 4, -(((a + b*Log[c*x^n])^3*PolyLog[2, (-d)*f*x^m])/m) + (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[3, (-d)*f*x^m])/m^2 - (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[4, (-d)*f*x^m])/m^3 + (6*b^3*n^3*PolyLog[5, (-d)*f*x^m])/m^4}
+{Log[d*(1/d + f*x^m)]*(a + b*Log[c*x^n])^2/x, x, 3, -(((a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, (-d)*f*x^m])/m) + (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (-d)*f*x^m])/m^2 - (2*b^2*n^2*PolyLog[4, (-d)*f*x^m])/m^3}
+{Log[d*(1/d + f*x^m)]*(a + b*Log[c*x^n])^1/x, x, 2, -(((a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (-d)*f*x^m])/m) + (b*n*PolyLog[3, (-d)*f*x^m])/m^2}
+{Log[d*(1/d + f*x^m)]/(x*(a + b*Log[c*x^n])^1), x, 0, Unintegrable[Log[d*(1/d + f*x^m)]/(x*(a + b*Log[c*x^n])), x]}
+{Log[d*(1/d + f*x^m)]/(x*(a + b*Log[c*x^n])^2), x, 0, Unintegrable[Log[d*(1/d + f*x^m)]/(x*(a + b*Log[c*x^n])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g x)^q Log[d (e+f x^m)^r] (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q Log[d (e+f x^1)^k] (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+{x^3*Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 7, -((5*b*e^3*m*n*x)/(16*f^3)) + (3*b*e^2*m*n*x^2)/(32*f^2) - (7*b*e*m*n*x^3)/(144*f) + (1/32)*b*m*n*x^4 + (e^3*m*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*f^3) - (e^2*m*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*f^2) + (e*m*x^3*(a + b*Log[c*x^n]))/(12*f) - (1/16)*m*x^4*(a + b*Log[c*x^n]) + (b*e^4*m*n*Log[e + f*x])/(16*f^4) + (b*e^4*m*n*Log[-((f*x)/e)]*Log[e + f*x])/(4*f^4) - (e^4*m*(a + b*Log[c*x^n])*Log[e + f*x])/(4*f^4) - (1/16)*b*n*x^4*Log[d*(e + f*x)^m] + (1/4)*x^4*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x)^m] + (b*e^4*m*n*PolyLog[2, 1 + (f*x)/e])/(4*f^4)}
+{x^2*Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 7, (4*b*e^2*m*n*x)/(9*f^2) - (5*b*e*m*n*x^2)/(36*f) + (2/27)*b*m*n*x^3 - (e^2*m*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*f^2) + (e*m*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*f) - (1/9)*m*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) - (b*e^3*m*n*Log[e + f*x])/(9*f^3) - (b*e^3*m*n*Log[-((f*x)/e)]*Log[e + f*x])/(3*f^3) + (e^3*m*(a + b*Log[c*x^n])*Log[e + f*x])/(3*f^3) - (1/9)*b*n*x^3*Log[d*(e + f*x)^m] + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x)^m] - (b*e^3*m*n*PolyLog[2, 1 + (f*x)/e])/(3*f^3)}
+{x^1*Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 7, -((3*b*e*m*n*x)/(4*f)) + (1/4)*b*m*n*x^2 + (e*m*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*f) - (1/4)*m*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + (b*e^2*m*n*Log[e + f*x])/(4*f^2) + (b*e^2*m*n*Log[-((f*x)/e)]*Log[e + f*x])/(2*f^2) - (e^2*m*(a + b*Log[c*x^n])*Log[e + f*x])/(2*f^2) - (1/4)*b*n*x^2*Log[d*(e + f*x)^m] + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x)^m] + (b*e^2*m*n*PolyLog[2, 1 + (f*x)/e])/(2*f^2)}
+{x^0*Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 8, 2*b*m*n*x - m*x*(a + b*Log[c*x^n]) - (b*n*(e + f*x)*Log[d*(e + f*x)^m])/f - (b*e*n*Log[-((f*x)/e)]*Log[d*(e + f*x)^m])/f + ((e + f*x)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x)^m])/f - (b*e*m*n*PolyLog[2, 1 + (f*x)/e])/f}
+{Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n])/x^1, x, 4, ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x)^m])/(2*b*n) - (m*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (f*x)/e])/(2*b*n) - m*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*x)/e)] + b*m*n*PolyLog[3, -((f*x)/e)]}
+{Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n])/x^2, x, 9, (b*f*m*n*Log[x])/e - (b*f*m*n*Log[x]^2)/(2*e) + (f*m*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/e - (b*f*m*n*Log[e + f*x])/e + (b*f*m*n*Log[-((f*x)/e)]*Log[e + f*x])/e - (f*m*(a + b*Log[c*x^n])*Log[e + f*x])/e - (b*n*Log[d*(e + f*x)^m])/x - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x)^m])/x + (b*f*m*n*PolyLog[2, 1 + (f*x)/e])/e}
+{Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n])/x^3, x, 8, -((3*b*f*m*n)/(4*e*x)) - (b*f^2*m*n*Log[x])/(4*e^2) + (b*f^2*m*n*Log[x]^2)/(4*e^2) - (f*m*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e*x) - (f^2*m*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^2) + (b*f^2*m*n*Log[e + f*x])/(4*e^2) - (b*f^2*m*n*Log[-((f*x)/e)]*Log[e + f*x])/(2*e^2) + (f^2*m*(a + b*Log[c*x^n])*Log[e + f*x])/(2*e^2) - (b*n*Log[d*(e + f*x)^m])/(4*x^2) - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x)^m])/(2*x^2) - (b*f^2*m*n*PolyLog[2, 1 + (f*x)/e])/(2*e^2)}
+{Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n])/x^4, x, 8, -((5*b*f*m*n)/(36*e*x^2)) + (4*b*f^2*m*n)/(9*e^2*x) + (b*f^3*m*n*Log[x])/(9*e^3) - (b*f^3*m*n*Log[x]^2)/(6*e^3) - (f*m*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*e*x^2) + (f^2*m*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^2*x) + (f^3*m*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^3) - (b*f^3*m*n*Log[e + f*x])/(9*e^3) + (b*f^3*m*n*Log[-((f*x)/e)]*Log[e + f*x])/(3*e^3) - (f^3*m*(a + b*Log[c*x^n])*Log[e + f*x])/(3*e^3) - (b*n*Log[d*(e + f*x)^m])/(9*x^3) - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x)^m])/(3*x^3) + (b*f^3*m*n*PolyLog[2, 1 + (f*x)/e])/(3*e^3)}
+
+
+{x^2*Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 24, (8*a*b*e^2*m*n*x)/(9*f^2) - (26*b^2*e^2*m*n^2*x)/(27*f^2) + (19*b^2*e*m*n^2*x^2)/(108*f) - (2/27)*b^2*m*n^2*x^3 + (8*b^2*e^2*m*n*x*Log[c*x^n])/(9*f^2) - (5*b*e*m*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(18*f) + (4/27)*b*m*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) - (e^2*m*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*f^2) + (e*m*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(6*f) - (1/9)*m*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (2*b^2*e^3*m*n^2*Log[e + f*x])/(27*f^3) + (2/27)*b^2*n^2*x^3*Log[d*(e + f*x)^m] - (2/9)*b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x)^m] + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x)^m] - (2*b*e^3*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (f*x)/e])/(9*f^3) + (e^3*m*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (f*x)/e])/(3*f^3) - (2*b^2*e^3*m*n^2*PolyLog[2, -((f*x)/e)])/(9*f^3) + (2*b*e^3*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*x)/e)])/(3*f^3) - (2*b^2*e^3*m*n^2*PolyLog[3, -((f*x)/e)])/(3*f^3)}
+{x^1*Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 21, -((3*a*b*e*m*n*x)/(2*f)) + (7*b^2*e*m*n^2*x)/(4*f) - (3/8)*b^2*m*n^2*x^2 - (3*b^2*e*m*n*x*Log[c*x^n])/(2*f) + (1/2)*b*m*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + (e*m*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*f) - (1/4)*m*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (b^2*e^2*m*n^2*Log[e + f*x])/(4*f^2) + (1/4)*b^2*n^2*x^2*Log[d*(e + f*x)^m] - (1/2)*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x)^m] + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x)^m] + (b*e^2*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (f*x)/e])/(2*f^2) - (e^2*m*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (f*x)/e])/(2*f^2) + (b^2*e^2*m*n^2*PolyLog[2, -((f*x)/e)])/(2*f^2) - (b*e^2*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*x)/e)])/f^2 + (b^2*e^2*m*n^2*PolyLog[3, -((f*x)/e)])/f^2}
+{x^0*Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 18, 2*a*b*m*n*x - 4*b^2*m*n^2*x + 2*b*m*n*(a - b*n)*x + 4*b^2*m*n*x*Log[c*x^n] - m*x*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (2*b*e*m*n*(a - b*n)*Log[e + f*x])/f - 2*a*b*n*x*Log[d*(e + f*x)^m] + 2*b^2*n^2*x*Log[d*(e + f*x)^m] - 2*b^2*n*x*Log[c*x^n]*Log[d*(e + f*x)^m] + x*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x)^m] - (2*b^2*e*m*n*Log[c*x^n]*Log[1 + (f*x)/e])/f + (e*m*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (f*x)/e])/f - (2*b^2*e*m*n^2*PolyLog[2, -((f*x)/e)])/f + (2*b*e*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*x)/e)])/f - (2*b^2*e*m*n^2*PolyLog[3, -((f*x)/e)])/f}
+{Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^1, x, 5, ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(e + f*x)^m])/(3*b*n) - (m*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + (f*x)/e])/(3*b*n) - m*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((f*x)/e)] + 2*b*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((f*x)/e)] - 2*b^2*m*n^2*PolyLog[4, -((f*x)/e)]}
+{Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^2, x, 10, (2*b^2*f*m*n^2*Log[x])/e - (2*b*f*m*n*Log[1 + e/(f*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/e - (f*m*Log[1 + e/(f*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/e - (2*b^2*f*m*n^2*Log[e + f*x])/e - (2*b^2*n^2*Log[d*(e + f*x)^m])/x - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x)^m])/x - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x)^m])/x + (2*b^2*f*m*n^2*PolyLog[2, -(e/(f*x))])/e + (2*b*f*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(e/(f*x))])/e + (2*b^2*f*m*n^2*PolyLog[3, -(e/(f*x))])/e}
+{Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^3, x, 14, -((7*b^2*f*m*n^2)/(4*e*x)) - (b^2*f^2*m*n^2*Log[x])/(4*e^2) - (3*b*f*m*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e*x) + (b*f^2*m*n*Log[1 + e/(f*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^2) - (f*m*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*e*x) + (f^2*m*Log[1 + e/(f*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*e^2) + (b^2*f^2*m*n^2*Log[e + f*x])/(4*e^2) - (b^2*n^2*Log[d*(e + f*x)^m])/(4*x^2) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x)^m])/(2*x^2) - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x)^m])/(2*x^2) - (b^2*f^2*m*n^2*PolyLog[2, -(e/(f*x))])/(2*e^2) - (b*f^2*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(e/(f*x))])/e^2 - (b^2*f^2*m*n^2*PolyLog[3, -(e/(f*x))])/e^2}
+{Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^4, x, 19, -((19*b^2*f*m*n^2)/(108*e*x^2)) + (26*b^2*f^2*m*n^2)/(27*e^2*x) + (2*b^2*f^3*m*n^2*Log[x])/(27*e^3) - (5*b*f*m*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(18*e*x^2) + (8*b*f^2*m*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*e^2*x) - (2*b*f^3*m*n*Log[1 + e/(f*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*e^3) - (f*m*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(6*e*x^2) + (f^2*m*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*e^2*x) - (f^3*m*Log[1 + e/(f*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*e^3) - (2*b^2*f^3*m*n^2*Log[e + f*x])/(27*e^3) - (2*b^2*n^2*Log[d*(e + f*x)^m])/(27*x^3) - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x)^m])/(9*x^3) - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x)^m])/(3*x^3) + (2*b^2*f^3*m*n^2*PolyLog[2, -(e/(f*x))])/(9*e^3) + (2*b*f^3*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(e/(f*x))])/(3*e^3) + (2*b^2*f^3*m*n^2*PolyLog[3, -(e/(f*x))])/(3*e^3)}
+
+
+{x^1*Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 34, (21*a*b^2*e*m*n^2*x)/(4*f) - (45*b^3*e*m*n^3*x)/(8*f) + (3/4)*b^3*m*n^3*x^2 + (21*b^3*e*m*n^2*x*Log[c*x^n])/(4*f) - (9/8)*b^2*m*n^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) - (9*b*e*m*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*f) + (3/4)*b*m*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (e*m*x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(2*f) - (1/4)*m*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^3 + (3*b^3*e^2*m*n^3*Log[e + f*x])/(8*f^2) - (3/8)*b^3*n^3*x^2*Log[d*(e + f*x)^m] + (3/4)*b^2*n^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x)^m] - (3/4)*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x)^m] + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(e + f*x)^m] - (3*b^2*e^2*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (f*x)/e])/(4*f^2) + (3*b*e^2*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (f*x)/e])/(4*f^2) - (e^2*m*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + (f*x)/e])/(2*f^2) - (3*b^3*e^2*m*n^3*PolyLog[2, -((f*x)/e)])/(4*f^2) + (3*b^2*e^2*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*x)/e)])/(2*f^2) - (3*b*e^2*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((f*x)/e)])/(2*f^2) - (3*b^3*e^2*m*n^3*PolyLog[3, -((f*x)/e)])/(2*f^2) + (3*b^2*e^2*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((f*x)/e)])/f^2 - (3*b^3*e^2*m*n^3*PolyLog[4, -((f*x)/e)])/f^2}
+{x^0*Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 28, -12*a*b^2*m*n^2*x + 18*b^3*m*n^3*x - 6*b^2*m*n^2*(a - b*n)*x - 18*b^3*m*n^2*x*Log[c*x^n] + 6*b*m*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2 - m*x*(a + b*Log[c*x^n])^3 + (6*b^2*e*m*n^2*(a - b*n)*Log[e + f*x])/f + 6*a*b^2*n^2*x*Log[d*(e + f*x)^m] - 6*b^3*n^3*x*Log[d*(e + f*x)^m] + 6*b^3*n^2*x*Log[c*x^n]*Log[d*(e + f*x)^m] - 3*b*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x)^m] + x*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(e + f*x)^m] + (6*b^3*e*m*n^2*Log[c*x^n]*Log[1 + (f*x)/e])/f - (3*b*e*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (f*x)/e])/f + (e*m*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + (f*x)/e])/f + (6*b^3*e*m*n^3*PolyLog[2, -((f*x)/e)])/f - (6*b^2*e*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*x)/e)])/f + (3*b*e*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((f*x)/e)])/f + (6*b^3*e*m*n^3*PolyLog[3, -((f*x)/e)])/f - (6*b^2*e*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((f*x)/e)])/f + (6*b^3*e*m*n^3*PolyLog[4, -((f*x)/e)])/f}
+{Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^3/x^1, x, 6, ((a + b*Log[c*x^n])^4*Log[d*(e + f*x)^m])/(4*b*n) - (m*(a + b*Log[c*x^n])^4*Log[1 + (f*x)/e])/(4*b*n) - m*(a + b*Log[c*x^n])^3*PolyLog[2, -((f*x)/e)] + 3*b*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[3, -((f*x)/e)] - 6*b^2*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[4, -((f*x)/e)] + 6*b^3*m*n^3*PolyLog[5, -((f*x)/e)]}
+{Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^3/x^2, x, 14, (6*b^3*f*m*n^3*Log[x])/e - (6*b^2*f*m*n^2*Log[1 + e/(f*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/e - (3*b*f*m*n*Log[1 + e/(f*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/e - (f*m*Log[1 + e/(f*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/e - (6*b^3*f*m*n^3*Log[e + f*x])/e - (6*b^3*n^3*Log[d*(e + f*x)^m])/x - (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x)^m])/x - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x)^m])/x - ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(e + f*x)^m])/x + (6*b^3*f*m*n^3*PolyLog[2, -(e/(f*x))])/e + (6*b^2*f*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(e/(f*x))])/e + (3*b*f*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -(e/(f*x))])/e + (6*b^3*f*m*n^3*PolyLog[3, -(e/(f*x))])/e + (6*b^2*f*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -(e/(f*x))])/e + (6*b^3*f*m*n^3*PolyLog[4, -(e/(f*x))])/e}
+{Log[d*(e + f*x)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^3/x^3, x, 22, -((45*b^3*f*m*n^3)/(8*e*x)) - (3*b^3*f^2*m*n^3*Log[x])/(8*e^2) - (21*b^2*f*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e*x) + (3*b^2*f^2*m*n^2*Log[1 + e/(f*x)]*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e^2) - (9*b*f*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*e*x) + (3*b*f^2*m*n*Log[1 + e/(f*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*e^2) - (f*m*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(2*e*x) + (f^2*m*Log[1 + e/(f*x)]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(2*e^2) + (3*b^3*f^2*m*n^3*Log[e + f*x])/(8*e^2) - (3*b^3*n^3*Log[d*(e + f*x)^m])/(8*x^2) - (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x)^m])/(4*x^2) - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x)^m])/(4*x^2) - ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(e + f*x)^m])/(2*x^2) - (3*b^3*f^2*m*n^3*PolyLog[2, -(e/(f*x))])/(4*e^2) - (3*b^2*f^2*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(e/(f*x))])/(2*e^2) - (3*b*f^2*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -(e/(f*x))])/(2*e^2) - (3*b^3*f^2*m*n^3*PolyLog[3, -(e/(f*x))])/(2*e^2) - (3*b^2*f^2*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -(e/(f*x))])/e^2 - (3*b^3*f^2*m*n^3*PolyLog[4, -(e/(f*x))])/e^2}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q Log[d (e+f x^2)^k] (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+{x^3*Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 9, -((3*b*e*m*n*x^2)/(16*f)) + (1/16)*b*m*n*x^4 + (e*m*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*f) - (1/8)*m*x^4*(a + b*Log[c*x^n]) + (b*e^2*m*n*Log[e + f*x^2])/(16*f^2) + (b*e^2*m*n*Log[-((f*x^2)/e)]*Log[e + f*x^2])/(8*f^2) - (e^2*m*(a + b*Log[c*x^n])*Log[e + f*x^2])/(4*f^2) - (1/16)*b*n*x^4*Log[d*(e + f*x^2)^m] + (1/4)*x^4*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m] + (b*e^2*m*n*PolyLog[2, 1 + (f*x^2)/e])/(8*f^2)}
+{x^1*Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 9, (1/2)*b*m*n*x^2 - (1/2)*m*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) - (b*n*(e + f*x^2)*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(4*f) - (b*e*n*Log[-((f*x^2)/e)]*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(4*f) + ((e + f*x^2)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(2*f) - (b*e*m*n*PolyLog[2, 1 + (f*x^2)/e])/(4*f)}
+{Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])/x^1, x, 4, ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(2*b*n) - (m*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (f*x^2)/e])/(2*b*n) - (1/2)*m*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*x^2)/e)] + (1/4)*b*m*n*PolyLog[3, -((f*x^2)/e)]}
+{Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])/x^3, x, 11, (b*f*m*n*Log[x])/(2*e) - (b*f*m*n*Log[x]^2)/(2*e) + (f*m*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/e - (b*f*m*n*Log[e + f*x^2])/(4*e) + (b*f*m*n*Log[-((f*x^2)/e)]*Log[e + f*x^2])/(4*e) - (f*m*(a + b*Log[c*x^n])*Log[e + f*x^2])/(2*e) - (b*n*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(4*x^2) - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(2*x^2) + (b*f*m*n*PolyLog[2, 1 + (f*x^2)/e])/(4*e)}
+{Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])/x^5, x, 10, -((3*b*f*m*n)/(16*e*x^2)) - (b*f^2*m*n*Log[x])/(8*e^2) + (b*f^2*m*n*Log[x]^2)/(4*e^2) - (f*m*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e*x^2) - (f^2*m*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^2) + (b*f^2*m*n*Log[e + f*x^2])/(16*e^2) - (b*f^2*m*n*Log[-((f*x^2)/e)]*Log[e + f*x^2])/(8*e^2) + (f^2*m*(a + b*Log[c*x^n])*Log[e + f*x^2])/(4*e^2) - (b*n*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(16*x^4) - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(4*x^4) - (b*f^2*m*n*PolyLog[2, 1 + (f*x^2)/e])/(8*e^2)}
+
+{x^2*Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 9, -((8*b*e*m*n*x)/(9*f)) + (4/27)*b*m*n*x^3 + (2*b*e^(3/2)*m*n*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/(9*f^(3/2)) + (2*e*m*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*f) - (2/9)*m*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) - (2*e^(3/2)*m*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*f^(3/2)) - (1/9)*b*n*x^3*Log[d*(e + f*x^2)^m] + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m] + (I*b*e^(3/2)*m*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e])])/(3*f^(3/2)) - (I*b*e^(3/2)*m*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/(3*f^(3/2))}
+{x^0*Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 8, 4*b*m*n*x - (2*b*Sqrt[e]*m*n*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/Sqrt[f] - 2*m*x*(a + b*Log[c*x^n]) + (2*Sqrt[e]*m*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*x^n]))/Sqrt[f] - b*n*x*Log[d*(e + f*x^2)^m] + x*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m] - (I*b*Sqrt[e]*m*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e])])/Sqrt[f] + (I*b*Sqrt[e]*m*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/Sqrt[f]}
+{Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])/x^2, x, 7, (2*b*Sqrt[f]*m*n*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/Sqrt[e] + (2*Sqrt[f]*m*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*x^n]))/Sqrt[e] - (b*n*Log[d*(e + f*x^2)^m])/x - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m])/x - (I*b*Sqrt[f]*m*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e])])/Sqrt[e] + (I*b*Sqrt[f]*m*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/Sqrt[e]}
+{Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])/x^4, x, 8, -((8*b*f*m*n)/(9*e*x)) - (2*b*f^(3/2)*m*n*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/(9*e^(3/2)) - (2*f*m*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e*x) - (2*f^(3/2)*m*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^(3/2)) - (b*n*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(9*x^3) - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(3*x^3) + (I*b*f^(3/2)*m*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e])])/(3*e^(3/2)) - (I*b*f^(3/2)*m*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/(3*e^(3/2))}
+{Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])/x^6, x, 9, -((16*b*f*m*n)/(225*e*x^3)) + (12*b*f^2*m*n)/(25*e^2*x) + (2*b*f^(5/2)*m*n*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/(25*e^(5/2)) - (2*f*m*(a + b*Log[c*x^n]))/(15*e*x^3) + (2*f^2*m*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^2*x) + (2*f^(5/2)*m*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^(5/2)) - (b*n*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(25*x^5) - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(5*x^5) - (I*b*f^(5/2)*m*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e])])/(5*e^(5/2)) + (I*b*f^(5/2)*m*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/(5*e^(5/2))}
+
+
+{x^1*Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 17, (-(3/4))*b^2*m*n^2*x^2 + b*m*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) - (1/2)*m*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (b^2*e*m*n^2*Log[e + f*x^2])/(4*f) + (1/4)*b^2*n^2*x^2*Log[d*(e + f*x^2)^m] - (1/2)*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m] + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x^2)^m] - (b*e*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (f*x^2)/e])/(2*f) + (e*m*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (f*x^2)/e])/(2*f) - (b^2*e*m*n^2*PolyLog[2, -((f*x^2)/e)])/(4*f) + (b*e*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*x^2)/e)])/(2*f) - (b^2*e*m*n^2*PolyLog[3, -((f*x^2)/e)])/(4*f)}
+{Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^1, x, 5, ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(3*b*n) - (m*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + (f*x^2)/e])/(3*b*n) - (1/2)*m*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((f*x^2)/e)] + (1/2)*b*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((f*x^2)/e)] - (1/4)*b^2*m*n^2*PolyLog[4, -((f*x^2)/e)]}
+{Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^3, x, 11, (b^2*f*m*n^2*Log[x])/(2*e) - (b*f*m*n*Log[1 + e/(f*x^2)]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e) - (f*m*Log[1 + e/(f*x^2)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*e) - (b^2*f*m*n^2*Log[e + f*x^2])/(4*e) - (b^2*n^2*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(4*x^2) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(2*x^2) - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(2*x^2) + (b^2*f*m*n^2*PolyLog[2, -(e/(f*x^2))])/(4*e) + (b*f*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(e/(f*x^2))])/(2*e) + (b^2*f*m*n^2*PolyLog[3, -(e/(f*x^2))])/(4*e)}
+{Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^5, x, 15, -((7*b^2*f*m*n^2)/(32*e*x^2)) - (b^2*f^2*m*n^2*Log[x])/(16*e^2) - (3*b*f*m*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*e*x^2) + (b*f^2*m*n*Log[1 + e/(f*x^2)]*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*e^2) - (f*m*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*e*x^2) + (f^2*m*Log[1 + e/(f*x^2)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*e^2) + (b^2*f^2*m*n^2*Log[e + f*x^2])/(32*e^2) - (b^2*n^2*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(32*x^4) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(8*x^4) - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(4*x^4) - (b^2*f^2*m*n^2*PolyLog[2, -(e/(f*x^2))])/(16*e^2) - (b*f^2*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(e/(f*x^2))])/(4*e^2) - (b^2*f^2*m*n^2*PolyLog[3, -(e/(f*x^2))])/(8*e^2)}
+
+{x^2*Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 30, -((16*a*b*e*m*n*x)/(9*f)) + (52*b^2*e*m*n^2*x)/(27*f) - (4/27)*b^2*m*n^2*x^3 - (4*b^2*e^(3/2)*m*n^2*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/(27*f^(3/2)) - (16*b^2*e*m*n*x*Log[c*x^n])/(9*f) + (8/27)*b*m*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) + (4*b*e^(3/2)*m*n*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*f^(3/2)) + (2*e*m*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*f) - (2/9)*m*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2 - ((-e)^(3/2)*m*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*f^(3/2)) + ((-e)^(3/2)*m*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*f^(3/2)) + (2/27)*b^2*n^2*x^3*Log[d*(e + f*x^2)^m] - (2/9)*b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m] + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x^2)^m] + (2*b*(-e)^(3/2)*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/(3*f^(3/2)) - (2*b*(-e)^(3/2)*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*f^(3/2)) - (2*I*b^2*e^(3/2)*m*n^2*PolyLog[2, -((I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e])])/(9*f^(3/2)) + (2*I*b^2*e^(3/2)*m*n^2*PolyLog[2, (I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/(9*f^(3/2)) - (2*b^2*(-e)^(3/2)*m*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/(3*f^(3/2)) + (2*b^2*(-e)^(3/2)*m*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*f^(3/2))}
+{x^0*Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 26, 4*a*b*m*n*x - 8*b^2*m*n^2*x + 4*b*m*n*(a - b*n)*x - (4*b*Sqrt[e]*m*n*(a - b*n)*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/Sqrt[f] + 8*b^2*m*n*x*Log[c*x^n] - (4*b^2*Sqrt[e]*m*n*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]]*Log[c*x^n])/Sqrt[f] - 2*m*x*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (Sqrt[-e]*m*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[f] + (Sqrt[-e]*m*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[f] - 2*a*b*n*x*Log[d*(e + f*x^2)^m] + 2*b^2*n^2*x*Log[d*(e + f*x^2)^m] - 2*b^2*n*x*Log[c*x^n]*Log[d*(e + f*x^2)^m] + x*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x^2)^m] + (2*b*Sqrt[-e]*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/Sqrt[f] - (2*b*Sqrt[-e]*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[f] + (2*I*b^2*Sqrt[e]*m*n^2*PolyLog[2, -((I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e])])/Sqrt[f] - (2*I*b^2*Sqrt[e]*m*n^2*PolyLog[2, (I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/Sqrt[f] - (2*b^2*Sqrt[-e]*m*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/Sqrt[f] + (2*b^2*Sqrt[-e]*m*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[f]}
+{Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^2, x, 16, (4*b^2*Sqrt[f]*m*n^2*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/Sqrt[e] + (4*b*Sqrt[f]*m*n*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*x^n]))/Sqrt[e] + (Sqrt[f]*m*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[-e] - (Sqrt[f]*m*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[-e] - (2*b^2*n^2*Log[d*(e + f*x^2)^m])/x - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m])/x - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x^2)^m])/x - (2*b*Sqrt[f]*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/Sqrt[-e] + (2*b*Sqrt[f]*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[-e] - (2*I*b^2*Sqrt[f]*m*n^2*PolyLog[2, -((I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e])])/Sqrt[e] + (2*I*b^2*Sqrt[f]*m*n^2*PolyLog[2, (I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/Sqrt[e] + (2*b^2*Sqrt[f]*m*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/Sqrt[-e] - (2*b^2*Sqrt[f]*m*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[-e]}
+{Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^4, x, 22, -((52*b^2*f*m*n^2)/(27*e*x)) - (4*b^2*f^(3/2)*m*n^2*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/(27*e^(3/2)) - (16*b*f*m*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*e*x) - (4*b*f^(3/2)*m*n*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*e^(3/2)) - (2*f*m*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*e*x) + (f^(3/2)*m*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*(-e)^(3/2)) - (f^(3/2)*m*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*(-e)^(3/2)) - (2*b^2*n^2*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(27*x^3) - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(9*x^3) - ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(3*x^3) - (2*b*f^(3/2)*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/(3*(-e)^(3/2)) + (2*b*f^(3/2)*m*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*(-e)^(3/2)) + (2*I*b^2*f^(3/2)*m*n^2*PolyLog[2, -((I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e])])/(9*e^(3/2)) - (2*I*b^2*f^(3/2)*m*n^2*PolyLog[2, (I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/(9*e^(3/2)) + (2*b^2*f^(3/2)*m*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/(3*(-e)^(3/2)) - (2*b^2*f^(3/2)*m*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*(-e)^(3/2))}
+
+
+{x^1*Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 26, (3/2)*b^3*m*n^3*x^2 - (9/4)*b^2*m*n^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + (3/2)*b*m*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (1/2)*m*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^3 - (3*b^3*e*m*n^3*Log[e + f*x^2])/(8*f) - (3/8)*b^3*n^3*x^2*Log[d*(e + f*x^2)^m] + (3/4)*b^2*n^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m] - (3/4)*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x^2)^m] + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(e + f*x^2)^m] + (3*b^2*e*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 + (f*x^2)/e])/(4*f) - (3*b*e*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (f*x^2)/e])/(4*f) + (e*m*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + (f*x^2)/e])/(2*f) + (3*b^3*e*m*n^3*PolyLog[2, -((f*x^2)/e)])/(8*f) - (3*b^2*e*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*x^2)/e)])/(4*f) + (3*b*e*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((f*x^2)/e)])/(4*f) + (3*b^3*e*m*n^3*PolyLog[3, -((f*x^2)/e)])/(8*f) - (3*b^2*e*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((f*x^2)/e)])/(4*f) + (3*b^3*e*m*n^3*PolyLog[4, -((f*x^2)/e)])/(8*f)}
+{Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^3/x^1, x, 6, ((a + b*Log[c*x^n])^4*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(4*b*n) - (m*(a + b*Log[c*x^n])^4*Log[1 + (f*x^2)/e])/(4*b*n) - (1/2)*m*(a + b*Log[c*x^n])^3*PolyLog[2, -((f*x^2)/e)] + (3/4)*b*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[3, -((f*x^2)/e)] - (3/4)*b^2*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[4, -((f*x^2)/e)] + (3/8)*b^3*m*n^3*PolyLog[5, -((f*x^2)/e)]}
+{Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^3/x^3, x, 15, (3*b^3*f*m*n^3*Log[x])/(4*e) - (3*b^2*f*m*n^2*Log[1 + e/(f*x^2)]*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e) - (3*b*f*m*n*Log[1 + e/(f*x^2)]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*e) - (f*m*Log[1 + e/(f*x^2)]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(2*e) - (3*b^3*f*m*n^3*Log[e + f*x^2])/(8*e) - (3*b^3*n^3*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(8*x^2) - (3*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(4*x^2) - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(4*x^2) - ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(2*x^2) + (3*b^3*f*m*n^3*PolyLog[2, -(e/(f*x^2))])/(8*e) + (3*b^2*f*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -(e/(f*x^2))])/(4*e) + (3*b*f*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -(e/(f*x^2))])/(4*e) + (3*b^3*f*m*n^3*PolyLog[3, -(e/(f*x^2))])/(8*e) + (3*b^2*f*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -(e/(f*x^2))])/(4*e) + (3*b^3*f*m*n^3*PolyLog[4, -(e/(f*x^2))])/(8*e)}
+
+{x^2*Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 49, (52*a*b^2*e*m*n^2*x)/(9*f) - (160*b^3*e*m*n^3*x)/(27*f) + (16/81)*b^3*m*n^3*x^3 + (4*b^3*e^(3/2)*m*n^3*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/(27*f^(3/2)) + (52*b^3*e*m*n^2*x*Log[c*x^n])/(9*f) - (4/9)*b^2*m*n^2*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) - (4*b^2*e^(3/2)*m*n^2*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*f^(3/2)) - (8*b*e*m*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*f) + (4/9)*b*m*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (2*e*m*x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(3*f) - (2/9)*m*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^3 + (b*(-e)^(3/2)*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*f^(3/2)) - ((-e)^(3/2)*m*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 - (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*f^(3/2)) - (b*(-e)^(3/2)*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*f^(3/2)) + ((-e)^(3/2)*m*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*f^(3/2)) - (2/27)*b^3*n^3*x^3*Log[d*(e + f*x^2)^m] + (2/9)*b^2*n^2*x^3*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m] - (1/3)*b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x^2)^m] + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(e + f*x^2)^m] - (2*b^2*(-e)^(3/2)*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/(3*f^(3/2)) + (b*(-e)^(3/2)*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/f^(3/2) + (2*b^2*(-e)^(3/2)*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*f^(3/2)) - (b*(-e)^(3/2)*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/f^(3/2) + (2*I*b^3*e^(3/2)*m*n^3*PolyLog[2, -((I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e])])/(9*f^(3/2)) - (2*I*b^3*e^(3/2)*m*n^3*PolyLog[2, (I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/(9*f^(3/2)) + (2*b^3*(-e)^(3/2)*m*n^3*PolyLog[3, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/(3*f^(3/2)) - (2*b^2*(-e)^(3/2)*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/f^(3/2) - (2*b^3*(-e)^(3/2)*m*n^3*PolyLog[3, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*f^(3/2)) + (2*b^2*(-e)^(3/2)*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/f^(3/2) + (2*b^3*(-e)^(3/2)*m*n^3*PolyLog[4, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/f^(3/2) - (2*b^3*(-e)^(3/2)*m*n^3*PolyLog[4, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/f^(3/2)}
+{x^0*Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 42, -24*a*b^2*m*n^2*x + 36*b^3*m*n^3*x - 12*b^2*m*n^2*(a - b*n)*x + (12*b^2*Sqrt[e]*m*n^2*(a - b*n)*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/Sqrt[f] - 36*b^3*m*n^2*x*Log[c*x^n] + (12*b^3*Sqrt[e]*m*n^2*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]]*Log[c*x^n])/Sqrt[f] + 12*b*m*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2 - 2*m*x*(a + b*Log[c*x^n])^3 + (3*b*Sqrt[-e]*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[f] - (Sqrt[-e]*m*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 - (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[f] - (3*b*Sqrt[-e]*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[f] + (Sqrt[-e]*m*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[f] + 6*a*b^2*n^2*x*Log[d*(e + f*x^2)^m] - 6*b^3*n^3*x*Log[d*(e + f*x^2)^m] + 6*b^3*n^2*x*Log[c*x^n]*Log[d*(e + f*x^2)^m] - 3*b*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x^2)^m] + x*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(e + f*x^2)^m] - (6*b^2*Sqrt[-e]*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/Sqrt[f] + (3*b*Sqrt[-e]*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/Sqrt[f] + (6*b^2*Sqrt[-e]*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[f] - (3*b*Sqrt[-e]*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[f] - (6*I*b^3*Sqrt[e]*m*n^3*PolyLog[2, -((I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e])])/Sqrt[f] + (6*I*b^3*Sqrt[e]*m*n^3*PolyLog[2, (I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/Sqrt[f] + (6*b^3*Sqrt[-e]*m*n^3*PolyLog[3, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/Sqrt[f] - (6*b^2*Sqrt[-e]*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/Sqrt[f] - (6*b^3*Sqrt[-e]*m*n^3*PolyLog[3, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[f] + (6*b^2*Sqrt[-e]*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[f] + (6*b^3*Sqrt[-e]*m*n^3*PolyLog[4, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/Sqrt[f] - (6*b^3*Sqrt[-e]*m*n^3*PolyLog[4, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[f]}
+{Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^3/x^2, x, 26, (12*b^3*Sqrt[f]*m*n^3*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/Sqrt[e] + (12*b^2*Sqrt[f]*m*n^2*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*x^n]))/Sqrt[e] + (3*b*Sqrt[f]*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[-e] + (Sqrt[f]*m*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 - (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[-e] - (3*b*Sqrt[f]*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[-e] - (Sqrt[f]*m*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[-e] - (6*b^3*n^3*Log[d*(e + f*x^2)^m])/x - (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m])/x - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x^2)^m])/x - ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(e + f*x^2)^m])/x - (6*b^2*Sqrt[f]*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/Sqrt[-e] - (3*b*Sqrt[f]*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/Sqrt[-e] + (6*b^2*Sqrt[f]*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[-e] + (3*b*Sqrt[f]*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[-e] - (6*I*b^3*Sqrt[f]*m*n^3*PolyLog[2, -((I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e])])/Sqrt[e] + (6*I*b^3*Sqrt[f]*m*n^3*PolyLog[2, (I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/Sqrt[e] + (6*b^3*Sqrt[f]*m*n^3*PolyLog[3, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/Sqrt[-e] + (6*b^2*Sqrt[f]*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/Sqrt[-e] - (6*b^3*Sqrt[f]*m*n^3*PolyLog[3, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[-e] - (6*b^2*Sqrt[f]*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[-e] - (6*b^3*Sqrt[f]*m*n^3*PolyLog[4, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/Sqrt[-e] + (6*b^3*Sqrt[f]*m*n^3*PolyLog[4, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/Sqrt[-e]}
+{Log[d*(e + f*x^2)^m]*(a + b*Log[c*x^n])^3/x^4, x, 36, -((160*b^3*f*m*n^3)/(27*e*x)) - (4*b^3*f^(3/2)*m*n^3*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/(27*e^(3/2)) - (52*b^2*f*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*e*x) - (4*b^2*f^(3/2)*m*n^2*ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*e^(3/2)) - (8*b*f*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*e*x) - (2*f*m*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(3*e*x) + (b*f^(3/2)*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 - (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*(-e)^(3/2)) + (f^(3/2)*m*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 - (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*(-e)^(3/2)) - (b*f^(3/2)*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*(-e)^(3/2)) - (f^(3/2)*m*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*(-e)^(3/2)) - (2*b^3*n^3*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(27*x^3) - (2*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(9*x^3) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(3*x^3) - ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(e + f*x^2)^m])/(3*x^3) - (2*b^2*f^(3/2)*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/(3*(-e)^(3/2)) - (b*f^(3/2)*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/(-e)^(3/2) + (2*b^2*f^(3/2)*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*(-e)^(3/2)) + (b*f^(3/2)*m*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(-e)^(3/2) + (2*I*b^3*f^(3/2)*m*n^3*PolyLog[2, -((I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e])])/(9*e^(3/2)) - (2*I*b^3*f^(3/2)*m*n^3*PolyLog[2, (I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/(9*e^(3/2)) + (2*b^3*f^(3/2)*m*n^3*PolyLog[3, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/(3*(-e)^(3/2)) + (2*b^2*f^(3/2)*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/(-e)^(3/2) - (2*b^3*f^(3/2)*m*n^3*PolyLog[3, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(3*(-e)^(3/2)) - (2*b^2*f^(3/2)*m*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(-e)^(3/2) - (2*b^3*f^(3/2)*m*n^3*PolyLog[4, -((Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e])])/(-e)^(3/2) + (2*b^3*f^(3/2)*m*n^3*PolyLog[4, (Sqrt[f]*x)/Sqrt[-e]])/(-e)^(3/2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q Log[d (e+f x^(1/2))^k] (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+{x^2*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 9, -((7*b*e^5*k*n*Sqrt[x])/(9*f^5)) + (2*b*e^4*k*n*x)/(9*f^4) - (b*e^3*k*n*x^(3/2))/(9*f^3) + (5*b*e^2*k*n*x^2)/(72*f^2) - (11*b*e*k*n*x^(5/2))/(225*f) + (1/27)*b*k*n*x^3 + (b*e^6*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]])/(9*f^6) - (1/9)*b*n*x^3*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k] + (2*b*e^6*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/(3*f^6) + (e^5*k*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*f^5) - (e^4*k*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*f^4) + (e^3*k*x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*f^3) - (e^2*k*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(12*f^2) + (e*k*x^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(15*f) - (1/18)*k*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) - (e^6*k*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*f^6) + (1/3)*x^3*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n]) + (2*b*e^6*k*n*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/(3*f^6)}
+{x^1*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 9, -((5*b*e^3*k*n*Sqrt[x])/(4*f^3)) + (3*b*e^2*k*n*x)/(8*f^2) - (7*b*e*k*n*x^(3/2))/(36*f) + (1/8)*b*k*n*x^2 + (b*e^4*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]])/(4*f^4) - (1/4)*b*n*x^2*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k] + (b*e^4*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/f^4 + (e^3*k*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*f^3) - (e^2*k*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*f^2) + (e*k*x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*f) - (1/8)*k*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) - (e^4*k*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*f^4) + (1/2)*x^2*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n]) + (b*e^4*k*n*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/f^4}
+{x^0*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 9, -((3*b*e*k*n*Sqrt[x])/f) + b*k*n*x + (b*e^2*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]])/f^2 - b*n*x*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k] + (2*b*e^2*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/f^2 + (e*k*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/f - (1/2)*k*x*(a + b*Log[c*x^n]) - (e^2*k*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/f^2 + x*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n]) + (2*b*e^2*k*n*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/f^2}
+{Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n])/x^1, x, 4, (Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*b*n) - (k*Log[1 + (f*Sqrt[x])/e]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*b*n) - 2*k*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*Sqrt[x])/e)] + 4*b*k*n*PolyLog[3, -((f*Sqrt[x])/e)]}
+{Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n])/x^2, x, 10, -((3*b*f*k*n)/(e*Sqrt[x])) + (b*f^2*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]])/e^2 - (b*n*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k])/x - (2*b*f^2*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/e^2 - (b*f^2*k*n*Log[x])/(2*e^2) + (b*f^2*k*n*Log[x]^2)/(4*e^2) - (f*k*(a + b*Log[c*x^n]))/(e*Sqrt[x]) + (f^2*k*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^2 - (Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n]))/x - (f^2*k*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^2) - (2*b*f^2*k*n*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/e^2}
+{Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n])/x^3, x, 10, -((7*b*f*k*n)/(36*e*x^(3/2))) + (3*b*f^2*k*n)/(8*e^2*x) - (5*b*f^3*k*n)/(4*e^3*Sqrt[x]) + (b*f^4*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]])/(4*e^4) - (b*n*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k])/(4*x^2) - (b*f^4*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/e^4 - (b*f^4*k*n*Log[x])/(8*e^4) + (b*f^4*k*n*Log[x]^2)/(8*e^4) - (f*k*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*e*x^(3/2)) + (f^2*k*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e^2*x) - (f^3*k*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^3*Sqrt[x]) + (f^4*k*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^4) - (Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (f^4*k*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e^4) - (b*f^4*k*n*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/e^4}
+{Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n])/x^4, x, 10, -((11*b*f*k*n)/(225*e*x^(5/2))) + (5*b*f^2*k*n)/(72*e^2*x^2) - (b*f^3*k*n)/(9*e^3*x^(3/2)) + (2*b*f^4*k*n)/(9*e^4*x) - (7*b*f^5*k*n)/(9*e^5*Sqrt[x]) + (b*f^6*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]])/(9*e^6) - (b*n*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k])/(9*x^3) - (2*b*f^6*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/(3*e^6) - (b*f^6*k*n*Log[x])/(18*e^6) + (b*f^6*k*n*Log[x]^2)/(12*e^6) - (f*k*(a + b*Log[c*x^n]))/(15*e*x^(5/2)) + (f^2*k*(a + b*Log[c*x^n]))/(12*e^2*x^2) - (f^3*k*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*e^3*x^(3/2)) + (f^4*k*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*e^4*x) - (f^5*k*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^5*Sqrt[x]) + (f^6*k*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^6) - (Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^3) - (f^6*k*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(6*e^6) - (2*b*f^6*k*n*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/(3*e^6)}
+
+
+{x^2*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 22, (86*b^2*e^5*n^2*Sqrt[x])/(27*f^5) + (a*b*e^4*n*x)/(3*f^4) - (13*b^2*e^4*n^2*x)/(27*f^4) + (14*b^2*e^3*n^2*x^(3/2))/(81*f^3) - (19*b^2*e^2*n^2*x^2)/(216*f^2) + (182*b^2*e*n^2*x^(5/2))/(3375*f) - (1/27)*b^2*n^2*x^3 - (2*b^2*e^6*n^2*Log[e + f*Sqrt[x]])/(27*f^6) + (2/27)*b^2*n^2*x^3*Log[d*(e + f*Sqrt[x])] - (4*b^2*e^6*n^2*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/(9*f^6) + (b^2*e^4*n*x*Log[c*x^n])/(3*f^4) - (14*b*e^5*n*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*f^5) + (b*e^4*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*f^4) - (2*b*e^3*n*x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*f^3) + (5*b*e^2*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(36*f^2) - (22*b*e*n*x^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(225*f) + (2/27)*b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) + (2*b*e^6*n*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*f^6) - (2/9)*b*n*x^3*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n]) + (e^5*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*f^5) - (e^4*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(6*f^4) + (e^3*x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(9*f^3) - (e^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(12*f^2) + (e*x^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(15*f) - (1/18)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (1/3)*x^3*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (e^6*Log[1 + (f*Sqrt[x])/e]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(3*f^6) - (4*b^2*e^6*n^2*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/(9*f^6) - (4*b*e^6*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*Sqrt[x])/e)])/(3*f^6) + (8*b^2*e^6*n^2*PolyLog[3, -((f*Sqrt[x])/e)])/(3*f^6)}
+{x^1*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 20, (21*b^2*e^3*n^2*Sqrt[x])/(4*f^3) + (a*b*e^2*n*x)/(2*f^2) - (7*b^2*e^2*n^2*x)/(8*f^2) + (37*b^2*e*n^2*x^(3/2))/(108*f) - (3/16)*b^2*n^2*x^2 - (b^2*e^4*n^2*Log[e + f*Sqrt[x]])/(4*f^4) + (1/4)*b^2*n^2*x^2*Log[d*(e + f*Sqrt[x])] - (b^2*e^4*n^2*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/f^4 + (b^2*e^2*n*x*Log[c*x^n])/(2*f^2) - (5*b*e^3*n*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*f^3) + (b*e^2*n*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*f^2) - (7*b*e*n*x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(18*f) + (1/4)*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + (b*e^4*n*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*f^4) - (1/2)*b*n*x^2*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n]) + (e^3*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*f^3) - (e^2*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*f^2) + (e*x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(6*f) - (1/8)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (1/2)*x^2*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (e^4*Log[1 + (f*Sqrt[x])/e]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*f^4) - (b^2*e^4*n^2*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/f^4 - (2*b*e^4*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*Sqrt[x])/e)])/f^4 + (4*b^2*e^4*n^2*PolyLog[3, -((f*Sqrt[x])/e)])/f^4}
+{x^0*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2, x, 18, (14*b^2*e*n^2*Sqrt[x])/f + a*b*n*x - 3*b^2*n^2*x - (2*b^2*e^2*n^2*Log[e + f*Sqrt[x]])/f^2 + 2*b^2*n^2*x*Log[d*(e + f*Sqrt[x])] - (4*b^2*e^2*n^2*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/f^2 + b^2*n*x*Log[c*x^n] - (6*b*e*n*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/f + b*n*x*(a + b*Log[c*x^n]) + (2*b*e^2*n*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/f^2 - 2*b*n*x*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n]) + (e*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/f - (1/2)*x*(a + b*Log[c*x^n])^2 + x*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (e^2*Log[1 + (f*Sqrt[x])/e]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/f^2 - (4*b^2*e^2*n^2*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/f^2 - (4*b*e^2*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*Sqrt[x])/e)])/f^2 + (8*b^2*e^2*n^2*PolyLog[3, -((f*Sqrt[x])/e)])/f^2}
+{Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^1, x, 5, (Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(3*b*n) - (Log[1 + (f*Sqrt[x])/e]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(3*b*n) - 2*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((f*Sqrt[x])/e)] + 8*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((f*Sqrt[x])/e)] - 16*b^2*n^2*PolyLog[4, -((f*Sqrt[x])/e)]}
+{Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^2, x, 21, -((14*b^2*f*n^2)/(e*Sqrt[x])) + (2*b^2*f^2*n^2*Log[e + f*Sqrt[x]])/e^2 - (2*b^2*n^2*Log[d*(e + f*Sqrt[x])])/x - (4*b^2*f^2*n^2*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/e^2 - (b^2*f^2*n^2*Log[x])/e^2 + (b^2*f^2*n^2*Log[x]^2)/(2*e^2) - (6*b*f*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(e*Sqrt[x]) + (2*b*f^2*n*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^2 - (2*b*n*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n]))/x - (b*f^2*n*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^2 - (f*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(e*Sqrt[x]) - (Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/x + (f^2*Log[1 + (f*Sqrt[x])/e]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/e^2 - (f^2*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(6*b*e^2*n) - (4*b^2*f^2*n^2*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/e^2 + (4*b*f^2*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*Sqrt[x])/e)])/e^2 - (8*b^2*f^2*n^2*PolyLog[3, -((f*Sqrt[x])/e)])/e^2}
+{Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2/x^3, x, 23, -((37*b^2*f*n^2)/(108*e*x^(3/2))) + (7*b^2*f^2*n^2)/(8*e^2*x) - (21*b^2*f^3*n^2)/(4*e^3*Sqrt[x]) + (b^2*f^4*n^2*Log[e + f*Sqrt[x]])/(4*e^4) - (b^2*n^2*Log[d*(e + f*Sqrt[x])])/(4*x^2) - (b^2*f^4*n^2*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/e^4 - (b^2*f^4*n^2*Log[x])/(8*e^4) + (b^2*f^4*n^2*Log[x]^2)/(8*e^4) - (7*b*f*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(18*e*x^(3/2)) + (3*b*f^2*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e^2*x) - (5*b*f^3*n*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^3*Sqrt[x]) + (b*f^4*n*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*e^4) - (b*n*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n]))/(2*x^2) - (b*f^4*n*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e^4) - (f*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(6*e*x^(3/2)) + (f^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*e^2*x) - (f^3*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*e^3*Sqrt[x]) - (Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*x^2) + (f^4*Log[1 + (f*Sqrt[x])/e]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(2*e^4) - (f^4*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(12*b*e^4*n) - (b^2*f^4*n^2*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/e^4 + (2*b*f^4*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*Sqrt[x])/e)])/e^4 - (4*b^2*f^4*n^2*PolyLog[3, -((f*Sqrt[x])/e)])/e^4}
+
+
+{x^1*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 36, -((255*b^3*e^3*n^3*Sqrt[x])/(8*f^3)) - (9*a*b^2*e^2*n^2*x)/(4*f^2) + (45*b^3*e^2*n^3*x)/(16*f^2) - (175*b^3*e*n^3*x^(3/2))/(216*f) + (3/8)*b^3*n^3*x^2 + (3*b^3*e^4*n^3*Log[e + f*Sqrt[x]])/(8*f^4) - (3/8)*b^3*n^3*x^2*Log[d*(e + f*Sqrt[x])] + (3*b^3*e^4*n^3*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/(2*f^4) - (9*b^3*e^2*n^2*x*Log[c*x^n])/(4*f^2) + (63*b^2*e^3*n^2*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*f^3) - (3*b^2*e^2*n^2*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*f^2) + (37*b^2*e*n^2*x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(36*f) - (9/16)*b^2*n^2*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) - (3*b^2*e^4*n^2*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*f^4) + (3/4)*b^2*n^2*x^2*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n]) - (15*b*e^3*n*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*f^3) + (9*b*e^2*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(8*f^2) - (7*b*e*n*x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(12*f) + (3/8)*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2 - (3/4)*b*n*x^2*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (3*b*e^4*n*Log[1 + (f*Sqrt[x])/e]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*f^4) + (e^3*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(2*f^3) - (e^2*x*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(4*f^2) + (e*x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(6*f) - (1/8)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^3 + (1/2)*x^2*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^3 - (e^4*Log[1 + (f*Sqrt[x])/e]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(2*f^4) + (3*b^3*e^4*n^3*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/(2*f^4) + (3*b^2*e^4*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*Sqrt[x])/e)])/f^4 - (3*b*e^4*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((f*Sqrt[x])/e)])/f^4 - (6*b^3*e^4*n^3*PolyLog[3, -((f*Sqrt[x])/e)])/f^4 + (12*b^2*e^4*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((f*Sqrt[x])/e)])/f^4 - (24*b^3*e^4*n^3*PolyLog[4, -((f*Sqrt[x])/e)])/f^4}
+{x^0*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^3, x, 30, -((90*b^3*e*n^3*Sqrt[x])/f) - 6*a*b^2*n^2*x + 12*b^3*n^3*x + (6*b^3*e^2*n^3*Log[e + f*Sqrt[x]])/f^2 - 6*b^3*n^3*x*Log[d*(e + f*Sqrt[x])] + (12*b^3*e^2*n^3*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/f^2 - 6*b^3*n^2*x*Log[c*x^n] + (42*b^2*e*n^2*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/f - 3*b^2*n^2*x*(a + b*Log[c*x^n]) - (6*b^2*e^2*n^2*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/f^2 + 6*b^2*n^2*x*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n]) - (9*b*e*n*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/f + 3*b*n*x*(a + b*Log[c*x^n])^2 - 3*b*n*x*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2 + (3*b*e^2*n*Log[1 + (f*Sqrt[x])/e]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/f^2 + (e*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/f - (1/2)*x*(a + b*Log[c*x^n])^3 + x*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^3 - (e^2*Log[1 + (f*Sqrt[x])/e]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/f^2 + (12*b^3*e^2*n^3*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/f^2 + (12*b^2*e^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*Sqrt[x])/e)])/f^2 - (6*b*e^2*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((f*Sqrt[x])/e)])/f^2 - (24*b^3*e^2*n^3*PolyLog[3, -((f*Sqrt[x])/e)])/f^2 + (24*b^2*e^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((f*Sqrt[x])/e)])/f^2 - (48*b^3*e^2*n^3*PolyLog[4, -((f*Sqrt[x])/e)])/f^2}
+{Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^3/x^1, x, 6, (Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^4)/(4*b*n) - (Log[1 + (f*Sqrt[x])/e]*(a + b*Log[c*x^n])^4)/(4*b*n) - 2*(a + b*Log[c*x^n])^3*PolyLog[2, -((f*Sqrt[x])/e)] + 12*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[3, -((f*Sqrt[x])/e)] - 48*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[4, -((f*Sqrt[x])/e)] + 96*b^3*n^3*PolyLog[5, -((f*Sqrt[x])/e)]}
+{Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^3/x^2, x, 34, -((90*b^3*f*n^3)/(e*Sqrt[x])) + (6*b^3*f^2*n^3*Log[e + f*Sqrt[x]])/e^2 - (6*b^3*n^3*Log[d*(e + f*Sqrt[x])])/x - (12*b^3*f^2*n^3*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/e^2 - (3*b^3*f^2*n^3*Log[x])/e^2 + (3*b^3*f^2*n^3*Log[x]^2)/(2*e^2) - (42*b^2*f*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(e*Sqrt[x]) + (6*b^2*f^2*n^2*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^2 - (6*b^2*n^2*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n]))/x - (3*b^2*f^2*n^2*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/e^2 - (9*b*f*n*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(e*Sqrt[x]) - (3*b*n*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/x + (3*b*f^2*n*Log[1 + (f*Sqrt[x])/e]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/e^2 - (f^2*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(2*e^2) - (f*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(e*Sqrt[x]) - (Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/x + (f^2*Log[1 + (f*Sqrt[x])/e]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/e^2 - (f^2*(a + b*Log[c*x^n])^4)/(8*b*e^2*n) - (12*b^3*f^2*n^3*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/e^2 + (12*b^2*f^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*Sqrt[x])/e)])/e^2 + (6*b*f^2*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((f*Sqrt[x])/e)])/e^2 - (24*b^3*f^2*n^3*PolyLog[3, -((f*Sqrt[x])/e)])/e^2 - (24*b^2*f^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((f*Sqrt[x])/e)])/e^2 + (48*b^3*f^2*n^3*PolyLog[4, -((f*Sqrt[x])/e)])/e^2}
+{Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^3/x^3, x, 40, -((175*b^3*f*n^3)/(216*e*x^(3/2))) + (45*b^3*f^2*n^3)/(16*e^2*x) - (255*b^3*f^3*n^3)/(8*e^3*Sqrt[x]) + (3*b^3*f^4*n^3*Log[e + f*Sqrt[x]])/(8*e^4) - (3*b^3*n^3*Log[d*(e + f*Sqrt[x])])/(8*x^2) - (3*b^3*f^4*n^3*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/(2*e^4) - (3*b^3*f^4*n^3*Log[x])/(16*e^4) + (3*b^3*f^4*n^3*Log[x]^2)/(16*e^4) - (37*b^2*f*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(36*e*x^(3/2)) + (21*b^2*f^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*e^2*x) - (63*b^2*f^3*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e^3*Sqrt[x]) + (3*b^2*f^4*n^2*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e^4) - (3*b^2*n^2*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*x^2) - (3*b^2*f^4*n^2*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*e^4) - (7*b*f*n*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(12*e*x^(3/2)) + (9*b*f^2*n*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(8*e^2*x) - (15*b*f^3*n*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*e^3*Sqrt[x]) - (3*b*n*Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*x^2) + (3*b*f^4*n*Log[1 + (f*Sqrt[x])/e]*(a + b*Log[c*x^n])^2)/(4*e^4) - (f^4*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(8*e^4) - (f*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(6*e*x^(3/2)) + (f^2*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(4*e^2*x) - (f^3*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(2*e^3*Sqrt[x]) - (Log[d*(e + f*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(2*x^2) + (f^4*Log[1 + (f*Sqrt[x])/e]*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(2*e^4) - (f^4*(a + b*Log[c*x^n])^4)/(16*b*e^4*n) - (3*b^3*f^4*n^3*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/(2*e^4) + (3*b^2*f^4*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*Sqrt[x])/e)])/e^4 + (3*b*f^4*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((f*Sqrt[x])/e)])/e^4 - (6*b^3*f^4*n^3*PolyLog[3, -((f*Sqrt[x])/e)])/e^4 - (12*b^2*f^4*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((f*Sqrt[x])/e)])/e^4 + (24*b^3*f^4*n^3*PolyLog[4, -((f*Sqrt[x])/e)])/e^4}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^(q/2) Log[d (e+f x^m)^k] (a+b Log[c x^n])*)
+
+
+{x^(3/2)*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 9, (24*b*e^4*k*n*Sqrt[x])/(25*f^4) - (7*b*e^3*k*n*x)/(25*f^3) + (32*b*e^2*k*n*x^(3/2))/(225*f^2) - (9*b*e*k*n*x^2)/(100*f) + (8/125)*b*k*n*x^(5/2) - (4*b*e^5*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]])/(25*f^5) - (4/25)*b*n*x^(5/2)*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k] - (4*b*e^5*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/(5*f^5) - (2*e^4*k*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*f^4) + (e^3*k*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*f^3) - (2*e^2*k*x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]))/(15*f^2) + (e*k*x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(10*f) - (2/25)*k*x^(5/2)*(a + b*Log[c*x^n]) + (2*e^5*k*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*f^5) + (2/5)*x^(5/2)*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n]) - (4*b*e^5*k*n*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/(5*f^5)}
+{x^(1/2)*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 9, (16*b*e^2*k*n*Sqrt[x])/(9*f^2) - (5*b*e*k*n*x)/(9*f) + (8/27)*b*k*n*x^(3/2) - (4*b*e^3*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]])/(9*f^3) - (4/9)*b*n*x^(3/2)*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k] - (4*b*e^3*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/(3*f^3) - (2*e^2*k*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*f^2) + (e*k*x*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*f) - (2/9)*k*x^(3/2)*(a + b*Log[c*x^n]) + (2*e^3*k*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*f^3) + (2/3)*x^(3/2)*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n]) - (4*b*e^3*k*n*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/(3*f^3)}
+{Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n])/x^(3/2), x, 11, -((4*b*f*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]])/e) - (4*b*n*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k])/Sqrt[x] + (4*b*f*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/e + (2*b*f*k*n*Log[x])/e - (b*f*k*n*Log[x]^2)/(2*e) - (2*f*k*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/e - (2*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n]))/Sqrt[x] + (f*k*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/e + (4*b*f*k*n*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/e}
+{Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n])/x^(5/2), x, 10, -((5*b*f*k*n)/(9*e*x)) + (16*b*f^2*k*n)/(9*e^2*Sqrt[x]) - (4*b*f^3*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]])/(9*e^3) - (4*b*n*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k])/(9*x^(3/2)) + (4*b*f^3*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/(3*e^3) + (2*b*f^3*k*n*Log[x])/(9*e^3) - (b*f^3*k*n*Log[x]^2)/(6*e^3) - (f*k*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e*x) + (2*f^2*k*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^2*Sqrt[x]) - (2*f^3*k*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^3) - (2*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*x^(3/2)) + (f^3*k*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(3*e^3) + (4*b*f^3*k*n*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/(3*e^3)}
+{Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n])/x^(7/2), x, 10, -((9*b*f*k*n)/(100*e*x^2)) + (32*b*f^2*k*n)/(225*e^2*x^(3/2)) - (7*b*f^3*k*n)/(25*e^3*x) + (24*b*f^4*k*n)/(25*e^4*Sqrt[x]) - (4*b*f^5*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]])/(25*e^5) - (4*b*n*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k])/(25*x^(5/2)) + (4*b*f^5*k*n*Log[e + f*Sqrt[x]]*Log[-((f*Sqrt[x])/e)])/(5*e^5) + (2*b*f^5*k*n*Log[x])/(25*e^5) - (b*f^5*k*n*Log[x]^2)/(10*e^5) - (f*k*(a + b*Log[c*x^n]))/(10*e*x^2) + (2*f^2*k*(a + b*Log[c*x^n]))/(15*e^2*x^(3/2)) - (f^3*k*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^3*x) + (2*f^4*k*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^4*Sqrt[x]) - (2*f^5*k*Log[e + f*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^5) - (2*Log[d*(e + f*Sqrt[x])^k]*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*x^(5/2)) + (f^5*k*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/(5*e^5) + (4*b*f^5*k*n*PolyLog[2, 1 + (f*Sqrt[x])/e])/(5*e^5)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q Log[d (e+f x^m)^k] (a+b Log[c x^n]) with m symbolic*)
+
+
+{(g*x)^q*Log[d*(e + f*x^m)^k]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 0, Unintegrable[(g*x)^q*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^m)^k], x]}
+
+
+{Log[d*(e + f*x^m)^r]*(a + b*Log[c*x^n])^3/x, x, 6, ((a + b*Log[c*x^n])^4*Log[d*(e + f*x^m)^r])/(4*b*n) - (r*(a + b*Log[c*x^n])^4*Log[1 + (f*x^m)/e])/(4*b*n) - (r*(a + b*Log[c*x^n])^3*PolyLog[2, -((f*x^m)/e)])/m + (3*b*n*r*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[3, -((f*x^m)/e)])/m^2 - (6*b^2*n^2*r*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[4, -((f*x^m)/e)])/m^3 + (6*b^3*n^3*r*PolyLog[5, -((f*x^m)/e)])/m^4}
+{Log[d*(e + f*x^m)^r]*(a + b*Log[c*x^n])^2/x, x, 5, ((a + b*Log[c*x^n])^3*Log[d*(e + f*x^m)^r])/(3*b*n) - (r*(a + b*Log[c*x^n])^3*Log[1 + (f*x^m)/e])/(3*b*n) - (r*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2, -((f*x^m)/e)])/m + (2*b*n*r*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, -((f*x^m)/e)])/m^2 - (2*b^2*n^2*r*PolyLog[4, -((f*x^m)/e)])/m^3}
+{Log[d*(e + f*x^m)^r]*(a + b*Log[c*x^n])^1/x, x, 4, ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x^m)^r])/(2*b*n) - (r*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (f*x^m)/e])/(2*b*n) - (r*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*x^m)/e)])/m + (b*n*r*PolyLog[3, -((f*x^m)/e)])/m^2}
+{Log[d*(e + f*x^m)^r]/(x*(a + b*Log[c*x^n])^1), x, 0, Unintegrable[Log[d*(e + f*x^m)^r]/(x*(a + b*Log[c*x^n])), x]}
+{Log[d*(e + f*x^m)^r]/(x*(a + b*Log[c*x^n])^2), x, 0, Unintegrable[Log[d*(e + f*x^m)^r]/(x*(a + b*Log[c*x^n])^2), x]}
+
+
+{x^2*Log[d*(e + f*x^m)^k]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 0, Unintegrable[x^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^m)^k], x]}
+{x^1*Log[d*(e + f*x^m)^k]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 0, Unintegrable[x*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^m)^k], x]}
+{x^0*Log[d*(e + f*x^m)^k]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 0, Unintegrable[(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^m)^k], x]}
+{Log[d*(e + f*x^m)^k]*(a + b*Log[c*x^n])/x^1, x, 4, ((a + b*Log[c*x^n])^2*Log[d*(e + f*x^m)^k])/(2*b*n) - (k*(a + b*Log[c*x^n])^2*Log[1 + (f*x^m)/e])/(2*b*n) - (k*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, -((f*x^m)/e)])/m + (b*k*n*PolyLog[3, -((f*x^m)/e)])/m^2}
+{Log[d*(e + f*x^m)^k]*(a + b*Log[c*x^n])/x^2, x, 0, Unintegrable[((a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^m)^k])/x^2, x]}
+{Log[d*(e + f*x^m)^k]*(a + b*Log[c*x^n])/x^3, x, 0, Unintegrable[((a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^m)^k])/x^3, x]}
+
+
+{(g*x)^(3*m - 1)*Log[d*(e + f*x^m)^k]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 18, (2*b*k*n*(g*x)^(3*m))/(27*g*m^2) + (4*b*e^2*k*n*(g*x)^(3*m))/(x^(2*m)*(9*f^2*g*m^2)) - (5*b*e*k*n*(g*x)^(3*m))/(x^m*(36*f*g*m^2)) - (k*(g*x)^(3*m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*g*m) - (e^2*k*(g*x)^(3*m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(x^(2*m)*(3*f^2*g*m)) + (e*k*(g*x)^(3*m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(x^m*(6*f*g*m)) - (b*e^3*k*n*(g*x)^(3*m)*Log[e + f*x^m])/(x^(3*m)*(9*f^3*g*m^2)) - (b*e^3*k*n*(g*x)^(3*m)*Log[-((f*x^m)/e)]*Log[e + f*x^m])/(x^(3*m)*(3*f^3*g*m^2)) + (e^3*k*(g*x)^(3*m)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[e + f*x^m])/(x^(3*m)*(3*f^3*g*m)) - (b*n*(g*x)^(3*m)*Log[d*(e + f*x^m)^k])/(9*g*m^2) + ((g*x)^(3*m)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^m)^k])/(3*g*m) - (b*e^3*k*n*(g*x)^(3*m)*PolyLog[2, 1 + (f*x^m)/e])/(x^(3*m)*(3*f^3*g*m^2))}
+{(g*x)^(2*m - 1)*Log[d*(e + f*x^m)^k]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 16, (b*k*n*(g*x)^(2*m))/(4*g*m^2) - (3*b*e*k*n*(g*x)^(2*m))/(x^m*(4*f*g*m^2)) - (k*(g*x)^(2*m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*g*m) + (e*k*(g*x)^(2*m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(x^m*(2*f*g*m)) + (b*e^2*k*n*(g*x)^(2*m)*Log[e + f*x^m])/(x^(2*m)*(4*f^2*g*m^2)) + (b*e^2*k*n*(g*x)^(2*m)*Log[-((f*x^m)/e)]*Log[e + f*x^m])/(x^(2*m)*(2*f^2*g*m^2)) - (e^2*k*(g*x)^(2*m)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[e + f*x^m])/(x^(2*m)*(2*f^2*g*m)) - (b*n*(g*x)^(2*m)*Log[d*(e + f*x^m)^k])/(4*g*m^2) + ((g*x)^(2*m)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^m)^k])/(2*g*m) + (b*e^2*k*n*(g*x)^(2*m)*PolyLog[2, 1 + (f*x^m)/e])/(x^(2*m)*(2*f^2*g*m^2))}
+{(g*x)^(1*m - 1)*Log[d*(e + f*x^m)^k]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 14, (2*b*k*n*(g*x)^m)/(g*m^2) - (k*(g*x)^m*(a + b*Log[c*x^n]))/(g*m) - (b*e*k*n*(g*x)^m*Log[e + f*x^m])/(x^m*(f*g*m^2)) - (b*e*k*n*(g*x)^m*Log[-((f*x^m)/e)]*Log[e + f*x^m])/(x^m*(f*g*m^2)) + (e*k*(g*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])*Log[e + f*x^m])/(x^m*(f*g*m)) - (b*n*(g*x)^m*Log[d*(e + f*x^m)^k])/(g*m^2) + ((g*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^m)^k])/(g*m) - (b*e*k*n*(g*x)^m*PolyLog[2, 1 + (f*x^m)/e])/(x^m*(f*g*m^2))}
+{(g*x)^(-1*m - 1)*Log[d*(e + f*x^m)^k]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 15, (b*f*k*n*x^m*Log[x])/((g*x)^m*(e*g*m)) - (b*f*k*n*x^m*Log[x]^2)/((g*x)^m*(2*e*g)) + (f*k*x^m*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/((g*x)^m*(e*g)) - (b*f*k*n*x^m*Log[e + f*x^m])/((g*x)^m*(e*g*m^2)) + (b*f*k*n*x^m*Log[-((f*x^m)/e)]*Log[e + f*x^m])/((g*x)^m*(e*g*m^2)) - (f*k*x^m*(a + b*Log[c*x^n])*Log[e + f*x^m])/((g*x)^m*(e*g*m)) - (b*n*Log[d*(e + f*x^m)^k])/((g*x)^m*(g*m^2)) - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^m)^k])/((g*x)^m*(g*m)) + (b*f*k*n*x^m*PolyLog[2, 1 + (f*x^m)/e])/((g*x)^m*(e*g*m^2))}
+{(g*x)^(-2*m - 1)*Log[d*(e + f*x^m)^k]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 16, -((3*b*f*k*n*x^m)/((g*x)^(2*m)*(4*e*g*m^2))) - (b*f^2*k*n*x^(2*m)*Log[x])/((g*x)^(2*m)*(4*e^2*g*m)) + (b*f^2*k*n*x^(2*m)*Log[x]^2)/((g*x)^(2*m)*(4*e^2*g)) - (f*k*x^m*(a + b*Log[c*x^n]))/((g*x)^(2*m)*(2*e*g*m)) - (f^2*k*x^(2*m)*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/((g*x)^(2*m)*(2*e^2*g)) + (b*f^2*k*n*x^(2*m)*Log[e + f*x^m])/((g*x)^(2*m)*(4*e^2*g*m^2)) - (b*f^2*k*n*x^(2*m)*Log[-((f*x^m)/e)]*Log[e + f*x^m])/((g*x)^(2*m)*(2*e^2*g*m^2)) + (f^2*k*x^(2*m)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[e + f*x^m])/((g*x)^(2*m)*(2*e^2*g*m)) - (b*n*Log[d*(e + f*x^m)^k])/((g*x)^(2*m)*(4*g*m^2)) - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^m)^k])/((g*x)^(2*m)*(2*g*m)) - (b*f^2*k*n*x^(2*m)*PolyLog[2, 1 + (f*x^m)/e])/((g*x)^(2*m)*(2*e^2*g*m^2))}
+{(g*x)^(-3*m - 1)*Log[d*(e + f*x^m)^k]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 18, -((5*b*f*k*n*x^m)/((g*x)^(3*m)*(36*e*g*m^2))) + (4*b*f^2*k*n*x^(2*m))/((g*x)^(3*m)*(9*e^2*g*m^2)) + (b*f^3*k*n*x^(3*m)*Log[x])/((g*x)^(3*m)*(9*e^3*g*m)) - (b*f^3*k*n*x^(3*m)*Log[x]^2)/((g*x)^(3*m)*(6*e^3*g)) - (f*k*x^m*(a + b*Log[c*x^n]))/((g*x)^(3*m)*(6*e*g*m)) + (f^2*k*x^(2*m)*(a + b*Log[c*x^n]))/((g*x)^(3*m)*(3*e^2*g*m)) + (f^3*k*x^(3*m)*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]))/((g*x)^(3*m)*(3*e^3*g)) - (b*f^3*k*n*x^(3*m)*Log[e + f*x^m])/((g*x)^(3*m)*(9*e^3*g*m^2)) + (b*f^3*k*n*x^(3*m)*Log[-((f*x^m)/e)]*Log[e + f*x^m])/((g*x)^(3*m)*(3*e^3*g*m^2)) - (f^3*k*x^(3*m)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[e + f*x^m])/((g*x)^(3*m)*(3*e^3*g*m)) - (b*n*Log[d*(e + f*x^m)^k])/((g*x)^(3*m)*(9*g*m^2)) - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[d*(e + f*x^m)^k])/((g*x)^(3*m)*(3*g*m)) + (b*f^3*k*n*x^(3*m)*PolyLog[2, 1 + (f*x^m)/e])/((g*x)^(3*m)*(3*e^3*g*m^2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g x)^m (a+b Log[c x^n])^p (d+e Log[f x^r])^q*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g x)^m (a+b Log[c x^n])^p (d+e Log[f x^r])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^r]), x, 3, (1/27)*b*e*n*r*x^3 - (1/27)*e*r*x^3*(3*a - b*n + 3*b*Log[c*x^n]) - (1/9)*b*n*x^3*(d + e*Log[f*x^r]) + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^r])}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^r]), x, 3, (1/8)*b*e*n*r*x^2 - (1/8)*e*r*x^2*(2*a - b*n + 2*b*Log[c*x^n]) - (1/4)*b*n*x^2*(d + e*Log[f*x^r]) + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^r])}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^r]), x, 3, b*e*n*r*x - e*(a - b*n)*r*x - b*e*r*x*Log[c*x^n] + a*x*(d + e*Log[f*x^r]) - b*n*x*(d + e*Log[f*x^r]) + b*x*Log[c*x^n]*(d + e*Log[f*x^r])}
+{(a + b*Log[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^r])/x^1, x, 4, -((e*r*(a + b*Log[c*x^n])^3)/(6*b^2*n^2)) + ((a + b*Log[c*x^n])^2*(d + e*Log[f*x^r]))/(2*b*n)}
+{(a + b*Log[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^r])/x^2, x, 2, -((b*e*n*r)/x) - (e*r*(a + b*n + b*Log[c*x^n]))/x - (b*n*(d + e*Log[f*x^r]))/x - ((a + b*Log[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^r]))/x}
+{(a + b*Log[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^r])/x^3, x, 3, -((b*e*n*r)/(8*x^2)) - (e*r*(2*a + b*n + 2*b*Log[c*x^n]))/(8*x^2) - (b*n*(d + e*Log[f*x^r]))/(4*x^2) - ((a + b*Log[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^r]))/(2*x^2)}
+{(a + b*Log[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^r])/x^4, x, 3, -((b*e*n*r)/(27*x^3)) - (e*r*(3*a + b*n + 3*b*Log[c*x^n]))/(27*x^3) - (b*n*(d + e*Log[f*x^r]))/(9*x^3) - ((a + b*Log[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^r]))/(3*x^3)}
+
+
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2*(d + e*Log[f*x^r]), x, 7, (-(2/81))*b^2*e*n^2*r*x^3 + (2/81)*b*e*n*(3*a - b*n)*r*x^3 - (1/81)*e*(9*a^2 - 6*a*b*n + 2*b^2*n^2)*r*x^3 + (2/27)*b^2*e*n*r*x^3*Log[c*x^n] - (2/27)*b*e*(3*a - b*n)*r*x^3*Log[c*x^n] - (1/9)*b^2*e*r*x^3*Log[c*x^n]^2 + (2/27)*b^2*n^2*x^3*(d + e*Log[f*x^r]) - (2/9)*b*n*x^3*(a + b*Log[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^r]) + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])^2*(d + e*Log[f*x^r])}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])^2*(d + e*Log[f*x^r]), x, 7, (-(1/8))*b^2*e*n^2*r*x^2 + (1/8)*b*e*n*(2*a - b*n)*r*x^2 - (1/8)*e*(2*a^2 - 2*a*b*n + b^2*n^2)*r*x^2 + (1/4)*b^2*e*n*r*x^2*Log[c*x^n] - (1/4)*b*e*(2*a - b*n)*r*x^2*Log[c*x^n] - (1/4)*b^2*e*r*x^2*Log[c*x^n]^2 + (1/4)*b^2*n^2*x^2*(d + e*Log[f*x^r]) - (1/2)*b*n*x^2*(a + b*Log[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^r]) + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])^2*(d + e*Log[f*x^r])}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])^2*(d + e*Log[f*x^r]), x, 6, 2*a*b*e*n*r*x - 4*b^2*e*n^2*r*x + 2*b*e*n*(a - b*n)*r*x + 4*b^2*e*n*r*x*Log[c*x^n] - e*r*x*(a + b*Log[c*x^n])^2 - 2*a*b*n*x*(d + e*Log[f*x^r]) + 2*b^2*n^2*x*(d + e*Log[f*x^r]) - 2*b^2*n*x*Log[c*x^n]*(d + e*Log[f*x^r]) + x*(a + b*Log[c*x^n])^2*(d + e*Log[f*x^r])}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2*(d + e*Log[f*x^r])/x^1, x, 4, -((e*r*(a + b*Log[c*x^n])^4)/(12*b^2*n^2)) + ((a + b*Log[c*x^n])^3*(d + e*Log[f*x^r]))/(3*b*n)}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2*(d + e*Log[f*x^r])/x^2, x, 6, -((2*b^2*e*n^2*r)/x) - (2*b*e*n*(a + b*n)*r)/x - (e*(a^2 + 2*a*b*n + 2*b^2*n^2)*r)/x - (2*b^2*e*n*r*Log[c*x^n])/x - (2*b*e*(a + b*n)*r*Log[c*x^n])/x - (b^2*e*r*Log[c*x^n]^2)/x - (2*b^2*n^2*(d + e*Log[f*x^r]))/x - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^r]))/x - ((a + b*Log[c*x^n])^2*(d + e*Log[f*x^r]))/x}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2*(d + e*Log[f*x^r])/x^3, x, 7, -((b^2*e*n^2*r)/(8*x^2)) - (b*e*n*(2*a + b*n)*r)/(8*x^2) - (e*(2*a^2 + 2*a*b*n + b^2*n^2)*r)/(8*x^2) - (b^2*e*n*r*Log[c*x^n])/(4*x^2) - (b*e*(2*a + b*n)*r*Log[c*x^n])/(4*x^2) - (b^2*e*r*Log[c*x^n]^2)/(4*x^2) - (b^2*n^2*(d + e*Log[f*x^r]))/(4*x^2) - (b*n*(a + b*Log[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^r]))/(2*x^2) - ((a + b*Log[c*x^n])^2*(d + e*Log[f*x^r]))/(2*x^2)}
+{(a + b*Log[c*x^n])^2*(d + e*Log[f*x^r])/x^4, x, 7, -((2*b^2*e*n^2*r)/(81*x^3)) - (2*b*e*n*(3*a + b*n)*r)/(81*x^3) - (e*(9*a^2 + 6*a*b*n + 2*b^2*n^2)*r)/(81*x^3) - (2*b^2*e*n*r*Log[c*x^n])/(27*x^3) - (2*b*e*(3*a + b*n)*r*Log[c*x^n])/(27*x^3) - (b^2*e*r*Log[c*x^n]^2)/(9*x^3) - (2*b^2*n^2*(d + e*Log[f*x^r]))/(27*x^3) - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^r]))/(9*x^3) - ((a + b*Log[c*x^n])^2*(d + e*Log[f*x^r]))/(3*x^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*Log[f*x^m]), x, 6, (b*n*x^3)/(3*e*m) - (b*n*x^3*ExpIntegralEi[(3*(d + e*Log[f*x^m]))/(e*m)]*(d + e*Log[f*x^m]))/(E^((3*d)/(e*m))*(f*x^m)^(3/m)*(e^2*m^2)) + (x^3*ExpIntegralEi[(3*(d + e*Log[f*x^m]))/(e*m)]*(a + b*Log[c*x^n]))/(E^((3*d)/(e*m))*(f*x^m)^(3/m)*(e*m))}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*Log[f*x^m]), x, 6, (b*n*x^2)/(2*e*m) - (b*n*x^2*ExpIntegralEi[(2*(d + e*Log[f*x^m]))/(e*m)]*(d + e*Log[f*x^m]))/(E^((2*d)/(e*m))*(f*x^m)^(2/m)*(e^2*m^2)) + (x^2*ExpIntegralEi[(2*(d + e*Log[f*x^m]))/(e*m)]*(a + b*Log[c*x^n]))/(E^((2*d)/(e*m))*(f*x^m)^(2/m)*(e*m))}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*Log[f*x^m]), x, 6, (b*n*x)/(e*m) - (b*n*x*ExpIntegralEi[(d + e*Log[f*x^m])/(e*m)]*(d + e*Log[f*x^m]))/(E^(d/(e*m))*(f*x^m)^m^(-1)*(e^2*m^2)) + (x*ExpIntegralEi[(d + e*Log[f*x^m])/(e*m)]*(a + b*Log[c*x^n]))/(E^(d/(e*m))*(f*x^m)^m^(-1)*(e*m))}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^1*(d + e*Log[f*x^m])), x, 5, (b*n*Log[x])/(e*m) - (b*n*(d + e*Log[f*x^m])*Log[d + e*Log[f*x^m]])/(e^2*m^2) + ((a + b*Log[c*x^n])*Log[d + e*Log[f*x^m]])/(e*m)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^2*(d + e*Log[f*x^m])), x, 6, -((b*n)/(e*m*x)) - (b*E^(d/(e*m))*n*(f*x^m)^(1/m)*ExpIntegralEi[-((d + e*Log[f*x^m])/(e*m))]*(d + e*Log[f*x^m]))/(e^2*m^2*x) + (E^(d/(e*m))*(f*x^m)^(1/m)*ExpIntegralEi[-((d + e*Log[f*x^m])/(e*m))]*(a + b*Log[c*x^n]))/(e*m*x)}
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x^3*(d + e*Log[f*x^m])), x, 6, -((b*n)/(2*e*m*x^2)) - (b*E^((2*d)/(e*m))*n*(f*x^m)^(2/m)*ExpIntegralEi[-((2*(d + e*Log[f*x^m]))/(e*m))]*(d + e*Log[f*x^m]))/(e^2*m^2*x^2) + (E^((2*d)/(e*m))*(f*x^m)^(2/m)*ExpIntegralEi[-((2*(d + e*Log[f*x^m]))/(e*m))]*(a + b*Log[c*x^n]))/(e*m*x^2)}
+
+
+{(a + b*Log[c*x^n])/(d + e*Log[c*x^n])^2, x, 7, (((-b)*d + a*e + b*e*n)*x*ExpIntegralEi[(d + e*Log[c*x^n])/(e*n)])/(E^(d/(e*n))*(c*x^n)^n^(-1)*(e^3*n^2)) + ((b*d - a*e)*x)/(e^2*n*(d + e*Log[c*x^n])), -(((b*d - a*e)*x*ExpIntegralEi[(d + e*Log[c*x^n])/(e*n)])/(E^(d/(e*n))*(c*x^n)^n^(-1)*(e^3*n^2))) + (b*x*ExpIntegralEi[(d + e*Log[c*x^n])/(e*n)])/(E^(d/(e*n))*(c*x^n)^n^(-1)*(e^2*n)) + ((b*d - a*e)*x)/(e^2*n*(d + e*Log[c*x^n]))}
+
+
+{(a + b*Log[c*x^n])/(x*Log[x]), x, 2, b*n*Log[x] - b*n*Log[x]*Log[Log[x]] + (a + b*Log[c*x^n])*Log[Log[x]]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g x)^m (a+b Log[c x^n])^p (d+e Log[f x^r]) with p symbolic*)
+
+
+{(g*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r]), x, 8, -((e*r*x*(g*x)^m*Gamma[2 + p, -((a*(1 + m))/(b*n)) - ((1 + m)*Log[c*x^n])/n]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^((a*(1 + m))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m)/n)*(-(((1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p*(1 + m)^2)) - (e*r*x*(g*x)^m*Gamma[1 + p, -((a*(1 + m))/(b*n)) - ((1 + m)*Log[c*x^n])/n]*(a + b*Log[c*x^n])^(1 + p))/(E^((a*(1 + m))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m)/n)*(-(((1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p*(b*(1 + m)*n)) + ((g*x)^(1 + m)*Gamma[1 + p, -(((1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r]))/(E^((a*(1 + m))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m)/n)*(-(((1 + m)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p*(g*(1 + m)))}
+
+
+{x^2*(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r]), x, 7, ((-3^(-2 - p))*e*r*x^3*Gamma[2 + p, -((3*a)/(b*n)) - (3*Log[c*x^n])/n]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)*(-((a + b*Log[c*x^n])/(b*n)))^p) - (3^(-1 - p)*e*r*x^3*Gamma[1 + p, -((3*a)/(b*n)) - (3*Log[c*x^n])/n]*(a + b*Log[c*x^n])^(1 + p))/(E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)*(-((a + b*Log[c*x^n])/(b*n)))^p*(b*n)) + (3^(-1 - p)*x^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r]))/(E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)*(-((a + b*Log[c*x^n])/(b*n)))^p)}
+{x^1*(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r]), x, 7, ((-2^(-2 - p))*e*r*x^2*Gamma[2 + p, -((2*a)/(b*n)) - (2*Log[c*x^n])/n]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*(-((a + b*Log[c*x^n])/(b*n)))^p) - (2^(-1 - p)*e*r*x^2*Gamma[1 + p, -((2*a)/(b*n)) - (2*Log[c*x^n])/n]*(a + b*Log[c*x^n])^(1 + p))/(E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*(-((a + b*Log[c*x^n])/(b*n)))^p*(b*n)) + (2^(-1 - p)*x^2*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r]))/(E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*(-((a + b*Log[c*x^n])/(b*n)))^p)}
+{x^0*(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r]), x, 7, ((-e)*r*x*Gamma[2 + p, -(a/(b*n)) - Log[c*x^n]/n]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)*(-((a + b*Log[c*x^n])/(b*n)))^p) - (e*r*x*Gamma[1 + p, -(a/(b*n)) - Log[c*x^n]/n]*(a + b*Log[c*x^n])^(1 + p))/(E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)*(-((a + b*Log[c*x^n])/(b*n)))^p*(b*n)) + (x*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*x^n])/(b*n))]*(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r]))/(E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)*(-((a + b*Log[c*x^n])/(b*n)))^p)}
+{(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r])/x^1, x, 4, -((e*r*(a + b*Log[c*x^n])^(2 + p))/(b^2*n^2*(1 + p)*(2 + p))) + ((a + b*Log[c*x^n])^(1 + p)*(d + e*Log[f*x^r]))/(b*n*(1 + p))}
+{(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r])/x^2, x, 7, -((e*E^(a/(b*n))*r*(c*x^n)^(1/n)*Gamma[2 + p, a/(b*n) + Log[c*x^n]/n]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(((a + b*Log[c*x^n])/(b*n))^p*x)) + (e*E^(a/(b*n))*r*(c*x^n)^(1/n)*Gamma[1 + p, a/(b*n) + Log[c*x^n]/n]*(a + b*Log[c*x^n])^(1 + p))/(((a + b*Log[c*x^n])/(b*n))^p*(b*n*x)) - (E^(a/(b*n))*(c*x^n)^(1/n)*Gamma[1 + p, (a + b*Log[c*x^n])/(b*n)]*(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r]))/(((a + b*Log[c*x^n])/(b*n))^p*x)}
+{(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r])/x^3, x, 7, -((2^(-2 - p)*e*E^((2*a)/(b*n))*r*(c*x^n)^(2/n)*Gamma[2 + p, (2*a)/(b*n) + (2*Log[c*x^n])/n]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(((a + b*Log[c*x^n])/(b*n))^p*x^2)) + (2^(-1 - p)*e*E^((2*a)/(b*n))*r*(c*x^n)^(2/n)*Gamma[1 + p, (2*a)/(b*n) + (2*Log[c*x^n])/n]*(a + b*Log[c*x^n])^(1 + p))/(((a + b*Log[c*x^n])/(b*n))^p*(b*n*x^2)) - (2^(-1 - p)*E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*Gamma[1 + p, (2*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)]*(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r]))/(((a + b*Log[c*x^n])/(b*n))^p*x^2)}
+{(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r])/x^4, x, 7, -((3^(-2 - p)*e*E^((3*a)/(b*n))*r*(c*x^n)^(3/n)*Gamma[2 + p, (3*a)/(b*n) + (3*Log[c*x^n])/n]*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(((a + b*Log[c*x^n])/(b*n))^p*x^3)) + (3^(-1 - p)*e*E^((3*a)/(b*n))*r*(c*x^n)^(3/n)*Gamma[1 + p, (3*a)/(b*n) + (3*Log[c*x^n])/n]*(a + b*Log[c*x^n])^(1 + p))/(((a + b*Log[c*x^n])/(b*n))^p*(b*n*x^3)) - (3^(-1 - p)*E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)*Gamma[1 + p, (3*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)]*(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r]))/(((a + b*Log[c*x^n])/(b*n))^p*x^3)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Pq[x] ArcTrig[d (e +x)]^m (a+b Log[c x^n])*)
+
+
+{(d + e*x^2)*ArcSin[a*x]*Log[c*x^n], x, 17, -((d*n*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a) - ((3*a^2*d + e)*n*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^3) + (2*e*n*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(27*a^3) - d*n*x*ArcSin[a*x] - (1/9)*e*n*x^3*ArcSin[a*x] - (e*n*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(9*a^3) + ((3*a^2*d + e)*n*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(3*a^3) + ((3*a^2*d + e)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[c*x^n])/(3*a^3) - (e*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*Log[c*x^n])/(9*a^3) + d*x*ArcSin[a*x]*Log[c*x^n] + (1/3)*e*x^3*ArcSin[a*x]*Log[c*x^n]}
+{(d + e*x^2)*ArcCos[a*x]*Log[c*x^n], x, 17, (d*n*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a + ((3*a^2*d + e)*n*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^3) - (2*e*n*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(27*a^3) - d*n*x*ArcCos[a*x] - (1/9)*e*n*x^3*ArcCos[a*x] + (e*n*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(9*a^3) - ((3*a^2*d + e)*n*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(3*a^3) - ((3*a^2*d + e)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[c*x^n])/(3*a^3) + (e*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*Log[c*x^n])/(9*a^3) + d*x*ArcCos[a*x]*Log[c*x^n] + (1/3)*e*x^3*ArcCos[a*x]*Log[c*x^n]}
+{(d + e*x^2)*ArcTan[a*x]*Log[c*x^n], x, 9, (5*e*n*x^2)/(36*a) - d*n*x*ArcTan[a*x] - (1/9)*e*n*x^3*ArcTan[a*x] - (e*x^2*Log[c*x^n])/(6*a) + d*x*ArcTan[a*x]*Log[c*x^n] + (1/3)*e*x^3*ArcTan[a*x]*Log[c*x^n] + (d*n*Log[1 + a^2*x^2])/(2*a) - (e*n*Log[1 + a^2*x^2])/(18*a^3) - ((3*a^2*d - e)*Log[c*x^n]*Log[1 + a^2*x^2])/(6*a^3) - ((3*a^2*d - e)*n*PolyLog[2, (-a^2)*x^2])/(12*a^3)}
+{(d + e*x^2)*ArcCot[a*x]*Log[c*x^n], x, 9, -((5*e*n*x^2)/(36*a)) - d*n*x*ArcCot[a*x] - (1/9)*e*n*x^3*ArcCot[a*x] + (e*x^2*Log[c*x^n])/(6*a) + d*x*ArcCot[a*x]*Log[c*x^n] + (1/3)*e*x^3*ArcCot[a*x]*Log[c*x^n] - (d*n*Log[1 + a^2*x^2])/(2*a) + (e*n*Log[1 + a^2*x^2])/(18*a^3) + ((3*a^2*d - e)*Log[c*x^n]*Log[1 + a^2*x^2])/(6*a^3) + ((3*a^2*d - e)*n*PolyLog[2, (-a^2)*x^2])/(12*a^3)}
+
+{(d + e*x^2)*ArcSinh[a*x]*Log[c*x^n], x, 17, (d*n*Sqrt[1 + a^2*x^2])/a + ((3*a^2*d - e)*n*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a^3) + (2*e*n*(1 + a^2*x^2)^(3/2))/(27*a^3) - d*n*x*ArcSinh[a*x] - (1/9)*e*n*x^3*ArcSinh[a*x] - ((3*a^2*d - e)*n*ArcTanh[Sqrt[1 + a^2*x^2]])/(3*a^3) - (e*n*ArcTanh[Sqrt[1 + a^2*x^2]])/(9*a^3) - ((3*a^2*d - e)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Log[c*x^n])/(3*a^3) - (e*(1 + a^2*x^2)^(3/2)*Log[c*x^n])/(9*a^3) + d*x*ArcSinh[a*x]*Log[c*x^n] + (1/3)*e*x^3*ArcSinh[a*x]*Log[c*x^n]}
+{(d + e*x^2)*ArcCosh[a*x]*Log[c*x^n], x, 12, (d*n*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/a + (2*e*n*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(27*a^3) + ((9*a^2*d + 2*e)*n*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(9*a^3) + (e*n*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(27*a) + (e*n*(-1 + a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2))/(27*a^3) - d*n*x*ArcCosh[a*x] - (1/9)*e*n*x^3*ArcCosh[a*x] - ((9*a^2*d + 2*e)*n*ArcTan[Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(9*a^3) - ((9*a^2*d + 2*e)*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Log[c*x^n])/(9*a^3) - (e*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Log[c*x^n])/(9*a) + d*x*ArcCosh[a*x]*Log[c*x^n] + (1/3)*e*x^3*ArcCosh[a*x]*Log[c*x^n]}
+{(d + e*x^2)*ArcTanh[a*x]*Log[c*x^n], x, 9, -((5*e*n*x^2)/(36*a)) - d*n*x*ArcTanh[a*x] - (1/9)*e*n*x^3*ArcTanh[a*x] + (e*x^2*Log[c*x^n])/(6*a) + d*x*ArcTanh[a*x]*Log[c*x^n] + (1/3)*e*x^3*ArcTanh[a*x]*Log[c*x^n] - (d*n*Log[1 - a^2*x^2])/(2*a) - (e*n*Log[1 - a^2*x^2])/(18*a^3) + ((3*a^2*d + e)*Log[c*x^n]*Log[1 - a^2*x^2])/(6*a^3) + ((3*a^2*d + e)*n*PolyLog[2, a^2*x^2])/(12*a^3)}
+{(d + e*x^2)*ArcCoth[a*x]*Log[c*x^n], x, 9, -((5*e*n*x^2)/(36*a)) - d*n*x*ArcCoth[a*x] - (1/9)*e*n*x^3*ArcCoth[a*x] + (e*x^2*Log[c*x^n])/(6*a) + d*x*ArcCoth[a*x]*Log[c*x^n] + (1/3)*e*x^3*ArcCoth[a*x]*Log[c*x^n] - (d*n*Log[1 - a^2*x^2])/(2*a) - (e*n*Log[1 - a^2*x^2])/(18*a^3) + ((3*a^2*d + e)*Log[c*x^n]*Log[1 - a^2*x^2])/(6*a^3) + ((3*a^2*d + e)*n*PolyLog[2, a^2*x^2])/(12*a^3)}
+
+
+{(d + e*x^2)*ArcSin[a*x]^2*Log[c*x^n], x, 21, 2*d*n*x + (2*e*n*x)/(27*a^2) + (4/9)*(9*d + (2*e)/a^2)*n*x + (2/27)*e*n*x^3 - (2*d*n*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/a - (4*e*n*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(27*a^3) - (2*(9*a^2*d + 2*e)*n*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(9*a^3) - (2*e*n*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(27*a) + (2*e*n*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcSin[a*x])/(27*a^3) - d*n*x*ArcSin[a*x]^2 - (1/9)*e*n*x^3*ArcSin[a*x]^2 + (4*(9*a^2*d + 2*e)*n*ArcSin[a*x]*ArcTanh[E^(I*ArcSin[a*x])])/(9*a^3) - 2*d*x*Log[c*x^n] - (4*e*x*Log[c*x^n])/(9*a^2) - (2/27)*e*x^3*Log[c*x^n] + (2*d*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]*Log[c*x^n])/a + (4*e*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]*Log[c*x^n])/(9*a^3) + (2*e*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]*Log[c*x^n])/(9*a) + d*x*ArcSin[a*x]^2*Log[c*x^n] + (1/3)*e*x^3*ArcSin[a*x]^2*Log[c*x^n] - (2*I*(9*a^2*d + 2*e)*n*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[a*x])])/(9*a^3) + (2*I*(9*a^2*d + 2*e)*n*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a*x])])/(9*a^3)}
+{(d + e*x^2)*ArcCos[a*x]^2*Log[c*x^n], x, 21, 2*d*n*x + (2*e*n*x)/(27*a^2) + (4/9)*(9*d + (2*e)/a^2)*n*x + (2/27)*e*n*x^3 + (2*d*n*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/a + (4*e*n*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(27*a^3) + (2*(9*a^2*d + 2*e)*n*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(9*a^3) + (2*e*n*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(27*a) - (2*e*n*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcCos[a*x])/(27*a^3) - d*n*x*ArcCos[a*x]^2 - (1/9)*e*n*x^3*ArcCos[a*x]^2 + (4*I*(9*a^2*d + 2*e)*n*ArcCos[a*x]*ArcTan[E^(I*ArcCos[a*x])])/(9*a^3) - 2*d*x*Log[c*x^n] - (4*e*x*Log[c*x^n])/(9*a^2) - (2/27)*e*x^3*Log[c*x^n] - (2*d*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]*Log[c*x^n])/a - (4*e*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]*Log[c*x^n])/(9*a^3) - (2*e*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]*Log[c*x^n])/(9*a) + d*x*ArcCos[a*x]^2*Log[c*x^n] + (1/3)*e*x^3*ArcCos[a*x]^2*Log[c*x^n] - (2*I*(9*a^2*d + 2*e)*n*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcCos[a*x])])/(9*a^3) + (2*I*(9*a^2*d + 2*e)*n*PolyLog[2, I*E^(I*ArcCos[a*x])])/(9*a^3)}
+
+{(d + e*x^2)*ArcSinh[a*x]^2*Log[c*x^n], x, 21, -2*d*n*x + (2*e*n*x)/(27*a^2) - (4/9)*(9*d - (2*e)/a^2)*n*x - (2/27)*e*n*x^3 + (2*d*n*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/a + (2*(9*a^2*d - 2*e)*n*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(9*a^3) - (4*e*n*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(27*a^3) + (2*e*n*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(27*a) + (2*e*n*(1 + a^2*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a*x])/(27*a^3) - d*n*x*ArcSinh[a*x]^2 - (1/9)*e*n*x^3*ArcSinh[a*x]^2 - (4*(9*a^2*d - 2*e)*n*ArcSinh[a*x]*ArcTanh[E^ArcSinh[a*x]])/(9*a^3) + 2*d*x*Log[c*x^n] - (4*e*x*Log[c*x^n])/(9*a^2) + (2/27)*e*x^3*Log[c*x^n] - (2*d*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]*Log[c*x^n])/a + (4*e*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]*Log[c*x^n])/(9*a^3) - (2*e*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]*Log[c*x^n])/(9*a) + d*x*ArcSinh[a*x]^2*Log[c*x^n] + (1/3)*e*x^3*ArcSinh[a*x]^2*Log[c*x^n] - (2*(9*a^2*d - 2*e)*n*PolyLog[2, -E^ArcSinh[a*x]])/(9*a^3) + (2*(9*a^2*d - 2*e)*n*PolyLog[2, E^ArcSinh[a*x]])/(9*a^3)}
+{(d + e*x^2)*ArcCosh[a*x]^2*Log[c*x^n], x, 22, -2*d*n*x - (2*e*n*x)/(27*a^2) - (4/9)*(9*d + (2*e)/a^2)*n*x - (2/27)*e*n*x^3 + (2*d*n*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/a + (4*e*n*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(27*a^3) + (2*(9*a^2*d + 2*e)*n*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(9*a^3) + (2*e*n*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(27*a) + (2*e*n*(-1 + a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)*ArcCosh[a*x])/(27*a^3) - d*n*x*ArcCosh[a*x]^2 - (1/9)*e*n*x^3*ArcCosh[a*x]^2 - (4*(9*a^2*d + 2*e)*n*ArcCosh[a*x]*ArcTan[E^ArcCosh[a*x]])/(9*a^3) + 2*d*x*Log[c*x^n] + (4*e*x*Log[c*x^n])/(9*a^2) + (2/27)*e*x^3*Log[c*x^n] - (2*d*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*Log[c*x^n])/a - (4*e*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*Log[c*x^n])/(9*a^3) - (2*e*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*Log[c*x^n])/(9*a) + d*x*ArcCosh[a*x]^2*Log[c*x^n] + (1/3)*e*x^3*ArcCosh[a*x]^2*Log[c*x^n] + (2*I*(9*a^2*d + 2*e)*n*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[a*x]])/(9*a^3) - (2*I*(9*a^2*d + 2*e)*n*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[a*x]])/(9*a^3)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m PolyLog[k, e x^q] (a+b Log[c x^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form PolyLog[k, e x^q] (a+b Log[c x^n])^p / x*)
+
+
+{PolyLog[k, e*x^q]*(a + b*Log[c*x^n])^p/x, x, 0, Unintegrable[((a + b*Log[c*x^n])^p*PolyLog[k, e*x^q])/x, x]}
+
+
+{PolyLog[k, e*x^q]*(a + b*Log[c*x^n])^3/x, x, 4, ((a + b*Log[c*x^n])^3*PolyLog[1 + k, e*x^q])/q - (3*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[2 + k, e*x^q])/q^2 + (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3 + k, e*x^q])/q^3 - (6*b^3*n^3*PolyLog[4 + k, e*x^q])/q^4}
+{PolyLog[k, e*x^q]*(a + b*Log[c*x^n])^2/x, x, 3, ((a + b*Log[c*x^n])^2*PolyLog[1 + k, e*x^q])/q - (2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2 + k, e*x^q])/q^2 + (2*b^2*n^2*PolyLog[3 + k, e*x^q])/q^3}
+{PolyLog[k, e*x^q]*(a + b*Log[c*x^n])^1/x, x, 2, ((a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[1 + k, e*x^q])/q - (b*n*PolyLog[2 + k, e*x^q])/q^2}
+{PolyLog[k, e*x^q]/(x*(a + b*Log[c*x^n])^1), x, 0, Unintegrable[PolyLog[k, e*x^q]/(x*(a + b*Log[c*x^n])), x]}
+{PolyLog[k, e*x^q]/(x*(a + b*Log[c*x^n])^2), x, 1, -(PolyLog[k, e*x^q]/(b*n*(a + b*Log[c*x^n]))) + (q*Unintegrable[PolyLog[-1 + k, e*x^q]/(x*(a + b*Log[c*x^n])), x])/(b*n)}
+{PolyLog[k, e*x^q]/(x*(a + b*Log[c*x^n])^3), x, 2, -((q*PolyLog[-1 + k, e*x^q])/(2*b^2*n^2*(a + b*Log[c*x^n]))) - PolyLog[k, e*x^q]/(2*b*n*(a + b*Log[c*x^n])^2) + (q^2*Unintegrable[PolyLog[-2 + k, e*x^q]/(x*(a + b*Log[c*x^n])), x])/(2*b^2*n^2)}
+
+
+{(Log[x]*PolyLog[n, a*x])/x, x, 2, Log[x]*PolyLog[1 + n, a*x] - PolyLog[2 + n, a*x]}
+{(Log[x]^2*PolyLog[n, a*x])/x, x, 3, Log[x]^2*PolyLog[1 + n, a*x] - 2*Log[x]*PolyLog[2 + n, a*x] + 2*PolyLog[3 + n, a*x]}
+
+
+{q*PolyLog[k - 1, e*x^q]/(b*n*x*(a + b*Log[c*x^n])) - PolyLog[k, e*x^q]/(x*(a + b*Log[c*x^n])^2), x, 2, PolyLog[k, e*x^q]/(b*n*(a + b*Log[c*x^n]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m PolyLog[k, e x^q] (a+b Log[c x^n])*)
+
+
+{x^2*PolyLog[2, e*x]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 10, (5*b*n*x)/(27*e^2) + (7*b*n*x^2)/(108*e) + (1/27)*b*n*x^3 - (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(9*e^2) - (x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(18*e) - (1/27)*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) + (2*b*n*Log[1 - e*x])/(27*e^3) - (2/27)*b*n*x^3*Log[1 - e*x] - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x])/(9*e^3) + (1/9)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x] - (b*n*PolyLog[2, e*x])/(9*e^3) - (1/9)*b*n*x^3*PolyLog[2, e*x] + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, e*x]}
+{x^1*PolyLog[2, e*x]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 10, (b*n*x)/(2*e) + (3/16)*b*n*x^2 - (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*e) - (1/8)*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) + (b*n*Log[1 - e*x])/(4*e^2) - (1/4)*b*n*x^2*Log[1 - e*x] - ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x])/(4*e^2) + (1/4)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x] - (b*n*PolyLog[2, e*x])/(4*e^2) - (1/4)*b*n*x^2*PolyLog[2, e*x] + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, e*x]}
+{x^0*PolyLog[2, e*x]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 10, 3*b*n*x - x*(a + b*Log[c*x^n]) + (2*b*n*(1 - e*x)*Log[1 - e*x])/e - ((1 - e*x)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x])/e - (b*n*PolyLog[2, e*x])/e - b*n*x*PolyLog[2, e*x] + x*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, e*x]}
+{PolyLog[2, e*x]*(a + b*Log[c*x^n])/x^1, x, 2, (a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, e*x] - b*n*PolyLog[4, e*x]}
+{PolyLog[2, e*x]*(a + b*Log[c*x^n])/x^2, x, 13, 2*b*e*n*Log[x] - (1/2)*b*e*n*Log[x]^2 + e*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]) - 2*b*e*n*Log[1 - e*x] + (2*b*n*Log[1 - e*x])/x - e*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x] + ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x])/x - b*e*n*PolyLog[2, e*x] - (b*n*PolyLog[2, e*x])/x - ((a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, e*x])/x}
+{PolyLog[2, e*x]*(a + b*Log[c*x^n])/x^3, x, 11, -((b*e*n)/(2*x)) + (1/4)*b*e^2*n*Log[x] - (1/8)*b*e^2*n*Log[x]^2 - (e*(a + b*Log[c*x^n]))/(4*x) + (1/4)*e^2*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]) - (1/4)*b*e^2*n*Log[1 - e*x] + (b*n*Log[1 - e*x])/(4*x^2) - (1/4)*e^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x] + ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x])/(4*x^2) - (1/4)*b*e^2*n*PolyLog[2, e*x] - (b*n*PolyLog[2, e*x])/(4*x^2) - ((a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, e*x])/(2*x^2)}
+
+
+{x^2*PolyLog[3, e*x]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 15, -((2*b*n*x)/(27*e^2)) - (b*n*x^2)/(36*e) - (4/243)*b*n*x^3 + (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(27*e^2) + (x^2*(a + b*Log[c*x^n]))/(54*e) + (1/81)*x^3*(a + b*Log[c*x^n]) - (b*n*Log[1 - e*x])/(27*e^3) + (1/27)*b*n*x^3*Log[1 - e*x] + ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x])/(27*e^3) - (1/27)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x] + (b*n*PolyLog[2, e*x])/(27*e^3) + (2/27)*b*n*x^3*PolyLog[2, e*x] - (1/9)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, e*x] - (1/9)*b*n*x^3*PolyLog[3, e*x] + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, e*x]}
+{x^1*PolyLog[3, e*x]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 15, -((5*b*n*x)/(16*e)) - (1/8)*b*n*x^2 + (x*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*e) + (1/16)*x^2*(a + b*Log[c*x^n]) - (3*b*n*Log[1 - e*x])/(16*e^2) + (3/16)*b*n*x^2*Log[1 - e*x] + ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x])/(8*e^2) - (1/8)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x] + (b*n*PolyLog[2, e*x])/(8*e^2) + (1/4)*b*n*x^2*PolyLog[2, e*x] - (1/4)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, e*x] - (1/4)*b*n*x^2*PolyLog[3, e*x] + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, e*x]}
+{x^0*PolyLog[3, e*x]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 14, -4*b*n*x + x*(a + b*Log[c*x^n]) - (3*b*n*(1 - e*x)*Log[1 - e*x])/e + ((1 - e*x)*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x])/e + (b*n*PolyLog[2, e*x])/e + 2*b*n*x*PolyLog[2, e*x] - x*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, e*x] - b*n*x*PolyLog[3, e*x] + x*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, e*x]}
+{PolyLog[3, e*x]*(a + b*Log[c*x^n])/x^1, x, 2, (a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[4, e*x] - b*n*PolyLog[5, e*x]}
+{PolyLog[3, e*x]*(a + b*Log[c*x^n])/x^2, x, 19, 3*b*e*n*Log[x] - (1/2)*b*e*n*Log[x]^2 + e*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]) - 3*b*e*n*Log[1 - e*x] + (3*b*n*Log[1 - e*x])/x - e*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x] + ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x])/x - b*e*n*PolyLog[2, e*x] - (2*b*n*PolyLog[2, e*x])/x - ((a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, e*x])/x - (b*n*PolyLog[3, e*x])/x - ((a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, e*x])/x}
+{PolyLog[3, e*x]*(a + b*Log[c*x^n])/x^3, x, 16, -((5*b*e*n)/(16*x)) + (3/16)*b*e^2*n*Log[x] - (1/16)*b*e^2*n*Log[x]^2 - (e*(a + b*Log[c*x^n]))/(8*x) + (1/8)*e^2*Log[x]*(a + b*Log[c*x^n]) - (3/16)*b*e^2*n*Log[1 - e*x] + (3*b*n*Log[1 - e*x])/(16*x^2) - (1/8)*e^2*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x] + ((a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x])/(8*x^2) - (1/8)*b*e^2*n*PolyLog[2, e*x] - (b*n*PolyLog[2, e*x])/(4*x^2) - ((a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, e*x])/(4*x^2) - (b*n*PolyLog[3, e*x])/(4*x^2) - ((a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, e*x])/(2*x^2)}
+
+
+{(d*x)^m*PolyLog[1, e*x^q]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 0, -Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x^q], x]}
+{(d*x)^m*PolyLog[2, e*x^q]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 4, -((b*e*n*q^2*x^(1 + q)*(d*x)^m*Hypergeometric2F1[1, (1 + m + q)/q, (1 + m + 2*q)/q, e*x^q])/((1 + m)^3*(1 + m + q))) - (b*n*q*(d*x)^(1 + m)*Log[1 - e*x^q])/(d*(1 + m)^3) - (b*n*(d*x)^(1 + m)*PolyLog[2, e*x^q])/(d*(1 + m)^2) + ((d*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, e*x^q])/(d*(1 + m)) + (q*Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x^q], x])/(1 + m)}
+{(d*x)^m*PolyLog[3, e*x^q]*(a + b*Log[c*x^n]), x, 9, (2*b*e*n*q^3*x^(1 + q)*(d*x)^m*Hypergeometric2F1[1, (1 + m + q)/q, (1 + m + 2*q)/q, e*x^q])/((1 + m)^4*(1 + m + q)) + (2*b*n*q^2*(d*x)^(1 + m)*Log[1 - e*x^q])/(d*(1 + m)^4) + (2*b*n*q*(d*x)^(1 + m)*PolyLog[2, e*x^q])/(d*(1 + m)^3) - (q*(d*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[2, e*x^q])/(d*(1 + m)^2) - (b*n*(d*x)^(1 + m)*PolyLog[3, e*x^q])/(d*(1 + m)^2) + ((d*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*x^n])*PolyLog[3, e*x^q])/(d*(1 + m)) - (q^2*Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])*Log[1 - e*x^q], x])/(1 + m)^2}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b Log[c (d x^m)^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^q (a+b Log[c (d x^m)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q (a+b Log[c (d x^m)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Log[c*(b*x^n)^p]*x^2, x, 2, (-(1/9))*n*p*x^3 + (1/3)*x^3*Log[c*(b*x^n)^p]}
+{Log[c*(b*x^n)^p]*x^1, x, 2, (-(1/4))*n*p*x^2 + (1/2)*x^2*Log[c*(b*x^n)^p]}
+{Log[c*(b*x^n)^p]*x^0, x, 2, (-n)*p*x + x*Log[c*(b*x^n)^p]}
+{Log[c*(b*x^n)^p]/x^1, x, 2, Log[c*(b*x^n)^p]^2/(2*n*p)}
+{Log[c*(b*x^n)^p]/x^2, x, 2, -((n*p)/x) - Log[c*(b*x^n)^p]/x}
+{Log[c*(b*x^n)^p]/x^3, x, 2, -((n*p)/(4*x^2)) - Log[c*(b*x^n)^p]/(2*x^2)}
+{Log[c*(b*x^n)^p]/x^4, x, 2, -((n*p)/(9*x^3)) - Log[c*(b*x^n)^p]/(3*x^3)}
+
+
+{Log[c*(b*x^n)^p]^2*x^2, x, 3, (2/27)*n^2*p^2*x^3 - (2/9)*n*p*x^3*Log[c*(b*x^n)^p] + (1/3)*x^3*Log[c*(b*x^n)^p]^2}
+{Log[c*(b*x^n)^p]^2*x^1, x, 3, (1/4)*n^2*p^2*x^2 - (1/2)*n*p*x^2*Log[c*(b*x^n)^p] + (1/2)*x^2*Log[c*(b*x^n)^p]^2}
+{Log[c*(b*x^n)^p]^2*x^0, x, 3, 2*n^2*p^2*x - 2*n*p*x*Log[c*(b*x^n)^p] + x*Log[c*(b*x^n)^p]^2}
+{Log[c*(b*x^n)^p]^2/x^1, x, 3, Log[c*(b*x^n)^p]^3/(3*n*p)}
+{Log[c*(b*x^n)^p]^2/x^2, x, 3, -((2*n^2*p^2)/x) - (2*n*p*Log[c*(b*x^n)^p])/x - Log[c*(b*x^n)^p]^2/x}
+{Log[c*(b*x^n)^p]^2/x^3, x, 3, -((n^2*p^2)/(4*x^2)) - (n*p*Log[c*(b*x^n)^p])/(2*x^2) - Log[c*(b*x^n)^p]^2/(2*x^2)}
+{Log[c*(b*x^n)^p]^2/x^4, x, 3, -((2*n^2*p^2)/(27*x^3)) - (2*n*p*Log[c*(b*x^n)^p])/(9*x^3) - Log[c*(b*x^n)^p]^2/(3*x^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^q (a+b Log[c (d x^m)^n])^p with q symbolic*)
+
+
+{(e*x)^q*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^3, x, 4, -((6*b^3*m^3*n^3*(e*x)^(1 + q))/(e*(1 + q)^4)) + (6*b^2*m^2*n^2*(e*x)^(1 + q)*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n]))/(e*(1 + q)^3) - (3*b*m*n*(e*x)^(1 + q)*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^2)/(e*(1 + q)^2) + ((e*x)^(1 + q)*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^3)/(e*(1 + q))}
+{(e*x)^q*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^2, x, 3, (2*b^2*m^2*n^2*(e*x)^(1 + q))/(e*(1 + q)^3) - (2*b*m*n*(e*x)^(1 + q)*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n]))/(e*(1 + q)^2) + ((e*x)^(1 + q)*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^2)/(e*(1 + q))}
+{(e*x)^q*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^1, x, 2, -((b*m*n*(e*x)^(1 + q))/(e*(1 + q)^2)) + ((e*x)^(1 + q)*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n]))/(e*(1 + q))}
+{(e*x)^q/(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^1, x, 3, ((e*x)^(1 + q)*ExpIntegralEi[((1 + q)*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n]))/(b*m*n)])/(E^((a*(1 + q))/(b*m*n))*(c*(d*x^m)^n)^((1 + q)/(m*n))*(b*e*m*n))}
+{(e*x)^q/(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^2, x, 4, ((1 + q)*(e*x)^(1 + q)*ExpIntegralEi[((1 + q)*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n]))/(b*m*n)])/(E^((a*(1 + q))/(b*m*n))*(c*(d*x^m)^n)^((1 + q)/(m*n))*(b^2*e*m^2*n^2)) - (e*x)^(1 + q)/(b*e*m*n*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^q (a+b Log[c (d x^m)^n])^p with p symbolic*)
+
+
+{(e*x)^q*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^p, x, 3, ((e*x)^(1 + q)*Gamma[1 + p, -(((1 + q)*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n]))/(b*m*n))]*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^p)/(E^((a*(1 + q))/(b*m*n))*(c*(d*x^m)^n)^((1 + q)/(m*n))*(-(((1 + q)*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n]))/(b*m*n)))^p*(e*(1 + q)))}
+
+
+{x^2*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^p, x, 3, (3^(-1 - p)*x^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n]))/(b*m*n))]*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^p)/(E^((3*a)/(b*m*n))*(c*(d*x^m)^n)^(3/(m*n))*(-((a + b*Log[c*(d*x^m)^n])/(b*m*n)))^p)}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^p, x, 3, (2^(-1 - p)*x^2*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n]))/(b*m*n))]*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^p)/(E^((2*a)/(b*m*n))*(c*(d*x^m)^n)^(2/(m*n))*(-((a + b*Log[c*(d*x^m)^n])/(b*m*n)))^p)}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^p, x, 3, (x*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d*x^m)^n])/(b*m*n))]*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^p)/(E^(a/(b*m*n))*(c*(d*x^m)^n)^(1/(m*n))*(-((a + b*Log[c*(d*x^m)^n])/(b*m*n)))^p)}
+{(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^p/x^1, x, 3, (a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^(1 + p)/(b*m*n*(1 + p))}
+{(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^p/x^2, x, 3, -((E^(a/(b*m*n))*(c*(d*x^m)^n)^(1/(m*n))*Gamma[1 + p, (a + b*Log[c*(d*x^m)^n])/(b*m*n)]*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^p)/(((a + b*Log[c*(d*x^m)^n])/(b*m*n))^p*x))}
+{(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^p/x^3, x, 3, -((2^(-1 - p)*E^((2*a)/(b*m*n))*(c*(d*x^m)^n)^(2/(m*n))*Gamma[1 + p, (2*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n]))/(b*m*n)]*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])^p)/(((a + b*Log[c*(d*x^m)^n])/(b*m*n))^p*x^2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x^r)^q (a+b Log[c (d x^m)^n])^p*)
+
+
+{(a + b*Log[c*(d*x^m)^n])/(e + f*x^2), x, 6, (ArcTan[(Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*(d*x^m)^n]))/(Sqrt[e]*Sqrt[f]) - (I*b*m*n*PolyLog[2, -((I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e])])/(2*Sqrt[e]*Sqrt[f]) + (I*b*m*n*PolyLog[2, (I*Sqrt[f]*x)/Sqrt[e]])/(2*Sqrt[e]*Sqrt[f])}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.2.1 (f+g x)^m (A+B log(e ((a+b x) over (c+d x))^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.2.1 (f+g x)^m (A+B log(e ((a+b x) over (c+d x))^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..ecfb8f07
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.2.1 (f+g x)^m (A+B log(e ((a+b x) over (c+d x))^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,584 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e ((a+b x)/(c+d x))^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e ((a+b x)/(c+d x))^n])^p when b f-a g=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e ((a+b x)/(c+d x))^n])^p and b f-a g=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 4, (B*(b*c - a*d)^4*g^4*n*x)/(5*d^4) - (B*(b*c - a*d)^3*g^4*n*(a + b*x)^2)/(10*b*d^3) + (B*(b*c - a*d)^2*g^4*n*(a + b*x)^3)/(15*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^4*n*(a + b*x)^4)/(20*b*d) + (g^4*(a + b*x)^5*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(5*b) - (B*(b*c - a*d)^5*g^4*n*Log[c + d*x])/(5*b*d^5)}
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 4, -(B*(b*c - a*d)^3*g^3*n*x)/(4*d^3) + (B*(b*c - a*d)^2*g^3*n*(a + b*x)^2)/(8*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^3*n*(a + b*x)^3)/(12*b*d) + (g^3*(a + b*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(4*b) + (B*(b*c - a*d)^4*g^3*n*Log[c + d*x])/(4*b*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 4, (B*(b*c - a*d)^2*g^2*n*x)/(3*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^2*n*(a + b*x)^2)/(6*b*d) + (g^2*(a + b*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*b) - (B*(b*c - a*d)^3*g^2*n*Log[c + d*x])/(3*b*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 4, -(B*(b*c - a*d)*g*n*x)/(2*d) + (g*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*b) + (B*(b*c - a*d)^2*g*n*Log[c + d*x])/(2*b*d^2)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^1, x, 5, -((Log[-((b*c - a*d)/(d*(a + b*x)))]*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b*g)) + (B*n*PolyLog[2, 1 + (b*c - a*d)/(d*(a + b*x))])/(b*g)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^2, x, 2, -((B*n)/(b*g^2*(a + b*x))) - ((c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)), -((B*n*(c + d*x))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))) - ((c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^3, x, 4, -(B*n)/(4*b*g^3*(a + b*x)^2) + (B*d*n)/(2*b*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)) + (B*d^2*n*Log[a + b*x])/(2*b*(b*c - a*d)^2*g^3) - (A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(2*b*g^3*(a + b*x)^2) - (B*d^2*n*Log[c + d*x])/(2*b*(b*c - a*d)^2*g^3)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^4, x, 4, -(B*n)/(9*b*g^4*(a + b*x)^3) + (B*d*n)/(6*b*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^2) - (B*d^2*n)/(3*b*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)) - (B*d^3*n*Log[a + b*x])/(3*b*(b*c - a*d)^3*g^4) - (A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(3*b*g^4*(a + b*x)^3) + (B*d^3*n*Log[c + d*x])/(3*b*(b*c - a*d)^3*g^4)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^5, x, 4, -(B*n)/(16*b*g^5*(a + b*x)^4) + (B*d*n)/(12*b*(b*c - a*d)*g^5*(a + b*x)^3) - (B*d^2*n)/(8*b*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^2) + (B*d^3*n)/(4*b*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)) + (B*d^4*n*Log[a + b*x])/(4*b*(b*c - a*d)^4*g^5) - (A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(4*b*g^5*(a + b*x)^4) - (B*d^4*n*Log[c + d*x])/(4*b*(b*c - a*d)^4*g^5)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 8, -((B*(b*c - a*d)*g^4*n*(a + b*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(10*b*d)) + (g^4*(a + b*x)^5*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(5*b) + (B*(b*c - a*d)^2*g^4*n*(a + b*x)^3*(4*A + B*n + 4*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(30*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)^3*g^4*n*(a + b*x)^2*(12*A + 7*B*n + 12*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(60*b*d^3) + (B*(b*c - a*d)^4*g^4*n*(a + b*x)*(12*A + 13*B*n + 12*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(30*b*d^4) + (B*(b*c - a*d)^5*g^4*n*(12*A + 25*B*n + 12*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(30*b*d^5) + (2*B^2*(b*c - a*d)^5*g^4*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(5*b*d^5)}
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 7, -((B*(b*c - a*d)*g^3*n*(a + b*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(6*b*d)) + (g^3*(a + b*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(4*b) + (B*(b*c - a*d)^2*g^3*n*(a + b*x)^2*(3*A + B*n + 3*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(12*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)^3*g^3*n*(a + b*x)*(6*A + 5*B*n + 6*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(12*b*d^3) - (B*(b*c - a*d)^4*g^3*n*(6*A + 11*B*n + 6*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(12*b*d^4) - (B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(2*b*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 6, -((B*(b*c - a*d)*g^2*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*b*d)) + (g^2*(a + b*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*b) + (B*(b*c - a*d)^2*g^2*n*(a + b*x)*(2*A + B*n + 2*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*b*d^2) + (B*(b*c - a*d)^3*g^2*n*(2*A + 3*B*n + 2*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(3*b*d^3) + (2*B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(3*b*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 5, -((B*(b*c - a*d)*g*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b*d)) + (g*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*b) - (B*(b*c - a*d)^2*g*n*(A + B*n + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(b*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^2*g*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d^2)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^1, x, 4, -(((A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b*g)) + (2*B*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b*g) + (2*B^2*n^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b*g)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^2, x, 3, (-2*B^2*n^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)) - (2*B*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)) - ((c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^3, x, 7, (2*B^2*d*n^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)) - (b*B^2*n^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2) + (2*B*d*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)) - (b*B*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2) + (d*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)) - (b*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^4, x, 9, (-2*B^2*d^2*n^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)) + (b*B^2*d*n^2*(c + d*x)^2)/(2*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2) - (2*b^2*B^2*n^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^3) - (2*B*d^2*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)) + (b*B*d*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2) - (2*b^2*B*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(9*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^3) - (d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)) + (b*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2) - (b^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^3)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^5, x, 11, (2*B^2*d^3*n^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)) - (3*b*B^2*d^2*n^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^2) + (2*b^2*B^2*d*n^2*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^3) - (b^3*B^2*n^2*(c + d*x)^4)/(32*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^4) + (2*B*d^3*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)) - (3*b*B*d^2*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^2) + (2*b^2*B*d*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^3) - (b^3*B*n*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(8*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^4) + (d^3*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)) - (3*b*d^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^2) + (b^2*d*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^3) - (b^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x]}
+{(a*g + b*g*x)^1/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])), x, 0, Unintegrable[1/((a*g + b*g*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])), x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])), x, 3, (E^(A/(B*n))*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^n^(-1)*(c + d*x)*ExpIntegralEi[-((A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(B*n))])/(B*(b*c - a*d)*g^2*n*(a + b*x))}
+{1/((a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])), x, 7, (b*E^((2*A)/(B*n))*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^(2/n)*(c + d*x)^2*ExpIntegralEi[(-2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(B*n)])/(B*(b*c - a*d)^2*g^3*n*(a + b*x)^2) - (d*E^(A/(B*n))*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^n^(-1)*(c + d*x)*ExpIntegralEi[-((A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(B*n))])/(B*(b*c - a*d)^2*g^3*n*(a + b*x))}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x]}
+{(a*g + b*g*x)^1/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2), x, 0, Unintegrable[1/((a*g + b*g*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2), x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2), x, 4, -((E^(A/(B*n))*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^n^(-1)*(c + d*x)*ExpIntegralEi[-((A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(B*n))])/(B^2*(b*c - a*d)*g^2*n^2*(a + b*x))) - (c + d*x)/(B*(b*c - a*d)*g^2*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))}
+{1/((a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2), x, 9, (-2*b*E^((2*A)/(B*n))*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^(2/n)*(c + d*x)^2*ExpIntegralEi[(-2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(B*n)])/(B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*n^2*(a + b*x)^2) + (d*E^(A/(B*n))*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^n^(-1)*(c + d*x)*ExpIntegralEi[-((A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(B*n))])/(B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*n^2*(a + b*x)) + (d*(c + d*x))/(B*(b*c - a*d)^2*g^3*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])) - (b*(c + d*x)^2)/(B*(b*c - a*d)^2*g^3*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e ((a+b x)/(c+d x))^n])^p when d f-c g=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e ((a+b x)/(c+d x))^n])^p and d f-c g=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(c*g + d*g*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 4, -((B*(b*c - a*d)^4*g^4*n*x)/(5*b^4)) - (B*(b*c - a*d)^3*g^4*n*(c + d*x)^2)/(10*b^3*d) - (B*(b*c - a*d)^2*g^4*n*(c + d*x)^3)/(15*b^2*d) - (B*(b*c - a*d)*g^4*n*(c + d*x)^4)/(20*b*d) - (B*(b*c - a*d)^5*g^4*n*Log[a + b*x])/(5*b^5*d) + (g^4*(c + d*x)^5*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(5*d)}
+{(c*g + d*g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 4, -((B*(b*c - a*d)^3*g^3*n*x)/(4*b^3)) - (B*(b*c - a*d)^2*g^3*n*(c + d*x)^2)/(8*b^2*d) - (B*(b*c - a*d)*g^3*n*(c + d*x)^3)/(12*b*d) - (B*(b*c - a*d)^4*g^3*n*Log[a + b*x])/(4*b^4*d) + (g^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(4*d)}
+{(c*g + d*g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 4, -((B*(b*c - a*d)^2*g^2*n*x)/(3*b^2)) - (B*(b*c - a*d)*g^2*n*(c + d*x)^2)/(6*b*d) - (B*(b*c - a*d)^3*g^2*n*Log[a + b*x])/(3*b^3*d) + (g^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*d)}
+{(c*g + d*g*x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 4, -((B*(b*c - a*d)*g*n*x)/(2*b)) - (B*(b*c - a*d)^2*g*n*Log[a + b*x])/(2*b^2*d) + (g*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*d)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(c*g + d*g*x)^1, x, 5, -(((A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d*g)) - (B*n*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d*g)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(c*g + d*g*x)^2, x, 3, (A*(a + b*x))/((b*c - a*d)*g^2*(c + d*x)) - (B*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)*g^2*(c + d*x)) + (B*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((b*c - a*d)*g^2*(c + d*x))}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(c*g + d*g*x)^3, x, 4, (B*n)/(4*d*g^3*(c + d*x)^2) + (b*B*n)/(2*d*(b*c - a*d)*g^3*(c + d*x)) + (b^2*B*n*Log[a + b*x])/(2*d*(b*c - a*d)^2*g^3) - (A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(2*d*g^3*(c + d*x)^2) - (b^2*B*n*Log[c + d*x])/(2*d*(b*c - a*d)^2*g^3)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(c*g + d*g*x)^4, x, 4, (B*n)/(9*d*g^4*(c + d*x)^3) + (b*B*n)/(6*d*(b*c - a*d)*g^4*(c + d*x)^2) + (b^2*B*n)/(3*d*(b*c - a*d)^2*g^4*(c + d*x)) + (b^3*B*n*Log[a + b*x])/(3*d*(b*c - a*d)^3*g^4) - (A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(3*d*g^4*(c + d*x)^3) - (b^3*B*n*Log[c + d*x])/(3*d*(b*c - a*d)^3*g^4)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(c*g + d*g*x)^5, x, 4, (B*n)/(16*d*g^5*(c + d*x)^4) + (b*B*n)/(12*d*(b*c - a*d)*g^5*(c + d*x)^3) + (b^2*B*n)/(8*d*(b*c - a*d)^2*g^5*(c + d*x)^2) + (b^3*B*n)/(4*d*(b*c - a*d)^3*g^5*(c + d*x)) + (b^4*B*n*Log[a + b*x])/(4*d*(b*c - a*d)^4*g^5) - (A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(4*d*g^5*(c + d*x)^4) - (b^4*B*n*Log[c + d*x])/(4*d*(b*c - a*d)^4*g^5)}
+
+
+{(c*g + d*g*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 19, (13*B^2*(b*c - a*d)^4*g^4*n^2*x)/(30*b^4) + (7*B^2*(b*c - a*d)^3*g^4*n^2*(c + d*x)^2)/(60*b^3*d) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^4*n^2*(c + d*x)^3)/(30*b^2*d) - (2*B*(b*c - a*d)^4*g^4*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(5*b^5) - (B*(b*c - a*d)^3*g^4*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(5*b^3*d) - (2*B*(b*c - a*d)^2*g^4*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(15*b^2*d) - (B*(b*c - a*d)*g^4*n*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(10*b*d) + (g^4*(c + d*x)^5*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(5*d) + (13*B^2*(b*c - a*d)^5*g^4*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(30*b^5*d) + (5*B^2*(b*c - a*d)^5*g^4*n^2*Log[c + d*x])/(6*b^5*d) + (2*B*(b*c - a*d)^5*g^4*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(5*b^5*d) - (2*B^2*(b*c - a*d)^5*g^4*n^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(5*b^5*d)}
+{(c*g + d*g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 15, (5*B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*n^2*x)/(12*b^3) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*n^2*(c + d*x)^2)/(12*b^2*d) - (B*(b*c - a*d)^3*g^3*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*b^4) - (B*(b*c - a*d)^2*g^3*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(4*b^2*d) - (B*(b*c - a*d)*g^3*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(6*b*d) + (g^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(4*d) + (5*B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(12*b^4*d) + (11*B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*n^2*Log[c + d*x])/(12*b^4*d) + (B*(b*c - a*d)^4*g^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(2*b^4*d) - (B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*n^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(2*b^4*d)}
+{(c*g + d*g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 11, (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*n^2*x)/(3*b^2) - (2*B*(b*c - a*d)^2*g^2*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*b^3) - (B*(b*c - a*d)*g^2*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*b*d) + (g^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*d) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(3*b^3*d) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*n^2*Log[c + d*x])/(b^3*d) + (2*B*(b*c - a*d)^3*g^2*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(3*b^3*d) - (2*B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*n^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(3*b^3*d)}
+{(c*g + d*g*x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 7, -((B*(b*c - a*d)*g*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/b^2) + (g*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*d) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g*n^2*Log[c + d*x])/(b^2*d) + (B*(b*c - a*d)^2*g*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*d) - (B^2*(b*c - a*d)^2*g*n^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*d)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(c*g + d*g*x)^1, x, 4, -(((A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d*g)) - (2*B*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d*g) + (2*B^2*n^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d*g)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(c*g + d*g*x)^2, x, 4, -((2*A*B*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)*g^2*(c + d*x))) + (2*B^2*n^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)*g^2*(c + d*x)) - (2*B^2*n*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((b*c - a*d)*g^2*(c + d*x)) + ((a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)*g^2*(c + d*x))}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(c*g + d*g*x)^3, x, 8, -((B^2*d*n^2*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^2*g^3*(c + d*x)^2)) - (2*A*b*B*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)^2*g^3*(c + d*x)) + (2*b*B^2*n^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^2*g^3*(c + d*x)) - (2*b*B^2*n*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((b*c - a*d)^2*g^3*(c + d*x)) + (B*d*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^2*g^3*(c + d*x)^2) - (d*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^2*g^3*(c + d*x)^2) + (b*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^2*g^3*(c + d*x))}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(c*g + d*g*x)^4, x, 6, (2*B^2*d^2*n^2*(a + b*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^3*g^4*(c + d*x)^3) - (b*B^2*d*n^2*(a + b*x)^2)/(2*(b*c - a*d)^3*g^4*(c + d*x)^2) + (2*b^2*B^2*n^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^3*g^4*(c + d*x)) - (2*B*d^2*n*(a + b*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(9*(b*c - a*d)^3*g^4*(c + d*x)^3) + (b*B*d*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^3*g^4*(c + d*x)^2) - (2*b^2*B*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^3*g^4*(c + d*x)) - (A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(3*d*g^4*(c + d*x)^3) + (2*b^3*B*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(3*d*(b*c - a*d)^3*g^4) - (b^3*B^2*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/(3*d*(b*c - a*d)^3*g^4)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(c*g + d*g*x)^5, x, 5, -((B^2*d^3*n^2*(a + b*x)^4)/(32*(b*c - a*d)^4*g^5*(c + d*x)^4)) + (2*b*B^2*d^2*n^2*(a + b*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^4*g^5*(c + d*x)^3) - (3*b^2*B^2*d*n^2*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^5*(c + d*x)^2) + (2*b^3*B^2*n^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^4*g^5*(c + d*x)) + (B*d^3*n*(a + b*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(8*(b*c - a*d)^4*g^5*(c + d*x)^4) - (2*b*B*d^2*n*(a + b*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*(b*c - a*d)^4*g^5*(c + d*x)^3) + (3*b^2*B*d*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^4*g^5*(c + d*x)^2) - (2*b^3*B*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^4*g^5*(c + d*x)) - (A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(4*d*g^5*(c + d*x)^4) + (b^4*B*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(2*d*(b*c - a*d)^4*g^5) - (b^4*B^2*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/(4*d*(b*c - a*d)^4*g^5)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(c*g + d*g*x)^2/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 0, Unintegrable[(c*g + d*g*x)^2/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x]}
+{(c*g + d*g*x)^1/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 0, Unintegrable[(c*g + d*g*x)/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x]}
+{1/((c*g + d*g*x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])), x, 0, Unintegrable[1/((c*g + d*g*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])), x]}
+{1/((c*g + d*g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])), x, 3, ((a + b*x)*ExpIntegralEi[(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(B*n)])/(E^(A/(B*n))*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^n^(-1)*(B*(b*c - a*d)*g^2*n*(c + d*x)))}
+{1/((c*g + d*g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])), x, 7, (b*(a + b*x)*ExpIntegralEi[(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(B*n)])/(E^(A/(B*n))*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^n^(-1)*(B*(b*c - a*d)^2*g^3*n*(c + d*x))) - (d*(a + b*x)^2*ExpIntegralEi[(2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(B*n)])/(E^((2*A)/(B*n))*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^(2/n)*(B*(b*c - a*d)^2*g^3*n*(c + d*x)^2))}
+
+
+{(c*g + d*g*x)^2/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 0, Unintegrable[(c*g + d*g*x)^2/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x]}
+{(c*g + d*g*x)^1/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 0, Unintegrable[(c*g + d*g*x)/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x]}
+{1/((c*g + d*g*x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c*g + d*g*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2), x]}
+{1/((c*g + d*g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2), x, 4, ((a + b*x)*ExpIntegralEi[(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(B*n)])/(E^(A/(B*n))*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^n^(-1)*(B^2*(b*c - a*d)*g^2*n^2*(c + d*x))) - (a + b*x)/(B*(b*c - a*d)*g^2*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))}
+{1/((c*g + d*g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2), x, 10, (b*(a + b*x)*ExpIntegralEi[(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(B*n)])/(E^(A/(B*n))*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^n^(-1)*(B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*n^2*(c + d*x))) - (2*d*(a + b*x)^2*ExpIntegralEi[(2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(B*n)])/(E^((2*A)/(B*n))*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^(2/n)*(B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*n^2*(c + d*x)^2)) - (a + b*x)/(B*(b*c - a*d)*g^3*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e ((a+b x)/(c+d x))^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e ((a+b x)/(c+d x))^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(f + g*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 3, (B*(b*c - a*d)*g*(a^3*d^3*g^3 - a^2*b*d^2*g^2*(5*d*f - c*g) + a*b^2*d*g*(10*d^2*f^2 - 5*c*d*f*g + c^2*g^2) - b^3*(10*d^3*f^3 - 10*c*d^2*f^2*g + 5*c^2*d*f*g^2 - c^3*g^3))*n*x)/(5*b^4*d^4) - (B*(b*c - a*d)*g^2*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(5*d*f - c*g) + b^2*(10*d^2*f^2 - 5*c*d*f*g + c^2*g^2))*n*x^2)/(10*b^3*d^3) - (B*(b*c - a*d)*g^3*(5*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*n*x^3)/(15*b^2*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^4*n*x^4)/(20*b*d) - (B*(b*f - a*g)^5*n*Log[a + b*x])/(5*b^5*g) + ((f + g*x)^5*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(5*g) + (B*(d*f - c*g)^5*n*Log[c + d*x])/(5*d^5*g)}
+{(f + g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 3, -(B*(b*c - a*d)*g*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(4*d*f - c*g) + b^2*(6*d^2*f^2 - 4*c*d*f*g + c^2*g^2))*n*x)/(4*b^3*d^3) - (B*(b*c - a*d)*g^2*(4*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*n*x^2)/(8*b^2*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^3*n*x^3)/(12*b*d) - (B*(b*f - a*g)^4*n*Log[a + b*x])/(4*b^4*g) + ((f + g*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(4*g) + (B*(d*f - c*g)^4*n*Log[c + d*x])/(4*d^4*g)}
+{(f + g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 3, -(B*(b*c - a*d)*g*(3*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*n*x)/(3*b^2*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^2*n*x^2)/(6*b*d) - (B*(b*f - a*g)^3*n*Log[a + b*x])/(3*b^3*g) + ((f + g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*g) + (B*(d*f - c*g)^3*n*Log[c + d*x])/(3*d^3*g)}
+{(f + g*x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 3, -(B*(b*c - a*d)*g*n*x)/(2*b*d) - (B*(b*f - a*g)^2*n*Log[a + b*x])/(2*b^2*g) + ((f + g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*g) + (B*(d*f - c*g)^2*n*Log[c + d*x])/(2*d^2*g)}
+{(f + g*x)^0*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 3, A*x + (B*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/b - (B*(b*c - a*d)*n*Log[c + d*x])/(b*d)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(f + g*x)^1, x, 7, -((B*n*Log[-((g*(a + b*x))/(b*f - a*g))]*Log[f + g*x])/g) + ((A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[f + g*x])/g + (B*n*Log[-((g*(c + d*x))/(d*f - c*g))]*Log[f + g*x])/g - (B*n*PolyLog[2, (b*(f + g*x))/(b*f - a*g)])/g + (B*n*PolyLog[2, (d*(f + g*x))/(d*f - c*g)])/g}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(f + g*x)^2, x, 3, ((a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*f - a*g)*(f + g*x)) + (B*(b*c - a*d)*n*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/((b*f - a*g)*(d*f - c*g))}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(f + g*x)^3, x, 3, -(B*(b*c - a*d)*n)/(2*(b*f - a*g)*(d*f - c*g)*(f + g*x)) + (b^2*B*n*Log[a + b*x])/(2*g*(b*f - a*g)^2) - (A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(2*g*(f + g*x)^2) - (B*d^2*n*Log[c + d*x])/(2*g*(d*f - c*g)^2) + (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*n*Log[f + g*x])/(2*(b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(f + g*x)^4, x, 3, -(B*(b*c - a*d)*n)/(6*(b*f - a*g)*(d*f - c*g)*(f + g*x)^2) - (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*n)/(3*(b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2*(f + g*x)) + (b^3*B*n*Log[a + b*x])/(3*g*(b*f - a*g)^3) - (A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(3*g*(f + g*x)^3) - (B*d^3*n*Log[c + d*x])/(3*g*(d*f - c*g)^3) + (B*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(3*d*f - c*g) + b^2*(3*d^2*f^2 - 3*c*d*f*g + c^2*g^2))*n*Log[f + g*x])/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(f + g*x)^5, x, 3, -(B*(b*c - a*d)*n)/(12*(b*f - a*g)*(d*f - c*g)*(f + g*x)^3) - (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*n)/(8*(b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2*(f + g*x)^2) - (B*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(3*d*f - c*g) + b^2*(3*d^2*f^2 - 3*c*d*f*g + c^2*g^2))*n)/(4*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3*(f + g*x)) + (b^4*B*n*Log[a + b*x])/(4*g*(b*f - a*g)^4) - (A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(4*g*(f + g*x)^4) - (B*d^4*n*Log[c + d*x])/(4*g*(d*f - c*g)^4) - (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*(2*a*b*d^2*f*g - a^2*d^2*g^2 - b^2*(2*d^2*f^2 - 2*c*d*f*g + c^2*g^2))*n*Log[f + g*x])/(4*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4)}
+
+
+{(f + g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 15, (B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*n^2*x)/(6*b^3*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*(4*b*d*f - 3*b*c*g - a*d*g)*n^2*x)/(4*b^3*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*n^2*(c + d*x)^2)/(12*b^2*d^4) - (B*(b*c - a*d)*g*(a^2*d^2*g^2 - 2*a*b*d*g*(2*d*f - c*g) + b^2*(6*d^2*f^2 - 8*c*d*f*g + 3*c^2*g^2))*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*b^4*d^3) - (B*(b*c - a*d)*g^2*(4*b*d*f - 3*b*c*g - a*d*g)*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(4*b^2*d^4) - (B*(b*c - a*d)*g^3*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(6*b*d^4) - ((b*f - a*g)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(4*b^4*g) + ((f + g*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(4*g) - (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*(2*a*b*d^2*f*g - a^2*d^2*g^2 - b^2*(2*d^2*f^2 - 2*c*d*f*g + c^2*g^2))*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(2*b^4*d^4) + (B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(6*b^4*d^4) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*(4*b*d*f - 3*b*c*g - a*d*g)*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(4*b^4*d^4) + (B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*n^2*Log[c + d*x])/(6*b^4*d^4) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*(4*b*d*f - 3*b*c*g - a*d*g)*n^2*Log[c + d*x])/(4*b^4*d^4) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g*(a^2*d^2*g^2 - 2*a*b*d*g*(2*d*f - c*g) + b^2*(6*d^2*f^2 - 8*c*d*f*g + 3*c^2*g^2))*n^2*Log[c + d*x])/(2*b^4*d^4) - (B^2*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*(2*a*b*d^2*f*g - a^2*d^2*g^2 - b^2*(2*d^2*f^2 - 2*c*d*f*g + c^2*g^2))*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(2*b^4*d^4)}
+{(f + g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 12, (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*n^2*x)/(3*b^2*d^2) - (2*B*(b*c - a*d)*g*(3*b*d*f - 2*b*c*g - a*d*g)*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*b^3*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^2*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*b*d^3) - ((b*f - a*g)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*b^3*g) + ((f + g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*g) + (2*B*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(3*d*f - c*g) + b^2*(3*d^2*f^2 - 3*c*d*f*g + c^2*g^2))*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(3*b^3*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(3*b^3*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*n^2*Log[c + d*x])/(3*b^3*d^3) + (2*B^2*(b*c - a*d)^2*g*(3*b*d*f - 2*b*c*g - a*d*g)*n^2*Log[c + d*x])/(3*b^3*d^3) + (2*B^2*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(3*d*f - c*g) + b^2*(3*d^2*f^2 - 3*c*d*f*g + c^2*g^2))*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(3*b^3*d^3)}
+{(f + g*x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 9, -((B*(b*c - a*d)*g*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^2*d)) - ((b*f - a*g)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*b^2*g) + ((f + g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*g) + (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(b^2*d^2) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g*n^2*Log[c + d*x])/(b^2*d^2) + (B^2*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^2*d^2)}
+{(f + g*x)^0*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 6, ((a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/b + (2*B*(b*c - a*d)*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(b*d) + (2*B^2*(b*c - a*d)*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(f + g*x)^1, x, 9, -(((A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/g) + ((A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[1 - ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/g - (2*B*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/g + (2*B*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/g + (2*B^2*n^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/g - (2*B^2*n^2*PolyLog[3, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/g}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(f + g*x)^2, x, 4, ((a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*f - a*g)*(f + g*x)) + (2*B*(b*c - a*d)*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/((b*f - a*g)*(d*f - c*g)) + (2*B^2*(b*c - a*d)*n^2*PolyLog[2, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/((b*f - a*g)*(d*f - c*g))}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(f + g*x)^3, x, 9, (B*(b*c - a*d)*g*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)*(f + g*x)) + (b^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*g*(b*f - a*g)^2) - (A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(2*g*(f + g*x)^2) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g*n^2*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/((b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2) + (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/((b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2) + (B^2*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*n^2*PolyLog[2, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/((b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(f + g*x)^4, x, 12, (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*n^2*(c + d*x))/(3*(b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^3*(f + g*x)) - (B*(b*c - a*d)*g^2*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*(b*f - a*g)*(d*f - c*g)^3*(f + g*x)^2) + (2*B*(b*c - a*d)*g*(3*b*d*f - b*c*g - 2*a*d*g)*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^2*(f + g*x)) + (b^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*g*(b*f - a*g)^3) - (A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(3*g*(f + g*x)^3) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3) - (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*n^2*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3) + (2*B^2*(b*c - a*d)^2*g*(3*b*d*f - b*c*g - 2*a*d*g)*n^2*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3) + (2*B*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(3*d*f - c*g) + b^2*(3*d^2*f^2 - 3*c*d*f*g + c^2*g^2))*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3) + (2*B^2*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(3*d*f - c*g) + b^2*(3*d^2*f^2 - 3*c*d*f*g + c^2*g^2))*n^2*PolyLog[2, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(f + g*x)^5, x, 15, -((B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*n^2*(c + d*x)^2)/(12*(b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^4*(f + g*x)^2)) - (B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*n^2*(c + d*x))/(6*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^4*(f + g*x)) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*(4*b*d*f - b*c*g - 3*a*d*g)*n^2*(c + d*x))/(4*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^4*(f + g*x)) + (B*(b*c - a*d)*g^3*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(6*(b*f - a*g)*(d*f - c*g)^4*(f + g*x)^3) - (B*(b*c - a*d)*g^2*(4*b*d*f - b*c*g - 3*a*d*g)*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(4*(b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^4*(f + g*x)^2) + (B*(b*c - a*d)*g*(3*a^2*d^2*g^2 - 2*a*b*d*g*(4*d*f - c*g) + b^2*(6*d^2*f^2 - 4*c*d*f*g + c^2*g^2))*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^3*(f + g*x)) + (b^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(4*g*(b*f - a*g)^4) - (A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(4*g*(f + g*x)^4) - (B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(6*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*(4*b*d*f - b*c*g - 3*a*d*g)*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(4*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4) + (B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*n^2*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/(6*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4) - (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*(4*b*d*f - b*c*g - 3*a*d*g)*n^2*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/(4*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g*(3*a^2*d^2*g^2 - 2*a*b*d*g*(4*d*f - c*g) + b^2*(6*d^2*f^2 - 4*c*d*f*g + c^2*g^2))*n^2*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/(2*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4) - (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*(2*a*b*d^2*f*g - a^2*d^2*g^2 - b^2*(2*d^2*f^2 - 2*c*d*f*g + c^2*g^2))*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(2*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4) - (B^2*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*(2*a*b*d^2*f*g - a^2*d^2*g^2 - b^2*(2*d^2*f^2 - 2*c*d*f*g + c^2*g^2))*n^2*PolyLog[2, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(2*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(f + g*x)^2/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 0, Unintegrable[(f + g*x)^2/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x]}
+{(f + g*x)^1/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 0, Unintegrable[(f + g*x)/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x]}
+{(f + g*x)^0/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 0, Unintegrable[(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^(-1), x]}
+{1/((f + g*x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])), x]}
+{1/((f + g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])), x]}
+{1/((f + g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])), x]}
+
+
+{(f + g*x)^2/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 0, Unintegrable[(f + g*x)^2/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x]}
+{(f + g*x)^1/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 0, Unintegrable[(f + g*x)/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x]}
+{(f + g*x)^0/(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 0, Unintegrable[(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^(-2), x]}
+{1/((f + g*x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2), x]}
+{1/((f + g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2), x]}
+{1/((f + g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2), x]}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e (a+b x)^n/(c+d x)^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e (a+b x)^n/(c+d x)^n])^p when b f-a g=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e (a+b x)^1/(c+d x)^1])^p when b f-a g=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]), x, 4, (B*(b*c - a*d)^4*g^4*x)/(5*d^4) - (B*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2)/(10*b*d^3) + (B*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3)/(15*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^4)/(20*b*d) + (g^4*(a + b*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(5*b) - (B*(b*c - a*d)^5*g^4*Log[c + d*x])/(5*b*d^5)}
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]), x, 4, -(B*(b*c - a*d)^3*g^3*x)/(4*d^3) + (B*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2)/(8*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^3)/(12*b*d) + (g^3*(a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*b) + (B*(b*c - a*d)^4*g^3*Log[c + d*x])/(4*b*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]), x, 4, (B*(b*c - a*d)^2*g^2*x)/(3*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)^2)/(6*b*d) + (g^2*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*b) - (B*(b*c - a*d)^3*g^2*Log[c + d*x])/(3*b*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]), x, 4, -(B*(b*c - a*d)*g*x)/(2*d) + (g*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*b) + (B*(b*c - a*d)^2*g*Log[c + d*x])/(2*b*d^2)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^1, x, 5, -((Log[-((b*c - a*d)/(d*(a + b*x)))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b*g)) + (B*PolyLog[2, 1 + (b*c - a*d)/(d*(a + b*x))])/(b*g)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^2, x, 2, -(B/(b*g^2*(a + b*x))) - ((c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)), -((B*(c + d*x))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))) - ((c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^3, x, 4, -B/(4*b*g^3*(a + b*x)^2) + (B*d)/(2*b*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)) + (B*d^2*Log[a + b*x])/(2*b*(b*c - a*d)^2*g^3) - (A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(2*b*g^3*(a + b*x)^2) - (B*d^2*Log[c + d*x])/(2*b*(b*c - a*d)^2*g^3)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^4, x, 4, -B/(9*b*g^4*(a + b*x)^3) + (B*d)/(6*b*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^2) - (B*d^2)/(3*b*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)) - (B*d^3*Log[a + b*x])/(3*b*(b*c - a*d)^3*g^4) - (A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(3*b*g^4*(a + b*x)^3) + (B*d^3*Log[c + d*x])/(3*b*(b*c - a*d)^3*g^4)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^5, x, 4, -B/(16*b*g^5*(a + b*x)^4) + (B*d)/(12*b*(b*c - a*d)*g^5*(a + b*x)^3) - (B*d^2)/(8*b*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^2) + (B*d^3)/(4*b*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)) + (B*d^4*Log[a + b*x])/(4*b*(b*c - a*d)^4*g^5) - (A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(4*b*g^5*(a + b*x)^4) - (B*d^4*Log[c + d*x])/(4*b*(b*c - a*d)^4*g^5)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2, x, 8, -((B*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(10*b*d)) + (g^4*(a + b*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(5*b) + (B*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3*(4*A + B + 4*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(30*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2*(12*A + 7*B + 12*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(60*b*d^3) + (B*(b*c - a*d)^4*g^4*(a + b*x)*(12*A + 13*B + 12*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(30*b*d^4) + (B*(b*c - a*d)^5*g^4*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(12*A + 25*B + 12*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(30*b*d^5) + (2*B^2*(b*c - a*d)^5*g^4*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(5*b*d^5)}
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2, x, 7, -((B*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(6*b*d)) + (g^3*(a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(4*b) + (B*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2*(3*A + B + 3*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(12*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)^3*g^3*(a + b*x)*(6*A + 5*B + 6*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(12*b*d^3) - (B*(b*c - a*d)^4*g^3*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(6*A + 11*B + 6*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(12*b*d^4) - (B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(2*b*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2, x, 6, -((B*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*b*d)) + (g^2*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(3*b) + (B*(b*c - a*d)^2*g^2*(a + b*x)*(2*A + B + 2*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*b*d^2) + (B*(b*c - a*d)^3*g^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(2*A + 3*B + 2*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*b*d^3) + (2*B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(3*b*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2, x, 5, -((B*(b*c - a*d)*g*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b*d)) + (g*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*b) - (B*(b*c - a*d)^2*g*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^2*g*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d^2)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^1, x, 4, -(((A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b*g)) + (2*B*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b*g) + (2*B^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b*g)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^2, x, 3, (-2*B^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)) - (2*B*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)) - ((c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^3, x, 7, (2*B^2*d*(c + d*x))/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)) - (b*B^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2) + (2*B*d*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)) - (b*B*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2) + (d*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)) - (b*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^4, x, 9, (-2*B^2*d^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)) + (b*B^2*d*(c + d*x)^2)/(2*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2) - (2*b^2*B^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^3) - (2*B*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)) + (b*B*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2) - (2*b^2*B*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(9*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^3) - (d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)) + (b*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2) - (b^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(3*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^3)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^5, x, 11, (2*B^2*d^3*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)) - (3*b*B^2*d^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^2) + (2*b^2*B^2*d*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^3) - (b^3*B^2*(c + d*x)^4)/(32*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^4) + (2*B*d^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)) - (3*b*B*d^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^2) + (2*b^2*B*d*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^3) - (b^3*B*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(8*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^4) + (d^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)) - (3*b*d^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^2) + (b^2*d*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^3) - (b^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^4)}
+
+
+{Log[d*(a + b*x)/(b*(c + d*x))]/(c*f + d*f*x), x, 1, PolyLog[2, (b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]/(d*f), PolyLog[2, 1 - (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))]/(d*f)}
+
+
+{Log[1 + 1/(a + b*x)]/(a + b*x), x, 1, PolyLog[2, -(1/(a + b*x))]/b}
+{Log[1 - 1/(a + b*x)]/(a + b*x), x, 1, PolyLog[2, 1/(a + b*x)]/b}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]), x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]), x]}
+{(a*g + b*g*x)^1/(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]), x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)/(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]), x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])), x, 0, Unintegrable[1/((a*g + b*g*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])), x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])), x, 3, (e*E^(A/B)*ExpIntegralEi[-((A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/B)])/(B*(b*c - a*d)*g^2)}
+{1/((a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])), x, 7, (b*e^2*E^((2*A)/B)*ExpIntegralEi[(-2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/B])/(B*(b*c - a*d)^2*g^3) - (d*e*E^(A/B)*ExpIntegralEi[-((A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/B)])/(B*(b*c - a*d)^2*g^3)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2, x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2, x]}
+{(a*g + b*g*x)^1/(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2, x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)/(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2, x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2), x, 0, Unintegrable[1/((a*g + b*g*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2), x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2), x, 4, -((e*E^(A/B)*ExpIntegralEi[-((A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/B)])/(B^2*(b*c - a*d)*g^2)) - (c + d*x)/(B*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))}
+{1/((a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2), x, 9, (-2*b*e^2*E^((2*A)/B)*ExpIntegralEi[(-2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/B])/(B^2*(b*c - a*d)^2*g^3) + (d*e*E^(A/B)*ExpIntegralEi[-((A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/B)])/(B^2*(b*c - a*d)^2*g^3) + (d*(c + d*x))/(B*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])) - (b*(c + d*x)^2)/(B*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e (a+b x)^2/(c+d x)^2])^p when b f-a g=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]), x, 4, (2*B*(b*c - a*d)^4*g^4*x)/(5*d^4) - (B*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2)/(5*b*d^3) + (2*B*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3)/(15*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^4)/(10*b*d) + (g^4*(a + b*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(5*b) - (2*B*(b*c - a*d)^5*g^4*Log[c + d*x])/(5*b*d^5)}
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]), x, 4, -(B*(b*c - a*d)^3*g^3*x)/(2*d^3) + (B*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2)/(4*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^3)/(6*b*d) + (g^3*(a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(4*b) + (B*(b*c - a*d)^4*g^3*Log[c + d*x])/(2*b*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]), x, 4, (2*B*(b*c - a*d)^2*g^2*x)/(3*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)^2)/(3*b*d) + (g^2*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(3*b) - (2*B*(b*c - a*d)^3*g^2*Log[c + d*x])/(3*b*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]), x, 4, -((B*(b*c - a*d)*g*x)/d) + (g*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(2*b) + (B*(b*c - a*d)^2*g*Log[c + d*x])/(b*d^2)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(a*g + b*g*x)^1, x, 5, -((Log[-((b*c - a*d)/(d*(a + b*x)))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(b*g)) + (2*B*PolyLog[2, 1 + (b*c - a*d)/(d*(a + b*x))])/(b*g)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(a*g + b*g*x)^2, x, 2, -((2*B)/(b*g^2*(a + b*x))) - ((c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)), -((2*B*(c + d*x))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))) - ((c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(a*g + b*g*x)^3, x, 4, -B/(2*b*g^3*(a + b*x)^2) + (B*d)/(b*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)) + (B*d^2*Log[a + b*x])/(b*(b*c - a*d)^2*g^3) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(2*b*g^3*(a + b*x)^2) - (B*d^2*Log[c + d*x])/(b*(b*c - a*d)^2*g^3)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(a*g + b*g*x)^4, x, 4, (-2*B)/(9*b*g^4*(a + b*x)^3) + (B*d)/(3*b*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^2) - (2*B*d^2)/(3*b*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)) - (2*B*d^3*Log[a + b*x])/(3*b*(b*c - a*d)^3*g^4) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(3*b*g^4*(a + b*x)^3) + (2*B*d^3*Log[c + d*x])/(3*b*(b*c - a*d)^3*g^4)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(a*g + b*g*x)^5, x, 4, -B/(8*b*g^5*(a + b*x)^4) + (B*d)/(6*b*(b*c - a*d)*g^5*(a + b*x)^3) - (B*d^2)/(4*b*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^2) + (B*d^3)/(2*b*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)) + (B*d^4*Log[a + b*x])/(2*b*(b*c - a*d)^4*g^5) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(4*b*g^5*(a + b*x)^4) - (B*d^4*Log[c + d*x])/(2*b*(b*c - a*d)^4*g^5)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2, x, 8, -((B*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(5*b*d)) + (g^4*(a + b*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/(5*b) + (2*B*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3*(2*A + B + 2*B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(15*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2*(6*A + 7*B + 6*B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(15*b*d^3) + (2*B*(b*c - a*d)^4*g^4*(a + b*x)*(6*A + 13*B + 6*B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(15*b*d^4) + (2*B*(b*c - a*d)^5*g^4*(6*A + 25*B + 6*B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(15*b*d^5) + (8*B^2*(b*c - a*d)^5*g^4*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(5*b*d^5)}
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2, x, 7, -((B*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(3*b*d)) + (g^3*(a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/(4*b) + (B*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2*(3*A + 2*B + 3*B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(6*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)^3*g^3*(a + b*x)*(3*A + 5*B + 3*B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(3*b*d^3) - (B*(b*c - a*d)^4*g^3*(3*A + 11*B + 3*B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(3*b*d^4) - (2*B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2, x, 6, -((2*B*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(3*b*d)) + (g^2*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/(3*b) + (4*B*(b*c - a*d)^2*g^2*(a + b*x)*(A + B + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(3*b*d^2) + (4*B*(b*c - a*d)^3*g^2*(A + 3*B + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(3*b*d^3) + (8*B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(3*b*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2, x, 5, -((2*B*(b*c - a*d)*g*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(b*d)) + (g*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/(2*b) - (2*B*(b*c - a*d)^2*g*(A + 2*B + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(b*d^2) - (4*B^2*(b*c - a*d)^2*g*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d^2)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2/(a*g + b*g*x)^1, x, 4, -(((A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b*g)) + (4*B*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b*g) + (8*B^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b*g)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2/(a*g + b*g*x)^2, x, 3, (-8*B^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)) - (4*B*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)) - ((c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2/(a*g + b*g*x)^3, x, 7, (8*B^2*d*(c + d*x))/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)) - (b*B^2*(c + d*x)^2)/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2) + (4*B*d*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)) - (b*B*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2) + (d*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)) - (b*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/(2*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2/(a*g + b*g*x)^4, x, 9, (-8*B^2*d^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)) + (2*b*B^2*d*(c + d*x)^2)/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2) - (8*b^2*B^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^3) - (4*B*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)) + (2*b*B*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2) - (4*b^2*B*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(9*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^3) - (d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)) + (b*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2) - (b^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/(3*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^3)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2/(a*g + b*g*x)^5, x, 11, (8*B^2*d^3*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)) - (3*b*B^2*d^2*(c + d*x)^2)/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^2) + (8*b^2*B^2*d*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^3) - (b^3*B^2*(c + d*x)^4)/(8*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^4) + (4*B*d^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)) - (3*b*B*d^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^2) + (4*b^2*B*d*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(3*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^3) - (b^3*B*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(4*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^4) + (d^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)) - (3*b*d^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/(2*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^2) + (b^2*d*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^3) - (b^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]), x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]), x]}
+{(a*g + b*g*x)^1/(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]), x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)/(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]), x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])), x, 0, Unintegrable[1/((a*g + b*g*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])), x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])), x, 3, (E^(A/(2*B))*Sqrt[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]*(c + d*x)*ExpIntegralEi[-(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(2*B)])/(2*B*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))}
+{1/((a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])), x, 7, (b*e*E^(A/B)*ExpIntegralEi[-((A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/B)])/(2*B*(b*c - a*d)^2*g^3) - (d*E^(A/(2*B))*Sqrt[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]*(c + d*x)*ExpIntegralEi[-(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(2*B)])/(2*B*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x))}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2, x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2, x]}
+{(a*g + b*g*x)^1/(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2, x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)/(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2, x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/((a*g + b*g*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2), x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2), x, 4, -(E^(A/(2*B))*Sqrt[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]*(c + d*x)*ExpIntegralEi[-(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(2*B)])/(4*B^2*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)) - (c + d*x)/(2*B*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))}
+{1/((a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2), x, 9, -(b*e*E^(A/B)*ExpIntegralEi[-((A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/B)])/(2*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3) + (d*E^(A/(2*B))*Sqrt[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]*(c + d*x)*ExpIntegralEi[-(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(2*B)])/(4*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)) + (d*(c + d*x))/(2*B*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])) - (b*(c + d*x)^2)/(2*B*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e (a+b x)^n/(c+d x)^n])^p when b f-a g=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])*(a + b*x)^4, x, 3, (B*(b*c - a*d)^4*n*x)/(5*d^4) - (B*(b*c - a*d)^3*n*(a + b*x)^2)/(10*b*d^3) + (B*(b*c - a*d)^2*n*(a + b*x)^3)/(15*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)*n*(a + b*x)^4)/(20*b*d) - (B*(b*c - a*d)^5*n*Log[c + d*x])/(5*b*d^5) + ((a + b*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(5*b)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])*(a + b*x)^3, x, 3, -((B*(b*c - a*d)^3*n*x)/(4*d^3)) + (B*(b*c - a*d)^2*n*(a + b*x)^2)/(8*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)*n*(a + b*x)^3)/(12*b*d) + (B*(b*c - a*d)^4*n*Log[c + d*x])/(4*b*d^4) + ((a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(4*b)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])*(a + b*x)^2, x, 3, (B*(b*c - a*d)^2*n*x)/(3*d^2) - (B*(b*c - a*d)*n*(a + b*x)^2)/(6*b*d) - (B*(b*c - a*d)^3*n*Log[c + d*x])/(3*b*d^3) + ((a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(3*b)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])*(a + b*x)^1, x, 3, -((B*(b*c - a*d)*n*x)/(2*d)) + (B*(b*c - a*d)^2*n*Log[c + d*x])/(2*b*d^2) + ((a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(2*b)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])/(a + b*x)^1, x, 5, -((Log[-((b*c - a*d)/(d*(a + b*x)))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/b) + (B*n*PolyLog[2, 1 + (b*c - a*d)/(d*(a + b*x))])/b}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])/(a + b*x)^2, x, 3, -((B*n)/(b*(a + b*x))) - (B*d*n*Log[a + b*x])/(b*(b*c - a*d)) + (B*d*n*Log[c + d*x])/(b*(b*c - a*d)) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])/(b*(a + b*x))}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])/(a + b*x)^3, x, 3, -((B*n)/(4*b*(a + b*x)^2)) + (B*d*n)/(2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)) + (B*d^2*n*Log[a + b*x])/(2*b*(b*c - a*d)^2) - (B*d^2*n*Log[c + d*x])/(2*b*(b*c - a*d)^2) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])/(2*b*(a + b*x)^2)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])/(a + b*x)^4, x, 3, -((B*n)/(9*b*(a + b*x)^3)) + (B*d*n)/(6*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2) - (B*d^2*n)/(3*b*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) - (B*d^3*n*Log[a + b*x])/(3*b*(b*c - a*d)^3) + (B*d^3*n*Log[c + d*x])/(3*b*(b*c - a*d)^3) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])/(3*b*(a + b*x)^3)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])/(a + b*x)^5, x, 3, -((B*n)/(16*b*(a + b*x)^4)) + (B*d*n)/(12*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^3) - (B*d^2*n)/(8*b*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2) + (B*d^3*n)/(4*b*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)) + (B*d^4*n*Log[a + b*x])/(4*b*(b*c - a*d)^4) - (B*d^4*n*Log[c + d*x])/(4*b*(b*c - a*d)^4) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])/(4*b*(a + b*x)^4)}
+
+
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2*(a + b*x)^3, x, 8, -((B*(b*c - a*d)*n*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(6*b*d)) + ((a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(4*b) + (B*(b*c - a*d)^2*n*(a + b*x)^2*(3*A + B*n + 3*B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(12*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)^3*n*(a + b*x)*(6*A + 5*B*n + 6*B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(12*b*d^3) - (B*(b*c - a*d)^4*n*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(6*A + 11*B*n + 6*B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(12*b*d^4) - (B^2*(b*c - a*d)^4*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(2*b*d^4)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2*(a + b*x)^2, x, 7, -((B*(b*c - a*d)*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(3*b*d)) + ((a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(3*b) + (B*(b*c - a*d)^2*n*(a + b*x)*(2*A + B*n + 2*B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(3*b*d^2) + (B*(b*c - a*d)^3*n*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(2*A + 3*B*n + 2*B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(3*b*d^3) + (2*B^2*(b*c - a*d)^3*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(3*b*d^3)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2*(a + b*x)^1, x, 6, -((B*(b*c - a*d)*n*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(b*d)) + ((a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(2*b) - (B*(b*c - a*d)^2*n*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*n + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(b*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^2*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d^2)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2/(a + b*x)^1, x, 5, -(((A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/b) + (2*B*n*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/b + (2*B^2*n^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/b}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2/(a + b*x)^2, x, 4, -((2*n^2*(c + d*x)*B^2)/((b*c - a*d)*(a + b*x))) - (2*n*(c + d*x)*B*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/((b*c - a*d)*(a + b*x)) - ((c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/((b*c - a*d)*(a + b*x))}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2/(a + b*x)^3, x, 8, (2*B^2*d*n^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^2*(a + b*x)) - (b*B^2*n^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2) + (2*B*d*n*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/((b*c - a*d)^2*(a + b*x)) - (b*B*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2) + (d*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/((b*c - a*d)^2*(a + b*x)) - (b*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2/(a + b*x)^4, x, 10, -((2*B^2*d^2*n^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^3*(a + b*x))) + (b*B^2*d*n^2*(c + d*x)^2)/(2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) - (2*b^2*B^2*n^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^3) - (2*B*d^2*n*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/((b*c - a*d)^3*(a + b*x)) + (b*B*d*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) - (2*b^2*B*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(9*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^3) - (d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/((b*c - a*d)^3*(a + b*x)) + (b*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) - (b^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(3*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^3)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2/(a + b*x)^5, x, 12, (2*B^2*d^3*n^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*(a + b*x)) - (3*b*B^2*d^2*n^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^2) + (2*b^2*B^2*d*n^2*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^3) - (b^3*B^2*n^2*(c + d*x)^4)/(32*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^4) + (2*B*d^3*n*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/((b*c - a*d)^4*(a + b*x)) - (3*b*B*d^2*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(2*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^2) + (2*b^2*B*d*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(3*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^3) - (b^3*B*n*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(8*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^4) + (d^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/((b*c - a*d)^4*(a + b*x)) - (3*b*d^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^2) + (b^2*d*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/((b*c - a*d)^4*(a + b*x)^3) - (b^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(4*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^4)}
+
+
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3*(a + b*x)^3, x, 27, -((B^3*(b*c - a*d)^3*n^3*x)/(4*d^3)) - (B^3*(b*c - a*d)^4*n^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(4*b*d^4) + (3*B^3*(b*c - a*d)^4*n^3*Log[c + d*x])/(2*b*d^4) - (7*B^2*(b*c - a*d)^3*n^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(4*b*d^3) + (b*B^2*(b*c - a*d)^2*n^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(4*d^4) - (9*B^2*(b*c - a*d)^4*n^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(2*b*d^4) - (9*B*(b*c - a*d)^3*n*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(4*b*d^3) + (9*b*B*(b*c - a*d)^2*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(8*d^4) - (b^2*B*(b*c - a*d)*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(4*d^4) - (3*B*(b*c - a*d)^4*n*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(4*b*d^4) + ((a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/(4*b) + (7*B^2*(b*c - a*d)^4*n^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(4*b*d^4) - (9*B^3*(b*c - a*d)^4*n^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(2*b*d^4) - (3*B^2*(b*c - a*d)^4*n^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(2*b*d^4) - (7*B^3*(b*c - a*d)^4*n^3*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(4*b*d^4) + (3*B^3*(b*c - a*d)^4*n^3*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(2*b*d^4)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3*(a + b*x)^2, x, 17, -((B^3*(b*c - a*d)^3*n^3*Log[c + d*x])/(b*d^3)) + (B^2*(b*c - a*d)^2*n^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(b*d^2) + (4*B^2*(b*c - a*d)^3*n^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(b*d^3) + (2*B*(b*c - a*d)^2*n*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(b*d^2) - (b*B*(b*c - a*d)*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(2*d^3) + (B*(b*c - a*d)^3*n*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(b*d^3) + ((a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/(3*b) - (B^2*(b*c - a*d)^3*n^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b*d^3) + (4*B^3*(b*c - a*d)^3*n^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d^3) + (2*B^2*(b*c - a*d)^3*n^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d^3) + (B^3*(b*c - a*d)^3*n^3*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b*d^3) - (2*B^3*(b*c - a*d)^3*n^3*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d^3)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3*(a + b*x)^1, x, 11, -((3*B^2*(b*c - a*d)^2*n^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(b*d^2)) - (3*B*(b*c - a*d)*n*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(2*b*d) - (3*B*(b*c - a*d)^2*n*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(2*b*d^2) + ((a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/(2*b) - (3*B^3*(b*c - a*d)^2*n^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d^2) - (3*B^2*(b*c - a*d)^2*n^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d^2) + (3*B^3*(b*c - a*d)^2*n^3*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d^2)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3/(a + b*x)^1, x, 6, -(((A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/b) + (3*B*n*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/b + (6*B^2*n^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/b + (6*B^3*n^3*PolyLog[4, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/b}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3/(a + b*x)^2, x, 5, -((6*B^3*n^3*(c + d*x))/((b*c - a*d)*(a + b*x))) - (6*B^2*n^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/((b*c - a*d)*(a + b*x)) - (3*B*n*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/((b*c - a*d)*(a + b*x)) - ((c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/((b*c - a*d)*(a + b*x))}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3/(a + b*x)^3, x, 10, (6*B^3*d*n^3*(c + d*x))/((b*c - a*d)^2*(a + b*x)) - (3*b*B^3*n^3*(c + d*x)^2)/(8*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2) + (6*B^2*d*n^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/((b*c - a*d)^2*(a + b*x)) - (3*b*B^2*n^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(4*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2) + (3*B*d*n*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/((b*c - a*d)^2*(a + b*x)) - (3*b*B*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(4*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2) + (d*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/((b*c - a*d)^2*(a + b*x)) - (b*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/(2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3/(a + b*x)^4, x, 13, -((6*B^3*d^2*n^3*(c + d*x))/((b*c - a*d)^3*(a + b*x))) + (3*b*B^3*d*n^3*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) - (2*b^2*B^3*n^3*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^3) - (6*B^2*d^2*n^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/((b*c - a*d)^3*(a + b*x)) + (3*b*B^2*d*n^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) - (2*b^2*B^2*n^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(9*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^3) - (3*B*d^2*n*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/((b*c - a*d)^3*(a + b*x)) + (3*b*B*d*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) - (b^2*B*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(3*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^3) - (d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/((b*c - a*d)^3*(a + b*x)) + (b*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/((b*c - a*d)^3*(a + b*x)^2) - (b^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/(3*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^3)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3/(a + b*x)^5, x, 16, (6*B^3*d^3*n^3*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*(a + b*x)) - (9*b*B^3*d^2*n^3*(c + d*x)^2)/(8*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^2) + (2*b^2*B^3*d*n^3*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^3) - (3*b^3*B^3*n^3*(c + d*x)^4)/(128*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^4) + (6*B^2*d^3*n^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/((b*c - a*d)^4*(a + b*x)) - (9*b*B^2*d^2*n^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(4*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^2) + (2*b^2*B^2*d*n^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(3*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^3) - (3*b^3*B^2*n^2*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(32*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^4) + (3*B*d^3*n*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/((b*c - a*d)^4*(a + b*x)) - (9*b*B*d^2*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(4*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^2) + (b^2*B*d*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/((b*c - a*d)^4*(a + b*x)^3) - (3*b^3*B*n*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(16*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^4) + (d^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/((b*c - a*d)^4*(a + b*x)) - (3*b*d^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/(2*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^2) + (b^2*d*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/((b*c - a*d)^4*(a + b*x)^3) - (b^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/(4*(b*c - a*d)^4*(a + b*x)^4)}
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+{1/((a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])), x, 4, (E^(A/(B*n))*(c + d*x)*((e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n)^(1/n)*ExpIntegralEi[-((A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])/(B*n))])/(B*(b*c - a*d)*g^2*n*(a + b*x))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e (a+b x)^n/(c+d x)^n])^p when d f-c g=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e (a+b x)^1/(c+d x)^1])^p when d f-c g=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^4*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]), x, 4, -(B*(b*c - a*d)^4*g^4*x)/(5*d^4) + (B*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2)/(10*b*d^3) - (B*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3)/(15*b*d^2) + (B*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^4)/(20*b*d) + (B*(b*c - a*d)^5*g^4*Log[c + d*x])/(5*b*d^5) + (g^4*(a + b*x)^5*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(5*b)}
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]), x, 4, (B*(b*c - a*d)^3*g^3*x)/(4*d^3) - (B*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2)/(8*b*d^2) + (B*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^3)/(12*b*d) - (B*(b*c - a*d)^4*g^3*Log[c + d*x])/(4*b*d^4) + (g^3*(a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(4*b)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]), x, 4, -(B*(b*c - a*d)^2*g^2*x)/(3*d^2) + (B*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)^2)/(6*b*d) + (B*(b*c - a*d)^3*g^2*Log[c + d*x])/(3*b*d^3) + (g^2*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(3*b)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]), x, 4, (B*(b*c - a*d)*g*x)/(2*d) - (B*(b*c - a*d)^2*g*Log[c + d*x])/(2*b*d^2) + (g*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(2*b)}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])/(a*g + b*g*x)^1, x, 5, -((Log[-((b*c - a*d)/(d*(a + b*x)))]*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(b*g)) - (B*PolyLog[2, 1 + (b*c - a*d)/(d*(a + b*x))])/(b*g)}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])/(a*g + b*g*x)^2, x, 3, -((A - B)/(b*g^2*(a + b*x))) - (B*(c + d*x)*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)), -((A*(c + d*x))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))) + (B*(c + d*x))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)) - (B*(c + d*x)*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])/(a*g + b*g*x)^3, x, 4, B/(4*b*g^3*(a + b*x)^2) - (B*d)/(2*b*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)) - (B*d^2*Log[a + b*x])/(2*b*(b*c - a*d)^2*g^3) + (B*d^2*Log[c + d*x])/(2*b*(b*c - a*d)^2*g^3) - (A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])/(2*b*g^3*(a + b*x)^2)}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])/(a*g + b*g*x)^4, x, 4, B/(9*b*g^4*(a + b*x)^3) - (B*d)/(6*b*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^2) + (B*d^2)/(3*b*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)) + (B*d^3*Log[a + b*x])/(3*b*(b*c - a*d)^3*g^4) - (B*d^3*Log[c + d*x])/(3*b*(b*c - a*d)^3*g^4) - (A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])/(3*b*g^4*(a + b*x)^3)}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])/(a*g + b*g*x)^5, x, 4, B/(16*b*g^5*(a + b*x)^4) - (B*d)/(12*b*(b*c - a*d)*g^5*(a + b*x)^3) + (B*d^2)/(8*b*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^2) - (B*d^3)/(4*b*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)) - (B*d^4*Log[a + b*x])/(4*b*(b*c - a*d)^4*g^5) + (B*d^4*Log[c + d*x])/(4*b*(b*c - a*d)^4*g^5) - (A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])/(4*b*g^5*(a + b*x)^4)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^4*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2, x, 19, (13*B^2*(b*c - a*d)^4*g^4*x)/(30*d^4) - (7*B^2*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2)/(60*b*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3)/(30*b*d^2) - (5*B^2*(b*c - a*d)^5*g^4*Log[a + b*x])/(6*b*d^5) - (13*B^2*(b*c - a*d)^5*g^4*Log[(c + d*x)/(a + b*x)])/(30*b*d^5) + (B*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(5*b*d^3) - (2*B*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(15*b*d^2) + (B*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(10*b*d) - (2*B*(b*c - a*d)^4*g^4*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(5*d^5) + (g^4*(a + b*x)^5*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2)/(5*b) - (2*B*(b*c - a*d)^5*g^4*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])*Log[1 - (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(5*b*d^5) + (2*B^2*(b*c - a*d)^5*g^4*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(5*b*d^5)}
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2, x, 15, -((5*B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*x)/(12*d^3)) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2)/(12*b*d^2) + (11*B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*Log[a + b*x])/(12*b*d^4) + (5*B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*Log[(c + d*x)/(a + b*x)])/(12*b*d^4) - (B*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(4*b*d^2) + (B*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(6*b*d) + (B*(b*c - a*d)^3*g^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(2*d^4) + (g^3*(a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2)/(4*b) + (B*(b*c - a*d)^4*g^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])*Log[1 - (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(2*b*d^4) - (B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(2*b*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2, x, 11, (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*x)/(3*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*Log[a + b*x])/(b*d^3) - (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*Log[(c + d*x)/(a + b*x)])/(3*b*d^3) + (B*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(3*b*d) - (2*B*(b*c - a*d)^2*g^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(3*d^3) + (g^2*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2)/(3*b) - (2*B*(b*c - a*d)^3*g^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])*Log[1 - (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(3*b*d^3) + (2*B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(3*b*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2, x, 7, (B^2*(b*c - a*d)^2*g*Log[a + b*x])/(b*d^2) + (B*(b*c - a*d)*g*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/d^2 + (g*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2)/(2*b) + (B*(b*c - a*d)^2*g*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])*Log[1 - (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^2*g*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d^2)}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2/(a*g + b*g*x)^1, x, 4, -((Log[-((b*c - a*d)/(d*(a + b*x)))]*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2)/(b*g)) - (2*B*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b*g) + (2*B^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b*g)}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2/(a*g + b*g*x)^2, x, 4, (2*A*B*(c + d*x))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)) - (2*B^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)) + (2*B^2*(c + d*x)*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)) - ((c + d*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2)/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2/(a*g + b*g*x)^3, x, 8, (-2*A*B*d*(c + d*x))/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)) + (2*B^2*d*(c + d*x))/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)) - (b*B^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2) - (2*B^2*d*(c + d*x)*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)) + (b*B*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(2*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2) + (d*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2)/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)) - (b*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2)/(2*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2)}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2/(a*g + b*g*x)^4, x, 6, -((2*B^2*d^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x))) + (b*B^2*d*(c + d*x)^2)/(2*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2) - (2*b^2*B^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^3) + (B^2*d^3*Log[(c + d*x)/(a + b*x)]^2)/(3*b*(b*c - a*d)^3*g^4) + (2*B*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)) - (b*B*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2) + (2*b^2*B*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(9*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^3) - (2*B*d^3*Log[(c + d*x)/(a + b*x)]*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(3*b*(b*c - a*d)^3*g^4) - (A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2/(3*b*g^4*(a + b*x)^3)}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2/(a*g + b*g*x)^5, x, 5, (2*B^2*d^3*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)) - (3*b*B^2*d^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^2) + (2*b^2*B^2*d*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^3) - (b^3*B^2*(c + d*x)^4)/(32*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^4) - (B^2*d^4*Log[(c + d*x)/(a + b*x)]^2)/(4*b*(b*c - a*d)^4*g^5) - (2*B*d^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)) + (3*b*B*d^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(2*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^2) - (2*b^2*B*d*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(3*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^3) + (b^3*B*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(8*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^4) + (B*d^4*Log[(c + d*x)/(a + b*x)]*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/(2*b*(b*c - a*d)^4*g^5) - (A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2/(4*b*g^5*(a + b*x)^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]), x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]), x]}
+{(a*g + b*g*x)^1/(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]), x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)/(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]), x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])), x, 0, Unintegrable[1/((a*g + b*g*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])), x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])), x, 3, -(ExpIntegralEi[(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])/B]/(B*(b*c - a*d)*e*E^(A/B)*g^2))}
+{1/((a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])), x, 7, (d*ExpIntegralEi[(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])/B])/(B*(b*c - a*d)^2*e*E^(A/B)*g^3) - (b*ExpIntegralEi[(2*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/B])/(B*(b*c - a*d)^2*e^2*E^((2*A)/B)*g^3)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2, x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2, x]}
+{(a*g + b*g*x)^1/(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2, x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)/(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2, x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2), x, 0, Unintegrable[1/((a*g + b*g*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2), x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2), x, 4, -(ExpIntegralEi[(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])/B]/(B^2*(b*c - a*d)*e*E^(A/B)*g^2)) + (c + d*x)/(B*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))}
+{1/((a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])^2), x, 10, (d*ExpIntegralEi[(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)])/B])/(E^(A/B)*(B^2*(b*c - a*d)^2*e*g^3)) - (2*b*ExpIntegralEi[(2*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))/B])/(E^((2*A)/B)*(B^2*(b*c - a*d)^2*e^2*g^3)) + (c + d*x)/(B*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e (a+b x)^2/(c+d x)^2])^p when d f-c g=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^4*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]), x, 4, (-2*B*(b*c - a*d)^4*g^4*x)/(5*d^4) + (B*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2)/(5*b*d^3) - (2*B*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3)/(15*b*d^2) + (B*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^4)/(10*b*d) + (2*B*(b*c - a*d)^5*g^4*Log[c + d*x])/(5*b*d^5) + (g^4*(a + b*x)^5*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/(5*b)}
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]), x, 4, (B*(b*c - a*d)^3*g^3*x)/(2*d^3) - (B*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2)/(4*b*d^2) + (B*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^3)/(6*b*d) - (B*(b*c - a*d)^4*g^3*Log[c + d*x])/(2*b*d^4) + (g^3*(a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/(4*b)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]), x, 4, (-2*B*(b*c - a*d)^2*g^2*x)/(3*d^2) + (B*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)^2)/(3*b*d) + (2*B*(b*c - a*d)^3*g^2*Log[c + d*x])/(3*b*d^3) + (g^2*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/(3*b)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]), x, 4, (B*(b*c - a*d)*g*x)/d - (B*(b*c - a*d)^2*g*Log[c + d*x])/(b*d^2) + (g*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/(2*b)}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])/(a*g + b*g*x)^1, x, 5, -((Log[-((b*c - a*d)/(d*(a + b*x)))]*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/(b*g)) - (2*B*PolyLog[2, 1 + (b*c - a*d)/(d*(a + b*x))])/(b*g)}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])/(a*g + b*g*x)^2, x, 3, -((A*(c + d*x))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))) + (2*B*(c + d*x))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)) - (B*(c + d*x)*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])/(a*g + b*g*x)^3, x, 4, B/(2*b*g^3*(a + b*x)^2) - (B*d)/(b*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)) - (B*d^2*Log[a + b*x])/(b*(b*c - a*d)^2*g^3) + (B*d^2*Log[c + d*x])/(b*(b*c - a*d)^2*g^3) - (A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])/(2*b*g^3*(a + b*x)^2)}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])/(a*g + b*g*x)^4, x, 4, (2*B)/(9*b*g^4*(a + b*x)^3) - (B*d)/(3*b*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^2) + (2*B*d^2)/(3*b*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)) + (2*B*d^3*Log[a + b*x])/(3*b*(b*c - a*d)^3*g^4) - (2*B*d^3*Log[c + d*x])/(3*b*(b*c - a*d)^3*g^4) - (A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])/(3*b*g^4*(a + b*x)^3)}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])/(a*g + b*g*x)^5, x, 4, B/(8*b*g^5*(a + b*x)^4) - (B*d)/(6*b*(b*c - a*d)*g^5*(a + b*x)^3) + (B*d^2)/(4*b*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^2) - (B*d^3)/(2*b*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)) - (B*d^4*Log[a + b*x])/(2*b*(b*c - a*d)^4*g^5) + (B*d^4*Log[c + d*x])/(2*b*(b*c - a*d)^4*g^5) - (A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])/(4*b*g^5*(a + b*x)^4)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^4*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2, x, 19, (26*B^2*(b*c - a*d)^4*g^4*x)/(15*d^4) - (7*B^2*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2)/(15*b*d^3) + (2*B^2*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3)/(15*b*d^2) - (10*B^2*(b*c - a*d)^5*g^4*Log[a + b*x])/(3*b*d^5) - (26*B^2*(b*c - a*d)^5*g^4*Log[(c + d*x)/(a + b*x)])/(15*b*d^5) + (2*B*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/(5*b*d^3) - (4*B*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/(15*b*d^2) + (B*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/(5*b*d) - (4*B*(b*c - a*d)^4*g^4*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/(5*d^5) + (g^4*(a + b*x)^5*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2)/(5*b) - (4*B*(b*c - a*d)^5*g^4*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])*Log[1 - (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(5*b*d^5) + (8*B^2*(b*c - a*d)^5*g^4*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(5*b*d^5)}
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2, x, 15, -((5*B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*x)/(3*d^3)) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2)/(3*b*d^2) + (11*B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*Log[a + b*x])/(3*b*d^4) + (5*B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*Log[(c + d*x)/(a + b*x)])/(3*b*d^4) - (B*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/(2*b*d^2) + (B*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/(3*b*d) + (B*(b*c - a*d)^3*g^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/d^4 + (g^3*(a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2)/(4*b) + (B*(b*c - a*d)^4*g^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])*Log[1 - (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d^4) - (2*B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2, x, 11, (4*B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*x)/(3*d^2) - (4*B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*Log[a + b*x])/(b*d^3) - (4*B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*Log[(c + d*x)/(a + b*x)])/(3*b*d^3) + (2*B*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/(3*b*d) - (4*B*(b*c - a*d)^2*g^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/(3*d^3) + (g^2*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2)/(3*b) - (4*B*(b*c - a*d)^3*g^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])*Log[1 - (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(3*b*d^3) + (8*B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(3*b*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2, x, 7, (4*B^2*(b*c - a*d)^2*g*Log[a + b*x])/(b*d^2) + (2*B*(b*c - a*d)*g*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/d^2 + (g*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2)/(2*b) + (2*B*(b*c - a*d)^2*g*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])*Log[1 - (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d^2) - (4*B^2*(b*c - a*d)^2*g*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d^2)}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2/(a*g + b*g*x)^1, x, 4, -((Log[-((b*c - a*d)/(d*(a + b*x)))]*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2)/(b*g)) - (4*B*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b*g) + (8*B^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b*g)}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2/(a*g + b*g*x)^2, x, 4, (4*A*B*(c + d*x))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)) - (8*B^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)) + (4*B^2*(c + d*x)*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)) - ((c + d*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2)/((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2/(a*g + b*g*x)^3, x, 8, (-4*A*B*d*(c + d*x))/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)) + (8*B^2*d*(c + d*x))/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)) - (b*B^2*(c + d*x)^2)/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2) - (4*B^2*d*(c + d*x)*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)) + (b*B*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2) + (d*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2)/((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)) - (b*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2)/(2*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)^2)}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2/(a*g + b*g*x)^4, x, 6, -((8*B^2*d^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x))) + (2*b*B^2*d*(c + d*x)^2)/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2) - (8*b^2*B^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^3) + (4*B^2*d^3*Log[(c + d*x)/(a + b*x)]^2)/(3*b*(b*c - a*d)^3*g^4) + (4*B*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)) - (2*b*B*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/((b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^2) + (4*b^2*B*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/(9*(b*c - a*d)^3*g^4*(a + b*x)^3) - (4*B*d^3*Log[(c + d*x)/(a + b*x)]*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/(3*b*(b*c - a*d)^3*g^4) - (A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2/(3*b*g^4*(a + b*x)^3)}
+{(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2/(a*g + b*g*x)^5, x, 5, (8*B^2*d^3*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)) - (3*b*B^2*d^2*(c + d*x)^2)/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^2) + (8*b^2*B^2*d*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^3) - (b^3*B^2*(c + d*x)^4)/(8*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^4) - (B^2*d^4*Log[(c + d*x)/(a + b*x)]^2)/(b*(b*c - a*d)^4*g^5) - (4*B*d^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)) + (3*b*B*d^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/((b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^2) - (4*b^2*B*d*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/(3*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^3) + (b^3*B*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/(4*(b*c - a*d)^4*g^5*(a + b*x)^4) + (B*d^4*Log[(c + d*x)/(a + b*x)]*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))/(b*(b*c - a*d)^4*g^5) - (A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2/(4*b*g^5*(a + b*x)^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]), x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]), x]}
+{(a*g + b*g*x)^1/(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]), x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)/(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]), x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])), x, 0, Unintegrable[1/((a*g + b*g*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])), x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])), x, 3, -((c + d*x)*ExpIntegralEi[(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])/(2*B)])/(2*B*(b*c - a*d)*E^(A/(2*B))*g^2*(a + b*x)*Sqrt[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])}
+{1/((a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])), x, 7, (d*(c + d*x)*ExpIntegralEi[(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])/(2*B)])/(2*B*(b*c - a*d)^2*E^(A/(2*B))*g^3*(a + b*x)*Sqrt[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]) - (b*ExpIntegralEi[(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])/B])/(2*B*(b*c - a*d)^2*e*E^(A/B)*g^3)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2, x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)^2/(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2, x]}
+{(a*g + b*g*x)^1/(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2, x, 0, Unintegrable[(a*g + b*g*x)/(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2, x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/((a*g + b*g*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2), x]}
+{1/((a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2), x, 4, -((c + d*x)*ExpIntegralEi[(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])/(2*B)])/(4*B^2*(b*c - a*d)*E^(A/(2*B))*g^2*(a + b*x)*Sqrt[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]) + (c + d*x)/(2*B*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))}
+{1/((a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])^2), x, 10, (d*(c + d*x)*ExpIntegralEi[(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])/(2*B)])/(E^(A/(2*B))*(4*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)*Sqrt[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])) - (b*ExpIntegralEi[(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2])/B])/(E^(A/B)*(2*B^2*(b*c - a*d)^2*e*g^3)) + (c + d*x)/(2*B*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(c + d*x)^2)/(a + b*x)^2]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e (a+b x)^n/(c+d x)^n])^p when d f-c g=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/((a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])), x, 4, (E^(A/(B*n))*(c + d*x)*((e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n)^(1/n)*ExpIntegralEi[-((A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])/(B*n))])/(B*(b*c - a*d)*g^2*n*(a + b*x))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e (a+b x)^n/(c+d x)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e (a+b x)^1/(c+d x)^1])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(f + g*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]), x, 3, (B*(b*c - a*d)*g*(a^3*d^3*g^3 - a^2*b*d^2*g^2*(5*d*f - c*g) + a*b^2*d*g*(10*d^2*f^2 - 5*c*d*f*g + c^2*g^2) - b^3*(10*d^3*f^3 - 10*c*d^2*f^2*g + 5*c^2*d*f*g^2 - c^3*g^3))*x)/(5*b^4*d^4) - (B*(b*c - a*d)*g^2*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(5*d*f - c*g) + b^2*(10*d^2*f^2 - 5*c*d*f*g + c^2*g^2))*x^2)/(10*b^3*d^3) - (B*(b*c - a*d)*g^3*(5*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*x^3)/(15*b^2*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^4*x^4)/(20*b*d) - (B*(b*f - a*g)^5*Log[a + b*x])/(5*b^5*g) + ((f + g*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(5*g) + (B*(d*f - c*g)^5*Log[c + d*x])/(5*d^5*g)}
+{(f + g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]), x, 3, -(B*(b*c - a*d)*g*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(4*d*f - c*g) + b^2*(6*d^2*f^2 - 4*c*d*f*g + c^2*g^2))*x)/(4*b^3*d^3) - (B*(b*c - a*d)*g^2*(4*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*x^2)/(8*b^2*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^3*x^3)/(12*b*d) - (B*(b*f - a*g)^4*Log[a + b*x])/(4*b^4*g) + ((f + g*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*g) + (B*(d*f - c*g)^4*Log[c + d*x])/(4*d^4*g)}
+{(f + g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]), x, 3, -(B*(b*c - a*d)*g*(3*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*x)/(3*b^2*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^2*x^2)/(6*b*d) - (B*(b*f - a*g)^3*Log[a + b*x])/(3*b^3*g) + ((f + g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*g) + (B*(d*f - c*g)^3*Log[c + d*x])/(3*d^3*g)}
+{(f + g*x)^1*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]), x, 3, -(B*(b*c - a*d)*g*x)/(2*b*d) - (B*(b*f - a*g)^2*Log[a + b*x])/(2*b^2*g) + ((f + g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*g) + (B*(d*f - c*g)^2*Log[c + d*x])/(2*d^2*g)}
+{(f + g*x)^0*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]), x, 3, A*x + (B*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/b - (B*(b*c - a*d)*Log[c + d*x])/(b*d)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(f + g*x)^1, x, 7, -((B*Log[-((g*(a + b*x))/(b*f - a*g))]*Log[f + g*x])/g) + ((A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[f + g*x])/g + (B*Log[-((g*(c + d*x))/(d*f - c*g))]*Log[f + g*x])/g - (B*PolyLog[2, (b*(f + g*x))/(b*f - a*g)])/g + (B*PolyLog[2, (d*(f + g*x))/(d*f - c*g)])/g}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(f + g*x)^2, x, 3, ((a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*f - a*g)*(f + g*x)) + (B*(b*c - a*d)*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/((b*f - a*g)*(d*f - c*g))}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(f + g*x)^3, x, 3, -(B*(b*c - a*d))/(2*(b*f - a*g)*(d*f - c*g)*(f + g*x)) + (b^2*B*Log[a + b*x])/(2*g*(b*f - a*g)^2) - (A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(2*g*(f + g*x)^2) - (B*d^2*Log[c + d*x])/(2*g*(d*f - c*g)^2) + (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*Log[f + g*x])/(2*(b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(f + g*x)^4, x, 3, -(B*(b*c - a*d))/(6*(b*f - a*g)*(d*f - c*g)*(f + g*x)^2) - (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g))/(3*(b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2*(f + g*x)) + (b^3*B*Log[a + b*x])/(3*g*(b*f - a*g)^3) - (A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(3*g*(f + g*x)^3) - (B*d^3*Log[c + d*x])/(3*g*(d*f - c*g)^3) + (B*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(3*d*f - c*g) + b^2*(3*d^2*f^2 - 3*c*d*f*g + c^2*g^2))*Log[f + g*x])/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(f + g*x)^5, x, 3, -(B*(b*c - a*d))/(12*(b*f - a*g)*(d*f - c*g)*(f + g*x)^3) - (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g))/(8*(b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2*(f + g*x)^2) - (B*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(3*d*f - c*g) + b^2*(3*d^2*f^2 - 3*c*d*f*g + c^2*g^2)))/(4*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3*(f + g*x)) + (b^4*B*Log[a + b*x])/(4*g*(b*f - a*g)^4) - (A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(4*g*(f + g*x)^4) - (B*d^4*Log[c + d*x])/(4*g*(d*f - c*g)^4) - (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*(2*a*b*d^2*f*g - a^2*d^2*g^2 - b^2*(2*d^2*f^2 - 2*c*d*f*g + c^2*g^2))*Log[f + g*x])/(4*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4)}
+
+
+{(f + g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2, x, 15, (B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*x)/(6*b^3*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*(4*b*d*f - 3*b*c*g - a*d*g)*x)/(4*b^3*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*(c + d*x)^2)/(12*b^2*d^4) + (B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(6*b^4*d^4) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*(4*b*d*f - 3*b*c*g - a*d*g)*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(4*b^4*d^4) - (B*(b*c - a*d)*g*(a^2*d^2*g^2 - 2*a*b*d*g*(2*d*f - c*g) + b^2*(6*d^2*f^2 - 8*c*d*f*g + 3*c^2*g^2))*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*b^4*d^3) - (B*(b*c - a*d)*g^2*(4*b*d*f - 3*b*c*g - a*d*g)*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*b^2*d^4) - (B*(b*c - a*d)*g^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(6*b*d^4) - (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*(2*a*b*d^2*f*g - a^2*d^2*g^2 - b^2*(2*d^2*f^2 - 2*c*d*f*g + c^2*g^2))*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*b^4*d^4) - ((b*f - a*g)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(4*b^4*g) + ((f + g*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(4*g) + (B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*Log[c + d*x])/(6*b^4*d^4) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*(4*b*d*f - 3*b*c*g - a*d*g)*Log[c + d*x])/(4*b^4*d^4) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g*(a^2*d^2*g^2 - 2*a*b*d*g*(2*d*f - c*g) + b^2*(6*d^2*f^2 - 8*c*d*f*g + 3*c^2*g^2))*Log[c + d*x])/(2*b^4*d^4) - (B^2*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*(2*a*b*d^2*f*g - a^2*d^2*g^2 - b^2*(2*d^2*f^2 - 2*c*d*f*g + c^2*g^2))*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(2*b^4*d^4)}
+{(f + g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2, x, 12, (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*x)/(3*b^2*d^2) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(3*b^3*d^3) - (2*B*(b*c - a*d)*g*(3*b*d*f - 2*b*c*g - a*d*g)*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*b^3*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*b*d^3) + (2*B*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(3*d*f - c*g) + b^2*(3*d^2*f^2 - 3*c*d*f*g + c^2*g^2))*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*b^3*d^3) - ((b*f - a*g)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(3*b^3*g) + ((f + g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(3*g) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*Log[c + d*x])/(3*b^3*d^3) + (2*B^2*(b*c - a*d)^2*g*(3*b*d*f - 2*b*c*g - a*d*g)*Log[c + d*x])/(3*b^3*d^3) + (2*B^2*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(3*d*f - c*g) + b^2*(3*d^2*f^2 - 3*c*d*f*g + c^2*g^2))*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(3*b^3*d^3)}
+{(f + g*x)^1*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2, x, 9, -((B*(b*c - a*d)*g*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^2*d)) + (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^2*d^2) - ((b*f - a*g)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*b^2*g) + ((f + g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*g) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g*Log[c + d*x])/(b^2*d^2) + (B^2*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^2*d^2)}
+{(f + g*x)^0*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2, x, 6, (2*B*(b*c - a*d)*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b*d) + ((a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/b + (2*B^2*(b*c - a*d)*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2/(f + g*x)^1, x, 9, -((Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/g) + ((A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2*Log[1 - ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/g - (2*B*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/g + (2*B*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/g + (2*B^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/g - (2*B^2*PolyLog[3, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/g}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2/(f + g*x)^2, x, 4, ((a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*f - a*g)*(f + g*x)) + (2*B*(b*c - a*d)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/((b*f - a*g)*(d*f - c*g)) + (2*B^2*(b*c - a*d)*PolyLog[2, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/((b*f - a*g)*(d*f - c*g))}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2/(f + g*x)^3, x, 9, (B*(b*c - a*d)*g*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)*(f + g*x)) + (b^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*g*(b*f - a*g)^2) - (A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2/(2*g*(f + g*x)^2) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/((b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2) + (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/((b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2) + (B^2*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*PolyLog[2, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/((b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2/(f + g*x)^4, x, 12, (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*(c + d*x))/(3*(b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^3*(f + g*x)) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3) - (B*(b*c - a*d)*g^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*(b*f - a*g)*(d*f - c*g)^3*(f + g*x)^2) + (2*B*(b*c - a*d)*g*(3*b*d*f - b*c*g - 2*a*d*g)*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^2*(f + g*x)) + (b^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(3*g*(b*f - a*g)^3) - (A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2/(3*g*(f + g*x)^3) - (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3) + (2*B^2*(b*c - a*d)^2*g*(3*b*d*f - b*c*g - 2*a*d*g)*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3) + (2*B*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(3*d*f - c*g) + b^2*(3*d^2*f^2 - 3*c*d*f*g + c^2*g^2))*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3) + (2*B^2*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(3*d*f - c*g) + b^2*(3*d^2*f^2 - 3*c*d*f*g + c^2*g^2))*PolyLog[2, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2/(f + g*x)^5, x, 15, -((B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*(c + d*x)^2)/(12*(b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^4*(f + g*x)^2)) - (B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*(c + d*x))/(6*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^4*(f + g*x)) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*(4*b*d*f - b*c*g - 3*a*d*g)*(c + d*x))/(4*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^4*(f + g*x)) - (B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(6*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*(4*b*d*f - b*c*g - 3*a*d*g)*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(4*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4) + (B*(b*c - a*d)*g^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(6*(b*f - a*g)*(d*f - c*g)^4*(f + g*x)^3) - (B*(b*c - a*d)*g^2*(4*b*d*f - b*c*g - 3*a*d*g)*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*(b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^4*(f + g*x)^2) + (B*(b*c - a*d)*g*(3*a^2*d^2*g^2 - 2*a*b*d*g*(4*d*f - c*g) + b^2*(6*d^2*f^2 - 4*c*d*f*g + c^2*g^2))*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^3*(f + g*x)) + (b^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(4*g*(b*f - a*g)^4) - (A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2/(4*g*(f + g*x)^4) + (B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/(6*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4) - (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*(4*b*d*f - b*c*g - 3*a*d*g)*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/(4*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g*(3*a^2*d^2*g^2 - 2*a*b*d*g*(4*d*f - c*g) + b^2*(6*d^2*f^2 - 4*c*d*f*g + c^2*g^2))*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/(2*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4) - (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*(2*a*b*d^2*f*g - a^2*d^2*g^2 - b^2*(2*d^2*f^2 - 2*c*d*f*g + c^2*g^2))*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(2*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4) - (B^2*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*(2*a*b*d^2*f*g - a^2*d^2*g^2 - b^2*(2*d^2*f^2 - 2*c*d*f*g + c^2*g^2))*PolyLog[2, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(2*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4)}
+
+
+{Log[(1 + x)/(-1 + x)]/x^2, x, 3, 2*Log[-(x/(1 - x))] - ((1 + x)*Log[-((1 + x)/(1 - x))])/x}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(f + g*x)^2/(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]), x, 0, Unintegrable[(f + g*x)^2/(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]), x]}
+{(f + g*x)^1/(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]), x, 0, Unintegrable[(f + g*x)/(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]), x]}
+{(f + g*x)^0/(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]), x, 0, Unintegrable[(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^(-1), x]}
+{1/((f + g*x)^1*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])), x]}
+{1/((f + g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])), x]}
+{1/((f + g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])), x]}
+
+
+{(f + g*x)^2/(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2, x, 0, Unintegrable[(f + g*x)^2/(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2, x]}
+{(f + g*x)^1/(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2, x, 0, Unintegrable[(f + g*x)/(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2, x]}
+{(f + g*x)^0/(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2, x, 0, Unintegrable[(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^(-2), x]}
+{1/((f + g*x)^1*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2), x]}
+{1/((f + g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2), x]}
+{1/((f + g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e (a+b x)^2/(c+d x)^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(f + g*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]), x, 3, (2*B*(b*c - a*d)*g*(a^3*d^3*g^3 - a^2*b*d^2*g^2*(5*d*f - c*g) + a*b^2*d*g*(10*d^2*f^2 - 5*c*d*f*g + c^2*g^2) - b^3*(10*d^3*f^3 - 10*c*d^2*f^2*g + 5*c^2*d*f*g^2 - c^3*g^3))*x)/(5*b^4*d^4) - (B*(b*c - a*d)*g^2*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(5*d*f - c*g) + b^2*(10*d^2*f^2 - 5*c*d*f*g + c^2*g^2))*x^2)/(5*b^3*d^3) - (2*B*(b*c - a*d)*g^3*(5*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*x^3)/(15*b^2*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^4*x^4)/(10*b*d) - (2*B*(b*f - a*g)^5*Log[a + b*x])/(5*b^5*g) + ((f + g*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(5*g) + (2*B*(d*f - c*g)^5*Log[c + d*x])/(5*d^5*g)}
+{(f + g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]), x, 3, -(B*(b*c - a*d)*g*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(4*d*f - c*g) + b^2*(6*d^2*f^2 - 4*c*d*f*g + c^2*g^2))*x)/(2*b^3*d^3) - (B*(b*c - a*d)*g^2*(4*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*x^2)/(4*b^2*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^3*x^3)/(6*b*d) - (B*(b*f - a*g)^4*Log[a + b*x])/(2*b^4*g) + ((f + g*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(4*g) + (B*(d*f - c*g)^4*Log[c + d*x])/(2*d^4*g)}
+{(f + g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]), x, 3, (-2*B*(b*c - a*d)*g*(3*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*x)/(3*b^2*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g^2*x^2)/(3*b*d) - (2*B*(b*f - a*g)^3*Log[a + b*x])/(3*b^3*g) + ((f + g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(3*g) + (2*B*(d*f - c*g)^3*Log[c + d*x])/(3*d^3*g)}
+{(f + g*x)^1*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]), x, 3, -((B*(b*c - a*d)*g*x)/(b*d)) - (B*(b*f - a*g)^2*Log[a + b*x])/(b^2*g) + ((f + g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(2*g) + (B*(d*f - c*g)^2*Log[c + d*x])/(d^2*g)}
+{(f + g*x)^0*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]), x, 3, A*x + (B*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/b - (2*B*(b*c - a*d)*Log[c + d*x])/(b*d)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(f + g*x)^1, x, 7, (-2*B*Log[-((g*(a + b*x))/(b*f - a*g))]*Log[f + g*x])/g + ((A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])*Log[f + g*x])/g + (2*B*Log[-((g*(c + d*x))/(d*f - c*g))]*Log[f + g*x])/g - (2*B*PolyLog[2, (b*(f + g*x))/(b*f - a*g)])/g + (2*B*PolyLog[2, (d*(f + g*x))/(d*f - c*g)])/g}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(f + g*x)^2, x, 3, ((a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/((b*f - a*g)*(f + g*x)) + (2*B*(b*c - a*d)*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/((b*f - a*g)*(d*f - c*g))}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(f + g*x)^3, x, 3, -((B*(b*c - a*d))/((b*f - a*g)*(d*f - c*g)*(f + g*x))) + (b^2*B*Log[a + b*x])/(g*(b*f - a*g)^2) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(2*g*(f + g*x)^2) - (B*d^2*Log[c + d*x])/(g*(d*f - c*g)^2) + (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*Log[f + g*x])/((b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(f + g*x)^4, x, 3, -(B*(b*c - a*d))/(3*(b*f - a*g)*(d*f - c*g)*(f + g*x)^2) - (2*B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g))/(3*(b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2*(f + g*x)) + (2*b^3*B*Log[a + b*x])/(3*g*(b*f - a*g)^3) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(3*g*(f + g*x)^3) - (2*B*d^3*Log[c + d*x])/(3*g*(d*f - c*g)^3) + (2*B*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(3*d*f - c*g) + b^2*(3*d^2*f^2 - 3*c*d*f*g + c^2*g^2))*Log[f + g*x])/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(f + g*x)^5, x, 3, -(B*(b*c - a*d))/(6*(b*f - a*g)*(d*f - c*g)*(f + g*x)^3) - (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g))/(4*(b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2*(f + g*x)^2) - (B*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(3*d*f - c*g) + b^2*(3*d^2*f^2 - 3*c*d*f*g + c^2*g^2)))/(2*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3*(f + g*x)) + (b^4*B*Log[a + b*x])/(2*g*(b*f - a*g)^4) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])/(4*g*(f + g*x)^4) - (B*d^4*Log[c + d*x])/(2*g*(d*f - c*g)^4) - (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*(2*a*b*d^2*f*g - a^2*d^2*g^2 - b^2*(2*d^2*f^2 - 2*c*d*f*g + c^2*g^2))*Log[f + g*x])/(2*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4)}
+
+
+{(f + g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2, x, 15, (2*B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*x)/(3*b^3*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*(4*b*d*f - 3*b*c*g - a*d*g)*x)/(b^3*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*(c + d*x)^2)/(3*b^2*d^4) - (B*(b*c - a*d)*g*(a^2*d^2*g^2 - 2*a*b*d*g*(2*d*f - c*g) + b^2*(6*d^2*f^2 - 8*c*d*f*g + 3*c^2*g^2))*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(b^4*d^3) - (B*(b*c - a*d)*g^2*(4*b*d*f - 3*b*c*g - a*d*g)*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(2*b^2*d^4) - (B*(b*c - a*d)*g^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(3*b*d^4) - ((b*f - a*g)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/(4*b^4*g) + ((f + g*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/(4*g) - (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*(2*a*b*d^2*f*g - a^2*d^2*g^2 - b^2*(2*d^2*f^2 - 2*c*d*f*g + c^2*g^2))*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(b^4*d^4) + (2*B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(3*b^4*d^4) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*(4*b*d*f - 3*b*c*g - a*d*g)*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(b^4*d^4) + (2*B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*Log[c + d*x])/(3*b^4*d^4) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*(4*b*d*f - 3*b*c*g - a*d*g)*Log[c + d*x])/(b^4*d^4) + (2*B^2*(b*c - a*d)^2*g*(a^2*d^2*g^2 - 2*a*b*d*g*(2*d*f - c*g) + b^2*(6*d^2*f^2 - 8*c*d*f*g + 3*c^2*g^2))*Log[c + d*x])/(b^4*d^4) - (2*B^2*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*(2*a*b*d^2*f*g - a^2*d^2*g^2 - b^2*(2*d^2*f^2 - 2*c*d*f*g + c^2*g^2))*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^4*d^4)}
+{(f + g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2, x, 12, (4*B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*x)/(3*b^2*d^2) - (4*B*(b*c - a*d)*g*(3*b*d*f - 2*b*c*g - a*d*g)*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(3*b^3*d^2) - (2*B*(b*c - a*d)*g^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(3*b*d^3) - ((b*f - a*g)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/(3*b^3*g) + ((f + g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/(3*g) + (4*B*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(3*d*f - c*g) + b^2*(3*d^2*f^2 - 3*c*d*f*g + c^2*g^2))*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(3*b^3*d^3) + (4*B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(3*b^3*d^3) + (4*B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*Log[c + d*x])/(3*b^3*d^3) + (8*B^2*(b*c - a*d)^2*g*(3*b*d*f - 2*b*c*g - a*d*g)*Log[c + d*x])/(3*b^3*d^3) + (8*B^2*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(3*d*f - c*g) + b^2*(3*d^2*f^2 - 3*c*d*f*g + c^2*g^2))*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(3*b^3*d^3)}
+{(f + g*x)^1*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2, x, 9, -((2*B*(b*c - a*d)*g*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(b^2*d)) - ((b*f - a*g)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/(2*b^2*g) + ((f + g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/(2*g) + (2*B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(b^2*d^2) + (4*B^2*(b*c - a*d)^2*g*Log[c + d*x])/(b^2*d^2) + (4*B^2*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^2*d^2)}
+{(f + g*x)^0*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2, x, 6, ((a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/b + (4*B*(b*c - a*d)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(b*d) + (8*B^2*(b*c - a*d)*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2/(f + g*x)^1, x, 9, -(((A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/g) + ((A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2*Log[1 - ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/g - (4*B*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/g + (4*B*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])*PolyLog[2, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/g + (8*B^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/g - (8*B^2*PolyLog[3, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/g}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2/(f + g*x)^2, x, 4, ((a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/((b*f - a*g)*(f + g*x)) + (4*B*(b*c - a*d)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])*Log[1 - ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/((b*f - a*g)*(d*f - c*g)) + (8*B^2*(b*c - a*d)*PolyLog[2, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/((b*f - a*g)*(d*f - c*g))}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2/(f + g*x)^3, x, 9, (2*B*(b*c - a*d)*g*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/((b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)*(f + g*x)) + (b^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/(2*g*(b*f - a*g)^2) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2/(2*g*(f + g*x)^2) + (4*B^2*(b*c - a*d)^2*g*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/((b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2) + (2*B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])*Log[1 - ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/((b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2) + (4*B^2*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*PolyLog[2, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/((b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2/(f + g*x)^4, x, 12, (4*B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*(c + d*x))/(3*(b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^3*(f + g*x)) - (2*B*(b*c - a*d)*g^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(3*(b*f - a*g)*(d*f - c*g)^3*(f + g*x)^2) + (4*B*(b*c - a*d)*g*(3*b*d*f - b*c*g - 2*a*d*g)*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^2*(f + g*x)) + (b^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/(3*g*(b*f - a*g)^3) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2/(3*g*(f + g*x)^3) + (4*B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3) - (4*B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3) + (8*B^2*(b*c - a*d)^2*g*(3*b*d*f - b*c*g - 2*a*d*g)*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3) + (4*B*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(3*d*f - c*g) + b^2*(3*d^2*f^2 - 3*c*d*f*g + c^2*g^2))*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])*Log[1 - ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3) + (8*B^2*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*g^2 - a*b*d*g*(3*d*f - c*g) + b^2*(3*d^2*f^2 - 3*c*d*f*g + c^2*g^2))*PolyLog[2, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^3)}
+{(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2/(f + g*x)^5, x, 15, -((B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*(c + d*x)^2)/(3*(b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^4*(f + g*x)^2)) - (2*B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*(c + d*x))/(3*(b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^4*(f + g*x)) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*(4*b*d*f - b*c*g - 3*a*d*g)*(c + d*x))/((b*f - a*g)^3*(d*f - c*g)^4*(f + g*x)) + (B*(b*c - a*d)*g^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(3*(b*f - a*g)*(d*f - c*g)^4*(f + g*x)^3) - (B*(b*c - a*d)*g^2*(4*b*d*f - b*c*g - 3*a*d*g)*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/(2*(b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^4*(f + g*x)^2) + (B*(b*c - a*d)*g*(3*a^2*d^2*g^2 - 2*a*b*d*g*(4*d*f - c*g) + b^2*(6*d^2*f^2 - 4*c*d*f*g + c^2*g^2))*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]))/((b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^3*(f + g*x)) + (b^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2)/(4*g*(b*f - a*g)^4) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2/(4*g*(f + g*x)^4) - (2*B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(3*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*(4*b*d*f - b*c*g - 3*a*d*g)*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/((b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4) + (2*B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/(3*(b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4) - (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*(4*b*d*f - b*c*g - 3*a*d*g)*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/((b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4) + (2*B^2*(b*c - a*d)^2*g*(3*a^2*d^2*g^2 - 2*a*b*d*g*(4*d*f - c*g) + b^2*(6*d^2*f^2 - 4*c*d*f*g + c^2*g^2))*Log[(f + g*x)/(c + d*x)])/((b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4) - (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*(2*a*b*d^2*f*g - a^2*d^2*g^2 - b^2*(2*d^2*f^2 - 2*c*d*f*g + c^2*g^2))*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])*Log[1 - ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/((b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4) - (2*B^2*(b*c - a*d)*(2*b*d*f - b*c*g - a*d*g)*(2*a*b*d^2*f*g - a^2*d^2*g^2 - b^2*(2*d^2*f^2 - 2*c*d*f*g + c^2*g^2))*PolyLog[2, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/((b*f - a*g)^4*(d*f - c*g)^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(f + g*x)^2/(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]), x, 0, Unintegrable[(f + g*x)^2/(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]), x]}
+{(f + g*x)^1/(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]), x, 0, Unintegrable[(f + g*x)/(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]), x]}
+{(f + g*x)^0/(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2]), x, 0, Unintegrable[(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^(-1), x]}
+{1/((f + g*x)^1*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])), x]}
+{1/((f + g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])), x]}
+{1/((f + g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])), x]}
+
+
+{(f + g*x)^2/(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2, x, 0, Unintegrable[(f + g*x)^2/(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2, x]}
+{(f + g*x)^1/(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2, x, 0, Unintegrable[(f + g*x)/(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2, x]}
+{(f + g*x)^0/(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2, x, 0, Unintegrable[(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^(-2), x]}
+{1/((f + g*x)^1*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2), x]}
+{1/((f + g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2), x]}
+{1/((f + g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^2)/(c + d*x)^2])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (A+B Log[e (a+b x)^n/(c+d x)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])*(g + h*x)^4, x, 3, (B*(b*c - a*d)*h*(a^3*d^3*h^3 - a^2*b*d^2*h^2*(5*d*g - c*h) + a*b^2*d*h*(10*d^2*g^2 - 5*c*d*g*h + c^2*h^2) - b^3*(10*d^3*g^3 - 10*c*d^2*g^2*h + 5*c^2*d*g*h^2 - c^3*h^3))*n*x)/(5*b^4*d^4) - (B*(b*c - a*d)*h^2*(a^2*d^2*h^2 - a*b*d*h*(5*d*g - c*h) + b^2*(10*d^2*g^2 - 5*c*d*g*h + c^2*h^2))*n*x^2)/(10*b^3*d^3) - (B*(b*c - a*d)*h^3*(5*b*d*g - b*c*h - a*d*h)*n*x^3)/(15*b^2*d^2) - (B*(b*c - a*d)*h^4*n*x^4)/(20*b*d) - (B*(b*g - a*h)^5*n*Log[a + b*x])/(5*b^5*h) + (B*(d*g - c*h)^5*n*Log[c + d*x])/(5*d^5*h) + ((g + h*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(5*h)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])*(g + h*x)^3, x, 3, -((B*(b*c - a*d)*h*(a^2*d^2*h^2 - a*b*d*h*(4*d*g - c*h) + b^2*(6*d^2*g^2 - 4*c*d*g*h + c^2*h^2))*n*x)/(4*b^3*d^3)) - (B*(b*c - a*d)*h^2*(4*b*d*g - b*c*h - a*d*h)*n*x^2)/(8*b^2*d^2) - (B*(b*c - a*d)*h^3*n*x^3)/(12*b*d) - (B*(b*g - a*h)^4*n*Log[a + b*x])/(4*b^4*h) + (B*(d*g - c*h)^4*n*Log[c + d*x])/(4*d^4*h) + ((g + h*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(4*h)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])*(g + h*x)^2, x, 3, -((B*(b*c - a*d)*h*(3*b*d*g - b*c*h - a*d*h)*n*x)/(3*b^2*d^2)) - (B*(b*c - a*d)*h^2*n*x^2)/(6*b*d) - (B*(b*g - a*h)^3*n*Log[a + b*x])/(3*b^3*h) + (B*(d*g - c*h)^3*n*Log[c + d*x])/(3*d^3*h) + ((g + h*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(3*h)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])*(g + h*x)^1, x, 3, -((B*(b*c - a*d)*h*n*x)/(2*b*d)) - (B*(b*g - a*h)^2*n*Log[a + b*x])/(2*b^2*h) + (B*(d*g - c*h)^2*n*Log[c + d*x])/(2*d^2*h) + ((g + h*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(2*h)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])*(g + h*x)^0, x, 3, A*x - (B*(b*c - a*d)*n*Log[c + d*x])/(b*d) + (B*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])/b}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])/(g + h*x)^1, x, 7, -((B*n*Log[-((h*(a + b*x))/(b*g - a*h))]*Log[g + h*x])/h) + (B*n*Log[-((h*(c + d*x))/(d*g - c*h))]*Log[g + h*x])/h + ((A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*Log[g + h*x])/h - (B*n*PolyLog[2, (b*(g + h*x))/(b*g - a*h)])/h + (B*n*PolyLog[2, (d*(g + h*x))/(d*g - c*h)])/h}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])/(g + h*x)^2, x, 3, (b*B*n*Log[a + b*x])/(h*(b*g - a*h)) - (B*d*n*Log[c + d*x])/(h*(d*g - c*h)) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])/(h*(g + h*x)) + (B*(b*c - a*d)*n*Log[g + h*x])/((b*g - a*h)*(d*g - c*h))}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])/(g + h*x)^3, x, 3, -((B*(b*c - a*d)*n)/(2*(b*g - a*h)*(d*g - c*h)*(g + h*x))) + (b^2*B*n*Log[a + b*x])/(2*h*(b*g - a*h)^2) - (B*d^2*n*Log[c + d*x])/(2*h*(d*g - c*h)^2) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])/(2*h*(g + h*x)^2) + (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*g - b*c*h - a*d*h)*n*Log[g + h*x])/(2*(b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)^2)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])/(g + h*x)^4, x, 3, -((B*(b*c - a*d)*n)/(6*(b*g - a*h)*(d*g - c*h)*(g + h*x)^2)) - (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*g - b*c*h - a*d*h)*n)/(3*(b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)^2*(g + h*x)) + (b^3*B*n*Log[a + b*x])/(3*h*(b*g - a*h)^3) - (B*d^3*n*Log[c + d*x])/(3*h*(d*g - c*h)^3) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])/(3*h*(g + h*x)^3) + (B*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*h^2 - a*b*d*h*(3*d*g - c*h) + b^2*(3*d^2*g^2 - 3*c*d*g*h + c^2*h^2))*n*Log[g + h*x])/(3*(b*g - a*h)^3*(d*g - c*h)^3)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])/(g + h*x)^5, x, 3, -((B*(b*c - a*d)*n)/(12*(b*g - a*h)*(d*g - c*h)*(g + h*x)^3)) - (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*g - b*c*h - a*d*h)*n)/(8*(b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)^2*(g + h*x)^2) - (B*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*h^2 - a*b*d*h*(3*d*g - c*h) + b^2*(3*d^2*g^2 - 3*c*d*g*h + c^2*h^2))*n)/(4*(b*g - a*h)^3*(d*g - c*h)^3*(g + h*x)) + (b^4*B*n*Log[a + b*x])/(4*h*(b*g - a*h)^4) - (B*d^4*n*Log[c + d*x])/(4*h*(d*g - c*h)^4) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])/(4*h*(g + h*x)^4) - (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*g - b*c*h - a*d*h)*(2*a*b*d^2*g*h - a^2*d^2*h^2 - b^2*(2*d^2*g^2 - 2*c*d*g*h + c^2*h^2))*n*Log[g + h*x])/(4*(b*g - a*h)^4*(d*g - c*h)^4)}
+
+
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2*(g + h*x)^2, x, 13, (B^2*(b*c - a*d)^2*h^2*n^2*x)/(3*b^2*d^2) + (B^2*(b*c - a*d)^3*h^2*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(3*b^3*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^3*h^2*n^2*Log[c + d*x])/(3*b^3*d^3) + (2*B^2*(b*c - a*d)^2*h*(3*b*d*g - 2*b*c*h - a*d*h)*n^2*Log[c + d*x])/(3*b^3*d^3) - (2*B*(b*c - a*d)*h*(3*b*d*g - 2*b*c*h - a*d*h)*n*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(3*b^3*d^2) - (B*(b*c - a*d)*h^2*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(3*b*d^3) + (2*B*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*h^2 - a*b*d*h*(3*d*g - c*h) + b^2*(3*d^2*g^2 - 3*c*d*g*h + c^2*h^2))*n*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(3*b^3*d^3) - ((b*g - a*h)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(3*b^3*h) + ((g + h*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(3*h) + (2*B^2*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*h^2 - a*b*d*h*(3*d*g - c*h) + b^2*(3*d^2*g^2 - 3*c*d*g*h + c^2*h^2))*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(3*b^3*d^3)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2*(g + h*x)^1, x, 10, (B^2*(b*c - a*d)^2*h*n^2*Log[c + d*x])/(b^2*d^2) - (B*(b*c - a*d)*h*n*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(b^2*d) + (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*g - b*c*h - a*d*h)*n*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(b^2*d^2) - ((b*g - a*h)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(2*b^2*h) + ((g + h*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(2*h) + (B^2*(b*c - a*d)*(2*b*d*g - b*c*h - a*d*h)*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^2*d^2)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2*(g + h*x)^0, x, 6, (2*B*(b*c - a*d)*n*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(b*d) + ((a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/b + (2*B^2*(b*c - a*d)*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2/(g + h*x)^1, x, 10, -((Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/h) + ((A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2*Log[1 - ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/h - (2*B*n*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/h + (2*B*n*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[2, ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/h + (2*B^2*n^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/h - (2*B^2*n^2*PolyLog[3, ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/h}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2/(g + h*x)^2, x, 5, ((a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/((b*g - a*h)*(g + h*x)) + (2*B*(b*c - a*d)*n*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*Log[1 - ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/((b*g - a*h)*(d*g - c*h)) + (2*B^2*(b*c - a*d)*n^2*PolyLog[2, ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/((b*g - a*h)*(d*g - c*h))}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2/(g + h*x)^3, x, 10, (B*(b*c - a*d)*h*n*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/((b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)*(g + h*x)) + (b^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(2*h*(b*g - a*h)^2) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2/(2*h*(g + h*x)^2) + (B^2*(b*c - a*d)^2*h*n^2*Log[(g + h*x)/(c + d*x)])/((b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)^2) + (B*(b*c - a*d)*(2*b*d*g - b*c*h - a*d*h)*n*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*Log[1 - ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/((b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)^2) + (B^2*(b*c - a*d)*(2*b*d*g - b*c*h - a*d*h)*n^2*PolyLog[2, ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/((b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)^2)}
+
+
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3*(g + h*x)^2, x, 19, -((B^3*(b*c - a*d)^3*h^2*n^3*Log[c + d*x])/(b^3*d^3)) + (B^2*(b*c - a*d)^2*h^2*n^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(b^3*d^2) - (2*B^2*(b*c - a*d)^2*h*(3*b*d*g - 2*b*c*h - a*d*h)*n^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(b^3*d^3) - (B*(b*c - a*d)*h*(3*b*d*g - 2*b*c*h - a*d*h)*n*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(b^3*d^2) - (B*(b*c - a*d)*h^2*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(2*b*d^3) + (B*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*h^2 - a*b*d*h*(3*d*g - c*h) + b^2*(3*d^2*g^2 - 3*c*d*g*h + c^2*h^2))*n*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(b^3*d^3) - ((b*g - a*h)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/(3*b^3*h) + ((g + h*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/(3*h) - (B^2*(b*c - a*d)^3*h^2*n^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*d^3) - (2*B^3*(b*c - a*d)^2*h*(3*b*d*g - 2*b*c*h - a*d*h)*n^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^3*d^3) + (2*B^2*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*h^2 - a*b*d*h*(3*d*g - c*h) + b^2*(3*d^2*g^2 - 3*c*d*g*h + c^2*h^2))*n^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^3*d^3) + (B^3*(b*c - a*d)^3*h^2*n^3*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*d^3) - (2*B^3*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*h^2 - a*b*d*h*(3*d*g - c*h) + b^2*(3*d^2*g^2 - 3*c*d*g*h + c^2*h^2))*n^3*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^3*d^3)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3*(g + h*x)^1, x, 13, -((3*B^2*(b*c - a*d)^2*h*n^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(b^2*d^2)) - (3*B*(b*c - a*d)*h*n*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(2*b^2*d) + (3*B*(b*c - a*d)*(2*b*d*g - b*c*h - a*d*h)*n*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(2*b^2*d^2) - ((b*g - a*h)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/(2*b^2*h) + ((g + h*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/(2*h) - (3*B^3*(b*c - a*d)^2*h*n^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^2*d^2) + (3*B^2*(b*c - a*d)*(2*b*d*g - b*c*h - a*d*h)*n^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^2*d^2) - (3*B^3*(b*c - a*d)*(2*b*d*g - b*c*h - a*d*h)*n^3*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^2*d^2)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3*(g + h*x)^0, x, 6, (3*B*(b*c - a*d)*n*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(b*d) + ((a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/b + (6*B^2*(b*c - a*d)*n^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d) - (6*B^3*(b*c - a*d)*n^3*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*d)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3/(g + h*x)^1, x, 12, -((Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/h) + ((A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3*Log[1 - ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/h - (3*B*n*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/h + (3*B*n*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2*PolyLog[2, ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/h + (6*B^2*n^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/h - (6*B^2*n^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[3, ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/h - (6*B^3*n^3*PolyLog[4, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/h + (6*B^3*n^3*PolyLog[4, ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/h}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3/(g + h*x)^2, x, 6, ((a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/((b*g - a*h)*(g + h*x)) + (3*B*(b*c - a*d)*n*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2*Log[1 - ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/((b*g - a*h)*(d*g - c*h)) + (6*B^2*(b*c - a*d)*n^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[2, ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/((b*g - a*h)*(d*g - c*h)) - (6*B^3*(b*c - a*d)*n^3*PolyLog[3, ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/((b*g - a*h)*(d*g - c*h))}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3/(g + h*x)^3, x, 13, (3*B*(b*c - a*d)*h*n*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2)/(2*(b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)*(g + h*x)) + (b^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3)/(2*h*(b*g - a*h)^2) - (A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3/(2*h*(g + h*x)^2) + (3*B^2*(b*c - a*d)^2*h*n^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*Log[1 - ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/((b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)^2) + (3*B*(b*c - a*d)*(2*b*d*g - b*c*h - a*d*h)*n*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2*Log[1 - ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/(2*(b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)^2) + (3*B^3*(b*c - a*d)^2*h*n^3*PolyLog[2, ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/((b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)^2) + (3*B^2*(b*c - a*d)*(2*b*d*g - b*c*h - a*d*h)*n^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[2, ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/((b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)^2) - (3*B^3*(b*c - a*d)*(2*b*d*g - b*c*h - a*d*h)*n^3*PolyLog[3, ((d*g - c*h)*(a + b*x))/((b*g - a*h)*(c + d*x))])/((b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.2.2 (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B log(e ((a+b x) over (c+d x))^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.2.2 (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B log(e ((a+b x) over (c+d x))^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..353b59ee
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.2.2 (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B log(e ((a+b x) over (c+d x))^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,439 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B Log[e ((a+b x)/(c+d x))^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B Log[e ((a+b x)/(c+d x))^n])^p when b f-a g=0 and d h-c i=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B Log[e (a+b x) / (c+d x)])^1 when b f-a g=0 and d h-c i=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)]), x, 5, -((B*(b*c - a*d)^4*g^3*i*x)/(20*b*d^3)) + (B*(b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)^2)/(40*b^2*d^2) - (B*(b*c - a*d)^2*g^3*i*(a + b*x)^3)/(60*b^2*d) + (g^3*i*(a + b*x)^4*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(5*b) + ((b*c - a*d)*g^3*i*(a + b*x)^4*(A - B + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(20*b^2) + (B*(b*c - a*d)^5*g^3*i*Log[c + d*x])/(20*b^2*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)]), x, 5, (B*(b*c - a*d)^3*g^2*i*x)/(12*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)^2*g^2*i*(a + b*x)^2)/(24*b^2*d) + (g^2*i*(a + b*x)^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*b) + ((b*c - a*d)*g^2*i*(a + b*x)^3*(A - B + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(12*b^2) - (B*(b*c - a*d)^4*g^2*i*Log[c + d*x])/(12*b^2*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)]), x, 5, -((B*(b*c - a*d)^2*g*i*x)/(6*b*d)) + (g*i*(a + b*x)^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*b) + ((b*c - a*d)*g*i*(a + b*x)^2*(A - B + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(6*b^2) + (B*(b*c - a*d)^3*g*i*Log[c + d*x])/(6*b^2*d^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)]), x, 4, -((B*(b*c - a*d)*i*x)/(2*b)) - (B*(b*c - a*d)^2*i*Log[a + b*x])/(2*b^2*d) + (i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*d)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^1, x, 6, (i*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b*g) - ((b*c - a*d)*i*Log[-((b*c - a*d)/(d*(a + b*x)))]*(A - B + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^2*g) + (B*(b*c - a*d)*i*PolyLog[2, 1 + (b*c - a*d)/(d*(a + b*x))])/(b^2*g)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^2, x, 5, -((B*i*(c + d*x))/(b*g^2*(a + b*x))) - (i*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b*g^2*(a + b*x)) - (d*i*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*g^2) + (B*d*i*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*g^2)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^3, x, 2, -((B*i*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2)) - (i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^4, x, 5, (B*d*i*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^2) - (b*B*i*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3) + (d*i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^2) - (b*i*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^5, x, 5, -((B*d^2*i*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^2)) + (2*b*B*d*i*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^3) - (b^2*B*i*(c + d*x)^4)/(16*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^4) - (d^2*i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^2) + (2*b*d*i*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^3) - (b^2*i*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^4)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)]), x, 5, (B*(b*c - a*d)^5*g^3*i^2*x)/(60*b^2*d^3) + (B*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(c + d*x)^2)/(120*b*d^4) - (19*B*(b*c - a*d)^3*g^3*i^2*(c + d*x)^3)/(180*d^4) + (13*b*B*(b*c - a*d)^2*g^3*i^2*(c + d*x)^4)/(120*d^4) - (b^2*B*(b*c - a*d)*g^3*i^2*(c + d*x)^5)/(30*d^4) + (B*(b*c - a*d)^6*g^3*i^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(60*b^3*d^4) - ((b*c - a*d)^3*g^3*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*d^4) + (3*b*(b*c - a*d)^2*g^3*i^2*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*d^4) - (3*b^2*(b*c - a*d)*g^3*i^2*(c + d*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(5*d^4) + (b^3*g^3*i^2*(c + d*x)^6*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(6*d^4) + (B*(b*c - a*d)^6*g^3*i^2*Log[c + d*x])/(60*b^3*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)]), x, 5, -((B*(b*c - a*d)^4*g^2*i^2*x)/(30*b^2*d^2)) - (B*(b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(c + d*x)^2)/(60*b*d^3) + (B*(b*c - a*d)^2*g^2*i^2*(c + d*x)^3)/(10*d^3) - (b*B*(b*c - a*d)*g^2*i^2*(c + d*x)^4)/(20*d^3) - (B*(b*c - a*d)^5*g^2*i^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(30*b^3*d^3) + ((b*c - a*d)^2*g^2*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*d^3) - (b*(b*c - a*d)*g^2*i^2*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*d^3) + (b^2*g^2*i^2*(c + d*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(5*d^3) - (B*(b*c - a*d)^5*g^2*i^2*Log[c + d*x])/(30*b^3*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)]), x, 5, (B*(b*c - a*d)^3*g*i^2*x)/(12*b^2*d) + (B*(b*c - a*d)^2*g*i^2*(c + d*x)^2)/(24*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g*i^2*(c + d*x)^3)/(12*d^2) + (B*(b*c - a*d)^4*g*i^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(12*b^3*d^2) - ((b*c - a*d)*g*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*d^2) + (b*g*i^2*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*d^2) + (B*(b*c - a*d)^4*g*i^2*Log[c + d*x])/(12*b^3*d^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)]), x, 4, -((B*(b*c - a*d)^2*i^2*x)/(3*b^2)) - (B*(b*c - a*d)*i^2*(c + d*x)^2)/(6*b*d) - (B*(b*c - a*d)^3*i^2*Log[a + b*x])/(3*b^3*d) + (i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*d)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^1, x, 10, -((B*d*(b*c - a*d)*i^2*x)/(2*b^2*g)) - (B*(b*c - a*d)^2*i^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(2*b^3*g) + (d*(b*c - a*d)*i^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^3*g) + (i^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*b*g) - (3*B*(b*c - a*d)^2*i^2*Log[c + d*x])/(2*b^3*g) - ((b*c - a*d)^2*i^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g) + (B*(b*c - a*d)^2*i^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^2, x, 8, -((B*(b*c - a*d)*i^2*(c + d*x))/(b^2*g^2*(a + b*x))) + (d^2*i^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^3*g^2) - ((b*c - a*d)*i^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^2*g^2*(a + b*x)) - (B*d*(b*c - a*d)*i^2*Log[c + d*x])/(b^3*g^2) - (2*d*(b*c - a*d)*i^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^2) + (2*B*d*(b*c - a*d)*i^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^2)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^3, x, 7, -((B*d*i^2*(c + d*x))/(b^2*g^3*(a + b*x))) - (B*i^2*(c + d*x)^2)/(4*b*g^3*(a + b*x)^2) - (d*i^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^2*g^3*(a + b*x)) - (i^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*b*g^3*(a + b*x)^2) - (d^2*i^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^3) + (B*d^2*i^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^3)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^4, x, 2, -((B*i^2*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^3)) - (i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^3)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^5, x, 5, (B*d*i^2*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^3) - (b*B*i^2*(c + d*x)^4)/(16*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^4) + (d*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^3) - (b*i^2*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^4)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^6, x, 5, -((B*d^2*i^2*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^3)) + (b*B*d*i^2*(c + d*x)^4)/(8*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^4) - (b^2*B*i^2*(c + d*x)^5)/(25*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^5) - (d^2*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^3) + (b*d*i^2*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^4) - (b^2*i^2*(c + d*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(5*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^5)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)]), x, 5, (B*(b*c - a*d)^6*g^3*i^3*x)/(140*b^3*d^3) + (B*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)^2)/(280*b^2*d^4) + (B*(b*c - a*d)^4*g^3*i^3*(c + d*x)^3)/(420*b*d^4) - (17*B*(b*c - a*d)^3*g^3*i^3*(c + d*x)^4)/(280*d^4) + (b*B*(b*c - a*d)^2*g^3*i^3*(c + d*x)^5)/(14*d^4) - (b^2*B*(b*c - a*d)*g^3*i^3*(c + d*x)^6)/(42*d^4) + (B*(b*c - a*d)^7*g^3*i^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(140*b^4*d^4) - ((b*c - a*d)^3*g^3*i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*d^4) + (3*b*(b*c - a*d)^2*g^3*i^3*(c + d*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(5*d^4) - (b^2*(b*c - a*d)*g^3*i^3*(c + d*x)^6*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*d^4) + (b^3*g^3*i^3*(c + d*x)^7*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(7*d^4) + (B*(b*c - a*d)^7*g^3*i^3*Log[c + d*x])/(140*b^4*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)]), x, 5, -((B*(b*c - a*d)^5*g^2*i^3*x)/(60*b^3*d^2)) - (B*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)^2)/(120*b^2*d^3) - (B*(b*c - a*d)^3*g^2*i^3*(c + d*x)^3)/(180*b*d^3) + (7*B*(b*c - a*d)^2*g^2*i^3*(c + d*x)^4)/(120*d^3) - (b*B*(b*c - a*d)*g^2*i^3*(c + d*x)^5)/(30*d^3) - (B*(b*c - a*d)^6*g^2*i^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(60*b^4*d^3) + ((b*c - a*d)^2*g^2*i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*d^3) - (2*b*(b*c - a*d)*g^2*i^3*(c + d*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(5*d^3) + (b^2*g^2*i^3*(c + d*x)^6*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(6*d^3) - (B*(b*c - a*d)^6*g^2*i^3*Log[c + d*x])/(60*b^4*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)]), x, 5, (B*(b*c - a*d)^4*g*i^3*x)/(20*b^3*d) + (B*(b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)^2)/(40*b^2*d^2) + (B*(b*c - a*d)^2*g*i^3*(c + d*x)^3)/(60*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g*i^3*(c + d*x)^4)/(20*d^2) + (B*(b*c - a*d)^5*g*i^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(20*b^4*d^2) - ((b*c - a*d)*g*i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*d^2) + (b*g*i^3*(c + d*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(5*d^2) + (B*(b*c - a*d)^5*g*i^3*Log[c + d*x])/(20*b^4*d^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)]), x, 4, -((B*(b*c - a*d)^3*i^3*x)/(4*b^3)) - (B*(b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)^2)/(8*b^2*d) - (B*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^3)/(12*b*d) - (B*(b*c - a*d)^4*i^3*Log[a + b*x])/(4*b^4*d) + (i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*d)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^1, x, 14, -((5*B*d*(b*c - a*d)^2*i^3*x)/(6*b^3*g)) - (B*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2)/(6*b^2*g) - (5*B*(b*c - a*d)^3*i^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(6*b^4*g) + (d*(b*c - a*d)^2*i^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^4*g) + ((b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*b^2*g) + (i^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*b*g) - (11*B*(b*c - a*d)^3*i^3*Log[c + d*x])/(6*b^4*g) - ((b*c - a*d)^3*i^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g) + (B*(b*c - a*d)^3*i^3*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^2, x, 11, -((B*d^2*(b*c - a*d)*i^3*x)/(2*b^3*g^2)) - (B*(b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x))/(b^3*g^2*(a + b*x)) - (B*d*(b*c - a*d)^2*i^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(2*b^4*g^2) + (2*d^2*(b*c - a*d)*i^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^4*g^2) - ((b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^3*g^2*(a + b*x)) + (d*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*b^2*g^2) - (5*B*d*(b*c - a*d)^2*i^3*Log[c + d*x])/(2*b^4*g^2) - (3*d*(b*c - a*d)^2*i^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^2) + (3*B*d*(b*c - a*d)^2*i^3*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^2)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^3, x, 9, -((2*B*d*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x))/(b^3*g^3*(a + b*x))) - (B*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2)/(4*b^2*g^3*(a + b*x)^2) + (d^3*i^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^4*g^3) - (2*d*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^3*g^3*(a + b*x)) - ((b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*b^2*g^3*(a + b*x)^2) - (B*d^2*(b*c - a*d)*i^3*Log[c + d*x])/(b^4*g^3) - (3*d^2*(b*c - a*d)*i^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^3) + (3*B*d^2*(b*c - a*d)*i^3*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^3)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^4, x, 9, -((B*d^2*i^3*(c + d*x))/(b^3*g^4*(a + b*x))) - (B*d*i^3*(c + d*x)^2)/(4*b^2*g^4*(a + b*x)^2) - (B*i^3*(c + d*x)^3)/(9*b*g^4*(a + b*x)^3) - (d^2*i^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^3*g^4*(a + b*x)) - (d*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*b^2*g^4*(a + b*x)^2) - (i^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*b*g^4*(a + b*x)^3) - (d^3*i^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^4) + (B*d^3*i^3*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^4)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^5, x, 2, -((B*i^3*(c + d*x)^4)/(16*(b*c - a*d)*g^5*(a + b*x)^4)) - (i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*(b*c - a*d)*g^5*(a + b*x)^4)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^6, x, 5, (B*d*i^3*(c + d*x)^4)/(16*(b*c - a*d)^2*g^6*(a + b*x)^4) - (b*B*i^3*(c + d*x)^5)/(25*(b*c - a*d)^2*g^6*(a + b*x)^5) + (d*i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*(b*c - a*d)^2*g^6*(a + b*x)^4) - (b*i^3*(c + d*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(5*(b*c - a*d)^2*g^6*(a + b*x)^5)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(a*g + b*g*x)^7, x, 5, -((B*d^2*i^3*(c + d*x)^4)/(16*(b*c - a*d)^3*g^7*(a + b*x)^4)) + (2*b*B*d*i^3*(c + d*x)^5)/(25*(b*c - a*d)^3*g^7*(a + b*x)^5) - (b^2*B*i^3*(c + d*x)^6)/(36*(b*c - a*d)^3*g^7*(a + b*x)^6) - (d^2*i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*(b*c - a*d)^3*g^7*(a + b*x)^4) + (2*b*d*i^3*(c + d*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(5*(b*c - a*d)^3*g^7*(a + b*x)^5) - (b^2*i^3*(c + d*x)^6*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(6*(b*c - a*d)^3*g^7*(a + b*x)^6)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(c*i + d*i*x), x, 6, (g^3*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*d*i) - ((b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2*(3*A + B + 3*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(6*d^2*i) + ((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)*(6*A + 5*B + 6*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(6*d^3*i) + ((b*c - a*d)^3*g^3*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(6*A + 11*B + 6*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(6*d^4*i) + (B*(b*c - a*d)^3*g^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(c*i + d*i*x), x, 5, (g^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*d*i) - ((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)*(2*A + B + 2*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*d^2*i) - ((b*c - a*d)^2*g^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(2*A + 3*B + 2*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*d^3*i) - (B*(b*c - a*d)^2*g^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(c*i + d*i*x), x, 4, (g*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(d*i) + ((b*c - a*d)*g*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(d^2*i) + (B*(b*c - a*d)*g*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^2*i)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(c*i + d*i*x), x, 5, -((Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(d*i)) - (B*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d*i)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/((a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)), x, 2, (A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2/(2*B*(b*c - a*d)*g*i)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/((a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)), x, 5, -((b*B*(c + d*x))/((b*c - a*d)^2*g^2*i*(a + b*x))) + (B*d*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/(2*(b*c - a*d)^2*g^2*i) - (b*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^2*g^2*i*(a + b*x)) - (d*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^2*g^2*i)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/((a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)), x, 7, -((B*(c + d*x)^2*(b - (4*d*(a + b*x))/(c + d*x))^2)/(4*(b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)^2)) - (B*d^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/(2*(b*c - a*d)^3*g^3*i) + (2*b*d*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)) - (b^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)^2) + (d^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^3*g^3*i)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/((a*g + b*g*x)^4*(c*i + d*i*x)), x, 8, -((3*b*B*d^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x))) + (3*b^2*B*d*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^2) - (b^3*B*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^3) + (B*d^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/(2*(b*c - a*d)^4*g^4*i) - (3*b*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)) + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^2) - (b^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^3) - (d^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^4*g^4*i)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(c*i + d*i*x)^2, x, 9, (3*B*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x))/(d^3*i^2*(c + d*x)) - ((6*A + 5*B)*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x))/(2*d^3*i^2*(c + d*x)) - (3*B*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(d^3*i^2*(c + d*x)) + (g^3*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*d*i^2*(c + d*x)) - ((b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2*(3*A + B + 3*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*d^2*i^2*(c + d*x)) - (b*(b*c - a*d)^2*g^3*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(6*A + 5*B + 6*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*d^4*i^2) - (3*b*B*(b*c - a*d)^2*g^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^2)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(c*i + d*i*x)^2, x, 8, -((2*B*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))/(d^2*i^2*(c + d*x))) + ((2*A + B)*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))/(d^2*i^2*(c + d*x)) + (2*B*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(d^2*i^2*(c + d*x)) + (g^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(d*i^2*(c + d*x)) + (b*(b*c - a*d)*g^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(2*A + B + 2*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(d^3*i^2) + (2*b*B*(b*c - a*d)*g^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^2)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(c*i + d*i*x)^2, x, 7, -((A*g*(a + b*x))/(d*i^2*(c + d*x))) + (B*g*(a + b*x))/(d*i^2*(c + d*x)) - (B*g*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(d*i^2*(c + d*x)) - (b*g*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(d^2*i^2) - (b*B*g*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^2*i^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(c*i + d*i*x)^2, x, 3, (A*(a + b*x))/((b*c - a*d)*i^2*(c + d*x)) - (B*(a + b*x))/((b*c - a*d)*i^2*(c + d*x)) + (B*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/((b*c - a*d)*i^2*(c + d*x))}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/((a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)^2), x, 5, -((A*d*(a + b*x))/((b*c - a*d)^2*g*i^2*(c + d*x))) + (B*d*(a + b*x))/((b*c - a*d)^2*g*i^2*(c + d*x)) - (B*d*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^2*g*i^2*(c + d*x)) + (b*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*B*(b*c - a*d)^2*g*i^2)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/((a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)^2), x, 4, -((B*d^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(c + d*x))) - (b^2*B*(c + d*x))/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(a + b*x)) + (b*B*d*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2) + (d^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(c + d*x)) - (b^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(a + b*x)) - (2*b*d*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/((a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)^2), x, 8, (B*d^3*(a + b*x))/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(c + d*x)) + (3*b^2*B*d*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)) - (b^3*B*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)^2) - (3*b*B*d^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/(2*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2) - (d^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(c + d*x)) + (3*b^2*d*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)) - (b^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)^2) + (3*b*d^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/((a*g + b*g*x)^4*(c*i + d*i*x)^2), x, 4, -((B*d^4*(a + b*x))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(c + d*x))) - (6*b^2*B*d^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)) + (b^3*B*d*(c + d*x)^2)/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^2) - (b^4*B*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^3) + (2*b*B*d^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2) + (d^4*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(c + d*x)) - (6*b^2*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)) + (2*b^3*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^2) - (b^4*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*(b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^3) - (4*b*d^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(c*i + d*i*x)^3, x, 9, -((3*B*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2)/(4*d^2*i^3*(c + d*x)^2)) - (3*b*B*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x))/(d^3*i^3*(c + d*x)) + (b*(3*A + B)*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x))/(d^3*i^3*(c + d*x)) + (3*b*B*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(d^3*i^3*(c + d*x)) + (g^3*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(d*i^3*(c + d*x)^2) + ((b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2*(3*A + B + 3*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*d^2*i^3*(c + d*x)^2) + (b^2*(b*c - a*d)*g^3*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(3*A + B + 3*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(d^4*i^3) + (3*b^2*B*(b*c - a*d)*g^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^3)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(c*i + d*i*x)^3, x, 8, (B*g^2*(a + b*x)^2)/(4*d*i^3*(c + d*x)^2) - (A*b*g^2*(a + b*x))/(d^2*i^3*(c + d*x)) + (b*B*g^2*(a + b*x))/(d^2*i^3*(c + d*x)) - (b*B*g^2*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(d^2*i^3*(c + d*x)) - (g^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*d*i^3*(c + d*x)^2) - (b^2*g^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(d^3*i^3) - (b^2*B*g^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(c*i + d*i*x)^3, x, 2, -((B*g*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2)) + (g*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/(c*i + d*i*x)^3, x, 4, B/(4*d*i^3*(c + d*x)^2) + (b*B)/(2*d*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)) + (b^2*B*Log[a + b*x])/(2*d*(b*c - a*d)^2*i^3) - (A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(2*d*i^3*(c + d*x)^2) - (b^2*B*Log[c + d*x])/(2*d*(b*c - a*d)^2*i^3)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/((a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)^3), x, 4, -((B*(4*b - (d*(a + b*x))/(c + d*x))^2)/(4*(b*c - a*d)^3*g*i^3)) - (b^2*B*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/(2*(b*c - a*d)^3*g*i^3) + (d^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)^2) - (2*b*d*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)) + (b^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^3*g*i^3)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/((a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)^3), x, 4, (B*d^3*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)^2) - (3*b*B*d^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)) - (b^3*B*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(a + b*x)) + (3*b^2*B*d*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/(2*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3) - (d^3*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)^2) + (3*b*d^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)) - (b^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(a + b*x)) - (3*b^2*d*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/((a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)^3), x, 5, -((B*d^4*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)^2)) + (4*b*B*d^3*(a + b*x))/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)) + (4*b^3*B*d*(c + d*x))/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)) - (b^4*B*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)^2) - (3*b^2*B*d^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3) + (d^4*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)^2) - (4*b*d^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)) + (4*b^3*d*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)) - (b^4*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)^2) + (6*b^2*d^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])/((a*g + b*g*x)^4*(c*i + d*i*x)^3), x, 8, (B*d^5*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)^2) - (5*b*B*d^4*(a + b*x))/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)) - (10*b^3*B*d^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)) + (5*b^4*B*d*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^2) - (b^5*B*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^3) + (5*b^2*B*d^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3) - (d^5*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)^2) + (5*b*d^4*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)) - (10*b^3*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)) + (5*b^4*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^2) - (b^5*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^3) - (10*b^2*d^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B Log[e (a+b x) / (c+d x)])^2 when b f-a g=0 and d h-c i=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2, x, 11, (3*B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*i*x)/(10*b*d^3) - (3*B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*i*(c + d*x)^2)/(20*d^4) + (b*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*i*(c + d*x)^3)/(30*d^4) - (B*(b*c - a*d)^2*g^3*i*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(30*b^2*d) - (B*(b*c - a*d)*g^3*i*(a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(10*b^2) + ((b*c - a*d)*g^3*i*(a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(20*b^2) + (g^3*i*(a + b*x)^4*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(5*b) + (B*(b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)^2*(3*A + B + 3*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(60*b^2*d^2) - (B*(b*c - a*d)^4*g^3*i*(a + b*x)*(6*A + 5*B + 6*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(60*b^2*d^3) - (B*(b*c - a*d)^5*g^3*i*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(6*A + 11*B + 6*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(60*b^2*d^4) - (B^2*(b*c - a*d)^5*g^3*i*Log[c + d*x])/(10*b^2*d^4) - (B^2*(b*c - a*d)^5*g^3*i*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(10*b^2*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2, x, 10, -((B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*i*x)/(3*b*d^2)) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*i*(c + d*x)^2)/(12*d^3) - (B*(b*c - a*d)^2*g^2*i*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(12*b^2*d) - (B*(b*c - a*d)*g^2*i*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(6*b^2) + ((b*c - a*d)*g^2*i*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(12*b^2) + (g^2*i*(a + b*x)^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(4*b) + (B*(b*c - a*d)^3*g^2*i*(a + b*x)*(2*A + B + 2*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(12*b^2*d^2) + (B*(b*c - a*d)^4*g^2*i*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(2*A + 3*B + 2*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(12*b^2*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^4*g^2*i*Log[c + d*x])/(6*b^2*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^4*g^2*i*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(6*b^2*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2, x, 9, (B^2*(b*c - a*d)^2*g*i*x)/(3*b*d) - (B*(b*c - a*d)^2*g*i*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*b^2*d) - (B*(b*c - a*d)*g*i*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*b^2) + ((b*c - a*d)*g*i*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(6*b^2) + (g*i*(a + b*x)^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(3*b) - (B*(b*c - a*d)^3*g*i*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*b^2*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^3*g*i*Log[c + d*x])/(3*b^2*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^3*g*i*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(3*b^2*d^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2, x, 7, -((B*(b*c - a*d)*i*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/b^2) + (i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*d) + (B^2*(b*c - a*d)^2*i*Log[c + d*x])/(b^2*d) + (B*(b*c - a*d)^2*i*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*d) - (B^2*(b*c - a*d)^2*i*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*d)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^1, x, 8, (2*B*(b*c - a*d)*i*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^2*g) + (d*i*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(b^2*g) - ((b*c - a*d)*i*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*g) + (2*B^2*(b*c - a*d)*i*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^2*g) + (2*B*(b*c - a*d)*i*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*g) + (2*B^2*(b*c - a*d)*i*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*g)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^2, x, 7, -((2*B^2*i*(c + d*x))/(b*g^2*(a + b*x))) - (2*B*i*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b*g^2*(a + b*x)) - (i*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(b*g^2*(a + b*x)) - (d*i*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*g^2) + (2*B*d*i*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*g^2) + (2*B^2*d*i*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*g^2)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^3, x, 3, -((B^2*i*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2)) - (B*i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2) - (i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^4, x, 7, (B^2*d*i*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^2) - (2*b*B^2*i*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3) + (B*d*i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^2) - (2*b*B*i*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(9*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3) + (d*i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^2) - (b*i*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(3*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^5, x, 9, -((B^2*d^2*i*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^2)) + (4*b*B^2*d*i*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^3) - (b^2*B^2*i*(c + d*x)^4)/(32*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^4) - (B*d^2*i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^2) + (4*b*B*d*i*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(9*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^3) - (b^2*B*i*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(8*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^4) - (d^2*i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^2) + (2*b*d*i*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(3*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^3) - (b^2*i*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(4*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^4)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2, x, 17, (3*B^2*(b*c - a*d)^5*g^3*i^2*x)/(20*b^2*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*i^2*(a + b*x)^4)/(60*b^3) - (3*B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(c + d*x)^2)/(40*b*d^4) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*i^2*(c + d*x)^3)/(60*d^4) - (B*(b*c - a*d)^3*g^3*i^2*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(90*b^3*d) - (B*(b*c - a*d)^2*g^3*i^2*(a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(20*b^3) - (B*(b*c - a*d)*g^3*i^2*(a + b*x)^4*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(15*b^2) + ((b*c - a*d)^2*g^3*i^2*(a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(60*b^3) + ((b*c - a*d)*g^3*i^2*(a + b*x)^4*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(15*b^2) + (g^3*i^2*(a + b*x)^4*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(6*b) + (B*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)^2*(3*A + B + 3*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(180*b^3*d^2) - (B*(b*c - a*d)^5*g^3*i^2*(a + b*x)*(6*A + 5*B + 6*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(180*b^3*d^3) - (B*(b*c - a*d)^6*g^3*i^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(6*A + 11*B + 6*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(180*b^3*d^4) - (B^2*(b*c - a*d)^6*g^3*i^2*Log[c + d*x])/(20*b^3*d^4) - (B^2*(b*c - a*d)^6*g^3*i^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(30*b^3*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2, x, 15, -((B^2*(b*c - a*d)^4*g^2*i^2*x)/(10*b^2*d^2)) - (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(c + d*x)^2)/(20*b*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*i^2*(c + d*x)^3)/(30*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^5*g^2*i^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(30*b^3*d^3) - (B*(b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(30*b^3*d) - (B*(b*c - a*d)^2*g^2*i^2*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(15*b^3) - (B*(b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(5*b*d^3) + (4*B*(b*c - a*d)^2*g^2*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(15*d^3) - (b*B*(b*c - a*d)*g^2*i^2*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(10*d^3) + ((b*c - a*d)^2*g^2*i^2*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(30*b^3) + ((b*c - a*d)*g^2*i^2*(a + b*x)^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(10*b^2) + (g^2*i^2*(a + b*x)^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(5*b) + (B*(b*c - a*d)^4*g^2*i^2*(a + b*x)*(2*A + B + 2*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(30*b^3*d^2) + (B*(b*c - a*d)^5*g^2*i^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(2*A + 3*B + 2*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(30*b^3*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^5*g^2*i^2*Log[c + d*x])/(10*b^3*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^5*g^2*i^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(15*b^3*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2, x, 14, (B^2*(b*c - a*d)^3*g*i^2*x)/(12*b^2*d) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g*i^2*(c + d*x)^2)/(12*b*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^4*g*i^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(12*b^3*d^2) - (B*(b*c - a*d)^3*g*i^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(6*b^3*d) - (B*(b*c - a*d)^2*g*i^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(6*b^3) + (B*(b*c - a*d)^2*g*i^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(6*d^2) + ((b*c - a*d)^2*g*i^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(12*b^3) + ((b*c - a*d)*g*i^2*(a + b*x)^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(6*b^2) + (g*i^2*(a + b*x)^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(4*b) - (B*(b*c - a*d)^4*g*i^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(6*b^3*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^4*g*i^2*Log[c + d*x])/(4*b^3*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^4*g*i^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(6*b^3*d^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2, x, 11, (B^2*(b*c - a*d)^2*i^2*x)/(3*b^2) + (B^2*(b*c - a*d)^3*i^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(3*b^3*d) - (2*B*(b*c - a*d)^2*i^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*b^3) - (B*(b*c - a*d)*i^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*b*d) + (i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(3*d) + (B^2*(b*c - a*d)^3*i^2*Log[c + d*x])/(b^3*d) + (2*B*(b*c - a*d)^3*i^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(3*b^3*d) - (2*B^2*(b*c - a*d)^3*i^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(3*b^3*d)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^1, x, 15, -((B*d*(b*c - a*d)*i^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^3*g)) + (2*B*(b*c - a*d)^2*i^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^3*g) + (d*(b*c - a*d)*i^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(b^3*g) + (i^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*b*g) + (B^2*(b*c - a*d)^2*i^2*Log[c + d*x])/(b^3*g) + (B*(b*c - a*d)^2*i^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g) - ((b*c - a*d)^2*i^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g) + (2*B^2*(b*c - a*d)^2*i^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^3*g) - (B^2*(b*c - a*d)^2*i^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g) + (2*B*(b*c - a*d)^2*i^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g) + (2*B^2*(b*c - a*d)^2*i^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^2, x, 11, -((2*B^2*(b*c - a*d)*i^2*(c + d*x))/(b^2*g^2*(a + b*x))) - (2*B*(b*c - a*d)*i^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^2*g^2*(a + b*x)) + (2*B*d*(b*c - a*d)*i^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^3*g^2) + (d^2*i^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(b^3*g^2) - ((b*c - a*d)*i^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(b^2*g^2*(a + b*x)) - (2*d*(b*c - a*d)*i^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^2) + (2*B^2*d*(b*c - a*d)*i^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^3*g^2) + (4*B*d*(b*c - a*d)*i^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^2) + (4*B^2*d*(b*c - a*d)*i^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^2)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^3, x, 10, -((2*B^2*d*i^2*(c + d*x))/(b^2*g^3*(a + b*x))) - (B^2*i^2*(c + d*x)^2)/(4*b*g^3*(a + b*x)^2) - (2*B*d*i^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^2*g^3*(a + b*x)) - (B*i^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*b*g^3*(a + b*x)^2) - (d*i^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(b^2*g^3*(a + b*x)) - (i^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*b*g^3*(a + b*x)^2) - (d^2*i^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^3) + (2*B*d^2*i^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^3) + (2*B^2*d^2*i^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^3)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^4, x, 3, -((2*B^2*i^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^3)) - (2*B*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(9*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^3) - (i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(3*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^3)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^5, x, 7, (2*B^2*d*i^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^3) - (b*B^2*i^2*(c + d*x)^4)/(32*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^4) + (2*B*d*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(9*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^3) - (b*B*i^2*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(8*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^4) + (d*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(3*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^3) - (b*i^2*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(4*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^4)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^6, x, 9, -((2*B^2*d^2*i^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^3)) + (b*B^2*d*i^2*(c + d*x)^4)/(16*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^4) - (2*b^2*B^2*i^2*(c + d*x)^5)/(125*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^5) - (2*B*d^2*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(9*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^3) + (b*B*d*i^2*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^4) - (2*b^2*B*i^2*(c + d*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(25*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^5) - (d^2*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(3*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^3) + (b*d*i^2*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^4) - (b^2*i^2*(c + d*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(5*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^5)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2, x, 22, (5*B^2*(b*c - a*d)^6*g^3*i^3*x)/(84*b^3*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*i^3*(a + b*x)^4)/(140*b^4) - (29*B^2*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)^2)/(840*b^2*d^4) + (47*B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*i^3*(c + d*x)^3)/(1260*b*d^4) - (13*B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*i^3*(c + d*x)^4)/(420*d^4) + (b*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*i^3*(c + d*x)^5)/(105*d^4) - (B^2*(b*c - a*d)^7*g^3*i^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(210*b^4*d^4) - (B*(b*c - a*d)^4*g^3*i^3*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(210*b^4*d) - (3*B*(b*c - a*d)^3*g^3*i^3*(a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(140*b^4) - (B*(b*c - a*d)^2*g^3*i^3*(a + b*x)^4*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(35*b^3) + (2*B*(b*c - a*d)^4*g^3*i^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(21*b*d^4) - (3*B*(b*c - a*d)^3*g^3*i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(14*d^4) + (6*b*B*(b*c - a*d)^2*g^3*i^3*(c + d*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(35*d^4) - (b^2*B*(b*c - a*d)*g^3*i^3*(c + d*x)^6*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(21*d^4) + ((b*c - a*d)^3*g^3*i^3*(a + b*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(140*b^4) + ((b*c - a*d)^2*g^3*i^3*(a + b*x)^4*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(35*b^3) + ((b*c - a*d)*g^3*i^3*(a + b*x)^4*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(14*b^2) + (g^3*i^3*(a + b*x)^4*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(7*b) + (B*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)^2*(3*A + B + 3*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(420*b^4*d^2) - (B*(b*c - a*d)^6*g^3*i^3*(a + b*x)*(6*A + 5*B + 6*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(420*b^4*d^3) - (B*(b*c - a*d)^7*g^3*i^3*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(6*A + 11*B + 6*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(420*b^4*d^4) - (11*B^2*(b*c - a*d)^7*g^3*i^3*Log[c + d*x])/(420*b^4*d^4) - (B^2*(b*c - a*d)^7*g^3*i^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(70*b^4*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2, x, 20, -((7*B^2*(b*c - a*d)^5*g^2*i^3*x)/(180*b^3*d^2)) - (7*B^2*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)^2)/(360*b^2*d^3) - (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*i^3*(c + d*x)^3)/(60*b*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*i^3*(c + d*x)^4)/(60*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^6*g^2*i^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(36*b^4*d^3) - (B*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(60*b^4*d) - (B*(b*c - a*d)^3*g^2*i^3*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(30*b^4) - (B*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(10*b^2*d^3) + (B*(b*c - a*d)^3*g^2*i^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(45*b*d^3) + (7*B*(b*c - a*d)^2*g^2*i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(60*d^3) - (b*B*(b*c - a*d)*g^2*i^3*(c + d*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(15*d^3) + ((b*c - a*d)^3*g^2*i^3*(a + b*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(60*b^4) + ((b*c - a*d)^2*g^2*i^3*(a + b*x)^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(20*b^3) + ((b*c - a*d)*g^2*i^3*(a + b*x)^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(10*b^2) + (g^2*i^3*(a + b*x)^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(6*b) + (B*(b*c - a*d)^5*g^2*i^3*(a + b*x)*(2*A + B + 2*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(60*b^4*d^2) + (B*(b*c - a*d)^6*g^2*i^3*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(2*A + 3*B + 2*B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(60*b^4*d^3) + (11*B^2*(b*c - a*d)^6*g^2*i^3*Log[c + d*x])/(180*b^4*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^6*g^2*i^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(30*b^4*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2, x, 19, (B^2*(b*c - a*d)^4*g*i^3*x)/(60*b^3*d) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)^2)/(30*b^2*d^2) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g*i^3*(c + d*x)^3)/(30*b*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^5*g*i^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(12*b^4*d^2) - (B*(b*c - a*d)^4*g*i^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(10*b^4*d) - (B*(b*c - a*d)^3*g*i^3*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(10*b^4) + (3*B*(b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(20*b^2*d^2) + (B*(b*c - a*d)^2*g*i^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(30*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g*i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(10*d^2) + ((b*c - a*d)^3*g*i^3*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(20*b^4) + ((b*c - a*d)^2*g*i^3*(a + b*x)^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(10*b^3) + (3*(b*c - a*d)*g*i^3*(a + b*x)^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(20*b^2) + (g*i^3*(a + b*x)^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(5*b) - (B*(b*c - a*d)^5*g*i^3*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(10*b^4*d^2) - (11*B^2*(b*c - a*d)^5*g*i^3*Log[c + d*x])/(60*b^4*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^5*g*i^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(10*b^4*d^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2, x, 15, (5*B^2*(b*c - a*d)^3*i^3*x)/(12*b^3) + (B^2*(b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)^2)/(12*b^2*d) + (5*B^2*(b*c - a*d)^4*i^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(12*b^4*d) - (B*(b*c - a*d)^3*i^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*b^4) - (B*(b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(4*b^2*d) - (B*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(6*b*d) + (i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(4*d) + (11*B^2*(b*c - a*d)^4*i^3*Log[c + d*x])/(12*b^4*d) + (B*(b*c - a*d)^4*i^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(2*b^4*d) - (B^2*(b*c - a*d)^4*i^3*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(2*b^4*d)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^1, x, 26, (B^2*d*(b*c - a*d)^2*i^3*x)/(3*b^3*g) + (B^2*(b*c - a*d)^3*i^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(3*b^4*g) - (5*B*d*(b*c - a*d)^2*i^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*b^4*g) - (B*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*b^2*g) + (2*B*(b*c - a*d)^3*i^3*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^4*g) + (d*(b*c - a*d)^2*i^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(b^4*g) + ((b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*b^2*g) + (i^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(3*b*g) + (2*B^2*(b*c - a*d)^3*i^3*Log[c + d*x])/(b^4*g) + (5*B*(b*c - a*d)^3*i^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(3*b^4*g) - ((b*c - a*d)^3*i^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g) + (2*B^2*(b*c - a*d)^3*i^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^4*g) - (5*B^2*(b*c - a*d)^3*i^3*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(3*b^4*g) + (2*B*(b*c - a*d)^3*i^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g) + (2*B^2*(b*c - a*d)^3*i^3*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^2, x, 17, -((2*B^2*(b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x))/(b^3*g^2*(a + b*x))) - (B*d^2*(b*c - a*d)*i^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^4*g^2) - (2*B*(b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^3*g^2*(a + b*x)) + (4*B*d*(b*c - a*d)^2*i^3*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^4*g^2) + (2*d^2*(b*c - a*d)*i^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(b^4*g^2) - ((b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(b^3*g^2*(a + b*x)) + (d*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*b^2*g^2) + (B^2*d*(b*c - a*d)^2*i^3*Log[c + d*x])/(b^4*g^2) + (B*d*(b*c - a*d)^2*i^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^2) - (3*d*(b*c - a*d)^2*i^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^2) + (4*B^2*d*(b*c - a*d)^2*i^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^4*g^2) - (B^2*d*(b*c - a*d)^2*i^3*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^2) + (6*B*d*(b*c - a*d)^2*i^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^2) + (6*B^2*d*(b*c - a*d)^2*i^3*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^2)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^3, x, 13, -((4*B^2*d*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x))/(b^3*g^3*(a + b*x))) - (B^2*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2)/(4*b^2*g^3*(a + b*x)^2) - (4*B*d*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^3*g^3*(a + b*x)) - (B*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*b^2*g^3*(a + b*x)^2) + (2*B*d^2*(b*c - a*d)*i^3*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(b^4*g^3) + (d^3*i^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(b^4*g^3) - (2*d*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(b^3*g^3*(a + b*x)) - ((b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*b^2*g^3*(a + b*x)^2) - (3*d^2*(b*c - a*d)*i^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^3) + (2*B^2*d^2*(b*c - a*d)*i^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^4*g^3) + (6*B*d^2*(b*c - a*d)*i^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^3) + (6*B^2*d^2*(b*c - a*d)*i^3*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^3)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^5, x, 3, -((B^2*i^3*(c + d*x)^4)/(32*(b*c - a*d)*g^5*(a + b*x)^4)) - (B*i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(8*(b*c - a*d)*g^5*(a + b*x)^4) - (i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(4*(b*c - a*d)*g^5*(a + b*x)^4)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^6, x, 7, (B^2*d*i^3*(c + d*x)^4)/(32*(b*c - a*d)^2*g^6*(a + b*x)^4) - (2*b*B^2*i^3*(c + d*x)^5)/(125*(b*c - a*d)^2*g^6*(a + b*x)^5) + (B*d*i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(8*(b*c - a*d)^2*g^6*(a + b*x)^4) - (2*b*B*i^3*(c + d*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(25*(b*c - a*d)^2*g^6*(a + b*x)^5) + (d*i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(4*(b*c - a*d)^2*g^6*(a + b*x)^4) - (b*i^3*(c + d*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(5*(b*c - a*d)^2*g^6*(a + b*x)^5)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(a*g + b*g*x)^7, x, 9, -((B^2*d^2*i^3*(c + d*x)^4)/(32*(b*c - a*d)^3*g^7*(a + b*x)^4)) + (4*b*B^2*d*i^3*(c + d*x)^5)/(125*(b*c - a*d)^3*g^7*(a + b*x)^5) - (b^2*B^2*i^3*(c + d*x)^6)/(108*(b*c - a*d)^3*g^7*(a + b*x)^6) - (B*d^2*i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(8*(b*c - a*d)^3*g^7*(a + b*x)^4) + (4*b*B*d*i^3*(c + d*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(25*(b*c - a*d)^3*g^7*(a + b*x)^5) - (b^2*B*i^3*(c + d*x)^6*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(18*(b*c - a*d)^3*g^7*(a + b*x)^6) - (d^2*i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(4*(b*c - a*d)^3*g^7*(a + b*x)^4) + (2*b*d*i^3*(c + d*x)^5*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(5*(b*c - a*d)^3*g^7*(a + b*x)^5) - (b^2*i^3*(c + d*x)^6*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(6*(b*c - a*d)^3*g^7*(a + b*x)^6)}
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+
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+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(c*i + d*i*x), x, 25, (b*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*x)/(3*d^3*i) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(3*d^4*i) + (7*B*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*d^3*i) - (b^2*B*(b*c - a*d)*g^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(3*d^4*i) + (6*B*(b*c - a*d)^3*g^3*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(d^4*i) + (3*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d^3*i) - (3*b^2*(b*c - a*d)*g^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*d^4*i) + (b^3*g^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(3*d^4*i) + ((b*c - a*d)^3*g^3*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d^4*i) - (2*B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*Log[c + d*x])/(d^4*i) - (7*B*(b*c - a*d)^3*g^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(3*d^4*i) + (6*B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i) + (2*B*(b*c - a*d)^3*g^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i) + (7*B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(3*d^4*i) - (2*B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(c*i + d*i*x), x, 15, -((B*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(d^2*i)) - (4*B*(b*c - a*d)^2*g^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(d^3*i) - (2*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d^2*i) + (b^2*g^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*d^3*i) - ((b*c - a*d)^2*g^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d^3*i) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*Log[c + d*x])/(d^3*i) + (B*(b*c - a*d)^2*g^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(d^3*i) - (4*B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i) - (2*B*(b*c - a*d)^2*g^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i) - (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(d^3*i) + (2*B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(c*i + d*i*x), x, 9, (2*B*(b*c - a*d)*g*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(d^2*i) + (g*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d*i) + ((b*c - a*d)*g*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d^2*i) + (2*B^2*(b*c - a*d)*g*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^2*i) + (2*B*(b*c - a*d)*g*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^2*i) - (2*B^2*(b*c - a*d)*g*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^2*i)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(c*i + d*i*x), x, 4, -((Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d*i)) - (2*B*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d*i) + (2*B^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d*i)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/((a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)), x, 3, (A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^3/(3*B*(b*c - a*d)*g*i)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/((a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)), x, 7, -((2*b*B^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^2*g^2*i*(a + b*x))) - (2*b*B*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^2*g^2*i*(a + b*x)) - (b*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^2*g^2*i*(a + b*x)) - (d*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^3)/(3*B*(b*c - a*d)^2*g^2*i)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/((a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)), x, 9, (4*b*B^2*d*(c + d*x))/((b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)) - (b^2*B^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)^2) + (4*b*B*d*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)) - (b^2*B*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)^2) + (2*b*d*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)) - (b^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*(b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)^2) + (d^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^3)/(3*B*(b*c - a*d)^3*g^3*i)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/((a*g + b*g*x)^4*(c*i + d*i*x)), x, 11, -((6*b*B^2*d^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x))) + (3*b^2*B^2*d*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^2) - (2*b^3*B^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^3) - (6*b*B*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)) + (3*b^2*B*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^2) - (2*b^3*B*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(9*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^3) - (3*b*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)) + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^2) - (b^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(3*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^3) - (d^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^3)/(3*B*(b*c - a*d)^4*g^4*i)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(c*i + d*i*x)^2, x, 18, (2*A*B*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x))/(d^3*i^2*(c + d*x)) - (2*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x))/(d^3*i^2*(c + d*x)) + (2*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(d^3*i^2*(c + d*x)) - (b*B*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(d^3*i^2) - (6*b*B*(b*c - a*d)^2*g^3*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(d^4*i^2) - (3*b*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d^3*i^2) - ((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d^3*i^2*(c + d*x)) + (b^3*g^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*d^4*i^2) - (3*b*(b*c - a*d)^2*g^3*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d^4*i^2) + (b*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*Log[c + d*x])/(d^4*i^2) + (b*B*(b*c - a*d)^2*g^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(d^4*i^2) - (6*b*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^2) - (6*b*B*(b*c - a*d)^2*g^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^2) - (b*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(d^4*i^2) + (6*b*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^2)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(c*i + d*i*x)^2, x, 12, -((2*A*B*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))/(d^2*i^2*(c + d*x))) + (2*B^2*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x))/(d^2*i^2*(c + d*x)) - (2*B^2*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(d^2*i^2*(c + d*x)) + (2*b*B*(b*c - a*d)*g^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(d^3*i^2) + (b*g^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d^2*i^2) + ((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d^2*i^2*(c + d*x)) + (2*b*(b*c - a*d)*g^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d^3*i^2) + (2*b*B^2*(b*c - a*d)*g^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^2) + (4*b*B*(b*c - a*d)*g^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^2) - (4*b*B^2*(b*c - a*d)*g^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^2)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(c*i + d*i*x)^2, x, 9, (2*A*B*g*(a + b*x))/(d*i^2*(c + d*x)) - (2*B^2*g*(a + b*x))/(d*i^2*(c + d*x)) + (2*B^2*g*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(d*i^2*(c + d*x)) - (g*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d*i^2*(c + d*x)) - (b*g*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d^2*i^2) - (2*b*B*g*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^2*i^2) + (2*b*B^2*g*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^2*i^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(c*i + d*i*x)^2, x, 4, -((2*A*B*(a + b*x))/((b*c - a*d)*i^2*(c + d*x))) + (2*B^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)*i^2*(c + d*x)) - (2*B^2*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/((b*c - a*d)*i^2*(c + d*x)) + ((a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)*i^2*(c + d*x))}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/((a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)^2), x, 7, (2*A*B*d*(a + b*x))/((b*c - a*d)^2*g*i^2*(c + d*x)) - (2*B^2*d*(a + b*x))/((b*c - a*d)^2*g*i^2*(c + d*x)) + (2*B^2*d*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^2*g*i^2*(c + d*x)) - (d*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^2*g*i^2*(c + d*x)) + (b*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^3)/(3*B*(b*c - a*d)^2*g*i^2)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/((a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)^2), x, 10, -((2*A*B*d^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(c + d*x))) + (2*B^2*d^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(c + d*x)) - (2*b^2*B^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(a + b*x)) - (2*B^2*d^2*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(c + d*x)) - (2*b^2*B*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(a + b*x)) + (d^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(c + d*x)) - (b^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(a + b*x)) - (2*b*d*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^3)/(3*B*(b*c - a*d)^3*g^2*i^2)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/((a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)^2), x, 12, (2*A*B*d^3*(a + b*x))/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(c + d*x)) - (2*B^2*d^3*(a + b*x))/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(c + d*x)) + (6*b^2*B^2*d*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)) - (b^3*B^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)^2) + (2*B^2*d^3*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(c + d*x)) + (6*b^2*B*d*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)) - (b^3*B*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)^2) - (d^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(c + d*x)) + (3*b^2*d*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)) - (b^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)^2) + (b*d^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^3)/(B*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/((a*g + b*g*x)^4*(c*i + d*i*x)^2), x, 14, -((2*A*B*d^4*(a + b*x))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(c + d*x))) + (2*B^2*d^4*(a + b*x))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(c + d*x)) - (12*b^2*B^2*d^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)) + (b^3*B^2*d*(c + d*x)^2)/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^2) - (2*b^4*B^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^3) - (2*B^2*d^4*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(c + d*x)) - (12*b^2*B*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)) + (2*b^3*B*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^2) - (2*b^4*B*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(9*(b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^3) + (d^4*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(c + d*x)) - (6*b^2*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)) + (2*b^3*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^2) - (b^4*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(3*(b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^3) - (4*b*d^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^3)/(3*B*(b*c - a*d)^5*g^4*i^2)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(c*i + d*i*x)^3, x, 14, (B^2*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2)/(4*d^2*i^3*(c + d*x)^2) - (4*A*b*B*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x))/(d^3*i^3*(c + d*x)) + (4*b*B^2*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x))/(d^3*i^3*(c + d*x)) - (4*b*B^2*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(d^3*i^3*(c + d*x)) - (B*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*d^2*i^3*(c + d*x)^2) + (2*b^2*B*(b*c - a*d)*g^3*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(d^4*i^3) + (b^2*g^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d^3*i^3) + ((b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*d^2*i^3*(c + d*x)^2) + (2*b*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d^3*i^3*(c + d*x)) + (3*b^2*(b*c - a*d)*g^3*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d^4*i^3) + (2*b^2*B^2*(b*c - a*d)*g^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^3) + (6*b^2*B*(b*c - a*d)*g^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^3) - (6*b^2*B^2*(b*c - a*d)*g^3*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^3)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(c*i + d*i*x)^3, x, 11, -((B^2*g^2*(a + b*x)^2)/(4*d*i^3*(c + d*x)^2)) + (2*A*b*B*g^2*(a + b*x))/(d^2*i^3*(c + d*x)) - (2*b*B^2*g^2*(a + b*x))/(d^2*i^3*(c + d*x)) + (2*b*B^2*g^2*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(d^2*i^3*(c + d*x)) + (B*g^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*d*i^3*(c + d*x)^2) - (g^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*d*i^3*(c + d*x)^2) - (b*g^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d^2*i^3*(c + d*x)) - (b^2*g^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(d^3*i^3) - (2*b^2*B*g^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^3) + (2*b^2*B^2*g^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(c*i + d*i*x)^3, x, 3, (B^2*g*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2) - (B*g*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2) + (g*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/(c*i + d*i*x)^3, x, 8, -((B^2*d*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)^2)) - (2*A*b*B*(a + b*x))/((b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)) + (2*b*B^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)) - (2*b*B^2*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)) + (B*d*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)^2) - (d*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*(b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)^2) + (b*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x))}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/((a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)^3), x, 15, (B^2*d^2*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)^2) + (4*A*b*B*d*(a + b*x))/((b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)) - (4*b*B^2*d*(a + b*x))/((b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)) + (4*b*B^2*d*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)) - (B*d^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)^2) + (d^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*(b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)^2) - (2*b*d*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)) + (b^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^3)/(3*B*(b*c - a*d)^3*g*i^3)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/((a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)^3), x, 12, -((B^2*d^3*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)^2)) - (6*A*b*B*d^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)) + (6*b*B^2*d^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)) - (2*b^3*B^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(a + b*x)) - (6*b*B^2*d^2*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)) + (B*d^3*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)^2) - (2*b^3*B*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(a + b*x)) - (d^3*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)^2) + (3*b*d^2*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)) - (b^3*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(a + b*x)) - (b^2*d*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^3)/(B*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/((a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)^3), x, 14, (B^2*d^4*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)^2) + (8*A*b*B*d^3*(a + b*x))/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)) - (8*b*B^2*d^3*(a + b*x))/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)) + (8*b^3*B^2*d*(c + d*x))/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)) - (b^4*B^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)^2) + (8*b*B^2*d^3*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)) - (B*d^4*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)^2) + (8*b^3*B*d*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)) - (b^4*B*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)^2) + (d^4*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)^2) - (4*b*d^3*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)) + (4*b^3*d*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)) - (b^4*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)^2) + (2*b^2*d^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^3)/(B*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)])^2/((a*g + b*g*x)^4*(c*i + d*i*x)^3), x, 16, -((B^2*d^5*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)^2)) - (10*A*b*B*d^4*(a + b*x))/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)) + (10*b*B^2*d^4*(a + b*x))/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)) - (20*b^3*B^2*d^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)) + (5*b^4*B^2*d*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^2) - (2*b^5*B^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^3) - (10*b*B^2*d^4*(a + b*x)*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)) + (B*d^5*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)^2) - (20*b^3*B*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)) + (5*b^4*B*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(2*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^2) - (2*b^5*B*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]))/(9*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^3) - (d^5*(a + b*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)^2) + (5*b*d^4*(a + b*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)) - (10*b^3*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)) + (5*b^4*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(2*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^2) - (b^5*(c + d*x)^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^2)/(3*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^3) - (10*b^2*d^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])^3)/(3*B*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B Log[e ((a+b x) / (c+d x))^n])^1 when b f-a g=0 and d h-c i=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 5, -((B*(b*c - a*d)^4*g^3*i*n*x)/(20*b*d^3)) + (B*(b*c - a*d)^3*g^3*i*n*(a + b*x)^2)/(40*b^2*d^2) - (B*(b*c - a*d)^2*g^3*i*n*(a + b*x)^3)/(60*b^2*d) + (g^3*i*(a + b*x)^4*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(5*b) + ((b*c - a*d)*g^3*i*(a + b*x)^4*(A - B*n + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(20*b^2) + (B*(b*c - a*d)^5*g^3*i*n*Log[c + d*x])/(20*b^2*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 5, (B*(b*c - a*d)^3*g^2*i*n*x)/(12*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)^2*g^2*i*n*(a + b*x)^2)/(24*b^2*d) + (g^2*i*(a + b*x)^3*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(4*b) + ((b*c - a*d)*g^2*i*(a + b*x)^3*(A - B*n + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(12*b^2) - (B*(b*c - a*d)^4*g^2*i*n*Log[c + d*x])/(12*b^2*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 5, -((B*(b*c - a*d)^2*g*i*n*x)/(6*b*d)) + (g*i*(a + b*x)^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*b) + ((b*c - a*d)*g*i*(a + b*x)^2*(A - B*n + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(6*b^2) + (B*(b*c - a*d)^3*g*i*n*Log[c + d*x])/(6*b^2*d^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 4, -(B*(b*c - a*d)*i*n*x)/(2*b) - (B*(b*c - a*d)^2*i*n*Log[a + b*x])/(2*b^2*d) + (i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*d)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^1, x, 6, (i*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b*g) - ((b*c - a*d)*i*Log[-((b*c - a*d)/(d*(a + b*x)))]*(A - B*n + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^2*g) + (B*(b*c - a*d)*i*n*PolyLog[2, 1 + (b*c - a*d)/(d*(a + b*x))])/(b^2*g)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^2, x, 5, -((B*i*n*(c + d*x))/(b*g^2*(a + b*x))) - (i*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b*g^2*(a + b*x)) - (d*i*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*g^2) + (B*d*i*n*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*g^2)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^3, x, 2, -(B*i*n*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2) - (i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^4, x, 5, (B*d*i*n*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^2) - (b*B*i*n*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3) + (d*i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^2) - (b*i*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^5, x, 5, -(B*d^2*i*n*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^2) + (2*b*B*d*i*n*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^3) - (b^2*B*i*n*(c + d*x)^4)/(16*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^4) - (d^2*i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^2) + (2*b*d*i*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^3) - (b^2*i*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(4*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^4)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 5, (B*(b*c - a*d)^5*g^3*i^2*n*x)/(60*b^2*d^3) + (B*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2*n*(c + d*x)^2)/(120*b*d^4) - (19*B*(b*c - a*d)^3*g^3*i^2*n*(c + d*x)^3)/(180*d^4) + (13*b*B*(b*c - a*d)^2*g^3*i^2*n*(c + d*x)^4)/(120*d^4) - (b^2*B*(b*c - a*d)*g^3*i^2*n*(c + d*x)^5)/(30*d^4) - ((b*c - a*d)^3*g^3*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*d^4) + (3*b*(b*c - a*d)^2*g^3*i^2*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(4*d^4) - (3*b^2*(b*c - a*d)*g^3*i^2*(c + d*x)^5*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(5*d^4) + (b^3*g^3*i^2*(c + d*x)^6*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(6*d^4) + (B*(b*c - a*d)^6*g^3*i^2*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(60*b^3*d^4) + (B*(b*c - a*d)^6*g^3*i^2*n*Log[c + d*x])/(60*b^3*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 5, -((B*(b*c - a*d)^4*g^2*i^2*n*x)/(30*b^2*d^2)) - (B*(b*c - a*d)^3*g^2*i^2*n*(c + d*x)^2)/(60*b*d^3) + (B*(b*c - a*d)^2*g^2*i^2*n*(c + d*x)^3)/(10*d^3) - (b*B*(b*c - a*d)*g^2*i^2*n*(c + d*x)^4)/(20*d^3) + ((b*c - a*d)^2*g^2*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*d^3) - (b*(b*c - a*d)*g^2*i^2*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*d^3) + (b^2*g^2*i^2*(c + d*x)^5*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(5*d^3) - (B*(b*c - a*d)^5*g^2*i^2*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(30*b^3*d^3) - (B*(b*c - a*d)^5*g^2*i^2*n*Log[c + d*x])/(30*b^3*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 5, (B*(b*c - a*d)^3*g*i^2*n*x)/(12*b^2*d) + (B*(b*c - a*d)^2*g*i^2*n*(c + d*x)^2)/(24*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g*i^2*n*(c + d*x)^3)/(12*d^2) - ((b*c - a*d)*g*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*d^2) + (b*g*i^2*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(4*d^2) + (B*(b*c - a*d)^4*g*i^2*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(12*b^3*d^2) + (B*(b*c - a*d)^4*g*i^2*n*Log[c + d*x])/(12*b^3*d^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 4, -(B*(b*c - a*d)^2*i^2*n*x)/(3*b^2) - (B*(b*c - a*d)*i^2*n*(c + d*x)^2)/(6*b*d) - (B*(b*c - a*d)^3*i^2*n*Log[a + b*x])/(3*b^3*d) + (i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*d)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^1, x, 10, -((B*d*(b*c - a*d)*i^2*n*x)/(2*b^2*g)) + (d*(b*c - a*d)*i^2*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^3*g) + (i^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*b*g) - (B*(b*c - a*d)^2*i^2*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(2*b^3*g) - (3*B*(b*c - a*d)^2*i^2*n*Log[c + d*x])/(2*b^3*g) - ((b*c - a*d)^2*i^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g) + (B*(b*c - a*d)^2*i^2*n*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^2, x, 8, -((B*(b*c - a*d)*i^2*n*(c + d*x))/(b^2*g^2*(a + b*x))) + (d^2*i^2*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^3*g^2) - ((b*c - a*d)*i^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^2*g^2*(a + b*x)) - (B*d*(b*c - a*d)*i^2*n*Log[c + d*x])/(b^3*g^2) - (2*d*(b*c - a*d)*i^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^2) + (2*B*d*(b*c - a*d)*i^2*n*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^2)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^3, x, 7, -((B*d*i^2*n*(c + d*x))/(b^2*g^3*(a + b*x))) - (B*i^2*n*(c + d*x)^2)/(4*b*g^3*(a + b*x)^2) - (d*i^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^2*g^3*(a + b*x)) - (i^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*b*g^3*(a + b*x)^2) - (d^2*i^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^3) + (B*d^2*i^2*n*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^3)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^4, x, 2, -(B*i^2*n*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^3) - (i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^3)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^5, x, 5, (B*d*i^2*n*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^3) - (b*B*i^2*n*(c + d*x)^4)/(16*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^4) + (d*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^3) - (b*i^2*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(4*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^4)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^6, x, 5, -(B*d^2*i^2*n*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^3) + (b*B*d*i^2*n*(c + d*x)^4)/(8*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^4) - (b^2*B*i^2*n*(c + d*x)^5)/(25*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^5) - (d^2*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^3) + (b*d*i^2*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^4) - (b^2*i^2*(c + d*x)^5*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(5*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^5)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 5, (B*(b*c - a*d)^6*g^3*i^3*n*x)/(140*b^3*d^3) + (B*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*n*(c + d*x)^2)/(280*b^2*d^4) + (B*(b*c - a*d)^4*g^3*i^3*n*(c + d*x)^3)/(420*b*d^4) - (17*B*(b*c - a*d)^3*g^3*i^3*n*(c + d*x)^4)/(280*d^4) + (b*B*(b*c - a*d)^2*g^3*i^3*n*(c + d*x)^5)/(14*d^4) - (b^2*B*(b*c - a*d)*g^3*i^3*n*(c + d*x)^6)/(42*d^4) - ((b*c - a*d)^3*g^3*i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(4*d^4) + (3*b*(b*c - a*d)^2*g^3*i^3*(c + d*x)^5*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(5*d^4) - (b^2*(b*c - a*d)*g^3*i^3*(c + d*x)^6*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*d^4) + (b^3*g^3*i^3*(c + d*x)^7*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(7*d^4) + (B*(b*c - a*d)^7*g^3*i^3*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(140*b^4*d^4) + (B*(b*c - a*d)^7*g^3*i^3*n*Log[c + d*x])/(140*b^4*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 5, -((B*(b*c - a*d)^5*g^2*i^3*n*x)/(60*b^3*d^2)) - (B*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*n*(c + d*x)^2)/(120*b^2*d^3) - (B*(b*c - a*d)^3*g^2*i^3*n*(c + d*x)^3)/(180*b*d^3) + (7*B*(b*c - a*d)^2*g^2*i^3*n*(c + d*x)^4)/(120*d^3) - (b*B*(b*c - a*d)*g^2*i^3*n*(c + d*x)^5)/(30*d^3) + ((b*c - a*d)^2*g^2*i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(4*d^3) - (2*b*(b*c - a*d)*g^2*i^3*(c + d*x)^5*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(5*d^3) + (b^2*g^2*i^3*(c + d*x)^6*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(6*d^3) - (B*(b*c - a*d)^6*g^2*i^3*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(60*b^4*d^3) - (B*(b*c - a*d)^6*g^2*i^3*n*Log[c + d*x])/(60*b^4*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 5, (B*(b*c - a*d)^4*g*i^3*n*x)/(20*b^3*d) + (B*(b*c - a*d)^3*g*i^3*n*(c + d*x)^2)/(40*b^2*d^2) + (B*(b*c - a*d)^2*g*i^3*n*(c + d*x)^3)/(60*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g*i^3*n*(c + d*x)^4)/(20*d^2) - ((b*c - a*d)*g*i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(4*d^2) + (b*g*i^3*(c + d*x)^5*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(5*d^2) + (B*(b*c - a*d)^5*g*i^3*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(20*b^4*d^2) + (B*(b*c - a*d)^5*g*i^3*n*Log[c + d*x])/(20*b^4*d^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 4, -(B*(b*c - a*d)^3*i^3*n*x)/(4*b^3) - (B*(b*c - a*d)^2*i^3*n*(c + d*x)^2)/(8*b^2*d) - (B*(b*c - a*d)*i^3*n*(c + d*x)^3)/(12*b*d) - (B*(b*c - a*d)^4*i^3*n*Log[a + b*x])/(4*b^4*d) + (i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(4*d)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^1, x, 14, -((5*B*d*(b*c - a*d)^2*i^3*n*x)/(6*b^3*g)) - (B*(b*c - a*d)*i^3*n*(c + d*x)^2)/(6*b^2*g) + (d*(b*c - a*d)^2*i^3*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^4*g) + ((b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*b^2*g) + (i^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*b*g) - (5*B*(b*c - a*d)^3*i^3*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(6*b^4*g) - (11*B*(b*c - a*d)^3*i^3*n*Log[c + d*x])/(6*b^4*g) - ((b*c - a*d)^3*i^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g) + (B*(b*c - a*d)^3*i^3*n*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^2, x, 11, -((B*d^2*(b*c - a*d)*i^3*n*x)/(2*b^3*g^2)) - (B*(b*c - a*d)^2*i^3*n*(c + d*x))/(b^3*g^2*(a + b*x)) + (2*d^2*(b*c - a*d)*i^3*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^4*g^2) - ((b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^3*g^2*(a + b*x)) + (d*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*b^2*g^2) - (B*d*(b*c - a*d)^2*i^3*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(2*b^4*g^2) - (5*B*d*(b*c - a*d)^2*i^3*n*Log[c + d*x])/(2*b^4*g^2) - (3*d*(b*c - a*d)^2*i^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^2) + (3*B*d*(b*c - a*d)^2*i^3*n*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^2)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^3, x, 9, -((2*B*d*(b*c - a*d)*i^3*n*(c + d*x))/(b^3*g^3*(a + b*x))) - (B*(b*c - a*d)*i^3*n*(c + d*x)^2)/(4*b^2*g^3*(a + b*x)^2) + (d^3*i^3*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^4*g^3) - (2*d*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^3*g^3*(a + b*x)) - ((b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*b^2*g^3*(a + b*x)^2) - (B*d^2*(b*c - a*d)*i^3*n*Log[c + d*x])/(b^4*g^3) - (3*d^2*(b*c - a*d)*i^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^3) + (3*B*d^2*(b*c - a*d)*i^3*n*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^3)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(a*g + b*g*x)^4, x, 9, -((B*d^2*i^3*n*(c + d*x))/(b^3*g^4*(a + b*x))) - (B*d*i^3*n*(c + d*x)^2)/(4*b^2*g^4*(a + b*x)^2) - (B*i^3*n*(c + d*x)^3)/(9*b*g^4*(a + b*x)^3) - (d^2*i^3*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^3*g^4*(a + b*x)) - (d*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*b^2*g^4*(a + b*x)^2) - (i^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*b*g^4*(a + b*x)^3) - (d^3*i^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^4) + (B*d^3*i^3*n*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(c*i + d*i*x), x, 6, (g^3*(a + b*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*d*i) - ((b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2*(3*A + B*n + 3*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(6*d^2*i) + ((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)*(6*A + 5*B*n + 6*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(6*d^3*i) + ((b*c - a*d)^3*g^3*(6*A + 11*B*n + 6*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(6*d^4*i) + (B*(b*c - a*d)^3*g^3*n*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(c*i + d*i*x), x, 5, (g^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*d*i) - ((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)*(2*A + B*n + 2*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*d^2*i) - ((b*c - a*d)^2*g^2*(2*A + 3*B*n + 2*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(2*d^3*i) - (B*(b*c - a*d)^2*g^2*n*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(c*i + d*i*x), x, 4, (g*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(d*i) + ((b*c - a*d)*g*(A + B*n + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^2*i) + (B*(b*c - a*d)*g*n*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^2*i)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(c*i + d*i*x), x, 5, -(((A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d*i)) - (B*n*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d*i)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)), x, 2, (A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(2*B*(b*c - a*d)*g*i*n)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)), x, 5, -((b*B*n*(c + d*x))/((b*c - a*d)^2*g^2*i*(a + b*x))) - (b*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^2*g^2*i*(a + b*x)) - (d*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^2*g^2*i) + (B*d*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/(2*(b*c - a*d)^2*g^2*i)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)), x, 7, -(B*n*(c + d*x)^2*(b - (4*d*(a + b*x))/(c + d*x))^2)/(4*(b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)^2) + (2*b*d*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)) - (b^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)^2) + (d^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^3*g^3*i) - (B*d^2*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/(2*(b*c - a*d)^3*g^3*i)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((a*g + b*g*x)^4*(c*i + d*i*x)), x, 8, (-3*b*B*d^2*n*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)) + (3*b^2*B*d*n*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^2) - (b^3*B*n*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^3) - (3*b*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)) + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^2) - (b^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^3) - (d^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^4*g^4*i) + (B*d^3*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/(2*(b*c - a*d)^4*g^4*i)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(c*i + d*i*x)^2, x, 9, (3*B*(b*c - a*d)^2*g^3*n*(a + b*x))/(d^3*i^2*(c + d*x)) - ((b*c - a*d)^2*g^3*(6*A + 5*B*n)*(a + b*x))/(2*d^3*i^2*(c + d*x)) - (3*B*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(d^3*i^2*(c + d*x)) + (g^3*(a + b*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*d*i^2*(c + d*x)) - ((b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2*(3*A + B*n + 3*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*d^2*i^2*(c + d*x)) - (b*(b*c - a*d)^2*g^3*(6*A + 5*B*n + 6*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(2*d^4*i^2) - (3*b*B*(b*c - a*d)^2*g^3*n*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^2)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(c*i + d*i*x)^2, x, 8, (-2*B*(b*c - a*d)*g^2*n*(a + b*x))/(d^2*i^2*(c + d*x)) + ((b*c - a*d)*g^2*(2*A + B*n)*(a + b*x))/(d^2*i^2*(c + d*x)) + (2*B*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(d^2*i^2*(c + d*x)) + (g^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(d*i^2*(c + d*x)) + (b*(b*c - a*d)*g^2*(2*A + B*n + 2*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^2) + (2*b*B*(b*c - a*d)*g^2*n*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^2)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(c*i + d*i*x)^2, x, 7, -((A*g*(a + b*x))/(d*i^2*(c + d*x))) + (B*g*n*(a + b*x))/(d*i^2*(c + d*x)) - (B*g*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(d*i^2*(c + d*x)) - (b*g*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^2*i^2) - (b*B*g*n*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^2*i^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(c*i + d*i*x)^2, x, 3, (A*(a + b*x))/((b*c - a*d)*i^2*(c + d*x)) - (B*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)*i^2*(c + d*x)) + (B*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((b*c - a*d)*i^2*(c + d*x))}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)^2), x, 5, -((A*d*(a + b*x))/((b*c - a*d)^2*g*i^2*(c + d*x))) + (B*d*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)^2*g*i^2*(c + d*x)) - (B*d*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((b*c - a*d)^2*g*i^2*(c + d*x)) + (b*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*B*(b*c - a*d)^2*g*i^2*n)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)^2), x, 4, -((B*d^2*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(c + d*x))) - (b^2*B*n*(c + d*x))/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(a + b*x)) + (d^2*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(c + d*x)) - (b^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(a + b*x)) - (2*b*d*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2) + (b*B*d*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)^2), x, 8, (B*d^3*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(c + d*x)) + (3*b^2*B*d*n*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)) - (b^3*B*n*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)^2) - (d^3*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(c + d*x)) + (3*b^2*d*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)) - (b^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)^2) + (3*b*d^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2) - (3*b*B*d^2*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/(2*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((a*g + b*g*x)^4*(c*i + d*i*x)^2), x, 4, -((B*d^4*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(c + d*x))) - (6*b^2*B*d^2*n*(c + d*x))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)) + (b^3*B*d*n*(c + d*x)^2)/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^2) - (b^4*B*n*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^3) + (d^4*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(c + d*x)) - (6*b^2*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)) + (2*b^3*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^2) - (b^4*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*(b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^3) - (4*b*d^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2) + (2*b*B*d^3*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(c*i + d*i*x)^3, x, 9, (-3*B*(b*c - a*d)*g^3*n*(a + b*x)^2)/(4*d^2*i^3*(c + d*x)^2) - (3*b*B*(b*c - a*d)*g^3*n*(a + b*x))/(d^3*i^3*(c + d*x)) + (b*(b*c - a*d)*g^3*(3*A + B*n)*(a + b*x))/(d^3*i^3*(c + d*x)) + (3*b*B*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(d^3*i^3*(c + d*x)) + (g^3*(a + b*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(d*i^3*(c + d*x)^2) + ((b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2*(3*A + B*n + 3*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*d^2*i^3*(c + d*x)^2) + (b^2*(b*c - a*d)*g^3*(3*A + B*n + 3*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^3) + (3*b^2*B*(b*c - a*d)*g^3*n*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^3)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(c*i + d*i*x)^3, x, 8, (B*g^2*n*(a + b*x)^2)/(4*d*i^3*(c + d*x)^2) - (A*b*g^2*(a + b*x))/(d^2*i^3*(c + d*x)) + (b*B*g^2*n*(a + b*x))/(d^2*i^3*(c + d*x)) - (b*B*g^2*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(d^2*i^3*(c + d*x)) - (g^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*d*i^3*(c + d*x)^2) - (b^2*g^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^3) - (b^2*B*g^2*n*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(c*i + d*i*x)^3, x, 2, -(B*g*n*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2) + (g*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(c*i + d*i*x)^3, x, 4, (B*n)/(4*d*i^3*(c + d*x)^2) + (b*B*n)/(2*d*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)) + (b^2*B*n*Log[a + b*x])/(2*d*(b*c - a*d)^2*i^3) - (A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(2*d*i^3*(c + d*x)^2) - (b^2*B*n*Log[c + d*x])/(2*d*(b*c - a*d)^2*i^3)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)^3), x, 4, -(B*n*(4*b - (d*(a + b*x))/(c + d*x))^2)/(4*(b*c - a*d)^3*g*i^3) + (d^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)^2) - (2*b*d*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)) + (b^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^3*g*i^3) - (b^2*B*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/(2*(b*c - a*d)^3*g*i^3)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)^3), x, 4, (B*d^3*n*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)^2) - (3*b*B*d^2*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)) - (b^3*B*n*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(a + b*x)) - (d^3*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)^2) + (3*b*d^2*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)) - (b^3*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(a + b*x)) - (3*b^2*d*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3) + (3*b^2*B*d*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/(2*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)^3), x, 5, -(B*d^4*n*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)^2) + (4*b*B*d^3*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)) + (4*b^3*B*d*n*(c + d*x))/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)) - (b^4*B*n*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)^2) + (d^4*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)^2) - (4*b*d^3*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)) + (4*b^3*d*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)) - (b^4*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)^2) + (6*b^2*d^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3) - (3*b^2*B*d^2*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((a*g + b*g*x)^4*(c*i + d*i*x)^3), x, 8, (B*d^5*n*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)^2) - (5*b*B*d^4*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)) - (10*b^3*B*d^2*n*(c + d*x))/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)) + (5*b^4*B*d*n*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^2) - (b^5*B*n*(c + d*x)^3)/(9*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^3) - (d^5*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)^2) + (5*b*d^4*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)) - (10*b^3*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)) + (5*b^4*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^2) - (b^5*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^3) - (10*b^2*d^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3) + (5*b^2*B*d^3*n*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B Log[e ((a+b x) / (c+d x))^n])^2 when b f-a g=0 and d h-c i=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 11, (3*B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*i*n^2*x)/(10*b*d^3) - (3*B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*i*n^2*(c + d*x)^2)/(20*d^4) + (b*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*i*n^2*(c + d*x)^3)/(30*d^4) - (B*(b*c - a*d)^2*g^3*i*n*(a + b*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(30*b^2*d) - (B*(b*c - a*d)*g^3*i*n*(a + b*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(10*b^2) + ((b*c - a*d)*g^3*i*(a + b*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(20*b^2) + (g^3*i*(a + b*x)^4*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(5*b) + (B*(b*c - a*d)^3*g^3*i*n*(a + b*x)^2*(3*A + B*n + 3*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(60*b^2*d^2) - (B*(b*c - a*d)^4*g^3*i*n*(a + b*x)*(6*A + 5*B*n + 6*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(60*b^2*d^3) - (B*(b*c - a*d)^5*g^3*i*n*(6*A + 11*B*n + 6*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(60*b^2*d^4) - (B^2*(b*c - a*d)^5*g^3*i*n^2*Log[c + d*x])/(10*b^2*d^4) - (B^2*(b*c - a*d)^5*g^3*i*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(10*b^2*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 10, -(B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*i*n^2*x)/(3*b*d^2) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*i*n^2*(c + d*x)^2)/(12*d^3) - (B*(b*c - a*d)^2*g^2*i*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(12*b^2*d) - (B*(b*c - a*d)*g^2*i*n*(a + b*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(6*b^2) + ((b*c - a*d)*g^2*i*(a + b*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(12*b^2) + (g^2*i*(a + b*x)^3*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(4*b) + (B*(b*c - a*d)^3*g^2*i*n*(a + b*x)*(2*A + B*n + 2*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(12*b^2*d^2) + (B*(b*c - a*d)^4*g^2*i*n*(2*A + 3*B*n + 2*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(12*b^2*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^4*g^2*i*n^2*Log[c + d*x])/(6*b^2*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^4*g^2*i*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(6*b^2*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 9, (B^2*(b*c - a*d)^2*g*i*n^2*x)/(3*b*d) - (B*(b*c - a*d)^2*g*i*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*b^2*d) - (B*(b*c - a*d)*g*i*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*b^2) + ((b*c - a*d)*g*i*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(6*b^2) + (g*i*(a + b*x)^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*b) - (B*(b*c - a*d)^3*g*i*n*(A + B*n + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(3*b^2*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^3*g*i*n^2*Log[c + d*x])/(3*b^2*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^3*g*i*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(3*b^2*d^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 7, -((B*(b*c - a*d)*i*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/b^2) + (i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*d) + (B^2*(b*c - a*d)^2*i*n^2*Log[c + d*x])/(b^2*d) + (B*(b*c - a*d)^2*i*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*d) - (B^2*(b*c - a*d)^2*i*n^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*d)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^1, x, 8, (d*i*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(b^2*g) + (2*B*(b*c - a*d)*i*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(b^2*g) - ((b*c - a*d)*i*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*g) + (2*B^2*(b*c - a*d)*i*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^2*g) + (2*B*(b*c - a*d)*i*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*g) + (2*B^2*(b*c - a*d)*i*n^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*g)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^2, x, 7, -((2*B^2*i*n^2*(c + d*x))/(b*g^2*(a + b*x))) - (2*B*i*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b*g^2*(a + b*x)) - (i*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(b*g^2*(a + b*x)) - (d*i*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*g^2) + (2*B*d*i*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*g^2) + (2*B^2*d*i*n^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^2*g^2)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^3, x, 3, -(B^2*i*n^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2) - (B*i*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2) - (i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^4, x, 7, (B^2*d*i*n^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^2) - (2*b*B^2*i*n^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3) + (B*d*i*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^2) - (2*b*B*i*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(9*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3) + (d*i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^2) - (b*i*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*(b*c - a*d)^2*g^4*(a + b*x)^3)}
+{(c*i + d*i*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^5, x, 9, -(B^2*d^2*i*n^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^2) + (4*b*B^2*d*i*n^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^3) - (b^2*B^2*i*n^2*(c + d*x)^4)/(32*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^4) - (B*d^2*i*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^2) + (4*b*B*d*i*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(9*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^3) - (b^2*B*i*n*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(8*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^4) - (d^2*i*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^2) + (2*b*d*i*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^3) - (b^2*i*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(4*(b*c - a*d)^3*g^5*(a + b*x)^4)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 17, (3*B^2*(b*c - a*d)^5*g^3*i^2*n^2*x)/(20*b^2*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*i^2*n^2*(a + b*x)^4)/(60*b^3) - (3*B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2*n^2*(c + d*x)^2)/(40*b*d^4) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*i^2*n^2*(c + d*x)^3)/(60*d^4) - (B*(b*c - a*d)^3*g^3*i^2*n*(a + b*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(90*b^3*d) - (B*(b*c - a*d)^2*g^3*i^2*n*(a + b*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(20*b^3) - (B*(b*c - a*d)*g^3*i^2*n*(a + b*x)^4*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(15*b^2) + ((b*c - a*d)^2*g^3*i^2*(a + b*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(60*b^3) + ((b*c - a*d)*g^3*i^2*(a + b*x)^4*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(15*b^2) + (g^3*i^2*(a + b*x)^4*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(6*b) + (B*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2*n*(a + b*x)^2*(3*A + B*n + 3*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(180*b^3*d^2) - (B*(b*c - a*d)^5*g^3*i^2*n*(a + b*x)*(6*A + 5*B*n + 6*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(180*b^3*d^3) - (B*(b*c - a*d)^6*g^3*i^2*n*(6*A + 11*B*n + 6*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(180*b^3*d^4) - (B^2*(b*c - a*d)^6*g^3*i^2*n^2*Log[c + d*x])/(20*b^3*d^4) - (B^2*(b*c - a*d)^6*g^3*i^2*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(30*b^3*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 15, -(B^2*(b*c - a*d)^4*g^2*i^2*n^2*x)/(10*b^2*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*i^2*n^2*(c + d*x)^2)/(20*b*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*i^2*n^2*(c + d*x)^3)/(30*d^3) - (B*(b*c - a*d)^3*g^2*i^2*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(30*b^3*d) - (B*(b*c - a*d)^2*g^2*i^2*n*(a + b*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(15*b^3) - (B*(b*c - a*d)^3*g^2*i^2*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(5*b*d^3) + (4*B*(b*c - a*d)^2*g^2*i^2*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(15*d^3) - (b*B*(b*c - a*d)*g^2*i^2*n*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(10*d^3) + ((b*c - a*d)^2*g^2*i^2*(a + b*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(30*b^3) + ((b*c - a*d)*g^2*i^2*(a + b*x)^3*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(10*b^2) + (g^2*i^2*(a + b*x)^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(5*b) + (B*(b*c - a*d)^4*g^2*i^2*n*(a + b*x)*(2*A + B*n + 2*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(30*b^3*d^2) + (B*(b*c - a*d)^5*g^2*i^2*n*(2*A + 3*B*n + 2*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(30*b^3*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^5*g^2*i^2*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(30*b^3*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^5*g^2*i^2*n^2*Log[c + d*x])/(10*b^3*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^5*g^2*i^2*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(15*b^3*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 14, (B^2*(b*c - a*d)^3*g*i^2*n^2*x)/(12*b^2*d) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g*i^2*n^2*(c + d*x)^2)/(12*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)^3*g*i^2*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(6*b^3*d) - (B*(b*c - a*d)^2*g*i^2*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(6*b^3) + (B*(b*c - a*d)^2*g*i^2*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(4*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g*i^2*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(6*d^2) + ((b*c - a*d)^2*g*i^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(12*b^3) + ((b*c - a*d)*g*i^2*(a + b*x)^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(6*b^2) + (g*i^2*(a + b*x)^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(4*b) - (B*(b*c - a*d)^4*g*i^2*n*(A + B*n + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(6*b^3*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^4*g*i^2*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(12*b^3*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^4*g*i^2*n^2*Log[c + d*x])/(4*b^3*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^4*g*i^2*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(6*b^3*d^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 11, (B^2*(b*c - a*d)^2*i^2*n^2*x)/(3*b^2) - (2*B*(b*c - a*d)^2*i^2*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*b^3) - (B*(b*c - a*d)*i^2*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*b*d) + (i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*d) + (B^2*(b*c - a*d)^3*i^2*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(3*b^3*d) + (B^2*(b*c - a*d)^3*i^2*n^2*Log[c + d*x])/(b^3*d) + (2*B*(b*c - a*d)^3*i^2*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(3*b^3*d) - (2*B^2*(b*c - a*d)^3*i^2*n^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(3*b^3*d)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^1, x, 15, -((B*d*(b*c - a*d)*i^2*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^3*g)) + (d*(b*c - a*d)*i^2*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(b^3*g) + (i^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*b*g) + (2*B*(b*c - a*d)^2*i^2*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(b^3*g) + (B^2*(b*c - a*d)^2*i^2*n^2*Log[c + d*x])/(b^3*g) + (B*(b*c - a*d)^2*i^2*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g) - ((b*c - a*d)^2*i^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g) + (2*B^2*(b*c - a*d)^2*i^2*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^3*g) - (B^2*(b*c - a*d)^2*i^2*n^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g) + (2*B*(b*c - a*d)^2*i^2*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g) + (2*B^2*(b*c - a*d)^2*i^2*n^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^2, x, 11, -((2*B^2*(b*c - a*d)*i^2*n^2*(c + d*x))/(b^2*g^2*(a + b*x))) - (2*B*(b*c - a*d)*i^2*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^2*g^2*(a + b*x)) + (d^2*i^2*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(b^3*g^2) - ((b*c - a*d)*i^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(b^2*g^2*(a + b*x)) + (2*B*d*(b*c - a*d)*i^2*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(b^3*g^2) - (2*d*(b*c - a*d)*i^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^2) + (2*B^2*d*(b*c - a*d)*i^2*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^3*g^2) + (4*B*d*(b*c - a*d)*i^2*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^2) + (4*B^2*d*(b*c - a*d)*i^2*n^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^2)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^3, x, 10, -((2*B^2*d*i^2*n^2*(c + d*x))/(b^2*g^3*(a + b*x))) - (B^2*i^2*n^2*(c + d*x)^2)/(4*b*g^3*(a + b*x)^2) - (2*B*d*i^2*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^2*g^3*(a + b*x)) - (B*i^2*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*b*g^3*(a + b*x)^2) - (d*i^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(b^2*g^3*(a + b*x)) - (i^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*b*g^3*(a + b*x)^2) - (d^2*i^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^3) + (2*B*d^2*i^2*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^3) + (2*B^2*d^2*i^2*n^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^3*g^3)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^4, x, 3, (-2*B^2*i^2*n^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^3) - (2*B*i^2*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(9*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^3) - (i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*(b*c - a*d)*g^4*(a + b*x)^3)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^5, x, 7, (2*B^2*d*i^2*n^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^3) - (b*B^2*i^2*n^2*(c + d*x)^4)/(32*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^4) + (2*B*d*i^2*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(9*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^3) - (b*B*i^2*n*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(8*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^4) + (d*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^3) - (b*i^2*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(4*(b*c - a*d)^2*g^5*(a + b*x)^4)}
+{(c*i + d*i*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^6, x, 9, (-2*B^2*d^2*i^2*n^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^3) + (b*B^2*d*i^2*n^2*(c + d*x)^4)/(16*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^4) - (2*b^2*B^2*i^2*n^2*(c + d*x)^5)/(125*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^5) - (2*B*d^2*i^2*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(9*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^3) + (b*B*d*i^2*n*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(4*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^4) - (2*b^2*B*i^2*n*(c + d*x)^5*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(25*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^5) - (d^2*i^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^3) + (b*d*i^2*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^4) - (b^2*i^2*(c + d*x)^5*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(5*(b*c - a*d)^3*g^6*(a + b*x)^5)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 22, (5*B^2*(b*c - a*d)^6*g^3*i^3*n^2*x)/(84*b^3*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*i^3*n^2*(a + b*x)^4)/(140*b^4) - (29*B^2*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*n^2*(c + d*x)^2)/(840*b^2*d^4) + (47*B^2*(b*c - a*d)^4*g^3*i^3*n^2*(c + d*x)^3)/(1260*b*d^4) - (13*B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*i^3*n^2*(c + d*x)^4)/(420*d^4) + (b*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*i^3*n^2*(c + d*x)^5)/(105*d^4) - (B*(b*c - a*d)^4*g^3*i^3*n*(a + b*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(210*b^4*d) - (3*B*(b*c - a*d)^3*g^3*i^3*n*(a + b*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(140*b^4) - (B*(b*c - a*d)^2*g^3*i^3*n*(a + b*x)^4*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(35*b^3) + (2*B*(b*c - a*d)^4*g^3*i^3*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(21*b*d^4) - (3*B*(b*c - a*d)^3*g^3*i^3*n*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(14*d^4) + (6*b*B*(b*c - a*d)^2*g^3*i^3*n*(c + d*x)^5*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(35*d^4) - (b^2*B*(b*c - a*d)*g^3*i^3*n*(c + d*x)^6*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(21*d^4) + ((b*c - a*d)^3*g^3*i^3*(a + b*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(140*b^4) + ((b*c - a*d)^2*g^3*i^3*(a + b*x)^4*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(35*b^3) + ((b*c - a*d)*g^3*i^3*(a + b*x)^4*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(14*b^2) + (g^3*i^3*(a + b*x)^4*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(7*b) + (B*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*n*(a + b*x)^2*(3*A + B*n + 3*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(420*b^4*d^2) - (B*(b*c - a*d)^6*g^3*i^3*n*(a + b*x)*(6*A + 5*B*n + 6*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(420*b^4*d^3) - (B*(b*c - a*d)^7*g^3*i^3*n*(6*A + 11*B*n + 6*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(420*b^4*d^4) - (B^2*(b*c - a*d)^7*g^3*i^3*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(210*b^4*d^4) - (11*B^2*(b*c - a*d)^7*g^3*i^3*n^2*Log[c + d*x])/(420*b^4*d^4) - (B^2*(b*c - a*d)^7*g^3*i^3*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(70*b^4*d^4)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 20, (-7*B^2*(b*c - a*d)^5*g^2*i^3*n^2*x)/(180*b^3*d^2) - (7*B^2*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*n^2*(c + d*x)^2)/(360*b^2*d^3) - (B^2*(b*c - a*d)^3*g^2*i^3*n^2*(c + d*x)^3)/(60*b*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*i^3*n^2*(c + d*x)^4)/(60*d^3) - (B*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(60*b^4*d) - (B*(b*c - a*d)^3*g^2*i^3*n*(a + b*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(30*b^4) - (B*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(10*b^2*d^3) + (B*(b*c - a*d)^3*g^2*i^3*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(45*b*d^3) + (7*B*(b*c - a*d)^2*g^2*i^3*n*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(60*d^3) - (b*B*(b*c - a*d)*g^2*i^3*n*(c + d*x)^5*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(15*d^3) + ((b*c - a*d)^3*g^2*i^3*(a + b*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(60*b^4) + ((b*c - a*d)^2*g^2*i^3*(a + b*x)^3*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(20*b^3) + ((b*c - a*d)*g^2*i^3*(a + b*x)^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(10*b^2) + (g^2*i^3*(a + b*x)^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(6*b) + (B*(b*c - a*d)^5*g^2*i^3*n*(a + b*x)*(2*A + B*n + 2*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(60*b^4*d^2) + (B*(b*c - a*d)^6*g^2*i^3*n*(2*A + 3*B*n + 2*B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(60*b^4*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^6*g^2*i^3*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(36*b^4*d^3) + (11*B^2*(b*c - a*d)^6*g^2*i^3*n^2*Log[c + d*x])/(180*b^4*d^3) + (B^2*(b*c - a*d)^6*g^2*i^3*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(30*b^4*d^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 19, (B^2*(b*c - a*d)^4*g*i^3*n^2*x)/(60*b^3*d) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g*i^3*n^2*(c + d*x)^2)/(30*b^2*d^2) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g*i^3*n^2*(c + d*x)^3)/(30*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)^4*g*i^3*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(10*b^4*d) - (B*(b*c - a*d)^3*g*i^3*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(10*b^4) + (3*B*(b*c - a*d)^3*g*i^3*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(20*b^2*d^2) + (B*(b*c - a*d)^2*g*i^3*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(30*b*d^2) - (B*(b*c - a*d)*g*i^3*n*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(10*d^2) + ((b*c - a*d)^3*g*i^3*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(20*b^4) + ((b*c - a*d)^2*g*i^3*(a + b*x)^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(10*b^3) + (3*(b*c - a*d)*g*i^3*(a + b*x)^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(20*b^2) + (g*i^3*(a + b*x)^2*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(5*b) - (B*(b*c - a*d)^5*g*i^3*n*(A + B*n + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(10*b^4*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^5*g*i^3*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(12*b^4*d^2) - (11*B^2*(b*c - a*d)^5*g*i^3*n^2*Log[c + d*x])/(60*b^4*d^2) - (B^2*(b*c - a*d)^5*g*i^3*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(10*b^4*d^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2, x, 15, (5*B^2*(b*c - a*d)^3*i^3*n^2*x)/(12*b^3) + (B^2*(b*c - a*d)^2*i^3*n^2*(c + d*x)^2)/(12*b^2*d) - (B*(b*c - a*d)^3*i^3*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*b^4) - (B*(b*c - a*d)^2*i^3*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(4*b^2*d) - (B*(b*c - a*d)*i^3*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(6*b*d) + (i^3*(c + d*x)^4*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(4*d) + (5*B^2*(b*c - a*d)^4*i^3*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(12*b^4*d) + (11*B^2*(b*c - a*d)^4*i^3*n^2*Log[c + d*x])/(12*b^4*d) + (B*(b*c - a*d)^4*i^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(2*b^4*d) - (B^2*(b*c - a*d)^4*i^3*n^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(2*b^4*d)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^1, x, 26, (B^2*d*(b*c - a*d)^2*i^3*n^2*x)/(3*b^3*g) - (5*B*d*(b*c - a*d)^2*i^3*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*b^4*g) - (B*(b*c - a*d)*i^3*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*b^2*g) + (d*(b*c - a*d)^2*i^3*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(b^4*g) + ((b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*b^2*g) + (i^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*b*g) + (2*B*(b*c - a*d)^3*i^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(b^4*g) + (B^2*(b*c - a*d)^3*i^3*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(3*b^4*g) + (2*B^2*(b*c - a*d)^3*i^3*n^2*Log[c + d*x])/(b^4*g) + (5*B*(b*c - a*d)^3*i^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(3*b^4*g) - ((b*c - a*d)^3*i^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g) + (2*B^2*(b*c - a*d)^3*i^3*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^4*g) - (5*B^2*(b*c - a*d)^3*i^3*n^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(3*b^4*g) + (2*B*(b*c - a*d)^3*i^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g) + (2*B^2*(b*c - a*d)^3*i^3*n^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^2, x, 17, -((2*B^2*(b*c - a*d)^2*i^3*n^2*(c + d*x))/(b^3*g^2*(a + b*x))) - (B*d^2*(b*c - a*d)*i^3*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^4*g^2) - (2*B*(b*c - a*d)^2*i^3*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^3*g^2*(a + b*x)) + (2*d^2*(b*c - a*d)*i^3*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(b^4*g^2) - ((b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(b^3*g^2*(a + b*x)) + (d*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*b^2*g^2) + (4*B*d*(b*c - a*d)^2*i^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(b^4*g^2) + (B^2*d*(b*c - a*d)^2*i^3*n^2*Log[c + d*x])/(b^4*g^2) + (B*d*(b*c - a*d)^2*i^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^2) - (3*d*(b*c - a*d)^2*i^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^2) + (4*B^2*d*(b*c - a*d)^2*i^3*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^4*g^2) - (B^2*d*(b*c - a*d)^2*i^3*n^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^2) + (6*B*d*(b*c - a*d)^2*i^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^2) + (6*B^2*d*(b*c - a*d)^2*i^3*n^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^2)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^3, x, 13, -((4*B^2*d*(b*c - a*d)*i^3*n^2*(c + d*x))/(b^3*g^3*(a + b*x))) - (B^2*(b*c - a*d)*i^3*n^2*(c + d*x)^2)/(4*b^2*g^3*(a + b*x)^2) - (4*B*d*(b*c - a*d)*i^3*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^3*g^3*(a + b*x)) - (B*(b*c - a*d)*i^3*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*b^2*g^3*(a + b*x)^2) + (d^3*i^3*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(b^4*g^3) - (2*d*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(b^3*g^3*(a + b*x)) - ((b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*b^2*g^3*(a + b*x)^2) + (2*B*d^2*(b*c - a*d)*i^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(b^4*g^3) - (3*d^2*(b*c - a*d)*i^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^3) + (2*B^2*d^2*(b*c - a*d)*i^3*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b^4*g^3) + (6*B*d^2*(b*c - a*d)*i^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^3) + (6*B^2*d^2*(b*c - a*d)*i^3*n^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^3)}
+{(c*i + d*i*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^4, x, 13, -((2*B^2*d^2*i^3*n^2*(c + d*x))/(b^3*g^4*(a + b*x))) - (B^2*d*i^3*n^2*(c + d*x)^2)/(4*b^2*g^4*(a + b*x)^2) - (2*B^2*i^3*n^2*(c + d*x)^3)/(27*b*g^4*(a + b*x)^3) - (2*B*d^2*i^3*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(b^3*g^4*(a + b*x)) - (B*d*i^3*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*b^2*g^4*(a + b*x)^2) - (2*B*i^3*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(9*b*g^4*(a + b*x)^3) - (d^2*i^3*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(b^3*g^4*(a + b*x)) - (d*i^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*b^2*g^4*(a + b*x)^2) - (i^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*b*g^4*(a + b*x)^3) - (d^3*i^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^4) + (2*B*d^3*i^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^4) + (2*B^2*d^3*i^3*n^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b^4*g^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(c*i + d*i*x), x, 25, (b*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*n^2*x)/(3*d^3*i) + (7*B*(b*c - a*d)^2*g^3*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*d^3*i) - (b^2*B*(b*c - a*d)*g^3*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(3*d^4*i) + (3*(b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(d^3*i) - (3*b^2*(b*c - a*d)*g^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*d^4*i) + (b^3*g^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*d^4*i) + (6*B*(b*c - a*d)^3*g^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^4*i) + ((b*c - a*d)^3*g^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^4*i) + (B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*n^2*Log[(a + b*x)/(c + d*x)])/(3*d^4*i) - (2*B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*n^2*Log[c + d*x])/(d^4*i) - (7*B*(b*c - a*d)^3*g^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(3*d^4*i) + (6*B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i) + (2*B*(b*c - a*d)^3*g^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i) + (7*B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*n^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(3*d^4*i) - (2*B^2*(b*c - a*d)^3*g^3*n^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(c*i + d*i*x), x, 15, -((B*(b*c - a*d)*g^2*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(d^2*i)) - (2*(b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(d^2*i) + (b^2*g^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*d^3*i) - (4*B*(b*c - a*d)^2*g^2*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^3*i) - ((b*c - a*d)^2*g^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^3*i) + (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*n^2*Log[c + d*x])/(d^3*i) + (B*(b*c - a*d)^2*g^2*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(d^3*i) - (4*B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i) - (2*B*(b*c - a*d)^2*g^2*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i) - (B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*n^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(d^3*i) + (2*B^2*(b*c - a*d)^2*g^2*n^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(c*i + d*i*x), x, 9, (g*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(d*i) + (2*B*(b*c - a*d)*g*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^2*i) + ((b*c - a*d)*g*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^2*i) + (2*B^2*(b*c - a*d)*g*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^2*i) + (2*B*(b*c - a*d)*g*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^2*i) - (2*B^2*(b*c - a*d)*g*n^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^2*i)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(c*i + d*i*x), x, 4, -(((A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d*i)) - (2*B*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d*i) + (2*B^2*n^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d*i)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/((a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)), x, 3, (A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^3/(3*B*(b*c - a*d)*g*i*n)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/((a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)), x, 7, (-2*b*B^2*n^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^2*g^2*i*(a + b*x)) - (2*b*B*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^2*g^2*i*(a + b*x)) - (b*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^2*g^2*i*(a + b*x)) - (d*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^3)/(3*B*(b*c - a*d)^2*g^2*i*n)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/((a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)), x, 9, (4*b*B^2*d*n^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)) - (b^2*B^2*n^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)^2) + (4*b*B*d*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)) - (b^2*B*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)^2) + (2*b*d*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)) - (b^2*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^3*g^3*i*(a + b*x)^2) + (d^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^3)/(3*B*(b*c - a*d)^3*g^3*i*n)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/((a*g + b*g*x)^4*(c*i + d*i*x)), x, 11, (-6*b*B^2*d^2*n^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)) + (3*b^2*B^2*d*n^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^2) - (2*b^3*B^2*n^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^3) - (6*b*B*d^2*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)) + (3*b^2*B*d*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^2) - (2*b^3*B*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(9*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^3) - (3*b*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)) + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^2) - (b^3*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*(b*c - a*d)^4*g^4*i*(a + b*x)^3) - (d^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^3)/(3*B*(b*c - a*d)^4*g^4*i*n)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(c*i + d*i*x)^2, x, 18, (2*A*B*(b*c - a*d)^2*g^3*n*(a + b*x))/(d^3*i^2*(c + d*x)) - (2*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*n^2*(a + b*x))/(d^3*i^2*(c + d*x)) + (2*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*n*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(d^3*i^2*(c + d*x)) - (b*B*(b*c - a*d)*g^3*n*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(d^3*i^2) - (3*b*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(d^3*i^2) - ((b*c - a*d)^2*g^3*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(d^3*i^2*(c + d*x)) + (b^3*g^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*d^4*i^2) - (6*b*B*(b*c - a*d)^2*g^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^2) - (3*b*(b*c - a*d)^2*g^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^2) + (b*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*n^2*Log[c + d*x])/(d^4*i^2) + (b*B*(b*c - a*d)^2*g^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[1 - (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(d^4*i^2) - (6*b*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^2) - (6*b*B*(b*c - a*d)^2*g^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^2) - (b*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*n^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(d^4*i^2) + (6*b*B^2*(b*c - a*d)^2*g^3*n^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^2)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(c*i + d*i*x)^2, x, 12, (-2*A*B*(b*c - a*d)*g^2*n*(a + b*x))/(d^2*i^2*(c + d*x)) + (2*B^2*(b*c - a*d)*g^2*n^2*(a + b*x))/(d^2*i^2*(c + d*x)) - (2*B^2*(b*c - a*d)*g^2*n*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(d^2*i^2*(c + d*x)) + (b*g^2*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(d^2*i^2) + ((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(d^2*i^2*(c + d*x)) + (2*b*B*(b*c - a*d)*g^2*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^2) + (2*b*(b*c - a*d)*g^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^2) + (2*b*B^2*(b*c - a*d)*g^2*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^2) + (4*b*B*(b*c - a*d)*g^2*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^2) - (4*b*B^2*(b*c - a*d)*g^2*n^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^2)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(c*i + d*i*x)^2, x, 9, (2*A*B*g*n*(a + b*x))/(d*i^2*(c + d*x)) - (2*B^2*g*n^2*(a + b*x))/(d*i^2*(c + d*x)) + (2*B^2*g*n*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(d*i^2*(c + d*x)) - (g*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(d*i^2*(c + d*x)) - (b*g*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^2*i^2) - (2*b*B*g*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^2*i^2) + (2*b*B^2*g*n^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^2*i^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(c*i + d*i*x)^2, x, 4, (-2*A*B*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)*i^2*(c + d*x)) + (2*B^2*n^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)*i^2*(c + d*x)) - (2*B^2*n*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((b*c - a*d)*i^2*(c + d*x)) + ((a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)*i^2*(c + d*x))}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/((a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)^2), x, 7, (2*A*B*d*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)^2*g*i^2*(c + d*x)) - (2*B^2*d*n^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^2*g*i^2*(c + d*x)) + (2*B^2*d*n*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((b*c - a*d)^2*g*i^2*(c + d*x)) - (d*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^2*g*i^2*(c + d*x)) + (b*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^3)/(3*B*(b*c - a*d)^2*g*i^2*n)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/((a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)^2), x, 10, (-2*A*B*d^2*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(c + d*x)) + (2*B^2*d^2*n^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(c + d*x)) - (2*b^2*B^2*n^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(a + b*x)) - (2*B^2*d^2*n*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(c + d*x)) - (2*b^2*B*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(a + b*x)) + (d^2*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(c + d*x)) - (b^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^3*g^2*i^2*(a + b*x)) - (2*b*d*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^3)/(3*B*(b*c - a*d)^3*g^2*i^2*n)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/((a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)^2), x, 12, (2*A*B*d^3*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(c + d*x)) - (2*B^2*d^3*n^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(c + d*x)) + (6*b^2*B^2*d*n^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)) - (b^3*B^2*n^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)^2) + (2*B^2*d^3*n*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(c + d*x)) + (6*b^2*B*d*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)) - (b^3*B*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)^2) - (d^3*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(c + d*x)) + (3*b^2*d*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)) - (b^3*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2*(a + b*x)^2) + (b*d^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^3)/(B*(b*c - a*d)^4*g^3*i^2*n)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/((a*g + b*g*x)^4*(c*i + d*i*x)^2), x, 14, (-2*A*B*d^4*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(c + d*x)) + (2*B^2*d^4*n^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(c + d*x)) - (12*b^2*B^2*d^2*n^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)) + (b^3*B^2*d*n^2*(c + d*x)^2)/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^2) - (2*b^4*B^2*n^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^3) - (2*B^2*d^4*n*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(c + d*x)) - (12*b^2*B*d^2*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)) + (2*b^3*B*d*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^2) - (2*b^4*B*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(9*(b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^3) + (d^4*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(c + d*x)) - (6*b^2*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)) + (2*b^3*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^2) - (b^4*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*(b*c - a*d)^5*g^4*i^2*(a + b*x)^3) - (4*b*d^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^3)/(3*B*(b*c - a*d)^5*g^4*i^2*n)}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(c*i + d*i*x)^3, x, 14, (B^2*(b*c - a*d)*g^3*n^2*(a + b*x)^2)/(4*d^2*i^3*(c + d*x)^2) - (4*A*b*B*(b*c - a*d)*g^3*n*(a + b*x))/(d^3*i^3*(c + d*x)) + (4*b*B^2*(b*c - a*d)*g^3*n^2*(a + b*x))/(d^3*i^3*(c + d*x)) - (4*b*B^2*(b*c - a*d)*g^3*n*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(d^3*i^3*(c + d*x)) - (B*(b*c - a*d)*g^3*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*d^2*i^3*(c + d*x)^2) + (b^2*g^3*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(d^3*i^3) + ((b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*d^2*i^3*(c + d*x)^2) + (2*b*(b*c - a*d)*g^3*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(d^3*i^3*(c + d*x)) + (2*b^2*B*(b*c - a*d)*g^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^3) + (3*b^2*(b*c - a*d)*g^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^3) + (2*b^2*B^2*(b*c - a*d)*g^3*n^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^3) + (6*b^2*B*(b*c - a*d)*g^3*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^3) - (6*b^2*B^2*(b*c - a*d)*g^3*n^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^4*i^3)}
+{(a*g + b*g*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(c*i + d*i*x)^3, x, 11, -(B^2*g^2*n^2*(a + b*x)^2)/(4*d*i^3*(c + d*x)^2) + (2*A*b*B*g^2*n*(a + b*x))/(d^2*i^3*(c + d*x)) - (2*b*B^2*g^2*n^2*(a + b*x))/(d^2*i^3*(c + d*x)) + (2*b*B^2*g^2*n*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(d^2*i^3*(c + d*x)) + (B*g^2*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*d*i^3*(c + d*x)^2) - (g^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*d*i^3*(c + d*x)^2) - (b*g^2*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(d^2*i^3*(c + d*x)) - (b^2*g^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^3) - (2*b^2*B*g^2*n*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^3) + (2*b^2*B^2*g^2*n^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(d^3*i^3)}
+{(a*g + b*g*x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(c*i + d*i*x)^3, x, 3, (B^2*g*n^2*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2) - (B*g*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2) + (g*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*(b*c - a*d)*i^3*(c + d*x)^2)}
+{(a*g + b*g*x)^0*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(c*i + d*i*x)^3, x, 8, -(B^2*d*n^2*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)^2) - (2*A*b*B*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)) + (2*b*B^2*n^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)) - (2*b*B^2*n*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)) + (B*d*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)^2) - (d*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x)^2) + (b*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^2*i^3*(c + d*x))}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/((a*g + b*g*x)^1*(c*i + d*i*x)^3), x, 15, (B^2*d^2*n^2*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)^2) + (4*A*b*B*d*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)) - (4*b*B^2*d*n^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)) + (4*b*B^2*d*n*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)) - (B*d^2*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)^2) + (d^2*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)^2) - (2*b*d*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^3*g*i^3*(c + d*x)) + (b^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^3)/(3*B*(b*c - a*d)^3*g*i^3*n)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/((a*g + b*g*x)^2*(c*i + d*i*x)^3), x, 12, -(B^2*d^3*n^2*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)^2) - (6*A*b*B*d^2*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)) + (6*b*B^2*d^2*n^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)) - (2*b^3*B^2*n^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(a + b*x)) - (6*b*B^2*d^2*n*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)) + (B*d^3*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)^2) - (2*b^3*B*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(a + b*x)) - (d^3*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)^2) + (3*b*d^2*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(c + d*x)) - (b^3*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^4*g^2*i^3*(a + b*x)) - (b^2*d*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^3)/(B*(b*c - a*d)^4*g^2*i^3*n)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/((a*g + b*g*x)^3*(c*i + d*i*x)^3), x, 14, (B^2*d^4*n^2*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)^2) + (8*A*b*B*d^3*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)) - (8*b*B^2*d^3*n^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)) + (8*b^3*B^2*d*n^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)) - (b^4*B^2*n^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)^2) + (8*b*B^2*d^3*n*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)) - (B*d^4*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)^2) + (8*b^3*B*d*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)) - (b^4*B*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)^2) + (d^4*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)^2) - (4*b*d^3*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(c + d*x)) + (4*b^3*d*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)) - (b^4*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*(a + b*x)^2) + (2*b^2*d^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^3)/(B*(b*c - a*d)^5*g^3*i^3*n)}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/((a*g + b*g*x)^4*(c*i + d*i*x)^3), x, 16, -(B^2*d^5*n^2*(a + b*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)^2) - (10*A*b*B*d^4*n*(a + b*x))/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)) + (10*b*B^2*d^4*n^2*(a + b*x))/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)) - (20*b^3*B^2*d^2*n^2*(c + d*x))/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)) + (5*b^4*B^2*d*n^2*(c + d*x)^2)/(4*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^2) - (2*b^5*B^2*n^2*(c + d*x)^3)/(27*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^3) - (10*b*B^2*d^4*n*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)) + (B*d^5*n*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)^2) - (20*b^3*B*d^2*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)) + (5*b^4*B*d*n*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^2) - (2*b^5*B*n*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(9*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^3) - (d^5*(a + b*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)^2) + (5*b*d^4*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(c + d*x)) - (10*b^3*d^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)) + (5*b^4*d*(c + d*x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(2*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^2) - (b^5*(c + d*x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/(3*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*(a + b*x)^3) - (10*b^2*d^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^3)/(3*B*(b*c - a*d)^6*g^4*i^3*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B Log[e ((a+b x) / (c+d x))^n])^p when b f-a g=0 and d h-c i=0 and m+q+2=0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^m*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^p/(c*i + d*i*x)^(m + 2), x, 3, ((a + b*x)*(g*(a + b*x))^m*Gamma[1 + p, -(((1 + m)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(B*n))]*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^p)/(E^((A*(1 + m))/(B*n))*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^((1 + m)/n)*(i*(c + d*x))^m*(-(((1 + m)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(B*n)))^p*((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)*(c + d*x)))}
+{(c*i + d*i*x)^m*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^p/(a*g + b*g*x)^(m + 2), x, 3, -((E^((A*(1 + m))/(B*n))*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^(-2 - m)*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^((1 + m)/n)*(i*(c + d*x))^(2 + m)*Gamma[1 + p, ((1 + m)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(B*n)]*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^p)/((((1 + m)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(B*n))^p*((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)*(c + d*x))))}
+
+
+{(a*g + b*g*x)^m*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^3/(c*i + d*i*x)^(m + 2), x, 4, -((6*B^3*n^3*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^m)/((i*(c + d*x))^m*((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)^4*(c + d*x)))) + (6*B^2*n^2*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^m*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((i*(c + d*x))^m*((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)^3*(c + d*x))) - (3*B*n*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^m*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((i*(c + d*x))^m*((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)^2*(c + d*x))) + ((a + b*x)*(g*(a + b*x))^m*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^3)/((i*(c + d*x))^m*((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)*(c + d*x)))}
+{(a*g + b*g*x)^m*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(c*i + d*i*x)^(m + 2), x, 3, (2*B^2*n^2*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^m)/((i*(c + d*x))^m*((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)^3*(c + d*x))) - (2*B*n*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^m*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((i*(c + d*x))^m*((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)^2*(c + d*x))) + ((a + b*x)*(g*(a + b*x))^m*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((i*(c + d*x))^m*((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)*(c + d*x)))}
+{(a*g + b*g*x)^m*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^1/(c*i + d*i*x)^(m + 2), x, 2, -((B*n*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^m)/((i*(c + d*x))^m*((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)^2*(c + d*x)))) + ((a + b*x)*(g*(a + b*x))^m*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((i*(c + d*x))^m*((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)*(c + d*x)))}
+{(a*g + b*g*x)^m/((c*i + d*i*x)^(m + 2)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^1), x, 3, ((a + b*x)*(g*(a + b*x))^m*ExpIntegralEi[((1 + m)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(B*n)])/(E^((A*(1 + m))/(B*n))*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^((1 + m)/n)*(i*(c + d*x))^m*(B*(b*c - a*d)*i^2*n*(c + d*x)))}
+{(a*g + b*g*x)^m/((c*i + d*i*x)^(m + 2)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2), x, 4, ((1 + m)*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^m*ExpIntegralEi[((1 + m)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(B*n)])/(E^((A*(1 + m))/(B*n))*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^((1 + m)/n)*(i*(c + d*x))^m*(B^2*(b*c - a*d)*i^2*n^2*(c + d*x))) - ((a + b*x)*(g*(a + b*x))^m)/((i*(c + d*x))^m*(B*(b*c - a*d)*i^2*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])))}
+{(a*g + b*g*x)^m/((c*i + d*i*x)^(m + 2)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^3), x, 5, ((1 + m)^2*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^m*ExpIntegralEi[((1 + m)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(B*n)])/(E^((A*(1 + m))/(B*n))*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^((1 + m)/n)*(i*(c + d*x))^m*(2*B^3*(b*c - a*d)*i^2*n^3*(c + d*x))) - ((a + b*x)*(g*(a + b*x))^m)/((i*(c + d*x))^m*(2*B*(b*c - a*d)*i^2*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)) - ((1 + m)*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^m)/((i*(c + d*x))^m*(2*B^2*(b*c - a*d)*i^2*n^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])))}
+
+
+{(c*i + d*i*x)^m*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^3/(a*g + b*g*x)^(m + 2), x, 4, -((6*B^3*n^3*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^(-2 - m)*(i*(c + d*x))^(2 + m))/((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)^4*(c + d*x))) - (6*B^2*n^2*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^(-2 - m)*(i*(c + d*x))^(2 + m)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)^3*(c + d*x)) - (3*B*n*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^(-2 - m)*(i*(c + d*x))^(2 + m)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)^2*(c + d*x)) - ((a + b*x)*(g*(a + b*x))^(-2 - m)*(i*(c + d*x))^(2 + m)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^3)/((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)*(c + d*x))}
+{(c*i + d*i*x)^m*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2/(a*g + b*g*x)^(m + 2), x, 3, -((2*B^2*n^2*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^(-2 - m)*(i*(c + d*x))^(2 + m))/((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)^3*(c + d*x))) - (2*B*n*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^(-2 - m)*(i*(c + d*x))^(2 + m)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)^2*(c + d*x)) - ((a + b*x)*(g*(a + b*x))^(-2 - m)*(i*(c + d*x))^(2 + m)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2)/((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)*(c + d*x))}
+{(c*i + d*i*x)^m*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^1/(a*g + b*g*x)^(m + 2), x, 2, -((B*n*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^(-2 - m)*(i*(c + d*x))^(2 + m))/((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)^2*(c + d*x))) - ((a + b*x)*(g*(a + b*x))^(-2 - m)*(i*(c + d*x))^(2 + m)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)*(c + d*x))}
+{(c*i + d*i*x)^m/((a*g + b*g*x)^(m + 2)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^1), x, 3, (E^((A*(1 + m))/(B*n))*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^(-2 - m)*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^((1 + m)/n)*(i*(c + d*x))^(2 + m)*ExpIntegralEi[-(((1 + m)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(B*n))])/(B*(b*c - a*d)*i^2*n*(c + d*x))}
+{(c*i + d*i*x)^m/((a*g + b*g*x)^(m + 2)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2), x, 4, -((E^((A*(1 + m))/(B*n))*(1 + m)*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^(-2 - m)*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^((1 + m)/n)*(i*(c + d*x))^(2 + m)*ExpIntegralEi[-(((1 + m)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(B*n))])/(B^2*(b*c - a*d)*i^2*n^2*(c + d*x))) - ((a + b*x)*(g*(a + b*x))^(-2 - m)*(i*(c + d*x))^(2 + m))/(B*(b*c - a*d)*i^2*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))}
+{(c*i + d*i*x)^m/((a*g + b*g*x)^(m + 2)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^3), x, 5, (E^((A*(1 + m))/(B*n))*(1 + m)^2*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^(-2 - m)*(e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^((1 + m)/n)*(i*(c + d*x))^(2 + m)*ExpIntegralEi[-(((1 + m)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(B*n))])/(2*B^3*(b*c - a*d)*i^2*n^3*(c + d*x)) - ((a + b*x)*(g*(a + b*x))^(-2 - m)*(i*(c + d*x))^(2 + m))/(2*B*(b*c - a*d)*i^2*n*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2) + ((1 + m)*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^(-2 - m)*(i*(c + d*x))^(2 + m))/(2*B^2*(b*c - a*d)*i^2*n^2*(c + d*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B Log[e ((a+b x) / (c+d x))^n])^p when b f-a g=0 and d h-c i=0 and p symbolic*)
+
+
+{Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^p/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 3, Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^(1 + p)/((b*c - a*d)*n*(1 + p))}
+{Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^p/(a*c + (b*c + a*d)*x + b*d*x^2), x, 4, Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^(1 + p)/((b*c - a*d)*n*(1 + p))}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B Log[e ((a+b x)/(c+d x))^n])^p when b f-a g=0*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B Log[e ((a+b x)/(c+d x))^n])^p*)
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B Log[e (a+b x)^n/(c+d x)^n])^p*)
+
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B Log[e (a+b x)^n/(c+d x)^n])^p when b f-a g=0 and d h-c i=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B Log[e (a+b x)^n/(c+d x)^n]) when b f-a g=0 and d h-c i=0*)
+
+
+{(a*g + b*g*x)^m*(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^p/(c*i + d*i*x)^(m + 2), x, 4, ((a + b*x)*(g*(a + b*x))^m*Gamma[1 + p, -(((1 + m)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(B*n))]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^p)/(E^((A*(1 + m))/(B*n))*((e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n)^((1 + m)/n)*(i*(c + d*x))^m*(-(((1 + m)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(B*n)))^p*((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)*(c + d*x)))}
+{(c*i + d*i*x)^m*(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^p/(a*g + b*g*x)^(m + 2), x, 4, -((1/((b*c - a*d)*i^2*(1 + m)*(c + d*x)))*((E^((A*(1 + m))/(B*n))*(a + b*x)*(g*(a + b*x))^(-2 - m)*(i*(c + d*x))^(2 + m)*((e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n)^((1 + m)/n)*Gamma[1 + p, ((1 + m)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(B*n)]*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^p)/(((1 + m)*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]))/(B*n))^p))}
+
+
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 4, (A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^4/(4*B*(b*c - a*d)*n)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 4, (A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3/(3*B*(b*c - a*d)*n)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^1/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 3, (A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2/(2*B*(b*c - a*d)*n)}
+{1/((A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^1*(a + b*x)*(c + d*x)), x, 4, Log[A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n]]/(B*(b*c - a*d)*n)}
+{1/((A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2*(a + b*x)*(c + d*x)), x, 4, -(1/(B*(b*c - a*d)*n*(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])))}
+{1/((A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3*(a + b*x)*(c + d*x)), x, 4, -(1/(2*B*(b*c - a*d)*n*(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2))}
+
+
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^p/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 4, (A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^(1 + p)/(B*(b*c - a*d)*n*(1 + p))}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^p/((a*f + b*f*x)*(c*g + d*g*x)), x, 4, (A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^(1 + p)/(B*(b*c - a*d)*f*g*n*(1 + p))}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^p/(a*c*f + (b*c + a*d)*f*x + b*d*f*x^2), x, 5, (A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^(1 + p)/(B*(b*c - a*d)*f*n*(1 + p))}
+
+
+{1/(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 4, Log[A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n]]/(B*(b*c - a*d)*n)}
+{1/(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])/((a*f + b*f*x)*(c*g + d*g*x)), x, 4, Log[A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n]]/(B*(b*c - a*d)*f*g*n)}
+{1/(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])/(a*c*f + (b*c + a*d)*f*x + b*d*f*x^2), x, 5, Log[A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n]]/(B*(b*c - a*d)*f*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (h+i x)^q / (A+B Log[e (a+b x)^n/(c+d x)^n]) when b f-a g=0 and d h-c i=0 and m+n+2=0*)
+
+
+{(a + b*x)^m/((c + d*x)^(m + 2)*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n]), x, 4, ((a + b*x)^(1 + m)*(c + d*x)^(-1 - m)*ExpIntegralEi[((1 + m)*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])/n])/(((e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n)^((1 + m)/n)*((b*c - a*d)*n))}
+
+
+{(a + b*x)^3/((c + d*x)^5*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 3, ((a + b*x)^4*ExpIntegralEi[(4*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/n])/((e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^(4/n)*((b*c - a*d)*n*(c + d*x)^4))}
+{(a + b*x)^2/((c + d*x)^4*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 3, ((a + b*x)^3*ExpIntegralEi[(3*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/n])/((e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^(3/n)*((b*c - a*d)*n*(c + d*x)^3))}
+{(a + b*x)^1/((c + d*x)^3*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 3, ((a + b*x)^2*ExpIntegralEi[(2*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/n])/((e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^(2/n)*((b*c - a*d)*n*(c + d*x)^2))}
+{(a + b*x)^0/((c + d*x)^2*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 3, ((a + b*x)*ExpIntegralEi[Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/n])/((e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^n^(-1)*((b*c - a*d)*n*(c + d*x)))}
+{1/((a + b*x)^1*(c + d*x)^1*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 3, Log[Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]]/((b*c - a*d)*n)}
+{1/((a + b*x)^2*(c + d*x)^0*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 3, ((e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^(1/n)*(c + d*x)*ExpIntegralEi[-(Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/n)])/((b*c - a*d)*n*(a + b*x))}
+{1/((a + b*x)^3*(c + d*x)^(-1)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 3, ((e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^(2/n)*(c + d*x)^2*ExpIntegralEi[-((2*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/n)])/((b*c - a*d)*n*(a + b*x)^2)}
+{1/((a + b*x)^4*(c + d*x)^(-2)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 3, ((e*((a + b*x)/(c + d*x))^n)^(3/n)*(c + d*x)^3*ExpIntegralEi[-((3*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/n)])/((b*c - a*d)*n*(a + b*x)^3)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (h+i x)^q (A+B Log[e (a+b x)^n/(c+d x)^n])^p when b f-a g=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Log[e (a+b x)^n/(c+d x)^n])^p / ((f+g x) (h+i x)) when b f-a g=0*)
+
+
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^4/((a*h + b*h*x)*(f + g*x)), x, 8, -(((A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^4*Log[1 - ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h)) + (4*B*n*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3*PolyLog[2, ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h) + (12*B^2*n^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2*PolyLog[3, ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h) + (24*B^3*n^3*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[4, ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h) + (24*B^4*n^4*PolyLog[5, ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3/((a*h + b*h*x)*(f + g*x)), x, 7, -(((A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3*Log[1 - ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h)) + (3*B*n*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2*PolyLog[2, ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h) + (6*B^2*n^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[3, ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h) + (6*B^3*n^3*PolyLog[4, ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2/((a*h + b*h*x)*(f + g*x)), x, 6, -(((A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2*Log[1 - ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h)) + (2*B*n*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[2, ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h) + (2*B^2*n^2*PolyLog[3, ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^1/((a*h + b*h*x)*(f + g*x)), x, 5, -(((A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*Log[1 - ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h)) + (B*n*PolyLog[2, ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h)}
+{1/((A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^1*(a*h + b*h*x)*(f + g*x)), x, 1, Defer[Subst][Unintegrable[1/((f + g*x)*(a*h + b*h*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])), x], e*((a + b*x)/(c + d*x))^n, (e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]}
+{1/((A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2*(a*h + b*h*x)*(f + g*x)), x, 1, Defer[Subst][Unintegrable[1/((f + g*x)*(a*h + b*h*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2), x], e*((a + b*x)/(c + d*x))^n, (e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]}
+
+
+{Log[(c + d*x)/(a + b*x)]/((a + b*x)*(h*(a - c) + h*(b - d)*x)), x, 2, -(PolyLog[2, 1 - (c + d*x)/(a + b*x)]/((b*c - a*d)*h))}
+
+
+{Log[(a - c*g + (b - d*g)*x)/(a + b*x)]/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 2, PolyLog[2, (g*(c + d*x))/(a + b*x)]/(b*c - a*d)}
+{Log[1 - (g*(c + d*x))/(a + b*x)]/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 3, PolyLog[2, (g*(c + d*x))/(a + b*x)]/(b*c - a*d)}
+{Log[(a - c*g + b*x - d*g*x)/(a + b*x)]/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 3, PolyLog[2, (g*(c + d*x))/(a + b*x)]/(b*c - a*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Log[e (a+b x)^n/(c+d x)^n])^p / (g+h x+i x^2)*)
+
+
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^3/(a*f*h + h*(b*f*x + a*g*x) + b*g*h*x^2), x, 8, -(((A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^3*Log[1 - ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h)) + (3*B*n*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2*PolyLog[2, ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h) + (6*B^2*n^2*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[3, ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h) + (6*B^3*n^3*PolyLog[4, ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2/(a*f*h + h*(b*f*x + a*g*x) + b*g*h*x^2), x, 7, -(((A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^2*Log[1 - ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h)) + (2*B*n*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*PolyLog[2, ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h) + (2*B^2*n^2*PolyLog[3, ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h)}
+{(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^1/(a*f*h + h*(b*f*x + a*g*x) + b*g*h*x^2), x, 6, -(((A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])*Log[1 - ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h)) + (B*n*PolyLog[2, ((b*f - a*g)*(c + d*x))/((d*f - c*g)*(a + b*x))])/((b*f - a*g)*h)}
+{1/(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^1/(a*f*h + h*(b*f*x + a*g*x) + b*g*h*x^2), x, 3, Defer[Subst][Unintegrable[1/((a + b*x)*(f + g*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])), x], e*((a + b*x)/(c + d*x))^n, (e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]/h}
+{1/(A + B*Log[e*(a + b*x)^n/(c + d*x)^n])^2/(a*f*h + h*(b*f*x + a*g*x) + b*g*h*x^2), x, 3, Defer[Subst][Unintegrable[1/((a + b*x)*(f + g*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^2), x], e*((a + b*x)/(c + d*x))^n, (e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n]/h}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.2.3 u log(e (f (a+b x)^p (c+d x)^q)^r)^s.m b/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.2.3 u log(e (f (a+b x)^p (c+d x)^q)^r)^s.m
new file mode 100644
index 00000000..71068f0a
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.2.3 u log(e (f (a+b x)^p (c+d x)^q)^r)^s.m	
@@ -0,0 +1,221 @@
+(* ::Package:: *)
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+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form u (A+B Log[e ((a+b x)/(c+d x))^n])^p*)
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x^q)^m (A+B Log[e ((a+b x)/(c+d x))^n])^p*)
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+{(f + g/x)^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 16, -((B*(b*c - a*d)*g^3*n)/(2*a*c*x)) + A*f^3*x - (1/2)*B*(b^2/a^2 - d^2/c^2)*g^3*n*Log[x] + (b^2*B*g^3*n*Log[a + b*x])/(2*a^2) - 3*B*f^2*g*n*Log[x]*Log[1 + (b*x)/a] + (B*f^3*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/b - (g^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*x^2) + (3*(b*c - a*d)*f*g^2*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(a*(c + d*x)*(a - (c*(a + b*x))/(c + d*x))) + 3*f^2*g*Log[x]*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]) - (B*(b*c - a*d)*f^3*n*Log[c + d*x])/(b*d) - (B*d^2*g^3*n*Log[c + d*x])/(2*c^2) + 3*B*f^2*g*n*Log[x]*Log[1 + (d*x)/c] + (3*B*(b*c - a*d)*f*g^2*n*Log[a - (c*(a + b*x))/(c + d*x)])/(a*c) - 3*B*f^2*g*n*PolyLog[2, -((b*x)/a)] + 3*B*f^2*g*n*PolyLog[2, -((d*x)/c)]}
+{(f + g/x)^2*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 13, A*f^2*x - 2*B*f*g*n*Log[x]*Log[1 + (b*x)/a] + (B*f^2*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/b + ((b*c - a*d)*g^2*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(a*(c + d*x)*(a - (c*(a + b*x))/(c + d*x))) + 2*f*g*Log[x]*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]) - (B*(b*c - a*d)*f^2*n*Log[c + d*x])/(b*d) + 2*B*f*g*n*Log[x]*Log[1 + (d*x)/c] + (B*(b*c - a*d)*g^2*n*Log[a - (c*(a + b*x))/(c + d*x)])/(a*c) - 2*B*f*g*n*PolyLog[2, -((b*x)/a)] + 2*B*f*g*n*PolyLog[2, -((d*x)/c)]}
+{(f + g/x)^1*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x, 10, A*f*x - B*g*n*Log[x]*Log[1 + (b*x)/a] + (B*f*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/b + g*Log[x]*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]) - (B*(b*c - a*d)*f*n*Log[c + d*x])/(b*d) + B*g*n*Log[x]*Log[1 + (d*x)/c] - B*g*n*PolyLog[2, -((b*x)/a)] + B*g*n*PolyLog[2, -((d*x)/c)]}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(f + g/x)^1, x, 12, (A*x)/f + (B*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(b*f) - (B*(b*c - a*d)*n*Log[c + d*x])/(b*d*f) + (B*g*n*Log[(f*(a + b*x))/(a*f - b*g)]*Log[g + f*x])/f^2 - (g*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[g + f*x])/f^2 - (B*g*n*Log[(f*(c + d*x))/(c*f - d*g)]*Log[g + f*x])/f^2 + (B*g*n*PolyLog[2, -((b*(g + f*x))/(a*f - b*g))])/f^2 - (B*g*n*PolyLog[2, -((d*(g + f*x))/(c*f - d*g))])/f^2}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(f + g/x)^2, x, 15, (A*x)/f^2 + (B*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(b*f^2) - (g^2*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(f^2*(a*f - b*g)*(g + f*x)) - (B*(b*c - a*d)*n*Log[c + d*x])/(b*d*f^2) + (2*B*g*n*Log[(f*(a + b*x))/(a*f - b*g)]*Log[g + f*x])/f^3 - (2*g*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[g + f*x])/f^3 - (2*B*g*n*Log[(f*(c + d*x))/(c*f - d*g)]*Log[g + f*x])/f^3 + (B*(b*c - a*d)*g^2*n*Log[(g + f*x)/(c + d*x)])/(f^2*(a*f - b*g)*(c*f - d*g)) + (2*B*g*n*PolyLog[2, -((b*(g + f*x))/(a*f - b*g))])/f^3 - (2*B*g*n*PolyLog[2, -((d*(g + f*x))/(c*f - d*g))])/f^3}
+{(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(f + g/x)^3, x, 18, (A*x)/f^3 + (B*(b*c - a*d)*g^3*n)/(2*f^3*(a*f - b*g)*(c*f - d*g)*(g + f*x)) - (b^2*B*g^3*n*Log[a + b*x])/(2*f^4*(a*f - b*g)^2) + (B*(a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(b*f^3) + (g^3*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(2*f^4*(g + f*x)^2) - (3*g^2*(a + b*x)*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]))/(f^3*(a*f - b*g)*(g + f*x)) - (B*(b*c - a*d)*n*Log[c + d*x])/(b*d*f^3) + (B*d^2*g^3*n*Log[c + d*x])/(2*f^4*(c*f - d*g)^2) + (B*(b*c - a*d)*g^3*(b*c*f + a*d*f - 2*b*d*g)*n*Log[g + f*x])/(2*f^3*(a*f - b*g)^2*(c*f - d*g)^2) + (3*B*g*n*Log[(f*(a + b*x))/(a*f - b*g)]*Log[g + f*x])/f^4 - (3*g*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])*Log[g + f*x])/f^4 - (3*B*g*n*Log[(f*(c + d*x))/(c*f - d*g)]*Log[g + f*x])/f^4 + (3*B*(b*c - a*d)*g^2*n*Log[(g + f*x)/(c + d*x)])/(f^3*(a*f - b*g)*(c*f - d*g)) + (3*B*g*n*PolyLog[2, -((b*(g + f*x))/(a*f - b*g))])/f^4 - (3*B*g*n*PolyLog[2, -((d*(g + f*x))/(c*f - d*g))])/f^4}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form u (A+B Log[e (f (a+b x)^s (c+d x)^t)^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^m (A+B Log[e (f (a+b x)^s (c+d x)^t)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^m (A+B Log[e (f (a+b x)^s (c+d x)^t)^n])^p when b g-a h=0*)
+
+
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]*(a + b*x)^4, x, 4, -(((b*c - a*d)^4*q*r*x)/(5*d^4)) + ((b*c - a*d)^3*q*r*(a + b*x)^2)/(10*b*d^3) - ((b*c - a*d)^2*q*r*(a + b*x)^3)/(15*b*d^2) + ((b*c - a*d)*q*r*(a + b*x)^4)/(20*b*d) - (p*r*(a + b*x)^5)/(25*b) - (q*r*(a + b*x)^5)/(25*b) + ((b*c - a*d)^5*q*r*Log[c + d*x])/(5*b*d^5) + ((a + b*x)^5*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(5*b)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]*(a + b*x)^3, x, 4, ((b*c - a*d)^3*q*r*x)/(4*d^3) - ((b*c - a*d)^2*q*r*(a + b*x)^2)/(8*b*d^2) + ((b*c - a*d)*q*r*(a + b*x)^3)/(12*b*d) - (p*r*(a + b*x)^4)/(16*b) - (q*r*(a + b*x)^4)/(16*b) - ((b*c - a*d)^4*q*r*Log[c + d*x])/(4*b*d^4) + ((a + b*x)^4*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(4*b)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]*(a + b*x)^2, x, 4, -(((b*c - a*d)^2*q*r*x)/(3*d^2)) + ((b*c - a*d)*q*r*(a + b*x)^2)/(6*b*d) - (p*r*(a + b*x)^3)/(9*b) - (q*r*(a + b*x)^3)/(9*b) + ((b*c - a*d)^3*q*r*Log[c + d*x])/(3*b*d^3) + ((a + b*x)^3*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(3*b)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]*(a + b*x)^1, x, 4, (-(1/2))*a*p*r*x + ((b*c - a*d)*q*r*x)/(2*d) - (1/4)*b*p*r*x^2 - (q*r*(a + b*x)^2)/(4*b) - ((b*c - a*d)^2*q*r*Log[c + d*x])/(2*b*d^2) + ((a + b*x)^2*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(2*b)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(a + b*x)^1, x, 6, -((p*r*Log[a + b*x]^2)/(2*b)) - (q*r*Log[a + b*x]*Log[(b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/b + (Log[a + b*x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/b - (q*r*PolyLog[2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/b}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(a + b*x)^2, x, 5, -((p*r)/(b*(a + b*x))) + (d*q*r*Log[a + b*x])/(b*(b*c - a*d)) - (d*q*r*Log[c + d*x])/(b*(b*c - a*d)) - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(b*(a + b*x))}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(a + b*x)^3, x, 4, -((p*r)/(4*b*(a + b*x)^2)) - (d*q*r)/(2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)) - (d^2*q*r*Log[a + b*x])/(2*b*(b*c - a*d)^2) + (d^2*q*r*Log[c + d*x])/(2*b*(b*c - a*d)^2) - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(2*b*(a + b*x)^2)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(a + b*x)^4, x, 4, -((p*r)/(9*b*(a + b*x)^3)) - (d*q*r)/(6*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2) + (d^2*q*r)/(3*b*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) + (d^3*q*r*Log[a + b*x])/(3*b*(b*c - a*d)^3) - (d^3*q*r*Log[c + d*x])/(3*b*(b*c - a*d)^3) - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(3*b*(a + b*x)^3)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(a + b*x)^5, x, 4, -((p*r)/(16*b*(a + b*x)^4)) - (d*q*r)/(12*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^3) + (d^2*q*r)/(8*b*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2) - (d^3*q*r)/(4*b*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)) - (d^4*q*r*Log[a + b*x])/(4*b*(b*c - a*d)^4) + (d^4*q*r*Log[c + d*x])/(4*b*(b*c - a*d)^4) - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(4*b*(a + b*x)^4)}
+
+
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2*(a + b*x)^4, x, 32, -((a*(b*c - a*d)^3*p*q*r^2*x)/(5*d^3)) + (2*(b*c - a*d)^4*p*q*r^2*x)/(25*d^4) + (77*(b*c - a*d)^4*q^2*r^2*x)/(150*d^4) + (2*(b*c - a*d)^4*q*(p + q)*r^2*x)/(5*d^4) - (b*(b*c - a*d)^3*p*q*r^2*x^2)/(10*d^3) - ((b*c - a*d)^3*p*q*r^2*(a + b*x)^2)/(25*b*d^3) - (77*(b*c - a*d)^3*q^2*r^2*(a + b*x)^2)/(300*b*d^3) + (16*(b*c - a*d)^2*p*q*r^2*(a + b*x)^3)/(225*b*d^2) + (47*(b*c - a*d)^2*q^2*r^2*(a + b*x)^3)/(450*b*d^2) - (9*(b*c - a*d)*p*q*r^2*(a + b*x)^4)/(200*b*d) - (9*(b*c - a*d)*q^2*r^2*(a + b*x)^4)/(200*b*d) + (2*p^2*r^2*(a + b*x)^5)/(125*b) + (4*p*q*r^2*(a + b*x)^5)/(125*b) + (2*q^2*r^2*(a + b*x)^5)/(125*b) - (2*(b*c - a*d)^5*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(25*b*d^5) - (137*(b*c - a*d)^5*q^2*r^2*Log[c + d*x])/(150*b*d^5) - (2*(b*c - a*d)^5*p*q*r^2*Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[c + d*x])/(5*b*d^5) - ((b*c - a*d)^5*q^2*r^2*Log[c + d*x]^2)/(5*b*d^5) - (2*(b*c - a*d)^4*q*r*(a + b*x)*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(5*b*d^4) + ((b*c - a*d)^3*q*r*(a + b*x)^2*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(5*b*d^3) - (2*(b*c - a*d)^2*q*r*(a + b*x)^3*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(15*b*d^2) + ((b*c - a*d)*q*r*(a + b*x)^4*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(10*b*d) - (2*p*r*(a + b*x)^5*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(25*b) - (2*q*r*(a + b*x)^5*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(25*b) + (2*(b*c - a*d)^5*q*r*Log[c + d*x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(5*b*d^5) + ((a + b*x)^5*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2)/(5*b) - (2*(b*c - a*d)^5*p*q*r^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(5*b*d^5)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2*(a + b*x)^3, x, 28, (a*(b*c - a*d)^2*p*q*r^2*x)/(4*d^2) - ((b*c - a*d)^3*p*q*r^2*x)/(8*d^3) - (13*(b*c - a*d)^3*q^2*r^2*x)/(24*d^3) - ((b*c - a*d)^3*q*(p + q)*r^2*x)/(2*d^3) + (b*(b*c - a*d)^2*p*q*r^2*x^2)/(8*d^2) + ((b*c - a*d)^2*p*q*r^2*(a + b*x)^2)/(16*b*d^2) + (13*(b*c - a*d)^2*q^2*r^2*(a + b*x)^2)/(48*b*d^2) - (7*(b*c - a*d)*p*q*r^2*(a + b*x)^3)/(72*b*d) - (7*(b*c - a*d)*q^2*r^2*(a + b*x)^3)/(72*b*d) + (p^2*r^2*(a + b*x)^4)/(32*b) + (p*q*r^2*(a + b*x)^4)/(16*b) + (q^2*r^2*(a + b*x)^4)/(32*b) + ((b*c - a*d)^4*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(8*b*d^4) + (25*(b*c - a*d)^4*q^2*r^2*Log[c + d*x])/(24*b*d^4) + ((b*c - a*d)^4*p*q*r^2*Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[c + d*x])/(2*b*d^4) + ((b*c - a*d)^4*q^2*r^2*Log[c + d*x]^2)/(4*b*d^4) + ((b*c - a*d)^3*q*r*(a + b*x)*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(2*b*d^3) - ((b*c - a*d)^2*q*r*(a + b*x)^2*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(4*b*d^2) + ((b*c - a*d)*q*r*(a + b*x)^3*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(6*b*d) - (p*r*(a + b*x)^4*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(8*b) - (q*r*(a + b*x)^4*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(8*b) - ((b*c - a*d)^4*q*r*Log[c + d*x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(2*b*d^4) + ((a + b*x)^4*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2)/(4*b) + ((b*c - a*d)^4*p*q*r^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(2*b*d^4)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2*(a + b*x)^2, x, 24, -((a*(b*c - a*d)*p*q*r^2*x)/(3*d)) + (2*(b*c - a*d)^2*p*q*r^2*x)/(9*d^2) + (5*(b*c - a*d)^2*q^2*r^2*x)/(9*d^2) + (2*(b*c - a*d)^2*q*(p + q)*r^2*x)/(3*d^2) - (b*(b*c - a*d)*p*q*r^2*x^2)/(6*d) - ((b*c - a*d)*p*q*r^2*(a + b*x)^2)/(9*b*d) - (5*(b*c - a*d)*q^2*r^2*(a + b*x)^2)/(18*b*d) + (2*p^2*r^2*(a + b*x)^3)/(27*b) + (4*p*q*r^2*(a + b*x)^3)/(27*b) + (2*q^2*r^2*(a + b*x)^3)/(27*b) - (2*(b*c - a*d)^3*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(9*b*d^3) - (11*(b*c - a*d)^3*q^2*r^2*Log[c + d*x])/(9*b*d^3) - (2*(b*c - a*d)^3*p*q*r^2*Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[c + d*x])/(3*b*d^3) - ((b*c - a*d)^3*q^2*r^2*Log[c + d*x]^2)/(3*b*d^3) - (2*(b*c - a*d)^2*q*r*(a + b*x)*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(3*b*d^2) + ((b*c - a*d)*q*r*(a + b*x)^2*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(3*b*d) - (2*p*r*(a + b*x)^3*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(9*b) - (2*q*r*(a + b*x)^3*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(9*b) + (2*(b*c - a*d)^3*q*r*Log[c + d*x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(3*b*d^3) + ((a + b*x)^3*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2)/(3*b) - (2*(b*c - a*d)^3*p*q*r^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(3*b*d^3)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2*(a + b*x)^1, x, 20, (1/2)*a*p^2*r^2*x + (1/2)*a*p*q*r^2*x - ((b*c - a*d)*p*q*r^2*x)/(2*d) - ((b*c - a*d)*q^2*r^2*x)/(2*d) - ((b*c - a*d)*q*(p + q)*r^2*x)/d + (1/4)*b*p^2*r^2*x^2 + (1/4)*b*p*q*r^2*x^2 + (p*q*r^2*(a + b*x)^2)/(4*b) + (q^2*r^2*(a + b*x)^2)/(4*b) + ((b*c - a*d)^2*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(2*b*d^2) + (3*(b*c - a*d)^2*q^2*r^2*Log[c + d*x])/(2*b*d^2) + ((b*c - a*d)^2*p*q*r^2*Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[c + d*x])/(b*d^2) + ((b*c - a*d)^2*q^2*r^2*Log[c + d*x]^2)/(2*b*d^2) + ((b*c - a*d)*q*r*(a + b*x)*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(b*d) - (p*r*(a + b*x)^2*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(2*b) - (q*r*(a + b*x)^2*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(2*b) - ((b*c - a*d)^2*q*r*Log[c + d*x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(b*d^2) + ((a + b*x)^2*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2)/(2*b) + ((b*c - a*d)^2*p*q*r^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(b*d^2)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2/(a + b*x)^1, x, 19, Log[(a + b*x)^(p*r)]^3/(3*b*p*r) - (q*Log[(a + b*x)^(p*r)]^2*Log[(b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(b*p) + (Log[(a + b*x)^(p*r)]^2*Log[(c + d*x)^(q*r)])/(b*p*r) + (Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[(c + d*x)^(q*r)]^2)/b - (2*q*r*Log[(a + b*x)^(p*r)]*PolyLog[2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/b + (2*q*r*Log[(c + d*x)^(q*r)]*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/b - (1/4)*(Log[(a + b*x)^(p*r)] + Log[(c + d*x)^(q*r)] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])*((Log[(a + b*x)^(p*r)] - Log[(c + d*x)^(q*r)] + Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])^2/(b*p*r) + 8*((Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[(c + d*x)^(q*r)])/b + (q*r*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/b)) + (2*p*q*r^2*PolyLog[3, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/b - (2*q^2*r^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/b}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2/(a + b*x)^2, x, 20, -((2*p^2*r^2)/(b*(a + b*x))) + (2*d*p*q*r^2*Log[a + b*x])/(b*(b*c - a*d)) - (d*p*q*r^2*Log[a + b*x]^2)/(b*(b*c - a*d)) - (2*d*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(b*(b*c - a*d)) + (2*d*p*q*r^2*Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[c + d*x])/(b*(b*c - a*d)) + (d*q^2*r^2*Log[c + d*x]^2)/(b*(b*c - a*d)) - (2*d*q^2*r^2*Log[a + b*x]*Log[(b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(b*(b*c - a*d)) - (2*p*r*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(b*(a + b*x)) + (2*d*q*r*Log[a + b*x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(b*(b*c - a*d)) - (2*d*q*r*Log[c + d*x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(b*(b*c - a*d)) - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2/(b*(a + b*x)) - (2*d*q^2*r^2*PolyLog[2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(b*(b*c - a*d)) + (2*d*p*q*r^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(b*(b*c - a*d))}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2/(a + b*x)^3, x, 24, -((p^2*r^2)/(4*b*(a + b*x)^2)) - (3*d*p*q*r^2)/(2*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)) - (d^2*p*q*r^2*Log[a + b*x])/(2*b*(b*c - a*d)^2) + (d^2*q^2*r^2*Log[a + b*x])/(b*(b*c - a*d)^2) + (d^2*p*q*r^2*Log[a + b*x]^2)/(2*b*(b*c - a*d)^2) + (d^2*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(2*b*(b*c - a*d)^2) - (d^2*q^2*r^2*Log[c + d*x])/(b*(b*c - a*d)^2) - (d^2*p*q*r^2*Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[c + d*x])/(b*(b*c - a*d)^2) - (d^2*q^2*r^2*Log[c + d*x]^2)/(2*b*(b*c - a*d)^2) + (d^2*q^2*r^2*Log[a + b*x]*Log[(b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(b*(b*c - a*d)^2) - (p*r*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(2*b*(a + b*x)^2) - (d*q*r*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(b*(b*c - a*d)*(a + b*x)) - (d^2*q*r*Log[a + b*x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(b*(b*c - a*d)^2) + (d^2*q*r*Log[c + d*x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(b*(b*c - a*d)^2) - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2/(2*b*(a + b*x)^2) + (d^2*q^2*r^2*PolyLog[2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(b*(b*c - a*d)^2) - (d^2*p*q*r^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(b*(b*c - a*d)^2)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2/(a + b*x)^4, x, 28, -((2*p^2*r^2)/(27*b*(a + b*x)^3)) - (5*d*p*q*r^2)/(18*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2) + (8*d^2*p*q*r^2)/(9*b*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) - (d^2*q^2*r^2)/(3*b*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) + (2*d^3*p*q*r^2*Log[a + b*x])/(9*b*(b*c - a*d)^3) - (d^3*q^2*r^2*Log[a + b*x])/(b*(b*c - a*d)^3) - (d^3*p*q*r^2*Log[a + b*x]^2)/(3*b*(b*c - a*d)^3) - (2*d^3*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(9*b*(b*c - a*d)^3) + (d^3*q^2*r^2*Log[c + d*x])/(b*(b*c - a*d)^3) + (2*d^3*p*q*r^2*Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[c + d*x])/(3*b*(b*c - a*d)^3) + (d^3*q^2*r^2*Log[c + d*x]^2)/(3*b*(b*c - a*d)^3) - (2*d^3*q^2*r^2*Log[a + b*x]*Log[(b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(3*b*(b*c - a*d)^3) - (2*p*r*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(9*b*(a + b*x)^3) - (d*q*r*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(3*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2) + (2*d^2*q*r*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(3*b*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)) + (2*d^3*q*r*Log[a + b*x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(3*b*(b*c - a*d)^3) - (2*d^3*q*r*Log[c + d*x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(3*b*(b*c - a*d)^3) - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2/(3*b*(a + b*x)^3) - (2*d^3*q^2*r^2*PolyLog[2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(3*b*(b*c - a*d)^3) + (2*d^3*p*q*r^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(3*b*(b*c - a*d)^3)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2/(a + b*x)^5, x, 32, -((p^2*r^2)/(32*b*(a + b*x)^4)) - (7*d*p*q*r^2)/(72*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^3) + (3*d^2*p*q*r^2)/(16*b*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2) - (d^2*q^2*r^2)/(12*b*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2) - (5*d^3*p*q*r^2)/(8*b*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)) + (5*d^3*q^2*r^2)/(12*b*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)) - (d^4*p*q*r^2*Log[a + b*x])/(8*b*(b*c - a*d)^4) + (11*d^4*q^2*r^2*Log[a + b*x])/(12*b*(b*c - a*d)^4) + (d^4*p*q*r^2*Log[a + b*x]^2)/(4*b*(b*c - a*d)^4) + (d^4*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(8*b*(b*c - a*d)^4) - (11*d^4*q^2*r^2*Log[c + d*x])/(12*b*(b*c - a*d)^4) - (d^4*p*q*r^2*Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[c + d*x])/(2*b*(b*c - a*d)^4) - (d^4*q^2*r^2*Log[c + d*x]^2)/(4*b*(b*c - a*d)^4) + (d^4*q^2*r^2*Log[a + b*x]*Log[(b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(2*b*(b*c - a*d)^4) - (p*r*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(8*b*(a + b*x)^4) - (d*q*r*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(6*b*(b*c - a*d)*(a + b*x)^3) + (d^2*q*r*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(4*b*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^2) - (d^3*q*r*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(2*b*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)) - (d^4*q*r*Log[a + b*x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(2*b*(b*c - a*d)^4) + (d^4*q*r*Log[c + d*x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(2*b*(b*c - a*d)^4) - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2/(4*b*(a + b*x)^4) + (d^4*q^2*r^2*PolyLog[2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(2*b*(b*c - a*d)^4) - (d^4*p*q*r^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(2*b*(b*c - a*d)^4)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^m (A+B Log[e (f (a+b x)^s (c+d x)^t)^n])^p*)
+
+
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]*(g + h*x)^4, x, 5, -(((b*g - a*h)^4*p*r*x)/(5*b^4)) - ((d*g - c*h)^4*q*r*x)/(5*d^4) - ((b*g - a*h)^3*p*r*(g + h*x)^2)/(10*b^3*h) - ((d*g - c*h)^3*q*r*(g + h*x)^2)/(10*d^3*h) - ((b*g - a*h)^2*p*r*(g + h*x)^3)/(15*b^2*h) - ((d*g - c*h)^2*q*r*(g + h*x)^3)/(15*d^2*h) - ((b*g - a*h)*p*r*(g + h*x)^4)/(20*b*h) - ((d*g - c*h)*q*r*(g + h*x)^4)/(20*d*h) - (p*r*(g + h*x)^5)/(25*h) - (q*r*(g + h*x)^5)/(25*h) - ((b*g - a*h)^5*p*r*Log[a + b*x])/(5*b^5*h) - ((d*g - c*h)^5*q*r*Log[c + d*x])/(5*d^5*h) + ((g + h*x)^5*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(5*h)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]*(g + h*x)^3, x, 5, -(((b*g - a*h)^3*p*r*x)/(4*b^3)) - ((d*g - c*h)^3*q*r*x)/(4*d^3) - ((b*g - a*h)^2*p*r*(g + h*x)^2)/(8*b^2*h) - ((d*g - c*h)^2*q*r*(g + h*x)^2)/(8*d^2*h) - ((b*g - a*h)*p*r*(g + h*x)^3)/(12*b*h) - ((d*g - c*h)*q*r*(g + h*x)^3)/(12*d*h) - (p*r*(g + h*x)^4)/(16*h) - (q*r*(g + h*x)^4)/(16*h) - ((b*g - a*h)^4*p*r*Log[a + b*x])/(4*b^4*h) - ((d*g - c*h)^4*q*r*Log[c + d*x])/(4*d^4*h) + ((g + h*x)^4*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(4*h)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]*(g + h*x)^2, x, 5, -(((b*g - a*h)^2*p*r*x)/(3*b^2)) - ((d*g - c*h)^2*q*r*x)/(3*d^2) - ((b*g - a*h)*p*r*(g + h*x)^2)/(6*b*h) - ((d*g - c*h)*q*r*(g + h*x)^2)/(6*d*h) - (p*r*(g + h*x)^3)/(9*h) - (q*r*(g + h*x)^3)/(9*h) - ((b*g - a*h)^3*p*r*Log[a + b*x])/(3*b^3*h) - ((d*g - c*h)^3*q*r*Log[c + d*x])/(3*d^3*h) + ((g + h*x)^3*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(3*h)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]*(g + h*x)^1, x, 5, -(((b*g - a*h)*p*r*x)/(2*b)) - ((d*g - c*h)*q*r*x)/(2*d) - (p*r*(g + h*x)^2)/(4*h) - (q*r*(g + h*x)^2)/(4*h) - ((b*g - a*h)^2*p*r*Log[a + b*x])/(2*b^2*h) - ((d*g - c*h)^2*q*r*Log[c + d*x])/(2*d^2*h) + ((g + h*x)^2*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(2*h)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]*(g + h*x)^0, x, 3, -((p + q)*r*x) + ((b*c - a*d)*q*r*Log[c + d*x])/(b*d) + ((a + b*x)*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/b}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(g + h*x)^1, x, 7, -((p*r*Log[-((h*(a + b*x))/(b*g - a*h))]*Log[g + h*x])/h) - (q*r*Log[-((h*(c + d*x))/(d*g - c*h))]*Log[g + h*x])/h + (Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]*Log[g + h*x])/h - (p*r*PolyLog[2, (b*(g + h*x))/(b*g - a*h)])/h - (q*r*PolyLog[2, (d*(g + h*x))/(d*g - c*h)])/h}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(g + h*x)^2, x, 7, (b*p*r*Log[a + b*x])/(h*(b*g - a*h)) + (d*q*r*Log[c + d*x])/(h*(d*g - c*h)) - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(h*(g + h*x)) - (b*p*r*Log[g + h*x])/(h*(b*g - a*h)) - (d*q*r*Log[g + h*x])/(h*(d*g - c*h))}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(g + h*x)^3, x, 5, (b*p*r)/(2*h*(b*g - a*h)*(g + h*x)) + (d*q*r)/(2*h*(d*g - c*h)*(g + h*x)) + (b^2*p*r*Log[a + b*x])/(2*h*(b*g - a*h)^2) + (d^2*q*r*Log[c + d*x])/(2*h*(d*g - c*h)^2) - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(2*h*(g + h*x)^2) - (b^2*p*r*Log[g + h*x])/(2*h*(b*g - a*h)^2) - (d^2*q*r*Log[g + h*x])/(2*h*(d*g - c*h)^2)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(g + h*x)^4, x, 5, (b*p*r)/(6*h*(b*g - a*h)*(g + h*x)^2) + (d*q*r)/(6*h*(d*g - c*h)*(g + h*x)^2) + (b^2*p*r)/(3*h*(b*g - a*h)^2*(g + h*x)) + (d^2*q*r)/(3*h*(d*g - c*h)^2*(g + h*x)) + (b^3*p*r*Log[a + b*x])/(3*h*(b*g - a*h)^3) + (d^3*q*r*Log[c + d*x])/(3*h*(d*g - c*h)^3) - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(3*h*(g + h*x)^3) - (b^3*p*r*Log[g + h*x])/(3*h*(b*g - a*h)^3) - (d^3*q*r*Log[g + h*x])/(3*h*(d*g - c*h)^3)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(g + h*x)^5, x, 5, (b*p*r)/(12*h*(b*g - a*h)*(g + h*x)^3) + (d*q*r)/(12*h*(d*g - c*h)*(g + h*x)^3) + (b^2*p*r)/(8*h*(b*g - a*h)^2*(g + h*x)^2) + (d^2*q*r)/(8*h*(d*g - c*h)^2*(g + h*x)^2) + (b^3*p*r)/(4*h*(b*g - a*h)^3*(g + h*x)) + (d^3*q*r)/(4*h*(d*g - c*h)^3*(g + h*x)) + (b^4*p*r*Log[a + b*x])/(4*h*(b*g - a*h)^4) + (d^4*q*r*Log[c + d*x])/(4*h*(d*g - c*h)^4) - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(4*h*(g + h*x)^4) - (b^4*p*r*Log[g + h*x])/(4*h*(b*g - a*h)^4) - (d^4*q*r*Log[g + h*x])/(4*h*(d*g - c*h)^4)}
+
+
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2*(g + h*x)^3, x, 53, (2*(b*g - a*h)^3*p^2*r^2*x)/b^3 + (5*(b*g - a*h)^3*p*q*r^2*x)/(8*b^3) + (5*(b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)*p*q*r^2*x)/(12*b^2*d) + (5*(b*g - a*h)*(d*g - c*h)^2*p*q*r^2*x)/(12*b*d^2) + (5*(d*g - c*h)^3*p*q*r^2*x)/(8*d^3) + (2*(d*g - c*h)^3*q^2*r^2*x)/d^3 + (3*h*(b*g - a*h)^2*p^2*r^2*(a + b*x)^2)/(4*b^4) + (2*h^2*(b*g - a*h)*p^2*r^2*(a + b*x)^3)/(9*b^4) + (h^3*p^2*r^2*(a + b*x)^4)/(32*b^4) + (3*h*(d*g - c*h)^2*q^2*r^2*(c + d*x)^2)/(4*d^4) + (2*h^2*(d*g - c*h)*q^2*r^2*(c + d*x)^3)/(9*d^4) + (h^3*q^2*r^2*(c + d*x)^4)/(32*d^4) + (3*(b*g - a*h)^2*p*q*r^2*(g + h*x)^2)/(16*b^2*h) + ((b*g - a*h)*(d*g - c*h)*p*q*r^2*(g + h*x)^2)/(6*b*d*h) + (3*(d*g - c*h)^2*p*q*r^2*(g + h*x)^2)/(16*d^2*h) + (7*(b*g - a*h)*p*q*r^2*(g + h*x)^3)/(72*b*h) + (7*(d*g - c*h)*p*q*r^2*(g + h*x)^3)/(72*d*h) + (p*q*r^2*(g + h*x)^4)/(16*h) + ((b*g - a*h)^4*p*q*r^2*Log[a + b*x])/(8*b^4*h) + ((b*g - a*h)^3*(d*g - c*h)*p*q*r^2*Log[a + b*x])/(6*b^3*d*h) + ((b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)^2*p*q*r^2*Log[a + b*x])/(4*b^2*d^2*h) - (2*(b*g - a*h)^3*p^2*r^2*(a + b*x)*Log[a + b*x])/b^4 - ((d*g - c*h)^3*p*q*r^2*(a + b*x)*Log[a + b*x])/(2*b*d^3) - (3*h*(b*g - a*h)^2*p^2*r^2*(a + b*x)^2*Log[a + b*x])/(2*b^4) - (2*h^2*(b*g - a*h)*p^2*r^2*(a + b*x)^3*Log[a + b*x])/(3*b^4) - (h^3*p^2*r^2*(a + b*x)^4*Log[a + b*x])/(8*b^4) - ((d*g - c*h)^2*p*q*r^2*(g + h*x)^2*Log[a + b*x])/(4*d^2*h) - ((d*g - c*h)*p*q*r^2*(g + h*x)^3*Log[a + b*x])/(6*d*h) - (p*q*r^2*(g + h*x)^4*Log[a + b*x])/(8*h) - ((b*g - a*h)^4*p^2*r^2*Log[a + b*x]^2)/(4*b^4*h) + ((b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)^2*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(4*b^2*d^2*h) + ((b*g - a*h)*(d*g - c*h)^3*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(6*b*d^3*h) + ((d*g - c*h)^4*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(8*d^4*h) - ((b*g - a*h)^3*p*q*r^2*(c + d*x)*Log[c + d*x])/(2*b^3*d) - (2*(d*g - c*h)^3*q^2*r^2*(c + d*x)*Log[c + d*x])/d^4 - (3*h*(d*g - c*h)^2*q^2*r^2*(c + d*x)^2*Log[c + d*x])/(2*d^4) - (2*h^2*(d*g - c*h)*q^2*r^2*(c + d*x)^3*Log[c + d*x])/(3*d^4) - (h^3*q^2*r^2*(c + d*x)^4*Log[c + d*x])/(8*d^4) - ((b*g - a*h)^2*p*q*r^2*(g + h*x)^2*Log[c + d*x])/(4*b^2*h) - ((b*g - a*h)*p*q*r^2*(g + h*x)^3*Log[c + d*x])/(6*b*h) - (p*q*r^2*(g + h*x)^4*Log[c + d*x])/(8*h) - ((b*g - a*h)^4*p*q*r^2*Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[c + d*x])/(2*b^4*h) - ((d*g - c*h)^4*q^2*r^2*Log[c + d*x]^2)/(4*d^4*h) - ((d*g - c*h)^4*p*q*r^2*Log[a + b*x]*Log[(b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(2*d^4*h) + ((b*g - a*h)^3*p*r*x*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(2*b^3) + ((d*g - c*h)^3*q*r*x*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(2*d^3) + ((b*g - a*h)^2*p*r*(g + h*x)^2*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(4*b^2*h) + ((d*g - c*h)^2*q*r*(g + h*x)^2*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(4*d^2*h) + ((b*g - a*h)*p*r*(g + h*x)^3*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(6*b*h) + ((d*g - c*h)*q*r*(g + h*x)^3*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(6*d*h) + (p*r*(g + h*x)^4*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(8*h) + (q*r*(g + h*x)^4*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(8*h) + ((b*g - a*h)^4*p*r*Log[a + b*x]*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(2*b^4*h) + ((d*g - c*h)^4*q*r*Log[c + d*x]*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(2*d^4*h) + ((g + h*x)^4*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2)/(4*h) - ((d*g - c*h)^4*p*q*r^2*PolyLog[2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(2*d^4*h) - ((b*g - a*h)^4*p*q*r^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(2*b^4*h)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2*(g + h*x)^2, x, 47, (2*(b*g - a*h)^2*p^2*r^2*x)/b^2 + (8*(b*g - a*h)^2*p*q*r^2*x)/(9*b^2) + (2*(b*g - a*h)*(d*g - c*h)*p*q*r^2*x)/(3*b*d) + (8*(d*g - c*h)^2*p*q*r^2*x)/(9*d^2) + (2*(d*g - c*h)^2*q^2*r^2*x)/d^2 + (h*(b*g - a*h)*p^2*r^2*(a + b*x)^2)/(2*b^3) + (2*h^2*p^2*r^2*(a + b*x)^3)/(27*b^3) + (h*(d*g - c*h)*q^2*r^2*(c + d*x)^2)/(2*d^3) + (2*h^2*q^2*r^2*(c + d*x)^3)/(27*d^3) + (5*(b*g - a*h)*p*q*r^2*(g + h*x)^2)/(18*b*h) + (5*(d*g - c*h)*p*q*r^2*(g + h*x)^2)/(18*d*h) + (4*p*q*r^2*(g + h*x)^3)/(27*h) + (2*(b*g - a*h)^3*p*q*r^2*Log[a + b*x])/(9*b^3*h) + ((b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)*p*q*r^2*Log[a + b*x])/(3*b^2*d*h) - (2*(b*g - a*h)^2*p^2*r^2*(a + b*x)*Log[a + b*x])/b^3 - (2*(d*g - c*h)^2*p*q*r^2*(a + b*x)*Log[a + b*x])/(3*b*d^2) - (h*(b*g - a*h)*p^2*r^2*(a + b*x)^2*Log[a + b*x])/b^3 - (2*h^2*p^2*r^2*(a + b*x)^3*Log[a + b*x])/(9*b^3) - ((d*g - c*h)*p*q*r^2*(g + h*x)^2*Log[a + b*x])/(3*d*h) - (2*p*q*r^2*(g + h*x)^3*Log[a + b*x])/(9*h) - ((b*g - a*h)^3*p^2*r^2*Log[a + b*x]^2)/(3*b^3*h) + ((b*g - a*h)*(d*g - c*h)^2*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(3*b*d^2*h) + (2*(d*g - c*h)^3*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(9*d^3*h) - (2*(b*g - a*h)^2*p*q*r^2*(c + d*x)*Log[c + d*x])/(3*b^2*d) - (2*(d*g - c*h)^2*q^2*r^2*(c + d*x)*Log[c + d*x])/d^3 - (h*(d*g - c*h)*q^2*r^2*(c + d*x)^2*Log[c + d*x])/d^3 - (2*h^2*q^2*r^2*(c + d*x)^3*Log[c + d*x])/(9*d^3) - ((b*g - a*h)*p*q*r^2*(g + h*x)^2*Log[c + d*x])/(3*b*h) - (2*p*q*r^2*(g + h*x)^3*Log[c + d*x])/(9*h) - (2*(b*g - a*h)^3*p*q*r^2*Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[c + d*x])/(3*b^3*h) - ((d*g - c*h)^3*q^2*r^2*Log[c + d*x]^2)/(3*d^3*h) - (2*(d*g - c*h)^3*p*q*r^2*Log[a + b*x]*Log[(b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(3*d^3*h) + (2*(b*g - a*h)^2*p*r*x*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(3*b^2) + (2*(d*g - c*h)^2*q*r*x*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(3*d^2) + ((b*g - a*h)*p*r*(g + h*x)^2*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(3*b*h) + ((d*g - c*h)*q*r*(g + h*x)^2*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(3*d*h) + (2*p*r*(g + h*x)^3*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(9*h) + (2*q*r*(g + h*x)^3*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(9*h) + (2*(b*g - a*h)^3*p*r*Log[a + b*x]*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(3*b^3*h) + (2*(d*g - c*h)^3*q*r*Log[c + d*x]*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(3*d^3*h) + ((g + h*x)^3*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2)/(3*h) - (2*(d*g - c*h)^3*p*q*r^2*PolyLog[2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(3*d^3*h) - (2*(b*g - a*h)^3*p*q*r^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(3*b^3*h)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2*(g + h*x)^1, x, 39, (3*(b*g - a*h)*p*q*r^2*x)/(2*b) + (3*(d*g - c*h)*p*q*r^2*x)/(2*d) + (p*q*r^2*(g + h*x)^2)/(2*h) + (p^2*r^2*(4*b*g - 3*a*h + b*h*x)^2)/(4*b^2*h) + (q^2*r^2*(4*d*g - 3*c*h + d*h*x)^2)/(4*d^2*h) + ((b*g - a*h)^2*p*q*r^2*Log[a + b*x])/(2*b^2*h) - (2*(b*g - a*h)*p^2*r^2*(a + b*x)*Log[a + b*x])/b^2 - ((d*g - c*h)*p*q*r^2*(a + b*x)*Log[a + b*x])/(b*d) - (h*p^2*r^2*(a + b*x)^2*Log[a + b*x])/(2*b^2) - (p*q*r^2*(g + h*x)^2*Log[a + b*x])/(2*h) - ((b*g - a*h)^2*p^2*r^2*Log[a + b*x]^2)/(2*b^2*h) + ((d*g - c*h)^2*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(2*d^2*h) - ((b*g - a*h)*p*q*r^2*(c + d*x)*Log[c + d*x])/(b*d) - (2*(d*g - c*h)*q^2*r^2*(c + d*x)*Log[c + d*x])/d^2 - (h*q^2*r^2*(c + d*x)^2*Log[c + d*x])/(2*d^2) - (p*q*r^2*(g + h*x)^2*Log[c + d*x])/(2*h) - ((b*g - a*h)^2*p*q*r^2*Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[c + d*x])/(b^2*h) - ((d*g - c*h)^2*q^2*r^2*Log[c + d*x]^2)/(2*d^2*h) - ((d*g - c*h)^2*p*q*r^2*Log[a + b*x]*Log[(b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(d^2*h) + ((b*g - a*h)*p*r*x*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/b + ((d*g - c*h)*q*r*x*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/d + (p*r*(g + h*x)^2*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(2*h) + (q*r*(g + h*x)^2*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(2*h) + ((b*g - a*h)^2*p*r*Log[a + b*x]*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(b^2*h) + ((d*g - c*h)^2*q*r*Log[c + d*x]*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(d^2*h) + ((g + h*x)^2*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2)/(2*h) - ((d*g - c*h)^2*p*q*r^2*PolyLog[2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(d^2*h) - ((b*g - a*h)^2*p*q*r^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(b^2*h)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2*(g + h*x)^0, x, 10, 2*(p + q)^2*r^2*x - (2*(b*c - a*d)*q*(p + q)*r^2*Log[c + d*x])/(b*d) - (2*(b*c - a*d)*p*q*r^2*Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[c + d*x])/(b*d) - ((b*c - a*d)*q^2*r^2*Log[c + d*x]^2)/(b*d) - (2*(p + q)*r*(a + b*x)*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/b + (2*(b*c - a*d)*q*r*Log[c + d*x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(b*d) + ((a + b*x)*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2)/b - (2*(b*c - a*d)*p*q*r^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(b*d)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2/(g + h*x)^1, x, -29, (p*q*r^2*Log[-((b*c - a*d)/(d*(a + b*x)))]*Log[((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x))]^2)/h + (p^2*r^2*Log[a + b*x]^2*Log[g + h*x])/h + (2*p*q*r^2*Log[a + b*x]*Log[c + d*x]*Log[g + h*x])/h + (q^2*r^2*Log[c + d*x]^2*Log[g + h*x])/h - (2*p*r*Log[a + b*x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]*Log[g + h*x])/h - (2*q*r*Log[c + d*x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]*Log[g + h*x])/h + (Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2*Log[g + h*x])/h - (p^2*r^2*Log[a + b*x]^2*Log[(b*(g + h*x))/(b*g - a*h)])/h - (2*p*q*r^2*Log[a + b*x]*Log[-((h*(c + d*x))/(d*g - c*h))]*Log[(b*(g + h*x))/(b*g - a*h)])/h + (p*q*r^2*Log[-((h*(c + d*x))/(d*g - c*h))]^2*Log[(b*(g + h*x))/(b*g - a*h)])/h - (2*p*q*r^2*Log[-((h*(c + d*x))/(d*g - c*h))]*Log[((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x))]*Log[(b*(g + h*x))/(b*g - a*h)])/h + (p*q*r^2*Log[((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x))]^2*Log[(b*(g + h*x))/(b*g - a*h)])/h + (2*p*r*Log[a + b*x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]*Log[(b*(g + h*x))/(b*g - a*h)])/h - (2*p*q*r^2*Log[a + b*x]*Log[c + d*x]*Log[(d*(g + h*x))/(d*g - c*h)])/h - (q^2*r^2*Log[c + d*x]^2*Log[(d*(g + h*x))/(d*g - c*h)])/h + (2*p*q*r^2*Log[a + b*x]*Log[-((h*(c + d*x))/(d*g - c*h))]*Log[(d*(g + h*x))/(d*g - c*h)])/h - (p*q*r^2*Log[-((h*(c + d*x))/(d*g - c*h))]^2*Log[(d*(g + h*x))/(d*g - c*h)])/h + (2*p*q*r^2*Log[-((h*(c + d*x))/(d*g - c*h))]*Log[((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x))]*Log[(d*(g + h*x))/(d*g - c*h)])/h + (2*q*r*Log[c + d*x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]*Log[(d*(g + h*x))/(d*g - c*h)])/h - (p*q*r^2*Log[((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x))]^2*Log[-(((b*c - a*d)*(g + h*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x)))])/h - (2*p*r*(q*r*Log[((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x))] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])*PolyLog[2, -((h*(a + b*x))/(b*g - a*h))])/h + (2*q*r*(p*r*Log[((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x))] + Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])*PolyLog[2, -((h*(c + d*x))/(d*g - c*h))])/h + (2*p*q*r^2*Log[((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x))]*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/h - (2*p*q*r^2*Log[((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x))]*PolyLog[2, ((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x))])/h - (2*p^2*r^2*PolyLog[3, -((h*(a + b*x))/(b*g - a*h))])/h - (2*p*q*r^2*PolyLog[3, -((h*(a + b*x))/(b*g - a*h))])/h - (2*p*q*r^2*PolyLog[3, -((h*(c + d*x))/(d*g - c*h))])/h - (2*q^2*r^2*PolyLog[3, -((h*(c + d*x))/(d*g - c*h))])/h - (2*p*q*r^2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/h + (2*p*q*r^2*PolyLog[3, ((b*g - a*h)*(c + d*x))/((d*g - c*h)*(a + b*x))])/h}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2/(g + h*x)^2, x, 31, (2*b*p*q*r^2*Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[c + d*x])/(h*(b*g - a*h)) + (2*d*p*q*r^2*Log[a + b*x]*Log[(b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(h*(d*g - c*h)) - (2*b*p*r*Log[a + b*x]*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(h*(b*g - a*h)) - (2*d*q*r*Log[c + d*x]*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(h*(d*g - c*h)) - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2/(h*(g + h*x)) + (2*b*p*r*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])*Log[g + h*x])/(h*(b*g - a*h)) + (2*d*q*r*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])*Log[g + h*x])/(h*(d*g - c*h)) - (2*d*p*q*r^2*Log[a + b*x]*Log[(b*(g + h*x))/(b*g - a*h)])/(h*(d*g - c*h)) - (2*b*p*q*r^2*Log[c + d*x]*Log[(d*(g + h*x))/(d*g - c*h)])/(h*(b*g - a*h)) - (2*b*p^2*r^2*Log[a + b*x]*Log[1 + (b*g - a*h)/(h*(a + b*x))])/(h*(b*g - a*h)) - (2*d*q^2*r^2*Log[c + d*x]*Log[1 + (d*g - c*h)/(h*(c + d*x))])/(h*(d*g - c*h)) + (2*b*p^2*r^2*PolyLog[2, -((b*g - a*h)/(h*(a + b*x)))])/(h*(b*g - a*h)) + (2*d*p*q*r^2*PolyLog[2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(h*(d*g - c*h)) - (2*d*p*q*r^2*PolyLog[2, -((h*(a + b*x))/(b*g - a*h))])/(h*(d*g - c*h)) + (2*d*q^2*r^2*PolyLog[2, -((d*g - c*h)/(h*(c + d*x)))])/(h*(d*g - c*h)) + (2*b*p*q*r^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(h*(b*g - a*h)) - (2*b*p*q*r^2*PolyLog[2, -((h*(c + d*x))/(d*g - c*h))])/(h*(b*g - a*h))}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2/(g + h*x)^3, x, 43, -((b*d*p*q*r^2*Log[a + b*x])/(h*(b*g - a*h)*(d*g - c*h))) + (d*p*q*r^2*Log[a + b*x])/(h*(d*g - c*h)*(g + h*x)) - (b*p^2*r^2*(a + b*x)*Log[a + b*x])/((b*g - a*h)^2*(g + h*x)) - (b*d*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(h*(b*g - a*h)*(d*g - c*h)) + (b*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(h*(b*g - a*h)*(g + h*x)) - (d*q^2*r^2*(c + d*x)*Log[c + d*x])/((d*g - c*h)^2*(g + h*x)) + (b^2*p*q*r^2*Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[c + d*x])/(h*(b*g - a*h)^2) + (d^2*p*q*r^2*Log[a + b*x]*Log[(b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(h*(d*g - c*h)^2) - (b*p*r*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(h*(b*g - a*h)*(g + h*x)) - (d*q*r*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(h*(d*g - c*h)*(g + h*x)) - (b^2*p*r*Log[a + b*x]*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(h*(b*g - a*h)^2) - (d^2*q*r*Log[c + d*x]*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(h*(d*g - c*h)^2) - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2/(2*h*(g + h*x)^2) + (b^2*p^2*r^2*Log[g + h*x])/(h*(b*g - a*h)^2) + (2*b*d*p*q*r^2*Log[g + h*x])/(h*(b*g - a*h)*(d*g - c*h)) + (d^2*q^2*r^2*Log[g + h*x])/(h*(d*g - c*h)^2) + (b^2*p*r*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])*Log[g + h*x])/(h*(b*g - a*h)^2) + (d^2*q*r*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])*Log[g + h*x])/(h*(d*g - c*h)^2) - (d^2*p*q*r^2*Log[a + b*x]*Log[(b*(g + h*x))/(b*g - a*h)])/(h*(d*g - c*h)^2) - (b^2*p*q*r^2*Log[c + d*x]*Log[(d*(g + h*x))/(d*g - c*h)])/(h*(b*g - a*h)^2) - (b^2*p^2*r^2*Log[a + b*x]*Log[1 + (b*g - a*h)/(h*(a + b*x))])/(h*(b*g - a*h)^2) - (d^2*q^2*r^2*Log[c + d*x]*Log[1 + (d*g - c*h)/(h*(c + d*x))])/(h*(d*g - c*h)^2) + (b^2*p^2*r^2*PolyLog[2, -((b*g - a*h)/(h*(a + b*x)))])/(h*(b*g - a*h)^2) + (d^2*p*q*r^2*PolyLog[2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(h*(d*g - c*h)^2) - (d^2*p*q*r^2*PolyLog[2, -((h*(a + b*x))/(b*g - a*h))])/(h*(d*g - c*h)^2) + (d^2*q^2*r^2*PolyLog[2, -((d*g - c*h)/(h*(c + d*x)))])/(h*(d*g - c*h)^2) + (b^2*p*q*r^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(h*(b*g - a*h)^2) - (b^2*p*q*r^2*PolyLog[2, -((h*(c + d*x))/(d*g - c*h))])/(h*(b*g - a*h)^2)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2/(g + h*x)^4, x, 57, -((b^2*p^2*r^2)/(3*h*(b*g - a*h)^2*(g + h*x))) - (2*b*d*p*q*r^2)/(3*h*(b*g - a*h)*(d*g - c*h)*(g + h*x)) - (d^2*q^2*r^2)/(3*h*(d*g - c*h)^2*(g + h*x)) - (b^3*p^2*r^2*Log[a + b*x])/(3*h*(b*g - a*h)^3) - (2*b*d^2*p*q*r^2*Log[a + b*x])/(3*h*(b*g - a*h)*(d*g - c*h)^2) - (b^2*d*p*q*r^2*Log[a + b*x])/(3*h*(b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)) + (b*p^2*r^2*Log[a + b*x])/(3*h*(b*g - a*h)*(g + h*x)^2) + (d*p*q*r^2*Log[a + b*x])/(3*h*(d*g - c*h)*(g + h*x)^2) + (2*d^2*p*q*r^2*Log[a + b*x])/(3*h*(d*g - c*h)^2*(g + h*x)) - (2*b^2*p^2*r^2*(a + b*x)*Log[a + b*x])/(3*(b*g - a*h)^3*(g + h*x)) - (b*d^2*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(3*h*(b*g - a*h)*(d*g - c*h)^2) - (2*b^2*d*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(3*h*(b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)) - (d^3*q^2*r^2*Log[c + d*x])/(3*h*(d*g - c*h)^3) + (b*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(3*h*(b*g - a*h)*(g + h*x)^2) + (d*q^2*r^2*Log[c + d*x])/(3*h*(d*g - c*h)*(g + h*x)^2) + (2*b^2*p*q*r^2*Log[c + d*x])/(3*h*(b*g - a*h)^2*(g + h*x)) - (2*d^2*q^2*r^2*(c + d*x)*Log[c + d*x])/(3*(d*g - c*h)^3*(g + h*x)) + (2*b^3*p*q*r^2*Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[c + d*x])/(3*h*(b*g - a*h)^3) + (2*d^3*p*q*r^2*Log[a + b*x]*Log[(b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(3*h*(d*g - c*h)^3) - (b*p*r*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(3*h*(b*g - a*h)*(g + h*x)^2) - (d*q*r*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(3*h*(d*g - c*h)*(g + h*x)^2) - (2*b^2*p*r*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(3*h*(b*g - a*h)^2*(g + h*x)) - (2*d^2*q*r*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(3*h*(d*g - c*h)^2*(g + h*x)) - (2*b^3*p*r*Log[a + b*x]*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(3*h*(b*g - a*h)^3) - (2*d^3*q*r*Log[c + d*x]*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]))/(3*h*(d*g - c*h)^3) - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2/(3*h*(g + h*x)^3) + (b^3*p^2*r^2*Log[g + h*x])/(h*(b*g - a*h)^3) + (b*d^2*p*q*r^2*Log[g + h*x])/(h*(b*g - a*h)*(d*g - c*h)^2) + (b^2*d*p*q*r^2*Log[g + h*x])/(h*(b*g - a*h)^2*(d*g - c*h)) + (d^3*q^2*r^2*Log[g + h*x])/(h*(d*g - c*h)^3) + (2*b^3*p*r*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])*Log[g + h*x])/(3*h*(b*g - a*h)^3) + (2*d^3*q*r*(p*r*Log[a + b*x] + q*r*Log[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])*Log[g + h*x])/(3*h*(d*g - c*h)^3) - (2*d^3*p*q*r^2*Log[a + b*x]*Log[(b*(g + h*x))/(b*g - a*h)])/(3*h*(d*g - c*h)^3) - (2*b^3*p*q*r^2*Log[c + d*x]*Log[(d*(g + h*x))/(d*g - c*h)])/(3*h*(b*g - a*h)^3) - (2*b^3*p^2*r^2*Log[a + b*x]*Log[1 + (b*g - a*h)/(h*(a + b*x))])/(3*h*(b*g - a*h)^3) - (2*d^3*q^2*r^2*Log[c + d*x]*Log[1 + (d*g - c*h)/(h*(c + d*x))])/(3*h*(d*g - c*h)^3) + (2*b^3*p^2*r^2*PolyLog[2, -((b*g - a*h)/(h*(a + b*x)))])/(3*h*(b*g - a*h)^3) + (2*d^3*p*q*r^2*PolyLog[2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(3*h*(d*g - c*h)^3) - (2*d^3*p*q*r^2*PolyLog[2, -((h*(a + b*x))/(b*g - a*h))])/(3*h*(d*g - c*h)^3) + (2*d^3*q^2*r^2*PolyLog[2, -((d*g - c*h)/(h*(c + d*x)))])/(3*h*(d*g - c*h)^3) + (2*b^3*p*q*r^2*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/(3*h*(b*g - a*h)^3) - (2*b^3*p*q*r^2*PolyLog[2, -((h*(c + d*x))/(d*g - c*h))])/(3*h*(b*g - a*h)^3)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x^2)^m (A+B Log[e (f (a+b x)^s (c+d x)^t)^n])^p*)
+
+
+{(a + b*Log[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^n/(1 - c^2*x^2), x, 2, -((a + b*Log[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^(1 + n)/(b*c*(1 + n)))}
+
+
+{(a + b*Log[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3/(1 - c^2*x^2), x, 5, -((a + b*Log[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^4/(4*b*c))}
+{(a + b*Log[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2/(1 - c^2*x^2), x, 5, -((a + b*Log[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3/(3*b*c))}
+{(a + b*Log[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^1/(1 - c^2*x^2), x, 4, -((a + b*Log[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2/(2*b*c))}
+{1/((a + b*Log[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^1*(1 - c^2*x^2)), x, 2, -(Log[a + b*Log[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]]]/(b*c))}
+{1/((a + b*Log[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*(1 - c^2*x^2)), x, 2, 1/(b*c*(a + b*Log[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]]))}
+{1/((a + b*Log[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3*(1 - c^2*x^2)), x, 2, 1/(2*b*c*(a + b*Log[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2)}
+
+
+{Log[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^1/(1 - a^2*x^2), x, 4, -(Log[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^2/(2*a))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (s+t Log[i (g+h x)^n])^m Log[e (f (a+b x)^p (c+d x)^q)^r]/(g+h x)*)
+
+
+{(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])^2*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(k*g + k*h*x), x, 11, -((p*r*Log[-((h*(a + b*x))/(b*g - a*h))]*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])^3)/(3*h*k*n*t)) - (q*r*Log[-((h*(c + d*x))/(d*g - c*h))]*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])^3)/(3*h*k*n*t) + (Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])^3)/(3*h*k*n*t) - (p*r*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])^2*PolyLog[2, (b*(g + h*x))/(b*g - a*h)])/(h*k) - (q*r*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])^2*PolyLog[2, (d*(g + h*x))/(d*g - c*h)])/(h*k) + (2*n*p*r*t*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])*PolyLog[3, (b*(g + h*x))/(b*g - a*h)])/(h*k) + (2*n*q*r*t*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])*PolyLog[3, (d*(g + h*x))/(d*g - c*h)])/(h*k) - (2*n^2*p*r*t^2*PolyLog[4, (b*(g + h*x))/(b*g - a*h)])/(h*k) - (2*n^2*q*r*t^2*PolyLog[4, (d*(g + h*x))/(d*g - c*h)])/(h*k)}
+{(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])^1*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(k*g + k*h*x), x, 9, -((p*r*Log[-((h*(a + b*x))/(b*g - a*h))]*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])^2)/(2*h*k*n*t)) - (q*r*Log[-((h*(c + d*x))/(d*g - c*h))]*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])^2)/(2*h*k*n*t) + (Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])^2)/(2*h*k*n*t) - (p*r*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])*PolyLog[2, (b*(g + h*x))/(b*g - a*h)])/(h*k) - (q*r*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])*PolyLog[2, (d*(g + h*x))/(d*g - c*h)])/(h*k) + (n*p*r*t*PolyLog[3, (b*(g + h*x))/(b*g - a*h)])/(h*k) + (n*q*r*t*PolyLog[3, (d*(g + h*x))/(d*g - c*h)])/(h*k)}
+{(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])^0*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(k*g + k*h*x), x, 7, -((p*r*Log[-((h*(a + b*x))/(b*g - a*h))]*Log[g*k + h*k*x])/(h*k)) - (q*r*Log[-((h*(c + d*x))/(d*g - c*h))]*Log[g*k + h*k*x])/(h*k) + (Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]*Log[g*k + h*k*x])/(h*k) - (p*r*PolyLog[2, (b*(g + h*x))/(b*g - a*h)])/(h*k) - (q*r*PolyLog[2, (d*(g + h*x))/(d*g - c*h)])/(h*k)}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/((k*g + k*h*x)*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])^1), x, 0, Unintegrable[Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/((g*k + h*k*x)*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])), x]}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/((k*g + k*h*x)*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])^2), x, 0, Unintegrable[Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/((g*k + h*k*x)*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Log[i (j (h x)^t)^u]^m Log[e (f (a+b x)^p (c+d x)^q)^r]^s/x*)
+
+
+{Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^3*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/x, x, 13, -((p*r*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^4*Log[1 + (b*x)/a])/(4*t*u)) + (Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^4*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(4*t*u) - (q*r*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^4*Log[1 + (d*x)/c])/(4*t*u) - p*r*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^3*PolyLog[2, -((b*x)/a)] - q*r*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^3*PolyLog[2, -((d*x)/c)] + 3*p*r*t*u*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^2*PolyLog[3, -((b*x)/a)] + 3*q*r*t*u*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^2*PolyLog[3, -((d*x)/c)] - 6*p*r*t^2*u^2*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]*PolyLog[4, -((b*x)/a)] - 6*q*r*t^2*u^2*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]*PolyLog[4, -((d*x)/c)] + 6*p*r*t^3*u^3*PolyLog[5, -((b*x)/a)] + 6*q*r*t^3*u^3*PolyLog[5, -((d*x)/c)]}
+{Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^2*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/x, x, 11, -((p*r*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^3*Log[1 + (b*x)/a])/(3*t*u)) + (Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^3*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(3*t*u) - (q*r*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^3*Log[1 + (d*x)/c])/(3*t*u) - p*r*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^2*PolyLog[2, -((b*x)/a)] - q*r*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^2*PolyLog[2, -((d*x)/c)] + 2*p*r*t*u*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]*PolyLog[3, -((b*x)/a)] + 2*q*r*t*u*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]*PolyLog[3, -((d*x)/c)] - 2*p*r*t^2*u^2*PolyLog[4, -((b*x)/a)] - 2*q*r*t^2*u^2*PolyLog[4, -((d*x)/c)]}
+{Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^1*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/x, x, 9, -((p*r*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^2*Log[1 + (b*x)/a])/(2*t*u)) + (Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^2*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(2*t*u) - (q*r*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^2*Log[1 + (d*x)/c])/(2*t*u) - p*r*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]*PolyLog[2, -((b*x)/a)] - q*r*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]*PolyLog[2, -((d*x)/c)] + p*r*t*u*PolyLog[3, -((b*x)/a)] + q*r*t*u*PolyLog[3, -((d*x)/c)]}
+{Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^0*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/x, x, 5, (-p)*r*Log[x]*Log[1 + (b*x)/a] + Log[x]*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r] - q*r*Log[x]*Log[1 + (d*x)/c] - p*r*PolyLog[2, -((b*x)/a)] - q*r*PolyLog[2, -((d*x)/c)]}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(x*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^1), x, 0, CannotIntegrate[Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(x*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]), x]}
+{Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(x*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^2), x, 0, CannotIntegrate[Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(x*Log[i*(j*(h*x)^t)^u]^2), x]}
+
+
+(* Simplification and normalization formerly caused infinite recursion. *)
+{Log[x]*Log[(a + b*x)/((b*c - a*d)*x)]^3/x, x, 0, Unintegrable[(Log[x]*Log[(a + b*x)/((b*c - a*d)*x)]^3)/x, x]}
+{Log[x]*Log[(a + b*x)/((b*c - a*d)*x)]^2/x, x, 0, Unintegrable[(Log[x]*Log[(a + b*x)/((b*c - a*d)*x)]^2)/x, x]}
+{Log[x]*Log[(a + b*x)/((b*c - a*d)*x)]^1/x, x, 5, (-(1/2))*Log[1 + a/(b*x)]*Log[x]^2 + (1/2)*Log[b/(b*c - a*d) + a/((b*c - a*d)*x)]*Log[x]^2 + Log[x]*PolyLog[2, -(a/(b*x))] + PolyLog[3, -(a/(b*x))]}
+{Log[x]/(x*Log[(a + b*x)/((b*c - a*d)*x)]^1), x, 0, Unintegrable[Log[x]/(x*Log[(a + b*x)/((b*c - a*d)*x)]), x]}
+{Log[x]/(x*Log[(a + b*x)/((b*c - a*d)*x)]^2), x, 0, Unintegrable[Log[x]/(x*Log[(a + b*x)/((b*c - a*d)*x)]^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Log[i (j (g+h x)^t)^u]  Log[e (f (a+b x)^p (c+d x)^q)^r]^s / ((a+b x) (c+d x))*)
+
+
+{Log[h*(f + g*x)^m]/((a + b*x)*(c + d*x))*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^3, x, 14, (m*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^4*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(4*(b*c - a*d)*n) + (Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^4*Log[h*(f + g*x)^m])/(4*(b*c - a*d)*n) - (m*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^4*Log[1 - ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(4*(b*c - a*d)*n) + (m*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^3*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*c - a*d) - (m*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^3*PolyLog[2, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(b*c - a*d) - (3*m*n*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^2*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*c - a*d) + (3*m*n*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^2*PolyLog[3, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(b*c - a*d) + (6*m*n^2*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]*PolyLog[4, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*c - a*d) - (6*m*n^2*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]*PolyLog[4, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(b*c - a*d) - (6*m*n^3*PolyLog[5, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*c - a*d) + (6*m*n^3*PolyLog[5, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(b*c - a*d)}
+{Log[h*(f + g*x)^m]/((a + b*x)*(c + d*x))*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^2, x, 12, (m*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^3*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(3*(b*c - a*d)*n) + (Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^3*Log[h*(f + g*x)^m])/(3*(b*c - a*d)*n) - (m*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^3*Log[1 - ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(3*(b*c - a*d)*n) + (m*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^2*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*c - a*d) - (m*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^2*PolyLog[2, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(b*c - a*d) - (2*m*n*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*c - a*d) + (2*m*n*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]*PolyLog[3, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(b*c - a*d) + (2*m*n^2*PolyLog[4, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*c - a*d) - (2*m*n^2*PolyLog[4, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(b*c - a*d)}
+{Log[h*(f + g*x)^m]/((a + b*x)*(c + d*x))*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^1, x, 10, (m*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/(2*(b*c - a*d)*n) + (Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^2*Log[h*(f + g*x)^m])/(2*(b*c - a*d)*n) - (m*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^2*Log[1 - ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(2*(b*c - a*d)*n) + (m*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*c - a*d) - (m*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]*PolyLog[2, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(b*c - a*d) - (m*n*PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))])/(b*c - a*d) + (m*n*PolyLog[3, ((d*f - c*g)*(a + b*x))/((b*f - a*g)*(c + d*x))])/(b*c - a*d)}
+{Log[h*(f + g*x)^m]/((a + b*x)*(c + d*x))/Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^1, x, 2, (b*Unintegrable[Log[h*(f + g*x)^m]/((a + b*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x])/(b*c - a*d) - (d*Unintegrable[Log[h*(f + g*x)^m]/((c + d*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x])/(b*c - a*d)}
+{Log[h*(f + g*x)^m]/((a + b*x)*(c + d*x))/Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^2, x, 1, -(Log[h*(f + g*x)^m]/((b*c - a*d)*n*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])) + (g*m*Unintegrable[1/((f + g*x)*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]), x])/((b*c - a*d)*n)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x+h x^2)^m Log[1-f (a+b x)/(c+d x)] Log[e ((a+b x) / (c+d x))^n]^p*)
+
+
+{Log[1 - (a + b*x)/(c + d*x)]/((a + b*x)*(c + d*x)*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2), x, 2, (b*CannotIntegrate[Log[1 - (a + b*x)/(c + d*x)]/((a + b*x)*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2), x])/(b*c - a*d) - (d*CannotIntegrate[Log[1 - (a + b*x)/(c + d*x)]/((c + d*x)*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2), x])/(b*c - a*d)}
+{Log[1 - (c + d*x)/(a + b*x)]/((a + b*x)*(c + d*x)*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2), x, 2, (b*CannotIntegrate[Log[1 - (c + d*x)/(a + b*x)]/((a + b*x)*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2), x])/(b*c - a*d) - (d*CannotIntegrate[Log[1 - (c + d*x)/(a + b*x)]/((c + d*x)*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2), x])/(b*c - a*d)}
+
+
+{Log[1 - (a + b*x)/(c + d*x)]/((a + b*x)*(c + d*x)*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2) + 1/((c + d*x)*(-a + c + (-b + d)*x)*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]), x, -3, -(Log[1 - (a + b*x)/(c + d*x)]/((b*c - a*d)*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]))}
+{Log[1 - (c + d*x)/(a + b*x)]/((a + b*x)*(c + d*x)*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]^2) - 1/((a + b*x)*(a - c + (b - d)*x)*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]), x, -3, -(Log[1 - (c + d*x)/(a + b*x)]/((b*c - a*d)*Log[(a + b*x)/(c + d*x)]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form RFx Log[e (f (a+b x)^p (c+d x)^q)^r]^s*)
+
+
+{x^3*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/(f - g*x^2), x, 30, -((a*n*x)/(2*b*g)) + (c*n*x)/(2*d*g) + (a^2*n*Log[a + b*x])/(2*b^2*g) - (n*x^2*Log[a + b*x])/(2*g) - (c^2*n*Log[c + d*x])/(2*d^2*g) + (n*x^2*Log[c + d*x])/(2*g) + (x^2*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x]))/(2*g) - (f*n*Log[a + b*x]*Log[(b*(Sqrt[f] - Sqrt[g]*x))/(b*Sqrt[f] + a*Sqrt[g])])/(2*g^2) + (f*n*Log[c + d*x]*Log[(d*(Sqrt[f] - Sqrt[g]*x))/(d*Sqrt[f] + c*Sqrt[g])])/(2*g^2) - (f*n*Log[a + b*x]*Log[(b*(Sqrt[f] + Sqrt[g]*x))/(b*Sqrt[f] - a*Sqrt[g])])/(2*g^2) + (f*n*Log[c + d*x]*Log[(d*(Sqrt[f] + Sqrt[g]*x))/(d*Sqrt[f] - c*Sqrt[g])])/(2*g^2) + (f*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x])*Log[f - g*x^2])/(2*g^2) - (f*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(a + b*x))/(b*Sqrt[f] - a*Sqrt[g]))])/(2*g^2) - (f*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(a + b*x))/(b*Sqrt[f] + a*Sqrt[g])])/(2*g^2) + (f*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(c + d*x))/(d*Sqrt[f] - c*Sqrt[g]))])/(2*g^2) + (f*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(c + d*x))/(d*Sqrt[f] + c*Sqrt[g])])/(2*g^2)}
+{x^2*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/(f - g*x^2), x, 27, -((n*(a + b*x)*Log[a + b*x])/(b*g)) + (n*(c + d*x)*Log[c + d*x])/(d*g) + (x*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x]))/g - (Sqrt[f]*ArcTanh[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x]))/g^(3/2) - (Sqrt[f]*n*Log[a + b*x]*Log[(b*(Sqrt[f] - Sqrt[g]*x))/(b*Sqrt[f] + a*Sqrt[g])])/(2*g^(3/2)) + (Sqrt[f]*n*Log[c + d*x]*Log[(d*(Sqrt[f] - Sqrt[g]*x))/(d*Sqrt[f] + c*Sqrt[g])])/(2*g^(3/2)) + (Sqrt[f]*n*Log[a + b*x]*Log[(b*(Sqrt[f] + Sqrt[g]*x))/(b*Sqrt[f] - a*Sqrt[g])])/(2*g^(3/2)) - (Sqrt[f]*n*Log[c + d*x]*Log[(d*(Sqrt[f] + Sqrt[g]*x))/(d*Sqrt[f] - c*Sqrt[g])])/(2*g^(3/2)) + (Sqrt[f]*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(a + b*x))/(b*Sqrt[f] - a*Sqrt[g]))])/(2*g^(3/2)) - (Sqrt[f]*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(a + b*x))/(b*Sqrt[f] + a*Sqrt[g])])/(2*g^(3/2)) - (Sqrt[f]*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(c + d*x))/(d*Sqrt[f] - c*Sqrt[g]))])/(2*g^(3/2)) + (Sqrt[f]*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(c + d*x))/(d*Sqrt[f] + c*Sqrt[g])])/(2*g^(3/2))}
+{x^1*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/(f - g*x^2), x, 18, -((n*Log[a + b*x]*Log[(b*(Sqrt[f] - Sqrt[g]*x))/(b*Sqrt[f] + a*Sqrt[g])])/(2*g)) + (n*Log[c + d*x]*Log[(d*(Sqrt[f] - Sqrt[g]*x))/(d*Sqrt[f] + c*Sqrt[g])])/(2*g) - (n*Log[a + b*x]*Log[(b*(Sqrt[f] + Sqrt[g]*x))/(b*Sqrt[f] - a*Sqrt[g])])/(2*g) + (n*Log[c + d*x]*Log[(d*(Sqrt[f] + Sqrt[g]*x))/(d*Sqrt[f] - c*Sqrt[g])])/(2*g) + ((n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x])*Log[f - g*x^2])/(2*g) - (n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(a + b*x))/(b*Sqrt[f] - a*Sqrt[g]))])/(2*g) - (n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(a + b*x))/(b*Sqrt[f] + a*Sqrt[g])])/(2*g) + (n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(c + d*x))/(d*Sqrt[f] - c*Sqrt[g]))])/(2*g) + (n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(c + d*x))/(d*Sqrt[f] + c*Sqrt[g])])/(2*g)}
+{x^0*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/(f - g*x^2), x, 7, (Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]*Log[1 - ((d*Sqrt[f] - c*Sqrt[g])*(a + b*x))/((b*Sqrt[f] - a*Sqrt[g])*(c + d*x))])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]*Log[1 - ((d*Sqrt[f] + c*Sqrt[g])*(a + b*x))/((b*Sqrt[f] + a*Sqrt[g])*(c + d*x))])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (n*PolyLog[2, ((d*Sqrt[f] - c*Sqrt[g])*(a + b*x))/((b*Sqrt[f] - a*Sqrt[g])*(c + d*x))])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (n*PolyLog[2, ((d*Sqrt[f] + c*Sqrt[g])*(a + b*x))/((b*Sqrt[f] + a*Sqrt[g])*(c + d*x))])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g])}
+{Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/(x^1*(f - g*x^2)), x, 29, (n*Log[-((b*x)/a)]*Log[a + b*x])/f - (n*Log[-((d*x)/c)]*Log[c + d*x])/f - (Log[x]*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x]))/f - (n*Log[a + b*x]*Log[(b*(Sqrt[f] - Sqrt[g]*x))/(b*Sqrt[f] + a*Sqrt[g])])/(2*f) + (n*Log[c + d*x]*Log[(d*(Sqrt[f] - Sqrt[g]*x))/(d*Sqrt[f] + c*Sqrt[g])])/(2*f) - (n*Log[a + b*x]*Log[(b*(Sqrt[f] + Sqrt[g]*x))/(b*Sqrt[f] - a*Sqrt[g])])/(2*f) + (n*Log[c + d*x]*Log[(d*(Sqrt[f] + Sqrt[g]*x))/(d*Sqrt[f] - c*Sqrt[g])])/(2*f) + ((n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x])*Log[f - g*x^2])/(2*f) - (n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(a + b*x))/(b*Sqrt[f] - a*Sqrt[g]))])/(2*f) - (n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(a + b*x))/(b*Sqrt[f] + a*Sqrt[g])])/(2*f) + (n*PolyLog[2, 1 + (b*x)/a])/f + (n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(c + d*x))/(d*Sqrt[f] - c*Sqrt[g]))])/(2*f) + (n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(c + d*x))/(d*Sqrt[f] + c*Sqrt[g])])/(2*f) - (n*PolyLog[2, 1 + (d*x)/c])/f}
+{Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/(x^2*(f - g*x^2)), x, 31, (b*n*Log[x])/(a*f) - (d*n*Log[x])/(c*f) - (b*n*Log[a + b*x])/(a*f) - (n*Log[a + b*x])/(f*x) + (d*n*Log[c + d*x])/(c*f) + (n*Log[c + d*x])/(f*x) + (n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x])/(f*x) - (Sqrt[g]*ArcTanh[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x]))/f^(3/2) - (Sqrt[g]*n*Log[a + b*x]*Log[(b*(Sqrt[f] - Sqrt[g]*x))/(b*Sqrt[f] + a*Sqrt[g])])/(2*f^(3/2)) + (Sqrt[g]*n*Log[c + d*x]*Log[(d*(Sqrt[f] - Sqrt[g]*x))/(d*Sqrt[f] + c*Sqrt[g])])/(2*f^(3/2)) + (Sqrt[g]*n*Log[a + b*x]*Log[(b*(Sqrt[f] + Sqrt[g]*x))/(b*Sqrt[f] - a*Sqrt[g])])/(2*f^(3/2)) - (Sqrt[g]*n*Log[c + d*x]*Log[(d*(Sqrt[f] + Sqrt[g]*x))/(d*Sqrt[f] - c*Sqrt[g])])/(2*f^(3/2)) + (Sqrt[g]*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(a + b*x))/(b*Sqrt[f] - a*Sqrt[g]))])/(2*f^(3/2)) - (Sqrt[g]*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(a + b*x))/(b*Sqrt[f] + a*Sqrt[g])])/(2*f^(3/2)) - (Sqrt[g]*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(c + d*x))/(d*Sqrt[f] - c*Sqrt[g]))])/(2*f^(3/2)) + (Sqrt[g]*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(c + d*x))/(d*Sqrt[f] + c*Sqrt[g])])/(2*f^(3/2))}
+
+
+{x^3*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/(f + g*x + h*x^2), x, 37, (a*n*x)/(2*b*h) - (c*n*x)/(2*d*h) - (a^2*n*Log[a + b*x])/(2*b^2*h) + (n*x^2*Log[a + b*x])/(2*h) - (g*n*(a + b*x)*Log[a + b*x])/(b*h^2) + (c^2*n*Log[c + d*x])/(2*d^2*h) - (n*x^2*Log[c + d*x])/(2*h) + (g*n*(c + d*x)*Log[c + d*x])/(d*h^2) + (g*x*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x]))/h^2 - (x^2*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x]))/(2*h) - (g*(g^2 - 3*f*h)*ArcTanh[(g + 2*h*x)/Sqrt[g^2 - 4*f*h]]*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x]))/(h^3*Sqrt[g^2 - 4*f*h]) + ((g^2 - f*h - (g*(g^2 - 3*f*h))/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[a + b*x]*Log[-((b*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*a*h - b*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*h^3) - ((g^2 - f*h - (g*(g^2 - 3*f*h))/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[c + d*x]*Log[-((d*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*c*h - d*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*h^3) + ((g^2 - f*h + (g*(g^2 - 3*f*h))/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[a + b*x]*Log[-((b*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*a*h - b*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*h^3) - ((g^2 - f*h + (g*(g^2 - 3*f*h))/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[c + d*x]*Log[-((d*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*c*h - d*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*h^3) - ((g^2 - f*h)*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x])*Log[f + g*x + h*x^2])/(2*h^3) + ((g^2 - f*h - (g*(g^2 - 3*f*h))/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(a + b*x))/(2*a*h - b*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*h^3) + ((g^2 - f*h + (g*(g^2 - 3*f*h))/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(a + b*x))/(2*a*h - b*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*h^3) - ((g^2 - f*h - (g*(g^2 - 3*f*h))/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(c + d*x))/(2*c*h - d*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*h^3) - ((g^2 - f*h + (g*(g^2 - 3*f*h))/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(c + d*x))/(2*c*h - d*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*h^3)}
+{x^2*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/(f + g*x + h*x^2), x, 30, (n*(a + b*x)*Log[a + b*x])/(b*h) - (n*(c + d*x)*Log[c + d*x])/(d*h) - (x*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x]))/h + ((g^2 - 2*f*h)*ArcTanh[(g + 2*h*x)/Sqrt[g^2 - 4*f*h]]*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x]))/(h^2*Sqrt[g^2 - 4*f*h]) - ((g - (g^2 - 2*f*h)/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[a + b*x]*Log[-((b*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*a*h - b*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*h^2) + ((g - (g^2 - 2*f*h)/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[c + d*x]*Log[-((d*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*c*h - d*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*h^2) - ((g + (g^2 - 2*f*h)/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[a + b*x]*Log[-((b*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*a*h - b*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*h^2) + ((g + (g^2 - 2*f*h)/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[c + d*x]*Log[-((d*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*c*h - d*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*h^2) + (g*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x])*Log[f + g*x + h*x^2])/(2*h^2) - ((g - (g^2 - 2*f*h)/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(a + b*x))/(2*a*h - b*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*h^2) - ((g + (g^2 - 2*f*h)/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(a + b*x))/(2*a*h - b*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*h^2) + ((g - (g^2 - 2*f*h)/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(c + d*x))/(2*c*h - d*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*h^2) + ((g + (g^2 - 2*f*h)/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(c + d*x))/(2*c*h - d*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*h^2)}
+{x^1*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/(f + g*x + h*x^2), x, 21, -((g*ArcTanh[(g + 2*h*x)/Sqrt[g^2 - 4*f*h]]*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x]))/(h*Sqrt[g^2 - 4*f*h])) + ((1 - g/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[a + b*x]*Log[-((b*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*a*h - b*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*h) - ((1 - g/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[c + d*x]*Log[-((d*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*c*h - d*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*h) + ((1 + g/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[a + b*x]*Log[-((b*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*a*h - b*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*h) - ((1 + g/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[c + d*x]*Log[-((d*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*c*h - d*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*h) - ((n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x])*Log[f + g*x + h*x^2])/(2*h) + ((1 - g/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(a + b*x))/(2*a*h - b*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*h) + ((1 + g/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(a + b*x))/(2*a*h - b*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*h) - ((1 - g/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(c + d*x))/(2*c*h - d*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*h) - ((1 + g/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(c + d*x))/(2*c*h - d*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*h)}
+{x^0*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/(f + g*x + h*x^2), x, 7, -((Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]*Log[1 - (2*(d^2*f - c*d*g + c^2*h)*(a + b*x))/((2*b*d*f - b*c*g - a*d*g + 2*a*c*h - (b*c - a*d)*Sqrt[g^2 - 4*f*h])*(c + d*x))])/Sqrt[g^2 - 4*f*h]) + (Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]*Log[1 - (2*(d^2*f - c*d*g + c^2*h)*(a + b*x))/((2*b*d*f - b*c*g - a*d*g + 2*a*c*h + (b*c - a*d)*Sqrt[g^2 - 4*f*h])*(c + d*x))])/Sqrt[g^2 - 4*f*h] - (n*PolyLog[2, (2*(d^2*f - c*d*g + c^2*h)*(a + b*x))/((2*b*d*f - b*c*g - a*d*g + 2*a*c*h - (b*c - a*d)*Sqrt[g^2 - 4*f*h])*(c + d*x))])/Sqrt[g^2 - 4*f*h] + (n*PolyLog[2, (2*(d^2*f - c*d*g + c^2*h)*(a + b*x))/((2*b*d*f - b*c*g - a*d*g + 2*a*c*h + (b*c - a*d)*Sqrt[g^2 - 4*f*h])*(c + d*x))])/Sqrt[g^2 - 4*f*h]}
+{Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/(x^1*(f + g*x + h*x^2)), x, 31, (n*Log[-((b*x)/a)]*Log[a + b*x])/f - (n*Log[-((d*x)/c)]*Log[c + d*x])/f - (g*ArcTanh[(g + 2*h*x)/Sqrt[g^2 - 4*f*h]]*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x]))/(f*Sqrt[g^2 - 4*f*h]) - (Log[x]*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x]))/f - ((1 + g/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[a + b*x]*Log[-((b*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*a*h - b*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*f) + ((1 + g/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[c + d*x]*Log[-((d*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*c*h - d*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*f) - ((1 - g/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[a + b*x]*Log[-((b*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*a*h - b*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*f) + ((1 - g/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[c + d*x]*Log[-((d*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*c*h - d*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*f) + ((n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x])*Log[f + g*x + h*x^2])/(2*f) - ((1 + g/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(a + b*x))/(2*a*h - b*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*f) - ((1 - g/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(a + b*x))/(2*a*h - b*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*f) + (n*PolyLog[2, 1 + (b*x)/a])/f + ((1 + g/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(c + d*x))/(2*c*h - d*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*f) + ((1 - g/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(c + d*x))/(2*c*h - d*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*f) - (n*PolyLog[2, 1 + (d*x)/c])/f}
+{Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/(x^2*(f + g*x + h*x^2)), x, 40, (b*n*Log[x])/(a*f) - (d*n*Log[x])/(c*f) - (b*n*Log[a + b*x])/(a*f) - (n*Log[a + b*x])/(f*x) - (g*n*Log[-((b*x)/a)]*Log[a + b*x])/f^2 + (d*n*Log[c + d*x])/(c*f) + (n*Log[c + d*x])/(f*x) + (g*n*Log[-((d*x)/c)]*Log[c + d*x])/f^2 + (n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x])/(f*x) + ((g^2 - 2*f*h)*ArcTanh[(g + 2*h*x)/Sqrt[g^2 - 4*f*h]]*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x]))/(f^2*Sqrt[g^2 - 4*f*h]) + (g*Log[x]*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x]))/f^2 + ((g + (g^2 - 2*f*h)/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[a + b*x]*Log[-((b*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*a*h - b*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*f^2) - ((g + (g^2 - 2*f*h)/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[c + d*x]*Log[-((d*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*c*h - d*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*f^2) + ((g - (g^2 - 2*f*h)/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[a + b*x]*Log[-((b*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*a*h - b*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*f^2) - ((g - (g^2 - 2*f*h)/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*Log[c + d*x]*Log[-((d*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h] + 2*h*x))/(2*c*h - d*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h])))])/(2*f^2) - (g*(n*Log[a + b*x] - Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n] - n*Log[c + d*x])*Log[f + g*x + h*x^2])/(2*f^2) + ((g + (g^2 - 2*f*h)/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(a + b*x))/(2*a*h - b*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*f^2) + ((g - (g^2 - 2*f*h)/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(a + b*x))/(2*a*h - b*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*f^2) - (g*n*PolyLog[2, 1 + (b*x)/a])/f^2 - ((g + (g^2 - 2*f*h)/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(c + d*x))/(2*c*h - d*(g - Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*f^2) - ((g - (g^2 - 2*f*h)/Sqrt[g^2 - 4*f*h])*n*PolyLog[2, (2*h*(c + d*x))/(2*c*h - d*(g + Sqrt[g^2 - 4*f*h]))])/(2*f^2) + (g*n*PolyLog[2, 1 + (d*x)/c])/f^2}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Miscellaneous integrands involving Log[e (f (a+b x)^p (c+d x)^q)^r]^s*)
+
+
+{Log[(c*x)/(a + b*x)]/(a + b*x), x, 5, -((Log[a/(a + b*x)]*Log[(c*x)/(a + b*x)])/b) - PolyLog[2, 1 - a/(a + b*x)]/b}
+{Log[(c*x)/(a + b*x)]^2/(x*(a + b*x)), x, 3, Log[(c*x)/(a + b*x)]^3/(3*a)}
+
+
+{(Log[a/(a + b*x)]*Log[(c*x)/(a + b*x)]^2)/(x*(a + b*x)), x, 3, -((Log[(c*x)/(a + b*x)]^2*PolyLog[2, 1 - a/(a + b*x)])/a) + (2*Log[(c*x)/(a + b*x)]*PolyLog[3, 1 - a/(a + b*x)])/a - (2*PolyLog[4, 1 - a/(a + b*x)])/a}
+
+
+{Log[e*(a + b*x)/(c + d*x)]^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]/((g*a + g*b*x)*(c + d*x)), x, 3, -((Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]^2*PolyLog[2, 1 - (b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/((b*c - a*d)*g)) + (2*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)]*PolyLog[3, 1 - (b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/((b*c - a*d)*g) - (2*PolyLog[4, 1 - (b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/((b*c - a*d)*g)}
+{Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^2*Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]/((g*a + g*b*x)*(c + d*x)), x, 3, -((Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]^2*PolyLog[2, 1 - (b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/((b*c - a*d)*g)) + (2*n*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]*PolyLog[3, 1 - (b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/((b*c - a*d)*g) - (2*n^2*PolyLog[4, 1 - (b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])/((b*c - a*d)*g)}
+
+
+{Log[(c*(b + a*x))/x]^1, x, 4, x*Log[a*c + (b*c)/x] + (b*Log[b + a*x])/a}
+{Log[(c*(b + a*x))/x]^2, x, 5, ((b + a*x)*Log[a*c + (b*c)/x]^2)/a - (2*b*Log[c*(a + b/x)]*Log[-(b/(a*x))])/a - (2*b*PolyLog[2, 1 + b/(a*x)])/a}
+{Log[(c*(b + a*x))/x]^3, x, 7, ((b + a*x)*Log[a*c + (b*c)/x]^3)/a - (3*b*Log[c*(a + b/x)]^2*Log[-(b/(a*x))])/a - (6*b*Log[c*(a + b/x)]*PolyLog[2, 1 + b/(a*x)])/a + (6*b*PolyLog[3, 1 + b/(a*x)])/a}
+
+{Log[(c*(b + a*x)^2)/x^2], x, 2, (2*b*Log[b + a*x])/a + x*Log[(c*(b + a*x)^2)/x^2]}
+{Log[(c*(b + a*x)^2)/x^2]^2, x, 6, -((4*b*Log[b/(b + a*x)]*Log[(c*(b + a*x)^2)/x^2])/a) + x*Log[(c*(b + a*x)^2)/x^2]^2 + (8*b*PolyLog[2, 1 - b/(b + a*x)])/a}
+{Log[(c*(b + a*x)^2)/x^2]^3, x, 5, x*Log[(c*(b + a*x)^2)/x^2]^3 - (6*b*Log[(c*(b + a*x)^2)/x^2]^2*Log[1 - (a*x)/(b + a*x)])/a + (24*b*Log[(c*(b + a*x)^2)/x^2]*PolyLog[2, (a*x)/(b + a*x)])/a + (48*b*PolyLog[3, (a*x)/(b + a*x)])/a}
+
+{Log[(c*x^2)/(b + a*x)^2]^1, x, 2, x*Log[(c*x^2)/(b + a*x)^2] - (2*b*Log[b + a*x])/a}
+{Log[(c*x^2)/(b + a*x)^2]^2, x, 6, x*Log[(c*x^2)/(b + a*x)^2]^2 + (4*b*Log[(c*x^2)/(b + a*x)^2]*Log[b/(b + a*x)])/a + (8*b*PolyLog[2, 1 - b/(b + a*x)])/a}
+{Log[(c*x^2)/(b + a*x)^2]^3, x, 5, x*Log[(c*x^2)/(b + a*x)^2]^3 + (6*b*Log[(c*x^2)/(b + a*x)^2]^2*Log[b/(b + a*x)])/a + (24*b*Log[(c*x^2)/(b + a*x)^2]*PolyLog[2, (a*x)/(b + a*x)])/a - (48*b*PolyLog[3, (a*x)/(b + a*x)])/a}
+
+
+{PolyLog[2, 1 + (b*c - a*d)/(d*(a + b*x))]/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 1, -(PolyLog[3, 1 + (b*c - a*d)/(d*(a + b*x))]/(b*c - a*d))}
+
+
+{Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]*Log[((-b)*c + a*d)/(d*(a + b*x))]/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 2, (Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]*PolyLog[2, 1 + (b*c - a*d)/(d*(a + b*x))])/(b*c - a*d) - PolyLog[3, 1 + (b*c - a*d)/(d*(a + b*x))]/(b*c - a*d)}
+
+
+{Log[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]^2/(a + b*x), x, 4, -((Log[((-b)*c + a*d)/(d*(a + b*x))]*Log[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]^2)/b) - (2*Log[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/b + (2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/b}
+
+
+{Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]*Log[(((-b)*c + a*d)*(e + f*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 2, (Log[(e*(c + d*x))/(a + b*x)]*PolyLog[2, 1 + ((b*c - a*d)*(e + f*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))])/(b*c - a*d) - PolyLog[3, 1 + ((b*c - a*d)*(e + f*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]/(b*c - a*d)}
+
+
+{Log[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]^2/((a + b*x)*(e + f*x)), x, 4, -((Log[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]^2*Log[1 - ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))])/(b*e - a*f)) - (2*Log[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]*PolyLog[2, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))])/(b*e - a*f) + (2*PolyLog[3, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))])/(b*e - a*f)}
+
+
+{Log[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]^2/(e + f*x), x, 9, -((Log[-((b*c - a*d)/(d*(a + b*x)))]*Log[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]^2)/f) + (Log[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]^2*Log[1 - ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))])/f - (2*Log[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/f + (2*Log[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]*PolyLog[2, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))])/f + (2*PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/f - (2*PolyLog[3, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))])/f}
+
+
+{Log[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]*Log[(b*(e + f*x))/(b*e - a*f)]/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 10, -((Log[-((b*c - a*d)/(d*(a + b*x)))]*Log[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]^2)/(2*(b*c - a*d))) - (Log[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]^2*Log[(b*(e + f*x))/(b*e - a*f)])/(2*(b*c - a*d)) + (Log[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]^2*Log[1 - ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))])/(2*(b*c - a*d)) - (Log[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))])/(b*c - a*d) + (Log[((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]*PolyLog[2, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))])/(b*c - a*d) + PolyLog[3, (b*(c + d*x))/(d*(a + b*x))]/(b*c - a*d) - PolyLog[3, ((b*e - a*f)*(c + d*x))/((d*e - c*f)*(a + b*x))]/(b*c - a*d)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.3 u (a+b log(c (d+e x)^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.3 u (a+b log(c (d+e x)^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..37605c10
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.3 u (a+b log(c (d+e x)^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,1221 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form AF[x] (a+b Log[c (d+e x)^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Log[c (d+e x)]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Log[c (d+e x)]^p*)
+
+
+{Log[c*(d + e*x)]^4, x, 5, 24*x - (24*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)])/e + (12*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)]^2)/e - (4*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)]^3)/e + ((d + e*x)*Log[c*(d + e*x)]^4)/e}
+{Log[c*(d + e*x)]^3, x, 4, -6*x + (6*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)])/e - (3*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)]^2)/e + ((d + e*x)*Log[c*(d + e*x)]^3)/e}
+{Log[c*(d + e*x)]^2, x, 3, 2*x - (2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)])/e + ((d + e*x)*Log[c*(d + e*x)]^2)/e}
+{Log[c*(d + e*x)]^1, x, 2, -x + ((d + e*x)*Log[c*(d + e*x)])/e}
+{1/Log[c*(d + e*x)]^1, x, 2, LogIntegral[c*(d + e*x)]/(c*e)}
+{1/Log[c*(d + e*x)]^2, x, 3, -((d + e*x)/(e*Log[c*(d + e*x)])) + LogIntegral[c*(d + e*x)]/(c*e)}
+{1/Log[c*(d + e*x)]^3, x, 4, -((d + e*x)/(2*e*Log[c*(d + e*x)]^2)) - (d + e*x)/(2*e*Log[c*(d + e*x)]) + LogIntegral[c*(d + e*x)]/(2*c*e)}
+{1/Log[c*(d + e*x)]^4, x, 5, -((d + e*x)/(3*e*Log[c*(d + e*x)]^3)) - (d + e*x)/(6*e*Log[c*(d + e*x)]^2) - (d + e*x)/(6*e*Log[c*(d + e*x)]) + LogIntegral[c*(d + e*x)]/(6*c*e)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Log[c (d+e x)]^(p/2)*)
+
+
+{Log[c*(d + e*x)]^(5/2), x, 7, -((15*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[Log[c*(d + e*x)]]])/(8*c*e)) + (15*(d + e*x)*Sqrt[Log[c*(d + e*x)]])/(4*e) - (5*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)]^(3/2))/(2*e) + ((d + e*x)*Log[c*(d + e*x)]^(5/2))/e}
+{Log[c*(d + e*x)]^(3/2), x, 6, (3*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[Log[c*(d + e*x)]]])/(4*c*e) - (3*(d + e*x)*Sqrt[Log[c*(d + e*x)]])/(2*e) + ((d + e*x)*Log[c*(d + e*x)]^(3/2))/e}
+{Log[c*(d + e*x)]^(1/2), x, 5, -((Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[Log[c*(d + e*x)]]])/(2*c*e)) + ((d + e*x)*Sqrt[Log[c*(d + e*x)]])/e}
+{1/Log[c*(d + e*x)]^(1/2), x, 4, (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[Log[c*(d + e*x)]]])/(c*e)}
+{1/Log[c*(d + e*x)]^(3/2), x, 5, (2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[Log[c*(d + e*x)]]])/(c*e) - (2*(d + e*x))/(e*Sqrt[Log[c*(d + e*x)]])}
+{1/Log[c*(d + e*x)]^(5/2), x, 6, (4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[Log[c*(d + e*x)]]])/(3*c*e) - (2*(d + e*x))/(3*e*Log[c*(d + e*x)]^(3/2)) - (4*(d + e*x))/(3*e*Sqrt[Log[c*(d + e*x)]])}
+{1/Log[c*(d + e*x)]^(7/2), x, 7, (8*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[Log[c*(d + e*x)]]])/(15*c*e) - (2*(d + e*x))/(5*e*Log[c*(d + e*x)]^(5/2)) - (4*(d + e*x))/(15*e*Log[c*(d + e*x)]^(3/2)) - (8*(d + e*x))/(15*e*Sqrt[Log[c*(d + e*x)]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Log[c (d+e x)]^p with p symbolic*)
+
+
+{Log[c*(d + e*x)]^p, x, 3, (Gamma[1 + p, -Log[c*(d + e*x)]]*Log[c*(d + e*x)]^p)/((-Log[c*(d + e*x)])^p*(c*e))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Log[c (d+e x)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Log[c (d+e x)^n])^p*)
+
+
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^4, x, 6, -24*a*b^3*n^3*x + 24*b^4*n^4*x - (24*b^4*n^3*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e + (12*b^2*n^2*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e - (4*b*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/e + ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^4)/e}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3, x, 5, 6*a*b^2*n^2*x - 6*b^3*n^3*x + (6*b^3*n^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e - (3*b*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e + ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/e}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2, x, 4, -2*a*b*n*x + 2*b^2*n^2*x - (2*b^2*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e + ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^1, x, 3, a*x - b*n*x + (b*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^1, x, 3, ((d + e*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(b*e*n))}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2, x, 4, ((d + e*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(b^2*e*n^2)) - (d + e*x)/(b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3, x, 5, ((d + e*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(2*b^3*e*n^3)) - (d + e*x)/(2*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2) - (d + e*x)/(2*b^2*e*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Log[c (d+e x)^n])^(p/2)*)
+
+
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2), x, 7, -((15*b^(5/2)*n^(5/2)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(8*e))) + (15*b^2*n^2*(d + e*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(4*e) - (5*b*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2))/(2*e) + ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2))/e}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2), x, 6, (3*b^(3/2)*n^(3/2)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(4*e)) - (3*b*n*(d + e*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(2*e) + ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2))/e}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(1/2), x, 5, -((Sqrt[b]*Sqrt[n]*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(2*e))) + ((d + e*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/e}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(1/2), x, 4, (Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(Sqrt[b]*e*Sqrt[n]))}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2), x, 5, (2*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(b^(3/2)*e*n^(3/2))) - (2*(d + e*x))/(b*e*n*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2), x, 6, (4*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(3*b^(5/2)*e*n^(5/2))) - (2*(d + e*x))/(3*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2)) - (4*(d + e*x))/(3*b^2*e*n^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(7/2), x, 7, (8*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(15*b^(7/2)*e*n^(7/2))) - (2*(d + e*x))/(5*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2)) - (4*(d + e*x))/(15*b^2*e*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2)) - (8*(d + e*x))/(15*b^3*e*n^3*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Log[c (d+e x)^n])^p with p symbolic*)
+
+
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p, x, 3, ((d + e*x)*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n))]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p)/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)))^p*e)}
+
+
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^(1/2)])^p, x, 3, (Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*Sqrt[d + e*x]]))/b)]*(a + b*Log[c*Sqrt[d + e*x]])^p)/(2^p*E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*Sqrt[d + e*x]])/b))^p*(c^2*e))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])^p when e f-d g=0*)
+
+
+{(e + f*x)^(p - 1)/Log[d*(e + f*x)^p], x, 3, LogIntegral[d*(e + f*x)^p]/(d*f*p)}
+{(e*g + f*g*x)^(p - 1)/Log[d*(e + f*x)^p], x, 4, ((e + f*x)^(1 - p)*(g*(e + f*x))^(-1 + p)*LogIntegral[d*(e + f*x)^p])/(d*f*p)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*x)^4, x, 3, -((b*(e*f - d*g)^4*n*x)/(5*e^4)) - (b*(e*f - d*g)^3*n*(f + g*x)^2)/(10*e^3*g) - (b*(e*f - d*g)^2*n*(f + g*x)^3)/(15*e^2*g) - (b*(e*f - d*g)*n*(f + g*x)^4)/(20*e*g) - (b*n*(f + g*x)^5)/(25*g) - (b*(e*f - d*g)^5*n*Log[d + e*x])/(5*e^5*g) + ((f + g*x)^5*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(5*g)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*x)^3, x, 3, -((b*(e*f - d*g)^3*n*x)/(4*e^3)) - (b*(e*f - d*g)^2*n*(f + g*x)^2)/(8*e^2*g) - (b*(e*f - d*g)*n*(f + g*x)^3)/(12*e*g) - (b*n*(f + g*x)^4)/(16*g) - (b*(e*f - d*g)^4*n*Log[d + e*x])/(4*e^4*g) + ((f + g*x)^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(4*g)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*x)^2, x, 3, -((b*(e*f - d*g)^2*n*x)/(3*e^2)) - (b*(e*f - d*g)*n*(f + g*x)^2)/(6*e*g) - (b*n*(f + g*x)^3)/(9*g) - (b*(e*f - d*g)^3*n*Log[d + e*x])/(3*e^3*g) + ((f + g*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*g)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*x)^1, x, 3, -((b*(e*f - d*g)*n*x)/(2*e)) - (b*n*(f + g*x)^2)/(4*g) - (b*(e*f - d*g)^2*n*Log[d + e*x])/(2*e^2*g) + ((f + g*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*g)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*x)^0, x, 3, a*x - b*n*x + (b*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x)^1, x, 3, ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g + (b*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x)^2, x, 4, (b*e*n*Log[d + e*x])/(g*(e*f - d*g)) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(g*(f + g*x)) - (b*e*n*Log[f + g*x])/(g*(e*f - d*g))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x)^3, x, 3, (b*e*n)/(2*g*(e*f - d*g)*(f + g*x)) + (b*e^2*n*Log[d + e*x])/(2*g*(e*f - d*g)^2) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*g*(f + g*x)^2) - (b*e^2*n*Log[f + g*x])/(2*g*(e*f - d*g)^2)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x)^4, x, 3, (b*e*n)/(6*g*(e*f - d*g)*(f + g*x)^2) + (b*e^2*n)/(3*g*(e*f - d*g)^2*(f + g*x)) + (b*e^3*n*Log[d + e*x])/(3*g*(e*f - d*g)^3) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(3*g*(f + g*x)^3) - (b*e^3*n*Log[f + g*x])/(3*g*(e*f - d*g)^3)}
+
+
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*x)^3, x, 8, (2*b^2*(e*f - d*g)^3*n^2*x)/e^3 + (3*b^2*g*(e*f - d*g)^2*n^2*(d + e*x)^2)/(4*e^4) + (2*b^2*g^2*(e*f - d*g)*n^2*(d + e*x)^3)/(9*e^4) + (b^2*g^3*n^2*(d + e*x)^4)/(32*e^4) + (b^2*(e*f - d*g)^4*n^2*Log[d + e*x]^2)/(4*e^4*g) - (2*b*(e*f - d*g)^3*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/e^4 - (3*b*g*(e*f - d*g)^2*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^4) - (2*b*g^2*(e*f - d*g)*n*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*e^4) - (b*g^3*n*(d + e*x)^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(8*e^4) - (b*(e*f - d*g)^4*n*Log[d + e*x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^4*g) + ((f + g*x)^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*g)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*x)^2, x, 8, (2*b^2*(e*f - d*g)^2*n^2*x)/e^2 + (b^2*g*(e*f - d*g)*n^2*(d + e*x)^2)/(2*e^3) + (2*b^2*g^2*n^2*(d + e*x)^3)/(27*e^3) + (b^2*(e*f - d*g)^3*n^2*Log[d + e*x]^2)/(3*e^3*g) - (2*b*(e*f - d*g)^2*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/e^3 - (b*g*(e*f - d*g)*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/e^3 - (2*b*g^2*n*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(9*e^3) - (2*b*(e*f - d*g)^3*n*Log[d + e*x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*e^3*g) + ((f + g*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(3*g)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*x)^1, x, 9, -((2*a*b*(e*f - d*g)*n*x)/e) + (2*b^2*(e*f - d*g)*n^2*x)/e + (b^2*g*n^2*(d + e*x)^2)/(4*e^2) - (2*b^2*(e*f - d*g)*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e^2 - (b*g*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^2) + ((e*f - d*g)*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e^2 + (g*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*e^2)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*x)^0, x, 4, -2*a*b*n*x + 2*b^2*n^2*x - (2*b^2*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e + ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x)^1, x, 4, ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g + (2*b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g - (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x)^2, x, 4, ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/((e*f - d*g)*(f + g*x)) - (2*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/(g*(e*f - d*g)) - (2*b^2*e*n^2*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*(e*f - d*g))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x)^3, x, 7, -((b*e*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/((e*f - d*g)^2*(f + g*x))) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(2*g*(f + g*x)^2) + (b^2*e^2*n^2*Log[f + g*x])/(g*(e*f - d*g)^2) - (b*e^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[1 + (e*f - d*g)/(g*(d + e*x))])/(g*(e*f - d*g)^2) + (b^2*e^2*n^2*PolyLog[2, -((e*f - d*g)/(g*(d + e*x)))])/(g*(e*f - d*g)^2)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x)^4, x, 11, -((b^2*e^2*n^2)/(3*g*(e*f - d*g)^2*(f + g*x))) - (b^2*e^3*n^2*Log[d + e*x])/(3*g*(e*f - d*g)^3) + (b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*g*(e*f - d*g)*(f + g*x)^2) - (2*b*e^2*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*(e*f - d*g)^3*(f + g*x)) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(3*g*(f + g*x)^3) + (b^2*e^3*n^2*Log[f + g*x])/(g*(e*f - d*g)^3) - (2*b*e^3*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[1 + (e*f - d*g)/(g*(d + e*x))])/(3*g*(e*f - d*g)^3) + (2*b^2*e^3*n^2*PolyLog[2, -((e*f - d*g)/(g*(d + e*x)))])/(3*g*(e*f - d*g)^3)}
+
+
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*(f + g*x)^3, x, 19, (6*a*b^2*(e*f - d*g)^3*n^2*x)/e^3 - (6*b^3*(e*f - d*g)^3*n^3*x)/e^3 - (9*b^3*g*(e*f - d*g)^2*n^3*(d + e*x)^2)/(8*e^4) - (2*b^3*g^2*(e*f - d*g)*n^3*(d + e*x)^3)/(9*e^4) - (3*b^3*g^3*n^3*(d + e*x)^4)/(128*e^4) + (6*b^3*(e*f - d*g)^3*n^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e^4 + (9*b^2*g*(e*f - d*g)^2*n^2*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(4*e^4) + (2*b^2*g^2*(e*f - d*g)*n^2*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*e^4) + (3*b^2*g^3*n^2*(d + e*x)^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(32*e^4) - (3*b*(e*f - d*g)^3*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e^4 - (9*b*g*(e*f - d*g)^2*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*e^4) - (b*g^2*(e*f - d*g)*n*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e^4 - (3*b*g^3*n*(d + e*x)^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(16*e^4) + ((e*f - d*g)^3*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/e^4 + (3*g*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(2*e^4) + (g^2*(e*f - d*g)*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/e^4 + (g^3*(d + e*x)^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(4*e^4)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*(f + g*x)^2, x, 15, (6*a*b^2*(e*f - d*g)^2*n^2*x)/e^2 - (6*b^3*(e*f - d*g)^2*n^3*x)/e^2 - (3*b^3*g*(e*f - d*g)*n^3*(d + e*x)^2)/(4*e^3) - (2*b^3*g^2*n^3*(d + e*x)^3)/(27*e^3) + (6*b^3*(e*f - d*g)^2*n^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e^3 + (3*b^2*g*(e*f - d*g)*n^2*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^3) + (2*b^2*g^2*n^2*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(9*e^3) - (3*b*(e*f - d*g)^2*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e^3 - (3*b*g*(e*f - d*g)*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*e^3) - (b*g^2*n*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(3*e^3) + ((e*f - d*g)^2*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/e^3 + (g*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/e^3 + (g^2*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(3*e^3)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*(f + g*x)^1, x, 11, (6*a*b^2*(e*f - d*g)*n^2*x)/e - (6*b^3*(e*f - d*g)*n^3*x)/e - (3*b^3*g*n^3*(d + e*x)^2)/(8*e^2) + (6*b^3*(e*f - d*g)*n^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e^2 + (3*b^2*g*n^2*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(4*e^2) - (3*b*(e*f - d*g)*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e^2 - (3*b*g*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*e^2) + ((e*f - d*g)*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/e^2 + (g*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(2*e^2)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*(f + g*x)^0, x, 5, 6*a*b^2*n^2*x - 6*b^3*n^3*x + (6*b^3*n^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e - (3*b*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e + ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/e}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3/(f + g*x)^1, x, 5, ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g + (3*b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g - (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[3, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g + (6*b^3*n^3*PolyLog[4, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3/(f + g*x)^2, x, 5, ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/((e*f - d*g)*(f + g*x)) - (3*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/(g*(e*f - d*g)) - (6*b^2*e*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*(e*f - d*g)) + (6*b^3*e*n^3*PolyLog[3, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*(e*f - d*g))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3/(f + g*x)^3, x, 9, -((3*b*e*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*(e*f - d*g)^2*(f + g*x))) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3/(2*g*(f + g*x)^2) + (3*b^2*e^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/(g*(e*f - d*g)^2) - (3*b*e^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[1 + (e*f - d*g)/(g*(d + e*x))])/(2*g*(e*f - d*g)^2) + (3*b^2*e^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((e*f - d*g)/(g*(d + e*x)))])/(g*(e*f - d*g)^2) + (3*b^3*e^2*n^3*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*(e*f - d*g)^2) + (3*b^3*e^2*n^3*PolyLog[3, -((e*f - d*g)/(g*(d + e*x)))])/(g*(e*f - d*g)^2)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3/(f + g*x)^4, x, 16, (b^2*e^2*n^2*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/((e*f - d*g)^3*(f + g*x)) + (b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*g*(e*f - d*g)*(f + g*x)^2) - (b*e^2*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/((e*f - d*g)^3*(f + g*x)) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3/(3*g*(f + g*x)^3) - (b^3*e^3*n^3*Log[f + g*x])/(g*(e*f - d*g)^3) + (2*b^2*e^3*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/(g*(e*f - d*g)^3) + (b^2*e^3*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[1 + (e*f - d*g)/(g*(d + e*x))])/(g*(e*f - d*g)^3) - (b*e^3*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[1 + (e*f - d*g)/(g*(d + e*x))])/(g*(e*f - d*g)^3) - (b^3*e^3*n^3*PolyLog[2, -((e*f - d*g)/(g*(d + e*x)))])/(g*(e*f - d*g)^3) + (2*b^2*e^3*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((e*f - d*g)/(g*(d + e*x)))])/(g*(e*f - d*g)^3) + (2*b^3*e^3*n^3*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*(e*f - d*g)^3) + (2*b^3*e^3*n^3*PolyLog[3, -((e*f - d*g)/(g*(d + e*x)))])/(g*(e*f - d*g)^3)}
+
+
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^4*(f + g*x)^1, x, 13, -((24*a*b^3*(e*f - d*g)*n^3*x)/e) + (24*b^4*(e*f - d*g)*n^4*x)/e + (3*b^4*g*n^4*(d + e*x)^2)/(4*e^2) - (24*b^4*(e*f - d*g)*n^3*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e^2 - (3*b^3*g*n^3*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^2) + (12*b^2*(e*f - d*g)*n^2*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e^2 + (3*b^2*g*n^2*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*e^2) - (4*b*(e*f - d*g)*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/e^2 - (b*g*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/e^2 + ((e*f - d*g)*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^4)/e^2 + (g*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^4)/(2*e^2)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^4*(f + g*x)^0, x, 6, -24*a*b^3*n^3*x + 24*b^4*n^4*x - (24*b^4*n^3*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e + (12*b^2*n^2*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e - (4*b*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/e + ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^4)/e}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^4/(f + g*x)^1, x, 6, ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^4*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g + (4*b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g - (12*b^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*PolyLog[3, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g + (24*b^3*n^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[4, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g - (24*b^4*n^4*PolyLog[5, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^4/(f + g*x)^2, x, 6, ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^4)/((e*f - d*g)*(f + g*x)) - (4*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/(g*(e*f - d*g)) - (12*b^2*e*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*(e*f - d*g)) + (24*b^3*e*n^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[3, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*(e*f - d*g)) - (24*b^4*e*n^4*PolyLog[4, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*(e*f - d*g))}
+
+
+{Log[a + b*x], x, 2, -x + ((a + b*x)*Log[a + b*x])/b}
+{Log[a + b*x]^2, x, 3, 2*x - (2*(a + b*x)*Log[a + b*x])/b + ((a + b*x)*Log[a + b*x]^2)/b}
+{Log[a + b*x]^3, x, 4, -6*x + (6*(a + b*x)*Log[a + b*x])/b - (3*(a + b*x)*Log[a + b*x]^2)/b + ((a + b*x)*Log[a + b*x]^3)/b}
+
+
+{Log[a + b*x + c*x], x, 3, -x + ((a + (b + c)*x)*Log[a + (b + c)*x])/(b + c)}
+{Log[a + b*x + c*x]^2, x, 4, 2*x - (2*(a + (b + c)*x)*Log[a + (b + c)*x])/(b + c) + ((a + (b + c)*x)*Log[a + (b + c)*x]^2)/(b + c)}
+{Log[a + b*x + c*x]^3, x, 5, -6*x + (6*(a + (b + c)*x)*Log[a + (b + c)*x])/(b + c) - (3*(a + (b + c)*x)*Log[a + (b + c)*x]^2)/(b + c) + ((a + (b + c)*x)*Log[a + (b + c)*x]^3)/(b + c)}
+
+
+{Log[c*(d + e*x)^n], x, 2, (-n)*x + ((d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e}
+
+
+{Log[-g*(d + e*x)/(e*f - d*g)]/(f + g*x), x, 2, -(PolyLog[2, (e*(f + g*x))/(e*f - d*g)]/g)}
+
+
+{(a + b*Log[c*(1/c + e*x)])/x, x, 2, a Log[x]-b PolyLog[2,-c e x]}
+
+
+{Log[3 + e*x]/x, x, 2, Log[3]*Log[x] - PolyLog[2, -((e*x)/3)]}
+{Log[2 + e*x]/x, x, 2, Log[2]*Log[x] - PolyLog[2, -((e*x)/2)]}
+{Log[1 + e*x]/x, x, 1, -PolyLog[2, -e*x]}
+{Log[0 + e*x]/x, x, 1, (1/2)*Log[e*x]^2}
+{Log[-1 + e*x]/x, x, 2, Log[e*x]*Log[-1 + e*x] + PolyLog[2, 1 - e*x]}
+{Log[-2 + e*x]/x, x, 2, Log[(e*x)/2]*Log[-2 + e*x] + PolyLog[2, 1 - (e*x)/2]}
+
+
+{(a + b*Log[3 + e*x])/x, x, 2, (a + b*Log[3])*Log[x] - b*PolyLog[2, -((e*x)/3)]}
+{(a + b*Log[2 + e*x])/x, x, 2, (a + b*Log[2])*Log[x] - b*PolyLog[2, -((e*x)/2)]}
+{(a + b*Log[1 + e*x])/x, x, 2, a*Log[x] - b*PolyLog[2, (-e)*x]}
+{(a + b*Log[0 + e*x])/x, x, 1, (a + b*Log[e*x])^2/(2*b)}
+{(a + b*Log[-1 + e*x])/x, x, 2, Log[e*x]*(a + b*Log[-1 + e*x]) + b*PolyLog[2, 1 - e*x]}
+{(a + b*Log[-2 + e*x])/x, x, 2, Log[(e*x)/2]*(a + b*Log[-2 + e*x]) + b*PolyLog[2, 1 - (e*x)/2]}
+
+
+{Log[c*(a + b*x)^n]^2*x^2, x, 7, (2*a^2*n^2*x)/b^2 - (a*n^2*(a + b*x)^2)/(2*b^3) + (2*n^2*(a + b*x)^3)/(27*b^3) - (a^3*n^2*Log[a + b*x]^2)/(3*b^3) - (2*a^2*n*(a + b*x)*Log[c*(a + b*x)^n])/b^3 + (a*n*(a + b*x)^2*Log[c*(a + b*x)^n])/b^3 - (2*n*(a + b*x)^3*Log[c*(a + b*x)^n])/(9*b^3) + (2*a^3*n*Log[a + b*x]*Log[c*(a + b*x)^n])/(3*b^3) + (1/3)*x^3*Log[c*(a + b*x)^n]^2}
+{Log[c*(a + b*x)^n]^2/x^4, x, 11, -((b^2*n^2)/(3*a^2*x)) - (b^3*n^2*Log[x])/a^3 + (b^3*n^2*Log[a + b*x])/(3*a^3) - (b*n*Log[c*(a + b*x)^n])/(3*a*x^2) + (2*b^2*n*(a + b*x)*Log[c*(a + b*x)^n])/(3*a^3*x) - Log[c*(a + b*x)^n]^2/(3*x^3) + (2*b^3*n*Log[c*(a + b*x)^n]*Log[1 - a/(a + b*x)])/(3*a^3) - (2*b^3*n^2*PolyLog[2, a/(a + b*x)])/(3*a^3)}
+
+
+{x^2*Log[c*(a + b*x)^n]^3, x, 14, -((6*a^2*n^3*x)/b^2) + (3*a*n^3*(a + b*x)^2)/(4*b^3) - (2*n^3*(a + b*x)^3)/(27*b^3) + (6*a^2*n^2*(a + b*x)*Log[c*(a + b*x)^n])/b^3 - (3*a*n^2*(a + b*x)^2*Log[c*(a + b*x)^n])/(2*b^3) + (2*n^2*(a + b*x)^3*Log[c*(a + b*x)^n])/(9*b^3) - (3*a^2*n*(a + b*x)*Log[c*(a + b*x)^n]^2)/b^3 + (3*a*n*(a + b*x)^2*Log[c*(a + b*x)^n]^2)/(2*b^3) - (n*(a + b*x)^3*Log[c*(a + b*x)^n]^2)/(3*b^3) + (a^2*(a + b*x)*Log[c*(a + b*x)^n]^3)/b^3 - (a*(a + b*x)^2*Log[c*(a + b*x)^n]^3)/b^3 + ((a + b*x)^3*Log[c*(a + b*x)^n]^3)/(3*b^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*x)^3, x, 14, ((e*f - d*g)^3*(d + e*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(b*e^4*n)) + (3*g*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n)])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(b*e^4*n)) + (3*g^2*(e*f - d*g)*(d + e*x)^3*ExpIntegralEi[(3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n)])/(E^((3*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(b*e^4*n)) + (g^3*(d + e*x)^4*ExpIntegralEi[(4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n)])/(E^((4*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(4/n)*(b*e^4*n))}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*x)^2, x, 11, ((e*f - d*g)^2*(d + e*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(b*e^3*n)) + (2*g*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n)])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(b*e^3*n)) + (g^2*(d + e*x)^3*ExpIntegralEi[(3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n)])/(E^((3*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(b*e^3*n))}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*x)^1, x, 8, ((e*f - d*g)*(d + e*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(b*e^2*n)) + (g*(d + e*x)^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n)])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(b*e^2*n))}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*x)^0, x, 3, ((d + e*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(b*e*n))}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x)^1, x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])), x]}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x)^2, x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])), x]}
+
+
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*x)^3, x, 26, ((e*f - d*g)^3*(d + e*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(b^2*e^4*n^2)) + (6*g*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n)])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(b^2*e^4*n^2)) + (9*g^2*(e*f - d*g)*(d + e*x)^3*ExpIntegralEi[(3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n)])/(E^((3*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(b^2*e^4*n^2)) + (4*g^3*(d + e*x)^4*ExpIntegralEi[(4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n)])/(E^((4*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(4/n)*(b^2*e^4*n^2)) - ((d + e*x)*(f + g*x)^3)/(b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*x)^2, x, 20, ((e*f - d*g)^2*(d + e*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(b^2*e^3*n^2)) + (4*g*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n)])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(b^2*e^3*n^2)) + (3*g^2*(d + e*x)^3*ExpIntegralEi[(3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n)])/(E^((3*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(b^2*e^3*n^2)) - ((d + e*x)*(f + g*x)^2)/(b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*x)^1, x, 12, ((e*f - d*g)*(d + e*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(b^2*e^2*n^2)) + (2*g*(d + e*x)^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n)])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(b^2*e^2*n^2)) - ((d + e*x)*(f + g*x))/(b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*x)^0, x, 4, ((d + e*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(b^2*e*n^2)) - (d + e*x)/(b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x)^1, x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x]}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x)^2, x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x]}
+
+
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*(f + g*x)^2, x, 33, ((e*f - d*g)^2*(d + e*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(2*b^3*e^3*n^3)) + (4*g*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n)])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(b^3*e^3*n^3)) + (9*g^2*(d + e*x)^3*ExpIntegralEi[(3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n)])/(E^((3*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(2*b^3*e^3*n^3)) - ((d + e*x)*(f + g*x)^2)/(2*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2) + ((e*f - d*g)*(d + e*x)*(f + g*x))/(b^2*e^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])) - (3*(d + e*x)*(f + g*x)^2)/(2*b^2*e*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*(f + g*x)^1, x, 17, ((e*f - d*g)*(d + e*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(2*b^3*e^2*n^3)) + (2*g*(d + e*x)^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n)])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(b^3*e^2*n^3)) - ((d + e*x)*(f + g*x))/(2*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2) + ((e*f - d*g)*(d + e*x))/(2*b^2*e^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])) - ((d + e*x)*(f + g*x))/(b^2*e*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*(f + g*x)^0, x, 5, ((d + e*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(2*b^3*e*n^3)) - (d + e*x)/(2*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2) - (d + e*x)/(2*b^2*e*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3/(f + g*x)^1, x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3), x]}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3/(f + g*x)^2, x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^q (a+b Log[c (d (e+f x)^p)^q])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(f + g*x)^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]], x, 17, -((Sqrt[b]*(e*f - d*g)^2*Sqrt[n]*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(2*e^3))) - (Sqrt[b]*g*(e*f - d*g)*Sqrt[n]*Sqrt[Pi/2]*(d + e*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(2*e^3)) - (Sqrt[b]*g^2*Sqrt[n]*Sqrt[Pi/3]*(d + e*x)^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((3*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(6*e^3)) + ((e*f - d*g)^2*(d + e*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/e^3 + (g*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/e^3 + (g^2*(d + e*x)^3*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(3*e^3)}
+{(f + g*x)^1*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]], x, 12, -((Sqrt[b]*(e*f - d*g)*Sqrt[n]*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(2*e^2))) - (Sqrt[b]*g*Sqrt[n]*Sqrt[Pi/2]*(d + e*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(4*e^2)) + ((e*f - d*g)*(d + e*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/e^2 + (g*(d + e*x)^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(2*e^2)}
+{(f + g*x)^0*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]], x, 5, -((Sqrt[b]*Sqrt[n]*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(2*e))) + ((d + e*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/e}
+{Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(f + g*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(f + g*x), x]}
+{Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(f + g*x)^2, x, 1, ((d + e*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/((e*f - d*g)*(f + g*x)) - (b*e*n*Unintegrable[1/((f + g*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]), x])/(2*(e*f - d*g))}
+{Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(f + g*x)^3, x, 1, -(Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(2*g*(f + g*x)^2)) + (b*e*n*Unintegrable[1/((d + e*x)*(f + g*x)^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]), x])/(4*g)}
+
+
+{(f + g*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2), x, 20, (3*b^(3/2)*(e*f - d*g)^2*n^(3/2)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(4*e^3)) + (3*b^(3/2)*g*(e*f - d*g)*n^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*(d + e*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(8*e^3)) + (b^(3/2)*g^2*n^(3/2)*Sqrt[Pi/3]*(d + e*x)^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((3*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(12*e^3)) - (3*b*(e*f - d*g)^2*n*(d + e*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(2*e^3) - (3*b*g*(e*f - d*g)*n*(d + e*x)^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(4*e^3) - (b*g^2*n*(d + e*x)^3*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(6*e^3) + ((e*f - d*g)^2*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2))/e^3 + (g*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2))/e^3 + (g^2*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2))/(3*e^3)}
+{(f + g*x)^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2), x, 14, (3*b^(3/2)*(e*f - d*g)*n^(3/2)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(4*e^2)) + (3*b^(3/2)*g*n^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*(d + e*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(16*e^2)) - (3*b*(e*f - d*g)*n*(d + e*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(2*e^2) - (3*b*g*n*(d + e*x)^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(8*e^2) + ((e*f - d*g)*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2))/e^2 + (g*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2))/(2*e^2)}
+{(f + g*x)^0*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2), x, 6, (3*b^(3/2)*n^(3/2)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(4*e)) - (3*b*n*(d + e*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(2*e) + ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2))/e}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2)/(f + g*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2)/(f + g*x), x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2)/(f + g*x)^2, x, 1, ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2))/((e*f - d*g)*(f + g*x)) - (3*b*e*n*Unintegrable[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(f + g*x), x])/(2*(e*f - d*g))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2)/(f + g*x)^3, x, 1, -((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2)/(2*g*(f + g*x)^2)) + (3*b*e*n*Unintegrable[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/((d + e*x)*(f + g*x)^2), x])/(4*g)}
+
+
+{(f + g*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2), x, 23, -((15*b^(5/2)*(e*f - d*g)^2*n^(5/2)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(8*e^3))) - (15*b^(5/2)*g*(e*f - d*g)*n^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*(d + e*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(32*e^3)) - (5*b^(5/2)*g^2*n^(5/2)*Sqrt[Pi/3]*(d + e*x)^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((3*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(72*e^3)) + (15*b^2*(e*f - d*g)^2*n^2*(d + e*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(4*e^3) + (15*b^2*g*(e*f - d*g)*n^2*(d + e*x)^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(16*e^3) + (5*b^2*g^2*n^2*(d + e*x)^3*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(36*e^3) - (5*b*(e*f - d*g)^2*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2))/(2*e^3) - (5*b*g*(e*f - d*g)*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2))/(4*e^3) - (5*b*g^2*n*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2))/(18*e^3) + ((e*f - d*g)^2*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2))/e^3 + (g*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2))/e^3 + (g^2*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2))/(3*e^3)}
+{(f + g*x)^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2), x, 16, -((15*b^(5/2)*(e*f - d*g)*n^(5/2)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(8*e^2))) - (15*b^(5/2)*g*n^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*(d + e*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(64*e^2)) + (15*b^2*(e*f - d*g)*n^2*(d + e*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(4*e^2) + (15*b^2*g*n^2*(d + e*x)^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(32*e^2) - (5*b*(e*f - d*g)*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2))/(2*e^2) - (5*b*g*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2))/(8*e^2) + ((e*f - d*g)*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2))/e^2 + (g*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2))/(2*e^2)}
+{(f + g*x)^0*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2), x, 7, -((15*b^(5/2)*n^(5/2)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(8*e))) + (15*b^2*n^2*(d + e*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(4*e) - (5*b*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2))/(2*e) + ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2))/e}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2)/(f + g*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2)/(f + g*x), x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2)/(f + g*x)^2, x, 1, ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2))/((e*f - d*g)*(f + g*x)) - (5*b*e*n*Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2)/(f + g*x), x])/(2*(e*f - d*g))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2)/(f + g*x)^3, x, 1, -((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2)/(2*g*(f + g*x)^2)) + (5*b*e*n*Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2)/((d + e*x)*(f + g*x)^2), x])/(4*g)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(f + g*x)^3/Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]], x, 18, ((e*f - d*g)^3*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(Sqrt[b]*e^4*Sqrt[n])) + (g^3*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^4*Erfi[(2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((4*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(4/n)*(2*Sqrt[b]*e^4*Sqrt[n])) + (3*g*(e*f - d*g)^2*Sqrt[Pi/2]*(d + e*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(Sqrt[b]*e^4*Sqrt[n])) + (g^2*(e*f - d*g)*Sqrt[3*Pi]*(d + e*x)^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((3*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(Sqrt[b]*e^4*Sqrt[n]))}
+{(f + g*x)^2/Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]], x, 14, ((e*f - d*g)^2*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(Sqrt[b]*e^3*Sqrt[n])) + (g*(e*f - d*g)*Sqrt[2*Pi]*(d + e*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(Sqrt[b]*e^3*Sqrt[n])) + (g^2*Sqrt[Pi/3]*(d + e*x)^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((3*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(Sqrt[b]*e^3*Sqrt[n]))}
+{(f + g*x)^1/Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]], x, 10, ((e*f - d*g)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(Sqrt[b]*e^2*Sqrt[n])) + (g*Sqrt[Pi/2]*(d + e*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(Sqrt[b]*e^2*Sqrt[n]))}
+{(f + g*x)^0/Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]], x, 4, (Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(Sqrt[b]*e*Sqrt[n]))}
+{1/((f + g*x)^1*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]), x]}
+
+
+{(f + g*x)^3/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2), x, 33, (2*(e*f - d*g)^3*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(b^(3/2)*e^4*n^(3/2))) + (4*g^3*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^4*Erfi[(2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((4*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(4/n)*(b^(3/2)*e^4*n^(3/2))) + (6*g*(e*f - d*g)^2*Sqrt[2*Pi]*(d + e*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(b^(3/2)*e^4*n^(3/2))) + (6*g^2*(e*f - d*g)*Sqrt[3*Pi]*(d + e*x)^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((3*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(b^(3/2)*e^4*n^(3/2))) - (2*(d + e*x)*(f + g*x)^3)/(b*e*n*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])}
+{(f + g*x)^2/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2), x, 25, (2*(e*f - d*g)^2*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(b^(3/2)*e^3*n^(3/2))) + (4*g*(e*f - d*g)*Sqrt[2*Pi]*(d + e*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(b^(3/2)*e^3*n^(3/2))) + (2*g^2*Sqrt[3*Pi]*(d + e*x)^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((3*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(b^(3/2)*e^3*n^(3/2))) - (2*(d + e*x)*(f + g*x)^2)/(b*e*n*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])}
+{(f + g*x)^1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2), x, 15, (2*(e*f - d*g)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(b^(3/2)*e^2*n^(3/2))) + (2*g*Sqrt[2*Pi]*(d + e*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(b^(3/2)*e^2*n^(3/2))) - (2*(d + e*x)*(f + g*x))/(b*e*n*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])}
+{(f + g*x)^0/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2), x, 5, (2*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(b^(3/2)*e*n^(3/2))) - (2*(d + e*x))/(b*e*n*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])}
+{1/((f + g*x)^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2)), x]}
+
+
+{(f + g*x)^3/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2), x, 59, (4*(e*f - d*g)^3*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(3*b^(5/2)*e^4*n^(5/2))) + (32*g^3*Sqrt[Pi]*(d + e*x)^4*Erfi[(2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((4*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(4/n)*(3*b^(5/2)*e^4*n^(5/2))) + (8*g*(e*f - d*g)^2*Sqrt[2*Pi]*(d + e*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(b^(5/2)*e^4*n^(5/2))) + (12*g^2*(e*f - d*g)*Sqrt[3*Pi]*(d + e*x)^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((3*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(b^(5/2)*e^4*n^(5/2))) - (2*(d + e*x)*(f + g*x)^3)/(3*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2)) + (4*(e*f - d*g)*(d + e*x)*(f + g*x)^2)/(b^2*e^2*n^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]) - (16*(d + e*x)*(f + g*x)^3)/(3*b^2*e*n^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])}
+{(f + g*x)^2/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2), x, 41, (4*(e*f - d*g)^2*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(3*b^(5/2)*e^3*n^(5/2))) + (16*g*(e*f - d*g)*Sqrt[2*Pi]*(d + e*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(3*b^(5/2)*e^3*n^(5/2))) + (4*g^2*Sqrt[3*Pi]*(d + e*x)^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((3*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(b^(5/2)*e^3*n^(5/2))) - (2*(d + e*x)*(f + g*x)^2)/(3*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2)) + (8*(e*f - d*g)*(d + e*x)*(f + g*x))/(3*b^2*e^2*n^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]) - (4*(d + e*x)*(f + g*x)^2)/(b^2*e*n^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])}
+{(f + g*x)^1/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2), x, 21, (4*(e*f - d*g)*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(3*b^(5/2)*e^2*n^(5/2))) + (8*g*Sqrt[2*Pi]*(d + e*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(3*b^(5/2)*e^2*n^(5/2))) - (2*(d + e*x)*(f + g*x))/(3*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2)) + (4*(e*f - d*g)*(d + e*x))/(3*b^2*e^2*n^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]) - (8*(d + e*x)*(f + g*x))/(3*b^2*e*n^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])}
+{(f + g*x)^0/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2), x, 6, (4*Sqrt[Pi]*(d + e*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(3*b^(5/2)*e*n^(5/2))) - (2*(d + e*x))/(3*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2)) - (4*(d + e*x))/(3*b^2*e*n^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])}
+{1/((f + g*x)^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2)), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(5/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^(m/2) (a+b Log[c (d+e x)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(f + g*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x, 6, -((4*b*(e*f - d*g)^2*n*Sqrt[f + g*x])/(5*e^2*g)) - (4*b*(e*f - d*g)*n*(f + g*x)^(3/2))/(15*e*g) - (4*b*n*(f + g*x)^(5/2))/(25*g) + (4*b*(e*f - d*g)^(5/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]])/(5*e^(5/2)*g) + (2*(f + g*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(5*g)}
+{(f + g*x)^(1/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x, 5, -((4*b*(e*f - d*g)*n*Sqrt[f + g*x])/(3*e*g)) - (4*b*n*(f + g*x)^(3/2))/(9*g) + (4*b*(e*f - d*g)^(3/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]])/(3*e^(3/2)*g) + (2*(f + g*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*g)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x)^(1/2), x, 4, -((4*b*n*Sqrt[f + g*x])/g) + (4*b*Sqrt[e*f - d*g]*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]])/(Sqrt[e]*g) + (2*Sqrt[f + g*x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/g}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x)^(3/2), x, 3, -((4*b*Sqrt[e]*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]])/(g*Sqrt[e*f - d*g])) - (2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(g*Sqrt[f + g*x])}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x)^(5/2), x, 4, (4*b*e*n)/(3*g*(e*f - d*g)*Sqrt[f + g*x]) - (4*b*e^(3/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]])/(3*g*(e*f - d*g)^(3/2)) - (2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*g*(f + g*x)^(3/2))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x)^(7/2), x, 5, (4*b*e*n)/(15*g*(e*f - d*g)*(f + g*x)^(3/2)) + (4*b*e^2*n)/(5*g*(e*f - d*g)^2*Sqrt[f + g*x]) - (4*b*e^(5/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]])/(5*g*(e*f - d*g)^(5/2)) - (2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(5*g*(f + g*x)^(5/2))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x)^(9/2), x, 6, (4*b*e*n)/(35*g*(e*f - d*g)*(f + g*x)^(5/2)) + (4*b*e^2*n)/(21*g*(e*f - d*g)^2*(f + g*x)^(3/2)) + (4*b*e^3*n)/(7*g*(e*f - d*g)^3*Sqrt[f + g*x]) - (4*b*e^(7/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]])/(7*g*(e*f - d*g)^(7/2)) - (2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(7*g*(f + g*x)^(7/2))}
+
+
+{(f + g*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2, x, 28, (368*b^2*(e*f - d*g)^2*n^2*Sqrt[f + g*x])/(75*e^2*g) + (128*b^2*(e*f - d*g)*n^2*(f + g*x)^(3/2))/(225*e*g) + (16*b^2*n^2*(f + g*x)^(5/2))/(125*g) - (368*b^2*(e*f - d*g)^(5/2)*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]])/(75*e^(5/2)*g) - (8*b^2*(e*f - d*g)^(5/2)*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]^2)/(5*e^(5/2)*g) - (8*b*(e*f - d*g)^2*n*Sqrt[f + g*x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(5*e^2*g) - (8*b*(e*f - d*g)*n*(f + g*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(15*e*g) - (8*b*n*(f + g*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(25*g) + (8*b*(e*f - d*g)^(5/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(5*e^(5/2)*g) + (2*(f + g*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(5*g) + (16*b^2*(e*f - d*g)^(5/2)*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*Log[2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(5*e^(5/2)*g) + (8*b^2*(e*f - d*g)^(5/2)*n^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(5*e^(5/2)*g)}
+{(f + g*x)^(1/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2, x, 21, (64*b^2*(e*f - d*g)*n^2*Sqrt[f + g*x])/(9*e*g) + (16*b^2*n^2*(f + g*x)^(3/2))/(27*g) - (64*b^2*(e*f - d*g)^(3/2)*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]])/(9*e^(3/2)*g) - (8*b^2*(e*f - d*g)^(3/2)*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]^2)/(3*e^(3/2)*g) - (8*b*(e*f - d*g)*n*Sqrt[f + g*x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*e*g) - (8*b*n*(f + g*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(9*g) + (8*b*(e*f - d*g)^(3/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*e^(3/2)*g) + (2*(f + g*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(3*g) + (16*b^2*(e*f - d*g)^(3/2)*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*Log[2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(3*e^(3/2)*g) + (8*b^2*(e*f - d*g)^(3/2)*n^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(3*e^(3/2)*g)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x)^(1/2), x, 15, (16*b^2*n^2*Sqrt[f + g*x])/g - (16*b^2*Sqrt[e*f - d*g]*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]])/(Sqrt[e]*g) - (8*b^2*Sqrt[e*f - d*g]*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]^2)/(Sqrt[e]*g) - (8*b*n*Sqrt[f + g*x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/g + (8*b*Sqrt[e*f - d*g]*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(Sqrt[e]*g) + (2*Sqrt[f + g*x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/g + (16*b^2*Sqrt[e*f - d*g]*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*Log[2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(Sqrt[e]*g) + (8*b^2*Sqrt[e*f - d*g]*n^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(Sqrt[e]*g)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x)^(3/2), x, 10, (8*b^2*Sqrt[e]*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]^2)/(g*Sqrt[e*f - d*g]) - (8*b*Sqrt[e]*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(g*Sqrt[e*f - d*g]) - (2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(g*Sqrt[f + g*x]) - (16*b^2*Sqrt[e]*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*Log[2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(g*Sqrt[e*f - d*g]) - (8*b^2*Sqrt[e]*n^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(g*Sqrt[e*f - d*g])}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x)^(5/2), x, 14, (16*b^2*e^(3/2)*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]])/(3*g*(e*f - d*g)^(3/2)) + (8*b^2*e^(3/2)*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]^2)/(3*g*(e*f - d*g)^(3/2)) + (8*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*g*(e*f - d*g)*Sqrt[f + g*x]) - (8*b*e^(3/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*g*(e*f - d*g)^(3/2)) - (2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(3*g*(f + g*x)^(3/2)) - (16*b^2*e^(3/2)*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*Log[2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(3*g*(e*f - d*g)^(3/2)) - (8*b^2*e^(3/2)*n^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(3*g*(e*f - d*g)^(3/2))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x)^(7/2), x, 19, -((16*b^2*e^2*n^2)/(15*g*(e*f - d*g)^2*Sqrt[f + g*x])) + (64*b^2*e^(5/2)*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]])/(15*g*(e*f - d*g)^(5/2)) + (8*b^2*e^(5/2)*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]^2)/(5*g*(e*f - d*g)^(5/2)) + (8*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(15*g*(e*f - d*g)*(f + g*x)^(3/2)) + (8*b*e^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(5*g*(e*f - d*g)^2*Sqrt[f + g*x]) - (8*b*e^(5/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(5*g*(e*f - d*g)^(5/2)) - (2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(5*g*(f + g*x)^(5/2)) - (16*b^2*e^(5/2)*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*Log[2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(5*g*(e*f - d*g)^(5/2)) - (8*b^2*e^(5/2)*n^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(5*g*(e*f - d*g)^(5/2))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x)^(9/2), x, 25, -((16*b^2*e^2*n^2)/(105*g*(e*f - d*g)^2*(f + g*x)^(3/2))) - (128*b^2*e^3*n^2)/(105*g*(e*f - d*g)^3*Sqrt[f + g*x]) + (368*b^2*e^(7/2)*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]])/(105*g*(e*f - d*g)^(7/2)) + (8*b^2*e^(7/2)*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]^2)/(7*g*(e*f - d*g)^(7/2)) + (8*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(35*g*(e*f - d*g)*(f + g*x)^(5/2)) + (8*b*e^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(21*g*(e*f - d*g)^2*(f + g*x)^(3/2)) + (8*b*e^3*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(7*g*(e*f - d*g)^3*Sqrt[f + g*x]) - (8*b*e^(7/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(7*g*(e*f - d*g)^(7/2)) - (2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(7*g*(f + g*x)^(7/2)) - (16*b^2*e^(7/2)*n^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*Log[2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(7*g*(e*f - d*g)^(7/2)) - (8*b^2*e^(7/2)*n^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(7*g*(e*f - d*g)^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(f + g*x)^(3/2)/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x, 0, Unintegrable[(f + g*x)^(3/2)/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x]}
+{(f + g*x)^(1/2)/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x, 0, Unintegrable[Sqrt[f + g*x]/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x]}
+{1/((f + g*x)^(1/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])), x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[f + g*x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])), x]}
+{1/((f + g*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^(m/2) (a+b Log[c (d (e+f x)^p)^q])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]], x, 1, (2*(f + g*x)^(3/2)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(3*g) - (b*e*n*Unintegrable[(f + g*x)^(3/2)/((d + e*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]), x])/(3*g)}
+{Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/Sqrt[f + g*x], x, 1, (2*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/g - (b*e*n*Unintegrable[Sqrt[f + g*x]/((d + e*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]), x])/g}
+{Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(f + g*x)^(3/2), x, 1, -((2*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]])/(g*Sqrt[f + g*x])) + (b*e*n*Unintegrable[1/((d + e*x)*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]), x])/g}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sqrt[f + g*x]/Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]], x, 0, Unintegrable[Sqrt[f + g*x]/Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]], x]}
+{1/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]), x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]), x]}
+{1/((f + g*x)^(3/2)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)^(3/2)*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])^p when m symbolic*)
+
+
+(* {(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*(f + g*x)^m, x, 0, (3*a^2*b*f*p*q*(f + g*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (f*(f + g*x))/(f*g - e*h)])/(h*(f*g - e*h)*(1 + m)*(2 + m)) + (6*a*b^2*p^2*q^2*(f + g*x)^(1 + m)*((f*(f + g*x))/(h*(e + f*x)))^(-1 - m)*HypergeometricPFQ[{-1 - m, -1 - m, -1 - m}, {-m, -m}, ((-f)*g + e*h)/(h*(e + f*x))])/(h*(1 + m)^3) - (6*b^3*p^3*q^3*(f + g*x)^(1 + m)*((f*(f + g*x))/(h*(e + f*x)))^(-1 - m)*HypergeometricPFQ[{-1 - m, -1 - m, -1 - m, -1 - m}, {-m, -m, -m}, ((-f)*g + e*h)/(h*(e + f*x))])/(h*(1 + m)^4) - (6*a*b^2*p*q*(f + g*x)^(1 + m)*((f*(f + g*x))/(h*(e + f*x)))^(-1 - m)*Hypergeometric2F1[-1 - m, -1 - m, -m, ((-f)*g + e*h)/(h*(e + f*x))]*Log[c*(d + e*x)^n])/(h*(1 + m)^2) + (6*b^3*p^2*q^2*(f + g*x)^(1 + m)*((f*(f + g*x))/(h*(e + f*x)))^(-1 - m)*HypergeometricPFQ[{-1 - m, -1 - m, -1 - m}, {-m, -m}, ((-f)*g + e*h)/(h*(e + f*x))]*Log[c*(d + e*x)^n])/(h*(1 + m)^3) - (3*b^3*p*q*(f + g*x)^(1 + m)*((f*(f + g*x))/(h*(e + f*x)))^(-1 - m)*Hypergeometric2F1[-1 - m, -1 - m, -m, ((-f)*g + e*h)/(h*(e + f*x))]*Log[c*(d + e*x)^n]^2)/(h*(1 + m)^2) + ((f + g*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(h*(1 + m))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*x)^m, x, 0, (a^2*(f + g*x)^(1 + m))/(h*(1 + m)) + (2*a*b*f*p*q*(f + g*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (f*(f + g*x))/(f*g - e*h)])/(h*(f*g - e*h)*(1 + m)*(2 + m)) + (2*b^2*p^2*q^2*(f + g*x)^(1 + m)*((f*(f + g*x))/(h*(e + f*x)))^(-1 - m)*HypergeometricPFQ[{-1 - m, -1 - m, -1 - m}, {-m, -m}, ((-f)*g + e*h)/(h*(e + f*x))])/(h*(1 + m)^3) + (2*a*b*(f + g*x)^(1 + m)*Log[c*(d + e*x)^n])/(h*(1 + m)) - (2*b^2*p*q*(f + g*x)^(1 + m)*((f*(f + g*x))/(h*(e + f*x)))^(-1 - m)*Hypergeometric2F1[-1 - m, -1 - m, -m, ((-f)*g + e*h)/(h*(e + f*x))]*Log[c*(d + e*x)^n])/(h*(1 + m)^2) + (b^2*(f + g*x)^(1 + m)*Log[c*(d + e*x)^n]^2)/(h*(1 + m))} *)
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^1*(f + g*x)^m, x, 2, (b*e*n*(f + g*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/(g*(e*f - d*g)*(1 + m)*(2 + m)) + ((f + g*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(g*(1 + m))}
+{(f + g*x)^m/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^1, x, 0, Unintegrable[(f + g*x)^m/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x]}
+{(f + g*x)^m/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2, x, 0, Unintegrable[(f + g*x)^m/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2, x]}
+
+
+{(f + g*x)^m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2), x, 0, Unintegrable[(f + g*x)^m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2), x]}
+{(f + g*x)^m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(1/2), x, 0, Unintegrable[(f + g*x)^m*Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]], x]}
+{(f + g*x)^m/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(1/2), x, 0, Unintegrable[(f + g*x)^m/Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]], x]}
+{(f + g*x)^m/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2), x, 0, Unintegrable[(f + g*x)^m/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])^p when n symbolic*)
+
+
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^n*(f + g*x)^m, x, 0, Unintegrable[(f + g*x)^m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^n, x]}
+
+
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^n*(f + g*x)^3, x, 14, (4^(-1 - n)*g^3*(d + e*x)^4*Gamma[1 + n, -((4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^n)/(E^((4*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(4/n)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)))^n*e^4) + (g^2*(e*f - d*g)*(d + e*x)^3*Gamma[1 + n, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^n)/(3^n*E^((3*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)))^n*e^4) + (3*2^(-1 - n)*g*(e*f - d*g)^2*(d + e*x)^2*Gamma[1 + n, -((2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^n)/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)))^n*e^4) + ((e*f - d*g)^3*(d + e*x)*Gamma[1 + n, -((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n))]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^n)/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)))^n*e^4)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^n*(f + g*x)^2, x, 11, (3^(-1 - n)*g^2*(d + e*x)^3*Gamma[1 + n, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^n)/(E^((3*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(3/n)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)))^n*e^3) + (g*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2*Gamma[1 + n, -((2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^n)/(2^n*E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)))^n*e^3) + ((e*f - d*g)^2*(d + e*x)*Gamma[1 + n, -((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n))]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^n)/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)))^n*e^3)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^n*(f + g*x)^1, x, 8, (2^(-1 - n)*g*(d + e*x)^2*Gamma[1 + n, -((2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(b*n))]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^n)/(E^((2*a)/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^(2/n)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)))^n*e^2) + ((e*f - d*g)*(d + e*x)*Gamma[1 + n, -((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n))]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^n)/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)))^n*e^2)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^n*(f + g*x)^0, x, 3, ((d + e*x)*Gamma[1 + n, -((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n))]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^n)/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)))^n*e)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^n/(f + g*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^n/(f + g*x), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (h+i x)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])^p / (f+g x) when e f-d g=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (h+i x)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])^p / (d+e x)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(h + i*x)^4*(a + b*Log[c*(e + f*x)])/(d*e + d*f*x), x, 8, -((4*b*i*(f*h - e*i)^3*x)/(d*f^4)) - (3*b*i^2*(f*h - e*i)^2*(e + f*x)^2)/(2*d*f^5) - (4*b*i^3*(f*h - e*i)*(e + f*x)^3)/(9*d*f^5) - (b*i^4*(e + f*x)^4)/(16*d*f^5) - (b*(f*h - e*i)^4*Log[e + f*x]^2)/(2*d*f^5) + (4*i*(f*h - e*i)^3*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(d*f^5) + (3*i^2*(f*h - e*i)^2*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(d*f^5) + (4*i^3*(f*h - e*i)*(e + f*x)^3*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(3*d*f^5) + (i^4*(e + f*x)^4*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(4*d*f^5) + ((f*h - e*i)^4*Log[e + f*x]*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(d*f^5)}
+{(h + i*x)^3*(a + b*Log[c*(e + f*x)])/(d*e + d*f*x), x, 8, -((3*b*i*(f*h - e*i)^2*x)/(d*f^3)) - (3*b*i^2*(f*h - e*i)*(e + f*x)^2)/(4*d*f^4) - (b*i^3*(e + f*x)^3)/(9*d*f^4) - (b*(f*h - e*i)^3*Log[e + f*x]^2)/(2*d*f^4) + (3*i*(f*h - e*i)^2*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(d*f^4) + (3*i^2*(f*h - e*i)*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(2*d*f^4) + (i^3*(e + f*x)^3*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(3*d*f^4) + ((f*h - e*i)^3*Log[e + f*x]*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(d*f^4)}
+{(h + i*x)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)])/(d*e + d*f*x), x, 7, -((b*(4*f*h - 3*e*i + f*i*x)^2)/(4*d*f^3)) - (b*(f*h - e*i)^2*Log[e + f*x]^2)/(2*d*f^3) + (2*i*(f*h - e*i)*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(d*f^3) + (i^2*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(2*d*f^3) + ((f*h - e*i)^2*Log[e + f*x]*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(d*f^3)}
+{(h + i*x)^1*(a + b*Log[c*(e + f*x)])/(d*e + d*f*x), x, 6, (a*i*x)/(d*f) - (b*i*x)/(d*f) + (b*i*(e + f*x)*Log[c*(e + f*x)])/(d*f^2) + ((f*h - e*i)*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2)/(2*b*d*f^2)}
+{(h + i*x)^0*(a + b*Log[c*(e + f*x)])/(d*e + d*f*x), x, 3, (a + b*Log[c*(e + f*x)])^2/(2*b*d*f)}
+{1/(h + i*x)^1*(a + b*Log[c*(e + f*x)])/(d*e + d*f*x), x, 4, -(((a + b*Log[c*(e + f*x)])*Log[1 + (f*h - e*i)/(i*(e + f*x))])/(d*(f*h - e*i))) + (b*PolyLog[2, -((f*h - e*i)/(i*(e + f*x)))])/(d*(f*h - e*i))}
+{1/(h + i*x)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)])/(d*e + d*f*x), x, 7, -((i*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(d*(f*h - e*i)^2*(h + i*x))) + (b*f*Log[h + i*x])/(d*(f*h - e*i)^2) - (f*(a + b*Log[c*(e + f*x)])*Log[1 + (f*h - e*i)/(i*(e + f*x))])/(d*(f*h - e*i)^2) + (b*f*PolyLog[2, -((f*h - e*i)/(i*(e + f*x)))])/(d*(f*h - e*i)^2)}
+{1/(h + i*x)^3*(a + b*Log[c*(e + f*x)])/(d*e + d*f*x), x, 11, -((b*f)/(2*d*(f*h - e*i)^2*(h + i*x))) - (b*f^2*Log[e + f*x])/(2*d*(f*h - e*i)^3) + (a + b*Log[c*(e + f*x)])/(2*d*(f*h - e*i)*(h + i*x)^2) - (f*i*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(d*(f*h - e*i)^3*(h + i*x)) + (3*b*f^2*Log[h + i*x])/(2*d*(f*h - e*i)^3) - (f^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)])*Log[1 + (f*h - e*i)/(i*(e + f*x))])/(d*(f*h - e*i)^3) + (b*f^2*PolyLog[2, -((f*h - e*i)/(i*(e + f*x)))])/(d*(f*h - e*i)^3)}
+
+
+{(h + i*x)^4*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2/(d*e + d*f*x), x, 32, -((4*a*b*i*(f*h - e*i)^3*x)/(d*f^4)) + (8*b^2*i*(f*h - e*i)^3*x)/(d*f^4) + (3*b^2*i^2*(f*h - e*i)^2*(e + f*x)^2)/(2*d*f^5) + (8*b^2*i^3*(f*h - e*i)*(e + f*x)^3)/(27*d*f^5) + (b^2*i^4*(e + f*x)^4)/(32*d*f^5) + (7*b^2*(f*h - e*i)^4*Log[e + f*x]^2)/(12*d*f^5) - (4*b^2*i*(f*h - e*i)^3*(e + f*x)*Log[c*(e + f*x)])/(d*f^5) - (4*b*i*(f*h - e*i)^3*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(d*f^5) - (3*b*i^2*(f*h - e*i)^2*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(d*f^5) - (8*b*i^3*(f*h - e*i)*(e + f*x)^3*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(9*d*f^5) - (b*i^4*(e + f*x)^4*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(8*d*f^5) - (7*b*(f*h - e*i)^4*Log[e + f*x]*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(6*d*f^5) + (2*i*(f*h - e*i)^3*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2)/(d*f^5) + (i^2*(f*h - e*i)^2*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2)/(2*d*f^5) + ((f*h - e*i)*(h + i*x)^3*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2)/(3*d*f^2) + ((h + i*x)^4*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2)/(4*d*f) + ((f*h - e*i)^4*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^3)/(3*b*d*f^5)}
+{(h + i*x)^3*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2/(d*e + d*f*x), x, 24, -((4*a*b*i*(f*h - e*i)^2*x)/(d*f^3)) + (6*b^2*i*(f*h - e*i)^2*x)/(d*f^3) + (3*b^2*i^2*(f*h - e*i)*(e + f*x)^2)/(4*d*f^4) + (2*b^2*i^3*(e + f*x)^3)/(27*d*f^4) + (b^2*(f*h - e*i)^3*Log[e + f*x]^2)/(3*d*f^4) - (4*b^2*i*(f*h - e*i)^2*(e + f*x)*Log[c*(e + f*x)])/(d*f^4) - (2*b*i*(f*h - e*i)^2*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(d*f^4) - (3*b*i^2*(f*h - e*i)*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(2*d*f^4) - (2*b*i^3*(e + f*x)^3*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(9*d*f^4) - (2*b*(f*h - e*i)^3*Log[e + f*x]*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(3*d*f^4) + (2*i*(f*h - e*i)^2*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2)/(d*f^4) + (i^2*(f*h - e*i)*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2)/(2*d*f^4) + ((h + i*x)^3*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2)/(3*d*f) + ((f*h - e*i)^3*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^3)/(3*b*d*f^4)}
+{(h + i*x)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2/(d*e + d*f*x), x, 16, -((4*a*b*i*(f*h - e*i)*x)/(d*f^2)) + (4*b^2*i*(f*h - e*i)*x)/(d*f^2) + (b^2*i^2*(e + f*x)^2)/(4*d*f^3) - (4*b^2*i*(f*h - e*i)*(e + f*x)*Log[c*(e + f*x)])/(d*f^3) - (b*i^2*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(2*d*f^3) + (2*i*(f*h - e*i)*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2)/(d*f^3) + (i^2*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2)/(2*d*f^3) + ((f*h - e*i)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^3)/(3*b*d*f^3)}
+{(h + i*x)^1*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2/(d*e + d*f*x), x, 8, -((2*a*b*i*x)/(d*f)) + (2*b^2*i*x)/(d*f) - (2*b^2*i*(e + f*x)*Log[c*(e + f*x)])/(d*f^2) + (i*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2)/(d*f^2) + ((f*h - e*i)*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^3)/(3*b*d*f^2)}
+{(h + i*x)^0*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2/(d*e + d*f*x), x, 4, (a + b*Log[c*(e + f*x)])^3/(3*b*d*f)}
+{1/(h + i*x)^1*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2/(d*e + d*f*x), x, 5, -(((a + b*Log[c*(e + f*x)])^2*Log[1 + (f*h - e*i)/(i*(e + f*x))])/(d*(f*h - e*i))) + (2*b*(a + b*Log[c*(e + f*x)])*PolyLog[2, -((f*h - e*i)/(i*(e + f*x)))])/(d*(f*h - e*i)) + (2*b^2*PolyLog[3, -((f*h - e*i)/(i*(e + f*x)))])/(d*(f*h - e*i))}
+{1/(h + i*x)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2/(d*e + d*f*x), x, 9, -((i*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2)/(d*(f*h - e*i)^2*(h + i*x))) + (2*b*f*(a + b*Log[c*(e + f*x)])*Log[(f*(h + i*x))/(f*h - e*i)])/(d*(f*h - e*i)^2) - (f*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2*Log[1 + (f*h - e*i)/(i*(e + f*x))])/(d*(f*h - e*i)^2) + (2*b*f*(a + b*Log[c*(e + f*x)])*PolyLog[2, -((f*h - e*i)/(i*(e + f*x)))])/(d*(f*h - e*i)^2) + (2*b^2*f*PolyLog[2, -((i*(e + f*x))/(f*h - e*i))])/(d*(f*h - e*i)^2) + (2*b^2*f*PolyLog[3, -((f*h - e*i)/(i*(e + f*x)))])/(d*(f*h - e*i)^2)}
+{1/(h + i*x)^3*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2/(d*e + d*f*x), x, 16, (b*f*i*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/(d*(f*h - e*i)^3*(h + i*x)) + (a + b*Log[c*(e + f*x)])^2/(2*d*(f*h - e*i)*(h + i*x)^2) - (f*i*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2)/(d*(f*h - e*i)^3*(h + i*x)) - (b^2*f^2*Log[h + i*x])/(d*(f*h - e*i)^3) + (2*b*f^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)])*Log[(f*(h + i*x))/(f*h - e*i)])/(d*(f*h - e*i)^3) + (b*f^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)])*Log[1 + (f*h - e*i)/(i*(e + f*x))])/(d*(f*h - e*i)^3) - (f^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2*Log[1 + (f*h - e*i)/(i*(e + f*x))])/(d*(f*h - e*i)^3) - (b^2*f^2*PolyLog[2, -((f*h - e*i)/(i*(e + f*x)))])/(d*(f*h - e*i)^3) + (2*b*f^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)])*PolyLog[2, -((f*h - e*i)/(i*(e + f*x)))])/(d*(f*h - e*i)^3) + (2*b^2*f^2*PolyLog[2, -((i*(e + f*x))/(f*h - e*i))])/(d*(f*h - e*i)^3) + (2*b^2*f^2*PolyLog[3, -((f*h - e*i)/(i*(e + f*x)))])/(d*(f*h - e*i)^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(h + i*x)^4/((a + b*Log[c*(e + f*x)])*(d*e + d*f*x)), x, 14, (4*i*(f*h - e*i)^3*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(e + f*x)])/b])/(E^(a/b)*(b*c*d*f^5)) + (6*i^2*(f*h - e*i)^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/b])/(E^((2*a)/b)*(b*c^2*d*f^5)) + (4*i^3*(f*h - e*i)*ExpIntegralEi[(3*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/b])/(E^((3*a)/b)*(b*c^3*d*f^5)) + (i^4*ExpIntegralEi[(4*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/b])/(E^((4*a)/b)*(b*c^4*d*f^5)) + ((f*h - e*i)^4*Log[a + b*Log[c*(e + f*x)]])/(b*d*f^5)}
+{(h + i*x)^3/((a + b*Log[c*(e + f*x)])*(d*e + d*f*x)), x, 12, (3*i*(f*h - e*i)^2*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(e + f*x)])/b])/(E^(a/b)*(b*c*d*f^4)) + (3*i^2*(f*h - e*i)*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/b])/(E^((2*a)/b)*(b*c^2*d*f^4)) + (i^3*ExpIntegralEi[(3*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/b])/(E^((3*a)/b)*(b*c^3*d*f^4)) + ((f*h - e*i)^3*Log[a + b*Log[c*(e + f*x)]])/(b*d*f^4)}
+{(h + i*x)^2/((a + b*Log[c*(e + f*x)])*(d*e + d*f*x)), x, 10, (2*i*(f*h - e*i)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(e + f*x)])/b])/(E^(a/b)*(b*c*d*f^3)) + (i^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/b])/(E^((2*a)/b)*(b*c^2*d*f^3)) + ((f*h - e*i)^2*Log[a + b*Log[c*(e + f*x)]])/(b*d*f^3)}
+{(h + i*x)^1/((a + b*Log[c*(e + f*x)])*(d*e + d*f*x)), x, 8, (i*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(e + f*x)])/b])/(E^(a/b)*(b*c*d*f^2)) + ((f*h - e*i)*Log[a + b*Log[c*(e + f*x)]])/(b*d*f^2)}
+{(h + i*x)^0/((a + b*Log[c*(e + f*x)])*(d*e + d*f*x)), x, 4, Log[a + b*Log[c*(e + f*x)]]/(b*d*f)}
+{1/((h + i*x)^1*(a + b*Log[c*(e + f*x)])*(d*e + d*f*x)), x, 5, Log[a + b*Log[c*(e + f*x)]]/(b*d*(f*h - e*i)) - (i*Unintegrable[1/((h + i*x)*(a + b*Log[c*(e + f*x)])), x])/(d*(f*h - e*i))}
+{1/((h + i*x)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)])*(d*e + d*f*x)), x, 5, (f*Log[a + b*Log[c*(e + f*x)]])/(b*d*(f*h - e*i)^2) - (i*Unintegrable[1/((h + i*x)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)])), x])/(d*(f*h - e*i)) - (f*i*Unintegrable[1/((h + i*x)*(a + b*Log[c*(e + f*x)])), x])/(d*(f*h - e*i)^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^(m/2) (a+b Log[c (d+e x)^n])^p / (e+f x)*)
+
+
+{(f + g*x)^(5/2)*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(d + e*x)), x, 27, -((92*b*(e*f - d*g)^2*n*Sqrt[f + g*x])/(15*e^3)) - (32*b*(e*f - d*g)*n*(f + g*x)^(3/2))/(45*e^2) - (4*b*n*(f + g*x)^(5/2))/(25*e) + (92*b*(e*f - d*g)^(5/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]])/(15*e^(7/2)) + (2*b*(e*f - d*g)^(5/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]^2)/e^(7/2) + (2*(e*f - d*g)^2*Sqrt[f + g*x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/e^3 + (2*(e*f - d*g)*(f + g*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*e^2) + (2*(f + g*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(5*e) - (2*(e*f - d*g)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/e^(7/2) - (4*b*(e*f - d*g)^(5/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*Log[2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/e^(7/2) - (2*b*(e*f - d*g)^(5/2)*n*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/e^(7/2)}
+{(f + g*x)^(3/2)*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(d + e*x)), x, 20, -((16*b*(e*f - d*g)*n*Sqrt[f + g*x])/(3*e^2)) - (4*b*n*(f + g*x)^(3/2))/(9*e) + (16*b*(e*f - d*g)^(3/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]])/(3*e^(5/2)) + (2*b*(e*f - d*g)^(3/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]^2)/e^(5/2) + (2*(e*f - d*g)*Sqrt[f + g*x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/e^2 + (2*(f + g*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*e) - (2*(e*f - d*g)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/e^(5/2) - (4*b*(e*f - d*g)^(3/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*Log[2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/e^(5/2) - (2*b*(e*f - d*g)^(3/2)*n*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/e^(5/2)}
+{(f + g*x)^(1/2)*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(d + e*x)), x, 14, -((4*b*n*Sqrt[f + g*x])/e) + (4*b*Sqrt[e*f - d*g]*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]])/e^(3/2) + (2*b*Sqrt[e*f - d*g]*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]^2)/e^(3/2) + (2*Sqrt[f + g*x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/e - (2*Sqrt[e*f - d*g]*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/e^(3/2) - (4*b*Sqrt[e*f - d*g]*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*Log[2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/e^(3/2) - (2*b*Sqrt[e*f - d*g]*n*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/e^(3/2)}
+{1/(f + g*x)^(1/2)*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(d + e*x)), x, 9, (2*b*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]^2)/(Sqrt[e]*Sqrt[e*f - d*g]) - (2*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(Sqrt[e]*Sqrt[e*f - d*g]) - (4*b*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*Log[2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(Sqrt[e]*Sqrt[e*f - d*g]) - (2*b*n*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(Sqrt[e]*Sqrt[e*f - d*g])}
+{1/(f + g*x)^(3/2)*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(d + e*x)), x, 13, (4*b*Sqrt[e]*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]])/(e*f - d*g)^(3/2) + (2*b*Sqrt[e]*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]^2)/(e*f - d*g)^(3/2) + (2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/((e*f - d*g)*Sqrt[f + g*x]) - (2*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(e*f - d*g)^(3/2) - (4*b*Sqrt[e]*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*Log[2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(e*f - d*g)^(3/2) - (2*b*Sqrt[e]*n*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(e*f - d*g)^(3/2)}
+{1/(f + g*x)^(5/2)*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(d + e*x)), x, 18, -((4*b*e*n)/(3*(e*f - d*g)^2*Sqrt[f + g*x])) + (16*b*e^(3/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]])/(3*(e*f - d*g)^(5/2)) + (2*b*e^(3/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]^2)/(e*f - d*g)^(5/2) + (2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*(e*f - d*g)*(f + g*x)^(3/2)) + (2*e*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/((e*f - d*g)^2*Sqrt[f + g*x]) - (2*e^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(e*f - d*g)^(5/2) - (4*b*e^(3/2)*n*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g]]*Log[2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(e*f - d*g)^(5/2) - (2*b*e^(3/2)*n*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[e]*Sqrt[f + g*x])/Sqrt[e*f - d*g])])/(e*f - d*g)^(5/2)}
+
+
+(* These special cases of the above form formerly caused infinite recursion! *)
+{(d + e*x)^(3/2)*Log[a + b*x]/(a + b*x), x, 20, -((16*(b*d - a*e)*Sqrt[d + e*x])/(3*b^2)) - (4*(d + e*x)^(3/2))/(9*b) + (16*(b*d - a*e)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]])/(3*b^(5/2)) + (2*(b*d - a*e)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]]^2)/b^(5/2) + (2*(b*d - a*e)*Sqrt[d + e*x]*Log[a + b*x])/b^2 + (2*(d + e*x)^(3/2)*Log[a + b*x])/(3*b) - (2*(b*d - a*e)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]]*Log[a + b*x])/b^(5/2) - (4*(b*d - a*e)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]]*Log[2/(1 - (Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e])])/b^(5/2) - (2*(b*d - a*e)^(3/2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e])])/b^(5/2)}
+{(d + e*x)^(1/2)*Log[a + b*x]/(a + b*x), x, 14, -((4*Sqrt[d + e*x])/b) + (4*Sqrt[b*d - a*e]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]])/b^(3/2) + (2*Sqrt[b*d - a*e]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]]^2)/b^(3/2) + (2*Sqrt[d + e*x]*Log[a + b*x])/b - (2*Sqrt[b*d - a*e]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]]*Log[a + b*x])/b^(3/2) - (4*Sqrt[b*d - a*e]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]]*Log[2/(1 - (Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e])])/b^(3/2) - (2*Sqrt[b*d - a*e]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e])])/b^(3/2)}
+{Log[a + b*x]/((a + b*x)*(d + e*x)^(1/2)), x, 9, (2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]]^2)/(Sqrt[b]*Sqrt[b*d - a*e]) - (2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]]*Log[a + b*x])/(Sqrt[b]*Sqrt[b*d - a*e]) - (4*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]]*Log[2/(1 - (Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e])])/(Sqrt[b]*Sqrt[b*d - a*e]) - (2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e])])/(Sqrt[b]*Sqrt[b*d - a*e])}
+{Log[a + b*x]/((a + b*x)*(d + e*x)^(3/2)), x, 13, (4*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]])/(b*d - a*e)^(3/2) + (2*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]]^2)/(b*d - a*e)^(3/2) + (2*Log[a + b*x])/((b*d - a*e)*Sqrt[d + e*x]) - (2*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]]*Log[a + b*x])/(b*d - a*e)^(3/2) - (4*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]]*Log[2/(1 - (Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e])])/(b*d - a*e)^(3/2) - (2*Sqrt[b]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e])])/(b*d - a*e)^(3/2)}
+{Log[a + b*x]/((a + b*x)*(d + e*x)^(5/2)), x, 18, -((4*b)/(3*(b*d - a*e)^2*Sqrt[d + e*x])) + (16*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]])/(3*(b*d - a*e)^(5/2)) + (2*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]]^2)/(b*d - a*e)^(5/2) + (2*Log[a + b*x])/(3*(b*d - a*e)*(d + e*x)^(3/2)) + (2*b*Log[a + b*x])/((b*d - a*e)^2*Sqrt[d + e*x]) - (2*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]]*Log[a + b*x])/(b*d - a*e)^(5/2) - (4*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e]]*Log[2/(1 - (Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e])])/(b*d - a*e)^(5/2) - (2*b^(3/2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[b]*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[b*d - a*e])])/(b*d - a*e)^(5/2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])^p / (e+f x) with q symbolic*)
+
+
+(* {(h + i*x)^m*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^2/(d*e + d*f*x), x, 0, -((a^2*(h + i*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (f*(h + i*x))/(f*i - e*j)])/(d*(f*i - e*j)*(1 + m))) - (2*a*b*(h + i*x)^m*HypergeometricPFQ[{-m, -m, -m}, {1 - m, 1 - m}, ((-f)*i + e*j)/(j*(e + f*x))])/(((f*(h + i*x))/(j*(e + f*x)))^m*(d*f*m^2)) + (2*b^2*(h + i*x)^m*HypergeometricPFQ[{-m, -m, -m, -m}, {1 - m, 1 - m, 1 - m}, ((-f)*i + e*j)/(j*(e + f*x))])/(((f*(h + i*x))/(j*(e + f*x)))^m*(d*f*m^3)) + (2*a*b*(h + i*x)^m*Hypergeometric2F1[-m, -m, 1 - m, ((-f)*i + e*j)/(j*(e + f*x))]*Log[c*(e + f*x)])/(((f*(h + i*x))/(j*(e + f*x)))^m*(d*f*m)) - (2*b^2*(h + i*x)^m*HypergeometricPFQ[{-m, -m, -m}, {1 - m, 1 - m}, ((-f)*i + e*j)/(j*(e + f*x))]*Log[c*(e + f*x)])/(((f*(h + i*x))/(j*(e + f*x)))^m*(d*f*m^2)) + (b^2*(h + i*x)^m*Hypergeometric2F1[-m, -m, 1 - m, ((-f)*i + e*j)/(j*(e + f*x))]*Log[c*(e + f*x)]^2)/(((f*(h + i*x))/(j*(e + f*x)))^m*(d*f*m))}
+{(h + i*x)^m*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^1/(d*e + d*f*x), x, 0, -((a*(h + i*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (f*(h + i*x))/(f*i - e*j)])/(d*(f*i - e*j)*(1 + m))) - (b*(h + i*x)^m*HypergeometricPFQ[{-m, -m, -m}, {1 - m, 1 - m}, ((-f)*i + e*j)/(j*(e + f*x))])/(((f*(h + i*x))/(j*(e + f*x)))^m*(d*f*m^2)) + (b*(h + i*x)^m*Hypergeometric2F1[-m, -m, 1 - m, ((-f)*i + e*j)/(j*(e + f*x))]*Log[c*(e + f*x)])/(((f*(h + i*x))/(j*(e + f*x)))^m*(d*f*m))} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])^p / (e+f x) with p symbolic*)
+
+
+{(h + i*x)^q*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^p/(d*e + d*f*x), x, 0, Unintegrable[((h + i*x)^q*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^p)/(d*e + d*f*x), x]}
+
+
+{(h + i*x)^3*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^p/(d*e + d*f*x), x, 12, ((f*h - e*i)^3*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^(1 + p))/(b*d*f^4*(1 + p)) + (3^(-1 - p)*i^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/b)]*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^p)/(E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(e + f*x)])/b))^p*(c^3*d*f^4)) + (3*2^(-1 - p)*i^2*(f*h - e*i)*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/b)]*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^p)/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(e + f*x)])/b))^p*(c^2*d*f^4)) + (3*i*(f*h - e*i)^2*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(e + f*x)])/b)]*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(e + f*x)])/b))^p*(c*d*f^4))}
+{(h + i*x)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^p/(d*e + d*f*x), x, 10, ((f*h - e*i)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^(1 + p))/(b*d*f^3*(1 + p)) + (2^(-1 - p)*i^2*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(e + f*x)]))/b)]*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^p)/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(e + f*x)])/b))^p*(c^2*d*f^3)) + (2*i*(f*h - e*i)*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(e + f*x)])/b)]*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(e + f*x)])/b))^p*(c*d*f^3))}
+{(h + i*x)^1*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^p/(d*e + d*f*x), x, 8, ((f*h - e*i)*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^(1 + p))/(b*d*f^2*(1 + p)) + (i*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(e + f*x)])/b)]*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(e + f*x)])/b))^p*(c*d*f^2))}
+{(h + i*x)^0*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^p/(d*e + d*f*x), x, 4, (a + b*Log[c*(e + f*x)])^(1 + p)/(b*d*f*(1 + p))}
+{1/(h + i*x)^1*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^p/(d*e + d*f*x), x, 0, Unintegrable[(a + b*Log[c*(e + f*x)])^p/((d*e + d*f*x)*(h + i*x)), x]}
+{1/(h + i*x)^2*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^p/(d*e + d*f*x), x, 0, Unintegrable[(a + b*Log[c*(e + f*x)])^p/((d*e + d*f*x)*(h + i*x)^2), x]}
+{1/(h + i*x)^3*(a + b*Log[c*(e + f*x)])^p/(d*e + d*f*x), x, 0, Unintegrable[(a + b*Log[c*(e + f*x)])^p/((d*e + d*f*x)*(h + i*x)^3), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])^p / (h+i x)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (i+j x)^m (a+b Log[c (d+e x)^n])^p / (g+h x)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(h + i*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x), x, 14, (a*i*(g*h - f*i)^2*x)/g^3 - (b*i*(e*h - d*i)^2*n*x)/(3*e^2*g) - (b*i*(e*h - d*i)*(g*h - f*i)*n*x)/(2*e*g^2) - (b*i*(g*h - f*i)^2*n*x)/g^3 - (b*(e*h - d*i)*n*(h + i*x)^2)/(6*e*g) - (b*(g*h - f*i)*n*(h + i*x)^2)/(4*g^2) - (b*n*(h + i*x)^3)/(9*g) - (b*(e*h - d*i)^3*n*Log[d + e*x])/(3*e^3*g) - (b*(e*h - d*i)^2*(g*h - f*i)*n*Log[d + e*x])/(2*e^2*g^2) + (b*i*(g*h - f*i)^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e*g^3) + ((g*h - f*i)*(h + i*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*g^2) + ((h + i*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*g) + ((g*h - f*i)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g^4 + (b*(g*h - f*i)^3*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^4}
+{(h + i*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x), x, 11, (a*i*(g*h - f*i)*x)/g^2 - (b*i*(e*h - d*i)*n*x)/(2*e*g) - (b*i*(g*h - f*i)*n*x)/g^2 - (b*n*(h + i*x)^2)/(4*g) - (b*(e*h - d*i)^2*n*Log[d + e*x])/(2*e^2*g) + (b*i*(g*h - f*i)*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e*g^2) + ((h + i*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*g) + ((g*h - f*i)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g^3 + (b*(g*h - f*i)^2*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^3}
+{(h + i*x)^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x), x, 8, (a*i*x)/g - (b*i*n*x)/g + (b*i*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e*g) + ((g*h - f*i)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g^2 + (b*(g*h - f*i)*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^2}
+{(h + i*x)^0*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x), x, 3, ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g + (b*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/((f + g*x)*(h + i*x)^1), x, 8, ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/(g*h - f*i) - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(h + i*x))/(e*h - d*i)])/(g*h - f*i) + (b*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*h - f*i) - (b*n*PolyLog[2, -((i*(d + e*x))/(e*h - d*i))])/(g*h - f*i)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/((f + g*x)*(h + i*x)^2), x, 12, -((b*e*n*Log[d + e*x])/((e*h - d*i)*(g*h - f*i))) + (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/((g*h - f*i)*(h + i*x)) + (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/(g*h - f*i)^2 + (b*e*n*Log[h + i*x])/((e*h - d*i)*(g*h - f*i)) - (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(h + i*x))/(e*h - d*i)])/(g*h - f*i)^2 + (b*g*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*h - f*i)^2 - (b*g*n*PolyLog[2, -((i*(d + e*x))/(e*h - d*i))])/(g*h - f*i)^2}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/((f + g*x)*(h + i*x)^3), x, 15, -((b*e*n)/(2*(e*h - d*i)*(g*h - f*i)*(h + i*x))) - (b*e*g*n*Log[d + e*x])/((e*h - d*i)*(g*h - f*i)^2) - (b*e^2*n*Log[d + e*x])/(2*(e*h - d*i)^2*(g*h - f*i)) + (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*(g*h - f*i)*(h + i*x)^2) + (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/((g*h - f*i)^2*(h + i*x)) + (g^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/(g*h - f*i)^3 + (b*e*g*n*Log[h + i*x])/((e*h - d*i)*(g*h - f*i)^2) + (b*e^2*n*Log[h + i*x])/(2*(e*h - d*i)^2*(g*h - f*i)) - (g^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(h + i*x))/(e*h - d*i)])/(g*h - f*i)^3 + (b*g^2*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*h - f*i)^3 - (b*g^2*n*PolyLog[2, -((i*(d + e*x))/(e*h - d*i))])/(g*h - f*i)^3}
+
+
+{(h + i*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x), x, 19, -((2*a*b*i*(e*h - d*i)*n*x)/(e*g)) - (2*a*b*i*(g*h - f*i)*n*x)/g^2 + (2*b^2*i*(e*h - d*i)*n^2*x)/(e*g) + (2*b^2*i*(g*h - f*i)*n^2*x)/g^2 + (b^2*i^2*n^2*(d + e*x)^2)/(4*e^2*g) - (2*b^2*i*(e*h - d*i)*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e^2*g) - (2*b^2*i*(g*h - f*i)*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e*g^2) - (b*i^2*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^2*g) + (i*(e*h - d*i)*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(e^2*g) + (i*(g*h - f*i)*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(e*g^2) + (i^2*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*e^2*g) + ((g*h - f*i)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g^3 + (2*b*(g*h - f*i)^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^3 - (2*b^2*(g*h - f*i)^2*n^2*PolyLog[3, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^3}
+{(h + i*x)^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x), x, 10, -((2*a*b*i*n*x)/g) + (2*b^2*i*n^2*x)/g - (2*b^2*i*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e*g) + (i*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(e*g) + ((g*h - f*i)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g^2 + (2*b*(g*h - f*i)*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^2 - (2*b^2*(g*h - f*i)*n^2*PolyLog[3, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^2}
+{(h + i*x)^0*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x), x, 4, ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g + (2*b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g - (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/((f + g*x)*(h + i*x)^1), x, 10, ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/(g*h - f*i) - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(h + i*x))/(e*h - d*i)])/(g*h - f*i) + (2*b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*h - f*i) - (2*b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((i*(d + e*x))/(e*h - d*i))])/(g*h - f*i) - (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*h - f*i) + (2*b^2*n^2*PolyLog[3, -((i*(d + e*x))/(e*h - d*i))])/(g*h - f*i)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/((f + g*x)*(h + i*x)^2), x, 14, -((i*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/((e*h - d*i)*(g*h - f*i)*(h + i*x))) + (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/(g*h - f*i)^2 + (2*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(h + i*x))/(e*h - d*i)])/((e*h - d*i)*(g*h - f*i)) - (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(h + i*x))/(e*h - d*i)])/(g*h - f*i)^2 + (2*b*g*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*h - f*i)^2 + (2*b^2*e*n^2*PolyLog[2, -((i*(d + e*x))/(e*h - d*i))])/((e*h - d*i)*(g*h - f*i)) - (2*b*g*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((i*(d + e*x))/(e*h - d*i))])/(g*h - f*i)^2 - (2*b^2*g*n^2*PolyLog[3, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*h - f*i)^2 + (2*b^2*g*n^2*PolyLog[3, -((i*(d + e*x))/(e*h - d*i))])/(g*h - f*i)^2}
+
+
+{(h + i*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3/(f + g*x), x, 23, (6*a*b^2*i*(e*h - d*i)*n^2*x)/(e*g) + (6*a*b^2*i*(g*h - f*i)*n^2*x)/g^2 - (6*b^3*i*(e*h - d*i)*n^3*x)/(e*g) - (6*b^3*i*(g*h - f*i)*n^3*x)/g^2 - (3*b^3*i^2*n^3*(d + e*x)^2)/(8*e^2*g) + (6*b^3*i*(e*h - d*i)*n^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e^2*g) + (6*b^3*i*(g*h - f*i)*n^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e*g^2) + (3*b^2*i^2*n^2*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(4*e^2*g) - (3*b*i*(e*h - d*i)*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(e^2*g) - (3*b*i*(g*h - f*i)*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(e*g^2) - (3*b*i^2*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*e^2*g) + (i*(e*h - d*i)*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(e^2*g) + (i*(g*h - f*i)*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(e*g^2) + (i^2*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(2*e^2*g) + ((g*h - f*i)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g^3 + (3*b*(g*h - f*i)^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^3 - (6*b^2*(g*h - f*i)^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[3, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^3 + (6*b^3*(g*h - f*i)^2*n^3*PolyLog[4, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^3}
+{(h + i*x)^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3/(f + g*x), x, 12, (6*a*b^2*i*n^2*x)/g - (6*b^3*i*n^3*x)/g + (6*b^3*i*n^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e*g) - (3*b*i*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(e*g) + (i*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(e*g) + ((g*h - f*i)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g^2 + (3*b*(g*h - f*i)*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^2 - (6*b^2*(g*h - f*i)*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[3, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^2 + (6*b^3*(g*h - f*i)*n^3*PolyLog[4, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^2}
+{(h + i*x)^0*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3/(f + g*x), x, 5, ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g + (3*b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g - (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[3, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g + (6*b^3*n^3*PolyLog[4, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3/((f + g*x)*(h + i*x)^1), x, 12, ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/(g*h - f*i) - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*Log[(e*(h + i*x))/(e*h - d*i)])/(g*h - f*i) + (3*b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*h - f*i) - (3*b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*PolyLog[2, -((i*(d + e*x))/(e*h - d*i))])/(g*h - f*i) - (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[3, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*h - f*i) + (6*b^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[3, -((i*(d + e*x))/(e*h - d*i))])/(g*h - f*i) + (6*b^3*n^3*PolyLog[4, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*h - f*i) - (6*b^3*n^3*PolyLog[4, -((i*(d + e*x))/(e*h - d*i))])/(g*h - f*i)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3/((f + g*x)*(h + i*x)^2), x, 17, -((i*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/((e*h - d*i)*(g*h - f*i)*(h + i*x))) + (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/(g*h - f*i)^2 + (3*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(h + i*x))/(e*h - d*i)])/((e*h - d*i)*(g*h - f*i)) - (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*Log[(e*(h + i*x))/(e*h - d*i)])/(g*h - f*i)^2 + (3*b*g*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*h - f*i)^2 + (6*b^2*e*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((i*(d + e*x))/(e*h - d*i))])/((e*h - d*i)*(g*h - f*i)) - (3*b*g*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*PolyLog[2, -((i*(d + e*x))/(e*h - d*i))])/(g*h - f*i)^2 - (6*b^2*g*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[3, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*h - f*i)^2 - (6*b^3*e*n^3*PolyLog[3, -((i*(d + e*x))/(e*h - d*i))])/((e*h - d*i)*(g*h - f*i)) + (6*b^2*g*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[3, -((i*(d + e*x))/(e*h - d*i))])/(g*h - f*i)^2 + (6*b^3*g*n^3*PolyLog[4, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/(g*h - f*i)^2 - (6*b^3*g*n^3*PolyLog[4, -((i*(d + e*x))/(e*h - d*i))])/(g*h - f*i)^2}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(h + i*x)^1/((f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])), x, 5, (i*(d + e*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(b*e*g*n)) + ((g*h - f*i)*Unintegrable[1/((f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])), x])/g}
+{(h + i*x)^0/((f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])), x]}
+{1/((f + g*x)*(h + i*x)^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])), x, 2, (g*Unintegrable[1/((f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])), x])/(g*h - f*i) - (i*Unintegrable[1/((h + i*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])), x])/(g*h - f*i)}
+{1/((f + g*x)*(h + i*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])), x, 2, (g^2*Unintegrable[1/((f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])), x])/(g*h - f*i)^2 - (i*Unintegrable[1/((h + i*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])), x])/(g*h - f*i) - (g*i*Unintegrable[1/((h + i*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])), x])/(g*h - f*i)^2}
+
+
+{(h + i*x)^1/((f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x, 6, (i*(d + e*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*(d + e*x)^n)^n^(-1)*(b^2*e*g*n^2)) - (i*(d + e*x))/(b*e*g*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])) + ((g*h - f*i)*Unintegrable[1/((f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x])/g}
+{(h + i*x)^0/((f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x]}
+{1/((f + g*x)*(h + i*x)^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x, 2, (g*Unintegrable[1/((f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x])/(g*h - f*i) - (i*Unintegrable[1/((h + i*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x])/(g*h - f*i)}
+{1/((f + g*x)*(h + i*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x, 2, (g^2*Unintegrable[1/((f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x])/(g*h - f*i)^2 - (i*Unintegrable[1/((h + i*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x])/(g*h - f*i) - (g*i*Unintegrable[1/((h + i*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2), x])/(g*h - f*i)^2}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (i+j x)^(m/2) (a+b Log[c (d+e x)^n])^p / (g+h x)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (h x)^m (f+g x^r)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (f+g x^1)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*q>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x), x, 14, (a*f^2*x)/g^3 - (b*f^2*n*x)/g^3 - (b*d*f*n*x)/(2*e*g^2) - (b*d^2*n*x)/(3*e^2*g) + (b*f*n*x^2)/(4*g^2) + (b*d*n*x^2)/(6*e*g) - (b*n*x^3)/(9*g) + (b*d^2*f*n*Log[d + e*x])/(2*e^2*g^2) + (b*d^3*n*Log[d + e*x])/(3*e^3*g) + (b*f^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e*g^3) - (f*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*g^2) + (x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*g) - (f^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g^4 - (b*f^3*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^4}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x), x, 11, -((a*f*x)/g^2) + (b*f*n*x)/g^2 + (b*d*n*x)/(2*e*g) - (b*n*x^2)/(4*g) - (b*d^2*n*Log[d + e*x])/(2*e^2*g) - (b*f*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e*g^2) + (x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*g) + (f^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g^3 + (b*f^2*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^3}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x), x, 8, (a*x)/g - (b*n*x)/g + (b*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e*g) - (f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g^2 - (b*f*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^2}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x), x, 3, ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g + (b*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(x^1*(f + g*x)), x, 7, (Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/f - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/f - (b*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/f + (b*n*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/f}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(x^2*(f + g*x)), x, 11, (b*e*n*Log[x])/(d*f) - (b*e*n*Log[d + e*x])/(d*f) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f*x) - (g*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/f^2 + (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/f^2 + (b*g*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/f^2 - (b*g*n*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/f^2}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(x^3*(f + g*x)), x, 14, -((b*e*n)/(2*d*f*x)) - (b*e^2*n*Log[x])/(2*d^2*f) - (b*e*g*n*Log[x])/(d*f^2) + (b*e^2*n*Log[d + e*x])/(2*d^2*f) + (b*e*g*n*Log[d + e*x])/(d*f^2) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*f*x^2) + (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(f^2*x) + (g^2*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/f^3 - (g^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/f^3 - (b*g^2*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/f^3 + (b*g^2*n*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/f^3}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x)^2, x, 15, -((2*a*f*x)/g^3) + (2*b*f*n*x)/g^3 + (b*d*n*x)/(2*e*g^2) - (b*n*x^2)/(4*g^2) - (b*d^2*n*Log[d + e*x])/(2*e^2*g^2) - (b*e*f^3*n*Log[d + e*x])/(g^4*(e*f - d*g)) - (2*b*f*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e*g^3) + (x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*g^2) + (f^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(g^4*(f + g*x)) + (b*e*f^3*n*Log[f + g*x])/(g^4*(e*f - d*g)) + (3*f^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g^4 + (3*b*f^2*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^4}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x)^2, x, 12, (a*x)/g^2 - (b*n*x)/g^2 + (b*e*f^2*n*Log[d + e*x])/(g^3*(e*f - d*g)) + (b*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e*g^2) - (f^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(g^3*(f + g*x)) - (b*e*f^2*n*Log[f + g*x])/(g^3*(e*f - d*g)) - (2*f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g^3 - (2*b*f*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^3}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x)^2, x, 9, -((b*e*f*n*Log[d + e*x])/(g^2*(e*f - d*g))) + (f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(g^2*(f + g*x)) + (b*e*f*n*Log[f + g*x])/(g^2*(e*f - d*g)) + ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/g^2 + (b*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/g^2}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x)^2, x, 4, (b*e*n*Log[d + e*x])/(g*(e*f - d*g)) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(g*(f + g*x)) - (b*e*n*Log[f + g*x])/(g*(e*f - d*g))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(x^1*(f + g*x)^2), x, 11, -((b*e*n*Log[d + e*x])/(f*(e*f - d*g))) + (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f*(f + g*x)) + (Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/f^2 + (b*e*n*Log[f + g*x])/(f*(e*f - d*g)) - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/f^2 - (b*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/f^2 + (b*n*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/f^2}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(x^2*(f + g*x)^2), x, 15, (b*e*n*Log[x])/(d*f^2) - (b*e*n*Log[d + e*x])/(d*f^2) + (b*e*g*n*Log[d + e*x])/(f^2*(e*f - d*g)) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f^2*x) - (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(f^2*(f + g*x)) - (2*g*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/f^3 - (b*e*g*n*Log[f + g*x])/(f^2*(e*f - d*g)) + (2*g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/f^3 + (2*b*g*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/f^3 - (2*b*g*n*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/f^3}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(x^3*(f + g*x)^2), x, 18, -((b*e*n)/(2*d*f^2*x)) - (b*e^2*n*Log[x])/(2*d^2*f^2) - (2*b*e*g*n*Log[x])/(d*f^3) + (b*e^2*n*Log[d + e*x])/(2*d^2*f^2) + (2*b*e*g*n*Log[d + e*x])/(d*f^3) - (b*e*g^2*n*Log[d + e*x])/(f^3*(e*f - d*g)) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*f^2*x^2) + (2*g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(f^3*x) + (g^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(f^3*(f + g*x)) + (3*g^2*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/f^4 + (b*e*g^2*n*Log[f + g*x])/(f^3*(e*f - d*g)) - (3*g^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/f^4 - (3*b*g^2*n*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/f^4 + (3*b*g^2*n*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/f^4}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (f+g x^2)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*q>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{x^5*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x^2), x, 16, -((b*d*f*n*x)/(2*e*g^2)) + (b*d^3*n*x)/(4*e^3*g) + (b*f*n*x^2)/(4*g^2) - (b*d^2*n*x^2)/(8*e^2*g) + (b*d*n*x^3)/(12*e*g) - (b*n*x^4)/(16*g) + (b*d^2*f*n*Log[d + e*x])/(2*e^2*g^2) - (b*d^4*n*Log[d + e*x])/(4*e^4*g) - (f*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*g^2) + (x^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(4*g) + (f^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^3) + (f^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*g^3) + (b*f^2*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*g^3) + (b*f^2*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^3)}
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x^2), x, 13, (b*d*n*x)/(2*e*g) - (b*n*x^2)/(4*g) - (b*d^2*n*Log[d + e*x])/(2*e^2*g) + (x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*g) - (f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^2) - (f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*g^2) - (b*f*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*g^2) - (b*f*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^2)}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x^2), x, 8, ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g) + ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*g) + (b*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*g) + (b*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(x^1*(f + g*x^2)), x, 12, (Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/f - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f) - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*f) - (b*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*f) - (b*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f) + (b*n*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/f}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(x^3*(f + g*x^2)), x, 15, -((b*e*n)/(2*d*f*x)) - (b*e^2*n*Log[x])/(2*d^2*f) + (b*e^2*n*Log[d + e*x])/(2*d^2*f) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*f*x^2) - (g*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/f^2 + (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f^2) + (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*f^2) + (b*g*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*f^2) + (b*g*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f^2) - (b*g*n*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/f^2}
+
+{x^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x^2), x, 16, -((a*f*x)/g^2) + (b*f*n*x)/g^2 - (b*d^2*n*x)/(3*e^2*g) + (b*d*n*x^2)/(6*e*g) - (b*n*x^3)/(9*g) + (b*d^3*n*Log[d + e*x])/(3*e^3*g) - (b*f*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e*g^2) + (x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*g) + ((-f)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^(5/2)) - ((-f)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*g^(5/2)) - (b*(-f)^(3/2)*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*g^(5/2)) + (b*(-f)^(3/2)*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^(5/2))}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x^2), x, 13, (a*x)/g - (b*n*x)/g + (b*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e*g) + (Sqrt[-f]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^(3/2)) - (Sqrt[-f]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*g^(3/2)) - (b*Sqrt[-f]*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*g^(3/2)) + (b*Sqrt[-f]*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^(3/2))}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x^2), x, 8, ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (b*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (b*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g])}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(x^2*(f + g*x^2)), x, 14, (b*e*n*Log[x])/(d*f) - (b*e*n*Log[d + e*x])/(d*f) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f*x) + (Sqrt[g]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*(-f)^(3/2)) - (Sqrt[g]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*(-f)^(3/2)) - (b*Sqrt[g]*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*(-f)^(3/2)) + (b*Sqrt[g]*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*(-f)^(3/2))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(x^4*(f + g*x^2)), x, 17, -((b*e*n)/(6*d*f*x^2)) + (b*e^2*n)/(3*d^2*f*x) + (b*e^3*n*Log[x])/(3*d^3*f) - (b*e*g*n*Log[x])/(d*f^2) - (b*e^3*n*Log[d + e*x])/(3*d^3*f) + (b*e*g*n*Log[d + e*x])/(d*f^2) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(3*f*x^3) + (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(f^2*x) + (g^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*(-f)^(5/2)) - (g^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*(-f)^(5/2)) - (b*g^(3/2)*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*(-f)^(5/2)) + (b*g^(3/2)*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*(-f)^(5/2))}
+
+
+{x^5*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x^2)^2, x, 19, (b*d*n*x)/(2*e*g^2) - (b*n*x^2)/(4*g^2) + (b*d*e*f^(3/2)*n*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/(2*g^(5/2)*(e^2*f + d^2*g)) - (b*d^2*n*Log[d + e*x])/(2*e^2*g^2) + (b*e^2*f^2*n*Log[d + e*x])/(2*g^3*(e^2*f + d^2*g)) + (x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*g^2) - (f^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*g^3*(f + g*x^2)) - (f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/g^3 - (f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/g^3 - (b*e^2*f^2*n*Log[f + g*x^2])/(4*g^3*(e^2*f + d^2*g)) - (b*f*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/g^3 - (b*f*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/g^3}
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x^2)^2, x, 16, -((b*d*e*Sqrt[f]*n*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/(2*g^(3/2)*(e^2*f + d^2*g))) - (b*e^2*f*n*Log[d + e*x])/(2*g^2*(e^2*f + d^2*g)) + (f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*g^2*(f + g*x^2)) + ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^2) + ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*g^2) + (b*e^2*f*n*Log[f + g*x^2])/(4*g^2*(e^2*f + d^2*g)) + (b*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*g^2) + (b*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^2)}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x^2)^2, x, 6, (b*d*e*n*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(e^2*f + d^2*g)) + (b*e^2*n*Log[d + e*x])/(2*g*(e^2*f + d^2*g)) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*g*(f + g*x^2)) - (b*e^2*n*Log[f + g*x^2])/(4*g*(e^2*f + d^2*g))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(x^1*(f + g*x^2)^2), x, 18, -((b*d*e*Sqrt[g]*n*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/(2*f^(3/2)*(e^2*f + d^2*g))) - (b*e^2*n*Log[d + e*x])/(2*f*(e^2*f + d^2*g)) + (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*f*(f + g*x^2)) + (Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/f^2 - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f^2) - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*f^2) + (b*e^2*n*Log[f + g*x^2])/(4*f*(e^2*f + d^2*g)) - (b*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*f^2) - (b*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f^2) + (b*n*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/f^2}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(x^3*(f + g*x^2)^2), x, 21, -((b*e*n)/(2*d*f^2*x)) + (b*d*e*g^(3/2)*n*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/(2*f^(5/2)*(e^2*f + d^2*g)) - (b*e^2*n*Log[x])/(2*d^2*f^2) + (b*e^2*n*Log[d + e*x])/(2*d^2*f^2) + (b*e^2*g*n*Log[d + e*x])/(2*f^2*(e^2*f + d^2*g)) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*f^2*x^2) - (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*f^2*(f + g*x^2)) - (2*g*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/f^3 + (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/f^3 + (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/f^3 - (b*e^2*g*n*Log[f + g*x^2])/(4*f^2*(e^2*f + d^2*g)) + (b*g*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/f^3 + (b*g*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/f^3 - (2*b*g*n*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/f^3}
+
+{x^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x^2)^2, x, 31, (a*x)/g^2 - (b*n*x)/g^2 - (b*e*f*n*Log[d + e*x])/(4*(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])*g^(5/2)) + (b*e*f*n*Log[d + e*x])/(4*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*g^(5/2)) + (b*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e*g^2) - (f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(4*g^(5/2)*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x)) + (f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(4*g^(5/2)*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x)) - (b*e*f*n*Log[Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x])/(4*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*g^(5/2)) + (3*Sqrt[-f]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(4*g^(5/2)) + (b*e*f*n*Log[Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x])/(4*(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])*g^(5/2)) - (3*Sqrt[-f]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(4*g^(5/2)) - (3*b*Sqrt[-f]*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(4*g^(5/2)) + (3*b*Sqrt[-f]*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(4*g^(5/2))}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x^2)^2, x, 28, (b*e*n*Log[d + e*x])/(4*(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])*g^(3/2)) - (b*e*n*Log[d + e*x])/(4*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*g^(3/2)) + (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(4*g^(3/2)*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x)) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(4*g^(3/2)*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x)) + (b*e*n*Log[Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x])/(4*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*g^(3/2)) + ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(4*Sqrt[-f]*g^(3/2)) - (b*e*n*Log[Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x])/(4*(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])*g^(3/2)) - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(4*Sqrt[-f]*g^(3/2)) - (b*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(4*Sqrt[-f]*g^(3/2)) + (b*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(4*Sqrt[-f]*g^(3/2))}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f + g*x^2)^2, x, 18, (b*e*n*Log[d + e*x])/(4*f*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*Sqrt[g]) + (b*e*n*Log[d + e*x])/(4*(e*(-f)^(3/2) + d*f*Sqrt[g])*Sqrt[g]) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(4*f*Sqrt[g]*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x)) + (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(4*f*Sqrt[g]*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x)) - (b*e*n*Log[Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x])/(4*f*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*Sqrt[g]) - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(4*(-f)^(3/2)*Sqrt[g]) - (b*e*n*Log[Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x])/(4*(e*(-f)^(3/2) + d*f*Sqrt[g])*Sqrt[g]) + ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(4*(-f)^(3/2)*Sqrt[g]) + (b*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(4*(-f)^(3/2)*Sqrt[g]) - (b*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(4*(-f)^(3/2)*Sqrt[g])}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(x^2*(f + g*x^2)^2), x, 32, (b*e*n*Log[x])/(d*f^2) - (b*e*n*Log[d + e*x])/(d*f^2) - (b*e*Sqrt[g]*n*Log[d + e*x])/(4*f^2*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])) - (b*e*Sqrt[g]*n*Log[d + e*x])/(4*f*(e*(-f)^(3/2) + d*f*Sqrt[g])) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f^2*x) + (Sqrt[g]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(4*f^2*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x)) - (Sqrt[g]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(4*f^2*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x)) + (b*e*Sqrt[g]*n*Log[Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x])/(4*f^2*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])) - (3*Sqrt[g]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(4*(-f)^(5/2)) + (b*e*Sqrt[g]*n*Log[Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x])/(4*f*(e*(-f)^(3/2) + d*f*Sqrt[g])) + (3*Sqrt[g]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(4*(-f)^(5/2)) + (3*b*Sqrt[g]*n*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(4*(-f)^(5/2)) - (3*b*Sqrt[g]*n*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(4*(-f)^(5/2))}
+
+
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/Sqrt[2 + g*x^2], x, 10, (b*n*ArcSinh[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[2]]^2)/(2*Sqrt[g]) - (b*n*ArcSinh[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[2]]*Log[1 + (Sqrt[2]*e*E^ArcSinh[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[2]])/(d*Sqrt[g] - Sqrt[2*e^2 + d^2*g])])/Sqrt[g] - (b*n*ArcSinh[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[2]]*Log[1 + (Sqrt[2]*e*E^ArcSinh[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[2]])/(d*Sqrt[g] + Sqrt[2*e^2 + d^2*g])])/Sqrt[g] + (ArcSinh[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[2]]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/Sqrt[g] - (b*n*PolyLog[2, -((Sqrt[2]*e*E^ArcSinh[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[2]])/(d*Sqrt[g] - Sqrt[2*e^2 + d^2*g]))])/Sqrt[g] - (b*n*PolyLog[2, -((Sqrt[2]*e*E^ArcSinh[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[2]])/(d*Sqrt[g] + Sqrt[2*e^2 + d^2*g]))])/Sqrt[g]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/Sqrt[f + g*x^2], x, 11, (b*Sqrt[f]*n*Sqrt[1 + (g*x^2)/f]*ArcSinh[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]^2)/(2*Sqrt[g]*Sqrt[f + g*x^2]) - (b*Sqrt[f]*n*Sqrt[1 + (g*x^2)/f]*ArcSinh[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[1 + (e*E^ArcSinh[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Sqrt[f])/(d*Sqrt[g] - Sqrt[e^2*f + d^2*g])])/(Sqrt[g]*Sqrt[f + g*x^2]) - (b*Sqrt[f]*n*Sqrt[1 + (g*x^2)/f]*ArcSinh[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[1 + (e*E^ArcSinh[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Sqrt[f])/(d*Sqrt[g] + Sqrt[e^2*f + d^2*g])])/(Sqrt[g]*Sqrt[f + g*x^2]) + (Sqrt[f]*Sqrt[1 + (g*x^2)/f]*ArcSinh[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(Sqrt[g]*Sqrt[f + g*x^2]) - (b*Sqrt[f]*n*Sqrt[1 + (g*x^2)/f]*PolyLog[2, -((e*E^ArcSinh[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Sqrt[f])/(d*Sqrt[g] - Sqrt[e^2*f + d^2*g]))])/(Sqrt[g]*Sqrt[f + g*x^2]) - (b*Sqrt[f]*n*Sqrt[1 + (g*x^2)/f]*PolyLog[2, -((e*E^ArcSinh[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Sqrt[f])/(d*Sqrt[g] + Sqrt[e^2*f + d^2*g]))])/(Sqrt[g]*Sqrt[f + g*x^2])}
+
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(Sqrt[2 + g*x]*Sqrt[2 - g*x]), x, 9, (I*b*n*ArcSin[(g*x)/2]^2)/(2*g) - (b*n*ArcSin[(g*x)/2]*Log[1 + (2*e*E^(I*ArcSin[(g*x)/2]))/(I*d*g - Sqrt[4*e^2 - d^2*g^2])])/g - (b*n*ArcSin[(g*x)/2]*Log[1 + (2*e*E^(I*ArcSin[(g*x)/2]))/(I*d*g + Sqrt[4*e^2 - d^2*g^2])])/g + (ArcSin[(g*x)/2]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/g + (I*b*n*PolyLog[2, -((2*e*E^(I*ArcSin[(g*x)/2]))/(I*d*g - Sqrt[4*e^2 - d^2*g^2]))])/g + (I*b*n*PolyLog[2, -((2*e*E^(I*ArcSin[(g*x)/2]))/(I*d*g + Sqrt[4*e^2 - d^2*g^2]))])/g}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[f - g*x]), x, 11, (I*b*f*n*Sqrt[1 - (g^2*x^2)/f^2]*ArcSin[(g*x)/f]^2)/(2*g*Sqrt[f - g*x]*Sqrt[f + g*x]) - (b*f*n*Sqrt[1 - (g^2*x^2)/f^2]*ArcSin[(g*x)/f]*Log[1 + (e*E^(I*ArcSin[(g*x)/f])*f)/(I*d*g - Sqrt[e^2*f^2 - d^2*g^2])])/(g*Sqrt[f - g*x]*Sqrt[f + g*x]) - (b*f*n*Sqrt[1 - (g^2*x^2)/f^2]*ArcSin[(g*x)/f]*Log[1 + (e*E^(I*ArcSin[(g*x)/f])*f)/(I*d*g + Sqrt[e^2*f^2 - d^2*g^2])])/(g*Sqrt[f - g*x]*Sqrt[f + g*x]) + (f*Sqrt[1 - (g^2*x^2)/f^2]*ArcSin[(g*x)/f]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(g*Sqrt[f - g*x]*Sqrt[f + g*x]) + (I*b*f*n*Sqrt[1 - (g^2*x^2)/f^2]*PolyLog[2, -((e*E^(I*ArcSin[(g*x)/f])*f)/(I*d*g - Sqrt[e^2*f^2 - d^2*g^2]))])/(g*Sqrt[f - g*x]*Sqrt[f + g*x]) + (I*b*f*n*Sqrt[1 - (g^2*x^2)/f^2]*PolyLog[2, -((e*E^(I*ArcSin[(g*x)/f])*f)/(I*d*g + Sqrt[e^2*f^2 - d^2*g^2]))])/(g*Sqrt[f - g*x]*Sqrt[f + g*x])}
+
+
+{Log[2*e/(e + f*x)]/(e^2 - f^2*x^2), x, 2, PolyLog[2, 1 - (2*e)/(e + f*x)]/(2*e*f)}
+{Log[e/(e + f*x)]/(e^2 - f^2*x^2), x, 4, -((ArcTanh[(f*x)/e]*Log[2])/(e*f)) + PolyLog[2, 1 - (2*e)/(e + f*x)]/(2*e*f)}
+
+{(a + b*Log[2*e/(e + f*x)])/(e^2 - f^2*x^2), x, 4, (a*ArcTanh[(f*x)/e])/(e*f) + (b*PolyLog[2, 1 - (2*e)/(e + f*x)])/(2*e*f)}
+{(a + b*Log[e/(e + f*x)])/(e^2 - f^2*x^2), x, 4, (ArcTanh[(f*x)/e]*(a - b*Log[2]))/(e*f) + (b*PolyLog[2, 1 - (2*e)/(e + f*x)])/(2*e*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (f+g x^3)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*q>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{x^5*Log[c + d*x]/(a + b*x^3), x, 16, -((c^2*x)/(3*b*d^2)) + (c*x^2)/(6*b*d) - x^3/(9*b) + (c^3*Log[c + d*x])/(3*b*d^3) + (x^3*Log[c + d*x])/(3*b) - (a*Log[-((d*(a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*b^2) - (a*Log[-((d*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*c - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*b^2) - (a*Log[((-1)^(1/3)*d*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*c + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)]*Log[c + d*x])/(3*b^2) - (a*PolyLog[2, (b^(1/3)*(c + d*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d)])/(3*b^2) - (a*PolyLog[2, (b^(1/3)*(c + d*x))/(b^(1/3)*c + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)])/(3*b^2) - (a*PolyLog[2, (b^(1/3)*(c + d*x))/(b^(1/3)*c - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)])/(3*b^2)}
+{x^2*Log[c + d*x]/(a + b*x^3), x, 11, (Log[-((d*(a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*b) + (Log[-((d*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*c - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*b) + (Log[((-1)^(1/3)*d*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*c + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)]*Log[c + d*x])/(3*b) + PolyLog[2, (b^(1/3)*(c + d*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d)]/(3*b) + PolyLog[2, (b^(1/3)*(c + d*x))/(b^(1/3)*c + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)]/(3*b) + PolyLog[2, (b^(1/3)*(c + d*x))/(b^(1/3)*c - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)]/(3*b)}
+{Log[c + d*x]/(x^1*(a + b*x^3)), x, 15, (Log[-((d*x)/c)]*Log[c + d*x])/a - (Log[-((d*(a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*a) - (Log[-((d*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*c - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*a) - (Log[((-1)^(1/3)*d*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*c + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)]*Log[c + d*x])/(3*a) + PolyLog[2, 1 + (d*x)/c]/a - PolyLog[2, (b^(1/3)*(c + d*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d)]/(3*a) - PolyLog[2, (b^(1/3)*(c + d*x))/(b^(1/3)*c + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)]/(3*a) - PolyLog[2, (b^(1/3)*(c + d*x))/(b^(1/3)*c - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)]/(3*a)}
+{Log[c + d*x]/(x^4*(a + b*x^3)), x, 18, -(d/(6*a*c*x^2)) + d^2/(3*a*c^2*x) + (d^3*Log[x])/(3*a*c^3) - (d^3*Log[c + d*x])/(3*a*c^3) - Log[c + d*x]/(3*a*x^3) - (b*Log[-((d*x)/c)]*Log[c + d*x])/a^2 + (b*Log[-((d*(a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*a^2) + (b*Log[-((d*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*c - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*a^2) + (b*Log[((-1)^(1/3)*d*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*c + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)]*Log[c + d*x])/(3*a^2) + (b*PolyLog[2, (b^(1/3)*(c + d*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d)])/(3*a^2) + (b*PolyLog[2, (b^(1/3)*(c + d*x))/(b^(1/3)*c + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)])/(3*a^2) + (b*PolyLog[2, (b^(1/3)*(c + d*x))/(b^(1/3)*c - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)])/(3*a^2) - (b*PolyLog[2, 1 + (d*x)/c])/a^2}
+
+{x^4*Log[c + d*x]/(a + b*x^3), x, 16, (c*x)/(2*b*d) - x^2/(4*b) - (c^2*Log[c + d*x])/(2*b*d^2) + (x^2*Log[c + d*x])/(2*b) + (a^(2/3)*Log[-((d*(a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*b^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*a^(2/3)*Log[(d*(a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(1/3)*x))/((-1)^(1/3)*b^(1/3)*c + a^(1/3)*d)]*Log[c + d*x])/(3*b^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*a^(2/3)*Log[-((d*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*x))/((-1)^(2/3)*b^(1/3)*c - a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*b^(5/3)) + (a^(2/3)*PolyLog[2, (b^(1/3)*(c + d*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d)])/(3*b^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*a^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(2/3)*b^(1/3)*(c + d*x))/((-1)^(2/3)*b^(1/3)*c - a^(1/3)*d)])/(3*b^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*a^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*b^(1/3)*(c + d*x))/((-1)^(1/3)*b^(1/3)*c + a^(1/3)*d)])/(3*b^(5/3))}
+{x^3*Log[c + d*x]/(a + b*x^3), x, 15, -(x/b) + ((c + d*x)*Log[c + d*x])/(b*d) - (a^(1/3)*Log[-((d*(a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*b^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*Log[(d*(a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(1/3)*x))/((-1)^(1/3)*b^(1/3)*c + a^(1/3)*d)]*Log[c + d*x])/(3*b^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*Log[-((d*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*x))/((-1)^(2/3)*b^(1/3)*c - a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*b^(4/3)) - (a^(1/3)*PolyLog[2, (b^(1/3)*(c + d*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d)])/(3*b^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*PolyLog[2, ((-1)^(2/3)*b^(1/3)*(c + d*x))/((-1)^(2/3)*b^(1/3)*c - a^(1/3)*d)])/(3*b^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*b^(1/3)*(c + d*x))/((-1)^(1/3)*b^(1/3)*c + a^(1/3)*d)])/(3*b^(4/3))}
+{x^1*Log[c + d*x]/(a + b*x^3), x, 11, -((Log[-((d*(a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3))) + ((-1)^(1/3)*Log[(d*(a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(1/3)*x))/((-1)^(1/3)*b^(1/3)*c + a^(1/3)*d)]*Log[c + d*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(2/3)*Log[-((d*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*x))/((-1)^(2/3)*b^(1/3)*c - a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - PolyLog[2, (b^(1/3)*(c + d*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d)]/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(2/3)*b^(1/3)*(c + d*x))/((-1)^(2/3)*b^(1/3)*c - a^(1/3)*d)])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*b^(1/3)*(c + d*x))/((-1)^(1/3)*b^(1/3)*c + a^(1/3)*d)])/(3*a^(1/3)*b^(2/3))}
+{x^0*Log[c + d*x]/(a + b*x^3), x, 11, (Log[-((d*(a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*a^(2/3)*b^(1/3)) + ((-1)^(2/3)*Log[(d*(a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(1/3)*x))/((-1)^(1/3)*b^(1/3)*c + a^(1/3)*d)]*Log[c + d*x])/(3*a^(2/3)*b^(1/3)) - ((-1)^(1/3)*Log[-((d*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*x))/((-1)^(2/3)*b^(1/3)*c - a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*a^(2/3)*b^(1/3)) + PolyLog[2, (b^(1/3)*(c + d*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d)]/(3*a^(2/3)*b^(1/3)) - ((-1)^(1/3)*PolyLog[2, ((-1)^(2/3)*b^(1/3)*(c + d*x))/((-1)^(2/3)*b^(1/3)*c - a^(1/3)*d)])/(3*a^(2/3)*b^(1/3)) + ((-1)^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*b^(1/3)*(c + d*x))/((-1)^(1/3)*b^(1/3)*c + a^(1/3)*d)])/(3*a^(2/3)*b^(1/3))}
+{Log[c + d*x]/(x^2*(a + b*x^3)), x, 17, (d*Log[x])/(a*c) - (d*Log[c + d*x])/(a*c) - Log[c + d*x]/(a*x) + (b^(1/3)*Log[-((d*(a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*a^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(1/3)*Log[(d*(a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(1/3)*x))/((-1)^(1/3)*b^(1/3)*c + a^(1/3)*d)]*Log[c + d*x])/(3*a^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*b^(1/3)*Log[-((d*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*x))/((-1)^(2/3)*b^(1/3)*c - a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*a^(4/3)) + (b^(1/3)*PolyLog[2, (b^(1/3)*(c + d*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d)])/(3*a^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*b^(1/3)*PolyLog[2, ((-1)^(2/3)*b^(1/3)*(c + d*x))/((-1)^(2/3)*b^(1/3)*c - a^(1/3)*d)])/(3*a^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(1/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*b^(1/3)*(c + d*x))/((-1)^(1/3)*b^(1/3)*c + a^(1/3)*d)])/(3*a^(4/3))}
+{Log[c + d*x]/(x^3*(a + b*x^3)), x, 16, -(d/(2*a*c*x)) - (d^2*Log[x])/(2*a*c^2) + (d^2*Log[c + d*x])/(2*a*c^2) - Log[c + d*x]/(2*a*x^2) - (b^(2/3)*Log[-((d*(a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*Log[(d*(a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(1/3)*x))/((-1)^(1/3)*b^(1/3)*c + a^(1/3)*d)]*Log[c + d*x])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*Log[-((d*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*x))/((-1)^(2/3)*b^(1/3)*c - a^(1/3)*d))]*Log[c + d*x])/(3*a^(5/3)) - (b^(2/3)*PolyLog[2, (b^(1/3)*(c + d*x))/(b^(1/3)*c - a^(1/3)*d)])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(2/3)*b^(1/3)*(c + d*x))/((-1)^(2/3)*b^(1/3)*c - a^(1/3)*d)])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*b^(1/3)*(c + d*x))/((-1)^(1/3)*b^(1/3)*c + a^(1/3)*d)])/(3*a^(5/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (f+g x^4)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*q>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{x^7*Log[c + d*x]/(a + b*x^4), x, 23, (c^3*x)/(4*b*d^3) - (c^2*x^2)/(8*b*d^2) + (c*x^3)/(12*b*d) - x^4/(16*b) - (c^4*Log[c + d*x])/(4*b*d^4) + (x^4*Log[c + d*x])/(4*b) - (a*Log[(d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]*Log[c + d*x])/(4*b^2) - (a*Log[(d*((-a)^(1/4) - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)]*Log[c + d*x])/(4*b^2) - (a*Log[-((d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d))]*Log[c + d*x])/(4*b^2) - (a*Log[-((d*((-a)^(1/4) + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d))]*Log[c + d*x])/(4*b^2) - (a*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)])/(4*b^2) - (a*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)])/(4*b^2) - (a*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d)])/(4*b^2) - (a*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)])/(4*b^2)}
+{x^3*Log[c + d*x]/(a + b*x^4), x, 18, (Log[(d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]*Log[c + d*x])/(4*b) + (Log[(d*((-a)^(1/4) - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)]*Log[c + d*x])/(4*b) + (Log[-((d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d))]*Log[c + d*x])/(4*b) + (Log[-((d*((-a)^(1/4) + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d))]*Log[c + d*x])/(4*b) + PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]/(4*b) + PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]/(4*b) + PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d)]/(4*b) + PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)]/(4*b)}
+{Log[c + d*x]/(x^1*(a + b*x^4)), x, 22, (Log[-((d*x)/c)]*Log[c + d*x])/a - (Log[(d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]*Log[c + d*x])/(4*a) - (Log[(d*((-a)^(1/4) - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)]*Log[c + d*x])/(4*a) - (Log[-((d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d))]*Log[c + d*x])/(4*a) - (Log[-((d*((-a)^(1/4) + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d))]*Log[c + d*x])/(4*a) + PolyLog[2, 1 + (d*x)/c]/a - PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]/(4*a) - PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]/(4*a) - PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d)]/(4*a) - PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)]/(4*a)}
+
+{x^5*Log[c + d*x]/(a + b*x^4), x, 23, (c*x)/(2*b*d) - x^2/(4*b) - (c^2*Log[c + d*x])/(2*b*d^2) + (x^2*Log[c + d*x])/(2*b) - (Sqrt[-a]*Log[(d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]*Log[c + d*x])/(4*b^(3/2)) + (Sqrt[-a]*Log[(d*((-a)^(1/4) - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)]*Log[c + d*x])/(4*b^(3/2)) - (Sqrt[-a]*Log[-((d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d))]*Log[c + d*x])/(4*b^(3/2)) + (Sqrt[-a]*Log[-((d*((-a)^(1/4) + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d))]*Log[c + d*x])/(4*b^(3/2)) - (Sqrt[-a]*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)])/(4*b^(3/2)) - (Sqrt[-a]*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)])/(4*b^(3/2)) + (Sqrt[-a]*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d)])/(4*b^(3/2)) + (Sqrt[-a]*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)])/(4*b^(3/2))}
+{x^1*Log[c + d*x]/(a + b*x^4), x, 18, -((Log[(d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]*Log[c + d*x])/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b])) + (Log[(d*((-a)^(1/4) - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)]*Log[c + d*x])/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) - (Log[-((d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d))]*Log[c + d*x])/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) + (Log[-((d*((-a)^(1/4) + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d))]*Log[c + d*x])/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) - PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) - PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) + PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d)]/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) + PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)]/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b])}
+{Log[c + d*x]/(x^3*(a + b*x^4)), x, 23, -(d/(2*a*c*x)) - (d^2*Log[x])/(2*a*c^2) + (d^2*Log[c + d*x])/(2*a*c^2) - Log[c + d*x]/(2*a*x^2) - (Sqrt[b]*Log[(d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]*Log[c + d*x])/(4*(-a)^(3/2)) + (Sqrt[b]*Log[(d*((-a)^(1/4) - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)]*Log[c + d*x])/(4*(-a)^(3/2)) - (Sqrt[b]*Log[-((d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d))]*Log[c + d*x])/(4*(-a)^(3/2)) + (Sqrt[b]*Log[-((d*((-a)^(1/4) + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d))]*Log[c + d*x])/(4*(-a)^(3/2)) - (Sqrt[b]*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)])/(4*(-a)^(3/2)) - (Sqrt[b]*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)])/(4*(-a)^(3/2)) + (Sqrt[b]*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d)])/(4*(-a)^(3/2)) + (Sqrt[b]*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)])/(4*(-a)^(3/2))}
+
+{x^4*Log[c + d*x]/(a + b*x^4), x, 22, -(x/b) + ((c + d*x)*Log[c + d*x])/(b*d) + (Sqrt[-Sqrt[-a]]*Log[(d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]*Log[c + d*x])/(4*b^(5/4)) + ((-a)^(1/4)*Log[(d*((-a)^(1/4) - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)]*Log[c + d*x])/(4*b^(5/4)) - (Sqrt[-Sqrt[-a]]*Log[-((d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d))]*Log[c + d*x])/(4*b^(5/4)) - ((-a)^(1/4)*Log[-((d*((-a)^(1/4) + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d))]*Log[c + d*x])/(4*b^(5/4)) - (Sqrt[-Sqrt[-a]]*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)])/(4*b^(5/4)) + (Sqrt[-Sqrt[-a]]*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)])/(4*b^(5/4)) - ((-a)^(1/4)*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d)])/(4*b^(5/4)) + ((-a)^(1/4)*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)])/(4*b^(5/4))}
+{x^2*Log[c + d*x]/(a + b*x^4), x, 18, (Log[(d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]*Log[c + d*x])/(4*Sqrt[-Sqrt[-a]]*b^(3/4)) + (Log[(d*((-a)^(1/4) - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)]*Log[c + d*x])/(4*(-a)^(1/4)*b^(3/4)) - (Log[-((d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d))]*Log[c + d*x])/(4*Sqrt[-Sqrt[-a]]*b^(3/4)) - (Log[-((d*((-a)^(1/4) + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d))]*Log[c + d*x])/(4*(-a)^(1/4)*b^(3/4)) - PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]/(4*Sqrt[-Sqrt[-a]]*b^(3/4)) + PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]/(4*Sqrt[-Sqrt[-a]]*b^(3/4)) - PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d)]/(4*(-a)^(1/4)*b^(3/4)) + PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)]/(4*(-a)^(1/4)*b^(3/4))}
+{x^0*Log[c + d*x]/(a + b*x^4), x, 18, (Log[(d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]*Log[c + d*x])/(4*(-Sqrt[-a])^(3/2)*b^(1/4)) + (Log[(d*((-a)^(1/4) - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)]*Log[c + d*x])/(4*(-a)^(3/4)*b^(1/4)) - (Log[-((d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d))]*Log[c + d*x])/(4*(-Sqrt[-a])^(3/2)*b^(1/4)) - (Log[-((d*((-a)^(1/4) + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d))]*Log[c + d*x])/(4*(-a)^(3/4)*b^(1/4)) - PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]/(4*(-Sqrt[-a])^(3/2)*b^(1/4)) + PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]/(4*(-Sqrt[-a])^(3/2)*b^(1/4)) - PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d)]/(4*(-a)^(3/4)*b^(1/4)) + PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)]/(4*(-a)^(3/4)*b^(1/4))}
+{Log[c + d*x]/(x^2*(a + b*x^4)), x, 24, (d*Log[x])/(a*c) - (d*Log[c + d*x])/(a*c) - Log[c + d*x]/(a*x) + (b^(1/4)*Log[(d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)]*Log[c + d*x])/(4*(-Sqrt[-a])^(5/2)) + (b^(1/4)*Log[(d*((-a)^(1/4) - b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)]*Log[c + d*x])/(4*(-a)^(5/4)) - (b^(1/4)*Log[-((d*(Sqrt[-Sqrt[-a]] + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d))]*Log[c + d*x])/(4*(-Sqrt[-a])^(5/2)) - (b^(1/4)*Log[-((d*((-a)^(1/4) + b^(1/4)*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d))]*Log[c + d*x])/(4*(-a)^(5/4)) - (b^(1/4)*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)])/(4*(-Sqrt[-a])^(5/2)) + (b^(1/4)*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + Sqrt[-Sqrt[-a]]*d)])/(4*(-Sqrt[-a])^(5/2)) - (b^(1/4)*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c - (-a)^(1/4)*d)])/(4*(-a)^(5/4)) + (b^(1/4)*PolyLog[2, (b^(1/4)*(c + d*x))/(b^(1/4)*c + (-a)^(1/4)*d)])/(4*(-a)^(5/4))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (f+g / x^1)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{x^1*(f + g/x)^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x, 4, (b*(d*f - e*g)*n*x)/(2*e) - (b*n*(g + f*x)^2)/(4*f) - (b*(d*f - e*g)^2*n*Log[d + e*x])/(2*e^2*f) + ((g + f*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*f)}
+
+
+{x^2*(f + g/x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x, 4, -((b*(d*f - e*g)^2*n*x)/(3*e^2)) + (b*(d*f - e*g)*n*(g + f*x)^2)/(6*e*f) - (b*n*(g + f*x)^3)/(9*f) + (b*(d*f - e*g)^3*n*Log[d + e*x])/(3*e^3*f) + ((g + f*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*f)}
+
+
+{x^3*(f + g/x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x, 4, (b*(d*f - e*g)^3*n*x)/(4*e^3) - (b*(d*f - e*g)^2*n*(g + f*x)^2)/(8*e^2*f) + (b*(d*f - e*g)*n*(g + f*x)^3)/(12*e*f) - (b*n*(g + f*x)^4)/(16*f) - (b*(d*f - e*g)^4*n*Log[d + e*x])/(4*e^4*f) + ((g + f*x)^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(4*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(x^1*(f + g/x)^1), x, 4, ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[-((e*(g + f*x))/(d*f - e*g))])/f + (b*n*PolyLog[2, (f*(d + e*x))/(d*f - e*g)])/f}
+
+
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(x^2*(f + g/x)^2), x, 5, -((b*e*n*Log[d + e*x])/(f*(d*f - e*g))) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(f*(g + f*x)) + (b*e*n*Log[g + f*x])/(f*(d*f - e*g))}
+
+
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(x^3*(f + g/x)^3), x, 4, -((b*e*n)/(2*f*(d*f - e*g)*(g + f*x))) + (b*e^2*n*Log[d + e*x])/(2*f*(d*f - e*g)^2) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*f*(g + f*x)^2) - (b*e^2*n*Log[g + f*x])/(2*f*(d*f - e*g)^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (f+g / x^2)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])*)
+
+
+{Log[a + b*x]/(c + d/x^2), x, 12, -(x/c) + ((a + b*x)*Log[a + b*x])/(b*c) - (Sqrt[d]*Log[a + b*x]*Log[(b*(Sqrt[d] - Sqrt[-c]*x))/(a*Sqrt[-c] + b*Sqrt[d])])/(2*(-c)^(3/2)) + (Sqrt[d]*Log[a + b*x]*Log[-((b*(Sqrt[d] + Sqrt[-c]*x))/(a*Sqrt[-c] - b*Sqrt[d]))])/(2*(-c)^(3/2)) + (Sqrt[d]*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(a + b*x))/(a*Sqrt[-c] - b*Sqrt[d])])/(2*(-c)^(3/2)) - (Sqrt[d]*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(a + b*x))/(a*Sqrt[-c] + b*Sqrt[d])])/(2*(-c)^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (f+g x^2)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*q>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{x^5*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x^2), x, 28, -((2*a*b*d*f*n*x)/(e*g^2)) + (2*b^2*d*f*n^2*x)/(e*g^2) - (2*b^2*d^3*n^2*x)/(e^3*g) - (b^2*f*n^2*(d + e*x)^2)/(4*e^2*g^2) + (3*b^2*d^2*n^2*(d + e*x)^2)/(4*e^4*g) - (2*b^2*d*n^2*(d + e*x)^3)/(9*e^4*g) + (b^2*n^2*(d + e*x)^4)/(32*e^4*g) + (b^2*d^4*n^2*Log[d + e*x]^2)/(4*e^4*g) - (2*b^2*d*f*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e^2*g^2) + (2*b*d^3*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(e^4*g) + (b*f*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^2*g^2) - (3*b*d^2*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^4*g) + (2*b*d*n*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*e^4*g) - (b*n*(d + e*x)^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(8*e^4*g) - (b*d^4*n*Log[d + e*x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^4*g) + (x^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*g) + (d*f*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(e^2*g^2) - (f*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*e^2*g^2) + (f^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^3) + (f^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*g^3) + (b*f^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/g^3 + (b*f^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/g^3 - (b^2*f^2*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/g^3 - (b^2*f^2*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/g^3}
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x^2), x, 21, (2*a*b*d*n*x)/(e*g) - (2*b^2*d*n^2*x)/(e*g) + (b^2*n^2*(d + e*x)^2)/(4*e^2*g) + (2*b^2*d*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e^2*g) - (b*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^2*g) - (d*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(e^2*g) + ((d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*e^2*g) - (f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^2) - (f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*g^2) - (b*f*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/g^2 - (b*f*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/g^2 + (b^2*f*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/g^2 + (b^2*f*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/g^2}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x^2), x, 10, ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g) + ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*g) + (b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/g + (b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/g - (b^2*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/g - (b^2*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/g}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(x^1*(f + g*x^2)), x, 16, (Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/f - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f) - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*f) - (b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/f - (b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/f + (2*b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/f + (b^2*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/f + (b^2*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/f - (2*b^2*n^2*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d])/f}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(x^3*(f + g*x^2)), x, 23, (b^2*e^2*n^2*Log[x])/(d^2*f) - (b*e*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(d^2*f*x) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(2*f*x^2) - (g*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/f^2 + (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f^2) + (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*f^2) - (b*e^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[1 - d/(d + e*x)])/(d^2*f) + (b^2*e^2*n^2*PolyLog[2, d/(d + e*x)])/(d^2*f) + (b*g*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/f^2 + (b*g*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/f^2 - (2*b*g*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/f^2 - (b^2*g*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/f^2 - (b^2*g*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/f^2 + (2*b^2*g*n^2*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d])/f^2}
+
+{x^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x^2), x, 23, (2*a*b*f*n*x)/g^2 - (2*b^2*f*n^2*x)/g^2 + (2*b^2*d^2*n^2*x)/(e^2*g) - (b^2*d*n^2*(d + e*x)^2)/(2*e^3*g) + (2*b^2*n^2*(d + e*x)^3)/(27*e^3*g) - (b^2*d^3*n^2*Log[d + e*x]^2)/(3*e^3*g) + (2*b^2*f*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e*g^2) - (2*b*d^2*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(e^3*g) + (b*d*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(e^3*g) - (2*b*n*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(9*e^3*g) + (2*b*d^3*n*Log[d + e*x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*e^3*g) + (x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(3*g) - (f*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(e*g^2) + ((-f)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^(5/2)) - ((-f)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*g^(5/2)) - (b*(-f)^(3/2)*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/g^(5/2) + (b*(-f)^(3/2)*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/g^(5/2) + (b^2*(-f)^(3/2)*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/g^(5/2) - (b^2*(-f)^(3/2)*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/g^(5/2)}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x^2), x, 16, -((2*a*b*n*x)/g) + (2*b^2*n^2*x)/g - (2*b^2*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e*g) + ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(e*g) + (Sqrt[-f]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^(3/2)) - (Sqrt[-f]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*g^(3/2)) - (b*Sqrt[-f]*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/g^(3/2) + (b*Sqrt[-f]*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/g^(3/2) + (b^2*Sqrt[-f]*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/g^(3/2) - (b^2*Sqrt[-f]*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/g^(3/2)}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x^2), x, 10, ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (b^2*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (b^2*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(Sqrt[-f]*Sqrt[g])}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(x^2*(f + g*x^2)), x, 15, (2*b*e*n*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(d*f) - ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(d*f*x) + (Sqrt[g]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*(-f)^(3/2)) - (Sqrt[g]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*(-f)^(3/2)) - (b*Sqrt[g]*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(-f)^(3/2) + (b*Sqrt[g]*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(-f)^(3/2) + (2*b^2*e*n^2*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/(d*f) + (b^2*Sqrt[g]*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(-f)^(3/2) - (b^2*Sqrt[g]*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(-f)^(3/2)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(x^4*(f + g*x^2)), x, 26, -((b^2*e^2*n^2)/(3*d^2*f*x)) - (b^2*e^3*n^2*Log[x])/(d^3*f) + (b^2*e^3*n^2*Log[d + e*x])/(3*d^3*f) - (b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*d*f*x^2) + (2*b*e^2*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*d^3*f*x) - (2*b*e*g*n*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(d*f^2) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(3*f*x^3) + (g*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(d*f^2*x) + (g^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*(-f)^(5/2)) - (g^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*(-f)^(5/2)) + (2*b*e^3*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[1 - d/(d + e*x)])/(3*d^3*f) - (2*b^2*e^3*n^2*PolyLog[2, d/(d + e*x)])/(3*d^3*f) - (b*g^(3/2)*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(-f)^(5/2) + (b*g^(3/2)*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(-f)^(5/2) - (2*b^2*e*g*n^2*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/(d*f^2) + (b^2*g^(3/2)*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(-f)^(5/2) - (b^2*g^(3/2)*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(-f)^(5/2)}
+
+
+{x^5*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x^2)^2, x, 34, (2*a*b*d*n*x)/(e*g^2) - (2*b^2*d*n^2*x)/(e*g^2) + (b^2*n^2*(d + e*x)^2)/(4*e^2*g^2) + (2*b^2*d*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e^2*g^2) - (b*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^2*g^2) + (e^2*f^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*g^3*(e^2*f + d^2*g)) - (d*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(e^2*g^2) + ((d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*e^2*g^2) - (f^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*g^3*(f + g*x^2)) - (b*e*f*(e*f + d*Sqrt[-f]*Sqrt[g])*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^3*(e^2*f + d^2*g)) - (f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/g^3 - (b*e*(-f)^(3/2)*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*g^3*(e^2*f + d^2*g)) - (f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/g^3 - (b^2*e*(-f)^(3/2)*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*n^2*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*g^3*(e^2*f + d^2*g)) - (2*b*f*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/g^3 - (b^2*e*(-f)^(3/2)*(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])*n^2*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^3*(e^2*f + d^2*g)) - (2*b*f*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/g^3 + (2*b^2*f*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/g^3 + (2*b^2*f*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/g^3}
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x^2)^2, x, 25, -((e^2*f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*g^2*(e^2*f + d^2*g))) + (f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*g^2*(f + g*x^2)) + (b*e*(e*f + d*Sqrt[-f]*Sqrt[g])*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^2*(e^2*f + d^2*g)) + ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^2) + (b*e*(e*f - d*Sqrt[-f]*Sqrt[g])*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*g^2*(e^2*f + d^2*g)) + ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*g^2) - (b^2*e*Sqrt[-f]*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*n^2*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*g^2*(e^2*f + d^2*g)) + (b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/g^2 + (b^2*e*(e*f + d*Sqrt[-f]*Sqrt[g])*n^2*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^2*(e^2*f + d^2*g)) + (b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/g^2 - (b^2*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/g^2 - (b^2*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/g^2}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x^2)^2, x, 13, (e^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*g*(e^2*f + d^2*g)) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(2*g*(f + g*x^2)) - (b*e*(e*f + d*Sqrt[-f]*Sqrt[g])*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f*g*(e^2*f + d^2*g)) - (b*e*(e*f - d*Sqrt[-f]*Sqrt[g])*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*f*g*(e^2*f + d^2*g)) - (b^2*e*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*n^2*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*Sqrt[-f]*g*(e^2*f + d^2*g)) - (b^2*e*(e*f + d*Sqrt[-f]*Sqrt[g])*n^2*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f*g*(e^2*f + d^2*g))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(x^1*(f + g*x^2)^2), x, 29, -((e^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*f*(e^2*f + d^2*g))) + (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(2*f*(f + g*x^2)) + (Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/f^2 + (b*e*(e*f + d*Sqrt[-f]*Sqrt[g])*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f^2*(e^2*f + d^2*g)) - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f^2) + (b*e*(e*f - d*Sqrt[-f]*Sqrt[g])*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*f^2*(e^2*f + d^2*g)) - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*f^2) - (b^2*e*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*n^2*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*(-f)^(3/2)*(e^2*f + d^2*g)) - (b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/f^2 + (b^2*e*(e*f + d*Sqrt[-f]*Sqrt[g])*n^2*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f^2*(e^2*f + d^2*g)) - (b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/f^2 + (2*b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/f^2 + (b^2*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/f^2 + (b^2*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/f^2 - (2*b^2*n^2*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d])/f^2}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(x^3*(f + g*x^2)^2), x, 36, (b^2*e^2*n^2*Log[x])/(d^2*f^2) - (b*e*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(d^2*f^2*x) + (e^2*g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*f^2*(e^2*f + d^2*g)) - (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(2*f^2*x^2) - (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*f^2*(f + g*x^2)) - (2*g*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/f^3 - (b*e*(e*f + d*Sqrt[-f]*Sqrt[g])*g*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f^3*(e^2*f + d^2*g)) + (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/f^3 - (b*e*(e*f - d*Sqrt[-f]*Sqrt[g])*g*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*f^3*(e^2*f + d^2*g)) + (g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/f^3 - (b*e^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[1 - d/(d + e*x)])/(d^2*f^2) + (b^2*e^2*n^2*PolyLog[2, d/(d + e*x)])/(d^2*f^2) - (b^2*e*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*g*n^2*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*(-f)^(5/2)*(e^2*f + d^2*g)) + (2*b*g*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/f^3 - (b^2*e*(e*f + d*Sqrt[-f]*Sqrt[g])*g*n^2*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f^3*(e^2*f + d^2*g)) + (2*b*g*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/f^3 - (4*b*g*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/f^3 - (2*b^2*g*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/f^3 - (2*b^2*g*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/f^3 + (4*b^2*g*n^2*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d])/f^3}
+
+{x^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x^2)^2, x, 36, -((2*a*b*n*x)/g^2) + (2*b^2*n^2*x)/g^2 - (2*b^2*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e*g^2) + ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(e*g^2) - (f*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*g^2*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x)) - (f*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])*g^2*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x)) - (b*e*f*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*g^(5/2)) + (3*Sqrt[-f]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(4*g^(5/2)) + (b*e*f*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])*g^(5/2)) - (3*Sqrt[-f]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(4*g^(5/2)) + (b^2*e*f*n^2*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])*g^(5/2)) - (3*b*Sqrt[-f]*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*g^(5/2)) - (b^2*e*f*n^2*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*g^(5/2)) + (3*b*Sqrt[-f]*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^(5/2)) + (3*b^2*Sqrt[-f]*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*g^(5/2)) - (3*b^2*Sqrt[-f]*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*g^(5/2))}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x^2)^2, x, 32, ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*g*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x)) + ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])*g*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x)) + (b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*g^(3/2)) + ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(4*Sqrt[-f]*g^(3/2)) - (b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])*g^(3/2)) - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(4*Sqrt[-f]*g^(3/2)) - (b^2*e*n^2*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])*g^(3/2)) - (b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*Sqrt[-f]*g^(3/2)) + (b^2*e*n^2*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*g^(3/2)) + (b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]*g^(3/2)) + (b^2*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*Sqrt[-f]*g^(3/2)) - (b^2*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]*g^(3/2))}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(f + g*x^2)^2, x, 20, -(((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*f*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))) - ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*f*(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x)) - (b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*Sqrt[g]) - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(4*(-f)^(3/2)*Sqrt[g]) - (b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*(e*(-f)^(3/2) + d*f*Sqrt[g])*Sqrt[g]) + ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(4*(-f)^(3/2)*Sqrt[g]) - (b^2*e*n^2*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*(e*(-f)^(3/2) + d*f*Sqrt[g])*Sqrt[g]) + (b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*(-f)^(3/2)*Sqrt[g]) - (b^2*e*n^2*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*Sqrt[g]) - (b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*(-f)^(3/2)*Sqrt[g]) - (b^2*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*(-f)^(3/2)*Sqrt[g]) + (b^2*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*(-f)^(3/2)*Sqrt[g])}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/(x^2*(f + g*x^2)^2), x, 35, (2*b*e*n*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(d*f^2) - ((d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(d*f^2*x) + (g*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*f^2*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x)) + (g*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*f^2*(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x)) + (b*e*Sqrt[g]*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f^2*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])) - (3*Sqrt[g]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(4*(-f)^(5/2)) + (b*e*Sqrt[g]*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*f*(e*(-f)^(3/2) + d*f*Sqrt[g])) + (3*Sqrt[g]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(4*(-f)^(5/2)) + (b^2*e*Sqrt[g]*n^2*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*f*(e*(-f)^(3/2) + d*f*Sqrt[g])) + (3*b*Sqrt[g]*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*(-f)^(5/2)) + (b^2*e*Sqrt[g]*n^2*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f^2*(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])) - (3*b*Sqrt[g]*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*(-f)^(5/2)) + (2*b^2*e*n^2*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/(d*f^2) - (3*b^2*Sqrt[g]*n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*(-f)^(5/2)) + (3*b^2*Sqrt[g]*n^2*PolyLog[3, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*(-f)^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x^2)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*q>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{Log[c*(a + b*x)^n]^3/(d + e*x^2), x, 12, (Log[c*(a + b*x)^n]^3*Log[(b*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(b*Sqrt[-d] + a*Sqrt[e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (Log[c*(a + b*x)^n]^3*Log[(b*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(b*Sqrt[-d] - a*Sqrt[e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (3*n*Log[c*(a + b*x)^n]^2*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*(a + b*x))/(b*Sqrt[-d] - a*Sqrt[e]))])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (3*n*Log[c*(a + b*x)^n]^2*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(a + b*x))/(b*Sqrt[-d] + a*Sqrt[e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (3*n^2*Log[c*(a + b*x)^n]*PolyLog[3, -((Sqrt[e]*(a + b*x))/(b*Sqrt[-d] - a*Sqrt[e]))])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (3*n^2*Log[c*(a + b*x)^n]*PolyLog[3, (Sqrt[e]*(a + b*x))/(b*Sqrt[-d] + a*Sqrt[e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (3*n^3*PolyLog[4, -((Sqrt[e]*(a + b*x))/(b*Sqrt[-d] - a*Sqrt[e]))])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (3*n^3*PolyLog[4, (Sqrt[e]*(a + b*x))/(b*Sqrt[-d] + a*Sqrt[e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e])}
+{Log[c*(a + b*x)^n]^2/(d + e*x^2), x, 10, (Log[c*(a + b*x)^n]^2*Log[(b*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(b*Sqrt[-d] + a*Sqrt[e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (Log[c*(a + b*x)^n]^2*Log[(b*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(b*Sqrt[-d] - a*Sqrt[e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (n*Log[c*(a + b*x)^n]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*(a + b*x))/(b*Sqrt[-d] - a*Sqrt[e]))])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (n*Log[c*(a + b*x)^n]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(a + b*x))/(b*Sqrt[-d] + a*Sqrt[e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (n^2*PolyLog[3, -((Sqrt[e]*(a + b*x))/(b*Sqrt[-d] - a*Sqrt[e]))])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (n^2*PolyLog[3, (Sqrt[e]*(a + b*x))/(b*Sqrt[-d] + a*Sqrt[e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e])}
+{Log[c*(a + b*x)^n]/(d + e*x^2), x, 8, (Log[c*(a + b*x)^n]*Log[(b*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(b*Sqrt[-d] + a*Sqrt[e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (Log[c*(a + b*x)^n]*Log[(b*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(b*Sqrt[-d] - a*Sqrt[e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (n*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*(a + b*x))/(b*Sqrt[-d] - a*Sqrt[e]))])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (n*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(a + b*x))/(b*Sqrt[-d] + a*Sqrt[e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e])}
+{1/((d + e*x^2)*Log[c*(a + b*x)^n]), x, 2, -(Unintegrable[1/((Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)*Log[c*(a + b*x)^n]), x]/(2*Sqrt[-d])) - Unintegrable[1/((Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)*Log[c*(a + b*x)^n]), x]/(2*Sqrt[-d])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (h+i x)^m (f+g x^r)^q (a+b Log[c (d+e x)^n])^p*)
+
+
+{Log[c - a*(1 - c)/(b*x^m)]/(x*(a + b*x^m)), x, 4, PolyLog[2, ((1 - c)*(b + a/x^m))/b]/(a*m)}
+{Log[(-a + a*c + b*c*x^m)/(b*x^m)]/(x*(a + b*x^m)), x, 5, PolyLog[2, ((1 - c)*(b + a/x^m))/b]/(a*m)}
+
+{Log[c*(a - (d - a*c*d)/(c*e*x^m))]/(x*(d + e*x^m)), x, 4, PolyLog[2, ((1 - a*c)*(e + d/x^m))/e]/(d*m)}
+{Log[(-d + a*c*d + a*c*e*x^m)/(e*x^m)]/(x*(d + e*x^m)), x, 5, PolyLog[2, ((1 - a*c)*(e + d/x^m))/e]/(d*m)}
+
+
+{Log[(2*a)/(a + b*x)]/(a^2 - b^2*x^2), x, 2, PolyLog[2, 1 - (2*a)/(a + b*x)]/(2*a*b)}
+{Log[(2*a)/(a + b*x)]/((a - b*x)*(a + b*x)), x, 4, PolyLog[2, 1 - (2*a)/(a + b*x)]/(2*a*b)}
+
+{Log[(a*(1 - c) + b*(1 + c)*x)/(a + b*x)]/(a^2 - b^2*x^2), x, 1, PolyLog[2, 1 - (a*(1 - c) + b*(1 + c)*x)/(a + b*x)]/(2*a*b)}
+{Log[(a*(1 - c) + b*(1 + c)*x)/(a + b*x)]/((a - b*x)*(a + b*x)), x, 2, PolyLog[2, (c*(a - b*x))/(a + b*x)]/(2*a*b)}
+
+{Log[1 - (c*(a - b*x))/(a + b*x)]/(a^2 - b^2*x^2), x, 1, PolyLog[2, c*((a - b*x)/(a + b*x))]/(2*a*b)}
+{Log[1 - (c*(a - b*x))/(a + b*x)]/((a - b*x)*(a + b*x)), x, 3, PolyLog[2, c*((a - b*x)/(a + b*x))]/(2*a*b)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x+i x^2)^m (a+b Log[c (d+e x)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Log[c (a+b x)^n]^p / (d + e x + f x^2)*)
+
+
+{Log[c*(a + b*x)^n]^3/(d*x + e*x^2), x, 13, (Log[-((b*x)/a)]*Log[c*(a + b*x)^n]^3)/d - (Log[c*(a + b*x)^n]^3*Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/d - (3*n*Log[c*(a + b*x)^n]^2*PolyLog[2, -((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])/d + (3*n*Log[c*(a + b*x)^n]^2*PolyLog[2, 1 + (b*x)/a])/d + (6*n^2*Log[c*(a + b*x)^n]*PolyLog[3, -((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])/d - (6*n^2*Log[c*(a + b*x)^n]*PolyLog[3, 1 + (b*x)/a])/d - (6*n^3*PolyLog[4, -((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])/d + (6*n^3*PolyLog[4, 1 + (b*x)/a])/d}
+{Log[c*(a + b*x)^n]^2/(d*x + e*x^2), x, 11, (Log[-((b*x)/a)]*Log[c*(a + b*x)^n]^2)/d - (Log[c*(a + b*x)^n]^2*Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/d - (2*n*Log[c*(a + b*x)^n]*PolyLog[2, -((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])/d + (2*n*Log[c*(a + b*x)^n]*PolyLog[2, 1 + (b*x)/a])/d + (2*n^2*PolyLog[3, -((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])/d - (2*n^2*PolyLog[3, 1 + (b*x)/a])/d}
+{Log[c*(a + b*x)^n]/(d*x + e*x^2), x, 8, (Log[-((b*x)/a)]*Log[c*(a + b*x)^n])/d - (Log[c*(a + b*x)^n]*Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/d + (n*PolyLog[2, 1 + (b*x)/a])/d - (n*PolyLog[2, -((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])/d}
+{1/((d*x + e*x^2)*Log[c*(a + b*x)^n]), x, 3, Unintegrable[1/(x*Log[c*(a + b*x)^n]), x]/d - (e*Unintegrable[1/((d + e*x)*Log[c*(a + b*x)^n]), x])/d}
+
+
+{Log[c*(a + b*x)^n]^3/(d + e*x + f*x^2), x, 12, (Log[c*(a + b*x)^n]^3*Log[-((b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*f*x))/(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] - (Log[c*(a + b*x)^n]^3*Log[-((b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*f*x))/(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] + (3*n*Log[c*(a + b*x)^n]^2*PolyLog[2, (2*f*(a + b*x))/(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] - (3*n*Log[c*(a + b*x)^n]^2*PolyLog[2, (2*f*(a + b*x))/(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] - (6*n^2*Log[c*(a + b*x)^n]*PolyLog[3, (2*f*(a + b*x))/(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] + (6*n^2*Log[c*(a + b*x)^n]*PolyLog[3, (2*f*(a + b*x))/(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] + (6*n^3*PolyLog[4, (2*f*(a + b*x))/(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] - (6*n^3*PolyLog[4, (2*f*(a + b*x))/(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f]}
+{Log[c*(a + b*x)^n]^2/(d + e*x + f*x^2), x, 10, (Log[c*(a + b*x)^n]^2*Log[-((b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*f*x))/(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] - (Log[c*(a + b*x)^n]^2*Log[-((b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*f*x))/(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] + (2*n*Log[c*(a + b*x)^n]*PolyLog[2, (2*f*(a + b*x))/(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] - (2*n*Log[c*(a + b*x)^n]*PolyLog[2, (2*f*(a + b*x))/(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] - (2*n^2*PolyLog[3, (2*f*(a + b*x))/(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] + (2*n^2*PolyLog[3, (2*f*(a + b*x))/(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f]}
+{Log[c*(a + b*x)^n]/(d + e*x + f*x^2), x, 8, (Log[c*(a + b*x)^n]*Log[-((b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*f*x))/(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] - (Log[c*(a + b*x)^n]*Log[-((b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*f*x))/(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] + (n*PolyLog[2, (2*f*(a + b*x))/(2*a*f - b*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] - (n*PolyLog[2, (2*f*(a + b*x))/(2*a*f - b*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f]}
+{1/((d + e*x + f*x^2)*Log[c*(a + b*x)^n]), x, 2, (2*f*Unintegrable[1/((e - Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*f*x)*Log[c*(a + b*x)^n]), x])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] - (2*f*Unintegrable[1/((e + Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*f*x)*Log[c*(a + b*x)^n]), x])/Sqrt[e^2 - 4*d*f]}
+
+
+{x^3*Log[x]/(a + b*x + c*x^2), x, 10, (b*x)/c^2 - x^2/(4*c) - (b*x*Log[x])/c^2 + (x^2*Log[x])/(2*c) + ((b^2 - a*c - (b*(b^2 - 3*a*c))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Log[x]*Log[1 + (2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(2*c^3) + ((b^2 - a*c + (b*(b^2 - 3*a*c))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Log[x]*Log[1 + (2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(2*c^3) + ((b^2 - a*c - (b*(b^2 - 3*a*c))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*PolyLog[2, -((2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(2*c^3) + ((b^2 - a*c + (b*(b^2 - 3*a*c))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*PolyLog[2, -((2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(2*c^3)}
+{x^2*Log[x]/(a + b*x + c*x^2), x, 9, -(x/c) + (x*Log[x])/c - ((b - (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Log[x]*Log[1 + (2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(2*c^2) - ((b + (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Log[x]*Log[1 + (2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(2*c^2) - ((b - (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*PolyLog[2, -((2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(2*c^2) - ((b + (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*PolyLog[2, -((2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(2*c^2)}
+{x^1*Log[x]/(a + b*x + c*x^2), x, 6, ((1 - b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Log[x]*Log[1 + (2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(2*c) + ((1 + b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Log[x]*Log[1 + (2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(2*c) + ((1 - b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*PolyLog[2, -((2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(2*c) + ((1 + b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*PolyLog[2, -((2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(2*c)}
+{x^0*Log[x]/(a + b*x + c*x^2), x, 6, (Log[x]*Log[1 + (2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (Log[x]*Log[1 + (2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/Sqrt[b^2 - 4*a*c] + PolyLog[2, -((2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))]/Sqrt[b^2 - 4*a*c] - PolyLog[2, -((2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))]/Sqrt[b^2 - 4*a*c]}
+{Log[x]/(x^1*(a + b*x + c*x^2)), x, 9, Log[x]^2/(2*a) - ((1 + b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Log[x]*Log[1 + (2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(2*a) - ((1 - b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Log[x]*Log[1 + (2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(2*a) - ((1 + b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*PolyLog[2, -((2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(2*a) - ((1 - b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*PolyLog[2, -((2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(2*a)}
+{Log[x]/(x^2*(a + b*x + c*x^2)), x, 10, -(1/(a*x)) - Log[x]/(a*x) - (b*Log[x]^2)/(2*a^2) + ((b + (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Log[x]*Log[1 + (2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(2*a^2) + ((b - (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Log[x]*Log[1 + (2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(2*a^2) + ((b + (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*PolyLog[2, -((2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(2*a^2) + ((b - (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*PolyLog[2, -((2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(2*a^2)}
+{Log[x]/(x^3*(a + b*x + c*x^2)), x, 11, -(1/(4*a*x^2)) + b/(a^2*x) - Log[x]/(2*a*x^2) + (b*Log[x])/(a^2*x) + ((b^2 - a*c)*Log[x]^2)/(2*a^3) - ((b^2 - a*c + (b*(b^2 - 3*a*c))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Log[x]*Log[1 + (2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(2*a^3) - ((b^2 - a*c - (b*(b^2 - 3*a*c))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Log[x]*Log[1 + (2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(2*a^3) - ((b^2 - a*c + (b*(b^2 - 3*a*c))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*PolyLog[2, -((2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(2*a^3) - ((b^2 - a*c - (b*(b^2 - 3*a*c))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*PolyLog[2, -((2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(2*a^3)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form EF[x] (a+b Log[c (d+e x)^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g x)^q Log[f x^m] (a+b Log[c (d+e x)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q Log[f x^m] (a+b Log[c (d+e x)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x, 11, -((5*b*d^3*m*n*x)/(16*e^3)) + (3*b*d^2*m*n*x^2)/(32*e^2) - (7*b*d*m*n*x^3)/(144*e) + (1/32)*b*m*n*x^4 + (b*d^3*n*x*Log[f*x^m])/(4*e^3) - (b*d^2*n*x^2*Log[f*x^m])/(8*e^2) + (b*d*n*x^3*Log[f*x^m])/(12*e) - (1/16)*b*n*x^4*Log[f*x^m] + (b*d^4*m*n*Log[d + e*x])/(16*e^4) - (1/16)*(m*x^4 - 4*x^4*Log[f*x^m])*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) - (b*d^4*n*Log[f*x^m]*Log[1 + (e*x)/d])/(4*e^4) - (b*d^4*m*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/(4*e^4)}
+{x^2*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x, 10, (4*b*d^2*m*n*x)/(9*e^2) - (5*b*d*m*n*x^2)/(36*e) + (2/27)*b*m*n*x^3 - (b*d^2*n*x*Log[f*x^m])/(3*e^2) + (b*d*n*x^2*Log[f*x^m])/(6*e) - (1/9)*b*n*x^3*Log[f*x^m] - (b*d^3*m*n*Log[d + e*x])/(9*e^3) - (1/9)*(m*x^3 - 3*x^3*Log[f*x^m])*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) + (b*d^3*n*Log[f*x^m]*Log[1 + (e*x)/d])/(3*e^3) + (b*d^3*m*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/(3*e^3)}
+{x^1*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x, 9, -((3*b*d*m*n*x)/(4*e)) + (1/4)*b*m*n*x^2 + (b*d*n*x*Log[f*x^m])/(2*e) - (1/4)*b*n*x^2*Log[f*x^m] + (b*d^2*m*n*Log[d + e*x])/(4*e^2) - (1/4)*(m*x^2 - 2*x^2*Log[f*x^m])*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) - (b*d^2*n*Log[f*x^m]*Log[1 + (e*x)/d])/(2*e^2) - (b*d^2*m*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/(2*e^2)}
+{x^0*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x, 8, 2*b*m*n*x - b*n*x*Log[f*x^m] - (b*d*m*n*Log[d + e*x])/e - x*(m - Log[f*x^m])*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) + (b*d*n*Log[f*x^m]*Log[1 + (e*x)/d])/e + (b*d*m*n*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/e}
+{Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/x^1, x, 4, (Log[f*x^m]^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*m) - (b*n*Log[f*x^m]^2*Log[1 + (e*x)/d])/(2*m) - b*n*Log[f*x^m]*PolyLog[2, -((e*x)/d)] + b*m*n*PolyLog[3, -((e*x)/d)]}
+{Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/x^2, x, 6, (b*e*m*n*Log[x])/d - (b*e*n*Log[1 + d/(e*x)]*Log[f*x^m])/d - (b*e*m*n*Log[d + e*x])/d - (m/x + Log[f*x^m]/x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) + (b*e*m*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/d}
+{Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/x^3, x, 7, -((3*b*e*m*n)/(4*d*x)) - (b*e^2*m*n*Log[x])/(4*d^2) - (b*e*n*Log[f*x^m])/(2*d*x) + (b*e^2*n*Log[1 + d/(e*x)]*Log[f*x^m])/(2*d^2) + (b*e^2*m*n*Log[d + e*x])/(4*d^2) - (1/4)*(m/x^2 + (2*Log[f*x^m])/x^2)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) - (b*e^2*m*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/(2*d^2)}
+{Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/x^4, x, 9, -((5*b*e*m*n)/(36*d*x^2)) + (4*b*e^2*m*n)/(9*d^2*x) + (b*e^3*m*n*Log[x])/(9*d^3) - (b*e*n*Log[f*x^m])/(6*d*x^2) + (b*e^2*n*Log[f*x^m])/(3*d^2*x) - (b*e^3*n*Log[1 + d/(e*x)]*Log[f*x^m])/(3*d^3) - (b*e^3*m*n*Log[d + e*x])/(9*d^3) - (1/9)*(m/x^3 + (3*Log[f*x^m])/x^3)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) + (b*e^3*m*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/(3*d^3)}
+{Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/x^5, x, 11, -((7*b*e*m*n)/(144*d*x^3)) + (3*b*e^2*m*n)/(32*d^2*x^2) - (5*b*e^3*m*n)/(16*d^3*x) - (b*e^4*m*n*Log[x])/(16*d^4) - (b*e*n*Log[f*x^m])/(12*d*x^3) + (b*e^2*n*Log[f*x^m])/(8*d^2*x^2) - (b*e^3*n*Log[f*x^m])/(4*d^3*x) + (b*e^4*n*Log[1 + d/(e*x)]*Log[f*x^m])/(4*d^4) + (b*e^4*m*n*Log[d + e*x])/(16*d^4) - (1/16)*(m/x^4 + (4*Log[f*x^m])/x^4)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) - (b*e^4*m*n*PolyLog[2, -(d/(e*x))])/(4*d^4)}
+
+
+{x^2*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2, x, 52, (2*a*b*d^2*m*n*x)/(9*e^2) - (71*b^2*d^2*m*n^2*x)/(54*e^2) + (b*d^2*m*n*(6*a - 11*b*n)*x)/(9*e^2) + (19*b^2*d*m*n^2*x^2)/(54*e) - (2/27)*b^2*m*n^2*x^3 - (2*a*b*d^2*n*x*Log[f*x^m])/(3*e^2) + (11*b^2*d^2*n^2*x*Log[f*x^m])/(9*e^2) - (5*b^2*d*n^2*x^2*Log[f*x^m])/(18*e) + (2/27)*b^2*n^2*x^3*Log[f*x^m] + (23*b^2*d^3*m*n^2*Log[d + e*x])/(54*e^3) + (5*b^2*d^3*m*n^2*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/(9*e^3) - (5*b^2*d^3*n^2*Log[f*x^m]*Log[d + e*x])/(9*e^3) + (8*b^2*d^2*m*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(9*e^3) + (2*b^2*d^3*m*n*Log[-((e*x)/d)]*Log[c*(d + e*x)^n])/(3*e^3) - (2*b^2*d^2*n*(d + e*x)*Log[f*x^m]*Log[c*(d + e*x)^n])/(3*e^3) - (5*b*d*m*n*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(18*e) + (4/27)*b*m*n*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) + (b*d*n*x^2*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*e) - (2/9)*b*n*x^3*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) - (d^3*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(9*e^3) - (1/9)*m*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2 - (d^3*m*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(3*e^3) + (d^3*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(3*e^3) + (1/3)*x^3*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2 + (11*b^2*d^3*m*n^2*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/(9*e^3) - (2*b*d^3*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/(3*e^3) + (2*b^2*d^3*m*n^2*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d])/(3*e^3), (11*a*b*d^2*m*n*x)/(9*e^2) - (28*b^2*d^2*m*n^2*x)/(9*e^2) + (5*b^2*d*m*n^2*x^2)/(36*e) - (2/81)*b^2*m*n^2*x^3 + (13*b^2*d*m*n^2*(d + e*x)^2)/(36*e^3) - (4*b^2*m*n^2*(d + e*x)^3)/(81*e^3) + (23*b^2*d^3*m*n^2*Log[x])/(54*e^3) + (2*b^2*d^2*n^2*x*Log[f*x^m])/e^2 - (b^2*d*n^2*(d + e*x)^2*Log[f*x^m])/(2*e^3) + (2*b^2*n^2*(d + e*x)^3*Log[f*x^m])/(27*e^3) + (b^2*d^3*m*n^2*Log[d + e*x]^2)/(9*e^3) + (b^2*d^3*m*n^2*Log[x]*Log[d + e*x]^2)/(3*e^3) - (b^2*d^3*n^2*Log[f*x^m]*Log[d + e*x]^2)/(3*e^3) + (11*b^2*d^2*m*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(9*e^3) + (2*b*d^2*m*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*e^3) - (13*b*d*m*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(18*e^3) + (4*b*m*n*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(27*e^3) + (11*b*d^3*m*n*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(9*e^3) - (2*b*d^2*n*(d + e*x)*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/e^3 + (b*d*n*(d + e*x)^2*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/e^3 - (2*b*n*(d + e*x)^3*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(9*e^3) - (2*b*d^3*m*n*Log[d + e*x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(9*e^3) - (2*b*d^3*m*n*Log[x]*Log[d + e*x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*e^3) + (2*b*d^3*n*Log[f*x^m]*Log[d + e*x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*e^3) - (1/9)*m*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2 + (d^3*m*Log[x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(3*e^3) - (d^3*m*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(3*e^3) + (1/3)*x^3*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2 + (11*b^2*d^3*m*n^2*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/(9*e^3) - (2*b*d^3*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/(3*e^3) + (2*b^2*d^3*m*n^2*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d])/(3*e^3)}
+{x^1*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2, x, 38, -((a*b*d*m*n*x)/(2*e)) + (2*b^2*d*m*n^2*x)/e - (2*b*d*m*n*(a - b*n)*x)/e - (1/8)*b^2*m*n^2*x^2 - (b^2*m*n^2*(d + e*x)^2)/(4*e^2) - (b^2*d^2*m*n^2*Log[x])/(4*e^2) + (2*a*b*d*n*x*Log[f*x^m])/e - (2*b^2*d*n^2*x*Log[f*x^m])/e + (b^2*n^2*(d + e*x)^2*Log[f*x^m])/(4*e^2) - (5*b^2*d*m*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*e^2) - (2*b^2*d^2*m*n*Log[-((e*x)/d)]*Log[c*(d + e*x)^n])/e^2 + (2*b^2*d*n*(d + e*x)*Log[f*x^m]*Log[c*(d + e*x)^n])/e^2 + (b*m*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^2) + (b*d^2*m*n*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^2) - (b*n*(d + e*x)^2*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^2) + (d*m*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*e^2) - (m*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*e^2) + (d^2*m*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*e^2) - (d*(d + e*x)*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e^2 + ((d + e*x)^2*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*e^2) - (3*b^2*d^2*m*n^2*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/(2*e^2) + (b*d^2*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e^2 - (b^2*d^2*m*n^2*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d])/e^2}
+{x^0*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2, x, 17, 2*a*b*m*n*x - 4*b^2*m*n^2*x + 2*b*m*n*(a - b*n)*x - 2*a*b*n*x*Log[f*x^m] + 2*b^2*n^2*x*Log[f*x^m] + (4*b^2*m*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e + (2*b^2*d*m*n*Log[-((e*x)/d)]*Log[c*(d + e*x)^n])/e - (2*b^2*n*(d + e*x)*Log[f*x^m]*Log[c*(d + e*x)^n])/e - (m*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e - (d*m*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e + ((d + e*x)*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e + (2*b^2*d*m*n^2*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e - (2*b*d*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e + (2*b^2*d*m*n^2*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d])/e}
+{Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/x^1, x, -1, (1/2)*m*Log[x]^2*(a - b*n*Log[d + e*x] + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2 + Log[x]*((-m)*Log[x] + Log[f*x^m])*(a - b*n*Log[d + e*x] + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2 + 2*b*n*((-m)*Log[x] + Log[f*x^m])*(a - b*n*Log[d + e*x] + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(Log[x]*(Log[d + e*x] - Log[1 + (e*x)/d]) - PolyLog[2, -((e*x)/d)]) + 2*b*m*n*(a - b*n*Log[d + e*x] + b*Log[c*(d + e*x)^n])*((1/2)*Log[x]^2*(Log[d + e*x] - Log[1 + (e*x)/d]) - Log[x]*PolyLog[2, -((e*x)/d)] + PolyLog[3, -((e*x)/d)]) - b^2*n^2*(m*Log[x] - Log[f*x^m])*(Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x]^2 + 2*Log[d + e*x]*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d] - 2*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d]) + (1/12)*b^2*m*n^2*(Log[-((e*x)/d)]^4 + 6*Log[-((e*x)/d)]^2*Log[-((e*x)/(d + e*x))]^2 - 4*(Log[-((e*x)/d)] + Log[d/(d + e*x)])*Log[-((e*x)/(d + e*x))]^3 + Log[-((e*x)/(d + e*x))]^4 + 6*Log[x]^2*Log[d + e*x]^2 + 4*(2*Log[-((e*x)/d)]^3 - 3*Log[x]^2*Log[d + e*x])*Log[1 + (e*x)/d] + 6*(Log[x] - Log[-((e*x)/d)])*(Log[x] + 3*Log[-((e*x)/d)])*Log[1 + (e*x)/d]^2 - 4*Log[-((e*x)/d)]^2*Log[-((e*x)/(d + e*x))]*(Log[-((e*x)/d)] + 3*Log[1 + (e*x)/d]) + 12*(Log[-((e*x)/d)]^2 - 2*Log[-((e*x)/d)]*(Log[-((e*x)/(d + e*x))] + Log[1 + (e*x)/d]) + 2*Log[x]*(-Log[d + e*x] + Log[1 + (e*x)/d]))*PolyLog[2, -((e*x)/d)] - 12*Log[-((e*x)/(d + e*x))]^2*PolyLog[2, (e*x)/(d + e*x)] + 12*(Log[-((e*x)/d)] - Log[-((e*x)/(d + e*x))])^2*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d] + 24*(Log[x] - Log[-((e*x)/d)])*Log[1 + (e*x)/d]*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d] + 24*(Log[-((e*x)/(d + e*x))] + Log[d + e*x])*PolyLog[3, -((e*x)/d)] + 24*Log[-((e*x)/(d + e*x))]*PolyLog[3, (e*x)/(d + e*x)] + 24*(-Log[x] + Log[-((e*x)/(d + e*x))])*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d] - 24*(PolyLog[4, -((e*x)/d)] + PolyLog[4, (e*x)/(d + e*x)] - PolyLog[4, 1 + (e*x)/d]))}
+{Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/x^2, x, -1, -((b^2*e*m*n^2*Log[x]^2*Log[d + e*x])/d) + (2*b^2*e*m*n^2*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/d + (2*b^2*e*n^2*Log[x]*Log[f*x^m]*Log[d + e*x])/d - (b^2*e*m*n^2*Log[d + e*x]^2)/d - (b^2*m*n^2*Log[d + e*x]^2)/x + (b^2*e*m*n^2*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x]^2)/d - (b^2*e*n^2*Log[f*x^m]*Log[d + e*x]^2)/d - (b^2*n^2*Log[f*x^m]*Log[d + e*x]^2)/x - (2*b*n*(m*Log[x] - Log[f*x^m])*(e*x*Log[-((e*x)/d)] - (d + e*x)*Log[d + e*x])*(a - b*n*Log[d + e*x] + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(d*x) - (m*Log[x]*(a - b*n*Log[d + e*x] + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/x - ((m - m*Log[x] + Log[f*x^m])*(a - b*n*Log[d + e*x] + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/x + (b^2*e*m*n^2*Log[x]^2*Log[1 + (e*x)/d])/d - (2*b^2*e*n^2*Log[x]*Log[f*x^m]*Log[1 + (e*x)/d])/d - (2*b^2*e*n^2*Log[f*x^m]*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d + (b*m*n*(a - b*n*Log[d + e*x] + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(2*e*x*Log[-((e*x)/d)] - 2*(d + e*x)*Log[d + e*x] - 2*d*Log[x]*Log[d + e*x] + e*x*(Log[x]^2 - 2*(Log[x]*Log[1 + (e*x)/d] + PolyLog[2, -((e*x)/d)]))))/(d*x) + (2*b^2*e*m*n^2*(1 + Log[d + e*x])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/d + (2*b^2*e*m*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/d - (2*b^2*e*m*n^2*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d])/d}
+{Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2/x^3, x, -1, (b^2*e^2*m*n^2*Log[x])/d^2 - (b^2*e^2*m*n^2*Log[x]^2)/(2*d^2) + (b^2*e^2*m*n^2*Log[-((e*x)/d)])/(2*d^2) + (b^2*e^2*n^2*Log[x]*Log[f*x^m])/d^2 - (3*b^2*e^2*m*n^2*Log[d + e*x])/(2*d^2) - (3*b^2*e*m*n^2*Log[d + e*x])/(2*d*x) + (b^2*e^2*m*n^2*Log[x]*Log[d + e*x])/d^2 + (b^2*e^2*m*n^2*Log[x]^2*Log[d + e*x])/(2*d^2) - (b^2*e^2*m*n^2*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/(2*d^2) - (b^2*e^2*n^2*Log[f*x^m]*Log[d + e*x])/d^2 - (b^2*e*n^2*Log[f*x^m]*Log[d + e*x])/(d*x) - (b^2*e^2*n^2*Log[x]*Log[f*x^m]*Log[d + e*x])/d^2 + (b^2*e^2*m*n^2*Log[d + e*x]^2)/(4*d^2) - (b^2*m*n^2*Log[d + e*x]^2)/(4*x^2) - (b^2*e^2*m*n^2*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x]^2)/(2*d^2) + (b^2*e^2*n^2*Log[f*x^m]*Log[d + e*x]^2)/(2*d^2) - (b^2*n^2*Log[f*x^m]*Log[d + e*x]^2)/(2*x^2) + (b*n*(m*Log[x] - Log[f*x^m])*(e^2*x^2*Log[-((e*x)/d)] + (d + e*x)*(e*x + (d - e*x)*Log[d + e*x]))*(a - b*n*Log[d + e*x] + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(d^2*x^2) - (m*Log[x]*(a - b*n*Log[d + e*x] + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*x^2) - ((m - 2*m*Log[x] + 2*Log[f*x^m])*(a - b*n*Log[d + e*x] + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*x^2) - (b^2*e^2*m*n^2*Log[x]*Log[1 + (e*x)/d])/d^2 - (b^2*e^2*m*n^2*Log[x]^2*Log[1 + (e*x)/d])/(2*d^2) + (b^2*e^2*n^2*Log[x]*Log[f*x^m]*Log[1 + (e*x)/d])/d^2 - (b^2*e^2*n^2*(m - Log[f*x^m])*PolyLog[2, -((e*x)/d)])/d^2 - (1/(2*d^2*x^2))*(b*m*n*(a - b*n*Log[d + e*x] + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(e*x*(d + e*x) + e^2*x^2*Log[-((e*x)/d)] + (d^2 - e^2*x^2)*Log[d + e*x] + 2*d^2*Log[x]*Log[d + e*x] + e*x*(e*x*Log[x]^2 + 2*d*(1 + Log[x]) - 2*e*x*(Log[x]*Log[1 + (e*x)/d] + PolyLog[2, -((e*x)/d)])))) - (b^2*e^2*m*n^2*(1 + 2*Log[d + e*x])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/(2*d^2) - (b^2*e^2*m*n^2*PolyLog[3, -((e*x)/d)])/d^2 + (b^2*e^2*m*n^2*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d])/d^2}
+
+
+{Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3, x, 28, -12*a*b^2*m*n^2*x + 18*b^3*m*n^3*x - 6*b^2*m*n^2*(a - b*n)*x + 6*a*b^2*n^2*x*Log[f*x^m] - 6*b^3*n^3*x*Log[f*x^m] - (18*b^3*m*n^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e - (6*b^3*d*m*n^2*Log[-((e*x)/d)]*Log[c*(d + e*x)^n])/e + (6*b^3*n^2*(d + e*x)*Log[f*x^m]*Log[c*(d + e*x)^n])/e + (6*b*m*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e + (3*b*d*m*n*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e - (3*b*n*(d + e*x)*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e - (m*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/e - (d*m*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/e + ((d + e*x)*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/e - (6*b^3*d*m*n^3*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e + (6*b^2*d*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e - (3*b*d*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e - (6*b^3*d*m*n^3*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d])/e + (6*b^2*d*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d])/e - (6*b^3*d*m*n^3*PolyLog[4, 1 + (e*x)/d])/e}
+
+
+{(Log[x]*Log[a + b*x]^2)/x, x, -1, (1/12)*(Log[-((b*x)/a)]^4 + 6*Log[-((b*x)/a)]^2*Log[-((b*x)/(a + b*x))]^2 - 4*(Log[-((b*x)/a)] + Log[a/(a + b*x)])*Log[-((b*x)/(a + b*x))]^3 + Log[-((b*x)/(a + b*x))]^4 + 6*Log[x]^2*Log[a + b*x]^2 + 4*(2*Log[-((b*x)/a)]^3 - 3*Log[x]^2*Log[a + b*x])*Log[1 + (b*x)/a] + 6*(Log[x] - Log[-((b*x)/a)])*(Log[x] + 3*Log[-((b*x)/a)])*Log[1 + (b*x)/a]^2 - 4*Log[-((b*x)/a)]^2*Log[-((b*x)/(a + b*x))]*(Log[-((b*x)/a)] + 3*Log[1 + (b*x)/a]) + 12*(Log[-((b*x)/a)]^2 - 2*Log[-((b*x)/a)]*(Log[-((b*x)/(a + b*x))] + Log[1 + (b*x)/a]) + 2*Log[x]*(-Log[a + b*x] + Log[1 + (b*x)/a]))*PolyLog[2, -((b*x)/a)] - 12*Log[-((b*x)/(a + b*x))]^2*PolyLog[2, (b*x)/(a + b*x)] + 12*(Log[-((b*x)/a)] - Log[-((b*x)/(a + b*x))])^2*PolyLog[2, 1 + (b*x)/a] + 24*(Log[x] - Log[-((b*x)/a)])*Log[1 + (b*x)/a]*PolyLog[2, 1 + (b*x)/a] + 24*(Log[-((b*x)/(a + b*x))] + Log[a + b*x])*PolyLog[3, -((b*x)/a)] + 24*Log[-((b*x)/(a + b*x))]*PolyLog[3, (b*x)/(a + b*x)] + 24*(-Log[x] + Log[-((b*x)/(a + b*x))])*PolyLog[3, 1 + (b*x)/a] - 24*(PolyLog[4, -((b*x)/a)] + PolyLog[4, (b*x)/(a + b*x)] - PolyLog[4, 1 + (b*x)/a]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Log[f*x^m]/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^1, x, 0, Unintegrable[Log[f*x^m]/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x]}
+{Log[f*x^m]/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2, x, 0, Unintegrable[Log[f*x^m]/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q Log[f x^m] (a+b Log[c (d+e x)^n])^p with p symbolic*)
+
+
+{Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p, x, 0, Unintegrable[Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (i x)^q Log[f (g+h x)^m] (a+b Log[c (d+e x)^n])^p*)
+
+
+{Log[a + b*x]*Log[c + d*x]/x, x, 1, Log[-((b*x)/a)]*Log[a + b*x]*Log[c + d*x] + (1/2)*(Log[-((b*x)/a)] + Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))] - Log[-(((b*c - a*d)*x)/(a*(c + d*x)))])*Log[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))]^2 - (1/2)*(Log[-((b*x)/a)] - Log[-((d*x)/c)])*(Log[a + b*x] + Log[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))])^2 + (Log[c + d*x] - Log[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))])*PolyLog[2, 1 + (b*x)/a] + Log[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))]*PolyLog[2, (c*(a + b*x))/(a*(c + d*x))] - Log[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))]*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))] + (Log[a + b*x] + Log[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))])*PolyLog[2, 1 + (d*x)/c] - PolyLog[3, 1 + (b*x)/a] + PolyLog[3, (c*(a + b*x))/(a*(c + d*x))] - PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))] - PolyLog[3, 1 + (d*x)/c]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (k x)^r (a+b Log[c (d+e x)^n])^p (f+g Log[h (i+j x)^m])^q*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Log[c (d+e x)^n]) (f+g Log[c (d+e x)^n])*)
+
+
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[c*(d + e*x)^n]), x, 7, (2*b*d^2*g*n^2*x)/e^2 - (b*d*g*n^2*(d + e*x)^2)/(2*e^3) + (2*b*g*n^2*(d + e*x)^3)/(27*e^3) - (b*d^3*g*n^2*Log[d + e*x]^2)/(3*e^3) + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[c*(d + e*x)^n]) - (d^2*n*(d + e*x)*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n]))/e^3 + (d*n*(d + e*x)^2*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^3) - (n*(d + e*x)^3*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n]))/(9*e^3) + (d^3*n*Log[d + e*x]*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*e^3)}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[c*(d + e*x)^n]), x, 7, -((2*b*d*g*n^2*x)/e) + (b*g*n^2*(d + e*x)^2)/(4*e^2) + (b*d^2*g*n^2*Log[d + e*x]^2)/(2*e^2) + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[c*(d + e*x)^n]) + (d*n*(d + e*x)*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n]))/e^2 - (n*(d + e*x)^2*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n]))/(4*e^2) - (d^2*n*Log[d + e*x]*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^2)}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[c*(d + e*x)^n]), x, 6, -((b*f + a*g)*n*x) + 2*b*g*n^2*x - (2*b*g*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e + x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[c*(d + e*x)^n]) + (d*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*b*e*g)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[c*(d + e*x)^n])/x^1, x, 6, Log[x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[c*(d + e*x)^n]) - (Log[x]*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*b*g) + (Log[-((e*x)/d)]*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*b*g) + n*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d] - 2*b*g*n^2*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[c*(d + e*x)^n])/x^2, x, 4, -(((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[c*(d + e*x)^n]))/x) + (e*n*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[1 - d/(d + e*x)])/d - (2*b*e*g*n^2*PolyLog[2, d/(d + e*x)])/d}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[c*(d + e*x)^n])/x^3, x, 7, (b*e^2*g*n^2*Log[x])/d^2 - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*x^2) - (e*n*(d + e*x)*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*d^2*x) - (e^2*n*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[1 - d/(d + e*x)])/(2*d^2) + (b*e^2*g*n^2*PolyLog[2, d/(d + e*x)])/d^2}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[c*(d + e*x)^n])/x^4, x, 11, -((b*e^2*g*n^2)/(3*d^2*x)) - (b*e^3*g*n^2*Log[x])/d^3 + (b*e^3*g*n^2*Log[d + e*x])/(3*d^3) - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*x^3) - (e*n*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n]))/(6*d*x^2) + (e^2*n*(d + e*x)*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*d^3*x) + (e^3*n*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[1 - d/(d + e*x)])/(3*d^3) - (2*b*e^3*g*n^2*PolyLog[2, d/(d + e*x)])/(3*d^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^r (a+b Log[c (d+e x)^n])^p (f+g Log[h (i+j x)^m])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]), x, 35, (a*g*i^3*m*x)/(4*j^3) + (b*d^3*f*n*x)/(4*e^3) - (5*b*d^3*g*m*n*x)/(16*e^3) - (5*b*g*i^3*m*n*x)/(16*j^3) - (5*b*d*g*i^2*m*n*x)/(24*e*j^2) - (5*b*d^2*g*i*m*n*x)/(24*e^2*j) + (3*b*d^2*g*m*n*x^2)/(32*e^2) + (3*b*g*i^2*m*n*x^2)/(32*j^2) + (b*d*g*i*m*n*x^2)/(12*e*j) - (7*b*d*g*m*n*x^3)/(144*e) - (7*b*g*i*m*n*x^3)/(144*j) + (1/32)*b*g*m*n*x^4 + (b*d^4*g*m*n*Log[d + e*x])/(16*e^4) + (b*d^2*g*i^2*m*n*Log[d + e*x])/(8*e^2*j^2) + (b*d^3*g*i*m*n*Log[d + e*x])/(12*e^3*j) + (b*g*i^3*m*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(4*e*j^3) - (g*i^2*m*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(8*j^2) + (g*i*m*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(12*j) - (1/16)*g*m*x^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) + (b*g*i^4*m*n*Log[i + j*x])/(16*j^4) + (b*d*g*i^3*m*n*Log[i + j*x])/(12*e*j^3) + (b*d^2*g*i^2*m*n*Log[i + j*x])/(8*e^2*j^2) - (g*i^4*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(4*j^4) + (b*d^3*g*n*(i + j*x)*Log[h*(i + j*x)^m])/(4*e^3*j) - (b*d^2*n*x^2*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/(8*e^2) + (b*d*n*x^3*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/(12*e) - (1/16)*b*n*x^4*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]) - (b*d^4*n*Log[-((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))]*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/(4*e^4) + (1/4)*x^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]) - (b*g*i^4*m*n*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(4*j^4) - (b*d^4*g*m*n*PolyLog[2, (e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(4*e^4)}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]), x, 29, -((a*g*i^2*m*x)/(3*j^2)) - (b*d^2*f*n*x)/(3*e^2) + (4*b*d^2*g*m*n*x)/(9*e^2) + (4*b*g*i^2*m*n*x)/(9*j^2) + (b*d*g*i*m*n*x)/(3*e*j) - (5*b*d*g*m*n*x^2)/(36*e) - (5*b*g*i*m*n*x^2)/(36*j) + (2/27)*b*g*m*n*x^3 - (b*d^3*g*m*n*Log[d + e*x])/(9*e^3) - (b*d^2*g*i*m*n*Log[d + e*x])/(6*e^2*j) - (b*g*i^2*m*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(3*e*j^2) + (g*i*m*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(6*j) - (1/9)*g*m*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) - (b*g*i^3*m*n*Log[i + j*x])/(9*j^3) - (b*d*g*i^2*m*n*Log[i + j*x])/(6*e*j^2) + (g*i^3*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(3*j^3) - (b*d^2*g*n*(i + j*x)*Log[h*(i + j*x)^m])/(3*e^2*j) + (b*d*n*x^2*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/(6*e) - (1/9)*b*n*x^3*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]) + (b*d^3*n*Log[-((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))]*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/(3*e^3) + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]) + (b*g*i^3*m*n*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(3*j^3) + (b*d^3*g*m*n*PolyLog[2, (e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(3*e^3)}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]), x, 23, (a*g*i*m*x)/(2*j) + (b*d*f*n*x)/(2*e) - (3*b*d*g*m*n*x)/(4*e) - (3*b*g*i*m*n*x)/(4*j) + (1/4)*b*g*m*n*x^2 + (b*d^2*g*m*n*Log[d + e*x])/(4*e^2) + (b*g*i*m*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*e*j) - (1/4)*g*m*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) + (b*g*i^2*m*n*Log[i + j*x])/(4*j^2) - (g*i^2*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(2*j^2) + (b*d*g*n*(i + j*x)*Log[h*(i + j*x)^m])/(2*e*j) - (1/4)*b*n*x^2*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]) - (b*d^2*n*Log[-((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))]*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/(2*e^2) + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]) - (b*g*i^2*m*n*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(2*j^2) - (b*d^2*g*m*n*PolyLog[2, (e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(2*e^2)}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]), x, 17, (-a)*g*m*x - b*f*n*x + 2*b*g*m*n*x - (b*g*m*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e + (g*i*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/j - (b*g*n*(i + j*x)*Log[h*(i + j*x)^m])/j + (b*d*n*Log[-((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))]*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/e + x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]) + (b*g*i*m*n*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/j + (b*d*g*m*n*PolyLog[2, (e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/e}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m])/x^1, x, 13, f*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) + b*g*m*n*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x]*Log[i + j*x] - b*g*m*Log[-((j*x)/i)]*(n*Log[d + e*x] - Log[c*(d + e*x)^n])*Log[i + j*x] + (1/2)*b*g*m*n*(Log[-((e*x)/d)] + Log[(e*i - d*j)/(e*(i + j*x))] - Log[-(((e*i - d*j)*x)/(d*(i + j*x)))])*Log[(d*(i + j*x))/(i*(d + e*x))]^2 - (1/2)*b*g*m*n*(Log[-((e*x)/d)] - Log[-((j*x)/i)])*(Log[d + e*x] + Log[(d*(i + j*x))/(i*(d + e*x))])^2 - b*g*Log[-((e*x)/d)]*Log[c*(d + e*x)^n]*(m*Log[i + j*x] - Log[h*(i + j*x)^m]) + a*g*Log[-((j*x)/i)]*Log[h*(i + j*x)^m] + b*f*n*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d] + b*g*m*n*(Log[i + j*x] - Log[(d*(i + j*x))/(i*(d + e*x))])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d] - b*g*n*(m*Log[i + j*x] - Log[h*(i + j*x)^m])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d] + b*g*m*n*Log[(d*(i + j*x))/(i*(d + e*x))]*PolyLog[2, (i*(d + e*x))/(d*(i + j*x))] - b*g*m*n*Log[(d*(i + j*x))/(i*(d + e*x))]*PolyLog[2, (j*(d + e*x))/(e*(i + j*x))] + a*g*m*PolyLog[2, 1 + (j*x)/i] - b*g*m*(n*Log[d + e*x] - Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, 1 + (j*x)/i] + b*g*m*n*(Log[d + e*x] + Log[(d*(i + j*x))/(i*(d + e*x))])*PolyLog[2, 1 + (j*x)/i] - b*g*m*n*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d] + b*g*m*n*PolyLog[3, (i*(d + e*x))/(d*(i + j*x))] - b*g*m*n*PolyLog[3, (j*(d + e*x))/(e*(i + j*x))] - b*g*m*n*PolyLog[3, 1 + (j*x)/i]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m])/x^2, x, 15, (g*j*m*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/i - (g*j*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/i + (b*e*n*Log[-((j*x)/i)]*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/d - (b*e*n*Log[-((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))]*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/d - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/x - (b*g*j*m*n*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/i + (b*g*j*m*n*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/i - (b*e*g*m*n*PolyLog[2, (e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/d + (b*e*g*m*n*PolyLog[2, 1 + (j*x)/i])/d}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m])/x^3, x, 23, (b*e*g*j*m*n*Log[x])/(d*i) - (b*e*g*j*m*n*Log[d + e*x])/(2*d*i) - (g*j*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*i*x) - (g*j^2*m*Log[-((e*x)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*i^2) - (b*e*g*j*m*n*Log[i + j*x])/(2*d*i) + (g*j^2*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(2*i^2) - (b*e*n*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/(2*d*x) - (b*e^2*n*Log[-((j*x)/i)]*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/(2*d^2) + (b*e^2*n*Log[-((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))]*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/(2*d^2) - ((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/(2*x^2) + (b*g*j^2*m*n*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(2*i^2) - (b*g*j^2*m*n*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/(2*i^2) + (b*e^2*g*m*n*PolyLog[2, (e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(2*d^2) - (b*e^2*g*m*n*PolyLog[2, 1 + (j*x)/i])/(2*d^2)}
+
+
+(* {x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]), x, 157, (2*a*b*d^3*f*n*x)/e^3 - (a*b*d^3*g*m*n*x)/e^3 - (5*a*b*g*i^3*m*n*x)/(8*j^3) - (2*a*b*d*g*i^2*m*n*x)/(3*e*j^2) - (3*a*b*d^2*g*i*m*n*x)/(4*e^2*j) - (2*b^2*d^3*f*n^2*x)/e^3 + (649*b^2*d^3*g*m*n^2*x)/(288*e^3) + (21*b^2*g*i^3*m*n^2*x)/(32*j^3) + (119*b^2*d*g*i^2*m*n^2*x)/(144*e*j^2) + (55*b^2*d^2*g*i*m*n^2*x)/(48*e^2*j) - (139*b^2*d^2*g*m*n^2*x^2)/(576*e^2) - (3*b^2*g*i^2*m*n^2*x^2)/(64*j^2) - (b^2*d*g*i*m*n^2*x^2)/(9*e*j) + (53*b^2*d*g*m*n^2*x^3)/(864*e) + (7*b^2*g*i*m*n^2*x^3)/(288*j) - (1/64)*b^2*g*m*n^2*x^4 + (3*b^2*d^2*f*n^2*(d + e*x)^2)/(4*e^4) - (3*b^2*d^2*g*m*n^2*(d + e*x)^2)/(16*e^4) - (b^2*g*i^2*m*n^2*(d + e*x)^2)/(16*e^2*j^2) - (b^2*d*g*i*m*n^2*(d + e*x)^2)/(8*e^3*j) - (2*b^2*d*f*n^2*(d + e*x)^3)/(9*e^4) + (b^2*d*g*m*n^2*(d + e*x)^3)/(18*e^4) + (b^2*g*i*m*n^2*(d + e*x)^3)/(54*e^3*j) + (b^2*f*n^2*(d + e*x)^4)/(32*e^4) - (b^2*g*m*n^2*(d + e*x)^4)/(128*e^4) - (61*b^2*d^4*g*m*n^2*Log[d + e*x])/(288*e^4) - (b^2*d^2*g*i^2*m*n^2*Log[d + e*x])/(16*e^2*j^2) - (b^2*d^3*g*i*m*n^2*Log[d + e*x])/(8*e^3*j) + (2*b^2*d^3*f*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e^4 - (b^2*d^3*g*m*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e^4 - (5*b^2*g*i^3*m*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(8*e*j^3) - (2*b^2*d*g*i^2*m*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(3*e^2*j^2) - (3*b^2*d^2*g*i*m*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(4*e^3*j) + (b*d^2*g*m*n*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(8*e^2) + (b*g*i^2*m*n*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(16*j^2) + (b*d*g*i*m*n*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(12*e*j) - (b*d*g*m*n*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(18*e) - (b*g*i*m*n*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(24*j) + (1/32)*b*g*m*n*x^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) - (3*b*d^2*f*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^4) + (3*b*d^2*g*m*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(8*e^4) + (b*g*i^2*m*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(8*e^2*j^2) + (b*d*g*i*m*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(4*e^3*j) + (2*b*d*f*n*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(3*e^4) - (b*d*g*m*n*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(6*e^4) - (b*g*i*m*n*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(18*e^3*j) - (b*f*n*(d + e*x)^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(8*e^4) + (b*g*m*n*(d + e*x)^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(32*e^4) - (d^4*f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*e^4) + (d^4*g*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(16*e^4) + (d^3*g*i*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(12*e^3*j) + (g*i*m*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(12*j) - (1/16)*g*m*x^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2 + (g*i^3*m*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*e*j^3) + (d*g*i^2*m*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*e^2*j^2) - (g*i^2*m*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(8*e^2*j^2) - (b^2*g*i^4*m*n^2*Log[i + j*x])/(32*j^4) - (7*b^2*d*g*i^3*m*n^2*Log[i + j*x])/(72*e*j^3) - (13*b^2*d^2*g*i^2*m*n^2*Log[i + j*x])/(48*e^2*j^2) + (b*g*i^4*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(8*j^4) + (b*d*g*i^3*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(6*e*j^3) + (b*d^2*g*i^2*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(4*e^2*j^2) + (b*d^3*g*i*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(2*e^3*j) + (d^4*g*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(4*e^4) - (g*i^4*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(4*j^4) + (13*b^2*d^2*g*n^2*x^2*Log[h*(i + j*x)^m])/(48*e^2) - (7*b^2*d*g*n^2*x^3*Log[h*(i + j*x)^m])/(72*e) + (1/32)*b^2*g*n^2*x^4*Log[h*(i + j*x)^m] - (25*b^2*d^3*g*n^2*(i + j*x)*Log[h*(i + j*x)^m])/(24*e^3*j) + (25*b^2*d^4*g*n^2*Log[-((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))]*Log[h*(i + j*x)^m])/(24*e^4) + (b*d^3*g*n*x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[h*(i + j*x)^m])/(2*e^3) - (b*d^2*g*n*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[h*(i + j*x)^m])/(4*e^2) + (b*d*g*n*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[h*(i + j*x)^m])/(6*e) - (1/8)*b*g*n*x^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[h*(i + j*x)^m] - (d^4*g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[h*(i + j*x)^m])/(4*e^4) + (1/4)*x^4*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]) + (b^2*g*i^4*m*n^2*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(8*j^4) + (b^2*d*g*i^3*m*n^2*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(6*e*j^3) + (b^2*d^2*g*i^2*m*n^2*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(4*e^2*j^2) + (b^2*d^3*g*i*m*n^2*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(2*e^3*j) + (b*d^4*g*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(2*e^4) - (b*g*i^4*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(2*j^4) + (25*b^2*d^4*g*m*n^2*PolyLog[2, (e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(24*e^4) - (b^2*d^4*g*m*n^2*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(2*e^4) + (b^2*g*i^4*m*n^2*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(2*j^4)} *)
+(* {x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]), x, 108, (2*a*b*d^2*g*m*n*x)/(3*e^2) + (8*a*b*g*i^2*m*n*x)/(9*j^2) + (a*b*d*g*i*m*n*x)/(e*j) + (2*b^2*d^2*f*n^2*x)/e^2 - (151*b^2*d^2*g*m*n^2*x)/(54*e^2) - (26*b^2*g*i^2*m*n^2*x)/(27*j^2) - (25*b^2*d*g*i*m*n^2*x)/(18*e*j) + (7*b^2*d*g*m*n^2*x^2)/(27*e) + (5*b^2*g*i*m*n^2*x^2)/(54*j) - (4/81)*b^2*g*m*n^2*x^3 - (b^2*d*f*n^2*(d + e*x)^2)/(2*e^3) + (b^2*d*g*m*n^2*(d + e*x)^2)/(6*e^3) + (b^2*g*i*m*n^2*(d + e*x)^2)/(12*e^2*j) + (2*b^2*f*n^2*(d + e*x)^3)/(27*e^3) - (2*b^2*g*m*n^2*(d + e*x)^3)/(81*e^3) + (13*b^2*d^3*g*m*n^2*Log[d + e*x])/(54*e^3) + (b^2*d^2*g*i*m*n^2*Log[d + e*x])/(9*e^2*j) - (b^2*d^3*f*n^2*Log[d + e*x]^2)/(3*e^3) + (b^2*d^3*g*m*n^2*Log[d + e*x]^2)/(9*e^3) + (2*b^2*d^2*g*m*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(3*e^3) + (8*b^2*g*i^2*m*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(9*e*j^2) + (b^2*d*g*i*m*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(e^2*j) - (b*d*g*m*n*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(6*e) - (b*g*i*m*n*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(9*j) + (2/27)*b*g*m*n*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) - (b*g*i*m*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(6*e^2*j) - (1/9)*b*f*n*((18*d^2*(d + e*x))/e^3 - (9*d*(d + e*x)^2)/e^3 + (2*(d + e*x)^3)/e^3 - (6*d^3*Log[d + e*x])/e^3)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) + (1/27)*b*g*m*n*((18*d^2*(d + e*x))/e^3 - (9*d*(d + e*x)^2)/e^3 + (2*(d + e*x)^3)/e^3 - (6*d^3*Log[d + e*x])/e^3)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) - (1/9)*g*m*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2 - (g*i^2*m*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(3*e*j^2) - (d*g*i*m*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(3*e^2*j) + (g*i*m*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(6*e^2*j) + (2*b^2*g*i^3*m*n^2*Log[i + j*x])/(27*j^3) + (5*b^2*d*g*i^2*m*n^2*Log[i + j*x])/(18*e*j^2) - (2*b*g*i^3*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(9*j^3) - (b*d*g*i^2*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(3*e*j^2) - (2*b*d^2*g*i*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(3*e^2*j) - (d^3*g*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(3*e^3) + (g*i^3*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(3*j^3) - (5*b^2*d*g*n^2*x^2*Log[h*(i + j*x)^m])/(18*e) + (2/27)*b^2*g*n^2*x^3*Log[h*(i + j*x)^m] + (11*b^2*d^2*g*n^2*(i + j*x)*Log[h*(i + j*x)^m])/(9*e^2*j) - (11*b^2*d^3*g*n^2*Log[-((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))]*Log[h*(i + j*x)^m])/(9*e^3) - (2*b*d^2*g*n*x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[h*(i + j*x)^m])/(3*e^2) + (b*d*g*n*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[h*(i + j*x)^m])/(3*e) - (2/9)*b*g*n*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[h*(i + j*x)^m] + (d^3*g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[h*(i + j*x)^m])/(3*e^3) + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]) - (2*b^2*g*i^3*m*n^2*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(9*j^3) - (b^2*d*g*i^2*m*n^2*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(3*e*j^2) - (2*b^2*d^2*g*i*m*n^2*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(3*e^2*j) - (2*b*d^3*g*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(3*e^3) + (2*b*g*i^3*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(3*j^3) - (11*b^2*d^3*g*m*n^2*PolyLog[2, (e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(9*e^3) + (2*b^2*d^3*g*m*n^2*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(3*e^3) - (2*b^2*g*i^3*m*n^2*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(3*j^3)} *)
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]), x, 73, -((2*a*b*d*g*m*n*x)/e) - (3*a*b*g*i*m*n*x)/(2*j) - (2*b^2*d*f*n^2*x)/e + (15*b^2*d*g*m*n^2*x)/(4*e) + (7*b^2*g*i*m*n^2*x)/(4*j) - (1/4)*b^2*g*m*n^2*x^2 + (b^2*f*n^2*(d + e*x)^2)/(4*e^2) - (b^2*g*m*n^2*(d + e*x)^2)/(8*e^2) - (b^2*d^2*g*m*n^2*Log[d + e*x])/(4*e^2) + (b^2*d^2*f*n^2*Log[d + e*x]^2)/(2*e^2) - (2*b^2*d*g*m*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e^2 - (3*b^2*g*i*m*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*e*j) + (1/4)*b*g*m*n*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) + (2*b*d*f*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/e^2 - (b*f*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^2) + (b*g*m*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(4*e^2) - (b*d^2*f*n*Log[d + e*x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/e^2 + (d*g*m*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*e^2) + (g*i*m*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*e*j) - (g*m*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*e^2) - (b^2*g*i^2*m*n^2*Log[i + j*x])/(4*j^2) + (b*g*i^2*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(2*j^2) + (b*d*g*i*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(e*j) + (d^2*g*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(2*e^2) - (g*i^2*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(2*j^2) + (1/4)*b^2*g*n^2*x^2*Log[h*(i + j*x)^m] - (3*b^2*d*g*n^2*(i + j*x)*Log[h*(i + j*x)^m])/(2*e*j) + (3*b^2*d^2*g*n^2*Log[-((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))]*Log[h*(i + j*x)^m])/(2*e^2) + (b*d*g*n*x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[h*(i + j*x)^m])/e - (1/2)*b*g*n*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[h*(i + j*x)^m] - (d^2*g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[h*(i + j*x)^m])/(2*e^2) + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]) + (b^2*g*i^2*m*n^2*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(2*j^2) + (b^2*d*g*i*m*n^2*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(e*j) + (b*d^2*g*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/e^2 - (b*g*i^2*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/j^2 + (3*b^2*d^2*g*m*n^2*PolyLog[2, (e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(2*e^2) - (b^2*d^2*g*m*n^2*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/e^2 + (b^2*g*i^2*m*n^2*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/j^2}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]), x, 41, -2*a*b*f*n*x + 4*a*b*g*m*n*x + 2*b^2*f*n^2*x - 6*b^2*g*m*n^2*x - (2*b^2*f*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e + (4*b^2*g*m*n*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e + (d*f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e - (g*m*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e - (2*b*g*i*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/j - (d*g*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/e + (g*i*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/j + (2*b^2*g*n^2*(i + j*x)*Log[h*(i + j*x)^m])/j - (2*b^2*d*g*n^2*Log[-((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))]*Log[h*(i + j*x)^m])/e - 2*b*g*n*x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[h*(i + j*x)^m] + (d*g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[h*(i + j*x)^m])/e + x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]) - (2*b^2*g*i*m*n^2*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/j - (2*b*d*g*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/e + (2*b*g*i*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/j - (2*b^2*d*g*m*n^2*PolyLog[2, (e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/e + (2*b^2*d*g*m*n^2*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/e - (2*b^2*g*i*m*n^2*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/j}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m])/x^1, x, 0, Unintegrable[((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/x, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m])/x^2, x, 0, Unintegrable[((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/x^2, x]}
+
+
+(* {x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]), x, 262, (6*a*b^2*d^2*f*n^2*x)/e^2 - (28*a*b^2*d^2*g*m*n^2*x)/(3*e^2) - (26*a*b^2*g*i^2*m*n^2*x)/(9*j^2) - (9*a*b^2*d*g*i*m*n^2*x)/(2*e*j) - (6*b^3*d^2*f*n^3*x)/e^2 + (1571*b^3*d^2*g*m*n^3*x)/(108*e^2) + (80*b^3*g*i^2*m*n^3*x)/(27*j^2) + (185*b^3*d*g*i*m*n^3*x)/(36*e*j) - (55*b^3*d*g*m*n^3*x^2)/(108*e) - (5*b^3*g*i*m*n^3*x^2)/(54*j) + (4/81)*b^3*g*m*n^3*x^3 + (3*b^3*d*f*n^3*(d + e*x)^2)/(4*e^3) - (13*b^3*d*g*m*n^3*(d + e*x)^2)/(24*e^3) - (5*b^3*g*i*m*n^3*(d + e*x)^2)/(24*e^2*j) - (2*b^3*f*n^3*(d + e*x)^3)/(27*e^3) + (4*b^3*g*m*n^3*(d + e*x)^3)/(81*e^3) - (53*b^3*d^3*g*m*n^3*Log[d + e*x])/(108*e^3) - (b^3*d^2*g*i*m*n^3*Log[d + e*x])/(9*e^2*j) + (6*b^3*d^2*f*n^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e^3 - (28*b^3*d^2*g*m*n^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(3*e^3) - (26*b^3*g*i^2*m*n^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(9*e*j^2) - (9*b^3*d*g*i*m*n^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*e^2*j) + (5*b^2*d*g*m*n^2*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(12*e) + (b^2*g*i*m*n^2*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(9*j) - (2/27)*b^2*g*m*n^2*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) - (3*b^2*d*f*n^2*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(2*e^3) + (13*b^2*d*g*m*n^2*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(12*e^3) + (5*b^2*g*i*m*n^2*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(12*e^2*j) + (2*b^2*f*n^2*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(9*e^3) - (4*b^2*g*m*n^2*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(27*e^3) + (b*d^3*g*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(9*e^3) + (1/9)*b*g*m*n*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2 - (3*b*d^2*f*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e^3 + (5*b*d^2*g*m*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*e^3) + (4*b*g*i^2*m*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(3*e*j^2) + (11*b*d*g*i*m*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(6*e^2*j) + (3*b*d*f*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(2*e^3) - (3*b*d*g*m*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*e^3) - (5*b*g*i*m*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(12*e^2*j) - (b*f*n*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(3*e^3) + (b*g*m*n*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(9*e^3) + (d^3*f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(3*e^3) - (d^2*g*m*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(3*e^3) - (g*i^2*m*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(3*e*j^2) - (d*g*i*m*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(3*e^2*j) + (d*g*m*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(3*e^3) + (g*i*m*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(6*e^2*j) - (g*m*(d + e*x)^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(9*e^3) - (2*b^3*g*i^3*m*n^3*Log[i + j*x])/(27*j^3) - (19*b^3*d*g*i^2*m*n^3*Log[i + j*x])/(36*e*j^2) + (2*b^2*g*i^3*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(9*j^3) + (5*b^2*d*g*i^2*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(6*e*j^2) + (11*b^2*d^2*g*i*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(3*e^2*j) + (11*b*d^3*g*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(6*e^3) - (b*g*i^3*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(3*j^3) - (b*d*g*i^2*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(2*e*j^2) - (b*d^2*g*i*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(e^2*j) - (d^3*g*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(3*e^3) + (g*i^3*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(3*j^3) + (19*b^3*d*g*n^3*x^2*Log[h*(i + j*x)^m])/(36*e) - (2/27)*b^3*g*n^3*x^3*Log[h*(i + j*x)^m] - (85*b^3*d^2*g*n^3*(i + j*x)*Log[h*(i + j*x)^m])/(18*e^2*j) + (85*b^3*d^3*g*n^3*Log[-((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))]*Log[h*(i + j*x)^m])/(18*e^3) + (11*b^2*d^2*g*n^2*x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[h*(i + j*x)^m])/(3*e^2) - (5*b^2*d*g*n^2*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[h*(i + j*x)^m])/(6*e) + (2/9)*b^2*g*n^2*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[h*(i + j*x)^m] - (11*b*d^3*g*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[h*(i + j*x)^m])/(6*e^3) - (b*d^2*g*n*x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[h*(i + j*x)^m])/e^2 + (b*d*g*n*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[h*(i + j*x)^m])/(2*e) - (1/3)*b*g*n*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[h*(i + j*x)^m] + (d^3*g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*Log[h*(i + j*x)^m])/(3*e^3) + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]) + (2*b^3*g*i^3*m*n^3*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(9*j^3) + (5*b^3*d*g*i^2*m*n^3*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(6*e*j^2) + (11*b^3*d^2*g*i*m*n^3*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(3*e^2*j) + (11*b^2*d^3*g*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(3*e^3) - (2*b^2*g*i^3*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(3*j^3) - (b^2*d*g*i^2*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(e*j^2) - (2*b^2*d^2*g*i*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(e^2*j) - (b*d^3*g*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/e^3 + (b*g*i^3*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/j^3 + (85*b^3*d^3*g*m*n^3*PolyLog[2, (e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(18*e^3) - (11*b^3*d^3*g*m*n^3*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(3*e^3) + (2*b^3*g*i^3*m*n^3*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(3*j^3) + (b^3*d*g*i^2*m*n^3*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(e*j^2) + (2*b^3*d^2*g*i*m*n^3*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(e^2*j) + (2*b^2*d^3*g*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/e^3 - (2*b^2*g*i^3*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/j^3 - (2*b^3*d^3*g*m*n^3*PolyLog[4, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/e^3 + (2*b^3*g*i^3*m*n^3*PolyLog[4, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/j^3} *)
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]), x, 148, -((6*a*b^2*d*f*n^2*x)/e) + (12*a*b^2*d*g*m*n^2*x)/e + (21*a*b^2*g*i*m*n^2*x)/(4*j) + (6*b^3*d*f*n^3*x)/e - (141*b^3*d*g*m*n^3*x)/(8*e) - (45*b^3*g*i*m*n^3*x)/(8*j) + (3/8)*b^3*g*m*n^3*x^2 - (3*b^3*f*n^3*(d + e*x)^2)/(8*e^2) + (3*b^3*g*m*n^3*(d + e*x)^2)/(8*e^2) + (3*b^3*d^2*g*m*n^3*Log[d + e*x])/(8*e^2) - (6*b^3*d*f*n^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e^2 + (12*b^3*d*g*m*n^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e^2 + (21*b^3*g*i*m*n^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/(4*e*j) - (3/8)*b^2*g*m*n^2*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]) + (3*b^2*f*n^2*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(4*e^2) - (3*b^2*g*m*n^2*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(4*e^2) + (3*b*d*f*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e^2 - (15*b*d*g*m*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*e^2) - (9*b*g*i*m*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*e*j) - (3*b*f*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*e^2) + (3*b*g*m*n*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/(4*e^2) - (d^2*f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(2*e^2) + (d*g*m*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(2*e^2) + (g*i*m*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(2*e*j) - (g*m*(d + e*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/(4*e^2) + (3*b^3*g*i^2*m*n^3*Log[i + j*x])/(8*j^2) - (3*b^2*g*i^2*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(4*j^2) - (9*b^2*d*g*i*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(2*e*j) - (9*b*d^2*g*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(4*e^2) + (3*b*g*i^2*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(4*j^2) + (3*b*d*g*i*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(2*e*j) + (d^2*g*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(2*e^2) - (g*i^2*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(2*j^2) - (3/8)*b^3*g*n^3*x^2*Log[h*(i + j*x)^m] + (21*b^3*d*g*n^3*(i + j*x)*Log[h*(i + j*x)^m])/(4*e*j) - (21*b^3*d^2*g*n^3*Log[-((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))]*Log[h*(i + j*x)^m])/(4*e^2) - (9*b^2*d*g*n^2*x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[h*(i + j*x)^m])/(2*e) + (3/4)*b^2*g*n^2*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[h*(i + j*x)^m] + (9*b*d^2*g*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[h*(i + j*x)^m])/(4*e^2) + (3*b*d*g*n*x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[h*(i + j*x)^m])/(2*e) - (3/4)*b*g*n*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[h*(i + j*x)^m] - (d^2*g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*Log[h*(i + j*x)^m])/(2*e^2) + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]) - (3*b^3*g*i^2*m*n^3*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(4*j^2) - (9*b^3*d*g*i*m*n^3*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(2*e*j) - (9*b^2*d^2*g*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(2*e^2) + (3*b^2*g*i^2*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(2*j^2) + (3*b^2*d*g*i*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(e*j) + (3*b*d^2*g*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(2*e^2) - (3*b*g*i^2*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(2*j^2) - (21*b^3*d^2*g*m*n^3*PolyLog[2, (e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/(4*e^2) + (9*b^3*d^2*g*m*n^3*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(2*e^2) - (3*b^3*g*i^2*m*n^3*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(2*j^2) - (3*b^3*d*g*i*m*n^3*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/(e*j) - (3*b^2*d^2*g*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/e^2 + (3*b^2*g*i^2*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/j^2 + (3*b^3*d^2*g*m*n^3*PolyLog[4, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/e^2 - (3*b^3*g*i^2*m*n^3*PolyLog[4, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/j^2}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]), x, 64, 6*a*b^2*f*n^2*x - 18*a*b^2*g*m*n^2*x - 6*b^3*f*n^3*x + 24*b^3*g*m*n^3*x + (6*b^3*f*n^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e - (18*b^3*g*m*n^2*(d + e*x)*Log[c*(d + e*x)^n])/e - (3*b*f*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e + (6*b*g*m*n*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)/e + (d*f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/e - (g*m*(d + e*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3)/e + (6*b^2*g*i*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/j + (3*b*d*g*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/e - (3*b*g*i*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/j - (d*g*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/e + (g*i*m*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*Log[(e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/j - (6*b^3*g*n^3*(i + j*x)*Log[h*(i + j*x)^m])/j + (6*b^3*d*g*n^3*Log[-((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))]*Log[h*(i + j*x)^m])/e + 6*b^2*g*n^2*x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[h*(i + j*x)^m] - (3*b*d*g*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[h*(i + j*x)^m])/e - 3*b*g*n*x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*Log[h*(i + j*x)^m] + (d*g*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*Log[h*(i + j*x)^m])/e + x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]) + (6*b^3*g*i*m*n^3*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/j + (6*b^2*d*g*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/e - (6*b^2*g*i*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/j - (3*b*d*g*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/e + (3*b*g*i*m*n*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2*PolyLog[2, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/j + (6*b^3*d*g*m*n^3*PolyLog[2, (e*(i + j*x))/(e*i - d*j)])/e - (6*b^3*d*g*m*n^3*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/e + (6*b^3*g*i*m*n^3*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/j + (6*b^2*d*g*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/e - (6*b^2*g*i*m*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[3, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/j - (6*b^3*d*g*m*n^3*PolyLog[4, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/e + (6*b^3*g*i*m*n^3*PolyLog[4, -((j*(d + e*x))/(e*i - d*j))])/j}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m])/x^1, x, 0, Unintegrable[((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/x, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m])/x^2, x, 0, Unintegrable[((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^3*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (i+j x)^q Log[f (g+h x)^m] (a+b Log[c (d+e x)^n])^p*)
+
+
+{((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)])/(d + e*x), x, 3, -(((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/e) + (b*n*PolyLog[3, -((g*(d + e*x))/(e*f - d*g))])/e}
+
+
+{Log[c*(d + e*x)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)])/(d + e*x)^2, x, 4, -(b/(e*(d + e*x))) - (b*Log[c*(d + e*x)])/(e*(d + e*x)) - (Log[c*(d + e*x)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)]))/(e*(d + e*x)) - (a + b + b*Log[c*(d + e*x)])/(e*(d + e*x))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x)])*(f + g*Log[c*(d + e*x)])/(d + e*x)^2, x, 4, -((b*g)/(e*(d + e*x))) - (g*(a + b + b*Log[c*(d + e*x)]))/(e*(d + e*x)) - (b*(f + g*Log[c*(d + e*x)]))/(e*(d + e*x)) - ((a + b*Log[c*(d + e*x)])*(f + g*Log[c*(d + e*x)]))/(e*(d + e*x))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form AF[x] (a+b Log[c (d (e+f x)^m)^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Log[c (d (e+f x)^m)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Log[c (d (e+f x)^m)^n])^p*)
+
+
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^4, x, 7, -24*a*b^3*m^3*n^3*x + 24*b^4*m^4*n^4*x - (24*b^4*m^3*n^3*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])/f + (12*b^2*m^2*n^2*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^2)/f - (4*b*m*n*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^3)/f + ((e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^4)/f}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^3, x, 6, 6*a*b^2*m^2*n^2*x - 6*b^3*m^3*n^3*x + (6*b^3*m^2*n^2*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])/f - (3*b*m*n*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^2)/f + ((e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^3)/f}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^2, x, 5, -2*a*b*m*n*x + 2*b^2*m^2*n^2*x - (2*b^2*m*n*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])/f + ((e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^2)/f}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^1, x, 4, a*x - b*m*n*x + (b*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])/f}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^1, x, 4, ((e + f*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])/(b*m*n)])/(E^(a/(b*m*n))*(c*(d*(e + f*x)^m)^n)^(1/(m*n))*(b*f*m*n))}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^2, x, 5, ((e + f*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])/(b*m*n)])/(E^(a/(b*m*n))*(c*(d*(e + f*x)^m)^n)^(1/(m*n))*(b^2*f*m^2*n^2)) - (e + f*x)/(b*f*m*n*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n]))}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^3, x, 6, ((e + f*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])/(b*m*n)])/(E^(a/(b*m*n))*(c*(d*(e + f*x)^m)^n)^(1/(m*n))*(2*b^3*f*m^3*n^3)) - (e + f*x)/(2*b*f*m*n*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^2) - (e + f*x)/(2*b^2*f*m^2*n^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Log[c (d (e+f x)^m)^n])^(p/2)*)
+
+
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^(5/2), x, 8, -((15*b^(5/2)*m^(5/2)*n^(5/2)*Sqrt[Pi]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[m]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*m*n))*(c*(d*(e + f*x)^m)^n)^(1/(m*n))*(8*f))) + (15*b^2*m^2*n^2*(e + f*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n]])/(4*f) - (5*b*m*n*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^(3/2))/(2*f) + ((e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^(5/2))/f}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^(3/2), x, 7, (3*b^(3/2)*m^(3/2)*n^(3/2)*Sqrt[Pi]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[m]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*m*n))*(c*(d*(e + f*x)^m)^n)^(1/(m*n))*(4*f)) - (3*b*m*n*(e + f*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n]])/(2*f) + ((e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^(3/2))/f}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^(1/2), x, 6, -((Sqrt[b]*Sqrt[m]*Sqrt[n]*Sqrt[Pi]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[m]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*m*n))*(c*(d*(e + f*x)^m)^n)^(1/(m*n))*(2*f))) + ((e + f*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n]])/f}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^(1/2), x, 5, (Sqrt[Pi]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[m]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*m*n))*(c*(d*(e + f*x)^m)^n)^(1/(m*n))*(Sqrt[b]*f*Sqrt[m]*Sqrt[n]))}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^(3/2), x, 6, (2*Sqrt[Pi]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[m]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*m*n))*(c*(d*(e + f*x)^m)^n)^(1/(m*n))*(b^(3/2)*f*m^(3/2)*n^(3/2))) - (2*(e + f*x))/(b*f*m*n*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n]])}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^(5/2), x, 7, (4*Sqrt[Pi]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[m]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*m*n))*(c*(d*(e + f*x)^m)^n)^(1/(m*n))*(3*b^(5/2)*f*m^(5/2)*n^(5/2))) - (2*(e + f*x))/(3*b*f*m*n*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^(3/2)) - (4*(e + f*x))/(3*b^2*f*m^2*n^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n]])}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^(7/2), x, 8, (8*Sqrt[Pi]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n]]/(Sqrt[b]*Sqrt[m]*Sqrt[n])])/(E^(a/(b*m*n))*(c*(d*(e + f*x)^m)^n)^(1/(m*n))*(15*b^(7/2)*f*m^(7/2)*n^(7/2))) - (2*(e + f*x))/(5*b*f*m*n*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^(5/2)) - (4*(e + f*x))/(15*b^2*f*m^2*n^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^(3/2)) - (8*(e + f*x))/(15*b^3*f*m^3*n^3*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Log[c (d (e+f x)^m)^n])^p with p symbolic*)
+
+
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^p, x, 4, ((e + f*x)*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])/(b*m*n))]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^p)/(E^(a/(b*m*n))*(c*(d*(e + f*x)^m)^n)^(1/(m*n))*(-((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])/(b*m*n)))^p*f)}
+
+
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^(1/2))^(1/2)])^p, x, 4, (Gamma[1 + p, -((4*(a + b*Log[c*Sqrt[d*Sqrt[e + f*x]]]))/b)]*(a + b*Log[c*Sqrt[d*Sqrt[e + f*x]]])^p)/(4^p*E^((4*a)/b)*(-((a + b*Log[c*Sqrt[d*Sqrt[e + f*x]]])/b))^p*(c^4*d^2*f))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^q (a+b Log[c (d (e+f x)^m)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^q (a+b Log[c (d (e+f x)^m)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*(g + h*x)^3, x, 4, -((b*(f*g - e*h)^3*p*q*x)/(4*f^3)) - (b*(f*g - e*h)^2*p*q*(g + h*x)^2)/(8*f^2*h) - (b*(f*g - e*h)*p*q*(g + h*x)^3)/(12*f*h) - (b*p*q*(g + h*x)^4)/(16*h) - (b*(f*g - e*h)^4*p*q*Log[e + f*x])/(4*f^4*h) + ((g + h*x)^4*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(4*h)}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*(g + h*x)^2, x, 4, -((b*(f*g - e*h)^2*p*q*x)/(3*f^2)) - (b*(f*g - e*h)*p*q*(g + h*x)^2)/(6*f*h) - (b*p*q*(g + h*x)^3)/(9*h) - (b*(f*g - e*h)^3*p*q*Log[e + f*x])/(3*f^3*h) + ((g + h*x)^3*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(3*h)}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*(g + h*x)^1, x, 4, -((b*(f*g - e*h)*p*q*x)/(2*f)) - (b*p*q*(g + h*x)^2)/(4*h) - (b*(f*g - e*h)^2*p*q*Log[e + f*x])/(2*f^2*h) + ((g + h*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(2*h)}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*(g + h*x)^0, x, 4, a*x - b*p*q*x + (b*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/f}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(g + h*x)^1, x, 4, ((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/h + (b*p*q*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(g + h*x)^2, x, 5, (b*f*p*q*Log[e + f*x])/(h*(f*g - e*h)) - (a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(h*(g + h*x)) - (b*f*p*q*Log[g + h*x])/(h*(f*g - e*h))}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(g + h*x)^3, x, 4, (b*f*p*q)/(2*h*(f*g - e*h)*(g + h*x)) + (b*f^2*p*q*Log[e + f*x])/(2*h*(f*g - e*h)^2) - (a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(2*h*(g + h*x)^2) - (b*f^2*p*q*Log[g + h*x])/(2*h*(f*g - e*h)^2)}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(g + h*x)^4, x, 4, (b*f*p*q)/(6*h*(f*g - e*h)*(g + h*x)^2) + (b*f^2*p*q)/(3*h*(f*g - e*h)^2*(g + h*x)) + (b*f^3*p*q*Log[e + f*x])/(3*h*(f*g - e*h)^3) - (a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(3*h*(g + h*x)^3) - (b*f^3*p*q*Log[g + h*x])/(3*h*(f*g - e*h)^3)}
+
+
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*(g + h*x)^3, x, 9, (2*b^2*(f*g - e*h)^3*p^2*q^2*x)/f^3 + (3*b^2*h*(f*g - e*h)^2*p^2*q^2*(e + f*x)^2)/(4*f^4) + (2*b^2*h^2*(f*g - e*h)*p^2*q^2*(e + f*x)^3)/(9*f^4) + (b^2*h^3*p^2*q^2*(e + f*x)^4)/(32*f^4) + (b^2*(f*g - e*h)^4*p^2*q^2*Log[e + f*x]^2)/(4*f^4*h) - (2*b*(f*g - e*h)^3*p*q*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/f^4 - (3*b*h*(f*g - e*h)^2*p*q*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(2*f^4) - (2*b*h^2*(f*g - e*h)*p*q*(e + f*x)^3*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(3*f^4) - (b*h^3*p*q*(e + f*x)^4*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(8*f^4) - (b*(f*g - e*h)^4*p*q*Log[e + f*x]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(2*f^4*h) + ((g + h*x)^4*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(4*h)}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*(g + h*x)^2, x, 9, (2*b^2*(f*g - e*h)^2*p^2*q^2*x)/f^2 + (b^2*h*(f*g - e*h)*p^2*q^2*(e + f*x)^2)/(2*f^3) + (2*b^2*h^2*p^2*q^2*(e + f*x)^3)/(27*f^3) + (b^2*(f*g - e*h)^3*p^2*q^2*Log[e + f*x]^2)/(3*f^3*h) - (2*b*(f*g - e*h)^2*p*q*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/f^3 - (b*h*(f*g - e*h)*p*q*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/f^3 - (2*b*h^2*p*q*(e + f*x)^3*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(9*f^3) - (2*b*(f*g - e*h)^3*p*q*Log[e + f*x]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(3*f^3*h) + ((g + h*x)^3*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(3*h)}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*(g + h*x)^1, x, 10, -((2*a*b*(f*g - e*h)*p*q*x)/f) + (2*b^2*(f*g - e*h)*p^2*q^2*x)/f + (b^2*h*p^2*q^2*(e + f*x)^2)/(4*f^2) - (2*b^2*(f*g - e*h)*p*q*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/f^2 - (b*h*p*q*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(2*f^2) + ((f*g - e*h)*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/f^2 + (h*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(2*f^2)}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*(g + h*x)^0, x, 5, -2*a*b*p*q*x + 2*b^2*p^2*q^2*x - (2*b^2*p*q*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/f + ((e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/f}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2/(g + h*x)^1, x, 5, ((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/h + (2*b*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h - (2*b^2*p^2*q^2*PolyLog[3, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2/(g + h*x)^2, x, 5, ((e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/((f*g - e*h)*(g + h*x)) - (2*b*f*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/(h*(f*g - e*h)) - (2*b^2*f*p^2*q^2*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*(f*g - e*h))}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2/(g + h*x)^3, x, 8, -((b*f*p*q*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/((f*g - e*h)^2*(g + h*x))) - (a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2/(2*h*(g + h*x)^2) + (b^2*f^2*p^2*q^2*Log[g + h*x])/(h*(f*g - e*h)^2) - (b*f^2*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*Log[1 + (f*g - e*h)/(h*(e + f*x))])/(h*(f*g - e*h)^2) + (b^2*f^2*p^2*q^2*PolyLog[2, -((f*g - e*h)/(h*(e + f*x)))])/(h*(f*g - e*h)^2)}
+
+
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3*(g + h*x)^2, x, 16, (6*a*b^2*(f*g - e*h)^2*p^2*q^2*x)/f^2 - (6*b^3*(f*g - e*h)^2*p^3*q^3*x)/f^2 - (3*b^3*h*(f*g - e*h)*p^3*q^3*(e + f*x)^2)/(4*f^3) - (2*b^3*h^2*p^3*q^3*(e + f*x)^3)/(27*f^3) + (6*b^3*(f*g - e*h)^2*p^2*q^2*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/f^3 + (3*b^2*h*(f*g - e*h)*p^2*q^2*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(2*f^3) + (2*b^2*h^2*p^2*q^2*(e + f*x)^3*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(9*f^3) - (3*b*(f*g - e*h)^2*p*q*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/f^3 - (3*b*h*(f*g - e*h)*p*q*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(2*f^3) - (b*h^2*p*q*(e + f*x)^3*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(3*f^3) + ((f*g - e*h)^2*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3)/f^3 + (h*(f*g - e*h)*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3)/f^3 + (h^2*(e + f*x)^3*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3)/(3*f^3)}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3*(g + h*x)^1, x, 12, (6*a*b^2*(f*g - e*h)*p^2*q^2*x)/f - (6*b^3*(f*g - e*h)*p^3*q^3*x)/f - (3*b^3*h*p^3*q^3*(e + f*x)^2)/(8*f^2) + (6*b^3*(f*g - e*h)*p^2*q^2*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/f^2 + (3*b^2*h*p^2*q^2*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(4*f^2) - (3*b*(f*g - e*h)*p*q*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/f^2 - (3*b*h*p*q*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(4*f^2) + ((f*g - e*h)*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3)/f^2 + (h*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3)/(2*f^2)}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3*(g + h*x)^0, x, 6, 6*a*b^2*p^2*q^2*x - 6*b^3*p^3*q^3*x + (6*b^3*p^2*q^2*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/f - (3*b*p*q*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/f + ((e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3)/f}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3/(g + h*x)^1, x, 6, ((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/h + (3*b*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h - (6*b^2*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[3, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h + (6*b^3*p^3*q^3*PolyLog[4, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3/(g + h*x)^2, x, 6, ((e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3)/((f*g - e*h)*(g + h*x)) - (3*b*f*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/(h*(f*g - e*h)) - (6*b^2*f*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*(f*g - e*h)) + (6*b^3*f*p^3*q^3*PolyLog[3, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*(f*g - e*h))}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3/(g + h*x)^3, x, 10, -((3*b*f*p*q*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(2*(f*g - e*h)^2*(g + h*x))) - (a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3/(2*h*(g + h*x)^2) + (3*b^2*f^2*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/(h*(f*g - e*h)^2) - (3*b*f^2*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*Log[1 + (f*g - e*h)/(h*(e + f*x))])/(2*h*(f*g - e*h)^2) + (3*b^2*f^2*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[2, -((f*g - e*h)/(h*(e + f*x)))])/(h*(f*g - e*h)^2) + (3*b^3*f^2*p^3*q^3*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*(f*g - e*h)^2) + (3*b^3*f^2*p^3*q^3*PolyLog[3, -((f*g - e*h)/(h*(e + f*x)))])/(h*(f*g - e*h)^2)}
+
+
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^4*(g + h*x)^0, x, 7, -24*a*b^3*p^3*q^3*x + 24*b^4*p^4*q^4*x - (24*b^4*p^3*q^3*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/f + (12*b^2*p^2*q^2*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/f - (4*b*p*q*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3)/f + ((e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^4)/f}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^4/(g + h*x)^1, x, 7, ((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^4*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/h + (4*b*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h - (12*b^2*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*PolyLog[3, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h + (24*b^3*p^3*q^3*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[4, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h - (24*b^4*p^4*q^4*PolyLog[5, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^4/(g + h*x)^2, x, 7, ((e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^4)/((f*g - e*h)*(g + h*x)) - (4*b*f*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/(h*(f*g - e*h)) - (12*b^2*f*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*(f*g - e*h)) + (24*b^3*f*p^3*q^3*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[3, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*(f*g - e*h)) - (24*b^4*f*p^4*q^4*PolyLog[4, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*(f*g - e*h))}
+
+
+{Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q], x, 3, (-p)*q*x + ((e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/f}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*(g + h*x)^2, x, 12, ((f*g - e*h)^2*(e + f*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(b*p*q)])/(E^(a/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))*(b*f^3*p*q)) + (2*h*(f*g - e*h)*(e + f*x)^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(b*p*q)])/(E^((2*a)/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(2/(p*q))*(b*f^3*p*q)) + (h^2*(e + f*x)^3*ExpIntegralEi[(3*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(b*p*q)])/(E^((3*a)/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(3/(p*q))*(b*f^3*p*q))}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*(g + h*x)^1, x, 9, ((f*g - e*h)*(e + f*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(b*p*q)])/(E^(a/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))*(b*f^2*p*q)) + (h*(e + f*x)^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(b*p*q)])/(E^((2*a)/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(2/(p*q))*(b*f^2*p*q))}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*(g + h*x)^0, x, 4, ((e + f*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(b*p*q)])/(E^(a/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))*(b*f*p*q))}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(g + h*x)^1, x, 0, Unintegrable[1/((g + h*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])), x]}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(g + h*x)^2, x, 0, Unintegrable[1/((g + h*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])), x]}
+
+
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*(g + h*x)^2, x, 21, ((f*g - e*h)^2*(e + f*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(b*p*q)])/(E^(a/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))*(b^2*f^3*p^2*q^2)) + (4*h*(f*g - e*h)*(e + f*x)^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(b*p*q)])/(E^((2*a)/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(2/(p*q))*(b^2*f^3*p^2*q^2)) + (3*h^2*(e + f*x)^3*ExpIntegralEi[(3*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(b*p*q)])/(E^((3*a)/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(3/(p*q))*(b^2*f^3*p^2*q^2)) - ((e + f*x)*(g + h*x)^2)/(b*f*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*(g + h*x)^1, x, 13, ((f*g - e*h)*(e + f*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(b*p*q)])/(E^(a/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))*(b^2*f^2*p^2*q^2)) + (2*h*(e + f*x)^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(b*p*q)])/(E^((2*a)/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(2/(p*q))*(b^2*f^2*p^2*q^2)) - ((e + f*x)*(g + h*x))/(b*f*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*(g + h*x)^0, x, 5, ((e + f*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(b*p*q)])/(E^(a/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))*(b^2*f*p^2*q^2)) - (e + f*x)/(b*f*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2/(g + h*x)^1, x, 0, Unintegrable[1/((g + h*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2), x]}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2/(g + h*x)^2, x, 0, Unintegrable[1/((g + h*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2), x]}
+
+
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3*(g + h*x)^2, x, 34, ((f*g - e*h)^2*(e + f*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(b*p*q)])/(E^(a/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))*(2*b^3*f^3*p^3*q^3)) + (4*h*(f*g - e*h)*(e + f*x)^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(b*p*q)])/(E^((2*a)/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(2/(p*q))*(b^3*f^3*p^3*q^3)) + (9*h^2*(e + f*x)^3*ExpIntegralEi[(3*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(b*p*q)])/(E^((3*a)/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(3/(p*q))*(2*b^3*f^3*p^3*q^3)) - ((e + f*x)*(g + h*x)^2)/(2*b*f*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2) + ((f*g - e*h)*(e + f*x)*(g + h*x))/(b^2*f^2*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])) - (3*(e + f*x)*(g + h*x)^2)/(2*b^2*f*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3*(g + h*x)^1, x, 18, ((f*g - e*h)*(e + f*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(b*p*q)])/(E^(a/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))*(2*b^3*f^2*p^3*q^3)) + (2*h*(e + f*x)^2*ExpIntegralEi[(2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(b*p*q)])/(E^((2*a)/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(2/(p*q))*(b^3*f^2*p^3*q^3)) - ((e + f*x)*(g + h*x))/(2*b*f*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2) + ((f*g - e*h)*(e + f*x))/(2*b^2*f^2*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])) - ((e + f*x)*(g + h*x))/(b^2*f*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3*(g + h*x)^0, x, 6, ((e + f*x)*ExpIntegralEi[(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(b*p*q)])/(E^(a/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))*(2*b^3*f*p^3*q^3)) - (e + f*x)/(2*b*f*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2) - (e + f*x)/(2*b^2*f*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3/(g + h*x)^1, x, 0, Unintegrable[1/((g + h*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3), x]}
+{1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3/(g + h*x)^2, x, 0, Unintegrable[1/((g + h*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^q (a+b Log[c (d (e+f x)^m)^n])^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(g + h*x)^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]], x, 18, -(Sqrt[b]*(f*g - e*h)^2*Sqrt[p]*Sqrt[Pi]*Sqrt[q]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(2*E^(a/(b*p*q))*f^3*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))) - (Sqrt[b]*h*(f*g - e*h)*Sqrt[p]*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[q]*(e + f*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(2*E^((2*a)/(b*p*q))*f^3*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(2/(p*q))) - (Sqrt[b]*h^2*Sqrt[p]*Sqrt[Pi/3]*Sqrt[q]*(e + f*x)^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(6*E^((3*a)/(b*p*q))*f^3*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(3/(p*q))) + ((f*g - e*h)^2*(e + f*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/f^3 + (h*(f*g - e*h)*(e + f*x)^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/f^3 + (h^2*(e + f*x)^3*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(3*f^3)}
+{(g + h*x)^1*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]], x, 13, -(Sqrt[b]*(f*g - e*h)*Sqrt[p]*Sqrt[Pi]*Sqrt[q]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(2*E^(a/(b*p*q))*f^2*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))) - (Sqrt[b]*h*Sqrt[p]*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[q]*(e + f*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(4*E^((2*a)/(b*p*q))*f^2*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(2/(p*q))) + ((f*g - e*h)*(e + f*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/f^2 + (h*(e + f*x)^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(2*f^2)}
+{(g + h*x)^0*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]], x, 6, -(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[Pi]*Sqrt[q]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(2*E^(a/(b*p*q))*f*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))) + ((e + f*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/f}
+{Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(g + h*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(g + h*x), x]}
+{Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(g + h*x)^2, x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(g + h*x)^2, x]}
+
+
+{(g + h*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2), x, 21, (3*b^(3/2)*(f*g - e*h)^2*p^(3/2)*Sqrt[Pi]*q^(3/2)*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(4*E^(a/(b*p*q))*f^3*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))) + (3*b^(3/2)*h*(f*g - e*h)*p^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*q^(3/2)*(e + f*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(8*E^((2*a)/(b*p*q))*f^3*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(2/(p*q))) + (b^(3/2)*h^2*p^(3/2)*Sqrt[Pi/3]*q^(3/2)*(e + f*x)^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(12*E^((3*a)/(b*p*q))*f^3*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(3/(p*q))) - (3*b*(f*g - e*h)^2*p*q*(e + f*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(2*f^3) - (3*b*h*(f*g - e*h)*p*q*(e + f*x)^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(4*f^3) - (b*h^2*p*q*(e + f*x)^3*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(6*f^3) + ((f*g - e*h)^2*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2))/f^3 + (h*(f*g - e*h)*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2))/f^3 + (h^2*(e + f*x)^3*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2))/(3*f^3)}
+{(g + h*x)^1*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2), x, 15, (3*b^(3/2)*(f*g - e*h)*p^(3/2)*Sqrt[Pi]*q^(3/2)*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(4*E^(a/(b*p*q))*f^2*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))) + (3*b^(3/2)*h*p^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*q^(3/2)*(e + f*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(16*E^((2*a)/(b*p*q))*f^2*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(2/(p*q))) - (3*b*(f*g - e*h)*p*q*(e + f*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(2*f^2) - (3*b*h*p*q*(e + f*x)^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(8*f^2) + ((f*g - e*h)*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2))/f^2 + (h*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2))/(2*f^2)}
+{(g + h*x)^0*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2), x, 7, (3*b^(3/2)*p^(3/2)*Sqrt[Pi]*q^(3/2)*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(4*E^(a/(b*p*q))*f*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))) - (3*b*p*q*(e + f*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(2*f) + ((e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2))/f}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2)/(g + h*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2)/(g + h*x), x]}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2)/(g + h*x)^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2)/(g + h*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(g + h*x)^2/Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]], x, 15, ((f*g - e*h)^2*Sqrt[Pi]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(Sqrt[b]*E^(a/(b*p*q))*f^3*Sqrt[p]*Sqrt[q]*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))) + (h*(f*g - e*h)*Sqrt[2*Pi]*(e + f*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(Sqrt[b]*E^((2*a)/(b*p*q))*f^3*Sqrt[p]*Sqrt[q]*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(2/(p*q))) + (h^2*Sqrt[Pi/3]*(e + f*x)^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(Sqrt[b]*E^((3*a)/(b*p*q))*f^3*Sqrt[p]*Sqrt[q]*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(3/(p*q)))}
+{(g + h*x)^1/Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]], x, 11, ((f*g - e*h)*Sqrt[Pi]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(Sqrt[b]*E^(a/(b*p*q))*f^2*Sqrt[p]*Sqrt[q]*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))) + (h*Sqrt[Pi/2]*(e + f*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(Sqrt[b]*E^((2*a)/(b*p*q))*f^2*Sqrt[p]*Sqrt[q]*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(2/(p*q)))}
+{(g + h*x)^0/Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]], x, 5, (Sqrt[Pi]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(Sqrt[b]*E^(a/(b*p*q))*f*Sqrt[p]*Sqrt[q]*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q)))}
+{1/((g + h*x)^1*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]), x, 0, Unintegrable[1/((g + h*x)*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]), x]}
+
+
+{(g + h*x)^2/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2), x, 26, (2*(f*g - e*h)^2*Sqrt[Pi]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(b^(3/2)*E^(a/(b*p*q))*f^3*p^(3/2)*q^(3/2)*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))) + (4*h*(f*g - e*h)*Sqrt[2*Pi]*(e + f*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(b^(3/2)*E^((2*a)/(b*p*q))*f^3*p^(3/2)*q^(3/2)*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(2/(p*q))) + (2*h^2*Sqrt[3*Pi]*(e + f*x)^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(b^(3/2)*E^((3*a)/(b*p*q))*f^3*p^(3/2)*q^(3/2)*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(3/(p*q))) - (2*(e + f*x)*(g + h*x)^2)/(b*f*p*q*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])}
+{(g + h*x)^1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2), x, 16, (2*(f*g - e*h)*Sqrt[Pi]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(b^(3/2)*E^(a/(b*p*q))*f^2*p^(3/2)*q^(3/2)*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))) + (2*h*Sqrt[2*Pi]*(e + f*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(b^(3/2)*E^((2*a)/(b*p*q))*f^2*p^(3/2)*q^(3/2)*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(2/(p*q))) - (2*(e + f*x)*(g + h*x))/(b*f*p*q*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])}
+{(g + h*x)^0/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2), x, 6, (2*Sqrt[Pi]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(b^(3/2)*E^(a/(b*p*q))*f*p^(3/2)*q^(3/2)*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))) - (2*(e + f*x))/(b*f*p*q*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])}
+{1/((g + h*x)^1*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/((g + h*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2)), x]}
+
+
+{(g + h*x)^2/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(5/2), x, 42, (4*(f*g - e*h)^2*Sqrt[Pi]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(3*b^(5/2)*E^(a/(b*p*q))*f^3*p^(5/2)*q^(5/2)*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))) + (16*h*(f*g - e*h)*Sqrt[2*Pi]*(e + f*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(3*b^(5/2)*E^((2*a)/(b*p*q))*f^3*p^(5/2)*q^(5/2)*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(2/(p*q))) + (4*h^2*Sqrt[3*Pi]*(e + f*x)^3*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(b^(5/2)*E^((3*a)/(b*p*q))*f^3*p^(5/2)*q^(5/2)*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(3/(p*q))) - (2*(e + f*x)*(g + h*x)^2)/(3*b*f*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2)) + (8*(f*g - e*h)*(e + f*x)*(g + h*x))/(3*b^2*f^2*p^2*q^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]) - (4*(e + f*x)*(g + h*x)^2)/(b^2*f*p^2*q^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])}
+{(g + h*x)^1/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(5/2), x, 22, (4*(f*g - e*h)*Sqrt[Pi]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(3*b^(5/2)*E^(a/(b*p*q))*f^2*p^(5/2)*q^(5/2)*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))) + (8*h*Sqrt[2*Pi]*(e + f*x)^2*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(3*b^(5/2)*E^((2*a)/(b*p*q))*f^2*p^(5/2)*q^(5/2)*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(2/(p*q))) - (2*(e + f*x)*(g + h*x))/(3*b*f*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2)) + (4*(f*g - e*h)*(e + f*x))/(3*b^2*f^2*p^2*q^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]) - (8*(e + f*x)*(g + h*x))/(3*b^2*f*p^2*q^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])}
+{(g + h*x)^0/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(5/2), x, 7, (4*Sqrt[Pi]*(e + f*x)*Erfi[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(Sqrt[b]*Sqrt[p]*Sqrt[q])])/(3*b^(5/2)*E^(a/(b*p*q))*f*p^(5/2)*q^(5/2)*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))) - (2*(e + f*x))/(3*b*f*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2)) - (4*(e + f*x))/(3*b^2*f*p^2*q^2*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]])}
+{1/((g + h*x)^1*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(5/2)), x, 0, Unintegrable[1/((g + h*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(5/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^(q/2) (a+b Log[c (d (e+f x)^m)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(g + h*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]), x, 7, (-4*b*(f*g - e*h)^2*p*q*Sqrt[g + h*x])/(5*f^2*h) - (4*b*(f*g - e*h)*p*q*(g + h*x)^(3/2))/(15*f*h) - (4*b*p*q*(g + h*x)^(5/2))/(25*h) + (4*b*(f*g - e*h)^(5/2)*p*q*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]])/(5*f^(5/2)*h) + (2*(g + h*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(5*h)}
+{(g + h*x)^(1/2)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]), x, 6, (-4*b*(f*g - e*h)*p*q*Sqrt[g + h*x])/(3*f*h) - (4*b*p*q*(g + h*x)^(3/2))/(9*h) + (4*b*(f*g - e*h)^(3/2)*p*q*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]])/(3*f^(3/2)*h) + (2*(g + h*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(3*h)}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(g + h*x)^(1/2), x, 5, (-4*b*p*q*Sqrt[g + h*x])/h + (4*b*Sqrt[f*g - e*h]*p*q*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]])/(Sqrt[f]*h) + (2*Sqrt[g + h*x]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/h}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(g + h*x)^(3/2), x, 4, (-4*b*Sqrt[f]*p*q*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]])/(h*Sqrt[f*g - e*h]) - (2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(h*Sqrt[g + h*x])}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(g + h*x)^(5/2), x, 5, (4*b*f*p*q)/(3*h*(f*g - e*h)*Sqrt[g + h*x]) - (4*b*f^(3/2)*p*q*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]])/(3*h*(f*g - e*h)^(3/2)) - (2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(3*h*(g + h*x)^(3/2))}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(g + h*x)^(7/2), x, 6, (4*b*f*p*q)/(15*h*(f*g - e*h)*(g + h*x)^(3/2)) + (4*b*f^2*p*q)/(5*h*(f*g - e*h)^2*Sqrt[g + h*x]) - (4*b*f^(5/2)*p*q*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]])/(5*h*(f*g - e*h)^(5/2)) - (2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(5*h*(g + h*x)^(5/2))}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(g + h*x)^(9/2), x, 7, (4*b*f*p*q)/(35*h*(f*g - e*h)*(g + h*x)^(5/2)) + (4*b*f^2*p*q)/(21*h*(f*g - e*h)^2*(g + h*x)^(3/2)) + (4*b*f^3*p*q)/(7*h*(f*g - e*h)^3*Sqrt[g + h*x]) - (4*b*f^(7/2)*p*q*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]])/(7*h*(f*g - e*h)^(7/2)) - (2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(7*h*(g + h*x)^(7/2))}
+
+
+{(g + h*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2, x, 29, (368*b^2*(f*g - e*h)^2*p^2*q^2*Sqrt[g + h*x])/(75*f^2*h) + (128*b^2*(f*g - e*h)*p^2*q^2*(g + h*x)^(3/2))/(225*f*h) + (16*b^2*p^2*q^2*(g + h*x)^(5/2))/(125*h) - (368*b^2*(f*g - e*h)^(5/2)*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]])/(75*f^(5/2)*h) - (8*b^2*(f*g - e*h)^(5/2)*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]^2)/(5*f^(5/2)*h) - (8*b*(f*g - e*h)^2*p*q*Sqrt[g + h*x]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(5*f^2*h) - (8*b*(f*g - e*h)*p*q*(g + h*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(15*f*h) - (8*b*p*q*(g + h*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(25*h) + (8*b*(f*g - e*h)^(5/2)*p*q*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(5*f^(5/2)*h) + (2*(g + h*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(5*h) + (16*b^2*(f*g - e*h)^(5/2)*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]*Log[2/(1 - (Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h])])/(5*f^(5/2)*h) + (8*b^2*(f*g - e*h)^(5/2)*p^2*q^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h])])/(5*f^(5/2)*h)}
+{(g + h*x)^(1/2)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2, x, 22, (64*b^2*(f*g - e*h)*p^2*q^2*Sqrt[g + h*x])/(9*f*h) + (16*b^2*p^2*q^2*(g + h*x)^(3/2))/(27*h) - (64*b^2*(f*g - e*h)^(3/2)*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]])/(9*f^(3/2)*h) - (8*b^2*(f*g - e*h)^(3/2)*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]^2)/(3*f^(3/2)*h) - (8*b*(f*g - e*h)*p*q*Sqrt[g + h*x]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(3*f*h) - (8*b*p*q*(g + h*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(9*h) + (8*b*(f*g - e*h)^(3/2)*p*q*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(3*f^(3/2)*h) + (2*(g + h*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(3*h) + (16*b^2*(f*g - e*h)^(3/2)*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]*Log[2/(1 - (Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h])])/(3*f^(3/2)*h) + (8*b^2*(f*g - e*h)^(3/2)*p^2*q^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h])])/(3*f^(3/2)*h)}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2/(g + h*x)^(1/2), x, 16, (16*b^2*p^2*q^2*Sqrt[g + h*x])/h - (16*b^2*Sqrt[f*g - e*h]*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]])/(Sqrt[f]*h) - (8*b^2*Sqrt[f*g - e*h]*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]^2)/(Sqrt[f]*h) - (8*b*p*q*Sqrt[g + h*x]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/h + (8*b*Sqrt[f*g - e*h]*p*q*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(Sqrt[f]*h) + (2*Sqrt[g + h*x]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/h + (16*b^2*Sqrt[f*g - e*h]*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]*Log[2/(1 - (Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h])])/(Sqrt[f]*h) + (8*b^2*Sqrt[f*g - e*h]*p^2*q^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h])])/(Sqrt[f]*h)}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2/(g + h*x)^(3/2), x, 11, (8*b^2*Sqrt[f]*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]^2)/(h*Sqrt[f*g - e*h]) - (8*b*Sqrt[f]*p*q*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(h*Sqrt[f*g - e*h]) - (2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(h*Sqrt[g + h*x]) - (16*b^2*Sqrt[f]*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]*Log[2/(1 - (Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h])])/(h*Sqrt[f*g - e*h]) - (8*b^2*Sqrt[f]*p^2*q^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h])])/(h*Sqrt[f*g - e*h])}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2/(g + h*x)^(5/2), x, 15, (16*b^2*f^(3/2)*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]])/(3*h*(f*g - e*h)^(3/2)) + (8*b^2*f^(3/2)*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]^2)/(3*h*(f*g - e*h)^(3/2)) + (8*b*f*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(3*h*(f*g - e*h)*Sqrt[g + h*x]) - (8*b*f^(3/2)*p*q*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(3*h*(f*g - e*h)^(3/2)) - (2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(3*h*(g + h*x)^(3/2)) - (16*b^2*f^(3/2)*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]*Log[2/(1 - (Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h])])/(3*h*(f*g - e*h)^(3/2)) - (8*b^2*f^(3/2)*p^2*q^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h])])/(3*h*(f*g - e*h)^(3/2))}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2/(g + h*x)^(7/2), x, 20, -((16*b^2*f^2*p^2*q^2)/(15*h*(f*g - e*h)^2*Sqrt[g + h*x])) + (64*b^2*f^(5/2)*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]])/(15*h*(f*g - e*h)^(5/2)) + (8*b^2*f^(5/2)*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]^2)/(5*h*(f*g - e*h)^(5/2)) + (8*b*f*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(15*h*(f*g - e*h)*(g + h*x)^(3/2)) + (8*b*f^2*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(5*h*(f*g - e*h)^2*Sqrt[g + h*x]) - (8*b*f^(5/2)*p*q*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(5*h*(f*g - e*h)^(5/2)) - (2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(5*h*(g + h*x)^(5/2)) - (16*b^2*f^(5/2)*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]*Log[2/(1 - (Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h])])/(5*h*(f*g - e*h)^(5/2)) - (8*b^2*f^(5/2)*p^2*q^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h])])/(5*h*(f*g - e*h)^(5/2))}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2/(g + h*x)^(9/2), x, 26, -((16*b^2*f^2*p^2*q^2)/(105*h*(f*g - e*h)^2*(g + h*x)^(3/2))) - (128*b^2*f^3*p^2*q^2)/(105*h*(f*g - e*h)^3*Sqrt[g + h*x]) + (368*b^2*f^(7/2)*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]])/(105*h*(f*g - e*h)^(7/2)) + (8*b^2*f^(7/2)*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]^2)/(7*h*(f*g - e*h)^(7/2)) + (8*b*f*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(35*h*(f*g - e*h)*(g + h*x)^(5/2)) + (8*b*f^2*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(21*h*(f*g - e*h)^2*(g + h*x)^(3/2)) + (8*b*f^3*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(7*h*(f*g - e*h)^3*Sqrt[g + h*x]) - (8*b*f^(7/2)*p*q*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(7*h*(f*g - e*h)^(7/2)) - (2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(7*h*(g + h*x)^(7/2)) - (16*b^2*f^(7/2)*p^2*q^2*ArcTanh[(Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h]]*Log[2/(1 - (Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h])])/(7*h*(f*g - e*h)^(7/2)) - (8*b^2*f^(7/2)*p^2*q^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (Sqrt[f]*Sqrt[g + h*x])/Sqrt[f*g - e*h])])/(7*h*(f*g - e*h)^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(g + h*x)^(3/2)/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]), x, 0, Unintegrable[(g + h*x)^(3/2)/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]), x]}
+{(g + h*x)^(1/2)/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]), x, 0, Unintegrable[Sqrt[g + h*x]/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]), x]}
+{1/((g + h*x)^(1/2)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])), x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[g + h*x]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])), x]}
+{1/((g + h*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])), x, 0, Unintegrable[1/((g + h*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^(q/2) (a+b Log[c (d (e+f x)^m)^n])^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[g + h*x]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]], x, 0, Unintegrable[Sqrt[g + h*x]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]], x]}
+{Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/Sqrt[g + h*x], x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/Sqrt[g + h*x], x]}
+{Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(g + h*x)^(3/2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]/(g + h*x)^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sqrt[g + h*x]/Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]], x, 0, Unintegrable[Sqrt[g + h*x]/Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]], x]}
+{1/(Sqrt[g + h*x]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]), x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[g + h*x]*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]), x]}
+{1/((g + h*x)^(3/2)*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]), x, 0, Unintegrable[1/((g + h*x)^(3/2)*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]]), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^q (a+b Log[c (d (e+f x)^m)^n])^p when q symbolic*)
+
+
+(* {(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3*(g + h*x)^m, x, 0, (3*a^2*b*f*p*q*(g + h*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/(h*(f*g - e*h)*(1 + m)*(2 + m)) + (6*a*b^2*p^2*q^2*(g + h*x)^(1 + m)*((f*(g + h*x))/(h*(e + f*x)))^(-1 - m)*HypergeometricPFQ[{-1 - m, -1 - m, -1 - m}, {-m, -m}, -((f*g - e*h)/(h*(e + f*x)))])/(h*(1 + m)^3) - (6*b^3*p^3*q^3*(g + h*x)^(1 + m)*((f*(g + h*x))/(h*(e + f*x)))^(-1 - m)*HypergeometricPFQ[{-1 - m, -1 - m, -1 - m, -1 - m}, {-m, -m, -m}, -((f*g - e*h)/(h*(e + f*x)))])/(h*(1 + m)^4) - (6*a*b^2*p*q*(g + h*x)^(1 + m)*((f*(g + h*x))/(h*(e + f*x)))^(-1 - m)*Hypergeometric2F1[-1 - m, -1 - m, -m, -((f*g - e*h)/(h*(e + f*x)))]*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(h*(1 + m)^2) + (6*b^3*p^2*q^2*(g + h*x)^(1 + m)*((f*(g + h*x))/(h*(e + f*x)))^(-1 - m)*HypergeometricPFQ[{-1 - m, -1 - m, -1 - m}, {-m, -m}, -((f*g - e*h)/(h*(e + f*x)))]*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(h*(1 + m)^3) - (3*b^3*p*q*(g + h*x)^(1 + m)*((f*(g + h*x))/(h*(e + f*x)))^(-1 - m)*Hypergeometric2F1[-1 - m, -1 - m, -m, -((f*g - e*h)/(h*(e + f*x)))]*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]^2)/(h*(1 + m)^2) + ((g + h*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3)/(h*(1 + m))}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*(g + h*x)^m, x, 0, (a^2*(g + h*x)^(1 + m))/(h*(1 + m)) + (2*a*b*f*p*q*(g + h*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/(h*(f*g - e*h)*(1 + m)*(2 + m)) + (2*b^2*p^2*q^2*(g + h*x)^(1 + m)*((f*(g + h*x))/(h*(e + f*x)))^(-1 - m)*HypergeometricPFQ[{-1 - m, -1 - m, -1 - m}, {-m, -m}, -((f*g - e*h)/(h*(e + f*x)))])/(h*(1 + m)^3) + (2*a*b*(g + h*x)^(1 + m)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(h*(1 + m)) - (2*b^2*p*q*(g + h*x)^(1 + m)*((f*(g + h*x))/(h*(e + f*x)))^(-1 - m)*Hypergeometric2F1[-1 - m, -1 - m, -m, -((f*g - e*h)/(h*(e + f*x)))]*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(h*(1 + m)^2) + (b^2*(g + h*x)^(1 + m)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]^2)/(h*(1 + m))} *)
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^1*(g + h*x)^m, x, 3, (b*f*p*q*(g + h*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/(h*(f*g - e*h)*(1 + m)*(2 + m)) + ((g + h*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(h*(1 + m))}
+{(g + h*x)^m/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^1, x, 0, Unintegrable[(g + h*x)^m/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]), x]}
+{(g + h*x)^m/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2, x, 0, Unintegrable[(g + h*x)^m/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2, x]}
+
+
+{(g + h*x)^m*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2), x, 0, Unintegrable[(g + h*x)^m*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2), x]}
+{(g + h*x)^m*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(1/2), x, 0, Unintegrable[(g + h*x)^m*Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]], x]}
+{(g + h*x)^m/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(1/2), x, 0, Unintegrable[(g + h*x)^m/Sqrt[a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]], x]}
+{(g + h*x)^m/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2), x, 0, Unintegrable[(g + h*x)^m/(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^q (a+b Log[c (d (e+f x)^m)^n])^p when p symbolic*)
+
+
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^n*(g + h*x)^m, x, 0, Unintegrable[(g + h*x)^m*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^n, x]}
+
+
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^n*(g + h*x)^2, x, 12, (3^(-1 - n)*h^2*(e + f*x)^3*Gamma[1 + n, -((3*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(b*p*q))]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^n)/(E^((3*a)/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(3/(p*q))*(-((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(b*p*q)))^n*f^3) + (h*(f*g - e*h)*(e + f*x)^2*Gamma[1 + n, -((2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(b*p*q))]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^n)/(2^n*E^((2*a)/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(2/(p*q))*(-((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(b*p*q)))^n*f^3) + ((f*g - e*h)^2*(e + f*x)*Gamma[1 + n, -((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(b*p*q))]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^n)/(E^(a/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))*(-((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(b*p*q)))^n*f^3)}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^n*(g + h*x)^1, x, 9, (2^(-1 - n)*h*(e + f*x)^2*Gamma[1 + n, -((2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(b*p*q))]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^n)/(E^((2*a)/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(2/(p*q))*(-((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(b*p*q)))^n*f^2) + ((f*g - e*h)*(e + f*x)*Gamma[1 + n, -((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(b*p*q))]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^n)/(E^(a/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))*(-((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(b*p*q)))^n*f^2)}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^n*(g + h*x)^0, x, 4, ((e + f*x)*Gamma[1 + n, -((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(b*p*q))]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^n)/(E^(a/(b*p*q))*(c*(d*(e + f*x)^p)^q)^(1/(p*q))*(-((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(b*p*q)))^n*f)}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^n/(g + h*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^n/(g + h*x), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x^r)^q (a+b Log[c (d (e+f x)^m)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x^2)^q (a+b Log[c (d (e+f x)^m)^n])*)
+
+
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(g + h*x^2), x, 9, ((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*Log[(f*(Sqrt[-g] - Sqrt[h]*x))/(f*Sqrt[-g] + e*Sqrt[h])])/(2*Sqrt[-g]*Sqrt[h]) - ((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*Log[(f*(Sqrt[-g] + Sqrt[h]*x))/(f*Sqrt[-g] - e*Sqrt[h])])/(2*Sqrt[-g]*Sqrt[h]) - (b*p*q*PolyLog[2, -((Sqrt[h]*(e + f*x))/(f*Sqrt[-g] - e*Sqrt[h]))])/(2*Sqrt[-g]*Sqrt[h]) + (b*p*q*PolyLog[2, (Sqrt[h]*(e + f*x))/(f*Sqrt[-g] + e*Sqrt[h])])/(2*Sqrt[-g]*Sqrt[h])}
+
+
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/Sqrt[2 + h*x^2], x, 11, (b*p*q*ArcSinh[(Sqrt[h]*x)/Sqrt[2]]^2)/(2*Sqrt[h]) - (b*p*q*ArcSinh[(Sqrt[h]*x)/Sqrt[2]]*Log[1 + (Sqrt[2]*E^ArcSinh[(Sqrt[h]*x)/Sqrt[2]]*f)/(e*Sqrt[h] - Sqrt[2*f^2 + e^2*h])])/Sqrt[h] - (b*p*q*ArcSinh[(Sqrt[h]*x)/Sqrt[2]]*Log[1 + (Sqrt[2]*E^ArcSinh[(Sqrt[h]*x)/Sqrt[2]]*f)/(e*Sqrt[h] + Sqrt[2*f^2 + e^2*h])])/Sqrt[h] + (ArcSinh[(Sqrt[h]*x)/Sqrt[2]]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/Sqrt[h] - (b*p*q*PolyLog[2, -((Sqrt[2]*E^ArcSinh[(Sqrt[h]*x)/Sqrt[2]]*f)/(e*Sqrt[h] - Sqrt[2*f^2 + e^2*h]))])/Sqrt[h] - (b*p*q*PolyLog[2, -((Sqrt[2]*E^ArcSinh[(Sqrt[h]*x)/Sqrt[2]]*f)/(e*Sqrt[h] + Sqrt[2*f^2 + e^2*h]))])/Sqrt[h]}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/Sqrt[g + h*x^2], x, 12, (b*Sqrt[g]*p*q*Sqrt[1 + (h*x^2)/g]*ArcSinh[(Sqrt[h]*x)/Sqrt[g]]^2)/(2*Sqrt[h]*Sqrt[g + h*x^2]) - (b*Sqrt[g]*p*q*Sqrt[1 + (h*x^2)/g]*ArcSinh[(Sqrt[h]*x)/Sqrt[g]]*Log[1 + (E^ArcSinh[(Sqrt[h]*x)/Sqrt[g]]*f*Sqrt[g])/(e*Sqrt[h] - Sqrt[f^2*g + e^2*h])])/(Sqrt[h]*Sqrt[g + h*x^2]) - (b*Sqrt[g]*p*q*Sqrt[1 + (h*x^2)/g]*ArcSinh[(Sqrt[h]*x)/Sqrt[g]]*Log[1 + (E^ArcSinh[(Sqrt[h]*x)/Sqrt[g]]*f*Sqrt[g])/(e*Sqrt[h] + Sqrt[f^2*g + e^2*h])])/(Sqrt[h]*Sqrt[g + h*x^2]) + (Sqrt[g]*Sqrt[1 + (h*x^2)/g]*ArcSinh[(Sqrt[h]*x)/Sqrt[g]]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(Sqrt[h]*Sqrt[g + h*x^2]) - (b*Sqrt[g]*p*q*Sqrt[1 + (h*x^2)/g]*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[(Sqrt[h]*x)/Sqrt[g]]*f*Sqrt[g])/(e*Sqrt[h] - Sqrt[f^2*g + e^2*h]))])/(Sqrt[h]*Sqrt[g + h*x^2]) - (b*Sqrt[g]*p*q*Sqrt[1 + (h*x^2)/g]*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[(Sqrt[h]*x)/Sqrt[g]]*f*Sqrt[g])/(e*Sqrt[h] + Sqrt[f^2*g + e^2*h]))])/(Sqrt[h]*Sqrt[g + h*x^2])}
+
+
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(Sqrt[2 + h*x]*Sqrt[2 - h*x]), x, 10, (I*b*p*q*ArcSin[(h*x)/2]^2)/(2*h) - (b*p*q*ArcSin[(h*x)/2]*Log[1 + (2*E^(I*ArcSin[(h*x)/2])*f)/(I*e*h - Sqrt[4*f^2 - e^2*h^2])])/h - (b*p*q*ArcSin[(h*x)/2]*Log[1 + (2*E^(I*ArcSin[(h*x)/2])*f)/(I*e*h + Sqrt[4*f^2 - e^2*h^2])])/h + (ArcSin[(h*x)/2]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/h + (I*b*p*q*PolyLog[2, -((2*E^(I*ArcSin[(h*x)/2])*f)/(I*e*h - Sqrt[4*f^2 - e^2*h^2]))])/h + (I*b*p*q*PolyLog[2, -((2*E^(I*ArcSin[(h*x)/2])*f)/(I*e*h + Sqrt[4*f^2 - e^2*h^2]))])/h}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(Sqrt[g + h*x]*Sqrt[g - h*x]), x, 12, (I*b*g*p*q*Sqrt[1 - (h^2*x^2)/g^2]*ArcSin[(h*x)/g]^2)/(2*h*Sqrt[g - h*x]*Sqrt[g + h*x]) - (b*g*p*q*Sqrt[1 - (h^2*x^2)/g^2]*ArcSin[(h*x)/g]*Log[1 + (E^(I*ArcSin[(h*x)/g])*f*g)/(I*e*h - Sqrt[f^2*g^2 - e^2*h^2])])/(h*Sqrt[g - h*x]*Sqrt[g + h*x]) - (b*g*p*q*Sqrt[1 - (h^2*x^2)/g^2]*ArcSin[(h*x)/g]*Log[1 + (E^(I*ArcSin[(h*x)/g])*f*g)/(I*e*h + Sqrt[f^2*g^2 - e^2*h^2])])/(h*Sqrt[g - h*x]*Sqrt[g + h*x]) + (g*Sqrt[1 - (h^2*x^2)/g^2]*ArcSin[(h*x)/g]*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(h*Sqrt[g - h*x]*Sqrt[g + h*x]) + (I*b*g*p*q*Sqrt[1 - (h^2*x^2)/g^2]*PolyLog[2, -((E^(I*ArcSin[(h*x)/g])*f*g)/(I*e*h - Sqrt[f^2*g^2 - e^2*h^2]))])/(h*Sqrt[g - h*x]*Sqrt[g + h*x]) + (I*b*g*p*q*Sqrt[1 - (h^2*x^2)/g^2]*PolyLog[2, -((E^(I*ArcSin[(h*x)/g])*f*g)/(I*e*h + Sqrt[f^2*g^2 - e^2*h^2]))])/(h*Sqrt[g - h*x]*Sqrt[g + h*x])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (i+j x)^q (a+b Log[c (d (e+f x)^m)^n])^p / (g+h x)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (i+j x)^q (a+b Log[c (d (e+f x)^m)^n])^p / (g+h x)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(i + j*x)^3*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(g + h*x), x, 15, (a*j*(h*i - g*j)^2*x)/h^3 - (b*j*(f*i - e*j)^2*p*q*x)/(3*f^2*h) - (b*j*(f*i - e*j)*(h*i - g*j)*p*q*x)/(2*f*h^2) - (b*j*(h*i - g*j)^2*p*q*x)/h^3 - (b*(f*i - e*j)*p*q*(i + j*x)^2)/(6*f*h) - (b*(h*i - g*j)*p*q*(i + j*x)^2)/(4*h^2) - (b*p*q*(i + j*x)^3)/(9*h) - (b*(f*i - e*j)^3*p*q*Log[e + f*x])/(3*f^3*h) - (b*(f*i - e*j)^2*(h*i - g*j)*p*q*Log[e + f*x])/(2*f^2*h^2) + (b*j*(h*i - g*j)^2*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(f*h^3) + ((h*i - g*j)*(i + j*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(2*h^2) + ((i + j*x)^3*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(3*h) + ((h*i - g*j)^3*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/h^4 + (b*(h*i - g*j)^3*p*q*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h^4}
+{(i + j*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(g + h*x), x, 12, (a*j*(h*i - g*j)*x)/h^2 - (b*j*(f*i - e*j)*p*q*x)/(2*f*h) - (b*j*(h*i - g*j)*p*q*x)/h^2 - (b*p*q*(i + j*x)^2)/(4*h) - (b*(f*i - e*j)^2*p*q*Log[e + f*x])/(2*f^2*h) + (b*j*(h*i - g*j)*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(f*h^2) + ((i + j*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(2*h) + ((h*i - g*j)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/h^3 + (b*(h*i - g*j)^2*p*q*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h^3}
+{(i + j*x)^1*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(g + h*x), x, 9, (a*j*x)/h - (b*j*p*q*x)/h + (b*j*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(f*h) + ((h*i - g*j)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/h^2 + (b*(h*i - g*j)*p*q*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h^2}
+{(i + j*x)^0*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(g + h*x), x, 4, ((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/h + (b*p*q*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/((g + h*x)*(i + j*x)^1), x, 9, ((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/(h*i - g*j) - ((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*Log[(f*(i + j*x))/(f*i - e*j)])/(h*i - g*j) + (b*p*q*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*i - g*j) - (b*p*q*PolyLog[2, -((j*(e + f*x))/(f*i - e*j))])/(h*i - g*j)}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/((g + h*x)*(i + j*x)^2), x, 13, -((b*f*p*q*Log[e + f*x])/((f*i - e*j)*(h*i - g*j))) + (a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/((h*i - g*j)*(i + j*x)) + (h*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/(h*i - g*j)^2 + (b*f*p*q*Log[i + j*x])/((f*i - e*j)*(h*i - g*j)) - (h*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*Log[(f*(i + j*x))/(f*i - e*j)])/(h*i - g*j)^2 + (b*h*p*q*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*i - g*j)^2 - (b*h*p*q*PolyLog[2, -((j*(e + f*x))/(f*i - e*j))])/(h*i - g*j)^2}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/((g + h*x)*(i + j*x)^3), x, 16, -((b*f*p*q)/(2*(f*i - e*j)*(h*i - g*j)*(i + j*x))) - (b*f*h*p*q*Log[e + f*x])/((f*i - e*j)*(h*i - g*j)^2) - (b*f^2*p*q*Log[e + f*x])/(2*(f*i - e*j)^2*(h*i - g*j)) + (a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(2*(h*i - g*j)*(i + j*x)^2) + (h*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/((h*i - g*j)^2*(i + j*x)) + (h^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/(h*i - g*j)^3 + (b*f*h*p*q*Log[i + j*x])/((f*i - e*j)*(h*i - g*j)^2) + (b*f^2*p*q*Log[i + j*x])/(2*(f*i - e*j)^2*(h*i - g*j)) - (h^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*Log[(f*(i + j*x))/(f*i - e*j)])/(h*i - g*j)^3 + (b*h^2*p*q*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*i - g*j)^3 - (b*h^2*p*q*PolyLog[2, -((j*(e + f*x))/(f*i - e*j))])/(h*i - g*j)^3}
+
+
+{(i + j*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2/(g + h*x), x, 20, -((2*a*b*j*(f*i - e*j)*p*q*x)/(f*h)) - (2*a*b*j*(h*i - g*j)*p*q*x)/h^2 + (2*b^2*j*(f*i - e*j)*p^2*q^2*x)/(f*h) + (2*b^2*j*(h*i - g*j)*p^2*q^2*x)/h^2 + (b^2*j^2*p^2*q^2*(e + f*x)^2)/(4*f^2*h) - (2*b^2*j*(f*i - e*j)*p*q*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(f^2*h) - (2*b^2*j*(h*i - g*j)*p*q*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(f*h^2) - (b*j^2*p*q*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(2*f^2*h) + (j*(f*i - e*j)*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(f^2*h) + (j*(h*i - g*j)*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(f*h^2) + (j^2*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(2*f^2*h) + ((h*i - g*j)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/h^3 + (2*b*(h*i - g*j)^2*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h^3 - (2*b^2*(h*i - g*j)^2*p^2*q^2*PolyLog[3, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h^3}
+{(i + j*x)^1*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2/(g + h*x), x, 11, -((2*a*b*j*p*q*x)/h) + (2*b^2*j*p^2*q^2*x)/h - (2*b^2*j*p*q*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(f*h) + (j*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(f*h) + ((h*i - g*j)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/h^2 + (2*b*(h*i - g*j)*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h^2 - (2*b^2*(h*i - g*j)*p^2*q^2*PolyLog[3, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h^2}
+{(i + j*x)^0*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2/(g + h*x), x, 5, ((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/h + (2*b*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h - (2*b^2*p^2*q^2*PolyLog[3, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2/((g + h*x)*(i + j*x)^1), x, 11, ((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/(h*i - g*j) - ((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*Log[(f*(i + j*x))/(f*i - e*j)])/(h*i - g*j) + (2*b*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*i - g*j) - (2*b*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[2, -((j*(e + f*x))/(f*i - e*j))])/(h*i - g*j) - (2*b^2*p^2*q^2*PolyLog[3, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*i - g*j) + (2*b^2*p^2*q^2*PolyLog[3, -((j*(e + f*x))/(f*i - e*j))])/(h*i - g*j)}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2/((g + h*x)*(i + j*x)^2), x, 15, -((j*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/((f*i - e*j)*(h*i - g*j)*(i + j*x))) + (h*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/(h*i - g*j)^2 + (2*b*f*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*Log[(f*(i + j*x))/(f*i - e*j)])/((f*i - e*j)*(h*i - g*j)) - (h*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*Log[(f*(i + j*x))/(f*i - e*j)])/(h*i - g*j)^2 + (2*b*h*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*i - g*j)^2 + (2*b^2*f*p^2*q^2*PolyLog[2, -((j*(e + f*x))/(f*i - e*j))])/((f*i - e*j)*(h*i - g*j)) - (2*b*h*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[2, -((j*(e + f*x))/(f*i - e*j))])/(h*i - g*j)^2 - (2*b^2*h*p^2*q^2*PolyLog[3, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*i - g*j)^2 + (2*b^2*h*p^2*q^2*PolyLog[3, -((j*(e + f*x))/(f*i - e*j))])/(h*i - g*j)^2}
+
+
+{(i + j*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3/(g + h*x), x, 24, (6*a*b^2*j*(f*i - e*j)*p^2*q^2*x)/(f*h) + (6*a*b^2*j*(h*i - g*j)*p^2*q^2*x)/h^2 - (6*b^3*j*(f*i - e*j)*p^3*q^3*x)/(f*h) - (6*b^3*j*(h*i - g*j)*p^3*q^3*x)/h^2 - (3*b^3*j^2*p^3*q^3*(e + f*x)^2)/(8*f^2*h) + (6*b^3*j*(f*i - e*j)*p^2*q^2*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(f^2*h) + (6*b^3*j*(h*i - g*j)*p^2*q^2*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(f*h^2) + (3*b^2*j^2*p^2*q^2*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q]))/(4*f^2*h) - (3*b*j*(f*i - e*j)*p*q*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(f^2*h) - (3*b*j*(h*i - g*j)*p*q*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(f*h^2) - (3*b*j^2*p*q*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(4*f^2*h) + (j*(f*i - e*j)*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3)/(f^2*h) + (j*(h*i - g*j)*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3)/(f*h^2) + (j^2*(e + f*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3)/(2*f^2*h) + ((h*i - g*j)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/h^3 + (3*b*(h*i - g*j)^2*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h^3 - (6*b^2*(h*i - g*j)^2*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[3, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h^3 + (6*b^3*(h*i - g*j)^2*p^3*q^3*PolyLog[4, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h^3}
+{(i + j*x)^1*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3/(g + h*x), x, 13, (6*a*b^2*j*p^2*q^2*x)/h - (6*b^3*j*p^3*q^3*x)/h + (6*b^3*j*p^2*q^2*(e + f*x)*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])/(f*h) - (3*b*j*p*q*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2)/(f*h) + (j*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3)/(f*h) + ((h*i - g*j)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/h^2 + (3*b*(h*i - g*j)*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h^2 - (6*b^2*(h*i - g*j)*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[3, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h^2 + (6*b^3*(h*i - g*j)*p^3*q^3*PolyLog[4, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h^2}
+{(i + j*x)^0*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3/(g + h*x), x, 6, ((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/h + (3*b*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h - (6*b^2*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[3, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h + (6*b^3*p^3*q^3*PolyLog[4, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/h}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3/((g + h*x)*(i + j*x)^1), x, 13, ((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/(h*i - g*j) - ((a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3*Log[(f*(i + j*x))/(f*i - e*j)])/(h*i - g*j) + (3*b*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*i - g*j) - (3*b*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*PolyLog[2, -((j*(e + f*x))/(f*i - e*j))])/(h*i - g*j) - (6*b^2*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[3, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*i - g*j) + (6*b^2*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[3, -((j*(e + f*x))/(f*i - e*j))])/(h*i - g*j) + (6*b^3*p^3*q^3*PolyLog[4, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*i - g*j) - (6*b^3*p^3*q^3*PolyLog[4, -((j*(e + f*x))/(f*i - e*j))])/(h*i - g*j)}
+{(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3/((g + h*x)*(i + j*x)^2), x, 18, -((j*(e + f*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3)/((f*i - e*j)*(h*i - g*j)*(i + j*x))) + (h*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3*Log[(f*(g + h*x))/(f*g - e*h)])/(h*i - g*j)^2 + (3*b*f*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*Log[(f*(i + j*x))/(f*i - e*j)])/((f*i - e*j)*(h*i - g*j)) - (h*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^3*Log[(f*(i + j*x))/(f*i - e*j)])/(h*i - g*j)^2 + (3*b*h*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*PolyLog[2, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*i - g*j)^2 + (6*b^2*f*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[2, -((j*(e + f*x))/(f*i - e*j))])/((f*i - e*j)*(h*i - g*j)) - (3*b*h*p*q*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2*PolyLog[2, -((j*(e + f*x))/(f*i - e*j))])/(h*i - g*j)^2 - (6*b^2*h*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[3, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*i - g*j)^2 - (6*b^3*f*p^3*q^3*PolyLog[3, -((j*(e + f*x))/(f*i - e*j))])/((f*i - e*j)*(h*i - g*j)) + (6*b^2*h*p^2*q^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])*PolyLog[3, -((j*(e + f*x))/(f*i - e*j))])/(h*i - g*j)^2 + (6*b^3*h*p^3*q^3*PolyLog[4, -((h*(e + f*x))/(f*g - e*h))])/(h*i - g*j)^2 - (6*b^3*h*p^3*q^3*PolyLog[4, -((j*(e + f*x))/(f*i - e*j))])/(h*i - g*j)^2}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
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+{(i + j*x)^1/((g + h*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])), x, 0, Unintegrable[(i + j*x)/((g + h*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])), x]}
+{(i + j*x)^0/((g + h*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])), x, 0, Unintegrable[1/((g + h*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])), x]}
+{1/((g + h*x)*(i + j*x)^1*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])), x, 0, Unintegrable[1/((g + h*x)*(i + j*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])), x]}
+{1/((g + h*x)*(i + j*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])), x, 0, Unintegrable[1/((g + h*x)*(i + j*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])), x]}
+
+
+{(i + j*x)^1/((g + h*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2), x, 0, Unintegrable[(i + j*x)/((g + h*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2), x]}
+{(i + j*x)^0/((g + h*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2), x, 0, Unintegrable[1/((g + h*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2), x]}
+{1/((g + h*x)*(i + j*x)^1*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2), x, 0, Unintegrable[1/((g + h*x)*(i + j*x)*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2), x]}
+{1/((g + h*x)*(i + j*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2), x, 0, Unintegrable[1/((g + h*x)*(i + j*x)^2*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^p)^q])^2), x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.4 u (a+b log(c (d+e x^m)^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.4 u (a+b log(c (d+e x^m)^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..0b1c96eb
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.4 u (a+b log(c (d+e x^m)^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,1225 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u Log[c (d+e x^m)^n]^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^q Log[c (d+e x^m)^n]*)
+
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q Log[c (d+e x^m)^n]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^4*Log[c*(a + b*x^2)^p], x, 4, -((2*a^2*p*x)/(5*b^2)) + (2*a*p*x^3)/(15*b) - (2*p*x^5)/25 + (2*a^(5/2)*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(5*b^(5/2)) + (1/5)*x^5*Log[c*(a + b*x^2)^p]}
+{x^3*Log[c*(a + b*x^2)^p], x, 4, (a*p*x^2)/(4*b) - (p*x^4)/8 - (a^2*p*Log[a + b*x^2])/(4*b^2) + (1/4)*x^4*Log[c*(a + b*x^2)^p]}
+{x^2*Log[c*(a + b*x^2)^p], x, 4, (2*a*p*x)/(3*b) - (2*p*x^3)/9 - (2*a^(3/2)*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(3*b^(3/2)) + (1/3)*x^3*Log[c*(a + b*x^2)^p]}
+{x^1*Log[c*(a + b*x^2)^p], x, 3, -((p*x^2)/2) + ((a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(2*b)}
+{x^0*Log[c*(a + b*x^2)^p], x, 3, -2*p*x + (2*Sqrt[a]*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/Sqrt[b] + x*Log[c*(a + b*x^2)^p]}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]/x^1, x, 3, (1/2)*Log[-((b*x^2)/a)]*Log[c*(a + b*x^2)^p] + (1/2)*p*PolyLog[2, 1 + (b*x^2)/a]}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]/x^2, x, 2, (2*Sqrt[b]*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/Sqrt[a] - Log[c*(a + b*x^2)^p]/x}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]/x^3, x, 5, (b*p*Log[x])/a - ((a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(2*a*x^2), (b*p*Log[x])/a - (b*p*Log[a + b*x^2])/(2*a) - Log[c*(a + b*x^2)^p]/(2*x^2)}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]/x^4, x, 3, -((2*b*p)/(3*a*x)) - (2*b^(3/2)*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(3*a^(3/2)) - Log[c*(a + b*x^2)^p]/(3*x^3)}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]/x^5, x, 4, -((b*p)/(4*a*x^2)) - (b^2*p*Log[x])/(2*a^2) + (b^2*p*Log[a + b*x^2])/(4*a^2) - Log[c*(a + b*x^2)^p]/(4*x^4)}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]/x^6, x, 4, -((2*b*p)/(15*a*x^3)) + (2*b^2*p)/(5*a^2*x) + (2*b^(5/2)*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(5*a^(5/2)) - Log[c*(a + b*x^2)^p]/(5*x^5)}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]/x^7, x, 4, -((b*p)/(12*a*x^4)) + (b^2*p)/(6*a^2*x^2) + (b^3*p*Log[x])/(3*a^3) - (b^3*p*Log[a + b*x^2])/(6*a^3) - Log[c*(a + b*x^2)^p]/(6*x^6)}
+
+
+{x^5*Log[c*(a + b*x^3)^p], x, 4, (a*p*x^3)/(6*b) - (p*x^6)/12 - (a^2*p*Log[a + b*x^3])/(6*b^2) + (1/6)*x^6*Log[c*(a + b*x^3)^p]}
+{x^4*Log[c*(a + b*x^3)^p], x, 9, (3*a*p*x^2)/(10*b) - (3*p*x^5)/25 + (Sqrt[3]*a^(5/3)*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(5*b^(5/3)) + (a^(5/3)*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(5*b^(5/3)) - (a^(5/3)*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(10*b^(5/3)) + (1/5)*x^5*Log[c*(a + b*x^3)^p]}
+{x^3*Log[c*(a + b*x^3)^p], x, 9, (3*a*p*x)/(4*b) - (3*p*x^4)/16 + (Sqrt[3]*a^(4/3)*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(4*b^(4/3)) - (a^(4/3)*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(4*b^(4/3)) + (a^(4/3)*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(8*b^(4/3)) + (1/4)*x^4*Log[c*(a + b*x^3)^p]}
+{x^2*Log[c*(a + b*x^3)^p], x, 3, -((p*x^3)/3) + ((a + b*x^3)*Log[c*(a + b*x^3)^p])/(3*b)}
+{x^1*Log[c*(a + b*x^3)^p], x, 8, -((3*p*x^2)/4) - (Sqrt[3]*a^(2/3)*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2*b^(2/3)) - (a^(2/3)*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(2*b^(2/3)) + (a^(2/3)*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(4*b^(2/3)) + (1/2)*x^2*Log[c*(a + b*x^3)^p]}
+{x^0*Log[c*(a + b*x^3)^p], x, 8, -3*p*x - (Sqrt[3]*a^(1/3)*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/b^(1/3) + (a^(1/3)*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/b^(1/3) - (a^(1/3)*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(2*b^(1/3)) + x*Log[c*(a + b*x^3)^p]}
+{Log[c*(a + b*x^3)^p]/x^1, x, 3, (1/3)*Log[-((b*x^3)/a)]*Log[c*(a + b*x^3)^p] + (1/3)*p*PolyLog[2, 1 + (b*x^3)/a]}
+{Log[c*(a + b*x^3)^p]/x^2, x, 7, -((Sqrt[3]*b^(1/3)*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/a^(1/3)) - (b^(1/3)*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/a^(1/3) + (b^(1/3)*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(2*a^(1/3)) - Log[c*(a + b*x^3)^p]/x}
+{Log[c*(a + b*x^3)^p]/x^3, x, 7, -((Sqrt[3]*b^(2/3)*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2*a^(2/3))) + (b^(2/3)*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(2*a^(2/3)) - (b^(2/3)*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(4*a^(2/3)) - Log[c*(a + b*x^3)^p]/(2*x^2)}
+{Log[c*(a + b*x^3)^p]/x^4, x, 5, (b*p*Log[x])/a - (b*p*Log[a + b*x^3])/(3*a) - Log[c*(a + b*x^3)^p]/(3*x^3)}
+{Log[c*(a + b*x^3)^p]/x^5, x, 8, -((3*b*p)/(4*a*x)) + (Sqrt[3]*b^(4/3)*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(4*a^(4/3)) + (b^(4/3)*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(4*a^(4/3)) - (b^(4/3)*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(8*a^(4/3)) - Log[c*(a + b*x^3)^p]/(4*x^4)}
+{Log[c*(a + b*x^3)^p]/x^6, x, 8, -((3*b*p)/(10*a*x^2)) + (Sqrt[3]*b^(5/3)*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(5*a^(5/3)) - (b^(5/3)*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(5*a^(5/3)) + (b^(5/3)*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(10*a^(5/3)) - Log[c*(a + b*x^3)^p]/(5*x^5)}
+{Log[c*(a + b*x^3)^p]/x^7, x, 4, -((b*p)/(6*a*x^3)) - (b^2*p*Log[x])/(2*a^2) + (b^2*p*Log[a + b*x^3])/(6*a^2) - Log[c*(a + b*x^3)^p]/(6*x^6)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^4*Log[c*(a + b/x)^p], x, 4, -((b^4*p*x)/(5*a^4)) + (b^3*p*x^2)/(10*a^3) - (b^2*p*x^3)/(15*a^2) + (b*p*x^4)/(20*a) + (1/5)*x^5*Log[c*(a + b/x)^p] + (b^5*p*Log[b + a*x])/(5*a^5)}
+{x^3*Log[c*(a + b/x)^p], x, 4, (b^3*p*x)/(4*a^3) - (b^2*p*x^2)/(8*a^2) + (b*p*x^3)/(12*a) + (1/4)*x^4*Log[c*(a + b/x)^p] - (b^4*p*Log[b + a*x])/(4*a^4)}
+{x^2*Log[c*(a + b/x)^p], x, 4, -((b^2*p*x)/(3*a^2)) + (b*p*x^2)/(6*a) + (1/3)*x^3*Log[c*(a + b/x)^p] + (b^3*p*Log[b + a*x])/(3*a^3)}
+{x^1*Log[c*(a + b/x)^p], x, 4, (b*p*x)/(2*a) + (1/2)*x^2*Log[c*(a + b/x)^p] - (b^2*p*Log[b + a*x])/(2*a^2)}
+{x^0*Log[c*(a + b/x)^p], x, 3, x*Log[c*(a + b/x)^p] + (b*p*Log[b + a*x])/a}
+{Log[c*(a + b/x)^p]/x^1, x, 3, (-Log[c*(a + b/x)^p])*Log[-(b/(a*x))] - p*PolyLog[2, 1 + b/(a*x)]}
+{Log[c*(a + b/x)^p]/x^2, x, 3, p/x - ((a + b/x)*Log[c*(a + b/x)^p])/b}
+{Log[c*(a + b/x)^p]/x^3, x, 4, p/(4*x^2) - (a*p)/(2*b*x) + (a^2*p*Log[a + b/x])/(2*b^2) - Log[c*(a + b/x)^p]/(2*x^2)}
+{Log[c*(a + b/x)^p]/x^4, x, 4, p/(9*x^3) - (a*p)/(6*b*x^2) + (a^2*p)/(3*b^2*x) - (a^3*p*Log[a + b/x])/(3*b^3) - Log[c*(a + b/x)^p]/(3*x^3)}
+{Log[c*(a + b/x)^p]/x^5, x, 4, p/(16*x^4) - (a*p)/(12*b*x^3) + (a^2*p)/(8*b^2*x^2) - (a^3*p)/(4*b^3*x) + (a^4*p*Log[a + b/x])/(4*b^4) - Log[c*(a + b/x)^p]/(4*x^4)}
+
+
+{x^4*Log[c*(a + b/x^2)^p], x, 5, -((2*b^2*p*x)/(5*a^2)) + (2*b*p*x^3)/(15*a) + (2*b^(5/2)*p*ArcTan[(Sqrt[a]*x)/Sqrt[b]])/(5*a^(5/2)) + (1/5)*x^5*Log[c*(a + b/x^2)^p]}
+{x^3*Log[c*(a + b/x^2)^p], x, 5, (b*p*x^2)/(4*a) + (1/4)*x^4*Log[c*(a + b/x^2)^p] - (b^2*p*Log[b + a*x^2])/(4*a^2)}
+{x^2*Log[c*(a + b/x^2)^p], x, 4, (2*b*p*x)/(3*a) - (2*b^(3/2)*p*ArcTan[(Sqrt[a]*x)/Sqrt[b]])/(3*a^(3/2)) + (1/3)*x^3*Log[c*(a + b/x^2)^p]}
+{x^1*Log[c*(a + b/x^2)^p], x, 3, (1/2)*x^2*Log[c*(a + b/x^2)^p] + (b*p*Log[b + a*x^2])/(2*a)}
+{x^0*Log[c*(a + b/x^2)^p], x, 3, (2*Sqrt[b]*p*ArcTan[(Sqrt[a]*x)/Sqrt[b]])/Sqrt[a] + x*Log[c*(a + b/x^2)^p]}
+{Log[c*(a + b/x^2)^p]/x^1, x, 3, (-(1/2))*Log[c*(a + b/x^2)^p]*Log[-(b/(a*x^2))] - (1/2)*p*PolyLog[2, 1 + b/(a*x^2)]}
+{Log[c*(a + b/x^2)^p]/x^2, x, 4, (2*p)/x + (2*Sqrt[a]*p*ArcTan[(Sqrt[a]*x)/Sqrt[b]])/Sqrt[b] - Log[c*(a + b/x^2)^p]/x}
+{Log[c*(a + b/x^2)^p]/x^3, x, 3, p/(2*x^2) - ((a + b/x^2)*Log[c*(a + b/x^2)^p])/(2*b)}
+{Log[c*(a + b/x^2)^p]/x^4, x, 5, (2*p)/(9*x^3) - (2*a*p)/(3*b*x) - (2*a^(3/2)*p*ArcTan[(Sqrt[a]*x)/Sqrt[b]])/(3*b^(3/2)) - Log[c*(a + b/x^2)^p]/(3*x^3)}
+
+
+{Log[1 + b/x]/x, x, 1, PolyLog[2, -b/x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q Log[c (d+e x^(m/2))^n]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^3*Log[c*(a + b*Sqrt[x])^p], x, 4, (a^7*p*Sqrt[x])/(4*b^7) - (a^6*p*x)/(8*b^6) + (a^5*p*x^(3/2))/(12*b^5) - (a^4*p*x^2)/(16*b^4) + (a^3*p*x^(5/2))/(20*b^3) - (a^2*p*x^3)/(24*b^2) + (a*p*x^(7/2))/(28*b) - (p*x^4)/32 - (a^8*p*Log[a + b*Sqrt[x]])/(4*b^8) + (1/4)*x^4*Log[c*(a + b*Sqrt[x])^p]}
+{x^2*Log[c*(a + b*Sqrt[x])^p], x, 4, (a^5*p*Sqrt[x])/(3*b^5) - (a^4*p*x)/(6*b^4) + (a^3*p*x^(3/2))/(9*b^3) - (a^2*p*x^2)/(12*b^2) + (a*p*x^(5/2))/(15*b) - (p*x^3)/18 - (a^6*p*Log[a + b*Sqrt[x]])/(3*b^6) + (1/3)*x^3*Log[c*(a + b*Sqrt[x])^p]}
+{x^1*Log[c*(a + b*Sqrt[x])^p], x, 4, (a^3*p*Sqrt[x])/(2*b^3) - (a^2*p*x)/(4*b^2) + (a*p*x^(3/2))/(6*b) - (p*x^2)/8 - (a^4*p*Log[a + b*Sqrt[x]])/(2*b^4) + (1/2)*x^2*Log[c*(a + b*Sqrt[x])^p]}
+{x^0*Log[c*(a + b*Sqrt[x])^p], x, 4, (a*p*Sqrt[x])/b - (p*x)/2 - (a^2*p*Log[a + b*Sqrt[x]])/b^2 + x*Log[c*(a + b*Sqrt[x])^p]}
+{Log[c*(a + b*Sqrt[x])^p]/x^1, x, 3, 2*Log[c*(a + b*Sqrt[x])^p]*Log[-((b*Sqrt[x])/a)] + 2*p*PolyLog[2, 1 + (b*Sqrt[x])/a]}
+{Log[c*(a + b*Sqrt[x])^p]/x^2, x, 4, -((b*p)/(a*Sqrt[x])) + (b^2*p*Log[a + b*Sqrt[x]])/a^2 - Log[c*(a + b*Sqrt[x])^p]/x - (b^2*p*Log[x])/(2*a^2)}
+{Log[c*(a + b*Sqrt[x])^p]/x^3, x, 4, -((b*p)/(6*a*x^(3/2))) + (b^2*p)/(4*a^2*x) - (b^3*p)/(2*a^3*Sqrt[x]) + (b^4*p*Log[a + b*Sqrt[x]])/(2*a^4) - Log[c*(a + b*Sqrt[x])^p]/(2*x^2) - (b^4*p*Log[x])/(4*a^4)}
+{Log[c*(a + b*Sqrt[x])^p]/x^4, x, 4, -((b*p)/(15*a*x^(5/2))) + (b^2*p)/(12*a^2*x^2) - (b^3*p)/(9*a^3*x^(3/2)) + (b^4*p)/(6*a^4*x) - (b^5*p)/(3*a^5*Sqrt[x]) + (b^6*p*Log[a + b*Sqrt[x]])/(3*a^6) - Log[c*(a + b*Sqrt[x])^p]/(3*x^3) - (b^6*p*Log[x])/(6*a^6)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^(q/2) Log[c (d+e x^(m/2))^n]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Log[a + b*Sqrt[x]]/Sqrt[x], x, 3, -2*Sqrt[x] + (2*(a + b*Sqrt[x])*Log[a + b*Sqrt[x]])/b}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^q Log[c (d+e x^m)^n] when q symbolic*)
+
+
+{(f*x)^m*Log[c*(d + e*x^3)^p], x, 3, -((3*e*p*(f*x)^(4 + m)*Hypergeometric2F1[1, (4 + m)/3, (7 + m)/3, -((e*x^3)/d)])/(d*f^4*(1 + m)*(4 + m))) + ((f*x)^(1 + m)*Log[c*(d + e*x^3)^p])/(f*(1 + m))}
+{(f*x)^m*Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 3, -((2*e*p*(f*x)^(3 + m)*Hypergeometric2F1[1, (3 + m)/2, (5 + m)/2, -((e*x^2)/d)])/(d*f^3*(1 + m)*(3 + m))) + ((f*x)^(1 + m)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(f*(1 + m))}
+{(f*x)^m*Log[c*(d + e*x^1)^p], x, 2, -((e*p*(f*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, -((e*x)/d)])/(d*f^2*(1 + m)*(2 + m))) + ((f*x)^(1 + m)*Log[c*(d + e*x)^p])/(f*(1 + m))}
+{(f*x)^m*Log[c*(d + e/x^1)^p], x, 4, (e*p*(f*x)^m*Hypergeometric2F1[1, -m, 1 - m, -(e/(d*x))])/(d*m*(1 + m)) + ((f*x)^(1 + m)*Log[c*(d + e/x)^p])/(f*(1 + m))}
+{(f*x)^m*Log[c*(d + e/x^2)^p], x, 4, -((2*e*f*p*(f*x)^(-1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 - m)/2, (3 - m)/2, -(e/(d*x^2))])/(d*(1 - m^2))) + ((f*x)^(1 + m)*Log[c*(d + e/x^2)^p])/(f*(1 + m))}
+{(f*x)^m*Log[c*(d + e/x^3)^p], x, 4, -((3*e*f^2*p*(f*x)^(-2 + m)*Hypergeometric2F1[1, (2 - m)/3, (5 - m)/3, -(e/(d*x^3))])/(d*(2 + m - m^2))) + ((f*x)^(1 + m)*Log[c*(d + e/x^3)^p])/(f*(1 + m))}
+
+
+{(f*x)^m*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^p], x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((e*p*x^(3/2)*(f*x)^m*Hypergeometric2F1[1, 3 + 2*m, 2*(2 + m), -((e*Sqrt[x])/d)])/(d*(3 + 5*m + 2*m^2))) + ((f*x)^(1 + m)*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^p])/(f*(1 + m)), -((e*p*x^(3/2)*(f*x)^m*Hypergeometric2F1[1, 3 + 2*m, 2*(2 + m), -((e*Sqrt[x])/d)])/(d*(1 + m)*(3 + 2*m))) + ((f*x)^(1 + m)*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^p])/(f*(1 + m))]}
+{(f*x)^m*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^p], x, 5, (p*x*(f*x)^m*Hypergeometric2F1[1, 2*(1 + m), 3 + 2*m, -((d*Sqrt[x])/e)])/(2*(1 + m)^2) + ((f*x)^(1 + m)*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^p])/(f*(1 + m))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^q Log[c (d+e x^m)^n] when m symbolic*)
+
+
+{(f*x)^m*Log[c*(d + e*x^n)^p], x, 3, -((e*n*p*x^(1 + n)*(f*x)^m*Hypergeometric2F1[1, (1 + m + n)/n, (1 + m + 2*n)/n, -((e*x^n)/d)])/(d*(1 + m)*(1 + m + n))) + ((f*x)^(1 + m)*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(f*(1 + m))}
+
+
+{(f*x)^(3*n - 1)*Log[c*(d + e*x^n)^p], x, 5, -((p*(f*x)^(3*n))/(9*f*n)) - (d^2*p*(f*x)^(3*n))/(x^(2*n)*(3*e^2*f*n)) + (d*p*(f*x)^(3*n))/(x^n*(6*e*f*n)) + (d^3*p*(f*x)^(3*n)*Log[d + e*x^n])/(x^(3*n)*(3*e^3*f*n)) + ((f*x)^(3*n)*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(3*f*n)}
+{(f*x)^(2*n - 1)*Log[c*(d + e*x^n)^p], x, 5, -((p*(f*x)^(2*n))/(4*f*n)) + (d*p*(f*x)^(2*n))/(x^n*(2*e*f*n)) - (d^2*p*(f*x)^(2*n)*Log[d + e*x^n])/(x^(2*n)*(2*e^2*f*n)) + ((f*x)^(2*n)*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(2*f*n)}
+{(f*x)^(1*n - 1)*Log[c*(d + e*x^n)^p], x, 5, -((p*(f*x)^n)/(f*n)) + (d*p*(f*x)^n*Log[d + e*x^n])/(x^n*(e*f*n)) + ((f*x)^n*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(f*n)}
+{(f*x)^(0*n - 1)*Log[c*(d + e*x^n)^p], x, 4, (Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(f*n) + (p*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/(f*n)}
+{(f*x)^(-1*n - 1)*Log[c*(d + e*x^n)^p], x, 6, (e*p*x^n*Log[x])/((f*x)^n*(d*f)) - (e*p*x^n*Log[d + e*x^n])/((f*x)^n*(d*f*n)) - Log[c*(d + e*x^n)^p]/((f*x)^n*(f*n))}
+{(f*x)^(-2*n - 1)*Log[c*(d + e*x^n)^p], x, 5, -((e*p*x^n)/((f*x)^(2*n)*(2*d*f*n))) - (e^2*p*x^(2*n)*Log[x])/((f*x)^(2*n)*(2*d^2*f)) + (e^2*p*x^(2*n)*Log[d + e*x^n])/((f*x)^(2*n)*(2*d^2*f*n)) - Log[c*(d + e*x^n)^p]/((f*x)^(2*n)*(2*f*n))}
+
+
+{x^2*Log[c*(d + e*x^n)^p], x, 2, -((e*n*p*x^(3 + n)*Hypergeometric2F1[1, (3 + n)/n, 2 + 3/n, -((e*x^n)/d)])/(3*d*(3 + n))) + (1/3)*x^3*Log[c*(d + e*x^n)^p]}
+{x^1*Log[c*(d + e*x^n)^p], x, 2, -((e*n*p*x^(2 + n)*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/n, 2*(1 + 1/n), -((e*x^n)/d)])/(2*d*(2 + n))) + (1/2)*x^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]}
+{x^0*Log[c*(d + e*x^n)^p], x, 2, -((e*n*p*x^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + 1/n, 2 + 1/n, -((e*x^n)/d)])/(d*(1 + n))) + x*Log[c*(d + e*x^n)^p]}
+{Log[c*(d + e*x^n)^p]/x^1, x, 3, (Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/n + (p*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/n}
+{Log[c*(d + e*x^n)^p]/x^2, x, 2, -((e*n*p*x^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1, -((1 - n)/n), 2 - 1/n, -((e*x^n)/d)])/(d*(1 - n))) - Log[c*(d + e*x^n)^p]/x}
+{Log[c*(d + e*x^n)^p]/x^3, x, 2, -((e*n*p*x^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1, -((2 - n)/n), 2*(1 - 1/n), -((e*x^n)/d)])/(2*d*(2 - n))) - Log[c*(d + e*x^n)^p]/(2*x^2)}
+{Log[c*(d + e*x^n)^p]/x^4, x, 2, -((e*n*p*x^(-3 + n)*Hypergeometric2F1[1, -((3 - n)/n), 2 - 3/n, -((e*x^n)/d)])/(3*d*(3 - n))) - Log[c*(d + e*x^n)^p]/(3*x^3)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^q Log[c (d+e x^m)^n]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q Log[c (d+e x^2)^n]^p *)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^5*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2, x, 8, (a^2*p^2*x^2)/b^2 - (a*p^2*(a + b*x^2)^2)/(4*b^3) + (p^2*(a + b*x^2)^3)/(27*b^3) - (a^3*p^2*Log[a + b*x^2]^2)/(6*b^3) - (a^2*p*(a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p])/b^3 + (a*p*(a + b*x^2)^2*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(2*b^3) - (p*(a + b*x^2)^3*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(9*b^3) + (a^3*p*Log[a + b*x^2]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(3*b^3) + (1/6)*x^6*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2}
+{x^3*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2, x, 9, -((a*p^2*x^2)/b) + (p^2*(a + b*x^2)^2)/(8*b^2) + (a*p*(a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p])/b^2 - (p*(a + b*x^2)^2*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(4*b^2) - (a*(a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2)/(2*b^2) + ((a + b*x^2)^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2)/(4*b^2)}
+{x^1*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2, x, 4, p^2*x^2 - (p*(a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p])/b + ((a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2)/(2*b)}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]^2/x^1, x, 5, (1/2)*Log[-((b*x^2)/a)]*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2 + p*Log[c*(a + b*x^2)^p]*PolyLog[2, 1 + (b*x^2)/a] - p^2*PolyLog[3, 1 + (b*x^2)/a]}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]^2/x^3, x, 4, (b*p*Log[-((b*x^2)/a)]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/a - ((a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2)/(2*a*x^2) + (b*p^2*PolyLog[2, 1 + (b*x^2)/a])/a}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]^2/x^5, x, 8, (b^2*p^2*Log[x])/a^2 - (b*p*(a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(2*a^2*x^2) - Log[c*(a + b*x^2)^p]^2/(4*x^4) - (b^2*p*Log[c*(a + b*x^2)^p]*Log[1 - a/(a + b*x^2)])/(2*a^2) + (b^2*p^2*PolyLog[2, a/(a + b*x^2)])/(2*a^2)}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]^2/x^7, x, 12, -((b^2*p^2)/(6*a^2*x^2)) - (b^3*p^2*Log[x])/a^3 + (b^3*p^2*Log[a + b*x^2])/(6*a^3) - (b*p*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(6*a*x^4) + (b^2*p*(a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(3*a^3*x^2) - Log[c*(a + b*x^2)^p]^2/(6*x^6) + (b^3*p*Log[c*(a + b*x^2)^p]*Log[1 - a/(a + b*x^2)])/(3*a^3) - (b^3*p^2*PolyLog[2, a/(a + b*x^2)])/(3*a^3)}
+
+{x^4*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2, x, 20, (184*a^2*p^2*x)/(75*b^2) - (64*a*p^2*x^3)/(225*b) + (8*p^2*x^5)/125 - (184*a^(5/2)*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(75*b^(5/2)) + (4*I*a^(5/2)*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]^2)/(5*b^(5/2)) + (8*a^(5/2)*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[(2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/(5*b^(5/2)) - (4*a^2*p*x*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(5*b^2) + (4*a*p*x^3*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(15*b) - (4/25)*p*x^5*Log[c*(a + b*x^2)^p] + (4*a^(5/2)*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(5*b^(5/2)) + (1/5)*x^5*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2 + (4*I*a^(5/2)*p^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/(5*b^(5/2))}
+{x^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2, x, 16, -((32*a*p^2*x)/(9*b)) + (8*p^2*x^3)/27 + (32*a^(3/2)*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(9*b^(3/2)) - (4*I*a^(3/2)*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]^2)/(3*b^(3/2)) - (8*a^(3/2)*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[(2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/(3*b^(3/2)) + (4*a*p*x*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(3*b) - (4/9)*p*x^3*Log[c*(a + b*x^2)^p] - (4*a^(3/2)*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(3*b^(3/2)) + (1/3)*x^3*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2 - (4*I*a^(3/2)*p^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/(3*b^(3/2))}
+{x^0*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2, x, 12, 8*p^2*x - (8*Sqrt[a]*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/Sqrt[b] + (4*I*Sqrt[a]*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]^2)/Sqrt[b] + (8*Sqrt[a]*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[(2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/Sqrt[b] - 4*p*x*Log[c*(a + b*x^2)^p] + (4*Sqrt[a]*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/Sqrt[b] + x*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2 + (4*I*Sqrt[a]*p^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/Sqrt[b]}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]^2/x^2, x, 7, (4*I*Sqrt[b]*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]^2)/Sqrt[a] + (8*Sqrt[b]*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[(2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/Sqrt[a] + (4*Sqrt[b]*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/Sqrt[a] - Log[c*(a + b*x^2)^p]^2/x + (4*I*Sqrt[b]*p^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/Sqrt[a]}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]^2/x^4, x, 11, (8*b^(3/2)*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(3*a^(3/2)) - (4*I*b^(3/2)*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]^2)/(3*a^(3/2)) - (8*b^(3/2)*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[(2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/(3*a^(3/2)) - (4*b*p*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(3*a*x) - (4*b^(3/2)*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(3*a^(3/2)) - Log[c*(a + b*x^2)^p]^2/(3*x^3) - (4*I*b^(3/2)*p^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/(3*a^(3/2))}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]^2/x^6, x, 14, -((8*b^2*p^2)/(15*a^2*x)) - (32*b^(5/2)*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(15*a^(5/2)) + (4*I*b^(5/2)*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]^2)/(5*a^(5/2)) + (8*b^(5/2)*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[(2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/(5*a^(5/2)) - (4*b*p*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(15*a*x^3) + (4*b^2*p*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(5*a^2*x) + (4*b^(5/2)*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(5*a^(5/2)) - Log[c*(a + b*x^2)^p]^2/(5*x^5) + (4*I*b^(5/2)*p^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/(5*a^(5/2))}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]^2/x^8, x, 18, -((8*b^2*p^2)/(105*a^2*x^3)) + (64*b^3*p^2)/(105*a^3*x) + (184*b^(7/2)*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(105*a^(7/2)) - (4*I*b^(7/2)*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]^2)/(7*a^(7/2)) - (8*b^(7/2)*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[(2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/(7*a^(7/2)) - (4*b*p*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(35*a*x^5) + (4*b^2*p*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(21*a^2*x^3) - (4*b^3*p*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(7*a^3*x) - (4*b^(7/2)*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(7*a^(7/2)) - Log[c*(a + b*x^2)^p]^2/(7*x^7) - (4*I*b^(7/2)*p^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/(7*a^(7/2))}
+
+
+{x^5*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3, x, 15, -((3*a^2*p^3*x^2)/b^2) + (3*a*p^3*(a + b*x^2)^2)/(8*b^3) - (p^3*(a + b*x^2)^3)/(27*b^3) + (3*a^2*p^2*(a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p])/b^3 - (3*a*p^2*(a + b*x^2)^2*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(4*b^3) + (p^2*(a + b*x^2)^3*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(9*b^3) - (3*a^2*p*(a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2)/(2*b^3) + (3*a*p*(a + b*x^2)^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2)/(4*b^3) - (p*(a + b*x^2)^3*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2)/(6*b^3) + (a^2*(a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3)/(2*b^3) - (a*(a + b*x^2)^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3)/(2*b^3) + ((a + b*x^2)^3*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3)/(6*b^3)}
+{x^3*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3, x, 11, (3*a*p^3*x^2)/b - (3*p^3*(a + b*x^2)^2)/(16*b^2) - (3*a*p^2*(a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p])/b^2 + (3*p^2*(a + b*x^2)^2*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(8*b^2) + (3*a*p*(a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2)/(2*b^2) - (3*p*(a + b*x^2)^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2)/(8*b^2) - (a*(a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3)/(2*b^2) + ((a + b*x^2)^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3)/(4*b^2)}
+{x^1*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3, x, 5, -3*p^3*x^2 + (3*p^2*(a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p])/b - (3*p*(a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2)/(2*b) + ((a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3)/(2*b)}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]^3/x^1, x, 6, (1/2)*Log[-((b*x^2)/a)]*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3 + (3/2)*p*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2*PolyLog[2, 1 + (b*x^2)/a] - 3*p^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]*PolyLog[3, 1 + (b*x^2)/a] + 3*p^3*PolyLog[4, 1 + (b*x^2)/a]}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]^3/x^3, x, 6, (3*b*p*Log[-((b*x^2)/a)]*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2)/(2*a) - ((a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3)/(2*a*x^2) + (3*b*p^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]*PolyLog[2, 1 + (b*x^2)/a])/a - (3*b*p^3*PolyLog[3, 1 + (b*x^2)/a])/a}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]^3/x^5, x, 10, (3*b^2*p^2*Log[-((b*x^2)/a)]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(2*a^2) - (3*b*p*(a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2)/(4*a^2*x^2) - Log[c*(a + b*x^2)^p]^3/(4*x^4) - (3*b^2*p*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2*Log[1 - a/(a + b*x^2)])/(4*a^2) + (3*b^2*p^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]*PolyLog[2, a/(a + b*x^2)])/(2*a^2) + (3*b^2*p^3*PolyLog[2, 1 + (b*x^2)/a])/(2*a^2) + (3*b^2*p^3*PolyLog[3, a/(a + b*x^2)])/(2*a^2)}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]^3/x^7, x, 17, (b^3*p^3*Log[x])/a^3 - (b^2*p^2*(a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(2*a^3*x^2) - (b^3*p^2*Log[-((b*x^2)/a)]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/a^3 - (b*p*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2)/(4*a*x^4) + (b^2*p*(a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2)/(2*a^3*x^2) - Log[c*(a + b*x^2)^p]^3/(6*x^6) - (b^3*p^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]*Log[1 - a/(a + b*x^2)])/(2*a^3) + (b^3*p*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2*Log[1 - a/(a + b*x^2)])/(2*a^3) + (b^3*p^3*PolyLog[2, a/(a + b*x^2)])/(2*a^3) - (b^3*p^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]*PolyLog[2, a/(a + b*x^2)])/a^3 - (b^3*p^3*PolyLog[2, 1 + (b*x^2)/a])/a^3 - (b^3*p^3*PolyLog[3, a/(a + b*x^2)])/a^3}
+
+{x^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3, x, 31, (208*a*p^3*x)/(9*b) - (16*p^3*x^3)/27 - (208*a^(3/2)*p^3*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(9*b^(3/2)) + (32*I*a^(3/2)*p^3*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]^2)/(3*b^(3/2)) + (64*a^(3/2)*p^3*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[(2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/(3*b^(3/2)) - (32*a*p^2*x*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(3*b) + (8/9)*p^2*x^3*Log[c*(a + b*x^2)^p] + (32*a^(3/2)*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(3*b^(3/2)) + (2*a*p*x*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2)/b - (2/3)*p*x^3*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2 + (1/3)*x^3*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3 + (32*I*a^(3/2)*p^3*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/(3*b^(3/2)) - (2*a^2*p*Unintegrable[Log[c*(a + b*x^2)^p]^2/(a + b*x^2), x])/b}
+{x^0*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3, x, 15, -48*p^3*x + (48*Sqrt[a]*p^3*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/Sqrt[b] - (24*I*Sqrt[a]*p^3*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]^2)/Sqrt[b] - (48*Sqrt[a]*p^3*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[(2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/Sqrt[b] + 24*p^2*x*Log[c*(a + b*x^2)^p] - (24*Sqrt[a]*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/Sqrt[b] - 6*p*x*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2 + x*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3 - (24*I*Sqrt[a]*p^3*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/Sqrt[b] + 6*a*p*Unintegrable[Log[c*(a + b*x^2)^p]^2/(a + b*x^2), x]}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]^3/x^2, x, 1, -(Log[c*(a + b*x^2)^p]^3/x) + 6*b*p*Unintegrable[Log[c*(a + b*x^2)^p]^2/(a + b*x^2), x]}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]^3/x^4, x, 10, (8*I*b^(3/2)*p^3*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]^2)/a^(3/2) + (16*b^(3/2)*p^3*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[(2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/a^(3/2) + (8*b^(3/2)*p^2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/a^(3/2) - (2*b*p*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2)/(a*x) - Log[c*(a + b*x^2)^p]^3/(3*x^3) + (8*I*b^(3/2)*p^3*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/a^(3/2) - (2*b^2*p*Unintegrable[Log[c*(a + b*x^2)^p]^2/(a + b*x^2), x])/a}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3/Log[c*(a + b*x^2)^p], x, 9, -((a*(a + b*x^2)*ExpIntegralEi[Log[c*(a + b*x^2)^p]/p])/((c*(a + b*x^2)^p)^p^(-1)*(2*b^2*p))) + ((a + b*x^2)^2*ExpIntegralEi[(2*Log[c*(a + b*x^2)^p])/p])/((c*(a + b*x^2)^p)^(2/p)*(2*b^2*p))}
+{x^1/Log[c*(a + b*x^2)^p], x, 4, ((a + b*x^2)*ExpIntegralEi[Log[c*(a + b*x^2)^p]/p])/(2*b*p*(c*(a + b*x^2)^p)^p^(-1))}
+{1/(x^1*Log[c*(a + b*x^2)^p]), x, 0, Unintegrable[1/(x*Log[c*(a + b*x^2)^p]), x]}
+{1/(x^3*Log[c*(a + b*x^2)^p]), x, 0, Unintegrable[1/(x^3*Log[c*(a + b*x^2)^p]), x]}
+
+{x^2/Log[c*(a + b*x^2)^p], x, 0, Unintegrable[x^2/Log[c*(a + b*x^2)^p], x]}
+{x^0/Log[c*(a + b*x^2)^p], x, 0, Unintegrable[1/Log[c*(a + b*x^2)^p], x]}
+{1/(x^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]), x]}
+
+
+{x^3/Log[c*(a + b*x^2)^p]^2, x, 13, -((a*(a + b*x^2)*ExpIntegralEi[Log[c*(a + b*x^2)^p]/p])/((c*(a + b*x^2)^p)^p^(-1)*(2*b^2*p^2))) + ((a + b*x^2)^2*ExpIntegralEi[(2*Log[c*(a + b*x^2)^p])/p])/((c*(a + b*x^2)^p)^(2/p)*(b^2*p^2)) - (x^2*(a + b*x^2))/(2*b*p*Log[c*(a + b*x^2)^p])}
+{x^1/Log[c*(a + b*x^2)^p]^2, x, 5, ((a + b*x^2)*ExpIntegralEi[Log[c*(a + b*x^2)^p]/p])/((c*(a + b*x^2)^p)^p^(-1)*(2*b*p^2)) - (a + b*x^2)/(2*b*p*Log[c*(a + b*x^2)^p])}
+{1/(x^1*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2), x]}
+{1/(x^3*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^3*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2), x]}
+
+{x^2/Log[c*(a + b*x^2)^p]^2, x, 0, Unintegrable[x^2/Log[c*(a + b*x^2)^p]^2, x]}
+{x^0/Log[c*(a + b*x^2)^p]^2, x, 0, Unintegrable[1/Log[c*(a + b*x^2)^p]^2, x]}
+{1/(x^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2), x]}
+
+
+{x^3/Log[c*(a + b*x^2)^p]^3, x, 18, -((a*(a + b*x^2)*ExpIntegralEi[Log[c*(a + b*x^2)^p]/p])/((c*(a + b*x^2)^p)^p^(-1)*(4*b^2*p^3))) + ((a + b*x^2)^2*ExpIntegralEi[(2*Log[c*(a + b*x^2)^p])/p])/((c*(a + b*x^2)^p)^(2/p)*(b^2*p^3)) - (x^2*(a + b*x^2))/(4*b*p*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2) - (a*(a + b*x^2))/(4*b^2*p^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]) - (x^2*(a + b*x^2))/(2*b*p^2*Log[c*(a + b*x^2)^p])}
+{x^1/Log[c*(a + b*x^2)^p]^3, x, 6, ((a + b*x^2)*ExpIntegralEi[Log[c*(a + b*x^2)^p]/p])/((c*(a + b*x^2)^p)^p^(-1)*(4*b*p^3)) - (a + b*x^2)/(4*b*p*Log[c*(a + b*x^2)^p]^2) - (a + b*x^2)/(4*b*p^2*Log[c*(a + b*x^2)^p])}
+{1/(x^1*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3), x, 0, Unintegrable[1/(x*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3), x]}
+{1/(x^3*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3), x, 0, Unintegrable[1/(x^3*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3), x]}
+
+{x^2/Log[c*(a + b*x^2)^p]^3, x, 0, Unintegrable[x^2/Log[c*(a + b*x^2)^p]^3, x]}
+{x^0/Log[c*(a + b*x^2)^p]^3, x, 0, Unintegrable[1/Log[c*(a + b*x^2)^p]^3, x]}
+{1/(x^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]^3), x]}
+
+
+{x^3/Log[c*(a + b*x^2)], x, 8, ExpIntegralEi[2*Log[c*(a + b*x^2)]]/(2*b^2*c^2) - (a*LogIntegral[c*(a + b*x^2)])/(2*b^2*c)}
+{x^1/Log[c*(a + b*x^2)], x, 3, LogIntegral[c*(a + b*x^2)]/(2*b*c)}
+
+
+{x^3/Log[c*(a + b*x^2)]^2, x, 11, ExpIntegralEi[2*Log[c*(a + b*x^2)]]/(b^2*c^2) - (x^2*(a + b*x^2))/(2*b*Log[c*(a + b*x^2)]) - (a*LogIntegral[c*(a + b*x^2)])/(2*b^2*c)}
+{x^1/Log[c*(a + b*x^2)]^2, x, 4, -((a + b*x^2)/(2*b*Log[c*(a + b*x^2)])) + LogIntegral[c*(a + b*x^2)]/(2*b*c)}
+
+
+{x^3/Log[c*(a + b*x^2)]^3, x, 15, ExpIntegralEi[2*Log[c*(a + b*x^2)]]/(b^2*c^2) - (x^2*(a + b*x^2))/(4*b*Log[c*(a + b*x^2)]^2) - (a*(a + b*x^2))/(4*b^2*Log[c*(a + b*x^2)]) - (x^2*(a + b*x^2))/(2*b*Log[c*(a + b*x^2)]) - (a*LogIntegral[c*(a + b*x^2)])/(4*b^2*c)}
+{x^1/Log[c*(a + b*x^2)]^3, x, 5, -((a + b*x^2)/(4*b*Log[c*(a + b*x^2)]^2)) - (a + b*x^2)/(4*b*Log[c*(a + b*x^2)]) + LogIntegral[c*(a + b*x^2)]/(4*b*c)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q Log[c (d+e x^3)^n]^p *)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^5*Log[c*(d + e*x^3)^p]^2, x, 9, -((2*d*p^2*x^3)/(3*e)) + (p^2*(d + e*x^3)^2)/(12*e^2) + (2*d*p*(d + e*x^3)*Log[c*(d + e*x^3)^p])/(3*e^2) - (p*(d + e*x^3)^2*Log[c*(d + e*x^3)^p])/(6*e^2) - (d*(d + e*x^3)*Log[c*(d + e*x^3)^p]^2)/(3*e^2) + ((d + e*x^3)^2*Log[c*(d + e*x^3)^p]^2)/(6*e^2)}
+{x^2*Log[c*(d + e*x^3)^p]^2, x, 4, (2*p^2*x^3)/3 - (2*p*(d + e*x^3)*Log[c*(d + e*x^3)^p])/(3*e) + ((d + e*x^3)*Log[c*(d + e*x^3)^p]^2)/(3*e)}
+{Log[c*(d + e*x^3)^p]^2/x^1, x, 5, (1/3)*Log[-((e*x^3)/d)]*Log[c*(d + e*x^3)^p]^2 + (2/3)*p*Log[c*(d + e*x^3)^p]*PolyLog[2, 1 + (e*x^3)/d] - (2/3)*p^2*PolyLog[3, 1 + (e*x^3)/d]}
+{Log[c*(d + e*x^3)^p]^2/x^4, x, 4, (2*e*p*Log[-((e*x^3)/d)]*Log[c*(d + e*x^3)^p])/(3*d) - ((d + e*x^3)*Log[c*(d + e*x^3)^p]^2)/(3*d*x^3) + (2*e*p^2*PolyLog[2, 1 + (e*x^3)/d])/(3*d)}
+
+{x^1*Log[c*(d + e*x^3)^p]^2, x, If[$VersionNumber>=8, 49, 51], If[$VersionNumber>=8, If[$VersionNumber<11, (9*p^2*x^2)/4 + (3*Sqrt[3]*d^(2/3)*p^2*ArcTan[(d^(1/3) - 2*e^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*d^(1/3))])/(2*e^(2/3)) + (3*d^(2/3)*p^2*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x])/(2*e^(2/3)) + (d^(2/3)*p^2*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x]^2)/(2*e^(2/3)) + (d^(2/3)*p^2*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x]*Log[-(((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*x)/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))])/e^(2/3) - ((-1)^(1/3)*d^(2/3)*p^2*Log[((-1)^(1/3)*(d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))]*Log[d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x])/e^(2/3) - ((-1)^(1/3)*d^(2/3)*p^2*Log[d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x]^2)/(2*e^(2/3)) + ((-1)^(2/3)*d^(2/3)*p^2*Log[-(((-1)^(2/3)*(d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))]*Log[d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x])/e^(2/3) + ((-1)^(2/3)*d^(2/3)*p^2*Log[((-1)^(1/3)*(d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x))/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))]*Log[d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x])/e^(2/3) + ((-1)^(2/3)*d^(2/3)*p^2*Log[d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x]^2)/(2*e^(2/3)) - ((-1)^(2/3)*d^(2/3)*p^2*Log[((-1)^(1/3)*(d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x))/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))]*Log[(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))])/e^(2/3) + (d^(2/3)*p^2*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x]*Log[((-1)^(1/3)*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x))/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))])/e^(2/3) - ((-1)^(1/3)*d^(2/3)*p^2*Log[d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x]*Log[-(((-1)^(2/3)*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x))/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))])/e^(2/3) - (3*d^(2/3)*p^2*Log[d^(2/3) - d^(1/3)*e^(1/3)*x + e^(2/3)*x^2])/(4*e^(2/3)) - (3/2)*p*x^2*Log[c*(d + e*x^3)^p] - (d^(2/3)*p*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^3)^p])/e^(2/3) + ((-1)^(1/3)*d^(2/3)*p*Log[d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^3)^p])/e^(2/3) - ((-1)^(2/3)*d^(2/3)*p*Log[d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^3)^p])/e^(2/3) + (1/2)*x^2*Log[c*(d + e*x^3)^p]^2 + (d^(2/3)*p^2*PolyLog[2, (d^(1/3) + e^(1/3)*x)/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))])/e^(2/3) + (d^(2/3)*p^2*PolyLog[2, (2*(d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((3 - I*Sqrt[3])*d^(1/3))])/e^(2/3) - 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+{Log[c*(d + e*x^3)^p]^2/x^5, x, If[$VersionNumber>=8, 48, 50], If[$VersionNumber>=8, If[$VersionNumber<11, -((3*Sqrt[3]*e^(4/3)*p^2*ArcTan[(d^(1/3) - 2*e^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*d^(1/3))])/(2*d^(4/3))) - (3*e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x])/(2*d^(4/3)) - (e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x]^2)/(4*d^(4/3)) - (e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x]*Log[-(((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*x)/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p^2*Log[((-1)^(1/3)*(d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))]*Log[d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x]^2)/(4*d^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*Log[-(((-1)^(2/3)*(d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))]*Log[d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x])/(2*d^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*Log[((-1)^(1/3)*(d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x))/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))]*Log[d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x])/(2*d^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x]^2)/(4*d^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*Log[((-1)^(1/3)*(d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x))/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))]*Log[(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)) - (e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x]*Log[((-1)^(1/3)*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x))/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x]*Log[-(((-1)^(2/3)*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x))/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))])/(2*d^(4/3)) + (3*e^(4/3)*p^2*Log[d^(2/3) - d^(1/3)*e^(1/3)*x + e^(2/3)*x^2])/(4*d^(4/3)) - (3*e*p*Log[c*(d + e*x^3)^p])/(2*d*x) + (e^(4/3)*p*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^3)^p])/(2*d^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p*Log[d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^3)^p])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p*Log[d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^3)^p])/(2*d^(4/3)) - Log[c*(d + e*x^3)^p]^2/(4*x^4) - (e^(4/3)*p^2*PolyLog[2, (d^(1/3) + e^(1/3)*x)/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)) - (e^(4/3)*p^2*PolyLog[2, (2*(d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((3 - I*Sqrt[3])*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p^2*PolyLog[2, -(((-1)^(1/3)*((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p^2*PolyLog[2, (d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*(d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x))/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*PolyLog[2, (d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)), -((3*Sqrt[3]*e^(4/3)*p^2*ArcTan[(d^(1/3) - 2*e^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*d^(1/3))])/(2*d^(4/3))) - (3*e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x])/(2*d^(4/3)) - (e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x]^2)/(4*d^(4/3)) - (e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x]*Log[-(((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*x)/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p^2*Log[((-1)^(1/3)*(d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))]*Log[d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x]^2)/(4*d^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*Log[-(((-1)^(2/3)*(d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))]*Log[d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x])/(2*d^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*Log[((-1)^(1/3)*(d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x))/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))]*Log[d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x])/(2*d^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x]^2)/(4*d^(4/3)) - (e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x]*Log[((-1)^(1/3)*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x))/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*Log[-(((-1)^(2/3)*(d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))]*Log[(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x]*Log[-(((-1)^(2/3)*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x))/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))])/(2*d^(4/3)) + (3*e^(4/3)*p^2*Log[d^(2/3) - d^(1/3)*e^(1/3)*x + e^(2/3)*x^2])/(4*d^(4/3)) - (3*e*p*Log[c*(d + e*x^3)^p])/(2*d*x) + (e^(4/3)*p*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^3)^p])/(2*d^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p*Log[d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^3)^p])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p*Log[d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^3)^p])/(2*d^(4/3)) - Log[c*(d + e*x^3)^p]^2/(4*x^4) - (e^(4/3)*p^2*PolyLog[2, (d^(1/3) + e^(1/3)*x)/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*PolyLog[2, -(((-1)^(2/3)*(d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))])/(2*d^(4/3)) - (e^(4/3)*p^2*PolyLog[2, (2*(d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((3 - I*Sqrt[3])*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p^2*PolyLog[2, -(((-1)^(1/3)*((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p^2*PolyLog[2, (d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*PolyLog[2, (d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))])/(2*d^(4/3))], -((3*Sqrt[3]*e^(4/3)*p^2*ArcTan[(d^(1/3) - 2*e^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*d^(1/3))])/(2*d^(4/3))) - (3*e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x])/(2*d^(4/3)) - (e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x]^2)/(4*d^(4/3)) - (e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x]*Log[-(((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*x)/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p^2*Log[((-1)^(1/3)*(d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))]*Log[d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x]^2)/(4*d^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*Log[-(((-1)^(2/3)*(d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))]*Log[d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x])/(2*d^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*Log[((-1)^(1/3)*(d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x))/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))]*Log[d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x])/(2*d^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x]^2)/(4*d^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*Log[((-1)^(1/3)*(d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x))/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))]*Log[(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)) - (e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x]*Log[((-1)^(1/3)*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x))/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*Log[-(((-1)^(2/3)*(d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))]*Log[(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x)/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p^2*Log[-(((-1)^(1/3)*((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))]*Log[-(((-1)^(2/3)*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x))/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p^2*Log[d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x]*Log[-(((-1)^(2/3)*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x))/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))])/(2*d^(4/3)) + (3*e^(4/3)*p^2*Log[d^(2/3) - d^(1/3)*e^(1/3)*x + e^(2/3)*x^2])/(4*d^(4/3)) - (3*e*p*Log[c*(d + e*x^3)^p])/(2*d*x) + (e^(4/3)*p*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^3)^p])/(2*d^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p*Log[d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^3)^p])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p*Log[d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^3)^p])/(2*d^(4/3)) - Log[c*(d + e*x^3)^p]^2/(4*x^4) - (e^(4/3)*p^2*PolyLog[2, (d^(1/3) + e^(1/3)*x)/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*PolyLog[2, -(((-1)^(2/3)*(d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))])/(2*d^(4/3)) - (e^(4/3)*p^2*PolyLog[2, (2*(d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((3 - I*Sqrt[3])*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p^2*PolyLog[2, (d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x)/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*e^(4/3)*p^2*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*(d^(1/3) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*x))/((1 + (-1)^(1/3))*d^(1/3))])/(2*d^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*e^(4/3)*p^2*PolyLog[2, -(((-1)^(2/3)*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x))/((1 - (-1)^(2/3))*d^(1/3)))])/(2*d^(4/3))]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^8/Log[c*(d + e*x^3)^p], x, 12, (d^2*(d + e*x^3)*ExpIntegralEi[Log[c*(d + e*x^3)^p]/p])/((c*(d + e*x^3)^p)^p^(-1)*(3*e^3*p)) - (2*d*(d + e*x^3)^2*ExpIntegralEi[(2*Log[c*(d + e*x^3)^p])/p])/((c*(d + e*x^3)^p)^(2/p)*(3*e^3*p)) + ((d + e*x^3)^3*ExpIntegralEi[(3*Log[c*(d + e*x^3)^p])/p])/((c*(d + e*x^3)^p)^(3/p)*(3*e^3*p))}
+{x^5/Log[c*(d + e*x^3)^p], x, 9, -(d*(d + e*x^3)*ExpIntegralEi[Log[c*(d + e*x^3)^p]/p])/(3*e^2*p*(c*(d + e*x^3)^p)^p^(-1)) + ((d + e*x^3)^2*ExpIntegralEi[(2*Log[c*(d + e*x^3)^p])/p])/(3*e^2*p*(c*(d + e*x^3)^p)^(2/p))}
+{x^2/Log[c*(d + e*x^3)^p], x, 4, ((d + e*x^3)*ExpIntegralEi[Log[c*(d + e*x^3)^p]/p])/(3*e*p*(c*(d + e*x^3)^p)^p^(-1))}
+{1/(x^1*Log[c*(d + e*x^3)^p]), x, 0, Unintegrable[1/(x*Log[c*(d + e*x^3)^p]), x]}
+{1/(x^4*Log[c*(d + e*x^3)^p]), x, 0, Unintegrable[1/(x^4*Log[c*(d + e*x^3)^p]), x]}
+
+{x^3/Log[c*(d + e*x^3)^p], x, 0, Unintegrable[x^3/Log[c*(d + e*x^3)^p], x]}
+{x^1/Log[c*(d + e*x^3)^p], x, 0, Unintegrable[x/Log[c*(d + e*x^3)^p], x]}
+{x^0/Log[c*(d + e*x^3)^p], x, 0, Unintegrable[Log[c*(d + e*x^3)^p]^(-1), x]}
+{1/(x^2*Log[c*(d + e*x^3)^p]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Log[c*(d + e*x^3)^p]), x]}
+{1/(x^3*Log[c*(d + e*x^3)^p]), x, 0, Unintegrable[1/(x^3*Log[c*(d + e*x^3)^p]), x]}
+
+
+{x^8/Log[c*(d + e*x^3)^p]^2, x, 21, (d^2*(d + e*x^3)*ExpIntegralEi[Log[c*(d + e*x^3)^p]/p])/((c*(d + e*x^3)^p)^p^(-1)*(3*e^3*p^2)) - (4*d*(d + e*x^3)^2*ExpIntegralEi[(2*Log[c*(d + e*x^3)^p])/p])/((c*(d + e*x^3)^p)^(2/p)*(3*e^3*p^2)) + ((d + e*x^3)^3*ExpIntegralEi[(3*Log[c*(d + e*x^3)^p])/p])/((c*(d + e*x^3)^p)^(3/p)*(e^3*p^2)) - (x^6*(d + e*x^3))/(3*e*p*Log[c*(d + e*x^3)^p])}
+{x^5/Log[c*(d + e*x^3)^p]^2, x, 13, -(d*(d + e*x^3)*ExpIntegralEi[Log[c*(d + e*x^3)^p]/p])/(3*e^2*p^2*(c*(d + e*x^3)^p)^p^(-1)) + (2*(d + e*x^3)^2*ExpIntegralEi[(2*Log[c*(d + e*x^3)^p])/p])/(3*e^2*p^2*(c*(d + e*x^3)^p)^(2/p)) - (x^3*(d + e*x^3))/(3*e*p*Log[c*(d + e*x^3)^p])}
+{x^2/Log[c*(d + e*x^3)^p]^2, x, 5, ((d + e*x^3)*ExpIntegralEi[Log[c*(d + e*x^3)^p]/p])/(3*e*p^2*(c*(d + e*x^3)^p)^p^(-1)) - (d + e*x^3)/(3*e*p*Log[c*(d + e*x^3)^p])}
+{1/(x^1*Log[c*(d + e*x^3)^p]^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*Log[c*(d + e*x^3)^p]^2), x]}
+{1/(x^4*Log[c*(d + e*x^3)^p]^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^4*Log[c*(d + e*x^3)^p]^2), x]}
+
+{x^3/Log[c*(d + e*x^3)^p]^2, x, 0, Unintegrable[x^3/Log[c*(d + e*x^3)^p]^2, x]}
+{x^1/Log[c*(d + e*x^3)^p]^2, x, 0, Unintegrable[x/Log[c*(d + e*x^3)^p]^2, x]}
+{x^0/Log[c*(d + e*x^3)^p]^2, x, 0, Unintegrable[Log[c*(d + e*x^3)^p]^(-2), x]}
+{1/(x^2*Log[c*(d + e*x^3)^p]^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Log[c*(d + e*x^3)^p]^2), x]}
+{1/(x^3*Log[c*(d + e*x^3)^p]^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^3*Log[c*(d + e*x^3)^p]^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^q Log[c (d+e x^2)^n]^p when q symbolic*)
+
+
+{(f*x)^m*Log[c*(d + e*x^2)^p]^3, x, 1, ((f*x)^(1 + m)*Log[c*(d + e*x^2)^p]^3)/(f*(1 + m)) - (6*e*p*Unintegrable[((f*x)^(2 + m)*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2)/(d + e*x^2), x])/(f^2*(1 + m))}
+{(f*x)^m*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2, x, 1, ((f*x)^(1 + m)*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2)/(f*(1 + m)) - (4*e*p*Unintegrable[((f*x)^(2 + m)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(d + e*x^2), x])/(f^2*(1 + m))}
+{(f*x)^m*Log[c*(d + e*x^2)^p]^1, x, 3, -((2*e*p*(f*x)^(3 + m)*Hypergeometric2F1[1, (3 + m)/2, (5 + m)/2, -((e*x^2)/d)])/(d*f^3*(1 + m)*(3 + m))) + ((f*x)^(1 + m)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(f*(1 + m))}
+{(f*x)^m/Log[c*(d + e*x^2)^p]^1, x, 0, Unintegrable[(f*x)^m/Log[c*(d + e*x^2)^p], x]}
+{(f*x)^m/Log[c*(d + e*x^2)^p]^2, x, 0, Unintegrable[(f*x)^m/Log[c*(d + e*x^2)^p]^2, x]}
+
+
+{(f*x)^(3*n - 1)*Log[c*(d + e*x^n)^p]^2, x, 9, (2*d^2*p^2*x^(1 - 2*n)*(f*x)^(-1 + 3*n))/(e^2*n) - (d*p^2*x^(1 - 3*n)*(f*x)^(-1 + 3*n)*(d + e*x^n)^2)/(2*e^3*n) + (2*p^2*x^(1 - 3*n)*(f*x)^(-1 + 3*n)*(d + e*x^n)^3)/(27*e^3*n) - (d^3*p^2*x^(1 - 3*n)*(f*x)^(-1 + 3*n)*Log[d + e*x^n]^2)/(3*e^3*n) - (2*d^2*p*x^(1 - 3*n)*(f*x)^(-1 + 3*n)*(d + e*x^n)*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(e^3*n) + (d*p*x^(1 - 3*n)*(f*x)^(-1 + 3*n)*(d + e*x^n)^2*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(e^3*n) - (2*p*x^(1 - 3*n)*(f*x)^(-1 + 3*n)*(d + e*x^n)^3*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(9*e^3*n) + (2*d^3*p*x^(1 - 3*n)*(f*x)^(-1 + 3*n)*Log[d + e*x^n]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(3*e^3*n) + (x*(f*x)^(-1 + 3*n)*Log[c*(d + e*x^n)^p]^2)/(3*n)}
+{(f*x)^(2*n - 1)*Log[c*(d + e*x^n)^p]^2, x, 10, -((2*d*p^2*x^(1 - n)*(f*x)^(-1 + 2*n))/(e*n)) + (p^2*x^(1 - 2*n)*(f*x)^(-1 + 2*n)*(d + e*x^n)^2)/(4*e^2*n) + (2*d*p*x^(1 - 2*n)*(f*x)^(-1 + 2*n)*(d + e*x^n)*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(e^2*n) - (p*x^(1 - 2*n)*(f*x)^(-1 + 2*n)*(d + e*x^n)^2*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(2*e^2*n) - (d*x^(1 - 2*n)*(f*x)^(-1 + 2*n)*(d + e*x^n)*Log[c*(d + e*x^n)^p]^2)/(e^2*n) + (x^(1 - 2*n)*(f*x)^(-1 + 2*n)*(d + e*x^n)^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]^2)/(2*e^2*n)}
+{(f*x)^(1*n - 1)*Log[c*(d + e*x^n)^p]^2, x, 5, (2*p^2*x*(f*x)^(-1 + n))/n - (2*p*x^(1 - n)*(f*x)^(-1 + n)*(d + e*x^n)*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(e*n) + (x^(1 - n)*(f*x)^(-1 + n)*(d + e*x^n)*Log[c*(d + e*x^n)^p]^2)/(e*n)}
+{(f*x)^(0*n - 1)*Log[c*(d + e*x^n)^p]^2, x, 6, (Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p]^2)/(f*n) + (2*p*Log[c*(d + e*x^n)^p]*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/(f*n) - (2*p^2*PolyLog[3, 1 + (e*x^n)/d])/(f*n)}
+{(f*x)^(-1*n - 1)*Log[c*(d + e*x^n)^p]^2, x, 5, (2*e*p*x^(1 + n)*(f*x)^(-1 - n)*Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(d*n) - (x*(f*x)^(-1 - n)*(d + e*x^n)*Log[c*(d + e*x^n)^p]^2)/(d*n) + (2*e*p^2*x^(1 + n)*(f*x)^(-1 - n)*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/(d*n)}
+{(f*x)^(-2*n - 1)*Log[c*(d + e*x^n)^p]^2, x, 9, (e^2*p^2*x^(1 + 2*n)*(f*x)^(-1 - 2*n)*Log[x])/d^2 - (e*p*x^(1 + n)*(f*x)^(-1 - 2*n)*(d + e*x^n)*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(d^2*n) - (x*(f*x)^(-1 - 2*n)*Log[c*(d + e*x^n)^p]^2)/(2*n) - (e^2*p*x^(1 + 2*n)*(f*x)^(-1 - 2*n)*Log[c*(d + e*x^n)^p]*Log[1 - d/(d + e*x^n)])/(d^2*n) + (e^2*p^2*x^(1 + 2*n)*(f*x)^(-1 - 2*n)*PolyLog[2, d/(d + e*x^n)])/(d^2*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^q Log[c (d+e x^m)^n]^p when m symbolic*)
+
+
+{Log[1 + e*x^n]/x, x, 1, -(PolyLog[2, -(e*x^n)]/n)}
+{Log[2 + e*x^n]/x, x, 3, Log[2]*Log[x] - PolyLog[2, -((e*x^n)/2)]/n}
+{Log[2*(3 + e*x^n)]/x, x, 3, Log[6]*Log[x] - PolyLog[2, -((e*x^n)/3)]/n}
+{Log[c*(d + e*x^n)]/x, x, 3, (Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)])/n + PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d]/n}
+
+
+{Log[c*(d + e*x^n)^p]^1/x, x, 3, (Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/n + (p*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/n}
+{Log[c*(d + e*x^n)^p]^2/x, x, 5, (Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p]^2)/n + (2*p*Log[c*(d + e*x^n)^p]*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/n - (2*p^2*PolyLog[3, 1 + (e*x^n)/d])/n}
+{Log[c*(d + e*x^n)^p]^3/x, x, 6, (Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p]^3)/n + (3*p*Log[c*(d + e*x^n)^p]^2*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/n - (6*p^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]*PolyLog[3, 1 + (e*x^n)/d])/n + (6*p^3*PolyLog[4, 1 + (e*x^n)/d])/n}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^q Log[c (d+e x^m)^n]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^q Log[c (d+e x^m)^n]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Log[c*(a + b*x)^p]*(d + e*x)^3, x, 3, -(((b*d - a*e)^3*p*x)/(4*b^3)) - ((b*d - a*e)^2*p*(d + e*x)^2)/(8*b^2*e) - ((b*d - a*e)*p*(d + e*x)^3)/(12*b*e) - (p*(d + e*x)^4)/(16*e) - ((b*d - a*e)^4*p*Log[a + b*x])/(4*b^4*e) + ((d + e*x)^4*Log[c*(a + b*x)^p])/(4*e)}
+{Log[c*(a + b*x)^p]*(d + e*x)^2, x, 3, -(((b*d - a*e)^2*p*x)/(3*b^2)) - ((b*d - a*e)*p*(d + e*x)^2)/(6*b*e) - (p*(d + e*x)^3)/(9*e) - ((b*d - a*e)^3*p*Log[a + b*x])/(3*b^3*e) + ((d + e*x)^3*Log[c*(a + b*x)^p])/(3*e)}
+{Log[c*(a + b*x)^p]*(d + e*x)^1, x, 3, -(((b*d - a*e)*p*x)/(2*b)) - (p*(d + e*x)^2)/(4*e) - ((b*d - a*e)^2*p*Log[a + b*x])/(2*b^2*e) + ((d + e*x)^2*Log[c*(a + b*x)^p])/(2*e)}
+{Log[c*(a + b*x)^p]*(d + e*x)^0, x, 2, (-p)*x + ((a + b*x)*Log[c*(a + b*x)^p])/b}
+{Log[c*(a + b*x)^p]/(d + e*x)^1, x, 3, (Log[c*(a + b*x)^p]*Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/e + (p*PolyLog[2, -((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])/e}
+{Log[c*(a + b*x)^p]/(d + e*x)^2, x, 4, (b*p*Log[a + b*x])/(e*(b*d - a*e)) - Log[c*(a + b*x)^p]/(e*(d + e*x)) - (b*p*Log[d + e*x])/(e*(b*d - a*e))}
+{Log[c*(a + b*x)^p]/(d + e*x)^3, x, 3, (b*p)/(2*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)) + (b^2*p*Log[a + b*x])/(2*e*(b*d - a*e)^2) - Log[c*(a + b*x)^p]/(2*e*(d + e*x)^2) - (b^2*p*Log[d + e*x])/(2*e*(b*d - a*e)^2)}
+{Log[c*(a + b*x)^p]/(d + e*x)^4, x, 3, (b*p)/(6*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^2) + (b^2*p)/(3*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)) + (b^3*p*Log[a + b*x])/(3*e*(b*d - a*e)^3) - Log[c*(a + b*x)^p]/(3*e*(d + e*x)^3) - (b^3*p*Log[d + e*x])/(3*e*(b*d - a*e)^3)}
+
+
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]*(d + e*x)^3, x, 6, -((2*d*(b*d^2 - a*e^2)*p*x)/b) - (e*(6*b*d^2 - a*e^2)*p*x^2)/(4*b) - (2/3)*d*e^2*p*x^3 - (1/8)*e^3*p*x^4 + (2*Sqrt[a]*d*(b*d^2 - a*e^2)*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/b^(3/2) - ((b^2*d^4 - 6*a*b*d^2*e^2 + a^2*e^4)*p*Log[a + b*x^2])/(4*b^2*e) + ((d + e*x)^4*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(4*e)}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]*(d + e*x)^2, x, 6, -((2*(3*b*d^2 - a*e^2)*p*x)/(3*b)) - d*e*p*x^2 - (2/9)*e^2*p*x^3 + (2*Sqrt[a]*(3*b*d^2 - a*e^2)*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(3*b^(3/2)) - (d*(b*d^2 - 3*a*e^2)*p*Log[a + b*x^2])/(3*b*e) + ((d + e*x)^3*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(3*e)}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]*(d + e*x)^1, x, 6, -2*d*p*x - (1/2)*e*p*x^2 + (2*Sqrt[a]*d*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/Sqrt[b] - ((b*d^2 - a*e^2)*p*Log[a + b*x^2])/(2*b*e) + ((d + e*x)^2*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(2*e)}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]*(d + e*x)^0, x, 3, -2*p*x + (2*Sqrt[a]*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/Sqrt[b] + x*Log[c*(a + b*x^2)^p]}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]/(d + e*x)^1, x, 9, -((p*Log[(e*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*d + Sqrt[-a]*e)]*Log[d + e*x])/e) - (p*Log[-((e*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*d - Sqrt[-a]*e))]*Log[d + e*x])/e + (Log[d + e*x]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/e - (p*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + e*x))/(Sqrt[b]*d - Sqrt[-a]*e)])/e - (p*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + e*x))/(Sqrt[b]*d + Sqrt[-a]*e)])/e}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]/(d + e*x)^2, x, 6, (2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(b*d^2 + a*e^2) - (2*b*d*p*Log[d + e*x])/(e*(b*d^2 + a*e^2)) + (b*d*p*Log[a + b*x^2])/(e*(b*d^2 + a*e^2)) - Log[c*(a + b*x^2)^p]/(e*(d + e*x))}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]/(d + e*x)^3, x, 6, (b*d*p)/(e*(b*d^2 + a*e^2)*(d + e*x)) + (2*Sqrt[a]*b^(3/2)*d*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(b*d^2 + a*e^2)^2 - (b*(b*d^2 - a*e^2)*p*Log[d + e*x])/(e*(b*d^2 + a*e^2)^2) + (b*(b*d^2 - a*e^2)*p*Log[a + b*x^2])/(2*e*(b*d^2 + a*e^2)^2) - Log[c*(a + b*x^2)^p]/(2*e*(d + e*x)^2)}
+
+
+{Log[c*(a + b*x^3)^p]*(d + e*x)^3, x, 13, -((3*(4*b*d^3 - a*e^3)*p*x)/(4*b)) - (9/4)*d^2*e*p*x^2 - d*e^2*p*x^3 - (3/16)*e^3*p*x^4 - (Sqrt[3]*a^(1/3)*(4*b*d^3 + 6*a^(1/3)*b^(2/3)*d^2*e - a*e^3)*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(4*b^(4/3)) + (a^(1/3)*(4*b*d^3 - 6*a^(1/3)*b^(2/3)*d^2*e - a*e^3)*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(4*b^(4/3)) - (a^(1/3)*(4*b*d^3 - 6*a^(1/3)*b^(2/3)*d^2*e - a*e^3)*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(8*b^(4/3)) - (d*(b*d^3 - 4*a*e^3)*p*Log[a + b*x^3])/(4*b*e) + ((d + e*x)^4*Log[c*(a + b*x^3)^p])/(4*e)}
+{Log[c*(a + b*x^3)^p]*(d + e*x)^2, x, 12, -3*d^2*p*x - (3/2)*d*e*p*x^2 - (1/3)*e^2*p*x^3 - (Sqrt[3]*a^(1/3)*d*(b^(1/3)*d + a^(1/3)*e)*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/b^(2/3) + (a^(1/3)*d*(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e)*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/b^(2/3) - (a^(1/3)*d*(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e)*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(2*b^(2/3)) - ((b*d^3 - a*e^3)*p*Log[a + b*x^3])/(3*b*e) + ((d + e*x)^3*Log[c*(a + b*x^3)^p])/(3*e)}
+{Log[c*(a + b*x^3)^p]*(d + e*x)^1, x, 11, -3*d*p*x - (3/4)*e*p*x^2 - (Sqrt[3]*a^(1/3)*(2*b^(1/3)*d + a^(1/3)*e)*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2*b^(2/3)) + (a^(1/3)*(2*b^(1/3)*d - a^(1/3)*e)*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(2*b^(2/3)) - (a^(1/3)*(2*b^(1/3)*d - a^(1/3)*e)*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(4*b^(2/3)) - (d^2*p*Log[a + b*x^3])/(2*e) + ((d + e*x)^2*Log[c*(a + b*x^3)^p])/(2*e)}
+{Log[c*(a + b*x^3)^p]*(d + e*x)^0, x, 8, -3*p*x - (Sqrt[3]*a^(1/3)*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/b^(1/3) + (a^(1/3)*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/b^(1/3) - (a^(1/3)*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(2*b^(1/3)) + x*Log[c*(a + b*x^3)^p]}
+{Log[c*(a + b*x^3)^p]/(d + e*x)^1, x, 12, -((p*Log[-((e*(a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/e) - (p*Log[-((e*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/e - (p*Log[((-1)^(1/3)*e*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*e)]*Log[d + e*x])/e + (Log[d + e*x]*Log[c*(a + b*x^3)^p])/e - (p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e)])/e - (p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*e)])/e - (p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*e)])/e}
+{Log[c*(a + b*x^3)^p]/(d + e*x)^2, x, 11, -((Sqrt[3]*a^(1/3)*b^(1/3)*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(b^(2/3)*d^2 + a^(1/3)*b^(1/3)*d*e + a^(2/3)*e^2)) + (a^(1/3)*b^(1/3)*(b^(1/3)*d + a^(1/3)*e)*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(b*d^3 - a*e^3) - (3*b*d^2*p*Log[d + e*x])/(e*(b*d^3 - a*e^3)) - (a^(1/3)*b^(1/3)*(b^(1/3)*d + a^(1/3)*e)*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(2*(b*d^3 - a*e^3)) + (b*d^2*p*Log[a + b*x^3])/(e*(b*d^3 - a*e^3)) - Log[c*(a + b*x^3)^p]/(e*(d + e*x))}
+{Log[c*(a + b*x^3)^p]/(d + e*x)^3, x, 11, (3*b*d^2*p)/(2*e*(b*d^3 - a*e^3)*(d + e*x)) - (Sqrt[3]*a^(1/3)*b^(2/3)*(2*b*d^3 - 3*a^(1/3)*b^(2/3)*d^2*e + a*e^3)*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2*(b*d^3 - a*e^3)^2) + (a^(1/3)*b^(2/3)*(2*b*d^3 + 3*a^(1/3)*b^(2/3)*d^2*e + a*e^3)*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(2*(b*d^3 - a*e^3)^2) - (3*b*d*(b*d^3 + 2*a*e^3)*p*Log[d + e*x])/(2*e*(b*d^3 - a*e^3)^2) - (a^(1/3)*b^(2/3)*(2*b*d^3 + 3*a^(1/3)*b^(2/3)*d^2*e + a*e^3)*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(4*(b*d^3 - a*e^3)^2) + (b*d*(b*d^3 + 2*a*e^3)*p*Log[a + b*x^3])/(2*e*(b*d^3 - a*e^3)^2) - Log[c*(a + b*x^3)^p]/(2*e*(d + e*x)^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Log[c*(a + b/x)^p]*(d + e*x)^3, x, 4, (b*e*(6*a^2*d^2 - 4*a*b*d*e + b^2*e^2)*p*x)/(4*a^3) + (b*e^2*(4*a*d - b*e)*p*x^2)/(8*a^2) + (b*e^3*p*x^3)/(12*a) + ((d + e*x)^4*Log[c*(a + b/x)^p])/(4*e) + (d^4*p*Log[x])/(4*e) - ((a*d - b*e)^4*p*Log[b + a*x])/(4*a^4*e)}
+{Log[c*(a + b/x)^p]*(d + e*x)^2, x, 4, (b*e*(3*a*d - b*e)*p*x)/(3*a^2) + (b*e^2*p*x^2)/(6*a) + ((d + e*x)^3*Log[c*(a + b/x)^p])/(3*e) + (d^3*p*Log[x])/(3*e) - ((a*d - b*e)^3*p*Log[b + a*x])/(3*a^3*e)}
+{Log[c*(a + b/x)^p]*(d + e*x)^1, x, 4, (b*e*p*x)/(2*a) + ((d + e*x)^2*Log[c*(a + b/x)^p])/(2*e) + (d^2*p*Log[x])/(2*e) - ((a*d - b*e)^2*p*Log[b + a*x])/(2*a^2*e)}
+{Log[c*(a + b/x)^p]/(d + e*x)^1, x, 8, (Log[c*(a + b/x)^p]*Log[d + e*x])/e + (p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/e - (p*Log[-((e*(b + a*x))/(a*d - b*e))]*Log[d + e*x])/e - (p*PolyLog[2, (a*(d + e*x))/(a*d - b*e)])/e + (p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e}
+{Log[c*(a + b/x)^p]/(d + e*x)^2, x, 4, -(Log[c*(a + b/x)^p]/(e*(d + e*x))) - (p*Log[x])/(d*e) + (a*p*Log[b + a*x])/(e*(a*d - b*e)) - (b*p*Log[d + e*x])/(d*(a*d - b*e))}
+{Log[c*(a + b/x)^p]/(d + e*x)^3, x, 4, (b*p)/(2*d*(a*d - b*e)*(d + e*x)) - Log[c*(a + b/x)^p]/(2*e*(d + e*x)^2) - (p*Log[x])/(2*d^2*e) + (a^2*p*Log[b + a*x])/(2*e*(a*d - b*e)^2) - (b*(2*a*d - b*e)*p*Log[d + e*x])/(2*d^2*(a*d - b*e)^2)}
+{Log[c*(a + b/x)^p]/(d + e*x)^4, x, 4, (b*p)/(6*d*(a*d - b*e)*(d + e*x)^2) + (b*(2*a*d - b*e)*p)/(3*d^2*(a*d - b*e)^2*(d + e*x)) - Log[c*(a + b/x)^p]/(3*e*(d + e*x)^3) - (p*Log[x])/(3*d^3*e) + (a^3*p*Log[b + a*x])/(3*e*(a*d - b*e)^3) - (b*(3*a^2*d^2 - 3*a*b*d*e + b^2*e^2)*p*Log[d + e*x])/(3*d^3*(a*d - b*e)^3)}
+
+
+{Log[a + b/x]/(c + d*x), x, 8, (Log[a + b/x]*Log[c + d*x])/d + (Log[-((d*x)/c)]*Log[c + d*x])/d - (Log[-((d*(b + a*x))/(a*c - b*d))]*Log[c + d*x])/d - PolyLog[2, (a*(c + d*x))/(a*c - b*d)]/d + PolyLog[2, 1 + (d*x)/c]/d}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^q Log[c (d+e x^m)^n] when r symbolic*)
+
+
+{(d + e*x)^m*Log[c*(a + b*x^3)^p], x, 6, (b^(1/3)*p*(d + e*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e)])/(e*(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e)*(1 + m)*(2 + m)) + (b^(1/3)*p*(d + e*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*e)])/(e*(b^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*e)*(1 + m)*(2 + m)) + (b^(1/3)*p*(d + e*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*e)])/(e*(b^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*e)*(1 + m)*(2 + m)) + ((d + e*x)^(1 + m)*Log[c*(a + b*x^3)^p])/(e*(1 + m))}
+{(d + e*x)^m*Log[c*(a + b*x^2)^p], x, 5, (Sqrt[b]*p*(d + e*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (Sqrt[b]*(d + e*x))/(Sqrt[b]*d - Sqrt[-a]*e)])/(e*(Sqrt[b]*d - Sqrt[-a]*e)*(1 + m)*(2 + m)) + (Sqrt[b]*p*(d + e*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (Sqrt[b]*(d + e*x))/(Sqrt[b]*d + Sqrt[-a]*e)])/(e*(Sqrt[b]*d + Sqrt[-a]*e)*(1 + m)*(2 + m)) + ((d + e*x)^(1 + m)*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(e*(1 + m))}
+{(d + e*x)^m*Log[c*(a + b*x^1)^p], x, 2, (b*p*(d + e*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(e*(b*d - a*e)*(1 + m)*(2 + m)) + ((d + e*x)^(1 + m)*Log[c*(a + b*x)^p])/(e*(1 + m))}
+{(d + e*x)^m*Log[c*(a + b/x^1)^p], x, 5, (a*p*(d + e*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (a*(d + e*x))/(a*d - b*e)])/(e*(a*d - b*e)*(1 + m)*(2 + m)) - (p*(d + e*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, 1 + (e*x)/d])/(d*e*(2 + 3*m + m^2)) + ((d + e*x)^(1 + m)*Log[c*(a + b/x)^p])/(e*(1 + m))}
+{(d + e*x)^m*Log[c*(a + b/x^2)^p], x, 9, (Sqrt[-a]*p*(d + e*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (Sqrt[-a]*(d + e*x))/(Sqrt[-a]*d - Sqrt[b]*e)])/(e*(Sqrt[-a]*d - Sqrt[b]*e)*(1 + m)*(2 + m)) + (Sqrt[-a]*p*(d + e*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (Sqrt[-a]*(d + e*x))/(Sqrt[-a]*d + Sqrt[b]*e)])/(e*(Sqrt[-a]*d + Sqrt[b]*e)*(1 + m)*(2 + m)) - (2*p*(d + e*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, 1 + (e*x)/d])/(d*e*(2 + 3*m + m^2)) + ((d + e*x)^(1 + m)*Log[c*(a + b/x^2)^p])/(e*(1 + m))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^q Log[c (d+e x^m)^n] when n symbolic*)
+
+
+{(f + g*x)^m*Log[c*(d + e*x^n)^p], x, 0, Unintegrable[(f + g*x)^m*Log[c*(d + e*x^n)^p], x]}
+
+
+{(f + g*x)^3*Log[c*(d + e*x^n)^p], x, 8, -((e*f^3*n*p*x^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + 1/n, 2 + 1/n, -((e*x^n)/d)])/(d*(1 + n))) - (3*e*f^2*g*n*p*x^(2 + n)*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/n, 2*(1 + 1/n), -((e*x^n)/d)])/(2*d*(2 + n)) - (e*f*g^2*n*p*x^(3 + n)*Hypergeometric2F1[1, (3 + n)/n, 2 + 3/n, -((e*x^n)/d)])/(d*(3 + n)) - (e*g^3*n*p*x^(4 + n)*Hypergeometric2F1[1, (4 + n)/n, 2*(1 + 2/n), -((e*x^n)/d)])/(4*d*(4 + n)) - (f^4*p*Log[d + e*x^n])/(4*g) + ((f + g*x)^4*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(4*g)}
+{(f + g*x)^2*Log[c*(d + e*x^n)^p], x, 7, -((e*f^2*n*p*x^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + 1/n, 2 + 1/n, -((e*x^n)/d)])/(d*(1 + n))) - (e*f*g*n*p*x^(2 + n)*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/n, 2*(1 + 1/n), -((e*x^n)/d)])/(d*(2 + n)) - (e*g^2*n*p*x^(3 + n)*Hypergeometric2F1[1, (3 + n)/n, 2 + 3/n, -((e*x^n)/d)])/(3*d*(3 + n)) - (f^3*p*Log[d + e*x^n])/(3*g) + ((f + g*x)^3*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(3*g)}
+{(f + g*x)^1*Log[c*(d + e*x^n)^p], x, 6, -((e*f*n*p*x^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + 1/n, 2 + 1/n, -((e*x^n)/d)])/(d*(1 + n))) - (e*g*n*p*x^(2 + n)*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/n, 2*(1 + 1/n), -((e*x^n)/d)])/(2*d*(2 + n)) - (f^2*p*Log[d + e*x^n])/(2*g) + ((f + g*x)^2*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(2*g)}
+{(f + g*x)^0*Log[c*(d + e*x^n)^p], x, 2, -((e*n*p*x^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + 1/n, 2 + 1/n, -((e*x^n)/d)])/(d*(1 + n))) + x*Log[c*(d + e*x^n)^p]}
+{Log[c*(d + e*x^n)^p]/(f + g*x)^1, x, 0, Unintegrable[Log[c*(d + e*x^n)^p]/(f + g*x), x]}
+{Log[c*(d + e*x^n)^p]/(f + g*x)^2, x, 0, Unintegrable[Log[c*(d + e*x^n)^p]/(f + g*x)^2, x]}
+{Log[c*(d + e*x^n)^p]/(f + g*x)^3, x, 0, Unintegrable[Log[c*(d + e*x^n)^p]/(f + g*x)^3, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (h x)^r (f+g x)^q Log[c (d+e x^m)^n]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^r / (f+g x) Log[c (d+e x^m)^n]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^3*Log[c*(a + b*x)^p]/(d + e*x), x, 13, -((d^2*p*x)/e^3) - (a*d*p*x)/(2*b*e^2) - (a^2*p*x)/(3*b^2*e) + (d*p*x^2)/(4*e^2) + (a*p*x^2)/(6*b*e) - (p*x^3)/(9*e) + (a^2*d*p*Log[a + b*x])/(2*b^2*e^2) + (a^3*p*Log[a + b*x])/(3*b^3*e) - (d*x^2*Log[c*(a + b*x)^p])/(2*e^2) + (x^3*Log[c*(a + b*x)^p])/(3*e) + (d^2*(a + b*x)*Log[c*(a + b*x)^p])/(b*e^3) - (d^3*Log[c*(a + b*x)^p]*Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/e^4 - (d^3*p*PolyLog[2, -((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])/e^4}
+{x^2*Log[c*(a + b*x)^p]/(d + e*x), x, 10, (d*p*x)/e^2 + (a*p*x)/(2*b*e) - (p*x^2)/(4*e) - (a^2*p*Log[a + b*x])/(2*b^2*e) + (x^2*Log[c*(a + b*x)^p])/(2*e) - (d*(a + b*x)*Log[c*(a + b*x)^p])/(b*e^2) + (d^2*Log[c*(a + b*x)^p]*Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/e^3 + (d^2*p*PolyLog[2, -((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])/e^3}
+{x^1*Log[c*(a + b*x)^p]/(d + e*x), x, 7, -((p*x)/e) + ((a + b*x)*Log[c*(a + b*x)^p])/(b*e) - (d*Log[c*(a + b*x)^p]*Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/e^2 - (d*p*PolyLog[2, -((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])/e^2}
+{x^0*Log[c*(a + b*x)^p]/(d + e*x), x, 3, (Log[c*(a + b*x)^p]*Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/e + (p*PolyLog[2, -((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])/e}
+{Log[c*(a + b*x)^p]/(x^1*(d + e*x)), x, 7, (Log[-((b*x)/a)]*Log[c*(a + b*x)^p])/d - (Log[c*(a + b*x)^p]*Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/d - (p*PolyLog[2, -((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])/d + (p*PolyLog[2, 1 + (b*x)/a])/d}
+{Log[c*(a + b*x)^p]/(x^2*(d + e*x)), x, 11, (b*p*Log[x])/(a*d) - (b*p*Log[a + b*x])/(a*d) - Log[c*(a + b*x)^p]/(d*x) - (e*Log[-((b*x)/a)]*Log[c*(a + b*x)^p])/d^2 + (e*Log[c*(a + b*x)^p]*Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/d^2 + (e*p*PolyLog[2, -((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])/d^2 - (e*p*PolyLog[2, 1 + (b*x)/a])/d^2}
+{Log[c*(a + b*x)^p]/(x^3*(d + e*x)), x, 14, -((b*p)/(2*a*d*x)) - (b^2*p*Log[x])/(2*a^2*d) - (b*e*p*Log[x])/(a*d^2) + (b^2*p*Log[a + b*x])/(2*a^2*d) + (b*e*p*Log[a + b*x])/(a*d^2) - Log[c*(a + b*x)^p]/(2*d*x^2) + (e*Log[c*(a + b*x)^p])/(d^2*x) + (e^2*Log[-((b*x)/a)]*Log[c*(a + b*x)^p])/d^3 - (e^2*Log[c*(a + b*x)^p]*Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/d^3 - (e^2*p*PolyLog[2, -((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])/d^3 + (e^2*p*PolyLog[2, 1 + (b*x)/a])/d^3}
+
+
+{x^3*Log[c*(a + b*x^2)^p]/(d + e*x), x, 21, -((2*d^2*p*x)/e^3) + (2*a*p*x)/(3*b*e) + (d*p*x^2)/(2*e^2) - (2*p*x^3)/(9*e) + (2*Sqrt[a]*d^2*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(Sqrt[b]*e^3) - (2*a^(3/2)*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(3*b^(3/2)*e) + (d^3*p*Log[(e*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*d + Sqrt[-a]*e)]*Log[d + e*x])/e^4 + (d^3*p*Log[-((e*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*d - Sqrt[-a]*e))]*Log[d + e*x])/e^4 + (d^2*x*Log[c*(a + b*x^2)^p])/e^3 + (x^3*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(3*e) - (d*(a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(2*b*e^2) - (d^3*Log[d + e*x]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/e^4 + (d^3*p*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + e*x))/(Sqrt[b]*d - Sqrt[-a]*e)])/e^4 + (d^3*p*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + e*x))/(Sqrt[b]*d + Sqrt[-a]*e)])/e^4}
+{x^2*Log[c*(a + b*x^2)^p]/(d + e*x), x, 17, (2*d*p*x)/e^2 - (p*x^2)/(2*e) - (2*Sqrt[a]*d*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(Sqrt[b]*e^2) - (d^2*p*Log[(e*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*d + Sqrt[-a]*e)]*Log[d + e*x])/e^3 - (d^2*p*Log[-((e*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*d - Sqrt[-a]*e))]*Log[d + e*x])/e^3 - (d*x*Log[c*(a + b*x^2)^p])/e^2 + ((a + b*x^2)*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(2*b*e) + (d^2*Log[d + e*x]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/e^3 - (d^2*p*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + e*x))/(Sqrt[b]*d - Sqrt[-a]*e)])/e^3 - (d^2*p*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + e*x))/(Sqrt[b]*d + Sqrt[-a]*e)])/e^3}
+{x^1*Log[c*(a + b*x^2)^p]/(d + e*x), x, 14, -((2*p*x)/e) + (2*Sqrt[a]*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(Sqrt[b]*e) + (d*p*Log[(e*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*d + Sqrt[-a]*e)]*Log[d + e*x])/e^2 + (d*p*Log[-((e*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*d - Sqrt[-a]*e))]*Log[d + e*x])/e^2 + (x*Log[c*(a + b*x^2)^p])/e - (d*Log[d + e*x]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/e^2 + (d*p*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + e*x))/(Sqrt[b]*d - Sqrt[-a]*e)])/e^2 + (d*p*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + e*x))/(Sqrt[b]*d + Sqrt[-a]*e)])/e^2}
+{x^0*Log[c*(a + b*x^2)^p]/(d + e*x), x, 9, -((p*Log[(e*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*d + Sqrt[-a]*e)]*Log[d + e*x])/e) - (p*Log[-((e*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*d - Sqrt[-a]*e))]*Log[d + e*x])/e + (Log[d + e*x]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/e - (p*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + e*x))/(Sqrt[b]*d - Sqrt[-a]*e)])/e - (p*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + e*x))/(Sqrt[b]*d + Sqrt[-a]*e)])/e}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]/(x^1*(d + e*x)), x, 14, (p*Log[(e*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*d + Sqrt[-a]*e)]*Log[d + e*x])/d + (p*Log[-((e*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*d - Sqrt[-a]*e))]*Log[d + e*x])/d + (Log[-((b*x^2)/a)]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(2*d) - (Log[d + e*x]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/d + (p*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + e*x))/(Sqrt[b]*d - Sqrt[-a]*e)])/d + (p*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + e*x))/(Sqrt[b]*d + Sqrt[-a]*e)])/d + (p*PolyLog[2, 1 + (b*x^2)/a])/(2*d)}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]/(x^2*(d + e*x)), x, 16, (2*Sqrt[b]*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d) - (e*p*Log[(e*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*d + Sqrt[-a]*e)]*Log[d + e*x])/d^2 - (e*p*Log[-((e*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*d - Sqrt[-a]*e))]*Log[d + e*x])/d^2 - Log[c*(a + b*x^2)^p]/(d*x) - (e*Log[-((b*x^2)/a)]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(2*d^2) + (e*Log[d + e*x]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/d^2 - (e*p*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + e*x))/(Sqrt[b]*d - Sqrt[-a]*e)])/d^2 - (e*p*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + e*x))/(Sqrt[b]*d + Sqrt[-a]*e)])/d^2 - (e*p*PolyLog[2, 1 + (b*x^2)/a])/(2*d^2)}
+{Log[c*(a + b*x^2)^p]/(x^3*(d + e*x)), x, 21, -((2*Sqrt[b]*e*p*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d^2)) + (b*p*Log[x])/(a*d) + (e^2*p*Log[(e*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*d + Sqrt[-a]*e)]*Log[d + e*x])/d^3 + (e^2*p*Log[-((e*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*d - Sqrt[-a]*e))]*Log[d + e*x])/d^3 - (b*p*Log[a + b*x^2])/(2*a*d) - Log[c*(a + b*x^2)^p]/(2*d*x^2) + (e*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(d^2*x) + (e^2*Log[-((b*x^2)/a)]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/(2*d^3) - (e^2*Log[d + e*x]*Log[c*(a + b*x^2)^p])/d^3 + (e^2*p*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + e*x))/(Sqrt[b]*d - Sqrt[-a]*e)])/d^3 + (e^2*p*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + e*x))/(Sqrt[b]*d + Sqrt[-a]*e)])/d^3 + (e^2*p*PolyLog[2, 1 + (b*x^2)/a])/(2*d^3)}
+
+
+{x^3*Log[c*(a + b*x^3)^p]/(d + e*x), x, 33, -((3*d^2*p*x)/e^3) + (3*d*p*x^2)/(4*e^2) - (p*x^3)/(3*e) - (Sqrt[3]*a^(1/3)*d^2*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(b^(1/3)*e^3) + (Sqrt[3]*a^(2/3)*d*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2*b^(2/3)*e^2) + (a^(1/3)*d^2*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(b^(1/3)*e^3) + (a^(2/3)*d*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(2*b^(2/3)*e^2) + (d^3*p*Log[-((e*(a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/e^4 + (d^3*p*Log[-((e*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/e^4 + (d^3*p*Log[((-1)^(1/3)*e*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*e)]*Log[d + e*x])/e^4 - (a^(1/3)*d^2*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(2*b^(1/3)*e^3) - (a^(2/3)*d*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(4*b^(2/3)*e^2) + (d^2*x*Log[c*(a + b*x^3)^p])/e^3 - (d*x^2*Log[c*(a + b*x^3)^p])/(2*e^2) + ((a + b*x^3)*Log[c*(a + b*x^3)^p])/(3*b*e) - (d^3*Log[d + e*x]*Log[c*(a + b*x^3)^p])/e^4 + (d^3*p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e)])/e^4 + (d^3*p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*e)])/e^4 + (d^3*p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*e)])/e^4}
+{x^2*Log[c*(a + b*x^3)^p]/(d + e*x), x, 30, (3*d*p*x)/e^2 - (3*p*x^2)/(4*e) + (Sqrt[3]*a^(1/3)*d*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(b^(1/3)*e^2) - (Sqrt[3]*a^(2/3)*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2*b^(2/3)*e) - (a^(1/3)*d*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(b^(1/3)*e^2) - (a^(2/3)*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(2*b^(2/3)*e) - (d^2*p*Log[-((e*(a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/e^3 - (d^2*p*Log[-((e*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/e^3 - (d^2*p*Log[((-1)^(1/3)*e*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*e)]*Log[d + e*x])/e^3 + (a^(1/3)*d*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(2*b^(1/3)*e^2) + (a^(2/3)*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(4*b^(2/3)*e) - (d*x*Log[c*(a + b*x^3)^p])/e^2 + (x^2*Log[c*(a + b*x^3)^p])/(2*e) + (d^2*Log[d + e*x]*Log[c*(a + b*x^3)^p])/e^3 - (d^2*p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e)])/e^3 - (d^2*p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*e)])/e^3 - (d^2*p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*e)])/e^3}
+{x^1*Log[c*(a + b*x^3)^p]/(d + e*x), x, 22, -((3*p*x)/e) - (Sqrt[3]*a^(1/3)*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(b^(1/3)*e) + (a^(1/3)*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(b^(1/3)*e) + (d*p*Log[-((e*(a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/e^2 + (d*p*Log[-((e*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/e^2 + (d*p*Log[((-1)^(1/3)*e*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*e)]*Log[d + e*x])/e^2 - (a^(1/3)*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(2*b^(1/3)*e) + (x*Log[c*(a + b*x^3)^p])/e - (d*Log[d + e*x]*Log[c*(a + b*x^3)^p])/e^2 + (d*p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e)])/e^2 + (d*p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*e)])/e^2 + (d*p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*e)])/e^2}
+{x^0*Log[c*(a + b*x^3)^p]/(d + e*x), x, 12, -((p*Log[-((e*(a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/e) - (p*Log[-((e*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/e - (p*Log[((-1)^(1/3)*e*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*e)]*Log[d + e*x])/e + (Log[d + e*x]*Log[c*(a + b*x^3)^p])/e - (p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e)])/e - (p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*e)])/e - (p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*e)])/e}
+{Log[c*(a + b*x^3)^p]/(x^1*(d + e*x)), x, 17, (p*Log[-((e*(a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/d + (p*Log[-((e*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/d + (p*Log[((-1)^(1/3)*e*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*e)]*Log[d + e*x])/d + (Log[-((b*x^3)/a)]*Log[c*(a + b*x^3)^p])/(3*d) - (Log[d + e*x]*Log[c*(a + b*x^3)^p])/d + (p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e)])/d + (p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*e)])/d + (p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*e)])/d + (p*PolyLog[2, 1 + (b*x^3)/a])/(3*d)}
+{Log[c*(a + b*x^3)^p]/(x^2*(d + e*x)), x, 24, -((Sqrt[3]*b^(1/3)*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(a^(1/3)*d)) - (b^(1/3)*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(a^(1/3)*d) - (e*p*Log[-((e*(a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/d^2 - (e*p*Log[-((e*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/d^2 - (e*p*Log[((-1)^(1/3)*e*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*e)]*Log[d + e*x])/d^2 + (b^(1/3)*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(2*a^(1/3)*d) - Log[c*(a + b*x^3)^p]/(d*x) - (e*Log[-((b*x^3)/a)]*Log[c*(a + b*x^3)^p])/(3*d^2) + (e*Log[d + e*x]*Log[c*(a + b*x^3)^p])/d^2 - (e*p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e)])/d^2 - (e*p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*e)])/d^2 - (e*p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*e)])/d^2 - (e*p*PolyLog[2, 1 + (b*x^3)/a])/(3*d^2)}
+{Log[c*(a + b*x^3)^p]/(x^3*(d + e*x)), x, 31, -((Sqrt[3]*b^(2/3)*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2*a^(2/3)*d)) + (Sqrt[3]*b^(1/3)*e*p*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(a^(1/3)*d^2) + (b^(2/3)*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(2*a^(2/3)*d) + (b^(1/3)*e*p*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(a^(1/3)*d^2) + (e^2*p*Log[-((e*(a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/d^3 + (e^2*p*Log[-((e*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/d^3 + (e^2*p*Log[((-1)^(1/3)*e*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*x))/(b^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*e)]*Log[d + e*x])/d^3 - (b^(2/3)*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(4*a^(2/3)*d) - (b^(1/3)*e*p*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(2*a^(1/3)*d^2) - Log[c*(a + b*x^3)^p]/(2*d*x^2) + (e*Log[c*(a + b*x^3)^p])/(d^2*x) + (e^2*Log[-((b*x^3)/a)]*Log[c*(a + b*x^3)^p])/(3*d^3) - (e^2*Log[d + e*x]*Log[c*(a + b*x^3)^p])/d^3 + (e^2*p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d - a^(1/3)*e)])/d^3 + (e^2*p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*e)])/d^3 + (e^2*p*PolyLog[2, (b^(1/3)*(d + e*x))/(b^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*e)])/d^3 + (e^2*p*PolyLog[2, 1 + (b*x^3)/a])/(3*d^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^3*Log[c*(a + b/x)^p]/(d + e*x), x, 21, -((b*d*p*x)/(2*a*e^2)) - (b^2*p*x)/(3*a^2*e) + (b*p*x^2)/(6*a*e) + (d^2*x*Log[c*(a + b/x)^p])/e^3 - (d*x^2*Log[c*(a + b/x)^p])/(2*e^2) + (x^3*Log[c*(a + b/x)^p])/(3*e) + (b*d^2*p*Log[b + a*x])/(a*e^3) + (b^2*d*p*Log[b + a*x])/(2*a^2*e^2) + (b^3*p*Log[b + a*x])/(3*a^3*e) - (d^3*Log[c*(a + b/x)^p]*Log[d + e*x])/e^4 - (d^3*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/e^4 + (d^3*p*Log[-((e*(b + a*x))/(a*d - b*e))]*Log[d + e*x])/e^4 + (d^3*p*PolyLog[2, (a*(d + e*x))/(a*d - b*e)])/e^4 - (d^3*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e^4}
+{x^2*Log[c*(a + b/x)^p]/(d + e*x), x, 17, (b*p*x)/(2*a*e) - (d*x*Log[c*(a + b/x)^p])/e^2 + (x^2*Log[c*(a + b/x)^p])/(2*e) - (b*d*p*Log[b + a*x])/(a*e^2) - (b^2*p*Log[b + a*x])/(2*a^2*e) + (d^2*Log[c*(a + b/x)^p]*Log[d + e*x])/e^3 + (d^2*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/e^3 - (d^2*p*Log[-((e*(b + a*x))/(a*d - b*e))]*Log[d + e*x])/e^3 - (d^2*p*PolyLog[2, (a*(d + e*x))/(a*d - b*e)])/e^3 + (d^2*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e^3}
+{x^1*Log[c*(a + b/x)^p]/(d + e*x), x, 13, (x*Log[c*(a + b/x)^p])/e + (b*p*Log[b + a*x])/(a*e) - (d*Log[c*(a + b/x)^p]*Log[d + e*x])/e^2 - (d*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/e^2 + (d*p*Log[-((e*(b + a*x))/(a*d - b*e))]*Log[d + e*x])/e^2 + (d*p*PolyLog[2, (a*(d + e*x))/(a*d - b*e)])/e^2 - (d*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e^2}
+{x^0*Log[c*(a + b/x)^p]/(d + e*x), x, 8, (Log[c*(a + b/x)^p]*Log[d + e*x])/e + (p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/e - (p*Log[-((e*(b + a*x))/(a*d - b*e))]*Log[d + e*x])/e - (p*PolyLog[2, (a*(d + e*x))/(a*d - b*e)])/e + (p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e}
+{Log[c*(a + b/x)^p]/(x^1*(d + e*x)), x, 13, -((Log[c*(a + b/x)^p]*Log[-(b/(a*x))])/d) - (Log[c*(a + b/x)^p]*Log[d + e*x])/d - (p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/d + (p*Log[-((e*(b + a*x))/(a*d - b*e))]*Log[d + e*x])/d - (p*PolyLog[2, 1 + b/(a*x)])/d + (p*PolyLog[2, (a*(d + e*x))/(a*d - b*e)])/d - (p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/d}
+{Log[c*(a + b/x)^p]/(x^2*(d + e*x)), x, 16, p/(d*x) - ((a + b/x)*Log[c*(a + b/x)^p])/(b*d) + (e*Log[c*(a + b/x)^p]*Log[-(b/(a*x))])/d^2 + (e*Log[c*(a + b/x)^p]*Log[d + e*x])/d^2 + (e*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/d^2 - (e*p*Log[-((e*(b + a*x))/(a*d - b*e))]*Log[d + e*x])/d^2 + (e*p*PolyLog[2, 1 + b/(a*x)])/d^2 - (e*p*PolyLog[2, (a*(d + e*x))/(a*d - b*e)])/d^2 + (e*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/d^2}
+{Log[c*(a + b/x)^p]/(x^3*(d + e*x)), x, 20, p/(4*d*x^2) - (a*p)/(2*b*d*x) - (e*p)/(d^2*x) + (a^2*p*Log[a + b/x])/(2*b^2*d) + (e*(a + b/x)*Log[c*(a + b/x)^p])/(b*d^2) - Log[c*(a + b/x)^p]/(2*d*x^2) - (e^2*Log[c*(a + b/x)^p]*Log[-(b/(a*x))])/d^3 - (e^2*Log[c*(a + b/x)^p]*Log[d + e*x])/d^3 - (e^2*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/d^3 + (e^2*p*Log[-((e*(b + a*x))/(a*d - b*e))]*Log[d + e*x])/d^3 - (e^2*p*PolyLog[2, 1 + b/(a*x)])/d^3 + (e^2*p*PolyLog[2, (a*(d + e*x))/(a*d - b*e)])/d^3 - (e^2*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/d^3}
+
+
+{x^3*Log[c*(a + b/x^2)^p]/(d + e*x), x, 25, (2*b*p*x)/(3*a*e) + (2*Sqrt[b]*d^2*p*ArcTan[(Sqrt[a]*x)/Sqrt[b]])/(Sqrt[a]*e^3) - (2*b^(3/2)*p*ArcTan[(Sqrt[a]*x)/Sqrt[b]])/(3*a^(3/2)*e) + (d^2*x*Log[c*(a + b/x^2)^p])/e^3 - (d*x^2*Log[c*(a + b/x^2)^p])/(2*e^2) + (x^3*Log[c*(a + b/x^2)^p])/(3*e) - (d^3*Log[c*(a + b/x^2)^p]*Log[d + e*x])/e^4 - (2*d^3*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/e^4 + (d^3*p*Log[(e*(Sqrt[b] - Sqrt[-a]*x))/(Sqrt[-a]*d + Sqrt[b]*e)]*Log[d + e*x])/e^4 + (d^3*p*Log[-((e*(Sqrt[b] + Sqrt[-a]*x))/(Sqrt[-a]*d - Sqrt[b]*e))]*Log[d + e*x])/e^4 - (b*d*p*Log[b + a*x^2])/(2*a*e^2) + (d^3*p*PolyLog[2, (Sqrt[-a]*(d + e*x))/(Sqrt[-a]*d - Sqrt[b]*e)])/e^4 + (d^3*p*PolyLog[2, (Sqrt[-a]*(d + e*x))/(Sqrt[-a]*d + Sqrt[b]*e)])/e^4 - (2*d^3*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e^4}
+{x^2*Log[c*(a + b/x^2)^p]/(d + e*x), x, 21, -((2*Sqrt[b]*d*p*ArcTan[(Sqrt[a]*x)/Sqrt[b]])/(Sqrt[a]*e^2)) - (d*x*Log[c*(a + b/x^2)^p])/e^2 + (x^2*Log[c*(a + b/x^2)^p])/(2*e) + (d^2*Log[c*(a + b/x^2)^p]*Log[d + e*x])/e^3 + (2*d^2*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/e^3 - (d^2*p*Log[(e*(Sqrt[b] - Sqrt[-a]*x))/(Sqrt[-a]*d + Sqrt[b]*e)]*Log[d + e*x])/e^3 - (d^2*p*Log[-((e*(Sqrt[b] + Sqrt[-a]*x))/(Sqrt[-a]*d - Sqrt[b]*e))]*Log[d + e*x])/e^3 + (b*p*Log[b + a*x^2])/(2*a*e) - (d^2*p*PolyLog[2, (Sqrt[-a]*(d + e*x))/(Sqrt[-a]*d - Sqrt[b]*e)])/e^3 - (d^2*p*PolyLog[2, (Sqrt[-a]*(d + e*x))/(Sqrt[-a]*d + Sqrt[b]*e)])/e^3 + (2*d^2*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e^3}
+{x^1*Log[c*(a + b/x^2)^p]/(d + e*x), x, 18, (2*Sqrt[b]*p*ArcTan[(Sqrt[a]*x)/Sqrt[b]])/(Sqrt[a]*e) + (x*Log[c*(a + b/x^2)^p])/e - (d*Log[c*(a + b/x^2)^p]*Log[d + e*x])/e^2 - (2*d*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/e^2 + (d*p*Log[(e*(Sqrt[b] - Sqrt[-a]*x))/(Sqrt[-a]*d + Sqrt[b]*e)]*Log[d + e*x])/e^2 + (d*p*Log[-((e*(Sqrt[b] + Sqrt[-a]*x))/(Sqrt[-a]*d - Sqrt[b]*e))]*Log[d + e*x])/e^2 + (d*p*PolyLog[2, (Sqrt[-a]*(d + e*x))/(Sqrt[-a]*d - Sqrt[b]*e)])/e^2 + (d*p*PolyLog[2, (Sqrt[-a]*(d + e*x))/(Sqrt[-a]*d + Sqrt[b]*e)])/e^2 - (2*d*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e^2}
+{x^0*Log[c*(a + b/x^2)^p]/(d + e*x), x, 13, (Log[c*(a + b/x^2)^p]*Log[d + e*x])/e + (2*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/e - (p*Log[(e*(Sqrt[b] - Sqrt[-a]*x))/(Sqrt[-a]*d + Sqrt[b]*e)]*Log[d + e*x])/e - (p*Log[-((e*(Sqrt[b] + Sqrt[-a]*x))/(Sqrt[-a]*d - Sqrt[b]*e))]*Log[d + e*x])/e - (p*PolyLog[2, (Sqrt[-a]*(d + e*x))/(Sqrt[-a]*d - Sqrt[b]*e)])/e - (p*PolyLog[2, (Sqrt[-a]*(d + e*x))/(Sqrt[-a]*d + Sqrt[b]*e)])/e + (2*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e}
+{Log[c*(a + b/x^2)^p]/(x^1*(d + e*x)), x, 18, -((Log[c*(a + b/x^2)^p]*Log[-(b/(a*x^2))])/(2*d)) - (Log[c*(a + b/x^2)^p]*Log[d + e*x])/d - (2*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/d + (p*Log[(e*(Sqrt[b] - Sqrt[-a]*x))/(Sqrt[-a]*d + Sqrt[b]*e)]*Log[d + e*x])/d + (p*Log[-((e*(Sqrt[b] + Sqrt[-a]*x))/(Sqrt[-a]*d - Sqrt[b]*e))]*Log[d + e*x])/d - (p*PolyLog[2, 1 + b/(a*x^2)])/(2*d) + (p*PolyLog[2, (Sqrt[-a]*(d + e*x))/(Sqrt[-a]*d - Sqrt[b]*e)])/d + (p*PolyLog[2, (Sqrt[-a]*(d + e*x))/(Sqrt[-a]*d + Sqrt[b]*e)])/d - (2*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/d}
+{Log[c*(a + b/x^2)^p]/(x^2*(d + e*x)), x, 22, (2*p)/(d*x) + (2*Sqrt[a]*p*ArcTan[(Sqrt[a]*x)/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*d) - Log[c*(a + b/x^2)^p]/(d*x) + (e*Log[c*(a + b/x^2)^p]*Log[-(b/(a*x^2))])/(2*d^2) + (e*Log[c*(a + b/x^2)^p]*Log[d + e*x])/d^2 + (2*e*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/d^2 - (e*p*Log[(e*(Sqrt[b] - Sqrt[-a]*x))/(Sqrt[-a]*d + Sqrt[b]*e)]*Log[d + e*x])/d^2 - (e*p*Log[-((e*(Sqrt[b] + Sqrt[-a]*x))/(Sqrt[-a]*d - Sqrt[b]*e))]*Log[d + e*x])/d^2 + (e*p*PolyLog[2, 1 + b/(a*x^2)])/(2*d^2) - (e*p*PolyLog[2, (Sqrt[-a]*(d + e*x))/(Sqrt[-a]*d - Sqrt[b]*e)])/d^2 - (e*p*PolyLog[2, (Sqrt[-a]*(d + e*x))/(Sqrt[-a]*d + Sqrt[b]*e)])/d^2 + (2*e*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/d^2}
+{Log[c*(a + b/x^2)^p]/(x^3*(d + e*x)), x, 25, p/(2*d*x^2) - (2*e*p)/(d^2*x) - (2*Sqrt[a]*e*p*ArcTan[(Sqrt[a]*x)/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*d^2) - ((a + b/x^2)*Log[c*(a + b/x^2)^p])/(2*b*d) + (e*Log[c*(a + b/x^2)^p])/(d^2*x) - (e^2*Log[c*(a + b/x^2)^p]*Log[-(b/(a*x^2))])/(2*d^3) - (e^2*Log[c*(a + b/x^2)^p]*Log[d + e*x])/d^3 - (2*e^2*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/d^3 + (e^2*p*Log[(e*(Sqrt[b] - Sqrt[-a]*x))/(Sqrt[-a]*d + Sqrt[b]*e)]*Log[d + e*x])/d^3 + (e^2*p*Log[-((e*(Sqrt[b] + Sqrt[-a]*x))/(Sqrt[-a]*d - Sqrt[b]*e))]*Log[d + e*x])/d^3 - (e^2*p*PolyLog[2, 1 + b/(a*x^2)])/(2*d^3) + (e^2*p*PolyLog[2, (Sqrt[-a]*(d + e*x))/(Sqrt[-a]*d - Sqrt[b]*e)])/d^3 + (e^2*p*PolyLog[2, (Sqrt[-a]*(d + e*x))/(Sqrt[-a]*d + Sqrt[b]*e)])/d^3 - (2*e^2*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/d^3}
+
+
+{x^3*Log[c*(a + b/x^3)^p]/(d + e*x), x, 37, -((Sqrt[3]*b^(1/3)*d^2*p*ArcTan[(b^(1/3) - 2*a^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*b^(1/3))])/(a^(1/3)*e^3)) + (Sqrt[3]*b^(2/3)*d*p*ArcTan[(b^(1/3) - 2*a^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*b^(1/3))])/(2*a^(2/3)*e^2) + (d^2*x*Log[c*(a + b/x^3)^p])/e^3 - (d*x^2*Log[c*(a + b/x^3)^p])/(2*e^2) + (x^3*Log[c*(a + b/x^3)^p])/(3*e) + (b^(1/3)*d^2*p*Log[b^(1/3) + a^(1/3)*x])/(a^(1/3)*e^3) + (b^(2/3)*d*p*Log[b^(1/3) + a^(1/3)*x])/(2*a^(2/3)*e^2) - (d^3*Log[c*(a + b/x^3)^p]*Log[d + e*x])/e^4 - (3*d^3*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/e^4 + (d^3*p*Log[-((e*(b^(1/3) + a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d - b^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/e^4 + (d^3*p*Log[-((e*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*b^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/e^4 + (d^3*p*Log[((-1)^(1/3)*e*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*b^(1/3)*e)]*Log[d + e*x])/e^4 - (b^(1/3)*d^2*p*Log[b^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + a^(2/3)*x^2])/(2*a^(1/3)*e^3) - (b^(2/3)*d*p*Log[b^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + a^(2/3)*x^2])/(4*a^(2/3)*e^2) + (b*p*Log[b + a*x^3])/(3*a*e) + (d^3*p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d - b^(1/3)*e)])/e^4 + (d^3*p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*b^(1/3)*e)])/e^4 + (d^3*p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*b^(1/3)*e)])/e^4 - (3*d^3*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e^4}
+{x^2*Log[c*(a + b/x^3)^p]/(d + e*x), x, 34, (Sqrt[3]*b^(1/3)*d*p*ArcTan[(b^(1/3) - 2*a^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*b^(1/3))])/(a^(1/3)*e^2) - (Sqrt[3]*b^(2/3)*p*ArcTan[(b^(1/3) - 2*a^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*b^(1/3))])/(2*a^(2/3)*e) - (d*x*Log[c*(a + b/x^3)^p])/e^2 + (x^2*Log[c*(a + b/x^3)^p])/(2*e) - (b^(1/3)*d*p*Log[b^(1/3) + a^(1/3)*x])/(a^(1/3)*e^2) - (b^(2/3)*p*Log[b^(1/3) + a^(1/3)*x])/(2*a^(2/3)*e) + (d^2*Log[c*(a + b/x^3)^p]*Log[d + e*x])/e^3 + (3*d^2*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/e^3 - (d^2*p*Log[-((e*(b^(1/3) + a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d - b^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/e^3 - (d^2*p*Log[-((e*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*b^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/e^3 - (d^2*p*Log[((-1)^(1/3)*e*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*b^(1/3)*e)]*Log[d + e*x])/e^3 + (b^(1/3)*d*p*Log[b^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + a^(2/3)*x^2])/(2*a^(1/3)*e^2) + (b^(2/3)*p*Log[b^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + a^(2/3)*x^2])/(4*a^(2/3)*e) - (d^2*p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d - b^(1/3)*e)])/e^3 - (d^2*p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*b^(1/3)*e)])/e^3 - (d^2*p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*b^(1/3)*e)])/e^3 + (3*d^2*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e^3}
+{x^1*Log[c*(a + b/x^3)^p]/(d + e*x), x, 26, -((Sqrt[3]*b^(1/3)*p*ArcTan[(b^(1/3) - 2*a^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*b^(1/3))])/(a^(1/3)*e)) + (x*Log[c*(a + b/x^3)^p])/e + (b^(1/3)*p*Log[b^(1/3) + a^(1/3)*x])/(a^(1/3)*e) - (d*Log[c*(a + b/x^3)^p]*Log[d + e*x])/e^2 - (3*d*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/e^2 + (d*p*Log[-((e*(b^(1/3) + a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d - b^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/e^2 + (d*p*Log[-((e*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*b^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/e^2 + (d*p*Log[((-1)^(1/3)*e*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*b^(1/3)*e)]*Log[d + e*x])/e^2 - (b^(1/3)*p*Log[b^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + a^(2/3)*x^2])/(2*a^(1/3)*e) + (d*p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d - b^(1/3)*e)])/e^2 + (d*p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*b^(1/3)*e)])/e^2 + (d*p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*b^(1/3)*e)])/e^2 - (3*d*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e^2}
+{x^0*Log[c*(a + b/x^3)^p]/(d + e*x), x, 16, (Log[c*(a + b/x^3)^p]*Log[d + e*x])/e + (3*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/e - (p*Log[-((e*(b^(1/3) + a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d - b^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/e - (p*Log[-((e*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*b^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/e - (p*Log[((-1)^(1/3)*e*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*b^(1/3)*e)]*Log[d + e*x])/e - (p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d - b^(1/3)*e)])/e - (p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*b^(1/3)*e)])/e - (p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*b^(1/3)*e)])/e + (3*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/e}
+{Log[c*(a + b/x^3)^p]/(x^1*(d + e*x)), x, 21, -((Log[c*(a + b/x^3)^p]*Log[-(b/(a*x^3))])/(3*d)) - (Log[c*(a + b/x^3)^p]*Log[d + e*x])/d - (3*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/d + (p*Log[-((e*(b^(1/3) + a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d - b^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/d + (p*Log[-((e*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*b^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/d + (p*Log[((-1)^(1/3)*e*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*b^(1/3)*e)]*Log[d + e*x])/d - (p*PolyLog[2, 1 + b/(a*x^3)])/(3*d) + (p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d - b^(1/3)*e)])/d + (p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*b^(1/3)*e)])/d + (p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*b^(1/3)*e)])/d - (3*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/d}
+{Log[c*(a + b/x^3)^p]/(x^2*(d + e*x)), x, 30, (3*p)/(d*x) - (Sqrt[3]*a^(1/3)*p*ArcTan[(b^(1/3) - 2*a^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*b^(1/3))])/(b^(1/3)*d) - Log[c*(a + b/x^3)^p]/(d*x) + (e*Log[c*(a + b/x^3)^p]*Log[-(b/(a*x^3))])/(3*d^2) - (a^(1/3)*p*Log[b^(1/3) + a^(1/3)*x])/(b^(1/3)*d) + (e*Log[c*(a + b/x^3)^p]*Log[d + e*x])/d^2 + (3*e*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/d^2 - (e*p*Log[-((e*(b^(1/3) + a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d - b^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/d^2 - (e*p*Log[-((e*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*b^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/d^2 - (e*p*Log[((-1)^(1/3)*e*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*b^(1/3)*e)]*Log[d + e*x])/d^2 + (a^(1/3)*p*Log[b^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + a^(2/3)*x^2])/(2*b^(1/3)*d) + (e*p*PolyLog[2, 1 + b/(a*x^3)])/(3*d^2) - (e*p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d - b^(1/3)*e)])/d^2 - (e*p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*b^(1/3)*e)])/d^2 - (e*p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*b^(1/3)*e)])/d^2 + (3*e*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/d^2}
+{Log[c*(a + b/x^3)^p]/(x^3*(d + e*x)), x, 39, (3*p)/(4*d*x^2) - (3*e*p)/(d^2*x) - (Sqrt[3]*a^(2/3)*p*ArcTan[(b^(1/3) - 2*a^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*b^(1/3))])/(2*b^(2/3)*d) + (Sqrt[3]*a^(1/3)*e*p*ArcTan[(b^(1/3) - 2*a^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*b^(1/3))])/(b^(1/3)*d^2) - Log[c*(a + b/x^3)^p]/(2*d*x^2) + (e*Log[c*(a + b/x^3)^p])/(d^2*x) - (e^2*Log[c*(a + b/x^3)^p]*Log[-(b/(a*x^3))])/(3*d^3) + (a^(2/3)*p*Log[b^(1/3) + a^(1/3)*x])/(2*b^(2/3)*d) + (a^(1/3)*e*p*Log[b^(1/3) + a^(1/3)*x])/(b^(1/3)*d^2) - (e^2*Log[c*(a + b/x^3)^p]*Log[d + e*x])/d^3 - (3*e^2*p*Log[-((e*x)/d)]*Log[d + e*x])/d^3 + (e^2*p*Log[-((e*(b^(1/3) + a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d - b^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/d^3 + (e^2*p*Log[-((e*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*b^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/d^3 + (e^2*p*Log[((-1)^(1/3)*e*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*x))/(a^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*b^(1/3)*e)]*Log[d + e*x])/d^3 - (a^(2/3)*p*Log[b^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + a^(2/3)*x^2])/(4*b^(2/3)*d) - (a^(1/3)*e*p*Log[b^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + a^(2/3)*x^2])/(2*b^(1/3)*d^2) - (e^2*p*PolyLog[2, 1 + b/(a*x^3)])/(3*d^3) + (e^2*p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d - b^(1/3)*e)])/d^3 + (e^2*p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*b^(1/3)*e)])/d^3 + (e^2*p*PolyLog[2, (a^(1/3)*(d + e*x))/(a^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*b^(1/3)*e)])/d^3 - (3*e^2*p*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/d^3}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x^r)^q Log[c (d+e x^m)^n]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x^2)^q Log[c (d+e x^m)^n]*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*q>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{Log[c*(d + e*x^3)^p]/(f + g*x^2), x, 16, (3*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((I*e^(1/3)*Sqrt[f] + d^(1/3)*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[-((2*I*Sqrt[f]*Sqrt[g]*((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((e^(1/3)*Sqrt[f] + (-1)^(1/6)*d^(1/3)*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*(-1)^(5/6)*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x))/((e^(1/3)*Sqrt[f] + (-1)^(5/6)*d^(1/3)*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[c*(d + e*x^3)^p])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (3*I*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (I*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((I*e^(1/3)*Sqrt[f] + d^(1/3)*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (I*p*PolyLog[2, 1 + (2*I*Sqrt[f]*Sqrt[g]*((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*x))/((e^(1/3)*Sqrt[f] + (-1)^(1/6)*d^(1/3)*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (I*p*PolyLog[2, 1 - (2*(-1)^(5/6)*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*x))/((e^(1/3)*Sqrt[f] + (-1)^(5/6)*d^(1/3)*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g])}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]/(f + g*x^2), x, 12, (2*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[-((2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (I*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (I*p*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (I*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g])}
+{Log[c*(d + e*x^1)^p]/(f + g*x^2), x, 8, (Log[c*(d + e*x)^p]*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (Log[c*(d + e*x)^p]*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g])}
+{Log[c*(d + e/x^1)^p]/(f + g*x^2), x, 12, (ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[c*(d + e/x)^p])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(e + d*x))/((I*d*Sqrt[f] + e*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (I*p*PolyLog[2, -((I*Sqrt[g]*x)/Sqrt[f])])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (I*p*PolyLog[2, (I*Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (I*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (I*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(e + d*x))/((I*d*Sqrt[f] + e*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g])}
+{Log[c*(d + e/x^2)^p]/(f + g*x^2), x, 18, (ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[c*(d + e/x^2)^p])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (2*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[-((2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[e] - Sqrt[-d]*x))/((I*Sqrt[-d]*Sqrt[f] - Sqrt[e]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[e] + Sqrt[-d]*x))/((I*Sqrt[-d]*Sqrt[f] + Sqrt[e]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (I*p*PolyLog[2, -((I*Sqrt[g]*x)/Sqrt[f])])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (I*p*PolyLog[2, (I*Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (I*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (I*p*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[e] - Sqrt[-d]*x))/((I*Sqrt[-d]*Sqrt[f] - Sqrt[e]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (I*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[e] + Sqrt[-d]*x))/((I*Sqrt[-d]*Sqrt[f] + Sqrt[e]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x^2)^q Log[c (d+e x^(m/2))^n]*)
+
+
+(* {Log[c*(d + e*x^(3/2))^p]/(f + g*x^2), x, 43, (p*Log[-((g^(1/4)*((-1)^(1/3)*d^(1/3) - e^(1/3)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] - (-1)^(1/3)*d^(1/3)*g^(1/4)))]*Log[Sqrt[-Sqrt[-f]] - g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*Log[(g^(1/4)*(d^(1/3) + e^(1/3)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] + d^(1/3)*g^(1/4))]*Log[Sqrt[-Sqrt[-f]] - g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*Log[(g^(1/4)*((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] + (-1)^(2/3)*d^(1/3)*g^(1/4))]*Log[Sqrt[-Sqrt[-f]] - g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*Log[-((g^(1/4)*((-1)^(1/3)*d^(1/3) - e^(1/3)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*(-f)^(1/4) - (-1)^(1/3)*d^(1/3)*g^(1/4)))]*Log[(-f)^(1/4) - g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*Log[(g^(1/4)*(d^(1/3) + e^(1/3)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*(-f)^(1/4) + d^(1/3)*g^(1/4))]*Log[(-f)^(1/4) - g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*Log[(g^(1/4)*((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*(-f)^(1/4) + (-1)^(2/3)*d^(1/3)*g^(1/4))]*Log[(-f)^(1/4) - g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*Log[-((g^(1/4)*(d^(1/3) + e^(1/3)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] - d^(1/3)*g^(1/4)))]*Log[Sqrt[-Sqrt[-f]] + g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*Log[-((g^(1/4)*((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] - (-1)^(2/3)*d^(1/3)*g^(1/4)))]*Log[Sqrt[-Sqrt[-f]] + g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*Log[((-1)^(1/3)*g^(1/4)*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] + (-1)^(1/3)*d^(1/3)*g^(1/4))]*Log[Sqrt[-Sqrt[-f]] + g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*Log[-((g^(1/4)*(d^(1/3) + e^(1/3)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*(-f)^(1/4) - d^(1/3)*g^(1/4)))]*Log[(-f)^(1/4) + g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*Log[-((g^(1/4)*((-1)^(2/3)*d^(1/3) + e^(1/3)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*(-f)^(1/4) - (-1)^(2/3)*d^(1/3)*g^(1/4)))]*Log[(-f)^(1/4) + g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*Log[((-1)^(1/3)*g^(1/4)*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*(-f)^(1/4) + (-1)^(1/3)*d^(1/3)*g^(1/4))]*Log[(-f)^(1/4) + g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (Log[Sqrt[-Sqrt[-f]] - g^(1/4)*Sqrt[x]]*Log[c*(d + e*x^(3/2))^p])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (Log[(-f)^(1/4) - g^(1/4)*Sqrt[x]]*Log[c*(d + e*x^(3/2))^p])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (Log[Sqrt[-Sqrt[-f]] + g^(1/4)*Sqrt[x]]*Log[c*(d + e*x^(3/2))^p])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (Log[(-f)^(1/4) + g^(1/4)*Sqrt[x]]*Log[c*(d + e*x^(3/2))^p])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*PolyLog[2, (e^(1/3)*(Sqrt[-Sqrt[-f]] - g^(1/4)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] + d^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*PolyLog[2, (e^(1/3)*(Sqrt[-Sqrt[-f]] - g^(1/4)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] - (-1)^(1/3)*d^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*PolyLog[2, (e^(1/3)*(Sqrt[-Sqrt[-f]] - g^(1/4)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] + (-1)^(2/3)*d^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*PolyLog[2, (e^(1/3)*((-f)^(1/4) - g^(1/4)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*(-f)^(1/4) + d^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*PolyLog[2, (e^(1/3)*((-f)^(1/4) - g^(1/4)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*(-f)^(1/4) - (-1)^(1/3)*d^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*PolyLog[2, (e^(1/3)*((-f)^(1/4) - g^(1/4)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*(-f)^(1/4) + (-1)^(2/3)*d^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*PolyLog[2, (e^(1/3)*(Sqrt[-Sqrt[-f]] + g^(1/4)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] - d^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*PolyLog[2, (e^(1/3)*(Sqrt[-Sqrt[-f]] + g^(1/4)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] + (-1)^(1/3)*d^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*PolyLog[2, (e^(1/3)*(Sqrt[-Sqrt[-f]] + g^(1/4)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] - (-1)^(2/3)*d^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*PolyLog[2, (e^(1/3)*((-f)^(1/4) + g^(1/4)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*(-f)^(1/4) - d^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*PolyLog[2, (e^(1/3)*((-f)^(1/4) + g^(1/4)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*(-f)^(1/4) + (-1)^(1/3)*d^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*PolyLog[2, (e^(1/3)*((-f)^(1/4) + g^(1/4)*Sqrt[x]))/(e^(1/3)*(-f)^(1/4) - (-1)^(2/3)*d^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g])} *)
+{Log[c*(d + e*x^(1/2))^p]/(f + g*x^2), x, 19, -((Log[c*(d + e*Sqrt[x])^p]*Log[(e*(Sqrt[-Sqrt[-f]] - g^(1/4)*Sqrt[x]))/(e*Sqrt[-Sqrt[-f]] + d*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g])) + (Log[c*(d + e*Sqrt[x])^p]*Log[(e*((-f)^(1/4) - g^(1/4)*Sqrt[x]))/(e*(-f)^(1/4) + d*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (Log[c*(d + e*Sqrt[x])^p]*Log[(e*(Sqrt[-Sqrt[-f]] + g^(1/4)*Sqrt[x]))/(e*Sqrt[-Sqrt[-f]] - d*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (Log[c*(d + e*Sqrt[x])^p]*Log[(e*((-f)^(1/4) + g^(1/4)*Sqrt[x]))/(e*(-f)^(1/4) - d*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*PolyLog[2, -((g^(1/4)*(d + e*Sqrt[x]))/(e*Sqrt[-Sqrt[-f]] - d*g^(1/4)))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*PolyLog[2, -((g^(1/4)*(d + e*Sqrt[x]))/(e*(-f)^(1/4) - d*g^(1/4)))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*PolyLog[2, (g^(1/4)*(d + e*Sqrt[x]))/(e*Sqrt[-Sqrt[-f]] + d*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*PolyLog[2, (g^(1/4)*(d + e*Sqrt[x]))/(e*(-f)^(1/4) + d*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g])}
+{Log[c*(d + e/x^(1/2))^p]/(f + g*x^2), x, 20, -((Log[c*(d + e/Sqrt[x])^p]*Log[(e*(g^(1/4) - Sqrt[-Sqrt[-f]]/Sqrt[x]))/(d*Sqrt[-Sqrt[-f]] + e*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g])) - (Log[c*(d + e/Sqrt[x])^p]*Log[-((e*(g^(1/4) + Sqrt[-Sqrt[-f]]/Sqrt[x]))/(d*Sqrt[-Sqrt[-f]] - e*g^(1/4)))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (Log[c*(d + e/Sqrt[x])^p]*Log[(e*(g^(1/4) - (-f)^(1/4)/Sqrt[x]))/(d*(-f)^(1/4) + e*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (Log[c*(d + e/Sqrt[x])^p]*Log[-((e*(g^(1/4) + (-f)^(1/4)/Sqrt[x]))/(d*(-f)^(1/4) - e*g^(1/4)))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*PolyLog[2, (Sqrt[-Sqrt[-f]]*(d + e/Sqrt[x]))/(d*Sqrt[-Sqrt[-f]] - e*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*PolyLog[2, ((-f)^(1/4)*(d + e/Sqrt[x]))/(d*(-f)^(1/4) - e*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*PolyLog[2, (Sqrt[-Sqrt[-f]]*(d + e/Sqrt[x]))/(d*Sqrt[-Sqrt[-f]] + e*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*PolyLog[2, ((-f)^(1/4)*(d + e/Sqrt[x]))/(d*(-f)^(1/4) + e*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g])}
+(* {Log[c*(d + e/x^(3/2))^p]/(f + g*x^2), x, 0, -((Log[c*(d + e/x^(3/2))^p]*Log[Sqrt[-Sqrt[-f]] - g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g])) + (p*Log[-((g^(1/4)*((-1)^(1/3)*e^(1/3) - d^(1/3)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*g^(1/4)))]*Log[Sqrt[-Sqrt[-f]] - g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*Log[(g^(1/4)*(e^(1/3) + d^(1/3)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] + e^(1/3)*g^(1/4))]*Log[Sqrt[-Sqrt[-f]] - g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*Log[(g^(1/4)*((-1)^(2/3)*e^(1/3) + d^(1/3)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*g^(1/4))]*Log[Sqrt[-Sqrt[-f]] - g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (Log[c*(d + e/x^(3/2))^p]*Log[(-f)^(1/4) - g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*Log[-((g^(1/4)*((-1)^(1/3)*e^(1/3) - d^(1/3)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*(-f)^(1/4) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*g^(1/4)))]*Log[(-f)^(1/4) - g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*Log[(g^(1/4)*(e^(1/3) + d^(1/3)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*(-f)^(1/4) + e^(1/3)*g^(1/4))]*Log[(-f)^(1/4) - g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*Log[(g^(1/4)*((-1)^(2/3)*e^(1/3) + d^(1/3)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*(-f)^(1/4) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*g^(1/4))]*Log[(-f)^(1/4) - g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (Log[c*(d + e/x^(3/2))^p]*Log[Sqrt[-Sqrt[-f]] + g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*Log[-((g^(1/4)*(e^(1/3) + d^(1/3)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] - e^(1/3)*g^(1/4)))]*Log[Sqrt[-Sqrt[-f]] + g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*Log[-((g^(1/4)*((-1)^(2/3)*e^(1/3) + d^(1/3)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] - (-1)^(2/3)*e^(1/3)*g^(1/4)))]*Log[Sqrt[-Sqrt[-f]] + g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*Log[((-1)^(1/3)*g^(1/4)*(e^(1/3) + (-1)^(2/3)*d^(1/3)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] + (-1)^(1/3)*e^(1/3)*g^(1/4))]*Log[Sqrt[-Sqrt[-f]] + g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (Log[c*(d + e/x^(3/2))^p]*Log[(-f)^(1/4) + g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*Log[-((g^(1/4)*(e^(1/3) + d^(1/3)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*(-f)^(1/4) - e^(1/3)*g^(1/4)))]*Log[(-f)^(1/4) + g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*Log[-((g^(1/4)*((-1)^(2/3)*e^(1/3) + d^(1/3)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*(-f)^(1/4) - (-1)^(2/3)*e^(1/3)*g^(1/4)))]*Log[(-f)^(1/4) + g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*Log[((-1)^(1/3)*g^(1/4)*(e^(1/3) + (-1)^(2/3)*d^(1/3)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*(-f)^(1/4) + (-1)^(1/3)*e^(1/3)*g^(1/4))]*Log[(-f)^(1/4) + g^(1/4)*Sqrt[x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (3*p*Log[Sqrt[-Sqrt[-f]] + g^(1/4)*Sqrt[x]]*Log[-((g^(1/4)*Sqrt[x])/Sqrt[-Sqrt[-f]])])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (3*p*Log[Sqrt[-Sqrt[-f]] - g^(1/4)*Sqrt[x]]*Log[(g^(1/4)*Sqrt[x])/Sqrt[-Sqrt[-f]]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (3*p*Log[(-f)^(1/4) + g^(1/4)*Sqrt[x]]*Log[-((g^(1/4)*Sqrt[x])/(-f)^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (3*p*Log[(-f)^(1/4) - g^(1/4)*Sqrt[x]]*Log[(g^(1/4)*Sqrt[x])/(-f)^(1/4)])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (3*p*PolyLog[2, (Sqrt[-Sqrt[-f]] - g^(1/4)*Sqrt[x])/Sqrt[-Sqrt[-f]]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*PolyLog[2, (d^(1/3)*(Sqrt[-Sqrt[-f]] - g^(1/4)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] + e^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*PolyLog[2, (d^(1/3)*(Sqrt[-Sqrt[-f]] - g^(1/4)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*PolyLog[2, (d^(1/3)*(Sqrt[-Sqrt[-f]] - g^(1/4)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (3*p*PolyLog[2, ((-f)^(1/4) - g^(1/4)*Sqrt[x])/(-f)^(1/4)])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*PolyLog[2, (d^(1/3)*((-f)^(1/4) - g^(1/4)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*(-f)^(1/4) + e^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*PolyLog[2, (d^(1/3)*((-f)^(1/4) - g^(1/4)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*(-f)^(1/4) - (-1)^(1/3)*e^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*PolyLog[2, (d^(1/3)*((-f)^(1/4) - g^(1/4)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*(-f)^(1/4) + (-1)^(2/3)*e^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (3*p*PolyLog[2, (Sqrt[-Sqrt[-f]] + g^(1/4)*Sqrt[x])/Sqrt[-Sqrt[-f]]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*PolyLog[2, (d^(1/3)*(Sqrt[-Sqrt[-f]] + g^(1/4)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] - e^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*PolyLog[2, (d^(1/3)*(Sqrt[-Sqrt[-f]] + g^(1/4)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] + (-1)^(1/3)*e^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (p*PolyLog[2, (d^(1/3)*(Sqrt[-Sqrt[-f]] + g^(1/4)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*Sqrt[-Sqrt[-f]] - (-1)^(2/3)*e^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (3*p*PolyLog[2, ((-f)^(1/4) + g^(1/4)*Sqrt[x])/(-f)^(1/4)])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*PolyLog[2, (d^(1/3)*((-f)^(1/4) + g^(1/4)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*(-f)^(1/4) - e^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*PolyLog[2, (d^(1/3)*((-f)^(1/4) + g^(1/4)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*(-f)^(1/4) + (-1)^(1/3)*e^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (p*PolyLog[2, (d^(1/3)*((-f)^(1/4) + g^(1/4)*Sqrt[x]))/(d^(1/3)*(-f)^(1/4) - (-1)^(2/3)*e^(1/3)*g^(1/4))])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g])} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x^2)^q Log[c (d+e x^2)^n]^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(f + g*x^2)^3*Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 17, -2*f^3*p*x + (2*d*f^2*g*p*x)/e - (6*d^2*f*g^2*p*x)/(5*e^2) + (2*d^3*g^3*p*x)/(7*e^3) - (2/3)*f^2*g*p*x^3 + (2*d*f*g^2*p*x^3)/(5*e) - (2*d^2*g^3*p*x^3)/(21*e^2) - (6/25)*f*g^2*p*x^5 + (2*d*g^3*p*x^5)/(35*e) - (2/49)*g^3*p*x^7 + (2*Sqrt[d]*f^3*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] - (2*d^(3/2)*f^2*g*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/e^(3/2) + (6*d^(5/2)*f*g^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(5*e^(5/2)) - (2*d^(7/2)*g^3*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(7*e^(7/2)) + f^3*x*Log[c*(d + e*x^2)^p] + f^2*g*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (3/5)*f*g^2*x^5*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (1/7)*g^3*x^7*Log[c*(d + e*x^2)^p]}
+{(f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 13, -2*f^2*p*x + (4*d*f*g*p*x)/(3*e) - (2*d^2*g^2*p*x)/(5*e^2) - (4/9)*f*g*p*x^3 + (2*d*g^2*p*x^3)/(15*e) - (2/25)*g^2*p*x^5 + (2*Sqrt[d]*f^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] - (4*d^(3/2)*f*g*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(3*e^(3/2)) + (2*d^(5/2)*g^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(5*e^(5/2)) + f^2*x*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (2/3)*f*g*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (1/5)*g^2*x^5*Log[c*(d + e*x^2)^p]}
+{(f + g*x^2)^1*Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 9, -2*f*p*x + (2*d*g*p*x)/(3*e) - (2/9)*g*p*x^3 + (2*Sqrt[d]*f*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] - (2*d^(3/2)*g*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(3*e^(3/2)) + f*x*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (1/3)*g*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p]}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]/(f + g*x^2)^1, x, 12, (2*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[-((2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (I*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (I*p*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (I*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g])}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]/(f + g*x^2)^2, x, 26, (Sqrt[d]*Sqrt[e]*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(f*(e*f - d*g)) - (e*p*Log[Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]*(e*f - d*g)) + (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(f^(3/2)*Sqrt[g]) - (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[-((2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)))])/(2*f^(3/2)*Sqrt[g]) - (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*f^(3/2)*Sqrt[g]) + (e*p*Log[Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]*(e*f - d*g)) - Log[c*(d + e*x^2)^p]/(4*f*Sqrt[g]*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x)) + Log[c*(d + e*x^2)^p]/(4*f*Sqrt[g]*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x)) + (ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*f^(3/2)*Sqrt[g]) - (I*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(2*f^(3/2)*Sqrt[g]) + (I*p*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(4*f^(3/2)*Sqrt[g]) + (I*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(4*f^(3/2)*Sqrt[g])}
+
+
+{(f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2, x, 50, 8*f^2*p^2*x - (64*d*f*g*p^2*x)/(9*e) + (184*d^2*g^2*p^2*x)/(75*e^2) + (16/27)*f*g*p^2*x^3 - (64*d*g^2*p^2*x^3)/(225*e) + (8/125)*g^2*p^2*x^5 - (8*Sqrt[d]*f^2*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] + (64*d^(3/2)*f*g*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(9*e^(3/2)) - (184*d^(5/2)*g^2*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(75*e^(5/2)) + (4*I*Sqrt[d]*f^2*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/Sqrt[e] - (8*I*d^(3/2)*f*g*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(3*e^(3/2)) + (4*I*d^(5/2)*g^2*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(5*e^(5/2)) + (8*Sqrt[d]*f^2*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/Sqrt[e] - (16*d^(3/2)*f*g*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/(3*e^(3/2)) + (8*d^(5/2)*g^2*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/(5*e^(5/2)) - 4*f^2*p*x*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (8*d*f*g*p*x*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*e) - (4*d^2*g^2*p*x*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(5*e^2) - (8/9)*f*g*p*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (4*d*g^2*p*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(15*e) - (4/25)*g^2*p*x^5*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (4*Sqrt[d]*f^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/Sqrt[e] - (8*d^(3/2)*f*g*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*e^(3/2)) + (4*d^(5/2)*g^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(5*e^(5/2)) + f^2*x*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2 + (2/3)*f*g*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2 + (1/5)*g^2*x^5*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2 + (4*I*Sqrt[d]*f^2*p^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/Sqrt[e] - (8*I*d^(3/2)*f*g*p^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/(3*e^(3/2)) + (4*I*d^(5/2)*g^2*p^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/(5*e^(5/2))}
+{(f + g*x^2)^1*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2, x, 30, 8*f*p^2*x - (32*d*g*p^2*x)/(9*e) + (8/27)*g*p^2*x^3 - (8*Sqrt[d]*f*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] + (32*d^(3/2)*g*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(9*e^(3/2)) + (4*I*Sqrt[d]*f*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/Sqrt[e] - (4*I*d^(3/2)*g*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(3*e^(3/2)) + (8*Sqrt[d]*f*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/Sqrt[e] - (8*d^(3/2)*g*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/(3*e^(3/2)) - 4*f*p*x*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (4*d*g*p*x*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*e) - (4/9)*g*p*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (4*Sqrt[d]*f*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/Sqrt[e] - (4*d^(3/2)*g*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*e^(3/2)) + f*x*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2 + (1/3)*g*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2 + (4*I*Sqrt[d]*f*p^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/Sqrt[e] - (4*I*d^(3/2)*g*p^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/(3*e^(3/2))}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]^2/(f + g*x^2)^1, x, 0, Unintegrable[Log[c*(d + e*x^2)^p]^2/(f + g*x^2), x]}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]^2/(f + g*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[Log[c*(d + e*x^2)^p]^2/(f + g*x^2)^2, x]}
+
+
+{(f + g*x^2)^1*Log[c*(d + e*x^2)^p]^3, x, 48, -48*f*p^3*x + (208*d*g*p^3*x)/(9*e) - (16/27)*g*p^3*x^3 + (48*Sqrt[d]*f*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] - (208*d^(3/2)*g*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(9*e^(3/2)) - (24*I*Sqrt[d]*f*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/Sqrt[e] + (32*I*d^(3/2)*g*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(3*e^(3/2)) - (48*Sqrt[d]*f*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/Sqrt[e] + (64*d^(3/2)*g*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/(3*e^(3/2)) + 24*f*p^2*x*Log[c*(d + e*x^2)^p] - (32*d*g*p^2*x*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*e) + (8/9)*g*p^2*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p] - (24*Sqrt[d]*f*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/Sqrt[e] + (32*d^(3/2)*g*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*e^(3/2)) - 6*f*p*x*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2 + (2*d*g*p*x*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2)/e - (2/3)*g*p*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2 + f*x*Log[c*(d + e*x^2)^p]^3 + (1/3)*g*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p]^3 - (24*I*Sqrt[d]*f*p^3*PolyLog[2, -((Sqrt[d] - I*Sqrt[e]*x)/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x))])/Sqrt[e] + (32*I*d^(3/2)*g*p^3*PolyLog[2, -((Sqrt[d] - I*Sqrt[e]*x)/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x))])/(3*e^(3/2)) - (2*d*(-3*e*f + d*g)*p*Unintegrable[Log[c*(d + e*x^2)^p]^2/(d + e*x^2), x])/e, -48*f*p^3*x + (208*d*g*p^3*x)/(9*e) - (16/27)*g*p^3*x^3 + (48*Sqrt[d]*f*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] - (208*d^(3/2)*g*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(9*e^(3/2)) - (24*I*Sqrt[d]*f*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/Sqrt[e] + (32*I*d^(3/2)*g*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(3*e^(3/2)) - (48*Sqrt[d]*f*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/Sqrt[e] + (64*d^(3/2)*g*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/(3*e^(3/2)) + 24*f*p^2*x*Log[c*(d + e*x^2)^p] - (32*d*g*p^2*x*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*e) + (8/9)*g*p^2*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p] - (24*Sqrt[d]*f*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/Sqrt[e] + (32*d^(3/2)*g*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*e^(3/2)) - 6*f*p*x*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2 + (2*d*g*p*x*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2)/e - (2/3)*g*p*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2 + f*x*Log[c*(d + e*x^2)^p]^3 + (1/3)*g*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p]^3 - (24*I*Sqrt[d]*f*p^3*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/Sqrt[e] + (32*I*d^(3/2)*g*p^3*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/(3*e^(3/2)) + 6*d*f*p*Unintegrable[Log[c*(d + e*x^2)^p]^2/(d + e*x^2), x] - (2*d^2*g*p*Unintegrable[Log[c*(d + e*x^2)^p]^2/(d + e*x^2), x])/e}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]^3/(f + g*x^2)^1, x, 0, Unintegrable[Log[c*(d + e*x^2)^p]^3/(f + g*x^2), x]}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]^3/(f + g*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[Log[c*(d + e*x^2)^p]^3/(f + g*x^2)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(f + g*x^2)^2/Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 0, Unintegrable[(f + g*x^2)^2/Log[c*(d + e*x^2)^p], x]}
+{(f + g*x^2)^1/Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 0, Unintegrable[(f + g*x^2)/Log[c*(d + e*x^2)^p], x]}
+{1/((f + g*x^2)^1*Log[c*(d + e*x^2)^p]), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p]), x]}
+{1/((f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]), x]}
+
+
+{(f + g*x^2)^2/Log[c*(d + e*x^2)^p]^2, x, 0, Unintegrable[(f + g*x^2)^2/Log[c*(d + e*x^2)^p]^2, x]}
+{(f + g*x^2)^1/Log[c*(d + e*x^2)^p]^2, x, 0, Unintegrable[(f + g*x^2)/Log[c*(d + e*x^2)^p]^2, x]}
+{1/((f + g*x^2)^1*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2), x]}
+{1/((f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x^3)^q Log[c (d+e x^2)^n]^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(f + g*x^3)^3*Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 17, -2*f^3*p*x + (6*d^3*f*g^2*p*x)/(7*e^3) + (3*d*f^2*g*p*x^2)/(4*e) - (d^4*g^3*p*x^2)/(10*e^4) - (2*d^2*f*g^2*p*x^3)/(7*e^2) - (3/8)*f^2*g*p*x^4 + (d^3*g^3*p*x^4)/(20*e^3) + (6*d*f*g^2*p*x^5)/(35*e) - (d^2*g^3*p*x^6)/(30*e^2) - (6/49)*f*g^2*p*x^7 + (d*g^3*p*x^8)/(40*e) - (1/50)*g^3*p*x^10 + (2*Sqrt[d]*f^3*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] - (6*d^(7/2)*f*g^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(7*e^(7/2)) - (3*d^2*f^2*g*p*Log[d + e*x^2])/(4*e^2) + (d^5*g^3*p*Log[d + e*x^2])/(10*e^5) + f^3*x*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (3/4)*f^2*g*x^4*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (3/7)*f*g^2*x^7*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (1/10)*g^3*x^10*Log[c*(d + e*x^2)^p]}
+{(f + g*x^3)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 13, -2*f^2*p*x + (2*d^3*g^2*p*x)/(7*e^3) + (d*f*g*p*x^2)/(2*e) - (2*d^2*g^2*p*x^3)/(21*e^2) - (1/4)*f*g*p*x^4 + (2*d*g^2*p*x^5)/(35*e) - (2/49)*g^2*p*x^7 + (2*Sqrt[d]*f^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] - (2*d^(7/2)*g^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(7*e^(7/2)) - (d^2*f*g*p*Log[d + e*x^2])/(2*e^2) + f^2*x*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (1/2)*f*g*x^4*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (1/7)*g^2*x^7*Log[c*(d + e*x^2)^p]}
+{(f + g*x^3)^1*Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 9, -2*f*p*x + (d*g*p*x^2)/(4*e) - (1/8)*g*p*x^4 + (2*Sqrt[d]*f*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] - (d^2*g*p*Log[d + e*x^2])/(4*e^2) + f*x*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (1/4)*g*x^4*Log[c*(d + e*x^2)^p]}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]/(f + g*x^3)^1, x, 29, -((p*Log[(g^(1/3)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) + Sqrt[-d]*g^(1/3))]*Log[-f^(1/3) - g^(1/3)*x])/(3*f^(2/3)*g^(1/3))) - (p*Log[-((g^(1/3)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) - Sqrt[-d]*g^(1/3)))]*Log[-f^(1/3) - g^(1/3)*x])/(3*f^(2/3)*g^(1/3)) - ((-1)^(2/3)*p*Log[-(((-1)^(1/3)*g^(1/3)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) - (-1)^(1/3)*Sqrt[-d]*g^(1/3)))]*Log[-f^(1/3) + (-1)^(1/3)*g^(1/3)*x])/(3*f^(2/3)*g^(1/3)) - ((-1)^(2/3)*p*Log[((-1)^(1/3)*g^(1/3)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) + (-1)^(1/3)*Sqrt[-d]*g^(1/3))]*Log[-f^(1/3) + (-1)^(1/3)*g^(1/3)*x])/(3*f^(2/3)*g^(1/3)) + ((-1)^(1/3)*p*Log[((-1)^(2/3)*g^(1/3)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) + (-1)^(2/3)*Sqrt[-d]*g^(1/3))]*Log[-f^(1/3) - (-1)^(2/3)*g^(1/3)*x])/(3*f^(2/3)*g^(1/3)) + ((-1)^(1/3)*p*Log[-(((-1)^(2/3)*g^(1/3)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) - (-1)^(2/3)*Sqrt[-d]*g^(1/3)))]*Log[-f^(1/3) - (-1)^(2/3)*g^(1/3)*x])/(3*f^(2/3)*g^(1/3)) + (Log[-f^(1/3) - g^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*f^(2/3)*g^(1/3)) + ((-1)^(2/3)*Log[-f^(1/3) + (-1)^(1/3)*g^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*f^(2/3)*g^(1/3)) - ((-1)^(1/3)*Log[-f^(1/3) - (-1)^(2/3)*g^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*f^(2/3)*g^(1/3)) - (p*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(f^(1/3) + g^(1/3)*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) - Sqrt[-d]*g^(1/3))])/(3*f^(2/3)*g^(1/3)) - (p*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(f^(1/3) + g^(1/3)*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) + Sqrt[-d]*g^(1/3))])/(3*f^(2/3)*g^(1/3)) - ((-1)^(2/3)*p*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(f^(1/3) - (-1)^(1/3)*g^(1/3)*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) - (-1)^(1/3)*Sqrt[-d]*g^(1/3))])/(3*f^(2/3)*g^(1/3)) - ((-1)^(2/3)*p*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(f^(1/3) - (-1)^(1/3)*g^(1/3)*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) + (-1)^(1/3)*Sqrt[-d]*g^(1/3))])/(3*f^(2/3)*g^(1/3)) + ((-1)^(1/3)*p*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(f^(1/3) + (-1)^(2/3)*g^(1/3)*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) - (-1)^(2/3)*Sqrt[-d]*g^(1/3))])/(3*f^(2/3)*g^(1/3)) + ((-1)^(1/3)*p*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(f^(1/3) + (-1)^(2/3)*g^(1/3)*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) + (-1)^(2/3)*Sqrt[-d]*g^(1/3))])/(3*f^(2/3)*g^(1/3))}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]/(f + g*x^3)^2, x, 47, If[$VersionNumber>=8, (2*Sqrt[d]*Sqrt[e]*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(9*f^(4/3)*(e*f^(2/3) + d*g^(2/3))) + (2*(-1)^(2/3)*Sqrt[d]*Sqrt[e]*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/((1 + (-1)^(1/3))^4*f^(4/3)*(e*f^(2/3) + (-1)^(2/3)*d*g^(2/3))) + (4*Sqrt[d]*Sqrt[e]*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(9*f^(4/3)*(2*e*f^(2/3) - (1 + I*Sqrt[3])*d*g^(2/3))) - (2*e*p*Log[f^(1/3) + g^(1/3)*x])/(9*f*(e*f^(2/3) + d*g^(2/3))*g^(1/3)) - (2*p*Log[(g^(1/3)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) + Sqrt[-d]*g^(1/3))]*Log[f^(1/3) + g^(1/3)*x])/(9*f^(5/3)*g^(1/3)) - (2*p*Log[-((g^(1/3)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) - Sqrt[-d]*g^(1/3)))]*Log[f^(1/3) + g^(1/3)*x])/(9*f^(5/3)*g^(1/3)) + (2*(-1)^(1/3)*e*p*Log[f^(1/3) - (-1)^(1/3)*g^(1/3)*x])/((1 + (-1)^(1/3))^4*f*(e*f^(2/3) + (-1)^(2/3)*d*g^(2/3))*g^(1/3)) + (2*I*Sqrt[3]*p*Log[-(((-1)^(1/3)*g^(1/3)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) - (-1)^(1/3)*Sqrt[-d]*g^(1/3)))]*Log[-f^(1/3) + (-1)^(1/3)*g^(1/3)*x])/((1 + (-1)^(1/3))^5*f^(5/3)*g^(1/3)) + (2*I*Sqrt[3]*p*Log[((-1)^(1/3)*g^(1/3)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) + (-1)^(1/3)*Sqrt[-d]*g^(1/3))]*Log[-f^(1/3) + (-1)^(1/3)*g^(1/3)*x])/((1 + (-1)^(1/3))^5*f^(5/3)*g^(1/3)) + (4*(-1)^(1/3)*e*p*Log[f^(1/3) + (-1)^(2/3)*g^(1/3)*x])/(9*f*(2*e*f^(2/3) - (1 + I*Sqrt[3])*d*g^(2/3))*g^(1/3)) - (2*p*Log[((-1)^(2/3)*g^(1/3)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) + (-1)^(2/3)*Sqrt[-d]*g^(1/3))]*Log[f^(1/3) + (-1)^(2/3)*g^(1/3)*x])/((1 + (-1)^(1/3))^4*f^(5/3)*g^(1/3)) - (2*p*Log[-(((-1)^(2/3)*g^(1/3)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) - (-1)^(2/3)*Sqrt[-d]*g^(1/3)))]*Log[f^(1/3) + (-1)^(2/3)*g^(1/3)*x])/((1 + (-1)^(1/3))^4*f^(5/3)*g^(1/3)) + (e*p*Log[d + e*x^2])/(9*f*(e*f^(2/3) + d*g^(2/3))*g^(1/3)) - ((-1)^(1/3)*e*p*Log[d + e*x^2])/((1 + (-1)^(1/3))^4*f*(e*f^(2/3) + (-1)^(2/3)*d*g^(2/3))*g^(1/3)) - (2*(-1)^(1/3)*e*p*Log[d + e*x^2])/(9*f*(2*e*f^(2/3) - (1 + I*Sqrt[3])*d*g^(2/3))*g^(1/3)) - Log[c*(d + e*x^2)^p]/(9*f^(4/3)*g^(1/3)*(f^(1/3) + g^(1/3)*x)) - Log[c*(d + e*x^2)^p]/((1 + (-1)^(1/3))^4*f^(4/3)*g^(1/3)*((-1)^(2/3)*f^(1/3) + g^(1/3)*x)) + ((-1)^(1/3)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(9*f^(4/3)*g^(1/3)*(f^(1/3) + (-1)^(2/3)*g^(1/3)*x)) + (2*Log[f^(1/3) + g^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(9*f^(5/3)*g^(1/3)) - (2*I*Sqrt[3]*Log[-f^(1/3) + (-1)^(1/3)*g^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/((1 + (-1)^(1/3))^5*f^(5/3)*g^(1/3)) + (2*Log[f^(1/3) + (-1)^(2/3)*g^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/((1 + (-1)^(1/3))^4*f^(5/3)*g^(1/3)) - (2*p*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(f^(1/3) + g^(1/3)*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) - Sqrt[-d]*g^(1/3))])/(9*f^(5/3)*g^(1/3)) - (2*p*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(f^(1/3) + g^(1/3)*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) + Sqrt[-d]*g^(1/3))])/(9*f^(5/3)*g^(1/3)) + (2*I*Sqrt[3]*p*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(f^(1/3) - (-1)^(1/3)*g^(1/3)*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) - (-1)^(1/3)*Sqrt[-d]*g^(1/3))])/((1 + (-1)^(1/3))^5*f^(5/3)*g^(1/3)) + (2*I*Sqrt[3]*p*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(f^(1/3) - (-1)^(1/3)*g^(1/3)*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) + (-1)^(1/3)*Sqrt[-d]*g^(1/3))])/((1 + (-1)^(1/3))^5*f^(5/3)*g^(1/3)) - (2*p*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(f^(1/3) + (-1)^(2/3)*g^(1/3)*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) - (-1)^(2/3)*Sqrt[-d]*g^(1/3))])/((1 + (-1)^(1/3))^4*f^(5/3)*g^(1/3)) - (2*p*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(f^(1/3) + (-1)^(2/3)*g^(1/3)*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) + (-1)^(2/3)*Sqrt[-d]*g^(1/3))])/((1 + (-1)^(1/3))^4*f^(5/3)*g^(1/3)), (2*Sqrt[d]*Sqrt[e]*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(9*f^(4/3)*(e*f^(2/3) + d*g^(2/3))) + (2*(-1)^(2/3)*Sqrt[d]*Sqrt[e]*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/((1 + (-1)^(1/3))^4*f^(4/3)*(e*f^(2/3) + (-1)^(2/3)*d*g^(2/3))) + (4*Sqrt[d]*Sqrt[e]*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(9*f^(4/3)*(2*e*f^(2/3) - (1 + I*Sqrt[3])*d*g^(2/3))) - (2*e*p*Log[f^(1/3) + g^(1/3)*x])/(9*f*(e*f^(2/3) + d*g^(2/3))*g^(1/3)) - (2*p*Log[(g^(1/3)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) + Sqrt[-d]*g^(1/3))]*Log[f^(1/3) + g^(1/3)*x])/(9*f^(5/3)*g^(1/3)) - (2*p*Log[-((g^(1/3)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) - Sqrt[-d]*g^(1/3)))]*Log[f^(1/3) + g^(1/3)*x])/(9*f^(5/3)*g^(1/3)) + (2*(-1)^(1/3)*e*p*Log[f^(1/3) - (-1)^(1/3)*g^(1/3)*x])/((1 + (-1)^(1/3))^4*f*(e*f^(2/3) + (-1)^(2/3)*d*g^(2/3))*g^(1/3)) + (4*(-1)^(1/3)*e*p*Log[f^(1/3) + (-1)^(2/3)*g^(1/3)*x])/(9*f*(2*e*f^(2/3) - (1 + I*Sqrt[3])*d*g^(2/3))*g^(1/3)) + (4*p*Log[-(((I + Sqrt[3])*g^(1/3)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(2*I*Sqrt[e]*f^(1/3) - (I + Sqrt[3])*Sqrt[-d]*g^(1/3)))]*Log[2*f^(1/3) - (1 - I*Sqrt[3])*g^(1/3)*x])/(9*(1 - I*Sqrt[3])*f^(5/3)*g^(1/3)) + (4*p*Log[((I + Sqrt[3])*g^(1/3)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(2*I*Sqrt[e]*f^(1/3) + (I + Sqrt[3])*Sqrt[-d]*g^(1/3))]*Log[2*f^(1/3) - (1 - I*Sqrt[3])*g^(1/3)*x])/(9*(1 - I*Sqrt[3])*f^(5/3)*g^(1/3)) + (4*p*Log[-(((1 + I*Sqrt[3])*g^(1/3)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(2*Sqrt[e]*f^(1/3) - (1 + I*Sqrt[3])*Sqrt[-d]*g^(1/3)))]*Log[2*f^(1/3) - (1 + I*Sqrt[3])*g^(1/3)*x])/(9*(1 + I*Sqrt[3])*f^(5/3)*g^(1/3)) + (4*p*Log[((1 + I*Sqrt[3])*g^(1/3)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(2*Sqrt[e]*f^(1/3) + (1 + I*Sqrt[3])*Sqrt[-d]*g^(1/3))]*Log[2*f^(1/3) - (1 + I*Sqrt[3])*g^(1/3)*x])/(9*(1 + I*Sqrt[3])*f^(5/3)*g^(1/3)) + (e*p*Log[d + e*x^2])/(9*f*(e*f^(2/3) + d*g^(2/3))*g^(1/3)) - ((-1)^(1/3)*e*p*Log[d + e*x^2])/((1 + (-1)^(1/3))^4*f*(e*f^(2/3) + (-1)^(2/3)*d*g^(2/3))*g^(1/3)) - (2*(-1)^(1/3)*e*p*Log[d + e*x^2])/(9*f*(2*e*f^(2/3) - (1 + I*Sqrt[3])*d*g^(2/3))*g^(1/3)) - Log[c*(d + e*x^2)^p]/(9*f^(4/3)*g^(1/3)*(f^(1/3) + g^(1/3)*x)) - Log[c*(d + e*x^2)^p]/((1 + (-1)^(1/3))^4*f^(4/3)*g^(1/3)*((-1)^(2/3)*f^(1/3) + g^(1/3)*x)) + ((-1)^(1/3)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(9*f^(4/3)*g^(1/3)*(f^(1/3) + (-1)^(2/3)*g^(1/3)*x)) + (2*Log[f^(1/3) + g^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(9*f^(5/3)*g^(1/3)) - (4*Log[2*f^(1/3) - (1 - I*Sqrt[3])*g^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(9*(1 - I*Sqrt[3])*f^(5/3)*g^(1/3)) - (4*Log[2*f^(1/3) - (1 + I*Sqrt[3])*g^(1/3)*x]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(9*(1 + I*Sqrt[3])*f^(5/3)*g^(1/3)) - (2*p*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(f^(1/3) + g^(1/3)*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) - Sqrt[-d]*g^(1/3))])/(9*f^(5/3)*g^(1/3)) - (2*p*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(f^(1/3) + g^(1/3)*x))/(Sqrt[e]*f^(1/3) + Sqrt[-d]*g^(1/3))])/(9*f^(5/3)*g^(1/3)) + (4*p*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(2*f^(1/3) - (1 - I*Sqrt[3])*g^(1/3)*x))/(2*Sqrt[e]*f^(1/3) + (1 - I*Sqrt[3])*Sqrt[-d]*g^(1/3))])/(9*(1 - I*Sqrt[3])*f^(5/3)*g^(1/3)) + (4*p*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(2*f^(1/3) - (1 - I*Sqrt[3])*g^(1/3)*x))/(2*Sqrt[e]*f^(1/3) + I*(I + Sqrt[3])*Sqrt[-d]*g^(1/3))])/(9*(1 - I*Sqrt[3])*f^(5/3)*g^(1/3)) + (4*p*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(2*f^(1/3) - (1 + I*Sqrt[3])*g^(1/3)*x))/(2*Sqrt[e]*f^(1/3) - (1 + I*Sqrt[3])*Sqrt[-d]*g^(1/3))])/(9*(1 + I*Sqrt[3])*f^(5/3)*g^(1/3)) + (4*p*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(2*f^(1/3) - (1 + I*Sqrt[3])*g^(1/3)*x))/(2*Sqrt[e]*f^(1/3) + (1 + I*Sqrt[3])*Sqrt[-d]*g^(1/3))])/(9*(1 + I*Sqrt[3])*f^(5/3)*g^(1/3))]}
+
+
+{(f + g*x^3)^3*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2, x, 55, 8*f^3*p^2*x - (1408*d^3*f*g^2*p^2*x)/(245*e^3) - (3*d*f^2*g*p^2*x^2)/e + (d^4*g^3*p^2*x^2)/e^4 + (568*d^2*f*g^2*p^2*x^3)/(735*e^2) - (288*d*f*g^2*p^2*x^5)/(1225*e) + (24/343)*f*g^2*p^2*x^7 + (3*f^2*g*p^2*(d + e*x^2)^2)/(8*e^2) - (d^3*g^3*p^2*(d + e*x^2)^2)/(2*e^5) + (2*d^2*g^3*p^2*(d + e*x^2)^3)/(9*e^5) - (d*g^3*p^2*(d + e*x^2)^4)/(16*e^5) + (g^3*p^2*(d + e*x^2)^5)/(125*e^5) - (8*Sqrt[d]*f^3*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] + (1408*d^(7/2)*f*g^2*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(245*e^(7/2)) + (4*I*Sqrt[d]*f^3*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/Sqrt[e] - (12*I*d^(7/2)*f*g^2*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(7*e^(7/2)) + (8*Sqrt[d]*f^3*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/Sqrt[e] - (24*d^(7/2)*f*g^2*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/(7*e^(7/2)) - (d^5*g^3*p^2*Log[d + e*x^2]^2)/(10*e^5) - 4*f^3*p*x*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (12*d^3*f*g^2*p*x*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(7*e^3) - (4*d^2*f*g^2*p*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(7*e^2) + (12*d*f*g^2*p*x^5*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(35*e) - (12/49)*f*g^2*p*x^7*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (3*d*f^2*g*p*(d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/e^2 - (d^4*g^3*p*(d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/e^5 - (3*f^2*g*p*(d + e*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(4*e^2) + (d^3*g^3*p*(d + e*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/e^5 - (2*d^2*g^3*p*(d + e*x^2)^3*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*e^5) + (d*g^3*p*(d + e*x^2)^4*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(4*e^5) - (g^3*p*(d + e*x^2)^5*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(25*e^5) + (4*Sqrt[d]*f^3*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/Sqrt[e] - (12*d^(7/2)*f*g^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(7*e^(7/2)) + (d^5*g^3*p*Log[d + e*x^2]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(5*e^5) + f^3*x*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2 + (3/7)*f*g^2*x^7*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2 + (1/10)*g^3*x^10*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2 - (3*d*f^2*g*(d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2)/(2*e^2) + (3*f^2*g*(d + e*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2)/(4*e^2) + (4*I*Sqrt[d]*f^3*p^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/Sqrt[e] - (12*I*d^(7/2)*f*g^2*p^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/(7*e^(7/2))}
+{(f + g*x^3)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2, x, 47, 8*f^2*p^2*x - (1408*d^3*g^2*p^2*x)/(735*e^3) - (2*d*f*g*p^2*x^2)/e + (568*d^2*g^2*p^2*x^3)/(2205*e^2) - (96*d*g^2*p^2*x^5)/(1225*e) + (8/343)*g^2*p^2*x^7 + (f*g*p^2*(d + e*x^2)^2)/(4*e^2) - (8*Sqrt[d]*f^2*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] + (1408*d^(7/2)*g^2*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(735*e^(7/2)) + (4*I*Sqrt[d]*f^2*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/Sqrt[e] - (4*I*d^(7/2)*g^2*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(7*e^(7/2)) + (8*Sqrt[d]*f^2*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/Sqrt[e] - (8*d^(7/2)*g^2*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/(7*e^(7/2)) - 4*f^2*p*x*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (4*d^3*g^2*p*x*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(7*e^3) - (4*d^2*g^2*p*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(21*e^2) + (4*d*g^2*p*x^5*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(35*e) - (4/49)*g^2*p*x^7*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (2*d*f*g*p*(d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/e^2 - (f*g*p*(d + e*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*e^2) + (4*Sqrt[d]*f^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/Sqrt[e] - (4*d^(7/2)*g^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(7*e^(7/2)) + f^2*x*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2 + (1/7)*g^2*x^7*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2 - (d*f*g*(d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2)/e^2 + (f*g*(d + e*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2)/(2*e^2) + (4*I*Sqrt[d]*f^2*p^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/Sqrt[e] - (4*I*d^(7/2)*g^2*p^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/(7*e^(7/2))}
+{(f + g*x^3)^1*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2, x, 23, 8*f*p^2*x - (d*g*p^2*x^2)/e + (g*p^2*(d + e*x^2)^2)/(8*e^2) - (8*Sqrt[d]*f*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] + (4*I*Sqrt[d]*f*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/Sqrt[e] + (8*Sqrt[d]*f*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/Sqrt[e] - 4*f*p*x*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (d*g*p*(d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/e^2 - (g*p*(d + e*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(4*e^2) + (4*Sqrt[d]*f*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/Sqrt[e] + f*x*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2 - (d*g*(d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2)/(2*e^2) + (g*(d + e*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2)/(4*e^2) + (4*I*Sqrt[d]*f*p^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/Sqrt[e]}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]^2/(f + g*x^3)^1, x, 0, Unintegrable[Log[c*(d + e*x^2)^p]^2/(f + g*x^3), x]}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]^2/(f + g*x^3)^2, x, 0, Unintegrable[Log[c*(d + e*x^2)^p]^2/(f + g*x^3)^2, x]}
+
+
+{(f + g*x^3)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]^3, x, 103, -48*f^2*p^3*x + (351136*d^3*g^2*p^3*x)/(25725*e^3) + (6*d*f*g*p^3*x^2)/e - (55456*d^2*g^2*p^3*x^3)/(77175*e^2) + (5232*d*g^2*p^3*x^5)/(42875*e) - (48*g^2*p^3*x^7)/2401 - (3*f*g*p^3*(d + e*x^2)^2)/(8*e^2) + (48*Sqrt[d]*f^2*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] - (351136*d^(7/2)*g^2*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(25725*e^(7/2)) - (24*I*Sqrt[d]*f^2*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/Sqrt[e] + (1408*I*d^(7/2)*g^2*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(245*e^(7/2)) - (48*Sqrt[d]*f^2*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/Sqrt[e] + (2816*d^(7/2)*g^2*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/(245*e^(7/2)) + 24*f^2*p^2*x*Log[c*(d + e*x^2)^p] - (1408*d^3*g^2*p^2*x*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(245*e^3) + (568*d^2*g^2*p^2*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(735*e^2) - (288*d*g^2*p^2*x^5*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(1225*e) + (24/343)*g^2*p^2*x^7*Log[c*(d + e*x^2)^p] - (6*d*f*g*p^2*(d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/e^2 + (3*f*g*p^2*(d + e*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(4*e^2) - (24*Sqrt[d]*f^2*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/Sqrt[e] + (1408*d^(7/2)*g^2*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(245*e^(7/2)) - 6*f^2*p*x*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2 + (6*d^3*g^2*p*x*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2)/(7*e^3) - (2*d^2*g^2*p*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2)/(7*e^2) + (6*d*g^2*p*x^5*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2)/(35*e) - (6/49)*g^2*p*x^7*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2 + (3*d*f*g*p*(d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2)/e^2 - (3*f*g*p*(d + e*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2)/(4*e^2) + f^2*x*Log[c*(d + e*x^2)^p]^3 + (1/7)*g^2*x^7*Log[c*(d + e*x^2)^p]^3 - (d*f*g*(d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p]^3)/e^2 + (f*g*(d + e*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]^3)/(2*e^2) - (24*I*Sqrt[d]*f^2*p^3*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/Sqrt[e] + (1408*I*d^(7/2)*g^2*p^3*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/(245*e^(7/2)) + 6*d*f^2*p*Unintegrable[Log[c*(d + e*x^2)^p]^2/(d + e*x^2), x] - (6*d^4*g^2*p*Unintegrable[Log[c*(d + e*x^2)^p]^2/(d + e*x^2), x])/(7*e^3)}
+{(f + g*x^3)^1*Log[c*(d + e*x^2)^p]^3, x, 28, -48*f*p^3*x + (3*d*g*p^3*x^2)/e - (3*g*p^3*(d + e*x^2)^2)/(16*e^2) + (48*Sqrt[d]*f*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] - (24*I*Sqrt[d]*f*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/Sqrt[e] - (48*Sqrt[d]*f*p^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/Sqrt[e] + 24*f*p^2*x*Log[c*(d + e*x^2)^p] - (3*d*g*p^2*(d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/e^2 + (3*g*p^2*(d + e*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(8*e^2) - (24*Sqrt[d]*f*p^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/Sqrt[e] - 6*f*p*x*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2 + (3*d*g*p*(d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2)/(2*e^2) - (3*g*p*(d + e*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2)/(8*e^2) + f*x*Log[c*(d + e*x^2)^p]^3 - (d*g*(d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p]^3)/(2*e^2) + (g*(d + e*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]^3)/(4*e^2) - (24*I*Sqrt[d]*f*p^3*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x)])/Sqrt[e] + 6*d*f*p*Unintegrable[Log[c*(d + e*x^2)^p]^2/(d + e*x^2), x]}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]^3/(f + g*x^3)^1, x, 0, Unintegrable[Log[c*(d + e*x^2)^p]^3/(f + g*x^3), x]}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]^3/(f + g*x^3)^2, x, 0, Unintegrable[Log[c*(d + e*x^2)^p]^3/(f + g*x^3)^2, x]}
+
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(f + g*x^3)^2/Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 0, Unintegrable[(f + g*x^3)^2/Log[c*(d + e*x^2)^p], x]}
+{(f + g*x^3)^1/Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 0, Unintegrable[(f + g*x^3)/Log[c*(d + e*x^2)^p], x]}
+{1/((f + g*x^3)^1*Log[c*(d + e*x^2)^p]), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x^3)*Log[c*(d + e*x^2)^p]), x]}
+{1/((f + g*x^3)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x^3)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]), x]}
+
+
+{(f + g*x^3)^2/Log[c*(d + e*x^2)^p]^2, x, 0, Unintegrable[(f + g*x^3)^2/Log[c*(d + e*x^2)^p]^2, x]}
+{(f + g*x^3)^1/Log[c*(d + e*x^2)^p]^2, x, 0, Unintegrable[(f + g*x^3)/Log[c*(d + e*x^2)^p]^2, x]}
+{1/((f + g*x^3)^1*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x^3)*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2), x]}
+{1/((f + g*x^3)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2), x, 0, Unintegrable[1/((f + g*x^3)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (h x)^r (f+g x^s)^q Log[c (d+e x^m)^n]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^r (f+g x^2)^q Log[c (d+e x^2)^n]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{x^5*(f + g*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 5, -((d^2*(4*e*f - 3*d*g)*p*x^2)/(24*e^3)) + (d*(4*e*f - 3*d*g)*p*x^4)/(48*e^2) - ((4*e*f - 3*d*g)*p*x^6)/(72*e) - (1/32)*g*p*x^8 + (d^3*(4*e*f - 3*d*g)*p*Log[d + e*x^2])/(24*e^4) + (1/6)*f*x^6*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (1/8)*g*x^8*Log[c*(d + e*x^2)^p]}
+{x^3*(f + g*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 5, (d*(3*e*f - 2*d*g)*p*x^2)/(12*e^2) - ((3*e*f - 2*d*g)*p*x^4)/(24*e) - (1/18)*g*p*x^6 - (d^2*(3*e*f - 2*d*g)*p*Log[d + e*x^2])/(12*e^3) + (1/4)*f*x^4*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (1/6)*g*x^6*Log[c*(d + e*x^2)^p]}
+{x^1*(f + g*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 4, -((e*f - d*g)*p*x^2)/(4*e) - (p*(f + g*x^2)^2)/(8*g) - ((e*f - d*g)^2*p*Log[d + e*x^2])/(4*e^2*g) + ((f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(4*g)}
+{((f + g*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/x^1, x, 7, (-(1/2))*g*p*x^2 + (g*(d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*e) + (1/2)*f*Log[-((e*x^2)/d)]*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (1/2)*f*p*PolyLog[2, 1 + (e*x^2)/d]}
+{((f + g*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/x^3, x, 9, (e*f*p*Log[x])/d - (e*f*p*Log[d + e*x^2])/(2*d) - (f*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*x^2) + (1/2)*g*Log[-((e*x^2)/d)]*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (1/2)*g*p*PolyLog[2, 1 + (e*x^2)/d]}
+{((f + g*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/x^5, x, 5, -((e*f*p)/(4*d*x^2)) - (e*(e*f - 2*d*g)*p*Log[x])/(2*d^2) + ((e*f - d*g)^2*p*Log[d + e*x^2])/(4*d^2*f) - ((f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(4*f*x^4)}
+{((f + g*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/x^7, x, 5, -((e*f*p)/(12*d*x^4)) + (e*(2*e*f - 3*d*g)*p)/(12*d^2*x^2) + (e^2*(2*e*f - 3*d*g)*p*Log[x])/(6*d^3) - (e^2*(2*e*f - 3*d*g)*p*Log[d + e*x^2])/(12*d^3) - (f*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(6*x^6) - (g*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(4*x^4)}
+{((f + g*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/x^9, x, 5, -((e*f*p)/(24*d*x^6)) + (e*(3*e*f - 4*d*g)*p)/(48*d^2*x^4) - (e^2*(3*e*f - 4*d*g)*p)/(24*d^3*x^2) - (e^3*(3*e*f - 4*d*g)*p*Log[x])/(12*d^4) + (e^3*(3*e*f - 4*d*g)*p*Log[d + e*x^2])/(24*d^4) - (f*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(8*x^8) - (g*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(6*x^6)}
+
+{x^2*(f + g*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 10, (2*d*f*p*x)/(3*e) - (2*d^2*g*p*x)/(5*e^2) - (2*f*p*x^3)/9 + (2*d*g*p*x^3)/(15*e) - (2*g*p*x^5)/25 - (2*d^(3/2)*f*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(3*e^(3/2)) + (2*d^(5/2)*g*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(5*e^(5/2)) + (f*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p])/3 + (g*x^5*Log[c*(d + e*x^2)^p])/5}
+{x^0*(f + g*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 9, -2*f*p*x + (2*d*g*p*x)/(3*e) - (2*g*p*x^3)/9 + (2*Sqrt[d]*f*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] - (2*d^(3/2)*g*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(3*e^(3/2)) + f*x*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (g*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p])/3}
+{(f + g*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p]/x^2, x, 7, -2*g*p*x + (2*(e*f + d*g)*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(Sqrt[d]*Sqrt[e]) - (f*Log[c*(d + e*x^2)^p])/x + g*x*Log[c*(d + e*x^2)^p], -2*g*p*x + (2*Sqrt[e]*f*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[d] + (2*Sqrt[d]*g*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] - (f*Log[c*(d + e*x^2)^p])/x + g*x*Log[c*(d + e*x^2)^p]}
+{(f + g*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p]/x^4, x, 7, (-2*e*f*p)/(3*d*x) - (2*e^(3/2)*f*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(3*d^(3/2)) + (2*Sqrt[e]*g*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[d] - (f*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*x^3) - (g*Log[c*(d + e*x^2)^p])/x}
+{(f + g*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p]/x^6, x, 9, -((2*e*f*p)/(15*d*x^3)) + (2*e^2*f*p)/(5*d^2*x) - (2*e*g*p)/(3*d*x) + (2*e^(5/2)*f*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(5*d^(5/2)) - (2*e^(3/2)*g*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(3*d^(3/2)) - (f*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(5*x^5) - (g*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*x^3)}
+
+
+{x^5*(f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 5, -((d^2*(e*f - d*g)^2*p*x^2)/(2*e^4)) + (d*(e*f - 2*d*g)*(e*f - d*g)*p*(d + e*x^2)^2)/(4*e^5) - ((e^2*f^2 - 6*d*e*f*g + 6*d^2*g^2)*p*(d + e*x^2)^3)/(18*e^5) - (g*(e*f - 2*d*g)*p*(d + e*x^2)^4)/(16*e^5) - (g^2*p*(d + e*x^2)^5)/(50*e^5) + (d^3*(10*e^2*f^2 - 15*d*e*f*g + 6*d^2*g^2)*p*Log[d + e*x^2])/(60*e^5) + (1/6)*f^2*x^6*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (1/4)*f*g*x^8*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (1/10)*g^2*x^10*Log[c*(d + e*x^2)^p]}
+{x^3*(f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 5, (d*(e*f - d*g)^2*p*x^2)/(2*e^3) - ((e*f - 3*d*g)*(e*f - d*g)*p*(d + e*x^2)^2)/(8*e^4) - (g*(2*e*f - 3*d*g)*p*(d + e*x^2)^3)/(18*e^4) - (g^2*p*(d + e*x^2)^4)/(32*e^4) - (d^2*(6*e^2*f^2 - 8*d*e*f*g + 3*d^2*g^2)*p*Log[d + e*x^2])/(24*e^4) + (1/4)*f^2*x^4*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (1/3)*f*g*x^6*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (1/8)*g^2*x^8*Log[c*(d + e*x^2)^p]}
+{x^1*(f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 4, -((e*f - d*g)^2*p*x^2)/(6*e^2) - ((e*f - d*g)*p*(f + g*x^2)^2)/(12*e*g) - (p*(f + g*x^2)^3)/(18*g) - ((e*f - d*g)^3*p*Log[d + e*x^2])/(6*e^3*g) + ((f + g*x^2)^3*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(6*g)}
+{((f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/x^1, x, 10, (-f)*g*p*x^2 + (d*g^2*p*x^2)/(4*e) - (1/8)*g^2*p*x^4 - (d^2*g^2*p*Log[d + e*x^2])/(4*e^2) + (1/4)*g^2*x^4*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (f*g*(d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/e + (1/2)*f^2*Log[-((e*x^2)/d)]*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (1/2)*f^2*p*PolyLog[2, 1 + (e*x^2)/d]}
+{((f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/x^3, x, 11, (-(1/2))*g^2*p*x^2 + (e*f^2*p*Log[x])/d - (e*f^2*p*Log[d + e*x^2])/(2*d) - (f^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*x^2) + (g^2*(d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*e) + f*g*Log[-((e*x^2)/d)]*Log[c*(d + e*x^2)^p] + f*g*p*PolyLog[2, 1 + (e*x^2)/d]}
+{((f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/x^5, x, 12, -((e*f^2*p)/(4*d*x^2)) - (e^2*f^2*p*Log[x])/(2*d^2) + (2*e*f*g*p*Log[x])/d + (e^2*f^2*p*Log[d + e*x^2])/(4*d^2) - (e*f*g*p*Log[d + e*x^2])/d - (f^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(4*x^4) - (f*g*Log[c*(d + e*x^2)^p])/x^2 + (1/2)*g^2*Log[-((e*x^2)/d)]*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (1/2)*g^2*p*PolyLog[2, 1 + (e*x^2)/d]}
+{((f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/x^7, x, 5, -((e*f^2*p)/(12*d*x^4)) + (e*f*(e*f - 3*d*g)*p)/(6*d^2*x^2) + (e*(e^2*f^2 - 3*d*e*f*g + 3*d^2*g^2)*p*Log[x])/(3*d^3) - ((e*f - d*g)^3*p*Log[d + e*x^2])/(6*d^3*f) - ((f + g*x^2)^3*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(6*f*x^6)}
+{((f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/x^9, x, 5, -((e*f^2*p)/(24*d*x^6)) + (e*f*(3*e*f - 8*d*g)*p)/(48*d^2*x^4) - (e*(3*e^2*f^2 - 8*d*e*f*g + 6*d^2*g^2)*p)/(24*d^3*x^2) - (e^2*(3*e^2*f^2 - 8*d*e*f*g + 6*d^2*g^2)*p*Log[x])/(12*d^4) + (e^2*(3*e^2*f^2 - 8*d*e*f*g + 6*d^2*g^2)*p*Log[d + e*x^2])/(24*d^4) - (f^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(8*x^8) - (f*g*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*x^6) - (g^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(4*x^4)}
+{((f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/x^11, x, 5, -((e*f^2*p)/(40*d*x^8)) + (e*f*(2*e*f - 5*d*g)*p)/(60*d^2*x^6) - (e*(6*e^2*f^2 - 15*d*e*f*g + 10*d^2*g^2)*p)/(120*d^3*x^4) + (e^2*(6*e^2*f^2 - 15*d*e*f*g + 10*d^2*g^2)*p)/(60*d^4*x^2) + (e^3*(6*e^2*f^2 - 15*d*e*f*g + 10*d^2*g^2)*p*Log[x])/(30*d^5) - (e^3*(6*e^2*f^2 - 15*d*e*f*g + 10*d^2*g^2)*p*Log[d + e*x^2])/(60*d^5) - (f^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(10*x^10) - (f*g*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(4*x^8) - (g^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(6*x^6)}
+
+{x^2*(f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 14, (2*d*f^2*p*x)/(3*e) - (4*d^2*f*g*p*x)/(5*e^2) + (2*d^3*g^2*p*x)/(7*e^3) - (2*f^2*p*x^3)/9 + (4*d*f*g*p*x^3)/(15*e) - (2*d^2*g^2*p*x^3)/(21*e^2) - (4*f*g*p*x^5)/25 + (2*d*g^2*p*x^5)/(35*e) - (2*g^2*p*x^7)/49 - (2*d^(3/2)*f^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(3*e^(3/2)) + (4*d^(5/2)*f*g*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(5*e^(5/2)) - (2*d^(7/2)*g^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(7*e^(7/2)) + (f^2*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p])/3 + (2*f*g*x^5*Log[c*(d + e*x^2)^p])/5 + (g^2*x^7*Log[c*(d + e*x^2)^p])/7}
+{x^0*(f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p], x, 13, -2*f^2*p*x + (4*d*f*g*p*x)/(3*e) - (2*d^2*g^2*p*x)/(5*e^2) - (4*f*g*p*x^3)/9 + (2*d*g^2*p*x^3)/(15*e) - (2*g^2*p*x^5)/25 + (2*Sqrt[d]*f^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] - (4*d^(3/2)*f*g*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(3*e^(3/2)) + (2*d^(5/2)*g^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(5*e^(5/2)) + f^2*x*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (2*f*g*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p])/3 + (g^2*x^5*Log[c*(d + e*x^2)^p])/5}
+{(f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]/x^2, x, 11, -4*f*g*p*x + (2*d*g^2*p*x)/(3*e) - (2*g^2*p*x^3)/9 + (2*Sqrt[e]*f^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[d] + (4*Sqrt[d]*f*g*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] - (2*d^(3/2)*g^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(3*e^(3/2)) - (f^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/x + 2*f*g*x*Log[c*(d + e*x^2)^p] + (g^2*x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p])/3}
+{(f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]/x^4, x, 10, (-2*e*f^2*p)/(3*d*x) - 2*g^2*p*x - (2*e^(3/2)*f^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(3*d^(3/2)) + (4*Sqrt[e]*f*g*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[d] + (2*Sqrt[d]*g^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[e] - (f^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*x^3) - (2*f*g*Log[c*(d + e*x^2)^p])/x + g^2*x*Log[c*(d + e*x^2)^p]}
+{(f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]/x^6, x, 11, -((2*e*f^2*p)/(15*d*x^3)) + (2*e^2*f^2*p)/(5*d^2*x) - (4*e*f*g*p)/(3*d*x) + (2*e^(5/2)*f^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(5*d^(5/2)) - (4*e^(3/2)*f*g*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(3*d^(3/2)) + (2*Sqrt[e]*g^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/Sqrt[d] - (f^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(5*x^5) - (2*f*g*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*x^3) - (g^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/x}
+{(f + g*x^2)^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]/x^8, x, 14, -((2*e*f^2*p)/(35*d*x^5)) + (2*e^2*f^2*p)/(21*d^2*x^3) - (4*e*f*g*p)/(15*d*x^3) - (2*e^3*f^2*p)/(7*d^3*x) + (4*e^2*f*g*p)/(5*d^2*x) - (2*e*g^2*p)/(3*d*x) - (2*e^(7/2)*f^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(7*d^(7/2)) + (4*e^(5/2)*f*g*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(5*d^(5/2)) - (2*e^(3/2)*g^2*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(3*d^(3/2)) - (f^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(7*x^7) - (2*f*g*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(5*x^5) - (g^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*x^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{(x^5*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(f + g*x^2), x, 11, (f*p*x^2)/(2*g^2) + (d*p*x^2)/(4*e*g) - (p*x^4)/(8*g) - (d^2*p*Log[d + e*x^2])/(4*e^2*g) + (x^4*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(4*g) - (f*(d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*e*g^2) + (f^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]*Log[(e*(f + g*x^2))/(e*f - d*g)])/(2*g^3) + (f^2*p*PolyLog[2, -((g*(d + e*x^2))/(e*f - d*g))])/(2*g^3)}
+{(x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(f + g*x^2), x, 8, -(p*x^2)/(2*g) + ((d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*e*g) - (f*Log[c*(d + e*x^2)^p]*Log[(e*(f + g*x^2))/(e*f - d*g)])/(2*g^2) - (f*p*PolyLog[2, -((g*(d + e*x^2))/(e*f - d*g))])/(2*g^2)}
+{(x^1*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(f + g*x^2), x, 4, (Log[c*(d + e*x^2)^p]*Log[(e*(f + g*x^2))/(e*f - d*g)])/(2*g) + (p*PolyLog[2, -((g*(d + e*x^2))/(e*f - d*g))])/(2*g)}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]/(x^1*(f + g*x^2)), x, 8, (Log[-((e*x^2)/d)]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*f) - (Log[c*(d + e*x^2)^p]*Log[(e*(f + g*x^2))/(e*f - d*g)])/(2*f) - (p*PolyLog[2, -((g*(d + e*x^2))/(e*f - d*g))])/(2*f) + (p*PolyLog[2, 1 + (e*x^2)/d])/(2*f)}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]/(x^3*(f + g*x^2)), x, 12, (e*p*Log[x])/(d*f) - (e*p*Log[d + e*x^2])/(2*d*f) - Log[c*(d + e*x^2)^p]/(2*f*x^2) - (g*Log[-((e*x^2)/d)]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*f^2) + (g*Log[c*(d + e*x^2)^p]*Log[(e*(f + g*x^2))/(e*f - d*g)])/(2*f^2) + (g*p*PolyLog[2, -((g*(d + e*x^2))/(e*f - d*g))])/(2*f^2) - (g*p*PolyLog[2, 1 + (e*x^2)/d])/(2*f^2)}
+
+{x^4*Log[c*(d + e*x^2)^p]/(f + g*x^2), x, 21, (2*f*p*x)/g^2 + (2*d*p*x)/(3*e*g) - (2*p*x^3)/(9*g) - (2*Sqrt[d]*f*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(Sqrt[e]*g^2) - (2*d^(3/2)*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(3*e^(3/2)*g) + (2*f^(3/2)*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/g^(5/2) - (f^(3/2)*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[-((2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)))])/g^(5/2) - (f^(3/2)*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/g^(5/2) - (f*x*Log[c*(d + e*x^2)^p])/g^2 + (x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(3*g) + (f^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/g^(5/2) - (I*f^(3/2)*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/g^(5/2) + (I*f^(3/2)*p*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*g^(5/2)) + (I*f^(3/2)*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*g^(5/2))}
+{x^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]/(f + g*x^2), x, 17, -((2*p*x)/g) + (2*Sqrt[d]*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(Sqrt[e]*g) - (2*Sqrt[f]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/g^(3/2) + (Sqrt[f]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[-((2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)))])/g^(3/2) + (Sqrt[f]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/g^(3/2) + (x*Log[c*(d + e*x^2)^p])/g - (Sqrt[f]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/g^(3/2) + (I*Sqrt[f]*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/g^(3/2) - (I*Sqrt[f]*p*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*g^(3/2)) - (I*Sqrt[f]*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*g^(3/2))}
+{x^0*Log[c*(d + e*x^2)^p]/(f + g*x^2), x, 12, (2*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[-((2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) - (I*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (I*p*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]) + (I*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*Sqrt[f]*Sqrt[g])}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]/(x^2*(f + g*x^2)), x, 16, (2*Sqrt[e]*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(Sqrt[d]*f) - (2*Sqrt[g]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/f^(3/2) + (Sqrt[g]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[-((2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)))])/f^(3/2) + (Sqrt[g]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/f^(3/2) - Log[c*(d + e*x^2)^p]/(f*x) - (Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/f^(3/2) + (I*Sqrt[g]*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/f^(3/2) - (I*Sqrt[g]*p*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*f^(3/2)) - (I*Sqrt[g]*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*f^(3/2))}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]/(x^4*(f + g*x^2)), x, 19, -((2*e*p)/(3*d*f*x)) - (2*e^(3/2)*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(3*d^(3/2)*f) - (2*Sqrt[e]*g*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(Sqrt[d]*f^2) + (2*g^(3/2)*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/f^(5/2) - (g^(3/2)*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[-((2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)))])/f^(5/2) - (g^(3/2)*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/f^(5/2) - Log[c*(d + e*x^2)^p]/(3*f*x^3) + (g*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(f^2*x) + (g^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/f^(5/2) - (I*g^(3/2)*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/f^(5/2) + (I*g^(3/2)*p*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*f^(5/2)) + (I*g^(3/2)*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*f^(5/2))}
+
+
+{(x^5*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(f + g*x^2)^2, x, 12, -(p*x^2)/(2*g^2) + (e*f^2*p*Log[d + e*x^2])/(2*g^3*(e*f - d*g)) + ((d + e*x^2)*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*e*g^2) - (f^2*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*g^3*(f + g*x^2)) - (e*f^2*p*Log[f + g*x^2])/(2*g^3*(e*f - d*g)) - (f*Log[c*(d + e*x^2)^p]*Log[(e*(f + g*x^2))/(e*f - d*g)])/g^3 - (f*p*PolyLog[2, -((g*(d + e*x^2))/(e*f - d*g))])/g^3}
+{(x^3*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(f + g*x^2)^2, x, 10, -(e*f*p*Log[d + e*x^2])/(2*g^2*(e*f - d*g)) + (f*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*g^2*(f + g*x^2)) + (e*f*p*Log[f + g*x^2])/(2*g^2*(e*f - d*g)) + (Log[c*(d + e*x^2)^p]*Log[(e*(f + g*x^2))/(e*f - d*g)])/(2*g^2) + (p*PolyLog[2, -((g*(d + e*x^2))/(e*f - d*g))])/(2*g^2)}
+{(x^1*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(f + g*x^2)^2, x, 5, (e*p*Log[d + e*x^2])/(2*g*(e*f - d*g)) - Log[c*(d + e*x^2)^p]/(2*g*(f + g*x^2)) - (e*p*Log[f + g*x^2])/(2*g*(e*f - d*g))}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]/(x^1*(f + g*x^2)^2), x, 12, -((e*p*Log[d + e*x^2])/(2*f*(e*f - d*g))) + Log[c*(d + e*x^2)^p]/(2*f*(f + g*x^2)) + (Log[-((e*x^2)/d)]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*f^2) + (e*p*Log[f + g*x^2])/(2*f*(e*f - d*g)) - (Log[c*(d + e*x^2)^p]*Log[(e*(f + g*x^2))/(e*f - d*g)])/(2*f^2) - (p*PolyLog[2, -((g*(d + e*x^2))/(e*f - d*g))])/(2*f^2) + (p*PolyLog[2, 1 + (e*x^2)/d])/(2*f^2)}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]/(x^3*(f + g*x^2)^2), x, 16, (e*p*Log[x])/(d*f^2) - (e*p*Log[d + e*x^2])/(2*d*f^2) + (e*g*p*Log[d + e*x^2])/(2*f^2*(e*f - d*g)) - Log[c*(d + e*x^2)^p]/(2*f^2*x^2) - (g*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*f^2*(f + g*x^2)) - (g*Log[-((e*x^2)/d)]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/f^3 - (e*g*p*Log[f + g*x^2])/(2*f^2*(e*f - d*g)) + (g*Log[c*(d + e*x^2)^p]*Log[(e*(f + g*x^2))/(e*f - d*g)])/f^3 + (g*p*PolyLog[2, -((g*(d + e*x^2))/(e*f - d*g))])/f^3 - (g*p*PolyLog[2, 1 + (e*x^2)/d])/f^3}
+
+{x^4*Log[c*(d + e*x^2)^p]/(f + g*x^2)^2, x, 43, -((2*p*x)/g^2) + (2*Sqrt[d]*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(Sqrt[e]*g^2) + (Sqrt[d]*Sqrt[e]*f*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(g^2*(e*f - d*g)) - (e*(-f)^(3/2)*p*Log[Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x])/(2*g^(5/2)*(e*f - d*g)) - (3*Sqrt[f]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/g^(5/2) + (3*Sqrt[f]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[-((2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)))])/(2*g^(5/2)) + (3*Sqrt[f]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*g^(5/2)) + (e*(-f)^(3/2)*p*Log[Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x])/(2*g^(5/2)*(e*f - d*g)) + (x*Log[c*(d + e*x^2)^p])/g^2 - (f*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(4*g^(5/2)*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x)) + (f*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(4*g^(5/2)*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x)) - (3*Sqrt[f]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*g^(5/2)) + (3*I*Sqrt[f]*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(2*g^(5/2)) - (3*I*Sqrt[f]*p*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(4*g^(5/2)) - (3*I*Sqrt[f]*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(4*g^(5/2))}
+{x^2*Log[c*(d + e*x^2)^p]/(f + g*x^2)^2, x, 40, -((Sqrt[d]*Sqrt[e]*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(g*(e*f - d*g))) - (e*Sqrt[-f]*p*Log[Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x])/(2*g^(3/2)*(e*f - d*g)) + (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(Sqrt[f]*g^(3/2)) - (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[-((2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)))])/(2*Sqrt[f]*g^(3/2)) - (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*Sqrt[f]*g^(3/2)) + (e*Sqrt[-f]*p*Log[Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x])/(2*g^(3/2)*(e*f - d*g)) + Log[c*(d + e*x^2)^p]/(4*g^(3/2)*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x)) - Log[c*(d + e*x^2)^p]/(4*g^(3/2)*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x)) + (ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*Sqrt[f]*g^(3/2)) - (I*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(2*Sqrt[f]*g^(3/2)) + (I*p*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(4*Sqrt[f]*g^(3/2)) + (I*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(4*Sqrt[f]*g^(3/2))}
+{x^0*Log[c*(d + e*x^2)^p]/(f + g*x^2)^2, x, 26, (Sqrt[d]*Sqrt[e]*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(f*(e*f - d*g)) - (e*p*Log[Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]*(e*f - d*g)) + (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(f^(3/2)*Sqrt[g]) - (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[-((2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)))])/(2*f^(3/2)*Sqrt[g]) - (p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*f^(3/2)*Sqrt[g]) + (e*p*Log[Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]*(e*f - d*g)) - Log[c*(d + e*x^2)^p]/(4*f*Sqrt[g]*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x)) + Log[c*(d + e*x^2)^p]/(4*f*Sqrt[g]*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x)) + (ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*f^(3/2)*Sqrt[g]) - (I*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(2*f^(3/2)*Sqrt[g]) + (I*p*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(4*f^(3/2)*Sqrt[g]) + (I*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(4*f^(3/2)*Sqrt[g])}
+{Log[c*(d + e*x^2)^p]/(x^2*(f + g*x^2)^2), x, 42, (2*Sqrt[e]*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(Sqrt[d]*f^2) - (Sqrt[d]*Sqrt[e]*g*p*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(f^2*(e*f - d*g)) - (e*Sqrt[g]*p*Log[Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x])/(2*(-f)^(3/2)*(e*f - d*g)) - (3*Sqrt[g]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/f^(5/2) + (3*Sqrt[g]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[-((2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)))])/(2*f^(5/2)) + (3*Sqrt[g]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*f^(5/2)) + (e*Sqrt[g]*p*Log[Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x])/(2*(-f)^(3/2)*(e*f - d*g)) - Log[c*(d + e*x^2)^p]/(f^2*x) + (Sqrt[g]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(4*f^2*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x)) - (Sqrt[g]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(4*f^2*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x)) - (3*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(2*f^(5/2)) + (3*I*Sqrt[g]*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f])/(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)])/(2*f^(5/2)) - (3*I*Sqrt[g]*p*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] - Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(4*f^(5/2)) - (3*I*Sqrt[g]*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((I*Sqrt[e]*Sqrt[f] + Sqrt[-d]*Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(4*f^(5/2))}
+
+
+{Log[c*(a + b*x^2)^n]/(a + b*x^2), x, 6, (I*n*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]^2)/(Sqrt[a]*Sqrt[b]) + (2*n*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[(2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]) + (ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[c*(a + b*x^2)^n])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]) + (I*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[b]*x)])/(Sqrt[a]*Sqrt[b])}
+
+
+{Log[1 - x^2]/(2 - x^2), x, 12, Sqrt[2]*ArcTanh[x/Sqrt[2]]*Log[(2*Sqrt[2])/(Sqrt[2] + x)] - (ArcTanh[x/Sqrt[2]]*Log[-((4*(1 - x))/((2 - Sqrt[2])*(Sqrt[2] + x)))])/Sqrt[2] - (ArcTanh[x/Sqrt[2]]*Log[(4*(1 + x))/((2 + Sqrt[2])*(Sqrt[2] + x))])/Sqrt[2] + (ArcTanh[x/Sqrt[2]]*Log[1 - x^2])/Sqrt[2] - PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[2])/(Sqrt[2] + x)]/Sqrt[2] + PolyLog[2, 1 + (4*(1 - x))/((2 - Sqrt[2])*(Sqrt[2] + x))]/(2*Sqrt[2]) + PolyLog[2, 1 - (4*(1 + x))/((2 + Sqrt[2])*(Sqrt[2] + x))]/(2*Sqrt[2])}
+{Log[d + e*x^2]/(1 - x^2), x, 11, 2*ArcTanh[x]*Log[2/(1 + x)] - ArcTanh[x]*Log[(2*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((Sqrt[-d] - Sqrt[e])*(1 + x))] - ArcTanh[x]*Log[(2*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((Sqrt[-d] + Sqrt[e])*(1 + x))] + ArcTanh[x]*Log[d + e*x^2] - PolyLog[2, 1 - 2/(1 + x)] + (1/2)*PolyLog[2, 1 - (2*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((Sqrt[-d] - Sqrt[e])*(1 + x))] + (1/2)*PolyLog[2, 1 - (2*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((Sqrt[-d] + Sqrt[e])*(1 + x))]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^r (f+g x^s)^q Log[c (d+e x^m)^n] when s=k n and s symbolic*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*r>0*)
+
+
+{(f + g*x^(3*n))*Log[c*(d + e*x^n)^p]/x, x, 8, -((d^2*g*p*x^n)/(3*e^2*n)) + (d*g*p*x^(2*n))/(6*e*n) - (g*p*x^(3*n))/(9*n) + (d^3*g*p*Log[d + e*x^n])/(3*e^3*n) + (g*x^(3*n)*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(3*n) + (f*Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/n + (f*p*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/n}
+{(f + g*x^(2*n))*Log[c*(d + e*x^n)^p]/x, x, 8, (d*g*p*x^n)/(2*e*n) - (g*p*x^(2*n))/(4*n) - (d^2*g*p*Log[d + e*x^n])/(2*e^2*n) + (g*x^(2*n)*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(2*n) + (f*Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/n + (f*p*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/n}
+{(f + g*x^(1*n))*Log[c*(d + e*x^n)^p]/x, x, 7, -((g*p*x^n)/n) + (g*(d + e*x^n)*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(e*n) + (f*Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/n + (f*p*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/n}
+{(f + g/x^(1*n))*Log[c*(d + e*x^n)^p]/x, x, 9, (e*g*p*Log[x])/d - (e*g*p*Log[d + e*x^n])/(d*n) - (g*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(x^n*n) + (f*Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/n + (f*p*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/n}
+{(f + g/x^(2*n))*Log[c*(d + e*x^n)^p]/x, x, 8, -((e*g*p)/(x^n*(2*d*n))) - (e^2*g*p*Log[x])/(2*d^2) + (e^2*g*p*Log[d + e*x^n])/(2*d^2*n) - (g*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(x^(2*n)*(2*n)) + (f*Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/n + (f*p*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/n}
+
+
+{(f + g*x^(3*n))^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]/x, x, 11, -((2*d^2*f*g*p*x^n)/(3*e^2*n)) + (d^5*g^2*p*x^n)/(6*e^5*n) + (d*f*g*p*x^(2*n))/(3*e*n) - (d^4*g^2*p*x^(2*n))/(12*e^4*n) - (2*f*g*p*x^(3*n))/(9*n) + (d^3*g^2*p*x^(3*n))/(18*e^3*n) - (d^2*g^2*p*x^(4*n))/(24*e^2*n) + (d*g^2*p*x^(5*n))/(30*e*n) - (g^2*p*x^(6*n))/(36*n) + (2*d^3*f*g*p*Log[d + e*x^n])/(3*e^3*n) - (d^6*g^2*p*Log[d + e*x^n])/(6*e^6*n) + (2*f*g*x^(3*n)*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(3*n) + (g^2*x^(6*n)*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(6*n) + (f^2*Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/n + (f^2*p*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/n}
+{(f + g*x^(2*n))^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]/x, x, 11, (d*f*g*p*x^n)/(e*n) + (d^3*g^2*p*x^n)/(4*e^3*n) - (f*g*p*x^(2*n))/(2*n) - (d^2*g^2*p*x^(2*n))/(8*e^2*n) + (d*g^2*p*x^(3*n))/(12*e*n) - (g^2*p*x^(4*n))/(16*n) - (d^2*f*g*p*Log[d + e*x^n])/(e^2*n) - (d^4*g^2*p*Log[d + e*x^n])/(4*e^4*n) + (f*g*x^(2*n)*Log[c*(d + e*x^n)^p])/n + (g^2*x^(4*n)*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(4*n) + (f^2*Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/n + (f^2*p*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/n}
+{(f + g*x^(1*n))^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]/x, x, 10, -((2*f*g*p*x^n)/n) + (d*g^2*p*x^n)/(2*e*n) - (g^2*p*x^(2*n))/(4*n) - (d^2*g^2*p*Log[d + e*x^n])/(2*e^2*n) + (g^2*x^(2*n)*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(2*n) + (2*f*g*(d + e*x^n)*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(e*n) + (f^2*Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/n + (f^2*p*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/n}
+{(f + g/x^(1*n))^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]/x, x, 12, -((e*g^2*p)/(x^n*(2*d*n))) + (2*e*f*g*p*Log[x])/d - (e^2*g^2*p*Log[x])/(2*d^2) - (2*e*f*g*p*Log[d + e*x^n])/(d*n) + (e^2*g^2*p*Log[d + e*x^n])/(2*d^2*n) - (g^2*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(x^(2*n)*(2*n)) - (2*f*g*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(x^n*n) + (f^2*Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/n + (f^2*p*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/n}
+{(f + g/x^(2*n))^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]/x, x, 11, -((e*g^2*p)/(x^(3*n)*(12*d*n))) + (e^2*g^2*p)/(x^(2*n)*(8*d^2*n)) - (e*f*g*p)/(x^n*(d*n)) - (e^3*g^2*p)/(x^n*(4*d^3*n)) - (e^2*f*g*p*Log[x])/d^2 - (e^4*g^2*p*Log[x])/(4*d^4) + (e^2*f*g*p*Log[d + e*x^n])/(d^2*n) + (e^4*g^2*p*Log[d + e*x^n])/(4*d^4*n) - (g^2*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(x^(4*n)*(4*n)) - (f*g*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(x^(2*n)*n) + (f^2*Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/n + (f^2*p*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/n}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*r<0*)
+
+
+{1/(f + g*x^(2*n))*Log[c*(d + e*x^n)^p]/x, x, 13, (Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(f*n) - (Log[c*(d + e*x^n)^p]*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x^n))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f*n) - (Log[c*(d + e*x^n)^p]*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x^n))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*f*n) - (p*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x^n))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*f*n) - (p*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x^n))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f*n) + (p*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/(f*n)}
+{1/(f + g*x^(1*n))*Log[c*(d + e*x^n)^p]/x, x, 8, (Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(f*n) - (Log[c*(d + e*x^n)^p]*Log[(e*(f + g*x^n))/(e*f - d*g)])/(f*n) - (p*PolyLog[2, -((g*(d + e*x^n))/(e*f - d*g))])/(f*n) + (p*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/(f*n)}
+{1/(f + g/x^(1*n))*Log[c*(d + e*x^n)^p]/x, x, 5, (Log[c*(d + e*x^n)^p]*Log[-((e*(g + f*x^n))/(d*f - e*g))])/(f*n) + (p*PolyLog[2, (f*(d + e*x^n))/(d*f - e*g)])/(f*n)}
+{1/(f + g/x^(2*n))*Log[c*(d + e*x^n)^p]/x, x, 9, (Log[c*(d + e*x^n)^p]*Log[(e*(Sqrt[g] - Sqrt[-f]*x^n))/(d*Sqrt[-f] + e*Sqrt[g])])/(2*f*n) + (Log[c*(d + e*x^n)^p]*Log[-((e*(Sqrt[g] + Sqrt[-f]*x^n))/(d*Sqrt[-f] - e*Sqrt[g]))])/(2*f*n) + (p*PolyLog[2, (Sqrt[-f]*(d + e*x^n))/(d*Sqrt[-f] - e*Sqrt[g])])/(2*f*n) + (p*PolyLog[2, (Sqrt[-f]*(d + e*x^n))/(d*Sqrt[-f] + e*Sqrt[g])])/(2*f*n)}
+
+
+{1/(f + g*x^(2*n))^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]/x, x, 19, -((d*e*Sqrt[g]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*x^n)/Sqrt[f]])/(2*f^(3/2)*(e^2*f + d^2*g)*n)) - (e^2*p*Log[d + e*x^n])/(2*f*(e^2*f + d^2*g)*n) + Log[c*(d + e*x^n)^p]/(2*f*n*(f + g*x^(2*n))) + (Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(f^2*n) - (Log[c*(d + e*x^n)^p]*Log[(e*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x^n))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f^2*n) - (Log[c*(d + e*x^n)^p]*Log[(e*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x^n))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g])])/(2*f^2*n) + (e^2*p*Log[f + g*x^(2*n)])/(4*f*(e^2*f + d^2*g)*n) - (p*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(d + e*x^n))/(e*Sqrt[-f] - d*Sqrt[g]))])/(2*f^2*n) - (p*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(d + e*x^n))/(e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g])])/(2*f^2*n) + (p*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/(f^2*n)}
+{1/(f + g*x^(1*n))^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]/x, x, 12, -((e*p*Log[d + e*x^n])/(f*(e*f - d*g)*n)) + Log[c*(d + e*x^n)^p]/(f*n*(f + g*x^n)) + (Log[-((e*x^n)/d)]*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(f^2*n) + (e*p*Log[f + g*x^n])/(f*(e*f - d*g)*n) - (Log[c*(d + e*x^n)^p]*Log[(e*(f + g*x^n))/(e*f - d*g)])/(f^2*n) - (p*PolyLog[2, -((g*(d + e*x^n))/(e*f - d*g))])/(f^2*n) + (p*PolyLog[2, 1 + (e*x^n)/d])/(f^2*n)}
+{1/(f + g/x^(1*n))^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]/x, x, 10, (e*g*p*Log[d + e*x^n])/(f^2*(d*f - e*g)*n) + (g*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(f^2*n*(g + f*x^n)) - (e*g*p*Log[g + f*x^n])/(f^2*(d*f - e*g)*n) + (Log[c*(d + e*x^n)^p]*Log[-((e*(g + f*x^n))/(d*f - e*g))])/(f^2*n) + (p*PolyLog[2, (f*(d + e*x^n))/(d*f - e*g)])/(f^2*n)}
+{1/(f + g/x^(2*n))^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]/x, x, 17, -((d*e*Sqrt[g]*p*ArcTan[(Sqrt[f]*x^n)/Sqrt[g]])/(2*f^(3/2)*(d^2*f + e^2*g)*n)) - (e^2*g*p*Log[d + e*x^n])/(2*f^2*(d^2*f + e^2*g)*n) + (g*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(2*f^2*n*(g + f*x^(2*n))) + (Log[c*(d + e*x^n)^p]*Log[(e*(Sqrt[g] - Sqrt[-f]*x^n))/(d*Sqrt[-f] + e*Sqrt[g])])/(2*f^2*n) + (Log[c*(d + e*x^n)^p]*Log[-((e*(Sqrt[g] + Sqrt[-f]*x^n))/(d*Sqrt[-f] - e*Sqrt[g]))])/(2*f^2*n) + (e^2*g*p*Log[g + f*x^(2*n)])/(4*f^2*(d^2*f + e^2*g)*n) + (p*PolyLog[2, (Sqrt[-f]*(d + e*x^n))/(d*Sqrt[-f] - e*Sqrt[g])])/(2*f^2*n) + (p*PolyLog[2, (Sqrt[-f]*(d + e*x^n))/(d*Sqrt[-f] + e*Sqrt[g])])/(2*f^2*n)}
+
+
+{Log[c*(d + e*x^n)]/(x*(c*e - (1 - c*d)/x^n)), x, 4, -(PolyLog[2, 1 - c*(d + e*x^n)]/(c*e*n))}
+{(x^(-1 + n)*Log[c*(d + e*x^n)])/(-1 + c*d + c*e*x^n), x, 3, -(PolyLog[2, 1 - c*(d + e*x^n)]/(c*e*n))}
+
+{Log[c*(d + e/x^n)]/(x*(c*e - (1 - c*d)*x^n)), x, 4, PolyLog[2, 1 - c*(d + e/x^n)]/(c*e*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^r (f+g x^s)^q Log[c (d+e x^m)^n]^q when q symbolic*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*r>0*)
+
+
+{(f + g*x^(2*n))^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]^q/x, x, 0, (4^(-1 - q)*g^2*(d + e*x^n)^4*Gamma[1 + q, -((4*Log[c*(d + e*x^n)^p])/p)]*Log[c*(d + e*x^n)^p]^q)/((c*(d + e*x^n)^p)^(4/p)*(-(Log[c*(d + e*x^n)^p]/p))^q*(e^4*n)) - (d*g^2*(d + e*x^n)^3*Gamma[1 + q, -((3*Log[c*(d + e*x^n)^p])/p)]*Log[c*(d + e*x^n)^p]^q)/(3^q*(c*(d + e*x^n)^p)^(3/p)*(-(Log[c*(d + e*x^n)^p]/p))^q*(e^4*n)) + (f*g*(d + e*x^n)^2*Gamma[1 + q, -((2*Log[c*(d + e*x^n)^p])/p)]*Log[c*(d + e*x^n)^p]^q)/(2^q*(c*(d + e*x^n)^p)^(2/p)*(-(Log[c*(d + e*x^n)^p]/p))^q*(e^2*n)) + (3*2^(-1 - q)*d^2*g^2*(d + e*x^n)^2*Gamma[1 + q, -((2*Log[c*(d + e*x^n)^p])/p)]*Log[c*(d + e*x^n)^p]^q)/((c*(d + e*x^n)^p)^(2/p)*(-(Log[c*(d + e*x^n)^p]/p))^q*(e^4*n)) - (2*d*f*g*(d + e*x^n)*Gamma[1 + q, -(Log[c*(d + e*x^n)^p]/p)]*Log[c*(d + e*x^n)^p]^q)/((c*(d + e*x^n)^p)^p^(-1)*(-(Log[c*(d + e*x^n)^p]/p))^q*(e^2*n)) - (d^3*g^2*(d + e*x^n)*Gamma[1 + q, -(Log[c*(d + e*x^n)^p]/p)]*Log[c*(d + e*x^n)^p]^q)/((c*(d + e*x^n)^p)^p^(-1)*(-(Log[c*(d + e*x^n)^p]/p))^q*(e^4*n)) + f^2*Unintegrable[Log[c*(d + e*x^n)^p]^q/x, x], Unintegrable[((f + g*x^(2*n))^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]^q)/x, x]}
+{(f + g*x^(1*n))^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]^q/x, x, 0, (2^(-1 - q)*g^2*(d + e*x^n)^2*Gamma[1 + q, -((2*Log[c*(d + e*x^n)^p])/p)]*Log[c*(d + e*x^n)^p]^q)/((c*(d + e*x^n)^p)^(2/p)*(-(Log[c*(d + e*x^n)^p]/p))^q*(e^2*n)) + (2*f*g*(d + e*x^n)*Gamma[1 + q, -(Log[c*(d + e*x^n)^p]/p)]*Log[c*(d + e*x^n)^p]^q)/((c*(d + e*x^n)^p)^p^(-1)*(-(Log[c*(d + e*x^n)^p]/p))^q*(e*n)) - (d*g^2*(d + e*x^n)*Gamma[1 + q, -(Log[c*(d + e*x^n)^p]/p)]*Log[c*(d + e*x^n)^p]^q)/((c*(d + e*x^n)^p)^p^(-1)*(-(Log[c*(d + e*x^n)^p]/p))^q*(e^2*n)) + f^2*Unintegrable[Log[c*(d + e*x^n)^p]^q/x, x], Unintegrable[((f + g*x^n)^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]^q)/x, x]}
+{(f + g/x^(1*n))^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]^q/x, x, 0, Unintegrable[((f + g/x^n)^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]^q)/x, x]}
+{(f + g/x^(2*n))^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]^q/x, x, 0, Unintegrable[((f + g/x^(2*n))^2*Log[c*(d + e*x^n)^p]^q)/x, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*r<0*)
+
+
+{Log[c*(d + e*x^n)^p]^q/(x*(f + g*x^(2*n))), x, 0, Unintegrable[Log[c*(d + e*x^n)^p]^q/(x*(f + g*x^(2*n))), x]}
+{Log[c*(d + e*x^n)^p]^q/(x*(f + g*x^(1*n))), x, 0, Unintegrable[Log[c*(d + e*x^n)^p]^q/(x*(f + g*x^n)), x]}
+{Log[c*(d + e*x^n)^p]^q/(x*(f + g/x^(1*n))), x, 0, Unintegrable[Log[c*(d + e*x^n)^p]^q/(x*(f + g/x^n)), x]}
+{Log[c*(d + e*x^n)^p]^q/(x*(f + g/x^(2*n))), x, 0, Unintegrable[Log[c*(d + e*x^n)^p]^q/(x*(f + g/x^(2*n))), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (h x)^r Log[f x^s]^q Log[c (d+e x^m)^n]^p*)
+
+
+{Log[x]*Log[d + e*x^m]/x, x, 4, (1/2)*Log[x]^2*Log[d + e*x^m] - (1/2)*Log[x]^2*Log[1 + (e*x^m)/d] - (Log[x]*PolyLog[2, -((e*x^m)/d)])/m + PolyLog[3, -((e*x^m)/d)]/m^2}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^q Log[c (d+e x^m)/x^n]*)
+
+
+{Log[(a + x)/x]/x, x, 1, PolyLog[2, -(a/x)], PolyLog[2, 1 - (a + x)/x]}
+{Log[(a + x^2)/x^2]/x, x, 2, (1/2)*PolyLog[2, -(a/x^2)]}
+{Log[(a + x^n)/x^n]/x, x, 2, PolyLog[2, -a/x^n]/n}
+
+
+{Log[(a + b*x)/x]/x, x, 4, (-Log[b + a/x])*Log[-(a/(b*x))] - PolyLog[2, 1 + a/(b*x)]}
+{Log[(a + b*x^2)/x^2]/x, x, 4, (-(1/2))*Log[b + a/x^2]*Log[-(a/(b*x^2))] - (1/2)*PolyLog[2, 1 + a/(b*x^2)]}
+{Log[(a + b*x^n)/x^n]/x, x, 4, -((Log[-(a/(x^n*b))]*Log[b + a/x^n])/n) - PolyLog[2, 1 + a/(x^n*b)]/n}
+
+
+{Log[(a + b*x)/x]/(c + d*x), x, 9, (Log[b + a/x]*Log[c + d*x])/d + (Log[-((d*x)/c)]*Log[c + d*x])/d - (Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[c + d*x])/d + PolyLog[2, 1 + (d*x)/c]/d - PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)]/d}
+{Log[(a + b*x^2)/x^2]/(c + d*x), x, 14, (Log[b + a/x^2]*Log[c + d*x])/d + (2*Log[-((d*x)/c)]*Log[c + d*x])/d - (Log[(d*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*c + Sqrt[-a]*d)]*Log[c + d*x])/d - (Log[-((d*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*c - Sqrt[-a]*d))]*Log[c + d*x])/d + (2*PolyLog[2, 1 + (d*x)/c])/d - PolyLog[2, (Sqrt[b]*(c + d*x))/(Sqrt[b]*c - Sqrt[-a]*d)]/d - PolyLog[2, (Sqrt[b]*(c + d*x))/(Sqrt[b]*c + Sqrt[-a]*d)]/d}
+{Log[(a + b*x^n)/x^n]/(c + d*x), x, 1, Unintegrable[Log[b + a/x^n]/(c + d*x), x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b Log[c (d+e x^m)^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^q (a+b Log[c (d+e x^m)^n])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^q (a+b Log[c (d+e x^m)^n]) when q symbolic*)
+
+
+{(f*x)^q*(a + b*Log[c*(d + e*x^m)^n]), x, 3, -((b*e*m*n*x^(1 + m)*(f*x)^q*Hypergeometric2F1[1, (1 + m + q)/m, (1 + 2*m + q)/m, -((e*x^m)/d)])/(d*(1 + q)*(1 + m + q))) + ((f*x)^(1 + q)*(a + b*Log[c*(d + e*x^m)^n]))/(f*(1 + q))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^q (a+b Log[c (d+e x^m)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q (a+b Log[c (d+e x^(m/2))^n])^p when n symbolic*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m=1*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]), x, 4, (b*d^7*n*Sqrt[x])/(4*e^7) - (b*d^6*n*x)/(8*e^6) + (b*d^5*n*x^(3/2))/(12*e^5) - (b*d^4*n*x^2)/(16*e^4) + (b*d^3*n*x^(5/2))/(20*e^3) - (b*d^2*n*x^3)/(24*e^2) + (b*d*n*x^(7/2))/(28*e) - (1/32)*b*n*x^4 - (b*d^8*n*Log[d + e*Sqrt[x]])/(4*e^8) + (1/4)*x^4*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]), x, 4, (b*d^5*n*Sqrt[x])/(3*e^5) - (b*d^4*n*x)/(6*e^4) + (b*d^3*n*x^(3/2))/(9*e^3) - (b*d^2*n*x^2)/(12*e^2) + (b*d*n*x^(5/2))/(15*e) - (1/18)*b*n*x^3 - (b*d^6*n*Log[d + e*Sqrt[x]])/(3*e^6) + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]), x, 4, (b*d^3*n*Sqrt[x])/(2*e^3) - (b*d^2*n*x)/(4*e^2) + (b*d*n*x^(3/2))/(6*e) - (1/8)*b*n*x^2 - (b*d^4*n*Log[d + e*Sqrt[x]])/(2*e^4) + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]), x, 5, (b*d*n*Sqrt[x])/e + a*x - (b*n*x)/2 - (b*d^2*n*Log[d + e*Sqrt[x]])/e^2 + b*x*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])/x^1, x, 3, 2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])*Log[-((e*Sqrt[x])/d)] + 2*b*n*PolyLog[2, 1 + (e*Sqrt[x])/d]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])/x^2, x, 4, -((b*e*n)/(d*Sqrt[x])) + (b*e^2*n*Log[d + e*Sqrt[x]])/d^2 - (a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])/x - (b*e^2*n*Log[x])/(2*d^2)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])/x^3, x, 4, -((b*e*n)/(6*d*x^(3/2))) + (b*e^2*n)/(4*d^2*x) - (b*e^3*n)/(2*d^3*Sqrt[x]) + (b*e^4*n*Log[d + e*Sqrt[x]])/(2*d^4) - (a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])/(2*x^2) - (b*e^4*n*Log[x])/(4*d^4)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])/x^4, x, 4, -((b*e*n)/(15*d*x^(5/2))) + (b*e^2*n)/(12*d^2*x^2) - (b*e^3*n)/(9*d^3*x^(3/2)) + (b*e^4*n)/(6*d^4*x) - (b*e^5*n)/(3*d^5*Sqrt[x]) + (b*e^6*n*Log[d + e*Sqrt[x]])/(3*d^6) - (a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])/(3*x^3) - (b*e^6*n*Log[x])/(6*d^6)}
+
+
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2, x, 8, (5*b^2*d^4*n^2*(d + e*Sqrt[x])^2)/(2*e^6) - (40*b^2*d^3*n^2*(d + e*Sqrt[x])^3)/(27*e^6) + (5*b^2*d^2*n^2*(d + e*Sqrt[x])^4)/(8*e^6) - (4*b^2*d*n^2*(d + e*Sqrt[x])^5)/(25*e^6) + (b^2*n^2*(d + e*Sqrt[x])^6)/(54*e^6) - (4*b^2*d^5*n^2*Sqrt[x])/e^5 + (b^2*d^6*n^2*Log[d + e*Sqrt[x]]^2)/(3*e^6) + (4*b*d^5*n*(d + e*Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/e^6 - (5*b*d^4*n*(d + e*Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/e^6 + (40*b*d^3*n*(d + e*Sqrt[x])^3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(9*e^6) - (5*b*d^2*n*(d + e*Sqrt[x])^4*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(2*e^6) + (4*b*d*n*(d + e*Sqrt[x])^5*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(5*e^6) - (b*n*(d + e*Sqrt[x])^6*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(9*e^6) - (2*b*d^6*n*Log[d + e*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(3*e^6) + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2, x, 8, (3*b^2*d^2*n^2*(d + e*Sqrt[x])^2)/(2*e^4) - (4*b^2*d*n^2*(d + e*Sqrt[x])^3)/(9*e^4) + (b^2*n^2*(d + e*Sqrt[x])^4)/(16*e^4) - (4*b^2*d^3*n^2*Sqrt[x])/e^3 + (b^2*d^4*n^2*Log[d + e*Sqrt[x]]^2)/(2*e^4) + (4*b*d^3*n*(d + e*Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/e^4 - (3*b*d^2*n*(d + e*Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/e^4 + (4*b*d*n*(d + e*Sqrt[x])^3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(3*e^4) - (b*n*(d + e*Sqrt[x])^4*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(4*e^4) - (b*d^4*n*Log[d + e*Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/e^4 + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2, x, 10, (b^2*n^2*(d + e*Sqrt[x])^2)/(2*e^2) + (4*a*b*d*n*Sqrt[x])/e - (4*b^2*d*n^2*Sqrt[x])/e + (4*b^2*d*n*(d + e*Sqrt[x])*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])/e^2 - (b*n*(d + e*Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/e^2 - (2*d*(d + e*Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/e^2 + ((d + e*Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/e^2}
+{(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2/x^1, x, 5, 2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2*Log[-((e*Sqrt[x])/d)] + 4*b*n*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])*PolyLog[2, 1 + (e*Sqrt[x])/d] - 4*b^2*n^2*PolyLog[3, 1 + (e*Sqrt[x])/d]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2/x^2, x, 8, -((2*b*e*n*(d + e*Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(d^2*Sqrt[x])) - (2*b*e^2*n*Log[1 - d/(d + e*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/d^2 - (a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2/x + (b^2*e^2*n^2*Log[x])/d^2 + (2*b^2*e^2*n^2*PolyLog[2, d/(d + e*Sqrt[x])])/d^2}
+{(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2/x^3, x, 16, -((b^2*e^2*n^2)/(6*d^2*x)) + (5*b^2*e^3*n^2)/(6*d^3*Sqrt[x]) - (5*b^2*e^4*n^2*Log[d + e*Sqrt[x]])/(6*d^4) - (b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(3*d*x^(3/2)) + (b*e^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(2*d^2*x) - (b*e^3*n*(d + e*Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(d^4*Sqrt[x]) - (b*e^4*n*Log[1 - d/(d + e*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/d^4 - (a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2/(2*x^2) + (11*b^2*e^4*n^2*Log[x])/(12*d^4) + (b^2*e^4*n^2*PolyLog[2, d/(d + e*Sqrt[x])])/d^4}
+{(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2/x^4, x, 24, -((b^2*e^2*n^2)/(30*d^2*x^2)) + (b^2*e^3*n^2)/(10*d^3*x^(3/2)) - (47*b^2*e^4*n^2)/(180*d^4*x) + (77*b^2*e^5*n^2)/(90*d^5*Sqrt[x]) - (77*b^2*e^6*n^2*Log[d + e*Sqrt[x]])/(90*d^6) - (2*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(15*d*x^(5/2)) + (b*e^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(6*d^2*x^2) - (2*b*e^3*n*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(9*d^3*x^(3/2)) + (b*e^4*n*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(3*d^4*x) - (2*b*e^5*n*(d + e*Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(3*d^6*Sqrt[x]) - (2*b*e^6*n*Log[1 - d/(d + e*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(3*d^6) - (a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2/(3*x^3) + (137*b^2*e^6*n^2*Log[x])/(180*d^6) + (2*b^2*e^6*n^2*PolyLog[2, d/(d + e*Sqrt[x])])/(3*d^6)}
+
+
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3, x, 28, -((15*b^3*d^4*n^3*(d + e*Sqrt[x])^2)/(4*e^6)) + (40*b^3*d^3*n^3*(d + e*Sqrt[x])^3)/(27*e^6) - (15*b^3*d^2*n^3*(d + e*Sqrt[x])^4)/(32*e^6) + (12*b^3*d*n^3*(d + e*Sqrt[x])^5)/(125*e^6) - (b^3*n^3*(d + e*Sqrt[x])^6)/(108*e^6) - (12*a*b^2*d^5*n^2*Sqrt[x])/e^5 + (12*b^3*d^5*n^3*Sqrt[x])/e^5 - (12*b^3*d^5*n^2*(d + e*Sqrt[x])*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])/e^6 + (15*b^2*d^4*n^2*(d + e*Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(2*e^6) - (40*b^2*d^3*n^2*(d + e*Sqrt[x])^3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(9*e^6) + (15*b^2*d^2*n^2*(d + e*Sqrt[x])^4*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(8*e^6) - (12*b^2*d*n^2*(d + e*Sqrt[x])^5*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(25*e^6) + (b^2*n^2*(d + e*Sqrt[x])^6*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(18*e^6) + (6*b*d^5*n*(d + e*Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/e^6 - (15*b*d^4*n*(d + e*Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/(2*e^6) + (20*b*d^3*n*(d + e*Sqrt[x])^3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/(3*e^6) - (15*b*d^2*n*(d + e*Sqrt[x])^4*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/(4*e^6) + (6*b*d*n*(d + e*Sqrt[x])^5*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/(5*e^6) - (b*n*(d + e*Sqrt[x])^6*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/(6*e^6) - (2*d^5*(d + e*Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3)/e^6 + (5*d^4*(d + e*Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3)/e^6 - (20*d^3*(d + e*Sqrt[x])^3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3)/(3*e^6) + (5*d^2*(d + e*Sqrt[x])^4*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3)/e^6 - (2*d*(d + e*Sqrt[x])^5*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3)/e^6 + ((d + e*Sqrt[x])^6*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3)/(3*e^6)}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3, x, 20, -((9*b^3*d^2*n^3*(d + e*Sqrt[x])^2)/(4*e^4)) + (4*b^3*d*n^3*(d + e*Sqrt[x])^3)/(9*e^4) - (3*b^3*n^3*(d + e*Sqrt[x])^4)/(64*e^4) - (12*a*b^2*d^3*n^2*Sqrt[x])/e^3 + (12*b^3*d^3*n^3*Sqrt[x])/e^3 - (12*b^3*d^3*n^2*(d + e*Sqrt[x])*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])/e^4 + (9*b^2*d^2*n^2*(d + e*Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(2*e^4) - (4*b^2*d*n^2*(d + e*Sqrt[x])^3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(3*e^4) + (3*b^2*n^2*(d + e*Sqrt[x])^4*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(16*e^4) + (6*b*d^3*n*(d + e*Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/e^4 - (9*b*d^2*n*(d + e*Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/(2*e^4) + (2*b*d*n*(d + e*Sqrt[x])^3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/e^4 - (3*b*n*(d + e*Sqrt[x])^4*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/(8*e^4) - (2*d^3*(d + e*Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3)/e^4 + (3*d^2*(d + e*Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3)/e^4 - (2*d*(d + e*Sqrt[x])^3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3)/e^4 + ((d + e*Sqrt[x])^4*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3)/(2*e^4)}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3, x, 12, -((3*b^3*n^3*(d + e*Sqrt[x])^2)/(4*e^2)) - (12*a*b^2*d*n^2*Sqrt[x])/e + (12*b^3*d*n^3*Sqrt[x])/e - (12*b^3*d*n^2*(d + e*Sqrt[x])*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])/e^2 + (3*b^2*n^2*(d + e*Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(2*e^2) + (6*b*d*n*(d + e*Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/e^2 - (3*b*n*(d + e*Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/(2*e^2) - (2*d*(d + e*Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3)/e^2 + ((d + e*Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3)/e^2}
+{(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3/x^1, x, 6, 2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3*Log[-((e*Sqrt[x])/d)] + 6*b*n*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2*PolyLog[2, 1 + (e*Sqrt[x])/d] - 12*b^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])*PolyLog[3, 1 + (e*Sqrt[x])/d] + 12*b^3*n^3*PolyLog[4, 1 + (e*Sqrt[x])/d]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3/x^2, x, 10, -((3*b*e*n*(d + e*Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/(d^2*Sqrt[x])) - (3*b*e^2*n*Log[1 - d/(d + e*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/d^2 - (a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3/x + (6*b^2*e^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])*Log[-((e*Sqrt[x])/d)])/d^2 + (6*b^2*e^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])*PolyLog[2, d/(d + e*Sqrt[x])])/d^2 + (6*b^3*e^2*n^3*PolyLog[2, 1 + (e*Sqrt[x])/d])/d^2 + (6*b^3*e^2*n^3*PolyLog[3, d/(d + e*Sqrt[x])])/d^2}
+{(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3/x^3, x, 28, -((b^3*e^3*n^3)/(2*d^3*Sqrt[x])) + (b^3*e^4*n^3*Log[d + e*Sqrt[x]])/(2*d^4) - (b^2*e^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(2*d^2*x) + (5*b^2*e^3*n^2*(d + e*Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(2*d^4*Sqrt[x]) + (5*b^2*e^4*n^2*Log[1 - d/(d + e*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n]))/(2*d^4) - (b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/(2*d*x^(3/2)) + (3*b*e^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/(4*d^2*x) - (3*b*e^3*n*(d + e*Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/(2*d^4*Sqrt[x]) - (3*b*e^4*n*Log[1 - d/(d + e*Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^2)/(2*d^4) - (a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])^3/(2*x^2) + (3*b^2*e^4*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])*Log[-((e*Sqrt[x])/d)])/d^4 - (3*b^3*e^4*n^3*Log[x])/(2*d^4) - (5*b^3*e^4*n^3*PolyLog[2, d/(d + e*Sqrt[x])])/(2*d^4) + (3*b^2*e^4*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^n])*PolyLog[2, d/(d + e*Sqrt[x])])/d^4 + (3*b^3*e^4*n^3*PolyLog[2, 1 + (e*Sqrt[x])/d])/d^4 + (3*b^3*e^4*n^3*PolyLog[3, d/(d + e*Sqrt[x])])/d^4}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m=-1*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]), x, 4, (b*e^7*n*Sqrt[x])/(4*d^7) - (b*e^6*n*x)/(8*d^6) + (b*e^5*n*x^(3/2))/(12*d^5) - (b*e^4*n*x^2)/(16*d^4) + (b*e^3*n*x^(5/2))/(20*d^3) - (b*e^2*n*x^3)/(24*d^2) + (b*e*n*x^(7/2))/(28*d) - (b*e^8*n*Log[d + e/Sqrt[x]])/(4*d^8) + (x^4*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/4 - (b*e^8*n*Log[x])/(8*d^8)}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]), x, 4, (b*e^5*n*Sqrt[x])/(3*d^5) - (b*e^4*n*x)/(6*d^4) + (b*e^3*n*x^(3/2))/(9*d^3) - (b*e^2*n*x^2)/(12*d^2) + (b*e*n*x^(5/2))/(15*d) - (b*e^6*n*Log[d + e/Sqrt[x]])/(3*d^6) + (x^3*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/3 - (b*e^6*n*Log[x])/(6*d^6)}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]), x, 4, (b*e^3*n*Sqrt[x])/(2*d^3) - (b*e^2*n*x)/(4*d^2) + (b*e*n*x^(3/2))/(6*d) - (b*e^4*n*Log[d + e/Sqrt[x]])/(2*d^4) + (x^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/2 - (b*e^4*n*Log[x])/(4*d^4)}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]), x, 6, (b*e*n*Sqrt[x])/d + a*x + b*x*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n] - (b*e^2*n*Log[e + d*Sqrt[x]])/d^2}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])/x^1, x, 3, -2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])*Log[-(e/(d*Sqrt[x]))] - 2*b*n*PolyLog[2, 1 + e/(d*Sqrt[x])]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])/x^2, x, 4, (b*n)/(2*x) - (b*d*n)/(e*Sqrt[x]) + (b*d^2*n*Log[d + e/Sqrt[x]])/e^2 - (a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])/x}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])/x^3, x, 4, (b*n)/(8*x^2) - (b*d*n)/(6*e*x^(3/2)) + (b*d^2*n)/(4*e^2*x) - (b*d^3*n)/(2*e^3*Sqrt[x]) + (b*d^4*n*Log[d + e/Sqrt[x]])/(2*e^4) - (a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])/(2*x^2)}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])/x^4, x, 4, (b*n)/(18*x^3) - (b*d*n)/(15*e*x^(5/2)) + (b*d^2*n)/(12*e^2*x^2) - (b*d^3*n)/(9*e^3*x^(3/2)) + (b*d^4*n)/(6*e^4*x) - (b*d^5*n)/(3*e^5*Sqrt[x]) + (b*d^6*n*Log[d + e/Sqrt[x]])/(3*e^6) - (a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])/(3*x^3)}
+
+
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2, x, 24, -((77*b^2*e^5*n^2*Sqrt[x])/(90*d^5)) + (47*b^2*e^4*n^2*x)/(180*d^4) - (b^2*e^3*n^2*x^(3/2))/(10*d^3) + (b^2*e^2*n^2*x^2)/(30*d^2) + (77*b^2*e^6*n^2*Log[d + e/Sqrt[x]])/(90*d^6) + (2*b*e^5*n*(d + e/Sqrt[x])*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(3*d^6) - (b*e^4*n*x*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(3*d^4) + (2*b*e^3*n*x^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(9*d^3) - (b*e^2*n*x^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(6*d^2) + (2*b*e*n*x^(5/2)*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(15*d) + (2*b*e^6*n*Log[1 - d/(d + e/Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(3*d^6) + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2 + (137*b^2*e^6*n^2*Log[x])/(180*d^6) - (2*b^2*e^6*n^2*PolyLog[2, d/(d + e/Sqrt[x])])/(3*d^6)}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2, x, 16, -((5*b^2*e^3*n^2*Sqrt[x])/(6*d^3)) + (b^2*e^2*n^2*x)/(6*d^2) + (5*b^2*e^4*n^2*Log[d + e/Sqrt[x]])/(6*d^4) + (b*e^3*n*(d + e/Sqrt[x])*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/d^4 - (b*e^2*n*x*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(2*d^2) + (b*e*n*x^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(3*d) + (b*e^4*n*Log[1 - d/(d + e/Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/d^4 + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2 + (11*b^2*e^4*n^2*Log[x])/(12*d^4) - (b^2*e^4*n^2*PolyLog[2, d/(d + e/Sqrt[x])])/d^4}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2, x, 9, (2*b*e*n*(d + e/Sqrt[x])*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/d^2 + (2*b*e^2*n*Log[1 - d/(d + e/Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/d^2 + x*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2 + (b^2*e^2*n^2*Log[x])/d^2 - (2*b^2*e^2*n^2*PolyLog[2, d/(d + e/Sqrt[x])])/d^2}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2/x^1, x, 5, -2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2*Log[-(e/(d*Sqrt[x]))] - 4*b*n*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])*PolyLog[2, 1 + e/(d*Sqrt[x])] + 4*b^2*n^2*PolyLog[3, 1 + e/(d*Sqrt[x])]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2/x^2, x, 10, -(b^2*n^2*(d + e/Sqrt[x])^2)/(2*e^2) - (4*a*b*d*n)/(e*Sqrt[x]) + (4*b^2*d*n^2)/(e*Sqrt[x]) - (4*b^2*d*n*(d + e/Sqrt[x])*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])/e^2 + (b*n*(d + e/Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/e^2 + (2*d*(d + e/Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/e^2 - ((d + e/Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/e^2}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2/x^3, x, 8, -((3*b^2*d^2*n^2*(d + e/Sqrt[x])^2)/(2*e^4)) + (4*b^2*d*n^2*(d + e/Sqrt[x])^3)/(9*e^4) - (b^2*n^2*(d + e/Sqrt[x])^4)/(16*e^4) + (4*b^2*d^3*n^2)/(e^3*Sqrt[x]) - (b^2*d^4*n^2*Log[d + e/Sqrt[x]]^2)/(2*e^4) - (4*b*d^3*n*(d + e/Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/e^4 + (3*b*d^2*n*(d + e/Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/e^4 - (4*b*d*n*(d + e/Sqrt[x])^3*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(3*e^4) + (b*n*(d + e/Sqrt[x])^4*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(4*e^4) + (b*d^4*n*Log[d + e/Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/e^4 - (a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2/(2*x^2)}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2/x^4, x, 8, -((5*b^2*d^4*n^2*(d + e/Sqrt[x])^2)/(2*e^6)) + (40*b^2*d^3*n^2*(d + e/Sqrt[x])^3)/(27*e^6) - (5*b^2*d^2*n^2*(d + e/Sqrt[x])^4)/(8*e^6) + (4*b^2*d*n^2*(d + e/Sqrt[x])^5)/(25*e^6) - (b^2*n^2*(d + e/Sqrt[x])^6)/(54*e^6) + (4*b^2*d^5*n^2)/(e^5*Sqrt[x]) - (b^2*d^6*n^2*Log[d + e/Sqrt[x]]^2)/(3*e^6) - (4*b*d^5*n*(d + e/Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/e^6 + (5*b*d^4*n*(d + e/Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/e^6 - (40*b*d^3*n*(d + e/Sqrt[x])^3*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(9*e^6) + (5*b*d^2*n*(d + e/Sqrt[x])^4*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(2*e^6) - (4*b*d*n*(d + e/Sqrt[x])^5*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(5*e^6) + (b*n*(d + e/Sqrt[x])^6*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(9*e^6) + (2*b*d^6*n*Log[d + e/Sqrt[x]]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(3*e^6) - (a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2/(3*x^3)}
+
+
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3, x, 28, (b^3*e^3*n^3*Sqrt[x])/(2*d^3) - (b^3*e^4*n^3*Log[d + e/Sqrt[x]])/(2*d^4) - (5*b^2*e^3*n^2*(d + e/Sqrt[x])*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(2*d^4) + (b^2*e^2*n^2*x*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(2*d^2) - (5*b^2*e^4*n^2*Log[1 - d/(d + e/Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(2*d^4) + (3*b*e^3*n*(d + e/Sqrt[x])*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/(2*d^4) - (3*b*e^2*n*x*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/(4*d^2) + (b*e*n*x^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/(2*d) + (3*b*e^4*n*Log[1 - d/(d + e/Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/(2*d^4) + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3 - (3*b^2*e^4*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])*Log[-(e/(d*Sqrt[x]))])/d^4 - (3*b^3*e^4*n^3*Log[x])/(2*d^4) + (5*b^3*e^4*n^3*PolyLog[2, d/(d + e/Sqrt[x])])/(2*d^4) - (3*b^2*e^4*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])*PolyLog[2, d/(d + e/Sqrt[x])])/d^4 - (3*b^3*e^4*n^3*PolyLog[2, 1 + e/(d*Sqrt[x])])/d^4 - (3*b^3*e^4*n^3*PolyLog[3, d/(d + e/Sqrt[x])])/d^4}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3, x, 11, (3*b*e*n*(d + e/Sqrt[x])*Sqrt[x]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/d^2 + (3*b*e^2*n*Log[1 - d/(d + e/Sqrt[x])]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/d^2 + x*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3 - (6*b^2*e^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])*Log[-(e/(d*Sqrt[x]))])/d^2 - (6*b^2*e^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])*PolyLog[2, d/(d + e/Sqrt[x])])/d^2 - (6*b^3*e^2*n^3*PolyLog[2, 1 + e/(d*Sqrt[x])])/d^2 - (6*b^3*e^2*n^3*PolyLog[3, d/(d + e/Sqrt[x])])/d^2}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3/x^1, x, 6, -2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3*Log[-(e/(d*Sqrt[x]))] - 6*b*n*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2*PolyLog[2, 1 + e/(d*Sqrt[x])] + 12*b^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])*PolyLog[3, 1 + e/(d*Sqrt[x])] - 12*b^3*n^3*PolyLog[4, 1 + e/(d*Sqrt[x])]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3/x^2, x, 12, (3*b^3*n^3*(d + e/Sqrt[x])^2)/(4*e^2) + (12*a*b^2*d*n^2)/(e*Sqrt[x]) - (12*b^3*d*n^3)/(e*Sqrt[x]) + (12*b^3*d*n^2*(d + e/Sqrt[x])*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])/e^2 - (3*b^2*n^2*(d + e/Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(2*e^2) - (6*b*d*n*(d + e/Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/e^2 + (3*b*n*(d + e/Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/(2*e^2) + (2*d*(d + e/Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3)/e^2 - ((d + e/Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3)/e^2}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3/x^3, x, 20, (9*b^3*d^2*n^3*(d + e/Sqrt[x])^2)/(4*e^4) - (4*b^3*d*n^3*(d + e/Sqrt[x])^3)/(9*e^4) + (3*b^3*n^3*(d + e/Sqrt[x])^4)/(64*e^4) + (12*a*b^2*d^3*n^2)/(e^3*Sqrt[x]) - (12*b^3*d^3*n^3)/(e^3*Sqrt[x]) + (12*b^3*d^3*n^2*(d + e/Sqrt[x])*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])/e^4 - (9*b^2*d^2*n^2*(d + e/Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(2*e^4) + (4*b^2*d*n^2*(d + e/Sqrt[x])^3*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(3*e^4) - (3*b^2*n^2*(d + e/Sqrt[x])^4*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(16*e^4) - (6*b*d^3*n*(d + e/Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/e^4 + (9*b*d^2*n*(d + e/Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/(2*e^4) - (2*b*d*n*(d + e/Sqrt[x])^3*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/e^4 + (3*b*n*(d + e/Sqrt[x])^4*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/(8*e^4) + (2*d^3*(d + e/Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3)/e^4 - (3*d^2*(d + e/Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3)/e^4 + (2*d*(d + e/Sqrt[x])^3*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3)/e^4 - ((d + e/Sqrt[x])^4*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3)/(2*e^4)}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3/x^4, x, 28, (15*b^3*d^4*n^3*(d + e/Sqrt[x])^2)/(4*e^6) - (40*b^3*d^3*n^3*(d + e/Sqrt[x])^3)/(27*e^6) + (15*b^3*d^2*n^3*(d + e/Sqrt[x])^4)/(32*e^6) - (12*b^3*d*n^3*(d + e/Sqrt[x])^5)/(125*e^6) + (b^3*n^3*(d + e/Sqrt[x])^6)/(108*e^6) + (12*a*b^2*d^5*n^2)/(e^5*Sqrt[x]) - (12*b^3*d^5*n^3)/(e^5*Sqrt[x]) + (12*b^3*d^5*n^2*(d + e/Sqrt[x])*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])/e^6 - (15*b^2*d^4*n^2*(d + e/Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(2*e^6) + (40*b^2*d^3*n^2*(d + e/Sqrt[x])^3*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(9*e^6) - (15*b^2*d^2*n^2*(d + e/Sqrt[x])^4*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(8*e^6) + (12*b^2*d*n^2*(d + e/Sqrt[x])^5*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(25*e^6) - (b^2*n^2*(d + e/Sqrt[x])^6*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n]))/(18*e^6) - (6*b*d^5*n*(d + e/Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/e^6 + (15*b*d^4*n*(d + e/Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/(2*e^6) - (20*b*d^3*n*(d + e/Sqrt[x])^3*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/(3*e^6) + (15*b*d^2*n*(d + e/Sqrt[x])^4*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/(4*e^6) - (6*b*d*n*(d + e/Sqrt[x])^5*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/(5*e^6) + (b*n*(d + e/Sqrt[x])^6*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^2)/(6*e^6) + (2*d^5*(d + e/Sqrt[x])*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3)/e^6 - (5*d^4*(d + e/Sqrt[x])^2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3)/e^6 + (20*d^3*(d + e/Sqrt[x])^3*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3)/(3*e^6) - (5*d^2*(d + e/Sqrt[x])^4*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3)/e^6 + (2*d*(d + e/Sqrt[x])^5*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3)/e^6 - ((d + e/Sqrt[x])^6*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^n])^3)/(3*e^6)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q (a+b Log[c (d+e x^(m/3))^n])^p when n symbolic*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m=1*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]), x, 4, (b*d^11*n*x^(1/3))/(4*e^11) - (b*d^10*n*x^(2/3))/(8*e^10) + (b*d^9*n*x)/(12*e^9) - (b*d^8*n*x^(4/3))/(16*e^8) + (b*d^7*n*x^(5/3))/(20*e^7) - (b*d^6*n*x^2)/(24*e^6) + (b*d^5*n*x^(7/3))/(28*e^5) - (b*d^4*n*x^(8/3))/(32*e^4) + (b*d^3*n*x^3)/(36*e^3) - (b*d^2*n*x^(10/3))/(40*e^2) + (b*d*n*x^(11/3))/(44*e) - (1/48)*b*n*x^4 - (b*d^12*n*Log[d + e*x^(1/3)])/(4*e^12) + (1/4)*x^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]), x, 4, -((b*d^8*n*x^(1/3))/(3*e^8)) + (b*d^7*n*x^(2/3))/(6*e^7) - (b*d^6*n*x)/(9*e^6) + (b*d^5*n*x^(4/3))/(12*e^5) - (b*d^4*n*x^(5/3))/(15*e^4) + (b*d^3*n*x^2)/(18*e^3) - (b*d^2*n*x^(7/3))/(21*e^2) + (b*d*n*x^(8/3))/(24*e) - (1/27)*b*n*x^3 + (b*d^9*n*Log[d + e*x^(1/3)])/(3*e^9) + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]), x, 4, (b*d^5*n*x^(1/3))/(2*e^5) - (b*d^4*n*x^(2/3))/(4*e^4) + (b*d^3*n*x)/(6*e^3) - (b*d^2*n*x^(4/3))/(8*e^2) + (b*d*n*x^(5/3))/(10*e) - (1/12)*b*n*x^2 - (b*d^6*n*Log[d + e*x^(1/3)])/(2*e^6) + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]), x, 5, -((b*d^2*n*x^(1/3))/e^2) + (b*d*n*x^(2/3))/(2*e) + a*x - (b*n*x)/3 + (b*d^3*n*Log[d + e*x^(1/3)])/e^3 + b*x*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])/x^1, x, 3, 3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])*Log[-((e*x^(1/3))/d)] + 3*b*n*PolyLog[2, 1 + (e*x^(1/3))/d]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])/x^2, x, 4, -((b*e*n)/(2*d*x^(2/3))) + (b*e^2*n)/(d^2*x^(1/3)) - (b*e^3*n*Log[d + e*x^(1/3)])/d^3 - (a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])/x + (b*e^3*n*Log[x])/(3*d^3)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])/x^3, x, 4, -((b*e*n)/(10*d*x^(5/3))) + (b*e^2*n)/(8*d^2*x^(4/3)) - (b*e^3*n)/(6*d^3*x) + (b*e^4*n)/(4*d^4*x^(2/3)) - (b*e^5*n)/(2*d^5*x^(1/3)) + (b*e^6*n*Log[d + e*x^(1/3)])/(2*d^6) - (a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])/(2*x^2) - (b*e^6*n*Log[x])/(6*d^6)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])/x^4, x, 4, -((b*e*n)/(24*d*x^(8/3))) + (b*e^2*n)/(21*d^2*x^(7/3)) - (b*e^3*n)/(18*d^3*x^2) + (b*e^4*n)/(15*d^4*x^(5/3)) - (b*e^5*n)/(12*d^5*x^(4/3)) + (b*e^6*n)/(9*d^6*x) - (b*e^7*n)/(6*d^7*x^(2/3)) + (b*e^8*n)/(3*d^8*x^(1/3)) - (b*e^9*n*Log[d + e*x^(1/3)])/(3*d^9) - (a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])/(3*x^3) + (b*e^9*n*Log[x])/(9*d^9)}
+
+
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2, x, 8, -((6*b^2*d^7*n^2*(d + e*x^(1/3))^2)/e^9) + (56*b^2*d^6*n^2*(d + e*x^(1/3))^3)/(9*e^9) - (21*b^2*d^5*n^2*(d + e*x^(1/3))^4)/(4*e^9) + (84*b^2*d^4*n^2*(d + e*x^(1/3))^5)/(25*e^9) - (14*b^2*d^3*n^2*(d + e*x^(1/3))^6)/(9*e^9) + (24*b^2*d^2*n^2*(d + e*x^(1/3))^7)/(49*e^9) - (3*b^2*d*n^2*(d + e*x^(1/3))^8)/(32*e^9) + (2*b^2*n^2*(d + e*x^(1/3))^9)/(243*e^9) + (6*b^2*d^8*n^2*x^(1/3))/e^8 - (b^2*d^9*n^2*Log[d + e*x^(1/3)]^2)/(3*e^9) - (6*b*d^8*n*(d + e*x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/e^9 + (12*b*d^7*n*(d + e*x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/e^9 - (56*b*d^6*n*(d + e*x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(3*e^9) + (21*b*d^5*n*(d + e*x^(1/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/e^9 - (84*b*d^4*n*(d + e*x^(1/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(5*e^9) + (28*b*d^3*n*(d + e*x^(1/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(3*e^9) - (24*b*d^2*n*(d + e*x^(1/3))^7*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(7*e^9) + (3*b*d*n*(d + e*x^(1/3))^8*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(4*e^9) - (2*b*n*(d + e*x^(1/3))^9*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(27*e^9) + (2*b*d^9*n*Log[d + e*x^(1/3)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(3*e^9) + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2, x, 8, (15*b^2*d^4*n^2*(d + e*x^(1/3))^2)/(4*e^6) - (20*b^2*d^3*n^2*(d + e*x^(1/3))^3)/(9*e^6) + (15*b^2*d^2*n^2*(d + e*x^(1/3))^4)/(16*e^6) - (6*b^2*d*n^2*(d + e*x^(1/3))^5)/(25*e^6) + (b^2*n^2*(d + e*x^(1/3))^6)/(36*e^6) - (6*b^2*d^5*n^2*x^(1/3))/e^5 + (b^2*d^6*n^2*Log[d + e*x^(1/3)]^2)/(2*e^6) + (6*b*d^5*n*(d + e*x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/e^6 - (15*b*d^4*n*(d + e*x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(2*e^6) + (20*b*d^3*n*(d + e*x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(3*e^6) - (15*b*d^2*n*(d + e*x^(1/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(4*e^6) + (6*b*d*n*(d + e*x^(1/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(5*e^6) - (b*n*(d + e*x^(1/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(6*e^6) - (b*d^6*n*Log[d + e*x^(1/3)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/e^6 + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2, x, 8, -((3*b^2*d*n^2*(d + e*x^(1/3))^2)/(2*e^3)) + (2*b^2*n^2*(d + e*x^(1/3))^3)/(9*e^3) + (6*b^2*d^2*n^2*x^(1/3))/e^2 - (b^2*d^3*n^2*Log[d + e*x^(1/3)]^2)/e^3 - (6*b*d^2*n*(d + e*x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/e^3 + (3*b*d*n*(d + e*x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/e^3 - (2*b*n*(d + e*x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(3*e^3) + (2*b*d^3*n*Log[d + e*x^(1/3)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/e^3 + x*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2/x^1, x, 5, 3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2*Log[-((e*x^(1/3))/d)] + 6*b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])*PolyLog[2, 1 + (e*x^(1/3))/d] - 6*b^2*n^2*PolyLog[3, 1 + (e*x^(1/3))/d]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2/x^2, x, 12, -((b^2*e^2*n^2)/(d^2*x^(1/3))) + (b^2*e^3*n^2*Log[d + e*x^(1/3)])/d^3 - (b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(d*x^(2/3)) + (2*b*e^2*n*(d + e*x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(d^3*x^(1/3)) + (2*b*e^3*n*Log[1 - d/(d + e*x^(1/3))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/d^3 - (a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2/x - (b^2*e^3*n^2*Log[x])/d^3 - (2*b^2*e^3*n^2*PolyLog[2, d/(d + e*x^(1/3))])/d^3}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2/x^3, x, 24, -((b^2*e^2*n^2)/(20*d^2*x^(4/3))) + (3*b^2*e^3*n^2)/(20*d^3*x) - (47*b^2*e^4*n^2)/(120*d^4*x^(2/3)) + (77*b^2*e^5*n^2)/(60*d^5*x^(1/3)) - (77*b^2*e^6*n^2*Log[d + e*x^(1/3)])/(60*d^6) - (b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(5*d*x^(5/3)) + (b*e^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(4*d^2*x^(4/3)) - (b*e^3*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(3*d^3*x) + (b*e^4*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(2*d^4*x^(2/3)) - (b*e^5*n*(d + e*x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(d^6*x^(1/3)) - (b*e^6*n*Log[1 - d/(d + e*x^(1/3))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/d^6 - (a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2/(2*x^2) + (137*b^2*e^6*n^2*Log[x])/(180*d^6) + (b^2*e^6*n^2*PolyLog[2, d/(d + e*x^(1/3))])/d^6}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3, x, 52, (-99*b^3*d^10*n^3*(d + e*x^(1/3))^2)/(8*e^12) + (110*b^3*d^9*n^3*(d + e*x^(1/3))^3)/(9*e^12) - (1485*b^3*d^8*n^3*(d + e*x^(1/3))^4)/(128*e^12) + (1188*b^3*d^7*n^3*(d + e*x^(1/3))^5)/(125*e^12) - (77*b^3*d^6*n^3*(d + e*x^(1/3))^6)/(12*e^12) + (1188*b^3*d^5*n^3*(d + e*x^(1/3))^7)/(343*e^12) - (1485*b^3*d^4*n^3*(d + e*x^(1/3))^8)/(1024*e^12) + (110*b^3*d^3*n^3*(d + e*x^(1/3))^9)/(243*e^12) - (99*b^3*d^2*n^3*(d + e*x^(1/3))^10)/(1000*e^12) + (18*b^3*d*n^3*(d + e*x^(1/3))^11)/(1331*e^12) - (b^3*n^3*(d + e*x^(1/3))^12)/(1152*e^12) - (18*a*b^2*d^11*n^2*x^(1/3))/e^11 + (18*b^3*d^11*n^3*x^(1/3))/e^11 - (18*b^3*d^11*n^2*(d + e*x^(1/3))*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])/e^12 + (99*b^2*d^10*n^2*(d + e*x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(4*e^12) - (110*b^2*d^9*n^2*(d + e*x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(3*e^12) + (1485*b^2*d^8*n^2*(d + e*x^(1/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(32*e^12) - (1188*b^2*d^7*n^2*(d + e*x^(1/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(25*e^12) + (77*b^2*d^6*n^2*(d + e*x^(1/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(2*e^12) - (1188*b^2*d^5*n^2*(d + e*x^(1/3))^7*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(49*e^12) + (1485*b^2*d^4*n^2*(d + e*x^(1/3))^8*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(128*e^12) - (110*b^2*d^3*n^2*(d + e*x^(1/3))^9*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(27*e^12) + (99*b^2*d^2*n^2*(d + e*x^(1/3))^10*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(100*e^12) - (18*b^2*d*n^2*(d + e*x^(1/3))^11*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(121*e^12) + (b^2*n^2*(d + e*x^(1/3))^12*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(96*e^12) + (9*b*d^11*n*(d + e*x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/e^12 - (99*b*d^10*n*(d + e*x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(4*e^12) + (55*b*d^9*n*(d + e*x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/e^12 - (1485*b*d^8*n*(d + e*x^(1/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(16*e^12) + (594*b*d^7*n*(d + e*x^(1/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(5*e^12) - (231*b*d^6*n*(d + e*x^(1/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(2*e^12) + (594*b*d^5*n*(d + e*x^(1/3))^7*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(7*e^12) - (1485*b*d^4*n*(d + e*x^(1/3))^8*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(32*e^12) + (55*b*d^3*n*(d + e*x^(1/3))^9*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(3*e^12) - (99*b*d^2*n*(d + e*x^(1/3))^10*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(20*e^12) + (9*b*d*n*(d + e*x^(1/3))^11*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(11*e^12) - (b*n*(d + e*x^(1/3))^12*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(16*e^12) - (3*d^11*(d + e*x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^12 + (33*d^10*(d + e*x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/(2*e^12) - (55*d^9*(d + e*x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^12 + (495*d^8*(d + e*x^(1/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/(4*e^12) - (198*d^7*(d + e*x^(1/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^12 + (231*d^6*(d + e*x^(1/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^12 - (198*d^5*(d + e*x^(1/3))^7*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^12 + (495*d^4*(d + e*x^(1/3))^8*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/(4*e^12) - (55*d^3*(d + e*x^(1/3))^9*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^12 + (33*d^2*(d + e*x^(1/3))^10*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/(2*e^12) - (3*d*(d + e*x^(1/3))^11*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^12 + ((d + e*x^(1/3))^12*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/(4*e^12)}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3, x, 40, (9*b^3*d^7*n^3*(d + e*x^(1/3))^2)/e^9 - (56*b^3*d^6*n^3*(d + e*x^(1/3))^3)/(9*e^9) + (63*b^3*d^5*n^3*(d + e*x^(1/3))^4)/(16*e^9) - (252*b^3*d^4*n^3*(d + e*x^(1/3))^5)/(125*e^9) + (7*b^3*d^3*n^3*(d + e*x^(1/3))^6)/(9*e^9) - (72*b^3*d^2*n^3*(d + e*x^(1/3))^7)/(343*e^9) + (9*b^3*d*n^3*(d + e*x^(1/3))^8)/(256*e^9) - (2*b^3*n^3*(d + e*x^(1/3))^9)/(729*e^9) + (18*a*b^2*d^8*n^2*x^(1/3))/e^8 - (18*b^3*d^8*n^3*x^(1/3))/e^8 + (18*b^3*d^8*n^2*(d + e*x^(1/3))*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])/e^9 - (18*b^2*d^7*n^2*(d + e*x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/e^9 + (56*b^2*d^6*n^2*(d + e*x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(3*e^9) - (63*b^2*d^5*n^2*(d + e*x^(1/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(4*e^9) + (252*b^2*d^4*n^2*(d + e*x^(1/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(25*e^9) - (14*b^2*d^3*n^2*(d + e*x^(1/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(3*e^9) + (72*b^2*d^2*n^2*(d + e*x^(1/3))^7*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(49*e^9) - (9*b^2*d*n^2*(d + e*x^(1/3))^8*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(32*e^9) + (2*b^2*n^2*(d + e*x^(1/3))^9*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(81*e^9) - (9*b*d^8*n*(d + e*x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/e^9 + (18*b*d^7*n*(d + e*x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/e^9 - (28*b*d^6*n*(d + e*x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/e^9 + (63*b*d^5*n*(d + e*x^(1/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(2*e^9) - (126*b*d^4*n*(d + e*x^(1/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(5*e^9) + (14*b*d^3*n*(d + e*x^(1/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/e^9 - (36*b*d^2*n*(d + e*x^(1/3))^7*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(7*e^9) + (9*b*d*n*(d + e*x^(1/3))^8*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(8*e^9) - (b*n*(d + e*x^(1/3))^9*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(9*e^9) + (3*d^8*(d + e*x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^9 - (12*d^7*(d + e*x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^9 + (28*d^6*(d + e*x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^9 - (42*d^5*(d + e*x^(1/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^9 + (42*d^4*(d + e*x^(1/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^9 - (28*d^3*(d + e*x^(1/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^9 + (12*d^2*(d + e*x^(1/3))^7*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^9 - (3*d*(d + e*x^(1/3))^8*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^9 + ((d + e*x^(1/3))^9*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/(3*e^9)}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3, x, 28, (-45*b^3*d^4*n^3*(d + e*x^(1/3))^2)/(8*e^6) + (20*b^3*d^3*n^3*(d + e*x^(1/3))^3)/(9*e^6) - (45*b^3*d^2*n^3*(d + e*x^(1/3))^4)/(64*e^6) + (18*b^3*d*n^3*(d + e*x^(1/3))^5)/(125*e^6) - (b^3*n^3*(d + e*x^(1/3))^6)/(72*e^6) - (18*a*b^2*d^5*n^2*x^(1/3))/e^5 + (18*b^3*d^5*n^3*x^(1/3))/e^5 - (18*b^3*d^5*n^2*(d + e*x^(1/3))*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])/e^6 + (45*b^2*d^4*n^2*(d + e*x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(4*e^6) - (20*b^2*d^3*n^2*(d + e*x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(3*e^6) + (45*b^2*d^2*n^2*(d + e*x^(1/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(16*e^6) - (18*b^2*d*n^2*(d + e*x^(1/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(25*e^6) + (b^2*n^2*(d + e*x^(1/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(12*e^6) + (9*b*d^5*n*(d + e*x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/e^6 - (45*b*d^4*n*(d + e*x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(4*e^6) + (10*b*d^3*n*(d + e*x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/e^6 - (45*b*d^2*n*(d + e*x^(1/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(8*e^6) + (9*b*d*n*(d + e*x^(1/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(5*e^6) - (b*n*(d + e*x^(1/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(4*e^6) - (3*d^5*(d + e*x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^6 + (15*d^4*(d + e*x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/(2*e^6) - (10*d^3*(d + e*x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^6 + (15*d^2*(d + e*x^(1/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/(2*e^6) - (3*d*(d + e*x^(1/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^6 + ((d + e*x^(1/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/(2*e^6)}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3, x, 16, (9*b^3*d*n^3*(d + e*x^(1/3))^2)/(4*e^3) - (2*b^3*n^3*(d + e*x^(1/3))^3)/(9*e^3) + (18*a*b^2*d^2*n^2*x^(1/3))/e^2 - (18*b^3*d^2*n^3*x^(1/3))/e^2 + (18*b^3*d^2*n^2*(d + e*x^(1/3))*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])/e^3 - (9*b^2*d*n^2*(d + e*x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(2*e^3) + (2*b^2*n^2*(d + e*x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(3*e^3) - (9*b*d^2*n*(d + e*x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/e^3 + (9*b*d*n*(d + e*x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(2*e^3) - (b*n*(d + e*x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/e^3 + (3*d^2*(d + e*x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^3 - (3*d*(d + e*x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^3 + ((d + e*x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3)/e^3}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3/x^1, x, 6, 3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3*Log[-((e*x^(1/3))/d)] + 9*b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2*PolyLog[2, 1 + (e*x^(1/3))/d] - 18*b^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])*PolyLog[3, 1 + (e*x^(1/3))/d] + 18*b^3*n^3*PolyLog[4, 1 + (e*x^(1/3))/d]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3/x^2, x, 17, -((3*b^2*e^2*n^2*(d + e*x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(d^3*x^(1/3))) - (3*b^2*e^3*n^2*Log[1 - d/(d + e*x^(1/3))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/d^3 - (3*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(2*d*x^(2/3)) + (3*b*e^2*n*(d + e*x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(d^3*x^(1/3)) + (3*b*e^3*n*Log[1 - d/(d + e*x^(1/3))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/d^3 - (a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3/x - (6*b^2*e^3*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])*Log[-((e*x^(1/3))/d)])/d^3 + (b^3*e^3*n^3*Log[x])/d^3 + (3*b^3*e^3*n^3*PolyLog[2, d/(d + e*x^(1/3))])/d^3 - (6*b^2*e^3*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])*PolyLog[2, d/(d + e*x^(1/3))])/d^3 - (6*b^3*e^3*n^3*PolyLog[2, 1 + (e*x^(1/3))/d])/d^3 - (6*b^3*e^3*n^3*PolyLog[3, d/(d + e*x^(1/3))])/d^3}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3/x^3, x, 62, -((b^3*e^3*n^3)/(20*d^3*x)) + (3*b^3*e^4*n^3)/(10*d^4*x^(2/3)) - (71*b^3*e^5*n^3)/(40*d^5*x^(1/3)) + (71*b^3*e^6*n^3*Log[d + e*x^(1/3)])/(40*d^6) - (3*b^2*e^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(20*d^2*x^(4/3)) + (9*b^2*e^3*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(20*d^3*x) - (47*b^2*e^4*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(40*d^4*x^(2/3)) + (77*b^2*e^5*n^2*(d + e*x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(20*d^6*x^(1/3)) + (77*b^2*e^6*n^2*Log[1 - d/(d + e*x^(1/3))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n]))/(20*d^6) - (3*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(10*d*x^(5/3)) + (3*b*e^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(8*d^2*x^(4/3)) - (b*e^3*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(2*d^3*x) + (3*b*e^4*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(4*d^4*x^(2/3)) - (3*b*e^5*n*(d + e*x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(2*d^6*x^(1/3)) - (3*b*e^6*n*Log[1 - d/(d + e*x^(1/3))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^2)/(2*d^6) - (a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])^3/(2*x^2) + (3*b^2*e^6*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])*Log[-((e*x^(1/3))/d)])/d^6 - (15*b^3*e^6*n^3*Log[x])/(8*d^6) - (77*b^3*e^6*n^3*PolyLog[2, d/(d + e*x^(1/3))])/(20*d^6) + (3*b^2*e^6*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^n])*PolyLog[2, d/(d + e*x^(1/3))])/d^6 + (3*b^3*e^6*n^3*PolyLog[2, 1 + (e*x^(1/3))/d])/d^6 + (3*b^3*e^6*n^3*PolyLog[3, d/(d + e*x^(1/3))])/d^6}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m=2*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]), x, 4, (b*d^5*n*x^(2/3))/(4*e^5) - (b*d^4*n*x^(4/3))/(8*e^4) + (b*d^3*n*x^2)/(12*e^3) - (b*d^2*n*x^(8/3))/(16*e^2) + (b*d*n*x^(10/3))/(20*e) - (1/24)*b*n*x^4 - (b*d^6*n*Log[d + e*x^(2/3)])/(4*e^6) + (1/4)*x^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]), x, 5, -((2*b*d^4*n*x^(1/3))/(3*e^4)) + (2*b*d^3*n*x)/(9*e^3) - (2*b*d^2*n*x^(5/3))/(15*e^2) + (2*b*d*n*x^(7/3))/(21*e) - (2/27)*b*n*x^3 + (2*b*d^(9/2)*n*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]])/(3*e^(9/2)) + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]), x, 4, -((b*d^2*n*x^(2/3))/(2*e^2)) + (b*d*n*x^(4/3))/(4*e) - (1/6)*b*n*x^2 + (b*d^3*n*Log[d + e*x^(2/3)])/(2*e^3) + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]), x, 6, (2*b*d*n*x^(1/3))/e + a*x - (2*b*n*x)/3 - (2*b*d^(3/2)*n*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]])/e^(3/2) + b*x*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])/x^1, x, 3, (3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])*Log[-((e*x^(2/3))/d)] + (3/2)*b*n*PolyLog[2, 1 + (e*x^(2/3))/d]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])/x^2, x, 4, -((2*b*e*n)/(d*x^(1/3))) - (2*b*e^(3/2)*n*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]])/d^(3/2) - (a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])/x}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])/x^3, x, 4, -((b*e*n)/(4*d*x^(4/3))) + (b*e^2*n)/(2*d^2*x^(2/3)) - (b*e^3*n*Log[d + e*x^(2/3)])/(2*d^3) - (a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])/(2*x^2) + (b*e^3*n*Log[x])/(3*d^3)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])/x^4, x, 7, -((2*b*e*n)/(21*d*x^(7/3))) + (2*b*e^2*n)/(15*d^2*x^(5/3)) - (2*b*e^3*n)/(9*d^3*x) + (2*b*e^4*n)/(3*d^4*x^(1/3)) + (2*b*e^(9/2)*n*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]])/(3*d^(9/2)) - (a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])/(3*x^3)}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2, x, 8, (15*b^2*d^4*n^2*(d + e*x^(2/3))^2)/(8*e^6) - (10*b^2*d^3*n^2*(d + e*x^(2/3))^3)/(9*e^6) + (15*b^2*d^2*n^2*(d + e*x^(2/3))^4)/(32*e^6) - (3*b^2*d*n^2*(d + e*x^(2/3))^5)/(25*e^6) + (b^2*n^2*(d + e*x^(2/3))^6)/(72*e^6) - (3*b^2*d^5*n^2*x^(2/3))/e^5 + (b^2*d^6*n^2*Log[d + e*x^(2/3)]^2)/(4*e^6) + (3*b*d^5*n*(d + e*x^(2/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/e^6 - (15*b*d^4*n*(d + e*x^(2/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(4*e^6) + (10*b*d^3*n*(d + e*x^(2/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(3*e^6) - (15*b*d^2*n*(d + e*x^(2/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(8*e^6) + (3*b*d*n*(d + e*x^(2/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(5*e^6) - (b*n*(d + e*x^(2/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(12*e^6) - (b*d^6*n*Log[d + e*x^(2/3)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(2*e^6) + (1/4)*x^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2, x, 8, -((3*b^2*d*n^2*(d + e*x^(2/3))^2)/(4*e^3)) + (b^2*n^2*(d + e*x^(2/3))^3)/(9*e^3) + (3*b^2*d^2*n^2*x^(2/3))/e^2 - (b^2*d^3*n^2*Log[d + e*x^(2/3)]^2)/(2*e^3) - (3*b*d^2*n*(d + e*x^(2/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/e^3 + (3*b*d*n*(d + e*x^(2/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(2*e^3) - (b*n*(d + e*x^(2/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(3*e^3) + (b*d^3*n*Log[d + e*x^(2/3)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/e^3 + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2/x^1, x, 5, (3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2*Log[-((e*x^(2/3))/d)] + 3*b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])*PolyLog[2, 1 + (e*x^(2/3))/d] - 3*b^2*n^2*PolyLog[3, 1 + (e*x^(2/3))/d]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2/x^3, x, 12, -((b^2*e^2*n^2)/(2*d^2*x^(2/3))) + (b^2*e^3*n^2*Log[d + e*x^(2/3)])/(2*d^3) - (b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(2*d*x^(4/3)) + (b*e^2*n*(d + e*x^(2/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(d^3*x^(2/3)) + (b*e^3*n*Log[1 - d/(d + e*x^(2/3))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/d^3 - (a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2/(2*x^2) - (b^2*e^3*n^2*Log[x])/d^3 - (b^2*e^3*n^2*PolyLog[2, d/(d + e*x^(2/3))])/d^3}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2/x^5, x, 24, -((b^2*e^2*n^2)/(40*d^2*x^(8/3))) + (3*b^2*e^3*n^2)/(40*d^3*x^2) - (47*b^2*e^4*n^2)/(240*d^4*x^(4/3)) + (77*b^2*e^5*n^2)/(120*d^5*x^(2/3)) - (77*b^2*e^6*n^2*Log[d + e*x^(2/3)])/(120*d^6) - (b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(10*d*x^(10/3)) + (b*e^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(8*d^2*x^(8/3)) - (b*e^3*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(6*d^3*x^2) + (b*e^4*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(4*d^4*x^(4/3)) - (b*e^5*n*(d + e*x^(2/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(2*d^6*x^(2/3)) - (b*e^6*n*Log[1 - d/(d + e*x^(2/3))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(2*d^6) - (a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2/(4*x^4) + (137*b^2*e^6*n^2*Log[x])/(180*d^6) + (b^2*e^6*n^2*PolyLog[2, d/(d + e*x^(2/3))])/(2*d^6)}
+
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2, x, 30, -((4*a*b*d^4*n*x^(1/3))/(3*e^4)) + (4504*b^2*d^4*n^2*x^(1/3))/(945*e^4) - (1984*b^2*d^3*n^2*x)/(2835*e^3) + (1144*b^2*d^2*n^2*x^(5/3))/(4725*e^2) - (128*b^2*d*n^2*x^(7/3))/(1323*e) + (8/243)*b^2*n^2*x^3 - (4504*b^2*d^(9/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]])/(945*e^(9/2)) + (4*I*b^2*d^(9/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]^2)/(3*e^(9/2)) + (8*b^2*d^(9/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x^(1/3))])/(3*e^(9/2)) - (4*b^2*d^4*n*x^(1/3)*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])/(3*e^4) + (4*b*d^3*n*x*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(9*e^3) - (4*b*d^2*n*x^(5/3)*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(15*e^2) + (4*b*d*n*x^(7/3)*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(21*e) - (4/27)*b*n*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]) + (4*b*d^(9/2)*n*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(3*e^(9/2)) + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2 + (4*I*b^2*d^(9/2)*n^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x^(1/3))])/(3*e^(9/2))}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2, x, 18, (4*a*b*d*n*x^(1/3))/e - (32*b^2*d*n^2*x^(1/3))/(3*e) + (8/9)*b^2*n^2*x + (32*b^2*d^(3/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]])/(3*e^(3/2)) - (4*I*b^2*d^(3/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]^2)/e^(3/2) - (8*b^2*d^(3/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x^(1/3))])/e^(3/2) + (4*b^2*d*n*x^(1/3)*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])/e - (4/3)*b*n*x*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]) - (4*b*d^(3/2)*n*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/e^(3/2) + x*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2 - (4*I*b^2*d^(3/2)*n^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x^(1/3))])/e^(3/2)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2/x^2, x, 12, (8*b^2*e^(3/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]])/d^(3/2) - (4*I*b^2*e^(3/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]^2)/d^(3/2) - (8*b^2*e^(3/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x^(1/3))])/d^(3/2) - (4*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(d*x^(1/3)) - (4*b*e^(3/2)*n*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/d^(3/2) - (a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2/x - (4*I*b^2*e^(3/2)*n^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x^(1/3))])/d^(3/2)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2/x^4, x, 24, -((8*b^2*e^2*n^2)/(105*d^2*x^(5/3))) + (32*b^2*e^3*n^2)/(105*d^3*x) - (568*b^2*e^4*n^2)/(315*d^4*x^(1/3)) - (1408*b^2*e^(9/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]])/(315*d^(9/2)) + (4*I*b^2*e^(9/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]^2)/(3*d^(9/2)) + (8*b^2*e^(9/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x^(1/3))])/(3*d^(9/2)) - (4*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(21*d*x^(7/3)) + (4*b*e^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(15*d^2*x^(5/3)) - (4*b*e^3*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(9*d^3*x) + (4*b*e^4*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(3*d^4*x^(1/3)) + (4*b*e^(9/2)*n*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(3*d^(9/2)) - (a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2/(3*x^3) + (4*I*b^2*e^(9/2)*n^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x^(1/3))])/(3*d^(9/2))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2/x^6, x, 45, -((8*b^2*e^2*n^2)/(715*d^2*x^(11/3))) + (64*b^2*e^3*n^2)/(2145*d^3*x^3) - (2872*b^2*e^4*n^2)/(45045*d^4*x^(7/3)) + (1216*b^2*e^5*n^2)/(9009*d^5*x^(5/3)) - (224072*b^2*e^6*n^2)/(675675*d^6*x) + (344192*b^2*e^7*n^2)/(225225*d^7*x^(1/3)) + (704552*b^2*e^(15/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]])/(225225*d^(15/2)) - (4*I*b^2*e^(15/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]^2)/(5*d^(15/2)) - (8*b^2*e^(15/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x^(1/3))])/(5*d^(15/2)) - (4*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(65*d*x^(13/3)) + (4*b*e^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(55*d^2*x^(11/3)) - (4*b*e^3*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(45*d^3*x^3) + (4*b*e^4*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(35*d^4*x^(7/3)) - (4*b*e^5*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(25*d^5*x^(5/3)) + (4*b*e^6*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(15*d^6*x) - (4*b*e^7*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(5*d^7*x^(1/3)) - (4*b*e^(15/2)*n*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(5*d^(15/2)) - (a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2/(5*x^5) - (4*I*b^2*e^(15/2)*n^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x^(1/3))])/(5*d^(15/2))}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3, x, 28, (-45*b^3*d^4*n^3*(d + e*x^(2/3))^2)/(16*e^6) + (10*b^3*d^3*n^3*(d + e*x^(2/3))^3)/(9*e^6) - (45*b^3*d^2*n^3*(d + e*x^(2/3))^4)/(128*e^6) + (9*b^3*d*n^3*(d + e*x^(2/3))^5)/(125*e^6) - (b^3*n^3*(d + e*x^(2/3))^6)/(144*e^6) - (9*a*b^2*d^5*n^2*x^(2/3))/e^5 + (9*b^3*d^5*n^3*x^(2/3))/e^5 - (9*b^3*d^5*n^2*(d + e*x^(2/3))*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])/e^6 + (45*b^2*d^4*n^2*(d + e*x^(2/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(8*e^6) - (10*b^2*d^3*n^2*(d + e*x^(2/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(3*e^6) + (45*b^2*d^2*n^2*(d + e*x^(2/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(32*e^6) - (9*b^2*d*n^2*(d + e*x^(2/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(25*e^6) + (b^2*n^2*(d + e*x^(2/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(24*e^6) + (9*b*d^5*n*(d + e*x^(2/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(2*e^6) - (45*b*d^4*n*(d + e*x^(2/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(8*e^6) + (5*b*d^3*n*(d + e*x^(2/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/e^6 - (45*b*d^2*n*(d + e*x^(2/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(16*e^6) + (9*b*d*n*(d + e*x^(2/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(10*e^6) - (b*n*(d + e*x^(2/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(8*e^6) - (3*d^5*(d + e*x^(2/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3)/(2*e^6) + (15*d^4*(d + e*x^(2/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3)/(4*e^6) - (5*d^3*(d + e*x^(2/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3)/e^6 + (15*d^2*(d + e*x^(2/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3)/(4*e^6) - (3*d*(d + e*x^(2/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3)/(2*e^6) + ((d + e*x^(2/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3)/(4*e^6)}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3, x, 16, (9*b^3*d*n^3*(d + e*x^(2/3))^2)/(8*e^3) - (b^3*n^3*(d + e*x^(2/3))^3)/(9*e^3) + (9*a*b^2*d^2*n^2*x^(2/3))/e^2 - (9*b^3*d^2*n^3*x^(2/3))/e^2 + (9*b^3*d^2*n^2*(d + e*x^(2/3))*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])/e^3 - (9*b^2*d*n^2*(d + e*x^(2/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(4*e^3) + (b^2*n^2*(d + e*x^(2/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(3*e^3) - (9*b*d^2*n*(d + e*x^(2/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(2*e^3) + (9*b*d*n*(d + e*x^(2/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(4*e^3) - (b*n*(d + e*x^(2/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(2*e^3) + (3*d^2*(d + e*x^(2/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3)/(2*e^3) - (3*d*(d + e*x^(2/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3)/(2*e^3) + ((d + e*x^(2/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3)/(2*e^3)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3/x^1, x, 6, (3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3*Log[-((e*x^(2/3))/d)])/2 + (9*b*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2*PolyLog[2, 1 + (e*x^(2/3))/d])/2 - 9*b^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])*PolyLog[3, 1 + (e*x^(2/3))/d] + 9*b^3*n^3*PolyLog[4, 1 + (e*x^(2/3))/d]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3/x^3, x, 17, -((3*b^2*e^2*n^2*(d + e*x^(2/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(2*d^3*x^(2/3))) - (3*b^2*e^3*n^2*Log[1 - d/(d + e*x^(2/3))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(2*d^3) - (3*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(4*d*x^(4/3)) + (3*b*e^2*n*(d + e*x^(2/3))*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(2*d^3*x^(2/3)) + (3*b*e^3*n*Log[1 - d/(d + e*x^(2/3))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(2*d^3) - (a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3/(2*x^2) - (3*b^2*e^3*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])*Log[-((e*x^(2/3))/d)])/d^3 + (b^3*e^3*n^3*Log[x])/d^3 + (3*b^3*e^3*n^3*PolyLog[2, d/(d + e*x^(2/3))])/(2*d^3) - (3*b^2*e^3*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])*PolyLog[2, d/(d + e*x^(2/3))])/d^3 - (3*b^3*e^3*n^3*PolyLog[2, 1 + (e*x^(2/3))/d])/d^3 - (3*b^3*e^3*n^3*PolyLog[3, d/(d + e*x^(2/3))])/d^3}
+
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3, x, 109, (4504*a*b^2*d^4*n^2*x^(1/3))/(315*e^4) - (3475504*b^3*d^4*n^3*x^(1/3))/(99225*e^4) + (637984*b^3*d^3*n^3*x)/(297675*e^3) - (221344*b^3*d^2*n^3*x^(5/3))/(496125*e^2) + (3088*b^3*d*n^3*x^(7/3))/(27783*e) - (16*b^3*n^3*x^3)/729 + (3475504*b^3*d^(9/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]])/(99225*e^(9/2)) - (((4504*I)/315)*b^3*d^(9/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]^2)/e^(9/2) - (9008*b^3*d^(9/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x^(1/3))])/(315*e^(9/2)) + (4504*b^3*d^4*n^2*x^(1/3)*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])/(315*e^4) - (1984*b^2*d^3*n^2*x*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(945*e^3) + (1144*b^2*d^2*n^2*x^(5/3)*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(1575*e^2) - (128*b^2*d*n^2*x^(7/3)*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(441*e) + (8*b^2*n^2*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/81 - (4504*b^2*d^(9/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(315*e^(9/2)) - (2*b*d^4*n*x^(1/3)*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/e^4 + (2*b*d^3*n*x*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(3*e^3) - (2*b*d^2*n*x^(5/3)*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(5*e^2) + (2*b*d*n*x^(7/3)*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(7*e) - (2*b*n*x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/9 + (x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3)/3 - (((4504*I)/315)*b^3*d^(9/2)*n^3*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x^(1/3))])/e^(9/2) + (2*b*d^5*n*Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2/((d + e*x^(2/3))*x^(2/3)), x])/(3*e^4)}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3, x, 34, (-32*a*b^2*d*n^2*x^(1/3))/e + (208*b^3*d*n^3*x^(1/3))/(3*e) - (16*b^3*n^3*x)/9 - (208*b^3*d^(3/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]])/(3*e^(3/2)) + ((32*I)*b^3*d^(3/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]^2)/e^(3/2) + (64*b^3*d^(3/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x^(1/3))])/e^(3/2) - (32*b^3*d*n^2*x^(1/3)*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])/e + (8*b^2*n^2*x*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/3 + (32*b^2*d^(3/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/e^(3/2) + (6*b*d*n*x^(1/3)*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/e - 2*b*n*x*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2 + x*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3 + ((32*I)*b^3*d^(3/2)*n^3*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x^(1/3))])/e^(3/2) - (2*b*d^2*n*Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2/((d + e*x^(2/3))*x^(2/3)), x])/e}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3/x^2, x, 11, ((24*I)*b^3*e^(3/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]^2)/d^(3/2) + (48*b^3*e^(3/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x^(1/3))])/d^(3/2) + (24*b^2*e^(3/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/d^(3/2) - (6*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(d*x^(1/3)) - (a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3/x + ((24*I)*b^3*e^(3/2)*n^3*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x^(1/3))])/d^(3/2) - (2*b*e^2*n*Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2/((d + e*x^(2/3))*x^(2/3)), x])/d}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3/x^4, x, 54, -((16*b^3*e^3*n^3)/(105*d^3*x)) + (16*b^3*e^4*n^3)/(7*d^4*x^(1/3)) + (1376*b^3*e^(9/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]])/(105*d^(9/2)) - (1408*I*b^3*e^(9/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]^2)/(105*d^(9/2)) - (2816*b^3*e^(9/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]*Log[(2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x^(1/3))])/(105*d^(9/2)) - (8*b^2*e^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(35*d^2*x^(5/3)) + (32*b^2*e^3*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(35*d^3*x) - (568*b^2*e^4*n^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(105*d^4*x^(1/3)) - (1408*b^2*e^(9/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[e]*x^(1/3))/Sqrt[d]]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n]))/(105*d^(9/2)) - (2*b*e*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(7*d*x^(7/3)) + (2*b*e^2*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(5*d^2*x^(5/3)) - (2*b*e^3*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(3*d^3*x) + (2*b*e^4*n*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2)/(d^4*x^(1/3)) - (a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^3/(3*x^3) - (1408*I*b^3*e^(9/2)*n^3*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[d])/(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x^(1/3))])/(105*d^(9/2)) + (2*b*e^5*n*Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^n])^2/((d + e*x^(2/3))*x^(2/3)), x])/(3*d^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m=-1*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]), x, 4, (b*e^11*n*x^(1/3))/(4*d^11) - (b*e^10*n*x^(2/3))/(8*d^10) + (b*e^9*n*x)/(12*d^9) - (b*e^8*n*x^(4/3))/(16*d^8) + (b*e^7*n*x^(5/3))/(20*d^7) - (b*e^6*n*x^2)/(24*d^6) + (b*e^5*n*x^(7/3))/(28*d^5) - (b*e^4*n*x^(8/3))/(32*d^4) + (b*e^3*n*x^3)/(36*d^3) - (b*e^2*n*x^(10/3))/(40*d^2) + (b*e*n*x^(11/3))/(44*d) - (b*e^12*n*Log[d + e/x^(1/3)])/(4*d^12) + (x^4*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/4 - (b*e^12*n*Log[x])/(12*d^12)}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]), x, 4, -(b*e^8*n*x^(1/3))/(3*d^8) + (b*e^7*n*x^(2/3))/(6*d^7) - (b*e^6*n*x)/(9*d^6) + (b*e^5*n*x^(4/3))/(12*d^5) - (b*e^4*n*x^(5/3))/(15*d^4) + (b*e^3*n*x^2)/(18*d^3) - (b*e^2*n*x^(7/3))/(21*d^2) + (b*e*n*x^(8/3))/(24*d) + (b*e^9*n*Log[d + e/x^(1/3)])/(3*d^9) + (x^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/3 + (b*e^9*n*Log[x])/(9*d^9)}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]), x, 4, (b*e^5*n*x^(1/3))/(2*d^5) - (b*e^4*n*x^(2/3))/(4*d^4) + (b*e^3*n*x)/(6*d^3) - (b*e^2*n*x^(4/3))/(8*d^2) + (b*e*n*x^(5/3))/(10*d) - (b*e^6*n*Log[d + e/x^(1/3)])/(2*d^6) + (x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/2 - (b*e^6*n*Log[x])/(6*d^6)}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]), x, 6, -((b*e^2*n*x^(1/3))/d^2) + (b*e*n*x^(2/3))/(2*d) + a*x + b*x*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n] + (b*e^3*n*Log[e + d*x^(1/3)])/d^3}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])/x^1, x, 3, -3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])*Log[-(e/(d*x^(1/3)))] - 3*b*n*PolyLog[2, 1 + e/(d*x^(1/3))]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])/x^2, x, 4, (b*n)/(3*x) - (b*d*n)/(2*e*x^(2/3)) + (b*d^2*n)/(e^2*x^(1/3)) - (b*d^3*n*Log[d + e/x^(1/3)])/e^3 - (a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])/x}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])/x^3, x, 4, (b*n)/(12*x^2) - (b*d*n)/(10*e*x^(5/3)) + (b*d^2*n)/(8*e^2*x^(4/3)) - (b*d^3*n)/(6*e^3*x) + (b*d^4*n)/(4*e^4*x^(2/3)) - (b*d^5*n)/(2*e^5*x^(1/3)) + (b*d^6*n*Log[d + e/x^(1/3)])/(2*e^6) - (a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])/(2*x^2)}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])/x^4, x, 4, (b*n)/(27*x^3) - (b*d*n)/(24*e*x^(8/3)) + (b*d^2*n)/(21*e^2*x^(7/3)) - (b*d^3*n)/(18*e^3*x^2) + (b*d^4*n)/(15*e^4*x^(5/3)) - (b*d^5*n)/(12*e^5*x^(4/3)) + (b*d^6*n)/(9*e^6*x) - (b*d^7*n)/(6*e^7*x^(2/3)) + (b*d^8*n)/(3*e^8*x^(1/3)) - (b*d^9*n*Log[d + e/x^(1/3)])/(3*e^9) - (a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])/(3*x^3)}
+
+
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2, x, 36, (481*b^2*e^8*n^2*x^(1/3))/(420*d^8) - (341*b^2*e^7*n^2*x^(2/3))/(840*d^7) + (743*b^2*e^6*n^2*x)/(3780*d^6) - (533*b^2*e^5*n^2*x^(4/3))/(5040*d^5) + (73*b^2*e^4*n^2*x^(5/3))/(1260*d^4) - (5*b^2*e^3*n^2*x^2)/(168*d^3) + (b^2*e^2*n^2*x^(7/3))/(84*d^2) - (481*b^2*e^9*n^2*Log[d + e/x^(1/3)])/(420*d^9) - (2*b*e^8*n*(d + e/x^(1/3))*x^(1/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(3*d^9) + (b*e^7*n*x^(2/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(3*d^7) - (2*b*e^6*n*x*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(9*d^6) + (b*e^5*n*x^(4/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(6*d^5) - (2*b*e^4*n*x^(5/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(15*d^4) + (b*e^3*n*x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(9*d^3) - (2*b*e^2*n*x^(7/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(21*d^2) + (b*e*n*x^(8/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(12*d) - (2*b*e^9*n*Log[1 - d/(d + e/x^(1/3))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(3*d^9) + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2 - (761*b^2*e^9*n^2*Log[x])/(1260*d^9) + (2*b^2*e^9*n^2*PolyLog[2, d/(d + e/x^(1/3))])/(3*d^9)}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2, x, 24, -((77*b^2*e^5*n^2*x^(1/3))/(60*d^5)) + (47*b^2*e^4*n^2*x^(2/3))/(120*d^4) - (3*b^2*e^3*n^2*x)/(20*d^3) + (b^2*e^2*n^2*x^(4/3))/(20*d^2) + (77*b^2*e^6*n^2*Log[d + e/x^(1/3)])/(60*d^6) + (b*e^5*n*(d + e/x^(1/3))*x^(1/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/d^6 - (b*e^4*n*x^(2/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(2*d^4) + (b*e^3*n*x*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(3*d^3) - (b*e^2*n*x^(4/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(4*d^2) + (b*e*n*x^(5/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(5*d) + (b*e^6*n*Log[1 - d/(d + e/x^(1/3))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/d^6 + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2 + (137*b^2*e^6*n^2*Log[x])/(180*d^6) - (b^2*e^6*n^2*PolyLog[2, d/(d + e/x^(1/3))])/d^6}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2, x, 13, (b^2*e^2*n^2*x^(1/3))/d^2 - (b^2*e^3*n^2*Log[d + e/x^(1/3)])/d^3 - (2*b*e^2*n*(d + e/x^(1/3))*x^(1/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/d^3 + (b*e*n*x^(2/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/d - (2*b*e^3*n*Log[1 - d/(d + e/x^(1/3))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/d^3 + x*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2 - (b^2*e^3*n^2*Log[x])/d^3 + (2*b^2*e^3*n^2*PolyLog[2, d/(d + e/x^(1/3))])/d^3}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2/x^1, x, 5, -3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2*Log[-(e/(d*x^(1/3)))] - 6*b*n*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])*PolyLog[2, 1 + e/(d*x^(1/3))] + 6*b^2*n^2*PolyLog[3, 1 + e/(d*x^(1/3))]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2/x^2, x, 8, (3*b^2*d*n^2*(d + e/x^(1/3))^2)/(2*e^3) - (2*b^2*n^2*(d + e/x^(1/3))^3)/(9*e^3) - (6*b^2*d^2*n^2)/(e^2*x^(1/3)) + (b^2*d^3*n^2*Log[d + e/x^(1/3)]^2)/e^3 + (6*b*d^2*n*(d + e/x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/e^3 - (3*b*d*n*(d + e/x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/e^3 + (2*b*n*(d + e/x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(3*e^3) - (2*b*d^3*n*Log[d + e/x^(1/3)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/e^3 - (a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2/x}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2/x^3, x, 8, -((15*b^2*d^4*n^2*(d + e/x^(1/3))^2)/(4*e^6)) + (20*b^2*d^3*n^2*(d + e/x^(1/3))^3)/(9*e^6) - (15*b^2*d^2*n^2*(d + e/x^(1/3))^4)/(16*e^6) + (6*b^2*d*n^2*(d + e/x^(1/3))^5)/(25*e^6) - (b^2*n^2*(d + e/x^(1/3))^6)/(36*e^6) + (6*b^2*d^5*n^2)/(e^5*x^(1/3)) - (b^2*d^6*n^2*Log[d + e/x^(1/3)]^2)/(2*e^6) - (6*b*d^5*n*(d + e/x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/e^6 + (15*b*d^4*n*(d + e/x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(2*e^6) - (20*b*d^3*n*(d + e/x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(3*e^6) + (15*b*d^2*n*(d + e/x^(1/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(4*e^6) - (6*b*d*n*(d + e/x^(1/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(5*e^6) + (b*n*(d + e/x^(1/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(6*e^6) + (b*d^6*n*Log[d + e/x^(1/3)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/e^6 - (a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2/(2*x^2)}
+
+
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^3, x, 62, (71*b^3*e^5*n^3*x^(1/3))/(40*d^5) - (3*b^3*e^4*n^3*x^(2/3))/(10*d^4) + (b^3*e^3*n^3*x)/(20*d^3) - (71*b^3*e^6*n^3*Log[d + e/x^(1/3)])/(40*d^6) - (77*b^2*e^5*n^2*(d + e/x^(1/3))*x^(1/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(20*d^6) + (47*b^2*e^4*n^2*x^(2/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(40*d^4) - (9*b^2*e^3*n^2*x*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(20*d^3) + (3*b^2*e^2*n^2*x^(4/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(20*d^2) - (77*b^2*e^6*n^2*Log[1 - d/(d + e/x^(1/3))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(20*d^6) + (3*b*e^5*n*(d + e/x^(1/3))*x^(1/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2)/(2*d^6) - (3*b*e^4*n*x^(2/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2)/(4*d^4) + (b*e^3*n*x*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2)/(2*d^3) - (3*b*e^2*n*x^(4/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2)/(8*d^2) + (3*b*e*n*x^(5/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2)/(10*d) + (3*b*e^6*n*Log[1 - d/(d + e/x^(1/3))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2)/(2*d^6) + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^3 - (3*b^2*e^6*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])*Log[-(e/(d*x^(1/3)))])/d^6 - (15*b^3*e^6*n^3*Log[x])/(8*d^6) + (77*b^3*e^6*n^3*PolyLog[2, d/(d + e/x^(1/3))])/(20*d^6) - (3*b^2*e^6*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])*PolyLog[2, d/(d + e/x^(1/3))])/d^6 - (3*b^3*e^6*n^3*PolyLog[2, 1 + e/(d*x^(1/3))])/d^6 - (3*b^3*e^6*n^3*PolyLog[3, d/(d + e/x^(1/3))])/d^6}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^3, x, 18, (3*b^2*e^2*n^2*(d + e/x^(1/3))*x^(1/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/d^3 + (3*b^2*e^3*n^2*Log[1 - d/(d + e/x^(1/3))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/d^3 - (3*b*e^2*n*(d + e/x^(1/3))*x^(1/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2)/d^3 + (3*b*e*n*x^(2/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2)/(2*d) - (3*b*e^3*n*Log[1 - d/(d + e/x^(1/3))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2)/d^3 + x*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^3 + (6*b^2*e^3*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])*Log[-(e/(d*x^(1/3)))])/d^3 + (b^3*e^3*n^3*Log[x])/d^3 - (3*b^3*e^3*n^3*PolyLog[2, d/(d + e/x^(1/3))])/d^3 + (6*b^2*e^3*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])*PolyLog[2, d/(d + e/x^(1/3))])/d^3 + (6*b^3*e^3*n^3*PolyLog[2, 1 + e/(d*x^(1/3))])/d^3 + (6*b^3*e^3*n^3*PolyLog[3, d/(d + e/x^(1/3))])/d^3}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^3/x^1, x, 6, -3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^3*Log[-(e/(d*x^(1/3)))] - 9*b*n*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2*PolyLog[2, 1 + e/(d*x^(1/3))] + 18*b^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])*PolyLog[3, 1 + e/(d*x^(1/3))] - 18*b^3*n^3*PolyLog[4, 1 + e/(d*x^(1/3))]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^3/x^2, x, 16, (-9*b^3*d*n^3*(d + e/x^(1/3))^2)/(4*e^3) + (2*b^3*n^3*(d + e/x^(1/3))^3)/(9*e^3) - (18*a*b^2*d^2*n^2)/(e^2*x^(1/3)) + (18*b^3*d^2*n^3)/(e^2*x^(1/3)) - (18*b^3*d^2*n^2*(d + e/x^(1/3))*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])/e^3 + (9*b^2*d*n^2*(d + e/x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(2*e^3) - (2*b^2*n^2*(d + e/x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(3*e^3) + (9*b*d^2*n*(d + e/x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2)/e^3 - (9*b*d*n*(d + e/x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2)/(2*e^3) + (b*n*(d + e/x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2)/e^3 - (3*d^2*(d + e/x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^3)/e^3 + (3*d*(d + e/x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^3)/e^3 - ((d + e/x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^3)/e^3}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^3/x^3, x, 28, (45*b^3*d^4*n^3*(d + e/x^(1/3))^2)/(8*e^6) - (20*b^3*d^3*n^3*(d + e/x^(1/3))^3)/(9*e^6) + (45*b^3*d^2*n^3*(d + e/x^(1/3))^4)/(64*e^6) - (18*b^3*d*n^3*(d + e/x^(1/3))^5)/(125*e^6) + (b^3*n^3*(d + e/x^(1/3))^6)/(72*e^6) + (18*a*b^2*d^5*n^2)/(e^5*x^(1/3)) - (18*b^3*d^5*n^3)/(e^5*x^(1/3)) + (18*b^3*d^5*n^2*(d + e/x^(1/3))*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])/e^6 - (45*b^2*d^4*n^2*(d + e/x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(4*e^6) + (20*b^2*d^3*n^2*(d + e/x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(3*e^6) - (45*b^2*d^2*n^2*(d + e/x^(1/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(16*e^6) + (18*b^2*d*n^2*(d + e/x^(1/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(25*e^6) - (b^2*n^2*(d + e/x^(1/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n]))/(12*e^6) - (9*b*d^5*n*(d + e/x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2)/e^6 + (45*b*d^4*n*(d + e/x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2)/(4*e^6) - (10*b*d^3*n*(d + e/x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2)/e^6 + (45*b*d^2*n*(d + e/x^(1/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2)/(8*e^6) - (9*b*d*n*(d + e/x^(1/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2)/(5*e^6) + (b*n*(d + e/x^(1/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^2)/(4*e^6) + (3*d^5*(d + e/x^(1/3))*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^3)/e^6 - (15*d^4*(d + e/x^(1/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^3)/(2*e^6) + (10*d^3*(d + e/x^(1/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^3)/e^6 - (15*d^2*(d + e/x^(1/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^3)/(2*e^6) + (3*d*(d + e/x^(1/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^3)/e^6 - ((d + e/x^(1/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^n])^3)/(2*e^6)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m=-2*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]), x, 4, (b*e^5*n*x^(2/3))/(4*d^5) - (b*e^4*n*x^(4/3))/(8*d^4) + (b*e^3*n*x^2)/(12*d^3) - (b*e^2*n*x^(8/3))/(16*d^2) + (b*e*n*x^(10/3))/(20*d) - (b*e^6*n*Log[d + e/x^(2/3)])/(4*d^6) + (x^4*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/4 - (b*e^6*n*Log[x])/(6*d^6)}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]), x, 6, (-2*b*e^4*n*x^(1/3))/(3*d^4) + (2*b*e^3*n*x)/(9*d^3) - (2*b*e^2*n*x^(5/3))/(15*d^2) + (2*b*e*n*x^(7/3))/(21*d) + (2*b*e^(9/2)*n*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]])/(3*d^(9/2)) + (x^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/3}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]), x, 4, -(b*e^2*n*x^(2/3))/(2*d^2) + (b*e*n*x^(4/3))/(4*d) + (b*e^3*n*Log[d + e/x^(2/3)])/(2*d^3) + (x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/2 + (b*e^3*n*Log[x])/(3*d^3)}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]), x, 6, (2*b*e*n*x^(1/3))/d + a*x - (2*b*e^(3/2)*n*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]])/d^(3/2) + b*x*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])/x^1, x, 3, (-3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])*Log[-(e/(d*x^(2/3)))])/2 - (3*b*n*PolyLog[2, 1 + e/(d*x^(2/3))])/2}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])/x^2, x, 6, (2*b*n)/(3*x) - (2*b*d*n)/(e*x^(1/3)) - (2*b*d^(3/2)*n*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]])/e^(3/2) - (a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])/x}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])/x^3, x, 4, (b*n)/(6*x^2) - (b*d*n)/(4*e*x^(4/3)) + (b*d^2*n)/(2*e^2*x^(2/3)) - (b*d^3*n*Log[d + e/x^(2/3)])/(2*e^3) - (a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])/(2*x^2)}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])/x^4, x, 9, (2*b*n)/(27*x^3) - (2*b*d*n)/(21*e*x^(7/3)) + (2*b*d^2*n)/(15*e^2*x^(5/3)) - (2*b*d^3*n)/(9*e^3*x) + (2*b*d^4*n)/(3*e^4*x^(1/3)) + (2*b*d^(9/2)*n*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]])/(3*e^(9/2)) - (a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])/(3*x^3)}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2, x, 24, -((77*b^2*e^5*n^2*x^(2/3))/(120*d^5)) + (47*b^2*e^4*n^2*x^(4/3))/(240*d^4) - (3*b^2*e^3*n^2*x^2)/(40*d^3) + (b^2*e^2*n^2*x^(8/3))/(40*d^2) + (77*b^2*e^6*n^2*Log[d + e/x^(2/3)])/(120*d^6) + (b*e^5*n*(d + e/x^(2/3))*x^(2/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(2*d^6) - (b*e^4*n*x^(4/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(4*d^4) + (b*e^3*n*x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(6*d^3) - (b*e^2*n*x^(8/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(8*d^2) + (b*e*n*x^(10/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(10*d) + (b*e^6*n*Log[1 - d/(d + e/x^(2/3))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(2*d^6) + (1/4)*x^4*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2 + (137*b^2*e^6*n^2*Log[x])/(180*d^6) - (b^2*e^6*n^2*PolyLog[2, d/(d + e/x^(2/3))])/(2*d^6)}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2, x, 12, (b^2*e^2*n^2*x^(2/3))/(2*d^2) - (b^2*e^3*n^2*Log[d + e/x^(2/3)])/(2*d^3) - (b*e^2*n*(d + e/x^(2/3))*x^(2/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/d^3 + (b*e*n*x^(4/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(2*d) - (b*e^3*n*Log[1 - d/(d + e/x^(2/3))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/d^3 + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2 - (b^2*e^3*n^2*Log[x])/d^3 + (b^2*e^3*n^2*PolyLog[2, d/(d + e/x^(2/3))])/d^3}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2/x^1, x, 5, (-3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2*Log[-(e/(d*x^(2/3)))])/2 - 3*b*n*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])*PolyLog[2, 1 + e/(d*x^(2/3))] + 3*b^2*n^2*PolyLog[3, 1 + e/(d*x^(2/3))]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2/x^3, x, 8, (3*b^2*d*n^2*(d + e/x^(2/3))^2)/(4*e^3) - (b^2*n^2*(d + e/x^(2/3))^3)/(9*e^3) - (3*b^2*d^2*n^2)/(e^2*x^(2/3)) + (b^2*d^3*n^2*Log[d + e/x^(2/3)]^2)/(2*e^3) + (3*b*d^2*n*(d + e/x^(2/3))*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/e^3 - (3*b*d*n*(d + e/x^(2/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(2*e^3) + (b*n*(d + e/x^(2/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(3*e^3) - (b*d^3*n*Log[d + e/x^(2/3)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/e^3 - (a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2/(2*x^2)}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2/x^5, x, 8, -((15*b^2*d^4*n^2*(d + e/x^(2/3))^2)/(8*e^6)) + (10*b^2*d^3*n^2*(d + e/x^(2/3))^3)/(9*e^6) - (15*b^2*d^2*n^2*(d + e/x^(2/3))^4)/(32*e^6) + (3*b^2*d*n^2*(d + e/x^(2/3))^5)/(25*e^6) - (b^2*n^2*(d + e/x^(2/3))^6)/(72*e^6) + (3*b^2*d^5*n^2)/(e^5*x^(2/3)) - (b^2*d^6*n^2*Log[d + e/x^(2/3)]^2)/(4*e^6) - (3*b*d^5*n*(d + e/x^(2/3))*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/e^6 + (15*b*d^4*n*(d + e/x^(2/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(4*e^6) - (10*b*d^3*n*(d + e/x^(2/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(3*e^6) + (15*b*d^2*n*(d + e/x^(2/3))^4*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(8*e^6) - (3*b*d*n*(d + e/x^(2/3))^5*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(5*e^6) + (b*n*(d + e/x^(2/3))^6*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(12*e^6) + (b*d^6*n*Log[d + e/x^(2/3)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(2*e^6) - (a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2/(4*x^4)}
+
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2, x, 28, (-4*a*b*e^4*n*x^(1/3))/(3*d^4) + (568*b^2*e^4*n^2*x^(1/3))/(315*d^4) - (32*b^2*e^3*n^2*x)/(105*d^3) + (8*b^2*e^2*n^2*x^(5/3))/(105*d^2) - (1408*b^2*e^(9/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]])/(315*d^(9/2)) - (((4*I)/3)*b^2*e^(9/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]^2)/d^(9/2) + (8*b^2*e^(9/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]*Log[2 - (2*Sqrt[e])/(Sqrt[e] - I*Sqrt[d]*x^(1/3))])/(3*d^(9/2)) - (4*b^2*e^4*n*x^(1/3)*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])/(3*d^4) + (4*b*e^3*n*x*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(9*d^3) - (4*b*e^2*n*x^(5/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(15*d^2) + (4*b*e*n*x^(7/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(21*d) + (4*b*e^(9/2)*n*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(3*d^(9/2)) + (x^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/3 - (((4*I)/3)*b^2*e^(9/2)*n^2*PolyLog[2, -1 + (2*Sqrt[e])/(Sqrt[e] - I*Sqrt[d]*x^(1/3))])/d^(9/2)}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2, x, 14, (4*a*b*e*n*x^(1/3))/d + (8*b^2*e^(3/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]])/d^(3/2) + ((4*I)*b^2*e^(3/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]^2)/d^(3/2) - (8*b^2*e^(3/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]*Log[2 - (2*Sqrt[e])/(Sqrt[e] - I*Sqrt[d]*x^(1/3))])/d^(3/2) + (4*b^2*e*n*x^(1/3)*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])/d - (4*b*e^(3/2)*n*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/d^(3/2) + x*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2 + ((4*I)*b^2*e^(3/2)*n^2*PolyLog[2, -1 + (2*Sqrt[e])/(Sqrt[e] - I*Sqrt[d]*x^(1/3))])/d^(3/2)}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2/x^2, x, 19, (-8*b^2*n^2)/(9*x) + (32*b^2*d*n^2)/(3*e*x^(1/3)) + (32*b^2*d^(3/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]])/(3*e^(3/2)) + ((4*I)*b^2*d^(3/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]^2)/e^(3/2) - (8*b^2*d^(3/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]*Log[2 - (2*Sqrt[e])/(Sqrt[e] - I*Sqrt[d]*x^(1/3))])/e^(3/2) + (4*b*n*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(3*x) - (4*b*d*n*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(e*x^(1/3)) - (4*b*d^(3/2)*n*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/e^(3/2) - (a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2/x + ((4*I)*b^2*d^(3/2)*n^2*PolyLog[2, -1 + (2*Sqrt[e])/(Sqrt[e] - I*Sqrt[d]*x^(1/3))])/e^(3/2)}
+(* {(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2/x^4, x, 40, -((8*b^2*n^2)/(243*x^3)) + (128*b^2*d*n^2)/(1323*e*x^(7/3)) - (1144*b^2*d^2*n^2)/(4725*e^2*x^(5/3)) + (1984*b^2*d^3*n^2)/(2835*e^3*x) - (4504*b^2*d^4*n^2)/(945*e^4*x^(1/3)) - (4504*b^2*d^(9/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]])/(945*e^(9/2)) - (4*I*b^2*d^(9/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]^2)/(3*e^(9/2)) + (8*b^2*d^(9/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]*Log[2 - (2*Sqrt[e])/(Sqrt[e] - I*Sqrt[d]*x^(1/3))])/(3*e^(9/2)) + (4*b*n*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(27*x^3) - (4*b*d*n*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(21*e*x^(7/3)) + (4*b*d^2*n*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(15*e^2*x^(5/3)) - (4*b*d^3*n*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(9*e^3*x) + (4*b*d^4*n*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(3*e^4*x^(1/3)) + (4*b*d^(9/2)*n*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(3*e^(9/2)) - (a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2/(3*x^3) - (4*I*b^2*d^(9/2)*n^2*PolyLog[2, -1 + (2*Sqrt[e])/(Sqrt[e] - I*Sqrt[d]*x^(1/3))])/(3*e^(9/2))} *)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^3, x, 62, (71*b^3*e^5*n^3*x^(2/3))/(80*d^5) - (3*b^3*e^4*n^3*x^(4/3))/(20*d^4) + (b^3*e^3*n^3*x^2)/(40*d^3) - (71*b^3*e^6*n^3*Log[d + e/x^(2/3)])/(80*d^6) - (77*b^2*e^5*n^2*(d + e/x^(2/3))*x^(2/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(40*d^6) + (47*b^2*e^4*n^2*x^(4/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(80*d^4) - (9*b^2*e^3*n^2*x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(40*d^3) + (3*b^2*e^2*n^2*x^(8/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(40*d^2) - (77*b^2*e^6*n^2*Log[1 - d/(d + e/x^(2/3))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(40*d^6) + (3*b*e^5*n*(d + e/x^(2/3))*x^(2/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(4*d^6) - (3*b*e^4*n*x^(4/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(8*d^4) + (b*e^3*n*x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(4*d^3) - (3*b*e^2*n*x^(8/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(16*d^2) + (3*b*e*n*x^(10/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(20*d) + (3*b*e^6*n*Log[1 - d/(d + e/x^(2/3))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(4*d^6) + (1/4)*x^4*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^3 - (3*b^2*e^6*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])*Log[-(e/(d*x^(2/3)))])/(2*d^6) - (15*b^3*e^6*n^3*Log[x])/(8*d^6) + (77*b^3*e^6*n^3*PolyLog[2, d/(d + e/x^(2/3))])/(40*d^6) - (3*b^2*e^6*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])*PolyLog[2, d/(d + e/x^(2/3))])/(2*d^6) - (3*b^3*e^6*n^3*PolyLog[2, 1 + e/(d*x^(2/3))])/(2*d^6) - (3*b^3*e^6*n^3*PolyLog[3, d/(d + e/x^(2/3))])/(2*d^6)}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^3, x, 17, (3*b^2*e^2*n^2*(d + e/x^(2/3))*x^(2/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(2*d^3) + (3*b^2*e^3*n^2*Log[1 - d/(d + e/x^(2/3))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(2*d^3) - (3*b*e^2*n*(d + e/x^(2/3))*x^(2/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(2*d^3) + (3*b*e*n*x^(4/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(4*d) - (3*b*e^3*n*Log[1 - d/(d + e/x^(2/3))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(2*d^3) + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^3 + (3*b^2*e^3*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])*Log[-(e/(d*x^(2/3)))])/d^3 + (b^3*e^3*n^3*Log[x])/d^3 - (3*b^3*e^3*n^3*PolyLog[2, d/(d + e/x^(2/3))])/(2*d^3) + (3*b^2*e^3*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])*PolyLog[2, d/(d + e/x^(2/3))])/d^3 + (3*b^3*e^3*n^3*PolyLog[2, 1 + e/(d*x^(2/3))])/d^3 + (3*b^3*e^3*n^3*PolyLog[3, d/(d + e/x^(2/3))])/d^3}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^3/x^1, x, 6, (-3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^3*Log[-(e/(d*x^(2/3)))])/2 - (9*b*n*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2*PolyLog[2, 1 + e/(d*x^(2/3))])/2 + 9*b^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])*PolyLog[3, 1 + e/(d*x^(2/3))] - 9*b^3*n^3*PolyLog[4, 1 + e/(d*x^(2/3))]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^3/x^3, x, 16, (-9*b^3*d*n^3*(d + e/x^(2/3))^2)/(8*e^3) + (b^3*n^3*(d + e/x^(2/3))^3)/(9*e^3) - (9*a*b^2*d^2*n^2)/(e^2*x^(2/3)) + (9*b^3*d^2*n^3)/(e^2*x^(2/3)) - (9*b^3*d^2*n^2*(d + e/x^(2/3))*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])/e^3 + (9*b^2*d*n^2*(d + e/x^(2/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(4*e^3) - (b^2*n^2*(d + e/x^(2/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(3*e^3) + (9*b*d^2*n*(d + e/x^(2/3))*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(2*e^3) - (9*b*d*n*(d + e/x^(2/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(4*e^3) + (b*n*(d + e/x^(2/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(2*e^3) - (3*d^2*(d + e/x^(2/3))*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^3)/(2*e^3) + (3*d*(d + e/x^(2/3))^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^3)/(2*e^3) - ((d + e/x^(2/3))^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^3)/(2*e^3)}
+
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^3, x, 83, (568*a*b^2*e^4*n^2*x^(1/3))/(105*d^4) - (16*b^3*e^4*n^3*x^(1/3))/(7*d^4) + (16*b^3*e^3*n^3*x)/(105*d^3) + (1376*b^3*e^(9/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]])/(105*d^(9/2)) + (((568*I)/105)*b^3*e^(9/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]^2)/d^(9/2) - (1136*b^3*e^(9/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]*Log[2 - (2*Sqrt[e])/(Sqrt[e] - I*Sqrt[d]*x^(1/3))])/(105*d^(9/2)) + (568*b^3*e^4*n^2*x^(1/3)*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])/(105*d^4) - (32*b^2*e^3*n^2*x*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(35*d^3) + (8*b^2*e^2*n^2*x^(5/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(35*d^2) - (568*b^2*e^(9/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(105*d^(9/2)) - (2*b*e^4*n*x^(1/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/d^4 + (2*b*e^3*n*x*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(3*d^3) - (2*b*e^2*n*x^(5/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(5*d^2) + (2*b*e*n*x^(7/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(7*d) + (x^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^3)/3 + (4*b^2*e^(9/2)*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])*Log[Sqrt[e] - Sqrt[-d]*x^(1/3)])/(-d)^(9/2) - (2*b^3*e^(9/2)*n^3*Log[Sqrt[e] - Sqrt[-d]*x^(1/3)]^2)/(-d)^(9/2) - (4*b^2*e^(9/2)*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])*Log[Sqrt[e] + Sqrt[-d]*x^(1/3)])/(-d)^(9/2) + (2*b^3*e^(9/2)*n^3*Log[Sqrt[e] + Sqrt[-d]*x^(1/3)]^2)/(-d)^(9/2) + (4*b^3*e^(9/2)*n^3*Log[Sqrt[e] + Sqrt[-d]*x^(1/3)]*Log[1/2 - (Sqrt[-d]*x^(1/3))/(2*Sqrt[e])])/(-d)^(9/2) - (4*b^3*e^(9/2)*n^3*Log[Sqrt[e] - Sqrt[-d]*x^(1/3)]*Log[(1 + (Sqrt[-d]*x^(1/3))/Sqrt[e])/2])/(-d)^(9/2) - (8*b^3*e^(9/2)*n^3*Log[Sqrt[e] + Sqrt[-d]*x^(1/3)]*Log[-((Sqrt[-d]*x^(1/3))/Sqrt[e])])/(-d)^(9/2) + (8*b^3*e^(9/2)*n^3*Log[Sqrt[e] - Sqrt[-d]*x^(1/3)]*Log[(Sqrt[-d]*x^(1/3))/Sqrt[e]])/(-d)^(9/2) + (((568*I)/105)*b^3*e^(9/2)*n^3*PolyLog[2, -1 + (2*Sqrt[e])/(Sqrt[e] - I*Sqrt[d]*x^(1/3))])/d^(9/2) + (8*b^3*e^(9/2)*n^3*PolyLog[2, 1 - (Sqrt[-d]*x^(1/3))/Sqrt[e]])/(-d)^(9/2) - (4*b^3*e^(9/2)*n^3*PolyLog[2, 1/2 - (Sqrt[-d]*x^(1/3))/(2*Sqrt[e])])/(-d)^(9/2) + (4*b^3*e^(9/2)*n^3*PolyLog[2, (1 + (Sqrt[-d]*x^(1/3))/Sqrt[e])/2])/(-d)^(9/2) - (8*b^3*e^(9/2)*n^3*PolyLog[2, 1 + (Sqrt[-d]*x^(1/3))/Sqrt[e]])/(-d)^(9/2) + (2*b*e^5*n*Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2/((e + d*x^(2/3))*x^(2/3)), x])/(3*d^4)}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^3, x, 31, (6*b*e*n*x^(1/3)*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/d + x*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^3 + (12*b^2*e^(3/2)*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])*Log[Sqrt[e] - Sqrt[-d]*x^(1/3)])/(-d)^(3/2) - (6*b^3*e^(3/2)*n^3*Log[Sqrt[e] - Sqrt[-d]*x^(1/3)]^2)/(-d)^(3/2) - (12*b^2*e^(3/2)*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])*Log[Sqrt[e] + Sqrt[-d]*x^(1/3)])/(-d)^(3/2) + (6*b^3*e^(3/2)*n^3*Log[Sqrt[e] + Sqrt[-d]*x^(1/3)]^2)/(-d)^(3/2) + (12*b^3*e^(3/2)*n^3*Log[Sqrt[e] + Sqrt[-d]*x^(1/3)]*Log[1/2 - (Sqrt[-d]*x^(1/3))/(2*Sqrt[e])])/(-d)^(3/2) - (12*b^3*e^(3/2)*n^3*Log[Sqrt[e] - Sqrt[-d]*x^(1/3)]*Log[(1 + (Sqrt[-d]*x^(1/3))/Sqrt[e])/2])/(-d)^(3/2) - (24*b^3*e^(3/2)*n^3*Log[Sqrt[e] + Sqrt[-d]*x^(1/3)]*Log[-((Sqrt[-d]*x^(1/3))/Sqrt[e])])/(-d)^(3/2) + (24*b^3*e^(3/2)*n^3*Log[Sqrt[e] - Sqrt[-d]*x^(1/3)]*Log[(Sqrt[-d]*x^(1/3))/Sqrt[e]])/(-d)^(3/2) + (24*b^3*e^(3/2)*n^3*PolyLog[2, 1 - (Sqrt[-d]*x^(1/3))/Sqrt[e]])/(-d)^(3/2) - (12*b^3*e^(3/2)*n^3*PolyLog[2, 1/2 - (Sqrt[-d]*x^(1/3))/(2*Sqrt[e])])/(-d)^(3/2) + (12*b^3*e^(3/2)*n^3*PolyLog[2, (1 + (Sqrt[-d]*x^(1/3))/Sqrt[e])/2])/(-d)^(3/2) - (24*b^3*e^(3/2)*n^3*PolyLog[2, 1 + (Sqrt[-d]*x^(1/3))/Sqrt[e]])/(-d)^(3/2) - (2*b*e^2*n*Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2/((e + d*x^(2/3))*x^(2/3)), x])/d}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^3/x^2, x, 35, (16*b^3*n^3)/(9*x) - (208*b^3*d*n^3)/(3*e*x^(1/3)) - (208*b^3*d^(3/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]])/(3*e^(3/2)) - ((32*I)*b^3*d^(3/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]^2)/e^(3/2) + (64*b^3*d^(3/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]*Log[2 - (2*Sqrt[e])/(Sqrt[e] - I*Sqrt[d]*x^(1/3))])/e^(3/2) - (8*b^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(3*x) + (32*b^2*d*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(e*x^(1/3)) + (32*b^2*d^(3/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/e^(3/2) + (2*b*n*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/x - (6*b*d*n*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(e*x^(1/3)) - (a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^3/x - ((32*I)*b^3*d^(3/2)*n^3*PolyLog[2, -1 + (2*Sqrt[e])/(Sqrt[e] - I*Sqrt[d]*x^(1/3))])/e^(3/2) - (2*b*d^2*n*Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2/((e + d*x^(2/3))*x^(2/3)), x])/e}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^3/x^4, x, 129, (16*b^3*n^3)/(729*x^3) - (3088*b^3*d*n^3)/(27783*e*x^(7/3)) + (221344*b^3*d^2*n^3)/(496125*e^2*x^(5/3)) - (637984*b^3*d^3*n^3)/(297675*e^3*x) + (3475504*b^3*d^4*n^3)/(99225*e^4*x^(1/3)) + (3475504*b^3*d^(9/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]])/(99225*e^(9/2)) + (4504*I*b^3*d^(9/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]^2)/(315*e^(9/2)) - (9008*b^3*d^(9/2)*n^3*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]*Log[2 - (2*Sqrt[e])/(Sqrt[e] - I*Sqrt[d]*x^(1/3))])/(315*e^(9/2)) - (8*b^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(81*x^3) + (128*b^2*d*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(441*e*x^(7/3)) - (1144*b^2*d^2*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(1575*e^2*x^(5/3)) + (1984*b^2*d^3*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(945*e^3*x) - (4504*b^2*d^4*n^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(315*e^4*x^(1/3)) - (4504*b^2*d^(9/2)*n^2*ArcTan[(Sqrt[d]*x^(1/3))/Sqrt[e]]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n]))/(315*e^(9/2)) + (2*b*n*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(9*x^3) - (2*b*d*n*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(7*e*x^(7/3)) + (2*b*d^2*n*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(5*e^2*x^(5/3)) - (2*b*d^3*n*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(3*e^3*x) + (2*b*d^4*n*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2)/(e^4*x^(1/3)) - (a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^3/(3*x^3) + (4504*I*b^3*d^(9/2)*n^3*PolyLog[2, -1 + (2*Sqrt[e])/(Sqrt[e] - I*Sqrt[d]*x^(1/3))])/(315*e^(9/2)) + (2*b*d^5*n*Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^n])^2/((e + d*x^(2/3))*x^(2/3)), x])/(3*e^4)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q (a+b Log[c (d+e x^(m/2))^n])^p when p symbolic*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m=1*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p, x, 27, (2^(-2 - 3*p)*Gamma[1 + p, -((8*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(E^((8*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c^8*e^8)) - (2*d*Gamma[1 + p, -((7*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(7^p*E^((7*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c^7*e^8)) + (7*d^2*Gamma[1 + p, -((6*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(6^p*E^((6*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c^6*e^8)) - (14*d^3*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(5^p*E^((5*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c^5*e^8)) + (35*2^(-1 - 2*p)*d^4*Gamma[1 + p, -((4*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(E^((4*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c^4*e^8)) - (14*d^5*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(3^p*E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c^3*e^8)) + (7*d^6*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(2^p*E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c^2*e^8)) - (2*d^7*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c*e^8))}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p, x, 21, (3^(-1 - p)*Gamma[1 + p, -((6*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(2^p*E^((6*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c^6*e^6)) - (2*d*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(5^p*E^((5*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c^5*e^6)) + (5*d^2*Gamma[1 + p, -((4*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(4^p*E^((4*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c^4*e^6)) - (20*3^(-1 - p)*d^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c^3*e^6)) + (5*d^4*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(2^p*E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c^2*e^6)) - (2*d^5*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c*e^6))}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p, x, 15, (2^(-1 - 2*p)*Gamma[1 + p, -((4*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(E^((4*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c^4*e^4)) - (2*d*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(3^p*E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c^3*e^4)) + (3*d^2*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(2^p*E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c^2*e^4)) - (2*d^3*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c*e^4))}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p, x, 9, (Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(2^p*E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c^2*e^2)) - (2*d*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])/b))^p*(c*e^2))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p/x^1, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p/x, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p/x^2, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])])^p/x^2, x]}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p, x, 27, (Gamma[1 + p, -((4*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(2^(2*(1 + p))*E^((4*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(c^4*e^8)) - (2^(1 + p)*d*(d + e*Sqrt[x])^7*Gamma[1 + p, -((7*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(7^p*E^((7*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(e^8*(c*(d + e*Sqrt[x])^2)^(7/2))) + (7*d^2*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(3^p*E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(c^3*e^8)) - (7*2^(1 + p)*d^3*(d + e*Sqrt[x])^5*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(5^p*E^((5*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(e^8*(c*(d + e*Sqrt[x])^2)^(5/2))) + (35*2^(-1 - p)*d^4*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(c^2*e^8)) - (7*2^(1 + p)*d^5*(d + e*Sqrt[x])^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(3^p*E^((3*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(e^8*(c*(d + e*Sqrt[x])^2)^(3/2))) + (7*d^6*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(c*e^8)) - (2^(1 + p)*d^7*(d + e*Sqrt[x])*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(E^(a/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(e^8*Sqrt[c*(d + e*Sqrt[x])^2]))}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p, x, 21, (3^(-1 - p)*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(c^3*e^6)) - (2^(1 + p)*d*(d + e*Sqrt[x])^5*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(5^p*E^((5*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(e^6*(c*(d + e*Sqrt[x])^2)^(5/2))) + (5*d^2*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(2^p*E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(c^2*e^6)) - (5*2^(2 + p)*3^(-1 - p)*d^3*(d + e*Sqrt[x])^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(E^((3*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(e^6*(c*(d + e*Sqrt[x])^2)^(3/2))) + (5*d^4*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(c*e^6)) - (2^(1 + p)*d^5*(d + e*Sqrt[x])*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(E^(a/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(e^6*Sqrt[c*(d + e*Sqrt[x])^2]))}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p, x, 15, (2^(-1 - p)*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(c^2*e^4)) - (2^(1 + p)*d*(d + e*Sqrt[x])^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(3^p*E^((3*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(e^4*(c*(d + e*Sqrt[x])^2)^(3/2))) + (3*d^2*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(c*e^4)) - (2^(1 + p)*d^3*(d + e*Sqrt[x])*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(E^(a/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(e^4*Sqrt[c*(d + e*Sqrt[x])^2]))}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p, x, 9, (Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(c*e^2)) - (2^(1 + p)*d*(d + e*Sqrt[x])*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p)/(E^(a/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])/b))^p*(e^2*Sqrt[c*(d + e*Sqrt[x])^2]))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p/x^1, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p/x, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p/x^2, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*Sqrt[x])^2])^p/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m=-1*)
+
+
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p, x, 1, Unintegrable[x*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p, x]}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p/x^1, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p/x, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p/x^2, x, 9, -((Gamma[1 + p, (-2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])]))/b]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p)/(2^p*c^2*e^2*E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b))^p)) + (2*d*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p)/(c*e^2*E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b))^p)}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p/x^4, x, 21, -((3^(-1 - p)*Gamma[1 + p, -((6*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p)/(2^p*E^((6*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b))^p*(c^6*e^6))) + (2*d*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p)/(5^p*E^((5*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b))^p*(c^5*e^6)) - (5*d^2*Gamma[1 + p, -((4*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p)/(4^p*E^((4*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b))^p*(c^4*e^6)) + (20*3^(-1 - p)*d^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p)/(E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b))^p*(c^3*e^6)) - (5*d^4*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p)/(2^p*E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b))^p*(c^2*e^6)) + (2*d^5*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b))^p*(c*e^6))}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p/x^6, x, 33, -((5^(-1 - p)*Gamma[1 + p, -((10*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p)/(2^p*E^((10*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b))^p*(c^10*e^10))) + (2*d*Gamma[1 + p, -((9*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p)/(9^p*E^((9*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b))^p*(c^9*e^10)) - (9*d^2*Gamma[1 + p, -((8*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p)/(8^p*E^((8*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b))^p*(c^8*e^10)) + (24*d^3*Gamma[1 + p, -((7*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p)/(7^p*E^((7*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b))^p*(c^7*e^10)) - (7*6^(1 - p)*d^4*Gamma[1 + p, -((6*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p)/(E^((6*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b))^p*(c^6*e^10)) + (252*5^(-1 - p)*d^5*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p)/(E^((5*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b))^p*(c^5*e^10)) - (21*2^(1 - 2*p)*d^6*Gamma[1 + p, -((4*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p)/(E^((4*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b))^p*(c^4*e^10)) + (8*3^(1 - p)*d^7*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p)/(E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b))^p*(c^3*e^10)) - (9*d^8*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p)/(2^p*E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b))^p*(c^2*e^10)) + (2*d^9*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])])/b))^p*(c*e^10))}
+
+
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p, x, 1, Unintegrable[x*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p, x]}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p/x^1, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p/x, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p/x^2, x, 9, -((Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p)/(c*e^2*E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b))^p)) + (2^(1 + p)*d*(d + e/Sqrt[x])*Gamma[1 + p, -(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/(2*b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p)/(e^2*E^(a/(2*b))*Sqrt[c*(d + e/Sqrt[x])^2]*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b))^p)}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p/x^4, x, 21, -((3^(-1 - p)*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p)/(E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b))^p*(c^3*e^6))) + (2^(1 + p)*d*(d + e/Sqrt[x])^5*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p)/(5^p*E^((5*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b))^p*(e^6*(c*(d + e/Sqrt[x])^2)^(5/2))) - (5*d^2*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p)/(2^p*E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b))^p*(c^2*e^6)) + (5*2^(2 + p)*3^(-1 - p)*d^3*(d + e/Sqrt[x])^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p)/(E^((3*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b))^p*(e^6*(c*(d + e/Sqrt[x])^2)^(3/2))) - (5*d^4*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b))^p*(c*e^6)) + (2^(1 + p)*d^5*(d + e/Sqrt[x])*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p)/(E^(a/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b))^p*(e^6*Sqrt[c*(d + e/Sqrt[x])^2]))}
+{(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p/x^6, x, 33, -((5^(-1 - p)*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p)/(E^((5*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b))^p*(c^5*e^10))) + (2^(1 + p)*d*(d + e/Sqrt[x])^9*Gamma[1 + p, -((9*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p)/(9^p*E^((9*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b))^p*(e^10*(c*(d + e/Sqrt[x])^2)^(9/2))) - (9*d^2*Gamma[1 + p, -((4*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p)/(4^p*E^((4*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b))^p*(c^4*e^10)) + (3*2^(3 + p)*d^3*(d + e/Sqrt[x])^7*Gamma[1 + p, -((7*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p)/(7^p*E^((7*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b))^p*(e^10*(c*(d + e/Sqrt[x])^2)^(7/2))) - (14*3^(1 - p)*d^4*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p)/(E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b))^p*(c^3*e^10)) + (63*2^(2 + p)*5^(-1 - p)*d^5*(d + e/Sqrt[x])^5*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p)/(E^((5*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b))^p*(e^10*(c*(d + e/Sqrt[x])^2)^(5/2))) - (21*2^(1 - p)*d^6*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p)/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b))^p*(c^2*e^10)) + (2^(3 + p)*3^(1 - p)*d^7*(d + e/Sqrt[x])^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p)/(E^((3*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b))^p*(e^10*(c*(d + e/Sqrt[x])^2)^(3/2))) - (9*d^8*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b))^p*(c*e^10)) + (2^(1 + p)*d^9*(d + e/Sqrt[x])*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])^p)/(E^(a/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e/Sqrt[x])^2])/b))^p*(e^10*Sqrt[c*(d + e/Sqrt[x])^2]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q (a+b Log[c (d+e x^(m/3))^n])^p when p symbolic*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m=1*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p, x, 39, (4^(-1 - p)*Gamma[1 + p, -((12*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(3^p*E^((12*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^12*e^12)) - (3*d*Gamma[1 + p, -((11*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(11^p*E^((11*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^11*e^12)) + (33*2^(-1 - p)*d^2*Gamma[1 + p, -((10*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(5^p*E^((10*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^10*e^12)) - (55*d^3*Gamma[1 + p, -((9*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(9^p*E^((9*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^9*e^12)) + (495*2^(-2 - 3*p)*d^4*Gamma[1 + p, -((8*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(E^((8*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^8*e^12)) - (198*d^5*Gamma[1 + p, -((7*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(7^p*E^((7*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^7*e^12)) + (77*3^(1 - p)*d^6*Gamma[1 + p, -((6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(2^p*E^((6*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^6*e^12)) - (198*d^7*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(5^p*E^((5*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^5*e^12)) + (495*4^(-1 - p)*d^8*Gamma[1 + p, -((4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(E^((4*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^4*e^12)) - (55*d^9*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(3^p*E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^3*e^12)) + (33*2^(-1 - p)*d^10*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^2*e^12)) - (3*d^11*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c*e^12))}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p, x, 30, (3^(-1 - 2*p)*Gamma[1 + p, -((9*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(E^((9*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^9*e^9)) - (3*d*Gamma[1 + p, -((8*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(8^p*E^((8*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^8*e^9)) + (12*d^2*Gamma[1 + p, -((7*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(7^p*E^((7*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^7*e^9)) - (7*2^(2 - p)*d^3*Gamma[1 + p, -((6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(3^p*E^((6*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^6*e^9)) + (42*d^4*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(5^p*E^((5*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^5*e^9)) - (21*2^(1 - 2*p)*d^5*Gamma[1 + p, -((4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(E^((4*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^4*e^9)) + (28*d^6*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(3^p*E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^3*e^9)) - (3*2^(2 - p)*d^7*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^2*e^9)) + (3*d^8*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c*e^9))}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p, x, 21, (2^(-1 - p)*Gamma[1 + p, -((6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(3^p*E^((6*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^6*e^6)) - (3*d*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(5^p*E^((5*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^5*e^6)) + (15*2^(-1 - 2*p)*d^2*Gamma[1 + p, -((4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(E^((4*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^4*e^6)) - (10*d^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(3^p*E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^3*e^6)) + (15*2^(-1 - p)*d^4*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^2*e^6)) - (3*d^5*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c*e^6))}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p, x, 12, (Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(3^p*E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^3*e^3)) - (3*d*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(2^p*E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c^2*e^3)) + (3*d^2*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])/b))^p*(c*e^3))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p/x^1, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p/x, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p/x^2, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))])^p/x^2, x]}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p, x, 39, (2^(-2 - p)*Gamma[1 + p, -((6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(3^p*E^((6*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(c^6*e^12)) - (3*(2/11)^p*d*(d + e*x^(1/3))^11*Gamma[1 + p, -((11*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(E^((11*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(e^12*(c*(d + e*x^(1/3))^2)^(11/2))) + (33*d^2*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(5^p*E^((5*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(2*c^5*e^12)) - (55*(2/9)^p*d^3*(d + e*x^(1/3))^9*Gamma[1 + p, -((9*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(E^((9*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(e^12*(c*(d + e*x^(1/3))^2)^(9/2))) + (495*d^4*Gamma[1 + p, -((4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(2^(2*(1 + p))*E^((4*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(c^4*e^12)) - (99*2^(1 + p)*d^5*(d + e*x^(1/3))^7*Gamma[1 + p, -((7*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(7^p*E^((7*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(e^12*(c*(d + e*x^(1/3))^2)^(7/2))) + (77*3^(1 - p)*d^6*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(c^3*e^12)) - (99*2^(1 + p)*d^7*(d + e*x^(1/3))^5*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(5^p*E^((5*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(e^12*(c*(d + e*x^(1/3))^2)^(5/2))) + (495*2^(-2 - p)*d^8*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(c^2*e^12)) - (55*(2/3)^p*d^9*(d + e*x^(1/3))^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(E^((3*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(e^12*(c*(d + e*x^(1/3))^2)^(3/2))) + (33*d^10*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(2*c*e^12)) - (3*2^p*d^11*(d + e*x^(1/3))*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(E^(a/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(e^12*Sqrt[c*(d + e*x^(1/3))^2]))}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p, x, 30, (2^p*3^(-1 - 2*p)*(d + e*x^(1/3))^9*Gamma[1 + p, -((9*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(E^((9*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(e^9*(c*(d + e*x^(1/3))^2)^(9/2))) - (3*d*Gamma[1 + p, -((4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(4^p*E^((4*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(c^4*e^9)) + (3*2^(2 + p)*d^2*(d + e*x^(1/3))^7*Gamma[1 + p, -((7*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(7^p*E^((7*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(e^9*(c*(d + e*x^(1/3))^2)^(7/2))) - (28*d^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(3^p*E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(c^3*e^9)) + (21*2^(1 + p)*d^4*(d + e*x^(1/3))^5*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(5^p*E^((5*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(e^9*(c*(d + e*x^(1/3))^2)^(5/2))) - (21*2^(1 - p)*d^5*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(c^2*e^9)) + (7*2^(2 + p)*d^6*(d + e*x^(1/3))^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(3^p*E^((3*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(e^9*(c*(d + e*x^(1/3))^2)^(3/2))) - (12*d^7*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(c*e^9)) + (3*2^p*d^8*(d + e*x^(1/3))*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(E^(a/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(e^9*Sqrt[c*(d + e*x^(1/3))^2]))}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p, x, 21, (Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(3^p*E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(2*c^3*e^6)) - (3*(2/5)^p*d*(d + e*x^(1/3))^5*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(E^((5*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(e^6*(c*(d + e*x^(1/3))^2)^(5/2))) + (15*2^(-1 - p)*d^2*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(c^2*e^6)) - (5*2^(1 + p)*d^3*(d + e*x^(1/3))^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(3^p*E^((3*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(e^6*(c*(d + e*x^(1/3))^2)^(3/2))) + (15*d^4*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(2*c*e^6)) - (3*2^p*d^5*(d + e*x^(1/3))*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(E^(a/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(e^6*Sqrt[c*(d + e*x^(1/3))^2]))}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p, x, 12, ((2/3)^p*(d + e*x^(1/3))^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(E^((3*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(e^3*(c*(d + e*x^(1/3))^2)^(3/2))) - (3*d*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(c*e^3)) + (3*2^p*d^2*(d + e*x^(1/3))*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p)/(E^(a/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])/b))^p*(e^3*Sqrt[c*(d + e*x^(1/3))^2]))}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p/x^1, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p/x, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p/x^2, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x^(1/3))^2])^p/x^2, x]}
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m=2*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p, x, 21, (2^(-2 - p)*Gamma[1 + p, (-6*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))]))/b]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p)/(3^p*c^6*e^6*E^((6*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])/b))^p) - (3*d*Gamma[1 + p, (-5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))]))/b]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p)/(2*5^p*c^5*e^6*E^((5*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])/b))^p) + (15*d^2*Gamma[1 + p, (-4*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))]))/b]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p)/(2^(2*(1 + p))*c^4*e^6*E^((4*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])/b))^p) - (5*d^3*Gamma[1 + p, (-3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))]))/b]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p)/(3^p*c^3*e^6*E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])/b))^p) + (15*2^(-2 - p)*d^4*Gamma[1 + p, (-2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))]))/b]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p)/(c^2*e^6*E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])/b))^p) - (3*d^5*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p)/(2*c*e^6*E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])/b))^p)}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p, x, 12, (Gamma[1 + p, (-3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))]))/b]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p)/(2*3^p*c^3*e^3*E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])/b))^p) - (3*2^(-1 - p)*d*Gamma[1 + p, (-2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))]))/b]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p)/(c^2*e^3*E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])/b))^p) + (3*d^2*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p)/(2*c*e^3*E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])/b))^p)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p/x^1, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p/x, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p/x^3, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p/x^3, x]}
+
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p, x, 1, Unintegrable[x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p, x]}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p/x^2, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))])^p/x^2, x]}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p, x, 21, (Gamma[1 + p, (-3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2]))/b]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p)/(4*3^p*c^3*e^6*E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])/b))^p) - (3*2^(-1 + p)*d*(d + e*x^(2/3))^5*Gamma[1 + p, (-5*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2]))/(2*b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p)/(5^p*e^6*E^((5*a)/(2*b))*(c*(d + e*x^(2/3))^2)^(5/2)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])/b))^p) + (15*2^(-2 - p)*d^2*Gamma[1 + p, (-2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2]))/b]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p)/(c^2*e^6*E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])/b))^p) - (5*(2/3)^p*d^3*(d + e*x^(2/3))^3*Gamma[1 + p, (-3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2]))/(2*b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p)/(e^6*E^((3*a)/(2*b))*(c*(d + e*x^(2/3))^2)^(3/2)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])/b))^p) + (15*d^4*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p)/(4*c*e^6*E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])/b))^p) - (3*2^(-1 + p)*d^5*(d + e*x^(2/3))*Gamma[1 + p, -(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])/(2*b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p)/(e^6*E^(a/(2*b))*Sqrt[c*(d + e*x^(2/3))^2]*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])/b))^p)}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p, x, 12, (2^(-1 + p)*(d + e*x^(2/3))^3*Gamma[1 + p, (-3*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2]))/(2*b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p)/(3^p*e^3*E^((3*a)/(2*b))*(c*(d + e*x^(2/3))^2)^(3/2)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])/b))^p) - (3*d*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p)/(2*c*e^3*E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])/b))^p) + (3*2^(-1 + p)*d^2*(d + e*x^(2/3))*Gamma[1 + p, -(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])/(2*b)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p)/(e^3*E^(a/(2*b))*Sqrt[c*(d + e*x^(2/3))^2]*(-((a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])/b))^p)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p/x^1, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p/x, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p/x^3, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p/x^3, x]}
+
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p, x, 1, Unintegrable[x^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p, x]}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p/x^2, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x^(2/3))^2])^p/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m=-1*)
+
+
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p, x, 1, Unintegrable[x*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p, x]}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p/x^1, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p/x, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p/x^2, x, 12, -((Gamma[1 + p, (-3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))]))/b]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p)/(3^p*c^3*e^3*E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b))^p)) + (3*d*Gamma[1 + p, (-2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))]))/b]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p)/(2^p*c^2*e^3*E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b))^p) - (3*d^2*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p)/(c*e^3*E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b))^p)}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p/x^3, x, 21, -((2^(-1 - p)*Gamma[1 + p, -((6*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p)/(3^p*E^((6*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b))^p*(c^6*e^6))) + (3*d*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p)/(5^p*E^((5*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b))^p*(c^5*e^6)) - (15*2^(-1 - 2*p)*d^2*Gamma[1 + p, -((4*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p)/(E^((4*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b))^p*(c^4*e^6)) + (10*d^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p)/(3^p*E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b))^p*(c^3*e^6)) - (15*2^(-1 - p)*d^4*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p)/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b))^p*(c^2*e^6)) + (3*d^5*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b))^p*(c*e^6))}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p/x^4, x, 30, -((3^(-1 - 2*p)*Gamma[1 + p, -((9*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p)/(E^((9*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b))^p*(c^9*e^9))) + (3*d*Gamma[1 + p, -((8*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p)/(8^p*E^((8*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b))^p*(c^8*e^9)) - (12*d^2*Gamma[1 + p, -((7*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p)/(7^p*E^((7*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b))^p*(c^7*e^9)) + (7*2^(2 - p)*d^3*Gamma[1 + p, -((6*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p)/(3^p*E^((6*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b))^p*(c^6*e^9)) - (42*d^4*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p)/(5^p*E^((5*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b))^p*(c^5*e^9)) + (21*2^(1 - 2*p)*d^5*Gamma[1 + p, -((4*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p)/(E^((4*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b))^p*(c^4*e^9)) - (28*d^6*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p)/(3^p*E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b))^p*(c^3*e^9)) + (3*2^(2 - p)*d^7*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p)/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b))^p*(c^2*e^9)) - (3*d^8*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))])/b))^p*(c*e^9))}
+
+
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p, x, 1, Unintegrable[x*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p, x]}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p/x^1, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p/x, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p/x^2, x, 12, -(((2/3)^p*(d + e/x^(1/3))^3*Gamma[1 + p, (-3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2]))/(2*b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p)/(e^3*E^((3*a)/(2*b))*(c*(d + e/x^(1/3))^2)^(3/2)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b))^p)) + (3*d*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p)/(c*e^3*E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b))^p) - (3*2^p*d^2*(d + e/x^(1/3))*Gamma[1 + p, -(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/(2*b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p)/(e^3*E^(a/(2*b))*Sqrt[c*(d + e/x^(1/3))^2]*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b))^p)}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p/x^3, x, 21, -((Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p)/(3^p*E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b))^p*(2*c^3*e^6))) + (3*(2/5)^p*d*(d + e/x^(1/3))^5*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p)/(E^((5*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b))^p*(e^6*(c*(d + e/x^(1/3))^2)^(5/2))) - (15*2^(-1 - p)*d^2*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p)/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b))^p*(c^2*e^6)) + (5*2^(1 + p)*d^3*(d + e/x^(1/3))^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p)/(3^p*E^((3*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b))^p*(e^6*(c*(d + e/x^(1/3))^2)^(3/2))) - (15*d^4*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b))^p*(2*c*e^6)) + (3*2^p*d^5*(d + e/x^(1/3))*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p)/(E^(a/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b))^p*(e^6*Sqrt[c*(d + e/x^(1/3))^2]))}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p/x^4, x, 30, -((2^p*3^(-1 - 2*p)*(d + e/x^(1/3))^9*Gamma[1 + p, -((9*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p)/(E^((9*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b))^p*(e^9*(c*(d + e/x^(1/3))^2)^(9/2)))) + (3*d*Gamma[1 + p, -((4*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p)/(4^p*E^((4*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b))^p*(c^4*e^9)) - (3*2^(2 + p)*d^2*(d + e/x^(1/3))^7*Gamma[1 + p, -((7*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p)/(7^p*E^((7*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b))^p*(e^9*(c*(d + e/x^(1/3))^2)^(7/2))) + (28*d^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p)/(3^p*E^((3*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b))^p*(c^3*e^9)) - (21*2^(1 + p)*d^4*(d + e/x^(1/3))^5*Gamma[1 + p, -((5*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p)/(5^p*E^((5*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b))^p*(e^9*(c*(d + e/x^(1/3))^2)^(5/2))) + (21*2^(1 - p)*d^5*Gamma[1 + p, -((2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2]))/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p)/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b))^p*(c^2*e^9)) - (7*2^(2 + p)*d^6*(d + e/x^(1/3))^3*Gamma[1 + p, -((3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2]))/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p)/(3^p*E^((3*a)/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b))^p*(e^9*(c*(d + e/x^(1/3))^2)^(3/2))) + (12*d^7*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b)]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p)/(E^(a/b)*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b))^p*(c*e^9)) - (3*2^p*d^8*(d + e/x^(1/3))*Gamma[1 + p, -((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/(2*b))]*(a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])^p)/(E^(a/(2*b))*(-((a + b*Log[c*(d + e/x^(1/3))^2])/b))^p*(e^9*Sqrt[c*(d + e/x^(1/3))^2]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m=-2*)
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))])^p, x, 1, Unintegrable[x^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))])^p, x]}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))])^p, x, 1, Unintegrable[x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))])^p, x]}
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+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))])^p, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))])^p, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))])^p/x^1, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))])^p/x, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))])^p/x^2, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))])^p/x^2, x]}
+
+
+{x^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^2])^p, x, 1, Unintegrable[x^3*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^2])^p, x]}
+{x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^2])^p, x, 1, Unintegrable[x^2*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^2])^p, x]}
+{x^1*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^2])^p, x, 1, Unintegrable[x*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^2])^p, x]}
+{x^0*(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^2])^p, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^2])^p, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^2])^p/x^1, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^2])^p/x, x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^2])^p/x^2, x, 1, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/x^(2/3))^2])^p/x^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (h x)^r (f+g x)^q (a+b Log[c (d+e x^m)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (h x)^(r/2) (f+g x)^q (a+b Log[c (d+e x^m)^n])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*r>0*)
+
+
+{(f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(h*x)^(1/2), x, 26, (2*a*f*Sqrt[h*x])/h - (8*b*f*p*Sqrt[h*x])/h - (8*b*g*p*(h*x)^(3/2))/(9*h^2) - (2*Sqrt[2]*b*d^(1/4)*f*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(e^(1/4)*Sqrt[h]) - (2*Sqrt[2]*b*d^(3/4)*g*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(3*e^(3/4)*Sqrt[h]) + (2*Sqrt[2]*b*d^(1/4)*f*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(e^(1/4)*Sqrt[h]) + (2*Sqrt[2]*b*d^(3/4)*g*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(3*e^(3/4)*Sqrt[h]) + (2*b*f*Sqrt[h*x]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/h + (2*g*(h*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(3*h^2) - (Sqrt[2]*b*d^(1/4)*f*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(e^(1/4)*Sqrt[h]) + (Sqrt[2]*b*d^(3/4)*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(3*e^(3/4)*Sqrt[h]) + (Sqrt[2]*b*d^(1/4)*f*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(e^(1/4)*Sqrt[h]) - (Sqrt[2]*b*d^(3/4)*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(3*e^(3/4)*Sqrt[h])}
+{(f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(h*x)^(3/2), x, 25, (2*a*g*Sqrt[h*x])/h^2 - (8*b*g*p*Sqrt[h*x])/h^2 - (2*Sqrt[2]*b*e^(1/4)*f*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(d^(1/4)*h^(3/2)) - (2*Sqrt[2]*b*d^(1/4)*g*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(e^(1/4)*h^(3/2)) + (2*Sqrt[2]*b*e^(1/4)*f*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(d^(1/4)*h^(3/2)) + (2*Sqrt[2]*b*d^(1/4)*g*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(e^(1/4)*h^(3/2)) + (2*b*g*Sqrt[h*x]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/h^2 - (2*f*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(h*Sqrt[h*x]) + (Sqrt[2]*b*e^(1/4)*f*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(d^(1/4)*h^(3/2)) - (Sqrt[2]*b*d^(1/4)*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(e^(1/4)*h^(3/2)) - (Sqrt[2]*b*e^(1/4)*f*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(d^(1/4)*h^(3/2)) + (Sqrt[2]*b*d^(1/4)*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(e^(1/4)*h^(3/2))}
+{(f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(h*x)^(5/2), x, 23, -((2*Sqrt[2]*b*e^(3/4)*f*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(3*d^(3/4)*h^(5/2))) - (2*Sqrt[2]*b*e^(1/4)*g*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(d^(1/4)*h^(5/2)) + (2*Sqrt[2]*b*e^(3/4)*f*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(3*d^(3/4)*h^(5/2)) + (2*Sqrt[2]*b*e^(1/4)*g*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(d^(1/4)*h^(5/2)) - (2*f*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(3*h*(h*x)^(3/2)) - (2*g*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(h^2*Sqrt[h*x]) - (Sqrt[2]*b*e^(3/4)*f*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(3*d^(3/4)*h^(5/2)) + (Sqrt[2]*b*e^(1/4)*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(d^(1/4)*h^(5/2)) + (Sqrt[2]*b*e^(3/4)*f*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(3*d^(3/4)*h^(5/2)) - (Sqrt[2]*b*e^(1/4)*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(d^(1/4)*h^(5/2))}
+{(f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(h*x)^(7/2), x, 24, -((8*b*e*f*p)/(5*d*h^3*Sqrt[h*x])) + (2*Sqrt[2]*b*e^(5/4)*f*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(5*d^(5/4)*h^(7/2)) - (2*Sqrt[2]*b*e^(3/4)*g*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(3*d^(3/4)*h^(7/2)) - (2*Sqrt[2]*b*e^(5/4)*f*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(5*d^(5/4)*h^(7/2)) + (2*Sqrt[2]*b*e^(3/4)*g*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(3*d^(3/4)*h^(7/2)) - (2*f*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(5*h*(h*x)^(5/2)) - (2*g*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(3*h^2*(h*x)^(3/2)) - (Sqrt[2]*b*e^(5/4)*f*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(5*d^(5/4)*h^(7/2)) - (Sqrt[2]*b*e^(3/4)*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(3*d^(3/4)*h^(7/2)) + (Sqrt[2]*b*e^(5/4)*f*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(5*d^(5/4)*h^(7/2)) + (Sqrt[2]*b*e^(3/4)*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(3*d^(3/4)*h^(7/2))}
+{(f + g*x)*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(h*x)^(9/2), x, 25, -((8*b*e*f*p)/(21*d*h^3*(h*x)^(3/2))) - (8*b*e*g*p)/(5*d*h^4*Sqrt[h*x]) + (2*Sqrt[2]*b*e^(7/4)*f*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(7*d^(7/4)*h^(9/2)) + (2*Sqrt[2]*b*e^(5/4)*g*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(5*d^(5/4)*h^(9/2)) - (2*Sqrt[2]*b*e^(7/4)*f*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(7*d^(7/4)*h^(9/2)) - (2*Sqrt[2]*b*e^(5/4)*g*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(5*d^(5/4)*h^(9/2)) - (2*f*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(7*h*(h*x)^(7/2)) - (2*g*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(5*h^2*(h*x)^(5/2)) + (Sqrt[2]*b*e^(7/4)*f*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(7*d^(7/4)*h^(9/2)) - (Sqrt[2]*b*e^(5/4)*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(5*d^(5/4)*h^(9/2)) - (Sqrt[2]*b*e^(7/4)*f*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(7*d^(7/4)*h^(9/2)) + (Sqrt[2]*b*e^(5/4)*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(5*d^(5/4)*h^(9/2))}
+
+
+{(f + g*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(h*x)^(1/2), x, 38, (2*a*f^2*Sqrt[h*x])/h - (8*b*f^2*p*Sqrt[h*x])/h + (8*b*d*g^2*p*Sqrt[h*x])/(5*e*h) - (16*b*f*g*p*(h*x)^(3/2))/(9*h^2) - (8*b*g^2*p*(h*x)^(5/2))/(25*h^3) - (2*Sqrt[2]*b*d^(1/4)*f^2*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(e^(1/4)*Sqrt[h]) - (4*Sqrt[2]*b*d^(3/4)*f*g*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(3*e^(3/4)*Sqrt[h]) + (2*Sqrt[2]*b*d^(5/4)*g^2*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(5*e^(5/4)*Sqrt[h]) + (2*Sqrt[2]*b*d^(1/4)*f^2*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(e^(1/4)*Sqrt[h]) + (4*Sqrt[2]*b*d^(3/4)*f*g*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(3*e^(3/4)*Sqrt[h]) - (2*Sqrt[2]*b*d^(5/4)*g^2*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(5*e^(5/4)*Sqrt[h]) + (2*b*f^2*Sqrt[h*x]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/h + (4*f*g*(h*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(3*h^2) + (2*g^2*(h*x)^(5/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(5*h^3) - (Sqrt[2]*b*d^(1/4)*f^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(e^(1/4)*Sqrt[h]) + (2*Sqrt[2]*b*d^(3/4)*f*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(3*e^(3/4)*Sqrt[h]) + (Sqrt[2]*b*d^(5/4)*g^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(5*e^(5/4)*Sqrt[h]) + (Sqrt[2]*b*d^(1/4)*f^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(e^(1/4)*Sqrt[h]) - (2*Sqrt[2]*b*d^(3/4)*f*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(3*e^(3/4)*Sqrt[h]) - (Sqrt[2]*b*d^(5/4)*g^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(5*e^(5/4)*Sqrt[h])}
+{(f + g*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(h*x)^(3/2), x, 36, (4*a*f*g*Sqrt[h*x])/h^2 - (16*b*f*g*p*Sqrt[h*x])/h^2 - (8*b*g^2*p*(h*x)^(3/2))/(9*h^3) - (2*Sqrt[2]*b*e^(1/4)*f^2*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(d^(1/4)*h^(3/2)) - (4*Sqrt[2]*b*d^(1/4)*f*g*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(e^(1/4)*h^(3/2)) - (2*Sqrt[2]*b*d^(3/4)*g^2*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(3*e^(3/4)*h^(3/2)) + (2*Sqrt[2]*b*e^(1/4)*f^2*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(d^(1/4)*h^(3/2)) + (4*Sqrt[2]*b*d^(1/4)*f*g*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(e^(1/4)*h^(3/2)) + (2*Sqrt[2]*b*d^(3/4)*g^2*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(3*e^(3/4)*h^(3/2)) + (4*b*f*g*Sqrt[h*x]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/h^2 - (2*f^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(h*Sqrt[h*x]) + (2*g^2*(h*x)^(3/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(3*h^3) + (Sqrt[2]*b*e^(1/4)*f^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(d^(1/4)*h^(3/2)) - (2*Sqrt[2]*b*d^(1/4)*f*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(e^(1/4)*h^(3/2)) + (Sqrt[2]*b*d^(3/4)*g^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(3*e^(3/4)*h^(3/2)) - (Sqrt[2]*b*e^(1/4)*f^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(d^(1/4)*h^(3/2)) + (2*Sqrt[2]*b*d^(1/4)*f*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(e^(1/4)*h^(3/2)) - (Sqrt[2]*b*d^(3/4)*g^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(3*e^(3/4)*h^(3/2))}
+{(f + g*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(h*x)^(5/2), x, 35, (2*a*g^2*Sqrt[h*x])/h^3 - (8*b*g^2*p*Sqrt[h*x])/h^3 - (2*Sqrt[2]*b*e^(3/4)*f^2*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(3*d^(3/4)*h^(5/2)) - (4*Sqrt[2]*b*e^(1/4)*f*g*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(d^(1/4)*h^(5/2)) - (2*Sqrt[2]*b*d^(1/4)*g^2*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(e^(1/4)*h^(5/2)) + (2*Sqrt[2]*b*e^(3/4)*f^2*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(3*d^(3/4)*h^(5/2)) + (4*Sqrt[2]*b*e^(1/4)*f*g*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(d^(1/4)*h^(5/2)) + (2*Sqrt[2]*b*d^(1/4)*g^2*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(e^(1/4)*h^(5/2)) + (2*b*g^2*Sqrt[h*x]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/h^3 - (2*f^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(3*h*(h*x)^(3/2)) - (4*f*g*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(h^2*Sqrt[h*x]) - (Sqrt[2]*b*e^(3/4)*f^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(3*d^(3/4)*h^(5/2)) + (2*Sqrt[2]*b*e^(1/4)*f*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(d^(1/4)*h^(5/2)) - (Sqrt[2]*b*d^(1/4)*g^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(e^(1/4)*h^(5/2)) + (Sqrt[2]*b*e^(3/4)*f^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(3*d^(3/4)*h^(5/2)) - (2*Sqrt[2]*b*e^(1/4)*f*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(d^(1/4)*h^(5/2)) + (Sqrt[2]*b*d^(1/4)*g^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(e^(1/4)*h^(5/2))}
+{(f + g*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(h*x)^(7/2), x, 34, -((8*b*e*f^2*p)/(5*d*h^3*Sqrt[h*x])) + (2*Sqrt[2]*b*e^(5/4)*f^2*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(5*d^(5/4)*h^(7/2)) - (4*Sqrt[2]*b*e^(3/4)*f*g*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(3*d^(3/4)*h^(7/2)) - (2*Sqrt[2]*b*e^(1/4)*g^2*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(d^(1/4)*h^(7/2)) - (2*Sqrt[2]*b*e^(5/4)*f^2*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(5*d^(5/4)*h^(7/2)) + (4*Sqrt[2]*b*e^(3/4)*f*g*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(3*d^(3/4)*h^(7/2)) + (2*Sqrt[2]*b*e^(1/4)*g^2*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(d^(1/4)*h^(7/2)) - (2*f^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(5*h*(h*x)^(5/2)) - (4*f*g*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(3*h^2*(h*x)^(3/2)) - (2*g^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(h^3*Sqrt[h*x]) - (Sqrt[2]*b*e^(5/4)*f^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(5*d^(5/4)*h^(7/2)) - (2*Sqrt[2]*b*e^(3/4)*f*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(3*d^(3/4)*h^(7/2)) + (Sqrt[2]*b*e^(1/4)*g^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(d^(1/4)*h^(7/2)) + (Sqrt[2]*b*e^(5/4)*f^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(5*d^(5/4)*h^(7/2)) + (2*Sqrt[2]*b*e^(3/4)*f*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(3*d^(3/4)*h^(7/2)) - (Sqrt[2]*b*e^(1/4)*g^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(d^(1/4)*h^(7/2))}
+{(f + g*x)^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(h*x)^(9/2), x, 35, -((8*b*e*f^2*p)/(21*d*h^3*(h*x)^(3/2))) - (16*b*e*f*g*p)/(5*d*h^4*Sqrt[h*x]) + (2*Sqrt[2]*b*e^(7/4)*f^2*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(7*d^(7/4)*h^(9/2)) + (4*Sqrt[2]*b*e^(5/4)*f*g*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(5*d^(5/4)*h^(9/2)) - (2*Sqrt[2]*b*e^(3/4)*g^2*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(3*d^(3/4)*h^(9/2)) - (2*Sqrt[2]*b*e^(7/4)*f^2*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(7*d^(7/4)*h^(9/2)) - (4*Sqrt[2]*b*e^(5/4)*f*g*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(5*d^(5/4)*h^(9/2)) + (2*Sqrt[2]*b*e^(3/4)*g^2*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(3*d^(3/4)*h^(9/2)) - (2*f^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(7*h*(h*x)^(7/2)) - (4*f*g*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(5*h^2*(h*x)^(5/2)) - (2*g^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(3*h^3*(h*x)^(3/2)) + (Sqrt[2]*b*e^(7/4)*f^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(7*d^(7/4)*h^(9/2)) - (2*Sqrt[2]*b*e^(5/4)*f*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(5*d^(5/4)*h^(9/2)) - (Sqrt[2]*b*e^(3/4)*g^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(3*d^(3/4)*h^(9/2)) - (Sqrt[2]*b*e^(7/4)*f^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(7*d^(7/4)*h^(9/2)) + (2*Sqrt[2]*b*e^(5/4)*f*g*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(5*d^(5/4)*h^(9/2)) + (Sqrt[2]*b*e^(3/4)*g^2*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(3*d^(3/4)*h^(9/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*r<0*)
+
+
+{(h*x)^(1/2)*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p])/(f + g*x), x, 39, (2*a*Sqrt[h*x])/g - (8*b*p*Sqrt[h*x])/g - (2*Sqrt[2]*b*d^(1/4)*Sqrt[h]*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(e^(1/4)*g) + (2*Sqrt[2]*b*d^(1/4)*Sqrt[h]*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(e^(1/4)*g) + (2*b*Sqrt[h*x]*Log[c*(d + e*x^2)^p])/g - (2*Sqrt[f]*Sqrt[h]*ArcTan[(Sqrt[g]*Sqrt[h*x])/(Sqrt[f]*Sqrt[h])]*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/g^(3/2) - (Sqrt[2]*b*d^(1/4)*Sqrt[h]*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(e^(1/4)*g) + (Sqrt[2]*b*d^(1/4)*Sqrt[h]*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(e^(1/4)*g) - (8*b*Sqrt[f]*Sqrt[h]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*Sqrt[h*x])/(Sqrt[f]*Sqrt[h])]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[h])/(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x])])/g^(3/2) + (2*b*Sqrt[f]*Sqrt[h]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*Sqrt[h*x])/(Sqrt[f]*Sqrt[h])]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]*((-d)^(1/4)*Sqrt[-h] - e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/(((-d)^(1/4)*Sqrt[g]*Sqrt[-h] - I*e^(1/4)*Sqrt[f]*Sqrt[h])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/g^(3/2) + (2*b*Sqrt[f]*Sqrt[h]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*Sqrt[h*x])/(Sqrt[f]*Sqrt[h])]*Log[-((2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*((-d)^(1/4)*Sqrt[h] - e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/((I*e^(1/4)*Sqrt[f] - (-d)^(1/4)*Sqrt[g])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x])))])/g^(3/2) + (2*b*Sqrt[f]*Sqrt[h]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*Sqrt[h*x])/(Sqrt[f]*Sqrt[h])]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]*((-d)^(1/4)*Sqrt[-h] + e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/(((-d)^(1/4)*Sqrt[g]*Sqrt[-h] + I*e^(1/4)*Sqrt[f]*Sqrt[h])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/g^(3/2) + (2*b*Sqrt[f]*Sqrt[h]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*Sqrt[h*x])/(Sqrt[f]*Sqrt[h])]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*((-d)^(1/4)*Sqrt[h] + e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/((I*e^(1/4)*Sqrt[f] + (-d)^(1/4)*Sqrt[g])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/g^(3/2) + (4*I*b*Sqrt[f]*Sqrt[h]*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[h])/(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x])])/g^(3/2) - (I*b*Sqrt[f]*Sqrt[h]*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]*((-d)^(1/4)*Sqrt[-h] - e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/(((-d)^(1/4)*Sqrt[g]*Sqrt[-h] - I*e^(1/4)*Sqrt[f]*Sqrt[h])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/g^(3/2) - (I*b*Sqrt[f]*Sqrt[h]*p*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*((-d)^(1/4)*Sqrt[h] - e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/((I*e^(1/4)*Sqrt[f] - (-d)^(1/4)*Sqrt[g])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/g^(3/2) - (I*b*Sqrt[f]*Sqrt[h]*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]*((-d)^(1/4)*Sqrt[-h] + e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/(((-d)^(1/4)*Sqrt[g]*Sqrt[-h] + I*e^(1/4)*Sqrt[f]*Sqrt[h])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/g^(3/2) - (I*b*Sqrt[f]*Sqrt[h]*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*((-d)^(1/4)*Sqrt[h] + e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/((I*e^(1/4)*Sqrt[f] + (-d)^(1/4)*Sqrt[g])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/g^(3/2)}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p])/((f + g*x)*(h*x)^(1/2)), x, 25, (2*ArcTan[(Sqrt[g]*Sqrt[h*x])/(Sqrt[f]*Sqrt[h])]*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]) + (8*b*p*ArcTan[(Sqrt[g]*Sqrt[h*x])/(Sqrt[f]*Sqrt[h])]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[h])/(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x])])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]) - (2*b*p*ArcTan[(Sqrt[g]*Sqrt[h*x])/(Sqrt[f]*Sqrt[h])]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]*((-d)^(1/4)*Sqrt[-h] - e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/(((-d)^(1/4)*Sqrt[g]*Sqrt[-h] - I*e^(1/4)*Sqrt[f]*Sqrt[h])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]) - (2*b*p*ArcTan[(Sqrt[g]*Sqrt[h*x])/(Sqrt[f]*Sqrt[h])]*Log[-((2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*((-d)^(1/4)*Sqrt[h] - e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/((I*e^(1/4)*Sqrt[f] - (-d)^(1/4)*Sqrt[g])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x])))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]) - (2*b*p*ArcTan[(Sqrt[g]*Sqrt[h*x])/(Sqrt[f]*Sqrt[h])]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]*((-d)^(1/4)*Sqrt[-h] + e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/(((-d)^(1/4)*Sqrt[g]*Sqrt[-h] + I*e^(1/4)*Sqrt[f]*Sqrt[h])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]) - (2*b*p*ArcTan[(Sqrt[g]*Sqrt[h*x])/(Sqrt[f]*Sqrt[h])]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*((-d)^(1/4)*Sqrt[h] + e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/((I*e^(1/4)*Sqrt[f] + (-d)^(1/4)*Sqrt[g])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]) - (4*I*b*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[h])/(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x])])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]) + (I*b*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]*((-d)^(1/4)*Sqrt[-h] - e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/(((-d)^(1/4)*Sqrt[g]*Sqrt[-h] - I*e^(1/4)*Sqrt[f]*Sqrt[h])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]) + (I*b*p*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*((-d)^(1/4)*Sqrt[h] - e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/((I*e^(1/4)*Sqrt[f] - (-d)^(1/4)*Sqrt[g])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]) + (I*b*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]*((-d)^(1/4)*Sqrt[-h] + e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/(((-d)^(1/4)*Sqrt[g]*Sqrt[-h] + I*e^(1/4)*Sqrt[f]*Sqrt[h])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]) + (I*b*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*((-d)^(1/4)*Sqrt[h] + e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/((I*e^(1/4)*Sqrt[f] + (-d)^(1/4)*Sqrt[g])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/(Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h])}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p])/((f + g*x)*(h*x)^(3/2)), x, 37, -((2*Sqrt[2]*b*e^(1/4)*p*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(d^(1/4)*f*h^(3/2))) + (2*Sqrt[2]*b*e^(1/4)*p*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*e^(1/4)*Sqrt[h*x])/(d^(1/4)*Sqrt[h])])/(d^(1/4)*f*h^(3/2)) - (2*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(f*h*Sqrt[h*x]) - (2*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[g]*Sqrt[h*x])/(Sqrt[f]*Sqrt[h])]*(a + b*Log[c*(d + e*x^2)^p]))/(f^(3/2)*h^(3/2)) + (Sqrt[2]*b*e^(1/4)*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x - Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(d^(1/4)*f*h^(3/2)) - (Sqrt[2]*b*e^(1/4)*p*Log[Sqrt[d]*Sqrt[h] + Sqrt[e]*Sqrt[h]*x + Sqrt[2]*d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[h*x]])/(d^(1/4)*f*h^(3/2)) - (8*b*Sqrt[g]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*Sqrt[h*x])/(Sqrt[f]*Sqrt[h])]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[h])/(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x])])/(f^(3/2)*h^(3/2)) + (2*b*Sqrt[g]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*Sqrt[h*x])/(Sqrt[f]*Sqrt[h])]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]*((-d)^(1/4)*Sqrt[-h] - e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/(((-d)^(1/4)*Sqrt[g]*Sqrt[-h] - I*e^(1/4)*Sqrt[f]*Sqrt[h])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/(f^(3/2)*h^(3/2)) + (2*b*Sqrt[g]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*Sqrt[h*x])/(Sqrt[f]*Sqrt[h])]*Log[-((2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*((-d)^(1/4)*Sqrt[h] - e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/((I*e^(1/4)*Sqrt[f] - (-d)^(1/4)*Sqrt[g])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x])))])/(f^(3/2)*h^(3/2)) + (2*b*Sqrt[g]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*Sqrt[h*x])/(Sqrt[f]*Sqrt[h])]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]*((-d)^(1/4)*Sqrt[-h] + e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/(((-d)^(1/4)*Sqrt[g]*Sqrt[-h] + I*e^(1/4)*Sqrt[f]*Sqrt[h])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/(f^(3/2)*h^(3/2)) + (2*b*Sqrt[g]*p*ArcTan[(Sqrt[g]*Sqrt[h*x])/(Sqrt[f]*Sqrt[h])]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*((-d)^(1/4)*Sqrt[h] + e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/((I*e^(1/4)*Sqrt[f] + (-d)^(1/4)*Sqrt[g])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/(f^(3/2)*h^(3/2)) + (4*I*b*Sqrt[g]*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[h])/(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x])])/(f^(3/2)*h^(3/2)) - (I*b*Sqrt[g]*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]*((-d)^(1/4)*Sqrt[-h] - e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/(((-d)^(1/4)*Sqrt[g]*Sqrt[-h] - I*e^(1/4)*Sqrt[f]*Sqrt[h])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/(f^(3/2)*h^(3/2)) - (I*b*Sqrt[g]*p*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*((-d)^(1/4)*Sqrt[h] - e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/((I*e^(1/4)*Sqrt[f] - (-d)^(1/4)*Sqrt[g])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/(f^(3/2)*h^(3/2)) - (I*b*Sqrt[g]*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*Sqrt[h]*((-d)^(1/4)*Sqrt[-h] + e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/(((-d)^(1/4)*Sqrt[g]*Sqrt[-h] + I*e^(1/4)*Sqrt[f]*Sqrt[h])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/(f^(3/2)*h^(3/2)) - (I*b*Sqrt[g]*p*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*((-d)^(1/4)*Sqrt[h] + e^(1/4)*Sqrt[h*x]))/((I*e^(1/4)*Sqrt[f] + (-d)^(1/4)*Sqrt[g])*(Sqrt[f]*Sqrt[h] - I*Sqrt[g]*Sqrt[h*x]))])/(f^(3/2)*h^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (h x)^(r/2) (f+g x)^q (a+b Log[c (d+e x^2)^n])^2*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (h x)^s Log[f x^r]^q (a+b Log[c (d+e x^m)^n])*)
+
+
+{Log[f*x^p]*Log[1 + e*x^m]/x, x, 2, -((Log[f*x^p]*PolyLog[2, (-e)*x^m])/m) + (p*PolyLog[3, (-e)*x^m])/m^2}
+
+
+{x^(-1 + m)*Log[f*x^p]^2/(d + e*x^m), x, 3, (Log[f*x^p]^2*Log[1 + (e*x^m)/d])/(e*m) + (2*p*Log[f*x^p]*PolyLog[2, -((e*x^m)/d)])/(e*m^2) - (2*p^2*PolyLog[3, -((e*x^m)/d)])/(e*m^3)}
+
+
+{Log[f*x^p]^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^m)^n])/x, x, 6, (Log[f*x^p]^4*(a + b*Log[c*(d + e*x^m)^n]))/(4*p) - (b*n*Log[f*x^p]^4*Log[1 + (e*x^m)/d])/(4*p) - (b*n*Log[f*x^p]^3*PolyLog[2, -((e*x^m)/d)])/m + (3*b*n*p*Log[f*x^p]^2*PolyLog[3, -((e*x^m)/d)])/m^2 - (6*b*n*p^2*Log[f*x^p]*PolyLog[4, -((e*x^m)/d)])/m^3 + (6*b*n*p^3*PolyLog[5, -((e*x^m)/d)])/m^4}
+{Log[f*x^p]^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^m)^n])/x, x, 5, (Log[f*x^p]^3*(a + b*Log[c*(d + e*x^m)^n]))/(3*p) - (b*n*Log[f*x^p]^3*Log[1 + (e*x^m)/d])/(3*p) - (b*n*Log[f*x^p]^2*PolyLog[2, -((e*x^m)/d)])/m + (2*b*n*p*Log[f*x^p]*PolyLog[3, -((e*x^m)/d)])/m^2 - (2*b*n*p^2*PolyLog[4, -((e*x^m)/d)])/m^3}
+{Log[f*x^p]^1*(a + b*Log[c*(d + e*x^m)^n])/x, x, 4, (Log[f*x^p]^2*(a + b*Log[c*(d + e*x^m)^n]))/(2*p) - (b*n*Log[f*x^p]^2*Log[1 + (e*x^m)/d])/(2*p) - (b*n*Log[f*x^p]*PolyLog[2, -((e*x^m)/d)])/m + (b*n*p*PolyLog[3, -((e*x^m)/d)])/m^2}
+{Log[f*x^p]^0*(a + b*Log[c*(d + e*x^m)^n])/x, x, 3, (Log[-((e*x^m)/d)]*(a + b*Log[c*(d + e*x^m)^n]))/m + (b*n*PolyLog[2, 1 + (e*x^m)/d])/m}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^m)^n])/(x*Log[f*x^p]^1), x, 4, (a*Log[Log[f*x^p]])/p + b*Unintegrable[Log[c*(d + e*x^m)^n]/(x*Log[f*x^p]), x]}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^m)^n])/(x*Log[f*x^p]^2), x, 1, -((a + b*Log[c*(d + e*x^m)^n])/(p*Log[f*x^p])) + (b*e*m*n*Unintegrable[x^(-1 + m)/((d + e*x^m)*Log[f*x^p]), x])/p}
+{(a + b*Log[c*(d + e*x^m)^n])/(x*Log[f*x^p]^3), x, 1, -((a + b*Log[c*(d + e*x^m)^n])/(2*p*Log[f*x^p]^2)) + (b*e*m*n*Unintegrable[x^(-1 + m)/((d + e*x^m)*Log[f*x^p]^2), x])/(2*p)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b Log[c (d+e (f+g x)^m)^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Log[c (d+e (f+g x)^m)^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Log[c (d+e (f+g x)^m)^n]*)
+
+
+{Log[c*(d + e*(f + g*x)^p)^q], x, 3, -((e*p*q*(f + g*x)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, 1 + 1/p, 2 + 1/p, -((e*(f + g*x)^p)/d)])/(d*g*(1 + p))) + ((f + g*x)*Log[c*(d + e*(f + g*x)^p)^q])/g}
+
+
+{Log[c*(d + e*(f + g*x)^3)^q], x, 9, -3*q*x - (Sqrt[3]*d^(1/3)*q*ArcTan[(d^(1/3) - 2*e^(1/3)*(f + g*x))/(Sqrt[3]*d^(1/3))])/(e^(1/3)*g) + (d^(1/3)*q*Log[d^(1/3) + e^(1/3)*(f + g*x)])/(e^(1/3)*g) - (d^(1/3)*q*Log[d^(2/3) - d^(1/3)*e^(1/3)*(f + g*x) + e^(2/3)*(f + g*x)^2])/(2*e^(1/3)*g) + ((f + g*x)*Log[c*(d + e*(f + g*x)^3)^q])/g}
+{Log[c*(d + e*(f + g*x)^2)^q], x, 4, -2*q*x + (2*Sqrt[d]*q*ArcTan[(Sqrt[e]*(f + g*x))/Sqrt[d]])/(Sqrt[e]*g) + ((f + g*x)*Log[c*(d + e*(f + g*x)^2)^q])/g}
+{Log[c*(d + e*(f + g*x)^1)^q], x, 3, (-q)*x + ((d + e*f + e*g*x)*Log[c*(d + e*(f + g*x))^q])/(e*g)}
+{Log[c*(d + e/(f + g*x)^1)^q], x, 4, ((f + g*x)*Log[c*(d + e/(f + g*x))^q])/g + (e*q*Log[e + d*(f + g*x)])/(d*g)}
+{Log[c*(d + e/(f + g*x)^2)^q], x, 4, (2*Sqrt[e]*q*ArcTan[(Sqrt[d]*(f + g*x))/Sqrt[e]])/(Sqrt[d]*g) + ((f + g*x)*Log[c*(d + e/(f + g*x)^2)^q])/g}
+{Log[c*(d + e/(f + g*x)^3)^q], x, 9, -((Sqrt[3]*e^(1/3)*q*ArcTan[(e^(1/3) - 2*d^(1/3)*(f + g*x))/(Sqrt[3]*e^(1/3))])/(d^(1/3)*g)) + ((f + g*x)*Log[c*(d + e/(f + g*x)^3)^q])/g + (e^(1/3)*q*Log[e^(1/3) + d^(1/3)*(f + g*x)])/(d^(1/3)*g) - (e^(1/3)*q*Log[e^(2/3) - d^(1/3)*e^(1/3)*(f + g*x) + d^(2/3)*(f + g*x)^2])/(2*d^(1/3)*g)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Log[c (d+e/(f+g x))^n])^p*)
+
+
+{(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p])^n, x, 0, Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p])^n, x]}
+
+
+{(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p])^4, x, 8, -((4*b*e*p*Log[-(e/(d*(f + g*x)))]*(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p])^3)/(d*g)) + ((e + d*(f + g*x))*(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p])^4)/(d*g) - (12*b^2*e*p^2*(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p])^2*PolyLog[2, 1 + e/(d*(f + g*x))])/(d*g) + (24*b^3*e*p^3*(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p])*PolyLog[3, 1 + e/(d*(f + g*x))])/(d*g) - (24*b^4*e*p^4*PolyLog[4, 1 + e/(d*(f + g*x))])/(d*g)}
+{(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p])^3, x, 7, -((3*b*e*p*Log[-(e/(d*(f + g*x)))]*(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p])^2)/(d*g)) + ((e + d*(f + g*x))*(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p])^3)/(d*g) - (6*b^2*e*p^2*(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p])*PolyLog[2, 1 + e/(d*(f + g*x))])/(d*g) + (6*b^3*e*p^3*PolyLog[3, 1 + e/(d*(f + g*x))])/(d*g)}
+{(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p])^2, x, 5, -((2*b*e*p*Log[-(e/(d*(f + g*x)))]*(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p]))/(d*g)) + ((e + d*(f + g*x))*(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p])^2)/(d*g) - (2*b^2*e*p^2*PolyLog[2, 1 + e/(d*(f + g*x))])/(d*g)}
+{(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p])^1, x, 5, a*x + (b*(f + g*x)*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p])/g + (b*e*p*Log[e + d*(f + g*x)])/(d*g)}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p])^1, x, 0, Unintegrable[1/(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p]), x]}
+{1/(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p])^2, x, 0, Unintegrable[1/(a + b*Log[c*(d + e/(f + g*x))^p])^2, x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.5 Logarithm functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.5 Logarithm functions.m
new file mode 100644
index 00000000..be3075b0
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/3 Logarithms/3.5 Logarithm functions.m	
@@ -0,0 +1,609 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration Problems Involving Logarithms*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x^m+e Log[c x^n]^(q-1)) (a x^m+b Log[c x^n]^q)^p / x*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Log[c x^n]^(q-1) (a x^m+b Log[c x^n]^q)^p / x*)
+
+
+{Log[c*x^n]^(q - 1)*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^p/x, x, 1, -((a*m*CannotIntegrate[x^(-1 + m)*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^p, x])/(b*n*q)) + (a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^(1 + p)/(b*n*(1 + p)*q)}
+
+
+{Log[c*x^n]^(q - 1)*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^3/x, x, 10, (b^3*Log[c*x^n]^(4*q))/(4*n*q) - (3*a*b^2*x^m*Gamma[3*q, -((m*Log[c*x^n])/n)]*Log[c*x^n]^(3*q))/((c*x^n)^(m/n)*(-((m*Log[c*x^n])/n))^(3*q)*n) - (3*a^2*b*x^(2*m)*Gamma[2*q, -((2*m*Log[c*x^n])/n)]*Log[c*x^n]^(2*q))/(4^q*(c*x^n)^((2*m)/n)*(-((m*Log[c*x^n])/n))^(2*q)*n) - (a^3*x^(3*m)*Gamma[q, -((3*m*Log[c*x^n])/n)]*Log[c*x^n]^q)/(3^q*(c*x^n)^((3*m)/n)*(-((m*Log[c*x^n])/n))^q*n)}
+{Log[c*x^n]^(q - 1)*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^2/x, x, 8, (b^2*Log[c*x^n]^(3*q))/(3*n*q) - (2*a*b*x^m*Gamma[2*q, -((m*Log[c*x^n])/n)]*Log[c*x^n]^(2*q))/((c*x^n)^(m/n)*(-((m*Log[c*x^n])/n))^(2*q)*n) - (a^2*x^(2*m)*Gamma[q, -((2*m*Log[c*x^n])/n)]*Log[c*x^n]^q)/(2^q*(c*x^n)^((2*m)/n)*(-((m*Log[c*x^n])/n))^q*n)}
+{Log[c*x^n]^(q - 1)*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^1/x, x, 6, (b*Log[c*x^n]^(2*q))/(2*n*q) - (a*x^m*Gamma[q, -((m*Log[c*x^n])/n)]*Log[c*x^n]^q)/((c*x^n)^(m/n)*(-((m*Log[c*x^n])/n))^q*n)}
+{Log[c*x^n]^(q - 1)*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^0/x, x, 2, Log[c*x^n]^q/(n*q)}
+{Log[c*x^n]^(q - 1)/(x*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^1), x, 1, -((a*m*CannotIntegrate[x^(-1 + m)/(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q), x])/(b*n*q)) + Log[a*x^m + b*Log[c*x^n]^q]/(b*n*q)}
+{Log[c*x^n]^(q - 1)/(x*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^2), x, 1, -((a*m*CannotIntegrate[x^(-1 + m)/(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^2, x])/(b*n*q)) - 1/(b*n*q*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q))}
+{Log[c*x^n]^(q - 1)/(x*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^3), x, 1, -((a*m*CannotIntegrate[x^(-1 + m)/(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^3, x])/(b*n*q)) - 1/(2*b*n*q*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^2)}
+
+
+{Log[c*x^n]*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^2)^3/x, x, 13, -((360*a*b^2*n^5*x^m)/m^6) - (9*a^2*b*n^3*x^(2*m))/(8*m^4) - (a^3*n*x^(3*m))/(9*m^2) + (360*a*b^2*n^4*x^m*Log[c*x^n])/m^5 + (9*a^2*b*n^2*x^(2*m)*Log[c*x^n])/(4*m^3) + (a^3*x^(3*m)*Log[c*x^n])/(3*m) - (180*a*b^2*n^3*x^m*Log[c*x^n]^2)/m^4 - (9*a^2*b*n*x^(2*m)*Log[c*x^n]^2)/(4*m^2) + (60*a*b^2*n^2*x^m*Log[c*x^n]^3)/m^3 + (3*a^2*b*x^(2*m)*Log[c*x^n]^3)/(2*m) - (15*a*b^2*n*x^m*Log[c*x^n]^4)/m^2 + (3*a*b^2*x^m*Log[c*x^n]^5)/m + (b^3*Log[c*x^n]^8)/(8*n)}
+{Log[c*x^n]*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^2)^2/x, x, 8, -((12*a*b*n^3*x^m)/m^4) - (a^2*n*x^(2*m))/(4*m^2) + (12*a*b*n^2*x^m*Log[c*x^n])/m^3 + (a^2*x^(2*m)*Log[c*x^n])/(2*m) - (6*a*b*n*x^m*Log[c*x^n]^2)/m^2 + (2*a*b*x^m*Log[c*x^n]^3)/m + (b^2*Log[c*x^n]^6)/(6*n)}
+{Log[c*x^n]*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^2)^1/x, x, 5, -((a*n*x^m)/m^2) + (a*x^m*Log[c*x^n])/m + (b*Log[c*x^n]^4)/(4*n)}
+{Log[c*x^n]*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^2)^0/x, x, 1, Log[c*x^n]^2/(2*n)}
+{Log[c*x^n]/(x*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^2)^1), x, 1, -((a*m*CannotIntegrate[x^(-1 + m)/(a*x^m + b*Log[c*x^n]^2), x])/(2*b*n)) + Log[a*x^m + b*Log[c*x^n]^2]/(2*b*n)}
+{Log[c*x^n]/(x*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^2)^2), x, 1, -((a*m*CannotIntegrate[x^(-1 + m)/(a*x^m + b*Log[c*x^n]^2)^2, x])/(2*b*n)) - 1/(2*b*n*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^2))}
+{Log[c*x^n]/(x*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^2)^3), x, 1, -((a*m*CannotIntegrate[x^(-1 + m)/(a*x^m + b*Log[c*x^n]^2)^3, x])/(2*b*n)) - 1/(4*b*n*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^2)^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x^m+e Log[c x^n]^(q-1)) (a x^m+b Log[c x^n]^q)^p / x when a e m-b d n q=0*)
+
+
+{(a*m*x^m + b*n*q*Log[c*x^n]^(q - 1))*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^p/x, x, 1, (a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^(1 + p)/(1 + p)}
+
+
+{(a*m*x^m + b*n*q*Log[c*x^n]^(q - 1))*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^2/x, x, 1, (1/3)*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^3}
+{(a*m*x^m + b*n*q*Log[c*x^n]^(q - 1))*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^1/x, x, 1, (1/2)*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^2}
+{(a*m*x^m + b*n*q*Log[c*x^n]^(q - 1))*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^0/x, x, 4, a*x^m + b*Log[c*x^n]^q}
+{(a*m*x^m + b*n*q*Log[c*x^n]^(q - 1))/(x*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^1), x, 1, Log[a*x^m + b*Log[c*x^n]^q]}
+{(a*m*x^m + b*n*q*Log[c*x^n]^(q - 1))/(x*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^2), x, 1, -(1/(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q))}
+{(a*m*x^m + b*n*q*Log[c*x^n]^(q - 1))/(x*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^3), x, 1, -(1/(2*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^2))}
+
+
+{(a*x^2 + b*x*Log[c*x^n]^2)^2*(a/x^2 + 2*b*n/x^3*Log[c*x^n]), x, 3, (1/3)*(a*x + b*Log[c*x^n]^2)^3}
+{(a*x^2 + b*x*Log[c*x^n]^2)^1*(a/x^1 + 2*b*n/x^2*Log[c*x^n]), x, 3, (1/2)*(a*x + b*Log[c*x^n]^2)^2}
+{(a*x^2 + b*x*Log[c*x^n]^2)^0*(a*x^0 + 2*b*n/x^1*Log[c*x^n]), x, 2, a*x + b*Log[c*x^n]^2}
+{(a*x^1 + 2*b*n*x^0*Log[c*x^n])/(a*x^2 + b*x*Log[c*x^n]^2)^1, x, 2, Log[a*x + b*Log[c*x^n]^2]}
+{(a*x^2 + 2*b*n*x^1*Log[c*x^n])/(a*x^2 + b*x*Log[c*x^n]^2)^2, x, 3, -(1/(a*x + b*Log[c*x^n]^2))}
+{(a*x^3 + 2*b*n*x^2*Log[c*x^n])/(a*x^2 + b*x*Log[c*x^n]^2)^3, x, 3, -(1/(2*(a*x + b*Log[c*x^n]^2)^2))}
+
+
+{(a*(m - 1)*x^(m - 1) + b*n*q*Log[c*x^n]^(q - 1))/(a*x^m + b*x*Log[c*x^n]^q), x, 2, Log[a*x^(m - 1) + b*Log[c*x^n]^q]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x^m+e Log[c x^n]^(q-1)) (a x^m+b Log[c x^n]^q)^p / x*)
+
+
+{(d*x^m + e*Log[c*x^n]^(q - 1))*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^p/x, x, 1, (d - (a*e*m)/(b*n*q))*CannotIntegrate[x^(-1 + m)*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^p, x] + (e*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^(1 + p))/(b*n*(1 + p)*q)}
+
+
+{(d*x^m + e*Log[c*x^n]^(q - 1))*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^3/x, x, 9, -((a^3*(a*e*m - b*d*n*q)*x^(4*m))/(4*b*m*n*q)) - (b^2*(a*e*m - b*d*n*q)*x^m*Gamma[1 + 3*q, -((m*Log[c*x^n])/n)]*Log[c*x^n]^(3*q))/((c*x^n)^(m/n)*(-((m*Log[c*x^n])/n))^(3*q)*(m*n*q)) - (3*2^(-1 - 2*q)*a*b*(a*e*m - b*d*n*q)*x^(2*m)*Gamma[1 + 2*q, -((2*m*Log[c*x^n])/n)]*Log[c*x^n]^(2*q))/((c*x^n)^((2*m)/n)*(-((m*Log[c*x^n])/n))^(2*q)*(m*n*q)) - (a^2*(a*e*m - b*d*n*q)*x^(3*m)*Gamma[1 + q, -((3*m*Log[c*x^n])/n)]*Log[c*x^n]^q)/(3^q*(c*x^n)^((3*m)/n)*(-((m*Log[c*x^n])/n))^q*(m*n*q)) + (e*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^4)/(4*b*n*q)}
+{(d*x^m + e*Log[c*x^n]^(q - 1))*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^2/x, x, 7, -((a^2*(a*e*m - b*d*n*q)*x^(3*m))/(3*b*m*n*q)) - (b*(a*e*m - b*d*n*q)*x^m*Gamma[1 + 2*q, -((m*Log[c*x^n])/n)]*Log[c*x^n]^(2*q))/((c*x^n)^(m/n)*(-((m*Log[c*x^n])/n))^(2*q)*(m*n*q)) - (a*(a*e*m - b*d*n*q)*x^(2*m)*Gamma[1 + q, -((2*m*Log[c*x^n])/n)]*Log[c*x^n]^q)/(2^q*(c*x^n)^((2*m)/n)*(-((m*Log[c*x^n])/n))^q*(m*n*q)) + (e*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^3)/(3*b*n*q)}
+{(d*x^m + e*Log[c*x^n]^(q - 1))*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^1/x, x, 5, -((a*(a*e*m - b*d*n*q)*x^(2*m))/(2*b*m*n*q)) + (((b*d)/m - (a*e)/(n*q))*x^m*Gamma[1 + q, -((m*Log[c*x^n])/n)]*Log[c*x^n]^q)/((c*x^n)^(m/n)*(-((m*Log[c*x^n])/n))^q) + (e*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^2)/(2*b*n*q)}
+{(d*x^m + e*Log[c*x^n]^(q - 1))*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^0/x, x, 4, (d*x^m)/m + (e*Log[c*x^n]^q)/(n*q)}
+{(d*x^m + e*Log[c*x^n]^(q - 1))/(x*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^1), x, 1, (d - (a*e*m)/(b*n*q))*CannotIntegrate[x^(-1 + m)/(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q), x] + (e*Log[a*x^m + b*Log[c*x^n]^q])/(b*n*q)}
+{(d*x^m + e*Log[c*x^n]^(q - 1))/(x*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^2), x, 1, (d - (a*e*m)/(b*n*q))*CannotIntegrate[x^(-1 + m)/(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^2, x] - e/(b*n*q*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q))}
+{(d*x^m + e*Log[c*x^n]^(q - 1))/(x*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^3), x, 1, (d - (a*e*m)/(b*n*q))*CannotIntegrate[x^(-1 + m)/(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^3, x] - e/(2*b*n*q*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x^m + e x^m Log[c x^n] + f Log[c x^n]^q) / (x (a x^m + b Log[c x^n]^q)^2)*)
+
+
+{(a*d*n*x^m - a*d*m*x^m*Log[c*x^n] - b*d*n*(q - 1)*Log[c*x^n]^q)/(x*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^2), x, 1, (d*Log[c*x^n])/(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d + e Log[c x^n])/(a x + b Log[c x^n]^q)^2*)
+
+
+{(n*q - Log[c*x^n])/(a*x + b*Log[c*x^n]^q)^2, x, 1, -((n*(1 - q)*CannotIntegrate[1/(x*(a*x + b*Log[c*x^n]^q)), x])/a) + Log[c*x^n]/(a*(a*x + b*Log[c*x^n]^q))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form G[x] Log[F[x]] when C=G[x] (1-F[x]) / D[F[x],x]*)
+
+
+{Log[2*x*(d*Sqrt[-e/d] + e*x)/(d + e*x^2)]/(d + e*x^2), x, 1, -((Sqrt[-(e/d)]*PolyLog[2, 1 - (2*x*(d*Sqrt[-(e/d)] + e*x))/(d + e*x^2)])/(2*e))}
+{Log[-2*x*(d*Sqrt[-e/d] - e*x)/(d + e*x^2)]/(d + e*x^2), x, 1, (Sqrt[-(e/d)]*PolyLog[2, 1 + (2*x*(d*Sqrt[-(e/d)] - e*x))/(d + e*x^2)])/(2*e)}
+
+{Log[2*x*(d*Sqrt[e]/Sqrt[-d] + e*x)/(d + e*x^2)]/(d + e*x^2), x, 1, -(PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[e]*x*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(d + e*x^2)]/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]))}
+{Log[-2*x*(d*Sqrt[e]/Sqrt[-d] - e*x)/(d + e*x^2)]/(d + e*x^2), x, 1, PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[e]*x*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(d + e*x^2)]/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e])}
+
+{Log[2*x*(d*Sqrt[-e]/Sqrt[d] + e*x)/(d + e*x^2)]/(d + e*x^2), x, 1, PolyLog[2, 1 - (2*x*(Sqrt[d]*Sqrt[-e] + e*x))/(d + e*x^2)]/(2*Sqrt[d]*Sqrt[-e])}
+{Log[-2*x*(d*Sqrt[-e]/Sqrt[d] - e*x)/(d + e*x^2)]/(d + e*x^2), x, 1, -(PolyLog[2, 1 + (2*x*(Sqrt[d]*Sqrt[-e] - e*x))/(d + e*x^2)]/(2*Sqrt[d]*Sqrt[-e]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Log[c Log[d x^n]^p])*)
+
+
+{(e*x)^m*(a + b*Log[c*Log[d*x]^p]), x, 3, -((b*p*(d*x)^(-1 - m)*(e*x)^(1 + m)*ExpIntegralEi[(1 + m)*Log[d*x]])/(e*(1 + m))) + ((e*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*Log[d*x]^p]))/(e*(1 + m))}
+{(e*x)^m*(a + b*Log[c*Log[d*x^n]^p]), x, 3, -((b*p*(e*x)^(1 + m)*ExpIntegralEi[((1 + m)*Log[d*x^n])/n])/((d*x^n)^((1 + m)/n)*(e*(1 + m)))) + ((e*x)^(1 + m)*(a + b*Log[c*Log[d*x^n]^p]))/(e*(1 + m))}
+
+
+{x^2*(a + b*Log[c*Log[d*x^n]^p]), x, 3, ((-(1/3))*b*p*x^3*ExpIntegralEi[(3*Log[d*x^n])/n])/(d*x^n)^(3/n) + (1/3)*x^3*(a + b*Log[c*Log[d*x^n]^p])}
+{x^1*(a + b*Log[c*Log[d*x^n]^p]), x, 3, ((-(1/2))*b*p*x^2*ExpIntegralEi[(2*Log[d*x^n])/n])/(d*x^n)^(2/n) + (1/2)*x^2*(a + b*Log[c*Log[d*x^n]^p])}
+{x^0*(a + b*Log[c*Log[d*x^n]^p]), x, 4, a*x - (b*p*x*ExpIntegralEi[Log[d*x^n]/n])/(d*x^n)^n^(-1) + b*x*Log[c*Log[d*x^n]^p]}
+{(a + b*Log[c*Log[d*x^n]^p])/x^1, x, 1, (-b)*p*Log[x] + (Log[d*x^n]*(a + b*Log[c*Log[d*x^n]^p]))/n}
+{(a + b*Log[c*Log[d*x^n]^p])/x^2, x, 3, (b*p*(d*x^n)^(1/n)*ExpIntegralEi[-(Log[d*x^n]/n)])/x - (a + b*Log[c*Log[d*x^n]^p])/x}
+{(a + b*Log[c*Log[d*x^n]^p])/x^3, x, 3, (b*p*(d*x^n)^(2/n)*ExpIntegralEi[-((2*Log[d*x^n])/n)])/(2*x^2) - (a + b*Log[c*Log[d*x^n]^p])/(2*x^2)}
+{(a + b*Log[c*Log[d*x^n]^p])/x^4, x, 3, (b*p*(d*x^n)^(3/n)*ExpIntegralEi[-((3*Log[d*x^n])/n)])/(3*x^3) - (a + b*Log[c*Log[d*x^n]^p])/(3*x^3)}
+
+
+{Log[c*Log[d*x]^p], x, 2, x*Log[c*Log[d*x]^p] - (p*LogIntegral[d*x])/d}
+{Log[c*Log[d*x]^p]/x, x, 1, (-p)*Log[x] + Log[d*x]*Log[c*Log[d*x]^p]}
+
+{Log[c*Log[d*x^n]^p], x, 3, ((-p)*x*ExpIntegralEi[Log[d*x^n]/n])/(d*x^n)^n^(-1) + x*Log[c*Log[d*x^n]^p]}
+{Log[c*Log[d*x^n]^p]/x, x, 1, (-p)*Log[x] + (Log[d*x^n]*Log[c*Log[d*x^n]^p])/n}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u Log[d (a+b x+c x^2)^p]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Log[d (a+b x+c x^2)^p]*)
+
+
+{x^m*Log[d*(b*x + c*x^2)^n], x, 3, -((2*n*x^(1 + m))/(1 + m)^2) + (n*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((c*x)/b)])/(1 + m)^2 + (x^(1 + m)*Log[d*(b*x + c*x^2)^n])/(1 + m)}
+
+{x^4*Log[d*(b*x + c*x^2)^n], x, 3, -((b^4*n*x)/(5*c^4)) + (b^3*n*x^2)/(10*c^3) - (b^2*n*x^3)/(15*c^2) + (b*n*x^4)/(20*c) - (2*n*x^5)/25 + (b^5*n*Log[b + c*x])/(5*c^5) + (1/5)*x^5*Log[d*(b*x + c*x^2)^n]}
+{x^3*Log[d*(b*x + c*x^2)^n], x, 3, (b^3*n*x)/(4*c^3) - (b^2*n*x^2)/(8*c^2) + (b*n*x^3)/(12*c) - (n*x^4)/8 - (b^4*n*Log[b + c*x])/(4*c^4) + (1/4)*x^4*Log[d*(b*x + c*x^2)^n]}
+{x^2*Log[d*(b*x + c*x^2)^n], x, 3, -((b^2*n*x)/(3*c^2)) + (b*n*x^2)/(6*c) - (2*n*x^3)/9 + (b^3*n*Log[b + c*x])/(3*c^3) + (1/3)*x^3*Log[d*(b*x + c*x^2)^n]}
+{x^1*Log[d*(b*x + c*x^2)^n], x, 3, (b*n*x)/(2*c) - (n*x^2)/2 - (b^2*n*Log[b + c*x])/(2*c^2) + (1/2)*x^2*Log[d*(b*x + c*x^2)^n]}
+{x^0*Log[d*(b*x + c*x^2)^n], x, 3, -2*n*x + (b*n*Log[b + c*x])/c + x*Log[d*(b*x + c*x^2)^n]}
+{Log[d*(b*x + c*x^2)^n]/x^1, x, 7, (-(1/2))*n*Log[x]^2 - n*Log[x]*Log[1 + (c*x)/b] + Log[x]*Log[d*(b*x + c*x^2)^n] - n*PolyLog[2, -((c*x)/b)]}
+{Log[d*(b*x + c*x^2)^n]/x^2, x, 3, -(n/x) + (c*n*Log[x])/b - (c*n*Log[b + c*x])/b - Log[d*(b*x + c*x^2)^n]/x}
+{Log[d*(b*x + c*x^2)^n]/x^3, x, 3, -(n/(4*x^2)) - (c*n)/(2*b*x) - (c^2*n*Log[x])/(2*b^2) + (c^2*n*Log[b + c*x])/(2*b^2) - Log[d*(b*x + c*x^2)^n]/(2*x^2)}
+{Log[d*(b*x + c*x^2)^n]/x^4, x, 3, -(n/(9*x^3)) - (c*n)/(6*b*x^2) + (c^2*n)/(3*b^2*x) + (c^3*n*Log[x])/(3*b^3) - (c^3*n*Log[b + c*x])/(3*b^3) - Log[d*(b*x + c*x^2)^n]/(3*x^3)}
+{Log[d*(b*x + c*x^2)^n]/x^5, x, 3, -(n/(16*x^4)) - (c*n)/(12*b*x^3) + (c^2*n)/(8*b^2*x^2) - (c^3*n)/(4*b^3*x) - (c^4*n*Log[x])/(4*b^4) + (c^4*n*Log[b + c*x])/(4*b^4) - Log[d*(b*x + c*x^2)^n]/(4*x^4)}
+
+
+{x^m*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n], x, 5, -((2*c*n*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, -((2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(1 + m)*(2 + m))) - (2*c*n*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, -((2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(1 + m)*(2 + m)) + (x^(1 + m)*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n])/(1 + m)}
+
+{x^4*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n], x, 7, -(((b^4 - 4*a*b^2*c + 2*a^2*c^2)*n*x)/(5*c^4)) + (b*(b^2 - 3*a*c)*n*x^2)/(10*c^3) - ((b^2 - 2*a*c)*n*x^3)/(15*c^2) + (b*n*x^4)/(20*c) - (2*n*x^5)/25 + (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b^4 - 3*a*b^2*c + a^2*c^2)*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(5*c^5) + (b*(b^4 - 5*a*b^2*c + 5*a^2*c^2)*n*Log[a + b*x + c*x^2])/(10*c^5) + (1/5)*x^5*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]}
+{x^3*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n], x, 7, (b*(b^2 - 3*a*c)*n*x)/(4*c^3) - ((b^2 - 2*a*c)*n*x^2)/(8*c^2) + (b*n*x^3)/(12*c) - (n*x^4)/8 - (b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b^2 - 2*a*c)*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(4*c^4) - ((b^4 - 4*a*b^2*c + 2*a^2*c^2)*n*Log[a + b*x + c*x^2])/(8*c^4) + (1/4)*x^4*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]}
+{x^2*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n], x, 7, -(((b^2 - 2*a*c)*n*x)/(3*c^2)) + (b*n*x^2)/(6*c) - (2*n*x^3)/9 + (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b^2 - a*c)*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(3*c^3) + (b*(b^2 - 3*a*c)*n*Log[a + b*x + c*x^2])/(6*c^3) + (1/3)*x^3*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]}
+{x^1*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n], x, 7, (b*n*x)/(2*c) - (n*x^2)/2 - (b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(2*c^2) - ((b^2 - 2*a*c)*n*Log[a + b*x + c*x^2])/(4*c^2) + (1/2)*x^2*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]}
+{x^0*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n], x, 6, -2*n*x + (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/c + (b*n*Log[a + b*x + c*x^2])/(2*c) + x*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]}
+{Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/x^1, x, 7, (-n)*Log[x]*Log[1 + (2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])] - n*Log[x]*Log[1 + (2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])] + Log[x]*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n] - n*PolyLog[2, -((2*c*x)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))] - n*PolyLog[2, -((2*c*x)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))]}
+{Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/x^2, x, 7, (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/a + (b*n*Log[x])/a - (b*n*Log[a + b*x + c*x^2])/(2*a) - Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/x}
+{Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/x^3, x, 7, -((b*n)/(2*a*x)) - (b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(2*a^2) - ((b^2 - 2*a*c)*n*Log[x])/(2*a^2) + ((b^2 - 2*a*c)*n*Log[a + b*x + c*x^2])/(4*a^2) - Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/(2*x^2)}
+{Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/x^4, x, 7, -((b*n)/(6*a*x^2)) + ((b^2 - 2*a*c)*n)/(3*a^2*x) + (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b^2 - a*c)*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(3*a^3) + (b*(b^2 - 3*a*c)*n*Log[x])/(3*a^3) - (b*(b^2 - 3*a*c)*n*Log[a + b*x + c*x^2])/(6*a^3) - Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/(3*x^3)}
+{Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/x^5, x, 7, -((b*n)/(12*a*x^3)) + ((b^2 - 2*a*c)*n)/(8*a^2*x^2) - (b*(b^2 - 3*a*c)*n)/(4*a^3*x) - (b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b^2 - 2*a*c)*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(4*a^4) - ((b^4 - 4*a*b^2*c + 2*a^2*c^2)*n*Log[x])/(4*a^4) + ((b^4 - 4*a*b^2*c + 2*a^2*c^2)*n*Log[a + b*x + c*x^2])/(8*a^4) - Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/(4*x^4)}
+
+
+{Log[1 + x + x^2], x, 6, -2*x + Sqrt[3]*ArcTan[(1 + 2*x)/Sqrt[3]] + (1/2)*Log[1 + x + x^2] + x*Log[1 + x + x^2]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Log[d (a+b x+c x^2)^p]*)
+
+
+{Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]*(d + e*x)^4, x, 7, -(((10*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 10*c^3*d^2*e*(b*d + 2*a*e) - b^2*c*e^3*(5*b*d + 4*a*e) + c^2*e^2*(10*b^2*d^2 + 15*a*b*d*e + 2*a^2*e^2))*n*x)/(5*c^4)) - (e*(20*c^3*d^3 - b^3*e^3 - 10*c^2*d*e*(b*d + a*e) + b*c*e^2*(5*b*d + 3*a*e))*n*x^2)/(10*c^3) - (e^2*(20*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(5*b*d + 2*a*e))*n*x^3)/(15*c^2) - (e^3*(10*c*d - b*e)*n*x^4)/(20*c) - (2/25)*e^4*n*x^5 + (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(5*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 10*c^3*d^2*e*(b*d + a*e) - b^2*c*e^3*(5*b*d + 3*a*e) + c^2*e^2*(10*b^2*d^2 + 10*a*b*d*e + a^2*e^2))*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(5*c^5) - ((2*c*d - b*e)*(c^4*d^4 + b^4*e^4 - 2*c^3*d^2*e*(b*d + 5*a*e) - b^2*c*e^3*(3*b*d + 5*a*e) + c^2*e^2*(4*b^2*d^2 + 10*a*b*d*e + 5*a^2*e^2))*n*Log[a + b*x + c*x^2])/(10*c^5*e) + ((d + e*x)^5*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n])/(5*e)}
+{Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]*(d + e*x)^3, x, 7, -(((8*c^3*d^3 - b^3*e^3 + b*c*e^2*(4*b*d + 3*a*e) - 2*c^2*d*e*(3*b*d + 4*a*e))*n*x)/(4*c^3)) - (e*(12*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(2*b*d + a*e))*n*x^2)/(8*c^2) - (e^2*(8*c*d - b*e)*n*x^3)/(12*c) - (1/8)*e^3*n*x^4 + (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(2*c*d - b*e)*(2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(4*c^4) - ((2*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(b*d + a*e) - 4*c^3*d^2*e*(b*d + 3*a*e) + 2*c^2*e^2*(3*b^2*d^2 + 6*a*b*d*e + a^2*e^2))*n*Log[a + b*x + c*x^2])/(8*c^4*e) + ((d + e*x)^4*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n])/(4*e)}
+{Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]*(d + e*x)^2, x, 7, -(((6*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + 2*a*e))*n*x)/(3*c^2)) - (e*(6*c*d - b*e)*n*x^2)/(6*c) - (2/9)*e^2*n*x^3 + (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + a*e))*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(3*c^3) - ((2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*n*Log[a + b*x + c*x^2])/(6*c^3*e) + ((d + e*x)^3*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n])/(3*e)}
+{Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]*(d + e*x)^1, x, 7, (-(1/2))*(4*d - (b*e)/c)*n*x - (1/2)*e*n*x^2 + (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(2*c*d - b*e)*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(2*c^2) - ((2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))*n*Log[a + b*x + c*x^2])/(4*c^2*e) + ((d + e*x)^2*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n])/(2*e)}
+{Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]*(d + e*x)^0, x, 6, -2*n*x + (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/c + (b*n*Log[a + b*x + c*x^2])/(2*c) + x*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]}
+{Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/(d + e*x)^1, x, 9, -((n*Log[-((e*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e))]*Log[d + e*x])/e) - (n*Log[-((e*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e))]*Log[d + e*x])/e + (Log[d + e*x]*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n])/e - (n*PolyLog[2, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)])/e - (n*PolyLog[2, (2*c*(d + e*x))/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)])/e}
+{Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/(d + e*x)^2, x, 7, (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2) - ((2*c*d - b*e)*n*Log[d + e*x])/(e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) + ((2*c*d - b*e)*n*Log[a + b*x + c*x^2])/(2*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)) - Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/(e*(d + e*x))}
+{Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/(d + e*x)^3, x, 7, ((2*c*d - b*e)*n)/(2*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)) + (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(2*c*d - b*e)*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) - ((2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))*n*Log[d + e*x])/(2*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) + ((2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))*n*Log[a + b*x + c*x^2])/(4*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2) - Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/(2*e*(d + e*x)^2)}
+{Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/(d + e*x)^4, x, 7, ((2*c*d - b*e)*n)/(6*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^2) + ((2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))*n)/(3*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)) + (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(3*c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(3*b*d + a*e))*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) - ((2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*n*Log[d + e*x])/(3*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) + ((2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*n*Log[a + b*x + c*x^2])/(6*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3) - Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/(3*e*(d + e*x)^3)}
+{Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/(d + e*x)^5, x, 7, ((2*c*d - b*e)*n)/(12*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)^3) + ((2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))*n)/(8*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)^2) + ((2*c*d - b*e)*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*n)/(4*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)) + (Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(2*c*d - b*e)*(2*c^2*d^2 + b^2*e^2 - 2*c*e*(b*d + a*e))*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(4*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4) - ((2*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(b*d + a*e) - 4*c^3*d^2*e*(b*d + 3*a*e) + 2*c^2*e^2*(3*b^2*d^2 + 6*a*b*d*e + a^2*e^2))*n*Log[d + e*x])/(4*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4) + ((2*c^4*d^4 + b^4*e^4 - 4*b^2*c*e^3*(b*d + a*e) - 4*c^3*d^2*e*(b*d + 3*a*e) + 2*c^2*e^2*(3*b^2*d^2 + 6*a*b*d*e + a^2*e^2))*n*Log[a + b*x + c*x^2])/(8*e*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^4) - Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/(4*e*(d + e*x)^4)}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form RFx (e+f x)^m Log[d (a+b x+c x^2)^p]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x+g x^2)^m Log[d (a+b x+c x^2)^p]^n*)
+
+
+{Log[d*(a + c*x^2)^n]/(a*e + c*e*x^2), x, 6, (I*n*ArcTan[(Sqrt[c]*x)/Sqrt[a]]^2)/(Sqrt[a]*Sqrt[c]*e) + (2*n*ArcTan[(Sqrt[c]*x)/Sqrt[a]]*Log[(2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[c]*x)])/(Sqrt[a]*Sqrt[c]*e) + (ArcTan[(Sqrt[c]*x)/Sqrt[a]]*Log[d*(a + c*x^2)^n])/(Sqrt[a]*Sqrt[c]*e) + (I*n*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] + I*Sqrt[c]*x)])/(Sqrt[a]*Sqrt[c]*e)}
+{Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]/(a*e + b*e*x + c*e*x^2), x, 8, (2*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]^2)/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e) - (4*n*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Log[2/(1 - b/Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e) - (2*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e) - (2*n*PolyLog[2, -((1 + b/Sqrt[b^2 - 4*a*c] + (2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])/(1 - b/Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)}
+
+
+{Log[g*(a + b*x + c*x^2)^n]/(d + e*x^2), x, 20, -((n*Log[(Sqrt[e]*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c*Sqrt[-d] + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Sqrt[e])]*Log[Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e])) - (n*Log[(Sqrt[e]*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c*Sqrt[-d] + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Sqrt[e])]*Log[Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (n*Log[-((Sqrt[e]*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c*Sqrt[-d] - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Sqrt[e]))]*Log[Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (n*Log[-((Sqrt[e]*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(2*c*Sqrt[-d] - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Sqrt[e]))]*Log[Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (Log[Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x]*Log[g*(a + b*x + c*x^2)^n])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (Log[Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x]*Log[g*(a + b*x + c*x^2)^n])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (n*PolyLog[2, (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(2*c*Sqrt[-d] + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Sqrt[e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (n*PolyLog[2, (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(2*c*Sqrt[-d] + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Sqrt[e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (n*PolyLog[2, (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(2*c*Sqrt[-d] - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Sqrt[e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (n*PolyLog[2, (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(2*c*Sqrt[-d] - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Sqrt[e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e])}
+{Log[g*(a + b*x + c*x^2)^n]/(d + e*x +f*x^2), x, 20, -((n*Log[-((f*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/(c*e - b*f + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*f - c*Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]*Log[e - Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*f*x])/Sqrt[e^2 - 4*d*f]) - (n*Log[(f*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*f - c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]*Log[e - Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*f*x])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] + (n*Log[(f*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]*Log[e + Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*f*x])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] + (n*Log[(f*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f]))]*Log[e + Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*f*x])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] + (Log[e - Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*f*x]*Log[g*(a + b*x + c*x^2)^n])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] - (Log[e + Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*f*x]*Log[g*(a + b*x + c*x^2)^n])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] - (n*PolyLog[2, -((c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*f*x))/((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*f - c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] - (n*PolyLog[2, -((c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*f*x))/((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*f - c*(e - Sqrt[e^2 - 4*d*f])))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] + (n*PolyLog[2, -((c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*f*x))/((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f] + (n*PolyLog[2, -((c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f] + 2*f*x))/((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*f - c*(e + Sqrt[e^2 - 4*d*f])))])/Sqrt[e^2 - 4*d*f]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Log[d (a+b x+c x^2)^p]^2*)
+
+
+{Log[d*(b*x + c*x^2)^n]^2, x, 14, 8*n^2*x - (4*b*n^2*Log[b + c*x])/c - (2*b*n^2*Log[-((c*x)/b)]*Log[b + c*x])/c - (b*n^2*Log[b + c*x]^2)/c - 4*n*x*Log[d*(b*x + c*x^2)^n] + (2*b*n*Log[b + c*x]*Log[d*(b*x + c*x^2)^n])/c + x*Log[d*(b*x + c*x^2)^n]^2 - (2*b*n^2*PolyLog[2, 1 + (c*x)/b])/c}
+{Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]^2, x, 27, 8*n^2*x - (4*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*n^2*ArcTanh[(b + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/c - ((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*n^2*Log[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x]^2)/(2*c) - ((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*n^2*Log[-((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]))]*Log[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x])/c - ((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*n^2*Log[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x]^2)/(2*c) - ((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*n^2*Log[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x]*Log[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/c - (2*b*n^2*Log[a + b*x + c*x^2])/c - 4*n*x*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n] + ((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*n*Log[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x]*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n])/c + ((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*n*Log[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x]*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n])/c + x*Log[d*(a + b*x + c*x^2)^n]^2 - ((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*n^2*PolyLog[2, -((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]))])/c - ((b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*n^2*PolyLog[2, (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/c}
+
+
+{x^2*Log[1 + x + x^2]/(2 + 3*x + x^2), x, 28, -2*x + Sqrt[3]*ArcTan[(1 + 2*x)/Sqrt[3]] - Log[2 + 2*x]*Log[-((1 - I*Sqrt[3] + 2*x)/(1 + I*Sqrt[3]))] + 4*Log[4 + 2*x]*Log[-((1 - I*Sqrt[3] + 2*x)/(3 + I*Sqrt[3]))] - Log[2 + 2*x]*Log[-((1 + I*Sqrt[3] + 2*x)/(1 - I*Sqrt[3]))] + 4*Log[4 + 2*x]*Log[-((1 + I*Sqrt[3] + 2*x)/(3 - I*Sqrt[3]))] + (1/2)*Log[1 + x + x^2] + x*Log[1 + x + x^2] + Log[2 + 2*x]*Log[1 + x + x^2] - 4*Log[4 + 2*x]*Log[1 + x + x^2] - PolyLog[2, (2*(1 + x))/(1 - I*Sqrt[3])] - PolyLog[2, (2*(1 + x))/(1 + I*Sqrt[3])] + 4*PolyLog[2, (2*(2 + x))/(3 - I*Sqrt[3])] + 4*PolyLog[2, (2*(2 + x))/(3 + I*Sqrt[3])]}
+
+
+{Log[1 + x + x^2]^2, x, 27, 8*x - 4*Sqrt[3]*ArcTan[(1 + 2*x)/Sqrt[3]] - (1/2)*(1 - I*Sqrt[3])*Log[1 - I*Sqrt[3] + 2*x]^2 - (1 + I*Sqrt[3])*Log[(I*(1 - I*Sqrt[3] + 2*x))/(2*Sqrt[3])]*Log[1 + I*Sqrt[3] + 2*x] - (1/2)*(1 + I*Sqrt[3])*Log[1 + I*Sqrt[3] + 2*x]^2 - (1 - I*Sqrt[3])*Log[1 - I*Sqrt[3] + 2*x]*Log[-((I*(1 + I*Sqrt[3] + 2*x))/(2*Sqrt[3]))] - 2*Log[1 + x + x^2] - 4*x*Log[1 + x + x^2] + (1 - I*Sqrt[3])*Log[1 - I*Sqrt[3] + 2*x]*Log[1 + x + x^2] + (1 + I*Sqrt[3])*Log[1 + I*Sqrt[3] + 2*x]*Log[1 + x + x^2] + x*Log[1 + x + x^2]^2 - (1 + I*Sqrt[3])*PolyLog[2, -((I - Sqrt[3] + 2*I*x)/(2*Sqrt[3]))] - (1 - I*Sqrt[3])*PolyLog[2, (I + Sqrt[3] + 2*I*x)/(2*Sqrt[3])]}
+
+{Log[-1 + x + x^2]^2/x^3, x, 34, Log[x] - (1/2)*(1 + Sqrt[5])*Log[1 - Sqrt[5] + 2*x] + 3*Log[(1/2)*(-1 + Sqrt[5])]*Log[1 - Sqrt[5] + 2*x] - (1/4)*(3 + Sqrt[5])*Log[1 - Sqrt[5] + 2*x]^2 - (1/2)*(1 - Sqrt[5])*Log[1 + Sqrt[5] + 2*x] - (1/2)*(3 - Sqrt[5])*Log[-((1 - Sqrt[5] + 2*x)/(2*Sqrt[5]))]*Log[1 + Sqrt[5] + 2*x] - (1/4)*(3 - Sqrt[5])*Log[1 + Sqrt[5] + 2*x]^2 - (1/2)*(3 + Sqrt[5])*Log[1 - Sqrt[5] + 2*x]*Log[(1 + Sqrt[5] + 2*x)/(2*Sqrt[5])] + 3*Log[x]*Log[1 + (2*x)/(1 + Sqrt[5])] + Log[-1 + x + x^2]/x - 3*Log[x]*Log[-1 + x + x^2] + (1/2)*(3 + Sqrt[5])*Log[1 - Sqrt[5] + 2*x]*Log[-1 + x + x^2] + (1/2)*(3 - Sqrt[5])*Log[1 + Sqrt[5] + 2*x]*Log[-1 + x + x^2] - Log[-1 + x + x^2]^2/(2*x^2) + 3*PolyLog[2, -((2*x)/(1 + Sqrt[5]))] - (1/2)*(3 + Sqrt[5])*PolyLog[2, -((1 - Sqrt[5] + 2*x)/(2*Sqrt[5]))] - (1/2)*(3 - Sqrt[5])*PolyLog[2, (1 + Sqrt[5] + 2*x)/(2*Sqrt[5])] - 3*PolyLog[2, 1 + (2*x)/(1 - Sqrt[5])]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u Log[d+e x+f (a+b x+c x^2)^p]*)
+
+
+{x^3*Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[(-1 + x)*x]], x, 25, x/4096 - x^2/1024 + x^3/192 - x^4/32 - (683*Sqrt[-x + x^2])/4096 + (149*(1 - 2*x)*Sqrt[-x + x^2])/2048 - (1/12)*(-x + x^2)^(3/2) - (1/32)*x*(-x + x^2)^(3/2) + ArcTanh[(1 - 10*x)/(6*Sqrt[-x + x^2])]/32768 - (1537*ArcTanh[x/Sqrt[-x + x^2]])/16384 - Log[1 + 8*x]/32768 + (1/4)*x^4*Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[-x + x^2]]}
+{x^2*Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[(-1 + x)*x]], x, 20, -(x/384) + x^2/96 - x^3/18 - (85/384)*Sqrt[-x + x^2] + (5/64)*(1 - 2*x)*Sqrt[-x + x^2] - (1/18)*(-x + x^2)^(3/2) - ArcTanh[(1 - 10*x)/(6*Sqrt[-x + x^2])]/3072 - (223*ArcTanh[x/Sqrt[-x + x^2]])/1536 + Log[1 + 8*x]/3072 + (1/3)*x^3*Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[-x + x^2]]}
+{x^1*Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[(-1 + x)*x]], x, 16, x/32 - x^2/8 - (11/32)*Sqrt[-x + x^2] + (1/16)*(1 - 2*x)*Sqrt[-x + x^2] + (1/256)*ArcTanh[(1 - 10*x)/(6*Sqrt[-x + x^2])] - (33/128)*ArcTanh[x/Sqrt[-x + x^2]] - (1/256)*Log[1 + 8*x] + (1/2)*x^2*Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[-x + x^2]]}
+{x^0*Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[(-1 + x)*x]], x, 13, -(x/2) - (1/2)*Sqrt[-x + x^2] - (1/16)*ArcTanh[(1 - 10*x)/(6*Sqrt[-x + x^2])] - (7/8)*ArcTanh[x/Sqrt[-x + x^2]] + (1/16)*Log[1 + 8*x] + x*Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[-x + x^2]]}
+{Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[(-1 + x)*x]]/x^1, x, 1, CannotIntegrate[Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[-x + x^2]]/x, x]}
+{Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[(-1 + x)*x]]/x^2, x, 19, (4*Sqrt[-x + x^2])/x + 4*ArcTanh[(1 - 10*x)/(6*Sqrt[-x + x^2])] + 4*Log[x] - 4*Log[1 + 8*x] - Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[-x + x^2]]/x}
+{Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[(-1 + x)*x]]/x^3, x, 20, -(2/x) - (10*Sqrt[-x + x^2])/x - (2*(-x + x^2)^(3/2))/(3*x^3) - 16*ArcTanh[(1 - 10*x)/(6*Sqrt[-x + x^2])] - 16*Log[x] + 16*Log[1 + 8*x] - Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[-x + x^2]]/(2*x^2)}
+
+
+{x^(3/2)*Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[(-1 + x)*x]], x, 15, -(Sqrt[x]/160) + x^(3/2)/60 - (2*x^(5/2))/25 - (17*Sqrt[-x + x^2])/(32*Sqrt[x]) - (71*(-x + x^2)^(3/2))/(300*x^(3/2)) - (2*(-x + x^2)^(3/2))/(25*Sqrt[x]) - (Sqrt[-x + x^2]*ArcTan[(2/3)*Sqrt[2]*Sqrt[-1 + x]])/(320*Sqrt[2]*Sqrt[-1 + x]*Sqrt[x]) + ArcTan[2*Sqrt[2]*Sqrt[x]]/(320*Sqrt[2]) + (2/5)*x^(5/2)*Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[-x + x^2]]}
+{x^(1/2)*Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[(-1 + x)*x]], x, 13, Sqrt[x]/12 - (2*x^(3/2))/9 - (11*Sqrt[-x + x^2])/(12*Sqrt[x]) - (2*(-x + x^2)^(3/2))/(9*x^(3/2)) + (Sqrt[-x + x^2]*ArcTan[(2/3)*Sqrt[2]*Sqrt[-1 + x]])/(24*Sqrt[2]*Sqrt[-1 + x]*Sqrt[x]) - ArcTan[2*Sqrt[2]*Sqrt[x]]/(24*Sqrt[2]) + (2/3)*x^(3/2)*Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[-x + x^2]]}
+{Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[(-1 + x)*x]]/x^(1/2), x, 12, -2*Sqrt[x] - (2*Sqrt[-x + x^2])/Sqrt[x] - (Sqrt[-x + x^2]*ArcTan[(2/3)*Sqrt[2]*Sqrt[-1 + x]])/(Sqrt[2]*Sqrt[-1 + x]*Sqrt[x]) + ArcTan[2*Sqrt[2]*Sqrt[x]]/Sqrt[2] + 2*Sqrt[x]*Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[-x + x^2]]}
+{Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[(-1 + x)*x]]/x^(3/2), x, 15, -((4*Sqrt[2]*Sqrt[-x + x^2]*ArcTan[(2/3)*Sqrt[2]*Sqrt[-1 + x]])/(Sqrt[-1 + x]*Sqrt[x])) + 4*Sqrt[2]*ArcTan[2*Sqrt[2]*Sqrt[x]] - 8*ArcTan[Sqrt[x]/Sqrt[-x + x^2]] - (2*Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[-x + x^2]])/Sqrt[x]}
+{Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[(-1 + x)*x]]/x^(5/2), x, 18, -(16/(3*Sqrt[x])) + (4*Sqrt[-x + x^2])/(3*x^(3/2)) + (32*Sqrt[2]*Sqrt[-x + x^2]*ArcTan[(2/3)*Sqrt[2]*Sqrt[-1 + x]])/(3*Sqrt[-1 + x]*Sqrt[x]) - (32/3)*Sqrt[2]*ArcTan[2*Sqrt[2]*Sqrt[x]] + (44/3)*ArcTan[Sqrt[x]/Sqrt[-x + x^2]] - (2*Log[-1 + 4*x + 4*Sqrt[-x + x^2]])/(3*x^(3/2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Log[d+e (F^(c (a+b x)))^n]*)
+
+
+{x^3*Log[a + b*E^x], x, 6, (1/4)*x^4*Log[a + b*E^x] - (1/4)*x^4*Log[1 + (b*E^x)/a] - x^3*PolyLog[2, -((b*E^x)/a)] + 3*x^2*PolyLog[3, -((b*E^x)/a)] - 6*x*PolyLog[4, -((b*E^x)/a)] + 6*PolyLog[5, -((b*E^x)/a)]}
+{x^2*Log[a + b*E^x], x, 5, (1/3)*x^3*Log[a + b*E^x] - (1/3)*x^3*Log[1 + (b*E^x)/a] - x^2*PolyLog[2, -((b*E^x)/a)] + 2*x*PolyLog[3, -((b*E^x)/a)] - 2*PolyLog[4, -((b*E^x)/a)]}
+{x^1*Log[a + b*E^x], x, 4, (1/2)*x^2*Log[a + b*E^x] - (1/2)*x^2*Log[1 + (b*E^x)/a] - x*PolyLog[2, -((b*E^x)/a)] + PolyLog[3, -((b*E^x)/a)]}
+{x^0*Log[a + b*E^x], x, 4, x*Log[a + b*E^x] - x*Log[1 + (b*E^x)/a] - PolyLog[2, -((b*E^x)/a)]}
+{Log[a + b*E^x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[Log[a + b*E^x]/x, x]}
+
+
+{x^3*Log[1 + e*(f^(c*(a + b*x)))^n], x, 5, -((x^3*PolyLog[2, (-e)*(f^(c*(a + b*x)))^n])/(b*c*n*Log[f])) + (3*x^2*PolyLog[3, (-e)*(f^(c*(a + b*x)))^n])/(b^2*c^2*n^2*Log[f]^2) - (6*x*PolyLog[4, (-e)*(f^(c*(a + b*x)))^n])/(b^3*c^3*n^3*Log[f]^3) + (6*PolyLog[5, (-e)*(f^(c*(a + b*x)))^n])/(b^4*c^4*n^4*Log[f]^4)}
+{x^2*Log[1 + e*(f^(c*(a + b*x)))^n], x, 4, -((x^2*PolyLog[2, (-e)*(f^(c*(a + b*x)))^n])/(b*c*n*Log[f])) + (2*x*PolyLog[3, (-e)*(f^(c*(a + b*x)))^n])/(b^2*c^2*n^2*Log[f]^2) - (2*PolyLog[4, (-e)*(f^(c*(a + b*x)))^n])/(b^3*c^3*n^3*Log[f]^3)}
+{x^1*Log[1 + e*(f^(c*(a + b*x)))^n], x, 3, -((x*PolyLog[2, (-e)*(f^(c*(a + b*x)))^n])/(b*c*n*Log[f])) + PolyLog[3, (-e)*(f^(c*(a + b*x)))^n]/(b^2*c^2*n^2*Log[f]^2)}
+{x^0*Log[1 + e*(f^(c*(a + b*x)))^n], x, 2, -(PolyLog[2, (-e)*(f^(c*(a + b*x)))^n]/(b*c*n*Log[f]))}
+{Log[1 + e*(f^(c*(a + b*x)))^n]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[Log[1 + e*(f^(c*(a + b*x)))^n]/x, x]}
+
+
+{x^3*Log[d + e*(f^(c*(a + b*x)))^n], x, 6, (1/4)*x^4*Log[d + e*(f^(c*(a + b*x)))^n] - (1/4)*x^4*Log[1 + (e*(f^(c*(a + b*x)))^n)/d] - (x^3*PolyLog[2, -((e*(f^(c*(a + b*x)))^n)/d)])/(b*c*n*Log[f]) + (3*x^2*PolyLog[3, -((e*(f^(c*(a + b*x)))^n)/d)])/(b^2*c^2*n^2*Log[f]^2) - (6*x*PolyLog[4, -((e*(f^(c*(a + b*x)))^n)/d)])/(b^3*c^3*n^3*Log[f]^3) + (6*PolyLog[5, -((e*(f^(c*(a + b*x)))^n)/d)])/(b^4*c^4*n^4*Log[f]^4)}
+{x^2*Log[d + e*(f^(c*(a + b*x)))^n], x, 5, (1/3)*x^3*Log[d + e*(f^(c*(a + b*x)))^n] - (1/3)*x^3*Log[1 + (e*(f^(c*(a + b*x)))^n)/d] - (x^2*PolyLog[2, -((e*(f^(c*(a + b*x)))^n)/d)])/(b*c*n*Log[f]) + (2*x*PolyLog[3, -((e*(f^(c*(a + b*x)))^n)/d)])/(b^2*c^2*n^2*Log[f]^2) - (2*PolyLog[4, -((e*(f^(c*(a + b*x)))^n)/d)])/(b^3*c^3*n^3*Log[f]^3)}
+{x^1*Log[d + e*(f^(c*(a + b*x)))^n], x, 4, (1/2)*x^2*Log[d + e*(f^(c*(a + b*x)))^n] - (1/2)*x^2*Log[1 + (e*(f^(c*(a + b*x)))^n)/d] - (x*PolyLog[2, -((e*(f^(c*(a + b*x)))^n)/d)])/(b*c*n*Log[f]) + PolyLog[3, -((e*(f^(c*(a + b*x)))^n)/d)]/(b^2*c^2*n^2*Log[f]^2)}
+{x^0*Log[d + e*(f^(c*(a + b*x)))^n], x, 4, x*Log[d + e*(f^(c*(a + b*x)))^n] - x*Log[1 + (e*(f^(c*(a + b*x)))^n)/d] - PolyLog[2, -((e*(f^(c*(a + b*x)))^n)/d)]/(b*c*n*Log[f])}
+{Log[d + e*(f^(c*(a + b*x)))^n]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[Log[d + e*(f^(c*(a + b*x)))^n]/x, x]}
+
+
+{Log[Pi + b*(F^(e*(c + d*x)))^n], x, 3, x*Log[Pi] - PolyLog[2, -((b*(F^(e*(c + d*x)))^n)/Pi)]/(d*e*n*Log[F])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F[Log[c x^n]]/x*)
+
+
+{1/(x*(3 + Log[x])), x, 2, Log[3 + Log[x]]}
+{Sqrt[1 + Log[x]]/x, x, 2, (2*(1 + Log[x])^(3/2))/3}
+{(1 + Log[x])^5/x, x, 2, (1 + Log[x])^6/6}
+{1/(x*Sqrt[Log[x]]), x, 2, 2*Sqrt[Log[x]]}
+
+{1/(x*(1 + Log[x]^2)), x, 2, ArcTan[Log[x]]}
+{1/(x*Sqrt[-3 + Log[x]^2]), x, 3, ArcTanh[Log[x]/Sqrt[-3 + Log[x]^2]]}
+{1/(x*Sqrt[4 - 9*Log[x]^2]), x, 2, ArcSin[(3*Log[x])/2]/3}
+{1/(x*Sqrt[4 + Log[x]^2]), x, 2, ArcSinh[Log[x]/2]}
+{1/(x*(2 + 3*Log[6*x]^3)), x, 7, -(ArcTan[1/Sqrt[3] - (2^(2/3)*Log[6*x])/3^(1/6)]/(2^(2/3)*3^(5/6))) + Log[2^(1/3) + 3^(1/3)*Log[6*x]]/(3*2^(2/3)*3^(1/3)) - Log[2^(2/3) - 6^(1/3)*Log[6*x] + 3^(2/3)*Log[6*x]^2]/(6*2^(2/3)*3^(1/3))}
+
+{Log[Log[6*x]]/(x*Log[6*x]), x, 2, Log[Log[6*x]]^2/2}
+{2^Log[x]/x, x, 2, 2^Log[x]/Log[2], x^Log[2]/Log[2]}
+{Sin[Log[x]]^2/x, x, 3, Log[x]/2 - (1/2)*Cos[Log[x]]*Sin[Log[x]]}
+{(7 - Log[x])/(x*(3 + Log[x])), x, 3, -Log[x] + 10*Log[3 + Log[x]]}
+{((2 - Log[x])*(3 + Log[x])^2)/x, x, 3, (5/3)*(3 + Log[x])^3 - (1/4)*(3 + Log[x])^4}
+{(Log[x]^2*Sqrt[1 + Log[x]^2])/x, x, 4, (-(1/8))*ArcSinh[Log[x]] + (1/8)*Log[x]*Sqrt[1 + Log[x]^2] + (1/4)*Log[x]^3*Sqrt[1 + Log[x]^2]}
+{(1 + Log[x])/(x*(3 + 2*Log[x])^2), x, 3, 1/(4*(3 + 2*Log[x])) + (1/4)*Log[3 + 2*Log[x]]}
+{Log[x]/(x*Sqrt[1 + Log[x]]), x, 3, -2*Sqrt[1 + Log[x]] + (2/3)*(1 + Log[x])^(3/2)}
+{Log[x]/(x*Sqrt[-1 + 4*Log[x]]), x, 3, (1/8)*Sqrt[-1 + 4*Log[x]] + (1/24)*(-1 + 4*Log[x])^(3/2)}
+{Sqrt[1 + Log[x]]/(x*Log[x]), x, 4, -2*ArcTanh[Sqrt[1 + Log[x]]] + 2*Sqrt[1 + Log[x]]}
+{(1 - 4*Log[x] + Log[x]^2)/(x*(-1 + Log[x])^4), x, 3, -(2/(3*(1 - Log[x])^3)) + 1/(1 - Log[x]) + 1/(-1 + Log[x])^2}
+
+
+{(Log[a*x^n]^2)^p/x, x, 3, (Log[a*x^n]*(Log[a*x^n]^2)^p)/(n*(1 + 2*p))}
+{(Log[a*x^n]^m)^p/x, x, 3, (Log[a*x^n]*(Log[a*x^n]^m)^p)/(n*(1 + m*p))}
+{Sqrt[Log[a*x^n]^2]/x, x, 3, (Log[a*x^n]*Sqrt[Log[a*x^n]^2])/(2*n)}
+{(b*Log[a*x^n]^m)^p/x, x, 3, (Log[a*x^n]*(b*Log[a*x^n]^m)^p)/(n*(1 + m*p))}
+
+
+{1/(x*Log[E^x]), x, 4, -(Log[x]/(x - Log[E^x])) + Log[Log[E^x]]/(x - Log[E^x])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving logarithms and trig functions*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands involving products of logarithms and trig functions*)
+
+
+{Log[x]*Sin[a + b*x]^1, x, 5, (Cos[a]*CosIntegral[b*x])/b - (Cos[a + b*x]*Log[x])/b - (Sin[a]*SinIntegral[b*x])/b}
+{Log[x]*Sin[a + b*x]^2, x, 5, -(x/2) + (1/2)*x*Log[x] + (CosIntegral[2*b*x]*Sin[2*a])/(4*b) - (Cos[a + b*x]*Log[x]*Sin[a + b*x])/(2*b) + (Cos[2*a]*SinIntegral[2*b*x])/(4*b)}
+{Log[x]*Sin[a + b*x]^3, x, 15, (3*Cos[a]*CosIntegral[b*x])/(4*b) - (Cos[3*a]*CosIntegral[3*b*x])/(12*b) - (Cos[a + b*x]*Log[x])/b + (Cos[a + b*x]^3*Log[x])/(3*b) - (3*Sin[a]*SinIntegral[b*x])/(4*b) + (Sin[3*a]*SinIntegral[3*b*x])/(12*b)}
+
+
+{Log[x]*Cos[a + b*x]^1, x, 5, -((CosIntegral[b*x]*Sin[a])/b) + (Log[x]*Sin[a + b*x])/b - (Cos[a]*SinIntegral[b*x])/b}
+{Log[x]*Cos[a + b*x]^2, x, 7, -(x/2) + (1/2)*x*Log[x] - (CosIntegral[2*b*x]*Sin[2*a])/(4*b) + (Cos[a + b*x]*Log[x]*Sin[a + b*x])/(2*b) - (Cos[2*a]*SinIntegral[2*b*x])/(4*b)}
+{Log[x]*Cos[a + b*x]^3, x, 15, -((3*CosIntegral[b*x]*Sin[a])/(4*b)) - (CosIntegral[3*b*x]*Sin[3*a])/(12*b) + (Log[x]*Sin[a + b*x])/b - (Log[x]*Sin[a + b*x]^3)/(3*b) - (3*Cos[a]*SinIntegral[b*x])/(4*b) - (Cos[3*a]*SinIntegral[3*b*x])/(12*b)}
+
+
+{Cos[x]*Log[x] + Sin[x]/x, x, 4, Log[x]*Sin[x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands involving logarithms of trig functions*)
+
+
+{Log[a*Sin[x]], x, 5, (I*x^2)/2 - x*Log[1 - E^(2*I*x)] + x*Log[a*Sin[x]] + (1/2)*I*PolyLog[2, E^(2*I*x)]}
+{Log[a*Sin[x]^2], x, 6, I*x^2 - 2*x*Log[1 - E^(2*I*x)] + x*Log[a*Sin[x]^2] + I*PolyLog[2, E^(2*I*x)]}
+{Log[a*Sin[x]^n], x, 6, (1/2)*I*n*x^2 - n*x*Log[1 - E^(2*I*x)] + x*Log[a*Sin[x]^n] + (1/2)*I*n*PolyLog[2, E^(2*I*x)]}
+
+{Log[a*Cos[x]], x, 5, (I*x^2)/2 - x*Log[1 + E^(2*I*x)] + x*Log[a*Cos[x]] + (1/2)*I*PolyLog[2, -E^(2*I*x)]}
+{Log[a*Cos[x]^2], x, 6, I*x^2 - 2*x*Log[1 + E^(2*I*x)] + x*Log[a*Cos[x]^2] + I*PolyLog[2, -E^(2*I*x)]}
+{Log[a*Cos[x]^n], x, 6, (1/2)*I*n*x^2 - n*x*Log[1 + E^(2*I*x)] + x*Log[a*Cos[x]^n] + (1/2)*I*n*PolyLog[2, -E^(2*I*x)]}
+
+{Log[a*Tan[x]], x, 7, 2*x*ArcTanh[E^(2*I*x)] + x*Log[a*Tan[x]] - (1/2)*I*PolyLog[2, -E^(2*I*x)] + (1/2)*I*PolyLog[2, E^(2*I*x)]}
+{Log[a*Tan[x]^2], x, 8, 4*x*ArcTanh[E^(2*I*x)] + x*Log[a*Tan[x]^2] - I*PolyLog[2, -E^(2*I*x)] + I*PolyLog[2, E^(2*I*x)]}
+{Log[a*Tan[x]^n], x, 8, 2*n*x*ArcTanh[E^(2*I*x)] + x*Log[a*Tan[x]^n] - (1/2)*I*n*PolyLog[2, -E^(2*I*x)] + (1/2)*I*n*PolyLog[2, E^(2*I*x)]}
+
+{Log[a*Cot[x]], x, 7, -2*x*ArcTanh[E^(2*I*x)] + x*Log[a*Cot[x]] + (1/2)*I*PolyLog[2, -E^(2*I*x)] - (1/2)*I*PolyLog[2, E^(2*I*x)]}
+{Log[a*Cot[x]^2], x, 8, -4*x*ArcTanh[E^(2*I*x)] + x*Log[a*Cot[x]^2] + I*PolyLog[2, -E^(2*I*x)] - I*PolyLog[2, E^(2*I*x)]}
+{Log[a*Cot[x]^n], x, 8, -2*n*x*ArcTanh[E^(2*I*x)] + x*Log[a*Cot[x]^n] + (1/2)*I*n*PolyLog[2, -E^(2*I*x)] - (1/2)*I*n*PolyLog[2, E^(2*I*x)]}
+
+{Log[a*Sec[x]], x, 5, -((I*x^2)/2) + x*Log[1 + E^(2*I*x)] + x*Log[a*Sec[x]] - (1/2)*I*PolyLog[2, -E^(2*I*x)]}
+{Log[a*Sec[x]^2], x, 6, (-I)*x^2 + 2*x*Log[1 + E^(2*I*x)] + x*Log[a*Sec[x]^2] - I*PolyLog[2, -E^(2*I*x)]}
+{Log[a*Sec[x]^n], x, 6, (-(1/2))*I*n*x^2 + n*x*Log[1 + E^(2*I*x)] + x*Log[a*Sec[x]^n] - (1/2)*I*n*PolyLog[2, -E^(2*I*x)]}
+
+{Log[a*Csc[x]], x, 5, -((I*x^2)/2) + x*Log[1 - E^(2*I*x)] + x*Log[a*Csc[x]] - (1/2)*I*PolyLog[2, E^(2*I*x)]}
+{Log[a*Csc[x]^2], x, 6, (-I)*x^2 + 2*x*Log[1 - E^(2*I*x)] + x*Log[a*Csc[x]^2] - I*PolyLog[2, E^(2*I*x)]}
+{Log[a*Csc[x]^n], x, 6, (-(1/2))*I*n*x^2 + n*x*Log[1 - E^(2*I*x)] + x*Log[a*Csc[x]^n] - (1/2)*I*n*PolyLog[2, E^(2*I*x)]}
+
+
+{Cos[x]*Log[(1 - Cos[2*x])/2], x, 3, -2*Sin[x] + Log[(1/2)*(1 - Cos[2*x])]*Sin[x]}
+{Cot[x]/Log[E*Sin[x]], x, 3, Log[Log[E*Sin[x]]], Log[1 + Log[Sin[x]]]}
+{Cot[x]/Log[E^Sin[x]], x, 5, Log[Log[E^Sin[x]]]/(-Log[E^Sin[x]] + Sin[x]) - Log[Sin[x]]/(-Log[E^Sin[x]] + Sin[x])}
+{Log[Cos[x]]*Sec[x]^2, x, 3, -x + Tan[x] + Log[Cos[x]]*Tan[x]}
+{Cot[x]*Log[Sin[x]], x, 2, Log[Sin[x]]^2/2}
+{Cos[x]*Log[Sin[x]]*Sin[x]^2, x, 4, (-(1/9))*Sin[x]^3 + (1/3)*Log[Sin[x]]*Sin[x]^3}
+{Log[Sin[a/2 + b*x/2]*Cos[a/2 + b*x/2]]*Cos[a + b*x], x, 2, -(Sin[a + b*x]/b) + (Log[Cos[a/2 + (b*x)/2]*Sin[a/2 + (b*x)/2]]*Sin[a + b*x])/b}
+{Tan[x]/Log[Cos[x]], x, 3, -Log[Log[Cos[x]]]}
+
+
+{Log[Cos[x]]*Tan[x], x, 2, -Log[Cos[x]]^2/2}
+{Log[Cos[x]]*Sin[x], x, 2, Cos[x] - Cos[x]*Log[Cos[x]]}
+{Log[Cos[x]]*Cos[x], x, 4, ArcTanh[Sin[x]] - Sin[x] + Log[Cos[x]]*Sin[x]}
+
+{Log[Sin[x]]*Cos[x], x, 2, -Sin[x] + Log[Sin[x]]*Sin[x]}
+{Log[Sin[x]]*Sin[x]^2, x, 10, x/4 + (I*x^2)/4 - (1/2)*x*Log[1 - E^(2*I*x)] + (1/2)*x*Log[Sin[x]] + (1/4)*I*PolyLog[2, E^(2*I*x)] + (1/4)*Cos[x]*Sin[x] - (1/2)*Cos[x]*Log[Sin[x]]*Sin[x]}
+{Log[Sin[x]]*Sin[x]^3, x, 7, (-(2/3))*ArcTanh[Cos[x]] + (2*Cos[x])/3 - Cos[x]^3/9 - Cos[x]*Log[Sin[x]] + (1/3)*Cos[x]^3*Log[Sin[x]]}
+{Log[Sin[Sqrt[x]]], x, 8, (I/3)*x^(3/2) - x*Log[1 - E^((2*I)*Sqrt[x])] + x*Log[Sin[Sqrt[x]]] + I*Sqrt[x]*PolyLog[2, E^((2*I)*Sqrt[x])] - PolyLog[3, E^((2*I)*Sqrt[x])]/2}
+{Log[Sin[x]]*Csc[x]^2, x, 3, -x - Cot[x] - Cot[x]*Log[Sin[x]]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving logarithms and hyperbolic functions*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands involving products of logarithms and hyperbolic functions*)
+
+
+{Log[x]*Sinh[a + b*x]^1, x, 5, -((Cosh[a]*CoshIntegral[b*x])/b) + (Cosh[a + b*x]*Log[x])/b - (Sinh[a]*SinhIntegral[b*x])/b}
+{Log[x]*Sinh[a + b*x]^2, x, 7, x/2 - (1/2)*x*Log[x] - (CoshIntegral[2*b*x]*Sinh[2*a])/(4*b) + (Cosh[a + b*x]*Log[x]*Sinh[a + b*x])/(2*b) - (Cosh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x])/(4*b)}
+{Log[x]*Sinh[a + b*x]^3, x, 15, (3*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x])/(4*b) - (Cosh[3*a]*CoshIntegral[3*b*x])/(12*b) - (Cosh[a + b*x]*Log[x])/b + (Cosh[a + b*x]^3*Log[x])/(3*b) + (3*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x])/(4*b) - (Sinh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x])/(12*b)}
+
+
+{Log[x]*Cosh[a + b*x]^1, x, 5, -((CoshIntegral[b*x]*Sinh[a])/b) + (Log[x]*Sinh[a + b*x])/b - (Cosh[a]*SinhIntegral[b*x])/b}
+{Log[x]*Cosh[a + b*x]^2, x, 7, -(x/2) + (1/2)*x*Log[x] - (CoshIntegral[2*b*x]*Sinh[2*a])/(4*b) + (Cosh[a + b*x]*Log[x]*Sinh[a + b*x])/(2*b) - (Cosh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x])/(4*b)}
+{Log[x]*Cosh[a + b*x]^3, x, 15, -((3*CoshIntegral[b*x]*Sinh[a])/(4*b)) - (CoshIntegral[3*b*x]*Sinh[3*a])/(12*b) + (Log[x]*Sinh[a + b*x])/b + (Log[x]*Sinh[a + b*x]^3)/(3*b) - (3*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x])/(4*b) - (Cosh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x])/(12*b)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands involving logarithms of hyperbolic functions*)
+
+
+{Log[a*Sinh[x]], x, 5, x^2/2 - x*Log[1 - E^(2*x)] + x*Log[a*Sinh[x]] - (1/2)*PolyLog[2, E^(2*x)]}
+{Log[a*Sinh[x]^2], x, 6, x^2 - 2*x*Log[1 - E^(2*x)] + x*Log[a*Sinh[x]^2] - PolyLog[2, E^(2*x)]}
+{Log[a*Sinh[x]^n], x, 6, (n*x^2)/2 - n*x*Log[1 - E^(2*x)] + x*Log[a*Sinh[x]^n] - (1/2)*n*PolyLog[2, E^(2*x)]}
+
+{Log[a*Cosh[x]], x, 5, x^2/2 - x*Log[1 + E^(2*x)] + x*Log[a*Cosh[x]] - (1/2)*PolyLog[2, -E^(2*x)]}
+{Log[a*Cosh[x]^2], x, 6, x^2 - 2*x*Log[1 + E^(2*x)] + x*Log[a*Cosh[x]^2] - PolyLog[2, -E^(2*x)]}
+{Log[a*Cosh[x]^n], x, 6, (n*x^2)/2 - n*x*Log[1 + E^(2*x)] + x*Log[a*Cosh[x]^n] - (1/2)*n*PolyLog[2, -E^(2*x)]}
+
+{Log[Tanh[x]], x, 7, 2*x*ArcTanh[E^(2*x)] + x*Log[Tanh[x]] + (1/2)*PolyLog[2, -E^(2*x)] - (1/2)*PolyLog[2, E^(2*x)]}
+{Log[a*Tanh[x]], x, 7, 2*x*ArcTanh[E^(2*x)] + x*Log[a*Tanh[x]] + (1/2)*PolyLog[2, -E^(2*x)] - (1/2)*PolyLog[2, E^(2*x)]}
+{Log[a*Tanh[x]^2], x, 8, 4*x*ArcTanh[E^(2*x)] + x*Log[a*Tanh[x]^2] + PolyLog[2, -E^(2*x)] - PolyLog[2, E^(2*x)]}
+{Log[a*Tanh[x]^n], x, 8, 2*n*x*ArcTanh[E^(2*x)] + x*Log[a*Tanh[x]^n] + (1/2)*n*PolyLog[2, -E^(2*x)] - (1/2)*n*PolyLog[2, E^(2*x)]}
+
+{Log[Coth[x]], x, 7, -2*x*ArcTanh[E^(2*x)] + x*Log[Coth[x]] - (1/2)*PolyLog[2, -E^(2*x)] + (1/2)*PolyLog[2, E^(2*x)]}
+{Log[a*Coth[x]], x, 7, -2*x*ArcTanh[E^(2*x)] + x*Log[a*Coth[x]] - (1/2)*PolyLog[2, -E^(2*x)] + (1/2)*PolyLog[2, E^(2*x)]}
+{Log[a*Coth[x]^2], x, 8, -4*x*ArcTanh[E^(2*x)] + x*Log[a*Coth[x]^2] - PolyLog[2, -E^(2*x)] + PolyLog[2, E^(2*x)]}
+{Log[a*Coth[x]^n], x, 8, -2*n*x*ArcTanh[E^(2*x)] + x*Log[a*Coth[x]^n] - (1/2)*n*PolyLog[2, -E^(2*x)] + (1/2)*n*PolyLog[2, E^(2*x)]}
+
+{Log[a*Sech[x]], x, 5, -(x^2/2) + x*Log[1 + E^(2*x)] + x*Log[a*Sech[x]] + (1/2)*PolyLog[2, -E^(2*x)]}
+{Log[a*Sech[x]^2], x, 6, -x^2 + 2*x*Log[1 + E^(2*x)] + x*Log[a*Sech[x]^2] + PolyLog[2, -E^(2*x)]}
+{Log[a*Sech[x]^n], x, 6, -((n*x^2)/2) + n*x*Log[1 + E^(2*x)] + x*Log[a*Sech[x]^n] + (1/2)*n*PolyLog[2, -E^(2*x)]}
+
+{Log[a*Csch[x]], x, 5, -(x^2/2) + x*Log[1 - E^(2*x)] + x*Log[a*Csch[x]] + (1/2)*PolyLog[2, E^(2*x)]}
+{Log[a*Csch[x]^2], x, 6, -x^2 + 2*x*Log[1 - E^(2*x)] + x*Log[a*Csch[x]^2] + PolyLog[2, E^(2*x)]}
+{Log[a*Csch[x]^n], x, 6, -((n*x^2)/2) + n*x*Log[1 - E^(2*x)] + x*Log[a*Csch[x]^n] + (1/2)*n*PolyLog[2, E^(2*x)]}
+
+
+{Log[Sinh[a/2 + b*x/2]*Cosh[a/2 + b*x/2]]*Cosh[a + b*x], x, 2, -(Sinh[a + b*x]/b) + (Log[Cosh[a/2 + (b*x)/2]*Sinh[a/2 + (b*x)/2]]*Sinh[a + b*x])/b}
+{Log[Cosh[x]^2]*Sinh[x], x, 3, -2*Cosh[x] + Cosh[x]*Log[Cosh[x]^2]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Problems from Calculus textbooks*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Anton Calculus, 4th Edition*)
+
+
+{Log[x]/Sqrt[x], x, 1, -4*Sqrt[x] + 2*Sqrt[x]*Log[x]}
+{x*Log[2 - 3*x^2], x, 3, -(x^2/2) - (1/6)*(2 - 3*x^2)*Log[2 - 3*x^2]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Edwards and Penney Calculus*)
+
+
+{1/(x*Sqrt[1 - Log[x]^2]), x, 2, ArcSin[Log[x]]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Thomas Calculus, 8th Edition*)
+
+
+{16*x^3*Log[x]^2, x, 3, x^4/2 - 2*x^4*Log[x] + 4*x^4*Log[x]^2}
+{Log[Sqrt[a + b*x]], x, 2, -(x/2) + ((a + b*x)*Log[Sqrt[a + b*x]])/b}
+{x*Log[Sqrt[2 + x]], x, 3, x/2 - x^2/8 + (1/2)*x^2*Log[Sqrt[2 + x]] - Log[2 + x]}
+{x*Log[(1 + 3*x)^(1/3)], x, 3, x/18 - x^2/12 + (1/2)*x^2*Log[(1 + 3*x)^(1/3)] - (1/54)*Log[1 + 3*x]}
+{x*Log[x + x^3], x, 4, -((3*x^2)/4) + (1/2)*Log[1 + x^2] + (1/2)*x^2*Log[x + x^3]}
+{Log[x + Sqrt[1 + x^2]], x, 2, -Sqrt[1 + x^2] + x*Log[x + Sqrt[1 + x^2]]}
+{Log[x + Sqrt[-1 + x^2]], x, 2, -Sqrt[-1 + x^2] + x*Log[x + Sqrt[-1 + x^2]]}
+{Log[x - Sqrt[-1 + x^2]], x, 2, Sqrt[-1 + x^2] + x*Log[x - Sqrt[-1 + x^2]]}
+{Log[Sqrt[x] + Sqrt[1 + x]], x, 6, (-(1/2))*Sqrt[x]*Sqrt[1 + x] + ArcSinh[Sqrt[x]]/2 + x*Log[Sqrt[x] + Sqrt[1 + x]]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Problems from integration competitions*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*MIT Integration Competition*)
+
+
+{x^(1/3)*Log[x], x, 1, -((9*x^(4/3))/16) + (3/4)*x^(4/3)*Log[x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*University of Wisconsin Integration Competition*)
+
+
+{2^Log[x], x, 2, x^(1 + Log[2])/(1 + Log[2])}
+{(1 - Log[x])/x^2, x, 1, Log[x]/x}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Miscellaneous problems*)
+
+
+{Log[1 + x + Sqrt[1 + x]], x, 3, - x + Sqrt[1 + x] + (1/2)*Log[1 + x] + x*Log[1 + x + Sqrt[1 + x]]}
+{Log[x + x^3], x, 3, -3*x + 2*ArcTan[x] + x*Log[x + x^3]}
+{2^Log[-8 + 7*x], x, 2, (-8 + 7*x)^(1 + Log[2])/(7*(1 + Log[2]))}
+{Log[(-11 + 5*x)/(5 + 76*x)], x, 2, (-(1/5))*(11 - 5*x)*Log[-((11 - 5*x)/(5 + 76*x))] - (861/380)*Log[5 + 76*x]}
+{Log[1/(13 + x)], x, 2, x + (13 + x)*Log[(13 + x)^(-1)]}
+{x*Log[(1 + x)/x^2], x, 4, x/2 + x^2/4 - (1/2)*Log[1 + x] + (1/2)*x^2*Log[(1 + x)/x^2]}
+{x^3*Log[(7 + 5*x)/x^2], x, 4, (343*x)/500 - (49*x^2)/200 + (7*x^3)/60 + x^4/16 - (2401*Log[7 + 5*x])/2500 + (1/4)*x^4*Log[(7 + 5*x)/x^2]}
+(* {x^3*Log[d + c*x]^4, x, 89, (c*x*(-70140*d^3 + 5190*c*d^2*x - 700*c^2*d*x^2 + 81*c^3*x^3) + 12*(5845*d^4 + 4980*c*d^3*x - 690*c^2*d^2*x^2 + 148*c^3*d*x^3 - 27*c^4*x^4)*Log[d + c*x] - 72*(415*d^4 + 300*c*d^3*x - 78*c^2*d^2*x^2 + 28*c^3*d*x^3 - 9*c^4*x^4)*Log[d + c*x]^2 + 288*(25*d^4 + 12*c*d^3*x - 6*c^2*d^2*x^2 + 4*c^3*d*x^3 - 3*c^4*x^4)*Log[d + c*x]^3 - 864*(d^4 - c^4*x^4)*Log[d + c*x]^4)/(3456*c^4)} *)
+
+
+{(a + b*x)*Log[a + b*x], x, 2, -((a + b*x)^2/(4*b)) + ((a + b*x)^2*Log[a + b*x])/(2*b)}
+{(a + b*x)^2*Log[a + b*x], x, 2, -((a + b*x)^3/(9*b)) + ((a + b*x)^3*Log[a + b*x])/(3*b)}
+{Log[a + b*x]/(a + b*x), x, 2, Log[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Log[a + b*x]/(a + b*x)^2, x, 2, -(1/(b*(a + b*x))) - Log[a + b*x]/(b*(a + b*x))}
+{(a + b*x)^n*Log[a + b*x], x, 2, -((a + b*x)^(1 + n)/(b*(1 + n)^2)) + ((a + b*x)^(1 + n)*Log[a + b*x])/(b*(1 + n))}
+
+
+{1/(a*x + b*x*Log[c*x^n]), x, 2, Log[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n)}
+{1/(a*x + b*x*Log[c*x^n]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*Log[c*x^n])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*n)}
+{1/(a*x + b*x*Log[c*x^n]^3), x, 7, -(ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Log[c*x^n])/(Sqrt[3]*a^(1/3))]/(Sqrt[3]*a^(2/3)*b^(1/3)*n)) + Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Log[c*x^n]]/(3*a^(2/3)*b^(1/3)*n) - Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Log[c*x^n] + b^(2/3)*Log[c*x^n]^2]/(6*a^(2/3)*b^(1/3)*n)}
+{1/(a*x + b*x*Log[c*x^n]^4), x, 10, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*b^(1/4)*Log[c*x^n])/a^(1/4)]/(2*Sqrt[2]*a^(3/4)*b^(1/4)*n)) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*b^(1/4)*Log[c*x^n])/a^(1/4)]/(2*Sqrt[2]*a^(3/4)*b^(1/4)*n) - Log[Sqrt[a] - Sqrt[2]*a^(1/4)*b^(1/4)*Log[c*x^n] + Sqrt[b]*Log[c*x^n]^2]/(4*Sqrt[2]*a^(3/4)*b^(1/4)*n) + Log[Sqrt[a] + Sqrt[2]*a^(1/4)*b^(1/4)*Log[c*x^n] + Sqrt[b]*Log[c*x^n]^2]/(4*Sqrt[2]*a^(3/4)*b^(1/4)*n)}
+
+{1/(a*x + b*x/Log[c*x^n]), x, 3, Log[x]/a - (b*Log[b + a*Log[c*x^n]])/(a^2*n)}
+{1/(a*x + b*x/Log[c*x^n]^2), x, 3, -((Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a]*Log[c*x^n])/Sqrt[b]])/(a^(3/2)*n)) + Log[x]/a}
+{1/(a*x + b*x/Log[c*x^n]^3), x, 8, (b^(1/3)*ArcTan[(b^(1/3) - 2*a^(1/3)*Log[c*x^n])/(Sqrt[3]*b^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(4/3)*n) + Log[x]/a - (b^(1/3)*Log[b^(1/3) + a^(1/3)*Log[c*x^n]])/(3*a^(4/3)*n) + (b^(1/3)*Log[b^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Log[c*x^n] + a^(2/3)*Log[c*x^n]^2])/(6*a^(4/3)*n)}
+{1/(a*x + b*x/Log[c*x^n]^4), x, 11, (b^(1/4)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*a^(1/4)*Log[c*x^n])/b^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*a^(5/4)*n) - (b^(1/4)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*a^(1/4)*Log[c*x^n])/b^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*a^(5/4)*n) + Log[x]/a + (b^(1/4)*Log[Sqrt[b] - Sqrt[2]*a^(1/4)*b^(1/4)*Log[c*x^n] + Sqrt[a]*Log[c*x^n]^2])/(4*Sqrt[2]*a^(5/4)*n) - (b^(1/4)*Log[Sqrt[b] + Sqrt[2]*a^(1/4)*b^(1/4)*Log[c*x^n] + Sqrt[a]*Log[c*x^n]^2])/(4*Sqrt[2]*a^(5/4)*n)}
+
+
+{1/(x + x*Log[7*x] + x*Log[7*x]^2), x, 3, (2*ArcTan[(1 + 2*Log[7*x])/Sqrt[3]])/Sqrt[3]}
+
+{(-1 + Log[3*x])/(x*(1 - Log[3*x] + Log[3*x]^2)), x, 5, ArcTan[(1 - 2*Log[3*x])/Sqrt[3]]/Sqrt[3] + (1/2)*Log[1 - Log[3*x] + Log[3*x]^2]}
+{(-1 + Log[3*x]^2)/(x + x*Log[3*x]^3), x, 5, ArcTan[(1 - 2*Log[3*x])/Sqrt[3]]/Sqrt[3] + (1/2)*Log[1 - Log[3*x] + Log[3*x]^2]}
+{(-1 + Log[3*x]^2)/(x + x*Log[3*x] + x*Log[3*x]^2), x, 7, -(Sqrt[3]*ArcTan[(1 + 2*Log[3*x])/Sqrt[3]]) + Log[x] - Log[1 + Log[3*x] + Log[3*x]^2]/2}
+
+
+{Log[1/x]^2/x^5, x, 2, -(1/(32*x^4)) + Log[1/x]/(8*x^4) - Log[1/x]^2/(4*x^4)}
+
+{1/Sqrt[-Log[a*x^2]], x, 3, -((Sqrt[Pi/2]*x*Erf[Sqrt[-Log[a*x^2]]/Sqrt[2]])/Sqrt[a*x^2])}
+{1/Sqrt[-Log[a/x^2]], x, 3, Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a/x^2]*x*Erfi[Sqrt[-Log[a/x^2]]/Sqrt[2]]}
+{1/Sqrt[-Log[a*x^n]], x, 3, -((Sqrt[Pi]*x*Erf[Sqrt[-Log[a*x^n]]/Sqrt[n]])/(Sqrt[n]*(a*x^n)^n^(-1)))}
+
+{Log[1 + Sqrt[x] - x]/x, x, 8, -2*Log[(1/2)*(1 + Sqrt[5])]*Log[1 + Sqrt[5] - 2*Sqrt[x]] - 2*Log[1 - (2*Sqrt[x])/(1 - Sqrt[5])]*Log[Sqrt[x]] + 2*Log[1 + Sqrt[x] - x]*Log[Sqrt[x]] + 2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[x])/(1 + Sqrt[5])] - 2*PolyLog[2, (2*Sqrt[x])/(1 - Sqrt[5])]}
+
+{(x*Log[c + d*x])/(a + b*x), x, 7, -(x/b) + ((c + d*x)*Log[c + d*x])/(b*d) - (a*Log[-((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))]*Log[c + d*x])/b^2 - (a*PolyLog[2, (b*(c + d*x))/(b*c - a*d)])/b^2}
+{Log[x]/(-1 + x), x, 1, -PolyLog[2, 1 - x]}
+{(x*Log[1 - a - b*x])/(a + b*x), x, 6, -(x/b) - ((1 - a - b*x)*Log[1 - a - b*x])/b^2 + (a*PolyLog[2, a + b*x])/b^2}
+{((b + 2*c*x)*Log[x])/(x*(b + c*x)), x, 5, Log[x]^2/2 + Log[x]*Log[1 + (c*x)/b] + PolyLog[2, -((c*x)/b)]}
+
+{Sin[x*Log[x]] + Log[x]*Sin[x*Log[x]], x, 2, -Cos[x*Log[x]]}
+{Log[(1 - (-1 + x)^2)/(1 + (-1 + x)^2)]/x^2, x, 8, -(1/x) + ArcTan[1 - x] - Log[(1 - (1 - x)^2)/(1 + (-1 + x)^2)]/x + (1/2)*Log[2 - x] + Log[x]/2 - (1/2)*Log[2 - 2*x + x^2]}
+{Log[Sqrt[x] + x], x, 4, Sqrt[x] - x - Log[1 + Sqrt[x]] + x*Log[Sqrt[x] + x]}
+{Log[-(x/(1 + x))], x, 2, x*Log[-(x/(1 + x))] - Log[1 + x]}
+{Log[(-1 + x)/(1 + x)], x, 2, -((1 - x)*Log[-((1 - x)/(1 + x))]) - 2*Log[1 + x]}
+
+{Log[(1 - x^2)/(1 + x^2)]/(1 + x)^2, x, 8, -(1/(1 + x)) - ArcTan[x] + (1/2)*Log[1 - x^2] - Log[(1 - x^2)/(1 + x^2)]/(1 + x) - (1/2)*Log[1 + x^2]}
+
+
+{Log[c*(1 + x^2)^n]/(1 + x^2), x, 5, I*n*ArcTan[x]^2 + 2*n*ArcTan[x]*Log[2/(1 + I*x)] + ArcTan[x]*Log[c*(1 + x^2)^n] + I*n*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*x)]}
+{Log[x^2/(1 + x^2)]/(1 + x^2), x, 5, I*ArcTan[x]^2 - 2*ArcTan[x]*Log[2 - 2/(1 - I*x)] + ArcTan[x]*Log[x^2/(1 + x^2)] + I*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*x)]}
+{Log[c*x^2/(a + b*x^2)]/(a + b*x^2), x, 5, (I*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]^2)/(Sqrt[a]*Sqrt[b]) + (ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[(c*x^2)/(a + b*x^2)])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]) - (2*ArcTan[(Sqrt[b]*x)/Sqrt[a]]*Log[2 - (2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] - I*Sqrt[b]*x)])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]) + (I*PolyLog[2, -1 + (2*Sqrt[a])/(Sqrt[a] - I*Sqrt[b]*x)])/(Sqrt[a]*Sqrt[b])}
+
+
+{Log[1 + (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]]/(1 - a^2*x^2), x, 1, PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])]/a}
+{Log[1 - (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]]/(1 - a^2*x^2), x, 1, PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]]/a}
+
+
+{Log[E^(a + b*x)], x, 2, Log[E^(a + b*x)]^2/(2*b)}
+{Log[E^(a + b*x^n)], x, 3, -((b*n*x^(1 + n))/(1 + n)) + x*Log[E^(a + b*x^n)]}
+
+
+{E^x*Log[a + b*E^x], x, 5, -E^x + ((a + b*E^x)*Log[a + b*E^x])/b, -E^x + (a*Log[a + b*E^x])/b + E^x*Log[a + b*E^x]}
+
+
+{Log[x]*E^(a + b*x), x, 3, -((E^a*ExpIntegralEi[b*x])/b) + (E^(a + b*x)*Log[x])/b}
+
+
+(* Attempted expansion of these integrands can lead to infinite recursion! *)
+{x^2/(x + Log[x]), x, 0, CannotIntegrate[x^2/(x + Log[x]), x]}
+{x^1/(x + Log[x]), x, 0, CannotIntegrate[x/(x + Log[x]), x]}
+{x^0/(x + Log[x]), x, 0, CannotIntegrate[1/(x + Log[x]), x]}
+{1/(x^1*(x + Log[x])), x, 0, CannotIntegrate[1/(x*(x + Log[x])), x]}
+{1/(x^2*(x + Log[x])), x, 0, CannotIntegrate[1/(x^2*(x + Log[x])), x]}
+
+
+{Log[x]/(x + 4*x*Log[x]^2), x, 2, Log[1 + 4*Log[x]^2]/8}
+
+
+{(1 - Log[x])/(x*(x + Log[x])), x, 2, Log[1 + Log[x]/x]}
+{(1 + x)/(Log[x]*(x + Log[x])), x, 8, Log[Log[x]] - Log[x + Log[x]] + LogIntegral[x]}
+
+
+{Log[Sqrt[(x + 1)/x] + 2], x, 5, (-(1/6))*Log[1 - Sqrt[1 + 1/x]] + (1/2)*Log[1 + Sqrt[1 + 1/x]] - (1/3)*Log[2 + Sqrt[1 + 1/x]] + x*Log[2 + Sqrt[(1 + x)/x]]}
+{Log[Sqrt[(x + 1)/x] + 1], x, 6, -(1/(2*(1 + Sqrt[1 + 1/x]))) + (1/2)*ArcTanh[Sqrt[(1 + x)/x]] + x*Log[1 + Sqrt[(1 + x)/x]]}
+{Log[Sqrt[(x + 1)/x] + 0], x, 4, x*Log[Sqrt[1 + 1/x]] + (1/2)*Log[1 + x]}
+{Log[Sqrt[(x + 1)/x] - 1], x, 5, -(1/(2*(1 - Sqrt[1 + 1/x]))) - (1/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/x]] + x*Log[-1 + Sqrt[(1 + x)/x]]}
+{Log[Sqrt[(x + 1)/x] - 2], x, If[$VersionNumber>=8, 7, 4], (1/2)*Log[1 - Sqrt[1 + 1/x]] - (1/3)*Log[2 - Sqrt[1 + 1/x]] - (1/6)*Log[1 + Sqrt[1 + 1/x]] + x*Log[-2 + Sqrt[(1 + x)/x]]}
+
+
+(* Contributed by Oleg Marichev of Wolfram Research Inc. *)
+{x^(a*x) + x^(a*x)*Log[x], x, 2, x^(a*x)/a}
+
+
+{(Log[x]^m)^p, x, 3, (Gamma[1 + m*p, -Log[x]]*(Log[x]^m)^p)/(-Log[x])^(m*p)}
+
+
+(* {Log[a + b*x + c*Sqrt[d + e*x]]/(f + g*x^2), x, 44, (Log[(g^(1/4)*(c*e - Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2] + 2*b*Sqrt[d + e*x]))/(2*b*Sqrt[(-e)*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] + (c*e - Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2])*g^(1/4))]*Log[Sqrt[(-e)*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] - g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (Log[(g^(1/4)*(c*e + Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2] + 2*b*Sqrt[d + e*x]))/(2*b*Sqrt[(-e)*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] + (c*e + Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2])*g^(1/4))]*Log[Sqrt[(-e)*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] - g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (Log[a + b*x + c*Sqrt[d + e*x]]*Log[Sqrt[(-e)*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] - g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (Log[(g^(1/4)*(c*e - Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2] + 2*b*Sqrt[d + e*x]))/(2*b*Sqrt[e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] + (c*e - Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2])*g^(1/4))]*Log[Sqrt[e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] - g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (Log[(g^(1/4)*(c*e + Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2] + 2*b*Sqrt[d + e*x]))/(2*b*Sqrt[e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] + (c*e + Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2])*g^(1/4))]*Log[Sqrt[e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] - g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (Log[a + b*x + c*Sqrt[d + e*x]]*Log[Sqrt[e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] - g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (Log[-((g^(1/4)*(c*e - Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2] + 2*b*Sqrt[d + e*x]))/(2*b*Sqrt[(-e)*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] - (c*e - Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2])*g^(1/4)))]*Log[Sqrt[(-e)*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] + g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (Log[-((g^(1/4)*(c*e + Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2] + 2*b*Sqrt[d + e*x]))/(2*b*Sqrt[(-e)*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] - (c*e + Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2])*g^(1/4)))]*Log[Sqrt[(-e)*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] + g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (Log[a + b*x + c*Sqrt[d + e*x]]*Log[Sqrt[(-e)*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] + g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (Log[-((g^(1/4)*(c*e - Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2] + 2*b*Sqrt[d + e*x]))/(2*b*Sqrt[e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] - (c*e - Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2])*g^(1/4)))]*Log[Sqrt[e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] + g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - (Log[-((g^(1/4)*(c*e + Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2] + 2*b*Sqrt[d + e*x]))/(2*b*Sqrt[e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] - (c*e + Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2])*g^(1/4)))]*Log[Sqrt[e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] + g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + (Log[a + b*x + c*Sqrt[d + e*x]]*Log[Sqrt[e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] + g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]])/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + PolyLog[2, (2*b*(Sqrt[(-e)*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] - g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]))/(2*b*Sqrt[(-e)*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] + (c*e - Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2])*g^(1/4))]/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + PolyLog[2, (2*b*(Sqrt[(-e)*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] - g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]))/(2*b*Sqrt[(-e)*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] + (c*e + Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2])*g^(1/4))]/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - PolyLog[2, (2*b*(Sqrt[e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] - g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]))/(2*b*Sqrt[e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] + (c*e - Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2])*g^(1/4))]/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - PolyLog[2, (2*b*(Sqrt[e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] - g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]))/(2*b*Sqrt[e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] + (c*e + Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2])*g^(1/4))]/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + PolyLog[2, (2*b*(Sqrt[(-e)*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] + g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]))/(2*b*Sqrt[(-e)*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] - (c*e - Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2])*g^(1/4))]/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) + PolyLog[2, (2*b*(Sqrt[(-e)*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] + g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]))/(2*b*Sqrt[(-e)*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] - (c*e + Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2])*g^(1/4))]/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - PolyLog[2, (2*b*(Sqrt[e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] + g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]))/(2*b*Sqrt[e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] - (c*e - Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2])*g^(1/4))]/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g]) - PolyLog[2, (2*b*(Sqrt[e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] + g^(1/4)*Sqrt[d + e*x]))/(2*b*Sqrt[e*Sqrt[-f] + d*Sqrt[g]] - (c*e + Sqrt[4*b^2*d - 4*a*b*e + c^2*e^2])*g^(1/4))]/(2*Sqrt[-f]*Sqrt[g])} *)
+
+
+{Log[x]/Sqrt[a + b*Log[x]], x, 4, -(((2*a + b)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*Log[x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(2*b^(3/2)))) + (x*Sqrt[a + b*Log[x]])/b}
+{Log[x]/Sqrt[a - b*Log[x]], x, 4, -(((2*a - b)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a - b*Log[x]]/Sqrt[b]])/(2*b^(3/2))) - (x*Sqrt[a - b*Log[x]])/b}
+
+{(A + B*Log[x])/Sqrt[a + b*Log[x]], x, 4, ((2*A*b - (2*a + b)*B)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*Log[x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(2*b^(3/2))) + (B*x*Sqrt[a + b*Log[x]])/b}
+{(A + B*Log[x])/Sqrt[a - b*Log[x]], x, 4, -(((2*A*b + 2*a*B - b*B)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a - b*Log[x]]/Sqrt[b]])/(2*b^(3/2))) - (B*x*Sqrt[a - b*Log[x]])/b}
+
+
+{x^2*Log[Log[x]*Sin[x]], x, 13, (I*x^4)/12 - (1/3)*ExpIntegralEi[3*Log[x]] - (1/3)*x^3*Log[1 - E^(2*I*x)] + (1/3)*x^3*Log[Log[x]*Sin[x]] + (1/2)*I*x^2*PolyLog[2, E^(2*I*x)] - (1/2)*x*PolyLog[3, E^(2*I*x)] - (1/4)*I*PolyLog[4, E^(2*I*x)]}
+{x^1*Log[Log[x]*Sin[x]], x, 12, (I*x^3)/6 - (1/2)*ExpIntegralEi[2*Log[x]] - (1/2)*x^2*Log[1 - E^(2*I*x)] + (1/2)*x^2*Log[Log[x]*Sin[x]] + (1/2)*I*x*PolyLog[2, E^(2*I*x)] - (1/4)*PolyLog[3, E^(2*I*x)]}
+{x^0*Log[Log[x]*Sin[x]], x, 7, (I*x^2)/2 - x*Log[1 - E^(2*I*x)] + x*Log[Log[x]*Sin[x]] - LogIntegral[x] + (1/2)*I*PolyLog[2, E^(2*I*x)]}
+{Log[Log[x]*Sin[x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[Log[Log[x]*Sin[x]]/x, x]}
+{Log[Log[x]*Sin[x]]/x^2, x, 5, ExpIntegralEi[-Log[x]] - Log[Log[x]*Sin[x]]/x + Unintegrable[Cot[x]/x, x]}
+
+
+{x^2*Log[E^x*Log[x]*Sin[x]], x, 14, (-(1/12) + I/12)*x^4 - (1/3)*ExpIntegralEi[3*Log[x]] - (1/3)*x^3*Log[1 - E^(2*I*x)] + (1/3)*x^3*Log[E^x*Log[x]*Sin[x]] + (1/2)*I*x^2*PolyLog[2, E^(2*I*x)] - (1/2)*x*PolyLog[3, E^(2*I*x)] - (1/4)*I*PolyLog[4, E^(2*I*x)]}
+{x^1*Log[E^x*Log[x]*Sin[x]], x, 13, (-(1/6) + I/6)*x^3 - (1/2)*ExpIntegralEi[2*Log[x]] - (1/2)*x^2*Log[1 - E^(2*I*x)] + (1/2)*x^2*Log[E^x*Log[x]*Sin[x]] + (1/2)*I*x*PolyLog[2, E^(2*I*x)] - (1/4)*PolyLog[3, E^(2*I*x)]}
+{x^0*Log[E^x*Log[x]*Sin[x]], x, 7, (-(1/2) + I/2)*x^2 - x*Log[1 - E^(2*I*x)] + x*Log[E^x*Log[x]*Sin[x]] - LogIntegral[x] + (1/2)*I*PolyLog[2, E^(2*I*x)]}
+{Log[E^x*Log[x]*Sin[x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[Log[E^x*Log[x]*Sin[x]]/x, x]}
+{Log[E^x*Log[x]*Sin[x]]/x^2, x, 7, ExpIntegralEi[-Log[x]] + Log[x] - Log[E^x*Log[x]*Sin[x]]/x + Unintegrable[Cot[x]/x, x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.0 (a sin)^m (b trg)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.0 (a sin)^m (b trg)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..78ac5e80
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.0 (a sin)^m (b trg)^n.m	
@@ -0,0 +1,913 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (b Sin[c+d x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sin[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[c+d x]^n*)
+
+
+{Sin[a + b*x]^1, x, 1, -(Cos[a + b*x]/b)}
+{Sin[a + b*x]^2, x, 2, x/2 - (Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b)}
+{Sin[a + b*x]^3, x, 2, -(Cos[a + b*x]/b) + Cos[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Sin[a + b*x]^4, x, 3, (3*x)/8 - (3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(8*b) - (Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3)/(4*b)}
+{Sin[a + b*x]^5, x, 2, -(Cos[a + b*x]/b) + (2*Cos[a + b*x]^3)/(3*b) - Cos[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Sin[a + b*x]^6, x, 4, (5*x)/16 - (5*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(16*b) - (5*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3)/(24*b) - (Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^5)/(6*b)}
+{Sin[a + b*x]^7, x, 2, -(Cos[a + b*x]/b) + Cos[a + b*x]^3/b - (3*Cos[a + b*x]^5)/(5*b) + Cos[a + b*x]^7/(7*b)}
+{Sin[a + b*x]^8, x, 5, (35*x)/128 - (35*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(128*b) - (35*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3)/(192*b) - (7*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^5)/(48*b) - (Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^7)/(8*b)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sin[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+{Sin[b*x]^(7/2), x, 3, -((10*EllipticF[Pi/4 - (b*x)/2, 2])/(21*b)) - (10*Cos[b*x]*Sqrt[Sin[b*x]])/(21*b) - (2*Cos[b*x]*Sin[b*x]^(5/2))/(7*b)}
+{Sin[b*x]^(5/2), x, 2, -((6*EllipticE[Pi/4 - (b*x)/2, 2])/(5*b)) - (2*Cos[b*x]*Sin[b*x]^(3/2))/(5*b)}
+{Sin[b*x]^(3/2), x, 2, -((2*EllipticF[Pi/4 - (b*x)/2, 2])/(3*b)) - (2*Cos[b*x]*Sqrt[Sin[b*x]])/(3*b)}
+{Sin[b*x]^(1/2), x, 1, -((2*EllipticE[Pi/4 - (b*x)/2, 2])/b)}
+{1/Sin[b*x]^(1/2), x, 1, -((2*EllipticF[Pi/4 - (b*x)/2, 2])/b)}
+{1/Sin[b*x]^(3/2), x, 2, (2*EllipticE[Pi/4 - (b*x)/2, 2])/b - (2*Cos[b*x])/(b*Sqrt[Sin[b*x]])}
+{1/Sin[b*x]^(5/2), x, 2, -((2*EllipticF[Pi/4 - (b*x)/2, 2])/(3*b)) - (2*Cos[b*x])/(3*b*Sin[b*x]^(3/2))}
+{1/Sin[b*x]^(7/2), x, 3, (6*EllipticE[Pi/4 - (b*x)/2, 2])/(5*b) - (2*Cos[b*x])/(5*b*Sin[b*x]^(5/2)) - (6*Cos[b*x])/(5*b*Sqrt[Sin[b*x]])}
+
+
+{Sin[a + b*x]^(7/2), x, 3, (10*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/(21*b) - (10*Cos[a + b*x]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(21*b) - (2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^(5/2))/(7*b)}
+{Sin[a + b*x]^(5/2), x, 2, (6*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/(5*b) - (2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^(3/2))/(5*b)}
+{Sin[a + b*x]^(3/2), x, 2, (2*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/(3*b) - (2*Cos[a + b*x]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(3*b)}
+{Sin[a + b*x]^(1/2), x, 1, (2*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/b}
+{1/Sin[a + b*x]^(1/2), x, 1, (2*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/b}
+{1/Sin[a + b*x]^(3/2), x, 2, -((2*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/b) - (2*Cos[a + b*x])/(b*Sqrt[Sin[a + b*x]])}
+{1/Sin[a + b*x]^(5/2), x, 2, (2*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/(3*b) - (2*Cos[a + b*x])/(3*b*Sin[a + b*x]^(3/2))}
+{1/Sin[a + b*x]^(7/2), x, 3, -((6*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/(5*b)) - (2*Cos[a + b*x])/(5*b*Sin[a + b*x]^(5/2)) - (6*Cos[a + b*x])/(5*b*Sqrt[Sin[a + b*x]])}
+
+
+{(c*Sin[a + b*x])^(7/2), x, 4, (10*c^4*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(21*b*Sqrt[c*Sin[a + b*x]]) - (10*c^3*Cos[a + b*x]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(21*b) - (2*c*Cos[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x])^(5/2))/(7*b)}
+{(c*Sin[a + b*x])^(5/2), x, 3, (6*c^2*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(5*b*Sqrt[Sin[a + b*x]]) - (2*c*Cos[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(5*b)}
+{(c*Sin[a + b*x])^(3/2), x, 3, (2*c^2*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(3*b*Sqrt[c*Sin[a + b*x]]) - (2*c*Cos[a + b*x]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(3*b)}
+{(c*Sin[a + b*x])^(1/2), x, 2, (2*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(b*Sqrt[Sin[a + b*x]])}
+{1/(c*Sin[a + b*x])^(1/2), x, 2, (2*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(b*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])}
+{1/(c*Sin[a + b*x])^(3/2), x, 3, -((2*Cos[a + b*x])/(b*c*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])) - (2*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(b*c^2*Sqrt[Sin[a + b*x]])}
+{1/(c*Sin[a + b*x])^(5/2), x, 3, -((2*Cos[a + b*x])/(3*b*c*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))) + (2*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(3*b*c^2*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])}
+{1/(c*Sin[a + b*x])^(7/2), x, 4, -((2*Cos[a + b*x])/(5*b*c*(c*Sin[a + b*x])^(5/2))) - (6*Cos[a + b*x])/(5*b*c^3*Sqrt[c*Sin[a + b*x]]) - (6*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(5*b*c^4*Sqrt[Sin[a + b*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sin[c+d x])^(n/3)*)
+
+
+{(c*Sin[a + b*x])^(4/3), x, 1, (3*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Sin[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(7/3))/(7*b*c*Sqrt[Cos[a + b*x]^2])}
+{(c*Sin[a + b*x])^(2/3), x, 1, (3*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Sin[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(5/3))/(5*b*c*Sqrt[Cos[a + b*x]^2])}
+{(c*Sin[a + b*x])^(1/3), x, 1, -((3*Sqrt[(3/2)*(3 - I*Sqrt[3])]*c^(1/3)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[1 - (c*Sin[a + b*x])^(2/3)/c^(2/3)])/Sqrt[3 + I*Sqrt[3]]], (3*I - Sqrt[3])/(3*I + Sqrt[3])]*Sec[a + b*x]*Sqrt[1 - (c*Sin[a + b*x])^(2/3)/c^(2/3)]*Sqrt[(I + Sqrt[3])/(3*I + Sqrt[3]) + (2*(c*Sin[a + b*x])^(2/3))/((3 - I*Sqrt[3])*c^(2/3))]*Sqrt[(I - Sqrt[3])/(3*I - Sqrt[3]) + (2*(c*Sin[a + b*x])^(2/3))/((3 + I*Sqrt[3])*c^(2/3))])/b) + (3*(1 - I*Sqrt[3])*Sqrt[3 - I*Sqrt[3]]*c^(1/3)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[1 - (c*Sin[a + b*x])^(2/3)/c^(2/3)])/Sqrt[3 - I*Sqrt[3]]], (3*I + Sqrt[3])/(3*I - Sqrt[3])]*Sec[a + b*x]*Sqrt[1 - (c*Sin[a + b*x])^(2/3)/c^(2/3)]*Sqrt[(I + Sqrt[3])/(3*I + Sqrt[3]) + (2*(c*Sin[a + b*x])^(2/3))/((3 - I*Sqrt[3])*c^(2/3))]*Sqrt[(I - Sqrt[3])/(3*I - Sqrt[3]) + (2*(c*Sin[a + b*x])^(2/3))/((3 + I*Sqrt[3])*c^(2/3))])/(2*Sqrt[2]*b), (3*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Sin[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(4/3))/(4*b*c*Sqrt[Cos[a + b*x]^2])}
+{1/(c*Sin[a + b*x])^(1/3), x, 1, -((3*Sqrt[3 - I*Sqrt[3]]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[1 - (c*Sin[a + b*x])^(2/3)/c^(2/3)])/Sqrt[3 - I*Sqrt[3]]], (3*I + Sqrt[3])/(3*I - Sqrt[3])]*Sec[a + b*x]*Sqrt[1 - (c*Sin[a + b*x])^(2/3)/c^(2/3)]*Sqrt[(I + Sqrt[3])/(3*I + Sqrt[3]) + (2*(c*Sin[a + b*x])^(2/3))/((3 - I*Sqrt[3])*c^(2/3))]*Sqrt[(I - Sqrt[3])/(3*I - Sqrt[3]) + (2*(c*Sin[a + b*x])^(2/3))/((3 + I*Sqrt[3])*c^(2/3))])/(Sqrt[2]*b*c^(1/3))), (3*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Sin[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(2/3))/(2*b*c*Sqrt[Cos[a + b*x]^2])}
+{1/(c*Sin[a + b*x])^(2/3), x, 1, (3^(3/4)*EllipticF[ArcCos[(c^(2/3) - (1 - Sqrt[3])*(c*Sin[a + b*x])^(2/3))/(c^(2/3) - (1 + Sqrt[3])*(c*Sin[a + b*x])^(2/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*Sec[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x])^(1/3)*(c^(2/3) - (c*Sin[a + b*x])^(2/3))*Sqrt[(c^(4/3)*(1 + (c*Sin[a + b*x])^(2/3)/c^(2/3) + (c*Sin[a + b*x])^(4/3)/c^(4/3)))/(c^(2/3) - (1 + Sqrt[3])*(c*Sin[a + b*x])^(2/3))^2])/(2*b*c^(5/3)*Sqrt[-(((c*Sin[a + b*x])^(2/3)*(c^(2/3) - (c*Sin[a + b*x])^(2/3)))/(c^(2/3) - (1 + Sqrt[3])*(c*Sin[a + b*x])^(2/3))^2)]), (3*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Sin[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(1/3))/(b*c*Sqrt[Cos[a + b*x]^2])}
+{1/(c*Sin[a + b*x])^(4/3), x, 1, -((3*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Sin[a + b*x]^2])/(b*c*Sqrt[Cos[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(1/3)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sin[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Sin[a + b*x]^n, x, 1, (Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x]^(1 + n))/(b*(1 + n)*Sqrt[Cos[a + b*x]^2])}
+{(c*Sin[a + b*x])^n,x, 1, (Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(1 + n))/(b*c*(1 + n)*Sqrt[Cos[a + b*x]^2])}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^m (b Trg[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^m (b Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^m (b Sin[e+f x])^n with m and n symbolic*)
+
+
+{(a*Sin[e + f*x])^m*(b*Sin[e + f*x])^n, x, 2, (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + m + n), (1/2)*(3 + m + n), Sin[e + f*x]^2]*(a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(b*Sin[e + f*x])^n)/(a*f*(1 + m + n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^m (b Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m Cos[e+f x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x], x, 2, -(Cos[a + b*x]^4/(4*b))}
+{Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x], x, 2, -(Cos[a + b*x]^3/(3*b))}
+{Cos[a + b*x]^1*Sin[a + b*x], x, 2, Sin[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]^1*Sin[a + b*x], x, 1, -(Log[Cos[a + b*x]]/b)}
+{Sec[a + b*x]^2*Sin[a + b*x], x, 2, Sec[a + b*x]/b}
+{Sec[a + b*x]^3*Sin[a + b*x], x, 2, Sec[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]^4*Sin[a + b*x], x, 2, Sec[a + b*x]^3/(3*b)}
+
+
+{Cos[a + b*x]^7*Sin[a + b*x]^2, x, 3, Sin[a + b*x]^3/(3*b) - (3*Sin[a + b*x]^5)/(5*b) + (3*Sin[a + b*x]^7)/(7*b) - Sin[a + b*x]^9/(9*b)}
+{Cos[a + b*x]^5*Sin[a + b*x]^2, x, 3, Sin[a + b*x]^3/(3*b) - (2*Sin[a + b*x]^5)/(5*b) + Sin[a + b*x]^7/(7*b)}
+{Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^2, x, 3, Sin[a + b*x]^3/(3*b) - Sin[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Cos[a + b*x]^1*Sin[a + b*x]^2, x, 2, Sin[a + b*x]^3/(3*b)}
+
+{Sec[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^2, x, 2, -x + Tan[a + b*x]/b}
+{Sec[a + b*x]^4*Sin[a + b*x]^2, x, 2, Tan[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Sec[a + b*x]^6*Sin[a + b*x]^2, x, 3, Tan[a + b*x]^3/(3*b) + Tan[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Sec[a + b*x]^8*Sin[a + b*x]^2, x, 3, Tan[a + b*x]^3/(3*b) + (2*Tan[a + b*x]^5)/(5*b) + Tan[a + b*x]^7/(7*b)}
+{Sec[a + b*x]^10*Sin[a + b*x]^2, x, 3, Tan[a + b*x]^3/(3*b) + (3*Tan[a + b*x]^5)/(5*b) + (3*Tan[a + b*x]^7)/(7*b) + Tan[a + b*x]^9/(9*b)}
+
+{Cos[a + b*x]^6*Sin[a + b*x]^2, x, 5, (5*x)/128 + (5*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(128*b) + (5*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(192*b) + (Cos[a + b*x]^5*Sin[a + b*x])/(48*b) - (Cos[a + b*x]^7*Sin[a + b*x])/(8*b)}
+{Cos[a + b*x]^4*Sin[a + b*x]^2, x, 4, x/16 + (Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(16*b) + (Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(24*b) - (Cos[a + b*x]^5*Sin[a + b*x])/(6*b)}
+{Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^2, x, 3, x/8 + (Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(8*b) - (Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]^0*Sin[a + b*x]^2, x, 2, x/2 - (Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b)}
+
+{Sec[a + b*x]^1*Sin[a + b*x]^2, x, 3, ArcTanh[Sin[a + b*x]]/b - Sin[a + b*x]/b}
+{Sec[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^2, x, 2, -(ArcTanh[Sin[a + b*x]]/(2*b)) + (Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]^5*Sin[a + b*x]^2, x, 3, -(ArcTanh[Sin[a + b*x]]/(8*b)) - (Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(8*b) + (Sec[a + b*x]^3*Tan[a + b*x])/(4*b)}
+{Sec[a + b*x]^7*Sin[a + b*x]^2, x, 4, -(ArcTanh[Sin[a + b*x]]/(16*b)) - (Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(16*b) - (Sec[a + b*x]^3*Tan[a + b*x])/(24*b) + (Sec[a + b*x]^5*Tan[a + b*x])/(6*b)}
+
+
+{Cos[a + b*x]^5*Sin[a + b*x]^3, x, 3, -(Cos[a + b*x]^6/(6*b)) + Cos[a + b*x]^8/(8*b)}
+{Cos[a + b*x]^4*Sin[a + b*x]^3, x, 3, -(Cos[a + b*x]^5/(5*b)) + Cos[a + b*x]^7/(7*b)}
+{Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^3, x, 3, Sin[a + b*x]^4/(4*b) - Sin[a + b*x]^6/(6*b)}
+{Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^3, x, 3, -(Cos[a + b*x]^3/(3*b)) + Cos[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Cos[a + b*x]^1*Sin[a + b*x]^3, x, 2, Sin[a + b*x]^4/(4*b)}
+{Sec[a + b*x]^1*Sin[a + b*x]^3, x, 3, Cos[a + b*x]^2/(2*b) - Log[Cos[a + b*x]]/b}
+{Sec[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^3, x, 3, Cos[a + b*x]/b + Sec[a + b*x]/b}
+{Sec[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^3, x, 2, Log[Cos[a + b*x]]/b + Tan[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]^4*Sin[a + b*x]^3, x, 2, -(Sec[a + b*x]/b) + Sec[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Sec[a + b*x]^5*Sin[a + b*x]^3, x, 2, Tan[a + b*x]^4/(4*b)}
+{Sec[a + b*x]^6*Sin[a + b*x]^3, x, 3, -(Sec[a + b*x]^3/(3*b)) + Sec[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Sec[a + b*x]^7*Sin[a + b*x]^3, x, 3, -(Sec[a + b*x]^4/(4*b)) + Sec[a + b*x]^6/(6*b)}
+{Sec[a + b*x]^8*Sin[a + b*x]^3, x, 3, -(Sec[a + b*x]^5/(5*b)) + Sec[a + b*x]^7/(7*b)}
+{Sec[a + b*x]^9*Sin[a + b*x]^3, x, 3, -(Sec[a + b*x]^6/(6*b)) + Sec[a + b*x]^8/(8*b)}
+
+
+{Cos[a + b*x]^7*Sin[a + b*x]^4, x, 3, Sin[a + b*x]^5/(5*b) - (3*Sin[a + b*x]^7)/(7*b) + Sin[a + b*x]^9/(3*b) - Sin[a + b*x]^11/(11*b)}
+{Cos[a + b*x]^5*Sin[a + b*x]^4, x, 3, Sin[a + b*x]^5/(5*b) - (2*Sin[a + b*x]^7)/(7*b) + Sin[a + b*x]^9/(9*b)}
+{Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^4, x, 3, Sin[a + b*x]^5/(5*b) - Sin[a + b*x]^7/(7*b)}
+{Cos[a + b*x]^1*Sin[a + b*x]^4, x, 2, Sin[a + b*x]^5/(5*b)}
+
+{Sec[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^4, x, 4, -((3*x)/2) + (3*Tan[a + b*x])/(2*b) - (Sin[a + b*x]^2*Tan[a + b*x])/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]^4*Sin[a + b*x]^4, x, 3, x - Tan[a + b*x]/b + Tan[a + b*x]^3/(3*b)}
+
+{Sec[a + b*x]^6*Sin[a + b*x]^4, x, 2, Tan[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Sec[a + b*x]^8*Sin[a + b*x]^4, x, 3, Tan[a + b*x]^5/(5*b) + Tan[a + b*x]^7/(7*b)}
+{Sec[a + b*x]^10*Sin[a + b*x]^4, x, 3, Tan[a + b*x]^5/(5*b) + (2*Tan[a + b*x]^7)/(7*b) + Tan[a + b*x]^9/(9*b)}
+
+{Cos[a + b*x]^6*Sin[a + b*x]^4, x, 6, (3*x)/256 + (3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(256*b) + (Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(128*b) + (Cos[a + b*x]^5*Sin[a + b*x])/(160*b) - (3*Cos[a + b*x]^7*Sin[a + b*x])/(80*b) - (Cos[a + b*x]^7*Sin[a + b*x]^3)/(10*b)}
+{Cos[a + b*x]^4*Sin[a + b*x]^4, x, 5, (3*x)/128 + (3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(128*b) + (Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(64*b) - (Cos[a + b*x]^5*Sin[a + b*x])/(16*b) - (Cos[a + b*x]^5*Sin[a + b*x]^3)/(8*b)}
+{Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^4, x, 4, x/16 + (Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(16*b) - (Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(8*b) - (Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^3)/(6*b)}
+{Cos[a + b*x]^0*Sin[a + b*x]^4, x, 3, (3*x)/8 - (3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(8*b) - (Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3)/(4*b)}
+
+{Sec[a + b*x]^1*Sin[a + b*x]^4, x, 4, ArcTanh[Sin[a + b*x]]/b - Sin[a + b*x]/b - Sin[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Sec[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^4, x, 4, -((3*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(2*b)) + (3*Sin[a + b*x])/(2*b) + (Sin[a + b*x]*Tan[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]^5*Sin[a + b*x]^4, x, 3, (3*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(8*b) - (3*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(8*b) + (Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x]^3)/(4*b)}
+{Sec[a + b*x]^7*Sin[a + b*x]^4, x, 4, ArcTanh[Sin[a + b*x]]/(16*b) + (Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(16*b) - (Sec[a + b*x]^3*Tan[a + b*x])/(8*b) + (Sec[a + b*x]^3*Tan[a + b*x]^3)/(6*b)}
+{Sec[a + b*x]^9*Sin[a + b*x]^4, x, 5, (3*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(128*b) + (3*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(128*b) + (Sec[a + b*x]^3*Tan[a + b*x])/(64*b) - (Sec[a + b*x]^5*Tan[a + b*x])/(16*b) + (Sec[a + b*x]^5*Tan[a + b*x]^3)/(8*b)}
+
+
+{Cos[a + b*x]^7*Sin[a + b*x]^5, x, 4, -(Cos[a + b*x]^8/(8*b)) + Cos[a + b*x]^10/(5*b) - Cos[a + b*x]^12/(12*b)}
+{Cos[a + b*x]^6*Sin[a + b*x]^5, x, 3, -(Cos[a + b*x]^7/(7*b)) + (2*Cos[a + b*x]^9)/(9*b) - Cos[a + b*x]^11/(11*b)}
+{Cos[a + b*x]^5*Sin[a + b*x]^5, x, 4, Sin[a + b*x]^6/(6*b) - Sin[a + b*x]^8/(4*b) + Sin[a + b*x]^10/(10*b)}
+{Cos[a + b*x]^4*Sin[a + b*x]^5, x, 3, -(Cos[a + b*x]^5/(5*b)) + (2*Cos[a + b*x]^7)/(7*b) - Cos[a + b*x]^9/(9*b)}
+{Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^5, x, 3, Sin[a + b*x]^6/(6*b) - Sin[a + b*x]^8/(8*b)}
+{Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^5, x, 3, -(Cos[a + b*x]^3/(3*b)) + (2*Cos[a + b*x]^5)/(5*b) - Cos[a + b*x]^7/(7*b)}
+{Cos[a + b*x]^1*Sin[a + b*x]^5, x, 2, Sin[a + b*x]^6/(6*b)}
+{Sec[a + b*x]^1*Sin[a + b*x]^5, x, 4, Cos[a + b*x]^2/b - Cos[a + b*x]^4/(4*b) - Log[Cos[a + b*x]]/b}
+{Sec[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^5, x, 3, (2*Cos[a + b*x])/b - Cos[a + b*x]^3/(3*b) + Sec[a + b*x]/b}
+{Sec[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^5, x, 4, -(Cos[a + b*x]^2/(2*b)) + (2*Log[Cos[a + b*x]])/b + Sec[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]^4*Sin[a + b*x]^5, x, 3, -(Cos[a + b*x]/b) - (2*Sec[a + b*x])/b + Sec[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Sec[a + b*x]^5*Sin[a + b*x]^5, x, 3, -(Log[Cos[a + b*x]]/b) - Tan[a + b*x]^2/(2*b) + Tan[a + b*x]^4/(4*b)}
+{Sec[a + b*x]^6*Sin[a + b*x]^5, x, 3, Sec[a + b*x]/b - (2*Sec[a + b*x]^3)/(3*b) + Sec[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Sec[a + b*x]^7*Sin[a + b*x]^5, x, 2, Tan[a + b*x]^6/(6*b)}
+{Sec[a + b*x]^8*Sin[a + b*x]^5, x, 3, Sec[a + b*x]^3/(3*b) - (2*Sec[a + b*x]^5)/(5*b) + Sec[a + b*x]^7/(7*b)}
+{Sec[a + b*x]^9*Sin[a + b*x]^5, x, 3, Tan[a + b*x]^6/(6*b) + Tan[a + b*x]^8/(8*b)}
+{Sec[a + b*x]^10*Sin[a + b*x]^5, x, 3, Sec[a + b*x]^5/(5*b) - (2*Sec[a + b*x]^7)/(7*b) + Sec[a + b*x]^9/(9*b)}
+{Sec[a + b*x]^11*Sin[a + b*x]^5, x, 4, Sec[a + b*x]^6/(6*b) - Sec[a + b*x]^8/(4*b) + Sec[a + b*x]^10/(10*b)}
+{Sec[a + b*x]^12*Sin[a + b*x]^5, x, 3, Sec[a + b*x]^7/(7*b) - (2*Sec[a + b*x]^9)/(9*b) + Sec[a + b*x]^11/(11*b)}
+{Sec[a + b*x]^13*Sin[a + b*x]^5, x, 4, Sec[a + b*x]^8/(8*b) - Sec[a + b*x]^10/(5*b) + Sec[a + b*x]^12/(12*b)}
+
+
+{Sec[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^6, x, 5, -((5*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(2*b)) + (5*Sin[a + b*x])/(2*b) + (5*Sin[a + b*x]^3)/(6*b) + (Sin[a + b*x]^3*Tan[a + b*x]^2)/(2*b)}
+
+
+{Sec[a + b*x]^6*Sin[a + b*x]^7, x, 3, Cos[a + b*x]/b + (3*Sec[a + b*x])/b - Sec[a + b*x]^3/b + Sec[a + b*x]^5/(5*b)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[a + b*x]^6/Sin[a + b*x], x, 4, -(ArcTanh[Cos[a + b*x]]/b) + Cos[a + b*x]/b + Cos[a + b*x]^3/(3*b) + Cos[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Cos[a + b*x]^5/Sin[a + b*x], x, 4, Log[Sin[a + b*x]]/b - Sin[a + b*x]^2/b + Sin[a + b*x]^4/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]^4/Sin[a + b*x], x, 4, -(ArcTanh[Cos[a + b*x]]/b) + Cos[a + b*x]/b + Cos[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]^3/Sin[a + b*x], x, 3, Log[Sin[a + b*x]]/b - Sin[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]^2/Sin[a + b*x], x, 3, -(ArcTanh[Cos[a + b*x]]/b) + Cos[a + b*x]/b}
+{Cos[a + b*x]^1/Sin[a + b*x], x, 1, Log[Sin[a + b*x]]/b}
+{Sec[a + b*x]^1/Sin[a + b*x], x, 2, Log[Tan[a + b*x]]/b}
+{Sec[a + b*x]^2/Sin[a + b*x], x, 3, -(ArcTanh[Cos[a + b*x]]/b) + Sec[a + b*x]/b}
+{Sec[a + b*x]^3/Sin[a + b*x], x, 3, Log[Tan[a + b*x]]/b + Tan[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]^4/Sin[a + b*x], x, 4, -(ArcTanh[Cos[a + b*x]]/b) + Sec[a + b*x]/b + Sec[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Sec[a + b*x]^5/Sin[a + b*x], x, 4, Log[Tan[a + b*x]]/b + Tan[a + b*x]^2/b + Tan[a + b*x]^4/(4*b)}
+{Sec[a + b*x]^6/Sin[a + b*x], x, 4, -(ArcTanh[Cos[a + b*x]]/b) + Sec[a + b*x]/b + Sec[a + b*x]^3/(3*b) + Sec[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Sec[a + b*x]^7/Sin[a + b*x], x, 4, Log[Tan[a + b*x]]/b + (3*Tan[a + b*x]^2)/(2*b) + (3*Tan[a + b*x]^4)/(4*b) + Tan[a + b*x]^6/(6*b)}
+
+
+{Cos[a + b*x]^7/Sin[a + b*x]^2, x, 3, -(Csc[a + b*x]/b) - (3*Sin[a + b*x])/b + Sin[a + b*x]^3/b - Sin[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Cos[a + b*x]^6/Sin[a + b*x]^2, x, 5, -((15*x)/8) - (15*Cot[a + b*x])/(8*b) + (5*Cos[a + b*x]^2*Cot[a + b*x])/(8*b) + (Cos[a + b*x]^4*Cot[a + b*x])/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]^5/Sin[a + b*x]^2, x, 3, -(Csc[a + b*x]/b) - (2*Sin[a + b*x])/b + Sin[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]^4/Sin[a + b*x]^2, x, 4, -((3*x)/2) - (3*Cot[a + b*x])/(2*b) + (Cos[a + b*x]^2*Cot[a + b*x])/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]^3/Sin[a + b*x]^2, x, 3, -(Csc[a + b*x]/b) - Sin[a + b*x]/b}
+{Cos[a + b*x]^2/Sin[a + b*x]^2, x, 2, -x - Cot[a + b*x]/b}
+{Cos[a + b*x]^1/Sin[a + b*x]^2, x, 2, -(Csc[a + b*x]/b)}
+{Sec[a + b*x]^1/Sin[a + b*x]^2, x, 3, ArcTanh[Sin[a + b*x]]/b - Csc[a + b*x]/b}
+{Sec[a + b*x]^2/Sin[a + b*x]^2, x, 3, -(Cot[a + b*x]/b) + Tan[a + b*x]/b}
+{Sec[a + b*x]^3/Sin[a + b*x]^2, x, 4, (3*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(2*b) - (3*Csc[a + b*x])/(2*b) + (Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]^4/Sin[a + b*x]^2, x, 3, -(Cot[a + b*x]/b) + (2*Tan[a + b*x])/b + Tan[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Sec[a + b*x]^5/Sin[a + b*x]^2, x, 5, (15*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(8*b) - (15*Csc[a + b*x])/(8*b) + (5*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2)/(8*b) + (Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^4)/(4*b)}
+
+
+{Cos[a + b*x]^7/Sin[a + b*x]^3, x, 4, -(Csc[a + b*x]^2/(2*b)) - (3*Log[Sin[a + b*x]])/b + (3*Sin[a + b*x]^2)/(2*b) - Sin[a + b*x]^4/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]^6/Sin[a + b*x]^3, x, 5, (5*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(2*b) - (5*Cos[a + b*x])/(2*b) - (5*Cos[a + b*x]^3)/(6*b) - (Cos[a + b*x]^3*Cot[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]^5/Sin[a + b*x]^3, x, 4, -(Csc[a + b*x]^2/(2*b)) - (2*Log[Sin[a + b*x]])/b + Sin[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]^4/Sin[a + b*x]^3, x, 4, (3*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(2*b) - (3*Cos[a + b*x])/(2*b) - (Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]^3/Sin[a + b*x]^3, x, 2, -(Cot[a + b*x]^2/(2*b)) - Log[Sin[a + b*x]]/b}
+{Cos[a + b*x]^2/Sin[a + b*x]^3, x, 2, ArcTanh[Cos[a + b*x]]/(2*b) - (Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]^1/Sin[a + b*x]^3, x, 2, -(Csc[a + b*x]^2/(2*b))}
+{Sec[a + b*x]^1/Sin[a + b*x]^3, x, 3, -(Cot[a + b*x]^2/(2*b)) + Log[Tan[a + b*x]]/b}
+{Sec[a + b*x]^2/Sin[a + b*x]^3, x, 4, -((3*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(2*b)) + (3*Sec[a + b*x])/(2*b) - (Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]^3/Sin[a + b*x]^3, x, 4, -(Cot[a + b*x]^2/(2*b)) + (2*Log[Tan[a + b*x]])/b + Tan[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]^4/Sin[a + b*x]^3, x, 5, -((5*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(2*b)) + (5*Sec[a + b*x])/(2*b) + (5*Sec[a + b*x]^3)/(6*b) - (Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^3)/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]^5/Sin[a + b*x]^3, x, 4, -(Cot[a + b*x]^2/(2*b)) + (3*Log[Tan[a + b*x]])/b + (3*Tan[a + b*x]^2)/(2*b) + Tan[a + b*x]^4/(4*b)}
+
+
+{Cos[a + b*x]^9/Sin[a + b*x]^4, x, 3, (4*Csc[a + b*x])/b - Csc[a + b*x]^3/(3*b) + (6*Sin[a + b*x])/b - (4*Sin[a + b*x]^3)/(3*b) + Sin[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Cos[a + b*x]^8/Sin[a + b*x]^4, x, 6, (35*x)/8 + (35*Cot[a + b*x])/(8*b) - (35*Cot[a + b*x]^3)/(24*b) + (7*Cos[a + b*x]^2*Cot[a + b*x]^3)/(8*b) + (Cos[a + b*x]^4*Cot[a + b*x]^3)/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]^7/Sin[a + b*x]^4, x, 3, (3*Csc[a + b*x])/b - Csc[a + b*x]^3/(3*b) + (3*Sin[a + b*x])/b - Sin[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]^6/Sin[a + b*x]^4, x, 5, (5*x)/2 + (5*Cot[a + b*x])/(2*b) - (5*Cot[a + b*x]^3)/(6*b) + (Cos[a + b*x]^2*Cot[a + b*x]^3)/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]^5/Sin[a + b*x]^4, x, 3, (2*Csc[a + b*x])/b - Csc[a + b*x]^3/(3*b) + Sin[a + b*x]/b}
+{Cos[a + b*x]^4/Sin[a + b*x]^4, x, 3, x + Cot[a + b*x]/b - Cot[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]^3/Sin[a + b*x]^4, x, 2, Csc[a + b*x]/b - Csc[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]^2/Sin[a + b*x]^4, x, 2, -(Cot[a + b*x]^3/(3*b))}
+{Cos[a + b*x]^1/Sin[a + b*x]^4, x, 2, -(Csc[a + b*x]^3/(3*b))}
+{Sec[a + b*x]^1/Sin[a + b*x]^4, x, 4, ArcTanh[Sin[a + b*x]]/b - Csc[a + b*x]/b - Csc[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Sec[a + b*x]^2/Sin[a + b*x]^4, x, 3, -((2*Cot[a + b*x])/b) - Cot[a + b*x]^3/(3*b) + Tan[a + b*x]/b}
+{Sec[a + b*x]^3/Sin[a + b*x]^4, x, 5, (5*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(2*b) - (5*Csc[a + b*x])/(2*b) - (5*Csc[a + b*x]^3)/(6*b) + (Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]^4/Sin[a + b*x]^4, x, 3, -((3*Cot[a + b*x])/b) - Cot[a + b*x]^3/(3*b) + (3*Tan[a + b*x])/b + Tan[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Sec[a + b*x]^5/Sin[a + b*x]^4, x, 6, (35*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(8*b) - (35*Csc[a + b*x])/(8*b) - (35*Csc[a + b*x]^3)/(24*b) + (7*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2)/(8*b) + (Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^4)/(4*b)}
+
+
+{Cos[a + b*x]^9/Sin[a + b*x]^5, x, 4, (2*Csc[a + b*x]^2)/b - Csc[a + b*x]^4/(4*b) + (6*Log[Sin[a + b*x]])/b - (2*Sin[a + b*x]^2)/b + Sin[a + b*x]^4/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]^8/Sin[a + b*x]^5, x, 6, -((35*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(8*b)) + (35*Cos[a + b*x])/(8*b) + (35*Cos[a + b*x]^3)/(24*b) + (7*Cos[a + b*x]^3*Cot[a + b*x]^2)/(8*b) - (Cos[a + b*x]^3*Cot[a + b*x]^4)/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]^7/Sin[a + b*x]^5, x, 4, (3*Csc[a + b*x]^2)/(2*b) - Csc[a + b*x]^4/(4*b) + (3*Log[Sin[a + b*x]])/b - Sin[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]^6/Sin[a + b*x]^5, x, 5, -((15*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(8*b)) + (15*Cos[a + b*x])/(8*b) + (5*Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x]^2)/(8*b) - (Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x]^4)/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]^5/Sin[a + b*x]^5, x, 3, Cot[a + b*x]^2/(2*b) - Cot[a + b*x]^4/(4*b) + Log[Sin[a + b*x]]/b}
+{Cos[a + b*x]^4/Sin[a + b*x]^5, x, 3, -((3*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(8*b)) + (3*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(8*b) - (Cot[a + b*x]^3*Csc[a + b*x])/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]^3/Sin[a + b*x]^5, x, 2, -(Cot[a + b*x]^4/(4*b))}
+{Cos[a + b*x]^2/Sin[a + b*x]^5, x, 3, ArcTanh[Cos[a + b*x]]/(8*b) + (Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(8*b) - (Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x]^3)/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]^1/Sin[a + b*x]^5, x, 2, -(Csc[a + b*x]^4/(4*b))}
+{Sec[a + b*x]^1/Sin[a + b*x]^5, x, 4, -(Cot[a + b*x]^2/b) - Cot[a + b*x]^4/(4*b) + Log[Tan[a + b*x]]/b}
+{Sec[a + b*x]^2/Sin[a + b*x]^5, x, 5, -((15*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(8*b)) + (15*Sec[a + b*x])/(8*b) - (5*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(8*b) - (Csc[a + b*x]^4*Sec[a + b*x])/(4*b)}
+{Sec[a + b*x]^3/Sin[a + b*x]^5, x, 4, -((3*Cot[a + b*x]^2)/(2*b)) - Cot[a + b*x]^4/(4*b) + (3*Log[Tan[a + b*x]])/b + Tan[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]^4/Sin[a + b*x]^5, x, 6, -((35*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(8*b)) + (35*Sec[a + b*x])/(8*b) + (35*Sec[a + b*x]^3)/(24*b) - (7*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^3)/(8*b) - (Csc[a + b*x]^4*Sec[a + b*x]^3)/(4*b)}
+{Sec[a + b*x]^5/Sin[a + b*x]^5, x, 4, -((2*Cot[a + b*x]^2)/b) - Cot[a + b*x]^4/(4*b) + (6*Log[Tan[a + b*x]])/b + (2*Tan[a + b*x]^2)/b + Tan[a + b*x]^4/(4*b)}
+
+
+{Cos[x]^2/Sin[x]^6, x, 3, (-(1/3))*Cot[x]^3 - Cot[x]^5/5}
+
+
+{Cos[x]^3/Sin[x]^7, x, 3, Csc[x]^4/4 - Csc[x]^6/6}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (b Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sin[a + b*x]*(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 2, -((2*(d*Cos[a + b*x])^(5/2))/(5*b*d))}
+{Sin[a + b*x]*(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 2, -((2*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))/(3*b*d))}
+{Sin[a + b*x]/(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 2, -((2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/(b*d))}
+{Sin[a + b*x]/(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 2, 2/(b*d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{Sin[a + b*x]/(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 2, 2/(3*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+{Sin[a + b*x]/(d*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 2, 2/(5*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2))}
+{Sin[a + b*x]/(d*Cos[a + b*x])^(9/2), x, 2, 2/(7*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(7/2))}
+
+
+{Sin[a + b*x]^2*(d*Cos[a + b*x])^(9/2), x, 5, (28*d^4*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(195*b*Sqrt[Cos[a + b*x]]) + (28*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)*Sin[a + b*x])/(585*b) + (4*d*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)*Sin[a + b*x])/(117*b) - (2*(d*Cos[a + b*x])^(11/2)*Sin[a + b*x])/(13*b*d)}
+{Sin[a + b*x]^2*(d*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 5, (20*d^4*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(231*b*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) + (20*d^3*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(231*b) + (4*d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)*Sin[a + b*x])/(77*b) - (2*(d*Cos[a + b*x])^(9/2)*Sin[a + b*x])/(11*b*d)}
+{Sin[a + b*x]^2*(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 4, (4*d^2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(15*b*Sqrt[Cos[a + b*x]]) + (4*d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)*Sin[a + b*x])/(45*b) - (2*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)*Sin[a + b*x])/(9*b*d)}
+{Sin[a + b*x]^2*(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 4, (4*d^2*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(21*b*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) + (4*d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(21*b) - (2*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)*Sin[a + b*x])/(7*b*d)}
+{Sin[a + b*x]^2*(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 3, (4*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(5*b*Sqrt[Cos[a + b*x]]) - (2*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)*Sin[a + b*x])/(5*b*d)}
+{Sin[a + b*x]^2/(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 3, (4*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(3*b*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) - (2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(3*b*d)}
+{Sin[a + b*x]^2/(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 3, -((4*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(b*d^2*Sqrt[Cos[a + b*x]])) + (2*Sin[a + b*x])/(b*d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{Sin[a + b*x]^2/(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 3, -((4*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(3*b*d^2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])) + (2*Sin[a + b*x])/(3*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+{Sin[a + b*x]^2/(d*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 4, (4*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(5*b*d^4*Sqrt[Cos[a + b*x]]) + (2*Sin[a + b*x])/(5*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)) - (4*Sin[a + b*x])/(5*b*d^3*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{Sin[a + b*x]^2/(d*Cos[a + b*x])^(9/2), x, 4, -((4*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(21*b*d^4*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])) + (2*Sin[a + b*x])/(7*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)) - (4*Sin[a + b*x])/(21*b*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+
+
+{Sin[a + b*x]^3*(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 3, -((2*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))/(3*b*d)) + (2*(d*Cos[a + b*x])^(7/2))/(7*b*d^3)}
+{Sin[a + b*x]^3/(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 3, -((2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/(b*d)) + (2*(d*Cos[a + b*x])^(5/2))/(5*b*d^3)}
+{Sin[a + b*x]^3/(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 3, 2/(b*d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) + (2*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))/(3*b*d^3)}
+{Sin[a + b*x]^3/(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 3, 2/(3*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)) + (2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/(b*d^3)}
+{Sin[a + b*x]^3/(d*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 3, 2/(5*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)) - 2/(b*d^3*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{Sin[a + b*x]^3/(d*Cos[a + b*x])^(9/2), x, 3, 2/(7*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)) - 2/(3*b*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+{Sin[a + b*x]^3/(d*Cos[a + b*x])^(11/2), x, 3, 2/(9*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(9/2)) - 2/(5*b*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(5/2))}
+
+
+{Sin[a + b*x]^4*(d*Cos[a + b*x])^(9/2), x, 6, (56*d^4*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(1105*b*Sqrt[Cos[a + b*x]]) + (56*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)*Sin[a + b*x])/(3315*b) + (8*d*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)*Sin[a + b*x])/(663*b) - (12*(d*Cos[a + b*x])^(11/2)*Sin[a + b*x])/(221*b*d) - (2*(d*Cos[a + b*x])^(11/2)*Sin[a + b*x]^3)/(17*b*d)}
+{Sin[a + b*x]^4*(d*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 6, (8*d^4*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(231*b*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) + (8*d^3*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(231*b) + (8*d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)*Sin[a + b*x])/(385*b) - (4*(d*Cos[a + b*x])^(9/2)*Sin[a + b*x])/(55*b*d) - (2*(d*Cos[a + b*x])^(9/2)*Sin[a + b*x]^3)/(15*b*d)}
+{Sin[a + b*x]^4*(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 5, (8*d^2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(65*b*Sqrt[Cos[a + b*x]]) + (8*d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)*Sin[a + b*x])/(195*b) - (4*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)*Sin[a + b*x])/(39*b*d) - (2*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)*Sin[a + b*x]^3)/(13*b*d)}
+{Sin[a + b*x]^4*(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 5, (8*d^2*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(77*b*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) + (8*d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(77*b) - (12*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)*Sin[a + b*x])/(77*b*d) - (2*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)*Sin[a + b*x]^3)/(11*b*d)}
+{Sin[a + b*x]^4*(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 4, (8*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(15*b*Sqrt[Cos[a + b*x]]) - (4*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)*Sin[a + b*x])/(15*b*d) - (2*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)*Sin[a + b*x]^3)/(9*b*d)}
+{Sin[a + b*x]^4/(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 4, (8*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(7*b*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) - (4*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(7*b*d) - (2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x]^3)/(7*b*d)}
+{Sin[a + b*x]^4/(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 4, -((24*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(5*b*d^2*Sqrt[Cos[a + b*x]])) + (12*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)*Sin[a + b*x])/(5*b*d^3) + (2*Sin[a + b*x]^3)/(b*d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{Sin[a + b*x]^4/(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 4, -((8*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(3*b*d^2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])) + (4*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(3*b*d^3) + (2*Sin[a + b*x]^3)/(3*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+{Sin[a + b*x]^4/(d*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 4, (24*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(5*b*d^4*Sqrt[Cos[a + b*x]]) - (12*Sin[a + b*x])/(5*b*d^3*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) + (2*Sin[a + b*x]^3)/(5*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2))}
+{Sin[a + b*x]^4/(d*Cos[a + b*x])^(9/2), x, 4, (8*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(7*b*d^4*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) - (4*Sin[a + b*x])/(7*b*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)) + (2*Sin[a + b*x]^3)/(7*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(7/2))}
+
+
+{Sin[a + b*x]^5*Cos[a + b*x]^(3/2), x, 3, -((2*Cos[a + b*x]^(5/2))/(5*b)) + (4*Cos[a + b*x]^(9/2))/(9*b) - (2*Cos[a + b*x]^(13/2))/(13*b)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Csc[a + b*x]*(d*Cos[a + b*x])^(9/2), x, 7, (d^(9/2)*ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/b - (d^(9/2)*ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/b + (2*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))/(3*b) + (2*d*(d*Cos[a + b*x])^(7/2))/(7*b)}
+{Csc[a + b*x]*(d*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 7, -((d^(7/2)*ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/b) - (d^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/b + (2*d^3*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/b + (2*d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2))/(5*b)}
+{Csc[a + b*x]*(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 6, (d^(5/2)*ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/b - (d^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/b + (2*d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))/(3*b)}
+{Csc[a + b*x]*(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 6, -((d^(3/2)*ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/b) - (d^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/b + (2*d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/b}
+{Csc[a + b*x]*(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 5, (Sqrt[d]*ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/b - (Sqrt[d]*ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/b}
+{Csc[a + b*x]/(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 5, -(ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]]/(b*Sqrt[d])) - ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]]/(b*Sqrt[d])}
+{Csc[a + b*x]/(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 6, ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]]/(b*d^(3/2)) - ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]]/(b*d^(3/2)) + 2/(b*d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{Csc[a + b*x]/(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 6, -(ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]]/(b*d^(5/2))) - ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]]/(b*d^(5/2)) + 2/(3*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+{Csc[a + b*x]/(d*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 7, ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]]/(b*d^(7/2)) - ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]]/(b*d^(7/2)) + 2/(5*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)) + 2/(b*d^3*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{Csc[a + b*x]/(d*Cos[a + b*x])^(9/2), x, 7, -(ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]]/(b*d^(9/2))) - ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]]/(b*d^(9/2)) + 2/(7*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)) + 2/(3*b*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+
+
+{Csc[a + b*x]^2*(d*Cos[a + b*x])^(11/2), x, 5, -((d*(d*Cos[a + b*x])^(9/2)*Csc[a + b*x])/b) - (15*d^6*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(7*b*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) - (15*d^5*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(7*b) - (9*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)*Sin[a + b*x])/(7*b)}
+{Csc[a + b*x]^2*(d*Cos[a + b*x])^(9/2), x, 4, -((d*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)*Csc[a + b*x])/b) - (21*d^4*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(5*b*Sqrt[Cos[a + b*x]]) - (7*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)*Sin[a + b*x])/(5*b)}
+{Csc[a + b*x]^2*(d*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 4, -((d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)*Csc[a + b*x])/b) - (5*d^4*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(3*b*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) - (5*d^3*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(3*b)}
+{Csc[a + b*x]^2*(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 3, -((d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)*Csc[a + b*x])/b) - (3*d^2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(b*Sqrt[Cos[a + b*x]])}
+{Csc[a + b*x]^2*(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 3, -((d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Csc[a + b*x])/b) - (d^2*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(b*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{Csc[a + b*x]^2*(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 3, -(((d*Cos[a + b*x])^(3/2)*Csc[a + b*x])/(b*d)) - (Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(b*Sqrt[Cos[a + b*x]])}
+{Csc[a + b*x]^2/(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 3, -((Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Csc[a + b*x])/(b*d)) + (Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(b*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{Csc[a + b*x]^2/(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 4, -(Csc[a + b*x]/(b*d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])) - (3*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(b*d^2*Sqrt[Cos[a + b*x]]) + (3*Sin[a + b*x])/(b*d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{Csc[a + b*x]^2/(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 4, -(Csc[a + b*x]/(b*d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))) + (5*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(3*b*d^2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) + (5*Sin[a + b*x])/(3*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+{Csc[a + b*x]^2/(d*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 5, -(Csc[a + b*x]/(b*d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2))) - (21*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(5*b*d^4*Sqrt[Cos[a + b*x]]) + (7*Sin[a + b*x])/(5*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)) + (21*Sin[a + b*x])/(5*b*d^3*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+
+
+{Csc[a + b*x]^3*(d*Cos[a + b*x])^(11/2), x, 8, (9*d^(11/2)*ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b) + (9*d^(11/2)*ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b) - (9*d^5*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/(2*b) - (9*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(5/2))/(10*b) - (d*(d*Cos[a + b*x])^(9/2)*Csc[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Csc[a + b*x]^3*(d*Cos[a + b*x])^(9/2), x, 7, -((7*d^(9/2)*ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b)) + (7*d^(9/2)*ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b) - (7*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))/(6*b) - (d*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)*Csc[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Csc[a + b*x]^3*(d*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 7, (5*d^(7/2)*ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b) + (5*d^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b) - (5*d^3*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/(2*b) - (d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)*Csc[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Csc[a + b*x]^3*(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 6, -((3*d^(5/2)*ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b)) + (3*d^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b) - (d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)*Csc[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Csc[a + b*x]^3*(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 6, (d^(3/2)*ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b) + (d^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b) - (d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Csc[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Csc[a + b*x]^3*(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 6, (Sqrt[d]*ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b) - (Sqrt[d]*ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b) - ((d*Cos[a + b*x])^(3/2)*Csc[a + b*x]^2)/(2*b*d)}
+{Csc[a + b*x]^3/(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 6, -((3*ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b*Sqrt[d])) - (3*ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b*Sqrt[d]) - (Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Csc[a + b*x]^2)/(2*b*d)}
+{Csc[a + b*x]^3/(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 7, (5*ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b*d^(3/2)) - (5*ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b*d^(3/2)) + 5/(2*b*d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) - Csc[a + b*x]^2/(2*b*d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{Csc[a + b*x]^3/(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 7, -((7*ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b*d^(5/2))) - (7*ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b*d^(5/2)) + 7/(6*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)) - Csc[a + b*x]^2/(2*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+{Csc[a + b*x]^3/(d*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 8, (9*ArcTan[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b*d^(7/2)) - (9*ArcTanh[Sqrt[d*Cos[a + b*x]]/Sqrt[d]])/(4*b*d^(7/2)) + 9/(10*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)) + 9/(2*b*d^3*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) - Csc[a + b*x]^2/(2*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (b Cos[e+f x])^(n/5)*)
+
+
+{Sin[a + b*x]*(d*Cos[a + b*x])^(1/5), x, 2, -((5*(d*Cos[a + b*x])^(6/5))/(6*b*d))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^(m/2) Cos[e+f x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[x]^3*Sqrt[Sin[x]], x, 3, (2/3)*Sin[x]^(3/2) - (2/7)*Sin[x]^(7/2)}
+
+
+{Cos[x]^3*Sin[x]^(3/2), x, 3, (2/5)*Sin[x]^(5/2) - (2/9)*Sin[x]^(9/2)}
+
+
+{Cos[x]^3*Sin[x]^(5/2), x, 3, (2/7)*Sin[x]^(7/2) - (2/11)*Sin[x]^(11/2)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[x]^3/Sqrt[Sin[x]], x, 3, 2*Sqrt[Sin[x]] - (2/5)*Sin[x]^(5/2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^(m/2) (b Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(c*Sin[a + b*x])^(1/2)*(d*Cos[a + b*x])^(9/2), x, 4, (7*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(30*b*c) + (d*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(5*b*c) + (7*d^4*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(20*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{(c*Sin[a + b*x])^(1/2)*(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 3, (d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(3*b*c) + (d^2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(2*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{(c*Sin[a + b*x])^(1/2)*(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 2, (Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{(c*Sin[a + b*x])^(1/2)/(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 3, (2*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(b*c*d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) - (2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(b*d^2*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{(c*Sin[a + b*x])^(1/2)/(d*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 4, (2*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(5*b*c*d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)) + (4*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(5*b*c*d^3*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) - (4*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(5*b*d^4*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+
+{(c*Sin[a + b*x])^(1/2)*(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 11, -((Sqrt[c]*d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])])/(4*Sqrt[2]*b)) + (Sqrt[c]*d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])])/(4*Sqrt[2]*b) + (Sqrt[c]*d^(3/2)*Log[Sqrt[c] - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/Sqrt[d*Cos[a + b*x]] + Sqrt[c]*Tan[a + b*x]])/(8*Sqrt[2]*b) - (Sqrt[c]*d^(3/2)*Log[Sqrt[c] + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/Sqrt[d*Cos[a + b*x]] + Sqrt[c]*Tan[a + b*x]])/(8*Sqrt[2]*b) + (d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(2*b*c)}
+{(c*Sin[a + b*x])^(1/2)/(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 10, -((Sqrt[c]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])])/(Sqrt[2]*b*Sqrt[d])) + (Sqrt[c]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])])/(Sqrt[2]*b*Sqrt[d]) + (Sqrt[c]*Log[Sqrt[c] - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/Sqrt[d*Cos[a + b*x]] + Sqrt[c]*Tan[a + b*x]])/(2*Sqrt[2]*b*Sqrt[d]) - (Sqrt[c]*Log[Sqrt[c] + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/Sqrt[d*Cos[a + b*x]] + Sqrt[c]*Tan[a + b*x]])/(2*Sqrt[2]*b*Sqrt[d])}
+{(c*Sin[a + b*x])^(1/2)/(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 1, (2*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(3*b*c*d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+{(c*Sin[a + b*x])^(1/2)/(d*Cos[a + b*x])^(9/2), x, 2, (2*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(7*b*c*d*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)) + (8*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(21*b*c*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+{(c*Sin[a + b*x])^(1/2)/(d*Cos[a + b*x])^(13/2), x, 3, (2*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(11*b*c*d*(d*Cos[a + b*x])^(11/2)) + (16*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(77*b*c*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)) + (64*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(231*b*c*d^5*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+
+
+{(c*Sin[a + b*x])^(3/2)*(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 4, (c*d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(6*b) - (c*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(3*b*d) + (c^2*d^2*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(12*b*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])}
+{(c*Sin[a + b*x])^(3/2)/(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 3, -((c*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(b*d)) + (c^2*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(2*b*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])}
+{(c*Sin[a + b*x])^(3/2)/(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 3, (2*c*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(3*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)) - (c^2*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(3*b*d^2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])}
+{(c*Sin[a + b*x])^(3/2)/(d*Cos[a + b*x])^(9/2), x, 4, (2*c*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(7*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)) - (2*c*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(21*b*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)) - (2*c^2*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(21*b*d^4*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])}
+
+{(c*Sin[a + b*x])^(3/2)*(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 11, (c^(3/2)*Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/(Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])])/(4*Sqrt[2]*b) - (c^(3/2)*Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/(Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])])/(4*Sqrt[2]*b) - (c^(3/2)*Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[a + b*x] - (Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/Sqrt[c*Sin[a + b*x]]])/(8*Sqrt[2]*b) + (c^(3/2)*Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[a + b*x] + (Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/Sqrt[c*Sin[a + b*x]]])/(8*Sqrt[2]*b) - (c*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(2*b*d)}
+{(c*Sin[a + b*x])^(3/2)/(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 11, -((c^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/(Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])])/(Sqrt[2]*b*d^(3/2))) + (c^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/(Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])])/(Sqrt[2]*b*d^(3/2)) + (c^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[a + b*x] - (Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/Sqrt[c*Sin[a + b*x]]])/(2*Sqrt[2]*b*d^(3/2)) - (c^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[a + b*x] + (Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/Sqrt[c*Sin[a + b*x]]])/(2*Sqrt[2]*b*d^(3/2)) + (2*c*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(b*d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{(c*Sin[a + b*x])^(3/2)/(d*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 1, (2*(c*Sin[a + b*x])^(5/2))/(5*b*c*d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2))}
+{(c*Sin[a + b*x])^(3/2)/(d*Cos[a + b*x])^(11/2), x, 3, (2*c*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(9*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(9/2)) - (2*c*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(45*b*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)) - (8*c*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(45*b*d^5*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{(c*Sin[a + b*x])^(3/2)/(d*Cos[a + b*x])^(15/2), x, 4, (2*c*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(13*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(13/2)) - (2*c*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(117*b*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(9/2)) - (16*c*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(585*b*d^5*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)) - (64*c*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(585*b*d^7*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+
+
+{(c*Sin[a + b*x])^(5/2)*(d*Cos[a + b*x])^(9/2), x, 5, (c*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(20*b) + (3*c*d*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(70*b) - (c*(d*Cos[a + b*x])^(11/2)*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(7*b*d) + (3*c^2*d^4*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(40*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{(c*Sin[a + b*x])^(5/2)*(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 4, (c*d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(10*b) - (c*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(5*b*d) + (3*c^2*d^2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(20*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{(c*Sin[a + b*x])^(5/2)*(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 3, -((c*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(3*b*d)) + (c^2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(2*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{(c*Sin[a + b*x])^(5/2)/(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 3, (2*c*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(b*d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) - (3*c^2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(b*d^2*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{(c*Sin[a + b*x])^(5/2)/(d*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 4, (2*c*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(5*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)) - (6*c*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(5*b*d^3*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) + (6*c^2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(5*b*d^4*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{(c*Sin[a + b*x])^(5/2)/(d*Cos[a + b*x])^(11/2), x, 5, (2*c*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(9*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(9/2)) - (2*c*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(15*b*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)) - (4*c*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(15*b*d^5*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]) + (4*c^2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(15*b*d^6*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+
+{(c*Sin[a + b*x])^(5/2)/(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 11, -((3*c^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])])/(4*Sqrt[2]*b*Sqrt[d])) + (3*c^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])])/(4*Sqrt[2]*b*Sqrt[d]) + (3*c^(5/2)*Log[Sqrt[c] - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/Sqrt[d*Cos[a + b*x]] + Sqrt[c]*Tan[a + b*x]])/(8*Sqrt[2]*b*Sqrt[d]) - (3*c^(5/2)*Log[Sqrt[c] + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/Sqrt[d*Cos[a + b*x]] + Sqrt[c]*Tan[a + b*x]])/(8*Sqrt[2]*b*Sqrt[d]) - (c*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(2*b*d)}
+{(c*Sin[a + b*x])^(5/2)/(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 11, (c^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])])/(Sqrt[2]*b*d^(5/2)) - (c^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])])/(Sqrt[2]*b*d^(5/2)) - (c^(5/2)*Log[Sqrt[c] - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/Sqrt[d*Cos[a + b*x]] + Sqrt[c]*Tan[a + b*x]])/(2*Sqrt[2]*b*d^(5/2)) + (c^(5/2)*Log[Sqrt[c] + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/Sqrt[d*Cos[a + b*x]] + Sqrt[c]*Tan[a + b*x]])/(2*Sqrt[2]*b*d^(5/2)) + (2*c*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(3*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+{(c*Sin[a + b*x])^(5/2)/(d*Cos[a + b*x])^(9/2), x, 1, (2*(c*Sin[a + b*x])^(7/2))/(7*b*c*d*(d*Cos[a + b*x])^(7/2))}
+{(c*Sin[a + b*x])^(5/2)/(d*Cos[a + b*x])^(13/2), x, 3, (2*c*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(11*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(11/2)) - (6*c*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(77*b*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)) - (8*c*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(77*b*d^5*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+{(c*Sin[a + b*x])^(5/2)/(d*Cos[a + b*x])^(17/2), x, 4, (2*c*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(15*b*d*(d*Cos[a + b*x])^(15/2)) - (2*c*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(55*b*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(11/2)) - (16*c*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(385*b*d^5*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)) - (64*c*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(1155*b*d^7*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+
+
+{Sin[a + b*x]^(7/2)/Cos[a + b*x]^(7/2), x, 12, ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[Cos[a + b*x]])/Sqrt[Sin[a + b*x]]]/(Sqrt[2]*b) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[Cos[a + b*x]])/Sqrt[Sin[a + b*x]]]/(Sqrt[2]*b) - Log[1 + Cot[a + b*x] - (Sqrt[2]*Sqrt[Cos[a + b*x]])/Sqrt[Sin[a + b*x]]]/(2*Sqrt[2]*b) + Log[1 + Cot[a + b*x] + (Sqrt[2]*Sqrt[Cos[a + b*x]])/Sqrt[Sin[a + b*x]]]/(2*Sqrt[2]*b) - (2*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(b*Sqrt[Cos[a + b*x]]) + (2*Sin[a + b*x]^(5/2))/(5*b*Cos[a + b*x]^(5/2))}
+
+
+{Sin[x]^(3/2)/Cos[x]^(7/2), x, 1, (2*Sin[x]^(5/2))/(5*Cos[x]^(5/2))}
+{Sqrt[Sin[x]]/Sqrt[Cos[x]], x, 10, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[Sin[x]])/Sqrt[Cos[x]]]/Sqrt[2]) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[Sin[x]])/Sqrt[Cos[x]]]/Sqrt[2] + Log[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[Sin[x]])/Sqrt[Cos[x]] + Tan[x]]/(2*Sqrt[2]) - Log[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[Sin[x]])/Sqrt[Cos[x]] + Tan[x]]/(2*Sqrt[2])}
+{Sin[x]^(5/2)/Sqrt[Cos[x]], x, 11, -((3*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[Sin[x]])/Sqrt[Cos[x]]])/(4*Sqrt[2])) + (3*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[Sin[x]])/Sqrt[Cos[x]]])/(4*Sqrt[2]) + (3*Log[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[Sin[x]])/Sqrt[Cos[x]] + Tan[x]])/(8*Sqrt[2]) - (3*Log[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[Sin[x]])/Sqrt[Cos[x]] + Tan[x]])/(8*Sqrt[2]) - (1/2)*Sqrt[Cos[x]]*Sin[x]^(3/2)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/(c*Sin[a + b*x])^(1/2)*(d*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 4, (5*d^3*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(6*b*c) + (d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(3*b*c) + (5*d^4*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(12*b*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])}
+{1/(c*Sin[a + b*x])^(1/2)*(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 3, (d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(b*c) + (d^2*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(2*b*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])}
+{1/(c*Sin[a + b*x])^(1/2)/(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 2, (EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(b*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])}
+{1/(c*Sin[a + b*x])^(1/2)/(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 3, (2*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(3*b*c*d*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)) + (2*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(3*b*d^2*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])}
+{1/(c*Sin[a + b*x])^(1/2)/(d*Cos[a + b*x])^(9/2), x, 4, (2*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(7*b*c*d*(d*Cos[a + b*x])^(7/2)) + (4*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(7*b*c*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(3/2)) + (4*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(7*b*d^4*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])}
+
+{1/(c*Sin[a + b*x])^(1/2)*(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 10, (Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/(Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])])/(Sqrt[2]*b*Sqrt[c]) - (Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/(Sqrt[d]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])])/(Sqrt[2]*b*Sqrt[c]) - (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[a + b*x] - (Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/Sqrt[c*Sin[a + b*x]]])/(2*Sqrt[2]*b*Sqrt[c]) + (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[a + b*x] + (Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])/Sqrt[c*Sin[a + b*x]]])/(2*Sqrt[2]*b*Sqrt[c])}
+{1/(c*Sin[a + b*x])^(1/2)/(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 1, (2*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(b*c*d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{1/(c*Sin[a + b*x])^(1/2)/(d*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 2, (2*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(5*b*c*d*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)) + (8*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(5*b*c*d^3*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{1/(c*Sin[a + b*x])^(1/2)/(d*Cos[a + b*x])^(11/2), x, 3, (2*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(9*b*c*d*(d*Cos[a + b*x])^(9/2)) + (16*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(45*b*c*d^3*(d*Cos[a + b*x])^(5/2)) + (64*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(45*b*c*d^5*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+
+
+{Cos[a + b*x]^(1/2)/Sin[a + b*x]^(1/2), x, 10, ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[Cos[a + b*x]])/Sqrt[Sin[a + b*x]]]/(Sqrt[2]*b) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[Cos[a + b*x]])/Sqrt[Sin[a + b*x]]]/(Sqrt[2]*b) - Log[1 + Cot[a + b*x] - (Sqrt[2]*Sqrt[Cos[a + b*x]])/Sqrt[Sin[a + b*x]]]/(2*Sqrt[2]*b) + Log[1 + Cot[a + b*x] + (Sqrt[2]*Sqrt[Cos[a + b*x]])/Sqrt[Sin[a + b*x]]]/(2*Sqrt[2]*b)}
+
+
+{Cos[a + b*x]^(3/2)/Sin[a + b*x]^(3/2), x, 11, ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/Sqrt[Cos[a + b*x]]]/(Sqrt[2]*b) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/Sqrt[Cos[a + b*x]]]/(Sqrt[2]*b) - Log[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/Sqrt[Cos[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]/(2*Sqrt[2]*b) + Log[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/Sqrt[Cos[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]/(2*Sqrt[2]*b) - (2*Sqrt[Cos[a + b*x]])/(b*Sqrt[Sin[a + b*x]])}
+
+
+{Cos[a + b*x]^(5/2)/Sin[a + b*x]^(5/2), x, 11, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[Cos[a + b*x]])/Sqrt[Sin[a + b*x]]]/(Sqrt[2]*b)) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[Cos[a + b*x]])/Sqrt[Sin[a + b*x]]]/(Sqrt[2]*b) + Log[1 + Cot[a + b*x] - (Sqrt[2]*Sqrt[Cos[a + b*x]])/Sqrt[Sin[a + b*x]]]/(2*Sqrt[2]*b) - Log[1 + Cot[a + b*x] + (Sqrt[2]*Sqrt[Cos[a + b*x]])/Sqrt[Sin[a + b*x]]]/(2*Sqrt[2]*b) - (2*Cos[a + b*x]^(3/2))/(3*b*Sin[a + b*x]^(3/2))}
+
+
+{Cos[a + b*x]^(7/2)/Sin[a + b*x]^(7/2), x, 12, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/Sqrt[Cos[a + b*x]]]/(Sqrt[2]*b)) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/Sqrt[Cos[a + b*x]]]/(Sqrt[2]*b) + Log[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/Sqrt[Cos[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]/(2*Sqrt[2]*b) - Log[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/Sqrt[Cos[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]/(2*Sqrt[2]*b) - (2*Cos[a + b*x]^(5/2))/(5*b*Sin[a + b*x]^(5/2)) + (2*Sqrt[Cos[a + b*x]])/(b*Sqrt[Sin[a + b*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^(m/3) Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^4*(b*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 1, (3*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-3/2, 2/3, 5/3, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(4/3))/(4*b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^2*(b*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 1, (3*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-1/2, 2/3, 5/3, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(4/3))/(4*b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^0*(b*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 1, (3*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(4/3))/(4*b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^2*(b*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 1, (3*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Hypergeometric2F1[2/3, 3/2, 5/3, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]*(b*Sin[e + f*x])^(4/3))/(4*b*f)}
+{Sec[e + f*x]^4*(b*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 1, (3*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Hypergeometric2F1[2/3, 5/2, 5/3, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]*(b*Sin[e + f*x])^(4/3))/(4*b*f)}
+
+
+{Cos[e + f*x]^4*(b*Sin[e + f*x])^(5/3), x, 1, (3*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-3/2, 4/3, 7/3, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(8/3))/(8*b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^2*(b*Sin[e + f*x])^(5/3), x, 1, (3*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-1/2, 4/3, 7/3, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(8/3))/(8*b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^0*(b*Sin[e + f*x])^(5/3), x, 1, (3*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 4/3, 7/3, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(8/3))/(8*b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^2*(b*Sin[e + f*x])^(5/3), x, 1, (3*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Hypergeometric2F1[4/3, 3/2, 7/3, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]*(b*Sin[e + f*x])^(8/3))/(8*b*f)}
+{Sec[e + f*x]^4*(b*Sin[e + f*x])^(5/3), x, 1, (3*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Hypergeometric2F1[4/3, 5/2, 7/3, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]*(b*Sin[e + f*x])^(8/3))/(8*b*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^4/(b*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 1, (3*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-3/2, 1/3, 4/3, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(2/3))/(2*b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^2/(b*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 1, (3*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-1/2, 1/3, 4/3, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(2/3))/(2*b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^0/(b*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 1, (3*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(2/3))/(2*b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^2/(b*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 1, (3*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Hypergeometric2F1[1/3, 3/2, 4/3, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]*(b*Sin[e + f*x])^(2/3))/(2*b*f)}
+{Sec[e + f*x]^4/(b*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 1, (3*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Hypergeometric2F1[1/3, 5/2, 4/3, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]*(b*Sin[e + f*x])^(2/3))/(2*b*f)}
+
+
+{Cos[e + f*x]^4/(b*Sin[e + f*x])^(5/3), x, 1, (-3*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-3/2, -1/3, 2/3, Sin[e + f*x]^2])/(2*b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(2/3))}
+{Cos[e + f*x]^2/(b*Sin[e + f*x])^(5/3), x, 1, (-3*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-1/2, -1/3, 2/3, Sin[e + f*x]^2])/(2*b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(2/3))}
+{Cos[e + f*x]^0/(b*Sin[e + f*x])^(5/3), x, 1, (-3*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-1/3, 1/2, 2/3, Sin[e + f*x]^2])/(2*b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(2/3))}
+{Sec[e + f*x]^2/(b*Sin[e + f*x])^(5/3), x, 1, (-3*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Hypergeometric2F1[-1/3, 3/2, 2/3, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x])/(2*b*f*(b*Sin[e + f*x])^(2/3))}
+{Sec[e + f*x]^4/(b*Sin[e + f*x])^(5/3), x, 1, (-3*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Hypergeometric2F1[-1/3, 5/2, 2/3, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x])/(2*b*f*(b*Sin[e + f*x])^(2/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^(m/3) (b Cos[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sin[a + b*x]^(1/3)/Cos[a + b*x]^(1/3), x, 8, -((Sqrt[3]*ArcTan[(1 - (2*Sin[a + b*x]^(2/3))/Cos[a + b*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*b)) - Log[1 + Sin[a + b*x]^(2/3)/Cos[a + b*x]^(2/3)]/(2*b) + Log[1 - Sin[a + b*x]^(2/3)/Cos[a + b*x]^(2/3) + Sin[a + b*x]^(4/3)/Cos[a + b*x]^(4/3)]/(4*b)}
+
+
+{Sin[a + b*x]^(2/3)/Cos[a + b*x]^(2/3), x, 11, -(ArcTan[Sqrt[3] - (2*Sin[a + b*x]^(1/3))/Cos[a + b*x]^(1/3)]/(2*b)) + ArcTan[Sqrt[3] + (2*Sin[a + b*x]^(1/3))/Cos[a + b*x]^(1/3)]/(2*b) + ArcTan[Sin[a + b*x]^(1/3)/Cos[a + b*x]^(1/3)]/b + (Sqrt[3]*Log[1 - (Sqrt[3]*Sin[a + b*x]^(1/3))/Cos[a + b*x]^(1/3) + Sin[a + b*x]^(2/3)/Cos[a + b*x]^(2/3)])/(4*b) - (Sqrt[3]*Log[1 + (Sqrt[3]*Sin[a + b*x]^(1/3))/Cos[a + b*x]^(1/3) + Sin[a + b*x]^(2/3)/Cos[a + b*x]^(2/3)])/(4*b)}
+
+
+{Sin[a + b*x]^(4/3)/Cos[a + b*x]^(4/3), x, 12, -(ArcTan[Sqrt[3] - (2*Cos[a + b*x]^(1/3))/Sin[a + b*x]^(1/3)]/(2*b)) + ArcTan[Sqrt[3] + (2*Cos[a + b*x]^(1/3))/Sin[a + b*x]^(1/3)]/(2*b) + ArcTan[Cos[a + b*x]^(1/3)/Sin[a + b*x]^(1/3)]/b + (Sqrt[3]*Log[1 + Cos[a + b*x]^(2/3)/Sin[a + b*x]^(2/3) - (Sqrt[3]*Cos[a + b*x]^(1/3))/Sin[a + b*x]^(1/3)])/(4*b) - (Sqrt[3]*Log[1 + Cos[a + b*x]^(2/3)/Sin[a + b*x]^(2/3) + (Sqrt[3]*Cos[a + b*x]^(1/3))/Sin[a + b*x]^(1/3)])/(4*b) + (3*Sin[a + b*x]^(1/3))/(b*Cos[a + b*x]^(1/3))}
+
+
+{Sin[a + b*x]^(5/3)/Cos[a + b*x]^(5/3), x, 9, -((Sqrt[3]*ArcTan[(1 - (2*Cos[a + b*x]^(2/3))/Sin[a + b*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*b)) + Log[1 + Cos[a + b*x]^(4/3)/Sin[a + b*x]^(4/3) - Cos[a + b*x]^(2/3)/Sin[a + b*x]^(2/3)]/(4*b) - Log[1 + Cos[a + b*x]^(2/3)/Sin[a + b*x]^(2/3)]/(2*b) + (3*Sin[a + b*x]^(2/3))/(2*b*Cos[a + b*x]^(2/3))}
+
+
+{Sin[a + b*x]^(7/3)/Cos[a + b*x]^(7/3), x, 9, (Sqrt[3]*ArcTan[(1 - (2*Sin[a + b*x]^(2/3))/Cos[a + b*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*b) + Log[1 + Sin[a + b*x]^(2/3)/Cos[a + b*x]^(2/3)]/(2*b) - Log[1 - Sin[a + b*x]^(2/3)/Cos[a + b*x]^(2/3) + Sin[a + b*x]^(4/3)/Cos[a + b*x]^(4/3)]/(4*b) + (3*Sin[a + b*x]^(4/3))/(4*b*Cos[a + b*x]^(4/3))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[a + b*x]^(1/3)/Sin[a + b*x]^(1/3), x, 8, (Sqrt[3]*ArcTan[(1 - (2*Cos[a + b*x]^(2/3))/Sin[a + b*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*b) - Log[1 + Cos[a + b*x]^(4/3)/Sin[a + b*x]^(4/3) - Cos[a + b*x]^(2/3)/Sin[a + b*x]^(2/3)]/(4*b) + Log[1 + Cos[a + b*x]^(2/3)/Sin[a + b*x]^(2/3)]/(2*b)}
+
+
+{Cos[a + b*x]^(2/3)/Sin[a + b*x]^(2/3), x, 11, ArcTan[Sqrt[3] - (2*Cos[a + b*x]^(1/3))/Sin[a + b*x]^(1/3)]/(2*b) - ArcTan[Sqrt[3] + (2*Cos[a + b*x]^(1/3))/Sin[a + b*x]^(1/3)]/(2*b) - ArcTan[Cos[a + b*x]^(1/3)/Sin[a + b*x]^(1/3)]/b - (Sqrt[3]*Log[1 + Cos[a + b*x]^(2/3)/Sin[a + b*x]^(2/3) - (Sqrt[3]*Cos[a + b*x]^(1/3))/Sin[a + b*x]^(1/3)])/(4*b) + (Sqrt[3]*Log[1 + Cos[a + b*x]^(2/3)/Sin[a + b*x]^(2/3) + (Sqrt[3]*Cos[a + b*x]^(1/3))/Sin[a + b*x]^(1/3)])/(4*b)}
+
+
+{Cos[a + b*x]^(4/3)/Sin[a + b*x]^(4/3), x, 12, ArcTan[Sqrt[3] - (2*Sin[a + b*x]^(1/3))/Cos[a + b*x]^(1/3)]/(2*b) - ArcTan[Sqrt[3] + (2*Sin[a + b*x]^(1/3))/Cos[a + b*x]^(1/3)]/(2*b) - ArcTan[Sin[a + b*x]^(1/3)/Cos[a + b*x]^(1/3)]/b - (Sqrt[3]*Log[1 - (Sqrt[3]*Sin[a + b*x]^(1/3))/Cos[a + b*x]^(1/3) + Sin[a + b*x]^(2/3)/Cos[a + b*x]^(2/3)])/(4*b) + (Sqrt[3]*Log[1 + (Sqrt[3]*Sin[a + b*x]^(1/3))/Cos[a + b*x]^(1/3) + Sin[a + b*x]^(2/3)/Cos[a + b*x]^(2/3)])/(4*b) - (3*Cos[a + b*x]^(1/3))/(b*Sin[a + b*x]^(1/3))}
+
+
+{Cos[a + b*x]^(5/3)/Sin[a + b*x]^(5/3), x, 9, (Sqrt[3]*ArcTan[(1 - (2*Sin[a + b*x]^(2/3))/Cos[a + b*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*b) + Log[1 + Sin[a + b*x]^(2/3)/Cos[a + b*x]^(2/3)]/(2*b) - Log[1 - Sin[a + b*x]^(2/3)/Cos[a + b*x]^(2/3) + Sin[a + b*x]^(4/3)/Cos[a + b*x]^(4/3)]/(4*b) - (3*Cos[a + b*x]^(2/3))/(2*b*Sin[a + b*x]^(2/3))}
+
+
+{Cos[a + b*x]^(7/3)/Sin[a + b*x]^(7/3), x, 9, -((Sqrt[3]*ArcTan[(1 - (2*Cos[a + b*x]^(2/3))/Sin[a + b*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*b)) + Log[1 + Cos[a + b*x]^(4/3)/Sin[a + b*x]^(4/3) - Cos[a + b*x]^(2/3)/Sin[a + b*x]^(2/3)]/(4*b) - Log[1 + Cos[a + b*x]^(2/3)/Sin[a + b*x]^(2/3)]/(2*b) - (3*Cos[a + b*x]^(4/3))/(4*b*Sin[a + b*x]^(4/3))}
+
+
+{Cos[x]^(2/3)/Sin[x]^(8/3), x, 1, (-3*Cos[x]^(5/3))/(5*Sin[x]^(5/3))}
+{Sin[x]^(2/3)/Cos[x]^(8/3), x, 1, (3*Sin[x]^(5/3))/(5*Cos[x]^(5/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^m (b Cos[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(Sin[e + f*x])^m*(Cos[e + f*x])^n, x, 1, -((Cos[e + f*x]^(1 + n)*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^(-1 + m)*(Sin[e + f*x]^2)^((1 - m)/2))/(f*(1 + n)))}
+{(Sin[e + f*x])^m*(d*Cos[e + f*x])^n, x, 1, -(((d*Cos[e + f*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^(-1 + m)*(Sin[e + f*x]^2)^((1 - m)/2))/(d*f*(1 + n)))}
+{(b*Sin[e + f*x])^m*(Cos[e + f*x])^n, x, 1, -((b*Cos[e + f*x]^(1 + n)*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(Sin[e + f*x]^2)^((1 - m)/2))/(f*(1 + n)))}
+{(b*Sin[e + f*x])^m*(d*Cos[e + f*x])^n, x, 1, -((b*(d*Cos[e + f*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(Sin[e + f*x]^2)^((1 - m)/2))/(d*f*(1 + n)))}
+
+
+{Cos[a + b*x]^5*(c*Sin[a + b*x])^m, x, 3, (c*Sin[a + b*x])^(1 + m)/(b*c*(1 + m)) - (2*(c*Sin[a + b*x])^(3 + m))/(b*c^3*(3 + m)) + (c*Sin[a + b*x])^(5 + m)/(b*c^5*(5 + m))}
+{Cos[a + b*x]^3*(c*Sin[a + b*x])^m, x, 3, (c*Sin[a + b*x])^(1 + m)/(b*c*(1 + m)) - (c*Sin[a + b*x])^(3 + m)/(b*c^3*(3 + m))}
+{Cos[a + b*x]^1*(c*Sin[a + b*x])^m, x, 2, (c*Sin[a + b*x])^(1 + m)/(b*c*(1 + m))}
+{Sec[a + b*x]^1*(c*Sin[a + b*x])^m, x, 2, (Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(1 + m))/(b*c*(1 + m))}
+{Sec[a + b*x]^3*(c*Sin[a + b*x])^m, x, 2, (Hypergeometric2F1[2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(1 + m))/(b*c*(1 + m))}
+
+{Cos[a + b*x]^4*(c*Sin[a + b*x])^m, x, 1, (Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(1 + m))/(b*c*(1 + m)*Sqrt[Cos[a + b*x]^2])}
+{Cos[a + b*x]^2*(c*Sin[a + b*x])^m, x, 1, (Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(1 + m))/(b*c*(1 + m)*Sqrt[Cos[a + b*x]^2])}
+{Cos[a + b*x]^0*(c*Sin[a + b*x])^m, x, 1, (Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(1 + m))/(b*c*(1 + m)*Sqrt[Cos[a + b*x]^2])}
+{Sec[a + b*x]^2*(c*Sin[a + b*x])^m, x, 1, (Sqrt[Cos[a + b*x]^2]*Hypergeometric2F1[3/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*Sec[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x])^(1 + m))/(b*c*(1 + m))}
+{Sec[a + b*x]^4*(c*Sin[a + b*x])^m, x, 1, (Sqrt[Cos[a + b*x]^2]*Hypergeometric2F1[5/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*Sec[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x])^(1 + m))/(b*c*(1 + m))}
+
+
+{(c*Sin[a + b*x])^m*(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 1, (d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Hypergeometric2F1[-(1/4), (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(1 + m))/(b*c*(1 + m)*(Cos[a + b*x]^2)^(1/4))}
+{(c*Sin[a + b*x])^m*(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 1, (d*(Cos[a + b*x]^2)^(1/4)*Hypergeometric2F1[1/4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(1 + m))/(b*c*(1 + m)*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{(c*Sin[a + b*x])^m/(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 1, (d*(Cos[a + b*x]^2)^(3/4)*Hypergeometric2F1[3/4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(1 + m))/(b*c*(1 + m)*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+{(c*Sin[a + b*x])^m/(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 1, ((Cos[a + b*x]^2)^(1/4)*Hypergeometric2F1[5/4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(1 + m))/(b*c*d*(1 + m)*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{(c*Sin[a + b*x])^m/(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 1, ((Cos[a + b*x]^2)^(3/4)*Hypergeometric2F1[7/4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(1 + m))/(b*c*d*(1 + m)*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^m (b Cos[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Sin[a + b*x]^5*(d*Cos[a + b*x])^n, x, 3, -((d*Cos[a + b*x])^(1 + n)/(b*d*(1 + n))) + (2*(d*Cos[a + b*x])^(3 + n))/(b*d^3*(3 + n)) - (d*Cos[a + b*x])^(5 + n)/(b*d^5*(5 + n))}
+{Sin[a + b*x]^3*(d*Cos[a + b*x])^n, x, 3, -((d*Cos[a + b*x])^(1 + n)/(b*d*(1 + n))) + (d*Cos[a + b*x])^(3 + n)/(b*d^3*(3 + n))}
+{Sin[a + b*x]^1*(d*Cos[a + b*x])^n, x, 2, -((d*Cos[a + b*x])^(1 + n)/(b*d*(1 + n)))}
+{Csc[a + b*x]^1*(d*Cos[a + b*x])^n, x, 2, -(((d*Cos[a + b*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[a + b*x]^2])/(b*d*(1 + n)))}
+{Csc[a + b*x]^3*(d*Cos[a + b*x])^n, x, 2, -(((d*Cos[a + b*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[a + b*x]^2])/(b*d*(1 + n)))}
+{Csc[a + b*x]^5*(d*Cos[a + b*x])^n, x, 2, -(((d*Cos[a + b*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[3, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[a + b*x]^2])/(b*d*(1 + n)))}
+
+{Sin[a + b*x]^4*(d*Cos[a + b*x])^n, x, 1, -(((d*Cos[a + b*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(b*d*(1 + n)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{Sin[a + b*x]^2*(d*Cos[a + b*x])^n, x, 1, -(((d*Cos[a + b*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(b*d*(1 + n)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{Sin[a + b*x]^0*(d*Cos[a + b*x])^n, x, 1, -(((d*Cos[a + b*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(b*d*(1 + n)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{Csc[a + b*x]^2*(d*Cos[a + b*x])^n, x, 1, -(((d*Cos[a + b*x])^(1 + n)*Csc[a + b*x]*Hypergeometric2F1[3/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[a + b*x]^2]*Sqrt[Sin[a + b*x]^2])/(b*d*(1 + n)))}
+{Csc[a + b*x]^4*(d*Cos[a + b*x])^n, x, 1, -(((d*Cos[a + b*x])^(1 + n)*Csc[a + b*x]*Hypergeometric2F1[5/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[a + b*x]^2]*Sqrt[Sin[a + b*x]^2])/(b*d*(1 + n)))}
+
+
+{(d*Cos[a + b*x])^n*(c*Sin[a + b*x])^(5/2), x, 1, -((c*(d*Cos[a + b*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[-(3/4), (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(3/2))/(b*d*(1 + n)*(Sin[a + b*x]^2)^(3/4)))}
+{(d*Cos[a + b*x])^n*(c*Sin[a + b*x])^(3/2), x, 1, -((c*(d*Cos[a + b*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[-(1/4), (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[a + b*x]^2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/(b*d*(1 + n)*(Sin[a + b*x]^2)^(1/4)))}
+{(d*Cos[a + b*x])^n*(c*Sin[a + b*x])^(1/2), x, 1, -((c*(d*Cos[a + b*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/4, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[a + b*x]^2]*(Sin[a + b*x]^2)^(1/4))/(b*d*(1 + n)*Sqrt[c*Sin[a + b*x]]))}
+{(d*Cos[a + b*x])^n/(c*Sin[a + b*x])^(1/2), x, 1, -((c*(d*Cos[a + b*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[3/4, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[a + b*x]^2]*(Sin[a + b*x]^2)^(3/4))/(b*d*(1 + n)*(c*Sin[a + b*x])^(3/2)))}
+{(d*Cos[a + b*x])^n/(c*Sin[a + b*x])^(3/2), x, 1, -(((d*Cos[a + b*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[5/4, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[a + b*x]^2]*(Sin[a + b*x]^2)^(1/4))/(b*c*d*(1 + n)*Sqrt[c*Sin[a + b*x]]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^m (b Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (b Sec[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^7, x, 3, (2*b^7)/(13*f*(b*Sec[e + f*x])^(13/2)) - (2*b^5)/(3*f*(b*Sec[e + f*x])^(9/2)) + (6*b^3)/(5*f*(b*Sec[e + f*x])^(5/2)) - (2*b)/(f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^5, x, 3, (-2*b^5)/(9*f*(b*Sec[e + f*x])^(9/2)) + (4*b^3)/(5*f*(b*Sec[e + f*x])^(5/2)) - (2*b)/(f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^3, x, 3, (2*b^3)/(5*f*(b*Sec[e + f*x])^(5/2)) - (2*b)/(f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^1, x, 2, (-2*b)/(f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^1*Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 5, (Sqrt[b]*ArcTan[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/f - (Sqrt[b]*ArcTanh[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/f}
+{Csc[e + f*x]^3*Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 6, (3*Sqrt[b]*ArcTan[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(4*f) - (3*Sqrt[b]*ArcTanh[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(4*f) - (Cot[e + f*x]^2*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))/(2*b*f)}
+{Csc[e + f*x]^5*Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 7, (21*Sqrt[b]*ArcTan[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(32*f) - (21*Sqrt[b]*ArcTanh[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(32*f) - (7*Cot[e + f*x]^2*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))/(16*b*f) - (Cot[e + f*x]^4*(b*Sec[e + f*x])^(7/2))/(4*b^3*f)}
+
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^6, x, 5, (80*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(77*f) - (40*b*Sin[e + f*x])/(77*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (20*b*Sin[e + f*x]^3)/(77*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (2*b*Sin[e + f*x]^5)/(11*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^4, x, 4, (8*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(7*f) - (4*b*Sin[e + f*x])/(7*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (2*b*Sin[e + f*x]^3)/(7*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^2, x, 3, (4*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(3*f) - (2*b*Sin[e + f*x])/(3*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^0, x, 2, (2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/f}
+{Csc[e + f*x]^2*Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 3, -((b*Csc[e + f*x])/(f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])) + (Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/f}
+{Csc[e + f*x]^4*Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 4, (-5*b*Csc[e + f*x])/(6*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (b*Csc[e + f*x]^3)/(3*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (5*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(6*f)}
+{Csc[e + f*x]^6*Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 5, (-3*b*Csc[e + f*x])/(4*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (3*b*Csc[e + f*x]^3)/(10*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (b*Csc[e + f*x]^5)/(5*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(4*f)}
+
+
+{(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^7, x, 3, (2*b^7)/(11*f*(b*Sec[e + f*x])^(11/2)) - (6*b^5)/(7*f*(b*Sec[e + f*x])^(7/2)) + (2*b^3)/(f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (2*b*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/f}
+{(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^5, x, 3, (-2*b^5)/(7*f*(b*Sec[e + f*x])^(7/2)) + (4*b^3)/(3*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (2*b*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/f}
+{(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^3, x, 3, (2*b^3)/(3*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (2*b*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/f}
+{(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^1, x, 2, (2*b*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/f}
+{Csc[e + f*x]^1*(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 6, -((b^(3/2)*ArcTan[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/f) - (b^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/f + (2*b*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/f}
+{Csc[e + f*x]^3*(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 7, (-5*b^(3/2)*ArcTan[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(4*f) - (5*b^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(4*f) + (5*b*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(2*f) - (Cot[e + f*x]^2*(b*Sec[e + f*x])^(5/2))/(2*b*f)}
+
+{(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^6, x, 5, (-16*b^2*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(3*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (8*b^3*Sin[e + f*x])/(3*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (20*b^3*Sin[e + f*x]^3)/(9*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (2*b*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^5)/f}
+{(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^4, x, 4, (-24*b^2*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(5*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (12*b^3*Sin[e + f*x])/(5*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (2*b*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^3)/f}
+{(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^2, x, 3, (-4*b^2*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (2*b*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/f}
+{(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^0, x, 3, (-2*b^2*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (2*b*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^2*(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 4, (-3*b^2*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (b*Csc[e + f*x]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/f + (3*b*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^4*(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 5, (-7*b^2*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (7*b*Csc[e + f*x]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(6*f) - (b*Csc[e + f*x]^3*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(3*f) + (7*b*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+
+
+{(b*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sin[e + f*x]^7, x, 3, (2*b^7)/(9*f*(b*Sec[e + f*x])^(9/2)) - (6*b^5)/(5*f*(b*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (6*b^3)/(f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (2*b*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{(b*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sin[e + f*x]^5, x, 3, (-2*b^5)/(5*f*(b*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (4*b^3)/(f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (2*b*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{(b*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sin[e + f*x]^3, x, 3, (2*b^3)/(f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (2*b*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{(b*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sin[e + f*x]^1, x, 2, (2*b*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^1*(b*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 6, (b^(5/2)*ArcTan[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/f - (b^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/f + (2*b*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^3*(b*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 7, (7*b^(5/2)*ArcTan[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(4*f) - (7*b^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(4*f) + (7*b*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))/(6*f) - (Cot[e + f*x]^2*(b*Sec[e + f*x])^(7/2))/(2*b*f)}
+{Csc[e + f*x]^5*(b*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 8, (77*b^(5/2)*ArcTan[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(32*f) - (77*b^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(32*f) + (77*b*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))/(48*f) - (11*Cot[e + f*x]^2*(b*Sec[e + f*x])^(7/2))/(16*b*f) - (Cot[e + f*x]^4*(b*Sec[e + f*x])^(11/2))/(4*b^3*f)}
+
+{(b*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sin[e + f*x]^6, x, 5, (-80*b^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(21*f) + (40*b^3*Sin[e + f*x])/(21*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (20*b^3*Sin[e + f*x]^3)/(21*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (2*b*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^5)/(3*f)}
+{(b*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sin[e + f*x]^4, x, 4, (-8*b^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(3*f) + (4*b^3*Sin[e + f*x])/(3*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (2*b*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(b*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sin[e + f*x]^2, x, 3, (-4*b^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(3*f) + (2*b*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x])/(3*f)}
+{(b*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sin[e + f*x]^0, x, 3, (2*b^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(3*f) + (2*b*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x])/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^2*(b*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((5*b^3*Csc[e + f*x])/(3*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])) + (5*b^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(3*f) + (2*b*Csc[e + f*x]*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^4*(b*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 5, -((5*b^3*Csc[e + f*x])/(2*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])) + (5*b^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(2*f) + (b*Csc[e + f*x]*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))/f - (b*Csc[e + f*x]^3*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^7/Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 3, (2*b^7)/(15*f*(b*Sec[e + f*x])^(15/2)) - (6*b^5)/(11*f*(b*Sec[e + f*x])^(11/2)) + (6*b^3)/(7*f*(b*Sec[e + f*x])^(7/2)) - (2*b)/(3*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{Sin[e + f*x]^5/Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 3, (-2*b^5)/(11*f*(b*Sec[e + f*x])^(11/2)) + (4*b^3)/(7*f*(b*Sec[e + f*x])^(7/2)) - (2*b)/(3*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{Sin[e + f*x]^3/Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 3, (2*b^3)/(7*f*(b*Sec[e + f*x])^(7/2)) - (2*b)/(3*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{Sin[e + f*x]^1/Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 2, (-2*b)/(3*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{Csc[e + f*x]^1/Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 5, -(ArcTan[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]]/(Sqrt[b]*f)) - ArcTanh[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]]/(Sqrt[b]*f)}
+{Csc[e + f*x]^3/Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 6, -ArcTan[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]]/(4*Sqrt[b]*f) - ArcTanh[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]]/(4*Sqrt[b]*f) - (Cot[e + f*x]^2*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(2*b*f)}
+{Csc[e + f*x]^5/Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 7, (-5*ArcTan[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*f) - (5*ArcTanh[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*f) - (5*Cot[e + f*x]^2*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(16*b*f) - (Cot[e + f*x]^4*(b*Sec[e + f*x])^(5/2))/(4*b^3*f)}
+
+{Sin[e + f*x]^6/Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 5, (16*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(39*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (8*b*Sin[e + f*x])/(39*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (20*b*Sin[e + f*x]^3)/(117*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (2*b*Sin[e + f*x]^5)/(13*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{Sin[e + f*x]^4/Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 4, (8*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(15*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (4*b*Sin[e + f*x])/(15*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (2*b*Sin[e + f*x]^3)/(9*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{Sin[e + f*x]^2/Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 3, (4*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(5*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (2*b*Sin[e + f*x])/(5*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{Sin[e + f*x]^0/Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 2, (2*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^2/Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 3, -((b*Csc[e + f*x])/(f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))) - EllipticE[(e + f*x)/2, 2]/(f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^4/Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 4, -(b*Csc[e + f*x])/(2*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (b*Csc[e + f*x]^3)/(3*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) - EllipticE[(e + f*x)/2, 2]/(2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^6/Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 5, (-7*b*Csc[e + f*x])/(20*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (7*b*Csc[e + f*x]^3)/(30*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (b*Csc[e + f*x]^5)/(5*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (7*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(20*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+
+
+{Sin[e + f*x]^7/(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, (2*b^7)/(17*f*(b*Sec[e + f*x])^(17/2)) - (6*b^5)/(13*f*(b*Sec[e + f*x])^(13/2)) + (2*b^3)/(3*f*(b*Sec[e + f*x])^(9/2)) - (2*b)/(5*f*(b*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{Sin[e + f*x]^5/(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, (-2*b^5)/(13*f*(b*Sec[e + f*x])^(13/2)) + (4*b^3)/(9*f*(b*Sec[e + f*x])^(9/2)) - (2*b)/(5*f*(b*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{Sin[e + f*x]^3/(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, (2*b^3)/(9*f*(b*Sec[e + f*x])^(9/2)) - (2*b)/(5*f*(b*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{Sin[e + f*x]^1/(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 2, (-2*b)/(5*f*(b*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{Csc[e + f*x]^1/(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 6, ArcTan[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]]/(b^(3/2)*f) - ArcTanh[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]]/(b^(3/2)*f) + 2/(b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^3/(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 6, -ArcTan[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]]/(4*b^(3/2)*f) + ArcTanh[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]]/(4*b^(3/2)*f) - (Cot[e + f*x]^2*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))/(2*b^3*f)}
+{Csc[e + f*x]^5/(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 7, (-3*ArcTan[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(32*b^(3/2)*f) + (3*ArcTanh[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(32*b^(3/2)*f) - (3*Cot[e + f*x]^2*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))/(16*b^3*f) - (Cot[e + f*x]^4*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))/(4*b^3*f)}
+
+{Sin[e + f*x]^4/(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 5, (8*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(77*b^2*f) - (12*b*Sin[e + f*x])/(77*f*(b*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (8*Sin[e + f*x])/(77*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (2*b*Sin[e + f*x]^3)/(11*f*(b*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{Sin[e + f*x]^2/(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 4, (4*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(21*b^2*f) - (2*b*Sin[e + f*x])/(7*f*(b*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (4*Sin[e + f*x])/(21*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^0/(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, (2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(3*b^2*f) + (2*Sin[e + f*x])/(3*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^2/(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, -(Csc[e + f*x]/(b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])) - (Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(b^2*f)}
+{Csc[e + f*x]^4/(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 4, Csc[e + f*x]/(6*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - Csc[e + f*x]^3/(3*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(6*b^2*f)}
+{Csc[e + f*x]^6/(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 5, Csc[e + f*x]/(12*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + Csc[e + f*x]^3/(30*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - Csc[e + f*x]^5/(5*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(12*b^2*f)}
+
+
+{Sin[e + f*x]^7/(b*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 3, (2*b^7)/(19*f*(b*Sec[e + f*x])^(19/2)) - (2*b^5)/(5*f*(b*Sec[e + f*x])^(15/2)) + (6*b^3)/(11*f*(b*Sec[e + f*x])^(11/2)) - (2*b)/(7*f*(b*Sec[e + f*x])^(7/2))}
+{Sin[e + f*x]^5/(b*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 3, (-2*b^5)/(15*f*(b*Sec[e + f*x])^(15/2)) + (4*b^3)/(11*f*(b*Sec[e + f*x])^(11/2)) - (2*b)/(7*f*(b*Sec[e + f*x])^(7/2))}
+{Sin[e + f*x]^3/(b*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 3, (2*b^3)/(11*f*(b*Sec[e + f*x])^(11/2)) - (2*b)/(7*f*(b*Sec[e + f*x])^(7/2))}
+{Sin[e + f*x]^1/(b*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 2, (-2*b)/(7*f*(b*Sec[e + f*x])^(7/2))}
+{Csc[e + f*x]^1/(b*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 6, -(ArcTan[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]]/(b^(5/2)*f)) - ArcTanh[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]]/(b^(5/2)*f) + 2/(3*b*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{Csc[e + f*x]^3/(b*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 6, (3*ArcTan[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(4*b^(5/2)*f) + (3*ArcTanh[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(4*b^(5/2)*f) - (Cot[e + f*x]^2*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(2*b^3*f)}
+{Csc[e + f*x]^5/(b*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 7, (3*ArcTan[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(32*b^(5/2)*f) + (3*ArcTanh[Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(32*b^(5/2)*f) - (Cot[e + f*x]^2*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(16*b^3*f) - (Cot[e + f*x]^4*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(4*b^3*f)}
+
+{Sin[e + f*x]^4/(b*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 5, (8*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(65*b^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (4*b*Sin[e + f*x])/(39*f*(b*Sec[e + f*x])^(7/2)) + (8*Sin[e + f*x])/(195*b*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (2*b*Sin[e + f*x]^3)/(13*f*(b*Sec[e + f*x])^(7/2))}
+{Sin[e + f*x]^2/(b*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 4, (4*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(15*b^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (2*b*Sin[e + f*x])/(9*f*(b*Sec[e + f*x])^(7/2)) + (4*Sin[e + f*x])/(45*b*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{Sin[e + f*x]^0/(b*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 3, (6*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(5*b^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (2*Sin[e + f*x])/(5*b*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{Csc[e + f*x]^2/(b*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 3, -(Csc[e + f*x]/(b*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))) - (3*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(b^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^4/(b*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 4, Csc[e + f*x]/(2*b*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) - Csc[e + f*x]^3/(3*b*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) + EllipticE[(e + f*x)/2, 2]/(2*b^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^6/(b*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 5, (3*Csc[e + f*x])/(20*b*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) + Csc[e + f*x]^3/(10*b*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) - Csc[e + f*x]^5/(5*b*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (3*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(20*b^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^(m/2) (b Sec[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(a*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 13, -((21*a^(9/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(32*Sqrt[2]*Sqrt[b]*f)) + (21*a^(9/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(32*Sqrt[2]*Sqrt[b]*f) + (21*a^(9/2)*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Log[Sqrt[a] - (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/Sqrt[b*Cos[e + f*x]] + Sqrt[a]*Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(64*Sqrt[2]*Sqrt[b]*f) - (21*a^(9/2)*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Log[Sqrt[a] + (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/Sqrt[b*Cos[e + f*x]] + Sqrt[a]*Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(64*Sqrt[2]*Sqrt[b]*f) - (7*a^3*b*(a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(16*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (a*b*(a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(4*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 12, -((3*a^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(4*Sqrt[2]*Sqrt[b]*f)) + (3*a^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(4*Sqrt[2]*Sqrt[b]*f) + (3*a^(5/2)*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Log[Sqrt[a] - (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/Sqrt[b*Cos[e + f*x]] + Sqrt[a]*Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(8*Sqrt[2]*Sqrt[b]*f) - (3*a^(5/2)*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Log[Sqrt[a] + (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/Sqrt[b*Cos[e + f*x]] + Sqrt[a]*Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(8*Sqrt[2]*Sqrt[b]*f) - (a*b*(a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(a*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 11, -((Sqrt[a]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[2]*Sqrt[b]*f)) + (Sqrt[a]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[2]*Sqrt[b]*f) + (Sqrt[a]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Log[Sqrt[a] - (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/Sqrt[b*Cos[e + f*x]] + Sqrt[a]*Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[b]*f) - (Sqrt[a]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Log[Sqrt[a] + (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/Sqrt[b*Cos[e + f*x]] + Sqrt[a]*Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[b]*f)}
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/(a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 1, -((2*b)/(a*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]]))}
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/(a*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 2, -((2*b)/(5*a*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(a*Sin[e + f*x])^(5/2))) - (8*b)/(5*a^3*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/(a*Sin[e + f*x])^(11/2), x, 3, -((2*b)/(9*a*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(a*Sin[e + f*x])^(9/2))) - (16*b)/(45*a^3*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(a*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (64*b)/(45*a^5*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(a*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 5, -((5*a^3*b*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(6*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])) - (a*b*(a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (5*a^4*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(12*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((a*b*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])) + (a^2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/(a*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, (EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/(a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((2*b)/(3*a*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(a*Sin[e + f*x])^(3/2))) + (2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(3*a^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/(a*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 5, -((2*b)/(7*a*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(a*Sin[e + f*x])^(7/2))) - (4*b)/(7*a^3*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(a*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (4*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(7*a^4*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^(9/2)/Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 5, -((7*b*Sin[e + f*x]^(3/2))/(30*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))) - (b*Sin[e + f*x]^(7/2))/(5*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (7*b*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(20*b*f*(b*Sec[e + f*x])^(1/2)*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^(5/2)/Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 4, -((b*Sin[e + f*x]^(3/2))/(3*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))) + (EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(2*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^(1/2)/Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 3, (EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{1/(Sin[e + f*x]^(3/2)*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]), x, 4, -((2*b)/(f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[Sin[e + f*x]])) - (2*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{1/(Sin[e + f*x]^(7/2)*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]), x, 5, -((2*b)/(5*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^(5/2))) - (4*b)/(5*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[Sin[e + f*x]]) - (4*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(5*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+
+{Sin[e + f*x]^(3/2)/Sqrt[b*Sec[e + f*x]], x, 12, (Sqrt[b]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*f*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[b]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*f*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[b]*Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Cot[e + f*x] - (Sqrt[2]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])/Sqrt[Sin[e + f*x]]])/(8*Sqrt[2]*f*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (Sqrt[b]*Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Cot[e + f*x] + (Sqrt[2]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])/Sqrt[Sin[e + f*x]]])/(8*Sqrt[2]*f*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (b*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(2*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(Sin[e + f*x]^(1/2)*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]), x, 11, (Sqrt[b]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*f*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[b]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*f*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[b]*Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Cot[e + f*x] - (Sqrt[2]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])/Sqrt[Sin[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (Sqrt[b]*Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Cot[e + f*x] + (Sqrt[2]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])/Sqrt[Sin[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{1/(Sin[e + f*x]^(5/2)*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]), x, 1, -((2*b)/(3*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^(3/2)))}
+{1/(Sin[e + f*x]^(9/2)*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]), x, 2, -((2*b)/(7*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^(7/2))) - (8*b)/(21*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^(3/2))}
+{1/(Sin[e + f*x]^(13/2)*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]), x, 3, -((2*b)/(11*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^(11/2))) - (16*b)/(77*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^(7/2)) - (64*b)/(231*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^(3/2))}
+{1/(Sin[e + f*x]^(17/2)*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]), x, 4, -((2*b)/(15*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^(15/2))) - (8*b)/(55*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^(11/2)) - (64*b)/(385*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^(7/2)) - (256*b)/(1155*f*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^(3/2))}
+
+
+{(a*Sin[e + f*x])^(9/2)/(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 14, -((7*a^(9/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(128*Sqrt[2]*b^(5/2)*f)) + (7*a^(9/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(128*Sqrt[2]*b^(5/2)*f) + (7*a^(9/2)*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Log[Sqrt[a] - (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/Sqrt[b*Cos[e + f*x]] + Sqrt[a]*Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(256*Sqrt[2]*b^(5/2)*f) - (7*a^(9/2)*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Log[Sqrt[a] + (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/Sqrt[b*Cos[e + f*x]] + Sqrt[a]*Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(256*Sqrt[2]*b^(5/2)*f) - (7*a^3*(a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(192*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) - (a*(a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(48*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (a*Sin[e + f*x])^(11/2)/(6*a*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{(a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 13, -((3*a^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(32*Sqrt[2]*b^(5/2)*f)) + (3*a^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(32*Sqrt[2]*b^(5/2)*f) + (3*a^(5/2)*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Log[Sqrt[a] - (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/Sqrt[b*Cos[e + f*x]] + Sqrt[a]*Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(64*Sqrt[2]*b^(5/2)*f) - (3*a^(5/2)*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Log[Sqrt[a] + (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/Sqrt[b*Cos[e + f*x]] + Sqrt[a]*Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(64*Sqrt[2]*b^(5/2)*f) - (a*(a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(16*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (a*Sin[e + f*x])^(7/2)/(4*a*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{(a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 12, -((Sqrt[a]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(4*Sqrt[2]*b^(5/2)*f)) + (Sqrt[a]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(4*Sqrt[2]*b^(5/2)*f) + (Sqrt[a]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Log[Sqrt[a] - (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/Sqrt[b*Cos[e + f*x]] + Sqrt[a]*Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(8*Sqrt[2]*b^(5/2)*f) - (Sqrt[a]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Log[Sqrt[a] + (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/Sqrt[b*Cos[e + f*x]] + Sqrt[a]*Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(8*Sqrt[2]*b^(5/2)*f) + (a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(2*a*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])}
+{1/((a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)), x, 12, (ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*b^(5/2)*f) - (ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*b^(5/2)*f) - (Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Log[Sqrt[a] - (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/Sqrt[b*Cos[e + f*x]] + Sqrt[a]*Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*b^(5/2)*f) + (Sqrt[b*Cos[e + f*x]]*Log[Sqrt[a] + (Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/Sqrt[b*Cos[e + f*x]] + Sqrt[a]*Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*b^(5/2)*f) - 2/(a*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)), x, 1, -((2*b)/(5*a*f*(b*Sec[e + f*x])^(5/2)*(a*Sin[e + f*x])^(5/2)))}
+
+{(a*Sin[e + f*x])^(7/2)/(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 6, -((a^3*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(12*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])) - (a*(a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(30*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (a*Sin[e + f*x])^(9/2)/(5*a*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (a^4*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(24*b^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{(a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 5, -((a*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(6*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])) + (a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(3*a*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (a^2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(12*b^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)), x, 4, Sqrt[a*Sin[e + f*x]]/(a*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]) + (EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(2*b^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)), x, 4, -(2/(3*a*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(a*Sin[e + f*x])^(3/2))) - (EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(3*a^2*b^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a*Sin[e + f*x])^(9/2)*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)), x, 5, -(2/(7*a*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(a*Sin[e + f*x])^(7/2))) + 2/(21*a^3*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(21*a^4*b^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a*Sin[e + f*x])^(13/2)*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)), x, 6, -(2/(11*a*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(a*Sin[e + f*x])^(11/2))) + 2/(77*a^3*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(a*Sin[e + f*x])^(7/2)) + 4/(77*a^5*b*f*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (4*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(77*a^6*b^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^(m/3) (b Sec[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^m (b Sec[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(c*Sin[a + b*x])^m*(d*Sec[a + b*x])^(5/2), x, 2, (d*(Cos[a + b*x]^2)^(3/4)*Hypergeometric2F1[7/4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*(d*Sec[a + b*x])^(3/2)*(c*Sin[a + b*x])^(1 + m))/(b*c*(1 + m))}
+{(c*Sin[a + b*x])^m*(d*Sec[a + b*x])^(3/2), x, 2, (d*(Cos[a + b*x]^2)^(1/4)*Hypergeometric2F1[5/4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*Sqrt[d*Sec[a + b*x]]*(c*Sin[a + b*x])^(1 + m))/(b*c*(1 + m))}
+{(c*Sin[a + b*x])^m*(d*Sec[a + b*x])^(1/2), x, 2, ((Cos[a + b*x]^2)^(3/4)*Hypergeometric2F1[3/4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*(d*Sec[a + b*x])^(3/2)*(c*Sin[a + b*x])^(1 + m))/(b*c*d*(1 + m))}
+{(c*Sin[a + b*x])^m/(d*Sec[a + b*x])^(1/2), x, 2, ((Cos[a + b*x]^2)^(1/4)*Hypergeometric2F1[1/4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*Sqrt[d*Sec[a + b*x]]*(c*Sin[a + b*x])^(1 + m))/(b*c*d*(1 + m))}
+{(c*Sin[a + b*x])^m/(d*Sec[a + b*x])^(3/2), x, 2, (Hypergeometric2F1[-(1/4), (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*(c*Sin[a + b*x])^(1 + m))/(b*c*d*(1 + m)*(Cos[a + b*x]^2)^(1/4)*Sqrt[d*Sec[a + b*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^m (b Sec[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(Sin[e + f*x])^m*(Sec[e + f*x])^n, x, 2, -((Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(-1 + n)*Sin[e + f*x]^(-1 + m)*(Sin[e + f*x]^2)^((1 - m)/2))/(f*(1 - n)))}
+{(a*Sin[e + f*x])^m*(Sec[e + f*x])^n, x, 2, -((a*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(-1 + n)*(a*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(Sin[e + f*x]^2)^((1 - m)/2))/(f*(1 - n)))}
+{(Sin[e + f*x])^m*(b*Sec[e + f*x])^n, x, 2, -((b*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Sin[e + f*x]^(-1 + m)*(Sin[e + f*x]^2)^((1 - m)/2))/(f*(1 - n)))}
+{(a*Sin[e + f*x])^m*(b*Sec[e + f*x])^n, x, 2, -((a*b*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*(a*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(Sin[e + f*x]^2)^((1 - m)/2))/(f*(1 - n)))}
+
+
+{(b*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x]^5, x, 3, -((b^5*(b*Sec[e + f*x])^(-5 + n))/(f*(5 - n))) + (2*b^3*(b*Sec[e + f*x])^(-3 + n))/(f*(3 - n)) - (b*(b*Sec[e + f*x])^(-1 + n))/(f*(1 - n))}
+{(b*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x]^3, x, 3, (b^3*(b*Sec[e + f*x])^(-3 + n))/(f*(3 - n)) - (b*(b*Sec[e + f*x])^(-1 + n))/(f*(1 - n))}
+{(b*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x]^1, x, 2, -((b*(b*Sec[e + f*x])^(-1 + n))/(f*(1 - n)))}
+{(b*Sec[e + f*x])^n*Csc[e + f*x]^1, x, 2, -((Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sec[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(1 + n))/(f*b*(1 + n)))}
+{(b*Sec[e + f*x])^n*Csc[e + f*x]^3, x, 2, (Hypergeometric2F1[2, (3 + n)/2, (5 + n)/2, Sec[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(3 + n))/(f*b^3*(3 + n))}
+
+{(b*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x]^6, x, 2, -((b*Hypergeometric2F1[-(5/2), (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]))}
+{(b*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x]^4, x, 2, -((b*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]))}
+{(b*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x]^2, x, 2, -((b*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]))}
+{(b*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x]^0, x, 2, -((b*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]))}
+{(b*Sec[e + f*x])^n*Csc[e + f*x]^2, x, 2, -((b*Csc[e + f*x]*Hypergeometric2F1[3/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])/(f*(1 - n)))}
+{(b*Sec[e + f*x])^n*Csc[e + f*x]^4, x, 2, -((b*Csc[e + f*x]*Hypergeometric2F1[5/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])/(f*(1 - n)))}
+
+
+{(b*Sec[a + b*x])^n*(c*Sin[a + b*x])^(3/2), x, 2, -((c*Hypergeometric2F1[-(1/4), (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[a + b*x]^2]*(b*Sec[a + b*x])^(-1 + n)*Sqrt[c*Sin[a + b*x]])/((1 - n)*(Sin[a + b*x]^2)^(1/4)))}
+{(b*Sec[a + b*x])^n*(c*Sin[a + b*x])^(1/2), x, 2, -((c*Hypergeometric2F1[1/4, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[a + b*x]^2]*(b*Sec[a + b*x])^(-1 + n)*(Sin[a + b*x]^2)^(1/4))/((1 - n)*Sqrt[c*Sin[a + b*x]]))}
+{(b*Sec[a + b*x])^n/(c*Sin[a + b*x])^(1/2), x, 2, -((c*Hypergeometric2F1[3/4, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[a + b*x]^2]*(b*Sec[a + b*x])^(-1 + n)*(Sin[a + b*x]^2)^(3/4))/((1 - n)*(c*Sin[a + b*x])^(3/2)))}
+{(b*Sec[a + b*x])^n/(c*Sin[a + b*x])^(3/2), x, 2, -((Hypergeometric2F1[5/4, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[a + b*x]^2]*(b*Sec[a + b*x])^(-1 + n)*(Sin[a + b*x]^2)^(1/4))/(c*(1 - n)*Sqrt[c*Sin[a + b*x]]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^m (b Csc[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (b Csc[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^4, x, 5, -((2*d^3*Cos[e + f*x])/(7*f*(d*Csc[e + f*x])^(5/2))) - (10*d*Cos[e + f*x])/(21*f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]) + (10*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(21*f)}
+{Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^3, x, 4, -((2*d^2*Cos[e + f*x])/(5*f*(d*Csc[e + f*x])^(3/2))) + (6*d*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2])/(5*f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^2, x, 4, -((2*d*Cos[e + f*x])/(3*f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]])) + (2*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(3*f)}
+{Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^1, x, 3, (2*d*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2])/(f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^0, x, 2, (2*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/f}
+{Csc[e + f*x]^1*Sqrt[d*Csc[e + f*x]], x, 4, -((2*Cos[e + f*x]*Sqrt[d*Csc[e + f*x]])/f) - (2*d*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2])/(f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^2*Sqrt[d*Csc[e + f*x]], x, 4, -((2*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(3/2))/(3*d*f)) + (2*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^3*Sqrt[d*Csc[e + f*x]], x, 5, -((6*Cos[e + f*x]*Sqrt[d*Csc[e + f*x]])/(5*f)) - (2*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(5/2))/(5*d^2*f) - (6*d*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2])/(5*f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(d*Csc[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^5, x, 5, -((2*d^4*Cos[e + f*x])/(7*f*(d*Csc[e + f*x])^(5/2))) - (10*d^2*Cos[e + f*x])/(21*f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]) + (10*d*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(21*f)}
+{(d*Csc[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^4, x, 4, -((2*d^3*Cos[e + f*x])/(5*f*(d*Csc[e + f*x])^(3/2))) + (6*d^2*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2])/(5*f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])}
+{(d*Csc[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^3, x, 4, -((2*d^2*Cos[e + f*x])/(3*f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]])) + (2*d*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(3*f)}
+{(d*Csc[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^2, x, 3, (2*d^2*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2])/(f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])}
+{(d*Csc[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^1, x, 3, (2*d*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/f}
+{(d*Csc[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^0, x, 3, -((2*d*Cos[e + f*x]*Sqrt[d*Csc[e + f*x]])/f) - (2*d^2*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2])/(f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^1*(d*Csc[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((2*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(3/2))/(3*f)) + (2*d*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^2*(d*Csc[e + f*x])^(3/2), x, 5, -((6*d*Cos[e + f*x]*Sqrt[d*Csc[e + f*x]])/(5*f)) - (2*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(5/2))/(5*d*f) - (6*d^2*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2])/(5*f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^3/Sqrt[d*Csc[e + f*x]], x, 5, -((2*d^2*Cos[e + f*x])/(7*f*(d*Csc[e + f*x])^(5/2))) - (10*Cos[e + f*x])/(21*f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]) + (10*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(21*d*f)}
+{Sin[e + f*x]^2/Sqrt[d*Csc[e + f*x]], x, 4, -((2*d*Cos[e + f*x])/(5*f*(d*Csc[e + f*x])^(3/2))) + (6*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2])/(5*f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^1/Sqrt[d*Csc[e + f*x]], x, 4, -((2*Cos[e + f*x])/(3*f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]])) + (2*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(3*d*f)}
+{Sin[e + f*x]^0/Sqrt[d*Csc[e + f*x]], x, 2, (2*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2])/(f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^1/Sqrt[d*Csc[e + f*x]], x, 3, (2*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(d*f)}
+{Csc[e + f*x]^2/Sqrt[d*Csc[e + f*x]], x, 4, -((2*Cos[e + f*x]*Sqrt[d*Csc[e + f*x]])/(d*f)) - (2*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2])/(f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^3/Sqrt[d*Csc[e + f*x]], x, 4, -((2*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(3/2))/(3*d^2*f)) + (2*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(3*d*f)}
+
+
+{Sin[e + f*x]^2/(d*Csc[e + f*x])^(3/2), x, 5, -((2*d*Cos[e + f*x])/(7*f*(d*Csc[e + f*x])^(5/2))) - (10*Cos[e + f*x])/(21*d*f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]) + (10*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(21*d^2*f)}
+{Sin[e + f*x]^1/(d*Csc[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((2*Cos[e + f*x])/(5*f*(d*Csc[e + f*x])^(3/2))) + (6*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2])/(5*d*f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^0/(d*Csc[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((2*Cos[e + f*x])/(3*d*f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]])) + (2*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(3*d^2*f)}
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+{Csc[e + f*x]^3/(d*Csc[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((2*Cos[e + f*x]*Sqrt[d*Csc[e + f*x]])/(d^2*f)) - (2*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2])/(d*f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^4/(d*Csc[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((2*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(3/2))/(3*d^3*f)) + (2*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(3*d^2*f)}
+{Csc[e + f*x]^5/(d*Csc[e + f*x])^(3/2), x, 5, -((6*Cos[e + f*x]*Sqrt[d*Csc[e + f*x]])/(5*d^2*f)) - (2*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(5/2))/(5*d^4*f) - (6*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2])/(5*d*f*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^(m/2) (b Csc[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^m (b Csc[e+f x])^n with m and n symbolic*)
+
+
+{(a*Sin[e + f*x])^m*(b*Csc[e + f*x])^n, x, 2, (Cos[e + f*x]*(b*Csc[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + m - n), (1/2)*(3 + m - n), Sin[e + f*x]^2]*(a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(1 + m - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1.1 (a+b sin)^n.jl b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1.1 (a+b sin)^n.jl
new file mode 100644
index 00000000..35a97106
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1.1 (a+b sin)^n.jl	
@@ -0,0 +1,155 @@
+# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)
+data = [
+# ::Package::
+
+# ::Title::
+# Integrands of the form (a+b Sin[c+d x])^n
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+a Sin[c+d x])^n
+
+
+# ::Subsection::
+# Integrands of the form (a+a Sin[c+d x])^n
+
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+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+a Sin[c+d x])^(n/2)
+
+
+((a + a*sin(c + d*x))^(7//2), -((256*a^4*cos(c + d*x))/(35*d*sqrt(a + a*sin(c + d*x)))) - (64*a^3*cos(c + d*x)*sqrt(a + a*sin(c + d*x)))/(35*d) - (24*a^2*cos(c + d*x)*(a + a*sin(c + d*x))^(3//2))/(35*d) - (2*a*cos(c + d*x)*(a + a*sin(c + d*x))^(5//2))/(7*d), x, 4),
+((a + a*sin(c + d*x))^(5//2), -((64*a^3*cos(c + d*x))/(15*d*sqrt(a + a*sin(c + d*x)))) - (16*a^2*cos(c + d*x)*sqrt(a + a*sin(c + d*x)))/(15*d) - (2*a*cos(c + d*x)*(a + a*sin(c + d*x))^(3//2))/(5*d), x, 3),
+((a + a*sin(c + d*x))^(3//2), -((8*a^2*cos(c + d*x))/(3*d*sqrt(a + a*sin(c + d*x)))) - (2*a*cos(c + d*x)*sqrt(a + a*sin(c + d*x)))/(3*d), x, 2),
+((a + a*sin(c + d*x))^(1//2), -((2*a*cos(c + d*x))/(d*sqrt(a + a*sin(c + d*x)))), x, 1),
+(1/(a + a*sin(c + d*x))^(1//2), -((sqrt(2)*atanh((sqrt(a)*cos(c + d*x))/(sqrt(2)*sqrt(a + a*sin(c + d*x)))))/(sqrt(a)*d)), x, 2),
+(1/(a + a*sin(c + d*x))^(3//2), -(atanh((sqrt(a)*cos(c + d*x))/(sqrt(2)*sqrt(a + a*sin(c + d*x))))/(2*sqrt(2)*a^(3//2)*d)) - cos(c + d*x)/(2*d*(a + a*sin(c + d*x))^(3//2)), x, 3),
+(1/(a + a*sin(c + d*x))^(5//2), -((3*atanh((sqrt(a)*cos(c + d*x))/(sqrt(2)*sqrt(a + a*sin(c + d*x)))))/(16*sqrt(2)*a^(5//2)*d)) - cos(c + d*x)/(4*d*(a + a*sin(c + d*x))^(5//2)) - (3*cos(c + d*x))/(16*a*d*(a + a*sin(c + d*x))^(3//2)), x, 4),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+a Sin[c+d x])^(n/3)
+
+
+((a + a*sin(c + d*x))^(4//3), -((2*2^(5//6)*a*cos(c + d*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(5//6), 1//2, 3//2, (1//2)*(1 - sin(c + d*x)))*(a + a*sin(c + d*x))^(1//3))/(d*(1 + sin(c + d*x))^(5//6))), x, 2),
+((a + a*sin(c + d*x))^(2//3), -((2*2^(1//6)*cos(c + d*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-(1//6), 1//2, 3//2, (1//2)*(1 - sin(c + d*x)))*(a + a*sin(c + d*x))^(2//3))/(d*(1 + sin(c + d*x))^(7//6))), x, 2),
+((a + a*sin(c + d*x))^(1//3), -((2^(5//6)*cos(c + d*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//6, 1//2, 3//2, (1//2)*(1 - sin(c + d*x)))*(a + a*sin(c + d*x))^(1//3))/(d*(1 + sin(c + d*x))^(5//6))), x, 2),
+(1/(a + a*sin(c + d*x))^(1//3), -((2^(1//6)*cos(c + d*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 5//6, 3//2, (1//2)*(1 - sin(c + d*x))))/(d*(1 + sin(c + d*x))^(1//6)*(a + a*sin(c + d*x))^(1//3))), x, 2),
+(1/(a + a*sin(c + d*x))^(2//3), -((cos(c + d*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 7//6, 3//2, (1//2)*(1 - sin(c + d*x)))*(1 + sin(c + d*x))^(1//6))/(2^(1//6)*d*(a + a*sin(c + d*x))^(2//3))), x, 2),
+(1/(a + a*sin(c + d*x))^(4//3), -((cos(c + d*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 11//6, 3//2, (1//2)*(1 - sin(c + d*x))))/(2^(5//6)*a*d*(1 + sin(c + d*x))^(1//6)*(a + a*sin(c + d*x))^(1//3))), x, 2),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+a Sin[c+d x])^n with n symbolic
+
+
+((a + a*sin(c + d*x))^n, -((2^(1//2 + n)*cos(c + d*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 1//2 - n, 3//2, (1//2)*(1 - sin(c + d*x)))*(1 + sin(c + d*x))^(-(1//2) - n)*(a + a*sin(c + d*x))^n)/d), x, 2),
+((a - a*sin(c + d*x))^n, (2^(1//2 + n)*cos(c + d*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 1//2 - n, 3//2, (1//2)*(1 + sin(c + d*x)))*(1 - sin(c + d*x))^(-(1//2) - n)*(a - a*sin(c + d*x))^n)/d, x, 2),
+
+
+((2 + 2*sin(c + d*x))^n, -((2^(1//2 + 2*n)*cos(c + d*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 1//2 - n, 3//2, (1//2)*(1 - sin(c + d*x))))/(d*sqrt(1 + sin(c + d*x)))), x, 1),
+((2 - 2*sin(c + d*x))^n, (2^(1//2 + 2*n)*cos(c + d*x)*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1//2, 1//2 - n, 3//2, (1//2)*(1 + sin(c + d*x))))/(d*sqrt(1 - sin(c + d*x))), x, 1),
+
+
+# ::Section::Closed::
+# Integrands of the form (a+b Sin[c+d x])^n
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b Sin[c+d x])^n
+
+
+(1/(5 + 3*sin(c + d*x)), x/4 + atan(cos(c + d*x)/(3 + sin(c + d*x)))/(2*d), x, 1),
+(1/(5 + 3*sin(c + d*x))^2, (5*x)/64 + (5*atan(cos(c + d*x)/(3 + sin(c + d*x))))/(32*d) + (3*cos(c + d*x))/(16*d*(5 + 3*sin(c + d*x))), x, 3),
+(1/(5 + 3*sin(c + d*x))^3, (59*x)/2048 + (59*atan(cos(c + d*x)/(3 + sin(c + d*x))))/(1024*d) + (3*cos(c + d*x))/(32*d*(5 + 3*sin(c + d*x))^2) + (45*cos(c + d*x))/(512*d*(5 + 3*sin(c + d*x))), x, 4),
+(1/(5 + 3*sin(c + d*x))^4, (385*x)/32768 + (385*atan(cos(c + d*x)/(3 + sin(c + d*x))))/(16384*d) + cos(c + d*x)/(16*d*(5 + 3*sin(c + d*x))^3) + (25*cos(c + d*x))/(512*d*(5 + 3*sin(c + d*x))^2) + (311*cos(c + d*x))/(8192*d*(5 + 3*sin(c + d*x))), x, 5),
+
+
+(1/(5 - 3*sin(c + d*x)), x/4 - atan(cos(c + d*x)/(3 - sin(c + d*x)))/(2*d), x, 1),
+(1/(5 - 3*sin(c + d*x))^2, (5*x)/64 - (5*atan(cos(c + d*x)/(3 - sin(c + d*x))))/(32*d) - (3*cos(c + d*x))/(16*d*(5 - 3*sin(c + d*x))), x, 3),
+(1/(5 - 3*sin(c + d*x))^3, (59*x)/2048 - (59*atan(cos(c + d*x)/(3 - sin(c + d*x))))/(1024*d) - (3*cos(c + d*x))/(32*d*(5 - 3*sin(c + d*x))^2) - (45*cos(c + d*x))/(512*d*(5 - 3*sin(c + d*x))), x, 4),
+(1/(5 - 3*sin(c + d*x))^4, (385*x)/32768 - (385*atan(cos(c + d*x)/(3 - sin(c + d*x))))/(16384*d) - cos(c + d*x)/(16*d*(5 - 3*sin(c + d*x))^3) - (25*cos(c + d*x))/(512*d*(5 - 3*sin(c + d*x))^2) - (311*cos(c + d*x))/(8192*d*(5 - 3*sin(c + d*x))), x, 5),
+
+
+(1/(-5 + 3*sin(c + d*x)), -(x/4) + atan(cos(c + d*x)/(3 - sin(c + d*x)))/(2*d), x, 1),
+(1/(-5 + 3*sin(c + d*x))^2, (5*x)/64 - (5*atan(cos(c + d*x)/(3 - sin(c + d*x))))/(32*d) - (3*cos(c + d*x))/(16*d*(5 - 3*sin(c + d*x))), x, 3),
+(1/(-5 + 3*sin(c + d*x))^3, -((59*x)/2048) + (59*atan(cos(c + d*x)/(3 - sin(c + d*x))))/(1024*d) + (3*cos(c + d*x))/(32*d*(5 - 3*sin(c + d*x))^2) + (45*cos(c + d*x))/(512*d*(5 - 3*sin(c + d*x))), x, 4),
+(1/(-5 + 3*sin(c + d*x))^4, (385*x)/32768 - (385*atan(cos(c + d*x)/(3 - sin(c + d*x))))/(16384*d) - cos(c + d*x)/(16*d*(5 - 3*sin(c + d*x))^3) - (25*cos(c + d*x))/(512*d*(5 - 3*sin(c + d*x))^2) - (311*cos(c + d*x))/(8192*d*(5 - 3*sin(c + d*x))), x, 5),
+
+
+(1/(-5 - 3*sin(c + d*x)), -(x/4) - atan(cos(c + d*x)/(3 + sin(c + d*x)))/(2*d), x, 1),
+(1/(-5 - 3*sin(c + d*x))^2, (5*x)/64 + (5*atan(cos(c + d*x)/(3 + sin(c + d*x))))/(32*d) + (3*cos(c + d*x))/(16*d*(5 + 3*sin(c + d*x))), x, 3),
+(1/(-5 - 3*sin(c + d*x))^3, -((59*x)/2048) - (59*atan(cos(c + d*x)/(3 + sin(c + d*x))))/(1024*d) - (3*cos(c + d*x))/(32*d*(5 + 3*sin(c + d*x))^2) - (45*cos(c + d*x))/(512*d*(5 + 3*sin(c + d*x))), x, 4),
+(1/(-5 - 3*sin(c + d*x))^4, (385*x)/32768 + (385*atan(cos(c + d*x)/(3 + sin(c + d*x))))/(16384*d) + cos(c + d*x)/(16*d*(5 + 3*sin(c + d*x))^3) + (25*cos(c + d*x))/(512*d*(5 + 3*sin(c + d*x))^2) + (311*cos(c + d*x))/(8192*d*(5 + 3*sin(c + d*x))), x, 5),
+
+
+(1/(3 + 5*sin(c + d*x)), -(log(3*cos((1//2)*(c + d*x)) + sin((1//2)*(c + d*x)))/(4*d)) + log(cos((1//2)*(c + d*x)) + 3*sin((1//2)*(c + d*x)))/(4*d), x, 4),
+(1/(3 + 5*sin(c + d*x))^2, (3*log(3*cos((1//2)*(c + d*x)) + sin((1//2)*(c + d*x))))/(64*d) - (3*log(cos((1//2)*(c + d*x)) + 3*sin((1//2)*(c + d*x))))/(64*d) - (5*cos(c + d*x))/(16*d*(3 + 5*sin(c + d*x))), x, 6),
+(1/(3 + 5*sin(c + d*x))^3, -((43*log(3*cos((1//2)*(c + d*x)) + sin((1//2)*(c + d*x))))/(2048*d)) + (43*log(cos((1//2)*(c + d*x)) + 3*sin((1//2)*(c + d*x))))/(2048*d) - (5*cos(c + d*x))/(32*d*(3 + 5*sin(c + d*x))^2) + (45*cos(c + d*x))/(512*d*(3 + 5*sin(c + d*x))), x, 7),
+(1/(3 + 5*sin(c + d*x))^4, (279*log(3*cos((1//2)*(c + d*x)) + sin((1//2)*(c + d*x))))/(32768*d) - (279*log(cos((1//2)*(c + d*x)) + 3*sin((1//2)*(c + d*x))))/(32768*d) - (5*cos(c + d*x))/(48*d*(3 + 5*sin(c + d*x))^3) + (25*cos(c + d*x))/(512*d*(3 + 5*sin(c + d*x))^2) - (995*cos(c + d*x))/(24576*d*(3 + 5*sin(c + d*x))), x, 8),
+
+
+(1/(3 - 5*sin(c + d*x)), -(log(cos((1//2)*(c + d*x)) - 3*sin((1//2)*(c + d*x)))/(4*d)) + log(3*cos((1//2)*(c + d*x)) - sin((1//2)*(c + d*x)))/(4*d), x, 4),
+(1/(3 - 5*sin(c + d*x))^2, (3*log(cos((1//2)*(c + d*x)) - 3*sin((1//2)*(c + d*x))))/(64*d) - (3*log(3*cos((1//2)*(c + d*x)) - sin((1//2)*(c + d*x))))/(64*d) + (5*cos(c + d*x))/(16*d*(3 - 5*sin(c + d*x))), x, 6),
+(1/(3 - 5*sin(c + d*x))^3, -((43*log(cos((1//2)*(c + d*x)) - 3*sin((1//2)*(c + d*x))))/(2048*d)) + (43*log(3*cos((1//2)*(c + d*x)) - sin((1//2)*(c + d*x))))/(2048*d) + (5*cos(c + d*x))/(32*d*(3 - 5*sin(c + d*x))^2) - (45*cos(c + d*x))/(512*d*(3 - 5*sin(c + d*x))), x, 7),
+(1/(3 - 5*sin(c + d*x))^4, (279*log(cos((1//2)*(c + d*x)) - 3*sin((1//2)*(c + d*x))))/(32768*d) - (279*log(3*cos((1//2)*(c + d*x)) - sin((1//2)*(c + d*x))))/(32768*d) + (5*cos(c + d*x))/(48*d*(3 - 5*sin(c + d*x))^3) - (25*cos(c + d*x))/(512*d*(3 - 5*sin(c + d*x))^2) + (995*cos(c + d*x))/(24576*d*(3 - 5*sin(c + d*x))), x, 8),
+
+
+(1/(-3 + 5*sin(c + d*x)), log(cos((1//2)*(c + d*x)) - 3*sin((1//2)*(c + d*x)))/(4*d) - log(3*cos((1//2)*(c + d*x)) - sin((1//2)*(c + d*x)))/(4*d), x, 4),
+(1/(-3 + 5*sin(c + d*x))^2, (3*log(cos((1//2)*(c + d*x)) - 3*sin((1//2)*(c + d*x))))/(64*d) - (3*log(3*cos((1//2)*(c + d*x)) - sin((1//2)*(c + d*x))))/(64*d) + (5*cos(c + d*x))/(16*d*(3 - 5*sin(c + d*x))), x, 6),
+(1/(-3 + 5*sin(c + d*x))^3, (43*log(cos((1//2)*(c + d*x)) - 3*sin((1//2)*(c + d*x))))/(2048*d) - (43*log(3*cos((1//2)*(c + d*x)) - sin((1//2)*(c + d*x))))/(2048*d) - (5*cos(c + d*x))/(32*d*(3 - 5*sin(c + d*x))^2) + (45*cos(c + d*x))/(512*d*(3 - 5*sin(c + d*x))), x, 7),
+(1/(-3 + 5*sin(c + d*x))^4, (279*log(cos((1//2)*(c + d*x)) - 3*sin((1//2)*(c + d*x))))/(32768*d) - (279*log(3*cos((1//2)*(c + d*x)) - sin((1//2)*(c + d*x))))/(32768*d) + (5*cos(c + d*x))/(48*d*(3 - 5*sin(c + d*x))^3) - (25*cos(c + d*x))/(512*d*(3 - 5*sin(c + d*x))^2) + (995*cos(c + d*x))/(24576*d*(3 - 5*sin(c + d*x))), x, 8),
+
+
+(1/(-3 - 5*sin(c + d*x)), log(3*cos((1//2)*(c + d*x)) + sin((1//2)*(c + d*x)))/(4*d) - log(cos((1//2)*(c + d*x)) + 3*sin((1//2)*(c + d*x)))/(4*d), x, 4),
+(1/(-3 - 5*sin(c + d*x))^2, (3*log(3*cos((1//2)*(c + d*x)) + sin((1//2)*(c + d*x))))/(64*d) - (3*log(cos((1//2)*(c + d*x)) + 3*sin((1//2)*(c + d*x))))/(64*d) - (5*cos(c + d*x))/(16*d*(3 + 5*sin(c + d*x))), x, 6),
+(1/(-3 - 5*sin(c + d*x))^3, (43*log(3*cos((1//2)*(c + d*x)) + sin((1//2)*(c + d*x))))/(2048*d) - (43*log(cos((1//2)*(c + d*x)) + 3*sin((1//2)*(c + d*x))))/(2048*d) + (5*cos(c + d*x))/(32*d*(3 + 5*sin(c + d*x))^2) - (45*cos(c + d*x))/(512*d*(3 + 5*sin(c + d*x))), x, 7),
+(1/(-3 - 5*sin(c + d*x))^4, (279*log(3*cos((1//2)*(c + d*x)) + sin((1//2)*(c + d*x))))/(32768*d) - (279*log(cos((1//2)*(c + d*x)) + 3*sin((1//2)*(c + d*x))))/(32768*d) - (5*cos(c + d*x))/(48*d*(3 + 5*sin(c + d*x))^3) + (25*cos(c + d*x))/(512*d*(3 + 5*sin(c + d*x))^2) - (995*cos(c + d*x))/(24576*d*(3 + 5*sin(c + d*x))), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b Sin[c+d x])^(n/2)
+
+
+((a + b*sin(c + d*x))^(7//2), -((2*b*(71*a^2 + 25*b^2)*cos(c + d*x)*sqrt(a + b*sin(c + d*x)))/(105*d)) - (24*a*b*cos(c + d*x)*(a + b*sin(c + d*x))^(3//2))/(35*d) - (2*b*cos(c + d*x)*(a + b*sin(c + d*x))^(5//2))/(7*d) + (32*a*(11*a^2 + 13*b^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*(c - π/2 + d*x), (2*b)/(a + b))*sqrt(a + b*sin(c + d*x)))/(105*d*sqrt((a + b*sin(c + d*x))/(a + b))) - (2*(71*a^4 - 46*a^2*b^2 - 25*b^4)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*(c - π/2 + d*x), (2*b)/(a + b))*sqrt((a + b*sin(c + d*x))/(a + b)))/(105*d*sqrt(a + b*sin(c + d*x))), x, 8),
+((a + b*sin(c + d*x))^(5//2), -((16*a*b*cos(c + d*x)*sqrt(a + b*sin(c + d*x)))/(15*d)) - (2*b*cos(c + d*x)*(a + b*sin(c + d*x))^(3//2))/(5*d) + (2*(23*a^2 + 9*b^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*(c - π/2 + d*x), (2*b)/(a + b))*sqrt(a + b*sin(c + d*x)))/(15*d*sqrt((a + b*sin(c + d*x))/(a + b))) - (16*a*(a^2 - b^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*(c - π/2 + d*x), (2*b)/(a + b))*sqrt((a + b*sin(c + d*x))/(a + b)))/(15*d*sqrt(a + b*sin(c + d*x))), x, 7),
+((a + b*sin(c + d*x))^(3//2), -((2*b*cos(c + d*x)*sqrt(a + b*sin(c + d*x)))/(3*d)) + (8*a*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*(c - π/2 + d*x), (2*b)/(a + b))*sqrt(a + b*sin(c + d*x)))/(3*d*sqrt((a + b*sin(c + d*x))/(a + b))) - (2*(a^2 - b^2)*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*(c - π/2 + d*x), (2*b)/(a + b))*sqrt((a + b*sin(c + d*x))/(a + b)))/(3*d*sqrt(a + b*sin(c + d*x))), x, 6),
+((a + b*sin(c + d*x))^(1//2), (2*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*(c - π/2 + d*x), (2*b)/(a + b))*sqrt(a + b*sin(c + d*x)))/(d*sqrt((a + b*sin(c + d*x))/(a + b))), x, 2),
+(1/(a + b*sin(c + d*x))^(1//2), (2*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*(c - π/2 + d*x), (2*b)/(a + b))*sqrt((a + b*sin(c + d*x))/(a + b)))/(d*sqrt(a + b*sin(c + d*x))), x, 2),
+(1/(a + b*sin(c + d*x))^(3//2), (2*b*cos(c + d*x))/((a^2 - b^2)*d*sqrt(a + b*sin(c + d*x))) + (2*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*(c - π/2 + d*x), (2*b)/(a + b))*sqrt(a + b*sin(c + d*x)))/((a^2 - b^2)*d*sqrt((a + b*sin(c + d*x))/(a + b))), x, 4),
+(1/(a + b*sin(c + d*x))^(5//2), (2*b*cos(c + d*x))/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*sin(c + d*x))^(3//2)) + (8*a*b*cos(c + d*x))/(3*(a^2 - b^2)^2*d*sqrt(a + b*sin(c + d*x))) + (8*a*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*(c - π/2 + d*x), (2*b)/(a + b))*sqrt(a + b*sin(c + d*x)))/(3*(a^2 - b^2)^2*d*sqrt((a + b*sin(c + d*x))/(a + b))) - (2*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*(c - π/2 + d*x), (2*b)/(a + b))*sqrt((a + b*sin(c + d*x))/(a + b)))/(3*(a^2 - b^2)*d*sqrt(a + b*sin(c + d*x))), x, 7),
+(1/(a + b*sin(c + d*x))^(7//2), (2*b*cos(c + d*x))/(5*(a^2 - b^2)*d*(a + b*sin(c + d*x))^(5//2)) + (16*a*b*cos(c + d*x))/(15*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*sin(c + d*x))^(3//2)) + (2*b*(23*a^2 + 9*b^2)*cos(c + d*x))/(15*(a^2 - b^2)^3*d*sqrt(a + b*sin(c + d*x))) + (2*(23*a^2 + 9*b^2)*SymbolicIntegration.elliptic_e((1//2)*(c - π/2 + d*x), (2*b)/(a + b))*sqrt(a + b*sin(c + d*x)))/(15*(a^2 - b^2)^3*d*sqrt((a + b*sin(c + d*x))/(a + b))) - (16*a*SymbolicIntegration.elliptic_f((1//2)*(c - π/2 + d*x), (2*b)/(a + b))*sqrt((a + b*sin(c + d*x))/(a + b)))/(15*(a^2 - b^2)^2*d*sqrt(a + b*sin(c + d*x))), x, 8),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b Sin[c+d x])^(n/3)
+
+
+((a + b*sin(c + d*x))^(4//3), -((sqrt(2)*(a + b)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1//2, -(4//3), 3//2, (1//2)*(1 - sin(c + d*x)), (b*(1 - sin(c + d*x)))/(a + b))*cos(c + d*x)*(a + b*sin(c + d*x))^(1//3))/(d*sqrt(1 + sin(c + d*x))*((a + b*sin(c + d*x))/(a + b))^(1//3))), x, 3),
+((a + b*sin(c + d*x))^(2//3), -((sqrt(2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1//2, -(2//3), 3//2, (1//2)*(1 - sin(c + d*x)), (b*(1 - sin(c + d*x)))/(a + b))*cos(c + d*x)*(a + b*sin(c + d*x))^(2//3))/(d*sqrt(1 + sin(c + d*x))*((a + b*sin(c + d*x))/(a + b))^(2//3))), x, 3),
+((a + b*sin(c + d*x))^(1//3), -((sqrt(2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1//2, -(1//3), 3//2, (1//2)*(1 - sin(c + d*x)), (b*(1 - sin(c + d*x)))/(a + b))*cos(c + d*x)*(a + b*sin(c + d*x))^(1//3))/(d*sqrt(1 + sin(c + d*x))*((a + b*sin(c + d*x))/(a + b))^(1//3))), x, 3),
+(1/(a + b*sin(c + d*x))^(1//3), -((sqrt(2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1//2, 1//3, 3//2, (1//2)*(1 - sin(c + d*x)), (b*(1 - sin(c + d*x)))/(a + b))*cos(c + d*x)*((a + b*sin(c + d*x))/(a + b))^(1//3))/(d*sqrt(1 + sin(c + d*x))*(a + b*sin(c + d*x))^(1//3))), x, 3),
+(1/(a + b*sin(c + d*x))^(2//3), -((sqrt(2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1//2, 2//3, 3//2, (1//2)*(1 - sin(c + d*x)), (b*(1 - sin(c + d*x)))/(a + b))*cos(c + d*x)*((a + b*sin(c + d*x))/(a + b))^(2//3))/(d*sqrt(1 + sin(c + d*x))*(a + b*sin(c + d*x))^(2//3))), x, 3),
+(1/(a + b*sin(c + d*x))^(4//3), -((sqrt(2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1//2, 4//3, 3//2, (1//2)*(1 - sin(c + d*x)), (b*(1 - sin(c + d*x)))/(a + b))*cos(c + d*x)*((a + b*sin(c + d*x))/(a + b))^(1//3))/((a + b)*d*sqrt(1 + sin(c + d*x))*(a + b*sin(c + d*x))^(1//3))), x, 3),
+
+
+# ::Subsection::Closed::
+# Integrands of the form (a+b Sin[c+d x])^n with n symbolic
+
+
+((a + b*sin(c + d*x))^n, -((sqrt(2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1//2, -n, 3//2, (1//2)*(1 - sin(c + d*x)), (b*(1 - sin(c + d*x)))/(a + b))*cos(c + d*x)*(a + b*sin(c + d*x))^n)/(((a + b*sin(c + d*x))/(a + b))^n*(d*sqrt(1 + sin(c + d*x))))), x, 3),
+
+
+((3 + 4*sin(c + d*x))^n, -((sqrt(2)*7^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1//2, -n, 3//2, (1//2)*(1 - sin(c + d*x)), (4//7)*(1 - sin(c + d*x)))*cos(c + d*x))/(d*sqrt(1 + sin(c + d*x)))), x, 2),
+((3 - 4*sin(c + d*x))^n, (sqrt(2)*7^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -n, 1//2, 3//2, (4//7)*(1 + sin(c + d*x)), (1//2)*(1 + sin(c + d*x)))*cos(c + d*x))/(d*sqrt(1 - sin(c + d*x))), x, 2),
+
+((4 + 3*sin(c + d*x))^n, (sqrt(2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1//2, -n, 3//2, (1//2)*(1 + sin(c + d*x)), -3*(1 + sin(c + d*x)))*cos(c + d*x))/(d*sqrt(1 - sin(c + d*x))), x, 2),
+((4 - 3*sin(c + d*x))^n, (sqrt(2)*7^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -n, 1//2, 3//2, (3//7)*(1 + sin(c + d*x)), (1//2)*(1 + sin(c + d*x)))*cos(c + d*x))/(d*sqrt(1 - sin(c + d*x))), x, 2),
+
+((-3 + 4*sin(c + d*x))^n, -((sqrt(2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, 1//2, -n, 3//2, (1//2)*(1 - sin(c + d*x)), 4*(1 - sin(c + d*x)))*cos(c + d*x))/(d*sqrt(1 + sin(c + d*x)))), x, 2),
+((-3 - 4*sin(c + d*x))^n, (sqrt(2)*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -n, 1//2, 3//2, 4*(1 + sin(c + d*x)), (1//2)*(1 + sin(c + d*x)))*cos(c + d*x))/(d*sqrt(1 - sin(c + d*x))), x, 2),
+
+((-4 + 3*sin(c + d*x))^n, (sqrt(2)*7^n*SymbolicIntegration.appell_f1(1//2, -n, 1//2, 3//2, (3//7)*(1 + sin(c + d*x)), (1//2)*(1 + sin(c + d*x)))*cos(c + d*x)*(-4 + 3*sin(c + d*x))^n)/((4 - 3*sin(c + d*x))^n*(d*sqrt(1 - sin(c + d*x)))), x, 3),
+((-4 - 3*sin(c + d*x))^n, -((SymbolicIntegration.appell_f1(1 + n, 1//2, 1//2, 2 + n, 4 + 3*sin(c + d*x), (1//7)*(4 + 3*sin(c + d*x)))*cos(c + d*x)*(-4 - 3*sin(c + d*x))^(1 + n)*sqrt(-1 - sin(c + d*x)))/(sqrt(7)*d*(1 + n)*sqrt(1 - sin(c + d*x))*(1 + sin(c + d*x)))), x, 3),
+]
+# Total integrals translated: 72
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1.1 (a+b sin)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1.1 (a+b sin)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..52af0f92
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1.1 (a+b sin)^n.m	
@@ -0,0 +1,151 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 4, -((256*a^4*Cos[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (64*a^3*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(35*d) - (24*a^2*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(35*d) - (2*a*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(7*d)}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 3, -((64*a^3*Cos[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (16*a^2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(15*d) - (2*a*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*d)}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 2, -((8*a^2*Cos[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (2*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*d)}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(1/2), x, 1, -((2*a*Cos[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]))}
+{1/(a + a*Sin[c + d*x])^(1/2), x, 2, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d))}
+{1/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 3, -(ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])]/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - Cos[c + d*x]/(2*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - Cos[c + d*x]/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (3*Cos[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[c+d x])^(n/3)*)
+
+
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3), x, 2, -((2*2^(5/6)*a*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(5/6), 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3))/(d*(1 + Sin[c + d*x])^(5/6)))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3), x, 2, -((2*2^(1/6)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3))/(d*(1 + Sin[c + d*x])^(7/6)))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3), x, 2, -((2^(5/6)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3))/(d*(1 + Sin[c + d*x])^(5/6)))}
+{1/(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3), x, 2, -((2^(1/6)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])])/(d*(1 + Sin[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3)))}
+{1/(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3), x, 2, -((Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(1/6))/(2^(1/6)*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3)))}
+{1/(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3), x, 2, -((Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 11/6, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])])/(2^(5/6)*a*d*(1 + Sin[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(a + a*Sin[c + d*x])^n, x, 2, -((2^(1/2 + n)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/d)}
+{(a - a*Sin[c + d*x])^n, x, 2, (2^(1/2 + n)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 + Sin[c + d*x])]*(1 - Sin[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a - a*Sin[c + d*x])^n)/d}
+
+
+{(2 + 2*Sin[c + d*x])^n, x, 1, -((2^(1/2 + 2*n)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])])/(d*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]))}
+{(2 - 2*Sin[c + d*x])^n, x, 1, (2^(1/2 + 2*n)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 + Sin[c + d*x])])/(d*Sqrt[1 - Sin[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[c+d x])^n*)
+
+
+{1/(5 + 3*Sin[c + d*x]), x, 1, x/4 + ArcTan[Cos[c + d*x]/(3 + Sin[c + d*x])]/(2*d)}
+{1/(5 + 3*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (5*x)/64 + (5*ArcTan[Cos[c + d*x]/(3 + Sin[c + d*x])])/(32*d) + (3*Cos[c + d*x])/(16*d*(5 + 3*Sin[c + d*x]))}
+{1/(5 + 3*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (59*x)/2048 + (59*ArcTan[Cos[c + d*x]/(3 + Sin[c + d*x])])/(1024*d) + (3*Cos[c + d*x])/(32*d*(5 + 3*Sin[c + d*x])^2) + (45*Cos[c + d*x])/(512*d*(5 + 3*Sin[c + d*x]))}
+{1/(5 + 3*Sin[c + d*x])^4, x, 5, (385*x)/32768 + (385*ArcTan[Cos[c + d*x]/(3 + Sin[c + d*x])])/(16384*d) + Cos[c + d*x]/(16*d*(5 + 3*Sin[c + d*x])^3) + (25*Cos[c + d*x])/(512*d*(5 + 3*Sin[c + d*x])^2) + (311*Cos[c + d*x])/(8192*d*(5 + 3*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{1/(5 - 3*Sin[c + d*x]), x, 1, x/4 - ArcTan[Cos[c + d*x]/(3 - Sin[c + d*x])]/(2*d)}
+{1/(5 - 3*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (5*x)/64 - (5*ArcTan[Cos[c + d*x]/(3 - Sin[c + d*x])])/(32*d) - (3*Cos[c + d*x])/(16*d*(5 - 3*Sin[c + d*x]))}
+{1/(5 - 3*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (59*x)/2048 - (59*ArcTan[Cos[c + d*x]/(3 - Sin[c + d*x])])/(1024*d) - (3*Cos[c + d*x])/(32*d*(5 - 3*Sin[c + d*x])^2) - (45*Cos[c + d*x])/(512*d*(5 - 3*Sin[c + d*x]))}
+{1/(5 - 3*Sin[c + d*x])^4, x, 5, (385*x)/32768 - (385*ArcTan[Cos[c + d*x]/(3 - Sin[c + d*x])])/(16384*d) - Cos[c + d*x]/(16*d*(5 - 3*Sin[c + d*x])^3) - (25*Cos[c + d*x])/(512*d*(5 - 3*Sin[c + d*x])^2) - (311*Cos[c + d*x])/(8192*d*(5 - 3*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{1/(-5 + 3*Sin[c + d*x]), x, 1, -(x/4) + ArcTan[Cos[c + d*x]/(3 - Sin[c + d*x])]/(2*d)}
+{1/(-5 + 3*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (5*x)/64 - (5*ArcTan[Cos[c + d*x]/(3 - Sin[c + d*x])])/(32*d) - (3*Cos[c + d*x])/(16*d*(5 - 3*Sin[c + d*x]))}
+{1/(-5 + 3*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((59*x)/2048) + (59*ArcTan[Cos[c + d*x]/(3 - Sin[c + d*x])])/(1024*d) + (3*Cos[c + d*x])/(32*d*(5 - 3*Sin[c + d*x])^2) + (45*Cos[c + d*x])/(512*d*(5 - 3*Sin[c + d*x]))}
+{1/(-5 + 3*Sin[c + d*x])^4, x, 5, (385*x)/32768 - (385*ArcTan[Cos[c + d*x]/(3 - Sin[c + d*x])])/(16384*d) - Cos[c + d*x]/(16*d*(5 - 3*Sin[c + d*x])^3) - (25*Cos[c + d*x])/(512*d*(5 - 3*Sin[c + d*x])^2) - (311*Cos[c + d*x])/(8192*d*(5 - 3*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{1/(-5 - 3*Sin[c + d*x]), x, 1, -(x/4) - ArcTan[Cos[c + d*x]/(3 + Sin[c + d*x])]/(2*d)}
+{1/(-5 - 3*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (5*x)/64 + (5*ArcTan[Cos[c + d*x]/(3 + Sin[c + d*x])])/(32*d) + (3*Cos[c + d*x])/(16*d*(5 + 3*Sin[c + d*x]))}
+{1/(-5 - 3*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((59*x)/2048) - (59*ArcTan[Cos[c + d*x]/(3 + Sin[c + d*x])])/(1024*d) - (3*Cos[c + d*x])/(32*d*(5 + 3*Sin[c + d*x])^2) - (45*Cos[c + d*x])/(512*d*(5 + 3*Sin[c + d*x]))}
+{1/(-5 - 3*Sin[c + d*x])^4, x, 5, (385*x)/32768 + (385*ArcTan[Cos[c + d*x]/(3 + Sin[c + d*x])])/(16384*d) + Cos[c + d*x]/(16*d*(5 + 3*Sin[c + d*x])^3) + (25*Cos[c + d*x])/(512*d*(5 + 3*Sin[c + d*x])^2) + (311*Cos[c + d*x])/(8192*d*(5 + 3*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{1/(3 + 5*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Log[3*Cos[(1/2)*(c + d*x)] + Sin[(1/2)*(c + d*x)]]/(4*d)) + Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] + 3*Sin[(1/2)*(c + d*x)]]/(4*d)}
+{1/(3 + 5*Sin[c + d*x])^2, x, 6, (3*Log[3*Cos[(1/2)*(c + d*x)] + Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(64*d) - (3*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] + 3*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(64*d) - (5*Cos[c + d*x])/(16*d*(3 + 5*Sin[c + d*x]))}
+{1/(3 + 5*Sin[c + d*x])^3, x, 7, -((43*Log[3*Cos[(1/2)*(c + d*x)] + Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(2048*d)) + (43*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] + 3*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(2048*d) - (5*Cos[c + d*x])/(32*d*(3 + 5*Sin[c + d*x])^2) + (45*Cos[c + d*x])/(512*d*(3 + 5*Sin[c + d*x]))}
+{1/(3 + 5*Sin[c + d*x])^4, x, 8, (279*Log[3*Cos[(1/2)*(c + d*x)] + Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(32768*d) - (279*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] + 3*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(32768*d) - (5*Cos[c + d*x])/(48*d*(3 + 5*Sin[c + d*x])^3) + (25*Cos[c + d*x])/(512*d*(3 + 5*Sin[c + d*x])^2) - (995*Cos[c + d*x])/(24576*d*(3 + 5*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{1/(3 - 5*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] - 3*Sin[(1/2)*(c + d*x)]]/(4*d)) + Log[3*Cos[(1/2)*(c + d*x)] - Sin[(1/2)*(c + d*x)]]/(4*d)}
+{1/(3 - 5*Sin[c + d*x])^2, x, 6, (3*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] - 3*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(64*d) - (3*Log[3*Cos[(1/2)*(c + d*x)] - Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(64*d) + (5*Cos[c + d*x])/(16*d*(3 - 5*Sin[c + d*x]))}
+{1/(3 - 5*Sin[c + d*x])^3, x, 7, -((43*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] - 3*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(2048*d)) + (43*Log[3*Cos[(1/2)*(c + d*x)] - Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(2048*d) + (5*Cos[c + d*x])/(32*d*(3 - 5*Sin[c + d*x])^2) - (45*Cos[c + d*x])/(512*d*(3 - 5*Sin[c + d*x]))}
+{1/(3 - 5*Sin[c + d*x])^4, x, 8, (279*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] - 3*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(32768*d) - (279*Log[3*Cos[(1/2)*(c + d*x)] - Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(32768*d) + (5*Cos[c + d*x])/(48*d*(3 - 5*Sin[c + d*x])^3) - (25*Cos[c + d*x])/(512*d*(3 - 5*Sin[c + d*x])^2) + (995*Cos[c + d*x])/(24576*d*(3 - 5*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{1/(-3 + 5*Sin[c + d*x]), x, 4, Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] - 3*Sin[(1/2)*(c + d*x)]]/(4*d) - Log[3*Cos[(1/2)*(c + d*x)] - Sin[(1/2)*(c + d*x)]]/(4*d)}
+{1/(-3 + 5*Sin[c + d*x])^2, x, 6, (3*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] - 3*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(64*d) - (3*Log[3*Cos[(1/2)*(c + d*x)] - Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(64*d) + (5*Cos[c + d*x])/(16*d*(3 - 5*Sin[c + d*x]))}
+{1/(-3 + 5*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (43*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] - 3*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(2048*d) - (43*Log[3*Cos[(1/2)*(c + d*x)] - Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(2048*d) - (5*Cos[c + d*x])/(32*d*(3 - 5*Sin[c + d*x])^2) + (45*Cos[c + d*x])/(512*d*(3 - 5*Sin[c + d*x]))}
+{1/(-3 + 5*Sin[c + d*x])^4, x, 8, (279*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] - 3*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(32768*d) - (279*Log[3*Cos[(1/2)*(c + d*x)] - Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(32768*d) + (5*Cos[c + d*x])/(48*d*(3 - 5*Sin[c + d*x])^3) - (25*Cos[c + d*x])/(512*d*(3 - 5*Sin[c + d*x])^2) + (995*Cos[c + d*x])/(24576*d*(3 - 5*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{1/(-3 - 5*Sin[c + d*x]), x, 4, Log[3*Cos[(1/2)*(c + d*x)] + Sin[(1/2)*(c + d*x)]]/(4*d) - Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] + 3*Sin[(1/2)*(c + d*x)]]/(4*d)}
+{1/(-3 - 5*Sin[c + d*x])^2, x, 6, (3*Log[3*Cos[(1/2)*(c + d*x)] + Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(64*d) - (3*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] + 3*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(64*d) - (5*Cos[c + d*x])/(16*d*(3 + 5*Sin[c + d*x]))}
+{1/(-3 - 5*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (43*Log[3*Cos[(1/2)*(c + d*x)] + Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(2048*d) - (43*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] + 3*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(2048*d) + (5*Cos[c + d*x])/(32*d*(3 + 5*Sin[c + d*x])^2) - (45*Cos[c + d*x])/(512*d*(3 + 5*Sin[c + d*x]))}
+{1/(-3 - 5*Sin[c + d*x])^4, x, 8, (279*Log[3*Cos[(1/2)*(c + d*x)] + Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(32768*d) - (279*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] + 3*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(32768*d) - (5*Cos[c + d*x])/(48*d*(3 + 5*Sin[c + d*x])^3) + (25*Cos[c + d*x])/(512*d*(3 + 5*Sin[c + d*x])^2) - (995*Cos[c + d*x])/(24576*d*(3 + 5*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 8, -((2*b*(71*a^2 + 25*b^2)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(105*d)) - (24*a*b*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(35*d) - (2*b*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(7*d) + (32*a*(11*a^2 + 13*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(105*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(71*a^4 - 46*a^2*b^2 - 25*b^4)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(105*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((16*a*b*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(15*d)) - (2*b*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*d) + (2*(23*a^2 + 9*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(15*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (16*a*(a^2 - b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(15*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((2*b*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*d)) + (8*a*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(1/2), x, 2, (2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])}
+{1/(a + b*Sin[c + d*x])^(1/2), x, 2, (2*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{1/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*b*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])}
+{1/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*b*Cos[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (8*a*b*Cos[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (8*a*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (2*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{1/(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 8, (2*b*Cos[c + d*x])/(5*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2)) + (16*a*b*Cos[c + d*x])/(15*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(23*a^2 + 9*b^2)*Cos[c + d*x])/(15*(a^2 - b^2)^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (2*(23*a^2 + 9*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(15*(a^2 - b^2)^3*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (16*a*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(15*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[c+d x])^(n/3)*)
+
+
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(4/3), x, 3, -((Sqrt[2]*(a + b)*AppellF1[1/2, 1/2, -(4/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x]), (b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b)]*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1/3))/(d*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]*((a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(1/3)))}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(2/3), x, 3, -((Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x]), (b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b)]*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(2/3))/(d*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]*((a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(2/3)))}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(1/3), x, 3, -((Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x]), (b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b)]*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1/3))/(d*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]*((a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(1/3)))}
+{1/(a + b*Sin[c + d*x])^(1/3), x, 3, -((Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x]), (b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b)]*Cos[c + d*x]*((a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(1/3))/(d*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1/3)))}
+{1/(a + b*Sin[c + d*x])^(2/3), x, 3, -((Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, 2/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x]), (b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b)]*Cos[c + d*x]*((a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(2/3))/(d*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^(2/3)))}
+{1/(a + b*Sin[c + d*x])^(4/3), x, 3, -((Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, 4/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x]), (b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b)]*Cos[c + d*x]*((a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(1/3))/((a + b)*d*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1/3)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(a + b*Sin[c + d*x])^n, x, 3, -((Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x]), (b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b)]*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^n)/(((a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^n*(d*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]])))}
+
+
+{(3 + 4*Sin[c + d*x])^n, x, 2, -((Sqrt[2]*7^n*AppellF1[1/2, 1/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x]), (4/7)*(1 - Sin[c + d*x])]*Cos[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]))}
+{(3 - 4*Sin[c + d*x])^n, x, 2, (Sqrt[2]*7^n*AppellF1[1/2, -n, 1/2, 3/2, (4/7)*(1 + Sin[c + d*x]), (1/2)*(1 + Sin[c + d*x])]*Cos[c + d*x])/(d*Sqrt[1 - Sin[c + d*x]])}
+
+{(4 + 3*Sin[c + d*x])^n, x, 2, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 + Sin[c + d*x]), -3*(1 + Sin[c + d*x])]*Cos[c + d*x])/(d*Sqrt[1 - Sin[c + d*x]])}
+{(4 - 3*Sin[c + d*x])^n, x, 2, (Sqrt[2]*7^n*AppellF1[1/2, -n, 1/2, 3/2, (3/7)*(1 + Sin[c + d*x]), (1/2)*(1 + Sin[c + d*x])]*Cos[c + d*x])/(d*Sqrt[1 - Sin[c + d*x]])}
+
+{(-3 + 4*Sin[c + d*x])^n, x, 2, -((Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x]), 4*(1 - Sin[c + d*x])]*Cos[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]))}
+{(-3 - 4*Sin[c + d*x])^n, x, 2, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2, -n, 1/2, 3/2, 4*(1 + Sin[c + d*x]), (1/2)*(1 + Sin[c + d*x])]*Cos[c + d*x])/(d*Sqrt[1 - Sin[c + d*x]])}
+
+{(-4 + 3*Sin[c + d*x])^n, x, 3, (Sqrt[2]*7^n*AppellF1[1/2, -n, 1/2, 3/2, (3/7)*(1 + Sin[c + d*x]), (1/2)*(1 + Sin[c + d*x])]*Cos[c + d*x]*(-4 + 3*Sin[c + d*x])^n)/((4 - 3*Sin[c + d*x])^n*(d*Sqrt[1 - Sin[c + d*x]]))}
+{(-4 - 3*Sin[c + d*x])^n, x, 3, -((AppellF1[1 + n, 1/2, 1/2, 2 + n, 4 + 3*Sin[c + d*x], (1/7)*(4 + 3*Sin[c + d*x])]*Cos[c + d*x]*(-4 - 3*Sin[c + d*x])^(1 + n)*Sqrt[-1 - Sin[c + d*x]])/(Sqrt[7]*d*(1 + n)*Sqrt[1 - Sin[c + d*x]]*(1 + Sin[c + d*x])))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1.2 (g cos)^p (a+b sin)^m.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1.2 (g cos)^p (a+b sin)^m.m
new file mode 100644
index 00000000..7d55e785
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1.2 (g cos)^p (a+b sin)^m.m	
@@ -0,0 +1,1003 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m when a^2-b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^p (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, (8*(a + a*Sin[c + d*x])^5)/(5*a^4*d) - (2*(a + a*Sin[c + d*x])^6)/(a^5*d) + (6*(a + a*Sin[c + d*x])^7)/(7*a^6*d) - (a + a*Sin[c + d*x])^8/(8*a^7*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, (5*a*x)/16 - (a*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (5*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (5*a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, (a + a*Sin[c + d*x])^4/(a^3*d) - (4*(a + a*Sin[c + d*x])^5)/(5*a^4*d) + (a + a*Sin[c + d*x])^6/(6*a^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (3*a*x)/8 - (a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, (2*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(3*a^2*d) - (a + a*Sin[c + d*x])^4/(4*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, (a*x)/2 - (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 2, (a + a*Sin[c + d*x])^2/(2*a*d), (a*Sin[c + d*x])/d + (a*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 2, -((a*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, (a*Sec[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + a^2/(2*d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, (a*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (3*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + a^3/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + a^2/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a^2/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 6, (45*a^2*x)/128 - (9*a^2*Cos[c + d*x]^7)/(56*d) + (45*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (15*a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*d) + (3*a^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(16*d) - (Cos[c + d*x]^7*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (4*(a + a*Sin[c + d*x])^5)/(5*a^3*d) - (2*(a + a*Sin[c + d*x])^6)/(3*a^4*d) + (a + a*Sin[c + d*x])^7/(7*a^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 5, (7*a^2*x)/16 - (7*a^2*Cos[c + d*x]^5)/(30*d) + (7*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (7*a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) - (Cos[c + d*x]^5*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (a + a*Sin[c + d*x])^4/(2*a^2*d) - (a + a*Sin[c + d*x])^5/(5*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (5*a^2*x)/8 - (5*a^2*Cos[c + d*x]^3)/(12*d) + (5*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 2, (a + a*Sin[c + d*x])^3/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (-2*a^2*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d - (a^2*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (-a^2)*x + (2*a^4*Cos[c + d*x])/(d*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 2, a^3/(d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (a^4*Cos[c + d*x])/(3*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (a^4*Cos[c + d*x])/(3*d*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) + a^4/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + a^3/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (2*Sec[c + d*x]^5*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))/(5*d) + (3*a^2*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a^2*Tan[c + d*x]^3)/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) + a^5/(12*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + a^4/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (3*a^3)/(16*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a^3/(16*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^8*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (2*Sec[c + d*x]^7*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))/(7*d) + (5*a^2*Tan[c + d*x])/(7*d) + (10*a^2*Tan[c + d*x]^3)/(21*d) + (a^2*Tan[c + d*x]^5)/(7*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (55*a^3*x)/128 - (11*a^3*Cos[c + d*x]^7)/(56*d) + (55*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (55*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*d) + (11*a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*d) - (a*Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(9*d) - (11*Cos[c + d*x]^7*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))/(72*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (2*(a + a*Sin[c + d*x])^6)/(3*a^3*d) - (4*(a + a*Sin[c + d*x])^7)/(7*a^4*d) + (a + a*Sin[c + d*x])^8/(8*a^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 6, (9*a^3*x)/16 - (3*a^3*Cos[c + d*x]^5)/(10*d) + (9*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (3*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(7*d) - (3*Cos[c + d*x]^5*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))/(14*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (2*(a + a*Sin[c + d*x])^5)/(5*a^2*d) - (a + a*Sin[c + d*x])^6/(6*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 5, (7*a^3*x)/8 - (7*a^3*Cos[c + d*x]^3)/(12*d) + (7*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(5*d) - (7*Cos[c + d*x]^3*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))/(20*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 2, (a + a*Sin[c + d*x])^4/(4*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, -((4*a^3*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d) - (3*a^3*Sin[c + d*x])/d - (a^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -3*a^3*x + (3*a^3*Cos[c + d*x])/d + (2*a^5*Cos[c + d*x]^3)/(d*(a - a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (a^3*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d + (2*a^4)/(d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 2, (a^6*Cos[c + d*x]^3)/(3*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 2, a^5/(2*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (a^6*Cos[c + d*x])/(5*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (2*a^5*Cos[c + d*x])/(15*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (2*a^6*Cos[c + d*x])/(15*d*(a^3 - a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + a^6/(6*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + a^5/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + a^4/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^8*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (3*a^3*Sec[c + d*x]^5)/(35*d) + (2*a*Sec[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(7*d) + (3*a^3*Tan[c + d*x])/(7*d) + (2*a^3*Tan[c + d*x]^3)/(7*d) + (3*a^3*Tan[c + d*x]^5)/(35*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 3, (4*(a + a*Sin[c + d*x])^11)/(11*a^3*d) - (a + a*Sin[c + d*x])^12/(3*a^4*d) + (a + a*Sin[c + d*x])^13/(13*a^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 11, (4199*a^8*x)/1024 - (4199*a^8*Cos[c + d*x]^5)/(1920*d) + (4199*a^8*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(1024*d) + (4199*a^8*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(1536*d) - (323*a^3*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^5)/(1320*d) - (19*a^2*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^6)/(132*d) - (a*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^7)/(12*d) - (4199*a^2*Cos[c + d*x]^5*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^3)/(6336*d) - (323*Cos[c + d*x]^5*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^4)/(792*d) - (4199*Cos[c + d*x]^5*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x])^2)/(4032*d) - (4199*Cos[c + d*x]^5*(a^8 + a^8*Sin[c + d*x]))/(2688*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 3, (a + a*Sin[c + d*x])^10/(5*a^2*d) - (a + a*Sin[c + d*x])^11/(11*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 10, (2431*a^8*x)/256 - (2431*a^8*Cos[c + d*x]^3)/(384*d) + (2431*a^8*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(256*d) - (17*a^3*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^5)/(48*d) - (17*a^2*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^6)/(90*d) - (a*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^7)/(10*d) - (2431*a^2*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^3)/(2016*d) - (221*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^4)/(336*d) - (2431*Cos[c + d*x]^3*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x])^2)/(1120*d) - (2431*Cos[c + d*x]^3*(a^8 + a^8*Sin[c + d*x]))/(640*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 2, (a + a*Sin[c + d*x])^9/(9*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 3, (-128*a^8*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d - (64*a^8*Sin[c + d*x])/d - (16*a^5*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(3*d) - (4*a^3*(a + a*Sin[c + d*x])^5)/(5*d) - (a^2*(a + a*Sin[c + d*x])^6)/(3*d) - (a*(a + a*Sin[c + d*x])^7)/(7*d) - (2*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^4)/d - (16*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x])^2)/d}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 9, -((3003*a^8*x)/16) + (1001*a^8*Cos[c + d*x]^5)/(10*d) - (3003*a^8*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) - (1001*a^8*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(8*d) + (2*a^15*Cos[c + d*x]^13)/(d*(a - a*Sin[c + d*x])^7) + (26*a^13*Cos[c + d*x]^11)/(d*(a - a*Sin[c + d*x])^5) + (286*a^14*Cos[c + d*x]^9)/(3*d*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x])^3) + (143*a^16*Cos[c + d*x]^7)/(2*d*(a^8 - a^8*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 3, (192*a^8*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d + (129*a^8*Sin[c + d*x])/d + (36*a^8*Sin[c + d*x]^2)/d + (10*a^8*Sin[c + d*x]^3)/d + (2*a^8*Sin[c + d*x]^4)/d + (a^8*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (64*a^9)/(d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 8, (1155*a^8*x)/8 - (385*a^8*Cos[c + d*x]^3)/(4*d) + (1155*a^8*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (2*a^15*Cos[c + d*x]^11)/(3*d*(a - a*Sin[c + d*x])^7) - (22*a^13*Cos[c + d*x]^9)/(3*d*(a - a*Sin[c + d*x])^5) - (66*a^14*Cos[c + d*x]^7)/(d*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x])^3) - (231*a^16*Cos[c + d*x]^5)/(4*d*(a^8 - a^8*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 3, (-80*a^8*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d - (31*a^8*Sin[c + d*x])/d - (4*a^8*Sin[c + d*x]^2)/d - (a^8*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (16*a^10)/(d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - (80*a^9)/(d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (3*x)/(8*a) + Cos[c + d*x]^5/(5*a*d) + (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, -((2*(a - a*Sin[c + d*x])^3)/(3*a^4*d)) + (a - a*Sin[c + d*x])^4/(4*a^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, x/(2*a) + Cos[c + d*x]^3/(3*a*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 2, Sin[c + d*x]/(a*d) - Sin[c + d*x]^2/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 2, x/a + Cos[c + d*x]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 2, Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(2*a*d) - 1/(2*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, -(Sec[c + d*x]/(3*d*(a + a*Sin[c + d*x]))) + (2*Tan[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*a*d) + 1/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 1/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, -(Sec[c + d*x]^3/(5*d*(a + a*Sin[c + d*x]))) + (4*Tan[c + d*x])/(5*a*d) + (4*Tan[c + d*x]^3)/(15*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*a*d) + a/(32*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + 1/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a^2/(24*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (3*a)/(32*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 3/(16*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^8/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 5, (7*x)/(16*a^2) + (7*Cos[c + d*x]^5)/(30*a^2*d) + (7*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d) + (7*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*a^2*d) + Cos[c + d*x]^7/(6*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -((a - a*Sin[c + d*x])^4/(2*a^6*d)) + (a - a*Sin[c + d*x])^5/(5*a^7*d)}
+{Cos[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (5*x)/(8*a^2) + (5*Cos[c + d*x]^3)/(12*a^2*d) + (5*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^2*d) + Cos[c + d*x]^5/(4*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 2, -(a - a*Sin[c + d*x])^3/(3*a^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (3*x)/(2*a^2) + (3*Cos[c + d*x])/(2*a^2*d) + Cos[c + d*x]^3/(2*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (2*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - Sin[c + d*x]/(a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 2, -(x/a^2) - (2*Cos[c + d*x])/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 2, -(1/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(4*a^2*d) - 1/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 1/(4*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -(Sec[c + d*x]/(5*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2)) - Sec[c + d*x]/(5*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])) + (2*Tan[c + d*x])/(5*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(4*a^2*d) - a/(12*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 1/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 1/(16*d*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x])) - 3/(16*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -(Sec[c + d*x]^3/(7*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2)) - Sec[c + d*x]^3/(7*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])) + (4*Tan[c + d*x])/(7*a^2*d) + (4*Tan[c + d*x]^3)/(21*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (15*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(64*a^2*d) + 1/(64*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - a^2/(32*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - a/(16*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 3/(32*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 5/(64*d*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x])) - 5/(32*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^8/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 5, (7*x)/(8*a^3) + (7*Cos[c + d*x]^5)/(15*a^3*d) + (7*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^3*d) + (7*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(12*a^3*d) + (2*Cos[c + d*x]^7)/(3*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 2, -((a - a*Sin[c + d*x])^4/(4*a^7*d))}
+{Cos[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (5*x)/(2*a^3) + (5*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (5*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) + (2*Cos[c + d*x]^5)/(a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (4*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (3*Sin[c + d*x])/(a^3*d) + Sin[c + d*x]^2/(2*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (-3*x)/a^3 - (3*Cos[c + d*x])/(a^3*d) - (2*Cos[c + d*x]^3)/(a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, -(Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a^3*d)) - 2/(d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 1, -Cos[c + d*x]^3/(3*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 2, -1/(2*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(8*a^3*d) - 1/(6*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 1/(8*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 1/(8*d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 5, -(Sec[c + d*x]/(7*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3)) - (4*Sec[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - (4*Sec[c + d*x])/(35*d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x])) + (8*Tan[c + d*x])/(35*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(32*a^3*d) - a/(16*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - 1/(12*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 3/(32*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 1/(32*d*(a^3 - a^3*Sin[c + d*x])) - 1/(8*d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 5, -(Sec[c + d*x]^3/(9*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3)) - (2*Sec[c + d*x]^3)/(21*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - (2*Sec[c + d*x]^3)/(21*d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x])) + (8*Tan[c + d*x])/(21*a^3*d) + (8*Tan[c + d*x]^3)/(63*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (21*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*a^3*d) + 1/(128*a*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - a^2/(40*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) - (3*a)/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - 1/(16*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 5/(64*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 3/(64*d*(a^3 - a^3*Sin[c + d*x])) - 15/(128*d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^8/(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 5, x/a^8 - (2*Cos[c + d*x]^7)/(7*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^7) + (2*Cos[c + d*x]^5)/(5*a^3*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) - (2*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^2*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^3) + (2*Cos[c + d*x])/(d*(a^8 + a^8*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 2, -((a - a*Sin[c + d*x])^4/(8*d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x])^4))}
+{Cos[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 2, -(Cos[c + d*x]^7/(9*d*(a + a*Sin[c + d*x])^8)) - Cos[c + d*x]^7/(63*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^7)}
+{Cos[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 3, -4/(5*a^3*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) - 1/(3*a^5*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + 1/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^4)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 4, -Cos[c + d*x]^5/(11*d*(a + a*Sin[c + d*x])^8) - Cos[c + d*x]^5/(33*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^7) - (2*Cos[c + d*x]^5)/(231*a^2*d*(a + a*Sin[c + d*x])^6) - (2*Cos[c + d*x]^5)/(1155*a^3*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 3, -1/(3*a^2*d*(a + a*Sin[c + d*x])^6) + 1/(5*a^3*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 6, -Cos[c + d*x]^3/(13*d*(a + a*Sin[c + d*x])^8) - (5*Cos[c + d*x]^3)/(143*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^7) - (20*Cos[c + d*x]^3)/(1287*a^2*d*(a + a*Sin[c + d*x])^6) - (20*Cos[c + d*x]^3)/(3003*a^3*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) - (8*Cos[c + d*x]^3)/(3003*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^4) - (8*Cos[c + d*x]^3)/(9009*a^2*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 2, -1/(7*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^7)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 4, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(256*a^8*d) - 1/(16*d*(a + a*Sin[c + d*x])^8) - 1/(28*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^7) - 1/(48*a^2*d*(a + a*Sin[c + d*x])^6) - 1/(80*a^3*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) - 1/(192*a^5*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 1/(128*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^4) - 1/(256*d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x])^2) - 1/(256*d*(a^8 + a^8*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 10, -(Sec[c + d*x]/(17*d*(a + a*Sin[c + d*x])^8)) - (3*Sec[c + d*x])/(85*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^7) - (24*Sec[c + d*x])/(1105*a^2*d*(a + a*Sin[c + d*x])^6) - (168*Sec[c + d*x])/(12155*a^3*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) - (112*Sec[c + d*x])/(12155*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^4) - (16*Sec[c + d*x])/(2431*a^2*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^3) - (64*Sec[c + d*x])/(12155*d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x])^2) - (64*Sec[c + d*x])/(12155*d*(a^8 + a^8*Sin[c + d*x])) + (128*Tan[c + d*x])/(12155*a^8*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 4, (5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(512*a^8*d) - a/(36*d*(a + a*Sin[c + d*x])^9) - 1/(32*d*(a + a*Sin[c + d*x])^8) - 3/(112*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^7) - 1/(48*a^2*d*(a + a*Sin[c + d*x])^6) - 1/(64*a^3*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) - 7/(768*a^5*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 3/(256*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^4) - 1/(128*d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x])^2) + 1/(1024*d*(a^8 - a^8*Sin[c + d*x])) - 9/(1024*d*(a^8 + a^8*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 10, -(Sec[c + d*x]^3/(19*d*(a + a*Sin[c + d*x])^8)) - (11*Sec[c + d*x]^3)/(323*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^7) - (22*Sec[c + d*x]^3)/(969*a^2*d*(a + a*Sin[c + d*x])^6) - (66*Sec[c + d*x]^3)/(4199*a^3*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) - (48*Sec[c + d*x]^3)/(4199*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^4) - (112*Sec[c + d*x]^3)/(12597*a^2*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^3) - (32*Sec[c + d*x]^3)/(4199*d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x])^2) - (32*Sec[c + d*x]^3)/(4199*d*(a^8 + a^8*Sin[c + d*x])) + (128*Tan[c + d*x])/(4199*a^8*d) + (128*Tan[c + d*x]^3)/(12597*a^8*d)}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 4, (33*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2048*a^8*d) - a^2/(80*d*(a + a*Sin[c + d*x])^10) - a/(48*d*(a + a*Sin[c + d*x])^9) - 3/(128*d*(a + a*Sin[c + d*x])^8) - 5/(224*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^7) - 5/(256*a^2*d*(a + a*Sin[c + d*x])^6) - 21/(1280*a^3*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) - 3/(256*a^5*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 7/(512*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^4) + 1/(4096*d*(a^4 - a^4*Sin[c + d*x])^2) - 45/(4096*d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x])^2) + 11/(4096*d*(a^8 - a^8*Sin[c + d*x])) - 55/(4096*d*(a^8 + a^8*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^p (a+a Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^7*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, (16*(a + a*Sin[c + d*x])^(9/2))/(9*a^4*d) - (24*(a + a*Sin[c + d*x])^(11/2))/(11*a^5*d) + (12*(a + a*Sin[c + d*x])^(13/2))/(13*a^6*d) - (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(15/2))/(15*a^7*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 4, -((256*a^4*Cos[c + d*x]^7)/(3003*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))) - (64*a^3*Cos[c + d*x]^7)/(429*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (24*a^2*Cos[c + d*x]^7)/(143*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (2*a*Cos[c + d*x]^7)/(13*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^5*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, (8*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*a^3*d) - (8*(a + a*Sin[c + d*x])^(9/2))/(9*a^4*d) + (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(11/2))/(11*a^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, (-64*a^3*Cos[c + d*x]^5)/(315*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (16*a^2*Cos[c + d*x]^5)/(63*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (2*a*Cos[c + d*x]^5)/(9*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, (4*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*a^2*d) - (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 2, (-8*a^2*Cos[c + d*x]^3)/(15*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (2*a*Cos[c + d*x]^3)/(5*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 2, (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, (Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, -((Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*d)) + (Sec[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 5, (3*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(4*Sqrt[2]*d) - (3*a)/(4*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 5, -((5*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(8*Sqrt[2]*d)) - (5*a^2*Cos[c + d*x])/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (5*a*Sec[c + d*x])/(6*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 7, (35*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(64*Sqrt[2]*d) - (35*a^2)/(96*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (35*a)/(64*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (7*a*Sec[c + d*x]^2)/(16*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (Sec[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 7, -((63*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(128*Sqrt[2]*d)) - (63*a^2*Cos[c + d*x])/(128*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (21*a^2*Sec[c + d*x])/(80*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (21*a*Sec[c + d*x])/(32*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (3*a*Sec[c + d*x]^3)/(10*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (Sec[c + d*x]^5*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(5*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 3, (16*(a + a*Sin[c + d*x])^(11/2))/(11*a^4*d) - (24*(a + a*Sin[c + d*x])^(13/2))/(13*a^5*d) + (4*(a + a*Sin[c + d*x])^(15/2))/(5*a^6*d) - (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(17/2))/(17*a^7*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((4096*a^5*Cos[c + d*x]^7)/(45045*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))) - (1024*a^4*Cos[c + d*x]^7)/(6435*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (128*a^3*Cos[c + d*x]^7)/(715*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (32*a^2*Cos[c + d*x]^7)/(195*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*a*Cos[c + d*x]^7*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 3, (8*(a + a*Sin[c + d*x])^(9/2))/(9*a^3*d) - (8*(a + a*Sin[c + d*x])^(11/2))/(11*a^4*d) + (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(13/2))/(13*a^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 4, (-256*a^4*Cos[c + d*x]^5)/(1155*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (64*a^3*Cos[c + d*x]^5)/(231*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (8*a^2*Cos[c + d*x]^5)/(33*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*a*Cos[c + d*x]^5*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 3, (4*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*a^2*d) - (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(9/2))/(9*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 3, (-64*a^3*Cos[c + d*x]^3)/(105*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (16*a^2*Cos[c + d*x]^3)/(35*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*a*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 2, (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*Sqrt[2]*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (2*a*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 1, (2*a*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 4, (a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(2*Sqrt[2]*d) + (Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*d)) + (a*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(2*d) + (Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, (15*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(32*Sqrt[2]*d) - (15*a^2)/(32*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (5*a*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(16*d) + (Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((7*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*d)) - (7*a^3*Cos[c + d*x])/(16*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (7*a^2*Sec[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (7*a*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(30*d) + (Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 3, (8*(a + a*Sin[c + d*x])^(11/2))/(11*a^3*d) - (8*(a + a*Sin[c + d*x])^(13/2))/(13*a^4*d) + (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(15/2))/(15*a^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 5, (-4096*a^5*Cos[c + d*x]^5)/(15015*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (1024*a^4*Cos[c + d*x]^5)/(3003*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (128*a^3*Cos[c + d*x]^5)/(429*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (32*a^2*Cos[c + d*x]^5*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(143*d) - (2*a*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(13*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 3, (4*(a + a*Sin[c + d*x])^(9/2))/(9*a^2*d) - (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(11/2))/(11*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 4, (-256*a^4*Cos[c + d*x]^3)/(315*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (64*a^3*Cos[c + d*x]^3)/(105*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (8*a^2*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(21*d) - (2*a*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 2, (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 5, (4*Sqrt[2]*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (4*a^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d - (2*a*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 2, (8*a^2*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d - (2*a*Sec[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*d)) + (a*Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 1, (2*a*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 5, (3*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(16*Sqrt[2]*d) + (3*a*Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(16*d) + (Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 5, -((a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(4*Sqrt[2]*d)) + (a^2*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d) + (a*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(6*d) + (Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 7, (35*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(128*Sqrt[2]*d) - (35*a^3)/(128*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (35*a^2*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(192*d) + (7*a*Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(48*d) + (Sec[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(6*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 3, (16*(a + a*Sin[c + d*x])^(15/2))/(15*a^4*d) - (24*(a + a*Sin[c + d*x])^(17/2))/(17*a^5*d) + (12*(a + a*Sin[c + d*x])^(19/2))/(19*a^6*d) - (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(21/2))/(21*a^7*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 7, -((131072*a^7*Cos[c + d*x]^7)/(969969*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))) - (32768*a^6*Cos[c + d*x]^7)/(138567*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (12288*a^5*Cos[c + d*x]^7)/(46189*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (1024*a^4*Cos[c + d*x]^7)/(4199*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (64*a^3*Cos[c + d*x]^7*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(323*d) - (48*a^2*Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(323*d) - (2*a*Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(19*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 3, (8*(a + a*Sin[c + d*x])^(13/2))/(13*a^3*d) - (8*(a + a*Sin[c + d*x])^(15/2))/(15*a^4*d) + (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(17/2))/(17*a^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 6, -((16384*a^6*Cos[c + d*x]^5)/(45045*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))) - (4096*a^5*Cos[c + d*x]^5)/(9009*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (512*a^4*Cos[c + d*x]^5)/(1287*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (128*a^3*Cos[c + d*x]^5*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(429*d) - (8*a^2*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(39*d) - (2*a*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 3, (4*(a + a*Sin[c + d*x])^(11/2))/(11*a^2*d) - (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(13/2))/(13*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 5, -((4096*a^5*Cos[c + d*x]^3)/(3465*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))) - (1024*a^4*Cos[c + d*x]^3)/(1155*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (128*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(231*d) - (32*a^2*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(99*d) - (2*a*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 2, (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(9/2))/(9*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 6, (8*Sqrt[2]*a^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (8*a^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d - (4*a^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (2*a*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 3, (64*a^3*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*d) - (16*a^2*Sec[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (2*a*Sec[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 5, -((3*Sqrt[2]*a^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d) + (3*a^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d + (a*Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 2, -((8*a^2*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d)) + (2*a*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/d}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 5, -((a^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(8*Sqrt[2]*d)) - (a^2*Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(8*d) + (a*Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 1, (2*a*Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 6, (5*a^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(64*Sqrt[2]*d) + (5*a^2*Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(64*d) + (5*a*Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(48*d) + (Sec[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(6*d)}
+{Sec[c + d*x]^8*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 6, -((a^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(8*Sqrt[2]*d)) + (a^3*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(12*d) + (a*Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(10*d) + (Sec[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^9*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 8, (315*a^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(2048*Sqrt[2]*d) - (315*a^4)/(2048*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (105*a^3*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(1024*d) + (21*a^2*Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(256*d) + (3*a*Sec[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(32*d) + (Sec[c + d*x]^8*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(8*d)}
+{Sec[c + d*x]^10*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 8, -((11*a^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*d)) - (11*a^5*Cos[c + d*x])/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (11*a^4*Sec[c + d*x])/(48*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (11*a^3*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(120*d) + (11*a^2*Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(140*d) + (11*a*Sec[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(126*d) + (Sec[c + d*x]^9*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(9*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^7/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, (16*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*a^4*d) - (8*(a + a*Sin[c + d*x])^(9/2))/(3*a^5*d) + (12*(a + a*Sin[c + d*x])^(11/2))/(11*a^6*d) - (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(13/2))/(13*a^7*d)}
+{Cos[c + d*x]^6/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, -((64*a^3*Cos[c + d*x]^7)/(693*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))) - (16*a^2*Cos[c + d*x]^7)/(99*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (2*a*Cos[c + d*x]^7)/(11*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^5/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, (8*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*a^3*d) - (8*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*a^4*d) + (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(9/2))/(9*a^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 2, (-8*a^2*Cos[c + d*x]^5)/(35*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (2*a*Cos[c + d*x]^5)/(7*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^3/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, (4*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*a^2*d) - (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 1, (-2*a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^1/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 4, ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) - 1/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 4, -((3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(4*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d)) - (3*a*Cos[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + Sec[c + d*x]/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 6, (5*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(8*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) - (5*a)/(12*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - 5/(8*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + Sec[c + d*x]^2/(2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^4/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 6, -((35*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d)) - (35*a*Cos[c + d*x])/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (7*a*Sec[c + d*x])/(24*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (35*Sec[c + d*x])/(48*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + Sec[c + d*x]^3/(3*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^5/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 8, (63*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(128*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) - (21*a)/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (9*a*Sec[c + d*x]^2)/(40*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - 63/(128*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (63*Sec[c + d*x]^2)/(160*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + Sec[c + d*x]^4/(4*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^6/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 8, -((231*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(512*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d)) - (231*a*Cos[c + d*x])/(512*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (77*a*Sec[c + d*x])/(320*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (11*a*Sec[c + d*x]^3)/(60*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (77*Sec[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (11*Sec[c + d*x]^3)/(40*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + Sec[c + d*x]^5/(5*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 3, (16*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*a^4*d) - (24*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*a^5*d) + (4*(a + a*Sin[c + d*x])^(9/2))/(3*a^6*d) - (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(11/2))/(11*a^7*d)}
+{Cos[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 2, -((8*a^2*Cos[c + d*x]^7)/(63*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))) - (2*a*Cos[c + d*x]^7)/(9*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))}
+{Cos[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 3, (8*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*a^3*d) - (8*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*a^4*d) + (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*a^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 1, (-2*a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 3, (4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 3, (-2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d) + (2*Cos[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 2, -2/(a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - 1/(3*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - 1/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((15*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(32*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - (15*Cos[c + d*x])/(32*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - Sec[c + d*x]/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (5*Sec[c + d*x])/(8*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 7, (7*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(16*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - 7/(24*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - Sec[c + d*x]^2/(5*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - 7/(16*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (7*Sec[c + d*x]^2)/(20*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((105*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(256*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - (105*Cos[c + d*x])/(256*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (7*Sec[c + d*x])/(32*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - Sec[c + d*x]^3/(6*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (35*Sec[c + d*x])/(64*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + Sec[c + d*x]^3/(4*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 9, (99*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(256*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - 33/(128*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (99*Sec[c + d*x]^2)/(560*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - Sec[c + d*x]^4/(7*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - 99/(256*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (99*Sec[c + d*x]^2)/(320*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (11*Sec[c + d*x]^4)/(56*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 9, -((3003*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(8192*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - (3003*Cos[c + d*x])/(8192*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (1001*Sec[c + d*x])/(5120*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (143*Sec[c + d*x]^3)/(960*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - Sec[c + d*x]^5/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (1001*Sec[c + d*x])/(2048*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (143*Sec[c + d*x]^3)/(640*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (13*Sec[c + d*x]^5)/(80*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^10/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 3, -((64*a^3*Cos[c + d*x]^11)/(2145*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(11/2))) - (16*a^2*Cos[c + d*x]^11)/(195*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(9/2)) - (2*a*Cos[c + d*x]^11)/(15*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))}
+{Cos[c + d*x]^9/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 3, (32*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*a^5*d) - (64*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*a^6*d) + (16*(a + a*Sin[c + d*x])^(9/2))/(3*a^7*d) - (16*(a + a*Sin[c + d*x])^(11/2))/(11*a^8*d) + (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(13/2))/(13*a^9*d)}
+{Cos[c + d*x]^8/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 2, -((8*a^2*Cos[c + d*x]^9)/(99*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(9/2))) - (2*a*Cos[c + d*x]^9)/(11*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))}
+{Cos[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 3, (16*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*a^4*d) - (24*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*a^5*d) + (12*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*a^6*d) - (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(9/2))/(9*a^7*d)}
+{Cos[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 1, -((2*a*Cos[c + d*x]^7)/(7*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2)))}
+{Cos[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 3, (8*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (8*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*a^4*d) + (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*a^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 4, (-4*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(5/2)*d) + (2*Cos[c + d*x]^3)/(3*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (4*Cos[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 3, -4/(a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 3, ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])]/(Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Cos[c + d*x]/(a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 2, -2/(3*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 6, ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(4*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - 1/(5*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - 1/(6*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - 1/(4*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 6, -((35*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(128*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - Sec[c + d*x]/(6*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (35*Cos[c + d*x])/(128*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (7*Sec[c + d*x])/(48*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (35*Sec[c + d*x])/(96*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 8, (9*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(32*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Sec[c + d*x]^2/(7*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - 3/(16*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (9*Sec[c + d*x]^2)/(70*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - 9/(32*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (9*Sec[c + d*x]^2)/(40*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((1155*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(4096*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - Sec[c + d*x]^3/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (1155*Cos[c + d*x])/(4096*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (77*Sec[c + d*x])/(512*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (11*Sec[c + d*x]^3)/(96*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (385*Sec[c + d*x])/(1024*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (11*Sec[c + d*x]^3)/(64*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(p/2) (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, (-2*a*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))/(9*d*e) + (10*a*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (10*a*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (-2*a*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(7*d*e) + (6*a*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (-2*a*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(5*d*e) + (2*a*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*a*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, (-2*a*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(3*d*e) + (2*a*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Sin[c + d*x])/Sqrt[e*Cos[c + d*x]], x, 3, (-2*a*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(d*e) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Sin[c + d*x])/(e*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*a)/(d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*a*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*Sin[c + d*x])/(d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Sin[c + d*x])/(e*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (2*a)/(3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*a*Sin[c + d*x])/(3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])/(e*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 5, (2*a)/(5*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (6*a*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*Sin[c + d*x])/(5*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (6*a*Sin[c + d*x])/(5*d*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 6, (-26*a^2*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))/(99*d*e) + (130*a^2*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (130*a^2*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (26*a^2*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*d) - (2*(e*Cos[c + d*x])^(9/2)*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))/(11*d*e)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 5, (-22*a^2*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(63*d*e) + (22*a^2*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (22*a^2*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) - (2*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))/(9*d*e)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 5, (-18*a^2*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(35*d*e) + (6*a^2*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(7*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (6*a^2*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d) - (2*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))/(7*d*e)}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (-14*a^2*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(15*d*e) + (14*a^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))/(5*d*e)}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^2/Sqrt[e*Cos[c + d*x]], x, 4, (-10*a^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(3*d*e) + (10*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))/(3*d*e)}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^2/(e*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((6*a^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (4*a^4*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(d*e^3*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x]))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^2/(e*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((2*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])) + (4*a^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(3*d*e^3*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x]))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^2/(e*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 5, -((2*a^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*a^4*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(5*d*e^5*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (2*a^4*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(5*d*e^5*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x]))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^2/(e*Cos[c + d*x])^(9/2), x, 4, (2*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(7*d*e^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(7*d*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (4*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))/(7*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^2/(e*Cos[c + d*x])^(11/2), x, 5, -((2*a^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(9*d*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*e^5*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (4*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))/(9*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (-34*a^3*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))/(99*d*e) + (170*a^3*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (170*a^3*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (34*a^3*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*d) - (2*a*(e*Cos[c + d*x])^(9/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(13*d*e) - (34*(e*Cos[c + d*x])^(9/2)*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))/(143*d*e)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 6, (-10*a^3*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(21*d*e) + (2*a^3*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) - (2*a*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(11*d*e) - (10*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))/(33*d*e)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 6, (-26*a^3*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(35*d*e) + (26*a^3*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (26*a^3*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) - (2*a*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(9*d*e) - (26*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))/(63*d*e)}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 5, (-22*a^3*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(15*d*e) + (22*a^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*a*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(7*d*e) - (22*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))/(35*d*e)}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^3/Sqrt[e*Cos[c + d*x]], x, 5, (-6*a^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(d*e) + (6*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*a*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(5*d*e) - (6*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))/(5*d*e)}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^3/(e*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (14*a^3*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(3*d*e^3) - (14*a^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (4*a^5*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(d*e^5*(a - a*Sin[c + d*x])^2)}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^3/(e*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (10*a^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(3*d*e^3) - (10*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (4*a^5*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(3*d*e^5*(a - a*Sin[c + d*x])^2)}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^3/(e*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 5, (6*a^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (4*a^5*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(5*d*e^5*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - (6*a^6*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(5*d*e^5*(a^3 - a^3*Sin[c + d*x]))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^3/(e*Cos[c + d*x])^(9/2), x, 5, -((2*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*e^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])) + (4*a^5*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(7*d*e^5*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - (2*a^6*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(21*d*e^5*(a^3 - a^3*Sin[c + d*x]))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^3/(e*Cos[c + d*x])^(11/2), x, 6, -((2*a^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*a^6*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(9*d*e^7*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (2*a^5*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(15*d*e^7*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (2*a^6*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(15*d*e^7*(a^3 - a^3*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 7, (-442*a^4*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(385*d*e) + (442*a^4*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (442*a^4*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) - (2*a*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(11*d*e) - (34*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2)/(99*d*e) - (442*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))/(693*d*e)}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 6, (-22*a^4*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(9*d*e) + (22*a^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*a*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(9*d*e) - (10*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2)/(21*d*e) - (22*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))/(21*d*e)}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^4/Sqrt[e*Cos[c + d*x]], x, 6, (-78*a^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(7*d*e) + (78*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(7*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*a*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(7*d*e) - (26*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2)/(35*d*e) - (78*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))/(35*d*e)}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^4/(e*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((154*a^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]])) - (154*a^4*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d*e^3) + (4*a^7*(e*Cos[c + d*x])^(11/2))/(d*e^7*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (44*a^8*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(3*d*e^5*(a^4 - a^4*Sin[c + d*x]))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^4/(e*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, -((10*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])) - (10*a^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*e^3) + (4*a^7*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))/(3*d*e^7*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (12*a^8*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(d*e^5*(a^4 - a^4*Sin[c + d*x]))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^4/(e*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 5, (42*a^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (4*a^7*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(5*d*e^7*(a - a*Sin[c + d*x])^3) - (28*a^8*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(5*d*e^5*(a^4 - a^4*Sin[c + d*x]))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^4/(e*Cos[c + d*x])^(9/2), x, 5, (10*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*e^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (4*a^7*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(7*d*e^7*(a - a*Sin[c + d*x])^3) - (20*a^8*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(21*d*e^5*(a^4 - a^4*Sin[c + d*x]))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^4/(e*Cos[c + d*x])^(11/2), x, 6, (2*a^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (4*a^7*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(9*d*e^7*(a - a*Sin[c + d*x])^3) - (2*a^8*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(15*d*e^7*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x])^2) - (2*a^8*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(15*d*e^7*(a^4 - a^4*Sin[c + d*x]))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^4/(e*Cos[c + d*x])^(13/2), x, 6, -((2*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(77*d*e^6*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])) + (4*a^7*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(11*d*e^7*(a - a*Sin[c + d*x])^3) - (2*a^8*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(77*d*e^7*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x])^2) - (2*a^8*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(77*d*e^7*(a^4 - a^4*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(11/2)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, (2*e*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))/(9*a*d) + (10*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*a*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (10*e^5*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*a*d) + (2*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*a*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(9/2)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (2*e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(7*a*d) + (6*e^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (2*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(5*a*d) + (2*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, (2*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(3*a*d) + (2*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, (2*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(a*d) + (2*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(a*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, -((2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) - (2*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(d*e*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{1/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])), x, 3, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(3*d*e*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])), x, 4, (-6*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a*d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (6*Sin[c + d*x])/(5*a*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - 2/(5*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sin[c + d*x])), x, 4, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*a*d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (10*Sin[c + d*x])/(21*a*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)) - 2/(7*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + a*Sin[c + d*x])), x, 5, (-14*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*a*d*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (14*Sin[c + d*x])/(45*a*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (14*Sin[c + d*x])/(15*a*d*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - 2/(9*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(11/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 5, (6*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(7*a^2*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (6*e^5*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*a^2*d) + (18*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*a^2*d) + (4*e*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))/(5*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(9/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (14*e^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (14*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) + (4*e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(3*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (10*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (10*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + (4*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (-6*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (4*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (-2*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (4*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(3*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) - (2*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(5*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - (2*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(5*d*e*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{1/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^2), x, 4, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(7*a^2*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(7*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - (2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(7*d*e*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^2), x, 5, (-2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - 2/(9*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 2/(9*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^2), x, 5, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(33*a^2*d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (10*Sin[c + d*x])/(33*a^2*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)) - 2/(11*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 2/(11*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^2), x, 6, (-42*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(65*a^2*d*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (14*Sin[c + d*x])/(65*a^2*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (42*Sin[c + d*x])/(65*a^2*d*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - 2/(13*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 2/(13*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(15/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 6, (26*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))/(45*a^3*d) + (26*e^8*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*a^3*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (26*e^7*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*a^3*d) + (26*e^5*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*a^3*d) + (4*e*(e*Cos[c + d*x])^(13/2))/(5*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(13/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 5, (22*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(21*a^3*d) + (22*e^6*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (22*e^5*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) + (4*e*(e*Cos[c + d*x])^(11/2))/(3*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(11/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 5, (18*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(5*a^3*d) + (6*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(a^3*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (6*e^5*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^3*d) + (4*e*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))/(a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(9/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (-14*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(3*a^3*d) - (14*e^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (4*e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (-10*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(3*a^3*d) - (10*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^3*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (4*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(3*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (6*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (4*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(5*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + (6*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(5*d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (-2*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*a^3*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (4*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(7*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + (2*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(21*d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 5, -((2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) - (2*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(9*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (2*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(15*a*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - (2*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(15*d*e*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{1/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^3), x, 5, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(77*a^3*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(11*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (10*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(77*a*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - (10*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(77*d*e*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^3), x, 6, (-14*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(39*a^3*d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (14*Sin[c + d*x])/(39*a^3*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - 2/(13*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 14/(117*a*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 14/(117*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(15/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 6, (78*e^8*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(7*a^4*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (78*e^7*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*a^4*d) + (234*e^5*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*a^4*d) + (4*e*(e*Cos[c + d*x])^(13/2))/(a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + (52*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))/(5*d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(13/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 5, -((154*e^6*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) - (154*e^5*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^4*d) - (4*e*(e*Cos[c + d*x])^(11/2))/(a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (44*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(3*d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(11/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 5, -((10*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^4*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])) - (10*e^5*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^4*d) - (4*e*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))/(3*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (12*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(9/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, (42*e^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (4*e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(5*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + (28*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(5*d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, (10*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*a^4*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (4*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(7*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + (20*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(21*d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 5, (2*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (4*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(9*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + (2*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(15*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2) + (2*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(15*d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 5, (-2*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(77*a^4*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (4*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(11*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + (2*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(77*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2) + (2*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(77*d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 6, -((2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(39*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) - (2*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(13*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - (10*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(117*a*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (2*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(39*d*e*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2) - (2*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(39*d*e*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{1/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^4), x, 6, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(33*a^4*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(15*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - (14*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(165*a*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(33*d*e*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2) - (2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(33*d*e*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^4), x, 7, (-42*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(221*a^4*d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (42*Sin[c + d*x])/(221*a^4*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - 2/(17*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - 18/(221*a*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 14/(221*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2) - 14/(221*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(p/2) (a+a Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 8, -((a*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(2*d*e*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) + (3*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d) - (3*e^(3/2)*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) + (3*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]))}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 7, -((a*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(d*e*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) + (Sqrt[e]*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) + (Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]))}
+{Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e*Cos[c + d*x]], x, 6, -((2*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*Sqrt[e]*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]))) + (2*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*Sqrt[e]*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]))}
+{Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(e*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 1, (2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(e*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 2, -((2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))) + (4*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*a*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(e*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 3, -((2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))) + (8*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*a*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (16*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(15*a^2*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))}
+{Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(e*Cos[c + d*x])^(9/2), x, 4, -((2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(5*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))) - (12*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*a*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (16*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*a^2*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)) - (32*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(35*a^3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 10, -((15*a^3*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(32*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))) + (15*a^2*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(64*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (3*a^2*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(8*d*e*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d*e) + (45*a*e^(5/2)*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(64*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) + (45*a*e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(64*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 9, -((7*a^2*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(12*d*e*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) + (7*a*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(8*d) - (a*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*d*e) - (7*a*e^(3/2)*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(8*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) + (7*a*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(8*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]))}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((5*a^2*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(4*d*e*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (a*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(2*d*e) + (5*a*Sqrt[e]*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) + (5*a*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)/Sqrt[e*Cos[c + d*x]], x, 7, -((a*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*e)) - (3*a*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*Sqrt[e]*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) + (3*a*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*Sqrt[e]*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)/(e*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (4*a*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*a^2*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*e^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x] + a*Sin[c + d*x])) - (2*a^2*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*e^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x] + a*Sin[c + d*x]))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)/(e*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 1, (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)/(e*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 2, (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (4*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*a*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)/(e*Cos[c + d*x])^(9/2), x, 3, -((2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(d*e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))) + (8*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(3*a*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)) - (16*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(21*a^2*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)/(e*Cos[c + d*x])^(11/2), x, 4, -((2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))) + (4*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(a*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(9/2)) - (16*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(5*a^2*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(9/2)) + (32*(a + a*Sin[c + d*x])^(9/2))/(45*a^3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 10, -((77*a^3*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(96*d*e*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) + (77*a^2*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(64*d) - (11*a^2*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(24*d*e) - (77*a^2*e^(3/2)*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(64*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) + (77*a^2*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(64*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) - (a*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(4*d*e)}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((15*a^3*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(8*d*e*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (3*a^2*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d*e) + (15*a^2*Sqrt[e]*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(8*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) + (15*a^2*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(8*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) - (a*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d*e)}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)/Sqrt[e*Cos[c + d*x]], x, 8, -((7*a^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d*e)) - (21*a^2*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[e]*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) + (21*a^2*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[e]*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) - (a*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(2*d*e)}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)/(e*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, (5*a^3*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(d*e^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (5*a^2*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*e^(3/2)*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) - (5*a^2*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*e^(3/2)*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) + (4*a*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)/(e*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*a^2*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*e^(5/2)*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) - (2*a^2*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*e^(5/2)*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) + (4*a*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)/(e*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 1, (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)/(e*Cos[c + d*x])^(9/2), x, 2, (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)) - (4*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(21*a*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)/(e*Cos[c + d*x])^(11/2), x, 3, (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(d*e*(e*Cos[c + d*x])^(9/2)) - (8*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(5*a*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(9/2)) + (16*(a + a*Sin[c + d*x])^(9/2))/(45*a^2*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)/(e*Cos[c + d*x])^(13/2), x, 4, -((2*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(d*e*(e*Cos[c + d*x])^(11/2))) + (4*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(a*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(11/2)) - (16*(a + a*Sin[c + d*x])^(9/2))/(7*a^2*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(11/2)) + (32*(a + a*Sin[c + d*x])^(11/2))/(77*a^3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(11/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 8, -((a*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(2*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))) + (e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(4*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (3*e^(5/2)*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x] + a*Sin[c + d*x])) + (3*e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x] + a*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 7, (e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(a*d) - (e^(3/2)*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(a*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) + (e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(a*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]))}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 6, (2*Sqrt[e]*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*(a + a*Cos[c + d*x] + a*Sin[c + d*x])) + (2*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*(a + a*Cos[c + d*x] + a*Sin[c + d*x]))}
+{1/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]), x, 1, (-2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(d*e*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]), x, 2, -(2/(3*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) + (4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*a*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]), x, 3, -(2/(5*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (8*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(5*a*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (16*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(15*a^2*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]), x, 4, -(2/(7*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(7*a*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (16*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(7*a^2*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (32*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(35*a^3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 8, (e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (5*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*a^2*d) - (5*e^(7/2)*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) + (5*e^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 7, (e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (3*e^(5/2)*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x] + a^2*Sin[c + d*x])) + (3*e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x] + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((2*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))) - (2*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*e^(3/2)*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) - (2*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]))}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 1, (-2*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(3*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)), x, 2, (-2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(5*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(5*a*d*e*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)), x, 3, -(2/(7*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))) - 8/(21*a*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (16*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(21*a^2*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)), x, 4, -(2/(9*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))) - 4/(15*a*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (16*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(15*a^2*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (32*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(45*a^3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)), x, 5, -(2/(11*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))) - 16/(77*a*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (32*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(77*a^2*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (128*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(77*a^3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (256*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(385*a^4*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(9/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 9, (e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(2*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (7*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(4*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (21*e^(9/2)*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x] + a^3*Sin[c + d*x])) + (21*e^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x] + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((4*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))) - (5*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + (5*e^(7/2)*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(a^3*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x])) - (5*e^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(a^3*d*(1 + Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((4*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(3*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))) - (2*e^(5/2)*ArcSinh[Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[e]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x] + a^3*Sin[c + d*x])) - (2*e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x] + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 1, (-2*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(5*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 2, (-2*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(7*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (4*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(21*a*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)), x, 3, (-2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(9*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (8*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(45*a*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (16*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(45*a^2*d*e*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)), x, 4, -(2/(11*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))) - 12/(77*a*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - 16/(77*a^2*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (32*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(77*a^3*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)), x, 5, -(2/(13*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))) - 16/(117*a*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - 32/(195*a^2*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (128*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(195*a^3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (256*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(585*a^4*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(p/3) (a+a Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/3)/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, -((3*2^(1/6)*a*(e*Cos[c + d*x])^(10/3)*Hypergeometric2F1[-(1/6), 5/3, 8/3, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])])/(5*d*e*(1 + Sin[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/3)/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, -((3*a*(e*Cos[c + d*x])^(8/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 4/3, 7/3, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(1/6))/(4*2^(1/6)*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(2/3)/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, -((3*2^(1/3)*a*(e*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[2/3, 5/6, 11/6, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(2/3))/(5*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(1/3)/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, -((3*a*(e*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[2/3, 5/6, 5/3, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(5/6))/(2*2^(5/6)*d*e*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)))}
+{1/(e*Cos[c + d*x])^(1/3)/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, -((3*(e*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 7/6, 4/3, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(1/6))/(2*2^(1/6)*d*e*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]))}
+{1/(e*Cos[c + d*x])^(4/3)/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, (3*Hypergeometric2F1[-(1/6), 5/3, 5/6, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(2/3))/(2^(2/3)*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^p (a+a Sin[e+f x])^m when p symbolic*)
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^p*(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 2, -((2^(17/2 + p/2)*a^8*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-15 - p), (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^((1/2)*(-1 - p)))/(d*e*(1 + p)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^p*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 2, -((2^(7/2 + p/2)*a^3*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-5 - p), (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^((1/2)*(-1 - p)))/(d*e*(1 + p)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^p*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 2, -((2^(5/2 + p/2)*a^2*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 - p), (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^((1/2)*(-1 - p)))/(d*e*(1 + p)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^p*(a + a*Sin[c + d*x])^1, x, 2, -((2^(3/2 + p/2)*a*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 - p), (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^((1/2)*(-1 - p)))/(d*e*(1 + p)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^p/(a + a*Sin[c + d*x])^1, x, 2, -((2^(-(1/2) + p/2)*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(3 - p)/2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^((1/2)*(-1 - p)))/(a*d*e*(1 + p)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^p/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 2, -((2^((1/2)*(-3 + p))*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(5 - p)/2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^((1/2)*(-1 - p)))/(a^2*d*e*(1 + p)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^p/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 2, -((2^((1/2)*(-5 + p))*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(7 - p)/2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^((1/2)*(-1 - p)))/(a^3*d*e*(1 + p)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^p/(a + a*Sin[c + d*x])^8, x, 2, -((2^((1/2)*(-15 + p))*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(17 - p)/2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^((1/2)*(-1 - p)))/(a^8*d*e*(1 + p)))}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^p*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 3, -((2^(4 + p/2)*a^4*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-6 - p), (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])])/((1 + Sin[c + d*x])^(p/2)*(d*e*(1 + p)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])))}
+{(e*Cos[c + d*x])^p*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 3, -((2^(3 + p/2)*a^3*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-4 - p), (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])])/((1 + Sin[c + d*x])^(p/2)*(d*e*(1 + p)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])))}
+{(e*Cos[c + d*x])^p*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 3, -((2^(2 + p/2)*a^2*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-2 - p), (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])])/((1 + Sin[c + d*x])^(p/2)*(d*e*(1 + p)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])))}
+{(e*Cos[c + d*x])^p*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/2), x, 3, -((2^(1 + p/2)*a*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-(p/2), (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])])/((1 + Sin[c + d*x])^(p/2)*(d*e*(1 + p)*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])))}
+{(e*Cos[c + d*x])^p/(a + a*Sin[c + d*x])^(1/2), x, 3, -((2^(p/2)*a*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(2 - p)/2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(1 - p/2))/(d*e*(1 + p)*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^p/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 3, -((2^(-1 + p/2)*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(4 - p)/2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(1 - p/2))/(d*e*(1 + p)*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^p/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 3, -((2^(-2 + p/2)*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(6 - p)/2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(1 - p/2))/(a*d*e*(1 + p)*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^p (a+a Sin[e+f x])^m when m symbolic*)
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^p*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, -((2^(1/2 + m + p/2)*a*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 - 2*m - p), (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^((1/2)*(1 - 2*m - p))*(a + a*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(d*e*(1 + p)))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, (8*(a + a*Sin[c + d*x])^(4 + m))/(a^4*d*(4 + m)) - (12*(a + a*Sin[c + d*x])^(5 + m))/(a^5*d*(5 + m)) + (6*(a + a*Sin[c + d*x])^(6 + m))/(a^6*d*(6 + m)) - (a + a*Sin[c + d*x])^(7 + m)/(a^7*d*(7 + m))}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, (4*(a + a*Sin[c + d*x])^(3 + m))/(a^3*d*(3 + m)) - (4*(a + a*Sin[c + d*x])^(4 + m))/(a^4*d*(4 + m)) + (a + a*Sin[c + d*x])^(5 + m)/(a^5*d*(5 + m))}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(2 + m))/(a^2*d*(2 + m)) - (a + a*Sin[c + d*x])^(3 + m)/(a^3*d*(3 + m))}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 2, (a + a*Sin[c + d*x])^(1 + m)/(a*d*(1 + m))}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 2, (Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, (1/2)*(1 + Sin[c + d*x])]*(a + a*Sin[c + d*x])^m)/(2*d*m)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 2, -((a*Hypergeometric2F1[2, -1 + m, m, (1/2)*(1 + Sin[c + d*x])]*(a + a*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(4*d*(1 - m)))}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 2, -((a^2*Hypergeometric2F1[3, -2 + m, -1 + m, (1/2)*(1 + Sin[c + d*x])]*(a + a*Sin[c + d*x])^(-2 + m))/(8*d*(2 - m)))}
+
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, -((2^(5/2 + m)*a^2*Cos[c + d*x]^5*Hypergeometric2F1[5/2, -(3/2) - m, 7/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-2 + m))/(5*d))}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, -((2^(3/2 + m)*a*Cos[c + d*x]^3*Hypergeometric2F1[3/2, -(1/2) - m, 5/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(3*d))}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, (2^(-(1/2) + m)*Hypergeometric2F1[-(1/2), 3/2 - m, 1/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*Sec[c + d*x]*(1 + Sin[c + d*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m)/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, (2^(-(3/2) + m)*Hypergeometric2F1[-(3/2), 5/2 - m, -(1/2), (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*Sec[c + d*x]^3*(1 + Sin[c + d*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(3*a*d)}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, -((2^(11/4 + m)*a*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*Hypergeometric2F1[7/4, -(3/4) - m, 11/4, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(-(3/4) - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(7*d*e))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, -((2^(9/4 + m)*a*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Hypergeometric2F1[5/4, -(1/4) - m, 9/4, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(-(1/4) - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(5*d*e))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(1/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, -((2^(7/4 + m)*a*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Hypergeometric2F1[3/4, 1/4 - m, 7/4, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(1/4 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(3*d*e))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^m/(e*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, -((2^(5/4 + m)*a*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Hypergeometric2F1[1/4, 3/4 - m, 5/4, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(3/4 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(d*e))}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^m/(e*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2^(3/4 + m)*Hypergeometric2F1[-(1/4), 5/4 - m, 3/4, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(1/4 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m)/(d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^m/(e*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (2^(1/4 + m)*Hypergeometric2F1[-(3/4), 7/4 - m, 1/4, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(3/4 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m)/(3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(-4 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 4, -(((e*Cos[c + d*x])^(-3 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m)/(d*e*(3 - m))) - (3*(e*Cos[c + d*x])^(-3 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(a*d*e*(1 - m)*(3 - m)) + (6*(e*Cos[c + d*x])^(-3 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(2 + m))/(a^2*d*e*(3 - m)*(1 - m^2)) - (6*(e*Cos[c + d*x])^(-3 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(3 + m))/(a^3*d*e*(9 - 10*m^2 + m^4))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(-3 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, -(((e*Cos[c + d*x])^(-2 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m)/(d*e*(2 - m))) + (2*(e*Cos[c + d*x])^(-2 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(a*d*e*(2 - m)*m) - (2*(e*Cos[c + d*x])^(-2 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(2 + m))/(a^2*d*e*m*(4 - m^2))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(-2 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 2, -(((e*Cos[c + d*x])^(-1 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m)/(d*e*(1 - m))) + ((e*Cos[c + d*x])^(-1 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(a*d*e*(1 - m^2))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(-1 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 1, (a + a*Sin[c + d*x])^m/((e*Cos[c + d*x])^m*(d*e*m))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(0 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, -((2^(1/2 + m/2)*a*(e*Cos[c + d*x])^(1 - m)*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (1 - m)/2, (3 - m)/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^((1 - m)/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(d*e*(1 - m)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(1 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, (2^(1 - m/2)*(e*Cos[c + d*x])^(2 - m)*Hypergeometric2F1[m/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (1/2)*(1 + Sin[c + d*x])]*(1 - Sin[c + d*x])^(-1 + m/2)*(a + a*Sin[c + d*x])^m)/(d*e*(2 + m))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(2 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, -((2^(3/2 + m/2)*a*(e*Cos[c + d*x])^(3 - m)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 - m), (3 - m)/2, (5 - m)/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^((1/2)*(-1 - m))*(a + a*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(d*e*(3 - m)))}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(5 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, If[$VersionNumber>=8, -((8*a^3*(e*Cos[c + d*x])^(6 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-3 + m))/(d*e*(5 - m)*(12 - 7*m + m^2))) - (4*a^2*(e*Cos[c + d*x])^(6 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-2 + m))/(d*e*(20 - 9*m + m^2)) - (a*(e*Cos[c + d*x])^(6 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(d*e*(5 - m)), -((8*a^3*(e*Cos[c + d*x])^(6 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-3 + m))/(d*e*(60 - 47*m + 12*m^2 - m^3))) - (4*a^2*(e*Cos[c + d*x])^(6 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-2 + m))/(d*e*(4 - m)*(5 - m)) - (a*(e*Cos[c + d*x])^(6 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(d*e*(5 - m))]}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 2, If[$VersionNumber>=8, -((2*a^2*(e*Cos[c + d*x])^(4 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-2 + m))/(d*e*(6 - 5*m + m^2))) - (a*(e*Cos[c + d*x])^(4 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(d*e*(3 - m)), -((2*a^2*(e*Cos[c + d*x])^(4 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-2 + m))/(d*e*(2 - m)*(3 - m))) - (a*(e*Cos[c + d*x])^(4 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(d*e*(3 - m))]}
+{(e*Cos[c + d*x])^(1 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 1, -((a*(e*Cos[c + d*x])^(2 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(d*e*(1 - m)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(-1 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, (Hypergeometric2F1[1, -m, 1 - m, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(a + a*Sin[c + d*x])^m)/((e*Cos[c + d*x])^(2*m)*(2*d*e*m))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(-3 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, (Hypergeometric2F1[2, -1 - m, -m, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(a + a*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((e*Cos[c + d*x])^(2*(1 + m))*(4*a*d*e*(1 + m)))}
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(4 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 4, (2^(5/2 - m)*(e*Cos[c + d*x])^(5 - 2*m)*Hypergeometric2F1[5/2, (1/2)*(-3 + 2*m), 7/2, (1/2)*(1 + Sin[c + d*x])]*(1 - Sin[c + d*x])^(-(5/2) + m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m)/(5*d*e)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(2 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 4, (2^(3/2 - m)*(e*Cos[c + d*x])^(3 - 2*m)*Hypergeometric2F1[3/2, (1/2)*(-1 + 2*m), 5/2, (1/2)*(1 + Sin[c + d*x])]*(1 - Sin[c + d*x])^(-(3/2) + m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m)/(3*d*e)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(0 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 4, (2^(1/2 - m)*(e*Cos[c + d*x])^(1 - 2*m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + 2*m), 3/2, (1/2)*(1 + Sin[c + d*x])]*(1 - Sin[c + d*x])^(-(1/2) + m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m)/(d*e)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(-2 - 2*m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 4, -((2^(-(1/2) - m)*(e*Cos[c + d*x])^(-1 - 2*m)*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1/2)*(3 + 2*m), 1/2, (1/2)*(1 + Sin[c + d*x])]*(1 - Sin[c + d*x])^(1/2 + m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m)/(d*e))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^p (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -(b*Cos[c + d*x]^6)/(6*d) + (a*Sin[c + d*x])/d - (2*a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, -((b*Cos[c + d*x]^4)/(4*d)) + (a*Sin[c + d*x])/d - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 2, (a + b*Sin[c + d*x])^2/(2*b*d), (a*Sin[c + d*x])/d + (b*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a + b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((a - b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (Sec[c + d*x]^2*(b + a*Sin[c + d*x]))/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, (3*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (Sec[c + d*x]^4*(b + a*Sin[c + d*x]))/(4*d) + (3*a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d)}
+
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, (3*a*x)/8 - (b*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, (a*x)/2 - (b*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, (b*Sec[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, (b*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, (b*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (2*a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((a*b*Cos[c + d*x]^6)/(3*d)) + (a^2*Sin[c + d*x])/d - ((2*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -((a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(3*b^3*d) + (a*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(2*b^3*d) - (a + b*Sin[c + d*x])^5/(5*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 2, (a + b*Sin[c + d*x])^3/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, -((a + b)^2*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((a - b)^2*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b^2*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, ((a^2 - b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (Sec[c + d*x]^2*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x]))/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, ((3*a^2 - b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (Sec[c + d*x]^4*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x]))/(4*d) + (Sec[c + d*x]^2*(2*a*b + (3*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*d)}
+
+{Cos[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, (5/128)*(8*a^2 + b^2)*x - (9*a*b*Cos[c + d*x]^7)/(56*d) + (5*(8*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (5*(8*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*d) + ((8*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*d) - (b*Cos[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x]))/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 5, (1/16)*(6*a^2 + b^2)*x - (7*a*b*Cos[c + d*x]^5)/(30*d) + ((6*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + ((6*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) - (b*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x]))/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (1/8)*(4*a^2 + b^2)*x - (5*a*b*Cos[c + d*x]^3)/(12*d) + ((4*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (b*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]))/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (-b^2)*x + (a*b*Cos[c + d*x])/d + (Sec[c + d*x]*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x]))/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (a*b*Sec[c + d*x])/(3*d) + (Sec[c + d*x]^3*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x]))/(3*d) + ((2*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (a*b*Sec[c + d*x]^3)/(5*d) + (Sec[c + d*x]^5*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x]))/(5*d) + ((4*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((4*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^8*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (a*b*Sec[c + d*x]^5)/(7*d) + (Sec[c + d*x]^7*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x]))/(7*d) + ((6*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/(7*d) + (2*(6*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(21*d) + ((6*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^5)/(35*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, ((a^2 - b^2)^2*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(4*b^5*d) - (4*a*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^5)/(5*b^5*d) + ((3*a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^6)/(3*b^5*d) - (4*a*(a + b*Sin[c + d*x])^7)/(7*b^5*d) + (a + b*Sin[c + d*x])^8/(8*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, -((a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(4*b^3*d) + (2*a*(a + b*Sin[c + d*x])^5)/(5*b^3*d) - (a + b*Sin[c + d*x])^6/(6*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 2, (a + b*Sin[c + d*x])^4/(4*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 6, -((a + b)^3*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((a - b)^3*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(2*d) - (3*a*b^2*Sin[c + d*x])/d - (b^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 6, -((a - 2*b)*(a + b)^2*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*d) + ((a - b)^2*(a + 2*b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*d) + (a*b^2*Sin[c + d*x])/(2*d) + (Sec[c + d*x]^2*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (3*a*(a^2 - b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (3*a*Sec[c + d*x]^2*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x]))/(8*d) + (Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 6, (3/16)*a*(2*a^2 + b^2)*x - (b*(17*a^2 + 4*b^2)*Cos[c + d*x]^5)/(70*d) + (3*a*(2*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a*(2*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(8*d) - (3*a*b*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x]))/(14*d) - (b*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 5, (1/8)*a*(4*a^2 + 3*b^2)*x - (b*(27*a^2 + 8*b^2)*Cos[c + d*x]^3)/(60*d) + (a*(4*a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (7*a*b*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]))/(20*d) - (b*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 2, -3*a*b^2*x + (2*b*(a^2 + b^2)*Cos[c + d*x])/d + (a*b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/d + (Sec[c + d*x]*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 5, (2*b*(a^2 - b^2)*Sec[c + d*x])/(3*d) + (Sec[c + d*x]^3*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(3*d) + (2*a*(a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 5, (2*b*(2*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x])/(15*d) + (Sec[c + d*x]^5*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(5*d) + (2*Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])*(a*b + (2*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]))/(15*d) + (2*a*(4*a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^8*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 5, (2*b*(3*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^3)/(35*d) + (Sec[c + d*x]^7*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(7*d) + (2*Sec[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])*(2*a*b + (3*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]))/(35*d) + (12*a*(2*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/(35*d) + (4*a*(2*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(35*d)}
+{Sec[c + d*x]^10*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 5, (2*b*(4*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^5)/(63*d) + (Sec[c + d*x]^9*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(9*d) + (2*Sec[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x])*(3*a*b + (4*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]))/(63*d) + (2*a*(8*a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(21*d) + (4*a*(8*a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(63*d) + (2*a*(8*a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x]^5)/(105*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 3, ((a^2 - b^2)^2*(a + b*Sin[c + d*x])^9)/(9*b^5*d) - (2*a*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^10)/(5*b^5*d) + (2*(3*a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^11)/(11*b^5*d) - (a*(a + b*Sin[c + d*x])^12)/(3*b^5*d) + (a + b*Sin[c + d*x])^13/(13*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 3, -((a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^9)/(9*b^3*d) + (a*(a + b*Sin[c + d*x])^10)/(5*b^3*d) - (a + b*Sin[c + d*x])^11/(11*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 2, (a + b*Sin[c + d*x])^9/(9*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 6, -((a + b)^8*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((a - b)^8*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b^2*(28*a^6 + 70*a^4*b^2 + 28*a^2*b^4 + b^6)*Sin[c + d*x])/d - (4*a*b^3*(7*a^4 + 7*a^2*b^2 + b^4)*Sin[c + d*x]^2)/d - (b^4*(70*a^4 + 28*a^2*b^2 + b^4)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a*b^5*(7*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x]^4)/d - (b^6*(28*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (4*a*b^7*Sin[c + d*x]^6)/(3*d) - (b^8*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 7, -((a - 7*b)*(a + b)^7*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*d) + ((a - b)^7*(a + 7*b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*d) + (7*b^2*(3*a^6 + 30*a^4*b^2 + 20*a^2*b^4 + b^6)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*b^3*(35*a^4 + 112*a^2*b^2 + 24*b^4)*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (7*b^4*(15*a^4 + 20*a^2*b^2 + b^4)*Sin[c + d*x]^3)/(6*d) + (3*a*b^5*(7*a^2 + 4*b^2)*Sin[c + d*x]^4)/(2*d) + (7*b^6*(5*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x]^5)/(10*d) + (a*b^7*Sin[c + d*x]^6)/(2*d) + (Sec[c + d*x]^2*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^7)/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 8, -(((a + b)^6*(3*a^2 - 18*a*b + 35*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d)) + ((a - b)^6*(3*a^2 + 18*a*b + 35*b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) + (5*b^2*(6*a^6 - 35*a^4*b^2 - 84*a^2*b^4 - 7*b^6)*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*b^3*(15*a^4 - 77*a^2*b^2 - 48*b^4)*Sin[c + d*x]^2)/(4*d) + (5*b^4*(9*a^4 - 42*a^2*b^2 - 7*b^4)*Sin[c + d*x]^3)/(24*d) - (a*(13 - (3*a^2)/b^2)*b^7*Sin[c + d*x]^4)/(8*d) + (Sec[c + d*x]^4*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^7)/(4*d) - (Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^5*(b*(a^2 + 7*b^2) - a*(3*a^2 - 11*b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*d)}
+
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 10, (1/256)*(128*a^8 + 896*a^6*b^2 + 1120*a^4*b^4 + 280*a^2*b^6 + 7*b^8)*x - (11*a*b*(1792*a^6 + 10536*a^4*b^2 + 9588*a^2*b^4 + 1289*b^6)*Cos[c + d*x]^3)/(40320*d) + ((128*a^8 + 896*a^6*b^2 + 1120*a^4*b^4 + 280*a^2*b^6 + 7*b^8)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(256*d) - (b*(6272*a^6 + 28088*a^4*b^2 + 15956*a^2*b^4 + 735*b^6)*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]))/(13440*d) - (13*a*b*(112*a^4 + 348*a^2*b^2 + 101*b^4)*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(3360*d) - (b*(784*a^4 + 1500*a^2*b^2 + 147*b^4)*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(2016*d) - (a*b*(112*a^2 + 109*b^2)*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(336*d) - (b*(64*a^2 + 21*b^2)*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^5)/(240*d) - (17*a*b*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^6)/(90*d) - (b*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^7)/(10*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 7, (-(7/16))*b^2*(64*a^6 + 240*a^4*b^2 + 120*a^2*b^4 + 5*b^6)*x + (a*b*(40*a^6 + 1664*a^4*b^2 + 2789*a^2*b^4 + 512*b^6)*Cos[c + d*x])/(20*d) + (b^2*(80*a^6 + 2248*a^4*b^2 + 2502*a^2*b^4 + 175*b^6)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(80*d) + (a*b*(40*a^4 + 624*a^2*b^2 + 337*b^4)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(40*d) + (b*(120*a^4 + 992*a^2*b^2 + 175*b^4)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(120*d) + (a*b*(30*a^2 + 113*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(30*d) + (b*(6*a^2 + 7*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^5)/(6*d) + (a*b*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^6)/d + (Sec[c + d*x]*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^7)/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 7, (35/8)*b^4*(16*a^4 + 16*a^2*b^2 + b^4)*x + (a*b*(8*a^6 - 104*a^4*b^2 - 803*a^2*b^4 - 256*b^6)*Cos[c + d*x])/(6*d) + (b^2*(16*a^6 - 200*a^4*b^2 - 866*a^2*b^4 - 105*b^6)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*b*(8*a^4 - 88*a^2*b^2 - 151*b^4)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(12*d) + (b*(8*a^4 - 72*a^2*b^2 - 35*b^4)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(12*d) + (a*b*(2*a^2 - 13*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(3*d) + (b*(2*a^2 - 7*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^5)/(3*d) + (Sec[c + d*x]^3*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^7)/(3*d) - (Sec[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^6*(5*a*b - (2*a^2 - 7*b^2)*Sin[c + d*x]))/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 7, (-(7/2))*b^6*(8*a^2 + b^2)*x + (2*a*b*(8*a^6 - 48*a^4*b^2 + 163*a^2*b^4 + 192*b^6)*Cos[c + d*x])/(15*d) + (b^2*(16*a^6 - 88*a^4*b^2 + 282*a^2*b^4 + 105*b^6)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(30*d) + (a*b*(8*a^4 - 32*a^2*b^2 + 87*b^4)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(15*d) + (b*(8*a^4 - 16*a^2*b^2 + 35*b^4)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(15*d) + (4*a*b*(2*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(15*d) + (Sec[c + d*x]^5*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^7)/(5*d) - (Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^6*(3*a*b - (4*a^2 - 7*b^2)*Sin[c + d*x]))/(15*d) - (4*Sec[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^5*(b*(4*a^2 - 7*b^2) - a*(2*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x]))/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^8*(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 7, b^8*x + (4*a*b*(24*a^6 - 88*a^4*b^2 + 125*a^2*b^4 - 96*b^6)*Cos[c + d*x])/(105*d) + (b^2*(48*a^6 - 152*a^4*b^2 + 174*a^2*b^4 - 105*b^6)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*a*b*(24*a^4 - 40*a^2*b^2 + 9*b^4)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(105*d) + (2*b*(24*a^4 + 8*a^2*b^2 - 35*b^4)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(105*d) + (Sec[c + d*x]^7*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^7)/(7*d) - (2*Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^5*(b*(6*a^2 - 7*b^2) - a*(12*a^2 - 11*b^2)*Sin[c + d*x]))/(105*d) - (Sec[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^6*(a*b - (6*a^2 - 7*b^2)*Sin[c + d*x]))/(35*d) - (2*Sec[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^4*(3*a*b*(12*a^2 - 11*b^2) - (24*a^4 + 8*a^2*b^2 - 35*b^4)*Sin[c + d*x]))/(105*d)}
+{Sec[c + d*x]^10*(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 10, (128*a*b*(a^2 - b^2)^3*Sec[c + d*x])/(315*d) + (64*a*(a^2 - b^2)^2*Sec[c + d*x]^3*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(315*d) + (16*a*(a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^5*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(105*d) + (Sec[c + d*x]^9*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^7)/(9*d) + (Sec[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x])^6*(a*b + (8*a^2 - 7*b^2)*Sin[c + d*x]))/(63*d) + (128*a^2*(a^2 - b^2)^3*Tan[c + d*x])/(315*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, ((a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^5*d) - (a*(a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(b^4*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^3*d) - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^2*d) + Sin[c + d*x]^4/(4*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, -(((a^2 - b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^3*d)) + (a*Sin[c + d*x])/(b^2*d) - Sin[c + d*x]^2/(2*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 2, Log[a + b*Sin[c + d*x]]/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -Log[1 - Sin[c + d*x]]/(2*(a + b)*d) + Log[1 + Sin[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) - (b*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a + 2*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*(a + b)^2*d) + ((a - 2*b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*d) + (b^3*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*d) - (Sec[c + d*x]^2*(b - a*Sin[c + d*x]))/(2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 5, -((3*a^2 + 9*a*b + 8*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*(a + b)^3*d) + ((3*a^2 - 9*a*b + 8*b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*(a - b)^3*d) - (b^5*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^3*d) - (Sec[c + d*x]^4*(b - a*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)*d) + (Sec[c + d*x]^2*(4*b^3 + a*(3*a^2 - 7*b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*(a^2 - b^2)^2*d)}
+
+{Cos[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, (a*(8*a^4 - 20*a^2*b^2 + 15*b^4)*x)/(8*b^6) - (2*(a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^6*d) + Cos[c + d*x]^5/(5*b*d) - (Cos[c + d*x]^3*(4*(a^2 - b^2) - 3*a*b*Sin[c + d*x]))/(12*b^3*d) + (Cos[c + d*x]*(8*(a^2 - b^2)^2 - a*b*(4*a^2 - 7*b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -((a*(2*a^2 - 3*b^2)*x)/(2*b^4)) + (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^4*d) + Cos[c + d*x]^3/(3*b*d) - (Cos[c + d*x]*(2*(a^2 - b^2) - a*b*Sin[c + d*x]))/(2*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 5, (a*x)/b^2 - (2*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^2*d) + Cos[c + d*x]/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 5, -((2*b^2*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d)) - (Sec[c + d*x]*(b - a*Sin[c + d*x]))/((a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, (2*b^4*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*d) - (Sec[c + d*x]^3*(b - a*Sin[c + d*x]))/(3*(a^2 - b^2)*d) + (Sec[c + d*x]*(3*b^3 + a*(2*a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x]))/(3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, -((2*b^6*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(7/2)*d)) - (Sec[c + d*x]^5*(b - a*Sin[c + d*x]))/(5*(a^2 - b^2)*d) + (Sec[c + d*x]^3*(5*b^3 + a*(4*a^2 - 9*b^2)*Sin[c + d*x]))/(15*(a^2 - b^2)^2*d) - (Sec[c + d*x]*(15*b^5 - a*(8*a^4 - 26*a^2*b^2 + 33*b^4)*Sin[c + d*x]))/(15*(a^2 - b^2)^3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^7/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (6*a*(a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^7*d) - ((5*a^4 - 9*a^2*b^2 + 3*b^4)*Sin[c + d*x])/(b^6*d) + (a*(2*a^2 - 3*b^2)*Sin[c + d*x]^2)/(b^5*d) - ((a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(b^4*d) + (a*Sin[c + d*x]^4)/(2*b^3*d) - Sin[c + d*x]^5/(5*b^2*d) + (a^2 - b^2)^3/(b^7*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (-4*a*(a^2 - b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^5*d) + ((3*a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(b^4*d) - (a*Sin[c + d*x]^2)/(b^3*d) + Sin[c + d*x]^3/(3*b^2*d) - (a^2 - b^2)^2/(b^5*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (2*a*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^3*d) - Sin[c + d*x]/(b^2*d) + (a^2 - b^2)/(b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 2, -(1/(b*d*(a + b*Sin[c + d*x])))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -Log[1 - Sin[c + d*x]]/(2*(a + b)^2*d) + Log[1 + Sin[c + d*x]]/(2*(a - b)^2*d) - (2*a*b*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*d) + b/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((a + 3*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*(a + b)^3*d) + ((a - 3*b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*(a - b)^3*d) + (4*a*b^3*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^3*d) - (b*(a^2 + 3*b^2))/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^2*(b - a*Sin[c + d*x]))/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 5, (-3*(a^2 + 4*a*b + 5*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*(a + b)^4*d) + (3*(a^2 - 4*a*b + 5*b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*(a - b)^4*d) - (6*a*b^5*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^4*d) - (3*b*(a^4 - 4*a^2*b^2 - 5*b^4))/(8*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^4*(b - a*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (Sec[c + d*x]^2*(b*(a^2 + 5*b^2) + 3*a*(a^2 - 3*b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+{Cos[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 7, -((5*(8*a^4 - 12*a^2*b^2 + 3*b^4)*x)/(8*b^6)) + (10*a*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^6*d) + (5*Cos[c + d*x]^3*(4*a - 3*b*Sin[c + d*x]))/(12*b^3*d) - Cos[c + d*x]^5/(b*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (5*Cos[c + d*x]*(8*a*(a^2 - b^2) - b*(4*a^2 - 3*b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, (3*(2*a^2 - b^2)*x)/(2*b^4) - (6*a*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^4*d) + (3*Cos[c + d*x]*(2*a - b*Sin[c + d*x]))/(2*b^3*d) - Cos[c + d*x]^3/(b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 5, -(x/b^2) + (2*a*ArcTan[(b + a*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - Cos[c + d*x]/(b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, -((6*a*b^2*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*d)) + (b*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]*(3*a*b - (a^2 + 2*b^2)*Sin[c + d*x]))/((a^2 - b^2)^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 7, (10*a*b^4*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(7/2)*d) + (b*Sec[c + d*x]^3)/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^3*(5*a*b - (a^2 + 4*b^2)*Sin[c + d*x]))/(3*(a^2 - b^2)^2*d) + (Sec[c + d*x]*(15*a*b^3 + (2*a^4 - 9*a^2*b^2 - 8*b^4)*Sin[c + d*x]))/(3*(a^2 - b^2)^3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^7/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, -((3*(5*a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^7*d)) + (a*(10*a^2 - 9*b^2)*Sin[c + d*x])/(b^6*d) - (3*(2*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^5*d) + (a*Sin[c + d*x]^3)/(b^4*d) - Sin[c + d*x]^4/(4*b^3*d) + (a^2 - b^2)^3/(2*b^7*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (6*a*(a^2 - b^2)^2)/(b^7*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (2*(3*a^2 - b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^5*d) - (3*a*Sin[c + d*x])/(b^4*d) + Sin[c + d*x]^2/(2*b^3*d) - (a^2 - b^2)^2/(2*b^5*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (4*a*(a^2 - b^2))/(b^5*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, -(Log[a + b*Sin[c + d*x]]/(b^3*d)) + (a^2 - b^2)/(2*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (2*a)/(b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 2, -1/(2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -Log[1 - Sin[c + d*x]]/(2*(a + b)^3*d) + Log[1 + Sin[c + d*x]]/(2*(a - b)^3*d) - (b*(3*a^2 + b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^3*d) + b/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (2*a*b)/((a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((a + 4*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*(a + b)^4*d) + ((a - 4*b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*(a - b)^4*d) + (2*b^3*(5*a^2 + b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^4*d) - (b*(a^2 + 2*b^2))/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (Sec[c + d*x]^2*(b - a*Sin[c + d*x]))/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (a*b*(a^2 + 11*b^2))/(2*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 5, (-3*(a^2 + 5*a*b + 8*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*(a + b)^5*d) + (3*(a^2 - 5*a*b + 8*b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*(a - b)^5*d) - (3*b^5*(7*a^2 + b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^5*d) - (3*b*(a^4 - 5*a^2*b^2 - 4*b^4))/(8*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (Sec[c + d*x]^4*(b - a*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (3*a*b*(a^4 - 6*a^2*b^2 - 27*b^4))/(8*(a^2 - b^2)^4*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (Sec[c + d*x]^2*(2*b*(a^2 + 3*b^2) + a*(3*a^2 - 11*b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2)}
+
+{Cos[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (5*a*(4*a^2 - 3*b^2)*x)/(2*b^6) - (5*(4*a^4 - 5*a^2*b^2 + b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^6*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - Cos[c + d*x]^5/(2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (5*Cos[c + d*x]^3*(4*a + b*Sin[c + d*x]))/(6*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (5*Cos[c + d*x]*(4*a^2 - b^2 - 2*a*b*Sin[c + d*x]))/(2*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 6, -((3*a*x)/b^4) + (3*(2*a^2 - b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^4*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - Cos[c + d*x]^3/(2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (3*Cos[c + d*x]*(2*a + b*Sin[c + d*x]))/(2*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 6, ArcTan[(b + a*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]]/((a^2 - b^2)^(3/2)*d) - Cos[c + d*x]/(2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (a*Cos[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, -((3*b^2*(4*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(7/2)*d)) + (b*Sec[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (5*a*b*Sec[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]*(3*b*(4*a^2 + b^2) - a*(2*a^2 + 13*b^2)*Sin[c + d*x]))/(2*(a^2 - b^2)^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 8, (5*b^4*(6*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(9/2)*d) + (b*Sec[c + d*x]^3)/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (7*a*b*Sec[c + d*x]^3)/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^3*(5*b*(6*a^2 + b^2) - a*(2*a^2 + 33*b^2)*Sin[c + d*x]))/(6*(a^2 - b^2)^3*d) + (Sec[c + d*x]*(15*b^3*(6*a^2 + b^2) + a*(4*a^4 - 28*a^2*b^2 - 81*b^4)*Sin[c + d*x]))/(6*(a^2 - b^2)^4*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^7/(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 3, (a^2 - b^2)^3/(7*b^7*d*(a + b*Sin[c + d*x])^7) - (a*(a^2 - b^2)^2)/(b^7*d*(a + b*Sin[c + d*x])^6) + (3*(5*a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4))/(5*b^7*d*(a + b*Sin[c + d*x])^5) - (a*(5*a^2 - 3*b^2))/(b^7*d*(a + b*Sin[c + d*x])^4) + (5*a^2 - b^2)/(b^7*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3) - (3*a)/(b^7*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + 1/(b^7*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 3, -(a^2 - b^2)^2/(7*b^5*d*(a + b*Sin[c + d*x])^7) + (2*a*(a^2 - b^2))/(3*b^5*d*(a + b*Sin[c + d*x])^6) - (2*(3*a^2 - b^2))/(5*b^5*d*(a + b*Sin[c + d*x])^5) + a/(b^5*d*(a + b*Sin[c + d*x])^4) - 1/(3*b^5*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 3, (a^2 - b^2)/(7*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^7) - a/(3*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^6) + 1/(5*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^5)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 2, -1/(7*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^7)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 4, If[$VersionNumber>=8, -Log[1 - Sin[c + d*x]]/(2*(a + b)^8*d) + Log[1 + Sin[c + d*x]]/(2*(a - b)^8*d) - (8*a*b*(a^2 + b^2)*(a^4 + 6*a^2*b^2 + b^4)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^8*d) + b/(7*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^7) + (a*b)/(3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^6) + (b*(3*a^2 + b^2))/(5*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^5) + (a*b*(a^2 + b^2))/((a^2 - b^2)^4*d*(a + b*Sin[c + d*x])^4) + (b*(5*a^4 + 10*a^2*b^2 + b^4))/(3*(a^2 - b^2)^5*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3) + (a*b*(3*a^2 + b^2)*(a^2 + 3*b^2))/((a^2 - b^2)^6*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (b*(7*a^6 + 35*a^4*b^2 + 21*a^2*b^4 + b^6))/((a^2 - b^2)^7*d*(a + b*Sin[c + d*x])), -(Log[1 - Sin[c + d*x]]/(2*(a + b)^8*d)) + Log[1 + Sin[c + d*x]]/(2*(a - b)^8*d) - (8*a*b*(a^2 + b^2)*(a^4 + 6*a^2*b^2 + b^4)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^8*d) + b/(7*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^7) + (a*b)/(3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^6) + (b*(3*a^2 + b^2))/(5*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^5) + (a*b*(a^2 + b^2))/((a^2 - b^2)^4*d*(a + b*Sin[c + d*x])^4) + (b*(5*a^4 + 10*a^2*b^2 + b^4))/(3*(a^2 - b^2)^5*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3) + (a*b*(3*a^4 + 10*a^2*b^2 + 3*b^4))/((a^2 - b^2)^6*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (b*(7*a^6 + 35*a^4*b^2 + 21*a^2*b^4 + b^6))/((a^2 - b^2)^7*d*(a + b*Sin[c + d*x]))]}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 4, -((a + 9*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*(a + b)^9*d) + ((a - 9*b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*(a - b)^9*d) + (8*a*b^3*(15*a^6 + 63*a^4*b^2 + 45*a^2*b^4 + 5*b^6)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^9*d) - (b*(7*a^2 + 9*b^2))/(14*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^7) - (Sec[c + d*x]^2*(b - a*Sin[c + d*x]))/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^7) - (a*b*(3*a^2 + 13*b^2))/(6*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^6) - (b*(5*a^4 + 50*a^2*b^2 + 9*b^4))/(10*(a^2 - b^2)^4*d*(a + b*Sin[c + d*x])^5) - (a*b*(a^4 + 20*a^2*b^2 + 11*b^4))/(2*(a^2 - b^2)^5*d*(a + b*Sin[c + d*x])^4) - (b*(3*a^6 + 115*a^4*b^2 + 129*a^2*b^4 + 9*b^6))/(6*(a^2 - b^2)^6*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3) - (a*b*(a^6 + 77*a^4*b^2 + 147*a^2*b^4 + 31*b^6))/(2*(a^2 - b^2)^7*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (b*(a^8 + 196*a^6*b^2 + 574*a^4*b^4 + 244*a^2*b^6 + 9*b^8))/(2*(a^2 - b^2)^8*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+{Cos[c + d*x]^8/(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 11, x/b^8 - (a*(16*a^6 - 56*a^4*b^2 + 70*a^2*b^4 - 35*b^6)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(8*b^8*(a^2 - b^2)^(7/2)*d) - Cos[c + d*x]^7/(7*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^7) + (a*Cos[c + d*x]^7)/(6*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^6) - (a*(6*a^2 - 11*b^2)*Cos[c + d*x]^5)/(24*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^4) + (a*(8*a^4 - 22*a^2*b^2 + 19*b^4)*Cos[c + d*x]^3)/(16*b^5*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (Cos[c + d*x]^5*(6*(a^2 - b^2) + 5*a*b*Sin[c + d*x]))/(30*b^3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^5) - (Cos[c + d*x]^3*(8*(a^2 - b^2)^2 + a*b*(6*a^2 - 11*b^2)*Sin[c + d*x]))/(24*b^5*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3) + (Cos[c + d*x]*(16*(a^2 - b^2)^3 + a*b*(8*a^4 - 22*a^2*b^2 + 19*b^4)*Sin[c + d*x]))/(16*b^7*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 11, (5*a*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(8*(a^2 - b^2)^(9/2)*d) - Cos[c + d*x]^5/(7*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^7) + (a*(4*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/(168*b^5*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^4) + ((4*a^4 - 9*a^2*b^2 + 12*b^4)*Cos[c + d*x])/(168*b^5*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3) + (a*(8*a^4 - 30*a^2*b^2 + 57*b^4)*Cos[c + d*x])/(336*b^5*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((8*a^6 - 38*a^4*b^2 + 87*a^2*b^4 + 48*b^6)*Cos[c + d*x])/(336*b^5*(a^2 - b^2)^4*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (5*Cos[c + d*x]^3*(2*a + 3*b*Sin[c + d*x]))/(42*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^6) - (Cos[c + d*x]*(4*a^2 + 9*b^2 + 10*a*b*Sin[c + d*x]))/(42*b^5*d*(a + b*Sin[c + d*x])^5)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 11, (3*a*(2*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(8*(a^2 - b^2)^(11/2)*d) - Cos[c + d*x]^3/(7*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^7) - ((a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x])/(140*b^3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^5) - (a*(2*a^2 - 11*b^2)*Cos[c + d*x])/(280*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^4) - ((2*a^4 - 15*a^2*b^2 - 8*b^4)*Cos[c + d*x])/(280*b^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3) - (a*(4*a^4 - 36*a^2*b^2 - 73*b^4)*Cos[c + d*x])/(560*b^3*(a^2 - b^2)^4*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - ((4*a^6 - 40*a^4*b^2 - 247*a^2*b^4 - 32*b^6)*Cos[c + d*x])/(560*b^3*(a^2 - b^2)^5*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (Cos[c + d*x]*(a + 3*b*Sin[c + d*x]))/(28*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^6)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 11, (a*(8*a^4 + 20*a^2*b^2 + 5*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(8*(a^2 - b^2)^(13/2)*d) - Cos[c + d*x]/(7*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^7) + (a*Cos[c + d*x])/(42*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^6) + ((5*a^2 + 6*b^2)*Cos[c + d*x])/(210*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^5) + (a*(20*a^2 + 79*b^2)*Cos[c + d*x])/(840*b*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^4) + ((20*a^4 + 179*a^2*b^2 + 32*b^4)*Cos[c + d*x])/(840*b*(a^2 - b^2)^4*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3) + (a*(40*a^4 + 718*a^2*b^2 + 397*b^4)*Cos[c + d*x])/(1680*b*(a^2 - b^2)^5*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((40*a^6 + 1518*a^4*b^2 + 1779*a^2*b^4 + 128*b^6)*Cos[c + d*x])/(1680*b*(a^2 - b^2)^6*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 12, -((9*a*b^2*(64*a^6 + 336*a^4*b^2 + 280*a^2*b^4 + 35*b^6)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(8*(a^2 - b^2)^(17/2)*d)) + (b*Sec[c + d*x])/(7*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^7) + (5*a*b*Sec[c + d*x])/(14*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^6) + (b*(49*a^2 + 16*b^2)*Sec[c + d*x])/(70*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^5) + (13*a*b*(28*a^2 + 27*b^2)*Sec[c + d*x])/(280*(a^2 - b^2)^4*d*(a + b*Sin[c + d*x])^4) + (b*(700*a^4 + 1317*a^2*b^2 + 128*b^4)*Sec[c + d*x])/(280*(a^2 - b^2)^5*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3) + (11*a*b*(280*a^4 + 844*a^2*b^2 + 241*b^4)*Sec[c + d*x])/(560*(a^2 - b^2)^6*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (b*(9800*a^6 + 41484*a^4*b^2 + 22767*a^2*b^4 + 1024*b^6)*Sec[c + d*x])/(560*(a^2 - b^2)^7*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]*(315*a*b*(64*a^6 + 336*a^4*b^2 + 280*a^2*b^4 + 35*b^6) - (560*a^8 + 42472*a^6*b^2 + 125634*a^4*b^4 + 54511*a^2*b^6 + 2048*b^8)*Sin[c + d*x]))/(560*(a^2 - b^2)^8*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 13, (165*a*b^4*(32*a^6 + 112*a^4*b^2 + 70*a^2*b^4 + 7*b^6)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(8*(a^2 - b^2)^(19/2)*d) + (b*Sec[c + d*x]^3)/(7*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^7) + (17*a*b*Sec[c + d*x]^3)/(42*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^6) + (b*(13*a^2 + 4*b^2)*Sec[c + d*x]^3)/(14*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^5) + (a*b*(118*a^2 + 103*b^2)*Sec[c + d*x]^3)/(56*(a^2 - b^2)^4*d*(a + b*Sin[c + d*x])^4) + (b*(882*a^4 + 1421*a^2*b^2 + 128*b^4)*Sec[c + d*x]^3)/(168*(a^2 - b^2)^5*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3) + (13*a*b*(140*a^4 + 336*a^2*b^2 + 85*b^4)*Sec[c + d*x]^3)/(112*(a^2 - b^2)^6*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (b*(9212*a^6 + 28420*a^4*b^2 + 12907*a^2*b^4 + 512*b^6)*Sec[c + d*x]^3)/(112*(a^2 - b^2)^7*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^3*(1155*a*b*(32*a^6 + 112*a^4*b^2 + 70*a^2*b^4 + 7*b^6) - (112*a^8 + 52528*a^6*b^2 + 142902*a^4*b^4 + 57665*a^2*b^6 + 2048*b^8)*Sin[c + d*x]))/(336*(a^2 - b^2)^8*d) + (Sec[c + d*x]*(3465*a*b^3*(32*a^6 + 112*a^4*b^2 + 70*a^2*b^4 + 7*b^6) + (224*a^10 - 6048*a^8*b^2 - 207332*a^6*b^4 - 413024*a^4*b^6 - 135489*a^2*b^8 - 4096*b^10)*Sin[c + d*x]))/(336*(a^2 - b^2)^9*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^p (a+b Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 3, (2*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*b^5*d) - (8*a*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*b^5*d) + (4*(3*a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*b^5*d) - (8*a*(a + b*Sin[c + d*x])^(9/2))/(9*b^5*d) + (2*(a + b*Sin[c + d*x])^(11/2))/(11*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 3, (-2*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*b^3*d) + (4*a*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*b^3*d) - (2*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 2, (2*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 5, -((Sqrt[a - b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/d) + (Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 6, -((2*a - b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(4*Sqrt[a - b]*d) + ((2*a + b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(4*Sqrt[a + b]*d) + (Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 7, -((12*a^2 - 18*a*b + 5*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(32*(a - b)^(3/2)*d) + ((12*a^2 + 18*a*b + 5*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(32*(a + b)^(3/2)*d) - (Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(a*b - (6*a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x]))/(16*(a^2 - b^2)*d) + (Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 8, -((4*a*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(21*b*d)) + (2*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(9*b*d) - (8*(4*a^4 - 15*a^2*b^2 - 21*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(315*b^4*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (32*a*(a^4 - 4*a^2*b^2 + 3*b^4)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(315*b^4*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (4*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(4*a*(a^2 - 3*b^2) - 3*b*(a^2 + 7*b^2)*Sin[c + d*x]))/(315*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 7, -((4*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(15*b*d)) + (2*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*b*d) + (4*(a^2 + 3*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(15*b^2*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (4*a*(a^2 - b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(15*b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 7, -((EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])) + (a*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^4*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 7, -(((4*a^2 - 3*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(6*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])) + (2*a*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(a*b - (4*a^2 - 3*b^2)*Sin[c + d*x]))/(6*(a^2 - b^2)*d) + (Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*b^5*d) - (8*a*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*b^5*d) + (4*(3*a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(9/2))/(9*b^5*d) - (8*a*(a + b*Sin[c + d*x])^(11/2))/(11*b^5*d) + (2*(a + b*Sin[c + d*x])^(13/2))/(13*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 3, (-2*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*b^3*d) + (4*a*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*b^3*d) - (2*(a + b*Sin[c + d*x])^(9/2))/(9*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 2, (2*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, -(((a - b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/d) + ((a + b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/d - (2*b*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, -(Sqrt[a - b]*(2*a + b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(4*d) + ((2*a - b)*Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(4*d) + (Sec[c + d*x]^2*(b + a*Sin[c + d*x])*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 7, (-3*(4*a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(32*Sqrt[a - b]*d) + (3*(4*a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(32*Sqrt[a + b]*d) - (Sec[c + d*x]^2*(b - 6*a*Sin[c + d*x])*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(16*d) + (Sec[c + d*x]^4*(b + a*Sin[c + d*x])*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(4*d)}
+
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((2*b*Cos[c + d*x]^5*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(11*d)) - (32*a*(a^4 - 6*a^2*b^2 - 27*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(1155*b^4*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (8*(4*a^6 - 25*a^4*b^2 + 6*a^2*b^4 + 15*b^6)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(1155*b^4*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(a^2 + 3*b^2 + 28*a*b*Sin[c + d*x]))/(231*b*d) - (4*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(4*a^4 - 21*a^2*b^2 - 15*b^4 - 3*a*b*(a^2 + 31*b^2)*Sin[c + d*x]))/(1155*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((2*b*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(7*d)) + (4*a*(3*a^2 + 29*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(105*b^2*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (4*(3*a^4 + 2*a^2*b^2 - 5*b^4)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(105*b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(3*a^2 + 5*b^2 + 24*a*b*Sin[c + d*x]))/(105*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, (Sec[c + d*x]*(b + a*Sin[c + d*x])*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/d - (a*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + ((a^2 - b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((Sec[c + d*x]*(b - 4*a*Sin[c + d*x])*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(6*d)) + (Sec[c + d*x]^3*(b + a*Sin[c + d*x])*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*d) - (2*a*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + ((4*a^2 - b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(6*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((Sec[c + d*x]^3*(b - 8*a*Sin[c + d*x])*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(30*d)) + (Sec[c + d*x]^5*(b + a*Sin[c + d*x])*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(5*d) - (a*(32*a^2 - 29*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(60*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + ((32*a^2 - 5*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(60*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(b*(8*a^4 - 13*a^2*b^2 + 5*b^4) - a*(32*a^4 - 61*a^2*b^2 + 29*b^4)*Sin[c + d*x]))/(60*(a^2 - b^2)^2*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 3, (2*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*b^5*d) - (8*a*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(9/2))/(9*b^5*d) + (4*(3*a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(11/2))/(11*b^5*d) - (8*a*(a + b*Sin[c + d*x])^(13/2))/(13*b^5*d) + (2*(a + b*Sin[c + d*x])^(15/2))/(15*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 3, (-2*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*b^3*d) + (4*a*(a + b*Sin[c + d*x])^(9/2))/(9*b^3*d) - (2*(a + b*Sin[c + d*x])^(11/2))/(11*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 2, (2*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 7, -(((a - b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/d) + ((a + b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/d - (4*a*b*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/d - (2*b*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((a - b)^(3/2)*(2*a + 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(4*d) + ((2*a - 3*b)*(a + b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(4*d) + (a*b*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(2*d) + (Sec[c + d*x]^2*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 7, (-3*Sqrt[a - b]*(4*a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(32*d) + (3*Sqrt[a + b]*(4*a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(32*d) + (Sec[c + d*x]^4*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(4*d) + (3*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(a*b + (2*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]))/(16*d)}
+
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((32*a*b*Cos[c + d*x]^5*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(143*d)) - (2*b*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(13*d) - (8*(20*a^6 - 175*a^4*b^2 - 1662*a^2*b^4 - 231*b^6)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(15015*b^4*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (32*a*(5*a^6 - 45*a^4*b^2 - 53*a^2*b^4 + 93*b^6)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(15015*b^4*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(a*(5*a^2 + 59*b^2) + 7*b*(53*a^2 + 11*b^2)*Sin[c + d*x]))/(3003*b*d) - (4*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(4*a*(5*a^4 - 40*a^2*b^2 - 93*b^4) - 3*b*(5*a^4 + 430*a^2*b^2 + 77*b^4)*Sin[c + d*x]))/(15015*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((8*a*b*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(21*d)) - (2*b*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(9*d) + (4*(5*a^4 + 102*a^2*b^2 + 21*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(315*b^2*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (4*a*(5*a^4 + 22*a^2*b^2 - 27*b^4)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(315*b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(a*(5*a^2 + 27*b^2) + 3*b*(25*a^2 + 7*b^2)*Sin[c + d*x]))/(315*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 7, (a*b*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/d + (Sec[c + d*x]*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/d - ((a^2 + 3*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (a*(a^2 - b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 7, (Sec[c + d*x]^3*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - ((4*a^2 - 3*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(6*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (2*a*(a^2 - b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(a*b + (4*a^2 - 3*b^2)*Sin[c + d*x]))/(6*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 8, (Sec[c + d*x]^5*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*d) - ((32*a^2 - 9*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(60*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (a*(32*a^2 - 17*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(60*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(5*a*b + (8*a^2 - 3*b^2)*Sin[c + d*x]))/(30*d) - (Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(8*a*b*(a^2 - b^2) - (32*a^4 - 41*a^2*b^2 + 9*b^4)*Sin[c + d*x]))/(60*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^8*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 9, (Sec[c + d*x]^7*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(7*d) - ((128*a^4 - 144*a^2*b^2 + 21*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(280*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (2*a*(8*a^2 - 3*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(35*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (3*Sec[c + d*x]^5*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(3*a*b + (4*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]))/(70*d) - (Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(4*a*b*(a^2 - b^2) - (32*a^4 - 39*a^2*b^2 + 7*b^4)*Sin[c + d*x]))/(140*(a^2 - b^2)*d) - (Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(a*b*(32*a^4 - 59*a^2*b^2 + 27*b^4) - (128*a^6 - 272*a^4*b^2 + 165*a^2*b^4 - 21*b^6)*Sin[c + d*x]))/(280*(a^2 - b^2)^2*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^5/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 3, (2*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^5*d) - (8*a*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*b^5*d) + (4*(3*a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*b^5*d) - (8*a*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*b^5*d) + (2*(a + b*Sin[c + d*x])^(9/2))/(9*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 3, (-2*(a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^3*d) + (4*a*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*b^3*d) - (2*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 5, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a - b]]/(Sqrt[a - b]*d)) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[a + b]*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 6, -((2*a - 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(4*(a - b)^(3/2)*d) + ((2*a + 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(4*(a + b)^(3/2)*d) - (Sec[c + d*x]^2*(b - a*Sin[c + d*x])*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^5/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 7, (-3*(4*a^2 - 10*a*b + 7*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(32*(a - b)^(5/2)*d) + (3*(4*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(32*(a + b)^(5/2)*d) - (Sec[c + d*x]^4*(b - a*Sin[c + d*x])*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(4*(a^2 - b^2)*d) - (Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(b*(a^2 - 7*b^2) - 6*a*(a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]))/(16*(a^2 - b^2)^2*d)}
+
+{Cos[c + d*x]^4/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 7, (2*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(7*b*d) - (32*a*(a^2 - 2*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(35*b^4*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (8*(4*a^4 - 9*a^2*b^2 + 5*b^4)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(35*b^4*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (4*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(4*a^2 - 5*b^2 - 3*a*b*Sin[c + d*x]))/(35*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 6, (2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*b*d) + (4*a*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*b^2*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (4*(a^2 - b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 6, -((Sec[c + d*x]*(b - a*Sin[c + d*x])*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d)) - (a*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^4/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 7, -((Sec[c + d*x]^3*(b - a*Sin[c + d*x])*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*(a^2 - b^2)*d)) - (2*a*(a^2 - 2*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + ((4*a^2 - 5*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(6*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(b*(a^2 - 5*b^2) - 4*a*(a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]))/(6*(a^2 - b^2)^2*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 3, (-2*(a^2 - b^2)^2)/(b^5*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (8*a*(a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^5*d) + (4*(3*a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*b^5*d) - (8*a*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*b^5*d) + (2*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*(a^2 - b^2))/(b^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (4*a*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^3*d) - (2*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 2, -2/(b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a - b]]/((a - b)^(3/2)*d)) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a + b]]/((a + b)^(3/2)*d) + (2*b)/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((2*a - 5*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(4*(a - b)^(5/2)*d) + ((2*a + 5*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(4*(a + b)^(5/2)*d) - (b*(a^2 + 5*b^2))/(2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (Sec[c + d*x]^2*(b - a*Sin[c + d*x]))/(2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 8, (-3*(4*a^2 - 14*a*b + 15*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(32*(a - b)^(7/2)*d) + (3*(4*a^2 + 14*a*b + 15*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(32*(a + b)^(7/2)*d) - (3*b*(2*a^4 - 7*a^2*b^2 - 15*b^4))/(16*(a^2 - b^2)^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (Sec[c + d*x]^4*(b - a*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (Sec[c + d*x]^2*(b*(a^2 + 9*b^2) + 2*a*(3*a^2 - 8*b^2)*Sin[c + d*x]))/(16*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+
+{Cos[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((2*Cos[c + d*x]^5)/(b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])) + (20*Cos[c + d*x]^3*(8*a - 7*b*Sin[c + d*x])*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(63*b^3*d) - (16*(32*a^4 - 57*a^2*b^2 + 21*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(63*b^6*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (16*a*(32*a^4 - 65*a^2*b^2 + 33*b^4)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(63*b^6*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (8*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(a*(32*a^2 - 33*b^2) - 3*b*(8*a^2 - 7*b^2)*Sin[c + d*x]))/(63*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((2*Cos[c + d*x]^3)/(b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])) + (4*Cos[c + d*x]*(4*a - 3*b*Sin[c + d*x])*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(5*b^3*d) + (8*(4*a^2 - 3*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(5*b^4*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (32*a*(a^2 - b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(5*b^4*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((2*Cos[c + d*x])/(b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])) - (4*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (4*a*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*b*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - ((a^2 + 3*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (a*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(4*a*b - (a^2 + 3*b^2)*Sin[c + d*x]))/((a^2 - b^2)^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 8, (2*b*Sec[c + d*x]^3)/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - ((4*a^4 - 15*a^2*b^2 - 21*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(6*(a^2 - b^2)^3*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (2*a*(a^2 - 3*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(8*a*b - (a^2 + 7*b^2)*Sin[c + d*x]))/(3*(a^2 - b^2)^2*d) - (Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(a*b*(a^2 - 33*b^2) - (4*a^4 - 15*a^2*b^2 - 21*b^4)*Sin[c + d*x]))/(6*(a^2 - b^2)^3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 3, (-2*(a^2 - b^2)^2)/(3*b^5*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (8*a*(a^2 - b^2))/(b^5*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (4*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^5*d) - (8*a*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*b^5*d) + (2*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 3, (2*(a^2 - b^2))/(3*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (4*a)/(b^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 2, -2/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 7, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a - b]]/((a - b)^(5/2)*d)) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a + b]]/((a + b)^(5/2)*d) + (2*b)/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (4*a*b)/((a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((2*a - 7*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(4*(a - b)^(7/2)*d) + ((2*a + 7*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(4*(a + b)^(7/2)*d) - (b*(3*a^2 + 7*b^2))/(6*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (Sec[c + d*x]^2*(b - a*Sin[c + d*x]))/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (a*b*(a^2 + 19*b^2))/(2*(a^2 - b^2)^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((12*a^2 - 54*a*b + 77*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(32*(a - b)^(9/2)*d) + ((12*a^2 + 54*a*b + 77*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(32*(a + b)^(9/2)*d) - (b*(18*a^4 - 81*a^2*b^2 - 77*b^4))/(48*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (Sec[c + d*x]^4*(b - a*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (a*b*(3*a^4 - 16*a^2*b^2 - 127*b^4))/(8*(a^2 - b^2)^4*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (Sec[c + d*x]^2*(b*(3*a^2 + 11*b^2) + 2*a*(3*a^2 - 10*b^2)*Sin[c + d*x]))/(16*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+
+{Cos[c + d*x]^8/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((2*Cos[c + d*x]^7)/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))) - (128*a*(8*a^2 - 9*b^2)*(4*a^2 - 3*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(99*b^8*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (32*(128*a^6 - 272*a^4*b^2 + 159*a^2*b^4 - 15*b^6)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(99*b^8*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (28*Cos[c + d*x]^5*(12*a + b*Sin[c + d*x]))/(33*b^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (40*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(32*a^2 - 3*b^2 - 28*a*b*Sin[c + d*x]))/(99*b^5*d) - (16*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(128*a^4 - 144*a^2*b^2 + 15*b^4 - 3*a*b*(32*a^2 - 31*b^2)*Sin[c + d*x]))/(99*b^7*d)}
+{Cos[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((2*Cos[c + d*x]^5)/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))) + (16*a*(32*a^2 - 29*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(21*b^6*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (16*(32*a^4 - 37*a^2*b^2 + 5*b^4)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(21*b^6*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (20*Cos[c + d*x]^3*(8*a + b*Sin[c + d*x]))/(21*b^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (8*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(32*a^2 - 5*b^2 - 24*a*b*Sin[c + d*x]))/(21*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((2*Cos[c + d*x]^3)/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))) - (32*a*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*b^4*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (8*(4*a^2 - b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(3*b^4*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (4*Cos[c + d*x]*(4*a + b*Sin[c + d*x]))/(3*b^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((2*Cos[c + d*x])/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))) + (4*a*Cos[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (4*a*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (4*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 8, (2*b*Sec[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (16*a*b*Sec[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (a*(3*a^2 + 29*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*(a^2 - b^2)^3*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + ((3*a^2 + 5*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(b*(27*a^2 + 5*b^2) - a*(3*a^2 + 29*b^2)*Sin[c + d*x]))/(3*(a^2 - b^2)^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 9, (2*b*Sec[c + d*x]^3)/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (8*a*b*Sec[c + d*x]^3)/((a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (2*a*(a^4 - 6*a^2*b^2 - 27*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*(a^2 - b^2)^4*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + ((4*a^4 - 21*a^2*b^2 - 15*b^4)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(6*(a^2 - b^2)^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(b*(29*a^2 + 3*b^2) - a*(a^2 + 31*b^2)*Sin[c + d*x]))/(3*(a^2 - b^2)^3*d) - (Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(b*(a^4 - 114*a^2*b^2 - 15*b^4) - 4*a*(a^4 - 6*a^2*b^2 - 27*b^4)*Sin[c + d*x]))/(6*(a^2 - b^2)^4*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(p/2) (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 5, (-2*b*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))/(9*d*e) + (10*a*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (10*a*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, (-2*b*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(7*d*e) + (6*a*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, (-2*b*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(5*d*e) + (2*a*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*a*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, (-2*b*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(3*d*e) + (2*a*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + b*Sin[c + d*x])/Sqrt[e*Cos[c + d*x]], x, 3, (-2*b*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(d*e) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{(a + b*Sin[c + d*x])/(e*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*b)/(d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*a*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*Sin[c + d*x])/(d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{(a + b*Sin[c + d*x])/(e*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (2*b)/(3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*a*Sin[c + d*x])/(3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + b*Sin[c + d*x])/(e*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 5, (2*b)/(5*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (6*a*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*Sin[c + d*x])/(5*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (6*a*Sin[c + d*x])/(5*d*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, (-26*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))/(99*d*e) + (10*(11*a^2 + 2*b^2)*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (10*(11*a^2 + 2*b^2)*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*(11*a^2 + 2*b^2)*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*d) - (2*b*(e*Cos[c + d*x])^(9/2)*(a + b*Sin[c + d*x]))/(11*d*e)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 5, (-22*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(63*d*e) + (2*(9*a^2 + 2*b^2)*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(9*a^2 + 2*b^2)*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) - (2*b*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + b*Sin[c + d*x]))/(9*d*e)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 5, (-18*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(35*d*e) + (2*(7*a^2 + 2*b^2)*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*(7*a^2 + 2*b^2)*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) - (2*b*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x]))/(7*d*e)}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (-14*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(15*d*e) + (2*(5*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*b*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x]))/(5*d*e)}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^2/Sqrt[e*Cos[c + d*x]], x, 4, (-10*a*b*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(3*d*e) + (2*(3*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*b*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x]))/(3*d*e)}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^2/(e*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(d*e^3) - (2*(a^2 + 2*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x]))/(d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^2/(e*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (2*a*b*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(3*d*e^3) + (2*(a^2 - 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x]))/(3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^2/(e*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 5, (2*a*b)/(5*d*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*(3*a^2 - 2*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(3*a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(5*d*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x]))/(5*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (-2*b*(177*a^2 + 44*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))/(1287*d*e) + (10*a*(11*a^2 + 6*b^2)*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (10*a*(11*a^2 + 6*b^2)*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*a*(11*a^2 + 6*b^2)*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*d) - (34*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(9/2)*(a + b*Sin[c + d*x]))/(143*d*e) - (2*b*(e*Cos[c + d*x])^(9/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(13*d*e)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 6, (-2*b*(43*a^2 + 12*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(231*d*e) + (2*a*(3*a^2 + 2*b^2)*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*(3*a^2 + 2*b^2)*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) - (10*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + b*Sin[c + d*x]))/(33*d*e) - (2*b*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(11*d*e)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 6, (-2*b*(89*a^2 + 28*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(315*d*e) + (2*a*(7*a^2 + 6*b^2)*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(7*a^2 + 6*b^2)*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) - (26*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x]))/(63*d*e) - (2*b*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(9*d*e)}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 5, (-2*b*(57*a^2 + 20*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(105*d*e) + (2*a*(5*a^2 + 6*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (22*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x]))/(35*d*e) - (2*b*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(7*d*e)}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^3/Sqrt[e*Cos[c + d*x]], x, 5, (-2*b*(11*a^2 + 4*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(5*d*e) + (2*a*(a^2 + 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (6*a*b*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x]))/(5*d*e) - (2*b*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(5*d*e)}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^3/(e*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*b*(3*a^2 + 4*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(3*d*e^3) - (2*a*(a^2 + 6*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x]))/(d*e^3) + (2*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^3/(e*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*b*(a^2 + 4*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(3*d*e^3) + (2*a*(a^2 - 6*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*a*b*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x]))/(3*d*e^3) + (2*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^3/(e*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 5, (2*b*(3*a^2 - 4*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(5*d*e^5) - (6*a*(a^2 - 2*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(5*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (2*(a + b*Sin[c + d*x])*(a*b - (3*a^2 - 4*b^2)*Sin[c + d*x]))/(5*d*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^3/(e*Cos[c + d*x])^(9/2), x, 5, (2*b*(5*a^2 - 4*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(21*d*e^5) + (2*a*(5*a^2 - 6*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*e^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(7*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (2*(a + b*Sin[c + d*x])*(a*b + (5*a^2 - 4*b^2)*Sin[c + d*x]))/(21*d*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^4, x, 8, (-34*a*b*(53*a^2 + 38*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))/(6435*d*e) + (2*(55*a^4 + 60*a^2*b^2 + 4*b^4)*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*(55*a^4 + 60*a^2*b^2 + 4*b^4)*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*(55*a^4 + 60*a^2*b^2 + 4*b^4)*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(385*d) - (2*b*(93*a^2 + 26*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(9/2)*(a + b*Sin[c + d*x]))/(715*d*e) - (14*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(9/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(65*d*e) - (2*b*(e*Cos[c + d*x])^(9/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(15*d*e)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^4, x, 7, (-10*a*b*(115*a^2 + 94*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(3003*d*e) + (2*(39*a^4 + 52*a^2*b^2 + 4*b^4)*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(65*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(39*a^4 + 52*a^2*b^2 + 4*b^4)*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(195*d) - (2*b*(73*a^2 + 22*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + b*Sin[c + d*x]))/(429*d*e) - (38*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(143*d*e) - (2*b*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(13*d*e)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^4, x, 7, (-26*a*b*(79*a^2 + 74*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(3465*d*e) + (2*(77*a^4 + 132*a^2*b^2 + 12*b^4)*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*(77*a^4 + 132*a^2*b^2 + 12*b^4)*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) - (2*b*(167*a^2 + 54*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x]))/(693*d*e) - (34*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(99*d*e) - (2*b*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(11*d*e)}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^4, x, 6, (-22*a*b*(17*a^2 + 18*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(315*d*e) + (2*(15*a^4 + 36*a^2*b^2 + 4*b^4)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*b*(41*a^2 + 14*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x]))/(105*d*e) - (10*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(21*d*e) - (2*b*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(9*d*e)}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^4/Sqrt[e*Cos[c + d*x]], x, 6, (-6*a*b*(31*a^2 + 34*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(35*d*e) + (2*(7*a^4 + 28*a^2*b^2 + 4*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(7*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*b*(29*a^2 + 10*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x]))/(35*d*e) - (26*a*b*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(35*d*e) - (2*b*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(7*d*e)}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^4/(e*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*a*b*(15*a^2 + 62*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(15*d*e^3) - (2*(5*a^4 + 60*a^2*b^2 + 12*b^4)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b*(5*a^2 + 6*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x]))/(5*d*e^3) + (2*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(d*e^3) + (2*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^4/(e*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*a*b*(a^2 + 14*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(3*d*e^3) + (2*(a^4 - 12*a^2*b^2 - 4*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*b*(a^2 + 2*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x]))/(3*d*e^3) + (2*a*b*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(3*d*e^3) + (2*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^4/(e*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 6, (2*a*b*(3*a^2 - 10*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(5*d*e^5) - (6*(a^4 - 4*a^2*b^2 - 4*b^4)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (6*b*(a^2 - 2*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x]))/(5*d*e^5) + (2*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(5*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (6*(a + b*Sin[c + d*x])^2*(a*b - (a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]))/(5*d*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^4/(e*Cos[c + d*x])^(9/2), x, 6, (10*a*b*(a^2 - 2*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(21*d*e^5) + (2*(5*a^4 - 12*a^2*b^2 + 12*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*e^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*b*(5*a^2 - 6*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x]))/(21*d*e^5) + (2*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(7*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)) - (2*(a + b*Sin[c + d*x])^2*(a*b - (5*a^2 - 6*b^2)*Sin[c + d*x]))/(21*d*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^4/(e*Cos[c + d*x])^(11/2), x, 6, (2*a*b*(21*a^2 - 22*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(45*d*e^7) - (2*(7*a^4 - 12*a^2*b^2 + 4*b^4)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(b + a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(9*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(9/2)) - (2*(a + b*Sin[c + d*x])*(b*(7*a^2 - 6*b^2) - a*(21*a^2 - 22*b^2)*Sin[c + d*x]))/(45*d*e^5*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*(a + b*Sin[c + d*x])^2*(a*b + (7*a^2 - 6*b^2)*Sin[c + d*x]))/(45*d*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(11/2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 15, -(((-a^2 + b^2)^(9/4)*e^(11/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(11/2)*d)) - ((-a^2 + b^2)^(9/4)*e^(11/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(11/2)*d) + (2*e*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))/(9*b*d) + (2*a*(21*a^4 - 49*a^2*b^2 + 33*b^4)*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*b^6*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (a*(a^2 - b^2)^3*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(b^6*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (a*(a^2 - b^2)^3*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(b^6*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(7*(a^2 - b^2) - 5*a*b*Sin[c + d*x]))/(35*b^3*d) + (2*e^5*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(21*(a^2 - b^2)^2 - a*b*(7*a^2 - 12*b^2)*Sin[c + d*x]))/(21*b^5*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(9/2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 14, ((-a^2 + b^2)^(7/4)*e^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(9/2)*d) - ((-a^2 + b^2)^(7/4)*e^(9/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(9/2)*d) + (2*e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(7*b*d) - (2*a*(5*a^2 - 8*b^2)*e^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*b^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (a*(a^2 - b^2)^2*e^5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(b^5*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (a*(a^2 - b^2)^2*e^5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(b^5*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(5*(a^2 - b^2) - 3*a*b*Sin[c + d*x]))/(15*b^3*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 14, -(((-a^2 + b^2)^(5/4)*e^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(7/2)*d)) - ((-a^2 + b^2)^(5/4)*e^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(7/2)*d) + (2*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(5*b*d) - (2*a*(3*a^2 - 4*b^2)*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*b^4*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (a*(a^2 - b^2)^2*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(b^4*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (a*(a^2 - b^2)^2*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(b^4*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(3*(a^2 - b^2) - a*b*Sin[c + d*x]))/(3*b^3*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 13, ((-a^2 + b^2)^(3/4)*e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(5/2)*d) - ((-a^2 + b^2)^(3/4)*e^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(5/2)*d) + (2*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(3*b*d) + (2*a*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (a*(a^2 - b^2)*e^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(b^3*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (a*(a^2 - b^2)*e^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(b^3*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 13, -(((-a^2 + b^2)^(1/4)*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(3/2)*d)) - ((-a^2 + b^2)^(1/4)*e^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(3/2)*d) + (2*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(b*d) + (2*a*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(b^2*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (a*(a^2 - b^2)*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(b^2*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (a*(a^2 - b^2)*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(b^2*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 9, (Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(1/4)*d) - (Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(1/4)*d) + (a*e*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (a*e*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])), x, 9, -((Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((-a^2 + b^2)^(3/4)*d*Sqrt[e])) - (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((-a^2 + b^2)^(3/4)*d*Sqrt[e]) + (a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/((a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/((a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])), x, 13, (b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((-a^2 + b^2)^(5/4)*d*e^(3/2)) - (b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((-a^2 + b^2)^(5/4)*d*e^(3/2)) - (2*a*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)*d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*(b - a*Sin[c + d*x]))/((a^2 - b^2)*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x])), x, 13, -((b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((-a^2 + b^2)^(7/4)*d*e^(5/2))) - (b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((-a^2 + b^2)^(7/4)*d*e^(5/2)) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*(a^2 - b^2)*d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (a*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (a*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*(b - a*Sin[c + d*x]))/(3*(a^2 - b^2)*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + b*Sin[c + d*x])), x, 14, (b^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((-a^2 + b^2)^(9/4)*d*e^(7/2)) - (b^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((-a^2 + b^2)^(9/4)*d*e^(7/2)) - (2*a*(3*a^2 - 8*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*(a^2 - b^2)^2*d*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (a*b^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)^2*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (a*b^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)^2*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (2*(b - a*Sin[c + d*x]))/(5*(a^2 - b^2)*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*(5*b^3 + a*(3*a^2 - 8*b^2)*Sin[c + d*x]))/(5*(a^2 - b^2)^2*d*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(11/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 15, (-9*a*(-a^2 + b^2)^(5/4)*e^(11/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(11/2)*d) - (9*a*(-a^2 + b^2)^(5/4)*e^(11/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(11/2)*d) - (3*(21*a^4 - 28*a^2*b^2 + 5*b^4)*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(7*b^6*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (9*a^2*(a^2 - b^2)^2*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*b^6*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (9*a^2*(a^2 - b^2)^2*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*b^6*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (9*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(7*a - 5*b*Sin[c + d*x]))/(35*b^3*d) - (e*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))/(b*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (3*e^5*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(21*a*(a^2 - b^2) - b*(7*a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x]))/(7*b^5*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(9/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 14, (7*a*(-a^2 + b^2)^(3/4)*e^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(9/2)*d) - (7*a*(-a^2 + b^2)^(3/4)*e^(9/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(9/2)*d) + (7*(5*a^2 - 3*b^2)*e^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*b^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (7*a^2*(a^2 - b^2)*e^5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*b^5*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (7*a^2*(a^2 - b^2)*e^5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*b^5*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (7*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(5*a - 3*b*Sin[c + d*x]))/(15*b^3*d) - (e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 14, (-5*a*(-a^2 + b^2)^(1/4)*e^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(7/2)*d) - (5*a*(-a^2 + b^2)^(1/4)*e^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(7/2)*d) + (5*(3*a^2 - b^2)*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*b^4*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (5*a^2*(a^2 - b^2)*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*b^4*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (5*a^2*(a^2 - b^2)*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*b^4*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (5*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(3*a - b*Sin[c + d*x]))/(3*b^3*d) - (e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 13, (3*a*e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(5/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*d) - (3*a*e^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(5/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*d) - (3*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (3*a^2*e^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*b^3*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (3*a^2*e^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*b^3*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 13, -(a*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*d) - (a*e^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*d) - (e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(b^2*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (a^2*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*b^2*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (a^2*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*b^2*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 13, -(a*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(5/4)*d) + (a*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(5/4)*d) + (Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (a^2*e*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*b*(a^2 - b^2)*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (a^2*e*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*b*(a^2 - b^2)*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (b*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/((a^2 - b^2)*d*e*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{1/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^2), x, 13, (3*a*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*(-a^2 + b^2)^(7/4)*d*Sqrt[e]) + (3*a*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*(-a^2 + b^2)^(7/4)*d*Sqrt[e]) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (3*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*(a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (3*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*(a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (b*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d*e*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^2), x, 14, (-5*a*b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*(-a^2 + b^2)^(9/4)*d*e^(3/2)) + (5*a*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*(-a^2 + b^2)^(9/4)*d*e^(3/2)) - ((2*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)^2*d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (5*a^2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*(a^2 - b^2)^2*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (5*a^2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*(a^2 - b^2)^2*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + b/((a^2 - b^2)*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])) - (5*a*b - (2*a^2 + 3*b^2)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^2), x, 14, (7*a*b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*(-a^2 + b^2)^(11/4)*d*e^(5/2)) + (7*a*b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*(-a^2 + b^2)^(11/4)*d*e^(5/2)) + ((2*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (7*a^2*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*(a^2 - b^2)^2*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (7*a^2*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*(a^2 - b^2)^2*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + b/((a^2 - b^2)*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])) - (7*a*b - (2*a^2 + 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^2), x, 15, (-9*a*b^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*(-a^2 + b^2)^(13/4)*d*e^(7/2)) + (9*a*b^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*(-a^2 + b^2)^(13/4)*d*e^(7/2)) - (3*(2*a^4 - 10*a^2*b^2 - 7*b^4)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*(a^2 - b^2)^3*d*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (9*a^2*b^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*(a^2 - b^2)^3*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (9*a^2*b^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(2*(a^2 - b^2)^3*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + b/((a^2 - b^2)*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x])) - (9*a*b - (2*a^2 + 7*b^2)*Sin[c + d*x])/(5*(a^2 - b^2)^2*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (3*(15*a*b^3 + (2*a^4 - 10*a^2*b^2 - 7*b^4)*Sin[c + d*x]))/(5*(a^2 - b^2)^3*d*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(13/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 15, (-11*(9*a^4 - 11*a^2*b^2 + 2*b^4)*e^(13/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(13/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*d) + (11*(9*a^4 - 11*a^2*b^2 + 2*b^4)*e^(13/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(13/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*d) + (11*a*(45*a^2 - 37*b^2)*e^6*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(20*b^6*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (11*a*(9*a^4 - 11*a^2*b^2 + 2*b^4)*e^7*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*b^7*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (11*a*(9*a^4 - 11*a^2*b^2 + 2*b^4)*e^7*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*b^7*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (e*(e*Cos[c + d*x])^(11/2))/(2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (11*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(9*a + 2*b*Sin[c + d*x]))/(28*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (11*e^5*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(5*(9*a^2 - 2*b^2) - 27*a*b*Sin[c + d*x]))/(60*b^5*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(11/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 15, (9*(7*a^4 - 9*a^2*b^2 + 2*b^4)*e^(11/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(11/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*d) + (9*(7*a^4 - 9*a^2*b^2 + 2*b^4)*e^(11/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(11/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*d) + (3*a*(21*a^2 - 13*b^2)*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(4*b^6*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (9*a*(7*a^4 - 9*a^2*b^2 + 2*b^4)*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*b^6*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (9*a*(7*a^4 - 9*a^2*b^2 + 2*b^4)*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*b^6*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (e*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))/(2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (9*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(7*a + 2*b*Sin[c + d*x]))/(20*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (3*e^5*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(3*(7*a^2 - 2*b^2) - 7*a*b*Sin[c + d*x]))/(4*b^5*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(9/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 14, (7*(5*a^2 - 2*b^2)*e^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(9/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*d) - (7*(5*a^2 - 2*b^2)*e^(9/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(9/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*d) - (35*a*e^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(4*b^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (7*a*(5*a^2 - 2*b^2)*e^5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*b^5*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (7*a*(5*a^2 - 2*b^2)*e^5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*b^5*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (7*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(5*a + 2*b*Sin[c + d*x]))/(12*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 14, (-5*(3*a^2 - 2*b^2)*e^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(7/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*d) - (5*(3*a^2 - 2*b^2)*e^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(7/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*d) - (15*a*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(4*b^4*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (5*a*(3*a^2 - 2*b^2)*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*b^4*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (5*a*(3*a^2 - 2*b^2)*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*b^4*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (5*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(3*a + 2*b*Sin[c + d*x]))/(4*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 14, (3*(a^2 - 2*b^2)*e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(5/2)*(-a^2 + b^2)^(5/4)*d) - (3*(a^2 - 2*b^2)*e^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(5/2)*(-a^2 + b^2)^(5/4)*d) + (3*a*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(4*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (3*a*(a^2 - 2*b^2)*e^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*b^3*(a^2 - b^2)*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (3*a*(a^2 - 2*b^2)*e^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*b^3*(a^2 - b^2)*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (3*a*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(4*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 14, ((a^2 + 2*b^2)*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(7/4)*d) + ((a^2 + 2*b^2)*e^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(7/4)*d) - (a*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(4*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (a*(a^2 + 2*b^2)*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*b^2*(a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (a*(a^2 + 2*b^2)*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*b^2*(a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (a*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(4*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 14, ((3*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(9/4)*d) - ((3*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(9/4)*d) + (5*a*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (a*(3*a^2 + 2*b^2)*e*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*b*(a^2 - b^2)^2*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (a*(3*a^2 + 2*b^2)*e*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*b*(a^2 - b^2)^2*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (b*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(2*(a^2 - b^2)*d*e*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (5*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(4*(a^2 - b^2)^2*d*e*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{1/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^3), x, 14, (-3*Sqrt[b]*(5*a^2 + 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*(-a^2 + b^2)^(11/4)*d*Sqrt[e]) - (3*Sqrt[b]*(5*a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*(-a^2 + b^2)^(11/4)*d*Sqrt[e]) - (7*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (3*a*(5*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*(a^2 - b^2)^2*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (3*a*(5*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*(a^2 - b^2)^2*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (b*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(2*(a^2 - b^2)*d*e*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (7*a*b*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(4*(a^2 - b^2)^2*d*e*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^3), x, 15, (5*b^(3/2)*(7*a^2 + 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*(-a^2 + b^2)^(13/4)*d*e^(3/2)) - (5*b^(3/2)*(7*a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*(-a^2 + b^2)^(13/4)*d*e^(3/2)) - (a*(8*a^2 + 37*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(4*(a^2 - b^2)^3*d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (5*a*b*(7*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*(a^2 - b^2)^3*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (5*a*b*(7*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*(a^2 - b^2)^3*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + b/(2*(a^2 - b^2)*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (9*a*b)/(4*(a^2 - b^2)^2*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])) - (5*b*(7*a^2 + 2*b^2) - a*(8*a^2 + 37*b^2)*Sin[c + d*x])/(4*(a^2 - b^2)^3*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^3), x, 15, (-7*b^(5/2)*(9*a^2 + 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*(-a^2 + b^2)^(15/4)*d*e^(5/2)) - (7*b^(5/2)*(9*a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*(-a^2 + b^2)^(15/4)*d*e^(5/2)) + (a*(8*a^2 + 69*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(12*(a^2 - b^2)^3*d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (7*a*b^2*(9*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*(a^2 - b^2)^3*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (7*a*b^2*(9*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*(a^2 - b^2)^3*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + b/(2*(a^2 - b^2)*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (11*a*b)/(4*(a^2 - b^2)^2*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])) - (7*b*(9*a^2 + 2*b^2) - a*(8*a^2 + 69*b^2)*Sin[c + d*x])/(12*(a^2 - b^2)^3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^3), x, 16, (9*b^(7/2)*(11*a^2 + 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*(-a^2 + b^2)^(17/4)*d*e^(7/2)) - (9*b^(7/2)*(11*a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*(-a^2 + b^2)^(17/4)*d*e^(7/2)) - (3*a*(8*a^4 - 64*a^2*b^2 - 139*b^4)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(20*(a^2 - b^2)^4*d*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (9*a*b^3*(11*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*(a^2 - b^2)^4*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (9*a*b^3*(11*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(8*(a^2 - b^2)^4*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + b/(2*(a^2 - b^2)*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (13*a*b)/(4*(a^2 - b^2)^2*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x])) - (9*b*(11*a^2 + 2*b^2) - a*(8*a^2 + 109*b^2)*Sin[c + d*x])/(20*(a^2 - b^2)^3*d*e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (3*(15*b^3*(11*a^2 + 2*b^2) + a*(8*a^4 - 64*a^2*b^2 - 139*b^4)*Sin[c + d*x]))/(20*(a^2 - b^2)^4*d*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(15/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^4, x, 16, (39*a*(11*a^4 - 17*a^2*b^2 + 6*b^4)*e^(15/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*b^(15/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*d) + (39*a*(11*a^4 - 17*a^2*b^2 + 6*b^4)*e^(15/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*b^(15/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*d) + (13*(231*a^4 - 203*a^2*b^2 + 20*b^4)*e^8*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(56*b^8*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (39*a^2*(11*a^4 - 17*a^2*b^2 + 6*b^4)*e^8*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(c + d*x), 2])/(16*b^8*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (39*a^2*(11*a^4 - 17*a^2*b^2 + 6*b^4)*e^8*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(c + d*x), 2])/(16*b^8*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (e*(e*Cos[c + d*x])^(13/2))/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3) - (13*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(9/2)*(11*a + 4*b*Sin[c + d*x]))/(84*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (39*e^5*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(77*a^2 - 20*b^2 + 22*a*b*Sin[c + d*x]))/(280*b^5*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (13*e^7*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(21*a*(11*a^2 - 6*b^2) - b*(77*a^2 - 20*b^2)*Sin[c + d*x]))/(56*b^7*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(13/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^4, x, 15, (77*a*(3*a^2 - 2*b^2)*e^(13/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*b^(13/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*d) - (77*a*(3*a^2 - 2*b^2)*e^(13/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*b^(13/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*d) - (77*(15*a^2 - 4*b^2)*e^6*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(40*b^6*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (77*a^2*(3*a^2 - 2*b^2)*e^7*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(c + d*x), 2])/(16*b^7*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (77*a^2*(3*a^2 - 2*b^2)*e^7*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(c + d*x), 2])/(16*b^7*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (e*(e*Cos[c + d*x])^(11/2))/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3) - (11*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(9*a + 4*b*Sin[c + d*x]))/(60*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (77*e^5*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(15*a^2 - 4*b^2 + 6*a*b*Sin[c + d*x]))/(120*b^5*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(11/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^4, x, 15, -((15*a*(7*a^2 - 6*b^2)*e^(11/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*b^(11/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*d)) - (15*a*(7*a^2 - 6*b^2)*e^(11/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*b^(11/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*d) - (5*(21*a^2 - 4*b^2)*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(8*b^6*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (15*a^2*(7*a^2 - 6*b^2)*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(c + d*x), 2])/(16*b^6*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (15*a^2*(7*a^2 - 6*b^2)*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(c + d*x), 2])/(16*b^6*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (e*(e*Cos[c + d*x])^(9/2))/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3) - (e^3*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(7*a + 4*b*Sin[c + d*x]))/(4*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (5*e^5*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(21*a^2 - 4*b^2 + 14*a*b*Sin[c + d*x]))/(8*b^5*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(9/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^4, x, 15, (7*a*(5*a^2 - 6*b^2)*e^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*b^(9/2)*(-a^2 + b^2)^(5/4)*d) - (7*a*(5*a^2 - 6*b^2)*e^(9/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*b^(9/2)*(-a^2 + b^2)^(5/4)*d) + (7*(5*a^2 - 4*b^2)*e^4*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(8*b^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (7*a^2*(5*a^2 - 6*b^2)*e^5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(16*b^5*(a^2 - b^2)*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (7*a^2*(5*a^2 - 6*b^2)*e^5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(16*b^5*(a^2 - b^2)*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (e*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3) + (7*(5*a^2 - 4*b^2)*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(8*b^3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (7*e^3*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(5*a + 4*b*Sin[c + d*x]))/(12*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^4, x, 15, (-5*a*(a^2 - 2*b^2)*e^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*b^(7/2)*(-a^2 + b^2)^(7/4)*d) - (5*a*(a^2 - 2*b^2)*e^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*b^(7/2)*(-a^2 + b^2)^(7/4)*d) + (5*(3*a^2 - 4*b^2)*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(24*b^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (5*a^2*(a^2 - 2*b^2)*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(16*b^4*(a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (5*a^2*(a^2 - 2*b^2)*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(16*b^4*(a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (e*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3) - (5*(3*a^2 - 4*b^2)*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(24*b^3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (5*e^3*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(3*a + 4*b*Sin[c + d*x]))/(12*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^4, x, 15, -(a*(a^2 - 6*b^2)*e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*b^(5/2)*(-a^2 + b^2)^(9/4)*d) + (a*(a^2 - 6*b^2)*e^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*b^(5/2)*(-a^2 + b^2)^(9/4)*d) + ((a^2 + 4*b^2)*e^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(8*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (a^2*(a^2 - 6*b^2)*e^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(16*b^3*(a^2 - b^2)^2*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (a^2*(a^2 - 6*b^2)*e^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(16*b^3*(a^2 - b^2)^2*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3) + (a*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(4*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((a^2 + 4*b^2)*e*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(8*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^4, x, 15, -(a*(a^2 + 6*b^2)*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(11/4)*d) - (a*(a^2 + 6*b^2)*e^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(11/4)*d) - ((3*a^2 + 4*b^2)*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(24*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(a^2 + 6*b^2)*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(16*b^2*(a^2 - b^2)^2*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(a^2 + 6*b^2)*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(16*b^2*(a^2 - b^2)^2*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3) + (a*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(12*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((3*a^2 + 4*b^2)*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(24*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/(a + b*Sin[c + d*x])^4, x, 15, (-5*a*(a^2 + 2*b^2)*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(13/4)*d) + (5*a*(a^2 + 2*b^2)*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(13/4)*d) + ((11*a^2 + 4*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(8*(a^2 - b^2)^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (5*a^2*(a^2 + 2*b^2)*e*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(16*b*(a^2 - b^2)^3*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (5*a^2*(a^2 + 2*b^2)*e*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(16*b*(a^2 - b^2)^3*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (b*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(3*(a^2 - b^2)*d*e*(a + b*Sin[c + d*x])^3) + (3*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(4*(a^2 - b^2)^2*d*e*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (b*(11*a^2 + 4*b^2)*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(8*(a^2 - b^2)^3*d*e*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{1/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^4), x, 15, (7*a*Sqrt[b]*(5*a^2 + 6*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*(-a^2 + b^2)^(15/4)*d*Sqrt[e]) + (7*a*Sqrt[b]*(5*a^2 + 6*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*(-a^2 + b^2)^(15/4)*d*Sqrt[e]) - ((57*a^2 + 20*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(24*(a^2 - b^2)^3*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (7*a^2*(5*a^2 + 6*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(16*(a^2 - b^2)^3*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (7*a^2*(5*a^2 + 6*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(16*(a^2 - b^2)^3*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (b*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(3*(a^2 - b^2)*d*e*(a + b*Sin[c + d*x])^3) + (11*a*b*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(12*(a^2 - b^2)^2*d*e*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (b*(57*a^2 + 20*b^2)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(24*(a^2 - b^2)^3*d*e*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^4), x, 16, (-15*a*b^(3/2)*(7*a^2 + 6*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*(-a^2 + b^2)^(17/4)*d*e^(3/2)) + (15*a*b^(3/2)*(7*a^2 + 6*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(16*(-a^2 + b^2)^(17/4)*d*e^(3/2)) - ((16*a^4 + 151*a^2*b^2 + 28*b^4)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(8*(a^2 - b^2)^4*d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (15*a^2*b*(7*a^2 + 6*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(16*(a^2 - b^2)^4*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) - (15*a^2*b*(7*a^2 + 6*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c + d*x)/2, 2])/(16*(a^2 - b^2)^4*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + b/(3*(a^2 - b^2)*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^3) + (13*a*b)/(12*(a^2 - b^2)^2*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (b*(89*a^2 + 28*b^2))/(24*(a^2 - b^2)^3*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])) - (15*a*b*(7*a^2 + 6*b^2) - (16*a^4 + 151*a^2*b^2 + 28*b^4)*Sin[c + d*x])/(8*(a^2 - b^2)^4*d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(p/2) (a+b Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* {(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 1, (2*e*AppellF1[3/2, -(1/4), -(1/4), 5/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*b*d*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(1/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(1/4))}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 1, (1/(3*b*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]))*(2*e*AppellF1[3/2, 1/4, 1/4, 5/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(1/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(1/4))}
+{Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e*Cos[c + d*x]], x, 1, (2*e*AppellF1[3/2, 3/4, 3/4, 5/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(3/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(3/4))/(3*b*d*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/(e*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 1, 0}
+{Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/(e*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 2, 0}
+{Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/(e*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 3, 0}
+{Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/(e*Cos[c + d*x])^(9/2), x, 4, 0} *)
+
+
+(* {(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 1, (2*e*AppellF1[5/2, -(3/4), -(3/4), 7/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*b*d*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(3/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(3/4))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 1, (2*e*AppellF1[5/2, -(1/4), -(1/4), 7/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*b*d*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(1/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(1/4))}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 1, (1/(5*b*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]))*(2*e*AppellF1[5/2, 1/4, 1/4, 7/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(1/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(1/4))}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)/Sqrt[e*Cos[c + d*x]], x, 1, (1/(5*b*d*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)))*(2*e*AppellF1[5/2, 3/4, 3/4, 7/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(3/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(3/4))}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)/(e*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, 0}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)/(e*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 1, 0}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)/(e*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 3, 0}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)/(e*Cos[c + d*x])^(9/2), x, 4, 0}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)/(e*Cos[c + d*x])^(11/2), x, 5, 0} *)
+
+
+(* {(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 1, (2*e*AppellF1[7/2, -(1/4), -(1/4), 9/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*b*d*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(1/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(1/4))}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 1, (2*e*AppellF1[7/2, 1/4, 1/4, 9/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(1/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(1/4))/(7*b*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2)/Sqrt[e*Cos[c + d*x]], x, 1, (2*e*AppellF1[7/2, 3/4, 3/4, 9/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(3/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(3/4))/(7*b*d*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2)/(e*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, 0}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2)/(e*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, 0}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2)/(e*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 1, 0}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2)/(e*Cos[c + d*x])^(9/2), x, 3, 0}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2)/(e*Cos[c + d*x])^(11/2), x, 4, 0}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2)/(e*Cos[c + d*x])^(13/2), x, 5, 0} *)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{1/(Sqrt[c*Cos[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x, 2, (2*Sqrt[2]*(-a + b)^(1/4)*Sqrt[c*Cos[e + f*x]]*EllipticF[ArcSin[((a + b)^(1/4)*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x] + Sin[e + f*x])/(1 + Cos[e + f*x] - Sin[e + f*x])])/(-a + b)^(1/4)], -1]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/((a - b)*(1 - Sin[e + f*x]))])/((a + b)^(1/4)*c*f*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x] + Sin[e + f*x])/(1 + Cos[e + f*x] - Sin[e + f*x])]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), (Sqrt[2]*(a - b)^(1/4)*Sqrt[c*Cos[e + f*x]]*EllipticF[2*ArcTan[((a + b)^(1/4)*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x] + Sin[e + f*x])/(1 + Cos[e + f*x] - Sin[e + f*x])])/(a - b)^(1/4)], 1/2]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/((a - b)*(1 - Sin[e + f*x]))]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/((a - b)*(1 - Cos[f*x]*Sin[e] - Cos[e]*Sin[f*x])*(1 + (Sqrt[a + b]*(1 + Cos[e + f*x] + Sin[e + f*x]))/(Sqrt[a - b]*(1 + Cos[e + f*x] - Sin[e + f*x])))^2)]*(1 + (Sqrt[a + b]*(1 + Cos[e + f*x] + Sin[e + f*x]))/(Sqrt[a - b]*(1 + Cos[e + f*x] - Sin[e + f*x]))))/((a + b)^(1/4)*c*f*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x] + Sin[e + f*x])/(1 + Cos[e + f*x] - Sin[e + f*x])]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/((a - b)*(1 - Cos[f*x]*Sin[e] - Cos[e]*Sin[f*x]))])}
+
+
+(* {(e*Cos[c + d*x])^(5/2)/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 1, (2*e*AppellF1[1/2, -(3/4), -(3/4), 3/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(b*d*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(3/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(3/4))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 1, (2*e*AppellF1[1/2, -(1/4), -(1/4), 3/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(b*d*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(1/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(1/4))}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 1, (2*e*AppellF1[1/2, 1/4, 1/4, 3/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(1/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(1/4))/(b*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]), x, 1, 0}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]), x, 2, 0}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]), x, 3, 0}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]), x, 4, 0} *)
+
+
+(* {(e*Cos[c + d*x])^(7/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 1, -((2*e*AppellF1[-(1/2), -(5/4), -(5/4), 1/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(5/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(5/4)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 1, -((2*e*AppellF1[-(1/2), -(3/4), -(3/4), 1/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(3/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(3/4)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 1, -((2*e*AppellF1[-(1/2), -(1/4), -(1/4), 1/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(1/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(1/4)))}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 1, -((2*2^(3/4)*e*Hypergeometric2F1[1/4, 3/4, 7/4, ((a - b)*(1 - Sin[c + d*x]))/(2*(a + b*Sin[c + d*x]))]*(1 - Sin[c + d*x])*(((a + b)*(1 + Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x]))^(1/4))/(3*(a + b)*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]))}
+{1/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)), x, 2, 0}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)), x, 3, 0}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)), x, 4, 0}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)), x, 5, 0} *)
+
+
+(* {(e*Cos[c + d*x])^(9/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 1, -((2*e*AppellF1[-(3/2), -(7/4), -(7/4), -(1/2), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(7/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(7/4)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 1, -((2*e*AppellF1[-(3/2), -(5/4), -(5/4), -(1/2), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(5/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(5/4)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 1, -((2*e*AppellF1[-(3/2), -(3/4), -(3/4), -(1/2), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(3/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(3/4)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 1, 0}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 2, 0}
+{1/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2)), x, 3, 0}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2)), x, 4, 0}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2)), x, 5, 0} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m when p symbolic*)
+
+
+(* {(e*Cos[c + d*x])^p*(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 10, -((a*b*(9 + m)*(3*b^6*(5053 + 4443*m + 1163*m^2 + 93*m^3) + a^2*b^4*(101978 + 91503*m + 28373*m^2 + 3753*m^3 + 185*m^4) + a^4*b^2*(95912 + 88506*m + 33953*m^2 + 6723*m^3 + 671*m^4 + 27*m^5) + a^6*(12176 + 11772*m + 6168*m^2 + 1809*m^3 + 303*m^4 + 27*m^5 + m^6))*(e*Cos[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m)*(6 + m)*(7 + m)*(8 + m)*(2 + 3*m + m^2))) + (1/(d*e*(6 + m)*(8 + m)*(8 + 6*m + m^2)))*((105*b^8 + 420*a^2*b^6*(8 + m) + 210*a^4*b^4*(48 + 14*m + m^2) + 28*a^6*b^2*(192 + 104*m + 18*m^2 + m^3) + a^8*(384 + 400*m + 140*m^2 + 20*m^3 + m^4))*(e*Cos[c + d*x])^(1 + m)*(Cos[c + d*x]^2)^((1/2)*(-1 - m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - m)/2, 3/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]) - (1/(d*e*(4 + m)*(5 + m)*(6 + m)*(7 + m)*(8 + m)*(6 + 5*m + m^2)))*(b*(105*b^6*(105 + 71*m + 15*m^2 + m^3) + 3*a^2*b^4*(75798 + 51665*m + 12355*m^2 + 1255*m^3 + 47*m^4) + a^4*b^2*(367992 + 253870*m + 72195*m^2 + 10705*m^3 + 813*m^4 + 25*m^5) + a^6*(69264 + 48860*m + 18424*m^2 + 4025*m^3 + 511*m^4 + 35*m^5 + m^6))*(e*Cos[c + d*x])^(1 + m)*(a + b*Sin[c + d*x])) - (a*b*(11 + m)*(3*b^4*(783 + 308*m + 29*m^2) + 2*a^2*b^2*(3852 + 1529*m + 208*m^2 + 11*m^3) + a^4*(2232 + 902*m + 203*m^2 + 22*m^3 + m^4))*(e*Cos[c + d*x])^(1 + m)*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(d*e*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m)*(6 + m)*(7 + m)*(8 + m)) - (b*(35*b^4*(35 + 12*m + m^2) + 2*a^2*b^2*(6068 + 2091*m + 232*m^2 + 9*m^3) + a^4*(5944 + 2070*m + 355*m^2 + 30*m^3 + m^4))*(e*Cos[c + d*x])^(1 + m)*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(d*e*(4 + m)*(5 + m)*(6 + m)*(7 + m)*(8 + m)) - (a*b*(13 + m)*(b^2*(83 + 13*m) + a^2*(82 + 13*m + m^2))*(e*Cos[c + d*x])^(1 + m)*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(d*e*(5 + m)*(6 + m)*(7 + m)*(8 + m)) - (b*(7*b^2*(7 + m) + a^2*(146 + 21*m + m^2))*(e*Cos[c + d*x])^(1 + m)*(a + b*Sin[c + d*x])^5)/(d*e*(6 + m)*(7 + m)*(8 + m)) - (a*b*(15 + m)*(e*Cos[c + d*x])^(1 + m)*(a + b*Sin[c + d*x])^6)/(d*e*(7 + m)*(8 + m)) - (b*(e*Cos[c + d*x])^(1 + m)*(a + b*Sin[c + d*x])^7)/(d*e*(8 + m))} *)
+{(e*Cos[c + d*x])^p*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((b*(2*b^2*(2 + p) + a^2*(11 + 6*p + p^2))*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p))/(d*e*(1 + p)*(2 + p)*(3 + p))) - (a*(3*b^2 + a^2*(2 + p))*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*e*(1 + p)*(2 + p)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (a*b*(5 + p)*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*(a + b*Sin[c + d*x]))/(d*e*(2 + p)*(3 + p)) - (b*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(d*e*(3 + p)), -((b*(2*b^2*(2 + p) + a^2*(11 + 6*p + p^2))*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p))/(d*e*(3 + p)*(2 + 3*p + p^2))) - (a*(3*b^2 + a^2*(2 + p))*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*e*(1 + p)*(2 + p)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (a*b*(5 + p)*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*(a + b*Sin[c + d*x]))/(d*e*(2 + p)*(3 + p)) - (b*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(d*e*(3 + p))]}
+{(e*Cos[c + d*x])^p*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -((a*b*(3 + p)*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p))/(d*e*(1 + p)*(2 + p))) - ((b^2 + a^2*(2 + p))*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*e*(1 + p)*(2 + p)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (b*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*(a + b*Sin[c + d*x]))/(d*e*(2 + p))}
+{(e*Cos[c + d*x])^p*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 2, -((b*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p))/(d*e*(1 + p))) - (a*(e*Cos[c + d*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*e*(1 + p)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(e*Cos[c + d*x])^p/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 1, -((e*AppellF1[1 - p, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 2 - p, (a + b)/(a + b*Sin[c + d*x]), (a - b)/(a + b*Sin[c + d*x])]*(e*Cos[c + d*x])^(-1 + p)*(-((b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x])))^((1 - p)/2)*((b*(1 + Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x]))^((1 - p)/2))/(b*d*(1 - p)))}
+{(e*Cos[c + d*x])^p/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 1, -((e*AppellF1[2 - p, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 3 - p, (a + b)/(a + b*Sin[c + d*x]), (a - b)/(a + b*Sin[c + d*x])]*(e*Cos[c + d*x])^(-1 + p)*(-((b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x])))^((1 - p)/2)*((b*(1 + Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x]))^((1 - p)/2))/(b*d*(2 - p)*(a + b*Sin[c + d*x])))}
+{(e*Cos[c + d*x])^p/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 1, -((e*AppellF1[3 - p, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 4 - p, (a + b)/(a + b*Sin[c + d*x]), (a - b)/(a + b*Sin[c + d*x])]*(e*Cos[c + d*x])^(-1 + p)*(-((b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x])))^((1 - p)/2)*((b*(1 + Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x]))^((1 - p)/2))/(b*d*(3 - p)*(a + b*Sin[c + d*x])^2))}
+{(e*Cos[c + d*x])^p/(a + b*Sin[c + d*x])^8, x, 1, -((e*AppellF1[8 - p, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 9 - p, (a + b)/(a + b*Sin[c + d*x]), (a - b)/(a + b*Sin[c + d*x])]*(e*Cos[c + d*x])^(-1 + p)*(-((b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x])))^((1 - p)/2)*((b*(1 + Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x]))^((1 - p)/2))/(b*d*(8 - p)*(a + b*Sin[c + d*x])^7))}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^p*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 2, (2*e*AppellF1[7/2, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 9/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*(e*Cos[c + d*x])^(-1 + p)*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^((1 - p)/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^((1 - p)/2))/(7*b*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^p*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 2, (2*e*AppellF1[5/2, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 7/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*(e*Cos[c + d*x])^(-1 + p)*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^((1 - p)/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^((1 - p)/2))/(5*b*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^p*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 2, (2*e*AppellF1[3/2, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 5/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*(e*Cos[c + d*x])^(-1 + p)*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^((1 - p)/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^((1 - p)/2))/(3*b*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^p/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 2, (2*e*AppellF1[1/2, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 3/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*(e*Cos[c + d*x])^(-1 + p)*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^((1 - p)/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^((1 - p)/2))/(b*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^p/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 2, -((2*e*AppellF1[-(1/2), (1 - p)/2, (1 - p)/2, 1/2, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*(e*Cos[c + d*x])^(-1 + p)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^((1 - p)/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^((1 - p)/2))/(b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^p/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 2, -((2*e*AppellF1[-(3/2), (1 - p)/2, (1 - p)/2, -(1/2), (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*(e*Cos[c + d*x])^(-1 + p)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^((1 - p)/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^((1 - p)/2))/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m when m symbolic*)
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^p*(a + b*Sin[c + d*x])^m, x, 2, (e*AppellF1[1 + m, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*(e*Cos[c + d*x])^(-1 + p)*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^((1 - p)/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^((1 - p)/2))/(b*d*(1 + m))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x])^m, x, 3, -(((a^2 - b^2)^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(b^7*d*(1 + m))) + (6*a*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(2 + m))/(b^7*d*(2 + m)) - (3*(5*a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*(a + b*Sin[c + d*x])^(3 + m))/(b^7*d*(3 + m)) + (4*a*(5*a^2 - 3*b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(4 + m))/(b^7*d*(4 + m)) - (3*(5*a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(5 + m))/(b^7*d*(5 + m)) + (6*a*(a + b*Sin[c + d*x])^(6 + m))/(b^7*d*(6 + m)) - (a + b*Sin[c + d*x])^(7 + m)/(b^7*d*(7 + m))}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^m, x, 3, ((a^2 - b^2)^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(b^5*d*(1 + m)) - (4*a*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(2 + m))/(b^5*d*(2 + m)) + (2*(3*a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(3 + m))/(b^5*d*(3 + m)) - (4*a*(a + b*Sin[c + d*x])^(4 + m))/(b^5*d*(4 + m)) + (a + b*Sin[c + d*x])^(5 + m)/(b^5*d*(5 + m))}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^m, x, 3, -(((a^2 - b^2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(b^3*d*(1 + m))) + (2*a*(a + b*Sin[c + d*x])^(2 + m))/(b^3*d*(2 + m)) - (a + b*Sin[c + d*x])^(3 + m)/(b^3*d*(3 + m))}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^m, x, 2, (a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m)/(b*d*(1 + m))}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^m, x, 5, -((Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(2*(a - b)*d*(1 + m))) + (Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(2*(a + b)*d*(1 + m))}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^m, x, 6, -(((a - b*(1 - m))*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(4*(a - b)^2*d*(1 + m))) + ((a + b - b*m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(4*(a + b)^2*d*(1 + m)) - (Sec[c + d*x]^2*(b - a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^m, x, 7, -(((3*a^2 - 3*a*b*(2 - m) + b^2*(3 - 4*m + m^2))*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(16*(a - b)^3*d*(1 + m))) + ((3*a^2 + 3*a*b*(2 - m) + b^2*(3 - 4*m + m^2))*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(16*(a + b)^3*d*(1 + m)) - (Sec[c + d*x]^4*(b - a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(4*(a^2 - b^2)*d) + (Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m)*(b*(b^2*(3 - m) - a^2*(1 + m)) + a*(3*a^2 - b^2*(5 - 2*m))*Sin[c + d*x]))/(8*(a^2 - b^2)^2*d)}
+
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^m, x, 2, (AppellF1[1 + m, -(3/2), -(3/2), 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(b*d*(1 + m)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(3/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^m, x, 2, (AppellF1[1 + m, -(1/2), -(1/2), 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(b*d*(1 + m)*Sqrt[1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b)]*Sqrt[1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^m, x, 2, (AppellF1[1 + m, 3/2, 3/2, 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(3/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(3/2))/(b*d*(1 + m))}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^m, x, 2, (AppellF1[1 + m, 5/2, 5/2, 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*Sec[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(5/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(5/2))/(b*d*(1 + m))}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^m, x, 2, (e*AppellF1[1 + m, -(3/4), -(3/4), 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(b*d*(1 + m)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(3/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(3/4))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^m, x, 2, (e*AppellF1[1 + m, -(1/4), -(1/4), 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(b*d*(1 + m)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(1/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(1/4))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(1/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^m, x, 2, (e*AppellF1[1 + m, 1/4, 1/4, 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(1/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(1/4))/(b*d*(1 + m)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^m/(e*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (e*AppellF1[1 + m, 3/4, 3/4, 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(3/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(3/4))/(b*d*(1 + m)*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^m/(e*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 2, (e*AppellF1[1 + m, 5/4, 5/4, 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(5/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(5/4))/(b*d*(1 + m)*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^m/(e*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 2, (e*AppellF1[1 + m, 7/4, 7/4, 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(7/4)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(7/4))/(b*d*(1 + m)*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))}
+
+
+{(a + b*Sin[c + d*x])^m/(e*Cos[c + d*x])^(m + 4), x, 9, If[$VersionNumber>=8, -(((e*Cos[c + d*x])^(-3 - m)*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((a - b)*d*e*(3 + m))) + (2*b*(e*Cos[c + d*x])^(-1 - m)*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((a - b)^2*d*e^3*(1 + m)*(3 + m)) + (a*(e*Cos[c + d*x])^(-3 - m)*(1 + Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((a^2 - b^2)*d*e*(3 + m)) + (a*(3*b + a*(2 + m))*(e*Cos[c + d*x])^(-3 - m)*(1 - Sin[c + d*x])*(1 + Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((a - b)*(a + b)^2*d*e*(1 + m)*(3 + m)) - (2^(3/2 - m/2)*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(-1 - m)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 - m), (1 + m)/2, (1 - m)/2, ((a - b)*(1 - Sin[c + d*x]))/(2*(a + b*Sin[c + d*x]))]*(((a + b)*(1 + Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x]))^((1 + m)/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((a - b)^2*(a + b)*d*e^3*(1 + m)*(3 + m)) - (2^(-(1/2) - m/2)*a*(2*a*b - b^2 + a^2*(2 + m))*(e*Cos[c + d*x])^(-3 - m)*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (3 + m)/2, (3 - m)/2, ((a - b)*(1 - Sin[c + d*x]))/(2*(a + b*Sin[c + d*x]))]*(1 - Sin[c + d*x])^2*(((a + b)*(1 + Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x]))^((3 + m)/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((a - b)*(a + b)^3*d*e*(1 - m)*(3 + m)), -(((e*Cos[c + d*x])^(-3 - m)*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((a - b)*d*e*(3 + m))) + (2*b*(e*Cos[c + d*x])^(-1 - m)*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((a - b)^2*d*e^3*(1 + m)*(3 + m)) + (a*(e*Cos[c + d*x])^(-3 - m)*(1 + Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((a^2 - b^2)*d*e*(3 + m)) + (a*(3*b + a*(2 + m))*(e*Cos[c + d*x])^(-3 - m)*(1 - Sin[c + d*x])*(1 + Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((a - b)*(a + b)^2*d*e*(1 + m)*(3 + m)) - (2^(3/2 - m/2)*a*b*(e*Cos[c + d*x])^(-1 - m)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 - m), (1 + m)/2, (1 - m)/2, ((a - b)*(1 - Sin[c + d*x]))/(2*(a + b*Sin[c + d*x]))]*(((a + b)*(1 + Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x]))^((1 + m)/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((a - b)^2*(a + b)*d*e^3*(3 + 4*m + m^2)) - (2^(-(1/2) - m/2)*a*(2*a*b - b^2 + a^2*(2 + m))*(e*Cos[c + d*x])^(-3 - m)*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (3 + m)/2, (3 - m)/2, ((a - b)*(1 - Sin[c + d*x]))/(2*(a + b*Sin[c + d*x]))]*(1 - Sin[c + d*x])^2*(((a + b)*(1 + Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x]))^((3 + m)/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((a - b)*(a + b)^3*d*e*(1 - m)*(3 + m))]}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^m/(e*Cos[c + d*x])^(m + 3), x, -5, (Sec[c + d*x]^4*(-1 + Sin[c + d*x])*(1 + Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((e*Cos[c + d*x])^m*((a - b)*d*e^3*(2 + m))) + ((-2*b + a*(2 + m))*Sec[c + d*x]^4*(-1 + Sin[c + d*x])*(1 + Sin[c + d*x])^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((e*Cos[c + d*x])^m*((a - b)^2*d*e^3*m*(2 + m))) - ((-b^2 + a^2*(1 + m))*Hypergeometric2F1[m/2, 1 + m, 2 + m, -((2*(a + b*Sin[c + d*x]))/((a - b)*(-1 + Sin[c + d*x])))]*Sec[c + d*x]^4*(1 + Sin[c + d*x])^3*(((a + b)*(1 + Sin[c + d*x]))/((a - b)*(-1 + Sin[c + d*x])))^((1/2)*(-2 + m))*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((e*Cos[c + d*x])^m*((a - b)^3*d*e^3*m*(1 + m)))}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^m/(e*Cos[c + d*x])^(m + 2), x, 3, -(((e*Cos[c + d*x])^(-1 - m)*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((a - b)*d*e*(1 + m))) + (2^(1/2 - m/2)*a*(e*Cos[c + d*x])^(-1 - m)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 - m), (1 + m)/2, (1 - m)/2, ((a - b)*(1 - Sin[c + d*x]))/(2*(a + b*Sin[c + d*x]))]*(((a + b)*(1 + Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x]))^((1 + m)/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((a^2 - b^2)*d*e*(1 + m))}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^m/(e*Cos[c + d*x])^(m + 1), x, 1, (e*(e*Cos[c + d*x])^(-2 - m)*Hypergeometric2F1[1 + m, (2 + m)/2, 2 + m, (2*(a + b*Sin[c + d*x]))/((a + b)*(1 + Sin[c + d*x]))]*(1 - Sin[c + d*x])*(-(((a - b)*(1 - Sin[c + d*x]))/((a + b)*(1 + Sin[c + d*x]))))^(m/2)*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m))/((a + b)*d*(1 + m))}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^m/(e*Cos[c + d*x])^(m + 0), x, 2, (e*AppellF1[1 + m, (1 + m)/2, (1 + m)/2, 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*(e*Cos[c + d*x])^(-1 - m)*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^((1 + m)/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^((1 + m)/2))/(b*d*(1 + m))}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^m/(e*Cos[c + d*x])^(m - 1), x, 2, (e*AppellF1[1 + m, m/2, m/2, 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^(m/2)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^(m/2))/((e*Cos[c + d*x])^m*(b*d*(1 + m)))}
+{(a + b*Sin[c + d*x])^m/(e*Cos[c + d*x])^(m - 2), x, 2, (e*AppellF1[1 + m, (1/2)*(-1 + m), (1/2)*(-1 + m), 2 + m, (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b), (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]*(e*Cos[c + d*x])^(1 - m)*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + m)*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a - b))^((1/2)*(-1 + m))*(1 - (a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^((1/2)*(-1 + m)))/(b*d*(1 + m))}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m when a^2-b^2=0*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1.3 (g tan)^p (a+b sin)^m.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1.3 (g tan)^p (a+b sin)^m.m
new file mode 100644
index 00000000..7fe2e78a
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.1.3 (g tan)^p (a+b sin)^m.m	
@@ -0,0 +1,351 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m with a^2-b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^p (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, -((23*a*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d)) + (7*a*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) - (a*Sin[c + d*x])/d + a^3/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - a^2/(d*(a - a*Sin[c + d*x])) + a^2/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, (5*a*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*d) - (a*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*d) + (a*Sin[c + d*x])/d + a^2/(2*d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, -((a*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d) - (a*Sin[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, (a*Log[Sin[c + d*x]])/d + (a*Sin[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, -((a*Csc[c + d*x])/d) - (a*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*Sin[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, (2*a*Csc[c + d*x])/d + (a*Csc[c + d*x]^2)/d - (a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) + (a*Log[Sin[c + d*x]])/d + (a*Sin[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, -((3*a*Csc[c + d*x])/d) - (3*a*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Csc[c + d*x]^3)/d + (3*a*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) - (a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Csc[c + d*x]^6)/(6*d) - (a*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*Sin[c + d*x])/d}
+
+{Tan[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (-a)*x + (a*Cos[c + d*x])/d + (3*a*Sec[c + d*x])/d - (a*Sec[c + d*x]^3)/d + (a*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Tan[c + d*x])/d - (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Tan[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, a*x - (a*Cos[c + d*x])/d - (2*a*Sec[c + d*x])/d + (a*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Tan[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, (-a)*x + (a*Cos[c + d*x])/d + (a*Cos[c + d*x])/(d*(1 - Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, (-a)*x - (a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a*Cos[c + d*x])/d - (a*Cot[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, a*x + (3*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (3*a*Cos[c + d*x])/(2*d) + (a*Cot[c + d*x])/d - (a*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 11, (-a)*x - (15*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) + (15*a*Cos[c + d*x])/(8*d) - (a*Cot[c + d*x])/d + (5*a*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(8*d) + (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^4)/(4*d) - (a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -((31*a^2*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(8*d)) - (a^2*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(8*d) - (2*a^2*Sin[c + d*x])/d - (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + a^4/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - (9*a^3)/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (3*a^2*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d + (2*a^2*Sin[c + d*x])/d + (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + a^3/(d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -((2*a^2*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d) - (2*a^2*Sin[c + d*x])/d - (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 2, -((Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^4)/(2*a^2*d))}
+{Cot[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -((6*a^2*Csc[c + d*x])/d) + (2*a^2*Csc[c + d*x]^3)/d + (a^2*Csc[c + d*x]^4)/(2*d) - (2*a^2*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^2*Csc[c + d*x]^6)/(6*d) + (2*a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d - (2*a^2*Sin[c + d*x])/d - (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+
+{Tan[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 14, -((9*a^2*x)/2) + (2*a^2*Cos[c + d*x])/d + (6*a^2*Sec[c + d*x])/d - (2*a^2*Sec[c + d*x]^3)/d + (2*a^2*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (9*a^2*Tan[c + d*x])/(2*d) - (3*a^2*Tan[c + d*x]^3)/(2*d) + (9*a^2*Tan[c + d*x]^5)/(10*d) - (a^2*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x]^5)/(2*d)}
+{Tan[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (7*a^2*x)/2 - (16*a^2*Cos[c + d*x])/(3*d) - (7*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (8*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])) + (a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 6, -((5*a^2*x)/2) + (2*a^2*Cos[c + d*x])/d + (2*a^2*Cos[c + d*x])/(d*(1 - Sin[c + d*x])) + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Tan[c + d*x]^0*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 1, (3*a^2*x)/2 - (2*a^2*Cos[c + d*x])/d - (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 8, -((a^2*x)/2) - (2*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (2*a^2*Cos[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x])/d + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, -((a^2*x)/2) + (3*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (2*a^2*Cos[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/d - (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (209*a^3*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d) - (a^3*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) + (7*a^3*Sin[c + d*x])/d + (3*a^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + a^6/(6*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) - (13*a^5)/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (71*a^4)/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (7*a^3*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d + (5*a^3*Sin[c + d*x])/d + (3*a^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a^4)/(d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, -((4*a^3*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d) - (4*a^3*Sin[c + d*x])/d - (3*a^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, -((3*a^3*Csc[c + d*x])/d) - (a^3*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) + (2*a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d - (2*a^3*Sin[c + d*x])/d - (3*a^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+{Tan[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 9, -((23*a^3*x)/2) + (136*a^3*Cos[c + d*x])/(5*d) - (136*a^3*Cos[c + d*x]^3)/(15*d) + (23*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a^6*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(5*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) - (13*a^5*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(15*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (23*a^6*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*(a^3 - a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 10, (17*a^3*x)/2 - (6*a^3*Cos[c + d*x])/d + (a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a^3*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])^2) - (25*a^3*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])) - (3*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 8, -((11*a^3*x)/2) + (5*a^3*Cos[c + d*x])/d - (a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (4*a^3*Cos[c + d*x])/(d*(1 - Sin[c + d*x])) + (3*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Tan[c + d*x]^0*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (5*a^3*x)/2 - (4*a^3*Cos[c + d*x])/d + (a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 10, (a^3*x)/2 - (3*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (3*a^3*Cos[c + d*x])/d - (a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*Cot[c + d*x])/d + (3*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 3, -((25*a^4*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d) - (16*a^4*Sin[c + d*x])/d - (9*a^4*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (4*a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^4*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) + a^6/(d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - (11*a^5)/(d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 3, (16*a^4*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d + (12*a^4*Sin[c + d*x])/d + (4*a^4*Sin[c + d*x]^2)/d + (4*a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^4*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) + (4*a^5)/(d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 3, -((8*a^4*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d) - (8*a^4*Sin[c + d*x])/d - (7*a^4*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (4*a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^4*Sin[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 3, -((4*a^4*Csc[c + d*x])/d) - (a^4*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) + (5*a^4*Log[Sin[c + d*x]])/d - (5*a^4*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (4*a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^4*Sin[c + d*x]^4)/(4*d)}
+
+{Tan[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 13, (163*a^4*x)/8 - (16*a^4*Cos[c + d*x])/d + (4*a^4*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (4*a^4*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])^2) - (56*a^4*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])) - (35*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 11, -((95*a^4*x)/8) + (12*a^4*Cos[c + d*x])/d - (4*a^4*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (8*a^4*Cos[c + d*x])/(d*(1 - Sin[c + d*x])) + (31*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Tan[c + d*x]^0*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 10, (35*a^4*x)/8 - (8*a^4*Cos[c + d*x])/d + (4*a^4*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (27*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 12, (17*a^4*x)/8 - (4*a^4*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (4*a^4*Cos[c + d*x])/d - (4*a^4*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^4*Cot[c + d*x])/d + (23*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 17, -((61*a^4*x)/8) + (2*a^4*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (4*a^4*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*a^4*Cot[c + d*x])/d - (a^4*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^4*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/d - (19*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 21, (97*a^4*x)/8 + (5*a^4*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (4*a^4*Cos[c + d*x])/d - (4*a^4*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (10*a^4*Cot[c + d*x])/d - (5*a^4*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^4*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (5*a^4*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d) - (a^4*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/d + (15*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, -((35*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*a*d)) + (35*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(128*a*d) - (35*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(192*a*d) + (7*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^5)/(48*a*d) - (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^7)/(8*a*d) + Tan[c + d*x]^8/(8*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, (5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*a*d) - (5*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*a*d) + (5*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(24*a*d) - (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^5)/(6*a*d) + Tan[c + d*x]^6/(6*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -((3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*a*d)) + (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*a*d) - (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(4*a*d) + Tan[c + d*x]^4/(4*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(2*a*d) + 1/(2*d*(a + a*Sin[c + d*x])), ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(2*a*d) + Sec[c + d*x]^2/(2*a*d) - (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a*d)}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, Csc[c + d*x]/(a*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, -(Cot[c + d*x]^4/(4*a*d)) - Csc[c + d*x]/(a*d) + Csc[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -(Cot[c + d*x]^6/(6*a*d)) + Csc[c + d*x]/(a*d) - (2*Csc[c + d*x]^3)/(3*a*d) + Csc[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^9/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -(Cot[c + d*x]^8/(8*a*d)) - Csc[c + d*x]/(a*d) + Csc[c + d*x]^3/(a*d) - (3*Csc[c + d*x]^5)/(5*a*d) + Csc[c + d*x]^7/(7*a*d)}
+
+{Tan[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, Sec[c + d*x]/(a*d) - Sec[c + d*x]^3/(a*d) + (3*Sec[c + d*x]^5)/(5*a*d) - Sec[c + d*x]^7/(7*a*d) + Tan[c + d*x]^7/(7*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -(Sec[c + d*x]/(a*d)) + (2*Sec[c + d*x]^3)/(3*a*d) - Sec[c + d*x]^5/(5*a*d) + Tan[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, Sec[c + d*x]/(a*d) - Sec[c + d*x]^3/(3*a*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^0/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 1, -(Cos[c + d*x]/(d*(a + a*Sin[c + d*x])))}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d) - Cot[c + d*x]/(a*d)}
+{Cot[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(2*a*d)) - Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a*d) - (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a*d) + (Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^8/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -((5*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*a*d)) - Cot[c + d*x]^7/(7*a*d) + (5*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*a*d) - (5*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(24*a*d) + (Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x])/(6*a*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((7*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*a^2*d)) + a/(192*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) - 1/(32*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + a^3/(80*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) - (5*a^2)/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) + (19*a)/(96*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 1/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 21/(256*d*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x])) + 35/(256*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(64*a^2*d) + 1/(64*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + a^2/(32*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - (7*a)/(48*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + 1/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 5/(64*d*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x])) - 5/(32*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -(ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(8*a^2*d)) + a/(12*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 1/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 1/(16*d*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x])) + 3/(16*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(4*a^2*d) + 1/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 1/(4*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, Log[Sin[c + d*x]]/(a^2*d) - Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a^2*d) + 1/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (2*Csc[c + d*x])/(a^2*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a^2*d) + (2*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - (2*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^2*d)}
+{Cot[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -(Csc[c + d*x]^2/(2*a^2*d)) + (2*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - Csc[c + d*x]^4/(4*a^2*d)}
+{Cot[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, Csc[c + d*x]^2/(2*a^2*d) - (2*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + (2*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - Csc[c + d*x]^6/(6*a^2*d)}
+{Cot[c + d*x]^9/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -(Csc[c + d*x]^2/(2*a^2*d)) + (2*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + Csc[c + d*x]^4/(4*a^2*d) - (4*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + Csc[c + d*x]^6/(6*a^2*d) + (2*Csc[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) - Csc[c + d*x]^8/(8*a^2*d)}
+{Cot[c + d*x]^11/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, Csc[c + d*x]^2/(2*a^2*d) - (2*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - Csc[c + d*x]^4/(2*a^2*d) + (6*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (6*Csc[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) + Csc[c + d*x]^8/(4*a^2*d) + (2*Csc[c + d*x]^9)/(9*a^2*d) - Csc[c + d*x]^10/(10*a^2*d)}
+{Cot[c + d*x]^13/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -(Csc[c + d*x]^2/(2*a^2*d)) + (2*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + (3*Csc[c + d*x]^4)/(4*a^2*d) - (8*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - Csc[c + d*x]^6/(3*a^2*d) + (12*Csc[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) - Csc[c + d*x]^8/(4*a^2*d) - (8*Csc[c + d*x]^9)/(9*a^2*d) + (3*Csc[c + d*x]^10)/(10*a^2*d) + (2*Csc[c + d*x]^11)/(11*a^2*d) - Csc[c + d*x]^12/(12*a^2*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(128*a^3*d) + 1/(128*a*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + a^2/(40*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) - (7*a)/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) + 1/(6*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 5/(64*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 1/(32*d*(a^3 - a^3*Sin[c + d*x])) - 5/(128*d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -(ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(32*a^3*d)) + a/(16*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - 1/(6*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + 3/(32*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 1/(32*d*(a^3 - a^3*Sin[c + d*x])) + 1/(16*d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(8*a^3*d) + 1/(6*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 1/(8*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 1/(8*d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, Log[Sin[c + d*x]]/(a^3*d) - Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a^3*d) + 1/(2*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 1/(d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (3*Csc[c + d*x])/(a^3*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a^3*d) + (5*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (5*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + 2/(d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (4*Csc[c + d*x])/(a^3*d) - (2*Csc[c + d*x]^2)/(a^3*d) + Csc[c + d*x]^3/(a^3*d) - Csc[c + d*x]^4/(4*a^3*d) + (4*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (4*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^3*d)}
+{Cot[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, Csc[c + d*x]^3/(3*a^3*d) - (3*Csc[c + d*x]^4)/(4*a^3*d) + (3*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - Csc[c + d*x]^6/(6*a^3*d)}
+{Cot[c + d*x]^9/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, -(Csc[c + d*x]^3/(3*a^3*d)) + (3*Csc[c + d*x]^4)/(4*a^3*d) - (2*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - Csc[c + d*x]^6/(3*a^3*d) + (3*Csc[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) - Csc[c + d*x]^8/(8*a^3*d)}
+{Cot[c + d*x]^11/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, Csc[c + d*x]^3/(3*a^3*d) - (3*Csc[c + d*x]^4)/(4*a^3*d) + Csc[c + d*x]^5/(5*a^3*d) + (5*Csc[c + d*x]^6)/(6*a^3*d) - (5*Csc[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) - Csc[c + d*x]^8/(8*a^3*d) + Csc[c + d*x]^9/(3*a^3*d) - Csc[c + d*x]^10/(10*a^3*d)}
+{Cot[c + d*x]^13/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, -(Csc[c + d*x]^3/(3*a^3*d)) + (3*Csc[c + d*x]^4)/(4*a^3*d) - (4*Csc[c + d*x]^6)/(3*a^3*d) + (6*Csc[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) + (3*Csc[c + d*x]^8)/(4*a^3*d) - (8*Csc[c + d*x]^9)/(9*a^3*d) + (3*Csc[c + d*x]^11)/(11*a^3*d) - Csc[c + d*x]^12/(12*a^3*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, -(ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(128*a^4*d)) + a^2/(48*d*(a + a*Sin[c + d*x])^6) - (7*a)/(80*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) + 1/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - 5/(96*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + 1/(256*d*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x])^2) - 5/(256*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2) - 3/(256*d*(a^4 - a^4*Sin[c + d*x])) - 1/(256*d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 3, a/(20*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) - 1/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) + 1/(16*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + 1/(32*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2) + 1/(64*d*(a^4 - a^4*Sin[c + d*x])) + 1/(64*d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(16*a^4*d) + 1/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - 1/(12*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 1/(16*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2) - 1/(16*d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 3, (4*Csc[c + d*x])/(a^4*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a^4*d) + (9*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - (9*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + 1/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2) + 5/(d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 3, (8*Csc[c + d*x])/(a^4*d) - (4*Csc[c + d*x]^2)/(a^4*d) + (8*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^4*d) - (7*Csc[c + d*x]^4)/(4*a^4*d) + (4*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^4*d) - Csc[c + d*x]^6/(6*a^4*d) + (8*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - (8*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^4*d)}
+
+{Tan[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 17, -((4*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^4*d)) + (12*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^4*d) - (8*Sec[c + d*x]^9)/(9*a^4*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a^4*d) + (9*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^4*d) + (16*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^4*d) + (8*Tan[c + d*x]^9)/(9*a^4*d)}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, If[$VersionNumber<9, 15, 14], If[$VersionNumber<9, (4*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^4*d) - (94*Cot[c + d*x])/(15*a^4*d) + (2*Cot[c + d*x])/(5*a^4*d*(1 + Sin[c + d*x])^3) + (13*Cot[c + d*x])/(15*a^4*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) + (4*Cot[c + d*x])/(a^4*d*(1 + Sin[c + d*x])), (4*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^4*d) - Cot[c + d*x]/(a^4*d) - (2*Cot[c + d*x])/(5*a^4*d*(1 + Csc[c + d*x])^3) + (31*Cot[c + d*x])/(15*a^4*d*(1 + Csc[c + d*x])^2) - (104*Cot[c + d*x])/(15*a^4*d*(1 + Csc[c + d*x]))]}
+{Cot[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, If[$VersionNumber<9, 17, 14], If[$VersionNumber<9, (14*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^4*d) - (33*Cot[c + d*x])/(a^4*d) - (11*Cot[c + d*x]^3)/(a^4*d) + (14*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(a^4*d) + (4*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a^4*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) + (28*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a^4*d*(1 + Sin[c + d*x])), (14*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^4*d) - (9*Cot[c + d*x])/(a^4*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^4*d) + (2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(a^4*d) + (4*Cot[c + d*x])/(3*a^4*d*(1 + Csc[c + d*x])^2) - (44*Cot[c + d*x])/(3*a^4*d*(1 + Csc[c + d*x]))]}
+{Cot[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 16, If[$VersionNumber<9, (27*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^4*d) - (40*Cot[c + d*x])/(a^4*d) - (27*Cot[c + d*x]^3)/(a^4*d) - (41*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^4*d) + (27*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^4*d) + (9*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(a^4*d) + (8*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(a^4*d*(1 + Sin[c + d*x])), (27*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^4*d) - (16*Cot[c + d*x])/(a^4*d) - (3*Cot[c + d*x]^3)/(a^4*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a^4*d) + (11*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^4*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(a^4*d) - (8*Cot[c + d*x])/(a^4*d*(1 + Csc[c + d*x]))]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^p (a+a Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 15, (11*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(8*Sqrt[2]*f) - (27*Sec[e + f*x]*Sqrt[a*(1 + Sin[e + f*x])])/(8*f) - (Sec[e + f*x]^3*Sqrt[a*(1 + Sin[e + f*x])])/(12*f) + (29*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(12*f) + (5*Sqrt[a*(1 + Sin[e + f*x])]*Tan[e + f*x]^3)/(12*f), (11*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(8*Sqrt[2]*f) + (11*a^2*Cos[e + f*x])/(8*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*a*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (11*a*Sec[e + f*x])/(6*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (7*Sec[e + f*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*f) + (4*Sec[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*a*f)}
+{Tan[e + f*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 4, -((Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*f)) + (5*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/f - (2*Sec[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a*f)}
+{Cot[e + f*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 4, -((Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]])/f) + (3*a*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/f}
+{Cot[e + f*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 7, (11*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]])/(8*f) - (2*a*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (11*a*Cot[e + f*x])/(8*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(12*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*f)}
+
+
+{Tan[e + f*x]^4*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 14, -((a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*f)) + (2*a^3*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (7*a*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(2*f) - (4*a^2*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (Sec[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*f), -((a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*f)) - (8*a^2*Cos[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*f) + (a*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(2*f) - (23*Sec[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (4*Sec[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(a*f)}
+{Tan[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, (11*a^2*Cos[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (7*Sec[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*f) - (2*Sec[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*a*f)}
+{Cot[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, -((3*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]])/f) + (11*a^2*Cos[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (5*a*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*f) - (Cot[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/f}
+{Cot[e + f*x]^4*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 8, (37*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]])/(8*f) - (8*a^2*Cos[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (29*a^2*Cot[e + f*x])/(24*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*f) - (a*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(4*f) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+
+
+{Tan[e + f*x]^4*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 10, -((2*a^5*Cos[e + f*x]^5)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))) + (8*a^4*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (8*a^2*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/f + (2*a*Sec[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*f) - (12*a^3*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]), -((64*a^3*Cos[e + f*x])/(15*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (16*a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(15*f) - (46*a^2*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*f) - (2*a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*f) - (2*a*Sec[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (26*Sec[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*f) - (4*Sec[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(a*f)}
+{Tan[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, (124*a^3*Cos[e + f*x])/(15*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (31*a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(15*f) + (9*Sec[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*f) - (2*Sec[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(5*a*f)}
+{Cot[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, -((5*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]])/f) + (49*a^3*Cos[e + f*x])/(15*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (31*a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(15*f) + (7*a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*f) - (Cot[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/f}
+{Cot[e + f*x]^4*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 10, (55*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]])/(8*f) - (9*a^3*Cos[e + f*x])/(40*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (16*a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(15*f) + (17*a^2*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(24*f) - (2*a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*f) - (5*a*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(12*f) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^4/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 17, -((67*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(64*Sqrt[2]*Sqrt[a]*f)) - (Sec[e + f*x]*(53 + 127*Sin[e + f*x]))/(192*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (a*Sin[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(24*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) + Tan[e + f*x]^3/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]), (61*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(64*Sqrt[2]*Sqrt[a]*f) - (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) + (61*a*Cos[e + f*x])/(64*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (7*a*Sec[e + f*x])/(24*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (61*Sec[e + f*x])/(48*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (5*Sec[e + f*x]^3)/(6*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (7*Sec[e + f*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(12*a*f)}
+{Tan[e + f*x]^2/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 4, (5*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*Sqrt[a]*f) - Sec[e + f*x]/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (3*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(4*a*f)}
+{Cot[e + f*x]^2/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 4, ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]]/(Sqrt[a]*f) - Cot[e + f*x]/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{Cot[e + f*x]^4/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 11, -((7*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]])/(8*Sqrt[a]*f)) + (9*Cot[e + f*x])/(8*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(12*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2)/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{Tan[e + f*x]^4/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 20, (7*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(256*Sqrt[2]*a^(3/2)*f) + (7*Cos[e + f*x])/(256*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (Sec[e + f*x]*(65 + 87*Sin[e + f*x]))/(192*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (a*Sin[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(12*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)) + Tan[e + f*x]^3/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)), (7*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(256*Sqrt[2]*a^(3/2)*f) + (7*Cos[e + f*x])/(256*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (9*Sec[e + f*x])/(32*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - Sec[e + f*x]^3/(6*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (45*Sec[e + f*x])/(64*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + Sec[e + f*x]^3/(4*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{Tan[e + f*x]^2/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])]/(32*Sqrt[2]*a^(3/2)*f) + Cos[e + f*x]/(32*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - Sec[e + f*x]/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (5*Sec[e + f*x])/(8*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{Cot[e + f*x]^2/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, (3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]])/(a^(3/2)*f) - (2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(a^(3/2)*f) - Cot[e + f*x]/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{Cot[e + f*x]^4/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 10, -(ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]]/(8*a^(3/2)*f)) - Cot[e + f*x]/(8*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (11*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(12*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*a^2*f)}
+
+
+{Tan[e + f*x]^4/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 23, (317*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(4096*Sqrt[2]*a^(5/2)*f) + (317*Cos[e + f*x])/(3072*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (317*Cos[e + f*x])/(4096*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (Sec[e + f*x]*(115 + 129*Sin[e + f*x]))/(384*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (5*a*Sin[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(48*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)) + Tan[e + f*x]^3/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)), (317*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(4096*Sqrt[2]*a^(5/2)*f) - Cos[e + f*x]/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)) - Sec[e + f*x]^3/(8*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (317*Cos[e + f*x])/(4096*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (217*Sec[e + f*x])/(1536*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (53*Sec[e + f*x]^3)/(96*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (1085*Sec[e + f*x])/(3072*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (31*Sec[e + f*x]^3)/(192*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{Tan[e + f*x]^2/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, -((11*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(128*Sqrt[2]*a^(5/2)*f)) - Sec[e + f*x]/(6*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (11*Cos[e + f*x])/(128*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (17*Sec[e + f*x])/(48*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (11*Sec[e + f*x])/(96*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{Cot[e + f*x]^2/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, (5*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]])/(a^(5/2)*f) - (7*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a^(5/2)*f) - (2*Cos[e + f*x])/(a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - Cot[e + f*x]/(a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{Cot[e + f*x]^4/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 16, (45*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]])/(8*a^(5/2)*f) - (4*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(a^(5/2)*f) - (19*Cot[e + f*x])/(8*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (13*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(12*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2)/(3*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^p (a+a Sin[e+f x])^(m/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^4*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 10, -((361*Sec[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))/(126*f)) + (361*Sec[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x])*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))/(63*f) - (Sec[e + f*x]*(65*a^2 - 142*a^2*Sin[e + f*x]))/(42*f*(a - a*Sin[e + f*x])*(a + a*Sin[e + f*x])^(2/3)) + (361*(1 + Sqrt[3])*Sec[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x])*(a + a*Sin[e + f*x])^(2/3))/(63*f*(2^(1/3)*a^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))) - (361*2^(1/3)*EllipticE[ArcCos[(2^(1/3)*a^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))/(2^(1/3)*a^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*Sec[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(2/3)*(2^(1/3)*a^(1/3) - (a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3)*a^(2/3) + 2^(1/3)*a^(1/3)*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3) + (a + a*Sin[e + f*x])^(2/3))/(2^(1/3)*a^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))^2])/(21*3^(3/4)*a^(2/3)*f*Sqrt[-(((a + a*Sin[e + f*x])^(1/3)*(2^(1/3)*a^(1/3) - (a + a*Sin[e + f*x])^(1/3)))/(2^(1/3)*a^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))^2)]) - (361*(1 - Sqrt[3])*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3)*a^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))/(2^(1/3)*a^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*Sec[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(2/3)*(2^(1/3)*a^(1/3) - (a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3)*a^(2/3) + 2^(1/3)*a^(1/3)*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3) + (a + a*Sin[e + f*x])^(2/3))/(2^(1/3)*a^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))^2])/(63*2^(2/3)*3^(1/4)*a^(2/3)*f*Sqrt[-(((a + a*Sin[e + f*x])^(1/3)*(2^(1/3)*a^(1/3) - (a + a*Sin[e + f*x])^(1/3)))/(2^(1/3)*a^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))^2)]) + (3*a^2*Sin[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*f*(a - a*Sin[e + f*x])*(a + a*Sin[e + f*x])^(2/3)) - (3*a^2*Sin[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(f*(a - a*Sin[e + f*x])*(a + a*Sin[e + f*x])^(2/3))}
+{Tan[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 4, -((5*a*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(1/6))/(3*2^(1/6)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(2/3))) + (7*Sec[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))/f - (3*Sec[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(4/3))/(a*f)}
+{Cot[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 3, (6*Sqrt[2]*AppellF1[11/6, -(1/2), 2, 17/6, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), 1 + Sin[e + f*x]]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/3))/(11*a^2*f)}
+{Cot[e + f*x]^4*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 3, (12*Sqrt[2]*AppellF1[17/6, -(3/2), 4, 23/6, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), 1 + Sin[e + f*x]]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*(a + a*Sin[e + f*x])^(10/3))/(17*a^3*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^4/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 8, (973*Sec[e + f*x])/(396*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3)) - (973*Sec[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x]))/(495*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3)) - (Sec[e + f*x]*(95*a + 356*a*Sin[e + f*x]))/(132*f*(1 - Sin[e + f*x])*(a + a*Sin[e + f*x])^(4/3)) + (973*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3)*a^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))/(2^(1/3)*a^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*Sec[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(2/3)*(2^(1/3)*a^(1/3) - (a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3)*a^(2/3) + 2^(1/3)*a^(1/3)*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3) + (a + a*Sin[e + f*x])^(2/3))/(2^(1/3)*a^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))^2])/(495*2^(1/3)*3^(1/4)*a^(4/3)*f*Sqrt[-(((a + a*Sin[e + f*x])^(1/3)*(2^(1/3)*a^(1/3) - (a + a*Sin[e + f*x])^(1/3)))/(2^(1/3)*a^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))^2)]) + (3*a^2*Sin[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(4*f*(a - a*Sin[e + f*x])*(a + a*Sin[e + f*x])^(4/3)) + (3*a^2*Sin[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(f*(a - a*Sin[e + f*x])*(a + a*Sin[e + f*x])^(4/3))}
+{Tan[e + f*x]^2/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 4, -((3*Sec[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3))) + (11*2^(1/6)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])])/(15*f*(1 + Sin[e + f*x])^(1/6)*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3)) + (4*Sec[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(2/3))/(5*a*f)}
+{Cot[e + f*x]^2/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 3, (6*Sqrt[2]*AppellF1[7/6, -(1/2), 2, 13/6, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), 1 + Sin[e + f*x]]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/3))/(7*a^2*f)}
+{Cot[e + f*x]^4/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 3, (12*Sqrt[2]*AppellF1[13/6, -(3/2), 4, 19/6, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), 1 + Sin[e + f*x]]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*(a + a*Sin[e + f*x])^(8/3))/(13*a^3*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^p (a+a Sin[e+f x])^m with p symbolic*)
+
+
+{(g*Tan[e + f*x])^p*(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 10, (a^3*Hypergeometric2F1[1, (1 + p)/2, (3 + p)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(g*Tan[e + f*x])^(1 + p))/(f*g*(1 + p)) + (1/(f*g*(2 + p)))*(3*a^3*(Cos[e + f*x]^2)^((1 + p)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + p)/2, (2 + p)/2, (4 + p)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*(g*Tan[e + f*x])^(1 + p)) + (1/(f*g*(4 + p)))*(a^3*(Cos[e + f*x]^2)^((1 + p)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + p)/2, (4 + p)/2, (6 + p)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^3*(g*Tan[e + f*x])^(1 + p)) + (3*a^3*Hypergeometric2F1[2, (3 + p)/2, (5 + p)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(g*Tan[e + f*x])^(3 + p))/(f*g^3*(3 + p))}
+{(g*Tan[e + f*x])^p*(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 8, (a^2*Hypergeometric2F1[1, (1 + p)/2, (3 + p)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(g*Tan[e + f*x])^(1 + p))/(f*g*(1 + p)) + (1/(f*g*(2 + p)))*(2*a^2*(Cos[e + f*x]^2)^((1 + p)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + p)/2, (2 + p)/2, (4 + p)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*(g*Tan[e + f*x])^(1 + p)) + (a^2*Hypergeometric2F1[2, (3 + p)/2, (5 + p)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(g*Tan[e + f*x])^(3 + p))/(f*g^3*(3 + p))}
+{(g*Tan[e + f*x])^p*(a + a*Sin[e + f*x])^1, x, 6, (a*Hypergeometric2F1[1, (1 + p)/2, (3 + p)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(g*Tan[e + f*x])^(1 + p))/(f*g*(1 + p)) + (1/(f*g*(2 + p)))*(a*(Cos[e + f*x]^2)^((1 + p)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + p)/2, (2 + p)/2, (4 + p)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*(g*Tan[e + f*x])^(1 + p))}
+{(g*Tan[e + f*x])^p/(a + a*Sin[e + f*x])^1, x, 4, (g*Tan[e + f*x])^(1 + p)/(a*f*g*(1 + p)) - ((Cos[e + f*x]^2)^((3 + p)/2)*Hypergeometric2F1[(2 + p)/2, (3 + p)/2, (4 + p)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]*(g*Tan[e + f*x])^(2 + p))/(a*f*g^2*(2 + p))}
+{(g*Tan[e + f*x])^p/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 10, (g*Tan[e + f*x])^(1 + p)/(a^2*f*g*(1 + p)) - (2*(Cos[e + f*x]^2)^((5 + p)/2)*Hypergeometric2F1[(2 + p)/2, (5 + p)/2, (4 + p)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^3*(g*Tan[e + f*x])^(2 + p))/(a^2*f*g^2*(2 + p)) + (2*(g*Tan[e + f*x])^(3 + p))/(a^2*f*g^3*(3 + p))}
+{(g*Tan[e + f*x])^p/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 13, (g*Tan[e + f*x])^(1 + p)/(a^3*f*g*(1 + p)) - (3*(Cos[e + f*x]^2)^((7 + p)/2)*Hypergeometric2F1[(2 + p)/2, (7 + p)/2, (4 + p)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^5*(g*Tan[e + f*x])^(2 + p))/(a^3*f*g^2*(2 + p)) + (5*(g*Tan[e + f*x])^(3 + p))/(a^3*f*g^3*(3 + p)) - ((Cos[e + f*x]^2)^((7 + p)/2)*Hypergeometric2F1[(4 + p)/2, (7 + p)/2, (6 + p)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^3*(g*Tan[e + f*x])^(4 + p))/(a^3*f*g^4*(4 + p)) + (4*(g*Tan[e + f*x])^(5 + p))/(a^3*f*g^5*(5 + p))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^p (a+a Sin[e+f x])^m with m symbolic*)
+
+
+{(g*Tan[e + f*x])^p*(a + a*Sin[e + f*x])^m, x, 4, (AppellF1[1 + p, (1 + p)/2, (1/2)*(1 - 2*m + p), 2 + p, Sin[e + f*x], -Sin[e + f*x]]*(1 - Sin[e + f*x])^((1 + p)/2)*(1 + Sin[e + f*x])^((1/2)*(1 - 2*m + p))*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(g*Tan[e + f*x])^(1 + p))/(f*g*(1 + p))}
+
+
+{Tan[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^m, x, 4, (a*(4 + m)*Hypergeometric2F1[1, -1 + m, m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m))/(4*f*(1 - m)) - (a^2*Sin[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m))/(f*m*(a - a*Sin[e + f*x])) + ((a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(a*(2 - 3*m - m^2) + 2*a*m*Sin[e + f*x]))/(2*f*(1 - m)*m*(1 - Sin[e + f*x]))}
+{Tan[e + f*x]^1*(a + a*Sin[e + f*x])^m, x, 3, -((a + a*Sin[e + f*x])^m/(2*f*m)) + (Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(4*a*f*(1 + m))}
+{Cot[e + f*x]^1*(a + a*Sin[e + f*x])^m, x, 2, -((Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, 1 + Sin[e + f*x]]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(1 + m)))}
+{Cot[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^m, x, 3, -((Csc[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(2*a^2*f)) - ((2 - m)*Hypergeometric2F1[2, 2 + m, 3 + m, 1 + Sin[e + f*x]]*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(2*a^2*f*(2 + m))}
+{Cot[e + f*x]^5*(a + a*Sin[e + f*x])^m, x, 4, ((9 - m)*Csc[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(3 + m))/(12*a^3*f) - (Csc[e + f*x]^4*(a + a*Sin[e + f*x])^(3 + m))/(4*a^3*f) - ((12 - 9*m + m^2)*Hypergeometric2F1[3, 3 + m, 4 + m, 1 + Sin[e + f*x]]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3 + m))/(12*a^3*f*(3 + m))}
+
+{Tan[e + f*x]^4*(a + a*Sin[e + f*x])^m, x, 6, (2^(-(3/2) + m)*(9 - 12*m - 7*m^2 + 6*m^3 + m^4)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Sec[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x])*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(3*f*(1 - m)*m) - (Sec[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(a*(6 - m - 7*m^2 - m^3) - a*(9 - 6*m - 8*m^2 - m^3)*Sin[e + f*x]))/(3*f*(1 - m)*m*(1 - Sin[e + f*x])) + (a^2*Sin[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*Tan[e + f*x])/(f*(1 - m)*(a - a*Sin[e + f*x])) - (a^2*Sin[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*Tan[e + f*x])/(f*m*(a - a*Sin[e + f*x]))}
+{Tan[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m, x, 5, (Sec[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 - m)*m) + (2^(-(1/2) + m)*(1 - m - m^2)*Hypergeometric2F1[-(1/2), 3/2 - m, 1/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Sec[e + f*x]*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 - m)*m) - (Sec[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*m)}
+{Tan[e + f*x]^0*(a + a*Sin[e + f*x])^m, x, 2, -((2^(1/2 + m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/f)}
+{Cot[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m, x, 3, (2*Sqrt[2]*AppellF1[3/2 + m, -(1/2), 2, 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), 1 + Sin[e + f*x]]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(a^2*f*(3 + 2*m))}
+{Cot[e + f*x]^4*(a + a*Sin[e + f*x])^m, x, 3, (4*Sqrt[2]*AppellF1[5/2 + m, -(3/2), 4, 7/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), 1 + Sin[e + f*x]]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3 + m))/(a^3*f*(5 + 2*m))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^p (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, ((2*a + 3*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*d) + ((2*a - 3*b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*d) + (3*b*Sin[c + d*x])/(2*d) + ((a + b*Sin[c + d*x])*Tan[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 5, -(((a + b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(2*d)) - ((a - b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b*Sin[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, (a*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b*Sin[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, -((b*Csc[c + d*x])/d) - (a*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Log[Sin[c + d*x]])/d - (b*Sin[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, (2*b*Csc[c + d*x])/d + (a*Csc[c + d*x]^2)/d - (b*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) + (a*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b*Sin[c + d*x])/d}
+
+{Tan[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 8, a*x - (b*Cos[c + d*x])/d - (2*b*Sec[c + d*x])/d + (b*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Tan[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, (-a)*x + (b*Cos[c + d*x])/d + (b*Sec[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, (-a)*x - (b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (b*Cos[c + d*x])/d - (a*Cot[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 9, a*x + (3*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (3*b*Cos[c + d*x])/(2*d) + (a*Cot[c + d*x])/d - (b*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 11, -(a*x) - (15*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) + (15*b*Cos[c + d*x])/(8*d) - (a*Cot[c + d*x])/d + (5*b*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(8*d) + (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^4)/(4*d) - (a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 7, ((a + b)*(a + 2*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((a - 2*b)*(a - b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(2*d) + (2*a*b*Sin[c + d*x])/d + (b^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, -(((a + b)^2*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(2*d)) - ((a - b)^2*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(2*d) - (2*a*b*Sin[c + d*x])/d - (b^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d + (2*a*b*Sin[c + d*x])/d + (b^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (-2*a*b*Csc[c + d*x])/d - (a^2*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - ((a^2 - b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (2*a*b*Sin[c + d*x])/d - (b^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (4*a*b*Csc[c + d*x])/d + ((2*a^2 - b^2)*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (2*a*b*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/d + (2*a*b*Sin[c + d*x])/d + (b^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+
+{Tan[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 13, a^2*x + (5*b^2*x)/2 - (2*a*b*Cos[c + d*x])/d - (4*a*b*Sec[c + d*x])/d + (2*a*b*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Tan[c + d*x])/d - (5*b^2*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (5*b^2*Tan[c + d*x]^3)/(6*d) - (b^2*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x]^3)/(2*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 11, (-a^2)*x - (3*b^2*x)/2 + (2*a*b*Cos[c + d*x])/d + (2*a*b*Sec[c + d*x])/d + (a^2*Tan[c + d*x])/d + (3*b^2*Tan[c + d*x])/(2*d) - (b^2*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, (-a^2)*x + (b^2*x)/2 - (2*a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (2*a*b*Cos[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x])/d + (b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 13, a^2*x - (3*b^2*x)/2 + (3*a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (3*a*b*Cos[c + d*x])/d + (a^2*Cot[c + d*x])/d - (3*b^2*Cot[c + d*x])/(2*d) + (b^2*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(2*d) - (a*b*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/d - (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 16, (-a^2)*x + (5*b^2*x)/2 - (15*a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(4*d) + (15*a*b*Cos[c + d*x])/(4*d) - (a^2*Cot[c + d*x])/d + (5*b^2*Cot[c + d*x])/(2*d) + (5*a*b*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(4*d) + (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*b^2*Cot[c + d*x]^3)/(6*d) + (b^2*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^3)/(2*d) - (a*b*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^4)/(2*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, ((a + b)^2*(2*a + 5*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*d) + ((2*a - 5*b)*(a - b)^2*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*d) + (b*(6*a^2 + 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (3*a*b^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (b^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(2*d)}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 6, -(((a + b)^3*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(2*d)) - ((a - b)^3*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b*(3*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/d - (3*a*b^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (b^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d + (3*a^2*b*Sin[c + d*x])/d + (3*a*b^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (b^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (-3*a^2*b*Csc[c + d*x])/d - (a^3*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*(a^2 - 3*b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (b*(3*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/d - (3*a*b^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (b^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (b*(6*a^2 - b^2)*Csc[c + d*x])/d + (a*(2*a^2 - 3*b^2)*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (a^2*b*Csc[c + d*x]^3)/d - (a^3*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) + (a*(a^2 - 6*b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b*(3*a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/d + (3*a*b^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (b^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+{Tan[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 16, a^3*x + (15*a*b^2*x)/2 - (3*a^2*b*Cos[c + d*x])/d - (3*b^3*Cos[c + d*x])/d + (b^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (6*a^2*b*Sec[c + d*x])/d - (3*b^3*Sec[c + d*x])/d + (a^2*b*Sec[c + d*x]^3)/d + (b^3*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*Tan[c + d*x])/d - (15*a*b^2*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a^3*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (5*a*b^2*Tan[c + d*x]^3)/(2*d) - (3*a*b^2*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x]^3)/(2*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 14, (-a^3)*x - (9/2)*a*b^2*x + (3*a^2*b*Cos[c + d*x])/d + (2*b^3*Cos[c + d*x])/d - (b^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^2*b*Sec[c + d*x])/d + (b^3*Sec[c + d*x])/d + (a^3*Tan[c + d*x])/d + (9*a*b^2*Tan[c + d*x])/(2*d) - (3*a*b^2*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 11, (-a^3)*x + (3/2)*a*b^2*x - (3*a^2*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (3*a^2*b*Cos[c + d*x])/d - (b^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*Cot[c + d*x])/d + (3*a*b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 17, a^3*x - (9/2)*a*b^2*x + (9*a^2*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (b^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (9*a^2*b*Cos[c + d*x])/(2*d) + (b^3*Cos[c + d*x])/d + (b^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^3*Cot[c + d*x])/d - (9*a*b^2*Cot[c + d*x])/(2*d) + (3*a*b^2*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(2*d) - (3*a^2*b*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 21, (-a^3)*x + (15/2)*a*b^2*x - (45*a^2*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) + (5*b^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) + (45*a^2*b*Cos[c + d*x])/(8*d) - (5*b^3*Cos[c + d*x])/(2*d) - (5*b^3*Cos[c + d*x]^3)/(6*d) - (a^3*Cot[c + d*x])/d + (15*a*b^2*Cot[c + d*x])/(2*d) + (15*a^2*b*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(8*d) - (b^3*Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) + (a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*a*b^2*Cot[c + d*x]^3)/(2*d) + (3*a*b^2*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^3)/(2*d) - (3*a^2*b*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^4)/(4*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 5, -(((8*a^2 + 9*a*b + 3*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*(a + b)^3*d)) - ((8*a^2 - 9*a*b + 3*b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*(a - b)^3*d) + (a^5*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^3*d) + (Sec[c + d*x]^4*(a - b*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)*d) - (Sec[c + d*x]^2*(4*a*(2*a^2 - b^2) - b*(9*a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, ((2*a + b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*(a + b)^2*d) + ((2*a - b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*d) - (a^3*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*d) + (Sec[c + d*x]^2*(a - b*Sin[c + d*x]))/(2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, -(Log[1 - Sin[c + d*x]]/(2*(a + b)*d)) - Log[1 + Sin[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) + (a*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d)}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - Log[a + b*Sin[c + d*x]]/(a*d)}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, (b*Csc[c + d*x])/(a^2*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a*d) - ((a^2 - b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + ((a^2 - b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^3*d)}
+{Cot[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, -((b*(2*a^2 - b^2)*Csc[c + d*x])/(a^4*d)) + ((2*a^2 - b^2)*Csc[c + d*x]^2)/(2*a^3*d) + (b*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - Csc[c + d*x]^4/(4*a*d) + ((a^2 - b^2)^2*Log[Sin[c + d*x]])/(a^5*d) - ((a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^5*d)}
+
+{Tan[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 13, (2*a^4*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*d) + (a^2*b*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d) + (b*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) - (b*Sec[c + d*x]^3)/(3*(a^2 - b^2)*d) - (a^3*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d) + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*(a^2 - b^2)*d)}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 8, -((2*a^2*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d)) - (b*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) + (a*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d)}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, -((2*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*d)) + (b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]/(a*d)}
+{Cot[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*d) - (b*(3*a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^4*d) + ((4*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x])/(3*a^3*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 9, -((2*(a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^6*d)) + (b*(15*a^4 - 20*a^2*b^2 + 8*b^4)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^6*d) - ((23*a^4 - 35*a^2*b^2 + 15*b^4)*Cot[c + d*x])/(15*a^5*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(b*d) + ((8*a^4 - 9*a^2*b^2 + 4*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^4*b*d) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(2*b^2*d) - ((15*a^4 - 22*a^2*b^2 + 10*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(30*a^3*b^2*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(5*a*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 5, -((a*(4*a + b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(8*(a + b)^4*d)) - (a*(4*a - b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(8*(a - b)^4*d) + (a^4*(a^2 + 5*b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^4*d) - a^5/((a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (Sec[c + d*x]^4*(a^2 + b^2 - 2*a*b*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)^2*d) - (Sec[c + d*x]^2*(2*(2*a^4 + 3*a^2*b^2 - b^4) - a*b*(9*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)^3*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (a*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(2*(a + b)^3*d) + (a*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(2*(a - b)^3*d) - (a^2*(a^2 + 3*b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^3*d) + a^3/((a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (Sec[c + d*x]^2*(a^2 + b^2 - 2*a*b*Sin[c + d*x]))/(2*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -Log[1 - Sin[c + d*x]]/(2*(a + b)^2*d) - Log[1 + Sin[c + d*x]]/(2*(a - b)^2*d) + ((a^2 + b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*d) - a/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, Log[Sin[c + d*x]]/(a^2*d) - Log[a + b*Sin[c + d*x]]/(a^2*d) + 1/(a*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (2*b*Csc[c + d*x])/(a^3*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a^2*d) - ((a^2 - 3*b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + ((a^2 - 3*b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - (a^2 - b^2)/(a^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -((4*b*(a^2 - b^2)*Csc[c + d*x])/(a^5*d)) + ((2*a^2 - 3*b^2)*Csc[c + d*x]^2)/(2*a^4*d) + (2*b*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) - Csc[c + d*x]^4/(4*a^2*d) + ((a^4 - 6*a^2*b^2 + 5*b^4)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^6*d) - ((a^4 - 6*a^2*b^2 + 5*b^4)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^6*d) + (a^2 - b^2)^2/(a^5*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+{Tan[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 16, (2*a^5*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(7/2)*d) + (8*a^3*b^2*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(7/2)*d) + Cos[c + d*x]/(12*(a + b)^2*d*(1 - Sin[c + d*x])^2) + Cos[c + d*x]/(12*(a + b)^2*d*(1 - Sin[c + d*x])) - ((3*a + b)*Cos[c + d*x])/(4*(a + b)^3*d*(1 - Sin[c + d*x])) - Cos[c + d*x]/(12*(a - b)^2*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) - Cos[c + d*x]/(12*(a - b)^2*d*(1 + Sin[c + d*x])) + ((3*a - b)*Cos[c + d*x])/(4*(a - b)^3*d*(1 + Sin[c + d*x])) + (a^4*b*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 12, -((2*a^3*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*d)) - (4*a*b^2*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*d) + Cos[c + d*x]/(2*(a + b)^2*d*(1 - Sin[c + d*x])) - Cos[c + d*x]/(2*(a - b)^2*d*(1 + Sin[c + d*x])) - (a^2*b*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 8, -((2*(a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d)) + (2*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) - (2*Cot[c + d*x])/(a^2*d) + Cot[c + d*x]/(a*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 8, (2*(a^4 - 5*a^2*b^2 + 4*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^5*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (b*(3*a^2 - 4*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^5*d) + ((7*a^2 - 12*b^2)*Cot[c + d*x])/(3*a^4*d) - ((a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(a^3*b*d) + ((3*a^2 - 4*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(3*a^2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 10, -((2*(a^2 - 6*b^2)*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^7*d)) + (b*(15*a^4 - 40*a^2*b^2 + 24*b^4)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(4*a^7*d) - ((38*a^4 - 135*a^2*b^2 + 90*b^4)*Cot[c + d*x])/(15*a^6*d) + ((4*a^4 - 17*a^2*b^2 + 12*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(4*a^5*b*d) - ((15*a^4 - 82*a^2*b^2 + 60*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(30*a^4*b^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(6*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + ((2*a^4 - 12*a^2*b^2 + 9*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(6*a^3*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (3*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(10*a^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(5*a*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 5, -(((8*a^2 - 5*a*b - b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*(a + b)^5*d)) - ((8*a^2 + 5*a*b - b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*(a - b)^5*d) + (a^3*(a^4 + 13*a^2*b^2 + 10*b^4)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^5*d) - a^5/(2*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (a^4*(a^2 + 5*b^2))/((a^2 - b^2)^4*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (Sec[c + d*x]^4*(a*(a^2 + 3*b^2) - b*(3*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)^3*d) - (Sec[c + d*x]^2*(8*a^3*(a^2 + 5*b^2) - b*(27*a^4 + 22*a^2*b^2 - b^4)*Sin[c + d*x]))/(8*(a^2 - b^2)^4*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 4, ((2*a - b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*(a + b)^4*d) + ((2*a + b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*(a - b)^4*d) - (a*(a^4 + 8*a^2*b^2 + 3*b^4)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^4*d) + a^3/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (a^2*(a^2 + 3*b^2))/((a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (Sec[c + d*x]^2*(a*(a^2 + 3*b^2) - b*(3*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x]))/(2*(a^2 - b^2)^3*d)}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, -Log[1 - Sin[c + d*x]]/(2*(a + b)^3*d) - Log[1 + Sin[c + d*x]]/(2*(a - b)^3*d) + (a*(a^2 + 3*b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^3*d) - a/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (a^2 + b^2)/((a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, Log[Sin[c + d*x]]/(a^3*d) - Log[a + b*Sin[c + d*x]]/(a^3*d) + 1/(2*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + 1/(a^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (3*b*Csc[c + d*x])/(a^4*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a^3*d) - ((a^2 - 6*b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^5*d) + ((a^2 - 6*b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^5*d) - (a^2 - b^2)/(2*a^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (a^2 - 3*b^2)/(a^4*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (-2*b*(3*a^2 - 5*b^2)*Csc[c + d*x])/(a^6*d) + ((a^2 - 3*b^2)*Csc[c + d*x]^2)/(a^5*d) + (b*Csc[c + d*x]^3)/(a^4*d) - Csc[c + d*x]^4/(4*a^3*d) + ((a^4 - 12*a^2*b^2 + 15*b^4)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^7*d) - ((a^4 - 12*a^2*b^2 + 15*b^4)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^7*d) + (a^2 - b^2)^2/(2*a^5*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (a^4 - 6*a^2*b^2 + 5*b^4)/(a^6*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+{Tan[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 22, (8*a^4*b^2*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(9/2)*d) + (12*a^2*b^2*(a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(9/2)*d) + (a^4*(2*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(9/2)*d) + Cos[c + d*x]/(12*(a + b)^3*d*(1 - Sin[c + d*x])^2) - (3*a*Cos[c + d*x])/(4*(a + b)^4*d*(1 - Sin[c + d*x])) + Cos[c + d*x]/(12*(a + b)^3*d*(1 - Sin[c + d*x])) - Cos[c + d*x]/(12*(a - b)^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) + (3*a*Cos[c + d*x])/(4*(a - b)^4*d*(1 + Sin[c + d*x])) - Cos[c + d*x]/(12*(a - b)^3*d*(1 + Sin[c + d*x])) + (a^4*b*Cos[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (3*a^5*b*Cos[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^4*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (4*a^3*b^3*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)^4*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 18, -((4*a^2*b^2*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(7/2)*d)) - (a^2*(2*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(7/2)*d) - (2*b^2*(3*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(7/2)*d) + Cos[c + d*x]/(2*(a + b)^3*d*(1 - Sin[c + d*x])) - Cos[c + d*x]/(2*(a - b)^3*d*(1 + Sin[c + d*x])) - (a^2*b*Cos[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (3*a^3*b*Cos[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (2*a*b^3*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 9, -(((2*a^4 - 9*a^2*b^2 + 6*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*(a^2 - b^2)^(3/2)*d)) + (3*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^4*d) - ((5*a^2 - 6*b^2)*Cot[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)*d) + Cot[c + d*x]/(2*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((2*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 9, ((2*a^4 - 19*a^2*b^2 + 20*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^6*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (b*(9*a^2 - 20*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^6*d) + ((17*a^2 - 60*b^2)*Cot[c + d*x])/(6*a^5*d) - ((a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(a^4*b*d) + ((3*a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(6*a^2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((3*a^2 - 20*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(6*a^3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 11, -((Sqrt[a^2 - b^2]*(2*a^4 - 29*a^2*b^2 + 42*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^8*d)) + (b*(45*a^4 - 200*a^2*b^2 + 168*b^4)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^8*d) - ((91*a^4 - 645*a^2*b^2 + 630*b^4)*Cot[c + d*x])/(30*a^7*d) + ((8*a^4 - 79*a^2*b^2 + 84*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^6*b*d) - ((15*a^4 - 187*a^2*b^2 + 210*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(30*a^5*b^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(12*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((5*a^4 - 60*a^2*b^2 + 63*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(60*a^3*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (7*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(20*a^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(5*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((4*a^4 - 54*a^2*b^2 + 63*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(12*a^4*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m with p symbolic*)
+
+
+{(g*Tan[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 10, (a^3*Hypergeometric2F1[1, (1 + p)/2, (3 + p)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(g*Tan[e + f*x])^(1 + p))/(f*g*(1 + p)) + (1/(f*g*(2 + p)))*(3*a^2*b*(Cos[e + f*x]^2)^((1 + p)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + p)/2, (2 + p)/2, (4 + p)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*(g*Tan[e + f*x])^(1 + p)) + (1/(f*g*(4 + p)))*(b^3*(Cos[e + f*x]^2)^((1 + p)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + p)/2, (4 + p)/2, (6 + p)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^3*(g*Tan[e + f*x])^(1 + p)) + (3*a*b^2*Hypergeometric2F1[2, (3 + p)/2, (5 + p)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(g*Tan[e + f*x])^(3 + p))/(f*g^3*(3 + p))}
+{(g*Tan[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 8, (a^2*Hypergeometric2F1[1, (1 + p)/2, (3 + p)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(g*Tan[e + f*x])^(1 + p))/(f*g*(1 + p)) + (1/(f*g*(2 + p)))*(2*a*b*(Cos[e + f*x]^2)^((1 + p)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + p)/2, (2 + p)/2, (4 + p)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*(g*Tan[e + f*x])^(1 + p)) + (b^2*Hypergeometric2F1[2, (3 + p)/2, (5 + p)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(g*Tan[e + f*x])^(3 + p))/(f*g^3*(3 + p))}
+{(g*Tan[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^1, x, 6, (a*Hypergeometric2F1[1, (1 + p)/2, (3 + p)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(g*Tan[e + f*x])^(1 + p))/(f*g*(1 + p)) + (1/(f*g*(2 + p)))*(b*(Cos[e + f*x]^2)^((1 + p)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + p)/2, (2 + p)/2, (4 + p)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*(g*Tan[e + f*x])^(1 + p))}
+{(g*Tan[e + f*x])^p/(a + b*Sin[e + f*x])^1, x, 0, (a*g*AppellF1[(1 - p)/2, (1 - p)/2, 1, (3 - p)/2, Cos[e + f*x]^2, (b^2*Cos[e + f*x]^2)/(-a^2 + b^2)]*(Sin[e + f*x]^2)^((1 - p)/2)*(g*Tan[e + f*x])^(-1 + p))/((a^2 - b^2)*f*(-1 + p)) + (b*AppellF1[(1 - p)/2, -(p/2), 1, (3 - p)/2, Cos[e + f*x]^2, (b^2*Cos[e + f*x]^2)/(-a^2 + b^2)]*Cos[e + f*x]*(g*Tan[e + f*x])^p)/((Sin[e + f*x]^2)^(p/2)*((-a^2 + b^2)*f*(-1 + p))), Unintegrable[(g*Tan[e + f*x])^p/(a + b*Sin[e + f*x]), x]}
+{(g*Tan[e + f*x])^p/(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 0, -((a^2*AppellF1[(1 - q)/2, (1 - q)/2, 1, (3 - q)/2, Cos[e + f*x]^2, (b^2*Cos[e + f*x]^2)/(-a^2 + b^2)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 - q))*(g*Tan[e + f*x])^q)/((a^2 - b^2)^2*f*(-1 + q))) + (b^2*AppellF1[(1 - q)/2, (1 - q)/2, 1, (3 - q)/2, Cos[e + f*x]^2, (b^2*Cos[e + f*x]^2)/(-a^2 + b^2)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 - q))*(g*Tan[e + f*x])^q)/((a^2 - b^2)^2*f*(-1 + q)) + (2*a^2*AppellF1[(1 - q)/2, (1 - q)/2, 2, (3 - q)/2, Cos[e + f*x]^2, (b^2*Cos[e + f*x]^2)/(-a^2 + b^2)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 - q))*(g*Tan[e + f*x])^q)/((a^2 - b^2)^2*f*(-1 + q)) - (2*a*b*AppellF1[(1 - q)/2, -(q/2), 2, (3 - q)/2, Cos[e + f*x]^2, (b^2*Cos[e + f*x]^2)/(-a^2 + b^2)]*Cos[e + f*x]*(g*Tan[e + f*x])^q)/((Sin[e + f*x]^2)^(q/2)*((a^2 - b^2)^2*f*(-1 + q))), Unintegrable[(g*Tan[e + f*x])^p/(a + b*Sin[e + f*x])^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m with m symbolic*)
+
+
+{(g*Tan[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^m, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(g*Tan[e + f*x])^p, x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.10 (c+d x)^m (a+b sin)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.10 (c+d x)^m (a+b sin)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..eb64da4b
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.10 (c+d x)^m (a+b sin)^n.m	
@@ -0,0 +1,739 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b Sin[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Sin[e+f x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sin[a + b*x]*(c + d*x)^4, x, 5, -((24*d^4*Cos[a + b*x])/b^5) + (12*d^2*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/b^3 - ((c + d*x)^4*Cos[a + b*x])/b - (24*d^3*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/b^4 + (4*d*(c + d*x)^3*Sin[a + b*x])/b^2}
+{Sin[a + b*x]*(c + d*x)^3, x, 4, (6*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/b^3 - ((c + d*x)^3*Cos[a + b*x])/b - (6*d^3*Sin[a + b*x])/b^4 + (3*d*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/b^2}
+{Sin[a + b*x]*(c + d*x)^2, x, 3, (2*d^2*Cos[a + b*x])/b^3 - ((c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/b + (2*d*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/b^2}
+{Sin[a + b*x]*(c + d*x)^1, x, 2, -(((c + d*x)*Cos[a + b*x])/b) + (d*Sin[a + b*x])/b^2}
+{Sin[a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 3, (CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/d + (Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/d}
+{Sin[a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 4, (b*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/d^2 - Sin[a + b*x]/(d*(c + d*x)) - (b*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/d^2}
+{Sin[a + b*x]/(c + d*x)^3, x, 5, -((b*Cos[a + b*x])/(2*d^2*(c + d*x))) - (b^2*CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(2*d^3) - Sin[a + b*x]/(2*d*(c + d*x)^2) - (b^2*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(2*d^3)}
+
+
+{Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^4, x, 6, (3*d^4*x)/(4*b^4) - (d*(c + d*x)^3)/(2*b^2) + (c + d*x)^5/(10*d) - (3*d^4*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(4*b^5) + (3*d^2*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^3) - ((c + d*x)^4*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b) - (3*d^3*(c + d*x)*Sin[a + b*x]^2)/(2*b^4) + (d*(c + d*x)^3*Sin[a + b*x]^2)/b^2}
+{Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^3, x, 4, -((3*c*d^2*x)/(4*b^2)) - (3*d^3*x^2)/(8*b^2) + (c + d*x)^4/(8*d) + (3*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(4*b^3) - ((c + d*x)^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b) - (3*d^3*Sin[a + b*x]^2)/(8*b^4) + (3*d*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x]^2)/(4*b^2)}
+{Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^2, x, 4, -((d^2*x)/(4*b^2)) + (c + d*x)^3/(6*d) + (d^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(4*b^3) - ((c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b) + (d*(c + d*x)*Sin[a + b*x]^2)/(2*b^2)}
+{Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^1, x, 2, (c*x)/2 + (d*x^2)/4 - ((c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b) + (d*Sin[a + b*x]^2)/(4*b^2)}
+{Sin[a + b*x]^2/(c + d*x)^1, x, 5, -((Cos[2*a - (2*b*c)/d]*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(2*d)) + Log[c + d*x]/(2*d) + (Sin[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(2*d)}
+{Sin[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x, 5, (b*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/d^2 - Sin[a + b*x]^2/(d*(c + d*x)) + (b*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^2}
+{Sin[a + b*x]^2/(c + d*x)^3, x, 7, (b^2*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^3 - (b*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(d^2*(c + d*x)) - Sin[a + b*x]^2/(2*d*(c + d*x)^2) - (b^2*Sin[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^3}
+{Sin[a + b*x]^2/(c + d*x)^4, x, 7, -(b^2/(3*d^3*(c + d*x))) - (2*b^3*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(3*d^4) - (b*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(3*d^2*(c + d*x)^2) - Sin[a + b*x]^2/(3*d*(c + d*x)^3) + (2*b^2*Sin[a + b*x]^2)/(3*d^3*(c + d*x)) - (2*b^3*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(3*d^4)}
+
+
+{Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^4, x, 12, -((488*d^4*Cos[a + b*x])/(27*b^5)) + (80*d^2*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/(9*b^3) - (2*(c + d*x)^4*Cos[a + b*x])/(3*b) + (8*d^4*Cos[a + b*x]^3)/(81*b^5) - (160*d^3*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/(9*b^4) + (8*d*(c + d*x)^3*Sin[a + b*x])/(3*b^2) + (4*d^2*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2)/(9*b^3) - ((c + d*x)^4*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2)/(3*b) - (8*d^3*(c + d*x)*Sin[a + b*x]^3)/(27*b^4) + (4*d*(c + d*x)^3*Sin[a + b*x]^3)/(9*b^2)}
+{Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^3, x, 8, (40*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/(9*b^3) - (2*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x])/(3*b) - (40*d^3*Sin[a + b*x])/(9*b^4) + (2*d*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/b^2 + (2*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2)/(9*b^3) - ((c + d*x)^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2)/(3*b) - (2*d^3*Sin[a + b*x]^3)/(27*b^4) + (d*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x]^3)/(3*b^2)}
+{Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^2, x, 6, (14*d^2*Cos[a + b*x])/(9*b^3) - (2*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/(3*b) - (2*d^2*Cos[a + b*x]^3)/(27*b^3) + (4*d*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/(3*b^2) - ((c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2)/(3*b) + (2*d*(c + d*x)*Sin[a + b*x]^3)/(9*b^2)}
+{Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^1, x, 3, -((2*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/(3*b)) + (2*d*Sin[a + b*x])/(3*b^2) - ((c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2)/(3*b) + (d*Sin[a + b*x]^3)/(9*b^2)}
+{Sin[a + b*x]^3/(c + d*x)^1, x, 8, -((CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(4*d)) + (3*CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(4*d) + (3*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(4*d) - (Cos[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(4*d)}
+{Sin[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x, 8, (3*b*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/(4*d^2) - (3*b*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(4*d^2) - Sin[a + b*x]^3/(d*(c + d*x)) - (3*b*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(4*d^2) + (3*b*Sin[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(4*d^2)}
+{Sin[a + b*x]^3/(c + d*x)^3, x, 12, (9*b^2*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(8*d^3) - (3*b^2*CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(8*d^3) - (3*b*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2)/(2*d^2*(c + d*x)) - Sin[a + b*x]^3/(2*d*(c + d*x)^2) - (3*b^2*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(8*d^3) + (9*b^2*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(8*d^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Csc[a + b*x]*(c + d*x)^3, x, 9, -((2*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b) + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*I*d^3*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (6*I*d^3*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^4}
+{Csc[a + b*x]*(c + d*x)^2, x, 7, -((2*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b) + (2*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*d^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (2*d^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3}
+{Csc[a + b*x]*(c + d*x)^1, x, 5, -((2*(c + d*x)*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b) + (I*d*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (I*d*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2}
+{Csc[a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Csc[a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{Csc[a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Csc[a + b*x]/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{Csc[a + b*x]^2*(c + d*x)^3, x, 6, -((I*(c + d*x)^3)/b) - ((c + d*x)^3*Cot[a + b*x])/b + (3*d*(c + d*x)^2*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (3*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^3*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^4)}
+{Csc[a + b*x]^2*(c + d*x)^2, x, 5, -((I*(c + d*x)^2)/b) - ((c + d*x)^2*Cot[a + b*x])/b + (2*d*(c + d*x)*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (I*d^2*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^3}
+{Csc[a + b*x]^2*(c + d*x)^1, x, 2, -(((c + d*x)*Cot[a + b*x])/b) + (d*Log[Sin[a + b*x]])/b^2}
+{Csc[a + b*x]^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Csc[a + b*x]^2/(c + d*x), x]}
+{Csc[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Csc[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{Csc[a + b*x]^3*(c + d*x)^3, x, 15, -((6*d^2*(c + d*x)*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^3) - ((c + d*x)^3*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b - (3*d*(c + d*x)^2*Csc[a + b*x])/(2*b^2) - ((c + d*x)^3*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(2*b) + (3*I*d^3*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*I*d^3*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (3*I*d^3*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (3*I*d^3*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^4}
+{Csc[a + b*x]^3*(c + d*x)^2, x, 9, -(((c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b) - (d^2*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/b^3 - (d*(c + d*x)*Csc[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)^2*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(2*b) + (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (d^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (d^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3}
+{Csc[a + b*x]^3*(c + d*x)^1, x, 6, -(((c + d*x)*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b) - (d*Csc[a + b*x])/(2*b^2) - ((c + d*x)*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(2*b) + (I*d*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (I*d*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2)}
+{Csc[a + b*x]^3/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Csc[a + b*x]^3/(c + d*x), x]}
+{Csc[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Csc[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^(m/2) Sin[e+f x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sin[a + b*x]*(c + d*x)^(5/2), x, 8, (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x])/(4*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x])/b - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(4*b^(7/2)) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[a + b*x])/(2*b^2)}
+{Sin[a + b*x]*(c + d*x)^(3/2), x, 7, -(((c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x])/b) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(2*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(2*b^(5/2)) + (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^2)}
+{Sin[a + b*x]*(c + d*x)^(1/2), x, 6, -((Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x])/b) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/b^(3/2) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/b^(3/2)}
+{Sin[a + b*x]/(c + d*x)^(1/2), x, 5, (Sqrt[2*Pi]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(Sqrt[b]*Sqrt[d]) + (Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(Sqrt[b]*Sqrt[d])}
+{Sin[a + b*x]/(c + d*x)^(3/2), x, 6, (2*Sqrt[b]*Sqrt[2*Pi]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) - (2*Sqrt[b]*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/d^(3/2) - (2*Sin[a + b*x])/(d*Sqrt[c + d*x])}
+{Sin[a + b*x]/(c + d*x)^(5/2), x, 7, -((4*b*Cos[a + b*x])/(3*d^2*Sqrt[c + d*x])) - (4*b^(3/2)*Sqrt[2*Pi]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)) - (4*b^(3/2)*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(3*d^(5/2)) - (2*Sin[a + b*x])/(3*d*(c + d*x)^(3/2))}
+{Sin[a + b*x]/(c + d*x)^(7/2), x, 8, -((4*b*Cos[a + b*x])/(15*d^2*(c + d*x)^(3/2))) - (8*b^(5/2)*Sqrt[2*Pi]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(15*d^(7/2)) + (8*b^(5/2)*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(15*d^(7/2)) - (2*Sin[a + b*x])/(5*d*(c + d*x)^(5/2)) + (8*b^2*Sin[a + b*x])/(15*d^3*Sqrt[c + d*x])}
+
+
+{Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^(5/2), x, 10, -((5*d*(c + d*x)^(3/2))/(16*b^2)) + (c + d*x)^(7/2)/(7*d) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(128*b^(7/2)) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(128*b^(7/2)) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[a + b*x]^2)/(8*b^2) + (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(64*b^3)}
+{Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^(3/2), x, 9, -((3*d*Sqrt[c + d*x])/(16*b^2)) + (c + d*x)^(5/2)/(5*d) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(32*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(32*b^(5/2)) - ((c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b) + (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x]^2)/(8*b^2)}
+{Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^(1/2), x, 8, (c + d*x)^(3/2)/(3*d) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(8*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(8*b^(3/2)) - (Sqrt[c + d*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(4*b)}
+{Sin[a + b*x]^2/(c + d*x)^(1/2), x, 7, Sqrt[c + d*x]/d - (Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d]) + (Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d])}
+{Sin[a + b*x]^2/(c + d*x)^(3/2), x, 7, (2*Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/d^(3/2) + (2*Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/d^(3/2) - (2*Sin[a + b*x]^2)/(d*Sqrt[c + d*x])}
+{Sin[a + b*x]^2/(c + d*x)^(5/2), x, 9, (8*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(3*d^(5/2)) - (8*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(3*d^(5/2)) - (8*b*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(3*d^2*Sqrt[c + d*x]) - (2*Sin[a + b*x]^2)/(3*d*(c + d*x)^(3/2))}
+{Sin[a + b*x]^2/(c + d*x)^(7/2), x, 9, -((16*b^2)/(15*d^3*Sqrt[c + d*x])) - (32*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(15*d^(7/2)) - (32*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(15*d^(7/2)) - (8*b*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(15*d^2*(c + d*x)^(3/2)) - (2*Sin[a + b*x]^2)/(5*d*(c + d*x)^(5/2)) + (32*b^2*Sin[a + b*x]^2)/(15*d^3*Sqrt[c + d*x])}
+{Sin[a + b*x]^2/(c + d*x)^(9/2), x, 11, -((16*b^2)/(105*d^3*(c + d*x)^(3/2))) - (128*b^(7/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(105*d^(9/2)) + (128*b^(7/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(105*d^(9/2)) - (8*b*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(35*d^2*(c + d*x)^(5/2)) + (128*b^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(105*d^4*Sqrt[c + d*x]) - (2*Sin[a + b*x]^2)/(7*d*(c + d*x)^(7/2)) + (32*b^2*Sin[a + b*x]^2)/(105*d^3*(c + d*x)^(3/2))}
+
+
+{Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^(5/2), x, 23, (45*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x])/(16*b^3) - (2*(c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x])/(3*b) - (5*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[3*a + 3*b*x])/(144*b^3) - (45*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(7/2)) + (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(144*b^(7/2)) - (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(144*b^(7/2)) + (45*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(16*b^(7/2)) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[a + b*x])/(3*b^2) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2)/(3*b) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[a + b*x]^3)/(18*b^2)}
+{Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^(3/2), x, 20, -((2*(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x])/(3*b)) - (9*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*b^(5/2)) + (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(24*b^(5/2)) + (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(24*b^(5/2)) - (9*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(8*b^(5/2)) + (d*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2)/(3*b) + (d*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x]^3)/(6*b^2)}
+{Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^(1/2), x, 14, -((3*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x])/(4*b)) + (Sqrt[c + d*x]*Cos[3*a + 3*b*x])/(12*b) + (3*Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(12*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(12*b^(3/2)) - (3*Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(4*b^(3/2))}
+{Sin[a + b*x]^3/(c + d*x)^(1/2), x, 12, (3*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d]) - (Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d]) - (Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d]) + (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d])}
+{Sin[a + b*x]^3/(c + d*x)^(3/2), x, 12, (3*Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) - (Sqrt[b]*Sqrt[(3*Pi)/2]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) + (Sqrt[b]*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/d^(3/2) - (3*Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/d^(3/2) - (2*Sin[a + b*x]^3)/(d*Sqrt[c + d*x])}
+{Sin[a + b*x]^3/(c + d*x)^(5/2), x, 18, -((b^(3/2)*Sqrt[2*Pi]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/d^(5/2)) + (b^(3/2)*Sqrt[6*Pi]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/d^(5/2) + (b^(3/2)*Sqrt[6*Pi]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/d^(5/2) - (b^(3/2)*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/d^(5/2) - (4*b*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2)/(d^2*Sqrt[c + d*x]) - (2*Sin[a + b*x]^3)/(3*d*(c + d*x)^(3/2))}
+{Sin[a + b*x]^3/(c + d*x)^(7/2), x, 19, -((2*b^(5/2)*Sqrt[2*Pi]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(5*d^(7/2))) + (6*b^(5/2)*Sqrt[6*Pi]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(5*d^(7/2)) - (6*b^(5/2)*Sqrt[6*Pi]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(5*d^(7/2)) + (2*b^(5/2)*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(5*d^(7/2)) - (16*b^2*Sin[a + b*x])/(5*d^3*Sqrt[c + d*x]) - (4*b*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2)/(5*d^2*(c + d*x)^(3/2)) - (2*Sin[a + b*x]^3)/(5*d*(c + d*x)^(5/2)) + (24*b^2*Sin[a + b*x]^3)/(5*d^3*Sqrt[c + d*x])}
+
+
+{Sin[f*x]*(d*x)^(3/2), x, 4, -(((d*x)^(3/2)*Cos[f*x])/f) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[f]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(2*f^(5/2)) + (3*d*Sqrt[d*x]*Sin[f*x])/(2*f^2)}
+{Sin[f*x]*(d*x)^(1/2), x, 3, -((Sqrt[d*x]*Cos[f*x])/f) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[f]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/f^(3/2)}
+{Sin[f*x]/(d*x)^(1/2), x, 2, (Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[f]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(Sqrt[d]*Sqrt[f])}
+{Sin[f*x]/(d*x)^(3/2), x, 3, (2*Sqrt[f]*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[f]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) - (2*Sin[f*x])/(d*Sqrt[d*x])}
+{Sin[f*x]/(d*x)^(5/2), x, 4, -((4*f*Cos[f*x])/(3*d^2*Sqrt[d*x])) - (4*f^(3/2)*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[f]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)) - (2*Sin[f*x])/(3*d*(d*x)^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Csc[a + b*x]*(c + d*x)^(1/2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + d*x]*Csc[a + b*x], x]}
+{Csc[a + b*x]/(c + d*x)^(1/2), x, 0, Unintegrable[Csc[a + b*x]/Sqrt[c + d*x], x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Sin[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^1/Sin[e + f*x]^(3/2) + x*Sqrt[Sin[e + f*x]], x, 2, -((2*x*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[Sin[e + f*x]])) + (4*Sqrt[Sin[e + f*x]])/f^2}
+{x^2/Sin[e + f*x]^(3/2) + x^2*Sqrt[Sin[e + f*x]], x, 3, -((16*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2])/f^3) - (2*x^2*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[Sin[e + f*x]]) + (8*x*Sqrt[Sin[e + f*x]])/f^2}
+
+
+{x/Sin[e + f*x]^(5/2) - x/(3*Sqrt[Sin[e + f*x]]), x, 2, -((2*x*Cos[e + f*x])/(3*f*Sin[e + f*x]^(3/2))) - 4/(3*f^2*Sqrt[Sin[e + f*x]])}
+
+
+{x/Sin[e + f*x]^(7/2) + (3/5)*x*Sqrt[Sin[e + f*x]], x, 3, -((2*x*Cos[e + f*x])/(5*f*Sin[e + f*x]^(5/2))) - 4/(15*f^2*Sin[e + f*x]^(3/2)) - (6*x*Cos[e + f*x])/(5*f*Sqrt[Sin[e + f*x]]) + (12*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(5*f^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Sin[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*(b*Sin[e + f*x])^n, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(b*Sin[e + f*x])^n, x]}
+
+
+{Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^m, x, 8, -((3*E^(I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*b*(c + d*x))/d)])/((-((I*b*(c + d*x))/d))^m*(8*b))) - (3*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*b*(c + d*x))/d])/(E^(I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*(8*b)) + (3^(-1 - m)*E^(3*I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((3*I*b*(c + d*x))/d)])/((-((I*b*(c + d*x))/d))^m*(8*b)) + (3^(-1 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (3*I*b*(c + d*x))/d])/(E^(3*I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*(8*b))}
+{Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^m, x, 5, (c + d*x)^(1 + m)/(2*d*(1 + m)) + (I*2^(-3 - m)*E^(2*I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((2*I*b*(c + d*x))/d)])/((-((I*b*(c + d*x))/d))^m*b) - (I*2^(-3 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*I*b*(c + d*x))/d])/(E^(2*I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*b)}
+{Sin[a + b*x]^1*(c + d*x)^m, x, 3, -((E^(I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*b*(c + d*x))/d)])/((-((I*b*(c + d*x))/d))^m*(2*b))) - ((c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*b*(c + d*x))/d])/(E^(I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*(2*b))}
+{Csc[a + b*x]^1*(c + d*x)^m, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Csc[a + b*x], x]}
+{Csc[a + b*x]^2*(c + d*x)^m, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^2, x]}
+
+
+{x^(m + 3)*Sin[a + b*x], x, 3, (I*E^(I*a)*x^m*Gamma[4 + m, (-I)*b*x])/(((-I)*b*x)^m*(2*b^4)) - (I*x^m*Gamma[4 + m, I*b*x])/(E^(I*a)*(I*b*x)^m*(2*b^4))}
+{x^(m + 2)*Sin[a + b*x], x, 3, (E^(I*a)*x^m*Gamma[3 + m, (-I)*b*x])/(((-I)*b*x)^m*(2*b^3)) + (x^m*Gamma[3 + m, I*b*x])/(E^(I*a)*(I*b*x)^m*(2*b^3))}
+{x^(m + 1)*Sin[a + b*x], x, 3, -((I*E^(I*a)*x^m*Gamma[2 + m, (-I)*b*x])/(((-I)*b*x)^m*(2*b^2))) + (I*x^m*Gamma[2 + m, I*b*x])/(E^(I*a)*(I*b*x)^m*(2*b^2))}
+{x^(m + 0)*Sin[a + b*x], x, 3, -((E^(I*a)*x^m*Gamma[1 + m, (-I)*b*x])/(((-I)*b*x)^m*(2*b))) - (x^m*Gamma[1 + m, I*b*x])/(E^(I*a)*(I*b*x)^m*(2*b))}
+{x^(m - 1)*Sin[a + b*x], x, 3, ((1/2)*I*E^(I*a)*x^m*Gamma[m, (-I)*b*x])/((-I)*b*x)^m - ((1/2)*I*x^m*Gamma[m, I*b*x])/(E^(I*a)*(I*b*x)^m)}
+{x^(m - 2)*Sin[a + b*x], x, 3, ((1/2)*b*E^(I*a)*x^m*Gamma[-1 + m, (-I)*b*x])/((-I)*b*x)^m + ((1/2)*b*x^m*Gamma[-1 + m, I*b*x])/(E^(I*a)*(I*b*x)^m)}
+{x^(m - 3)*Sin[a + b*x], x, 3, ((-(1/2))*I*b^2*E^(I*a)*x^m*Gamma[-2 + m, (-I)*b*x])/((-I)*b*x)^m + ((1/2)*I*b^2*x^m*Gamma[-2 + m, I*b*x])/(E^(I*a)*(I*b*x)^m)}
+
+
+{x^(m + 3)*Sin[a + b*x]^2, x, 5, x^(4 + m)/(2*(4 + m)) + (2^(-6 - m)*E^(2*I*a)*x^m*Gamma[4 + m, -2*I*b*x])/(((-I)*b*x)^m*b^4) + (2^(-6 - m)*x^m*Gamma[4 + m, 2*I*b*x])/(E^(2*I*a)*(I*b*x)^m*b^4)}
+{x^(m + 2)*Sin[a + b*x]^2, x, 5, x^(3 + m)/(2*(3 + m)) - (I*2^(-5 - m)*E^(2*I*a)*x^m*Gamma[3 + m, -2*I*b*x])/(((-I)*b*x)^m*b^3) + (I*2^(-5 - m)*x^m*Gamma[3 + m, 2*I*b*x])/(E^(2*I*a)*(I*b*x)^m*b^3)}
+{x^(m + 1)*Sin[a + b*x]^2, x, 5, x^(2 + m)/(2*(2 + m)) - (2^(-4 - m)*E^(2*I*a)*x^m*Gamma[2 + m, -2*I*b*x])/(((-I)*b*x)^m*b^2) - (2^(-4 - m)*x^m*Gamma[2 + m, 2*I*b*x])/(E^(2*I*a)*(I*b*x)^m*b^2)}
+{x^(m + 0)*Sin[a + b*x]^2, x, 5, x^(1 + m)/(2*(1 + m)) + (I*2^(-3 - m)*E^(2*I*a)*x^m*Gamma[1 + m, -2*I*b*x])/(((-I)*b*x)^m*b) - (I*2^(-3 - m)*x^m*Gamma[1 + m, 2*I*b*x])/(E^(2*I*a)*(I*b*x)^m*b)}
+{x^(m - 1)*Sin[a + b*x]^2, x, 5, x^m/(2*m) + (2^(-2 - m)*E^(2*I*a)*x^m*Gamma[m, -2*I*b*x])/((-I)*b*x)^m + (2^(-2 - m)*x^m*Gamma[m, 2*I*b*x])/(E^(2*I*a)*(I*b*x)^m)}
+{x^(m - 2)*Sin[a + b*x]^2, x, 5, -(x^(-1 + m)/(2*(1 - m))) - (I*2^(-1 - m)*b*E^(2*I*a)*x^m*Gamma[-1 + m, -2*I*b*x])/((-I)*b*x)^m + (I*2^(-1 - m)*b*x^m*Gamma[-1 + m, 2*I*b*x])/(E^(2*I*a)*(I*b*x)^m)}
+{x^(m - 3)*Sin[a + b*x]^2, x, 5, -(x^(-2 + m)/(2*(2 - m))) - (b^2*E^(2*I*a)*x^m*Gamma[-2 + m, -2*I*b*x])/(2^m*((-I)*b*x)^m) - (b^2*x^m*Gamma[-2 + m, 2*I*b*x])/(2^m*E^(2*I*a)*(I*b*x)^m)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Csc[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Csc[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^1/Csc[e + f*x]^(3/2) - x*Sqrt[Csc[e + f*x]]/3, x, 4, 4/(9*f^2*Csc[e + f*x]^(3/2)) - (2*x*Cos[e + f*x])/(3*f*Sqrt[Csc[e + f*x]])}
+{x^2/Csc[e + f*x]^(3/2) - (1/3)*x^2*Sqrt[Csc[e + f*x]], x, 7, (8*x)/(9*f^2*Csc[e + f*x]^(3/2)) + (16*Cos[e + f*x])/(27*f^3*Sqrt[Csc[e + f*x]]) - (2*x^2*Cos[e + f*x])/(3*f*Sqrt[Csc[e + f*x]]) - (16*Sqrt[Csc[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(27*f^3)}
+
+
+{x/Csc[e + f*x]^(5/2) - 3*x/(5*Sqrt[Csc[e + f*x]]), x, 4, 4/(25*f^2*Csc[e + f*x]^(5/2)) - (2*x*Cos[e + f*x])/(5*f*Csc[e + f*x]^(3/2))}
+
+
+{x/Csc[e + f*x]^(7/2) - (5/21)*x*Sqrt[Csc[e + f*x]], x, 5, 4/(49*f^2*Csc[e + f*x]^(7/2)) - (2*x*Cos[e + f*x])/(7*f*Csc[e + f*x]^(5/2)) + 20/(63*f^2*Csc[e + f*x]^(3/2)) - (10*x*Cos[e + f*x])/(21*f*Sqrt[Csc[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Sin[e+f x])^n with a^2-b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*x)^3, x, 6, (a*(c + d*x)^4)/(4*d) + (6*a*d^2*(c + d*x)*Cos[e + f*x])/f^3 - (a*(c + d*x)^3*Cos[e + f*x])/f - (6*a*d^3*Sin[e + f*x])/f^4 + (3*a*d*(c + d*x)^2*Sin[e + f*x])/f^2}
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*x)^2, x, 5, (a*(c + d*x)^3)/(3*d) + (2*a*d^2*Cos[e + f*x])/f^3 - (a*(c + d*x)^2*Cos[e + f*x])/f + (2*a*d*(c + d*x)*Sin[e + f*x])/f^2}
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*x)^1, x, 4, (a*(c + d*x)^2)/(2*d) - (a*(c + d*x)*Cos[e + f*x])/f + (a*d*Sin[e + f*x])/f^2}
+{(a + a*Sin[e + f*x])/(c + d*x)^1, x, 5, (a*Log[c + d*x])/d + (a*CosIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sin[e - (c*f)/d])/d + (a*Cos[e - (c*f)/d]*SinIntegral[(c*f)/d + f*x])/d}
+{(a + a*Sin[e + f*x])/(c + d*x)^2, x, 6, -(a/(d*(c + d*x))) + (a*f*Cos[e - (c*f)/d]*CosIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2 - (a*Sin[e + f*x])/(d*(c + d*x)) - (a*f*Sin[e - (c*f)/d]*SinIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2}
+{(a + a*Sin[e + f*x])/(c + d*x)^3, x, 7, -(a/(2*d*(c + d*x)^2)) - (a*f*Cos[e + f*x])/(2*d^2*(c + d*x)) - (a*f^2*CosIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sin[e - (c*f)/d])/(2*d^3) - (a*Sin[e + f*x])/(2*d*(c + d*x)^2) - (a*f^2*Cos[e - (c*f)/d]*SinIntegral[(c*f)/d + f*x])/(2*d^3)}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*x)^3, x, 10, -((3*a^2*c*d^2*x)/(4*f^2)) - (3*a^2*d^3*x^2)/(8*f^2) + (3*a^2*(c + d*x)^4)/(8*d) + (12*a^2*d^2*(c + d*x)*Cos[e + f*x])/f^3 - (2*a^2*(c + d*x)^3*Cos[e + f*x])/f - (12*a^2*d^3*Sin[e + f*x])/f^4 + (6*a^2*d*(c + d*x)^2*Sin[e + f*x])/f^2 + (3*a^2*d^2*(c + d*x)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(4*f^3) - (a^2*(c + d*x)^3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f) - (3*a^2*d^3*Sin[e + f*x]^2)/(8*f^4) + (3*a^2*d*(c + d*x)^2*Sin[e + f*x]^2)/(4*f^2)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*x)^2, x, 9, -((a^2*d^2*x)/(4*f^2)) + (a^2*(c + d*x)^3)/(2*d) + (4*a^2*d^2*Cos[e + f*x])/f^3 - (2*a^2*(c + d*x)^2*Cos[e + f*x])/f + (4*a^2*d*(c + d*x)*Sin[e + f*x])/f^2 + (a^2*d^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(4*f^3) - (a^2*(c + d*x)^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f) + (a^2*d*(c + d*x)*Sin[e + f*x]^2)/(2*f^2)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*x)^1, x, 6, (1/2)*a^2*c*x + (1/4)*a^2*d*x^2 + (a^2*(c + d*x)^2)/(2*d) - (2*a^2*(c + d*x)*Cos[e + f*x])/f + (2*a^2*d*Sin[e + f*x])/f^2 - (a^2*(c + d*x)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f) + (a^2*d*Sin[e + f*x]^2)/(4*f^2)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c + d*x)^1, x, 9, -((a^2*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*d)) + (3*a^2*Log[c + d*x])/(2*d) + (2*a^2*CosIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sin[e - (c*f)/d])/d + (2*a^2*Cos[e - (c*f)/d]*SinIntegral[(c*f)/d + f*x])/d + (a^2*Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*d)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x, 9, (2*a^2*f*Cos[e - (c*f)/d]*CosIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2 + (a^2*f*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sin[2*e - (2*c*f)/d])/d^2 - (4*a^2*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]^4)/(d*(c + d*x)) - (2*a^2*f*Sin[e - (c*f)/d]*SinIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2 + (a^2*f*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^2}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c + d*x)^3, x, 15, (a^2*f^2*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^3 - (a^2*f^2*CosIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sin[e - (c*f)/d])/d^3 - (4*a^2*f*Cos[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]^3)/(d^2*(c + d*x)) - (2*a^2*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]^4)/(d*(c + d*x)^2) - (a^2*f^2*Cos[e - (c*f)/d]*SinIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^3 - (a^2*f^2*Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^3}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*x)^3, x, 7, -((I*(c + d*x)^3)/(a*f)) - ((c + d*x)^3*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f) + (6*d*(c + d*x)^2*Log[1 - I*E^(I*(e + f*x))])/(a*f^2) - (12*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/(a*f^3) + (12*d^3*PolyLog[3, I*E^(I*(e + f*x))])/(a*f^4)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*x)^2, x, 6, -((I*(c + d*x)^2)/(a*f)) - ((c + d*x)^2*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f) + (4*d*(c + d*x)*Log[1 - I*E^(I*(e + f*x))])/(a*f^2) - (4*I*d^2*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/(a*f^3)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*x)^1, x, 3, -(((c + d*x)*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f)) + (2*d*Log[Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]])/(a*f^2)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + a*Sin[e + f*x])), x]}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + a*Sin[e + f*x])), x]}
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*x)^3, x, 10, -((I*(c + d*x)^3)/(3*a^2*f)) - (2*d^2*(c + d*x)*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a^2*f^3) - ((c + d*x)^3*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(3*a^2*f) - (d*(c + d*x)^2*Csc[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]^2)/(2*a^2*f^2) - ((c + d*x)^3*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Csc[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]^2)/(6*a^2*f) + (2*d*(c + d*x)^2*Log[1 - I*E^(I*(e + f*x))])/(a^2*f^2) + (4*d^3*Log[Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]])/(a^2*f^4) - (4*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/(a^2*f^3) + (4*d^3*PolyLog[3, I*E^(I*(e + f*x))])/(a^2*f^4)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*x)^2, x, 9, -((I*(c + d*x)^2)/(3*a^2*f)) - (2*d^2*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(3*a^2*f^3) - ((c + d*x)^2*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(3*a^2*f) - (d*(c + d*x)*Csc[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]^2)/(3*a^2*f^2) - ((c + d*x)^2*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Csc[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]^2)/(6*a^2*f) + (4*d*(c + d*x)*Log[1 - I*E^(I*(e + f*x))])/(3*a^2*f^2) - (4*I*d^2*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/(3*a^2*f^3)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*x)^1, x, 4, -(((c + d*x)*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(3*a^2*f)) - (d*Csc[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]^2)/(6*a^2*f^2) - ((c + d*x)*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Csc[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]^2)/(6*a^2*f) + (2*d*Log[Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]])/(3*a^2*f^2)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + a*Sin[e + f*x])^2), x]}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + a*Sin[e + f*x])^2), x]}
+
+
+{1/(a - a*Sin[e + f*x])*(c + d*x)^3, x, 7, -((I*(c + d*x)^3)/(a*f)) + (6*d*(c + d*x)^2*Log[1 + I*E^(I*(e + f*x))])/(a*f^2) - (12*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/(a*f^3) + (12*d^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/(a*f^4) + ((c + d*x)^3*Tan[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f)}
+{1/(a - a*Sin[e + f*x])*(c + d*x)^2, x, 6, -((I*(c + d*x)^2)/(a*f)) + (4*d*(c + d*x)*Log[1 + I*E^(I*(e + f*x))])/(a*f^2) - (4*I*d^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/(a*f^3) + ((c + d*x)^2*Tan[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f)}
+{1/(a - a*Sin[e + f*x])*(c + d*x)^1, x, 3, (2*d*Log[Cos[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]])/(a*f^2) + ((c + d*x)*Tan[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f)}
+{1/(a - a*Sin[e + f*x])/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a - a*Sin[e + f*x])), x]}
+{1/(a - a*Sin[e + f*x])/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a - a*Sin[e + f*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Sin[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 5, -((96*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d^4) + (12*x^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d^2 + (48*x*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d^3 - (2*x^3*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d}
+{x^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 4, (8*x*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d^2 + (16*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d^3 - (2*x^2*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d}
+{x^1*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, (4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d^2 - (2*x*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/x^1, x, 4, CosIntegral[(d*x)/2]*Csc[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]*Sin[(1/4)*(2*c + Pi)]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]] + Cos[(1/4)*(2*c + Pi)]*Csc[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]*SinIntegral[(d*x)/2]}
+{Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/x^2, x, 5, -(Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/x) - (1/2)*d*CosIntegral[(d*x)/2]*Csc[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]*Sin[(1/4)*(2*c - Pi)]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]] - (1/2)*d*Csc[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]*Sin[(1/4)*(2*c + Pi)]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]*SinIntegral[(d*x)/2]}
+{Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/x^3, x, 6, -(Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/(2*x^2)) - (d*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*x) - (1/8)*d^2*CosIntegral[(d*x)/2]*Csc[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]*Sin[(1/4)*(2*c + Pi)]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]] - (1/8)*d^2*Cos[(1/4)*(2*c + Pi)]*Csc[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]*SinIntegral[(d*x)/2]}
+
+
+{x^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 9, -((1280*a*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(9*f^4)) + (16*a*x^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/f^2 + (640*a*x*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(9*f^3) - (8*a*x^3*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*f) + (32*a*x*Cos[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(9*f^3) - (4*a*x^3*Cos[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*f) - (64*a*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(27*f^4) + (8*a*x^2*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*f^2)}
+{x^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, (32*a*x*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*f^2) + (224*a*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(9*f^3) - (8*a*x^2*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*f) - (32*a*Cos[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]^2*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(27*f^3) - (4*a*x^2*Cos[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*f) + (16*a*x*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(9*f^2)}
+{x^1*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, (16*a*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*f^2) - (8*a*x*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*f) - (4*a*x*Cos[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*f) + (8*a*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(9*f^2)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/x^1, x, 9, (1/2)*a*Cos[(3/4)*(2*e - Pi)]*CosIntegral[(3*f*x)/2]*Csc[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]] + (3/2)*a*CosIntegral[(f*x)/2]*Csc[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sin[(1/4)*(2*e + Pi)]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]] + (3/2)*a*Cos[(1/4)*(2*e + Pi)]*Csc[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*SinIntegral[(f*x)/2] - (1/2)*a*Csc[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sin[(3/4)*(2*e - Pi)]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*SinIntegral[(3*f*x)/2]}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/x^2, x, 9, (-(3/4))*a*f*CosIntegral[(f*x)/2]*Csc[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sin[(1/4)*(2*e - Pi)]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]] + (3/4)*a*f*CosIntegral[(3*f*x)/2]*Csc[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sin[(1/4)*(6*e + Pi)]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]] - (2*a*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/x - (3/4)*a*f*Csc[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sin[(1/4)*(2*e + Pi)]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*SinIntegral[(f*x)/2] + (3/4)*a*f*Cos[(1/4)*(6*e + Pi)]*Csc[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*SinIntegral[(3*f*x)/2]}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/x^3, x, 13, (-(9/16))*a*f^2*Cos[(3/4)*(2*e - Pi)]*CosIntegral[(3*f*x)/2]*Csc[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]] - (3/16)*a*f^2*CosIntegral[(f*x)/2]*Csc[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sin[(1/4)*(2*e + Pi)]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]] - (3*a*f*Cos[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(2*x) - (a*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/x^2 - (3/16)*a*f^2*Cos[(1/4)*(2*e + Pi)]*Csc[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*SinIntegral[(f*x)/2] + (9/16)*a*f^2*Csc[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]*Sin[(3/4)*(2*e - Pi)]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*SinIntegral[(3*f*x)/2]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^3/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 10, -((4*x^3*ArcTanh[E^((1/4)*I*(2*c + Pi + 2*d*x))]*Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) + (12*I*x^2*PolyLog[2, -E^((1/4)*I*(2*c + Pi + 2*d*x))]*Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(d^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (12*I*x^2*PolyLog[2, E^((1/4)*I*(2*c + Pi + 2*d*x))]*Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(d^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (48*x*PolyLog[3, -E^((1/4)*I*(2*c + Pi + 2*d*x))]*Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(d^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (48*x*PolyLog[3, E^((1/4)*I*(2*c + Pi + 2*d*x))]*Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(d^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (96*I*PolyLog[4, -E^((1/4)*I*(2*c + Pi + 2*d*x))]*Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(d^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (96*I*PolyLog[4, E^((1/4)*I*(2*c + Pi + 2*d*x))]*Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(d^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{x^2/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 8, -((4*x^2*ArcTanh[E^((1/4)*I*(2*c + Pi + 2*d*x))]*Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) + (8*I*x*PolyLog[2, -E^((1/4)*I*(2*c + Pi + 2*d*x))]*Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(d^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (8*I*x*PolyLog[2, E^((1/4)*I*(2*c + Pi + 2*d*x))]*Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(d^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (16*PolyLog[3, -E^((1/4)*I*(2*c + Pi + 2*d*x))]*Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(d^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (16*PolyLog[3, E^((1/4)*I*(2*c + Pi + 2*d*x))]*Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(d^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{x^1/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 6, -((4*x*ArcTanh[E^((1/4)*I*(2*c + Pi + 2*d*x))]*Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) + (4*I*PolyLog[2, -E^((1/4)*I*(2*c + Pi + 2*d*x))]*Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(d^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (4*I*PolyLog[2, E^((1/4)*I*(2*c + Pi + 2*d*x))]*Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(d^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{1/(x^1*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]), x]}
+{1/(x^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]), x]}
+
+
+{x^3/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 16, -((3*x^2)/(a*f^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (x^3*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(2*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (24*x*ArcTanh[E^((1/4)*I*(2*e + Pi + 2*f*x))]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f^3*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (x^3*ArcTanh[E^((1/4)*I*(2*e + Pi + 2*f*x))]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (24*I*PolyLog[2, -E^((1/4)*I*(2*e + Pi + 2*f*x))]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f^4*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (3*I*x^2*PolyLog[2, -E^((1/4)*I*(2*e + Pi + 2*f*x))]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (24*I*PolyLog[2, E^((1/4)*I*(2*e + Pi + 2*f*x))]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f^4*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (3*I*x^2*PolyLog[2, E^((1/4)*I*(2*e + Pi + 2*f*x))]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (12*x*PolyLog[3, -E^((1/4)*I*(2*e + Pi + 2*f*x))]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f^3*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (12*x*PolyLog[3, E^((1/4)*I*(2*e + Pi + 2*f*x))]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f^3*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (24*I*PolyLog[4, -E^((1/4)*I*(2*e + Pi + 2*f*x))]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f^4*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (24*I*PolyLog[4, E^((1/4)*I*(2*e + Pi + 2*f*x))]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f^4*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{x^2/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 10, -((2*x)/(a*f^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (x^2*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(2*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (x^2*ArcTanh[E^((1/4)*I*(2*e + Pi + 2*f*x))]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (4*ArcTanh[Cos[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2]]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f^3*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (2*I*x*PolyLog[2, -E^((1/4)*I*(2*e + Pi + 2*f*x))]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*I*x*PolyLog[2, E^((1/4)*I*(2*e + Pi + 2*f*x))]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (4*PolyLog[3, -E^((1/4)*I*(2*e + Pi + 2*f*x))]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f^3*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (4*PolyLog[3, E^((1/4)*I*(2*e + Pi + 2*f*x))]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f^3*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{x^1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, -(1/(a*f^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (x*Cot[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(2*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (x*ArcTanh[E^((1/4)*I*(2*e + Pi + 2*f*x))]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (I*PolyLog[2, -E^((1/4)*I*(2*e + Pi + 2*f*x))]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (I*PolyLog[2, E^((1/4)*I*(2*e + Pi + 2*f*x))]*Sin[e/2 + Pi/4 + (f*x)/2])/(a*f^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{1/(x^1*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)), x]}
+{1/(x^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Sin[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+(* Used to hang Rubi *)
+{(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3)/x, x, 0, Unintegrable[(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3)/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Sin[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + a*Sin[e + f*x])^n, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(a + a*Sin[e + f*x])^n, x]}
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 12, (5*a^3*(c + d*x)^(1 + m))/(2*d*(1 + m)) - (15*a^3*E^(I*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*f*(c + d*x))/d)])/((-((I*f*(c + d*x))/d))^m*(8*f)) - (15*a^3*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*f*(c + d*x))/d])/(E^(I*(e - (c*f)/d))*((I*f*(c + d*x))/d)^m*(8*f)) + (3*I*2^(-3 - m)*a^3*E^(2*I*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((2*I*f*(c + d*x))/d)])/((-((I*f*(c + d*x))/d))^m*f) - (3*I*2^(-3 - m)*a^3*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*I*f*(c + d*x))/d])/(E^(2*I*(e - (c*f)/d))*((I*f*(c + d*x))/d)^m*f) + (3^(-1 - m)*a^3*E^(3*I*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((3*I*f*(c + d*x))/d)])/((-((I*f*(c + d*x))/d))^m*(8*f)) + (3^(-1 - m)*a^3*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (3*I*f*(c + d*x))/d])/(E^(3*I*(e - (c*f)/d))*((I*f*(c + d*x))/d)^m*(8*f))}
+{(c + d*x)^m*(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 9, (3*a^2*(c + d*x)^(1 + m))/(2*d*(1 + m)) - (a^2*E^(I*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*f*(c + d*x))/d)])/((-((I*f*(c + d*x))/d))^m*f) - (a^2*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*f*(c + d*x))/d])/(E^(I*(e - (c*f)/d))*((I*f*(c + d*x))/d)^m*f) + (I*2^(-3 - m)*a^2*E^(2*I*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((2*I*f*(c + d*x))/d)])/((-((I*f*(c + d*x))/d))^m*f) - (I*2^(-3 - m)*a^2*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*I*f*(c + d*x))/d])/(E^(2*I*(e - (c*f)/d))*((I*f*(c + d*x))/d)^m*f)}
+{(c + d*x)^m*(a + a*Sin[e + f*x])^1, x, 5, (a*(c + d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) - (a*E^(I*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*f*(c + d*x))/d)])/((-((I*f*(c + d*x))/d))^m*(2*f)) - (a*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*f*(c + d*x))/d])/(E^(I*(e - (c*f)/d))*((I*f*(c + d*x))/d)^m*(2*f))}
+{(c + d*x)^m/(a + a*Sin[e + f*x])^1, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m/(a + a*Sin[e + f*x]), x]}
+{(c + d*x)^m/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*x)^3, x, 6, (a*(c + d*x)^4)/(4*d) + (6*b*d^2*(c + d*x)*Cos[e + f*x])/f^3 - (b*(c + d*x)^3*Cos[e + f*x])/f - (6*b*d^3*Sin[e + f*x])/f^4 + (3*b*d*(c + d*x)^2*Sin[e + f*x])/f^2}
+{(a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*x)^2, x, 5, (a*(c + d*x)^3)/(3*d) + (2*b*d^2*Cos[e + f*x])/f^3 - (b*(c + d*x)^2*Cos[e + f*x])/f + (2*b*d*(c + d*x)*Sin[e + f*x])/f^2}
+{(a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*x)^1, x, 4, (a*(c + d*x)^2)/(2*d) - (b*(c + d*x)*Cos[e + f*x])/f + (b*d*Sin[e + f*x])/f^2}
+{(a + b*Sin[e + f*x])/(c + d*x)^1, x, 5, (a*Log[c + d*x])/d + (b*CosIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sin[e - (c*f)/d])/d + (b*Cos[e - (c*f)/d]*SinIntegral[(c*f)/d + f*x])/d}
+{(a + b*Sin[e + f*x])/(c + d*x)^2, x, 6, -(a/(d*(c + d*x))) + (b*f*Cos[e - (c*f)/d]*CosIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2 - (b*Sin[e + f*x])/(d*(c + d*x)) - (b*f*Sin[e - (c*f)/d]*SinIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2}
+{(a + b*Sin[e + f*x])/(c + d*x)^3, x, 7, -(a/(2*d*(c + d*x)^2)) - (b*f*Cos[e + f*x])/(2*d^2*(c + d*x)) - (b*f^2*CosIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sin[e - (c*f)/d])/(2*d^3) - (b*Sin[e + f*x])/(2*d*(c + d*x)^2) - (b*f^2*Cos[e - (c*f)/d]*SinIntegral[(c*f)/d + f*x])/(2*d^3)}
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*x)^3, x, 10, -((3*b^2*c*d^2*x)/(4*f^2)) - (3*b^2*d^3*x^2)/(8*f^2) + (a^2*(c + d*x)^4)/(4*d) + (b^2*(c + d*x)^4)/(8*d) + (12*a*b*d^2*(c + d*x)*Cos[e + f*x])/f^3 - (2*a*b*(c + d*x)^3*Cos[e + f*x])/f - (12*a*b*d^3*Sin[e + f*x])/f^4 + (6*a*b*d*(c + d*x)^2*Sin[e + f*x])/f^2 + (3*b^2*d^2*(c + d*x)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(4*f^3) - (b^2*(c + d*x)^3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f) - (3*b^2*d^3*Sin[e + f*x]^2)/(8*f^4) + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*Sin[e + f*x]^2)/(4*f^2)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*x)^2, x, 9, -((b^2*d^2*x)/(4*f^2)) + (a^2*(c + d*x)^3)/(3*d) + (b^2*(c + d*x)^3)/(6*d) + (4*a*b*d^2*Cos[e + f*x])/f^3 - (2*a*b*(c + d*x)^2*Cos[e + f*x])/f + (4*a*b*d*(c + d*x)*Sin[e + f*x])/f^2 + (b^2*d^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(4*f^3) - (b^2*(c + d*x)^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f) + (b^2*d*(c + d*x)*Sin[e + f*x]^2)/(2*f^2)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*x)^1, x, 6, (1/2)*b^2*c*x + (1/4)*b^2*d*x^2 + (a^2*(c + d*x)^2)/(2*d) - (2*a*b*(c + d*x)*Cos[e + f*x])/f + (2*a*b*d*Sin[e + f*x])/f^2 - (b^2*(c + d*x)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f) + (b^2*d*Sin[e + f*x]^2)/(4*f^2)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2/(c + d*x)^1, x, 10, -((b^2*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*d)) + (a^2*Log[c + d*x])/d + (b^2*Log[c + d*x])/(2*d) + (2*a*b*CosIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sin[e - (c*f)/d])/d + (2*a*b*Cos[e - (c*f)/d]*SinIntegral[(c*f)/d + f*x])/d + (b^2*Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*d)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x, 11, -(a^2/(d*(c + d*x))) + (2*a*b*f*Cos[e - (c*f)/d]*CosIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2 + (b^2*f*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sin[2*e - (2*c*f)/d])/d^2 - (2*a*b*Sin[e + f*x])/(d*(c + d*x)) - (b^2*Sin[e + f*x]^2)/(d*(c + d*x)) - (2*a*b*f*Sin[e - (c*f)/d]*SinIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2 + (b^2*f*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^2}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2/(c + d*x)^3, x, 14, -(a^2/(2*d*(c + d*x)^2)) - (a*b*f*Cos[e + f*x])/(d^2*(c + d*x)) + (b^2*f^2*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^3 - (a*b*f^2*CosIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sin[e - (c*f)/d])/d^3 - (a*b*Sin[e + f*x])/(d*(c + d*x)^2) - (b^2*f*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(d^2*(c + d*x)) - (b^2*Sin[e + f*x]^2)/(2*d*(c + d*x)^2) - (a*b*f^2*Cos[e - (c*f)/d]*SinIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^3 - (b^2*f^2*Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^3}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 12, -((I*(c + d*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f)) + (I*(c + d*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f) - (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^2) + (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^2) - (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^3) + (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^3) + (6*d^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^4) - (6*d^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^4)}
+{(c + d*x)^2/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 10, -((I*(c + d*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f)) + (I*(c + d*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f) - (2*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^2) + (2*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^2) - (2*I*d^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^3) + (2*I*d^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^3)}
+{(c + d*x)^1/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 8, -((I*(c + d*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f)) + (I*(c + d*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f) - (d*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^2) + (d*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^2)}
+{1/((c + d*x)^1*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*Sin[e + f*x])), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + b*Sin[e + f*x])), x]}
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 22, (I*(c + d*x)^3)/((a^2 - b^2)*f) - (3*d*(c + d*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*f^2) - (I*a*(c + d*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f) - (3*d*(c + d*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*f^2) + (I*a*(c + d*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f) + (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*f^3) - (3*a*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^2) + (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*f^3) + (3*a*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^2) - (6*d^3*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*f^4) - (6*I*a*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^3) - (6*d^3*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*f^4) + (6*I*a*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^3) + (6*a*d^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^4) - (6*a*d^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^4) + (b*(c + d*x)^3*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x]))}
+{(c + d*x)^2/(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 18, (I*(c + d*x)^2)/((a^2 - b^2)*f) - (2*d*(c + d*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*f^2) - (I*a*(c + d*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f) - (2*d*(c + d*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*f^2) + (I*a*(c + d*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f) + (2*I*d^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*f^3) - (2*a*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^2) + (2*I*d^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*f^3) + (2*a*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^2) - (2*I*a*d^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^3) + (2*I*a*d^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^3) + (b*(c + d*x)^2*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x]))}
+{(c + d*x)^1/(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 11, -((I*a*(c + d*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f)) + (I*a*(c + d*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f) - (d*Log[a + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*f^2) - (a*d*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^2) + (a*d*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(e + f*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^2) + (b*(c + d*x)*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)^1*(a + b*Sin[e + f*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*Sin[e + f*x])^2), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + b*Sin[e + f*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + b*Sin[e + f*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Sin[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + b*Sin[e + f*x])^n, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(a + b*Sin[e + f*x])^n, x]}
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 18, (a^3*(c + d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (3*a*b^2*(c + d*x)^(1 + m))/(2*d*(1 + m)) - (3*a^2*b*E^(I*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*f*(c + d*x))/d)])/((-((I*f*(c + d*x))/d))^m*(2*f)) - (3*b^3*E^(I*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*f*(c + d*x))/d)])/((-((I*f*(c + d*x))/d))^m*(8*f)) - (3*a^2*b*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*f*(c + d*x))/d])/(E^(I*(e - (c*f)/d))*((I*f*(c + d*x))/d)^m*(2*f)) - (3*b^3*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*f*(c + d*x))/d])/(E^(I*(e - (c*f)/d))*((I*f*(c + d*x))/d)^m*(8*f)) + (3*I*2^(-3 - m)*a*b^2*E^(2*I*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((2*I*f*(c + d*x))/d)])/((-((I*f*(c + d*x))/d))^m*f) - (3*I*2^(-3 - m)*a*b^2*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*I*f*(c + d*x))/d])/(E^(2*I*(e - (c*f)/d))*((I*f*(c + d*x))/d)^m*f) + (3^(-1 - m)*b^3*E^(3*I*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((3*I*f*(c + d*x))/d)])/((-((I*f*(c + d*x))/d))^m*(8*f)) + (3^(-1 - m)*b^3*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (3*I*f*(c + d*x))/d])/(E^(3*I*(e - (c*f)/d))*((I*f*(c + d*x))/d)^m*(8*f))}
+{(c + d*x)^m*(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 10, (a^2*(c + d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (b^2*(c + d*x)^(1 + m))/(2*d*(1 + m)) - (a*b*E^(I*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*f*(c + d*x))/d)])/((-((I*f*(c + d*x))/d))^m*f) - (a*b*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*f*(c + d*x))/d])/(E^(I*(e - (c*f)/d))*((I*f*(c + d*x))/d)^m*f) + (I*2^(-3 - m)*b^2*E^(2*I*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((2*I*f*(c + d*x))/d)])/((-((I*f*(c + d*x))/d))^m*f) - (I*2^(-3 - m)*b^2*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*I*f*(c + d*x))/d])/(E^(2*I*(e - (c*f)/d))*((I*f*(c + d*x))/d)^m*f)}
+{(c + d*x)^m*(a + b*Sin[e + f*x])^1, x, 5, (a*(c + d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) - (b*E^(I*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*f*(c + d*x))/d)])/((-((I*f*(c + d*x))/d))^m*(2*f)) - (b*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*f*(c + d*x))/d])/(E^(I*(e - (c*f)/d))*((I*f*(c + d*x))/d)^m*(2*f))}
+{(c + d*x)^m/(a + b*Sin[e + f*x])^1, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m/(a + b*Sin[e + f*x]), x]}
+{(c + d*x)^m/(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m/(a + b*Sin[e + f*x])^2, x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sin[c+d x]^n (a+b Sin[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sin[c+d x]^n (a+b Sin[c+d x])^p with a^2-b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sin[c+d x]^n / (a+a Sin[c+d x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Sin[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (I*(e + f*x)^3)/(a*d) + (e + f*x)^4/(4*a*f) + ((e + f*x)^3*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d) - (6*f*(e + f*x)^2*Log[1 - I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + ((12*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - (12*f^3*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, (I*(e + f*x)^2)/(a*d) + (e + f*x)^3/(3*a*f) + ((e + f*x)^2*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d) - (4*f*(e + f*x)*Log[1 - I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + ((4*I)*f^2*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3)}
+{((e + f*x)*Sin[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, (e*x)/a + (f*x^2)/(2*a) + ((e + f*x)*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d) - (2*f*Log[Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]])/(a*d^2)}
+{Sin[c + d*x]/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 2, x/a + Cos[c + d*x]/(d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sin[c + d*x]/((e + f*x)*(a + a*Sin[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sin[c + d*x]/((e + f*x)*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+{Sin[c + d*x]/((e + f*x)^2*(a + a*Sin[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sin[c + d*x]/((e + f*x)^2*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Sin[c + d*x]^2)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 14, ((-I)*(e + f*x)^3)/(a*d) - (e + f*x)^4/(4*a*f) + (6*f^2*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a*d^3) - ((e + f*x)^3*Cos[c + d*x])/(a*d) - ((e + f*x)^3*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d) + (6*f*(e + f*x)^2*Log[1 - I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((12*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (12*f^3*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) - (6*f^3*Sin[c + d*x])/(a*d^4) + (3*f*(e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(a*d^2)}
+{((e + f*x)^2*Sin[c + d*x]^2)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 12, ((-I)*(e + f*x)^2)/(a*d) - (e + f*x)^3/(3*a*f) + (2*f^2*Cos[c + d*x])/(a*d^3) - ((e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(a*d) - ((e + f*x)^2*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d) + (4*f*(e + f*x)*Log[1 - I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((4*I)*f^2*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (2*f*(e + f*x)*Sin[c + d*x])/(a*d^2)}
+{((e + f*x)*Sin[c + d*x]^2)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, -((e*x)/a) - (f*x^2)/(2*a) - ((e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a*d) - ((e + f*x)*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d) + (2*f*Log[Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]])/(a*d^2) + (f*Sin[c + d*x])/(a*d^2)}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -(x/a) - Cos[c + d*x]/(a*d) - Cos[c + d*x]/(a*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Sin[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + a*Sin[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sin[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+{Sin[c + d*x]^2/((e + f*x)^2*(a + a*Sin[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sin[c + d*x]^2/((e + f*x)^2*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Sin[c + d*x]^3)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 19, (-3*e*f^2*x)/(4*a*d^2) - (3*f^3*x^2)/(8*a*d^2) + (I*(e + f*x)^3)/(a*d) + (3*(e + f*x)^4)/(8*a*f) - (6*f^2*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a*d^3) + ((e + f*x)^3*Cos[c + d*x])/(a*d) + ((e + f*x)^3*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d) - (6*f*(e + f*x)^2*Log[1 - I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + ((12*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - (12*f^3*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + (6*f^3*Sin[c + d*x])/(a*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(a*d^2) + (3*f^2*(e + f*x)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*a*d^3) - ((e + f*x)^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - (3*f^3*Sin[c + d*x]^2)/(8*a*d^4) + (3*f*(e + f*x)^2*Sin[c + d*x]^2)/(4*a*d^2)}
+{((e + f*x)^2*Sin[c + d*x]^3)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 17, -(f^2*x)/(4*a*d^2) + (I*(e + f*x)^2)/(a*d) + (e + f*x)^3/(2*a*f) - (2*f^2*Cos[c + d*x])/(a*d^3) + ((e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(a*d) + ((e + f*x)^2*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d) - (4*f*(e + f*x)*Log[1 - I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + ((4*I)*f^2*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - (2*f*(e + f*x)*Sin[c + d*x])/(a*d^2) + (f^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*a*d^3) - ((e + f*x)^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) + (f*(e + f*x)*Sin[c + d*x]^2)/(2*a*d^2)}
+{((e + f*x)*Sin[c + d*x]^3)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 11, (3*e*x)/(2*a) + (3*f*x^2)/(4*a) + ((e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a*d) + ((e + f*x)*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d) - (2*f*Log[Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]])/(a*d^2) - (f*Sin[c + d*x])/(a*d^2) - ((e + f*x)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) + (f*Sin[c + d*x]^2)/(4*a*d^2)}
+{Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 2, (3*x)/(2*a) + (2*Cos[c + d*x])/(a*d) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sin[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + a*Sin[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sin[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+{Sin[c + d*x]^3/((e + f*x)^2*(a + a*Sin[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sin[c + d*x]^3/((e + f*x)^2*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Csc[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 17, (I*(e + f*x)^3)/(a*d) - (2*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) + ((e + f*x)^3*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d) - (6*f*(e + f*x)^2*Log[1 - I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + ((3*I)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + ((12*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - ((3*I)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - (12*f^3*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - ((6*I)*f^3*PolyLog[4, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + ((6*I)*f^3*PolyLog[4, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Csc[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 14, (I*(e + f*x)^2)/(a*d) - (2*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) + ((e + f*x)^2*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d) - (4*f*(e + f*x)*Log[1 - I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + ((2*I)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + ((4*I)*f^2*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - ((2*I)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - (2*f^2*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (2*f^2*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3)}
+{((e + f*x)*Csc[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (-2*(e + f*x)*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) + ((e + f*x)*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d) - (2*f*Log[Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]])/(a*d^2) + (I*f*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - (I*f*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2)}
+{Csc[c + d*x]/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d)) + Cos[c + d*x]/(d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]/((e + f*x)*(a + a*Sin[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Csc[c + d*x]/((e + f*x)*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+{Csc[c + d*x]/((e + f*x)^2*(a + a*Sin[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Csc[c + d*x]/((e + f*x)^2*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Csc[c + d*x]^2)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 24, ((-2*I)*(e + f*x)^3)/(a*d) + (2*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) - ((e + f*x)^3*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d) - ((e + f*x)^3*Cot[c + d*x])/(a*d) + (6*f*(e + f*x)^2*Log[1 - I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + (3*f*(e + f*x)^2*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((3*I)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((12*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + ((3*I)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((3*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^3) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (12*f^3*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (3*f^3*PolyLog[3, E^((2*I)*(c + d*x))])/(2*a*d^4) + ((6*I)*f^3*PolyLog[4, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) - ((6*I)*f^3*PolyLog[4, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Csc[c + d*x]^2)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 20, ((-2*I)*(e + f*x)^2)/(a*d) + (2*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) - ((e + f*x)^2*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d) - ((e + f*x)^2*Cot[c + d*x])/(a*d) + (4*f*(e + f*x)*Log[1 - I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + (2*f*(e + f*x)*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((2*I)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((4*I)*f^2*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + ((2*I)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - (I*f^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^3) + (2*f^2*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - (2*f^2*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3)}
+{((e + f*x)*Csc[c + d*x]^2)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 12, (2*(e + f*x)*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) - ((e + f*x)*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d) - ((e + f*x)*Cot[c + d*x])/(a*d) + (2*f*Log[Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]])/(a*d^2) + (f*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d^2) - (I*f*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + (I*f*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2)}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d) - (2*Cot[c + d*x])/(a*d) + Cot[c + d*x]/(d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + a*Sin[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Csc[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+{Csc[c + d*x]^2/((e + f*x)^2*(a + a*Sin[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Csc[c + d*x]^2/((e + f*x)^2*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Csc[c + d*x]^3)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 40, ((2*I)*(e + f*x)^3)/(a*d) - (6*f^2*(e + f*x)*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - (3*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) + ((e + f*x)^3*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d) + ((e + f*x)^3*Cot[c + d*x])/(a*d) - (3*f*(e + f*x)^2*Csc[c + d*x])/(2*a*d^2) - ((e + f*x)^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d) - (6*f*(e + f*x)^2*Log[1 - I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - (3*f*(e + f*x)^2*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^2) + ((3*I)*f^3*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + (((9*I)/2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + ((12*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - ((3*I)*f^3*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) - (((9*I)/2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + ((3*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^3) - (9*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - (12*f^3*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + (9*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - (3*f^3*PolyLog[3, E^((2*I)*(c + d*x))])/(2*a*d^4) - ((9*I)*f^3*PolyLog[4, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + ((9*I)*f^3*PolyLog[4, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Csc[c + d*x]^3)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 30, ((2*I)*(e + f*x)^2)/(a*d) - (3*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) - (f^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a*d^3) + ((e + f*x)^2*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d) + ((e + f*x)^2*Cot[c + d*x])/(a*d) - (f*(e + f*x)*Csc[c + d*x])/(a*d^2) - ((e + f*x)^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d) - (4*f*(e + f*x)*Log[1 - I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - (2*f*(e + f*x)*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^2) + ((3*I)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + ((4*I)*f^2*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - ((3*I)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + (I*f^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^3) - (3*f^2*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (3*f^2*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3)}
+{((e + f*x)*Csc[c + d*x]^3)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 19, (-3*(e + f*x)*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) + ((e + f*x)*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d) + ((e + f*x)*Cot[c + d*x])/(a*d) - (f*Csc[c + d*x])/(2*a*d^2) - ((e + f*x)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d) - (2*f*Log[Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]])/(a*d^2) - (f*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d^2) + (((3*I)/2)*f*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - (((3*I)/2)*f*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2)}
+{Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, (-3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a*d) + (2*Cot[c + d*x])/(a*d) - (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + a*Sin[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Csc[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+{Csc[c + d*x]^3/((e + f*x)^2*(a + a*Sin[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Csc[c + d*x]^3/((e + f*x)^2*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sin[c+d x]^n / (a+a Sin[c+d x]) with m symbolic*)
+
+
+{((e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^2)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[((e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^2)/(a + a*Sin[c + d*x]), x]}
+{((e + f*x)^m*Sin[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[((e + f*x)^m*Sin[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x]), x]}
+{(e + f*x)^m/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[(e + f*x)^m/(a + a*Sin[c + d*x]), x]}
+{((e + f*x)^m*Csc[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[((e + f*x)^m*Csc[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x]), x]}
+{((e + f*x)^m*Csc[c + d*x]^2)/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[((e + f*x)^m*Csc[c + d*x]^2)/(a + a*Sin[c + d*x]), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sin[c+d x]^n (a+b Sin[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sin[c+d x]^n / (a+b Sin[c+d x])^1*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Sin[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 14, (e + f*x)^4/(4*b*f) + (I*a*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (I*a*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (3*a*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (3*a*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + ((6*I)*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) - ((6*I)*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) - (6*a*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^4) + (6*a*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 12, (e + f*x)^3/(3*b*f) + (I*a*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (I*a*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (2*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (2*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + ((2*I)*a*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) - ((2*I)*a*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3)}
+{((e + f*x)*Sin[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 10, (e*x)/b + (f*x^2)/(2*b) + (I*a*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (I*a*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (a*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (a*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2)}
+{Sin[c + d*x]/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, x/b - (2*a*ArcTan[(b + a*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d)}
+
+
+{((e + f*x)^3*Sin[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 19, -(a*(e + f*x)^4)/(4*b^2*f) + (6*f^2*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(b*d^3) - ((e + f*x)^3*Cos[c + d*x])/(b*d) - (I*a^2*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (I*a^2*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (3*a^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + (3*a^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - ((6*I)*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) + ((6*I)*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) + (6*a^2*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^4) - (6*a^2*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^4) - (6*f^3*Sin[c + d*x])/(b*d^4) + (3*f*(e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(b*d^2)}
+{((e + f*x)^2*Sin[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 16, -(a*(e + f*x)^3)/(3*b^2*f) + (2*f^2*Cos[c + d*x])/(b*d^3) - ((e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(b*d) - (I*a^2*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (I*a^2*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (2*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + (2*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - ((2*I)*a^2*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) + ((2*I)*a^2*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) + (2*f*(e + f*x)*Sin[c + d*x])/(b*d^2)}
+{((e + f*x)*Sin[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 13, -((a*e*x)/b^2) - (a*f*x^2)/(2*b^2) - ((e + f*x)*Cos[c + d*x])/(b*d) - (I*a^2*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (I*a^2*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (a^2*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + (a^2*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + (f*Sin[c + d*x])/(b*d^2)}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -((a*x)/b^2) + (2*a^2*ArcTan[(b + a*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - Cos[c + d*x]/(b*d)}
+
+
+{((e + f*x)^3*Sin[c + d*x]^3)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 24, (-3*e*f^2*x)/(4*b*d^2) - (3*f^3*x^2)/(8*b*d^2) + (a^2*(e + f*x)^4)/(4*b^3*f) + (e + f*x)^4/(8*b*f) - (6*a*f^2*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(b^2*d^3) + (a*(e + f*x)^3*Cos[c + d*x])/(b^2*d) + (I*a^3*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (I*a^3*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (3*a^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (3*a^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + ((6*I)*a^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) - ((6*I)*a^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) - (6*a^3*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d^4) + (6*a^3*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d^4) + (6*a*f^3*Sin[c + d*x])/(b^2*d^4) - (3*a*f*(e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(b^2*d^2) + (3*f^2*(e + f*x)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*b*d^3) - ((e + f*x)^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d) - (3*f^3*Sin[c + d*x]^2)/(8*b*d^4) + (3*f*(e + f*x)^2*Sin[c + d*x]^2)/(4*b*d^2)}
+{((e + f*x)^2*Sin[c + d*x]^3)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 21, -(f^2*x)/(4*b*d^2) + (a^2*(e + f*x)^3)/(3*b^3*f) + (e + f*x)^3/(6*b*f) - (2*a*f^2*Cos[c + d*x])/(b^2*d^3) + (a*(e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(b^2*d) + (I*a^3*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (I*a^3*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (2*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (2*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + ((2*I)*a^3*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) - ((2*I)*a^3*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) - (2*a*f*(e + f*x)*Sin[c + d*x])/(b^2*d^2) + (f^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*b*d^3) - ((e + f*x)^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d) + (f*(e + f*x)*Sin[c + d*x]^2)/(2*b*d^2)}
+{((e + f*x)*Sin[c + d*x]^3)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 16, (a^2*e*x)/b^3 + (e*x)/(2*b) + (a^2*f*x^2)/(2*b^3) + (f*x^2)/(4*b) + (a*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(b^2*d) + (I*a^3*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (I*a^3*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (a^3*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (a^3*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (a*f*Sin[c + d*x])/(b^2*d^2) - ((e + f*x)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d) + (f*Sin[c + d*x]^2)/(4*b*d^2)}
+{Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, ((2*a^2 + b^2)*x)/(2*b^3) - (2*a^3*ArcTan[(b + a*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (a*Cos[c + d*x])/(b^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Csc[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 22, (-2*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) + (I*b*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (I*b*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + ((3*I)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((3*I)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + ((6*I)*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) - ((6*I)*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) - ((6*I)*f^3*PolyLog[4, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + ((6*I)*f^3*PolyLog[4, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) - (6*b*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d^4) + (6*b*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Csc[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 18, (-2*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) + (I*b*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (I*b*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + ((2*I)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((2*I)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + (2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (2*f^2*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (2*f^2*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + ((2*I)*b*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) - ((2*I)*b*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3)}
+{((e + f*x)*Csc[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 14, (-2*(e + f*x)*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) + (I*b*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (I*b*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (I*f*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - (I*f*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + (b*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (b*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2)}
+{Csc[c + d*x]/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 5, (-2*b*ArcTan[(b + a*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d)}
+
+
+{((e + f*x)^3*Csc[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 29, ((-I)*(e + f*x)^3)/(a*d) + (2*b*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d) - ((e + f*x)^3*Cot[c + d*x])/(a*d) - (I*b^2*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (I*b^2*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (3*f*(e + f*x)^2*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((3*I)*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^2) + ((3*I)*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^2) - (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - ((3*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^3) + (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^3) - (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^3) - ((6*I)*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) + ((6*I)*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) + (3*f^3*PolyLog[3, E^((2*I)*(c + d*x))])/(2*a*d^4) + ((6*I)*b*f^3*PolyLog[4, -E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^4) - ((6*I)*b*f^3*PolyLog[4, E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^4) + (6*b^2*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^4) - (6*b^2*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Csc[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 24, ((-I)*(e + f*x)^2)/(a*d) + (2*b*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d) - ((e + f*x)^2*Cot[c + d*x])/(a*d) - (I*b^2*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (I*b^2*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (2*f*(e + f*x)*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((2*I)*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^2) + ((2*I)*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^2) - (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (I*f^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^3) + (2*b*f^2*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^3) - (2*b*f^2*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^3) - ((2*I)*b^2*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) + ((2*I)*b^2*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3)}
+{((e + f*x)*Csc[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 17, (2*b*(e + f*x)*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d) - ((e + f*x)*Cot[c + d*x])/(a*d) - (I*b^2*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (I*b^2*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (f*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d^2) - (I*b*f*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^2) + (I*b*f*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^2) - (b^2*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + (b^2*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2)}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, (2*b^2*ArcTan[(b + a*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]/(a*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m symbolic*)
+
+
+{((e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[((e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x]}
+{((e + f*x)^m*Sin[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[((e + f*x)^m*Sin[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x]}
+{(e + f*x)^m/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[(e + f*x)^m/(a + b*Sin[c + d*x]), x]}
+{((e + f*x)^m*Csc[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[((e + f*x)^m*Csc[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x]}
+{((e + f*x)^m*Csc[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[((e + f*x)^m*Csc[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sin[c+d x]^n / (a+b Sin[c+d x])^2*)
+
+
+{((e + f*x)*Sin[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 21, (I*a^2*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (I*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (I*a^2*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (I*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (a*f*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b*(a^2 - b^2)*d^2) + (a^2*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (a^2*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) + (f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (a*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{((e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 30, ((-I)*a*(e + f*x)^2)/(b*(a^2 - b^2)*d) + (2*a*f*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^2) + (I*a^2*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (I*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (2*a*f*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^2) - (I*a^2*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (I*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - ((2*I)*a*f^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^3) + (2*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - ((2*I)*a*f^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^3) - (2*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) + (2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + ((2*I)*a^2*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) - ((2*I)*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) - ((2*I)*a^2*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) + ((2*I)*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) - (a*(e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{((e + f*x)^3*Sin[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 36, ((-I)*a*(e + f*x)^3)/(b*(a^2 - b^2)*d) + (3*a*f*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^2) + (I*a^2*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (I*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (3*a*f*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^2) - (I*a^2*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (I*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - ((6*I)*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^3) + (3*a^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - ((6*I)*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^3) - (3*a^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + (6*a*f^3*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^4) + ((6*I)*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) - ((6*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) + (6*a*f^3*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^4) - ((6*I)*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) + ((6*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) - (6*a^2*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^4) + (6*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^4) + (6*a^2*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^4) - (6*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^4) - (a*(e + f*x)^3*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sin[c+d x]^n / (a+b Sin[c+d x])^3*)
+
+
+{((e + f*x)*Sin[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 48, (((3*I)/2)*a^3*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d) - (((3*I)/2)*a*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (((3*I)/2)*a^3*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d) + (((3*I)/2)*a*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (3*a^2*f*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(2*b*(a^2 - b^2)^2*d^2) - (f*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b*(a^2 - b^2)*d^2) + (3*a^3*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d^2) - (3*a*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (3*a^3*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d^2) + (3*a*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (a*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (a*f)/(2*b*(a^2 - b^2)*d^2*(a + b*Sin[c + d*x])) - (3*a^2*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + ((e + f*x)*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{((e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 73, (((-3*I)/2)*a^2*(e + f*x)^2)/(b*(a^2 - b^2)^2*d) + (I*(e + f*x)^2)/(b*(a^2 - b^2)*d) + (2*a*f^2*ArcTan[(b + a*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) + (3*a^2*f*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^2*d^2) - (2*f*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^2) + (((3*I)/2)*a^3*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d) - (((3*I)/2)*a*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (3*a^2*f*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^2*d^2) - (2*f*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^2) - (((3*I)/2)*a^3*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d) + (((3*I)/2)*a*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) - ((3*I)*a^2*f^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^2*d^3) + ((2*I)*f^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^3) + (3*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d^2) - (3*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - ((3*I)*a^2*f^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^2*d^3) + ((2*I)*f^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^3) - (3*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d^2) + (3*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) + ((3*I)*a^3*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d^3) - ((3*I)*a*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) - ((3*I)*a^3*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d^3) + ((3*I)*a*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) - (a*(e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (a*f*(e + f*x))/(b*(a^2 - b^2)*d^2*(a + b*Sin[c + d*x])) - (3*a^2*(e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + ((e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{((e + f*x)^3*Sin[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 92, (((-3*I)/2)*a^2*(e + f*x)^3)/(b*(a^2 - b^2)^2*d) + (I*(e + f*x)^3)/(b*(a^2 - b^2)*d) - ((3*I)*a*f^2*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) + (9*a^2*f*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*b*(a^2 - b^2)^2*d^2) - (3*f*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^2) + (((3*I)/2)*a^3*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d) - (((3*I)/2)*a*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) + ((3*I)*a*f^2*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) + (9*a^2*f*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*b*(a^2 - b^2)^2*d^2) - (3*f*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^2) - (((3*I)/2)*a^3*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d) + (((3*I)/2)*a*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (3*a*f^3*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^4) - ((9*I)*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^2*d^3) + ((6*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^3) + (9*a^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d^2) - (9*a*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) + (3*a*f^3*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^4) - ((9*I)*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^2*d^3) + ((6*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^3) - (9*a^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d^2) + (9*a*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) + (9*a^2*f^3*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^2*d^4) - (6*f^3*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^4) + ((9*I)*a^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d^3) - ((9*I)*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) + (9*a^2*f^3*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^2*d^4) - (6*f^3*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^4) - ((9*I)*a^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d^3) + ((9*I)*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) - (9*a^3*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d^4) + (9*a*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^4) + (9*a^3*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d^4) - (9*a*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^4) - (a*(e + f*x)^3*Cos[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (3*a*f*(e + f*x)^2)/(2*b*(a^2 - b^2)*d^2*(a + b*Sin[c + d*x])) - (3*a^2*(e + f*x)^3*Cos[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + ((e + f*x)^3*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cos[c+d x]^n (a+b Sin[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cos[c+d x]^n (a+b Sin[c+d x])^p with a^2-b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cos[c+d x]^n / (a+a Sin[c+d x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(e + f*x)^3*Cos[c + d*x]/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -((I*(e + f*x)^4)/(4*a*f)) + (2*(e + f*x)^3*Log[1 - I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d) - (6*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + (12*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (12*I*f^3*PolyLog[4, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4)}
+{(e + f*x)^2*Cos[c + d*x]/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, -((I*(e + f*x)^3)/(3*a*f)) + (2*(e + f*x)^2*Log[1 - I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d) - (4*I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + (4*f^2*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3)}
+{(e + f*x)^1*Cos[c + d*x]/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((I*(e + f*x)^2)/(2*a*f)) + (2*(e + f*x)*Log[1 - I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d) - (2*I*f*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2)}
+{(e + f*x)^0*Cos[c + d*x]/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 2, Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a*d)}
+{1/(e + f*x)^1*Cos[c + d*x]/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[Cos[c + d*x]/((e + f*x)*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+{1/(e + f*x)^2*Cos[c + d*x]/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[Cos[c + d*x]/((e + f*x)^2*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+
+
+{(e + f*x)^3*Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, (e + f*x)^4/(4*a*f) - (6*f^2*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a*d^3) + ((e + f*x)^3*Cos[c + d*x])/(a*d) + (6*f^3*Sin[c + d*x])/(a*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(a*d^2)}
+{(e + f*x)^2*Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, (e + f*x)^3/(3*a*f) - (2*f^2*Cos[c + d*x])/(a*d^3) + ((e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(a*d) - (2*f*(e + f*x)*Sin[c + d*x])/(a*d^2)}
+{(e + f*x)^1*Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (e*x)/a + (f*x^2)/(2*a) + ((e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a*d) - (f*Sin[c + d*x])/(a*d^2)}
+{(e + f*x)^0*Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 2, x/a + Cos[c + d*x]/(a*d)}
+{1/(e + f*x)^1*Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, Log[e + f*x]/(a*f) - (CosIntegral[(d*e)/f + d*x]*Sin[c - (d*e)/f])/(a*f) - (Cos[c - (d*e)/f]*SinIntegral[(d*e)/f + d*x])/(a*f)}
+{1/(e + f*x)^2*Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -(1/(a*f*(e + f*x))) - (d*Cos[c - (d*e)/f]*CosIntegral[(d*e)/f + d*x])/(a*f^2) + Sin[c + d*x]/(a*f*(e + f*x)) + (d*Sin[c - (d*e)/f]*SinIntegral[(d*e)/f + d*x])/(a*f^2)}
+
+
+{(e + f*x)^3*Cos[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 10, -((3*f^3*x)/(8*a*d^3)) + (e + f*x)^3/(4*a*d) - (6*f^3*Cos[c + d*x])/(a*d^4) + (3*f*(e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(a*d^2) - (6*f^2*(e + f*x)*Sin[c + d*x])/(a*d^3) + ((e + f*x)^3*Sin[c + d*x])/(a*d) + (3*f^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*a*d^2) + (3*f^2*(e + f*x)*Sin[c + d*x]^2)/(4*a*d^3) - ((e + f*x)^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*a*d)}
+{(e + f*x)^2*Cos[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, (e*f*x)/(2*a*d) + (f^2*x^2)/(4*a*d) + (2*f*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a*d^2) - (2*f^2*Sin[c + d*x])/(a*d^3) + ((e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(a*d) - (f*(e + f*x)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d^2) + (f^2*Sin[c + d*x]^2)/(4*a*d^3) - ((e + f*x)^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*a*d)}
+{(e + f*x)^1*Cos[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, (f*x)/(4*a*d) + (f*Cos[c + d*x])/(a*d^2) + ((e + f*x)*Sin[c + d*x])/(a*d) - (f*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*a*d^2) - ((e + f*x)*Sin[c + d*x]^2)/(2*a*d)}
+{(e + f*x)^0*Cos[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 2, Sin[c + d*x]/(a*d) - Sin[c + d*x]^2/(2*a*d)}
+{1/(e + f*x)^1*Cos[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (Cos[c - (d*e)/f]*CosIntegral[(d*e)/f + d*x])/(a*f) - (CosIntegral[(2*d*e)/f + 2*d*x]*Sin[2*c - (2*d*e)/f])/(2*a*f) - (Sin[c - (d*e)/f]*SinIntegral[(d*e)/f + d*x])/(a*f) - (Cos[2*c - (2*d*e)/f]*SinIntegral[(2*d*e)/f + 2*d*x])/(2*a*f)}
+{1/(e + f*x)^2*Cos[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 11, -(Cos[c + d*x]/(a*f*(e + f*x))) - (d*Cos[2*c - (2*d*e)/f]*CosIntegral[(2*d*e)/f + 2*d*x])/(a*f^2) - (d*CosIntegral[(d*e)/f + d*x]*Sin[c - (d*e)/f])/(a*f^2) + Sin[2*c + 2*d*x]/(2*a*f*(e + f*x)) - (d*Cos[c - (d*e)/f]*SinIntegral[(d*e)/f + d*x])/(a*f^2) + (d*Sin[2*c - (2*d*e)/f]*SinIntegral[(2*d*e)/f + 2*d*x])/(a*f^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e + f*x)^3*Sec[c + d*x]/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 22, -((3*I*f*(e + f*x)^2)/(2*a*d^2)) - (6*I*f^2*(e + f*x)*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - (I*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) + (3*f^2*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (3*I*f^3*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + (3*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(2*a*d^2) - (3*I*f^3*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) - (3*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(2*a*d^2) - (3*I*f^3*PolyLog[2, -E^(2*I*(c + d*x))])/(2*a*d^4) - (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - (3*I*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + (3*I*f^3*PolyLog[4, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Sec[c + d*x])/(2*a*d^2) - ((e + f*x)^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*a*d) + (3*f*(e + f*x)^2*Tan[c + d*x])/(2*a*d^2) + ((e + f*x)^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+{(e + f*x)^2*Sec[c + d*x]/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 13, -((I*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/(a*d)) + (f^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d^3) + (f^2*Log[Cos[c + d*x]])/(a*d^3) + (I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - (I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - (f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (f^2*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - (f*(e + f*x)*Sec[c + d*x])/(a*d^2) - ((e + f*x)^2*Sec[c + d*x]^2)/(2*a*d) + (f*(e + f*x)*Tan[c + d*x])/(a*d^2) + ((e + f*x)^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+{(e + f*x)^1*Sec[c + d*x]/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 10, -((I*(e + f*x)*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/(a*d)) + (I*f*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(2*a*d^2) - (I*f*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(2*a*d^2) - (f*Sec[c + d*x])/(2*a*d^2) - ((e + f*x)*Sec[c + d*x]^2)/(2*a*d) + (f*Tan[c + d*x])/(2*a*d^2) + ((e + f*x)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+{(e + f*x)^0*Sec[c + d*x]/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(2*a*d) - 1/(2*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{1/(e + f*x)^1*Sec[c + d*x]/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]/((e + f*x)*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+{1/(e + f*x)^2*Sec[c + d*x]/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]/((e + f*x)^2*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+
+
+{(e + f*x)^3*Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 20, -((2*I*(e + f*x)^3)/(3*a*d)) - (I*f*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + (f^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d^4) + (2*f*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*I*(c + d*x))])/(a*d^2) + (f^3*Log[Cos[c + d*x]])/(a*d^4) + (I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - (I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - (2*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*I*(c + d*x))])/(a*d^3) - (f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + (f^3*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + (f^3*PolyLog[3, -E^(2*I*(c + d*x))])/(a*d^4) - (f^2*(e + f*x)*Sec[c + d*x])/(a*d^3) - (f*(e + f*x)^2*Sec[c + d*x]^2)/(2*a*d^2) - ((e + f*x)^3*Sec[c + d*x]^3)/(3*a*d) + (f^2*(e + f*x)*Tan[c + d*x])/(a*d^3) + (2*(e + f*x)^3*Tan[c + d*x])/(3*a*d) + (f*(e + f*x)^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d^2) + ((e + f*x)^3*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a*d)}
+{(e + f*x)^2*Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 16, -((2*I*(e + f*x)^2)/(3*a*d)) - (2*I*f*(e + f*x)*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/(3*a*d^2) + (4*f*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*I*(c + d*x))])/(3*a*d^2) + (I*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(3*a*d^3) - (I*f^2*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(3*a*d^3) - (2*I*f^2*PolyLog[2, -E^(2*I*(c + d*x))])/(3*a*d^3) - (f^2*Sec[c + d*x])/(3*a*d^3) - (f*(e + f*x)*Sec[c + d*x]^2)/(3*a*d^2) - ((e + f*x)^2*Sec[c + d*x]^3)/(3*a*d) + (f^2*Tan[c + d*x])/(3*a*d^3) + (2*(e + f*x)^2*Tan[c + d*x])/(3*a*d) + (f*(e + f*x)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*a*d^2) + ((e + f*x)^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a*d)}
+{(e + f*x)^1*Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, (f*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(6*a*d^2) + (2*f*Log[Cos[c + d*x]])/(3*a*d^2) - (f*Sec[c + d*x]^2)/(6*a*d^2) - ((e + f*x)*Sec[c + d*x]^3)/(3*a*d) + (2*(e + f*x)*Tan[c + d*x])/(3*a*d) + (f*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*a*d^2) + ((e + f*x)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a*d)}
+{(e + f*x)^0*Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, -(Sec[c + d*x]/(3*d*(a + a*Sin[c + d*x]))) + (2*Tan[c + d*x])/(3*a*d)}
+{1/(e + f*x)^1*Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+{1/(e + f*x)^2*Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^2/((e + f*x)^2*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+
+
+{(e + f*x)^3*Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 32, -((I*f*(e + f*x)^2)/(2*a*d^2)) - (5*I*f^2*(e + f*x)*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - (3*I*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/(4*a*d) + (f^2*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (5*I*f^3*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(2*a*d^4) + (9*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(8*a*d^2) - (5*I*f^3*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(2*a*d^4) - (9*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(8*a*d^2) - (I*f^3*PolyLog[2, -E^(2*I*(c + d*x))])/(2*a*d^4) - (9*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(4*a*d^3) + (9*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/(4*a*d^3) - (9*I*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(4*a*d^4) + (9*I*f^3*PolyLog[4, I*E^(I*(c + d*x))])/(4*a*d^4) - (f^3*Sec[c + d*x])/(4*a*d^4) - (9*f*(e + f*x)^2*Sec[c + d*x])/(8*a*d^2) - (f^2*(e + f*x)*Sec[c + d*x]^2)/(4*a*d^3) - (f*(e + f*x)^2*Sec[c + d*x]^3)/(4*a*d^2) - ((e + f*x)^3*Sec[c + d*x]^4)/(4*a*d) + (f^3*Tan[c + d*x])/(4*a*d^4) + (f*(e + f*x)^2*Tan[c + d*x])/(2*a*d^2) + (f^2*(e + f*x)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*a*d^3) + (3*(e + f*x)^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*a*d) + (f*(e + f*x)^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(4*a*d^2) + ((e + f*x)^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*a*d)}
+{(e + f*x)^2*Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 17, -((3*I*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/(4*a*d)) + (5*f^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(6*a*d^3) + (f^2*Log[Cos[c + d*x]])/(3*a*d^3) + (3*I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(4*a*d^2) - (3*I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(4*a*d^2) - (3*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(4*a*d^3) + (3*f^2*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/(4*a*d^3) - (3*f*(e + f*x)*Sec[c + d*x])/(4*a*d^2) - (f^2*Sec[c + d*x]^2)/(12*a*d^3) - (f*(e + f*x)*Sec[c + d*x]^3)/(6*a*d^2) - ((e + f*x)^2*Sec[c + d*x]^4)/(4*a*d) + (f*(e + f*x)*Tan[c + d*x])/(3*a*d^2) + (f^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*a*d^3) + (3*(e + f*x)^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*a*d) + (f*(e + f*x)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(6*a*d^2) + ((e + f*x)^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*a*d)}
+{(e + f*x)^1*Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 11, -((3*I*(e + f*x)*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/(4*a*d)) + (3*I*f*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(8*a*d^2) - (3*I*f*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(8*a*d^2) - (3*f*Sec[c + d*x])/(8*a*d^2) - (f*Sec[c + d*x]^3)/(12*a*d^2) - ((e + f*x)*Sec[c + d*x]^4)/(4*a*d) + (f*Tan[c + d*x])/(4*a*d^2) + (3*(e + f*x)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*a*d) + ((e + f*x)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*a*d) + (f*Tan[c + d*x]^3)/(12*a*d^2)}
+{(e + f*x)^0*Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*a*d) + 1/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 1/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{1/(e + f*x)^1*Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+{1/(e + f*x)^2*Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^3/((e + f*x)^2*(a + a*Sin[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cos[c+d x]^n / (a+a Sin[c+d x]) with m symbolic*)
+
+
+{(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 14, (e + f*x)^(1 + m)/(2*a*f*(1 + m)) + (E^(I*(c - (d*e)/f))*(e + f*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*d*(e + f*x))/f)])/((-((I*d*(e + f*x))/f))^m*(8*a*d)) + ((e + f*x)^m*Gamma[1 + m, (I*d*(e + f*x))/f])/(E^(I*(c - (d*e)/f))*((I*d*(e + f*x))/f)^m*(8*a*d)) - (I*2^(-3 - m)*E^(2*I*(c - (d*e)/f))*(e + f*x)^m*Gamma[1 + m, -((2*I*d*(e + f*x))/f)])/((-((I*d*(e + f*x))/f))^m*(a*d)) + (I*2^(-3 - m)*(e + f*x)^m*Gamma[1 + m, (2*I*d*(e + f*x))/f])/(E^(2*I*(c - (d*e)/f))*((I*d*(e + f*x))/f)^m*(a*d)) + (3^(-1 - m)*E^(3*I*(c - (d*e)/f))*(e + f*x)^m*Gamma[1 + m, -((3*I*d*(e + f*x))/f)])/((-((I*d*(e + f*x))/f))^m*(8*a*d)) + (3^(-1 - m)*(e + f*x)^m*Gamma[1 + m, (3*I*d*(e + f*x))/f])/(E^(3*I*(c - (d*e)/f))*((I*d*(e + f*x))/f)^m*(8*a*d))}
+{(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, -((I*E^(I*(c - (d*e)/f))*(e + f*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*d*(e + f*x))/f)])/((-((I*d*(e + f*x))/f))^m*(2*a*d))) + (I*(e + f*x)^m*Gamma[1 + m, (I*d*(e + f*x))/f])/(E^(I*(c - (d*e)/f))*((I*d*(e + f*x))/f)^m*(2*a*d)) + (2^(-3 - m)*E^(2*I*(c - (d*e)/f))*(e + f*x)^m*Gamma[1 + m, -((2*I*d*(e + f*x))/f)])/((-((I*d*(e + f*x))/f))^m*(a*d)) + (2^(-3 - m)*(e + f*x)^m*Gamma[1 + m, (2*I*d*(e + f*x))/f])/(E^(2*I*(c - (d*e)/f))*((I*d*(e + f*x))/f)^m*(a*d))}
+{(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, (e + f*x)^(1 + m)/(a*f*(1 + m)) + (E^(I*(c - (d*e)/f))*(e + f*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*d*(e + f*x))/f)])/((-((I*d*(e + f*x))/f))^m*(2*a*d)) + ((e + f*x)^m*Gamma[1 + m, (I*d*(e + f*x))/f])/(E^(I*(c - (d*e)/f))*((I*d*(e + f*x))/f)^m*(2*a*d))}
+{(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[((e + f*x)^m*Cos[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x]), x]}
+{(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^0/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[(e + f*x)^m/(a + a*Sin[c + d*x]), x]}
+{(e + f*x)^m*Sec[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[((e + f*x)^m*Sec[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x]), x]}
+{(e + f*x)^m*Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[((e + f*x)^m*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sin[c + d*x]), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cos[c+d x]^n (a+b Sin[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cos[c+d x]^n / (a+b Sin[c+d x])^1*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Cos[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 11, ((-I/4)*(e + f*x)^4)/(b*f) + ((e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d) + ((e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d) - ((3*I)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d^2) - ((3*I)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d^2) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d^3) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d^3) + ((6*I)*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d^4) + ((6*I)*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 9, ((-I/3)*(e + f*x)^3)/(b*f) + ((e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d) + ((e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d) - ((2*I)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d^2) - ((2*I)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d^2) + (2*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d^3) + (2*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d^3)}
+{((e + f*x)^1*Cos[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, ((-I/2)*(e + f*x)^2)/(b*f) + ((e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d) + ((e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d) - (I*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d^2) - (I*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d^2)}
+{Cos[c + d*x]/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 2, Log[a + b*Sin[c + d*x]]/(b*d)}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 18, (a*(e + f*x)^4)/(4*b^2*f) - (6*f^2*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(b*d^3) + ((e + f*x)^3*Cos[c + d*x])/(b*d) + (I*Sqrt[a^2 - b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d) - (I*Sqrt[a^2 - b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d) + (3*Sqrt[a^2 - b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d^2) - (3*Sqrt[a^2 - b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d^2) + ((6*I)*Sqrt[a^2 - b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d^3) - ((6*I)*Sqrt[a^2 - b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d^3) - (6*Sqrt[a^2 - b^2]*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d^4) + (6*Sqrt[a^2 - b^2]*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d^4) + (6*f^3*Sin[c + d*x])/(b*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(b*d^2)}
+{((e + f*x)^2*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 15, (a*(e + f*x)^3)/(3*b^2*f) - (2*f^2*Cos[c + d*x])/(b*d^3) + ((e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(b*d) + (I*Sqrt[a^2 - b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d) - (I*Sqrt[a^2 - b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d) + (2*Sqrt[a^2 - b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d^2) - (2*Sqrt[a^2 - b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d^2) + ((2*I)*Sqrt[a^2 - b^2]*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d^3) - ((2*I)*Sqrt[a^2 - b^2]*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d^3) - (2*f*(e + f*x)*Sin[c + d*x])/(b*d^2)}
+{((e + f*x)^1*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 12, (a*e*x)/b^2 + (a*f*x^2)/(2*b^2) + ((e + f*x)*Cos[c + d*x])/(b*d) + (I*Sqrt[a^2 - b^2]*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d) - (I*Sqrt[a^2 - b^2]*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d) + (Sqrt[a^2 - b^2]*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d^2) - (Sqrt[a^2 - b^2]*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d^2) - (f*Sin[c + d*x])/(b*d^2)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 5, (a*x)/b^2 - (2*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^2*d) + Cos[c + d*x]/(b*d)}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cos[c + d*x]^3)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 21, (-3*f^3*x)/(8*b*d^3) + (e + f*x)^3/(4*b*d) + ((I/4)*(a^2 - b^2)*(e + f*x)^4)/(b^3*f) - (6*a*f^3*Cos[c + d*x])/(b^2*d^4) + (3*a*f*(e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(b^2*d^2) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d) + ((3*I)*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d^2) + ((3*I)*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d^2) - (6*(a^2 - b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d^3) - (6*(a^2 - b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d^3) - ((6*I)*(a^2 - b^2)*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d^4) - ((6*I)*(a^2 - b^2)*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d^4) - (6*a*f^2*(e + f*x)*Sin[c + d*x])/(b^2*d^3) + (a*(e + f*x)^3*Sin[c + d*x])/(b^2*d) + (3*f^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*b*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*b*d^2) + (3*f^2*(e + f*x)*Sin[c + d*x]^2)/(4*b*d^3) - ((e + f*x)^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*b*d)}
+{((e + f*x)^2*Cos[c + d*x]^3)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 16, (e*f*x)/(2*b*d) + (f^2*x^2)/(4*b*d) + ((I/3)*(a^2 - b^2)*(e + f*x)^3)/(b^3*f) + (2*a*f*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(b^2*d^2) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d) + ((2*I)*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d^2) + ((2*I)*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d^2) - (2*(a^2 - b^2)*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d^3) - (2*(a^2 - b^2)*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d^3) - (2*a*f^2*Sin[c + d*x])/(b^2*d^3) + (a*(e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(b^2*d) - (f*(e + f*x)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d^2) + (f^2*Sin[c + d*x]^2)/(4*b*d^3) - ((e + f*x)^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*b*d)}
+{((e + f*x)^1*Cos[c + d*x]^3)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 13, (f*x)/(4*b*d) + ((I/2)*(a^2 - b^2)*(e + f*x)^2)/(b^3*f) + (a*f*Cos[c + d*x])/(b^2*d^2) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d) + (I*(a^2 - b^2)*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d^2) + (I*(a^2 - b^2)*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d^2) + (a*(e + f*x)*Sin[c + d*x])/(b^2*d) - (f*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*b*d^2) - ((e + f*x)*Sin[c + d*x]^2)/(2*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, -(((a^2 - b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^3*d)) + (a*Sin[c + d*x])/(b^2*d) - Sin[c + d*x]^2/(2*b*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Sec[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 29, -((2*I*a*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d)) - (b*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d) - (b*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d) + (b*(e + f*x)^3*Log[1 + E^(2*I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d) + (3*I*a*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^2) - (3*I*a*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^2) + (3*I*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d^2) + (3*I*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d^2) - (3*I*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*I*(c + d*x))])/(2*(a^2 - b^2)*d^2) - (6*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^3) + (6*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^3) - (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d^3) - (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d^3) + (3*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(2*I*(c + d*x))])/(2*(a^2 - b^2)*d^3) - (6*I*a*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^4) + (6*I*a*f^3*PolyLog[4, I*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^4) - (6*I*b*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d^4) - (6*I*b*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d^4) + (3*I*b*f^3*PolyLog[4, -E^(2*I*(c + d*x))])/(4*(a^2 - b^2)*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Sec[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 24, -((2*I*a*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d)) - (b*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d) - (b*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d) + (b*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d) + (2*I*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^2) - (2*I*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^2) + (2*I*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d^2) + (2*I*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d^2) - (I*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^2) - (2*a*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^3) + (2*a*f^2*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^3) - (2*b*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d^3) - (2*b*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d^3) + (b*f^2*PolyLog[3, -E^(2*I*(c + d*x))])/(2*(a^2 - b^2)*d^3)}
+{((e + f*x)^1*Sec[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 19, -((2*I*a*(e + f*x)*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d)) - (b*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d) - (b*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d) + (b*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d) + (I*a*f*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^2) - (I*a*f*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^2) + (I*b*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d^2) + (I*b*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d^2) - (I*b*f*PolyLog[2, -E^(2*I*(c + d*x))])/(2*(a^2 - b^2)*d^2)}
+{Sec[c + d*x]/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -(Log[1 - Sin[c + d*x]]/(2*(a + b)*d)) + Log[1 + Sin[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) - (b*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d)}
+
+
+{((e + f*x)^3*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 29, If[$VersionNumber>=8, -((I*a*(e + f*x)^3)/((a^2 - b^2)*d)) - (6*I*b*f*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^2) + (I*b^2*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (I*b^2*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (3*a*f*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^2) + (6*I*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^3) - (6*I*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^3) + (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (3*I*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^3) - (6*b*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^4) + (6*b*f^3*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^4) + (6*I*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) - (6*I*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) + (3*a*f^3*PolyLog[3, -E^(2*I*(c + d*x))])/(2*(a^2 - b^2)*d^4) - (6*b^2*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^4) + (6*b^2*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^4) - (b*(e + f*x)^3*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) + (a*(e + f*x)^3*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d), -((I*a*(e + f*x)^3)/((a^2 - b^2)*d)) - (6*I*b*f*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^2) + (I*b^2*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (I*b^2*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (3*a*f*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^2) + (6*I*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^3) - (6*I*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^3) + (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (3*I*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^3) - (6*b*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^4) + (6*b*f^3*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^4) + (6*I*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) - (6*I*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) + (3*a*f^3*PolyLog[3, -E^(2*I*(c + d*x))])/(2*(a^2 - b^2)*d^4) - (6*b^2*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^4) + (6*b^2*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^4) - (b*(e + f*x)^3*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) + (a*(e + f*x)^3*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d)]}
+{((e + f*x)^2*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 24, If[$VersionNumber>=8, -((I*a*(e + f*x)^2)/((a^2 - b^2)*d)) - (4*I*b*f*(e + f*x)*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^2) + (I*b^2*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (I*b^2*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (2*a*f*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^2) + (2*I*b*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^3) - (2*I*b*f^2*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^3) + (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (I*a*f^2*PolyLog[2, -E^(2*I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^3) + (2*I*b^2*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) - (2*I*b^2*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) - (b*(e + f*x)^2*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) + (a*(e + f*x)^2*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d), -((I*a*(e + f*x)^2)/((a^2 - b^2)*d)) - (4*I*b*f*(e + f*x)*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^2) + (I*b^2*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (I*b^2*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (2*a*f*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^2) + (2*I*b*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^3) - (2*I*b*f^2*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^3) + (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (I*a*f^2*PolyLog[2, -E^(2*I*(c + d*x))])/((a^2 - b^2)*d^3) + (2*I*b^2*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) - (2*I*b^2*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) - (b*(e + f*x)^2*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) + (a*(e + f*x)^2*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d)]}
+{((e + f*x)^1*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 15, If[$VersionNumber>=8, (b*f*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d^2) + (I*b^2*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (I*b^2*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (a*f*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d^2) + (b^2*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (b^2*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (b*(e + f*x)*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) + (a*(e + f*x)*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d), (b*f*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d^2) + (I*b^2*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (I*b^2*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (a*f*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d^2) + (b^2*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (b^2*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (b*(e + f*x)*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) + (a*(e + f*x)*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d)]}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 5, -((2*b^2*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d)) - (Sec[c + d*x]*(b - a*Sin[c + d*x]))/((a^2 - b^2)*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m symbolic*)
+
+
+{(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[((e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x]}
+{(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[((e + f*x)^m*Cos[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x]}
+{(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^0/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[(e + f*x)^m/(a + b*Sin[c + d*x]), x]}
+{(e + f*x)^m*Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[((e + f*x)^m*Sec[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x]}
+{(e + f*x)^m*Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[((e + f*x)^m*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cos[c+d x]^n / (a+b Sin[c+d x])^2*)
+
+
+{(e + f*x)^1*Cos[c + d*x]/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (2*f*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (e + f*x)/(b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(e + f*x)^2*Cos[c + d*x]/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, -((2*I*f*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2)) + (2*I*f*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (2*f^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) + (2*f^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) - (e + f*x)^2/(b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(e + f*x)^3*Cos[c + d*x]/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 11, -((3*I*f*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2)) + (3*I*f*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) - (6*I*f^3*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^4) + (6*I*f^3*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*d^4) - (e + f*x)^3/(b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cos[c+d x]^n / (a+b Sin[c+d x])^3*)
+
+
+{(e + f*x)^1*Cos[c + d*x]/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 6, (a*f*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (e + f*x)/(2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (f*Cos[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d^2*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(e + f*x)^2*Cos[c + d*x]/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 12, -((I*a*f*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2)) + (I*a*f*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (f^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b*(a^2 - b^2)*d^3) - (a*f^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) + (a*f^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) - (e + f*x)^2/(2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (f*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d^2*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(e + f*x)^3*Cos[c + d*x]/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 19, (3*I*f*(e + f*x)^2)/(2*b*(a^2 - b^2)*d^2) - (3*f^2*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^3) - (3*I*a*f*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (3*f^2*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^3) + (3*I*a*f*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) + (3*I*f^3*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^4) - (3*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) + (3*I*f^3*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)*d^4) + (3*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) - (3*I*a*f^3*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^4) + (3*I*a*f^3*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^4) - (e + f*x)^3/(2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (3*f*(e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d^2*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cos[c+d x]^n Sin[c+d x]^p (a+b Sin[c+d x])^q*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cos[c+d x]^n Cot[c+d x]^p / (a+b Sin[c+d x])^1*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cos[c+d x]^n Cot[c+d x]^1 / (a+b Sin[c+d x])*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 33, -(e + f*x)^4/(4*b*f) - (2*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) - (I*Sqrt[a^2 - b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b*d) + (I*Sqrt[a^2 - b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b*d) + ((3*I)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((3*I)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - (3*Sqrt[a^2 - b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b*d^2) + (3*Sqrt[a^2 - b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b*d^2) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - ((6*I)*Sqrt[a^2 - b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b*d^3) + ((6*I)*Sqrt[a^2 - b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b*d^3) - ((6*I)*f^3*PolyLog[4, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + ((6*I)*f^3*PolyLog[4, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + (6*Sqrt[a^2 - b^2]*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b*d^4) - (6*Sqrt[a^2 - b^2]*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 27, -(e + f*x)^3/(3*b*f) - (2*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) - (I*Sqrt[a^2 - b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b*d) + (I*Sqrt[a^2 - b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b*d) + ((2*I)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((2*I)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - (2*Sqrt[a^2 - b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b*d^2) + (2*Sqrt[a^2 - b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b*d^2) - (2*f^2*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (2*f^2*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - ((2*I)*Sqrt[a^2 - b^2]*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b*d^3) + ((2*I)*Sqrt[a^2 - b^2]*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b*d^3)}
+{((e + f*x)^1*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 21, -((e*x)/b) - (f*x^2)/(2*b) - (2*(e + f*x)*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) - (I*Sqrt[a^2 - b^2]*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b*d) + (I*Sqrt[a^2 - b^2]*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b*d) + (I*f*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - (I*f*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - (Sqrt[a^2 - b^2]*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b*d^2) + (Sqrt[a^2 - b^2]*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b*d^2)}
+{(Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -(x/b) + (2*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*b*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d)}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 34, ((-I/4)*(e + f*x)^4)/(a*f) - ((I/4)*(a^2 - b^2)*(e + f*x)^4)/(a*b^2*f) + (6*f^3*Cos[c + d*x])/(b*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(b*d^2) + ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^2*d) + ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^2*d) + ((e + f*x)^3*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d) - ((3*I)*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^2*d^2) - ((3*I)*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^2*d^2) - (((3*I)/2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^2) + (6*(a^2 - b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^2*d^3) + (6*(a^2 - b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^2*d^3) + (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^((2*I)*(c + d*x))])/(2*a*d^3) + ((6*I)*(a^2 - b^2)*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^2*d^4) + ((6*I)*(a^2 - b^2)*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^2*d^4) + (((3*I)/4)*f^3*PolyLog[4, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^4) + (6*f^2*(e + f*x)*Sin[c + d*x])/(b*d^3) - ((e + f*x)^3*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{((e + f*x)^2*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 26, ((-I/3)*(e + f*x)^3)/(a*f) - ((I/3)*(a^2 - b^2)*(e + f*x)^3)/(a*b^2*f) - (2*f*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(b*d^2) + ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^2*d) + ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^2*d) + ((e + f*x)^2*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d) - ((2*I)*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^2*d^2) - ((2*I)*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^2*d^2) - (I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^2) + (2*(a^2 - b^2)*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^2*d^3) + (2*(a^2 - b^2)*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^2*d^3) + (f^2*PolyLog[3, E^((2*I)*(c + d*x))])/(2*a*d^3) + (2*f^2*Sin[c + d*x])/(b*d^3) - ((e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{((e + f*x)^1*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 22, ((-I/2)*(e + f*x)^2)/(a*f) - ((I/2)*(a^2 - b^2)*(e + f*x)^2)/(a*b^2*f) - (f*Cos[c + d*x])/(b*d^2) + ((a^2 - b^2)*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^2*d) + ((a^2 - b^2)*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^2*d) + ((e + f*x)*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d) - (I*(a^2 - b^2)*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^2*d^2) - (I*(a^2 - b^2)*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^2*d^2) - ((I/2)*f*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((e + f*x)*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{(Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) + ((a^2 - b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a*b^2*d) - Sin[c + d*x]/(b*d)}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 53, (3*e*f^2*x)/(4*b*d^2) + (3*f^3*x^2)/(8*b*d^2) - (e + f*x)^4/(8*b*f) + ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^4)/(4*b^3*f) - (2*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) - (6*f^2*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a*d^3) - (6*(a^2 - b^2)*f^2*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a*b^2*d^3) + ((e + f*x)^3*Cos[c + d*x])/(a*d) + ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^3*Cos[c + d*x])/(a*b^2*d) + (3*f^3*Cos[c + d*x]^2)/(8*b*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Cos[c + d*x]^2)/(4*b*d^2) + (I*(a^2 - b^2)^(3/2)*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^3*d) - (I*(a^2 - b^2)^(3/2)*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^3*d) + ((3*I)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((3*I)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + (3*(a^2 - b^2)^(3/2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^3*d^2) - (3*(a^2 - b^2)^(3/2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^3*d^2) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + ((6*I)*(a^2 - b^2)^(3/2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^3*d^3) - ((6*I)*(a^2 - b^2)^(3/2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^3*d^3) - ((6*I)*f^3*PolyLog[4, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + ((6*I)*f^3*PolyLog[4, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) - (6*(a^2 - b^2)^(3/2)*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^3*d^4) + (6*(a^2 - b^2)^(3/2)*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^3*d^4) + (6*f^3*Sin[c + d*x])/(a*d^4) + (6*(a^2 - b^2)*f^3*Sin[c + d*x])/(a*b^2*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(a*d^2) - (3*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(a*b^2*d^2) + (3*f^2*(e + f*x)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*b*d^3) - ((e + f*x)^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{((e + f*x)^2*Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 41, (f^2*x)/(4*b*d^2) - (e + f*x)^3/(6*b*f) + ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^3)/(3*b^3*f) - (2*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) - (2*f^2*Cos[c + d*x])/(a*d^3) - (2*(a^2 - b^2)*f^2*Cos[c + d*x])/(a*b^2*d^3) + ((e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(a*d) + ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(a*b^2*d) - (f*(e + f*x)*Cos[c + d*x]^2)/(2*b*d^2) + (I*(a^2 - b^2)^(3/2)*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^3*d) - (I*(a^2 - b^2)^(3/2)*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^3*d) + ((2*I)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((2*I)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^3*d^2) - (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^3*d^2) - (2*f^2*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (2*f^2*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + ((2*I)*(a^2 - b^2)^(3/2)*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^3*d^3) - ((2*I)*(a^2 - b^2)^(3/2)*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^3*d^3) - (2*f*(e + f*x)*Sin[c + d*x])/(a*d^2) - (2*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)*Sin[c + d*x])/(a*b^2*d^2) + (f^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*b*d^3) - ((e + f*x)^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{((e + f*x)^1*Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 31, -(e*x)/(2*b) + ((a^2 - b^2)*e*x)/b^3 - (f*x^2)/(4*b) + ((a^2 - b^2)*f*x^2)/(2*b^3) - (2*(e + f*x)*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) + ((e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a*d) + ((a^2 - b^2)*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a*b^2*d) - (f*Cos[c + d*x]^2)/(4*b*d^2) + (I*(a^2 - b^2)^(3/2)*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^3*d) - (I*(a^2 - b^2)^(3/2)*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^3*d) + (I*f*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - (I*f*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + ((a^2 - b^2)^(3/2)*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^3*d^2) - ((a^2 - b^2)^(3/2)*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a*b^3*d^2) - (f*Sin[c + d*x])/(a*d^2) - ((a^2 - b^2)*f*Sin[c + d*x])/(a*b^2*d^2) - ((e + f*x)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{(Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x])/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, ((2*a^2 - 3*b^2)*x)/(2*b^3) - (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*b^3*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d) + (a*Cos[c + d*x])/(b^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cos[c+d x]^n Cot[c+d x]^2 / (a+b Sin[c+d x])*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 48, ((I/4)*b*(e + f*x)^4)/(a^2*f) + ((I/4)*(a^2 - b^2)*(e + f*x)^4)/(a^2*b*f) - (6*f*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((e + f*x)^3*Csc[c + d*x])/(a*d) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b*d) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b*d) - (b*(e + f*x)^3*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a^2*d) + ((6*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - ((6*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + ((3*I)*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b*d^2) + ((3*I)*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b*d^2) + (((3*I)/2)*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a^2*d^2) - (6*f^3*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + (6*f^3*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) - (6*(a^2 - b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b*d^3) - (6*(a^2 - b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b*d^3) - (3*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^((2*I)*(c + d*x))])/(2*a^2*d^3) - ((6*I)*(a^2 - b^2)*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b*d^4) - ((6*I)*(a^2 - b^2)*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b*d^4) - (((3*I)/4)*b*f^3*PolyLog[4, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a^2*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 37, ((I/3)*b*(e + f*x)^3)/(a^2*f) + ((I/3)*(a^2 - b^2)*(e + f*x)^3)/(a^2*b*f) - (4*f*(e + f*x)*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((e + f*x)^2*Csc[c + d*x])/(a*d) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b*d) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b*d) - (b*(e + f*x)^2*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a^2*d) + ((2*I)*f^2*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - ((2*I)*f^2*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + ((2*I)*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b*d^2) + ((2*I)*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b*d^2) + (I*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a^2*d^2) - (2*(a^2 - b^2)*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b*d^3) - (2*(a^2 - b^2)*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b*d^3) - (b*f^2*PolyLog[3, E^((2*I)*(c + d*x))])/(2*a^2*d^3)}
+{((e + f*x)^1*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 28, ((I/2)*b*(e + f*x)^2)/(a^2*f) + ((I/2)*(a^2 - b^2)*(e + f*x)^2)/(a^2*b*f) - (f*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a*d^2) - ((e + f*x)*Csc[c + d*x])/(a*d) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b*d) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b*d) - (b*(e + f*x)*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a^2*d) + (I*(a^2 - b^2)*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b*d^2) + (I*(a^2 - b^2)*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b*d^2) + ((I/2)*b*f*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a^2*d^2)}
+{(Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a*d)) - (b*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - ((1 - b^2/a^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b*d)}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 66, ((-I)*(e + f*x)^3)/(a*d) - (e + f*x)^4/(4*a*f) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^4)/(4*a*b^2*f) + (2*b*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d) + (6*b*f^2*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a^2*d^3) + (6*(a^2 - b^2)*f^2*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a^2*b*d^3) - (b*(e + f*x)^3*Cos[c + d*x])/(a^2*d) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^3*Cos[c + d*x])/(a^2*b*d) - ((e + f*x)^3*Cot[c + d*x])/(a*d) - (I*(a^2 - b^2)^(3/2)*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^2*d) + (I*(a^2 - b^2)^(3/2)*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^2*d) + (3*f*(e + f*x)^2*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((3*I)*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^2) + ((3*I)*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^2) - (3*(a^2 - b^2)^(3/2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^2*d^2) + (3*(a^2 - b^2)^(3/2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^2*d^2) - ((3*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^3) + (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^3) - (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^3) - ((6*I)*(a^2 - b^2)^(3/2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^2*d^3) + ((6*I)*(a^2 - b^2)^(3/2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^2*d^3) + (3*f^3*PolyLog[3, E^((2*I)*(c + d*x))])/(2*a*d^4) + ((6*I)*b*f^3*PolyLog[4, -E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^4) - ((6*I)*b*f^3*PolyLog[4, E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^4) + (6*(a^2 - b^2)^(3/2)*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^2*d^4) - (6*(a^2 - b^2)^(3/2)*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^2*d^4) - (6*b*f^3*Sin[c + d*x])/(a^2*d^4) - (6*(a^2 - b^2)*f^3*Sin[c + d*x])/(a^2*b*d^4) + (3*b*f*(e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(a^2*d^2) + (3*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(a^2*b*d^2)}
+{((e + f*x)^2*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 53, ((-I)*(e + f*x)^2)/(a*d) - (e + f*x)^3/(3*a*f) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^3)/(3*a*b^2*f) + (2*b*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d) + (2*b*f^2*Cos[c + d*x])/(a^2*d^3) + (2*(a^2 - b^2)*f^2*Cos[c + d*x])/(a^2*b*d^3) - (b*(e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(a^2*d) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(a^2*b*d) - ((e + f*x)^2*Cot[c + d*x])/(a*d) - (I*(a^2 - b^2)^(3/2)*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^2*d) + (I*(a^2 - b^2)^(3/2)*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^2*d) + (2*f*(e + f*x)*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((2*I)*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^2) + ((2*I)*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^2) - (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^2*d^2) + (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^2*d^2) - (I*f^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^3) + (2*b*f^2*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^3) - (2*b*f^2*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^3) - ((2*I)*(a^2 - b^2)^(3/2)*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^2*d^3) + ((2*I)*(a^2 - b^2)^(3/2)*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^2*d^3) + (2*b*f*(e + f*x)*Sin[c + d*x])/(a^2*d^2) + (2*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)*Sin[c + d*x])/(a^2*b*d^2)}
+{((e + f*x)^1*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 38, -((e*x)/a) + ((1 - a^2/b^2)*e*x)/a - (f*x^2)/(2*a) + ((1 - a^2/b^2)*f*x^2)/(2*a) + (2*b*(e + f*x)*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d) - (b*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a^2*d) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a^2*b*d) - ((e + f*x)*Cot[c + d*x])/(a*d) - (I*(a^2 - b^2)^(3/2)*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^2*d) + (I*(a^2 - b^2)^(3/2)*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^2*d) + (f*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d^2) - (I*b*f*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^2) + (I*b*f*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a^2*d^2) - ((a^2 - b^2)^(3/2)*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^2*d^2) + ((a^2 - b^2)^(3/2)*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^2*d^2) + (b*f*Sin[c + d*x])/(a^2*d^2) + ((a^2 - b^2)*f*Sin[c + d*x])/(a^2*b*d^2)}
+{(Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -((a*x)/b^2) + (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*b^2*d) + (b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - Cos[c + d*x]/(b*d) - Cot[c + d*x]/(a*d)}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 85, (3*b*f^3*x)/(8*a^2*d^3) + (3*(a^2 - b^2)*f^3*x)/(8*a^2*b*d^3) - (b*(e + f*x)^3)/(4*a^2*d) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^3)/(4*a^2*b*d) + ((I/4)*b*(e + f*x)^4)/(a^2*f) - ((I/4)*(a^2 - b^2)^2*(e + f*x)^4)/(a^2*b^3*f) - (6*f*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + (6*f^3*Cos[c + d*x])/(a*d^4) + (6*(a^2 - b^2)*f^3*Cos[c + d*x])/(a*b^2*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(a*d^2) - (3*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)^2*Cos[c + d*x])/(a*b^2*d^2) - ((e + f*x)^3*Csc[c + d*x])/(a*d) + ((a^2 - b^2)^2*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^3*d) + ((a^2 - b^2)^2*(e + f*x)^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^3*d) - (b*(e + f*x)^3*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a^2*d) + ((6*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - ((6*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - ((3*I)*(a^2 - b^2)^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^3*d^2) - ((3*I)*(a^2 - b^2)^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^3*d^2) + (((3*I)/2)*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a^2*d^2) - (6*f^3*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + (6*f^3*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + (6*(a^2 - b^2)^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^3*d^3) + (6*(a^2 - b^2)^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^3*d^3) - (3*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^((2*I)*(c + d*x))])/(2*a^2*d^3) + ((6*I)*(a^2 - b^2)^2*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^3*d^4) + ((6*I)*(a^2 - b^2)^2*f^3*PolyLog[4, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^3*d^4) - (((3*I)/4)*b*f^3*PolyLog[4, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a^2*d^4) + (6*f^2*(e + f*x)*Sin[c + d*x])/(a*d^3) + (6*(a^2 - b^2)*f^2*(e + f*x)*Sin[c + d*x])/(a*b^2*d^3) - ((e + f*x)^3*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^3*Sin[c + d*x])/(a*b^2*d) - (3*b*f^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^2*d^4) - (3*(a^2 - b^2)*f^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^2*b*d^4) + (3*b*f*(e + f*x)^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d^2) + (3*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*b*d^2) - (3*b*f^2*(e + f*x)*Sin[c + d*x]^2)/(4*a^2*d^3) - (3*(a^2 - b^2)*f^2*(e + f*x)*Sin[c + d*x]^2)/(4*a^2*b*d^3) + (b*(e + f*x)^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*a^2*d) + ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*a^2*b*d)}
+{((e + f*x)^2*Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 60, -(b*e*f*x)/(2*a^2*d) - ((a^2 - b^2)*e*f*x)/(2*a^2*b*d) - (b*f^2*x^2)/(4*a^2*d) - ((a^2 - b^2)*f^2*x^2)/(4*a^2*b*d) + ((I/3)*b*(e + f*x)^3)/(a^2*f) - ((I/3)*(a^2 - b^2)^2*(e + f*x)^3)/(a^2*b^3*f) - (4*f*(e + f*x)*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - (2*f*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a*d^2) - (2*(a^2 - b^2)*f*(e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a*b^2*d^2) - ((e + f*x)^2*Csc[c + d*x])/(a*d) + ((a^2 - b^2)^2*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^3*d) + ((a^2 - b^2)^2*(e + f*x)^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^3*d) - (b*(e + f*x)^2*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a^2*d) + ((2*I)*f^2*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - ((2*I)*f^2*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - ((2*I)*(a^2 - b^2)^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^3*d^2) - ((2*I)*(a^2 - b^2)^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^3*d^2) + (I*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a^2*d^2) + (2*(a^2 - b^2)^2*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^3*d^3) + (2*(a^2 - b^2)^2*f^2*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^3*d^3) - (b*f^2*PolyLog[3, E^((2*I)*(c + d*x))])/(2*a^2*d^3) + (2*f^2*Sin[c + d*x])/(a*d^3) + (2*(a^2 - b^2)*f^2*Sin[c + d*x])/(a*b^2*d^3) - ((e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^2*Sin[c + d*x])/(a*b^2*d) + (b*f*(e + f*x)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d^2) + ((a^2 - b^2)*f*(e + f*x)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*b*d^2) - (b*f^2*Sin[c + d*x]^2)/(4*a^2*d^3) - ((a^2 - b^2)*f^2*Sin[c + d*x]^2)/(4*a^2*b*d^3) + (b*(e + f*x)^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*a^2*d) + ((a^2 - b^2)*(e + f*x)^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*a^2*b*d)}
+{((e + f*x)^1*Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 45, -(b*f*x)/(4*a^2*d) - ((a^2 - b^2)*f*x)/(4*a^2*b*d) + ((I/2)*b*(e + f*x)^2)/(a^2*f) - ((I/2)*(a^2 - b^2)^2*(e + f*x)^2)/(a^2*b^3*f) - (f*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a*d^2) - (f*Cos[c + d*x])/(a*d^2) - ((a^2 - b^2)*f*Cos[c + d*x])/(a*b^2*d^2) - ((e + f*x)*Csc[c + d*x])/(a*d) + ((a^2 - b^2)^2*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^3*d) + ((a^2 - b^2)^2*(e + f*x)*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^3*d) - (b*(e + f*x)*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a^2*d) - (I*(a^2 - b^2)^2*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^3*d^2) - (I*(a^2 - b^2)^2*f*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*b^3*d^2) + ((I/2)*b*f*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a^2*d^2) - ((e + f*x)*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((a^2 - b^2)*(e + f*x)*Sin[c + d*x])/(a*b^2*d) + (b*f*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d^2) + ((a^2 - b^2)*f*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*b*d^2) + (b*(e + f*x)*Sin[c + d*x]^2)/(2*a^2*d) + ((a^2 - b^2)*(e + f*x)*Sin[c + d*x]^2)/(2*a^2*b*d)}
+{(Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a*d)) - (b*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + ((a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^2*b^3*d) - (a*Sin[c + d*x])/(b^2*d) + Sin[c + d*x]^2/(2*b*d)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.11 (e x)^m (a+b x^n)^p sin.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.11 (e x)^m (a+b x^n)^p sin.m
new file mode 100644
index 00000000..8702cbfe
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.11 (e x)^m (a+b x^n)^p sin.m	
@@ -0,0 +1,183 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b x^n)^p Sin[c+d x]*)
+
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b x^1)^p Sin[c+d x]*)
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
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+
+{x^3*(a + b*x)*Sin[c + d*x], x, 11, (-24*b*Cos[c + d*x])/d^5 + (6*a*x*Cos[c + d*x])/d^3 + (12*b*x^2*Cos[c + d*x])/d^3 - (a*x^3*Cos[c + d*x])/d - (b*x^4*Cos[c + d*x])/d - (6*a*Sin[c + d*x])/d^4 - (24*b*x*Sin[c + d*x])/d^4 + (3*a*x^2*Sin[c + d*x])/d^2 + (4*b*x^3*Sin[c + d*x])/d^2}
+{x^2*(a + b*x)*Sin[c + d*x], x, 9, (2*a*Cos[c + d*x])/d^3 + (6*b*x*Cos[c + d*x])/d^3 - (a*x^2*Cos[c + d*x])/d - (b*x^3*Cos[c + d*x])/d - (6*b*Sin[c + d*x])/d^4 + (2*a*x*Sin[c + d*x])/d^2 + (3*b*x^2*Sin[c + d*x])/d^2}
+{x*(a + b*x)*Sin[c + d*x], x, 7, (2*b*Cos[c + d*x])/d^3 - (a*x*Cos[c + d*x])/d - (b*x^2*Cos[c + d*x])/d + (a*Sin[c + d*x])/d^2 + (2*b*x*Sin[c + d*x])/d^2}
+{(a + b*x)*Sin[c + d*x], x, 2, -(((a + b*x)*Cos[c + d*x])/d) + (b*Sin[c + d*x])/d^2}
+{((a + b*x)*Sin[c + d*x])/x, x, 6, -((b*Cos[c + d*x])/d) + a*CosIntegral[d*x]*Sin[c] + a*Cos[c]*SinIntegral[d*x]}
+{((a + b*x)*Sin[c + d*x])/x^2, x, 9, a*d*Cos[c]*CosIntegral[d*x] + b*CosIntegral[d*x]*Sin[c] - (a*Sin[c + d*x])/x + b*Cos[c]*SinIntegral[d*x] - a*d*Sin[c]*SinIntegral[d*x]}
+{((a + b*x)*Sin[c + d*x])/x^3, x, 11, -(a*d*Cos[c + d*x])/(2*x) + b*d*Cos[c]*CosIntegral[d*x] - (a*d^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/2 - (a*Sin[c + d*x])/(2*x^2) - (b*Sin[c + d*x])/x - (a*d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/2 - b*d*Sin[c]*SinIntegral[d*x]}
+{((a + b*x)*Sin[c + d*x])/x^4, x, 13, -(a*d*Cos[c + d*x])/(6*x^2) - (b*d*Cos[c + d*x])/(2*x) - (a*d^3*Cos[c]*CosIntegral[d*x])/6 - (b*d^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/2 - (a*Sin[c + d*x])/(3*x^3) - (b*Sin[c + d*x])/(2*x^2) + (a*d^2*Sin[c + d*x])/(6*x) - (b*d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/2 + (a*d^3*Sin[c]*SinIntegral[d*x])/6}
+{((a + b*x)*Sin[c + d*x])/x^5, x, 15, -(a*d*Cos[c + d*x])/(12*x^3) - (b*d*Cos[c + d*x])/(6*x^2) + (a*d^3*Cos[c + d*x])/(24*x) - (b*d^3*Cos[c]*CosIntegral[d*x])/6 + (a*d^4*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/24 - (a*Sin[c + d*x])/(4*x^4) - (b*Sin[c + d*x])/(3*x^3) + (a*d^2*Sin[c + d*x])/(24*x^2) + (b*d^2*Sin[c + d*x])/(6*x) + (a*d^4*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/24 + (b*d^3*Sin[c]*SinIntegral[d*x])/6}
+
+
+{x^2*(a + b*x)^2*Sin[c + d*x], x, 14, (-24*b^2*Cos[c + d*x])/d^5 + (2*a^2*Cos[c + d*x])/d^3 + (12*a*b*x*Cos[c + d*x])/d^3 + (12*b^2*x^2*Cos[c + d*x])/d^3 - (a^2*x^2*Cos[c + d*x])/d - (2*a*b*x^3*Cos[c + d*x])/d - (b^2*x^4*Cos[c + d*x])/d - (12*a*b*Sin[c + d*x])/d^4 - (24*b^2*x*Sin[c + d*x])/d^4 + (2*a^2*x*Sin[c + d*x])/d^2 + (6*a*b*x^2*Sin[c + d*x])/d^2 + (4*b^2*x^3*Sin[c + d*x])/d^2}
+{x*(a + b*x)^2*Sin[c + d*x], x, 11, (4*a*b*Cos[c + d*x])/d^3 + (6*b^2*x*Cos[c + d*x])/d^3 - (a^2*x*Cos[c + d*x])/d - (2*a*b*x^2*Cos[c + d*x])/d - (b^2*x^3*Cos[c + d*x])/d - (6*b^2*Sin[c + d*x])/d^4 + (a^2*Sin[c + d*x])/d^2 + (4*a*b*x*Sin[c + d*x])/d^2 + (3*b^2*x^2*Sin[c + d*x])/d^2}
+{(a + b*x)^2*Sin[c + d*x], x, 3, (2*b^2*Cos[c + d*x])/d^3 - ((a + b*x)^2*Cos[c + d*x])/d + (2*b*(a + b*x)*Sin[c + d*x])/d^2}
+{((a + b*x)^2*Sin[c + d*x])/x, x, 8, (-2*a*b*Cos[c + d*x])/d - (b^2*x*Cos[c + d*x])/d + a^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c] + (b^2*Sin[c + d*x])/d^2 + a^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x]}
+{((a + b*x)^2*Sin[c + d*x])/x^2, x, 10, -((b^2*Cos[c + d*x])/d) + a^2*d*Cos[c]*CosIntegral[d*x] + 2*a*b*CosIntegral[d*x]*Sin[c] - (a^2*Sin[c + d*x])/x + 2*a*b*Cos[c]*SinIntegral[d*x] - a^2*d*Sin[c]*SinIntegral[d*x]}
+{((a + b*x)^2*Sin[c + d*x])/x^3, x, 14, -(a^2*d*Cos[c + d*x])/(2*x) + 2*a*b*d*Cos[c]*CosIntegral[d*x] + b^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c] - (a^2*d^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/2 - (a^2*Sin[c + d*x])/(2*x^2) - (2*a*b*Sin[c + d*x])/x + b^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x] - (a^2*d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/2 - 2*a*b*d*Sin[c]*SinIntegral[d*x]}
+{((a + b*x)^2*Sin[c + d*x])/x^4, x, 17, -(a^2*d*Cos[c + d*x])/(6*x^2) - (a*b*d*Cos[c + d*x])/x + b^2*d*Cos[c]*CosIntegral[d*x] - (a^2*d^3*Cos[c]*CosIntegral[d*x])/6 - a*b*d^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c] - (a^2*Sin[c + d*x])/(3*x^3) - (a*b*Sin[c + d*x])/x^2 - (b^2*Sin[c + d*x])/x + (a^2*d^2*Sin[c + d*x])/(6*x) - a*b*d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x] - b^2*d*Sin[c]*SinIntegral[d*x] + (a^2*d^3*Sin[c]*SinIntegral[d*x])/6}
+{((a + b*x)^2*Sin[c + d*x])/x^5, x, 20, -(a^2*d*Cos[c + d*x])/(12*x^3) - (a*b*d*Cos[c + d*x])/(3*x^2) - (b^2*d*Cos[c + d*x])/(2*x) + (a^2*d^3*Cos[c + d*x])/(24*x) - (a*b*d^3*Cos[c]*CosIntegral[d*x])/3 - (b^2*d^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/2 + (a^2*d^4*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/24 - (a^2*Sin[c + d*x])/(4*x^4) - (2*a*b*Sin[c + d*x])/(3*x^3) - (b^2*Sin[c + d*x])/(2*x^2) + (a^2*d^2*Sin[c + d*x])/(24*x^2) + (a*b*d^2*Sin[c + d*x])/(3*x) - (b^2*d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/2 + (a^2*d^4*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/24 + (a*b*d^3*Sin[c]*SinIntegral[d*x])/3}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^4*Sin[c + d*x])/(a + b*x), x, 15, (-2*a*Cos[c + d*x])/(b^2*d^3) + (a^3*Cos[c + d*x])/(b^4*d) + (6*x*Cos[c + d*x])/(b*d^3) - (a^2*x*Cos[c + d*x])/(b^3*d) + (a*x^2*Cos[c + d*x])/(b^2*d) - (x^3*Cos[c + d*x])/(b*d) + (a^4*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/b^5 - (6*Sin[c + d*x])/(b*d^4) + (a^2*Sin[c + d*x])/(b^3*d^2) - (2*a*x*Sin[c + d*x])/(b^2*d^2) + (3*x^2*Sin[c + d*x])/(b*d^2) + (a^4*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^5}
+{(x^3*Sin[c + d*x])/(a + b*x), x, 11, (2*Cos[c + d*x])/(b*d^3) - (a^2*Cos[c + d*x])/(b^3*d) + (a*x*Cos[c + d*x])/(b^2*d) - (x^2*Cos[c + d*x])/(b*d) - (a^3*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/b^4 - (a*Sin[c + d*x])/(b^2*d^2) + (2*x*Sin[c + d*x])/(b*d^2) - (a^3*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^4}
+{(x^2*Sin[c + d*x])/(a + b*x), x, 8, (a*Cos[c + d*x])/(b^2*d) - (x*Cos[c + d*x])/(b*d) + (a^2*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/b^3 + Sin[c + d*x]/(b*d^2) + (a^2*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^3}
+{(x*Sin[c + d*x])/(a + b*x), x, 6, -(Cos[c + d*x]/(b*d)) - (a*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/b^2 - (a*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^2}
+{Sin[c + d*x]/(a + b*x), x, 3, (CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/b + (Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b}
+{Sin[c + d*x]/(x*(a + b*x)), x, 8, (CosIntegral[d*x]*Sin[c])/a - (CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/a + (Cos[c]*SinIntegral[d*x])/a - (Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/a}
+{Sin[c + d*x]/(x^2*(a + b*x)), x, 12, (d*Cos[c]*CosIntegral[d*x])/a - (b*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/a^2 + (b*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/a^2 - Sin[c + d*x]/(a*x) - (b*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/a^2 - (d*Sin[c]*SinIntegral[d*x])/a + (b*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^2}
+{Sin[c + d*x]/(x^3*(a + b*x)), x, 17, -(d*Cos[c + d*x])/(2*a*x) - (b*d*Cos[c]*CosIntegral[d*x])/a^2 + (b^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/a^3 - (d^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/(2*a) - (b^2*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/a^3 - Sin[c + d*x]/(2*a*x^2) + (b*Sin[c + d*x])/(a^2*x) + (b^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/a^3 - (d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/(2*a) + (b*d*Sin[c]*SinIntegral[d*x])/a^2 - (b^2*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^3}
+
+
+{(x^4*Sin[c + d*x])/(a + b*x)^2, x, 15, (2*Cos[c + d*x])/(b^2*d^3) - (3*a^2*Cos[c + d*x])/(b^4*d) + (2*a*x*Cos[c + d*x])/(b^3*d) - (x^2*Cos[c + d*x])/(b^2*d) + (a^4*d*Cos[c - (a*d)/b]*CosIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^6 - (4*a^3*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/b^5 - (2*a*Sin[c + d*x])/(b^3*d^2) + (2*x*Sin[c + d*x])/(b^2*d^2) - (a^4*Sin[c + d*x])/(b^5*(a + b*x)) - (4*a^3*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^5 - (a^4*d*Sin[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^6}
+{(x^3*Sin[c + d*x])/(a + b*x)^2, x, 12, (2*a*Cos[c + d*x])/(b^3*d) - (x*Cos[c + d*x])/(b^2*d) - (a^3*d*Cos[c - (a*d)/b]*CosIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^5 + (3*a^2*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/b^4 + Sin[c + d*x]/(b^2*d^2) + (a^3*Sin[c + d*x])/(b^4*(a + b*x)) + (3*a^2*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^4 + (a^3*d*Sin[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^5}
+{(x^2*Sin[c + d*x])/(a + b*x)^2, x, 10, -(Cos[c + d*x]/(b^2*d)) + (a^2*d*Cos[c - (a*d)/b]*CosIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^4 - (2*a*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/b^3 - (a^2*Sin[c + d*x])/(b^3*(a + b*x)) - (2*a*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^3 - (a^2*d*Sin[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^4}
+{(x*Sin[c + d*x])/(a + b*x)^2, x, 9, -((a*d*Cos[c - (a*d)/b]*CosIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^3) + (CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/b^2 + (a*Sin[c + d*x])/(b^2*(a + b*x)) + (Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^2 + (a*d*Sin[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^3}
+{Sin[c + d*x]/(a + b*x)^2, x, 4, (d*Cos[c - (a*d)/b]*CosIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^2 - Sin[c + d*x]/(b*(a + b*x)) - (d*Sin[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^2}
+{Sin[c + d*x]/(x*(a + b*x)^2), x, 12, -((d*Cos[c - (a*d)/b]*CosIntegral[(a*d)/b + d*x])/(a*b)) + (CosIntegral[d*x]*Sin[c])/a^2 - (CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/a^2 + Sin[c + d*x]/(a*(a + b*x)) + (Cos[c]*SinIntegral[d*x])/a^2 - (Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^2 + (d*Sin[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/(a*b)}
+{Sin[c + d*x]/(x^2*(a + b*x)^2), x, 16, (d*Cos[c]*CosIntegral[d*x])/a^2 + (d*Cos[c - (a*d)/b]*CosIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^2 - (2*b*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/a^3 + (2*b*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/a^3 - Sin[c + d*x]/(a^2*x) - (b*Sin[c + d*x])/(a^2*(a + b*x)) - (2*b*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/a^3 - (d*Sin[c]*SinIntegral[d*x])/a^2 + (2*b*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^3 - (d*Sin[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^2}
+
+
+{(x^3*Sin[c + d*x])/(a + b*x)^3, x, 15, -(Cos[c + d*x]/(b^3*d)) + (a^3*d*Cos[c + d*x])/(2*b^5*(a + b*x)) + (3*a^2*d*Cos[c - (a*d)/b]*CosIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^5 - (3*a*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/b^4 + (a^3*d^2*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/(2*b^6) + (a^3*Sin[c + d*x])/(2*b^4*(a + b*x)^2) - (3*a^2*Sin[c + d*x])/(b^4*(a + b*x)) - (3*a*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^4 + (a^3*d^2*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*b^6) - (3*a^2*d*Sin[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^5}
+{(x^2*Sin[c + d*x])/(a + b*x)^3, x, 14, -(a^2*d*Cos[c + d*x])/(2*b^4*(a + b*x)) - (2*a*d*Cos[c - (a*d)/b]*CosIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^4 + (CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/b^3 - (a^2*d^2*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/(2*b^5) - (a^2*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a + b*x)^2) + (2*a*Sin[c + d*x])/(b^3*(a + b*x)) + (Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^3 - (a^2*d^2*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*b^5) + (2*a*d*Sin[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^4}
+{(x*Sin[c + d*x])/(a + b*x)^3, x, 11, (a*d*Cos[c + d*x])/(2*b^3*(a + b*x)) + (d*Cos[c - (a*d)/b]*CosIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^3 + (a*d^2*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/(2*b^4) + (a*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a + b*x)^2) - Sin[c + d*x]/(b^2*(a + b*x)) + (a*d^2*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*b^4) - (d*Sin[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^3}
+{Sin[c + d*x]/(a + b*x)^3, x, 5, -(d*Cos[c + d*x])/(2*b^2*(a + b*x)) - (d^2*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/(2*b^3) - Sin[c + d*x]/(2*b*(a + b*x)^2) - (d^2*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*b^3)}
+{Sin[c + d*x]/(x*(a + b*x)^3), x, 17, (d*Cos[c + d*x])/(2*a*b*(a + b*x)) - (d*Cos[c - (a*d)/b]*CosIntegral[(a*d)/b + d*x])/(a^2*b) + (CosIntegral[d*x]*Sin[c])/a^3 - (CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/a^3 + (d^2*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/(2*a*b^2) + Sin[c + d*x]/(2*a*(a + b*x)^2) + Sin[c + d*x]/(a^2*(a + b*x)) + (Cos[c]*SinIntegral[d*x])/a^3 - (Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^3 + (d^2*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*a*b^2) + (d*Sin[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/(a^2*b)}
+{Sin[c + d*x]/(x^2*(a + b*x)^3), x, 21, -(d*Cos[c + d*x])/(2*a^2*(a + b*x)) + (d*Cos[c]*CosIntegral[d*x])/a^3 + (2*d*Cos[c - (a*d)/b]*CosIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^3 - (3*b*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/a^4 + (3*b*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/a^4 - (d^2*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/(2*a^2*b) - Sin[c + d*x]/(a^3*x) - (b*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a + b*x)^2) - (2*b*Sin[c + d*x])/(a^3*(a + b*x)) - (3*b*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/a^4 - (d*Sin[c]*SinIntegral[d*x])/a^3 + (3*b*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^4 - (d^2*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*a^2*b) - (2*d*Sin[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^3}
+{Sin[c + d*x]/(x^3*(a + b*x)^3), x, 26, -(d*Cos[c + d*x])/(2*a^3*x) + (b*d*Cos[c + d*x])/(2*a^3*(a + b*x)) - (3*b*d*Cos[c]*CosIntegral[d*x])/a^4 - (3*b*d*Cos[c - (a*d)/b]*CosIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^4 + (6*b^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/a^5 - (d^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/(2*a^3) - (6*b^2*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/a^5 + (d^2*CosIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sin[c - (a*d)/b])/(2*a^3) - Sin[c + d*x]/(2*a^3*x^2) + (3*b*Sin[c + d*x])/(a^4*x) + (b^2*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a + b*x)^2) + (3*b^2*Sin[c + d*x])/(a^4*(a + b*x)) + (6*b^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/a^5 - (d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/(2*a^3) + (3*b*d*Sin[c]*SinIntegral[d*x])/a^4 - (6*b^2*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^5 + (d^2*Cos[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*a^3) + (3*b*d*Sin[c - (a*d)/b]*SinIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^4}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b x^2)^p Sin[c+d x]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*x^2)*Sin[c + d*x], x, 12, (-120*b*x*Cos[c + d*x])/d^5 + (6*a*x*Cos[c + d*x])/d^3 + (20*b*x^3*Cos[c + d*x])/d^3 - (a*x^3*Cos[c + d*x])/d - (b*x^5*Cos[c + d*x])/d + (120*b*Sin[c + d*x])/d^6 - (6*a*Sin[c + d*x])/d^4 - (60*b*x^2*Sin[c + d*x])/d^4 + (3*a*x^2*Sin[c + d*x])/d^2 + (5*b*x^4*Sin[c + d*x])/d^2}
+{x^2*(a + b*x^2)*Sin[c + d*x], x, 10, (-24*b*Cos[c + d*x])/d^5 + (2*a*Cos[c + d*x])/d^3 + (12*b*x^2*Cos[c + d*x])/d^3 - (a*x^2*Cos[c + d*x])/d - (b*x^4*Cos[c + d*x])/d - (24*b*x*Sin[c + d*x])/d^4 + (2*a*x*Sin[c + d*x])/d^2 + (4*b*x^3*Sin[c + d*x])/d^2}
+{x*(a + b*x^2)*Sin[c + d*x], x, 8, (6*b*x*Cos[c + d*x])/d^3 - (a*x*Cos[c + d*x])/d - (b*x^3*Cos[c + d*x])/d - (6*b*Sin[c + d*x])/d^4 + (a*Sin[c + d*x])/d^2 + (3*b*x^2*Sin[c + d*x])/d^2}
+{(a + b*x^2)*Sin[c + d*x], x, 6, (2*b*Cos[c + d*x])/d^3 - (a*Cos[c + d*x])/d - (b*x^2*Cos[c + d*x])/d + (2*b*x*Sin[c + d*x])/d^2}
+{((a + b*x^2)*Sin[c + d*x])/x, x, 7, -((b*x*Cos[c + d*x])/d) + a*CosIntegral[d*x]*Sin[c] + (b*Sin[c + d*x])/d^2 + a*Cos[c]*SinIntegral[d*x]}
+{((a + b*x^2)*Sin[c + d*x])/x^2, x, 7, -((b*Cos[c + d*x])/d) + a*d*Cos[c]*CosIntegral[d*x] - (a*Sin[c + d*x])/x - a*d*Sin[c]*SinIntegral[d*x]}
+{((a + b*x^2)*Sin[c + d*x])/x^3, x, 10, -(a*d*Cos[c + d*x])/(2*x) + b*CosIntegral[d*x]*Sin[c] - (a*d^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/2 - (a*Sin[c + d*x])/(2*x^2) + b*Cos[c]*SinIntegral[d*x] - (a*d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/2}
+{((a + b*x^2)*Sin[c + d*x])/x^4, x, 12, -(a*d*Cos[c + d*x])/(6*x^2) + b*d*Cos[c]*CosIntegral[d*x] - (a*d^3*Cos[c]*CosIntegral[d*x])/6 - (a*Sin[c + d*x])/(3*x^3) - (b*Sin[c + d*x])/x + (a*d^2*Sin[c + d*x])/(6*x) - b*d*Sin[c]*SinIntegral[d*x] + (a*d^3*Sin[c]*SinIntegral[d*x])/6}
+{((a + b*x^2)*Sin[c + d*x])/x^5, x, 14, -(a*d*Cos[c + d*x])/(12*x^3) - (b*d*Cos[c + d*x])/(2*x) + (a*d^3*Cos[c + d*x])/(24*x) - (b*d^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/2 + (a*d^4*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/24 - (a*Sin[c + d*x])/(4*x^4) - (b*Sin[c + d*x])/(2*x^2) + (a*d^2*Sin[c + d*x])/(24*x^2) - (b*d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/2 + (a*d^4*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/24}
+
+
+{x^2*(a + b*x^2)^2*Sin[c + d*x], x, 17, (720*b^2*Cos[c + d*x])/d^7 - (48*a*b*Cos[c + d*x])/d^5 + (2*a^2*Cos[c + d*x])/d^3 - (360*b^2*x^2*Cos[c + d*x])/d^5 + (24*a*b*x^2*Cos[c + d*x])/d^3 - (a^2*x^2*Cos[c + d*x])/d + (30*b^2*x^4*Cos[c + d*x])/d^3 - (2*a*b*x^4*Cos[c + d*x])/d - (b^2*x^6*Cos[c + d*x])/d + (720*b^2*x*Sin[c + d*x])/d^6 - (48*a*b*x*Sin[c + d*x])/d^4 + (2*a^2*x*Sin[c + d*x])/d^2 - (120*b^2*x^3*Sin[c + d*x])/d^4 + (8*a*b*x^3*Sin[c + d*x])/d^2 + (6*b^2*x^5*Sin[c + d*x])/d^2}
+{x*(a + b*x^2)^2*Sin[c + d*x], x, 14, (-120*b^2*x*Cos[c + d*x])/d^5 + (12*a*b*x*Cos[c + d*x])/d^3 - (a^2*x*Cos[c + d*x])/d + (20*b^2*x^3*Cos[c + d*x])/d^3 - (2*a*b*x^3*Cos[c + d*x])/d - (b^2*x^5*Cos[c + d*x])/d + (120*b^2*Sin[c + d*x])/d^6 - (12*a*b*Sin[c + d*x])/d^4 + (a^2*Sin[c + d*x])/d^2 - (60*b^2*x^2*Sin[c + d*x])/d^4 + (6*a*b*x^2*Sin[c + d*x])/d^2 + (5*b^2*x^4*Sin[c + d*x])/d^2}
+{(a + b*x^2)^2*Sin[c + d*x], x, 11, (-24*b^2*Cos[c + d*x])/d^5 + (4*a*b*Cos[c + d*x])/d^3 - (a^2*Cos[c + d*x])/d + (12*b^2*x^2*Cos[c + d*x])/d^3 - (2*a*b*x^2*Cos[c + d*x])/d - (b^2*x^4*Cos[c + d*x])/d - (24*b^2*x*Sin[c + d*x])/d^4 + (4*a*b*x*Sin[c + d*x])/d^2 + (4*b^2*x^3*Sin[c + d*x])/d^2}
+{((a + b*x^2)^2*Sin[c + d*x])/x, x, 11, (6*b^2*x*Cos[c + d*x])/d^3 - (2*a*b*x*Cos[c + d*x])/d - (b^2*x^3*Cos[c + d*x])/d + a^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c] - (6*b^2*Sin[c + d*x])/d^4 + (2*a*b*Sin[c + d*x])/d^2 + (3*b^2*x^2*Sin[c + d*x])/d^2 + a^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x]}
+{((a + b*x^2)^2*Sin[c + d*x])/x^2, x, 10, (2*b^2*Cos[c + d*x])/d^3 - (2*a*b*Cos[c + d*x])/d - (b^2*x^2*Cos[c + d*x])/d + a^2*d*Cos[c]*CosIntegral[d*x] - (a^2*Sin[c + d*x])/x + (2*b^2*x*Sin[c + d*x])/d^2 - a^2*d*Sin[c]*SinIntegral[d*x]}
+{((a + b*x^2)^2*Sin[c + d*x])/x^3, x, 12, -(a^2*d*Cos[c + d*x])/(2*x) - (b^2*x*Cos[c + d*x])/d + 2*a*b*CosIntegral[d*x]*Sin[c] - (a^2*d^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/2 + (b^2*Sin[c + d*x])/d^2 - (a^2*Sin[c + d*x])/(2*x^2) + 2*a*b*Cos[c]*SinIntegral[d*x] - (a^2*d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/2}
+{((a + b*x^2)^2*Sin[c + d*x])/x^4, x, 13, -((b^2*Cos[c + d*x])/d) - (a^2*d*Cos[c + d*x])/(6*x^2) + 2*a*b*d*Cos[c]*CosIntegral[d*x] - (a^2*d^3*Cos[c]*CosIntegral[d*x])/6 - (a^2*Sin[c + d*x])/(3*x^3) - (2*a*b*Sin[c + d*x])/x + (a^2*d^2*Sin[c + d*x])/(6*x) - 2*a*b*d*Sin[c]*SinIntegral[d*x] + (a^2*d^3*Sin[c]*SinIntegral[d*x])/6}
+{((a + b*x^2)^2*Sin[c + d*x])/x^5, x, 17, -(a^2*d*Cos[c + d*x])/(12*x^3) - (a*b*d*Cos[c + d*x])/x + (a^2*d^3*Cos[c + d*x])/(24*x) + b^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c] - a*b*d^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c] + (a^2*d^4*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/24 - (a^2*Sin[c + d*x])/(4*x^4) - (a*b*Sin[c + d*x])/x^2 + (a^2*d^2*Sin[c + d*x])/(24*x^2) + b^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x] - a*b*d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x] + (a^2*d^4*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/24}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^4*Sin[c + d*x])/(a + b*x^2), x, 14, (2*Cos[c + d*x])/(b*d^3) + (a*Cos[c + d*x])/(b^2*d) - (x^2*Cos[c + d*x])/(b*d) - ((-a)^(3/2)*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*b^(5/2)) + ((-a)^(3/2)*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*b^(5/2)) + (2*x*Sin[c + d*x])/(b*d^2) - ((-a)^(3/2)*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*b^(5/2)) - ((-a)^(3/2)*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*b^(5/2))}
+{(x^3*Sin[c + d*x])/(a + b*x^2), x, 12, -((x*Cos[c + d*x])/(b*d)) - (a*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*b^2) - (a*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*b^2) + Sin[c + d*x]/(b*d^2) + (a*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*b^2) - (a*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*b^2)}
+{(x^2*Sin[c + d*x])/(a + b*x^2), x, 11, -(Cos[c + d*x]/(b*d)) - (Sqrt[-a]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*b^(3/2)) + (Sqrt[-a]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*b^(3/2)) - (Sqrt[-a]*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*b^(3/2)) - (Sqrt[-a]*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*b^(3/2))}
+{(x*Sin[c + d*x])/(a + b*x^2), x, 8, (CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*b) + (CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*b) - (Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*b) + (Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*b)}
+{Sin[c + d*x]/(a + b*x^2), x, 8, -(CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) + (CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) - (Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) - (Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*Sqrt[-a]*Sqrt[b])}
+{Sin[c + d*x]/(x*(a + b*x^2)), x, 13, (CosIntegral[d*x]*Sin[c])/a - (CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*a) - (CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*a) + (Cos[c]*SinIntegral[d*x])/a + (Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*a) - (Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*a)}
+{Sin[c + d*x]/(x^2*(a + b*x^2)), x, 14, (d*Cos[c]*CosIntegral[d*x])/a - (Sqrt[b]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*(-a)^(3/2)) + (Sqrt[b]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*(-a)^(3/2)) - Sin[c + d*x]/(a*x) - (d*Sin[c]*SinIntegral[d*x])/a - (Sqrt[b]*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*(-a)^(3/2)) - (Sqrt[b]*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*(-a)^(3/2))}
+{Sin[c + d*x]/(x^3*(a + b*x^2)), x, 18, -(d*Cos[c + d*x])/(2*a*x) - (b*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/a^2 - (d^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/(2*a) + (b*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*a^2) + (b*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*a^2) - Sin[c + d*x]/(2*a*x^2) - (b*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/a^2 - (d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/(2*a) - (b*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*a^2) + (b*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*a^2)}
+
+
+{(x^4*Sin[c + d*x])/(a + b*x^2)^2, x, 24, -(Cos[c + d*x]/(b^2*d)) - (a*d*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*b^3) - (a*d*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*b^3) - (3*Sqrt[-a]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*b^(5/2)) + (3*Sqrt[-a]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*b^(5/2)) + (x*Sin[c + d*x])/(2*b^2) - (x^3*Sin[c + d*x])/(2*b*(a + b*x^2)) - (3*Sqrt[-a]*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*b^(5/2)) - (a*d*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*b^3) - (3*Sqrt[-a]*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*b^(5/2)) + (a*d*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*b^3)}
+{(x^3*Sin[c + d*x])/(a + b*x^2)^2, x, 20, (Sqrt[-a]*d*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*b^(5/2)) - (Sqrt[-a]*d*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*b^(5/2)) + (CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*b^2) + (CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*b^2) + Sin[c + d*x]/(2*b^2) - (x^2*Sin[c + d*x])/(2*b*(a + b*x^2)) - (Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*b^2) + (Sqrt[-a]*d*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*b^(5/2)) + (Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*b^2) + (Sqrt[-a]*d*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*b^(5/2))}
+{(x^2*Sin[c + d*x])/(a + b*x^2)^2, x, 17, (d*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*b^2) + (d*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*b^2) - (CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[-a]*b^(3/2)) + (CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[-a]*b^(3/2)) - (x*Sin[c + d*x])/(2*b*(a + b*x^2)) - (Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*Sqrt[-a]*b^(3/2)) + (d*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*b^2) - (Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*Sqrt[-a]*b^(3/2)) - (d*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*b^2)}
+{(x*Sin[c + d*x])/(a + b*x^2)^2, x, 9, (d*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*Sqrt[-a]*b^(3/2)) - (d*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*Sqrt[-a]*b^(3/2)) - Sin[c + d*x]/(2*b*(a + b*x^2)) + (d*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*Sqrt[-a]*b^(3/2)) + (d*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*Sqrt[-a]*b^(3/2))}
+{Sin[c + d*x]/(a + b*x^2)^2, x, 18, -(d*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*a*b) - (d*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*a*b) + (CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]) - (CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]) - Sin[c + d*x]/(4*a*Sqrt[b]*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) + Sin[c + d*x]/(4*a*Sqrt[b]*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) + (Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]) - (d*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*a*b) + (Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]) + (d*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*a*b)}
+{Sin[c + d*x]/(x*(a + b*x^2)^2), x, 22, (d*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]) - (d*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]) + (CosIntegral[d*x]*Sin[c])/a^2 - (CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*a^2) - (CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*a^2) + Sin[c + d*x]/(2*a*(a + b*x^2)) + (Cos[c]*SinIntegral[d*x])/a^2 + (Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*a^2) + (d*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]) - (Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*a^2) + (d*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*(-a)^(3/2)*Sqrt[b])}
+{Sin[c + d*x]/(x^2*(a + b*x^2)^2), x, 32, (d*Cos[c]*CosIntegral[d*x])/a^2 + (d*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*a^2) + (d*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*a^2) + (3*Sqrt[b]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*(-a)^(5/2)) - (3*Sqrt[b]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*(-a)^(5/2)) - Sin[c + d*x]/(a^2*x) + (Sqrt[b]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) - (Sqrt[b]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) - (d*Sin[c]*SinIntegral[d*x])/a^2 + (3*Sqrt[b]*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*(-a)^(5/2)) + (d*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*a^2) + (3*Sqrt[b]*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*(-a)^(5/2)) - (d*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*a^2)}
+
+
+{(x^3*Sin[c + d*x])/(a + b*x^2)^3, x, 27, -(d*x*Cos[c + d*x])/(8*b^2*(a + b*x^2)) + (3*d*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*Sqrt[-a]*b^(5/2)) - (3*d*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*Sqrt[-a]*b^(5/2)) - (d^2*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*b^3) - (d^2*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*b^3) - (x^2*Sin[c + d*x])/(4*b*(a + b*x^2)^2) - Sin[c + d*x]/(4*b^2*(a + b*x^2)) + (d^2*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*b^3) + (3*d*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*Sqrt[-a]*b^(5/2)) - (d^2*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*b^3) + (3*d*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*Sqrt[-a]*b^(5/2))}
+{(x^2*Sin[c + d*x])/(a + b*x^2)^3, x, 28, -(d*Cos[c + d*x])/(8*b^2*(a + b*x^2)) - (d*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*a*b^2) - (d*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*a*b^2) + (CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) + (d^2*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*Sqrt[-a]*b^(5/2)) - (CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) - (d^2*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*Sqrt[-a]*b^(5/2)) - Sin[c + d*x]/(16*a*b^(3/2)*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) + Sin[c + d*x]/(16*a*b^(3/2)*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) - (x*Sin[c + d*x])/(4*b*(a + b*x^2)^2) + (Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) + (d^2*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*Sqrt[-a]*b^(5/2)) - (d*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*a*b^2) + (Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) + (d^2*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*Sqrt[-a]*b^(5/2)) + (d*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*a*b^2)}
+{(x*Sin[c + d*x])/(a + b*x^2)^3, x, 19, -(d*Cos[c + d*x])/(16*a*b^(3/2)*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) + (d*Cos[c + d*x])/(16*a*b^(3/2)*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) - (d*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) + (d*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) + (d^2*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*a*b^2) + (d^2*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*a*b^2) - Sin[c + d*x]/(4*b*(a + b*x^2)^2) - (d^2*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*a*b^2) - (d*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) + (d^2*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*a*b^2) - (d*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2))}
+{Sin[c + d*x]/(a + b*x^2)^3, x, 28, (d*Cos[c + d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) + (d*Cos[c + d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) - (3*d*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*a^2*b) - (3*d*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*a^2*b) - (3*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) + (d^2*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) + (3*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) - (d^2*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) - Sin[c + d*x]/(16*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)^2) - (3*Sin[c + d*x])/(16*a^2*Sqrt[b]*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) + Sin[c + d*x]/(16*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)^2) + (3*Sin[c + d*x])/(16*a^2*Sqrt[b]*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) - (3*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) + (d^2*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) - (3*d*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*a^2*b) - (3*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) + (d^2*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) + (3*d*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*a^2*b)}
+{Sin[c + d*x]/(x*(a + b*x^2)^3), x, 41, (d*Cos[c + d*x])/(16*a^2*Sqrt[b]*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) - (d*Cos[c + d*x])/(16*a^2*Sqrt[b]*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) - (5*d*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) + (5*d*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) + (CosIntegral[d*x]*Sin[c])/a^3 - (CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*a^3) - (d^2*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*a^2*b) - (CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*a^3) - (d^2*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*a^2*b) + Sin[c + d*x]/(4*a*(a + b*x^2)^2) + Sin[c + d*x]/(2*a^2*(a + b*x^2)) + (Cos[c]*SinIntegral[d*x])/a^3 + (Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*a^3) + (d^2*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*a^2*b) - (5*d*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) - (Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*a^3) - (d^2*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*a^2*b) - (5*d*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b])}
+{Sin[c + d*x]/(x^2*(a + b*x^2)^3), x, 60, (d*Cos[c + d*x])/(16*(-a)^(5/2)*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) + (d*Cos[c + d*x])/(16*(-a)^(5/2)*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) + (d*Cos[c]*CosIntegral[d*x])/a^3 + (7*d*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*a^3) + (7*d*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*a^3) - (15*Sqrt[b]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*(-a)^(7/2)) + (d^2*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) + (15*Sqrt[b]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*(-a)^(7/2)) - (d^2*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) - Sin[c + d*x]/(a^3*x) - (Sqrt[b]*Sin[c + d*x])/(16*(-a)^(5/2)*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)^2) + (7*Sqrt[b]*Sin[c + d*x])/(16*a^3*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) + (Sqrt[b]*Sin[c + d*x])/(16*(-a)^(5/2)*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)^2) - (7*Sqrt[b]*Sin[c + d*x])/(16*a^3*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) - (d*Sin[c]*SinIntegral[d*x])/a^3 - (15*Sqrt[b]*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(7/2)) + (d^2*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) + (7*d*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*a^3) - (15*Sqrt[b]*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(7/2)) + (d^2*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) - (7*d*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*a^3)}
+{Sin[c + d*x]/(x^3*(a + b*x^2)^3), x, 46, -(d*Cos[c + d*x])/(2*a^3*x) - (Sqrt[b]*d*Cos[c + d*x])/(16*a^3*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) + (Sqrt[b]*d*Cos[c + d*x])/(16*a^3*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) - (9*Sqrt[b]*d*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(7/2)) + (9*Sqrt[b]*d*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(7/2)) - (3*b*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/a^4 - (d^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/(2*a^3) + (3*b*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*a^4) + (d^2*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*a^3) + (3*b*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(2*a^4) + (d^2*CosIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*a^3) - Sin[c + d*x]/(2*a^3*x^2) - (b*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a + b*x^2)^2) - (b*Sin[c + d*x])/(a^3*(a + b*x^2)) - (3*b*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/a^4 - (d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/(2*a^3) - (3*b*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*a^4) - (d^2*Cos[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*a^3) - (9*Sqrt[b]*d*Sin[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(7/2)) + (3*b*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*a^4) + (d^2*Cos[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*a^3) - (9*Sqrt[b]*d*Sin[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(7/2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b x^3)^p Sin[c+d x]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*x^3)*Sin[c + d*x], x, 13, (720*b*Cos[c + d*x])/d^7 + (6*a*x*Cos[c + d*x])/d^3 - (360*b*x^2*Cos[c + d*x])/d^5 - (a*x^3*Cos[c + d*x])/d + (30*b*x^4*Cos[c + d*x])/d^3 - (b*x^6*Cos[c + d*x])/d - (6*a*Sin[c + d*x])/d^4 + (720*b*x*Sin[c + d*x])/d^6 + (3*a*x^2*Sin[c + d*x])/d^2 - (120*b*x^3*Sin[c + d*x])/d^4 + (6*b*x^5*Sin[c + d*x])/d^2}
+{x^2*(a + b*x^3)*Sin[c + d*x], x, 11, (2*a*Cos[c + d*x])/d^3 - (120*b*x*Cos[c + d*x])/d^5 - (a*x^2*Cos[c + d*x])/d + (20*b*x^3*Cos[c + d*x])/d^3 - (b*x^5*Cos[c + d*x])/d + (120*b*Sin[c + d*x])/d^6 + (2*a*x*Sin[c + d*x])/d^2 - (60*b*x^2*Sin[c + d*x])/d^4 + (5*b*x^4*Sin[c + d*x])/d^2}
+{x*(a + b*x^3)*Sin[c + d*x], x, 9, (-24*b*Cos[c + d*x])/d^5 - (a*x*Cos[c + d*x])/d + (12*b*x^2*Cos[c + d*x])/d^3 - (b*x^4*Cos[c + d*x])/d + (a*Sin[c + d*x])/d^2 - (24*b*x*Sin[c + d*x])/d^4 + (4*b*x^3*Sin[c + d*x])/d^2}
+{(a + b*x^3)*Sin[c + d*x], x, 7, -((a*Cos[c + d*x])/d) + (6*b*x*Cos[c + d*x])/d^3 - (b*x^3*Cos[c + d*x])/d - (6*b*Sin[c + d*x])/d^4 + (3*b*x^2*Sin[c + d*x])/d^2}
+{((a + b*x^3)*Sin[c + d*x])/x, x, 8, (2*b*Cos[c + d*x])/d^3 - (b*x^2*Cos[c + d*x])/d + a*CosIntegral[d*x]*Sin[c] + (2*b*x*Sin[c + d*x])/d^2 + a*Cos[c]*SinIntegral[d*x]}
+{((a + b*x^3)*Sin[c + d*x])/x^2, x, 8, -((b*x*Cos[c + d*x])/d) + a*d*Cos[c]*CosIntegral[d*x] + (b*Sin[c + d*x])/d^2 - (a*Sin[c + d*x])/x - a*d*Sin[c]*SinIntegral[d*x]}
+{((a + b*x^3)*Sin[c + d*x])/x^3, x, 8, -((b*Cos[c + d*x])/d) - (a*d*Cos[c + d*x])/(2*x) - (a*d^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/2 - (a*Sin[c + d*x])/(2*x^2) - (a*d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/2}
+{((a + b*x^3)*Sin[c + d*x])/x^4, x, 11, -(a*d*Cos[c + d*x])/(6*x^2) - (a*d^3*Cos[c]*CosIntegral[d*x])/6 + b*CosIntegral[d*x]*Sin[c] - (a*Sin[c + d*x])/(3*x^3) + (a*d^2*Sin[c + d*x])/(6*x) + b*Cos[c]*SinIntegral[d*x] + (a*d^3*Sin[c]*SinIntegral[d*x])/6}
+
+
+{x*(a + b*x^3)^2*Sin[c + d*x], x, 17, (-48*a*b*Cos[c + d*x])/d^5 + (5040*b^2*x*Cos[c + d*x])/d^7 - (a^2*x*Cos[c + d*x])/d + (24*a*b*x^2*Cos[c + d*x])/d^3 - (840*b^2*x^3*Cos[c + d*x])/d^5 - (2*a*b*x^4*Cos[c + d*x])/d + (42*b^2*x^5*Cos[c + d*x])/d^3 - (b^2*x^7*Cos[c + d*x])/d - (5040*b^2*Sin[c + d*x])/d^8 + (a^2*Sin[c + d*x])/d^2 - (48*a*b*x*Sin[c + d*x])/d^4 + (2520*b^2*x^2*Sin[c + d*x])/d^6 + (8*a*b*x^3*Sin[c + d*x])/d^2 - (210*b^2*x^4*Sin[c + d*x])/d^4 + (7*b^2*x^6*Sin[c + d*x])/d^2}
+{(a + b*x^3)^2*Sin[c + d*x], x, 14, (720*b^2*Cos[c + d*x])/d^7 - (a^2*Cos[c + d*x])/d + (12*a*b*x*Cos[c + d*x])/d^3 - (360*b^2*x^2*Cos[c + d*x])/d^5 - (2*a*b*x^3*Cos[c + d*x])/d + (30*b^2*x^4*Cos[c + d*x])/d^3 - (b^2*x^6*Cos[c + d*x])/d - (12*a*b*Sin[c + d*x])/d^4 + (720*b^2*x*Sin[c + d*x])/d^6 + (6*a*b*x^2*Sin[c + d*x])/d^2 - (120*b^2*x^3*Sin[c + d*x])/d^4 + (6*b^2*x^5*Sin[c + d*x])/d^2}
+{((a + b*x^3)^2*Sin[c + d*x])/x, x, 14, (4*a*b*Cos[c + d*x])/d^3 - (120*b^2*x*Cos[c + d*x])/d^5 - (2*a*b*x^2*Cos[c + d*x])/d + (20*b^2*x^3*Cos[c + d*x])/d^3 - (b^2*x^5*Cos[c + d*x])/d + a^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c] + (120*b^2*Sin[c + d*x])/d^6 + (4*a*b*x*Sin[c + d*x])/d^2 - (60*b^2*x^2*Sin[c + d*x])/d^4 + (5*b^2*x^4*Sin[c + d*x])/d^2 + a^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x]}
+{((a + b*x^3)^2*Sin[c + d*x])/x^2, x, 13, (-24*b^2*Cos[c + d*x])/d^5 - (2*a*b*x*Cos[c + d*x])/d + (12*b^2*x^2*Cos[c + d*x])/d^3 - (b^2*x^4*Cos[c + d*x])/d + a^2*d*Cos[c]*CosIntegral[d*x] + (2*a*b*Sin[c + d*x])/d^2 - (a^2*Sin[c + d*x])/x - (24*b^2*x*Sin[c + d*x])/d^4 + (4*b^2*x^3*Sin[c + d*x])/d^2 - a^2*d*Sin[c]*SinIntegral[d*x]}
+{((a + b*x^3)^2*Sin[c + d*x])/x^3, x, 12, (-2*a*b*Cos[c + d*x])/d - (a^2*d*Cos[c + d*x])/(2*x) + (6*b^2*x*Cos[c + d*x])/d^3 - (b^2*x^3*Cos[c + d*x])/d - (a^2*d^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/2 - (6*b^2*Sin[c + d*x])/d^4 - (a^2*Sin[c + d*x])/(2*x^2) + (3*b^2*x^2*Sin[c + d*x])/d^2 - (a^2*d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/2}
+{((a + b*x^3)^2*Sin[c + d*x])/x^4, x, 14, (2*b^2*Cos[c + d*x])/d^3 - (a^2*d*Cos[c + d*x])/(6*x^2) - (b^2*x^2*Cos[c + d*x])/d - (a^2*d^3*Cos[c]*CosIntegral[d*x])/6 + 2*a*b*CosIntegral[d*x]*Sin[c] - (a^2*Sin[c + d*x])/(3*x^3) + (a^2*d^2*Sin[c + d*x])/(6*x) + (2*b^2*x*Sin[c + d*x])/d^2 + 2*a*b*Cos[c]*SinIntegral[d*x] + (a^2*d^3*Sin[c]*SinIntegral[d*x])/6}
+{((a + b*x^3)^2*Sin[c + d*x])/x^5, x, 15, -(a^2*d*Cos[c + d*x])/(12*x^3) + (a^2*d^3*Cos[c + d*x])/(24*x) - (b^2*x*Cos[c + d*x])/d + 2*a*b*d*Cos[c]*CosIntegral[d*x] + (a^2*d^4*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/24 + (b^2*Sin[c + d*x])/d^2 - (a^2*Sin[c + d*x])/(4*x^4) + (a^2*d^2*Sin[c + d*x])/(24*x^2) - (2*a*b*Sin[c + d*x])/x + (a^2*d^4*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/24 - 2*a*b*d*Sin[c]*SinIntegral[d*x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^4*Sin[c + d*x])/(a + b*x^3), x, 15, -((x*Cos[c + d*x])/(b*d)) + (a^(2/3)*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*b^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*a^(2/3)*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*b^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*a^(2/3)*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*b^(5/3)) + Sin[c + d*x]/(b*d^2) - ((-1)^(2/3)*a^(2/3)*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*b^(5/3)) + (a^(2/3)*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*b^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*a^(2/3)*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*b^(5/3))}
+{(x^3*Sin[c + d*x])/(a + b*x^3), x, 14, -(Cos[c + d*x]/(b*d)) - (a^(1/3)*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*b^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*b^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*b^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*b^(4/3)) - (a^(1/3)*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*b^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*b^(4/3))}
+{(x^2*Sin[c + d*x])/(a + b*x^3), x, 11, (CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*b) + (CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*b) + (CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*b) - (Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*b) + (Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*b) + (Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*b)}
+{(x*Sin[c + d*x])/(a + b*x^3), x, 11, -((CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a^(1/3)*b^(2/3))) - ((-1)^(2/3)*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/3)*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(2/3)*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - (Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/3)*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3))}
+{Sin[c + d*x]/(a + b*x^3), x, 11, (CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a^(2/3)*b^(1/3)) - ((-1)^(1/3)*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a^(2/3)*b^(1/3)) + ((-1)^(2/3)*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a^(2/3)*b^(1/3)) + ((-1)^(1/3)*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a^(2/3)*b^(1/3)) + (Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(2/3)*b^(1/3)) + ((-1)^(2/3)*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(2/3)*b^(1/3))}
+{Sin[c + d*x]/(x*(a + b*x^3)), x, 16, (CosIntegral[d*x]*Sin[c])/a - (CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a) - (CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a) - (CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a) + (Cos[c]*SinIntegral[d*x])/a + (Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a) - (Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a) - (Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a)}
+{Sin[c + d*x]/(x^2*(a + b*x^3)), x, 17, (d*Cos[c]*CosIntegral[d*x])/a + (b^(1/3)*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*b^(1/3)*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(1/3)*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a^(4/3)) - Sin[c + d*x]/(a*x) - (d*Sin[c]*SinIntegral[d*x])/a - ((-1)^(2/3)*b^(1/3)*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a^(4/3)) + (b^(1/3)*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(1/3)*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(4/3))}
+{Sin[c + d*x]/(x^3*(a + b*x^3)), x, 18, -((d*Cos[c + d*x])/(2*a*x)) - (d^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/(2*a) - (b^(2/3)*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a^(5/3)) - Sin[c + d*x]/(2*a*x^2) - (d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/(2*a) - ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a^(5/3)) - (b^(2/3)*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(5/3))}
+
+
+{(x^3*Sin[c + d*x])/(a + b*x^3)^2, x, 23, -(((-1)^(2/3)*d*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(1/3)*b^(5/3))) - (d*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(1/3)*b^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*d*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(1/3)*b^(5/3)) + (CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) - (x*Sin[c + d*x])/(3*b*(a + b*x^3)) + ((-1)^(1/3)*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*d*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(1/3)*b^(5/3)) + (Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) + (d*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(1/3)*b^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*d*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(1/3)*b^(5/3))}
+{(x^2*Sin[c + d*x])/(a + b*x^3)^2, x, 12, -(((-1)^(1/3)*d*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(2/3)*b^(4/3))) + (d*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*d*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) - Sin[c + d*x]/(3*b*(a + b*x^3)) - ((-1)^(1/3)*d*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) - (d*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*d*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(2/3)*b^(4/3))}
+{(x*Sin[c + d*x])/(a + b*x^3)^2, x, 34, -((d*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a*b)) - (d*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a*b) - (d*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a*b) - (CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(2/3)*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/3)*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) + Sin[c + d*x]/(3*a*b*x) - Sin[c + d*x]/(3*b*x*(a + b*x^3)) + ((-1)^(2/3)*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) - (d*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a*b) - (Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) + (d*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a*b) + ((-1)^(1/3)*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) + (d*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a*b)}
+{Sin[c + d*x]/(a + b*x^3)^2, x, 36, ((-1)^(2/3)*d*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) + (d*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/3)*d*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) + (2*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) - (2*(-1)^(1/3)*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) + (2*(-1)^(2/3)*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) + Sin[c + d*x]/(3*a*b*x^2) - Sin[c + d*x]/(3*b*x^2*(a + b*x^3)) + (2*(-1)^(1/3)*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) + ((-1)^(2/3)*d*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) + (2*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) - (d*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) + (2*(-1)^(2/3)*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) + ((-1)^(1/3)*d*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(4/3)*b^(2/3))}
+{Sin[c + d*x]/(x*(a + b*x^3)^2), x, 41, ((-1)^(1/3)*d*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) - (d*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) - ((-1)^(2/3)*d*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) + (CosIntegral[d*x]*Sin[c])/a^2 - (CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a^2) - (CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a^2) - (CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a^2) + Sin[c + d*x]/(3*a*b*x^3) - Sin[c + d*x]/(3*b*x^3*(a + b*x^3)) + (Cos[c]*SinIntegral[d*x])/a^2 + (Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a^2) + ((-1)^(1/3)*d*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) - (Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^2) + (d*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) - (Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^2) + ((-1)^(2/3)*d*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(5/3)*b^(1/3))}
+{Sin[c + d*x]/(x^2*(a + b*x^3)^2), x, 47, (d*Cos[c]*CosIntegral[d*x])/a^2 + (d*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^2) + (d*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^2) + (d*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^2) + (4*b^(1/3)*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(7/3)) + (4*(-1)^(2/3)*b^(1/3)*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(7/3)) - (4*(-1)^(1/3)*b^(1/3)*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(7/3)) + Sin[c + d*x]/(3*a*b*x^4) - (4*Sin[c + d*x])/(3*a^2*x) - Sin[c + d*x]/(3*b*x^4*(a + b*x^3)) - (d*Sin[c]*SinIntegral[d*x])/a^2 - (4*(-1)^(2/3)*b^(1/3)*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(7/3)) + (d*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^2) + (4*b^(1/3)*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(7/3)) - (d*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^2) - (4*(-1)^(1/3)*b^(1/3)*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(7/3)) - (d*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^2)}
+{Sin[c + d*x]/(x^3*(a + b*x^3)^2), x, 51, -((d*Cos[c + d*x])/(2*a^2*x)) - ((-1)^(2/3)*b^(1/3)*d*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(7/3)) - (b^(1/3)*d*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(7/3)) + ((-1)^(1/3)*b^(1/3)*d*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(7/3)) - (d^2*CosIntegral[d*x]*Sin[c])/(2*a^2) - (5*b^(2/3)*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(8/3)) + (5*(-1)^(1/3)*b^(2/3)*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(8/3)) - (5*(-1)^(2/3)*b^(2/3)*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(8/3)) + Sin[c + d*x]/(3*a*b*x^5) - (5*Sin[c + d*x])/(6*a^2*x^2) - Sin[c + d*x]/(3*b*x^5*(a + b*x^3)) - (d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x])/(2*a^2) - (5*(-1)^(1/3)*b^(2/3)*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(8/3)) - ((-1)^(2/3)*b^(1/3)*d*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(7/3)) - (5*b^(2/3)*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(8/3)) + (b^(1/3)*d*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(7/3)) - (5*(-1)^(2/3)*b^(2/3)*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(8/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(1/3)*d*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(7/3))}
+
+
+{(x^3*Sin[c + d*x])/(a + b*x^3)^3, x, 71, (d*Cos[c + d*x])/(18*a*b^2*x) - (d*Cos[c + d*x])/(18*b^2*x*(a + b*x^3)) + (CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) + (d^2*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(54*a*b^2) - ((-1)^(1/3)*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) + (d^2*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(54*a*b^2) + ((-1)^(2/3)*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) + (d^2*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(54*a*b^2) + Sin[c + d*x]/(18*a*b^2*x^2) - (x*Sin[c + d*x])/(6*b*(a + b*x^3)^2) - Sin[c + d*x]/(18*b^2*x^2*(a + b*x^3)) + ((-1)^(1/3)*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) - (d^2*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(54*a*b^2) + (Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) + (d^2*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a*b^2) + ((-1)^(2/3)*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) + (d^2*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a*b^2)}
+{(x^2*Sin[c + d*x])/(a + b*x^3)^3, x, 37, (d*Cos[c + d*x])/(18*a*b^2*x^2) - (d*Cos[c + d*x])/(18*b^2*x^2*(a + b*x^3)) - ((-1)^(1/3)*d*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) + (d*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*d*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) - (d^2*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(54*a^(4/3)*b^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*d^2*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(54*a^(4/3)*b^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*d^2*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(54*a^(4/3)*b^(5/3)) - Sin[c + d*x]/(6*b*(a + b*x^3)^2) + ((-1)^(2/3)*d^2*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(54*a^(4/3)*b^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*d*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) - (d^2*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^(4/3)*b^(5/3)) - (d*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*d^2*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^(4/3)*b^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*d*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(5/3)*b^(4/3))}
+{(x*Sin[c + d*x])/(a + b*x^3)^3, x, 89, (d*Cos[c + d*x])/(18*a*b^2*x^3) - (d*Cos[c + d*x])/(18*b^2*x^3*(a + b*x^3)) - (2*d*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a^2*b) - (2*d*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^2*b) - (2*d*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^2*b) - (2*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a^(7/3)*b^(2/3)) + (d^2*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(54*a^(5/3)*b^(4/3)) - (2*(-1)^(2/3)*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a^(7/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/3)*d^2*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(54*a^(5/3)*b^(4/3)) + (2*(-1)^(1/3)*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a^(7/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(2/3)*d^2*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(54*a^(5/3)*b^(4/3)) - Sin[c + d*x]/(18*a*b^2*x^4) + (2*Sin[c + d*x])/(9*a^2*b*x) - Sin[c + d*x]/(6*b*x*(a + b*x^3)^2) + Sin[c + d*x]/(18*b^2*x^4*(a + b*x^3)) + (2*(-1)^(2/3)*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a^(7/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/3)*d^2*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(54*a^(5/3)*b^(4/3)) - (2*d*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a^2*b) - (2*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(7/3)*b^(2/3)) + (d^2*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^(5/3)*b^(4/3)) + (2*d*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^2*b) + (2*(-1)^(1/3)*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(7/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(2/3)*d^2*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^(5/3)*b^(4/3)) + (2*d*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^2*b)}
+{Sin[c + d*x]/(a + b*x^3)^3, x, 99, (d*Cos[c + d*x])/(18*a*b^2*x^4) - (d*Cos[c + d*x])/(18*a^2*b*x) - (d*Cos[c + d*x])/(18*b^2*x^4*(a + b*x^3)) + ((-1)^(2/3)*d*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(7/3)*b^(2/3)) + (d*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(7/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/3)*d*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(7/3)*b^(2/3)) + (5*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a^(8/3)*b^(1/3)) - (d^2*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(54*a^2*b) - (5*(-1)^(1/3)*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a^(8/3)*b^(1/3)) - (d^2*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(54*a^2*b) + (5*(-1)^(2/3)*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a^(8/3)*b^(1/3)) - (d^2*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(54*a^2*b) - Sin[c + d*x]/(9*a*b^2*x^5) + (5*Sin[c + d*x])/(18*a^2*b*x^2) - Sin[c + d*x]/(6*b*x^2*(a + b*x^3)^2) + Sin[c + d*x]/(9*b^2*x^5*(a + b*x^3)) + (5*(-1)^(1/3)*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a^(8/3)*b^(1/3)) + (d^2*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(54*a^2*b) + ((-1)^(2/3)*d*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(7/3)*b^(2/3)) + (5*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(8/3)*b^(1/3)) - (d^2*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^2*b) - (d*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(7/3)*b^(2/3)) + (5*(-1)^(2/3)*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(8/3)*b^(1/3)) - (d^2*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^2*b) + ((-1)^(1/3)*d*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(7/3)*b^(2/3))}
+{Sin[c + d*x]/(x*(a + b*x^3)^3), x, 110, (d*Cos[c + d*x])/(18*a*b^2*x^5) - (d*Cos[c + d*x])/(18*a^2*b*x^2) - (d*Cos[c + d*x])/(18*b^2*x^5*(a + b*x^3)) + (4*(-1)^(1/3)*d*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a^(8/3)*b^(1/3)) - (4*d*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(8/3)*b^(1/3)) - (4*(-1)^(2/3)*d*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(8/3)*b^(1/3)) + (CosIntegral[d*x]*Sin[c])/a^3 - (CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a^3) + (d^2*CosIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(54*a^(7/3)*b^(2/3)) - (CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a^3) + ((-1)^(2/3)*d^2*CosIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(54*a^(7/3)*b^(2/3)) - (CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(3*a^3) - ((-1)^(1/3)*d^2*CosIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(54*a^(7/3)*b^(2/3)) - Sin[c + d*x]/(6*a*b^2*x^6) + Sin[c + d*x]/(3*a^2*b*x^3) - Sin[c + d*x]/(6*b*x^3*(a + b*x^3)^2) + Sin[c + d*x]/(6*b^2*x^6*(a + b*x^3)) + (Cos[c]*SinIntegral[d*x])/a^3 + (Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a^3) - ((-1)^(2/3)*d^2*Cos[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(54*a^(7/3)*b^(2/3)) + (4*(-1)^(1/3)*d*Sin[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a^(8/3)*b^(1/3)) - (Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^3) + (d^2*Cos[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^(7/3)*b^(2/3)) + (4*d*Sin[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(8/3)*b^(1/3)) - (Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^3) - ((-1)^(1/3)*d^2*Cos[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^(7/3)*b^(2/3)) + (4*(-1)^(2/3)*d*Sin[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(8/3)*b^(1/3))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.12 (e x)^m (a+b sin(c+d x^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.12 (e x)^m (a+b sin(c+d x^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..81c2ce5f
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.12 (e x)^m (a+b sin(c+d x^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,739 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sin[c+d x^n])^p*)
+
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sin[c+d x^2])^p*)
+
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Sin[c+d x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^5*(a + b*Sin[c + d*x^2]), x, 6, (a*x^6)/6 + (b*Cos[c + d*x^2])/d^3 - (b*x^4*Cos[c + d*x^2])/(2*d) + (b*x^2*Sin[c + d*x^2])/d^2}
+{x^3*(a + b*Sin[c + d*x^2]), x, 5, (a*x^4)/4 - (b*x^2*Cos[c + d*x^2])/(2*d) + (b*Sin[c + d*x^2])/(2*d^2)}
+{x^1*(a + b*Sin[c + d*x^2]), x, 4, (a*x^2)/2 - (b*Cos[c + d*x^2])/(2*d)}
+{(a + b*Sin[c + d*x^2])/x^1, x, 5, a*Log[x] + (1/2)*b*CosIntegral[d*x^2]*Sin[c] + (1/2)*b*Cos[c]*SinIntegral[d*x^2]}
+{(a + b*Sin[c + d*x^2])/x^3, x, 7, -(a/(2*x^2)) + (1/2)*b*d*Cos[c]*CosIntegral[d*x^2] - (b*Sin[c + d*x^2])/(2*x^2) - (1/2)*b*d*Sin[c]*SinIntegral[d*x^2]}
+{(a + b*Sin[c + d*x^2])/x^5, x, 8, -(a/(4*x^4)) - (b*d*Cos[c + d*x^2])/(4*x^2) - (1/4)*b*d^2*CosIntegral[d*x^2]*Sin[c] - (b*Sin[c + d*x^2])/(4*x^4) - (1/4)*b*d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x^2]}
+
+{x^4*(a + b*Sin[c + d*x^2]), x, 7, (a*x^5)/5 - (b*x^3*Cos[c + d*x^2])/(2*d) - (3*b*Sqrt[Pi/2]*Cos[c]*FresnelS[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x])/(4*d^(5/2)) - (3*b*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[c])/(4*d^(5/2)) + (3*b*x*Sin[c + d*x^2])/(4*d^2)}
+{x^2*(a + b*Sin[c + d*x^2]), x, 6, (a*x^3)/3 - (b*x*Cos[c + d*x^2])/(2*d) + (b*Sqrt[Pi/2]*Cos[c]*FresnelC[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x])/(2*d^(3/2)) - (b*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[c])/(2*d^(3/2))}
+{x^0*(a + b*Sin[c + d*x^2]), x, 4, a*x + (b*Sqrt[Pi/2]*Cos[c]*FresnelS[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x])/Sqrt[d] + (b*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[c])/Sqrt[d]}
+{(a + b*Sin[c + d*x^2])/x^2, x, 6, -(a/x) + b*Sqrt[d]*Sqrt[2*Pi]*Cos[c]*FresnelC[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x] - b*Sqrt[d]*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[c] - (b*Sin[c + d*x^2])/x}
+{(a + b*Sin[c + d*x^2])/x^4, x, 7, -(a/(3*x^3)) - (2*b*d*Cos[c + d*x^2])/(3*x) - (2/3)*b*d^(3/2)*Sqrt[2*Pi]*Cos[c]*FresnelS[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x] - (2/3)*b*d^(3/2)*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[c] - (b*Sin[c + d*x^2])/(3*x^3)}
+
+
+{x^5*(a + b*Sin[c + d*x^2])^2, x, 10, -((b^2*x^2)/(8*d^2)) + (a^2*x^6)/6 + (b^2*x^6)/12 + (2*a*b*Cos[c + d*x^2])/d^3 - (a*b*x^4*Cos[c + d*x^2])/d + (2*a*b*x^2*Sin[c + d*x^2])/d^2 + (b^2*Cos[c + d*x^2]*Sin[c + d*x^2])/(8*d^3) - (b^2*x^4*Cos[c + d*x^2]*Sin[c + d*x^2])/(4*d) + (b^2*x^2*Sin[c + d*x^2]^2)/(4*d^2)}
+{x^3*(a + b*Sin[c + d*x^2])^2, x, 7, (a^2*x^4)/4 + (b^2*x^4)/8 - (a*b*x^2*Cos[c + d*x^2])/d + (a*b*Sin[c + d*x^2])/d^2 - (b^2*x^2*Cos[c + d*x^2]*Sin[c + d*x^2])/(4*d) + (b^2*Sin[c + d*x^2]^2)/(8*d^2)}
+{x^1*(a + b*Sin[c + d*x^2])^2, x, 2, (1/4)*(2*a^2 + b^2)*x^2 - (a*b*Cos[c + d*x^2])/d - (b^2*Cos[c + d*x^2]*Sin[c + d*x^2])/(4*d)}
+{(a + b*Sin[c + d*x^2])^2/x^1, x, 9, (-(1/4))*b^2*Cos[2*c]*CosIntegral[2*d*x^2] + (1/2)*(2*a^2 + b^2)*Log[x] + a*b*CosIntegral[d*x^2]*Sin[c] + a*b*Cos[c]*SinIntegral[d*x^2] + (1/4)*b^2*Sin[2*c]*SinIntegral[2*d*x^2]}
+{(a + b*Sin[c + d*x^2])^2/x^3, x, 13, -((2*a^2 + b^2)/(4*x^2)) + (b^2*Cos[2*(c + d*x^2)])/(4*x^2) + a*b*d*Cos[c]*CosIntegral[d*x^2] + (1/2)*b^2*d*CosIntegral[2*d*x^2]*Sin[2*c] - (a*b*Sin[c + d*x^2])/x^2 - a*b*d*Sin[c]*SinIntegral[d*x^2] + (1/2)*b^2*d*Cos[2*c]*SinIntegral[2*d*x^2]}
+{(a + b*Sin[c + d*x^2])^2/x^5, x, 15, -((2*a^2 + b^2)/(8*x^4)) - (a*b*d*Cos[c + d*x^2])/(2*x^2) + (b^2*Cos[2*(c + d*x^2)])/(8*x^4) + (1/2)*b^2*d^2*Cos[2*c]*CosIntegral[2*d*x^2] - (1/2)*a*b*d^2*CosIntegral[d*x^2]*Sin[c] - (a*b*Sin[c + d*x^2])/(2*x^4) - (b^2*d*Sin[2*(c + d*x^2)])/(4*x^2) - (1/2)*a*b*d^2*Cos[c]*SinIntegral[d*x^2] - (1/2)*b^2*d^2*Sin[2*c]*SinIntegral[2*d*x^2]}
+
+{x^4*(a + b*Sin[c + d*x^2])^2, x, 13, (1/10)*(2*a^2 + b^2)*x^5 - (a*b*x^3*Cos[c + d*x^2])/d - (3*b^2*x*Cos[2*c + 2*d*x^2])/(32*d^2) + (3*b^2*Sqrt[Pi]*Cos[2*c]*FresnelC[(2*Sqrt[d]*x)/Sqrt[Pi]])/(64*d^(5/2)) - (3*a*b*Sqrt[Pi/2]*Cos[c]*FresnelS[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x])/(2*d^(5/2)) - (3*a*b*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[c])/(2*d^(5/2)) - (3*b^2*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[d]*x)/Sqrt[Pi]]*Sin[2*c])/(64*d^(5/2)) + (3*a*b*x*Sin[c + d*x^2])/(2*d^2) - (b^2*x^3*Sin[2*c + 2*d*x^2])/(8*d)}
+{x^2*(a + b*Sin[c + d*x^2])^2, x, 11, (1/6)*(2*a^2 + b^2)*x^3 - (a*b*x*Cos[c + d*x^2])/d + (a*b*Sqrt[Pi/2]*Cos[c]*FresnelC[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x])/d^(3/2) + (b^2*Sqrt[Pi]*Cos[2*c]*FresnelS[(2*Sqrt[d]*x)/Sqrt[Pi]])/(16*d^(3/2)) - (a*b*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[c])/d^(3/2) + (b^2*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[d]*x)/Sqrt[Pi]]*Sin[2*c])/(16*d^(3/2)) - (b^2*x*Sin[2*c + 2*d*x^2])/(8*d)}
+{x^0*(a + b*Sin[c + d*x^2])^2, x, 8, (1/2)*(2*a^2 + b^2)*x - (b^2*Sqrt[Pi]*Cos[2*c]*FresnelC[(2*Sqrt[d]*x)/Sqrt[Pi]])/(4*Sqrt[d]) + (a*b*Sqrt[2*Pi]*Cos[c]*FresnelS[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x])/Sqrt[d] + (a*b*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[c])/Sqrt[d] + (b^2*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[d]*x)/Sqrt[Pi]]*Sin[2*c])/(4*Sqrt[d])}
+{(a + b*Sin[c + d*x^2])^2/x^2, x, 11, -((2*a^2 + b^2)/(2*x)) + (b^2*Cos[2*c + 2*d*x^2])/(2*x) + 2*a*b*Sqrt[d]*Sqrt[2*Pi]*Cos[c]*FresnelC[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x] + b^2*Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Cos[2*c]*FresnelS[(2*Sqrt[d]*x)/Sqrt[Pi]] - 2*a*b*Sqrt[d]*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[c] + b^2*Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[d]*x)/Sqrt[Pi]]*Sin[2*c] - (2*a*b*Sin[c + d*x^2])/x}
+{(a + b*Sin[c + d*x^2])^2/x^4, x, 13, -((2*a^2 + b^2)/(6*x^3)) - (4*a*b*d*Cos[c + d*x^2])/(3*x) + (b^2*Cos[2*c + 2*d*x^2])/(6*x^3) + (4/3)*b^2*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*c]*FresnelC[(2*Sqrt[d]*x)/Sqrt[Pi]] - (4/3)*a*b*d^(3/2)*Sqrt[2*Pi]*Cos[c]*FresnelS[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x] - (4/3)*a*b*d^(3/2)*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[d]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[c] - (4/3)*b^2*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[d]*x)/Sqrt[Pi]]*Sin[2*c] - (2*a*b*Sin[c + d*x^2])/(3*x^3) - (2*b^2*d*Sin[2*c + 2*d*x^2])/(3*x)}
+
+
+{x^5*Sin[a + b*x^2]^3, x, 7, (7*Cos[a + b*x^2])/(9*b^3) - (x^4*Cos[a + b*x^2])/(3*b) - Cos[a + b*x^2]^3/(27*b^3) + (2*x^2*Sin[a + b*x^2])/(3*b^2) - (x^4*Cos[a + b*x^2]*Sin[a + b*x^2]^2)/(6*b) + (x^2*Sin[a + b*x^2]^3)/(9*b^2)}
+{x^3*Sin[a + b*x^2]^3, x, 4, -((x^2*Cos[a + b*x^2])/(3*b)) + Sin[a + b*x^2]/(3*b^2) - (x^2*Cos[a + b*x^2]*Sin[a + b*x^2]^2)/(6*b) + Sin[a + b*x^2]^3/(18*b^2)}
+{x^1*Sin[a + b*x^2]^3, x, 3, -(Cos[a + b*x^2]/(2*b)) + Cos[a + b*x^2]^3/(6*b)}
+{Sin[a + b*x^2]^3/x^1, x, 8, (3/8)*CosIntegral[b*x^2]*Sin[a] - (1/8)*CosIntegral[3*b*x^2]*Sin[3*a] + (3/8)*Cos[a]*SinIntegral[b*x^2] - (1/8)*Cos[3*a]*SinIntegral[3*b*x^2]}
+{Sin[a + b*x^2]^3/x^3, x, 12, (3/8)*b*Cos[a]*CosIntegral[b*x^2] - (3/8)*b*Cos[3*a]*CosIntegral[3*b*x^2] - (3*Sin[a + b*x^2])/(8*x^2) + Sin[3*(a + b*x^2)]/(8*x^2) - (3/8)*b*Sin[a]*SinIntegral[b*x^2] + (3/8)*b*Sin[3*a]*SinIntegral[3*b*x^2]}
+
+{x^2*Sin[a + b*x^2]^3, x, 10, -((3*x*Cos[a + b*x^2])/(8*b)) + (x*Cos[3*a + 3*b*x^2])/(24*b) + (3*Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x])/(8*b^(3/2)) - (Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*x])/(24*b^(3/2)) - (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[a])/(8*b^(3/2)) + (Sqrt[Pi/6]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*x]*Sin[3*a])/(24*b^(3/2))}
+{x^0*Sin[a + b*x^2]^3, x, 8, (3*Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x])/(4*Sqrt[b]) - (Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*x])/(4*Sqrt[b]) + (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[a])/(4*Sqrt[b]) - (Sqrt[Pi/6]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*x]*Sin[3*a])/(4*Sqrt[b])}
+{Sin[a + b*x^2]^3/x^2, x, 9, (3/2)*Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x] - (1/2)*Sqrt[b]*Sqrt[(3*Pi)/2]*Cos[3*a]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*x] - (3/2)*Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[a] + (1/2)*Sqrt[b]*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*x]*Sin[3*a] - Sin[a + b*x^2]^3/x}
+
+
+{x^2*Sin[x^2]^3, x, 6, (-(1/2))*x*Cos[x^2] + (1/6)*x*Cos[x^2]^3 + (3/8)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*x] - (1/24)*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*x], (-(3/8))*x*Cos[x^2] + (1/24)*x*Cos[3*x^2] + (3/8)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*x] - (1/24)*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*x]}
+{x^4*Cos[x^2]*Sin[x^2]^2, x, 7, (1/4)*x*Cos[x^2] - (1/12)*x*Cos[x^2]^3 - (3/16)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*x] + (1/48)*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*x] + (1/6)*x^3*Sin[x^2]^3, (3/16)*x*Cos[x^2] - (1/48)*x*Cos[3*x^2] - (3/16)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*x] + (1/48)*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*x] + (1/6)*x^3*Sin[x^2]^3}
+
+
+{x*Sin[a + b*x^2]^7, x, 3, -(Cos[a + b*x^2]/(2*b)) + Cos[a + b*x^2]^3/(2*b) - (3*Cos[a + b*x^2]^5)/(10*b) + Cos[a + b*x^2]^7/(14*b)}
+
+
+{(1 + Sin[x^2])^2/x^3, x, 8, -(3/(4*x^2)) + Cos[2*x^2]/(4*x^2) + CosIntegral[x^2] - Sin[x^2]/x^2 + (1/2)*SinIntegral[2*x^2]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^5/(a + b*Sin[c + d*x^2]), x, 11, -((I*x^4*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*Sqrt[a^2 - b^2]*d)) + (I*x^4*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (x^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + (x^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (I*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) + (I*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d^3)}
+{x^3/(a + b*Sin[c + d*x^2]), x, 9, -((I*x^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*Sqrt[a^2 - b^2]*d)) + (I*x^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])]/(2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])]/(2*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2)}
+{x^1/(a + b*Sin[c + d*x^2]), x, 4, ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x^2)])/Sqrt[a^2 - b^2]]/(Sqrt[a^2 - b^2]*d)}
+{1/(x^1*(a + b*Sin[c + d*x^2])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Sin[c + d*x^2])), x]}
+{1/(x^3*(a + b*Sin[c + d*x^2])), x, 0, Unintegrable[1/(x^3*(a + b*Sin[c + d*x^2])), x]}
+
+{x^2/(a + b*Sin[c + d*x^2]), x, 0, Unintegrable[x^2/(a + b*Sin[c + d*x^2]), x]}
+{x^0/(a + b*Sin[c + d*x^2]), x, 0, Unintegrable[1/(a + b*Sin[c + d*x^2]), x]}
+{1/(x^2*(a + b*Sin[c + d*x^2])), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Sin[c + d*x^2])), x]}
+
+
+{x^5/(a + b*Sin[c + d*x^2])^2, x, 19, (I*x^4)/(2*(a^2 - b^2)*d) - (x^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d^2) - (I*a*x^4*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (x^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d^2) + (I*a*x^4*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (I*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d^3) - (a*x^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) + (I*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*d^3) + (a*x^2*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (I*a*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) + (I*a*PolyLog[3, (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^3) + (b*x^4*Cos[c + d*x^2])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x^2]))}
+{x^3/(a + b*Sin[c + d*x^2])^2, x, 12, -((I*a*x^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*(a^2 - b^2)^(3/2)*d)) + (I*a*x^2*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) - Log[a + b*Sin[c + d*x^2]]/(2*(a^2 - b^2)*d^2) - (a*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) + (a*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x^2)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(2*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) + (b*x^2*Cos[c + d*x^2])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x^2]))}
+{x^1/(a + b*Sin[c + d*x^2])^2, x, 6, (a*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x^2)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (b*Cos[c + d*x^2])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x^2]))}
+{1/(x^1*(a + b*Sin[c + d*x^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Sin[c + d*x^2])^2), x]}
+{1/(x^3*(a + b*Sin[c + d*x^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^3*(a + b*Sin[c + d*x^2])^2), x]}
+
+{x^2/(a + b*Sin[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[x^2/(a + b*Sin[c + d*x^2])^2, x]}
+{x^0/(a + b*Sin[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[1/(a + b*Sin[c + d*x^2])^2, x]}
+{1/(x^2*(a + b*Sin[c + d*x^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Sin[c + d*x^2])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b Sin[c+d x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sin[c+d x^2])^p with m symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*(a + b*Sin[c + d*x^2])^p, x, 0, Unintegrable[(e*x)^m*(a + b*Sin[c + d*x^2])^p, x]}
+
+
+{(e*x)^m*(a + b*Sin[c + d*x^2])^3, x, 13, (a*(2*a^2 + 3*b^2)*(e*x)^(1 + m))/(2*e*(1 + m)) + (3*I*b*(4*a^2 + b^2)*E^(I*c)*(e*x)^(1 + m)*((-I)*d*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, (-I)*d*x^2])/(16*e) - (3*I*b*(4*a^2 + b^2)*(e*x)^(1 + m)*(I*d*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, I*d*x^2])/(E^(I*c)*(16*e)) + (3*2^(-(7/2) - m/2)*a*b^2*E^(2*I*c)*(e*x)^(1 + m)*((-I)*d*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, -2*I*d*x^2])/e + (3*2^(-(7/2) - m/2)*a*b^2*(e*x)^(1 + m)*(I*d*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, 2*I*d*x^2])/(E^(2*I*c)*e) - (I*3^(-(1/2) - m/2)*b^3*E^(3*I*c)*(e*x)^(1 + m)*((-I)*d*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, -3*I*d*x^2])/(16*e) + (I*3^(-(1/2) - m/2)*b^3*(e*x)^(1 + m)*(I*d*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, 3*I*d*x^2])/(E^(3*I*c)*(16*e))}
+{(e*x)^m*(a + b*Sin[c + d*x^2])^2, x, 9, ((2*a^2 + b^2)*(e*x)^(1 + m))/(2*e*(1 + m)) + (I*a*b*E^(I*c)*(e*x)^(1 + m)*((-I)*d*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, (-I)*d*x^2])/(2*e) - (I*a*b*(e*x)^(1 + m)*(I*d*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, I*d*x^2])/(E^(I*c)*(2*e)) + (2^(-(7/2) - m/2)*b^2*E^(2*I*c)*(e*x)^(1 + m)*((-I)*d*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, -2*I*d*x^2])/e + (2^(-(7/2) - m/2)*b^2*(e*x)^(1 + m)*(I*d*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, 2*I*d*x^2])/(E^(2*I*c)*e)}
+{(e*x)^m*(a + b*Sin[c + d*x^2])^1, x, 5, (a*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + (I*b*E^(I*c)*(e*x)^(1 + m)*((-I)*d*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, (-I)*d*x^2])/(4*e) - (I*b*(e*x)^(1 + m)*(I*d*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, I*d*x^2])/(E^(I*c)*(4*e))}
+{(e*x)^m/(a + b*Sin[c + d*x^2])^1, x, 0, Unintegrable[(e*x)^m/(a + b*Sin[c + d*x^2]), x]}
+{(e*x)^m/(a + b*Sin[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[(e*x)^m/(a + b*Sin[c + d*x^2])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sin[c+d x^3])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Sin[c+d x^3])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^5*(a + b*Sin[c + d*x^3]), x, 5, (a*x^6)/6 - (b*x^3*Cos[c + d*x^3])/(3*d) + (b*Sin[c + d*x^3])/(3*d^2)}
+{x^2*(a + b*Sin[c + d*x^3]), x, 4, (a*x^3)/3 - (b*Cos[c + d*x^3])/(3*d)}
+{(a + b*Sin[c + d*x^3])/x, x, 5, a*Log[x] + (b*CosIntegral[d*x^3]*Sin[c])/3 + (b*Cos[c]*SinIntegral[d*x^3])/3}
+{(a + b*Sin[c + d*x^3])/x^4, x, 7, -a/(3*x^3) + (b*d*Cos[c]*CosIntegral[d*x^3])/3 - (b*Sin[c + d*x^3])/(3*x^3) - (b*d*Sin[c]*SinIntegral[d*x^3])/3}
+
+{x^4*(a + b*Sin[c + d*x^3]), x, 6, (a*x^5)/5 - (b*x^2*Cos[c + d*x^3])/(3*d) - (b*E^(I*c)*x^2*Gamma[2/3, (-I)*d*x^3])/(9*d*((-I)*d*x^3)^(2/3)) - (b*x^2*Gamma[2/3, I*d*x^3])/(9*d*E^(I*c)*(I*d*x^3)^(2/3))}
+{x*(a + b*Sin[c + d*x^3]), x, 5, (a*x^2)/2 + ((I/6)*b*E^(I*c)*x^2*Gamma[2/3, (-I)*d*x^3])/((-I)*d*x^3)^(2/3) - ((I/6)*b*x^2*Gamma[2/3, I*d*x^3])/(E^(I*c)*(I*d*x^3)^(2/3))}
+{(a + b*Sin[c + d*x^3])/x^2, x, 6, -(a/x) - (b*d*E^(I*c)*x^2*Gamma[2/3, (-I)*d*x^3])/(2*((-I)*d*x^3)^(2/3)) - (b*d*x^2*Gamma[2/3, I*d*x^3])/(2*E^(I*c)*(I*d*x^3)^(2/3)) - (b*Sin[c + d*x^3])/x}
+{(a + b*Sin[c + d*x^3])/x^5, x, 7, -a/(4*x^4) - (3*b*d*Cos[c + d*x^3])/(4*x) - (((3*I)/8)*b*d^2*E^(I*c)*x^2*Gamma[2/3, (-I)*d*x^3])/((-I)*d*x^3)^(2/3) + (((3*I)/8)*b*d^2*x^2*Gamma[2/3, I*d*x^3])/(E^(I*c)*(I*d*x^3)^(2/3)) - (b*Sin[c + d*x^3])/(4*x^4)}
+
+{x^3*(a + b*Sin[c + d*x^3]), x, 6, (a*x^4)/4 - (b*x*Cos[c + d*x^3])/(3*d) - (b*E^(I*c)*x*Gamma[1/3, (-I)*d*x^3])/(18*d*((-I)*d*x^3)^(1/3)) - (b*x*Gamma[1/3, I*d*x^3])/(18*d*E^(I*c)*(I*d*x^3)^(1/3))}
+{a + b*Sin[c + d*x^3], x, 4, a*x + ((I/6)*b*E^(I*c)*x*Gamma[1/3, (-I)*d*x^3])/((-I)*d*x^3)^(1/3) - ((I/6)*b*x*Gamma[1/3, I*d*x^3])/(E^(I*c)*(I*d*x^3)^(1/3))}
+{(a + b*Sin[c + d*x^3])/x^3, x, 6, -a/(2*x^2) - (b*d*E^(I*c)*x*Gamma[1/3, (-I)*d*x^3])/(4*((-I)*d*x^3)^(1/3)) - (b*d*x*Gamma[1/3, I*d*x^3])/(4*E^(I*c)*(I*d*x^3)^(1/3)) - (b*Sin[c + d*x^3])/(2*x^2)}
+{(a + b*Sin[c + d*x^3])/x^6, x, 7, -a/(5*x^5) - (3*b*d*Cos[c + d*x^3])/(10*x^2) - (((3*I)/20)*b*d^2*E^(I*c)*x*Gamma[1/3, (-I)*d*x^3])/((-I)*d*x^3)^(1/3) + (((3*I)/20)*b*d^2*x*Gamma[1/3, I*d*x^3])/(E^(I*c)*(I*d*x^3)^(1/3)) - (b*Sin[c + d*x^3])/(5*x^5)}
+
+
+{x^5*(a + b*Sin[c + d*x^3])^2, x, 7, (a^2*x^6)/6 + (b^2*x^6)/12 - (2*a*b*x^3*Cos[c + d*x^3])/(3*d) + (2*a*b*Sin[c + d*x^3])/(3*d^2) - (b^2*x^3*Cos[c + d*x^3]*Sin[c + d*x^3])/(6*d) + (b^2*Sin[c + d*x^3]^2)/(12*d^2)}
+{x^2*(a + b*Sin[c + d*x^3])^2, x, 2, ((2*a^2 + b^2)*x^3)/6 - (2*a*b*Cos[c + d*x^3])/(3*d) - (b^2*Cos[c + d*x^3]*Sin[c + d*x^3])/(6*d)}
+{(a + b*Sin[c + d*x^3])^2/x, x, 9, -(b^2*Cos[2*c]*CosIntegral[2*d*x^3])/6 + ((2*a^2 + b^2)*Log[x])/2 + (2*a*b*CosIntegral[d*x^3]*Sin[c])/3 + (2*a*b*Cos[c]*SinIntegral[d*x^3])/3 + (b^2*Sin[2*c]*SinIntegral[2*d*x^3])/6}
+{(a + b*Sin[c + d*x^3])^2/x^4, x, 13, -((2*a^2 + b^2)/(6*x^3)) + (b^2*Cos[2*(c + d*x^3)])/(6*x^3) + (2/3)*a*b*d*Cos[c]*CosIntegral[d*x^3] + (1/3)*b^2*d*CosIntegral[2*d*x^3]*Sin[2*c] - (2*a*b*Sin[c + d*x^3])/(3*x^3) - (2/3)*a*b*d*Sin[c]*SinIntegral[d*x^3] + (1/3)*b^2*d*Cos[2*c]*SinIntegral[2*d*x^3]}
+
+{x^4*(a + b*Sin[c + d*x^3])^2, x, 11, ((2*a^2 + b^2)*x^5)/10 - (2*a*b*x^2*Cos[c + d*x^3])/(3*d) - (2*a*b*E^(I*c)*x^2*Gamma[2/3, (-I)*d*x^3])/(9*d*((-I)*d*x^3)^(2/3)) - (2*a*b*x^2*Gamma[2/3, I*d*x^3])/(9*d*E^(I*c)*(I*d*x^3)^(2/3)) + ((I/36)*b^2*E^((2*I)*c)*x^2*Gamma[2/3, (-2*I)*d*x^3])/(2^(2/3)*d*((-I)*d*x^3)^(2/3)) - ((I/36)*b^2*x^2*Gamma[2/3, (2*I)*d*x^3])/(2^(2/3)*d*E^((2*I)*c)*(I*d*x^3)^(2/3)) - (b^2*x^2*Sin[2*c + 2*d*x^3])/(12*d)}
+{x*(a + b*Sin[c + d*x^3])^2, x, 9, ((2*a^2 + b^2)*x^2)/4 + ((I/3)*a*b*E^(I*c)*x^2*Gamma[2/3, (-I)*d*x^3])/((-I)*d*x^3)^(2/3) - ((I/3)*a*b*x^2*Gamma[2/3, I*d*x^3])/(E^(I*c)*(I*d*x^3)^(2/3)) + (b^2*E^((2*I)*c)*x^2*Gamma[2/3, (-2*I)*d*x^3])/(12*2^(2/3)*((-I)*d*x^3)^(2/3)) + (b^2*x^2*Gamma[2/3, (2*I)*d*x^3])/(12*2^(2/3)*E^((2*I)*c)*(I*d*x^3)^(2/3))}
+{(a + b*Sin[c + d*x^3])^2/x^2, x, 11, -(2*a^2 + b^2)/(2*x) + (b^2*Cos[2*c + 2*d*x^3])/(2*x) - (a*b*d*E^(I*c)*x^2*Gamma[2/3, (-I)*d*x^3])/((-I)*d*x^3)^(2/3) - (a*b*d*x^2*Gamma[2/3, I*d*x^3])/(E^(I*c)*(I*d*x^3)^(2/3)) + ((I/2)*b^2*d*E^((2*I)*c)*x^2*Gamma[2/3, (-2*I)*d*x^3])/(2^(2/3)*((-I)*d*x^3)^(2/3)) - ((I/2)*b^2*d*x^2*Gamma[2/3, (2*I)*d*x^3])/(2^(2/3)*E^((2*I)*c)*(I*d*x^3)^(2/3)) - (2*a*b*Sin[c + d*x^3])/x}
+{(a + b*Sin[c + d*x^3])^2/x^5, x, 13, -(2*a^2 + b^2)/(8*x^4) - (3*a*b*d*Cos[c + d*x^3])/(2*x) + (b^2*Cos[2*c + 2*d*x^3])/(8*x^4) - (((3*I)/4)*a*b*d^2*E^(I*c)*x^2*Gamma[2/3, (-I)*d*x^3])/((-I)*d*x^3)^(2/3) + (((3*I)/4)*a*b*d^2*x^2*Gamma[2/3, I*d*x^3])/(E^(I*c)*(I*d*x^3)^(2/3)) - (3*b^2*d^2*E^((2*I)*c)*x^2*Gamma[2/3, (-2*I)*d*x^3])/(4*2^(2/3)*((-I)*d*x^3)^(2/3)) - (3*b^2*d^2*x^2*Gamma[2/3, (2*I)*d*x^3])/(4*2^(2/3)*E^((2*I)*c)*(I*d*x^3)^(2/3)) - (a*b*Sin[c + d*x^3])/(2*x^4) - (3*b^2*d*Sin[2*c + 2*d*x^3])/(4*x)}
+
+{x^3*(a + b*Sin[c + d*x^3])^2, x, 11, ((2*a^2 + b^2)*x^4)/8 - (2*a*b*x*Cos[c + d*x^3])/(3*d) - (a*b*E^(I*c)*x*Gamma[1/3, (-I)*d*x^3])/(9*d*((-I)*d*x^3)^(1/3)) - (a*b*x*Gamma[1/3, I*d*x^3])/(9*d*E^(I*c)*(I*d*x^3)^(1/3)) + ((I/72)*b^2*E^((2*I)*c)*x*Gamma[1/3, (-2*I)*d*x^3])/(2^(1/3)*d*((-I)*d*x^3)^(1/3)) - ((I/72)*b^2*x*Gamma[1/3, (2*I)*d*x^3])/(2^(1/3)*d*E^((2*I)*c)*(I*d*x^3)^(1/3)) - (b^2*x*Sin[2*c + 2*d*x^3])/(12*d)}
+{(a + b*Sin[c + d*x^3])^2, x, 8, ((2*a^2 + b^2)*x)/2 + ((I/3)*a*b*E^(I*c)*x*Gamma[1/3, (-I)*d*x^3])/((-I)*d*x^3)^(1/3) - ((I/3)*a*b*x*Gamma[1/3, I*d*x^3])/(E^(I*c)*(I*d*x^3)^(1/3)) + (b^2*E^((2*I)*c)*x*Gamma[1/3, (-2*I)*d*x^3])/(12*2^(1/3)*((-I)*d*x^3)^(1/3)) + (b^2*x*Gamma[1/3, (2*I)*d*x^3])/(12*2^(1/3)*E^((2*I)*c)*(I*d*x^3)^(1/3))}
+{(a + b*Sin[c + d*x^3])^2/x^3, x, 11, -(2*a^2 + b^2)/(4*x^2) + (b^2*Cos[2*c + 2*d*x^3])/(4*x^2) - (a*b*d*E^(I*c)*x*Gamma[1/3, (-I)*d*x^3])/(2*((-I)*d*x^3)^(1/3)) - (a*b*d*x*Gamma[1/3, I*d*x^3])/(2*E^(I*c)*(I*d*x^3)^(1/3)) + ((I/4)*b^2*d*E^((2*I)*c)*x*Gamma[1/3, (-2*I)*d*x^3])/(2^(1/3)*((-I)*d*x^3)^(1/3)) - ((I/4)*b^2*d*x*Gamma[1/3, (2*I)*d*x^3])/(2^(1/3)*E^((2*I)*c)*(I*d*x^3)^(1/3)) - (a*b*Sin[c + d*x^3])/x^2}
+{(a + b*Sin[c + d*x^3])^2/x^6, x, 13, -(2*a^2 + b^2)/(10*x^5) - (3*a*b*d*Cos[c + d*x^3])/(5*x^2) + (b^2*Cos[2*c + 2*d*x^3])/(10*x^5) - (((3*I)/10)*a*b*d^2*E^(I*c)*x*Gamma[1/3, (-I)*d*x^3])/((-I)*d*x^3)^(1/3) + (((3*I)/10)*a*b*d^2*x*Gamma[1/3, I*d*x^3])/(E^(I*c)*(I*d*x^3)^(1/3)) - (3*b^2*d^2*E^((2*I)*c)*x*Gamma[1/3, (-2*I)*d*x^3])/(10*2^(1/3)*((-I)*d*x^3)^(1/3)) - (3*b^2*d^2*x*Gamma[1/3, (2*I)*d*x^3])/(10*2^(1/3)*E^((2*I)*c)*(I*d*x^3)^(1/3)) - (2*a*b*Sin[c + d*x^3])/(5*x^5) - (3*b^2*d*Sin[2*c + 2*d*x^3])/(10*x^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^5/(a + b*Sin[c + d*x^3]), x, 9, ((-I/3)*x^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x^3)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d) + ((I/3)*x^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x^3)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d) - PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x^3)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])]/(3*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x^3)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])]/(3*Sqrt[a^2 - b^2]*d^2)}
+{x^2/(a + b*Sin[c + d*x^3]), x, 4, (2*ArcTan[(b + a*Tan[(c + d*x^3)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(3*Sqrt[a^2 - b^2]*d)}
+{1/(x*(a + b*Sin[c + d*x^3])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Sin[c + d*x^3])), x]}
+{1/(x^4*(a + b*Sin[c + d*x^3])), x, 0, Unintegrable[1/(x^4*(a + b*Sin[c + d*x^3])), x]}
+
+{x/(a + b*Sin[c + d*x^3]), x, 0, Unintegrable[x/(a + b*Sin[c + d*x^3]), x]}
+{1/(x^2*(a + b*Sin[c + d*x^3])), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Sin[c + d*x^3])), x]}
+
+{(a + b*Sin[c + d*x^3])^(-1), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[c + d*x^3])^(-1), x]}
+{1/(x^3*(a + b*Sin[c + d*x^3])), x, 0, Unintegrable[1/(x^3*(a + b*Sin[c + d*x^3])), x]}
+
+
+{x^5/(a + b*Sin[c + d*x^3])^2, x, 12, ((-I/3)*a*x^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x^3)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d) + ((I/3)*a*x^3*Log[1 - (I*b*E^(I*(c + d*x^3)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d) - Log[a + b*Sin[c + d*x^3]]/(3*(a^2 - b^2)*d^2) - (a*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x^3)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(3*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) + (a*PolyLog[2, (I*b*E^(I*(c + d*x^3)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(3*(a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) + (b*x^3*Cos[c + d*x^3])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x^3]))}
+{x^2/(a + b*Sin[c + d*x^3])^2, x, 6, (2*a*ArcTan[(b + a*Tan[(c + d*x^3)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(3*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (b*Cos[c + d*x^3])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x^3]))}
+{1/(x*(a + b*Sin[c + d*x^3])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Sin[c + d*x^3])^2), x]}
+{1/(x^4*(a + b*Sin[c + d*x^3])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^4*(a + b*Sin[c + d*x^3])^2), x]}
+
+{x/(a + b*Sin[c + d*x^3])^2, x, 0, Unintegrable[x/(a + b*Sin[c + d*x^3])^2, x]}
+{1/(x^2*(a + b*Sin[c + d*x^3])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Sin[c + d*x^3])^2), x]}
+
+{(a + b*Sin[c + d*x^3])^(-2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[c + d*x^3])^(-2), x]}
+{1/(x^3*(a + b*Sin[c + d*x^3])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^3*(a + b*Sin[c + d*x^3])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b Sin[c+d x^3])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sin[c+d x^3])^p with m symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*(a + b*Sin[c + d*x^3])^p, x, 0, Unintegrable[(e*x)^m*(a + b*Sin[c + d*x^3])^p, x]}
+
+
+{(e*x)^m*(a + b*Sin[c + d*x^3])^3, x, 13, (a*(2*a^2 + 3*b^2)*(e*x)^(1 + m))/(2*e*(1 + m)) + ((I/8)*b*(4*a^2 + b^2)*E^(I*c)*(e*x)^(1 + m)*((-I)*d*x^3)^((-1 - m)/3)*Gamma[(1 + m)/3, (-I)*d*x^3])/e - ((I/8)*b*(4*a^2 + b^2)*(e*x)^(1 + m)*(I*d*x^3)^((-1 - m)/3)*Gamma[(1 + m)/3, I*d*x^3])/(e*E^(I*c)) + (2^(-7/3 - m/3)*a*b^2*E^((2*I)*c)*(e*x)^(1 + m)*((-I)*d*x^3)^((-1 - m)/3)*Gamma[(1 + m)/3, (-2*I)*d*x^3])/e + (2^(-7/3 - m/3)*a*b^2*(e*x)^(1 + m)*(I*d*x^3)^((-1 - m)/3)*Gamma[(1 + m)/3, (2*I)*d*x^3])/(e*E^((2*I)*c)) - ((I/8)*3^(-4/3 - m/3)*b^3*E^((3*I)*c)*(e*x)^(1 + m)*((-I)*d*x^3)^((-1 - m)/3)*Gamma[(1 + m)/3, (-3*I)*d*x^3])/e + ((I/8)*3^(-4/3 - m/3)*b^3*(e*x)^(1 + m)*(I*d*x^3)^((-1 - m)/3)*Gamma[(1 + m)/3, (3*I)*d*x^3])/(e*E^((3*I)*c))}
+{(e*x)^m*(a + b*Sin[c + d*x^3])^2, x, 9, ((2*a^2 + b^2)*(e*x)^(1 + m))/(2*e*(1 + m)) + ((I/3)*a*b*E^(I*c)*(e*x)^(1 + m)*((-I)*d*x^3)^((-1 - m)/3)*Gamma[(1 + m)/3, (-I)*d*x^3])/e - ((I/3)*a*b*(e*x)^(1 + m)*(I*d*x^3)^((-1 - m)/3)*Gamma[(1 + m)/3, I*d*x^3])/(e*E^(I*c)) + (2^(-7/3 - m/3)*b^2*E^((2*I)*c)*(e*x)^(1 + m)*((-I)*d*x^3)^((-1 - m)/3)*Gamma[(1 + m)/3, (-2*I)*d*x^3])/(3*e) + (2^(-7/3 - m/3)*b^2*(e*x)^(1 + m)*(I*d*x^3)^((-1 - m)/3)*Gamma[(1 + m)/3, (2*I)*d*x^3])/(3*e*E^((2*I)*c))}
+{(e*x)^m*(a + b*Sin[c + d*x^3])^1, x, 5, (a*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) + ((I/6)*b*E^(I*c)*(e*x)^(1 + m)*((-I)*d*x^3)^((-1 - m)/3)*Gamma[(1 + m)/3, (-I)*d*x^3])/e - ((I/6)*b*(e*x)^(1 + m)*(I*d*x^3)^((-1 - m)/3)*Gamma[(1 + m)/3, I*d*x^3])/(e*E^(I*c))}
+{(e*x)^m/(a + b*Sin[c + d*x^3])^1, x, 0, Unintegrable[(e*x)^m/(a + b*Sin[c + d*x^3]), x]}
+{(e*x)^m/(a + b*Sin[c + d*x^3])^2, x, 0, Unintegrable[(e*x)^m/(a + b*Sin[c + d*x^3])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sin[c+d / x^1])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Sin[c+d / x^1])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^2*Sin[a + b/x], x, 7, (1/6)*b*x^2*Cos[a + b/x] + (1/6)*b^3*Cos[a]*CosIntegral[b/x] - (1/6)*b^2*x*Sin[a + b/x] + (1/3)*x^3*Sin[a + b/x] - (1/6)*b^3*Sin[a]*SinIntegral[b/x]}
+{x^1*Sin[a + b/x], x, 6, (1/2)*b*x*Cos[a + b/x] + (1/2)*b^2*CosIntegral[b/x]*Sin[a] + (1/2)*x^2*Sin[a + b/x] + (1/2)*b^2*Cos[a]*SinIntegral[b/x]}
+{x^0*Sin[a + b/x], x, 5, (-b)*Cos[a]*CosIntegral[b/x] + x*Sin[a + b/x] + b*Sin[a]*SinIntegral[b/x]}
+{Sin[a + b/x]/x^1, x, 3, (-CosIntegral[b/x])*Sin[a] - Cos[a]*SinIntegral[b/x]}
+{Sin[a + b/x]/x^2, x, 2, Cos[a + b/x]/b}
+{Sin[a + b/x]/x^3, x, 3, Cos[a + b/x]/(b*x) - Sin[a + b/x]/b^2}
+{Sin[a + b/x]/x^4, x, 4, -((2*Cos[a + b/x])/b^3) + Cos[a + b/x]/(b*x^2) - (2*Sin[a + b/x])/(b^2*x)}
+{Sin[a + b/x]/x^5, x, 5, Cos[a + b/x]/(b*x^3) - (6*Cos[a + b/x])/(b^3*x) + (6*Sin[a + b/x])/b^4 - (3*Sin[a + b/x])/(b^2*x^2)}
+
+
+{x^2*Sin[a + b/x]^2, x, 9, x^3/6 + (1/3)*b^2*x*Cos[2*(a + b/x)] - (1/6)*x^3*Cos[2*(a + b/x)] + (2/3)*b^3*CosIntegral[(2*b)/x]*Sin[2*a] + (1/6)*b*x^2*Sin[2*(a + b/x)] + (2/3)*b^3*Cos[2*a]*SinIntegral[(2*b)/x]}
+{x^1*Sin[a + b/x]^2, x, 8, (-b^2)*Cos[2*a]*CosIntegral[(2*b)/x] + (1/2)*x^2*Sin[a + b/x]^2 + (1/2)*b*x*Sin[2*(a + b/x)] + b^2*Sin[2*a]*SinIntegral[(2*b)/x]}
+{x^0*Sin[a + b/x]^2, x, 6, (-b)*CosIntegral[(2*b)/x]*Sin[2*a] + x*Sin[a + b/x]^2 - b*Cos[2*a]*SinIntegral[(2*b)/x]}
+{Sin[a + b/x]^2/x^1, x, 5, (1/2)*Cos[2*a]*CosIntegral[(2*b)/x] + Log[x]/2 - (1/2)*Sin[2*a]*SinIntegral[(2*b)/x]}
+{Sin[a + b/x]^2/x^2, x, 3, -(1/(2*x)) + (Cos[a + b/x]*Sin[a + b/x])/(2*b)}
+{Sin[a + b/x]^2/x^3, x, 3, -(1/(4*x^2)) + (Cos[a + b/x]*Sin[a + b/x])/(2*b*x) - Sin[a + b/x]^2/(4*b^2)}
+{Sin[a + b/x]^2/x^4, x, 5, -(1/(6*x^3)) + 1/(4*b^2*x) - (Cos[a + b/x]*Sin[a + b/x])/(4*b^3) + (Cos[a + b/x]*Sin[a + b/x])/(2*b*x^2) - Sin[a + b/x]^2/(2*b^2*x)}
+{Sin[a + b/x]^2/x^5, x, 5, -(1/(8*x^4)) + 3/(8*b^2*x^2) + (Cos[a + b/x]*Sin[a + b/x])/(2*b*x^3) - (3*Cos[a + b/x]*Sin[a + b/x])/(4*b^3*x) + (3*Sin[a + b/x]^2)/(8*b^4) - (3*Sin[a + b/x]^2)/(4*b^2*x^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sin[c+d / x^2])^p*)
+
+
+{Sin[a + b/x^2], x, 5, (-Sqrt[b])*Sqrt[2*Pi]*Cos[a]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/x] + Sqrt[b]*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/x]*Sin[a] + x*Sin[a + b/x^2]}
+{Sin[a + b/x^2]/x, x, 3, (-(1/2))*CosIntegral[b/x^2]*Sin[a] - (1/2)*Cos[a]*SinIntegral[b/x^2]}
+{Sin[a + b/x^2]/x^2, x, 4, -((Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/x])/Sqrt[b]) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/x]*Sin[a])/Sqrt[b]}
+{Sin[a + b/x^2]/x^3, x, 2, Cos[a + b/x^2]/(2*b)}
+{Sin[a + b/x^2]/x^4, x, 5, Cos[a + b/x^2]/(2*b*x) - (Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/x])/(2*b^(3/2)) + (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/x]*Sin[a])/(2*b^(3/2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sin[c+d x^(1/2)])^p*)
+
+
+{Sin[Sqrt[x]]/Sqrt[x], x, 2, -2*Cos[Sqrt[x]]}
+{Sin[Sqrt[x]]^3/Sqrt[x], x, 3, -2*Cos[Sqrt[x]] + (2/3)*Cos[Sqrt[x]]^3}
+{Sin[Sqrt[x]], x, 3, -2*Sqrt[x]*Cos[Sqrt[x]] + 2*Sin[Sqrt[x]]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sin[c+d x^(1/3)])^p*)
+
+
+{Sin[x^(1/3)]^2, x, 5, -((3*x^(1/3))/4) + x/2 + (3/4)*Cos[x^(1/3)]*Sin[x^(1/3)] - (3/2)*x^(2/3)*Cos[x^(1/3)]*Sin[x^(1/3)] + (3/2)*x^(1/3)*Sin[x^(1/3)]^2}
+{Sin[x^(1/3)]^3, x, 7, (14/3)*Cos[x^(1/3)] - 2*x^(2/3)*Cos[x^(1/3)] - (2/9)*Cos[x^(1/3)]^3 + 4*x^(1/3)*Sin[x^(1/3)] - x^(2/3)*Cos[x^(1/3)]*Sin[x^(1/3)]^2 + (2/3)*x^(1/3)*Sin[x^(1/3)]^3}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sin[c+d x^n])^p*)
+
+
+{(e*x)^m*(b*Sin[c + d*x^n])^p, x, 0, Unintegrable[(e*x)^m*(b*Sin[c + d*x^n])^p, x]}
+{(e*x)^m*(a + b*Sin[c + d*x^n])^p, x, 0, Unintegrable[(e*x)^m*(a + b*Sin[c + d*x^n])^p, x]}
+
+
+{(e*x)^(n - 1)*(b*Sin[c + d*x^n])^p, x, 3, ((e*x)^n*Cos[c + d*x^n]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, Sin[c + d*x^n]^2]*(b*Sin[c + d*x^n])^(1 + p))/(x^n*(b*d*e*n*(1 + p)*Sqrt[Cos[c + d*x^n]^2]))}
+{(e*x)^(2*n - 1)*(b*Sin[c + d*x^n])^p, x, 1, ((e*x)^(2*n)*Unintegrable[x^(-1 + 2*n)*(b*Sin[c + d*x^n])^p, x])/(x^(2*n)*e)}
+
+{(e*x)^(n - 1)*(a + b*Sin[c + d*x^n])^p, x, 5, -((Sqrt[2]*(e*x)^n*AppellF1[1/2, 1/2, -p, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x^n]), (b*(1 - Sin[c + d*x^n]))/(a + b)]*Cos[c + d*x^n]*(a + b*Sin[c + d*x^n])^p)/(x^n*((a + b*Sin[c + d*x^n])/(a + b))^p*(d*e*n*Sqrt[1 + Sin[c + d*x^n]])))}
+{(e*x)^(2*n - 1)*(a + b*Sin[c + d*x^n])^p, x, 1, ((e*x)^(2*n)*Unintegrable[x^(-1 + 2*n)*(a + b*Sin[c + d*x^n])^p, x])/(x^(2*n)*e)}
+
+
+{Sin[a + b*x^n]/x, x, 3, (CosIntegral[b*x^n]*Sin[a])/n + (Cos[a]*SinIntegral[b*x^n])/n}
+{Sin[a + b*x^n]^2/x, x, 5, -((Cos[2*a]*CosIntegral[2*b*x^n])/(2*n)) + Log[x]/2 + (Sin[2*a]*SinIntegral[2*b*x^n])/(2*n)}
+{Sin[a + b*x^n]^3/x, x, 8, (3*CosIntegral[b*x^n]*Sin[a])/(4*n) - (CosIntegral[3*b*x^n]*Sin[3*a])/(4*n) + (3*Cos[a]*SinIntegral[b*x^n])/(4*n) - (Cos[3*a]*SinIntegral[3*b*x^n])/(4*n)}
+{Sin[a + b*x^n]^4/x, x, 8, -((Cos[2*a]*CosIntegral[2*b*x^n])/(2*n)) + (Cos[4*a]*CosIntegral[4*b*x^n])/(8*n) + (3*Log[x])/8 + (Sin[2*a]*SinIntegral[2*b*x^n])/(2*n) - (Sin[4*a]*SinIntegral[4*b*x^n])/(8*n)}
+
+
+{Sin[a + b*x^n], x, 3, (I*E^(I*a)*x*Gamma[1/n, (-I)*b*x^n])/(((-I)*b*x^n)^n^(-1)*(2*n)) - (I*x*Gamma[1/n, I*b*x^n])/(E^(I*a)*(I*b*x^n)^n^(-1)*(2*n))}
+{Sin[a + b*x^n]^2, x, 5, x/2 + (2^(-2 - 1/n)*E^(2*I*a)*x*Gamma[1/n, -2*I*b*x^n])/(((-I)*b*x^n)^n^(-1)*n) + (2^(-2 - 1/n)*x*Gamma[1/n, 2*I*b*x^n])/(E^(2*I*a)*(I*b*x^n)^n^(-1)*n)}
+{Sin[a + b*x^n]^3, x, 8, (3*I*E^(I*a)*x*Gamma[1/n, (-I)*b*x^n])/(((-I)*b*x^n)^n^(-1)*(8*n)) - (3*I*x*Gamma[1/n, I*b*x^n])/(E^(I*a)*(I*b*x^n)^n^(-1)*(8*n)) - (I*E^(3*I*a)*x*Gamma[1/n, -3*I*b*x^n])/(3^n^(-1)*((-I)*b*x^n)^n^(-1)*(8*n)) + (I*x*Gamma[1/n, 3*I*b*x^n])/(3^n^(-1)*E^(3*I*a)*(I*b*x^n)^n^(-1)*(8*n))}
+
+{x^m*Sin[a + b*x^n], x, 3, (I*E^(I*a)*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, (-I)*b*x^n])/(((-I)*b*x^n)^((1 + m)/n)*(2*n)) - (I*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, I*b*x^n])/(E^(I*a)*(I*b*x^n)^((1 + m)/n)*(2*n))}
+{x^m*Sin[a + b*x^n]^2, x, 5, x^(1 + m)/(2*(1 + m)) + (E^(2*I*a)*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, -2*I*b*x^n])/(2^((1 + m + 2*n)/n)*((-I)*b*x^n)^((1 + m)/n)*n) + (x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, 2*I*b*x^n])/(2^((1 + m + 2*n)/n)*E^(2*I*a)*(I*b*x^n)^((1 + m)/n)*n)}
+{x^m*Sin[a + b*x^n]^3, x, 8, (3*I*E^(I*a)*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, (-I)*b*x^n])/(((-I)*b*x^n)^((1 + m)/n)*(8*n)) - (3*I*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, I*b*x^n])/(E^(I*a)*(I*b*x^n)^((1 + m)/n)*(8*n)) - (I*E^(3*I*a)*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, -3*I*b*x^n])/(3^((1 + m)/n)*((-I)*b*x^n)^((1 + m)/n)*(8*n)) + (I*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, 3*I*b*x^n])/(3^((1 + m)/n)*E^(3*I*a)*(I*b*x^n)^((1 + m)/n)*(8*n))}
+
+
+{x^(2*n - 1)*Sin[a + b*x^n], x, 3, -((x^n*Cos[a + b*x^n])/(b*n)) + Sin[a + b*x^n]/(b^2*n)}
+{x^(2*n - 1)*Cos[a + b*x^n], x, 3, Cos[a + b*x^n]/(b^2*n) + (x^n*Sin[a + b*x^n])/(b*n)}
+
+
+{Sin[a + b*x^n]/x^(n + 1), x, 5, (b*Cos[a]*CosIntegral[b*x^n])/n - Sin[a + b*x^n]/(x^n*n) - (b*Sin[a]*SinIntegral[b*x^n])/n}
+{Sin[a + b*x^n]^2/x^(n + 1), x, 7, -(1/(x^n*(2*n))) + Cos[2*(a + b*x^n)]/(x^n*(2*n)) + (b*CosIntegral[2*b*x^n]*Sin[2*a])/n + (b*Cos[2*a]*SinIntegral[2*b*x^n])/n}
+{Sin[a + b*x^n]^3/x^(n + 1), x, 12, (3*b*Cos[a]*CosIntegral[b*x^n])/(4*n) - (3*b*Cos[3*a]*CosIntegral[3*b*x^n])/(4*n) - (3*Sin[a + b*x^n])/(x^n*(4*n)) + Sin[3*(a + b*x^n)]/(x^n*(4*n)) - (3*b*Sin[a]*SinIntegral[b*x^n])/(4*n) + (3*b*Sin[3*a]*SinIntegral[3*b*x^n])/(4*n)}
+
+{Sin[a + b*x^n]/x^(2*n + 1), x, 6, -((b*Cos[a + b*x^n])/(x^n*(2*n))) - (b^2*CosIntegral[b*x^n]*Sin[a])/(2*n) - Sin[a + b*x^n]/(x^(2*n)*(2*n)) - (b^2*Cos[a]*SinIntegral[b*x^n])/(2*n)}
+{Sin[a + b*x^n]^2/x^(2*n + 1), x, 8, -(1/(x^(2*n)*(4*n))) + Cos[2*(a + b*x^n)]/(x^(2*n)*(4*n)) + (b^2*Cos[2*a]*CosIntegral[2*b*x^n])/n - (b*Sin[2*(a + b*x^n)])/(x^n*(2*n)) - (b^2*Sin[2*a]*SinIntegral[2*b*x^n])/n}
+{Sin[a + b*x^n]^3/x^(2*n + 1), x, 14, -((3*b*Cos[a + b*x^n])/(x^n*(8*n))) + (3*b*Cos[3*(a + b*x^n)])/(x^n*(8*n)) - (3*b^2*CosIntegral[b*x^n]*Sin[a])/(8*n) + (9*b^2*CosIntegral[3*b*x^n]*Sin[3*a])/(8*n) - (3*Sin[a + b*x^n])/(x^(2*n)*(8*n)) + Sin[3*(a + b*x^n)]/(x^(2*n)*(8*n)) - (3*b^2*Cos[a]*SinIntegral[b*x^n])/(8*n) + (9*b^2*Cos[3*a]*SinIntegral[3*b*x^n])/(8*n)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g+h x)^m (a+b Sin[c+d (e+f x)^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sin[a+b (c+d x)^n]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sin[b (c+d x)^n]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(e + f*x)^3*Sin[b*(c + d*x)^2], x, 10, -((3*f*(d*e - c*f)^2*Cos[b*(c + d*x)^2])/(2*b*d^4)) - (3*f^2*(d*e - c*f)*(c + d*x)*Cos[b*(c + d*x)^2])/(2*b*d^4) - (f^3*(c + d*x)^2*Cos[b*(c + d*x)^2])/(2*b*d^4) + (3*f^2*(d*e - c*f)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)])/(2*b^(3/2)*d^4) + ((d*e - c*f)^3*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)])/(Sqrt[b]*d^4) + (f^3*Sin[b*(c + d*x)^2])/(2*b^2*d^4)}
+{(e + f*x)^2*Sin[b*(c + d*x)^2], x, 7, -((f*(d*e - c*f)*Cos[b*(c + d*x)^2])/(b*d^3)) - (f^2*(c + d*x)*Cos[b*(c + d*x)^2])/(2*b*d^3) + (f^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)])/(2*b^(3/2)*d^3) + ((d*e - c*f)^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)])/(Sqrt[b]*d^3)}
+{(e + f*x)^1*Sin[b*(c + d*x)^2], x, 5, -((f*Cos[b*(c + d*x)^2])/(2*b*d^2)) + ((d*e - c*f)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)])/(Sqrt[b]*d^2)}
+{(e + f*x)^0*Sin[b*(c + d*x)^2], x, 1, (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)])/(Sqrt[b]*d)}
+{Sin[b*(c + d*x)^2]/(e + f*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sin[b*(c + d*x)^2]/(e + f*x), x]}
+{Sin[b*(c + d*x)^2]/(e + f*x)^2, x, 0, Unintegrable[Sin[b*(c + d*x)^2]/(e + f*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e + f*x)^3*Sin[b/(c + d*x)^2], x, 16, (2*b*f^2*(d*e - c*f)*(c + d*x)*Cos[b/(c + d*x)^2])/d^4 + (b*f^3*(c + d*x)^2*Cos[b/(c + d*x)^2])/(4*d^4) - (3*b*f*(d*e - c*f)^2*CosIntegral[b/(c + d*x)^2])/(2*d^4) - (Sqrt[b]*(d*e - c*f)^3*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)])/d^4 + (2*b^(3/2)*f^2*(d*e - c*f)*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)])/d^4 + ((d*e - c*f)^3*(c + d*x)*Sin[b/(c + d*x)^2])/d^4 + (3*f*(d*e - c*f)^2*(c + d*x)^2*Sin[b/(c + d*x)^2])/(2*d^4) + (f^2*(d*e - c*f)*(c + d*x)^3*Sin[b/(c + d*x)^2])/d^4 + (f^3*(c + d*x)^4*Sin[b/(c + d*x)^2])/(4*d^4) + (b^2*f^3*SinIntegral[b/(c + d*x)^2])/(4*d^4)}
+{(e + f*x)^2*Sin[b/(c + d*x)^2], x, 12, (2*b*f^2*(c + d*x)*Cos[b/(c + d*x)^2])/(3*d^3) - (b*f*(d*e - c*f)*CosIntegral[b/(c + d*x)^2])/d^3 - (Sqrt[b]*(d*e - c*f)^2*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)])/d^3 + (2*b^(3/2)*f^2*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)])/(3*d^3) + ((d*e - c*f)^2*(c + d*x)*Sin[b/(c + d*x)^2])/d^3 + (f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^2*Sin[b/(c + d*x)^2])/d^3 + (f^2*(c + d*x)^3*Sin[b/(c + d*x)^2])/(3*d^3)}
+{(e + f*x)^1*Sin[b/(c + d*x)^2], x, 8, -((b*f*CosIntegral[b/(c + d*x)^2])/(2*d^2)) - (Sqrt[b]*(d*e - c*f)*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)])/d^2 + ((d*e - c*f)*(c + d*x)*Sin[b/(c + d*x)^2])/d^2 + (f*(c + d*x)^2*Sin[b/(c + d*x)^2])/(2*d^2)}
+{(e + f*x)^0*Sin[b/(c + d*x)^2], x, 3, -((Sqrt[b]*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)])/d) + ((c + d*x)*Sin[b/(c + d*x)^2])/d}
+{Sin[b/(c + d*x)^2]/(e + f*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sin[b/(c + d*x)^2]/(e + f*x), x]}
+{Sin[b/(c + d*x)^2]/(e + f*x)^2, x, 0, Unintegrable[Sin[b/(c + d*x)^2]/(e + f*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sin[a+b (c+d x)^n]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(e + f*x)^3*Sin[a + b*(c + d*x)^2], x, 14, -((3*f*(d*e - c*f)^2*Cos[a + b*(c + d*x)^2])/(2*b*d^4)) - (3*f^2*(d*e - c*f)*(c + d*x)*Cos[a + b*(c + d*x)^2])/(2*b*d^4) - (f^3*(c + d*x)^2*Cos[a + b*(c + d*x)^2])/(2*b*d^4) + (3*f^2*(d*e - c*f)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)])/(2*b^(3/2)*d^4) + ((d*e - c*f)^3*Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)])/(Sqrt[b]*d^4) + ((d*e - c*f)^3*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)]*Sin[a])/(Sqrt[b]*d^4) - (3*f^2*(d*e - c*f)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)]*Sin[a])/(2*b^(3/2)*d^4) + (f^3*Sin[a + b*(c + d*x)^2])/(2*b^2*d^4)}
+{(e + f*x)^2*Sin[a + b*(c + d*x)^2], x, 11, -((f*(d*e - c*f)*Cos[a + b*(c + d*x)^2])/(b*d^3)) - (f^2*(c + d*x)*Cos[a + b*(c + d*x)^2])/(2*b*d^3) + (f^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)])/(2*b^(3/2)*d^3) + ((d*e - c*f)^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)])/(Sqrt[b]*d^3) + ((d*e - c*f)^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)]*Sin[a])/(Sqrt[b]*d^3) - (f^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)]*Sin[a])/(2*b^(3/2)*d^3)}
+{(e + f*x)^1*Sin[a + b*(c + d*x)^2], x, 7, -((f*Cos[a + b*(c + d*x)^2])/(2*b*d^2)) + ((d*e - c*f)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)])/(Sqrt[b]*d^2) + ((d*e - c*f)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)]*Sin[a])/(Sqrt[b]*d^2)}
+{(e + f*x)^0*Sin[a + b*(c + d*x)^2], x, 3, (Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)])/(Sqrt[b]*d) + (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)]*Sin[a])/(Sqrt[b]*d)}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^2]/(e + f*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b*(c + d*x)^2]/(e + f*x), x]}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^2]/(e + f*x)^2, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b*(c + d*x)^2]/(e + f*x)^2, x]}
+
+
+{(e + f*x)^3*Sin[a + b*(c + d*x)^3], x, 14, -((f^2*(d*e - c*f)*Cos[a + b*(c + d*x)^3])/(b*d^4)) - (f^3*(c + d*x)*Cos[a + b*(c + d*x)^3])/(3*b*d^4) - (E^(I*a)*f^3*(c + d*x)*Gamma[1/3, (-I)*b*(c + d*x)^3])/(18*b*d^4*((-I)*b*(c + d*x)^3)^(1/3)) + (I*E^(I*a)*(d*e - c*f)^3*(c + d*x)*Gamma[1/3, (-I)*b*(c + d*x)^3])/(6*d^4*((-I)*b*(c + d*x)^3)^(1/3)) - (f^3*(c + d*x)*Gamma[1/3, I*b*(c + d*x)^3])/(E^(I*a)*(18*b*d^4*(I*b*(c + d*x)^3)^(1/3))) - (I*(d*e - c*f)^3*(c + d*x)*Gamma[1/3, I*b*(c + d*x)^3])/(E^(I*a)*(6*d^4*(I*b*(c + d*x)^3)^(1/3))) + (I*E^(I*a)*f*(d*e - c*f)^2*(c + d*x)^2*Gamma[2/3, (-I)*b*(c + d*x)^3])/(2*d^4*((-I)*b*(c + d*x)^3)^(2/3)) - (I*f*(d*e - c*f)^2*(c + d*x)^2*Gamma[2/3, I*b*(c + d*x)^3])/(E^(I*a)*(2*d^4*(I*b*(c + d*x)^3)^(2/3)))}
+{(e + f*x)^2*Sin[a + b*(c + d*x)^3], x, 10, -((f^2*Cos[a + b*(c + d*x)^3])/(3*b*d^3)) + (I*E^(I*a)*(d*e - c*f)^2*(c + d*x)*Gamma[1/3, (-I)*b*(c + d*x)^3])/(6*d^3*((-I)*b*(c + d*x)^3)^(1/3)) - (I*(d*e - c*f)^2*(c + d*x)*Gamma[1/3, I*b*(c + d*x)^3])/(E^(I*a)*(6*d^3*(I*b*(c + d*x)^3)^(1/3))) + (I*E^(I*a)*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^2*Gamma[2/3, (-I)*b*(c + d*x)^3])/(3*d^3*((-I)*b*(c + d*x)^3)^(2/3)) - (I*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^2*Gamma[2/3, I*b*(c + d*x)^3])/(E^(I*a)*(3*d^3*(I*b*(c + d*x)^3)^(2/3)))}
+{(e + f*x)^1*Sin[a + b*(c + d*x)^3], x, 8, (I*E^(I*a)*(d*e - c*f)*(c + d*x)*Gamma[1/3, (-I)*b*(c + d*x)^3])/(6*d^2*((-I)*b*(c + d*x)^3)^(1/3)) - (I*(d*e - c*f)*(c + d*x)*Gamma[1/3, I*b*(c + d*x)^3])/(E^(I*a)*(6*d^2*(I*b*(c + d*x)^3)^(1/3))) + (I*E^(I*a)*f*(c + d*x)^2*Gamma[2/3, (-I)*b*(c + d*x)^3])/(6*d^2*((-I)*b*(c + d*x)^3)^(2/3)) - (I*f*(c + d*x)^2*Gamma[2/3, I*b*(c + d*x)^3])/(E^(I*a)*(6*d^2*(I*b*(c + d*x)^3)^(2/3)))}
+{(e + f*x)^0*Sin[a + b*(c + d*x)^3], x, 3, (I*E^(I*a)*(c + d*x)*Gamma[1/3, (-I)*b*(c + d*x)^3])/(6*d*((-I)*b*(c + d*x)^3)^(1/3)) - (I*(c + d*x)*Gamma[1/3, I*b*(c + d*x)^3])/(E^(I*a)*(6*d*(I*b*(c + d*x)^3)^(1/3)))}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^3]/(e + f*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b*(c + d*x)^3]/(e + f*x), x]}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^3]/(e + f*x)^2, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b*(c + d*x)^3]/(e + f*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e + f*x)^2*Sin[a + b/(c + d*x)^2], x, 18, (2*b*f^2*(c + d*x)*Cos[a + b/(c + d*x)^2])/(3*d^3) - (b*f*(d*e - c*f)*Cos[a]*CosIntegral[b/(c + d*x)^2])/d^3 - (Sqrt[b]*(d*e - c*f)^2*Sqrt[2*Pi]*Cos[a]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)])/d^3 + (2*b^(3/2)*f^2*Sqrt[2*Pi]*Cos[a]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)])/(3*d^3) + (2*b^(3/2)*f^2*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)]*Sin[a])/(3*d^3) + (Sqrt[b]*(d*e - c*f)^2*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)]*Sin[a])/d^3 + ((d*e - c*f)^2*(c + d*x)*Sin[a + b/(c + d*x)^2])/d^3 + (f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^2*Sin[a + b/(c + d*x)^2])/d^3 + (f^2*(c + d*x)^3*Sin[a + b/(c + d*x)^2])/(3*d^3) + (b*f*(d*e - c*f)*Sin[a]*SinIntegral[b/(c + d*x)^2])/d^3}
+{(e + f*x)^1*Sin[a + b/(c + d*x)^2], x, 12, -((b*f*Cos[a]*CosIntegral[b/(c + d*x)^2])/(2*d^2)) - (Sqrt[b]*(d*e - c*f)*Sqrt[2*Pi]*Cos[a]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)])/d^2 + (Sqrt[b]*(d*e - c*f)*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)]*Sin[a])/d^2 + ((d*e - c*f)*(c + d*x)*Sin[a + b/(c + d*x)^2])/d^2 + (f*(c + d*x)^2*Sin[a + b/(c + d*x)^2])/(2*d^2) + (b*f*Sin[a]*SinIntegral[b/(c + d*x)^2])/(2*d^2)}
+{(e + f*x)^0*Sin[a + b/(c + d*x)^2], x, 5, -((Sqrt[b]*Sqrt[2*Pi]*Cos[a]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)])/d) + (Sqrt[b]*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)]*Sin[a])/d + ((c + d*x)*Sin[a + b/(c + d*x)^2])/d}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^2]/(e + f*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b/(c + d*x)^2]/(e + f*x), x]}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^2]/(e + f*x)^2, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b/(c + d*x)^2]/(e + f*x)^2, x]}
+
+
+{(e + f*x)^2*Sin[a + b/(c + d*x)^3], x, 13, -((b*f^2*Cos[a]*CosIntegral[b/(c + d*x)^3])/(3*d^3)) - (I*E^(I*a)*f*(d*e - c*f)*(-((I*b)/(c + d*x)^3))^(2/3)*(c + d*x)^2*Gamma[-(2/3), -((I*b)/(c + d*x)^3)])/(3*d^3) + (I*f*(d*e - c*f)*((I*b)/(c + d*x)^3)^(2/3)*(c + d*x)^2*Gamma[-(2/3), (I*b)/(c + d*x)^3])/(E^(I*a)*(3*d^3)) - (I*E^(I*a)*(d*e - c*f)^2*(-((I*b)/(c + d*x)^3))^(1/3)*(c + d*x)*Gamma[-(1/3), -((I*b)/(c + d*x)^3)])/(6*d^3) + (I*(d*e - c*f)^2*((I*b)/(c + d*x)^3)^(1/3)*(c + d*x)*Gamma[-(1/3), (I*b)/(c + d*x)^3])/(E^(I*a)*(6*d^3)) + (f^2*(c + d*x)^3*Sin[a + b/(c + d*x)^3])/(3*d^3) + (b*f^2*Sin[a]*SinIntegral[b/(c + d*x)^3])/(3*d^3)}
+{(e + f*x)^1*Sin[a + b/(c + d*x)^3], x, 8, -((I*E^(I*a)*f*(-((I*b)/(c + d*x)^3))^(2/3)*(c + d*x)^2*Gamma[-(2/3), -((I*b)/(c + d*x)^3)])/(6*d^2)) + (I*f*((I*b)/(c + d*x)^3)^(2/3)*(c + d*x)^2*Gamma[-(2/3), (I*b)/(c + d*x)^3])/(E^(I*a)*(6*d^2)) - (I*E^(I*a)*(d*e - c*f)*(-((I*b)/(c + d*x)^3))^(1/3)*(c + d*x)*Gamma[-(1/3), -((I*b)/(c + d*x)^3)])/(6*d^2) + (I*(d*e - c*f)*((I*b)/(c + d*x)^3)^(1/3)*(c + d*x)*Gamma[-(1/3), (I*b)/(c + d*x)^3])/(E^(I*a)*(6*d^2))}
+{(e + f*x)^0*Sin[a + b/(c + d*x)^3], x, 3, -((I*E^(I*a)*(-((I*b)/(c + d*x)^3))^(1/3)*(c + d*x)*Gamma[-(1/3), -((I*b)/(c + d*x)^3)])/(6*d)) + (I*((I*b)/(c + d*x)^3)^(1/3)*(c + d*x)*Gamma[-(1/3), (I*b)/(c + d*x)^3])/(E^(I*a)*(6*d))}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^3]/(e + f*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b/(c + d*x)^3]/(e + f*x), x]}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^3]/(e + f*x)^2, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b/(c + d*x)^3]/(e + f*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sin[a+b (c+d x)^(n/2)]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(e + f*x)^2*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]], x, 14, -((240*f^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^5*d^3)) + (24*f*(d*e - c*f)*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^3*d^3) - (2*(d*e - c*f)^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^3) + (40*f^2*(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^3*d^3) - (4*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^3) - (2*f^2*(c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^3) + (240*f^2*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^6*d^3) - (24*f*(d*e - c*f)*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^4*d^3) + (2*(d*e - c*f)^2*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^3) - (120*f^2*(c + d*x)*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^4*d^3) + (12*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^3) + (10*f^2*(c + d*x)^2*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^3)}
+{(e + f*x)^1*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]], x, 8, (12*f*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^3*d^2) - (2*(d*e - c*f)*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^2) - (2*f*(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^2) - (12*f*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^4*d^2) + (2*(d*e - c*f)*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^2) + (6*f*(c + d*x)*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^2)}
+{(e + f*x)^0*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]], x, 3, -((2*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d)) + (2*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d)}
+{Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]]/(e + f*x)^1, x, 8, (CosIntegral[(b*Sqrt[(-d)*e + c*f])/Sqrt[f] + b*Sqrt[c + d*x]]*Sin[a - (b*Sqrt[(-d)*e + c*f])/Sqrt[f]])/f + (CosIntegral[(b*Sqrt[(-d)*e + c*f])/Sqrt[f] - b*Sqrt[c + d*x]]*Sin[a + (b*Sqrt[(-d)*e + c*f])/Sqrt[f]])/f - (Cos[a + (b*Sqrt[(-d)*e + c*f])/Sqrt[f]]*SinIntegral[(b*Sqrt[(-d)*e + c*f])/Sqrt[f] - b*Sqrt[c + d*x]])/f + (Cos[a - (b*Sqrt[(-d)*e + c*f])/Sqrt[f]]*SinIntegral[(b*Sqrt[(-d)*e + c*f])/Sqrt[f] + b*Sqrt[c + d*x]])/f}
+{Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]]/(e + f*x)^2, x, 10, (b*d*Cos[a + (b*Sqrt[(-d)*e + c*f])/Sqrt[f]]*CosIntegral[(b*Sqrt[(-d)*e + c*f])/Sqrt[f] - b*Sqrt[c + d*x]])/(2*f^(3/2)*Sqrt[(-d)*e + c*f]) - (b*d*Cos[a - (b*Sqrt[(-d)*e + c*f])/Sqrt[f]]*CosIntegral[(b*Sqrt[(-d)*e + c*f])/Sqrt[f] + b*Sqrt[c + d*x]])/(2*f^(3/2)*Sqrt[(-d)*e + c*f]) - Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]]/(f*(e + f*x)) + (b*d*Sin[a + (b*Sqrt[(-d)*e + c*f])/Sqrt[f]]*SinIntegral[(b*Sqrt[(-d)*e + c*f])/Sqrt[f] - b*Sqrt[c + d*x]])/(2*f^(3/2)*Sqrt[(-d)*e + c*f]) + (b*d*Sin[a - (b*Sqrt[(-d)*e + c*f])/Sqrt[f]]*SinIntegral[(b*Sqrt[(-d)*e + c*f])/Sqrt[f] + b*Sqrt[c + d*x]])/(2*f^(3/2)*Sqrt[(-d)*e + c*f])}
+
+
+{(e + f*x)^2*Sin[a + b*(c + d*x)^(3/2)], x, 12, -((4*f*(d*e - c*f)*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*(c + d*x)^(3/2)])/(3*b*d^3)) - (2*f^2*(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*(c + d*x)^(3/2)])/(3*b*d^3) - (2*E^(I*a)*f*(d*e - c*f)*Sqrt[c + d*x]*Gamma[1/3, (-I)*b*(c + d*x)^(3/2)])/(9*b*d^3*((-I)*b*(c + d*x)^(3/2))^(1/3)) - (2*f*(d*e - c*f)*Sqrt[c + d*x]*Gamma[1/3, I*b*(c + d*x)^(3/2)])/(E^(I*a)*(9*b*d^3*(I*b*(c + d*x)^(3/2))^(1/3))) + (I*E^(I*a)*(d*e - c*f)^2*(c + d*x)*Gamma[2/3, (-I)*b*(c + d*x)^(3/2)])/(3*d^3*((-I)*b*(c + d*x)^(3/2))^(2/3)) - (I*(d*e - c*f)^2*(c + d*x)*Gamma[2/3, I*b*(c + d*x)^(3/2)])/(E^(I*a)*(3*d^3*(I*b*(c + d*x)^(3/2))^(2/3))) + (2*f^2*Sin[a + b*(c + d*x)^(3/2)])/(3*b^2*d^3)}
+{(e + f*x)^1*Sin[a + b*(c + d*x)^(3/2)], x, 9, -((2*f*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*(c + d*x)^(3/2)])/(3*b*d^2)) - (E^(I*a)*f*Sqrt[c + d*x]*Gamma[1/3, (-I)*b*(c + d*x)^(3/2)])/(9*b*d^2*((-I)*b*(c + d*x)^(3/2))^(1/3)) - (f*Sqrt[c + d*x]*Gamma[1/3, I*b*(c + d*x)^(3/2)])/(E^(I*a)*(9*b*d^2*(I*b*(c + d*x)^(3/2))^(1/3))) + (I*E^(I*a)*(d*e - c*f)*(c + d*x)*Gamma[2/3, (-I)*b*(c + d*x)^(3/2)])/(3*d^2*((-I)*b*(c + d*x)^(3/2))^(2/3)) - (I*(d*e - c*f)*(c + d*x)*Gamma[2/3, I*b*(c + d*x)^(3/2)])/(E^(I*a)*(3*d^2*(I*b*(c + d*x)^(3/2))^(2/3)))}
+{(e + f*x)^0*Sin[a + b*(c + d*x)^(3/2)], x, 4, (I*E^(I*a)*(c + d*x)*Gamma[2/3, (-I)*b*(c + d*x)^(3/2)])/(3*d*((-I)*b*(c + d*x)^(3/2))^(2/3)) - (I*(c + d*x)*Gamma[2/3, I*b*(c + d*x)^(3/2)])/(E^(I*a)*(3*d*(I*b*(c + d*x)^(3/2))^(2/3)))}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^(3/2)]/(e + f*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b*(c + d*x)^(3/2)]/(e + f*x), x]}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^(3/2)]/(e + f*x)^2, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b*(c + d*x)^(3/2)]/(e + f*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e + f*x)^2*Sin[a + b/Sqrt[c + d*x]], x, 23, (b^5*f^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b/Sqrt[c + d*x]])/(360*d^3) - (b^3*f*(d*e - c*f)*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b/Sqrt[c + d*x]])/(6*d^3) + (b*(d*e - c*f)^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b/Sqrt[c + d*x]])/d^3 - (b^3*f^2*(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b/Sqrt[c + d*x]])/(180*d^3) + (b*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b/Sqrt[c + d*x]])/(3*d^3) + (b*f^2*(c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b/Sqrt[c + d*x]])/(15*d^3) + (b^6*f^2*CosIntegral[b/Sqrt[c + d*x]]*Sin[a])/(360*d^3) - (b^4*f*(d*e - c*f)*CosIntegral[b/Sqrt[c + d*x]]*Sin[a])/(6*d^3) + (b^2*(d*e - c*f)^2*CosIntegral[b/Sqrt[c + d*x]]*Sin[a])/d^3 + (b^4*f^2*(c + d*x)*Sin[a + b/Sqrt[c + d*x]])/(360*d^3) - (b^2*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)*Sin[a + b/Sqrt[c + d*x]])/(6*d^3) + ((d*e - c*f)^2*(c + d*x)*Sin[a + b/Sqrt[c + d*x]])/d^3 - (b^2*f^2*(c + d*x)^2*Sin[a + b/Sqrt[c + d*x]])/(60*d^3) + (f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^2*Sin[a + b/Sqrt[c + d*x]])/d^3 + (f^2*(c + d*x)^3*Sin[a + b/Sqrt[c + d*x]])/(3*d^3) + (b^6*f^2*Cos[a]*SinIntegral[b/Sqrt[c + d*x]])/(360*d^3) - (b^4*f*(d*e - c*f)*Cos[a]*SinIntegral[b/Sqrt[c + d*x]])/(6*d^3) + (b^2*(d*e - c*f)^2*Cos[a]*SinIntegral[b/Sqrt[c + d*x]])/d^3}
+{(e + f*x)^1*Sin[a + b/Sqrt[c + d*x]], x, 14, -((b^3*f*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b/Sqrt[c + d*x]])/(12*d^2)) + (b*(d*e - c*f)*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b/Sqrt[c + d*x]])/d^2 + (b*f*(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b/Sqrt[c + d*x]])/(6*d^2) - (b^4*f*CosIntegral[b/Sqrt[c + d*x]]*Sin[a])/(12*d^2) + (b^2*(d*e - c*f)*CosIntegral[b/Sqrt[c + d*x]]*Sin[a])/d^2 - (b^2*f*(c + d*x)*Sin[a + b/Sqrt[c + d*x]])/(12*d^2) + ((d*e - c*f)*(c + d*x)*Sin[a + b/Sqrt[c + d*x]])/d^2 + (f*(c + d*x)^2*Sin[a + b/Sqrt[c + d*x]])/(2*d^2) - (b^4*f*Cos[a]*SinIntegral[b/Sqrt[c + d*x]])/(12*d^2) + (b^2*(d*e - c*f)*Cos[a]*SinIntegral[b/Sqrt[c + d*x]])/d^2}
+{(e + f*x)^0*Sin[a + b/Sqrt[c + d*x]], x, 6, (b*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b/Sqrt[c + d*x]])/d + (b^2*CosIntegral[b/Sqrt[c + d*x]]*Sin[a])/d + ((c + d*x)*Sin[a + b/Sqrt[c + d*x]])/d + (b^2*Cos[a]*SinIntegral[b/Sqrt[c + d*x]])/d}
+{Sin[a + b/Sqrt[c + d*x]]/(e + f*x)^1, x, 13, -((2*CosIntegral[b/Sqrt[c + d*x]]*Sin[a])/f) + (CosIntegral[(b*Sqrt[f])/Sqrt[(-d)*e + c*f] + b/Sqrt[c + d*x]]*Sin[a - (b*Sqrt[f])/Sqrt[(-d)*e + c*f]])/f + (CosIntegral[(b*Sqrt[f])/Sqrt[(-d)*e + c*f] - b/Sqrt[c + d*x]]*Sin[a + (b*Sqrt[f])/Sqrt[(-d)*e + c*f]])/f - (2*Cos[a]*SinIntegral[b/Sqrt[c + d*x]])/f - (Cos[a + (b*Sqrt[f])/Sqrt[(-d)*e + c*f]]*SinIntegral[(b*Sqrt[f])/Sqrt[(-d)*e + c*f] - b/Sqrt[c + d*x]])/f + (Cos[a - (b*Sqrt[f])/Sqrt[(-d)*e + c*f]]*SinIntegral[(b*Sqrt[f])/Sqrt[(-d)*e + c*f] + b/Sqrt[c + d*x]])/f}
+{Sin[a + b/Sqrt[c + d*x]]/(e + f*x)^2, x, 10, -((b*d*Cos[a + (b*Sqrt[f])/Sqrt[(-d)*e + c*f]]*CosIntegral[(b*Sqrt[f])/Sqrt[(-d)*e + c*f] - b/Sqrt[c + d*x]])/(2*Sqrt[f]*((-d)*e + c*f)^(3/2))) + (b*d*Cos[a - (b*Sqrt[f])/Sqrt[(-d)*e + c*f]]*CosIntegral[(b*Sqrt[f])/Sqrt[(-d)*e + c*f] + b/Sqrt[c + d*x]])/(2*Sqrt[f]*((-d)*e + c*f)^(3/2)) + ((c + d*x)*Sin[a + b/Sqrt[c + d*x]])/((d*e - c*f)*(e + f*x)) - (b*d*Sin[a + (b*Sqrt[f])/Sqrt[(-d)*e + c*f]]*SinIntegral[(b*Sqrt[f])/Sqrt[(-d)*e + c*f] - b/Sqrt[c + d*x]])/(2*Sqrt[f]*((-d)*e + c*f)^(3/2)) - (b*d*Sin[a - (b*Sqrt[f])/Sqrt[(-d)*e + c*f]]*SinIntegral[(b*Sqrt[f])/Sqrt[(-d)*e + c*f] + b/Sqrt[c + d*x]])/(2*Sqrt[f]*((-d)*e + c*f)^(3/2))}
+
+
+{(e + f*x)^2*Sin[a + b/(c + d*x)^(3/2)], x, 14, (b*f^2*(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b/(c + d*x)^(3/2)])/(3*d^3) - (2*I*E^(I*a)*f*(d*e - c*f)*(-((I*b)/(c + d*x)^(3/2)))^(4/3)*(c + d*x)^2*Gamma[-(4/3), -((I*b)/(c + d*x)^(3/2))])/(3*d^3) + (2*I*f*(d*e - c*f)*((I*b)/(c + d*x)^(3/2))^(4/3)*(c + d*x)^2*Gamma[-(4/3), (I*b)/(c + d*x)^(3/2)])/(E^(I*a)*(3*d^3)) - (I*E^(I*a)*(d*e - c*f)^2*(-((I*b)/(c + d*x)^(3/2)))^(2/3)*(c + d*x)*Gamma[-(2/3), -((I*b)/(c + d*x)^(3/2))])/(3*d^3) + (I*(d*e - c*f)^2*((I*b)/(c + d*x)^(3/2))^(2/3)*(c + d*x)*Gamma[-(2/3), (I*b)/(c + d*x)^(3/2)])/(E^(I*a)*(3*d^3)) + (b^2*f^2*CosIntegral[b/(c + d*x)^(3/2)]*Sin[a])/(3*d^3) + (f^2*(c + d*x)^3*Sin[a + b/(c + d*x)^(3/2)])/(3*d^3) + (b^2*f^2*Cos[a]*SinIntegral[b/(c + d*x)^(3/2)])/(3*d^3)}
+{(e + f*x)^1*Sin[a + b/(c + d*x)^(3/2)], x, 8, -((I*E^(I*a)*f*(-((I*b)/(c + d*x)^(3/2)))^(4/3)*(c + d*x)^2*Gamma[-(4/3), -((I*b)/(c + d*x)^(3/2))])/(3*d^2)) + (I*f*((I*b)/(c + d*x)^(3/2))^(4/3)*(c + d*x)^2*Gamma[-(4/3), (I*b)/(c + d*x)^(3/2)])/(E^(I*a)*(3*d^2)) - (I*E^(I*a)*(d*e - c*f)*(-((I*b)/(c + d*x)^(3/2)))^(2/3)*(c + d*x)*Gamma[-(2/3), -((I*b)/(c + d*x)^(3/2))])/(3*d^2) + (I*(d*e - c*f)*((I*b)/(c + d*x)^(3/2))^(2/3)*(c + d*x)*Gamma[-(2/3), (I*b)/(c + d*x)^(3/2)])/(E^(I*a)*(3*d^2))}
+{(e + f*x)^0*Sin[a + b/(c + d*x)^(3/2)], x, 4, -((I*E^(I*a)*(-((I*b)/(c + d*x)^(3/2)))^(2/3)*(c + d*x)*Gamma[-(2/3), -((I*b)/(c + d*x)^(3/2))])/(3*d)) + (I*((I*b)/(c + d*x)^(3/2))^(2/3)*(c + d*x)*Gamma[-(2/3), (I*b)/(c + d*x)^(3/2)])/(E^(I*a)*(3*d))}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(3/2)]/(e + f*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b/(c + d*x)^(3/2)]/(e + f*x), x]}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(3/2)]/(e + f*x)^2, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b/(c + d*x)^(3/2)]/(e + f*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sin[a+b (c+d x)^(n/3)]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(e + f*x)^2*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)], x, 20, -((120960*f^2*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^9*d^3)) + (6*(d*e - c*f)^2*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^3) - (720*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^5*d^3) + (60480*f^2*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^7*d^3) - (3*(d*e - c*f)^2*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^3) + (120*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^3) - (5040*f^2*(c + d*x)^(4/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^5*d^3) - (6*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(5/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^3) + (168*f^2*(c + d*x)^2*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^3) - (3*f^2*(c + d*x)^(8/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^3) + (720*f*(d*e - c*f)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^6*d^3) - (120960*f^2*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^8*d^3) + (6*(d*e - c*f)^2*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^3) - (360*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(2/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^4*d^3) + (20160*f^2*(c + d*x)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^6*d^3) + (30*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(4/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^3) - (1008*f^2*(c + d*x)^(5/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^4*d^3) + (24*f^2*(c + d*x)^(7/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^3)}
+{(e + f*x)^1*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)], x, 11, (6*(d*e - c*f)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^2) - (360*f*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^5*d^2) - (3*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^2) + (60*f*(c + d*x)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^2) - (3*f*(c + d*x)^(5/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^2) + (360*f*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^6*d^2) + (6*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^2) - (180*f*(c + d*x)^(2/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^4*d^2) + (15*f*(c + d*x)^(4/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^2)}
+{(e + f*x)^0*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)], x, 4, (6*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d) - (3*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d) + (6*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d)}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)]/(e + f*x)^1, x, 11, (CosIntegral[(b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3) + b*(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a - (b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3)])/f + (CosIntegral[((-1)^(1/3)*b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3) - b*(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a + ((-1)^(1/3)*b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3)])/f + (CosIntegral[((-1)^(2/3)*b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3) + b*(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a - ((-1)^(2/3)*b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3)])/f - (Cos[a + ((-1)^(1/3)*b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3) - b*(c + d*x)^(1/3)])/f + (Cos[a - (b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3)]*SinIntegral[(b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3) + b*(c + d*x)^(1/3)])/f + (Cos[a - ((-1)^(2/3)*b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3) + b*(c + d*x)^(1/3)])/f}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)]/(e + f*x)^2, x, 13, -(((-1)^(1/3)*b*d*Cos[a + ((-1)^(1/3)*b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(1/3)*b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3) - b*(c + d*x)^(1/3)])/(3*f^(4/3)*(d*e - c*f)^(2/3))) + (b*d*Cos[a - (b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3)]*CosIntegral[(b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3) + b*(c + d*x)^(1/3)])/(3*f^(4/3)*(d*e - c*f)^(2/3)) + ((-1)^(2/3)*b*d*Cos[a - ((-1)^(2/3)*b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(2/3)*b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3) + b*(c + d*x)^(1/3)])/(3*f^(4/3)*(d*e - c*f)^(2/3)) - Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)]/(f*(e + f*x)) - ((-1)^(1/3)*b*d*Sin[a + ((-1)^(1/3)*b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3) - b*(c + d*x)^(1/3)])/(3*f^(4/3)*(d*e - c*f)^(2/3)) - (b*d*Sin[a - (b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3)]*SinIntegral[(b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3) + b*(c + d*x)^(1/3)])/(3*f^(4/3)*(d*e - c*f)^(2/3)) - ((-1)^(2/3)*b*d*Sin[a - ((-1)^(2/3)*b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*b*(d*e - c*f)^(1/3))/f^(1/3) + b*(c + d*x)^(1/3)])/(3*f^(4/3)*(d*e - c*f)^(2/3))}
+
+
+{(e + f*x)^2*Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)], x, 17, (6*f*(d*e - c*f)*Cos[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(b^3*d^3) - (3*(d*e - c*f)^2*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(2*b*d^3) + (105*f^2*(c + d*x)*Cos[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(8*b^3*d^3) - (3*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(4/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(b*d^3) - (3*f^2*(c + d*x)^(7/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(2*b*d^3) + (3*(d*e - c*f)^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)^(1/3)])/(2*b^(3/2)*d^3) + (315*f^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)^(1/3)])/(16*b^(9/2)*d^3) + (315*f^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(16*b^(9/2)*d^3) - (3*(d*e - c*f)^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(2*b^(3/2)*d^3) - (315*f^2*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(16*b^4*d^3) + (6*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(2/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(b^2*d^3) + (21*f^2*(c + d*x)^(5/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(4*b^2*d^3)}
+{(e + f*x)^1*Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)], x, 10, (3*f*Cos[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(b^3*d^2) - (3*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(2*b*d^2) - (3*f*(c + d*x)^(4/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(2*b*d^2) + (3*(d*e - c*f)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)^(1/3)])/(2*b^(3/2)*d^2) - (3*(d*e - c*f)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(2*b^(3/2)*d^2) + (3*f*(c + d*x)^(2/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(b^2*d^2)}
+{(e + f*x)^0*Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)], x, 5, -((3*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(2*b*d)) + (3*Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)^(1/3)])/(2*b^(3/2)*d) - (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(2*b^(3/2)*d)}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)]/(e + f*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)]/(e + f*x), x]}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)]/(e + f*x)^2, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)]/(e + f*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e + f*x)^2*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)], x, 29, (b^5*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(120*d^3) - (b^7*f^2*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(120960*d^3) + (b*(d*e - c*f)^2*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(2*d^3) - (b^3*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(60*d^3) + (b^5*f^2*(c + d*x)^(4/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(20160*d^3) + (b*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(5/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(5*d^3) - (b^3*f^2*(c + d*x)^2*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(1008*d^3) + (b*f^2*(c + d*x)^(8/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(24*d^3) - (b^9*f^2*Cos[a]*CosIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)])/(120960*d^3) + (b^3*(d*e - c*f)^2*Cos[a]*CosIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)])/(2*d^3) + (b^6*f*(d*e - c*f)*CosIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(120*d^3) + (b^8*f^2*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(120960*d^3) - (b^2*(d*e - c*f)^2*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(2*d^3) + (b^4*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(2/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(120*d^3) - (b^6*f^2*(c + d*x)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(60480*d^3) + ((d*e - c*f)^2*(c + d*x)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/d^3 - (b^2*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(4/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(20*d^3) + (b^4*f^2*(c + d*x)^(5/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(5040*d^3) + (f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^2*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/d^3 - (b^2*f^2*(c + d*x)^(7/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(168*d^3) + (f^2*(c + d*x)^3*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(3*d^3) + (b^6*f*(d*e - c*f)*Cos[a]*SinIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)])/(120*d^3) + (b^9*f^2*Sin[a]*SinIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)])/(120960*d^3) - (b^3*(d*e - c*f)^2*Sin[a]*SinIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)])/(2*d^3)}
+{(e + f*x)^1*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)], x, 17, (b^5*f*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(240*d^2) + (b*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(2*d^2) - (b^3*f*(c + d*x)*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(120*d^2) + (b*f*(c + d*x)^(5/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(10*d^2) + (b^3*(d*e - c*f)*Cos[a]*CosIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)])/(2*d^2) + (b^6*f*CosIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(240*d^2) - (b^2*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(2*d^2) + (b^4*f*(c + d*x)^(2/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(240*d^2) + ((d*e - c*f)*(c + d*x)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/d^2 - (b^2*f*(c + d*x)^(4/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(40*d^2) + (f*(c + d*x)^2*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(2*d^2) + (b^6*f*Cos[a]*SinIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)])/(240*d^2) - (b^3*(d*e - c*f)*Sin[a]*SinIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)])/(2*d^2)}
+{(e + f*x)^0*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)], x, 7, (b*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(2*d) + (b^3*Cos[a]*CosIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)])/(2*d) - (b^2*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(2*d) + ((c + d*x)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/d - (b^3*Sin[a]*SinIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)])/(2*d)}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)]/(e + f*x)^1, x, 16, -((3*CosIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/f) + (CosIntegral[(b*f^(1/3))/(d*e - c*f)^(1/3) + b/(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a - (b*f^(1/3))/(d*e - c*f)^(1/3)])/f + (CosIntegral[((-1)^(1/3)*b*f^(1/3))/(d*e - c*f)^(1/3) - b/(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a + ((-1)^(1/3)*b*f^(1/3))/(d*e - c*f)^(1/3)])/f + (CosIntegral[((-1)^(2/3)*b*f^(1/3))/(d*e - c*f)^(1/3) + b/(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a - ((-1)^(2/3)*b*f^(1/3))/(d*e - c*f)^(1/3)])/f - (3*Cos[a]*SinIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)])/f - (Cos[a + ((-1)^(1/3)*b*f^(1/3))/(d*e - c*f)^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*b*f^(1/3))/(d*e - c*f)^(1/3) - b/(c + d*x)^(1/3)])/f + (Cos[a - (b*f^(1/3))/(d*e - c*f)^(1/3)]*SinIntegral[(b*f^(1/3))/(d*e - c*f)^(1/3) + b/(c + d*x)^(1/3)])/f + (Cos[a - ((-1)^(2/3)*b*f^(1/3))/(d*e - c*f)^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*b*f^(1/3))/(d*e - c*f)^(1/3) + b/(c + d*x)^(1/3)])/f}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)]/(e + f*x)^2, x, 13, -((b*d*Cos[a + (b*f^(1/3))/((-d)*e + c*f)^(1/3)]*CosIntegral[(b*f^(1/3))/((-d)*e + c*f)^(1/3) - b/(c + d*x)^(1/3)])/(3*f^(2/3)*((-d)*e + c*f)^(4/3))) - ((-1)^(2/3)*b*d*Cos[a + ((-1)^(2/3)*b*f^(1/3))/((-d)*e + c*f)^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(2/3)*b*f^(1/3))/((-d)*e + c*f)^(1/3) - b/(c + d*x)^(1/3)])/(3*f^(2/3)*((-d)*e + c*f)^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*b*d*Cos[a - ((-1)^(1/3)*b*f^(1/3))/((-d)*e + c*f)^(1/3)]*CosIntegral[((-1)^(1/3)*b*f^(1/3))/((-d)*e + c*f)^(1/3) + b/(c + d*x)^(1/3)])/(3*f^(2/3)*((-d)*e + c*f)^(4/3)) + ((c + d*x)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/((d*e - c*f)*(e + f*x)) - (b*d*Sin[a + (b*f^(1/3))/((-d)*e + c*f)^(1/3)]*SinIntegral[(b*f^(1/3))/((-d)*e + c*f)^(1/3) - b/(c + d*x)^(1/3)])/(3*f^(2/3)*((-d)*e + c*f)^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*b*d*Sin[a + ((-1)^(2/3)*b*f^(1/3))/((-d)*e + c*f)^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(2/3)*b*f^(1/3))/((-d)*e + c*f)^(1/3) - b/(c + d*x)^(1/3)])/(3*f^(2/3)*((-d)*e + c*f)^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*b*d*Sin[a - ((-1)^(1/3)*b*f^(1/3))/((-d)*e + c*f)^(1/3)]*SinIntegral[((-1)^(1/3)*b*f^(1/3))/((-d)*e + c*f)^(1/3) + b/(c + d*x)^(1/3)])/(3*f^(2/3)*((-d)*e + c*f)^(4/3))}
+
+
+{(e + f*x)^2*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)], x, 24, (2*b*(d*e - c*f)^2*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/d^3 - (8*b^3*f^2*(c + d*x)*Cos[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(315*d^3) + (b*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(4/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(2*d^3) + (2*b*f^2*(c + d*x)^(7/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(21*d^3) + (b^3*f*(d*e - c*f)*Cos[a]*CosIntegral[b/(c + d*x)^(2/3)])/(2*d^3) - (16*b^(9/2)*f^2*Sqrt[2*Pi]*Cos[a]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)])/(315*d^3) + (2*b^(3/2)*(d*e - c*f)^2*Sqrt[2*Pi]*Cos[a]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)])/d^3 + (2*b^(3/2)*(d*e - c*f)^2*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/d^3 + (16*b^(9/2)*f^2*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(315*d^3) + (16*b^4*f^2*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(315*d^3) - (b^2*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(2/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(2*d^3) + ((d*e - c*f)^2*(c + d*x)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/d^3 - (4*b^2*f^2*(c + d*x)^(5/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(105*d^3) + (f*(d*e - c*f)*(c + d*x)^2*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/d^3 + (f^2*(c + d*x)^3*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(3*d^3) - (b^3*f*(d*e - c*f)*Sin[a]*SinIntegral[b/(c + d*x)^(2/3)])/(2*d^3)}
+{(e + f*x)^1*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)], x, 15, (2*b*(d*e - c*f)*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/d^2 + (b*f*(c + d*x)^(4/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(4*d^2) + (b^3*f*Cos[a]*CosIntegral[b/(c + d*x)^(2/3)])/(4*d^2) + (2*b^(3/2)*(d*e - c*f)*Sqrt[2*Pi]*Cos[a]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)])/d^2 + (2*b^(3/2)*(d*e - c*f)*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/d^2 - (b^2*f*(c + d*x)^(2/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(4*d^2) + ((d*e - c*f)*(c + d*x)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/d^2 + (f*(c + d*x)^2*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(2*d^2) - (b^3*f*Sin[a]*SinIntegral[b/(c + d*x)^(2/3)])/(4*d^2)}
+{(e + f*x)^0*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)], x, 7, (2*b*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/d + (2*b^(3/2)*Sqrt[2*Pi]*Cos[a]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)])/d + (2*b^(3/2)*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/d + ((c + d*x)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/d}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)]/(e + f*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)]/(e + f*x), x]}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)]/(e + f*x)^2, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)]/(e + f*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sin[a+b (c+d x)^(n/3)] when c f-b e=0 *)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)^(4/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)], x, 9, (2160*e*(e*(c + d*x))^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^7*d*(c + d*x)^(1/3)) - (1080*e*(c + d*x)^(1/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^5*d) + (90*e*(c + d*x)*(e*(c + d*x))^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d) - (3*e*(c + d*x)^(5/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d) + (2160*e*(e*(c + d*x))^(1/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^6*d) - (360*e*(c + d*x)^(2/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^4*d) + (18*e*(c + d*x)^(4/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d)}
+{(c*e + d*e*x)^(2/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)], x, 7, (36*(e*(c + d*x))^(2/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d) - (72*(e*(c + d*x))^(2/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^5*d*(c + d*x)^(2/3)) - (3*(c + d*x)^(2/3)*(e*(c + d*x))^(2/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d) - (72*(e*(c + d*x))^(2/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^4*d*(c + d*x)^(1/3)) + (12*(c + d*x)^(1/3)*(e*(c + d*x))^(2/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d)}
+{(c*e + d*e*x)^(1/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)], x, 6, (18*(e*(c + d*x))^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d) - (3*(c + d*x)^(2/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d) - (18*(e*(c + d*x))^(1/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^4*d*(c + d*x)^(1/3)) + (9*(c + d*x)^(1/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d)}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)]/(c*e + d*e*x)^(1/3), x, 4, -((3*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d*(e*(c + d*x))^(1/3))) + (3*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d*(e*(c + d*x))^(1/3))}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)]/(c*e + d*e*x)^(2/3), x, 3, -((3*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d*(e*(c + d*x))^(2/3)))}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)]/(c*e + d*e*x)^(4/3), x, 6, (3*b*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a]*CosIntegral[b*(c + d*x)^(1/3)])/(d*e*(e*(c + d*x))^(1/3)) - (3*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(d*e*(e*(c + d*x))^(1/3)) - (3*b*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a]*SinIntegral[b*(c + d*x)^(1/3)])/(d*e*(e*(c + d*x))^(1/3))}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)]/(c*e + d*e*x)^(5/3), x, 7, -((3*b*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(2*d*e*(e*(c + d*x))^(2/3))) - (3*b^2*(c + d*x)^(2/3)*CosIntegral[b*(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(2*d*e*(e*(c + d*x))^(2/3)) - (3*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(2*d*e*(e*(c + d*x))^(2/3)) - (3*b^2*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a]*SinIntegral[b*(c + d*x)^(1/3)])/(2*d*e*(e*(c + d*x))^(2/3))}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)]/(c*e + d*e*x)^(7/3), x, 9, (b^3*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(8*d*e^2*(e*(c + d*x))^(1/3)) - (b*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(4*d*e^2*(c + d*x)^(2/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)) + (b^4*(c + d*x)^(1/3)*CosIntegral[b*(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(8*d*e^2*(e*(c + d*x))^(1/3)) - (3*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(4*d*e^2*(c + d*x)*(e*(c + d*x))^(1/3)) + (b^2*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(8*d*e^2*(c + d*x)^(1/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)) + (b^4*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a]*SinIntegral[b*(c + d*x)^(1/3)])/(8*d*e^2*(e*(c + d*x))^(1/3))}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^(4/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)], x, 9, (45*e*(e*(c + d*x))^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(8*b^3*d) - (3*e*(c + d*x)^(4/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(2*b*d) - (45*e*Sqrt[Pi]*(e*(c + d*x))^(1/3)*Cos[a]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)^(1/3)])/(8*Sqrt[2]*b^(7/2)*d*(c + d*x)^(1/3)) + (45*e*Sqrt[Pi]*(e*(c + d*x))^(1/3)*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(8*Sqrt[2]*b^(7/2)*d*(c + d*x)^(1/3)) + (15*e*(c + d*x)^(2/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(4*b^2*d)}
+{(c*e + d*e*x)^(2/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)], x, 8, -((3*(c + d*x)^(1/3)*(e*(c + d*x))^(2/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(2*b*d)) - (9*Sqrt[Pi]*(e*(c + d*x))^(2/3)*Cos[a]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)^(1/3)])/(4*Sqrt[2]*b^(5/2)*d*(c + d*x)^(2/3)) - (9*Sqrt[Pi]*(e*(c + d*x))^(2/3)*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(4*Sqrt[2]*b^(5/2)*d*(c + d*x)^(2/3)) + (9*(e*(c + d*x))^(2/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(4*b^2*d*(c + d*x)^(1/3))}
+{(c*e + d*e*x)^(1/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)], x, 5, -((3*(c + d*x)^(1/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(2*b*d)) + (3*(e*(c + d*x))^(1/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(2*b^2*d*(c + d*x)^(1/3))}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)]/(c*e + d*e*x)^(1/3), x, 4, -((3*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(2*b*d*(e*(c + d*x))^(1/3)))}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)]/(c*e + d*e*x)^(2/3), x, 6, (3*Sqrt[Pi/2]*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)^(1/3)])/(Sqrt[b]*d*(e*(c + d*x))^(2/3)) + (3*Sqrt[Pi/2]*(c + d*x)^(2/3)*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(Sqrt[b]*d*(e*(c + d*x))^(2/3))}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)]/(c*e + d*e*x)^(4/3), x, 7, (3*Sqrt[b]*Sqrt[2*Pi]*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)^(1/3)])/(d*e*(e*(c + d*x))^(1/3)) - (3*Sqrt[b]*Sqrt[2*Pi]*(c + d*x)^(1/3)*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(d*e*(e*(c + d*x))^(1/3)) - (3*Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(d*e*(e*(c + d*x))^(1/3))}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)]/(c*e + d*e*x)^(5/3), x, 7, (3*b*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a]*CosIntegral[b*(c + d*x)^(2/3)])/(2*d*e*(e*(c + d*x))^(2/3)) - (3*Sin[a + b*(c + d*x)^(2/3)])/(2*d*e*(e*(c + d*x))^(2/3)) - (3*b*(c + d*x)^(2/3)*Sin[a]*SinIntegral[b*(c + d*x)^(2/3)])/(2*d*e*(e*(c + d*x))^(2/3))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)^(1/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)], x, 9, -((b^3*(e*(c + d*x))^(1/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(8*d)) + (b*(c + d*x)^(2/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(4*d) - (b^4*(e*(c + d*x))^(1/3)*CosIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(8*d*(c + d*x)^(1/3)) - (b^2*(c + d*x)^(1/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(8*d) + (3*(c + d*x)*(e*(c + d*x))^(1/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(4*d) - (b^4*(e*(c + d*x))^(1/3)*Cos[a]*SinIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)])/(8*d*(c + d*x)^(1/3))}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)]/(c*e + d*e*x)^(1/3), x, 7, (3*b*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(2*d*(e*(c + d*x))^(1/3)) + (3*b^2*(c + d*x)^(1/3)*CosIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(2*d*(e*(c + d*x))^(1/3)) + (3*(c + d*x)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(2*d*(e*(c + d*x))^(1/3)) + (3*b^2*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a]*SinIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)])/(2*d*(e*(c + d*x))^(1/3))}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)]/(c*e + d*e*x)^(2/3), x, 6, -((3*b*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a]*CosIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)])/(d*(e*(c + d*x))^(2/3))) + (3*(c + d*x)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(d*(e*(c + d*x))^(2/3)) + (3*b*(c + d*x)^(2/3)*Sin[a]*SinIntegral[b/(c + d*x)^(1/3)])/(d*(e*(c + d*x))^(2/3))}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)]/(c*e + d*e*x)^(4/3), x, 3, (3*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(b*d*e*(e*(c + d*x))^(1/3))}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)]/(c*e + d*e*x)^(5/3), x, 4, (3*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(b*d*e*(e*(c + d*x))^(2/3)) - (3*(c + d*x)^(2/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d*e*(e*(c + d*x))^(2/3))}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)]/(c*e + d*e*x)^(7/3), x, 6, -((18*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d*e^2*(e*(c + d*x))^(1/3))) + (3*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(b*d*e^2*(c + d*x)^(2/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)) - (9*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d*e^2*(c + d*x)^(1/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)) + (18*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(b^4*d*e^2*(e*(c + d*x))^(1/3))}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)]/(c*e + d*e*x)^(8/3), x, 7, -((36*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d*e^2*(e*(c + d*x))^(2/3))) + (3*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(b*d*e^2*(c + d*x)^(2/3)*(e*(c + d*x))^(2/3)) + (72*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(b^5*d*e^2*(e*(c + d*x))^(2/3)) - (12*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d*e^2*(c + d*x)^(1/3)*(e*(c + d*x))^(2/3)) + (72*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(1/3)])/(b^4*d*e^2*(e*(c + d*x))^(2/3))}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^(4/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)], x, 11, -((8*b^3*e*(e*(c + d*x))^(1/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(35*d)) + (6*b*e*(c + d*x)^(4/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(35*d) - (8*b^(7/2)*e*Sqrt[2*Pi]*(e*(c + d*x))^(1/3)*Cos[a]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)])/(35*d*(c + d*x)^(1/3)) - (8*b^(7/2)*e*Sqrt[2*Pi]*(e*(c + d*x))^(1/3)*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(35*d*(c + d*x)^(1/3)) - (4*b^2*e*(c + d*x)^(2/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(35*d) + (3*e*(c + d*x)^2*(e*(c + d*x))^(1/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(7*d)}
+{(c*e + d*e*x)^(2/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)], x, 10, (2*b*(c + d*x)^(1/3)*(e*(c + d*x))^(2/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(5*d) + (4*Sqrt[2]*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*(e*(c + d*x))^(2/3)*Cos[a]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)])/(5*d*(c + d*x)^(2/3)) - (4*Sqrt[2]*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*(e*(c + d*x))^(2/3)*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(5*d*(c + d*x)^(2/3)) - (4*b^2*(e*(c + d*x))^(2/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(5*d*(c + d*x)^(1/3)) + (3*(c + d*x)*(e*(c + d*x))^(2/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(5*d)}
+{(c*e + d*e*x)^(1/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)], x, 8, (3*b*(c + d*x)^(1/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(4*d) + (3*b^2*(e*(c + d*x))^(1/3)*CosIntegral[b/(c + d*x)^(2/3)]*Sin[a])/(4*d*(c + d*x)^(1/3)) + (3*(c + d*x)*(e*(c + d*x))^(1/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(4*d) + (3*b^2*(e*(c + d*x))^(1/3)*Cos[a]*SinIntegral[b/(c + d*x)^(2/3)])/(4*d*(c + d*x)^(1/3))}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)]/(c*e + d*e*x)^(1/3), x, 7, -((3*b*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a]*CosIntegral[b/(c + d*x)^(2/3)])/(2*d*(e*(c + d*x))^(1/3))) + (3*(c + d*x)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(2*d*(e*(c + d*x))^(1/3)) + (3*b*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a]*SinIntegral[b/(c + d*x)^(2/3)])/(2*d*(e*(c + d*x))^(1/3))}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)]/(c*e + d*e*x)^(2/3), x, 8, -((3*Sqrt[b]*Sqrt[2*Pi]*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)])/(d*(e*(c + d*x))^(2/3))) + (3*Sqrt[b]*Sqrt[2*Pi]*(c + d*x)^(2/3)*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(d*(e*(c + d*x))^(2/3)) + (3*(c + d*x)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(d*(e*(c + d*x))^(2/3))}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)]/(c*e + d*e*x)^(4/3), x, 6, -((3*Sqrt[Pi]*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)])/(Sqrt[2]*Sqrt[b]*d*e*(e*(c + d*x))^(1/3))) - (3*Sqrt[Pi]*(c + d*x)^(1/3)*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(Sqrt[2]*Sqrt[b]*d*e*(e*(c + d*x))^(1/3))}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)]/(c*e + d*e*x)^(5/3), x, 4, (3*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(2*b*d*e*(e*(c + d*x))^(2/3))}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)]/(c*e + d*e*x)^(7/3), x, 5, (3*Cos[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(2*b*d*e^2*(c + d*x)^(1/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)) - (3*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(2*b^2*d*e^2*(e*(c + d*x))^(1/3))}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)]/(c*e + d*e*x)^(8/3), x, 9, (3*Cos[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(2*b*d*e^2*(c + d*x)^(1/3)*(e*(c + d*x))^(2/3)) + (9*Sqrt[Pi/2]*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)])/(4*b^(5/2)*d*e^2*(e*(c + d*x))^(2/3)) + (9*Sqrt[Pi/2]*(c + d*x)^(2/3)*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(4*b^(5/2)*d*e^2*(e*(c + d*x))^(2/3)) - (9*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(4*b^2*d*e^2*(e*(c + d*x))^(2/3))}
+{Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)]/(c*e + d*e*x)^(10/3), x, 10, -((45*Cos[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(8*b^3*d*e^3*(e*(c + d*x))^(1/3))) + (3*Cos[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(2*b*d*e^3*(c + d*x)^(4/3)*(e*(c + d*x))^(1/3)) + (45*Sqrt[Pi]*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)])/(8*Sqrt[2]*b^(7/2)*d*e^3*(e*(c + d*x))^(1/3)) - (45*Sqrt[Pi]*(c + d*x)^(1/3)*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a])/(8*Sqrt[2]*b^(7/2)*d*e^3*(e*(c + d*x))^(1/3)) - (15*Sin[a + b/(c + d*x)^(2/3)])/(4*b^2*d*e^3*(c + d*x)^(2/3)*(e*(c + d*x))^(1/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sin[a+b (c+d x)^n] when n symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*Sin[a + b*(c + d*x)^n], x, 0, Unintegrable[(e*x)^m*Sin[a + b*(c + d*x)^n], x]}
+
+
+{x^3*Sin[a + b*(c + d*x)^n], x, 14, -((I*c^3*E^(I*a)*(c + d*x)*Gamma[1/n, (-I)*b*(c + d*x)^n])/(((-I)*b*(c + d*x)^n)^n^(-1)*(2*d^4*n))) + (I*c^3*(c + d*x)*Gamma[1/n, I*b*(c + d*x)^n])/(E^(I*a)*(I*b*(c + d*x)^n)^n^(-1)*(2*d^4*n)) + (3*I*c^2*E^(I*a)*(c + d*x)^2*Gamma[2/n, (-I)*b*(c + d*x)^n])/(((-I)*b*(c + d*x)^n)^(2/n)*(2*d^4*n)) - (3*I*c^2*(c + d*x)^2*Gamma[2/n, I*b*(c + d*x)^n])/(E^(I*a)*(I*b*(c + d*x)^n)^(2/n)*(2*d^4*n)) - (3*I*c*E^(I*a)*(c + d*x)^3*Gamma[3/n, (-I)*b*(c + d*x)^n])/(((-I)*b*(c + d*x)^n)^(3/n)*(2*d^4*n)) + (3*I*c*(c + d*x)^3*Gamma[3/n, I*b*(c + d*x)^n])/(E^(I*a)*(I*b*(c + d*x)^n)^(3/n)*(2*d^4*n)) + (I*E^(I*a)*(c + d*x)^4*Gamma[4/n, (-I)*b*(c + d*x)^n])/(((-I)*b*(c + d*x)^n)^(4/n)*(2*d^4*n)) - (I*(c + d*x)^4*Gamma[4/n, I*b*(c + d*x)^n])/(E^(I*a)*(I*b*(c + d*x)^n)^(4/n)*(2*d^4*n))}
+{x^2*Sin[a + b*(c + d*x)^n], x, 11, (I*c^2*E^(I*a)*(c + d*x)*Gamma[1/n, (-I)*b*(c + d*x)^n])/(((-I)*b*(c + d*x)^n)^n^(-1)*(2*d^3*n)) - (I*c^2*(c + d*x)*Gamma[1/n, I*b*(c + d*x)^n])/(E^(I*a)*(I*b*(c + d*x)^n)^n^(-1)*(2*d^3*n)) - (I*c*E^(I*a)*(c + d*x)^2*Gamma[2/n, (-I)*b*(c + d*x)^n])/(((-I)*b*(c + d*x)^n)^(2/n)*(d^3*n)) + (I*c*(c + d*x)^2*Gamma[2/n, I*b*(c + d*x)^n])/(E^(I*a)*(I*b*(c + d*x)^n)^(2/n)*(d^3*n)) + (I*E^(I*a)*(c + d*x)^3*Gamma[3/n, (-I)*b*(c + d*x)^n])/(((-I)*b*(c + d*x)^n)^(3/n)*(2*d^3*n)) - (I*(c + d*x)^3*Gamma[3/n, I*b*(c + d*x)^n])/(E^(I*a)*(I*b*(c + d*x)^n)^(3/n)*(2*d^3*n))}
+{x^1*Sin[a + b*(c + d*x)^n], x, 8, -((I*c*E^(I*a)*(c + d*x)*Gamma[1/n, (-I)*b*(c + d*x)^n])/(((-I)*b*(c + d*x)^n)^n^(-1)*(2*d^2*n))) + (I*c*(c + d*x)*Gamma[1/n, I*b*(c + d*x)^n])/(E^(I*a)*(I*b*(c + d*x)^n)^n^(-1)*(2*d^2*n)) + (I*E^(I*a)*(c + d*x)^2*Gamma[2/n, (-I)*b*(c + d*x)^n])/(((-I)*b*(c + d*x)^n)^(2/n)*(2*d^2*n)) - (I*(c + d*x)^2*Gamma[2/n, I*b*(c + d*x)^n])/(E^(I*a)*(I*b*(c + d*x)^n)^(2/n)*(2*d^2*n))}
+{x^0*Sin[a + b*(c + d*x)^n], x, 3, (I*E^(I*a)*(c + d*x)*Gamma[1/n, (-I)*b*(c + d*x)^n])/(((-I)*b*(c + d*x)^n)^n^(-1)*(2*d*n)) - (I*(c + d*x)*Gamma[1/n, I*b*(c + d*x)^n])/(E^(I*a)*(I*b*(c + d*x)^n)^n^(-1)*(2*d*n))}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^n]/x^1, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b*(c + d*x)^n]/x, x]}
+{Sin[a + b*(c + d*x)^n]/x^2, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b*(c + d*x)^n]/x^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sin[c+d (f+g x)^n])^p when n symbolic*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Sin[c+d (f+g x)^n])^p when n symbolic*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n]), x, 16, (a*x^4)/4 - (I*b*E^(I*c)*f^3*(f + g*x)*Gamma[1/n, (-I)*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(2*g^4*n)) + (I*b*f^3*(f + g*x)*Gamma[1/n, I*d*(f + g*x)^n])/(E^(I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(2*g^4*n)) + (3*I*b*E^(I*c)*f^2*(f + g*x)^2*Gamma[2/n, (-I)*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^(2/n)*(2*g^4*n)) - (3*I*b*f^2*(f + g*x)^2*Gamma[2/n, I*d*(f + g*x)^n])/(E^(I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^(2/n)*(2*g^4*n)) - (3*I*b*E^(I*c)*f*(f + g*x)^3*Gamma[3/n, (-I)*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^(3/n)*(2*g^4*n)) + (3*I*b*f*(f + g*x)^3*Gamma[3/n, I*d*(f + g*x)^n])/(E^(I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^(3/n)*(2*g^4*n)) + (I*b*E^(I*c)*(f + g*x)^4*Gamma[4/n, (-I)*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^(4/n)*(2*g^4*n)) - (I*b*(f + g*x)^4*Gamma[4/n, I*d*(f + g*x)^n])/(E^(I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^(4/n)*(2*g^4*n))}
+{x^2*(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n]), x, 13, (a*x^3)/3 + (I*b*E^(I*c)*f^2*(f + g*x)*Gamma[1/n, (-I)*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(2*g^3*n)) - (I*b*f^2*(f + g*x)*Gamma[1/n, I*d*(f + g*x)^n])/(E^(I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(2*g^3*n)) - (I*b*E^(I*c)*f*(f + g*x)^2*Gamma[2/n, (-I)*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^(2/n)*(g^3*n)) + (I*b*f*(f + g*x)^2*Gamma[2/n, I*d*(f + g*x)^n])/(E^(I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^(2/n)*(g^3*n)) + (I*b*E^(I*c)*(f + g*x)^3*Gamma[3/n, (-I)*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^(3/n)*(2*g^3*n)) - (I*b*(f + g*x)^3*Gamma[3/n, I*d*(f + g*x)^n])/(E^(I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^(3/n)*(2*g^3*n))}
+{x^1*(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n]), x, 10, (a*x^2)/2 - (I*b*E^(I*c)*f*(f + g*x)*Gamma[1/n, (-I)*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(2*g^2*n)) + (I*b*f*(f + g*x)*Gamma[1/n, I*d*(f + g*x)^n])/(E^(I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(2*g^2*n)) + (I*b*E^(I*c)*(f + g*x)^2*Gamma[2/n, (-I)*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^(2/n)*(2*g^2*n)) - (I*b*(f + g*x)^2*Gamma[2/n, I*d*(f + g*x)^n])/(E^(I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^(2/n)*(2*g^2*n))}
+{x^0*(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n]), x, 4, a*x + (I*b*E^(I*c)*(f + g*x)*Gamma[1/n, (-I)*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(2*g*n)) - (I*b*(f + g*x)*Gamma[1/n, I*d*(f + g*x)^n])/(E^(I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(2*g*n))}
+{(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])/x^1, x, 2, a*Log[x] + b*Unintegrable[Sin[c + d*(f + g*x)^n]/x, x]}
+{(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Sin[c + d*(f + g*x)^n]/x^2, x]}
+
+
+{x^2*(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^2, x, 28, ((2*a^2 + b^2)*f^2*x)/(2*g^2) - ((2*a^2 + b^2)*f*(f + g*x)^2)/(2*g^3) + ((2*a^2 + b^2)*(f + g*x)^3)/(6*g^3) + (I*a*b*E^(I*c)*f^2*(f + g*x)*Gamma[1/n, (-I)*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(g^3*n)) - (I*a*b*f^2*(f + g*x)*Gamma[1/n, I*d*(f + g*x)^n])/(E^(I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(g^3*n)) + (2^(-2 - 1/n)*b^2*E^(2*I*c)*f^2*(f + g*x)*Gamma[1/n, -2*I*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(g^3*n)) + (2^(-2 - 1/n)*b^2*f^2*(f + g*x)*Gamma[1/n, 2*I*d*(f + g*x)^n])/(E^(2*I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(g^3*n)) - (2*I*a*b*E^(I*c)*f*(f + g*x)^2*Gamma[2/n, (-I)*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^(2/n)*(g^3*n)) + (2*I*a*b*f*(f + g*x)^2*Gamma[2/n, I*d*(f + g*x)^n])/(E^(I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^(2/n)*(g^3*n)) - (2^(-1 - 2/n)*b^2*E^(2*I*c)*f*(f + g*x)^2*Gamma[2/n, -2*I*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^(2/n)*(g^3*n)) - (2^(-1 - 2/n)*b^2*f*(f + g*x)^2*Gamma[2/n, 2*I*d*(f + g*x)^n])/(E^(2*I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^(2/n)*(g^3*n)) + (I*a*b*E^(I*c)*(f + g*x)^3*Gamma[3/n, (-I)*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^(3/n)*(g^3*n)) - (I*a*b*(f + g*x)^3*Gamma[3/n, I*d*(f + g*x)^n])/(E^(I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^(3/n)*(g^3*n)) + (2^(-2 - 3/n)*b^2*E^(2*I*c)*(f + g*x)^3*Gamma[3/n, -2*I*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^(3/n)*(g^3*n)) + (2^(-2 - 3/n)*b^2*(f + g*x)^3*Gamma[3/n, 2*I*d*(f + g*x)^n])/(E^(2*I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^(3/n)*(g^3*n))}
+{x^1*(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^2, x, 19, -(((2*a^2 + b^2)*f*x)/(2*g)) + ((2*a^2 + b^2)*(f + g*x)^2)/(4*g^2) - (I*a*b*E^(I*c)*f*(f + g*x)*Gamma[1/n, (-I)*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(g^2*n)) + (I*a*b*f*(f + g*x)*Gamma[1/n, I*d*(f + g*x)^n])/(E^(I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(g^2*n)) - (2^(-2 - 1/n)*b^2*E^(2*I*c)*f*(f + g*x)*Gamma[1/n, -2*I*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(g^2*n)) - (2^(-2 - 1/n)*b^2*f*(f + g*x)*Gamma[1/n, 2*I*d*(f + g*x)^n])/(E^(2*I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(g^2*n)) + (I*a*b*E^(I*c)*(f + g*x)^2*Gamma[2/n, (-I)*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^(2/n)*(g^2*n)) - (I*a*b*(f + g*x)^2*Gamma[2/n, I*d*(f + g*x)^n])/(E^(I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^(2/n)*(g^2*n)) + (4^(-1 - 1/n)*b^2*E^(2*I*c)*(f + g*x)^2*Gamma[2/n, -2*I*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^(2/n)*(g^2*n)) + (4^(-1 - 1/n)*b^2*(f + g*x)^2*Gamma[2/n, 2*I*d*(f + g*x)^n])/(E^(2*I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^(2/n)*(g^2*n))}
+{x^0*(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^2, x, 8, (1/2)*(2*a^2 + b^2)*x + (I*a*b*E^(I*c)*(f + g*x)*Gamma[1/n, (-I)*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(g*n)) - (I*a*b*(f + g*x)*Gamma[1/n, I*d*(f + g*x)^n])/(E^(I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(g*n)) + (2^(-2 - 1/n)*b^2*E^(2*I*c)*(f + g*x)*Gamma[1/n, -2*I*d*(f + g*x)^n])/(((-I)*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(g*n)) + (2^(-2 - 1/n)*b^2*(f + g*x)*Gamma[1/n, 2*I*d*(f + g*x)^n])/(E^(2*I*c)*(I*d*(f + g*x)^n)^n^(-1)*(g*n))}
+{(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^2/x^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^2/x, x]}
+{(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^2/x^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^2/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^2/(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n]), x, 0, Unintegrable[x^2/(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n]), x]}
+{x^1/(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n]), x, 0, Unintegrable[x/(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n]), x]}
+{x^0/(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n]), x, 0, Unintegrable[1/(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n]), x]}
+{1/(x^1*(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])), x]}
+{1/(x^2*(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])), x]}
+
+
+{x^2/(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^2, x, 0, Unintegrable[x^2/(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^2, x]}
+{x^1/(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^2, x, 0, Unintegrable[x/(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^2, x]}
+{x^0/(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^2, x, 0, Unintegrable[1/(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^2, x]}
+{1/(x^1*(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^2), x]}
+{1/(x^2*(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sin[c+d (f+g x)^n])^p when p symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^p, x, 0, Unintegrable[(e*x)^m*(a + b*Sin[c + d*(f + g*x)^n])^p, x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b Sin[c+d x^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b Sin[c+d x^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b Sin[c+d/x])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(e + f*x)^2*(a + b*Sin[c + d/x]), x, 23, a*e^2*x + a*e*f*x^2 + (1/3)*a*f^2*x^3 + b*d*e*f*x*Cos[c + d/x] + (1/6)*b*d*f^2*x^2*Cos[c + d/x] - b*d*e^2*Cos[c]*CosIntegral[d/x] + (1/6)*b*d^3*f^2*Cos[c]*CosIntegral[d/x] + b*d^2*e*f*CosIntegral[d/x]*Sin[c] + b*e^2*x*Sin[c + d/x] - (1/6)*b*d^2*f^2*x*Sin[c + d/x] + b*e*f*x^2*Sin[c + d/x] + (1/3)*b*f^2*x^3*Sin[c + d/x] + b*d^2*e*f*Cos[c]*SinIntegral[d/x] + b*d*e^2*Sin[c]*SinIntegral[d/x] - (1/6)*b*d^3*f^2*Sin[c]*SinIntegral[d/x]}
+{(e + f*x)^1*(a + b*Sin[c + d/x]), x, 15, a*e*x + (1/2)*a*f*x^2 + (1/2)*b*d*f*x*Cos[c + d/x] - b*d*e*Cos[c]*CosIntegral[d/x] + (1/2)*b*d^2*f*CosIntegral[d/x]*Sin[c] + b*e*x*Sin[c + d/x] + (1/2)*b*f*x^2*Sin[c + d/x] + (1/2)*b*d^2*f*Cos[c]*SinIntegral[d/x] + b*d*e*Sin[c]*SinIntegral[d/x]}
+{(e + f*x)^0*(a + b*Sin[c + d/x]), x, 6, a*x - b*d*Cos[c]*CosIntegral[d/x] + b*x*Sin[c + d/x] + b*d*Sin[c]*SinIntegral[d/x]}
+{(a + b*Sin[c + d/x])/(e + f*x)^1, x, 12, (a*Log[f + e/x])/f + (a*Log[x])/f - (b*CosIntegral[d/x]*Sin[c])/f + (b*CosIntegral[d*(f/e + 1/x)]*Sin[c - (d*f)/e])/f + (b*Cos[c - (d*f)/e]*SinIntegral[d*(f/e + 1/x)])/f - (b*Cos[c]*SinIntegral[d/x])/f}
+{(a + b*Sin[c + d/x])/(e + f*x)^2, x, 7, a/(e*(f + e/x)) - (b*d*Cos[c - (d*f)/e]*CosIntegral[d*(f/e + 1/x)])/e^2 + (b*Sin[c + d/x])/(e*(f + e/x)) + (b*d*Sin[c - (d*f)/e]*SinIntegral[d*(f/e + 1/x)])/e^2}
+{(a + b*Sin[c + d/x])/(e + f*x)^3, x, 15, -((a*f)/(2*e^2*(f + e/x)^2)) + a/(e^2*(f + e/x)) - (b*d*f*Cos[c + d/x])/(2*e^3*(f + e/x)) - (b*d*Cos[c - (d*f)/e]*CosIntegral[d*(f/e + 1/x)])/e^3 - (b*d^2*f*CosIntegral[d*(f/e + 1/x)]*Sin[c - (d*f)/e])/(2*e^4) - (b*f*Sin[c + d/x])/(2*e^2*(f + e/x)^2) + (b*Sin[c + d/x])/(e^2*(f + e/x)) - (b*d^2*f*Cos[c - (d*f)/e]*SinIntegral[d*(f/e + 1/x)])/(2*e^4) + (b*d*Sin[c - (d*f)/e]*SinIntegral[d*(f/e + 1/x)])/e^3}
+
+
+{(e + f*x)^1*(a + b*Sin[c + d/x])^2, x, 27, a^2*e*x + (1/2)*a^2*f*x^2 + a*b*d*f*x*Cos[c + d/x] - 2*a*b*d*e*Cos[c]*CosIntegral[d/x] - b^2*d^2*f*Cos[2*c]*CosIntegral[(2*d)/x] + a*b*d^2*f*CosIntegral[d/x]*Sin[c] - b^2*d*e*CosIntegral[(2*d)/x]*Sin[2*c] + 2*a*b*e*x*Sin[c + d/x] + a*b*f*x^2*Sin[c + d/x] + b^2*d*f*x*Cos[c + d/x]*Sin[c + d/x] + b^2*e*x*Sin[c + d/x]^2 + (1/2)*b^2*f*x^2*Sin[c + d/x]^2 + a*b*d^2*f*Cos[c]*SinIntegral[d/x] + 2*a*b*d*e*Sin[c]*SinIntegral[d/x] - b^2*d*e*Cos[2*c]*SinIntegral[(2*d)/x] + b^2*d^2*f*Sin[2*c]*SinIntegral[(2*d)/x]}
+{(e + f*x)^0*(a + b*Sin[c + d/x])^2, x, 12, a^2*x - 2*a*b*d*Cos[c]*CosIntegral[d/x] - b^2*d*CosIntegral[(2*d)/x]*Sin[2*c] + 2*a*b*x*Sin[c + d/x] + b^2*x*Sin[c + d/x]^2 + 2*a*b*d*Sin[c]*SinIntegral[d/x] - b^2*d*Cos[2*c]*SinIntegral[(2*d)/x]}
+{(a + b*Sin[c + d/x])^2/(e + f*x)^1, x, 22, -((b^2*Cos[2*c - (2*d*f)/e]*CosIntegral[2*d*(f/e + 1/x)])/(2*f)) + (b^2*Cos[2*c]*CosIntegral[(2*d)/x])/(2*f) + (a^2*Log[f + e/x])/f + (b^2*Log[f + e/x])/(2*f) + (a^2*Log[x])/f + (b^2*Log[x])/(2*f) - (2*a*b*CosIntegral[d/x]*Sin[c])/f + (2*a*b*CosIntegral[d*(f/e + 1/x)]*Sin[c - (d*f)/e])/f + (2*a*b*Cos[c - (d*f)/e]*SinIntegral[d*(f/e + 1/x)])/f + (b^2*Sin[2*c - (2*d*f)/e]*SinIntegral[2*d*(f/e + 1/x)])/(2*f) - (2*a*b*Cos[c]*SinIntegral[d/x])/f - (b^2*Sin[2*c]*SinIntegral[(2*d)/x])/(2*f)}
+{(a + b*Sin[c + d/x])^2/(e + f*x)^2, x, 12, a^2/(e*(f + e/x)) - (2*a*b*d*Cos[c - (d*f)/e]*CosIntegral[d*(f/e + 1/x)])/e^2 - (b^2*d*CosIntegral[2*d*(f/e + 1/x)]*Sin[2*c - (2*d*f)/e])/e^2 + (2*a*b*Sin[c + d/x])/(e*(f + e/x)) + (b^2*Sin[c + d/x]^2)/(e*(f + e/x)) + (2*a*b*d*Sin[c - (d*f)/e]*SinIntegral[d*(f/e + 1/x)])/e^2 - (b^2*d*Cos[2*c - (2*d*f)/e]*SinIntegral[2*d*(f/e + 1/x)])/e^2}
+{(a + b*Sin[c + d/x])^2/(e + f*x)^3, x, 27, -((a^2*f)/(2*e^2*(f + e/x)^2)) + a^2/(e^2*(f + e/x)) - (a*b*d*f*Cos[c + d/x])/(e^3*(f + e/x)) - (2*a*b*d*Cos[c - (d*f)/e]*CosIntegral[d*(f/e + 1/x)])/e^3 + (b^2*d^2*f*Cos[2*c - (2*d*f)/e]*CosIntegral[2*d*(f/e + 1/x)])/e^4 - (b^2*d*CosIntegral[2*d*(f/e + 1/x)]*Sin[2*c - (2*d*f)/e])/e^3 - (a*b*d^2*f*CosIntegral[d*(f/e + 1/x)]*Sin[c - (d*f)/e])/e^4 - (a*b*f*Sin[c + d/x])/(e^2*(f + e/x)^2) + (2*a*b*Sin[c + d/x])/(e^2*(f + e/x)) - (b^2*d*f*Cos[c + d/x]*Sin[c + d/x])/(e^3*(f + e/x)) - (b^2*f*Sin[c + d/x]^2)/(2*e^2*(f + e/x)^2) + (b^2*Sin[c + d/x]^2)/(e^2*(f + e/x)) - (a*b*d^2*f*Cos[c - (d*f)/e]*SinIntegral[d*(f/e + 1/x)])/e^4 + (2*a*b*d*Sin[c - (d*f)/e]*SinIntegral[d*(f/e + 1/x)])/e^3 - (b^2*d*Cos[2*c - (2*d*f)/e]*SinIntegral[2*d*(f/e + 1/x)])/e^3 - (b^2*d^2*f*Sin[2*c - (2*d*f)/e]*SinIntegral[2*d*(f/e + 1/x)])/e^4}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(e + f*x)^2/(a + b*Sin[c + d/x]), x, 0, Unintegrable[(e + f*x)^2/(a + b*Sin[c + d/x]), x]}
+{(e + f*x)^1/(a + b*Sin[c + d/x]), x, 0, Unintegrable[(e + f*x)/(a + b*Sin[c + d/x]), x]}
+{(e + f*x)^0/(a + b*Sin[c + d/x]), x, 0, Unintegrable[1/(a + b*Sin[c + d/x]), x]}
+{(e + f*x)^1/(a + b*Sin[c + d/x]), x, 0, Unintegrable[(e + f*x)/(a + b*Sin[c + d/x]), x]}
+{(e + f*x)^2/(a + b*Sin[c + d/x]), x, 0, Unintegrable[(e + f*x)^2/(a + b*Sin[c + d/x]), x]}
+
+
+{(e + f*x)^2/(a + b*Sin[c + d/x])^2, x, 0, Unintegrable[(e + f*x)^2/(a + b*Sin[c + d/x])^2, x]}
+{(e + f*x)^1/(a + b*Sin[c + d/x])^2, x, 0, Unintegrable[(e + f*x)/(a + b*Sin[c + d/x])^2, x]}
+{(e + f*x)^0/(a + b*Sin[c + d/x])^2, x, 0, Unintegrable[1/(a + b*Sin[c + d/x])^2, x]}
+{(e + f*x)^1/(a + b*Sin[c + d/x])^2, x, 0, Unintegrable[(e + f*x)/(a + b*Sin[c + d/x])^2, x]}
+{(e + f*x)^2/(a + b*Sin[c + d/x])^2, x, 0, Unintegrable[(e + f*x)^2/(a + b*Sin[c + d/x])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b Sin[c+d x^n])^p when p symbolic*)
+
+
+{(e + f*x)^m*(a + b*Sin[c + d/x])^p, x, 0, Unintegrable[(e + f*x)^m*(a + b*Sin[c + d/x])^p, x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sin[c+d x^n]^p)^q*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c Sin[a+b x^n]^p)^(q/3)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c Sin[a+b x^n]^3)^(1/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^m*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3), x, 4, -(E^(I*a)*x^m*Csc[a + b*x]*Gamma[1 + m, (-I)*b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3))/(2*b*((-I)*b*x)^m) - (x^m*Csc[a + b*x]*Gamma[1 + m, I*b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3))/(2*b*E^(I*a)*(I*b*x)^m)}
+{x^3*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3), x, 5, (-6*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3))/b^4 + (3*x^2*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3))/b^2 + (6*x*Cot[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3))/b^3 - (x^3*Cot[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3))/b}
+{x^2*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3), x, 4, (2*x*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3))/b^2 + (2*Cot[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3))/b^3 - (x^2*Cot[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3))/b}
+{x*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3), x, 3, (c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3)/b^2 - (x*Cot[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3))/b}
+{(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3), x, 2, -((Cot[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3))/b)}
+{(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3)/x, x, 4, CosIntegral[b*x]*Csc[a + b*x]*Sin[a]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3) + Cos[a]*Csc[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3)*SinIntegral[b*x]}
+{(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3)/x^2, x, 5, -((c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3)/x) + b*Cos[a]*CosIntegral[b*x]*Csc[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3) - b*Csc[a + b*x]*Sin[a]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3)*SinIntegral[b*x]}
+{(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3)/x^3, x, 6, -(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3)/(2*x^2) - (b*Cot[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3))/(2*x) - (b^2*CosIntegral[b*x]*Csc[a + b*x]*Sin[a]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3))/2 - (b^2*Cos[a]*Csc[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(1/3)*SinIntegral[b*x])/2}
+
+
+{x^m*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3), x, 4, (I/4)*E^(I*a)*x^(1 + m)*((-I)*b*x^2)^((-1 - m)/2)*Csc[a + b*x^2]*Gamma[(1 + m)/2, (-I)*b*x^2]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3) - ((I/4)*x^(1 + m)*(I*b*x^2)^((-1 - m)/2)*Csc[a + b*x^2]*Gamma[(1 + m)/2, I*b*x^2]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3))/E^(I*a)}
+{x^3*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3), x, 4, (c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3)/(2*b^2) - (x^2*Cot[a + b*x^2]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3))/(2*b)}
+{x^2*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3), x, 5, -(x*Cot[a + b*x^2]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3))/(2*b) + (Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*Csc[a + b*x^2]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3))/(2*b^(3/2)) - (Sqrt[Pi/2]*Csc[a + b*x^2]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[a]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3))/(2*b^(3/2))}
+{x*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3), x, 3, -(Cot[a + b*x^2]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3))/(2*b)}
+{(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3), x, 4, (Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*Csc[a + b*x^2]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3))/Sqrt[b] + (Sqrt[Pi/2]*Csc[a + b*x^2]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[a]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3))/Sqrt[b]}
+{(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3)/x, x, 4, (CosIntegral[b*x^2]*Csc[a + b*x^2]*Sin[a]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3))/2 + (Cos[a]*Csc[a + b*x^2]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3)*SinIntegral[b*x^2])/2}
+{(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3)/x^2, x, 5, -((c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3)/x) + Sqrt[b]*Sqrt[2*Pi]*Cos[a]*Csc[a + b*x^2]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3) - Sqrt[b]*Sqrt[2*Pi]*Csc[a + b*x^2]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[a]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3)}
+{(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3)/x^3, x, 6, -(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3)/(2*x^2) + (b*Cos[a]*CosIntegral[b*x^2]*Csc[a + b*x^2]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3))/2 - (b*Csc[a + b*x^2]*Sin[a]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(1/3)*SinIntegral[b*x^2])/2}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n symbolic*)
+
+
+{x^m*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3), x, 4, ((I/2)*E^(I*a)*x^(1 + m)*Csc[a + b*x^n]*Gamma[(1 + m)/n, (-I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3))/(n*((-I)*b*x^n)^((1 + m)/n)) - ((I/2)*x^(1 + m)*Csc[a + b*x^n]*Gamma[(1 + m)/n, I*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3))/(E^(I*a)*n*(I*b*x^n)^((1 + m)/n))}
+{x^3*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3), x, 4, ((I/2)*E^(I*a)*x^4*Csc[a + b*x^n]*Gamma[4/n, (-I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3))/(n*((-I)*b*x^n)^(4/n)) - ((I/2)*x^4*Csc[a + b*x^n]*Gamma[4/n, I*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3))/(E^(I*a)*n*(I*b*x^n)^(4/n))}
+{x^2*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3), x, 4, ((I/2)*E^(I*a)*x^3*Csc[a + b*x^n]*Gamma[3/n, (-I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3))/(n*((-I)*b*x^n)^(3/n)) - ((I/2)*x^3*Csc[a + b*x^n]*Gamma[3/n, I*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3))/(E^(I*a)*n*(I*b*x^n)^(3/n))}
+{x*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3), x, 4, ((I/2)*E^(I*a)*x^2*Csc[a + b*x^n]*Gamma[2/n, (-I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3))/(n*((-I)*b*x^n)^(2/n)) - ((I/2)*x^2*Csc[a + b*x^n]*Gamma[2/n, I*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3))/(E^(I*a)*n*(I*b*x^n)^(2/n))}
+{(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3), x, 4, ((I/2)*E^(I*a)*x*Csc[a + b*x^n]*Gamma[n^(-1), (-I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3))/(n*((-I)*b*x^n)^n^(-1)) - ((I/2)*x*Csc[a + b*x^n]*Gamma[n^(-1), I*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3))/(E^(I*a)*n*(I*b*x^n)^n^(-1))}
+{(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3)/x, x, 4, (CosIntegral[b*x^n]*Csc[a + b*x^n]*Sin[a]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3))/n + (Cos[a]*Csc[a + b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3)*SinIntegral[b*x^n])/n}
+{(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3)/x^2, x, 4, ((I/2)*E^(I*a)*((-I)*b*x^n)^n^(-1)*Csc[a + b*x^n]*Gamma[-n^(-1), (-I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3))/(n*x) - ((I/2)*(I*b*x^n)^n^(-1)*Csc[a + b*x^n]*Gamma[-n^(-1), I*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3))/(E^(I*a)*n*x)}
+{(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3)/x^3, x, 4, ((I/2)*E^(I*a)*((-I)*b*x^n)^(2/n)*Csc[a + b*x^n]*Gamma[-2/n, (-I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3))/(n*x^2) - ((I/2)*(I*b*x^n)^(2/n)*Csc[a + b*x^n]*Gamma[-2/n, I*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(1/3))/(E^(I*a)*n*x^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c Sin[a+b x^n]^3)^(2/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^m*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3), x, 6, (x^(1 + m)*Csc[a + b*x]^2*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/(2*(1 + m)) + (I*2^(-3 - m)*E^((2*I)*a)*x^m*Csc[a + b*x]^2*Gamma[1 + m, (-2*I)*b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/(b*((-I)*b*x)^m) - (I*2^(-3 - m)*x^m*Csc[a + b*x]^2*Gamma[1 + m, (2*I)*b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/(b*E^((2*I)*a)*(I*b*x)^m)}
+{x^3*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3), x, 5, (-3*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/(8*b^4) + (3*x^2*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/(4*b^2) + (3*x*Cot[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/(4*b^3) - (x^3*Cot[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/(2*b) - (3*x^2*Csc[a + b*x]^2*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/(8*b^2) + (x^4*Csc[a + b*x]^2*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/8}
+{x^2*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3), x, 5, (x*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/(2*b^2) + (Cot[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/(4*b^3) - (x^2*Cot[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/(2*b) - (x*Csc[a + b*x]^2*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/(4*b^2) + (x^3*Csc[a + b*x]^2*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/6}
+{x*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3), x, 3, (c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3)/(4*b^2) - (x*Cot[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/(2*b) + (x^2*Csc[a + b*x]^2*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/4}
+{(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3), x, 3, -(Cot[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/(2*b) + (x*Csc[a + b*x]^2*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/2}
+{(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3)/x, x, 6, -(Cos[2*a]*CosIntegral[2*b*x]*Csc[a + b*x]^2*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/2 + (Csc[a + b*x]^2*Log[x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/2 + (Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3)*SinIntegral[2*b*x])/2}
+{(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3)/x^2, x, 6, -((c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3)/x) + b*CosIntegral[2*b*x]*Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3) + b*Cos[2*a]*Csc[a + b*x]^2*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3)*SinIntegral[2*b*x]}
+{(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3)/x^3, x, 8, -((c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3)/(2*x^2)) - (b*Cot[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3))/x + b^2*Cos[2*a]*CosIntegral[2*b*x]*Csc[a + b*x]^2*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3) - b^2*Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a]*(c*Sin[a + b*x]^3)^(2/3)*SinIntegral[2*b*x]}
+
+
+{x^m*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3), x, 6, (x^(1 + m)*Csc[a + b*x^2]^2*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3))/(2*(1 + m)) + 2^(-7/2 - m/2)*E^((2*I)*a)*x^(1 + m)*((-I)*b*x^2)^((-1 - m)/2)*Csc[a + b*x^2]^2*Gamma[(1 + m)/2, (-2*I)*b*x^2]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3) + (2^(-7/2 - m/2)*x^(1 + m)*(I*b*x^2)^((-1 - m)/2)*Csc[a + b*x^2]^2*Gamma[(1 + m)/2, (2*I)*b*x^2]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3))/E^((2*I)*a)}
+{x^3*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3), x, 4, (c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3)/(8*b^2) - (x^2*Cot[a + b*x^2]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3))/(4*b) + (x^4*Csc[a + b*x^2]^2*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3))/8}
+{x^2*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3), x, 7, (x^3*Csc[a + b*x^2]^2*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3))/6 + (Sqrt[Pi]*Cos[2*a]*Csc[a + b*x^2]^2*FresnelS[(2*Sqrt[b]*x)/Sqrt[Pi]]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3))/(16*b^(3/2)) + (Sqrt[Pi]*Csc[a + b*x^2]^2*FresnelC[(2*Sqrt[b]*x)/Sqrt[Pi]]*Sin[2*a]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3))/(16*b^(3/2)) - (x*Csc[a + b*x^2]^2*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3)*Sin[2*a + 2*b*x^2])/(8*b)}
+{x*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3), x, 4, -(Cot[a + b*x^2]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3))/(4*b) + (x^2*Csc[a + b*x^2]^2*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3))/4}
+{(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3), x, 6, (x*Csc[a + b*x^2]^2*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3))/2 - (Sqrt[Pi]*Cos[2*a]*Csc[a + b*x^2]^2*FresnelC[(2*Sqrt[b]*x)/Sqrt[Pi]]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3))/(4*Sqrt[b]) + (Sqrt[Pi]*Csc[a + b*x^2]^2*FresnelS[(2*Sqrt[b]*x)/Sqrt[Pi]]*Sin[2*a]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3))/(4*Sqrt[b])}
+{(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3)/x, x, 6, -(Cos[2*a]*CosIntegral[2*b*x^2]*Csc[a + b*x^2]^2*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3))/4 + (Csc[a + b*x^2]^2*Log[x]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3))/2 + (Csc[a + b*x^2]^2*Sin[2*a]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3)*SinIntegral[2*b*x^2])/4}
+{(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3)/x^2, x, 7, -((c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3)/x) + Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Cos[2*a]*Csc[a + b*x^2]^2*FresnelS[(2*Sqrt[b]*x)/Sqrt[Pi]]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3) + Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Csc[a + b*x^2]^2*FresnelC[(2*Sqrt[b]*x)/Sqrt[Pi]]*Sin[2*a]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3)}
+{(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3)/x^3, x, 8, -((Csc[a + b*x^2]^2*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3))/(4*x^2)) + (Cos[2*(a + b*x^2)]*Csc[a + b*x^2]^2*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3))/(4*x^2) + (1/2)*b*CosIntegral[2*b*x^2]*Csc[a + b*x^2]^2*Sin[2*a]*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3) + (1/2)*b*Cos[2*a]*Csc[a + b*x^2]^2*(c*Sin[a + b*x^2]^3)^(2/3)*SinIntegral[2*b*x^2]}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n symbolic*)
+
+
+{x^m*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3), x, 6, (x^(1 + m)*Csc[a + b*x^n]^2*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/(2*(1 + m)) + (E^((2*I)*a)*x^(1 + m)*Csc[a + b*x^n]^2*Gamma[(1 + m)/n, (-2*I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/(2^((1 + m + 2*n)/n)*n*((-I)*b*x^n)^((1 + m)/n)) + (x^(1 + m)*Csc[a + b*x^n]^2*Gamma[(1 + m)/n, (2*I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/(2^((1 + m + 2*n)/n)*E^((2*I)*a)*n*(I*b*x^n)^((1 + m)/n))}
+{x^3*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3), x, 6, (x^4*Csc[a + b*x^n]^2*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/8 + (4^(-1 - 2/n)*E^((2*I)*a)*x^4*Csc[a + b*x^n]^2*Gamma[4/n, (-2*I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/(n*((-I)*b*x^n)^(4/n)) + (4^(-1 - 2/n)*x^4*Csc[a + b*x^n]^2*Gamma[4/n, (2*I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/(E^((2*I)*a)*n*(I*b*x^n)^(4/n))}
+{x^2*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3), x, 6, (x^3*Csc[a + b*x^n]^2*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/6 + (2^(-2 - 3/n)*E^((2*I)*a)*x^3*Csc[a + b*x^n]^2*Gamma[3/n, (-2*I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/(n*((-I)*b*x^n)^(3/n)) + (2^(-2 - 3/n)*x^3*Csc[a + b*x^n]^2*Gamma[3/n, (2*I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/(E^((2*I)*a)*n*(I*b*x^n)^(3/n))}
+{x*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3), x, 6, (x^2*Csc[a + b*x^n]^2*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/4 + (4^(-1 - n^(-1))*E^((2*I)*a)*x^2*Csc[a + b*x^n]^2*Gamma[2/n, (-2*I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/(n*((-I)*b*x^n)^(2/n)) + (4^(-1 - n^(-1))*x^2*Csc[a + b*x^n]^2*Gamma[2/n, (2*I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/(E^((2*I)*a)*n*(I*b*x^n)^(2/n))}
+{(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3), x, 6, (x*Csc[a + b*x^n]^2*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/2 + (2^(-2 - n^(-1))*E^((2*I)*a)*x*Csc[a + b*x^n]^2*Gamma[n^(-1), (-2*I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/(n*((-I)*b*x^n)^n^(-1)) + (2^(-2 - n^(-1))*x*Csc[a + b*x^n]^2*Gamma[n^(-1), (2*I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/(E^((2*I)*a)*n*(I*b*x^n)^n^(-1))}
+{(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3)/x, x, 6, -(Cos[2*a]*CosIntegral[2*b*x^n]*Csc[a + b*x^n]^2*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/(2*n) + (Csc[a + b*x^n]^2*Log[x]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/2 + (Csc[a + b*x^n]^2*Sin[2*a]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3)*SinIntegral[2*b*x^n])/(2*n)}
+{(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3)/x^2, x, 6, -(Csc[a + b*x^n]^2*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/(2*x) + (2^(-2 + n^(-1))*E^((2*I)*a)*((-I)*b*x^n)^n^(-1)*Csc[a + b*x^n]^2*Gamma[-n^(-1), (-2*I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/(n*x) + (2^(-2 + n^(-1))*(I*b*x^n)^n^(-1)*Csc[a + b*x^n]^2*Gamma[-n^(-1), (2*I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/(E^((2*I)*a)*n*x)}
+{(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3)/x^3, x, 6, -(Csc[a + b*x^n]^2*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/(4*x^2) + (4^(-1 + n^(-1))*E^((2*I)*a)*((-I)*b*x^n)^(2/n)*Csc[a + b*x^n]^2*Gamma[-2/n, (-2*I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/(n*x^2) + (4^(-1 + n^(-1))*(I*b*x^n)^(2/n)*Csc[a + b*x^n]^2*Gamma[-2/n, (2*I)*b*x^n]*(c*Sin[a + b*x^n]^3)^(2/3))/(E^((2*I)*a)*n*x^2)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.13 (d+e x)^m sin(a+b x+c x^2)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.13 (d+e x)^m sin(a+b x+c x^2)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..587796b0
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.13 (d+e x)^m sin(a+b x+c x^2)^n.m	
@@ -0,0 +1,60 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m Sin[a+b x+c x^2]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Sin[a+b x+c x^2]^n*)
+
+
+{x^2*Sin[a + b*x + c*x^2], x, 8, (b*Cos[a + b*x + c*x^2])/(4*c^2) - (x*Cos[a + b*x + c*x^2])/(2*c) + (Sqrt[Pi/2]*Cos[a - b^2/(4*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/(2*c^(3/2)) + (b^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - b^2/(4*c)]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/(4*c^(5/2)) + (b^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a - b^2/(4*c)])/(4*c^(5/2)) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a - b^2/(4*c)])/(2*c^(3/2))}
+{x*Sin[a + b*x + c*x^2], x, 4, -(Cos[a + b*x + c*x^2]/(2*c)) - (b*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - b^2/(4*c)]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/(2*c^(3/2)) - (b*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a - b^2/(4*c)])/(2*c^(3/2))}
+{Sin[a + b*x + c*x^2], x, 3, (Sqrt[Pi/2]*Cos[a - b^2/(4*c)]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/Sqrt[c] + (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a - b^2/(4*c)])/Sqrt[c]}
+{Sin[a + b*x + c*x^2]/x, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b*x + c*x^2]/x, x]}
+{Sin[a + b*x + c*x^2]/x^2 - b*Cos[a + b*x + c*x^2]/x, x, 5, Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi]*Cos[a - b^2/(4*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])] - Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a - b^2/(4*c)] - Sin[a + b*x + c*x^2]/x}
+
+{x^2*Sin[a + b*x - c*x^2], x, 8, (b*Cos[a + b*x - c*x^2])/(4*c^2) + (x*Cos[a + b*x - c*x^2])/(2*c) + (Sqrt[Pi/2]*Cos[a + b^2/(4*c)]*FresnelC[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/(2*c^(3/2)) + (b^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a + b^2/(4*c)]*FresnelS[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/(4*c^(5/2)) - (b^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a + b^2/(4*c)])/(4*c^(5/2)) + (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a + b^2/(4*c)])/(2*c^(3/2))}
+{x*Sin[a + b*x - c*x^2], x, 4, Cos[a + b*x - c*x^2]/(2*c) + (b*Sqrt[Pi/2]*Cos[a + b^2/(4*c)]*FresnelS[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/(2*c^(3/2)) - (b*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a + b^2/(4*c)])/(2*c^(3/2))}
+{Sin[a + b*x - c*x^2], x, 3, (Sqrt[Pi/2]*Cos[a + b^2/(4*c)]*FresnelS[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/Sqrt[c] - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a + b^2/(4*c)])/Sqrt[c]}
+{Sin[a + b*x - c*x^2]/x, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b*x - c*x^2]/x, x]}
+{Sin[a + b*x - c*x^2]/x^2 - b*Cos[a + b*x - c*x^2]/x, x, 5, Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi]*Cos[a + b^2/(4*c)]*FresnelC[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])] + Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a + b^2/(4*c)] - Sin[a + b*x - c*x^2]/x}
+
+{x^2*Sin[1/4 + x + x^2], x, 6, (1/4)*Cos[1/4 + x + x^2] - (1/2)*x*Cos[1/4 + x + x^2] + (1/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(1 + 2*x)/Sqrt[2*Pi]] + (1/4)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(1 + 2*x)/Sqrt[2*Pi]]}
+{x*Sin[1/4 + x + x^2], x, 3, (-(1/2))*Cos[1/4 + x + x^2] - (1/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(1 + 2*x)/Sqrt[2*Pi]]}
+{Sin[1/4 + x + x^2], x, 2, Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(1 + 2*x)/Sqrt[2*Pi]]}
+{Sin[1/4 + x + x^2]/x, x, 0, Unintegrable[Sin[1/4 + x + x^2]/x, x]}
+{Sin[1/4 + x + x^2]/x^2, x, 3, Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(1 + 2*x)/Sqrt[2*Pi]] + Unintegrable[Cos[1/4 + x + x^2]/x, x] - Sin[1/4 + x + x^2]/x}
+
+
+{x^2*Sin[a + b*x + c*x^2]^2, x, 10, x^3/6 - (b^2*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - b^2/(2*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(16*c^(5/2)) + (Sqrt[Pi]*Cos[2*a - b^2/(2*c)]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(16*c^(3/2)) + (Sqrt[Pi]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - b^2/(2*c)])/(16*c^(3/2)) + (b^2*Sqrt[Pi]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - b^2/(2*c)])/(16*c^(5/2)) + (b*Sin[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(16*c^2) - (x*Sin[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(8*c)}
+{x*Sin[a + b*x + c*x^2]^2, x, 6, x^2/4 + (b*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - b^2/(2*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(8*c^(3/2)) - (b*Sqrt[Pi]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - b^2/(2*c)])/(8*c^(3/2)) - Sin[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2]/(8*c)}
+{Sin[a + b*x + c*x^2]^2, x, 5, x/2 - (Sqrt[Pi]*Cos[2*a - b^2/(2*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(4*Sqrt[c]) + (Sqrt[Pi]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - b^2/(2*c)])/(4*Sqrt[c])}
+{Sin[a + b*x + c*x^2]^2/x, x, 2, (-(1/2))*Unintegrable[Cos[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2]/x, x] + Log[x]/2}
+
+{x^2*Sin[a + b*x - c*x^2]^2, x, 10, x^3/6 + (b^2*Sqrt[Pi]*Cos[2*a + b^2/(2*c)]*FresnelC[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(16*c^(5/2)) - (Sqrt[Pi]*Cos[2*a + b^2/(2*c)]*FresnelS[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(16*c^(3/2)) + (Sqrt[Pi]*FresnelC[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a + b^2/(2*c)])/(16*c^(3/2)) + (b^2*Sqrt[Pi]*FresnelS[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a + b^2/(2*c)])/(16*c^(5/2)) + (b*Sin[2*a + 2*b*x - 2*c*x^2])/(16*c^2) + (x*Sin[2*a + 2*b*x - 2*c*x^2])/(8*c)}
+{x*Sin[a + b*x - c*x^2]^2, x, 6, x^2/4 + (b*Sqrt[Pi]*Cos[2*a + b^2/(2*c)]*FresnelC[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(8*c^(3/2)) + (b*Sqrt[Pi]*FresnelS[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a + b^2/(2*c)])/(8*c^(3/2)) + Sin[2*a + 2*b*x - 2*c*x^2]/(8*c)}
+{Sin[a + b*x - c*x^2]^2, x, 5, x/2 + (Sqrt[Pi]*Cos[2*a + b^2/(2*c)]*FresnelC[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(4*Sqrt[c]) + (Sqrt[Pi]*FresnelS[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a + b^2/(2*c)])/(4*Sqrt[c])}
+{Sin[a + b*x - c*x^2]^2/x, x, 2, (-(1/2))*Unintegrable[Cos[2*a + 2*b*x - 2*c*x^2]/x, x] + Log[x]/2}
+
+{x^2*Sin[1/4 + x + x^2]^2, x, 8, x^3/6 - (1/16)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(1 + 2*x)/Sqrt[Pi]] + (1/16)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(1 + 2*x)/Sqrt[Pi]] + (1/16)*Sin[1/2 + 2*x + 2*x^2] - (1/8)*x*Sin[1/2 + 2*x + 2*x^2]}
+{x*Sin[1/4 + x + x^2]^2, x, 5, x^2/4 + (1/8)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(1 + 2*x)/Sqrt[Pi]] - (1/8)*Sin[1/2 + 2*x + 2*x^2]}
+{Sin[1/4 + x + x^2]^2, x, 4, x/2 - (1/4)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(1 + 2*x)/Sqrt[Pi]]}
+{Sin[1/4 + x + x^2]^2/x, x, 2, (-(1/2))*Unintegrable[Cos[1/2 + 2*x + 2*x^2]/x, x] + Log[x]/2}
+{Sin[1/4 + x + x^2]^2/x^2, x, 5, -(1/(2*x)) + Cos[1/2 + 2*x + 2*x^2]/(2*x) + Sqrt[Pi]*FresnelS[(1 + 2*x)/Sqrt[Pi]] + Unintegrable[Sin[1/2 + 2*x + 2*x^2]/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m Sin[a+b x+c x^2]^n*)
+
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+{(d + e*x)^2*Sin[a + b*x + c*x^2], x, 8, -((e*(2*c*d - b*e)*Cos[a + b*x + c*x^2])/(4*c^2)) - (e*(d + e*x)*Cos[a + b*x + c*x^2])/(2*c) + (e^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - b^2/(4*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/(2*c^(3/2)) + ((2*c*d - b*e)^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - b^2/(4*c)]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/(4*c^(5/2)) + ((2*c*d - b*e)^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a - b^2/(4*c)])/(4*c^(5/2)) - (e^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a - b^2/(4*c)])/(2*c^(3/2))}
+{(d + e*x)^1*Sin[a + b*x + c*x^2], x, 4, -((e*Cos[a + b*x + c*x^2])/(2*c)) + ((2*c*d - b*e)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - b^2/(4*c)]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/(2*c^(3/2)) + ((2*c*d - b*e)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a - b^2/(4*c)])/(2*c^(3/2))}
+{(d + e*x)^0*Sin[a + b*x + c*x^2], x, 3, (Sqrt[Pi/2]*Cos[a - b^2/(4*c)]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/Sqrt[c] + (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a - b^2/(4*c)])/Sqrt[c]}
+{Sin[a + b*x + c*x^2]/(d + e*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sin[a + b*x + c*x^2]/(d + e*x), x]}
+
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+{(d + e*x)^2*Sin[a + b*x + c*x^2]^2, x, 10, (d + e*x)^3/(6*e) - ((2*c*d - b*e)^2*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - b^2/(2*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(16*c^(5/2)) + (e^2*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - b^2/(2*c)]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(16*c^(3/2)) + (e^2*Sqrt[Pi]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - b^2/(2*c)])/(16*c^(3/2)) + ((2*c*d - b*e)^2*Sqrt[Pi]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - b^2/(2*c)])/(16*c^(5/2)) - (e*(2*c*d - b*e)*Sin[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(16*c^2) - (e*(d + e*x)*Sin[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(8*c)}
+{(d + e*x)^1*Sin[a + b*x + c*x^2]^2, x, 6, (d + e*x)^2/(4*e) - ((2*c*d - b*e)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - b^2/(2*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(8*c^(3/2)) + ((2*c*d - b*e)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - b^2/(2*c)])/(8*c^(3/2)) - (e*Sin[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(8*c)}
+{(d + e*x)^0*Sin[a + b*x + c*x^2]^2, x, 5, x/2 - (Sqrt[Pi]*Cos[2*a - b^2/(2*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(4*Sqrt[c]) + (Sqrt[Pi]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - b^2/(2*c)])/(4*Sqrt[c])}
+{Sin[a + b*x + c*x^2]^2/(d + e*x)^1, x, 2, (-(1/2))*Unintegrable[Cos[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2]/(d + e*x), x] + Log[d + e*x]/(2*e)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.2.1 (a+b sin)^m (c+d sin)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.2.1 (a+b sin)^m (c+d sin)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..578fee9b
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.2.1 (a+b sin)^m (c+d sin)^n.m	
@@ -0,0 +1,1394 @@
+(* ::Package:: *)
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+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
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+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
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+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
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+{Sin[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 9, (3*a^2*x)/4 - (2*a^2*Cos[e + f*x])/f + (a^2*Cos[e + f*x]^3)/f - (a^2*Cos[e + f*x]^5)/(5*f) - (3*a^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(4*f) - (a^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(2*f)}
+
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+
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
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+{Sin[x]^4/(a + a*Sin[x]), x, 6, -((3*x)/(2*a)) - (4*Cos[x])/a + (4*Cos[x]^3)/(3*a) + (3*Cos[x]*Sin[x])/(2*a) + (Cos[x]*Sin[x]^3)/(a + a*Sin[x])}
+{Sin[x]^3/(a + a*Sin[x]), x, 2, (3*x)/(2*a) + (2*Cos[x])/a - (3*Cos[x]*Sin[x])/(2*a) + (Cos[x]*Sin[x]^2)/(a + a*Sin[x])}
+{Sin[x]^2/(a + a*Sin[x]), x, 4, -(x/a) - Cos[x]/a - Cos[x]/(a*(1 + Sin[x]))}
+{Sin[x]^1/(a + a*Sin[x]), x, 2, x/a + Cos[x]/(a + a*Sin[x])}
+{Sin[x]^0/(a + a*Sin[x]), x, 1, -(Cos[x]/(a + a*Sin[x]))}
+{Csc[x]^1/(a + a*Sin[x]), x, 3, -(ArcTanh[Cos[x]]/a) + Cos[x]/(a + a*Sin[x])}
+{Csc[x]^2/(a + a*Sin[x]), x, 5, ArcTanh[Cos[x]]/a - (2*Cot[x])/a + Cot[x]/(a + a*Sin[x])}
+{Csc[x]^3/(a + a*Sin[x]), x, 6, -((3*ArcTanh[Cos[x]])/(2*a)) + (2*Cot[x])/a - (3*Cot[x]*Csc[x])/(2*a) + (Cot[x]*Csc[x])/(a + a*Sin[x])}
+{Csc[x]^4/(a + a*Sin[x]), x, 6, (3*ArcTanh[Cos[x]])/(2*a) - (4*Cot[x])/a - (4*Cot[x]^3)/(3*a) + (3*Cot[x]*Csc[x])/(2*a) + (Cot[x]*Csc[x]^2)/(a + a*Sin[x])}
+
+
+{Sin[x]^4/(a + a*Sin[x])^2, x, 3, (7*x)/(2*a^2) + (16*Cos[x])/(3*a^2) - (7*Cos[x]*Sin[x])/(2*a^2) + (8*Cos[x]*Sin[x]^2)/(3*a^2*(1 + Sin[x])) + (Cos[x]*Sin[x]^3)/(3*(a + a*Sin[x])^2)}
+{Sin[x]^3/(a + a*Sin[x])^2, x, 6, -((2*x)/a^2) - (4*Cos[x])/(3*a^2) - (2*Cos[x])/(a^2*(1 + Sin[x])) + (Cos[x]*Sin[x]^2)/(3*(a + a*Sin[x])^2)}
+{Sin[x]^2/(a + a*Sin[x])^2, x, 3, x/a^2 + (5*Cos[x])/(3*a^2*(1 + Sin[x])) - Cos[x]/(3*(a + a*Sin[x])^2)}
+{Sin[x]^1/(a + a*Sin[x])^2, x, 2, Cos[x]/(3*(a + a*Sin[x])^2) - (2*Cos[x])/(3*(a^2 + a^2*Sin[x]))}
+{Sin[x]^0/(a + a*Sin[x])^2, x, 2, -(Cos[x]/(3*(a + a*Sin[x])^2)) - Cos[x]/(3*(a^2 + a^2*Sin[x]))}
+{Csc[x]^1/(a + a*Sin[x])^2, x, 4, -(ArcTanh[Cos[x]]/a^2) + (4*Cos[x])/(3*a^2*(1 + Sin[x])) + Cos[x]/(3*(a + a*Sin[x])^2)}
+{Csc[x]^2/(a + a*Sin[x])^2, x, 6, (2*ArcTanh[Cos[x]])/a^2 - (10*Cot[x])/(3*a^2) + (2*Cot[x])/(a^2*(1 + Sin[x])) + Cot[x]/(3*(a + a*Sin[x])^2)}
+{Csc[x]^3/(a + a*Sin[x])^2, x, 7, -((7*ArcTanh[Cos[x]])/(2*a^2)) + (16*Cot[x])/(3*a^2) - (7*Cot[x]*Csc[x])/(2*a^2) + (8*Cot[x]*Csc[x])/(3*a^2*(1 + Sin[x])) + (Cot[x]*Csc[x])/(3*(a + a*Sin[x])^2)}
+{Csc[x]^4/(a + a*Sin[x])^2, x, 7, (5*ArcTanh[Cos[x]])/a^2 - (4*Cot[x])/a^2 - Cot[x]^3/(3*a^2) + (Cot[x]*Csc[x])/a^2 - Cos[x]/(3*a^2*(1 + Sin[x])^2) - (13*Cos[x])/(3*a^2*(1 + Sin[x])), (5*ArcTanh[Cos[x]])/a^2 - (12*Cot[x])/a^2 - (4*Cot[x]^3)/a^2 + (5*Cot[x]*Csc[x])/a^2 + (10*Cot[x]*Csc[x]^2)/(3*a^2*(1 + Sin[x])) + (Cot[x]*Csc[x]^2)/(3*(a + a*Sin[x])^2)}
+
+
+{Sin[x]^6/(a + a*Sin[x])^3, x, 8, -((23*x)/(2*a^3)) - (136*Cos[x])/(5*a^3) + (136*Cos[x]^3)/(15*a^3) + (23*Cos[x]*Sin[x])/(2*a^3) + (Cos[x]*Sin[x]^5)/(5*(a + a*Sin[x])^3) + (13*Cos[x]*Sin[x]^4)/(15*a*(a + a*Sin[x])^2) + (23*Cos[x]*Sin[x]^3)/(3*(a^3 + a^3*Sin[x]))}
+{Sin[x]^5/(a + a*Sin[x])^3, x, 4, (13*x)/(2*a^3) + (152*Cos[x])/(15*a^3) - (13*Cos[x]*Sin[x])/(2*a^3) + (Cos[x]*Sin[x]^4)/(5*(a + a*Sin[x])^3) + (11*Cos[x]*Sin[x]^3)/(15*a*(a + a*Sin[x])^2) + (76*Cos[x]*Sin[x]^2)/(15*(a^3 + a^3*Sin[x]))}
+{Sin[x]^4/(a + a*Sin[x])^3, x, 7, -((3*x)/a^3) - (9*Cos[x])/(5*a^3) + (Cos[x]*Sin[x]^3)/(5*(a + a*Sin[x])^3) + (3*Cos[x]*Sin[x]^2)/(5*a*(a + a*Sin[x])^2) - (3*Cos[x])/(a^3 + a^3*Sin[x])}
+{Sin[x]^3/(a + a*Sin[x])^3, x, 5, x/a^3 + (Cos[x]*Sin[x]^2)/(5*(a + a*Sin[x])^3) - (7*Cos[x])/(15*a*(a + a*Sin[x])^2) + (29*Cos[x])/(15*(a^3 + a^3*Sin[x]))}
+{Sin[x]^2/(a + a*Sin[x])^3, x, 3, -(Cos[x]/(5*(a + a*Sin[x])^3)) + (8*Cos[x])/(15*a*(a + a*Sin[x])^2) - (7*Cos[x])/(15*(a^3 + a^3*Sin[x]))}
+{Sin[x]^1/(a + a*Sin[x])^3, x, 3, Cos[x]/(5*(a + a*Sin[x])^3) - Cos[x]/(5*a*(a + a*Sin[x])^2) - Cos[x]/(5*(a^3 + a^3*Sin[x]))}
+{Sin[x]^0/(a + a*Sin[x])^3, x, 3, -(Cos[x]/(5*(a + a*Sin[x])^3)) - (2*Cos[x])/(15*a*(a + a*Sin[x])^2) - (2*Cos[x])/(15*(a^3 + a^3*Sin[x]))}
+{Csc[x]^1/(a + a*Sin[x])^3, x, 5, -(ArcTanh[Cos[x]]/a^3) + Cos[x]/(5*(a + a*Sin[x])^3) + (7*Cos[x])/(15*a*(a + a*Sin[x])^2) + (22*Cos[x])/(15*(a^3 + a^3*Sin[x]))}
+{Csc[x]^2/(a + a*Sin[x])^3, x, 7, (3*ArcTanh[Cos[x]])/a^3 - (24*Cot[x])/(5*a^3) + Cot[x]/(5*(a + a*Sin[x])^3) + (3*Cot[x])/(5*a*(a + a*Sin[x])^2) + (3*Cot[x])/(a^3 + a^3*Sin[x])}
+{Csc[x]^3/(a + a*Sin[x])^3, x, 8, -((13*ArcTanh[Cos[x]])/(2*a^3)) + (152*Cot[x])/(15*a^3) - (13*Cot[x]*Csc[x])/(2*a^3) + (Cot[x]*Csc[x])/(5*(a + a*Sin[x])^3) + (11*Cot[x]*Csc[x])/(15*a*(a + a*Sin[x])^2) + (76*Cot[x]*Csc[x])/(15*(a^3 + a^3*Sin[x]))}
+{Csc[x]^4/(a + a*Sin[x])^3, x, 8, (23*ArcTanh[Cos[x]])/(2*a^3) - (136*Cot[x])/(5*a^3) - (136*Cot[x]^3)/(15*a^3) + (23*Cot[x]*Csc[x])/(2*a^3) + (Cot[x]*Csc[x]^2)/(5*(a + a*Sin[x])^3) + (13*Cot[x]*Csc[x]^2)/(15*a*(a + a*Sin[x])^2) + (23*Cot[x]*Csc[x]^2)/(3*(a^3 + a^3*Sin[x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 5, -((32*a*Cos[c + d*x])/(45*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (16*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(63*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(9*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (64*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(315*d) - (32*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(105*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 4, -((4*a*Cos[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (2*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(7*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (8*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(35*d) - (12*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(35*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, -((14*a*Cos[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) + (4*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(15*d) - (2*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 2, -((2*a*Cos[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*d)}
+{Sin[c + d*x]^0*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 1, -((2*a*Cos[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]))}
+{Csc[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 2, -((2*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/d)}
+{Csc[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, -((Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/d) - (a*Cot[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Csc[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 4, -((3*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(4*d)) - (3*a*Cot[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Csc[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 5, -((5*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(8*d)) - (5*a*Cot[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (5*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+
+{Csc[c + d*x]^1*Sqrt[a - a*Sin[c + d*x]], x, 2, -2*(Sqrt[a]/d)*ArcTanh[Sqrt[a]*(Cos[c + d*x]/Sqrt[a - a*Sin[c + d*x]])]}
+
+{Csc[c + d*x]^1*Sqrt[-a + a*Sin[c + d*x]], x, 2, 2*(Sqrt[a]/d)*ArcTan[Sqrt[a]*(Cos[c + d*x]/Sqrt[-a + a*Sin[c + d*x]])]}
+
+{Csc[c + d*x]^1*Sqrt[-a - a*Sin[c + d*x]], x, 2, 2*(Sqrt[a]/d)*ArcTan[Sqrt[a]*(Cos[c + d*x]/Sqrt[-a - a*Sin[c + d*x]])]}
+
+
+{Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((68*a^2*Cos[c + d*x])/(45*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (34*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(63*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(9*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (136*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(315*d) - (68*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(105*d)}
+{Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((152*a^2*Cos[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (38*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(105*d) + (4*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(35*d) - (2*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(7*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 3, -((8*a^2*Cos[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (2*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(5*d) - (2*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*d)}
+{Sin[c + d*x]^0*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 2, -((8*a^2*Cos[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (2*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*d)}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((2*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/d) - (2*a^2*Cos[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((3*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/d) - (a^2*Cot[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((7*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(4*d)) - (7*a^2*Cot[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((11*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(8*d)) - (11*a^2*Cot[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (11*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+
+
+{Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 6, -((284*a^3*Cos[c + d*x])/(99*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (710*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(693*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (46*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(99*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (568*a^2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(693*d) - (2*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(11*d) - (284*a*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(231*d)}
+{Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 5, -((832*a^3*Cos[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (208*a^2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(315*d) - (26*a*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(105*d) + (4*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(63*d) - (2*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(9*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((64*a^3*Cos[c + d*x])/(21*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (16*a^2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(21*d) - (2*a*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(7*d) - (2*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(7*d)}
+{Sin[c + d*x]^0*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 3, -((64*a^3*Cos[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (16*a^2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(15*d) - (2*a*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*d)}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((2*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/d) - (14*a^3*Cos[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*a^2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*d)}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((5*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/d) - (a^3*Cos[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a^2*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d}
+{Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((19*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(4*d)) - (9*a^3*Cot[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 5, -((25*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(8*d)) - (25*a^3*Cot[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (13*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*d)}
+{Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 6, -((163*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(64*d)) - (163*a^3*Cot[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (163*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (17*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(24*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^3/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 6, (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (28*Cos[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(5*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(15*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^2/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 4, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (4*Cos[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^1/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (2*Cos[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sin[c + d*x]^0/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 2, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d))}
+{Csc[c + d*x]^1/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 5, -((2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{Csc[c + d*x]^2/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 6, ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]]/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - Cot[c + d*x]/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Csc[c + d*x]^3/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 7, -((7*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + Cot[c + d*x]/(4*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+
+
+{Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 7, (15*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(2*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (31*Cos[c + d*x])/(5*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (9*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(10*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (13*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(10*a^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((11*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(2*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (13*Cos[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (7*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(6*a^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 4, (7*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Cos[c + d*x]/(2*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (2*Cos[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 3, -((3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) + Cos[c + d*x]/(2*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{Sin[c + d*x]^0/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 3, -(ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])]/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - Cos[c + d*x]/(2*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + (5*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + Cos[c + d*x]/(2*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 7, (3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - (9*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + Cot[c + d*x]/(2*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (3*Cot[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((19*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(4*a^(3/2)*d)) + (13*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (7*Cot[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+
+
+{Sin[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 8, (283*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) + (21*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(16*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (1729*Cos[c + d*x])/(120*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (157*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(80*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (787*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(240*a^3*d)}
+{Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((163*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) + (17*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(16*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (197*Cos[c + d*x])/(24*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (95*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(48*a^3*d)}
+{Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 6, (75*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (13*Cos[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (9*Cos[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((19*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - Cos[c + d*x]/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) + (13*Cos[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((5*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) + Cos[c + d*x]/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (5*Cos[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{Sin[c + d*x]^0/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - Cos[c + d*x]/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (3*Cos[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + (43*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + Cos[c + d*x]/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) + (11*Cos[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 8, (5*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - (115*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + Cot[c + d*x]/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) + (15*Cot[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (35*Cot[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((39*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(4*a^(5/2)*d)) + (219*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) + (19*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (63*Cot[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (31*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^(n/2) (a+a Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]/Sqrt[Sin[e + f*x]], x, 2, -((2*Sqrt[a]*ArcSin[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]])/f)}
+{Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]/Sqrt[-Sin[e + f*x]], x, 2, (2*Sqrt[a]*ArcSin[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]])/f}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{1/(Sqrt[1 + Sin[x]]*Sqrt[Sin[x]]), x, 2, (-Sqrt[2])*ArcSin[Cos[x]/(1 + Sin[x])]}
+{1/(Sqrt[a + a*Sin[x]]*Sqrt[Sin[x]]), x, 2, -((Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Sin[x]]*Sqrt[a + a*Sin[x]])])/Sqrt[a])}
+
+{1/(Sqrt[1 - Sin[x]]*Sqrt[Sin[x]]), x, 2, Sqrt[2]*ArcTanh[Cos[x]/(Sqrt[2]*Sqrt[1 - Sin[x]]*Sqrt[Sin[x]])]}
+{1/(Sqrt[a - a*Sin[x]]*Sqrt[Sin[x]]), x, 2, (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Sin[x]]*Sqrt[a - a*Sin[x]])])/Sqrt[a]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^(n/3) (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^(1/3)/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 5, (4*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1/3))/(9*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) - (Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(4/3))/(36*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(1/3))/(9*a^2*d*(1 + Sin[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(1/3))/(3*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^(m/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3), x, 6, -((63*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3))/(220*d)) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3))/(11*d) - (67*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3))/(55*2^(5/6)*d*(1 + Sin[c + d*x])^(7/6)) - (3*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/3))/(44*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3), x, 4, (9*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3))/(40*d) - (19*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3))/(10*2^(5/6)*d*(1 + Sin[c + d*x])^(7/6)) - (3*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/3))/(8*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3), x, 3, -((3*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3))/(5*d)) - (4*2^(1/6)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3))/(5*d*(1 + Sin[c + d*x])^(7/6))}
+{Sin[c + d*x]^0*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3), x, 2, -((2*2^(1/6)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3))/(d*(1 + Sin[c + d*x])^(7/6)))}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3), x, 4, -((2*2^(1/6)*AppellF1[1/2, 1, -(1/6), 3/2, 1 - Sin[c + d*x], (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3))/(d*(1 + Sin[c + d*x])^(7/6)))}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3), x, 4, -((2*2^(1/6)*AppellF1[1/2, 2, -(1/6), 3/2, 1 - Sin[c + d*x], (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3))/(d*(1 + Sin[c + d*x])^(7/6)))}
+
+
+{Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3), x, 6, -((388*2^(5/6)*a*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(5/6), 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3))/(455*d*(1 + Sin[c + d*x])^(5/6))) - (72*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3))/(455*d) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3))/(13*d) - (6*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/3))/(65*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3), x, 4, -((37*2^(5/6)*a*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(5/6), 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3))/(35*d*(1 + Sin[c + d*x])^(5/6))) + (9*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3))/(70*d) - (3*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/3))/(10*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3), x, 3, -((8*2^(5/6)*a*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(5/6), 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3))/(7*d*(1 + Sin[c + d*x])^(5/6))) - (3*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3))/(7*d)}
+{Sin[c + d*x]^0*(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3), x, 2, -((2*2^(5/6)*a*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(5/6), 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3))/(d*(1 + Sin[c + d*x])^(5/6)))}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3), x, 4, -((2*2^(5/6)*a*AppellF1[1/2, 1, -(5/6), 3/2, 1 - Sin[c + d*x], (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3))/(d*(1 + Sin[c + d*x])^(5/6)))}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3), x, 4, -((2*2^(5/6)*a*AppellF1[1/2, 2, -(5/6), 3/2, 1 - Sin[c + d*x], (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3))/(d*(1 + Sin[c + d*x])^(5/6)))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3), x, 6, -((99*Cos[c + d*x])/(80*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3))) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3)) + (37*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])])/(40*2^(5/6)*d*(1 + Sin[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3)) + (3*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3))/(40*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3), x, 4, (9*Cos[c + d*x])/(10*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3)) - (7*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])])/(5*2^(5/6)*d*(1 + Sin[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3)) - (3*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(2/3))/(5*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3), x, 3, -((3*Cos[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3))) + (Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])])/(2^(5/6)*d*(1 + Sin[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3))}
+{Sin[c + d*x]^0/(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3), x, 2, -((2^(1/6)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])])/(d*(1 + Sin[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3)))}
+{Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3), x, 4, -((2^(1/6)*AppellF1[1/2, 1, 5/6, 3/2, 1 - Sin[c + d*x], (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*Cos[c + d*x])/(d*(1 + Sin[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3)))}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3), x, 4, -((2^(1/6)*AppellF1[1/2, 2, 5/6, 3/2, 1 - Sin[c + d*x], (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*Cos[c + d*x])/(d*(1 + Sin[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3)))}
+
+
+{Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3), x, 6, (6*Cos[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3)) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(5*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3)) + (6*Cos[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3)) - (2*2^(1/6)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])])/(a*d*(1 + Sin[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3))}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3), x, 4, -((3*Cos[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3))) - (3*Cos[c + d*x])/(2*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3)) + (13*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])])/(5*2^(5/6)*a*d*(1 + Sin[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3))}
+{Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3), x, 3, (3*Cos[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3)) - (4*2^(1/6)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])])/(5*a*d*(1 + Sin[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3))}
+{Sin[c + d*x]^0/(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3), x, 2, -((Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 11/6, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])])/(2^(5/6)*a*d*(1 + Sin[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3)))}
+{Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3), x, 4, -((AppellF1[1/2, 1, 11/6, 3/2, 1 - Sin[c + d*x], (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*Cos[c + d*x])/(2^(5/6)*a*d*(1 + Sin[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3)))}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(4/3), x, 4, -((AppellF1[1/2, 2, 11/6, 3/2, 1 - Sin[c + d*x], (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*Cos[c + d*x])/(2^(5/6)*a*d*(1 + Sin[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/3)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m with n symbolic*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^n*(1 + Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((2*(5 + 4*n)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, 1 - Sin[e + f*x]])/(f*(3 + 2*n)*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])) - (2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^(1 + n))/(f*(3 + 2*n)*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^n*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2), x, 2, -((2*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, 1 - Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))}
+{Sin[e + f*x]^n/(1 + Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, -((AppellF1[1/2, -n, 1, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))}
+{Sin[e + f*x]^n/(1 + Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((AppellF1[1/2, -n, 2, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x])/(2*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))}
+
+
+{Sin[e + f*x]^n*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((2*a^2*(5 + 4*n)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, 1 - Sin[e + f*x]])/(f*(3 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (2*a^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^(1 + n))/(f*(3 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^n*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 2, -((2*a*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, 1 - Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))}
+{Sin[e + f*x]^n/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, -((AppellF1[1/2, -n, 1, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))}
+{Sin[e + f*x]^n/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((AppellF1[1/2, -n, 2, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x])/(2*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))}
+
+
+{(d*Sin[e + f*x])^n*(1 + Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((2*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(3 + 2*n)*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])) + ((5 + 4*n)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1 + n, 2 + n, Sin[e + f*x]]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)*(3 + 2*n)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])}
+{(d*Sin[e + f*x])^n*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2), x, 2, (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1 + n, 2 + n, Sin[e + f*x]]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])}
+{(d*Sin[e + f*x])^n/(1 + Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, -((AppellF1[1/2, -n, 1, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^n)/(Sin[e + f*x]^n*(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{(d*Sin[e + f*x])^n/(1 + Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((AppellF1[1/2, -n, 2, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^n)/(Sin[e + f*x]^n*(2*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+
+
+{(d*Sin[e + f*x])^n*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, -((2*a^2*(5 + 4*n)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, 1 - Sin[e + f*x]]*(d*Sin[e + f*x])^n)/(Sin[e + f*x]^n*(f*(3 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))) - (2*a^2*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(3 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(d*Sin[e + f*x])^n*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, -((2*a*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, 1 - Sin[e + f*x]]*(d*Sin[e + f*x])^n)/(Sin[e + f*x]^n*(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])))}
+{(d*Sin[e + f*x])^n/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 5, -((AppellF1[1/2, -n, 1, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^n)/(Sin[e + f*x]^n*(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])))}
+{(d*Sin[e + f*x])^n/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, -((AppellF1[1/2, -n, 2, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^n)/(Sin[e + f*x]^n*(2*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m with m symbolic*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^n*(1 + Sin[e + f*x])^m, x, 2, -((2^(1/2 + m)*AppellF1[1/2, -n, 1/2 - m, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))}
+{(-Sin[e + f*x])^n*(1 - Sin[e + f*x])^m, x, 2, (2^(1/2 + m)*AppellF1[1/2, -n, 1/2 - m, 3/2, 1 + Sin[e + f*x], (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(d*Sin[e + f*x])^n*(1 + Sin[e + f*x])^m, x, 3, -((2^(1/2 + m)*AppellF1[1/2, -n, 1/2 - m, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^n)/(Sin[e + f*x]^n*(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{(d*Sin[e + f*x])^n*(1 - Sin[e + f*x])^m, x, 3, (2^(1/2 + m)*AppellF1[1/2, -n, 1/2 - m, 3/2, 1 + Sin[e + f*x], (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^n)/((-Sin[e + f*x])^n*(f*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]))}
+
+
+{Sin[e + f*x]^n*(a + a*Sin[e + f*x])^m, x, 3, -((2^(1/2 + m)*AppellF1[1/2, -n, 1/2 - m, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/f)}
+{(-Sin[e + f*x])^n*(a - a*Sin[e + f*x])^m, x, 3, (2^(1/2 + m)*AppellF1[1/2, -n, 1/2 - m, 3/2, 1 + Sin[e + f*x], (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a - a*Sin[e + f*x])^m)/f}
+
+
+{(d Sin[e + f*x])^n*(a + a*Sin[e + f*x])^m, x, 4, -((2^(1/2 + m)*AppellF1[1/2, -n, 1/2 - m, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^n*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(Sin[e + f*x]^n*f))}
+{(d Sin[e + f*x])^n*(a - a*Sin[e + f*x])^m, x, 4, (2^(1/2 + m)*AppellF1[1/2, -n, 1/2 - m, 3/2, 1 + Sin[e + f*x], (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(d*Sin[e + f*x])^n*(a - a*Sin[e + f*x])^m)/((-Sin[e + f*x])^n*f)}
+
+
+{Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^n, x, 7, If[$VersionNumber>=8, ((9 - n - n^2)*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)) - (n*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(3 + n)*(4 + n)) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(4 + n)) - (2^(1/2 + n)*(9 + 12*n + 17*n^2 + 6*n^3 + n^4)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)) - ((9 + 3*n + n^2)*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)), ((9 - n - n^2)*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(24 + 50*n + 35*n^2 + 10*n^3 + n^4)) - (n*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(3 + n)*(4 + n)) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(4 + n)) - (2^(1/2 + n)*(9 + 12*n + 17*n^2 + 6*n^3 + n^4)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(4 + n)*(6 + 11*n + 6*n^2 + n^3)) - ((9 + 3*n + n^2)*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(4 + n)*(6 + 5*n + n^2))]}
+{Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^n, x, 6, If[$VersionNumber>=8, -(((4 + n)*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n))) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(3 + n)) - (2^(1/2 + n)*n*(5 + 3*n + n^2)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)) - (n*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(6 + 5*n + n^2)), -(((4 + n)*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(6 + 11*n + 6*n^2 + n^3))) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(3 + n)) - (2^(1/2 + n)*n*(5 + 3*n + n^2)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(6 + 11*n + 6*n^2 + n^3)) - (n*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(6 + 5*n + n^2))]}
+{Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^n, x, 4, If[$VersionNumber>=8, (Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(2 + 3*n + n^2)) - (2^(1/2 + n)*(1 + n + n^2)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(1 + n)*(2 + n)) - (Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(2 + n)), (Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(2 + 3*n + n^2)) - (2^(1/2 + n)*(1 + n + n^2)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(2 + 3*n + n^2)) - (Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(2 + n))]}
+{Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^n, x, 3, -((Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(1 + n))) - (2^(1/2 + n)*n*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/(d*(1 + n))}
+{Sin[c + d*x]^0*(a + a*Sin[c + d*x])^n, x, 2, -((2^(1/2 + n)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*(1 + Sin[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/d)}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^n, x, 4, -((2^(1/2 + n)*AppellF1[1/2, 1, 1/2 - n, 3/2, 1 - Sin[c + d*x], (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*Cos[c + d*x]*(1 + Sin[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/d)}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^n, x, 4, -((2^(1/2 + n)*AppellF1[1/2, 2, 1/2 - n, 3/2, 1 - Sin[c + d*x], (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])]*Cos[c + d*x]*(1 + Sin[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sin[c + d*x])^n)/d)}
+
+
+{(1 + Sin[c + d*x])^n, x, 1, -((2^(1/2 + n)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x])])/(d*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]))}
+{(1 - Sin[c + d*x])^n, x, 1, (2^(1/2 + n)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 + Sin[c + d*x])])/(d*Sqrt[1 - Sin[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]), x, 6, (3*b*x)/8 - (a*Cos[e + f*x])/f + (a*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) - (3*b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - (b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(4*f)}
+{Sin[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]), x, 5, (a*x)/2 - (b*Cos[e + f*x])/f + (b*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) - (a*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{Sin[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x]), x, 1, (b*x)/2 - (a*Cos[e + f*x])/f - (b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{Sin[e + f*x]^0*(a + b*Sin[e + f*x]), x, 2, a*x - (b*Cos[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x]), x, 2, b*x - (a*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/f}
+{Csc[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]), x, 4, -((b*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/f) - (a*Cot[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]), x, 5, -((a*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(2*f)) - (b*Cot[e + f*x])/f - (a*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]), x, 5, -((b*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(2*f)) - (a*Cot[e + f*x])/f - (a*Cot[e + f*x]^3)/(3*f) - (b*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*f)}
+
+
+{Sin[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 7, (3*a*b*x)/4 - ((a^2 + b^2)*Cos[e + f*x])/f + ((a^2 + 2*b^2)*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) - (b^2*Cos[e + f*x]^5)/(5*f) - (3*a*b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(4*f) - (a*b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(2*f)}
+{Sin[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 6, (1/8)*(4*a^2 + 3*b^2)*x - (2*a*b*Cos[e + f*x])/f + (2*a*b*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) - ((4*a^2 + 3*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - (b^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(4*f)}
+{Sin[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 2, a*b*x - (2*(a^2 + b^2)*Cos[e + f*x])/(3*f) - (a*b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*f) - (Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^2)/(3*f)}
+{Sin[e + f*x]^0*(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 1, (1/2)*(2*a^2 + b^2)*x - (2*a*b*Cos[e + f*x])/f - (b^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 3, 2*a*b*x - (a^2*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/f - (b^2*Cos[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 4, b^2*x - (2*a*b*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/f - (a^2*Cot[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 5, -(((a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(2*f)) - (2*a*b*Cot[e + f*x])/f - (a^2*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 6, -((a*b*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/f) - ((2*a^2 + 3*b^2)*Cot[e + f*x])/(3*f) - (a*b*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/f - (a^2*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2)/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^5*(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 6, -(((3*a^2 + 4*b^2)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(8*f)) - (2*a*b*Cot[e + f*x])/f - (2*a*b*Cot[e + f*x]^3)/(3*f) - ((3*a^2 + 4*b^2)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*f) - (a^2*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^3)/(4*f)}
+
+
+{Sin[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 8, (1/16)*b*(18*a^2 + 5*b^2)*x - (a*(a^2 + 3*b^2)*Cos[e + f*x])/f + (a*(a^2 + 6*b^2)*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) - (3*a*b^2*Cos[e + f*x]^5)/(5*f) - (b*(18*a^2 + 5*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) - (b*(18*a^2 + 5*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(24*f) - (b^3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^5)/(6*f), (1/16)*b*(18*a^2 + 5*b^2)*x - (a*(5*a^2 + 12*b^2)*Cos[e + f*x])/(5*f) + (a*(5*a^2 + 12*b^2)*Cos[e + f*x]^3)/(15*f) - (b*(18*a^2 + 5*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) - (b*(18*a^2 + 5*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(24*f) - (13*a*b^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^4)/(30*f) - (b^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]))/(6*f)}
+{Sin[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 4, (1/8)*a*(4*a^2 + 9*b^2)*x - (b*(15*a^2 + 4*b^2)*Cos[e + f*x])/(5*f) + (b*(15*a^2 + 4*b^2)*Cos[e + f*x]^3)/(15*f) - (a*(4*a^2 + 9*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - (11*a*b^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(20*f) - (b^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]))/(5*f), (1/8)*a*(4*a^2 + 9*b^2)*x + ((3*a^4 - 52*a^2*b^2 - 16*b^4)*Cos[e + f*x])/(30*b*f) + (a*(6*a^2 - 71*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(120*f) + ((3*a^2 - 16*b^2)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^2)/(60*b*f) + (a*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^3)/(20*b*f) - (Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^4)/(5*b*f)}
+{Sin[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 3, (3/8)*b*(4*a^2 + b^2)*x - (a*(a^2 + 4*b^2)*Cos[e + f*x])/(2*f) - (b*(2*a^2 + 3*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - (a*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^2)/(4*f) - (Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^3)/(4*f)}
+{Sin[e + f*x]^0*(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 2, (1/2)*a*(2*a^2 + 3*b^2)*x - (2*b*(4*a^2 + b^2)*Cos[e + f*x])/(3*f) - (5*a*b^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(6*f) - (b*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^2)/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 4, (1/2)*b*(6*a^2 + b^2)*x - (a^3*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/f - (5*a*b^2*Cos[e + f*x])/(2*f) - (b^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 4, 3*a*b^2*x - (3*a^2*b*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/f + (b*(a^2 - b^2)*Cos[e + f*x])/f - (a^2*Cot[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]))/f}
+{Csc[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 4, b^3*x - (a*(a^2 + 6*b^2)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(2*f) - (5*a^2*b*Cot[e + f*x])/(2*f) - (a^2*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 6, -((b*(3*a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(2*f)) - (a*(2*a^2 + 9*b^2)*Cot[e + f*x])/(3*f) - (7*a^2*b*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(6*f) - (a^2*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^5*(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 7, -((3*a*(a^2 + 4*b^2)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(8*f)) - (b*(2*a^2 + b^2)*Cot[e + f*x])/f - (3*a*(a^2 + 4*b^2)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*f) - (3*a^2*b*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2)/(4*f) - (a^2*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]))/(4*f)}
+
+
+{Sin[e + f*x]^0*(a + b*Sin[e + f*x])^4, x, 3, (1/8)*(8*a^4 + 24*a^2*b^2 + 3*b^4)*x - (a*b*(19*a^2 + 16*b^2)*Cos[e + f*x])/(6*f) - (b^2*(26*a^2 + 9*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(24*f) - (7*a*b*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^2)/(12*f) - (b*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^3)/(4*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sin[x]^4/(a + b*Sin[x]), x, 7, -((a*(2*a^2 + b^2)*x)/(2*b^4)) + (2*a^4*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^4*Sqrt[a^2 - b^2]) - ((3*a^2 + 2*b^2)*Cos[x])/(3*b^3) + (a*Cos[x]*Sin[x])/(2*b^2) - (Cos[x]*Sin[x]^2)/(3*b)}
+{Sin[x]^3/(a + b*Sin[x]), x, 6, ((2*a^2 + b^2)*x)/(2*b^3) - (2*a^3*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]) + (a*Cos[x])/b^2 - (Cos[x]*Sin[x])/(2*b)}
+{Sin[x]^2/(a + b*Sin[x]), x, 6, -((a*x)/b^2) + (2*a^2*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]) - Cos[x]/b}
+{Sin[x]^1/(a + b*Sin[x]), x, 4, x/b - (2*a*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b*Sqrt[a^2 - b^2])}
+{Sin[x]^0/(a + b*Sin[x]), x, 3, (2*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/Sqrt[a^2 - b^2]}
+{Csc[x]^1/(a + b*Sin[x]), x, 5, -((2*b*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*Sqrt[a^2 - b^2])) - ArcTanh[Cos[x]]/a}
+{Csc[x]^2/(a + b*Sin[x]), x, 7, (2*b^2*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]) + (b*ArcTanh[Cos[x]])/a^2 - Cot[x]/a}
+{Csc[x]^3/(a + b*Sin[x]), x, 7, -((2*b^3*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*Sqrt[a^2 - b^2])) - ((a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[Cos[x]])/(2*a^3) + (b*Cot[x])/a^2 - (Cot[x]*Csc[x])/(2*a)}
+{Csc[x]^4/(a + b*Sin[x]), x, 8, (2*b^4*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*Sqrt[a^2 - b^2]) + (b*(a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[Cos[x]])/(2*a^4) - ((2*a^2 + 3*b^2)*Cot[x])/(3*a^3) + (b*Cot[x]*Csc[x])/(2*a^2) - (Cot[x]*Csc[x]^2)/(3*a)}
+
+
+{Sin[x]^4/(a + b*Sin[x])^2, x, 7, ((6*a^2 + b^2)*x)/(2*b^4) - (2*a^3*(3*a^2 - 4*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^4*(a^2 - b^2)^(3/2)) + (a*(3*a^2 - 2*b^2)*Cos[x])/(b^3*(a^2 - b^2)) - ((3*a^2 - b^2)*Cos[x]*Sin[x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)) + (a^2*Cos[x]*Sin[x]^2)/(b*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x]))}
+{Sin[x]^3/(a + b*Sin[x])^2, x, 6, -((2*a*x)/b^3) + (2*a^2*(2*a^2 - 3*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^3*(a^2 - b^2)^(3/2)) - ((2*a^2 - b^2)*Cos[x])/(b^2*(a^2 - b^2)) + (a^2*Cos[x]*Sin[x])/(b*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x]))}
+{Sin[x]^2/(a + b*Sin[x])^2, x, 5, x/b^2 - (2*a*(a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^2*(a^2 - b^2)^(3/2)) + (a^2*Cos[x])/(b*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x]))}
+{Sin[x]^1/(a + b*Sin[x])^2, x, 5, -((2*b*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(3/2)) - (a*Cos[x])/((a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x]))}
+{Sin[x]^0/(a + b*Sin[x])^2, x, 5, (2*a*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(3/2) + (b*Cos[x])/((a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x]))}
+{Csc[x]^1/(a + b*Sin[x])^2, x, 6, -((2*b*(2*a^2 - b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*(a^2 - b^2)^(3/2))) - ArcTanh[Cos[x]]/a^2 - (b^2*Cos[x])/(a*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x]))}
+{Csc[x]^2/(a + b*Sin[x])^2, x, 7, (2*b^2*(3*a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*(a^2 - b^2)^(3/2)) + (2*b*ArcTanh[Cos[x]])/a^3 - ((a^2 - 2*b^2)*Cot[x])/(a^2*(a^2 - b^2)) - (b^2*Cot[x])/(a*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x]))}
+{Csc[x]^3/(a + b*Sin[x])^2, x, 8, -((2*b^3*(4*a^2 - 3*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*(a^2 - b^2)^(3/2))) - ((a^2 + 6*b^2)*ArcTanh[Cos[x]])/(2*a^4) + (b*(2*a^2 - 3*b^2)*Cot[x])/(a^3*(a^2 - b^2)) - ((a^2 - 3*b^2)*Cot[x]*Csc[x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)) - (b^2*Cot[x]*Csc[x])/(a*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x]))}
+
+
+{Sin[x]^5/(a + b*Sin[x])^3, x, 8, ((12*a^2 + b^2)*x)/(2*b^5) - (a^3*(12*a^4 - 29*a^2*b^2 + 20*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^5*(a^2 - b^2)^(5/2)) + (3*a*(4*a^4 - 7*a^2*b^2 + 2*b^4)*Cos[x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^2) - ((6*a^4 - 10*a^2*b^2 + b^4)*Cos[x]*Sin[x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2) + (a^2*Cos[x]*Sin[x]^3)/(2*b*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x])^2) + (a^2*(4*a^2 - 7*b^2)*Cos[x]*Sin[x]^2)/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Sin[x]))}
+{Sin[x]^4/(a + b*Sin[x])^3, x, 7, -((3*a*x)/b^4) + (3*a^2*(2*a^4 - 5*a^2*b^2 + 4*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^4*(a^2 - b^2)^(5/2)) - ((3*a^2 - 2*b^2)*Cos[x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)) + (a^2*Cos[x]*Sin[x]^2)/(2*b*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x])^2) - (3*a^3*(a^2 - 2*b^2)*Cos[x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Sin[x]))}
+{Sin[x]^3/(a + b*Sin[x])^3, x, 6, x/b^3 - (a*(2*a^4 - 5*a^2*b^2 + 6*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^3*(a^2 - b^2)^(5/2)) + (a^2*Cos[x]*Sin[x])/(2*b*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x])^2) + (a^2*(2*a^2 - 5*b^2)*Cos[x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Sin[x]))}
+{Sin[x]^2/(a + b*Sin[x])^3, x, 6, ((a^2 + 2*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2) + (a^2*Cos[x])/(2*b*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x])^2) - (a*(a^2 - 4*b^2)*Cos[x])/(2*b*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Sin[x]))}
+{Sin[x]^1/(a + b*Sin[x])^3, x, 6, -((3*a*b*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2)) - (a*Cos[x])/(2*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x])^2) - ((a^2 + 2*b^2)*Cos[x])/(2*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Sin[x]))}
+{Sin[x]^0/(a + b*Sin[x])^3, x, 6, ((2*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2) + (b*Cos[x])/(2*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x])^2) + (3*a*b*Cos[x])/(2*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Sin[x]))}
+{Csc[x]^1/(a + b*Sin[x])^3, x, 7, -((b*(6*a^4 - 5*a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*(a^2 - b^2)^(5/2))) - ArcTanh[Cos[x]]/a^3 - (b^2*Cos[x])/(2*a*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x])^2) - (b^2*(5*a^2 - 2*b^2)*Cos[x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Sin[x]))}
+{Csc[x]^2/(a + b*Sin[x])^3, x, 8, (3*b^2*(4*a^4 - 5*a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*(a^2 - b^2)^(5/2)) + (3*b*ArcTanh[Cos[x]])/a^4 - ((2*a^4 - 11*a^2*b^2 + 6*b^4)*Cot[x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2) - (b^2*Cot[x])/(2*a*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x])^2) - (3*b^2*(2*a^2 - b^2)*Cot[x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Sin[x]))}
+{Csc[x]^3/(a + b*Sin[x])^3, x, 9, -((b^3*(20*a^4 - 29*a^2*b^2 + 12*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^5*(a^2 - b^2)^(5/2))) - ((a^2 + 12*b^2)*ArcTanh[Cos[x]])/(2*a^5) + (3*b*(2*a^4 - 7*a^2*b^2 + 4*b^4)*Cot[x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^2) - ((a^4 - 10*a^2*b^2 + 6*b^4)*Cot[x]*Csc[x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2) - (b^2*Cot[x]*Csc[x])/(2*a*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x])^2) - (b^2*(7*a^2 - 4*b^2)*Cot[x]*Csc[x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Sin[x]))}
+
+
+{Sin[c + d*x]^0/(a + b*Sin[c + d*x])^4, x, 7, (a*(2*a^2 + 3*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(7/2)*d) + (b*Cos[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^3) + (5*a*b*Cos[c + d*x])/(6*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (b*(11*a^2 + 4*b^2)*Cos[c + d*x])/(6*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x, 6, -((2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(3*f)) + (2*a*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(3*b*f*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)])/(3*b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^0*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x, 2, (2*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)])}
+{Csc[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x, 5, (2*b*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + (2*a*EllipticPi[2, (1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x, 9, -((Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/f) - (EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)]) + (a*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + (b*EllipticPi[2, (1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x, 5, (2*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(b*f*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)]) - (2*a*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)])/(b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^0/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x, 2, (2*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x, 2, (2*EllipticPi[2, (1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x, 9, -((Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(a*f)) - (EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)]) + (EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - (b*EllipticPi[2, (1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)])/(a*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^(m/2) (a+b Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^(m/2) (a+b Sin[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+{Sqrt[Sin[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 7, -((Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(d*Sqrt[Sin[c + d*x]])) + ((a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[(a*(1 - Csc[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Csc[c + d*x]))/(a - b)]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Sin[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[c + d*x])/(a*d) - (Sqrt[a + b]*Sqrt[(a*(1 - Csc[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Csc[c + d*x]))/(a - b)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Sin[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[c + d*x])/d + (a*Sqrt[a + b]*Sqrt[(a*(1 - Csc[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Csc[c + d*x]))/(a - b)]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Sin[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[c + d*x])/(b*d)}
+{1/(Sqrt[Sin[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]), x, 1, -((2*Sqrt[a + b]*Sqrt[(a*(1 - Csc[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Csc[c + d*x]))/(a - b)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Sin[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[c + d*x])/(a*d))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(d*Sin[e + f*x])^m*(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 5, -((a*b^2*(7 + 2*m)*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(d*f*(2 + m)*(3 + m))) + (a*(3*b^2*(1 + m) + a^2*(2 + m))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(d*f*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (b*(b^2*(2 + m) + 3*a^2*(3 + m))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(d^2*f*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) - (b^2*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(a + b*Sin[e + f*x]))/(d*f*(3 + m))}
+{(d*Sin[e + f*x])^m*(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 4, -((b^2*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(d*f*(2 + m))) + ((b^2*(1 + m) + a^2*(2 + m))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(d*f*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (2*a*b*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(d^2*f*(2 + m)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{(d*Sin[e + f*x])^m*(a + b*Sin[e + f*x])^1, x, 3, (a*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(d*f*(1 + m)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (b*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(d^2*f*(2 + m)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{(d*Sin[e + f*x])^m/(a + b*Sin[e + f*x])^1, x, 5, -((a*d*AppellF1[1/2, (1 - m)/2, 1, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(Sin[e + f*x]^2)^((1 - m)/2))/((a^2 - b^2)*f)) + (b*AppellF1[1/2, -(m/2), 1, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^m)/((Sin[e + f*x]^2)^(m/2)*((a^2 - b^2)*f))}
+{(d*Sin[e + f*x])^m/(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 10, -((b^2*AppellF1[1/2, (1/2)*(-1 - m), 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(Sin[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 - m)))/((a^2 - b^2)^2*d*f)) - (a^2*d*AppellF1[1/2, (1 - m)/2, 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(Sin[e + f*x]^2)^((1 - m)/2))/((a^2 - b^2)^2*f) + (2*a*b*AppellF1[1/2, -(m/2), 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^m)/((Sin[e + f*x]^2)^(m/2)*((a^2 - b^2)^2*f))}
+{(d*Sin[e + f*x])^m/(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 13, -((3*a*b^2*AppellF1[1/2, (1/2)*(-1 - m), 3, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(Sin[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 - m)))/((a^2 - b^2)^3*d*f)) - (a^3*d*AppellF1[1/2, (1 - m)/2, 3, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(Sin[e + f*x]^2)^((1 - m)/2))/((a^2 - b^2)^3*f) + (b^3*AppellF1[1/2, (1/2)*(-2 - m), 3, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^m)/((Sin[e + f*x]^2)^(m/2)*((a^2 - b^2)^3*f)) + (3*a^2*b*AppellF1[1/2, -(m/2), 3, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^m)/((Sin[e + f*x]^2)^(m/2)*((a^2 - b^2)^3*f))}
+
+
+{Sin[c + d*x]^(-1 - a^2/(a^2 + b^2))*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -(((a^2 + b^2)*Cos[c + d*x])/(Sin[c + d*x]^(a^2/(a^2 + b^2))*d)) + (2*a*(a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, b^2/(2*(a^2 + b^2)), (1/2)*(3 - a^2/(a^2 + b^2)), Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(b^2/(a^2 + b^2)))/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]^2])}
+
+
+{(1 + 2*Sin[c + d*x])^2/Sin[c + d*x]^(6/5), x, 3, -((5*Cos[c + d*x])/(d*Sin[c + d*x]^(1/5))) + (5*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[2/5, 1/2, 7/5, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(4/5))/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^m*(a + b*Sin[c + d*x])^n, x, 0, Unintegrable[Sin[c + d*x]^m*(a + b*Sin[c + d*x])^n, x]}
+
+
+{Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^n, x, 9, (2*a*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + n))/(b^2*d*(2 + n)*(3 + n)) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + n))/(b*d*(3 + n)) - (Sqrt[2]*(a + b)*(2*a^2 + b^2*(2 + n)^2)*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x]), (b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b)]*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^n)/(((a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^n*(b^3*d*(2 + n)*(3 + n)*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]])) + (Sqrt[2]*a*(2*a^2 + b^2*(4 + 5*n + n^2))*AppellF1[1/2, 1/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x]), (b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b)]*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^n)/(((a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^n*(b^3*d*(2 + n)*(3 + n)*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]))}
+{Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^n, x, 8, -((Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(1 + n))/(b*d*(2 + n))) + (Sqrt[2]*a*(a + b)*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x]), (b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b)]*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^n)/(((a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^n*(b^2*d*(2 + n)*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]])) - (Sqrt[2]*(a^2 + b^2*(1 + n))*AppellF1[1/2, 1/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x]), (b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b)]*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^n)/(((a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^n*(b^2*d*(2 + n)*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]))}
+{Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^n, x, 7, -((Sqrt[2]*(a + b)*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x]), (b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b)]*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^n)/(((a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^n*(b*d*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]))) + (Sqrt[2]*a*AppellF1[1/2, 1/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x]), (b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b)]*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^n)/(((a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^n*(b*d*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]))}
+{Sin[c + d*x]^0*(a + b*Sin[c + d*x])^n, x, 3, -((Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[c + d*x]), (b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b)]*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^n)/(((a + b*Sin[c + d*x])/(a + b))^n*(d*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]])))}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^n, x, 0, Unintegrable[Csc[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^n, x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c - c*Sin[e + f*x])^4, x, 6, (7/8)*a*c^4*x + (7*a*c^4*Cos[e + f*x]^3)/(12*f) + (7*a*c^4*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) + (a*Cos[e + f*x]^3*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x])^2)/(5*f) + (7*a*Cos[e + f*x]^3*(c^4 - c^4*Sin[e + f*x]))/(20*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 5, (5/8)*a*c^3*x + (5*a*c^3*Cos[e + f*x]^3)/(12*f) + (5*a*c^3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) + (a*Cos[e + f*x]^3*(c^3 - c^3*Sin[e + f*x]))/(4*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 4, (1/2)*a*c^2*x + (a*c^2*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) + (a*c^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 1, (a*c*x)/2 + (a*c*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 2, -((a*x)/c) + (2*a*Cos[e + f*x])/(f*(c - c*Sin[e + f*x]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 2, (a*c*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^3)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 3, (a*c*Cos[e + f*x]^3)/(5*f*(c - c*Sin[e + f*x])^4) + (a*Cos[e + f*x]^3)/(15*f*(c - c*Sin[e + f*x])^3)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c - c*Sin[e + f*x])^4, x, 4, (a*c*Cos[e + f*x]^3)/(7*f*(c - c*Sin[e + f*x])^5) + (2*a*Cos[e + f*x]^3)/(35*f*(c - c*Sin[e + f*x])^4) + (2*a*Cos[e + f*x]^3)/(105*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^3)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c - c*Sin[e + f*x])^5, x, 5, (a*c*Cos[e + f*x]^3)/(9*f*(c - c*Sin[e + f*x])^6) + (a*Cos[e + f*x]^3)/(21*f*(c - c*Sin[e + f*x])^5) + (2*a*Cos[e + f*x]^3)/(105*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^4) + (2*a*c*Cos[e + f*x]^3)/(315*f*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x])^3)}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^5, x, 7, (9/16)*a^2*c^5*x + (3*a^2*c^5*Cos[e + f*x]^5)/(10*f) + (9*a^2*c^5*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) + (3*a^2*c^5*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(8*f) + (a^2*c^3*Cos[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^2)/(7*f) + (3*a^2*Cos[e + f*x]^5*(c^5 - c^5*Sin[e + f*x]))/(14*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^4, x, 6, (7/16)*a^2*c^4*x + (7*a^2*c^4*Cos[e + f*x]^5)/(30*f) + (7*a^2*c^4*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) + (7*a^2*c^4*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*f) + (a^2*Cos[e + f*x]^5*(c^4 - c^4*Sin[e + f*x]))/(6*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 5, (3/8)*a^2*c^3*x + (a^2*c^3*Cos[e + f*x]^5)/(5*f) + (3*a^2*c^3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) + (a^2*c^3*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 4, (3/8)*a^2*c^2*x + (3*a^2*c^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) + (a^2*c^2*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 4, (1/2)*a^2*c*x - (a^2*c*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) + (a^2*c*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 4, -((3*a^2*x)/c) + (3*a^2*Cos[e + f*x])/(c*f) + (2*a^2*c*Cos[e + f*x]^3)/(f*(c - c*Sin[e + f*x])^2)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 4, (a^2*x)/c^2 + (2*a^2*c*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^3) - (2*a^2*Cos[e + f*x])/(f*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 2, (a^2*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(5*f*(c - c*Sin[e + f*x])^5)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^4, x, 3, (a^2*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(7*f*(c - c*Sin[e + f*x])^6) + (a^2*c*Cos[e + f*x]^5)/(35*f*(c - c*Sin[e + f*x])^5)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^5, x, 4, (a^2*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(9*f*(c - c*Sin[e + f*x])^7) + (2*a^2*c*Cos[e + f*x]^5)/(63*f*(c - c*Sin[e + f*x])^6) + (2*a^2*Cos[e + f*x]^5)/(315*f*(c - c*Sin[e + f*x])^5)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^6, x, 5, (a^2*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(11*f*(c - c*Sin[e + f*x])^8) + (a^2*c*Cos[e + f*x]^5)/(33*f*(c - c*Sin[e + f*x])^7) + (2*a^2*Cos[e + f*x]^5)/(231*f*(c - c*Sin[e + f*x])^6) + (2*a^2*Cos[e + f*x]^5)/(1155*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^5)}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^6, x, 8, (55/128)*a^3*c^6*x + (11*a^3*c^6*Cos[e + f*x]^7)/(56*f) + (55*a^3*c^6*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(128*f) + (55*a^3*c^6*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(192*f) + (11*a^3*c^6*Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(48*f) + (a^3*Cos[e + f*x]^7*(c^3 - c^3*Sin[e + f*x])^2)/(9*f) + (11*a^3*Cos[e + f*x]^7*(c^6 - c^6*Sin[e + f*x]))/(72*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^5, x, 7, (45/128)*a^3*c^5*x + (9*a^3*c^5*Cos[e + f*x]^7)/(56*f) + (45*a^3*c^5*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(128*f) + (15*a^3*c^5*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(64*f) + (3*a^3*c^5*Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(16*f) + (a^3*Cos[e + f*x]^7*(c^5 - c^5*Sin[e + f*x]))/(8*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^4, x, 6, (5/16)*a^3*c^4*x + (a^3*c^4*Cos[e + f*x]^7)/(7*f) + (5*a^3*c^4*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) + (5*a^3*c^4*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*f) + (a^3*c^4*Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(6*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 5, (5/16)*a^3*c^3*x + (5*a^3*c^3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) + (5*a^3*c^3*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*f) + (a^3*c^3*Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(6*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 5, (3/8)*a^3*c^2*x - (a^3*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(5*f) + (3*a^3*c^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) + (a^3*c^2*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 5, (5/8)*a^3*c*x - (5*a^3*c*Cos[e + f*x]^3)/(12*f) + (5*a^3*c*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - (c*Cos[e + f*x]^3*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))/(4*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 5, -((15*a^3*x)/(2*c)) + (15*a^3*Cos[e + f*x])/(2*c*f) + (2*a^3*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(f*(c - c*Sin[e + f*x])^3) + (5*a^3*Cos[e + f*x]^3)/(2*f*(c - c*Sin[e + f*x]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 5, (5*a^3*x)/c^2 - (5*a^3*Cos[e + f*x])/(c^2*f) + (2*a^3*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^4) - (10*a^3*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^2)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 5, -((a^3*x)/c^3) + (2*a^3*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(5*f*(c - c*Sin[e + f*x])^5) - (2*a^3*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^3) + (2*a^3*Cos[e + f*x])/(f*(c^3 - c^3*Sin[e + f*x]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^4, x, 2, (a^3*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(7*f*(c - c*Sin[e + f*x])^7)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^5, x, 3, (a^3*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(9*f*(c - c*Sin[e + f*x])^8) + (a^3*c^2*Cos[e + f*x]^7)/(63*f*(c - c*Sin[e + f*x])^7)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^6, x, 4, (a^3*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(11*f*(c - c*Sin[e + f*x])^9) + (2*a^3*c^2*Cos[e + f*x]^7)/(99*f*(c - c*Sin[e + f*x])^8) + (2*a^3*c*Cos[e + f*x]^7)/(693*f*(c - c*Sin[e + f*x])^7)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^7, x, 5, (a^3*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(13*f*(c - c*Sin[e + f*x])^10) + (3*a^3*c^2*Cos[e + f*x]^7)/(143*f*(c - c*Sin[e + f*x])^9) + (2*a^3*c*Cos[e + f*x]^7)/(429*f*(c - c*Sin[e + f*x])^8) + (2*a^3*Cos[e + f*x]^7)/(3003*f*(c - c*Sin[e + f*x])^7)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^8, x, 6, (a^3*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(15*f*(c - c*Sin[e + f*x])^11) + (4*a^3*c^2*Cos[e + f*x]^7)/(195*f*(c - c*Sin[e + f*x])^10) + (4*a^3*c*Cos[e + f*x]^7)/(715*f*(c - c*Sin[e + f*x])^9) + (8*a^3*Cos[e + f*x]^7)/(6435*f*(c - c*Sin[e + f*x])^8) + (8*a^3*Cos[e + f*x]^7)/(45045*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^7)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c - c*Sin[e + f*x])^4, x, 6, -((35*c^4*x)/(2*a)) - (35*c^4*Cos[e + f*x]^3)/(3*a*f) - (35*c^4*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*a*f) - (2*a^3*c^4*Cos[e + f*x]^7)/(f*(a + a*Sin[e + f*x])^4) - (14*a*c^4*Cos[e + f*x]^5)/(f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 5, -((15*c^3*x)/(2*a)) - (15*c^3*Cos[e + f*x])/(2*a*f) - (2*a^2*c^3*Cos[e + f*x]^5)/(f*(a + a*Sin[e + f*x])^3) - (5*c^3*Cos[e + f*x]^3)/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 4, -((3*c^2*x)/a) - (3*c^2*Cos[e + f*x])/(a*f) - (2*a*c^2*Cos[e + f*x]^3)/(f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 2, -((c*x)/a) - (2*c*Cos[e + f*x])/(f*(a + a*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 3, Tan[e + f*x]/(a*c*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 4, Sec[e + f*x]/(3*a*f*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x])) + (2*Tan[e + f*x])/(3*a*c^2*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 5, Sec[e + f*x]/(5*a*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^2) + Sec[e + f*x]/(5*a*f*(c^3 - c^3*Sin[e + f*x])) + (2*Tan[e + f*x])/(5*a*c^3*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c - c*Sin[e + f*x])^4, x, 6, Sec[e + f*x]/(7*a*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^3) + (4*Sec[e + f*x])/(35*a*f*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x])^2) + (4*Sec[e + f*x])/(35*a*f*(c^4 - c^4*Sin[e + f*x])) + (8*Tan[e + f*x])/(35*a*c^4*f)}
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^5, x, 7, (105*c^5*x)/(2*a^2) + (35*c^5*Cos[e + f*x]^3)/(a^2*f) + (105*c^5*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*a^2*f) - (2*a^4*c^5*Cos[e + f*x]^9)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^6) + (6*a^2*c^5*Cos[e + f*x]^7)/(f*(a + a*Sin[e + f*x])^4) + (42*c^5*Cos[e + f*x]^5)/(f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^4, x, 6, (35*c^4*x)/(2*a^2) + (35*c^4*Cos[e + f*x])/(2*a^2*f) - (2*a^3*c^4*Cos[e + f*x]^7)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^5) + (14*a^4*c^4*Cos[e + f*x]^5)/(3*f*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x])^3) + (35*c^4*Cos[e + f*x]^3)/(6*f*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 5, (5*c^3*x)/a^2 + (5*c^3*Cos[e + f*x])/(a^2*f) - (2*a^2*c^3*Cos[e + f*x]^5)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^4) + (10*c^3*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 4, (c^2*x)/a^2 - (2*a*c^2*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3) + (2*c^2*Cos[e + f*x])/(f*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 2, -((a*c*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 4, -(Sec[e + f*x]/(3*c*f*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x]))) + (2*Tan[e + f*x])/(3*a^2*c*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 3, Tan[e + f*x]/(a^2*c^2*f) + Tan[e + f*x]^3/(3*a^2*c^2*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 4, Sec[e + f*x]^3/(5*a^2*f*(c^3 - c^3*Sin[e + f*x])) + (4*Tan[e + f*x])/(5*a^2*c^3*f) + (4*Tan[e + f*x]^3)/(15*a^2*c^3*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^4, x, 5, Sec[e + f*x]^3/(7*a^2*f*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x])^2) + Sec[e + f*x]^3/(7*a^2*f*(c^4 - c^4*Sin[e + f*x])) + (4*Tan[e + f*x])/(7*a^2*c^4*f) + (4*Tan[e + f*x]^3)/(21*a^2*c^4*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^5, x, 6, Sec[e + f*x]^3/(9*a^2*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^3) + (2*Sec[e + f*x]^3)/(21*a^2*c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^2) + (2*Sec[e + f*x]^3)/(21*a^2*f*(c^5 - c^5*Sin[e + f*x])) + (8*Tan[e + f*x])/(21*a^2*c^5*f) + (8*Tan[e + f*x]^3)/(63*a^2*c^5*f)}
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^5, x, 7, -((63*c^5*x)/(2*a^3)) - (63*c^5*Cos[e + f*x])/(2*a^3*f) - (2*a^4*c^5*Cos[e + f*x]^9)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^7) + (6*a^2*c^5*Cos[e + f*x]^7)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^5) - (42*c^5*Cos[e + f*x]^5)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3) - (21*c^5*Cos[e + f*x]^3)/(2*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^4, x, 6, -((7*c^4*x)/a^3) - (7*c^4*Cos[e + f*x])/(a^3*f) - (2*a^3*c^4*Cos[e + f*x]^7)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^6) + (14*a*c^4*Cos[e + f*x]^5)/(15*f*(a + a*Sin[e + f*x])^4) - (14*c^4*Cos[e + f*x]^3)/(3*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 5, -((c^3*x)/a^3) - (2*a^2*c^3*Cos[e + f*x]^5)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^5) + (2*c^3*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3) - (2*c^3*Cos[e + f*x])/(f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 2, -((a^2*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^5))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 3, -((a*c*Cos[e + f*x]^3)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^4)) - (c*Cos[e + f*x]^3)/(15*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 5, -(Sec[e + f*x]/(5*a*c*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)) - Sec[e + f*x]/(5*c*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])) + (2*Tan[e + f*x])/(5*a^3*c*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 4, -(Sec[e + f*x]^3/(5*c^2*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))) + (4*Tan[e + f*x])/(5*a^3*c^2*f) + (4*Tan[e + f*x]^3)/(15*a^3*c^2*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 3, Tan[e + f*x]/(a^3*c^3*f) + (2*Tan[e + f*x]^3)/(3*a^3*c^3*f) + Tan[e + f*x]^5/(5*a^3*c^3*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^4, x, 4, Sec[e + f*x]^5/(7*a^3*f*(c^4 - c^4*Sin[e + f*x])) + (6*Tan[e + f*x])/(7*a^3*c^4*f) + (4*Tan[e + f*x]^3)/(7*a^3*c^4*f) + (6*Tan[e + f*x]^5)/(35*a^3*c^4*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^5, x, 5, Sec[e + f*x]^5/(9*a^3*c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^2) + Sec[e + f*x]^5/(9*a^3*f*(c^5 - c^5*Sin[e + f*x])) + (2*Tan[e + f*x])/(3*a^3*c^5*f) + (4*Tan[e + f*x]^3)/(9*a^3*c^5*f) + (2*Tan[e + f*x]^5)/(15*a^3*c^5*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^6, x, 6, Sec[e + f*x]^5/(11*a^3*f*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x])^3) + (8*Sec[e + f*x]^5)/(99*a^3*f*(c^3 - c^3*Sin[e + f*x])^2) + (8*Sec[e + f*x]^5)/(99*a^3*f*(c^6 - c^6*Sin[e + f*x])) + (16*Tan[e + f*x])/(33*a^3*c^6*f) + (32*Tan[e + f*x]^3)/(99*a^3*c^6*f) + (16*Tan[e + f*x]^5)/(165*a^3*c^6*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 5, (256*a*c^5*Cos[e + f*x]^3)/(315*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (64*a*c^4*Cos[e + f*x]^3)/(105*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (8*a*c^3*Cos[e + f*x]^3*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(21*f) + (2*a*c^2*Cos[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(9*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, (64*a*c^4*Cos[e + f*x]^3)/(105*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (16*a*c^3*Cos[e + f*x]^3)/(35*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*a*c^2*Cos[e + f*x]^3*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(7*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, (8*a*c^3*Cos[e + f*x]^3)/(15*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*a*c^2*Cos[e + f*x]^3)/(5*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 2, (2*a*c^2*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, (2*Sqrt[2]*a*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f) - (2*a*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((a*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*c^(3/2)*f)) + (a*Cos[e + f*x])/(f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, -((a*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(8*Sqrt[2]*c^(5/2)*f)) + (a*Cos[e + f*x])/(2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (a*Cos[e + f*x])/(8*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 6, -((a*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(32*Sqrt[2]*c^(7/2)*f)) + (a*Cos[e + f*x])/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (a*Cos[e + f*x])/(24*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (a*Cos[e + f*x])/(32*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 5, (256*a^2*c^6*Cos[e + f*x]^5)/(1155*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (64*a^2*c^5*Cos[e + f*x]^5)/(231*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (8*a^2*c^4*Cos[e + f*x]^5)/(33*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*a^2*c^3*Cos[e + f*x]^5*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(11*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, (64*a^2*c^5*Cos[e + f*x]^5)/(315*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (16*a^2*c^4*Cos[e + f*x]^5)/(63*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*a^2*c^3*Cos[e + f*x]^5)/(9*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, (8*a^2*c^4*Cos[e + f*x]^5)/(35*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (2*a^2*c^3*Cos[e + f*x]^5)/(7*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 2, (2*a^2*c^3*Cos[e + f*x]^5)/(5*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 5, (4*Sqrt[2]*a^2*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f) - (2*a^2*c*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (4*a^2*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, -((3*Sqrt[2]*a^2*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(c^(3/2)*f)) + (a^2*c*Cos[e + f*x]^3)/(f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (3*a^2*Cos[e + f*x])/(c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, (3*a^2*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*c^(5/2)*f) + (a^2*c*Cos[e + f*x]^3)/(2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (3*a^2*Cos[e + f*x])/(4*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 6, (a^2*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*c^(7/2)*f) + (a^2*c*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) - (a^2*Cos[e + f*x])/(4*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (a^2*Cos[e + f*x])/(16*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 7, (3*a^2*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(256*Sqrt[2]*c^(9/2)*f) + (a^2*c*Cos[e + f*x]^3)/(4*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) - (a^2*Cos[e + f*x])/(8*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (a^2*Cos[e + f*x])/(64*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (3*a^2*Cos[e + f*x])/(256*c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 5, (256*a^3*c^7*Cos[e + f*x]^7)/(3003*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (64*a^3*c^6*Cos[e + f*x]^7)/(429*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (24*a^3*c^5*Cos[e + f*x]^7)/(143*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*a^3*c^4*Cos[e + f*x]^7)/(13*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, (64*a^3*c^6*Cos[e + f*x]^7)/(693*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (16*a^3*c^5*Cos[e + f*x]^7)/(99*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (2*a^3*c^4*Cos[e + f*x]^7)/(11*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, (8*a^3*c^5*Cos[e + f*x]^7)/(63*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (2*a^3*c^4*Cos[e + f*x]^7)/(9*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 2, (2*a^3*c^4*Cos[e + f*x]^7)/(7*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 6, (8*Sqrt[2]*a^3*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f) - (2*a^3*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(5*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (4*a^3*c*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (8*a^3*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, -((10*Sqrt[2]*a^3*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(c^(3/2)*f)) + (a^3*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (5*a^3*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (10*a^3*Cos[e + f*x])/(c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, (15*a^3*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*c^(5/2)*f) + (a^3*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) - (5*a^3*Cos[e + f*x]^3)/(4*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (15*a^3*Cos[e + f*x])/(4*c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 6, -((5*a^3*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(8*Sqrt[2]*c^(7/2)*f)) + (a^3*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) - (5*a^3*Cos[e + f*x]^3)/(12*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (5*a^3*Cos[e + f*x])/(8*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 7, -((5*a^3*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(128*Sqrt[2]*c^(9/2)*f)) + (a^3*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(4*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2)) - (5*a^3*Cos[e + f*x]^3)/(24*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) + (5*a^3*Cos[e + f*x])/(32*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (5*a^3*Cos[e + f*x])/(128*c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2), x, 8, -((3*a^3*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(512*Sqrt[2]*c^(11/2)*f)) + (a^3*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(5*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(15/2)) - (a^3*Cos[e + f*x]^3)/(8*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) + (a^3*Cos[e + f*x])/(16*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (a^3*Cos[e + f*x])/(128*c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (3*a^3*Cos[e + f*x])/(512*c^4*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 5, -((256*c^3*Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(5*a*f)) + (64*c^2*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*a*f) + (8*c*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*a*f) + (2*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(5*a*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((64*c^2*Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(3*a*f)) + (16*c*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*a*f) + (2*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*a*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((8*c*Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f)) + (2*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 2, -((2*Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])]/(Sqrt[2]*a*Sqrt[c]*f) - (Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*c*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, (3*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*a*c^(3/2)*f) + (3*Cos[e + f*x])/(4*a*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - Sec[e + f*x]/(a*c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, (15*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(32*Sqrt[2]*a*c^(5/2)*f) + (15*Cos[e + f*x])/(32*a*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + Sec[e + f*x]/(4*a*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (5*Sec[e + f*x])/(8*a*c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 6, (4096*c^3*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(15*a^2*f) - (1024*c^2*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*a^2*f) + (128*c*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(5*a^2*f) + (32*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(15*a^2*f) + (2*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2))/(5*a^2*c*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 5, (256*c^2*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*a^2*f) - (64*c*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(a^2*f) + (8*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(a^2*f) + (2*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(3*a^2*c*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, (64*c*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*a^2*f) - (16*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(a^2*f) + (2*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(a^2*c*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, (8*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*a^2*f) - (2*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(a^2*c*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 2, -((2*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*a^2*c*f))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 5, ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])]/(2*Sqrt[2]*a^2*Sqrt[c]*f) - (Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(2*a^2*c*f) - (Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*a^2*c^2*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, (5*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(8*Sqrt[2]*a^2*c^(3/2)*f) + (5*Cos[e + f*x])/(8*a^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (5*Sec[e + f*x])/(6*a^2*c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (Sec[e + f*x]^3*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(3*a^2*c^2*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, (35*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^2*c^(5/2)*f) + (35*Cos[e + f*x])/(64*a^2*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (7*Sec[e + f*x])/(24*a^2*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (35*Sec[e + f*x])/(48*a^2*c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - Sec[e + f*x]^3/(3*a^2*c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 6, -((4096*c^2*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(15*a^3*f)) + (1024*c*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(3*a^3*f) - (128*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(a^3*f) + (32*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2))/(3*a^3*c*f) + (2*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2))/(3*a^3*c^2*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 5, -((256*c*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*a^3*f)) + (64*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(a^3*f) - (24*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(a^3*c*f) + (2*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2))/(a^3*c^2*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((64*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(15*a^3*f)) + (16*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(3*a^3*c*f) - (2*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(a^3*c^2*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, (8*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(15*a^3*c*f) - (2*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(3*a^3*c^2*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 2, -((2*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*a^3*c^2*f))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 6, ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])]/(4*Sqrt[2]*a^3*Sqrt[c]*f) - (Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(4*a^3*c*f) - (Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(6*a^3*c^2*f) - (Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*a^3*c^3*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, (7*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^3*c^(3/2)*f) + (7*Cos[e + f*x])/(16*a^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (7*Sec[e + f*x])/(12*a^3*c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (7*Sec[e + f*x]^3*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(30*a^3*c^2*f) - (Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*a^3*c^3*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 8, (63*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(128*Sqrt[2]*a^3*c^(5/2)*f) + (63*Cos[e + f*x])/(128*a^3*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (21*Sec[e + f*x])/(80*a^3*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (21*Sec[e + f*x])/(32*a^3*c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (3*Sec[e + f*x]^3)/(10*a^3*c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (Sec[e + f*x]^5*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(5*a^3*c^3*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^(m/2) (c-c Sin[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 1, -((a*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(4*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 1, -((a*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 1, -((a*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 1, -((a*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, -((a*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 1, (a*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 1, (a*Cos[e + f*x])/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 1, (a*Cos[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 2, -((a^2*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(10*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (a*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(5*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 2, -((a^2*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(6*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (a*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(4*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 2, -((a^2*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (a*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 1, (c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, -((2*a^2*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (a*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, (a*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (a^2*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 1, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(4*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 2, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(6*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(24*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 2, (a*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(4*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) - (a^2*Cos[e + f*x])/(12*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2), x, 2, (a*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(5*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) - (a^2*Cos[e + f*x])/(20*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 3, -((a^3*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(15*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (2*a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(15*f) - (a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(6*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 3, -((2*a^3*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(15*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*f) - (a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 2, (c^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(6*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(4*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 1, (c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 5, -((4*a^3*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (2*a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, (a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (4*a^3*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, (a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (a^3*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 1, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(6*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 2, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(8*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(48*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2), x, 3, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(10*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(40*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(240*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2), x, 3, (a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(6*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2)) - (a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(15*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) + (a^3*Cos[e + f*x])/(60*c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 4, -((a^4*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(35*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (a^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(14*f) - (3*a^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(28*f) - (a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(8*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 4, -((2*a^4*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(35*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (4*a^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(35*f) - (a^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(7*f) - (a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(7*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 3, (c^3*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(15*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*c^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(15*f) + (c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(6*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 2, (c^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(10*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(5*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 1, (c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(4*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 6, -((8*a^4*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (4*a^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (a^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, (a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (12*a^4*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (6*a^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (3*a^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, (a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (3*a^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (6*a^4*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (3*a^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 6, (a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (a^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (a^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (a^4*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 1, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(8*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2), x, 2, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(10*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(80*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2), x, 3, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(12*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2)) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(60*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(480*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(15/2), x, 4, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(14*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(15/2)) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(56*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2)) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(280*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(2240*c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(17/2), x, 4, (a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(8*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(17/2)) - (3*a^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(56*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(15/2)) + (a^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(56*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2)) - (a^4*Cos[e + f*x])/(280*c^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, (4*c^3*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*c^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, (2*c^2*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (c*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, (c*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 2, (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, Cos[e + f*x]/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, Cos[e + f*x]/(4*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + Cos[e + f*x]/(4*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(4*c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 6, -((12*c^4*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (6*c^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (3*c^2*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, -((4*c^3*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (2*c^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((c^2*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (c*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 1, -((c*Cos[e + f*x])/(f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, -(Cos[e + f*x]/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(2*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, -(Cos[e + f*x]/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))) + Cos[e + f*x]/(2*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(2*a*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, -(Cos[e + f*x]/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))) + (3*Cos[e + f*x])/(8*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (3*Cos[e + f*x])/(8*a*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (3*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(8*a*c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 7, (24*c^5*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (12*c^4*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (3*c^3*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (2*c^2*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 6, (6*c^4*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (3*c^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (3*c^2*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, (c^3*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (c^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 1, -((Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 1, -((c*Cos[e + f*x])/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, -(Cos[e + f*x]/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - Cos[e + f*x]/(4*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(4*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, -(Cos[e + f*x]/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))) - (3*Cos[e + f*x])/(8*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (3*Cos[e + f*x])/(8*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (3*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(8*a^2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, -(Cos[e + f*x]/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))) - Cos[e + f*x]/(2*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (3*Cos[e + f*x])/(8*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (3*Cos[e + f*x])/(8*a^2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (3*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(8*a^2*c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n with m and/or n symbolic*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n, x, 4, (2^(1/2 + n)*c*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + 2*m), (1/2)*(1 - 2*n), (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 + n))/(f*(1 + 2*m))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 4, -((2^(1/2 + m)*a^4*c^3*Cos[e + f*x]^7*Hypergeometric2F1[7/2, 1/2 - m, 9/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-4 + m))/(7*f))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 4, -((2^(1/2 + m)*a^3*c^2*Cos[e + f*x]^5*Hypergeometric2F1[5/2, 1/2 - m, 7/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-3 + m))/(5*f))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 4, -((2^(1/2 + m)*a^2*c*Cos[e + f*x]^3*Hypergeometric2F1[3/2, 1/2 - m, 5/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-2 + m))/(3*f))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 4, (2^(1/2 + m)*Hypergeometric2F1[-(1/2), 1/2 - m, 1/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Sec[e + f*x]*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(c*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 4, (2^(1/2 + m)*Hypergeometric2F1[-(3/2), 1/2 - m, -(1/2), (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Sec[e + f*x]^3*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(3*a*c^2*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 4, (2^(1/2 + m)*Hypergeometric2F1[-(5/2), 1/2 - m, -(3/2), (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Sec[e + f*x]^5*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(5*a^2*c^3*f)}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 3, (64*c^3*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(5 + 2*m)*(3 + 8*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (16*c^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*(15 + 16*m + 4*m^2)) + (2*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*(5 + 2*m))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 2, (8*c^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(3 + 8*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*(3 + 2*m))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 1, (2*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[2, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(2*c*f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 3, (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[3, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(4*c^2*f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* The same rules should be used to integrate the following two problems: *)
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(c + c*Sin[e + f*x])^m/(a - a*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(c + c*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m + 3), x, 3, If[$VersionNumber>=8, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 - m))/(f*(5 + 2*m)) + (2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(c*f*(15 + 16*m + 4*m^2)) + (2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(c^2*f*(5 + 2*m)*(3 + 8*m + 4*m^2)), (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 - m))/(f*(5 + 2*m)) + (2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(c*f*(15 + 16*m + 4*m^2)) + (2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(c^2*f*(15 + 46*m + 36*m^2 + 8*m^3))]}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m + 2), x, 2, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(f*(3 + 2*m)) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(c*f*(3 + 8*m + 4*m^2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 1, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(f*(1 + 2*m))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m + 0), x, 4, (2^(1/2 - m)*c*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + 2*m), (1/2)*(1 + 2*m), (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(f*(1 + 2*m))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m - 1), x, 4, (2^(3/2 - m)*c^2*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 + 2*m), (1/2)*(1 + 2*m), (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(f*(1 + 2*m))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m - 2), x, 4, (2^(5/2 - m)*c^3*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 + 2*m), (1/2)*(1 + 2*m), (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(f*(1 + 2*m))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^4, x, 4, (1/8)*a*(8*c^4 + 16*c^3*d + 24*c^2*d^2 + 12*c*d^3 + 3*d^4)*x - (a*(12*c^4 + 95*c^3*d + 112*c^2*d^2 + 80*c*d^3 + 16*d^4)*Cos[e + f*x])/(30*f) - (a*d*(24*c^3 + 130*c^2*d + 116*c*d^2 + 45*d^3)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(120*f) - (a*(12*c^2 + 35*c*d + 16*d^2)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(60*f) - (a*(4*c + 5*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(20*f) - (a*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(5*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 3, (1/8)*a*(8*c^3 + 12*c^2*d + 12*c*d^2 + 3*d^3)*x - (a*(3*c^3 + 16*c^2*d + 12*c*d^2 + 4*d^3)*Cos[e + f*x])/(6*f) - (a*d*(6*c^2 + 20*c*d + 9*d^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(24*f) - (a*(3*c + 4*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(12*f) - (a*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(4*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 2, (1/2)*a*(2*c^2 + 2*c*d + d^2)*x - (2*a*(c^2 + 3*c*d + d^2)*Cos[e + f*x])/(3*f) - (a*d*(2*c + 3*d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(6*f) - (a*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(3*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 1, (1/2)*a*(2*c + d)*x - (a*(c + d)*Cos[e + f*x])/f - (a*d*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 2, a*x - (a*Cos[e + f*x])/f}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 4, (a*x)/d - (2*a*(c - d)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d*Sqrt[c^2 - d^2]*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 5, (2*a*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((c + d)*Sqrt[c^2 - d^2]*f) - (a*Cos[e + f*x])/((c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 6, (a*(2*c - d)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((c + d)*(c^2 - d^2)^(3/2)*f) - (a*Cos[e + f*x])/(2*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (a*(c - 2*d)*Cos[e + f*x])/(2*(c - d)*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c + d*Sin[e + f*x])^4, x, 7, (a*(2*c^2 - 2*c*d + d^2)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((c + d)*(c^2 - d^2)^(5/2)*f) - (a*Cos[e + f*x])/(3*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^3) - (a*(2*c - 3*d)*Cos[e + f*x])/(6*(c - d)*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (a*(c - 4*d)*(2*c - d)*Cos[e + f*x])/(6*(c - d)^2*(c + d)^3*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^4, x, 5, (1/16)*a^2*(24*c^4 + 64*c^3*d + 84*c^2*d^2 + 48*c*d^3 + 11*d^4)*x + (a^2*(4*c^5 - 48*c^4*d - 311*c^3*d^2 - 448*c^2*d^3 - 288*c*d^4 - 64*d^5)*Cos[e + f*x])/(60*d*f) + (a^2*(8*c^4 - 96*c^3*d - 438*c^2*d^2 - 464*c*d^3 - 165*d^4)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(240*f) + (a^2*(4*c^3 - 48*c^2*d - 123*c*d^2 - 64*d^3)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(120*d*f) + (a^2*(4*c^2 - 48*c*d - 55*d^2)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(120*d*f) + (a^2*(c - 12*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(30*d*f) - (a^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^5)/(6*d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 4, (3/8)*a^2*(2*c + d)*(2*c^2 + 3*c*d + 2*d^2)*x + (a^2*(c^4 - 10*c^3*d - 44*c^2*d^2 - 40*c*d^3 - 12*d^4)*Cos[e + f*x])/(10*d*f) + (a^2*(2*c^3 - 20*c^2*d - 57*c*d^2 - 30*d^3)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(40*f) + (a^2*(c^2 - 10*c*d - 12*d^2)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(20*d*f) + (a^2*(c - 10*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(20*d*f) - (a^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(5*d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 3, (1/8)*a^2*(12*c^2 + 16*c*d + 7*d^2)*x - (a^2*(12*c^2 + 16*c*d + 7*d^2)*Cos[e + f*x])/(6*f) - (a^2*(12*c^2 + 16*c*d + 7*d^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(24*f) - ((8*c - d)*d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^2)/(12*f) - (d^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^3)/(4*a*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 2, (1/2)*a^2*(3*c + 2*d)*x - (2*a^2*(3*c + 2*d)*Cos[e + f*x])/(3*f) - (a^2*(3*c + 2*d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(6*f) - (d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^2)/(3*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 1, (3*a^2*x)/2 - (2*a^2*Cos[e + f*x])/f - (a^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 5, -((a^2*(c - 2*d)*x)/d^2) + (2*a^2*(c - d)^2*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^2*Sqrt[c^2 - d^2]*f) - (a^2*Cos[e + f*x])/(d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 5, (a^2*x)/d^2 - (2*a^2*(c - d)^2*(c + 2*d)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^2*(c^2 - d^2)^(3/2)*f) + (a^2*(c - d)*Cos[e + f*x])/(d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])), (a^2*x)/d^2 - (2*a^2*(c - d)*(c + 2*d)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^2*(c + d)*Sqrt[c^2 - d^2]*f) + (a^2*(c - d)*Cos[e + f*x])/(d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 6, (3*a^2*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((c + d)^2*Sqrt[c^2 - d^2]*f) + (a^2*(c - d)*Cos[e + f*x])/(2*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (a^2*(c + 4*d)*Cos[e + f*x])/(2*d*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^4, x, 7, (a^2*(3*c - 2*d)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((c - d)*(c + d)^3*Sqrt[c^2 - d^2]*f) + (a^2*(c - d)*Cos[e + f*x])/(3*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^3) - (a^2*(c + 6*d)*Cos[e + f*x])/(6*d*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (a^2*(c^2 + 6*c*d - 10*d^2)*Cos[e + f*x])/(6*(c - d)*d*(c + d)^3*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^5, x, 8, (a^2*(12*c^2 - 16*c*d + 7*d^2)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(4*(c - d)^2*(c + d)^4*Sqrt[c^2 - d^2]*f) + (a^2*(c - d)*Cos[e + f*x])/(4*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^4) - (a^2*(c + 8*d)*Cos[e + f*x])/(12*d*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x])^3) - (a^2*(2*c^2 + 16*c*d - 21*d^2)*Cos[e + f*x])/(24*(c - d)*d*(c + d)^3*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (a^2*(2*c^3 + 16*c^2*d - 59*c*d^2 + 32*d^3)*Cos[e + f*x])/(24*(c - d)^2*d*(c + d)^4*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 6, (1/16)*a^3*(40*c^3 + 90*c^2*d + 78*c*d^2 + 23*d^3)*x - (4*a^3*(c + d)^3*Cos[e + f*x])/f + (a^3*(c + d)^2*(c + 7*d)*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) - (3*a^3*d^2*(c + d)*Cos[e + f*x]^5)/(5*f) - (a^3*(24*c^3 + 90*c^2*d + 78*c*d^2 + 23*d^3)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) - (a^3*d*(18*c^2 + 54*c*d + 23*d^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(24*f) - (a^3*d^3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^5)/(6*f), (1/16)*a^3*(40*c^3 + 90*c^2*d + 78*c*d^2 + 23*d^3)*x - (a^3*(2*c^5 - 18*c^4*d + 107*c^3*d^2 + 472*c^2*d^3 + 456*c*d^4 + 136*d^5)*Cos[e + f*x])/(60*d^2*f) - (a^3*(4*c^4 - 36*c^3*d + 216*c^2*d^2 + 626*c*d^3 + 345*d^4)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(240*d*f) - (a^3*(2*c^3 - 18*c^2*d + 111*c*d^2 + 136*d^3)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(120*d^2*f) - (a^3*(2*c^2 - 18*c*d + 115*d^2)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(120*d^2*f) + (a^3*(2*c - 13*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(30*d^2*f) - (Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(6*d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 9, (1/8)*a^3*(20*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*x - (4*a^3*(c + d)^2*Cos[e + f*x])/f + (a^3*(c^2 + 6*c*d + 5*d^2)*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) - (a^3*d^2*Cos[e + f*x]^5)/(5*f) - (a^3*(12*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - (a^3*d*(2*c + 3*d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(4*f), (1/8)*a^3*(20*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*x - (a^3*(20*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*Cos[e + f*x])/(5*f) + (a^3*(20*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*Cos[e + f*x]^3)/(60*f) - (3*a^3*(20*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(40*f) - ((10*c - d)*d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^3)/(20*f) - (d^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^4)/(5*a*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 8, (5/8)*a^3*(4*c + 3*d)*x - (4*a^3*(c + d)*Cos[e + f*x])/f + (a^3*(c + 3*d)*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) - (3*a^3*(4*c + 5*d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - (a^3*d*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(4*f), (5/8)*a^3*(4*c + 3*d)*x - (a^3*(4*c + 3*d)*Cos[e + f*x])/f + (a^3*(4*c + 3*d)*Cos[e + f*x]^3)/(12*f) - (3*a^3*(4*c + 3*d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - (d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^3)/(4*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 7, (5*a^3*x)/2 - (4*a^3*Cos[e + f*x])/f + (a^3*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) - (3*a^3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 7, (a^3*(2*c^2 - 6*c*d + 7*d^2)*x)/(2*d^3) - (2*a^3*(c - d)^3*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^3*Sqrt[c^2 - d^2]*f) + (a^3*(2*c - 5*d)*Cos[e + f*x])/(2*d^2*f) - (Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))/(2*d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 7, -((a^3*(2*c - 3*d)*x)/d^3) + (2*a^3*(c - d)^2*(2*c + 3*d)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^3*(c + d)*Sqrt[c^2 - d^2]*f) - (2*a^3*c*Cos[e + f*x])/(d^2*(c + d)*f) + ((c - d)*Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))/(d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 7, (a^3*x)/d^3 - (a^3*(c - d)*(2*c^2 + 6*c*d + 7*d^2)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^3*(c + d)^2*Sqrt[c^2 - d^2]*f) + ((c - d)*Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))/(2*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) + (a^3*(c - d)*(2*c + 5*d)*Cos[e + f*x])/(2*d^2*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^4, x, 8, (5*a^3*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((c + d)^3*Sqrt[c^2 - d^2]*f) + ((c - d)*Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))/(3*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^3) + (a^3*(c - d)*(2*c + 7*d)*Cos[e + f*x])/(6*d^2*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (a^3*(2*c^2 + 9*c*d + 22*d^2)*Cos[e + f*x])/(6*d^2*(c + d)^3*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^5, x, 9, (5*a^3*(4*c - 3*d)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(4*(c - d)*(c + d)^4*Sqrt[c^2 - d^2]*f) + ((c - d)*Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))/(4*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^4) + (a^3*(c - d)*(2*c + 9*d)*Cos[e + f*x])/(12*d^2*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x])^3) - (a^3*(2*c^2 + 12*c*d + 45*d^2)*Cos[e + f*x])/(24*d^2*(c + d)^3*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (a^3*(2*c^3 + 12*c^2*d + 43*c*d^2 - 72*d^3)*Cos[e + f*x])/(24*(c - d)*d^2*(c + d)^4*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^4, x, 3, (d*(8*c^3 - 12*c^2*d + 12*c*d^2 - 3*d^3)*x)/(2*a) + (2*d*(3*c^3 - 16*c^2*d + 12*c*d^2 - 4*d^3)*Cos[e + f*x])/(3*a*f) + (d^2*(6*c^2 - 20*c*d + 9*d^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(6*a*f) + ((3*c - 4*d)*d*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(3*a*f) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(f*(a + a*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 2, (3*d*(2*c^2 - 2*c*d + d^2)*x)/(2*a) + (2*d*(c^2 - 3*c*d + d^2)*Cos[e + f*x])/(a*f) + ((2*c - 3*d)*d^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*a*f) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(f*(a + a*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 3, ((2*c - d)*d*x)/a - (d^2*Cos[e + f*x])/(a*f) - ((c - d)^2*Cos[e + f*x])/(a*f*(1 + Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 2, (d*x)/a - ((c - d)*Cos[e + f*x])/(f*(a + a*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 1, -(Cos[e + f*x]/(f*(a + a*Sin[e + f*x])))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 5, -((2*d*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(a*(c - d)*Sqrt[c^2 - d^2]*f)) - Cos[e + f*x]/((c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 6, -((2*d*(2*c + d)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(a*(c - d)*(c^2 - d^2)^(3/2)*f)) - (d*(c + 2*d)*Cos[e + f*x])/(a*(c - d)^2*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])) - Cos[e + f*x]/((c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 7, -((3*d*(2*c^2 + 2*c*d + d^2)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(a*(c - d)*(c^2 - d^2)^(5/2)*f)) - (d*(2*c + 3*d)*Cos[e + f*x])/(2*a*(c - d)^2*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - Cos[e + f*x]/((c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (d*(2*c + d)*(c + 4*d)*Cos[e + f*x])/(2*a*(c - d)^3*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^5, x, 4, (5*(2*c - d)*d^2*(2*c^2 - 3*c*d + 2*d^2)*x)/(2*a^2) + (2*d*(c^4 + 10*c^3*d - 44*c^2*d^2 + 40*c*d^3 - 12*d^4)*Cos[e + f*x])/(3*a^2*f) + (d^2*(2*c^3 + 20*c^2*d - 57*c*d^2 + 30*d^3)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(6*a^2*f) + (d*(c^2 + 10*c*d - 12*d^2)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(3*a^2*f) - ((c - d)*(c + 10*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(3*a^2*f*(1 + Sin[e + f*x])) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^4, x, 3, (d^2*(12*c^2 - 16*c*d + 7*d^2)*x)/(2*a^2) + (2*d*(c^3 + 8*c^2*d - 20*c*d^2 + 8*d^3)*Cos[e + f*x])/(3*a^2*f) + (d^2*(2*c^2 + 16*c*d - 21*d^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(6*a^2*f) - ((c - d)*(c + 8*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(3*a^2*f*(1 + Sin[e + f*x])) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 5, ((3*c - 2*d)*d^2*x)/a^2 + ((c - 4*d)*d^2*Cos[e + f*x])/(3*a^2*f) - ((c - d)^2*(c + 6*d)*Cos[e + f*x])/(3*a^2*f*(1 + Sin[e + f*x])) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 3, (d^2*x)/a^2 - ((c - d)*(c + 4*d)*Cos[e + f*x])/(3*a^2*f*(1 + Sin[e + f*x])) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 2, -(((c - d)*Cos[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)) - ((c + 2*d)*Cos[e + f*x])/(3*f*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 2, -(Cos[e + f*x]/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)) - Cos[e + f*x]/(3*f*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 6, (2*d^2*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(a^2*(c - d)^2*Sqrt[c^2 - d^2]*f) - ((c - 4*d)*Cos[e + f*x])/(3*a^2*(c - d)^2*f*(1 + Sin[e + f*x])) - Cos[e + f*x]/(3*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 7, (2*d^2*(3*c + 2*d)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(a^2*(c - d)^3*(c + d)*Sqrt[c^2 - d^2]*f) - (d*(c^2 - 6*c*d - 10*d^2)*Cos[e + f*x])/(3*a^2*(c - d)^3*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])) - ((c - 6*d)*Cos[e + f*x])/(3*a^2*(c - d)^2*f*(1 + Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])) - Cos[e + f*x]/(3*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 8, (d^2*(12*c^2 + 16*c*d + 7*d^2)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(a^2*(c - d)^4*(c + d)^2*Sqrt[c^2 - d^2]*f) - (d*(2*c^2 - 16*c*d - 21*d^2)*Cos[e + f*x])/(6*a^2*(c - d)^3*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - ((c - 8*d)*Cos[e + f*x])/(3*a^2*(c - d)^2*f*(1 + Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - Cos[e + f*x]/(3*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (d*(2*c^3 - 16*c^2*d - 59*c*d^2 - 32*d^3)*Cos[e + f*x])/(6*a^2*(c - d)^4*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^6, x, 5, (d^3*(40*c^3 - 90*c^2*d + 78*c*d^2 - 23*d^3)*x)/(2*a^3) + (2*d*(2*c^5 + 18*c^4*d + 107*c^3*d^2 - 472*c^2*d^3 + 456*c*d^4 - 136*d^5)*Cos[e + f*x])/(15*a^3*f) + (d^2*(4*c^4 + 36*c^3*d + 216*c^2*d^2 - 626*c*d^3 + 345*d^4)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(30*a^3*f) + (d*(2*c^3 + 18*c^2*d + 111*c*d^2 - 136*d^3)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(15*a^3*f) - ((c - d)*(2*c^2 + 18*c*d + 115*d^2)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(15*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])) - ((c - d)*(2*c + 13*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(15*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^5)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^5, x, 4, (d^3*(20*c^2 - 30*c*d + 13*d^2)*x)/(2*a^3) + (2*d*(2*c^4 + 15*c^3*d + 72*c^2*d^2 - 180*c*d^3 + 76*d^4)*Cos[e + f*x])/(15*a^3*f) + (d^2*(4*c^3 + 30*c^2*d + 146*c*d^2 - 195*d^3)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(30*a^3*f) - ((c - d)*(2*c^2 + 15*c*d + 76*d^2)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(15*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])) - ((c - d)*(2*c + 11*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(15*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^4, x, 6, ((4*c - 3*d)*d^3*x)/a^3 + (d^2*(2*c^2 + 10*c*d - 27*d^2)*Cos[e + f*x])/(15*a^3*f) - ((c - d)^2*(2*c^2 + 12*c*d + 45*d^2)*Cos[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])) - ((c - d)*(2*c + 9*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(15*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 5, (d^3*x)/a^3 - ((c - d)^2*(2*c + 7*d)*Cos[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((c - d)*(2*c^2 + 11*c*d + 29*d^2)*Cos[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 3, -(((c - d)*(2*c + 5*d)*Cos[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)) - ((2*c^2 + 6*c*d + 7*d^2)*Cos[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 3, -(((c - d)*Cos[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3)) - ((2*c + 3*d)*Cos[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((2*c + 3*d)*Cos[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 3, -(Cos[e + f*x]/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3)) - (2*Cos[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - (2*Cos[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 7, -((2*d^3*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(a^3*(c - d)^3*Sqrt[c^2 - d^2]*f)) - Cos[e + f*x]/(5*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3) - ((2*c - 7*d)*Cos[e + f*x])/(15*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((2*c^2 - 9*c*d + 22*d^2)*Cos[e + f*x])/(15*(c - d)^3*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 8, -((2*d^3*(4*c + 3*d)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(a^3*(c - d)^4*(c + d)*Sqrt[c^2 - d^2]*f)) - (d*(2*c^3 - 12*c^2*d + 43*c*d^2 + 72*d^3)*Cos[e + f*x])/(15*a^3*(c - d)^4*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])) - Cos[e + f*x]/(5*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])) - ((2*c - 9*d)*Cos[e + f*x])/(15*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])) - ((2*c^2 - 12*c*d + 45*d^2)*Cos[e + f*x])/(15*(c - d)^3*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 9, -((d^3*(20*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(a^3*(c - d)^5*(c + d)^2*Sqrt[c^2 - d^2]*f)) - (d*(4*c^3 - 30*c^2*d + 146*c*d^2 + 195*d^3)*Cos[e + f*x])/(30*a^3*(c - d)^4*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - Cos[e + f*x]/(5*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - ((2*c - 11*d)*Cos[e + f*x])/(15*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - ((2*c^2 - 15*c*d + 76*d^2)*Cos[e + f*x])/(15*(c - d)^3*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (d*(4*c^4 - 30*c^3*d + 142*c^2*d^2 + 525*c*d^3 + 304*d^4)*Cos[e + f*x])/(30*a^3*(c - d)^5*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{(A + B*Sin[x])/(1 + Sin[x])^4, x, 4, -(((A - B)*Cos[x])/(7*(1 + Sin[x])^4)) - ((3*A + 4*B)*Cos[x])/(35*(1 + Sin[x])^3) - (2*(3*A + 4*B)*Cos[x])/(105*(1 + Sin[x])^2) - (2*(3*A + 4*B)*Cos[x])/(105*(1 + Sin[x]))}
+{(A + B*Sin[x])/(1 - Sin[x])^4, x, 4, ((A + B)*Cos[x])/(7*(1 - Sin[x])^4) + ((3*A - 4*B)*Cos[x])/(35*(1 - Sin[x])^3) + (2*(3*A - 4*B)*Cos[x])/(105*(1 - Sin[x])^2) + (2*(3*A - 4*B)*Cos[x])/(105*(1 - Sin[x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 8, (-2*a*(15*c^2 + 56*c*d + 25*d^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(105*f) - (2*a*(5*c + 7*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(35*f) - (2*a*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(7*f) + (2*a*(15*c^3 + 161*c^2*d + 145*c*d^2 + 63*d^3)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(105*d*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (2*a*(c^2 - d^2)*(15*c^2 + 56*c*d + 25*d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(105*d*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, (-2*a*(3*c + 5*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*f) - (2*a*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*f) + (2*a*(3*c^2 + 20*c*d + 9*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*d*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (2*a*(3*c + 5*d)*(c^2 - d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(15*d*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 6, (-2*a*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*f) + (2*a*(c + 3*d)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*d*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (2*a*(c^2 - d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*d*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 5, (2*a*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (2*a*(c - d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(d*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, (-2*a*Cos[e + f*x])/((c + d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*a*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d*(c + d)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (2*a*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(d*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, (-2*a*Cos[e + f*x])/(3*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*a*(c - 3*d)*Cos[e + f*x])/(3*(c - d)*(c + d)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*a*(c - 3*d)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*(c - d)*d*(c + d)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (2*a*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*d*(c + d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 8, (-2*a*Cos[e + f*x])/(5*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (2*a*(3*c - 5*d)*Cos[e + f*x])/(15*(c - d)*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*a*(3*c^2 - 20*c*d + 9*d^2)*Cos[e + f*x])/(15*(c - d)^2*(c + d)^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*a*(3*c^2 - 20*c*d + 9*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*(c - d)^2*d*(c + d)^3*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (2*a*(3*c - 5*d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(15*(c - d)*d*(c + d)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 9, (4*a^2*(5*c^3 - 45*c^2*d - 141*c*d^2 - 75*d^3)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(315*d*f) + (4*a^2*(5*c*(c - 9*d) - 56*d^2)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(315*d*f) + (4*a^2*(c - 9*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(63*d*f) - (2*a^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2))/(9*d*f) - (4*a^2*(5*c^4 - 45*c^3*d - 381*c^2*d^2 - 435*c*d^3 - 168*d^4)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(315*d^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (4*a^2*(c^2 - d^2)*(5*c^3 - 45*c^2*d - 141*c*d^2 - 75*d^3)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(315*d^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 8, (4*a^2*(c^2 - 7*c*d - 10*d^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(35*d*f) + (4*a^2*(c - 7*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(35*d*f) - (2*a^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(7*d*f) - (4*a^2*(c + 3*d)*(c^2 - 10*c*d - 7*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(35*d^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (4*a^2*(c^2 - 7*c*d - 10*d^2)*(c^2 - d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(35*d^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 7, (4*a^2*(c - 5*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*d*f) - (2*a^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*d*f) - (4*a^2*(c^2 - 5*c*d - 12*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*d^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (4*a^2*(c - 5*d)*(c^2 - d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(15*d^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 6, (-2*a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*d*f) - (4*a^2*(c - 3*d)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*d^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (4*a^2*(c - 2*d)*(c - d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*d^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, (2*a^2*(c - d)*Cos[e + f*x])/(d*(c + d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (4*a^2*c*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d^2*(c + d)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (4*a^2*(c - d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(d^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, (2*a^2*(c - d)*Cos[e + f*x])/(3*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (4*a^2*(c + 3*d)*Cos[e + f*x])/(3*d*(c + d)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (4*a^2*(c + 3*d)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*d^2*(c + d)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (4*a^2*(c + 2*d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*d^2*(c + d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 8, (2*a^2*(c - d)*Cos[e + f*x])/(5*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (4*a^2*(c + 5*d)*Cos[e + f*x])/(15*d*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (4*a^2*(c^2 + 5*c*d - 12*d^2)*Cos[e + f*x])/(15*(c - d)*d*(c + d)^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (4*a^2*(c^2 + 5*c*d - 12*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*(c - d)*d^2*(c + d)^3*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (4*a^2*(c + 5*d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(15*d^2*(c + d)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 11, (-4*a^3*(4*c^4 - 33*c^3*d + 177*c^2*d^2 + 561*c*d^3 + 315*d^4)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(693*d^2*f) - (4*a^3*(4*c^3 - 33*c^2*d + 182*c*d^2 + 231*d^3)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(693*d^2*f) - (4*a^3*(4*c^2 - 33*c*d + 189*d^2)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(693*d^2*f) + (8*a^3*(c - 6*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2))/(99*d^2*f) - (2*Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2))/(11*d*f) + (4*a^3*(c + 3*d)*(4*c^4 - 45*c^3*d + 309*c^2*d^2 + 525*c*d^3 + 231*d^4)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(693*d^3*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (4*a^3*(c^2 - d^2)*(4*c^4 - 33*c^3*d + 177*c^2*d^2 + 561*c*d^3 + 315*d^4)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(693*d^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 10, (-4*a^3*(4*c^3 - 27*c^2*d + 114*c*d^2 + 165*d^3)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(315*d^2*f) - (4*a^3*(4*c^2 - 27*c*d + 119*d^2)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(315*d^2*f) + (8*a^3*(c - 5*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(63*d^2*f) - (2*Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(9*d*f) + (4*a^3*(4*c^4 - 27*c^3*d + 111*c^2*d^2 + 579*c*d^3 + 357*d^4)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(315*d^3*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (4*a^3*(c^2 - d^2)*(4*c^3 - 27*c^2*d + 114*c*d^2 + 165*d^3)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(315*d^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 9, (-4*a^3*(4*c^2 - 21*c*d + 65*d^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(105*d^2*f) + (8*a^3*(c - 4*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(35*d^2*f) - (2*Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(7*d*f) + (4*a^3*(4*c^3 - 21*c^2*d + 62*c*d^2 + 147*d^3)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(105*d^3*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (4*a^3*(c^2 - d^2)*(4*c^2 - 21*c*d + 65*d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(105*d^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 8, (8*a^3*(c - 3*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*d^2*f) - (2*Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(5*d*f) + (4*a^3*(4*c^2 - 15*c*d + 27*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*d^3*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (4*a^3*(c - d)*(4*c^2 - 11*c*d + 15*d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(15*d^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 8, (2*(c - d)*Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))/(d*(c + d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (4*a^3*(2*c - d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*d^2*(c + d)*f) - (4*a^3*(4*c^2 - 5*c*d - 3*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*d^3*(c + d)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (4*a^3*(4*c - 5*d)*(c - d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*d^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 8, (2*(c - d)*Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))/(3*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (8*a^3*(c - d)*(c + 2*d)*Cos[e + f*x])/(3*d^2*(c + d)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (4*a^3*(4*c^2 + 5*c*d - 3*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*d^3*(c + d)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (4*a^3*(c - d)*(4*c + 5*d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*d^3*(c + d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 9, (2*(c - d)*Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))/(5*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (8*a^3*(c - d)*(c + 3*d)*Cos[e + f*x])/(15*d^2*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (4*a^3*(4*c^2 + 15*c*d + 27*d^2)*Cos[e + f*x])/(15*d^2*(c + d)^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (4*a^3*(4*c^2 + 15*c*d + 27*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*d^3*(c + d)^3*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (4*a^3*(4*c^2 + 11*c*d + 15*d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(15*d^3*(c + d)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 10, (2*(c - d)*Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))/(7*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (8*a^3*(c - d)*(c + 4*d)*Cos[e + f*x])/(35*d^2*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (4*a^3*(4*c^2 + 21*c*d + 65*d^2)*Cos[e + f*x])/(105*d^2*(c + d)^3*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (4*a^3*(4*c^3 + 21*c^2*d + 62*c*d^2 - 147*d^3)*Cos[e + f*x])/(105*(c - d)*d^2*(c + d)^4*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (4*a^3*(4*c^3 + 21*c^2*d + 62*c*d^2 - 147*d^3)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(105*(c - d)*d^3*(c + d)^4*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (4*a^3*(4*c^2 + 21*c*d + 65*d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(105*d^3*(c + d)^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)/(a + a*Sin[e + f*x]), x, 7, ((3*c - 5*d)*d*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*a*f) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*(a + a*Sin[e + f*x])) - ((3*c^2 - 20*c*d + 9*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*a*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((3*c - 5*d)*(c^2 - d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*a*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)/(a + a*Sin[e + f*x]), x, 6, -(((c - d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(f*(a + a*Sin[e + f*x]))) - ((c - 3*d)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((c^2 - d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(a*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)/(a + a*Sin[e + f*x]), x, 6, -((Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(f*(a + a*Sin[e + f*x]))) - (EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((c + d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(a*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)), x, 6, -((Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/((c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x]))) - (EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(a*(c - d)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(a*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 7, -((d*(c + 3*d)*Cos[e + f*x])/(a*(c - d)^2*(c + d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])) - Cos[e + f*x]/((c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((c + 3*d)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(a*(c - d)^2*(c + d)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(a*(c - d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 8, -(d*(3*c + 5*d)*Cos[e + f*x])/(3*a*(c - d)^2*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - Cos[e + f*x]/((c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (d*(3*c^2 + 20*c*d + 9*d^2)*Cos[e + f*x])/(3*a*(c - d)^3*(c + d)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((3*c^2 + 20*c*d + 9*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*a*(c - d)^3*(c + d)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((3*c + 5*d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*a*(c - d)^2*(c + d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 7, -((c - d)*(c + 5*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*a^2*f*(1 + Sin[e + f*x])) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((c^2 + 5*c*d - 12*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*a^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((c + 5*d)*(c^2 - d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*a^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 7, -((c + 3*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*a^2*f*(1 + Sin[e + f*x])) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((c + 3*d)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*a^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((c + d)*(c + 2*d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*a^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 7, -(c*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*a^2*(c - d)*f*(1 + Sin[e + f*x])) - (Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - (c*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*a^2*(c - d)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((c + d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*a^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)), x, 7, -((c - 3*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*a^2*(c - d)^2*f*(1 + Sin[e + f*x])) - (Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((c - 3*d)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*a^2*(c - d)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((c - 2*d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*a^2*(c - d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 8, -(d*(c^2 - 5*c*d - 12*d^2)*Cos[e + f*x])/(3*a^2*(c - d)^3*(c + d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((c - 5*d)*Cos[e + f*x])/(3*a^2*(c - d)^2*f*(1 + Sin[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - Cos[e + f*x]/(3*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((c^2 - 5*c*d - 12*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*a^2*(c - d)^3*(c + d)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((c - 5*d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*a^2*(c - d)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 9, -(d*(c^2 - 7*c*d - 10*d^2)*Cos[e + f*x])/(3*a^2*(c - d)^3*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((c - 7*d)*Cos[e + f*x])/(3*a^2*(c - d)^2*f*(1 + Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - Cos[e + f*x]/(3*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (d*(c + 3*d)*(c^2 - 10*c*d - 7*d^2)*Cos[e + f*x])/(3*a^2*(c - d)^4*(c + d)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((c + 3*d)*(c^2 - 10*c*d - 7*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*a^2*(c - d)^4*(c + d)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((c^2 - 7*c*d - 10*d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*a^2*(c - d)^3*(c + d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 8, (-2*(c - d)*(c + 3*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((4*c^2 + 15*c*d + 27*d^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(30*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3) - ((4*c^2 + 15*c*d + 27*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(30*a^3*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((c + d)*(4*c^2 + 11*c*d + 15*d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(30*a^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 8, -((c - d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3) - (2*(c + 2*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((4*c^2 + 5*c*d - 3*d^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(30*(c - d)*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])) - ((4*c^2 + 5*c*d - 3*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(30*a^3*(c - d)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((c + d)*(4*c + 5*d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(30*a^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 8, -(Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3) - ((2*c - d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*a*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((4*c^2 - 5*c*d - 3*d^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(30*(c - d)^2*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])) - ((4*c^2 - 5*c*d - 3*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(30*a^3*(c - d)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((4*c - 5*d)*(c + d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(30*a^3*(c - d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)), x, 8, -(Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(5*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3) - (2*(c - 3*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((4*c^2 - 15*c*d + 27*d^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(30*(c - d)^3*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])) - ((4*c^2 - 15*c*d + 27*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(30*a^3*(c - d)^3*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((4*c^2 - 11*c*d + 15*d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(30*a^3*(c - d)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 9, -(d*(4*c^3 - 21*c^2*d + 62*c*d^2 + 147*d^3)*Cos[e + f*x])/(30*a^3*(c - d)^4*(c + d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - Cos[e + f*x]/(5*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*(c - 4*d)*Cos[e + f*x])/(15*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((4*c^2 - 21*c*d + 65*d^2)*Cos[e + f*x])/(30*(c - d)^3*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((4*c^3 - 21*c^2*d + 62*c*d^2 + 147*d^3)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(30*a^3*(c - d)^4*(c + d)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((4*c^2 - 21*c*d + 65*d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(30*a^3*(c - d)^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 10, -(d*(4*c^3 - 27*c^2*d + 114*c*d^2 + 165*d^3)*Cos[e + f*x])/(30*a^3*(c - d)^4*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - Cos[e + f*x]/(5*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*(c - 5*d)*Cos[e + f*x])/(15*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((4*c^2 - 27*c*d + 119*d^2)*Cos[e + f*x])/(30*(c - d)^3*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (d*(4*c^4 - 27*c^3*d + 111*c^2*d^2 + 579*c*d^3 + 357*d^4)*Cos[e + f*x])/(30*a^3*(c - d)^5*(c + d)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((4*c^4 - 27*c^3*d + 111*c^2*d^2 + 579*c*d^3 + 357*d^4)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(30*a^3*(c - d)^5*(c + d)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((4*c^3 - 27*c^2*d + 114*c*d^2 + 165*d^3)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(30*a^3*(c - d)^4*(c + d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^(m/2) (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 4, -((4*a*(c + d)*(15*c^2 + 10*c*d + 7*d^2)*Cos[e + f*x])/(35*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (8*(5*c - d)*d*(c + d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(35*f) - (12*d^2*(c + d)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(35*a*f) - (2*a*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(7*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 3, -((2*a*(15*c^2 + 10*c*d + 7*d^2)*Cos[e + f*x])/(15*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (4*(5*c - d)*d*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(15*f) - (2*d^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*a*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 2, -((2*a*(3*c + d)*Cos[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (2*d*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 1, -((2*a*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 2, -((2*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[d]*Sqrt[c + d]*f))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 3, -((Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[d]*(c + d)^(3/2)*f)) - (a*Cos[e + f*x])/((c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 4, -((3*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[d]*(c + d)^(5/2)*f)) - (a*Cos[e + f*x])/(2*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (3*a*Cos[e + f*x])/(4*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 6, (4*a^2*(c - 17*d)*(c + d)*(15*c^2 + 10*c*d + 7*d^2)*Cos[e + f*x])/(315*d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (8*a*(c - 17*d)*(5*c - d)*(c + d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(315*f) + (4*(c - 17*d)*d*(c + d)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(105*f) + (2*a^2*(c - 17*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(63*d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(9*d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 4, -((8*a^2*(35*c^2 + 42*c*d + 19*d^2)*Cos[e + f*x])/(105*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (2*a*(35*c^2 + 42*c*d + 19*d^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(105*f) - (4*(7*c - d)*d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(35*f) - (2*d^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(7*a*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 3, -((8*a^2*(5*c + 3*d)*Cos[e + f*x])/(15*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (2*a*(5*c + 3*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(15*f) - (2*d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 2, -((8*a^2*Cos[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (2*a*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 4, (2*a^(3/2)*(c - d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(d^(3/2)*Sqrt[c + d]*f) - (2*a^2*Cos[e + f*x])/(d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 4, -((a^(3/2)*(c + 3*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(d^(3/2)*(c + d)^(3/2)*f)) + (a^2*(c - d)*Cos[e + f*x])/(d*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 5, -((a^(3/2)*(c + 7*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(4*d^(3/2)*(c + d)^(5/2)*f)) + (a^2*(c - d)*Cos[e + f*x])/(2*d*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (a^2*(c + 7*d)*Cos[e + f*x])/(4*d*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 6, -((4*a^3*(c + d)*(15*c^2 + 10*c*d + 7*d^2)*(3*c^2 - 38*c*d + 355*d^2)*Cos[e + f*x])/(3465*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (8*a^2*(5*c - d)*(c + d)*(3*c^2 - 38*c*d + 355*d^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3465*d*f) - (4*a*(c + d)*(3*c^2 - 38*c*d + 355*d^2)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(1155*f) - (2*a^3*(3*c^2 - 38*c*d + 355*d^2)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(693*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (2*a^3*(3*c - 23*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(99*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(11*d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 5, -((64*a^3*(21*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*Cos[e + f*x])/(315*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (16*a^2*(21*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(315*f) - (2*a*(21*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(105*f) - (4*(9*c - d)*d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(63*f) - (2*d^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(9*a*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 4, -((64*a^3*(7*c + 5*d)*Cos[e + f*x])/(105*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (16*a^2*(7*c + 5*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(105*f) - (2*a*(7*c + 5*d)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(35*f) - (2*d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(7*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 3, -((64*a^3*Cos[e + f*x])/(15*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (16*a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(15*f) - (2*a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 4, -((2*a^(5/2)*(c - d)^2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(d^(5/2)*Sqrt[c + d]*f)) + (2*a^3*(3*c - 7*d)*Cos[e + f*x])/(3*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 4, (a^(5/2)*(c - d)*(3*c + 5*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(d^(5/2)*(c + d)^(3/2)*f) - (a^3*(3*c + d)*Cos[e + f*x])/(d^2*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (a^2*(c - d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 4, -((a^(5/2)*(3*c^2 + 10*c*d + 19*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(4*d^(5/2)*(c + d)^(5/2)*f)) + (a^2*(c - d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(2*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) + (3*a^3*(c - d)*(c + 3*d)*Cos[e + f*x])/(4*d^2*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 6, -((Sqrt[2]*(c - d)^3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f)) - (4*d*(21*c^2 - 12*c*d + 7*d^2)*Cos[e + f*x])/(15*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*(9*c - d)*d^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(15*a*f) - (2*d*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(5*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 4, -((Sqrt[2]*(c - d)^2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f)) - (4*(3*c - d)*d*Cos[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*d^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*a*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 3, -((Sqrt[2]*(c - d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f)) - (2*d*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 2, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 5, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)*f)) + (2*Sqrt[d]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)*Sqrt[c + d]*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 6, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)^2*f)) + (Sqrt[d]*(3*c + d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*f) + (d*Cos[e + f*x])/((c^2 - d^2)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 7, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)^3*f)) + (Sqrt[d]*(15*c^2 + 10*c*d + 7*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[a]*(c - d)^3*(c + d)^(5/2)*f) + (d*Cos[e + f*x])/(2*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^2) + (d*(7*c + d)*Cos[e + f*x])/(4*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 6, -(((c - d)^2*(c + 11*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*f)) + (d*(3*c^2 - 24*c*d + 13*d^2)*Cos[e + f*x])/(3*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + ((3*c - 7*d)*d^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(6*a^2*f) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 4, -(((c - d)*(c + 7*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*f)) + ((c - 5*d)*d*Cos[e + f*x])/(2*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 3, -(((c + 3*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*f)) - ((c - d)*Cos[e + f*x])/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 3, -(ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])]/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*f)) - Cos[e + f*x]/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 6, -(((c - 5*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - d)^2*f)) - (2*d^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(a^(3/2)*(c - d)^2*Sqrt[c + d]*f) - Cos[e + f*x]/(2*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 7, -(((c - 9*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - d)^3*f)) - (d^(3/2)*(5*c + 3*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(a^(3/2)*(c - d)^3*(c + d)^(3/2)*f) - Cos[e + f*x]/(2*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])) - (d*(c + 3*d)*Cos[e + f*x])/(2*a*(c - d)^2*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 8, -(((c - 13*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - d)^4*f)) - (d^(3/2)*(35*c^2 + 42*c*d + 19*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(4*a^(3/2)*(c - d)^4*(c + d)^(5/2)*f) - Cos[e + f*x]/(2*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (d*(c + 2*d)*Cos[e + f*x])/(2*a*(c - d)^2*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (d*(2*c + d)*(c + 7*d)*Cos[e + f*x])/(4*a*(c - d)^3*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 6, -((3*(c - d)*(c^2 + 6*c*d + 25*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*f)) - ((c - d)^2*(3*c + 13*d)*Cos[e + f*x])/(16*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) + ((c - 9*d)*d^2*Cos[e + f*x])/(4*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 4, -(((3*c^2 + 10*c*d + 19*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*f)) - (3*(c - d)*(c + 3*d)*Cos[e + f*x])/(16*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 4, -(((3*c + 5*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*f)) - ((c - d)*Cos[e + f*x])/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)) - ((3*c + 5*d)*Cos[e + f*x])/(16*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 4, -((3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*f)) - Cos[e + f*x]/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (3*Cos[e + f*x])/(16*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 7, -(((3*c^2 - 14*c*d + 43*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*(c - d)^3*f)) + (2*d^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(a^(5/2)*(c - d)^3*Sqrt[c + d]*f) - Cos[e + f*x]/(4*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)) - ((3*c - 11*d)*Cos[e + f*x])/(16*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 8, -(((3*c^2 - 22*c*d + 115*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*(c - d)^4*f)) + (d^(5/2)*(7*c + 5*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(a^(5/2)*(c - d)^4*(c + d)^(3/2)*f) - Cos[e + f*x]/(4*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])) - (3*(c - 5*d)*Cos[e + f*x])/(16*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])) - ((c - 7*d)*d*(3*c + 5*d)*Cos[e + f*x])/(16*a^2*(c - d)^3*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 9, -((3*(c^2 - 10*c*d + 73*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*(c - d)^5*f)) + (3*d^(5/2)*(21*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(4*a^(5/2)*(c - d)^5*(c + d)^(5/2)*f) - Cos[e + f*x]/(4*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - ((3*c - 19*d)*Cos[e + f*x])/(16*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (d*(3*c^2 - 20*c*d - 31*d^2)*Cos[e + f*x])/(16*a^2*(c - d)^3*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (3*d*(c + 3*d)*(c^2 - 10*c*d - 7*d^2)*Cos[e + f*x])/(16*a^2*(c - d)^4*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^(m/2) (c+d Sin[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, -((5*Sqrt[a]*(c + d)^3*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(8*Sqrt[d]*f)) - (5*a*(c + d)^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(8*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (5*a*(c + d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(12*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((3*Sqrt[a]*(c + d)^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[d]*f)) - (3*a*(c + d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, -((Sqrt[a]*(c + d)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[d]*f)) - (a*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 2, -((2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[d]*f))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 1, -((2*a*Cos[e + f*x])/((c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 2, -((2*a*Cos[e + f*x])/(3*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))) - (4*a*Cos[e + f*x])/(3*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 3, -((2*a*Cos[e + f*x])/(5*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))) - (8*a*Cos[e + f*x])/(15*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (16*a*Cos[e + f*x])/(15*(c + d)^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, (5*a^(3/2)*(c - 15*d)*(c + d)^3*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(64*d^(3/2)*f) + (5*a^2*(c - 15*d)*(c + d)^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(64*d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (5*a^2*(c - 15*d)*(c + d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(96*d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (a^2*(c - 15*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(24*d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2))/(4*d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, (a^(3/2)*(c - 11*d)*(c + d)^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(8*d^(3/2)*f) + (a^2*(c - 11*d)*(c + d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(8*d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (a^2*(c - 11*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(12*d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 5, (a^(3/2)*(c - 7*d)*(c + d)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(4*d^(3/2)*f) + (a^2*(c - 7*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, (a^(3/2)*(c - 3*d)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(d^(3/2)*f) - (a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((2*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(d^(3/2)*f)) + (2*a^2*(c - d)*Cos[e + f*x])/(d*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 3, (2*a^2*(c - d)*Cos[e + f*x])/(3*d*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*a^2*(c + 5*d)*Cos[e + f*x])/(3*d*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 4, (2*a^2*(c - d)*Cos[e + f*x])/(5*d*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (2*a^2*(c + 9*d)*Cos[e + f*x])/(15*d*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (4*a^2*(c + 9*d)*Cos[e + f*x])/(15*d*(c + d)^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 5, (2*a^2*(c - d)*Cos[e + f*x])/(7*d*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (2*a^2*(c + 13*d)*Cos[e + f*x])/(35*d*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (8*a^2*(c + 13*d)*Cos[e + f*x])/(105*d*(c + d)^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (16*a^2*(c + 13*d)*Cos[e + f*x])/(105*d*(c + d)^4*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, -((a^(5/2)*(c + d)^3*(3*c^2 - 34*c*d + 283*d^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(128*d^(5/2)*f)) - (a^3*(c + d)^2*(3*c^2 - 34*c*d + 283*d^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(128*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a^3*(c + d)*(3*c^2 - 34*c*d + 283*d^2)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(192*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a^3*(3*c^2 - 34*c*d + 283*d^2)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(240*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (3*a^3*(c - 7*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2))/(40*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2))/(5*d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, -((a^(5/2)*(c + d)^2*(3*c^2 - 26*c*d + 163*d^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(64*d^(5/2)*f)) - (a^3*(c + d)*(3*c^2 - 26*c*d + 163*d^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(64*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a^3*(3*c^2 - 26*c*d + 163*d^2)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(96*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (a^3*(3*c - 17*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(24*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(4*d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 5, -((a^(5/2)*(c + d)*(c^2 - 6*c*d + 25*d^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(8*d^(5/2)*f)) - (a^3*(c^2 - 6*c*d + 25*d^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(8*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (a^3*(3*c - 13*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(12*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, -((a^(5/2)*(3*c^2 - 10*c*d + 19*d^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(4*d^(5/2)*f)) + (3*a^3*(c - 3*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(2*d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, (a^(5/2)*(3*c - 5*d)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(d^(5/2)*f) + (2*a^2*(c - d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(d*(c + d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (a^3*(3*c - d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d^2*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((2*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(d^(5/2)*f)) + (2*a^2*(c - d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*a^3*(c - d)*(3*c + 7*d)*Cos[e + f*x])/(3*d^2*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 3, (2*a^2*(c - d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(5*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (2*a^3*(c - d)*(3*c + 11*d)*Cos[e + f*x])/(15*d^2*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*a^3*(3*c^2 + 14*c*d + 43*d^2)*Cos[e + f*x])/(15*d^2*(c + d)^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 4, (2*a^2*(c - d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(7*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (6*a^3*(c - d)*(c + 5*d)*Cos[e + f*x])/(35*d^2*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (2*a^3*(3*c^2 + 22*c*d + 115*d^2)*Cos[e + f*x])/(105*d^2*(c + d)^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (4*a^3*(3*c^2 + 22*c*d + 115*d^2)*Cos[e + f*x])/(105*d^2*(c + d)^4*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(11/2), x, 5, (2*a^2*(c - d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(9*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(9/2)) + (2*a^3*(c - d)*(3*c + 19*d)*Cos[e + f*x])/(63*d^2*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (2*a^3*(c^2 + 10*c*d + 73*d^2)*Cos[e + f*x])/(105*d^2*(c + d)^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (8*a^3*(c^2 + 10*c*d + 73*d^2)*Cos[e + f*x])/(315*d^2*(c + d)^4*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (16*a^3*(c^2 + 10*c*d + 73*d^2)*Cos[e + f*x])/(315*d^2*(c + d)^5*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, -((Sqrt[d]*(15*c^2 - 10*c*d + 7*d^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[a]*f)) - (Sqrt[2]*(c - d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) - ((7*c - d)*d*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (d*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, -(((3*c - d)*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f)) - (Sqrt[2]*(c - d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) - (d*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 5, -((2*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f)) - (Sqrt[2]*Sqrt[c - d]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f)}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 2, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*f))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)^(3/2)*f)) + (2*d*Cos[e + f*x])/((c^2 - d^2)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)^(5/2)*f)) + (2*d*Cos[e + f*x])/(3*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*d*(5*c + d)*Cos[e + f*x])/(3*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, -(((5*c - 3*d)*d^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(a^(3/2)*f)) - ((c - d)^(3/2)*(c + 9*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*f) + ((c - 3*d)*d*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(2*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, -((2*d^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(a^(3/2)*f)) - (Sqrt[c - d]*(c + 5*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*f) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, -(((c + d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*Sqrt[c - d]*f)) - (Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, -(((c - 3*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - d)^(3/2)*f)) - (Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(2*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, -(((c - 7*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - d)^(5/2)*f)) - Cos[e + f*x]/(2*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (d*(c + 5*d)*Cos[e + f*x])/(2*a*(c - d)^2*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, -(((c - 11*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - d)^(7/2)*f)) - Cos[e + f*x]/(2*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (d*(3*c + 7*d)*Cos[e + f*x])/(6*a*(c - d)^2*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (d*(3*c^2 + 38*c*d + 19*d^2)*Cos[e + f*x])/(6*a*(c - d)^3*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, -((2*d^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(a^(5/2)*f)) - (Sqrt[c - d]*(3*c^2 + 14*c*d + 43*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*f) - ((c - d)*(3*c + 11*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(16*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, -((3*(c + d)^2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*Sqrt[c - d]*f)) - ((c - d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)) - ((3*c + 7*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(16*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 5, -(((3*c - 5*d)*(c + d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*(c - d)^(3/2)*f)) - (Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)) - ((3*c - d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(16*a*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 5, -(((3*c^2 - 10*c*d + 19*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*(c - d)^(5/2)*f)) - (Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (3*(c - 3*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(16*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, -((3*(c^2 - 6*c*d + 25*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*(c - d)^(7/2)*f)) - Cos[e + f*x]/(4*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((3*c - 13*d)*Cos[e + f*x])/(16*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((c - 7*d)*d*(3*c + 7*d)*Cos[e + f*x])/(16*a^2*(c - d)^3*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, -(((3*c^2 - 26*c*d + 163*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*(c - d)^(9/2)*f)) - Cos[e + f*x]/(4*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((3*c - 17*d)*Cos[e + f*x])/(16*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (d*(9*c^2 - 54*c*d - 95*d^2)*Cos[e + f*x])/(48*a^2*(c - d)^3*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (d*(9*c^3 - 57*c^2*d - 493*c*d^2 - 299*d^3)*Cos[e + f*x])/(48*a^2*(c - d)^4*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n with m and/or n symbolic*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 4, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1/2, -n, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c - d))^n*(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 6, If[$VersionNumber>=8, -((d*(d^2*(4 + m) - c*d*(5 - 3*m - 2*m^2) + 2*c^2*(8 + 6*m + m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m))) - (2^(1/2 + m)*(d^3*m*(5 + 3*m + m^2) + 3*c^2*d*m*(6 + 5*m + m^2) + 3*c*d^2*(3 + 4*m + 4*m^2 + m^3) + c^3*(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)) - (d^2*(d*m + c*(5 + m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(2 + m)*(3 + m)) - (d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(f*(3 + m)), -((d*(d^2*(4 + m) - c*d*(5 - 3*m - 2*m^2) + 2*c^2*(8 + 6*m + m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(3 + m)*(2 + 3*m + m^2))) - (1/(f*(3 + m)*(2 + 3*m + m^2)))*(2^(1/2 + m)*(d^3*m*(5 + 3*m + m^2) + 3*c^2*d*m*(6 + 5*m + m^2) + 3*c*d^2*(3 + 4*m + 4*m^2 + m^3) + c^3*(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m) - (d^2*(d*m + c*(5 + m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(2 + m)*(3 + m)) - (d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(f*(3 + m))]}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 4, If[$VersionNumber>=8, (d*(d - 2*c*(2 + m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m)*(2 + m)) - (2^(1/2 + m)*(2*c*d*m*(2 + m) + d^2*(1 + m + m^2) + c^2*(2 + 3*m + m^2))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m)*(2 + m)) - (d^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(2 + m)), (d*(d - 2*c*(2 + m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m)*(2 + m)) - (2^(1/2 + m)*(2*c*d*m*(2 + m) + d^2*(1 + m + m^2) + c^2*(2 + 3*m + m^2))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(2 + 3*m + m^2)) - (d^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(2 + m))]}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 3, -((d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m))) - (2^(1/2 + m)*(c + c*m + d*m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 2, -((2^(1/2 + m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 1, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((c - d)*f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 2, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((c - d)^2*f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 3, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((c - d)^3*f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, (Sqrt[2]*(c - d)^2*AppellF1[1/2 + m, 1/2, -(5/2), 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, (Sqrt[2]*(c - d)*AppellF1[1/2 + m, 1/2, -(3/2), 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1/2, -(1/2), 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 1/2, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 3/2, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/((c - d)*f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 5/2, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/((c - d)^2*f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(1 + Sin[e + f*x])^m/(3 + 5*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((4^(-1 - m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1 + m, 3/2, (1 - Sin[e + f*x])/(4*(1 + Sin[e + f*x]))])/(f*(1 + Sin[e + f*x]))), -((2^(-1 - 2*m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, -((1 - Sin[e + f*x])/(3 + 5*Sin[e + f*x]))]*(1 + Sin[e + f*x])^(-1 + m)*((1 + Sin[e + f*x])/(3 + 5*Sin[e + f*x]))^(1/2 - m))/((3 + 5*Sin[e + f*x])^m*f))}
+{(1 + Sin[e + f*x])^m/(3 + 4*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -(((7/2)^(-1 - m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1 + m, 3/2, (1 - Sin[e + f*x])/(7*(1 + Sin[e + f*x]))])/(f*(1 + Sin[e + f*x]))), -((2^(1/2 + m)*7^(-(1/2) - m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, -((1 - Sin[e + f*x])/(2*(3 + 4*Sin[e + f*x])))]*(1 + Sin[e + f*x])^(-1 + m)*((1 + Sin[e + f*x])/(3 + 4*Sin[e + f*x]))^(1/2 - m))/((3 + 4*Sin[e + f*x])^m*f))}
+{(1 + Sin[e + f*x])^m/(3 + 3*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((3^(-1 - m)*Cos[e + f*x])/(f*(1 + Sin[e + f*x])))}
+{(1 + Sin[e + f*x])^m/(3 + 2*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((2^(1/2 + m)*5^(-(1/2) - m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1 - Sin[e + f*x])/(2*(3 + 2*Sin[e + f*x]))]*(1 + Sin[e + f*x])^(-1 + m)*((1 + Sin[e + f*x])/(3 + 2*Sin[e + f*x]))^(1/2 - m))/((3 + 2*Sin[e + f*x])^m*f))}
+{(1 + Sin[e + f*x])^m/(3 + 1*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((2^(-(1/2) - m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1 - Sin[e + f*x])/(3 + Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-1 + m)*((1 + Sin[e + f*x])/(3 + Sin[e + f*x]))^(1/2 - m))/((3 + Sin[e + f*x])^m*f))}
+{(1 + Sin[e + f*x])^m/(3 + 0*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((2^(1/2 + m)*3^(-1 - m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])])/(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))}
+{(1 + Sin[e + f*x])^m/(3 - 1*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1 + m, 3/2, -((2*(1 - Sin[e + f*x]))/(1 + Sin[e + f*x]))]*(3 - Sin[e + f*x])^(-1 - m)*((3 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x]))^(1 + m)*(1 + Sin[e + f*x])^m)/f)}
+{(1 + Sin[e + f*x])^m/(3 - 2*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, (2*(3 - 2*Sin[e + f*x]))/(1 + Sin[e + f*x])]*Sqrt[-((1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x]))]*(1 + Sin[e + f*x])^m)/((3 - 2*Sin[e + f*x])^m*(Sqrt[5]*f*m*(1 - Sin[e + f*x])))}
+{(1 + Sin[e + f*x])^m/(3 - 3*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 1, (Cos[e + f*x]*(3 - 3*Sin[e + f*x])^(-1 - m)*(1 + Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m))}
+{(1 + Sin[e + f*x])^m/(3 - 4*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, (2^(1 + m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1 + m, 3/2, (7*(1 - Sin[e + f*x]))/(1 + Sin[e + f*x])]*(-3 + 4*Sin[e + f*x])^m)/((3 - 4*Sin[e + f*x])^m*(f*(1 + Sin[e + f*x]))), (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, -((2*(3 - 4*Sin[e + f*x]))/(1 + Sin[e + f*x]))]*Sqrt[(1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^m)/((3 - 4*Sin[e + f*x])^m*(Sqrt[7]*f*m*(1 - Sin[e + f*x])))}
+{(1 + Sin[e + f*x])^m/(3 - 5*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1 + m, 3/2, (4*(1 - Sin[e + f*x]))/(1 + Sin[e + f*x])]*(-3 + 5*Sin[e + f*x])^m)/((3 - 5*Sin[e + f*x])^m*(f*(1 + Sin[e + f*x]))), (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, -((3 - 5*Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x]))]*Sqrt[(1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^m)/((3 - 5*Sin[e + f*x])^m*(4*f*m*(1 - Sin[e + f*x])))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(3 + 5*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((4^(-1 - m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1 + m, 3/2, (a - a*Sin[e + f*x])/(4*(a + a*Sin[e + f*x]))]*(1 + Sin[e + f*x])^(-1 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/f), -((Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, (3 + 5*Sin[e + f*x])/(4*(1 + Sin[e + f*x]))]*Sqrt[(1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((3 + 5*Sin[e + f*x])^m*(4*f*m*(1 - Sin[e + f*x]))))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(3 + 4*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -(((7/2)^(-1 - m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1 + m, 3/2, (a - a*Sin[e + f*x])/(7*(a + a*Sin[e + f*x]))]*(1 + Sin[e + f*x])^(-1 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/f), -((Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, (2*(3 + 4*Sin[e + f*x]))/(7*(1 + Sin[e + f*x]))]*Sqrt[(1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((3 + 4*Sin[e + f*x])^m*(Sqrt[7]*f*m*(1 - Sin[e + f*x]))))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(3 + 3*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((Cos[e + f*x]*(3 + 3*Sin[e + f*x])^(-1 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(3 + 2*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -(((5/2)^(-1 - m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1 + m, 3/2, -((a - a*Sin[e + f*x])/(5*(a + a*Sin[e + f*x])))]*(1 + Sin[e + f*x])^(-1 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/f), (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, (2*(3 + 2*Sin[e + f*x]))/(5*(1 + Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-((1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x]))]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((3 + 2*Sin[e + f*x])^m*(Sqrt[5]*f*m*(1 - Sin[e + f*x])))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(3 + 1*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((2^(-1 - m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1 + m, 3/2, -((a - a*Sin[e + f*x])/(2*(a + a*Sin[e + f*x])))]*(1 + Sin[e + f*x])^(-1 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/f), (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, (3 + Sin[e + f*x])/(2*(1 + Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-((1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x]))]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((3 + Sin[e + f*x])^m*(2*Sqrt[2]*f*m*(1 - Sin[e + f*x])))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(3 + 0*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 3, -((2^(1/2 + m)*3^(-1 - m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(3 - 1*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1 + m, 3/2, -((2*(a - a*Sin[e + f*x]))/(a + a*Sin[e + f*x]))]*(1 + Sin[e + f*x])^(-1 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/f), (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, (3 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x])]*Sqrt[-((1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x]))]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((3 - Sin[e + f*x])^m*(2*Sqrt[2]*f*m*(1 - Sin[e + f*x])))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(3 - 2*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((2^(1 + m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1 + m, 3/2, -((5*(a - a*Sin[e + f*x]))/(a + a*Sin[e + f*x]))]*(1 + Sin[e + f*x])^(-1 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/f), (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, (2*(3 - 2*Sin[e + f*x]))/(1 + Sin[e + f*x])]*Sqrt[-((1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x]))]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((3 - 2*Sin[e + f*x])^m*(Sqrt[5]*f*m*(1 - Sin[e + f*x])))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(3 - 3*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 1, (Cos[e + f*x]*(3 - 3*Sin[e + f*x])^(-1 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(3 - 4*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, -((2*(3 - 4*Sin[e + f*x]))/(1 + Sin[e + f*x]))]*Sqrt[(1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((3 - 4*Sin[e + f*x])^m*(Sqrt[7]*f*m*(1 - Sin[e + f*x])))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(3 - 5*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, -((3 - 5*Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x]))]*Sqrt[(1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((3 - 5*Sin[e + f*x])^m*(4*f*m*(1 - Sin[e + f*x])))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(-3 + 5*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1 + m, 3/2, (4*(a - a*Sin[e + f*x]))/(a + a*Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-1 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/f), -((Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, -((3 - 5*Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x]))]*Sqrt[(1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((-3 + 5*Sin[e + f*x])^m*(4*f*m*(1 - Sin[e + f*x]))))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(-3 + 4*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((2^(1 + m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1 + m, 3/2, (7*(a - a*Sin[e + f*x]))/(a + a*Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-1 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/f), -((Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, -((2*(3 - 4*Sin[e + f*x]))/(1 + Sin[e + f*x]))]*Sqrt[(1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((-3 + 4*Sin[e + f*x])^m*(Sqrt[7]*f*m*(1 - Sin[e + f*x]))))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(-3 + 3*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 1, (Cos[e + f*x]*(-3 + 3*Sin[e + f*x])^(-1 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(-3 + 2*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, (2*(3 - 2*Sin[e + f*x]))/(1 + Sin[e + f*x])]*Sqrt[-((1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x]))]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((-3 + 2*Sin[e + f*x])^m*(Sqrt[5]*f*m*(1 - Sin[e + f*x]))))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(-3 + 1*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, (3 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x])]*Sqrt[-((1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x]))]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((-3 + Sin[e + f*x])^m*(2*Sqrt[2]*f*m*(1 - Sin[e + f*x]))))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(-3 + 0*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 3, -(((-3)^(-1 - m)*2^(1/2 + m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(-3 - 1*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, (3 + Sin[e + f*x])/(2*(1 + Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-((1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x]))]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((-3 - Sin[e + f*x])^m*(2*Sqrt[2]*f*m*(1 - Sin[e + f*x]))))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(-3 - 2*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, (2*(3 + 2*Sin[e + f*x]))/(5*(1 + Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-((1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x]))]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((-3 - 2*Sin[e + f*x])^m*(Sqrt[5]*f*m*(1 - Sin[e + f*x]))))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(-3 - 3*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((Cos[e + f*x]*(-3 - 3*Sin[e + f*x])^(-1 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(-3 - 4*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, (2*(3 + 4*Sin[e + f*x]))/(7*(1 + Sin[e + f*x]))]*Sqrt[(1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((-3 - 4*Sin[e + f*x])^m*(Sqrt[7]*f*m*(1 - Sin[e + f*x])))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(-3 - 5*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, (3 + 5*Sin[e + f*x])/(4*(1 + Sin[e + f*x]))]*Sqrt[(1 - Sin[e + f*x])/(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((-3 - 5*Sin[e + f*x])^m*(4*f*m*(1 - Sin[e + f*x])))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(d*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 4, -((Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2 - m, -m, 1 - m, -((2*Sin[e + f*x])/(1 - Sin[e + f*x]))]*((1 + Sin[e + f*x])/(1 - Sin[e + f*x]))^(1/2 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((d*Sin[e + f*x])^m*(d*f*m*(1 + Sin[e + f*x]))))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 2, -((1/((c + d)*f))*((2^(1/2 + m)*a*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, ((c - d)*(1 - Sin[e + f*x]))/(2*(c + d*Sin[e + f*x]))]*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(((c + d)*(1 + Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x]))^(1/2 - m))/(c + d*Sin[e + f*x])^m))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((8*Sqrt[2]*a^3*AppellF1[1/2, -(5/2), -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((4*Sqrt[2]*a^2*AppellF1[1/2, -(3/2), -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((2*Sqrt[2]*a*AppellF1[1/2, -(1/2), -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^0*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((AppellF1[1/2, 3/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(Sqrt[2]*a*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((AppellF1[1/2, 5/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(2*Sqrt[2]*a^2*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((AppellF1[1/2, 7/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(4*Sqrt[2]*a^3*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 5, (2*a^3*(3*c - d*(11 + 4*n))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d^2*f*(3 + 2*n)*(5 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(5 + 2*n)) - (2*a^3*(3*c^2 - 2*c*d*(7 + 4*n) + d^2*(43 + 56*n + 16*n^2))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(d^2*f*(3 + 2*n)*(5 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 5, -((2*a^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(3 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) + (2*a^2*(c - d*(5 + 4*n))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(d*f*(3 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((2*a*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((AppellF1[1/2, -n, 1, 3/2, (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d), (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))), -((AppellF1[1 + n, 1/2, 1, 2 + n, (c + d*Sin[e + f*x])/(c + d), (c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Cos[e + f*x]*Sqrt[(d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/((c - d)*f*(1 + n)*(1 - Sin[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((AppellF1[1/2, -n, 2, 3/2, (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d), (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(2*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))), (d*AppellF1[1 + n, 1/2, 2, 2 + n, (c + d*Sin[e + f*x])/(c + d), (c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Cos[e + f*x]*Sqrt[(d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/((c - d)^2*f*(1 + n)*(a - a*Sin[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((AppellF1[1/2, -n, 3, 3/2, (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d), (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(4*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))), -((d^2*AppellF1[1 + n, 1/2, 3, 2 + n, (c + d*Sin[e + f*x])/(c + d), (c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Cos[e + f*x]*Sqrt[(d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/((c - d)^3*f*(1 + n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(a^2 - a^2*Sin[e + f*x])))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 3, -((2*Sqrt[2]*a*AppellF1[1/2, -(1/2), -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]*((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^(1/3)))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 3, -((2*Sqrt[2]*a*AppellF1[1/2, -(1/2), 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^(1/3))/(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3)))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])^(4/3), x, 3, -((2*Sqrt[2]*a*AppellF1[1/2, -(1/2), 4/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^(1/3))/((c + d)*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 3, (1/8)*(8*a*c^3 + 12*b*c^2*d + 12*a*c*d^2 + 3*b*d^3)*x - ((4*a*d*(4*c^2 + d^2) + 3*b*(c^3 + 4*c*d^2))*Cos[e + f*x])/(6*f) - (d*(6*b*c^2 + 20*a*c*d + 9*b*d^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(24*f) - ((3*b*c + 4*a*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(12*f) - (b*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(4*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 2, (1/2)*(2*b*c*d + a*(2*c^2 + d^2))*x - (2*(3*a*c*d + b*(c^2 + d^2))*Cos[e + f*x])/(3*f) - (d*(2*b*c + 3*a*d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(6*f) - (b*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(3*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 1, (1/2)*(2*a*c + b*d)*x - ((b*c + a*d)*Cos[e + f*x])/f - (b*d*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 2, a*x - (b*Cos[e + f*x])/f}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^1/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 4, (b*x)/d - (2*(b*c - a*d)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d*Sqrt[c^2 - d^2]*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^1/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 5, (2*(a*c - b*d)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((c^2 - d^2)^(3/2)*f) - ((b*c - a*d)*Cos[e + f*x])/((c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^1/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 6, -(((3*b*c*d - a*(2*c^2 + d^2))*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((c^2 - d^2)^(5/2)*f)) - ((b*c - a*d)*Cos[e + f*x])/(2*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) + ((3*a*c*d - b*(c^2 + 2*d^2))*Cos[e + f*x])/(2*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 4, (1/8)*(6*a*b*d*(4*c^2 + d^2) + b^2*c*(4*c^2 + 9*d^2) + 4*a^2*(2*c^3 + 3*c*d^2))*x - ((20*a^2*d^2*(4*c^2 + d^2) + 30*a*b*c*d*(c^2 + 4*d^2) - b^2*(3*c^4 - 52*c^2*d^2 - 16*d^4))*Cos[e + f*x])/(30*d*f) - ((100*a^2*c*d^2 + 30*a*b*d*(2*c^2 + 3*d^2) - b^2*(6*c^3 - 71*c*d^2))*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(120*f) - ((4*(5*a^2 + 4*b^2)*d^2 - 3*b*c*(b*c - 10*a*d))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(60*d*f) + (b*(b*c - 10*a*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(20*d*f) - (b^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(5*d*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 3, (1/8)*(16*a*b*c*d + 4*a^2*(2*c^2 + d^2) + b^2*(4*c^2 + 3*d^2))*x - ((8*a^2*b*c*d + 8*b^3*c*d - a^3*d^2 + 4*a*b^2*(3*c^2 + 2*d^2))*Cos[e + f*x])/(6*b*f) - ((2*a*d*(8*b*c - a*d) + 3*b^2*(4*c^2 + 3*d^2))*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(24*f) - (d*(8*b*c - a*d)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^2)/(12*b*f) - (d^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^3)/(4*b*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 2, (1/2)*(2*a^2*c + b^2*c + 2*a*b*d)*x - (2*(3*a*b*c + a^2*d + b^2*d)*Cos[e + f*x])/(3*f) - (b*(3*b*c + 2*a*d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(6*f) - (d*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^2)/(3*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 1, (1/2)*(2*a^2 + b^2)*x - (2*a*b*Cos[e + f*x])/f - (b^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 5, -((b*(b*c - 2*a*d)*x)/d^2) + (2*(b*c - a*d)^2*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^2*Sqrt[c^2 - d^2]*f) - (b^2*Cos[e + f*x])/(d*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 5, (b^2*x)/d^2 - (2*(b*c - a*d)*(a*c*d + b*(c^2 - 2*d^2))*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^2*(c^2 - d^2)^(3/2)*f) + ((b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x])/(d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 6, -(((6*a*b*c*d - a^2*(2*c^2 + d^2) - b^2*(c^2 + 2*d^2))*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((c^2 - d^2)^(5/2)*f)) + ((b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x])/(2*d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - ((b*c - a*d)*(3*a*c*d + b*(c^2 - 4*d^2))*Cos[e + f*x])/(2*d*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^4, x, 7, -(((2*a*b*d*(4*c^2 + d^2) - b^2*c*(c^2 + 4*d^2) - a^2*(2*c^3 + 3*c*d^2))*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((c^2 - d^2)^(7/2)*f)) + ((b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x])/(3*d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^3) - ((b*c - a*d)*(5*a*c*d + b*(c^2 - 6*d^2))*Cos[e + f*x])/(6*d*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) + ((a^2*d^2*(11*c^2 + 4*d^2) - a*b*(4*c^3*d + 26*c*d^3) - b^2*(c^4 - 10*c^2*d^2 - 6*d^4))*Cos[e + f*x])/(6*d*(c^2 - d^2)^3*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 5, (1/16)*(18*a^2*b*d*(4*c^2 + d^2) + b^3*d*(18*c^2 + 5*d^2) + 6*a*b^2*c*(4*c^2 + 9*d^2) + 8*a^3*(2*c^3 + 3*c*d^2))*x - ((3*a*b^2*d*(3*c^2 + d^2) + 3*a^2*b*c*(c^2 + 3*d^2) + b^3*c*(c^2 + 3*d^2) + a^3*(3*c^2*d + d^3))*Cos[e + f*x])/f + ((b*c + a*d)*(8*a*b*c*d + a^2*d^2 + b^2*(c^2 + 6*d^2))*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) - (3*b^2*d^2*(b*c + a*d)*Cos[e + f*x]^5)/(5*f) - ((24*a^3*c*d^2 + 18*a^2*b*d*(4*c^2 + d^2) + b^3*d*(18*c^2 + 5*d^2) + 6*a*b^2*c*(4*c^2 + 9*d^2))*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) - (5*b^3*d^3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(24*f) - (3*b*d*(b^2*c^2 + 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(4*f) - (b^3*d^3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^5)/(6*f), (1/16)*(18*a^2*b*d*(4*c^2 + d^2) + b^3*d*(18*c^2 + 5*d^2) + 6*a*b^2*c*(4*c^2 + 9*d^2) + 8*a^3*(2*c^3 + 3*c*d^2))*x - ((40*a^3*d^3*(4*c^2 + d^2) + 90*a^2*b*c*d^2*(c^2 + 4*d^2) - 6*a*b^2*d*(3*c^4 - 52*c^2*d^2 - 16*d^4) + b^3*(2*c^5 + 17*c^3*d^2 + 96*c*d^4))*Cos[e + f*x])/(60*d^2*f) - ((200*a^3*c*d^3 + 90*a^2*b*d^2*(2*c^2 + 3*d^2) - 6*a*b^2*d*(6*c^3 - 71*c*d^2) + b^3*(4*c^4 + 36*c^2*d^2 + 75*d^4))*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(240*d*f) - ((90*a^2*b*c*d^2 + 40*a^3*d^3 + b^3*(2*c^3 + 21*c*d^2) - a*b^2*(18*c^2*d - 96*d^3))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(120*d^2*f) + (b*(18*a*b*c*d - 90*a^2*d^2 - b^2*(2*c^2 + 25*d^2))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(120*d^2*f) + (b^2*(2*b*c - 13*a*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(30*d^2*f) - (b^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(6*d*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 4, (1/8)*(24*a^2*b*c*d + 6*b^3*c*d + 4*a^3*(2*c^2 + d^2) + 3*a*b^2*(4*c^2 + 3*d^2))*x - ((30*a^3*b*c*d + 120*a*b^3*c*d - 3*a^4*d^2 + 4*b^4*(5*c^2 + 4*d^2) + 4*a^2*b^2*(20*c^2 + 13*d^2))*Cos[e + f*x])/(30*b*f) - ((60*a^2*b*c*d + 90*b^3*c*d - 6*a^3*d^2 + a*b^2*(100*c^2 + 71*d^2))*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(120*f) - ((3*a*d*(10*b*c - a*d) + 4*b^2*(5*c^2 + 4*d^2))*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^2)/(60*b*f) - (d*(10*b*c - a*d)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^3)/(20*b*f) - (d^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^4)/(5*b*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 3, (1/8)*(8*a^3*c + 12*a*b^2*c + 12*a^2*b*d + 3*b^3*d)*x - ((16*a^2*b*c + 4*b^3*c + 3*a^3*d + 12*a*b^2*d)*Cos[e + f*x])/(6*f) - (b*(20*a*b*c + 6*a^2*d + 9*b^2*d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(24*f) - ((4*b*c + 3*a*d)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^2)/(12*f) - (d*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^3)/(4*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 2, (1/2)*a*(2*a^2 + 3*b^2)*x - (2*b*(4*a^2 + b^2)*Cos[e + f*x])/(3*f) - (5*a*b^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(6*f) - (b*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^2)/(3*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 6, -((b*(6*a*b*c*d - 6*a^2*d^2 - b^2*(2*c^2 + d^2))*x)/(2*d^3)) - (2*(b*c - a*d)^3*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^3*Sqrt[c^2 - d^2]*f) + (b^2*(2*b*c - 5*a*d)*Cos[e + f*x])/(2*d^2*f) - (b^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(2*d*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 6, -((b^2*(2*b*c - 3*a*d)*x)/d^3) + (2*(b*c - a*d)^2*(2*b*c^2 + a*c*d - 3*b*d^2)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^3*(c^2 - d^2)^(3/2)*f) + (b*(2*a*b*c*d - a^2*d^2 - b^2*(2*c^2 - d^2))*Cos[e + f*x])/(d^2*(c^2 - d^2)*f) + ((b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 6, (b^3*x)/d^3 - ((9*a^2*b*c*d^4 - a^3*d^3*(2*c^2 + d^2) - 3*a*b^2*d^3*(c^2 + 2*d^2) + b^3*(2*c^5 - 5*c^3*d^2 + 6*c*d^4))*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^3*(c^2 - d^2)^(5/2)*f) + ((b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(2*d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) + ((b*c - a*d)^2*(2*b*c^2 + 3*a*c*d - 5*b*d^2)*Cos[e + f*x])/(2*d^2*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^4, x, 7, -(((a*c - b*d)*(10*a*b*c*d - b^2*(3*c^2 + 2*d^2) - a^2*(2*c^2 + 3*d^2))*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((c^2 - d^2)^(7/2)*f)) + ((b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(3*d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^3) + ((b*c - a*d)^2*(2*b*c^2 + 5*a*c*d - 7*b*d^2)*Cos[e + f*x])/(6*d^2*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - ((b*c - a*d)*(5*a*b*c*d*(c^2 - 7*d^2) + a^2*d^2*(11*c^2 + 4*d^2) + b^2*(2*c^4 - 5*c^2*d^2 + 18*d^4))*Cos[e + f*x])/(6*d^2*(c^2 - d^2)^3*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{(b*B/a + B*Sin[x])/(a + b*Sin[x]), x, 4, (B*x)/b - (2*Sqrt[a^2 - b^2]*B*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*b)}
+{(a*B/b + B*Sin[x])/(a + b*Sin[x]), x, 2, (B*x)/b}
+
+{(a + b*Sin[x])/(b + a*Sin[x])^2, x, 2, -(Cos[x]/(b + a*Sin[x]))}
+{(2 - Sin[x])/(2 + Sin[x]), x, 2, -x + (4*x)/Sqrt[3] + (8*ArcTan[Cos[x]/(2 + Sqrt[3] + Sin[x])])/Sqrt[3]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^4, x, 7, (d*(8*a^2*b*c*d^2 - 2*a^3*d^3 + 4*b^3*c*(2*c^2 + d^2) - a*b^2*d*(12*c^2 + d^2))*x)/(2*b^4) + (2*(b*c - a*d)^4*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^4*Sqrt[a^2 - b^2]*f) + (d^2*(12*a*b*c*d - 3*a^2*d^2 - b^2*(17*c^2 + 2*d^2))*Cos[e + f*x])/(3*b^3*f) - (d^3*(8*b*c - 3*a*d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(6*b^2*f) - (d^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(3*b*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 6, -((d*(6*a*b*c*d - 2*a^2*d^2 - b^2*(6*c^2 + d^2))*x)/(2*b^3)) + (2*(b*c - a*d)^3*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*f) - (d^2*(5*b*c - 2*a*d)*Cos[e + f*x])/(2*b^2*f) - (d^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(2*b*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 5, (d*(2*b*c - a*d)*x)/b^2 + (2*(b*c - a*d)^2*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*f) - (d^2*Cos[e + f*x])/(b*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 4, (d*x)/b + (2*(b*c - a*d)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 3, (2*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^1/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 7, (2*b*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(Sqrt[a^2 - b^2]*(b*c - a*d)*f) - (2*d*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((b*c - a*d)*Sqrt[c^2 - d^2]*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^1/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 8, (2*b^2*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(Sqrt[a^2 - b^2]*(b*c - a*d)^2*f) + (2*d*(a*c*d - b*(2*c^2 - d^2))*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)^(3/2)*f) - (d^2*Cos[e + f*x])/((b*c - a*d)*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^1/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 9, (2*b^3*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(Sqrt[a^2 - b^2]*(b*c - a*d)^3*f) + (d*(6*a*b*c^3*d - a^2*d^2*(2*c^2 + d^2) - b^2*(6*c^4 - 5*c^2*d^2 + 2*d^4))*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)^(5/2)*f) - (d^2*Cos[e + f*x])/(2*(b*c - a*d)*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (d^2*(5*b*c^2 - 3*a*c*d - 2*b*d^2)*Cos[e + f*x])/(2*(b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^4, x, 7, -((d^2*(16*a*b*c*d - 6*a^2*d^2 - b^2*(12*c^2 + d^2))*x)/(2*b^4)) + (2*(b*c - a*d)^3*(a*b*c + 3*a^2*d - 4*b^2*d)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^4*(a^2 - b^2)^(3/2)*f) + (d*(2*b*c - a*d)*(2*a*b*c*d - 3*a^2*d^2 - b^2*(c^2 - 2*d^2))*Cos[e + f*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*f) + (d^2*(4*a*b*c*d - 3*a^2*d^2 - b^2*(2*c^2 - d^2))*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*f) + ((b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(b*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 6, (d^2*(3*b*c - 2*a*d)*x)/b^3 + (2*(b*c - a*d)^2*(a*b*c + 2*a^2*d - 3*b^2*d)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^3*(a^2 - b^2)^(3/2)*f) + (d*(2*a*b*c*d - 2*a^2*d^2 - b^2*(c^2 - d^2))*Cos[e + f*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*f) + ((b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(b*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 5, (d^2*x)/b^2 + (2*(b*c - a*d)*(a*b*c + a^2*d - 2*b^2*d)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^2*(a^2 - b^2)^(3/2)*f) + ((b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x])/(b*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 5, (2*(a*c - b*d)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f) + ((b*c - a*d)*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 5, (2*a*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f) + (b*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 8, (2*b*(a*b*c - 2*a^2*d + b^2*d)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(3/2)*(b*c - a*d)^2*f) + (2*d^2*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((b*c - a*d)^2*Sqrt[c^2 - d^2]*f) + (b^2*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 9, (2*b^2*(a*b*c - 3*a^2*d + 2*b^2*d)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(3/2)*(b*c - a*d)^3*f) + (2*d^2*(3*b*c^2 - a*c*d - 2*b*d^2)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)^(3/2)*f) + (d*(a^2*d^2 + b^2*(c^2 - 2*d^2))*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])) + (b^2*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 10, (2*b^3*(a*b*c - 4*a^2*d + 3*b^2*d)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(3/2)*(b*c - a*d)^4*f) - (d^2*(2*a*b*c*d*(4*c^2 - d^2) - a^2*d^2*(2*c^2 + d^2) - 3*b^2*(4*c^4 - 5*c^2*d^2 + 2*d^4))*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((b*c - a*d)^4*(c^2 - d^2)^(5/2)*f) + (d*(a^2*d^2 + b^2*(2*c^2 - 3*d^2))*Cos[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) + (b^2*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - ((3*a^3*c*d^4 - 3*a*b^2*c*d^4 - a^2*b*d^3*(7*c^2 - 4*d^2) - b^3*(2*c^4*d - 11*c^2*d^3 + 6*d^5))*Cos[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^5, x, 8, -((d^3*(30*a*b*c*d - 12*a^2*d^2 - b^2*(20*c^2 + d^2))*x)/(2*b^5)) + ((b*c - a*d)^3*(6*a^3*b*c*d - 12*a*b^3*c*d + 12*a^4*d^2 + a^2*b^2*(2*c^2 - 29*d^2) + b^4*(c^2 + 20*d^2))*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^5*(a^2 - b^2)^(5/2)*f) - (d*(30*a^4*b*c*d^3 - 12*a^5*d^4 - a^3*b^2*d^2*(16*c^2 - 21*d^2) - b^5*c*d*(17*c^2 - 10*d^2) - a^2*b^3*c*d*(4*c^2 + 55*d^2) + a*b^4*(6*c^4 + 43*c^2*d^2 - 6*d^4))*Cos[e + f*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^2*f) + (d^2*(7*a^3*b*c*d^2 - 6*a^4*d^3 + b^4*d*(8*c^2 - d^2) + a^2*b^2*d*(c^2 + 10*d^2) - a*b^3*c*(3*c^2 + 16*d^2))*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*f) + ((b*c - a*d)^2*(3*a*b*c + 4*a^2*d - 7*b^2*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x])) + ((b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(2*b*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^2)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^4, x, 7, (d^3*(4*b*c - 3*a*d)*x)/b^4 + ((b*c - a*d)^2*(4*a^3*b*c*d - 10*a*b^3*c*d + 6*a^4*d^2 + a^2*b^2*(2*c^2 - 15*d^2) + b^4*(c^2 + 12*d^2))*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^4*(a^2 - b^2)^(5/2)*f) + (d^2*(2*a*b*c*d - 3*a^2*d^2 - b^2*(c^2 - 2*d^2))*Cos[e + f*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)*f) + (3*(b*c - a*d)^3*(a*b*c + a^2*d - 2*b^2*d)*Cos[e + f*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x])) + ((b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(2*b*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^2)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 6, (d^3*x)/b^3 + ((b*c - a*d)*(2*a^3*b*c*d - 8*a*b^3*c*d + 2*a^4*d^2 + a^2*b^2*(2*c^2 - 5*d^2) + b^4*(c^2 + 6*d^2))*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^3*(a^2 - b^2)^(5/2)*f) + ((b*c - a*d)^2*(3*a*b*c + 2*a^2*d - 5*b^2*d)*Cos[e + f*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x])) + ((b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(2*b*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^2)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 6, -(((6*a*b*c*d - a^2*(2*c^2 + d^2) - b^2*(c^2 + 2*d^2))*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*f)) + ((b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^2) + ((b*c - a*d)*(3*a*b*c + a^2*d - 4*b^2*d)*Cos[e + f*x])/(2*b*(a^2 - b^2)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 6, ((2*a^2*c + b^2*c - 3*a*b*d)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*f) + ((b*c - a*d)*Cos[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^2) + ((3*a*b*c - a^2*d - 2*b^2*d)*Cos[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 6, ((2*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*f) + (b*Cos[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^2) + (3*a*b*Cos[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 9, -((b*(6*a^3*b*c*d - 6*a^4*d^2 - a^2*b^2*(2*c^2 - 5*d^2) - b^4*(c^2 + 2*d^2))*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*(b*c - a*d)^3*f)) - (2*d^3*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((b*c - a*d)^3*Sqrt[c^2 - d^2]*f) + (b^2*Cos[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^2) + (b^2*(3*a*b*c - 5*a^2*d + 2*b^2*d)*Cos[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 10, -((b^2*(8*a^3*b*c*d - 2*a*b^3*c*d - 12*a^4*d^2 - a^2*b^2*(2*c^2 - 15*d^2) - b^4*(c^2 + 6*d^2))*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*(b*c - a*d)^4*f)) - (2*d^3*(4*b*c^2 - a*c*d - 3*b*d^2)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((b*c - a*d)^4*(c^2 - d^2)^(3/2)*f) - (d*(2*a^4*d^3 + a^2*b^2*d*(7*c^2 - 11*d^2) - 2*b^4*d*(2*c^2 - 3*d^2) - 3*a*b^3*c*(c^2 - d^2))*Cos[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])) + (b^2*Cos[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])) + (3*b^2*(a*b*c - 2*a^2*d + b^2*d)*Cos[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 11, -((b^3*(10*a^3*b*c*d - 4*a*b^3*c*d - 20*a^4*d^2 - a^2*b^2*(2*c^2 - 29*d^2) - b^4*(c^2 + 12*d^2))*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*(b*c - a*d)^5*f)) - (d^3*(a^2*d^2*(2*c^2 + d^2) - a*b*(10*c^3*d - 4*c*d^3) + b^2*(20*c^4 - 29*c^2*d^2 + 12*d^4))*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((b*c - a*d)^5*(c^2 - d^2)^(5/2)*f) - (d*(a^4*d^3 - b^4*d*(5*c^2 - 6*d^2) + 2*a^2*b^2*d*(4*c^2 - 5*d^2) - 3*a*b^3*c*(c^2 - d^2))*Cos[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) + (b^2*Cos[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^2) + (b^2*(3*a*b*c - 7*a^2*d + 4*b^2*d)*Cos[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2) + (3*d*(a^5*c*d^4 - 2*a^3*b^2*c*d^4 + a*b^4*c*(c^4 - 2*c^2*d^2 + 2*d^4) + b^5*d*(2*c^4 - 7*c^2*d^2 + 4*d^4) - a^2*b^3*d*(3*c^4 - 12*c^2*d^2 + 7*d^4) - a^4*b*(3*c^2*d^3 - 2*d^5))*Cos[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^4*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 8, (-2*(15*b*c^2 + 56*a*c*d + 25*b*d^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(105*f) - (2*(5*b*c + 7*a*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(35*f) - (2*b*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(7*f) + (2*(15*b*c^3 + 161*a*c^2*d + 145*b*c*d^2 + 63*a*d^3)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(105*d*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (2*(c^2 - d^2)*(15*b*c^2 + 56*a*c*d + 25*b*d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(105*d*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, (-2*(3*b*c + 5*a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*f) - (2*b*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*f) + (2*(20*a*c*d + 3*b*(c^2 + 3*d^2))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*d*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (2*(3*b*c + 5*a*d)*(c^2 - d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(15*d*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 6, (-2*b*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*f) + (2*(b*c + 3*a*d)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*d*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (2*b*(c^2 - d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*d*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 5, (2*b*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (2*(b*c - a*d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(d*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, (-2*(b*c - a*d)*Cos[e + f*x])/((c^2 - d^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*(b*c - a*d)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (2*b*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(d*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, (-2*(b*c - a*d)*Cos[e + f*x])/(3*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*(4*a*c*d - b*(c^2 + 3*d^2))*Cos[e + f*x])/(3*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (2*(4*a*c*d - b*(c^2 + 3*d^2))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*d*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (2*(b*c - a*d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*d*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 8, (-2*(b*c - a*d)*Cos[e + f*x])/(5*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (2*(3*b*c^2 - 8*a*c*d + 5*b*d^2)*Cos[e + f*x])/(15*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*(3*b*c^3 - 23*a*c^2*d + 29*b*c*d^2 - 9*a*d^3)*Cos[e + f*x])/(15*(c^2 - d^2)^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*(3*b*c^3 - 23*a*c^2*d + 29*b*c*d^2 - 9*a*d^3)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*d*(c^2 - d^2)^3*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (2*(3*b*c^2 - 8*a*c*d + 5*b*d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(15*d*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 9, (-4*(84*a^2*c*d^2 + 15*a*b*d*(3*c^2 + 5*d^2) - b^2*(5*c^3 - 57*c*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(315*d*f) - (2*(7*(9*a^2 + 7*b^2)*d^2 - 10*b*c*(b*c - 9*a*d))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(315*d*f) + (4*b*(b*c - 9*a*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(63*d*f) - (2*b^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2))/(9*d*f) + (2*(21*a^2*d^2*(23*c^2 + 9*d^2) + 30*a*b*d*(3*c^3 + 29*c*d^2) - b^2*(10*c^4 - 279*c^2*d^2 - 147*d^4))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(315*d^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (4*(c^2 - d^2)*(5*b^2*c^3 - 45*a*b*c^2*d - 84*a^2*c*d^2 - 57*b^2*c*d^2 - 75*a*b*d^3)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(315*d^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 8, (-2*(5*(7*a^2 + 5*b^2)*d^2 - 6*b*c*(b*c - 7*a*d))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(105*d*f) + (4*b*(b*c - 7*a*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(35*d*f) - (2*b^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(7*d*f) + (4*(70*a^2*c*d^2 + 21*a*b*d*(c^2 + 3*d^2) - b^2*(3*c^3 - 41*c*d^2))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(105*d^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (2*(c^2 - d^2)*(42*a*b*c*d + 35*a^2*d^2 - b^2*(6*c^2 - 25*d^2))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(105*d^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 7, (4*b*(b*c - 5*a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*d*f) - (2*b^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*d*f) + (2*(3*(5*a^2 + 3*b^2)*d^2 - 2*b*c*(b*c - 5*a*d))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*d^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (4*b*(b*c - 5*a*d)*(c^2 - d^2)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(15*d^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 6, (-2*b^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*d*f) - (4*b*(b*c - 3*a*d)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*d^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (2*((3*a^2 + b^2)*d^2 + 2*b*c*(b*c - 3*a*d))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*d^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, (2*(b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x])/(d*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (2*(2*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + (a^2 - b^2)*d^2)*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d^2*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (4*b*(b*c - a*d)*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(d^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, (2*(b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x])/(3*d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (4*(b*c - a*d)*(2*a*c*d + b*(c^2 - 3*d^2))*Cos[e + f*x])/(3*d*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (4*(b*c - a*d)*(2*a*c*d + b*(c^2 - 3*d^2))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*d^2*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (2*(2*a*b*c*d - a^2*d^2 + b^2*(2*c^2 - 3*d^2))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*d^2*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2/(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 8, (2*(b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x])/(5*d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (4*(b*c - a*d)*(4*a*c*d + b*(c^2 - 5*d^2))*Cos[e + f*x])/(15*d*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*(a^2*d^2*(23*c^2 + 9*d^2) - a*b*(6*c^3*d + 58*c*d^3) - b^2*(2*c^4 - 19*c^2*d^2 - 15*d^4))*Cos[e + f*x])/(15*d*(c^2 - d^2)^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (2*(a^2*d^2*(23*c^2 + 9*d^2) - a*b*(6*c^3*d + 58*c*d^3) - b^2*(2*c^4 - 19*c^2*d^2 - 15*d^4))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*d^2*(c^2 - d^2)^3*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (4*(b*c - a*d)*(4*a*c*d + b*(c^2 - 5*d^2))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(15*d^2*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 10, (-2*(1848*a^3*c*d^3 + 495*a^2*b*d^2*(3*c^2 + 5*d^2) - 66*a*b^2*d*(5*c^3 - 57*c*d^2) + 5*b^3*(8*c^4 + 57*c^2*d^2 + 135*d^4))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3465*d^2*f) - (2*(1485*a^2*b*c*d^2 + 693*a^3*d^3 - 33*a*b^2*d*(10*c^2 - 49*d^2) + 5*b^3*(8*c^3 + 67*c*d^2))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3465*d^2*f) + (2*b*(66*a*b*c*d - 297*a^2*d^2 - b^2*(8*c^2 + 81*d^2))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(693*d^2*f) + (8*b^2*(b*c - 6*a*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2))/(99*d^2*f) - (2*b^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2))/(11*d*f) + (2*(231*a^3*d^3*(23*c^2 + 9*d^2) + 495*a^2*b*c*d^2*(3*c^2 + 29*d^2) - 33*a*b^2*d*(10*c^4 - 279*c^2*d^2 - 147*d^4) + 5*b^3*(8*c^5 + 51*c^3*d^2 + 741*c*d^4))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3465*d^3*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (2*(c^2 - d^2)*(1848*a^3*c*d^3 + 495*a^2*b*d^2*(3*c^2 + 5*d^2) - 66*a*b^2*d*(5*c^3 - 57*c*d^2) + 5*b^3*(8*c^4 + 57*c^2*d^2 + 135*d^4))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3465*d^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 9, (-2*(189*a^2*b*c*d^2 + 105*a^3*d^3 - 9*a*b^2*d*(6*c^2 - 25*d^2) + b^3*(8*c^3 + 39*c*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(315*d^2*f) + (2*b*(54*a*b*c*d - 189*a^2*d^2 - b^2*(8*c^2 + 49*d^2))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(315*d^2*f) + (8*b^2*(b*c - 5*a*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(63*d^2*f) - (2*b^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(9*d*f) + (2*(420*a^3*c*d^3 + 189*a^2*b*d^2*(c^2 + 3*d^2) - a*b^2*(54*c^3*d - 738*c*d^3) + b^3*(8*c^4 + 33*c^2*d^2 + 147*d^4))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(315*d^3*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (2*(c^2 - d^2)*(189*a^2*b*c*d^2 + 105*a^3*d^3 - 9*a*b^2*d*(6*c^2 - 25*d^2) + b^3*(8*c^3 + 39*c*d^2))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(315*d^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 8, (2*b*(42*a*b*c*d - 105*a^2*d^2 - b^2*(8*c^2 + 25*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(105*d^2*f) + (8*b^2*(b*c - 4*a*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(35*d^2*f) - (2*b^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(7*d*f) + (2*(105*a^2*b*c*d^2 + 105*a^3*d^3 - 21*a*b^2*d*(2*c^2 - 9*d^2) + b^3*(8*c^3 + 19*c*d^2))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(105*d^3*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (2*b*(c^2 - d^2)*(42*a*b*c*d - 105*a^2*d^2 - b^2*(8*c^2 + 25*d^2))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(105*d^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 7, (8*b^2*(b*c - 3*a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*d^2*f) - (2*b^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(5*d*f) - (2*b*(30*a*b*c*d - 45*a^2*d^2 - b^2*(8*c^2 + 9*d^2))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*d^3*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (2*(45*a^2*b*c*d^2 - 15*a^3*d^3 - 15*a*b^2*d*(2*c^2 + d^2) + b^3*(8*c^3 + 7*c*d^2))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(15*d^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, (2*(b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(d*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (2*b*(6*a*b*c*d - 3*a^2*d^2 - b^2*(4*c^2 - d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*d^2*(c^2 - d^2)*f) - (2*(9*a^2*b*c*d^2 - 3*a^3*d^3 - 9*a*b^2*d*(2*c^2 - d^2) + b^3*(8*c^3 - 5*c*d^2))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*d^3*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (2*b*(18*a*b*c*d - 9*a^2*d^2 - b^2*(8*c^2 + d^2))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*d^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, (2*(b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(3*d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (8*(b*c - a*d)^2*(a*c*d + b*(c^2 - 2*d^2))*Cos[e + f*x])/(3*d^2*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (2*(4*a^3*c*d^3 - 6*a*b^2*c*d*(c^2 - 3*d^2) - 3*a^2*b*d^2*(c^2 + 3*d^2) + b^3*(8*c^4 - 15*c^2*d^2 + 3*d^4))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*d^3*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (2*(b*c - a*d)*(2*a*b*c*d - a^2*d^2 + b^2*(8*c^2 - 9*d^2))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*d^3*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 8, (2*(b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(5*d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (8*(b*c - a*d)^2*(2*a*c*d + b*(c^2 - 3*d^2))*Cos[e + f*x])/(15*d^2*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*(23*c^2 + 9*d^2) + 2*a*b*d*(7*c^3 - 39*c*d^2) + b^2*(8*c^4 - 21*c^2*d^2 + 45*d^4))*Cos[e + f*x])/(15*d^2*(c^2 - d^2)^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*(23*c^2 + 9*d^2) + 2*a*b*d*(7*c^3 - 39*c*d^2) + b^2*(8*c^4 - 21*c^2*d^2 + 45*d^4))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(15*d^3*(c^2 - d^2)^3*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (2*(8*a^3*c*d^3 - 6*a*b^2*c*d*(c^2 - 5*d^2) - 3*a^2*b*d^2*(3*c^2 + 5*d^2) - b^3*(8*c^4 - 15*c^2*d^2 + 15*d^4))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(15*d^3*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 9, (2*(b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(7*d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (8*(b*c - a*d)^2*(3*a*c*d + b*(c^2 - 4*d^2))*Cos[e + f*x])/(35*d^2*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (2*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*(71*c^2 + 25*d^2) + a*b*(26*c^3*d - 218*c*d^3) + b^2*(8*c^4 - 17*c^2*d^2 + 105*d^4))*Cos[e + f*x])/(105*d^2*(c^2 - d^2)^3*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*(16*a^3*c*d^3*(11*c^2 + 13*d^2) - 6*a*b^2*c*d*(3*c^4 - 62*c^2*d^2 - 133*d^4) - 9*a^2*b*d^2*(5*c^4 + 102*c^2*d^2 + 21*d^4) - b^3*(8*c^6 - 23*c^4*d^2 + 294*c^2*d^4 + 105*d^6))*Cos[e + f*x])/(105*d^2*(c^2 - d^2)^4*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (2*(16*a^3*c*d^3*(11*c^2 + 13*d^2) - 6*a*b^2*c*d*(3*c^4 - 62*c^2*d^2 - 133*d^4) - 9*a^2*b*d^2*(5*c^4 + 102*c^2*d^2 + 21*d^4) - b^3*(8*c^6 - 23*c^4*d^2 + 294*c^2*d^4 + 105*d^6))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(105*d^3*(c^2 - d^2)^4*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (2*(b*c - a*d)*(a^2*d^2*(71*c^2 + 25*d^2) + a*b*(26*c^3*d - 218*c*d^3) + b^2*(8*c^4 - 17*c^2*d^2 + 105*d^4))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(105*d^3*(c^2 - d^2)^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
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+
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+{(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 9, (-2*d^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*b*f) + (2*d*(7*b*c - 3*a*d)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*b^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (2*d*(6*a*b*c*d - 3*a^2*d^2 - b^2*(2*c^2 + d^2))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*b^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (2*(b*c - a*d)^3*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(b^3*(a + b)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 8, (2*d*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(b*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (2*d*(b*c - a*d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(b^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (2*(b*c - a*d)^2*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(b^2*(a + b)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 5, (2*d*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(b*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (2*(b*c - a*d)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(b*(a + b)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)), x, 2, (2*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/((a + b)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 7, (-2*d^2*Cos[e + f*x])/((b*c - a*d)*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*d*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/((b*c - a*d)*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (2*b*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/((a + b)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 10, (-2*d^2*Cos[e + f*x])/(3*(b*c - a*d)*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*d^2*(7*b*c^2 - 4*a*c*d - 3*b*d^2)*Cos[e + f*x])/(3*(b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*d*(7*b*c^2 - 4*a*c*d - 3*b*d^2)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*(b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (2*d*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*(b*c - a*d)*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (2*b^2*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/((a + b)*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2)/(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 10, (d*(6*a*b*c*d - 5*a^2*d^2 - b^2*(3*c^2 - 2*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*f) + ((b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(b*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x])) + ((29*a^2*b*c*d^2 - 15*a^3*d^3 + b^3*(3*c^3 - 20*c*d^2) - a*b^2*(9*c^2*d - 12*d^3))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - ((24*a^3*b*c*d^3 - 15*a^4*d^4 - 12*a*b^3*c*d*(c^2 + 3*d^2) + 2*a^2*b^2*d^2*(c^2 + 8*d^2) + b^4*(3*c^4 + 16*c^2*d^2 + 2*d^4))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*b^4*(a^2 - b^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + ((b*c - a*d)^3*(2*a*b*c + 5*a^2*d - 7*b^2*d)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/((a - b)*b^4*(a + b)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 9, ((b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(b*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x])) - ((2*a*b*c*d - 3*a^2*d^2 - b^2*(c^2 - 2*d^2))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((b*c - a*d)*(2*a*b*c*d + 3*a^2*d^2 - b^2*(c^2 + 4*d^2))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(b^3*(a^2 - b^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + ((b*c - a*d)^2*(2*a*b*c + 3*a^2*d - 5*b^2*d)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/((a - b)*b^3*(a + b)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 9, ((b*c - a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x])) + ((b*c - a*d)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(b*(a^2 - b^2)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((2*a*b*c*d + a^2*d^2 - b^2*(c^2 + 2*d^2))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(b^2*(a^2 - b^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + ((b*c - a*d)*(2*a*b*c + a^2*d - 3*b^2*d)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/((a - b)*b^2*(a + b)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)/(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 9, (b*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x])) + (EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - ((b*c - a*d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(b*(a^2 - b^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + ((2*a*b*c - a^2*d - b^2*d)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/((a - b)*b*(a + b)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)), x, 9, (b^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])) + (b*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/((a^2 - b^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + ((2*a*b*c - 3*a^2*d + b^2*d)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/((a - b)*(a + b)^2*(b*c - a*d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 10, (d*(2*a^2*d^2 + b^2*(c^2 - 3*d^2))*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (b^2*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + ((2*a^2*d^2 + b^2*(c^2 - 3*d^2))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (b*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (b*(2*a*b*c - 5*a^2*d + 3*b^2*d)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/((a - b)*(a + b)^2*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 11, (d*(2*a^2*d^2 + b^2*(3*c^2 - 5*d^2))*Cos[e + f*x])/(3*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (b^2*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((8*a^3*c*d^4 - 8*a*b^2*c*d^4 - 4*a^2*b*d^3*(5*c^2 - 3*d^2) - b^3*(3*c^4*d - 26*c^2*d^3 + 15*d^5))*Cos[e + f*x])/(3*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((8*a^3*c*d^3 - 8*a*b^2*c*d^3 - 4*a^2*b*d^2*(5*c^2 - 3*d^2) - b^3*(3*c^4 - 26*c^2*d^2 + 15*d^4))*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - ((2*a^2*d^2 + b^2*(3*c^2 - 5*d^2))*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (b^2*(2*a*b*c - 7*a^2*d + 5*b^2*d)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/((a - b)*(a + b)^2*(b*c - a*d)^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(9/2)/(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 11, (d*(36*a^3*b*c*d^2 - 35*a^4*d^3 + b^4*d*(45*c^2 - 8*d^2) - 18*a*b^3*c*(c^2 + 5*d^2) + a^2*b^2*d*(9*c^2 + 61*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(12*b^3*(a^2 - b^2)^2*f) + ((b*c - a*d)^2*(6*a*b*c + 7*a^2*d - 13*b^2*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x])) + ((b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(2*b*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^2) + ((185*a^4*b*c*d^3 - 105*a^5*d^4 - b^5*c*d*(51*c^2 - 104*d^2) - 15*a^3*b^2*d^2*(3*c^2 - 13*d^2) - a^2*b^3*c*d*(21*c^2 + 361*d^2) + 9*a*b^4*(2*c^4 + 17*c^2*d^2 - 8*d^4))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(12*b^4*(a^2 - b^2)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - ((150*a^5*b*c*d^4 - 105*a^6*d^5 - 12*a^3*b^3*c*d^2*(4*c^2 + 29*d^2) + a^4*b^2*d^3*(26*c^2 + 223*d^2) - b^6*d*(57*c^4 + 136*c^2*d^2 + 8*d^4) + 6*a*b^5*c*(3*c^4 + 38*c^2*d^2 + 48*d^4) - a^2*b^4*d*(33*c^4 + 70*c^2*d^2 + 128*d^4))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(12*b^5*(a^2 - b^2)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + ((b*c - a*d)^3*(20*a^3*b*c*d - 44*a*b^3*c*d + 35*a^4*d^2 + 2*a^2*b^2*(4*c^2 - 43*d^2) + b^4*(4*c^2 + 63*d^2))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(4*(a - b)^2*b^5*(a + b)^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2)/(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 10, ((b*c - a*d)^2*(6*a*b*c + 5*a^2*d - 11*b^2*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x])) + ((b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*b*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^2) - ((8*a^3*b*c*d^2 - 15*a^4*d^3 + b^4*d*(13*c^2 - 8*d^2) - 2*a*b^3*c*(3*c^2 + 13*d^2) + a^2*b^2*d*(5*c^2 + 29*d^2))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (3*(b*c - a*d)*(4*a^3*b*c*d^2 + 5*a^4*d^3 + a^2*b^2*d*(c^2 - 11*d^2) - 2*a*b^3*c*(c^2 + 5*d^2) + b^4*d*(5*c^2 + 8*d^2))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + ((b*c - a*d)^2*(12*a^3*b*c*d - 36*a*b^3*c*d + 15*a^4*d^2 + 2*a^2*b^2*(4*c^2 - 19*d^2) + b^4*(4*c^2 + 35*d^2))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(4*(a - b)^2*b^4*(a + b)^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 10, ((b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(2*b*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^2) + (3*(b*c - a*d)*(2*a*b*c + a^2*d - 3*b^2*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x])) + (3*(b*c - a*d)*(2*a*b*c + a^2*d - 3*b^2*d)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + ((4*a^3*b*c*d^2 + 3*a^4*d^3 + a^2*b^2*d*(7*c^2 - 5*d^2) + b^4*d*(11*c^2 + 8*d^2) - 2*a*b^3*c*(3*c^2 + 11*d^2))*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + ((b*c - a*d)*(4*a^3*b*c*d - 28*a*b^3*c*d + 3*a^4*d^2 + 2*a^2*b^2*(4*c^2 - 3*d^2) + b^4*(4*c^2 + 15*d^2))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(4*(a - b)^2*b^3*(a + b)^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 10, ((b*c - a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(2*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^2) + ((6*a*b*c - a^2*d - 5*b^2*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*(a^2 - b^2)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x])) + ((6*a*b*c - a^2*d - 5*b^2*d)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - ((b*c - a*d)*(6*a*b*c + a^2*d - 7*b^2*d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((4*a^3*b*c*d + 20*a*b^3*c*d + a^4*d^2 - b^4*(4*c^2 + 3*d^2) - 2*a^2*b^2*(4*c^2 + 5*d^2))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(4*(a - b)^2*b^2*(a + b)^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)/(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 10, (b*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(2*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^2) + (b*(6*a*b*c - 5*a^2*d - b^2*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])) + ((6*a*b*c - 5*a^2*d - b^2*d)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (3*(2*a*b*c - a^2*d - b^2*d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((12*a^3*b*c*d + 12*a*b^3*c*d - 3*a^4*d^2 - b^4*(4*c^2 - d^2) - 2*a^2*b^2*(4*c^2 + 5*d^2))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(4*(a - b)^2*b*(a + b)^3*(b*c - a*d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a + b*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)), x, 10, (b^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(2*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^2) + (3*b^2*(2*a*b*c - 3*a^2*d + b^2*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x])) + (3*b*(2*a*b*c - 3*a^2*d + b^2*d)*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - ((6*a*b*c - 7*a^2*d + b^2*d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(4*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((20*a^3*b*c*d + 4*a*b^3*c*d - 15*a^4*d^2 - 2*a^2*b^2*(4*c^2 - 3*d^2) - b^4*(4*c^2 + 3*d^2))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(4*(a - b)^2*(a + b)^3*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a + b*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 11, -(d*(8*a^4*d^3 + a^2*b^2*d*(13*c^2 - 29*d^2) - b^4*d*(7*c^2 - 15*d^2) - 6*a*b^3*c*(c^2 - d^2))*Cos[e + f*x])/(4*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (b^2*Cos[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (b^2*(6*a*b*c - 11*a^2*d + 5*b^2*d)*Cos[e + f*x])/(4*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((8*a^4*d^3 + a^2*b^2*d*(13*c^2 - 29*d^2) - b^4*d*(7*c^2 - 15*d^2) - 6*a*b^3*c*(c^2 - d^2))*EllipticE[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - (b*(6*a*b*c - 11*a^2*d + 5*b^2*d)*EllipticF[(e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(4*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (b*(28*a^3*b*c*d - 4*a*b^3*c*d - 35*a^4*d^2 - 2*a^2*b^2*(4*c^2 - 19*d^2) - b^4*(4*c^2 + 15*d^2))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (e - Pi/2 + f*x)/2, (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(4*(a - b)^2*(a + b)^3*(b*c - a*d)^3*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+(* {1/(a + b*Sin[e + f*x])^3/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 12, -((d*(8*a^4*d^3 + a^2*b^2*d*(45*c^2 - 61*d^2) - b^4*d*(27*c^2 - 35*d^2) - 18*a*b^3*c*(c^2 - d^2))*Cos[e + f*x])/(12*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))) + (b^2*Cos[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (b^2*(6*a*b*c - 13*a^2*d + 7*b^2*d)*Cos[e + f*x])/(4*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (d*(32*a^5*c*d^4 - 64*a^3*b^2*c*d^4 - 8*a^4*b*d^3*(13*c^2 - 9*d^2) + 2*a*b^4*c*(9*c^4 - 18*c^2*d^2 + 25*d^4) + b^5*d*(33*c^4 - 170*c^2*d^2 + 105*d^4) - a^2*b^3*d*(51*c^4 - 310*c^2*d^2 + 195*d^4))*Cos[e + f*x])/(12*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^4*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((32*a^5*c*d^4 - 64*a^3*b^2*c*d^4 - 8*a^4*b*d^3*(13*c^2 - 9*d^2) + 2*a*b^4*c*(9*c^4 - 18*c^2*d^2 + 25*d^4) + b^5*d*(33*c^4 - 170*c^2*d^2 + 105*d^4) - a^2*b^3*d*(51*c^4 - 310*c^2*d^2 + 195*d^4))*EllipticE[Pi/4 + (1/2)*(-e - f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(12*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^4*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) - ((8*a^4*d^3 + a^2*b^2*d*(45*c^2 - 61*d^2) - b^4*d*(27*c^2 - 35*d^2) - 18*a*b^3*c*(c^2 - d^2))*EllipticF[Pi/4 + (1/2)*(-e - f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(12*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (b^2*(36*a^3*b*c*d - 12*a*b^3*c*d - 63*a^4*d^2 - 2*a^2*b^2*(4*c^2 - 43*d^2) - b^4*(4*c^2 + 35*d^2))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), -(Pi/4) + (1/2)*(e + f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(4*(a - b)^2*(a + b)^3*(b*c - a*d)^4*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^(m/2) (c+d Sin[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 8, (Sqrt[a + b]*(c - d)*Sqrt[c + d]*(14*a*b*c*d - 3*a^2*d^2 + b^2*(33*c^2 + 16*d^2))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(24*b^2*(b*c - a*d)*f) - (1/(8*b^3*Sqrt[a + b]*d*f))*(Sqrt[c + d]*(5*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3 - a*b^2*d*(15*c^2 + 4*d^2) - 5*b^3*(c^3 + 4*c*d^2))*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x])) - ((14*a*b*c*d - 3*a^2*d^2 + b^2*(33*c^2 + 16*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(24*b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - (d*(13*b*c - 3*a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(12*b*f) - (d^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*b*f) + ((a + b)^(3/2)*(3*a^2*d^2 - 6*a*b*d*(2*c + d) + b^2*(33*c^2 + 26*c*d + 16*d^2))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(24*b^3*Sqrt[c + d]*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 8, (Sqrt[a + b]*(c - d)*Sqrt[c + d]*(5*b*c + a*d)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(4*b*(b*c - a*d)*f) + (Sqrt[c + d]*(6*a*b*c*d - a^2*d^2 + b^2*(3*c^2 + 4*d^2))*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(4*b^2*Sqrt[a + b]*d*f) + ((b*c - a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - ((5*b*c + a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + ((a + b)^(3/2)*(5*b*c - a*d + 2*b*d)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(4*b^2*Sqrt[c + d]*f) - (b*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 7, (Sqrt[a + b]*(c - d)*Sqrt[c + d]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/((b*c - a*d)*f) + (Sqrt[c + d]*(b*c + a*d)*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(b*Sqrt[a + b]*d*f) - (b*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + ((a + b)^(3/2)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(b*Sqrt[c + d]*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 1, (2*Sqrt[c + d]*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(Sqrt[a + b]*d*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((2*(a - b)*Sqrt[a + b]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/((c - d)*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f)) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/((c - d)*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, (2*d*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(3*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(4*a*c*d - b*(3*c^2 + d^2))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)^2*f) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*c + d)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)*f)}
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 9, (1/(192*b^2*d*(b*c - a*d)*f))*(Sqrt[a + b]*(c - d)*Sqrt[c + d]*(57*a^2*b*c*d^2 - 9*a^3*d^3 + a*b^2*d*(337*c^2 + 156*d^2) + b^3*(15*c^3 + 284*c*d^2))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x])) - (1/(64*b^3*Sqrt[a + b]*d^2*f))*(Sqrt[c + d]*(20*a^3*b*c*d^3 - 3*a^4*d^4 - 60*a*b^3*c*d*(c^2 + 4*d^2) - 6*a^2*b^2*d^2*(15*c^2 + 4*d^2) + b^4*(5*c^4 - 120*c^2*d^2 - 48*d^4))*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x])) - ((57*a^2*b*c*d^2 - 9*a^3*d^3 + a*b^2*d*(337*c^2 + 156*d^2) + b^3*(15*c^3 + 284*c*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(192*b*d*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - ((54*a*b*c*d - 9*a^2*d^2 + b^2*(59*c^2 + 36*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(96*b*f) - (d*(17*b*c - 3*a*d)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(24*b*f) - (d^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*b*f) + (1/(192*b^3*d*Sqrt[c + d]*f))*((a + b)^(3/2)*(9*a^3*d^3 - 3*a^2*b*d^2*(17*c + 6*d) + 3*a*b^2*d*(73*c^2 + 36*c*d + 28*d^2) + b^3*(15*c^3 + 118*c^2*d + 284*c*d^2 + 72*d^3))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 8, (Sqrt[a + b]*(c - d)*Sqrt[c + d]*(38*a*b*c*d + 3*a^2*d^2 + b^2*(3*c^2 + 16*d^2))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(24*b*d*(b*c - a*d)*f) + (Sqrt[c + d]*(b*c + a*d)*(10*a*b*c*d - a^2*d^2 - b^2*(c^2 - 12*d^2))*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(8*b^2*Sqrt[a + b]*d^2*f) - ((38*a*b*c*d + 3*a^2*d^2 + b^2*(3*c^2 + 16*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(24*d*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - ((3*b*c + 7*a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(12*f) - ((a + b)^(3/2)*(3*a^2*d^2 - 6*a*b*d*(4*c + d) - b^2*(3*c^2 + 14*c*d + 16*d^2))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(24*b^2*d*Sqrt[c + d]*f) - (b*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 7, (Sqrt[a + b]*(c - d)*Sqrt[c + d]*(b*c + 5*a*d)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(4*d*(b*c - a*d)*f) + (Sqrt[c + d]*(6*a*b*c*d + 3*a^2*d^2 - b^2*(c^2 - 4*d^2))*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(4*b*Sqrt[a + b]*d^2*f) - (b*(b*c + 5*a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*d*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - (b*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(2*f) + ((a + b)^(3/2)*(3*a*d + b*(c + 2*d))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(4*b*d*Sqrt[c + d]*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 6, -((b*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])) - ((a - b)*b*Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(d*(b*c - a*d)*f) + (Sqrt[a + b]*(b*(c - d) - 2*a*d)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(d^2*Sqrt[c + d]*f) - (Sqrt[a + b]*(b*c - 3*a*d)*EllipticPi[((a + b)*d)/(b*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(d^2*Sqrt[c + d]*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/((c - d)*d*Sqrt[c + d]*f) - (1/((c - d)*d^2*Sqrt[c + d]*f))*2*Sqrt[a + b]*(b*(c - 2*d) + a*d)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]) + (2*b*Sqrt[a + b]*EllipticPi[((a + b)*d)/(b*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(d^2*Sqrt[c + d]*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((2*(b*c - a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(3*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))) - (8*(a - b)*Sqrt[a + b]*(a*c - b*d)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)*f) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(a*(3*c + d) - b*(c + 3*d))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)*f)}
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 10, (1/(1920*b^2*d^2*(b*c - a*d)*f))*(Sqrt[a + b]*(c - d)*Sqrt[c + d]*(360*a^3*b*c*d^3 - 45*a^4*d^4 + 2*a^2*b^2*d^2*(1877*c^2 + 846*d^2) + 8*a*b^3*d*(45*c^3 + 791*c*d^2) - b^4*(45*c^4 - 1692*c^2*d^2 - 1024*d^4))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x])) - (1/(128*b^3*Sqrt[a + b]*d^3*f))*(Sqrt[c + d]*(b*c + a*d)*(28*a^3*b*c*d^3 - 3*a^4*d^4 + 28*a*b^3*c*d*(c^2 - 20*d^2) - 2*a^2*b^2*d^2*(89*c^2 + 20*d^2) - b^4*(3*c^4 + 40*c^2*d^2 + 240*d^4))*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x])) - ((360*a^3*b*c*d^3 - 45*a^4*d^4 + 2*a^2*b^2*d^2*(1877*c^2 + 846*d^2) + 8*a*b^3*d*(45*c^3 + 791*c*d^2) - b^4*(45*c^4 - 1692*c^2*d^2 - 1024*d^4))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(1920*b*d^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - ((917*a^2*b*c*d^2 + 15*a^3*d^3 + a*b^2*d*(345*c^2 + 772*d^2) - b^3*(45*c^3 - 516*c*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(960*b*d*f) + (1/(1920*b^3*d^2*Sqrt[c + d]*f))*((a + b)^(3/2)*(45*a^4*d^4 - 30*a^3*b*d^3*(11*c + 3*d) + 30*a^2*b^2*d^2*(64*c^2 + 23*c*d + 22*d^2) + 2*a*b^3*d*(165*c^3 + 917*c^2*d + 2392*c*d^2 + 516*d^3) - b^4*(45*c^4 - 30*c^3*d - 1692*c^2*d^2 - 1544*c*d^3 - 1024*d^4))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x])) - ((110*a*b*c*d + 93*a^2*d^2 - b^2*(15*c^2 - 64*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(240*d*f) + (3*b*(b*c - 7*a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(40*d*f) - (b^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/2))/(5*d*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 9, (1/(192*b*d^2*(b*c - a*d)*f))*(Sqrt[a + b]*(c - d)*Sqrt[c + d]*(337*a^2*b*c*d^2 + 15*a^3*d^3 + a*b^2*d*(57*c^2 + 284*d^2) - b^3*(9*c^3 - 156*c*d^2))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x])) + (1/(64*b^2*Sqrt[a + b]*d^3*f))*(Sqrt[c + d]*(60*a^3*b*c*d^3 - 5*a^4*d^4 - 20*a*b^3*c*d*(c^2 - 12*d^2) + 3*b^4*(c^2 + 4*d^2)^2 + 30*a^2*b^2*d^2*(3*c^2 + 4*d^2))*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x])) - ((337*a^2*b*c*d^2 + 15*a^3*d^3 + a*b^2*d*(57*c^2 + 284*d^2) - b^3*(9*c^3 - 156*c*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(192*d^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - ((54*a*b*c*d + 59*a^2*d^2 - 9*b^2*(c^2 - 4*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(96*d*f) - (1/(192*b^2*d^2*Sqrt[c + d]*f))*((a + b)^(3/2)*(15*a^3*d^3 - 15*a^2*b*d^2*(11*c + 2*d) - a*b^2*d*(51*c^2 + 172*c*d + 212*d^2) + b^3*(9*c^3 - 6*c^2*d - 156*c*d^2 - 72*d^3))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x])) + (b*(3*b*c - 17*a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(24*d*f) - (b^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(4*d*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 8, (Sqrt[a + b]*(c - d)*Sqrt[c + d]*(14*a*b*c*d + 33*a^2*d^2 - b^2*(3*c^2 - 16*d^2))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(24*d^2*(b*c - a*d)*f) + (Sqrt[c + d]*(15*a^2*b*c*d^2 + 5*a^3*d^3 - 5*a*b^2*d*(c^2 - 4*d^2) + b^3*(c^3 + 4*c*d^2))*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(8*b*Sqrt[a + b]*d^3*f) - (b*(14*a*b*c*d + 33*a^2*d^2 - b^2*(3*c^2 - 16*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(24*d^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + (b*(3*b*c - 13*a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(12*d*f) + ((a + b)^(3/2)*(15*a^2*d^2 + 6*a*b*d*(2*c + 3*d) - b^2*(3*c^2 - 2*c*d - 16*d^2))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(24*b*d^2*Sqrt[c + d]*f) - (b^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*d*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 7, -((3*b*Sqrt[a + b]*(c - d)*Sqrt[c + d]*(b*c - 3*a*d)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(4*d^2*(b*c - a*d)*f)) - (Sqrt[c + d]*(10*a*b*c*d - 15*a^2*d^2 - b^2*(3*c^2 + 4*d^2))*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(4*Sqrt[a + b]*d^3*f) + (3*b^2*(b*c - 3*a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*d^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - (b^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(2*d*f) - ((a + b)^(3/2)*(3*b*c - 7*a*d - 2*b*d)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(4*d^2*Sqrt[c + d]*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, -((Sqrt[a + b]*(4*a*b*c*d - 2*a^2*d^2 - b^2*(3*c^2 - d^2))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(d^2*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f)) - (b*Sqrt[c + d]*(3*b*c - 5*a*d)*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(Sqrt[a + b]*d^3*f) + (2*(b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(d*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (b*(4*a*b*c*d - 2*a^2*d^2 - b^2*(3*c^2 - d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d^2*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - ((a + b)^(3/2)*(2*a*d - b*(3*c + d))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(d^2*(c + d)^(3/2)*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, (2*(b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(3*d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b*c^2 + 4*a*c*d - 7*b*d^2)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*(c - d)^2*d^2*(c + d)^(3/2)*f) - (1/(3*(c - d)^2*d^3*(c + d)^(3/2)*f))*(2*Sqrt[a + b]*(a^2*d^2*(3*c + d) + a*b*d*(3*c^2 - 4*c*d - 7*d^2) + b^2*(3*c^3 - 6*c^2*d - 2*c*d^2 + 9*d^3))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x])) + (2*b^2*Sqrt[a + b]*EllipticPi[((a + b)*d)/(b*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(d^3*Sqrt[c + d]*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, (3*Sqrt[a + b]*(c - d)*d*Sqrt[c + d]*(3*b*c - a*d)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(4*b^2*(b*c - a*d)*f) - (Sqrt[c + d]*(10*a*b*c*d - 3*a^2*d^2 - b^2*(15*c^2 + 4*d^2))*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(4*b^3*Sqrt[a + b]*f) - (3*d*(3*b*c - a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - (d^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(2*b*f) + (Sqrt[a + b]*(3*a^2*d^2 - a*b*d*(7*c + 3*d) + b^2*(8*c^2 + 9*c*d + 2*d^2))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(4*b^3*Sqrt[c + d]*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, (Sqrt[a + b]*(c - d)*d*Sqrt[c + d]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(b*(b*c - a*d)*f) + (Sqrt[c + d]*(3*b*c - a*d)*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(b^2*Sqrt[a + b]*f) - (d*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - (Sqrt[a + b]*(a*d - b*(2*c + d))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(b^2*Sqrt[c + d]*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 1, (2*Sqrt[a + b]*EllipticPi[((a + b)*d)/(b*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(b*Sqrt[c + d]*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 1, (2*Sqrt[a + b]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*d*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/((c - d)*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)^2*f) + (2*Sqrt[a + b]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/((c - d)*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((2*d^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(3*(b*c - a*d)*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))) - (4*(a - b)*Sqrt[a + b]*d*(2*a*c*d - b*(3*c^2 - d^2))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)^3*f) - (2*Sqrt[a + b]*(a*d*(3*c + d) - b*(3*c^2 + 3*c*d - 2*d^2))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)^2*f)}
+
+
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, ((c - d)*Sqrt[c + d]*(2*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + 3*a^2*d^2 - b^2*d^2)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/((a - b)*b^2*Sqrt[a + b]*(b*c - a*d)*f) + (d*Sqrt[c + d]*(5*b*c - 3*a*d)*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(b^3*Sqrt[a + b]*f) + (2*(b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(b*(a^2 - b^2)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + ((4*a*b*c*d - 3*a^2*d^2 - b^2*(2*c^2 - d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(b*(a^2 - b^2)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - (Sqrt[a + b]*(3*a^2*d^2 - 2*a*b*d*(c + 3*d) - b^2*(2*c^2 - 6*c*d - d^2))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/((a - b)*b^3*Sqrt[c + d]*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, (1/((a - b)*b*Sqrt[a + b]*f))*2*(c - d)*Sqrt[c + d]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]) + (1/(b^2*Sqrt[a + b]*f))*2*d*Sqrt[c + d]*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]) + (1/((a - b)*b^2*Sqrt[c + d]*f))*2*Sqrt[a + b]*(b*(c - 2*d) + a*d)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x])}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, (2*(c - d)*Sqrt[c + d]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/((a - b)*Sqrt[a + b]*(b*c - a*d)*f) + (2*Sqrt[a + b]*(c - d)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/((a - b)*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, (2*b*(c - d)*Sqrt[c + d]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/((a - b)*Sqrt[a + b]*(b*c - a*d)^2*f) + (2*Sqrt[a + b]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/((a - b)*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, (2*b^2*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*(a^2*d^2 + b^2*(c^2 - 2*d^2))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(Sqrt[a + b]*(c - d)*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)^3*f) + (2*(b*(c - 2*d) - a*d)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(Sqrt[a + b]*(c - d)*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)^2*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, (2*b^2*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*d*(a^2*d^2 + b^2*(3*c^2 - 4*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(3*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*(4*a^3*c*d^3 - 4*a*b^2*c*d^3 - a^2*b*d^2*(9*c^2 - 5*d^2) - b^3*(3*c^4 - 15*c^2*d^2 + 8*d^4))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*Sqrt[a + b]*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)^4*f) + (2*(a^2*d^2*(3*c + d) - 6*a*b*d*(c^2 - d^2) + b^2*(3*c^3 - 9*c^2*d - 6*c*d^2 + 8*d^3))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*Sqrt[a + b]*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)^3*f)}
+
+
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, (2*(c - d)*Sqrt[c + d]*(4*a*b*c + 3*a^2*d - 7*b^2*d)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(3*(a - b)^2*b^2*(a + b)^(3/2)*f) + (2*d^2*Sqrt[c + d]*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(b^3*Sqrt[a + b]*f) + (2*(b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*b*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*(3*a^2*b*(c - 2*d)*d + 3*a^3*d^2 + a*b^2*(3*c^2 - 4*c*d - 2*d^2) + b^3*(c^2 - 7*c*d + 9*d^2))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*(a - b)^2*b^3*Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d]*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, (8*(c - d)*Sqrt[c + d]*(a*c - b*d)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(3*(a - b)^2*(a + b)^(3/2)*(b*c - a*d)*f) + (2*(b*c - a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*(c - d)*(3*a*c + b*c - a*d - 3*b*d)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*(a - b)^2*Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, (2*(c - d)*Sqrt[c + d]*(4*a*b*c - 3*a^2*d - b^2*d)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(3*(a - b)^2*(a + b)^(3/2)*(b*c - a*d)^2*f) + (2*b*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*(3*a + b)*(c - d)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*(a - b)^2*Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, (4*b*(c - d)*Sqrt[c + d]*(2*a*b*c - 3*a^2*d + b^2*d)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(3*(a - b)^2*(a + b)^(3/2)*(b*c - a*d)^3*f) + (2*b^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*(3*a*b*(c - d) - 3*a^2*d + b^2*(c + 2*d))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*(a - b)^2*Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)^2*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, (2*b^2*Cos[e + f*x])/(3*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (8*b^2*(a*b*c - 2*a^2*d + b^2*d)*Cos[e + f*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (2*(3*a^4*d^3 - b^4*d*(5*c^2 - 8*d^2) + 3*a^2*b^2*d*(3*c^2 - 5*d^2) - 4*a*b^3*c*(c^2 - d^2))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*(c - d)*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)^4*f) - (2*(3*a^2*b*(2*c - 3*d)*d - 3*a^3*d^2 - 3*a*b^2*(c^2 - 2*d^2) + b^3*(c^2 - 6*c*d + 8*d^2))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*(c - d)*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)^3*f)}
+{1/(a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, (2*b^2*Cos[e + f*x])/(3*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (4*b^2*(2*a*b*c - 5*a^2*d + 3*b^2*d)*Cos[e + f*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*d*(a^4*d^3 + a^2*b^2*d*(11*c^2 - 13*d^2) - b^4*d*(7*c^2 - 8*d^2) - 4*a*b^3*c*(c^2 - d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(3*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (1/(3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)^5*f))*(8*(a^5*c*d^4 - 2*a^3*b^2*c*d^4 + a*b^4*c*(c^4 - 2*c^2*d^2 + 2*d^4) + b^5*d*(2*c^4 - 7*c^2*d^2 + 4*d^4) - a^2*b^3*d*(3*c^4 - 12*c^2*d^2 + 7*d^4) - a^4*b*(3*c^2*d^3 - 2*d^5))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x])) - (1/(3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)^4*f))*(2*(a^4*d^3*(3*c + d) - 9*a^3*b*d^2*(c^2 - d^2) + a^2*b^2*d*(9*c^3 - 18*c^2*d - 15*c*d^2 + 16*d^3) + b^4*(c^4 - 9*c^3*d + 16*c^2*d^2 + 12*c*d^3 - 16*d^4) - 3*a*b^3*(c^4 - 5*c^2*d^2 + 4*d^4))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n with m and/or n symbolic*)
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x]}
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 8, -((d^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(b*f*(2 + m))) + (Sqrt[2]*(a + b)*d*(a*d - 2*b*c*(2 + m))*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (b*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b)]*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m)/(((a + b*Sin[e + f*x])/(a + b))^m*(b^2*f*(2 + m)*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])) - (Sqrt[2]*(a*d*(a*d - 2*b*c*(2 + m)) + b^2*(d^2*(1 + m) + c^2*(2 + m)))*AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (b*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b)]*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m)/(((a + b*Sin[e + f*x])/(a + b))^m*(b^2*f*(2 + m)*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 7, -((Sqrt[2]*(a + b)*d*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (b*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b)]*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m)/(((a + b*Sin[e + f*x])/(a + b))^m*(b*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))) - (Sqrt[2]*(b*c - a*d)*AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (b*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b)]*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m)/(((a + b*Sin[e + f*x])/(a + b))^m*(b*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 3, -((Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (b*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b)]*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m)/(((a + b*Sin[e + f*x])/(a + b))^m*(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x]), x]}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x]}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x]}
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x]}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x]}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x]}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[e + f*x])^m/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x]}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x]}
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2), x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c (d Sin[e+f x])^p)^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c (d Sin[e+f x])^p)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (d Csc[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(d*Csc[e + f*x])^n*(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 8, If[$VersionNumber>=8, (a^3*d^3*(1 - 2*n)*Cot[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-3 + n))/(f*(1 - n)*(2 - n)) + (d^3*Cot[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-3 + n)*(a^3 + a^3*Csc[e + f*x]))/(f*(1 - n)) + (a^3*d^3*(5 - 4*n)*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(1 - n)*(3 - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (a^3*d^4*(11 - 4*n)*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-4 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (4 - n)/2, (6 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(2 - n)*(4 - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]), (a^3*d^3*(1 - 2*n)*Cot[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-3 + n))/(f*(2 - 3*n + n^2)) + (d^3*Cot[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-3 + n)*(a^3 + a^3*Csc[e + f*x]))/(f*(1 - n)) + (a^3*d^3*(5 - 4*n)*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(3 - 4*n + n^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (a^3*d^4*(11 - 4*n)*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-4 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (4 - n)/2, (6 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(8 - 6*n + n^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])]}
+{(d*Csc[e + f*x])^n*(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 7, If[$VersionNumber>=8, (a^2*d^2*Cot[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-2 + n))/(f*(1 - n)) + (2*a^2*d^2*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - n)/2, (4 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(2 - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (a^2*d^3*(3 - 2*n)*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(1 - n)*(3 - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]), (a^2*d^2*Cot[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-2 + n))/(f*(1 - n)) + (2*a^2*d^2*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - n)/2, (4 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(2 - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (a^2*d^3*(3 - 2*n)*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(3 - 4*n + n^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])]}
+{(d*Csc[e + f*x])^n*(a + a*Sin[e + f*x])^1, x, 6, (a*d*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(1 - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (a*d^2*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - n)/2, (4 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(2 - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{(d*Csc[e + f*x])^n/(a + a*Sin[e + f*x])^1, x, 7, -((Cot[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^n)/(f*(a + a*Csc[e + f*x]))) + (d*n*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(a*f*(1 - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, -(n/2), (2 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(a*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{(d*Csc[e + f*x])^n/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 8, -((2*n*Cot[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(2 + n))/(3*a^2*d^2*f*(1 + Csc[e + f*x]))) + (Cot[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(2 + n))/(3*d^2*f*(a + a*Csc[e + f*x])^2) + (2*n*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-2 - n), -(n/2), Sin[e + f*x]^2])/(3*a^2*d^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) - ((1 + 2*n)*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 - n), (1 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(3*a^2*d*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c (d Sin[e+f x])^p)^n with n and p symbolic*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n, x, 5, -((2^(1/2 + m)*AppellF1[1/2, (-n)*p, 1/2 - m, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(Sin[e + f*x]^(n*p)*f))}
+
+
+{(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n*(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 7, -((a^3*(7 + 2*n*p)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(f*(2 + n*p)*(3 + n*p))) + (a^3*(5 + 4*n*p)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(f*(1 + n*p)*(2 + n*p)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (a^3*(11 + 4*n*p)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(2 + n*p), (1/2)*(4 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^2*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(f*(2 + n*p)*(3 + n*p)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))/(f*(3 + n*p))}
+{(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n*(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 5, -((a^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(f*(2 + n*p))) + (a^2*(3 + 2*n*p)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(f*(1 + n*p)*(2 + n*p)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (2*a^2*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(2 + n*p), (1/2)*(4 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^2*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(f*(2 + n*p)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n*(a + a*Sin[e + f*x])^1, x, 4, (a*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(f*(1 + n*p)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (a*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(2 + n*p), (1/2)*(4 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^2*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(f*(2 + n*p)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n/(a + a*Sin[e + f*x])^1, x, 5, (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (n*p)/2, (1/2)*(2 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(a*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) - (n*p*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(a*f*(1 + n*p)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) - (Cos[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(f*(a + a*Sin[e + f*x]))}
+{(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 6, -((n*p*(1 - 2*n*p)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(3*a^2*f*(1 + n*p)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])) + (2*(1 - n^2*p^2)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(2 + n*p), (1/2)*(4 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^2*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(3*a^2*f*(2 + n*p)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (2*(1 - n*p)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(3*a^2*f*(1 + Sin[e + f*x])) + (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c (d Sin[e+f x])^p)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (d Csc[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(d*Csc[e + f*x])^n*(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 8, If[$VersionNumber>=8, (a^2*b*d^3*(1 - 2*n)*Cot[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-3 + n))/(f*(1 - n)*(2 - n)) + (a^2*d^3*Cot[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-3 + n)*(b + a*Csc[e + f*x]))/(f*(1 - n)) + (a*d^3*(3*b^2*(1 - n) + a^2*(2 - n))*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(1 - n)*(3 - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (b*d^4*(b^2*(2 - n) + 3*a^2*(3 - n))*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-4 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (4 - n)/2, (6 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(2 - n)*(4 - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]), (a^2*b*d^3*(1 - 2*n)*Cot[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-3 + n))/(f*(2 - 3*n + n^2)) + (a^2*d^3*Cot[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-3 + n)*(b + a*Csc[e + f*x]))/(f*(1 - n)) + (a*d^3*(3*b^2*(1 - n) + a^2*(2 - n))*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(3 - 4*n + n^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (b*d^4*(b^2*(2 - n) + 3*a^2*(3 - n))*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-4 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (4 - n)/2, (6 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(8 - 6*n + n^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])]}
+{(d*Csc[e + f*x])^n*(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 7, If[$VersionNumber>=8, (a^2*d^2*Cot[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-2 + n))/(f*(1 - n)) + (2*a*b*d^2*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - n)/2, (4 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(2 - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (d^3*(b^2*(1 - n) + a^2*(2 - n))*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(1 - n)*(3 - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]), (a^2*d^2*Cot[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-2 + n))/(f*(1 - n)) + (2*a*b*d^2*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - n)/2, (4 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(2 - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (d^3*(b^2*(1 - n) + a^2*(2 - n))*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(3 - 4*n + n^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])]}
+{(d*Csc[e + f*x])^n*(a + b*Sin[e + f*x])^1, x, 6, (a*d*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(1 - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (b*d^2*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - n)/2, (4 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(2 - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{(d*Csc[e + f*x])^n/(a + b*Sin[e + f*x])^1, x, 7, (b*AppellF1[1/2, n/2, 1, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(1 + n)*Sin[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^(n/2))/((a^2 - b^2)*d*f) - (a*AppellF1[1/2, (1 + n)/2, 1, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(1 + n)*(Sin[e + f*x]^2)^((1 + n)/2))/((a^2 - b^2)*d*f)}
+{(d*Csc[e + f*x])^n/(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 10, -((b^2*AppellF1[1/2, (1/2)*(-1 + n), 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(2 + n)*Sin[e + f*x]^3*(Sin[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 + n)))/((a^2 - b^2)^2*d^2*f)) - (a^2*AppellF1[1/2, (1 + n)/2, 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(2 + n)*Sin[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((1 + n)/2))/((a^2 - b^2)^2*d^2*f) + (2*a*b*AppellF1[1/2, n/2, 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(2 + n)*(Sin[e + f*x]^2)^((2 + n)/2))/((a^2 - b^2)^2*d^2*f)}
+{(d*Csc[e + f*x])^n/(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 12, -((3*a*b^2*AppellF1[1/2, (1/2)*(-1 + n), 3, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(3 + n)*Sin[e + f*x]^4*(Sin[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 + n)))/((a^2 - b^2)^3*d^3*f)) + (b^3*AppellF1[1/2, (1/2)*(-2 + n), 3, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(3 + n)*Sin[e + f*x]^3*(Sin[e + f*x]^2)^(n/2))/((a^2 - b^2)^3*d^3*f) + (3*a^2*b*AppellF1[1/2, n/2, 3, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(3 + n)*Sin[e + f*x]^3*(Sin[e + f*x]^2)^(n/2))/((a^2 - b^2)^3*d^3*f) - (a^3*AppellF1[1/2, (1 + n)/2, 3, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(3 + n)*(Sin[e + f*x]^2)^((3 + n)/2))/((a^2 - b^2)^3*d^3*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c (d Sin[e+f x])^p)^n with n and p symbolic*)
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n, x, 1, ((c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n*Unintegrable[(d*Sin[e + f*x])^(n*p)*(a + b*Sin[e + f*x])^m, x])/(d*Sin[e + f*x])^(n*p)}
+
+
+{(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n*(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 6, -((a*b^2*(7 + 2*n*p)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(f*(2 + n*p)*(3 + n*p))) + (a*(3*b^2*(1 + n*p) + a^2*(2 + n*p))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(f*(1 + n*p)*(2 + n*p)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (b*(b^2*(2 + n*p) + 3*a^2*(3 + n*p))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(2 + n*p), (1/2)*(4 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^2*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(f*(2 + n*p)*(3 + n*p)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) - (b^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n*(a + b*Sin[e + f*x]))/(f*(3 + n*p))}
+{(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n*(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 5, -((b^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(f*(2 + n*p))) + ((b^2*(1 + n*p) + a^2*(2 + n*p))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(f*(1 + n*p)*(2 + n*p)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (2*a*b*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(2 + n*p), (1/2)*(4 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^2*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(f*(2 + n*p)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n*(a + b*Sin[e + f*x])^1, x, 4, (a*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(f*(1 + n*p)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (b*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(2 + n*p), (1/2)*(4 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^2*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/(f*(2 + n*p)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n/(a + b*Sin[e + f*x])^1, x, 6, (b*AppellF1[1/2, -((n*p)/2), 1, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/((Sin[e + f*x]^2)^((n*p)/2)*((a^2 - b^2)*f)) - (a*AppellF1[1/2, (1/2)*(1 - n*p), 1, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cot[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((1/2)*(1 - n*p))*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/((a^2 - b^2)*f)}
+{(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n/(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 11, (2*a*b*AppellF1[1/2, -((n*p)/2), 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/((Sin[e + f*x]^2)^((n*p)/2)*((a^2 - b^2)^2*f)) - (b^2*AppellF1[1/2, (1/2)*(-1 - n*p), 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 - n*p))*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/((a^2 - b^2)^2*f) - (a^2*AppellF1[1/2, (1/2)*(1 - n*p), 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cot[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((1/2)*(1 - n*p))*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/((a^2 - b^2)^2*f)}
+{(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n/(a + b*Sin[e + f*x])^3, x, 14, (3*a^2*b*AppellF1[1/2, -((n*p)/2), 3, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/((Sin[e + f*x]^2)^((n*p)/2)*((a^2 - b^2)^3*f)) + (b^3*AppellF1[1/2, (1/2)*(-2 - n*p), 3, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/((Sin[e + f*x]^2)^((n*p)/2)*((a^2 - b^2)^3*f)) - (3*a*b^2*AppellF1[1/2, (1/2)*(-1 - n*p), 3, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 - n*p))*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/((a^2 - b^2)^3*f) - (a^3*AppellF1[1/2, (1/2)*(1 - n*p), 3, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cot[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((1/2)*(1 - n*p))*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/((a^2 - b^2)^3*f)}
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+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n*)
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+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n*)
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+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n*)
+
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+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^(n/2)*)
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 (a+a Sin[e+f x])^(m/2) (c-c Sin[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 3, -(a*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(15*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(6*c*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 3, -(a*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(10*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(5*c*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, -(a*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(6*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(4*c*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 3, -(a*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*c*f)}
+{(Cos[e + f*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 2, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*a*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, (-2*a*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, (Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (a*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 2, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(4*a*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+
+
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 4, (-4*a^2*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(105*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(21*c*f) - (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(7*c*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, -(a^2*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(15*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(15*c*f) - (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(6*c*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, (-2*a^2*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(15*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*c*f) - (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*c*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 3, (c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(6*a*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(4*a*f)}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 2, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*a*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, (-4*a^2*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*a*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (4*a^2*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*a*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 6, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (a*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (a^2*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 2, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(6*a*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2), x, 3, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(8*a*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(48*a*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))}
+
+
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 5, -(a^3*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(35*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(14*c*f) - (3*a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(28*c*f) - (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(8*c*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, (-2*a^3*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(35*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (4*a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(35*c*f) - (a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(7*c*f) - (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(7*c*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, (c^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(15*a*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(15*a*f) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(6*a*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 3, (c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(10*a*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(5*a*f)}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 2, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(4*a*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, (-8*a^3*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (4*a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (12*a^3*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (6*a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (3*a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 7, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(2*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (3*a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (6*a^3*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (3*a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c^3*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 7, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (a^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (a^3*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^4*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2), x, 2, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(8*a*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2), x, 3, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(10*a*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(80*a*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))}
+
+
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 6, (-4*a^4*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2))/(315*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (4*a^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2))/(105*c*f) - (a^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2))/(15*c*f) - (4*a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2))/(45*c*f) - (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2))/(10*c*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 6, (-8*a^4*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(315*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (4*a^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(63*c*f) - (2*a^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(21*c*f) - (a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(9*c*f) - (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(9*c*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, (c^3*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(9/2))/(35*a*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (c^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(9/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(14*a*f) + (3*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(9/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(28*a*f) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(9/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(8*a*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, (4*c^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(9/2))/(105*a*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(9/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(21*a*f) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(9/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(7*a*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 3, (c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(9/2))/(15*a*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(9/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(6*a*f)}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 2, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(9/2))/(5*a*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 8, (-16*a^4*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (8*a^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*a^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(4*c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 8, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (32*a^4*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (16*a^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (4*a^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (4*a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 8, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(2*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (2*a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (24*a^4*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (12*a^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c^3*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (3*a^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c^3*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 8, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(3*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (2*a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (2*a^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (8*a^4*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^4*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (4*a^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c^4*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2), x, 8, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(4*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) - (a*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (a^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (a^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c^4*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (a^4*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^5*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2), x, 2, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(9/2))/(10*a*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2))}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(15/2), x, 3, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(9/2))/(12*a*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2)) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(9/2))/(120*a*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2))}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(17/2), x, 4, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(9/2))/(14*a*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(15/2)) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(9/2))/(84*a*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2)) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(9/2))/(840*a*c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(Cos[e + f*x]^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 2, -(Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(4*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 2, -(Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 2, -(Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{Cos[e + f*x]^2/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), x, 2, -((Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))}
+{Cos[e + f*x]^2/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 4, -((Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]))}
+{Cos[e + f*x]^2/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 2, Cos[e + f*x]/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+{(Cos[e + f*x]^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 8, (16*c^4*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (8*c^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (2*c^2*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (2*c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(4*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, (8*c^3*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (4*c^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, (4*c^2*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*c*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, (2*c*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{Cos[e + f*x]^2/((a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), x, 4, (Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{Cos[e + f*x]^2/((a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 3, (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(a*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{Cos[e + f*x]^2/((a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 4, Cos[e + f*x]/(2*a*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(2*a*c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(Cos[e + f*x]^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 9, (-80*c^5*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (40*c^4*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (10*c^3*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (10*c^2*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (5*c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(4*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(Cos[e + f*x]^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 8, (-32*c^4*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (16*c^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (4*c^2*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (4*c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(Cos[e + f*x]^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, (-12*c^3*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (6*c^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (3*c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(Cos[e + f*x]^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, (-4*c^2*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*c*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(Cos[e + f*x]^2*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, -((c*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{Cos[e + f*x]^2/((a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), x, 2, -(Cos[e + f*x]/(a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]))}
+{Cos[e + f*x]^2/((a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 4, -Cos[e + f*x]/(2*a*c*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(2*a^2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{Cos[e + f*x]^2/((a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 5, -Cos[e + f*x]/(2*a*c*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + Cos[e + f*x]/(2*a^2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(2*a^2*c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n with m and/or n symbolic*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n, x, 5, (2^(3/2 + n)*c^2*Cos[e + f*x]^3*Hypergeometric2F1[(1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(-1 - 2*n), (1/2)*(5 + 2*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 + n))/(f*(3 + 2*m))}
+
+
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 4, -((2^(3/2 + m)*a^4*c^3*Cos[e + f*x]^9*Hypergeometric2F1[9/2, -(1/2) - m, 11/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-4 + m))/(9*f))}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 4, -((2^(3/2 + m)*a^3*c^2*Cos[e + f*x]^7*Hypergeometric2F1[7/2, -(1/2) - m, 9/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-3 + m))/(7*f))}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 4, -((2^(3/2 + m)*a^2*c*Cos[e + f*x]^5*Hypergeometric2F1[5/2, -(1/2) - m, 7/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-2 + m))/(5*f))}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^0, x, 3, -((2^(3/2 + m)*a*Cos[e + f*x]^3*Hypergeometric2F1[3/2, -(1/2) - m, 5/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m))/(3*f))}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 3, -((2^(3/2 + m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -(1/2) - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(c*f))}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 4, (2^(3/2 + m)*Hypergeometric2F1[-(1/2), -(1/2) - m, 1/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Sec[e + f*x]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*c^2*f)}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 4, (2^(3/2 + m)*Hypergeometric2F1[-(3/2), -(1/2) - m, -(1/2), (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Sec[e + f*x]^3*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(3*a^2*c^3*f)}
+
+
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, If[$VersionNumber>=8, (768*c^3*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(7 + 2*m)*(9 + 2*m)*(15 + 16*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (192*c^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f*(9 + 2*m)*(35 + 24*m + 4*m^2)) + (24*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a*f*(63 + 32*m + 4*m^2)) + (2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(a*f*(9 + 2*m)), (768*c^3*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(15 + 16*m + 4*m^2)*(63 + 32*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (192*c^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f*(315 + 286*m + 84*m^2 + 8*m^3)) + (24*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a*f*(63 + 32*m + 4*m^2)) + (2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(a*f*(9 + 2*m))]}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (64*c^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(7 + 2*m)*(15 + 16*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (16*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f*(35 + 24*m + 4*m^2)) + (2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a*f*(7 + 2*m)), (64*c^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(105 + 142*m + 60*m^2 + 8*m^3)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (16*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f*(35 + 24*m + 4*m^2)) + (2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a*f*(7 + 2*m))]}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 3, (8*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(15 + 16*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f*(5 + 2*m))}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 2, (2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(3 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1, 3/2 + m, 5/2 + m, (1 + Sin[e + f*x])/2]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*c*f*(3 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[2, 3/2 + m, 5/2 + m, (1 + Sin[e + f*x])/2]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(2*a*c^2*f*(3 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* The same rules should be used to integrate the following two problems: *)
+{(Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 2, (2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(3 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(Cos[e + f*x]^2*(c + c*Sin[e + f*x])^m)/Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]], x, 2, (2*Cos[e + f*x]*(c + c*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(c*f*(3 + 2*m)*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m + 5), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-4 - m))/(a*c*f*(7 + 2*m)) + (2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 - m))/(a*c^2*f*(35 + 24*m + 4*m^2)) + (2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(a*c^3*f*(7 + 2*m)*(15 + 16*m + 4*m^2)), (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-4 - m))/(a*c*f*(7 + 2*m)) + (2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 - m))/(a*c^2*f*(35 + 24*m + 4*m^2)) + (2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(a*c^3*f*(105 + 142*m + 60*m^2 + 8*m^3))]}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m + 4), x, 3, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 - m))/(a*c*f*(5 + 2*m)) + (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(a*c^2*f*(15 + 16*m + 4*m^2))}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m + 3), x, 2, (Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(a*c*f*(3 + 2*m))}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m + 2), x, 5, (2^(-(1/2) - m)*Cos[e + f*x]^3*Hypergeometric2F1[(1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(5 + 2*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(f*(3 + 2*m))}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 5, (2^(1/2 - m)*c*Cos[e + f*x]^3*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + 2*m), (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(5 + 2*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(f*(3 + 2*m))}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m + 0), x, 5, (2^(3/2 - m)*c^2*Cos[e + f*x]^3*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 + 2*m), (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(5 + 2*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(f*(3 + 2*m))}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m - 1), x, 5, (2^(5/2 - m)*c^3*Cos[e + f*x]^3*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 + 2*m), (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(5 + 2*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(f*(3 + 2*m))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^(3/2) (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^(3/2) (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^(3/2) (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^(3/2) (a+a Sin[e+f x])^(m/2) (c-c Sin[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 8, (2*a*c^4*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(3*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*a*c^4*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*a*c^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(7*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (10*a*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(77*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (2*a*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(33*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(11*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, (22*a*c^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(45*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (22*a*c^3*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(15*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (22*a*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(105*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (2*a*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(21*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(9*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, (2*a*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (6*a*c^2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (6*a*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(35*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(7*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 5, (2*a*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (6*a*c*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(5*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 4, -((2*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(3*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (2*a*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (6*a*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (6*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*c*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (6*a*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 6, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(9*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(15*c*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(15*c^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*a*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(15*c^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 7, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(13*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) - (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(39*c*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(65*c^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(65*c^3*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*a*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(65*c^4*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 8, (14*a^2*c^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(45*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (14*a^2*c^3*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(15*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*a^2*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(15*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (2*a^2*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(33*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (14*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(99*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(11*f*g)}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, (14*a^2*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(45*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (14*a^2*c^2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(15*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*a^2*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(15*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(9*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(9*f*g)}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 6, -((2*a^2*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (6*a^2*c*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (6*a*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(35*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(7*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 5, -((14*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(15*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (14*a^2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(5*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (14*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(3*c*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (14*a^2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(5*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (28*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*c*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (42*a^2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 6, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(9*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (28*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(45*c*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (14*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(15*c^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (14*a^2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(15*c^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 7, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(13*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) - (28*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(117*c*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (14*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(195*c^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (14*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(195*c^3*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (14*a^2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(195*c^4*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2), x, 8, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(17*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) - (28*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(221*c*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) + (14*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(663*c^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (14*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(1105*c^3*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (14*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(1105*c^4*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (14*a^2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(1105*c^5*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 9, (154*a^3*c^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(585*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (154*a^3*c^3*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(195*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (22*a^3*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(195*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (2*a^3*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(39*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (14*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(117*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(13*f*g) - (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(13*f*g)}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 8, -((14*a^3*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(45*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (14*a^3*c^2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(15*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*a^2*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(15*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*a*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(33*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (14*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(99*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(11*f*g)}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 7, -((22*a^3*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(45*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (22*a^3*c*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(15*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (22*a^2*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(105*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*a*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(21*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(9*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 6, -((22*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(15*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (22*a^3*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (22*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(35*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(7*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (154*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(15*c*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (154*a^3*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (22*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(5*c*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (44*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(5*c*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (154*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(15*c^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (154*a^3*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 6, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(9*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (44*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(45*c*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (308*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(45*c^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (154*a^3*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(15*c^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 7, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(13*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) - (44*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(117*c*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (308*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(585*c^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (154*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(195*c^3*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (154*a^3*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(195*c^4*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2), x, 8, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(17*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) - (44*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(221*c*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) + (308*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(1989*c^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (154*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(3315*c^3*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (154*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(3315*c^4*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (154*a^3*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(3315*c^5*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2), x, 9, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(21*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2)) - (44*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(357*c*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) + (44*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(663*c^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) - (22*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(1989*c^3*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (22*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(3315*c^4*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (22*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(3315*c^5*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (22*a^3*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(3315*c^6*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 10, -((154*a^4*c^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(585*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (154*a^4*c^3*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(195*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (22*a^3*c^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(195*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*a^2*c^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(39*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (14*a*c^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(585*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (14*c^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(195*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (22*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(195*f*g) + (2*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(15*f*g)}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 9, -((14*a^4*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(39*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (14*a^4*c^2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(13*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*a^3*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(13*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (10*a^2*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(143*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (14*a*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(429*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (14*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(143*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(13*f*g)}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 8, -((2*a^4*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(3*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (2*a^4*c*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*a^3*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(7*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (10*a^2*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(77*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*a*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(33*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(11*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 7, -((22*a^4*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(9*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (22*a^4*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (22*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(21*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (10*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(21*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(9*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (22*a^4*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(c*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (66*a^4*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (66*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(7*c*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (30*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(7*c*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (12*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (154*a^4*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*c^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (462*a^4*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (66*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(5*c^2*f*g*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 7, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(9*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (4*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*c*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (44*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*c^2*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (154*a^4*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(9*c^3*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (154*a^4*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(3*c^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 7, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(13*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) - (20*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(39*c*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (44*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(39*c^2*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (308*a^4*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(39*c^3*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (154*a^4*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(13*c^4*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2), x, 8, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(17*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) - (60*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(221*c*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) + (220*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(663*c^2*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (308*a^4*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(663*c^3*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (154*a^4*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(221*c^4*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (154*a^4*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(221*c^5*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2), x, 9, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(21*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2)) - (20*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(119*c*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) + (220*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(1547*c^2*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) - (220*a^4*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(1989*c^3*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (22*a^4*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(663*c^4*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (22*a^4*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(663*c^5*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (22*a^4*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(663*c^6*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(15/2), x, 10, (4*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(25*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(15/2)) - (4*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(35*c*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2)) + (44*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(595*c^2*f*g*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) - (44*a^4*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(1105*c^3*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) + (22*a^4*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(3315*c^4*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (22*a^4*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5525*c^5*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (22*a^4*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5525*c^6*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (22*a^4*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5525*c^7*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 6, (22*c^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(15*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (22*c^3*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (22*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(35*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (2*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(7*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 5, (14*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(15*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (14*c^2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(5*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 4, (2*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(3*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*c*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), x, 3, (2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 4, (2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 5, (2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*c*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(5*c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)), x, 6, (2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(9*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(15*c*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(15*c^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(15*c^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, -((22*c^4*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(a*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (66*c^4*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (66*c^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(7*a*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (30*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(7*a*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (4*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, -((154*c^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(15*a*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (154*c^3*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (22*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(5*a*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (4*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, -((14*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(3*a*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (14*c^2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (4*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((4*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (6*c*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/((a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), x, 4, (-2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/((a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 5, (-2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(a*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(a*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/((a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 6, (-2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (6*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*a*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (6*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*a*c*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (6*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(5*a*c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/((a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)), x, 7, -((2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))) + (10*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(9*a*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(3*a*c*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(3*a*c^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(3*a*c^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 8, (418*c^5*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*a^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (1254*c^5*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (1254*c^4*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(35*a^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (114*c^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(7*a^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (76*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*a*f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (4*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(5*f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, (154*c^4*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*a^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (462*c^4*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (66*c^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(5*a^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (12*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a*f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (4*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, (154*c^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(15*a^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (154*c^3*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (44*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(5*a*f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (4*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, (28*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*a*f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (42*c^2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (4*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(5*f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, -((4*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (6*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*a*f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (6*c*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/((a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), x, 5, (-2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*a*f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(5*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/((a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 6, (2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (6*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*c*f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (6*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*a*c*f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (6*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(5*a^2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/((a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 7, (-2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(a*f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (6*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*a^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (6*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*a^2*c*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (6*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(5*a^2*c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/((a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)), x, 8, -((2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))) - (14*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*a*f*g*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (14*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(9*a^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (14*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(15*a^2*c*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (14*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(15*a^2*c^2*f*g*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (14*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(15*a^2*c^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^(3/2) (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n with m and/or n symbolic*)
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n, x, 4, (2^(9/4 + n)*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Hypergeometric2F1[(1/4)*(5 + 4*m), (1/4)*(-1 - 4*n), (1/4)*(9 + 4*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(-(1/4) - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 + n))/(f*g*(5 + 4*m))}
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 4, -((2^(9/4 + m)*a^4*c^3*(g*Cos[e + f*x])^(17/2)*Hypergeometric2F1[17/4, -(1/4) - m, 21/4, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/4) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-4 + m))/(17*f*g^7))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 4, -((2^(9/4 + m)*a^3*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(13/2)*Hypergeometric2F1[13/4, -(1/4) - m, 17/4, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/4) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-3 + m))/(13*f*g^5))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 4, -((2^(9/4 + m)*a^2*c*(g*Cos[e + f*x])^(9/2)*Hypergeometric2F1[9/4, -(1/4) - m, 13/4, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/4) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-2 + m))/(9*f*g^3))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^0, x, 3, -((2^(9/4 + m)*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Hypergeometric2F1[5/4, -(1/4) - m, 9/4, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/4) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m))/(5*f*g))}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 4, -((2^(9/4 + m)*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Hypergeometric2F1[1/4, -(1/4) - m, 5/4, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/4) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(c*f))}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 4, (2^(9/4 + m)*g^3*Hypergeometric2F1[-(3/4), -(1/4) - m, 1/4, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/4) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(3*a*c^2*f*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 4, (2^(9/4 + m)*g^5*Hypergeometric2F1[-(7/4), -(1/4) - m, -(3/4), (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/4) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(7*a^2*c^3*f*(g*Cos[e + f*x])^(7/2))}
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((2^(9/4 + m)*a^3*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(15/2)*Hypergeometric2F1[15/4, -(1/4) - m, 19/4, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Sec[e + f*x]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/4) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-3 + m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(15*f*g^6))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((2^(9/4 + m)*a^2*c*(g*Cos[e + f*x])^(11/2)*Hypergeometric2F1[11/4, -(1/4) - m, 15/4, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Sec[e + f*x]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/4) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-2 + m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(11*f*g^4))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, -((2^(9/4 + m)*a*(g*Cos[e + f*x])^(7/2)*Hypergeometric2F1[7/4, -(1/4) - m, 11/4, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Sec[e + f*x]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/4) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(7*f*g^2))}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, -((2^(9/4 + m)*a*Cos[e + f*x]*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Hypergeometric2F1[3/4, -(1/4) - m, 7/4, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/4) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m))/(3*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]))}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, (2^(9/4 + m)*g^2*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-(1/4), -(1/4) - m, 3/4, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/4) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(c*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, (2^(9/4 + m)*g^4*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-(5/4), -(1/4) - m, -(1/4), (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/4) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(5*a*c^2*f*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* The same rules should be used to integrate the following two problems: *)
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 4, -((2^(9/4 + m)*a*Cos[e + f*x]*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Hypergeometric2F1[3/4, -(1/4) - m, 7/4, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/4) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m))/(3*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]))}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(c + c*Sin[e + f*x])^m)/Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]], x, 4, -((2^(9/4 + m)*c*Cos[e + f*x]*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Hypergeometric2F1[3/4, -(1/4) - m, 7/4, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/4) - m)*(c + c*Sin[e + f*x])^(-1 + m))/(3*f*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]))}
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m + 3), x, 4, (2^(-(3/4) - m)*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Hypergeometric2F1[(1/4)*(5 + 4*m), (1/4)*(11 + 4*m), (1/4)*(9 + 4*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(-(1/4) + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(c^2*f*g*(5 + 4*m))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m + 2), x, 4, (2^(1/4 - m)*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Hypergeometric2F1[(1/4)*(5 + 4*m), (1/4)*(7 + 4*m), (1/4)*(9 + 4*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(-(1/4) + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(c*f*g*(5 + 4*m))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m + 1), x, 4, (2^(5/4 - m)*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Hypergeometric2F1[(1/4)*(3 + 4*m), (1/4)*(5 + 4*m), (1/4)*(9 + 4*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(-(1/4) + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(f*g*(5 + 4*m))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m + 0), x, 4, (2^(9/4 - m)*c*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Hypergeometric2F1[(1/4)*(-1 + 4*m), (1/4)*(5 + 4*m), (1/4)*(9 + 4*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(-(1/4) + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(f*g*(5 + 4*m))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m - 1), x, 4, (2^(13/4 - m)*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Hypergeometric2F1[(1/4)*(-5 + 4*m), (1/4)*(5 + 4*m), (1/4)*(9 + 4*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(-(1/4) + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(f*g*(5 + 4*m))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(m - 2), x, 4, (2^(17/4 - m)*c^3*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Hypergeometric2F1[(1/4)*(-9 + 4*m), (1/4)*(5 + 4*m), (1/4)*(9 + 4*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(-(1/4) + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(f*g*(5 + 4*m))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n with m, n and p symbolic*)
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^p*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n, x, 4, (2^(1/2 + n + p/2)*c*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 - 2*n - p), (1/2)*(1 + 2*m + p), (1/2)*(3 + 2*m + p), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^((1/2)*(1 - 2*n - p))*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 + n))/(f*g*(1 + 2*m + p))}
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^(1 - 2*m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(m-1), x, 4, -((g*Log[1 - Sin[e + f*x]]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^m)/((g*Cos[e + f*x])^(2*m)*(c*f)))}
+
+{(g*Cos[e + f*x])^(5 - 2*m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((8*a^3*(g*Cos[e + f*x])^(6 - 2*m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-3 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/(f*g*(3 - m + n)*(4 - m + n)*(5 - m + n))) - (4*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(6 - 2*m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-2 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/(f*g*(4 - m + n)*(5 - m + n)) - (a*(g*Cos[e + f*x])^(6 - 2*m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/(f*g*(5 - m + n))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3 - 2*m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n, x, 2, -((2*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(4 - 2*m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-2 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/(f*g*(2 - m + n)*(3 - m + n))) - (a*(g*Cos[e + f*x])^(4 - 2*m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/(f*g*(3 - m + n))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(1 - 2*m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n, x, 1, -((a*(g*Cos[e + f*x])^(2 - 2*m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/(f*g*(1 - m + n)))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(-1 - 2*m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n, x, 4, (Hypergeometric2F1[1, -m + n, 1 - m + n, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/((g*Cos[e + f*x])^(2*m)*(2*f*g*(m - n)))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(-3 - 2*m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n, x, 4, (c*Hypergeometric2F1[2, -1 - m + n, -m + n, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 + n))/((g*Cos[e + f*x])^(2*m)*(4*f*g^3*(1 + m - n)))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(-5 - 2*m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n, x, 4, (c^2*Hypergeometric2F1[3, -2 - m + n, -1 - m + n, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 + n))/((g*Cos[e + f*x])^(2*m)*(8*f*g^5*(2 + m - n)))}
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^(-1 - m - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^m, x, 3, (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^m)/((g*Cos[e + f*x])^(2*m)*(f*g))}
+
+{(g*Cos[e + f*x])^(-1 - m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(n + 3), x, 4, (2^(3 - m/2 + n/2)*c^3*(g*Cos[e + f*x])^(-m - n)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-4 + m - n), (m - n)/2, (1/2)*(2 + m - n), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^((m - n)/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/(f*g*(m - n))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(-1 - m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(n + 2), x, 4, (2^(2 - m/2 + n/2)*c^2*(g*Cos[e + f*x])^(-m - n)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-2 + m - n), (m - n)/2, (1/2)*(2 + m - n), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^((m - n)/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/(f*g*(m - n))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(-1 - m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(n + 1), x, 4, (2^(1 - m/2 + n/2)*c*(g*Cos[e + f*x])^(-m - n)*Hypergeometric2F1[(m - n)/2, (m - n)/2, (1/2)*(2 + m - n), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^((m - n)/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/(f*g*(m - n))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(-1 - m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(n - 0), x, 1, ((g*Cos[e + f*x])^(-m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/(f*g*(m - n))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(-1 - m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(n - 1), x, 2, ((g*Cos[e + f*x])^(-m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 + n))/(f*g*(2 + m - n)) + ((g*Cos[e + f*x])^(-m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/(c*f*g*(m - n)*(2 + m - n))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(-1 - m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(n - 2), x, 3, ((g*Cos[e + f*x])^(-m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 + n))/(f*g*(4 + m - n)) + (2*(g*Cos[e + f*x])^(-m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 + n))/(c*f*g*(2 + m - n)*(4 + m - n)) + (2*(g*Cos[e + f*x])^(-m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/(c^2*f*g*(m - n)*(2 + m - n)*(4 + m - n))}
+{(g*Cos[e + f*x])^(-1 - m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(n - 3), x, 4, ((g*Cos[e + f*x])^(-m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 + n))/(f*g*(6 + m - n)) + (3*(g*Cos[e + f*x])^(-m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 + n))/(c*f*g*(4 + m - n)*(6 + m - n)) + (6*(g*Cos[e + f*x])^(-m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 + n))/(c^2*f*g*(2 + m - n)*(4 + m - n)*(6 + m - n)) + (6*(g*Cos[e + f*x])^(-m - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/(c^3*f*g*(m - n)*(2 + m - n)*(4 + m - n)*(6 + m - n))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n*)
+(**)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n with m, n and p symbolic*)
+
+
+{(g*Sec[e + f*x])^p*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n, x, 5, (2^(1/2 + n - p/2)*c*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + 2*m - p), (1/2)*(1 - 2*n + p), (1/2)*(3 + 2*m - p), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(g*Sec[e + f*x])^p*(1 - Sin[e + f*x])^((1/2)*(1 - 2*n + p))*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 + n))/(f*(1 + 2*m - p))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^1 (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x] Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Sin[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, (a*Log[Sin[c + d*x]])/d + (a*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*Csc[c + d*x])/d) + (a*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, -((Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(2*a*d))}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*Csc[c + d*x]^2)/(2*d)) - (a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d)) - (a*Csc[c + d*x]^4)/(4*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (a^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Sin[c + d*x]^4)/(2*d) + (a^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Sin[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d + (2*a^2*Sin[c + d*x])/d + (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((a^2*Csc[c + d*x])/d) + (2*a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((2*a^2*Csc[c + d*x])/d) - (a^2*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) + (a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -((Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(3*a*d))}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((a^2*Csc[c + d*x]^2)/(2*d)) - (2*a^2*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Csc[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((a^2*Csc[c + d*x]^3)/(3*d)) - (a^2*Csc[c + d*x]^4)/(2*d) - (a^2*Csc[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((a^2*Csc[c + d*x]^4)/(4*d)) - (2*a^2*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^2*Csc[c + d*x]^6)/(6*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (a^3*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) + (3*a^3*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^3*Sin[c + d*x]^6)/(2*d) + (a^3*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^3*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) + (3*a^3*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^3*Sin[c + d*x]^6)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((a + a*Sin[c + d*x])^4/(4*a*d)) + (a + a*Sin[c + d*x])^5/(5*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d + (3*a^3*Sin[c + d*x])/d + (3*a^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((a^3*Csc[c + d*x])/d) + (3*a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d + (3*a^3*Sin[c + d*x])/d + (a^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((3*a^3*Csc[c + d*x])/d) - (a^3*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) + (3*a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d + (a^3*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((3*a^3*Csc[c + d*x])/d) - (3*a^3*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (a^3*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, -((Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^4)/(4*a*d))}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^4)/(20*a*d) - (Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^4)/(5*a*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((a^3*Csc[c + d*x]^3)/(3*d)) - (3*a^3*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) - (3*a^3*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^3*Csc[c + d*x]^6)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^8*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((a^3*Csc[c + d*x]^4)/(4*d)) - (3*a^3*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^3*Csc[c + d*x]^6)/(2*d) - (a^3*Csc[c + d*x]^7)/(7*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, (a^4*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (2*a^4*Sin[c + d*x]^6)/(3*d) + (6*a^4*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (a^4*Sin[c + d*x]^8)/(2*d) + (a^4*Sin[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, (a^4*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) + (4*a^4*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^4*Sin[c + d*x]^6)/d + (4*a^4*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (a^4*Sin[c + d*x]^8)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, (a + a*Sin[c + d*x])^5/(5*a*d) - (a + a*Sin[c + d*x])^6/(3*a^2*d) + (a + a*Sin[c + d*x])^7/(7*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, -((a + a*Sin[c + d*x])^5/(5*a*d)) + (a + a*Sin[c + d*x])^6/(6*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 3, (a^4*Log[Sin[c + d*x]])/d + (4*a^4*Sin[c + d*x])/d + (3*a^4*Sin[c + d*x]^2)/d + (4*a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^4*Sin[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, -((a^4*Csc[c + d*x])/d) + (4*a^4*Log[Sin[c + d*x]])/d + (6*a^4*Sin[c + d*x])/d + (2*a^4*Sin[c + d*x]^2)/d + (a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, -((4*a^4*Csc[c + d*x])/d) - (a^4*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) + (6*a^4*Log[Sin[c + d*x]])/d + (4*a^4*Sin[c + d*x])/d + (a^4*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a*d) - Sin[c + d*x]/(a*d) + Sin[c + d*x]^2/(2*a*d) - Sin[c + d*x]^3/(3*a*d) + Sin[c + d*x]^4/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a*d)) + Sin[c + d*x]/(a*d) - Sin[c + d*x]^2/(2*a*d) + Sin[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a*d) - Sin[c + d*x]/(a*d) + Sin[c + d*x]^2/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a*d)) + Sin[c + d*x]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a*d)) - Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) + Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Csc[c + d*x]/(a*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a*d) + Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a*d)) + Csc[c + d*x]^2/(2*a*d) - Csc[c + d*x]^3/(3*a*d) - Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) + Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((4*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^2*d)) + (3*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - Sin[c + d*x]^2/(a^2*d) + Sin[c + d*x]^3/(3*a^2*d) - 1/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (3*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - (2*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + Sin[c + d*x]^2/(2*a^2*d) + 1/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((2*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^2*d)) + Sin[c + d*x]/(a^2*d) - 1/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a^2*d) + 1/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, Log[Sin[c + d*x]]/(a^2*d) - Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a^2*d) + 1/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a^2*d)) - (2*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - 1/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (2*Csc[c + d*x])/(a^2*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a^2*d) + (3*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - (3*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + 1/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((3*Csc[c + d*x])/(a^2*d)) + Csc[c + d*x]^2/(a^2*d) - Csc[c + d*x]^3/(3*a^2*d) - (4*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (4*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - 1/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((10*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^3*d)) + (6*Sin[c + d*x])/(a^3*d) - (3*Sin[c + d*x]^2)/(2*a^3*d) + Sin[c + d*x]^3/(3*a^3*d) + 1/(2*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 5/(d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (6*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (3*Sin[c + d*x])/(a^3*d) + Sin[c + d*x]^2/(2*a^3*d) - 1/(2*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 4/(d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((3*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^3*d)) + Sin[c + d*x]/(a^3*d) + 1/(2*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 3/(d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a^3*d) - 1/(2*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 2/(d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, Sin[c + d*x]^2/(2*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, Log[Sin[c + d*x]]/(a^3*d) - Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a^3*d) + 1/(2*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 1/(d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a^3*d)) - (3*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + (3*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - 1/(2*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 2/(d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (3*Csc[c + d*x])/(a^3*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a^3*d) + (6*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (6*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + 1/(2*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 3/(d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((6*Csc[c + d*x])/(a^3*d)) + (3*Csc[c + d*x]^2)/(2*a^3*d) - Csc[c + d*x]^3/(3*a^3*d) - (10*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + (10*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - 1/(2*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 4/(d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, (10*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - (4*Sin[c + d*x])/(a^4*d) + Sin[c + d*x]^2/(2*a^4*d) + 1/(3*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 5/(2*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2) + 10/(d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, -((4*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^4*d)) + Sin[c + d*x]/(a^4*d) - 1/(3*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + 2/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2) - 6/(d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a^4*d) + 1/(3*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 3/(2*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2) + 3/(d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 3, Sin[c + d*x]^3/(3*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, 1/(3*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 1/(2*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 3, Log[Sin[c + d*x]]/(a^4*d) - Log[1 + Sin[c + d*x]]/(a^4*d) + 1/(3*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + 1/(2*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2) + 1/(d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a^4*d)) - (4*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + (4*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - 1/(3*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - 1/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2) - 3/(d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, (4*Csc[c + d*x])/(a^4*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a^4*d) + (10*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - (10*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + 1/(3*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + 3/(2*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2) + 6/(d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x] Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(1/2), x, 4, -((2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d) + (2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x] Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m with n symbolic*)
+
+
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^n*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 3, (a^4*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)) + (4*a^4*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)) + (6*a^4*Sin[c + d*x]^(3 + n))/(d*(3 + n)) + (4*a^4*Sin[c + d*x]^(4 + n))/(d*(4 + n)) + (a^4*Sin[c + d*x]^(5 + n))/(d*(5 + n))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^n*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (a^3*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)) + (3*a^3*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)) + (3*a^3*Sin[c + d*x]^(3 + n))/(d*(3 + n)) + (a^3*Sin[c + d*x]^(4 + n))/(d*(4 + n))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^n*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (a^2*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)) + (2*a^2*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)) + (a^2*Sin[c + d*x]^(3 + n))/(d*(3 + n))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^n*(a + a*Sin[c + d*x])^1, x, 3, (a*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)) + (a*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^n/(a + a*Sin[c + d*x])^1, x, 2, (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, -Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(a*d*(1 + n))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^n/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 2, (Hypergeometric2F1[2, 1 + n, 2 + n, -Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(a^2*d*(1 + n))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^n/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 2, (Hypergeometric2F1[3, 1 + n, 2 + n, -Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(a^3*d*(1 + n))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^n/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 2, (Hypergeometric2F1[4, 1 + n, 2 + n, -Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(a^4*d*(1 + n))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, (a*x)/16 - (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) - (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^3)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, (a*x)/8 - (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, (a*x)/8 - (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, (a*x)/2 - (a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a*Cos[c + d*x])/d + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, (-a)*x - (a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a*Cos[c + d*x])/d - (a*Cot[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, (-a)*x + (a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (a*Cot[c + d*x])/d - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, (a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, (a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) - (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, (a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) - (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, (a^2*x)/8 - (2*a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^2*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 5, (3*a^2*x)/16 - (a^2*Cos[c + d*x]^5)/(10*d) + (3*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(8*d) - (Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(6*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 5, (a^2*x)/4 - (2*a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*d), (a^2*x)/4 - (a^2*Cos[c + d*x]^3)/(6*d) + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) - (Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(5*d) - (Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 9, a^2*x - (a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*Cos[c + d*x])/d - (a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 8, -((a^2*x)/2) - (2*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (2*a^2*Cos[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x])/d + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 7, -2*a^2*x - (a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) + (a^2*Cos[c + d*x])/d - (2*a^2*Cot[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 8, (-a^2)*x + (a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (a^2*Cot[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 9, (5*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 10, (a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(4*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(4*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, (3*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) - (5*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(24*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(6*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 15, (5*a^3*x)/16 - (4*a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^5)/d - (a^3*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (5*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) - (5*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^3)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 6, (7*a^3*x)/16 - (4*a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^3*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (7*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) - (7*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^3)/(6*d), (7*a^3*x)/16 - (7*a^3*Cos[c + d*x]^3)/(24*d) + (7*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) - (a*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(10*d) - (Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(6*d) - (7*Cos[c + d*x]^3*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))/(40*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 12, (13*a^3*x)/8 - (a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a^3*Cos[c + d*x])/d - (a^3*Cos[c + d*x]^3)/d + (13*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 10, (a^3*x)/2 - (3*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (3*a^3*Cos[c + d*x])/d - (a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*Cot[c + d*x])/d + (3*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 10, -((5*a^3*x)/2) - (5*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) + (3*a^3*Cos[c + d*x])/d - (3*a^3*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d) + (a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 10, -3*a^3*x + (a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) + (a^3*Cos[c + d*x])/d - (3*a^3*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 11, (-a^3)*x + (13*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) - (a^3*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]^3)/d - (11*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 12, (7*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) - (4*a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 14, (7*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d) - (4*a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (7*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) - (17*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(24*d) - (a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(6*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^0*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 6, (21*a^4*x)/16 - (7*a^4*Cos[c + d*x]^3)/(8*d) + (21*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) - (a*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(6*d) - (3*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2)/(10*d) - (21*Cos[c + d*x]^3*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))/(40*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 15, (5*a^4*x)/2 - (a^4*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a^4*Cos[c + d*x])/d - (7*a^4*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^4*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (5*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (a^4*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 12, (17*a^4*x)/8 - (4*a^4*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (4*a^4*Cos[c + d*x])/d - (4*a^4*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^4*Cot[c + d*x])/d + (23*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, (3*x)/(8*a) + Cos[c + d*x]/(a*d) - (2*Cos[c + d*x]^3)/(3*a*d) + Cos[c + d*x]^5/(5*a*d) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -((3*x)/(8*a)) - Cos[c + d*x]/(a*d) + Cos[c + d*x]^3/(3*a*d) + (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, x/(2*a) + Cos[c + d*x]/(a*d) - Cos[c + d*x]^3/(3*a*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -(x/(2*a)) - Cos[c + d*x]/(a*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, -(x/a) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d) - Cot[c + d*x]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(2*a*d)) + Cot[c + d*x]/(a*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(2*a*d) - Cot[c + d*x]/(a*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -((3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a*d)) + Cot[c + d*x]/(a*d) + Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) - (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a*d) - Cot[c + d*x]/(a*d) - (2*Cot[c + d*x]^3)/(3*a*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a*d) + (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, -((27*x)/(8*a^2)) - (4*Cos[c + d*x])/(a^2*d) + (2*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + (11*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^2*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*a^2*d) - (2*Cos[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 9, (3*x)/a^2 + (3*Cos[c + d*x])/(a^2*d) - Cos[c + d*x]^3/(3*a^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + (2*Cos[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 8, -((5*x)/(2*a^2)) - (2*Cos[c + d*x])/(a^2*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) - (2*Cos[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (2*x)/a^2 + Cos[c + d*x]/(a^2*d) + (2*Cos[c + d*x])/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 5, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^2*d)) + (2*Cos[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, If[$VersionNumber<9, 9, 7], If[$VersionNumber<9, (2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - (3*Cot[c + d*x])/(a^2*d) + (2*Cot[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sin[c + d*x])), (2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]/(a^2*d) - (2*Cot[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Csc[c + d*x]))]}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 9, -((5*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^2*d)) + (2*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^2*d) + (2*Cos[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 11, (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - (3*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^2*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(a^2*d) - (2*Cos[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 9, -((11*x)/(2*a^3)) - (3*Cos[c + d*x])/(a^3*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) + (2*Cos[c + d*x])/(3*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) - (19*Cos[c + d*x])/(3*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (3*x)/a^3 + (3*Cos[c + d*x])/(a^3*d) - Cos[c + d*x]^3/(3*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + (2*Cos[c + d*x]^3)/(a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, -(x/a^3) - (7*Cos[c + d*x])/(3*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])) + (2*Cos[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 7, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^3*d)) + (2*Cos[c + d*x])/(3*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) + (5*Cos[c + d*x])/(3*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, If[$VersionNumber<9, 13, 10], If[$VersionNumber<9, (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) - (14*Cot[c + d*x])/(3*a^3*d) + (2*Cot[c + d*x])/(3*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) + (3*Cot[c + d*x])/(a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])), (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) - Cot[c + d*x]/(a^3*d) + (2*Cot[c + d*x])/(3*a^3*d*(1 + Csc[c + d*x])^2) - (13*Cot[c + d*x])/(3*a^3*d*(1 + Csc[c + d*x]))]}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 11, -((11*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^3*d)) + (3*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^3*d) + (2*Cos[c + d*x])/(3*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) + (17*Cos[c + d*x])/(3*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x]^1/(a + a*Sin[e + f*x])^6, x, 5, (2*Cos[e + f*x])/(9*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^5) - (19*Cos[e + f*x])/(63*a^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^4) + (2*Cos[e + f*x])/(105*f*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x])^3) + (4*Cos[e + f*x])/(315*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])^2) + (4*Cos[e + f*x])/(315*f*(a^6 + a^6*Sin[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 7, -((76*a*Cos[c + d*x])/(495*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (38*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(693*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (2*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(99*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (152*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3465*d) + (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(11*d) - (76*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(1155*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 4, -((8*a^2*Cos[c + d*x]^3)/(63*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))) - (2*a*Cos[c + d*x]^3)/(21*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (4*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(21*d) - (2*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(9*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, -((8*a^2*Cos[c + d*x]^3)/(105*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))) - (2*a*Cos[c + d*x]^3)/(35*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 5, -((2*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/d) + (2*a*Cos[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 4, -((Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/d) + (3*a*Cos[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 5, (5*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(4*d) - (a*Cot[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 6, (3*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(8*d) + (3*a*Cot[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((1724*a^2*Cos[c + d*x])/(6435*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (862*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(9009*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (38*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(1287*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (3448*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(45045*d) + (6*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(143*d) - (1724*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(15015*d) + (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(13*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((64*a^3*Cos[c + d*x]^3)/(385*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))) - (48*a^2*Cos[c + d*x]^3)/(385*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (6*a*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(77*d) + (4*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(33*d) - (2*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(11*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((64*a^3*Cos[c + d*x]^3)/(315*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))) - (16*a^2*Cos[c + d*x]^3)/(105*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*a*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(21*d) - (2*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((2*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/d) - (2*a^2*Cos[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (2*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(5*d) + (2*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((3*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/d) + (11*a^2*Cos[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (5*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*d) - (Cot[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/d}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, (a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(4*d) + (13*a^2*Cos[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (3*a*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, (13*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(8*d) + (5*a^2*Cot[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 6, -((4*Cos[c + d*x])/(45*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(63*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(9*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (8*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(315*a*d) - (4*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(105*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 4, -((22*a*Cos[c + d*x]^3)/(105*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))) + (12*Cos[c + d*x]^3)/(35*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(7*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 2, (2*a*Cos[c + d*x]^3)/(15*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (2*Cos[c + d*x]^3)/(5*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 4, -((2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + (2*Cos[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 4, ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]]/(Sqrt[a]*d) - Cot[c + d*x]/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 5, ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]]/(4*Sqrt[a]*d) + Cot[c + d*x]/(4*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 6, ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]]/(8*Sqrt[a]*d) + Cot[c + d*x]/(8*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 8, (2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d) - (344*Cos[c + d*x])/(105*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (16*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(35*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(7*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (76*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(105*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d)) + (18*Cos[c + d*x])/(5*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]^3)/(5*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (4*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(5*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d) - (10*Cos[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + (2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, (3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - (2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d) - Cot[c + d*x]/(a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((11*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(4*a^(3/2)*d)) + (2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d) + (5*Cot[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 9, (23*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(8*a^(3/2)*d) - (2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d) - (9*Cot[c + d*x])/(8*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (7*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(12*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^3 (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^3 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) + (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Sin[c + d*x]^6)/(6*d) - (a*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) - (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Sin[c + d*x]^6)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -((a*Cos[c + d*x]^4)/(4*d)) + (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^0*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, (2*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(3*a^2*d) - (a + a*Sin[c + d*x])^4/(4*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*Log[Sin[c + d*x]])/d + (a*Sin[c + d*x])/d - (a*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*Csc[c + d*x])/d) + (a*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*Sin[c + d*x])/d - (a*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, -((a*Csc[c + d*x])/d) - (a*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*Sin[c + d*x])/d}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Sin[c + d*x]^3/(3*a*d) - Sin[c + d*x]^4/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, Sin[c + d*x]^2/(2*a*d) - Sin[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^0/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 2, Sin[c + d*x]/(a*d) - Sin[c + d*x]^2/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - Sin[c + d*x]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a*d)) - Log[Sin[c + d*x]]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, Csc[c + d*x]/(a*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Csc[c + d*x]^2/(2*a*d) - Csc[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Csc[c + d*x]^3/(3*a*d) - Csc[c + d*x]^4/(4*a*d)}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^3 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^4 (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^4 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (3*a*x)/128 - (a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (2*a*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) + (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*d) - (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(16*d) - (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (3*a*x)/128 - (a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*d) - (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(16*d) - (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, (a*x)/16 - (a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) - (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, (a*x)/16 - (a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) - (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, (3*a*x)/8 - (a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a*Cos[c + d*x])/d + (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, -((3*a*x)/2) - (a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a*Cos[c + d*x])/d + (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a*Cot[c + d*x])/(2*d) + (a*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, -((3*a*x)/2) + (3*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (3*a*Cos[c + d*x])/(2*d) - (3*a*Cot[c + d*x])/(2*d) + (a*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(2*d) - (a*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, a*x + (3*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (3*a*Cos[c + d*x])/(2*d) + (a*Cot[c + d*x])/d - (a*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, a*x - (3*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) + (a*Cot[c + d*x])/d - (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -((3*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d)) - (a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -((a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d)) - (a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(8*d) - (a*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^8*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, -((a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d)) - (a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(8*d) - (a*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^9*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, -((3*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*d)) - (a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (3*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*d) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(64*d) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(16*d) - (a*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(8*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 16, (9*a^2*x)/256 - (2*a^2*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (4*a^2*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) - (2*a^2*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) + (9*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(256*d) + (3*a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(128*d) - (3*a^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(32*d) - (3*a^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(16*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^5)/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 13, (3*a^2*x)/64 - (2*a^2*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a^2*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) + (3*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(64*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(32*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 14, (11*a^2*x)/128 - (2*a^2*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (11*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (11*a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*d) - (11*a^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 6, (a^2*x)/8 - (a^2*Cos[c + d*x]^5)/(15*d) + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(12*d) - (Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(7*d) - (Cos[c + d*x]^5*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))/(21*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 11, (3*a^2*x)/4 - (a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*Cos[c + d*x])/d + (a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 13, -((9*a^2*x)/8) - (2*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (2*a^2*Cos[c + d*x])/d + (2*a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Cot[c + d*x])/d + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, -3*a^2*x + (a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d) - (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, -((a^2*x)/2) + (3*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (2*a^2*Cos[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/d - (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 13, 2*a^2*x + (9*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) - (a^2*Cos[c + d*x])/d + (2*a^2*Cot[c + d*x])/d - (2*a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 10, a^2*x - (3*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(4*d) + (a^2*Cot[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(4*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 11, -((7*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d)) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (5*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(4*d) + (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(8*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^9*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 14, -((11*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*d)) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (11*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*d) + (7*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(64*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(6*d) + (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(16*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^10*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 13, -((3*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(64*d)) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (3*a^2*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) - (3*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(64*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(32*d) + (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(8*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^11*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 16, -((9*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(256*d)) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (4*a^2*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) - (9*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(256*d) - (3*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(128*d) + (9*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(160*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(8*d) + (3*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^7)/(80*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^7)/(10*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 19, (15*a^3*x)/256 - (4*a^3*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (9*a^3*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) - (2*a^3*Cos[c + d*x]^9)/(3*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^11)/(11*d) + (15*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(256*d) + (5*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(128*d) - (5*a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(32*d) - (5*a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(16*d) - (3*a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^5)/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 19, (21*a^3*x)/256 - (4*a^3*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^7)/d - (a^3*Cos[c + d*x]^9)/(3*d) + (21*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(256*d) + (7*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(128*d) - (7*a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(32*d) - (7*a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(16*d) - (a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^5)/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 17, (17*a^3*x)/128 - (4*a^3*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (5*a^3*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) - (a^3*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) + (17*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (17*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*d) - (17*a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*d) - (3*a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (27*a^3*x)/128 - (9*a^3*Cos[c + d*x]^5)/(80*d) + (27*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (9*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*d) - (3*a*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(56*d) - (Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(8*d) - (9*Cos[c + d*x]^5*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))/(112*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 15, (19*a^3*x)/16 - (a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a^3*Cos[c + d*x])/d + (a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^3*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (19*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (19*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) - (a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 15, -((3*a^3*x)/8) - (3*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (3*a^3*Cos[c + d*x])/d + (a^3*Cos[c + d*x]^3)/d - (a^3*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^3*Cot[c + d*x])/d + (11*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (3*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 15, -((33*a^3*x)/8) - (3*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) + (2*a^3*Cos[c + d*x])/d + (a^3*Cos[c + d*x]^3)/d - (3*a^3*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d) - (7*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 14, -((7*a^3*x)/2) + (7*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (2*a^3*Cos[c + d*x])/d + (a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^3*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d) - (3*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 15, (3*a^3*x)/2 + (33*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) - (3*a^3*Cos[c + d*x])/d + (2*a^3*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]^3)/d - (7*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d) - (a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 15, 3*a^3*x + (3*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) - (a^3*Cos[c + d*x])/d + (3*a^3*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]^3)/d - (a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (11*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 14, a^3*x - (19*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d) + (a^3*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (17*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(4*d) + (a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(8*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^8*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 14, -((9*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d)) - (4*a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) + (3*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(4*d) + (3*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(8*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^9*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 16, -((27*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*d)) - (4*a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (27*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*d) + (23*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(64*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(2*d) + (a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(16*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^10*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 17, -((17*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*d)) - (4*a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (5*a^3*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) - (17*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*d) + (5*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(64*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(6*d) + (3*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(16*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^11*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 19, -((21*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(256*d)) - (4*a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^7)/d - (a^3*Cot[c + d*x]^9)/(3*d) - (21*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(256*d) - (7*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(128*d) + (29*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(160*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(8*d) + (3*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^7)/(80*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^7)/(10*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 8, (55*a^4*x)/256 - (11*a^4*Cos[c + d*x]^7)/(112*d) + (55*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(256*d) + (55*a^4*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(384*d) + (11*a^4*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(96*d) - (Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^5)/(10*a*d) - (Cos[c + d*x]^7*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2)/(18*d) - (11*Cos[c + d*x]^7*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))/(144*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 17, -((61*a^4*x)/8) + (2*a^4*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (4*a^4*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*a^4*Cot[c + d*x])/d - (a^4*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^4*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/d - (19*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, x/(16*a) + Cos[c + d*x]^3/(3*a*d) - (2*Cos[c + d*x]^5)/(5*a*d) + Cos[c + d*x]^7/(7*a*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(8*a*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^3)/(6*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, -(x/(16*a)) - Cos[c + d*x]^3/(3*a*d) + Cos[c + d*x]^5/(5*a*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(8*a*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^3)/(6*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, x/(8*a) + Cos[c + d*x]^3/(3*a*d) - Cos[c + d*x]^5/(5*a*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -(x/(8*a)) - Cos[c + d*x]^3/(3*a*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -(x/(2*a)) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d) + Cos[c + d*x]/(a*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -(x/a) + ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d) - Cos[c + d*x]/(a*d) - Cot[c + d*x]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, x/a + ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(2*a*d) + Cot[c + d*x]/(a*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(2*a*d)) - Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(8*a*d) + Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(8*a*d)) - Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(16*a*d) + Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) + Cot[c + d*x]^5/(5*a*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*a*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(24*a*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(6*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 11, -((5*x)/(8*a^2)) - (2*Cos[c + d*x])/(a^2*d) + (5*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - (4*Cos[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + Cos[c + d*x]^7/(7*a^2*d) + (5*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^2*d) + (5*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(12*a^2*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(3*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, (11*x)/(16*a^2) + (2*Cos[c + d*x])/(a^2*d) - (4*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + (2*Cos[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (11*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d) - (11*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(24*a^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(6*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 10, -((3*x)/(4*a^2)) - (2*Cos[c + d*x])/(a^2*d) + Cos[c + d*x]^3/(a^2*d) - Cos[c + d*x]^5/(5*a^2*d) + (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(2*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 10, (7*x)/(8*a^2) + (2*Cos[c + d*x])/(a^2*d) - (2*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - (7*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -(x/a^2) - (2*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - Cos[c + d*x]^5/(d*(a + a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((2*x)/a^2) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^2*d) - Cos[c + d*x]/(a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 6, x/a^2 + (2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]/(a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 8, -((3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^2*d)) + (2*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 9, ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^2*d) - (2*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^2*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 10, -((7*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^2*d)) + (2*Cot[c + d*x])/(a^2*d) + (2*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - (7*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 10, (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(4*a^2*d) - (2*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]^3/(a^2*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a^2*d) + (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(4*a^2*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(2*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, -((11*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*a^2*d)) + (2*Cot[c + d*x])/(a^2*d) + (4*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + (2*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (11*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*a^2*d) - (11*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(24*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(6*a^2*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 12, (51*x)/(8*a^3) + (7*Cos[c + d*x])/(a^3*d) - Cos[c + d*x]^3/(a^3*d) - (19*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^3*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*a^3*d) + (4*Cos[c + d*x])/(a^3*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 9, -((11*x)/(2*a^3)) - (5*Cos[c + d*x])/(a^3*d) + Cos[c + d*x]^3/(3*a^3*d) + (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - (4*Cos[c + d*x])/(a^3*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (9*x)/(2*a^3) + (9*Cos[c + d*x])/(2*a^3*d) + Cos[c + d*x]^5/(d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + (3*Cos[c + d*x]^3)/(2*d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 5, x/a^3 - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^3*d) + (4*Cos[c + d*x])/(a^3*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) - Cot[c + d*x]/(a^3*d) - (4*Cos[c + d*x])/(a^3*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 9, -((9*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^3*d)) + (3*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^3*d) + (4*Cos[c + d*x])/(a^3*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, If[$VersionNumber<9, 12, 11], If[$VersionNumber<9, (11*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (13*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - (13*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (11*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^3*d) + (4*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])), (11*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (5*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^3*d) + (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^3*d) - (4*Cot[c + d*x])/(a^3*d*(1 + Csc[c + d*x]))]}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 14, -((51*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^3*d)) + (7*Cot[c + d*x])/(a^3*d) + Cot[c + d*x]^3/(a^3*d) - (19*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^3*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a^3*d) + (4*Cos[c + d*x])/(a^3*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[e + f*x]^4*Sin[e + f*x]^1/(a + a*Sin[e + f*x])^6, x, 2, Cos[e + f*x]^5/(7*f*(a + a*Sin[e + f*x])^6) - 6*Cos[e + f*x]^5/(35*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^5)}
+
+
+{Cos[e + f*x]^4*Sin[e + f*x]^2/(a + a*Sin[e + f*x])^7, x, 18, -a*Cos[e + f*x]^7/(18*f*(a + a*Sin[e + f*x])^8) + 25*Cos[e + f*x]^5/(126*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^6) - 47*Cos[e + f*x]^5/(315*a^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^5), -((4*Cos[e + f*x])/(9*a^7*f*(1 + Sin[e + f*x])^5)) + (92*Cos[e + f*x])/(63*a^7*f*(1 + Sin[e + f*x])^4) - (181*Cos[e + f*x])/(105*a^7*f*(1 + Sin[e + f*x])^3) + (268*Cos[e + f*x])/(315*a^7*f*(1 + Sin[e + f*x])^2) - (47*Cos[e + f*x])/(315*a^7*f*(1 + Sin[e + f*x]))}
+
+
+{Cos[e + f*x]^4*Sin[e + f*x]^3/(a + a*Sin[e + f*x])^8, x, 24, (4*Cos[e + f*x])/(11*a^8*f*(1 + Sin[e + f*x])^6) - (52*Cos[e + f*x])/(33*a^8*f*(1 + Sin[e + f*x])^5) + (617*Cos[e + f*x])/(231*a^8*f*(1 + Sin[e + f*x])^4) - (846*Cos[e + f*x])/(385*a^8*f*(1 + Sin[e + f*x])^3) + (1003*Cos[e + f*x])/(1155*a^8*f*(1 + Sin[e + f*x])^2) - (152*Cos[e + f*x])/(1155*a^8*f*(1 + Sin[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^4 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 5, -((1472*a^3*Cos[c + d*x]^5)/(45045*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))) - (368*a^2*Cos[c + d*x]^5)/(9009*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (46*a*Cos[c + d*x]^5)/(1287*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (20*Cos[c + d*x]^5*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(143*d) - (2*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(13*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 4, -((64*a^3*Cos[c + d*x]^5)/(3465*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))) - (16*a^2*Cos[c + d*x]^5)/(693*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (2*a*Cos[c + d*x]^5)/(99*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]^5*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 9, -((2*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/d) + (8*a*Cos[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(7*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (164*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(105*d) - (12*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(35*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 8, -((Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/d) + (61*a*Cos[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (4*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(15*d) - (Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d - (2*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 7, (13*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(4*d) - (2*a*Cos[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a*Cot[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 7, (11*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(8*d) - (2*a*Cos[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (11*a*Cot[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^5*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 9, -((67*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(64*d)) + (61*a*Cot[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (61*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(24*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^6*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 11, -((31*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(128*d)) - (31*a*Cot[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (97*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (97*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(240*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(40*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^7*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 13, -((55*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(512*d)) - (55*a*Cot[c + d*x])/(512*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (55*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(768*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (329*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(960*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (47*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(160*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(60*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^8*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 15, -((61*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(1024*d)) - (61*a*Cot[c + d*x])/(1024*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (61*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(1536*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (61*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(1920*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (579*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(2240*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (193*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(840*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(84*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^6*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(7*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((256*a^4*Cos[c + d*x]^5)/(6435*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))) - (64*a^3*Cos[c + d*x]^5)/(1287*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (56*a^2*Cos[c + d*x]^5)/(1287*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (14*a*Cos[c + d*x]^5*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(429*d) + (4*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(39*d) - (2*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(15*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((256*a^4*Cos[c + d*x]^5)/(5005*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))) - (64*a^3*Cos[c + d*x]^5)/(1001*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (8*a^2*Cos[c + d*x]^5)/(143*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (6*a*Cos[c + d*x]^5*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(143*d) - (2*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(13*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 12, -((2*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/d) - (14*a^2*Cos[c + d*x])/(45*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (34*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(63*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(9*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (388*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(315*d) + (16*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(105*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 10, -((3*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/d) + (171*a^2*Cos[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (69*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(35*d) + (4*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(35*d) - (Cot[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/d - (2*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(7*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 9, (9*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(4*d) + (73*a^2*Cos[c + d*x])/(20*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(5*d) - (3*a*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d) - (2*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 8, (37*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(8*d) - (8*a^2*Cos[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (29*a^2*Cot[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*d) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 11, (21*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(64*d) - (2*a^2*Cos[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (149*a^2*Cot[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (19*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(32*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(8*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 12, -((165*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(128*d)) + (91*a^2*Cot[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (73*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (31*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(80*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (3*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(40*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 14, -((179*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(512*d)) - (179*a^2*Cot[c + d*x])/(512*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (111*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(256*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (239*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(320*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (137*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(480*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(20*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^8*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 16, -((171*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(1024*d)) - (171*a^2*Cot[c + d*x])/(1024*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (57*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(512*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (199*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(640*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (1237*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(2240*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (9*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(40*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(28*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^9*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 18, -((1587*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(16384*d)) - (1587*a^2*Cot[c + d*x])/(16384*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (529*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8192*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (529*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(10240*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (8653*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(35840*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (1957*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(4480*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (83*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(448*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (3*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^6*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(112*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(8*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 5, -((152*a^2*Cos[c + d*x]^5)/(3465*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))) - (38*a*Cos[c + d*x]^5)/(693*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (20*Cos[c + d*x]^5)/(99*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]^5*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(11*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, (8*a^2*Cos[c + d*x]^5)/(315*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) + (2*a*Cos[c + d*x]^5)/(63*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (2*Cos[c + d*x]^5)/(9*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 13, -((2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + (32*Cos[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(5*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(15*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 11, ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]]/(Sqrt[a]*d) + (4*Cos[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - Cot[c + d*x]/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 11, (9*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d) - (2*Cos[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + Cot[c + d*x]/(4*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 11, -((7*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(8*Sqrt[a]*d)) + (9*Cot[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^5/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 15, -((11*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(64*Sqrt[a]*d)) - (11*Cot[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (53*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(24*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^6/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 17, -((9*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(128*Sqrt[a]*d)) - (9*Cot[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (29*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(80*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(40*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(5*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 12, -((4*Cos[c + d*x])/(165*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(231*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (14*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(33*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (8*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(1155*a^2*d) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(11*a^2*d) - (4*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(385*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((46*a*Cos[c + d*x]^5)/(315*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))) + (20*Cos[c + d*x]^5)/(63*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (2*Cos[c + d*x]^5)/(9*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 2, (6*a*Cos[c + d*x]^5)/(35*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (2*Cos[c + d*x]^5)/(7*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + (10*Cos[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 9, (3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - Cos[c + d*x]/(a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(4*a^(3/2)*d)) + (7*Cot[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(2*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 10, -(ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]]/(8*a^(3/2)*d)) - Cot[c + d*x]/(8*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (11*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(12*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 12, -((3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(64*a^(3/2)*d)) - (3*Cot[c + d*x])/(64*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(32*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (5*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(8*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 14, -((3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(128*a^(3/2)*d)) - (3*Cot[c + d*x])/(128*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(64*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(80*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (19*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(40*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(5*a^2*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 18, -((4*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(5/2)*d)) + (4496*Cos[c + d*x])/(693*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (200*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(231*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (424*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(693*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (46*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(99*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(11*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (1048*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(693*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 16, (4*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(5/2)*d) - (2048*Cos[c + d*x])/(315*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (92*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(105*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (38*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(63*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(9*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (472*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(315*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 6, -((4*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(5/2)*d)) + (4*Cos[c + d*x]^5)/(7*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) + (2*Cos[c + d*x]^3)/(3*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (2*Cos[c + d*x]^5)/(7*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (4*Cos[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 5, (4*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(5/2)*d) - (2*Cos[c + d*x]^5)/(5*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (2*Cos[c + d*x]^3)/(3*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (4*Cos[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + (4*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(5/2)*d) - (2*Cos[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 12, (5*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - (4*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(5/2)*d) - Cot[c + d*x]/(a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 14, -((23*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(4*a^(5/2)*d)) + (4*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(5/2)*d) + (9*Cot[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 16, (45*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(8*a^(5/2)*d) - (4*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(5/2)*d) - (19*Cot[c + d*x])/(8*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (13*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(12*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 18, -((363*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(64*a^(5/2)*d)) + (4*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(5/2)*d) + (149*Cot[c + d*x])/(64*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (107*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(96*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (17*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(24*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a^2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^4 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m with n symbolic*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^n*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 5, (a^2*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (2*a^2*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (a^2*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (3 + n)/2, (5 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(3 + n))/(d*(3 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^n*(a + a*Sin[c + d*x])^1, x, 3, (a*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (a*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^n/(a + a*Sin[c + d*x])^1, x, 3, (Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(a*d*(1 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) - (Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(1/2), (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(a*d*(2 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^n/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 5, -((Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(a^2*d*(2 + n))) + ((3 + 2*n)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(a^2*d*(1 + n)*(2 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) - (2*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(a^2*d*(2 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^5 (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^5 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*Sin[c + d*x]^6)/(6*d) + (a*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Sin[c + d*x]^8)/(4*d) - (2*a*Sin[c + d*x]^9)/(9*d) + (a*Sin[c + d*x]^10)/(10*d) + (a*Sin[c + d*x]^11)/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Sin[c + d*x]^6)/(6*d) - (2*a*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Sin[c + d*x]^8)/(4*d) + (a*Sin[c + d*x]^9)/(9*d) + (a*Sin[c + d*x]^10)/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -((a*Cos[c + d*x]^6)/(6*d)) + (a*Cos[c + d*x]^8)/(8*d) + (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*Sin[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -((a*Cos[c + d*x]^6)/(6*d)) + (a*Cos[c + d*x]^8)/(8*d) + (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -((a*Cos[c + d*x]^6)/(6*d)) + (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*Log[Sin[c + d*x]])/d + (a*Sin[c + d*x])/d - (a*Sin[c + d*x]^2)/d - (2*a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) + (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*Csc[c + d*x])/d) + (a*Log[Sin[c + d*x]])/d - (2*a*Sin[c + d*x])/d - (a*Sin[c + d*x]^2)/d + (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Sin[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*Csc[c + d*x])/d) - (a*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (2*a*Log[Sin[c + d*x]])/d - (2*a*Sin[c + d*x])/d + (a*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (2*a*Csc[c + d*x])/d - (a*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a*Log[Sin[c + d*x]])/d + (a*Sin[c + d*x])/d + (a*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, (2*a*Csc[c + d*x])/d + (a*Csc[c + d*x]^2)/d - (a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) + (a*Log[Sin[c + d*x]])/d + (a*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*Csc[c + d*x])/d) + (a*Csc[c + d*x]^2)/d + (2*a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) - (a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -((a*Cot[c + d*x]^6)/(6*d)) - (a*Csc[c + d*x])/d + (2*a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^8*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -((a*Cot[c + d*x]^6)/(6*d)) - (a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Csc[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^9*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -((a*Cot[c + d*x]^6)/(6*d)) - (a*Cot[c + d*x]^8)/(8*d) - (a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Csc[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^10*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -((a*Cot[c + d*x]^6)/(6*d)) - (a*Cot[c + d*x]^8)/(8*d) - (a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) + (2*a*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Csc[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^11*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d)) - (a*Csc[c + d*x]^6)/(6*d) + (2*a*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*Csc[c + d*x]^8)/(4*d) - (a*Csc[c + d*x]^9)/(9*d) - (a*Csc[c + d*x]^10)/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^12*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*Csc[c + d*x]^6)/(6*d)) - (a*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*Csc[c + d*x]^8)/(4*d) + (2*a*Csc[c + d*x]^9)/(9*d) - (a*Csc[c + d*x]^10)/(10*d) - (a*Csc[c + d*x]^11)/(11*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (a^2*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^2*Sin[c + d*x]^6)/(6*d) - (4*a^2*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) - (a^2*Sin[c + d*x]^8)/(8*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x]^9)/(9*d) + (a^2*Sin[c + d*x]^10)/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (4*(a + a*Sin[c + d*x])^5)/(5*a^3*d) - (2*(a + a*Sin[c + d*x])^6)/(a^4*d) + (13*(a + a*Sin[c + d*x])^7)/(7*a^5*d) - (3*(a + a*Sin[c + d*x])^8)/(4*a^6*d) + (a + a*Sin[c + d*x])^9/(9*a^7*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((4*(a + a*Sin[c + d*x])^5)/(5*a^3*d)) + (4*(a + a*Sin[c + d*x])^6)/(3*a^4*d) - (5*(a + a*Sin[c + d*x])^7)/(7*a^5*d) + (a + a*Sin[c + d*x])^8/(8*a^6*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d + (2*a^2*Sin[c + d*x])/d - (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (4*a^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^2*Sin[c + d*x]^6)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((a^2*Csc[c + d*x])/d) + (2*a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*Sin[c + d*x])/d - (2*a^2*Sin[c + d*x]^2)/d - (a^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Sin[c + d*x]^4)/(2*d) + (a^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((2*a^2*Csc[c + d*x])/d) - (a^2*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d - (4*a^2*Sin[c + d*x])/d - (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Sin[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (a^2*Csc[c + d*x])/d - (a^2*Csc[c + d*x]^2)/d - (a^2*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (4*a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*Sin[c + d*x])/d + (a^2*Sin[c + d*x]^2)/d + (a^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (4*a^2*Csc[c + d*x])/d + (a^2*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (2*a^2*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) - (a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d + (2*a^2*Sin[c + d*x])/d + (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (a^2*Csc[c + d*x])/d + (2*a^2*Csc[c + d*x]^2)/d + (a^2*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Csc[c + d*x]^4)/(2*d) - (a^2*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) + (2*a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((2*a^2*Csc[c + d*x])/d) + (a^2*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) + (4*a^2*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) - (2*a^2*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^2*Csc[c + d*x]^6)/(6*d) + (a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (2*(a + a*Sin[c + d*x])^6)/(3*a^3*d) - (12*(a + a*Sin[c + d*x])^7)/(7*a^4*d) + (13*(a + a*Sin[c + d*x])^8)/(8*a^5*d) - (2*(a + a*Sin[c + d*x])^9)/(3*a^6*d) + (a + a*Sin[c + d*x])^10/(10*a^7*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((2*(a + a*Sin[c + d*x])^6)/(3*a^3*d)) + (8*(a + a*Sin[c + d*x])^7)/(7*a^4*d) - (5*(a + a*Sin[c + d*x])^8)/(8*a^5*d) + (a + a*Sin[c + d*x])^9/(9*a^6*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d + (3*a^3*Sin[c + d*x])/d + (a^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (5*a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*a^3*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) + (a^3*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^3*Sin[c + d*x]^6)/(2*d) + (a^3*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((a^3*Csc[c + d*x])/d) + (3*a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d + (a^3*Sin[c + d*x])/d - (5*a^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (5*a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^3*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) + (3*a^3*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^3*Sin[c + d*x]^6)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((3*a^3*Csc[c + d*x])/d) - (a^3*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) + (a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d - (5*a^3*Sin[c + d*x])/d - (5*a^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^3*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) + (a^3*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((a^3*Csc[c + d*x])/d) - (3*a^3*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (a^3*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d - (5*a^3*Sin[c + d*x])/d + (a^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (a^3*Sin[c + d*x]^3)/d + (a^3*Sin[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (5*a^3*Csc[c + d*x])/d - (a^3*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (a^3*Csc[c + d*x]^3)/d - (a^3*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) - (5*a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d + (a^3*Sin[c + d*x])/d + (3*a^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (5*a^3*Csc[c + d*x])/d + (5*a^3*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (a^3*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^3*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) - (a^3*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d + (3*a^3*Sin[c + d*x])/d + (a^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((a^3*Csc[c + d*x])/d) + (5*a^3*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) + (5*a^3*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) - (3*a^3*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^3*Csc[c + d*x]^6)/(6*d) + (3*a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d + (a^3*Sin[c + d*x])/d}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, -((4*a^4*Csc[c + d*x])/d) - (2*a^4*Csc[c + d*x]^2)/d - (a^4*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (4*a^4*Log[Sin[c + d*x]])/d - (10*a^4*Sin[c + d*x])/d - (2*a^4*Sin[c + d*x]^2)/d + (4*a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^4*Sin[c + d*x]^4)/d + (a^4*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 3, (4*a^4*Csc[c + d*x])/d - (2*a^4*Csc[c + d*x]^2)/d - (4*a^4*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^4*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) - (10*a^4*Log[Sin[c + d*x]])/d - (4*a^4*Sin[c + d*x])/d + (2*a^4*Sin[c + d*x]^2)/d + (4*a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^4*Sin[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, (10*a^4*Csc[c + d*x])/d + (2*a^4*Csc[c + d*x]^2)/d - (4*a^4*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^4*Csc[c + d*x]^4)/d - (a^4*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (4*a^4*Log[Sin[c + d*x]])/d + (4*a^4*Sin[c + d*x])/d + (2*a^4*Sin[c + d*x]^2)/d + (a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Sin[c + d*x]^4/(4*a*d) - Sin[c + d*x]^5/(5*a*d) - Sin[c + d*x]^6/(6*a*d) + Sin[c + d*x]^7/(7*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, Sin[c + d*x]^3/(3*a*d) - Sin[c + d*x]^4/(4*a*d) - Sin[c + d*x]^5/(5*a*d) + Sin[c + d*x]^6/(6*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -(Cos[c + d*x]^4/(4*a*d)) - Sin[c + d*x]^3/(3*a*d) + Sin[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - Sin[c + d*x]/(a*d) - Sin[c + d*x]^2/(2*a*d) + Sin[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a*d)) - Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - Sin[c + d*x]/(a*d) + Sin[c + d*x]^2/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Csc[c + d*x]/(a*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a*d) - Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) + Sin[c + d*x]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Csc[c + d*x]/(a*d) + Csc[c + d*x]^2/(2*a*d) - Csc[c + d*x]^3/(3*a*d) + Log[Sin[c + d*x]]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, -(Cot[c + d*x]^4/(4*a*d)) - Csc[c + d*x]/(a*d) + Csc[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, Cot[c + d*x]^4/(4*a*d) + Csc[c + d*x]^3/(3*a*d) - Csc[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Csc[c + d*x]^3/(3*a*d)) + Csc[c + d*x]^4/(4*a*d) + Csc[c + d*x]^5/(5*a*d) - Csc[c + d*x]^6/(6*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^8/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Csc[c + d*x]^4/(4*a*d)) + Csc[c + d*x]^5/(5*a*d) + Csc[c + d*x]^6/(6*a*d) - Csc[c + d*x]^7/(7*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, Sin[c + d*x]^4/(4*a^2*d) - (2*Sin[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + Sin[c + d*x]^6/(6*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, Sin[c + d*x]^3/(3*a^2*d) - Sin[c + d*x]^4/(2*a^2*d) + Sin[c + d*x]^5/(5*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, Sin[c + d*x]^2/(2*a^2*d) - (2*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + Sin[c + d*x]^4/(4*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, Log[Sin[c + d*x]]/(a^2*d) - (2*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + Sin[c + d*x]^2/(2*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a^2*d)) - (2*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + Sin[c + d*x]/(a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (2*Csc[c + d*x])/(a^2*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a^2*d) + Log[Sin[c + d*x]]/(a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -((Csc[c + d*x]^3*(a - a*Sin[c + d*x])^3)/(3*a^5*d))}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -(Csc[c + d*x]^2/(2*a^2*d)) + (2*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - Csc[c + d*x]^4/(4*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -(Csc[c + d*x]^3/(3*a^2*d)) + Csc[c + d*x]^4/(2*a^2*d) - Csc[c + d*x]^5/(5*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -(Csc[c + d*x]^4/(4*a^2*d)) + (2*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - Csc[c + d*x]^6/(6*a^2*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((4*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^3*d)) + (4*Sin[c + d*x])/(a^3*d) - (2*Sin[c + d*x]^2)/(a^3*d) + (4*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) - (3*Sin[c + d*x]^4)/(4*a^3*d) + Sin[c + d*x]^5/(5*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (4*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (4*Sin[c + d*x])/(a^3*d) + (2*Sin[c + d*x]^2)/(a^3*d) - Sin[c + d*x]^3/(a^3*d) + Sin[c + d*x]^4/(4*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((4*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^3*d)) + (4*Sin[c + d*x])/(a^3*d) - (3*Sin[c + d*x]^2)/(2*a^3*d) + Sin[c + d*x]^3/(3*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, Log[Sin[c + d*x]]/(a^3*d) - (4*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + Sin[c + d*x]/(a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a^3*d)) - (3*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + (4*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (3*Csc[c + d*x])/(a^3*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a^3*d) + (4*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (4*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((4*Csc[c + d*x])/(a^3*d)) + (3*Csc[c + d*x]^2)/(2*a^3*d) - Csc[c + d*x]^3/(3*a^3*d) - (4*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + (4*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (4*Csc[c + d*x])/(a^3*d) - (2*Csc[c + d*x]^2)/(a^3*d) + Csc[c + d*x]^3/(a^3*d) - Csc[c + d*x]^4/(4*a^3*d) + (4*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (4*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((4*Csc[c + d*x])/(a^3*d)) + (2*Csc[c + d*x]^2)/(a^3*d) - (4*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (3*Csc[c + d*x]^4)/(4*a^3*d) - Csc[c + d*x]^5/(5*a^3*d) - (4*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + (4*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 3, (12*Csc[c + d*x])/(a^4*d) - (4*Csc[c + d*x]^2)/(a^4*d) + (4*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^4*d) - Csc[c + d*x]^4/(4*a^4*d) + (16*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - (16*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + 4/(d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, -((16*Csc[c + d*x])/(a^4*d)) + (6*Csc[c + d*x]^2)/(a^4*d) - (8*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^4*d) + Csc[c + d*x]^4/(a^4*d) - Csc[c + d*x]^5/(5*a^4*d) - (20*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + (20*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - 4/(d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^5 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^5 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m with n symbolic*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (a^3*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)) + (3*a^3*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)) + (a^3*Sin[c + d*x]^(3 + n))/(d*(3 + n)) - (5*a^3*Sin[c + d*x]^(4 + n))/(d*(4 + n)) - (5*a^3*Sin[c + d*x]^(5 + n))/(d*(5 + n)) + (a^3*Sin[c + d*x]^(6 + n))/(d*(6 + n)) + (3*a^3*Sin[c + d*x]^(7 + n))/(d*(7 + n)) + (a^3*Sin[c + d*x]^(8 + n))/(d*(8 + n))}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (a^2*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)) + (2*a^2*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)) - (a^2*Sin[c + d*x]^(3 + n))/(d*(3 + n)) - (4*a^2*Sin[c + d*x]^(4 + n))/(d*(4 + n)) - (a^2*Sin[c + d*x]^(5 + n))/(d*(5 + n)) + (2*a^2*Sin[c + d*x]^(6 + n))/(d*(6 + n)) + (a^2*Sin[c + d*x]^(7 + n))/(d*(7 + n))}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n*(a + a*Sin[c + d*x])^1, x, 3, (a*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)) + (a*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)) - (2*a*Sin[c + d*x]^(3 + n))/(d*(3 + n)) - (2*a*Sin[c + d*x]^(4 + n))/(d*(4 + n)) + (a*Sin[c + d*x]^(5 + n))/(d*(5 + n)) + (a*Sin[c + d*x]^(6 + n))/(d*(6 + n))}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n/(a + a*Sin[c + d*x])^1, x, 3, Sin[c + d*x]^(1 + n)/(a*d*(1 + n)) - Sin[c + d*x]^(2 + n)/(a*d*(2 + n)) - Sin[c + d*x]^(3 + n)/(a*d*(3 + n)) + Sin[c + d*x]^(4 + n)/(a*d*(4 + n))}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, Sin[c + d*x]^(1 + n)/(a^2*d*(1 + n)) - (2*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(a^2*d*(2 + n)) + Sin[c + d*x]^(3 + n)/(a^2*d*(3 + n))}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((3*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(a^3*d*(1 + n))) + (4*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, -Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(a^3*d*(1 + n)) + Sin[c + d*x]^(2 + n)/(a^3*d*(2 + n))}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 4, Sin[c + d*x]^(1 + n)/(a^4*d*(1 + n)) - (4*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, -Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(a^4*d) + (4*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^6 (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^6 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 10, (3*a*x)/256 - (a*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (2*a*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) - (a*Cos[c + d*x]^11)/(11*d) + (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(256*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(128*d) + (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(160*d) - (3*a*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(80*d) - (a*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^3)/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 10, (3*a*x)/256 - (a*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) + (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(256*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(128*d) + (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(160*d) - (3*a*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(80*d) - (a*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^3)/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (5*a*x)/128 - (a*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) + (5*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (5*a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*d) + (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*d) - (a*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, (5*a*x)/128 - (a*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (5*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (5*a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*d) + (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*d) - (a*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (5*a*x)/16 - (a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a*Cos[c + d*x])/d + (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (5*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (5*a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 10, -((15*a*x)/8) - (a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a*Cos[c + d*x])/d + (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (15*a*Cot[c + d*x])/(8*d) + (5*a*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(8*d) + (a*Cos[c + d*x]^4*Cot[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 11, -((15*a*x)/8) + (5*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (5*a*Cos[c + d*x])/(2*d) - (5*a*Cos[c + d*x]^3)/(6*d) - (15*a*Cot[c + d*x])/(8*d) + (5*a*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(8*d) + (a*Cos[c + d*x]^4*Cot[c + d*x])/(4*d) - (a*Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 11, (5*a*x)/2 + (5*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (5*a*Cos[c + d*x])/(2*d) - (5*a*Cos[c + d*x]^3)/(6*d) + (5*a*Cot[c + d*x])/(2*d) - (a*Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (5*a*Cot[c + d*x]^3)/(6*d) + (a*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^3)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 11, (5*a*x)/2 - (15*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) + (15*a*Cos[c + d*x])/(8*d) + (5*a*Cot[c + d*x])/(2*d) + (5*a*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(8*d) - (5*a*Cot[c + d*x]^3)/(6*d) + (a*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^3)/(2*d) - (a*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 11, (-a)*x - (15*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) + (15*a*Cos[c + d*x])/(8*d) - (a*Cot[c + d*x])/d + (5*a*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(8*d) + (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^4)/(4*d) - (a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (-a)*x + (5*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d) - (a*Cot[c + d*x])/d + (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (5*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) + (5*a*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(24*d) - (a*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^8*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, (5*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d) - (a*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (5*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) + (5*a*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(24*d) - (a*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^9*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, (5*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*d) - (a*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) + (5*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*d) - (5*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(64*d) + (5*a*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(48*d) - (a*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^10*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (5*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*d) - (a*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) + (5*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*d) - (5*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(64*d) + (5*a*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(48*d) - (a*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^11*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 10, (3*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(256*d) - (a*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) + (3*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(256*d) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(128*d) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(32*d) + (a*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(16*d) - (a*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5)/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^12*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 10, (3*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(256*d) - (a*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (2*a*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) - (a*Cot[c + d*x]^11)/(11*d) + (3*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(256*d) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(128*d) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(32*d) + (a*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(16*d) - (a*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5)/(10*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 18, (17*a^2*x)/1024 - (2*a^2*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (4*a^2*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) - (2*a^2*Cos[c + d*x]^11)/(11*d) + (17*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(1024*d) + (17*a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(1536*d) + (17*a^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(1920*d) - (17*a^2*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(320*d) - (17*a^2*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^3)/(120*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^5)/(12*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 14, (3*a^2*x)/128 - (2*a^2*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^9)/(3*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^11)/(11*d) + (3*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(80*d) - (3*a^2*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(40*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^3)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 16, (13*a^2*x)/256 - (2*a^2*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) + (13*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(256*d) + (13*a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(384*d) + (13*a^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(480*d) - (13*a^2*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(80*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^3)/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 7, (5*a^2*x)/64 - (a^2*Cos[c + d*x]^7)/(28*d) + (5*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(64*d) + (5*a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(96*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(24*d) - (Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(9*d) - (Cos[c + d*x]^7*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))/(36*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, (5*a^2*x)/8 - (a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*Cos[c + d*x])/d + (a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (5*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (5*a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(12*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 17, -((25*a^2*x)/16) - (2*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (2*a^2*Cos[c + d*x])/d + (2*a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^2*Cot[c + d*x])/d - (7*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) - (7*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(24*d) + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 16, -((15*a^2*x)/4) + (3*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (a^2*Cos[c + d*x])/d + (a^2*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d) - (9*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 17, (5*a^2*x)/8 + (5*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (4*a^2*Cos[c + d*x])/d - (2*a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Cot[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/d - (5*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 16, 5*a^2*x + (5*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) - (a^2*Cos[c + d*x])/d - (a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (4*a^2*Cot[c + d*x])/d - (2*a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (5*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d) + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 15, (3*a^2*x)/2 - (15*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(4*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x])/d + (a^2*Cot[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (9*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(4*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(2*d) + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 17, -2*a^2*x - (25*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d) + (a^2*Cos[c + d*x])/d - (2*a^2*Cot[c + d*x])/d + (2*a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (7*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) + (7*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(24*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^8*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, (-a^2)*x + (5*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) - (a^2*Cot[c + d*x])/d + (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (5*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) + (5*a^2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(12*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^9*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 13, (45*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (35*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*d) + (5*a^2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(24*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x])/(6*d) - (5*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(64*d) + (5*a^2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(48*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^10*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, (5*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(64*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) + (5*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(64*d) - (5*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(32*d) + (5*a^2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(24*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^11*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 16, (13*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(256*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) + (13*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(256*d) - (9*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(128*d) + (5*a^2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(48*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3)/(8*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(32*d) + (a^2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(16*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5)/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^12*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 14, (3*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^9)/(3*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^11)/(11*d) + (3*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*d) + (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(64*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(16*d) + (a^2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(8*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^13*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 18, (17*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(1024*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (4*a^2*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^11)/(11*d) + (17*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(1024*d) + (17*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(1536*d) - (11*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(384*d) + (a^2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(16*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5)/(10*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^7)/(64*d) + (a^2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^7)/(24*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^7)/(12*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 21, (27*a^3*x)/1024 - (4*a^3*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^9)/d - (6*a^3*Cos[c + d*x]^11)/(11*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^13)/(13*d) + (27*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(1024*d) + (9*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(512*d) + (9*a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(640*d) - (27*a^3*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(320*d) - (9*a^3*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^3)/(40*d) - (a^3*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^5)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 21, (41*a^3*x)/1024 - (4*a^3*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (7*a^3*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) - (3*a^3*Cos[c + d*x]^11)/(11*d) + (41*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(1024*d) + (41*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(1536*d) + (41*a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(1920*d) - (41*a^3*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(320*d) - (41*a^3*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^3)/(120*d) - (a^3*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^5)/(12*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 19, (19*a^3*x)/256 - (4*a^3*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (5*a^3*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) - (a^3*Cos[c + d*x]^11)/(11*d) + (19*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(256*d) + (19*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(384*d) + (19*a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(480*d) - (19*a^3*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(80*d) - (3*a^3*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^3)/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 8, (33*a^3*x)/256 - (33*a^3*Cos[c + d*x]^7)/(560*d) + (33*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(256*d) + (11*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(128*d) + (11*a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(160*d) - (a*Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(30*d) - (Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(10*d) - (11*Cos[c + d*x]^7*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))/(240*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 17, (125*a^3*x)/128 - (a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a^3*Cos[c + d*x])/d + (a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (3*a^3*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (125*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (125*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*d) + (25*a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*d) - (a^3*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 19, -((15*a^3*x)/16) - (3*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (3*a^3*Cos[c + d*x])/d + (a^3*Cos[c + d*x]^3)/d + (3*a^3*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^3*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) - (a^3*Cot[c + d*x])/d + (15*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) - (11*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(8*d) + (a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 17, -((85*a^3*x)/16) - (a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) + (a^3*Cos[c + d*x])/d + (2*a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^3*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d) - (43*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (5*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(24*d) + (a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 15, -((25*a^3*x)/8) + (13*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (5*a^3*Cos[c + d*x])/d - (2*a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^3*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d) - (23*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (3*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 16, (45*a^3*x)/8 + (45*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) - (5*a^3*Cos[c + d*x])/d - (a^3*Cos[c + d*x]^3)/d + (5*a^3*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]^3)/d - (3*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d) + (3*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 16, (13*a^3*x)/2 - (25*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*Cos[c + d*x])/d - (a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (5*a^3*Cot[c + d*x])/d - (2*a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (23*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d) + (3*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 18, -((a^3*x)/2) - (85*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d) + (3*a^3*Cos[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x])/d + (2*a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (43*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) - (5*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(24*d) - (a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(6*d) + (a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^8*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 18, -3*a^3*x - (15*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d) + (a^3*Cos[c + d*x])/d - (3*a^3*Cot[c + d*x])/d + (a^3*Cot[c + d*x]^3)/d - (3*a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (15*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) + (11*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(8*d) - (a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^9*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 17, (-a^3)*x + (125*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*d) - (a^3*Cot[c + d*x])/d + (a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (115*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*d) + (5*a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x])/(2*d) - (5*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(64*d) + (5*a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(48*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^10*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 16, (55*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*d) - (4*a^3*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) - (25*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*d) + (5*a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(24*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x])/(6*d) - (15*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(64*d) + (5*a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(16*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^11*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 18, (33*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(256*d) - (4*a^3*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^9)/(3*d) + (33*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(256*d) - (29*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(128*d) + (5*a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(16*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3)/(8*d) - (a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(32*d) + (a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(16*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5)/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^12*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 19, (19*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(256*d) - (4*a^3*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (5*a^3*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^11)/(11*d) + (19*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(256*d) - (7*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(128*d) + (5*a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(48*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3)/(8*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(32*d) + (3*a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(16*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5)/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^13*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 21, (41*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(1024*d) - (4*a^3*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (7*a^3*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]^11)/(11*d) + (41*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(1024*d) + (41*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(1536*d) - (35*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(384*d) + (3*a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(16*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5)/(10*d) - (a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^7)/(64*d) + (a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^7)/(24*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^7)/(12*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^14*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 21, (27*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(1024*d) - (4*a^3*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^9)/d - (6*a^3*Cot[c + d*x]^11)/(11*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^13)/(13*d) + (27*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(1024*d) + (9*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(512*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(128*d) + (a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(16*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5)/(10*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^7)/(64*d) + (a^3*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^7)/(8*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^7)/(4*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 22, -((135*a^4*x)/16) + (6*a^4*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (4*a^4*Cos[c + d*x])/d + (4*a^4*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (4*a^4*Cot[c + d*x])/d - (a^4*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^4*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/d - (89*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (23*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(24*d) + (a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(6*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (3*x)/(128*a) + Cos[c + d*x]^5/(5*a*d) - (2*Cos[c + d*x]^7)/(7*a*d) + Cos[c + d*x]^9/(9*a*d) + (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*a*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*a*d) - (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(16*a*d) - (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(8*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, -((3*x)/(128*a)) - Cos[c + d*x]^5/(5*a*d) + Cos[c + d*x]^7/(7*a*d) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*a*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*a*d) + (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(16*a*d) + (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(8*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, x/(16*a) + Cos[c + d*x]^5/(5*a*d) - Cos[c + d*x]^7/(7*a*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*a*d) - (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -(x/(16*a)) - Cos[c + d*x]^5/(5*a*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*a*d) + (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, -((3*x)/(8*a)) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d) + Cos[c + d*x]/(a*d) + Cos[c + d*x]^3/(3*a*d) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, -((3*x)/(2*a)) + ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d) - Cos[c + d*x]/(a*d) - Cos[c + d*x]^3/(3*a*d) - (3*Cot[c + d*x])/(2*a*d) + (Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (3*x)/(2*a) + (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a*d) - (3*Cos[c + d*x])/(2*a*d) + (3*Cot[c + d*x])/(2*a*d) - (Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(2*a*d) - (Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, x/a - (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a*d) + (3*Cos[c + d*x])/(2*a*d) + Cot[c + d*x]/(a*d) + (Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(2*a*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -(x/a) - (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a*d) - Cot[c + d*x]/(a*d) + Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) + (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a*d) - (Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a*d) - (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a*d) + (Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(4*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 13, -(x/(8*a^2)) - (2*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + (3*Cos[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - Cos[c + d*x]^7/(7*a^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^2*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 6, (3*x)/(16*a^2) + Cos[c + d*x]^5/(10*a^2*d) + (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(8*a^2*d) + (Cos[c + d*x]^3*(a - a*Sin[c + d*x])^3)/(6*a^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 5, -(x/(4*a^2)) - (2*Cos[c + d*x]^5)/(15*a^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(6*a^2*d) - Cos[c + d*x]^7/(3*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 10, -(x/a^2) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^2*d) + Cos[c + d*x]/(a^2*d) - Cos[c + d*x]^3/(3*a^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 9, -(x/(2*a^2)) + (2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - (2*Cos[c + d*x])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]/(a^2*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 8, (2*x)/a^2 - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(2*a^2*d) + Cos[c + d*x]/(a^2*d) + (2*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 9, -(x/a^2) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^2*d) - Cot[c + d*x]/(a^2*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^2*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 10, (5*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^2*d) + (2*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 11, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(4*a^2*d)) - (2*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(4*a^2*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(2*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 13, (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*a^2*d) + (2*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + (2*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*a^2*d) - (5*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(24*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(6*a^2*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 14, -((23*x)/(16*a^3)) - (4*Cos[c + d*x])/(a^3*d) + (7*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) - (3*Cos[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + (23*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a^3*d) + (23*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(24*a^3*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(6*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 12, (13*x)/(8*a^3) + (4*Cos[c + d*x])/(a^3*d) - (5*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + Cos[c + d*x]^5/(5*a^3*d) - (13*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^3*d) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 5, -((15*x)/(8*a^3)) - (4*Cos[c + d*x])/(a^3*d) + Cos[c + d*x]^3/(a^3*d) + (15*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^3*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*a^3*d), -((15*x)/(8*a^3)) - (5*Cos[c + d*x]^3)/(4*a^3*d) - (15*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^3*d) - Cos[c + d*x]^7/(d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (3*Cos[c + d*x]^5)/(4*d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 7, -((7*x)/(2*a^3)) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^3*d) - (3*Cos[c + d*x])/(a^3*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (3*x)/a^3 + (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) + Cos[c + d*x]/(a^3*d) - Cot[c + d*x]/(a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 8, -(x/a^3) - (7*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^3*d) + (3*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 10, (5*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (4*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^3*d) + (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 12, -((15*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^3*d)) + (4*Cot[c + d*x])/(a^3*d) + Cot[c + d*x]^3/(a^3*d) - (15*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^3*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 12, (13*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^3*d) - (4*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - (5*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a^3*d) + (13*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^3*d) + (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a^3*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^6 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^(m/2) with n symbolic*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^n*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 6, (a^3*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(5/2), (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (3*a^3*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(5/2), (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (3*a^3*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(5/2), (3 + n)/2, (5 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(3 + n))/(d*(3 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (a^3*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(5/2), (4 + n)/2, (6 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(4 + n))/(d*(4 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^n*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 5, (a^2*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(5/2), (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (2*a^2*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(5/2), (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (a^2*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(5/2), (3 + n)/2, (5 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(3 + n))/(d*(3 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^n*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, (a*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(5/2), (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (a*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(5/2), (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^7 (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^7 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*Sin[c + d*x]^8)/(8*d) - (a*Sin[c + d*x]^9)/(3*d) - (3*a*Sin[c + d*x]^10)/(10*d) + (3*a*Sin[c + d*x]^11)/(11*d) + (a*Sin[c + d*x]^12)/(4*d) - (a*Sin[c + d*x]^13)/(13*d) - (a*Sin[c + d*x]^14)/(14*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, -((a*Cos[c + d*x]^8)/(8*d)) + (a*Cos[c + d*x]^10)/(5*d) - (a*Cos[c + d*x]^12)/(12*d) + (a*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Sin[c + d*x]^9)/(3*d) + (3*a*Sin[c + d*x]^11)/(11*d) - (a*Sin[c + d*x]^13)/(13*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, -((a*Cos[c + d*x]^8)/(8*d)) + (a*Cos[c + d*x]^10)/(5*d) - (a*Cos[c + d*x]^12)/(12*d) + (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (3*a*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*Sin[c + d*x]^9)/(3*d) - (a*Sin[c + d*x]^11)/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -((a*Cos[c + d*x]^8)/(8*d)) + (a*Cos[c + d*x]^10)/(10*d) + (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (3*a*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*Sin[c + d*x]^9)/(3*d) - (a*Sin[c + d*x]^11)/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -((a*Cos[c + d*x]^8)/(8*d)) + (a*Cos[c + d*x]^10)/(10*d) + (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Sin[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -((a*Cos[c + d*x]^8)/(8*d)) + (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Sin[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*Log[Sin[c + d*x]])/d + (a*Sin[c + d*x])/d - (3*a*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Sin[c + d*x]^3)/d + (3*a*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) + (3*a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Sin[c + d*x]^6)/(6*d) - (a*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*Csc[c + d*x])/d) + (a*Log[Sin[c + d*x]])/d - (3*a*Sin[c + d*x])/d - (3*a*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Sin[c + d*x]^3)/d + (3*a*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) - (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Sin[c + d*x]^6)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*Csc[c + d*x])/d) - (a*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (3*a*Log[Sin[c + d*x]])/d - (3*a*Sin[c + d*x])/d + (3*a*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Sin[c + d*x]^3)/d - (a*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) - (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (3*a*Csc[c + d*x])/d - (a*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a*Log[Sin[c + d*x]])/d + (3*a*Sin[c + d*x])/d + (3*a*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Sin[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (3*a*Csc[c + d*x])/d + (3*a*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) + (3*a*Log[Sin[c + d*x]])/d + (3*a*Sin[c + d*x])/d - (a*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((3*a*Csc[c + d*x])/d) + (3*a*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Csc[c + d*x]^3)/d - (a*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) - (a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*Sin[c + d*x])/d - (a*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, -((3*a*Csc[c + d*x])/d) - (3*a*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Csc[c + d*x]^3)/d + (3*a*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) - (a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Csc[c + d*x]^6)/(6*d) - (a*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^8*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*Csc[c + d*x])/d - (3*a*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Csc[c + d*x]^3)/d + (3*a*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) + (3*a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Csc[c + d*x]^6)/(6*d) - (a*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^9*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -((a*Cot[c + d*x]^8)/(8*d)) + (a*Csc[c + d*x])/d - (a*Csc[c + d*x]^3)/d + (3*a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Csc[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^10*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -((a*Cot[c + d*x]^8)/(8*d)) + (a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Csc[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^11*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -((a*Cot[c + d*x]^8)/(8*d)) - (a*Cot[c + d*x]^10)/(10*d) + (a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Csc[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^12*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -((a*Cot[c + d*x]^8)/(8*d)) - (a*Cot[c + d*x]^10)/(10*d) + (a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (3*a*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*Csc[c + d*x]^9)/(3*d) - (a*Csc[c + d*x]^11)/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^13*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, -((a*Cot[c + d*x]^8)/(8*d)) - (a*Cot[c + d*x]^10)/(5*d) - (a*Cot[c + d*x]^12)/(12*d) + (a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (3*a*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*Csc[c + d*x]^9)/(3*d) - (a*Csc[c + d*x]^11)/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^14*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, -((a*Cot[c + d*x]^8)/(8*d)) - (a*Cot[c + d*x]^10)/(5*d) - (a*Cot[c + d*x]^12)/(12*d) + (a*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Csc[c + d*x]^9)/(3*d) + (3*a*Csc[c + d*x]^11)/(11*d) - (a*Csc[c + d*x]^13)/(13*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^15*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*Csc[c + d*x]^8)/(8*d) - (a*Csc[c + d*x]^9)/(3*d) - (3*a*Csc[c + d*x]^10)/(10*d) + (3*a*Csc[c + d*x]^11)/(11*d) + (a*Csc[c + d*x]^12)/(4*d) - (a*Csc[c + d*x]^13)/(13*d) - (a*Csc[c + d*x]^14)/(14*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Sin[c + d*x]^7/(7*a*d) - Sin[c + d*x]^8/(8*a*d) - (2*Sin[c + d*x]^9)/(9*a*d) + Sin[c + d*x]^10/(5*a*d) + Sin[c + d*x]^11/(11*a*d) - Sin[c + d*x]^12/(12*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Sin[c + d*x]^6/(6*a*d) - Sin[c + d*x]^7/(7*a*d) - Sin[c + d*x]^8/(4*a*d) + (2*Sin[c + d*x]^9)/(9*a*d) + Sin[c + d*x]^10/(10*a*d) - Sin[c + d*x]^11/(11*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Sin[c + d*x]^5/(5*a*d) - Sin[c + d*x]^6/(6*a*d) - (2*Sin[c + d*x]^7)/(7*a*d) + Sin[c + d*x]^8/(4*a*d) + Sin[c + d*x]^9/(9*a*d) - Sin[c + d*x]^10/(10*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -(Cos[c + d*x]^6/(6*a*d)) + Cos[c + d*x]^8/(8*a*d) - Sin[c + d*x]^5/(5*a*d) + (2*Sin[c + d*x]^7)/(7*a*d) - Sin[c + d*x]^9/(9*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, Cos[c + d*x]^6/(6*a*d) - Cos[c + d*x]^8/(8*a*d) + Sin[c + d*x]^3/(3*a*d) - (2*Sin[c + d*x]^5)/(5*a*d) + Sin[c + d*x]^7/(7*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -(Cos[c + d*x]^6/(6*a*d)) - Sin[c + d*x]^3/(3*a*d) + (2*Sin[c + d*x]^5)/(5*a*d) - Sin[c + d*x]^7/(7*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^0/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, -((a - a*Sin[c + d*x])^4/(a^5*d)) + (4*(a - a*Sin[c + d*x])^5)/(5*a^6*d) - (a - a*Sin[c + d*x])^6/(6*a^7*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - Sin[c + d*x]/(a*d) - Sin[c + d*x]^2/(a*d) + (2*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d) + Sin[c + d*x]^4/(4*a*d) - Sin[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a*d)) - Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - (2*Sin[c + d*x])/(a*d) + Sin[c + d*x]^2/(a*d) + Sin[c + d*x]^3/(3*a*d) - Sin[c + d*x]^4/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Csc[c + d*x]/(a*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a*d) - (2*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d) + (2*Sin[c + d*x])/(a*d) + Sin[c + d*x]^2/(2*a*d) - Sin[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (2*Csc[c + d*x])/(a*d) + Csc[c + d*x]^2/(2*a*d) - Csc[c + d*x]^3/(3*a*d) + (2*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d) + Sin[c + d*x]/(a*d) - Sin[c + d*x]^2/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((2*Csc[c + d*x])/(a*d)) + Csc[c + d*x]^2/(a*d) + Csc[c + d*x]^3/(3*a*d) - Csc[c + d*x]^4/(4*a*d) + Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - Sin[c + d*x]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a*d)) - Csc[c + d*x]^2/(a*d) + (2*Csc[c + d*x]^3)/(3*a*d) + Csc[c + d*x]^4/(4*a*d) - Csc[c + d*x]^5/(5*a*d) - Log[Sin[c + d*x]]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -(Cot[c + d*x]^6/(6*a*d)) + Csc[c + d*x]/(a*d) - (2*Csc[c + d*x]^3)/(3*a*d) + Csc[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^8/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, Cot[c + d*x]^6/(6*a*d) - Csc[c + d*x]^3/(3*a*d) + (2*Csc[c + d*x]^5)/(5*a*d) - Csc[c + d*x]^7/(7*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^9/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -(Cot[c + d*x]^6/(6*a*d)) - Cot[c + d*x]^8/(8*a*d) + Csc[c + d*x]^3/(3*a*d) - (2*Csc[c + d*x]^5)/(5*a*d) + Csc[c + d*x]^7/(7*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^10/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, Cot[c + d*x]^6/(6*a*d) + Cot[c + d*x]^8/(8*a*d) - Csc[c + d*x]^5/(5*a*d) + (2*Csc[c + d*x]^7)/(7*a*d) - Csc[c + d*x]^9/(9*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^11/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Csc[c + d*x]^5/(5*a*d) - Csc[c + d*x]^6/(6*a*d) - (2*Csc[c + d*x]^7)/(7*a*d) + Csc[c + d*x]^8/(4*a*d) + Csc[c + d*x]^9/(9*a*d) - Csc[c + d*x]^10/(10*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^12/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Csc[c + d*x]^6/(6*a*d) - Csc[c + d*x]^7/(7*a*d) - Csc[c + d*x]^8/(4*a*d) + (2*Csc[c + d*x]^9)/(9*a*d) + Csc[c + d*x]^10/(10*a*d) - Csc[c + d*x]^11/(11*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^13/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Csc[c + d*x]^7/(7*a*d) - Csc[c + d*x]^8/(8*a*d) - (2*Csc[c + d*x]^9)/(9*a*d) + Csc[c + d*x]^10/(5*a*d) + Csc[c + d*x]^11/(11*a*d) - Csc[c + d*x]^12/(12*a*d)}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^7 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^7 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m win n symbolic*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^n*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (a^3*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)) + (3*a^3*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)) - (8*a^3*Sin[c + d*x]^(4 + n))/(d*(4 + n)) - (6*a^3*Sin[c + d*x]^(5 + n))/(d*(5 + n)) + (6*a^3*Sin[c + d*x]^(6 + n))/(d*(6 + n)) + (8*a^3*Sin[c + d*x]^(7 + n))/(d*(7 + n)) - (3*a^3*Sin[c + d*x]^(9 + n))/(d*(9 + n)) - (a^3*Sin[c + d*x]^(10 + n))/(d*(10 + n))}
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^n*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (a^2*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)) + (2*a^2*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)) - (2*a^2*Sin[c + d*x]^(3 + n))/(d*(3 + n)) - (6*a^2*Sin[c + d*x]^(4 + n))/(d*(4 + n)) + (6*a^2*Sin[c + d*x]^(6 + n))/(d*(6 + n)) + (2*a^2*Sin[c + d*x]^(7 + n))/(d*(7 + n)) - (2*a^2*Sin[c + d*x]^(8 + n))/(d*(8 + n)) - (a^2*Sin[c + d*x]^(9 + n))/(d*(9 + n))}
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^n*(a + a*Sin[c + d*x])^1, x, 3, (a*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)) + (a*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)) - (3*a*Sin[c + d*x]^(3 + n))/(d*(3 + n)) - (3*a*Sin[c + d*x]^(4 + n))/(d*(4 + n)) + (3*a*Sin[c + d*x]^(5 + n))/(d*(5 + n)) + (3*a*Sin[c + d*x]^(6 + n))/(d*(6 + n)) - (a*Sin[c + d*x]^(7 + n))/(d*(7 + n)) - (a*Sin[c + d*x]^(8 + n))/(d*(8 + n))}
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^n/(a + a*Sin[c + d*x])^1, x, 3, Sin[c + d*x]^(1 + n)/(a*d*(1 + n)) - Sin[c + d*x]^(2 + n)/(a*d*(2 + n)) - (2*Sin[c + d*x]^(3 + n))/(a*d*(3 + n)) + (2*Sin[c + d*x]^(4 + n))/(a*d*(4 + n)) + Sin[c + d*x]^(5 + n)/(a*d*(5 + n)) - Sin[c + d*x]^(6 + n)/(a*d*(6 + n))}
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^n/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, Sin[c + d*x]^(1 + n)/(a^2*d*(1 + n)) - (2*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(a^2*d*(2 + n)) + (2*Sin[c + d*x]^(4 + n))/(a^2*d*(4 + n)) - Sin[c + d*x]^(5 + n)/(a^2*d*(5 + n))}
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^n/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, Sin[c + d*x]^(1 + n)/(a^3*d*(1 + n)) - (3*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(a^3*d*(2 + n)) + (3*Sin[c + d*x]^(3 + n))/(a^3*d*(3 + n)) - Sin[c + d*x]^(4 + n)/(a^3*d*(4 + n))}
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^n/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 8, -((7*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(a^4*d*(1 + n))) + (8*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, -Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(a^4*d*(1 + n)) + (4*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(a^4*d*(2 + n)) - Sin[c + d*x]^(3 + n)/(a^4*d*(3 + n))}
+{Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^n/(a + a*Sin[c + d*x])^5, x, 4, -((4*(3 + 2*n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, -Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(a^5*d*(1 + n))) - (Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a - a*Sin[c + d*x])^2)/(d*(2 + n)*(a^7 + a^7*Sin[c + d*x])) + (Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a*(27 + 30*n + 8*n^2) + a*(7 + 2*n)*Sin[c + d*x]))/(d*(2 + 3*n + n^2)*(a^6 + a^6*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^8 (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^8 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^8*Sin[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 11, (-5*x)/(1024*a) - Cos[c + d*x]^7/(7*a*d) + (2*Cos[c + d*x]^9)/(9*a*d) - Cos[c + d*x]^11/(11*a*d) - (5*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(1024*a*d) - (5*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(1536*a*d) - (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(384*a*d) + (Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(64*a*d) + (Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^3)/(24*a*d) + (Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^5)/(12*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 10, (3*x)/(256*a) + Cos[c + d*x]^7/(7*a*d) - (2*Cos[c + d*x]^9)/(9*a*d) + Cos[c + d*x]^11/(11*a*d) + (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(256*a*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(128*a*d) + (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(160*a*d) - (3*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(80*a*d) - (Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^3)/(10*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 10, (-3*x)/(256*a) - Cos[c + d*x]^7/(7*a*d) + Cos[c + d*x]^9/(9*a*d) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(256*a*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(128*a*d) - (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(160*a*d) + (3*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(80*a*d) + (Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^3)/(10*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (5*x)/(128*a) + Cos[c + d*x]^7/(7*a*d) - Cos[c + d*x]^9/(9*a*d) + (5*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*a*d) + (5*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*a*d) + (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*a*d) - (Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(8*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, (-5*x)/(128*a) - Cos[c + d*x]^7/(7*a*d) - (5*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*a*d) - (5*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*a*d) - (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*a*d) + (Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(8*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (-5*x)/(16*a) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d) + Cos[c + d*x]/(a*d) + Cos[c + d*x]^3/(3*a*d) + Cos[c + d*x]^5/(5*a*d) - (5*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a*d) - (5*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*a*d) - (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 10, (-15*x)/(8*a) + ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d) - Cos[c + d*x]/(a*d) - Cos[c + d*x]^3/(3*a*d) - Cos[c + d*x]^5/(5*a*d) - (15*Cot[c + d*x])/(8*a*d) + (5*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(8*a*d) + (Cos[c + d*x]^4*Cot[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 11, (15*x)/(8*a) + (5*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a*d) - (5*Cos[c + d*x])/(2*a*d) - (5*Cos[c + d*x]^3)/(6*a*d) + (15*Cot[c + d*x])/(8*a*d) - (5*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(8*a*d) - (Cos[c + d*x]^4*Cot[c + d*x])/(4*a*d) - (Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^2)/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 11, (5*x)/(2*a) - (5*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a*d) + (5*Cos[c + d*x])/(2*a*d) + (5*Cos[c + d*x]^3)/(6*a*d) + (5*Cot[c + d*x])/(2*a*d) + (Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^2)/(2*a*d) - (5*Cot[c + d*x]^3)/(6*a*d) + (Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^3)/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 11, (-5*x)/(2*a) - (15*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a*d) + (15*Cos[c + d*x])/(8*a*d) - (5*Cot[c + d*x])/(2*a*d) + (5*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(8*a*d) + (5*Cot[c + d*x]^3)/(6*a*d) - (Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^3)/(2*a*d) - (Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^4)/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 10, -(x/a) + (15*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a*d) - (15*Cos[c + d*x])/(8*a*d) - Cot[c + d*x]/(a*d) - (5*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(8*a*d) + Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) + (Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^4)/(4*a*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, x/a + (5*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*a*d) + Cot[c + d*x]/(a*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) + Cot[c + d*x]^5/(5*a*d) - (5*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*a*d) + (5*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(24*a*d) - (Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x])/(6*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^8/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, (-5*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*a*d) - Cot[c + d*x]^7/(7*a*d) + (5*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*a*d) - (5*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(24*a*d) + (Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x])/(6*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^9/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, (5*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*a*d) + Cot[c + d*x]^7/(7*a*d) + (5*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*a*d) - (5*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(64*a*d) + (5*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(48*a*d) - (Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3)/(8*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^10/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, -((5*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*a*d)) - Cot[c + d*x]^7/(7*a*d) - Cot[c + d*x]^9/(9*a*d) - (5*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*a*d) + (5*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(64*a*d) - (5*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(48*a*d) + (Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3)/(8*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^11/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 10, (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(256*a*d) + Cot[c + d*x]^7/(7*a*d) + Cot[c + d*x]^9/(9*a*d) + (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(256*a*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(128*a*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(32*a*d) + (Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(16*a*d) - (Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5)/(10*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^12/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 10, -((3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(256*a*d)) - Cot[c + d*x]^7/(7*a*d) - (2*Cot[c + d*x]^9)/(9*a*d) - Cot[c + d*x]^11/(11*a*d) - (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(256*a*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(128*a*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(32*a*d) - (Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(16*a*d) + (Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5)/(10*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^8*Sin[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 15, (-3*x)/(128*a^2) - (2*Cos[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + (5*Cos[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) - (4*Cos[c + d*x]^9)/(9*a^2*d) + Cos[c + d*x]^11/(11*a^2*d) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*a^2*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*a^2*d) + (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d) + (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(8*a^2*d) + (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^5)/(5*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 17, (9*x)/(256*a^2) + (2*Cos[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (4*Cos[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) + (2*Cos[c + d*x]^9)/(9*a^2*d) + (9*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(256*a^2*d) + (3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(128*a^2*d) - (3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(32*a^2*d) - (3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(16*a^2*d) - (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^5)/(10*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 14, (-3*x)/(64*a^2) - (2*Cos[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + (3*Cos[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) - Cos[c + d*x]^9/(9*a^2*d) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(64*a^2*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(32*a^2*d) + (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(8*a^2*d) + (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(4*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 15, (11*x)/(128*a^2) + (2*Cos[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (2*Cos[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) + (11*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*a^2*d) + (11*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d) - (11*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d) - (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(8*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 6, -x/(8*a^2) - (2*Cos[c + d*x]^7)/(35*a^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^2*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(12*a^2*d) - (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) - Cos[c + d*x]^9/(5*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, (-3*x)/(4*a^2) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^2*d) + Cos[c + d*x]/(a^2*d) + Cos[c + d*x]^3/(3*a^2*d) - Cos[c + d*x]^5/(5*a^2*d) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 14, (-9*x)/(8*a^2) + (2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - (2*Cos[c + d*x])/(a^2*d) - (2*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - Cot[c + d*x]/(a^2*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 13, (3*x)/a^2 + ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(2*a^2*d) + Cos[c + d*x]^3/(3*a^2*d) + (2*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^2*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 13, -x/(2*a^2) - (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*Cos[c + d*x])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^2*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(a^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 14, (-2*x)/a^2 + (9*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^2*d) - Cos[c + d*x]/(a^2*d) - (2*Cot[c + d*x])/(a^2*d) + (2*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 11, x/a^2 + (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(4*a^2*d) + Cot[c + d*x]/(a^2*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^2*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a^2*d) - (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(4*a^2*d) + (Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(2*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, -((7*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*a^2*d)) + (2*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + (5*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*a^2*d) - (Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(4*a^2*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(8*a^2*d) - (Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(6*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^8/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 19, ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(8*a^2*d) - (2*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - Cot[c + d*x]^7/(7*a^2*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^2*d) - (7*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(12*a^2*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(3*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^9/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 15, -((11*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*a^2*d)) + (2*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + (2*Cot[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) - (11*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*a^2*d) + (7*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(64*a^2*d) - (Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(6*a^2*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(16*a^2*d) - (Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(8*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^10/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 14, (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(64*a^2*d) - (2*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (3*Cot[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) - Cot[c + d*x]^9/(9*a^2*d) + (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(64*a^2*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(32*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(8*a^2*d) + (Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(4*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^11/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 17, -((9*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(256*a^2*d)) + (2*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + (4*Cot[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) + (2*Cot[c + d*x]^9)/(9*a^2*d) - (9*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(256*a^2*d) - (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(128*a^2*d) + (9*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(160*a^2*d) - (Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(8*a^2*d) + (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^7)/(80*a^2*d) - (Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^7)/(10*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^12/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 15, (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*a^2*d) - (2*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (5*Cot[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) - (4*Cot[c + d*x]^9)/(9*a^2*d) - Cot[c + d*x]^11/(11*a^2*d) + (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*a^2*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(64*a^2*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(80*a^2*d) - (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^7)/(40*a^2*d) + (Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^7)/(5*a^2*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^8*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 18, -((29*x)/(128*a^3)) - (4*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (7*Cos[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - (3*Cos[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) - (29*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*a^3*d) + (29*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*a^3*d) + (29*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^3)/(48*a^3*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^5)/(8*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 16, (5*x)/(16*a^3) + (4*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) - Cos[c + d*x]^5/(a^3*d) + Cos[c + d*x]^7/(7*a^3*d) + (5*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a^3*d) - (5*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(8*a^3*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^3)/(2*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 6, -((7*x)/(16*a^3)) - (7*Cos[c + d*x]^5)/(30*a^3*d) - (7*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a^3*d) - (7*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*a^3*d) - Cos[c + d*x]^9/(3*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - Cos[c + d*x]^7/(6*d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 13, -((13*x)/(8*a^3)) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^3*d) + Cos[c + d*x]/(a^3*d) - Cos[c + d*x]^3/(a^3*d) - (13*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^3*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 11, x/(2*a^3) + (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) - (3*Cos[c + d*x])/(a^3*d) + Cos[c + d*x]^3/(3*a^3*d) - Cot[c + d*x]/(a^3*d) + (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 11, (5*x)/(2*a^3) - (5*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^3*d) + (3*Cos[c + d*x])/(a^3*d) + (3*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^3*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 11, -((3*x)/a^3) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(2*a^3*d) - Cos[c + d*x]/(a^3*d) - (3*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^3*d) + (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 12, x/a^3 + (13*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^3*d) + Cot[c + d*x]/(a^3*d) + Cot[c + d*x]^3/(a^3*d) - (11*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^3*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 13, -((7*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^3*d)) - (4*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a^3*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^3*d) + (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 15, (7*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*a^3*d) + (4*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (3*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + (7*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*a^3*d) - (17*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(24*a^3*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(6*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^8/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 17, -((5*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*a^3*d)) - (4*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) - Cot[c + d*x]^5/(a^3*d) - Cot[c + d*x]^7/(7*a^3*d) - (5*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*a^3*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(8*a^3*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(2*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*Csc[c + d*x]^9/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 18, (29*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*a^3*d) + (4*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (7*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + (3*Cot[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) + (29*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*a^3*d) + (29*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(192*a^3*d) - (23*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(48*a^3*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^7)/(8*a^3*d)}
+
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+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^1 (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^2 (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^2 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, -((3*a*x)/2) + (2*a*Cos[c + d*x])/d - (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Sec[c + d*x])/d + (3*a*Tan[c + d*x])/(2*d) - (a*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, -((3*a*x)/2) + (a*Cos[c + d*x])/d + (a*Sec[c + d*x])/d + (3*a*Tan[c + d*x])/(2*d) - (a*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, (-a)*x + (a*Cos[c + d*x])/d + (a*Cos[c + d*x])/(d*(1 - Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, (-a)*x + (a*Sec[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -((a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) + (a*Sec[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -((a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) - (a*Cot[c + d*x])/d + (a*Sec[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, -((3*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (a*Cot[c + d*x])/d + (3*a*Sec[c + d*x])/(2*d) - (a*Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x])/(2*d) + (a*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, -((3*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (2*a*Cot[c + d*x])/d - (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a*Sec[c + d*x])/(2*d) - (a*Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x])/(2*d) + (a*Tan[c + d*x])/d}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, -3*a^2*x + (3*a^2*Cos[c + d*x])/d - (a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a^2*Sec[c + d*x])/d + (3*a^2*Tan[c + d*x])/d - (a^2*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 6, -((5*a^2*x)/2) + (2*a^2*Cos[c + d*x])/d + (2*a^2*Cos[c + d*x])/(d*(1 - Sin[c + d*x])) + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -2*a^2*x + (2*a^2*Cos[c + d*x])/d + (Sec[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 9, -((a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) + (2*a^2*Sec[c + d*x])/d + (2*a^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 10, -((2*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) - (a^2*Cot[c + d*x])/d + (2*a^2*Sec[c + d*x])/d + (2*a^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, -((5*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (2*a^2*Cot[c + d*x])/d + (5*a^2*Sec[c + d*x])/(2*d) - (a^2*Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x])/(2*d) + (2*a^2*Tan[c + d*x])/d}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 11, -((51*a^3*x)/8) + (7*a^3*Cos[c + d*x])/d - (a^3*Cos[c + d*x]^3)/d + (4*a^3*Cos[c + d*x])/(d*(1 - Sin[c + d*x])) + (19*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 8, -((11*a^3*x)/2) + (5*a^3*Cos[c + d*x])/d - (a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (4*a^3*Cos[c + d*x])/(d*(1 - Sin[c + d*x])) + (3*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 2, -((9*a^3*x)/2) + (6*a^3*Cos[c + d*x])/d + (3*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (Sec[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (-a^3)*x - (a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (4*a^3*Cos[c + d*x])/(d*(1 - Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 6, -((3*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) - (a^3*Cot[c + d*x])/d + (4*a^3*Cos[c + d*x])/(d*(1 - Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 8, -((9*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (3*a^3*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d) + (4*a^3*Cos[c + d*x])/(d*(1 - Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 10, -((11*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (5*a^3*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d) + (4*a^3*Cos[c + d*x])/(d*(1 - Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, x/a + Cos[c + d*x]/(a*d) + (2*Sec[c + d*x])/(a*d) - Sec[c + d*x]^3/(3*a*d) - Tan[c + d*x]/(a*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -(x/a) - Sec[c + d*x]/(a*d) + Sec[c + d*x]^3/(3*a*d) + Tan[c + d*x]/(a*d) - Tan[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, Sec[c + d*x]/(a*d) - Sec[c + d*x]^3/(3*a*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, Sec[c + d*x]^3/(3*a*d) - Tan[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d)) + Sec[c + d*x]/(a*d) + Sec[c + d*x]^3/(3*a*d) - Tan[c + d*x]/(a*d) - Tan[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d) - Cot[c + d*x]/(a*d) - Sec[c + d*x]/(a*d) - Sec[c + d*x]^3/(3*a*d) + (2*Tan[c + d*x])/(a*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 15, -((9*x)/(2*a^2)) - (2*Cos[c + d*x])/(a^2*d) - (6*Sec[c + d*x])/(a^2*d) + (2*Sec[c + d*x]^3)/(a^2*d) - (2*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + (9*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) - (3*Tan[c + d*x]^3)/(2*a^2*d) + (9*Tan[c + d*x]^5)/(10*a^2*d) - (Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x]^5)/(2*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 13, (2*x)/a^2 + Cos[c + d*x]/(a^2*d) + (4*Sec[c + d*x])/(a^2*d) - (5*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + (2*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (2*Tan[c + d*x])/(a^2*d) + (2*Tan[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - (2*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, -(x/a^2) - (2*Sec[c + d*x])/(a^2*d) + (4*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - (2*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + Tan[c + d*x]/(a^2*d) - Tan[c + d*x]^3/(3*a^2*d) + (2*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 11, Sec[c + d*x]/(a^2*d) - Sec[c + d*x]^3/(a^2*d) + (2*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (2*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 10, (2*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - (2*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a^2*d) + (2*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, Sec[c + d*x]/(5*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - (2*Sec[c + d*x])/(15*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])) + (4*Tan[c + d*x])/(15*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 11, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^2*d)) + Sec[c + d*x]/(a^2*d) + Sec[c + d*x]^3/(3*a^2*d) + (2*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (2*Tan[c + d*x])/(a^2*d) - (4*Tan[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - (2*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, (2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]/(a^2*d) - (2*Sec[c + d*x])/(a^2*d) - (2*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - (2*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + (4*Tan[c + d*x])/(a^2*d) + (5*Tan[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + (2*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 15, -((9*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^2*d)) + (2*Cot[c + d*x])/(a^2*d) + (9*Sec[c + d*x])/(2*a^2*d) + (3*Sec[c + d*x]^3)/(2*a^2*d) + (9*Sec[c + d*x]^5)/(10*a^2*d) - (Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x]^5)/(2*a^2*d) - (6*Tan[c + d*x])/(a^2*d) - (2*Tan[c + d*x]^3)/(a^2*d) - (2*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^2*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 16, (3*x)/a^3 + Cos[c + d*x]/(a^3*d) + (7*Sec[c + d*x])/(a^3*d) - (5*Sec[c + d*x]^3)/(a^3*d) + (13*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - (4*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) - (3*Tan[c + d*x])/(a^3*d) + Tan[c + d*x]^3/(a^3*d) - (3*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + (4*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 16, -(x/a^3) - (3*Sec[c + d*x])/(a^3*d) + (10*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) - (11*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + (4*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) + Tan[c + d*x]/(a^3*d) - Tan[c + d*x]^3/(3*a^3*d) + Tan[c + d*x]^5/(5*a^3*d) - (4*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 14, Sec[c + d*x]/(a^3*d) - (2*Sec[c + d*x]^3)/(a^3*d) + (9*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - (4*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) + Tan[c + d*x]^5/(5*a^3*d) + (4*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 14, Sec[c + d*x]^3/(a^3*d) - (7*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + (4*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) - (3*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - (4*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 14, -(Sec[c + d*x]^3/(3*a^3*d)) + Sec[c + d*x]^5/(a^3*d) - (4*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a^3*d) + Tan[c + d*x]^5/(a^3*d) + (4*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 5, Sec[c + d*x]/(7*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (3*Sec[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - (3*Sec[c + d*x])/(35*d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x])) + (6*Tan[c + d*x])/(35*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 14, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^3*d)) + Sec[c + d*x]/(a^3*d) + Sec[c + d*x]^3/(3*a^3*d) + Sec[c + d*x]^5/(5*a^3*d) + (4*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) - (3*Tan[c + d*x])/(a^3*d) - (10*Tan[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) - (11*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - (4*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 14, (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) - Cot[c + d*x]/(a^3*d) - (3*Sec[c + d*x])/(a^3*d) - Sec[c + d*x]^3/(a^3*d) - (3*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - (4*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) + (7*Tan[c + d*x])/(a^3*d) + (5*Tan[c + d*x]^3)/(a^3*d) + (13*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + (4*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^3*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^2 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+(* {Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 7, -((76*a*Cos[c + d*x])/(495*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (38*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(693*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (2*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(99*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (152*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3465*d) + (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(11*d) - (76*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(1155*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 6, -((2*a*Cos[c + d*x])/(9*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) + (2*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(63*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (4*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(63*d) + (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(9*d) - (2*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(21*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 5, -((16*a*Cos[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (4*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(105*d) - (18*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(35*a*d) + (2*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(7*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 4, -((2*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/d) + (2*a*Cos[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 4, -((Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/d) + (3*a*Cos[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 4, (5*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(4*d) - (a*Cot[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 5, (3*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(8*d) + (3*a*Cot[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*d)} *)
+
+
+(* {Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((1724*a^2*Cos[c + d*x])/(6435*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (862*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(9009*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (38*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(1287*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (3448*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(45045*d) + (6*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(143*d) - (1724*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(15015*d) + (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(13*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((62*a^2*Cos[c + d*x])/(165*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (10*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(231*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (124*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(1155*d) + (2*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(33*d) - (62*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(385*d) + (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(11*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((128*a^2*Cos[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (32*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(315*d) - (4*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(105*d) - (22*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(63*a*d) + (2*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(7/2))/(9*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((2*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/d) - (2*a^2*Cos[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (2*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(5*d) + (2*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((3*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/d) + (11*a^2*Cos[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (5*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*d) - (Cot[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 5, (a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(4*d) + (13*a^2*Cos[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (3*a*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 5, (13*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(8*d) + (5*a^2*Cot[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(4*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d)} *)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+(* {Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 6, -((4*Cos[c + d*x])/(45*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(63*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(9*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (8*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(315*a*d) - (4*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(105*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 5, -((2*Cos[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) + (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(7*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (4*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(105*a*d) - (2*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(35*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 4, (4*Cos[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (14*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(15*a*d) + (2*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, -((2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + (2*Cos[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 3, ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]]/(Sqrt[a]*d) - Cot[c + d*x]/(d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 4, ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]]/(4*Sqrt[a]*d) + Cot[c + d*x]/(4*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]], x, 5, ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]]/(8*Sqrt[a]*d) + Cot[c + d*x]/(8*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])} *)
+
+
+(* {Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d) - (344*Cos[c + d*x])/(105*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (16*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(35*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(7*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (76*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(105*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d)) + (16*Cos[c + d*x])/(5*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(5*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (4*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(5*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d) - (10*Cos[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(3*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + (2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 5, (3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - (2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d) - Cot[c + d*x]/(a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((11*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(4*a^(3/2)*d)) + (2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d) + (5*Cot[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 7, (23*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]])/(8*a^(3/2)*d) - (2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d) - (9*Cot[c + d*x])/(8*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (7*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(12*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])} *)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^3 (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^4 (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^4 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (5*a*x)/2 - (3*a*Cos[c + d*x])/d + (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a*Sec[c + d*x])/d + (a*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*a*Tan[c + d*x])/(2*d) + (5*a*Tan[c + d*x]^3)/(6*d) - (a*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x]^3)/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (5*a*x)/2 - (a*Cos[c + d*x])/d - (2*a*Sec[c + d*x])/d + (a*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*a*Tan[c + d*x])/(2*d) + (5*a*Tan[c + d*x]^3)/(6*d) - (a*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x]^3)/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, a*x - (a*Cos[c + d*x])/d - (2*a*Sec[c + d*x])/d + (a*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Tan[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, a*x - (a*Sec[c + d*x])/d + (a*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Tan[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, -((a*Sec[c + d*x])/d) + (a*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, (a*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -((a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) + (a*Sec[c + d*x])/d + (a*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, -((a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) - (a*Cot[c + d*x])/d + (a*Sec[c + d*x])/d + (a*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a*Tan[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, -((5*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (a*Cot[c + d*x])/d + (5*a*Sec[c + d*x])/(2*d) + (5*a*Sec[c + d*x]^3)/(6*d) - (a*Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x]^3)/(2*d) + (2*a*Tan[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (7*a^2*x)/2 - (2*a^2*Cos[c + d*x])/d + (a^2*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])^2) - (11*a^2*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])) - (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d), (7*a^2*x)/2 - (16*a^2*Cos[c + d*x])/(3*d) - (7*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (8*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])) + (a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 7, 2*a^2*x - (4*a^2*Cos[c + d*x])/(3*d) - (2*a^2*Cos[c + d*x])/(d*(1 - Sin[c + d*x])) + (a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(3*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, a^2*x - (5*a^2*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])) + (a^4*Cos[c + d*x])/(3*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((2*a^2*Sec[c + d*x])/(3*d)) + (Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(3*d) - (2*a^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 5, -((a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) + (4*a^2*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])) + (a^4*Cos[c + d*x])/(3*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 7, -((2*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) - (10*a^2*Cot[c + d*x])/(3*d) + (2*a^2*Cot[c + d*x])/(d*(1 - Sin[c + d*x])) + (a^4*Cot[c + d*x])/(3*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 8, -((7*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (16*a^2*Cot[c + d*x])/(3*d) - (7*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d) + (8*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])) + (a^4*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(3*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 10, (17*a^3*x)/2 - (6*a^3*Cos[c + d*x])/d + (a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a^3*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])^2) - (25*a^3*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])) - (3*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 8, (11*a^3*x)/2 - (3*a^3*Cos[c + d*x])/d + (2*a^3*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])^2) - (19*a^3*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])) - (a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 5, 3*a^3*x - (3*a^3*Cos[c + d*x])/d - (2*a^5*Cos[c + d*x]^3)/(d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, a^3*x + (Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(3*d) - (2*a^5*Cos[c + d*x])/(d*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 6, -((a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) + (2*a^3*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])^2) + (5*a^3*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 8, -((3*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) - (a^3*Cot[c + d*x])/d + (2*a^3*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])^2) + (11*a^3*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 10, -((11*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (3*a^3*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d) + (2*a^3*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])^2) + (17*a^3*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 12, -((17*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (6*a^3*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d) + (2*a^3*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])^2) + (23*a^3*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 13, (163*a^4*x)/8 - (16*a^4*Cos[c + d*x])/d + (4*a^4*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (4*a^4*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])^2) - (56*a^4*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])) - (35*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 8, (17*a^4*x)/2 - (4*a^4*Cos[c + d*x])/d + (4*a^4*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])^2) - (32*a^4*Cos[c + d*x])/(3*d*(1 - Sin[c + d*x])) - (a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, -(x/a) - Cos[c + d*x]/(a*d) - (3*Sec[c + d*x])/(a*d) + Sec[c + d*x]^3/(a*d) - Sec[c + d*x]^5/(5*a*d) + Tan[c + d*x]/(a*d) - Tan[c + d*x]^3/(3*a*d) + Tan[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, x/a + Sec[c + d*x]/(a*d) - (2*Sec[c + d*x]^3)/(3*a*d) + Sec[c + d*x]^5/(5*a*d) - Tan[c + d*x]/(a*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a*d) - Tan[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -(Sec[c + d*x]/(a*d)) + (2*Sec[c + d*x]^3)/(3*a*d) - Sec[c + d*x]^5/(5*a*d) + Tan[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, -(Sec[c + d*x]^3/(3*a*d)) + Sec[c + d*x]^5/(5*a*d) - Tan[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, Sec[c + d*x]^3/(3*a*d) - Sec[c + d*x]^5/(5*a*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a*d) + Tan[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 6, Sec[c + d*x]^5/(5*a*d) - Tan[c + d*x]^3/(3*a*d) - Tan[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 7, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d)) + Sec[c + d*x]/(a*d) + Sec[c + d*x]^3/(3*a*d) + Sec[c + d*x]^5/(5*a*d) - Tan[c + d*x]/(a*d) - (2*Tan[c + d*x]^3)/(3*a*d) - Tan[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d) - Cot[c + d*x]/(a*d) - Sec[c + d*x]/(a*d) - Sec[c + d*x]^3/(3*a*d) - Sec[c + d*x]^5/(5*a*d) + (3*Tan[c + d*x])/(a*d) + Tan[c + d*x]^3/(a*d) + Tan[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 14, -((2*x)/a^2) - Cos[c + d*x]/(a^2*d) - (5*Sec[c + d*x])/(a^2*d) + (3*Sec[c + d*x]^3)/(a^2*d) - (7*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + (2*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) + (2*Tan[c + d*x])/(a^2*d) - (2*Tan[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + (2*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (2*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 13, x/a^2 + (2*Sec[c + d*x])/(a^2*d) - (2*Sec[c + d*x]^3)/(a^2*d) + (6*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (2*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) - Tan[c + d*x]/(a^2*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a^2*d) - Tan[c + d*x]^5/(5*a^2*d) + (2*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 11, -(Sec[c + d*x]/(a^2*d)) + (4*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - Sec[c + d*x]^5/(a^2*d) + (2*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) - (2*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 10, -((2*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)) + (4*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (2*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) + Tan[c + d*x]^5/(5*a^2*d) + (2*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, Sec[c + d*x]^3/(3*a^2*d) - (3*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + (2*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) - (2*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (2*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, (2*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (2*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a^2*d) + (3*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + (2*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, Sec[c + d*x]^3/(7*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - (2*Sec[c + d*x]^3)/(35*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])) + (8*Tan[c + d*x])/(35*a^2*d) + (8*Tan[c + d*x]^3)/(105*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 11, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^2*d)) + Sec[c + d*x]/(a^2*d) + Sec[c + d*x]^3/(3*a^2*d) + Sec[c + d*x]^5/(5*a^2*d) + (2*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) - (2*Tan[c + d*x])/(a^2*d) - (2*Tan[c + d*x]^3)/(a^2*d) - (6*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (2*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 12, (2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]/(a^2*d) - (2*Sec[c + d*x])/(a^2*d) - (2*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - (2*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (2*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) + (5*Tan[c + d*x])/(a^2*d) + (3*Tan[c + d*x]^3)/(a^2*d) + (7*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + (2*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 15, -((11*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^2*d)) + (2*Cot[c + d*x])/(a^2*d) + (11*Sec[c + d*x])/(2*a^2*d) + (11*Sec[c + d*x]^3)/(6*a^2*d) + (11*Sec[c + d*x]^5)/(10*a^2*d) + (11*Sec[c + d*x]^7)/(14*a^2*d) - (Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x]^7)/(2*a^2*d) - (8*Tan[c + d*x])/(a^2*d) - (4*Tan[c + d*x]^3)/(a^2*d) - (8*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (2*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^2*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 17, x/a^3 + (3*Sec[c + d*x])/(a^3*d) - (13*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (21*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - (15*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) + (4*Sec[c + d*x]^9)/(9*a^3*d) - Tan[c + d*x]/(a^3*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a^3*d) - Tan[c + d*x]^5/(5*a^3*d) + Tan[c + d*x]^7/(7*a^3*d) - (4*Tan[c + d*x]^9)/(9*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 14, -(Sec[c + d*x]/(a^3*d)) + (7*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) - (3*Sec[c + d*x]^5)/(a^3*d) + (13*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) - (4*Sec[c + d*x]^9)/(9*a^3*d) + Tan[c + d*x]^7/(7*a^3*d) + (4*Tan[c + d*x]^9)/(9*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 14, -(Sec[c + d*x]^3/(a^3*d)) + (2*Sec[c + d*x]^5)/(a^3*d) - (11*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) + (4*Sec[c + d*x]^9)/(9*a^3*d) - (3*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) - (4*Tan[c + d*x]^9)/(9*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 14, Sec[c + d*x]^3/(3*a^3*d) - (6*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + (9*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) - (4*Sec[c + d*x]^9)/(9*a^3*d) + Tan[c + d*x]^5/(5*a^3*d) + (5*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) + (4*Tan[c + d*x]^9)/(9*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 15, (3*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - Sec[c + d*x]^7/(a^3*d) + (4*Sec[c + d*x]^9)/(9*a^3*d) - (3*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - Tan[c + d*x]^7/(a^3*d) - (4*Tan[c + d*x]^9)/(9*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 15, -(Sec[c + d*x]^5/(5*a^3*d)) + (5*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) - (4*Sec[c + d*x]^9)/(9*a^3*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a^3*d) + (6*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + (9*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) + (4*Tan[c + d*x]^9)/(9*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 5, Sec[c + d*x]^3/(9*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - Sec[c + d*x]^3/(21*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - Sec[c + d*x]^3/(21*d*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x])) + (4*Tan[c + d*x])/(21*a^3*d) + (4*Tan[c + d*x]^3)/(63*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 14, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^3*d)) + Sec[c + d*x]/(a^3*d) + Sec[c + d*x]^3/(3*a^3*d) + Sec[c + d*x]^5/(5*a^3*d) + Sec[c + d*x]^7/(7*a^3*d) + (4*Sec[c + d*x]^9)/(9*a^3*d) - (3*Tan[c + d*x])/(a^3*d) - (13*Tan[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) - (21*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - (15*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) - (4*Tan[c + d*x]^9)/(9*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 14, (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) - Cot[c + d*x]/(a^3*d) - (3*Sec[c + d*x])/(a^3*d) - Sec[c + d*x]^3/(a^3*d) - (3*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - (3*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) - (4*Sec[c + d*x]^9)/(9*a^3*d) + (8*Tan[c + d*x])/(a^3*d) + (22*Tan[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (28*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + (17*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) + (4*Tan[c + d*x]^9)/(9*a^3*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 17, (4*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^4*d) - (16*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^4*d) + (20*Sec[c + d*x]^9)/(9*a^4*d) - (8*Sec[c + d*x]^11)/(11*a^4*d) + Tan[c + d*x]^5/(5*a^4*d) + (9*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^4*d) + (16*Tan[c + d*x]^9)/(9*a^4*d) + (8*Tan[c + d*x]^11)/(11*a^4*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 18, -(Sec[c + d*x]^5/(5*a^4*d)) + (9*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^4*d) - (16*Sec[c + d*x]^9)/(9*a^4*d) + (8*Sec[c + d*x]^11)/(11*a^4*d) - (4*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^4*d) - (16*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^4*d) - (20*Tan[c + d*x]^9)/(9*a^4*d) - (8*Tan[c + d*x]^11)/(11*a^4*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x])^4, x, 8, -((4*Sec[c + d*x]^7)/(7*a^4*d)) + (4*Sec[c + d*x]^9)/(3*a^4*d) - (8*Sec[c + d*x]^11)/(11*a^4*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a^4*d) + (2*Tan[c + d*x]^5)/(a^4*d) + (25*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^4*d) + (8*Tan[c + d*x]^9)/(3*a^4*d) + (8*Tan[c + d*x]^11)/(11*a^4*d), -((a*Sec[c + d*x])/(22*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5)) - Sec[c + d*x]/(33*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - (5*Sec[c + d*x])/(231*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + Sec[c + d*x]^3/(6*a*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (4*Sec[c + d*x])/(231*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x])^2) - (4*Sec[c + d*x])/(231*d*(a^4 + a^4*Sin[c + d*x])) + (8*Tan[c + d*x])/(231*a^4*d)}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^4 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^5 (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^5 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((39*a*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d)) - (9*a*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) - (a*Sin[c + d*x])/d - (a*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + a^3/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - (5*a^2)/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a^2/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, -((23*a*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d)) + (7*a*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) - (a*Sin[c + d*x])/d + a^3/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - a^2/(d*(a - a*Sin[c + d*x])) + a^2/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((11*a*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d)) - (5*a*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) + a^3/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - (3*a^2)/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a^2/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, (3*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + a^3/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - a^2/(2*d*(a - a*Sin[c + d*x])) + a^2/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, -((a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d)) + a^3/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - a^2/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a^2/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 5, -((a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d)) + a^3/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + a^2/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((11*a*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d)) + (a*Log[Sin[c + d*x]])/d - (5*a*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) + a^3/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + a^2/(2*d*(a - a*Sin[c + d*x])) + a^2/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*Csc[c + d*x])/d) - (23*a*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d) + (a*Log[Sin[c + d*x]])/d + (7*a*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) + a^3/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (3*a^2)/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a^2/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*Csc[c + d*x])/d) - (a*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (39*a*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d) + (3*a*Log[Sin[c + d*x]])/d - (9*a*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) + a^3/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + a^2/(d*(a - a*Sin[c + d*x])) + a^2/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((3*a*Csc[c + d*x])/d) - (a*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (59*a*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d) + (3*a*Log[Sin[c + d*x]])/d + (11*a*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) + a^3/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (5*a^2)/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a^2/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -((31*a^2*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(8*d)) - (a^2*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(8*d) - (2*a^2*Sin[c + d*x])/d - (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + a^4/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - (9*a^3)/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((17*a^2*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(8*d)) + (a^2*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(8*d) - (a^2*Sin[c + d*x])/d + a^4/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - (7*a^3)/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((7*a^2*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(8*d)) - (a^2*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(8*d) + a^4/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - (5*a^3)/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 5, (a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) + a^4/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - (3*a^3)/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 5, -((a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d)) + a^4/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - a^3/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((7*a^2*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(8*d)) + (a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(8*d) + a^4/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (3*a^3)/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((a^2*Csc[c + d*x])/d) - (17*a^2*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(8*d) + (2*a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(8*d) + a^4/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (5*a^3)/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((2*a^2*Csc[c + d*x])/d) - (a^2*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (31*a^2*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(8*d) + (4*a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(8*d) + a^4/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (7*a^3)/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((4*a^2*Csc[c + d*x])/d) - (a^2*Csc[c + d*x]^2)/d - (a^2*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (49*a^2*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(8*d) + (6*a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(8*d) + a^4/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (9*a^3)/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, -((10*a^3*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d) - (6*a^3*Sin[c + d*x])/d - (3*a^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + a^5/(2*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - (5*a^4)/(d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((6*a^3*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d) - (3*a^3*Sin[c + d*x])/d - (a^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + a^5/(2*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - (4*a^4)/(d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((3*a^3*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d) - (a^3*Sin[c + d*x])/d + a^5/(2*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - (3*a^4)/(d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((a^3*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d) + a^5/(2*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - (2*a^4)/(d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (a^5*Sin[c + d*x]^2)/(2*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((a^3*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d) + (a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d + a^5/(2*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + a^4/(d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((a^3*Csc[c + d*x])/d) - (3*a^3*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d + (3*a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d + a^5/(2*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (2*a^4)/(d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -((3*a^3*Csc[c + d*x])/d) - (a^3*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (6*a^3*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d + (6*a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d + a^5/(2*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (3*a^4)/(d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m<0*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^5 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^6 (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^7 (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^7 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^11/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (515*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(256*a*d) - (1795*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(256*a*d) + (5*Sin[c + d*x])/(a*d) - Sin[c + d*x]^2/(2*a*d) + Sin[c + d*x]^3/(3*a*d) + a^2/(96*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) - (17*a)/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + 125/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])) + a^3/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - (3*a^2)/(16*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + (71*a)/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 5/(d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^10/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (325*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(256*a*d) + (955*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(256*a*d) - Sin[c + d*x]/(a*d) + Sin[c + d*x]^2/(2*a*d) + a^2/(96*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) - (15*a)/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + 95/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a^3/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) + a^2/(6*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (55*a)/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 105/(32*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^9/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (187*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(256*a*d) - (443*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(256*a*d) + Sin[c + d*x]/(a*d) + a^2/(96*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) - (13*a)/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + 69/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])) + a^3/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - (7*a^2)/(48*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + (41*a)/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 2/(d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^8/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (93*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(256*a*d) + (163*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(256*a*d) + a^2/(96*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) - (11*a)/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + 47/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a^3/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) + a^2/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (29*a)/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 35/(32*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, -((35*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*a*d)) + (35*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(128*a*d) - (35*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(192*a*d) + (7*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^5)/(48*a*d) - (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^7)/(8*a*d) + Tan[c + d*x]^8/(8*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, -((5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*a*d)) - (5*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(128*a*d) + (5*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(64*a*d) - (5*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^3)/(48*a*d) + (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^5)/(8*a*d) - Tan[c + d*x]^8/(8*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*a*d) + (5*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(128*a*d) - (5*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(64*a*d) + (5*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^3)/(48*a*d) - (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^5)/(8*a*d) + Tan[c + d*x]^6/(6*a*d) + Tan[c + d*x]^8/(8*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*a*d) + (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(128*a*d) + (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(64*a*d) - (Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(16*a*d) + (Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x]^3)/(8*a*d) - Tan[c + d*x]^6/(6*a*d) - Tan[c + d*x]^8/(8*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, -((3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*a*d)) - Sec[c + d*x]^6/(6*a*d) + Sec[c + d*x]^8/(8*a*d) - (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(128*a*d) - (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(64*a*d) + (Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(16*a*d) - (Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x]^3)/(8*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, -((5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*a*d)) + Sec[c + d*x]^6/(6*a*d) - Sec[c + d*x]^8/(8*a*d) - (5*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(128*a*d) - (5*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(192*a*d) - (Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(48*a*d) + (Sec[c + d*x]^7*Tan[c + d*x])/(8*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 8, (5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*a*d) + Sec[c + d*x]^8/(8*a*d) + (5*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(128*a*d) + (5*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(192*a*d) + (Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(48*a*d) - (Sec[c + d*x]^7*Tan[c + d*x])/(8*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^0/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (35*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*a*d) + a^2/(96*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (5*a)/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + 15/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a^3/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - a^2/(24*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (5*a)/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 5/(32*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((93*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(256*a*d)) + Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - (163*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(256*a*d) + a^2/(96*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (7*a)/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + 29/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])) + a^3/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) + a^2/(16*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + (11*a)/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 1/(2*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a*d)) - (187*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(256*a*d) - Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) + (443*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(256*a*d) + a^2/(96*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (9*a)/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + 47/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a^3/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - a^2/(12*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (19*a)/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 35/(32*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Csc[c + d*x]/(a*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a*d) - (325*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(256*a*d) + (5*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d) - (955*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(256*a*d) + a^2/(96*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (11*a)/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + 69/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])) + a^3/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) + (5*a^2)/(48*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + (29*a)/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 2/(d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^7*Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((5*Csc[c + d*x])/(a*d)) + Csc[c + d*x]^2/(2*a*d) - Csc[c + d*x]^3/(3*a*d) - (515*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(256*a*d) - (5*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d) + (1795*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(256*a*d) + a^2/(96*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (13*a)/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + 95/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a^3/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - a^2/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (41*a)/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 105/(32*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^3 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^8 (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^8 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^8*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 11, (a^2*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^2*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (2*a^2*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) + (2*a^2*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (2*a^2*Tan[c + d*x]^7)/(7*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m<0*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^9 (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^9 Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^9*Sin[c + d*x]^12/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((843*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(512*a*d)) - (2229*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(512*a*d) + Sin[c + d*x]/(a*d) - Sin[c + d*x]^2/(2*a*d) + a^3/(256*d*(a - a*Sin[c + d*x])^4) - (3*a^2)/(64*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (141*a)/(512*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - 39/(32*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a^4/(160*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) + (19*a^3)/(256*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - (53*a^2)/(128*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + (765*a)/(512*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 1155/(256*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^9*Sin[c + d*x]^11/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((437*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(512*a*d)) + (949*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(512*a*d) - Sin[c + d*x]/(a*d) + a^3/(256*d*(a - a*Sin[c + d*x])^4) - a^2/(24*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (109*a)/(512*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - 203/(256*d*(a - a*Sin[c + d*x])) + a^4/(160*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) - (17*a^3)/(256*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) + (125*a^2)/(384*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (515*a)/(512*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 5/(2*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^9*Sin[c + d*x]^10/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((193*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(512*a*d)) - (319*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(512*a*d) + a^3/(256*d*(a - a*Sin[c + d*x])^4) - (7*a^2)/(192*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (81*a)/(512*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - 61/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a^4/(160*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) + (15*a^3)/(256*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - (95*a^2)/(384*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + (325*a)/(512*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 315/(256*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^9*Sin[c + d*x]^9/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (63*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(256*a*d) - (63*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(256*a*d) + (21*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(128*a*d) - (21*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^5)/(160*a*d) + (9*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^7)/(80*a*d) - (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^9)/(10*a*d) + Tan[c + d*x]^10/(10*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^9*Sin[c + d*x]^8/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (7*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(256*a*d) + (7*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(256*a*d) - (7*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(128*a*d) + (7*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^3)/(96*a*d) - (7*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^5)/(80*a*d) + (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^7)/(10*a*d) - Tan[c + d*x]^10/(10*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^9*Sin[c + d*x]^7/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 10, -((7*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(256*a*d)) - (7*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(256*a*d) + (7*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(128*a*d) - (7*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^3)/(96*a*d) + (7*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^5)/(80*a*d) - (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^7)/(10*a*d) + Tan[c + d*x]^8/(8*a*d) + Tan[c + d*x]^10/(10*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^9*Sin[c + d*x]^6/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 10, -((3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(256*a*d)) - (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(256*a*d) - (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(128*a*d) + (Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(32*a*d) - (Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x]^3)/(16*a*d) + (Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x]^5)/(10*a*d) - Tan[c + d*x]^8/(8*a*d) - Tan[c + d*x]^10/(10*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^9*Sin[c + d*x]^5/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 11, (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(256*a*d) + Sec[c + d*x]^6/(6*a*d) - Sec[c + d*x]^8/(4*a*d) + Sec[c + d*x]^10/(10*a*d) + (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(256*a*d) + (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(128*a*d) - (Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(32*a*d) + (Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x]^3)/(16*a*d) - (Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x]^5)/(10*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^9*Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 11, (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(256*a*d) - Sec[c + d*x]^6/(6*a*d) + Sec[c + d*x]^8/(4*a*d) - Sec[c + d*x]^10/(10*a*d) + (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(256*a*d) + (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(128*a*d) + (Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(160*a*d) - (3*Sec[c + d*x]^7*Tan[c + d*x])/(80*a*d) + (Sec[c + d*x]^7*Tan[c + d*x]^3)/(10*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^9*Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 10, -((3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(256*a*d)) - Sec[c + d*x]^8/(8*a*d) + Sec[c + d*x]^10/(10*a*d) - (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(256*a*d) - (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(128*a*d) - (Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(160*a*d) + (3*Sec[c + d*x]^7*Tan[c + d*x])/(80*a*d) - (Sec[c + d*x]^7*Tan[c + d*x]^3)/(10*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^9*Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 10, -((7*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(256*a*d)) + Sec[c + d*x]^8/(8*a*d) - Sec[c + d*x]^10/(10*a*d) - (7*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(256*a*d) - (7*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(384*a*d) - (7*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(480*a*d) - (Sec[c + d*x]^7*Tan[c + d*x])/(80*a*d) + (Sec[c + d*x]^9*Tan[c + d*x])/(10*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^9*Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 9, (7*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(256*a*d) + Sec[c + d*x]^10/(10*a*d) + (7*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(256*a*d) + (7*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(384*a*d) + (7*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(480*a*d) + (Sec[c + d*x]^7*Tan[c + d*x])/(80*a*d) - (Sec[c + d*x]^9*Tan[c + d*x])/(10*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^9*Sin[c + d*x]^0/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (63*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(256*a*d) + a^3/(256*d*(a - a*Sin[c + d*x])^4) + a^2/(64*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (21*a)/(512*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + 7/(64*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a^4/(160*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) - (5*a^3)/(256*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - (5*a^2)/(128*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (35*a)/(512*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 35/(256*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^9*Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -((193*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(512*a*d)) + Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - (319*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(512*a*d) + a^3/(256*d*(a - a*Sin[c + d*x])^4) + a^2/(48*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (37*a)/(512*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + 65/(256*d*(a - a*Sin[c + d*x])) + a^4/(160*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) + (7*a^3)/(256*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) + (29*a^2)/(384*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + (93*a)/(512*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 1/(2*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^9*Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a*d)) - (437*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(512*a*d) - Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) + (949*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(512*a*d) + a^3/(256*d*(a - a*Sin[c + d*x])^4) + (5*a^2)/(192*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (57*a)/(512*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + 61/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - a^4/(160*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) - (9*a^3)/(256*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - (47*a^2)/(384*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (187*a)/(512*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - 315/(256*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^9*Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, Csc[c + d*x]/(a*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a*d) - (843*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(512*a*d) + (6*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d) - (2229*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(512*a*d) + a^3/(256*d*(a - a*Sin[c + d*x])^4) + a^2/(32*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (81*a)/(512*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + 203/(256*d*(a - a*Sin[c + d*x])) + a^4/(160*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) + (11*a^3)/(256*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) + (23*a^2)/(128*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) + (325*a)/(512*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + 5/(2*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (d Sin[e+f x])^n (a+a Sin[e+f x])^m with m, n and p symbolic*)
+
+
+{(g*Sec[e + f*x])^p*(d*Sin[e + f*x])^n*(a + a*Sin[e + f*x])^m, x, 5, (AppellF1[1 + n, (1 + p)/2, (1/2)*(1 - 2*m + p), 2 + n, Sin[e + f*x], -Sin[e + f*x]]*Sec[e + f*x]*(g*Sec[e + f*x])^p*(1 - Sin[e + f*x])^((1 + p)/2)*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n)*(1 + Sin[e + f*x])^((1/2)*(1 - 2*m + p))*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(d*f*(1 + n))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^1 (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x] (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n with m and/or n symbolic*)
+
+
+{Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, (Hypergeometric2F1[1 + m, -n, 2 + m, -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c - d))^n*(a*f*(1 + m)))}
+
+
+{Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^4*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, (a^4*(c - d)^4*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d^5*f*(1 + n)) - (4*a^4*(c - d)^3*(c + d*Sin[e + f*x])^(2 + n))/(d^5*f*(2 + n)) + (6*a^4*(c - d)^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(3 + n))/(d^5*f*(3 + n)) - (4*a^4*(c - d)*(c + d*Sin[e + f*x])^(4 + n))/(d^5*f*(4 + n)) + (a^4*(c + d*Sin[e + f*x])^(5 + n))/(d^5*f*(5 + n))}
+{Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((a^3*(c - d)^3*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d^4*f*(1 + n))) + (3*a^3*(c - d)^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(2 + n))/(d^4*f*(2 + n)) - (3*a^3*(c - d)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3 + n))/(d^4*f*(3 + n)) + (a^3*(c + d*Sin[e + f*x])^(4 + n))/(d^4*f*(4 + n))}
+{Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, (a^2*(c - d)^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d^3*f*(1 + n)) - (2*a^2*(c - d)*(c + d*Sin[e + f*x])^(2 + n))/(d^3*f*(2 + n)) + (a^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(3 + n))/(d^3*f*(3 + n))}
+{Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((a*(c - d)*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d^2*f*(1 + n))) + (a*(c + d*Sin[e + f*x])^(2 + n))/(d^2*f*(2 + n))}
+{Cos[e + f*x]/(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 2, -((Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(a*(c - d)*f*(1 + n)))}
+{Cos[e + f*x]/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 2, (d*Hypergeometric2F1[2, 1 + n, 2 + n, (c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(a^2*(c - d)^2*f*(1 + n))}
+{Cos[e + f*x]/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 2, -((d^2*Hypergeometric2F1[3, 1 + n, 2 + n, (c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(a^3*(c - d)^3*f*(1 + n)))}
+
+
+{Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^4, x, 3, ((c - d)^4*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(1 + m)) + (4*(c - d)^3*d*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(a^2*f*(2 + m)) + (6*(c - d)^2*d^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3 + m))/(a^3*f*(3 + m)) + (4*(c - d)*d^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(4 + m))/(a^4*f*(4 + m)) + (d^4*(a + a*Sin[e + f*x])^(5 + m))/(a^5*f*(5 + m))}
+{Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 3, ((c - d)^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(1 + m)) + (3*(c - d)^2*d*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(a^2*f*(2 + m)) + (3*(c - d)*d^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3 + m))/(a^3*f*(3 + m)) + (d^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(4 + m))/(a^4*f*(4 + m))}
+{Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 3, ((c - d)^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(1 + m)) + (2*(c - d)*d*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(a^2*f*(2 + m)) + (d^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3 + m))/(a^3*f*(3 + m))}
+{Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 3, ((c - d)*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(1 + m)) + (d*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(a^2*f*(2 + m))}
+{Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 2, (Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*(c - d)*f*(1 + m))}
+{Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 2, (Hypergeometric2F1[2, 1 + m, 2 + m, -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*(c - d)^2*f*(1 + m))}
+{Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 2, (Hypergeometric2F1[3, 1 + m, 2 + m, -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*(c - d)^3*f*(1 + m))}
+
+
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^n*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, -((Hypergeometric2F1[1, 2 + n + m, 2 + m, 1 + Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + a*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(a*d*(1 + m))), (Hypergeometric2F1[1 + n, -m, 2 + n, -Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + a*Sin[c + d*x])^m)/((1 + Sin[c + d*x])^m*(d*(1 + n)))}
+
+
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 4, (a + a*Sin[c + d*x])^(1 + m)/(a*d*(1 + m)) - (4*(a + a*Sin[c + d*x])^(2 + m))/(a^2*d*(2 + m)) + (6*(a + a*Sin[c + d*x])^(3 + m))/(a^3*d*(3 + m)) - (4*(a + a*Sin[c + d*x])^(4 + m))/(a^4*d*(4 + m)) + (a + a*Sin[c + d*x])^(5 + m)/(a^5*d*(5 + m))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 4, -((a + a*Sin[c + d*x])^(1 + m)/(a*d*(1 + m))) + (3*(a + a*Sin[c + d*x])^(2 + m))/(a^2*d*(2 + m)) - (3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3 + m))/(a^3*d*(3 + m)) + (a + a*Sin[c + d*x])^(4 + m)/(a^4*d*(4 + m))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 4, (a + a*Sin[c + d*x])^(1 + m)/(a*d*(1 + m)) - (2*(a + a*Sin[c + d*x])^(2 + m))/(a^2*d*(2 + m)) + (a + a*Sin[c + d*x])^(3 + m)/(a^3*d*(3 + m))}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 4, -((a + a*Sin[c + d*x])^(1 + m)/(a*d*(1 + m))) + (a + a*Sin[c + d*x])^(2 + m)/(a^2*d*(2 + m))}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 2, -((Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, 1 + Sin[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(a*d*(1 + m)))}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, (Hypergeometric2F1[2, 1 + m, 2 + m, 1 + Sin[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(a*d*(1 + m))}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^m, x, 3, -((Hypergeometric2F1[3, 1 + m, 2 + m, 1 + Sin[c + d*x]]*(a + a*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(a*d*(1 + m)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x]), x, 4, (1/8)*a*(4*c + d)*x - (a*(c + d)*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) + (a*(4*c + d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - (a*d*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*f), (1/8)*a*(4*c + d)*x - (a*(4*c + d)*Cos[e + f*x]^3)/(12*f) + (a*(4*c + d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - (d*Cos[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x]))/(4*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 (a+a Sin[e+f x])^(m/2) (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^2/((a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])), x, 6, -((2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(a^(3/2)*(c - d)*f)) + (2*Sqrt[c + d]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(a^(3/2)*(c - d)*Sqrt[d]*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 (a+a Sin[e+f x])^(m/2) (c+d Sin[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^2/((a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x, 6, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(a^(3/2)*Sqrt[d]*f) - (2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(a^(3/2)*Sqrt[c - d]*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n with m and/or n symbolic*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 4, (2*Sqrt[2]*AppellF1[3/2 + m, -(1/2), -n, 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c - d))^n*(a*f*(3 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]))}
+
+
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((16*Sqrt[2]*a^3*AppellF1[3/2, -(7/2), -n, 5/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(3*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((8*Sqrt[2]*a^2*AppellF1[3/2, -(5/2), -n, 5/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(3*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((4*Sqrt[2]*a*AppellF1[3/2, -(3/2), -n, 5/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(3*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{Cos[e + f*x]^2/(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 4, -((Sqrt[2]*AppellF1[3/2, 1/2, -n, 5/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(3*a*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{Cos[e + f*x]^2/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((AppellF1[3/2, 3/2, -n, 5/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(3*Sqrt[2]*a^2*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{Cos[e + f*x]^2/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((AppellF1[3/2, 5/2, -n, 5/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(6*Sqrt[2]*a^3*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^4 (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^4 (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n with m and/or n symbolic*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^4*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 4, (4*Sqrt[2]*AppellF1[5/2 + m, -(3/2), -n, 7/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c - d))^n*(a^2*f*(5 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]))}
+
+
+{Cos[e + f*x]^4*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((16*Sqrt[2]*a^2*AppellF1[5/2, -(7/2), -n, 7/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(5*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{Cos[e + f*x]^4*(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((8*Sqrt[2]*a*AppellF1[5/2, -(5/2), -n, 7/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]^3*(1 - Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(5*f*(1 + Sin[e + f*x])^(3/2))))}
+{Cos[e + f*x]^4/(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((2*Sqrt[2]*AppellF1[5/2, -(1/2), -n, 7/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(5*a*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{Cos[e + f*x]^4/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 4, -((Sqrt[2]*AppellF1[5/2, 1/2, -n, 7/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(5*a^2*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{Cos[e + f*x]^4/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((AppellF1[5/2, 3/2, -n, 7/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(5*Sqrt[2]*a^3*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{Cos[e + f*x]^4/(a + a*Sin[e + f*x])^4*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((AppellF1[5/2, 5/2, -n, 7/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(10*Sqrt[2]*a^4*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{Cos[e + f*x]^4/(a + a*Sin[e + f*x])^5*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((AppellF1[5/2, 7/2, -n, 7/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(20*Sqrt[2]*a^5*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e Cos[e+f x])^m (a+a Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, (8*(A - B)*(a + a*Sin[c + d*x])^5)/(5*a^4*d) - (2*(3*A - 5*B)*(a + a*Sin[c + d*x])^6)/(3*a^5*d) + (6*(A - 3*B)*(a + a*Sin[c + d*x])^7)/(7*a^6*d) - ((A - 7*B)*(a + a*Sin[c + d*x])^8)/(8*a^7*d) - (B*(a + a*Sin[c + d*x])^9)/(9*a^8*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, ((A - B)*(a + a*Sin[c + d*x])^4)/(a^3*d) - (4*(A - 2*B)*(a + a*Sin[c + d*x])^5)/(5*a^4*d) + ((A - 5*B)*(a + a*Sin[c + d*x])^6)/(6*a^5*d) + (B*(a + a*Sin[c + d*x])^7)/(7*a^6*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, (2*(A - B)*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(3*a^2*d) - ((A - 3*B)*(a + a*Sin[c + d*x])^4)/(4*a^3*d) - (B*(a + a*Sin[c + d*x])^5)/(5*a^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, (a*A*Sin[c + d*x])/d + (a*(A + B)*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*B*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, -((a*(A + B)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d) - (a*B*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*(A - B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a^2*(A + B))/(2*d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*(3*A - B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*(A + B))/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (a^2*A)/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - (a^2*(A - B))/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*(5*A - B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (a^4*(A + B))/(24*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (a^3*(3*A + B))/(32*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (3*a^2*A)/(16*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - (a^3*(A - B))/(32*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - (a^2*(2*A - B))/(16*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+
+{Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 6, (5/128)*a*(8*A + B)*x - (a*(8*A + B)*Cos[c + d*x]^7)/(56*d) + (5*a*(8*A + B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (5*a*(8*A + B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*d) + (a*(8*A + B)*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*d) - (B*Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x]))/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 5, (1/16)*a*(6*A + B)*x - (a*(6*A + B)*Cos[c + d*x]^5)/(30*d) + (a*(6*A + B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a*(6*A + B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) - (B*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x]))/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, (1/8)*a*(4*A + B)*x - (a*(4*A + B)*Cos[c + d*x]^3)/(12*d) + (a*(4*A + B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (B*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]))/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 2, (-a)*B*x + ((A + B)*Sec[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x]))/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, ((A + B)*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x]))/(3*d) + (a*(2*A - B)*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, ((A + B)*Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x]))/(5*d) + (a*(4*A - B)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a*(4*A - B)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^8*(a + a*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, ((A + B)*Sec[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x]))/(7*d) + (a*(6*A - B)*Tan[c + d*x])/(7*d) + (2*a*(6*A - B)*Tan[c + d*x]^3)/(21*d) + (a*(6*A - B)*Tan[c + d*x]^5)/(35*d)}
+{Sec[c + d*x]^10*(a + a*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, ((A + B)*Sec[c + d*x]^9*(a + a*Sin[c + d*x]))/(9*d) + (a*(8*A - B)*Tan[c + d*x])/(9*d) + (a*(8*A - B)*Tan[c + d*x]^3)/(9*d) + (a*(8*A - B)*Tan[c + d*x]^5)/(15*d) + (a*(8*A - B)*Tan[c + d*x]^7)/(63*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, (4*(A - B)*(a + a*Sin[c + d*x])^6)/(3*a^4*d) - (4*(3*A - 5*B)*(a + a*Sin[c + d*x])^7)/(7*a^5*d) + (3*(A - 3*B)*(a + a*Sin[c + d*x])^8)/(4*a^6*d) - ((A - 7*B)*(a + a*Sin[c + d*x])^9)/(9*a^7*d) - (B*(a + a*Sin[c + d*x])^10)/(10*a^8*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, (4*(A - B)*(a + a*Sin[c + d*x])^5)/(5*a^3*d) - (2*(A - 2*B)*(a + a*Sin[c + d*x])^6)/(3*a^4*d) + ((A - 5*B)*(a + a*Sin[c + d*x])^7)/(7*a^5*d) + (B*(a + a*Sin[c + d*x])^8)/(8*a^6*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, ((A - B)*(a + a*Sin[c + d*x])^4)/(2*a^2*d) - ((A - 3*B)*(a + a*Sin[c + d*x])^5)/(5*a^3*d) - (B*(a + a*Sin[c + d*x])^6)/(6*a^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, ((A - B)*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(3*a*d) + (B*(a + a*Sin[c + d*x])^4)/(4*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, (-2*a^2*(A + B)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d - (a^2*(A + B)*Sin[c + d*x])/d - (B*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, (a^2*B*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d + (a^3*(A + B))/(d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, (a^2*(A - B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) + (a^4*(A + B))/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (a^3*(A - B))/(4*d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, (a^2*(2*A - B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^5*(A + B))/(12*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (a^4*A)/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (a^3*(3*A - B))/(16*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - (a^3*(A - B))/(16*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+
+{Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 7, (5/128)*a^2*(9*A + 2*B)*x - (a^2*(9*A + 2*B)*Cos[c + d*x]^7)/(56*d) + (5*a^2*(9*A + 2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (5*a^2*(9*A + 2*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*d) + (a^2*(9*A + 2*B)*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*d) - (B*Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(9*d) - ((9*A + 2*B)*Cos[c + d*x]^7*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))/(72*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 6, (1/16)*a^2*(7*A + 2*B)*x - (a^2*(7*A + 2*B)*Cos[c + d*x]^5)/(30*d) + (a^2*(7*A + 2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^2*(7*A + 2*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) - (B*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(7*d) - ((7*A + 2*B)*Cos[c + d*x]^5*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))/(42*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 5, (1/8)*a^2*(5*A + 2*B)*x - (a^2*(5*A + 2*B)*Cos[c + d*x]^3)/(12*d) + (a^2*(5*A + 2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (B*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(5*d) - ((5*A + 2*B)*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))/(20*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, (-a^2)*(A + 2*B)*x + (a^2*(A + 2*B)*Cos[c + d*x])/d + ((A + B)*Sec[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, (a^2*(A - 2*B)*Sec[c + d*x])/(3*d) + ((A + B)*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(3*d) + (a^2*(A - 2*B)*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, (a^2*(3*A - 2*B)*Sec[c + d*x]^3)/(15*d) + ((A + B)*Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(5*d) + (a^2*(3*A - 2*B)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a^2*(3*A - 2*B)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^8*(a + a*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, (a^2*(5*A - 2*B)*Sec[c + d*x]^5)/(35*d) + ((A + B)*Sec[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(7*d) + (a^2*(5*A - 2*B)*Tan[c + d*x])/(7*d) + (2*a^2*(5*A - 2*B)*Tan[c + d*x]^3)/(21*d) + (a^2*(5*A - 2*B)*Tan[c + d*x]^5)/(35*d)}
+{Sec[c + d*x]^10*(a + a*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, (a^2*(7*A - 2*B)*Sec[c + d*x]^7)/(63*d) + ((A + B)*Sec[c + d*x]^9*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(9*d) + (a^2*(7*A - 2*B)*Tan[c + d*x])/(9*d) + (a^2*(7*A - 2*B)*Tan[c + d*x]^3)/(9*d) + (a^2*(7*A - 2*B)*Tan[c + d*x]^5)/(15*d) + (a^2*(7*A - 2*B)*Tan[c + d*x]^7)/(63*d)}
+{Sec[c + d*x]^12*(a + a*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, (a^2*(9*A - 2*B)*Sec[c + d*x]^9)/(99*d) + ((A + B)*Sec[c + d*x]^11*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(11*d) + (a^2*(9*A - 2*B)*Tan[c + d*x])/(11*d) + (4*a^2*(9*A - 2*B)*Tan[c + d*x]^3)/(33*d) + (6*a^2*(9*A - 2*B)*Tan[c + d*x]^5)/(55*d) + (4*a^2*(9*A - 2*B)*Tan[c + d*x]^7)/(77*d) + (a^2*(9*A - 2*B)*Tan[c + d*x]^9)/(99*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, (8*(A - B)*(a + a*Sin[c + d*x])^7)/(7*a^4*d) - ((3*A - 5*B)*(a + a*Sin[c + d*x])^8)/(2*a^5*d) + (2*(A - 3*B)*(a + a*Sin[c + d*x])^9)/(3*a^6*d) - ((A - 7*B)*(a + a*Sin[c + d*x])^10)/(10*a^7*d) - (B*(a + a*Sin[c + d*x])^11)/(11*a^8*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, (2*(A - B)*(a + a*Sin[c + d*x])^6)/(3*a^3*d) - (4*(A - 2*B)*(a + a*Sin[c + d*x])^7)/(7*a^4*d) + ((A - 5*B)*(a + a*Sin[c + d*x])^8)/(8*a^5*d) + (B*(a + a*Sin[c + d*x])^9)/(9*a^6*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, (2*(A - B)*(a + a*Sin[c + d*x])^5)/(5*a^2*d) - ((A - 3*B)*(a + a*Sin[c + d*x])^6)/(6*a^3*d) - (B*(a + a*Sin[c + d*x])^7)/(7*a^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, ((A - B)*(a + a*Sin[c + d*x])^4)/(4*a*d) + (B*(a + a*Sin[c + d*x])^5)/(5*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, -((4*a^3*(A + B)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d) - (3*a^3*(A + B)*Sin[c + d*x])/d - (a^3*(A + B)*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (B*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, (a^3*(A + 3*B)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/d + (a^3*B*Sin[c + d*x])/d + (2*a^4*(A + B))/(d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 2, (a^3*(a*A + a*B*Sin[c + d*x])^2)/(2*(A + B)*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, (a^3*(A - B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^6*(A + B))/(6*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (a^5*(A - B))/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (a^4*(A - B))/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^9*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, (a^3*(5*A - 3*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(32*d) + (a^7*(A + B))/(16*d*(a - a*Sin[c + d*x])^4) + (a^6*A)/(12*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (a^5*(3*A - B))/(32*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (a^4*(2*A - B))/(16*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - (a^4*(A - B))/(32*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+
+{Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 8, (11/256)*a^3*(10*A + 3*B)*x - (11*a^3*(10*A + 3*B)*Cos[c + d*x]^7)/(560*d) + (11*a^3*(10*A + 3*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(256*d) + (11*a^3*(10*A + 3*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(384*d) + (11*a^3*(10*A + 3*B)*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(480*d) - (a*(10*A + 3*B)*Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(90*d) - (B*Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(10*d) - (11*(10*A + 3*B)*Cos[c + d*x]^7*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))/(720*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 7, (9/128)*a^3*(8*A + 3*B)*x - (3*a^3*(8*A + 3*B)*Cos[c + d*x]^5)/(80*d) + (9*a^3*(8*A + 3*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (3*a^3*(8*A + 3*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*d) - (a*(8*A + 3*B)*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(56*d) - (B*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(8*d) - (3*(8*A + 3*B)*Cos[c + d*x]^5*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))/(112*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 6, (7/16)*a^3*(2*A + B)*x - (7*a^3*(2*A + B)*Cos[c + d*x]^3)/(24*d) + (7*a^3*(2*A + B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) - (a*(2*A + B)*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^2)/(10*d) - (B*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(6*d) - (7*(2*A + B)*Cos[c + d*x]^3*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))/(40*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 2, (-(3/2))*a^3*(2*A + 3*B)*x + (2*a^3*(2*A + 3*B)*Cos[c + d*x])/d + (a^3*(2*A + 3*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + ((A + B)*Sec[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, a^3*B*x + ((A + B)*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(3*d) - (2*a^5*B*Cos[c + d*x])/(d*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, (a^5*(2*A - 3*B)*Cos[c + d*x])/(15*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + ((A + B)*Sec[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(5*d) + (a^5*(2*A - 3*B)*Cos[c + d*x])/(15*d*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^8*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, ((A + B)*Sec[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(7*d) + (2*(4*A - 3*B)*Sec[c + d*x]^5*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))/(35*d) + (3*a^3*(4*A - 3*B)*Tan[c + d*x])/(35*d) + (a^3*(4*A - 3*B)*Tan[c + d*x]^3)/(35*d)}
+{Sec[c + d*x]^10*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, ((A + B)*Sec[c + d*x]^9*(a + a*Sin[c + d*x])^3)/(9*d) + (2*(2*A - B)*Sec[c + d*x]^7*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))/(21*d) + (5*a^3*(2*A - B)*Tan[c + d*x])/(21*d) + (10*a^3*(2*A - B)*Tan[c + d*x]^3)/(63*d) + (a^3*(2*A - B)*Tan[c + d*x]^5)/(21*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^7*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, -(((A + B)*(a - a*Sin[c + d*x])^4)/(a^5*d)) + (4*(A + 2*B)*(a - a*Sin[c + d*x])^5)/(5*a^6*d) - ((A + 5*B)*(a - a*Sin[c + d*x])^6)/(6*a^7*d) + (B*(a - a*Sin[c + d*x])^7)/(7*a^8*d)}
+{(Cos[c + d*x]^5*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, (-2*(A + B)*(a - a*Sin[c + d*x])^3)/(3*a^4*d) + ((A + 3*B)*(a - a*Sin[c + d*x])^4)/(4*a^5*d) - (B*(a - a*Sin[c + d*x])^5)/(5*a^6*d)}
+{(Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, (A*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x]^2)/(2*a*d) - (B*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{(Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 3, ((A - B)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a*d) + (B*Sin[c + d*x])/(a*d)}
+{(Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, ((A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d) - (A - B)/(2*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, ((3*A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*a*d) + (A + B)/(8*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - (a*(A - B))/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - A/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^5*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, ((5*A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*a*d) + (a*(A + B))/(32*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (2*A + B)/(16*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - (a^2*(A - B))/(24*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (a*(3*A - B))/(32*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - (3*A)/(16*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^7*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + a*Sin[c + d*x]), x, 4, (5*(7*A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*a*d) + (a^2*(A + B))/(96*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (a*(5*A + 3*B))/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) + (5*(3*A + B))/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])) - (a^3*(A - B))/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - (a^2*(2*A - B))/(48*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (a*(5*A - B))/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - (5*A)/(32*d*(a + a*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^7*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -((A + B)*(a - a*Sin[c + d*x])^4)/(2*a^6*d) + ((A + 3*B)*(a - a*Sin[c + d*x])^5)/(5*a^7*d) - (B*(a - a*Sin[c + d*x])^6)/(6*a^8*d)}
+{(Cos[c + d*x]^5*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -((A + B)*(a - a*Sin[c + d*x])^3)/(3*a^5*d) + (B*(a - a*Sin[c + d*x])^4)/(4*a^6*d)}
+{(Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (2*(A - B)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - (B*(a - a*Sin[c + d*x])^2)/(2*a^4*d)}
+{(Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (B*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - (A - B)/(d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, ((A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*a^2*d) - (A - B)/(4*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) - (A + B)/(4*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, ((2*A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*a^2*d) - (a*(A - B))/(12*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - A/(8*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + (A + B)/(16*d*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x])) - (3*A + B)/(16*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^5*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (5*(3*A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(64*a^2*d) + (A + B)/(64*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - (a^2*(A - B))/(32*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - (a*(3*A - B))/(48*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (3*A)/(32*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + (5*A + 3*B)/(64*d*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x])) - (5*A + B)/(32*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^7*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (7*(4*A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*a^2*d) + (a*(A + B))/(192*d*(a - a*Sin[c + d*x])^3) + (3*A + 2*B)/(128*d*(a - a*Sin[c + d*x])^2) - (a^3*(A - B))/(80*d*(a + a*Sin[c + d*x])^5) - (a^2*(2*A - B))/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4) - (a*(5*A - B))/(96*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3) - (5*A)/(64*d*(a + a*Sin[c + d*x])^2) + (3*(7*A + 3*B))/(256*d*(a^2 - a^2*Sin[c + d*x])) - (5*(7*A + B))/(256*d*(a^2 + a^2*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (e Cos[e+f x])^m (a+a Sin[e+f x])^(n/2) (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (e Cos[e+f x])^(m/2) (a+a Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (e Cos[e+f x])^(m/2) (a+a Sin[e+f x])^(n/2) (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e Cos[e+f x])^m (a+a Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x]) with n symbolic*)
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^p*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 4, -((2^((1/2)*(1 + 2*m + p))*a*(B*m + A*(1 + m + p))*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 - 2*m - p), (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^((1/2)*(1 - 2*m - p))*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m))/(f*g*(1 + p)*(1 + m + p))) - (B*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*g*(1 + m + p))}
+
+{Cos[e + f*x]^7*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 3, (8*(A - B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(4 + m))/(a^4*f*(4 + m)) - (4*(3*A - 5*B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5 + m))/(a^5*f*(5 + m)) + (6*(A - 3*B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(6 + m))/(a^6*f*(6 + m)) - ((A - 7*B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(7 + m))/(a^7*f*(7 + m)) - (B*(a + a*Sin[e + f*x])^(8 + m))/(a^8*f*(8 + m))}
+{Cos[e + f*x]^5*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 3, (4*(A - B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3 + m))/(a^3*f*(3 + m)) - (4*(A - 2*B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(4 + m))/(a^4*f*(4 + m)) + ((A - 5*B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(5 + m))/(a^5*f*(5 + m)) + (B*(a + a*Sin[e + f*x])^(6 + m))/(a^6*f*(6 + m))}
+{Cos[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 3, (2*(A - B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(a^2*f*(2 + m)) - ((A - 3*B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3 + m))/(a^3*f*(3 + m)) - (B*(a + a*Sin[e + f*x])^(4 + m))/(a^4*f*(4 + m))}
+{Cos[e + f*x]^1*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 3, ((A - B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(1 + m)) + (B*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(a^2*f*(2 + m))}
+{Sec[e + f*x]^1*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 3, ((A - B)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(2*f*m) + ((A + B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(4*a*f*(1 + m))}
+{Sec[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 3, -((a*(A*(2 - m) - B*m)*Hypergeometric2F1[1, -1 + m, m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m))/(4*f*(1 - m))) + (a^2*(A + B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m))/(2*f*(a - a*Sin[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]^5*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 3, -((a^2*(A*(4 - m) - B*m)*Hypergeometric2F1[2, -2 + m, -1 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^(-2 + m))/(16*f*(2 - m))) + (a^4*(A + B)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-2 + m))/(4*f*(a - a*Sin[e + f*x])^2)}
+
+{Cos[e + f*x]^6*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 4, -((2^(7/2 + m)*a^3*(B*m + A*(7 + m))*Cos[e + f*x]^7*Hypergeometric2F1[7/2, -(5/2) - m, 9/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-3 + m))/(7*f*(7 + m))) - (B*Cos[e + f*x]^7*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(7 + m))}
+{Cos[e + f*x]^4*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 4, -((2^(5/2 + m)*a^2*(B*m + A*(5 + m))*Cos[e + f*x]^5*Hypergeometric2F1[5/2, -(3/2) - m, 7/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-2 + m))/(5*f*(5 + m))) - (B*Cos[e + f*x]^5*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(5 + m))}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 4, -((2^(3/2 + m)*a*(B*m + A*(3 + m))*Cos[e + f*x]^3*Hypergeometric2F1[3/2, -(1/2) - m, 5/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m))/(3*f*(3 + m))) - (B*Cos[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(3 + m))}
+{Sec[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 4, (B*Sec[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 - m)) + (2^(-(1/2) + m)*(A*(1 - m) - B*m)*Hypergeometric2F1[-(1/2), 3/2 - m, 1/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Sec[e + f*x]*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 - m))}
+{Sec[e + f*x]^4*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 4, (B*Sec[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(3 - m)) + (2^(-(3/2) + m)*(A*(3 - m) - B*m)*Hypergeometric2F1[-(3/2), 5/2 - m, -(1/2), (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Sec[e + f*x]^3*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(3*a*f*(3 - m))}
+{Sec[e + f*x]^6*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 4, (B*Sec[e + f*x]^5*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(5 - m)) + (2^(-(5/2) + m)*(A*(5 - m) - B*m)*Hypergeometric2F1[-(5/2), 7/2 - m, -(3/2), (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Sec[e + f*x]^5*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(5*a^2*f*(5 - m))}
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^p*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(p + 4), x, 4, If[$VersionNumber>=8, ((A + B)*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-4 - p))/(f*g*(7 + p)) + ((3*A - B*(4 + p))*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 - p))/(c*f*g*(5 + p)*(7 + p)) + (2*(3*A - B*(4 + p))*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - p))/(c^2*f*g*(3 + p)*(5 + p)*(7 + p)) + (2*(3*A - B*(4 + p))*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - p))/(c^3*f*g*(1 + p)*(3 + p)*(5 + p)*(7 + p)), ((A + B)*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-4 - p))/(f*g*(7 + p)) + ((3*A - B*(4 + p))*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 - p))/(c*f*g*(35 + 12*p + p^2)) + (2*(3*A - B*(4 + p))*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - p))/(c^2*f*g*(5 + p)*(21 + 10*p + p^2)) + (2*(3*A - B*(4 + p))*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - p))/(c^3*f*g*(5 + 6*p + p^2)*(21 + 10*p + p^2))]}
+{(g*Cos[e + f*x])^p*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(p + 3), x, 3, If[$VersionNumber>=8, ((A + B)*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 - p))/(f*g*(5 + p)) + ((2*A - B*(3 + p))*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - p))/(c*f*g*(3 + p)*(5 + p)) + ((2*A - B*(3 + p))*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - p))/(c^2*f*g*(1 + p)*(3 + p)*(5 + p)), ((A + B)*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 - p))/(f*g*(5 + p)) + ((2*A - B*(3 + p))*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - p))/(c*f*g*(15 + 8*p + p^2)) + ((2*A - B*(3 + p))*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - p))/(c^2*f*g*(3 + p)*(5 + 6*p + p^2))]}
+{(g*Cos[e + f*x])^p*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(p + 2), x, 2, If[$VersionNumber>=8, ((A + B)*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - p))/(f*g*(3 + p)) + ((A - B*(2 + p))*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - p))/(c*f*g*(1 + p)*(3 + p)), ((A + B)*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - p))/(f*g*(3 + p)) + ((A - B*(2 + p))*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - p))/(c*f*g*(3 + 4*p + p^2))]}
+{(g*Cos[e + f*x])^p*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(p + 1), x, 4, ((A + B)*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - p))/(f*g*(1 + p)) - (2^(1/2 - p/2)*B*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(1 + p)/2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^((1 + p)/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - p))/(f*g*(1 + p))}
+{(g*Cos[e + f*x])^p*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(p + 0), x, 4, (2^(1/2 - p/2)*c*(A + B*p)*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(1 + p)/2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^((1 + p)/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - p))/(f*g*(1 + p)) - (B*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p))/((c - c*Sin[e + f*x])^p*(f*g))}
+{(g*Cos[e + f*x])^p*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(p - 1), x, 4, (2^(1/2 - p/2)*c^2*(2*A - B*(1 - p))*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 + p), (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^((1 + p)/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - p))/(f*g*(1 + p)) - (B*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(1 - p))/(2*f*g)}
+{(g*Cos[e + f*x])^p*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(p - 2), x, 4, (2^(5/2 - p/2)*c^3*(3*A - B*(2 - p))*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 + p), (1 + p)/2, (3 + p)/2, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^((1 + p)/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - p))/(3*f*g*(1 + p)) - (B*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(c - c*Sin[e + f*x])^(2 - p))/(3*f*g)}
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^p*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A*m - A*(m + p + 1)*Sin[e + f*x]), x, 1, (A*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*g)}
+{(g*Cos[e + f*x])^p*(a - a*Sin[e + f*x])^m*(A*m + A*(m + p + 1)*Sin[e + f*x]), x, 1, -((A*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(a - a*Sin[e + f*x])^m)/(f*g))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n with m, n and p symbolic*)
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^p*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 4, (1/(a*f*(1 + 2*m + p)))*((2^((1 + p)/2)*g*AppellF1[(1/2)*(1 + 2*m + p), (1 - p)/2, -n, (1/2)*(3 + 2*m + p), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*(g*Cos[e + f*x])^(-1 + p)*(1 - Sin[e + f*x])^((1 - p)/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/((c + d*Sin[e + f*x])/(c - d))^n)}
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^p*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((2^(5/2 + p/2)*a^2*AppellF1[(1 + p)/2, (1/2)*(-3 - p), -n, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(1 + Sin[e + f*x])^(2 + (1/2)*(-5 - p))*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(f*g*(1 + p)))), -((2^((5 + p)/2)*a^2*g*AppellF1[(1 + p)/2, (1/2)*(-3 - p), -n, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(g*Cos[e + f*x])^(-1 + p)*(1 - Sin[e + f*x])*(1 + Sin[e + f*x])^((1 - p)/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(f*(1 + p))))}
+{(g*Cos[e + f*x])^p*(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((2^(3/2 + p/2)*a*AppellF1[(1 + p)/2, (1/2)*(-1 - p), -n, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(1 + Sin[e + f*x])^((1/2)*(-1 - p))*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(f*g*(1 + p)))), -((2^((3 + p)/2)*a*g*AppellF1[(1 + p)/2, (1/2)*(-1 - p), -n, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(g*Cos[e + f*x])^(-1 + p)*(1 - Sin[e + f*x])*(1 + Sin[e + f*x])^((1 - p)/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(f*(1 + p))))}
+{(g*Cos[e + f*x])^p/(a + a*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((2^(-(1/2) + p/2)*AppellF1[(1 + p)/2, (3 - p)/2, -n, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(1 + Sin[e + f*x])^(-1 + (1 - p)/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(a*f*g*(1 + p)))), -((2^(-(1/2) + p/2)*g*AppellF1[(1 + p)/2, (3 - p)/2, -n, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(g*Cos[e + f*x])^(-1 + p)*(1 - Sin[e + f*x])*(1 + Sin[e + f*x])^((1 - p)/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(a*f*(1 + p))))}
+{(g*Cos[e + f*x])^p/(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((2^(-(3/2) + p/2)*AppellF1[(1 + p)/2, (5 - p)/2, -n, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(1 + Sin[e + f*x])^(-2 + (3 - p)/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(a^2*f*g*(1 + p)))), -((2^((1/2)*(-3 + p))*g*AppellF1[(1 + p)/2, (5 - p)/2, -n, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(g*Cos[e + f*x])^(-1 + p)*(1 - Sin[e + f*x])*(1 + Sin[e + f*x])^((1 - p)/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(a^2*f*(1 + p))))}
+{(g*Cos[e + f*x])^p/(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((2^(-(5/2) + p/2)*AppellF1[(1 + p)/2, (7 - p)/2, -n, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(1 + Sin[e + f*x])^(-3 + (5 - p)/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(a^3*f*g*(1 + p)))), -((2^((1/2)*(-5 + p))*g*AppellF1[(1 + p)/2, (7 - p)/2, -n, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(g*Cos[e + f*x])^(-1 + p)*(1 - Sin[e + f*x])*(1 + Sin[e + f*x])^((1 - p)/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(a^3*f*(1 + p))))}
+{(g*Cos[e + f*x])^p/(a + a*Sin[e + f*x])^4*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 3, -((2^(-(7/2) + p/2)*AppellF1[(1 + p)/2, (9 - p)/2, -n, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(g*Cos[e + f*x])^(1 + p)*(1 + Sin[e + f*x])^(-4 + (7 - p)/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(a^4*f*g*(1 + p)))), -((2^((1/2)*(-7 + p))*g*AppellF1[(1 + p)/2, (9 - p)/2, -n, (3 + p)/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(g*Cos[e + f*x])^(-1 + p)*(1 - Sin[e + f*x])*(1 + Sin[e + f*x])^((1 - p)/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(a^4*f*(1 + p))))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+(**)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n with m, n and p symbolic*)
+
+
+{(g*Sec[e + f*x])^p*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 5, (1/(a*f*(1 + 2*m - p)))*((2^(1/2 - p/2)*AppellF1[(1/2)*(1 + 2*m - p), (1 + p)/2, -n, (1/2)*(3 + 2*m - p), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Sec[e + f*x]*(g*Sec[e + f*x])^p*(1 - Sin[e + f*x])^((1 + p)/2)*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/((c + d*Sin[e + f*x])/(c - d))^n)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^1 (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 8, (b*x)/16 - (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) - (b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(8*d) - (b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^3)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, (a*x)/8 - (b*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, (b*x)/8 - (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, (b*x)/2 - (a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a*Cos[c + d*x])/d + (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, -a*x - (b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (b*Cos[c + d*x])/d - (a*Cot[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 5, (-b)*x + (a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (b*Cot[c + d*x])/d - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 5, (b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, (a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) - (b*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, (b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) - (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 10, (a*b*x)/8 - ((7*a^2 + 4*b^2)*Cos[c + d*x])/(35*d) + ((7*a^2 + 4*b^2)*Cos[c + d*x]^3)/(105*d) - (a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(12*d) + ((2*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(35*d) + (a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(21*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, (1/16)*(2*a^2 + b^2)*x - (2*a*b*Cos[c + d*x])/(5*d) + (2*a*b*Cos[c + d*x]^3)/(15*d) - ((2*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + ((2*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(24*d) + (a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(15*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 5, (a*b*x)/4 - ((a^2 + 4*b^2)*Cos[c + d*x]^3)/(30*d) + (a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]))/(10*d) - (Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, a*b*x - (a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + ((2*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/(3*d) + (a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, (-a^2)*x + (b^2*x)/2 - (2*a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (2*a*b*Cos[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x])/d + (b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, -2*a*b*x + ((a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) + (3*b^2*Cos[c + d*x])/(2*d) - (a*b*Cot[c + d*x])/d - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, (-b^2)*x + (a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + ((a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x])/(3*d) - (a*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(3*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 8, ((a^2 + 4*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) + (2*a*b*Cot[c + d*x])/(3*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(6*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, (a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(4*d) + ((2*a^2 + 5*b^2)*Cot[c + d*x])/(15*d) + (a*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(4*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(15*d) - (a*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(10*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, ((a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d) + (2*a*b*Cot[c + d*x])/(5*d) + (2*a*b*Cot[c + d*x]^3)/(15*d) + ((a^2 + 2*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(24*d) - (a*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(15*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(6*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 10, (1/16)*a*(2*a^2 + 3*b^2)*x - (b*(21*a^2 + 4*b^2)*Cos[c + d*x])/(35*d) + (b*(21*a^2 + 4*b^2)*Cos[c + d*x]^3)/(105*d) - (a*(2*a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a*(2*a^2 - 7*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(56*d) + (b*(a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(35*d) + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(14*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 6, (1/16)*b*(6*a^2 + b^2)*x - (a*(2*a^2 + 33*b^2)*Cos[c + d*x]^3)/(120*d) + (b*(6*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) - ((2*a^2 + 5*b^2)*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]))/(40*d) - (a*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(10*d) - (Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (1/8)*b*(12*a^2 + b^2)*x - (a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a*(a^2 - 2*b^2)*Cos[c + d*x])/(2*d) + (b*(2*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(4*d) + (Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 11, (-a^3)*x + (3/2)*a*b^2*x - (3*a^2*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (3*a^2*b*Cos[c + d*x])/d - (b^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*Cot[c + d*x])/d + (3*a*b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (-(1/2))*b*(6*a^2 - b^2)*x + (a*(a^2 - 6*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) + (15*a*b^2*Cos[c + d*x])/(2*d) + (5*b^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (3*b*Cot[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, -3*a*b^2*x + (b*(3*a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) + (11*b^3*Cos[c + d*x])/(6*d) + (a*(a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x])/(3*d) - (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (-b^3)*x + (a*(a^2 + 12*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) + (b*(2*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x])/(2*d) + (a*(a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(4*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 9, (b*(3*a^2 + 4*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) + (a*(2*a^2 + 15*b^2)*Cot[c + d*x])/(15*d) + (3*b*(5*a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(40*d) + (a*(2*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(30*d) - (3*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(20*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 10, (a*(a^2 + 6*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d) + (b*(6*a^2 + 5*b^2)*Cot[c + d*x])/(15*d) + (a*(a^2 + 6*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) + (b*(3*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(15*d) + (a*(5*a^2 - 6*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(120*d) - (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(10*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(6*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, (a*(4*a^2 - b^2)*x)/b^5 - (2*a^2*(4*a^2 - 3*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^5*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + ((12*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/(3*b^4*d) - (2*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(b^3*d) + (4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(3*b^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 8, -(((6*a^2 - b^2)*x)/(2*b^4)) + (2*a*(3*a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^4*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (3*a*Cos[c + d*x])/(b^3*d) + (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 5, (2*a*x)/b^3 - (2*(2*a^2 - b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (Cos[c + d*x]*(2*a + b*Sin[c + d*x]))/(b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 8, -((2*b*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d)) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^2*d) + Cos[c + d*x]/(a*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 8, -((2*(a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d)) + (2*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) - (2*Cot[c + d*x])/(a^2*d) + Cot[c + d*x]/(a*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, (2*b*(2*a^2 - 3*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + ((a^2 - 6*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^4*d) + (3*b*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^2*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(a*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 10, -((2*b^2*(3*a^2 - 4*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^5*Sqrt[a^2 - b^2]*d)) - (b*(a^2 - 4*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^5*d) + ((a^2 - 12*b^2)*Cot[c + d*x])/(3*a^4*d) + (2*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(a^3*d) - (4*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a^2*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(a*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 9, -(((12*a^2 - b^2)*x)/(2*b^5)) + (a*(12*a^4 - 19*a^2*b^2 + 6*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^5*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (a*(12*a^2 - 11*b^2)*Cos[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)*d) + ((6*a^2 - 5*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - ((4*a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 8, (3*a*x)/b^4 - ((6*a^4 - 9*a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^4*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (3*Cos[c + d*x])/(2*b^3*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (a*(3*a^2 - 2*b^2)*Cos[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 6, -(x/b^3) + (a*(2*a^2 - 3*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^3*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (a*Cos[c + d*x]^3)/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (Cos[c + d*x]*(2*(a^2 - b^2) + a*b*Sin[c + d*x]))/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 8, -((b*(3*a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*(a^2 - b^2)^(3/2)*d)) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^3*d) + Cos[c + d*x]/(2*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((a^2 - 2*b^2)*Cos[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 9, -(((2*a^4 - 9*a^2*b^2 + 6*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*(a^2 - b^2)^(3/2)*d)) + (3*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^4*d) - ((5*a^2 - 6*b^2)*Cot[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)*d) + Cot[c + d*x]/(2*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((2*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 10, (b*(6*a^4 - 19*a^2*b^2 + 12*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^5*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) + ((a^2 - 12*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^5*d) + (b*(11*a^2 - 12*b^2)*Cot[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)*d) - ((5*a^2 - 6*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((3*a^2 - 4*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 (d Sin[e+f x])^(n/2) (a+b Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^2/(Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 5, (2*Cos[e + f*x]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(3*a*d*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (4*b*Cos[e + f*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - (4*b*Sqrt[(a*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[e + f*x])/(3*a^3*Sqrt[a + b]*Sqrt[d]*f) - (4*Sqrt[(a*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[e + f*x])/(3*a^2*Sqrt[a + b]*Sqrt[d]*f)}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^3 (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^4 (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^4 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 9, (3*a*x)/128 - (b*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (2*b*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) - (b*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) + (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*d) - (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(16*d) - (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 9, (3*b*x)/128 - (a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (3*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*d) - (b*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(16*d) - (b*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 8, (a*x)/16 - (b*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (b*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) - (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, (b*x)/16 - (a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) - (b*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 8, (3*b*x)/8 - (a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a*Cos[c + d*x])/d + (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 9, -((3*a*x)/2) - (b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (b*Cos[c + d*x])/d + (b*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a*Cot[c + d*x])/(2*d) + (a*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 9, -((3*b*x)/2) + (3*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (3*a*Cos[c + d*x])/(2*d) - (3*b*Cot[c + d*x])/(2*d) + (b*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(2*d) - (a*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 9, a*x + (3*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (3*b*Cos[c + d*x])/(2*d) + (a*Cot[c + d*x])/d - (b*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, b*x - (3*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) + (b*Cot[c + d*x])/d - (b*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -((3*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d)) - (a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (b*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, -((a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d)) - (b*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(8*d) - (a*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^8*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 8, -((b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d)) - (a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(8*d) - (b*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^9*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 9, -((3*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*d)) - (b*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (b*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (3*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*d) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(64*d) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(16*d) - (a*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(8*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 10, (3*a*b*x)/64 - ((9*a^2 + 4*b^2)*Cos[c + d*x])/(105*d) + ((9*a^2 + 4*b^2)*Cos[c + d*x]^3)/(315*d) - (3*a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(64*d) - (a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(32*d) - ((15*a^4 - 44*a^2*b^2 + 6*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(630*b^2*d) - (a*(10*a^2 - 29*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(504*b*d) - (5*(3*a^2 - 8*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(252*b^2*d) + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(12*b^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(9*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, (1/128)*(8*a^2 + 3*b^2)*x - (6*a*b*Cos[c + d*x])/(35*d) + (2*a*b*Cos[c + d*x]^3)/(35*d) - ((8*a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) - ((40*a^4 - 140*a^2*b^2 + 21*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(1344*b^2*d) - (a*(20*a^2 - 69*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(840*b*d) - ((20*a^2 - 63*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(336*b^2*d) + (5*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(56*b^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(8*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, (a*b*x)/8 - ((a^2 + 6*b^2)*Cos[c + d*x]^5)/(105*d) + (a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(12*d) - (a*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x]))/(21*d) - (Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, (3*a*b*x)/4 - (a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*Cos[c + d*x])/d + (a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^2*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*d), (3*a*b*x)/4 - (a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - ((a^4 - 14*a^2*b^2 + 3*b^4)*Cos[c + d*x])/(15*b^2*d) - (a*(2*a^2 - 27*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(60*b*d) - ((a^2 - 12*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(30*b^2*d) + (a*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(10*b^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, (-(3/8))*(4*a^2 - b^2)*x - (2*a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a*(a^2 + 28*b^2)*Cos[c + d*x])/(6*b*d) + ((2*a^2 + 39*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + ((a^2 + 12*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(12*a*b*d) - (Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(4*b*d) - (Cot[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, -3*a*b*x + ((3*a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - ((4*a^2 - 23*b^2)*Cos[c + d*x])/(6*d) - (b*(a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - ((2*a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(6*a^2*d) - (b*Cot[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(2*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 13, a^2*x - (3*b^2*x)/2 + (3*a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (3*a*b*Cos[c + d*x])/d + (a^2*Cot[c + d*x])/d - (3*b^2*Cot[c + d*x])/(2*d) + (b^2*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(2*d) - (a*b*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/d - (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, 2*a*b*x - (3*(a^2 - 4*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) - (b^2*(39*a^2 + 2*b^2)*Cos[c + d*x])/(24*a^2*d) + (17*a*b*Cot[c + d*x])/(12*d) + (5*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(8*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(12*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, b^2*x - (3*a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(4*d) - ((3*a^4 - 14*a^2*b^2 + b^4)*Cot[c + d*x])/(15*a^2*d) + (b*(27*a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(60*a*d) + ((12*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(30*a^2*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(10*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(5*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 8, -(((a^2 + 6*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d)) - (2*a*b*Cot[c + d*x])/(5*d) - ((15*a^4 - 80*a^2*b^2 + 12*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(240*a^2*d) + (b*(13*a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(60*a*d) + ((35*a^2 - 6*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(120*a^2*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(10*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(6*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^8*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, -((a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d)) - ((2*a^2 + 7*b^2)*Cot[c + d*x])/(35*d) - (a*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - ((3*a^4 - 18*a^2*b^2 + 4*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(105*a^2*d) + (b*(53*a^2 - 12*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(420*a*d) + (2*(4*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(35*a^2*d) + (2*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(21*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(7*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 10, (1/128)*a*(8*a^2 + 9*b^2)*x - (b*(27*a^2 + 4*b^2)*Cos[c + d*x])/(105*d) + (b*(27*a^2 + 4*b^2)*Cos[c + d*x]^3)/(315*d) - (a*(8*a^2 + 9*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) - (a*(40*a^4 - 188*a^2*b^2 + 189*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4032*b^2*d) - ((20*a^4 - 93*a^2*b^2 + 24*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(2520*b*d) - (a*(20*a^2 - 87*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(1008*b^2*d) - (5*(a^2 - 4*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(126*b^2*d) + (5*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(72*b^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(9*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (3/128)*b*(8*a^2 + b^2)*x - (a*(2*a^2 + 61*b^2)*Cos[c + d*x]^5)/(560*d) + (3*b*(8*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (b*(8*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*d) - ((2*a^2 + 7*b^2)*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x]))/(112*d) - (3*a*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(56*d) - (Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (1/16)*b*(18*a^2 + b^2)*x - (a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (a*(2*a^4 - 43*a^2*b^2 + 36*b^4)*Cos[c + d*x])/(60*b^2*d) - ((4*a^4 - 84*a^2*b^2 + 15*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(240*b*d) - (a*(2*a^2 - 39*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(120*b^2*d) - ((2*a^2 - 35*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(120*b^2*d) + (a*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(15*b^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(6*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (-(3/8))*a*(4*a^2 - 3*b^2)*x - (3*a^2*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + ((a^4 + 56*a^2*b^2 - 2*b^4)*Cos[c + d*x])/(10*b*d) + (a*(2*a^2 + 83*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(40*d) + ((a^2 + 28*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(20*b*d) + ((a^2 + 20*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(20*a*b*d) - (Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(5*b*d) - (Cot[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (-(3/8))*b*(12*a^2 - b^2)*x + (3*a*(a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (a*(a^2 - 17*b^2)*Cos[c + d*x])/(2*d) - (b*(2*a^2 - 21*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - ((a^2 - 6*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(4*a*d) - ((a^2 - 4*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(4*a^2*d) - (b*Cot[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 17, a^3*x - (9/2)*a*b^2*x + (9*a^2*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (b^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (9*a^2*b*Cos[c + d*x])/(2*d) + (b^3*Cos[c + d*x])/d + (b^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^3*Cot[c + d*x])/d - (9*a*b^2*Cot[c + d*x])/(2*d) + (3*a*b^2*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(2*d) - (3*a^2*b*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (3/2)*b*(2*a^2 - b^2)*x - (3*a*(a^2 - 12*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) - (b^2*(73*a^2 - 2*b^2)*Cos[c + d*x])/(8*a*d) - (13*b^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (17*b*Cot[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(8*d) + (5*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(8*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, 3*a*b^2*x - (3*b*(3*a^2 - 4*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) - (b^3*(83*a^2 + 2*b^2)*Cos[c + d*x])/(40*a^2*d) - (a*(4*a^2 - 29*b^2)*Cot[c + d*x])/(20*d) + (27*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(40*d) + (2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(5*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(20*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(5*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, b^3*x - (a*(a^2 + 18*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d) - (b*(36*a^4 - 43*a^2*b^2 + 2*b^4)*Cot[c + d*x])/(60*a^2*d) - ((15*a^4 - 84*a^2*b^2 + 4*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(240*a*d) + (b*(39*a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(120*a^2*d) + ((35*a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(120*a^2*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(15*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(6*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^8*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 9, -((3*b*(a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d)) - (a*(2*a^2 + 21*b^2)*Cot[c + d*x])/(35*d) - (b*(105*a^4 - 116*a^2*b^2 + 12*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(560*a^2*d) - ((4*a^4 - 19*a^2*b^2 + 2*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(140*a*d) + (b*(53*a^2 - 6*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(280*a^2*d) + ((8*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(35*a^2*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(14*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(7*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^9*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 10, -((3*a*(a^2 + 8*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*d)) - (b*(6*a^2 + 7*b^2)*Cot[c + d*x])/(35*d) - (3*a*(a^2 + 8*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*d) - (b*(24*a^4 - 25*a^2*b^2 + 4*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(280*a^2*d) - ((35*a^4 - 148*a^2*b^2 + 24*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(2240*a*d) + (3*b*(23*a^2 - 4*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(560*a^2*d) + ((21*a^2 - 4*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(112*a^2*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(14*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(8*a*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, -((3*a*(8*a^4 - 8*a^2*b^2 + b^4)*x)/(4*b^7)) + (6*a^2*(2*a^4 - 3*a^2*b^2 + b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^7*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - ((30*a^4 - 25*a^2*b^2 + b^4)*Cos[c + d*x])/(5*b^6*d) + (3*a*(4*a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*b^5*d) - ((10*a^2 - 7*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(5*b^4*d) + ((3*a^2 - 2*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(2*a*b^3*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(5*b^2*d) - ((a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(a*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 8, ((40*a^4 - 36*a^2*b^2 + 3*b^4)*x)/(8*b^6) - (2*a*(5*a^4 - 7*a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^6*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (a*(15*a^2 - 11*b^2)*Cos[c + d*x])/(3*b^5*d) - ((20*a^2 - 13*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*b^4*d) + ((5*a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(3*a*b^3*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*b^2*d) - ((a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(a*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, -((a*(4*a^2 - 3*b^2)*x)/b^5) + (2*(4*a^4 - 5*a^2*b^2 + b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^5*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (Cos[c + d*x]^3*(4*a + b*Sin[c + d*x]))/(3*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]*(4*a^2 - b^2 - 2*a*b*Sin[c + d*x]))/(b^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, -((2*a*x)/b^3) + (2*Sqrt[a^2 - b^2]*(2*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*b^3*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^2*d) - Cos[c + d*x]/(b^2*d) - ((a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/(a*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, x/b^2 - (2*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (2*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Cos[c + d*x])/(a^2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - Cot[c + d*x]/(a*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 7, (6*b*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*d) + (3*(a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^4*d) - Cos[c + d*x]/(2*a^2*d*(1 - Cos[c + d*x]^2)) + (2*b*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - ((a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/(a^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])), (6*b*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*d) + (3*(a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^4*d) - ((a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x])/(a^3*b*d) + ((2*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x])/(2*a^2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 8, (2*(a^4 - 5*a^2*b^2 + 4*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^5*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (b*(3*a^2 - 4*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^5*d) + ((7*a^2 - 12*b^2)*Cot[c + d*x])/(3*a^4*d) - ((a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(a^3*b*d) + ((3*a^2 - 4*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(3*a^2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, -((2*b*(2*a^4 - 7*a^2*b^2 + 5*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^6*Sqrt[a^2 - b^2]*d)) - ((3*a^4 - 36*a^2*b^2 + 40*b^4)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^6*d) - (b*(11*a^2 - 15*b^2)*Cot[c + d*x])/(3*a^5*d) + ((13*a^2 - 20*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^4*d) - ((3*a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a^3*b*d) + ((4*a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(4*a^2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 9, (3*(40*a^4 - 24*a^2*b^2 + b^4)*x)/(8*b^7) - (3*a*(10*a^4 - 11*a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^7*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (a*(30*a^2 - 13*b^2)*Cos[c + d*x])/(2*b^6*d) - (3*(20*a^2 - 7*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*b^5*d) + ((10*a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(2*a*b^4*d) - ((15*a^2 - 4*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*a^2*b^3*d) - ((a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(2*a*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((7*a^2 - 2*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(2*a^2*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 8, (a*(9 - (20*a^2)/b^2)*x)/(2*b^4) + ((20*a^4 - 19*a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^6*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - ((60*a^2 - 17*b^2)*Cos[c + d*x])/(6*b^5*d) + ((5*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(a*b^4*d) - ((20*a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(6*a^2*b^3*d) - ((a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(2*a*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((6*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(2*a^2*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 6, (3*(4*a^2 - b^2)*x)/(2*b^5) - (3*a*(4*a^2 - 3*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^5*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (Cos[c + d*x]^3*(2*a + b*Sin[c + d*x]))/(2*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (3*Cos[c + d*x]*(4*a^2 - b^2 + 2*a*b*Sin[c + d*x]))/(2*b^4*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 6, x/b^3 - ((2*a^4 - a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^3*d) - ((a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/(2*a*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((3*a^2 + 2*b^2)*Cos[c + d*x])/(2*a^2*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, -((3*(a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*Sqrt[a^2 - b^2]*d)) + (3*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^4*d) + ((a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x])/(2*a^2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - Cot[c + d*x]/(a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - ((a^2 + 6*b^2)*Cos[c + d*x])/(2*a^3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 8, (3*b*(3*a^2 - 4*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^5*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (3*(a^2 - 4*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^5*d) - ((a^2 - 12*b^2)*Cot[c + d*x])/(2*a^4*b*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x])/(2*a^2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (3*b*Cot[c + d*x])/(a^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 9, ((2*a^4 - 19*a^2*b^2 + 20*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^6*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (b*(9*a^2 - 20*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^6*d) + ((17*a^2 - 60*b^2)*Cot[c + d*x])/(6*a^5*d) - ((a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(a^4*b*d) + ((3*a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(6*a^2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((3*a^2 - 20*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(6*a^3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 10, -((3*b*(2*a^4 - 11*a^2*b^2 + 10*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^7*Sqrt[a^2 - b^2]*d)) - (3*(a^4 - 24*a^2*b^2 + 40*b^4)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^7*d) - (b*(13*a^2 - 30*b^2)*Cot[c + d*x])/(2*a^6*d) + (3*(7*a^2 - 20*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^5*d) - ((3*a^2 - 10*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(2*a^4*b*d) + ((2*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(4*a^2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((4*a^2 - 15*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(4*a^3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^4 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 10, (16*a*(160*a^4 - 279*a^2*b^2 + 27*b^4)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(45045*b^5*d) - (8*(480*a^4 - 937*a^2*b^2 + 231*b^4)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(45045*b^5*d) + (8*a*(40*a^2 - 81*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3003*b^4*d) - (10*(16*a^2 - 33*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(1287*b^3*d) + (20*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(143*b^2*d) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(13*b*d) - (8*(320*a^6 - 798*a^4*b^2 + 435*a^2*b^4 - 693*b^6)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(45045*b^6*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (16*a*(160*a^6 - 439*a^4*b^2 + 306*a^2*b^4 - 27*b^6)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(45045*b^6*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 8, (-2*Cos[c + d*x]^5*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(11*d) + (8*a*(32*a^4 - 93*a^2*b^2 + 93*b^4)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3465*b^5*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (8*(32*a^6 - 101*a^4*b^2 + 114*a^2*b^4 - 45*b^6)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(3465*b^5*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(8*a^2 - 9*b^2 - 7*a*b*Sin[c + d*x]))/(693*b^2*d) + (4*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(32*a^4 - 69*a^2*b^2 + 45*b^4 - 24*a*b*(a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]))/(3465*b^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 10, (-2*(8*a^2 - 45*b^2)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(105*b^2*d) + (8*a*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(35*b^2*d) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(7*b*d) + (2*a*(8*a^2 - 51*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(105*b^3*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(8*a^4 - 53*a^2*b^2 - 60*b^4)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(105*b^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (2*a*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 10, ((4*a^2 + 15*b^2)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(15*a*b*d) - (2*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*b*d) - (Cot[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(a*d) - ((4*a^2 + 57*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(15*b^2*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (a*(4*a^2 + 11*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(15*b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (b*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*Cot[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 10, -((8*a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(12*a^2*d) + (b*Cot[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(4*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(2*a*d) + ((8*a^2 - 3*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(12*a*b*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - ((8*a^2 + 31*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(12*b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - ((12*a^2 + b^2)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(4*a*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0*Cot[c + d*x]^4*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 10, ((32*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(24*a^2*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(4*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*a*d) + ((80*a^2 + 3*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(24*a^2*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - ((32*a^2 + b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(24*a*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (b*(12*a^2 - b^2)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(8*a^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 11, (b*(68*a^2 - 15*b^2)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(192*a^3*d) + (5*(4*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(32*a^2*d) + (5*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(24*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(4*a*d) + (b*(68*a^2 - 15*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(192*a^3*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (b*(196*a^2 + 5*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(192*a^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + ((48*a^4 + 24*a^2*b^2 - 5*b^4)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(64*a^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 12, -((384*a^4 + 332*a^2*b^2 - 105*b^4)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(1920*a^4*d) + (b*(108*a^2 - 35*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(960*a^3*d) + ((96*a^2 - 35*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(240*a^2*d) + (7*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(40*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*a*d) - ((384*a^4 + 332*a^2*b^2 - 105*b^4)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(1920*a^4*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + ((384*a^4 + 116*a^2*b^2 - 35*b^4)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(1920*a^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (b*(48*a^4 - 24*a^2*b^2 + 7*b^4)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(128*a^4*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 11, (8*(64*a^6 - 174*a^4*b^2 + 81*a^2*b^4 - 195*b^6)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(45045*b^5*d) + (16*a*(32*a^4 - 47*a^2*b^2 - 27*b^4)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(45045*b^5*d) - (8*(160*a^4 - 375*a^2*b^2 + 117*b^4)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(45045*b^5*d) + (8*a*(8*a^2 - 21*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(1287*b^4*d) - (2*(80*a^2 - 221*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(2145*b^3*d) + (4*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(39*b^2*d) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(15*b*d) - (16*a*(32*a^6 - 111*a^4*b^2 + 102*a^2*b^4 - 471*b^6)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(45045*b^6*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (8*(64*a^8 - 238*a^6*b^2 + 255*a^4*b^4 - 276*a^2*b^6 + 195*b^8)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(45045*b^6*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 9, (-6*a*Cos[c + d*x]^5*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(143*d) - (2*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(13*d) + (8*(32*a^6 - 137*a^4*b^2 + 258*a^2*b^4 + 231*b^6)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(15015*b^5*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (8*a*(32*a^6 - 145*a^4*b^2 + 290*a^2*b^4 - 177*b^6)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(15015*b^5*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(4*a*(2*a^2 - 5*b^2) - 7*b*(a^2 + 11*b^2)*Sin[c + d*x]))/(3003*b^2*d) + (4*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(a*(32*a^4 - 113*a^2*b^2 + 177*b^4) - 3*b*(8*a^4 - 27*a^2*b^2 - 77*b^4)*Sin[c + d*x]))/(15015*b^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 11, (-2*a*(8*a^2 - 87*b^2)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(315*b^2*d) - (2*(8*a^2 - 77*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(315*b^2*d) + (8*a*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(63*b^2*d) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(9*b*d) + (2*(8*a^4 - 93*a^2*b^2 + 84*b^4)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(315*b^3*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (2*a*(8*a^4 - 95*a^2*b^2 - 228*b^4)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(315*b^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (2*a^2*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 11, ((4*a^2 + 65*b^2)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(35*b*d) + ((4*a^2 + 35*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(35*a*b*d) - (2*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(7*b*d) - (Cot[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(a*d) - (a*(4*a^2 + 167*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(35*b^2*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + ((4*a^4 + 61*a^2*b^2 + 40*b^4)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(35*b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (3*a*b*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*Cot[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 11, -((8*a^2 - 15*b^2)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(20*a*d) - ((8*a^2 - 5*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(20*a^2*d) - (b*Cot[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(4*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(2*a*d) + ((8*a^2 - 81*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(20*b*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (a*(8*a^2 + 37*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(20*b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (3*(4*a^2 - b^2)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0*Cot[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 11, -(b*(16*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(8*a^2*d) + ((32*a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(24*a^2*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(12*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(3*a*d) + ((32*a^2 - b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(8*a*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - ((16*a^2 + 21*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(8*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (b*(36*a^2 + b^2)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(8*a*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 11, (b*(68*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(64*a^2*d) + ((20*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(32*a^2*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(8*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(4*a*d) + (b*(236*a^2 + 3*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(64*a^2*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (b*(20*a^2 + b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(64*a*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (3*(16*a^4 - 24*a^2*b^2 + b^4)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(64*a^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 12, -((128*a^4 - 116*a^2*b^2 + 15*b^4)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(640*a^3*d) + (3*b*(36*a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(320*a^2*d) + ((32*a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(80*a^2*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(8*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*a*d) - ((128*a^4 - 116*a^2*b^2 + 15*b^4)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(640*a^3*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + ((128*a^4 + 692*a^2*b^2 + 5*b^4)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(640*a^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (3*b*(48*a^4 + 8*a^2*b^2 - b^4)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(128*a^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 13, -(b*(2064*a^4 + 512*a^2*b^2 - 105*b^4)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(7680*a^4*d) - ((240*a^4 - 168*a^2*b^2 + 35*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3840*a^3*d) + (b*(156*a^2 - 35*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(960*a^2*d) + (7*(4*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(96*a^2*d) + (7*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(60*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(6*a*d) - (b*(2064*a^4 + 512*a^2*b^2 - 105*b^4)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(7680*a^4*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (b*(2544*a^4 + 176*a^2*b^2 - 35*b^4)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(7680*a^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + ((64*a^6 + 144*a^4*b^2 - 36*a^2*b^4 + 7*b^6)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(512*a^4*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 10, (-2*(3*a^2 + 13*b^2)*Cos[c + d*x]^5*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(429*d) - (2*a*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(39*d) - (2*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(15*d) + (8*a*(32*a^6 - 189*a^4*b^2 + 570*a^2*b^4 + 1635*b^6)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(45045*b^5*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (8*(32*a^8 - 197*a^6*b^2 + 615*a^4*b^4 - 255*a^2*b^6 - 195*b^8)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(45045*b^5*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(8*a^4 - 33*a^2*b^2 - 39*b^4 - 7*a*b*(a^2 + 63*b^2)*Sin[c + d*x]))/(9009*b^2*d) + (4*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(32*a^6 - 165*a^4*b^2 + 450*a^2*b^4 + 195*b^6 - 24*a*b*(a^4 - 5*a^2*b^2 - 60*b^4)*Sin[c + d*x]))/(45045*b^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 12, (-2*(8*a^4 - 141*a^2*b^2 + 36*b^4)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(693*b^2*d) - (2*a*(8*a^2 - 131*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(693*b^2*d) - (2*(8*a^2 - 117*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(693*b^2*d) + (8*a*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(99*b^2*d) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(11*b*d) + (2*a*(8*a^4 - 147*a^2*b^2 + 444*b^4)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(693*b^3*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(8*a^6 - 149*a^4*b^2 - 516*a^2*b^4 - 36*b^6)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(693*b^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (2*a^3*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 12, (a*(20*a^2 + 759*b^2)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(315*b*d) + ((20*a^2 + 469*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(315*b*d) + ((4*a^2 + 63*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(63*a*b*d) - (2*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(9*b*d) - (Cot[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(a*d) - ((20*a^4 + 1689*a^2*b^2 - 168*b^4)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(315*b^2*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (a*(20*a^4 + 739*a^2*b^2 + 816*b^4)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(315*b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (5*a^2*b*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*Cot[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 12, -((8*a^2 - 73*b^2)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(28*d) - ((8*a^2 - 35*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(28*a*d) - ((8*a^2 - 21*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(28*a^2*d) - (3*b*Cot[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(4*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(2*a*d) + (a*(8*a^2 - 247*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(28*b*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - ((8*a^4 + 3*a^2*b^2 - 32*b^4)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(28*b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (3*a*(4*a^2 - 5*b^2)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0*Cot[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 12, -(b*(96*a^2 - 25*b^2)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(40*a*d) - (b*(208*a^2 - 25*b^2)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(120*a^2*d) + ((32*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(24*a^2*d) - (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(12*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(3*a*d) + ((176*a^2 - 167*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(40*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (a*(96*a^2 + 179*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(40*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (5*b*(12*a^2 - b^2)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(8*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 12, -(b^2*(196*a^2 + 5*b^2)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(64*a^2*d) + (5*b*(68*a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(192*a^2*d) + ((60*a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(96*a^2*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(24*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(4*a*d) + (b*(492*a^2 - 5*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(64*a*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (b*(148*a^2 + 169*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(64*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + ((48*a^4 - 360*a^2*b^2 - 5*b^4)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(64*a*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 12, -((128*a^4 - 580*a^2*b^2 + 15*b^4)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(640*a^2*d) + (b*(36*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(64*a^2*d) + ((32*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(80*a^2*d) + (3*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(40*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(5*a*d) - ((128*a^4 - 2476*a^2*b^2 - 15*b^4)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(640*a^2*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + ((128*a^4 + 492*a^2*b^2 - 5*b^4)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(640*a*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (3*b*(80*a^4 - 40*a^2*b^2 + b^4)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(128*a^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 13, -(b*(720*a^4 - 176*a^2*b^2 + 15*b^4)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(1536*a^3*d) - ((16*a^4 - 56*a^2*b^2 + 5*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(256*a^2*d) + (b*(52*a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(192*a^2*d) + ((28*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(96*a^2*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(12*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^(7/2))/(6*a*d) - (b*(720*a^4 - 176*a^2*b^2 + 15*b^4)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(1536*a^3*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (b*(816*a^4 + 1696*a^2*b^2 + 5*b^4)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(1536*a^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + ((64*a^6 + 720*a^4*b^2 + 60*a^2*b^4 - 5*b^6)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(512*a^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3)/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 10, (64*a*(80*a^4 - 118*a^2*b^2 + 17*b^4)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(15015*b^6*d) - (8*(480*a^4 - 683*a^2*b^2 + 77*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(15015*b^5*d) + (4*a*(160*a^2 - 223*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3003*b^4*d) - (10*(8*a^2 - 11*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(429*b^3*d) + (24*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(143*b^2*d) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(13*b*d) + (8*(1280*a^6 - 2048*a^4*b^2 + 453*a^2*b^4 + 231*b^6)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(15015*b^7*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (8*a*(1280*a^6 - 2368*a^4*b^2 + 875*a^2*b^4 + 213*b^6)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(15015*b^7*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 9, (-8*(160*a^4 - 247*a^2*b^2 + 45*b^4)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3465*b^5*d) + (8*a*(120*a^2 - 179*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3465*b^4*d) - (2*(80*a^2 - 117*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(693*b^3*d) + (20*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(99*b^2*d) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(11*b*d) - (16*a*(160*a^4 - 267*a^2*b^2 + 69*b^4)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3465*b^6*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (8*(320*a^6 - 614*a^4*b^2 + 249*a^2*b^4 + 45*b^6)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(3465*b^6*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1)/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 7, (-2*Cos[c + d*x]^3*(8*a - 7*b*Sin[c + d*x])*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(63*b^2*d) + (8*(32*a^4 - 57*a^2*b^2 + 21*b^4)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(315*b^5*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (8*a*(32*a^4 - 65*a^2*b^2 + 33*b^4)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(315*b^5*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (4*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(a*(32*a^2 - 33*b^2) - 3*b*(8*a^2 - 7*b^2)*Sin[c + d*x]))/(315*b^4*d)}
+{(Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^1)/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 9, (8*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(15*b^2*d) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(5*b*d) + (2*(8*a^2 - 21*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(15*b^3*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (2*a*(8*a^2 - 23*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (2*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 9, (-2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*b*d) - (Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(a*d) - ((4*a^2 + 3*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*a*b^2*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + ((4*a^2 - 7*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (b*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(a*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^1*Cot[c + d*x]^3)/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 9, (3*b*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(4*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(2*a*d) + ((8*a^2 + 3*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(4*a^2*b*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - ((8*a^2 + b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(4*a*b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (3*(4*a^2 - b^2)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^0*Cot[c + d*x]^4)/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 10, ((32*a^2 - 15*b^2)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(24*a^3*d) + (5*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(12*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*a*d) + ((32*a^2 - 15*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(24*a^3*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + ((16*a^2 + 5*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(24*a^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (b*(12*a^2 - 5*b^2)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(8*a^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(Cot[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1)/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 11, -(b*(188*a^2 - 105*b^2)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(192*a^4*d) + (5*(12*a^2 - 7*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(96*a^3*d) + (7*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(24*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(4*a*d) - (b*(188*a^2 - 105*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(192*a^4*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (b*(68*a^2 - 35*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(192*a^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + ((48*a^4 - 72*a^2*b^2 + 35*b^4)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(64*a^4*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3)/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 10, (-2*(a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(a*b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (8*(640*a^4 - 592*a^2*b^2 + 15*b^4)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(1155*b^6*d) + (8*a*(480*a^2 - 419*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(1155*b^5*d) - (20*(32*a^2 - 27*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(231*b^4*d) + (2*(40*a^2 - 33*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(33*a*b^3*d) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(11*b^2*d) - (8*a*(1280*a^4 - 1344*a^2*b^2 + 123*b^4)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(1155*b^7*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (8*(1280*a^6 - 1664*a^4*b^2 + 369*a^2*b^4 + 15*b^6)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(1155*b^7*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 9, (-2*(a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(a*b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (8*a*(160*a^2 - 139*b^2)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(315*b^5*d) - (16*(60*a^2 - 49*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(315*b^4*d) + (2*(80*a^2 - 63*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(63*a*b^3*d) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(9*b^2*d) + (8*(320*a^4 - 318*a^2*b^2 + 21*b^4)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(315*b^6*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (16*a*(160*a^4 - 199*a^2*b^2 + 39*b^4)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(315*b^6*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1)/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 7, (-8*a*(32*a^2 - 29*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(35*b^5*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (8*(32*a^4 - 37*a^2*b^2 + 5*b^4)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(35*b^5*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]^3*(8*a + b*Sin[c + d*x]))/(7*b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (4*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]*(32*a^2 - 5*b^2 - 24*a*b*Sin[c + d*x]))/(35*b^4*d)}
+{(Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^1)/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 9, (-2*(a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/(a*b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*b^2*d) - (2*(8*a^2 - 3*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*a*b^3*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(8*a^2 - 5*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(3*b^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (2*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(a*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 9, ((2*a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x])/(a^2*b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - Cot[c + d*x]/(a*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + ((4*a^2 - 3*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^2*b^2*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - ((4*a^2 - b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(a*b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (3*b*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(a^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^1*Cot[c + d*x]^3)/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 10, ((4*a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x])/(2*a^2*b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - ((8*a^2 - 15*b^2)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(4*a^3*b*d) - ((8*a^2 - 15*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(4*a^3*b*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + ((8*a^2 - 5*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(4*a^2*b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (3*(4*a^2 - 5*b^2)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(4*a^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^0*Cot[c + d*x]^4)/(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 11, ((6*a^2 - 7*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(3*a^2*b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (5*(16*a^2 - 21*b^2)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(24*a^4*d) - ((24*a^2 - 35*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(12*a^3*b*d) + (5*(16*a^2 - 21*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(24*a^4*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - ((32*a^2 - 35*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(24*a^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (b*(36*a^2 - 35*b^2)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(8*a^4*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3)/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 10, (-2*(a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(3*a*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (2*(13*a^2 - 5*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(3*a^2*b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (128*a*(40*a^2 - 19*b^2)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(315*b^6*d) - (8*(480*a^2 - 203*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(315*b^5*d) + (4*(160*a^2 - 63*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(63*a*b^4*d) - (10*(8*a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(9*a^2*b^3*d) + (8*(1280*a^4 - 768*a^2*b^2 + 21*b^4)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(315*b^7*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (8*a*(1280*a^4 - 1088*a^2*b^2 + 123*b^4)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(315*b^7*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 9, (-2*(a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (2*(11*a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^2*b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (8*(32*a^2 - 11*b^2)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(21*b^5*d) + (8*(24*a^2 - 7*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(21*a*b^4*d) - (2*(80*a^2 - 21*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(21*a^2*b^3*d) - (16*a*(32*a^2 - 15*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(21*b^6*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + (8*(64*a^4 - 46*a^2*b^2 + 3*b^4)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(21*b^6*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1)/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 7, (8*(32*a^2 - 9*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(15*b^5*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (8*a*(32*a^2 - 17*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(15*b^5*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]^3*(8*a + 3*b*Sin[c + d*x]))/(15*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (4*Cos[c + d*x]*(32*a^2 - 9*b^2 + 8*a*b*Sin[c + d*x]))/(15*b^4*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^1)/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 9, (-2*(a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/(3*a*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (2*(5*a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x])/(3*a^2*b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (2*(8*a^2 + 3*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*a^2*b^3*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(8*a^2 + b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(3*a*b^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (2*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(a^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^2)/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 10, ((2*a^2 - 5*b^2)*Cos[c + d*x])/(3*a^2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) - Cot[c + d*x]/(a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) - ((4*a^2 + 15*b^2)*Cos[c + d*x])/(3*a^3*b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - ((4*a^2 + 15*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(3*a^3*b^2*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + ((4*a^2 + 5*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(3*a^2*b^2*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - (5*b*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(a^3*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^1*Cot[c + d*x]^3)/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 11, ((4*a^2 - 7*b^2)*Cot[c + d*x])/(6*a^2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) - ((8*a^2 - 105*b^2)*Cos[c + d*x])/(12*a^4*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - ((8*a^2 - 35*b^2)*Cot[c + d*x])/(12*a^3*b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - ((8*a^2 - 105*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(12*a^4*b*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) + ((8*a^2 - 35*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(12*a^3*b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - ((12*a^2 - 35*b^2)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(4*a^4*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^0*Cot[c + d*x]^4)/(a + b*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 12, ((2*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(3*a^2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (b*(32*a^2 - 105*b^2)*Cos[c + d*x])/(8*a^5*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + ((16*a^2 - 35*b^2)*Cot[c + d*x])/(8*a^4*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) - ((8*a^2 - 21*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(12*a^3*b*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + ((32*a^2 - 105*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])/(8*a^5*d*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]) - ((16*a^2 - 35*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(8*a^4*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]) + (15*b*(4*a^2 - 7*b^2)*EllipticPi[2, (c - Pi/2 + d*x)/2, (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)])/(8*a^5*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^4 (d Sin[e+f x])^(n/2) (a+b Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^4/(Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x])^(9/2)), x, 8, (2*Cos[e + f*x]^3*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(7*a*d*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (12*Cos[e + f*x]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(35*a^2*d*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (8*(a^2 - 2*b^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(35*a^3*(a^2 - b^2)*d*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (32*b*(2*a^2 - b^2)*Cos[e + f*x])/(35*a^3*(a^2 - b^2)^2*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - (32*b*(2*a^2 - b^2)*Sqrt[(a*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[e + f*x])/(35*a^5*(a - b)*(a + b)^(3/2)*Sqrt[d]*f) - (8*(5*a^2 - 3*a*b - 4*b^2)*Sqrt[(a*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[e + f*x])/(35*a^4*(a - b)*(a + b)^(3/2)*Sqrt[d]*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^4 (d Sin[e+f x])^(n/3) (a+b Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[(Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]], x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^4 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^m with n and/or p symbolic*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^n*(a + b*Sin[c + d*x])^p, x, 0, Unintegrable[Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^n*(a + b*Sin[c + d*x])^p, x]}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^(-3 - p)*(a + b*Sin[c + d*x])^p, x, 0, Unintegrable[Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^(-3 - p)*(a + b*Sin[c + d*x])^p, x]}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^(-4 - p)*(a + b*Sin[c + d*x])^p, x, 0, Unintegrable[Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^(-4 - p)*(a + b*Sin[c + d*x])^p, x]}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^n*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 8, If[$VersionNumber>=8, -((3*a*(2*a^4*(6 + 5*n + n^2) + 3*b^4*(35 + 12*n + n^2) - 2*a^2*b^2*(58 + 16*n + n^2))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(b^2*d*(2 + n)*(4 + n)*(5 + n)*(6 + n)*(7 + n))) + (3*a*(3*b^2*(1 + n) + a^2*(6 + n))*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)*(2 + n)*(4 + n)*(6 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) - (3*(2*a^4*(6 + 5*n + n^2) + b^4*(24 + 10*n + n^2) - 2*a^2*b^2*(57 + 16*n + n^2))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(b*d*(3 + n)*(4 + n)*(5 + n)*(6 + n)*(7 + n)) + (3*b*(b^2*(2 + n) + 3*a^2*(7 + n))*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)*(3 + n)*(5 + n)*(7 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) - (3*a*(a^2*(6 + 5*n + n^2) - b^2*(53 + 15*n + n^2))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(b^2*d*(4 + n)*(5 + n)*(6 + n)*(7 + n)) - ((a^2*(2 + n)*(3 + n) - b^2*(6 + n)*(8 + n))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(b^2*d*(5 + n)*(6 + n)*(7 + n)) + (a*(3 + n)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(b^2*d*(6 + n)*(7 + n)) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(2 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(b*d*(7 + n)), -((3*a*(2*a^4*(6 + 5*n + n^2) + 3*b^4*(35 + 12*n + n^2) - 2*a^2*b^2*(58 + 16*n + n^2))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(b^2*d*(5 + n)*(6 + n)*(7 + n)*(8 + 6*n + n^2))) + (3*a*(3*b^2*(1 + n) + a^2*(6 + n))*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(6 + n)*(8 + 14*n + 7*n^2 + n^3)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) - (3*(2*a^4*(6 + 5*n + n^2) + b^4*(24 + 10*n + n^2) - 2*a^2*b^2*(57 + 16*n + n^2))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(b*d*(3 + n)*(4 + n)*(5 + n)*(6 + n)*(7 + n)) + (3*b*(b^2*(2 + n) + 3*a^2*(7 + n))*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(5 + n)*(7 + n)*(6 + 5*n + n^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) - (3*a*(a^2*(6 + 5*n + n^2) - b^2*(53 + 15*n + n^2))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(b^2*d*(4 + n)*(5 + n)*(6 + n)*(7 + n)) - ((a^2*(2 + n)*(3 + n) - b^2*(6 + n)*(8 + n))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(b^2*d*(5 + n)*(6 + n)*(7 + n)) + (a*(3 + n)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(b^2*d*(6 + n)*(7 + n)) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(2 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(b*d*(7 + n))]}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^n*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 7, If[$VersionNumber>=8, -(((3*b^4*(5 + n) + 2*a^4*(6 + 5*n + n^2) - 2*a^2*b^2*(40 + 13*n + n^2))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(b^2*d*(2 + n)*(4 + n)*(5 + n)*(6 + n))) + (3*(b^2*(1 + n) + a^2*(6 + n))*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)*(2 + n)*(4 + n)*(6 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) - (2*a*(a^2*(6 + 5*n + n^2) - b^2*(39 + 13*n + n^2))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(b*d*(3 + n)*(4 + n)*(5 + n)*(6 + n)) + (6*a*b*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)*(3 + n)*(5 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) - ((a^2*(2 + n)*(3 + n) - b^2*(5 + n)*(7 + n))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(b^2*d*(4 + n)*(5 + n)*(6 + n)) + (a*(3 + n)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(b^2*d*(5 + n)*(6 + n)) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(2 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(b*d*(6 + n)), -(((3*b^4*(5 + n) + 2*a^4*(6 + 5*n + n^2) - 2*a^2*b^2*(40 + 13*n + n^2))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(b^2*d*(5 + n)*(6 + n)*(8 + 6*n + n^2))) + (3*(b^2*(1 + n) + a^2*(6 + n))*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(4 + n)*(6 + n)*(2 + 3*n + n^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) - (2*a*(a^2*(6 + 5*n + n^2) - b^2*(39 + 13*n + n^2))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(b*d*(3 + n)*(4 + n)*(5 + n)*(6 + n)) + (6*a*b*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(5 + n)*(6 + 5*n + n^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) - ((a^2*(2 + n)*(3 + n) - b^2*(5 + n)*(7 + n))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(b^2*d*(4 + n)*(5 + n)*(6 + n)) + (a*(3 + n)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(b^2*d*(5 + n)*(6 + n)) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(2 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(b*d*(6 + n))]}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^n*(a + b*Sin[c + d*x])^1, x, 3, (a*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (b*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^5 (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^5 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*Sin[c + d*x]^6)/(6*d) + (b*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Sin[c + d*x]^8)/(4*d) - (2*b*Sin[c + d*x]^9)/(9*d) + (a*Sin[c + d*x]^10)/(10*d) + (b*Sin[c + d*x]^11)/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (b*Sin[c + d*x]^6)/(6*d) - (2*a*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) - (b*Sin[c + d*x]^8)/(4*d) + (a*Sin[c + d*x]^9)/(9*d) + (b*Sin[c + d*x]^10)/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, -((a*Cos[c + d*x]^6)/(6*d)) + (a*Cos[c + d*x]^8)/(8*d) + (b*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*b*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (b*Sin[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, -((b*Cos[c + d*x]^6)/(6*d)) + (b*Cos[c + d*x]^8)/(8*d) + (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -((a*Cos[c + d*x]^6)/(6*d)) + (b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*b*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (b*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b*Sin[c + d*x])/d - (a*Sin[c + d*x]^2)/d - (2*b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) + (b*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*Csc[c + d*x])/d) + (b*Log[Sin[c + d*x]])/d - (2*a*Sin[c + d*x])/d - (b*Sin[c + d*x]^2)/d + (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*Sin[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -((b*Csc[c + d*x])/d) - (a*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (2*a*Log[Sin[c + d*x]])/d - (2*b*Sin[c + d*x])/d + (a*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, (2*a*Csc[c + d*x])/d - (b*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*b*Log[Sin[c + d*x]])/d + (a*Sin[c + d*x])/d + (b*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, (2*b*Csc[c + d*x])/d + (a*Csc[c + d*x]^2)/d - (b*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) + (a*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*Csc[c + d*x])/d) + (b*Csc[c + d*x]^2)/d + (2*a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) - (a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) + (b*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -((a*Cot[c + d*x]^6)/(6*d)) - (b*Csc[c + d*x])/d + (2*b*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*Csc[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^8*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -((b*Cot[c + d*x]^6)/(6*d)) - (a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Csc[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^9*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, -((a*Cot[c + d*x]^6)/(6*d)) - (a*Cot[c + d*x]^8)/(8*d) - (b*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*b*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (b*Csc[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^10*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, -((b*Cot[c + d*x]^6)/(6*d)) - (b*Cot[c + d*x]^8)/(8*d) - (a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) + (2*a*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Csc[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^11*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -((b*Csc[c + d*x]^5)/(5*d)) - (a*Csc[c + d*x]^6)/(6*d) + (2*b*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*Csc[c + d*x]^8)/(4*d) - (b*Csc[c + d*x]^9)/(9*d) - (a*Csc[c + d*x]^10)/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^12*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -((b*Csc[c + d*x]^6)/(6*d)) - (a*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) + (b*Csc[c + d*x]^8)/(4*d) + (2*a*Csc[c + d*x]^9)/(9*d) - (b*Csc[c + d*x]^10)/(10*d) - (a*Csc[c + d*x]^11)/(11*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (a^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*b*Sin[c + d*x]^4)/(2*d) - ((2*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a*b*Sin[c + d*x]^6)/(3*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*b*Sin[c + d*x]^8)/(4*d) + (b^2*Sin[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (2*a*b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - ((2*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) - (4*a*b*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^6)/(6*d) + (2*a*b*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^2*Sin[c + d*x]^8)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d + (2*a*b*Sin[c + d*x])/d - ((2*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (4*a*b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) + (2*a*b*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*Sin[c + d*x]^6)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((a^2*Csc[c + d*x])/d) + (2*a*b*Log[Sin[c + d*x]])/d - ((2*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/d - (2*a*b*Sin[c + d*x]^2)/d + ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*b*Sin[c + d*x]^4)/(2*d) + (b^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((2*a*b*Csc[c + d*x])/d) - (a^2*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - ((2*a^2 - b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (4*a*b*Sin[c + d*x])/d + ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (2*a*b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Sin[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, ((2*a^2 - b^2)*Csc[c + d*x])/d - (a*b*Csc[c + d*x]^2)/d - (a^2*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (4*a*b*Log[Sin[c + d*x]])/d + ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/d + (a*b*Sin[c + d*x]^2)/d + (b^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (4*a*b*Csc[c + d*x])/d + ((2*a^2 - b^2)*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (2*a*b*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/d + (2*a*b*Sin[c + d*x])/d + (b^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -(((a^2 - 2*b^2)*Csc[c + d*x])/d) + (2*a*b*Csc[c + d*x]^2)/d + ((2*a^2 - b^2)*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*b*Csc[c + d*x]^4)/(2*d) - (a^2*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) + (2*a*b*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((2*a*b*Csc[c + d*x])/d) - ((a^2 - 2*b^2)*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) + (4*a*b*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) + ((2*a^2 - b^2)*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) - (2*a*b*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^2*Csc[c + d*x]^6)/(6*d) + (b^2*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^8*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((b^2*Csc[c + d*x])/d) - (a*b*Csc[c + d*x]^2)/d - ((a^2 - 2*b^2)*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*b*Csc[c + d*x]^4)/d + ((2*a^2 - b^2)*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*b*Csc[c + d*x]^6)/(3*d) - (a^2*Csc[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^9*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((b^2*Csc[c + d*x]^2)/(2*d)) - (2*a*b*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - ((a^2 - 2*b^2)*Csc[c + d*x]^4)/(4*d) + (4*a*b*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) + ((2*a^2 - b^2)*Csc[c + d*x]^6)/(6*d) - (2*a*b*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) - (a^2*Csc[c + d*x]^8)/(8*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (a^2*(7*a^4 - 10*a^2*b^2 + 3*b^4)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^8*d) - (2*a*(3*a^4 - 4*a^2*b^2 + b^4)*Sin[c + d*x])/(b^7*d) + ((5*a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^6*d) - (4*a*(a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^5*d) + ((3*a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^4)/(4*b^4*d) - (2*a*Sin[c + d*x]^5)/(5*b^3*d) + Sin[c + d*x]^6/(6*b^2*d) + (a^3*(a^2 - b^2)^2)/(b^8*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((2*a*(3*a^4 - 4*a^2*b^2 + b^4)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^7*d)) + ((5*a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Sin[c + d*x])/(b^6*d) - (2*a*(a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]^2)/(b^5*d) - ((2 - (3*a^2)/b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^2*d) - (a*Sin[c + d*x]^4)/(2*b^3*d) + Sin[c + d*x]^5/(5*b^2*d) - (a^2*(a^2 - b^2)^2)/(b^7*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, ((5*a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^6*d) - (4*a*(a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(b^5*d) + ((3*a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^4*d) - (2*a*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^3*d) + Sin[c + d*x]^4/(4*b^2*d) + (a*(a^2 - b^2)^2)/(b^6*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, Log[Sin[c + d*x]]/(a^2*d) + ((a^2 - b^2)*(3*a^2 + b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^2*b^4*d) - (2*a*Sin[c + d*x])/(b^3*d) + Sin[c + d*x]^2/(2*b^2*d) + (a^2 - b^2)^2/(a*b^4*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a^2*d)) - (2*b*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (2*(a^4 - b^4)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^3*b^3*d) + Sin[c + d*x]/(b^2*d) - (a^2 - b^2)^2/(a^2*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (2*b*Csc[c + d*x])/(a^3*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a^2*d) - ((2*a^2 - 3*b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + ((a^4 + 2*a^2*b^2 - 3*b^4)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^4*b^2*d) + (a^2 - b^2)^2/(a^3*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, ((2*a^2 - 3*b^2)*Csc[c + d*x])/(a^4*d) + (b*Csc[c + d*x]^2)/(a^3*d) - Csc[c + d*x]^3/(3*a^2*d) + (4*b*(a^2 - b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^5*d) - (4*b*(a^2 - b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^5*d) - (a^2 - b^2)^2/(a^4*b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (-4*b*(a^2 - b^2)*Csc[c + d*x])/(a^5*d) + ((2*a^2 - 3*b^2)*Csc[c + d*x]^2)/(2*a^4*d) + (2*b*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) - Csc[c + d*x]^4/(4*a^2*d) + ((a^4 - 6*a^2*b^2 + 5*b^4)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^6*d) - ((a^4 - 6*a^2*b^2 + 5*b^4)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^6*d) + (a^2 - b^2)^2/(a^5*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -(((a^4 - 6*a^2*b^2 + 5*b^4)*Csc[c + d*x])/(a^6*d)) - (2*b*(a^2 - b^2)*Csc[c + d*x]^2)/(a^5*d) + ((2*a^2 - 3*b^2)*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^4*d) + (b*Csc[c + d*x]^4)/(2*a^3*d) - Csc[c + d*x]^5/(5*a^2*d) - (2*b*(a^4 - 4*a^2*b^2 + 3*b^4)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^7*d) + (2*b*(a^4 - 4*a^2*b^2 + 3*b^4)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^7*d) - (b*(a^2 - b^2)^2)/(a^6*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^5 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^5 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^m with n symbolic*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (a^2*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)) + (2*a*b*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)) - ((2*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]^(3 + n))/(d*(3 + n)) - (4*a*b*Sin[c + d*x]^(4 + n))/(d*(4 + n)) + ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^(5 + n))/(d*(5 + n)) + (2*a*b*Sin[c + d*x]^(6 + n))/(d*(6 + n)) + (b^2*Sin[c + d*x]^(7 + n))/(d*(7 + n))}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n*(a + b*Sin[c + d*x])^1, x, 3, (a*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)) + (b*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)) - (2*a*Sin[c + d*x]^(3 + n))/(d*(3 + n)) - (2*b*Sin[c + d*x]^(4 + n))/(d*(4 + n)) + (a*Sin[c + d*x]^(5 + n))/(d*(5 + n)) + (b*Sin[c + d*x]^(6 + n))/(d*(6 + n))}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n/(a + b*Sin[c + d*x])^1, x, 5, -((a*(a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(b^4*d*(1 + n))) + ((a^2 - b^2)^2*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, -((b*Sin[c + d*x])/a)]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(a*b^4*d*(1 + n)) + ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(b^3*d*(2 + n)) - (a*Sin[c + d*x]^(3 + n))/(b^2*d*(3 + n)) + Sin[c + d*x]^(4 + n)/(b*d*(4 + n))}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 5, ((3*a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(b^4*d*(1 + n)) + ((a^2 - b^2)*(b^2*n - a^2*(4 + n))*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, -((b*Sin[c + d*x])/a)]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(a^2*b^4*d*(1 + n)) - (2*a*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(b^3*d*(2 + n)) + Sin[c + d*x]^(3 + n)/(b^2*d*(3 + n)) + ((a^2 - b^2)^2*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(a*b^4*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^6 (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^6 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 12, (5*a*b*x)/512 - ((a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + ((2*a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) - ((a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x]^11)/(11*d) + (b^2*Cos[c + d*x]^13)/(13*d) + (5*a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(512*d) + (5*a*b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(768*d) + (a*b*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(192*d) - (a*b*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(32*d) - (a*b*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^3)/(12*d) - (a*b*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^5)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 12, ((12*a^2 + 5*b^2)*x)/1024 - (2*a*b*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (4*a*b*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) - (2*a*b*Cos[c + d*x]^11)/(11*d) + ((12*a^2 + 5*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(1024*d) + ((12*a^2 + 5*b^2)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(1536*d) + ((12*a^2 + 5*b^2)*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(1920*d) - ((44*a^2 + 45*b^2)*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(320*d) + ((12*a^2 + 25*b^2)*Cos[c + d*x]^9*Sin[c + d*x])/(120*d) - (b^2*Cos[c + d*x]^11*Sin[c + d*x])/(12*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 11, (3*a*b*x)/128 - ((a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + ((a^2 + 2*b^2)*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) - (b^2*Cos[c + d*x]^11)/(11*d) + (3*a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (a*b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*d) + (a*b*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(80*d) - (3*a*b*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(40*d) - (a*b*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^3)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 11, (1/256)*(10*a^2 + 3*b^2)*x - (2*a*b*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (2*a*b*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) + ((10*a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(256*d) + ((10*a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(384*d) + ((10*a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(480*d) - ((10*a^2 + 11*b^2)*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(80*d) + (b^2*Cos[c + d*x]^9*Sin[c + d*x])/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 7, (5*a*b*x)/64 - ((a^2 + 8*b^2)*Cos[c + d*x]^7)/(252*d) + (5*a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(64*d) + (5*a*b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(96*d) + (a*b*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(24*d) - (a*Cos[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x]))/(36*d) - (Cos[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, If[$VersionNumber<11, 10, 9], (5*a*b*x)/8 - (a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*Cos[c + d*x])/d + (a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^2*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (5*a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (5*a*b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(12*d) + (a*b*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, If[$VersionNumber<11, 11, 12], (1/16)*-5*(6*a^2 - b^2)*x - (2*a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (2*a*b*Cos[c + d*x])/d + (2*a*b*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a*b*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^2*Cot[c + d*x])/d - ((14*a^2 - 5*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) - ((6*a^2 - 5*b^2)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (b^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 11, (1/4)*-15*a*b*x + ((5*a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - ((2*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/d - ((a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (15*a*b*Cot[c + d*x])/(4*d) + (5*a*b*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(4*d) + (a*b*Cos[c + d*x]^4*Cot[c + d*x])/(2*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 12, (5/8)*(4*a^2 - 3*b^2)*x + (5*a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (5*a*b*Cos[c + d*x])/d - (5*a*b*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + ((2*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x])/d - (a*b*Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^2)/d - (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + ((4*a^2 - 7*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (b^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 12, 5*a*b*x - (5*(3*a^2 - 4*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Cos[c + d*x])/d - (b^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (5*a*b*Cot[c + d*x])/d - (5*a*b*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*b*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^3)/d + ((9*a^2 - 4*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 16, -(a^2*x) + (5*b^2*x)/2 - (15*a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(4*d) + (15*a*b*Cos[c + d*x])/(4*d) - (a^2*Cot[c + d*x])/d + (5*b^2*Cot[c + d*x])/(2*d) + (5*a*b*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(4*d) + (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*b^2*Cot[c + d*x]^3)/(6*d) + (b^2*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^3)/(2*d) - (a*b*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^4)/(2*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 11, -2*a*b*x + (5*(a^2 - 6*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d) + (b^2*Cos[c + d*x])/d - (2*a*b*Cot[c + d*x])/d + (2*a*b*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a*b*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - ((11*a^2 - 18*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) + ((13*a^2 - 6*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(24*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^8*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, (-b^2)*x + (5*a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) - (b^2*Cot[c + d*x])/d + (b^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (5*a*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) + (5*a*b*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(12*d) - (a*b*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^9*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, (5*(a^2 + 8*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*d) - (2*a*b*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) + ((5*a^2 - 88*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*d) - ((59*a^2 - 104*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(192*d) + ((17*a^2 - 8*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(48*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^7)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^10*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, (5*a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(64*d) - ((a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) + (5*a*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(64*d) - (5*a*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(32*d) + (5*a*b*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3)/(24*d) - (a*b*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^11*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 11, ((3*a^2 + 10*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(256*d) - (2*a*b*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (2*a*b*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) + ((3*a^2 + 10*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(256*d) + ((3*a^2 - 118*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(384*d) - ((93*a^2 - 170*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(480*d) + ((21*a^2 - 10*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^7)/(80*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^9)/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^12*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 10, (3*a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*d) - ((a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - ((2*a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^11)/(11*d) + (3*a*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*d) + (a*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(64*d) - (a*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(16*d) + (a*b*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^5)/(8*d) - (a*b*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 11, (a*(64*a^6 - 120*a^4*b^2 + 60*a^2*b^4 - 5*b^6)*x)/(8*b^9) - (2*a^2*(8*a^2 - 3*b^2)*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^9*d) + ((840*a^6 - 1435*a^4*b^2 + 588*a^2*b^4 - 15*b^6)*Cos[c + d*x])/(105*b^8*d) - (a*(32*a^4 - 52*a^2*b^2 + 19*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*b^7*d) + ((280*a^4 - 441*a^2*b^2 + 150*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(105*b^6*d) - ((24*a^4 - 37*a^2*b^2 + 12*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(12*a*b^5*d) + ((224*a^4 - 340*a^2*b^2 + 105*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(140*a^2*b^4*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(4*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (3*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(20*a^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - ((20*a^4 - 30*a^2*b^2 + 9*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(15*a^2*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (4*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^6)/(21*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^7)/(7*b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 10, -(((112*a^6 - 200*a^4*b^2 + 90*a^2*b^4 - 5*b^6)*x)/(16*b^8)) + (2*a*(7*a^2 - 2*b^2)*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^8*d) - (a*(105*a^4 - 170*a^2*b^2 + 61*b^4)*Cos[c + d*x])/(15*b^7*d) + ((56*a^4 - 86*a^2*b^2 + 27*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*b^6*d) - ((35*a^4 - 52*a^2*b^2 + 15*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(15*a*b^5*d) + ((42*a^4 - 61*a^2*b^2 + 16*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(24*a^2*b^4*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(6*a^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - ((14*a^4 - 20*a^2*b^2 + 5*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(10*a^2*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (7*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(30*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^6)/(6*b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 7, (a*(24*a^4 - 40*a^2*b^2 + 15*b^4)*x)/(4*b^7) - (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*(6*a^2 - b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^7*d) + (Cos[c + d*x]^5*(6*a + b*Sin[c + d*x]))/(5*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^3*(2*(6*a^2 - b^2) - 9*a*b*Sin[c + d*x]))/(6*b^4*d) + (Cos[c + d*x]*(4*(6*a^4 - 7*a^2*b^2 + b^4) - a*b*(12*a^2 - 11*b^2)*Sin[c + d*x]))/(4*b^6*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 16, (a*x)/b^3 + (2*a*(2*a^2 - 3*b^2)*x)/b^5 + (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^5*d) - (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*(5*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*b^5*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^2*d) + Cos[c + d*x]/(b^2*d) + (3*(a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/(b^4*d) - Cos[c + d*x]^3/(3*b^2*d) - (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(b^3*d) + ((a^2 - b^2)^2*Cos[c + d*x])/(a*b^4*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 16, -(x/(2*b^2)) - (3*(a^2 - b^2)*x)/b^4 - (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*b^4*d) + (4*(2*a^6 - 3*a^4*b^2 + b^6)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*b^4*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (2*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) - (2*a*Cos[c + d*x])/(b^3*d) - Cot[c + d*x]/(a^2*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d) - ((a^2 - b^2)^2*Cos[c + d*x])/(a^2*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 16, (2*a*x)/b^3 + (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*b^3*d) - (6*(a^2 - b^2)^(3/2)*(a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*b^3*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(2*a^2*d) + (3*(a^2 - b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^4*d) + Cos[c + d*x]/(b^2*d) + (2*b*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^2*d) + ((a^2 - b^2)^2*Cos[c + d*x])/(a^3*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 17, -(x/b^2) - (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*b^2*d) + (4*(a^6 - 3*a^2*b^4 + 2*b^6)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^5*b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) - (2*b*(3*a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^5*d) - Cot[c + d*x]/(a^2*d) + (3*(a^2 - b^2)*Cot[c + d*x])/(a^4*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^2*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(a^3*d) - ((a^2 - b^2)^2*Cos[c + d*x])/(a^4*b*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, -((10*b*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^6*d)) - (5*(3*a^4 - 12*a^2*b^2 + 8*b^4)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^6*d) + ((3*a^4 - 20*a^2*b^2 + 15*b^4)*Cot[c + d*x])/(3*a^5*b*d) + (5*(5*a^2 - 4*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^4*d) - Cot[c + d*x]/(b*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - ((6*a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(3*a^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (5*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(12*a^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 10, -((2*(a^2 - 6*b^2)*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^7*d)) + (b*(15*a^4 - 40*a^2*b^2 + 24*b^4)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(4*a^7*d) - ((38*a^4 - 135*a^2*b^2 + 90*b^4)*Cot[c + d*x])/(15*a^6*d) + ((4*a^4 - 17*a^2*b^2 + 12*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(4*a^5*b*d) - ((15*a^4 - 82*a^2*b^2 + 60*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(30*a^4*b^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(6*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + ((2*a^4 - 12*a^2*b^2 + 9*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(6*a^3*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (3*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(10*a^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(5*a*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^7/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 11, (2*b*(2*a^2 - 7*b^2)*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^8*d) + ((5*a^6 - 90*a^4*b^2 + 200*a^2*b^4 - 112*b^6)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*a^8*d) + (b*(61*a^4 - 170*a^2*b^2 + 105*b^4)*Cot[c + d*x])/(15*a^7*d) - ((27*a^4 - 86*a^2*b^2 + 56*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*a^6*d) + ((15*a^4 - 52*a^2*b^2 + 35*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(15*a^5*b*d) - ((16*a^4 - 61*a^2*b^2 + 42*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(24*a^4*b^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(6*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + ((5*a^4 - 20*a^2*b^2 + 14*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(10*a^3*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (7*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(30*a^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(6*a*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 11, -(((448*a^6 - 600*a^4*b^2 + 180*a^2*b^4 - 5*b^6)*x)/(16*b^9)) + (a*Sqrt[a^2 - b^2]*(56*a^4 - 47*a^2*b^2 + 6*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^9*d) - (a*(840*a^4 - 985*a^2*b^2 + 213*b^4)*Cos[c + d*x])/(30*b^8*d) + ((224*a^4 - 244*a^2*b^2 + 43*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*b^7*d) - ((280*a^4 - 291*a^2*b^2 + 45*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(30*a*b^6*d) + ((168*a^4 - 169*a^2*b^2 + 24*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(24*a^2*b^5*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(4*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(10*a^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - ((56*a^4 - 60*a^2*b^2 + 9*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(60*a^2*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (4*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^6)/(15*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^7)/(6*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - ((112*a^4 - 110*a^2*b^2 + 15*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(20*a^2*b^4*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 10, (a*(168*a^4 - 200*a^2*b^2 + 45*b^4)*x)/(8*b^8) - (Sqrt[a^2 - b^2]*(42*a^4 - 29*a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^8*d) + ((630*a^4 - 645*a^2*b^2 + 91*b^4)*Cos[c + d*x])/(30*b^7*d) - ((84*a^4 - 79*a^2*b^2 + 8*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*b^6*d) + ((210*a^4 - 187*a^2*b^2 + 15*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(30*a^2*b^5*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(12*a^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - ((63*a^4 - 60*a^2*b^2 + 5*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(60*a^2*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (7*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(20*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^6)/(5*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - ((63*a^4 - 54*a^2*b^2 + 4*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(12*a^2*b^4*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, -((15*(8*a^4 - 8*a^2*b^2 + b^4)*x)/(8*b^7)) + (15*a*(2*a^4 - 3*a^2*b^2 + b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^7*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (Cos[c + d*x]^5*(3*a + b*Sin[c + d*x]))/(4*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (5*Cos[c + d*x]^3*(4*a^2 - b^2 + a*b*Sin[c + d*x]))/(4*b^4*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (15*Cos[c + d*x]*(4*a*(2*a^2 - b^2) - b*(4*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*b^6*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 20, -(x/(2*b^3)) - (3*(2*a^2 - b^2)*x)/b^5 + (Sqrt[a^2 - b^2]*(2*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*b^5*d) - (2*Sqrt[a^2 - b^2]*(5*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*b^5*d) + (2*(10*a^6 - 9*a^4*b^2 - b^6)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*b^5*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^3*d) - (3*a*Cos[c + d*x])/(b^4*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^3*d) + ((a^2 - b^2)^2*Cos[c + d*x])/(2*a*b^4*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (3*(a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/(2*b^4*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - ((a^2 - b^2)*(5*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x])/(a^2*b^4*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 20, (3*a*x)/b^4 + (3*Sqrt[a^2 - b^2]*(2*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*b^4*d) - (6*(2*a^6 - a^4*b^2 - b^6)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*b^4*Sqrt[a^2 - b^2]*d) + (3*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^4*d) + Cos[c + d*x]/(b^3*d) - Cot[c + d*x]/(a^3*d) - ((a^2 - b^2)^2*Cos[c + d*x])/(2*a^2*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (3*(a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/(2*a*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (2*(a^2 - b^2)*(2*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x])/(a^3*b^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 21, -(x/b^3) - (6*Sqrt[a^2 - b^2]*(a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*b^3*d) + (Sqrt[a^2 - b^2]*(2*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*b^3*d) + (6*(a^6 + a^2*b^4 - 2*b^6)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^5*b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(2*a^3*d) + (3*(a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^5*d) + (3*b*Cot[c + d*x])/(a^4*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^3*d) + ((a^2 - b^2)^2*Cos[c + d*x])/(2*a^3*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (3*(a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/(2*a^2*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (3*(a^4 - b^4)*Cos[c + d*x])/(a^4*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 9, (5*(a^2 - 4*b^2)*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^6*d) - (5*b*(3*a^2 - 4*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^6*d) + ((3*a^4 + 35*a^2*b^2 - 60*b^4)*Cot[c + d*x])/(6*a^5*b^2*d) - Cos[c + d*x]/(b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (a*Cot[c + d*x])/(2*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - ((3*a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x])/(3*a^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (5*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(6*a^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (5*(a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x])/(2*a^4*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 10, -((15*b*(a^2 - 2*b^2)*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^7*d)) - (15*(a^4 - 8*a^2*b^2 + 8*b^4)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^7*d) + ((a^4 - 25*a^2*b^2 + 30*b^4)*Cot[c + d*x])/(2*a^6*b*d) + (15*(3*a^2 - 4*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^5*d) - Cot[c + d*x]/(2*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - ((4*a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(4*a^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(2*a^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - ((7*a^2 - 10*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^4*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 11, -((Sqrt[a^2 - b^2]*(2*a^4 - 29*a^2*b^2 + 42*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^8*d)) + (b*(45*a^4 - 200*a^2*b^2 + 168*b^4)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^8*d) - ((91*a^4 - 645*a^2*b^2 + 630*b^4)*Cot[c + d*x])/(30*a^7*d) + ((8*a^4 - 79*a^2*b^2 + 84*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^6*b*d) - ((15*a^4 - 187*a^2*b^2 + 210*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(30*a^5*b^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(3*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(12*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((5*a^4 - 60*a^2*b^2 + 63*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(60*a^3*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (7*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(20*a^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(5*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((4*a^4 - 54*a^2*b^2 + 63*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(12*a^4*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^8/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 13, -((3*b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*(4*a^4 - 23*a^2*b^2 + 24*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^10*d)) - (3*b*(5*a^6 - 100*a^4*b^2 + 280*a^2*b^4 - 192*b^6)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*a^10*d) + ((10*a^6 - 889*a^4*b^2 + 3255*a^2*b^4 - 2520*b^6)*Cot[c + d*x])/(70*a^9*d) + (3*b*(27*a^4 - 116*a^2*b^2 + 96*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*a^8*d) - ((205*a^4 - 973*a^2*b^2 + 840*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(70*a^7*d) + ((16*a^4 - 81*a^2*b^2 + 72*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(8*a^6*b*d) - (3*(35*a^4 - 185*a^2*b^2 + 168*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(70*a^5*b^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(5*b*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(10*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((7*a^4 - 35*a^2*b^2 + 30*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(35*a^3*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (3*b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(14*a^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^6)/(7*a*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + ((12*a^4 - 65*a^2*b^2 + 60*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(10*a^4*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^6 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^6 (d Sin[e+f x])^(n/2) (a+b Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^6/(Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x])^(13/2)), x, 8, (2*Cos[e + f*x]^5*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(11*a*d*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(11/2)) - (20*(a^2 - b^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(99*a^2*b^2*d*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(9/2)) + (80*(3*a^2 + 2*b^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(693*a^3*b^2*d*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (4*(5*a^4 - 17*a^2*b^2 + 16*b^4)*Cos[e + f*x]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(231*a^4*b^2*(a^2 - b^2)*d*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (8*(5*a^6 - 22*a^4*b^2 + 65*a^2*b^4 - 32*b^6)*Cos[e + f*x]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(693*a^5*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (16*b*(93*a^4 - 93*a^2*b^2 + 32*b^4)*Cos[e + f*x])/(693*a^5*(a^2 - b^2)^3*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - (16*b*(93*a^4 - 93*a^2*b^2 + 32*b^4)*Sqrt[(a*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[e + f*x])/(693*a^7*(a - b)^2*(a + b)^(5/2)*Sqrt[d]*f) - (16*(45*a^4 - 48*a^3*b - 69*a^2*b^2 + 24*a*b^3 + 32*b^4)*Sqrt[(a*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[e + f*x])/(693*a^6*(a - b)^2*(a + b)^(5/2)*Sqrt[d]*f)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x])^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2/((g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]), x, 9, (2*(a^2 + b^2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(3*d*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)) + (4*a*b*(d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*d^2*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)) + ((2*a^2 - b^2)*EllipticF[(1/4)*(4*e - Pi) + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(3*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]), (2*(a^2 + b^2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(3*d*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)) + (4*a*b*(d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*d^2*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)) - (2*(2*a^2 - b^2)*(1 - Csc[e + f*x]^2)^(3/4)*EllipticF[(1/2)*ArcCsc[Sin[e + f*x]], 2]*(d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*d^2*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2/((g*Cos[e + f*x])^(7/2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]), x, 6, (8*a^2*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(5*d*f*g^3*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (8*a*b*(d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*d^2*f*g^3*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x])^2)/(5*d*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)) - (8*a*b*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(5*d*f*g^4*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (d Sin[e+f x])^n / (a+b Sin[e+f x])^1*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^p Sin[e+f x]^n / (a+b Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a^3*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^4*d)) + (a^2*Sin[c + d*x])/(b^3*d) - (a*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^2*d) + Sin[c + d*x]^3/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, (a^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^3*d) - (a*Sin[c + d*x])/(b^2*d) + Sin[c + d*x]^2/(2*b*d)}
+{Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^2*d)) + Sin[c + d*x]/(b*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - Log[a + b*Sin[c + d*x]]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a*d)) - (b*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (b*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, (b*Csc[c + d*x])/(a^2*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a*d) + (b^2*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (b^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 10, (a*(8*a^4 - 4*a^2*b^2 - b^4)*x)/(8*b^6) - (2*a^4*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^6*d) + ((15*a^4 - 5*a^2*b^2 - 2*b^4)*Cos[c + d*x])/(15*b^5*d) - (a*(4*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*b^4*d) + ((5*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(15*b^3*d) - (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*b^2*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 9, -(((8*a^4 - 4*a^2*b^2 - b^4)*x)/(8*b^5)) + (2*a^3*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^5*d) - (a*(3*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/(3*b^4*d) + ((4*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*b^3*d) - (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(3*b^2*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 8, (a*(2*a^2 - b^2)*x)/(2*b^4) - (2*a^2*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^4*d) + ((3*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/(3*b^3*d) - (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 5, -(((2*a^2 - b^2)*x)/(2*b^3)) + (2*a*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^3*d) - (Cos[c + d*x]*(2*a - b*Sin[c + d*x]))/(2*b^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -(x/b) + (2*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*b*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, -((2*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*d)) + (b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 8, (2*b*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*d) + ((a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^3*d) + (b*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 9, -((2*b^2*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*d)) - (b*(a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^4*d) + ((a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x])/(3*a^3*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 10, (2*b^3*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^5*d) + ((a^4 + 4*a^2*b^2 - 8*b^4)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^5*d) - (b*(a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x])/(3*a^4*d) + ((a^2 - 4*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^3*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 11, -((2*b^4*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^6*d)) - (b*(a^4 + 4*a^2*b^2 - 8*b^4)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^6*d) + ((2*a^4 + 5*a^2*b^2 - 15*b^4)*Cot[c + d*x])/(15*a^5*d) - (b*(a^2 - 4*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^4*d) + ((a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(15*a^3*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(5*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, (a^3*(a^2 - b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^6*d) - (a^2*(a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(b^5*d) + (a*(a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^4*d) - ((a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^3*d) + (a*Sin[c + d*x]^4)/(4*b^2*d) - Sin[c + d*x]^5/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a^2*(a^2 - b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^5*d)) + (a*(a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(b^4*d) - ((a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^3*d) + (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^2*d) - Sin[c + d*x]^4/(4*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, (a*(a^2 - b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^4*d) - ((a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(b^3*d) + (a*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^2*d) - Sin[c + d*x]^3/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) + ((a^2 - b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a*b^2*d) - Sin[c + d*x]/(b*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a*d)) - (b*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - ((1 - b^2/a^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, (b*Csc[c + d*x])/(a^2*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a*d) - ((a^2 - b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + ((a^2 - b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 9, ((16*a^6 - 24*a^4*b^2 + 6*a^2*b^4 + b^6)*x)/(16*b^7) - (2*a^3*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^7*d) + (a*(15*a^4 - 20*a^2*b^2 + 3*b^4)*Cos[c + d*x])/(15*b^6*d) - ((8*a^4 - 10*a^2*b^2 + b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*b^5*d) + (a*(5*a^2 - 6*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(15*b^4*d) - ((6*a^2 - 7*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(24*b^3*d) + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(5*b^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(6*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 8, -((a*(8*a^4 - 12*a^2*b^2 + 3*b^4)*x)/(8*b^6)) + (2*a^2*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^6*d) - ((15*a^4 - 20*a^2*b^2 + 3*b^4)*Cos[c + d*x])/(15*b^5*d) + (a*(4*a^2 - 5*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*b^4*d) - ((5*a^2 - 6*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(15*b^3*d) + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*b^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, ((8*a^4 - 12*a^2*b^2 + 3*b^4)*x)/(8*b^5) - (2*a*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^5*d) - (Cos[c + d*x]^3*(4*a - 3*b*Sin[c + d*x]))/(12*b^2*d) + (Cos[c + d*x]*(8*a*(a^2 - b^2) - b*(4*a^2 - 3*b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*b^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, ((2*a^2 - 3*b^2)*x)/(2*b^3) - (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*b^3*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d) + (a*Cos[c + d*x])/(b^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -((a*x)/b^2) + (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*b^2*d) + (b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - Cos[c + d*x]/(b*d) - Cot[c + d*x]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, x/b - (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*b*d) + ((3*a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^3*d) + (b*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*d) - (b*(3*a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^4*d) + ((4*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x])/(3*a^3*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 8, -((2*b*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^5*d)) - ((3*a^4 - 12*a^2*b^2 + 8*b^4)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^5*d) - (b*(4*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x])/(3*a^4*d) + ((5*a^2 - 4*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^3*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 9, (2*b^2*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^6*d) + (b*(3*a^4 - 12*a^2*b^2 + 8*b^4)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^6*d) - ((3*a^4 - 20*a^2*b^2 + 15*b^4)*Cot[c + d*x])/(15*a^5*d) - (b*(5*a^2 - 4*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^4*d) + ((6*a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(15*a^3*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(5*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a^3*(a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^8*d)) + (a^2*(a^2 - b^2)^2*Sin[c + d*x])/(b^7*d) - (a*(a^2 - b^2)^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^6*d) + ((a^2 - b^2)^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^5*d) - (a*(a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^4)/(4*b^4*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^5)/(5*b^3*d) - (a*Sin[c + d*x]^6)/(6*b^2*d) + Sin[c + d*x]^7/(7*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, (a^2*(a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^7*d) - (a*(a^2 - b^2)^2*Sin[c + d*x])/(b^6*d) + ((a^2 - b^2)^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^5*d) - (a*(a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^4*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^4)/(4*b^3*d) - (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*b^2*d) + Sin[c + d*x]^6/(6*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*(a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^6*d)) + ((a^2 - b^2)^2*Sin[c + d*x])/(b^5*d) - (a*(a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^4*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^3*d) - (a*Sin[c + d*x]^4)/(4*b^2*d) + Sin[c + d*x]^5/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - ((a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a*b^4*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(b^3*d) - (a*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^2*d) + Sin[c + d*x]^3/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a*d)) - (b*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + ((a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^2*b^3*d) - (a*Sin[c + d*x])/(b^2*d) + Sin[c + d*x]^2/(2*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, (b*Csc[c + d*x])/(a^2*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a*d) - ((2*a^2 - b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - ((a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^3*b^2*d) + Sin[c + d*x]/(b*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, ((2*a^2 - b^2)*Csc[c + d*x])/(a^3*d) + (b*Csc[c + d*x]^2)/(2*a^2*d) - Csc[c + d*x]^3/(3*a*d) + (b*(2*a^2 - b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + ((a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^4*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, -((b*(2*a^2 - b^2)*Csc[c + d*x])/(a^4*d)) + ((2*a^2 - b^2)*Csc[c + d*x]^2)/(2*a^3*d) + (b*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - Csc[c + d*x]^4/(4*a*d) + ((a^2 - b^2)^2*Log[Sin[c + d*x]])/(a^5*d) - ((a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -(((a^2 - b^2)^2*Csc[c + d*x])/(a^5*d)) - (b*(2*a^2 - b^2)*Csc[c + d*x]^2)/(2*a^4*d) + ((2*a^2 - b^2)*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (b*Csc[c + d*x]^4)/(4*a^2*d) - Csc[c + d*x]^5/(5*a*d) - (b*(a^2 - b^2)^2*Log[Sin[c + d*x]])/(a^6*d) + (b*(a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^6*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^7/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, (b*(a^2 - b^2)^2*Csc[c + d*x])/(a^6*d) - ((a^2 - b^2)^2*Csc[c + d*x]^2)/(2*a^5*d) - (b*(2*a^2 - b^2)*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^4*d) + ((2*a^2 - b^2)*Csc[c + d*x]^4)/(4*a^3*d) + (b*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - Csc[c + d*x]^6/(6*a*d) + (b^2*(a^2 - b^2)^2*Log[Sin[c + d*x]])/(a^7*d) - (b^2*(a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^7*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 11, -(((128*a^8 - 320*a^6*b^2 + 240*a^4*b^4 - 40*a^2*b^6 - 5*b^8)*x)/(128*b^9)) + (2*a^3*(a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^9*d) - (a*(105*a^6 - 245*a^4*b^2 + 161*a^2*b^4 - 15*b^6)*Cos[c + d*x])/(105*b^8*d) + ((64*a^6 - 144*a^4*b^2 + 88*a^2*b^4 - 5*b^6)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*b^7*d) - (a*(35*a^4 - 77*a^2*b^2 + 45*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(105*b^6*d) + ((48*a^4 - 104*a^2*b^2 + 59*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(192*b^5*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(4*a*d) - ((28*a^4 - 60*a^2*b^2 + 35*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(140*a*b^4*d) - (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + ((40*a^4 - 85*a^2*b^2 + 48*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(240*a^2*b^3*d) - (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^6)/(7*b^2*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^7)/(8*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 10, (a*(16*a^6 - 40*a^4*b^2 + 30*a^2*b^4 - 5*b^6)*x)/(16*b^8) - (2*a^2*(a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^8*d) + ((105*a^6 - 245*a^4*b^2 + 161*a^2*b^4 - 15*b^6)*Cos[c + d*x])/(105*b^7*d) - (a*(8*a^4 - 18*a^2*b^2 + 11*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*b^6*d) + ((35*a^4 - 77*a^2*b^2 + 45*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2)/(105*b^5*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d) - ((6*a^4 - 13*a^2*b^2 + 8*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(24*a*b^4*d) - (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(4*a^2*d) + ((28*a^4 - 60*a^2*b^2 + 35*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^4)/(140*a^2*b^3*d) - (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(6*b^2*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^6)/(7*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, -(((16*a^6 - 40*a^4*b^2 + 30*a^2*b^4 - 5*b^6)*x)/(16*b^7)) + (2*a*(a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^7*d) - (Cos[c + d*x]^5*(6*a - 5*b*Sin[c + d*x]))/(30*b^2*d) + (Cos[c + d*x]^3*(8*a*(a^2 - b^2) - b*(6*a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x]))/(24*b^4*d) - (Cos[c + d*x]*(16*a*(a^2 - b^2)^2 - b*(8*a^4 - 14*a^2*b^2 + 5*b^4)*Sin[c + d*x]))/(16*b^6*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 14, -((3*x)/(8*b)) - ((a^2 - 3*b^2)*x)/(2*b^3) - ((a^4 - 3*a^2*b^2 + 3*b^4)*x)/b^5 + (2*(a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*b^5*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d) - (a*Cos[c + d*x])/(b^2*d) - (a*(a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x])/(b^4*d) + (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*b^2*d) + (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*b*d) + ((a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^3*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 13, (a*x)/(2*b^2) + (a*(a^2 - 3*b^2)*x)/b^4 - (2*(a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*b^4*d) + (b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) + Cos[c + d*x]/(b*d) + ((a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x])/(b^3*d) - Cos[c + d*x]^3/(3*b*d) - Cot[c + d*x]/(a*d) - (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -(((2*a^2 - 5*b^2)*x)/(2*b^3)) + (2*(a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*b^3*d) + ((5*a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (a*Cos[c + d*x])/(b^2*d) + (b*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 13, (a*x)/b^2 - (2*(a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*b^2*d) + (b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^2*d) - (b*(3*a^2 - b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^4*d) + Cos[c + d*x]/(b*d) - Cot[c + d*x]/(a*d) + ((3*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 15, -(x/b) + (2*(a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^5*b*d) - ((15*a^4 - 20*a^2*b^2 + 8*b^4)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^5*d) + (b*(-2*a^2 + b^2)*Cot[c + d*x])/(a^4*d) + (b*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + ((7*a^2 - 4*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^3*d) - (Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x])/(4*a*d), -(x/b) + (2*(a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^5*b*d) - (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a*d) + ((3*a^2 - b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^3*d) - ((3*a^4 - 3*a^2*b^2 + b^4)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^5*d) + (b*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - (b*(3*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x])/(a^4*d) + (b*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a*d) + ((3*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^3*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 9, -((2*(a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^6*d)) + (b*(15*a^4 - 20*a^2*b^2 + 8*b^4)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^6*d) - ((23*a^4 - 35*a^2*b^2 + 15*b^4)*Cot[c + d*x])/(15*a^5*d) + (b*(-9*a^2 + 4*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^4*d) + ((11*a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(15*a^3*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(5*a*d), -((2*(a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^6*d)) + (b*(15*a^4 - 20*a^2*b^2 + 8*b^4)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^6*d) - ((23*a^4 - 35*a^2*b^2 + 15*b^4)*Cot[c + d*x])/(15*a^5*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(b*d) + ((8*a^4 - 9*a^2*b^2 + 4*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^4*b*d) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(2*b^2*d) - ((15*a^4 - 22*a^2*b^2 + 10*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(30*a^3*b^2*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(5*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^7/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 10, (2*b*(a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^7*d) + ((5*a^6 - 30*a^4*b^2 + 40*a^2*b^4 - 16*b^6)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*a^7*d) + (b*(23*a^4 - 35*a^2*b^2 + 15*b^4)*Cot[c + d*x])/(15*a^6*d) - ((11*a^4 - 18*a^2*b^2 + 8*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*a^5*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(2*b*d) + ((15*a^4 - 22*a^2*b^2 + 10*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(30*a^4*b*d) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(3*b^2*d) - ((8*a^4 - 13*a^2*b^2 + 6*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(24*a^3*b^2*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(5*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(6*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^8/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 11, -((2*b^2*(a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^8*d)) - (b*(5*a^6 - 30*a^4*b^2 + 40*a^2*b^4 - 16*b^6)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*a^8*d) + ((15*a^6 - 161*a^4*b^2 + 245*a^2*b^4 - 105*b^6)*Cot[c + d*x])/(105*a^7*d) + (b*(11*a^4 - 18*a^2*b^2 + 8*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*a^6*d) - ((45*a^4 - 77*a^2*b^2 + 35*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(105*a^5*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(3*b*d) + ((8*a^4 - 13*a^2*b^2 + 6*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(24*a^4*b*d) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(4*b^2*d) - ((35*a^4 - 60*a^2*b^2 + 28*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(140*a^3*b^2*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(6*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^6)/(7*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*Csc[c + d*x]^9/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 12, (2*b^3*(a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^9*d) + ((5*a^8 + 40*a^6*b^2 - 240*a^4*b^4 + 320*a^2*b^6 - 128*b^8)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*a^9*d) - (b*(15*a^6 - 161*a^4*b^2 + 245*a^2*b^4 - 105*b^6)*Cot[c + d*x])/(105*a^8*d) + ((5*a^6 - 88*a^4*b^2 + 144*a^2*b^4 - 64*b^6)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(128*a^7*d) + (b*(45*a^4 - 77*a^2*b^2 + 35*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(105*a^6*d) - ((59*a^4 - 104*a^2*b^2 + 48*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(192*a^5*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(4*b*d) + ((35*a^4 - 60*a^2*b^2 + 28*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(140*a^4*b*d) + (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(5*b^2*d) - ((48*a^4 - 85*a^2*b^2 + 40*b^4)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(240*a^3*b^2*d) + (b*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^6)/(7*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^7)/(8*a*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -Log[1 - Sin[c + d*x]]/(2*(a + b)*d) - Log[1 + Sin[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) + (a^3*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) - Sin[c + d*x]/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -Log[1 - Sin[c + d*x]]/(2*(a + b)*d) + Log[1 + Sin[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) - (a^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, -Log[1 - Sin[c + d*x]]/(2*(a + b)*d) - Log[1 + Sin[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) + (a*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -Log[1 - Sin[c + d*x]]/(2*(a + b)*d) + Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - Log[1 + Sin[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) + (b^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a*d)) - Log[1 - Sin[c + d*x]]/(2*(a + b)*d) - (b*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + Log[1 + Sin[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) - (b^3*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, (b*Csc[c + d*x])/(a^2*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a*d) - Log[1 - Sin[c + d*x]]/(2*(a + b)*d) + ((a^2 + b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - Log[1 + Sin[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) + (b^4*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^3*(a^2 - b^2)*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 14, (3*b*x)/(2*(a^2 - b^2)) - (a^2*(2*a^2 + b^2)*x)/(2*b^3*(a^2 - b^2)) + (2*a^5*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^3*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (a*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) - (a^3*Cos[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) + (a*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d) - (3*b*Tan[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d) + (b*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 12, -((a*x)/(a^2 - b^2)) + (a^3*x)/(b^2*(a^2 - b^2)) - (2*a^4*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^2*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (a^2*Cos[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d) - (b*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) - (b*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) + (a*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 9, -((a^2*x)/(b*(a^2 - b^2))) + (b*x)/(a^2 - b^2) + (2*a^3*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (a*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) - (b*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 8, -((2*a^2*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d)) - (b*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) + (a*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 5, (2*a*b*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (Sec[c + d*x]*(a - b*Sin[c + d*x]))/((a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 10, (2*b^3*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d) + Sec[c + d*x]/(a*d) + (b*Sec[c + d*x]*(b - a*Sin[c + d*x]))/(a*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 13, -((2*b^4*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*(a^2 - b^2)^(3/2)*d)) + (b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]/(a*d) - (b*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) + (a*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d), -((2*b^4*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*(a^2 - b^2)^(3/2)*d)) + (b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]/(a*d) - (b*Sec[c + d*x])/(a^2*d) - (b^2*Sec[c + d*x]*(b - a*Sin[c + d*x]))/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + Tan[c + d*x]/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 17, (2*b^5*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) - ((3*a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^3*d) + (b*Cot[c + d*x])/(a^2*d) + ((3*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d) - (Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x])/(2*a*d) - (b*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d), (2*b^5*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a*d) - (b^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) + (b*Cot[c + d*x])/(a^2*d) + (3*Sec[c + d*x])/(2*a*d) + (b^2*Sec[c + d*x])/(a^3*d) - (Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x])/(2*a*d) + (b^3*Sec[c + d*x]*(b - a*Sin[c + d*x]))/(a^3*(a^2 - b^2)*d) - (b*Tan[c + d*x])/(a^2*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, ((2*a + b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*(a + b)^2*d) + ((2*a - b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*d) - (a^3*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*d) + (Sec[c + d*x]^2*(a - b*Sin[c + d*x]))/(2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 5, (a*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*(a + b)^2*d) - (a*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*d) + (a^2*b*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*d) - (Sec[c + d*x]^2*(b - a*Sin[c + d*x]))/(2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 5, -((b*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*(a + b)^2*d)) + (b*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*d) - (a*b^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*d) + (Sec[c + d*x]^2*(a - b*Sin[c + d*x]))/(2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -((2*a + 3*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*(a + b)^2*d) + Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - ((2*a - 3*b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*d) - (b^4*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)^2*d) + 1/(4*(a + b)*d*(1 - Sin[c + d*x])) + 1/(4*(a - b)*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a*d)) - ((3*a + 4*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*(a + b)^2*d) - (b*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + ((3*a - 4*b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*d) + (b^5*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)^2*d) + 1/(4*(a + b)*d*(1 - Sin[c + d*x])) - 1/(4*(a - b)*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, (b*Csc[c + d*x])/(a^2*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a*d) - ((4*a + 5*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*(a + b)^2*d) + ((2*a^2 + b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - ((4*a - 5*b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*d) - (b^6*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + 1/(4*(a + b)*d*(1 - Sin[c + d*x])) + 1/(4*(a - b)*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 13, (2*a^4*ArcTan[(b + a*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*d) + (a^2*b*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d) + (b*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) - (b*Sec[c + d*x]^3)/(3*(a^2 - b^2)*d) - (a^3*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d) + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 10, -((2*a^3*b*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*d)) + (a*Sec[c + d*x]^3)/(3*(a^2 - b^2)*d) - (a^2*Sec[c + d*x]*(a - b*Sin[c + d*x]))/((a^2 - b^2)^2*d) - (b*Tan[c + d*x]^3)/(3*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 10, (2*a^2*b^2*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*d) - (b*Sec[c + d*x]^3)/(3*(a^2 - b^2)*d) + (a^2*Sec[c + d*x]*(b - a*Sin[c + d*x]))/((a^2 - b^2)^2*d) + (a*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -((2*a*b^3*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*d)) + (Sec[c + d*x]^3*(a - b*Sin[c + d*x]))/(3*(a^2 - b^2)*d) - (Sec[c + d*x]*(3*a*b^2 - b*(a^2 + 2*b^2)*Sin[c + d*x]))/(3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 12, -((2*b^5*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*(a^2 - b^2)^(5/2)*d)) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d) + Sec[c + d*x]/(a*d) + Sec[c + d*x]^3/(3*a*d) + (b*Sec[c + d*x]^3*(b - a*Sin[c + d*x]))/(3*a*(a^2 - b^2)*d) - (b*Sec[c + d*x]*(3*b^3 + a*(2*a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x]))/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 15, (2*b^6*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*(a^2 - b^2)^(5/2)*d) + (b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]/(a*d) + (b*(-a^2 + 2*b^2)*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d) + (b*Sec[c + d*x]^3*(-a + b*Sin[c + d*x]))/(3*a*(a^2 - b^2)*d) + ((6*a^4 - 10*a^2*b^2 + b^4)*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a*d), (2*b^6*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*(a^2 - b^2)^(5/2)*d) + (b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]/(a*d) - (b*Sec[c + d*x])/(a^2*d) - (b*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - (b^2*Sec[c + d*x]^3*(b - a*Sin[c + d*x]))/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b^2*Sec[c + d*x]*(3*b^3 + a*(2*a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x]))/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d) + (2*Tan[c + d*x])/(a*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 20, -((2*b^7*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*(a^2 - b^2)^(5/2)*d)) - (5*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a*d) - (b^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) + (b*Cot[c + d*x])/(a^2*d) + (5*Sec[c + d*x])/(2*a*d) + (b^2*Sec[c + d*x])/(a^3*d) + (5*Sec[c + d*x]^3)/(6*a*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) - (Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x]^3)/(2*a*d) + (b^3*Sec[c + d*x]^3*(b - a*Sin[c + d*x]))/(3*a^3*(a^2 - b^2)*d) - (b^3*Sec[c + d*x]*(3*b^3 + a*(2*a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x]))/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) - (2*b*Tan[c + d*x])/(a^2*d) - (b*Tan[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^8/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -(((35*a^2 + 57*a*b + 24*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*(a + b)^3*d)) + ((35*a^2 - 57*a*b + 24*b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*(a - b)^3*d) - (a^8*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^3*(a^2 - b^2)^3*d) + (a*Sin[c + d*x])/(b^2*d) - Sin[c + d*x]^2/(2*b*d) - (Sec[c + d*x]^4*(b - a*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)*d) + (Sec[c + d*x]^2*(4*b*(4*a^2 - 3*b^2) - a*(13*a^2 - 9*b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^7/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -(((24*a^2 + 37*a*b + 15*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*(a + b)^3*d)) - ((24*a^2 - 37*a*b + 15*b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*(a - b)^3*d) + (a^7*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)^3*d) - Sin[c + d*x]/(b*d) + (Sec[c + d*x]^4*(a - b*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)*d) - (Sec[c + d*x]^2*(4*a*(3*a^2 - 2*b^2) - b*(13*a^2 - 9*b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -(((15*a^2 + 21*a*b + 8*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*(a + b)^3*d)) + ((15*a^2 - 21*a*b + 8*b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*(a - b)^3*d) - (a^6*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b*(a^2 - b^2)^3*d) - (Sec[c + d*x]^4*(b - a*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)*d) + (Sec[c + d*x]^2*(4*b*(3*a^2 - 2*b^2) - a*(9*a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 5, -(((8*a^2 + 9*a*b + 3*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*(a + b)^3*d)) - ((8*a^2 - 9*a*b + 3*b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*(a - b)^3*d) + (a^5*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^3*d) + (Sec[c + d*x]^4*(a - b*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)*d) - (Sec[c + d*x]^2*(4*a*(2*a^2 - b^2) - b*(9*a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -((a*(3*a + b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*(a + b)^3*d)) + (a*(3*a - b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*(a - b)^3*d) - (a^4*b*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^3*d) - (Sec[c + d*x]^4*(b - a*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)*d) + (Sec[c + d*x]^2*(4*b*(2*a^2 - b^2) - a*(5*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, (b*(3*a + b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*(a + b)^3*d) - ((3*a - b)*b*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*(a - b)^3*d) + (a^3*b^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^3*d) + (Sec[c + d*x]^4*(a - b*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)*d) - (Sec[c + d*x]^2*(4*a^3 - b*(5*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, (a*(a + 3*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*(a + b)^3*d) - (a*(a - 3*b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*(a - b)^3*d) - (a^2*b^3*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^3*d) - (Sec[c + d*x]^4*(b - a*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)*d) + (a*Sec[c + d*x]^2*(4*a*b - (a^2 + 3*b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -((b*(a + 3*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*(a + b)^3*d)) + ((a - 3*b)*b*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*(a - b)^3*d) + (a*b^4*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^3*d) + (Sec[c + d*x]^4*(a - b*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)*d) - (Sec[c + d*x]^2*(4*a*b^2 - b*(a^2 + 3*b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -((8*a^2 + 21*a*b + 15*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*(a + b)^3*d) + Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - ((8*a^2 - 21*a*b + 15*b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*(a - b)^3*d) + (b^6*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)^3*d) + 1/(16*(a + b)*d*(1 - Sin[c + d*x])^2) + (5*a + 7*b)/(16*(a + b)^2*d*(1 - Sin[c + d*x])) + 1/(16*(a - b)*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) + (5*a - 7*b)/(16*(a - b)^2*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -(Csc[c + d*x]/(a*d)) - ((15*a^2 + 37*a*b + 24*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*(a + b)^3*d) - (b*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + ((15*a^2 - 37*a*b + 24*b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*(a - b)^3*d) - (b^7*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)^3*d) + 1/(16*(a + b)*d*(1 - Sin[c + d*x])^2) + (7*a + 9*b)/(16*(a + b)^2*d*(1 - Sin[c + d*x])) - 1/(16*(a - b)*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) - (7*a - 9*b)/(16*(a - b)^2*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, (b*Csc[c + d*x])/(a^2*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a*d) - ((24*a^2 + 57*a*b + 35*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*(a + b)^3*d) + ((3*a^2 + b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - ((24*a^2 - 57*a*b + 35*b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*(a - b)^3*d) + (b^8*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(a^3*(a^2 - b^2)^3*d) + 1/(16*(a + b)*d*(1 - Sin[c + d*x])^2) + (9*a + 11*b)/(16*(a + b)^2*d*(1 - Sin[c + d*x])) + 1/(16*(a - b)*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) + (9*a - 11*b)/(16*(a - b)^2*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^p (d Sin[e+f x])^(n/2) / (a+b Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^(p/2) Sin[e+f x]^n / (a+b Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^4)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 21, (a^4*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(9/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*f) - (a^4*Sqrt[g]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(9/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*f) - (2*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(3*b^3*f*g) - (2*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(3*b*f*g) + (2*(g*Cos[e + f*x])^(7/2))/(7*b*f*g^3) - (2*a^3*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(b^4*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]) - (4*a*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*b^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]) + (a^5*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b^5*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a^5*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b^5*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x])/(5*b^2*f*g)}
+{(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^3)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 18, -((a^3*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(7/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*f)) + (a^3*Sqrt[g]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(7/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*f) + (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(3*b^2*f*g) + (2*a^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(b^3*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]) + (4*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(5*b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]) - (a^4*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b^4*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (a^4*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b^4*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x])/(5*b*f*g)}
+{(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^2)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 15, (a^2*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(5/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*f) - (a^2*Sqrt[g]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(5/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*f) - (2*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(3*b*f*g) - (2*a*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(b^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]) + (a^3*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b^3*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a^3*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b^3*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+{(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sin[e + f*x]^1)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 12, -((a*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*f)) + (a*Sqrt[g]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*f) + (2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]) - (a^2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b^2*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (a^2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b^2*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+{(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]^1)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 16, (Sqrt[g]*ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a*f) - (Sqrt[b]*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a*(-a^2 + b^2)^(1/4)*f) - (Sqrt[g]*ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a*f) + (Sqrt[b]*Sqrt[g]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a*(-a^2 + b^2)^(1/4)*f) - (g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/((b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/((b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+{(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]^2)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 19, -((b*Sqrt[g]*ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^2*f)) + (b^(3/2)*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(1/4)*f) + (b*Sqrt[g]*ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^2*f) - (b^(3/2)*Sqrt[g]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(1/4)*f) - ((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x])/(a*f*g) - (Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(a*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]) + (b*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(a*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (b*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(a*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+{(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]^3)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 25, (Sqrt[g]*ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(4*a*f) + (b^2*Sqrt[g]*ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^3*f) - (b^(5/2)*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^3*(-a^2 + b^2)^(1/4)*f) - (Sqrt[g]*ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(4*a*f) - (b^2*Sqrt[g]*ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^3*f) + (b^(5/2)*Sqrt[g]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^3*(-a^2 + b^2)^(1/4)*f) + (b*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x])/(a^2*f*g) - ((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]^2)/(2*a*f*g) + (b*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(a^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]) - (b^2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(a^2*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (b^2*g*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(a^2*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+
+
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^3)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 24, (a^3*(-a^2 + b^2)^(1/4)*g^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(9/2)*f) + (a^3*(-a^2 + b^2)^(1/4)*g^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(9/2)*f) - (2*a^3*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(b^4*f) + (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*b^2*f*g) - (2*a^4*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2])/(b^5*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*a^2*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2])/(3*b^3*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (4*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2])/(21*b*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a^4*(a^2 - b^2)*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b^5*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a^4*(a^2 - b^2)*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b^5*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*a^2*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(3*b^3*f) + (4*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(21*b*f) - (2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sin[e + f*x])/(7*b*f*g)}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^2)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 20, -((a^2*(-a^2 + b^2)^(1/4)*g^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(7/2)*f)) - (a^2*(-a^2 + b^2)^(1/4)*g^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(7/2)*f) + (2*a^2*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(b^3*f) - (2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*b*f*g) + (2*a^3*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2])/(b^4*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*a*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2])/(3*b^2*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (a^3*(a^2 - b^2)*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b^4*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (a^3*(a^2 - b^2)*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b^4*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*a*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(3*b^2*f)}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x]^1)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 13, (a*(-a^2 + b^2)^(1/4)*g^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(5/2)*f) + (a*(-a^2 + b^2)^(1/4)*g^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(5/2)*f) - (2*(3*a^2 - b^2)*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2])/(3*b^3*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a^2*(a^2 - b^2)*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b^3*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a^2*(a^2 - b^2)*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b^3*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(3*a - b*Sin[e + f*x]))/(3*b^2*f)}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]^1)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 21, -((g^(3/2)*ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a*f)) + ((-a^2 + b^2)^(1/4)*g^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a*Sqrt[b]*f) - (g^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a*f) + ((-a^2 + b^2)^(1/4)*g^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a*Sqrt[b]*f) - (2*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2])/(b*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + ((a^2 - b^2)*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + ((a^2 - b^2)*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]^2)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 24, (b*g^(3/2)*ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^2*f) - (Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(1/4)*g^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^2*f) + (b*g^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^2*f) - (Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(1/4)*g^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^2*f) - (g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x])/(a*f) + (g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2])/(a*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - ((a^2 - b^2)*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(a*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - ((a^2 - b^2)*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(a*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]^3)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 30, (g^(3/2)*ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(4*a*f) - (b^2*g^(3/2)*ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^3*f) + (b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*g^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^3*f) + (g^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(4*a*f) - (b^2*g^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^3*f) + (b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*g^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^3*f) + (b*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x])/(a^2*f) - (g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]^2)/(2*a*f) - (b*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2])/(a^2*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (b*(a^2 - b^2)*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(a^2*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (b*(a^2 - b^2)*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(a^2*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+
+
+{((g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sin[e + f*x]^3)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 24, -((a^3*(-a^2 + b^2)^(3/4)*g^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(11/2)*f)) + (a^3*(-a^2 + b^2)^(3/4)*g^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(11/2)*f) - (2*a^3*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(3*b^4*f) + (2*a*(g*Cos[e + f*x])^(7/2))/(7*b^2*f*g) - (2*a^4*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(b^5*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]) + (6*a^2*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*b^3*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]) + (4*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(15*b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]) + (a^4*(a^2 - b^2)*g^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b^6*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a^4*(a^2 - b^2)*g^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b^6*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*a^2*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x])/(5*b^3*f) + (4*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x])/(45*b*f) - (2*(g*Cos[e + f*x])^(7/2)*Sin[e + f*x])/(9*b*f*g)}
+{((g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sin[e + f*x]^2)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 20, (a^2*(-a^2 + b^2)^(3/4)*g^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(9/2)*f) - (a^2*(-a^2 + b^2)^(3/4)*g^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(9/2)*f) + (2*a^2*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(3*b^3*f) - (2*(g*Cos[e + f*x])^(7/2))/(7*b*f*g) + (2*a^3*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(b^4*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]) - (6*a*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*b^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]) - (a^3*(a^2 - b^2)*g^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b^5*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (a^3*(a^2 - b^2)*g^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b^5*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*a*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x])/(5*b^2*f)}
+{((g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sin[e + f*x]^1)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 13, -((a*(-a^2 + b^2)^(3/4)*g^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(7/2)*f)) + (a*(-a^2 + b^2)^(3/4)*g^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(7/2)*f) - (2*(5*a^2 - 3*b^2)*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(5*b^3*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]) + (a^2*(a^2 - b^2)*g^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b^4*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a^2*(a^2 - b^2)*g^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b^4*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(5*a - 3*b*Sin[e + f*x]))/(15*b^2*f)}
+{((g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Csc[e + f*x]^1)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 21, (g^(5/2)*ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a*f) - ((-a^2 + b^2)^(3/4)*g^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a*b^(3/2)*f) - (g^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a*f) + ((-a^2 + b^2)^(3/4)*g^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a*b^(3/2)*f) - (2*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]) + ((a^2 - b^2)*g^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b^2*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + ((a^2 - b^2)*g^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b^2*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Csc[e + f*x]^2)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 24, -((b*g^(5/2)*ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^2*f)) + ((-a^2 + b^2)^(3/4)*g^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^2*Sqrt[b]*f) + (b*g^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^2*f) - ((-a^2 + b^2)^(3/4)*g^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^2*Sqrt[b]*f) - (g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x])/(a*f) - (g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(a*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]) - ((a^2 - b^2)*g^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(a*b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - ((a^2 - b^2)*g^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(a*b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+{((g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Csc[e + f*x]^3)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 30, -((3*g^(5/2)*ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(4*a*f)) + (b^2*g^(5/2)*ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^3*f) - (Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(3/4)*g^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^3*f) + (3*g^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(4*a*f) - (b^2*g^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^3*f) + (Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(3/4)*g^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^3*f) + (b*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x])/(a^2*f) - (g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]^2)/(2*a*f) + (b*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(a^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]) + ((a^2 - b^2)*g^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(a^2*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + ((a^2 - b^2)*g^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(a^2*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^4/(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 23, -((a^4*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(7/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*f*Sqrt[g])) - (a^4*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(7/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*f*Sqrt[g]) - (2*a^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(b^3*f*g) - (2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(b*f*g) + (2*(g*Cos[e + f*x])^(5/2))/(5*b*f*g^3) - (2*a^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2])/(b^4*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (4*a*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2])/(3*b^2*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a^5*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b^4*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a^5*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b^4*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*a*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(3*b^2*f*g)}
+{Sin[e + f*x]^3/(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 19, (a^3*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(5/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*f*Sqrt[g]) + (a^3*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(5/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*f*Sqrt[g]) + (2*a*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(b^2*f*g) + (2*a^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2])/(b^3*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (4*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2])/(3*b*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (a^4*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b^3*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (a^4*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b^3*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(3*b*f*g)}
+{Sin[e + f*x]^2/(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 15, -((a^2*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*f*Sqrt[g])) - (a^2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*f*Sqrt[g]) - (2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(b*f*g) - (2*a*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2])/(b^2*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b^2*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b^2*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^1/(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 12, (a*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(3/4)*f*Sqrt[g]) + (a*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(3/4)*f*Sqrt[g]) + (2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2])/(b*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (a^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b*(a^2 - b^2 + b*Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (a^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^1/(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 16, -(ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]]/(a*f*Sqrt[g])) + (b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a*(-a^2 + b^2)^(3/4)*f*Sqrt[g]) - ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]]/(a*f*Sqrt[g]) + (b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a*(-a^2 + b^2)^(3/4)*f*Sqrt[g]) - (b*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/((a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (b*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/((a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^2/(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 19, (b*ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^2*f*Sqrt[g]) - (b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/4)*f*Sqrt[g]) + (b*ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^2*f*Sqrt[g]) - (b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/4)*f*Sqrt[g]) - (Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x])/(a*f*g) + (Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2])/(a*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (b^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(a*(a^2 - b^2 + b*Sqrt[-a^2 + b^2])*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (b^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(a*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^3/(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 25, (-3*ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(4*a*f*Sqrt[g]) - (b^2*ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^3*f*Sqrt[g]) + (b^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^3*(-a^2 + b^2)^(3/4)*f*Sqrt[g]) - (3*ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(4*a*f*Sqrt[g]) - (b^2*ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^3*f*Sqrt[g]) + (b^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^3*(-a^2 + b^2)^(3/4)*f*Sqrt[g]) + (b*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x])/(a^2*f*g) - (Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]^2)/(2*a*f*g) - (b*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2])/(a^2*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (b^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(a^2*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (b^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(a^2*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+
+
+{Sin[e + f*x]^4/((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 22, (a^4*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(5/2)*(-a^2 + b^2)^(5/4)*f*g^(3/2)) - (a^4*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(5/2)*(-a^2 + b^2)^(5/4)*f*g^(3/2)) - (2*b)/((a^2 - b^2)*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*a^2*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(3*b*(a^2 - b^2)*f*g^3) - (2*b*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(3*(a^2 - b^2)*f*g^3) - (4*a*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/((a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]) + (2*a^3*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]) - (a^5*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b^3*(a^2 - b^2)*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (a^5*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b^3*(a^2 - b^2)*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*a*Sin[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^3/((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 18, -((a^3*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(5/4)*f*g^(3/2))) + (a^3*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(5/4)*f*g^(3/2)) + (2*a)/((a^2 - b^2)*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*a^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(b*(a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]) + (4*b*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]) + (a^4*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a^4*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*b*Sin[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^2/((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 15, (a^2*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(5/4)*f*g^(3/2)) - (a^2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(5/4)*f*g^(3/2)) - (2*b)/((a^2 - b^2)*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*a*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]) - (a^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b*(a^2 - b^2)*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (a^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b*(a^2 - b^2)*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*a*Sin[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^1/((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 13, -((a*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/((-a^2 + b^2)^(5/4)*f*g^(3/2))) + (a*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/((-a^2 + b^2)^(5/4)*f*g^(3/2)) + (2*b*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]) + (a^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*(a - b*Sin[e + f*x]))/((a^2 - b^2)*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^1/((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 21, ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]]/(a*f*g^(3/2)) - (b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a*(-a^2 + b^2)^(5/4)*f*g^(3/2)) - ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]]/(a*f*g^(3/2)) + (b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a*(-a^2 + b^2)^(5/4)*f*g^(3/2)) + 2/(a*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*b*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/((a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]) + (b^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/((a^2 - b^2)*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (b^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/((a^2 - b^2)*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*b*(b - a*Sin[e + f*x]))/(a*(a^2 - b^2)*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^2/((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 25, -((b*ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^2*f*g^(3/2))) + (b^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(5/4)*f*g^(3/2)) + (b*ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^2*f*g^(3/2)) - (b^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(5/4)*f*g^(3/2)) - (2*b)/(a^2*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - Csc[e + f*x]/(a*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (3*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(a*f*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]) - (2*b^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(a*(a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]) - (b^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(a*(a^2 - b^2)*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (b^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(a*(a^2 - b^2)*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (3*Sin[e + f*x])/(a*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*b^2*(b - a*Sin[e + f*x]))/(a^2*(a^2 - b^2)*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+
+
+{Sin[e + f*x]^4/((g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 22, -((a^4*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(7/4)*f*g^(5/2))) - (a^4*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(7/4)*f*g^(5/2)) - (2*b)/(3*(a^2 - b^2)*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)) + (2*a^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(b*(a^2 - b^2)*f*g^3) - (2*b*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*f*g^3) - (4*a*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2])/(3*(a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*a^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (a^5*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (a^5*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*a*Sin[e + f*x])/(3*(a^2 - b^2)*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))}
+{Sin[e + f*x]^3/((g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 18, (a^3*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(7/4)*f*g^(5/2)) + (a^3*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(7/4)*f*g^(5/2)) + (2*a)/(3*(a^2 - b^2)*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)) - (2*a^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2])/(b*(a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (4*b*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2])/(3*(a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a^4*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b*(a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a^4*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/(b*(a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*b*Sin[e + f*x])/(3*(a^2 - b^2)*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))}
+{Sin[e + f*x]^2/((g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 15, -((a^2*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/((-a^2 + b^2)^(7/4)*f*g^(5/2))) - (a^2*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/((-a^2 + b^2)^(7/4)*f*g^(5/2)) - (2*b)/(3*(a^2 - b^2)*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)) + (2*a*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2])/(3*(a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (a^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (a^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*a*Sin[e + f*x])/(3*(a^2 - b^2)*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))}
+{Sin[e + f*x]^1/((g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 13, (a*b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/((-a^2 + b^2)^(7/4)*f*g^(5/2)) + (a*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/((-a^2 + b^2)^(7/4)*f*g^(5/2)) - (2*b*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2])/(3*(a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a^2*b*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a^2*b*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (e + f*x)/2, 2])/((a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*(a - b*Sin[e + f*x]))/(3*(a^2 - b^2)*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))}
+{Csc[e + f*x]^1/((g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 21, -(ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]]/(a*f*g^(5/2))) + (b^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a*(-a^2 + b^2)^(7/4)*f*g^(5/2)) - ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]]/(a*f*g^(5/2)) + (b^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a*(-a^2 + b^2)^(7/4)*f*g^(5/2)) + 2/(3*a*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)) - (2*b*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2])/(3*(a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (b^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/((a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (b^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/((a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*b*(b - a*Sin[e + f*x]))/(3*a*(a^2 - b^2)*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))}
+{Csc[e + f*x]^2/((g*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 25, (b*ArcTan[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^2*f*g^(5/2)) - (b^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(7/4)*f*g^(5/2)) + (b*ArcTanh[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[g]])/(a^2*f*g^(5/2)) - (b^(9/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[g])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(7/4)*f*g^(5/2)) - (2*b)/(3*a^2*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)) - Csc[e + f*x]/(a*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)) + (5*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2])/(3*a*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*b^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2])/(3*a*(a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (b^4*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(a*(a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (b^4*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (1/2)*(e + f*x), 2])/(a*(a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (5*Sin[e + f*x])/(3*a*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)) - (2*b^2*(b - a*Sin[e + f*x]))/(3*a^2*(a^2 - b^2)*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^(p/2) (d Sin[e+f x])^(n/2) / (a+b Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(a + b*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 31, (a^2*d^(5/2)*Sqrt[g]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b^3*f) + (d^(5/2)*Sqrt[g]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*b*f) - (a^2*d^(5/2)*Sqrt[g]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b^3*f) - (d^(5/2)*Sqrt[g]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*b*f) - (a^2*d^(5/2)*Sqrt[g]*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*b^3*f) - (d^(5/2)*Sqrt[g]*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(8*Sqrt[2]*b*f) + (a^2*d^(5/2)*Sqrt[g]*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*b^3*f) + (d^(5/2)*Sqrt[g]*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(8*Sqrt[2]*b*f) - (2*Sqrt[2]*a^3*d^3*Sqrt[g]*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(b^3*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*Sqrt[2]*a^3*d^3*Sqrt[g]*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(b^3*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (d^2*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(2*b*f*g) - (a*d^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(b^2*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(a + b*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 19, -((a*d^(3/2)*Sqrt[g]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b^2*f)) + (a*d^(3/2)*Sqrt[g]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b^2*f) + (a*d^(3/2)*Sqrt[g]*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*b^2*f) - (a*d^(3/2)*Sqrt[g]*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*b^2*f) + (2*Sqrt[2]*a^2*d^2*Sqrt[g]*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(b^2*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*a^2*d^2*Sqrt[g]*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(b^2*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (d*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(b*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(a + b*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 16, (Sqrt[d]*Sqrt[g]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b*f) - (Sqrt[d]*Sqrt[g]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b*f) - (Sqrt[d]*Sqrt[g]*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*b*f) + (Sqrt[d]*Sqrt[g]*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*b*f) - (2*Sqrt[2]*a*d*Sqrt[g]*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(b*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*Sqrt[2]*a*d*Sqrt[g]*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(b*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(a + b*Sin[e + f*x])/(d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 5, (2*Sqrt[2]*Sqrt[g]*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*Sqrt[g]*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(a + b*Sin[e + f*x])/(d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 9, -((2*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(a*d*f*g*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])) - (2*Sqrt[2]*b*Sqrt[g]*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*d*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*Sqrt[2]*b*Sqrt[g]*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*d*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(a*d^2*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(a + b*Sin[e + f*x])/(d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 11, -((2*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(3*a*d*f*g*(d*Sin[e + f*x])^(3/2))) + (2*b*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(a^2*d^2*f*g*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[g]*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a^2*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*d^2*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[g]*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a^2*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*d^2*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*b*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(a^2*d^3*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(a + b*Sin[e + f*x])/(d*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 16, -((2*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(5*a*d*f*g*(d*Sin[e + f*x])^(5/2))) + (2*b*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(3*a^2*d^2*f*g*(d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (4*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(5*a*d^3*f*g*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*b^2*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(a^3*d^3*f*g*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*b^3*Sqrt[g]*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a^3*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*d^3*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*Sqrt[2]*b^3*Sqrt[g]*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a^3*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*d^3*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (4*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(5*a*d^4*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]]) - (2*b^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(a^3*d^4*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(a + b*Sin[e + f*x])/(d*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 19, -((2*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(7*a*d*f*g*(d*Sin[e + f*x])^(7/2))) + (2*b*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(5*a^2*d^2*f*g*(d*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (8*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(21*a*d^3*f*g*(d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*b^2*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(3*a^3*d^3*f*g*(d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (4*b*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(5*a^2*d^4*f*g*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*b^3*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(a^4*d^4*f*g*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*Sqrt[2]*b^4*Sqrt[g]*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a^4*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*d^4*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*b^4*Sqrt[g]*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a^4*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*d^4*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (4*b*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(5*a^2*d^5*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]]) + (2*b^3*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(a^4*d^5*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 31, (3*d^(3/2)*g^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*b*f) + ((a^2 - b^2)*d^(3/2)*g^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b^3*f) - (3*d^(3/2)*g^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*b*f) - ((a^2 - b^2)*d^(3/2)*g^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b^3*f) + (2*Sqrt[2]*a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^(3/2)*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(b^3*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^(3/2)*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(b^3*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (3*d^(3/2)*g^(3/2)*Log[Sqrt[d] - (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[g*Cos[e + f*x]] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x]])/(8*Sqrt[2]*b*f) - ((a^2 - b^2)*d^(3/2)*g^(3/2)*Log[Sqrt[d] - (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[g*Cos[e + f*x]] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x]])/(2*Sqrt[2]*b^3*f) + (3*d^(3/2)*g^(3/2)*Log[Sqrt[d] + (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[g*Cos[e + f*x]] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x]])/(8*Sqrt[2]*b*f) + ((a^2 - b^2)*d^(3/2)*g^(3/2)*Log[Sqrt[d] + (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[g*Cos[e + f*x]] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x]])/(2*Sqrt[2]*b^3*f) - (a*d*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(b^2*f) + (g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*b*f) + (a*d^2*g^2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(2*b^2*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 19, -((a*Sqrt[d]*g^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b^2*f)) + (a*Sqrt[d]*g^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b^2*f) - (2*Sqrt[2]*Sqrt[-a^2 + b^2]*Sqrt[d]*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(b^2*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*Sqrt[2]*Sqrt[-a^2 + b^2]*Sqrt[d]*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(b^2*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (a*Sqrt[d]*g^(3/2)*Log[Sqrt[d] - (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[g*Cos[e + f*x]] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x]])/(2*Sqrt[2]*b^2*f) - (a*Sqrt[d]*g^(3/2)*Log[Sqrt[d] + (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[g*Cos[e + f*x]] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x]])/(2*Sqrt[2]*b^2*f) + (g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(b*f) - (d*g^2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(2*b*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Sin[e + f*x])/(d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 18, (g^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b*Sqrt[d]*f) - (g^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b*Sqrt[d]*f) + (2*Sqrt[2]*Sqrt[-a^2 + b^2]*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(a*b*Sqrt[d]*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*Sqrt[-a^2 + b^2]*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(a*b*Sqrt[d]*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (g^(3/2)*Log[Sqrt[d] - (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[g*Cos[e + f*x]] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x]])/(2*Sqrt[2]*b*Sqrt[d]*f) + (g^(3/2)*Log[Sqrt[d] + (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[g*Cos[e + f*x]] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x]])/(2*Sqrt[2]*b*Sqrt[d]*f) + (g^2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(a*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Sin[e + f*x])/(d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 8, -((2*Sqrt[2]*Sqrt[-a^2 + b^2]*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(a^2*d^(3/2)*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])) + (2*Sqrt[2]*Sqrt[-a^2 + b^2]*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(a^2*d^(3/2)*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(a*d*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (b*g^2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(a^2*d*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Sin[e + f*x])/(d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 12, (2*Sqrt[2]*b*Sqrt[-a^2 + b^2]*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(a^3*d^(5/2)*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*b*Sqrt[-a^2 + b^2]*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(a^3*d^(5/2)*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(3*a*d*f*(d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*b*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(a^2*d^2*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*g^2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(3*a*d^2*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - ((a^2 - b^2)*g^2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(a^3*d^2*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Sin[e + f*x])/(d*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 15, -((2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(a^4*d^(7/2)*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])) + (2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(a^4*d^(7/2)*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(5*a*d*f*(d*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (2*b*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(3*a^2*d^2*f*(d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (8*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(5*a*d^3*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*(a^2 - b^2)*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(a^3*d^3*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*b*g^2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(3*a^2*d^3*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (b*(a^2 - b^2)*g^2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(a^4*d^3*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Sin[e + f*x])/(d*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 20, (2*Sqrt[2]*b^3*Sqrt[-a^2 + b^2]*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(a^5*d^(9/2)*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*b^3*Sqrt[-a^2 + b^2]*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(a^5*d^(9/2)*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(7*a*d*f*(d*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (2*b*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(5*a^2*d^2*f*(d*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (4*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(7*a*d^3*f*(d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*(a^2 - b^2)*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(3*a^3*d^3*f*(d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (8*b*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(5*a^2*d^4*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*b*(a^2 - b^2)*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(a^4*d^4*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (4*g^2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(7*a*d^4*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*(a^2 - b^2)*g^2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(3*a^3*d^4*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (b^2*(a^2 - b^2)*g^2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(a^5*d^4*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 31, -((Sqrt[d]*g^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*b*f)) - ((a^2 - b^2)*Sqrt[d]*g^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b^3*f) + (Sqrt[d]*g^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*b*f) + ((a^2 - b^2)*Sqrt[d]*g^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b^3*f) + (Sqrt[d]*g^(5/2)*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(8*Sqrt[2]*b*f) + ((a^2 - b^2)*Sqrt[d]*g^(5/2)*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*b^3*f) - (Sqrt[d]*g^(5/2)*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(8*Sqrt[2]*b*f) - ((a^2 - b^2)*Sqrt[d]*g^(5/2)*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*b^3*f) - (2*Sqrt[2]*a*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*d*g^(5/2)*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(b^3*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*Sqrt[2]*a*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*d*g^(5/2)*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(b^3*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(2*b*f) + (a*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(b^2*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Sin[e + f*x])/(d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 19, (a*g^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b^2*Sqrt[d]*f) - (a*g^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b^2*Sqrt[d]*f) - (a*g^(5/2)*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[d]*f) + (a*g^(5/2)*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[d]*f) + (2*Sqrt[2]*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*g^(5/2)*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(b^2*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*g^(5/2)*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(b^2*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(b*d*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Sin[e + f*x])/(d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 20, -((g^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b*d^(3/2)*f)) + (g^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b*d^(3/2)*f) + (g^(5/2)*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*b*d^(3/2)*f) - (g^(5/2)*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*b*d^(3/2)*f) - (2*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(a*d*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*g^(5/2)*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a*b*d*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*Sqrt[2]*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*g^(5/2)*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a*b*d*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(a*d^2*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Sin[e + f*x])/(d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 10, -((2*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(3*a*d*f*(d*Sin[e + f*x])^(3/2))) + (2*b*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(a^2*d^2*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*Sqrt[2]*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*g^(5/2)*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a^2*d^2*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*g^(5/2)*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a^2*d^2*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*b*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(a^2*d^3*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Sin[e + f*x])/(d*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 15, -((2*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(5*a*d*f*(d*Sin[e + f*x])^(5/2))) + (2*b*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(3*a^2*d^2*f*(d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (4*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(5*a*d^3*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*(a^2 - b^2)*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(a^3*d^3*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*b*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*g^(5/2)*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a^3*d^3*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*Sqrt[2]*b*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*g^(5/2)*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a^3*d^3*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (4*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(5*a*d^4*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]]) + (2*(a^2 - b^2)*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(a^3*d^4*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Sin[e + f*x])/(d*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 18, -((2*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(7*a*d*f*(d*Sin[e + f*x])^(7/2))) + (2*b*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(5*a^2*d^2*f*(d*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (8*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(21*a*d^3*f*(d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*(a^2 - b^2)*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(3*a^3*d^3*f*(d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (4*b*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(5*a^2*d^4*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*b*(a^2 - b^2)*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(a^4*d^4*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*g^(5/2)*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a^4*d^4*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*g^(5/2)*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a^4*d^4*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (4*b*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(5*a^2*d^5*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]]) - (2*b*(a^2 - b^2)*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(a^4*d^5*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{(g*Cos[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Sin[e + f*x])/(d*Sin[e + f*x])^(11/2), x, 24, -((2*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(9*a*d*f*(d*Sin[e + f*x])^(9/2))) + (2*b*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(7*a^2*d^2*f*(d*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (4*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(15*a*d^3*f*(d*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (2*(a^2 - b^2)*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(5*a^3*d^3*f*(d*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (8*b*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(21*a^2*d^4*f*(d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*b*(a^2 - b^2)*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(3*a^4*d^4*f*(d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (8*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(15*a*d^5*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (4*(a^2 - b^2)*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(5*a^3*d^5*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*b^2*(a^2 - b^2)*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(a^5*d^5*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*b^3*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*g^(5/2)*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a^5*d^5*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*Sqrt[2]*b^3*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*g^(5/2)*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a^5*d^5*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (8*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(15*a*d^6*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]]) + (4*(a^2 - b^2)*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(5*a^3*d^6*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]]) + (2*b^2*(a^2 - b^2)*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(a^5*d^6*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
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+{1/(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x]))*(d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 19, (a*d^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b^2*f*Sqrt[g]) - (a*d^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b^2*f*Sqrt[g]) - (2*Sqrt[2]*a^2*d^(5/2)*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(b^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*Sqrt[2]*a^2*d^(5/2)*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(b^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (a*d^(5/2)*Log[Sqrt[d] - (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[g*Cos[e + f*x]] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x]])/(2*Sqrt[2]*b^2*f*Sqrt[g]) + (a*d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[g*Cos[e + f*x]] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x]])/(2*Sqrt[2]*b^2*f*Sqrt[g]) - (d^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(b*f*g) + (d^3*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(2*b*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])}
+{1/(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x]))*(d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 15, -((d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b*f*Sqrt[g])) + (d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b*f*Sqrt[g]) + (2*Sqrt[2]*a*d^(3/2)*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(b*Sqrt[-a^2 + b^2]*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*a*d^(3/2)*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(b*Sqrt[-a^2 + b^2]*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] - (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[g*Cos[e + f*x]] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x]])/(2*Sqrt[2]*b*f*Sqrt[g]) - (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + (Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[g*Cos[e + f*x]] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x]])/(2*Sqrt[2]*b*f*Sqrt[g])}
+{1/(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x]))*(d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, -((2*Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(Sqrt[-a^2 + b^2]*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])) + (2*Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(Sqrt[-a^2 + b^2]*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])}
+{1/(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 7, (2*Sqrt[2]*b*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*Sqrt[d]*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*b*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*Sqrt[d]*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(a*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])}
+{1/(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 9, -((2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^(3/2)*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])) + (2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^(3/2)*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(a*d*f*g*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (b*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(a^2*d*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])}
+{1/(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 13, (2*Sqrt[2]*b^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(a^3*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^(5/2)*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*b^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(a^3*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^(5/2)*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(3*a*d*f*g*(d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*b*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(a^2*d^2*f*g*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(3*a*d^2*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (b^2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(a^3*d^2*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{1/((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Sin[e + f*x]))*(d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 31, -((a^2*d^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b*(a^2 - b^2)*f*g^(3/2))) + (b*d^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*(a^2 - b^2)*f*g^(3/2)) + (a^2*d^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b*(a^2 - b^2)*f*g^(3/2)) - (b*d^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*(a^2 - b^2)*f*g^(3/2)) + (a^2*d^(5/2)*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*b*(a^2 - b^2)*f*g^(3/2)) - (b*d^(5/2)*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 - b^2)*f*g^(3/2)) - (a^2*d^(5/2)*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*b*(a^2 - b^2)*f*g^(3/2)) + (b*d^(5/2)*Log[Sqrt[g] + Sqrt[g]*Cot[e + f*x] + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]])/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 - b^2)*f*g^(3/2)) - (2*Sqrt[2]*a^3*d^3*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(b*(-a + b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*f*g^(3/2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*Sqrt[2]*a^3*d^3*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(b*(-a + b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*f*g^(3/2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*b*d^2*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*a*d*(d*Sin[e + f*x])^(3/2))/((a^2 - b^2)*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*a*d^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{1/((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Sin[e + f*x]))*(d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 10, (2*Sqrt[2]*a^2*d^2*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/((-a + b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*f*g^(3/2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*a^2*d^2*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/((-a + b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*f*g^(3/2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*a*d*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*b*(d*Sin[e + f*x])^(3/2))/((a^2 - b^2)*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*b*d*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{1/((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Sin[e + f*x]))*(d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 11, -((2*Sqrt[2]*a*b*d*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/((-a + b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*f*g^(3/2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])) + (2*Sqrt[2]*a*b*d*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/((-a + b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*f*g^(3/2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*b*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*a*(d*Sin[e + f*x])^(3/2))/((a^2 - b^2)*d*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*a*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*f*g^2*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{1/((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Sin[e + f*x]))/(d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 11, (2*Sqrt[2]*b^2*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/((-a + b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*f*g^(3/2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*b^2*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/((-a + b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*f*g^(3/2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*a*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*d*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (2*b*(d*Sin[e + f*x])^(3/2))/((a^2 - b^2)*d^2*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (2*b*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*d*f*g^2*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{1/((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Sin[e + f*x]))/(d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 16, -((2*a)/((a^2 - b^2)*d*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])) + (2*b^2*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(a*(a^2 - b^2)*d*f*g^3*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*b^3*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a*(-a + b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d*f*g^(3/2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*Sqrt[2]*b^3*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a*(-a + b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d*f*g^(3/2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*b*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*d^2*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (4*a*(d*Sin[e + f*x])^(3/2))/((a^2 - b^2)*d^3*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (4*a*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*d^2*f*g^2*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]]) + (2*b^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(a*(a^2 - b^2)*d^2*f*g^2*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{1/((g*Cos[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Sin[e + f*x]))/(d*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 19, -((2*a)/(3*(a^2 - b^2)*d*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(d*Sin[e + f*x])^(3/2))) + (2*b^2*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(3*a*(a^2 - b^2)*d*f*g^3*(d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*b)/((a^2 - b^2)*d^2*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*b^3*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2*f*g^3*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (2*Sqrt[2]*b^4*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a^2*(-a + b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d^2*f*g^(3/2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*b^4*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a^2*(-a + b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d^2*f*g^(3/2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (8*a*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(3*(a^2 - b^2)*d^3*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (4*b*(d*Sin[e + f*x])^(3/2))/((a^2 - b^2)*d^4*f*g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (4*b*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*d^3*f*g^2*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]]) - (2*b^3*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3*f*g^2*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (d Sin[e+f x])^n / (a+b Sin[e+f x])^2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^(p/2) (d Sin[e+f x])^(n/2) / (a+b Sin[e+f x])^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^(3/2)/(Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x])^2), x, 8, (Sqrt[2]*b*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*Sqrt[d]*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*b*g^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(a/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*Sqrt[d]*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]) + (g*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(a*d*f*(a + b*Sin[e + f*x])) + (g^2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(2*a^2*f*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^1 (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^2 (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^2 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 8, -((3*a*x)/2) + (2*b*Cos[c + d*x])/d - (b*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*Sec[c + d*x])/d + (3*a*Tan[c + d*x])/(2*d) - (a*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 8, -((3*b*x)/2) + (a*Cos[c + d*x])/d + (a*Sec[c + d*x])/d + (3*b*Tan[c + d*x])/(2*d) - (b*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, (-a)*x + (b*Cos[c + d*x])/d + (b*Sec[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 5, (-b)*x + (a*Sec[c + d*x])/d + (b*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -((a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) + (a*Sec[c + d*x])/d + (b*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, -((b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) - (a*Cot[c + d*x])/d + (b*Sec[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 8, -((3*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (b*Cot[c + d*x])/d + (3*a*Sec[c + d*x])/(2*d) - (a*Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x])/(2*d) + (b*Tan[c + d*x])/d}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 8, -3*a*b*x + ((a^2 + 2*b^2)*Cos[c + d*x])/d - (b^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + ((a^2 + b^2)*Sec[c + d*x])/d + (3*a*b*Tan[c + d*x])/d - (a*b*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 11, (-a^2)*x - (3*b^2*x)/2 + (2*a*b*Cos[c + d*x])/d + (2*a*b*Sec[c + d*x])/d + (a^2*Tan[c + d*x])/d + (3*b^2*Tan[c + d*x])/(2*d) - (b^2*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -2*a*b*x + (2*b^2*Cos[c + d*x])/d + (Sec[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 8, ((a^2 + b^2)*Sec[c + d*x])/d - (a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (2*a*b*Tan[c + d*x])/d, ((a^2 + b^2)*Sec[c + d*x])/d - (a^2*ArcTanh[Sqrt[Cos[c + d*x]^2]]*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x])/d + (2*a*b*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 7, -((2*a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) - (a^2*Cot[c + d*x])/d + (2*a*b*Sec[c + d*x])/d + ((a^2 + b^2)*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 10, -(((3*a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (2*a*b*Cot[c + d*x])/d + ((3*a^2 + 2*b^2)*Sec[c + d*x])/(2*d) - (a^2*Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x])/(2*d) + (2*a*b*Tan[c + d*x])/d, -((2*a*b*Cot[c + d*x])/d) + ((3*a^2 + 2*b^2)*Sec[c + d*x])/(2*d) - ((3*a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[Sqrt[Cos[c + d*x]^2]]*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x])/(2*d) - (a^2*Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x])/(2*d) + (2*a*b*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 8, -((3*a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) - ((2*a^2 + b^2)*Cot[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a*b*Sec[c + d*x])/d - (a*b*Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x])/d + ((a^2 + b^2)*Tan[c + d*x])/d}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 17, (-(9/2))*a^2*b*x - (15*b^3*x)/8 + (a^3*Cos[c + d*x])/d + (6*a*b^2*Cos[c + d*x])/d - (a*b^2*Cos[c + d*x]^3)/d + (a^3*Sec[c + d*x])/d + (3*a*b^2*Sec[c + d*x])/d + (9*a^2*b*Tan[c + d*x])/(2*d) + (15*b^3*Tan[c + d*x])/(8*d) - (3*a^2*b*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*d) - (5*b^3*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(8*d) - (b^3*Sin[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 14, (-a^3)*x - (9/2)*a*b^2*x + (3*a^2*b*Cos[c + d*x])/d + (2*b^3*Cos[c + d*x])/d - (b^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^2*b*Sec[c + d*x])/d + (b^3*Sec[c + d*x])/d + (a^3*Tan[c + d*x])/d + (9*a*b^2*Tan[c + d*x])/(2*d) - (3*a*b^2*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (-(3/2))*b*(2*a^2 + b^2)*x + (6*a*b^2*Cos[c + d*x])/d + (3*b^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (Sec[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 11, (-b^3)*x - (a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a^3*Sec[c + d*x])/d + (3*a*b^2*Sec[c + d*x])/d + (3*a^2*b*Tan[c + d*x])/d + (b^3*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 12, -((3*a^2*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) - (a^3*Cot[c + d*x])/d + (3*a^2*b*Sec[c + d*x])/d + (b^3*Sec[c + d*x])/d + (a^3*Tan[c + d*x])/d + (3*a*b^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 14, -((3*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (3*a*b^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (3*a^2*b*Cot[c + d*x])/d + (3*a^3*Sec[c + d*x])/(2*d) + (3*a*b^2*Sec[c + d*x])/d - (a^3*Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x])/(2*d) + (3*a^2*b*Tan[c + d*x])/d + (b^3*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 15, -((9*a^2*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (b^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (2*a^3*Cot[c + d*x])/d - (3*a*b^2*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (9*a^2*b*Sec[c + d*x])/(2*d) + (b^3*Sec[c + d*x])/d - (3*a^2*b*Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x])/(2*d) + (a^3*Tan[c + d*x])/d + (3*a*b^2*Tan[c + d*x])/d}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 12, -(x/b^2) - (2*a^5*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^2*(a^2 - b^2)^(5/2)*d) + (4*a^3*(a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^2*(a^2 - b^2)^(5/2)*d) + Cos[c + d*x]/(2*(a + b)^2*d*(1 - Sin[c + d*x])) - Cos[c + d*x]/(2*(a - b)^2*d*(1 + Sin[c + d*x])) - (a^4*Cos[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 12, (2*a^4*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d) - (2*a^2*(a^2 - 3*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b*(a^2 - b^2)^(5/2)*d) + Cos[c + d*x]/(2*(a + b)^2*d*(1 - Sin[c + d*x])) + Cos[c + d*x]/(2*(a - b)^2*d*(1 + Sin[c + d*x])) + (a^3*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 12, -((2*a^3*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*d)) - (4*a*b^2*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*d) + Cos[c + d*x]/(2*(a + b)^2*d*(1 - Sin[c + d*x])) - Cos[c + d*x]/(2*(a - b)^2*d*(1 + Sin[c + d*x])) - (a^2*b*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, (2*b*(2*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*d) - (a*Sec[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (Sec[c + d*x]*(2*a^2 + b^2 - 3*a*b*Sin[c + d*x]))/((a^2 - b^2)^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 13, (2*b^3*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*d) + (2*b^3*(3*a^2 - b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*(a^2 - b^2)^(5/2)*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^2*d) + Cos[c + d*x]/(2*(a + b)^2*d*(1 - Sin[c + d*x])) + Cos[c + d*x]/(2*(a - b)^2*d*(1 + Sin[c + d*x])) + (b^4*Cos[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 15, -((2*b^4*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*(a^2 - b^2)^(5/2)*d)) - (4*b^4*(2*a^2 - b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*(a^2 - b^2)^(5/2)*d) + (2*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) - Cot[c + d*x]/(a^2*d) + Cos[c + d*x]/(2*(a + b)^2*d*(1 - Sin[c + d*x])) - Cos[c + d*x]/(2*(a - b)^2*d*(1 + Sin[c + d*x])) - (b^5*Cos[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 17, (2*b^5*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*(a^2 - b^2)^(5/2)*d) + (2*b^5*(5*a^2 - 3*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*(a^2 - b^2)^(5/2)*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(2*a^2*d) - ((a^2 + 3*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^4*d) + (2*b*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^2*d) + Cos[c + d*x]/(2*(a + b)^2*d*(1 - Sin[c + d*x])) + Cos[c + d*x]/(2*(a - b)^2*d*(1 + Sin[c + d*x])) + (b^6*Cos[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 18, (4*a^4*(a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^2*(a^2 - b^2)^(7/2)*d) - (a^4*(2*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^2*(a^2 - b^2)^(7/2)*d) - (2*a^2*(a^4 - 3*a^2*b^2 + 6*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^2*(a^2 - b^2)^(7/2)*d) + Cos[c + d*x]/(2*(a + b)^3*d*(1 - Sin[c + d*x])) - Cos[c + d*x]/(2*(a - b)^3*d*(1 + Sin[c + d*x])) - (a^4*Cos[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (3*a^5*Cos[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (2*a^3*(a^2 - 2*b^2)*Cos[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 18, -((2*a^3*(a^2 - 3*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b*(a^2 - b^2)^(7/2)*d)) + (a^3*(2*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b*(a^2 - b^2)^(7/2)*d) + (2*a*b*(a^2 + 3*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(7/2)*d) + Cos[c + d*x]/(2*(a + b)^3*d*(1 - Sin[c + d*x])) + Cos[c + d*x]/(2*(a - b)^3*d*(1 + Sin[c + d*x])) + (a^3*Cos[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (3*a^4*Cos[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (a^2*(a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 18, -((4*a^2*b^2*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(7/2)*d)) - (a^2*(2*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(7/2)*d) - (2*b^2*(3*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(7/2)*d) + Cos[c + d*x]/(2*(a + b)^3*d*(1 - Sin[c + d*x])) - Cos[c + d*x]/(2*(a - b)^3*d*(1 + Sin[c + d*x])) - (a^2*b*Cos[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (3*a^3*b*Cos[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (2*a*b^3*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (3*a*b*(2*a^2 + 3*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(7/2)*d) - (a*Sec[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - ((3*a^2 + 2*b^2)*Sec[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (Sec[c + d*x]*(3*a*(2*a^2 + 3*b^2) - b*(11*a^2 + 4*b^2)*Sin[c + d*x]))/(2*(a^2 - b^2)^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 19, (2*b^3*(3*a^2 - b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*(a^2 - b^2)^(7/2)*d) + (b^3*(2*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*(a^2 - b^2)^(7/2)*d) + (2*b^3*(6*a^4 - 3*a^2*b^2 + b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*(a^2 - b^2)^(7/2)*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^3*d) + Cos[c + d*x]/(2*(a + b)^3*d*(1 - Sin[c + d*x])) + Cos[c + d*x]/(2*(a - b)^3*d*(1 + Sin[c + d*x])) + (b^4*Cos[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (3*b^4*Cos[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (b^4*(3*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 21, -((4*b^4*(2*a^2 - b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*(a^2 - b^2)^(7/2)*d)) - (b^4*(2*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*(a^2 - b^2)^(7/2)*d) - (2*b^4*(10*a^4 - 9*a^2*b^2 + 3*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*(a^2 - b^2)^(7/2)*d) + (3*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^4*d) - Cot[c + d*x]/(a^3*d) + Cos[c + d*x]/(2*(a + b)^3*d*(1 - Sin[c + d*x])) - Cos[c + d*x]/(2*(a - b)^3*d*(1 + Sin[c + d*x])) - (b^5*Cos[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) - (3*b^5*Cos[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (2*b^5*(2*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 23, (2*b^5*(5*a^2 - 3*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*(a^2 - b^2)^(7/2)*d) + (b^5*(2*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*(a^2 - b^2)^(7/2)*d) + (2*b^5*(15*a^4 - 17*a^2*b^2 + 6*b^4)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^5*(a^2 - b^2)^(7/2)*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(2*a^3*d) - ((a^2 + 6*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^5*d) + (3*b*Cot[c + d*x])/(a^4*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^3*d) + Cos[c + d*x]/(2*(a + b)^3*d*(1 - Sin[c + d*x])) + Cos[c + d*x]/(2*(a - b)^3*d*(1 + Sin[c + d*x])) + (b^6*Cos[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2) + (3*b^6*Cos[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (b^6*(5*a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x])/(a^4*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^2 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^2 (d Sin[e+f x])^(n/2) (a+b Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x])^(1/2)/Sqrt[d*Sin[e + f*x]], x, 2, (Sec[e + f*x]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(d*f) - (Sqrt[a + b]*Sqrt[(a*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[d]*f)}
+
+
+{Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[d*Sin[e + f*x]], x, -1, (Sec[e + f*x]*(b + a*Sin[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) - ((a + b)^(3/2)*Sqrt[-((a*(-1 + Csc[e + f*x]))/(a + b))]*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[d]*f) - (b*(a + b)*Sqrt[-((a*(-1 + Csc[e + f*x]))/(a + b))]*Sqrt[(b + a*Csc[e + f*x])/(-a + b)]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[-((b + a*Csc[e + f*x])/(a - b))]], (-a + b)/(a + b)]*(1 + Sin[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^3 (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^4 (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^4 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^4 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^4 (d Sin[e+f x])^(n/2) (a+b Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+{(Sec[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x])^(5/2))/Sqrt[d*Sin[e + f*x]], x, -1, (5*a*Sec[e + f*x]*(b + a*Sin[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(6*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]) + (Sec[e + f*x]^3*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*d*f) - (5*a*(a + b)^(3/2)*Sqrt[-((a*(-1 + Csc[e + f*x]))/(a + b))]*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[e + f*x])/(6*Sqrt[d]*f) - (5*a*b*(a + b)*Sqrt[-((a*(-1 + Csc[e + f*x]))/(a + b))]*Sqrt[(b + a*Csc[e + f*x])/(-a + b)]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[-((b + a*Csc[e + f*x])/(a - b))]], (-a + b)/(a + b)]*(1 + Sin[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(6*f*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^5 (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^5 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 11, (35*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*Cos[c + d*x]^2)/(2*d) - (3*a*Log[Cos[c + d*x]])/d - (3*a*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) - (35*b*Sin[c + d*x])/(8*d) - (35*b*Sin[c + d*x]^3)/(24*d) - (7*b*Sin[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^2)/(8*d) + (b*Sin[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 10, (15*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (b*Cos[c + d*x]^2)/(2*d) - (3*b*Log[Cos[c + d*x]])/d - (3*b*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (b*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) - (15*a*Sin[c + d*x])/(8*d) - (5*a*Sin[c + d*x]*Tan[c + d*x]^2)/(8*d) + (a*Sin[c + d*x]*Tan[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, -(((8*a + 15*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d)) - ((8*a - 15*b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) - (15*b*Sin[c + d*x])/(8*d) - ((4*a + 5*b*Sin[c + d*x])*Tan[c + d*x]^2)/(8*d) + ((a + b*Sin[c + d*x])*Tan[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 7, (3*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - (b*Log[Cos[c + d*x]])/d - (3*a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) - (b*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(4*d) + (b*Tan[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, (3*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - (3*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(4*d) + (a*Tan[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -((a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d)) - (a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (b*Tan[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -((b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d)) + (a*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) - (b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 8, (3*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*Log[Tan[c + d*x]])/d + (3*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*Tan[c + d*x]^2)/d + (a*Tan[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 10, (15*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - (15*a*Csc[c + d*x])/(8*d) + (b*Log[Tan[c + d*x]])/d + (5*a*Csc[c + d*x]*Sec[c + d*x]^2)/(8*d) + (a*Csc[c + d*x]*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) + (b*Tan[c + d*x]^2)/d + (b*Tan[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 10, (15*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - (a*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (15*b*Csc[c + d*x])/(8*d) + (3*a*Log[Tan[c + d*x]])/d + (5*b*Csc[c + d*x]*Sec[c + d*x]^2)/(8*d) + (b*Csc[c + d*x]*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) + (3*a*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Tan[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 11, (35*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - (b*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (35*a*Csc[c + d*x])/(8*d) - (35*a*Csc[c + d*x]^3)/(24*d) + (3*b*Log[Tan[c + d*x]])/d + (7*a*Csc[c + d*x]^3*Sec[c + d*x]^2)/(8*d) + (a*Csc[c + d*x]^3*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) + (3*b*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) + (b*Tan[c + d*x]^4)/(4*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, -(((15*a^2 + 48*a*b + 35*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d)) + ((15*a^2 - 48*a*b + 35*b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) - ((a^2 + 3*b^2)*Sin[c + d*x])/d - (a*b*Sin[c + d*x]^2)/d - (b^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (Sec[c + d*x]^2*(11*b + 9*a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x]))/(8*d) + (Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 8, -(((4*a^2 + 15*a*b + 12*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(8*d)) + ((15*a*b - 4*(a^2 + 3*b^2))*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(8*d) - (2*a*b*Sin[c + d*x])/d - (b^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(4*d) - (Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])*(4*a + 5*b*Sin[c + d*x]))/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, -(((3*a^2 + 16*a*b + 15*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d)) + ((3*a^2 - 16*a*b + 15*b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) - (b^2*Sin[c + d*x])/d - (Sec[c + d*x]^2*(7*b + 5*a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x]))/(8*d) + (Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 7, -((b*(3*a + 4*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(8*d)) + ((3*a - 4*b)*b*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(8*d) + (Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(4*d) - (Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])*(2*a + 3*b*Sin[c + d*x]))/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 5, -(((a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d)) - (Sec[c + d*x]^2*(4*a*b + (a^2 + 3*b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*d) + (Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, -((a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d)) + (Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(4*d) - (Sec[c + d*x]^2*(b^2 + a*b*Sin[c + d*x]))/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, -((a*(4*a + 3*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(8*d)) + (a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*(4*a - 3*b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*Sec[c + d*x]^2*(2*a + 3*b*Sin[c + d*x]))/(4*d) + (Sec[c + d*x]^4*(a^2 + b^2 + 2*a*b*Sin[c + d*x]))/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, -((a^2*Csc[c + d*x])/d) - ((15*a^2 + 16*a*b + 3*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d) + (2*a*b*Log[Sin[c + d*x]])/d + ((15*a^2 - 16*a*b + 3*b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) + (b*Sec[c + d*x]^2*(8*a + (3 + (7*a^2)/b^2)*b*Sin[c + d*x]))/(8*d) + (b*Sec[c + d*x]^4*(2*a + ((a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/b))/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, -((2*a*b*Csc[c + d*x])/d) - (a^2*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - ((12*a^2 + 15*a*b + 4*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((3*a^2 + b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/d - ((12*a^2 - 15*a*b + 4*b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(8*d) + (Sec[c + d*x]^4*(a^2 + b^2 + 2*a*b*Sin[c + d*x]))/(4*d) + (Sec[c + d*x]^2*(2*(2*a^2 + b^2) + 7*a*b*Sin[c + d*x]))/(4*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 8, -(((a + b)*(8*a^2 + 37*a*b + 35*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d)) - ((a - b)*(8*a^2 - 37*a*b + 35*b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) - (b*(24*a^2 + 35*b^2)*Sin[c + d*x])/(8*d) - (3*a*b^2*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (b^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(4*d) - (Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2*(8*a + 11*b*Sin[c + d*x]))/(8*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 9, -((3*(a + b)*(a^2 + 7*a*b + 8*b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d)) + (3*(a - b)*(a^2 - 7*a*b + 8*b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) - (29*a*b^2*Sin[c + d*x])/(8*d) - (b^3*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - (Sec[c + d*x]^2*(8*b + 5*a*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(8*d) + (Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 8, -((3*b*(a + b)*(3*a + 5*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d)) + (3*(3*a - 5*b)*(a - b)*b*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) - (15*b^3*Sin[c + d*x])/(8*d) + (Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(4*d) - (Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^2*(4*a + 7*b*Sin[c + d*x]))/(8*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, ((a^3 - 9*a*b^2 - 8*b^3)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d) - ((a^3 - 9*a*b^2 + 8*b^3)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) - (Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])*(5*a*b + (a^2 + 4*b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*d) + (Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 5, -((3*b*(a^2 - b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d)) + (Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(4*d) - (3*Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])*(b^2 + a*b*Sin[c + d*x]))/(8*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 6, -(((8*a^3 + 9*a^2*b - b^3)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d)) + (a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d - ((8*a^3 - 9*a^2*b + b^3)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) + (Sec[c + d*x]^2*(4*a^3 + b*(9*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]))/(8*d) + (Sec[c + d*x]^4*(a*(a^2 + 3*b^2) + b*(3*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x]))/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 6, -((a^3*Csc[c + d*x])/d) - (3*a*(a + b)*(5*a + 3*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d) + (3*a^2*b*Log[Sin[c + d*x]])/d + (3*a*(5*a - 3*b)*(a - b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) + (b*Sec[c + d*x]^4*(3*a^2 + b^2 + a*(3 + a^2/b^2)*b*Sin[c + d*x]))/(4*d) + (a*b*Sec[c + d*x]^2*(12*a + (9 + (7*a^2)/b^2)*b*Sin[c + d*x]))/(8*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 6, -((3*a^2*b*Csc[c + d*x])/d) - (a^3*Csc[c + d*x]^2)/(2*d) - (3*(a + b)*(8*a^2 + 7*a*b + b^2)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*d) + (3*a*(a^2 + b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (3*(a - b)*(8*a^2 - 7*a*b + b^2)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^4*(a*(3 + a^2/b^2) + (1 + (3*a^2)/b^2)*b*Sin[c + d*x]))/(4*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^2*(4*a*(3 + (2*a^2)/b^2) + 3*(1 + (7*a^2)/b^2)*b*Sin[c + d*x]))/(8*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m<0*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^5 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^5 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^m with n symbolic*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n*(a + b*Sin[c + d*x])^4, x, 6, -(((6*a^2*b^2*(1 - n^2) - a^4*(3 - 4*n + n^2) - b^4*(3 + 4*n + n^2))*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(8*d*(1 + n))) - (a*b*n*(a^2*(2 - n) - b^2*(2 + n))*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(2*d*(2 + n)) + (Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a^4 + 6*a^2*b^2 + b^4 + 4*a*b*(a^2 + b^2)*Sin[c + d*x]))/(4*d) + (Sec[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a^4*(3 - n) - 6*a^2*b^2*(1 + n) - b^4*(5 + n) + 4*a*b*(a^2*(2 - n) - b^2*(2 + n))*Sin[c + d*x]))/(8*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n*(a + b*Sin[c + d*x])^3, x, 5, (a*(a^2*(3 - n) - 3*b^2*(1 + n))*Hypergeometric2F1[2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(4*d*(1 + n)) + (b*(3*a^2*(2 - n) - b^2*(2 + n))*Hypergeometric2F1[2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(4*d*(2 + n)) + (Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a*(a^2 + 3*b^2) + b*(3*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x]))/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n*(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 5, ((a^2*(3 - n) - b^2*(1 + n))*Hypergeometric2F1[2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(4*d*(1 + n)) + (a*b*(2 - n)*Hypergeometric2F1[2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(2*d*(2 + n)) + (Sec[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a^2 + b^2 + 2*a*b*Sin[c + d*x]))/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n*(a + b*Sin[c + d*x])^1, x, 4, (a*Hypergeometric2F1[3, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)) + (b*Hypergeometric2F1[3, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n))}
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n/(a + b*Sin[c + d*x])^1, x, 10, ((3*a^2 - 9*a*b + 8*b^2)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, -Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(16*(a - b)^3*d*(1 + n)) + ((3*a^2 + 9*a*b + 8*b^2)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(16*(a + b)^3*d*(1 + n)) - (b^6*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, -((b*Sin[c + d*x])/a)]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(a*(a^2 - b^2)^3*d*(1 + n)) + ((3*a - 5*b)*Hypergeometric2F1[2, 1 + n, 2 + n, -Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(16*(a - b)^2*d*(1 + n)) + ((3*a + 5*b)*Hypergeometric2F1[2, 1 + n, 2 + n, Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(16*(a + b)^2*d*(1 + n)) + (Hypergeometric2F1[3, 1 + n, 2 + n, -Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(8*(a - b)*d*(1 + n)) + (Hypergeometric2F1[3, 1 + n, 2 + n, Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(8*(a + b)*d*(1 + n))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^5 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^m with m symbolic*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n*(a + b*Sin[c + d*x])^p, x, 17, (1/(16*d*(1 + n)))*((3*AppellF1[1 + n, -p, 1, 2 + n, -((b*Sin[c + d*x])/a), -Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^p)/(1 + (b*Sin[c + d*x])/a)^p) + (1/(16*d*(1 + n)))*((3*AppellF1[1 + n, -p, 1, 2 + n, -((b*Sin[c + d*x])/a), Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^p)/(1 + (b*Sin[c + d*x])/a)^p) + (1/(16*d*(1 + n)))*((3*AppellF1[1 + n, -p, 2, 2 + n, -((b*Sin[c + d*x])/a), -Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^p)/(1 + (b*Sin[c + d*x])/a)^p) + (1/(16*d*(1 + n)))*((3*AppellF1[1 + n, -p, 2, 2 + n, -((b*Sin[c + d*x])/a), Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^p)/(1 + (b*Sin[c + d*x])/a)^p) + (1/(8*d*(1 + n)))*((AppellF1[1 + n, -p, 3, 2 + n, -((b*Sin[c + d*x])/a), -Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^p)/(1 + (b*Sin[c + d*x])/a)^p) + (1/(8*d*(1 + n)))*((AppellF1[1 + n, -p, 3, 2 + n, -((b*Sin[c + d*x])/a), Sin[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + b*Sin[c + d*x])^p)/(1 + (b*Sin[c + d*x])/a)^p)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^6 (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^6 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^6 Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^6 (d Sin[e+f x])^(n/2) (a+b Sin[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+{(Sec[e + f*x]^6*(a + b*Sin[e + f*x])^(9/2))/Sqrt[d*Sin[e + f*x]], x, -1, -((3*a*b*(-2*a^2 + b^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(5*f*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])) + (Sec[e + f*x]^5*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f*x])^(9/2))/(5*d*f) - (3*a*Sec[e + f*x]^3*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*((-a)*(7*a^2 + b^2) + 2*b*(-7*a^2 + b^2)*Sin[e + f*x] + 5*a*(a^2 - b^2)*Sin[e + f*x]^2 + (8*a^2*b - 4*b^3)*Sin[e + f*x]^3))/(20*d*f) - (3*a*(a + b)^(3/2)*(5*a^2 + 3*a*b - 4*b^2)*Sqrt[-((a*(-1 + Csc[e + f*x]))/(a + b))]*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[e + f*x])/(20*Sqrt[d]*f) - (3*b*(2*a^4 - 3*a^2*b^2 + b^4)*Sqrt[-((a*(-1 + Csc[e + f*x]))/(a + b))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[-((b + a*Csc[e + f*x])/(a - b))]], 1 - (2*a)/(a + b)]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*Sqrt[-((a*Csc[e + f*x]^2*(1 + Sin[e + f*x])*(a + b*Sin[e + f*x]))/(a - b)^2)]*Tan[e + f*x])/(5*d*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(4/3), x, 11, -((9*(64*a*b*c*d - 26*a^2*d^2 - b^2*(18*c^2 - 13*d^2))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/3))/(2080*d^3*f)) - (9*b*(3*b*c - 2*a*d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/3))/(208*d^2*f) + (3*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/3))/(16*d*f) - (3*(c + d)^2*(208*a^2*c*d^2 - 64*a*b*d*(3*c^2 - 5*d^2) + b^2*c*(54*c^2 + d^2))*AppellF1[1/2, 1/2, -(7/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/(1040*Sqrt[2]*d^4*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]*((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^(1/3)) - (3*(c - d)*(c + d)^2*(192*a*b*c*d - 208*a^2*d^2 - b^2*(54*c^2 + 91*d^2))*AppellF1[1/2, 1/2, -(4/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/(1040*Sqrt[2]*d^4*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]*((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^(1/3))}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^(4/3), x, 10, -((3*(6*b*c - 13*a*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/3))/(130*d^2*f)) + (3*b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/3))/(13*d*f) + (3*(c + d)^2*(6*b*c^2 - 13*a*c*d - 10*b*d^2)*AppellF1[1/2, 1/2, -(7/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/(65*Sqrt[2]*d^3*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]*((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^(1/3)) - (3*(c - d)*(c + d)^2*(6*b*c - 13*a*d)*AppellF1[1/2, 1/2, -(4/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/(65*Sqrt[2]*d^3*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]*((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^(1/3))}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x])^0*(c + d*Sin[e + f*x])^(4/3), x, 2, (3*AppellF1[7/3, -(1/2), -(1/2), 10/3, (c + d*Sin[e + f*x])/(c - d), (c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/3))/(7*d*f*Sqrt[1 - (c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[1 - (c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])}
+{Cos[e + f*x]^2/(a + b*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^(4/3), x, 0, Unintegrable[(Cos[e + f*x]^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(4/3))/(a + b*Sin[e + f*x]), x]}
+{Cos[e + f*x]^2/(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(4/3), x, 0, Unintegrable[(Cos[e + f*x]^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(4/3))/(a + b*Sin[e + f*x])^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^2 (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n with m and/or n symbolic*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 0, Unintegrable[Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x]}
+
+
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(4/3), x, 0, Unintegrable[Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(4/3), x]}
+
+
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 11, (((2*a^2*d^2*(3 + n) - 4*a*b*c*d*(4 + n) + b^2*(6*c^2 - d^2*(3 + n)))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d^3*f*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)) - (b*(3*b*c - 2*a*d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d^2*f*(3 + n)*(4 + n)) + (Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(4 + n)) - (Sqrt[2]*(c + d)*(a^2*c*d^2*(12 + 7*n + n^2) - 2*a*b*d*(4 + n)*(2*c^2 - d^2*(2 + n)) + b^2*c*(6*c^2 - d^2*(3 - n - n^2)))*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(d^4*f*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])) - (Sqrt[2]*(c^2 - d^2)*(4*a*b*c*d*(4 + n) - a^2*d^2*(12 + 7*n + n^2) - b^2*(6*c^2 + d^2*(3 + 4*n + n^2)))*AppellF1[1/2, 1/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(d^4*f*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])))}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 10, -(((2*b*c - a*d*(3 + n))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d^2*f*(2 + n)*(3 + n))) + (b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(3 + n)) - (Sqrt[2]*(c + d)*(a*c*d*(3 + n) - b*(2*c^2 - d^2*(2 + n)))*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(d^3*f*(2 + n)*(3 + n)*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])) - (Sqrt[2]*(c^2 - d^2)*(2*b*c - a*d*(3 + n))*AppellF1[1/2, 1/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(d^3*f*(2 + n)*(3 + n)*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x])^0*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 2, (AppellF1[1 + n, -(1/2), -(1/2), 2 + n, (c + d*Sin[e + f*x])/(c - d), (c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)*Sqrt[1 - (c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[1 - (c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])}
+{Cos[e + f*x]^2/(a + b*Sin[e + f*x])^1*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 0, Unintegrable[(Cos[e + f*x]^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(a + b*Sin[e + f*x]), x]}
+{Cos[e + f*x]^2/(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 0, Unintegrable[(Cos[e + f*x]^2*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(a + b*Sin[e + f*x])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, (a*A*Sin[c + d*x])/d + ((A*b + a*B)*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - ((3*a*A - b*B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*(A*b + a*B)*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) + (3*(a*A - b*B)*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + ((A*b + a*B)*Sin[c + d*x]^6)/(2*d) - ((a*A - 3*b*B)*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) - ((A*b + a*B)*Sin[c + d*x]^8)/(8*d) - (b*B*Sin[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, (a*A*Sin[c + d*x])/d + ((A*b + a*B)*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - ((2*a*A - b*B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - ((A*b + a*B)*Sin[c + d*x]^4)/(2*d) + ((a*A - 2*b*B)*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + ((A*b + a*B)*Sin[c + d*x]^6)/(6*d) + (b*B*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, (a*A*Sin[c + d*x])/d + ((A*b + a*B)*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) - ((a*A - b*B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - ((A*b + a*B)*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) - (b*B*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, (a*A*Sin[c + d*x])/d + ((A*b + a*B)*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (b*B*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 5, -((a + b)*(A + B)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((a - b)*(A - B)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b*B*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, ((a*A - b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (Sec[c + d*x]^2*(A*b + a*B + (a*A + b*B)*Sin[c + d*x]))/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, ((3*a*A - b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (Sec[c + d*x]^4*(A*b + a*B + (a*A + b*B)*Sin[c + d*x]))/(4*d) + ((3*a*A - b*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x])*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 5, ((5*a*A - b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (Sec[c + d*x]^6*(A*b + a*B + (a*A + b*B)*Sin[c + d*x]))/(6*d) + ((5*a*A - b*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + ((5*a*A - b*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(24*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, -(((a^2 - b^2)^3*(A*b - a*B)*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(3*b^8*d)) + ((a^2 - b^2)^2*(6*a*A*b - 7*a^2*B + b^2*B)*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(4*b^8*d) - (3*(a^2 - b^2)*(5*a^2*A*b - A*b^3 - 7*a^3*B + 3*a*b^2*B)*(a + b*Sin[c + d*x])^5)/(5*b^8*d) + ((20*a^3*A*b - 12*a*A*b^3 - 35*a^4*B + 30*a^2*b^2*B - 3*b^4*B)*(a + b*Sin[c + d*x])^6)/(6*b^8*d) - ((15*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 35*a^3*B + 15*a*b^2*B)*(a + b*Sin[c + d*x])^7)/(7*b^8*d) + (3*(2*a*A*b - 7*a^2*B + b^2*B)*(a + b*Sin[c + d*x])^8)/(8*b^8*d) - ((A*b - 7*a*B)*(a + b*Sin[c + d*x])^9)/(9*b^8*d) - (B*(a + b*Sin[c + d*x])^10)/(10*b^8*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, ((a^2 - b^2)^2*(A*b - a*B)*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(3*b^6*d) - ((a^2 - b^2)*(4*a*A*b - 5*a^2*B + b^2*B)*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(4*b^6*d) + (2*(3*a^2*A*b - A*b^3 - 5*a^3*B + 3*a*b^2*B)*(a + b*Sin[c + d*x])^5)/(5*b^6*d) - ((2*a*A*b - 5*a^2*B + b^2*B)*(a + b*Sin[c + d*x])^6)/(3*b^6*d) + ((A*b - 5*a*B)*(a + b*Sin[c + d*x])^7)/(7*b^6*d) + (B*(a + b*Sin[c + d*x])^8)/(8*b^6*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, -((a^2 - b^2)*(A*b - a*B)*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(3*b^4*d) + ((2*a*A*b - 3*a^2*B + b^2*B)*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(4*b^4*d) - ((A*b - 3*a*B)*(a + b*Sin[c + d*x])^5)/(5*b^4*d) - (B*(a + b*Sin[c + d*x])^6)/(6*b^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 3, ((A*b - a*B)*(a + b*Sin[c + d*x])^3)/(3*b^2*d) + (B*(a + b*Sin[c + d*x])^4)/(4*b^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 6, -((a + b)^2*(A + B)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((a - b)^2*(A - B)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b*(A*b + 2*a*B)*Sin[c + d*x])/d - (b^2*B*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 5, -(((a + b)*(a*A - b*(A + 2*B))*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*d)) + ((a - b)*(a*A + b*(A - 2*B))*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*d) + (Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x])*(A*b + a*B + (a*A + b*B)*Sin[c + d*x]))/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + b*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 4, ((3*a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (Sec[c + d*x]^4*(B + A*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(4*d) + (Sec[c + d*x]^2*(2*b*(2*a*A - b*B) + (3*a^2*A + A*b^2 - 2*a*b*B)*Sin[c + d*x]))/(8*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(a + b*Sin[c + d*x])^2*(A + B*Sin[c + d*x]), x, 5, ((5*a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (Sec[c + d*x]^6*(B + A*Sin[c + d*x])*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(6*d) + (Sec[c + d*x]^4*(2*b*(4*a*A - b*B) + (5*a^2*A + 3*A*b^2 - 2*a*b*B)*Sin[c + d*x]))/(24*d) + ((5*a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^7*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, -(((a^2 - b^2)^3*(A*b - a*B)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^8*d)) + ((a^5*A*b - 3*a^3*A*b^3 + 3*a*A*b^5 - a^6*B + 3*a^4*b^2*B - 3*a^2*b^4*B + b^6*B)*Sin[c + d*x])/(b^7*d) - ((a^4 - 3*a^2*b^2 + 3*b^4)*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^6*d) + ((a^3*A*b - 3*a*A*b^3 - a^4*B + 3*a^2*b^2*B - 3*b^4*B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^5*d) - ((a^2 - 3*b^2)*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x]^4)/(4*b^4*d) + ((a*A*b - a^2*B + 3*b^2*B)*Sin[c + d*x]^5)/(5*b^3*d) - ((A*b - a*B)*Sin[c + d*x]^6)/(6*b^2*d) - (B*Sin[c + d*x]^7)/(7*b*d)}
+{(Cos[c + d*x]^5*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, ((a^2 - b^2)^2*(A*b - a*B)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^6*d) - ((a^3*A*b - 2*a*A*b^3 - a^4*B + 2*a^2*b^2*B - b^4*B)*Sin[c + d*x])/(b^5*d) + ((a^2 - 2*b^2)*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^4*d) - ((a*A*b - a^2*B + 2*b^2*B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^3*d) + ((A*b - a*B)*Sin[c + d*x]^4)/(4*b^2*d) + (B*Sin[c + d*x]^5)/(5*b*d)}
+{(Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, -(((a^2 - b^2)*(A*b - a*B)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^4*d)) + ((a*A*b - a^2*B + b^2*B)*Sin[c + d*x])/(b^3*d) - ((A*b - a*B)*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^2*d) - (B*Sin[c + d*x]^3)/(3*b*d)}
+{(Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, ((A*b - a*B)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^2*d) + (B*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{(Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 3, -((A + B)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(2*(a + b)*d) + ((A - B)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(2*(a - b)*d) - ((A*b - a*B)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d)}
+{(Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*A + b*(2*A + B))*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*(a + b)^2*d) + ((a*A - b*(2*A - B))*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*d) + (b^2*(A*b - a*B)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*d) - (Sec[c + d*x]^2*(A*b - a*B - (a*A - b*B)*Sin[c + d*x]))/(2*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Sec[c + d*x]^5*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 5, -((3*a^2*A + a*b*(9*A + B) + b^2*(8*A + 3*B))*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*(a + b)^3*d) + ((3*a^2*A + b^2*(8*A - 3*B) - a*b*(9*A - B))*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*(a - b)^3*d) - (b^4*(A*b - a*B)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^3*d) - (Sec[c + d*x]^4*(A*b - a*B - (a*A - b*B)*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)*d) + (Sec[c + d*x]^2*(4*b^2*(A*b - a*B) + (3*a^3*A - 7*a*A*b^2 + a^2*b*B + 3*b^3*B)*Sin[c + d*x]))/(8*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{(Sec[c + d*x]^7*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -((5*a^3*A + a^2*b*(20*A + B) + a*b^2*(29*A + 4*B) + b^3*(16*A + 5*B))*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(32*(a + b)^4*d) + ((5*a^3*A - b^3*(16*A - 5*B) + a*b^2*(29*A - 4*B) - a^2*b*(20*A - B))*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(32*(a - b)^4*d) + (b^6*(A*b - a*B)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^4*d) - (Sec[c + d*x]^6*(A*b - a*B - (a*A - b*B)*Sin[c + d*x]))/(6*(a^2 - b^2)*d) + (Sec[c + d*x]^4*(6*b^2*(A*b - a*B) + (5*a^3*A - 11*a*A*b^2 + a^2*b*B + 5*b^3*B)*Sin[c + d*x]))/(24*(a^2 - b^2)^2*d) - (Sec[c + d*x]^2*(8*b^4*(A*b - a*B) - (5*a^5*A - 16*a^3*A*b^2 + 19*a*A*b^4 + a^4*b*B - 4*a^2*b^3*B - 5*b^5*B)*Sin[c + d*x]))/(16*(a^2 - b^2)^3*d)}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^7*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, ((a^2 - b^2)^2*(6*a*A*b - 7*a^2*B + b^2*B)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^8*d) - ((5*a^4*A*b - 9*a^2*A*b^3 + 3*A*b^5 - 6*a^5*B + 12*a^3*b^2*B - 6*a*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(b^7*d) + ((4*a^3*A*b - 6*a*A*b^3 - 5*a^4*B + 9*a^2*b^2*B - 3*b^4*B)*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^6*d) - ((3*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 4*a^3*B + 6*a*b^2*B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^5*d) + ((2*a*A*b - 3*a^2*B + 3*b^2*B)*Sin[c + d*x]^4)/(4*b^4*d) - ((A*b - 2*a*B)*Sin[c + d*x]^5)/(5*b^3*d) - (B*Sin[c + d*x]^6)/(6*b^2*d) + ((a^2 - b^2)^3*(A*b - a*B))/(b^8*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^5*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -(((a^2 - b^2)*(4*a*A*b - 5*a^2*B + b^2*B)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^6*d)) + ((3*a^2*A*b - 2*A*b^3 - 4*a^3*B + 4*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(b^5*d) - ((2*a*A*b - 3*a^2*B + 2*b^2*B)*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^4*d) + ((A*b - 2*a*B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^3*d) + (B*Sin[c + d*x]^4)/(4*b^2*d) - ((a^2 - b^2)^2*(A*b - a*B))/(b^6*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, ((2*a*A*b - 3*a^2*B + b^2*B)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^4*d) - ((A*b - 2*a*B)*Sin[c + d*x])/(b^3*d) - (B*Sin[c + d*x]^2)/(2*b^2*d) + ((a^2 - b^2)*(A*b - a*B))/(b^4*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (B*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/(b^2*d) - (A*b - a*B)/(b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -((A + B)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(2*(a + b)^2*d) + ((A - B)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(2*(a - b)^2*d) - ((2*a*A*b - a^2*B - b^2*B)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*d) + (A*b - a*B)/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, -((a*A + 3*A*b + 2*b*B)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*(a + b)^3*d) + ((a*A - 3*A*b + 2*b*B)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*(a - b)^3*d) + (b^2*(4*a*A*b - 3*a^2*B - b^2*B)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^3*d) - (b*(a^2*A + 3*A*b^2 - 4*a*b*B))/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^2*(A*b - a*B - (a*A - b*B)*Sin[c + d*x]))/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^5*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 5, -((3*a^2*A + 2*a*b*(6*A + B) + b^2*(15*A + 8*B))*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(16*(a + b)^4*d) + ((3*a^2*A + b^2*(15*A - 8*B) - 2*a*b*(6*A - B))*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(16*(a - b)^4*d) - (b^4*(6*a*A*b - 5*a^2*B - b^2*B)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^4*d) - (b*(3*a^4*A - 12*a^2*A*b^2 - 15*A*b^4 + 2*a^3*b*B + 22*a*b^3*B))/(8*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^4*(A*b - a*B - (a*A - b*B)*Sin[c + d*x]))/(4*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (Sec[c + d*x]^2*(b*(a^2*A + 5*A*b^2 - 6*a*b*B) + (3*a^3*A - 9*a*A*b^2 + 2*a^2*b*B + 4*b^3*B)*Sin[c + d*x]))/(8*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^7*(A + B*Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x])^2, x, 6, -((5*a^3*A + a^2*b*(25*A + 2*B) + a*b^2*(47*A + 10*B) + b^3*(35*A + 16*B))*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(32*(a + b)^5*d) + ((5*a^3*A - b^3*(35*A - 16*B) + a*b^2*(47*A - 10*B) - a^2*(25*A*b - 2*b*B))*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(32*(a - b)^5*d) + (b^6*(8*a*A*b - 7*a^2*B - b^2*B)*Log[a + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^5*d) - (b*(5*a^6*A - 23*a^4*A*b^2 + 47*a^2*A*b^4 + 35*A*b^6 + 2*a^5*b*B - 12*a^3*b^3*B - 54*a*b^5*B))/(16*(a^2 - b^2)^4*d*(a + b*Sin[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^6*(A*b - a*B - (a*A - b*B)*Sin[c + d*x]))/(6*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (Sec[c + d*x]^4*(b*(a^2*A + 7*A*b^2 - 8*a*b*B) + (5*a^3*A - 13*a*A*b^2 + 2*a^2*b*B + 6*b^3*B)*Sin[c + d*x]))/(24*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x])) + (Sec[c + d*x]^2*(b*(5*a^4*A - 18*a^2*A*b^2 - 35*A*b^4 + 2*a^3*b*B + 46*a*b^3*B) + 3*(5*a^5*A - 18*a^3*A*b^2 + 29*a*A*b^4 + 2*a^4*b*B - 10*a^2*b^3*B - 8*b^5*B)*Sin[c + d*x]))/(48*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x])^(n/2) (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^(m/2) (a+b Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^(m/2) (a+b Sin[e+f x])^(n/2) (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x]) with m and/or n symbolic*)
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^(-1 - m)*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 0, Unintegrable[(g*Cos[e + f*x])^(-1 - m)*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x]), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n with p symbolic*)
+
+
+{(g*Cos[e + f*x])^p/((a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^1), x, 4, -((g*AppellF1[1 - p, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 2 - p, (a + b)/(a + b*Sin[e + f*x]), (a - b)/(a + b*Sin[e + f*x])]*(g*Cos[e + f*x])^(-1 + p)*(-((b*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b*Sin[e + f*x])))^((1 - p)/2)*((b*(1 + Sin[e + f*x]))/(a + b*Sin[e + f*x]))^((1 - p)/2))/((b*c - a*d)*f*(1 - p))) + (g*AppellF1[1 - p, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 2 - p, (c + d)/(c + d*Sin[e + f*x]), (c - d)/(c + d*Sin[e + f*x])]*(g*Cos[e + f*x])^(-1 + p)*(-((d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x])))^((1 - p)/2)*((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x]))^((1 - p)/2))/((b*c - a*d)*f*(1 - p))}
+{(g*Cos[e + f*x])^p/((a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2), x, 5, -((b*g*AppellF1[1 - p, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 2 - p, (a + b)/(a + b*Sin[e + f*x]), (a - b)/(a + b*Sin[e + f*x])]*(g*Cos[e + f*x])^(-1 + p)*(-((b*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b*Sin[e + f*x])))^((1 - p)/2)*((b*(1 + Sin[e + f*x]))/(a + b*Sin[e + f*x]))^((1 - p)/2))/((b*c - a*d)^2*f*(1 - p))) + (b*g*AppellF1[1 - p, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 2 - p, (c + d)/(c + d*Sin[e + f*x]), (c - d)/(c + d*Sin[e + f*x])]*(g*Cos[e + f*x])^(-1 + p)*(-((d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x])))^((1 - p)/2)*((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x]))^((1 - p)/2))/((b*c - a*d)^2*f*(1 - p)) + (g*AppellF1[2 - p, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 3 - p, (c + d)/(c + d*Sin[e + f*x]), (c - d)/(c + d*Sin[e + f*x])]*(g*Cos[e + f*x])^(-1 + p)*(-((d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x])))^((1 - p)/2)*((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x]))^((1 - p)/2))/((b*c - a*d)*f*(2 - p)*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n with p symbolic*)
+
+
+{(g*Sec[e + f*x])^p/((a + b*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])), x, 5, (-((AppellF1[1 + p, (1 + p)/2, (1 + p)/2, 2 + p, (a + b)/(a + b*Sin[e + f*x]), (a - b)/(a + b*Sin[e + f*x])]*Sec[e + f*x]*(g*Sec[e + f*x])^p*(-((b*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b*Sin[e + f*x])))^((1 + p)/2)*((b*(1 + Sin[e + f*x]))/(a + b*Sin[e + f*x]))^((1 + p)/2))/((b*c - a*d)*f*(1 + p))) + (AppellF1[1 + p, (1 + p)/2, (1 + p)/2, 2 + p, (c + d)/(c + d*Sin[e + f*x]), (c - d)/(c + d*Sin[e + f*x])]*Sec[e + f*x]*(g*Sec[e + f*x])^p*(-((d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x])))^((1 + p)/2)*((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x]))^((1 + p)/2))/((b*c - a*d)*f*(1 + p)))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.2.3 (g sin)^p (a+b sin)^m (c+d sin)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.2.3 (g sin)^p (a+b sin)^m (c+d sin)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..528bf9e5
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.2.3 (g sin)^p (a+b sin)^m (c+d sin)^n.m	
@@ -0,0 +1,354 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^p (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n*)
+
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^p (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^p (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x]), x, 13, (1/16)*a^2*c*x - (a^2*c*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) + (a^2*c*Cos[e + f*x]^5)/(5*f) - (a^2*c*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) - (a^2*c*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(24*f) + (a^2*c*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^5)/(6*f)}
+{Sin[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x]), x, 11, (1/8)*a^2*c*x - (a^2*c*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) + (a^2*c*Cos[e + f*x]^5)/(5*f) - (a^2*c*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) + (a^2*c*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(4*f)}
+{Sin[e + f*x]^1*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x]), x, 10, (1/8)*a^2*c*x - (a^2*c*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) - (a^2*c*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) + (a^2*c*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(4*f)}
+{Sin[e + f*x]^0*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x]), x, 4, (1/2)*a^2*c*x - (a^2*c*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) + (a^2*c*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^1*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x]), x, 6, (1/2)*a^2*c*x - (a^2*c*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/f + (a^2*c*Cos[e + f*x])/f + (a^2*c*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x]), x, 8, (-a^2)*c*x - (a^2*c*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/f + (a^2*c*Cos[e + f*x])/f - (a^2*c*Cot[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x]), x, 7, (-a^2)*c*x + (a^2*c*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(2*f) - (a^2*c*Cot[e + f*x])/f - (a^2*c*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^4*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x]), x, 6, (a^2*c*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(2*f) - (a^2*c*Cot[e + f*x]^3)/(3*f) - (a^2*c*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^5*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x]), x, 11, (a^2*c*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(8*f) - (a^2*c*Cot[e + f*x]^3)/(3*f) + (a^2*c*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*f) - (a^2*c*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^3)/(4*f)}
+{Csc[e + f*x]^6*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x]), x, 11, (a^2*c*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(8*f) - (a^2*c*Cot[e + f*x]^3)/(3*f) - (a^2*c*Cot[e + f*x]^5)/(5*f) + (a^2*c*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*f) - (a^2*c*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^3)/(4*f)}
+{Csc[e + f*x]^7*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x]), x, 13, (a^2*c*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(16*f) - (a^2*c*Cot[e + f*x]^3)/(3*f) - (a^2*c*Cot[e + f*x]^5)/(5*f) + (a^2*c*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(16*f) + (a^2*c*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^3)/(24*f) - (a^2*c*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^5)/(6*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^p (a+a Sin[e+f x])^(m/2) (c-c Sin[e+f x])*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2)*(c - c*Sin[c + d*x]), x, 5, -((8*a^3*c*Cos[c + d*x]^3)/(63*d*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))) - (2*a^2*c*Cos[c + d*x]^3)/(21*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (4*a*c*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(21*d) - (2*c*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(9*d), -((2*a^2*c*Cos[c + d*x])/(9*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])) + (2*a^2*c*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(63*d*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]]) + (4*a*c*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(63*d) + (2*a*c*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sin[c + d*x]])/(9*d) - (2*c*Cos[c + d*x]*(a + a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(21*d)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^p (a+a Sin[e+f x])^m / (c-c Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^p (a+a Sin[e+f x])^(m/2) / (c-c Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]/(Sin[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])), x, 5, -((2*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]])/(c*f)) + (2*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/(Sin[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])), x, 8, -((2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]])/(Sqrt[a]*c*f)) + ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])]/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*c*f) + (Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(a*c*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^(p/2) (a+a Sin[e+f x])^(m/2) / (c-c Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]/(c - c*Sin[e + f*x]), x, 6, (2*Sqrt[a]*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[g]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(c*f) + (2*Sec[e + f*x]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c*f)}
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])), x, 3, (2*Sec[e + f*x]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c*f*g)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sqrt[g*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])), x, 6, (Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[g]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*c*f) + (Sec[e + f*x]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(a*c*f)}
+{1/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])), x, 6, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[g]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])]/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*c*f*Sqrt[g])) + (Sec[e + f*x]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(a*c*f*g)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n / Sin[e+f x]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^(m/2) (c-c Sin[e+f x])^(n/2) / Sin[e+f x]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]/Sin[e + f*x], x, 2, (Log[Sin[e + f*x]]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/f}
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]/(Sin[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), x, 6, -((a*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (Log[Sin[e + f*x]]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(c*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]/(Sin[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]), x, 6, -((c*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (Log[Sin[e + f*x]]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f)}
+{1/(Sin[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), x, 3, (Cos[e + f*x]*Log[Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^p (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^p (a+a Sin[e+f x])^m / (c+d Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^p (a+a Sin[e+f x])^(m/2) / (c+d Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]/(Sin[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])), x, 5, -((2*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]])/(c*f)) + (2*Sqrt[a]*Sqrt[d]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(c*Sqrt[c + d]*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/(Sin[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])), x, 8, -((2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]])/(Sqrt[a]*c*f)) + (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)*f) - (2*d^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*c*(c - d)*Sqrt[c + d]*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^(p/2) (a+a Sin[e+f x])^(m/2) / (c+d Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]/(c + d*Sin[e + f*x]), x, 5, -((2*Sqrt[a]*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[g]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(d*f)) + (2*Sqrt[a]*Sqrt[c]*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Sqrt[g]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(d*Sqrt[c + d]*f)}
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])), x, 2, -((2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Sqrt[g]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[g]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sqrt[g*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])), x, 5, (Sqrt[2]*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[g]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)*f) - (2*Sqrt[c]*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Sqrt[g]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)*Sqrt[c + d]*f)}
+{1/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])), x, 5, -((Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[g]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)*f*Sqrt[g])) + (2*d*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Sqrt[g]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*Sqrt[c]*(c - d)*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[g])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^p (c+d Sin[e+f x])^n / (a+a Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^p (c+d Sin[e+f x])^(m/2) / (a+a Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(Sin[e + f*x]*(c + c*Sin[e + f*x])), x, 9, (EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)]) - ((a - b)*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)])/(c*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + (2*a*EllipticPi[2, (1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)])/(c*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + (Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(f*(c + c*Sin[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/(Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + c*Sin[e + f*x])), x, 9, (EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/((a - b)*c*f*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)]) - (EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)])/(c*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + (2*EllipticPi[2, (1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)])/(c*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + (Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/((a - b)*f*(c + c*Sin[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^(p/2) (c+d Sin[e+f x])^(m/2) / (a+a Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(c + c*Sin[e + f*x]), x, 3, (2*Sqrt[g]*EllipticPi[b/(a + b), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], -((a - b)/(a + b))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(a*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b*Sin[e + f*x])]*Sqrt[(a*(1 + Sin[e + f*x]))/(a + b*Sin[e + f*x])]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(Sqrt[a + b]*c*f) + (g*EllipticE[ArcSin[Cos[e + f*x]/(1 + Sin[e + f*x])], -((a - b)/(a + b))]*Sqrt[Sin[e + f*x]/(1 + Sin[e + f*x])]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/((a + b)*(1 + Sin[e + f*x]))])}
+{Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*(c + c*Sin[e + f*x])), x, 1, -((EllipticE[ArcSin[Cos[e + f*x]/(1 + Sin[e + f*x])], -((a - b)/(a + b))]*Sqrt[Sin[e + f*x]/(1 + Sin[e + f*x])]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/((a + b)*(1 + Sin[e + f*x]))]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sqrt[g*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + c*Sin[e + f*x])), x, 3, (g*EllipticE[ArcSin[Cos[e + f*x]/(1 + Sin[e + f*x])], -((a - b)/(a + b))]*Sqrt[Sin[e + f*x]/(1 + Sin[e + f*x])]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/((a - b)*c*f*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/((a + b)*(1 + Sin[e + f*x]))]) - (2*Sqrt[a + b]*Sqrt[g]*Sqrt[(a*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[g]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[e + f*x])/((a - b)*c*f)}
+{1/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + c*Sin[e + f*x])), x, 3, -((EllipticE[ArcSin[Cos[e + f*x]/(1 + Sin[e + f*x])], -((a - b)/(a + b))]*Sqrt[Sin[e + f*x]/(1 + Sin[e + f*x])]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/((a - b)*c*f*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/((a + b)*(1 + Sin[e + f*x]))])) + (2*b*Sqrt[a + b]*Sqrt[(a*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[g]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[e + f*x])/(a*(a - b)*c*f*Sqrt[g])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n / Sin[e+f x]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^(m/2) (c+d Sin[e+f x])^(n/2) / Sin[e+f x]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/Sin[e + f*x], x, 5, -((2*Sqrt[a]*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/f) - (2*Sqrt[a]*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/f}
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]/(Sin[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x, 2, -((2*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/(Sin[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]), x, 5, -((2*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f)) + (Sqrt[2]*Sqrt[c - d]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f)}
+{1/(Sin[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x, 5, -((2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*Sqrt[c]*f)) + (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*f)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m / (c+d Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^p (a+b Sin[e+f x])^m / (c+d Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^2/((a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])), x, 8, -((2*a*(a^2*c - 2*b^2*c + a*b*d)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(3/2)*(b*c - a*d)^2*f)) + (2*c^2*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((b*c - a*d)^2*Sqrt[c^2 - d^2]*f) + (a^2*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^p (a+b Sin[e+f x])^(m/2) / (c+d Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+(* {(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)/(Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 0, -((2*d^2*EllipticE[(1/4)*(-2*e + Pi - 2*f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(b*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])) + (2*d^2*(-2*b*c + a*d)*EllipticF[(1/4)*(-2*e + Pi - 2*f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(b^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (2*c^3*EllipticPi[2, -(Pi/4) + (1/2)*(e + f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(a*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*(b*c - a*d)^3*EllipticPi[(2*b)/(a + b), -(Pi/4) + (1/2)*(e + f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(a*b^2*(a + b)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)/(Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 0, -((2*d^2*EllipticF[(1/4)*(-2*e + Pi - 2*f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(b*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])) + (2*c^2*EllipticPi[2, -(Pi/4) + (1/2)*(e + f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(a*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*(b*c - a*d)^2*EllipticPi[(2*b)/(a + b), -(Pi/4) + (1/2)*(e + f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(a*b*(a + b)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])} *)
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)/(Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 5, (2*c*EllipticPi[2, (1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(a*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*(b*c - a*d)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(a*(a + b)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/(Sin[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 5, (2*EllipticPi[2, (1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(a*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*b*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(e - Pi/2 + f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(a*(a + b)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+(* {1/(Sin[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 0, (2*d^3*Cos[e + f*x])/(c*(b*c - a*d)*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*d^2*EllipticE[(1/4)*(-2*e + Pi - 2*f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(c*(b*c - a*d)*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (2*EllipticPi[2, -(Pi/4) + (1/2)*(e + f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(a*c*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*b^2*EllipticPi[(2*b)/(a + b), -(Pi/4) + (1/2)*(e + f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(a*(a + b)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{1/(Sin[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 0, sdx[(2*d^3*Cos[e + f*x])/(3*c*(b*c - a*d)*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*d^3*(10*b*c^3 - 7*a*c^2*d - 6*b*c*d^2 + 3*a*d^3)*Cos[e + f*x])/(3*c^2*(b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*d^2*(10*b*c^3 - 7*a*c^2*d - 6*b*c*d^2 + 3*a*d^3)*EllipticE[(1/4)*(-2*e + Pi - 2*f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(3*c^2*(b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]) + (2*d^2*EllipticF[(1/4)*(-2*e + Pi - 2*f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(3*c*(b*c - a*d)*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (2*EllipticPi[2, -(Pi/4) + (1/2)*(e + f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(a*c^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*b^3*EllipticPi[(2*b)/(a + b), -(Pi/4) + (1/2)*(e + f*x), (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)])/(a*(a + b)*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])]} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^(p/2) (a+b Sin[e+f x])^(m/2) / (c+d Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(c + d*Sin[e + f*x]), x, 3, (2*Sqrt[a + b]*Sqrt[g]*Sqrt[(a*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[(Sqrt[g]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[e + f*x])/(d*f) - (2*(b*c - a*d)*Sqrt[-Cot[e + f*x]^2]*Sqrt[(b + a*Csc[e + f*x])/(a + b)]*EllipticPi[(2*c)/(c + d), ArcSin[Sqrt[1 - Csc[e + f*x]]/Sqrt[2]], (2*a)/(a + b)]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(d*(c + d)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])), x, 3, -((2*Sqrt[a + b]*Sqrt[(a*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[g]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[e + f*x])/(c*f*Sqrt[g])) + (2*(b*c - a*d)*Sqrt[-Cot[e + f*x]^2]*Sqrt[(b + a*Csc[e + f*x])/(a + b)]*EllipticPi[(2*c)/(c + d), ArcSin[Sqrt[1 - Csc[e + f*x]]/Sqrt[2]], (2*a)/(a + b)]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c*(c + d)*f*g*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sqrt[g*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])), x, 1, (2*Sqrt[-Cot[e + f*x]^2]*Sqrt[(b + a*Csc[e + f*x])/(a + b)]*EllipticPi[(2*c)/(c + d), ArcSin[Sqrt[1 - Csc[e + f*x]]/Sqrt[2]], (2*a)/(a + b)]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/((c + d)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])}
+{1/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])), x, 3, -((2*Sqrt[a + b]*Sqrt[(a*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[g]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Tan[e + f*x])/(a*c*f*Sqrt[g])) - (2*d*Sqrt[-Cot[e + f*x]^2]*Sqrt[(b + a*Csc[e + f*x])/(a + b)]*EllipticPi[(2*c)/(c + d), ArcSin[Sqrt[1 - Csc[e + f*x]]/Sqrt[2]], (2*a)/(a + b)]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c*(c + d)*f*g*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m / (c+d Sin[e+f x])^(1/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^(p/2) (a+b Sin[e+f x])^(m/2) / (c+d Sin[e+f x])^(1/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+(* {Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 0, 0}
+{Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 0, 0} *)
+{Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)/(a + b*Sin[e + f*x]), x, 3, (2*Sqrt[c + d]*Sqrt[g]*Sqrt[(c*(1 - Csc[e + f*x]))/(c + d)]*Sqrt[(c*(1 + Csc[e + f*x]))/(c - d)]*EllipticPi[(c + d)/d, ArcSin[(Sqrt[g]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]])], -((c + d)/(c - d))]*Tan[e + f*x])/(b*f) + (2*(b*c - a*d)*Sqrt[-Cot[e + f*x]^2]*Sqrt[(d + c*Csc[e + f*x])/(c + d)]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), ArcSin[Sqrt[1 - Csc[e + f*x]]/Sqrt[2]], (2*c)/(c + d)]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(b*(a + b)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sqrt[g*Sin[e + f*x]]/((c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 1, (2*Sqrt[-Cot[e + f*x]^2]*Sqrt[(d + c*Csc[e + f*x])/(c + d)]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), ArcSin[Sqrt[1 - Csc[e + f*x]]/Sqrt[2]], (2*c)/(c + d)]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/((a + b)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+(* {Sqrt[g*Sin[e + f*x]]/((c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 0, 0}
+{Sqrt[g*Sin[e + f*x]]/((c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)*(a + b*Sin[e + f*x])), x, 0, 0} *)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n / Sin[e+f x]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^(m/2) (c+d Sin[e+f x])^(n/2) / Sin[e+f x]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/Sin[e + f*x], x, 3, -((2*Sqrt[c + d]*EllipticPi[(a*(c + d))/((a + b)*c), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(Sqrt[a + b]*f)) + (2*Sqrt[c + d]*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(Sqrt[a + b]*f)}
+{Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(Sin[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x, 1, -((2*Sqrt[c + d]*EllipticPi[(a*(c + d))/((a + b)*c), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(Sqrt[a + b]*c*f))}
+
+
+(* {(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)/(Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x, 0, 0}
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)/(Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x, 0, 0} *)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/(Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x, 3, -((2*Sqrt[c + d]*EllipticPi[(a*(c + d))/((a + b)*c), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(a*Sqrt[a + b]*c*f)) - (2*b*Sqrt[a + b]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(a*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f)}
+
+
+(* {1/(Sin[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x, 0, 0}
+{1/(Sin[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x, 0, 0} *)
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (h Sin[e+f x])^q (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (h Sin[e+f x])^q (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* {(g*Cos[e + f*x])^p*(h*Sin[e + f*x])^q*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n, x, 0, 0} *)
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x])^p*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n*(A + B*Sin[e + f*x])^p, x, 4, (2^(1/2 + n)*AppellF1[1/2 + m, 1/2 - n, -p, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((B*(1 + Sin[e + f*x]))/(A - B))]*Sec[e + f*x]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(A + B*Sin[e + f*x])^p*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/(((A + B*Sin[e + f*x])/(A - B))^p*(a*f*(1 + 2*m)))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.3.1 (a+b sin)^m (c+d sin)^n (A+B sin).m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.3.1 (a+b sin)^m (c+d sin)^n (A+B sin).m
new file mode 100644
index 00000000..d370fec7
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.3.1 (a+b sin)^m (c+d sin)^n (A+B sin).m	
@@ -0,0 +1,620 @@
+(* ::Package:: *)
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+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x])*)
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+
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^n*(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((a^3*(B*(27 + 14*n + 2*n^2) + A*(28 + 15*n + 2*n^2))*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n))) + (a^3*(B*(15 + 19*n + 4*n^2) + A*(20 + 21*n + 4*n^2))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)*(2 + n)*(4 + n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (a^3*(B*(9 + 4*n) + A*(11 + 4*n))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(2 + n))/(d^2*f*(2 + n)*(3 + n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) - (a*B*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n)*(a + a*Sin[e + f*x])^2)/(d*f*(4 + n)) - ((A*(4 + n) + B*(6 + n))*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n)*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))/(d*f*(3 + n)*(4 + n)), -((a^3*(B*(27 + 14*n + 2*n^2) + A*(28 + 15*n + 2*n^2))*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(4 + n)*(6 + 5*n + n^2))) + (a^3*(B*(15 + 19*n + 4*n^2) + A*(20 + 21*n + 4*n^2))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(4 + n)*(2 + 3*n + n^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (a^3*(B*(9 + 4*n) + A*(11 + 4*n))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(2 + n))/(d^2*f*(2 + n)*(3 + n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) - (a*B*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n)*(a + a*Sin[e + f*x])^2)/(d*f*(4 + n)) - ((A*(4 + n) + B*(6 + n))*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n)*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))/(d*f*(3 + n)*(4 + n))]}
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^n*(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 6, -((a^2*(A*(3 + n) + B*(4 + n))*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(2 + n)*(3 + n))) + (a^2*(2*B*(1 + n) + A*(3 + 2*n))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)*(2 + n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (a^2*(2*A*(3 + n) + B*(5 + 2*n))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(2 + n))/(d^2*f*(2 + n)*(3 + n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) - (B*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n)*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x]))/(d*f*(3 + n))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^n*(a + a*Sin[e + f*x])^1, x, 5, -((a*B*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(2 + n))) + (a*(B*(1 + n) + A*(2 + n))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)*(2 + n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + (a*(A + B)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(2 + n))/(d^2*f*(2 + n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^n/(a + a*Sin[e + f*x])^1, x, 4, ((B - A*n + B*n)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(a*d*f*(1 + n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + ((A - B)*(1 + n)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(2 + n))/(a*d^2*f*(2 + n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + ((A - B)*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(a + a*Sin[e + f*x]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^n/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 5, -((n*(A - 2*A*n + 2*B*(1 + n))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(3*a^2*d*f*(1 + n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])) + ((1 + n)*(B + 2*A*(1 - n) + 2*B*n)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(2 + n))/(3*a^2*d^2*f*(2 + n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + ((B + 2*A*(1 - n) + 2*B*n)*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(3*a^2*d*f*(1 + Sin[e + f*x])) + ((A - B)*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(3*d*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^n/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 6, -((n*(B*(3 - n - 4*n^2) + A*(2 - 9*n + 4*n^2))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(15*a^3*d*f*(1 + n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])) + ((1 - n)*(1 + n)*(7*A + 3*B - 4*A*n + 4*B*n)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^(2 + n))/(15*a^3*d^2*f*(2 + n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]) + ((A - B)*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(5*d*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3) + ((A*(5 - 2*n) + 2*B*n)*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(15*a*d*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) + ((1 - n)*(7*A + 3*B - 4*A*n + 4*B*n)*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(15*d*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^n*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, -((2*a^3*(2*B*(115 + 203*n + 104*n^2 + 16*n^3) + A*(301 + 478*n + 224*n^2 + 32*n^3))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, 1 - Sin[e + f*x]]*(d*Sin[e + f*x])^n)/(Sin[e + f*x]^n*(f*(3 + 2*n)*(5 + 2*n)*(7 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))) - (2*a^3*(2*B*(35 + 23*n + 4*n^2) + A*(77 + 50*n + 8*n^2))*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(3 + 2*n)*(5 + 2*n)*(7 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a^2*(2*B*(5 + n) + A*(7 + 2*n))*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(d*f*(5 + 2*n)*(7 + 2*n)) - (2*a*B*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n)*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(d*f*(7 + 2*n))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^n*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, -((2*a^2*(2*B*(9 + 13*n + 4*n^2) + A*(25 + 30*n + 8*n^2))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, 1 - Sin[e + f*x]]*(d*Sin[e + f*x])^n)/(Sin[e + f*x]^n*(f*(3 + 2*n)*(5 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))) - (2*a^2*(2*B*(3 + n) + A*(5 + 2*n))*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(3 + 2*n)*(5 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a*B*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(d*f*(5 + 2*n))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^n*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, -((2*a*(2*B*(1 + n) + A*(3 + 2*n))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, 1 - Sin[e + f*x]]*(d*Sin[e + f*x])^n)/(Sin[e + f*x]^n*(f*(3 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))) - (2*a*B*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(3 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^n/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 9, -(((A - B)*AppellF1[1/2, -n, 1, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^n)/(Sin[e + f*x]^n*(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))) - (2*B*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, 1 - Sin[e + f*x]]*(d*Sin[e + f*x])^n)/(Sin[e + f*x]^n*(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^n/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 10, ((A - B)*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(2*d*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((A - 4*A*n + B*(3 + 4*n))*AppellF1[1/2, -n, 1, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^n)/(Sin[e + f*x]^n*(4*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - ((A - B)*(1 + 2*n)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, 1 - Sin[e + f*x]]*(d*Sin[e + f*x])^n)/(Sin[e + f*x]^n*(2*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^n, x, 9, -((2^(3/2 + m)*B*AppellF1[1/2, -n, -(1/2) - m, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^n*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(Sin[e + f*x]^n*f)) - (2^(1/2 + m)*(A - B)*AppellF1[1/2, -n, 1/2 - m, 3/2, 1 - Sin[e + f*x], (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^n*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(Sin[e + f*x]^n*f)}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(a - a*Sin[e + f*x])*(d*Sin[e + f*x])^n, x, 4, (AppellF1[1 + n, -(1/2), 1/2 - m, 2 + n, Sin[e + f*x], -Sin[e + f*x]]*Sec[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n)*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2 - m)*(a - a*Sin[e + f*x])*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(d*f*(1 + n)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]])}
+
+
+{Sin[c + d*x]^n*(a + a*Sin[c + d*x])^(-2 - n)*(-1 - n - (-2 - n)*Sin[c + d*x]), x, 1, -((Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a + a*Sin[c + d*x])^(-2 - n))/d)}
+{(a + a*Sin[c + d*x])^m*(1 + m - m*Sin[c + d*x])/Sin[c + d*x]^(m + 2), x, 1, -((Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(-1 - m)*(a + a*Sin[c + d*x])^m)/d)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^n (a+b Sin[e+f x])^m (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^2*(A + B*Sin[e + f*x])/(a + b*Sin[e + f*x])^2, x, 6, ((A*b - 2*a*B)*x)/b^3 - (2*a*(a^2*A*b - 2*A*b^3 - 2*a^3*B + 3*a*b^2*B)*ArcTan[(b + a*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^3*(a^2 - b^2)^(3/2)*f) - (B*Cos[e + f*x])/(b^2*f) + (a^2*(A*b - a*B)*Cos[e + f*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sin[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^4, x, 7, (7/16)*a*(2*A - B)*c^4*x + (7*a*(2*A - B)*c^4*Cos[e + f*x]^3)/(24*f) + (7*a*(2*A - B)*c^4*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) - (a*B*c*Cos[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^3)/(6*f) + (a*(2*A - B)*Cos[e + f*x]^3*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x])^2)/(10*f) + (7*a*(2*A - B)*Cos[e + f*x]^3*(c^4 - c^4*Sin[e + f*x]))/(40*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 6, (1/8)*a*(5*A - 2*B)*c^3*x + (a*(5*A - 2*B)*c^3*Cos[e + f*x]^3)/(12*f) + (a*(5*A - 2*B)*c^3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - (a*B*c*Cos[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^2)/(5*f) + (a*(5*A - 2*B)*Cos[e + f*x]^3*(c^3 - c^3*Sin[e + f*x]))/(20*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 5, (1/8)*a*(4*A - B)*c^2*x + (a*(A - B)*c^2*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) + (a*(4*A - B)*c^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) + (a*B*c^2*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*f), (1/8)*a*(4*A - B)*c^2*x + (a*(4*A - B)*c^2*Cos[e + f*x]^3)/(12*f) + (a*(4*A - B)*c^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - (a*B*Cos[e + f*x]^3*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x]))/(4*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 4, (1/2)*a*A*c*x - (a*B*c*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) + (a*A*c*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 4, -((a*(A + 2*B)*x)/c) + (a*B*Cos[e + f*x])/(c*f) + (2*a*(A + B)*Cos[e + f*x])/(f*(c - c*Sin[e + f*x]))}
+{((a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 4, (a*B*x)/c^2 - (a*(A + 7*B)*Cos[e + f*x])/(3*c^2*f*(1 - Sin[e + f*x])) + (2*a*(A + B)*Cos[e + f*x])/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^2)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 4, (2*a*(A + B)*Cos[e + f*x])/(5*f*(c - c*Sin[e + f*x])^3) - (a*(A + 11*B)*c*Cos[e + f*x])/(15*f*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x])^2) - (a*(A - 4*B)*Cos[e + f*x])/(15*f*(c^3 - c^3*Sin[e + f*x]))}
+{((a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^4, x, 5, (2*a*(A + B)*Cos[e + f*x])/(7*f*(c - c*Sin[e + f*x])^4) - (a*(A + 15*B)*Cos[e + f*x])/(35*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^3) - (a*(2*A - 5*B)*Cos[e + f*x])/(105*f*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x])^2) - (a*(2*A - 5*B)*Cos[e + f*x])/(105*f*(c^4 - c^4*Sin[e + f*x]))}
+{((a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^5, x, 6, (2*a*(A + B)*Cos[e + f*x])/(9*f*(c - c*Sin[e + f*x])^5) - (a*(A + 19*B)*Cos[e + f*x])/(63*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^4) - (a*(A - 2*B)*c*Cos[e + f*x])/(105*f*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x])^3) - (2*a*(A - 2*B)*c*Cos[e + f*x])/(315*f*(c^3 - c^3*Sin[e + f*x])^2) - (2*a*(A - 2*B)*Cos[e + f*x])/(315*f*(c^5 - c^5*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^5, x, 8, (9/128)*a^2*(8*A - 3*B)*c^5*x + (3*a^2*(8*A - 3*B)*c^5*Cos[e + f*x]^5)/(80*f) + (9*a^2*(8*A - 3*B)*c^5*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(128*f) + (3*a^2*(8*A - 3*B)*c^5*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(64*f) + (a^2*(8*A - 3*B)*c^3*Cos[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^2)/(56*f) - (a^2*B*c^2*Cos[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^3)/(8*f) + (3*a^2*(8*A - 3*B)*Cos[e + f*x]^5*(c^5 - c^5*Sin[e + f*x]))/(112*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^4, x, 7, (1/16)*a^2*(7*A - 2*B)*c^4*x + (a^2*(7*A - 2*B)*c^4*Cos[e + f*x]^5)/(30*f) + (a^2*(7*A - 2*B)*c^4*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) + (a^2*(7*A - 2*B)*c^4*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*f) - (a^2*B*Cos[e + f*x]^5*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x])^2)/(7*f) + (a^2*(7*A - 2*B)*Cos[e + f*x]^5*(c^4 - c^4*Sin[e + f*x]))/(42*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 6, (1/16)*a^2*(6*A - B)*c^3*x + (a^2*(6*A - B)*c^3*Cos[e + f*x]^5)/(30*f) + (a^2*(6*A - B)*c^3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) + (a^2*(6*A - B)*c^3*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*f) - (a^2*B*Cos[e + f*x]^5*(c^3 - c^3*Sin[e + f*x]))/(6*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 5, (3/8)*a^2*A*c^2*x - (a^2*B*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(5*f) + (3*a^2*A*c^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) + (a^2*A*c^2*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 5, (1/8)*a^2*(4*A + B)*c*x - (a^2*(4*A + B)*c*Cos[e + f*x]^3)/(12*f) + (a^2*(4*A + B)*c*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - (B*c*Cos[e + f*x]^3*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x]))/(4*f)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 5, -((3*a^2*(2*A + 3*B)*x)/(2*c)) + (3*a^2*(2*A + 3*B)*Cos[e + f*x])/(2*c*f) + (a^2*(A + B)*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(f*(c - c*Sin[e + f*x])^3) + (a^2*(2*A + 3*B)*Cos[e + f*x]^3)/(2*f*(c - c*Sin[e + f*x]))}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 5, (a^2*(A + 4*B)*x)/c^2 - (a^2*(A + 4*B)*Cos[e + f*x])/(c^2*f) + (a^2*(A + B)*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^4) - (2*a^2*(A + 4*B)*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^2)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 5, -((a^2*B*x)/c^3) + (a^2*(A + B)*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(5*f*(c - c*Sin[e + f*x])^5) - (2*a^2*B*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^3) + (2*a^2*B*Cos[e + f*x])/(f*(c^3 - c^3*Sin[e + f*x]))}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^4, x, 3, (a^2*(A + B)*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(7*f*(c - c*Sin[e + f*x])^6) + (a^2*(A - 6*B)*c*Cos[e + f*x]^5)/(35*f*(c - c*Sin[e + f*x])^5)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^5, x, 4, (a^2*(A + B)*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(9*f*(c - c*Sin[e + f*x])^7) + (a^2*(2*A - 7*B)*c*Cos[e + f*x]^5)/(63*f*(c - c*Sin[e + f*x])^6) + (a^2*(2*A - 7*B)*Cos[e + f*x]^5)/(315*f*(c - c*Sin[e + f*x])^5)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^6, x, 5, (a^2*(A + B)*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(11*f*(c - c*Sin[e + f*x])^8) + (a^2*(3*A - 8*B)*c*Cos[e + f*x]^5)/(99*f*(c - c*Sin[e + f*x])^7) + (2*a^2*(3*A - 8*B)*Cos[e + f*x]^5)/(693*f*(c - c*Sin[e + f*x])^6) + (2*a^2*(3*A - 8*B)*Cos[e + f*x]^5)/(3465*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^5)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^7, x, 6, (a^2*(A + B)*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(13*f*(c - c*Sin[e + f*x])^9) + (a^2*(4*A - 9*B)*c*Cos[e + f*x]^5)/(143*f*(c - c*Sin[e + f*x])^8) + (a^2*(4*A - 9*B)*Cos[e + f*x]^5)/(429*f*(c - c*Sin[e + f*x])^7) + (2*a^2*(4*A - 9*B)*Cos[e + f*x]^5)/(3003*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^6) + (2*a^2*(4*A - 9*B)*Cos[e + f*x]^5)/(15015*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^5)}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^6, x, 9, (11/256)*a^3*(10*A - 3*B)*c^6*x + (11*a^3*(10*A - 3*B)*c^6*Cos[e + f*x]^7)/(560*f) + (11*a^3*(10*A - 3*B)*c^6*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(256*f) + (11*a^3*(10*A - 3*B)*c^6*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(384*f) + (11*a^3*(10*A - 3*B)*c^6*Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(480*f) - (a^3*B*Cos[e + f*x]^7*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x])^3)/(10*f) + (a^3*(10*A - 3*B)*Cos[e + f*x]^7*(c^3 - c^3*Sin[e + f*x])^2)/(90*f) + (11*a^3*(10*A - 3*B)*Cos[e + f*x]^7*(c^6 - c^6*Sin[e + f*x]))/(720*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^5, x, 8, (5/128)*a^3*(9*A - 2*B)*c^5*x + (a^3*(9*A - 2*B)*c^5*Cos[e + f*x]^7)/(56*f) + (5*a^3*(9*A - 2*B)*c^5*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(128*f) + (5*a^3*(9*A - 2*B)*c^5*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(192*f) + (a^3*(9*A - 2*B)*c^5*Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(48*f) - (a^3*B*c^3*Cos[e + f*x]^7*(c - c*Sin[e + f*x])^2)/(9*f) + (a^3*(9*A - 2*B)*Cos[e + f*x]^7*(c^5 - c^5*Sin[e + f*x]))/(72*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^4, x, 7, (5/128)*a^3*(8*A - B)*c^4*x + (a^3*(8*A - B)*c^4*Cos[e + f*x]^7)/(56*f) + (5*a^3*(8*A - B)*c^4*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(128*f) + (5*a^3*(8*A - B)*c^4*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(192*f) + (a^3*(8*A - B)*c^4*Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(48*f) - (a^3*B*Cos[e + f*x]^7*(c^4 - c^4*Sin[e + f*x]))/(8*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 6, (5/16)*a^3*A*c^3*x - (a^3*B*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(7*f) + (5*a^3*A*c^3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) + (5*a^3*A*c^3*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*f) + (a^3*A*c^3*Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(6*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 6, (1/16)*a^3*(6*A + B)*c^2*x - (a^3*(6*A + B)*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(30*f) + (a^3*(6*A + B)*c^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) + (a^3*(6*A + B)*c^2*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*f) - (B*c^2*Cos[e + f*x]^5*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))/(6*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 6, (1/8)*a^3*(5*A + 2*B)*c*x - (a^3*(5*A + 2*B)*c*Cos[e + f*x]^3)/(12*f) + (a^3*(5*A + 2*B)*c*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - (a*B*c*Cos[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^2)/(5*f) - ((5*A + 2*B)*c*Cos[e + f*x]^3*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))/(20*f)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 6, -((5*a^3*(3*A + 4*B)*x)/(2*c)) + (5*a^3*(3*A + 4*B)*Cos[e + f*x]^3)/(3*c*f) - (5*a^3*(3*A + 4*B)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*c*f) + (a^3*(A + B)*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(f*(c - c*Sin[e + f*x])^4) + (2*a^3*(3*A + 4*B)*c^3*Cos[e + f*x]^5)/(f*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x])^2)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 6, (5*a^3*(2*A + 5*B)*x)/(2*c^2) - (5*a^3*(2*A + 5*B)*Cos[e + f*x])/(2*c^2*f) + (a^3*(A + B)*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^5) - (2*a^3*(2*A + 5*B)*c*Cos[e + f*x]^5)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^3) - (5*a^3*(2*A + 5*B)*Cos[e + f*x]^3)/(6*f*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x]))}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 6, -((a^3*(A + 6*B)*x)/c^3) + (a^3*(A + 6*B)*Cos[e + f*x])/(c^3*f) + (a^3*(A + B)*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(5*f*(c - c*Sin[e + f*x])^6) - (2*a^3*(A + 6*B)*c*Cos[e + f*x]^5)/(15*f*(c - c*Sin[e + f*x])^4) + (2*a^3*(A + 6*B)*c^3*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(c^3 - c^3*Sin[e + f*x])^2)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^4, x, 6, (a^3*B*x)/c^4 + (a^3*(A + B)*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(7*f*(c - c*Sin[e + f*x])^7) - (2*a^3*B*c*Cos[e + f*x]^5)/(5*f*(c - c*Sin[e + f*x])^5) + (2*a^3*B*c^2*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x])^3) - (2*a^3*B*Cos[e + f*x])/(f*(c^4 - c^4*Sin[e + f*x]))}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^5, x, 3, (a^3*(A + B)*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(9*f*(c - c*Sin[e + f*x])^8) + (a^3*(A - 8*B)*c^2*Cos[e + f*x]^7)/(63*f*(c - c*Sin[e + f*x])^7)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^6, x, 4, (a^3*(A + B)*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(11*f*(c - c*Sin[e + f*x])^9) + (a^3*(2*A - 9*B)*c^2*Cos[e + f*x]^7)/(99*f*(c - c*Sin[e + f*x])^8) + (a^3*(2*A - 9*B)*c*Cos[e + f*x]^7)/(693*f*(c - c*Sin[e + f*x])^7)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^7, x, 5, (a^3*(A + B)*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(13*f*(c - c*Sin[e + f*x])^10) + (a^3*(3*A - 10*B)*c^2*Cos[e + f*x]^7)/(143*f*(c - c*Sin[e + f*x])^9) + (2*a^3*(3*A - 10*B)*c*Cos[e + f*x]^7)/(1287*f*(c - c*Sin[e + f*x])^8) + (2*a^3*(3*A - 10*B)*Cos[e + f*x]^7)/(9009*f*(c - c*Sin[e + f*x])^7)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^8, x, 6, (a^3*(A + B)*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(15*f*(c - c*Sin[e + f*x])^11) + (a^3*(4*A - 11*B)*c^2*Cos[e + f*x]^7)/(195*f*(c - c*Sin[e + f*x])^10) + (a^3*(4*A - 11*B)*c*Cos[e + f*x]^7)/(715*f*(c - c*Sin[e + f*x])^9) + (2*a^3*(4*A - 11*B)*Cos[e + f*x]^7)/(6435*f*(c - c*Sin[e + f*x])^8) + (2*a^3*(4*A - 11*B)*Cos[e + f*x]^7)/(45045*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^7)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^4)/(a + a*Sin[e + f*x]), x, 7, -((35*(4*A - 5*B)*c^4*x)/(8*a)) - (35*(4*A - 5*B)*c^4*Cos[e + f*x]^3)/(12*a*f) - (35*(4*A - 5*B)*c^4*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*a*f) - (a^4*(A - B)*c^4*Cos[e + f*x]^9)/(f*(a + a*Sin[e + f*x])^5) - (2*a^2*(4*A - 5*B)*c^4*Cos[e + f*x]^7)/(f*(a + a*Sin[e + f*x])^3) - (7*(4*A - 5*B)*c^4*Cos[e + f*x]^5)/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x]))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^3)/(a + a*Sin[e + f*x]), x, 6, -((5*(3*A - 4*B)*c^3*x)/(2*a)) - (5*(3*A - 4*B)*c^3*Cos[e + f*x]^3)/(3*a*f) - (5*(3*A - 4*B)*c^3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*a*f) - (a^3*(A - B)*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(f*(a + a*Sin[e + f*x])^4) - (2*a^3*(3*A - 4*B)*c^3*Cos[e + f*x]^5)/(f*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x])^2)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^2)/(a + a*Sin[e + f*x]), x, 5, -((3*(2*A - 3*B)*c^2*x)/(2*a)) - (3*(2*A - 3*B)*c^2*Cos[e + f*x])/(2*a*f) - (a^2*(A - B)*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(f*(a + a*Sin[e + f*x])^3) - ((2*A - 3*B)*c^2*Cos[e + f*x]^3)/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x]))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^1)/(a + a*Sin[e + f*x]), x, 4, -(((A - 2*B)*c*x)/a) + (B*c*Cos[e + f*x])/(a*f) - (2*(A - B)*c*Cos[e + f*x])/(f*(a + a*Sin[e + f*x]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^1), x, 4, (B*Sec[e + f*x])/(a*c*f) + (A*Tan[e + f*x])/(a*c*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^2), x, 4, ((A + B)*Sec[e + f*x])/(3*a*f*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x])) + ((2*A - B)*Tan[e + f*x])/(3*a*c^2*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^3), x, 5, ((A + B)*Sec[e + f*x])/(5*a*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^2) + ((3*A - 2*B)*Sec[e + f*x])/(15*a*f*(c^3 - c^3*Sin[e + f*x])) + (2*(3*A - 2*B)*Tan[e + f*x])/(15*a*c^3*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^4), x, 6, ((A + B)*Sec[e + f*x])/(7*a*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^3) + ((4*A - 3*B)*Sec[e + f*x])/(35*a*f*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x])^2) + ((4*A - 3*B)*Sec[e + f*x])/(35*a*f*(c^4 - c^4*Sin[e + f*x])) + (2*(4*A - 3*B)*Tan[e + f*x])/(35*a*c^4*f)}
+
+
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^5)/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 8, (105*(4*A - 7*B)*c^5*x)/(8*a^2) + (35*(4*A - 7*B)*c^5*Cos[e + f*x]^3)/(4*a^2*f) + (105*(4*A - 7*B)*c^5*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*a^2*f) - (a^5*(A - B)*c^5*Cos[e + f*x]^11)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^7) + (2*a^3*(4*A - 7*B)*c^5*Cos[e + f*x]^9)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^5) + (6*a^4*(4*A - 7*B)*c^5*Cos[e + f*x]^7)/(f*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x])^3) + (21*(4*A - 7*B)*c^5*Cos[e + f*x]^5)/(4*f*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x]))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^4)/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 7, (35*(A - 2*B)*c^4*x)/(2*a^2) + (35*(A - 2*B)*c^4*Cos[e + f*x]^3)/(3*a^2*f) + (35*(A - 2*B)*c^4*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*a^2*f) - (a^4*(A - B)*c^4*Cos[e + f*x]^9)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^6) + (2*a^2*(A - 2*B)*c^4*Cos[e + f*x]^7)/(f*(a + a*Sin[e + f*x])^4) + (14*(A - 2*B)*c^4*Cos[e + f*x]^5)/(f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^3)/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 6, (5*(2*A - 5*B)*c^3*x)/(2*a^2) + (5*(2*A - 5*B)*c^3*Cos[e + f*x])/(2*a^2*f) - (a^3*(A - B)*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^5) + (2*a*(2*A - 5*B)*c^3*Cos[e + f*x]^5)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3) + (5*(2*A - 5*B)*c^3*Cos[e + f*x]^3)/(6*f*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x]))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^2)/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 5, ((A - 4*B)*c^2*x)/a^2 + ((A - 4*B)*c^2*Cos[e + f*x])/(a^2*f) - (a^2*(A - B)*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^4) + (2*(A - 4*B)*c^2*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^1)/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 4, -((B*c*x)/a^2) + ((A - 7*B)*c*Cos[e + f*x])/(3*a^2*f*(1 + Sin[e + f*x])) - (2*(A - B)*c*Cos[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^1), x, 4, -(((A - B)*Sec[e + f*x])/(3*c*f*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x]))) + ((2*A + B)*Tan[e + f*x])/(3*a^2*c*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^2), x, 4, (B*Sec[e + f*x]^3)/(3*a^2*c^2*f) + (A*Tan[e + f*x])/(a^2*c^2*f) + (A*Tan[e + f*x]^3)/(3*a^2*c^2*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^3), x, 4, ((A + B)*Sec[e + f*x]^3)/(5*a^2*f*(c^3 - c^3*Sin[e + f*x])) + ((4*A - B)*Tan[e + f*x])/(5*a^2*c^3*f) + ((4*A - B)*Tan[e + f*x]^3)/(15*a^2*c^3*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^4), x, 5, ((A + B)*Sec[e + f*x]^3)/(7*a^2*f*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x])^2) + ((5*A - 2*B)*Sec[e + f*x]^3)/(35*a^2*f*(c^4 - c^4*Sin[e + f*x])) + (4*(5*A - 2*B)*Tan[e + f*x])/(35*a^2*c^4*f) + (4*(5*A - 2*B)*Tan[e + f*x]^3)/(105*a^2*c^4*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^5), x, 6, ((A + B)*Sec[e + f*x]^3)/(9*a^2*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^3) + ((2*A - B)*Sec[e + f*x]^3)/(21*a^2*c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^2) + ((2*A - B)*Sec[e + f*x]^3)/(21*a^2*f*(c^5 - c^5*Sin[e + f*x])) + (4*(2*A - B)*Tan[e + f*x])/(21*a^2*c^5*f) + (4*(2*A - B)*Tan[e + f*x]^3)/(63*a^2*c^5*f)}
+
+
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^5)/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 8, -((21*(3*A - 8*B)*c^5*x)/(2*a^3)) - (7*(3*A - 8*B)*c^5*Cos[e + f*x]^3)/(a^3*f) - (21*(3*A - 8*B)*c^5*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*a^3*f) - (a^5*(A - B)*c^5*Cos[e + f*x]^11)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^8) + (2*a^3*(3*A - 8*B)*c^5*Cos[e + f*x]^9)/(15*f*(a + a*Sin[e + f*x])^6) - (6*a^5*(3*A - 8*B)*c^5*Cos[e + f*x]^7)/(5*f*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x])^4) - (42*a^5*(3*A - 8*B)*c^5*Cos[e + f*x]^5)/(5*f*(a^4 + a^4*Sin[e + f*x])^2)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^4)/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 7, -((7*(2*A - 7*B)*c^4*x)/(2*a^3)) - (7*(2*A - 7*B)*c^4*Cos[e + f*x])/(2*a^3*f) - (a^4*(A - B)*c^4*Cos[e + f*x]^9)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^7) + (2*a^2*(2*A - 7*B)*c^4*Cos[e + f*x]^7)/(15*f*(a + a*Sin[e + f*x])^5) - (14*(2*A - 7*B)*c^4*Cos[e + f*x]^5)/(15*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3) - (7*(2*A - 7*B)*c^4*Cos[e + f*x]^3)/(6*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^3)/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 6, -(((A - 6*B)*c^3*x)/a^3) - ((A - 6*B)*c^3*Cos[e + f*x])/(a^3*f) - (a^3*(A - B)*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^6) + (2*a*(A - 6*B)*c^3*Cos[e + f*x]^5)/(15*f*(a + a*Sin[e + f*x])^4) - (2*a^3*(A - 6*B)*c^3*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])^2)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^2)/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 5, (B*c^2*x)/a^3 - (a^2*(A - B)*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^5) - (2*B*c^2*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3) + (2*B*c^2*Cos[e + f*x])/(f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^1)/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 4, -((2*(A - B)*c*Cos[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3)) + (a*(A - 11*B)*c*Cos[e + f*x])/(15*f*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x])^2) + ((A + 4*B)*c*Cos[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^1), x, 5, -(((A - B)*Sec[e + f*x])/(5*a*c*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)) - ((3*A + 2*B)*Sec[e + f*x])/(15*c*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])) + (2*(3*A + 2*B)*Tan[e + f*x])/(15*a^3*c*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^2), x, 4, -(((A - B)*Sec[e + f*x]^3)/(5*c^2*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))) + ((4*A + B)*Tan[e + f*x])/(5*a^3*c^2*f) + ((4*A + B)*Tan[e + f*x]^3)/(15*a^3*c^2*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^3), x, 4, (B*Sec[e + f*x]^5)/(5*a^3*c^3*f) + (A*Tan[e + f*x])/(a^3*c^3*f) + (2*A*Tan[e + f*x]^3)/(3*a^3*c^3*f) + (A*Tan[e + f*x]^5)/(5*a^3*c^3*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^4), x, 4, ((A + B)*Sec[e + f*x]^5)/(7*a^3*f*(c^4 - c^4*Sin[e + f*x])) + ((6*A - B)*Tan[e + f*x])/(7*a^3*c^4*f) + (2*(6*A - B)*Tan[e + f*x]^3)/(21*a^3*c^4*f) + ((6*A - B)*Tan[e + f*x]^5)/(35*a^3*c^4*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^5), x, 5, ((A + B)*Sec[e + f*x]^5)/(9*a^3*c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^2) + ((7*A - 2*B)*Sec[e + f*x]^5)/(63*a^3*f*(c^5 - c^5*Sin[e + f*x])) + (2*(7*A - 2*B)*Tan[e + f*x])/(21*a^3*c^5*f) + (4*(7*A - 2*B)*Tan[e + f*x]^3)/(63*a^3*c^5*f) + (2*(7*A - 2*B)*Tan[e + f*x]^5)/(105*a^3*c^5*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^6), x, 6, ((A + B)*Sec[e + f*x]^5)/(11*a^3*f*(c^2 - c^2*Sin[e + f*x])^3) + ((8*A - 3*B)*Sec[e + f*x]^5)/(99*a^3*f*(c^3 - c^3*Sin[e + f*x])^2) + ((8*A - 3*B)*Sec[e + f*x]^5)/(99*a^3*f*(c^6 - c^6*Sin[e + f*x])) + (2*(8*A - 3*B)*Tan[e + f*x])/(33*a^3*c^6*f) + (4*(8*A - 3*B)*Tan[e + f*x]^3)/(99*a^3*c^6*f) + (2*(8*A - 3*B)*Tan[e + f*x]^5)/(165*a^3*c^6*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^(n/2) (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 6, (256*a*(11*A - 5*B)*c^5*Cos[e + f*x]^3)/(3465*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (64*a*(11*A - 5*B)*c^4*Cos[e + f*x]^3)/(1155*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (8*a*(11*A - 5*B)*c^3*Cos[e + f*x]^3*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(231*f) + (2*a*(11*A - 5*B)*c^2*Cos[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(99*f) - (2*a*B*c*Cos[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(11*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, (64*a*(3*A - B)*c^4*Cos[e + f*x]^3)/(315*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (16*a*(3*A - B)*c^3*Cos[e + f*x]^3)/(105*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*a*(3*A - B)*c^2*Cos[e + f*x]^3*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(21*f) - (2*a*B*c*Cos[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(9*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, (8*a*(7*A - B)*c^3*Cos[e + f*x]^3)/(105*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*a*(7*A - B)*c^2*Cos[e + f*x]^3)/(35*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*a*B*c*Cos[e + f*x]^3*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(7*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, (2*a*(5*A + B)*c^2*Cos[e + f*x]^3)/(15*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*a*B*c*Cos[e + f*x]^3)/(5*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 5, (2*Sqrt[2]*a*(A + B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f) - (2*a*(3*A + 5*B)*Cos[e + f*x])/(3*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*a*B*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(3*c*f)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, -((a*(A + 5*B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*c^(3/2)*f)) + (a*(A + B)*Cos[e + f*x])/(f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*a*B*Cos[e + f*x])/(c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, -(a*(A - 7*B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(8*Sqrt[2]*c^(5/2)*f) + (a*(A + B)*Cos[e + f*x])/(2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (a*(A + 9*B)*Cos[e + f*x])/(8*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{((a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 6, -(a*(A - 3*B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(32*Sqrt[2]*c^(7/2)*f) + (a*(A + B)*Cos[e + f*x])/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (a*(A + 13*B)*Cos[e + f*x])/(24*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (a*(A - 3*B)*Cos[e + f*x])/(32*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 6, (256*a^2*(13*A - 3*B)*c^6*Cos[e + f*x]^5)/(15015*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (64*a^2*(13*A - 3*B)*c^5*Cos[e + f*x]^5)/(3003*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (8*a^2*(13*A - 3*B)*c^4*Cos[e + f*x]^5)/(429*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*a^2*(13*A - 3*B)*c^3*Cos[e + f*x]^5*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(143*f) - (2*a^2*B*c^2*Cos[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(13*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, (64*a^2*(11*A - B)*c^5*Cos[e + f*x]^5)/(3465*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (16*a^2*(11*A - B)*c^4*Cos[e + f*x]^5)/(693*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*a^2*(11*A - B)*c^3*Cos[e + f*x]^5)/(99*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*a^2*B*c^2*Cos[e + f*x]^5*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(11*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, (8*a^2*(9*A + B)*c^4*Cos[e + f*x]^5)/(315*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (2*a^2*(9*A + B)*c^3*Cos[e + f*x]^5)/(63*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*a^2*B*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(9*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, (2*a^2*(7*A + 3*B)*c^3*Cos[e + f*x]^5)/(35*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (2*a^2*B*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(7*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 6, (4*Sqrt[2]*a^2*(A + B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f) - (2*a^2*B*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(5*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (2*a^2*(A + B)*c*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (4*a^2*(A + B)*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, -((Sqrt[2]*a^2*(3*A + 7*B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(c^(3/2)*f)) + (a^2*(A + B)*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (a^2*(3*A + 7*B)*Cos[e + f*x]^3)/(6*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (a^2*(3*A + 7*B)*Cos[e + f*x])/(c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, (3*a^2*(A + 9*B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*c^(5/2)*f) + (a^2*(A + B)*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(4*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) - (a^2*(A + 9*B)*Cos[e + f*x]^3)/(8*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (3*a^2*(A + 9*B)*Cos[e + f*x])/(8*c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 6, (a^2*(A - 11*B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*c^(7/2)*f) + (a^2*(A + B)*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(6*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) + (a^2*(A - 11*B)*Cos[e + f*x]^3)/(24*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (a^2*(A - 11*B)*Cos[e + f*x])/(16*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 7, (a^2*(3*A - 13*B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(256*Sqrt[2]*c^(9/2)*f) + (a^2*(A + B)*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(8*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2)) + (a^2*(3*A - 13*B)*Cos[e + f*x]^3)/(48*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) - (a^2*(3*A - 13*B)*Cos[e + f*x])/(64*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (a^2*(3*A - 13*B)*Cos[e + f*x])/(256*c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 6, (256*a^3*(15*A - B)*c^7*Cos[e + f*x]^7)/(45045*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (64*a^3*(15*A - B)*c^6*Cos[e + f*x]^7)/(6435*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (8*a^3*(15*A - B)*c^5*Cos[e + f*x]^7)/(715*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*a^3*(15*A - B)*c^4*Cos[e + f*x]^7)/(195*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*a^3*B*c^3*Cos[e + f*x]^7*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(15*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, (64*a^3*(13*A + B)*c^6*Cos[e + f*x]^7)/(9009*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (16*a^3*(13*A + B)*c^5*Cos[e + f*x]^7)/(1287*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (2*a^3*(13*A + B)*c^4*Cos[e + f*x]^7)/(143*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*a^3*B*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(13*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, (8*a^3*(11*A + 3*B)*c^5*Cos[e + f*x]^7)/(693*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (2*a^3*(11*A + 3*B)*c^4*Cos[e + f*x]^7)/(99*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (2*a^3*B*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(11*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, (2*a^3*(9*A + 5*B)*c^4*Cos[e + f*x]^7)/(63*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (2*a^3*B*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(9*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 7, (8*Sqrt[2]*a^3*(A + B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f) - (2*a^3*B*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(7*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (2*a^3*(A + B)*c^2*Cos[e + f*x]^5)/(5*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (4*a^3*(A + B)*c*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (8*a^3*(A + B)*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, -((2*Sqrt[2]*a^3*(5*A + 9*B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(c^(3/2)*f)) + (a^3*(A + B)*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) + (a^3*(5*A + 9*B)*c*Cos[e + f*x]^5)/(10*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (a^3*(5*A + 9*B)*Cos[e + f*x]^3)/(3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*a^3*(5*A + 9*B)*Cos[e + f*x])/(c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, (5*a^3*(3*A + 11*B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*c^(5/2)*f) + (a^3*(A + B)*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(4*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) - (a^3*(3*A + 11*B)*c*Cos[e + f*x]^5)/(8*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (5*a^3*(3*A + 11*B)*Cos[e + f*x]^3)/(24*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (5*a^3*(3*A + 11*B)*Cos[e + f*x])/(4*c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 7, -((5*a^3*(A + 13*B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(8*Sqrt[2]*c^(7/2)*f)) + (a^3*(A + B)*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(6*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2)) - (a^3*(A + 13*B)*c*Cos[e + f*x]^5)/(24*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) + (5*a^3*(A + 13*B)*Cos[e + f*x]^3)/(48*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (5*a^3*(A + 13*B)*Cos[e + f*x])/(16*c^3*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 7, -((5*a^3*(A - 15*B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(128*Sqrt[2]*c^(9/2)*f)) + (a^3*(A + B)*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(8*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(15/2)) + (a^3*(A - 15*B)*c*Cos[e + f*x]^5)/(48*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) - (5*a^3*(A - 15*B)*Cos[e + f*x]^3)/(192*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (5*a^3*(A - 15*B)*Cos[e + f*x])/(128*c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2), x, 8, -((a^3*(3*A - 17*B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(512*Sqrt[2]*c^(11/2)*f)) + (a^3*(A + B)*c^3*Cos[e + f*x]^7)/(10*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(17/2)) + (a^3*(3*A - 17*B)*c*Cos[e + f*x]^5)/(80*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2)) - (a^3*(3*A - 17*B)*Cos[e + f*x]^3)/(96*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) + (a^3*(3*A - 17*B)*Cos[e + f*x])/(128*c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (a^3*(3*A - 17*B)*Cos[e + f*x])/(512*c^4*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(a + a*Sin[e + f*x]), x, 6, -((128*(7*A - 9*B)*c^4*Cos[e + f*x])/(35*a*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (32*(7*A - 9*B)*c^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(35*a*f) - (12*(7*A - 9*B)*c^2*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(35*a*f) - ((7*A - 9*B)*c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(7*a*f) - ((A - B)*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(a*c*f)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(a + a*Sin[e + f*x]), x, 5, -((32*(5*A - 7*B)*c^3*Cos[e + f*x])/(15*a*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (8*(5*A - 7*B)*c^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(15*a*f) - ((5*A - 7*B)*c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*a*f) - ((A - B)*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(a*c*f)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a + a*Sin[e + f*x]), x, 4, -((4*(3*A - 5*B)*c^2*Cos[e + f*x])/(3*a*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - ((3*A - 5*B)*c*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(3*a*f) - ((A - B)*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(a*c*f)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2))/(a + a*Sin[e + f*x]), x, 3, -(((A - 3*B)*c*Cos[e + f*x])/(a*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - ((A - B)*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a*c*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2)), x, 4, ((A + B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a*Sqrt[c]*f) - ((A - B)*Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*c*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 5, ((3*A - B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*a*c^(3/2)*f) + ((3*A - B)*Cos[e + f*x])/(4*a*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((A - B)*Sec[e + f*x])/(a*c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 6, (3*(5*A - 3*B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(32*Sqrt[2]*a*c^(5/2)*f) + (3*(5*A - 3*B)*Cos[e + f*x])/(32*a*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + ((A + B)*Sec[e + f*x])/(4*a*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((5*A - 3*B)*Sec[e + f*x])/(8*a*c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 7, (2048*(7*A - 13*B)*c^4*Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(105*a^2*f) - (512*(7*A - 13*B)*c^3*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(105*a^2*f) - (64*(7*A - 13*B)*c^2*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(105*a^2*f) - (16*(7*A - 13*B)*c*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(105*a^2*f) - ((7*A - 13*B)*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(21*a^2*f) - ((A - B)*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2))/(3*a^2*c^2*f)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 6, (128*(5*A - 11*B)*c^3*Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(15*a^2*f) - (32*(5*A - 11*B)*c^2*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(15*a^2*f) - (4*(5*A - 11*B)*c*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(15*a^2*f) - ((5*A - 11*B)*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(15*a^2*f) - ((A - B)*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2))/(3*a^2*c^2*f)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 5, (32*(A - 3*B)*c^2*Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(3*a^2*f) - (8*(A - 3*B)*c*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*a^2*f) - ((A - 3*B)*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*a^2*f) - ((A - B)*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(3*a^2*c^2*f)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 4, (4*(A - 7*B)*c*Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(3*a^2*f) - ((A - 7*B)*Sec[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*a^2*f) - ((A - B)*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(3*a^2*c^2*f)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 3, -(((A + 5*B)*Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(3*a^2*f)) - ((A - B)*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*a^2*c^2*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2)), x, 5, ((A + B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^2*Sqrt[c]*f) - ((A + B)*Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(2*a^2*c*f) - ((A - B)*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*a^2*c^2*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 6, ((5*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(8*Sqrt[2]*a^2*c^(3/2)*f) + ((5*A + B)*Cos[e + f*x])/(8*a^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((5*A + B)*Sec[e + f*x])/(6*a^2*c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - ((A - B)*Sec[e + f*x]^3*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(3*a^2*c^2*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^2*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 7, (5*(7*A - B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^2*c^(5/2)*f) + (5*(7*A - B)*Cos[e + f*x])/(64*a^2*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + ((7*A - B)*Sec[e + f*x])/(24*a^2*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (5*(7*A - B)*Sec[e + f*x])/(48*a^2*c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - ((A - B)*Sec[e + f*x]^3)/(3*a^2*c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 7, -((2048*(A - 3*B)*c^3*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(15*a^3*f)) + (512*(A - 3*B)*c^2*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*a^3*f) - (64*(A - 3*B)*c*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(5*a^3*f) - (16*(A - 3*B)*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(15*a^3*f) - ((A - 3*B)*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2))/(5*a^3*c*f) - ((A - B)*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(15/2))/(5*a^3*c^3*f)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 6, -((128*(3*A - 13*B)*c^2*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(15*a^3*f)) + (32*(3*A - 13*B)*c*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*a^3*f) - (4*(3*A - 13*B)*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(5*a^3*f) - ((3*A - 13*B)*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(15*a^3*c*f) - ((A - B)*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2))/(5*a^3*c^3*f)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 5, -((32*(A - 11*B)*c*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(15*a^3*f)) + (8*(A - 11*B)*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*a^3*f) - ((A - 11*B)*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(5*a^3*c*f) - ((A - B)*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2))/(5*a^3*c^3*f)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 4, (4*(A + 9*B)*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(15*a^3*f) - ((A + 9*B)*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*a^3*c*f) - ((A - B)*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(5*a^3*c^3*f)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 3, -(((3*A + 7*B)*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(15*a^3*c*f)) - ((A - B)*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(5*a^3*c^3*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2)), x, 6, ((A + B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*a^3*Sqrt[c]*f) - ((A + B)*Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(4*a^3*c*f) - ((A + B)*Sec[e + f*x]^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(6*a^3*c^2*f) - ((A - B)*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*a^3*c^3*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 7, ((7*A + 3*B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^3*c^(3/2)*f) + ((7*A + 3*B)*Cos[e + f*x])/(16*a^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((7*A + 3*B)*Sec[e + f*x])/(12*a^3*c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - ((7*A + 3*B)*Sec[e + f*x]^3*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(30*a^3*c^2*f) - ((A - B)*Sec[e + f*x]^5*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*a^3*c^3*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 8, (7*(9*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])])/(128*Sqrt[2]*a^3*c^(5/2)*f) + (7*(9*A + B)*Cos[e + f*x])/(128*a^3*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (7*(9*A + B)*Sec[e + f*x])/(240*a^3*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (7*(9*A + B)*Sec[e + f*x])/(96*a^3*c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - ((9*A + B)*Sec[e + f*x]^3)/(30*a^3*c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - ((A - B)*Sec[e + f*x]^5*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(5*a^3*c^3*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^(m/2) (c-c Sin[e+f x])^(n/2) (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 3, -((a*(A + B)*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(4*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) + (a*B*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(5*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 3, -((a*(A + B)*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) + (a*B*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(4*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((a*(A + B)*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) + (a*B*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, -((a*(A + B)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) + (a*B*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 5, -((a*(A + B)*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (a*B*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, (a*(A + B)*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (a*B*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 3, (a*(A + B)*Cos[e + f*x])/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (a*B*Cos[e + f*x])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 3, (a*(A + B)*Cos[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (a*B*Cos[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 3, -(a^2*(3*A - B)*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(30*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a*(3*A - B)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(15*f) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(6*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 3, -(a^2*(5*A - B)*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(30*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a*(5*A - B)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(20*f) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((a^2*A*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (a*A*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*f) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(4*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, ((A - B)*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (B*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*a*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 5, -((2*a^2*(A + B)*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (a*(A + B)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (a^2*(A + 3*B)*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (a*(A + 3*B)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(2*c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(4*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (a*B*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (a^2*B*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 2, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(6*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + ((A - 5*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(24*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 3, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(8*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) + ((A - 3*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(24*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + ((A - 3*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(96*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2), x, 3, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(10*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) + (a*(3*A - 7*B)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(40*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) - (a^2*(3*A - 7*B)*Cos[e + f*x])/(120*c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 4, -(a^3*(7*A - B)*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(105*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a^2*(7*A - B)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(105*f) - (a*(7*A - B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(42*f) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(7*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((2*a^3*A*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(15*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (a^2*A*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*f) - (a*A*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*f) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(6*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, ((5*A + B)*c^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(30*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + ((5*A + B)*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(20*f) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, ((A - B)*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (B*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(4*a*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 6, -((4*a^3*(A + B)*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (2*a^2*(A + B)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (a*(A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (4*a^3*(A + 2*B)*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*a^2*(A + 2*B)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (a*(A + 2*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(4*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (a*(A + 5*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(4*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (a^3*(A + 5*B)*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (a^2*(A + 5*B)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(2*c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 6, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(6*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (a*B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (a^2*B*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (a^3*B*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 2, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(8*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) + ((A - 7*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(48*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2), x, 3, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(10*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) + ((A - 4*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(40*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) + ((A - 4*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(240*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2), x, 4, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(12*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2)) + ((A - 3*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(40*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) + ((A - 3*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(160*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) + ((A - 3*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(960*c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 5, -(a^4*(9*A - B)*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(315*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a^3*(9*A - B)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(126*f) - (a^2*(9*A - B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(84*f) - (a*(9*A - B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(72*f) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(9*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 5, -((2*a^4*A*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(35*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (4*a^3*A*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(35*f) - (a^2*A*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(7*f) - (a*A*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(7*f) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(8*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, ((7*A + B)*c^3*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(105*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*(7*A + B)*c^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(105*f) + ((7*A + B)*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(42*f) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(7*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, ((3*A + B)*c^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(30*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + ((3*A + B)*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(15*f) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(6*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, ((A - B)*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(4*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (B*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(9/2))/(5*a*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 7, -((8*a^4*(A + B)*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (4*a^3*(A + B)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (a^2*(A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (a*(A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(4*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (4*a^4*(3*A + 5*B)*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*a^3*(3*A + 5*B)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (a^2*(3*A + 5*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (a*(3*A + 5*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(6*c*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(4*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (a*(A + 3*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(2*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (6*a^4*(A + 3*B)*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (3*a^3*(A + 3*B)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (3*a^2*(A + 3*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(4*c^2*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2), x, 7, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(6*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) - (a*(A + 7*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(12*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (a^2*(A + 7*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(4*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (a^4*(A + 7*B)*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (a^3*(A + 7*B)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(2*c^3*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2), x, 7, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(8*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2)) - (a*B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2)) + (a^2*B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (a^3*B*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (a^4*B*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(c^4*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2), x, 2, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(10*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) + ((A - 9*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(80*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2), x, 3, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(12*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2)) + ((A - 5*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(60*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) + ((A - 5*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(480*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(15/2), x, 4, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(14*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(15/2)) + ((3*A - 11*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(168*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2)) + ((3*A - 11*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(840*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) + ((3*A - 11*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(6720*c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(17/2), x, 5, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(16*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(17/2)) + ((A - 3*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(56*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(15/2)) + ((A - 3*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(224*c^2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(13/2)) + ((A - 3*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(1120*c^3*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(11/2)) + ((A - 3*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(8960*c^4*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 6, (4*(A - B)*c^3*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*(A - B)*c^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + ((A - B)*c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (B*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 5, (2*(A - B)*c^2*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + ((A - B)*c*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (B*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2))/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 5, ((A - B)*c*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (B*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2)), x, 7, -(((A + B)*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + ((A - B)*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 3, ((A + B)*Cos[e + f*x])/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + ((A - B)*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 4, ((A + B)*Cos[e + f*x])/(4*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + ((A - B)*Cos[e + f*x])/(4*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + ((A - B)*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(4*c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, (-4*(3*A - 5*B)*c^4*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*(3*A - 5*B)*c^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - ((3*A - 5*B)*c^2*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - ((3*A - 5*B)*c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(6*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - ((A - B)*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, (-4*(A - 2*B)*c^3*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*(A - 2*B)*c^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - ((A - 2*B)*c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - ((A - B)*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, -(((A - 3*B)*c^2*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - ((A - 3*B)*c*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(2*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - ((A - B)*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, -(((A - B)*c*Cos[e + f*x])/(f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (B*c*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2)), x, 3, -((A - B)*Cos[e + f*x])/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + ((A + B)*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(2*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 4, -((A - B)*Cos[e + f*x])/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (A*Cos[e + f*x])/(2*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (A*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(2*a*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 5, -((A - B)*Cos[e + f*x])/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + ((3*A - B)*Cos[e + f*x])/(8*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + ((3*A - B)*Cos[e + f*x])/(8*a*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + ((3*A - B)*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(8*a*c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 8, (8*(3*A - 7*B)*c^5*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (4*(3*A - 7*B)*c^4*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + ((3*A - 7*B)*c^3*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + ((3*A - 7*B)*c^2*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(3*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + ((3*A - 7*B)*c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(4*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((A - B)*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(9/2))/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, (6*(A - 3*B)*c^4*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (3*(A - 3*B)*c^3*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (3*(A - 3*B)*c^2*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(4*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + ((A - 3*B)*c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(2*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((A - B)*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, ((A - 5*B)*c^3*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + ((A - 5*B)*c^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(2*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + ((A - 5*B)*c*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(4*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((A - B)*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, -((B*c^2*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (B*c*Cos[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((A - B)*Cos[e + f*x]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2))/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 3, -(((A - B)*c*Cos[e + f*x])/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (B*c*Cos[e + f*x])/(a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2)), x, 4, -((A - B)*Cos[e + f*x])/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - ((A + B)*Cos[e + f*x])/(4*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + ((A + B)*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(4*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 5, -(((A - B)*Cos[e + f*x])/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))) - ((3*A + B)*Cos[e + f*x])/(8*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + ((3*A + B)*Cos[e + f*x])/(8*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + ((3*A + B)*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(8*a^2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 6, -((A - B)*Cos[e + f*x])/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) - (A*Cos[e + f*x])/(2*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (3*A*Cos[e + f*x])/(8*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + (3*A*Cos[e + f*x])/(8*a^2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (3*A*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(8*a^2*c^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x]) when m and/or n symbolic*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^n, x, 5, (1/(f*(1 + 2*m)*(1 + m + n)))*(2^(1/2 + n)*c*(B*(m - n) + A*(1 + m + n))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + 2*m), (1/2)*(1 - 2*n), (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 + n)) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/(f*(1 + m + n))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 5, (2^(1/2 + m)*a^4*c^3*(B*(3 - m) - A*(4 + m))*Cos[e + f*x]^7*Hypergeometric2F1[7/2, 1/2 - m, 9/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-4 + m))/(7*f*(4 + m)) - (a^3*B*c^3*Cos[e + f*x]^7*(a + a*Sin[e + f*x])^(-3 + m))/(f*(4 + m))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 5, (2^(1/2 + m)*a^3*c^2*(B*(2 - m) - A*(3 + m))*Cos[e + f*x]^5*Hypergeometric2F1[5/2, 1/2 - m, 7/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-3 + m))/(5*f*(3 + m)) - (a^2*B*c^2*Cos[e + f*x]^5*(a + a*Sin[e + f*x])^(-2 + m))/(f*(3 + m))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 5, (2^(1/2 + m)*a^2*c*(B*(1 - m) - A*(2 + m))*Cos[e + f*x]^3*Hypergeometric2F1[3/2, 1/2 - m, 5/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(-2 + m))/(3*f*(2 + m)) - (a*B*c*Cos[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m))/(f*(2 + m))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^0, x, 3, -((B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m))) - (2^(1/2 + m)*(A + A*m + B*m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^1, x, 5, (2^(1/2 + m)*(B + A*m + B*m)*Hypergeometric2F1[-(1/2), 1/2 - m, 1/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Sec[e + f*x]*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(c*f*m) - (B*Sec[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*c*f*m)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^2, x, 5, (2^(1/2 + m)*(A*(1 - m) - B*(2 + m))*Hypergeometric2F1[-(3/2), 1/2 - m, -(1/2), (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Sec[e + f*x]^3*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(3*a*c^2*f*(1 - m)) + (B*Sec[e + f*x]^3*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(a^2*c^2*f*(1 - m))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^3, x, 5, (2^(1/2 + m)*(A*(2 - m) - B*(3 + m))*Hypergeometric2F1[-(5/2), 1/2 - m, -(3/2), (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*Sec[e + f*x]^5*(1 + Sin[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(5*a^2*c^3*f*(2 - m)) + (B*Sec[e + f*x]^5*(a + a*Sin[e + f*x])^(3 + m))/(a^3*c^3*f*(2 - m))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])/Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]], x, 4, -((2*B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + ((A + B)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(c + c*Sin[e + f*x])^m/Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]], x, 4, -((2*B*Cos[e + f*x]*(c + c*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]])) + ((A + B)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(c + c*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((64*c^3*(B*(5 - 2*m) - A*(7 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(5 + 2*m)*(7 + 2*m)*(3 + 8*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (16*c^2*(B*(5 - 2*m) - A*(7 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*(7 + 2*m)*(15 + 16*m + 4*m^2)) - (2*c*(B*(5 - 2*m) - A*(7 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*(5 + 2*m)*(7 + 2*m)) - (2*B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(f*(7 + 2*m)), -((64*c^3*(B*(5 - 2*m) - A*(7 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(5 + 2*m)*(7 + 2*m)*(3 + 8*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (16*c^2*(B*(5 - 2*m) - A*(7 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*(7 + 2*m)*(15 + 16*m + 4*m^2)) - (2*c*(B*(5 - 2*m) - A*(7 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*(35 + 24*m + 4*m^2)) - (2*B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(f*(7 + 2*m))]}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, (4*(A - B)*c^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*(A - 3*B)*c^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(3 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*B*c^2*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(a^2*f*(5 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), If[$VersionNumber>=8, -((8*c^2*(B*(3 - 2*m) - A*(5 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(5 + 2*m)*(3 + 8*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (2*c*(B*(3 - 2*m) - A*(5 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*(3 + 2*m)*(5 + 2*m)) - (2*B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*(5 + 2*m)), -((8*c^2*(B*(3 - 2*m) - A*(5 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(5 + 2*m)*(3 + 8*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (2*c*(B*(3 - 2*m) - A*(5 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*(15 + 16*m + 4*m^2)) - (2*B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*(5 + 2*m))]}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 3, (2*(A - B)*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*B*c*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(3 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, -((2*B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + ((A + B)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 4, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(2*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + ((A*(1 - 2*m) - B*(3 + 2*m))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(4*c*f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(4*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + ((A*(3 - 2*m) - B*(5 + 2*m))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[2, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(16*c^2*f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(-4 - m), x, 4, If[$VersionNumber>=8, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-4 - m))/(f*(7 + 2*m)) + ((3*A - 2*B*(2 + m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 - m))/(c*f*(5 + 2*m)*(7 + 2*m)) + (2*(3*A - 2*B*(2 + m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(c^2*f*(7 + 2*m)*(15 + 16*m + 4*m^2)) + (2*(3*A - 2*B*(2 + m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(c^3*f*(5 + 2*m)*(7 + 2*m)*(3 + 8*m + 4*m^2)), ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-4 - m))/(f*(7 + 2*m)) + ((3*A - 2*B*(2 + m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 - m))/(c*f*(35 + 24*m + 4*m^2)) + (2*(3*A - 2*B*(2 + m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(c^2*f*(105 + 142*m + 60*m^2 + 8*m^3)) + (2*(3*A - 2*B*(2 + m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(c^3*f*(105 + 352*m + 344*m^2 + 128*m^3 + 16*m^4))]}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 - m), x, 3, If[$VersionNumber>=8, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 - m))/(f*(5 + 2*m)) + ((2*A - B*(3 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(c*f*(3 + 2*m)*(5 + 2*m)) + ((2*A - B*(3 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(c^2*f*(5 + 2*m)*(3 + 8*m + 4*m^2)), ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 - m))/(f*(5 + 2*m)) + ((2*A - B*(3 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(c*f*(15 + 16*m + 4*m^2)) + ((2*A - B*(3 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(c^2*f*(15 + 46*m + 36*m^2 + 8*m^3))]}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m), x, 2, If[$VersionNumber>=8, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(f*(3 + 2*m)) + ((A - 2*B*(1 + m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(c*f*(1 + 2*m)*(3 + 2*m)), ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(f*(3 + 2*m)) + ((A - 2*B*(1 + m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(c*f*(3 + 8*m + 4*m^2))]}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m), x, 5, ((A + B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(f*(1 + 2*m)) - (2^(1/2 - m)*B*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + 2*m), (1/2)*(1 + 2*m), (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(f*(1 + 2*m))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(0 - m), x, 5, (2^(1/2 - m)*c*(A + 2*B*m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + 2*m), (1/2)*(1 + 2*m), (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(f*(1 + 2*m)) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((c - c*Sin[e + f*x])^m*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(1 - m), x, 5, (1/(f*(1 + 2*m)))*(2^(1/2 - m)*c^2*(2*A - B*(1 - 2*m))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 + 2*m), (1/2)*(1 + 2*m), (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m)) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(1 - m))/(2*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^(2 - m), x, 5, (1/(3*f*(1 + 2*m)))*(2^(5/2 - m)*c^3*(3*A - 2*B*(1 - m))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 + 2*m), (1/2)*(1 + 2*m), (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m)) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(2 - m))/(3*f)}
+
+
+(* Degenerate special cases *)
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c - c*Sin[e + f*x])^n*(B*(3 - n) - (3 + n + 1)*B*Sin[e + f*x]), x, 2, (a^3*B*c^3*Cos[e + f*x]^7*(c - c*Sin[e + f*x])^(-3 + n))/f}
+{(a - a*Sin[e + f*x])^3*(c + c*Sin[e + f*x])^n*(B*(3 - n) + (3 + n + 1)*B*Sin[e + f*x]), x, 2, -((a^3*B*c^3*Cos[e + f*x]^7*(c + c*Sin[e + f*x])^(-3 + n))/f)}
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^3*(B*(m - 3) - (m + 3 + 1)*B*Sin[e + f*x]), x, 2, (a^3*B*c^3*Cos[e + f*x]^7*(a + a*Sin[e + f*x])^(-3 + m))/f}
+{(a - a*Sin[e + f*x])^m*(c + c*Sin[e + f*x])^3*(B*(m - 3) + (m + 3 + 1)*B*Sin[e + f*x]), x, 2, -((a^3*B*c^3*Cos[e + f*x]^7*(a - a*Sin[e + f*x])^(-3 + m))/f)}
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n*(B*(m - n) - (m + n + 1)*B*Sin[e + f*x]), x, 1, (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/f}
+{(a - a*Sin[e + f*x])^m*(c + c*Sin[e + f*x])^n*(B*(m - n) + (m + n + 1)*B*Sin[e + f*x]), x, 1, -((B*Cos[e + f*x]*(a - a*Sin[e + f*x])^m*(c + c*Sin[e + f*x])^n)/f)}
+
+
+(* ::InheritFromParent:: *)
+(**)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^n (a+a Sin[e+f x])^m (A-A Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A - A*Sin[c + d*x]), x, 13, (1/8)*a^3*A*x - (2*a^3*A*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^3*A*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^3*A*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) - (a^3*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a^3*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(12*d) + (a^3*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(3*d)}
+{Sin[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A - A*Sin[c + d*x]), x, 12, (3/16)*a^3*A*x - (2*a^3*A*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a^3*A*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (3*a^3*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (5*a^3*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(24*d) + (a^3*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(6*d)}
+{Sin[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A - A*Sin[c + d*x]), x, 10, (1/4)*a^3*A*x - (2*a^3*A*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^3*A*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^3*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a^3*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(2*d)}
+{Sin[c + d*x]^0*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A - A*Sin[c + d*x]), x, 5, (5/8)*a^3*A*x - (5*a^3*A*Cos[c + d*x]^3)/(12*d) + (5*a^3*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (A*Cos[c + d*x]^3*(a^3 + a^3*Sin[c + d*x]))/(4*d)}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A - A*Sin[c + d*x]), x, 7, a^3*A*x - (a^3*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (a^3*A*Cos[c + d*x])/d - (a^3*A*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^3*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A - A*Sin[c + d*x]), x, 9, (-(1/2))*a^3*A*x - (2*a^3*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (2*a^3*A*Cos[c + d*x])/d - (a^3*A*Cot[c + d*x])/d + (a^3*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A - A*Sin[c + d*x]), x, 7, -2*a^3*A*x - (a^3*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) + (a^3*A*Cos[c + d*x])/d - (2*a^3*A*Cot[c + d*x])/d - (a^3*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A - A*Sin[c + d*x]), x, 7, (-a^3)*A*x + (a^3*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (a^3*A*Cot[c + d*x])/d - (a^3*A*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A - A*Sin[c + d*x]), x, 10, (5*a^3*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d) - (2*a^3*A*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^3*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a^3*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A - A*Sin[c + d*x]), x, 12, (a^3*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(4*d) - (2*a^3*A*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*A*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^3*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(4*d) - (a^3*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sin[c + d*x])^3*(A - A*Sin[c + d*x]), x, 12, (3*a^3*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d) - (2*a^3*A*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^3*A*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a^3*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) - (5*a^3*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(24*d) - (a^3*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(6*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^4*(A - A*Sin[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 11, -((19*A*x)/(2*a^3)) - (4*A*Cos[c + d*x])/(a^3*d) + (A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - (2*A*Cos[c + d*x])/(5*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^3) + (41*A*Cos[c + d*x])/(15*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) - (199*A*Cos[c + d*x])/(15*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Sin[c + d*x]^3*(A - A*Sin[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 9, (4*A*x)/a^3 + (A*Cos[c + d*x])/(a^3*d) + (2*A*Cos[c + d*x])/(5*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^3) - (31*A*Cos[c + d*x])/(15*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) + (104*A*Cos[c + d*x])/(15*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Sin[c + d*x]^2*(A - A*Sin[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 8, -((A*x)/a^3) - (2*A*Cos[c + d*x])/(5*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^3) + (7*A*Cos[c + d*x])/(5*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) - (13*A*Cos[c + d*x])/(5*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Sin[c + d*x]^1*(A - A*Sin[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 8, (2*A*Cos[c + d*x])/(5*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^3) - (11*A*Cos[c + d*x])/(15*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) + (4*A*Cos[c + d*x])/(15*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Sin[c + d*x]^0*(A - A*Sin[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, -((a*A*Cos[c + d*x]^3)/(5*d*(a + a*Sin[c + d*x])^4)) - (A*Cos[c + d*x]^3)/(15*d*(a + a*Sin[c + d*x])^3)}
+{Csc[c + d*x]^1*(A - A*Sin[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 9, -((A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d)) + (2*A*Cos[c + d*x])/(5*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^3) + (3*A*Cos[c + d*x])/(5*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) + (8*A*Cos[c + d*x])/(5*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^2*(A - A*Sin[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, If[$VersionNumber<9, 16, 15], If[$VersionNumber<9, (4*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) - (94*A*Cot[c + d*x])/(15*a^3*d) + (2*A*Cot[c + d*x])/(5*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^3) + (13*A*Cot[c + d*x])/(15*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) + (4*A*Cot[c + d*x])/(a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])), (4*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) - (A*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - (2*A*Cot[c + d*x])/(5*a^3*d*(1 + Csc[c + d*x])^3) + (31*A*Cot[c + d*x])/(15*a^3*d*(1 + Csc[c + d*x])^2) - (104*A*Cot[c + d*x])/(15*a^3*d*(1 + Csc[c + d*x]))]}
+{Csc[c + d*x]^3*(A - A*Sin[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 13, -((19*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^3*d)) + (4*A*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - (A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^3*d) + (2*A*Cos[c + d*x])/(5*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^3) + (29*A*Cos[c + d*x])/(15*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) + (164*A*Cos[c + d*x])/(15*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^4*(A - A*Sin[c + d*x])/(a + a*Sin[c + d*x])^3, x, 15, (18*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) - (10*A*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - (A*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (2*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(a^3*d) - (2*A*Cos[c + d*x])/(5*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^3) - (13*A*Cos[c + d*x])/(5*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) - (93*A*Cos[c + d*x])/(5*a^3*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 5, (1/8)*a*(B*(4*c^3 + 12*c^2*d + 9*c*d^2 + 3*d^3) + A*(8*c^3 + 12*c^2*d + 12*c*d^2 + 3*d^3))*x - (1/(30*d*f))*(a*(5*A*d*(3*c^3 + 16*c^2*d + 12*c*d^2 + 4*d^3) - B*(3*c^4 - 15*c^3*d - 52*c^2*d^2 - 60*c*d^3 - 16*d^4))*Cos[e + f*x]) - (a*(5*A*d*(6*c^2 + 20*c*d + 9*d^2) - B*(6*c^3 - 30*c^2*d - 71*c*d^2 - 45*d^3))*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(120*f) - (a*(4*(5*A + 4*B)*d^2 - 3*c*(B*c - 5*(A + B)*d))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(60*d*f) + (a*(B*c - 5*(A + B)*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(20*d*f) - (a*B*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(5*d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 4, (1/8)*a*(4*A*(2*c^2 + 2*c*d + d^2) + B*(4*c^2 + 8*c*d + 3*d^2))*x - (a*(4*A*d*(c^2 + 3*c*d + d^2) - B*(c^3 - 4*c^2*d - 8*c*d^2 - 4*d^3))*Cos[e + f*x])/(6*d*f) - (a*(3*(4*A + 3*B)*d^2 - 2*c*(B*c - 4*(A + B)*d))*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(24*f) + (a*(B*c - 4*(A + B)*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(12*d*f) - (a*B*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(4*d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 3, (a*(B*(c + d) + A*(2*c + d))*x)/2 - (a*(3*A*(c + d) + B*(3*c + d))*Cos[e + f*x])/(3*f) - (a*(3*B*c + 3*A*d - B*d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(6*f) - (B*d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^2)/(3*a*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 1, (a*(2*A + B)*x)/2 - (a*(A + B)*Cos[e + f*x])/f - (a*B*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 6, -((a*(B*c - (A + B)*d)*x)/d^2) + (2*a*(c - d)*(B*c - A*d)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^2*Sqrt[c^2 - d^2]*f) - (a*B*Cos[e + f*x])/(d*f)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 6, (a*B*x)/d^2 + (2*a*((A + B)*(c - d)*d^2 - B*c*(c^2 - d^2))*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^2*(c^2 - d^2)^(3/2)*f) + (a*(B*c - A*d)*Cos[e + f*x])/(d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{((a + a*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 7, (a*(2*A*c + B*c - A*d - 2*B*d)*ArcTan[(d + c*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c^2 - d^2]])/((c + d)*(c^2 - d^2)^(3/2)*f) + (a*(B*c - A*d)*Cos[e + f*x])/(2*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (a*(A*(c - 2*d)*d + B*(c^2 + 2*c*d - 2*d^2))*Cos[e + f*x])/(2*(c - d)*d*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 6, (1/16)*a^2*(6*A*(4*c^3 + 8*c^2*d + 7*c*d^2 + 2*d^3) + B*(16*c^3 + 42*c^2*d + 36*c*d^2 + 11*d^3))*x + (a^2*(6*A*d*(c^4 - 10*c^3*d - 44*c^2*d^2 - 40*c*d^3 - 12*d^4) - B*(2*c^5 - 12*c^4*d + 47*c^3*d^2 + 208*c^2*d^3 + 216*c*d^4 + 64*d^5))*Cos[e + f*x])/(60*d^2*f) + (a^2*(6*A*d*(2*c^3 - 20*c^2*d - 57*c*d^2 - 30*d^3) - B*(4*c^4 - 24*c^3*d + 96*c^2*d^2 + 284*c*d^3 + 165*d^4))*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(240*d*f) + (a^2*(6*A*d*(c^2 - 10*c*d - 12*d^2) - B*(2*c^3 - 12*c^2*d + 51*c*d^2 + 64*d^3))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(120*d^2*f) + (a^2*(6*A*(c - 10*d)*d - B*(2*c^2 - 12*c*d + 55*d^2))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(120*d^2*f) + (a^2*(2*B*c - 6*A*d - 7*B*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(30*d^2*f) - (B*Cos[e + f*x]*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(6*d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 5, (1/8)*a^2*(12*A*c^2 + 8*B*c^2 + 16*A*c*d + 14*B*c*d + 7*A*d^2 + 6*B*d^2)*x + (a^2*(5*A*d*(c^3 - 8*c^2*d - 20*c*d^2 - 8*d^3) - 2*B*(c^4 - 5*c^3*d + 16*c^2*d^2 + 40*c*d^3 + 18*d^4))*Cos[e + f*x])/(30*d^2*f) + (a^2*(5*A*d*(2*c^2 - 16*c*d - 21*d^2) - B*(4*c^3 - 20*c^2*d + 66*c*d^2 + 90*d^3))*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(120*d*f) + (a^2*(5*A*(c - 8*d)*d - 2*B*(c^2 - 5*c*d + 18*d^2))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(60*d^2*f) + (a^2*(2*B*(c - 3*d) - 5*A*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(20*d^2*f) - (B*Cos[e + f*x]*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(5*d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x]), x, 4, (a^2*(12*A*c + 8*B*c + 8*A*d + 7*B*d)*x)/8 - (a^2*(12*A*c + 8*B*c + 8*A*d + 7*B*d)*Cos[e + f*x])/(6*f) - (a^2*(12*A*c + 8*B*c + 8*A*d + 7*B*d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(24*f) - ((4*B*c + 4*A*d - B*d)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^2)/(12*f) - (B*d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^3)/(4*a*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 2, (a^2*(3*A + 2*B)*x)/2 - (2*a^2*(3*A + 2*B)*Cos[e + f*x])/(3*f) - (a^2*(3*A + 2*B)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(6*f) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^2)/(3*f)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x]), x, 7, -((a^2*(2*A*(c - 2*d)*d - B*(2*c^2 - 4*c*d + 3*d^2))*x)/(2*d^3)) - (2*a^2*(c - d)^2*(B*c - A*d)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^3*Sqrt[c^2 - d^2]*f) + (a^2*(2*B*c - 2*A*d - 3*B*d)*Cos[e + f*x])/(2*d^2*f) - (B*Cos[e + f*x]*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x]))/(2*d*f)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 7, -((a^2*(2*B*c - A*d - 2*B*d)*x)/d^3) - (2*a^2*(c - d)*(A*d*(c + 2*d) - B*(2*c^2 + 2*c*d - d^2))*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^3*(c + d)*Sqrt[c^2 - d^2]*f) + (a^2*(A*d - B*(2*c + d))*Cos[e + f*x])/(d^2*(c + d)*f) + ((B*c - A*d)*Cos[e + f*x]*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x]))/(d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 7, (a^2*B*x)/d^3 + (a^2*(3*A*d^3 - B*(2*c^3 + 4*c^2*d + c*d^2 - 4*d^3))*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^3*(c + d)^2*Sqrt[c^2 - d^2]*f) + ((B*c - A*d)*Cos[e + f*x]*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x]))/(2*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (a^2*(3*A*d^2 - B*(2*c^2 + 3*c*d - 2*d^2))*Cos[e + f*x])/(2*d^2*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 7, (1/16)*a^3*(3*B*(10*c^3 + 26*c^2*d + 23*c*d^2 + 7*d^3) + A*(40*c^3 + 90*c^2*d + 78*c*d^2 + 23*d^3))*x - (a^3*(7*A*d*(2*c^5 - 18*c^4*d + 107*c^3*d^2 + 472*c^2*d^3 + 456*c*d^4 + 136*d^5) - 3*B*(2*c^6 - 14*c^5*d + 51*c^4*d^2 - 189*c^3*d^3 - 920*c^2*d^4 - 952*c*d^5 - 288*d^6))*Cos[e + f*x])/(420*d^3*f) - (a^3*(7*A*d*(4*c^4 - 36*c^3*d + 216*c^2*d^2 + 626*c*d^3 + 345*d^4) - 3*B*(4*c^5 - 28*c^4*d + 104*c^3*d^2 - 392*c^2*d^3 - 1263*c*d^4 - 735*d^5))*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(1680*d^2*f) - (a^3*(7*A*d*(2*c^3 - 18*c^2*d + 111*c*d^2 + 136*d^3) - B*(6*c^4 - 42*c^3*d + 165*c^2*d^2 - 651*c*d^3 - 864*d^4))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(840*d^3*f) - (a^3*(7*A*d*(2*c^2 - 18*c*d + 115*d^2) - B*(6*c^3 - 42*c^2*d + 177*c*d^2 - 735*d^3))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(840*d^3*f) - (a^3*(6*B*c^2 - 14*A*c*d - 27*B*c*d + 91*A*d^2 + 87*B*d^2)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(210*d^3*f) - (a*B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(7*d*f) + ((3*B*(c - 3*d) - 7*A*d)*Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(42*d^2*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 6, (1/16)*a^3*(B*(30*c^2 + 52*c*d + 23*d^2) + A*(40*c^2 + 60*c*d + 26*d^2))*x - (a^3*(2*A*d*(2*c^4 - 15*c^3*d + 72*c^2*d^2 + 180*c*d^3 + 76*d^4) - B*(2*c^5 - 12*c^4*d + 37*c^3*d^2 - 112*c^2*d^3 - 304*c*d^4 - 136*d^5))*Cos[e + f*x])/(60*d^3*f) - (a^3*(2*A*d*(4*c^3 - 30*c^2*d + 146*c*d^2 + 195*d^3) - B*(4*c^4 - 24*c^3*d + 76*c^2*d^2 - 236*c*d^3 - 345*d^4))*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(240*d^2*f) - (a^3*(2*A*d*(2*c^2 - 15*c*d + 76*d^2) - B*(2*c^3 - 12*c^2*d + 41*c*d^2 - 136*d^3))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(120*d^3*f) + (a^3*(2*A*(2*c - 11*d)*d - B*(2*c^2 - 8*c*d + 21*d^2))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(40*d^3*f) - (a*B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(6*d*f) + ((3*B*c - 6*A*d - 8*B*d)*Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(30*d^2*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 10, (1/8)*a^3*(20*A*c + 15*B*c + 15*A*d + 13*B*d)*x - (a^3*(20*A*c + 15*B*c + 15*A*d + 13*B*d)*Cos[e + f*x])/(5*f) + (a^3*(20*A*c + 15*B*c + 15*A*d + 13*B*d)*Cos[e + f*x]^3)/(60*f) - (3*a^3*(20*A*c + 15*B*c + 15*A*d + 13*B*d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(40*f) - ((5*B*c + 5*A*d - B*d)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^3)/(20*f) - (B*d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^4)/(5*a*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 8, (5*a^3*(4*A + 3*B)*x)/8 - (5*a^3*(4*A + 3*B)*Cos[e + f*x])/(6*f) - (5*a^3*(4*A + 3*B)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(24*f) - (a*(4*A + 3*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^2)/(12*f) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^3)/(4*f), (5/8)*a^3*(4*A + 3*B)*x - (a^3*(4*A + 3*B)*Cos[e + f*x])/f + (a^3*(4*A + 3*B)*Cos[e + f*x]^3)/(12*f) - (3*a^3*(4*A + 3*B)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^3)/(4*f)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 8, (a^3*(A*d*(2*c^2 - 6*c*d + 7*d^2) - B*(2*c^3 - 6*c^2*d + 7*c*d^2 - 5*d^3))*x)/(2*d^4) + (2*a^3*(c - d)^3*(B*c - A*d)*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^4*Sqrt[c^2 - d^2]*f) + (a^3*(A*(2*c - 5*d)*d - B*(2*c^2 - 5*c*d + 5*d^2))*Cos[e + f*x])/(2*d^3*f) - (a*B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^2)/(3*d*f) + ((3*B*c - 3*A*d - 5*B*d)*Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))/(6*d^2*f)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 8, -((a^3*(2*A*(2*c - 3*d)*d - B*(6*c^2 - 12*c*d + 7*d^2))*x)/(2*d^4)) + (2*a^3*(c - d)^2*(A*d*(2*c + 3*d) - B*(3*c^2 + 3*c*d - d^2))*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^4*(c + d)*Sqrt[c^2 - d^2]*f) - (a^3*(4*A*c*d - B*(6*c^2 - 3*c*d - 5*d^2))*Cos[e + f*x])/(2*d^3*(c + d)*f) + ((2*A*d - B*(3*c + d))*Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))/(2*d^2*(c + d)*f) + (a*(B*c - A*d)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^2)/(d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^3*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 8, -((a^3*(3*B*c - A*d - 3*B*d)*x)/d^4) - (a^3*(c - d)*(A*d*(2*c^2 + 6*c*d + 7*d^2) - 3*B*(2*c^3 + 4*c^2*d + c*d^2 - 2*d^3))*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^4*(c + d)^2*Sqrt[c^2 - d^2]*f) - (a^3*(3*B*c*(2*c + 3*d) - A*d*(2*c + 5*d))*Cos[e + f*x])/(2*d^3*(c + d)^2*f) + (a*(B*c - A*d)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^2)/(2*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - ((A*d*(c + 4*d) - B*(3*c^2 + 4*c*d - 2*d^2))*Cos[e + f*x]*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))/(2*d^2*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(a + a*Sin[e + f*x]), x, 3, ((3*A*d*(2*c^2 - 2*c*d + d^2) + B*(2*c^3 - 6*c^2*d + 9*c*d^2 - 3*d^3))*x)/(2*a) + (2*d*(3*A*(c^2 - 3*c*d + d^2) - B*(7*c^2 - 9*c*d + 4*d^2))*Cos[e + f*x])/(3*a*f) + (d^2*(6*A*c - 11*B*c - 9*A*d + 9*B*d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(6*a*f) + ((3*A - 4*B)*d*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(3*a*f) - ((A - B)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(f*(a + a*Sin[e + f*x]))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(a + a*Sin[e + f*x]), x, 2, ((2*A*(2*c - d)*d + B*(2*c^2 - 4*c*d + 3*d^2))*x)/(2*a) + (2*(A*(c - d) - B*(2*c - d))*d*Cos[e + f*x])/(a*f) + ((2*A - 3*B)*d^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*a*f) - ((A - B)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(f*(a + a*Sin[e + f*x]))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x]))/(a + a*Sin[e + f*x]), x, 4, ((B*(c - d) + A*d)*x)/a - (B*d*Cos[e + f*x])/(a*f) - ((A - B)*(c - d)*Cos[e + f*x])/(a*f*(1 + Sin[e + f*x]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/(a + a*Sin[e + f*x]), x, 2, (B*x)/a - ((A - B)*Cos[e + f*x])/(f*(a + a*Sin[e + f*x]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])), x, 5, (2*(B*c - A*d)*ArcTan[(d + c*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(a*(c - d)*Sqrt[c^2 - d^2]*f) - ((A - B)*Cos[e + f*x])/((c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2), x, 6, (-2*(A*d*(2*c + d) - B*(c^2 + c*d + d^2))*ArcTan[(d + c*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(a*(c - d)*(c^2 - d^2)^(3/2)*f) + (d*(B*(2*c + d) - A*(c + 2*d))*Cos[e + f*x])/(a*(c - d)^2*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])) - ((A - B)*Cos[e + f*x])/((c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^3), x, 7, -(((3*A*d*(2*c^2 + 2*c*d + d^2) - B*(2*c^3 + 4*c^2*d + 7*c*d^2 + 2*d^3))*ArcTan[(d + c*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(a*(c - d)*(c^2 - d^2)^(5/2)*f)) - (d*(2*A*c - 3*B*c + 3*A*d - 2*B*d)*Cos[e + f*x])/(2*a*(c - d)^2*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - ((A - B)*Cos[e + f*x])/((c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (d*(2*A*c^2 - 5*B*c^2 + 9*A*c*d - 6*B*c*d + 4*A*d^2 - 4*B*d^2)*Cos[e + f*x])/(2*a*(c - d)^3*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 3, (d*(2*A*(3*c - 2*d)*d + B*(6*c^2 - 12*c*d + 7*d^2))*x)/(2*a^2) + (2*d*(A*(c^2 + 6*c*d - 5*d^2) + B*(2*c^2 - 15*c*d + 8*d^2))*Cos[e + f*x])/(3*a^2*f) + (d^2*(B*(4*c - 21*d) + 2*A*(c + 6*d))*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(6*a^2*f) - ((2*B*(c - 4*d) + A*(c + 5*d))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(3*a^2*f*(1 + Sin[e + f*x])) - ((A - B)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 5, (d*(2*B*(c - d) + A*d)*x)/a^2 + ((A - 4*B)*d^2*Cos[e + f*x])/(3*a^2*f) - ((c - d)*(2*B*(c - 3*d) + A*(c + 3*d))*Cos[e + f*x])/(3*a^2*f*(1 + Sin[e + f*x])) - ((A - B)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x]))/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 4, (B*d*x)/a^2 - ((A*c + 2*B*c + 2*A*d - 5*B*d)*Cos[e + f*x])/(3*a^2*f*(1 + Sin[e + f*x])) - ((A - B)*(c - d)*Cos[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 2, -((A - B)*Cos[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((A + 2*B)*Cos[e + f*x])/(3*f*(a^2 + a^2*Sin[e + f*x]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])), x, 6, (-2*d*(B*c - A*d)*ArcTan[(d + c*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(a^2*(c - d)^2*Sqrt[c^2 - d^2]*f) - ((A*(c - 4*d) + B*(2*c + d))*Cos[e + f*x])/(3*a^2*(c - d)^2*f*(1 + Sin[e + f*x])) - ((A - B)*Cos[e + f*x])/(3*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^2), x, 7, (2*d*(A*d*(3*c + 2*d) - B*(2*c^2 + 2*c*d + d^2))*ArcTan[(d + c*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(a^2*(c - d)^3*(c + d)*Sqrt[c^2 - d^2]*f) - (d*(A*(c^2 - 6*c*d - 10*d^2) + B*(2*c^2 + 9*c*d + 4*d^2))*Cos[e + f*x])/(3*a^2*(c - d)^3*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])) - ((A*c + 2*B*c - 6*A*d + 3*B*d)*Cos[e + f*x])/(3*a^2*(c - d)^2*f*(1 + Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])) - ((A - B)*Cos[e + f*x])/(3*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^3), x, 8, (d*(A*d*(12*c^2 + 16*c*d + 7*d^2) - B*(6*c^3 + 12*c^2*d + 13*c*d^2 + 4*d^3))*ArcTan[(d + c*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(a^2*(c - d)^4*(c + d)^2*Sqrt[c^2 - d^2]*f) - (d*(A*(2*c^2 - 16*c*d - 21*d^2) + B*(4*c^2 + 19*c*d + 12*d^2))*Cos[e + f*x])/(6*a^2*(c - d)^3*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - ((A*c + 2*B*c - 8*A*d + 5*B*d)*Cos[e + f*x])/(3*a^2*(c - d)^2*f*(1 + Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - ((A - B)*Cos[e + f*x])/(3*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (d*(A*(2*c^3 - 16*c^2*d - 59*c*d^2 - 32*d^3) + B*(4*c^3 + 37*c^2*d + 44*c*d^2 + 20*d^3))*Cos[e + f*x])/(6*a^2*(c - d)^4*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 6, (d^2*(3*B*(c - d) + A*d)*x)/a^3 + (d^2*(3*B*(c - 9*d) + A*(2*c + 7*d))*Cos[e + f*x])/(15*a^3*f) - ((c - d)*(3*B*(c^2 + 6*c*d - 15*d^2) + A*(2*c^2 + 7*c*d + 15*d^2))*Cos[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])) - ((3*B*(c - 3*d) + 2*A*(c + 2*d))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(15*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((A - B)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 5, (B*d^2*x)/a^3 - ((c - d)*(B*(3*c - 7*d) + 2*A*(c + d))*Cos[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((B*(3*c^2 + 14*c*d - 29*d^2) + 2*A*(c^2 + 3*c*d + 2*d^2))*Cos[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])) - ((A - B)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3)}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x]))/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 4, -((A - B)*(c - d)*Cos[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3) - ((2*A*c + 3*B*c + 3*A*d - 8*B*d)*Cos[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((2*A*c + 3*B*c + 3*A*d + 7*B*d)*Cos[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/(a + a*Sin[e + f*x])^3, x, 3, -((A - B)*Cos[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3) - ((2*A + 3*B)*Cos[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((2*A + 3*B)*Cos[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])), x, 7, (2*d^2*(B*c - A*d)*ArcTan[(d + c*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(a^3*(c - d)^3*Sqrt[c^2 - d^2]*f) - ((A - B)*Cos[e + f*x])/(5*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3) - ((2*A*c + 3*B*c - 7*A*d + 2*B*d)*Cos[e + f*x])/(15*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((B*(3*c^2 - 16*c*d - 2*d^2) + A*(2*c^2 - 9*c*d + 22*d^2))*Cos[e + f*x])/(15*(c - d)^3*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^2), x, 8, (-2*d^2*(A*d*(4*c + 3*d) - B*(3*c^2 + 3*c*d + d^2))*ArcTan[(d + c*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(a^3*(c - d)^4*(c + d)*Sqrt[c^2 - d^2]*f) - (d*(B*(3*c^3 - 23*c^2*d - 63*c*d^2 - 22*d^3) + A*(2*c^3 - 12*c^2*d + 43*c*d^2 + 72*d^3))*Cos[e + f*x])/(15*a^3*(c - d)^4*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])) - ((A - B)*Cos[e + f*x])/(5*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])) - ((2*A*c + 3*B*c - 9*A*d + 4*B*d)*Cos[e + f*x])/(15*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])) - ((B*(3*c^2 - 23*c*d - 15*d^2) + A*(2*c^2 - 12*c*d + 45*d^2))*Cos[e + f*x])/(15*(c - d)^3*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^3), x, 9, -((d^2*(A*d*(20*c^2 + 30*c*d + 13*d^2) - 3*B*(4*c^3 + 8*c^2*d + 7*c*d^2 + 2*d^3))*ArcTan[(d + c*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(a^3*(c - d)^5*(c + d)^2*Sqrt[c^2 - d^2]*f)) - (d*(3*B*(2*c^3 - 20*c^2*d - 57*c*d^2 - 30*d^3) + A*(4*c^3 - 30*c^2*d + 146*c*d^2 + 195*d^3))*Cos[e + f*x])/(30*a^3*(c - d)^4*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - ((A - B)*Cos[e + f*x])/(5*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - ((2*A*c + 3*B*c - 11*A*d + 6*B*d)*Cos[e + f*x])/(15*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - ((3*B*(c^2 - 10*c*d - 12*d^2) + A*(2*c^2 - 15*c*d + 76*d^2))*Cos[e + f*x])/(15*(c - d)^3*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (d*(3*B*(2*c^4 - 20*c^3*d - 119*c^2*d^2 - 130*c*d^3 - 48*d^4) + A*(4*c^4 - 30*c^3*d + 142*c^2*d^2 + 525*c*d^3 + 304*d^4))*Cos[e + f*x])/(30*a^3*(c - d)^5*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^(m/2) (c+d Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 5, (4*a*(c + d)*(B*c - 9*A*d - 8*B*d)*(15*c^2 + 10*c*d + 7*d^2)*Cos[e + f*x])/(315*d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (8*(5*c - d)*(c + d)*(B*c - 9*A*d - 8*B*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(315*f) + (4*d*(c + d)*(B*c - 9*A*d - 8*B*d)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(105*a*f) + (2*a*(B*c - 9*A*d - 8*B*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(63*d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a*B*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(9*d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 4, (2*a*(B*c - 7*A*d - 6*B*d)*(15*c^2 + 10*c*d + 7*d^2)*Cos[e + f*x])/(105*d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (4*(5*c - d)*(B*c - 7*A*d - 6*B*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(105*f) + (2*d*(B*c - 7*A*d - 6*B*d)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(35*a*f) - (2*a*B*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(7*d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x]), x, 4, (-2*a*(15*A*c + 5*B*c + 5*A*d + 7*B*d)*Cos[e + f*x])/(15*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*(5*B*c + 5*A*d - 2*B*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(15*f) - (2*B*d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*a*f)}
+{Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 2, (-2*a*(3*A + B)*Cos[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*B*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*f)}
+{(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x]), x, 3, (2*Sqrt[a]*(B*c - A*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(d^(3/2)*Sqrt[c + d]*f) - (2*a*B*Cos[e + f*x])/(d*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 3, -((Sqrt[a]*(A*d + B*(c + 2*d))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(d^(3/2)*(c + d)^(3/2)*f)) + (a*(B*c - A*d)*Cos[e + f*x])/(d*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 4, -(Sqrt[a]*(3*A*d + B*(c + 4*d))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(4*d^(3/2)*(c + d)^(5/2)*f) + (a*(B*c - A*d)*Cos[e + f*x])/(2*d*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (a*(3*A*d + B*(c + 4*d))*Cos[e + f*x])/(4*d*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 6, (4*a^2*(c + d)*(15*c^2 + 10*c*d + 7*d^2)*(11*A*(c - 17*d)*d - 3*B*(c^2 - 9*c*d + 56*d^2))*Cos[e + f*x])/(3465*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (8*a*(5*c - d)*(c + d)*(11*A*(c - 17*d)*d - 3*B*(c^2 - 9*c*d + 56*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3465*d*f) + (4*(c + d)*(11*A*(c - 17*d)*d - 3*B*(c^2 - 9*c*d + 56*d^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(1155*f) + (2*a^2*(11*A*(c - 17*d)*d - 3*B*(c^2 - 9*c*d + 56*d^2))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(693*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (2*a^2*(3*B*(c - 4*d) - 11*A*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(99*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a*B*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(11*d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 5, (2*a^2*(15*c^2 + 10*c*d + 7*d^2)*(3*A*(c - 13*d)*d - B*(c^2 - 7*c*d + 34*d^2))*Cos[e + f*x])/(315*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (4*a*(5*c - d)*(3*A*(c - 13*d)*d - B*(c^2 - 7*c*d + 34*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(315*d*f) + (2*(3*A*(c - 13*d)*d - B*(c^2 - 7*c*d + 34*d^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(105*f) + (2*a^2*(3*B*c - 9*A*d - 10*B*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(63*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a*B*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(9*d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x]), x, 5, (-8*a^2*(35*A*c + 21*B*c + 21*A*d + 19*B*d)*Cos[e + f*x])/(105*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a*(35*A*c + 21*B*c + 21*A*d + 19*B*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(105*f) - (2*(7*B*c + 7*A*d - 2*B*d)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(35*f) - (2*B*d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(7*a*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 3, (-8*a^2*(5*A + 3*B)*Cos[e + f*x])/(15*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a*(5*A + 3*B)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(15*f) - (2*B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*f)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x]), x, 4, (-2*a^(3/2)*(c - d)*(B*c - A*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(d^(5/2)*Sqrt[c + d]*f) + (2*a^2*(3*B*c - 3*A*d - 4*B*d)*Cos[e + f*x])/(3*d^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a*B*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*d*f)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 4, -((a^(3/2)*(A*d*(c + 3*d) - B*(3*c^2 + 3*c*d - 2*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(d^(5/2)*(c + d)^(3/2)*f)) - (a^2*(3*B*c - A*d + 2*B*d)*Cos[e + f*x])/(d^2*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (a*(B*c - A*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 4, -(a^(3/2)*(A*d*(c + 7*d) + 3*B*(c^2 + 3*c*d + 4*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(4*d^(5/2)*(c + d)^(5/2)*f) + (a*(B*c - A*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(2*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) + (a^2*(A*(c - 5*d)*d + B*(3*c^2 + 5*c*d - 4*d^2))*Cos[e + f*x])/(4*d^2*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 7, (-4*a^3*(c + d)*(15*c^2 + 10*c*d + 7*d^2)*(13*A*d*(3*c^2 - 38*c*d + 355*d^2) - B*(15*c^3 - 150*c^2*d + 799*c*d^2 - 4184*d^3))*Cos[e + f*x])/(45045*d^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (8*a^2*(5*c - d)*(c + d)*(13*A*d*(3*c^2 - 38*c*d + 355*d^2) - B*(15*c^3 - 150*c^2*d + 799*c*d^2 - 4184*d^3))*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(45045*d^2*f) - (4*a*(c + d)*(13*A*d*(3*c^2 - 38*c*d + 355*d^2) - B*(15*c^3 - 150*c^2*d + 799*c*d^2 - 4184*d^3))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(15015*d*f) - (2*a^3*(13*A*d*(3*c^2 - 38*c*d + 355*d^2) - B*(15*c^3 - 150*c^2*d + 799*c*d^2 - 4184*d^3))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(9009*d^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a^3*(15*B*c^2 - 39*A*c*d - 75*B*c*d + 299*A*d^2 + 280*B*d^2)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(1287*d^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (2*a^2*(5*B*c - 13*A*d - 16*B*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(143*d^2*f) - (2*a*B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^4)/(13*d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 6, (-2*a^3*(15*c^2 + 10*c*d + 7*d^2)*(11*A*d*(c^2 - 10*c*d + 73*d^2) - B*(5*c^3 - 40*c^2*d + 169*c*d^2 - 710*d^3))*Cos[e + f*x])/(3465*d^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (4*a^2*(5*c - d)*(11*A*d*(c^2 - 10*c*d + 73*d^2) - B*(5*c^3 - 40*c^2*d + 169*c*d^2 - 710*d^3))*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3465*d^2*f) - (2*a*(11*A*d*(c^2 - 10*c*d + 73*d^2) - B*(5*c^3 - 40*c^2*d + 169*c*d^2 - 710*d^3))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(1155*d*f) + (2*a^3*(11*A*(3*c - 19*d)*d - B*(15*c^2 - 65*c*d + 194*d^2))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(693*d^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (2*a^2*(5*B*c - 11*A*d - 14*B*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(99*d^2*f) - (2*a*B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(11*d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x]), x, 6, (-64*a^3*(21*A*c + 15*B*c + 15*A*d + 13*B*d)*Cos[e + f*x])/(315*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (16*a^2*(21*A*c + 15*B*c + 15*A*d + 13*B*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(315*f) - (2*a*(21*A*c + 15*B*c + 15*A*d + 13*B*d)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(105*f) - (2*(9*B*c + 9*A*d - 2*B*d)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(63*f) - (2*B*d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(9*a*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 4, (-64*a^3*(7*A + 5*B)*Cos[e + f*x])/(105*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (16*a^2*(7*A + 5*B)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(105*f) - (2*a*(7*A + 5*B)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(35*f) - (2*B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(7*f)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x]), x, 5, (2*a^(5/2)*(c - d)^2*(B*c - A*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(d^(7/2)*Sqrt[c + d]*f) + (2*a^3*(5*A*(3*c - 7*d)*d - B*(15*c^2 - 35*c*d + 32*d^2))*Cos[e + f*x])/(15*d^3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (2*a^2*(5*B*c - 5*A*d - 8*B*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(15*d^2*f) - (2*a*B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(5*d*f)}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 5, (a^(5/2)*(c - d)*(A*d*(3*c + 5*d) - B*(5*c^2 + 5*c*d - 2*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(d^(7/2)*(c + d)^(3/2)*f) - (a^3*(3*A*d*(3*c + d) - B*(15*c^2 - 5*c*d - 14*d^2))*Cos[e + f*x])/(3*d^3*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (a^2*(5*B*c - 3*A*d + 2*B*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*d^2*(c + d)*f) + (a*(B*c - A*d)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{((a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 5, -(a^(5/2)*(A*d*(3*c^2 + 10*c*d + 19*d^2) - B*(15*c^3 + 30*c^2*d + 7*c*d^2 - 20*d^3))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(4*d^(7/2)*(c + d)^(5/2)*f) + (a^3*(3*A*d*(c + 3*d) - B*(15*c^2 + 25*c*d + 4*d^2))*Cos[e + f*x])/(4*d^3*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (a*(B*c - A*d)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*d*(c + d)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (a^2*(A*d*(c + 7*d) - B*(5*c^2 + 7*c*d - 4*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(4*d^2*(c + d)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 7, -((Sqrt[2]*(A - B)*(c - d)^3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f)) - (4*(7*A*d*(21*c^2 - 12*c*d + 7*d^2) + B*(36*c^3 - 63*c^2*d + 144*c*d^2 - 37*d^3))*Cos[e + f*x])/(105*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*d*(7*A*(9*c - d)*d + B*(24*c^2 - 15*c*d + 31*d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(105*a*f) - (2*(6*B*c + 7*A*d - B*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(35*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*B*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(7*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 6, -((Sqrt[2]*(A - B)*(c - d)^2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f)) - (4*(5*A*(3*c - d)*d + B*(6*c^2 - 7*c*d + 7*d^2))*Cos[e + f*x])/(15*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*d*(4*B*c + 5*A*d - B*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(15*a*f) - (2*B*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(5*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x]))/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 5, -((Sqrt[2]*(A - B)*(c - d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f)) - (2*(3*B*c + 3*A*d - 2*B*d)*Cos[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*B*d*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(3*a*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]], x, 3, -((Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f)) - (2*B*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])), x, 5, -((Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)*f)) - (2*(B*c - A*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)*Sqrt[d]*Sqrt[c + d]*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^2), x, 6, -((Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)^2*f)) + ((A*d*(3*c + d) - B*(c^2 + c*d + 2*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)^2*Sqrt[d]*(c + d)^(3/2)*f) - ((B*c - A*d)*Cos[e + f*x])/((c^2 - d^2)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^3), x, 7, -((Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)^3*f)) + ((A*d*(15*c^2 + 10*c*d + 7*d^2) - B*(3*c^3 + 6*c^2*d + 19*c*d^2 + 4*d^3))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[a]*(c - d)^3*Sqrt[d]*(c + d)^(5/2)*f) - ((B*c - A*d)*Cos[e + f*x])/(2*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^2) + ((A*d*(7*c + d) - B*(3*c^2 + c*d + 4*d^2))*Cos[e + f*x])/(4*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, -((c - d)^2*(3*B*(c - 5*d) + A*(c + 11*d))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*f) + (d*(15*A*c^2 - 99*B*c^2 - 120*A*c*d + 168*B*c*d + 65*A*d^2 - 93*B*d^2)*Cos[e + f*x])/(15*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (d^2*(15*A*c - 51*B*c - 35*A*d + 39*B*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(30*a^2*f) + ((5*A - 9*B)*d*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(10*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - ((A - B)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 6, -((c - d)*(A*c + 3*B*c + 7*A*d - 11*B*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*f) + (d*(3*A*c - 15*B*c - 9*A*d + 13*B*d)*Cos[e + f*x])/(3*a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + ((3*A - 7*B)*d^2*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(6*a^2*f) - ((A - B)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x]))/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, -((A*c + 3*B*c + 3*A*d - 7*B*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*f) - ((A - B)*(c - d)*Cos[e + f*x])/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*B*d*Cos[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((A + 3*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*f) - ((A - B)*Cos[e + f*x])/(2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])), x, 6, -((A*(c - 5*d) + B*(3*c + d))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - d)^2*f) + (2*Sqrt[d]*(B*c - A*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(a^(3/2)*(c - d)^2*Sqrt[c + d]*f) - ((A - B)*Cos[e + f*x])/(2*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^2), x, 7, -((A*c + 3*B*c - 9*A*d + 5*B*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - d)^3*f) - (Sqrt[d]*(A*d*(5*c + 3*d) - B*(3*c^2 + 3*c*d + 2*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(a^(3/2)*(c - d)^3*(c + d)^(3/2)*f) - ((A - B)*Cos[e + f*x])/(2*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])) + (d*(B*(3*c + d) - A*(c + 3*d))*Cos[e + f*x])/(2*a*(c - d)^2*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^3), x, 8, -((A*(c - 13*d) + 3*B*(c + 3*d))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - d)^4*f) - (Sqrt[d]*(A*d*(35*c^2 + 42*c*d + 19*d^2) - 3*B*(5*c^3 + 10*c^2*d + 13*c*d^2 + 4*d^3))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(4*a^(3/2)*(c - d)^4*(c + d)^(5/2)*f) - ((A - B)*Cos[e + f*x])/(2*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^2) + (d*(B*(2*c + d) - A*(c + 2*d))*Cos[e + f*x])/(2*a*(c - d)^2*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^2) + (d*(3*B*(3*c^2 + 3*c*d + 2*d^2) - A*(2*c^2 + 15*c*d + 7*d^2))*Cos[e + f*x])/(4*a*(c - d)^3*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 7, -((c - d)*(B*(5*c^2 + 62*c*d - 163*d^2) + 3*A*(c^2 + 6*c*d + 25*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*f) + (d*(A*(9*c^2 + 36*c*d - 93*d^2) + B*(15*c^2 - 228*c*d + 197*d^2))*Cos[e + f*x])/(24*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) + (d^2*(9*A*c + 15*B*c + 39*A*d - 95*B*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(48*a^3*f) - ((3*A*c + 5*B*c + 9*A*d - 17*B*d)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(16*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((A - B)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 6, -((B*(5*c^2 + 38*c*d - 75*d^2) + A*(3*c^2 + 10*c*d + 19*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*f) - ((c - d)*(3*A*c + 5*B*c + 5*A*d - 13*B*d)*Cos[e + f*x])/(16*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)) + ((A - 9*B)*d^2*Cos[e + f*x])/(4*a^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - ((A - B)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2))}
+{((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x]))/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 5, -((3*A*c + 5*B*c + 5*A*d + 19*B*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*f) - ((A - B)*(c - d)*Cos[e + f*x])/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)) - ((3*A*c + 5*B*c + 5*A*d - 13*B*d)*Cos[e + f*x])/(16*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((3*A + 5*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*f) - ((A - B)*Cos[e + f*x])/(4*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)) - ((3*A + 5*B)*Cos[e + f*x])/(16*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])), x, 7, -((B*(5*c^2 - 34*c*d - 3*d^2) + A*(3*c^2 - 14*c*d + 43*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*(c - d)^3*f) - (2*d^(3/2)*(B*c - A*d)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(a^(5/2)*(c - d)^3*Sqrt[c + d]*f) - ((A - B)*Cos[e + f*x])/(4*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)) - ((3*A*c + 5*B*c - 11*A*d + 3*B*d)*Cos[e + f*x])/(16*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^2), x, 8, -((B*(5*c^2 - 58*c*d - 43*d^2) + A*(3*c^2 - 22*c*d + 115*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*(c - d)^4*f) + (d^(3/2)*(A*d*(7*c + 5*d) - B*(5*c^2 + 5*c*d + 2*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(a^(5/2)*(c - d)^4*(c + d)^(3/2)*f) - ((A - B)*Cos[e + f*x])/(4*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])) - ((3*A*c + 5*B*c - 15*A*d + 7*B*d)*Cos[e + f*x])/(16*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])) - (d*(A*(3*c^2 - 16*c*d - 35*d^2) + B*(5*c^2 + 32*c*d + 11*d^2))*Cos[e + f*x])/(16*a^2*(c - d)^3*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^3), x, 9, -((B*(5*c^2 - 82*c*d - 115*d^2) + 3*A*(c^2 - 10*c*d + 73*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*(c - d)^5*f) + (d^(3/2)*(3*A*d*(21*c^2 + 30*c*d + 13*d^2) - B*(35*c^3 + 70*c^2*d + 67*c*d^2 + 20*d^3))*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])])/(4*a^(5/2)*(c - d)^5*(c + d)^(5/2)*f) - ((A - B)*Cos[e + f*x])/(4*(c - d)*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - ((3*A*c + 5*B*c - 19*A*d + 11*B*d)*Cos[e + f*x])/(16*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (d*(A*(3*c^2 - 20*c*d - 31*d^2) + B*(5*c^2 + 28*c*d + 15*d^2))*Cos[e + f*x])/(16*a^2*(c - d)^3*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (d*(3*A*(c^3 - 7*c^2*d - 37*c*d^2 - 21*d^3) + B*(5*c^3 + 73*c^2*d + 79*c*d^2 + 35*d^3))*Cos[e + f*x])/(16*a^2*(c - d)^4*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x]) with m and/or n symbolic*)
+
+
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^n*(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 7, -((8*Sqrt[2]*a^2*B*AppellF1[1/2, -(5/2), -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))) - (4*Sqrt[2]*a^2*(A - B)*AppellF1[1/2, -(3/2), -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^n*(a + a*Sin[e + f*x])^1, x, 8, -((4*Sqrt[2]*a*B*AppellF1[1/2, -(3/2), -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))) - (2*Sqrt[2]*a*(A - B)*AppellF1[1/2, -(1/2), -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^n/(a + a*Sin[e + f*x])^1, x, 7, -((Sqrt[2]*B*AppellF1[1/2, 1/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(a*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))) - ((A - B)*AppellF1[1/2, 3/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(Sqrt[2]*a*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^n/(a + a*Sin[e + f*x])^2, x, 7, -((B*AppellF1[1/2, 3/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(Sqrt[2]*a^2*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))) - ((A - B)*AppellF1[1/2, 5/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(2*Sqrt[2]*a^2*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))}
+
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^n*(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 11, If[$VersionNumber>=8, -((2*a^2*(A - B)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(3 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) + (2*a^2*B*(3*c - d*(11 + 4*n))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d^2*f*(3 + 2*n)*(5 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a*B*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(5 + 2*n)) + (2*a^2*(A - B)*(c - d*(5 + 4*n))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(d*f*(3 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (2*a^2*B*(3*c^2 - 2*c*d*(7 + 4*n) + d^2*(43 + 56*n + 16*n^2))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(d^2*f*(3 + 2*n)*(5 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])), -((2*a^2*(A - B)*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(3 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) + (2*a^2*B*(3*c - d*(11 + 4*n))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d^2*f*(15 + 16*n + 4*n^2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (2*a*B*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(5 + 2*n)) + (2*a^2*(A - B)*(c - d*(5 + 4*n))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(d*f*(3 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (2*a^2*B*(3*c^2 - 2*c*d*(7 + 4*n) + d^2*(43 + 56*n + 16*n^2))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(d^2*f*(15 + 16*n + 4*n^2)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))]}
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^n*(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 4, -((2*a*B*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(3 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (2*a*(A*d*(3 + 2*n) - B*(c - 2*d*(1 + n)))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(d*f*(3 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^n/(a + a*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 7, -(((A - B)*AppellF1[1 + n, 1/2, 1, 2 + n, (c + d*Sin[e + f*x])/(c + d), (c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Cos[e + f*x]*Sqrt[(d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/((c - d)*f*(1 + n)*(1 - Sin[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) - (2*B*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^n*(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]))}
+{(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^n/(a + a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, -((B*AppellF1[1 + n, 1/2, 1, 2 + n, (c + d*Sin[e + f*x])/(c + d), (c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Cos[e + f*x]*Sqrt[(d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(a*(c - d)*f*(1 + n)*(1 - Sin[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])) + ((A - B)*d*AppellF1[1 + n, 1/2, 2, 2 + n, (c + d*Sin[e + f*x])/(c + d), (c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Cos[e + f*x]*Sqrt[(d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/((c - d)^2*f*(1 + n)*(a - a*Sin[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 6, If[$VersionNumber>=8, ((d*(A*d*(3 + m) + B*(2*c + d*m)) - 2*(2 + m)*(A*c*d*(3 + m) + B*(c^2 + d^2 + c*d*m)))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)) - (1/(f*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)))*(2^(1/2 + m)*(A*(3 + m)*(2*c*d*m*(2 + m) + d^2*(1 + m + m^2) + c^2*(2 + 3*m + m^2)) + B*(d^2*m*(5 + 3*m + m^2) + c^2*m*(6 + 5*m + m^2) + 2*c*d*(3 + 4*m + 4*m^2 + m^3)))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m) - (d*(A*d*(3 + m) + B*(2*c + d*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(2 + m)*(3 + m)) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(f*(3 + m)), ((d*(A*d*(3 + m) + B*(2*c + d*m)) - 2*(2 + m)*(A*c*d*(3 + m) + B*(c^2 + d^2 + c*d*m)))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)) - (1/(f*(3 + m)*(2 + 3*m + m^2)))*(2^(1/2 + m)*(A*(3 + m)*(2*c*d*m*(2 + m) + d^2*(1 + m + m^2) + c^2*(2 + 3*m + m^2)) + B*(d^2*m*(5 + 3*m + m^2) + c^2*m*(6 + 5*m + m^2) + 2*c*d*(3 + 4*m + 4*m^2 + m^3)))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m) - (d*(A*d*(3 + m) + B*(2*c + d*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(2 + m)*(3 + m)) - (B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(f*(3 + m))]}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 5, If[$VersionNumber>=8, ((B*d - (B*c + A*d)*(2 + m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m)*(2 + m)) - (2^(1/2 + m)*(A*(2 + m)*(c + c*m + d*m) + B*(c*m*(2 + m) + d*(1 + m + m^2)))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m)*(2 + m)) - (B*d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(2 + m)), ((B*d - (B*c + A*d)*(2 + m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m)*(2 + m)) - (2^(1/2 + m)*(A*(2 + m)*(c + c*m + d*m) + B*(c*m*(2 + m) + d*(1 + m + m^2)))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(2 + 3*m + m^2)) - (B*d*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(2 + m))]}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^0, x, 3, -((B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m))) - (2^(1/2 + m)*(A + A*m + B*m)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])^1, x, 6, -((Sqrt[2]*(B*c - A*d)*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 1, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((c - d)*d*f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]])) - (2^(1/2 + m)*B*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(d*f)}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 7, (Sqrt[2]*(A*d*(c*(1 - m) - d*m) - B*(d^2 - c^2*m - c*d*m))*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 1, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((c - d)^2*d*(c + d)*f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]) + (2^(1/2 + m)*(B*c - A*d)*m*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(d*(c^2 - d^2)*f) - ((B*c - A*d)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/((c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])^3, x, 8, (1/(Sqrt[2]*(c - d)^3*d*(c + d)^2*f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]))*((B*(2*d^3*m + c^3*(1 - m)*m + 2*c^2*d*(1 - m)*m - c*d^2*(3 - 3*m + m^2)) - A*d*(2*c*d*(2 - m)*m - c^2*(2 - 3*m + m^2) - d^2*(1 - m + m^2)))*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 1, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m) - (2^(-(1/2) + m)*m*(A*d*(c*(3 - m) - d*m) - B*(2*d^2 + c^2*(1 - m) - c*d*m))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(d*(c^2 - d^2)^2*f) - ((B*c - A*d)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(2*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^2) + ((A*d*(c*(3 - m) - d*m) - B*(2*d^2 + c^2*(1 - m) - c*d*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(2*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 9, (Sqrt[2]*(A - B)*(c - d)*AppellF1[1/2 + m, 1/2, -(3/2), 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)]) + (Sqrt[2]*B*(c - d)*AppellF1[3/2 + m, 1/2, -(3/2), 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(a*f*(3 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 9, (Sqrt[2]*(A - B)*AppellF1[1/2 + m, 1/2, -(1/2), 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)]) + (Sqrt[2]*B*AppellF1[3/2 + m, 1/2, -(1/2), 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(a*f*(3 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 9, (Sqrt[2]*(A - B)*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 1/2, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (Sqrt[2]*B*AppellF1[3/2 + m, 1/2, 1/2, 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/(a*f*(3 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 9, (Sqrt[2]*(A - B)*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 3/2, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/((c - d)*f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (Sqrt[2]*B*AppellF1[3/2 + m, 1/2, 3/2, 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/(a*(c - d)*f*(3 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 9, (Sqrt[2]*(A - B)*AppellF1[1/2 + m, 1/2, -n, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c - d))^n*(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]])) + (Sqrt[2]*B*AppellF1[3/2 + m, 1/2, -n, 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c - d))^n*(a*f*(3 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(-(m + 1)), x, 7, -((2^(1/2 + m)*a*(A - B)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, ((c - d)*(1 - Sin[e + f*x]))/(2*(c + d*Sin[e + f*x]))]*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(((c + d)*(1 + Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x]))^(1/2 - m))/((c + d*Sin[e + f*x])^m*((c + d)*f))) + (Sqrt[2]*B*AppellF1[3/2 + m, 1/2, 1 + m, 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*((c + d*Sin[e + f*x])/(c - d))^m)/((c + d*Sin[e + f*x])^m*(a*(c - d)*f*(3 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]))}
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(a - a*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 4, (2*Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, -(1/2), -n, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c - d))^n*(f*(1 + 2*m)))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(a - a*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^(-(m + 1)), x, 4, (2*Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, -(1/2), 1 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*((c + d*Sin[e + f*x])/(c - d))^m)/((c + d*Sin[e + f*x])^m*((c - d)*f*(1 + 2*m)))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(d - m*(c - d) + (c + m*(c - d))*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])^(m + 2), x, 1, -((Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/f)}
+{(a - a*Sin[e + f*x])^m*(d + m*(c + d) + (c + m*(c + d))*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])^(m + 2), x, 1, -((Cos[e + f*x]*(a - a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/f)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n  (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^2*(A + B*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])^2, x, 6, -((b*(2*b*B*c - A*b*d - 2*a*B*d)*x)/d^3) - (2*(b*c - a*d)*(a*d^2*(A*c - B*d) - b*(2*B*c^3 - A*c^2*d - 3*B*c*d^2 + 2*A*d^3))*ArcTan[(d + c*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(d^3*(c^2 - d^2)^(3/2)*f) - (b^2*B*Cos[e + f*x])/(d^2*f) - ((b*c - a*d)^2*(B*c - A*d)*Cos[e + f*x])/(d^2*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m<0*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^(n/2)  (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^(m/2) (c+d Sin[e+f x])^(n/2)  (A+B Sin[e+f x])*)
+
+
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, ((c - d)*Sqrt[c + d]*(2*A*b^2*c - 2*a*b*B*c - 2*a*A*b*d + 3*a^2*B*d - b^2*B*d)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/((a - b)*b^2*Sqrt[a + b]*(b*c - a*d)*f) + (Sqrt[c + d]*(3*b*B*c + 2*A*b*d - 3*a*B*d)*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(b^3*Sqrt[a + b]*f) + (2*(A*b - a*B)*(b*c - a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(b*(a^2 - b^2)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - ((2*A*b*(b*c - a*d) - B*(2*a*b*c - 3*a^2*d + b^2*d))*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(b*(a^2 - b^2)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + (Sqrt[a + b]*(2*A*b*(b*(c - 2*d) + a*d) - B*(3*a^2*d - 6*a*b*d + b^2*(2*c + d)))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/((a - b)*b^3*Sqrt[c + d]*f)}
+{(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)*(A + B*Sin[e + f*x])/(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 5, (2*(A*b - a*B)*(c - d)*Sqrt[c + d]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/((a - b)*b*Sqrt[a + b]*(b*c - a*d)*f) + (2*Sqrt[a + b]*(A*b - a*B)*(c - d)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/((a - b)*b*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f) + (2*Sqrt[a + b]*B*EllipticPi[((a + b)*d)/(b*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(b^2*Sqrt[c + d]*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)), x, 3, (2*(A*b - a*B)*(c - d)*Sqrt[c + d]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/((a - b)*Sqrt[a + b]*(b*c - a*d)^2*f) + (2*Sqrt[a + b]*(A - B)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/((a - b)*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 4, (2*b*(A*b - a*B)*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*(A*(a^2*d^2 + b^2*(c^2 - 2*d^2)) - B*(a^2*c*d - b^2*c*d + a*b*(c^2 - d^2)))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(Sqrt[a + b]*(c - d)*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)^3*f) + (2*(A*b*c + b*B*c - a*A*d - 2*A*b*d + a*B*d)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(Sqrt[a + b]*(c - d)*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)^2*f)}
+{(A + B*Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)), x, 5, (2*b*(A*b - a*B)*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*d*(A*(a^2*d^2 + b^2*(3*c^2 - 4*d^2)) - B*(a^2*c*d - b^2*c*d + 3*a*b*(c^2 - d^2)))*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(3*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (1/(3*Sqrt[a + b]*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)^4*f))*(2*(B*(2*a^2*b*c*d*(3*c^2 - d^2) - 2*b^3*c*d*(3*c^2 - d^2) - a^3*d^2*(c^2 + 3*d^2) + a*b^2*(3*c^4 - 5*c^2*d^2 + 6*d^4)) + A*(4*a^3*c*d^3 - 4*a*b^2*c*d^3 - a^2*b*d^2*(9*c^2 - 5*d^2) - b^3*(3*c^4 - 15*c^2*d^2 + 8*d^4)))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x])) - (2*(B*(a^2*d^2*(c + 3*d) - b^2*c*(3*c^2 + 3*c*d - 2*d^2) - 6*a*b*d*(c^2 - d^2)) - A*(a^2*d^2*(3*c + d) - 6*a*b*d*(c^2 - d^2) + b^2*(3*c^3 - 9*c^2*d - 6*c*d^2 + 8*d^3)))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*Sqrt[a + b]*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)^3*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x]) with m and/or n symbolic*)
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n*(A + B*Sin[e + f*x]), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x]}
+
+
+(* ::InheritFromParent:: *)
+(**)
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--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.4.1 (a+b sin)^m (A+B sin+C sin^2).m	
@@ -0,0 +1,68 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sin[e+f x])^m (A+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sin[e+f x])^m (A+C Sin[e+f x]^2) when A (m+2)+C (m+1)=0*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^m*(1 + m - (2 + m)*Sin[e + f*x]^2), x, 1, (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^(1 + m))/f}
+
+{Sin[e + f*x]^5*(6 - 7*Sin[e + f*x]^2), x, 1, (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^6)/f}
+{Sin[e + f*x]^4*(5 - 6*Sin[e + f*x]^2), x, 1, (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^5)/f}
+{Sin[e + f*x]^3*(4 - 5*Sin[e + f*x]^2), x, 1, (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^4)/f}
+{Sin[e + f*x]^2*(3 - 4*Sin[e + f*x]^2), x, 1, (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/f}
+{Sin[e + f*x]^1*(2 - 3*Sin[e + f*x]^2), x, 1, (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^2)/f}
+{Sin[e + f*x]^0*(1 - 2*Sin[e + f*x]^2), x, 3, (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^1*(0 - 1*Sin[e + f*x]^2), x, 1, Cos[e + f*x]/f}
+{Csc[e + f*x]^2*(-1 - 0*Sin[e + f*x]^2), x, 2, Cot[e + f*x]/f}
+{Csc[e + f*x]^3*(-2 + 1*Sin[e + f*x]^2), x, 1, (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^4*(-3 + 2*Sin[e + f*x]^2), x, 1, (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2)/f}
+{Csc[e + f*x]^5*(-4 + 3*Sin[e + f*x]^2), x, 1, (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^3)/f}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (A+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (A+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + C*Sin[e + f*x]^2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(2 + 3*m + m^2)) - (2^(1/2 + m)*(C*(1 + m + m^2) + A*(2 + 3*m + m^2))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m)*(2 + m)) - (C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(2 + m)), (C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(2 + 3*m + m^2)) - (2^(1/2 + m)*(C*(1 + m + m^2) + A*(2 + 3*m + m^2))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(2 + 3*m + m^2)) - (C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(2 + m))]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (A+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m*(A - A*Sin[e + f*x]^2), x, 7, (4*Sqrt[2]*A*AppellF1[1/2, -(3/2), -m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (b*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b)]*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m)/(((a + b*Sin[e + f*x])/(a + b))^m*(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])) - (4*Sqrt[2]*A*AppellF1[1/2, -(1/2), -m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (b*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b)]*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m)/(((a + b*Sin[e + f*x])/(a + b))^m*(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))}
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m*(A + C*Sin[e + f*x]^2), x, 8, -((C*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(b*f*(2 + m))) + (Sqrt[2]*a*(a + b)*C*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (b*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b)]*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m)/(((a + b*Sin[e + f*x])/(a + b))^m*(b^2*f*(2 + m)*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])) - (Sqrt[2]*(a^2*C + b^2*(C*(1 + m) + A*(2 + m)))*AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (b*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b)]*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m)/(((a + b*Sin[e + f*x])/(a + b))^m*(b^2*f*(2 + m)*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))}
+
+
+{Sin[e + f*x]^5*(A + C*Sin[e + f*x]^2), x, 3, -(((A + C)*Cos[e + f*x])/f) + ((2*A + 3*C)*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) - ((A + 3*C)*Cos[e + f*x]^5)/(5*f) + (C*Cos[e + f*x]^7)/(7*f)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (A+B Sin[e+f x]+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (A+B Sin[e+f x]+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, ((C - B*(2 + m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m)*(2 + m)) - (2^(1/2 + m)*(B*m*(2 + m) + C*(1 + m + m^2) + A*(2 + 3*m + m^2))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m)*(2 + m)) - (C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(2 + m)), ((C - B*(2 + m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + m)*(2 + m)) - (2^(1/2 + m)*(B*m*(2 + m) + C*(1 + m + m^2) + A*(2 + 3*m + m^2))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x])]*(1 + Sin[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(2 + 3*m + m^2)) - (C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(2 + m))]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (A+B Sin[e+f x]+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m*(A + (A + C)*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x, 7, -((4*Sqrt[2]*C*AppellF1[1/2, -(3/2), -m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (b*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b)]*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m)/(((a + b*Sin[e + f*x])/(a + b))^m*(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))) - (2*Sqrt[2]*(A - C)*AppellF1[1/2, -(1/2), -m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (b*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b)]*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m)/(((a + b*Sin[e + f*x])/(a + b))^m*(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))}
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x, 8, -((C*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(b*f*(2 + m))) + (Sqrt[2]*(a + b)*(a*C - b*B*(2 + m))*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (b*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b)]*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m)/(((a + b*Sin[e + f*x])/(a + b))^m*(b^2*f*(2 + m)*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])) - (Sqrt[2]*(a^2*C + b^2*C*(1 + m) + A*b^2*(2 + m) - a*b*B*(2 + m))*AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[e + f*x]), (b*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b)]*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m)/(((a + b*Sin[e + f*x])/(a + b))^m*(b^2*f*(2 + m)*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]))}
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+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.4.2 (a+b sin)^m (c+d sin)^n (A+B sin+C sin^2).m	
@@ -0,0 +1,179 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n (A+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n (A+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n (A+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^(n/2) (A+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + C*Sin[e + f*x]^2), x, 5, If[$VersionNumber>=8, (64*c^3*(C*(39 - 16*m + 4*m^2) + A*(63 + 32*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(5 + 2*m)*(7 + 2*m)*(9 + 2*m)*(3 + 8*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (16*c^2*(C*(39 - 16*m + 4*m^2) + A*(63 + 32*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*(7 + 2*m)*(9 + 2*m)*(15 + 16*m + 4*m^2)) + (2*c*(C*(39 - 16*m + 4*m^2) + A*(63 + 32*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*(5 + 2*m)*(7 + 2*m)*(9 + 2*m)) - (4*C*(1 + 2*m)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(f*(7 + 2*m)*(9 + 2*m)) + (2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c*f*(9 + 2*m)), (64*c^3*(C*(39 - 16*m + 4*m^2) + A*(63 + 32*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(9 + 2*m)*(105 + 352*m + 344*m^2 + 128*m^3 + 16*m^4)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (16*c^2*(C*(39 - 16*m + 4*m^2) + A*(63 + 32*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*(9 + 2*m)*(105 + 142*m + 60*m^2 + 8*m^3)) + (2*c*(C*(39 - 16*m + 4*m^2) + A*(63 + 32*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*(9 + 2*m)*(35 + 24*m + 4*m^2)) - (4*C*(1 + 2*m)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(f*(63 + 32*m + 4*m^2)) + (2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c*f*(9 + 2*m))]}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + C*Sin[e + f*x]^2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (8*c^2*(C*(19 - 8*m + 4*m^2) + A*(35 + 24*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(5 + 2*m)*(7 + 2*m)*(3 + 8*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*c*(C*(19 - 8*m + 4*m^2) + A*(35 + 24*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*(3 + 2*m)*(5 + 2*m)*(7 + 2*m)) - (4*C*(1 + 2*m)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*(5 + 2*m)*(7 + 2*m)) + (2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(c*f*(7 + 2*m)), (8*c^2*(C*(19 - 8*m + 4*m^2) + A*(35 + 24*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(7 + 2*m)*(15 + 46*m + 36*m^2 + 8*m^3)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*c*(C*(19 - 8*m + 4*m^2) + A*(35 + 24*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*(7 + 2*m)*(15 + 16*m + 4*m^2)) - (4*C*(1 + 2*m)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*(35 + 24*m + 4*m^2)) + (2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(c*f*(7 + 2*m))]}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2)*(A + C*Sin[e + f*x]^2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (2*c*(C - 6*C*m + A*(5 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*(5 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (4*c*C*(1 + 2*m)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(3 + 2*m)*(5 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c*f*(5 + 2*m)), (2*c*(C - 6*C*m + A*(5 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(5 + 12*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (4*c*C*(1 + 2*m)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(15 + 16*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c*f*(5 + 2*m))]}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2)*(A + C*Sin[e + f*x]^2), x, 4, ((A + C)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(3 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + C*Sin[e + f*x]^2), x, 5, ((A + C)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(4*a*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + ((A + 2*A*m + C*(9 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(4*c*f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + ((A*(1 - 2*m) - C*(7 + 2*m))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(4*c*f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + C*Sin[e + f*x]^2), x, 5, ((A + C)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(8*a*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + ((A*(5 - 2*m) - C*(11 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(16*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + ((A*(3 - 8*m + 4*m^2) + C*(19 + 24*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(32*c^2*f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^(m/2) (c-c Sin[e+f x])^(n/2) (A+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+{(A + C*Sin[e + f*x]^2)/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 8, ((A + C)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(4*a*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((A - 3*C)*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(4*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + ((A + C)*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(4*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n (A+C Sin[e+f x]^2) when m symbolic*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n*(A + C*Sin[e + f*x]^2), x, 6, (1/(f*(1 + 2*m)*(1 + m + n)*(2 + m + n)))*(2^(1/2 + n)*c*(C*(1 + 2*m)*(m - n) + (1 + m + n)*(C*(1 - m + n) + A*(2 + m + n)))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + 2*m), (1/2)*(1 - 2*n), (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 + n)) - (C*(1 + 2*m)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/(f*(1 + m + n)*(2 + m + n)) + (C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(c*f*(2 + m + n))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n (A+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n (A+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + C*Sin[e + f*x]^2)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x, 10, -((C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(2 + m + n))) + (Sqrt[2]*(c*(C + 2*C*m) + d*(C*(1 - m + n) + A*(2 + m + n)))*AppellF1[1/2 + m, 1/2, -n, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c - d))^n*(d*f*(1 + 2*m)*(2 + m + n)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]])) + (Sqrt[2]*C*(d*m - c*(1 + m))*AppellF1[3/2 + m, 1/2, -n, 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c - d))^n*(a*d*f*(3 + 2*m)*(2 + m + n)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]))}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + C*Sin[e + f*x]^2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(m + 2), x, 8, ((c^2*C + A*d^2)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(d*(c^2 - d^2)*f*(1 + m)) - (2^(1/2 + m)*a*(c*(A + C)*d*(1 + m) + d^2*(C - A*m + C*m) - c^2*(C + 2*C*m))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, ((c - d)*(1 - Sin[e + f*x]))/(2*(c + d*Sin[e + f*x]))]*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(((c + d)*(1 + Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x]))^(1/2 - m))/((c + d*Sin[e + f*x])^m*((c - d)*d*(c + d)^2*f*(1 + m))) + (Sqrt[2]*C*AppellF1[3/2 + m, 1/2, 1 + m, 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*((c + d*Sin[e + f*x])/(c - d))^m)/((c + d*Sin[e + f*x])^m*(a*(c - d)*d*f*(3 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + C*Sin[e + f*x]^2), x, 10, -((2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(d*f*(7 + 2*m))) + (Sqrt[2]*(c - d)*(2*c*(C + 2*C*m) + d*(C*(5 - 2*m) + A*(7 + 2*m)))*AppellF1[1/2 + m, 1/2, -(3/2), 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d*f*(1 + 2*m)*(7 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)]) + (2*Sqrt[2]*C*(c - d)*(d*m - c*(1 + m))*AppellF1[3/2 + m, 1/2, -(3/2), 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(a*d*f*(3 + 2*m)*(7 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)*(A + C*Sin[e + f*x]^2), x, 10, -((2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(d*f*(5 + 2*m))) + (Sqrt[2]*(2*c*(C + 2*C*m) + d*(C*(3 - 2*m) + A*(5 + 2*m)))*AppellF1[1/2 + m, 1/2, -(1/2), 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d*f*(1 + 2*m)*(5 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)]) + (2*Sqrt[2]*C*(d*m - c*(1 + m))*AppellF1[3/2 + m, 1/2, -(1/2), 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(a*d*f*(3 + 2*m)*(5 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)*(A + C*Sin[e + f*x]^2), x, 10, -((2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d*f*(3 + 2*m))) + (Sqrt[2]*(2*c*(C + 2*C*m) + d*(C - 2*C*m + A*(3 + 2*m)))*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 1/2, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/(d*f*(1 + 2*m)*(3 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*C*(c + c*m - d*m)*AppellF1[3/2 + m, 1/2, 1/2, 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/(a*d*f*(3 + 2*m)^2*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + C*Sin[e + f*x]^2), x, 10, (2*(c^2*C + A*d^2)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(d*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (Sqrt[2]*(c*(A + C)*d - d^2*(A - C + 4*A*m) - 2*c^2*(C + 2*C*m))*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 1/2, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/(d*(c^2 - d^2)*f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (Sqrt[2]*(2*c^2*C*(1 + m) + d^2*(A - C + 2*A*m))*AppellF1[3/2 + m, 1/2, 1/2, 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/(a*d*(c^2 - d^2)*f*(3 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + C*Sin[e + f*x]^2), x, 10, (2*(c^2*C + A*d^2)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(3*d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (Sqrt[2]*(3*c*(A + C)*d + d^2*(A + 3*C - 4*A*m) - 2*c^2*(C + 2*C*m))*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 3/2, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/(3*(c - d)^2*d*(c + d)*f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (Sqrt[2]*(2*c^2*C*(1 + m) - d^2*(A + 3*C - 2*A*m))*AppellF1[3/2 + m, 1/2, 3/2, 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/(3*a*(c - d)^2*d*(c + d)*f*(3 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n (A+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x]+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x]+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x]+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^(n/2) (A+B Sin[e+f x]+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^(m/2) (c-c Sin[e+f x])^(n/2) (A+B Sin[e+f x]+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+{(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2)/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 8, ((A + B + C)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(4*a*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((A - B - 3*C)*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(4*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + ((A - B + C)*Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(4*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c-c Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x]+C Sin[e+f x]^2) with m and/or n symbolic*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x, 6, (1/(f*(1 + 2*m)*(1 + m + n)*(2 + m + n)))*(2^(1/2 + n)*c*((1 + m + n)*(C*(1 - m + n) + A*(2 + m + n)) + (m - n)*(C + 2*C*m + B*(2 + m + n)))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + 2*m), (1/2)*(1 - 2*n), (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 - n)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 + n)) - ((C + 2*C*m + B*(2 + m + n))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^n)/(f*(1 + m + n)*(2 + m + n)) + (C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(c*f*(2 + m + n))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x, 5, If[$VersionNumber>=8, -((64*c^3*(B*(45 - 8*m - 4*m^2) - C*(39 - 16*m + 4*m^2) - A*(63 + 32*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(5 + 2*m)*(7 + 2*m)*(9 + 2*m)*(3 + 8*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (16*c^2*(B*(45 - 8*m - 4*m^2) - C*(39 - 16*m + 4*m^2) - A*(63 + 32*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*(7 + 2*m)*(9 + 2*m)*(15 + 16*m + 4*m^2)) - (2*c*(B*(45 - 8*m - 4*m^2) - C*(39 - 16*m + 4*m^2) - A*(63 + 32*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*(5 + 2*m)*(7 + 2*m)*(9 + 2*m)) - (2*(9*B + 2*C + 2*B*m + 4*C*m)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(f*(7 + 2*m)*(9 + 2*m)) + (2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c*f*(9 + 2*m)), -((64*c^3*(B*(45 - 8*m - 4*m^2) - C*(39 - 16*m + 4*m^2) - A*(63 + 32*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(945 + 3378*m + 3800*m^2 + 1840*m^3 + 400*m^4 + 32*m^5)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (16*c^2*(B*(45 - 8*m - 4*m^2) - C*(39 - 16*m + 4*m^2) - A*(63 + 32*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*(945 + 1488*m + 824*m^2 + 192*m^3 + 16*m^4)) - (2*c*(B*(45 - 8*m - 4*m^2) - C*(39 - 16*m + 4*m^2) - A*(63 + 32*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*(315 + 286*m + 84*m^2 + 8*m^3)) - (2*(9*B + 2*C + 2*B*m + 4*C*m)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(f*(63 + 32*m + 4*m^2)) + (2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(7/2))/(c*f*(9 + 2*m))]}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((8*c^2*(B*(21 - 8*m - 4*m^2) - C*(19 - 8*m + 4*m^2) - A*(35 + 24*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(5 + 2*m)*(7 + 2*m)*(3 + 8*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (2*c*(B*(21 - 8*m - 4*m^2) - C*(19 - 8*m + 4*m^2) - A*(35 + 24*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*(3 + 2*m)*(5 + 2*m)*(7 + 2*m)) - (2*(7*B + 2*C + 2*B*m + 4*C*m)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*(5 + 2*m)*(7 + 2*m)) + (2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(c*f*(7 + 2*m)), -((8*c^2*(B*(21 - 8*m - 4*m^2) - C*(19 - 8*m + 4*m^2) - A*(35 + 24*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(7 + 2*m)*(15 + 46*m + 36*m^2 + 8*m^3)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - (2*c*(B*(21 - 8*m - 4*m^2) - C*(19 - 8*m + 4*m^2) - A*(35 + 24*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])/(f*(105 + 142*m + 60*m^2 + 8*m^3)) - (2*(7*B + 2*C + 2*B*m + 4*C*m)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(f*(35 + 24*m + 4*m^2)) + (2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(c*f*(7 + 2*m))]}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2)*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (2*c*(C - 6*C*m + A*(5 + 2*m) - B*(5 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*(5 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*c*(5*B + 2*C + 2*B*m + 4*C*m)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(3 + 2*m)*(5 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c*f*(5 + 2*m)), (2*c*(C - 6*C*m + A*(5 + 2*m) - B*(5 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(5 + 12*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*c*(5*B + 2*C + 2*B*m + 4*C*m)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(15 + 16*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2))/(c*f*(5 + 2*m))]}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(1/2)*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x, 5, -((2*B*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + ((A + B + C)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(3 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x, 5, ((A + B + C)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(4*a*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + ((A + B + 2*A*m + 2*B*m + C*(9 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(4*c*f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + ((A*(1 - 2*m) - B*(3 + 2*m) - C*(7 + 2*m))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(4*c*f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x, 5, ((A + B + C)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(8*a*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(5/2)) + ((A*(5 - 2*m) - B*(3 + 2*m) - C*(11 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(16*c*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((B*(5 - 8*m - 4*m^2) - A*(3 - 8*m + 4*m^2) - C*(19 + 24*m + 4*m^2))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(32*c^2*f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-m - 2)*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x, 6, -((2^(-(1/2) - m)*C*Cos[e + f*x]^3*Hypergeometric2F1[(1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(5 + 2*m), (1/2)*(1 + Sin[e + f*x])]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(f*(3 + 2*m))) + ((A + B + C)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(2*a*f*(3 + 2*m)) + ((A - B + C)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(2*c*f*(1 + 2*m))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x]+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x]+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x, 10, -((C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(2 + m + n))) + (Sqrt[2]*(c*(C + 2*C*m) + d*(C*(1 - m + n) + A*(2 + m + n) - B*(2 + m + n)))*AppellF1[1/2 + m, 1/2, -n, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c - d))^n*(d*f*(1 + 2*m)*(2 + m + n)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]])) - (Sqrt[2]*(c*C*(1 + m) - d*(C*m + B*(2 + m + n)))*AppellF1[3/2 + m, 1/2, -n, 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(((c + d*Sin[e + f*x])/(c - d))^n*(a*d*f*(3 + 2*m)*(2 + m + n)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2)/(c + d*Sin[e + f*x])^(m + 2), x, 8, ((c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(-1 - m))/(d*(c^2 - d^2)*f*(1 + m)) - (1/((c - d)*d*(c + d)^2*f*(1 + m)))*((2^(1/2 + m)*a*(c*d*(A + C + A*m + B*m + C*m) - c^2*(C + 2*C*m) - d^2*(A*m + B*(1 + m) - C*(1 + m)))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, ((c - d)*(1 - Sin[e + f*x]))/(2*(c + d*Sin[e + f*x]))]*(a + a*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(((c + d)*(1 + Sin[e + f*x]))/(c + d*Sin[e + f*x]))^(1/2 - m))/(c + d*Sin[e + f*x])^m) + (Sqrt[2]*C*AppellF1[3/2 + m, 1/2, 1 + m, 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*((c + d*Sin[e + f*x])/(c - d))^m)/((c + d*Sin[e + f*x])^m*(a*(c - d)*d*f*(3 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]))}
+
+
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x, 10, -((2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2))/(d*f*(7 + 2*m))) + (Sqrt[2]*(c - d)*(2*c*(C + 2*C*m) - d*(7*B - 5*C + 2*B*m + 2*C*m - A*(7 + 2*m)))*AppellF1[1/2 + m, 1/2, -(3/2), 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d*f*(1 + 2*m)*(7 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)]) - (Sqrt[2]*(c - d)*(2*c*C*(1 + m) - d*(2*C*m + B*(7 + 2*m)))*AppellF1[3/2 + m, 1/2, -(3/2), 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(a*d*f*(3 + 2*m)*(7 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x, 10, -((2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(d*f*(5 + 2*m))) + (Sqrt[2]*(2*c*(C + 2*C*m) - d*(5*B - 3*C + 2*B*m + 2*C*m - A*(5 + 2*m)))*AppellF1[1/2 + m, 1/2, -(1/2), 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d*f*(1 + 2*m)*(5 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)]) - (Sqrt[2]*(2*c*C*(1 + m) - d*(2*C*m + B*(5 + 2*m)))*AppellF1[3/2 + m, 1/2, -(1/2), 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(a*d*f*(3 + 2*m)*(5 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^(1/2)*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x, 10, -((2*C*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d*f*(3 + 2*m))) + (Sqrt[2]*(2*c*(C + 2*C*m) - d*(3*B - C + 2*B*m + 2*C*m - A*(3 + 2*m)))*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 1/2, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/(d*f*(1 + 2*m)*(3 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*(2*c*C*(1 + m) - d*(2*C*m + B*(3 + 2*m)))*AppellF1[3/2 + m, 1/2, 1/2, 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/(a*d*f*(3 + 2*m)^2*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x, 10, (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(d*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*(d^2*(A + B - C + 4*A*m) - c*d*(A + B + C + 4*B*m) + 2*c^2*(C + 2*C*m))*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 1/2, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/(d*(c^2 - d^2)*f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*(d*(B*c - A*d)*(1 + 2*m) + C*(d^2 - 2*c^2*(1 + m)))*AppellF1[3/2 + m, 1/2, 1/2, 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/(a*d*(c^2 - d^2)*f*(3 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+{(a + a*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x, 10, (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(3*d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (Sqrt[2]*(d^2*(A - 3*B + 3*C - 4*A*m) + c*d*(3*A - B + 3*C + 4*B*m) - 2*c^2*(C + 2*C*m))*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 3/2, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/(3*(c - d)^2*d*(c + d)*f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (Sqrt[2]*(B*c*d*(1 - 2*m) + 2*c^2*C*(1 + m) - d^2*(A + 3*C - 2*A*m))*AppellF1[3/2 + m, 1/2, 3/2, 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sin[e + f*x]), -((d*(1 + Sin[e + f*x]))/(c - d))]*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c - d)])/(3*a*(c - d)^2*d*(c + d)*f*(3 + 2*m)*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x]+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x]+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+{(A + B*Sin[c + d*x] + C*Sin[c + d*x]^2)*(a + b*Sin[c + d*x]), x, 2, (1/2)*(b*B + a*(2*A + C))*x - ((A*b + a*B + b*C)*Cos[c + d*x])/d + (b*C*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - ((b*B + a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d), (1/2)*(b*B + a*(2*A + C))*x - ((b^2*(3*A + 2*C) + a*(3*b*B - a*C))*Cos[c + d*x])/(3*b*d) - ((3*b*B - a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) - (C*Cos[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x])^2)/(3*b*d)}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x])^(n/2) (A+B Sin[e+f x]+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^(m/2) (a+b Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x]+C Sin[e+f x]^2)*)
+
+
+{((a + b*Sin[e + f*x])*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2))/Sin[e + f*x]^(3/2), x, 5, (2*(b*B - a*(A - C))*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2])/f + (2*(3*A*b + 3*a*B + b*C)*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2])/(3*f) - (2*a*A*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[Sin[e + f*x]]) - (2*b*C*Cos[e + f*x]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(3*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n (A+B Sin[e+f x]+C Sin[e+f x]^2) with m and/or n symbolic*)
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^p (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+a Sin[e+f x])^(n/2) (c-c Sin[e+f x])^(p/2)*)
+
+
+(* {Sin[e + f*x]^4/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), x, 4, (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^3/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), x, 4, Cos[e + f*x]^3/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (Cos[e + f*x]*Log[Cos[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^2/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), x, 3, (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^1/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), x, 2, -((Cos[e + f*x]*Log[Cos[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]))}
+{Csc[e + f*x]^1/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), x, 3, (Cos[e + f*x]*Log[Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^2/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), x, 3, (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - Cot[e + f*x]/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^3/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), x, 4, -((Cos[e + f*x]*Cot[e + f*x]^2)/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (Cos[e + f*x]*Log[Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^4/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), x, 4, (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - Cot[e + f*x]/(f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2)/(3*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])} *)
+
+
+(* {Sin[e + f*x]^4/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 8, -((3*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) - Cos[e + f*x]^3/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*Cos[e + f*x]*Log[Cos[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + Sec[e + f*x]/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (Sin[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^3/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 7, -((3*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (Cos[e + f*x]*Log[Cos[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (Sin[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (Sin[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^2/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 6, (Cos[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]])/(4*a*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (3*Cos[e + f*x]*Log[1 - Sin[e + f*x]])/(4*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (Cos[e + f*x]*Log[1 + Sin[e + f*x]])/(4*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), -((ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + (Cos[e + f*x]*Log[Cos[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + Tan[e + f*x]/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (Sin[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^1/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 5, Cos[e + f*x]/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]), -((ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])) + Sec[e + f*x]/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + Tan[e + f*x]/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^1/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 7, (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (Cos[e + f*x]*Log[Tan[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + Tan[e + f*x]/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (Sin[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^2/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 8, (3*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (3*Cot[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (Cos[e + f*x]*Log[Tan[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (Csc[e + f*x]*Sec[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (Sin[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^3/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)), x, 8, (3*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (3*Cot[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) - (Cos[e + f*x]*Cot[e + f*x]^2)/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (2*Cos[e + f*x]*Log[Tan[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (Csc[e + f*x]*Sec[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + (Sin[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])} *)
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new file mode 100644
index 00000000..91874244
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.7 (d trig)^m (a+b (c sin)^n)^p.m	
@@ -0,0 +1,1186 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sin[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sin[e+f x]^n)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sin[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
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+{(a*Sin[x]^2)^(5/2), x, 4, (-(8/15))*a^2*Cot[x]*Sqrt[a*Sin[x]^2] - (4/15)*a*Cot[x]*(a*Sin[x]^2)^(3/2) - (1/5)*Cot[x]*(a*Sin[x]^2)^(5/2)}
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+{(a*Sin[x]^2)^(1/2), x, 2, (-Cot[x])*Sqrt[a*Sin[x]^2]}
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+{1/(a*Sin[x]^2)^(3/2), x, 3, -(Cot[x]/(2*a*Sqrt[a*Sin[x]^2])) - (ArcTanh[Cos[x]]*Sin[x])/(2*a*Sqrt[a*Sin[x]^2])}
+{1/(a*Sin[x]^2)^(5/2), x, 4, -(Cot[x]/(4*a*(a*Sin[x]^2)^(3/2))) - (3*Cot[x])/(8*a^2*Sqrt[a*Sin[x]^2]) - (3*ArcTanh[Cos[x]]*Sin[x])/(8*a^2*Sqrt[a*Sin[x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sin[e+f x]^3)^(p/2)*)
+
+
+{(a*Sin[x]^3)^(5/2), x, 6, (-(26/77))*a^2*Cot[x]*Sqrt[a*Sin[x]^3] - (26*a^2*EllipticF[Pi/4 - x/2, 2]*Sqrt[a*Sin[x]^3])/(77*Sin[x]^(3/2)) - (78/385)*a^2*Cos[x]*Sin[x]*Sqrt[a*Sin[x]^3] - (26/165)*a^2*Cos[x]*Sin[x]^3*Sqrt[a*Sin[x]^3] - (2/15)*a^2*Cos[x]*Sin[x]^5*Sqrt[a*Sin[x]^3]}
+{(a*Sin[x]^3)^(3/2), x, 4, (-(14/45))*a*Cos[x]*Sqrt[a*Sin[x]^3] - (14*a*EllipticE[Pi/4 - x/2, 2]*Sqrt[a*Sin[x]^3])/(15*Sin[x]^(3/2)) - (2/9)*a*Cos[x]*Sin[x]^2*Sqrt[a*Sin[x]^3]}
+{(a*Sin[x]^3)^(1/2), x, 3, (-(2/3))*Cot[x]*Sqrt[a*Sin[x]^3] - (2*EllipticF[Pi/4 - x/2, 2]*Sqrt[a*Sin[x]^3])/(3*Sin[x]^(3/2))}
+{1/(a*Sin[x]^3)^(1/2), x, 3, -((2*Cos[x]*Sin[x])/Sqrt[a*Sin[x]^3]) + (2*EllipticE[Pi/4 - x/2, 2]*Sin[x]^(3/2))/Sqrt[a*Sin[x]^3]}
+{1/(a*Sin[x]^3)^(3/2), x, 4, -((10*Cos[x])/(21*a*Sqrt[a*Sin[x]^3])) - (2*Cot[x]*Csc[x])/(7*a*Sqrt[a*Sin[x]^3]) - (10*EllipticF[Pi/4 - x/2, 2]*Sin[x]^(3/2))/(21*a*Sqrt[a*Sin[x]^3])}
+{1/(a*Sin[x]^3)^(5/2), x, 6, -((154*Cot[x])/(585*a^2*Sqrt[a*Sin[x]^3])) - (22*Cot[x]*Csc[x]^2)/(117*a^2*Sqrt[a*Sin[x]^3]) - (2*Cot[x]*Csc[x]^4)/(13*a^2*Sqrt[a*Sin[x]^3]) - (154*Cos[x]*Sin[x])/(195*a^2*Sqrt[a*Sin[x]^3]) + (154*EllipticE[Pi/4 - x/2, 2]*Sin[x]^(3/2))/(195*a^2*Sqrt[a*Sin[x]^3])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sin[e+f x]^4)^(p/2)*)
+
+
+{(a*Sin[x]^4)^(5/2), x, 7, (-(63/256))*a^2*Cot[x]*Sqrt[a*Sin[x]^4] + (63/256)*a^2*x*Csc[x]^2*Sqrt[a*Sin[x]^4] - (21/128)*a^2*Cos[x]*Sin[x]*Sqrt[a*Sin[x]^4] - (21/160)*a^2*Cos[x]*Sin[x]^3*Sqrt[a*Sin[x]^4] - (9/80)*a^2*Cos[x]*Sin[x]^5*Sqrt[a*Sin[x]^4] - (1/10)*a^2*Cos[x]*Sin[x]^7*Sqrt[a*Sin[x]^4]}
+{(a*Sin[x]^4)^(3/2), x, 5, (-(5/16))*a*Cot[x]*Sqrt[a*Sin[x]^4] + (5/16)*a*x*Csc[x]^2*Sqrt[a*Sin[x]^4] - (5/24)*a*Cos[x]*Sin[x]*Sqrt[a*Sin[x]^4] - (1/6)*a*Cos[x]*Sin[x]^3*Sqrt[a*Sin[x]^4]}
+{(a*Sin[x]^4)^(1/2), x, 3, (-(1/2))*Cot[x]*Sqrt[a*Sin[x]^4] + (1/2)*x*Csc[x]^2*Sqrt[a*Sin[x]^4]}
+{1/(a*Sin[x]^4)^(1/2), x, 3, -((Cos[x]*Sin[x])/Sqrt[a*Sin[x]^4])}
+{1/(a*Sin[x]^4)^(3/2), x, 3, -((2*Cos[x]^2*Cot[x])/(3*a*Sqrt[a*Sin[x]^4])) - (Cos[x]^2*Cot[x]^3)/(5*a*Sqrt[a*Sin[x]^4]) - (Cos[x]*Sin[x])/(a*Sqrt[a*Sin[x]^4])}
+{1/(a*Sin[x]^4)^(5/2), x, 3, -((4*Cos[x]^2*Cot[x])/(3*a^2*Sqrt[a*Sin[x]^4])) - (6*Cos[x]^2*Cot[x]^3)/(5*a^2*Sqrt[a*Sin[x]^4]) - (4*Cos[x]^2*Cot[x]^5)/(7*a^2*Sqrt[a*Sin[x]^4]) - (Cos[x]^2*Cot[x]^7)/(9*a^2*Sqrt[a*Sin[x]^4]) - (Cos[x]*Sin[x])/(a^2*Sqrt[a*Sin[x]^4])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sin[e+f x]^n)^(p/2)*)
+
+
+{(c*Sin[a + b*x]^m)^(5/2), x, 2, (2*c^2*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(2 + 5*m), (1/4)*(6 + 5*m), Sin[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x]^(1 + 2*m)*Sqrt[c*Sin[a + b*x]^m])/(b*(2 + 5*m)*Sqrt[Cos[a + b*x]^2])}
+{(c*Sin[a + b*x]^m)^(3/2), x, 2, (2*c*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(2 + 3*m), (3*(2 + m))/4, Sin[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x]^(1 + m)*Sqrt[c*Sin[a + b*x]^m])/(b*(2 + 3*m)*Sqrt[Cos[a + b*x]^2])}
+{(c*Sin[a + b*x]^m)^(1/2), x, 2, (2*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/4, (6 + m)/4, Sin[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]^m])/(b*(2 + m)*Sqrt[Cos[a + b*x]^2])}
+{1/(c*Sin[a + b*x]^m)^(1/2), x, 2, (2*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - m)/4, (6 - m)/4, Sin[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(b*(2 - m)*Sqrt[Cos[a + b*x]^2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]^m])}
+{1/(c*Sin[a + b*x]^m)^(3/2), x, 2, (2*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(2 - 3*m), (3*(2 - m))/4, Sin[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x]^(1 - m))/(b*c*(2 - 3*m)*Sqrt[Cos[a + b*x]^2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]^m])}
+{1/(c*Sin[a + b*x]^m)^(5/2), x, 2, (2*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(2 - 5*m), (1/4)*(6 - 5*m), Sin[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x]^(1 - 2*m))/(b*c^2*(2 - 5*m)*Sqrt[Cos[a + b*x]^2]*Sqrt[c*Sin[a + b*x]^m])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sin[e+f x]^n)^p with p symbolic*)
+
+
+{(b*Sin[c + d*x]^n)^p, x, 2, (Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]*(b*Sin[c + d*x]^n)^p)/(d*(1 + n*p)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2])}
+
+
+{(c*Sin[a + b*x]^2)^p, x, 2, (Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + 2*p), (1/2)*(3 + 2*p), Sin[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^2)^p)/(b*(1 + 2*p)*Sqrt[Cos[a + b*x]^2])}
+{(c*Sin[a + b*x]^3)^p, x, 2, (Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + 3*p), (3*(1 + p))/2, Sin[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^3)^p)/(b*(1 + 3*p)*Sqrt[Cos[a + b*x]^2])}
+{(c*Sin[a + b*x]^4)^p, x, 2, (Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + 4*p), (1/2)*(3 + 4*p), Sin[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^4)^p)/(b*(1 + 4*p)*Sqrt[Cos[a + b*x]^2])}
+
+
+{(c*Sin[a + b*x]^n)^(1/n), x, 2, -((Cot[a + b*x]*(c*Sin[a + b*x]^n)^(1/n))/b)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a (b Sin[e+f x])^n)^p with n symbolic*)
+
+
+{(a*(b*Sin[c + d*x])^p)^n, x, 2, (Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]*(a*(b*Sin[c + d*x])^p)^n)/(d*(1 + n*p)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^2)^p when a+b=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(a - a*Sin[x]^2)^1, x, 3, (a*x)/2 + (1/2)*a*Cos[x]*Sin[x]}
+{(a - a*Sin[x]^2)^2, x, 4, (3*a^2*x)/8 + (3/8)*a^2*Cos[x]*Sin[x] + (1/4)*a^2*Cos[x]^3*Sin[x]}
+{(a - a*Sin[x]^2)^3, x, 5, (5*a^3*x)/16 + (5/16)*a^3*Cos[x]*Sin[x] + (5/24)*a^3*Cos[x]^3*Sin[x] + (1/6)*a^3*Cos[x]^5*Sin[x]}
+{(a - a*Sin[x]^2)^4, x, 6, (35*a^4*x)/128 + (35/128)*a^4*Cos[x]*Sin[x] + (35/192)*a^4*Cos[x]^3*Sin[x] + (7/48)*a^4*Cos[x]^5*Sin[x] + (1/8)*a^4*Cos[x]^7*Sin[x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^7/(a - a*Sin[c + d*x]^2), x, 4, (3*Cos[c + d*x])/(a*d) - Cos[c + d*x]^3/(a*d) + Cos[c + d*x]^5/(5*a*d) + Sec[c + d*x]/(a*d)}
+{Sin[c + d*x]^5/(a - a*Sin[c + d*x]^2), x, 4, (2*Cos[c + d*x])/(a*d) - Cos[c + d*x]^3/(3*a*d) + Sec[c + d*x]/(a*d)}
+{Sin[c + d*x]^3/(a - a*Sin[c + d*x]^2), x, 4, Cos[c + d*x]/(a*d) + Sec[c + d*x]/(a*d)}
+{Sin[c + d*x]^1/(a - a*Sin[c + d*x]^2), x, 3, Sec[c + d*x]/(a*d)}
+{Csc[c + d*x]^1/(a - a*Sin[c + d*x]^2), x, 4, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d)) + Sec[c + d*x]/(a*d)}
+{Csc[c + d*x]^3/(a - a*Sin[c + d*x]^2), x, 5, -((3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a*d)) + (3*Sec[c + d*x])/(2*a*d) - (Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Csc[c + d*x]^5/(a - a*Sin[c + d*x]^2), x, 6, -((15*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a*d)) + (15*Sec[c + d*x])/(8*a*d) - (5*Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x])/(8*a*d) - (Csc[c + d*x]^4*Sec[c + d*x])/(4*a*d)}
+
+{Sin[c + d*x]^6/(a - a*Sin[c + d*x]^2), x, 6, -((15*x)/(8*a)) + (15*Tan[c + d*x])/(8*a*d) - (5*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(8*a*d) - (Sin[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^4/(a - a*Sin[c + d*x]^2), x, 5, -((3*x)/(2*a)) + (3*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - (Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^2/(a - a*Sin[c + d*x]^2), x, 4, -(x/a) + Tan[c + d*x]/(a*d)}
+{Sin[c + d*x]^0/(a - a*Sin[c + d*x]^2), x, 3, Tan[c + d*x]/(a*d)}
+{Csc[c + d*x]^2/(a - a*Sin[c + d*x]^2), x, 4, -(Cot[c + d*x]/(a*d)) + Tan[c + d*x]/(a*d)}
+{Csc[c + d*x]^4/(a - a*Sin[c + d*x]^2), x, 4, -((2*Cot[c + d*x])/(a*d)) - Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) + Tan[c + d*x]/(a*d)}
+{Csc[c + d*x]^6/(a - a*Sin[c + d*x]^2), x, 4, -((3*Cot[c + d*x])/(a*d)) - Cot[c + d*x]^3/(a*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a*d) + Tan[c + d*x]/(a*d)}
+
+
+{Sin[c + d*x]^7/(a - a*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 4, -((3*Cos[c + d*x])/(a^2*d)) + Cos[c + d*x]^3/(3*a^2*d) - (3*Sec[c + d*x])/(a^2*d) + Sec[c + d*x]^3/(3*a^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^5/(a - a*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 4, -(Cos[c + d*x]/(a^2*d)) - (2*Sec[c + d*x])/(a^2*d) + Sec[c + d*x]^3/(3*a^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^3/(a - a*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 3, -(Sec[c + d*x]/(a^2*d)) + Sec[c + d*x]^3/(3*a^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^1/(a - a*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 3, Sec[c + d*x]^3/(3*a^2*d)}
+{Csc[c + d*x]^1/(a - a*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 5, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^2*d)) + Sec[c + d*x]/(a^2*d) + Sec[c + d*x]^3/(3*a^2*d)}
+{Csc[c + d*x]^3/(a - a*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 6, -((5*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^2*d)) + (5*Sec[c + d*x])/(2*a^2*d) + (5*Sec[c + d*x]^3)/(6*a^2*d) - (Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x]^3)/(2*a^2*d)}
+
+{Sin[c + d*x]^6/(a - a*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 6, (5*x)/(2*a^2) - (5*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) + (5*Tan[c + d*x]^3)/(6*a^2*d) - (Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x]^3)/(2*a^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^4/(a - a*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 4, x/a^2 - Tan[c + d*x]/(a^2*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^2/(a - a*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 3, Tan[c + d*x]^3/(3*a^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^0/(a - a*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 3, Tan[c + d*x]/(a^2*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a^2*d)}
+{Csc[c + d*x]^2/(a - a*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 4, -(Cot[c + d*x]/(a^2*d)) + (2*Tan[c + d*x])/(a^2*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a^2*d)}
+{Csc[c + d*x]^4/(a - a*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 4, -((3*Cot[c + d*x])/(a^2*d)) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^2*d) + (3*Tan[c + d*x])/(a^2*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a^2*d)}
+
+
+{1/(a - a*Sin[x]^2)^3, x, 3, Tan[x]/a^3 + (2*Tan[x]^3)/(3*a^3) + Tan[x]^5/(5*a^3)}
+{1/(a - a*Sin[x]^2)^4, x, 3, Tan[x]/a^4 + Tan[x]^3/a^4 + (3*Tan[x]^5)/(5*a^4) + Tan[x]^7/(7*a^4)}
+{1/(a - a*Sin[x]^2)^5, x, 3, Tan[x]/a^5 + (4*Tan[x]^3)/(3*a^5) + (6*Tan[x]^5)/(5*a^5) + (4*Tan[x]^7)/(7*a^5) + Tan[x]^9/(9*a^5)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 3, -(((a + b)*Cos[c + d*x])/d) + ((a + 2*b)*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*Cos[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 2, -(((a + b)*Cos[c + d*x])/d) + (b*Cos[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 2, -((a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) - (b*Cos[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 2, -(((a + 2*b)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d)}
+
+{Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 4, (1/16)*(6*a + 5*b)*x - ((6*a + 5*b)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) - ((6*a + 5*b)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(24*d) - (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(6*d)}
+{Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 3, (1/8)*(4*a + 3*b)*x - ((4*a + 3*b)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Sin[c + d*x]^0*(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 3, a*x + (b*x)/2 - (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 2, b*x - (a*Cot[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 3, -(((2*a + 3*b)*Cot[c + d*x])/(3*d)) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*d)}
+{Csc[c + d*x]^6*(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 3, -(((4*a + 5*b)*Cot[c + d*x])/(5*d)) - ((4*a + 5*b)*Cot[c + d*x]^3)/(15*d) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4)/(5*d)}
+
+
+{(a + b*Sin[x]^2)^1, x, 3, a*x + (b*x)/2 - (1/2)*b*Cos[x]*Sin[x]}
+{(a + b*Sin[x]^2)^2, x, 1, (1/8)*(8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*x - (1/8)*b*(8*a + 3*b)*Cos[x]*Sin[x] - (1/4)*b^2*Cos[x]*Sin[x]^3}
+{(a + b*Sin[x]^2)^3, x, 2, (1/16)*(2*a + b)*(8*a^2 + 8*a*b + 5*b^2)*x - (1/48)*b*(64*a^2 + 54*a*b + 15*b^2)*Cos[x]*Sin[x] - (5/24)*b^2*(2*a + b)*Cos[x]*Sin[x]^3 - (1/6)*b*Cos[x]*Sin[x]*(a + b*Sin[x]^2)^2}
+{(a + b*Sin[x]^2)^4, x, 3, (1/128)*(128*a^4 + 256*a^3*b + 288*a^2*b^2 + 160*a*b^3 + 35*b^4)*x - (1/384)*b*(608*a^3 + 808*a^2*b + 480*a*b^2 + 105*b^3)*Cos[x]*Sin[x] - (1/192)*b^2*(104*a^2 + 104*a*b + 35*b^2)*Cos[x]*Sin[x]^3 - (7/48)*b*(2*a + b)*Cos[x]*Sin[x]*(a + b*Sin[x]^2)^2 - (1/8)*b*Cos[x]*Sin[x]*(a + b*Sin[x]^2)^3}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^7/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 4, (a^3*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(b^(7/2)*Sqrt[a + b]*d) - ((a^2 - a*b + b^2)*Cos[c + d*x])/(b^3*d) - ((a - 2*b)*Cos[c + d*x]^3)/(3*b^2*d) - Cos[c + d*x]^5/(5*b*d)}
+{Sin[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 4, -((a^2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(b^(5/2)*Sqrt[a + b]*d)) + ((a - b)*Cos[c + d*x])/(b^2*d) + Cos[c + d*x]^3/(3*b*d)}
+{Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 3, (a*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(b^(3/2)*Sqrt[a + b]*d) - Cos[c + d*x]/(b*d)}
+{Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 2, -(ArcTanh[(Sqrt[b]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[b]*Sqrt[a + b]*d))}
+{Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 4, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d)) + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a + b]*d)}
+{Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 5, -(((a - 2*b)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^2*d)) - (b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a + b]*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Csc[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 6, -(((3*a^2 - 4*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^3*d)) + (b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a + b]*d) - ((3*a - 4*b)*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a*d)}
+
+{Sin[c + d*x]^8/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 7, -(((16*a^3 - 8*a^2*b + 6*a*b^2 - 5*b^3)*x)/(16*b^4)) + (a^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(b^4*Sqrt[a + b]*d) - ((8*a^2 - 6*a*b + 5*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*b^3*d) + ((6*a - 5*b)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(24*b^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(6*b*d)}
+{Sin[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 6, ((8*a^2 - 4*a*b + 3*b^2)*x)/(8*b^3) - (a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(b^3*Sqrt[a + b]*d) + ((4*a - 3*b)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*b^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*b*d)}
+{Sin[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 5, -(((2*a - b)*x)/(2*b^2)) + (a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(b^2*Sqrt[a + b]*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 3, x/b - (Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(b*Sqrt[a + b]*d)}
+{Sin[c + d*x]^0/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b]*d)}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 3, -((b*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*Sqrt[a + b]*d)) - Cot[c + d*x]/(a*d)}
+{Csc[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 4, (b^2*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*Sqrt[a + b]*d) - ((a - b)*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Csc[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 4, -((b^3*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(a^(7/2)*Sqrt[a + b]*d)) - ((a^2 - a*b + b^2)*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - ((2*a - b)*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Csc[c + d*x]^8/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 4, (b^4*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(a^(9/2)*Sqrt[a + b]*d) - ((a - b)*(a^2 + b^2)*Cot[c + d*x])/(a^4*d) - ((3*a^2 - 2*a*b + b^2)*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) - ((3*a - b)*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - Cot[c + d*x]^7/(7*a*d)}
+
+
+{Sin[c + d*x]^7/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 5, -((a^2*(5*a + 6*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*b^(7/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + ((2*a - b)*Cos[c + d*x])/(b^3*d) + Cos[c + d*x]^3/(3*b^2*d) + (a^3*Cos[c + d*x])/(2*b^3*(a + b)*d*(a + b - b*Cos[c + d*x]^2))}
+{Sin[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 5, (a*(3*a + 4*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*b^(5/2)*(a + b)^(3/2)*d) - Cos[c + d*x]/(b^2*d) - (a^2*Cos[c + d*x])/(2*b^2*(a + b)*d*(a + b - b*Cos[c + d*x]^2))}
+{Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 3, -(((a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*b^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + (a*Cos[c + d*x])/(2*b*(a + b)*d*(a + b - b*Cos[c + d*x]^2))}
+{Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 3, -(ArcTanh[(Sqrt[b]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b]]/(2*Sqrt[b]*(a + b)^(3/2)*d)) - Cos[c + d*x]/(2*(a + b)*d*(a + b - b*Cos[c + d*x]^2))}
+{Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 5, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^2*d)) + (Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^2*(a + b)^(3/2)*d) + (b*Cos[c + d*x])/(2*a*(a + b)*d*(a + b - b*Cos[c + d*x]^2))}
+{Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 6, -(((a - 4*b)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^3*d)) - (b^(3/2)*(5*a + 4*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^3*(a + b)^(3/2)*d) - (b*(a + 2*b)*Cos[c + d*x])/(2*a^2*(a + b)*d*(a + b - b*Cos[c + d*x]^2)) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d*(a + b - b*Cos[c + d*x]^2))}
+
+{Sin[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 6, -(((4*a - b)*x)/(2*b^3)) + (a^(3/2)*(4*a + 5*b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*b^3*(a + b)^(3/2)*d) - (a*(2*a + b)*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a + b)*d*(a + (a + b)*Tan[c + d*x]^2)) - (Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*b*d*(a + (a + b)*Tan[c + d*x]^2))}
+{Sin[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 5, x/b^2 - (Sqrt[a]*(2*a + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*b^2*(a + b)^(3/2)*d) + (a*Tan[c + d*x])/(2*b*(a + b)*d*(a + (a + b)*Tan[c + d*x]^2))}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 4, ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]]/(2*Sqrt[a]*(a + b)^(3/2)*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*(a + b)*d*(a + b*Sin[c + d*x]^2))}
+{Sin[c + d*x]^0/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 4, ((2*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a + b)*d*(a + b*Sin[c + d*x]^2))}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 4, -((b*(4*a + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(5/2)*(a + b)^(3/2)*d)) - Cot[c + d*x]/(a*d*(a + b*Sin[c + d*x]^2)) - ((2*a*b + 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a + b)*d*(a + b*Sin[c + d*x]^2)), -((b*(4*a + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(5/2)*(a + b)^(3/2)*d)) - Cot[c + d*x]/(a*d*(a + (a + b)*Tan[c + d*x]^2)) - ((2*a^2 + 4*a*b + 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a + b)*d*(a + (a + b)*Tan[c + d*x]^2))}
+{Csc[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 5, (b^2*(6*a + 5*b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(7/2)*(a + b)^(3/2)*d) - ((2*a^2 - a*b - 5*b^2)*Cot[c + d*x])/(2*a^3*(a + b)*d) - ((2*a + 5*b)*Cot[c + d*x]^3)/(6*a^2*(a + b)*d) + (b*Csc[c + d*x]^3*Sec[c + d*x])/(2*a*(a + b)*d*(a + (a + b)*Tan[c + d*x]^2))}
+
+
+{Sin[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^3, x, 6, x/b^3 - (Sqrt[a]*(8*a^2 + 20*a*b + 15*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*b^3*(a + b)^(5/2)*d) + (a*Tan[c + d*x]^3)/(4*b*(a + b)*d*(a + (a + b)*Tan[c + d*x]^2)^2) + (a*(4*a + 7*b)*Tan[c + d*x])/(8*b^2*(a + b)^2*d*(a + (a + b)*Tan[c + d*x]^2))}
+{Sin[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^3, x, 4, (3*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*Sqrt[a]*(a + b)^(5/2)*d) - Tan[c + d*x]^3/(4*(a + b)*d*(a + (a + b)*Tan[c + d*x]^2)^2) - (3*Tan[c + d*x])/(8*(a + b)^2*d*(a + (a + b)*Tan[c + d*x]^2))}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^3, x, 5, ((4*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(3/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*(a + b)*d*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^2) - ((2*a - b)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*(a + b)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]^2))}
+{Sin[c + d*x]^0/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^3, x, 5, ((8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) + (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*a*(a + b)*d*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^2) + (3*b*(2*a + b)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]^2))}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^3, x, 5, -((3*b*(8*a^2 + 12*a*b + 5*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(7/2)*(a + b)^(5/2)*d)) - ((2*a + 3*b)*(4*a + 5*b)*Cot[c + d*x])/(8*a^3*(a + b)^2*d) + (b*Csc[c + d*x]*Sec[c + d*x]^3)/(4*a*(a + b)*d*(a + (a + b)*Tan[c + d*x]^2)^2) + (b*Cot[c + d*x]*(4*a + 5*b + (4*a + b)*Tan[c + d*x]^2))/(8*a^2*(a + b)^2*d*(a + (a + b)*Tan[c + d*x]^2))}
+
+
+{1/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^4, x, 6, ((2*a + b)*(8*a^2 + 8*a*b + 5*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(16*a^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) + (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*a*(a + b)*d*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^3) + (5*b*(2*a + b)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*a^2*(a + b)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^2) + (b*(44*a^2 + 44*a*b + 15*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(48*a^3*(a + b)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]^2))}
+{1/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^5, x, 7, ((128*a^4 + 256*a^3*b + 288*a^2*b^2 + 160*a*b^3 + 35*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(128*a^(9/2)*(a + b)^(9/2)*d) + (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*(a + b)*d*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^4) + (7*b*(2*a + b)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(48*a^2*(a + b)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^3) + (b*(104*a^2 + 104*a*b + 35*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(192*a^3*(a + b)^3*d*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^2) + (5*b*(2*a + b)*(40*a^2 + 40*a*b + 21*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(384*a^4*(a + b)^4*d*(a + b*Sin[c + d*x]^2))}
+
+
+{Sin[x]/Sqrt[1 + Sin[x]^2], x, 2, -ArcSin[Cos[x]/Sqrt[2]]}
+{Sin[x]*Sqrt[1 + Sin[x]^2], x, 3, -ArcSin[Cos[x]/Sqrt[2]] - (Cos[x]*Sqrt[2 - Cos[x]^2])/2}
+{Sin[7 + 3*x]/Sqrt[3 + Sin[7 + 3*x]^2], x, 2, -ArcSin[Cos[7 + 3*x]/2]/3}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^2)^(p/2) when a+b=0*)
+
+
+{(a - a*Sin[x]^2)^(5/2), x, 5, (8/15)*a^2*Sqrt[a*Cos[x]^2]*Tan[x] + (4/15)*a*(a*Cos[x]^2)^(3/2)*Tan[x] + (1/5)*(a*Cos[x]^2)^(5/2)*Tan[x]}
+{(a - a*Sin[x]^2)^(3/2), x, 4, (2/3)*a*Sqrt[a*Cos[x]^2]*Tan[x] + (1/3)*(a*Cos[x]^2)^(3/2)*Tan[x]}
+{(a - a*Sin[x]^2)^(1/2), x, 3, Sqrt[a*Cos[x]^2]*Tan[x]}
+{1/(a - a*Sin[x]^2)^(1/2), x, 3, (ArcTanh[Sin[x]]*Cos[x])/Sqrt[a*Cos[x]^2]}
+{1/(a - a*Sin[x]^2)^(3/2), x, 4, (ArcTanh[Sin[x]]*Cos[x])/(2*a*Sqrt[a*Cos[x]^2]) + Tan[x]/(2*a*Sqrt[a*Cos[x]^2])}
+{1/(a - a*Sin[x]^2)^(5/2), x, 5, (3*ArcTanh[Sin[x]]*Cos[x])/(8*a^2*Sqrt[a*Cos[x]^2]) + Tan[x]/(4*a*(a*Cos[x]^2)^(3/2)) + (3*Tan[x])/(8*a^2*Sqrt[a*Cos[x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 5, ((a - 3*b)*(a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]])/(8*b^(3/2)*f) + ((a - 3*b)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2])/(8*b*f) - (Cos[e + f*x]*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*b*f)}
+{Sin[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 4, -((a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]])/(2*Sqrt[b]*f) - (Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 6, -((Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]])/f) - (Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]])/f}
+{Csc[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 4, -((a + b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]])/(2*Sqrt[a]*f) - (Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 5, -((3*a - b)*(a + b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]])/(8*a^(3/2)*f) - ((3*a - b)*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*a*f) - ((a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^(3/2)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^3)/(4*a*f)}
+
+{Sin[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 8, -(((a + 4*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(15*b*f)) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(5*f) - ((2*a^2 - 3*a*b - 8*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(15*b^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (2*a*(a - 2*b)*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(15*b^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 6, -((Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f)) + ((a + 2*b)*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*b*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (a*(a + b)*EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^0*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 2, (EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])}
+{Csc[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 8, -((Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/f) - (Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + ((a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 8, -(((2*a + b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a*f)) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f) - ((2*a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (2*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+{Sin[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, ((a - 5*b)*(a + b)^2*ArcTan[(Sqrt[b]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]])/(16*b^(3/2)*f) + ((a - 5*b)*(a + b)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2])/(16*b*f) + ((a - 5*b)*Cos[e + f*x]*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^(3/2))/(24*b*f) - (Cos[e + f*x]*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^(5/2))/(6*b*f)}
+{Sin[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (-3*(a + b)^2*ArcTan[(Sqrt[b]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]])/(8*Sqrt[b]*f) - (3*(a + b)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2])/(8*f) - (Cos[e + f*x]*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*f)}
+{Csc[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, -(Sqrt[b]*(3*a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]])/(2*f) - (a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]])/f - (b*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, -((b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]])/f) - (Sqrt[a]*(a + 3*b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]])/(2*f) - (a*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^5*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (-3*(a + b)^2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]])/(8*Sqrt[a]*f) - (3*(a + b)*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*f) - ((a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^(3/2)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^3)/(4*f)}
+{Csc[e + f*x]^7*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -((5*a - b)*(a + b)^2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]])/(16*a^(3/2)*f) - ((5*a - b)*(a + b)*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(16*a*f) - ((5*a - b)*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^(3/2)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^3)/(24*a*f) - ((a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^(5/2)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^5)/(6*a*f)}
+
+{Sin[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, -((a^2 + 11*a*b + 8*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(35*b*f) - (2*(4*a + 3*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(35*f) - (b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(7*f) - (2*(a + 2*b)*(a^2 - 4*a*b - 4*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(35*b^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (a*(a + b)*(2*a^2 - 5*a*b - 8*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(35*b^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, -((3*a + 4*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(15*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))/(5*f) + ((3*a^2 + 13*a*b + 8*b^2)*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(15*b*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (a*(a + b)*(3*a + 4*b)*EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(15*b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^0*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -(b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f) + (2*(2*a + b)*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (a*(a + b)*EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, -((a*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/f) - ((a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (a*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, (-2*(a + 2*b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f) - (a*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f) - (2*(a + 2*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + ((a + b)*(2*a + 3*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+{(a + b*Sin[c + d*x]^2)^(5/2), x, 7, -((4*b*(2*a + b)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^2])/(15*d)) - (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^(3/2))/(5*d) + ((23*a^2 + 23*a*b + 8*b^2)*EllipticE[c + d*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^2])/(15*d*Sqrt[1 + (b*Sin[c + d*x]^2)/a]) - (4*a*(a + b)*(2*a + b)*EllipticF[c + d*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[c + d*x]^2)/a])/(15*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 4, ((a - b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]])/(2*b^(3/2)*f) - (Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2])/(2*b*f)}
+{Sin[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 3, -(ArcTan[(Sqrt[b]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]]/(Sqrt[b]*f))}
+{Csc[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 3, -(ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a]*f))}
+{Csc[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 4, -((a - b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]])/(2*a^(3/2)*f) - (Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*a*f)}
+
+{Sin[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 7, -((Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*b*f)) - (2*(a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*b^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (a*(2*a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*b^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 5, (EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(b*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (a*EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^0/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 2, (EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 8, -((Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(a*f)) - (Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(a*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 8, -((2*(a - b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^2*f)) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a*f) - (2*(a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + ((2*a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+{Sin[e + f*x]^3/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -(ArcTan[(Sqrt[b]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]]/(b^(3/2)*f)) + (a*Cos[e + f*x])/(b*(a + b)*f*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^1/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 2, -(Cos[e + f*x]/((a + b)*f*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]))}
+{Csc[e + f*x]^1/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -(ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]]/(a^(3/2)*f)) + (b*Cos[e + f*x])/(a*(a + b)*f*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^3/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -((a - 3*b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]])/(2*a^(5/2)*f) - (b*(a + 3*b)*Cos[e + f*x])/(2*a^2*(a + b)*f*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*a*f*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2])}
+
+{Sin[e + f*x]^6/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, (a*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(b*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - ((4*a + b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*b^2*(a + b)*f) - ((8*a^2 + 3*a*b - 2*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*b^3*(a + b)*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (a*(8*a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*b^3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^4/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, (a*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(b*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + ((2*a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(b^2*(a + b)*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (2*a*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(b^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^2/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -((Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/((a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])) - (EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(b*(a + b)*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^0/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, (b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(a*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(a*(a + b)*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])}
+{Csc[e + f*x]^2/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, (b*Cot[e + f*x])/(a*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - ((a + 2*b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(a^2*(a + b)*f) - ((a + 2*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(a^2*(a + b)*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(a*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+{Sin[e + f*x]^5/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 5, -(ArcTan[(Sqrt[b]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]]/(b^(5/2)*f)) + (a*(3*a + 5*b)*Cos[e + f*x])/(3*b^2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]) + (a*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^2)/(3*b*(a + b)*f*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^(3/2))}
+{Sin[e + f*x]^3/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 3, (-2*Cos[e + f*x])/(3*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^2)/(3*(a + b)*f*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^(3/2))}
+{Sin[e + f*x]^1/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 3, -Cos[e + f*x]/(3*(a + b)*f*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^(3/2)) - (2*Cos[e + f*x])/(3*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^1/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, -(ArcTanh[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2]]/(a^(5/2)*f)) + (b*Cos[e + f*x])/(3*a*(a + b)*f*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^(3/2)) + (b*(5*a + 3*b)*Cos[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b - b*Cos[e + f*x]^2])}
+
+{Sin[e + f*x]^6/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 8, (a*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(3*b*(a + b)*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*a*(2*a + 3*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*b^2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + ((8*a^2 + 13*a*b + 3*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*b^3*(a + b)^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (a*(8*a + 9*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*b^3*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^4/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 8, (a*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*b*(a + b)*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) - (2*(a + 2*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*b*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - (2*(a + 2*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*b^2*(a + b)^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + ((2*a + 3*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*b^2*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^2/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, -((Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*(a + b)*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))) - ((a - b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - ((a - b)*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a*b*(a + b)^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*b*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^0/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, (b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a*(a + b)*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*b*(2*a + b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (2*(2*a + b)*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^2/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 9, (b*Cot[e + f*x])/(3*a*(a + b)*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*b*(3*a + 2*b)*Cot[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - ((3*a^2 + 13*a*b + 8*b^2)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^3*(a + b)^2*f) - ((3*a^2 + 13*a*b + 8*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^3*(a + b)^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + ((3*a + 4*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a^2*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x]) (a+b Sin[e+f x]^2)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Sin[e + f*x])^m*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, -((d*AppellF1[1/2, (1 - m)/2, -p, 3/2, Cos[e + f*x]^2, (b*Cos[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^p*(d*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(Sin[e + f*x]^2)^((1 - m)/2))/((1 - (b*Cos[e + f*x]^2)/(a + b))^p*f))}
+
+
+{Sin[e + f*x]^5*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 5, If[$VersionNumber>=8, ((3*a - 2*b*(2 + p))*Cos[e + f*x]*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b^2*f*(3 + 2*p)*(5 + 2*p)) - ((3*a^2 - 4*a*b*(1 + p) + 4*b^2*(2 + 3*p + p^2))*Cos[e + f*x]*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, (b*Cos[e + f*x]^2)/(a + b)])/((1 - (b*Cos[e + f*x]^2)/(a + b))^p*(b^2*f*(3 + 2*p)*(5 + 2*p))) - (Cos[e + f*x]*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^(1 + p)*Sin[e + f*x]^2)/(b*f*(5 + 2*p)), ((3*a - 2*b*(2 + p))*Cos[e + f*x]*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b^2*f*(15 + 16*p + 4*p^2)) - ((3*a^2 - 4*a*b*(1 + p) + 4*b^2*(2 + 3*p + p^2))*Cos[e + f*x]*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, (b*Cos[e + f*x]^2)/(a + b)])/((1 - (b*Cos[e + f*x]^2)/(a + b))^p*(b^2*f*(15 + 16*p + 4*p^2))) - (Cos[e + f*x]*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^(1 + p)*Sin[e + f*x]^2)/(b*f*(5 + 2*p))]}
+{Sin[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 4, -((Cos[e + f*x]*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b*f*(3 + 2*p))) + ((a - 2*b*(1 + p))*Cos[e + f*x]*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, (b*Cos[e + f*x]^2)/(a + b)])/((1 - (b*Cos[e + f*x]^2)/(a + b))^p*(b*f*(3 + 2*p)))}
+{Sin[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, -((Cos[e + f*x]*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, (b*Cos[e + f*x]^2)/(a + b)])/((1 - (b*Cos[e + f*x]^2)/(a + b))^p*f))}
+{Csc[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, -((AppellF1[1/2, 1, -p, 3/2, Cos[e + f*x]^2, (b*Cos[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^p)/((1 - (b*Cos[e + f*x]^2)/(a + b))^p*f))}
+{Csc[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, -((AppellF1[1/2, 2, -p, 3/2, Cos[e + f*x]^2, (b*Cos[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^p)/((1 - (b*Cos[e + f*x]^2)/(a + b))^p*f))}
+{Csc[e + f*x]^5*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, -((AppellF1[1/2, 3, -p, 3/2, Cos[e + f*x]^2, (b*Cos[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*(a + b - b*Cos[e + f*x]^2)^p)/((1 - (b*Cos[e + f*x]^2)/(a + b))^p*f))}
+
+{Sin[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[5/2, 1/2, -p, 7/2, Sin[e + f*x]^2, -((b*Sin[e + f*x]^2)/a)]*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p*Tan[e + f*x])/((1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a)^p*(5*f))}
+{Sin[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[3/2, 2 + p, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -(((a + b)*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(Sec[e + f*x]^2)^p*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p*Tan[e + f*x]^3)/((1 + ((a + b)*Tan[e + f*x]^2)/a)^p*(3*f))}
+{Csc[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, -((AppellF1[-(1/2), 1/2, -p, 1/2, Sin[e + f*x]^2, -((b*Sin[e + f*x]^2)/a)]*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Csc[e + f*x]*Sec[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a)^p*f))}
+{Csc[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, -((AppellF1[-(3/2), 1/2, -p, -(1/2), Sin[e + f*x]^2, -((b*Sin[e + f*x]^2)/a)]*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Csc[e + f*x]^3*Sec[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a)^p*(3*f)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^7/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 17, (3*x)/(8*b) + (2*(-1)^(2/3)*a^(5/3)*ArcTan[((-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*b^(7/3)*d) - (2*a^(5/3)*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*b^(7/3)*d) + (2*(-1)^(1/3)*a^(5/3)*ArcTan[((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]*b^(7/3)*d) + (a*Cos[c + d*x])/(b^2*d) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*b*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*b*d)}
+{Sin[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 15, x/(2*b) - (2*a*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*b^(5/3)*d) + (2*a*ArcTanh[(b^(1/3) - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) + b^(2/3)]*b^(5/3)*d) + (2*a*ArcTanh[(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) + b^(2/3)]*b^(5/3)*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 13, x/b - (2*a^(1/3)*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*b*d) - (2*a^(1/3)*ArcTan[((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]*b*d) + (2*a^(1/3)*ArcTan[((-1)^(1/3)*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*b*d)}
+{Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 11, (2*(-1)^(2/3)*ArcTan[((-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(1/3)*Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*b^(1/3)*d) - (2*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a^(1/3)*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*b^(1/3)*d) + (2*(-1)^(1/3)*ArcTan[((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(1/3)*Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]*b^(1/3)*d)}
+{Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 14, -((2*b^(1/3)*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*d)) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d) + (2*b^(1/3)*ArcTanh[(b^(1/3) - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*a*Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) + b^(2/3)]*d) + (2*b^(1/3)*ArcTanh[(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*a*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) + b^(2/3)]*d)}
+{Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 15, -((2*b*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a^(5/3)*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*d)) - (2*b*ArcTan[((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(5/3)*Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]*d) + (2*b*ArcTan[((-1)^(1/3)*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(5/3)*Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(2*a*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Csc[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 18, (2*(-1)^(2/3)*b^(5/3)*ArcTan[((-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(7/3)*Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*d) - (2*b^(5/3)*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a^(7/3)*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*d) + (2*(-1)^(1/3)*b^(5/3)*ArcTan[((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(7/3)*Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]*d) - (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a*d) + (b*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a*d)}
+
+{Sin[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 15, -((a*x)/b^2) + (2*a^(4/3)*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*b^2*d) + (2*a^(4/3)*ArcTan[((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]*b^2*d) - (2*a^(4/3)*ArcTan[((-1)^(1/3)*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*b^2*d) - Cos[c + d*x]/(b*d) + Cos[c + d*x]^3/(3*b*d)}
+{Sin[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 14, -((2*(-1)^(2/3)*a^(2/3)*ArcTan[((-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*b^(4/3)*d)) + (2*a^(2/3)*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*b^(4/3)*d) - (2*(-1)^(1/3)*a^(2/3)*ArcTan[((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]*b^(4/3)*d) - Cos[c + d*x]/(b*d)}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 11, (2*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*b^(2/3)*d) - (2*ArcTanh[(b^(1/3) - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) + b^(2/3)]*b^(2/3)*d) - (2*ArcTanh[(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) + b^(2/3)]*b^(2/3)*d)}
+{Sin[c + d*x]^0/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 11, (2*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*d) + (2*ArcTan[((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]*d) - (2*ArcTan[((-1)^(1/3)*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*d)}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 15, -((2*(-1)^(2/3)*b^(2/3)*ArcTan[((-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(4/3)*Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*d)) + (2*b^(2/3)*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a^(4/3)*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*d) - (2*(-1)^(1/3)*b^(2/3)*ArcTan[((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(4/3)*Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]*d) - Cot[c + d*x]/(a*d)}
+{Csc[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 16, (2*b^(4/3)*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a^2*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*d) + (b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - (2*b^(4/3)*ArcTanh[(b^(1/3) - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*a^2*Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) + b^(2/3)]*d) - (2*b^(4/3)*ArcTanh[(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*a^2*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) + b^(2/3)]*d) - Cot[c + d*x]/(a*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^3)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^9/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 6, -(a^(3/2)*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(2*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*b^(9/4)*d) - (a^(3/2)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(2*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*b^(9/4)*d) + ((a + b)*Cos[c + d*x])/(b^2*d) - (2*Cos[c + d*x]^3)/(3*b*d) + Cos[c + d*x]^5/(5*b*d)}
+{Sin[c + d*x]^7/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 6, -((a*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(2*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*b^(7/4)*d)) + (a*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(2*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*b^(7/4)*d) + Cos[c + d*x]/(b*d) - Cos[c + d*x]^3/(3*b*d)}
+{Sin[c + d*x]^5/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 6, -((Sqrt[a]*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(2*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*b^(5/4)*d)) - (Sqrt[a]*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(2*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*b^(5/4)*d) + Cos[c + d*x]/(b*d)}
+{Sin[c + d*x]^3/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 4, -(ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]]/(2*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*b^(3/4)*d)) + ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]]/(2*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*b^(3/4)*d)}
+{Sin[c + d*x]^1/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 4, -(ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]]/(2*Sqrt[a]*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*b^(1/4)*d)) - ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]]/(2*Sqrt[a]*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*b^(1/4)*d)}
+{Csc[c + d*x]^1/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 7, -((b^(1/4)*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(2*a*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*d)) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d) + (b^(1/4)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(2*a*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*d)}
+{Csc[c + d*x]^3/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 7, -((b^(3/4)*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(2*a^(3/2)*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*d)) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(2*a*d) - (b^(3/4)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(2*a^(3/2)*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*d) - 1/(4*a*d*(1 - Cos[c + d*x])) + 1/(4*a*d*(1 + Cos[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^5/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 7, -(b^(5/4)*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(2*a^2*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*d) - ((3*a + 8*b)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a^2*d) + (b^(5/4)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(2*a^2*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*d) - 1/(16*a*d*(1 - Cos[c + d*x])^2) - 3/(16*a*d*(1 - Cos[c + d*x])) + 1/(16*a*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + 3/(16*a*d*(1 + Cos[c + d*x]))}
+
+{Sin[c + d*x]^8/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 12, (5*x)/(8*b) - ((a + b)*x)/b^2 + (a^(5/4)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*b^2*d) + (a^(5/4)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*b^2*d) + (5*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*b*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*b*d)}
+{Sin[c + d*x]^6/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 9, -(x/(2*b)) + (a^(3/4)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*b^(3/2)*d) - (a^(3/4)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*b^(3/2)*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Sin[c + d*x]^4/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 7, -(x/b) + (a^(1/4)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*b*d) + (a^(1/4)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*b*d)}
+{Sin[c + d*x]^2/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 4, ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)]/(2*a^(1/4)*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Sqrt[b]*d) - ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)]/(2*a^(1/4)*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Sqrt[b]*d)}
+{Sin[c + d*x]^0/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 4, ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)]/(2*a^(3/4)*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*d) + ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)]/(2*a^(3/4)*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*d)}
+{Csc[c + d*x]^2/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 6, (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(5/4)*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*d) - (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(5/4)*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*d) - Cot[c + d*x]/(a*d)}
+{Csc[c + d*x]^4/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 6, (b*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(7/4)*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*d) + (b*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(7/4)*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*d) - Cot[c + d*x]/(a*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Csc[c + d*x]^6/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 6, (b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(9/4)*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*d) - (b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(9/4)*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*d) - ((a + b)*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - (2*Cot[c + d*x]^3)/(3*a*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Csc[c + d*x]^8/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 6, (b^2*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(11/4)*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*d) + (b^2*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(11/4)*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*d) - ((a + b)*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - ((3*a + b)*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - (3*Cot[c + d*x]^5)/(5*a*d) - Cot[c + d*x]^7/(7*a*d)}
+
+
+{Sin[c + d*x]^9/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^2, x, 7, (Sqrt[a]*(5*Sqrt[a] - 6*Sqrt[b])*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(8*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*b^(9/4)*d) + (Sqrt[a]*(5*Sqrt[a] + 6*Sqrt[b])*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(8*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*b^(9/4)*d) - Cos[c + d*x]/(b^2*d) - (a*Cos[c + d*x]*(a + b - b*Cos[c + d*x]^2))/(4*(a - b)*b^2*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4))}
+{Sin[c + d*x]^7/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^2, x, 5, ((3*Sqrt[a] - 4*Sqrt[b])*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(8*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*b^(7/4)*d) - ((3*Sqrt[a] + 4*Sqrt[b])*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(8*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*b^(7/4)*d) - (a*Cos[c + d*x]*(2 - Cos[c + d*x]^2))/(4*(a - b)*b*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4))}
+{Sin[c + d*x]^5/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^2, x, 5, ((Sqrt[a] - 2*Sqrt[b])*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(8*Sqrt[a]*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*b^(5/4)*d) + ((Sqrt[a] + 2*Sqrt[b])*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(8*Sqrt[a]*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*b^(5/4)*d) - (Cos[c + d*x]*(a + b - b*Cos[c + d*x]^2))/(4*(a - b)*b*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4))}
+{Sin[c + d*x]^3/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^2, x, 5, -(ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]]/(8*Sqrt[a]*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*b^(3/4)*d)) + ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]]/(8*Sqrt[a]*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*b^(3/4)*d) - (Cos[c + d*x]*(2 - Cos[c + d*x]^2))/(4*(a - b)*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4))}
+{Sin[c + d*x]^1/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^2, x, 5, -(((3*Sqrt[a] - 2*Sqrt[b])*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(8*a^(3/2)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*b^(1/4)*d)) - ((3*Sqrt[a] + 2*Sqrt[b])*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(8*a^(3/2)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*b^(1/4)*d) - (Cos[c + d*x]*(a + b - b*Cos[c + d*x]^2))/(4*a*(a - b)*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4))}
+{Csc[c + d*x]^1/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^2, x, 11, -((b^(1/4)*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(8*a^(3/2)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*d)) - (b^(1/4)*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(2*a^2*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^2*d) + (b^(1/4)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(8*a^(3/2)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*d) + (b^(1/4)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(2*a^2*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*d) - (b*Cos[c + d*x]*(2 - Cos[c + d*x]^2))/(4*a*(a - b)*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4))}
+
+{Sin[c + d*x]^8/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^2, x, 14, x/b^2 - (a^(1/4)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*b^2*d) + (a^(1/4)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*b^(3/2)*d) - (a^(1/4)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*b^2*d) - (a^(1/4)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*b^(3/2)*d) - Tan[c + d*x]/(4*(a - b)*b*d) + Tan[c + d*x]^5/(4*b*d*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a - b)*Tan[c + d*x]^4))}
+{Sin[c + d*x]^6/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^2, x, 6, -(((2*Sqrt[a] - 3*Sqrt[b])*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*b^(3/2)*d)) + ((2*Sqrt[a] + 3*Sqrt[b])*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*a^(1/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*b^(3/2)*d) - Tan[c + d*x]/(4*(a - b)*b*d) + (Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x]^3)/(4*b*d*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a - b)*Tan[c + d*x]^4))}
+{Sin[c + d*x]^4/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^2, x, 7, ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)]/(8*a^(3/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*Sqrt[b]*d) - ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)]/(8*a^(3/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*Sqrt[b]*d) - Tan[c + d*x]/(4*a*(a - b)*d) + Tan[c + d*x]^5/(4*a*d*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a - b)*Tan[c + d*x]^4))}
+{Sin[c + d*x]^2/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^2, x, 5, ((2*Sqrt[a] - Sqrt[b])*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*a^(5/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*Sqrt[b]*d) - ((2*Sqrt[a] + Sqrt[b])*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*a^(5/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*Sqrt[b]*d) - (Tan[c + d*x]*(a + (a + b)*Tan[c + d*x]^2))/(4*a*(a - b)*d*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a - b)*Tan[c + d*x]^4))}
+{Sin[c + d*x]^0/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^2, x, 5, ((4*Sqrt[a] - 3*Sqrt[b])*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*a^(7/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*d) + ((4*Sqrt[a] + 3*Sqrt[b])*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*a^(7/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*d) - (b*Tan[c + d*x]*(1 + 2*Tan[c + d*x]^2))/(4*a*(a - b)*d*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a - b)*Tan[c + d*x]^4))}
+{Csc[c + d*x]^2/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^2, x, 7, ((6*Sqrt[a] - 5*Sqrt[b])*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*a^(9/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*d) - ((6*Sqrt[a] + 5*Sqrt[b])*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*a^(9/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*d) - Cot[c + d*x]/(a^2*d) - (b*Tan[c + d*x]*(a + (a + b)*Tan[c + d*x]^2))/(4*a^2*(a - b)*d*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a - b)*Tan[c + d*x]^4))}
+
+
+{Sin[c + d*x]^9/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^3, x, 6, -(((5*a - 14*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 12*b)*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(64*Sqrt[a]*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*b^(9/4)*d)) - ((5*a + 14*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 12*b)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(64*Sqrt[a]*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*b^(9/4)*d) - (a*Cos[c + d*x]*(a + b - b*Cos[c + d*x]^2))/(8*(a - b)*b^2*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4)^2) + (Cos[c + d*x]*(9*a^2 - 11*a*b - 10*b^2 - 2*(2*a - 5*b)*b*Cos[c + d*x]^2))/(32*(a - b)^2*b^2*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4))}
+{Sin[c + d*x]^7/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^3, x, 6, (3*(Sqrt[a] - 2*Sqrt[b])*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(64*Sqrt[a]*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*b^(7/4)*d) - (3*(Sqrt[a] + 2*Sqrt[b])*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(64*Sqrt[a]*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*b^(7/4)*d) - (a*Cos[c + d*x]*(2 - Cos[c + d*x]^2))/(8*(a - b)*b*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4)^2) + (Cos[c + d*x]*(5*a - 17*b - 3*(a - 3*b)*Cos[c + d*x]^2))/(32*(a - b)^2*b*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4))}
+{Sin[c + d*x]^5/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^3, x, 6, ((3*a - 10*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 4*b)*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(64*a^(3/2)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*b^(5/4)*d) + ((3*a + 10*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 4*b)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(64*a^(3/2)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*b^(5/4)*d) - (Cos[c + d*x]*(a + b - b*Cos[c + d*x]^2))/(8*(a - b)*b*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4)^2) + (Cos[c + d*x]*(a^2 - 11*a*b - 2*b^2 + 2*b*(2*a + b)*Cos[c + d*x]^2))/(32*a*(a - b)^2*b*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4))}
+{Sin[c + d*x]^3/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^3, x, 6, -(((5*Sqrt[a] - 2*Sqrt[b])*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(64*a^(3/2)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*b^(3/4)*d)) + ((5*Sqrt[a] + 2*Sqrt[b])*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(64*a^(3/2)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*b^(3/4)*d) - (Cos[c + d*x]*(2 - Cos[c + d*x]^2))/(8*(a - b)*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4)^2) - (Cos[c + d*x]*(11*a + b - (5*a + b)*Cos[c + d*x]^2))/(32*a*(a - b)^2*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4))}
+{Sin[c + d*x]^1/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^3, x, 6, -((3*(7*a - 10*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 4*b)*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(64*a^(5/2)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*b^(1/4)*d)) - (3*(7*a + 10*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 4*b)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(64*a^(5/2)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*b^(1/4)*d) - (Cos[c + d*x]*(a + b - b*Cos[c + d*x]^2))/(8*a*(a - b)*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4)^2) - (Cos[c + d*x]*((7*a - 3*b)*(a + 2*b) - 6*(2*a - b)*b*Cos[c + d*x]^2))/(32*a^2*(a - b)^2*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4))}
+{Csc[c + d*x]^1/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^3, x, 16, -(((5*Sqrt[a] - 2*Sqrt[b])*b^(1/4)*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(64*a^(5/2)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*d)) - (b^(1/4)*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(8*a^(5/2)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*d) - (b^(1/4)*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(2*a^3*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*d) - ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^3*d) + (b^(1/4)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(8*a^(5/2)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*d) + (b^(1/4)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(2*a^3*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*d) + ((5*Sqrt[a] + 2*Sqrt[b])*b^(1/4)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(64*a^(5/2)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*d) - (b*Cos[c + d*x]*(2 - Cos[c + d*x]^2))/(8*a*(a - b)*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4)^2) - (b*Cos[c + d*x]*(2 - Cos[c + d*x]^2))/(4*a^2*(a - b)*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4)) - (b*Cos[c + d*x]*(11*a + b - (5*a + b)*Cos[c + d*x]^2))/(32*a^2*(a - b)^2*d*(a - b + 2*b*Cos[c + d*x]^2 - b*Cos[c + d*x]^4))}
+
+{Sin[c + d*x]^8/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^3, x, 9, -(((2*Sqrt[a] - 5*Sqrt[b])*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(3/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*b^(3/2)*d)) + ((2*Sqrt[a] + 5*Sqrt[b])*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(3/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*b^(3/2)*d) - ((a + 5*b)*Tan[c + d*x])/(32*a*(a - b)^2*b*d) + Tan[c + d*x]^3/(32*a*(a - b)*b*d) + Tan[c + d*x]^9/(8*a*d*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a - b)*Tan[c + d*x]^4)^2) - (Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x]^5)/(32*a*b*d*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a - b)*Tan[c + d*x]^4))}
+{Sin[c + d*x]^6/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^3, x, 6, -(((4*a - 10*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(5/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*b^(3/2)*d)) + ((4*a + 10*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(5/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*b^(3/2)*d) - (Tan[c + d*x]*(a*(a + 3*b) + (a^2 + 6*a*b + b^2)*Tan[c + d*x]^2))/(8*(a - b)^3*d*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a - b)*Tan[c + d*x]^4)^2) - (Tan[c + d*x]*((2*a*(a^2 - a*b - 8*b^2))/(a - b)^3 + ((2*a^2 + 15*a*b + 3*b^2)*Tan[c + d*x]^2)/(a - b)^2))/(32*a*b*d*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a - b)*Tan[c + d*x]^4))}
+{Sin[c + d*x]^4/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^3, x, 6, (3*(2*Sqrt[a] - Sqrt[b])*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(7/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*Sqrt[b]*d) - (3*(2*Sqrt[a] + Sqrt[b])*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(7/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*Sqrt[b]*d) - (b*Tan[c + d*x]*(3*a + b + 4*(a + b)*Tan[c + d*x]^2))/(8*(a - b)^3*d*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a - b)*Tan[c + d*x]^4)^2) - (Tan[c + d*x]*((9*a^2 - 24*a*b - b^2)/(a - b)^3 + ((17*a + 3*b)*Tan[c + d*x]^2)/(a - b)^2))/(32*a*d*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a - b)*Tan[c + d*x]^4))}
+{Sin[c + d*x]^2/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^3, x, 6, ((12*a - 14*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 5*b)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(9/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*Sqrt[b]*d) - ((12*a + 14*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 5*b)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(9/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*Sqrt[b]*d) - (b*Tan[c + d*x]*(a*(a + 3*b) + (a^2 + 6*a*b + b^2)*Tan[c + d*x]^2))/(8*a*(a - b)^3*d*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a - b)*Tan[c + d*x]^4)^2) - (Tan[c + d*x]*((2*a*(5*a^2 - 9*a*b - 4*b^2))/(a - b)^3 + (5*(2*a^2 + 3*a*b - b^2)*Tan[c + d*x]^2)/(a - b)^2))/(32*a^2*d*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a - b)*Tan[c + d*x]^4))}
+{Sin[c + d*x]^0/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^3, x, 6, ((32*a - 50*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 21*b)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(11/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*d) + ((32*a + 50*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 21*b)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(11/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*d) - (b^2*Tan[c + d*x]*(3*a + b + 4*(a + b)*Tan[c + d*x]^2))/(8*a*(a - b)^3*d*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a - b)*Tan[c + d*x]^4)^2) - (b*Tan[c + d*x]*((17*a^2 - 40*a*b + 7*b^2)/(a - b)^3 + ((33*a - 13*b)*Tan[c + d*x]^2)/(a - b)^2))/(32*a^2*d*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a - b)*Tan[c + d*x]^4))}
+{Csc[c + d*x]^2/(a - b*Sin[c + d*x]^4)^3, x, 8, (3*Sqrt[b]*(20*a - 34*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 15*b)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(13/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*d) - (3*Sqrt[b]*(20*a + 34*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 15*b)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(13/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*d) - Cot[c + d*x]/(a^3*d) - (b^2*Tan[c + d*x]*(a*(a + 3*b) + (a^2 + 6*a*b + b^2)*Tan[c + d*x]^2))/(8*a^2*(a - b)^3*d*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a - b)*Tan[c + d*x]^4)^2) - (b*Tan[c + d*x]*((2*a^2*(9*a - 17*b))/(a - b)^3 + ((18*a^2 + 15*a*b - 13*b^2)*Tan[c + d*x]^2)/(a - b)^2))/(32*a^3*d*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a - b)*Tan[c + d*x]^4))}
+
+
+{1/(1 - Sin[x]^4), x, 3, ArcTan[Sqrt[2]*Tan[x]]/(2*Sqrt[2]) + Tan[x]/2, x/(2*Sqrt[2]) + ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Sin[x]^2)]/(2*Sqrt[2]) + Tan[x]/2}
+
+
+{1/(a + b*Sin[x]^4), x, 10, -(((Sqrt[a] + Sqrt[a + b])*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[a + b - Sqrt[a]*Sqrt[a + b]] - Sqrt[2]*(a + b)^(3/4)*Tan[x])/(a^(1/4)*Sqrt[a + b + Sqrt[a]*Sqrt[a + b]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)^(1/4)*Sqrt[a + b + Sqrt[a]*Sqrt[a + b]])) + ((Sqrt[a] + Sqrt[a + b])*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[a + b - Sqrt[a]*Sqrt[a + b]] + Sqrt[2]*(a + b)^(3/4)*Tan[x])/(a^(1/4)*Sqrt[a + b + Sqrt[a]*Sqrt[a + b]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)^(1/4)*Sqrt[a + b + Sqrt[a]*Sqrt[a + b]]) + ((Sqrt[a] - Sqrt[a + b])*Log[Sqrt[a]*(a + b)^(1/4) - Sqrt[2]*a^(1/4)*Sqrt[a + b - Sqrt[a]*Sqrt[a + b]]*Tan[x] + (a + b)^(3/4)*Tan[x]^2])/(4*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)^(1/4)*Sqrt[a + b - Sqrt[a]*Sqrt[a + b]]) - ((Sqrt[a] - Sqrt[a + b])*Log[Sqrt[a]*(a + b)^(1/4) + Sqrt[2]*a^(1/4)*Sqrt[a + b - Sqrt[a]*Sqrt[a + b]]*Tan[x] + (a + b)^(3/4)*Tan[x]^2])/(4*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)^(1/4)*Sqrt[a + b - Sqrt[a]*Sqrt[a + b]])}
+
+
+{1/(1 + Sin[x]^4), x, 10, x/(2*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]) + ArcTan[(Sqrt[-1 + Sqrt[2]] - 2*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*Cos[x]^2 - (-2 + Sqrt[2])*Cos[x]*Sin[x])/(2 + Sqrt[1 + Sqrt[2]] + (-2 + Sqrt[2])*Cos[x]^2 - 2*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*Cos[x]*Sin[x])]/(4*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]) - ArcTan[(Sqrt[-1 + Sqrt[2]] - 2*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*Cos[x]^2 + (-2 + Sqrt[2])*Cos[x]*Sin[x])/(2 + Sqrt[1 + Sqrt[2]] + (-2 + Sqrt[2])*Cos[x]^2 + 2*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*Cos[x]*Sin[x])]/(4*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]) - (1/8)*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*Log[Sqrt[2] - 2*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*Tan[x] + 2*Tan[x]^2] + (1/8)*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*Log[1 + Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]*Tan[x] + Sqrt[2]*Tan[x]^2]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^4)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sin[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 5, -((Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4])/(3*d)) + (2*Sqrt[b]*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4])/(3*Sqrt[a + b]*d*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])) - (2*b^(1/4)*(a + b)^(3/4)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])*Sqrt[(a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4)/((a + b)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])^2)]*EllipticE[2*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/(a + b)^(1/4)], (1/2)*(1 + Sqrt[b]/Sqrt[a + b])])/(3*d*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4]) + ((a + b)^(3/4)*(Sqrt[b] - Sqrt[a + b])*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])*Sqrt[(a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4)/((a + b)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])^2)]*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/(a + b)^(1/4)], (1/2)*(1 + Sqrt[b]/Sqrt[a + b])])/(3*b^(1/4)*d*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4])}
+{Csc[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 8, (Sqrt[-a]*ArcTan[(Sqrt[-a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4]])/(2*d) + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4])/(Sqrt[a + b]*d*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])) - (b^(1/4)*(a + b)^(3/4)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])*Sqrt[(a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4)/((a + b)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])^2)]*EllipticE[2*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/(a + b)^(1/4)], (1/2)*(1 + Sqrt[b]/Sqrt[a + b])])/(d*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4]) - ((a + b)^(1/4)*(Sqrt[b] - Sqrt[a + b])^2*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])*Sqrt[(a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4)/((a + b)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])^2)]*EllipticPi[(Sqrt[b] + Sqrt[a + b])^2/(4*Sqrt[b]*Sqrt[a + b]), 2*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/(a + b)^(1/4)], (1/2)*(1 + Sqrt[b]/Sqrt[a + b])])/(4*b^(1/4)*d*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^5/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 5, -((Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4])/(3*b*d)) + (2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4])/(3*Sqrt[b]*Sqrt[a + b]*d*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])) - (2*(a + b)^(3/4)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])*Sqrt[(a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4)/((a + b)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])^2)]*EllipticE[2*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/(a + b)^(1/4)], (1/2)*(1 + Sqrt[b]/Sqrt[a + b])])/(3*b^(3/4)*d*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4]) + ((a + b)^(1/4)*(a - 2*b + 2*Sqrt[b]*Sqrt[a + b])*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])*Sqrt[(a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4)/((a + b)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])^2)]*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/(a + b)^(1/4)], (1/2)*(1 + Sqrt[b]/Sqrt[a + b])])/(6*b^(5/4)*d*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4])}
+{Sin[c + d*x]^3/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 4, (Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4])/(Sqrt[b]*Sqrt[a + b]*d*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])) - ((a + b)^(3/4)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])*Sqrt[(a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4)/((a + b)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])^2)]*EllipticE[2*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/(a + b)^(1/4)], (1/2)*(1 + Sqrt[b]/Sqrt[a + b])])/(b^(3/4)*d*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4]) - ((a + b)^(1/4)*(Sqrt[b] - Sqrt[a + b])*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])*Sqrt[(a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4)/((a + b)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])^2)]*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/(a + b)^(1/4)], (1/2)*(1 + Sqrt[b]/Sqrt[a + b])])/(2*b^(3/4)*d*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4])}
+{Sin[c + d*x]^1/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 2, -(((a + b)^(1/4)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])*Sqrt[(a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4)/((a + b)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])^2)]*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/(a + b)^(1/4)], (1/2)*(1 + Sqrt[b]/Sqrt[a + b])])/(2*b^(1/4)*d*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4]))}
+{Csc[c + d*x]^1/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 4, -(ArcTan[(Sqrt[-a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4]]/(2*Sqrt[-a]*d)) + (b^(1/4)*(a + b)^(1/4)*(Sqrt[b] - Sqrt[a + b])*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])*Sqrt[(a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4)/((a + b)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])^2)]*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/(a + b)^(1/4)], (1/2)*(1 + Sqrt[b]/Sqrt[a + b])])/(2*a*d*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4]) - ((a + b)^(1/4)*(Sqrt[b] - Sqrt[a + b])^2*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])*Sqrt[(a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4)/((a + b)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])^2)]*EllipticPi[(Sqrt[b] + Sqrt[a + b])^2/(4*Sqrt[b]*Sqrt[a + b]), 2*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/(a + b)^(1/4)], (1/2)*(1 + Sqrt[b]/Sqrt[a + b])])/(4*a*b^(1/4)*d*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4])}
+{Csc[c + d*x]^3/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 7, -(ArcTan[(Sqrt[-a]*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4]]/(4*Sqrt[-a]*d)) - (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4])/(2*a*Sqrt[a + b]*d*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])) - (Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4]*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d) + (b^(1/4)*(a + b)^(3/4)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])*Sqrt[(a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4)/((a + b)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])^2)]*EllipticE[2*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/(a + b)^(1/4)], (1/2)*(1 + Sqrt[b]/Sqrt[a + b])])/(2*a*d*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4]) - (b^(1/4)*(a + b - Sqrt[b]*Sqrt[a + b])*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])*Sqrt[(a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4)/((a + b)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])^2)]*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/(a + b)^(1/4)], (1/2)*(1 + Sqrt[b]/Sqrt[a + b])])/(2*a*(a + b)^(1/4)*d*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4]) - ((a + b)^(1/4)*(Sqrt[b] - Sqrt[a + b])^2*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])*Sqrt[(a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4)/((a + b)*(1 + (Sqrt[b]*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b])^2)]*EllipticPi[(Sqrt[b] + Sqrt[a + b])^2/(4*Sqrt[b]*Sqrt[a + b]), 2*ArcTan[(b^(1/4)*Cos[c + d*x])/(a + b)^(1/4)], (1/2)*(1 + Sqrt[b]/Sqrt[a + b])])/(8*a*b^(1/4)*d*Sqrt[a + b - 2*b*Cos[c + d*x]^2 + b*Cos[c + d*x]^4])}
+
+{Sin[c + d*x]^2/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 4, -((ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a + b)*Tan[c + d*x]^4]]*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a + b)*Tan[c + d*x]^4])/(2*Sqrt[b]*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4])) - (a^(1/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[a + b])*Cos[c + d*x]^2*EllipticF[2*ArcTan[((a + b)^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)], (1/2)*(1 - Sqrt[a]/Sqrt[a + b])]*(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)*Sqrt[(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a + b)*Tan[c + d*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)^2])/(2*b*(a + b)^(1/4)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4]) + ((Sqrt[a] + Sqrt[a + b])^2*Cos[c + d*x]^2*EllipticPi[-((Sqrt[a] - Sqrt[a + b])^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])), 2*ArcTan[((a + b)^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)], (1/2)*(1 - Sqrt[a]/Sqrt[a + b])]*(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)*Sqrt[(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a + b)*Tan[c + d*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)^2])/(4*a^(1/4)*b*(a + b)^(1/4)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4])}
+{Sin[c + d*x]^0/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 2, (Cos[c + d*x]^2*EllipticF[2*ArcTan[((a + b)^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)], (1/2)*(1 - Sqrt[a]/Sqrt[a + b])]*(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)*Sqrt[(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a + b)*Tan[c + d*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)^2])/(2*a^(1/4)*(a + b)^(1/4)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4])}
+{Csc[c + d*x]^2/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 5, -((Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a + b)*Tan[c + d*x]^4))/(a*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4])) + (Sqrt[a + b]*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a + b)*Tan[c + d*x]^4))/(a*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4]*(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)) - ((a + b)^(1/4)*Cos[c + d*x]^2*EllipticE[2*ArcTan[((a + b)^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)], (1/2)*(1 - Sqrt[a]/Sqrt[a + b])]*(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)*Sqrt[(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a + b)*Tan[c + d*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)^2])/(a^(3/4)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4]) + ((a + b + Sqrt[a]*Sqrt[a + b])*Cos[c + d*x]^2*EllipticF[2*ArcTan[((a + b)^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)], (1/2)*(1 - Sqrt[a]/Sqrt[a + b])]*(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)*Sqrt[(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a + b)*Tan[c + d*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)^2])/(2*a^(3/4)*(a + b)^(3/4)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x]^n)^p*)
+
+
+{1/(a + b*Sin[x]^5), x, 17, (2*ArcTan[(b^(1/5) + a^(1/5)*Tan[x/2])/Sqrt[a^(2/5) - b^(2/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(2/5) - b^(2/5)]) + (2*ArcTan[((-1)^(2/5)*b^(1/5) + a^(1/5)*Tan[x/2])/Sqrt[a^(2/5) - (-1)^(4/5)*b^(2/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(2/5) - (-1)^(4/5)*b^(2/5)]) + (2*ArcTan[((-1)^(4/5)*b^(1/5) + a^(1/5)*Tan[x/2])/Sqrt[a^(2/5) + (-1)^(3/5)*b^(2/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(2/5) + (-1)^(3/5)*b^(2/5)]) - (2*ArcTan[((-1)^(3/5)*(b^(1/5) + (-1)^(2/5)*a^(1/5)*Tan[x/2]))/Sqrt[a^(2/5) + (-1)^(1/5)*b^(2/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(2/5) + (-1)^(1/5)*b^(2/5)]) - (2*ArcTan[((-1)^(1/5)*(b^(1/5) + (-1)^(4/5)*a^(1/5)*Tan[x/2]))/Sqrt[a^(2/5) - (-1)^(2/5)*b^(2/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(2/5) - (-1)^(2/5)*b^(2/5)])}
+{1/(a + b*Sin[x]^6), x, 7, ArcTan[(Sqrt[a^(1/3) + b^(1/3)]*Tan[x])/a^(1/6)]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) + b^(1/3)]) + ArcTan[(Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(1/3)]*Tan[x])/a^(1/6)]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(1/3)]) + ArcTan[(Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)]*Tan[x])/a^(1/6)]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)])}
+{1/(a + b*Sin[x]^8), x, 9, -(ArcTan[(Sqrt[(-a)^(1/4) - b^(1/4)]*Tan[x])/(-a)^(1/8)]/(4*(-a)^(7/8)*Sqrt[(-a)^(1/4) - b^(1/4)])) - ArcTan[(Sqrt[(-a)^(1/4) - I*b^(1/4)]*Tan[x])/(-a)^(1/8)]/(4*(-a)^(7/8)*Sqrt[(-a)^(1/4) - I*b^(1/4)]) - ArcTan[(Sqrt[(-a)^(1/4) + I*b^(1/4)]*Tan[x])/(-a)^(1/8)]/(4*(-a)^(7/8)*Sqrt[(-a)^(1/4) + I*b^(1/4)]) - ArcTan[(Sqrt[(-a)^(1/4) + b^(1/4)]*Tan[x])/(-a)^(1/8)]/(4*(-a)^(7/8)*Sqrt[(-a)^(1/4) + b^(1/4)])}
+
+{1/(a - b*Sin[x]^5), x, 17, -((2*ArcTan[(b^(1/5) - a^(1/5)*Tan[x/2])/Sqrt[a^(2/5) - b^(2/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(2/5) - b^(2/5)])) - (2*ArcTan[((-1)^(2/5)*b^(1/5) - a^(1/5)*Tan[x/2])/Sqrt[a^(2/5) - (-1)^(4/5)*b^(2/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(2/5) - (-1)^(4/5)*b^(2/5)]) - (2*ArcTan[((-1)^(4/5)*b^(1/5) - a^(1/5)*Tan[x/2])/Sqrt[a^(2/5) + (-1)^(3/5)*b^(2/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(2/5) + (-1)^(3/5)*b^(2/5)]) + (2*ArcTan[((-1)^(1/5)*b^(1/5) + a^(1/5)*Tan[x/2])/Sqrt[a^(2/5) - (-1)^(2/5)*b^(2/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(2/5) - (-1)^(2/5)*b^(2/5)]) + (2*ArcTan[((-1)^(3/5)*b^(1/5) + a^(1/5)*Tan[x/2])/Sqrt[a^(2/5) + (-1)^(1/5)*b^(2/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(2/5) + (-1)^(1/5)*b^(2/5)])}
+{1/(a - b*Sin[x]^6), x, 7, ArcTan[(Sqrt[a^(1/3) - b^(1/3)]*Tan[x])/a^(1/6)]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) - b^(1/3)]) + ArcTan[(Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(1/3)]*Tan[x])/a^(1/6)]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(1/3)]) + ArcTan[(Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(1/3)]*Tan[x])/a^(1/6)]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(1/3)])}
+{1/(a - b*Sin[x]^8), x, 9, ArcTan[(Sqrt[a^(1/4) - b^(1/4)]*Tan[x])/a^(1/8)]/(4*a^(7/8)*Sqrt[a^(1/4) - b^(1/4)]) + ArcTan[(Sqrt[a^(1/4) - I*b^(1/4)]*Tan[x])/a^(1/8)]/(4*a^(7/8)*Sqrt[a^(1/4) - I*b^(1/4)]) + ArcTan[(Sqrt[a^(1/4) + I*b^(1/4)]*Tan[x])/a^(1/8)]/(4*a^(7/8)*Sqrt[a^(1/4) + I*b^(1/4)]) + ArcTan[(Sqrt[a^(1/4) + b^(1/4)]*Tan[x])/a^(1/8)]/(4*a^(7/8)*Sqrt[a^(1/4) + b^(1/4)])}
+
+
+{1/(1 + Sin[x]^5), x, 15, (2*ArcTan[((-1)^(2/5) + Tan[x/2])/Sqrt[1 - (-1)^(4/5)]])/(5*Sqrt[1 - (-1)^(4/5)]) + (2*ArcTan[((-1)^(4/5) + Tan[x/2])/Sqrt[1 + (-1)^(3/5)]])/(5*Sqrt[1 + (-1)^(3/5)]) - (2*ArcTan[((-1)^(3/5)*(1 + (-1)^(2/5)*Tan[x/2]))/Sqrt[1 + (-1)^(1/5)]])/(5*Sqrt[1 + (-1)^(1/5)]) - (2*ArcTan[((-1)^(1/5)*(1 + (-1)^(4/5)*Tan[x/2]))/Sqrt[1 - (-1)^(2/5)]])/(5*Sqrt[1 - (-1)^(2/5)]) - Cos[x]/(5*(1 + Sin[x]))}
+{1/(1 + Sin[x]^6), x, 7, x/(3*Sqrt[2]) + ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Sin[x]^2)]/(3*Sqrt[2]) + ArcTan[Sqrt[1 - (-1)^(1/3)]*Tan[x]]/(3*Sqrt[1 - (-1)^(1/3)]) + ArcTan[Sqrt[1 + (-1)^(2/3)]*Tan[x]]/(3*Sqrt[1 + (-1)^(2/3)])}
+{1/(1 + Sin[x]^8), x, 9, (1/8)*(Sqrt[1 + Sqrt[4 - 2*Sqrt[2]]] + Sqrt[2 + 2*2^(1/4) + 2*Sqrt[1 + Sqrt[2]] + 2*Sqrt[2 + Sqrt[2]]] + Sqrt[1 + Sqrt[4 + 2*Sqrt[2]]])*(x - ArcTan[Tan[x]]) + ArcTan[Sqrt[1 - (-1)^(1/4)]*Tan[x]]/(4*Sqrt[1 - (-1)^(1/4)]) + ArcTan[Sqrt[1 + (-1)^(1/4)]*Tan[x]]/(4*Sqrt[1 + (-1)^(1/4)]) + ArcTan[Sqrt[1 - (-1)^(3/4)]*Tan[x]]/(4*Sqrt[1 - (-1)^(3/4)]) + ArcTan[Sqrt[1 + (-1)^(3/4)]*Tan[x]]/(4*Sqrt[1 + (-1)^(3/4)]), ArcTan[Sqrt[1 - (-1)^(1/4)]*Tan[x]]/(4*Sqrt[1 - (-1)^(1/4)]) + ArcTan[Sqrt[1 + (-1)^(1/4)]*Tan[x]]/(4*Sqrt[1 + (-1)^(1/4)]) + ArcTan[Sqrt[1 - (-1)^(3/4)]*Tan[x]]/(4*Sqrt[1 - (-1)^(3/4)]) + ArcTan[Sqrt[1 + (-1)^(3/4)]*Tan[x]]/(4*Sqrt[1 + (-1)^(3/4)])}
+
+{1/(1 - Sin[x]^5), x, 15, -((2*ArcTan[((-1)^(2/5) - Tan[x/2])/Sqrt[1 - (-1)^(4/5)]])/(5*Sqrt[1 - (-1)^(4/5)])) - (2*ArcTan[((-1)^(4/5) - Tan[x/2])/Sqrt[1 + (-1)^(3/5)]])/(5*Sqrt[1 + (-1)^(3/5)]) + (2*ArcTan[((-1)^(1/5) + Tan[x/2])/Sqrt[1 - (-1)^(2/5)]])/(5*Sqrt[1 - (-1)^(2/5)]) + (2*ArcTan[((-1)^(3/5) + Tan[x/2])/Sqrt[1 + (-1)^(1/5)]])/(5*Sqrt[1 + (-1)^(1/5)]) + Cos[x]/(5*(1 - Sin[x]))}
+{1/(1 - Sin[x]^6), x, 8, ArcTan[Sqrt[1 + (-1)^(1/3)]*Tan[x]]/(3*Sqrt[1 + (-1)^(1/3)]) + ArcTan[Sqrt[1 - (-1)^(2/3)]*Tan[x]]/(3*Sqrt[1 - (-1)^(2/3)]) + Tan[x]/3}
+{1/(1 - Sin[x]^8), x, 10, x/(4*Sqrt[2]) + ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Sin[x]^2)]/(4*Sqrt[2]) + ArcTan[Sqrt[1 - I]*Tan[x]]/(4*Sqrt[1 - I]) + ArcTan[Sqrt[1 + I]*Tan[x]]/(4*Sqrt[1 + I]) + Tan[x]/4}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^2)^p when a+b=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cos[x]^9/(a - a*Sin[x]^2), x, 3, Sin[x]/a - Sin[x]^3/a + (3*Sin[x]^5)/(5*a) - Sin[x]^7/(7*a)}
+{Cos[x]^7/(a - a*Sin[x]^2), x, 3, Sin[x]/a - (2*Sin[x]^3)/(3*a) + Sin[x]^5/(5*a)}
+{Cos[x]^5/(a - a*Sin[x]^2), x, 3, Sin[x]/a - Sin[x]^3/(3*a)}
+{Cos[x]^3/(a - a*Sin[x]^2), x, 2, Sin[x]/a}
+{Cos[x]^1/(a - a*Sin[x]^2), x, 2, ArcTanh[Sin[x]]/a}
+{Sec[x]^3/(a - a*Sin[x]^2), x, 4, (3*ArcTanh[Sin[x]])/(8*a) + (3*Sec[x]*Tan[x])/(8*a) + (Sec[x]^3*Tan[x])/(4*a)}
+
+{Cos[x]^6/(a - a*Sin[x]^2), x, 4, (3*x)/(8*a) + (3*Cos[x]*Sin[x])/(8*a) + (Cos[x]^3*Sin[x])/(4*a)}
+{Cos[x]^4/(a - a*Sin[x]^2), x, 3, x/(2*a) + (Cos[x]*Sin[x])/(2*a)}
+{Cos[x]^2/(a - a*Sin[x]^2), x, 2, x/a}
+{Sec[x]^1/(a - a*Sin[x]^2), x, 3, ArcTanh[Sin[x]]/(2*a) + (Sec[x]*Tan[x])/(2*a)}
+{Sec[x]^2/(a - a*Sin[x]^2), x, 3, Tan[x]/a + Tan[x]^3/(3*a)}
+{Sec[x]^4/(a - a*Sin[x]^2), x, 3, Tan[x]/a + (2*Tan[x]^3)/(3*a) + Tan[x]^5/(5*a)}
+
+
+{Cos[x]^9/(a - a*Sin[x]^2)^2, x, 3, Sin[x]/a^2 - (2*Sin[x]^3)/(3*a^2) + Sin[x]^5/(5*a^2)}
+{Cos[x]^7/(a - a*Sin[x]^2)^2, x, 3, Sin[x]/a^2 - Sin[x]^3/(3*a^2)}
+{Cos[x]^5/(a - a*Sin[x]^2)^2, x, 2, Sin[x]/a^2}
+{Cos[x]^3/(a - a*Sin[x]^2)^2, x, 2, ArcTanh[Sin[x]]/a^2}
+{Cos[x]^1/(a - a*Sin[x]^2)^2, x, 3, ArcTanh[Sin[x]]/(2*a^2) + (Sec[x]*Tan[x])/(2*a^2)}
+{Sec[x]^1/(a - a*Sin[x]^2)^2, x, 4, (3*ArcTanh[Sin[x]])/(8*a^2) + (3*Sec[x]*Tan[x])/(8*a^2) + (Sec[x]^3*Tan[x])/(4*a^2)}
+
+{Cos[x]^8/(a - a*Sin[x]^2)^2, x, 4, (3*x)/(8*a^2) + (3*Cos[x]*Sin[x])/(8*a^2) + (Cos[x]^3*Sin[x])/(4*a^2)}
+{Cos[x]^6/(a - a*Sin[x]^2)^2, x, 3, x/(2*a^2) + (Cos[x]*Sin[x])/(2*a^2)}
+{Cos[x]^4/(a - a*Sin[x]^2)^2, x, 2, x/a^2}
+{Cos[x]^2/(a - a*Sin[x]^2)^2, x, 3, Tan[x]/a^2}
+{Sec[x]^2/(a - a*Sin[x]^2)^2, x, 3, Tan[x]/a^2 + (2*Tan[x]^3)/(3*a^2) + Tan[x]^5/(5*a^2)}
+{Sec[x]^4/(a - a*Sin[x]^2)^2, x, 3, Tan[x]/a^2 + Tan[x]^3/a^2 + (3*Tan[x]^5)/(5*a^2) + Tan[x]^7/(7*a^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^6*(a + b*Sin[e + f*x]^2), x, 6, (5/128)*(8*a + b)*x + (5*(8*a + b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(128*f) + (5*(8*a + b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(192*f) + ((8*a + b)*Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(48*f) - (b*Cos[e + f*x]^7*Sin[e + f*x])/(8*f)}
+{Cos[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^2), x, 5, (1/16)*(6*a + b)*x + ((6*a + b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) + ((6*a + b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*f) - (b*Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(6*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2), x, 4, (1/8)*(4*a + b)*x + ((4*a + b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - (b*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*f)}
+{Cos[e + f*x]^0*(a + b*Sin[e + f*x]^2), x, 3, a*x + (b*x)/2 - (b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2), x, 3, (-b)*x + ((a + b)*Tan[e + f*x])/f}
+{Sec[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^2), x, 2, (a*Tan[e + f*x])/f + ((a + b)*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Sec[e + f*x]^6*(a + b*Sin[e + f*x]^2), x, 3, (a*Tan[e + f*x])/f + ((2*a + b)*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + ((a + b)*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{Sec[e + f*x]^8*(a + b*Sin[e + f*x]^2), x, 3, (a*Tan[e + f*x])/f + ((3*a + b)*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + ((3*a + 2*b)*Tan[e + f*x]^5)/(5*f) + ((a + b)*Tan[e + f*x]^7)/(7*f)}
+
+
+{Cos[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^2, x, 6, (1/128)*(48*a^2 + 16*a*b + 3*b^2)*x + ((48*a^2 + 16*a*b + 3*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(128*f) + ((48*a^2 + 16*a*b + 3*b^2)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(192*f) - (b*(10*a + 3*b)*Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(48*f) - (b*Cos[e + f*x]^7*Sin[e + f*x]*(a + (a + b)*Tan[e + f*x]^2))/(8*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^2, x, 5, (1/16)*(8*a^2 + 4*a*b + b^2)*x + ((8*a^2 + 4*a*b + b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) - (b*(8*a + 3*b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*f) - (b*Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x]*(a + (a + b)*Tan[e + f*x]^2))/(6*f)}
+{Cos[e + f*x]^0*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^2, x, 1, (1/8)*(8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*x - (b*(8*a + 3*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - (b^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3)/(4*f)}
+{Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^2, x, 5, (-(1/2))*b*(4*a + 3*b)*x + (b^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f) + ((a + b)^2*Tan[e + f*x])/f}
+{Sec[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^2, x, 4, b^2*x + ((a^2 - b^2)*Tan[e + f*x])/f + ((a + b)^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Sec[e + f*x]^6*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^2, x, 3, (a^2*Tan[e + f*x])/f + (2*a*(a + b)*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + ((a + b)^2*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{Sec[e + f*x]^8*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^2, x, 3, (a^2*Tan[e + f*x])/f + (a*(3*a + 2*b)*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + ((a + b)*(3*a + b)*Tan[e + f*x]^5)/(5*f) + ((a + b)^2*Tan[e + f*x]^7)/(7*f)}
+{Sec[e + f*x]^10*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^2, x, 3, (a^2*Tan[e + f*x])/f + (2*a*(2*a + b)*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + ((6*a^2 + 6*a*b + b^2)*Tan[e + f*x]^5)/(5*f) + (2*(a + b)*(2*a + b)*Tan[e + f*x]^7)/(7*f) + ((a + b)^2*Tan[e + f*x]^9)/(9*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cos[x]^7/(a + b*Sin[x]^2), x, 4, ((a + b)^3*ArcTan[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^(7/2)) - ((a^2 + 3*a*b + 3*b^2)*Sin[x])/b^3 + ((a + 3*b)*Sin[x]^3)/(3*b^2) - Sin[x]^5/(5*b)}
+{Cos[x]^6/(a + b*Sin[x]^2), x, 6, -(((8*a^2 + 20*a*b + 15*b^2)*x)/(8*b^3)) + ((a + b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^3) - ((4*a + 7*b)*Cos[x]*Sin[x])/(8*b^2) - (Cos[x]^3*Sin[x])/(4*b)}
+{Cos[x]^5/(a + b*Sin[x]^2), x, 4, ((a + b)^2*ArcTan[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^(5/2)) - ((a + 2*b)*Sin[x])/b^2 + Sin[x]^3/(3*b)}
+{Cos[x]^4/(a + b*Sin[x]^2), x, 5, -(((2*a + 3*b)*x)/(2*b^2)) + ((a + b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^2) - (Cos[x]*Sin[x])/(2*b)}
+{Cos[x]^3/(a + b*Sin[x]^2), x, 3, ((a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^(3/2)) - Sin[x]/b}
+{Cos[x]^2/(a + b*Sin[x]^2), x, 4, -(x/b) + (Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b)}
+{Cos[x]^1/(a + b*Sin[x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b])}
+{Sec[x]^1/(a + b*Sin[x]^2), x, 4, (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)) + ArcTanh[Sin[x]]/(a + b)}
+{Sec[x]^2/(a + b*Sin[x]^2), x, 3, (b*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)^(3/2)) + Tan[x]/(a + b)}
+{Sec[x]^3/(a + b*Sin[x]^2), x, 5, (b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)^2) + ((a + 3*b)*ArcTanh[Sin[x]])/(2*(a + b)^2) + (Sec[x]*Tan[x])/(2*(a + b))}
+{Sec[x]^4/(a + b*Sin[x]^2), x, 4, (b^2*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)^(5/2)) + ((a + 2*b)*Tan[x])/(a + b)^2 + Tan[x]^3/(3*(a + b))}
+{Sec[x]^5/(a + b*Sin[x]^2), x, 6, (b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)^3) + ((3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*ArcTanh[Sin[x]])/(8*(a + b)^3) + ((3*a + 7*b)*Sec[x]*Tan[x])/(8*(a + b)^2) + (Sec[x]^3*Tan[x])/(4*(a + b))}
+{Sec[x]^6/(a + b*Sin[x]^2), x, 4, (b^3*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)^(7/2)) + ((a^2 + 3*a*b + 3*b^2)*Tan[x])/(a + b)^3 + ((2*a + 3*b)*Tan[x]^3)/(3*(a + b)^2) + Tan[x]^5/(5*(a + b))}
+
+
+{Cos[x]^6/(a + b*Sin[x]^2)^2, x, 6, ((4*a + 5*b)*x)/(2*b^3) - ((4*a - b)*(a + b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*b^3) - (Cos[x]*Sin[x])/(2*b*(a + (a + b)*Tan[x]^2)) + ((a + b)*(2*a + b)*Tan[x])/(2*a*b^2*(a + (a + b)*Tan[x]^2))}
+{Cos[x]^5/(a + b*Sin[x]^2)^2, x, 5, -(((3*a - b)*(a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*b^(5/2))) + Sin[x]/b^2 + ((a + b)^2*Sin[x])/(2*a*b^2*(a + b*Sin[x]^2))}
+{Cos[x]^4/(a + b*Sin[x]^2)^2, x, 5, x/b^2 - ((2*a - b)*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*b^2) + ((a + b)*Tan[x])/(2*a*b*(a + (a + b)*Tan[x]^2))}
+{Cos[x]^3/(a + b*Sin[x]^2)^2, x, 3, -(((a - b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*b^(3/2))) + ((a + b)*Sin[x])/(2*a*b*(a + b*Sin[x]^2))}
+{Cos[x]^2/(a + b*Sin[x]^2)^2, x, 3, ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[x])/Sqrt[a]]/(2*a^(3/2)*Sqrt[a + b]) + Tan[x]/(2*a*(a + (a + b)*Tan[x]^2))}
+{Cos[x]^1/(a + b*Sin[x]^2)^2, x, 3, ArcTan[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a]]/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]) + Sin[x]/(2*a*(a + b*Sin[x]^2))}
+{Sec[x]^1/(a + b*Sin[x]^2)^2, x, 5, (Sqrt[b]*(3*a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^2) + ArcTanh[Sin[x]]/(a + b)^2 + (b*Sin[x])/(2*a*(a + b)*(a + b*Sin[x]^2))}
+{Sec[x]^2/(a + b*Sin[x]^2)^2, x, 5, (b*(4*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^(5/2)) + Tan[x]/(a + b)^2 + (b^2*Tan[x])/(2*a*(a + b)^2*(a + (a + b)*Tan[x]^2))}
+{Sec[x]^3/(a + b*Sin[x]^2)^2, x, 6, (b^(3/2)*(5*a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^3) + ((a + 5*b)*ArcTanh[Sin[x]])/(2*(a + b)^3) - ((a - b)*b*Sin[x])/(2*a*(a + b)^2*(a + b*Sin[x]^2)) + (Sec[x]*Tan[x])/(2*(a + b)*(a + b*Sin[x]^2))}
+{Sec[x]^4/(a + b*Sin[x]^2)^2, x, 5, (b^2*(6*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^(7/2)) + ((a + 3*b)*Tan[x])/(a + b)^3 + Tan[x]^3/(3*(a + b)^2) + (b^3*Tan[x])/(2*a*(a + b)^3*(a + (a + b)*Tan[x]^2))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^2)^(p/2) when a+b=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 5, (a*(a + 4*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]])/(8*b^(3/2)*f) + ((a + 4*b)*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(8*b*f) - (Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*b*f)}
+{Cos[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 4, (a*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]])/(2*Sqrt[b]*f) + (Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Sec[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 6, -((Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]])/f) + (Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]])/f}
+{Sec[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 4, (a*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]])/(2*Sqrt[a + b]*f) + (Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(2*f)}
+{Sec[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 5, (a*(3*a + 4*b)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]])/(8*(a + b)^(3/2)*f) + ((3*a + 4*b)*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(8*(a + b)*f) + (Sec[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)*Tan[e + f*x])/(4*(a + b)*f)}
+
+{Cos[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 8, (2*(a + 3*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(15*b*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))/(5*b*f) - ((2*a^2 + 7*a*b - 3*b^2)*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(15*b^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (2*a*(a + b)*(a + 3*b)*EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(15*b^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]), (2*(a + 3*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(15*b*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))/(5*b*f) - ((2*a^2 + 7*a*b - 3*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(15*b^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (2*a*(a + b)*(a + 3*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(15*b^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 7, (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f) - ((a - b)*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*b*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (a*(a + b)*EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]), (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f) - ((a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*b*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (a*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^0*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 2, (EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])}
+{Sec[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 8, -((EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])) + (a*EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/f, -((Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])) + (a*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/f}
+{Sec[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 8, -(((2*a + b)*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*(a + b)*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])) + (2*a*EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + ((2*a + b)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)*f) + (Sec[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(3*f), -(((2*a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*(a + b)*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])) + (2*a*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + ((2*a + b)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)*f) + (Sec[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(3*f)}
+
+
+{Cos[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, (a^2*(a + 6*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]])/(16*b^(3/2)*f) + (a*(a + 6*b)*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(16*b*f) + ((a + 6*b)*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))/(24*b*f) - (Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2))/(6*b*f)}
+{Cos[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (3*a^2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]])/(8*Sqrt[b]*f) + (3*a*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(8*f) + (Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*f)}
+{Sec[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, -((Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]])/(2*f)) + ((a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]])/f - (b*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Sec[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, (b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]])/f + ((a - 2*b)*Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]])/(2*f) + ((a + b)*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(2*f)}
+{Sec[e + f*x]^5*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (3*a^2*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]])/(8*Sqrt[a + b]*f) + (3*a*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(8*f) + (Sec[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)*Tan[e + f*x])/(4*f)}
+{Sec[e + f*x]^7*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, (a^2*(5*a + 6*b)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]])/(16*(a + b)^(3/2)*f) + (a*(5*a + 6*b)*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(16*(a + b)*f) + ((5*a + 6*b)*Sec[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)*Tan[e + f*x])/(24*(a + b)*f) + (Sec[e + f*x]^5*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2)*Tan[e + f*x])/(6*(a + b)*f)}
+
+{Cos[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, -(((a^2 - 9*a*b - 2*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(35*b*f)) + (2*(4*a + b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(35*f) - (b*Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(7*f) - (2*(a - b)*(a^2 + 6*a*b + b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(35*b^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (a*(a + b)*(2*a^2 + 9*a*b - b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(35*b^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, (2*(3*a + b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(15*f) - (b*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(5*f) - ((3*a^2 - 7*a*b - 2*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(15*b*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (a*(3*a - b)*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(15*b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^0*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -((b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f)) + (2*(2*a + b)*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (a*(a + b)*EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, -(((a + 2*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])) + (a*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + ((a + b)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/f}
+{Sec[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, -((2*(a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])) + (a*(2*a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(3*f) + ((a + b)*Sec[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(3*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 4, ((a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]])/(2*b^(3/2)*f) - (Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(2*b*f)}
+{Cos[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 3, ArcTanh[(Sqrt[b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]]/(Sqrt[b]*f)}
+{Sec[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 3, ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a + b]*f)}
+{Sec[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 4, ((a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]])/(2*(a + b)^(3/2)*f) + (Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(2*(a + b)*f)}
+
+{Cos[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 7, -((Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*b*f)) - (2*(a + 2*b)*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*b^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + ((a + b)*(2*a + 3*b)*EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*b^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]), -((Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*b*f)) - (2*(a + 2*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*b^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + ((a + b)*(2*a + 3*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*b^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 6, -((a*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])) + ((a + b)*EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]), -((Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(b*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])) + ((a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^0/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 2, (EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 8, -((EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/((a + b)*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])) + (EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/((a + b)*f), -((Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/((a + b)*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])) + (Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/((a + b)*f)}
+{Sec[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 8, -((2*(a + 2*b)*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*(a + b)^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])) + ((2*a + 3*b)*EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (2*(a + 2*b)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)^2*f) + (Sec[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)*f), -((2*(a + 2*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*(a + b)^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])) + ((2*a + 3*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (2*(a + 2*b)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)^2*f) + (Sec[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)*f)}
+
+
+{Cos[e + f*x]^3/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -(ArcTanh[(Sqrt[b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]]/(b^(3/2)*f)) + ((a + b)*Sin[e + f*x])/(a*b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^1/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 2, Sin[e + f*x]/(a*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^1/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]]/((a + b)^(3/2)*f) + (b*Sin[e + f*x])/(a*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^3/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, ((a + 4*b)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]])/(2*(a + b)^(5/2)*f) - ((a - 2*b)*b*Sin[e + f*x])/(2*a*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+
+{Cos[e + f*x]^6/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, ((a + b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(a*b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + ((4*a + 3*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a*b^2*f) + ((8*a^2 + 13*a*b + 3*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a*b^3*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - ((a + b)*(8*a + 9*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*b^3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^4/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, ((a + b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(a*b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + ((2*a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(a*b^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (2*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(b^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^2/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(a*b*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^0/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, (b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(a*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(a*(a + b)*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])}
+{Sec[e + f*x]^2/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, -(((a - b)*b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(a*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])) - ((a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(a*(a + b)^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/((a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + Tan[e + f*x]/((a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+{Cos[e + f*x]^5/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 5, ArcTanh[(Sqrt[b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]]/(b^(5/2)*f) + ((a + b)*Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x])/(3*a*b*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) - ((3*a - 2*b)*(a + b)*Sin[e + f*x])/(3*a^2*b^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^3/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 3, (Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x])/(3*a*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*Sin[e + f*x])/(3*a^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^1/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 3, Sin[e + f*x]/(3*a*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*Sin[e + f*x])/(3*a^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^1/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]]/((a + b)^(5/2)*f) + (b*Sin[e + f*x])/(3*a*(a + b)*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + (b*(5*a + 2*b)*Sin[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+
+{Cos[e + f*x]^6/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 8, ((a + b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(3*a*b*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) - (2*(2*a - b)*(a + b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a^2*b^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - ((8*a^2 + 3*a*b - 2*b^2)*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^2*b^3*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + ((8*a - b)*(a + b)*EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a*b^3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]), ((a + b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(3*a*b*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) - (2*(2*a - b)*(a + b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a^2*b^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - ((8*a^2 + 3*a*b - 2*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^2*b^3*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + ((8*a - b)*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a*b^3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^4/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 8, ((a + b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a*b*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) - (2*(a - b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a^2*b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - (2*(a - b)*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a*b^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + ((2*a - b)*EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a*b^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]), ((a + b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a*b*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) - (2*(a - b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a^2*b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - (2*(a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^2*b^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + ((2*a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a*b^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^2/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 8, (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + ((a + 2*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + ((a + 2*b)*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a*b*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - (EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a*b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]), (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + ((a + 2*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + ((a + 2*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^2*b*(a + b)*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a*b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^0/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, (b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a*(a + b)*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*b*(2*a + b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (2*(2*a + b)*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^2/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 9, -(((3*a - b)*b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a*(a + b)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))) - (b*(3*a^2 - 7*a*b - 2*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)^3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - ((3*a^2 - 7*a*b - 2*b^2)*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a*(a + b)^3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + ((3*a - b)*EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + Tan[e + f*x]/((a + b)*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)), -(((3*a - b)*b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a*(a + b)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))) - (b*(3*a^2 - 7*a*b - 2*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)^3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - ((3*a^2 - 7*a*b - 2*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^2*(a + b)^3*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + ((3*a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + Tan[e + f*x]/((a + b)*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x]^2)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Cos[e + f*x])^m*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, (d*AppellF1[1/2, (1 - m)/2, -p, 3/2, Sin[e + f*x]^2, -((b*Sin[e + f*x]^2)/a)]*(d*Cos[e + f*x])^(-1 + m)*(Cos[e + f*x]^2)^((1 - m)/2)*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a)^p*f)}
+
+
+{Cos[e + f*x]^5*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 5, If[$VersionNumber>=8, -(((3*a + b*(7 + 2*p))*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b^2*f*(3 + 2*p)*(5 + 2*p))) - (Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b*f*(5 + 2*p)) + ((3*a^2 + 2*a*b*(5 + 2*p) + b^2*(15 + 16*p + 4*p^2))*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*Sin[e + f*x]^2)/a)]*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a)^p*(b^2*f*(3 + 2*p)*(5 + 2*p))), -(((3*a + b*(7 + 2*p))*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b^2*f*(15 + 16*p + 4*p^2))) - (Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b*f*(5 + 2*p)) + ((3*a^2 + 2*a*b*(5 + 2*p) + b^2*(15 + 16*p + 4*p^2))*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*Sin[e + f*x]^2)/a)]*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a)^p*(b^2*f*(15 + 16*p + 4*p^2)))]}
+{Cos[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 4, -((Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b*f*(3 + 2*p))) + ((a + b*(3 + 2*p))*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*Sin[e + f*x]^2)/a)]*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a)^p*(b*f*(3 + 2*p)))}
+{Cos[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, (Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*Sin[e + f*x]^2)/a)]*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a)^p*f)}
+{Sec[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, 1, -p, 3/2, Sin[e + f*x]^2, -((b*Sin[e + f*x]^2)/a)]*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a)^p*f)}
+{Sec[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, 2, -p, 3/2, Sin[e + f*x]^2, -((b*Sin[e + f*x]^2)/a)]*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a)^p*f)}
+
+{Cos[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, -(3/2), -p, 3/2, Sin[e + f*x]^2, -((b*Sin[e + f*x]^2)/a)]*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p*Tan[e + f*x])/((1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a)^p*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, -(1/2), -p, 3/2, Sin[e + f*x]^2, -((b*Sin[e + f*x]^2)/a)]*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p*Tan[e + f*x])/((1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a)^p*f)}
+{Cos[e + f*x]^0*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, 1/2, -p, 3/2, Sin[e + f*x]^2, -((b*Sin[e + f*x]^2)/a)]*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p*Tan[e + f*x])/((1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a)^p*f)}
+{Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, 3/2, -p, 3/2, Sin[e + f*x]^2, -((b*Sin[e + f*x]^2)/a)]*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p*Tan[e + f*x])/((1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a)^p*f)}
+{Sec[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, 5/2, -p, 3/2, Sin[e + f*x]^2, -((b*Sin[e + f*x]^2)/a)]*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p*Tan[e + f*x])/((1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a)^p*f)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 11, ((a^(4/3) - b^(4/3))*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Sin[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(2/3)*b^(5/3)*d) + ((a^(4/3) + b^(4/3))*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Sin[c + d*x]])/(3*a^(2/3)*b^(5/3)*d) - ((a^(4/3) + b^(4/3))*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Sin[c + d*x] + b^(2/3)*Sin[c + d*x]^2])/(6*a^(2/3)*b^(5/3)*d) - (2*Log[a + b*Sin[c + d*x]^3])/(3*b*d) + Sin[c + d*x]^2/(2*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 9, -(ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Sin[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))]/(Sqrt[3]*a^(2/3)*b^(1/3)*d)) + Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Sin[c + d*x]]/(3*a^(2/3)*b^(1/3)*d) - Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Sin[c + d*x] + b^(2/3)*Sin[c + d*x]^2]/(6*a^(2/3)*b^(1/3)*d) - Log[a + b*Sin[c + d*x]^3]/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 7, -(ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Sin[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))]/(Sqrt[3]*a^(2/3)*b^(1/3)*d)) + Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Sin[c + d*x]]/(3*a^(2/3)*b^(1/3)*d) - Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Sin[c + d*x] + b^(2/3)*Sin[c + d*x]^2]/(6*a^(2/3)*b^(1/3)*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 11, -((b^(1/3)*(a^(4/3) - b^(4/3))*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Sin[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(2/3)*(a^2 - b^2)*d)) - Log[1 - Sin[c + d*x]]/(2*(a + b)*d) + Log[1 + Sin[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) - (b^(1/3)*(a^(4/3) + b^(4/3))*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Sin[c + d*x]])/(3*a^(2/3)*(a^2 - b^2)*d) + (b^(1/3)*(a^(4/3) + b^(4/3))*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Sin[c + d*x] + b^(2/3)*Sin[c + d*x]^2])/(6*a^(2/3)*(a^2 - b^2)*d) - (b*Log[a + b*Sin[c + d*x]^3])/(3*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 11, -((b^(5/3)*(2*a^2 - 3*a^(4/3)*b^(2/3) + b^2)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Sin[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(2/3)*(a^2 - b^2)^2*d)) - ((a + 4*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*(a + b)^2*d) + ((a - 4*b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*d) + (b^(5/3)*(2*a^2 + 3*a^(4/3)*b^(2/3) + b^2)*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Sin[c + d*x]])/(3*a^(2/3)*(a^2 - b^2)^2*d) - (b^(5/3)*(2*a^2 + 3*a^(4/3)*b^(2/3) + b^2)*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Sin[c + d*x] + b^(2/3)*Sin[c + d*x]^2])/(6*a^(2/3)*(a^2 - b^2)^2*d) + (b*(a^2 + 2*b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]^3])/(3*(a^2 - b^2)^2*d) + 1/(4*(a + b)*d*(1 - Sin[c + d*x])) - 1/(4*(a - b)*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 38, -((2*(-1)^(2/3)*a^(2/3)*ArcTan[((-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*b^(4/3)*d)) + (2*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*d) + (2*a^(2/3)*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*b^(4/3)*d) - (4*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*b^(2/3)*d) + (2*ArcTan[((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]*d) - (2*(-1)^(1/3)*a^(2/3)*ArcTan[((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]*b^(4/3)*d) - (2*ArcTan[((-1)^(1/3)*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*d) + (4*ArcTanh[(b^(1/3) - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) + b^(2/3)]*b^(2/3)*d) + (4*ArcTanh[(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) + b^(2/3)]*b^(2/3)*d) - Cos[c + d*x]/(b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 24, (2*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*d) - (2*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*b^(2/3)*d) + (2*ArcTan[((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]*d) - (2*ArcTan[((-1)^(1/3)*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*d) + (2*ArcTanh[(b^(1/3) - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) + b^(2/3)]*b^(2/3)*d) + (2*ArcTanh[(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) + b^(2/3)]*b^(2/3)*d)}
+{Cos[c + d*x]^0/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, 11, (2*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*d) + (2*ArcTan[((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]*d) - (2*ArcTan[((-1)^(1/3)*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, -1, (2*(-1)^(2/3)*b^(2/3)*ArcTan[((-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*(a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3))^(3/2)*d) - (2*b^(2/3)*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*(a^(2/3) - b^(2/3))^(3/2)*d) + (2*(-1)^(1/3)*b^(2/3)*ArcTan[((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*(a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3))^(3/2)*d) + (Sec[c + d*x]*(b - a*Sin[c + d*x]))/((-a^2 + b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]^3), x, -1, -((2*(-1)^(2/3)*a^(2/3)*b^(8/3)*ArcTan[((-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*(a^2 - b^2)^2*d)) - (2*b^2*(2*a^2 + b^2)*ArcTan[((-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*(a^2 - b^2)^2*d) + (2*a^(2/3)*b^(8/3)*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*(a^2 - b^2)^2*d) + (2*b^2*(2*a^2 + b^2)*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*(a^2 - b^2)^2*d) + (2*b^(4/3)*(a^2 + 2*b^2)*ArcTan[(b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) - b^(2/3)]*(a^2 - b^2)^2*d) - (2*(-1)^(1/3)*a^(2/3)*b^(8/3)*ArcTan[((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]])/(Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]*(a^2 - b^2)^2*d) + (2*b^2*(2*a^2 + b^2)*ArcTan[((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(2/3) + (-1)^(1/3)*b^(2/3)]*(a^2 - b^2)^2*d) - (2*b^(4/3)*(a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[(b^(1/3) - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) + b^(2/3)]*(a^2 - b^2)^2*d) - (2*b^(4/3)*(a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) + b^(2/3)]*(a^2 - b^2)^2*d) + Cos[c + d*x]/(12*(a + b)*d*(1 - Sin[c + d*x])^2) + Cos[c + d*x]/(12*(a + b)*d*(1 - Sin[c + d*x])) + ((a + 4*b)*Cos[c + d*x])/(4*(a + b)^2*d*(1 - Sin[c + d*x])) - Cos[c + d*x]/(12*(a - b)*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) - ((a - 4*b)*Cos[c + d*x])/(4*(a - b)^2*d*(1 + Sin[c + d*x])) - Cos[c + d*x]/(12*(a - b)*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^7/(a + b*Sin[c + d*x]^3)^2, x, 10, -((2*(2*a^2 + 3*a^(4/3)*b^(2/3) + b^2)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Sin[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(3*Sqrt[3]*a^(5/3)*b^(7/3)*d)) + (2*(2*a^2 - 3*a^(4/3)*b^(2/3) + b^2)*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Sin[c + d*x]])/(9*a^(5/3)*b^(7/3)*d) - ((2*a^2 - 3*a^(4/3)*b^(2/3) + b^2)*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Sin[c + d*x] + b^(2/3)*Sin[c + d*x]^2])/(9*a^(5/3)*b^(7/3)*d) - Sin[c + d*x]/(b^2*d) - (Sin[c + d*x]*(a^2 - b^2 + 3*a*b*Sin[c + d*x] + 3*b^2*Sin[c + d*x]^2))/(3*a*b^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]^3))}
+{Cos[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]^3)^2, x, 8, -((2*(a^(4/3) + b^(4/3))*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Sin[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(3*Sqrt[3]*a^(5/3)*b^(5/3)*d)) - (2*(a^(4/3) - b^(4/3))*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Sin[c + d*x]])/(9*a^(5/3)*b^(5/3)*d) + ((a^(4/3) - b^(4/3))*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Sin[c + d*x] + b^(2/3)*Sin[c + d*x]^2])/(9*a^(5/3)*b^(5/3)*d) + (Sin[c + d*x]*(b - a*Sin[c + d*x] - 2*b*Sin[c + d*x]^2))/(3*a*b*d*(a + b*Sin[c + d*x]^3))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]^3)^2, x, 9, -((2*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Sin[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(3*Sqrt[3]*a^(5/3)*b^(1/3)*d)) + (2*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Sin[c + d*x]])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)*d) - Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Sin[c + d*x] + b^(2/3)*Sin[c + d*x]^2]/(9*a^(5/3)*b^(1/3)*d) + (a + b*Sin[c + d*x])/(3*a*b*d*(a + b*Sin[c + d*x]^3))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]^3)^2, x, 8, -((2*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Sin[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(3*Sqrt[3]*a^(5/3)*b^(1/3)*d)) + (2*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Sin[c + d*x]])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)*d) - Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Sin[c + d*x] + b^(2/3)*Sin[c + d*x]^2]/(9*a^(5/3)*b^(1/3)*d) + Sin[c + d*x]/(3*a*d*(a + b*Sin[c + d*x]^3))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]^3)^2, x, 18, -((b^(1/3)*(a^(4/3) - 2*b^(4/3))*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Sin[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(3*Sqrt[3]*a^(5/3)*(a^2 - b^2)*d)) - (b^(1/3)*(a^2 - 2*a^(2/3)*b^(4/3) + b^2)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Sin[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(1/3)*(a^2 - b^2)^2*d) - Log[1 - Sin[c + d*x]]/(2*(a + b)^2*d) + Log[1 + Sin[c + d*x]]/(2*(a - b)^2*d) - (b^(1/3)*(a^(4/3) + 2*b^(4/3))*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Sin[c + d*x]])/(9*a^(5/3)*(a^2 - b^2)*d) - (b^(1/3)*(a^2 + 2*a^(2/3)*b^(4/3) + b^2)*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Sin[c + d*x]])/(3*a^(1/3)*(a^2 - b^2)^2*d) + (b^(1/3)*(a^(4/3) + 2*b^(4/3))*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Sin[c + d*x] + b^(2/3)*Sin[c + d*x]^2])/(18*a^(5/3)*(a^2 - b^2)*d) + (b^(1/3)*(a^2 + 2*a^(2/3)*b^(4/3) + b^2)*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Sin[c + d*x] + b^(2/3)*Sin[c + d*x]^2])/(6*a^(1/3)*(a^2 - b^2)^2*d) - (2*a*b*Log[a + b*Sin[c + d*x]^3])/(3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b*(a - Sin[c + d*x]*(b - a*Sin[c + d*x])))/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x]^3))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]^3)^2, x, 18, -((b^(5/3)*(4*a^2 - 3*a^(4/3)*b^(2/3) + 2*b^2)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Sin[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(3*Sqrt[3]*a^(5/3)*(a^2 - b^2)^2*d)) - (b^(5/3)*(4*a^(8/3) - 9*a^2*b^(2/3) + 8*a^(2/3)*b^2 - 3*b^(8/3))*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Sin[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(1/3)*(a^2 - b^2)^3*d) - ((a + 7*b)*Log[1 - Sin[c + d*x]])/(4*(a + b)^3*d) + ((a - 7*b)*Log[1 + Sin[c + d*x]])/(4*(a - b)^3*d) + (b^(5/3)*(4*a^2 + 3*a^(4/3)*b^(2/3) + 2*b^2)*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Sin[c + d*x]])/(9*a^(5/3)*(a^2 - b^2)^2*d) + (b^(5/3)*(3*b^(2/3)*(3*a^2 + b^2) + 4*a^(2/3)*(a^2 + 2*b^2))*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Sin[c + d*x]])/(3*a^(1/3)*(a^2 - b^2)^3*d) - (b^(5/3)*(4*a^2 + 3*a^(4/3)*b^(2/3) + 2*b^2)*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Sin[c + d*x] + b^(2/3)*Sin[c + d*x]^2])/(18*a^(5/3)*(a^2 - b^2)^2*d) - (b^(5/3)*(3*b^(2/3)*(3*a^2 + b^2) + 4*a^(2/3)*(a^2 + 2*b^2))*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Sin[c + d*x] + b^(2/3)*Sin[c + d*x]^2])/(6*a^(1/3)*(a^2 - b^2)^3*d) + (2*a*b*(a^2 + 5*b^2)*Log[a + b*Sin[c + d*x]^3])/(3*(a^2 - b^2)^3*d) + 1/(4*(a + b)^2*d*(1 - Sin[c + d*x])) - 1/(4*(a - b)^2*d*(1 + Sin[c + d*x])) - (b*(a*(a^2 + 2*b^2) - b*Sin[c + d*x]*(2*a^2 + b^2 - 3*a*b*Sin[c + d*x])))/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sin[c + d*x]^3))}
+
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]^3)^2, x, 0, Unintegrable[Cos[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]^3)^2, x]}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]^3)^2, x, 0, Unintegrable[Cos[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]^3)^2, x]}
+{Cos[c + d*x]^0/(a + b*Sin[c + d*x]^3)^2, x, 0, Unintegrable[1/(a + b*Sin[c + d*x]^3)^2, x]}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]^3)^2, x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]^3)^2, x]}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]^3)^2, x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]^3)^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^7/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 6, ((Sqrt[a] + Sqrt[b])^3*ArcTan[(b^(1/4)*Sin[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*b^(7/4)*d) - ((Sqrt[a] - Sqrt[b])^3*ArcTanh[(b^(1/4)*Sin[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*b^(7/4)*d) - (3*Sin[c + d*x])/(b*d) + Sin[c + d*x]^3/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^5/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 6, ((Sqrt[a] + Sqrt[b])^2*ArcTan[(b^(1/4)*Sin[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*b^(5/4)*d) + ((a - 2*Sqrt[a]*Sqrt[b] + b)*ArcTanh[(b^(1/4)*Sin[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*b^(5/4)*d) - Sin[c + d*x]/(b*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 4, ((Sqrt[a] + Sqrt[b])*ArcTan[(b^(1/4)*Sin[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*b^(3/4)*d) - ((Sqrt[a] - Sqrt[b])*ArcTanh[(b^(1/4)*Sin[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*b^(3/4)*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 4, ArcTan[(b^(1/4)*Sin[c + d*x])/a^(1/4)]/(2*a^(3/4)*b^(1/4)*d) + ArcTanh[(b^(1/4)*Sin[c + d*x])/a^(1/4)]/(2*a^(3/4)*b^(1/4)*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 7, (b^(1/4)*ArcTan[(b^(1/4)*Sin[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])*d) + ArcTanh[Sin[c + d*x]]/((a - b)*d) - (b^(1/4)*ArcTanh[(b^(1/4)*Sin[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 7, (b^(3/4)*ArcTan[(b^(1/4)*Sin[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^2*d) + ((a - 5*b)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*(a - b)^2*d) + (b^(3/4)*ArcTanh[(b^(1/4)*Sin[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^2*d) + 1/(4*(a - b)*d*(1 - Sin[c + d*x])) - 1/(4*(a - b)*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 7, (b^(5/4)*ArcTan[(b^(1/4)*Sin[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^3*d) + ((3*a^2 - 6*a*b + 35*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*(a - b)^3*d) - (b^(5/4)*ArcTanh[(b^(1/4)*Sin[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^3*d) + 1/(16*(a - b)*d*(1 - Sin[c + d*x])^2) + (3*a - 11*b)/(16*(a - b)^2*d*(1 - Sin[c + d*x])) - 1/(16*(a - b)*d*(1 + Sin[c + d*x])^2) - (3*a - 11*b)/(16*(a - b)^2*d*(1 + Sin[c + d*x]))}
+
+{Cos[c + d*x]^10/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 16, -((17*x)/(16*b)) - (4*(a + b)*x)/b^2 - ((a + 3*b)*x)/(2*b^2) - ((Sqrt[a] - Sqrt[b])^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*b^(5/2)*d) + ((Sqrt[a] + Sqrt[b])^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*b^(5/2)*d) - (17*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*b*d) - ((a + 3*b)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d) - (17*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*b*d) - (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^8/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 12, -((11*x)/(8*b)) - ((a + 3*b)*x)/b^2 + ((Sqrt[a] - Sqrt[b])^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*b^2*d) + ((Sqrt[a] + Sqrt[b])^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*b^2*d) - (11*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*b*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^6/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 9, -((5*x)/(2*b)) - ((Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*b^(3/2)*d) + ((Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*b^(3/2)*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 7, -(x/b) + ((Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*b*d) + ((Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 4, -((Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*Sqrt[b]*d)) + (Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*Sqrt[b]*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 6, -((Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*d)) + (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*d) + Tan[c + d*x]/((a - b)*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 6, (b*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*d) + (b*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*d) + ((a - 3*b)*Tan[c + d*x])/((a - b)^2*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*(a - b)*d)}
+{Sec[c + d*x]^6/(a - b*Sin[c + d*x]^4), x, 6, -((b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(7/2)*d)) + (b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(3/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(7/2)*d) + ((a^2 - 3*a*b + 6*b^2)*Tan[c + d*x])/((a - b)^3*d) + (2*(a - 2*b)*Tan[c + d*x]^3)/(3*(a - b)^2*d) + Tan[c + d*x]^5/(5*(a - b)*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^4)^p when p symbolic*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^m*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p, x, 0, Unintegrable[Cos[e + f*x]^m*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p, x]}
+
+
+{Cos[e + f*x]^5*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p, x, 8, (Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^(1 + p))/(b*f*(5 + 4*p)) - ((a - b*(5 + 4*p))*Hypergeometric2F1[1/4, -p, 5/4, -((b*Sin[e + f*x]^4)/a)]*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^4)/a)^p*(b*f*(5 + 4*p))) - (2*Hypergeometric2F1[3/4, -p, 7/4, -((b*Sin[e + f*x]^4)/a)]*Sin[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^4)/a)^p*(3*f))}
+{Cos[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p, x, 7, (Hypergeometric2F1[1/4, -p, 5/4, -((b*Sin[e + f*x]^4)/a)]*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^4)/a)^p*f) - (Hypergeometric2F1[3/4, -p, 7/4, -((b*Sin[e + f*x]^4)/a)]*Sin[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^4)/a)^p*(3*f))}
+{Cos[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p, x, 3, (Hypergeometric2F1[1/4, -p, 5/4, -((b*Sin[e + f*x]^4)/a)]*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^4)/a)^p*f)}
+{Sec[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p, x, 7, (AppellF1[1/4, 1, -p, 5/4, Sin[e + f*x]^4, -((b*Sin[e + f*x]^4)/a)]*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^4)/a)^p*f) + (AppellF1[3/4, 1, -p, 7/4, Sin[e + f*x]^4, -((b*Sin[e + f*x]^4)/a)]*Sin[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^4)/a)^p*(3*f))}
+{Sec[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p, x, 9, (AppellF1[1/4, 2, -p, 5/4, Sin[e + f*x]^4, -((b*Sin[e + f*x]^4)/a)]*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^4)/a)^p*f) + (2*AppellF1[3/4, 2, -p, 7/4, Sin[e + f*x]^4, -((b*Sin[e + f*x]^4)/a)]*Sin[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^4)/a)^p*(3*f)) + (AppellF1[5/4, 2, -p, 9/4, Sin[e + f*x]^4, -((b*Sin[e + f*x]^4)/a)]*Sin[e + f*x]^5*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^4)/a)^p*(5*f))}
+
+{Cos[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p, x, 0, Unintegrable[Cos[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p, x]}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p, x, 0, Unintegrable[Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p, x]}
+{Cos[e + f*x]^0*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p, x]}
+{Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p, x, 0, Unintegrable[Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p, x]}
+{Sec[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p, x, 0, Unintegrable[Sec[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^n)^p when p symbolic*)
+
+
+{Cos[e + f*x]^m*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x, 0, Unintegrable[Cos[e + f*x]^m*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x]}
+
+
+{Cos[e + f*x]^5*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x, 9, (Hypergeometric2F1[1/n, -p, 1 + 1/n, -((b*Sin[e + f*x]^n)/a)]*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^n)/a)^p*f) - (2*Hypergeometric2F1[3/n, -p, (3 + n)/n, -((b*Sin[e + f*x]^n)/a)]*Sin[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^n)/a)^p*(3*f)) + (Hypergeometric2F1[5/n, -p, (5 + n)/n, -((b*Sin[e + f*x]^n)/a)]*Sin[e + f*x]^5*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^n)/a)^p*(5*f))}
+{Cos[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x, 7, (Hypergeometric2F1[1/n, -p, 1 + 1/n, -((b*Sin[e + f*x]^n)/a)]*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^n)/a)^p*f) - (Hypergeometric2F1[3/n, -p, (3 + n)/n, -((b*Sin[e + f*x]^n)/a)]*Sin[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^n)/a)^p*(3*f))}
+{Cos[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x, 3, (Hypergeometric2F1[1/n, -p, 1 + 1/n, -((b*Sin[e + f*x]^n)/a)]*Sin[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^n)/a)^p*f)}
+{Sec[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x, 0, Unintegrable[Sec[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x]}
+{Sec[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x, 0, Unintegrable[Sec[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x]}
+
+{Cos[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x, 0, Unintegrable[Cos[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x]}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x, 0, Unintegrable[Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x]}
+{Cos[e + f*x]^0*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x]}
+{Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x, 0, Unintegrable[Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x]}
+{Sec[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x, 0, Unintegrable[Sec[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^n)^p, x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^2)^p when a+b=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^2)^p*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^7/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 3, (a^3*Log[Cos[c + d*x]])/((a + b)^4*d) - (a^3*Log[a + b*Sin[c + d*x]^2])/(2*(a + b)^4*d) + ((3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Sec[c + d*x]^2)/(2*(a + b)^3*d) - ((3*a + 2*b)*Sec[c + d*x]^4)/(4*(a + b)^2*d) + Sec[c + d*x]^6/(6*(a + b)*d)}
+{Tan[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 3, -((a^2*Log[Cos[c + d*x]])/((a + b)^3*d)) + (a^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]^2])/(2*(a + b)^3*d) - ((2*a + b)*Sec[c + d*x]^2)/(2*(a + b)^2*d) + Sec[c + d*x]^4/(4*(a + b)*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 3, (a*Log[Cos[c + d*x]])/((a + b)^2*d) - (a*Log[a + b*Sin[c + d*x]^2])/(2*(a + b)^2*d) + Sec[c + d*x]^2/(2*(a + b)*d)}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 4, -(Log[Cos[c + d*x]]/((a + b)*d)) + Log[a + b*Sin[c + d*x]^2]/(2*(a + b)*d)}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 4, Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - Log[a + b*Sin[c + d*x]^2]/(2*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 3, -(Csc[c + d*x]^2/(2*a*d)) - ((a + b)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + ((a + b)*Log[a + b*Sin[c + d*x]^2])/(2*a^2*d)}
+{Cot[c + d*x]^5/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 3, ((2*a + b)*Csc[c + d*x]^2)/(2*a^2*d) - Csc[c + d*x]^4/(4*a*d) + ((a + b)^2*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - ((a + b)^2*Log[a + b*Sin[c + d*x]^2])/(2*a^3*d)}
+{Cot[c + d*x]^7/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 3, -(((3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Csc[c + d*x]^2)/(2*a^3*d)) + ((3*a + b)*Csc[c + d*x]^4)/(4*a^2*d) - Csc[c + d*x]^6/(6*a*d) - ((a + b)^3*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + ((a + b)^3*Log[a + b*Sin[c + d*x]^2])/(2*a^4*d)}
+
+{Tan[c + d*x]^8/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 4, (a^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/((a + b)^(9/2)*d) - (a^3*Tan[c + d*x])/((a + b)^4*d) + (a^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*(a + b)^3*d) - (a*Tan[c + d*x]^5)/(5*(a + b)^2*d) + Tan[c + d*x]^7/(7*(a + b)*d)}
+{Tan[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 4, -((a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/((a + b)^(7/2)*d)) + (a^2*Tan[c + d*x])/((a + b)^3*d) - (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*(a + b)^2*d) + Tan[c + d*x]^5/(5*(a + b)*d)}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 4, (a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/((a + b)^(5/2)*d) - (a*Tan[c + d*x])/((a + b)^2*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*(a + b)*d)}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 3, -((Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/((a + b)^(3/2)*d)) + Tan[c + d*x]/((a + b)*d)}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 3, -((Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d)) - Cot[c + d*x]/(a*d)}
+{Cot[c + d*x]^4/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 4, ((a + b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*d) + ((a + b)*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^6/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 5, -(((a + b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(a^(7/2)*d)) - ((a + b)^2*Cot[c + d*x])/(a^3*d) + ((a + b)*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^8/(a + b*Sin[c + d*x]^2), x, 6, ((a + b)^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(a^(9/2)*d) + ((a + b)^3*Cot[c + d*x])/(a^4*d) - ((a + b)^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + ((a + b)*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - Cot[c + d*x]^7/(7*a*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^2)^(p/2) when a+b=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^5, x, 5, a^2/(3*f*(a*Cos[e + f*x]^2)^(3/2)) - (2*a)/(f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]) - Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]/f}
+{Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^3, x, 5, a/(f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]) + Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]/f}
+{Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^1, x, 4, -(Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]/f)}
+{Cot[e + f*x]^1*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2], x, 5, -((Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f) + Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]/f}
+{Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2], x, 7, (3*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*f) - (3*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2])/(2*f) - ((a*Cos[e + f*x]^2)^(3/2)*Csc[e + f*x]^2)/(2*a*f)}
+
+{Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^6, x, 7, (15*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x])/(8*f) - (15*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(8*f) - (5*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^3)/(8*f) + (Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^5)/(4*f)}
+{Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^4, x, 6, (-3*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x])/(2*f) + (3*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(2*f) + (Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^3)/(2*f)}
+{Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^2, x, 5, (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x])/f - (Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/f}
+{Cot[e + f*x]^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2], x, 5, -((Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Csc[e + f*x]*Sec[e + f*x])/f) - (Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/f}
+{Cot[e + f*x]^4*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2], x, 5, (2*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Csc[e + f*x]*Sec[e + f*x])/f - (Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Csc[e + f*x]^3*Sec[e + f*x])/(3*f) + (Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/f}
+{Cot[e + f*x]^6*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2], x, 5, (-3*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Csc[e + f*x]*Sec[e + f*x])/f + (Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Csc[e + f*x]^3*Sec[e + f*x])/f - (Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Csc[e + f*x]^5*Sec[e + f*x])/(5*f) - (Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/f}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2], x, 5, a^2/(5*f*(a*Cos[e + f*x]^2)^(5/2)) - (2*a)/(3*f*(a*Cos[e + f*x]^2)^(3/2)) + 1/(f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^3/Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2], x, 5, a/(3*f*(a*Cos[e + f*x]^2)^(3/2)) - 1/(f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^1/Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2], x, 4, 1/(f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^1/Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2], x, 4, -(ArcTanh[Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*f))}
+{Cot[e + f*x]^3/Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2], x, 6, ArcTanh[Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(2*Sqrt[a]*f) - (Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Csc[e + f*x]^2)/(2*a*f)}
+
+{Tan[e + f*x]^4/Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2], x, 5, (3*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(8*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]) - (3*Tan[e + f*x])/(8*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]) + Tan[e + f*x]^3/(4*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^2/Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2], x, 4, -(ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(2*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]) + Tan[e + f*x]/(2*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^2/Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2], x, 4, -(Cot[e + f*x]/(f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]))}
+{Cot[e + f*x]^4/Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2], x, 4, Cot[e + f*x]/(f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2)/(3*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^6/Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]^2], x, 5, -(Cot[e + f*x]/(f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2])) + (2*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2)/(3*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^4)/(5*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2])}
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/(a - a*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, a^2/(7*f*(a*Cos[e + f*x]^2)^(7/2)) - (2*a)/(5*f*(a*Cos[e + f*x]^2)^(5/2)) + 1/(3*f*(a*Cos[e + f*x]^2)^(3/2))}
+{Tan[e + f*x]^3/(a - a*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, a/(5*f*(a*Cos[e + f*x]^2)^(5/2)) - 1/(3*f*(a*Cos[e + f*x]^2)^(3/2))}
+{Tan[e + f*x]^1/(a - a*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, 1/(3*f*(a*Cos[e + f*x]^2)^(3/2))}
+{Cot[e + f*x]^1/(a - a*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -(ArcTanh[Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(3/2)*f)) + 1/(a*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^3/(a - a*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -ArcTanh[Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(2*a^(3/2)*f) - (Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]*Csc[e + f*x]^2)/(2*a^2*f)}
+
+{Tan[e + f*x]^2/(a - a*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -(ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(8*a*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]) - Tan[e + f*x]/(8*a*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]) + (Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(4*a*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^2/(a - a*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]) - Cot[e + f*x]/(a*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^4/(a - a*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -(Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2)/(3*a*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^6/(a - a*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2)/(3*a*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^4)/(5*a*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^8/(a - a*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -(Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2)/(3*a*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]) + (2*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^4)/(5*a*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2]) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^6)/(7*a*f*Sqrt[a*Cos[e + f*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^5, x, 6, ((8*a^2 + 24*a*b + 15*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(8*(a + b)^(3/2)*f) - ((8*a^2 + 24*a*b + 15*b^2)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(8*(a + b)^2*f) - ((8*a + 7*b)*Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))/(8*(a + b)^2*f) + (Sec[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*(a + b)*f)}
+{Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^3, x, 5, -((2*a + 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(2*Sqrt[a + b]*f) + ((2*a + 3*b)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(2*(a + b)*f) + (Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))/(2*(a + b)*f)}
+{Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^1, x, 4, (Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/f - Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/f}
+{Cot[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 4, -((Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f) + Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/f}
+{Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 5, ((2*a - b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*Sqrt[a]*f) - ((2*a - b)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(2*a*f) - (Csc[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))/(2*a*f)}
+{Cot[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 6, -((8*a^2 - 8*a*b - b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(8*a^(3/2)*f) + ((8*a^2 - 8*a*b - b^2)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(8*a^2*f) + ((8*a + b)*Csc[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))/(8*a^2*f) - (Csc[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*a*f)}
+
+{Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^4, x, 8, ((7*a + 8*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*(a + b)*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (4*a*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - ((3*a + 4*b)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)*f) + (Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^2, x, 7, -((2*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])) + (a*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/f}
+{Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^0, x, 2, (EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])}
+{Cot[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 7, -((Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/f) - (2*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + ((a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 8, ((3*a - b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a*f) - (Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f) + ((7*a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (4*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)*Tan[e + f*x]^5, x, 7, ((8*a^2 + 40*a*b + 35*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(8*Sqrt[a + b]*f) - ((8*a^2 + 40*a*b + 35*b^2)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(8*(a + b)*f) - ((8*a^2 + 40*a*b + 35*b^2)*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))/(24*(a + b)^2*f) - ((8*a + 9*b)*Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2))/(8*(a + b)^2*f) + (Sec[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2))/(4*(a + b)*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)*Tan[e + f*x]^3, x, 6, -(Sqrt[a + b]*(2*a + 5*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(2*f) + ((2*a + 5*b)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(2*f) + ((2*a + 5*b)*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))/(6*(a + b)*f) + (Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2))/(2*(a + b)*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)*Tan[e + f*x]^1, x, 5, ((a + b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/f - ((a + b)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/f - (a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)/(3*f)}
+{Cot[e + f*x]^1*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -((a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f) + (a*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/f + (a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)/(3*f)}
+{Cot[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, (Sqrt[a]*(2*a - 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*f) - ((2*a - 3*b)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(2*f) - ((2*a - 3*b)*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))/(6*a*f) - (Csc[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2))/(2*a*f)}
+{Cot[e + f*x]^5*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, -((8*a^2 - 24*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(8*Sqrt[a]*f) + ((8*a^2 - 24*a*b + 3*b^2)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(8*a*f) + ((8*a^2 - 24*a*b + 3*b^2)*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))/(24*a^2*f) + ((8*a - b)*Csc[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2))/(8*a^2*f) - (Csc[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2))/(4*a*f)}
+
+{(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)*Tan[e + f*x]^4, x, 9, -(((3*a + 8*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f)) + (8*(a + 2*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (a*(5*a + 8*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - ((a + 2*b)*Sin[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/f + ((a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)*Tan[e + f*x]^2, x, 8, (4*b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f) - ((7*a + 8*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (4*a*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + ((a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)*Tan[e + f*x])/f}
+{(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)*Tan[e + f*x]^0, x, 6, -((b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f)) + (2*(2*a + b)*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (a*(a + b)*EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, (4*b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f) - (Cot[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))/f - ((7*a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (4*a*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^4*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, ((a - b)*Cos[e + f*x]^2*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/f + ((3*a - 5*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f) - (Cot[e + f*x]^3*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))/(3*f) + (8*(a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - ((5*a - 3*b)*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 5, ((8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(8*(a + b)^(5/2)*f) - ((8*a + 5*b)*Sec[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(8*(a + b)^2*f) + (Sec[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(4*(a + b)*f)}
+{Tan[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 4, -((2*a + b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(2*(a + b)^(3/2)*f) + (Sec[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(2*(a + b)*f)}
+{Tan[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 3, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[a + b]*f)}
+{Cot[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 3, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*f))}
+{Cot[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 4, ((2*a + b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*f) - (Csc[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(2*a*f)}
+{Cot[e + f*x]^5/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 5, -((8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*f) + ((8*a + 3*b)*Csc[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(8*a^2*f) - (Csc[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(4*a*f)}
+
+{Tan[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 8, (2*(2*a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*(a + b)^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (a*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - (2*(2*a + b)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)^2*f) + (Sec[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)*f)}
+{Tan[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 4, -((Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/((a + b)*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])) + (Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/((a + b)*f)}
+{Tan[e + f*x]^0/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 2, (EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 5, -((Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(a*f)) - (Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(a*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])}
+{Cot[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x, 8, (2*(2*a + b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^2*f) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a*f) + (2*(2*a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - ((a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, ((8*a^2 - 8*a*b - b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(8*(a + b)^(7/2)*f) - (8*a^2 - 8*a*b - b^2)/(8*(a + b)^3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - ((8*a + 3*b)*Sec[e + f*x]^2)/(8*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + Sec[e + f*x]^4/(4*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^3/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -((2*a - b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(2*(a + b)^(5/2)*f) + (2*a - b)/(2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + Sec[e + f*x]^2/(2*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^1/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]]/((a + b)^(3/2)*f) - 1/((a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^1/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(3/2)*f)) + 1/(a*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^3/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, ((2*a + 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*a^(5/2)*f) - (2*a + 3*b)/(2*a^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - Csc[e + f*x]^2/(2*a*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^5/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -((8*a^2 + 24*a*b + 15*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(8*a^(7/2)*f) + (8*a^2 + 24*a*b + 15*b^2)/(8*a^3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + ((8*a + 5*b)*Csc[e + f*x]^2)/(8*a^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - Csc[e + f*x]^4/(4*a*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+
+{Tan[e + f*x]^4/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, ((7*a - b)*b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*(a + b)^3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + ((7*a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*(a + b)^3*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (4*a*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - (4*a*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^2/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, -((2*b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/((a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])) - (2*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/((a + b)^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/((a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + Tan[e + f*x]/((a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^0/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, (b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(a*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(a*(a + b)*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])}
+{Cot[e + f*x]^2/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, Cot[e + f*x]/(a*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - (2*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(a^2*f) - (2*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(a^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(a*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^4/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, ((a + b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2)/(a*b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + ((7*a + 8*b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^3*f) - ((3*a + 4*b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^2*b*f) + ((7*a + 8*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^3*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (4*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, ((8*a^2 - 24*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(8*(a + b)^(9/2)*f) - (8*a^2 - 24*a*b + 3*b^2)/(24*(a + b)^3*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) - ((8*a + b)*Sec[e + f*x]^2)/(8*(a + b)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + Sec[e + f*x]^4/(4*(a + b)*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) - (8*a^2 - 24*a*b + 3*b^2)/(8*(a + b)^4*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^3/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, -((2*a - 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(2*(a + b)^(7/2)*f) + (2*a - 3*b)/(6*(a + b)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + Sec[e + f*x]^2/(2*(a + b)*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*a - 3*b)/(2*(a + b)^3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^1/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]]/((a + b)^(5/2)*f) - 1/(3*(a + b)*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) - 1/((a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^1/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 5, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(5/2)*f)) + 1/(3*a*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + 1/(a^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^3/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, ((2*a + 5*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*a^(7/2)*f) - (2*a + 5*b)/(6*a^2*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) - Csc[e + f*x]^2/(2*a*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) - (2*a + 5*b)/(2*a^3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^5/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, -((8*a^2 + 40*a*b + 35*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(8*a^(9/2)*f) + (8*a^2 + 40*a*b + 35*b^2)/(24*a^3*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + ((8*a + 7*b)*Csc[e + f*x]^2)/(8*a^2*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) - Csc[e + f*x]^4/(4*a*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + (8*a^2 + 40*a*b + 35*b^2)/(8*a^4*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+
+{Tan[e + f*x]^4/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 10, ((5*a - 3*b)*b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*(a + b)^3*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + (8*(a - b)*b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*(a + b)^4*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (8*(a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*(a + b)^4*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - ((5*a - 3*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*(a + b)^3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - (2*(2*a - b)*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + (Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))}
+{Tan[e + f*x]^2/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 9, -((4*b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*(a + b)^2*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))) - ((7*a - b)*b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a*(a + b)^3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - ((7*a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a*(a + b)^3*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (4*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + Tan[e + f*x]/((a + b)*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2))}
+{Tan[e + f*x]^0/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, (b*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a*(a + b)*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*b*(2*a + b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (2*(2*a + b)*EllipticE[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - (EllipticF[e + f*x, -(b/a)]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^2/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 9, Cot[e + f*x]/(3*a*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + ((3*a + 4*b)*Cot[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) - ((7*a + 8*b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^3*(a + b)*f) - ((7*a + 8*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^3*(a + b)*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) + (4*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^4/(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(5/2), x, 10, ((a + b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2)/(3*a*b*f*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*(a + 3*b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2)/(3*a^2*b*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]) + (8*(a + 2*b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^4*f) - ((3*a + 8*b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^3*b*f) + (8*(a + 2*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])/(3*a^4*f*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a]) - ((5*a + 8*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], -(b/a)]*Sec[e + f*x]*Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a])/(3*a^3*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x]^2)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^m*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[(1 + m)/2, (1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, Sin[e + f*x]^2, -((b*Sin[e + f*x]^2)/a)]*(Cos[e + f*x]^2)^((1 + m)/2)*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p*(d*Tan[e + f*x])^(1 + m))/((1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a)^p*(d*f*(1 + m)))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^p, x, 3, -(((a + b + b*p)*Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, (a + b*Sin[c + d*x]^2)/(a + b)]*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^(1 + p))/(2*(a + b)^2*d*(1 + p))) + (Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^(1 + p))/(2*(a + b)*d)}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^p, x, 2, (Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, (a + b*Sin[c + d*x]^2)/(a + b)]*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^(1 + p))/(2*(a + b)*d*(1 + p))}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^p, x, 2, -((Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*Sin[c + d*x]^2)/a]*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^(1 + p))/(2*a*d*(1 + p)))}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^p, x, 3, -((Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^(1 + p))/(2*a*d)) + ((a - b*p)*Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*Sin[c + d*x]^2)/a]*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^(1 + p))/(2*a^2*d*(1 + p))}
+
+{Tan[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[5/2, 5/2, -p, 7/2, Sin[c + d*x]^2, -((b*Sin[c + d*x]^2)/a)]*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^p*Tan[c + d*x])/((1 + (b*Sin[c + d*x]^2)/a)^p*(5*d))}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[3/2, 3/2, -p, 5/2, Sin[c + d*x]^2, -((b*Sin[c + d*x]^2)/a)]*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^p*Tan[c + d*x])/((1 + (b*Sin[c + d*x]^2)/a)^p*(3*d))}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^p, x, 3, -((AppellF1[-(1/2), -(1/2), -p, 1/2, Sin[c + d*x]^2, -((b*Sin[c + d*x]^2)/a)]*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]*Csc[c + d*x]*Sec[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^p)/((1 + (b*Sin[c + d*x]^2)/a)^p*d))}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^p, x, 3, -((AppellF1[-(3/2), -(3/2), -p, -(1/2), Sin[c + d*x]^2, -((b*Sin[c + d*x]^2)/a)]*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]*Csc[c + d*x]^3*Sec[c + d*x]*(a + b*Sin[c + d*x]^2)^p)/((1 + (b*Sin[c + d*x]^2)/a)^p*(3*d)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cot[x]^3/(a + b*Sin[x]^3), x, 11, (b^(2/3)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Sin[x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(5/3)) - Csc[x]^2/(2*a) - Log[Sin[x]]/a - (b^(2/3)*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Sin[x]])/(3*a^(5/3)) + (b^(2/3)*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Sin[x] + b^(2/3)*Sin[x]^2])/(6*a^(5/3)) + Log[a + b*Sin[x]^3]/(3*a)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^3)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Cot[x]*Sqrt[a + b*Sin[x]^3], x, 5, (-(2/3))*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[x]^3]/Sqrt[a]] + (2/3)*Sqrt[a + b*Sin[x]^3]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cot[x]^1/Sqrt[a + b*Sin[x]^3], x, 4, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[x]^3]/Sqrt[a]])/(3*Sqrt[a]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^4)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 5, -((Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4]/Sqrt[a]])/(2*d)) + Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4]/(2*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^3/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 4, -((a*ArcTanh[(a + b*Sin[c + d*x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4])])/(2*(a + b)^(3/2)*d)) + (Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4])/(2*(a + b)*d)}
+{Tan[c + d*x]^1/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 3, ArcTanh[(a + b*Sin[c + d*x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4])]/(2*Sqrt[a + b]*d)}
+{Cot[c + d*x]^1/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 4, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4]/Sqrt[a]]/(2*Sqrt[a]*d))}
+{Cot[c + d*x]^3/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4]/Sqrt[a]]/(2*Sqrt[a]*d) - (Csc[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4])/(2*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^5/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 6, -(((2*a - b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4]/Sqrt[a]])/(4*a^(3/2)*d)) + (Csc[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4])/(a*d) - (Csc[c + d*x]^4*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4])/(4*a*d)}
+
+{Tan[c + d*x]^2/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 4, (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a + b)*Tan[c + d*x]^4))/(Sqrt[a + b]*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4]*(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)) - (a^(1/4)*Cos[c + d*x]^2*EllipticE[2*ArcTan[((a + b)^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)], (1/2)*(1 - Sqrt[a]/Sqrt[a + b])]*(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)*Sqrt[(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a + b)*Tan[c + d*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)^2])/((a + b)^(3/4)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4]) + (a^(1/4)*Cos[c + d*x]^2*EllipticF[2*ArcTan[((a + b)^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)], (1/2)*(1 - Sqrt[a]/Sqrt[a + b])]*(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)*Sqrt[(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a + b)*Tan[c + d*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)^2])/(2*(a + b)^(3/4)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4])}
+{Tan[c + d*x]^0/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 2, (Cos[c + d*x]^2*EllipticF[2*ArcTan[((a + b)^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)], (1/2)*(1 - Sqrt[a]/Sqrt[a + b])]*(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)*Sqrt[(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a + b)*Tan[c + d*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)^2])/(2*a^(1/4)*(a + b)^(1/4)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4])}
+{Cot[c + d*x]^2/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4], x, 6, -((Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a + b)*Tan[c + d*x]^4))/(a*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4])) + (Sqrt[a + b]*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a + b)*Tan[c + d*x]^4))/(a*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4]*(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)) - ((a + b)^(1/4)*Cos[c + d*x]^2*EllipticE[2*ArcTan[((a + b)^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)], (1/2)*(1 - Sqrt[a]/Sqrt[a + b])]*(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)*Sqrt[(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a + b)*Tan[c + d*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)^2])/(a^(3/4)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4]) + ((a + b)^(1/4)*Cos[c + d*x]^2*EllipticF[2*ArcTan[((a + b)^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)], (1/2)*(1 - Sqrt[a]/Sqrt[a + b])]*(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)*Sqrt[(a + 2*a*Tan[c + d*x]^2 + (a + b)*Tan[c + d*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x]^2)^2])/(2*a^(3/4)*d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]^4])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^4)^p when p symbolic*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^m*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p*Tan[c + d*x]^m, x]}
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p, x, 11, -(((a + b + 2*b*p)*Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, (a + b*Sin[c + d*x]^4)/(a + b)]*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^(1 + p))/(4*(a + b)^2*d*(1 + p))) + (Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^(1 + p))/(2*(a + b)*d) - ((a + b + 2*b*p)*AppellF1[1/2, 1, -p, 3/2, Sin[c + d*x]^4, -((b*Sin[c + d*x]^4)/a)]*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p)/((1 + (b*Sin[c + d*x]^4)/a)^p*(2*(a + b)*d)) + (b*(1 + 2*p)*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*Sin[c + d*x]^4)/a)]*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p)/((1 + (b*Sin[c + d*x]^4)/a)^p*(2*(a + b)*d))}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p, x, 7, (Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, (a + b*Sin[c + d*x]^4)/(a + b)]*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^(1 + p))/(4*(a + b)*d*(1 + p)) + (AppellF1[1/2, 1, -p, 3/2, Sin[c + d*x]^4, -((b*Sin[c + d*x]^4)/a)]*Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p)/((1 + (b*Sin[c + d*x]^4)/a)^p*(2*d))}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p, x, 3, -((Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*Sin[c + d*x]^4)/a]*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^(1 + p))/(4*a*d*(1 + p)))}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p, x, 6, (Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*Sin[c + d*x]^4)/a]*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^(1 + p))/(4*a*d*(1 + p)) - (Csc[c + d*x]^2*Hypergeometric2F1[-(1/2), -p, 1/2, -((b*Sin[c + d*x]^4)/a)]*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p)/((1 + (b*Sin[c + d*x]^4)/a)^p*(2*d))}
+
+{Tan[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p*Tan[c + d*x]^4, x]}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p*Tan[c + d*x]^2, x]}
+{Tan[c + d*x]^0*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p, x]}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p, x, 0, Unintegrable[Cot[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p, x]}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p, x, 0, Unintegrable[Cot[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]^4)^p, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^m (a+b Sin[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^n)^p*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^m*(a + b*Sin[c + d*x]^n)^3, x, 10, (a^3*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (3*a^2*b*(Cos[c + d*x]^2)^((1 + m)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, (1/2)*(1 + m + n), (1/2)*(3 + m + n), Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^n*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m + n)) + (3*a*b^2*(Cos[c + d*x]^2)^((1 + m)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, (1/2)*(1 + m + 2*n), (1/2)*(3 + m + 2*n), Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2*n)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m + 2*n)) + (b^3*(Cos[c + d*x]^2)^((1 + m)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, (1/2)*(1 + m + 3*n), (1/2)*(3 + m + 3*n), Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(3*n)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m + 3*n))}
+{Tan[c + d*x]^m*(a + b*Sin[c + d*x]^n)^2, x, 8, (a^2*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (2*a*b*(Cos[c + d*x]^2)^((1 + m)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, (1/2)*(1 + m + n), (1/2)*(3 + m + n), Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^n*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m + n)) + (b^2*(Cos[c + d*x]^2)^((1 + m)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, (1/2)*(1 + m + 2*n), (1/2)*(3 + m + 2*n), Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2*n)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m + 2*n))}
+{Tan[c + d*x]^m*(a + b*Sin[c + d*x]^n)^1, x, 6, (a*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (b*(Cos[c + d*x]^2)^((1 + m)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, (1/2)*(1 + m + n), (1/2)*(3 + m + n), Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^n*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m + n))}
+{Tan[c + d*x]^m/(a + b*Sin[c + d*x]^n)^1, x, 0, Unintegrable[Tan[c + d*x]^m/(a + b*Sin[c + d*x]^n), x]}
+{Tan[c + d*x]^m/(a + b*Sin[c + d*x]^n)^2, x, 0, Unintegrable[Tan[c + d*x]^m/(a + b*Sin[c + d*x]^n)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^n)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Cot[x]*Sqrt[a + b*Sin[x]^n], x, 5, -((2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[x]^n]/Sqrt[a]])/n) + (2*Sqrt[a + b*Sin[x]^n])/n}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cot[x]/Sqrt[a + b*Sin[x]^n], x, 4, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sin[x]^n]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*n))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sin[e+f x]^n)^p when p symbolic*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^m*(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p*Tan[c + d*x]^m, x]}
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p*Tan[c + d*x]^3, x]}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p*Tan[c + d*x], x]}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p, x, 3, -((Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*Sin[c + d*x]^n)/a]*(a + b*Sin[c + d*x]^n)^(1 + p))/(a*d*n*(1 + p)))}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p, x, 7, (Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*Sin[c + d*x]^n)/a]*(a + b*Sin[c + d*x]^n)^(1 + p))/(a*d*n*(1 + p)) - (Csc[c + d*x]^2*Hypergeometric2F1[-(2/n), -p, -((2 - n)/n), -((b*Sin[c + d*x]^n)/a)]*(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p)/((1 + (b*Sin[c + d*x]^n)/a)^p*(2*d))}
+
+{Tan[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p*Tan[c + d*x]^4, x]}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p*Tan[c + d*x]^2, x]}
+{Tan[c + d*x]^0*(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p, x]}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p, x, 0, Unintegrable[Cot[c + d*x]^2*(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p, x]}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p, x, 0, Unintegrable[Cot[c + d*x]^4*(a + b*Sin[c + d*x]^n)^p, x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Cos[e+f x])^m (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x]^r)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Cos[e+f x])^m (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Cos[e+f x])^(m/2) (d Sin[e+f x])^(n/2) (a+b Sin[e+f x]^2)^p*)
+
+
+{(a + b*Sin[e + f*x]^2)/((g*Cos[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]), x, 7, (2*(a + b)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(3*d*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)) + ((2*a - b)*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(3*f*g^2*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]), (2*(a + b)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])/(3*d*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2)) - (2*(2*a - b)*(1 - Csc[e + f*x]^2)^(3/4)*EllipticF[(1/2)*ArcCsc[Sin[e + f*x]], 2]*(d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*d^2*f*g*(g*Cos[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Cos[e+f x])^m (d Sin[e+f x])^n (a+b Sin[e+f x]^2)^p when p symbolic*)
+
+
+{(c*Cos[e + f*x])^m*(d*Sin[e + f*x])^n*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p, x, 3, (c*AppellF1[(1 + n)/2, (1 - m)/2, -p, (3 + n)/2, Sin[e + f*x]^2, -((b*Sin[e + f*x]^2)/a)]*(c*Cos[e + f*x])^(-1 + m)*(Cos[e + f*x]^2)^((1 - m)/2)*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n)*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p)/((1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a)^p*(d*f*(1 + n)))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b (c Sin[e+f x]+d Cos[e+f x])^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b (c Sin[e+f x]+d Cos[e+f x])^2)^p*)
+
+
+{Sqrt[a + (b*Sin[e+f*x] + c*Cos[e+f*x])^2], x, 3, (EllipticE[e + f*x + ArcTan[b, c], -((b^2 + c^2)/a)]*Sqrt[a + (c*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x])^2])/(f*Sqrt[1 + (c*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x])^2/a])}
+
+
+{1/Sqrt[a + (b*Sin[e+f*x] + c*Cos[e+f*x])^2], x, 3, (EllipticF[e + f*x + ArcTan[b, c], -((b^2 + c^2)/a)]*Sqrt[1 + (c*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x])^2/a])/(f*Sqrt[a + (c*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x])^2])}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.8 (a+b sin)^m (c+d trig)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.8 (a+b sin)^m (c+d trig)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..7644bb85
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.8 (a+b sin)^m (c+d trig)^n.m	
@@ -0,0 +1,46 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Trig[c+d x]) (a+b Sin[a+b x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Cos[c+d x]) (a+b Sin[c+d x])^n*)
+
+
+{(A + B*Cos[x])/(a + b*Sin[x]), x, 7, (2*A*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/Sqrt[a^2 - b^2] + (B*Log[a + b*Sin[x]])/b}
+
+{(A + B*Cos[x])/(1 + Sin[x]), x, 5, B*Log[1 + Sin[x]] - (A*Cos[x])/(1 + Sin[x])}
+{(A + B*Cos[x])/(1 - Sin[x]), x, 5, (-B)*Log[1 - Sin[x]] + (A*Cos[x])/(1 - Sin[x])}
+
+
+{(b + c + Cos[x])/(a + b*Sin[x]), x, 7, (2*(b + c)*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/Sqrt[a^2 - b^2] + Log[a + b*Sin[x]]/b}
+{(b + c + Cos[x])/(a - b*Sin[x]), x, 7, -((2*(b + c)*ArcTan[(b - a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/Sqrt[a^2 - b^2]) - Log[a - b*Sin[x]]/b}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Tan[c+d x]) (a+b Sin[c+d x])^n*)
+
+
+{(A + B*Tan[x])/(a + b*Sin[x]), x, 8, (2*A*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/Sqrt[a^2 - b^2] - (B*Log[1 - Sin[x]])/(2*(a + b)) - (B*Log[1 + Sin[x]])/(2*(a - b)) + (a*B*Log[a + b*Sin[x]])/(a^2 - b^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Cot[c+d x]) (a+b Sin[c+d x])^n*)
+
+
+{(A + B*Cot[x])/(a + b*Sin[x]), x, 9, (2*A*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/Sqrt[a^2 - b^2] + (B*Log[Sin[x]])/a - (B*Log[a + b*Sin[x]])/a}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Sec[c+d x]) (a+b Sin[c+d x])^n*)
+
+
+{(A + B*Sec[x])/(a + b*Sin[x]), x, 12, (2*A*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/Sqrt[a^2 - b^2] - (B*Log[1 - Sin[x]])/(2*(a + b)) + (B*Log[1 + Sin[x]])/(2*(a - b)) - (b*B*Log[a + b*Sin[x]])/(a^2 - b^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Csc[c+d x]) (a+b Sin[c+d x])^n*)
+
+
+{(A + B*Csc[x])/(a + b*Sin[x]), x, 6, (2*(a*A - b*B)*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]) - (B*ArcTanh[Cos[x]])/a}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.9 trig^m (a+b sin^n+c sin^(2 n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.9 trig^m (a+b sin^n+c sin^(2 n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..ebe664fb
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.1 Sine/4.1.9 trig^m (a+b sin^n+c sin^(2 n))^p.m	
@@ -0,0 +1,73 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form Trig[d+e x]^m (a+b Sin[d+e x]^n+c Sin[d+e x]^(2 n))^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[d+e x]^m (a+b Sin[d+e x]^n+c Sin[d+e x]^(2 n))^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[d+e x]^m (a+b Sin[d+e x]+c Sin[d+e x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sin[x]^4/(a + b*Sin[x] + c*Sin[x]^2), x, 12, x/(2*c) + ((b^2 - a*c)*x)/c^3 - (Sqrt[2]*(b^3 - 2*a*b*c - (b^4 - 4*a*b^2*c + 2*a^2*c^2)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(2*c + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/(c^3*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - (Sqrt[2]*(b^3 - 2*a*b*c + (b^4 - 4*a*b^2*c + 2*a^2*c^2)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(2*c + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/(c^3*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + (b*Cos[x])/c^2 - (Cos[x]*Sin[x])/(2*c)}
+{Sin[x]^3/(a + b*Sin[x] + c*Sin[x]^2), x, 10, -((b*x)/c^2) + (Sqrt[2]*b*(b - (a*c)/b - b^2/Sqrt[b^2 - 4*a*c] + (3*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(2*c + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/(c^2*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + (Sqrt[2]*b*(b - (a*c)/b + b^2/Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (3*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(2*c + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/(c^2*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - Cos[x]/c}
+{Sin[x]^2/(a + b*Sin[x] + c*Sin[x]^2), x, 9, x/c - (Sqrt[2]*(b - (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(2*c + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/(c*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - (Sqrt[2]*(b + (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(2*c + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/(c*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])}
+{Sin[x]^1/(a + b*Sin[x] + c*Sin[x]^2), x, 8, (Sqrt[2]*(1 - b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(2*c + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]] + (Sqrt[2]*(1 + b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(2*c + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]}
+{Sin[x]^0/(a + b*Sin[x] + c*Sin[x]^2), x, 7, (2*Sqrt[2]*c*ArcTan[(2*c + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - (2*Sqrt[2]*c*ArcTan[(2*c + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])}
+{Csc[x]^1/(a + b*Sin[x] + c*Sin[x]^2), x, 10, -((Sqrt[2]*c*(1 + b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(2*c + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/(a*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])) - (Sqrt[2]*c*(1 - b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(2*c + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/(a*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - ArcTanh[Cos[x]]/a}
+{Csc[x]^2/(a + b*Sin[x] + c*Sin[x]^2), x, 12, (Sqrt[2]*b*c*(1 + (b^2 - 2*a*c)/(b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]))*ArcTan[(2*c + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/(a^2*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + (Sqrt[2]*b*c*(1 - (b^2 - 2*a*c)/(b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]))*ArcTan[(2*c + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/(a^2*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + (b*ArcTanh[Cos[x]])/a^2 - Cot[x]/a}
+{Csc[x]^3/(a + b*Sin[x] + c*Sin[x]^2), x, 14, -((Sqrt[2]*c*(b^3 - 3*a*b*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b^2 - a*c))*ArcTan[(2*c + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/(a^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])) + (Sqrt[2]*c*(b^3 - 3*a*b*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b^2 - a*c))*ArcTan[(2*c + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/(a^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - ArcTanh[Cos[x]]/(2*a) - ((b^2 - a*c)*ArcTanh[Cos[x]])/a^3 + (b*Cot[x])/a^2 - (Cot[x]*Csc[x])/(2*a)}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sin[d+e x]^m (a+b Sin[d+e x]^2+c Sin[d+e x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[d+e x]^m (a+b Sin[d+e x]^n+c Sin[d+e x]^(2 n))^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[d+e x]^m (a+b Sin[d+e x]+c Sin[d+e x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cos[x]^3/(a + b*Sin[x] + c*Sin[x]^2), x, 7, ((b^2 - 2*c*(a + c))*ArcTanh[(b + 2*c*Sin[x])/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(c^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) + (b*Log[a + b*Sin[x] + c*Sin[x]^2])/(2*c^2) - Sin[x]/c}
+{Cos[x]^2/(a + b*Sin[x] + c*Sin[x]^2), x, 9, -(x/c) - (Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*ArcTan[(2*c + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/(c*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) + (Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*ArcTan[(2*c + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/(c*Sqrt[b^2 - 4*a*c])}
+{Cos[x]^1/(a + b*Sin[x] + c*Sin[x]^2), x, 3, -((2*ArcTanh[(b + 2*c*Sin[x])/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/Sqrt[b^2 - 4*a*c])}
+{Sec[x]^1/(a + b*Sin[x] + c*Sin[x]^2), x, 9, ((b^2 - 2*a*c - 2*c^2)*ArcTanh[(b + 2*c*Sin[x])/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/((a - b + c)*(a + b + c)*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) - Log[1 - Sin[x]]/(2*(a + b + c)) + Log[1 + Sin[x]]/(2*(a - b + c)) - (b*Log[a + b*Sin[x] + c*Sin[x]^2])/(2*(a - b + c)*(a + b + c))}
+{Sec[x]^2/(a + b*Sin[x] + c*Sin[x]^2), x, 11, -((Sqrt[2]*b*c*(1 + (b^2 - 2*c*(a + c))/(b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]))*ArcTan[(2*c + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/((a - b + c)*(a + b + c)*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])) - (Sqrt[2]*b*c*(1 - (b^2 - 2*c*(a + c))/(b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]))*ArcTan[(2*c + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/((a - b + c)*(a + b + c)*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + Cos[x]/(2*(a + b + c)*(1 - Sin[x])) - Cos[x]/(2*(a - b + c)*(1 + Sin[x]))}
+{Sec[x]^3/(a + b*Sin[x] + c*Sin[x]^2), x, 10, -(((b^4 + 2*c^2*(a + c)^2 - 2*b^2*c*(2*a + c))*ArcTanh[(b + 2*c*Sin[x])/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(a^2 - b^2 + 2*a*c + c^2)^2)) - ((a + 2*b + 3*c)*Log[1 - Sin[x]])/(4*(a + b + c)^2) + ((a - 2*b + 3*c)*Log[1 + Sin[x]])/(4*(a - b + c)^2) + (b*(b^2 - 2*c*(a + c))*Log[a + b*Sin[x] + c*Sin[x]^2])/(2*(a^2 - b^2 + 2*a*c + c^2)^2) - (Sec[x]^2*(b - (a + c)*Sin[x]))/(2*(a - b + c)*(a + b + c))}
+
+
+{Cos[x]/(-6 + Sin[x] + Sin[x]^2), x, 4, (1/5)*Log[2 - Sin[x]] - (1/5)*Log[3 + Sin[x]]}
+{Cos[x]/(2 - 3*Sin[x] + Sin[x]^2), x, 4, -Log[1 - Sin[x]] + Log[2 - Sin[x]]}
+{Cos[x]/(-5 + 4*Sin[x] + Sin[x]^2), x, 4, (1/6)*Log[1 - Sin[x]] - (1/6)*Log[5 + Sin[x]]}
+{Cos[x]/(10 - 6*Sin[x] + Sin[x]^2), x, 3, -ArcTan[3 - Sin[x]]}
+{Cos[x]/(2 + 2*Sin[x] + Sin[x]^2), x, 3, ArcTan[1 + Sin[x]]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cos[d+e x]^m (a+b Sin[d+e x]^2+c Sin[d+e x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Tan[d+e x]^m (a+b Sin[d+e x]^n+c Sin[d+e x]^(2 n))^p*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.0 (a cos)^m (b trg)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.0 (a cos)^m (b trg)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..a20859d5
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.0 (a cos)^m (b trg)^n.m	
@@ -0,0 +1,522 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (b Cos[c+d x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Cos[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[c+d x]^n*)
+
+
+{Cos[a + b*x]^1, x, 1, Sin[a + b*x]/b}
+{Cos[a + b*x]^2, x, 2, x/2 + (Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]^3, x, 2, Sin[a + b*x]/b - Sin[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]^4, x, 3, (3*x)/8 + (3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(8*b) + (Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]^5, x, 2, Sin[a + b*x]/b - (2*Sin[a + b*x]^3)/(3*b) + Sin[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Cos[a + b*x]^6, x, 4, (5*x)/16 + (5*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(16*b) + (5*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(24*b) + (Cos[a + b*x]^5*Sin[a + b*x])/(6*b)}
+{Cos[a + b*x]^7, x, 2, Sin[a + b*x]/b - Sin[a + b*x]^3/b + (3*Sin[a + b*x]^5)/(5*b) - Sin[a + b*x]^7/(7*b)}
+{Cos[a + b*x]^8, x, 5, (35*x)/128 + (35*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(128*b) + (35*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(192*b) + (7*Cos[a + b*x]^5*Sin[a + b*x])/(48*b) + (Cos[a + b*x]^7*Sin[a + b*x])/(8*b)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Cos[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+{Cos[a + b*x]^(7/2), x, 3, (10*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(21*b) + (10*Sqrt[Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(21*b) + (2*Cos[a + b*x]^(5/2)*Sin[a + b*x])/(7*b)}
+{Cos[a + b*x]^(5/2), x, 2, (6*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(5*b) + (2*Cos[a + b*x]^(3/2)*Sin[a + b*x])/(5*b)}
+{Cos[a + b*x]^(3/2), x, 2, (2*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(3*b) + (2*Sqrt[Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]^(1/2), x, 1, (2*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/b}
+{1/Cos[a + b*x]^(1/2), x, 1, (2*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/b}
+{1/Cos[a + b*x]^(3/2), x, 2, -((2*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/b) + (2*Sin[a + b*x])/(b*Sqrt[Cos[a + b*x]])}
+{1/Cos[a + b*x]^(5/2), x, 2, (2*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(3*b) + (2*Sin[a + b*x])/(3*b*Cos[a + b*x]^(3/2))}
+{1/Cos[a + b*x]^(7/2), x, 3, -((6*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(5*b)) + (2*Sin[a + b*x])/(5*b*Cos[a + b*x]^(5/2)) + (6*Sin[a + b*x])/(5*b*Sqrt[Cos[a + b*x]])}
+
+
+{(c*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 4, (10*c^4*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(21*b*Sqrt[c*Cos[a + b*x]]) + (10*c^3*Sqrt[c*Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(21*b) + (2*c*(c*Cos[a + b*x])^(5/2)*Sin[a + b*x])/(7*b)}
+{(c*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 3, (6*c^2*Sqrt[c*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(5*b*Sqrt[Cos[a + b*x]]) + (2*c*(c*Cos[a + b*x])^(3/2)*Sin[a + b*x])/(5*b)}
+{(c*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 3, (2*c^2*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(3*b*Sqrt[c*Cos[a + b*x]]) + (2*c*Sqrt[c*Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(3*b)}
+{(c*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[c*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(b*Sqrt[Cos[a + b*x]])}
+{1/(c*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(b*Sqrt[c*Cos[a + b*x]])}
+{1/(c*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 3, -((2*Sqrt[c*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(b*c^2*Sqrt[Cos[a + b*x]])) + (2*Sin[a + b*x])/(b*c*Sqrt[c*Cos[a + b*x]])}
+{1/(c*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 3, (2*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(3*b*c^2*Sqrt[c*Cos[a + b*x]]) + (2*Sin[a + b*x])/(3*b*c*(c*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+{1/(c*Cos[a + b*x])^(7/2), x, 4, -((6*Sqrt[c*Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(5*b*c^4*Sqrt[Cos[a + b*x]])) + (2*Sin[a + b*x])/(5*b*c*(c*Cos[a + b*x])^(5/2)) + (6*Sin[a + b*x])/(5*b*c^3*Sqrt[c*Cos[a + b*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Cos[c+d x])^(n/3)*)
+
+
+{Cos[a + b*x]^(4/3), x, 1, -((3*Cos[a + b*x]^(7/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(7*b*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{Cos[a + b*x]^(2/3), x, 1, -((3*Cos[a + b*x]^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(5*b*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{Cos[a + b*x]^(1/3), x, 1, -((3*Cos[a + b*x]^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(4*b*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{1/Cos[a + b*x]^(1/3), x, 1, -((3*Cos[a + b*x]^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(2*b*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{1/Cos[a + b*x]^(2/3), x, 1, -((3*Cos[a + b*x]^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(b*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{1/Cos[a + b*x]^(4/3), x, 1, (3*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(b*Cos[a + b*x]^(1/3)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2])}
+
+
+{(c*Cos[a + b*x])^(4/3), x, 1, -((3*(c*Cos[a + b*x])^(7/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(7*b*c*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{(c*Cos[a + b*x])^(2/3), x, 1, -((3*(c*Cos[a + b*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(5*b*c*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{(c*Cos[a + b*x])^(1/3), x, 1, -((3*(c*Cos[a + b*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(4*b*c*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{1/(c*Cos[a + b*x])^(1/3), x, 1, -((3*(c*Cos[a + b*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(2*b*c*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{1/(c*Cos[a + b*x])^(2/3), x, 1, -((3*(c*Cos[a + b*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(b*c*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{1/(c*Cos[a + b*x])^(4/3), x, 1, (3*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(b*c*(c*Cos[a + b*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Cos[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Cos[a + b*x]^n, x, 1, -((Cos[a + b*x]^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(b*(1 + n)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{(c*Cos[a + b*x])^n, x, 1, -(((c*Cos[a + b*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(b*c*(1 + n)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Cos[c+d x]^p)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Cos[c+d x]^p)^(n/2) with p positive integer*)
+
+
+{(a*Cos[x]^2)^(5/2),x, 4, (8/15)*a^2*Sqrt[a*Cos[x]^2]*Tan[x] + (4/15)*a*(a*Cos[x]^2)^(3/2)*Tan[x] + (1/5)*(a*Cos[x]^2)^(5/2)*Tan[x]}
+{(a*Cos[x]^2)^(3/2),x, 3, (2/3)*a*Sqrt[a*Cos[x]^2]*Tan[x] + (1/3)*(a*Cos[x]^2)^(3/2)*Tan[x]}
+{(a*Cos[x]^2)^(1/2), x, 2, Sqrt[a*Cos[x]^2]*Tan[x]}
+{1/(a*Cos[x]^2)^(1/2), x, 2, (ArcTanh[Sin[x]]*Cos[x])/Sqrt[a*Cos[x]^2]}
+{1/(a*Cos[x]^2)^(3/2), x, 3, (ArcTanh[Sin[x]]*Cos[x])/(2*a*Sqrt[a*Cos[x]^2]) + Tan[x]/(2*a*Sqrt[a*Cos[x]^2])}
+{1/(a*Cos[x]^2)^(5/2), x, 4, (3*ArcTanh[Sin[x]]*Cos[x])/(8*a^2*Sqrt[a*Cos[x]^2]) + Tan[x]/(4*a*(a*Cos[x]^2)^(3/2)) + (3*Tan[x])/(8*a^2*Sqrt[a*Cos[x]^2])}
+
+
+{(a*Cos[x]^3)^(5/2),x, 6, (26*a^2*Sqrt[a*Cos[x]^3]*EllipticF[x/2, 2])/(77*Cos[x]^(3/2)) + (78/385)*a^2*Cos[x]*Sqrt[a*Cos[x]^3]*Sin[x] + (26/165)*a^2*Cos[x]^3*Sqrt[a*Cos[x]^3]*Sin[x] + (2/15)*a^2*Cos[x]^5*Sqrt[a*Cos[x]^3]*Sin[x] + (26/77)*a^2*Sqrt[a*Cos[x]^3]*Tan[x]}
+{(a*Cos[x]^3)^(3/2),x, 4, (14*a*Sqrt[a*Cos[x]^3]*EllipticE[x/2, 2])/(15*Cos[x]^(3/2)) + (14/45)*a*Sqrt[a*Cos[x]^3]*Sin[x] + (2/9)*a*Cos[x]^2*Sqrt[a*Cos[x]^3]*Sin[x]}
+{(a*Cos[x]^3)^(1/2), x, 3, (2*Sqrt[a*Cos[x]^3]*EllipticF[x/2, 2])/(3*Cos[x]^(3/2)) + (2/3)*Sqrt[a*Cos[x]^3]*Tan[x]}
+{1/(a*Cos[x]^3)^(1/2), x, 3, -((2*Cos[x]^(3/2)*EllipticE[x/2, 2])/Sqrt[a*Cos[x]^3]) + (2*Cos[x]*Sin[x])/Sqrt[a*Cos[x]^3]}
+{1/(a*Cos[x]^3)^(3/2),x, 4, (10*Cos[x]^(3/2)*EllipticF[x/2, 2])/(21*a*Sqrt[a*Cos[x]^3]) + (10*Sin[x])/(21*a*Sqrt[a*Cos[x]^3]) + (2*Sec[x]*Tan[x])/(7*a*Sqrt[a*Cos[x]^3])}
+{1/(a*Cos[x]^3)^(5/2),x, 6, -((154*Cos[x]^(3/2)*EllipticE[x/2, 2])/(195*a^2*Sqrt[a*Cos[x]^3])) + (154*Cos[x]*Sin[x])/(195*a^2*Sqrt[a*Cos[x]^3]) + (154*Tan[x])/(585*a^2*Sqrt[a*Cos[x]^3]) + (22*Sec[x]^2*Tan[x])/(117*a^2*Sqrt[a*Cos[x]^3]) + (2*Sec[x]^4*Tan[x])/(13*a^2*Sqrt[a*Cos[x]^3])}
+
+
+{(a*Cos[x]^4)^(5/2),x, 7, (63/256)*a^2*x*Sqrt[a*Cos[x]^4]*Sec[x]^2 + (21/128)*a^2*Cos[x]*Sqrt[a*Cos[x]^4]*Sin[x] + (21/160)*a^2*Cos[x]^3*Sqrt[a*Cos[x]^4]*Sin[x] + (9/80)*a^2*Cos[x]^5*Sqrt[a*Cos[x]^4]*Sin[x] + (1/10)*a^2*Cos[x]^7*Sqrt[a*Cos[x]^4]*Sin[x] + (63/256)*a^2*Sqrt[a*Cos[x]^4]*Tan[x]}
+{(a*Cos[x]^4)^(3/2),x, 5, (5/16)*a*x*Sqrt[a*Cos[x]^4]*Sec[x]^2 + (5/24)*a*Cos[x]*Sqrt[a*Cos[x]^4]*Sin[x] + (1/6)*a*Cos[x]^3*Sqrt[a*Cos[x]^4]*Sin[x] + (5/16)*a*Sqrt[a*Cos[x]^4]*Tan[x]}
+{(a*Cos[x]^4)^(1/2), x, 3, (1/2)*x*Sqrt[a*Cos[x]^4]*Sec[x]^2 + (1/2)*Sqrt[a*Cos[x]^4]*Tan[x]}
+{1/(a*Cos[x]^4)^(1/2), x, 3, (Cos[x]*Sin[x])/Sqrt[a*Cos[x]^4]}
+{1/(a*Cos[x]^4)^(3/2),x, 3, (Cos[x]*Sin[x])/(a*Sqrt[a*Cos[x]^4]) + (2*Sin[x]^2*Tan[x])/(3*a*Sqrt[a*Cos[x]^4]) + (Sin[x]^2*Tan[x]^3)/(5*a*Sqrt[a*Cos[x]^4])}
+{1/(a*Cos[x]^4)^(5/2),x, 3, (Cos[x]*Sin[x])/(a^2*Sqrt[a*Cos[x]^4]) + (4*Sin[x]^2*Tan[x])/(3*a^2*Sqrt[a*Cos[x]^4]) + (6*Sin[x]^2*Tan[x]^3)/(5*a^2*Sqrt[a*Cos[x]^4]) + (4*Sin[x]^2*Tan[x]^5)/(7*a^2*Sqrt[a*Cos[x]^4]) + (Sin[x]^2*Tan[x]^7)/(9*a^2*Sqrt[a*Cos[x]^4])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Cos[c+d x]^p)^n*)
+
+
+{(b*Cos[c + d*x]^m)^n, x, 2, -((Cos[c + d*x]*(b*Cos[c + d*x]^m)^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + m*n), (1/2)*(3 + m*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+
+
+{(c*Cos[a + b*x]^m)^(5/2), x, 2, -((2*c^2*Cos[a + b*x]^(1 + 2*m)*Sqrt[c*Cos[a + b*x]^m]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(2 + 5*m), (1/4)*(6 + 5*m), Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(b*(2 + 5*m)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{(c*Cos[a + b*x]^m)^(3/2), x, 2, -((2*c*Cos[a + b*x]^(1 + m)*Sqrt[c*Cos[a + b*x]^m]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(2 + 3*m), (3*(2 + m))/4, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(b*(2 + 3*m)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{(c*Cos[a + b*x]^m)^(1/2), x, 2, -((2*Cos[a + b*x]*Sqrt[c*Cos[a + b*x]^m]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/4, (6 + m)/4, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(b*(2 + m)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{1/(c*Cos[a + b*x]^m)^(1/2), x, 2, -((2*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - m)/4, (6 - m)/4, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(b*(2 - m)*Sqrt[c*Cos[a + b*x]^m]*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{1/(c*Cos[a + b*x]^m)^(3/2), x, 2, -((2*Cos[a + b*x]^(1 - m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(2 - 3*m), (3*(2 - m))/4, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(b*c*(2 - 3*m)*Sqrt[c*Cos[a + b*x]^m]*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{1/(c*Cos[a + b*x]^m)^(5/2), x, 2, -((2*Cos[a + b*x]^(1 - 2*m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(2 - 5*m), (1/4)*(6 - 5*m), Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(b*c^2*(2 - 5*m)*Sqrt[c*Cos[a + b*x]^m]*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+
+
+{(c*Cos[a + b*x]^m)^(1/m), x, 2, ((c*Cos[a + b*x]^m)^(1/m)*Tan[a + b*x])/b}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a (b Cos[c+d x])^p)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a (b Cos[c+d x])^p)^n*)
+
+
+{(a*(b*Cos[c + d*x])^p)^n, x, 2, -((Cos[c + d*x]*(a*(b*Cos[c + d*x])^p)^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + n*p)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Trg[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 6, (30*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(77*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (30*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(77*d) + (18*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*b^2*d) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(9/2)*Sin[c + d*x])/(11*b^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 5, (14*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (14*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*b*d) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 5, (10*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 4, (6*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 4, (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^1, x, 3, (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2, x, 4, -((2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^3, x, 4, (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^4, x, 5, -((6*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^3*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (6*b*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^5, x, 5, (10*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^4*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (10*b^2*Sin[c + d*x])/(21*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^6, x, 6, -((14*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^5*Sin[c + d*x])/(9*d*(b*Cos[c + d*x])^(9/2)) + (14*b^3*Sin[c + d*x])/(45*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (14*b*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (30*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(77*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (30*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(77*d) + (18*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*b*d) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(9/2)*Sin[c + d*x])/(11*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (14*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (14*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (10*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (6*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^1, x, 3, (2*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^2, x, 3, (2*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^3, x, 4, -((2*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^4, x, 4, (2*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^3*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^5, x, 5, -((6*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^4*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (6*b^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^6, x, 5, (10*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^5*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (10*b^3*Sin[c + d*x])/(21*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^7, x, 6, -((14*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^6*Sin[c + d*x])/(9*d*(b*Cos[c + d*x])^(9/2)) + (14*b^4*Sin[c + d*x])/(45*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (14*b^2*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (30*b^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(77*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (30*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(77*d) + (18*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*d) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(9/2)*Sin[c + d*x])/(11*b^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (14*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (14*b*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (10*b^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (6*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^1, x, 4, (2*b^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^2, x, 3, (2*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^3, x, 3, (2*b^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^4, x, 4, -((2*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^5, x, 4, (2*b^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^4*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^6, x, 5, -((6*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^5*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (6*b^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^7, x, 5, (10*b^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^6*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (10*b^4*Sin[c + d*x])/(21*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^8, x, 6, -((14*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^7*Sin[c + d*x])/(9*d*(b*Cos[c + d*x])^(9/2)) + (14*b^5*Sin[c + d*x])/(45*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (14*b^3*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^0*(b*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 4, (10*b^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*b^3*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*b*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^6/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 6, (30*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(77*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (30*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(77*b*d) + (18*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*b^3*d) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(9/2)*Sin[c + d*x])/(11*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^5/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 5, (14*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (14*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*b^2*d) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 5, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b*d) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 4, (6*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 4, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 3, (2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 4, -((2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 4, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^3/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 5, -((6*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (6*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^4/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 5, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^3*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (10*b*Sin[c + d*x])/(21*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^5/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 6, -((14*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^4*Sin[c + d*x])/(9*d*(b*Cos[c + d*x])^(9/2)) + (14*b^2*Sin[c + d*x])/(45*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (14*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^7/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (30*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(77*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (30*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(77*b^2*d) + (18*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*b^4*d) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(9/2)*Sin[c + d*x])/(11*b^6*d)}
+{Cos[c + d*x]^6/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (14*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (14*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*b^3*d) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^5/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b^2*d) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (6*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, -((2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^2/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((6*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (6*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (10*Sin[c + d*x])/(21*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^4/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((14*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^3*Sin[c + d*x])/(9*d*(b*Cos[c + d*x])^(9/2)) + (14*b*Sin[c + d*x])/(45*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (14*Sin[c + d*x])/(15*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^8/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (30*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(77*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (30*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(77*b^3*d) + (18*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*b^5*d) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(9/2)*Sin[c + d*x])/(11*b^7*d)}
+{Cos[c + d*x]^7/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (14*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (14*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*b^4*d) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b^6*d)}
+{Cos[c + d*x]^6/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b^3*d) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^5/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (6*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*Sin[c + d*x])/(3*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^1/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, -((6*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (6*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (10*Sin[c + d*x])/(21*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^3/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, -((14*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(9*d*(b*Cos[c + d*x])^(9/2)) + (14*Sin[c + d*x])/(45*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (14*Sin[c + d*x])/(15*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^0/(b*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 4, -((6*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*Sin[c + d*x])/(5*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (6*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^(m/2) (b Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (3*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]]}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-11/2)*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (3*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (3*b*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (3*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (b*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 2, (b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 2, (b*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]]}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 2, (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-11/2)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-13/2)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (3*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (3*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^5)/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (3*b^2*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (3*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b^2*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (b^2*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 2, (b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 2, (b^2*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]]}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 2, (b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-11/2)*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-13/2)*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-15/2)*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (3*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (3*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(11/2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) - (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^5)/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (3*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(8*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (3*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/Sqrt[b*Cos[c + d*x]]}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, Sin[c + d*x]/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + Sin[c + d*x]/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, Sin[c + d*x]/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + Sin[c + d*x]^3/(3*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + Sin[c + d*x]/(4*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (3*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(11/2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (3*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(8*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (3*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 2, (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 2, (x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 2, (ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, Sin[c + d*x]/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + Sin[c + d*x]/(2*b*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, Sin[c + d*x]/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + Sin[c + d*x]^3/(3*b*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(8*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + Sin[c + d*x]/(4*b*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (3*Sin[c + d*x])/(8*b*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(13/2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (3*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(8*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (3*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(11/2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 2, (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 2, (x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 2, (ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, Sin[c + d*x]/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + Sin[c + d*x]/(2*b^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, Sin[c + d*x]/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + Sin[c + d*x]^3/(3*b^2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(8*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + Sin[c + d*x]/(4*b^2*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (3*Sin[c + d*x])/(8*b^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Cos[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^m*(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 2, -((3*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(4 + 3*m), (1/6)*(10 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 2, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(10/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/3, 8/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 2, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 1, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sec[c + d*x]^1, x, 2, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sec[c + d*x]^2, x, 2, (3*b*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sec[c + d*x]^3, x, 2, (3*b^2*Hypergeometric2F1[-(5/6), 1/2, 1/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^m*(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 2, -((3*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(5 + 3*m), (1/6)*(11 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 2, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(11/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 11/6, 17/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(11*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 2, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 4/3, 7/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 1, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sec[c + d*x]^1, x, 2, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sec[c + d*x]^2, x, 2, (3*b*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sec[c + d*x]^3, x, 2, (3*b^2*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^m*(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 2, -((3*b*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(7 + 3*m), (1/6)*(13 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 2, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(13/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 13/6, 19/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(13*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 2, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(10/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/3, 8/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 1, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sec[c + d*x]^1, x, 2, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sec[c + d*x]^2, x, 2, -((3*b*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sec[c + d*x]^3, x, 2, (3*b^2*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^m/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 2, -((3*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(2 + 3*m), (1/6)*(8 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+
+{Cos[c + d*x]^2/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 2, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 4/3, 7/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 2, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^0/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 1, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 2, (3*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]^2/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 2, (3*b*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]^3/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 2, (3*b^2*Hypergeometric2F1[-(7/6), 1/2, -(1/6), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^m/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 2, -((3*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(1 + 3*m), (1/6)*(7 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+
+{Cos[c + d*x]^2/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 2, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 2, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^0/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 1, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 2, (3*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]^2/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 2, (3*b*Hypergeometric2F1[-(5/6), 1/2, 1/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]^3/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 2, (3*b^2*Hypergeometric2F1[-(4/3), 1/2, -(1/3), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*d*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^m/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 2, (3*Cos[c + d*x]^m*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-1 + 3*m), (1/6)*(5 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 - 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+{Cos[c + d*x]^2/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 2, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 2, -((3*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^0/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 1, (3*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]^1/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 2, (3*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]^2/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 2, (3*b*Hypergeometric2F1[-(7/6), 1/2, -(1/6), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]^3/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 2, (3*b^2*Hypergeometric2F1[-(5/3), 1/2, -(2/3), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*d*(b*Cos[c + d*x])^(10/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Cos[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(a*Cos[e + f*x])^m*(b*Cos[e + f*x])^n, x, 2, -(((a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*(b*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + m + n), (1/2)*(3 + m + n), Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(a*f*(1 + m + n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Cos[c + d*x])^n, x, 2, -(((b*Cos[c + d*x])^(3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + n)/2, (5 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^3*d*(3 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Cos[c + d*x])^n, x, 2, -(((b*Cos[c + d*x])^(2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*(2 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(b*Cos[c + d*x])^n, x, 1, -(((b*Cos[c + d*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(b*Cos[c + d*x])^n, x, 2, -(((b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*n*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(b*Cos[c + d*x])^n, x, 2, (b*(b*Cos[c + d*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]^3*(b*Cos[c + d*x])^n, x, 2, (b^2*(b*Cos[c + d*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-2 + n), n/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]^4*(b*Cos[c + d*x])^n, x, 2, (b^3*(b*Cos[c + d*x])^(-3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-3 + n), (1/2)*(-1 + n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n, x, 2, -((2*Cos[c + d*x]^(7/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(7 + 2*n), (1/4)*(11 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n, x, 2, -((2*Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(5 + 2*n), (1/4)*(9 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(b*Cos[c + d*x])^n, x, 2, -((2*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(3 + 2*n), (1/4)*(7 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(b*Cos[c + d*x])^n, x, 2, -((2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 + 2*n), (1/4)*(5 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n, x, 2, (2*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-1 + 2*n), (1/4)*(3 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n, x, 2, (2*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-3 + 2*n), (1/4)*(1 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(b*Cos[c + d*x])^n, x, 2, (2*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-5 + 2*n), (1/4)*(-1 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(b*Cos[c + d*x])^n, x, 2, (2*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-7 + 2*n), (1/4)*(-3 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Sec[e+f x])^n*)
+
+
+{(a*Cos[e + f*x])^m*(b*Sec[e + f*x])^n, x, 2, -(((a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + m - n), (1/2)*(3 + m - n), Cos[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x])/(a*f*(1 + m - n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Csc[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (b Csc[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[a + b*x]^1*Csc[a + b*x]^(1/2), x, 2, 2/(b*Sqrt[Csc[a + b*x]])}
+{Cos[a + b*x]^1/Csc[a + b*x]^(1/2), x, 2, 2/(3*b*Csc[a + b*x]^(3/2))}
+
+
+{Cos[a + b*x]^2*Csc[a + b*x]^(1/2), x, 3, (2*Cos[a + b*x])/(3*b*Sqrt[Csc[a + b*x]]) + (4*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]^2/Csc[a + b*x]^(1/2), x, 3, (2*Cos[a + b*x])/(5*b*Csc[a + b*x]^(3/2)) + (4*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(5*b)}
+
+
+{Cos[x]^3*Csc[x]^(9/2), x, 3, (2/3)*Csc[x]^(3/2) - (2/7)*Csc[x]^(7/2)}
+{Cos[a + b*x]^3*Csc[a + b*x]^(1/2), x, 3, -(2/(5*b*Csc[a + b*x]^(5/2))) + 2/(b*Sqrt[Csc[a + b*x]])}
+{Cos[a + b*x]^3/Csc[a + b*x]^(1/2), x, 3, -(2/(7*b*Csc[a + b*x]^(7/2))) + 2/(3*b*Csc[a + b*x]^(3/2))}
+
+
+{Cos[a + b*x]^4*Csc[a + b*x]^(1/2), x, 4, (4*Cos[a + b*x])/(7*b*Sqrt[Csc[a + b*x]]) + (2*Cos[a + b*x]^3)/(7*b*Sqrt[Csc[a + b*x]]) + (8*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(7*b)}
+{Cos[a + b*x]^4/Csc[a + b*x]^(1/2), x, 4, (4*Cos[a + b*x])/(15*b*Csc[a + b*x]^(3/2)) + (2*Cos[a + b*x]^3)/(9*b*Csc[a + b*x]^(3/2)) + (8*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(15*b)}
+
+
+{Cos[x]*Csc[x]^(7/3), x, 2, (-3*Csc[x]^(4/3))/4}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[a + b*x]^1*Csc[a + b*x]^(1/2), x, 5, -(ArcTan[Sqrt[Csc[a + b*x]]]/b) + ArcTanh[Sqrt[Csc[a + b*x]]]/b}
+{Sec[a + b*x]^1/Csc[a + b*x]^(1/2), x, 5, ArcTan[Sqrt[Csc[a + b*x]]]/b + ArcTanh[Sqrt[Csc[a + b*x]]]/b}
+
+
+{Sec[a + b*x]^2*Csc[a + b*x]^(1/2), x, 3, Sec[a + b*x]/(b*Sqrt[Csc[a + b*x]]) + (Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/b}
+{Sec[a + b*x]^2/Csc[a + b*x]^(1/2), x, 3, Sec[a + b*x]/(b*Csc[a + b*x]^(3/2)) - (Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/b}
+
+
+{Sec[a + b*x]^3*Csc[a + b*x]^(1/2), x, 6, -((3*ArcTan[Sqrt[Csc[a + b*x]]])/(4*b)) + (3*ArcTanh[Sqrt[Csc[a + b*x]]])/(4*b) + Sec[a + b*x]^2/(2*b*Sqrt[Csc[a + b*x]])}
+{Sec[a + b*x]^3/Csc[a + b*x]^(1/2), x, 6, ArcTan[Sqrt[Csc[a + b*x]]]/(4*b) + ArcTanh[Sqrt[Csc[a + b*x]]]/(4*b) + Sec[a + b*x]^2/(2*b*Csc[a + b*x]^(3/2))}
+
+
+{Sec[a + b*x]^4*Csc[a + b*x]^(1/2), x, 4, (5*Sec[a + b*x])/(6*b*Sqrt[Csc[a + b*x]]) + Sec[a + b*x]^3/(3*b*Sqrt[Csc[a + b*x]]) + (5*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(6*b)}
+{Sec[a + b*x]^4/Csc[a + b*x]^(1/2), x, 4, Sec[a + b*x]/(2*b*Csc[a + b*x]^(3/2)) + Sec[a + b*x]^3/(3*b*Csc[a + b*x]^(3/2)) - (Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(2*b)}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^(m/2) (b Csc[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Csc[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Csc[a + b*x]^p*(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 2, (d*Sqrt[d*Cos[a + b*x]]*Csc[a + b*x]^(-1 + p)*Hypergeometric2F1[-(1/4), (1 - p)/2, (3 - p)/2, Sin[a + b*x]^2])/(b*(1 - p)*(Cos[a + b*x]^2)^(1/4))}
+{Csc[a + b*x]^p*(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 2, (d*(Cos[a + b*x]^2)^(1/4)*Csc[a + b*x]^(-1 + p)*Hypergeometric2F1[1/4, (1 - p)/2, (3 - p)/2, Sin[a + b*x]^2])/(b*(1 - p)*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{Csc[a + b*x]^p/(d*Cos[a + b*x])^(1/2), x, 2, (d*(Cos[a + b*x]^2)^(3/4)*Csc[a + b*x]^(-1 + p)*Hypergeometric2F1[3/4, (1 - p)/2, (3 - p)/2, Sin[a + b*x]^2])/(b*(1 - p)*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+{Csc[a + b*x]^p/(d*Cos[a + b*x])^(3/2), x, 2, ((Cos[a + b*x]^2)^(1/4)*Csc[a + b*x]^(-1 + p)*Hypergeometric2F1[5/4, (1 - p)/2, (3 - p)/2, Sin[a + b*x]^2])/(b*d*(1 - p)*Sqrt[d*Cos[a + b*x]])}
+{Csc[a + b*x]^p/(d*Cos[a + b*x])^(5/2), x, 2, ((Cos[a + b*x]^2)^(3/4)*Csc[a + b*x]^(-1 + p)*Hypergeometric2F1[7/4, (1 - p)/2, (3 - p)/2, Sin[a + b*x]^2])/(b*d*(1 - p)*(d*Cos[a + b*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Csc[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(Cos[e + f*x])^m*(Csc[e + f*x])^n, x, 2, (Cos[e + f*x]^(-1 + m)*(Cos[e + f*x]^2)^((1 - m)/2)*Csc[e + f*x]^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(1 - n))}
+{(a*Cos[e + f*x])^m*(Csc[e + f*x])^n, x, 2, (a*(a*Cos[e + f*x])^(-1 + m)*(Cos[e + f*x]^2)^((1 - m)/2)*Csc[e + f*x]^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(1 - n))}
+{(Cos[e + f*x])^m*(b*Csc[e + f*x])^n, x, 2, (b*Cos[e + f*x]^(-1 + m)*(Cos[e + f*x]^2)^((1 - m)/2)*(b*Csc[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(1 - n))}
+{(a*Cos[e + f*x])^m*(b*Csc[e + f*x])^n, x, 2, (a*b*(a*Cos[e + f*x])^(-1 + m)*(Cos[e + f*x]^2)^((1 - m)/2)*(b*Csc[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(1 - n))}
+
+
+{(a*Cos[e + f*x])^m*(b*Csc[e + f*x])^(7/2), x, 2, -((b^3*(a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[b*Csc[e + f*x]]*Hypergeometric2F1[9/4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(Sin[e + f*x]^2)^(1/4))/(a*f*(1 + m))), -((b*(a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*(b*Csc[e + f*x])^(5/2)*Hypergeometric2F1[9/4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(Sin[e + f*x]^2)^(5/4))/(a*f*(1 + m)))}
+{(a*Cos[e + f*x])^m*(b*Csc[e + f*x])^(5/2), x, 2, -((b*(a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*(b*Csc[e + f*x])^(3/2)*Hypergeometric2F1[7/4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(Sin[e + f*x]^2)^(3/4))/(a*f*(1 + m)))}
+{(a*Cos[e + f*x])^m*(b*Csc[e + f*x])^(3/2), x, 2, -((b*(a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[b*Csc[e + f*x]]*Hypergeometric2F1[5/4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(Sin[e + f*x]^2)^(1/4))/(a*f*(1 + m)))}
+{(a*Cos[e + f*x])^m*(b*Csc[e + f*x])^(1/2), x, 2, -(((a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*(b*Csc[e + f*x])^(3/2)*Hypergeometric2F1[3/4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(Sin[e + f*x]^2)^(3/4))/(a*b*f*(1 + m)))}
+{(a*Cos[e + f*x])^m/(b*Csc[e + f*x])^(1/2), x, 2, -(((a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[b*Csc[e + f*x]]*Hypergeometric2F1[1/4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(Sin[e + f*x]^2)^(1/4))/(a*b*f*(1 + m)))}
+{(a*Cos[e + f*x])^m/(b*Csc[e + f*x])^(3/2), x, 2, -(((a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Hypergeometric2F1[-(1/4), (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2])/(a*b*f*(1 + m)*Sqrt[b*Csc[e + f*x]]*(Sin[e + f*x]^2)^(1/4)))}
+{(a*Cos[e + f*x])^m/(b*Csc[e + f*x])^(5/2), x, 2, -(((a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[b*Csc[e + f*x]]*Hypergeometric2F1[-(3/4), (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(Sin[e + f*x]^2)^(1/4))/(a*b^3*f*(1 + m))), -(((a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Hypergeometric2F1[-(3/4), (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2])/(a*b*f*(1 + m)*(b*Csc[e + f*x])^(3/2)*(Sin[e + f*x]^2)^(3/4)))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.1.1 (a+b cos)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.1.1 (a+b cos)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..6841db48
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.1.1 (a+b cos)^n.m	
@@ -0,0 +1,139 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Cos[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Cos[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Cos[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 4, (256*a^4*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (64*a^3*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d) + (24*a^2*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*a*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (64*a^3*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 2, (8*a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
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+{1/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + Sin[c + d*x]/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + Sin[c + d*x]/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (3*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Cos[c+d x])^(n/3)*)
+
+
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+{(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 2, (2^(5/6)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + Cos[c + d*x])^(5/6))}
+{1/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 2, (2^(1/6)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + Cos[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3))}
+{1/(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 2, ((1 + Cos[c + d*x])^(1/6)*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/(2^(1/6)*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3))}
+{1/(a + a*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 2, (Hypergeometric2F1[1/2, 11/6, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/(2^(5/6)*a*d*(1 + Cos[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Cos[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^n, x, 2, (2^(1/2 + n)*(1 + Cos[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a - a*Cos[c + d*x])^n, x, 2, -((2^(1/2 + n)*(1 - Cos[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a - a*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 + Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/d)}
+
+
+{(2 + 2*Cos[c + d*x])^n, x, 1, (2^(1/2 + 2*n)*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])}
+{(2 - 2*Cos[c + d*x])^n, x, 1, -((2^(1/2 + 2*n)*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 + Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[c+d x])^n*)
+
+
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+
+
+{1/(5 - 3*Cos[c + d*x]), x, 1, x/4 + ArcTan[Sin[c + d*x]/(3 - Cos[c + d*x])]/(2*d)}
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+
+
+{1/(-5 + 3*Cos[c + d*x]), x, 1, -(x/4) - ArcTan[Sin[c + d*x]/(3 - Cos[c + d*x])]/(2*d)}
+{1/(-5 + 3*Cos[c + d*x])^2, x, 3, (5*x)/64 + (5*ArcTan[Sin[c + d*x]/(3 - Cos[c + d*x])])/(32*d) + (3*Sin[c + d*x])/(16*d*(5 - 3*Cos[c + d*x]))}
+{1/(-5 + 3*Cos[c + d*x])^3, x, 4, -((59*x)/2048) - (59*ArcTan[Sin[c + d*x]/(3 - Cos[c + d*x])])/(1024*d) - (3*Sin[c + d*x])/(32*d*(5 - 3*Cos[c + d*x])^2) - (45*Sin[c + d*x])/(512*d*(5 - 3*Cos[c + d*x]))}
+{1/(-5 + 3*Cos[c + d*x])^4, x, 5, (385*x)/32768 + (385*ArcTan[Sin[c + d*x]/(3 - Cos[c + d*x])])/(16384*d) + Sin[c + d*x]/(16*d*(5 - 3*Cos[c + d*x])^3) + (25*Sin[c + d*x])/(512*d*(5 - 3*Cos[c + d*x])^2) + (311*Sin[c + d*x])/(8192*d*(5 - 3*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{1/(-5 - 3*Cos[c + d*x]), x, 1, -(x/4) + ArcTan[Sin[c + d*x]/(3 + Cos[c + d*x])]/(2*d)}
+{1/(-5 - 3*Cos[c + d*x])^2, x, 3, (5*x)/64 - (5*ArcTan[Sin[c + d*x]/(3 + Cos[c + d*x])])/(32*d) - (3*Sin[c + d*x])/(16*d*(5 + 3*Cos[c + d*x]))}
+{1/(-5 - 3*Cos[c + d*x])^3, x, 4, -((59*x)/2048) + (59*ArcTan[Sin[c + d*x]/(3 + Cos[c + d*x])])/(1024*d) + (3*Sin[c + d*x])/(32*d*(5 + 3*Cos[c + d*x])^2) + (45*Sin[c + d*x])/(512*d*(5 + 3*Cos[c + d*x]))}
+{1/(-5 - 3*Cos[c + d*x])^4, x, 5, (385*x)/32768 - (385*ArcTan[Sin[c + d*x]/(3 + Cos[c + d*x])])/(16384*d) - Sin[c + d*x]/(16*d*(5 + 3*Cos[c + d*x])^3) - (25*Sin[c + d*x])/(512*d*(5 + 3*Cos[c + d*x])^2) - (311*Sin[c + d*x])/(8192*d*(5 + 3*Cos[c + d*x]))}
+
+
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+{1/(3 + 5*Cos[c + d*x])^3, x, 5, -((43*Log[2*Cos[(1/2)*(c + d*x)] - Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(2048*d)) + (43*Log[2*Cos[(1/2)*(c + d*x)] + Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(2048*d) + (5*Sin[c + d*x])/(32*d*(3 + 5*Cos[c + d*x])^2) - (45*Sin[c + d*x])/(512*d*(3 + 5*Cos[c + d*x]))}
+{1/(3 + 5*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (279*Log[2*Cos[(1/2)*(c + d*x)] - Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(32768*d) - (279*Log[2*Cos[(1/2)*(c + d*x)] + Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(32768*d) + (5*Sin[c + d*x])/(48*d*(3 + 5*Cos[c + d*x])^3) - (25*Sin[c + d*x])/(512*d*(3 + 5*Cos[c + d*x])^2) + (995*Sin[c + d*x])/(24576*d*(3 + 5*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{1/(3 - 5*Cos[c + d*x]), x, 2, Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] - 2*Sin[(1/2)*(c + d*x)]]/(4*d) - Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] + 2*Sin[(1/2)*(c + d*x)]]/(4*d)}
+{1/(3 - 5*Cos[c + d*x])^2, x, 4, -((3*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] - 2*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(64*d)) + (3*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] + 2*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(64*d) - (5*Sin[c + d*x])/(16*d*(3 - 5*Cos[c + d*x]))}
+{1/(3 - 5*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (43*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] - 2*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(2048*d) - (43*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] + 2*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(2048*d) - (5*Sin[c + d*x])/(32*d*(3 - 5*Cos[c + d*x])^2) + (45*Sin[c + d*x])/(512*d*(3 - 5*Cos[c + d*x]))}
+{1/(3 - 5*Cos[c + d*x])^4, x, 6, -((279*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] - 2*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(32768*d)) + (279*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] + 2*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(32768*d) - (5*Sin[c + d*x])/(48*d*(3 - 5*Cos[c + d*x])^3) + (25*Sin[c + d*x])/(512*d*(3 - 5*Cos[c + d*x])^2) - (995*Sin[c + d*x])/(24576*d*(3 - 5*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{1/(-3 + 5*Cos[c + d*x]), x, 2, -(Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] - 2*Sin[(1/2)*(c + d*x)]]/(4*d)) + Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] + 2*Sin[(1/2)*(c + d*x)]]/(4*d)}
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+{1/(-3 + 5*Cos[c + d*x])^3, x, 5, -((43*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] - 2*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(2048*d)) + (43*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] + 2*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(2048*d) + (5*Sin[c + d*x])/(32*d*(3 - 5*Cos[c + d*x])^2) - (45*Sin[c + d*x])/(512*d*(3 - 5*Cos[c + d*x]))}
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+
+
+{1/(-3 - 5*Cos[c + d*x]), x, 2, Log[2*Cos[(1/2)*(c + d*x)] - Sin[(1/2)*(c + d*x)]]/(4*d) - Log[2*Cos[(1/2)*(c + d*x)] + Sin[(1/2)*(c + d*x)]]/(4*d)}
+{1/(-3 - 5*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (3*Log[2*Cos[(1/2)*(c + d*x)] - Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(64*d) - (3*Log[2*Cos[(1/2)*(c + d*x)] + Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(64*d) + (5*Sin[c + d*x])/(16*d*(3 + 5*Cos[c + d*x]))}
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+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*(23*a^2 + 9*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (16*a*(a^2 - b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (16*a*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (8*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])}
+{1/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{1/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*b*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{1/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (8*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*b*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (8*a*b*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[c+d x])^(n/3)*)
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 3, (Sqrt[2]*(a + b)*AppellF1[1/2, 1/2, -(4/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3))}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(2/3))}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3))}
+{1/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3))}
+{1/(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, 2/3, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3))}
+{1/(a + b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, 4/3, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Sin[c + d*x])/((a + b)*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3))}
+
+
+(* {(a + b*Cos[c + d*x])^(4/3) - (4*a^2 + b^2 + 5*a*b*Cos[c + d*x])/(4*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3)), x, -11, (3*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(4*d)} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^n, x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^n*(d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.1.2 (g sin)^p (a+b cos)^m.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.1.2 (g sin)^p (a+b cos)^m.m
new file mode 100644
index 00000000..4fe6817f
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.1.2 (g sin)^p (a+b cos)^m.m	
@@ -0,0 +1,182 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^p (a+b Cos[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^p (a+b Cos[e+f x])^m when a^2-b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^p (a+a Cos[e+f x])^m*)
+
+
+{Sin[x]^4/(a + a*Cos[x]), x, 3, x/(2*a) - (Cos[x]*Sin[x])/(2*a) - Sin[x]^3/(3*a)}
+{Sin[x]^3/(a + a*Cos[x]), x, 2, -(Cos[x]/a) + Cos[x]^2/(2*a)}
+{Sin[x]^2/(a + a*Cos[x]), x, 2, x/a - Sin[x]/a}
+{Sin[x]^1/(a + a*Cos[x]), x, 2, -(Log[1 + Cos[x]]/a)}
+{Sin[x]^0/(a + a*Cos[x]), x, 1, Sin[x]/(a + a*Cos[x])}
+{Csc[x]^1/(a + a*Cos[x]), x, 4, -(ArcTanh[Cos[x]]/(2*a)) + 1/(2*(a + a*Cos[x]))}
+{Csc[x]^2/(a + a*Cos[x]), x, 3, -((2*Cot[x])/(3*a)) + Csc[x]/(3*(a + a*Cos[x]))}
+{Csc[x]^3/(a + a*Cos[x]), x, 4, -((3*ArcTanh[Cos[x]])/(8*a)) - 1/(8*(a - a*Cos[x])) + a/(8*(a + a*Cos[x])^2) + 1/(4*(a + a*Cos[x]))}
+{Csc[x]^4/(a + a*Cos[x]), x, 3, -((4*Cot[x])/(5*a)) - (4*Cot[x]^3)/(15*a) + Csc[x]^3/(5*(a + a*Cos[x]))}
+
+
+{Sin[2*x]/(1 + Cos[2*x]), x, 2, -Log[Cos[x]], (-(1/2))*Log[1 + Cos[2*x]]}
+{Sin[2*x]/(1 - Cos[2*x]), x, 2, Log[Sin[x]], (1/2)*Log[1 - Cos[2*x]]}
+
+
+{Sin[x]/(1 + Cos[x])^2, x, 2, 1/(1 + Cos[x])}
+{Sin[x]/(1 - Cos[x])^2, x, 2, -(1/(1 - Cos[x]))}
+{Sin[x]^2/(1 + Cos[x])^2, x, 2, -x + (2*Sin[x])/(1 + Cos[x])}
+{Sin[x]^2/(1 - Cos[x])^2, x, 2, -x - (2*Sin[x])/(1 - Cos[x])}
+{Sin[x]^3/(1 + Cos[x])^2, x, 3, Cos[x] - 2*Log[1 + Cos[x]]}
+{Sin[x]^3/(1 - Cos[x])^2, x, 3, Cos[x] + 2*Log[1 - Cos[x]]}
+
+
+{Sin[x]/(1 + Cos[x])^3, x, 2, 1/(2*(1 + Cos[x])^2)}
+{Sin[x]/(1 - Cos[x])^3, x, 2, -(1/(2*(1 - Cos[x])^2))}
+{Sin[x]^2/(1 + Cos[x])^3, x, 1, Sin[x]^3/(3*(1 + Cos[x])^3)}
+{Sin[x]^2/(1 - Cos[x])^3, x, 1, -(Sin[x]^3/(3*(1 - Cos[x])^3))}
+{Sin[x]^3/(1 + Cos[x])^3, x, 3, 2/(1 + Cos[x]) + Log[1 + Cos[x]]}
+{Sin[x]^3/(1 - Cos[x])^3, x, 3, -(2/(1 - Cos[x])) - Log[1 - Cos[x]]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^p (a+a Cos[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^(p/2) (a+a Cos[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^(p/2) (a+a Cos[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^p (a+b Cos[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^p (a+b Cos[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sin[x]^4/(a + b*Cos[x]), x, 5, -((a*(2*a^2 - 3*b^2)*x)/(2*b^4)) + (2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[x/2])/Sqrt[a + b]])/b^4 + ((2*(a^2 - b^2) - a*b*Cos[x])*Sin[x])/(2*b^3) - Sin[x]^3/(3*b)}
+{Sin[x]^3/(a + b*Cos[x]), x, 3, -((a*Cos[x])/b^2) + Cos[x]^2/(2*b) + ((a^2 - b^2)*Log[a + b*Cos[x]])/b^3}
+{Sin[x]^2/(a + b*Cos[x]), x, 4, (a*x)/b^2 - (2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[x/2])/Sqrt[a + b]])/b^2 - Sin[x]/b}
+{Sin[x]^1/(a + b*Cos[x]), x, 2, -(Log[a + b*Cos[x]]/b)}
+{Sin[x]^0/(a + b*Cos[x]), x, 2, (2*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b])}
+{Csc[x]^1/(a + b*Cos[x]), x, 6, Log[1 - Cos[x]]/(2*(a + b)) - Log[1 + Cos[x]]/(2*(a - b)) + (b*Log[a + b*Cos[x]])/(a^2 - b^2)}
+{Csc[x]^2/(a + b*Cos[x]), x, 4, -((2*b^2*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[x/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2))) + ((b - a*Cos[x])*Csc[x])/(a^2 - b^2)}
+{Csc[x]^3/(a + b*Cos[x]), x, 4, ((b - a*Cos[x])*Csc[x]^2)/(2*(a^2 - b^2)) + ((a + 2*b)*Log[1 - Cos[x]])/(4*(a + b)^2) - ((a - 2*b)*Log[1 + Cos[x]])/(4*(a - b)^2) - (b^3*Log[a + b*Cos[x]])/(a^2 - b^2)^2}
+{Csc[x]^4/(a + b*Cos[x]), x, 5, (2*b^4*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[x/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)) - ((3*b^3 + a*(2*a^2 - 5*b^2)*Cos[x])*Csc[x])/(3*(a^2 - b^2)^2) + ((b - a*Cos[x])*Csc[x]^3)/(3*(a^2 - b^2))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^p (a+b Cos[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^(p/2) (a+b Cos[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 5, (10*a*e^4*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(21*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (10*a*e^3*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(21*d) - (2*a*e*Cos[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(7*d) + (2*b*(e*Sin[c + d*x])^(9/2))/(9*d*e)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 4, (6*a*e^2*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (2*a*e*Cos[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*d) + (2*b*(e*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*d*e)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*a*e^2*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*a*e*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(3*d) + (2*b*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*d*e)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*a*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (2*b*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d*e)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])/(e*Sin[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*a*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (2*b*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(d*e)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])/(e*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 4, (-2*b)/(d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*a*Cos[c + d*x])/(d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*a*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(d*e^2*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{(a + b*Cos[c + d*x])/(e*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 4, (-2*b)/(3*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (2*a*Cos[c + d*x])/(3*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])}
+{(a + b*Cos[c + d*x])/(e*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 5, (-2*b)/(5*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (2*a*Cos[c + d*x])/(5*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (6*a*Cos[c + d*x])/(5*d*e^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (6*a*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*d*e^4*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 6, (10*(11*a^2 + 2*b^2)*e^4*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(231*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (10*(11*a^2 + 2*b^2)*e^3*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(231*d) - (2*(11*a^2 + 2*b^2)*e*Cos[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(77*d) + (26*a*b*(e*Sin[c + d*x])^(9/2))/(99*d*e) + (2*b*(a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(9/2))/(11*d*e)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*(9*a^2 + 2*b^2)*e^2*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(15*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (2*(9*a^2 + 2*b^2)*e*Cos[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(45*d) + (22*a*b*(e*Sin[c + d*x])^(7/2))/(63*d*e) + (2*b*(a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(7/2))/(9*d*e)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*(7*a^2 + 2*b^2)*e^2*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(21*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*(7*a^2 + 2*b^2)*e*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(21*d) + (18*a*b*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(35*d*e) + (2*b*(a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(7*d*e)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^(1/2), x, 4, (2*(5*a^2 + 2*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (14*a*b*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(15*d*e) + (2*b*(a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*d*e)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2/(e*Sin[c + d*x])^(1/2), x, 4, (2*(3*a^2 + 2*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (10*a*b*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(3*d*e) + (2*b*(a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(3*d*e)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2/(e*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 4, (-2*(b + a*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x]))/(d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*(a^2 + 2*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(d*e^2*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (2*a*b*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(d*e^3)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2/(e*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 4, (-2*(b + a*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x]))/(3*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (2*(a^2 - 2*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*a*b*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(3*d*e^3)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2/(e*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 5, (-2*(b + a*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x]))/(5*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (2*a*b)/(5*d*e^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*(3*a^2 - 2*b^2)*Cos[c + d*x])/(5*d*e^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*(3*a^2 - 2*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*d*e^4*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(e*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 7, (10*a*(11*a^2 + 6*b^2)*e^4*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(231*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (10*a*(11*a^2 + 6*b^2)*e^3*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(231*d) - (2*a*(11*a^2 + 6*b^2)*e*Cos[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(77*d) + (2*b*(177*a^2 + 44*b^2)*(e*Sin[c + d*x])^(9/2))/(1287*d*e) + (34*a*b*(a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(9/2))/(143*d*e) + (2*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^(9/2))/(13*d*e)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(e*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*a*(3*a^2 + 2*b^2)*e^2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (2*a*(3*a^2 + 2*b^2)*e*Cos[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(15*d) + (2*b*(43*a^2 + 12*b^2)*(e*Sin[c + d*x])^(7/2))/(231*d*e) + (10*a*b*(a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(7/2))/(33*d*e) + (2*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^(7/2))/(11*d*e)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(e*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*a*(7*a^2 + 6*b^2)*e^2*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(21*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*a*(7*a^2 + 6*b^2)*e*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(21*d) + (2*b*(89*a^2 + 28*b^2)*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(315*d*e) + (26*a*b*(a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(63*d*e) + (2*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(9*d*e)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(e*Sin[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*a*(5*a^2 + 6*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (2*b*(57*a^2 + 20*b^2)*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(105*d*e) + (22*a*b*(a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(35*d*e) + (2*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(7*d*e)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3/(e*Sin[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*a*(a^2 + 2*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (2*b*(11*a^2 + 4*b^2)*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*d*e) + (6*a*b*(a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*d*e) + (2*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*d*e)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3/(e*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((2*(b + a*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2)/(d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])) - (2*a*(a^2 + 6*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(d*e^2*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (2*b*(3*a^2 + 4*b^2)*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d*e^3) - (2*a*b*(a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(d*e^3)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3/(e*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 5, -((2*(b + a*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2)/(3*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))) + (2*a*(a^2 - 6*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*b*(a^2 + 4*b^2)*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(3*d*e^3) - (2*a*b*(a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(3*d*e^3)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3/(e*Sin[c + d*x])^(7/2), x, 5, -((2*(b + a*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2)/(5*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))) + (2*(a + b*Cos[c + d*x])*(a*b - (3*a^2 - 4*b^2)*Cos[c + d*x]))/(5*d*e^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (6*a*(a^2 - 2*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*d*e^4*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (2*b*(3*a^2 - 4*b^2)*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*d*e^5)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3/(e*Sin[c + d*x])^(9/2), x, 5, -((2*(b + a*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2)/(7*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(7/2))) - (2*(a + b*Cos[c + d*x])*(a*b + (5*a^2 - 4*b^2)*Cos[c + d*x]))/(21*d*e^3*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*(5*a^2 - 6*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(21*d*e^4*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*b*(5*a^2 - 4*b^2)*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(21*d*e^5)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(e*Sin[c + d*x])^(11/2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 15, ((-a^2 + b^2)^(9/4)*e^(11/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(11/2)*d) + ((-a^2 + b^2)^(9/4)*e^(11/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(11/2)*d) + (2*a*(21*a^4 - 49*a^2*b^2 + 33*b^4)*e^6*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(21*b^6*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (a*(a^2 - b^2)^3*e^6*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(b^6*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (a*(a^2 - b^2)^3*e^6*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(b^6*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*e^5*(21*(a^2 - b^2)^2 - a*b*(7*a^2 - 12*b^2)*Cos[c + d*x])*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(21*b^5*d) + (2*e^3*(7*(a^2 - b^2) - 5*a*b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(35*b^3*d) - (2*e*(e*Sin[c + d*x])^(9/2))/(9*b*d)}
+{(e*Sin[c + d*x])^(9/2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 14, -(((-a^2 + b^2)^(7/4)*e^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(9/2)*d)) + ((-a^2 + b^2)^(7/4)*e^(9/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(9/2)*d) + (a*(a^2 - b^2)^2*e^5*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(b^5*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (a*(a^2 - b^2)^2*e^5*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(b^5*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*a*(5*a^2 - 8*b^2)*e^4*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*b^4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (2*e^3*(5*(a^2 - b^2) - 3*a*b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(15*b^3*d) - (2*e*(e*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*b*d)}
+{(e*Sin[c + d*x])^(7/2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 14, ((-a^2 + b^2)^(5/4)*e^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(7/2)*d) + ((-a^2 + b^2)^(5/4)*e^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(7/2)*d) - (2*a*(3*a^2 - 4*b^2)*e^4*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*b^4*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (a*(a^2 - b^2)^2*e^4*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(b^4*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (a*(a^2 - b^2)^2*e^4*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(b^4*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (2*e^3*(3*(a^2 - b^2) - a*b*Cos[c + d*x])*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(3*b^3*d) - (2*e*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*b*d)}
+{(e*Sin[c + d*x])^(5/2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 13, -(((-a^2 + b^2)^(3/4)*e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(5/2)*d)) + ((-a^2 + b^2)^(3/4)*e^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(5/2)*d) - (a*(a^2 - b^2)*e^3*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(b^3*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (a*(a^2 - b^2)*e^3*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(b^3*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (2*a*e^2*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (2*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*b*d)}
+{(e*Sin[c + d*x])^(3/2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 13, ((-a^2 + b^2)^(1/4)*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(3/2)*d) + ((-a^2 + b^2)^(1/4)*e^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(b^(3/2)*d) + (2*a*e^2*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (a*(a^2 - b^2)*e^2*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (a*(a^2 - b^2)*e^2*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(b*d)}
+{(e*Sin[c + d*x])^(1/2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 9, -((Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(1/4)*d)) + (Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(1/4)*d) + (a*e*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (a*e*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])}
+{1/((a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(1/2)), x, 9, (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((-a^2 + b^2)^(3/4)*d*Sqrt[e]) + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((-a^2 + b^2)^(3/4)*d*Sqrt[e]) + (a*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (a*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])}
+{1/((a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)), x, 13, -((b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((-a^2 + b^2)^(5/4)*d*e^(3/2))) + (b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((-a^2 + b^2)^(5/4)*d*e^(3/2)) + (2*(b - a*Cos[c + d*x]))/((a^2 - b^2)*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (a*b*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (a*b*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*a*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d*e^2*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{1/((a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)), x, 13, (b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((-a^2 + b^2)^(7/4)*d*e^(5/2)) + (b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((-a^2 + b^2)^(7/4)*d*e^(5/2)) + (2*(b - a*Cos[c + d*x]))/(3*(a^2 - b^2)*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*(a^2 - b^2)*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (a*b^2*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (a*b^2*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])}
+{1/((a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(7/2)), x, 14, -((b^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((-a^2 + b^2)^(9/4)*d*e^(7/2))) + (b^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((-a^2 + b^2)^(9/4)*d*e^(7/2)) + (2*(b - a*Cos[c + d*x]))/(5*(a^2 - b^2)*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (2*(5*b^3 + a*(3*a^2 - 8*b^2)*Cos[c + d*x]))/(5*(a^2 - b^2)^2*d*e^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (a*b^3*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (a*b^3*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*a*(3*a^2 - 8*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*(a^2 - b^2)^2*d*e^4*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+
+
+{(e*Sin[c + d*x])^(11/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 15, (9*a*(-a^2 + b^2)^(5/4)*e^(11/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(11/2)*d) + (9*a*(-a^2 + b^2)^(5/4)*e^(11/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(11/2)*d) - (3*(21*a^4 - 28*a^2*b^2 + 5*b^4)*e^6*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(7*b^6*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (9*a^2*(a^2 - b^2)^2*e^6*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*b^6*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (9*a^2*(a^2 - b^2)^2*e^6*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*b^6*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (3*e^5*(21*a*(a^2 - b^2) - b*(7*a^2 - 5*b^2)*Cos[c + d*x])*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(7*b^5*d) - (9*e^3*(7*a - 5*b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(35*b^3*d) + (e*(e*Sin[c + d*x])^(9/2))/(b*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(e*Sin[c + d*x])^(9/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 14, (-7*a*(-a^2 + b^2)^(3/4)*e^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(9/2)*d) + (7*a*(-a^2 + b^2)^(3/4)*e^(9/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(9/2)*d) - (7*a^2*(a^2 - b^2)*e^5*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*b^5*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (7*a^2*(a^2 - b^2)*e^5*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*b^5*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (7*(5*a^2 - 3*b^2)*e^4*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*b^4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (7*e^3*(5*a - 3*b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(15*b^3*d) + (e*(e*Sin[c + d*x])^(7/2))/(b*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(e*Sin[c + d*x])^(7/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 14, (5*a*(-a^2 + b^2)^(1/4)*e^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(7/2)*d) + (5*a*(-a^2 + b^2)^(1/4)*e^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(7/2)*d) + (5*(3*a^2 - b^2)*e^4*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*b^4*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (5*a^2*(a^2 - b^2)*e^4*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*b^4*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (5*a^2*(a^2 - b^2)*e^4*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*b^4*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (5*e^3*(3*a - b*Cos[c + d*x])*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(3*b^3*d) + (e*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(b*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(e*Sin[c + d*x])^(5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 13, (-3*a*e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(5/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*d) + (3*a*e^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(5/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*d) + (3*a^2*e^3*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*b^3*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (3*a^2*e^3*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*b^3*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (3*e^2*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(b*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(e*Sin[c + d*x])^(3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 13, (a*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*d) + (a*e^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*d) - (e^2*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (a^2*e^2*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*b^2*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (a^2*e^2*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*b^2*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(b*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(e*Sin[c + d*x])^(1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 13, (a*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(5/4)*d) - (a*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(5/4)*d) + (a^2*e*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*b*(a^2 - b^2)*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (a^2*e*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*b*(a^2 - b^2)*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (b*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/((a^2 - b^2)*d*e*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{1/((a + b*Cos[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^(1/2)), x, 13, (-3*a*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*(-a^2 + b^2)^(7/4)*d*Sqrt[e]) - (3*a*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*(-a^2 + b^2)^(7/4)*d*Sqrt[e]) - (EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (3*a^2*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*(a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (3*a^2*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*(a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (b*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d*e*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{1/((a + b*Cos[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)), x, 14, (5*a*b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*(-a^2 + b^2)^(9/4)*d*e^(3/2)) - (5*a*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*(-a^2 + b^2)^(9/4)*d*e^(3/2)) - b/((a^2 - b^2)*d*e*(a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (5*a*b - (2*a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (5*a^2*b*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*(a^2 - b^2)^2*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (5*a^2*b*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*(a^2 - b^2)^2*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - ((2*a^2 + 3*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*d*e^2*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{1/((a + b*Cos[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)), x, 14, (-7*a*b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*(-a^2 + b^2)^(11/4)*d*e^(5/2)) - (7*a*b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*(-a^2 + b^2)^(11/4)*d*e^(5/2)) - b/((a^2 - b^2)*d*e*(a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (7*a*b - (2*a^2 + 5*b^2)*Cos[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + ((2*a^2 + 5*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (7*a^2*b^2*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*(a^2 - b^2)^2*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (7*a^2*b^2*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*(a^2 - b^2)^2*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])}
+{1/((a + b*Cos[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^(7/2)), x, 15, (9*a*b^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*(-a^2 + b^2)^(13/4)*d*e^(7/2)) - (9*a*b^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*(-a^2 + b^2)^(13/4)*d*e^(7/2)) - b/((a^2 - b^2)*d*e*(a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)) + (9*a*b - (2*a^2 + 7*b^2)*Cos[c + d*x])/(5*(a^2 - b^2)^2*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (3*(15*a*b^3 + (2*a^4 - 10*a^2*b^2 - 7*b^4)*Cos[c + d*x]))/(5*(a^2 - b^2)^3*d*e^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (9*a^2*b^3*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*(a^2 - b^2)^3*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (9*a^2*b^3*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*(a^2 - b^2)^3*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (3*(2*a^4 - 10*a^2*b^2 - 7*b^4)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*(a^2 - b^2)^3*d*e^4*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+
+
+{(e*Sin[c + d*x])^(13/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 15, (11*(9*a^4 - 11*a^2*b^2 + 2*b^4)*e^(13/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(13/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*d) - (11*(9*a^4 - 11*a^2*b^2 + 2*b^4)*e^(13/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(13/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*d) - (11*a*(9*a^4 - 11*a^2*b^2 + 2*b^4)*e^7*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*b^7*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (11*a*(9*a^4 - 11*a^2*b^2 + 2*b^4)*e^7*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*b^7*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (11*a*(45*a^2 - 37*b^2)*e^6*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(20*b^6*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (11*e^5*(5*(9*a^2 - 2*b^2) - 27*a*b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(60*b^5*d) + (11*e^3*(9*a + 2*b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(7/2))/(28*b^3*d*(a + b*Cos[c + d*x])) + (e*(e*Sin[c + d*x])^(11/2))/(2*b*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2)}
+{(e*Sin[c + d*x])^(11/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 15, (-9*(7*a^4 - 9*a^2*b^2 + 2*b^4)*e^(11/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(11/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*d) - (9*(7*a^4 - 9*a^2*b^2 + 2*b^4)*e^(11/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(11/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*d) + (3*a*(21*a^2 - 13*b^2)*e^6*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(4*b^6*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (9*a*(7*a^4 - 9*a^2*b^2 + 2*b^4)*e^6*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*b^6*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (9*a*(7*a^4 - 9*a^2*b^2 + 2*b^4)*e^6*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*b^6*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (3*e^5*(3*(7*a^2 - 2*b^2) - 7*a*b*Cos[c + d*x])*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(4*b^5*d) + (9*e^3*(7*a + 2*b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(20*b^3*d*(a + b*Cos[c + d*x])) + (e*(e*Sin[c + d*x])^(9/2))/(2*b*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2)}
+{(e*Sin[c + d*x])^(9/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 14, (-7*(5*a^2 - 2*b^2)*e^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(9/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*d) + (7*(5*a^2 - 2*b^2)*e^(9/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(9/2)*(-a^2 + b^2)^(1/4)*d) + (7*a*(5*a^2 - 2*b^2)*e^5*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*b^5*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (7*a*(5*a^2 - 2*b^2)*e^5*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*b^5*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (35*a*e^4*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(4*b^4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (7*e^3*(5*a + 2*b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(12*b^3*d*(a + b*Cos[c + d*x])) + (e*(e*Sin[c + d*x])^(7/2))/(2*b*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2)}
+{(e*Sin[c + d*x])^(7/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 14, (5*(3*a^2 - 2*b^2)*e^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(7/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*d) + (5*(3*a^2 - 2*b^2)*e^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(7/2)*(-a^2 + b^2)^(3/4)*d) - (15*a*e^4*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(4*b^4*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (5*a*(3*a^2 - 2*b^2)*e^4*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*b^4*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (5*a*(3*a^2 - 2*b^2)*e^4*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*b^4*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (5*e^3*(3*a + 2*b*Cos[c + d*x])*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(4*b^3*d*(a + b*Cos[c + d*x])) + (e*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(2*b*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2)}
+{(e*Sin[c + d*x])^(5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 14, (-3*(a^2 - 2*b^2)*e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(5/2)*(-a^2 + b^2)^(5/4)*d) + (3*(a^2 - 2*b^2)*e^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(5/2)*(-a^2 + b^2)^(5/4)*d) - (3*a*(a^2 - 2*b^2)*e^3*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*b^3*(a^2 - b^2)*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (3*a*(a^2 - 2*b^2)*e^3*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*b^3*(a^2 - b^2)*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (3*a*e^2*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(4*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(2*b*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (3*a*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(4*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(e*Sin[c + d*x])^(3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 14, -((a^2 + 2*b^2)*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(7/4)*d) - ((a^2 + 2*b^2)*e^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*b^(3/2)*(-a^2 + b^2)^(7/4)*d) - (a*e^2*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(4*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (a*(a^2 + 2*b^2)*e^2*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*b^2*(a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (a*(a^2 + 2*b^2)*e^2*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*b^2*(a^2 - b^2)*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(2*b*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (a*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(4*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(e*Sin[c + d*x])^(1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 14, -((3*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(9/4)*d) + ((3*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*Sqrt[b]*(-a^2 + b^2)^(9/4)*d) + (a*(3*a^2 + 2*b^2)*e*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*b*(a^2 - b^2)^2*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (a*(3*a^2 + 2*b^2)*e*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*b*(a^2 - b^2)^2*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (5*a*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (b*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(2*(a^2 - b^2)*d*e*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (5*a*b*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(4*(a^2 - b^2)^2*d*e*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{1/((a + b*Cos[c + d*x])^3*(e*Sin[c + d*x])^(1/2)), x, 14, (3*Sqrt[b]*(5*a^2 + 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*(-a^2 + b^2)^(11/4)*d*Sqrt[e]) + (3*Sqrt[b]*(5*a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*(-a^2 + b^2)^(11/4)*d*Sqrt[e]) - (7*a*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (3*a*(5*a^2 + 2*b^2)*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*(a^2 - b^2)^2*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (3*a*(5*a^2 + 2*b^2)*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*(a^2 - b^2)^2*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (b*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(2*(a^2 - b^2)*d*e*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (7*a*b*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(4*(a^2 - b^2)^2*d*e*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{1/((a + b*Cos[c + d*x])^3*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)), x, 15, (-5*b^(3/2)*(7*a^2 + 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*(-a^2 + b^2)^(13/4)*d*e^(3/2)) + (5*b^(3/2)*(7*a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*(-a^2 + b^2)^(13/4)*d*e^(3/2)) - b/(2*(a^2 - b^2)*d*e*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (9*a*b)/(4*(a^2 - b^2)^2*d*e*(a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (5*b*(7*a^2 + 2*b^2) - a*(8*a^2 + 37*b^2)*Cos[c + d*x])/(4*(a^2 - b^2)^3*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (5*a*b*(7*a^2 + 2*b^2)*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*(a^2 - b^2)^3*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (5*a*b*(7*a^2 + 2*b^2)*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*(a^2 - b^2)^3*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (a*(8*a^2 + 37*b^2)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(4*(a^2 - b^2)^3*d*e^2*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{1/((a + b*Cos[c + d*x])^3*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)), x, 15, (7*b^(5/2)*(9*a^2 + 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*(-a^2 + b^2)^(15/4)*d*e^(5/2)) + (7*b^(5/2)*(9*a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*(-a^2 + b^2)^(15/4)*d*e^(5/2)) - b/(2*(a^2 - b^2)*d*e*(a + b*Cos[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (11*a*b)/(4*(a^2 - b^2)^2*d*e*(a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (7*b*(9*a^2 + 2*b^2) - a*(8*a^2 + 69*b^2)*Cos[c + d*x])/(12*(a^2 - b^2)^3*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (a*(8*a^2 + 69*b^2)*EllipticF[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(12*(a^2 - b^2)^3*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (7*a*b^2*(9*a^2 + 2*b^2)*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*(a^2 - b^2)^3*(a^2 - b*(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (7*a*b^2*(9*a^2 + 2*b^2)*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*(a^2 - b^2)^3*(a^2 - b*(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])}
+{1/((a + b*Cos[c + d*x])^3*(e*Sin[c + d*x])^(7/2)), x, 16, (-9*b^(7/2)*(11*a^2 + 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*(-a^2 + b^2)^(17/4)*d*e^(7/2)) + (9*b^(7/2)*(11*a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((-a^2 + b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(8*(-a^2 + b^2)^(17/4)*d*e^(7/2)) - b/(2*(a^2 - b^2)*d*e*(a + b*Cos[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (13*a*b)/(4*(a^2 - b^2)^2*d*e*(a + b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)) + (9*b*(11*a^2 + 2*b^2) - a*(8*a^2 + 109*b^2)*Cos[c + d*x])/(20*(a^2 - b^2)^3*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (3*(15*b^3*(11*a^2 + 2*b^2) + a*(8*a^4 - 64*a^2*b^2 - 139*b^4)*Cos[c + d*x]))/(20*(a^2 - b^2)^4*d*e^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (9*a*b^3*(11*a^2 + 2*b^2)*EllipticPi[(2*b)/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*(a^2 - b^2)^4*(b - Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (9*a*b^3*(11*a^2 + 2*b^2)*EllipticPi[(2*b)/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]), (c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(8*(a^2 - b^2)^4*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*d*e^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (3*a*(8*a^4 - 64*a^2*b^2 - 139*b^4)*EllipticE[(c - Pi/2 + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(20*(a^2 - b^2)^4*d*e^4*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^(p/2) (a+b Cos[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (g Csc[e+f x])^p (a+b Cos[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (g Csc[e+f x])^p (a+b Cos[e+f x])^m when a^2-b^2=0*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (g Csc[e+f x])^p (a+b Cos[e+f x])^m*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.1.3 (g tan)^p (a+b cos)^m.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.1.3 (g tan)^p (a+b cos)^m.m
new file mode 100644
index 00000000..a73c3cd7
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.1.3 (g tan)^p (a+b cos)^m.m	
@@ -0,0 +1,120 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^p (a+a Cos[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^p (a+a Cos[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^p (a+a Cos[e+f x])^m*)
+
+
+{Tan[x]^4/(a + a*Cos[x]), x, 5, ArcTanh[Sin[x]]/(2*a) - (Sec[x]*Tan[x])/(2*a) + Tan[x]^3/(3*a)}
+{Tan[x]^3/(a + a*Cos[x]), x, 5, -(Sec[x]/a) + Sec[x]^2/(2*a)}
+{Tan[x]^2/(a + a*Cos[x]), x, 4, -(ArcTanh[Sin[x]]/a) + Tan[x]/a}
+{Tan[x]^1/(a + a*Cos[x]), x, 4, -(Log[Cos[x]]/a) + Log[1 + Cos[x]]/a}
+{Cot[x]^1/(a + a*Cos[x]), x, 5, -(ArcTanh[Cos[x]]/(2*a)) + (Cot[x]*Csc[x])/(2*a) - Csc[x]^2/(2*a)}
+{Cot[x]^2/(a + a*Cos[x]), x, 5, -(Cot[x]^3/(3*a)) - Csc[x]/a + Csc[x]^3/(3*a)}
+{Cot[x]^3/(a + a*Cos[x]), x, 6, (3*ArcTanh[Cos[x]])/(8*a) - Cot[x]^4/(4*a) - (3*Cot[x]*Csc[x])/(8*a) + (Cot[x]^3*Csc[x])/(4*a)}
+{Cot[x]^4/(a + a*Cos[x]), x, 6, -(Cot[x]^5/(5*a)) + Csc[x]/a - (2*Csc[x]^3)/(3*a) + Csc[x]^5/(5*a)}
+
+
+{Tan[3*x]/(1 + Cos[3*x])^2, x, 3, -(1/(3*(1 + Cos[3*x]))) - (1/3)*Log[Cos[3*x]] + (1/3)*Log[1 + Cos[3*x]]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^p (a+a Cos[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^(p/2) (a+a Cos[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^(p/2) (a+a Cos[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^p (a+a Cos[e+f x])^m (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^p (a+a Cos[e+f x])^m (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^p (a+b Cos[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^p (a+b Cos[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^p (a+b Cos[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[x]^4/(a + b*Cos[x]), x, 6, (2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[x/2])/Sqrt[a + b]])/a^4 + (b*(3*a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Sin[x]])/(2*a^4) - ((4*a^2 - 3*b^2)*Tan[x])/(3*a^3) - (b*Sec[x]*Tan[x])/(2*a^2) + (Sec[x]^2*Tan[x])/(3*a)}
+{Tan[x]^3/(a + b*Cos[x]), x, 3, ((a^2 - b^2)*Log[Cos[x]])/a^3 - ((a^2 - b^2)*Log[a + b*Cos[x]])/a^3 - (b*Sec[x])/a^2 + Sec[x]^2/(2*a)}
+{Tan[x]^2/(a + b*Cos[x]), x, 6, -((2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[x/2])/Sqrt[a + b]])/a^2) - (b*ArcTanh[Sin[x]])/a^2 + Tan[x]/a}
+{Tan[x]^1/(a + b*Cos[x]), x, 4, -(Log[Cos[x]]/a) + Log[a + b*Cos[x]]/a}
+{Cot[x]^1/(a + b*Cos[x]), x, 3, Log[1 - Cos[x]]/(2*(a + b)) + Log[1 + Cos[x]]/(2*(a - b)) - (a*Log[a + b*Cos[x]])/(a^2 - b^2)}
+{Cot[x]^2/(a + b*Cos[x]), x, 7, -((2*a^2*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[x/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2))) - (a*Cot[x])/(a^2 - b^2) + (b*Csc[x])/(a^2 - b^2)}
+{Cot[x]^3/(a + b*Cos[x]), x, 4, -(((a - b*Cos[x])*Csc[x]^2)/(2*(a^2 - b^2))) - ((2*a + b)*Log[1 - Cos[x]])/(4*(a + b)^2) - ((2*a - b)*Log[1 + Cos[x]])/(4*(a - b)^2) + (a^3*Log[a + b*Cos[x]])/(a^2 - b^2)^2}
+{Cot[x]^4/(a + b*Cos[x]), x, 12, (2*a^4*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[x/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)) + (a^3*Cot[x])/(a^2 - b^2)^2 - (a*Cot[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)) - (a^2*b*Csc[x])/(a^2 - b^2)^2 - (b*Csc[x])/(a^2 - b^2) + (b*Csc[x]^3)/(3*(a^2 - b^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^p (a+b Cos[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+{Cot[x]/Sqrt[3 - Cos[x]], x, 5, -ArcTanh[Sqrt[3 - Cos[x]]/2]/2 - ArcTanh[Sqrt[3 - Cos[x]]/Sqrt[2]]/Sqrt[2]}
+
+
+{Tan[x]*Sqrt[a + b*Cos[x]], x, 4, 2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cos[x]]/Sqrt[a]] - 2*Sqrt[a + b*Cos[x]]}
+{Tan[x]/Sqrt[a + b*Cos[x]], x, 3, (2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cos[x]]/Sqrt[a]])/Sqrt[a]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^(p/2) (a+b Cos[e+f x])^m*)
+
+
+{Sqrt[e*Tan[c + d*x]]/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 9, -((2*Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[Sin[c + d*x]]/Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]], -1]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sin[c + d*x]])) + (2*Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[Sin[c + d*x]]/Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]], -1]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^(p/2) (a+b Cos[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^p (a+b Cos[e+f x])^m with p symbolic*)
+
+
+{(g*Tan[e + f*x])^p*(a + b*Cos[e + f*x])^m, x, 1, (g*Cot[e + f*x])^p*(g*Tan[e + f*x])^p*Unintegrable[(a + b*Cos[e + f*x])^m/(g*Cot[e + f*x])^p, x]}
+
+
+(* {(g*Tan[e + f*x])^p*(a + b*Cos[e + f*x])^3, x, 0, 0}
+{(g*Tan[e + f*x])^p*(a + b*Cos[e + f*x])^2, x, 0, 0}
+{(g*Tan[e + f*x])^p*(a + b*Cos[e + f*x])^1, x, 0, 0}
+{(g*Tan[e + f*x])^p/(a + b*Cos[e + f*x])^1, x, 0, -((g*AppellF1[1 - p, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 2 - p, (a + b)/(b + a*Sec[e + f*x]), (-a + b)/(b + a*Sec[e + f*x])]*(-((a*(1 - Sec[e + f*x]))/(b + a*Sec[e + f*x])))^((1 - p)/2)*((a*(1 + Sec[e + f*x]))/(b + a*Sec[e + f*x]))^((1 - p)/2)*(g*Tan[e + f*x])^(-1 + p)*(-Tan[e + f*x]^2)^((1 - p)/2 + (1/2)*(-1 + p)))/(a*f*(1 - p)))}
+{(g*Tan[e + f*x])^p/(a + b*Cos[e + f*x])^2, x, 0, 0}
+{(g*Tan[e + f*x])^p/(a + b*Cos[e + f*x])^3, x, 0, 0} *)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^p (a+b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (g Tan[e+f x])^p (a+b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.10 (c+d x)^m (a+b cos)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.10 (c+d x)^m (a+b cos)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..b445197a
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.10 (c+d x)^m (a+b cos)^n.m	
@@ -0,0 +1,377 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Cos[e+f x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[a + b*x]*(c + d*x)^4, x, 5, -((24*d^3*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/b^4) + (4*d*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x])/b^2 + (24*d^4*Sin[a + b*x])/b^5 - (12*d^2*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/b^3 + ((c + d*x)^4*Sin[a + b*x])/b}
+{Cos[a + b*x]*(c + d*x)^3, x, 4, -((6*d^3*Cos[a + b*x])/b^4) + (3*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/b^2 - (6*d^2*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/b^3 + ((c + d*x)^3*Sin[a + b*x])/b}
+{Cos[a + b*x]*(c + d*x)^2, x, 3, (2*d*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/b^2 - (2*d^2*Sin[a + b*x])/b^3 + ((c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/b}
+{Cos[a + b*x]*(c + d*x)^1, x, 2, (d*Cos[a + b*x])/b^2 + ((c + d*x)*Sin[a + b*x])/b}
+{Cos[a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 3, (Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/d - (Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/d}
+{Cos[a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 4, -(Cos[a + b*x]/(d*(c + d*x))) - (b*CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/d^2 - (b*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/d^2}
+{Cos[a + b*x]/(c + d*x)^3, x, 5, -(Cos[a + b*x]/(2*d*(c + d*x)^2)) - (b^2*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/(2*d^3) + (b*Sin[a + b*x])/(2*d^2*(c + d*x)) + (b^2*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(2*d^3)}
+{Cos[a + b*x]/(c + d*x)^4, x, 6, -(Cos[a + b*x]/(3*d*(c + d*x)^3)) + (b^2*Cos[a + b*x])/(6*d^3*(c + d*x)) + (b^3*CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(6*d^4) + (b*Sin[a + b*x])/(6*d^2*(c + d*x)^2) + (b^3*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(6*d^4)}
+
+
+{Cos[a + b*x]^2*(c + d*x)^4, x, 6, (3*d^4*x)/(4*b^4) - (d*(c + d*x)^3)/(2*b^2) + (c + d*x)^5/(10*d) - (3*d^3*(c + d*x)*Cos[a + b*x]^2)/(2*b^4) + (d*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]^2)/b^2 + (3*d^4*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(4*b^5) - (3*d^2*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^3) + ((c + d*x)^4*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]^2*(c + d*x)^3, x, 4, -((3*c*d^2*x)/(4*b^2)) - (3*d^3*x^2)/(8*b^2) + (c + d*x)^4/(8*d) - (3*d^3*Cos[a + b*x]^2)/(8*b^4) + (3*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^2)/(4*b^2) - (3*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(4*b^3) + ((c + d*x)^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]^2*(c + d*x)^2, x, 4, -((d^2*x)/(4*b^2)) + (c + d*x)^3/(6*d) + (d*(c + d*x)*Cos[a + b*x]^2)/(2*b^2) - (d^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(4*b^3) + ((c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]^2*(c + d*x)^1, x, 2, (c*x)/2 + (d*x^2)/4 + (d*Cos[a + b*x]^2)/(4*b^2) + ((c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]^2/(c + d*x)^1, x, 5, (Cos[2*a - (2*b*c)/d]*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(2*d) + Log[c + d*x]/(2*d) - (Sin[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(2*d)}
+{Cos[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x, 5, -(Cos[a + b*x]^2/(d*(c + d*x))) - (b*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/d^2 - (b*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^2}
+{Cos[a + b*x]^2/(c + d*x)^3, x, 7, -(Cos[a + b*x]^2/(2*d*(c + d*x)^2)) - (b^2*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^3 + (b*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(d^2*(c + d*x)) + (b^2*Sin[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^3}
+
+
+{Cos[a + b*x]^3*(c + d*x)^4, x, 12, -((160*d^3*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/(9*b^4)) + (8*d*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x])/(3*b^2) - (8*d^3*(c + d*x)*Cos[a + b*x]^3)/(27*b^4) + (4*d*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]^3)/(9*b^2) + (488*d^4*Sin[a + b*x])/(27*b^5) - (80*d^2*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/(9*b^3) + (2*(c + d*x)^4*Sin[a + b*x])/(3*b) - (4*d^2*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(9*b^3) + ((c + d*x)^4*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(3*b) - (8*d^4*Sin[a + b*x]^3)/(81*b^5)}
+{Cos[a + b*x]^3*(c + d*x)^3, x, 8, -((40*d^3*Cos[a + b*x])/(9*b^4)) + (2*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/b^2 - (2*d^3*Cos[a + b*x]^3)/(27*b^4) + (d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^3)/(3*b^2) - (40*d^2*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/(9*b^3) + (2*(c + d*x)^3*Sin[a + b*x])/(3*b) - (2*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(9*b^3) + ((c + d*x)^3*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]^3*(c + d*x)^2, x, 6, (4*d*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/(3*b^2) + (2*d*(c + d*x)*Cos[a + b*x]^3)/(9*b^2) - (14*d^2*Sin[a + b*x])/(9*b^3) + (2*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/(3*b) + ((c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(3*b) + (2*d^2*Sin[a + b*x]^3)/(27*b^3)}
+{Cos[a + b*x]^3*(c + d*x)^1, x, 3, (2*d*Cos[a + b*x])/(3*b^2) + (d*Cos[a + b*x]^3)/(9*b^2) + (2*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/(3*b) + ((c + d*x)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]^3/(c + d*x)^1, x, 8, (3*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/(4*d) + (Cos[3*a - (3*b*c)/d]*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(4*d) - (3*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(4*d) - (Sin[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(4*d)}
+{Cos[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x, 8, -(Cos[a + b*x]^3/(d*(c + d*x))) - (3*b*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(4*d^2) - (3*b*CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(4*d^2) - (3*b*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(4*d^2) - (3*b*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(4*d^2)}
+{Cos[a + b*x]^3/(c + d*x)^3, x, 12, -(Cos[a + b*x]^3/(2*d*(c + d*x)^2)) - (3*b^2*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/(8*d^3) - (9*b^2*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(8*d^3) + (3*b*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(2*d^2*(c + d*x)) + (3*b^2*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(8*d^3) + (9*b^2*Sin[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(8*d^3)}
+
+
+{x^3*Cos[a + b*x]^4, x, 8, -((45*x^2)/(128*b^2)) + (3*x^4)/32 - (45*Cos[a + b*x]^2)/(128*b^4) + (9*x^2*Cos[a + b*x]^2)/(16*b^2) - (3*Cos[a + b*x]^4)/(128*b^4) + (3*x^2*Cos[a + b*x]^4)/(16*b^2) - (45*x*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(64*b^3) + (3*x^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(8*b) - (3*x*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(32*b^3) + (x^3*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(4*b)}
+{x^2*Cos[a + b*x]^4, x, 8, -((15*x)/(64*b^2)) + x^3/8 + (3*x*Cos[a + b*x]^2)/(8*b^2) + (x*Cos[a + b*x]^4)/(8*b^2) - (15*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(64*b^3) + (3*x^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(8*b) - (Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(32*b^3) + (x^2*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(4*b)}
+{x^1*Cos[a + b*x]^4, x, 3, (3*x^2)/16 + (3*Cos[a + b*x]^2)/(16*b^2) + Cos[a + b*x]^4/(16*b^2) + (3*x*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(8*b) + (x*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]^4/x^1, x, 8, (1/2)*Cos[2*a]*CosIntegral[2*b*x] + (1/8)*Cos[4*a]*CosIntegral[4*b*x] + (3*Log[x])/8 - (1/2)*Sin[2*a]*SinIntegral[2*b*x] - (1/8)*Sin[4*a]*SinIntegral[4*b*x]}
+{Cos[a + b*x]^4/x^2, x, 8, -(Cos[a + b*x]^4/x) - b*CosIntegral[2*b*x]*Sin[2*a] - (1/2)*b*CosIntegral[4*b*x]*Sin[4*a] - b*Cos[2*a]*SinIntegral[2*b*x] - (1/2)*b*Cos[4*a]*SinIntegral[4*b*x]}
+{Cos[a + b*x]^4/x^3, x, 14, -(Cos[a + b*x]^4/(2*x^2)) - b^2*Cos[2*a]*CosIntegral[2*b*x] - b^2*Cos[4*a]*CosIntegral[4*b*x] + (2*b*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/x + b^2*Sin[2*a]*SinIntegral[2*b*x] + b^2*Sin[4*a]*SinIntegral[4*b*x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[a + b*x]*(c + d*x)^3, x, 9, -((2*I*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b) + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*I*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (6*I*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4}
+{Sec[a + b*x]*(c + d*x)^2, x, 7, -((2*I*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b) + (2*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (2*d^2*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3}
+{Sec[a + b*x]*(c + d*x)^1, x, 5, -((2*I*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b) + (I*d*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (I*d*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2}
+{Sec[a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sec[a + b*x]/(c + d*x), x]}
+
+
+{Sec[a + b*x]^2*(c + d*x)^3, x, 6, -((I*(c + d*x)^3)/b) + (3*d*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (3*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^3*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^4) + ((c + d*x)^3*Tan[a + b*x])/b}
+{Sec[a + b*x]^2*(c + d*x)^2, x, 5, -((I*(c + d*x)^2)/b) + (2*d*(c + d*x)*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (I*d^2*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + ((c + d*x)^2*Tan[a + b*x])/b}
+{Sec[a + b*x]^2*(c + d*x)^1, x, 2, (d*Log[Cos[a + b*x]])/b^2 + ((c + d*x)*Tan[a + b*x])/b}
+{Sec[a + b*x]^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sec[a + b*x]^2/(c + d*x), x]}
+
+
+{Sec[a + b*x]^3*(c + d*x)^3, x, 15, -((6*I*d^2*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^3) - (I*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b + (3*I*d^3*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*I*d^3*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (3*I*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (3*I*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (3*d*(c + d*x)^2*Sec[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)^3*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]^3*(c + d*x)^2, x, 9, -((I*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b) + (d^2*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b^3 + (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (d^2*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (d*(c + d*x)*Sec[a + b*x])/b^2 + ((c + d*x)^2*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]^3*(c + d*x)^1, x, 6, -((I*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b) + (I*d*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (I*d*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (d*Sec[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sec[a + b*x]^2/(c + d*x), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^(m/2) Cos[e+f x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[a + b*x]*(c + d*x)^(5/2), x, 8, (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x])/(2*b^2) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(4*b^(7/2)) - (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x])/(4*b^3) + ((c + d*x)^(5/2)*Sin[a + b*x])/b}
+{Cos[a + b*x]*(c + d*x)^(3/2), x, 7, (3*d*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x])/(2*b^2) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(2*b^(5/2)) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(2*b^(5/2)) + ((c + d*x)^(3/2)*Sin[a + b*x])/b}
+{Cos[a + b*x]*(c + d*x)^(1/2), x, 6, -((Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/b^(3/2) + (Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x])/b}
+{Cos[a + b*x]/(c + d*x)^(1/2), x, 5, (Sqrt[2*Pi]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(Sqrt[b]*Sqrt[d]) - (Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(Sqrt[b]*Sqrt[d])}
+{Cos[a + b*x]/(c + d*x)^(3/2), x, 6, -((2*Cos[a + b*x])/(d*Sqrt[c + d*x])) - (2*Sqrt[b]*Sqrt[2*Pi]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) - (2*Sqrt[b]*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/d^(3/2)}
+{Cos[a + b*x]/(c + d*x)^(5/2), x, 7, -((2*Cos[a + b*x])/(3*d*(c + d*x)^(3/2))) - (4*b^(3/2)*Sqrt[2*Pi]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)) + (4*b^(3/2)*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(3*d^(5/2)) + (4*b*Sin[a + b*x])/(3*d^2*Sqrt[c + d*x])}
+{Cos[a + b*x]/(c + d*x)^(7/2), x, 8, -((2*Cos[a + b*x])/(5*d*(c + d*x)^(5/2))) + (8*b^2*Cos[a + b*x])/(15*d^3*Sqrt[c + d*x]) + (8*b^(5/2)*Sqrt[2*Pi]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(15*d^(7/2)) + (8*b^(5/2)*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(15*d^(7/2)) + (4*b*Sin[a + b*x])/(15*d^2*(c + d*x)^(3/2))}
+
+
+{Cos[a + b*x]^2*(c + d*x)^(5/2), x, 10, -((5*d*(c + d*x)^(3/2))/(16*b^2)) + (c + d*x)^(7/2)/(7*d) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x]^2)/(8*b^2) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(128*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(128*b^(7/2)) + ((c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b) - (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(64*b^3)}
+{Cos[a + b*x]^2*(c + d*x)^(3/2), x, 9, -((3*d*Sqrt[c + d*x])/(16*b^2)) + (c + d*x)^(5/2)/(5*d) + (3*d*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x]^2)/(8*b^2) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(32*b^(5/2)) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(32*b^(5/2)) + ((c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]^2*(c + d*x)^(1/2), x, 8, (c + d*x)^(3/2)/(3*d) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(8*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(8*b^(3/2)) + (Sqrt[c + d*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]^2/(c + d*x)^(1/2), x, 7, Sqrt[c + d*x]/d + (Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d]) - (Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d])}
+{Cos[a + b*x]^2/(c + d*x)^(3/2), x, 7, -((2*Cos[a + b*x]^2)/(d*Sqrt[c + d*x])) - (2*Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/d^(3/2) - (2*Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/d^(3/2)}
+{Cos[a + b*x]^2/(c + d*x)^(5/2), x, 9, -((2*Cos[a + b*x]^2)/(3*d*(c + d*x)^(3/2))) - (8*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(3*d^(5/2)) + (8*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(3*d^(5/2)) + (8*b*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(3*d^2*Sqrt[c + d*x])}
+{Cos[a + b*x]^2/(c + d*x)^(7/2), x, 9, -((16*b^2)/(15*d^3*Sqrt[c + d*x])) - (2*Cos[a + b*x]^2)/(5*d*(c + d*x)^(5/2)) + (32*b^2*Cos[a + b*x]^2)/(15*d^3*Sqrt[c + d*x]) + (32*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(15*d^(7/2)) + (32*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(15*d^(7/2)) + (8*b*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(15*d^2*(c + d*x)^(3/2))}
+{Cos[a + b*x]^2/(c + d*x)^(9/2), x, 11, -((16*b^2)/(105*d^3*(c + d*x)^(3/2))) - (2*Cos[a + b*x]^2)/(7*d*(c + d*x)^(7/2)) + (32*b^2*Cos[a + b*x]^2)/(105*d^3*(c + d*x)^(3/2)) + (128*b^(7/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(105*d^(9/2)) - (128*b^(7/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(105*d^(9/2)) + (8*b*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(35*d^2*(c + d*x)^(5/2)) - (128*b^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(105*d^4*Sqrt[c + d*x])}
+
+
+{Cos[a + b*x]^3*(c + d*x)^(5/2), x, 23, (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x])/(3*b^2) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x]^3)/(18*b^2) + (45*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(7/2)) + (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(144*b^(7/2)) + (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(144*b^(7/2)) + (45*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(16*b^(7/2)) - (45*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x])/(16*b^3) + (2*(c + d*x)^(5/2)*Sin[a + b*x])/(3*b) + ((c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(3*b) - (5*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sin[3*a + 3*b*x])/(144*b^3)}
+{Cos[a + b*x]^3*(c + d*x)^(3/2), x, 20, (d*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x])/b^2 + (d*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x]^3)/(6*b^2) - (9*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*b^(5/2)) - (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(24*b^(5/2)) + (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(24*b^(5/2)) + (9*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(8*b^(5/2)) + (2*(c + d*x)^(3/2)*Sin[a + b*x])/(3*b) + ((c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]^3*(c + d*x)^(1/2), x, 14, -((3*Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*b^(3/2))) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(12*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(12*b^(3/2)) - (3*Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(4*b^(3/2)) + (3*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x])/(4*b) + (Sqrt[c + d*x]*Sin[3*a + 3*b*x])/(12*b)}
+{Cos[a + b*x]^3/(c + d*x)^(1/2), x, 12, (3*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d]) + (Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d]) - (Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d]) - (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d])}
+{Cos[a + b*x]^3/(c + d*x)^(3/2), x, 12, -((2*Cos[a + b*x]^3)/(d*Sqrt[c + d*x])) - (3*Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) - (Sqrt[b]*Sqrt[(3*Pi)/2]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) - (Sqrt[b]*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/d^(3/2) - (3*Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/d^(3/2)}
+{Cos[a + b*x]^3/(c + d*x)^(5/2), x, 18, -((2*Cos[a + b*x]^3)/(3*d*(c + d*x)^(3/2))) - (b^(3/2)*Sqrt[2*Pi]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/d^(5/2) - (b^(3/2)*Sqrt[6*Pi]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/d^(5/2) + (b^(3/2)*Sqrt[6*Pi]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/d^(5/2) + (b^(3/2)*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/d^(5/2) + (4*b*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(d^2*Sqrt[c + d*x])}
+{Cos[a + b*x]^3/(c + d*x)^(7/2), x, 19, -((16*b^2*Cos[a + b*x])/(5*d^3*Sqrt[c + d*x])) - (2*Cos[a + b*x]^3)/(5*d*(c + d*x)^(5/2)) + (24*b^2*Cos[a + b*x]^3)/(5*d^3*Sqrt[c + d*x]) + (2*b^(5/2)*Sqrt[2*Pi]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(5*d^(7/2)) + (6*b^(5/2)*Sqrt[6*Pi]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(5*d^(7/2)) + (6*b^(5/2)*Sqrt[6*Pi]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(5*d^(7/2)) + (2*b^(5/2)*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(5*d^(7/2)) + (4*b*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(5*d^2*(c + d*x)^(3/2))}
+
+
+{x^(3/2)*Cos[x], x, 4, (3/2)*Sqrt[x]*Cos[x] - (3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[x]] + x^(3/2)*Sin[x]}
+{x^(1/2)*Cos[x], x, 3, (-Sqrt[Pi/2])*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[x]] + Sqrt[x]*Sin[x]}
+{Cos[x]/x^(1/2), x, 2, Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[x]]}
+{Cos[x]/x^(3/2), x, 3, -((2*Cos[x])/Sqrt[x]) - 2*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[x]]}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^(m/3) Cos[e+f x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[a + b*x]*(c + d*x)^(4/3), x, 5, (4*d*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b*x])/(3*b^2) + (2*I*d^2*E^(I*(a - (b*c)/d))*(-((I*b*(c + d*x))/d))^(2/3)*Gamma[1/3, -((I*b*(c + d*x))/d)])/(9*b^3*(c + d*x)^(2/3)) - (2*I*d^2*((I*b*(c + d*x))/d)^(2/3)*Gamma[1/3, (I*b*(c + d*x))/d])/(E^(I*(a - (b*c)/d))*(9*b^3*(c + d*x)^(2/3))) + ((c + d*x)^(4/3)*Sin[a + b*x])/b}
+{Cos[a + b*x]*(c + d*x)^(2/3), x, 4, (d*E^(I*(a - (b*c)/d))*(-((I*b*(c + d*x))/d))^(1/3)*Gamma[2/3, -((I*b*(c + d*x))/d)])/(3*b^2*(c + d*x)^(1/3)) + (d*((I*b*(c + d*x))/d)^(1/3)*Gamma[2/3, (I*b*(c + d*x))/d])/(E^(I*(a - (b*c)/d))*(3*b^2*(c + d*x)^(1/3))) + ((c + d*x)^(2/3)*Sin[a + b*x])/b}
+{Cos[a + b*x]*(c + d*x)^(1/3), x, 4, (d*E^(I*(a - (b*c)/d))*(-((I*b*(c + d*x))/d))^(2/3)*Gamma[1/3, -((I*b*(c + d*x))/d)])/(6*b^2*(c + d*x)^(2/3)) + (d*((I*b*(c + d*x))/d)^(2/3)*Gamma[1/3, (I*b*(c + d*x))/d])/(E^(I*(a - (b*c)/d))*(6*b^2*(c + d*x)^(2/3))) + ((c + d*x)^(1/3)*Sin[a + b*x])/b}
+{Cos[a + b*x]/(c + d*x)^(1/3), x, 3, -((I*E^(I*(a - (b*c)/d))*(-((I*b*(c + d*x))/d))^(1/3)*Gamma[2/3, -((I*b*(c + d*x))/d)])/(2*b*(c + d*x)^(1/3))) + (I*((I*b*(c + d*x))/d)^(1/3)*Gamma[2/3, (I*b*(c + d*x))/d])/(E^(I*(a - (b*c)/d))*(2*b*(c + d*x)^(1/3)))}
+{Cos[a + b*x]/(c + d*x)^(2/3), x, 3, -((I*E^(I*(a - (b*c)/d))*(-((I*b*(c + d*x))/d))^(2/3)*Gamma[1/3, -((I*b*(c + d*x))/d)])/(2*b*(c + d*x)^(2/3))) + (I*((I*b*(c + d*x))/d)^(2/3)*Gamma[1/3, (I*b*(c + d*x))/d])/(E^(I*(a - (b*c)/d))*(2*b*(c + d*x)^(2/3)))}
+{Cos[a + b*x]/(c + d*x)^(4/3), x, 4, -((3*Cos[a + b*x])/(d*(c + d*x)^(1/3))) + (3*E^(I*(a - (b*c)/d))*(-((I*b*(c + d*x))/d))^(1/3)*Gamma[2/3, -((I*b*(c + d*x))/d)])/(2*d*(c + d*x)^(1/3)) + (3*((I*b*(c + d*x))/d)^(1/3)*Gamma[2/3, (I*b*(c + d*x))/d])/(E^(I*(a - (b*c)/d))*(2*d*(c + d*x)^(1/3)))}
+{Cos[a + b*x]/(c + d*x)^(5/3), x, 4, -((3*Cos[a + b*x])/(2*d*(c + d*x)^(2/3))) + (3*E^(I*(a - (b*c)/d))*(-((I*b*(c + d*x))/d))^(2/3)*Gamma[1/3, -((I*b*(c + d*x))/d)])/(4*d*(c + d*x)^(2/3)) + (3*((I*b*(c + d*x))/d)^(2/3)*Gamma[1/3, (I*b*(c + d*x))/d])/(E^(I*(a - (b*c)/d))*(4*d*(c + d*x)^(2/3)))}
+{Cos[a + b*x]/(c + d*x)^(7/3), x, 5, -((3*Cos[a + b*x])/(4*d*(c + d*x)^(4/3))) + (9*I*b*E^(I*(a - (b*c)/d))*(-((I*b*(c + d*x))/d))^(1/3)*Gamma[2/3, -((I*b*(c + d*x))/d)])/(8*d^2*(c + d*x)^(1/3)) - (9*I*b*((I*b*(c + d*x))/d)^(1/3)*Gamma[2/3, (I*b*(c + d*x))/d])/(E^(I*(a - (b*c)/d))*(8*d^2*(c + d*x)^(1/3))) + (9*b*Sin[a + b*x])/(4*d^2*(c + d*x)^(1/3))}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cos[e+f x]^(n/2)*)
+
+
+{x^1*Cos[a + b*x]^(1/2), x, 0, Unintegrable[x*Sqrt[Cos[a + b*x]], x]}
+{x^0*Cos[a + b*x]^(1/2), x, 1, (2*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/b}
+{Cos[a + b*x]^(1/2)/x^1, x, 0, Unintegrable[Sqrt[Cos[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^1*Cos[a + b*x]^(3/2), x, 1, (4*Cos[a + b*x]^(3/2))/(9*b^2) + (1/3)*Unintegrable[x/Sqrt[Cos[a + b*x]], x] + (2*x*Sqrt[Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(3*b)}
+{x^0*Cos[a + b*x]^(3/2), x, 2, (2*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/(3*b) + (2*Sqrt[Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]^(3/2)/x^1, x, 0, Unintegrable[Cos[a + b*x]^(3/2)/x, x]}
+
+{x^1*Cos[a + b*x]^(3/2) - x/(3*Sqrt[Cos[a + b*x]]), x, 2, (4*Cos[a + b*x]^(3/2))/(9*b^2) + (2*x*Sqrt[Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(3*b)}
+
+
+{Cos[x]^(3/2)/x^3, x, 1, -(Cos[x]^(3/2)/(2*x^2)) + (3/8)*Unintegrable[1/(x*Sqrt[Cos[x]]), x] - (9/8)*Unintegrable[Cos[x]^(3/2)/x, x] + (3*Sqrt[Cos[x]]*Sin[x])/(4*x)}
+
+
+{x^1/Cos[a + b*x]^(1/2), x, 0, Unintegrable[x/Sqrt[Cos[a + b*x]], x]}
+{x^0/Cos[a + b*x]^(1/2), x, 1, (2*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2])/b}
+{1/(x^1*Cos[a + b*x]^(1/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[Cos[a + b*x]]), x]}
+
+
+{x^1/Cos[a + b*x]^(3/2), x, 1, (4*Sqrt[Cos[a + b*x]])/b^2 + (2*x*Sin[a + b*x])/(b*Sqrt[Cos[a + b*x]]) - Unintegrable[x*Sqrt[Cos[a + b*x]], x]}
+{x^0/Cos[a + b*x]^(3/2), x, 2, -((2*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/b) + (2*Sin[a + b*x])/(b*Sqrt[Cos[a + b*x]])}
+{1/(x^1*Cos[a + b*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*Cos[a + b*x]^(3/2)), x]}
+
+{x^1/Cos[a + b*x]^(3/2) + x*Sqrt[Cos[a + b*x]], x, 2, (4*Sqrt[Cos[a + b*x]])/b^2 + (2*x*Sin[a + b*x])/(b*Sqrt[Cos[a + b*x]])}
+
+
+{x/Cos[x]^(3/2) + x*Sqrt[Cos[x]], x, 2, 4*Sqrt[Cos[x]] + (2*x*Sin[x])/Sqrt[Cos[x]]}
+{x/Cos[x]^(5/2) - x/(3*Sqrt[Cos[x]]), x, 2, -(4/(3*Sqrt[Cos[x]])) + (2*x*Sin[x])/(3*Cos[x]^(3/2))}
+{x/Cos[x]^(7/2) + (3/5)*x*Sqrt[Cos[x]], x, 3, -(4/(15*Cos[x]^(3/2))) + (12*Sqrt[Cos[x]])/5 + (2*x*Sin[x])/(5*Cos[x]^(5/2)) + (6*x*Sin[x])/(5*Sqrt[Cos[x]])}
+{x^2/Cos[x]^(3/2) + x^2*Sqrt[Cos[x]], x, 3, 8*x*Sqrt[Cos[x]] - 16*EllipticE[x/2, 2] + (2*x^2*Sin[x])/Sqrt[Cos[x]]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Sec[e+f x]^(n/2)*)
+
+
+{x/Sec[x]^(3/2) - (1/3)*x*Sqrt[Sec[x]], x, 4, 4/(9*Sec[x]^(3/2)) + (2*x*Sin[x])/(3*Sqrt[Sec[x]])}
+{x/Sec[x]^(5/2) - (3/5)*x/Sqrt[Sec[x]], x, 4, 4/(25*Sec[x]^(5/2)) + (2*x*Sin[x])/(5*Sec[x]^(3/2))}
+{x/Sec[x]^(7/2) - (5/21)*x*Sqrt[Sec[x]], x, 5, 4/(49*Sec[x]^(7/2)) + 20/(63*Sec[x]^(3/2)) + (2*x*Sin[x])/(7*Sec[x]^(5/2)) + (10*x*Sin[x])/(21*Sqrt[Sec[x]])}
+{x^2/Sec[x]^(3/2) - (1/3)*x^2*Sqrt[Sec[x]], x, 7, (8*x)/(9*Sec[x]^(3/2)) - (16/27)*Sqrt[Cos[x]]*EllipticF[x/2, 2]*Sqrt[Sec[x]] - (16*Sin[x])/(27*Sqrt[Sec[x]]) + (2*x^2*Sin[x])/(3*Sqrt[Sec[x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Cos[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*(b*Cos[e + f*x])^n, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(b*Cos[e + f*x])^n, x]}
+
+
+{Cos[a + b*x]^3*(c + d*x)^m, x, 8, -((3*I*E^(I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*b*(c + d*x))/d)])/((-((I*b*(c + d*x))/d))^m*(8*b))) + (3*I*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*b*(c + d*x))/d])/(E^(I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*(8*b)) - (I*3^(-1 - m)*E^(3*I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((3*I*b*(c + d*x))/d)])/((-((I*b*(c + d*x))/d))^m*(8*b)) + (I*3^(-1 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (3*I*b*(c + d*x))/d])/(E^(3*I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*(8*b))}
+{Cos[a + b*x]^2*(c + d*x)^m, x, 5, (c + d*x)^(1 + m)/(2*d*(1 + m)) - (I*2^(-3 - m)*E^(2*I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((2*I*b*(c + d*x))/d)])/((-((I*b*(c + d*x))/d))^m*b) + (I*2^(-3 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*I*b*(c + d*x))/d])/(E^(2*I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*b)}
+{Cos[a + b*x]*(c + d*x)^m, x, 3, -((I*E^(I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*b*(c + d*x))/d)])/((-((I*b*(c + d*x))/d))^m*(2*b))) + (I*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*b*(c + d*x))/d])/(E^(I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*(2*b))}
+{Sec[a + b*x]*(c + d*x)^m, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Sec[a + b*x], x]}
+{Sec[a + b*x]^2*(c + d*x)^m, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Sec[a + b*x]^2, x]}
+
+
+{x^(m + 3)*Cos[a + b*x], x, 3, -((E^(I*a)*x^m*Gamma[4 + m, (-I)*b*x])/(((-I)*b*x)^m*(2*b^4))) - (x^m*Gamma[4 + m, I*b*x])/(E^(I*a)*(I*b*x)^m*(2*b^4))}
+{x^(m + 2)*Cos[a + b*x], x, 3, (I*E^(I*a)*x^m*Gamma[3 + m, (-I)*b*x])/(((-I)*b*x)^m*(2*b^3)) - (I*x^m*Gamma[3 + m, I*b*x])/(E^(I*a)*(I*b*x)^m*(2*b^3))}
+{x^(m + 1)*Cos[a + b*x], x, 3, (E^(I*a)*x^m*Gamma[2 + m, (-I)*b*x])/(((-I)*b*x)^m*(2*b^2)) + (x^m*Gamma[2 + m, I*b*x])/(E^(I*a)*(I*b*x)^m*(2*b^2))}
+{x^(m + 0)*Cos[a + b*x], x, 3, -((I*E^(I*a)*x^m*Gamma[1 + m, (-I)*b*x])/(((-I)*b*x)^m*(2*b))) + (I*x^m*Gamma[1 + m, I*b*x])/(E^(I*a)*(I*b*x)^m*(2*b))}
+{x^(m - 1)*Cos[a + b*x], x, 3, ((-(1/2))*E^(I*a)*x^m*Gamma[m, (-I)*b*x])/((-I)*b*x)^m - ((1/2)*x^m*Gamma[m, I*b*x])/(E^(I*a)*(I*b*x)^m)}
+{x^(m - 2)*Cos[a + b*x], x, 3, ((1/2)*I*b*E^(I*a)*x^m*Gamma[-1 + m, (-I)*b*x])/((-I)*b*x)^m - ((1/2)*I*b*x^m*Gamma[-1 + m, I*b*x])/(E^(I*a)*(I*b*x)^m)}
+{x^(m - 3)*Cos[a + b*x], x, 3, ((1/2)*b^2*E^(I*a)*x^m*Gamma[-2 + m, (-I)*b*x])/((-I)*b*x)^m + ((1/2)*b^2*x^m*Gamma[-2 + m, I*b*x])/(E^(I*a)*(I*b*x)^m)}
+
+
+{x^(m + 3)*Cos[a + b*x]^2, x, 5, x^(4 + m)/(2*(4 + m)) - (2^(-6 - m)*E^(2*I*a)*x^m*Gamma[4 + m, -2*I*b*x])/(((-I)*b*x)^m*b^4) - (2^(-6 - m)*x^m*Gamma[4 + m, 2*I*b*x])/(E^(2*I*a)*(I*b*x)^m*b^4)}
+{x^(m + 2)*Cos[a + b*x]^2, x, 5, x^(3 + m)/(2*(3 + m)) + (I*2^(-5 - m)*E^(2*I*a)*x^m*Gamma[3 + m, -2*I*b*x])/(((-I)*b*x)^m*b^3) - (I*2^(-5 - m)*x^m*Gamma[3 + m, 2*I*b*x])/(E^(2*I*a)*(I*b*x)^m*b^3)}
+{x^(m + 1)*Cos[a + b*x]^2, x, 5, x^(2 + m)/(2*(2 + m)) + (2^(-4 - m)*E^(2*I*a)*x^m*Gamma[2 + m, -2*I*b*x])/(((-I)*b*x)^m*b^2) + (2^(-4 - m)*x^m*Gamma[2 + m, 2*I*b*x])/(E^(2*I*a)*(I*b*x)^m*b^2)}
+{x^(m + 0)*Cos[a + b*x]^2, x, 5, x^(1 + m)/(2*(1 + m)) - (I*2^(-3 - m)*E^(2*I*a)*x^m*Gamma[1 + m, -2*I*b*x])/(((-I)*b*x)^m*b) + (I*2^(-3 - m)*x^m*Gamma[1 + m, 2*I*b*x])/(E^(2*I*a)*(I*b*x)^m*b)}
+{x^(m - 1)*Cos[a + b*x]^2, x, 5, x^m/(2*m) - (2^(-2 - m)*E^(2*I*a)*x^m*Gamma[m, -2*I*b*x])/((-I)*b*x)^m - (2^(-2 - m)*x^m*Gamma[m, 2*I*b*x])/(E^(2*I*a)*(I*b*x)^m)}
+{x^(m - 2)*Cos[a + b*x]^2, x, 5, -(x^(-1 + m)/(2*(1 - m))) + (I*2^(-1 - m)*b*E^(2*I*a)*x^m*Gamma[-1 + m, -2*I*b*x])/((-I)*b*x)^m - (I*2^(-1 - m)*b*x^m*Gamma[-1 + m, 2*I*b*x])/(E^(2*I*a)*(I*b*x)^m)}
+{x^(m - 3)*Cos[a + b*x]^2, x, 5, -(x^(-2 + m)/(2*(2 - m))) + (b^2*E^(2*I*a)*x^m*Gamma[-2 + m, -2*I*b*x])/(2^m*((-I)*b*x)^m) + (b^2*x^m*Gamma[-2 + m, 2*I*b*x])/(2^m*E^(2*I*a)*(I*b*x)^m)}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Cos[e+f x])^n with a^2-b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + a*Cos[e + f*x])*(c + d*x)^3, x, 6, (a*(c + d*x)^4)/(4*d) - (6*a*d^3*Cos[e + f*x])/f^4 + (3*a*d*(c + d*x)^2*Cos[e + f*x])/f^2 - (6*a*d^2*(c + d*x)*Sin[e + f*x])/f^3 + (a*(c + d*x)^3*Sin[e + f*x])/f}
+{(a + a*Cos[e + f*x])*(c + d*x)^2, x, 5, (a*(c + d*x)^3)/(3*d) + (2*a*d*(c + d*x)*Cos[e + f*x])/f^2 - (2*a*d^2*Sin[e + f*x])/f^3 + (a*(c + d*x)^2*Sin[e + f*x])/f}
+{(a + a*Cos[e + f*x])*(c + d*x)^1, x, 4, (a*(c + d*x)^2)/(2*d) + (a*d*Cos[e + f*x])/f^2 + (a*(c + d*x)*Sin[e + f*x])/f}
+{(a + a*Cos[e + f*x])/(c + d*x)^1, x, 5, (a*Cos[e - (c*f)/d]*CosIntegral[(c*f)/d + f*x])/d + (a*Log[c + d*x])/d - (a*Sin[e - (c*f)/d]*SinIntegral[(c*f)/d + f*x])/d}
+{(a + a*Cos[e + f*x])/(c + d*x)^2, x, 6, -(a/(d*(c + d*x))) - (a*Cos[e + f*x])/(d*(c + d*x)) - (a*f*CosIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sin[e - (c*f)/d])/d^2 - (a*f*Cos[e - (c*f)/d]*SinIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2}
+
+
+{(a + a*Cos[e + f*x])^2*(c + d*x)^3, x, 10, -((3*a^2*c*d^2*x)/(4*f^2)) - (3*a^2*d^3*x^2)/(8*f^2) + (3*a^2*(c + d*x)^4)/(8*d) - (12*a^2*d^3*Cos[e + f*x])/f^4 + (6*a^2*d*(c + d*x)^2*Cos[e + f*x])/f^2 - (3*a^2*d^3*Cos[e + f*x]^2)/(8*f^4) + (3*a^2*d*(c + d*x)^2*Cos[e + f*x]^2)/(4*f^2) - (12*a^2*d^2*(c + d*x)*Sin[e + f*x])/f^3 + (2*a^2*(c + d*x)^3*Sin[e + f*x])/f - (3*a^2*d^2*(c + d*x)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(4*f^3) + (a^2*(c + d*x)^3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{(a + a*Cos[e + f*x])^2*(c + d*x)^2, x, 9, -((a^2*d^2*x)/(4*f^2)) + (a^2*(c + d*x)^3)/(2*d) + (4*a^2*d*(c + d*x)*Cos[e + f*x])/f^2 + (a^2*d*(c + d*x)*Cos[e + f*x]^2)/(2*f^2) - (4*a^2*d^2*Sin[e + f*x])/f^3 + (2*a^2*(c + d*x)^2*Sin[e + f*x])/f - (a^2*d^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(4*f^3) + (a^2*(c + d*x)^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{(a + a*Cos[e + f*x])^2*(c + d*x)^1, x, 6, (1/2)*a^2*c*x + (1/4)*a^2*d*x^2 + (a^2*(c + d*x)^2)/(2*d) + (2*a^2*d*Cos[e + f*x])/f^2 + (a^2*d*Cos[e + f*x]^2)/(4*f^2) + (2*a^2*(c + d*x)*Sin[e + f*x])/f + (a^2*(c + d*x)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{(a + a*Cos[e + f*x])^2/(c + d*x)^1, x, 9, (2*a^2*Cos[e - (c*f)/d]*CosIntegral[(c*f)/d + f*x])/d + (a^2*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*d) + (3*a^2*Log[c + d*x])/(2*d) - (2*a^2*Sin[e - (c*f)/d]*SinIntegral[(c*f)/d + f*x])/d - (a^2*Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*d)}
+{(a + a*Cos[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x, 9, -((4*a^2*Cos[e/2 + (f*x)/2]^4)/(d*(c + d*x))) - (a^2*f*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sin[2*e - (2*c*f)/d])/d^2 - (2*a^2*f*CosIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sin[e - (c*f)/d])/d^2 - (2*a^2*f*Cos[e - (c*f)/d]*SinIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2 - (a^2*f*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^2}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{1/(a + a*Cos[e + f*x])*(c + d*x)^3, x, 7, -((I*(c + d*x)^3)/(a*f)) + (6*d*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(I*(e + f*x))])/(a*f^2) - (12*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(e + f*x))])/(a*f^3) + (12*d^3*PolyLog[3, -E^(I*(e + f*x))])/(a*f^4) + ((c + d*x)^3*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(a*f)}
+{1/(a + a*Cos[e + f*x])*(c + d*x)^2, x, 6, -((I*(c + d*x)^2)/(a*f)) + (4*d*(c + d*x)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))])/(a*f^2) - (4*I*d^2*PolyLog[2, -E^(I*(e + f*x))])/(a*f^3) + ((c + d*x)^2*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(a*f)}
+{1/(a + a*Cos[e + f*x])*(c + d*x)^1, x, 3, (2*d*Log[Cos[e/2 + (f*x)/2]])/(a*f^2) + ((c + d*x)*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(a*f)}
+{1/(a + a*Cos[e + f*x])/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + a*Cos[e + f*x])), x]}
+{1/(a + a*Cos[e + f*x])/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + a*Cos[e + f*x])), x]}
+
+
+{1/(a + a*Cos[e + f*x])^2*(c + d*x)^3, x, 10, -((I*(c + d*x)^3)/(3*a^2*f)) + (2*d*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(I*(e + f*x))])/(a^2*f^2) + (4*d^3*Log[Cos[e/2 + (f*x)/2]])/(a^2*f^4) - (4*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(e + f*x))])/(a^2*f^3) + (4*d^3*PolyLog[3, -E^(I*(e + f*x))])/(a^2*f^4) - (d*(c + d*x)^2*Sec[e/2 + (f*x)/2]^2)/(2*a^2*f^2) + (2*d^2*(c + d*x)*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(a^2*f^3) + ((c + d*x)^3*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(3*a^2*f) + ((c + d*x)^3*Sec[e/2 + (f*x)/2]^2*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(6*a^2*f)}
+{1/(a + a*Cos[e + f*x])^2*(c + d*x)^2, x, 9, -((I*(c + d*x)^2)/(3*a^2*f)) + (4*d*(c + d*x)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))])/(3*a^2*f^2) - (4*I*d^2*PolyLog[2, -E^(I*(e + f*x))])/(3*a^2*f^3) - (d*(c + d*x)*Sec[e/2 + (f*x)/2]^2)/(3*a^2*f^2) + (2*d^2*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(3*a^2*f^3) + ((c + d*x)^2*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(3*a^2*f) + ((c + d*x)^2*Sec[e/2 + (f*x)/2]^2*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(6*a^2*f)}
+{1/(a + a*Cos[e + f*x])^2*(c + d*x)^1, x, 4, (2*d*Log[Cos[e/2 + (f*x)/2]])/(3*a^2*f^2) - (d*Sec[e/2 + (f*x)/2]^2)/(6*a^2*f^2) + ((c + d*x)*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(3*a^2*f) + ((c + d*x)*Sec[e/2 + (f*x)/2]^2*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(6*a^2*f)}
+{1/(a + a*Cos[e + f*x])^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + a*Cos[e + f*x])^2), x]}
+{1/(a + a*Cos[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + a*Cos[e + f*x])^2), x]}
+
+
+{1/(a - a*Cos[e + f*x])*(c + d*x)^3, x, 7, -((I*(c + d*x)^3)/(a*f)) - ((c + d*x)^3*Cot[e/2 + (f*x)/2])/(a*f) + (6*d*(c + d*x)^2*Log[1 - E^(I*(e + f*x))])/(a*f^2) - (12*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(e + f*x))])/(a*f^3) + (12*d^3*PolyLog[3, E^(I*(e + f*x))])/(a*f^4)}
+{1/(a - a*Cos[e + f*x])*(c + d*x)^2, x, 6, -((I*(c + d*x)^2)/(a*f)) - ((c + d*x)^2*Cot[e/2 + (f*x)/2])/(a*f) + (4*d*(c + d*x)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))])/(a*f^2) - (4*I*d^2*PolyLog[2, E^(I*(e + f*x))])/(a*f^3)}
+{1/(a - a*Cos[e + f*x])*(c + d*x)^1, x, 3, -(((c + d*x)*Cot[e/2 + (f*x)/2])/(a*f)) + (2*d*Log[Sin[e/2 + (f*x)/2]])/(a*f^2)}
+{1/(a - a*Cos[e + f*x])/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a - a*Cos[e + f*x])), x]}
+{1/(a - a*Cos[e + f*x])/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a - a*Cos[e + f*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^3*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 5, -((96*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])/d^4) + (12*x^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])/d^2 - (48*x*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Tan[c/2 + (d*x)/2])/d^3 + (2*x^3*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Tan[c/2 + (d*x)/2])/d}
+{x^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 4, (8*x*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])/d^2 - (16*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Tan[c/2 + (d*x)/2])/d^3 + (2*x^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Tan[c/2 + (d*x)/2])/d}
+{x*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 3, (4*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])/d^2 + (2*x*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Tan[c/2 + (d*x)/2])/d}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 1, (2*a*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]/x, x, 4, Cos[c/2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*CosIntegral[(d*x)/2]*Sec[c/2 + (d*x)/2] - Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c/2 + (d*x)/2]*Sin[c/2]*SinIntegral[(d*x)/2]}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]/x^2, x, 5, -(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]/x) - (1/2)*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*CosIntegral[(d*x)/2]*Sec[c/2 + (d*x)/2]*Sin[c/2] - (1/2)*d*Cos[c/2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c/2 + (d*x)/2]*SinIntegral[(d*x)/2]}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]/x^3, x, 6, -(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]/(2*x^2)) - (1/8)*d^2*Cos[c/2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*CosIntegral[(d*x)/2]*Sec[c/2 + (d*x)/2] + (1/8)*d^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c/2 + (d*x)/2]*Sin[c/2]*SinIntegral[(d*x)/2] + (d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Tan[c/2 + (d*x)/2])/(4*x)}
+
+
+{x^3*Sqrt[a + a*Cos[x]], x, 5, -96*Sqrt[a + a*Cos[x]] + 12*x^2*Sqrt[a + a*Cos[x]] - 48*x*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Tan[x/2] + 2*x^3*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Tan[x/2]}
+{x^2*Sqrt[a + a*Cos[x]], x, 4, 8*x*Sqrt[a + a*Cos[x]] - 16*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Tan[x/2] + 2*x^2*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Tan[x/2]}
+{x*Sqrt[a + a*Cos[x]], x, 3, 4*Sqrt[a + a*Cos[x]] + 2*x*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Tan[x/2]}
+{Sqrt[a + a*Cos[x]], x, 1, (2*a*Sin[x])/Sqrt[a + a*Cos[x]]}
+{Sqrt[a + a*Cos[x]]/x, x, 2, Sqrt[a + a*Cos[x]]*CosIntegral[x/2]*Sec[x/2]}
+{Sqrt[a + a*Cos[x]]/x^2, x, 3, -(Sqrt[a + a*Cos[x]]/x) - (1/2)*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Sec[x/2]*SinIntegral[x/2]}
+{Sqrt[a + a*Cos[x]]/x^3, x, 4, -(Sqrt[a + a*Cos[x]]/(2*x^2)) - (1/8)*Sqrt[a + a*Cos[x]]*CosIntegral[x/2]*Sec[x/2] + (Sqrt[a + a*Cos[x]]*Tan[x/2])/(4*x)}
+
+
+{x^3*Sqrt[a - a*Cos[x]], x, 5, -96*Sqrt[a - a*Cos[x]] + 12*x^2*Sqrt[a - a*Cos[x]] + 48*x*Sqrt[a - a*Cos[x]]*Cot[x/2] - 2*x^3*Sqrt[a - a*Cos[x]]*Cot[x/2]}
+{x^2*Sqrt[a - a*Cos[x]], x, 4, 8*x*Sqrt[a - a*Cos[x]] + 16*Sqrt[a - a*Cos[x]]*Cot[x/2] - 2*x^2*Sqrt[a - a*Cos[x]]*Cot[x/2]}
+{x*Sqrt[a - a*Cos[x]], x, 3, 4*Sqrt[a - a*Cos[x]] - 2*x*Sqrt[a - a*Cos[x]]*Cot[x/2]}
+{Sqrt[a - a*Cos[x]], x, 1, -((2*a*Sin[x])/Sqrt[a - a*Cos[x]])}
+{Sqrt[a - a*Cos[x]]/x, x, 2, Sqrt[a - a*Cos[x]]*Csc[x/2]*SinIntegral[x/2]}
+{Sqrt[a - a*Cos[x]]/x^2, x, 3, -(Sqrt[a - a*Cos[x]]/x) + (1/2)*Sqrt[a - a*Cos[x]]*CosIntegral[x/2]*Csc[x/2]}
+{Sqrt[a - a*Cos[x]]/x^3, x, 4, -(Sqrt[a - a*Cos[x]]/(2*x^2)) - (Sqrt[a - a*Cos[x]]*Cot[x/2])/(4*x) - (1/8)*Sqrt[a - a*Cos[x]]*Csc[x/2]*SinIntegral[x/2]}
+
+
+{x^3*(a + a*Cos[x])^(3/2), x, 9, (-(1280/9))*a*Sqrt[a + a*Cos[x]] + 16*a*x^2*Sqrt[a + a*Cos[x]] - (64/27)*a*Cos[x/2]^2*Sqrt[a + a*Cos[x]] + (8/3)*a*x^2*Cos[x/2]^2*Sqrt[a + a*Cos[x]] - (32/9)*a*x*Cos[x/2]*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Sin[x/2] + (4/3)*a*x^3*Cos[x/2]*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Sin[x/2] - (640/9)*a*x*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Tan[x/2] + (8/3)*a*x^3*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Tan[x/2]}
+{x^2*(a + a*Cos[x])^(3/2), x, 7, (32/3)*a*x*Sqrt[a + a*Cos[x]] + (16/9)*a*x*Cos[x/2]^2*Sqrt[a + a*Cos[x]] + (4/3)*a*x^2*Cos[x/2]*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Sin[x/2] - (224/9)*a*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Tan[x/2] + (8/3)*a*x^2*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Tan[x/2] + (32/27)*a*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Sin[x/2]^2*Tan[x/2]}
+{x*(a + a*Cos[x])^(3/2), x, 4, (16/3)*a*Sqrt[a + a*Cos[x]] + (8/9)*a*Cos[x/2]^2*Sqrt[a + a*Cos[x]] + (4/3)*a*x*Cos[x/2]*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Sin[x/2] + (8/3)*a*x*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Tan[x/2]}
+{(a + a*Cos[x])^(3/2)/x, x, 5, (3/2)*a*Sqrt[a + a*Cos[x]]*CosIntegral[x/2]*Sec[x/2] + (1/2)*a*Sqrt[a + a*Cos[x]]*CosIntegral[(3*x)/2]*Sec[x/2]}
+{(a + a*Cos[x])^(3/2)/x^2, x, 5, -((2*a*Cos[x/2]^2*Sqrt[a + a*Cos[x]])/x) - (3/4)*a*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Sec[x/2]*SinIntegral[x/2] - (3/4)*a*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Sec[x/2]*SinIntegral[(3*x)/2]}
+{(a + a*Cos[x])^(3/2)/x^3, x, 7, -((a*Cos[x/2]^2*Sqrt[a + a*Cos[x]])/x^2) - (3/16)*a*Sqrt[a + a*Cos[x]]*CosIntegral[x/2]*Sec[x/2] - (9/16)*a*Sqrt[a + a*Cos[x]]*CosIntegral[(3*x)/2]*Sec[x/2] + (3*a*Cos[x/2]*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Sin[x/2])/(2*x)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^3/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 10, -((4*I*x^3*ArcTan[E^((1/2)*I*(c + d*x))]*Cos[c/2 + (d*x)/2])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])) + (12*I*x^2*Cos[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[2, (-I)*E^((1/2)*I*(c + d*x))])/(d^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (12*I*x^2*Cos[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[2, I*E^((1/2)*I*(c + d*x))])/(d^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (48*x*Cos[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[3, (-I)*E^((1/2)*I*(c + d*x))])/(d^3*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (48*x*Cos[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[3, I*E^((1/2)*I*(c + d*x))])/(d^3*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (96*I*Cos[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[4, (-I)*E^((1/2)*I*(c + d*x))])/(d^4*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (96*I*Cos[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[4, I*E^((1/2)*I*(c + d*x))])/(d^4*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{x^2/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 8, -((4*I*x^2*ArcTan[E^((1/2)*I*(c + d*x))]*Cos[c/2 + (d*x)/2])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])) + (8*I*x*Cos[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[2, (-I)*E^((1/2)*I*(c + d*x))])/(d^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (8*I*x*Cos[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[2, I*E^((1/2)*I*(c + d*x))])/(d^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (16*Cos[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[3, (-I)*E^((1/2)*I*(c + d*x))])/(d^3*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*Cos[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[3, I*E^((1/2)*I*(c + d*x))])/(d^3*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{x/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 6, -((4*I*x*ArcTan[E^((1/2)*I*(c + d*x))]*Cos[c/2 + (d*x)/2])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])) + (4*I*Cos[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[2, (-I)*E^((1/2)*I*(c + d*x))])/(d^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (4*I*Cos[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[2, I*E^((1/2)*I*(c + d*x))])/(d^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{1/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 2, (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{1/(x*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]), x]}
+
+
+{x^3/Sqrt[a - a*Cos[x]], x, 10, -((4*x^3*ArcTanh[E^((I*x)/2)]*Sin[x/2])/Sqrt[a - a*Cos[x]]) + (12*I*x^2*PolyLog[2, -E^((I*x)/2)]*Sin[x/2])/Sqrt[a - a*Cos[x]] - (12*I*x^2*PolyLog[2, E^((I*x)/2)]*Sin[x/2])/Sqrt[a - a*Cos[x]] - (48*x*PolyLog[3, -E^((I*x)/2)]*Sin[x/2])/Sqrt[a - a*Cos[x]] + (48*x*PolyLog[3, E^((I*x)/2)]*Sin[x/2])/Sqrt[a - a*Cos[x]] - (96*I*PolyLog[4, -E^((I*x)/2)]*Sin[x/2])/Sqrt[a - a*Cos[x]] + (96*I*PolyLog[4, E^((I*x)/2)]*Sin[x/2])/Sqrt[a - a*Cos[x]]}
+{x^2/Sqrt[a - a*Cos[x]], x, 8, -((4*x^2*ArcTanh[E^((I*x)/2)]*Sin[x/2])/Sqrt[a - a*Cos[x]]) + (8*I*x*PolyLog[2, -E^((I*x)/2)]*Sin[x/2])/Sqrt[a - a*Cos[x]] - (8*I*x*PolyLog[2, E^((I*x)/2)]*Sin[x/2])/Sqrt[a - a*Cos[x]] - (16*PolyLog[3, -E^((I*x)/2)]*Sin[x/2])/Sqrt[a - a*Cos[x]] + (16*PolyLog[3, E^((I*x)/2)]*Sin[x/2])/Sqrt[a - a*Cos[x]]}
+{x/Sqrt[a - a*Cos[x]], x, 6, -((4*x*ArcTanh[E^((I*x)/2)]*Sin[x/2])/Sqrt[a - a*Cos[x]]) + (4*I*PolyLog[2, -E^((I*x)/2)]*Sin[x/2])/Sqrt[a - a*Cos[x]] - (4*I*PolyLog[2, E^((I*x)/2)]*Sin[x/2])/Sqrt[a - a*Cos[x]]}
+{1/Sqrt[a - a*Cos[x]], x, 2, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Cos[x]])])/Sqrt[a])}
+{1/(x*Sqrt[a - a*Cos[x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[a - a*Cos[x]]), x]}
+
+
+{x^3/(a + a*Cos[x])^(3/2), x, 16, -((3*x^2)/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]])) - (24*I*x*ArcTan[E^((I*x)/2)]*Cos[x/2])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) - (I*x^3*ArcTan[E^((I*x)/2)]*Cos[x/2])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) + (24*I*Cos[x/2]*PolyLog[2, (-I)*E^((I*x)/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) + (3*I*x^2*Cos[x/2]*PolyLog[2, (-I)*E^((I*x)/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) - (24*I*Cos[x/2]*PolyLog[2, I*E^((I*x)/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) - (3*I*x^2*Cos[x/2]*PolyLog[2, I*E^((I*x)/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) - (12*x*Cos[x/2]*PolyLog[3, (-I)*E^((I*x)/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) + (12*x*Cos[x/2]*PolyLog[3, I*E^((I*x)/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) - (24*I*Cos[x/2]*PolyLog[4, (-I)*E^((I*x)/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) + (24*I*Cos[x/2]*PolyLog[4, I*E^((I*x)/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) + (x^3*Tan[x/2])/(2*a*Sqrt[a + a*Cos[x]])}
+{x^2/(a + a*Cos[x])^(3/2), x, 10, -((2*x)/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]])) - (I*x^2*ArcTan[E^((I*x)/2)]*Cos[x/2])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) + (4*ArcTanh[Sin[x/2]]*Cos[x/2])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) + (2*I*x*Cos[x/2]*PolyLog[2, (-I)*E^((I*x)/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) - (2*I*x*Cos[x/2]*PolyLog[2, I*E^((I*x)/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) - (4*Cos[x/2]*PolyLog[3, (-I)*E^((I*x)/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) + (4*Cos[x/2]*PolyLog[3, I*E^((I*x)/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) + (x^2*Tan[x/2])/(2*a*Sqrt[a + a*Cos[x]])}
+{x^1/(a + a*Cos[x])^(3/2), x, 7, -(1/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]])) - (I*x*ArcTan[E^((I*x)/2)]*Cos[x/2])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) + (I*Cos[x/2]*PolyLog[2, (-I)*E^((I*x)/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) - (I*Cos[x/2]*PolyLog[2, I*E^((I*x)/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cos[x]]) + (x*Tan[x/2])/(2*a*Sqrt[a + a*Cos[x]])}
+{1/(x*(a + a*Cos[x])^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + a*Cos[x])^(3/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Cos[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+(* Used to hang Rubi *)
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3)/x, x, 0, Unintegrable[(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3)/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Cos[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* {x^3/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 12, -((I*x^3*Log[1 + (b*E^(I*c + I*d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d)) + (I*x^3*Log[1 + (b*E^(I*c + I*d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(I*c + I*d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(I*c + I*d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (6*I*x*PolyLog[3, -((b*E^(I*c + I*d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) + (6*I*x*PolyLog[3, -((b*E^(I*c + I*d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) + (6*PolyLog[4, -((b*E^(I*c + I*d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d^4) - (6*PolyLog[4, -((b*E^(I*c + I*d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d^4)} *)
+{x^3/(a + b*Cos[x]), x, 12, -((I*x^3*Log[1 + (b*E^(I*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/Sqrt[a^2 - b^2]) + (I*x^3*Log[1 + (b*E^(I*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/Sqrt[a^2 - b^2] - (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(I*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/Sqrt[a^2 - b^2] + (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(I*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/Sqrt[a^2 - b^2] - (6*I*x*PolyLog[3, -((b*E^(I*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/Sqrt[a^2 - b^2] + (6*I*x*PolyLog[3, -((b*E^(I*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/Sqrt[a^2 - b^2] + (6*PolyLog[4, -((b*E^(I*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/Sqrt[a^2 - b^2] - (6*PolyLog[4, -((b*E^(I*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/Sqrt[a^2 - b^2]}
+{x^2/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 10, -((I*x^2*Log[1 + (b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d)) + (I*x^2*Log[1 + (b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d) - (2*x*PolyLog[2, -((b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + (2*x*PolyLog[2, -((b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) - (2*I*PolyLog[3, -((b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d^3) + (2*I*PolyLog[3, -((b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d^3)}
+{x^1/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 8, -((I*x*Log[1 + (b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d)) + (I*x*Log[1 + (b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*d) - PolyLog[2, -((b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))]/(Sqrt[a^2 - b^2]*d^2) + PolyLog[2, -((b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))]/(Sqrt[a^2 - b^2]*d^2)}
+{1/(x^1*(a + b*Cos[x])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Cos[x])), x]}
+
+
+{(e + f*x)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 11, -((I*a*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d)) + (I*a*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (f*Log[a + b*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d^2) - (a*f*PolyLog[2, -((b*E^(I*(c + d*x)))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) + (a*f*PolyLog[2, -((b*E^(I*(c + d*x)))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)^(3/2)*d^2) - (b*(e + f*x)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Cos[e+f x])^n with m symbolic*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.12 (e x)^m (a+b cos(c+d x^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.12 (e x)^m (a+b cos(c+d x^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..496e18ea
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.12 (e x)^m (a+b cos(c+d x^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,210 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Cos[c+d x^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Cos[c+d x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cos[a+b x^2]^p*)
+
+
+{x^3*Cos[a + b*x^2], x, 3, Cos[a + b*x^2]/(2*b^2) + (x^2*Sin[a + b*x^2])/(2*b)}
+{x^2*Cos[a + b*x^2], x, 4, -((Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x])/(2*b^(3/2))) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[a])/(2*b^(3/2)) + (x*Sin[a + b*x^2])/(2*b)}
+{x^1*Cos[a + b*x^2], x, 2, Sin[a + b*x^2]/(2*b)}
+{x^0*Cos[a + b*x^2], x, 3, (Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x])/Sqrt[b] - (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[a])/Sqrt[b]}
+{Cos[a + b*x^2]/x^1, x, 3, (1/2)*Cos[a]*CosIntegral[b*x^2] - (1/2)*Sin[a]*SinIntegral[b*x^2]}
+{Cos[a + b*x^2]/x^2, x, 4, -(Cos[a + b*x^2]/x) - Sqrt[b]*Sqrt[2*Pi]*Cos[a]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x] - Sqrt[b]*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[a]}
+{Cos[a + b*x^2]/x^3, x, 5, -(Cos[a + b*x^2]/(2*x^2)) - (1/2)*b*CosIntegral[b*x^2]*Sin[a] - (1/2)*b*Cos[a]*SinIntegral[b*x^2]}
+
+
+{x^3*Cos[a + b*x^2]^2, x, 3, x^4/8 + Cos[a + b*x^2]^2/(8*b^2) + (x^2*Cos[a + b*x^2]*Sin[a + b*x^2])/(4*b)}
+{x^2*Cos[a + b*x^2]^2, x, 6, x^3/6 - (Sqrt[Pi]*Cos[2*a]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*x)/Sqrt[Pi]])/(16*b^(3/2)) - (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*x)/Sqrt[Pi]]*Sin[2*a])/(16*b^(3/2)) + (x*Sin[2*a + 2*b*x^2])/(8*b)}
+{x^1*Cos[a + b*x^2]^2, x, 3, x^2/4 + (Cos[a + b*x^2]*Sin[a + b*x^2])/(4*b)}
+{x^0*Cos[a + b*x^2]^2, x, 5, x/2 + (Sqrt[Pi]*Cos[2*a]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*x)/Sqrt[Pi]])/(4*Sqrt[b]) - (Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*x)/Sqrt[Pi]]*Sin[2*a])/(4*Sqrt[b])}
+{Cos[a + b*x^2]^2/x^1, x, 5, (1/4)*Cos[2*a]*CosIntegral[2*b*x^2] + Log[x]/2 - (1/4)*Sin[2*a]*SinIntegral[2*b*x^2]}
+{Cos[a + b*x^2]^2/x^2, x, 6, -(Cos[a + b*x^2]^2/x) - Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Cos[2*a]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*x)/Sqrt[Pi]] - Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*x)/Sqrt[Pi]]*Sin[2*a]}
+{Cos[a + b*x^2]^2/x^3, x, 7, -(1/(4*x^2)) - Cos[2*(a + b*x^2)]/(4*x^2) - (1/2)*b*CosIntegral[2*b*x^2]*Sin[2*a] - (1/2)*b*Cos[2*a]*SinIntegral[2*b*x^2]}
+
+
+{x^3*Cos[a + b*x^2]^3, x, 4, Cos[a + b*x^2]/(3*b^2) + Cos[a + b*x^2]^3/(18*b^2) + (x^2*Sin[a + b*x^2])/(3*b) + (x^2*Cos[a + b*x^2]^2*Sin[a + b*x^2])/(6*b)}
+{x^2*Cos[a + b*x^2]^3, x, 10, -((3*Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x])/(8*b^(3/2))) - (Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*x])/(24*b^(3/2)) - (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[a])/(8*b^(3/2)) - (Sqrt[Pi/6]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*x]*Sin[3*a])/(24*b^(3/2)) + (3*x*Sin[a + b*x^2])/(8*b) + (x*Sin[3*a + 3*b*x^2])/(24*b)}
+{x^1*Cos[a + b*x^2]^3, x, 3, Sin[a + b*x^2]/(2*b) - Sin[a + b*x^2]^3/(6*b)}
+{x^0*Cos[a + b*x^2]^3, x, 8, (3*Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x])/(4*Sqrt[b]) + (Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*x])/(4*Sqrt[b]) - (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[a])/(4*Sqrt[b]) - (Sqrt[Pi/6]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*x]*Sin[3*a])/(4*Sqrt[b])}
+{Cos[a + b*x^2]^3/x^1, x, 8, (3/8)*Cos[a]*CosIntegral[b*x^2] + (1/8)*Cos[3*a]*CosIntegral[3*b*x^2] - (3/8)*Sin[a]*SinIntegral[b*x^2] - (1/8)*Sin[3*a]*SinIntegral[3*b*x^2]}
+{Cos[a + b*x^2]^3/x^2, x, 9, -(Cos[a + b*x^2]^3/x) - (3/2)*Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x] - (1/2)*Sqrt[b]*Sqrt[(3*Pi)/2]*Cos[3*a]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*x] - (3/2)*Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x]*Sin[a] - (1/2)*Sqrt[b]*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*x]*Sin[3*a]}
+{Cos[a + b*x^2]^3/x^3, x, 12, -((3*Cos[a + b*x^2])/(8*x^2)) - Cos[3*(a + b*x^2)]/(8*x^2) - (3/8)*b*CosIntegral[b*x^2]*Sin[a] - (3/8)*b*CosIntegral[3*b*x^2]*Sin[3*a] - (3/8)*b*Cos[a]*SinIntegral[b*x^2] - (3/8)*b*Cos[3*a]*SinIntegral[3*b*x^2]}
+
+
+{x*Cos[a + b*x^2]^7, x, 3, Sin[a + b*x^2]/(2*b) - Sin[a + b*x^2]^3/(2*b) + (3*Sin[a + b*x^2]^5)/(10*b) - Sin[a + b*x^2]^7/(14*b)}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cos[a+b x^2]^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^(m/2) Cos[a+b x^2]^p*)
+
+
+{x^(5/2)*Cos[a + b*x^2], x, 4, -((3*I*E^(I*a)*x^(3/2)*Gamma[3/4, (-I)*b*x^2])/(16*b*((-I)*b*x^2)^(3/4))) + (3*I*x^(3/2)*Gamma[3/4, I*b*x^2])/(E^(I*a)*(16*b*(I*b*x^2)^(3/4))) + (x^(3/2)*Sin[a + b*x^2])/(2*b)}
+{x^(3/2)*Cos[a + b*x^2], x, 4, -((I*E^(I*a)*Sqrt[x]*Gamma[1/4, (-I)*b*x^2])/(16*b*((-I)*b*x^2)^(1/4))) + (I*Sqrt[x]*Gamma[1/4, I*b*x^2])/(E^(I*a)*(16*b*(I*b*x^2)^(1/4))) + (Sqrt[x]*Sin[a + b*x^2])/(2*b)}
+{x^(1/2)*Cos[a + b*x^2], x, 3, -((E^(I*a)*x^(3/2)*Gamma[3/4, (-I)*b*x^2])/(4*((-I)*b*x^2)^(3/4))) - (x^(3/2)*Gamma[3/4, I*b*x^2])/(E^(I*a)*(4*(I*b*x^2)^(3/4)))}
+{Cos[a + b*x^2]/x^(1/2), x, 3, -((E^(I*a)*Sqrt[x]*Gamma[1/4, (-I)*b*x^2])/(4*((-I)*b*x^2)^(1/4))) - (Sqrt[x]*Gamma[1/4, I*b*x^2])/(E^(I*a)*(4*(I*b*x^2)^(1/4)))}
+{Cos[a + b*x^2]/x^(3/2), x, 4, -((2*Cos[a + b*x^2])/Sqrt[x]) - (I*b*E^(I*a)*x^(3/2)*Gamma[3/4, (-I)*b*x^2])/((-I)*b*x^2)^(3/4) + (I*b*x^(3/2)*Gamma[3/4, I*b*x^2])/(E^(I*a)*(I*b*x^2)^(3/4))}
+{Cos[a + b*x^2]/x^(5/2), x, 4, -((2*Cos[a + b*x^2])/(3*x^(3/2))) - (I*b*E^(I*a)*Sqrt[x]*Gamma[1/4, (-I)*b*x^2])/(3*((-I)*b*x^2)^(1/4)) + (I*b*Sqrt[x]*Gamma[1/4, I*b*x^2])/(E^(I*a)*(3*(I*b*x^2)^(1/4)))}
+
+
+{x^(5/2)*Cos[a + b*x^2]^2, x, 7, x^(7/2)/7 - (3*I*E^(2*I*a)*x^(3/2)*Gamma[3/4, -2*I*b*x^2])/(64*2^(3/4)*b*((-I)*b*x^2)^(3/4)) + (3*I*x^(3/2)*Gamma[3/4, 2*I*b*x^2])/(E^(2*I*a)*(64*2^(3/4)*b*(I*b*x^2)^(3/4))) + (x^(3/2)*Sin[2*(a + b*x^2)])/(8*b)}
+{x^(3/2)*Cos[a + b*x^2]^2, x, 7, x^(5/2)/5 - (I*E^(2*I*a)*Sqrt[x]*Gamma[1/4, -2*I*b*x^2])/(64*2^(1/4)*b*((-I)*b*x^2)^(1/4)) + (I*Sqrt[x]*Gamma[1/4, 2*I*b*x^2])/(E^(2*I*a)*(64*2^(1/4)*b*(I*b*x^2)^(1/4))) + (Sqrt[x]*Sin[2*(a + b*x^2)])/(8*b)}
+{x^(1/2)*Cos[a + b*x^2]^2, x, 6, x^(3/2)/3 - (E^(2*I*a)*x^(3/2)*Gamma[3/4, -2*I*b*x^2])/(8*2^(3/4)*((-I)*b*x^2)^(3/4)) - (x^(3/2)*Gamma[3/4, 2*I*b*x^2])/(E^(2*I*a)*(8*2^(3/4)*(I*b*x^2)^(3/4)))}
+{Cos[a + b*x^2]^2/x^(1/2), x, 6, Sqrt[x] - (E^(2*I*a)*Sqrt[x]*Gamma[1/4, -2*I*b*x^2])/(8*2^(1/4)*((-I)*b*x^2)^(1/4)) - (Sqrt[x]*Gamma[1/4, 2*I*b*x^2])/(E^(2*I*a)*(8*2^(1/4)*(I*b*x^2)^(1/4)))}
+{Cos[a + b*x^2]^2/x^(3/2), x, 7, -(1/Sqrt[x]) - Cos[2*(a + b*x^2)]/Sqrt[x] - (I*b*E^(2*I*a)*x^(3/2)*Gamma[3/4, -2*I*b*x^2])/(2^(3/4)*((-I)*b*x^2)^(3/4)) + (I*b*x^(3/2)*Gamma[3/4, 2*I*b*x^2])/(E^(2*I*a)*(2^(3/4)*(I*b*x^2)^(3/4)))}
+{Cos[a + b*x^2]^2/x^(5/2), x, 7, -((2*Cos[a + b*x^2]^2)/(3*x^(3/2))) - (I*b*E^(2*I*a)*Sqrt[x]*Gamma[1/4, -2*I*b*x^2])/(3*2^(1/4)*((-I)*b*x^2)^(1/4)) + (I*b*Sqrt[x]*Gamma[1/4, 2*I*b*x^2])/(E^(2*I*a)*(3*2^(1/4)*(I*b*x^2)^(1/4)))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form x^(m/2) Cos[a+b x^2]^(p/2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Cos[c+d / x^1])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cos[a+b / x]^p*)
+
+
+{Cos[a + b/x], x, 5, x*Cos[a + b/x] + b*CosIntegral[b/x]*Sin[a] + b*Cos[a]*SinIntegral[b/x]}
+{Cos[a + b/x]/x, x, 3, (-Cos[a])*CosIntegral[b/x] + Sin[a]*SinIntegral[b/x]}
+{Cos[a + b/x]/x^2, x, 2, -(Sin[a + b/x]/b)}
+{Cos[a + b/x]/x^3, x, 3, -(Cos[a + b/x]/b^2) - Sin[a + b/x]/(b*x)}
+{Cos[a + b/x]/x^4, x, 4, -((2*Cos[a + b/x])/(b^2*x)) + (2*Sin[a + b/x])/b^3 - Sin[a + b/x]/(b*x^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Cos[c+d / x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cos[a+b / x^2]^p*)
+
+
+{x^0*Cos[a + b/x^2], x, 5, x*Cos[a + b/x^2] + Sqrt[b]*Sqrt[2*Pi]*Cos[a]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/x] + Sqrt[b]*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/x]*Sin[a]}
+{Cos[a + b/x^2]/x^1, x, 3, (-(1/2))*Cos[a]*CosIntegral[b/x^2] + (1/2)*Sin[a]*SinIntegral[b/x^2]}
+{Cos[a + b/x^2]/x^2, x, 4, -((Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/x])/Sqrt[b]) + (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/x]*Sin[a])/Sqrt[b]}
+{Cos[a + b/x^2]/x^3, x, 2, -(Sin[a + b/x^2]/(2*b))}
+{Cos[a + b/x^2]/x^4, x, 5, (Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/x])/(2*b^(3/2)) + (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi])/x]*Sin[a])/(2*b^(3/2)) - Sin[a + b/x^2]/(2*b*x)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Cos[c+d x^(1/2)])^p*)
+
+
+{Cos[Sqrt[x]]^2/Sqrt[x], x, 3, Sqrt[x] + Cos[Sqrt[x]]*Sin[Sqrt[x]]}
+{Cos[Sqrt[x]]/Sqrt[x], x, 2, 2*Sin[Sqrt[x]]}
+{Cos[Sqrt[x]], x, 3, 2*Cos[Sqrt[x]] + 2*Sqrt[x]*Sin[Sqrt[x]]}
+{Cos[Sqrt[x]]^2, x, 3, x/2 + (1/2)*Cos[Sqrt[x]]^2 + Sqrt[x]*Cos[Sqrt[x]]*Sin[Sqrt[x]]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Cos[c+d x^(1/3)])^p*)
+
+
+{x^(3/2)*Cos[a + b*x^(1/3)], x, 13, (135135*Sqrt[x]*Cos[a + b*x^(1/3)])/(32*b^6) - (3861*x^(7/6)*Cos[a + b*x^(1/3)])/(8*b^4) + (39*x^(11/6)*Cos[a + b*x^(1/3)])/(2*b^2) + (405405*Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x^(1/6)])/(64*b^(15/2)) + (405405*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x^(1/6)]*Sin[a])/(64*b^(15/2)) - (405405*x^(1/6)*Sin[a + b*x^(1/3)])/(64*b^7) + (27027*x^(5/6)*Sin[a + b*x^(1/3)])/(16*b^5) - (429*x^(3/2)*Sin[a + b*x^(1/3)])/(4*b^3) + (3*x^(13/6)*Sin[a + b*x^(1/3)])/b}
+{x^(1/2)*Cos[a + b*x^(1/3)], x, 10, -((315*x^(1/6)*Cos[a + b*x^(1/3)])/(8*b^4)) + (21*x^(5/6)*Cos[a + b*x^(1/3)])/(2*b^2) + (315*Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x^(1/6)])/(8*b^(9/2)) - (315*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x^(1/6)]*Sin[a])/(8*b^(9/2)) - (105*Sqrt[x]*Sin[a + b*x^(1/3)])/(4*b^3) + (3*x^(7/6)*Sin[a + b*x^(1/3)])/b}
+{Cos[a + b*x^(1/3)]/x^(1/2), x, 7, -((3*Sqrt[Pi/2]*Cos[a]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x^(1/6)])/b^(3/2)) - (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x^(1/6)]*Sin[a])/b^(3/2) + (3*x^(1/6)*Sin[a + b*x^(1/3)])/b}
+{Cos[a + b*x^(1/3)]/x^(3/2), x, 8, -((2*Cos[a + b*x^(1/3)])/Sqrt[x]) - 4*b^(3/2)*Sqrt[2*Pi]*Cos[a]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x^(1/6)] + 4*b^(3/2)*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x^(1/6)]*Sin[a] + (4*b*Sin[a + b*x^(1/3)])/x^(1/6)}
+{Cos[a + b*x^(1/3)]/x^(5/2), x, 11, -((2*Cos[a + b*x^(1/3)])/(3*x^(3/2))) + (8*b^2*Cos[a + b*x^(1/3)])/(105*x^(5/6)) - (32*b^4*Cos[a + b*x^(1/3)])/(315*x^(1/6)) - (32/315)*b^(9/2)*Sqrt[2*Pi]*Cos[a]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x^(1/6)] - (32/315)*b^(9/2)*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x^(1/6)]*Sin[a] + (4*b*Sin[a + b*x^(1/3)])/(21*x^(7/6)) - (16*b^3*Sin[a + b*x^(1/3)])/(315*Sqrt[x])}
+{Cos[a + b*x^(1/3)]/x^(7/2), x, 14, -((2*Cos[a + b*x^(1/3)])/(5*x^(5/2))) + (8*b^2*Cos[a + b*x^(1/3)])/(715*x^(11/6)) - (32*b^4*Cos[a + b*x^(1/3)])/(45045*x^(7/6)) + (128*b^6*Cos[a + b*x^(1/3)])/(675675*Sqrt[x]) + (256*b^(15/2)*Sqrt[2*Pi]*Cos[a]*FresnelC[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x^(1/6)])/675675 - (256*b^(15/2)*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*x^(1/6)]*Sin[a])/675675 + (4*b*Sin[a + b*x^(1/3)])/(65*x^(13/6)) - (16*b^3*Sin[a + b*x^(1/3)])/(6435*x^(3/2)) + (64*b^5*Sin[a + b*x^(1/3)])/(225225*x^(5/6)) - (256*b^7*Sin[a + b*x^(1/3)])/(675675*x^(1/6))}
+
+
+{x^(3/2)*Cos[a + b*x^(1/3)]^2, x, 15, -((135135*Sqrt[x])/(4096*b^6)) + (3861*x^(7/6))/(256*b^4) - (39*x^(11/6))/(16*b^2) + x^(5/2)/5 + (135135*Sqrt[x]*Cos[a + b*x^(1/3)]^2)/(2048*b^6) - (3861*x^(7/6)*Cos[a + b*x^(1/3)]^2)/(128*b^4) + (39*x^(11/6)*Cos[a + b*x^(1/3)]^2)/(8*b^2) + (405405*Sqrt[Pi]*Cos[2*a]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*x^(1/6))/Sqrt[Pi]])/(32768*b^(15/2)) + (405405*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*x^(1/6))/Sqrt[Pi]]*Sin[2*a])/(32768*b^(15/2)) + (27027*x^(5/6)*Cos[a + b*x^(1/3)]*Sin[a + b*x^(1/3)])/(512*b^5) - (429*x^(3/2)*Cos[a + b*x^(1/3)]*Sin[a + b*x^(1/3)])/(32*b^3) + (3*x^(13/6)*Cos[a + b*x^(1/3)]*Sin[a + b*x^(1/3)])/(2*b) - (405405*x^(1/6)*Sin[2*(a + b*x^(1/3))])/(16384*b^7)}
+{x^(1/2)*Cos[a + b*x^(1/3)]^2, x, 12, (315*x^(1/6))/(256*b^4) - (21*x^(5/6))/(16*b^2) + x^(3/2)/3 - (315*x^(1/6)*Cos[a + b*x^(1/3)]^2)/(128*b^4) + (21*x^(5/6)*Cos[a + b*x^(1/3)]^2)/(8*b^2) + (315*Sqrt[Pi]*Cos[2*a]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*x^(1/6))/Sqrt[Pi]])/(512*b^(9/2)) - (315*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*x^(1/6))/Sqrt[Pi]]*Sin[2*a])/(512*b^(9/2)) - (105*Sqrt[x]*Cos[a + b*x^(1/3)]*Sin[a + b*x^(1/3)])/(32*b^3) + (3*x^(7/6)*Cos[a + b*x^(1/3)]*Sin[a + b*x^(1/3)])/(2*b)}
+{Cos[a + b*x^(1/3)]^2/x^(1/2), x, 9, Sqrt[x] - (3*Sqrt[Pi]*Cos[2*a]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*x^(1/6))/Sqrt[Pi]])/(8*b^(3/2)) - (3*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*x^(1/6))/Sqrt[Pi]]*Sin[2*a])/(8*b^(3/2)) + (3*x^(1/6)*Sin[2*(a + b*x^(1/3))])/(4*b)}
+{Cos[a + b*x^(1/3)]^2/x^(3/2), x, 10, -((2*Cos[a + b*x^(1/3)]^2)/Sqrt[x]) - 8*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*x^(1/6))/Sqrt[Pi]] + 8*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*x^(1/6))/Sqrt[Pi]]*Sin[2*a] + (8*b*Cos[a + b*x^(1/3)]*Sin[a + b*x^(1/3)])/x^(1/6)}
+{Cos[a + b*x^(1/3)]^2/x^(5/2), x, 12, -((16*b^2)/(105*x^(5/6))) + (256*b^4)/(315*x^(1/6)) - (2*Cos[a + b*x^(1/3)]^2)/(3*x^(3/2)) + (32*b^2*Cos[a + b*x^(1/3)]^2)/(105*x^(5/6)) - (512*b^4*Cos[a + b*x^(1/3)]^2)/(315*x^(1/6)) - (512/315)*b^(9/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*x^(1/6))/Sqrt[Pi]] - (512/315)*b^(9/2)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*x^(1/6))/Sqrt[Pi]]*Sin[2*a] + (8*b*Cos[a + b*x^(1/3)]*Sin[a + b*x^(1/3)])/(21*x^(7/6)) - (128*b^3*Cos[a + b*x^(1/3)]*Sin[a + b*x^(1/3)])/(315*Sqrt[x])}
+{Cos[a + b*x^(1/3)]^2/x^(7/2), x, 16, -((16*b^2)/(715*x^(11/6))) + (256*b^4)/(45045*x^(7/6)) - (4096*b^6)/(675675*Sqrt[x]) - (2*Cos[a + b*x^(1/3)]^2)/(5*x^(5/2)) + (32*b^2*Cos[a + b*x^(1/3)]^2)/(715*x^(11/6)) - (512*b^4*Cos[a + b*x^(1/3)]^2)/(45045*x^(7/6)) + (8192*b^6*Cos[a + b*x^(1/3)]^2)/(675675*Sqrt[x]) + (32768*b^(15/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*x^(1/6))/Sqrt[Pi]])/675675 - (32768*b^(15/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*x^(1/6))/Sqrt[Pi]]*Sin[2*a])/675675 + (8*b*Cos[a + b*x^(1/3)]*Sin[a + b*x^(1/3)])/(65*x^(13/6)) - (128*b^3*Cos[a + b*x^(1/3)]*Sin[a + b*x^(1/3)])/(6435*x^(3/2)) + (2048*b^5*Cos[a + b*x^(1/3)]*Sin[a + b*x^(1/3)])/(225225*x^(5/6)) - (32768*b^7*Cos[a + b*x^(1/3)]*Sin[a + b*x^(1/3)])/(675675*x^(1/6))}
+
+
+{Cos[x^(1/3)]^3, x, 7, 4*x^(1/3)*Cos[x^(1/3)] + (2/3)*x^(1/3)*Cos[x^(1/3)]^3 - (14/3)*Sin[x^(1/3)] + 2*x^(2/3)*Sin[x^(1/3)] + x^(2/3)*Cos[x^(1/3)]^2*Sin[x^(1/3)] + (2/9)*Sin[x^(1/3)]^3}
+{Cos[x^(1/6)]/x^(5/6), x, 2, 6*Sin[x^(1/6)]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Cos[c+d x^n])^p*)
+
+
+{(e*x)^m*(b*Cos[c + d*x^n])^p, x, 0, Unintegrable[(e*x)^m*(b*Cos[c + d*x^n])^p, x]}
+{(e*x)^m*(a + b*Cos[c + d*x^n])^p, x, 0, Unintegrable[(e*x)^m*(a + b*Cos[c + d*x^n])^p, x]}
+
+
+{(e*x)^(n - 1)*(b*Cos[c + d*x^n])^p, x, 3, -(((e*x)^n*(b*Cos[c + d*x^n])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, Cos[c + d*x^n]^2]*Sin[c + d*x^n])/(x^n*(b*d*e*n*(1 + p)*Sqrt[Sin[c + d*x^n]^2])))}
+{(e*x)^(2*n - 1)*(b*Cos[c + d*x^n])^p, x, 1, ((e*x)^(2*n)*Unintegrable[x^(-1 + 2*n)*(b*Cos[c + d*x^n])^p, x])/(x^(2*n)*e)}
+
+{(e*x)^(n - 1)*(a + b*Cos[c + d*x^n])^p, x, 5, (Sqrt[2]*(e*x)^n*AppellF1[1/2, 1/2, -p, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x^n]), (b*(1 - Cos[c + d*x^n]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x^n])^p*Sin[c + d*x^n])/(x^n*((a + b*Cos[c + d*x^n])/(a + b))^p*(d*e*n*Sqrt[1 + Cos[c + d*x^n]]))}
+{(e*x)^(2*n - 1)*(a + b*Cos[c + d*x^n])^p, x, 1, ((e*x)^(2*n)*Unintegrable[x^(-1 + 2*n)*(a + b*Cos[c + d*x^n])^p, x])/(x^(2*n)*e)}
+
+
+{Cos[a + b*x^n]/x, x, 3, (Cos[a]*CosIntegral[b*x^n])/n - (Sin[a]*SinIntegral[b*x^n])/n}
+{Cos[a + b*x^n]^2/x, x, 5, (Cos[2*a]*CosIntegral[2*b*x^n])/(2*n) + Log[x]/2 - (Sin[2*a]*SinIntegral[2*b*x^n])/(2*n)}
+{Cos[a + b*x^n]^3/x, x, 8, (3*Cos[a]*CosIntegral[b*x^n])/(4*n) + (Cos[3*a]*CosIntegral[3*b*x^n])/(4*n) - (3*Sin[a]*SinIntegral[b*x^n])/(4*n) - (Sin[3*a]*SinIntegral[3*b*x^n])/(4*n)}
+{Cos[a + b*x^n]^4/x, x, 8, (Cos[2*a]*CosIntegral[2*b*x^n])/(2*n) + (Cos[4*a]*CosIntegral[4*b*x^n])/(8*n) + (3*Log[x])/8 - (Sin[2*a]*SinIntegral[2*b*x^n])/(2*n) - (Sin[4*a]*SinIntegral[4*b*x^n])/(8*n)}
+
+
+{Cos[a + b*x^n], x, 3, -((E^(I*a)*x*Gamma[1/n, (-I)*b*x^n])/(((-I)*b*x^n)^n^(-1)*(2*n))) - (x*Gamma[1/n, I*b*x^n])/(E^(I*a)*(I*b*x^n)^n^(-1)*(2*n))}
+{Cos[a + b*x^n]^2, x, 5, x/2 - (2^(-2 - 1/n)*E^(2*I*a)*x*Gamma[1/n, -2*I*b*x^n])/(((-I)*b*x^n)^n^(-1)*n) - (2^(-2 - 1/n)*x*Gamma[1/n, 2*I*b*x^n])/(E^(2*I*a)*(I*b*x^n)^n^(-1)*n)}
+{Cos[a + b*x^n]^3, x, 8, -((3*E^(I*a)*x*Gamma[1/n, (-I)*b*x^n])/(((-I)*b*x^n)^n^(-1)*(8*n))) - (3*x*Gamma[1/n, I*b*x^n])/(E^(I*a)*(I*b*x^n)^n^(-1)*(8*n)) - (E^(3*I*a)*x*Gamma[1/n, -3*I*b*x^n])/(3^n^(-1)*((-I)*b*x^n)^n^(-1)*(8*n)) - (x*Gamma[1/n, 3*I*b*x^n])/(3^n^(-1)*E^(3*I*a)*(I*b*x^n)^n^(-1)*(8*n))}
+
+{x^m*Cos[a + b*x^n], x, 3, -((E^(I*a)*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, (-I)*b*x^n])/(((-I)*b*x^n)^((1 + m)/n)*(2*n))) - (x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, I*b*x^n])/(E^(I*a)*(I*b*x^n)^((1 + m)/n)*(2*n))}
+{x^m*Cos[a + b*x^n]^2, x, 5, x^(1 + m)/(2*(1 + m)) - (E^(2*I*a)*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, -2*I*b*x^n])/(2^((1 + m + 2*n)/n)*((-I)*b*x^n)^((1 + m)/n)*n) - (x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, 2*I*b*x^n])/(2^((1 + m + 2*n)/n)*E^(2*I*a)*(I*b*x^n)^((1 + m)/n)*n)}
+{x^m*Cos[a + b*x^n]^3, x, 8, -((3*E^(I*a)*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, (-I)*b*x^n])/(((-I)*b*x^n)^((1 + m)/n)*(8*n))) - (3*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, I*b*x^n])/(E^(I*a)*(I*b*x^n)^((1 + m)/n)*(8*n)) - (E^(3*I*a)*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, -3*I*b*x^n])/(3^((1 + m)/n)*((-I)*b*x^n)^((1 + m)/n)*(8*n)) - (x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, 3*I*b*x^n])/(3^((1 + m)/n)*E^(3*I*a)*(I*b*x^n)^((1 + m)/n)*(8*n))}
+
+
+{Cos[a + b*x^n]/x^(n + 1), x, 5, -(Cos[a + b*x^n]/(x^n*n)) - (b*CosIntegral[b*x^n]*Sin[a])/n - (b*Cos[a]*SinIntegral[b*x^n])/n}
+{Cos[a + b*x^n]^2/x^(n + 1), x, 7, -(1/(x^n*(2*n))) - Cos[2*(a + b*x^n)]/(x^n*(2*n)) - (b*CosIntegral[2*b*x^n]*Sin[2*a])/n - (b*Cos[2*a]*SinIntegral[2*b*x^n])/n}
+{Cos[a + b*x^n]^3/x^(n + 1), x, 12, -((3*Cos[a + b*x^n])/(x^n*(4*n))) - Cos[3*(a + b*x^n)]/(x^n*(4*n)) - (3*b*CosIntegral[b*x^n]*Sin[a])/(4*n) - (3*b*CosIntegral[3*b*x^n]*Sin[3*a])/(4*n) - (3*b*Cos[a]*SinIntegral[b*x^n])/(4*n) - (3*b*Cos[3*a]*SinIntegral[3*b*x^n])/(4*n)}
+
+{Cos[a + b*x^n]/x^(2*n + 1), x, 6, -(Cos[a + b*x^n]/(x^(2*n)*(2*n))) - (b^2*Cos[a]*CosIntegral[b*x^n])/(2*n) + (b*Sin[a + b*x^n])/(x^n*(2*n)) + (b^2*Sin[a]*SinIntegral[b*x^n])/(2*n)}
+{Cos[a + b*x^n]^2/x^(2*n + 1), x, 8, -(1/(x^(2*n)*(4*n))) - Cos[2*(a + b*x^n)]/(x^(2*n)*(4*n)) - (b^2*Cos[2*a]*CosIntegral[2*b*x^n])/n + (b*Sin[2*(a + b*x^n)])/(x^n*(2*n)) + (b^2*Sin[2*a]*SinIntegral[2*b*x^n])/n}
+{Cos[a + b*x^n]^3/x^(2*n + 1), x, 14, -((3*Cos[a + b*x^n])/(x^(2*n)*(8*n))) - Cos[3*(a + b*x^n)]/(x^(2*n)*(8*n)) - (3*b^2*Cos[a]*CosIntegral[b*x^n])/(8*n) - (9*b^2*Cos[3*a]*CosIntegral[3*b*x^n])/(8*n) + (3*b*Sin[a + b*x^n])/(x^n*(8*n)) + (3*b*Sin[3*(a + b*x^n)])/(x^n*(8*n)) + (3*b^2*Sin[a]*SinIntegral[b*x^n])/(8*n) + (9*b^2*Sin[3*a]*SinIntegral[3*b*x^n])/(8*n)}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cos[a+b (c+d x)^n]*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cos[a+b (c+d x)^n]*)
+
+
+{x^2*Cos[(a + b*x)^2], x, 7, (a^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*(a + b*x)])/b^3 - (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*(a + b*x)])/(2*b^3) - (a*Sin[(a + b*x)^2])/b^3 + ((a + b*x)*Sin[(a + b*x)^2])/(2*b^3)}
+{x^1*Cos[(a + b*x)^2], x, 5, -((a*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*(a + b*x)])/b^2) + Sin[(a + b*x)^2]/(2*b^2)}
+{x^0*Cos[(a + b*x)^2], x, 1, (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*(a + b*x)])/b}
+{Cos[(a + b*x)^2]/x^1, x, 0, Unintegrable[Cos[(a + b*x)^2]/x, x]}
+{Cos[(a + b*x)^2]/x^2, x, 0, Unintegrable[Cos[(a + b*x)^2]/x^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cos[a+b (c+d x)^(n/2)]*)
+
+
+{Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]]*x^2, x, 14, (240*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^6*d^3) + (24*c*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^4*d^3) + (2*c^2*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^3) - (120*(c + d*x)*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^4*d^3) - (12*c*(c + d*x)*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^3) + (10*(c + d*x)^2*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^3) + (240*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^5*d^3) + (24*c*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^3*d^3) + (2*c^2*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^3) - (40*(c + d*x)^(3/2)*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^3*d^3) - (4*c*(c + d*x)^(3/2)*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^3) + (2*(c + d*x)^(5/2)*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^3)}
+{Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]]*x^1, x, 8, -((12*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^4*d^2)) - (2*c*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^2) + (6*(c + d*x)*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^2) - (12*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^3*d^2) - (2*c*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^2) + (2*(c + d*x)^(3/2)*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^2)}
+{Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]]*x^0, x, 3, (2*Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d) + (2*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d)}
+{Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]]/x^1, x, 8, Cos[a - b*Sqrt[c]]*CosIntegral[b*(Sqrt[c] + Sqrt[c + d*x])] + Cos[a + b*Sqrt[c]]*CosIntegral[b*Sqrt[c] - b*Sqrt[c + d*x]] - Sin[a - b*Sqrt[c]]*SinIntegral[b*(Sqrt[c] + Sqrt[c + d*x])] + Sin[a + b*Sqrt[c]]*SinIntegral[b*Sqrt[c] - b*Sqrt[c + d*x]]}
+{Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]]/x^2, x, 10, -(Cos[a + b*Sqrt[c + d*x]]/x) + (b*d*CosIntegral[b*(Sqrt[c] + Sqrt[c + d*x])]*Sin[a - b*Sqrt[c]])/(2*Sqrt[c]) - (b*d*CosIntegral[b*Sqrt[c] - b*Sqrt[c + d*x]]*Sin[a + b*Sqrt[c]])/(2*Sqrt[c]) + (b*d*Cos[a - b*Sqrt[c]]*SinIntegral[b*(Sqrt[c] + Sqrt[c + d*x])])/(2*Sqrt[c]) + (b*d*Cos[a + b*Sqrt[c]]*SinIntegral[b*Sqrt[c] - b*Sqrt[c + d*x]])/(2*Sqrt[c])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cos[a+b (c+d x)^(n/3)]*)
+
+
+{Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)]*x^2, x, 20, -((720*c*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^6*d^3)) - (120960*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^8*d^3) + (6*c^2*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^3) + (360*c*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^4*d^3) + (20160*(c + d*x)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^6*d^3) - (30*c*(c + d*x)^(4/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^3) - (1008*(c + d*x)^(5/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^4*d^3) + (24*(c + d*x)^(7/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^3) + (120960*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^9*d^3) - (6*c^2*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^3) - (720*c*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^5*d^3) - (60480*(c + d*x)^(2/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^7*d^3) + (3*c^2*(c + d*x)^(2/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^3) + (120*c*(c + d*x)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^3) + (5040*(c + d*x)^(4/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^5*d^3) - (6*c*(c + d*x)^(5/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^3) - (168*(c + d*x)^2*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^3) + (3*(c + d*x)^(8/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^3)}
+{Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)]*x^1, x, 11, (360*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^6*d^2) - (6*c*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^2) - (180*(c + d*x)^(2/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^4*d^2) + (15*(c + d*x)^(4/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^2) + (6*c*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^2) + (360*(c + d*x)^(1/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^5*d^2) - (3*c*(c + d*x)^(2/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^2) - (60*(c + d*x)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^2) + (3*(c + d*x)^(5/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^2)}
+{Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)]*x^0, x, 4, (6*(c + d*x)^(1/3)*Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d) - (6*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d) + (3*(c + d*x)^(2/3)*Sin[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d)}
+{Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)]/x^1, x, 11, Cos[a + b*c^(1/3)]*CosIntegral[b*c^(1/3) - b*(c + d*x)^(1/3)] + Cos[a + (-1)^(2/3)*b*c^(1/3)]*CosIntegral[(-1)^(2/3)*b*c^(1/3) - b*(c + d*x)^(1/3)] + Cos[a - (-1)^(1/3)*b*c^(1/3)]*CosIntegral[(-1)^(1/3)*b*c^(1/3) + b*(c + d*x)^(1/3)] + Sin[a + b*c^(1/3)]*SinIntegral[b*c^(1/3) - b*(c + d*x)^(1/3)] + Sin[a + (-1)^(2/3)*b*c^(1/3)]*SinIntegral[(-1)^(2/3)*b*c^(1/3) - b*(c + d*x)^(1/3)] - Sin[a - (-1)^(1/3)*b*c^(1/3)]*SinIntegral[(-1)^(1/3)*b*c^(1/3) + b*(c + d*x)^(1/3)]}
+{Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)]/x^2, x, 13, -(Cos[a + b*(c + d*x)^(1/3)]/x) - (b*d*CosIntegral[b*c^(1/3) - b*(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a + b*c^(1/3)])/(3*c^(2/3)) + ((-1)^(1/3)*b*d*CosIntegral[(-1)^(1/3)*b*c^(1/3) + b*(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a - (-1)^(1/3)*b*c^(1/3)])/(3*c^(2/3)) - ((-1)^(2/3)*b*d*CosIntegral[(-1)^(2/3)*b*c^(1/3) - b*(c + d*x)^(1/3)]*Sin[a + (-1)^(2/3)*b*c^(1/3)])/(3*c^(2/3)) + (b*d*Cos[a + b*c^(1/3)]*SinIntegral[b*c^(1/3) - b*(c + d*x)^(1/3)])/(3*c^(2/3)) + ((-1)^(2/3)*b*d*Cos[a + (-1)^(2/3)*b*c^(1/3)]*SinIntegral[(-1)^(2/3)*b*c^(1/3) - b*(c + d*x)^(1/3)])/(3*c^(2/3)) + ((-1)^(1/3)*b*d*Cos[a - (-1)^(1/3)*b*c^(1/3)]*SinIntegral[(-1)^(1/3)*b*c^(1/3) + b*(c + d*x)^(1/3)])/(3*c^(2/3))}
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@@ -0,0 +1,58 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m Cos[a+b x+c x^2]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cos[a+b x+c x^2]^n*)
+
+
+{x^2*Cos[a + b*x + c*x^2], x, 8, (b^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - b^2/(4*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/(4*c^(5/2)) - (Sqrt[Pi/2]*Cos[a - b^2/(4*c)]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/(2*c^(3/2)) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a - b^2/(4*c)])/(2*c^(3/2)) - (b^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a - b^2/(4*c)])/(4*c^(5/2)) - (b*Sin[a + b*x + c*x^2])/(4*c^2) + (x*Sin[a + b*x + c*x^2])/(2*c)}
+{x*Cos[a + b*x + c*x^2], x, 4, -((b*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - b^2/(4*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/(2*c^(3/2))) + (b*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a - b^2/(4*c)])/(2*c^(3/2)) + Sin[a + b*x + c*x^2]/(2*c)}
+{Cos[a + b*x + c*x^2], x, 3, (Sqrt[Pi/2]*Cos[a - b^2/(4*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/Sqrt[c] - (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a - b^2/(4*c)])/Sqrt[c]}
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+{Cos[a + b*x + c*x^2]/x^2 + b*Sin[a + b*x + c*x^2]/x, x, 5, -(Cos[a + b*x + c*x^2]/x) - Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi]*Cos[a - b^2/(4*c)]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])] - Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a - b^2/(4*c)]}
+
+{x^2*Cos[a + b*x - c*x^2], x, 8, -((b^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a + b^2/(4*c)]*FresnelC[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/(4*c^(5/2))) + (Sqrt[Pi/2]*Cos[a + b^2/(4*c)]*FresnelS[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/(2*c^(3/2)) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a + b^2/(4*c)])/(2*c^(3/2)) - (b^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a + b^2/(4*c)])/(4*c^(5/2)) - (b*Sin[a + b*x - c*x^2])/(4*c^2) - (x*Sin[a + b*x - c*x^2])/(2*c)}
+{x*Cos[a + b*x - c*x^2], x, 4, -((b*Sqrt[Pi/2]*Cos[a + b^2/(4*c)]*FresnelC[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/(2*c^(3/2))) - (b*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a + b^2/(4*c)])/(2*c^(3/2)) - Sin[a + b*x - c*x^2]/(2*c)}
+{Cos[a + b*x - c*x^2], x, 3, -((Sqrt[Pi/2]*Cos[a + b^2/(4*c)]*FresnelC[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/Sqrt[c]) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a + b^2/(4*c)])/Sqrt[c]}
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+{Cos[a + b*x - c*x^2]/x^2 + b*Sin[a + b*x - c*x^2]/x, x, 5, -(Cos[a + b*x - c*x^2]/x) + Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi]*Cos[a + b^2/(4*c)]*FresnelS[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])] - Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a + b^2/(4*c)]}
+
+{x^2*Cos[1/4 + x + x^2], x, 6, (1/4)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(1 + 2*x)/Sqrt[2*Pi]] - (1/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(1 + 2*x)/Sqrt[2*Pi]] - (1/4)*Sin[1/4 + x + x^2] + (1/2)*x*Sin[1/4 + x + x^2]}
+{x*Cos[1/4 + x + x^2], x, 3, (-(1/2))*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(1 + 2*x)/Sqrt[2*Pi]] + (1/2)*Sin[1/4 + x + x^2]}
+{Cos[1/4 + x + x^2], x, 2, Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(1 + 2*x)/Sqrt[2*Pi]]}
+{Cos[1/4 + x + x^2]/x, x, 0, Unintegrable[Cos[1/4 + x + x^2]/x, x]}
+{Cos[1/4 + x + x^2]/x^2, x, 3, -(Cos[1/4 + x + x^2]/x) - Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(1 + 2*x)/Sqrt[2*Pi]] - Unintegrable[Sin[1/4 + x + x^2]/x, x]}
+
+
+{x^2*Cos[a + b*x + c*x^2]^2, x, 10, x^3/6 + (b^2*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - b^2/(2*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(16*c^(5/2)) - (Sqrt[Pi]*Cos[2*a - b^2/(2*c)]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(16*c^(3/2)) - (Sqrt[Pi]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - b^2/(2*c)])/(16*c^(3/2)) - (b^2*Sqrt[Pi]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - b^2/(2*c)])/(16*c^(5/2)) - (b*Sin[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(16*c^2) + (x*Sin[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(8*c)}
+{x*Cos[a + b*x + c*x^2]^2, x, 6, x^2/4 - (b*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - b^2/(2*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(8*c^(3/2)) + (b*Sqrt[Pi]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - b^2/(2*c)])/(8*c^(3/2)) + Sin[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2]/(8*c)}
+{Cos[a + b*x + c*x^2]^2, x, 5, x/2 + (Sqrt[Pi]*Cos[2*a - b^2/(2*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(4*Sqrt[c]) - (Sqrt[Pi]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - b^2/(2*c)])/(4*Sqrt[c])}
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+
+{x^2*Cos[a + b*x - c*x^2]^2, x, 10, x^3/6 - (b^2*Sqrt[Pi]*Cos[2*a + b^2/(2*c)]*FresnelC[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(16*c^(5/2)) + (Sqrt[Pi]*Cos[2*a + b^2/(2*c)]*FresnelS[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(16*c^(3/2)) - (Sqrt[Pi]*FresnelC[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a + b^2/(2*c)])/(16*c^(3/2)) - (b^2*Sqrt[Pi]*FresnelS[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a + b^2/(2*c)])/(16*c^(5/2)) - (b*Sin[2*a + 2*b*x - 2*c*x^2])/(16*c^2) - (x*Sin[2*a + 2*b*x - 2*c*x^2])/(8*c)}
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+{Cos[a + b*x - c*x^2]^2, x, 5, x/2 - (Sqrt[Pi]*Cos[2*a + b^2/(2*c)]*FresnelC[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(4*Sqrt[c]) - (Sqrt[Pi]*FresnelS[(b - 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a + b^2/(2*c)])/(4*Sqrt[c])}
+{Cos[a + b*x - c*x^2]^2/x, x, 2, (1/2)*Unintegrable[Cos[2*a + 2*b*x - 2*c*x^2]/x, x] + Log[x]/2}
+
+{x^2*Cos[1/4 + x + x^2]^2, x, 8, x^3/6 + (1/16)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(1 + 2*x)/Sqrt[Pi]] - (1/16)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(1 + 2*x)/Sqrt[Pi]] - (1/16)*Sin[1/2 + 2*x + 2*x^2] + (1/8)*x*Sin[1/2 + 2*x + 2*x^2]}
+{x*Cos[1/4 + x + x^2]^2, x, 5, x^2/4 - (1/8)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(1 + 2*x)/Sqrt[Pi]] + (1/8)*Sin[1/2 + 2*x + 2*x^2]}
+{Cos[1/4 + x + x^2]^2, x, 4, x/2 + (1/4)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(1 + 2*x)/Sqrt[Pi]]}
+{Cos[1/4 + x + x^2]^2/x, x, 2, (1/2)*Unintegrable[Cos[1/2 + 2*x + 2*x^2]/x, x] + Log[x]/2}
+{Cos[1/4 + x + x^2]^2/x^2, x, 5, -(1/(2*x)) - Cos[1/2 + 2*x + 2*x^2]/(2*x) - Sqrt[Pi]*FresnelS[(1 + 2*x)/Sqrt[Pi]] - Unintegrable[Sin[1/2 + 2*x + 2*x^2]/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m Cos[a+b x+c x^2]^n*)
+
+
+{(d + e*x)^2*Cos[a + b*x + c*x^2], x, 8, ((2*c*d - b*e)^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - b^2/(4*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/(4*c^(5/2)) - (e^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - b^2/(4*c)]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/(2*c^(3/2)) - (e^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a - b^2/(4*c)])/(2*c^(3/2)) - ((2*c*d - b*e)^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a - b^2/(4*c)])/(4*c^(5/2)) + (e*(2*c*d - b*e)*Sin[a + b*x + c*x^2])/(4*c^2) + (e*(d + e*x)*Sin[a + b*x + c*x^2])/(2*c)}
+{(d + e*x)*Cos[a + b*x + c*x^2], x, 4, ((2*c*d - b*e)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - b^2/(4*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])])/(2*c^(3/2)) - ((2*c*d - b*e)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi])]*Sin[a - b^2/(4*c)])/(2*c^(3/2)) + (e*Sin[a + b*x + c*x^2])/(2*c)}
+{Cos[a + b*x + c*x^2]/(d + e*x), x, 0, Unintegrable[Cos[a + b*x + c*x^2]/(d + e*x), x]}
+
+
+{(d + e*x)^2*Cos[a + b*x + c*x^2]^2, x, 10, (d + e*x)^3/(6*e) + ((2*c*d - b*e)^2*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - b^2/(2*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(16*c^(5/2)) - (e^2*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - b^2/(2*c)]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(16*c^(3/2)) - (e^2*Sqrt[Pi]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - b^2/(2*c)])/(16*c^(3/2)) - ((2*c*d - b*e)^2*Sqrt[Pi]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - b^2/(2*c)])/(16*c^(5/2)) + (e*(2*c*d - b*e)*Sin[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(16*c^2) + (e*(d + e*x)*Sin[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(8*c)}
+{(d + e*x)*Cos[a + b*x + c*x^2]^2, x, 6, (d + e*x)^2/(4*e) + ((2*c*d - b*e)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - b^2/(2*c)]*FresnelC[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])])/(8*c^(3/2)) - ((2*c*d - b*e)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(b + 2*c*x)/(Sqrt[c]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - b^2/(2*c)])/(8*c^(3/2)) + (e*Sin[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(8*c)}
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@@ -0,0 +1,1524 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^n (a+b Cos[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^n (a+a Cos[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+a Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, (5*a*x)/16 + (a*Sin[c + d*x])/d + (5*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (5*a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d) - (2*a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, (3*a*x)/8 + (a*Sin[c + d*x])/d + (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (2*a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, (3*a*x)/8 + (a*Sin[c + d*x])/d + (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, (a*x)/2 + (a*Sin[c + d*x])/d + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 1, (a*x)/2 + (a*Sin[c + d*x])/d + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 2, a*x + (a*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 2, a*x + (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 4, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, (3*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (3*a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, (3*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (3*a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (2*a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 11, (11*a^2*x)/16 + (2*a^2*Sin[c + d*x])/d + (11*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (11*a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d) - (4*a^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 9, (3*a^2*x)/4 + (2*a^2*Sin[c + d*x])/d + (3*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*d) - (a^2*Sin[c + d*x]^3)/d + (a^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 9, (7*a^2*x)/8 + (2*a^2*Sin[c + d*x])/d + (7*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (2*a^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 2, a^2*x + (2*a^2*Sin[c + d*x])/d + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/d - (a^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d), a^2*x + (4*a^2*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 1, (3*a^2*x)/2 + (2*a^2*Sin[c + d*x])/d + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 3, 2*a^2*x + (a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 5, a^2*x + (2*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (3*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (2*a^2*Tan[c + d*x])/d + (a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 8, (a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (2*a^2*Tan[c + d*x])/d + (a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/d + (a^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 9, (7*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (2*a^2*Tan[c + d*x])/d + (7*a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (2*a^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 13, (23*a^3*x)/16 + (4*a^3*Sin[c + d*x])/d + (23*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (23*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d) - (7*a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^3*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 11, (13*a^3*x)/8 + (4*a^3*Sin[c + d*x])/d + (13*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (3*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (5*a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^3*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, (15*a^3*x)/8 + (4*a^3*Sin[c + d*x])/d + (15*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a^3*Sin[c + d*x]^3)/d, (15*a^3*x)/8 + (3*a^3*Sin[c + d*x])/d + (9*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + ((a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a^3*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, (5*a^3*x)/2 + (4*a^3*Sin[c + d*x])/d + (3*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (7*a^3*x)/2 + (a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (3*a^3*Sin[c + d*x])/d + (a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, 3*a^3*x + (3*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^3*Sin[c + d*x])/d + (a^3*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, a^3*x + (7*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (3*a^3*Tan[c + d*x])/d + (a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 9, (5*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (4*a^3*Tan[c + d*x])/d + (3*a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a^3*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 11, (15*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (4*a^3*Tan[c + d*x])/d + (15*a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a^3*Tan[c + d*x]^3)/d}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 11, (13*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (4*a^3*Tan[c + d*x])/d + (13*a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (3*a^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (5*a^3*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^3*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 15, (49*a^4*x)/16 + (8*a^4*Sin[c + d*x])/d + (49*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (41*a^4*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a^4*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d) - (4*a^4*Sin[c + d*x]^3)/d + (4*a^4*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 11, (7*a^4*x)/2 + (8*a^4*Sin[c + d*x])/d + (7*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a^4*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/d - (8*a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^4*Sin[c + d*x]^5)/(5*d), (7*a^4*x)/2 + (32*a^4*Sin[c + d*x])/(5*d) + (27*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(10*d) + (a^4*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d) - (16*a^4*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 10, (35*a^4*x)/8 + (8*a^4*Sin[c + d*x])/d + (27*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^4*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (4*a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 8, 6*a^4*x + (a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (7*a^4*Sin[c + d*x])/d + (2*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/d - (a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 8, (13*a^4*x)/2 + (4*a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (4*a^4*Sin[c + d*x])/d + (a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a^4*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 8, 4*a^4*x + (13*a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a^4*Sin[c + d*x])/d + (4*a^4*Tan[c + d*x])/d + (a^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 9, a^4*x + (6*a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (7*a^4*Tan[c + d*x])/d + (2*a^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/d + (a^4*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 12, (35*a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (8*a^4*Tan[c + d*x])/d + (27*a^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (4*a^4*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 13, (7*a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (8*a^4*Tan[c + d*x])/d + (7*a^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/d + (8*a^4*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^4*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 15, (49*a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (8*a^4*Tan[c + d*x])/d + (49*a^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (41*a^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(24*d) + (a^4*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d) + (4*a^4*Tan[c + d*x]^3)/d + (4*a^4*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^5/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, (15*x)/(8*a) - (4*Sin[c + d*x])/(a*d) + (15*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*d) + (5*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d) - (Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])) + (4*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, -((3*x)/(2*a)) + (4*Sin[c + d*x])/(a*d) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])) - (4*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 2, (3*x)/(2*a) - (2*Sin[c + d*x])/(a*d) + (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - (Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 4, -(x/a) + Sin[c + d*x]/(a*d) + Sin[c + d*x]/(a*d*(1 + Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 2, x/a - Sin[c + d*x]/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 1, Sin[c + d*x]/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 3, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a*d) - Sin[c + d*x]/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, -(ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a*d)) + (2*Tan[c + d*x])/(a*d) - Tan[c + d*x]/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d) - (2*Tan[c + d*x])/(a*d) + (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, -((3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d)) + (4*Tan[c + d*x])/(a*d) - (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - (Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])) + (4*Tan[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -((5*x)/a^2) + (12*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - (5*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - (10*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (4*Sin[c + d*x]^3)/(a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 3, (7*x)/(2*a^2) - (16*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + (7*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) - (8*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -((2*x)/a^2) + (4*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + (2*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 3, x/a^2 - (5*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + Sin[c + d*x]/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 2, -(Sin[c + d*x]/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)) + (2*Sin[c + d*x])/(3*d*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 2, Sin[c + d*x]/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + Sin[c + d*x]/(3*d*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 4, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^2*d) - (4*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -((2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d)) + (10*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) - (2*Tan[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - Tan[c + d*x]/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (7*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^2*d) - (16*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) + (7*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) - (8*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -((5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d)) + (12*Tan[c + d*x])/(a^2*d) - (5*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(a^2*d) - (10*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (4*Tan[c + d*x]^3)/(a^2*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 4, (13*x)/(2*a^3) - (152*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) + (13*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - (Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (11*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (76*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -((3*x)/a^3) + (9*Sin[c + d*x])/(5*a^3*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (3*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (3*Sin[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 5, x/a^3 - (Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (7*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (29*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 3, Sin[c + d*x]/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (8*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (7*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 3, -(Sin[c + d*x]/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)) + Sin[c + d*x]/(5*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + Sin[c + d*x]/(5*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 3, Sin[c + d*x]/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (2*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (2*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 5, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^3*d) - Sin[c + d*x]/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (7*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (22*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -((3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d)) + (24*Tan[c + d*x])/(5*a^3*d) - Tan[c + d*x]/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (3*Tan[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (3*Tan[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, (13*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (152*Tan[c + d*x])/(15*a^3*d) + (13*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*d) - (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (11*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (76*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^6/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 5, (21*x)/(2*a^4) - (576*Sin[c + d*x])/(35*a^4*d) + (21*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^4*d) - (43*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(35*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - (288*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(35*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (2*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^5/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 8, -((4*x)/a^4) + (244*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d) - (88*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + (4*Sin[c + d*x])/(a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (12*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 6, x/a^4 + (11*Sin[c + d*x])/(21*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - (43*Sin[c + d*x])/(21*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (2*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(7*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 5, -((18*Sin[c + d*x])/(35*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2)) + (12*Sin[c + d*x])/(35*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + (8*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 4, Sin[c + d*x]/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (11*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (13*Sin[c + d*x])/(105*d*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2) + (13*Sin[c + d*x])/(105*d*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 4, -(Sin[c + d*x]/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4)) + (4*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (8*Sin[c + d*x])/(105*d*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2) + (8*Sin[c + d*x])/(105*d*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 4, Sin[c + d*x]/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + (3*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (2*Sin[c + d*x])/(35*d*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2) + (2*Sin[c + d*x])/(35*d*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 6, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^4*d) - (11*Sin[c + d*x])/(21*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - (32*Sin[c + d*x])/(21*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (2*Sin[c + d*x])/(7*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 8, -((4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d)) + (664*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d) - (88*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - (4*Tan[c + d*x])/(a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - Tan[c + d*x]/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (12*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 9, (21*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d) - (576*Tan[c + d*x])/(35*a^4*d) + (21*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^4*d) - (43*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(35*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - (288*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(35*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^7/(a + a*Cos[c + d*x])^5, x, 6, (31*x)/(2*a^5) - (7664*Sin[c + d*x])/(315*a^5*d) + (31*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^5*d) - (Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x])/(9*d*(a + a*Cos[c + d*x])^5) - (17*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(63*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (28*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(45*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (577*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(315*a^3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (3832*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(315*d*(a^5 + a^5*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6/(a + a*Cos[c + d*x])^5, x, 9, -((5*x)/a^5) + (181*Sin[c + d*x])/(63*a^5*d) - (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(9*d*(a + a*Cos[c + d*x])^5) - (5*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(21*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (29*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(63*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (67*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(63*a^3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (5*Sin[c + d*x])/(d*(a^5 + a^5*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^5/(a + a*Cos[c + d*x])^5, x, 7, x/a^5 - (Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(9*d*(a + a*Cos[c + d*x])^5) - (13*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(63*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (34*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(105*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (173*Sin[c + d*x])/(315*a^3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (661*Sin[c + d*x])/(315*d*(a^5 + a^5*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + a*Cos[c + d*x])^5, x, 6, -((Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(9*d*(a + a*Cos[c + d*x])^5)) - (11*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(63*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + (67*Sin[c + d*x])/(315*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (142*Sin[c + d*x])/(315*a^3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (83*Sin[c + d*x])/(315*d*(a^5 + a^5*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + a*Cos[c + d*x])^5, x, 6, -((Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(9*d*(a + a*Cos[c + d*x])^5)) + Sin[c + d*x]/(7*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (17*Sin[c + d*x])/(63*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (5*Sin[c + d*x])/(63*a^3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (5*Sin[c + d*x])/(63*d*(a^5 + a^5*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Cos[c + d*x])^5, x, 5, Sin[c + d*x]/(9*d*(a + a*Cos[c + d*x])^5) - (2*Sin[c + d*x])/(9*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + Sin[c + d*x]/(15*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (2*Sin[c + d*x])/(45*a^3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (2*Sin[c + d*x])/(45*d*(a^5 + a^5*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Cos[c + d*x])^5, x, 5, -(Sin[c + d*x]/(9*d*(a + a*Cos[c + d*x])^5)) + (5*Sin[c + d*x])/(63*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + Sin[c + d*x]/(21*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (2*Sin[c + d*x])/(63*a*d*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2) + (2*Sin[c + d*x])/(63*d*(a^5 + a^5*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0/(a + a*Cos[c + d*x])^5, x, 5, Sin[c + d*x]/(9*d*(a + a*Cos[c + d*x])^5) + (4*Sin[c + d*x])/(63*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + (4*Sin[c + d*x])/(105*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (8*Sin[c + d*x])/(315*a*d*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2) + (8*Sin[c + d*x])/(315*d*(a^5 + a^5*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Cos[c + d*x])^5, x, 7, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^5*d) - Sin[c + d*x]/(9*d*(a + a*Cos[c + d*x])^5) - (13*Sin[c + d*x])/(63*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (34*Sin[c + d*x])/(105*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (173*Sin[c + d*x])/(315*a^3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (488*Sin[c + d*x])/(315*d*(a^5 + a^5*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Cos[c + d*x])^5, x, 9, -((5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^5*d)) + (496*Tan[c + d*x])/(63*a^5*d) - Tan[c + d*x]/(9*d*(a + a*Cos[c + d*x])^5) - (5*Tan[c + d*x])/(21*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (29*Tan[c + d*x])/(63*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (67*Tan[c + d*x])/(63*a^3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (5*Tan[c + d*x])/(d*(a^5 + a^5*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Cos[c + d*x])^5, x, 10, (31*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^5*d) - (7664*Tan[c + d*x])/(315*a^5*d) + (31*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^5*d) - (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(9*d*(a + a*Cos[c + d*x])^5) - (17*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(63*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (28*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(45*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (577*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(315*a^3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (3832*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(315*d*(a^5 + a^5*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5/(a + a*Cos[c + d*x])^6, x, 7, (130*Sin[c + d*x])/(693*a^6*d*(1 + Cos[c + d*x])^3) - (268*Sin[c + d*x])/(693*a^6*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + (146*Sin[c + d*x])/(693*a^6*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(11*d*(a + a*Cos[c + d*x])^6) - (14*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(99*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^5) - (118*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(693*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + a*Cos[c + d*x])^6, x, 7, -((241*Sin[c + d*x])/(1155*a^6*d*(1 + Cos[c + d*x])^3)) + (61*Sin[c + d*x])/(1155*a^6*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + (61*Sin[c + d*x])/(1155*a^6*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(11*d*(a + a*Cos[c + d*x])^6) - (4*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(33*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^5) + (9*Sin[c + d*x])/(77*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+a Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (32*a*Sin[c + d*x])/(45*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(9*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (64*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (32*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (4*a*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (8*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d) + (12*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (14*a*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (4*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (2*a*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 1, (2*a*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (a*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (3*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) + (3*a*Tan[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (5*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (5*a*Tan[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (5*a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (68*a^2*Sin[c + d*x])/(45*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (34*a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(9*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (136*a*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (68*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (152*a^2*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (38*a*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) - (4*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (8*a^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 2, (8*a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (3*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (a^2*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (7*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) + (7*a^2*Tan[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (11*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (11*a^2*Tan[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (11*a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (284*a^3*Sin[c + d*x])/(99*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (710*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (46*a^3*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(99*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (568*a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(11*d) + (284*a*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(231*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (832*a^3*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (208*a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (26*a*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) - (4*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (64*a^3*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (64*a^3*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (2*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (14*a^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (5*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (a^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (19*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) + (9*a^3*Tan[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (25*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (25*a^3*Tan[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (13*a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (163*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (163*a^3*Tan[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (163*a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (17*a^3*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^0*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 4, (256*a^4*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (64*a^3*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d) + (24*a^2*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*a*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^4/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (148*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (62*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (28*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (4*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 5, (2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 6, -(ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + Tan[c + d*x]/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 7, (7*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - Tan[c + d*x]/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^4/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 8, -((9*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (7*Tan[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((15*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (31*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (9*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (13*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (11*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (13*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (7*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((7*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) + Sin[c + d*x]/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Sin[c + d*x]/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^0/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + Sin[c + d*x]/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - (5*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Sin[c + d*x]/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + (9*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Tan[c + d*x]/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (3*Tan[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, (19*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*a^(3/2)*d) - (13*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (7*Tan[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (163*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (17*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (197*Sin[c + d*x])/(24*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (95*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, -((75*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - (Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (13*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (9*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (19*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + Sin[c + d*x]/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (13*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (5*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (5*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^0/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + Sin[c + d*x]/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (3*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - (43*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (11*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((5*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + (115*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Tan[c + d*x]/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (15*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (35*Tan[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/2) (a+a Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, (6*a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (10*a*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (10*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, (6*a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*a*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 4, (2*a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*a*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 3, (2*a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*a*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 4, -((2*a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*a*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*a*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, -((2*a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*a*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, -((6*a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*a*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (6*a*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 10, (32*a^2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (20*a^2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (20*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (32*a^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (4*a^2*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 9, (12*a^2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (8*a^2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(7*d) + (8*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d) + (4*a^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (16*a^2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (4*a^2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (4*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, (4*a^2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (8*a^2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, (4*a^2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -((4*a^2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (8*a^2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 9, -((16*a^2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (4*a^2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (16*a^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 12, (68*a^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (44*a^3*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (44*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (68*a^3*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (6*a^3*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*a^3*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 10, (28*a^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (52*a^3*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (52*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (6*a^3*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^3*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, (36*a^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (4*a^3*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a^3*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, (4*a^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (20*a^3*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -((4*a^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (20*a^3*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (6*a^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 10, -((36*a^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (4*a^3*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (36*a^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 12, -((28*a^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (52*a^3*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (6*a^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (52*a^3*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (28*a^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 16, (128*a^4*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (904*a^4*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (904*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (128*a^4*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (150*a^4*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*d) + (8*a^4*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*a^4*Cos[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 13, (152*a^4*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (32*a^4*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(7*d) + (32*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d) + (122*a^4*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (8*a^4*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*a^4*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 11, (64*a^4*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (136*a^4*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (94*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (8*a^4*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^4*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 10, (56*a^4*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (32*a^4*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^4*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (8*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a^4*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 10, (40*a^4*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^4*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (8*a^4*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 11, -((56*a^4*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (32*a^4*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^4*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (8*a^4*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (66*a^4*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 13, -((64*a^4*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (136*a^4*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a^4*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (8*a^4*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (94*a^4*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (64*a^4*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(7/2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, (21*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a*d) - (5*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a*d) - (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d) + (7*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - (Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, -((3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d)) + (5*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a*d) + (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 4, (3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d) - EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/(a*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 4, -(EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]/(a*d)) + EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/(a*d) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 4, EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]/(a*d) + EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/(a*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, -((3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d)) - EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/(a*d) + (3*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - Sin[c + d*x]/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, (3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d) + (5*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a*d) + (5*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (3*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - Sin[c + d*x]/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (56*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a^2*d) - (5*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d) - (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + (56*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) - (3*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -((7*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d)) + (10*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) + (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - (7*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 5, (4*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d) - (5*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) - (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 5, -(EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]/(a^2*d)) + (2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 3, EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/(3*a^2*d) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 5, EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]/(a^2*d) + (2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -((4*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d)) - (5*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) + (4*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (5*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(1 + Cos[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (7*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d) + (10*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) + (10*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (7*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (7*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(1 + Cos[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(11/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, (231*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d) - (21*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(2*a^3*d) - (21*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) + (77*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d) - (Cos[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (4*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (63*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -((119*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d)) + (11*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(2*a^3*d) + (11*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - (Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (2*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (119*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(30*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (49*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d) - (13*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(6*a^3*d) - (Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (8*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (13*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, -((9*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d)) + EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/(2*a^3*d) - (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (9*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, -(EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]/(10*a^3*d)) + EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/(6*a^3*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]/(10*a^3*d) + EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/(6*a^3*d) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (9*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d) + EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/(2*a^3*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (9*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -((49*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d)) - (13*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(6*a^3*d) + (49*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - Sin[c + d*x]/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (8*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (13*Sin[c + d*x])/(6*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, (119*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d) + (11*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(2*a^3*d) + (11*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (119*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - Sin[c + d*x]/(5*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (2*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (119*Sin[c + d*x])/(30*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/2) (a+a Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (5*Sqrt[a]*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (5*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (5*a*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (3*Sqrt[a]*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) + (3*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[a]*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[a]*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 1, (2*a*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (2*a*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (4*a*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*a*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (2*a*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (12*a*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (32*a*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (11*a^(3/2)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (11*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (11*a^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (7*a^(3/2)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) + (7*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (3*a^(3/2)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*a^(3/2)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (10*a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*a^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (6*a^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (12*a^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*a^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (26*a^2*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (104*a^2*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (208*a^2*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (163*a^(5/2)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (163*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (163*a^3*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (17*a^3*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (25*a^(5/2)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (25*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (13*a^3*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (19*a^(5/2)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) + (9*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (5*a^(5/2)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d - (a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (2*a^(5/2)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (14*a^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (22*a^3*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (86*a^3*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (6*a^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (46*a^3*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (92*a^3*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-11/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (38*a^3*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (146*a^3*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (584*a^3*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (1168*a^3*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(-5/4)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 2, (4*a^2*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(1/4)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Sqrt[a + a*Cos[e + f*x]]/Sqrt[Cos[e + f*x]], x, 2, (2*Sqrt[a]*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + a*Cos[e + f*x]]])/f}
+{Sqrt[a - a*Cos[e + f*x]]/Sqrt[-Cos[e + f*x]], x, 2, -((2*Sqrt[a]*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a - a*Cos[e + f*x]]])/f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, (7*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, -(ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, -((Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, -((Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (26*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(1 + Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, -((Sqrt[2]*ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])])/d) + (7*ArcSin[Sin[c + d*x]/Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]])/(4*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]) + (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(1 + Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (Sqrt[2]*ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])])/d - ArcSin[Sin[c + d*x]/Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]]/d + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(1 + Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, -((Sqrt[2]*ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])])/d) + (2*ArcSin[Sin[c + d*x]/Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]])/d}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(1 + Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (Sqrt[2]*ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])])/d}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(1 + Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, -((Sqrt[2]*ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])])/d) + (2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(1 + Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (Sqrt[2]*ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])])/d + (2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]) - (2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)/(1 + Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, -((Sqrt[2]*ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])])/d) + (2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]) - (2*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]) + (26*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((3*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + (9*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - (5*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (3*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((7*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - Sin[c + d*x]/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (5*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (11*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Sin[c + d*x]/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (7*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (19*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(7/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((5*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + (115*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (15*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (35*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - (43*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (11*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (3*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (7*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (5*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (19*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (9*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, -((75*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - Sin[c + d*x]/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (13*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (49*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (163*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (17*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (95*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (299*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 9, -((7*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(7/2)*d)) + (637*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) - (Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) - (7*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (259*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (189*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(64*a^3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 8, (2*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(7/2)*d) - (177*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) - (Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) - (17*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(48*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (49*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(64*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 6, (5*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) - (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) - (13*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (67*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 6, (7*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (17*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 6, (13*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 6, (63*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) - (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (103*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 7, -((363*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d)) - Sin[c + d*x]/(6*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) - (19*Sin[c + d*x])/(48*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (199*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (691*Sin[c + d*x])/(192*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 8, (1015*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) - Sin[c + d*x]/(6*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) - (23*Sin[c + d*x])/(48*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (109*Sin[c + d*x])/(64*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (193*Sin[c + d*x])/(64*a^3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (629*Sin[c + d*x])/(64*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(7/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(9/2), x, 7, (35*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(1024*Sqrt[2]*a^(9/2)*d) - (Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(8*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(9/2)) - (19*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(96*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) - (187*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(768*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (853*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3072*a^3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(9/2), x, 7, (45*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(1024*Sqrt[2]*a^(9/2)*d) - (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(9/2)) - (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (33*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(256*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (73*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1024*a^3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{1/(Sqrt[1 + Cos[x]]*Sqrt[Cos[x]]), x, 2, Sqrt[2]*ArcSin[Sin[x]/(1 + Cos[x])]}
+{1/(Sqrt[a + a*Cos[x]]*Sqrt[Cos[x]]), x, 2, (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[x]]*Sqrt[a + a*Cos[x]])])/Sqrt[a]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/2) (a - a Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a - a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, -((3*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])])/(4*d)) + (3*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]]) - (a*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a - a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])])/d - (a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a - a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, -((2*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])])/d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a - a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 1, (2*a*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(a - a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (2*a*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]]) - (4*a*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(a - a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*a*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]]) - (8*a*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]]) + (16*a*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(1 - Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, -((3*ArcTanh[Sin[c + d*x]/(Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])])/(4*d)) + (3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]) - (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(1 - Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, ArcTanh[Sin[c + d*x]/(Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])]/d - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(1 - Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, -((2*ArcTanh[Sin[c + d*x]/(Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])])/d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(1 - Cos[c + d*x])^(1/2), x, 1, (2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(1 - Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (4*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(1 - Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Cos[c + d*x]^(5/2)) - (8*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (16*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a - a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, (7*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]]) + (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a - a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])]/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a - a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(a - a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d))}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(a - a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(a - a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]]) + (2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)/(a - a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]]) + (2*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]]) + (26*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(1 - Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, (7*ArcTanh[Sin[c + d*x]/(Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])])/(4*d) - (Sqrt[2]*ArcTanh[Sin[c + d*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])])/d + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]) + (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(1 - Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, ArcTanh[Sin[c + d*x]/(Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])]/d - (Sqrt[2]*ArcTanh[Sin[c + d*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])])/d + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(1 - Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*ArcTanh[Sin[c + d*x]/(Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])])/d - (Sqrt[2]*ArcTanh[Sin[c + d*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])])/d}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(1 - Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, -((Sqrt[2]*ArcTanh[Sin[c + d*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])])/d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(1 - Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, -((Sqrt[2]*ArcTanh[Sin[c + d*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])])/d) + (2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(1 - Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, -((Sqrt[2]*ArcTanh[Sin[c + d*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])])/d) + (2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/3) (a+a Cos[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(4/3)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 3, (2^(5/6)*AppellF1[1/2, -(4/3), 1/6, 3/2, 1 - Cos[c + d*x], (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + Cos[c + d*x])^(5/6))}
+{Cos[c + d*x]^(4/3)*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 3, (2*2^(1/6)*AppellF1[1/2, -(4/3), -(1/6), 3/2, 1 - Cos[c + d*x], (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + Cos[c + d*x])^(7/6))}
+{Cos[c + d*x]^(5/3)*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 3, (2*2^(1/6)*AppellF1[1/2, -(5/3), -(1/6), 3/2, 1 - Cos[c + d*x], (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + Cos[c + d*x])^(7/6))}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/2) (a+a Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 9, -((6*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (6*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 8, (-2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, (-2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 6, (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 7, (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (6*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 9, (6*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (10*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (10*a*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 9, -((16*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (4*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (16*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (4*a^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 8, (-4*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (8*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (4*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 5, (4*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 7, (4*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (8*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 8, (16*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, (12*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (8*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(7*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (8*a^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 17, -((28*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (52*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (28*a^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (52*a^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (6*a^3*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^3*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 15, -((36*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (4*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (36*a^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/d + (2*a^3*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 13, -((4*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (20*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (6*a^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 13, (4*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (20*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 13, (36*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 15, (28*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (52*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (6*a^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (52*a^3*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 17, (68*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (44*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (6*a^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (68*a^3*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (44*a^3*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 19, -((64*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (136*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (64*a^4*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (94*a^4*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (8*a^4*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^4*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 17, -((56*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (32*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (66*a^4*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (8*a^4*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a^4*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 16, (40*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^4*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (8*a^4*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a^4*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 16, (56*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (32*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^4*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (8*a^4*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^4*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 17, (64*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (136*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^4*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (8*a^4*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (94*a^4*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^4/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 19, (152*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (32*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(7*d) + (2*a^4*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (8*a^4*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (122*a^4*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (32*a^4*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 9, (3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) - (3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d) + (5*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - (Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 8, -((3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d)) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + (3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d) - (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(1/2)), x, 7, -((Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d)) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 7, (3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 8, -((3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d)) + (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + (5*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - Sin[c + d*x]/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2)), x, 9, (21*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a*d) - (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + (7*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (5*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - Sin[c + d*x]/(d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 10, (7*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - (7*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + (10*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - (7*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 9, -((4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) - (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + (4*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - (5*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 8, (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(1/2)), x, 5, (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 8, -((Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) + (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 8, (4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) - (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - (5*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(7/2)), x, 9, -((7*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) + (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + (10*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (7*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(9/2)), x, 10, (56*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a^2*d) - (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + (56*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (5*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (3*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(1 + Sec[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(3*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 10, -((49*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d)) - (13*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) + (49*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d) - (Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (8*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (13*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 9, (9*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (9*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(1/2)), x, 9, (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (4*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 9, -((Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d)) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) + (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 9, -((9*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d)) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + (2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(7/2)), x, 9, (49*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) - (13*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (8*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (13*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(9/2)), x, 10, -((119*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d)) + (11*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*a^3*d) + (11*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - Sin[c + d*x]/(5*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (2*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (119*Sin[c + d*x])/(30*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/2) (a+a Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 5, (32*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (12*a*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 4, (16*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 3, (4*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 2, (2*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 3, (2*Sqrt[a]*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 4, (Sqrt[a]*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (a*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 5, (3*Sqrt[a]*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (a*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (3*a*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 6, (208*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (104*a^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (26*a^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 5, (12*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (6*a^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 4, (10*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 5, (2*a^(3/2)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 5, (3*a^(3/2)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (a^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 6, (7*a^(3/2)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (a^2*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (7*a^2*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, (11*a^(3/2)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (11*a^2*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (11*a^2*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 6, (1168*a^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (584*a^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (146*a^3*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (38*a^3*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 5, (92*a^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (46*a^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (6*a^3*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 4, (86*a^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (22*a^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 5, (2*a^(5/2)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (14*a^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 5, (5*a^(5/2)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d - (a^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 5, (19*a^(5/2)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (9*a^3*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 6, (25*a^(5/2)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (13*a^3*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (25*a^3*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, (163*a^(5/2)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*d) + (17*a^3*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (a^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (163*a^3*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (163*a^3*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/2)/Sqrt[1 + Cos[c + d*x]], x, 7, -((Sqrt[2]*ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (26*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]) - (2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]) + (2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/Sqrt[1 + Cos[c + d*x]], x, 6, (Sqrt[2]*ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d - (2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]) + (2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/Sqrt[1 + Cos[c + d*x]], x, 4, -((Sqrt[2]*ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/Sqrt[1 + Cos[c + d*x]], x, 3, (Sqrt[2]*ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d}
+{1/(Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(1/2)), x, 6, -((Sqrt[2]*ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*ArcSin[Sin[c + d*x]/Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d}
+{1/(Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 7, (Sqrt[2]*ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d - (ArcSin[Sin[c + d*x]/Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + Sin[c + d*x]/(d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/2)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 7, -((Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (26*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 6, (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 5, -((Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 3, (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d), (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)}
+{1/(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(1/2)), x, 6, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d), (2*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)}
+{1/(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 7, -((ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + Sin[c + d*x]/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (11*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (19*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (7*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((7*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (5*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (3*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Sin[c + d*x]/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(1/2)), x, 5, (ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + Sin[c + d*x]/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 7, (2*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) - (5*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Sin[c + d*x]/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 8, -((3*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(3/2)*d)) + (9*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Sin[c + d*x]/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (3*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, (163*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (299*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (17*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (95*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((75*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (13*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (49*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (19*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (9*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(1/2)), x, 6, (5*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + Sin[c + d*x]/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + Sin[c + d*x]/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 6, (3*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (7*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 8, (2*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) - (43*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (11*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)), x, 9, -((5*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(5/2)*d)) + (115*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)) - (15*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (35*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 9, (1015*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) - (629*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(64*a^3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) - (23*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(48*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (109*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(64*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (193*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(64*a^3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 8, -((363*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d)) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) - (19*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (199*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (691*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a^3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 7, (63*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) - Sin[c + d*x]/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (5*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (103*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^(1/2)), x, 7, (13*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) + Sin[c + d*x]/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + Sin[c + d*x]/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (5*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 7, (7*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) - Sin[c + d*x]/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (3*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (17*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 7, (5*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) - Sin[c + d*x]/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (13*Sin[c + d*x])/(48*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (67*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)), x, 9, (2*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(7/2)*d) - (177*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) - Sin[c + d*x]/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)) - (17*Sin[c + d*x])/(48*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (49*Sin[c + d*x])/(64*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^(9/2)), x, 10, -((7*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(7/2)*d)) + (637*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) - Sin[c + d*x]/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)) - (7*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)) - (259*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (189*Sin[c + d*x])/(64*a^3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^(9/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 8, (45*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(1024*Sqrt[2]*a^(9/2)*d) - Sin[c + d*x]/(8*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(9/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (5*Sin[c + d*x])/(32*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (33*Sin[c + d*x])/(256*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (73*Sin[c + d*x])/(1024*a^3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Cos[c + d*x])^(9/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)), x, 8, (35*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(1024*Sqrt[2]*a^(9/2)*d) - Sin[c + d*x]/(8*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(9/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)) - (19*Sin[c + d*x])/(96*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (187*Sin[c + d*x])/(768*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (853*Sin[c + d*x])/(3072*a^3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/4) / (a+a Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/4)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (4*a^2*Sec[c + d*x]^(1/4)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+a Cos[e+f x])^n with m and/or n symbolic*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^m*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 7, If[$VersionNumber>=8, (a^4*(55 + 29*m + 4*m^2)*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)) + (Cos[c + d*x]^(1 + m)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*(4 + m)) + (2*(5 + m)*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(d*(3 + m)*(4 + m)) - (a^4*(35 + 40*m + 8*m^2)*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m)*(2 + m)*(4 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (4*a^4*(5 + 2*m)*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (a^4*(55 + 29*m + 4*m^2)*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(4 + m)*(6 + 5*m + m^2)) + (Cos[c + d*x]^(1 + m)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*(4 + m)) + (2*(5 + m)*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(d*(3 + m)*(4 + m)) - (a^4*(35 + 40*m + 8*m^2)*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(8 + 14*m + 7*m^2 + m^3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (4*a^4*(5 + 2*m)*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Cos[c + d*x]^m*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (a^3*(7 + 2*m)*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(3 + m)) + (Cos[c + d*x]^(1 + m)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(d*(3 + m)) - (a^3*(5 + 4*m)*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (a^3*(11 + 4*m)*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^m*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (a^2*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)) - (a^2*(3 + 2*m)*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*a^2*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^m*(a + a*Cos[c + d*x])^1, x, 3, -((a*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (a*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^m/(a + a*Cos[c + d*x])^1, x, 4, (Cos[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^m*Hypergeometric2F1[1/2, m/2, (2 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (m*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(a*d*(1 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^m/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 5, -((2*(1 - m)*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x]))) - (Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((1 - 2*m)*m*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*(1 - m)*(1 + m)*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^n (a+b Cos[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^7*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 8, (35*b*x)/128 + (a*Sin[c + d*x])/d + (35*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (35*b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*d) + (7*b*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*d) + (b*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a*Sin[c + d*x]^3)/d + (3*a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, (5*a*x)/16 + (b*Sin[c + d*x])/d + (5*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (5*a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d) - (b*Sin[c + d*x]^3)/d + (3*b*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (b*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, (5*b*x)/16 + (a*Sin[c + d*x])/d + (5*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (5*b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (b*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d) - (2*a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, (3*a*x)/8 + (b*Sin[c + d*x])/d + (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (2*b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, (3*b*x)/8 + (a*Sin[c + d*x])/d + (3*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, (a*x)/2 + (b*Sin[c + d*x])/d + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 1, (b*x)/2 + (a*Sin[c + d*x])/d + (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 2, a*x + (b*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 2, b*x + (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 4, (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (b*Tan[c + d*x])/d + (a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, (3*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (b*Tan[c + d*x])/d + (3*a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (b*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, (3*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (3*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (2*a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (1/16)*(6*a^2 + 5*b^2)*x + (2*a*b*Sin[c + d*x])/d + ((6*a^2 + 5*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + ((6*a^2 + 5*b^2)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (b^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d) - (4*a*b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a*b*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (3*a*b*x)/4 + ((a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/d + (3*a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((a^2 + 2*b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, (1/8)*(4*a^2 + 3*b^2)*x + (2*a*b*Sin[c + d*x])/d + ((4*a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (2*a*b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 2, a*b*x + (2*(a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 1, (1/2)*(2*a^2 + b^2)*x + (2*a*b*Sin[c + d*x])/d + (b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 3, 2*a*b*x + (a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, b^2*x + (2*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, ((a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (2*a*b*Tan[c + d*x])/d + (a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, (a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((2*a^2 + 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/d + (a^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, ((3*a^2 + 4*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (2*a*b*Tan[c + d*x])/d + ((3*a^2 + 4*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (2*a*b*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (3*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) + ((4*a^2 + 5*b^2)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (3*a*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*b*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((4*a^2 + 5*b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, (9/8)*a^2*b*x + (5*b^3*x)/16 + (a*(a^2 + 3*b^2)*Sin[c + d*x])/d + (b*(18*a^2 + 5*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (b*(18*a^2 + 5*b^2)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (b^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d) - (a*(a^2 + 6*b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a*b^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d), (1/16)*b*(18*a^2 + 5*b^2)*x + (a*(5*a^2 + 12*b^2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (b*(18*a^2 + 5*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (b*(18*a^2 + 5*b^2)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (13*a*b^2*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(30*d) + (b^2*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d) - (a*(5*a^2 + 12*b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 4, (1/8)*a*(4*a^2 + 9*b^2)*x - ((3*a^4 - 52*a^2*b^2 - 16*b^4)*Sin[c + d*x])/(30*b*d) - (a*(6*a^2 - 71*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(120*d) - ((3*a^2 - 16*b^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(60*b*d) - (a*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*b*d) + ((a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 3, (3/8)*b*(4*a^2 + b^2)*x + (a*(a^2 + 4*b^2)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b*(2*a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(4*d) + ((a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 2, a^3*x + (3/2)*a*b^2*x + (b*(3*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/d + (3*a*b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d), (1/2)*a*(2*a^2 + 3*b^2)*x + (2*b*(4*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (5*a*b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 4, (1/2)*b*(6*a^2 + b^2)*x + (a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a*b^2*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b^2*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 4, 3*a*b^2*x + (3*a^2*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (b*(a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/d + (a^2*(a + b*Cos[c + d*x])*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 4, b^3*x + (a*(a^2 + 6*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (5*a^2*b*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a^2*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (b*(3*a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(2*a^2 + 9*b^2)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (7*a^2*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (a^2*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, (3*a*(a^2 + 4*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (b*(2*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x])/d + (3*a*(a^2 + 4*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (3*a^2*b*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a^2*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, (b*(9*a^2 + 4*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(4*a^2 + 15*b^2)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (b*(9*a^2 + 4*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (11*a^2*b*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (a^2*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a*(4*a^2 + 15*b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 9, (1/4)*a*b*(6*a^2 + 5*b^2)*x + ((35*a^4 + 168*a^2*b^2 + 24*b^4)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (a*b*(6*a^2 + 5*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*b*(6*a^2 + 5*b^2)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(6*d) + (b^2*(37*a^2 + 6*b^2)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(35*d) + (8*a*b^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(21*d) + (b^2*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d) - ((35*a^4 + 168*a^2*b^2 + 24*b^4)*Sin[c + d*x]^3)/(105*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 5, (1/16)*(8*a^4 + 36*a^2*b^2 + 5*b^4)*x - (a*(4*a^4 - 121*a^2*b^2 - 128*b^4)*Sin[c + d*x])/(60*b*d) - ((8*a^4 - 178*a^2*b^2 - 75*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(240*d) - (a*(4*a^2 - 53*b^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(120*b*d) - ((4*a^2 - 25*b^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(120*b*d) - (a*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(30*b*d) + ((a + b*Cos[c + d*x])^5*Sin[c + d*x])/(6*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 4, (1/2)*a*b*(4*a^2 + 3*b^2)*x + (2*(3*a^4 + 28*a^2*b^2 + 4*b^4)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (a*b*(6*a^2 + 29*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(30*d) + ((3*a^2 + 4*b^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(15*d) + (a*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 3, (1/8)*(8*a^4 + 24*a^2*b^2 + 3*b^4)*x + (a*b*(19*a^2 + 16*b^2)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (b^2*(26*a^2 + 9*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (7*a*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) + (b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 5, 2*a*b*(2*a^2 + b^2)*x + (a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*(17*a^2 + 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (4*a*b^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (b^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 5, (1/2)*b^2*(12*a^2 + b^2)*x + (4*a^3*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (2*a*b*(a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/d - (b^2*(2*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 5, 4*a*b^3*x + (a^2*(a^2 + 12*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b^2*(a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (3*a^3*b*Tan[c + d*x])/d + (a^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 5, b^4*x + (2*a*b*(a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(2*a^2 + 17*b^2)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (4*a^3*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 7, ((3*a^4 + 24*a^2*b^2 + 8*b^4)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (4*a*b*(2*a^2 + 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(3*a^2 + 22*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (5*a^3*b*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(6*d) + (a^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 8, (a*b*(3*a^2 + 4*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((8*a^4 + 60*a^2*b^2 + 15*b^4)*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a*b*(3*a^2 + 4*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a^2*(4*a^2 + 27*b^2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*d) + (3*a^3*b*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 8, ((5*a^4 + 36*a^2*b^2 + 8*b^4)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (4*a*b*(4*a^2 + 5*b^2)*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((5*a^4 + 36*a^2*b^2 + 8*b^4)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (a^2*(5*a^2 + 32*b^2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(24*d) + (7*a^3*b*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d) + (4*a*b*(4*a^2 + 5*b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^5/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, ((8*a^4 + 4*a^2*b^2 + 3*b^4)*x)/(8*b^5) - (2*a^5*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^5*Sqrt[a + b]*d) - (a*(3*a^2 + 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*b^4*d) + ((4*a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*b^3*d) - (a*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, -((a*(2*a^2 + b^2)*x)/(2*b^4)) + (2*a^4*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^4*Sqrt[a + b]*d) + ((3*a^2 + 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*b^3*d) - (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d) + (Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, ((2*a^2 + b^2)*x)/(2*b^3) - (2*a^3*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^3*Sqrt[a + b]*d) - (a*Sin[c + d*x])/(b^2*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, -((a*x)/b^2) + (2*a^2*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^2*Sqrt[a + b]*d) + Sin[c + d*x]/(b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, x/b - (2*a*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*d)}
+{Cos[c + d*x]^0/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 2, (2*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 4, -((2*b*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)) + ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, (2*b^2*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + Tan[c + d*x]/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, -((2*b^3*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)) + ((a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (b*Tan[c + d*x])/(a^2*d) + (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, (2*b^4*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - (b*(a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d) + ((2*a^2 + 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(3*a^3*d) - (b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) + (Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -((a*(4*a^2 + b^2)*x)/b^5) + (2*a^4*(4*a^2 - 5*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^5*(a + b)^(3/2)*d) + ((12*a^4 - 7*a^2*b^2 - 2*b^4)*Sin[c + d*x])/(3*b^4*(a^2 - b^2)*d) - (a*(2*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) + ((4*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, ((6*a^2 + b^2)*x)/(2*b^4) - (2*a^3*(3*a^2 - 4*b^2)*ArcTanh[((a - b)*Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x]))/Sqrt[-a^2 + b^2]])/(b^4*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (2*a*Sin[c + d*x])/(b^3*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d) - (a^4*Sin[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])), ((6*a^2 + b^2)*x)/(2*b^4) - (2*a^3*(3*a^2 - 4*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^4*(a + b)^(3/2)*d) - (a*(3*a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) + ((3*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, -((2*a*x)/b^3) + (2*a^2*(2*a^2 - 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) + ((2*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) - (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, x/b^2 - (2*a*(a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) - (a^2*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, -((2*b*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + (a*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (2*a*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - (b*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, -((2*b*(2*a^2 - b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^2*d) + (b^2*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, (2*b^2*(3*a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - (2*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Tan[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b^2*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -((2*b^3*(4*a^2 - 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + ((a^2 + 6*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d) - (b*(2*a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) + ((a^2 - 3*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, (2*b^4*(5*a^2 - 4*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - (b*(a^2 + 4*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^5*d) + ((2*a^4 + 7*a^2*b^2 - 12*b^4)*Tan[c + d*x])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d) - (b*(a^2 - 2*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) + ((a^2 - 4*b^2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, ((12*a^2 + b^2)*x)/(2*b^5) - (a^3*(12*a^4 - 29*a^2*b^2 + 20*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^5*(a + b)^(5/2)*d) - (3*a*(4*a^4 - 7*a^2*b^2 + 2*b^4)*Sin[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((6*a^4 - 10*a^2*b^2 + b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (a^2*(4*a^2 - 7*b^2)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, -((3*a*x)/b^4) + (3*a^2*(2*a^4 - 5*a^2*b^2 + 4*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^4*(a + b)^(5/2)*d) + ((3*a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (3*a^3*(a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, x/b^3 - (a*(2*a^4 - 5*a^2*b^2 + 6*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^3*(a + b)^(5/2)*d) - (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (a^2*(2*a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, ((a^2 + 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (a^2*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (a*(a^2 - 4*b^2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, -((3*a*b*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) + (a*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((a^2 + 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, ((2*a^2 + b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (b*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (3*a*b*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, -((b*(6*a^4 - 5*a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) + ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^3*d) + (b^2*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b^2*(5*a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, (3*b^2*(4*a^4 - 5*a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (3*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + ((2*a^4 - 11*a^2*b^2 + 6*b^4)*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b^2*Tan[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (3*b^2*(2*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -((b^3*(20*a^4 - 29*a^2*b^2 + 12*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) + ((a^2 + 12*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^5*d) - (3*b*(2*a^4 - 7*a^2*b^2 + 4*b^4)*Tan[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^4 - 10*a^2*b^2 + 6*b^4)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b^2*(7*a^2 - 4*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 7, -((4*a*x)/b^5) + (a^2*(8*a^6 - 28*a^4*b^2 + 35*a^2*b^4 - 20*b^6)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*b^5*(a + b)^(7/2)*d) + ((12*a^4 - 23*a^2*b^2 + 6*b^4)*Sin[c + d*x])/(6*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - (a^2*(4*a^2 - 9*b^2)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (a^3*(4*a^4 - 11*a^2*b^2 + 12*b^4)*Sin[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, x/b^4 - (a*(2*a^6 - 7*a^4*b^2 + 8*a^2*b^4 - 8*b^6)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*b^4*(a + b)^(7/2)*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + (a^3*(3*a^2 - 8*b^2)*Sin[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (a^2*(9*a^4 - 28*a^2*b^2 + 34*b^4)*Sin[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, -((b*(3*a^2 + 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) - (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - (a^2*(2*a^2 - 7*b^2)*Sin[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (a*(2*a^4 - 5*a^2*b^2 + 18*b^4)*Sin[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (a*(a^2 + 4*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - (a^2*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + (a*(a^2 - 6*b^2)*Sin[c + d*x])/(6*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((a^4 - 10*a^2*b^2 - 6*b^4)*Sin[c + d*x])/(6*b*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, -((b*(4*a^2 + b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) + (a*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + ((2*a^2 + 3*b^2)*Sin[c + d*x])/(6*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (a*(2*a^2 + 13*b^2)*Sin[c + d*x])/(6*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (a*(2*a^2 + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - (b*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - (5*a*b*Sin[c + d*x])/(6*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (b*(11*a^2 + 4*b^2)*Sin[c + d*x])/(6*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 7, -((b*(8*a^6 - 8*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 - 2*b^6)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) + ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^4*d) + (b^2*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + (b^2*(8*a^2 - 3*b^2)*Sin[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b^2*(26*a^4 - 17*a^2*b^2 + 6*b^4)*Sin[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 8, (b^2*(20*a^6 - 35*a^4*b^2 + 28*a^2*b^4 - 8*b^6)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - (4*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^5*d) + ((6*a^6 - 65*a^4*b^2 + 68*a^2*b^4 - 24*b^6)*Tan[c + d*x])/(6*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + (b^2*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + (b^2*(9*a^2 - 4*b^2)*Tan[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b^2*(12*a^4 - 11*a^2*b^2 + 4*b^4)*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 8, (2*a*(8*a^2 + 19*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(8*a^4 + 17*a^2*b^2 - 25*b^4)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(8*a^2 + 25*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*b^2*d) - (8*a*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*b^2*d) + (2*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 7, -((2*(2*a^2 - 9*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (4*a*(a^2 - b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (4*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b*d) + (2*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 6, (2*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^1, x, 5, (2*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2, x, 9, -((Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (a*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/d}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^3, x, 10, -(b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*a*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (3*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((4*a^2 - b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*a*d) + (Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, (2*(8*a^4 + 33*a^2*b^2 + 147*b^4)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*a*(8*a^4 + 31*a^2*b^2 - 39*b^4)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(8*a^2 + 39*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*b^2*d) + (2*(8*a^2 + 49*b^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*b^2*d) - (8*a*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*b^2*d) + (2*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((4*a*(3*a^2 - 41*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(6*a^4 - 31*a^2*b^2 + 25*b^4)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(6*a^2 - 25*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*b*d) - (4*a*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*b*d) + (2*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*(a^2 + 3*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(5*b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*a*(a^2 - b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(5*b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (8*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^1, x, 8, (2*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*a*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^2, x, 9, -((a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((a^2 + 2*b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (3*a*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^3, x, 10, (-5*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (7*a*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((4*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (5*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 10, (2*a*(8*a^4 + 51*a^2*b^2 + 741*b^4)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(693*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(8*a^6 + 49*a^4*b^2 + 78*a^2*b^4 - 135*b^6)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(693*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(8*a^4 + 57*a^2*b^2 + 135*b^4)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*b^2*d) + (2*a*(8*a^2 + 67*b^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(693*b^2*d) + (2*(8*a^2 + 81*b^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*b^2*d) - (8*a*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(99*b^2*d) + (2*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(11*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((2*(10*a^4 - 279*a^2*b^2 - 147*b^4)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (4*a*(5*a^4 - 62*a^2*b^2 + 57*b^4)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (4*a*(5*a^2 - 57*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*b*d) - (2*(10*a^2 - 49*b^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*b*d) - (4*a*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*b*d) + (2*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, (2*a*(3*a^2 + 29*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(21*b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(3*a^4 + 2*a^2*b^2 - 5*b^4)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(21*b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(3*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*(23*a^2 + 9*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (16*a*(a^2 - b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (16*a*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^1, x, 9, (14*a*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*b*(2*a^2 + b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^2, x, 9, -(((a^2 - 2*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (a*(a^2 + 4*b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (5*a^2*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (a^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^3, x, 10, (-9*a*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (b*(11*a^2 + 8*b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (a*(4*a^2 + 15*b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (9*a*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^4, x, 11, -((16*a^2 + 33*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (a*(16*a^2 + 59*b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (5*b*(4*a^2 + b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(8*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((16*a^2 + 33*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(24*d) + (13*a*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*d) + (a^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^0*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 8, (32*a*(11*a^2 + 13*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(105*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(71*a^4 - 46*a^2*b^2 - 25*b^4)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(105*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*(71*a^2 + 25*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (24*a*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]], x, 6, (47*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(20*Sqrt[7]*d) + (59*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(60*Sqrt[7]*d) + (59*Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) - (3*(3 + 4*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(70*d) + (Cos[c + d*x]*(3 + 4*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(14*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]], x, 5, (21*Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(20*d) - (Sqrt[7]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(20*d) - (Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((3 + 4*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]], x, 4, (Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(2*d) + (Sqrt[7]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(6*d) + (2*Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]], x, 1, (2*Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/d}
+{Sec[c + d*x]^1*Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]], x, 3, (8*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(Sqrt[7]*d) + (6*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), 8/7])/(Sqrt[7]*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]], x, 6, -((Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/d) + (3*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(Sqrt[7]*d) + (4*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), 8/7])/(Sqrt[7]*d) + (Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]], x, 7, -((Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(3*d)) + (3*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(Sqrt[7]*d) + (5*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), 8/7])/(3*Sqrt[7]*d) + (Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d) + (Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]], x, 6, -((47*EllipticE[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(20*Sqrt[7]*d)) - (59*EllipticF[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(60*Sqrt[7]*d) + (59*Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) - (3*(3 - 4*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(70*d) - ((3 - 4*Cos[c + d*x])^(3/2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(14*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]], x, 5, (21*Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(20*d) - (Sqrt[7]*EllipticF[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(20*d) + (Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) - ((3 - 4*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]], x, 4, -((Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(2*d)) - (Sqrt[7]*EllipticF[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(6*d) + (2*Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]], x, 1, (2*Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/d}
+{Sec[c + d*x]^1*Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]], x, 3, -((8*EllipticF[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(Sqrt[7]*d)) - (6*EllipticPi[2, (1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(Sqrt[7]*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]], x, 6, -((Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/d) + (3*EllipticF[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(Sqrt[7]*d) + (4*EllipticPi[2, (1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(Sqrt[7]*d) + (Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]], x, 7, (Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(3*d) - (3*EllipticF[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(Sqrt[7]*d) - (5*EllipticPi[2, (1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(3*Sqrt[7]*d) - (Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d) + (Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 7, (2*(8*a^2 + 9*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(15*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*a*(8*a^2 + 7*b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (8*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b^2*d) + (2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 6, (-4*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(2*a^2 + b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 5, (2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*a*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 9, -((Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 10, (3*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*a^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((4*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (3*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d) + (Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, (2*(16*a^4 - 8*a^2*b^2 - 3*b^4)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(5*b^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (8*a*(4*a^2 + b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(5*b^4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*a^2*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*a*(8*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*b^3*(a^2 - b^2)*d) + (2*(6*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((2*a*(8*a^2 - 5*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(8*a^2 + b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(4*a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*(2*a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (4*a*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*a^2*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (-2*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*b*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (-2*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 10, -(((a^2 - 3*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (3*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (b*(a^2 - 3*b^2)*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + Tan[c + d*x]/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 11, (b*(7*a^2 - 15*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (5*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((4*a^2 + 15*b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (b^2*(7*a^2 - 15*b^2)*Sin[c + d*x])/(4*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (5*b*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, (2*(128*a^6 - 212*a^4*b^2 + 55*a^2*b^4 + 9*b^6)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^5*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*a*(128*a^4 - 116*a^2*b^2 - 17*b^4)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^5*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (8*a^2*(2*a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (4*a*(32*a^4 - 49*a^2*b^2 + 7*b^4)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) + (2*(48*a^4 - 71*a^2*b^2 + 3*b^4)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b^3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((8*a*(4*a^4 - 7*a^2*b^2 + 2*b^4)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(16*a^4 - 16*a^2*b^2 - b^4)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*a^2*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (4*a^3*(3*a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(2*a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*(8*a^4 - 15*a^2*b^2 + 3*b^4)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*a*(8*a^2 - 9*b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (8*a^2*(a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((4*a*(a^2 - 3*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(2*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*a^2*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (4*a*(a^2 - 3*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (-2*(a^2 + 3*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*a*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(a^2 + 3*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (8*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*b*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (8*a*b*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 10, (-2*b*(7*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*b^2*(7*a^2 - 3*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 11, -(((3*a^4 - 26*a^2*b^2 + 15*b^4)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((3*a^2 - 5*b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (5*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (b*(3*a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (b*(3*a^4 - 26*a^2*b^2 + 15*b^4)*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + Tan[c + d*x]/(a*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^0/(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 8, (2*(23*a^2 + 9*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(15*(a^2 - b^2)^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (16*a*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(15*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*b*Sin[c + d*x])/(5*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (16*a*b*Sin[c + d*x])/(15*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*b*(23*a^2 + 9*b^2)*Sin[c + d*x])/(15*(a^2 - b^2)^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3/Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]], x, 5, (9*Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(20*d) - (23*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(20*Sqrt[7]*d) - (Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d) + (Cos[c + d*x]*Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]], x, 4, -((Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(4*d)) + (17*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(12*Sqrt[7]*d) + (Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]], x, 3, (Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(2*d) - (3*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(2*Sqrt[7]*d)}
+{Cos[c + d*x]^0/Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]], x, 1, (2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(Sqrt[7]*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]], x, 1, (2*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), 8/7])/(Sqrt[7]*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]], x, 6, -((Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(3*d)) + EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 8/7]/(Sqrt[7]*d) - (4*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), 8/7])/(3*Sqrt[7]*d) + (Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]], x, 7, (Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 8/7])/(3*d) - EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 8/7]/(3*Sqrt[7]*d) + (Sqrt[7]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), 8/7])/(3*d) - (Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d) + (Sqrt[3 + 4*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3/Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]], x, 5, -((9*Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(20*d)) + (23*EllipticF[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(20*Sqrt[7]*d) - (Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d) - (Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]]*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]], x, 4, -((Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(4*d)) + (17*EllipticF[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(12*Sqrt[7]*d) - (Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]], x, 3, -((Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(2*d)) + (3*EllipticF[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(2*Sqrt[7]*d)}
+{Cos[c + d*x]^0/Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]], x, 1, (2*EllipticF[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(Sqrt[7]*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]], x, 1, -((2*EllipticPi[2, (1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(Sqrt[7]*d))}
+{Sec[c + d*x]^2/Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]], x, 6, -((Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(3*d)) + EllipticF[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7]/(Sqrt[7]*d) - (4*EllipticPi[2, (1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(3*Sqrt[7]*d) + (Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]], x, 7, -((Sqrt[7]*EllipticE[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(3*d)) + EllipticF[(1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7]/(3*Sqrt[7]*d) - (Sqrt[7]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + Pi + d*x), 8/7])/(3*d) + (Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d) + (Sqrt[3 - 4*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/2) (a+b Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 6, (6*A*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (10*B*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (10*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 5, (6*B*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*A*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 4, (2*A*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*B*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 3, (2*B*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*A*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/d}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 4, (-2*A*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*B*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 5, (-2*B*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*A*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 6, (-6*A*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*B*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (6*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (2*(9*a^2 + 7*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (20*a*b*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (20*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(9*a^2 + 7*b^2)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (4*a*b*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*b^2*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, (12*a*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(7*a^2 + 5*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(7*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (4*a*b*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*b^2*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, (2*(5*a^2 + 3*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (4*a*b*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (4*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*b^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (4*a*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*(3*a^2 + b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, -((2*(a^2 - b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (4*a*b*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, -((4*a*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*(a^2 + 3*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a*b*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -((2*(3*a^2 + 5*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (4*a*b*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (4*a*b*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(3*a^2 + 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, (2*b*(27*a^2 + 7*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*a*(7*a^2 + 15*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*(7*a^2 + 15*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*b*(27*a^2 + 7*b^2)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (40*a*b^2*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*b^2*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (2*a*(5*a^2 + 9*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*b*(21*a^2 + 5*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*b*(21*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (32*a*b^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*b^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (6*b*(5*a^2 + b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*a*(a^2 + b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (8*a*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, -((2*a*(a^2 - 3*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*b*(9*a^2 + b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) - (2*b*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a^2*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, -((2*b*(3*a^2 - b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*a*(a^2 + 9*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (16*a^2*b*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, -((6*a*(a^2 + 5*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*b*(a^2 + b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (8*a^2*b*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (6*a*(a^2 + 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -((2*b*(9*a^2 + 5*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*a*(5*a^2 + 21*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (32*a^2*b*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(5*a^2 + 21*b^2)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*(9*a^2 + 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, -((2*a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d)) + (2*(3*a^2 + b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^3*d) - (2*a^3*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*(a + b)*d) + (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, (2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d) - (2*a*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d) + (2*a^2*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*(a + b)*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, (2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d) - (2*a*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b*(a + b)*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 1, (2*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a + b)*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, -((2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d)) - (2*b*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a + b)*d) + (2*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, (2*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d) + (2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a*d) + (2*b^2*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a + b)*d) + (2*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (2*b*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(7/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -((a*(5*a^2 - 4*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*(a^2 - b^2)*d)) + ((15*a^4 - 16*a^2*b^2 - 2*b^4)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^4*(a^2 - b^2)*d) - (a^3*(5*a^2 - 7*b^2)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a - b)*b^4*(a + b)^2*d) + ((5*a^2 - 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, ((3*a^2 - 2*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) - (a*(3*a^2 - 4*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) + (a^2*(3*a^2 - 5*b^2)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a - b)*b^3*(a + b)^2*d) - (a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -((a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*(a^2 - b^2)*d)) + ((a^2 - 2*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) - (a*(a^2 - 3*b^2)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a - b)*b^2*(a + b)^2*d) + (a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]/((a^2 - b^2)*d) + (a*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*(a^2 - b^2)*d) - ((a^2 + b^2)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a - b)*b*(a + b)^2*d) - (b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -((b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a^2 - b^2)*d)) - EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/((a^2 - b^2)*d) + ((3*a^2 - b^2)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a - b)*(a + b)^2*d) + (b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -(((2*a^2 - 3*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a^2 - b^2)*d)) + (b*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a^2 - b^2)*d) - (b*(5*a^2 - 3*b^2)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a - b)*(a + b)^2*d) + ((2*a^2 - 3*b^2)*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, (b*(4*a^2 - 5*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) + ((2*a^2 - 5*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b^2*(7*a^2 - 5*b^2)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a - b)*(a + b)^2*d) + ((2*a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (b*(4*a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -((a*(35*a^4 - 65*a^2*b^2 + 24*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((105*a^6 - 223*a^4*b^2 + 128*a^2*b^4 + 8*b^6)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(12*b^5*(a^2 - b^2)^2*d) - (a^3*(35*a^4 - 86*a^2*b^2 + 63*b^4)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*(a - b)^2*b^5*(a + b)^3*d) + ((35*a^4 - 61*a^2*b^2 + 8*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (a^2*(7*a^2 - 13*b^2)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, ((15*a^4 - 29*a^2*b^2 + 8*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - (3*a*(5*a^4 - 11*a^2*b^2 + 8*b^4)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) + (a^2*(15*a^4 - 38*a^2*b^2 + 35*b^4)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*(a - b)^2*b^4*(a + b)^3*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (a^2*(5*a^2 - 11*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -((3*a*(a^2 - 3*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((3*a^4 - 5*a^2*b^2 + 8*b^4)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - (3*a*(a^4 - 2*a^2*b^2 + 5*b^4)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*(a - b)^2*b^3*(a + b)^3*d) - (a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (3*a*(a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -(((a^2 + 5*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*d)) + (a*(a^2 - 7*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) - ((a^4 - 10*a^2*b^2 - 3*b^4)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*(a - b)^2*b^2*(a + b)^3*d) + (a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, ((5*a^2 + b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*(a^2 - b^2)^2*d) + (3*(a^2 + b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*d) - ((3*a^4 + 10*a^2*b^2 - b^4)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*(a - b)^2*b*(a + b)^3*d) - (b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (b*(5*a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -((3*b*(3*a^2 - b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d)) - ((7*a^2 - b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*(a^2 - b^2)^2*d) + (3*(5*a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + (b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (3*b^2*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -(((8*a^4 - 29*a^2*b^2 + 15*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d)) + (b*(11*a^2 - 5*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d) - (b*(35*a^4 - 38*a^2*b^2 + 15*b^4)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^3*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + ((8*a^4 - 29*a^2*b^2 + 15*b^4)*Sin[c + d*x])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b^2*(11*a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 9, (b*(24*a^4 - 65*a^2*b^2 + 35*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((8*a^4 - 61*a^2*b^2 + 35*b^4)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b^2*(63*a^4 - 86*a^2*b^2 + 35*b^4)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^4*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + ((8*a^4 - 61*a^2*b^2 + 35*b^4)*Sin[c + d*x])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (b*(24*a^4 - 65*a^2*b^2 + 35*b^4)*Sin[c + d*x])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b^2*(13*a^2 - 7*b^2)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/2) (a+b Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d)) + (Sqrt[a + b]*(a + 2*b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d) + (Sqrt[a + b]*(a^2 - 4*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d) + (a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d)) + (Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d - (a*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d) + (Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 1, -((2*Sqrt[(a*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b*Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a*(1 + Cos[c + d*x]))/(a + b*Cos[c + d*x])]*(a + b*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]*EllipticPi[b/(a + b), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]], -((a - b)/(a + b))])/(Sqrt[a + b]*d))}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (2*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d) + (2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^3*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a + 2*b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^2*d) + (2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (2*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*(19*a^2 + 8*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^4*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(25*a^2 + 6*a*b + 8*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^3*d) + (2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(25*a^2 - 4*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(3*a^2 + 16*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b*d)) + (Sqrt[a + b]*(a + 2*b)*(3*a + 8*b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b*d) + (a*Sqrt[a + b]*(a^2 - 12*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^2*d) + ((3*a^2 + 16*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((5*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d)) + (Sqrt[a + b]*(5*a + 2*b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d) - (Sqrt[a + b]*(3*a^2 + 4*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d) + (3*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, -(((a - b)*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d)) + (Sqrt[a + b]*(2*a + b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d - (3*a*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d - (2*(a - 2*b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d - (2*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (8*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d) + (2*(a - 3*b)*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d) + (2*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(5*a^2*d) - (2*(a - b)*(3*a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(5*a*d) + (2*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (4*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (4*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*(41*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^3*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(25*a^2 - 57*a*b - 6*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^2*d) + (2*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (16*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(25*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-11/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(147*a^4 + 33*a^2*b^2 + 8*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^4*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(147*a^3 - 39*a^2*b - 6*a*b^2 - 8*b^3)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^3*d) + (2*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (20*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(49*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (8*b*(22*a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(33*a^2 + 16*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*d)) + (Sqrt[a + b]*(33*a^2 + 26*a*b + 16*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*d) - (5*a*Sqrt[a + b]*(a^2 + 4*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b*d) + ((33*a^2 + 16*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (13*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d) + (b^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((9*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d)) + (Sqrt[a + b]*(8*a^2 + 9*a*b + 2*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d) - (Sqrt[a + b]*(15*a^2 + 4*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d) + (9*a*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(2*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) - (Sqrt[a + b]*(2*a^2 - 6*a*b - b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d - (5*a*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*a^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((2*a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (14*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*d) + (2*Sqrt[a + b]*(a^2 - 7*a*b + 9*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*d) - (2*b^2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*a^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a^2 + 23*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a^2 - 8*a*b + 15*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d) + (2*a^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (22*a*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*(29*a^2 + 3*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(21*a^2*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(5*a^2 - 24*a*b + 3*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(21*a*d) + (2*a^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (6*a*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(5*a^2 + 9*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-11/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(147*a^4 + 279*a^2*b^2 - 10*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^3*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(147*a^3 - 114*a^2*b + 165*a*b^2 + 10*b^3)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^2*d) + (2*a^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (38*a*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(49*a^2 + 75*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*(163*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-13/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, (2*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*(741*a^4 + 51*a^2*b^2 + 8*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(693*a^4*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(135*a^4 - 606*a^3*b + 57*a^2*b^2 + 6*a*b^3 + 8*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(693*a^3*d) + (2*a^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(11*d*Cos[c + d*x]^(11/2)) + (46*a*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(99*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*(81*a^2 + 113*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*b*(229*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(135*a^4 + 205*a^2*b^2 - 4*b^4)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
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+
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+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 8, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*d)) + (Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d) + (a*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d) + (Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]), -(((a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*d)) + (Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d) + (a*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d) + (a*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 1, -((2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d))}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 1, (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*d) - (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, -((4*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*d)) + (2*Sqrt[a + b]*(a + 2*b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*d) + (2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -(((3*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b^2*Sqrt[a + b]*d)) + ((3*a + b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*Sqrt[a + b]*d) + (3*a*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^3*d) - (2*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((3*a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*Sqrt[a + b]*d) - (2*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*Sqrt[a + b]*d) - (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d) - (2*a^2*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((2*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*Sqrt[a + b]*d)) + (2*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*Sqrt[a + b]*d) + (2*a*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*b*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*Sqrt[a + b]*d) + (2*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*Sqrt[a + b]*d) - (2*b*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*(a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^3*Sqrt[a + b]*d) - (2*(a + 2*b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*Sqrt[a + b]*d) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((2*b*(5*a^2 - 8*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*d)) + (2*(a + 2*b)*(a + 4*b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*Sqrt[a + b]*d) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(a^2 - 4*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*(3*a^4 + 8*a^2*b^2 - 16*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(5*a^5*Sqrt[a + b]*d) - (2*(3*a + 4*b)*(a^2 + 4*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(5*a^4*Sqrt[a + b]*d) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(a^2 - 6*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^2*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - (2*b*(3*a^2 - 8*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^3*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*(3*a^2 - 7*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*(a - b)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) - (2*(3*a^2 + a*b - 6*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*(a - b)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) - (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^3*d) - (2*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*a^2*(3*a^2 - 7*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (8*b*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(a - 3*b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (8*a*b*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, -((2*(3*a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d)) + (2*(3*a - b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) - (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(3*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (4*b*(3*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(3*a^2 - 3*a*b - 2*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) + (2*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (4*b*(3*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*(3*a^4 - 15*a^2*b^2 + 8*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) - (2*(3*a^3 + 9*a^2*b - 6*a*b^2 - 8*b^3)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (8*b^2*(2*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, -((8*b*(2*a^4 - 7*a^2*b^2 + 4*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^5*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d)) + (2*(a^4 + 9*a^3*b + 16*a^2*b^2 - 12*a*b^3 - 16*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (4*b^2*(5*a^2 - 3*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(a^4 - 13*a^2*b^2 + 8*b^4)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{1/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[2 + 3*Cos[c + d*x]]), x, 1, (2*EllipticF[ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])], 1/5])/(Sqrt[5]*d)}
+{1/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[-2 + 3*Cos[c + d*x]]), x, 1, (2*EllipticF[ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])], 5])/d}
+
+{1/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[2 - 3*Cos[c + d*x]]), x, 2, -((2*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*EllipticF[ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 - Cos[c + d*x])], 1/5])/(Sqrt[5]*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]))}
+{1/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[-2 - 3*Cos[c + d*x]]), x, 2, -((2*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*EllipticF[ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 - Cos[c + d*x])], 5])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]))}
+
+{1/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[3 + 2*Cos[c + d*x]]), x, 1, (2*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[3 + 2*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[5]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -5]*Sqrt[-Tan[c + d*x]^2])/d}
+{1/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[3 - 2*Cos[c + d*x]]), x, 1, (2*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[3 - 2*Cos[c + d*x]]/Sqrt[Cos[c + d*x]]], -(1/5)]*Sqrt[-Tan[c + d*x]^2])/(Sqrt[5]*d)}
+
+{1/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[-3 + 2*Cos[c + d*x]]), x, 2, -((2*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-3 + 2*Cos[c + d*x]]/Sqrt[-Cos[c + d*x]]], -(1/5)]*Sqrt[-Tan[c + d*x]^2])/(Sqrt[5]*d))}
+{1/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[-3 - 2*Cos[c + d*x]]), x, 2, -((2*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-3 - 2*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[5]*Sqrt[-Cos[c + d*x]])], -5]*Sqrt[-Tan[c + d*x]^2])/d)}
+
+
+{1/(Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[2 + 3*Cos[c + d*x]]), x, 2, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])], 1/5])/(Sqrt[5]*d*Sqrt[-Cos[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[-2 + 3*Cos[c + d*x]]), x, 2, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])], 5])/(d*Sqrt[-Cos[c + d*x]])}
+
+{1/(Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[2 - 3*Cos[c + d*x]]), x, 1, -((2*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*EllipticF[ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 - Cos[c + d*x])], 1/5])/(Sqrt[5]*d*Sqrt[-Cos[c + d*x]]))}
+{1/(Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[-2 - 3*Cos[c + d*x]]), x, 1, -((2*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*EllipticF[ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 - Cos[c + d*x])], 5])/(d*Sqrt[-Cos[c + d*x]]))}
+
+{1/(Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[3 + 2*Cos[c + d*x]]), x, 2, (2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[3 + 2*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[5]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -5]*Sqrt[-Tan[c + d*x]^2])/(d*Sqrt[-Cos[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[3 - 2*Cos[c + d*x]]), x, 2, (2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[3 - 2*Cos[c + d*x]]/Sqrt[Cos[c + d*x]]], -(1/5)]*Sqrt[-Tan[c + d*x]^2])/(Sqrt[5]*d*Sqrt[-Cos[c + d*x]])}
+
+{1/(Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[-3 + 2*Cos[c + d*x]]), x, 1, -((2*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-3 + 2*Cos[c + d*x]]/Sqrt[-Cos[c + d*x]]], -(1/5)]*Sqrt[-Tan[c + d*x]^2])/(Sqrt[5]*d))}
+{1/(Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[-3 - 2*Cos[c + d*x]]), x, 1, -((2*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-3 - 2*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[5]*Sqrt[-Cos[c + d*x]])], -5]*Sqrt[-Tan[c + d*x]^2])/d)}
+
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]/Sqrt[2 + 3*Cos[c + d*x]], x, 1, -((4*Cot[c + d*x]*EllipticPi[5/3, ArcSin[Sqrt[2 + 3*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[5]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], 5]*Sqrt[-1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]])/(3*d))}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]/Sqrt[-2 + 3*Cos[c + d*x]], x, 1, -((4*Cot[c + d*x]*EllipticPi[1/3, ArcSin[Sqrt[-2 + 3*Cos[c + d*x]]/Sqrt[Cos[c + d*x]]], 1/5]*Sqrt[-1 + Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])/(3*Sqrt[5]*d))}
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]/Sqrt[2 - 3*Cos[c + d*x]], x, 2, -((4*Cos[c + d*x]^(3/2)*Csc[c + d*x]*EllipticPi[1/3, ArcSin[Sqrt[2 - 3*Cos[c + d*x]]/Sqrt[-Cos[c + d*x]]], 1/5]*Sqrt[-1 + Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])/(3*Sqrt[5]*d*Sqrt[-Cos[c + d*x]]))}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]/Sqrt[-2 - 3*Cos[c + d*x]], x, 2, -((4*Cos[c + d*x]^(3/2)*Csc[c + d*x]*EllipticPi[5/3, ArcSin[Sqrt[-2 - 3*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[5]*Sqrt[-Cos[c + d*x]])], 5]*Sqrt[-1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[-Cos[c + d*x]]))}
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]/Sqrt[3 + 2*Cos[c + d*x]], x, 1, -((3*Cot[c + d*x]*EllipticPi[5/2, ArcSin[Sqrt[3 + 2*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[5]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -5]*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])/d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]/Sqrt[3 - 2*Cos[c + d*x]], x, 1, (3*Cot[c + d*x]*EllipticPi[-(1/2), ArcSin[Sqrt[3 - 2*Cos[c + d*x]]/Sqrt[Cos[c + d*x]]], -(1/5)]*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])/(Sqrt[5]*d)}
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]/Sqrt[-3 + 2*Cos[c + d*x]], x, 2, (3*Cos[c + d*x]^(3/2)*Csc[c + d*x]*EllipticPi[-(1/2), ArcSin[Sqrt[-3 + 2*Cos[c + d*x]]/Sqrt[-Cos[c + d*x]]], -(1/5)]*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])/(Sqrt[5]*d*Sqrt[-Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]/Sqrt[-3 - 2*Cos[c + d*x]], x, 2, -((3*Cos[c + d*x]^(3/2)*Csc[c + d*x]*EllipticPi[5/2, ArcSin[Sqrt[-3 - 2*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[5]*Sqrt[-Cos[c + d*x]])], -5]*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[-Cos[c + d*x]]))}
+
+
+{Sqrt[-Cos[c + d*x]]/Sqrt[2 + 3*Cos[c + d*x]], x, 2, -((4*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[5/3, ArcSin[Sqrt[2 + 3*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[5]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], 5]*Sqrt[-1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]])/(3*d))}
+{Sqrt[-Cos[c + d*x]]/Sqrt[-2 + 3*Cos[c + d*x]], x, 2, -((4*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[1/3, ArcSin[Sqrt[-2 + 3*Cos[c + d*x]]/Sqrt[Cos[c + d*x]]], 1/5]*Sqrt[-1 + Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])/(3*Sqrt[5]*d))}
+
+{Sqrt[-Cos[c + d*x]]/Sqrt[2 - 3*Cos[c + d*x]], x, 1, -((4*Cot[c + d*x]*EllipticPi[1/3, ArcSin[Sqrt[2 - 3*Cos[c + d*x]]/Sqrt[-Cos[c + d*x]]], 1/5]*Sqrt[-1 + Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])/(3*Sqrt[5]*d))}
+{Sqrt[-Cos[c + d*x]]/Sqrt[-2 - 3*Cos[c + d*x]], x, 1, -((4*Cot[c + d*x]*EllipticPi[5/3, ArcSin[Sqrt[-2 - 3*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[5]*Sqrt[-Cos[c + d*x]])], 5]*Sqrt[-1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]])/(3*d))}
+
+(* For some reason, Mathematica cannot verify the following two antiderivatives correct. *)
+{Sqrt[-Cos[c + d*x]]/Sqrt[3 + 2*Cos[c + d*x]], x, 2, -((3*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[5/2, ArcSin[Sqrt[3 + 2*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[5]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -5]*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])/d)}
+{Sqrt[-Cos[c + d*x]]/Sqrt[3 - 2*Cos[c + d*x]], x, 2, (3*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[-(1/2), ArcSin[Sqrt[3 - 2*Cos[c + d*x]]/Sqrt[Cos[c + d*x]]], -(1/5)]*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])/(Sqrt[5]*d)}
+
+{Sqrt[-Cos[c + d*x]]/Sqrt[-3 + 2*Cos[c + d*x]], x, 1, (3*Cot[c + d*x]*EllipticPi[-(1/2), ArcSin[Sqrt[-3 + 2*Cos[c + d*x]]/Sqrt[-Cos[c + d*x]]], -(1/5)]*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])/(Sqrt[5]*d)}
+{Sqrt[-Cos[c + d*x]]/Sqrt[-3 - 2*Cos[c + d*x]], x, 1, -((3*Cot[c + d*x]*EllipticPi[5/2, ArcSin[Sqrt[-3 - 2*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[5]*Sqrt[-Cos[c + d*x]])], -5]*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])/d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/3) (a+b Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(2/3)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, -((b*AppellF1[1/2, -(1/3), 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[c + d*x]^(2/3)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(Cos[c + d*x]^2)^(1/3))) + (a*AppellF1[1/2, 1/6, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*(Cos[c + d*x]^2)^(1/6)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(1/3))}
+{Cos[c + d*x]^(1/3)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, -((b*AppellF1[1/2, -(1/6), 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[c + d*x]^(1/3)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(Cos[c + d*x]^2)^(1/6))) + (a*AppellF1[1/2, 1/3, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*(Cos[c + d*x]^2)^(1/3)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(2/3))}
+{Cos[c + d*x]^(-1/3)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, -((b*AppellF1[1/2, 1/6, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*(Cos[c + d*x]^2)^(1/6)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(1/3))) + (a*AppellF1[1/2, 2/3, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*(Cos[c + d*x]^2)^(2/3)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(4/3))}
+{Cos[c + d*x]^(-2/3)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, -((b*AppellF1[1/2, 1/3, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*(Cos[c + d*x]^2)^(1/3)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(2/3))) + (a*AppellF1[1/2, 5/6, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*(Cos[c + d*x]^2)^(5/6)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(5/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/3) (a+b Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(7/3)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[Cos[c + d*x]^(7/3)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x]}
+{Cos[c + d*x]^(5/3)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[Cos[c + d*x]^(5/3)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x]}
+{Cos[c + d*x]^(4/3)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[Cos[c + d*x]^(4/3)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x]}
+{Cos[c + d*x]^(2/3)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[Cos[c + d*x]^(2/3)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x]}
+{Cos[c + d*x]^(1/3)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[Cos[c + d*x]^(1/3)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x]}
+{Cos[c + d*x]^(-1/3)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[1/(Cos[c + d*x]^(1/3)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x]}
+{Cos[c + d*x]^(-2/3)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[1/(Cos[c + d*x]^(2/3)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x]}
+{Cos[c + d*x]^(-4/3)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[1/(Cos[c + d*x]^(4/3)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x]}
+{Cos[c + d*x]^(-5/3)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[1/(Cos[c + d*x]^(5/3)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x]}
+{Cos[c + d*x]^(-7/3)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[1/(Cos[c + d*x]^(7/3)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/2) (a+b Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 9, (-6*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (6*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*B*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 8, (-2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, (-2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(A + B*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 6, (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 7, (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (6*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 9, (6*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (10*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (10*B*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 10, -((12*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*(5*a^2 + 7*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (12*a*b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(5*a^2 + 7*b^2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (4*a*b*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^2*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 9, -((2*(3*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (4*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*(3*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (4*a*b*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, -((4*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*(a^2 + 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (4*a*b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -((2*(a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (4*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (4*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*(3*a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, (2*(5*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a*b*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 9, (12*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(7*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (4*a*b*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(7*a^2 + 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 10, (2*(9*a^2 + 7*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (20*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (4*a*b*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(9*a^2 + 7*b^2)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (20*a*b*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 10, -((2*b*(9*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*a*(5*a^2 + 21*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b*(9*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*(5*a^2 + 21*b^2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (32*a^2*b*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*a^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*(b + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 9, -((6*a*(a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*b*(a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (6*a*(a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (8*a^2*b*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*(b + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -((2*b*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*a*(a^2 + 9*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (16*a^2*b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -((2*a*(a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*b*(9*a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*b^2*(b + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, (6*b*(5*a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (8*a*b^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*(b + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 9, (2*a*(5*a^2 + 9*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*b*(21*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (32*a*b^2*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*(21*a^2 + 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*(b + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 10, (2*b*(27*a^2 + 7*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*a*(7*a^2 + 15*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (40*a*b^2*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*(27*a^2 + 7*b^2)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(7*a^2 + 15*b^2)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*(b + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 11, (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + (2*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a + b)*d) - (2*b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + (2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, -((2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d)) - (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a + b)*d) + (2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a + b)*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d) - (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*(a + b)*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 9, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d) - (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d) + (2*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*(a + b)*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 10, -((2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d)) + (2*(3*a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b^3*d) - (2*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*(a + b)*d) + (2*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 12, (b*(4*a^2 - 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) + ((2*a^2 - 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b^2*(7*a^2 - 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a - b)*(a + b)^2*d) - (b*(4*a^2 - 5*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) + ((2*a^2 - 5*b^2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 11, -(((2*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d)) + (b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)*d) - (b*(5*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a - b)*(a + b)^2*d) + ((2*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 10, -((b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)*d)) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d) + ((3*a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a - b)*(a + b)^2*d) + (b^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 10, (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d) + (a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*(a^2 - b^2)*d) - ((a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a - b)*b*(a + b)^2*d) - (b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 10, -((a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*(a^2 - b^2)*d)) + ((a^2 - 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) - (a*(a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a - b)*b^2*(a + b)^2*d) + (a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 10, ((3*a^2 - 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) - (a*(3*a^2 - 4*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) + (a^2*(3*a^2 - 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a - b)*b^3*(a + b)^2*d) - (a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 13, (b*(24*a^4 - 65*a^2*b^2 + 35*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((8*a^4 - 61*a^2*b^2 + 35*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b^2*(63*a^4 - 86*a^2*b^2 + 35*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^4*(a - b)^2*(a + b)^3*d) - (b*(24*a^4 - 65*a^2*b^2 + 35*b^4)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((8*a^4 - 61*a^2*b^2 + 35*b^4)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x])^2) + (b^2*(13*a^2 - 7*b^2)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 12, -(((8*a^4 - 29*a^2*b^2 + 15*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d)) + (b*(11*a^2 - 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d) - (b*(35*a^4 - 38*a^2*b^2 + 15*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^3*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + ((8*a^4 - 29*a^2*b^2 + 15*b^4)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x])^2) + (b^2*(11*a^2 - 5*b^2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 11, -((3*b*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d)) - ((7*a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*(a^2 - b^2)^2*d) + (3*(5*a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x])^2) + (3*b^2*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 11, ((5*a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*(a^2 - b^2)^2*d) + (3*(a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*d) - ((3*a^4 + 10*a^2*b^2 - b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*(a - b)^2*b*(a + b)^3*d) + (b^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x])^2) - (b*(7*a^2 - b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 11, -(((a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*d)) + (a*(a^2 - 7*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) - ((a^4 - 10*a^2*b^2 - 3*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*b^2*(a + b)^3*d) - (b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x])^2) + (3*(a^2 + b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 11, -((3*a*(a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((3*a^4 - 5*a^2*b^2 + 8*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - (3*a*(a^4 - 2*a^2*b^2 + 5*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*b^3*(a + b)^3*d) + (a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x])^2) + (a*(a^2 - 7*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/2) (a+b Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a^2 - 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a + 2*b)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d) + (2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 5, (2*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 4, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 2, -((1/(Sqrt[a + b]*d))*(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[(a*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b*Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a*(1 + Cos[c + d*x]))/(a + b*Cos[c + d*x])]*(a + b*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]*EllipticPi[b/(a + b), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]], -((a - b)/(a + b))]*Sqrt[Sec[c + d*x]]))}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 8, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, -((a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(a + 2*b)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(a^2 - 4*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d)}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 7, (4*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*(41*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(25*a^2 - 57*a*b - 6*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(25*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*a*d) + (16*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(5*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(a - b)*(3*a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(5*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (4*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 5, (8*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(a - 3*b)*(a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(a - 2*b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 7, -(((a - b)*b*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (Sqrt[a + b]*(2*a + b)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (3*a*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, (-5*(a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(5*a + 2*b)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(3*a^2 + 4*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (3*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + ((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(3*a^2 + 16*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(a + 2*b)*(3*a + 8*b)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*Sqrt[a + b]*(a^2 - 12*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((3*a^2 + 16*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b*d)}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 8, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(147*a^4 + 279*a^2*b^2 - 10*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(147*a^3 - 114*a^2*b + 165*a*b^2 + 10*b^3)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*(163*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*a*d) + (2*(49*a^2 + 75*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (38*a*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*a^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 7, (2*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*(29*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(21*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(5*a^2 - 24*a*b + 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(21*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(5*a^2 + 9*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (6*a*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*a^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a^2 + 23*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a^2 - 8*a*b + 15*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (22*a*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 7, (14*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b]*(a^2 - 7*a*b + 9*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b^2*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(2*a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(2*a^2 - 6*a*b - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (5*a*b*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d - ((2*a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 8, (-9*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(8*a^2 + 9*a*b + 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(15*a^2 + 4*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (9*a*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(33*a^2 + 16*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(33*a^2 + 26*a*b + 16*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (5*a*Sqrt[a + b]*(a^2 + 4*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (13*a*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((33*a^2 + 16*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 10, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(15*a^2 + 284*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(15*a^3 + 118*a^2*b + 284*a*b^2 + 72*b^3)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(5*a^4 - 120*a^2*b^2 - 48*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (17*a*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((59*a^2 + 36*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*(15*a^2 + 284*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 5, (-4*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b]*(a + 2*b)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 4, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 2, (-2*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 9, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + Sin[c + d*x]/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 8, (3*(a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((3*a - 2*b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(3*a^2 + 4*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (3*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((2*b*(5*a^2 - 8*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (2*(a + 2*b)*(a + 4*b)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(a^2 - 4*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*(a^2 - 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^3*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(a + 2*b)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{1/((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 5, -((2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{1/((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 7, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{1/((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 8, -(((3*a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b^2*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + ((3*a + b)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (3*a*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*a^2*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((3*a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((8*b*(2*a^4 - 7*a^2*b^2 + 4*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^5*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (2*(a^4 + 9*a^3*b + 16*a^2*b^2 - 12*a*b^3 - 16*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (4*b^2*(5*a^2 - 3*b^2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(a^4 - 13*a^2*b^2 + 8*b^4)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*(3*a^4 - 15*a^2*b^2 + 8*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(3*a^3 + 9*a^2*b - 6*a*b^2 - 8*b^3)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (8*b^2*(2*a^2 - b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (4*b*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(3*a^2 - 3*a*b - 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (4*b*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{1/((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 6, -((2*(3*a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (2*(3*a - b)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(3*a^2 + b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{1/((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 6, (8*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(a - 3*b)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (8*a*b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{1/((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 8, (2*(3*a^2 - 7*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*(a - b)*b^2*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(3*a^2 + a*b - 6*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*(a - b)*b^2*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*a^2*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*a^2*(3*a^2 - 7*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x])^n with m and/or n symbolic*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^m*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, If[$VersionNumber>=8, (b^2*(b^2*(3 + m) + a^2*(22 + 5*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(4 + m)) + (2*a*b^3*(5 + m)*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(3 + m)*(4 + m)) + (b^2*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*(4 + m)) - ((b^4*(3 + 4*m + m^2) + 6*a^2*b^2*(4 + 5*m + m^2) + a^4*(8 + 6*m + m^2))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m)*(2 + m)*(4 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (4*a*b*(b^2*(2 + m) + a^2*(3 + m))*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (b^2*(b^2*(3 + m) + a^2*(22 + 5*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(4 + m)) + (2*a*b^3*(5 + m)*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(3 + m)*(4 + m)) + (b^2*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*(4 + m)) - ((b^4*(3 + 4*m + m^2) + 6*a^2*b^2*(4 + 5*m + m^2) + a^4*(8 + 6*m + m^2))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(4 + m)*(2 + 3*m + m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (4*a*b*(b^2*(2 + m) + a^2*(3 + m))*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Cos[c + d*x]^m*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (a*b^2*(7 + 2*m)*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(3 + m)) + (b^2*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(d*(3 + m)) - (a*(3*b^2*(1 + m) + a^2*(2 + m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (b*(b^2*(2 + m) + 3*a^2*(3 + m))*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^m*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (b^2*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)) - ((b^2*(1 + m) + a^2*(2 + m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*a*b*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^m*(a + b*Cos[c + d*x])^1, x, 3, -((a*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (b*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^m/(a + b*Cos[c + d*x])^1, x, 5, (a*AppellF1[1/2, (1 - m)/2, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[c + d*x]^(-1 + m)*(Cos[c + d*x]^2)^((1 - m)/2)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) - (b*AppellF1[1/2, -(m/2), 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/((Cos[c + d*x]^2)^(m/2)*((a^2 - b^2)*d))}
+{Cos[c + d*x]^m/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, (b^2*AppellF1[1/2, (1/2)*(-1 - m), 2, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(Cos[c + d*x]^2)^((1/2)*(-1 - m))*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d) + (a^2*AppellF1[1/2, (1 - m)/2, 2, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[c + d*x]^(-1 + m)*(Cos[c + d*x]^2)^((1 - m)/2)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d) - (2*a*b*AppellF1[1/2, -(m/2), 2, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/((Cos[c + d*x]^2)^(m/2)*((a^2 - b^2)^2*d))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^m*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, If[$VersionNumber>=8, -((a^2*b*(1 - 2*m)*Sec[c + d*x]^(-2 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - m)*(2 - m))) - (a^2*Sec[c + d*x]^(-2 + m)*(b + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(d*(1 - m)) - (b*(b^2*(2 - m) + 3*a^2*(3 - m))*Hypergeometric2F1[1/2, (4 - m)/2, (6 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-4 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - m)*(4 - m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (a*(3*b^2*(1 - m) + a^2*(2 - m))*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - m)/2, (5 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-3 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - m)*(3 - m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), -((a^2*b*(1 - 2*m)*Sec[c + d*x]^(-2 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - 3*m + m^2))) - (a^2*Sec[c + d*x]^(-2 + m)*(b + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(d*(1 - m)) - (b*(b^2*(2 - m) + 3*a^2*(3 - m))*Hypergeometric2F1[1/2, (4 - m)/2, (6 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-4 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(8 - 6*m + m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (a*(3*b^2*(1 - m) + a^2*(2 - m))*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - m)/2, (5 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-3 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 4*m + m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Sec[c + d*x]^m*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((a^2*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - m))) - ((b^2*(1 - m) + a^2*(2 - m))*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - m)/2, (5 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-3 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - m)*(3 - m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*a*b*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - m)/2, (4 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-2 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), -((a^2*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - m))) - ((b^2*(1 - m) + a^2*(2 - m))*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - m)/2, (5 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-3 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 4*m + m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*a*b*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - m)/2, (4 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-2 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Sec[c + d*x]^m*(a + b*Cos[c + d*x])^1, x, 6, -((b*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - m)/2, (4 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-2 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (a*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - m)/2, (3 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x])^m (c+d Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Cos[e+f x])^m (c-c Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Cos[e+f x])^m (c+d Cos[e+f x])^n*)
+
+
+{Sqrt[1 - Cos[x]]/Sqrt[a - Cos[x]], x, 2, -2*ArcTan[Sin[x]/(Sqrt[1 - Cos[x]]*Sqrt[a - Cos[x]])]}
+{Sqrt[(1 - Cos[x])/(a - Cos[x])], x, 3, -((2*ArcTan[Sin[x]/(Sqrt[1 - Cos[x]]*Sqrt[a - Cos[x]])]*Sqrt[(1 - Cos[x])/(a - Cos[x])]*Sqrt[a - Cos[x]])/Sqrt[1 - Cos[x]])}
+
+
+{(-B*(1/(1 + 1)) + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 1, (a*B*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(-B*(4/(4 + 1)) + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 1, (B*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(-B*(n/(n + 1)) + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^n, x, 1, (B*(a + a*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + n))}
+
+
+{(-B*(-3/(-3 + 1)) + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 1, -((B*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3))}
+
+
+{(-B*(3/2/(3/2 + 1)) + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 1, (2*B*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+{(-B*(-1/2/(-1/2 + 1)) + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (2*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(-B*(-5/2/(-5/2 + 1)) + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 1, -((2*B*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)))}
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 3, (3*B*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*2^(1/6)*(5*A + 2*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/(5*d*(1 + Cos[c + d*x])^(7/6))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 3, (3*B*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(4*d) + ((4*A + B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/(2*2^(1/6)*d*(1 + Cos[c + d*x])^(5/6))}
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 3, (3*B*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3)) + ((2*A - B)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/(2^(5/6)*d*(1 + Cos[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 3, (3*(A - B)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3)) - (2^(5/6)*(A - 2*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/(a*d*(1 + Cos[c + d*x])^(5/6))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x])^m (c+d Cos[e+f x])^n*)
+
+
+{(b*B/a + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, (B*x)/b - (2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*B*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*b*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])/(b + a*Cos[c + d*x])^2, x, 2, Sin[c + d*x]/(d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(3 + Cos[c + d*x])/(2 - Cos[c + d*x]), x, 2, -x + (5*x)/Sqrt[3] + (10*ArcTan[Sin[c + d*x]/(2 + Sqrt[3] - Cos[c + d*x])])/(Sqrt[3]*d)}
+
+
+{(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x])^(n/3) (c+d Cos[e+f x])^n*)
+(**)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 7, (Sqrt[2]*(a + b)*B*AppellF1[1/2, 1/2, -(5/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) + (Sqrt[2]*(A*b - a*B)*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(2/3))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 7, (Sqrt[2]*(a + b)*B*AppellF1[1/2, 1/2, -(4/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) + (Sqrt[2]*(A*b - a*B)*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 7, (Sqrt[2]*B*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) + (Sqrt[2]*(A*b - a*B)*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 7, (Sqrt[2]*B*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) + (Sqrt[2]*(A*b - a*B)*AppellF1[1/2, 1/2, 2/3, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(2/3)*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x])^m (c Cos[e+f x])^n (d Cos[e+f x])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x]) (c Cos[e+f x])^m (d Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the  form (a+b Cos[e+f x]) (c Cos[e+f x])^m (d Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 9, (6*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (10*b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 8, (6*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (2*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, -((2*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 8, -((2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^2*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 9, -((6*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^3*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*b^2*B*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (6*A*b*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, (6*A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (10*b^2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (6*b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((2*A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((2*b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^3*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*b^2*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, -((6*A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^4*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*b^3*B*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (6*A*b^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, (6*A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (10*b^3*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*b*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, (6*b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*b*B*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b^3*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((2*A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^3*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((2*b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*b^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^4*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*b^3*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^6*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((6*A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^3*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^5*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*b^4*B*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (6*A*b^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 9, (6*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (10*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b*d) + (2*A*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 8, (6*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, (2*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, -((2*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 8, -((2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 9, -((6*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^2*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*b*B*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (6*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, (6*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (10*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b^2*d) + (2*A*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, (6*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((2*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, -((6*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (6*A*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, (6*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (10*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b^3*d) + (2*A*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^4*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, (6*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((2*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((6*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (6*A*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 8, -((6*A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (6*A*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the  form (a+b Cos[e+f x]) (c Cos[e+f x])^(m/2) (d Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, (3*B*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (3*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (B*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) - (A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (A*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (B*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (A*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (B*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (3*b*B*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (3*b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) - (A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (A*b*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 2, (b*B*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (A*b*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (b*B*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (A*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (b*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (A*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-11/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (b*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (3*b^2*B*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (3*b^2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b^2*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) - (A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (A*b^2*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 2, (b^2*B*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (A*b^2*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (b^2*B*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (A*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (b^2*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-11/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (A*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-13/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (b^2*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (A*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) - (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (B*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (A*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/Sqrt[b*Cos[c + d*x]] + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (B*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/Sqrt[b*Cos[c + d*x]] + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (A*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) - (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 2, (B*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (A*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (B*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x]^3)/(3*b*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (A*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) - (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 2, (B*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (A*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (B*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the  form (a+b Cos[e+f x]) (c Cos[e+f x])^m (d Cos[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 4, -((3*A*(b*Cos[c + d*x])^(10/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/3, 8/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(13/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 13/6, 19/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(13*b^4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 4, -((3*A*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(10/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/3, 8/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 3, -((3*A*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x], x, 4, (-3*A*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2, x, 4, (3*A*b*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3, x, 4, (3*A*b^2*Hypergeometric2F1[-(5/6), 1/2, 1/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*b*B*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 4, -((3*A*(b*Cos[c + d*x])^(13/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 13/6, 19/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(13*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(16/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 8/3, 11/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(16*b^4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 4, -((3*A*(b*Cos[c + d*x])^(10/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/3, 8/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(13/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 13/6, 19/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(13*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 3, -((3*A*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(10/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/3, 8/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x], x, 4, -((3*A*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2, x, 4, (-3*A*b*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3, x, 4, (3*A*b^2*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*b*B*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x]))/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 4, -((3*A*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(10/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/3, 8/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*b^4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Cos[c + d*x]*(A + B*Cos[c + d*x]))/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 4, -((3*A*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 3, (-3*A*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 4, (3*A*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 4, (3*A*b*Hypergeometric2F1[-(5/6), 1/2, 1/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3)/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 4, (3*A*b^2*Hypergeometric2F1[-(4/3), 1/2, -(1/3), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*d*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*b*B*Hypergeometric2F1[-(5/6), 1/2, 1/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x]))/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 4, -((3*A*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 4/3, 7/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*b^4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Cos[c + d*x]*(A + B*Cos[c + d*x]))/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 4, (-3*A*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 3, (3*A*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 4, (3*A*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 4, (3*A*b*Hypergeometric2F1[-(7/6), 1/2, -(1/6), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3)/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 4, (3*A*b^2*Hypergeometric2F1[-(5/3), 1/2, -(2/3), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*d*(b*Cos[c + d*x])^(10/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*b*B*Hypergeometric2F1[-(7/6), 1/2, -(1/6), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the  form (a+b Cos[e+f x]) (c Cos[e+f x])^m (d Cos[e+f x])^n) with m and/or n symbolic*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^m*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 4, -((A*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m + n)/2, (3 + m + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (B*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m + n)/2, (4 + m + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 4, -((A*(b*Cos[c + d*x])^(3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + n)/2, (5 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^3*d*(3 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (B*(b*Cos[c + d*x])^(4 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (4 + n)/2, (6 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^4*d*(4 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 4, -((A*(b*Cos[c + d*x])^(2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*(2 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (B*(b*Cos[c + d*x])^(3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + n)/2, (5 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^3*d*(3 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^0*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 3, -((A*(b*Cos[c + d*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (B*(b*Cos[c + d*x])^(2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*(2 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^1, x, 4, -((A*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*n*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (B*(b*Cos[c + d*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2, x, 4, (A*b*(b*Cos[c + d*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (-1 + n)/2, (1 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (B*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*n*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3, x, 4, (A*b^2*(b*Cos[c + d*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (-2 + n)/2, n/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (b*B*(b*Cos[c + d*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (-1 + n)/2, (1 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^4, x, 4, (A*b^3*(b*Cos[c + d*x])^(-3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (-3 + n)/2, (-1 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (b^2*B*(b*Cos[c + d*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (-2 + n)/2, n/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 4, (-2*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (7 + 2*n)/4, (11 + 2*n)/4, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*B*Cos[c + d*x]^(9/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (9 + 2*n)/4, (13 + 2*n)/4, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(9 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 4, (-2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (5 + 2*n)/4, (9 + 2*n)/4, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*B*Cos[c + d*x]^(7/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (7 + 2*n)/4, (11 + 2*n)/4, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 4, (-2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + 2*n)/4, (7 + 2*n)/4, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (5 + 2*n)/4, (9 + 2*n)/4, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x]))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 4, (-2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + 2*n)/4, (5 + 2*n)/4, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + 2*n)/4, (7 + 2*n)/4, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 4, (2*A*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (-1 + 2*n)/4, (3 + 2*n)/4, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + 2*n)/4, (5 + 2*n)/4, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 4, (2*A*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (-3 + 2*n)/4, (1 + 2*n)/4, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (-1 + 2*n)/4, (3 + 2*n)/4, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 4, (2*A*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (-5 + 2*n)/4, (-1 + 2*n)/4, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (-3 + 2*n)/4, (1 + 2*n)/4, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 4, (2*A*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (-7 + 2*n)/4, (-3 + 2*n)/4, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (-5 + 2*n)/4, (-1 + 2*n)/4, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^m*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 4, (-3*A*b*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (7 + 3*m)/6, (13 + 3*m)/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*b*B*Cos[c + d*x]^(3 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (10 + 3*m)/6, (16 + 3*m)/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(10 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^m*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 4, (-3*A*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (5 + 3*m)/6, (11 + 3*m)/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (8 + 3*m)/6, (14 + 3*m)/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(8 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^m*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 4, (-3*A*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (4 + 3*m)/6, (10 + 3*m)/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (7 + 3*m)/6, (13 + 3*m)/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Cos[c + d*x]^m*(A + B*Cos[c + d*x]))/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 4, (-3*A*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + 3*m)/6, (8 + 3*m)/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (5 + 3*m)/6, (11 + 3*m)/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Cos[c + d*x]^m*(A + B*Cos[c + d*x]))/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 4, (-3*A*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + 3*m)/6, (7 + 3*m)/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (4 + 3*m)/6, (10 + 3*m)/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Cos[c + d*x]^m*(A + B*Cos[c + d*x]))/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 4, (3*A*Cos[c + d*x]^m*Hypergeometric2F1[1/2, (-1 + 3*m)/6, (5 + 3*m)/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 - 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + 3*m)/6, (8 + 3*m)/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(2 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.2.2 (g sin)^p (a+b cos)^m (c+d cos)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.2.2 (g sin)^p (a+b cos)^m (c+d cos)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..ca6fed40
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.2.2 (g sin)^p (a+b cos)^m (c+d cos)^n.m	
@@ -0,0 +1,28 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^p (a+a Cos[e+f x])^m (c-c Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^p (a+a Cos[e+f x])^m (c+d Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^p (a+b Cos[e+f x])^m (c+d Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^m (a+b Cos[e+f x])^n / (c+d Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sin[e+f x])^(m/2) (d Cos[e+f x])^(n/2) / (a+b Cos[e+f x])*)
+
+
+{Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[d*Cos[e + f*x]]/(a + b*Cos[e + f*x]), x, 16, -((Sqrt[d]*Sqrt[g]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Cos[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b*f)) + (Sqrt[d]*Sqrt[g]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[d*Cos[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*b*f) + (2*Sqrt[2]*a*d*Sqrt[g]*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(b*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*f*Sqrt[d*Cos[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*a*d*Sqrt[g]*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(b*Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*f*Sqrt[d*Cos[e + f*x]]) + (Sqrt[d]*Sqrt[g]*Log[Sqrt[g] - (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]])/Sqrt[d*Cos[e + f*x]] + Sqrt[g]*Tan[e + f*x]])/(2*Sqrt[2]*b*f) - (Sqrt[d]*Sqrt[g]*Log[Sqrt[g] + (Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]])/Sqrt[d*Cos[e + f*x]] + Sqrt[g]*Tan[e + f*x]])/(2*Sqrt[2]*b*f)}
+{Sqrt[d*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*(a + b*Cos[e + f*x])), x, 4, (2*Sqrt[2]*Sqrt[d]*EllipticPi[-(a/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(Sqrt[-a^2 + b^2]*f*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]) - (2*Sqrt[2]*Sqrt[d]*EllipticPi[-(a/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(Sqrt[-a^2 + b^2]*f*Sqrt[g*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{Sqrt[g*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[d*Cos[e + f*x]]*(a + b*Cos[e + f*x])), x, 5, -((2*Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[-(Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[g*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*f*Sqrt[d*Cos[e + f*x]])) + (2*Sqrt[2]*Sqrt[g]*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticPi[Sqrt[-a + b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[g*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[g]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])], -1])/(Sqrt[-a + b]*Sqrt[a + b]*f*Sqrt[d*Cos[e + f*x]])}
+{1/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[d*Cos[e + f*x]]*(a + b*Cos[e + f*x])), x, 7, -((2*Sqrt[2]*b*EllipticPi[-(a/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*Sqrt[d]*f*Sqrt[g*Sin[e + f*x]])) + (2*Sqrt[2]*b*EllipticPi[-(a/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])), ArcSin[Sqrt[d*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])], -1]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*Sqrt[d]*f*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]) + (EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(a*f*Sqrt[d*Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Sin[e + f*x]])}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.2.3 (g cos)^p (a+b cos)^m (c+d cos)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.2.3 (g cos)^p (a+b cos)^m (c+d cos)^n.m
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index 00000000..b2cd1c32
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+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.2.3 (g cos)^p (a+b cos)^m (c+d cos)^n.m	
@@ -0,0 +1,11 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration problems of the form (g Cos[e+f x])^p (a+b Cos[e+f x])^m (c+d Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Cos[e+f x])^p (a+a Cos[e+f x])^m (c-c Cos[e+f x])^n*)
+
+
+{((a + a*Cos[e + f*x])^2*Sec[e + f*x]^2)/(-c + c*Cos[e + f*x]), x, 6, -((3*a^2*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(c*f)) + (4*a^2*Sin[e + f*x])/(c*f*(1 - Cos[e + f*x])) - (a^2*Tan[e + f*x])/(c*f)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.3.1 (a+b cos)^m (c+d cos)^n (A+B cos).m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.3.1 (a+b cos)^m (c+d cos)^n (A+B cos).m
new file mode 100644
index 00000000..ee3fe78c
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+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.3.1 (a+b cos)^m (c+d cos)^n (A+B cos).m	
@@ -0,0 +1,1030 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Cos[e+f x])^m (a+b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Cos[e+f x])^m (a+a Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+a Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 8, (3/8)*a*(A + B)*x + (a*(5*A + 4*B)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (3*a*(A + B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*(A + B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a*(5*A + 4*B)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, (1/8)*a*(4*A + 3*B)*x + (a*(A + B)*Sin[c + d*x])/d + (a*(4*A + 3*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a*(A + B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 3, (1/2)*a*(A + B)*x + (a*(3*A + 2*B)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*(A + B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 1, (1/2)*a*(2*A + B)*x + (a*(A + B)*Sin[c + d*x])/d + (a*B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 4, a*(A + B)*x + (a*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*B*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 4, a*B*x + (a*(A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*A*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, (a*(A + 2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(A + B)*Tan[c + d*x])/d + (a*A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, (a*(A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(2*A + 3*B)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*(A + B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, (a*(3*A + 4*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(A + B)*Tan[c + d*x])/d + (a*(3*A + 4*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*A*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*(A + B)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 9, (1/16)*a^2*(12*A + 11*B)*x + (a^2*(9*A + 8*B)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a^2*(12*A + 11*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^2*(12*A + 11*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a^2*(6*A + 7*B)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(30*d) + (B*Cos[c + d*x]^4*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d) - (a^2*(9*A + 8*B)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 8, (1/8)*a^2*(7*A + 6*B)*x + (a^2*(10*A + 9*B)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a^2*(7*A + 6*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(5*A + 6*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (B*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a^2*(10*A + 9*B)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (1/8)*a^2*(8*A + 7*B)*x + (a^2*(8*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a^2*(8*A + 7*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + ((4*A - B)*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) + (B*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 2, (1/2)*a^2*(3*A + 2*B)*x + (2*a^2*(3*A + 2*B)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(3*A + 2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (B*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 5, (1/2)*a^2*(4*A + 3*B)*x + (a^2*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(2*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (B*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 5, a^2*(A + 2*B)*x + (a^2*(2*A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*(A - B)*Sin[c + d*x])/d + (A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 5, a^2*B*x + (a^2*(3*A + 4*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a^2*(3*A + 2*B)*Tan[c + d*x])/(2*d) + (A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (a^2*(2*A + 3*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a^2*(5*A + 6*B)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(4*A + 3*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 8, (a^2*(7*A + 8*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*(4*A + 5*B)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(7*A + 8*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(5*A + 4*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(12*d) + (A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 9, (1/16)*a^3*(26*A + 23*B)*x + (a^3*(19*A + 17*B)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a^3*(26*A + 23*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^3*(22*A + 21*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(40*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(6*d) + ((3*A + 4*B)*Cos[c + d*x]^3*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d) - (a^3*(19*A + 17*B)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 10, (1/8)*a^3*(15*A + 13*B)*x + (a^3*(15*A + 13*B)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (3*a^3*(15*A + 13*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(40*d) + ((5*A - B)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (B*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - (a^3*(15*A + 13*B)*Sin[c + d*x]^3)/(60*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, (5/8)*a^3*(4*A + 3*B)*x + (a^3*(4*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/d + (3*a^3*(4*A + 3*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (B*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a^3*(4*A + 3*B)*Sin[c + d*x]^3)/(12*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (1/2)*a^3*(7*A + 5*B)*x + (a^3*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^3*(A + B)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*B*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((3*A + 5*B)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (1/2)*a^3*(6*A + 7*B)*x + (a^3*(3*A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^3*B*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((2*A - B)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, a^3*(A + 3*B)*x + (a^3*(7*A + 6*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (5*a^3*A*Sin[c + d*x])/(2*d) + ((2*A + B)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Tan[c + d*x])/d + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, a^3*B*x + (a^3*(5*A + 7*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (5*a^3*(A + B)*Tan[c + d*x])/(2*d) + ((5*A + 3*B)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, (5*a^3*(3*A + 4*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*(9*A + 11*B)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a^3*(27*A + 28*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + ((3*A + 2*B)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(6*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 9, (a^3*(13*A + 15*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*(38*A + 45*B)*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a^3*(13*A + 15*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^3*(43*A + 45*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(60*d) + ((7*A + 5*B)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 10, (1/16)*a^4*(49*A + 44*B)*x + (a^4*(252*A + 227*B)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (a^4*(49*A + 44*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^4*(301*A + 276*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(280*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d) + ((7*A + 10*B)*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(42*d) + (7*(A + B)*Cos[c + d*x]^3*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d) - (a^4*(252*A + 227*B)*Sin[c + d*x]^3)/(105*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 13, (7/16)*a^4*(8*A + 7*B)*x + (4*a^4*(8*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (27*a^4*(8*A + 7*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(80*d) + (a^4*(8*A + 7*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(40*d) + ((6*A - B)*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(30*d) + (B*(a + a*Cos[c + d*x])^5*Sin[c + d*x])/(6*a*d) - (2*a^4*(8*A + 7*B)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 11, (7/8)*a^4*(5*A + 4*B)*x + (8*a^4*(5*A + 4*B)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (27*a^4*(5*A + 4*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(40*d) + (a^4*(5*A + 4*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (B*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d) - (4*a^4*(5*A + 4*B)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 7, (1/8)*a^4*(48*A + 35*B)*x + (a^4*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^4*(8*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*B*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + ((4*A + 7*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) + ((32*A + 35*B)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(24*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 7, (1/2)*a^4*(13*A + 12*B)*x + (a^4*(4*A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^4*(A + 2*B)*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((3*A - B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d) - ((3*A - 8*B)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 7, (1/2)*a^4*(8*A + 13*B)*x + (a^4*(13*A + 8*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (5*a^4*(A - B)*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((6*A + B)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d) + ((5*A + 2*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 7, a^4*(A + 4*B)*x + (a^4*(12*A + 13*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (5*a^4*(2*A + B)*Sin[c + d*x])/(2*d) + ((11*A + 9*B)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((2*A + B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 7, a^4*B*x + (a^4*(35*A + 48*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (5*a^4*(7*A + 8*B)*Tan[c + d*x])/(8*d) + ((35*A + 32*B)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + ((7*A + 4*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(12*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 9, (7*a^4*(4*A + 5*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^4*(83*A + 100*B)*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a^4*(244*A + 275*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(120*d) + ((26*A + 25*B)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(30*d) + ((8*A + 5*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 10, (7*a^4*(7*A + 8*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (a^4*(72*A + 83*B)*Tan[c + d*x])/(15*d) + (7*a^4*(7*A + 8*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (a^4*(159*A + 176*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(120*d) + ((73*A + 72*B)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(120*d) + ((3*A + 2*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(10*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, -((3*(4*A - 5*B)*x)/(8*a)) + (4*(A - B)*Sin[c + d*x])/(a*d) - (3*(4*A - 5*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*d) - ((4*A - 5*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])) - (4*(A - B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, (3*(A - B)*x)/(2*a) - ((3*A - 4*B)*Sin[c + d*x])/(a*d) + (3*(A - B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])) + ((3*A - 4*B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 2, -(((A - B)*x)/a) + (B*x)/(2*a) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(a*d) + (B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(a*d*(1 + Cos[c + d*x])), -(((2*A - 3*B)*x)/(2*a)) + (2*(A - B)*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((2*A - 3*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, ((A - B)*x)/a + (B*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(a*d*(1 + Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 2, (B*x)/a + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 3, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, -(((A - B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d)) + ((2*A - B)*Tan[c + d*x])/(a*d) - ((A - B)*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, ((3*A - 2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d) - (2*(A - B)*Tan[c + d*x])/(a*d) + ((3*A - 2*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - ((A - B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, -((3*(A - B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d)) + ((4*A - 3*B)*Tan[c + d*x])/(a*d) - (3*(A - B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - ((A - B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])) + ((4*A - 3*B)*Tan[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, ((7*A - 10*B)*x)/(2*a^2) - (4*(2*A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + ((7*A - 10*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) + ((7*A - 10*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (4*(2*A - 3*B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 3, -(((4*A - 7*B)*x)/(2*a^2)) + (2*(5*A - 8*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((4*A - 7*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) + ((5*A - 8*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, ((A - 2*B)*x)/a^2 - ((A - 4*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((A - 2*B)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (B*x)/a^2 + ((2*A - 5*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 2, ((A - B)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((A + 2*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - ((4*A - B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -(((2*A - B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d)) + (2*(5*A - 2*B)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((2*A - B)*Tan[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B)*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, ((7*A - 4*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^2*d) - (2*(8*A - 5*B)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) + ((7*A - 4*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) - ((8*A - 5*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -(((10*A - 7*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^2*d)) + (4*(3*A - 2*B)*Tan[c + d*x])/(a^2*d) - ((10*A - 7*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) - ((10*A - 7*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (4*(3*A - 2*B)*Tan[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, ((13*A - 23*B)*x)/(2*a^3) - (4*(19*A - 34*B)*Sin[c + d*x])/(5*a^3*d) + ((13*A - 23*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((8*A - 13*B)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((13*A - 23*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])) + (4*(19*A - 34*B)*Sin[c + d*x]^3)/(15*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 4, -(((6*A - 13*B)*x)/(2*a^3)) + (8*(9*A - 19*B)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) - ((6*A - 13*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((6*A - 11*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (4*(9*A - 19*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, ((A - 3*B)*x)/a^3 - ((7*A - 27*B)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((4*A - 9*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (B*x)/a^3 + ((A - B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((2*A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((4*A - 29*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 4, -(((A - B)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)) + ((3*A - 8*B)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((3*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 3, ((A - B)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((2*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((2*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((7*A - 2*B)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (2*(11*A - B)*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -(((3*A - B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d)) + (2*(36*A - 11*B)*Tan[c + d*x])/(15*a^3*d) - ((A - B)*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((9*A - 4*B)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((3*A - B)*Tan[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, ((13*A - 6*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (8*(19*A - 9*B)*Tan[c + d*x])/(15*a^3*d) + ((13*A - 6*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A - B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((11*A - 6*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (4*(19*A - 9*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 5, -(((8*A - 21*B)*x)/(2*a^4)) + (8*(83*A - 216*B)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d) - ((8*A - 21*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^4*d) + ((52*A - 129*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + (4*(83*A - 216*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + ((A - 2*B)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 8, ((A - 4*B)*x)/a^4 - ((55*A - 244*B)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d) + ((25*A - 88*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - ((A - 4*B)*Sin[c + d*x])/(a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + ((5*A - 12*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (B*x)/a^4 - ((6*A - 55*B)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + ((12*A - 215*B)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + ((3*A - 10*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 5, -((2*(A + 27*B)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2)) + ((13*A + 36*B)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - ((A - 8*B)*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 5, -(((A - B)*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4)) + ((4*A - 11*B)*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((8*A + 13*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2) + ((8*A + 13*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 4, ((A - B)*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + ((3*A + 4*B)*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (2*(3*A + 4*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2) + (2*(3*A + 4*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - ((55*A - 6*B)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - (2*(80*A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - ((10*A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 8, -(((4*A - B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d)) + (8*(83*A - 20*B)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d) - ((88*A - 25*B)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - ((4*A - B)*Tan[c + d*x])/(a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B)*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - ((12*A - 5*B)*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 9, ((21*A - 8*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d) - (8*(216*A - 83*B)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d) + ((21*A - 8*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^4*d) - ((129*A - 52*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - (4*(216*A - 83*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - ((2*A - B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+a Cos[e+f x])^(n/2) (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (4*a*(9*A + 8*B)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(9*A + 8*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*B*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(9*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (8*(9*A + 8*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (4*(9*A + 8*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (2*a*(7*A + 6*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*B*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (4*(7*A + 6*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(7*A + 6*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (2*a*(5*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(5*A - 2*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*B*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (2*a*(3*A + B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*Sqrt[a]*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[a]*(A + 2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (a*A*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (Sqrt[a]*(3*A + 4*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) + (a*(3*A + 4*B)*Tan[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (Sqrt[a]*(5*A + 6*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (a*(5*A + 6*B)*Tan[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*(5*A + 6*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*A*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (4*a^2*(187*A + 168*B)*Sin[c + d*x])/(495*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(187*A + 168*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(11*A + 12*B)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(99*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (8*a*(187*A + 168*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*d) + (2*a*B*Cos[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(11*d) + (4*(187*A + 168*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(1155*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*a^2*(39*A + 34*B)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(9*A + 10*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (4*a*(39*A + 34*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*a*B*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*(39*A + 34*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (8*a^2*(21*A + 19*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(21*A + 19*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(7*A - 2*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*B*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (8*a^2*(5*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(5*A + 3*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*B*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*a^(3/2)*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a^2*(3*A + 4*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*B*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (a^(3/2)*(3*A + 2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d - (a^2*(A - 2*B)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (a^(3/2)*(7*A + 12*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) + (a^2*(5*A + 4*B)*Tan[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (a^(3/2)*(11*A + 14*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (a^2*(11*A + 14*B)*Tan[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(7*A + 6*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (a^(3/2)*(75*A + 88*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (a^2*(75*A + 88*B)*Tan[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(75*A + 88*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(9*A + 8*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*a^3*(803*A + 710*B)*Sin[c + d*x])/(495*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(209*A + 194*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (4*a^2*(803*A + 710*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*d) + (2*a^2*(11*A + 14*B)*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*a*(803*A + 710*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(1155*d) + (2*a*B*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (64*a^3*(15*A + 13*B)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a^2*(15*A + 13*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*a*(15*A + 13*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(9*A - 2*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*B*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (64*a^3*(7*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a^2*(7*A + 5*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*a*(7*A + 5*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*B*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*a^(5/2)*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a^3*(35*A + 32*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(5*A + 8*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*B*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (a^(5/2)*(5*A + 2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (a^3*(3*A + 14*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (a^2*(3*A - 2*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (a^(5/2)*(19*A + 20*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) - (a^3*(9*A - 4*B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(7*A + 4*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (a^(5/2)*(25*A + 38*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (a^3*(49*A + 54*B)*Tan[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(3*A + 2*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (a^(5/2)*(163*A + 200*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (a^3*(163*A + 200*B)*Tan[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^3*(95*A + 104*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(11*A + 8*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(24*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (a^(5/2)*(283*A + 326*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(128*d) + (a^3*(283*A + 326*B)*Tan[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^3*(283*A + 326*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^3*(157*A + 170*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(240*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(13*A + 10*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(40*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, -((Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (4*(49*A - 37*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(7*A - B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*B*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(7*A - 31*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (4*(5*A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*B*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(5*A - B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, -((Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*(3*A - 2*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, -(((A - 2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (A*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, ((7*A - 4*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - ((A - 4*B)*Tan[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, -(((15*A - 19*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((651*A - 799*B)*Sin[c + d*x])/(105*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((63*A - 67*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(70*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((7*A - 11*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(14*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((273*A - 397*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(210*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((11*A - 15*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) - ((65*A - 93*B)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((5*A - 9*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((35*A - 39*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(30*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, -(((7*A - 11*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((9*A - 13*B)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((3*A - 7*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, ((3*A - 7*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, ((A + 3*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - ((5*A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -(((3*A - 2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + ((9*A - 5*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B)*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((3*A - B)*Tan[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((19*A - 12*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*a^(3/2)*d) - ((13*A - 9*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((7*A - 6*B)*Tan[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A - B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((2*A - B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((163*A - 283*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + ((13*A - 21*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) - ((985*A - 1729*B)*Sin[c + d*x])/(120*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((85*A - 157*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(80*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((475*A - 787*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -(((75*A - 163*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + ((9*A - 17*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((93*A - 197*B)*Sin[c + d*x])/(24*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((39*A - 95*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, ((19*A - 75*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((5*A - 13*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) - ((A - 9*B)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, ((5*A + 19*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + ((5*A - 13*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, ((3*A + 5*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + ((3*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - ((43*A - 3*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((11*A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, -(((5*A - 2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + ((115*A - 43*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B)*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((15*A - 7*B)*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((35*A - 11*B)*Tan[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, ((39*A - 20*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*a^(5/2)*d) - ((219*A - 115*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (7*(9*A - 5*B)*Tan[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A - B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((19*A - 11*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((31*A - 15*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/2) (a+a Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 8, (2*a*(9*A + 7*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (10*a*(A + B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (10*a*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(9*A + 7*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*a*(A + B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*a*B*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 7, (6*a*(A + B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*a*(7*A + 5*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a*(7*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(A + B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 6, (2*a*(5*A + 3*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*a*(A + B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x]))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 5, (2*a*(A + B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*a*(3*A + B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 5, (-2*a*(A - B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*a*(A + B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 6, (-2*a*(A + B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*a*(A + 3*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(A + B)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 7, (-2*a*(3*A + 5*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*a*(A + B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(A + B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(3*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 8, (4*a^2*(9*A + 8*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^2*(6*A + 5*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^2*(6*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (4*a^2*(9*A + 8*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*a^2*(9*A + 11*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 7, (4*a^2*(4*A + 3*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^2*(7*A + 6*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^2*(7*A + 6*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a^2*(7*A + 9*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x]))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 6, (4*a^2*(5*A + 4*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^2*(2*A + B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a^2*(5*A + 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 6, (4*a^2*B*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (4*a^2*(3*A + 2*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) - (2*a^2*(3*A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 6, (-4*a^2*A*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (4*a^2*(2*A + 3*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a^2*(5*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 7, (-4*a^2*(4*A + 5*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^2*(A + 2*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a^2*(7*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(4*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 8, (-4*a^2*(3*A + 4*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^2*(6*A + 7*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a^2*(9*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^2*(6*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(3*A + 4*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 9, (4*a^3*(17*A + 15*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^3*(121*A + 105*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (4*a^3*(121*A + 105*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (4*a^3*(17*A + 15*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (20*a^3*(22*A + 21*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*a*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(11*d) + (2*(11*A + 15*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(99*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x]), x, 8, (4*a^3*(21*A + 17*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^3*(13*A + 11*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^3*(13*A + 11*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (4*a^3*(24*A + 23*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*a*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*(9*A + 13*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x]))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 7, (4*a^3*(9*A + 7*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^3*(21*A + 13*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^3*(42*A + 41*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*a*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*(7*A + 11*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 7, (4*a^3*(5*A + 9*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^3*(5*A + 3*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) - (4*a^3*(5*A - 6*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*(5*A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 7, (-4*a^3*(A - B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (20*a^3*(A + B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) - (4*a^3*(4*A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(7*A + 3*B)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 7, (-4*a^3*(9*A + 5*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^3*(3*A + 5*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (4*a^3*(21*A + 20*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(9*A + 5*B)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 8, (-4*a^3*(7*A + 9*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^3*(13*A + 21*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^3*(41*A + 42*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(7*A + 9*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(11*A + 7*B)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 9, (-4*a^3*(17*A + 21*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^3*(11*A + 13*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^3*(23*A + 24*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^3*(11*A + 13*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(17*A + 21*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*(13*A + 9*B)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x]))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, (-3*(5*A - 7*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a*d) + (5*(A - B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a*d) + (5*(A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - ((5*A - 7*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x]))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, (3*(A - B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) - ((3*A - 5*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a*d) - ((3*A - 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x]))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 4, -(((A - 3*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d)) + ((A - B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) + ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])), x, 4, ((A - B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) + ((A + B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) - ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])), x, 5, -(((3*A - B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d)) - ((A - B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) + ((3*A - B)*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])), x, 6, (3*(A - B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) + ((5*A - 3*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a*d) + ((5*A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (3*(A - B)*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Cos[c + d*x]))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (-7*(5*A - 8*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a^2*d) + (5*(2*A - 3*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) + (5*(2*A - 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - (7*(5*A - 8*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) + ((2*A - 3*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x]))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, ((4*A - 7*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d) - (5*(A - 2*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) - (5*(A - 2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + ((4*A - 7*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x]))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 5, -(((A - 4*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d)) + ((2*A - 5*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) + ((2*A - 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x]))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 5, -((B*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d)) + ((A + 2*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2), x, 5, (A*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d) + ((2*A + B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) - (A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2), x, 6, -(((4*A - B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d)) - ((5*A - 2*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) + ((4*A - B)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((5*A - 2*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2), x, 7, ((7*A - 4*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d) + (5*(2*A - B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) + (5*(2*A - B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - ((7*A - 4*B)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((7*A - 4*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(9/2)*(A + B*Cos[c + d*x]))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, (-7*(17*A - 33*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((11*A - 21*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(2*a^3*d) + ((11*A - 21*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - (7*(17*A - 33*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(30*a^3*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((7*A - 12*B)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (3*(11*A - 21*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Cos[c + d*x]))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, (7*(7*A - 17*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) - ((13*A - 33*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) - ((13*A - 33*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((A - 2*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (7*(7*A - 17*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(30*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x]))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, -((9*A - 49*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((3*A - 13*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((3*A - 8*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((3*A - 13*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x]))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, -((A + 9*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((A + 3*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((A - 6*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((A + 9*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x]))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, ((A - B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((A + B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) + ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((A + 4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3), x, 6, ((9*A + B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((3*A + B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) - ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((6*A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((9*A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3), x, 7, -((49*A - 9*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) - ((13*A - 3*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) + ((49*A - 9*B)*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((8*A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((13*A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(6*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3), x, 8, (7*(17*A - 7*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((33*A - 13*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) + ((33*A - 13*B)*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (7*(17*A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((2*A - B)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (7*(17*A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(30*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/2) (a+a Cos[e+f x])^(n/2) (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (5*Sqrt[a]*(8*A + 7*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (5*a*(8*A + 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (5*a*(8*A + 7*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*(8*A + 7*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*B*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (Sqrt[a]*(6*A + 5*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (a*(6*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*(6*A + 5*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (Sqrt[a]*(4*A + 3*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) + (a*(4*A + 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[a]*(2*A + B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (a*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*Sqrt[a]*B*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 2, (2*a*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(2*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*a*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(4*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (4*a*(4*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (2*a*A*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(6*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a*(6*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a*(6*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (a^(3/2)*(88*A + 75*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (a^2*(88*A + 75*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(88*A + 75*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(8*A + 9*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (a^(3/2)*(14*A + 11*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (a^2*(14*A + 11*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(6*A + 7*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (a^(3/2)*(12*A + 7*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) + (a^2*(4*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (a^(3/2)*(2*A + 3*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d - (a^2*(2*A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*a^(3/2)*B*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a^2*(4*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*a^2*(6*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(18*A + 25*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*a^2*(8*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(52*A + 63*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (4*a^2*(52*A + 63*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-11/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*a^2*(10*A + 9*B)*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(34*A + 39*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a^2*(34*A + 39*B)*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a^2*(34*A + 39*B)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (a^(5/2)*(326*A + 283*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(128*d) + (a^3*(326*A + 283*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^3*(326*A + 283*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^3*(170*A + 157*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(240*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(10*A + 13*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(40*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (a^(5/2)*(200*A + 163*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (a^3*(200*A + 163*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^3*(104*A + 95*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(8*A + 11*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (a^(5/2)*(38*A + 25*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (a^3*(54*A + 49*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(2*A + 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (a^(5/2)*(20*A + 19*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) - (a^3*(4*A - 9*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (a^2*(4*A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (a^(5/2)*(2*A + 5*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d - (a^3*(14*A + 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(2*A + B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*a^(5/2)*B*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a^3*(32*A + 35*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(8*A + 5*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (2*a^3*(10*A + 11*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(230*A + 301*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(10*A + 7*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-11/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*a^3*(124*A + 135*B)*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(292*A + 345*B)*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (4*a^3*(292*A + 345*B)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(4*A + 3*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-13/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*a^3*(194*A + 209*B)*Sin[c + d*x])/(693*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(710*A + 803*B)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a^3*(710*A + 803*B)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a^3*(710*A + 803*B)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(14*A + 11*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(99*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(11*d*Cos[c + d*x]^(11/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, -(((4*A - 7*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + ((4*A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, ((2*A - B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*B*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) + (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, -((Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, -((Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(A - 5*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(13*A - 5*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((2*A - 3*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - ((5*A - 9*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) - ((A - 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*B*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + ((A - 5*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, ((3*A + B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, -(((7*A - 3*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((5*A - B)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, ((11*A - 7*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((7*A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((19*A - 15*B)*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((2*A - 5*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - ((43*A - 115*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + ((7*A - 15*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) - ((11*A - 35*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*B*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + ((3*A - 43*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + ((3*A - 11*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, ((5*A + 3*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + ((A + 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, ((19*A + 5*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((9*A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, -(((75*A - 19*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((13*A - 5*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((49*A - 9*B)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, ((163*A - 75*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((17*A - 9*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((95*A - 39*B)*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((299*A - 147*B)*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 9, ((2*A - 7*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(7/2)*d) - ((177*A - 637*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) + ((3*A - 7*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + ((79*A - 259*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (7*(7*A - 27*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(64*a^3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 8, (2*B*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(7/2)*d) + ((5*A - 177*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) + ((5*A - 17*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(48*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + ((5*A - 49*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(64*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 6, ((7*A + 5*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) + ((A - B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) + ((A - 13*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + ((17*A + 67*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 6, ((13*A + 7*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) + ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) + ((A + 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((5*A - 17*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 6, ((63*A + 13*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) - ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) - ((5*A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((103*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 7, -((3*(121*A - 21*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d)) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(6*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) - ((19*A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(48*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((199*A - 43*B)*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((691*A - 103*B)*Sin[c + d*x])/(192*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 8, ((1015*A - 363*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(6*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) - ((23*A - 11*B)*Sin[c + d*x])/(48*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((109*A - 41*B)*Sin[c + d*x])/(64*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((579*A - 199*B)*Sin[c + d*x])/(192*a^3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((1887*A - 691*B)*Sin[c + d*x])/(192*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Cos[e+f x])^m (a+b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, (1/8)*(4*a*A + 3*b*B)*x + ((A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/d + ((4*a*A + 3*b*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b*B*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - ((A*b + a*B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, (1/2)*(A*b + a*B)*x + ((3*a*A + 2*b*B)*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((A*b + a*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b*B*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 1, (1/2)*(2*a*A + b*B)*x + ((A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/d + (b*B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 4, (A*b + a*B)*x + (a*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b*B*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 4, b*B*x + ((A*b + a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*A*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, ((a*A + 2*b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((A*b + a*B)*Tan[c + d*x])/d + (a*A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, ((A*b + a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((2*a*A + 3*b*B)*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((A*b + a*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, ((3*a*A + 4*b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((A*b + a*B)*Tan[c + d*x])/d + ((3*a*A + 4*b*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*A*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + ((A*b + a*B)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (1/8)*(4*a^2*A + 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*x + ((4*b^2*B + 5*a*(2*A*b + a*B))*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((4*a^2*A + 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b*(5*A*b + 6*a*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (b*B*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d) - ((4*b^2*B + 5*a*(2*A*b + a*B))*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (1/8)*(8*a*A*b + 4*a^2*B + 3*b^2*B)*x + ((4*a^2*A*b + 4*A*b^3 - a^3*B + 8*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(6*b*d) + ((8*a*A*b - 2*a^2*B + 9*b^2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + ((4*A*b - a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*b*d) + (B*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 2, (1/2)*(2*a^2*A + A*b^2 + 2*a*b*B)*x + (2*(3*a*A*b + a^2*B + b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (b*(3*A*b + 2*a*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (B*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, ((4*a*A*b + 2*a^2*B + b^2*B)*x)/2 + (a^2*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b*(2*A*b + 3*a*B)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b*B*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, b*(A*b + 2*a*B)*x + (a*(2*A*b + a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*B*Sin[c + d*x])/d + (a^2*A*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, b^2*B*x + ((a^2*A + 2*A*b^2 + 4*a*b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(2*A*b + a*B)*Tan[c + d*x])/d + (a^2*A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, ((2*a*A*b + a^2*B + 2*b^2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((2*a^2*A + 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*(2*A*b + a*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a^2*A*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, ((3*a^2*A + 4*A*b^2 + 8*a*b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((4*a*A*b + 2*a^2*B + 3*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((3*a^2*A + 4*A*b^2 + 8*a*b*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*(2*A*b + a*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a^2*A*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, (1/16)*(8*a^3*A + 18*a*A*b^2 + 18*a^2*b*B + 5*b^3*B)*x + ((15*a^2*A*b + 4*A*b^3 + 5*a^3*B + 12*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((8*a^3*A + 18*a*A*b^2 + 18*a^2*b*B + 5*b^3*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (b*(18*a*A*b + 14*a^2*B + 5*b^2*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (b^2*(3*A*b + 4*a*B)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(15*d) + (b*B*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(6*d) - ((15*a^2*A*b + 4*A*b^3 + 5*a^3*B + 12*a*b^2*B)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (1/8)*(12*a^2*A*b + 3*A*b^3 + 4*a^3*B + 9*a*b^2*B)*x + ((15*a^3*A*b + 60*a*A*b^3 - 3*a^4*B + 52*a^2*b^2*B + 16*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(30*b*d) + ((30*a^2*A*b + 45*A*b^3 - 6*a^3*B + 71*a*b^2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(120*d) + ((15*a*A*b - 3*a^2*B + 16*b^2*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(60*b*d) + ((5*A*b - a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*b*d) + (B*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 3, (1/8)*(8*a^3*A + 12*a*A*b^2 + 12*a^2*b*B + 3*b^3*B)*x + ((16*a^2*A*b + 4*A*b^3 + 3*a^3*B + 12*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (b*(20*a*A*b + 6*a^2*B + 9*b^2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + ((4*A*b + 3*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) + (B*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (1/2)*(6*a^2*A*b + A*b^3 + 2*a^3*B + 3*a*b^2*B)*x + (a^3*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b*(9*a*A*b + 8*a^2*B + 2*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (b^2*(3*A*b + 5*a*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (b*B*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (1/2)*b*(6*a*A*b + 6*a^2*B + b^2*B)*x + (a^2*(3*A*b + a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (b*(2*a^2*A - A*b^2 - 3*a*b*B)*Sin[c + d*x])/d - (b^2*(2*a*A - b*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, b^2*(A*b + 3*a*B)*x + (a*(a^2*A + 6*A*b^2 + 6*a*b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b^2*(a*A - 2*b*B)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a^2*(2*A*b + a*B)*Tan[c + d*x])/d + (a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, b^3*B*x + ((3*a^2*A*b + 2*A*b^3 + a^3*B + 6*a*b^2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(2*a^2*A + 8*A*b^2 + 9*a*b*B)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(5*A*b + 3*a*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, ((3*a^3*A + 12*a*A*b^2 + 12*a^2*b*B + 8*b^3*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((6*a^2*A*b + 3*A*b^3 + 2*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*(3*a^2*A + 10*A*b^2 + 12*a*b*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(3*A*b + 2*a*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(6*d) + (a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, ((9*a^2*A*b + 4*A*b^3 + 3*a^3*B + 12*a*b^2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((8*a^3*A + 30*a*A*b^2 + 30*a^2*b*B + 15*b^3*B)*Tan[c + d*x])/(15*d) + ((9*a^2*A*b + 4*A*b^3 + 3*a^3*B + 12*a*b^2*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*(4*a^2*A + 12*A*b^2 + 15*a*b*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a^2*(7*A*b + 5*a*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 9, (1/16)*(8*a^4*A + 36*a^2*A*b^2 + 5*A*b^4 + 24*a^3*b*B + 20*a*b^3*B)*x + ((140*a^3*A*b + 112*a*A*b^3 + 35*a^4*B + 168*a^2*b^2*B + 24*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(35*d) + ((8*a^4*A + 36*a^2*A*b^2 + 5*A*b^4 + 24*a^3*b*B + 20*a*b^3*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (b*(224*a^2*A*b + 35*A*b^3 + 104*a^3*B + 140*a*b^2*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(168*d) + (b^2*(49*a*A*b + 31*a^2*B + 18*b^2*B)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(105*d) + (b*(7*A*b + 10*a*B)*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(42*d) + (b*B*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d) - ((140*a^3*A*b + 112*a*A*b^3 + 35*a^4*B + 168*a^2*b^2*B + 24*b^4*B)*Sin[c + d*x]^3)/(105*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (1/16)*(32*a^3*A*b + 24*a*A*b^3 + 8*a^4*B + 36*a^2*b^2*B + 5*b^4*B)*x + ((24*a^4*A*b + 224*a^2*A*b^3 + 32*A*b^5 - 4*a^5*B + 121*a^3*b^2*B + 128*a*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(60*b*d) + ((48*a^3*A*b + 232*a*A*b^3 - 8*a^4*B + 178*a^2*b^2*B + 75*b^4*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(240*d) + ((24*a^2*A*b + 32*A*b^3 - 4*a^3*B + 53*a*b^2*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(120*b*d) + ((24*a*A*b - 4*a^2*B + 25*b^2*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(120*b*d) + ((6*A*b - a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(30*b*d) + (B*(a + b*Cos[c + d*x])^5*Sin[c + d*x])/(6*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 4, (1/8)*(8*a^4*A + 24*a^2*A*b^2 + 3*A*b^4 + 16*a^3*b*B + 12*a*b^3*B)*x + ((95*a^3*A*b + 80*a*A*b^3 + 12*a^4*B + 112*a^2*b^2*B + 16*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(30*d) + (b*(130*a^2*A*b + 45*A*b^3 + 24*a^3*B + 116*a*b^2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(120*d) + ((35*a*A*b + 12*a^2*B + 16*b^2*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(60*d) + ((5*A*b + 4*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (B*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (1/8)*(32*a^3*A*b + 16*a*A*b^3 + 8*a^4*B + 24*a^2*b^2*B + 3*b^4*B)*x + (a^4*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b*(34*a^2*A*b + 4*A*b^3 + 19*a^3*B + 16*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (b^2*(32*a*A*b + 26*a^2*B + 9*b^2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (b*(4*A*b + 7*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) + (b*B*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (1/2)*b*(12*a^2*A*b + A*b^3 + 8*a^3*B + 4*a*b^2*B)*x + (a^3*(4*A*b + a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (b*(6*a^3*A - 12*a*A*b^2 - 17*a^2*b*B - 2*b^3*B)*Sin[c + d*x])/(3*d) - (b^2*(6*a^2*A - 3*A*b^2 - 8*a*b*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) - (b*(3*a*A - b*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (1/2)*b^2*(8*a*A*b + 12*a^2*B + b^2*B)*x + (a^2*(a^2*A + 12*A*b^2 + 8*a*b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b*(13*a^2*A*b - 2*A*b^3 + 4*a^3*B - 8*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b^2*(6*a*A*b + 2*a^2*B - b^2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*(5*A*b + 2*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, b^3*(A*b + 4*a*B)*x + (a*(4*a^2*A*b + 8*A*b^3 + a^3*B + 12*a*b^2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b^2*(8*a*A*b + 3*a^2*B - 6*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a^2*(2*a^2*A + 9*A*b^2 + 9*a*b*B)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*(2*A*b + a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, b^4*B*x + ((3*a^4*A + 24*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 16*a^3*b*B + 32*a*b^3*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(16*a^2*A*b + 19*A*b^3 + 4*a^3*B + 34*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(6*d) + (a^2*(9*a^2*A + 26*A*b^2 + 32*a*b*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + (a*(7*A*b + 4*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(12*d) + (a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 8, ((12*a^3*A*b + 16*a*A*b^3 + 3*a^4*B + 24*a^2*b^2*B + 8*b^4*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((8*a^4*A + 60*a^2*A*b^2 + 15*A*b^4 + 40*a^3*b*B + 60*a*b^3*B)*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a*(60*a^2*A*b + 56*A*b^3 + 15*a^3*B + 110*a*b^2*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(40*d) + (a^2*(8*a^2*A + 18*A*b^2 + 25*a*b*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(30*d) + (a*(8*A*b + 5*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 9, ((5*a^4*A + 36*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 24*a^3*b*B + 32*a*b^3*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + ((32*a^3*A*b + 40*a*A*b^3 + 8*a^4*B + 60*a^2*b^2*B + 15*b^4*B)*Tan[c + d*x])/(15*d) + ((5*a^4*A + 36*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 24*a^3*b*B + 32*a*b^3*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (a*(16*a^2*A*b + 13*A*b^3 + 4*a^3*B + 27*a*b^2*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a^2*(25*a^2*A + 48*A*b^2 + 72*a*b*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(120*d) + (a*(3*A*b + 2*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(10*d) + (a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, ((2*a^2 + b^2)*(A*b - a*B)*x)/(2*b^4) - (2*a^3*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^4*Sqrt[a + b]*d) - ((3*a*A*b - 3*a^2*B - 2*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*b^3*d) + ((A*b - a*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d) + (B*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, -(((2*a*A*b - 2*a^2*B - b^2*B)*x)/(2*b^3)) + (2*a^2*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^3*Sqrt[a + b]*d) + ((A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(b^2*d) + (B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, ((A*b - a*B)*x)/b^2 - (2*a*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^2*Sqrt[a + b]*d) + (B*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, (B*x)/b + (2*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 4, -((2*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)) + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, (2*b*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - ((A*b - a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (A*Tan[c + d*x])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, -((2*b^2*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)) + ((a^2*A + 2*A*b^2 - 2*a*b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d) - ((A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(a^2*d) + (A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, (2*b^3*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - ((a^2 + 2*b^2)*(A*b - a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d) + ((2*a^2*A + 3*A*b^2 - 3*a*b*B)*Tan[c + d*x])/(3*a^3*d) - ((A*b - a*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) + (A*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -(((4*a*A*b - 6*a^2*B - b^2*B)*x)/(2*b^4)) + (2*a^2*(2*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 3*a^3*B + 4*a*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^4*(a + b)^(3/2)*d) + ((2*a^2*A*b - A*b^3 - 3*a^3*B + 2*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((2*a*A*b - 3*a^2*B + b^2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d) + (a*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, ((A*b - 2*a*B)*x)/b^3 - (2*a*(a^2*A*b - 2*A*b^3 - 2*a^3*B + 3*a*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) + (B*Sin[c + d*x])/(b^2*d) - (a^2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, (B*x)/b^2 - (2*(A*b^3 + a^3*B - 2*a*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) + (a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (2*(a*A - b*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - ((A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, -((2*(2*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, (2*b*(3*a^2*A*b - 2*A*b^3 - 2*a^3*B + a*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - ((2*A*b - a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + ((a^2*A - 2*A*b^2 + a*b*B)*Tan[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -((2*b^2*(4*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 3*a^3*B + 2*a*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + ((a^2*A + 6*A*b^2 - 4*a*b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d) - ((2*a^2*A*b - 3*A*b^3 - a^3*B + 2*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) + ((a^2*A - 3*A*b^2 + 2*a*b*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -(((6*a*A*b - 12*a^2*B - b^2*B)*x)/(2*b^5)) + (a^2*(6*a^4*A*b - 15*a^2*A*b^3 + 12*A*b^5 - 12*a^5*B + 29*a^3*b^2*B - 20*a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^5*(a + b)^(5/2)*d) + ((6*a^4*A*b - 11*a^2*A*b^3 + 2*A*b^5 - 12*a^5*B + 21*a^3*b^2*B - 6*a*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((3*a^3*A*b - 6*a*A*b^3 - 6*a^4*B + 10*a^2*b^2*B - b^4*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (a*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (a*(2*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 4*a^3*B + 7*a*b^2*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, ((A*b - 3*a*B)*x)/b^4 - (a*(2*a^4*A*b - 5*a^2*A*b^3 + 6*A*b^5 - 6*a^5*B + 15*a^3*b^2*B - 12*a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^4*(a + b)^(5/2)*d) - ((a*A*b - 3*a^2*B + 2*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)*d) + (a*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (a^2*(a^2*A*b - 4*A*b^3 - 3*a^3*B + 6*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (B*x)/b^3 + ((a^2*A*b^3 + 2*A*b^5 - 2*a^5*B + 5*a^3*b^2*B - 6*a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^3*(a + b)^(5/2)*d) - (a^2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (a*(a^2*A*b - 4*A*b^3 - 3*a^3*B + 6*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, -(((3*a*A*b - a^2*B - 2*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) + (a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((a^2*A*b + 2*A*b^3 + a^3*B - 4*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, ((2*a^2*A + A*b^2 - 3*a*b*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - ((A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((3*a*A*b - a^2*B - 2*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, -(((6*a^4*A*b - 5*a^2*A*b^3 + 2*A*b^5 - 2*a^5*B - a^3*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + (b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b*(5*a^2*A*b - 2*A*b^3 - 3*a^3*B)*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, (b*(12*a^4*A*b - 15*a^2*A*b^3 + 6*A*b^5 - 6*a^5*B + 5*a^3*b^2*B - 2*a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - ((3*A*b - a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + ((2*a^4*A - 11*a^2*A*b^2 + 6*A*b^4 + 5*a^3*b*B - 2*a*b^3*B)*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b*(6*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 4*a^3*B + a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -((b^2*(20*a^4*A*b - 29*a^2*A*b^3 + 12*A*b^5 - 12*a^5*B + 15*a^3*b^2*B - 6*a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) + ((a^2*A + 12*A*b^2 - 6*a*b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^5*d) - ((6*a^4*A*b - 21*a^2*A*b^3 + 12*A*b^5 - 2*a^5*B + 11*a^3*b^2*B - 6*a*b^4*B)*Tan[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^4*A - 10*a^2*A*b^2 + 6*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 3*a*b^3*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b*(7*a^2*A*b - 4*A*b^3 - 5*a^3*B + 2*a*b^2*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 7, ((A*b - 4*a*B)*x)/b^5 - (a*(2*a^6*A*b - 7*a^4*A*b^3 + 8*a^2*A*b^5 - 8*A*b^7 - 8*a^7*B + 28*a^5*b^2*B - 35*a^3*b^4*B + 20*a*b^6*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*b^5*(a + b)^(7/2)*d) - ((3*a^3*A*b - 8*a*A*b^3 - 12*a^4*B + 23*a^2*b^2*B - 6*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(6*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) + (a*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + (a*(a^2*A*b - 6*A*b^3 - 4*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (a^2*(a^4*A*b - 2*a^2*A*b^3 + 6*A*b^5 - 4*a^5*B + 11*a^3*b^2*B - 12*a*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (B*x)/b^4 - ((3*a^2*A*b^5 + 2*A*b^7 + 2*a^7*B - 7*a^5*b^2*B + 8*a^3*b^4*B - 8*a*b^6*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*b^4*(a + b)^(7/2)*d) + (a*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + (a^2*(5*A*b^3 + 3*a^3*B - 8*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (a*(a^2*A*b^3 - 16*A*b^5 + 9*a^5*B - 28*a^3*b^2*B + 34*a*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, ((a^3*A + 4*a*A*b^2 - 3*a^2*b*B - 2*b^3*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - (a^2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + (a*(a^2*A*b - 6*A*b^3 - 4*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((a^4*A*b - 10*a^2*A*b^3 - 6*A*b^5 + 2*a^5*B - 5*a^3*b^2*B + 18*a*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 7, -(((4*a^2*A*b + A*b^3 - a^3*B - 4*a*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) + (a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + ((2*a^2*A*b + 3*A*b^3 + a^3*B - 6*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(6*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((2*a^3*A*b + 13*a*A*b^3 + a^4*B - 10*a^2*b^2*B - 6*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(6*b*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, ((2*a^3*A + 3*a*A*b^2 - 4*a^2*b*B - b^3*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - ((A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - ((5*a*A*b - 2*a^2*B - 3*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(6*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((11*a^2*A*b + 4*A*b^3 - 2*a^3*B - 13*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(6*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 7, -(((8*a^6*A*b - 8*a^4*A*b^3 + 7*a^2*A*b^5 - 2*A*b^7 - 2*a^7*B - 3*a^5*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + (b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + (b*(8*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 5*a^3*B)*Sin[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b*(26*a^4*A*b - 17*a^2*A*b^3 + 6*A*b^5 - 11*a^5*B - 4*a^3*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 8, (b*(20*a^6*A*b - 35*a^4*A*b^3 + 28*a^2*A*b^5 - 8*A*b^7 - 8*a^7*B + 8*a^5*b^2*B - 7*a^3*b^4*B + 2*a*b^6*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - ((4*A*b - a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^5*d) + ((6*a^6*A - 65*a^4*A*b^2 + 68*a^2*A*b^4 - 24*A*b^6 + 26*a^5*b*B - 17*a^3*b^3*B + 6*a*b^5*B)*Tan[c + d*x])/(6*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + (b*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + (b*(9*a^2*A*b - 4*A*b^3 - 6*a^3*B + a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b*(12*a^4*A*b - 11*a^2*A*b^3 + 4*A*b^5 - 6*a^5*B + 2*a^3*b^2*B - a*b^4*B)*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 9, -((b^2*(40*a^6*A*b - 84*a^4*A*b^3 + 69*a^2*A*b^5 - 20*A*b^7 - 20*a^7*B + 35*a^5*b^2*B - 28*a^3*b^4*B + 8*a*b^6*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^6*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) + ((a^2*A + 20*A*b^2 - 8*a*b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^6*d) - ((24*a^6*A*b - 146*a^4*A*b^3 + 167*a^2*A*b^5 - 60*A*b^7 - 6*a^7*B + 65*a^5*b^2*B - 68*a^3*b^4*B + 24*a*b^6*B)*Tan[c + d*x])/(6*a^5*(a^2 - b^2)^3*d) + ((a^6*A - 23*a^4*A*b^2 + 27*a^2*A*b^4 - 10*A*b^6 + 12*a^5*b*B - 11*a^3*b^3*B + 4*a*b^5*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + (b*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + (b*(10*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 7*a^3*B + 2*a*b^2*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b*(48*a^4*A*b - 53*a^2*A*b^3 + 20*A*b^5 - 27*a^5*B + 20*a^3*b^2*B - 8*a*b^4*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, (B*Sin[c + d*x])/d - (B*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, (B*x)/2 + (B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 2, (B*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^0*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 2, B*x}
+{Sec[c + d*x]^1*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 2, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, (B*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (B*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, (B*Tan[c + d*x])/d + (B*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, ((2*a^2 + b^2)*B*x)/(2*b^3) - (2*a^3*B*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^3*Sqrt[a + b]*d) - (a*B*Sin[c + d*x])/(b^2*d) + (B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -((a*B*x)/b^2) + (2*a^2*B*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^2*Sqrt[a + b]*d) + (B*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (B*x)/b - (2*a*B*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 3, (2*B*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, -((2*b*B*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)) + (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (2*b^2*B*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - (b*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (B*Tan[c + d*x])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -((2*b^3*B*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)) + ((a^2 + 2*b^2)*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (b*B*Tan[c + d*x])/(a^2*d) + (B*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x])^(n/2) (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 9, (2*(24*a^3*A*b + 57*a*A*b^3 - 16*a^4*B - 24*a^2*b^2*B + 147*b^4*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^4*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(24*a^2*A*b + 75*A*b^3 - 16*a^3*B - 36*a*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(24*a^2*A*b + 75*A*b^3 - 16*a^3*B - 36*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*b^3*d) - (2*(36*a*A*b - 24*a^2*B - 49*b^2*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*b^3*d) + (2*(3*A*b - 2*a*B)*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*b^2*d) + (2*B*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 8, -((2*(14*a^2*A*b - 63*A*b^3 - 8*a^3*B - 19*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(a^2 - b^2)*(14*a*A*b - 8*a^2*B - 25*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(14*a*A*b - 8*a^2*B - 25*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*b^2*d) + (2*(7*A*b - 4*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*b^2*d) + (2*B*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 8, (2*(5*a*A*b - 2*a^2*B + 9*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(5*A*b - 2*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(5*A*b - 2*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b*d) + (2*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (2*(3*A*b + a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*B*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 8, (2*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*A*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 9, -((A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((a*A + 2*b*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((A*b + 2*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 10, -(((A*b + 4*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((3*A*b + 4*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((4*a^2*A - A*b^2 + 4*a*b*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((A*b + 4*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*a*d) + (A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 11, -(((16*a^2*A - 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(24*a^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((16*a^2*A - A*b^2 + 18*a*b*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(24*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((4*a^2*A*b + A*b^3 + 8*a^3*B - 2*a*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(8*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((16*a^2*A - 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(24*a^2*d) + ((A*b + 6*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*a*d) + (A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, -((2*(18*a^3*A*b - 246*a*A*b^3 - 8*a^4*B - 33*a^2*b^2*B - 147*b^4*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(a^2 - b^2)*(18*a^2*A*b - 75*A*b^3 - 8*a^3*B - 39*a*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(18*a^2*A*b - 75*A*b^3 - 8*a^3*B - 39*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*b^2*d) - (2*(18*a*A*b - 8*a^2*B - 49*b^2*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*b^2*d) + (2*(9*A*b - 4*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*b^2*d) + (2*B*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, (2*(21*a^2*A*b + 63*A*b^3 - 6*a^3*B + 82*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(21*a*A*b - 6*a^2*B + 25*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(21*a*A*b - 6*a^2*B + 25*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*b*d) + (2*(7*A*b - 2*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*b*d) + (2*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*(20*a*A*b + 3*a^2*B + 9*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(5*A*b + 3*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(5*A*b + 3*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, (2*(3*A*b + 4*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(3*a*A*b - a^2*B + b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, -(((a*A - 2*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((a^2*A + 2*A*b^2 + 2*a*b*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (a*(3*A*b + 2*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (a*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 10, -(((5*A*b + 4*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((7*a*A*b + 4*a^2*B + 8*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((4*a^2*A + 3*A*b^2 + 12*a*b*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((5*A*b + 4*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 11, -(((16*a^2*A + 3*A*b^2 + 30*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(24*a*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((16*a^2*A + 17*A*b^2 + 42*a*b*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((12*a^2*A*b - A*b^3 + 8*a^3*B + 6*a*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(8*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((16*a^2*A + 3*A*b^2 + 30*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(24*a*d) + ((7*A*b + 6*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*d) + (a*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 10, -((2*(110*a^4*A*b - 3069*a^2*A*b^3 - 1617*A*b^5 - 40*a^5*B - 255*a^3*b^2*B - 3705*a*b^4*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3465*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(a^2 - b^2)*(110*a^3*A*b - 1254*a*A*b^3 - 40*a^4*B - 285*a^2*b^2*B - 675*b^4*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3465*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(110*a^3*A*b - 1254*a*A*b^3 - 40*a^4*B - 285*a^2*b^2*B - 675*b^4*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*b^2*d) - (2*(110*a^2*A*b - 539*A*b^3 - 40*a^3*B - 335*a*b^2*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3465*b^2*d) - (2*(22*a*A*b - 8*a^2*B - 81*b^2*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*b^2*d) + (2*(11*A*b - 4*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(99*b^2*d) + (2*B*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(11*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 10, (2*(45*a^3*A*b + 435*a*A*b^3 - 10*a^4*B + 279*a^2*b^2*B + 147*b^4*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(45*a^2*A*b + 75*A*b^3 - 10*a^3*B + 114*a*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(45*a^2*A*b + 75*A*b^3 - 10*a^3*B + 114*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*b*d) + (2*(45*a*A*b - 10*a^2*B + 49*b^2*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*b*d) + (2*(9*A*b - 2*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*b*d) + (2*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, (2*(161*a^2*A*b + 63*A*b^3 + 15*a^3*B + 145*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(56*a*A*b + 15*a^2*B + 25*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(56*a*A*b + 15*a^2*B + 25*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(7*A*b + 5*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 10, (2*(35*a*A*b + 23*a^2*B + 9*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(10*a^2*A*b + 5*A*b^3 - 8*a^3*B + 8*a*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*(5*A*b + 8*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*b*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 10, -(((3*a^2*A - 6*A*b^2 - 14*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((3*a^3*A + 12*a*A*b^2 + 4*a^2*b*B + 2*b^3*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(5*A*b + 2*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (b*(3*a*A - 2*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 10, -(((9*a*A*b + 4*a^2*B - 8*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((11*a^2*A*b + 8*A*b^3 + 4*a^3*B + 16*a*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (a*(4*a^2*A + 15*A*b^2 + 20*a*b*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (a*(7*A*b + 4*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 11, -(((16*a^2*A + 33*A*b^2 + 54*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((16*a^3*A + 59*a*A*b^2 + 66*a^2*b*B + 48*b^3*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((20*a^2*A*b + 5*A*b^3 + 8*a^3*B + 30*a*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(8*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((16*a^2*A + 33*A*b^2 + 54*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(24*d) + (a*(3*A*b + 2*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 12, -(((284*a^2*A*b + 15*A*b^3 + 128*a^3*B + 264*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(192*a*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((356*a^2*A*b + 133*A*b^3 + 128*a^3*B + 472*a*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(192*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((48*a^4*A + 120*a^2*A*b^2 - 5*A*b^4 + 160*a^3*b*B + 40*a*b^3*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(64*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((284*a^2*A*b + 15*A*b^3 + 128*a^3*B + 264*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(192*a*d) + ((36*a^2*A + 59*A*b^2 + 104*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(96*d) + (a*(11*A*b + 8*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(24*d) + (a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 8, (2*(56*a^2*A*b + 63*A*b^3 - 48*a^3*B - 44*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^4*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(56*a^3*A*b + 49*a*A*b^3 - 48*a^4*B - 32*a^2*b^2*B - 25*b^4*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(28*a*A*b - 24*a^2*B - 25*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*b^3*d) + (2*(7*A*b - 6*a*B)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*b^2*d) + (2*B*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, -((2*(10*a*A*b - 8*a^2*B - 9*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(10*a^2*A*b + 5*A*b^3 - 8*a^3*B - 7*a*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(5*A*b - 4*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b^2*d) + (2*B*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, (2*(3*A*b - 2*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(3*a*A*b - 2*a^2*B - b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(A*b - a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*B*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 9, -((A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((A*b - 2*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 10, ((3*A*b - 4*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - ((A*b - 4*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((4*a^2*A + 3*A*b^2 - 4*a*b*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((3*A*b - 4*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d) + (A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((2*(40*a^3*A*b - 25*a*A*b^3 - 48*a^4*B + 24*a^2*b^2*B + 9*b^4*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(40*a^2*A*b + 5*A*b^3 - 48*a^3*B - 12*a*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(20*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 24*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b^3*(a^2 - b^2)*d) - (2*(5*a*A*b - 6*a^2*B + b^2*B)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*(6*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 8*a^3*B + 5*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(6*a*A*b - 8*a^2*B - b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*a^2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((2*(a*A*b - 2*a^2*B + b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(A*b - 2*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*(A*b - a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*B*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((2*(A*b - a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 10, -(((a^2*A - 3*A*b^2 + 2*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((3*A*b - 2*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (b*(a^2*A - 3*A*b^2 + 2*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (A*Tan[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 11, ((7*a^2*A*b - 15*A*b^3 - 4*a^3*B + 12*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - ((5*A*b - 4*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((4*a^2*A + 15*A*b^2 - 12*a*b*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (b*(7*a^2*A*b - 15*A*b^3 - 4*a^3*B + 12*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(4*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((5*A*b - 4*a*B)*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((2*(80*a^5*A*b - 140*a^3*A*b^3 + 40*a*A*b^5 - 128*a^6*B + 212*a^4*b^2*B - 55*a^2*b^4*B - 9*b^6*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^5*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(80*a^4*A*b - 80*a^2*A*b^3 - 5*A*b^5 - 128*a^5*B + 116*a^3*b^2*B + 17*a*b^4*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^5*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*(5*a^2*A*b - 9*A*b^3 - 8*a^3*B + 12*a*b^2*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(40*a^4*A*b - 65*a^2*A*b^3 + 5*A*b^5 - 64*a^5*B + 98*a^3*b^2*B - 14*a*b^4*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - (2*(30*a^3*A*b - 50*a*A*b^3 - 48*a^4*B + 71*a^2*b^2*B - 3*b^4*B)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b^3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, (2*(8*a^4*A*b - 15*a^2*A*b^3 + 3*A*b^5 - 16*a^5*B + 28*a^3*b^2*B - 8*a*b^4*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(8*a^3*A*b - 9*a*A*b^3 - 16*a^4*B + 16*a^2*b^2*B + b^4*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*a^2*(3*a^2*A*b - 7*A*b^3 - 6*a^3*B + 10*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(a*A*b - 2*a^2*B + b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((2*(2*a^3*A*b - 6*a*A*b^3 - 8*a^4*B + 15*a^2*b^2*B - 3*b^4*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(2*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 8*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*a^2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*(2*a^2*A*b - 6*A*b^3 - 5*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((2*(a^2*A*b + 3*A*b^3 + 2*a^3*B - 6*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(a*A*b + 2*a^2*B - 3*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(a^2*A*b + 3*A*b^3 + 2*a^3*B - 6*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*(4*a*A*b - a^2*B - 3*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(A*b - a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*(4*a*A*b - a^2*B - 3*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 10, -((2*(7*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 4*a^3*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(A*b - a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(7*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 4*a^3*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 11, -(((3*a^4*A - 26*a^2*A*b^2 + 15*A*b^4 + 14*a^3*b*B - 6*a*b^3*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((3*a^2*A - 5*A*b^2 + 2*a*b*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((5*A*b - 2*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (b*(3*a^2*A - 5*A*b^2 + 2*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (b*(3*a^4*A - 26*a^2*A*b^2 + 15*A*b^4 + 14*a^3*b*B - 6*a*b^3*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (A*Tan[c + d*x])/(a*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 12, ((33*a^4*A*b - 170*a^2*A*b^3 + 105*A*b^5 - 12*a^5*B + 104*a^3*b^2*B - 60*a*b^4*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(12*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - ((27*a^2*A*b - 35*A*b^3 - 12*a^3*B + 20*a*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(12*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((4*a^2*A + 35*A*b^2 - 20*a*b*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (b*(27*a^2*A*b - 35*A*b^3 - 12*a^3*B + 20*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(12*a^3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (b*(33*a^4*A*b - 170*a^2*A*b^3 + 105*A*b^5 - 12*a^5*B + 104*a^3*b^2*B - 60*a*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(12*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((7*A*b - 4*a*B)*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^0*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*B*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*B*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^0*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*b*B*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((2*b*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*B*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*B*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Cos[e+f x])^(m/2) (a+b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 8, (2*(9*a*A + 7*b*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (10*(A*b + a*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (10*(A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(9*a*A + 7*b*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*(A*b + a*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*b*B*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, (6*(A*b + a*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(7*a*A + 5*b*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(7*a*A + 5*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(A*b + a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*b*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, (2*(5*a*A + 3*b*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(A*b + a*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*(A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*b*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, (2*(A*b + a*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*(3*a*A + b*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, -((2*(a*A - b*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*(A*b + a*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, -((2*(A*b + a*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*(a*A + 3*b*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, -((2*(3*a*A + 5*b*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(A*b + a*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(3*a*A + 5*b*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, (2*(9*a^2*A + 7*A*b^2 + 14*a*b*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (10*(9*b^2*B + 11*a*(2*A*b + a*B))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (10*(9*b^2*B + 11*a*(2*A*b + a*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*(9*a^2*A + 7*A*b^2 + 14*a*b*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*(9*b^2*B + 11*a*(2*A*b + a*B))*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*d) + (2*b*(11*A*b + 13*a*B)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*b*B*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (2*(7*b^2*B + 9*a*(2*A*b + a*B))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*(7*a^2*A + 5*A*b^2 + 10*a*b*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(7*a^2*A + 5*A*b^2 + 10*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(7*b^2*B + 9*a*(2*A*b + a*B))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*b*(9*A*b + 11*a*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*b*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, (2*(5*a^2*A + 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(5*b^2*B + 7*a*(2*A*b + a*B))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(5*b^2*B + 7*a*(2*A*b + a*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*b*(7*A*b + 9*a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*b*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, (2*(3*b^2*B + 5*a*(2*A*b + a*B))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(3*a^2*A + A*b^2 + 2*a*b*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*b*(5*A*b + 7*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, -((2*(a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*(6*a*A*b + 3*a^2*B + b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, -((2*(2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*(a^2*A + 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(2*A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -((2*(3*a^2*A + 5*A*b^2 + 10*a*b*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(2*a*A*b + a^2*B + 3*b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(2*A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(3*a^2*A + 5*A*b^2 + 10*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, (2*(27*a^2*A*b + 7*A*b^3 + 9*a^3*B + 21*a*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*(77*a^3*A + 165*a*A*b^2 + 165*a^2*b*B + 45*b^3*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (2*(77*a^3*A + 165*a*A*b^2 + 165*a^2*b*B + 45*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*(27*a^2*A*b + 7*A*b^3 + 9*a^3*B + 21*a*b^2*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*b*(33*a*A*b + 26*a^2*B + 9*b^2*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*d) + (2*b^2*(11*A*b + 15*a*B)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*b*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, (2*(15*a^3*A + 27*a*A*b^2 + 27*a^2*b*B + 7*b^3*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*(21*a^2*A*b + 5*A*b^3 + 7*a^3*B + 15*a*b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(21*a^2*A*b + 5*A*b^3 + 7*a^3*B + 15*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*b*(27*a*A*b + 22*a^2*B + 7*b^2*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*b^2*(9*A*b + 13*a*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*b*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (2*(15*a^2*A*b + 3*A*b^3 + 5*a^3*B + 9*a*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(21*a^3*A + 21*a*A*b^2 + 21*a^2*b*B + 5*b^3*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*b*(21*a*A*b + 18*a^2*B + 5*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*b^2*(7*A*b + 11*a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, -((2*(5*a^3*A - 15*a*A*b^2 - 15*a^2*b*B - 3*b^3*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(9*a^2*A*b + A*b^3 + 3*a^3*B + 3*a*b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) - (2*b*(6*a^2*A - A*b^2 - 3*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) - (2*b^2*(5*a*A - b*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, -((2*(3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*(a^3*A + 9*a*A*b^2 + 9*a^2*b*B + b^3*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*(7*A*b + 3*a*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*b^2*(a*A - b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, -((2*(3*a^3*A + 15*a*A*b^2 + 15*a^2*b*B - 5*b^3*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(3*a^2*A*b + 3*A*b^3 + a^3*B + 9*a*b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*(9*A*b + 5*a*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(3*a^2*A + 14*A*b^2 + 15*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, -((2*(5*a*A*b - 5*a^2*B - 3*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d)) + (2*(3*a^2 + b^2)*(A*b - a*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^4*d) - (2*a^3*(A*b - a*B)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^4*(a + b)*d) + (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d) + (2*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, (2*(A*b - a*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d) - (2*(3*a*A*b - 3*a^2*B - b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^3*d) + (2*a^2*(A*b - a*B)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*(a + b)*d) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, (2*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d) + (2*(A*b - a*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d) - (2*a*(A*b - a*B)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*(a + b)*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, (2*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d) + (2*(A*b - a*B)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b*(a + b)*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, -((2*A*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d)) - (2*(A*b - a*B)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a + b)*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, (2*(A*b - a*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d) + (2*A*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a*d) + (2*b*(A*b - a*B)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a + b)*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, ((3*a^2*A*b - 2*A*b^3 - 5*a^3*B + 4*a*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((9*a^3*A*b - 12*a*A*b^3 - 15*a^4*B + 16*a^2*b^2*B + 2*b^4*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^4*(a^2 - b^2)*d) + (a^2*(3*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 5*a^3*B + 7*a*b^2*B)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a - b)*b^4*(a + b)^2*d) - ((3*a*A*b - 5*a^2*B + 2*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d) + (a*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -(((a*A*b - 3*a^2*B + 2*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*d)) + ((a^2*A*b - 2*A*b^3 - 3*a^3*B + 4*a*b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) - (a*(a^2*A*b - 3*A*b^3 - 3*a^3*B + 5*a*b^2*B)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a - b)*b^3*(a + b)^2*d) + (a*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, ((A*b - a*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*(a^2 - b^2)*d) + ((a*A*b + a^2*B - 2*b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((a^2*A*b + A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a - b)*b^2*(a + b)^2*d) - ((A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -(((A*b - a*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a^2 - b^2)*d)) - ((A*b - a*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*(a^2 - b^2)*d) + ((3*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B - a*b^2*B)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a - b)*b*(a + b)^2*d) + (b*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -(((2*a^2*A - 3*A*b^2 + a*b*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a^2 - b^2)*d)) + ((A*b - a*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a^2 - b^2)*d) - ((5*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 3*a^3*B + a*b^2*B)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a - b)*(a + b)^2*d) + ((2*a^2*A - 3*A*b^2 + a*b*B)*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, ((4*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 2*a^3*B + 3*a*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) + ((2*a^2*A - 5*A*b^2 + 3*a*b*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b*(7*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 5*a^3*B + 3*a*b^2*B)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a - b)*(a + b)^2*d) + ((2*a^2*A - 5*A*b^2 + 3*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - ((4*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 2*a^3*B + 3*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -(((3*a^3*A*b - 9*a*A*b^3 - 15*a^4*B + 29*a^2*b^2*B - 8*b^4*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((3*a^4*A*b - 5*a^2*A*b^3 + 8*A*b^5 - 15*a^5*B + 33*a^3*b^2*B - 24*a*b^4*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - (a*(3*a^4*A*b - 6*a^2*A*b^3 + 15*A*b^5 - 15*a^5*B + 38*a^3*b^2*B - 35*a*b^4*B)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*(a - b)^2*b^4*(a + b)^3*d) + (a*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (a*(a^2*A*b - 7*A*b^3 - 5*a^3*B + 11*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -(((a^2*A*b + 5*A*b^3 + 3*a^3*B - 9*a*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((a^3*A*b - 7*a*A*b^3 + 3*a^4*B - 5*a^2*b^2*B + 8*b^4*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((a^4*A*b - 10*a^2*A*b^3 - 3*A*b^5 + 3*a^5*B - 6*a^3*b^2*B + 15*a*b^4*B)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*(a - b)^2*b^3*(a + b)^3*d) + (a*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((a^2*A*b + 5*A*b^3 + 3*a^3*B - 9*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, ((5*a^2*A*b + A*b^3 - a^3*B - 5*a*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*b*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*a^2*A*b + 3*A*b^3 + a^3*B - 7*a*b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) - ((3*a^4*A*b + 10*a^2*A*b^3 - A*b^5 + a^5*B - 10*a^3*b^2*B - 3*a*b^4*B)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*(a - b)^2*b^2*(a + b)^3*d) - ((A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((5*a^2*A*b + A*b^3 - a^3*B - 5*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -(((9*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 5*a^3*B - a*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d)) - ((7*a^2*A*b - A*b^3 - 3*a^3*B - 3*a*b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*b*(a^2 - b^2)^2*d) + ((15*a^4*A*b - 6*a^2*A*b^3 + 3*A*b^5 - 3*a^5*B - 10*a^3*b^2*B + a*b^4*B)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*(a - b)^2*b*(a + b)^3*d) + (b*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b*(9*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 5*a^3*B - a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -(((8*a^4*A - 29*a^2*A*b^2 + 15*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 3*a*b^3*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((11*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 7*a^3*B + a*b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d) - ((35*a^4*A*b - 38*a^2*A*b^3 + 15*A*b^5 - 15*a^5*B + 6*a^3*b^2*B - 3*a*b^4*B)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^3*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + ((8*a^4*A - 29*a^2*A*b^2 + 15*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 3*a*b^3*B)*Sin[c + d*x])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b*(11*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 7*a^3*B + a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 9, ((24*a^4*A*b - 65*a^2*A*b^3 + 35*A*b^5 - 8*a^5*B + 29*a^3*b^2*B - 15*a*b^4*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((8*a^4*A - 61*a^2*A*b^2 + 35*A*b^4 + 33*a^3*b*B - 15*a*b^3*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b*(63*a^4*A*b - 86*a^2*A*b^3 + 35*A*b^5 - 35*a^5*B + 38*a^3*b^2*B - 15*a*b^4*B)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^4*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + ((8*a^4*A - 61*a^2*A*b^2 + 35*A*b^4 + 33*a^3*b*B - 15*a*b^3*B)*Sin[c + d*x])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - ((24*a^4*A*b - 65*a^2*A*b^3 + 35*A*b^5 - 8*a^5*B + 29*a^3*b^2*B - 15*a*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b*(13*a^2*A*b - 7*A*b^3 - 9*a^3*B + 3*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, (6*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, (2*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 2, (2*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 2, (2*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, -((2*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, (2*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -((2*a*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d)) + (2*(3*a^2 + b^2)*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^3*d) - (2*a^3*B*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*(a + b)*d) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, (2*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d) - (2*a*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d) + (2*a^2*B*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*(a + b)*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (2*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d) - (2*a*B*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b*(a + b)*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 2, (2*B*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a + b)*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -((2*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d)) - (2*b*B*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a + b)*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, (2*b*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d) + (2*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a*d) + (2*b^2*B*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a + b)*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (2*b*B*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Cos[e+f x])^(m/2) (a+b Cos[e+f x])^(n/2) (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 8, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(6*a*A*b - 3*a^2*B + 16*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b^2*d)) + (Sqrt[a + b]*(a + 2*b)*(6*A*b - 3*a*B + 8*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b^2*d) + (Sqrt[a + b]*(2*a^2*A*b - 8*A*b^3 - a^3*B - 4*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^3*d) + ((6*a*A*b - 3*a^2*B + 16*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((2*A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(4*A*b + a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*b*d)) + (Sqrt[a + b]*(4*A*b + (a + 2*b)*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a*A*b - a^2*B + 4*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d) + ((4*A*b + a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d)) + (Sqrt[a + b]*(2*A + B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d - (Sqrt[a + b]*(2*A*b + a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d) + (B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*A*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) + (2*Sqrt[a + b]*(A*b - a*(A - B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) - (2*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(A*b + 3*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(A - 3*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a^2*A - 2*A*b^2 + 5*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^3*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a*A + 2*A*b - 5*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^2*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(19*a^2*A*b + 8*A*b^3 + 63*a^3*B - 14*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^4*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + a^2*(25*A - 63*B) + 2*a*b*(3*A - 7*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^3*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(25*a^2*A - 4*A*b^2 + 7*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(24*a^2*A*b + 128*A*b^3 - 9*a^3*B + 156*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*a*b^2*d)) - (Sqrt[a + b]*(9*a^3*B - 6*a^2*b*(4*A + B) - 8*b^3*(16*A + 9*B) - 4*a*b^2*(28*A + 39*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b^2*d) + (Sqrt[a + b]*(8*a^3*A*b - 96*a*A*b^3 - 3*a^4*B - 24*a^2*b^2*B - 48*b^4*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^3*d) + ((24*a^2*A*b + 128*A*b^3 - 9*a^3*B + 156*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((8*a*A*b - 3*a^2*B + 12*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*b*d) + ((8*A*b - 3*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*b*d) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(30*a*A*b + 3*a^2*B + 16*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b*d)) + (Sqrt[a + b]*(30*a*A*b + 12*A*b^2 + 3*a^2*B + 14*a*b*B + 16*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b*d) - (Sqrt[a + b]*(6*a^2*A*b + 8*A*b^3 - a^3*B + 12*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^2*d) + ((30*a*A*b + 3*a^2*B + 16*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((6*A*b + 7*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d) + (b*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(4*A*b + 5*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*d)) + (Sqrt[a + b]*(8*a*A + 4*A*b + 5*a*B + 2*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d) - (Sqrt[a + b]*(12*a*A*b + 3*a^2*B + 4*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d) + ((4*A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(2*a*A - b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) - (Sqrt[a + b]*(2*a*(A - B) - b*(4*A + B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d - (Sqrt[a + b]*(2*A*b + 3*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*a*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((2*a*A - b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(4*A*b + 3*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d) + (2*Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 + a^2*(A - 3*B) - a*(4*A*b - 6*b*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d) - (2*b*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*a*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a^2*A + 3*A*b^2 + 20*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^2*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a*A - 3*A*b - 5*a*B + 15*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d) + (2*a*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(6*A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(82*a^2*A*b - 6*A*b^3 + 63*a^3*B + 21*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^3*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*A*b^2 - a^2*(25*A - 63*B) + 3*a*b*(19*A - 7*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^2*d) + (2*a*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(8*A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(25*a^2*A + 3*A*b^2 + 42*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-11/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(147*a^4*A + 33*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 246*a^3*b*B - 18*a*b^3*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^4*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b^3 - a^3*(147*A - 75*B) + 3*a^2*b*(13*A - 57*B) + 6*a*b^2*(A - 3*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^3*d) + (2*a*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*(10*A*b + 9*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(49*a^2*A + 3*A*b^2 + 72*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(88*a^2*A*b - 4*A*b^3 + 75*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 10, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(150*a^3*A*b + 2840*a*A*b^3 - 45*a^4*B + 1692*a^2*b^2*B + 1024*b^4*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(1920*a*b^2*d)) - (Sqrt[a + b]*(45*a^4*B - 30*a^3*b*(5*A + B) - 16*b^4*(45*A + 64*B) - 8*a*b^3*(355*A + 193*B) - 4*a^2*b^2*(295*A + 423*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(1920*b^2*d) + (Sqrt[a + b]*(10*a^4*A*b - 240*a^2*A*b^3 - 96*A*b^5 - 3*a^5*B - 40*a^3*b^2*B - 240*a*b^4*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(128*b^3*d) + ((150*a^3*A*b + 2840*a*A*b^3 - 45*a^4*B + 1692*a^2*b^2*B + 1024*b^4*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1920*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((50*a^2*A*b + 120*A*b^3 - 15*a^3*B + 172*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(320*b*d) + ((50*a*A*b - 15*a^2*B + 64*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(240*b*d) + ((10*A*b - 3*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(40*b*d) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(264*a^2*A*b + 128*A*b^3 + 15*a^3*B + 284*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*a*b*d)) + (Sqrt[a + b]*(15*a^3*B + 8*b^3*(16*A + 9*B) + 2*a^2*b*(132*A + 59*B) + 4*a*b^2*(52*A + 71*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b*d) - (Sqrt[a + b]*(40*a^3*A*b + 160*a*A*b^3 - 5*a^4*B + 120*a^2*b^2*B + 48*b^4*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^2*d) + ((264*a^2*A*b + 128*A*b^3 + 15*a^3*B + 284*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((24*a*A*b + 5*a^2*B + 12*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d) + ((8*A*b + 11*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d) + (b*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(54*a*A*b + 33*a^2*B + 16*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*d)) + (Sqrt[a + b]*(4*b^2*(3*A + 4*B) + a^2*(48*A + 33*B) + a*(54*A*b + 26*b*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*d) - (Sqrt[a + b]*(30*a^2*A*b + 8*A*b^3 + 5*a^3*B + 20*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b*d) + ((54*a*A*b + 33*a^2*B + 16*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*(2*A*b + 3*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a^2*A - 4*A*b^2 - 9*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*d) - (Sqrt[a + b]*(8*a^2*(A - B) - 2*b^2*(2*A + B) - 3*a*b*(8*A + 3*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d) - (Sqrt[a + b]*(20*a*A*b + 15*a^2*B + 4*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d) - ((8*a^2*A - 4*A*b^2 - 9*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (b*(4*a*A - b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (2*a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(14*a*A*b + 6*a^2*B - 3*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d) - (Sqrt[a + b]*(2*a*b*(7*A - 9*B) - 2*a^2*(A - 3*B) - 3*b^2*(6*A + B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*d) - (b*Sqrt[a + b]*(2*A*b + 5*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*a*(2*A*b + a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((14*a*A*b + 6*a^2*B - 3*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a^2*A + 23*A*b^2 + 35*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d) + (2*Sqrt[a + b]*(15*A*b^3 - a*b^2*(23*A - 45*B) + a^2*b*(17*A - 35*B) - a^3*(9*A - 5*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d) - (2*b^2*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*a*(8*A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(145*a^2*A*b + 15*A*b^3 + 63*a^3*B + 161*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^2*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(a^2*(25*A - 63*B) + 15*b^2*(A - 7*B) - 8*a*b*(15*A - 7*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a*d) + (2*a*(10*A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(25*a^2*A + 45*A*b^2 + 77*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-11/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(147*a^4*A + 279*a^2*A*b^2 - 10*A*b^4 + 435*a^3*b*B + 45*a*b^3*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^3*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*A*b^3 - 6*a^2*b*(19*A - 60*B) + 3*a^3*(49*A - 25*B) + 15*a*b^2*(11*A - 3*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^2*d) + (2*a*(4*A*b + 3*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(49*a^2*A + 75*A*b^2 + 135*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(163*a^2*A*b + 5*A*b^3 + 75*a^3*B + 135*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-13/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3705*a^4*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3465*a^4*d) + (1/(3465*a^3*d))*(2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(40*A*b^4 + 3*a^4*(225*A - 539*B) - 6*a^3*b*(505*A - 209*B) + 15*a^2*b^2*(19*A - 121*B) + 10*a*b^3*(3*A - 11*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)]) + (2*a*(14*A*b + 11*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(99*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*(81*a^2*A + 113*A*b^2 + 209*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(1145*a^2*A*b + 15*A*b^3 + 539*a^3*B + 825*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(675*a^4*A + 1025*a^2*A*b^2 - 20*A*b^4 + 1793*a^3*b*B + 55*a*b^3*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(11*d*Cos[c + d*x]^(11/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(3*b*(B/(2*a)) + B*Cos[c + d*x])*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(a^2 + 3*b^2)*B*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) - ((a - 3*b)*Sqrt[a + b]*(2*a^2 - a*b + 3*b^2)*B*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) - (b*Sqrt[a + b]*(5*a + (3*b^2)/a)*B*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (b*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(4*A*b - 3*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*b^2*d)) + (Sqrt[a + b]*(4*A*b - 3*a*B + 2*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d) + (Sqrt[a + b]*(4*a*A*b - 3*a^2*B - 4*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^3*d) + ((4*A*b - 3*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*d)) + (Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d) - (Sqrt[a + b]*(2*A*b - a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d) + (a*B*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) - (2*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*A*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*d) - (2*Sqrt[a + b]*(A - B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, -((2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(2*A*b - 3*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*d)) + (2*Sqrt[a + b]*(2*A*b + a*(A - 3*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a^2*A + 8*A*b^2 - 10*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^4*d) - (2*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + a^2*(9*A - 5*B) - 2*a*b*(A + 5*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^3*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - (2*(4*A*b - 5*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((2*a*A*b - 3*a^2*B + b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b^2*Sqrt[a + b]*d) - ((2*A*b - (3*a + b)*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*Sqrt[a + b]*d) - (Sqrt[a + b]*(2*A*b - 3*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^3*d) + (2*a*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((2*a*A*b - 3*a^2*B + b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((2*(A*b - a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*Sqrt[a + b]*d)) + (2*(A*b - a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*Sqrt[a + b]*d) - (2*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d) + (2*a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*(A*b - a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*Sqrt[a + b]*d) + (2*(A + B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*Sqrt[a + b]*d) - (2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*(a^2*A - 2*A*b^2 + a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^3*Sqrt[a + b]*d) - (2*(2*A*b + a*(A - B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*Sqrt[a + b]*d) + (2*b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((2*(5*a^2*A*b - 8*A*b^3 - 3*a^3*B + 6*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*d)) + (2*(a + 2*b)*(4*A*b + a*(A - 3*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*Sqrt[a + b]*d) + (2*b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(a^2*A - 4*A*b^2 + 3*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((6*a^3*A*b - 14*a*A*b^3 - 15*a^4*B + 26*a^2*b^2*B - 3*b^4*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) - ((6*a^2*A*b + 2*a*A*b^2 - 12*A*b^3 - 15*a^3*B - 5*a^2*b*B + 21*a*b^2*B + 3*b^3*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*(a - b)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) - (Sqrt[a + b]*(2*A*b - 5*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^4*d) + (2*a*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*(2*a^2*A*b - 6*A*b^3 - 5*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((6*a^3*A*b - 14*a*A*b^3 - 15*a^4*B + 26*a^2*b^2*B - 3*b^4*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*(4*A*b^3 + 3*a^3*B - 7*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(a*A*b^2 - 3*A*b^3 - 3*a^3*B - a^2*b*B + 6*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) - (2*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^3*d) + (2*a*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*a*(4*A*b^3 + 3*a^3*B - 7*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, -((2*(3*a^2*A + A*b^2 - 4*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d)) + (2*(3*a*A - A*b + a*B - 3*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) - (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(3*a^2*A + A*b^2 - 4*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*(6*a^2*A*b - 2*A*b^3 - 3*a^3*B - a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) - (2*(2*A*b^2 - 3*a^2*(A + B) + a*b*(3*A + B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*b*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*(6*a^2*A*b - 2*A*b^3 - 3*a^3*B - a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*(3*a^4*A - 15*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 2*a*b^3*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(8*A*b^3 - 3*a^3*(A - B) + 2*a*b^2*(3*A - B) - 3*a^2*b*(3*A + B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(8*a^2*A*b - 4*A*b^3 - 5*a^3*B + a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, -((2*(8*a^4*A*b - 28*a^2*A*b^3 + 16*A*b^5 - 3*a^5*B + 15*a^3*b^2*B - 8*a*b^4*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^5*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d)) - (2*(16*A*b^4 - a^4*(A - 3*B) + 4*a*b^3*(3*A - 2*B) - 9*a^3*b*(A - B) - 2*a^2*b^2*(8*A + 3*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(10*a^2*A*b - 6*A*b^3 - 7*a^3*B + 3*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(a^4*A - 13*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 8*a^3*b*B - 4*a*b^3*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*d)) + (Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d) + (a*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d) + (a*B*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 2, -((2*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d))}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 2, (2*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*d) - (2*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d)}
+
+
+{(1 + Cos[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[2 + 3*Cos[c + d*x]]), x, 1, -((Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[2 + 3*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[5]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], 5]*Sqrt[-1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]])/d)}
+{(1 + Cos[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[-2 + 3*Cos[c + d*x]]), x, 1, -((Sqrt[5]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[-2 + 3*Cos[c + d*x]]/Sqrt[Cos[c + d*x]]], 1/5]*Sqrt[-1 + Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])/d)}
+
+{(1 + Cos[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[2 - 3*Cos[c + d*x]]), x, 2, (Sqrt[5]*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[2 - 3*Cos[c + d*x]]/Sqrt[-Cos[c + d*x]]], 1/5]*Sqrt[-1 + Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])/d}
+{(1 + Cos[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[-2 - 3*Cos[c + d*x]]), x, 2, (Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[-2 - 3*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[5]*Sqrt[-Cos[c + d*x]])], 5]*Sqrt[-1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]])/d}
+
+{(1 + Cos[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[3 + 2*Cos[c + d*x]]), x, 1, (2*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[3 + 2*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[5]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -5]*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])/(3*d)}
+{(1 + Cos[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[3 - 2*Cos[c + d*x]]), x, 1, (2*Sqrt[5]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[3 - 2*Cos[c + d*x]]/Sqrt[Cos[c + d*x]]], -(1/5)]*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])/(3*d)}
+
+{(1 + Cos[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[-3 + 2*Cos[c + d*x]]), x, 2, -((2*Sqrt[5]*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[-3 + 2*Cos[c + d*x]]/Sqrt[-Cos[c + d*x]]], -(1/5)]*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])/(3*d))}
+{(1 + Cos[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[-3 - 2*Cos[c + d*x]]), x, 2, -((2*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[-3 - 2*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[5]*Sqrt[-Cos[c + d*x]])], -5]*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])/(3*d))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Cos[e+f x])^m (a+b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x]) with m and/or n symbolic*)
+
+
+{(c*Cos[e + f*x])^m*(a + b*Cos[e + f*x])^n*(A + B*Cos[e + f*x]), x, 0, Unintegrable[(c*Cos[e + f*x])^m*(a + b*Cos[e + f*x])^n*(A + B*Cos[e + f*x]), x]}
+
+
+{(c*Cos[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x])*(a + b*Cos[e + f*x])^4, x, 7, If[$VersionNumber>=8, (b*(A*b^3*(15 + 8*m + m^2) + 4*a*b^2*B*(15 + 8*m + m^2) + 2*a^3*B*(28 + 10*m + m^2) + a^2*A*b*(110 + 47*m + 5*m^2))*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(c*f*(2 + m)*(4 + m)*(5 + m)) + (b^2*(b^2*B*(4 + m)^2 + 2*a*A*b*(5 + m)^2 + a^2*B*(36 + 11*m + m^2))*Cos[e + f*x]*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(c*f*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m)) + (b*(A*b*(5 + m) + a*B*(8 + m))*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*(a + b*Cos[e + f*x])^2*Sin[e + f*x])/(c*f*(4 + m)*(5 + m)) + (b*B*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*(a + b*Cos[e + f*x])^3*Sin[e + f*x])/(c*f*(5 + m)) - ((A*b^4*(3 + 4*m + m^2) + 4*a*b^3*B*(3 + 4*m + m^2) + 6*a^2*A*b^2*(4 + 5*m + m^2) + 4*a^3*b*B*(4 + 5*m + m^2) + a^4*A*(8 + 6*m + m^2))*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(c*f*(1 + m)*(2 + m)*(4 + m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - ((b^4*B*(8 + 6*m + m^2) + 4*a*A*b^3*(10 + 7*m + m^2) + 6*a^2*b^2*B*(10 + 7*m + m^2) + 4*a^3*A*b*(15 + 8*m + m^2) + a^4*B*(15 + 8*m + m^2))*(c*Cos[e + f*x])^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(c^2*f*(2 + m)*(3 + m)*(5 + m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]), (b*(A*b^3*(15 + 8*m + m^2) + 4*a*b^2*B*(15 + 8*m + m^2) + 2*a^3*B*(28 + 10*m + m^2) + a^2*A*b*(110 + 47*m + 5*m^2))*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(c*f*(5 + m)*(8 + 6*m + m^2)) + (b^2*(b^2*B*(4 + m)^2 + 2*a*A*b*(5 + m)^2 + a^2*B*(36 + 11*m + m^2))*Cos[e + f*x]*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(c*f*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m)) + (b*(A*b*(5 + m) + a*B*(8 + m))*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*(a + b*Cos[e + f*x])^2*Sin[e + f*x])/(c*f*(4 + m)*(5 + m)) + (b*B*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*(a + b*Cos[e + f*x])^3*Sin[e + f*x])/(c*f*(5 + m)) - ((A*b^4*(3 + 4*m + m^2) + 4*a*b^3*B*(3 + 4*m + m^2) + 6*a^2*A*b^2*(4 + 5*m + m^2) + 4*a^3*b*B*(4 + 5*m + m^2) + a^4*A*(8 + 6*m + m^2))*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(c*f*(4 + m)*(2 + 3*m + m^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - ((b^4*B*(8 + 6*m + m^2) + 4*a*A*b^3*(10 + 7*m + m^2) + 6*a^2*b^2*B*(10 + 7*m + m^2) + 4*a^3*A*b*(15 + 8*m + m^2) + a^4*B*(15 + 8*m + m^2))*(c*Cos[e + f*x])^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(c^2*f*(2 + m)*(3 + m)*(5 + m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])]}
+{(c*Cos[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x])*(a + b*Cos[e + f*x])^3, x, 6, (b*(b^2*B*(3 + m) + 3*a*A*b*(4 + m) + 2*a^2*B*(5 + m))*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(c*f*(2 + m)*(4 + m)) + (b^2*(A*b*(4 + m) + a*B*(6 + m))*Cos[e + f*x]*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(c*f*(3 + m)*(4 + m)) + (b*B*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*(a + b*Cos[e + f*x])^2*Sin[e + f*x])/(c*f*(4 + m)) - ((a^2*(2 + m)*(b*B*(1 + m) + a*A*(4 + m)) + b*(1 + m)*(b^2*B*(3 + m) + 3*a*A*b*(4 + m) + 2*a^2*B*(5 + m)))*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(c*f*(1 + m)*(2 + m)*(4 + m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - ((A*b^3*(2 + m) + 3*a*b^2*B*(2 + m) + 3*a^2*A*b*(3 + m) + a^3*B*(3 + m))*(c*Cos[e + f*x])^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(c^2*f*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{(c*Cos[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x])*(a + b*Cos[e + f*x])^2, x, 5, (b*(A*b*(3 + m) + a*B*(4 + m))*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(c*f*(2 + m)*(3 + m)) + (b*B*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*(a + b*Cos[e + f*x])*Sin[e + f*x])/(c*f*(3 + m)) - ((A*b^2*(1 + m) + 2*a*b*B*(1 + m) + a^2*A*(2 + m))*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(c*f*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - ((b^2*B*(2 + m) + a*(2*A*b + a*B)*(3 + m))*(c*Cos[e + f*x])^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(c^2*f*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{(c*Cos[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x])*(a + b*Cos[e + f*x])^1, x, 5, (b*B*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(c*f*(2 + m)) - ((b*B*(1 + m) + a*A*(2 + m))*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(c*f*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - ((A*b + a*B)*(c*Cos[e + f*x])^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(c^2*f*(2 + m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{(c*Cos[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x])/(a + b*Cos[e + f*x])^1, x, 7, (a*(A*b - a*B)*c*AppellF1[1/2, (1 - m)/2, 1, 3/2, Sin[e + f*x]^2, -((b^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*(c*Cos[e + f*x])^(-1 + m)*(Cos[e + f*x]^2)^((1 - m)/2)*Sin[e + f*x])/(b*(a^2 - b^2)*f) - ((A*b - a*B)*AppellF1[1/2, -(m/2), 1, 3/2, Sin[e + f*x]^2, -((b^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*(c*Cos[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/((Cos[e + f*x]^2)^(m/2)*((a^2 - b^2)*f)) - (B*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(b*c*f*(1 + m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+{(c*Cos[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x])*(a + b*Cos[e + f*x])^(3/2), x, 1, (2*b*B*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[a + b*Cos[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(c*f*(5 + 2*m)) + (2*Unintegrable[((c*Cos[e + f*x])^m*((1/2)*a*c*(2*b*B*(1 + m) + 2*a*A*(5/2 + m)) + (1/2)*c*(b^2*B*(3 + 2*m) + a*(2*A*b + a*B)*(5 + 2*m))*Cos[e + f*x] + (1/2)*b*c*(2*a*B*(3 + m) + A*b*(5 + 2*m))*Cos[e + f*x]^2))/Sqrt[a + b*Cos[e + f*x]], x])/(c*(5 + 2*m))}
+{(c*Cos[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x])*(a + b*Cos[e + f*x])^(1/2), x, 0, Unintegrable[(c*Cos[e + f*x])^m*Sqrt[a + b*Cos[e + f*x]]*(A + B*Cos[e + f*x]), x]}
+{(c*Cos[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x])/(a + b*Cos[e + f*x])^(1/2), x, 0, Unintegrable[((c*Cos[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x]))/Sqrt[a + b*Cos[e + f*x]], x]}
+{(c*Cos[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x])/(a + b*Cos[e + f*x])^(3/2), x, 1, (2*b*(A*b - a*B)*(c*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(a*(a^2 - b^2)*c*f*Sqrt[a + b*Cos[e + f*x]]) + (2*Unintegrable[((c*Cos[e + f*x])^m*((1/2)*c*(a*(a*A - b*B) + 2*b*(A*b - a*B)*(1/2 + m)) - (1/2)*a*(A*b - a*B)*c*Cos[e + f*x] - (1/2)*b*(A*b - a*B)*c*(3 + 2*m)*Cos[e + f*x]^2))/Sqrt[a + b*Cos[e + f*x]], x])/(a*(a^2 - b^2)*c)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Sec[e+f x])^m (a+b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Sec[e+f x])^m (a+a Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/2) (a+a Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 9, (-2*a*(3*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*(3*A + 5*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*(A + B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 8, (-2*a*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*(A + 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*(A + B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, (-2*a*(A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 7, (2*a*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*(3*A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x]))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 8, (2*a*(5*A + 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(A + B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, (6*a*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(7*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*B*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(A + B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(7*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 9, -((4*a^2*(4*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (4*a^2*(A + 2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (4*a^2*(4*A + 5*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^2*(7*A + 5*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 8, -((4*a^2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (4*a^2*(2*A + 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*(5*A + 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (4*a^2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (4*a^2*(3*A + 2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*(3*A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*B*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 8, (4*a^2*(5*A + 4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*(2*A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*(5*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*B*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x]))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, (4*a^2*(4*A + 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*(7*A + 6*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^2*(7*A + 9*B)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(7*A + 6*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*B*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 10, -((4*a^3*(7*A + 9*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (4*a^3*(13*A + 21*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^3*(7*A + 9*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (4*a^3*(41*A + 42*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*(11*A + 7*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 9, -((4*a^3*(9*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (4*a^3*(3*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (4*a^3*(21*A + 20*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(9*A + 5*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 9, -((4*a^3*(A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (20*a^3*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (4*a^3*(4*A + B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*B*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, (4*a^3*(5*A + 9*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(5*A + 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (4*a^3*(5*A - 6*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*B*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*A + 9*B)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, (4*a^3*(9*A + 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(21*A + 13*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^3*(42*A + 41*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*B*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(7*A + 11*B)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x]))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 10, (4*a^3*(21*A + 17*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^3*(13*A + 11*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^3*(24*A + 23*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(13*A + 11*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*B*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*(9*A + 13*B)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 9, (3*(A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + ((5*A - 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) - (3*(A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d) + ((5*A - 3*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - ((A - B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 8, -(((3*A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d)) - ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + ((3*A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((A - B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + ((A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - ((A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 7, -(((A - 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d)) + ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + ((A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 8, (3*(A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - ((3*A - 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) - ((3*A - 5*B)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 9, -((3*(5*A - 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a*d)) + (5*(A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) - ((5*A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (5*(A - B)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 9, -(((4*A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) - ((5*A - 2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + ((4*A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - ((5*A - 2*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 8, (A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + ((2*A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - (A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 8, -((B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) + ((A + 2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + ((A + 2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 8, -(((A - 4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) + ((2*A - 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + ((2*A - 5*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) + ((A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 9, ((4*A - 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) - (5*(A - 2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - (5*(A - 2*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((4*A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 10, -(((49*A - 9*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d)) - ((13*A - 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) + ((49*A - 9*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d) - ((A - B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((8*A - 3*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((13*A - 3*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 9, ((9*A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((3*A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A - B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((6*A - B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((9*A + B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 9, ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A - B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((4*A + B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((A + B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 9, -(((A + 9*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d)) + ((A + 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((2*A + 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((A + 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 9, -(((9*A - 49*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d)) + ((3*A - 13*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) + ((A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((3*A - 8*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((3*A - 13*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(7/2)), x, 10, (7*(7*A - 17*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) - ((13*A - 33*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((13*A - 33*B)*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((A - 2*B)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + (7*(7*A - 17*B)*Sin[c + d*x])/(30*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/2) (a+a Cos[e+f x])^(n/2) (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 6, (32*a*(8*A + 9*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a*(8*A + 9*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (4*a*(8*A + 9*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(8*A + 9*B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 5, (16*a*(6*A + 7*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a*(6*A + 7*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(6*A + 7*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 4, (4*a*(4*A + 5*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(4*A + 5*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 3, (2*a*(2*A + 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 4, (2*Sqrt[a]*B*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 4, (Sqrt[a]*(2*A + B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (a*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x]))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 5, (Sqrt[a]*(4*A + 3*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (a*B*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a*(4*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 6, (Sqrt[a]*(6*A + 5*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (a*(6*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a*(6*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(13/2), x, 7, (32*a^2*(168*A + 187*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a^2*(168*A + 187*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (4*a^2*(168*A + 187*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(168*A + 187*B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(12*A + 11*B)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(99*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(11/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 6, (16*a^2*(34*A + 39*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a^2*(34*A + 39*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(34*A + 39*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(10*A + 9*B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 5, (4*a^2*(52*A + 63*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(52*A + 63*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(8*A + 7*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 4, (2*a^2*(18*A + 25*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(6*A + 5*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 5, (2*a^(3/2)*B*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^2*(4*A + 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 5, (a^(3/2)*(2*A + 3*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d - (a^2*(2*A - B)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 5, (a^(3/2)*(12*A + 7*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (a^2*(4*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*B*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x]))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 6, (a^(3/2)*(14*A + 11*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*(6*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a*B*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a^2*(14*A + 11*B)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, (a^(3/2)*(88*A + 75*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*d) + (a^2*(8*A + 9*B)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (a*B*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (a^2*(88*A + 75*B)*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a^2*(88*A + 75*B)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(15/2), x, 8, (32*a^3*(4184*A + 4615*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(45045*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a^3*(4184*A + 4615*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45045*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (4*a^3*(4184*A + 4615*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(15015*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(4184*A + 4615*B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9009*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(280*A + 299*B)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(1287*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(16*A + 13*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(11/2)*Sin[c + d*x])/(143*d) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(13/2)*Sin[c + d*x])/(13*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(13/2), x, 7, (16*a^3*(710*A + 803*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a^3*(710*A + 803*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(710*A + 803*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(194*A + 209*B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(14*A + 11*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(11/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 6, (4*a^3*(292*A + 345*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(292*A + 345*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(124*A + 135*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(4*A + 3*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 5, (2*a^3*(230*A + 301*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(10*A + 11*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(10*A + 7*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 6, (2*a^(5/2)*B*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^3*(32*A + 35*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(8*A + 5*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 6, (a^(5/2)*(2*A + 5*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d - (a^3*(14*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(2*A + B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 6, (a^(5/2)*(20*A + 19*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) - (a^3*(4*A - 9*B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a^2*(4*A - B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 6, (a^(5/2)*(38*A + 25*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*(54*A + 49*B)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a^2*(2*A + 3*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*B*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x]))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 7, (a^(5/2)*(200*A + 163*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*d) + (a^3*(104*A + 95*B)*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a^2*(8*A + 11*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a*B*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a^3*(200*A + 163*B)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (a^(5/2)*(326*A + 283*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(128*d) + (a^3*(170*A + 157*B)*Sin[c + d*x])/(240*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (a^2*(10*A + 13*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(40*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (a*B*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (a^3*(326*A + 283*B)*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a^3*(326*A + 283*B)*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(11/2))/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 9, -((Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (2*(257*A - 129*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(29*A - 93*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(19*A - 3*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(A - 9*B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(9/2))/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 8, (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (2*(43*A - 91*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(31*A - 7*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(A - 7*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2))/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 7, -((Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (2*(13*A - 5*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(A - 5*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2))/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 6, (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (2*(A - 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2))/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 5, -((Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (2*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(1/2))/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 6, (2*B*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(1/2)), x, 7, ((2*A - B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 8, -(((4*A - 7*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (B*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((4*A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+{((a*A + (A*b + a*B)*Cos[c + d*x] + b*B*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 7, ((2*A*b + 2*a*B - b*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (Sqrt[2]*(a - b)*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (b*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(9/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, ((19*A - 15*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((1201*A - 1029*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(210*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((397*A - 273*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(210*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((67*A - 63*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(70*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A - B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((11*A - 7*B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(14*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((15*A - 11*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((147*A - 95*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(30*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((39*A - 35*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(30*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A - B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((9*A - 5*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((11*A - 7*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((19*A - 15*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A - B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((7*A - 3*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((7*A - 3*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((5*A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(1/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, ((3*A + B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(1/2)), x, 7, (2*B*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) + ((A - 5*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 8, ((2*A - 3*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) - ((5*A - 9*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) - ((A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((283*A - 163*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((2671*A - 1495*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((787*A - 475*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(240*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A - B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((21*A - 13*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((157*A - 85*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(80*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((163*A - 75*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((299*A - 147*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A - B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((17*A - 9*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((95*A - 39*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((75*A - 19*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((13*A - 5*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((49*A - 9*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(1/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, ((19*A + 5*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((9*A - B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(1/2)), x, 6, ((5*A + 3*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 8, (2*B*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + ((3*A - 43*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((3*A - 11*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 9, ((2*A - 5*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) - ((43*A - 115*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((7*A - 15*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) - ((11*A - 35*B)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 9, ((1015*A - 363*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) - ((1887*A - 691*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a^3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A - B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) - ((23*A - 11*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(48*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((109*A - 41*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(64*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((579*A - 199*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(192*a^3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 8, -((3*(121*A - 21*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d)) - ((A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)) - ((19*A - 7*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((199*A - 43*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((691*A - 103*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a^3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(1/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 7, ((63*A + 13*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((5*A - B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((103*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^(1/2)), x, 7, ((13*A + 7*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((5*A - 17*B)*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 7, ((7*A + 5*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((A - 13*B)*Sin[c + d*x])/(48*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((17*A + 67*B)*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 9, (2*B*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(7/2)*d) + ((5*A - 177*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((5*A - 17*B)*Sin[c + d*x])/(48*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((5*A - 49*B)*Sin[c + d*x])/(64*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)), x, 10, ((2*A - 7*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(7/2)*d) - ((177*A - 637*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)) + ((3*A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((79*A - 259*B)*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (7*(7*A - 27*B)*Sin[c + d*x])/(64*a^3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Sec[e+f x])^m (a+b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Sec[e+f x])^(m/2) (a+b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 9, -((2*(3*a*A + 5*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*(A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*(3*a*A + 5*b*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(A*b + a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 8, (-2*(A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*(a*A + 3*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*(A*b + a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, (-2*(a*A - b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*(A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 7, (2*(A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*(3*a*A + b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x]))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 8, (2*(5*a*A + 3*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, (6*(A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(7*a*A + 5*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b*B*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(7*a*A + 5*b*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 9, -((2*(3*a^2*A + 5*b*(A*b + 2*a*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*(2*a*A*b + a^2*B + 3*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*(3*a^2*A + 5*b*(A*b + 2*a*B))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*(7*A*b + 5*a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*(b + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 8, -((2*(2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*(a^2*A + 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*(5*A*b + 3*a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, -((2*(a^2*A - b*(A*b + 2*a*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*(6*a*A*b + 3*a^2*B + b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b^2*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 8, (2*(10*a*A*b + 5*a^2*B + 3*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(3*a^2*A + A*b^2 + 2*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b^2*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*(A*b + 2*a*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x]))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, (2*(5*a^2*A + 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(14*a*A*b + 7*a^2*B + 5*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b^2*B*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*(A*b + 2*a*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(14*a*A*b + 7*a^2*B + 5*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 10, -((2*(9*a^2*A*b + 5*A*b^3 + 3*a^3*B + 15*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*(5*a^3*A + 21*a*A*b^2 + 21*a^2*b*B + 21*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(9*a^2*A*b + 5*A*b^3 + 3*a^3*B + 15*a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*(5*a^2*A + 18*A*b^2 + 21*a*b*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a^2*(11*A*b + 7*a*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*(b + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 9, -((2*(3*a^3*A + 15*a*A*b^2 + 15*a^2*b*B - 5*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*(3*a^2*A*b + 3*A*b^3 + a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*(3*a^2*A + 14*A*b^2 + 15*a*b*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^2*(9*A*b + 5*a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 9, -((2*(3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*(a^3*A + 9*a*A*b^2 + 9*a^2*b*B + b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*(9*a*A*b + 3*a^2*B - 2*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a^2*(a*A - b*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*b*B*(b + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, -((2*(5*a^3*A - 15*a*A*b^2 - 15*a^2*b*B - 3*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*(9*a^2*A*b + A*b^3 + 3*a^3*B + 3*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b^2*(5*A*b + 9*a*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(5*a*A - b*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*b*B*(b + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, (2*(15*a^2*A*b + 3*A*b^3 + 5*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(21*a^3*A + 21*a*A*b^2 + 21*a^2*b*B + 5*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b^2*(7*A*b + 11*a*B)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*(21*a*A*b + 18*a^2*B + 5*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*B*(b + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x]))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 10, (2*(15*a^3*A + 27*a*A*b^2 + 27*a^2*b*B + 7*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(21*a^2*A*b + 5*A*b^3 + 7*a^3*B + 15*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b^2*(9*A*b + 13*a*B)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*(27*a*A*b + 22*a^2*B + 7*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(21*a^2*A*b + 5*A*b^3 + 7*a^3*B + 15*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*B*(b + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 11, (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + (2*b*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a + b)*d) - (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + (2*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 8, (-2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a + b)*d) + (2*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d)}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d) + (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*(a + b)*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 8, (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d) + (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d) - (2*a*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*(a + b)*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 10, (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d) - (2*(3*a*A*b - 3*a^2*B - b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b^3*d) + (2*a^2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*(a + b)*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 12, ((4*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 2*a^3*B + 3*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) + ((2*a^2*A - 5*A*b^2 + 3*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b*(7*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 5*a^3*B + 3*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a - b)*(a + b)^2*d) - ((4*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 2*a^3*B + 3*a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) + ((2*a^2*A - 5*A*b^2 + 3*a*b*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 11, -(((2*a^2*A - 3*A*b^2 + a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d)) + ((A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)*d) - ((5*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 3*a^3*B + a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a - b)*(a + b)^2*d) + ((2*a^2*A - 3*A*b^2 + a*b*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 10, -(((A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)*d)) - ((A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*(a^2 - b^2)*d) + ((3*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B - a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a - b)*b*(a + b)^2*d) + (b*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + b*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 10, ((A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*(a^2 - b^2)*d) + ((a*A*b + a^2*B - 2*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((a^2*A*b + A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a - b)*b^2*(a + b)^2*d) - ((A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 10, -(((a*A*b - 3*a^2*B + 2*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d)) + ((a^2*A*b - 2*A*b^3 - 3*a^3*B + 4*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) - (a*(a^2*A*b - 3*A*b^3 - 3*a^3*B + 5*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a - b)*b^3*(a + b)^2*d) + (a*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 11, ((3*a^2*A*b - 2*A*b^3 - 5*a^3*B + 4*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((9*a^3*A*b - 12*a*A*b^3 - 15*a^4*B + 16*a^2*b^2*B + 2*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b^4*(a^2 - b^2)*d) + (a^2*(3*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 5*a^3*B + 7*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a - b)*b^4*(a + b)^2*d) - ((3*a*A*b - 5*a^2*B + 2*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 12, -(((8*a^4*A - 29*a^2*A*b^2 + 15*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 3*a*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((11*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 7*a^3*B + a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d) - ((35*a^4*A*b - 38*a^2*A*b^3 + 15*A*b^5 - 15*a^5*B + 6*a^3*b^2*B - 3*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^3*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + ((8*a^4*A - 29*a^2*A*b^2 + 15*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 3*a*b^3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x])^2) + (b*(11*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 7*a^3*B + a*b^2*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{((A + B*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 11, -(((9*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 5*a^3*B - a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d)) - ((7*a^2*A*b - A*b^3 - 3*a^3*B - 3*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*b*(a^2 - b^2)^2*d) + ((15*a^4*A*b - 6*a^2*A*b^3 + 3*A*b^5 - 3*a^5*B - 10*a^3*b^2*B + a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*(a - b)^2*b*(a + b)^3*d) + (b*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x])^2) + (b*(9*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 5*a^3*B - a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + b*Cos[c + d*x])^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 11, ((5*a^2*A*b + A*b^3 - a^3*B - 5*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*b*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*a^2*A*b + 3*A*b^3 + a^3*B - 7*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) - ((3*a^4*A*b + 10*a^2*A*b^3 - A*b^5 + a^5*B - 10*a^3*b^2*B - 3*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*(a - b)^2*b^2*(a + b)^3*d) + (b*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x])^2) - ((7*a^2*A*b - A*b^3 - 3*a^3*B - 3*a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 11, -(((a^2*A*b + 5*A*b^3 + 3*a^3*B - 9*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((a^3*A*b - 7*a*A*b^3 + 3*a^4*B - 5*a^2*b^2*B + 8*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((a^4*A*b - 10*a^2*A*b^3 - 3*A*b^5 + 3*a^5*B - 6*a^3*b^2*B + 15*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*b^3*(a + b)^3*d) - ((A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x])^2) + ((3*a^2*A*b + 3*A*b^3 + a^3*B - 7*a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 11, -(((3*a^3*A*b - 9*a*A*b^3 - 15*a^4*B + 29*a^2*b^2*B - 8*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((3*a^4*A*b - 5*a^2*A*b^3 + 8*A*b^5 - 15*a^5*B + 33*a^3*b^2*B - 24*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - (a*(3*a^4*A*b - 6*a^2*A*b^3 + 15*A*b^5 - 15*a^5*B + 38*a^3*b^2*B - 35*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*b^4*(a + b)^3*d) + (a*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sec[c + d*x])^2) + (a*(a^2*A*b - 7*A*b^3 - 5*a^3*B + 11*a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(7/2)), x, 12, ((15*a^4*A*b - 29*a^2*A*b^3 + 8*A*b^5 - 35*a^5*B + 65*a^3*b^2*B - 24*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((45*a^5*A*b - 99*a^3*A*b^3 + 72*a*A*b^5 - 105*a^6*B + 223*a^4*b^2*B - 128*a^2*b^4*B - 8*b^6*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(12*b^5*(a^2 - b^2)^2*d) + (a^2*(15*a^4*A*b - 38*a^2*A*b^3 + 35*A*b^5 - 35*a^5*B + 86*a^3*b^2*B - 63*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*b^5*(a + b)^3*d) - ((15*a^3*A*b - 33*a*A*b^3 - 35*a^4*B + 61*a^2*b^2*B - 8*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(12*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b + a*Sec[c + d*x])^2) + (a*(3*a^2*A*b - 9*A*b^3 - 7*a^3*B + 13*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{((a*B + b*B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 4, (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*B*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a*B + b*B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 4, -((2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{((a*B + b*B*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d}
+{(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/((a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 3, (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d}
+{(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/((a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 4, (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/((a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 4, (6*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Sec[e+f x])^(m/2) (a+b Cos[e+f x])^(n/2) (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(19*a^2*A*b + 8*A*b^3 + 63*a^3*B - 14*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + a^2*(25*A - 63*B) + 2*a*b*(3*A - 7*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(25*a^2*A - 4*A*b^2 + 7*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*a^2*d) + (2*(A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*a*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a^2*A - 2*A*b^2 + 5*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a*A + 2*A*b - 5*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 5, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(A*b + 3*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(A - 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 6, (2*A*(a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b]*(A*b - a*(A - B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 7, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (Sqrt[a + b]*(2*A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(2*A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 8, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(4*A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (Sqrt[a + b]*(4*A*b + (a + 2*b)*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(4*a*A*b - a^2*B + 4*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((4*A*b + a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(6*a*A*b - 3*a^2*B + 16*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (Sqrt[a + b]*(a + 2*b)*(6*A*b - 3*a*B + 8*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(2*a^2*A*b - 8*A*b^3 - a^3*B - 4*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((2*A*b - a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (B*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((6*a*A*b - 3*a^2*B + 16*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b^2*d)}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 8, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(147*a^4*A + 33*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 246*a^3*b*B - 18*a*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b^3 - a^3*(147*A - 75*B) + 3*a^2*b*(13*A - 57*B) + 6*a*b^2*(A - 3*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(88*a^2*A*b - 4*A*b^3 + 75*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*a^2*d) + (2*(49*a^2*A + 3*A*b^2 + 72*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*a*d) + (2*(10*A*b + 9*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*a*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(82*a^2*A*b - 6*A*b^3 + 63*a^3*B + 21*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*A*b^2 - a^2*(25*A - 63*B) + 3*a*b*(19*A - 7*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(25*a^2*A + 3*A*b^2 + 42*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*a*d) + (2*(8*A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*a*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a^2*A + 3*A*b^2 + 20*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a*A - 3*A*b - 5*a*B + 15*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(6*A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(4*A*b + 3*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 + a^2*(A - 3*B) - a*(4*A*b - 6*b*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b*Sqrt[a + b]*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(2*a*A - b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(2*a*(A - B) - b*(4*A + B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(2*A*b + 3*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d - ((2*a*A - b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 8, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(4*A*b + 5*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (Sqrt[a + b]*(8*a*A + 4*A*b + 5*a*B + 2*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(12*a*A*b + 3*a^2*B + 4*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((4*A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 9, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(30*a*A*b + 3*a^2*B + 16*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (Sqrt[a + b]*(30*a*A*b + 12*A*b^2 + 3*a^2*B + 14*a*b*B + 16*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(6*a^2*A*b + 8*A*b^3 - a^3*B + 12*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((6*A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((30*a*A*b + 3*a^2*B + 16*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 10, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(24*a^2*A*b + 128*A*b^3 - 9*a^3*B + 156*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*a*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) - (Sqrt[a + b]*(9*a^3*B - 6*a^2*b*(4*A + B) - 8*b^3*(16*A + 9*B) - 4*a*b^2*(28*A + 39*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(8*a^3*A*b - 96*a*A*b^3 - 3*a^4*B - 24*a^2*b^2*B - 48*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((8*a*A*b - 3*a^2*B + 12*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((8*A*b - 3*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (B*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((24*a^2*A*b + 128*A*b^3 - 9*a^3*B + 156*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b^2*d)}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(13/2), x, 9, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3705*a^4*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3465*a^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (1/(3465*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]))*(2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(40*A*b^4 + 3*a^4*(225*A - 539*B) - 6*a^3*b*(505*A - 209*B) + 15*a^2*b^2*(19*A - 121*B) + 10*a*b^3*(3*A - 11*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)]) + (2*(675*a^4*A + 1025*a^2*A*b^2 - 20*A*b^4 + 1793*a^3*b*B + 55*a*b^3*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3465*a^2*d) + (2*(1145*a^2*A*b + 15*A*b^3 + 539*a^3*B + 825*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3465*a*d) + (2*(81*a^2*A + 113*A*b^2 + 209*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*a*(14*A*b + 11*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(11/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 8, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(147*a^4*A + 279*a^2*A*b^2 - 10*A*b^4 + 435*a^3*b*B + 45*a*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*A*b^3 - 6*a^2*b*(19*A - 60*B) + 3*a^3*(49*A - 25*B) + 15*a*b^2*(11*A - 3*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(163*a^2*A*b + 5*A*b^3 + 75*a^3*B + 135*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*a*d) + (2*(49*a^2*A + 75*A*b^2 + 135*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*a*(4*A*b + 3*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(145*a^2*A*b + 15*A*b^3 + 63*a^3*B + 161*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(a^2*(25*A - 63*B) + 15*b^2*(A - 7*B) - 8*a*b*(15*A - 7*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(25*a^2*A + 45*A*b^2 + 77*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*a*(10*A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 8, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a^2*A + 23*A*b^2 + 35*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b]*(15*A*b^3 - a*b^2*(23*A - 45*B) + a^2*b*(17*A - 35*B) - a^3*(9*A - 5*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b^2*Sqrt[a + b]*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(8*A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(14*a*A*b + 6*a^2*B - 3*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(2*a*b*(7*A - 9*B) - 2*a^2*(A - 3*B) - 3*b^2*(6*A + B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (b*Sqrt[a + b]*(2*A*b + 5*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(2*A*b + a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d - ((14*a*A*b + 6*a^2*B - 3*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a^2*A - 4*A*b^2 - 9*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(8*a^2*(A - B) - 2*b^2*(2*A + B) - 3*a*b*(8*A + 3*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(20*a*A*b + 15*a^2*B + 4*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (b*(4*a*A - b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((8*a^2*A - 4*A*b^2 - 9*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (2*a*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 9, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(54*a*A*b + 33*a^2*B + 16*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (Sqrt[a + b]*(4*b^2*(3*A + 4*B) + a^2*(48*A + 33*B) + a*(54*A*b + 26*b*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(30*a^2*A*b + 8*A*b^3 + 5*a^3*B + 20*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b*(2*A*b + 3*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((54*a*A*b + 33*a^2*B + 16*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 10, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(264*a^2*A*b + 128*A*b^3 + 15*a^3*B + 284*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*a*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (Sqrt[a + b]*(15*a^3*B + 8*b^3*(16*A + 9*B) + 2*a^2*b*(132*A + 59*B) + 4*a*b^2*(52*A + 71*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(40*a^3*A*b + 160*a*A*b^3 - 5*a^4*B + 120*a^2*b^2*B + 48*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((24*a*A*b + 5*a^2*B + 12*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((8*A*b + 11*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((264*a^2*A*b + 128*A*b^3 + 15*a^3*B + 284*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 11, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(150*a^3*A*b + 2840*a*A*b^3 - 45*a^4*B + 1692*a^2*b^2*B + 1024*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(1920*a*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) - (1/(1920*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]))*(Sqrt[a + b]*(45*a^4*B - 30*a^3*b*(5*A + B) - 16*b^4*(45*A + 64*B) - 8*a*b^3*(355*A + 193*B) - 4*a^2*b^2*(295*A + 423*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)]) + (Sqrt[a + b]*(10*a^4*A*b - 240*a^2*A*b^3 - 96*A*b^5 - 3*a^5*B - 40*a^3*b^2*B - 240*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(128*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((50*a^2*A*b + 120*A*b^3 - 15*a^3*B + 172*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(320*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((50*a*A*b - 15*a^2*B + 64*b^2*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(240*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((10*A*b - 3*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(40*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (B*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((150*a^3*A*b + 2840*a*A*b^3 - 45*a^4*B + 1692*a^2*b^2*B + 1024*b^4*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1920*b^2*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a^2*A + 8*A*b^2 - 10*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + a^2*(9*A - 5*B) - 2*a*b*(A + 5*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(4*A*b - 5*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 5, -((2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(2*A*b - 3*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (2*Sqrt[a + b]*(2*A*b + a*(A - 3*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 4, (2*A*(a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*(A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 4, (1/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]))*(2*A*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)]) - (1/(b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]))*(2*Sqrt[a + b]*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 8, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (Sqrt[a + b]*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(2*A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 8, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(4*A*b - 3*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (Sqrt[a + b]*(4*A*b - 3*a*B + 2*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(4*a*A*b - 3*a^2*B - 4*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((4*A*b - 3*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d)}
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((2*(5*a^2*A*b - 8*A*b^3 - 3*a^3*B + 6*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (2*(a + 2*b)*(4*A*b + a*(A - 3*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(a^2*A - 4*A*b^2 + 3*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*(a^2*A - 2*A*b^2 + a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^3*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(2*A*b + a*(A - B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 7, -((2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 8, ((2*a*A*b - 3*a^2*B + b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b^2*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((2*A*b - (3*a + b)*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(2*A*b - 3*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((2*a*A*b - 3*a^2*B + b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((2*(8*a^4*A*b - 28*a^2*A*b^3 + 16*A*b^5 - 3*a^5*B + 15*a^3*b^2*B - 8*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^5*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) - (2*(16*A*b^4 - a^4*(A - 3*B) + 4*a*b^3*(3*A - 2*B) - 9*a^3*b*(A - B) - 2*a^2*b^2*(8*A + 3*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(10*a^2*A*b - 6*A*b^3 - 7*a^3*B + 3*a*b^2*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(a^4*A - 13*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 8*a^3*b*B - 4*a*b^3*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*(3*a^4*A - 15*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 2*a*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^3 - 3*a^3*(A - B) + 2*a*b^2*(3*A - B) - 3*a^2*b*(3*A + B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(8*a^2*A*b - 4*A*b^3 - 5*a^3*B + a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*(6*a^2*A*b - 2*A*b^3 - 3*a^3*B - a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(2*A*b^2 - 3*a^2*(A + B) + a*b*(3*A + B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(6*a^2*A*b - 2*A*b^3 - 3*a^3*B - a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(1/2)), x, 6, -((2*(3*a^2*A + A*b^2 - 4*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (2*(a*(3*A + B) - b*(A + 3*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(3*a^2*A + A*b^2 - 4*a*b*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 8, (2*(4*A*b^3 + 3*a^3*B - 7*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*b^2*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(3*A*b^3 + 3*a^3*B + a^2*b*B - a*b^2*(A + 6*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*b^2*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*a*(4*A*b^3 + 3*a^3*B - 7*a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x])/((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 9, ((6*a^3*A*b - 14*a*A*b^3 - 15*a^4*B + 26*a^2*b^2*B - 3*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*b^3*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((3*b^3*(4*A - B) + 15*a^3*B - a*b^2*(2*A + 21*B) - a^2*(6*A*b - 5*b*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*(a - b)*b^3*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(2*A*b - 5*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(2*a^2*A*b - 6*A*b^3 - 5*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((6*a^3*A*b - 14*a*A*b^3 - 15*a^4*B + 26*a^2*b^2*B - 3*b^4*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+
+
+{(a*B + b*B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a*B + b*B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*Sqrt[a + b]*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 3, -((2*Sqrt[a + b]*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]))}
+{(a*B + b*B*Cos[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 10, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (Sqrt[a + b]*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*Sqrt[a + b]*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Sec[e+f x])^m (a+b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x]) with m and/or n symbolic*)
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+{(c*Sec[e + f*x])^m*(a + b*Cos[e + f*x])^n*(A + B*Cos[e + f*x]), x, 1, (c*Cos[e + f*x])^m*(c*Sec[e + f*x])^m*Unintegrable[((a + b*Cos[e + f*x])^n*(A + B*Cos[e + f*x]))/(c*Cos[e + f*x])^m, x]}
+
+
+{(c*Sec[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x])*(a + b*Cos[e + f*x])^4, x, 10, If[$VersionNumber>=8, -((c^6*(4*a^3*A*b*(15 - 8*m + m^2) + a^4*B*(15 - 8*m + m^2) + 4*a*A*b^3*(10 - 7*m + m^2) + 6*a^2*b^2*B*(10 - 7*m + m^2) + b^4*B*(8 - 6*m + m^2))*Hypergeometric2F1[1/2, (6 - m)/2, (8 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(-6 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(2 - m)*(4 - m)*(6 - m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - (c^5*(a^4*A*(8 - 6*m + m^2) + 6*a^2*A*b^2*(4 - 5*m + m^2) + 4*a^3*b*B*(4 - 5*m + m^2) + A*b^4*(3 - 4*m + m^2) + 4*a*b^3*B*(3 - 4*m + m^2))*Hypergeometric2F1[1/2, (5 - m)/2, (7 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(-5 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - m)*(3 - m)*(5 - m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (a*c^5*(4*a^2*A*b*(3 - 4*m + m^2) + a^3*B*(3 - 4*m + m^2) + 2*A*b^3*(4 - 2*m + m^2) + a*b^2*B*(8 - 13*m + 5*m^2))*(c*Sec[e + f*x])^(-5 + m)*Tan[e + f*x])/(f*(1 - m)*(2 - m)*(4 - m)) - (a^2*c^5*(2*a*b*B*(1 - m)^2 + a^2*A*(2 - m)^2 + A*b^2*(6 - m + m^2))*Sec[e + f*x]*(c*Sec[e + f*x])^(-5 + m)*Tan[e + f*x])/(f*(1 - m)*(2 - m)*(3 - m)) - (a*c^5*(a*B*(1 - m) - A*b*(2 + m))*(c*Sec[e + f*x])^(-5 + m)*(b + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(f*(1 - m)*(2 - m)) - (a*A*c^5*(c*Sec[e + f*x])^(-5 + m)*(b + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(f*(1 - m)), -((c^6*(4*a^3*A*b*(15 - 8*m + m^2) + a^4*B*(15 - 8*m + m^2) + 4*a*A*b^3*(10 - 7*m + m^2) + 6*a^2*b^2*B*(10 - 7*m + m^2) + b^4*B*(8 - 6*m + m^2))*Hypergeometric2F1[1/2, (6 - m)/2, (8 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(-6 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(48 - 44*m + 12*m^2 - m^3)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - (c^5*(a^4*A*(8 - 6*m + m^2) + 6*a^2*A*b^2*(4 - 5*m + m^2) + 4*a^3*b*B*(4 - 5*m + m^2) + A*b^4*(3 - 4*m + m^2) + 4*a*b^3*B*(3 - 4*m + m^2))*Hypergeometric2F1[1/2, (5 - m)/2, (7 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(-5 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - m)*(15 - 8*m + m^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (a*c^5*(4*a^2*A*b*(3 - 4*m + m^2) + a^3*B*(3 - 4*m + m^2) + 2*A*b^3*(4 - 2*m + m^2) + a*b^2*B*(8 - 13*m + 5*m^2))*(c*Sec[e + f*x])^(-5 + m)*Tan[e + f*x])/(f*(1 - m)*(8 - 6*m + m^2)) - (a^2*c^5*(2*a*b*B*(1 - m)^2 + a^2*A*(2 - m)^2 + A*b^2*(6 - m + m^2))*Sec[e + f*x]*(c*Sec[e + f*x])^(-5 + m)*Tan[e + f*x])/(f*(6 - 11*m + 6*m^2 - m^3)) - (a*c^5*(a*B*(1 - m) - A*b*(2 + m))*(c*Sec[e + f*x])^(-5 + m)*(b + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(f*(2 - 3*m + m^2)) - (a*A*c^5*(c*Sec[e + f*x])^(-5 + m)*(b + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(f*(1 - m))]}
+{(c*Sec[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x])*(a + b*Cos[e + f*x])^3, x, 9, If[$VersionNumber>=8, -((c^5*(a^3*A*(8 - 6*m + m^2) + 3*a*A*b^2*(4 - 5*m + m^2) + 3*a^2*b*B*(4 - 5*m + m^2) + b^3*B*(3 - 4*m + m^2))*Hypergeometric2F1[1/2, (5 - m)/2, (7 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(-5 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - m)*(3 - m)*(5 - m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - (c^4*(A*b^3*(2 - m) + 3*a*b^2*B*(2 - m) + 3*a^2*A*b*(3 - m) + a^3*B*(3 - m))*Hypergeometric2F1[1/2, (4 - m)/2, (6 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(-4 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(2 - m)*(4 - m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (a*c^4*(3*a*b*B*(1 - m) + a^2*A*(2 - m) - 2*A*b^2*m)*(c*Sec[e + f*x])^(-4 + m)*Tan[e + f*x])/(f*(1 - m)*(3 - m)) - (a^2*c^4*(a*B*(1 - m) - A*b*(1 + m))*Sec[e + f*x]*(c*Sec[e + f*x])^(-4 + m)*Tan[e + f*x])/(f*(1 - m)*(2 - m)) - (a*A*c^4*(c*Sec[e + f*x])^(-4 + m)*(b + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(f*(1 - m)), -((c^5*(a^3*A*(8 - 6*m + m^2) + 3*a*A*b^2*(4 - 5*m + m^2) + 3*a^2*b*B*(4 - 5*m + m^2) + b^3*B*(3 - 4*m + m^2))*Hypergeometric2F1[1/2, (5 - m)/2, (7 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(-5 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - m)*(15 - 8*m + m^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - (c^4*(A*b^3*(2 - m) + 3*a*b^2*B*(2 - m) + 3*a^2*A*b*(3 - m) + a^3*B*(3 - m))*Hypergeometric2F1[1/2, (4 - m)/2, (6 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(-4 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(8 - 6*m + m^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (a*c^4*(3*a*b*B*(1 - m) + a^2*A*(2 - m) - 2*A*b^2*m)*(c*Sec[e + f*x])^(-4 + m)*Tan[e + f*x])/(f*(3 - 4*m + m^2)) - (a^2*c^4*(a*B*(1 - m) - A*b*(1 + m))*Sec[e + f*x]*(c*Sec[e + f*x])^(-4 + m)*Tan[e + f*x])/(f*(2 - 3*m + m^2)) - (a*A*c^4*(c*Sec[e + f*x])^(-4 + m)*(b + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(f*(1 - m))]}
+{(c*Sec[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x])*(a + b*Cos[e + f*x])^2, x, 8, If[$VersionNumber>=8, -((c^4*(b^2*B*(2 - m) + 2*a*A*b*(3 - m) + a^2*B*(3 - m))*Hypergeometric2F1[1/2, (4 - m)/2, (6 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(-4 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(2 - m)*(4 - m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - (c^3*(A*b^2*(1 - m) + 2*a*b*B*(1 - m) + a^2*A*(2 - m))*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - m)/2, (5 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(-3 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - m)*(3 - m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (a*c^3*(a*B*(1 - m) - A*b*m)*(c*Sec[e + f*x])^(-3 + m)*Tan[e + f*x])/(f*(1 - m)*(2 - m)) - (a*A*c^3*(c*Sec[e + f*x])^(-3 + m)*(b + a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(f*(1 - m)), -((c^4*(b^2*B*(2 - m) + 2*a*A*b*(3 - m) + a^2*B*(3 - m))*Hypergeometric2F1[1/2, (4 - m)/2, (6 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(-4 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(8 - 6*m + m^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - (c^3*(A*b^2*(1 - m) + 2*a*b*B*(1 - m) + a^2*A*(2 - m))*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - m)/2, (5 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(-3 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(3 - 4*m + m^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (a*c^3*(a*B*(1 - m) - A*b*m)*(c*Sec[e + f*x])^(-3 + m)*Tan[e + f*x])/(f*(2 - 3*m + m^2)) - (a*A*c^3*(c*Sec[e + f*x])^(-3 + m)*(b + a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(f*(1 - m))]}
+{(c*Sec[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x])*(a + b*Cos[e + f*x])^1, x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((c^3*(b*B*(1 - m) + a*A*(2 - m))*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - m)/2, (5 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(-3 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - m)*(3 - m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - ((A*b + a*B)*c^2*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - m)/2, (4 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(-2 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(2 - m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (a*A*c^2*(c*Sec[e + f*x])^(-2 + m)*Tan[e + f*x])/(f*(1 - m)), -((c^3*(b*B*(1 - m) + a*A*(2 - m))*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - m)/2, (5 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(-3 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(3 - 4*m + m^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - ((A*b + a*B)*c^2*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - m)/2, (4 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(-2 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(2 - m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (a*A*c^2*(c*Sec[e + f*x])^(-2 + m)*Tan[e + f*x])/(f*(1 - m))]}
+{(c*Sec[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x])/(a + b*Cos[e + f*x])^1, x, 10, -(((A*b - a*B)*AppellF1[1/2, m/2, 1, 3/2, Sin[e + f*x]^2, -((b^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(Cos[e + f*x]^2)^(m/2)*(c*Sec[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/((a^2 - b^2)*c*f)) + (a*(A*b - a*B)*AppellF1[1/2, (1 + m)/2, 1, 3/2, Sin[e + f*x]^2, -((b^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*(Cos[e + f*x]^2)^((1 + m)/2)*(c*Sec[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(b*(a^2 - b^2)*c*f) - (B*c*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - m)/2, (3 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(-1 + m)*Sin[e + f*x])/(b*f*(1 - m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+{(c*Sec[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x])*(a + b*Cos[e + f*x])^(3/2), x, 2, (2*b*B*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Cos[e + f*x]]*(c*Sec[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/(f*(5 - 2*m)) + (2*(c*Cos[e + f*x])^m*(c*Sec[e + f*x])^m*Unintegrable[((1/2)*a*c*(2*b*B*(1 - m) + 2*a*A*(5/2 - m)) + (1/2)*c*(b^2*B*(3 - 2*m) + a*(2*A*b + a*B)*(5 - 2*m))*Cos[e + f*x] + (1/2)*b*c*(A*b*(5 - 2*m) + 2*a*B*(3 - m))*Cos[e + f*x]^2)/((c*Cos[e + f*x])^m*Sqrt[a + b*Cos[e + f*x]]), x])/(c*(5 - 2*m))}
+{(c*Sec[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x])*(a + b*Cos[e + f*x])^(1/2), x, 1, (c*Cos[e + f*x])^m*(c*Sec[e + f*x])^m*Unintegrable[(Sqrt[a + b*Cos[e + f*x]]*(A + B*Cos[e + f*x]))/(c*Cos[e + f*x])^m, x]}
+{(c*Sec[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x])/(a + b*Cos[e + f*x])^(1/2), x, 1, (c*Cos[e + f*x])^m*(c*Sec[e + f*x])^m*Unintegrable[(A + B*Cos[e + f*x])/((c*Cos[e + f*x])^m*Sqrt[a + b*Cos[e + f*x]]), x]}
+{(c*Sec[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x])/(a + b*Cos[e + f*x])^(3/2), x, 2, (2*b*(A*b - a*B)*Cos[e + f*x]*(c*Sec[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/(a*(a^2 - b^2)*f*Sqrt[a + b*Cos[e + f*x]]) + (2*(c*Cos[e + f*x])^m*(c*Sec[e + f*x])^m*Unintegrable[((1/2)*c*(a^2*A + A*b^2*(1 - 2*m) - 2*a*b*B*(1 - m)) - (1/2)*a*(A*b - a*B)*c*Cos[e + f*x] - (1/2)*b*(A*b - a*B)*c*(3 - 2*m)*Cos[e + f*x]^2)/((c*Cos[e + f*x])^m*Sqrt[a + b*Cos[e + f*x]]), x])/(a*(a^2 - b^2)*c)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x])^m (c+d Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Cos[e+f x])^m (c-c Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Cos[e+f x])^m (c+d Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x])*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x])^m (c+d Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x])*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.4.1 (a+b cos)^m (A+B cos+C cos^2).m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.4.1 (a+b cos)^m (A+B cos+C cos^2).m
new file mode 100644
index 00000000..6254eaae
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.4.1 (a+b cos)^m (A+B cos+C cos^2).m	
@@ -0,0 +1,838 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (A+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[c+d x])^m (A+C Cos[c+d x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (A+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^7*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, ((A + C)*Sin[c + d*x])/d - ((3*A + 4*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*(A + 2*C)*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - ((A + 4*C)*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (C*Sin[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, ((A + C)*Sin[c + d*x])/d - ((2*A + 3*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + ((A + 3*C)*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (C*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, ((A + C)*Sin[c + d*x])/d - ((A + 2*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (C*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 2, ((A + C)*Sin[c + d*x])/d - (C*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 2, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (C*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 2, ((A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, ((3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((3*A + 4*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (A*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, ((5*A + 6*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + ((5*A + 6*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + ((5*A + 6*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(24*d) + (A*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+
+{Cos[c + d*x]^6*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, (5*(8*A + 7*C)*x)/128 + (5*(8*A + 7*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (5*(8*A + 7*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*d) + ((8*A + 7*C)*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*d) + (C*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, ((6*A + 5*C)*x)/16 + ((6*A + 5*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + ((6*A + 5*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (C*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, ((4*A + 3*C)*x)/8 + ((4*A + 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 2, C*x + (A*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, ((2*A + 3*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (A*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, ((4*A + 5*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (A*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((4*A + 5*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^8*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, ((6*A + 7*C)*Tan[c + d*x])/(7*d) + (A*Sec[c + d*x]^6*Tan[c + d*x])/(7*d) + (2*(6*A + 7*C)*Tan[c + d*x]^3)/(21*d) + ((6*A + 7*C)*Tan[c + d*x]^5)/(35*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^(m/2) (A+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, (2*b^2*(9*A + 7*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b*(9*A + 7*C)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, (2*b^2*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*(7*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(1/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (2*(5*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, -((2*(A - C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (2*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 4, -((2*(3*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(9/2), x, 4, (2*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b^4*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(7*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (2*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*b^3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{(3 - 5*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 1, -((2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/d)}
+{(1 - 3*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 1, (-2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[e+f x])^(m/2) (A+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)*(b*Sec[c + d*x])^(9/2), x, 5, (2*b^4*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b^3*(5*A + 7*C)*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*b^2*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)*(b*Sec[c + d*x])^(7/2), x, 5, -((2*b^4*(3*A + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (2*b^3*(3*A + 5*C)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*A*b^2*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)*(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (2*b^2*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*A*b^2*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)*(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((2*b^2*(A - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (2*A*b^2*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)*(b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 4, (2*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b^2*C*Tan[c + d*x])/(3*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 4, (2*(5*A + 3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*C*Tan[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/2))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*b^2*d) + (2*(7*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(21*b*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*C*Tan[c + d*x])/(7*d*(b*Sec[c + d*x])^(7/2))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*(9*A + 7*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(45*b*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*b^2*C*Tan[c + d*x])/(9*d*(b*Sec[c + d*x])^(9/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (A+C Cos[e+f x]^2) with m symbolic*)
+
+
+{(b*Cos[c + d*x])^m*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 2, (C*(b*Cos[c + d*x])^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(b*d*(2 + m)) - ((C*(1 + m) + A*(2 + m))*(b*Cos[c + d*x])^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{(b*Cos[c + d*x])^m*(-((C*(1 + m))/(2 + m)) + C*Cos[c + d*x]^2), x, 1, (C*(b*Cos[c + d*x])^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(b*d*(2 + m))}
+{(b*Cos[c + d*x])^m*(A - (A*(2 + m)*Cos[c + d*x]^2)/(1 + m)), x, 1, -((A*(b*Cos[c + d*x])^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 + m)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[c+d x])^m (b Cos[c+d x])^n (A+C Cos[c+d x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[c+d x]^m (b Cos[c+d x])^(n/2) (A+C Cos[c+d x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, (2*(9*A + 7*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(9*A + 7*C)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*b*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, (2*b*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*(7*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^2*d)}
+{Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (2*(5*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x], x, 4, (2*b*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 4, -((2*(A - C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*b*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 4, (2*b*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^2*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 5, -((2*(3*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*b^3*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*b*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 5, (2*b*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^4*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (2*b^2*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, (2*b*(9*A + 7*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(9*A + 7*C)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b^2*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, (2*b^2*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*(7*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x], x, 4, (2*b*(5*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 4, (2*b^2*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 4, -((2*b*(A - C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*b^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 4, (2*b^2*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^3*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 5, -((2*b*(3*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*b^4*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*b^2*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^6, x, 5, (2*b^2*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^5*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (2*b^3*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, (2*b^2*(9*A + 7*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b*(9*A + 7*C)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x], x, 5, (2*b^3*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*(7*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 4, (2*b^2*(5*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b*C*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 4, (2*b^3*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 4, -((2*b^2*(A - C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*b^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 4, (2*b^3*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^4*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^6, x, 5, -((2*b^2*(3*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*b^5*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*b^3*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^7, x, 5, (2*b^3*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^6*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (2*b^4*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (10*(11*A + 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*(11*A + 9*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*b*d) + (2*(11*A + 9*C)*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*b^3*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(9/2)*Sin[c + d*x])/(11*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*(9*A + 7*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(9*A + 7*C)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*b^2*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*(7*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (2*(5*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, -((2*(A - C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (2*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, -((2*(3*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*b^2*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^3*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (2*b*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, -((2*(7*A + 9*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*b^4*Sin[c + d*x])/(9*d*(b*Cos[c + d*x])^(9/2)) + (2*b^2*(7*A + 9*C)*Sin[c + d*x])/(45*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*(7*A + 9*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*(9*A + 7*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(9*A + 7*C)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*b^3*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*(7*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b^2*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*(5*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, -((2*(A - C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((2*(3*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*b*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^2*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (2*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*(9*A + 7*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(9*A + 7*C)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*b^4*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b^6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*(7*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b^3*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (2*(5*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (2*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((2*(A - C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (2*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, -((2*(3*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (2*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^0*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 4, -((2*(3*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^0*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(9/2), x, 4, (2*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b^4*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(7*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (2*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*b^3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[c+d x])^(m/2) (b Cos[c+d x])^(n/2) (A+C Cos[c+d x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, ((A + C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A + 2*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^5)/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, ((4*A + 3*C)*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((4*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, ((A + C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 4, (A*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (C*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 3, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 3, (C*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 3, ((A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{(Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 4, (A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + ((2*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 4, ((3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + ((3*A + 4*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, (b*(A + C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (b*(A + 2*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^5)/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, (b*(4*A + 3*C)*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*(4*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{((b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 3, (b*(A + C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (b*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 4, (A*b*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (b*C*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{((b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 3, (A*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 3, (b*C*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 3, (b*(A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 4, (A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (b*(2*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(13/2), x, 4, (b*(3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (b*(3*A + 4*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, (b^2*(A + C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (b^2*(A + 2*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^5)/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 4, (b^2*(4*A + 3*C)*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*(4*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b^2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{((b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 3, (b^2*(A + C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (b^2*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 4, (A*b^2*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (b^2*C*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{((b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 3, (A*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 3, (b^2*C*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 3, (b^2*(A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(13/2), x, 4, (A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (b^2*(2*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(15/2), x, 4, (b^2*(3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (b^2*(3*A + 4*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 4, ((4*A + 3*C)*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(8*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((4*A + 3*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 3, ((A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) - (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 4, (A*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/Sqrt[b*Cos[c + d*x]] + (C*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]), x, 3, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]), x, 3, (C*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/Sqrt[b*Cos[c + d*x]] + (A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]), x, 3, ((A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]), x, 4, (A*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((2*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(9/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]), x, 4, ((3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, ((4*A + 3*C)*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(8*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((4*A + 3*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, ((A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) - (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (A*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 3, (C*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 3, ((A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 4, (A*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((2*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 4, ((3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(8*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(8*b*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(9/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, ((4*A + 3*C)*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(8*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((4*A + 3*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, ((A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) - (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (A*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (C*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 3, ((A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 4, (A*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((2*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 4, ((3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(8*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(8*b^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[c+d x]^m (b Cos[c+d x])^(n/3) (A+C Cos[c+d x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(10/3)*Sin[c + d*x])/(13*b^3*d) - (3*(13*A + 10*C)*(b*Cos[c + d*x])^(10/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/3, 8/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(130*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Sin[c + d*x])/(10*b^2*d) - (3*(10*A + 7*C)*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(70*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^0*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 2, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(7*b*d) - (3*(7*A + 4*C)*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(28*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1, x, 3, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(4*d) - (3*(4*A + C)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 3, (3*A*b*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)) + (3*(A - 2*C)*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 3, (3*A*b^2*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)) - (3*(2*A + 5*C)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(11/3)*Sin[c + d*x])/(14*b^3*d) - (3*(14*A + 11*C)*(b*Cos[c + d*x])^(11/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 11/6, 17/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(154*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)*Sin[c + d*x])/(11*b^2*d) - (3*(11*A + 8*C)*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 4/3, 7/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(88*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^0*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 2, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Sin[c + d*x])/(8*b*d) - (3*(8*A + 5*C)*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(40*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1, x, 3, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(5*d) - (3*(5*A + 2*C)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 3, (3*A*b*Sin[c + d*x])/(d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)) + (3*(2*A - C)*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 3, (3*A*b^2*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)) - (3*(A + 4*C)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(13/3)*Sin[c + d*x])/(16*b^3*d) - (3*(16*A + 13*C)*(b*Cos[c + d*x])^(13/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 13/6, 19/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(208*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(10/3)*Sin[c + d*x])/(13*b^2*d) - (3*(13*A + 10*C)*(b*Cos[c + d*x])^(10/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/3, 8/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(130*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^0*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 2, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Sin[c + d*x])/(10*b*d) - (3*(10*A + 7*C)*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(70*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1, x, 3, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(7*d) - (3*(7*A + 4*C)*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(28*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 3, (3*b*C*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(4*d) - (3*b*(4*A + C)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 3, (3*A*b^2*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)) + (3*(A - 2*C)*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 3, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)*Sin[c + d*x])/(11*b^3*d) - (3*(11*A + 8*C)*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 4/3, 7/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(88*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Cos[c + d*x]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 3, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Sin[c + d*x])/(8*b^2*d) - (3*(8*A + 5*C)*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(40*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 2, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(5*b*d) - (3*(5*A + 2*C)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 3, (3*A*Sin[c + d*x])/(d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)) + (3*(2*A - C)*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 3, (3*A*b*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)) - (3*(A + 4*C)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 3, (3*A*b^2*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)) + (3*(4*A + 7*C)*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 3, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Sin[c + d*x])/(10*b^3*d) - (3*(10*A + 7*C)*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(70*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Cos[c + d*x]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 3, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(7*b^2*d) - (3*(7*A + 4*C)*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(28*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 2, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(4*b*d) - (3*(4*A + C)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 3, (3*A*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)) + (3*(A - 2*C)*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 3, (3*A*b*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)) - (3*(2*A + 5*C)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 3, (3*A*b^2*Sin[c + d*x])/(8*d*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)) + (3*(5*A + 8*C)*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(16*d*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 3, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Sin[c + d*x])/(8*b^3*d) - (3*(8*A + 5*C)*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(40*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Cos[c + d*x]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 3, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d) - (3*(5*A + 2*C)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 2, (3*A*Sin[c + d*x])/(b*d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)) + (3*(2*A - C)*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 3, (3*A*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)) - (3*(A + 4*C)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 3, (3*A*b*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)) + (3*(4*A + 7*C)*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 3, (3*A*b^2*Sin[c + d*x])/(10*d*(b*Cos[c + d*x])^(10/3)) + (3*(7*A + 10*C)*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(40*d*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[c+d x])^m (b Cos[c+d x])^n (A+C Cos[c+d x]^2) with m symbolic*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^m*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, If[$VersionNumber>=8, (3*b*C*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(10 + 3*m)) - (3*b*(C*(7 + 3*m) + A*(10 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(7 + 3*m), (1/6)*(13 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 3*m)*(10 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*b*C*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(10 + 3*m)) - (3*b*(C*(7 + 3*m) + A*(10 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(7 + 3*m), (1/6)*(13 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(70 + 51*m + 9*m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Cos[c + d*x]^m*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, If[$VersionNumber>=8, (3*C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(8 + 3*m)) - (3*(C*(5 + 3*m) + A*(8 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(5 + 3*m), (1/6)*(11 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 3*m)*(8 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(8 + 3*m)) - (3*(C*(5 + 3*m) + A*(8 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(5 + 3*m), (1/6)*(11 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(40 + 39*m + 9*m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Cos[c + d*x]^m*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, If[$VersionNumber>=8, (3*C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 3*m)) - (3*(C*(4 + 3*m) + A*(7 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(4 + 3*m), (1/6)*(10 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)*(7 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 3*m)) - (3*(C*(4 + 3*m) + A*(7 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(4 + 3*m), (1/6)*(10 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(28 + 33*m + 9*m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{(Cos[c + d*x]^m*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 3, If[$VersionNumber>=8, (3*C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)) - (3*(C*(2 + 3*m) + A*(5 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(2 + 3*m), (1/6)*(8 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + 3*m)*(5 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)) - (3*(C*(2 + 3*m) + A*(5 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(2 + 3*m), (1/6)*(8 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(10 + 21*m + 9*m^2)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{(Cos[c + d*x]^m*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 3, If[$VersionNumber>=8, (3*C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)) - (3*(C + 3*C*m + A*(4 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(1 + 3*m), (1/6)*(7 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 3*m)*(4 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)) - (3*(C + 3*C*m + A*(4 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(1 + 3*m), (1/6)*(7 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 15*m + 9*m^2)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{(Cos[c + d*x]^m*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 3, If[$VersionNumber>=8, (3*C*Cos[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(b*d*(2 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)) - (3*(C*(1 - 3*m) - A*(2 + 3*m))*Cos[c + d*x]^m*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-1 + 3*m), (1/6)*(5 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 - 3*m)*(2 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*C*Cos[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(b*d*(2 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)) - (3*(C*(1 - 3*m) - A*(2 + 3*m))*Cos[c + d*x]^m*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-1 + 3*m), (1/6)*(5 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(2 - 3*m - 9*m^2)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[c+d x])^m (b Cos[c+d x])^n (A+C Cos[c+d x]^2) with n symbolic*)
+
+
+{(a*Cos[c + d*x])^m*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (C*(a*Cos[c + d*x])^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(a*d*(2 + m + n)) - ((C*(1 + m + n) + A*(2 + m + n))*(a*Cos[c + d*x])^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + m + n), (1/2)*(3 + m + n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(a*d*(1 + m + n)*(2 + m + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (C*(b*Cos[c + d*x])^(3 + n)*Sin[c + d*x])/(b^3*d*(4 + n)) - ((C*(3 + n) + A*(4 + n))*(b*Cos[c + d*x])^(3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + n)/2, (5 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^3*d*(3 + n)*(4 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (C*(b*Cos[c + d*x])^(2 + n)*Sin[c + d*x])/(b^2*d*(3 + n)) - ((C*(2 + n) + A*(3 + n))*(b*Cos[c + d*x])^(2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*(2 + n)*(3 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^0*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 2, (C*(b*Cos[c + d*x])^(1 + n)*Sin[c + d*x])/(b*d*(2 + n)) - ((C*(1 + n) + A*(2 + n))*(b*Cos[c + d*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 + n)*(2 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^n*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1, x, 3, (C*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + n)) - ((A + A*n + C*n)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*n*(1 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^n*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 3, (b*C*(b*Cos[c + d*x])^(-1 + n)*Sin[c + d*x])/(d*n) - (b*(C*(1 - n) - A*n)*(b*Cos[c + d*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (-1 + n)/2, (1 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*n*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^n*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 3, If[$VersionNumber>=8, -((b^2*C*(b*Cos[c + d*x])^(-2 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n))) + (b^2*(A*(1 - n) + C*(2 - n))*(b*Cos[c + d*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-2 + n), n/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*(2 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), -((b^2*C*(b*Cos[c + d*x])^(-2 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n))) + (b^2*(A*(1 - n) + C*(2 - n))*(b*Cos[c + d*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-2 + n), n/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 - 3*n + n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{(b*Cos[c + d*x])^n*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 3, If[$VersionNumber>=8, -((b^3*C*(b*Cos[c + d*x])^(-3 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n))) + (b^3*(A*(2 - n) + C*(3 - n))*(b*Cos[c + d*x])^(-3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-3 + n), (1/2)*(-1 + n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n)*(3 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), -((b^3*C*(b*Cos[c + d*x])^(-3 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n))) + (b^3*(A*(2 - n) + C*(3 - n))*(b*Cos[c + d*x])^(-3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-3 + n), (1/2)*(-1 + n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(6 - 5*n + n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, If[$VersionNumber>=8, (2*C*Cos[c + d*x]^(7/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(9 + 2*n)) - (2*(C*(7 + 2*n) + A*(9 + 2*n))*Cos[c + d*x]^(7/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(7 + 2*n), (1/4)*(11 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 2*n)*(9 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (2*C*Cos[c + d*x]^(7/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(9 + 2*n)) - (2*(C*(7 + 2*n) + A*(9 + 2*n))*Cos[c + d*x]^(7/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(7 + 2*n), (1/4)*(11 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(63 + 32*n + 4*n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, If[$VersionNumber>=8, (2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 2*n)) - (2*(C*(5 + 2*n) + A*(7 + 2*n))*Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(5 + 2*n), (1/4)*(9 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)*(7 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 2*n)) - (2*(C*(5 + 2*n) + A*(7 + 2*n))*Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(5 + 2*n), (1/4)*(9 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(35 + 24*n + 4*n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, If[$VersionNumber>=8, (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)) - (2*(C*(3 + 2*n) + A*(5 + 2*n))*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(3 + 2*n), (1/4)*(7 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)*(5 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)) - (2*(C*(3 + 2*n) + A*(5 + 2*n))*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(3 + 2*n), (1/4)*(7 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(15 + 16*n + 4*n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 3, If[$VersionNumber>=8, (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)) - (2*(C + 2*C*n + A*(3 + 2*n))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 + 2*n), (1/4)*(5 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)*(3 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)) - (2*(C + 2*C*n + A*(3 + 2*n))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 + 2*n), (1/4)*(5 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 8*n + 4*n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 3, (2*C*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(A - C*(1 - 2*n) + 2*A*n)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (-1 + 2*n)/4, (3 + 2*n)/4, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 4*n^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 3, If[$VersionNumber>=8, -((2*C*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(3/2))) + (2*(A + C*(3 - 2*n) - 2*A*n)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-3 + 2*n), (1/4)*(1 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*(3 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), -((2*C*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(3/2))) + (2*(A + C*(3 - 2*n) - 2*A*n)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-3 + 2*n), (1/4)*(1 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 8*n + 4*n^2)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 3, If[$VersionNumber>=8, -((2*C*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(5/2))) + (2*(A*(3 - 2*n) + C*(5 - 2*n))*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-5 + 2*n), (1/4)*(-1 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*(5 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), -((2*C*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(5/2))) + (2*(A*(3 - 2*n) + C*(5 - 2*n))*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-5 + 2*n), (1/4)*(-1 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(15 - 16*n + 4*n^2)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 3, If[$VersionNumber>=8, -((2*C*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(7/2))) + (2*(A*(5 - 2*n) + C*(7 - 2*n))*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-7 + 2*n), (1/4)*(-3 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 2*n)*(7 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), -((2*C*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(7/2))) + (2*(A*(5 - 2*n) + C*(7 - 2*n))*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-7 + 2*n), (1/4)*(-3 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(35 - 24*n + 4*n^2)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x])^m (A+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Cos[e+f x])^m (A+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+{(a + a*Cos[e + f*x])^m*(A + C*Cos[e + f*x]^2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((C*(a + a*Cos[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/(f*(2 + 3*m + m^2))) + (C*(a + a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(a*f*(2 + m)) + (2^(1/2 + m)*(C*(1 + m + m^2) + A*(2 + 3*m + m^2))*(1 + Cos[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Cos[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[e + f*x])]*Sin[e + f*x])/(f*(1 + m)*(2 + m)), -((C*(a + a*Cos[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/(f*(2 + 3*m + m^2))) + (C*(a + a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(a*f*(2 + m)) + (2^(1/2 + m)*(C*(1 + m + m^2) + A*(2 + 3*m + m^2))*(1 + Cos[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Cos[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[e + f*x])]*Sin[e + f*x])/(f*(2 + 3*m + m^2))]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 4, -((9*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(40*d)) + (3*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/3)*Sin[c + d*x])/(8*a*d) + ((40*A + 19*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/(10*2^(5/6)*d*(1 + Cos[c + d*x])^(7/6))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 4, -((9*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(28*d)) + (3*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(7*a*d) + ((28*A + 13*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/(14*2^(1/6)*d*(1 + Cos[c + d*x])^(5/6))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 4, -((9*C*Sin[c + d*x])/(10*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3))) + (3*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) + ((10*A + 7*C)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/(5*2^(5/6)*d*(1 + Cos[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 4, (3*(A + C)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3)) + (3*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(4*a*d) - ((4*A + 7*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/(2*2^(1/6)*a*d*(1 + Cos[c + d*x])^(5/6))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x])^m (A+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x])^(n/3) (A+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 8, (3*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Sin[c + d*x])/(8*b*d) - (3*a*(a + b)*C*AppellF1[1/2, 1/2, -(5/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(4*Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) + ((3*a^2*C + b^2*(8*A + 5*C))*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(4*Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(2/3))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 8, (3*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(7*b*d) - (3*Sqrt[2]*a*(a + b)*C*AppellF1[1/2, 1/2, -(4/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(7*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) + (Sqrt[2]*(3*a^2*C + b^2*(7*A + 4*C))*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(7*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 8, (3*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(5*b*d) - (3*Sqrt[2]*a*C*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) + (Sqrt[2]*(3*a^2*C + b^2*(5*A + 2*C))*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 8, (3*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(4*b*d) - (3*a*C*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) + ((3*a^2*C + b^2*(4*A + C))*AppellF1[1/2, 1/2, 2/3, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(2/3)*Sin[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x])^m (A+C Cos[e+f x]^2) with m symbolic*)
+
+
+{(a + b*Cos[e + f*x])^m*(A - A*Cos[e + f*x]^2), x, 7, -((4*Sqrt[2]*A*AppellF1[1/2, -(3/2), -m, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[e + f*x]), (b*(1 - Cos[e + f*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/(((a + b*Cos[e + f*x])/(a + b))^m*(f*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]]))) + (4*Sqrt[2]*A*AppellF1[1/2, -(1/2), -m, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[e + f*x]), (b*(1 - Cos[e + f*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/(((a + b*Cos[e + f*x])/(a + b))^m*(f*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]]))}
+
+
+{(a + b*Cos[e + f*x])^m*(A + C*Cos[e + f*x]^2), x, 8, (C*(a + b*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(b*f*(2 + m)) - (Sqrt[2]*a*(a + b)*C*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[e + f*x]), (b*(1 - Cos[e + f*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/(((a + b*Cos[e + f*x])/(a + b))^m*(b^2*f*(2 + m)*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])) + (Sqrt[2]*(a^2*C + b^2*(C*(1 + m) + A*(2 + m)))*AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[e + f*x]), (b*(1 - Cos[e + f*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/(((a + b*Cos[e + f*x])/(a + b))^m*(b^2*f*(2 + m)*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]]))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+{(a*Cos[e + f*x])^m*(B*Cos[e + f*x] + C*Cos[e + f*x]^2), x, 4, -((B*(a*Cos[e + f*x])^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(a^2*f*(2 + m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - (C*(a*Cos[e + f*x])^(3 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(a^3*f*(3 + m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Cos[e+f x])^n (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Cos[e+f x])^(n/2) (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^(m/2) (b Cos[e+f x])^(n/2) (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Cos[e+f x])^(n/3) (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^m*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, -((3*B*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(7 + 3*m), (1/6)*(13 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*C*Cos[c + d*x]^(3 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(10 + 3*m), (1/6)*(16 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(10 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^m*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, -((3*B*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(8 + 3*m), (1/6)*(14 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(8 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*C*Cos[c + d*x]^(3 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(11 + 3*m), (1/6)*(17 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(11 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^m*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, -((3*b*B*Cos[c + d*x]^(3 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(10 + 3*m), (1/6)*(16 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(10 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*b*C*Cos[c + d*x]^(4 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(13 + 3*m), (1/6)*(19 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(13 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^m*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 5, -((3*B*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(5 + 3*m), (1/6)*(11 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*C*Cos[c + d*x]^(3 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(8 + 3*m), (1/6)*(14 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(8 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^m*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 5, -((3*B*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(4 + 3*m), (1/6)*(10 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*C*Cos[c + d*x]^(3 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(7 + 3*m), (1/6)*(13 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^m*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 5, -((3*B*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(2 + 3*m), (1/6)*(8 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(2 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*C*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(5 + 3*m), (1/6)*(11 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(5 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Cos[e+f x])^n (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) with n symbolic*)
+
+
+{(a*Cos[c + d*x])^m*(b*Cos[c + d*x])^n*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, -((B*(a*Cos[c + d*x])^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(2 + m + n), (1/2)*(4 + m + n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(2 + m + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (C*(a*Cos[c + d*x])^(3 + m)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(3 + m + n), (1/2)*(5 + m + n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(a^3*d*(3 + m + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Cos[c + d*x])^n*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, -((B*(b*Cos[c + d*x])^(4 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (4 + n)/2, (6 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^4*d*(4 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (C*(b*Cos[c + d*x])^(5 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (5 + n)/2, (7 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^5*d*(5 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Cos[c + d*x])^n*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, -((B*(b*Cos[c + d*x])^(3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + n)/2, (5 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^3*d*(3 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (C*(b*Cos[c + d*x])^(4 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (4 + n)/2, (6 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^4*d*(4 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^0*(b*Cos[c + d*x])^n*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, -((B*(b*Cos[c + d*x])^(2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*(2 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (C*(b*Cos[c + d*x])^(3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + n)/2, (5 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^3*d*(3 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^n*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1, x, 5, -((B*(b*Cos[c + d*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (C*(b*Cos[c + d*x])^(2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*(2 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^n*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 5, -((B*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*n*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (C*(b*Cos[c + d*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^n*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 5, (b*B*(b*Cos[c + d*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (C*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*n*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^n*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 5, (b^2*B*(b*Cos[c + d*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-2 + n), n/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (b*C*(b*Cos[c + d*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, -((2*B*Cos[c + d*x]^(9/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(9 + 2*n), (1/4)*(13 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(9 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (2*C*Cos[c + d*x]^(11/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(11 + 2*n), (1/4)*(15 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(11 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, -((2*B*Cos[c + d*x]^(7/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(7 + 2*n), (1/4)*(11 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (2*C*Cos[c + d*x]^(9/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(9 + 2*n), (1/4)*(13 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(9 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^n*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, -((2*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(5 + 2*n), (1/4)*(9 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (2*C*Cos[c + d*x]^(7/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(7 + 2*n), (1/4)*(11 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 5, -((2*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(3 + 2*n), (1/4)*(7 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(5 + 2*n), (1/4)*(9 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 5, -((2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 + 2*n), (1/4)*(5 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(3 + 2*n), (1/4)*(7 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 5, (2*B*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-1 + 2*n), (1/4)*(3 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 + 2*n), (1/4)*(5 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 5, (2*B*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-3 + 2*n), (1/4)*(1 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-1 + 2*n), (1/4)*(3 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 5, (2*B*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-5 + 2*n), (1/4)*(-1 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-3 + 2*n), (1/4)*(1 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x])^m (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Cos[e+f x])^m (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+{(a + a*Cos[e + f*x])^m*(B*Cos[e + f*x] + C*Cos[e + f*x]^2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, -(((C - B*(2 + m))*(a + a*Cos[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/(f*(1 + m)*(2 + m))) + (C*(a + a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(a*f*(2 + m)) + (2^(1/2 + m)*(B*m*(2 + m) + C*(1 + m + m^2))*(1 + Cos[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Cos[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[e + f*x])]*Sin[e + f*x])/(f*(1 + m)*(2 + m)), -(((C - B*(2 + m))*(a + a*Cos[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/(f*(1 + m)*(2 + m))) + (C*(a + a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(a*f*(2 + m)) + (2^(1/2 + m)*(B*m*(2 + m) + C*(1 + m + m^2))*(1 + Cos[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Cos[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[e + f*x])]*Sin[e + f*x])/(f*(2 + 3*m + m^2))]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x])^m (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+{(a + b*Cos[e + f*x])^m*(B*Cos[e + f*x] + C*Cos[e + f*x]^2), x, 8, (C*(a + b*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(b*f*(2 + m)) - (Sqrt[2]*(a + b)*(a*C - b*B*(2 + m))*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[e + f*x]), (b*(1 - Cos[e + f*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/(((a + b*Cos[e + f*x])/(a + b))^m*(b^2*f*(2 + m)*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])) + (Sqrt[2]*(a^2*C + b^2*C*(1 + m) - a*b*B*(2 + m))*AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[e + f*x]), (b*(1 - Cos[e + f*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/(((a + b*Cos[e + f*x])/(a + b))^m*(b^2*f*(2 + m)*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+b Cos[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 8, (3*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Sin[c + d*x])/(8*b*d) + ((a + b)*(8*b*B - 3*a*C)*AppellF1[1/2, 1/2, -(5/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(4*Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) - ((8*a*b*B - 3*a^2*C - 5*b^2*C)*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(4*Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(2/3))}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 8, (3*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(7*b*d) + (Sqrt[2]*(a + b)*(7*b*B - 3*a*C)*AppellF1[1/2, 1/2, -(4/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(7*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) - (Sqrt[2]*(7*a*b*B - 3*a^2*C - 4*b^2*C)*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(7*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 8, (3*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(5*b*d) + (Sqrt[2]*(5*b*B - 3*a*C)*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) - (Sqrt[2]*(5*a*b*B - 3*a^2*C - 2*b^2*C)*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3))}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 8, (3*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(4*b*d) + ((4*b*B - 3*a*C)*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) - ((4*a*b*B - 3*a^2*C - b^2*C)*AppellF1[1/2, 1/2, 2/3, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(2/3)*Sin[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+{(a*Cos[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x] + C*Cos[e + f*x]^2), x, 4, (C*(a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(a*f*(2 + m)) - ((C*(1 + m) + A*(2 + m))*(a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(a*f*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (B*(a*Cos[e + f*x])^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(a^2*f*(2 + m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Cos[e+f x])^(n/2) (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 10, (2*(9*A + 7*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (10*b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(9*A + 7*C)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*b*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^2*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b^3*d)}
+{Cos[c + d*x]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, (6*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*(7*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^2*d)}
+{Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (2*(5*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x], x, 7, (2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 7, -((2*(A - C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 8, -((2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^2*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 9, -((2*(3*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^3*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*b^2*B*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 10, -((6*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^4*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (2*b^3*B*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*b^2*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (6*b*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 10, (2*b*(9*A + 7*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (10*b^2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(9*A + 7*C)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b^2*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (6*b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*(7*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x], x, 8, (2*b*(5*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 7, (2*b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 7, -((2*b*(A - C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 8, -((2*b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^2*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^3*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*b^2*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 9, -((2*b*(3*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^4*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*b^3*B*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*b^2*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^6, x, 10, -((6*b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^2*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^5*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (2*b^4*B*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*b^3*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (6*b^2*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, (2*b^2*(9*A + 7*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (10*b^3*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*b*(9*A + 7*C)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x], x, 9, (6*b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b^3*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*(7*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*b*B*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 8, (2*b^2*(5*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b^3*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*b*C*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 7, (2*b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b^3*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 7, -((2*b^2*(A - C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^3*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 8, -((2*b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^3*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^4*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*b^3*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^6, x, 9, -((2*b^2*(3*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^3*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^5*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*b^4*B*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*b^3*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^7, x, 10, -((6*b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*b^3*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^6*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (2*b^5*B*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*b^4*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (6*b^3*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 10, (2*(9*A + 7*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (10*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b*d) + (2*(9*A + 7*C)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*b^2*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^3*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b^4*d)}
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 9, (6*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*(7*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^3*d)}
+{(Cos[c + d*x]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 8, (2*(5*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 6, (2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x])/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 7, -((2*(A - C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 8, -((2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 9, -((2*(3*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^2*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*b*B*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4)/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 10, -((6*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^3*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (2*b^2*B*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*b*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (6*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 10, (2*(9*A + 7*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (10*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b^2*d) + (2*(9*A + 7*C)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*b^3*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^4*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b^5*d)}
+{(Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, (6*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*(7*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b^2*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^4*d)}
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, (2*(5*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d)}
+{(Cos[c + d*x]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((2*(A - C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, -((2*(3*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 10, -((6*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b^2*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (2*b*B*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (6*B*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 10, (2*(9*A + 7*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (10*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (10*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b^3*d) + (2*(9*A + 7*C)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*b^4*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^5*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b^6*d)}
+{(Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, (6*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*(7*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b^3*d) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^4*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^5*d)}
+{(Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, (2*(5*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*d) + (2*C*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^4*d)}
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*d)}
+{(Cos[c + d*x]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((2*(A - C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((2*(3*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 10, -((6*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*b*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (6*B*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 8, -((2*(3*A + 5*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^(m/2) (b Cos[e+f x])^(n/2) (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (3*B*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((5*A + 4*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (3*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (B*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (C*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) - ((5*A + 4*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, ((4*A + 3*C)*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((4*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) - (B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (B*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((3*A + 2*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 5, (A*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (C*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 4, (B*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 4, (C*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 6, ((A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 7, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + ((2*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 7, ((3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + ((3*A + 4*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (3*b*B*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*(5*A + 4*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (3*b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (b*C*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) - (b*(5*A + 4*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (b*(4*A + 3*C)*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*(4*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) - (b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 3, (b*B*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*(3*A + 2*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 5, (A*b*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (b*C*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{((b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 4, (b*B*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (A*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 4, (b*C*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (b*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 6, (b*(A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 7, (b*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (b*(2*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(13/2), x, 7, (b*(3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (b*(3*A + 4*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (b*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (3*b^2*B*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*(5*A + 4*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (3*b^2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b^2*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (b^2*C*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) - (b^2*(5*A + 4*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 7, (b^2*(4*A + 3*C)*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*(4*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b^2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) - (b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 3, (b^2*B*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*(3*A + 2*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b^2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 5, (A*b^2*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (b^2*C*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{((b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 4, (b^2*B*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (A*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b^2*C*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 4, (b^2*C*x*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/Sqrt[Cos[c + d*x]] + (b^2*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 6, (b^2*(A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(13/2), x, 7, (b^2*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (b^2*(2*A + 3*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(15/2), x, 7, (b^2*(3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (A*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (b^2*(3*A + 4*C)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (b^2*B*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 7, ((4*A + 3*C)*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(8*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((4*A + 3*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) - (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 3, (B*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A + 2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[b*Cos[c + d*x]], x, 5, (A*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/Sqrt[b*Cos[c + d*x]] + (C*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]), x, 4, (B*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/Sqrt[b*Cos[c + d*x]] + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]), x, 4, (C*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/Sqrt[b*Cos[c + d*x]] + (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]), x, 6, ((A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]), x, 7, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((2*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(9/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]), x, 7, ((3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((4*A + 3*C)*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(8*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((4*A + 3*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) - (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 3, (B*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A + 2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (A*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (B*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 4, (C*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 6, ((A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 7, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((2*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 7, ((3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(8*b*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(8*b*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x]^3)/(3*b*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(9/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, ((4*A + 3*C)*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(8*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((4*A + 3*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) - (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 3, (B*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A + 2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (A*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (B*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, (C*x*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b^2*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 6, ((A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 7, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(2*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((2*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 7, ((3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Cos[c + d*x]])/(8*b^2*d*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(8*b^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Cos[e+f x])^(n/3) (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)*Sin[c + d*x])/(11*b^2*d) - (3*(11*A + 8*C)*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 4/3, 7/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(88*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(11/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 11/6, 17/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(11*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Sin[c + d*x])/(8*b*d) - (3*(8*A + 5*C)*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(40*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 4/3, 7/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x], x, 5, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(5*d) - (3*(5*A + 2*C)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 5, (3*A*b*Sin[c + d*x])/(d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*(2*A - C)*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 5, (3*A*b^2*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)) + (3*b*B*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*(A + 4*C)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 5, (3*A*b^3*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)) + (3*b^2*B*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*b*(4*A + 7*C)*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Cos[c + d*x]*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(10/3)*Sin[c + d*x])/(13*b^2*d) - (3*(13*A + 10*C)*(b*Cos[c + d*x])^(10/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/3, 8/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(130*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(13/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 13/6, 19/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(13*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Sin[c + d*x])/(10*b*d) - (3*(10*A + 7*C)*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(70*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(10/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/3, 8/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x], x, 5, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(7*d) - (3*(7*A + 4*C)*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(28*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 5, (3*b*C*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(4*d) - (3*b*(4*A + C)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 5, (3*A*b^2*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)) - (3*b*B*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*(A - 2*C)*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 5, (3*A*b^3*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)) + (3*b^2*B*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*b*(2*A + 5*C)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 5, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)*Sin[c + d*x])/(11*b^3*d) - (3*(11*A + 8*C)*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 4/3, 7/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(88*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(11/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 11/6, 17/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(11*b^4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Cos[c + d*x]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 5, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Sin[c + d*x])/(8*b^2*d) - (3*(8*A + 5*C)*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(40*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 4/3, 7/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 4, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(5*b*d) - (3*(5*A + 2*C)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 5, (3*A*Sin[c + d*x])/(d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*(2*A - C)*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 5, (3*A*b*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*(A + 4*C)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 5, (3*A*b^2*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)) + (3*b*B*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*(4*A + 7*C)*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 5, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)*Sin[c + d*x])/(11*b^4*d) - (3*(11*A + 8*C)*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 4/3, 7/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(88*b^4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(11/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 11/6, 17/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(11*b^5*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 5, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Sin[c + d*x])/(8*b^3*d) - (3*(8*A + 5*C)*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(40*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(8/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 4/3, 7/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*b^4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Cos[c + d*x]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 5, (3*C*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d) - (3*(5*A + 2*C)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 4, (3*A*Sin[c + d*x])/(b*d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)) - (3*B*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*(2*A - C)*(b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x])/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 5, (3*A*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*(A + 4*C)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 5, (3*A*b*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Cos[c + d*x])^(7/3)) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*(4*A + 7*C)*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*b*d*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) with m symbolic*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^m*(b*Cos[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, If[$VersionNumber>=8, (3*b*C*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(10 + 3*m)) - (3*b*(C*(7 + 3*m) + A*(10 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(7 + 3*m), (1/6)*(13 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 3*m)*(10 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*b*B*Cos[c + d*x]^(3 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(10 + 3*m), (1/6)*(16 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(10 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*b*C*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(10 + 3*m)) - (3*b*(C*(7 + 3*m) + A*(10 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(7 + 3*m), (1/6)*(13 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(70 + 51*m + 9*m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*b*B*Cos[c + d*x]^(3 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(10 + 3*m), (1/6)*(16 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(10 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Cos[c + d*x]^m*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, If[$VersionNumber>=8, (3*C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(8 + 3*m)) - (3*(C*(5 + 3*m) + A*(8 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(5 + 3*m), (1/6)*(11 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 3*m)*(8 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(8 + 3*m), (1/6)*(14 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(8 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(8 + 3*m)) - (3*(C*(5 + 3*m) + A*(8 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(5 + 3*m), (1/6)*(11 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(40 + 39*m + 9*m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(8 + 3*m), (1/6)*(14 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(8 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Cos[c + d*x]^m*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, If[$VersionNumber>=8, (3*C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 3*m)) - (3*(C*(4 + 3*m) + A*(7 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(4 + 3*m), (1/6)*(10 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)*(7 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(7 + 3*m), (1/6)*(13 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 3*m)) - (3*(C*(4 + 3*m) + A*(7 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(4 + 3*m), (1/6)*(10 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(28 + 33*m + 9*m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Cos[c + d*x]^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(7 + 3*m), (1/6)*(13 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{(Cos[c + d*x]^m*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 5, If[$VersionNumber>=8, (3*C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)) - (3*(C*(2 + 3*m) + A*(5 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(2 + 3*m), (1/6)*(8 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + 3*m)*(5 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(5 + 3*m), (1/6)*(11 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)) - (3*(C*(2 + 3*m) + A*(5 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(2 + 3*m), (1/6)*(8 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(10 + 21*m + 9*m^2)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(5 + 3*m), (1/6)*(11 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{(Cos[c + d*x]^m*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 5, If[$VersionNumber>=8, (3*C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)) - (3*(C + 3*C*m + A*(4 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(1 + 3*m), (1/6)*(7 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 3*m)*(4 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(4 + 3*m), (1/6)*(10 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)) - (3*(C + 3*C*m + A*(4 + 3*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(1 + 3*m), (1/6)*(7 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 15*m + 9*m^2)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(4 + 3*m), (1/6)*(10 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{(Cos[c + d*x]^m*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(b*Cos[c + d*x])^(4/3), x, 5, If[$VersionNumber>=8, (3*C*Cos[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(b*d*(2 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)) - (3*(C*(1 - 3*m) - A*(2 + 3*m))*Cos[c + d*x]^m*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-1 + 3*m), (1/6)*(5 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 - 3*m)*(2 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(2 + 3*m), (1/6)*(8 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(2 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*C*Cos[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(b*d*(2 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)) - (3*(C*(1 - 3*m) - A*(2 + 3*m))*Cos[c + d*x]^m*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-1 + 3*m), (1/6)*(5 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(2 - 3*m - 9*m^2)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(2 + 3*m), (1/6)*(8 + 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(2 + 3*m)*(b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) with n symbolic*)
+
+
+{(a*Cos[c + d*x])^m*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, (C*(a*Cos[c + d*x])^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(a*d*(2 + m + n)) - ((C*(1 + m + n) + A*(2 + m + n))*(a*Cos[c + d*x])^(1 + m)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + m + n), (1/2)*(3 + m + n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(a*d*(1 + m + n)*(2 + m + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (B*(a*Cos[c + d*x])^(2 + m)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(2 + m + n), (1/2)*(4 + m + n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(2 + m + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, (C*(b*Cos[c + d*x])^(3 + n)*Sin[c + d*x])/(b^3*d*(4 + n)) - ((C*(3 + n) + A*(4 + n))*(b*Cos[c + d*x])^(3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + n)/2, (5 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^3*d*(3 + n)*(4 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (B*(b*Cos[c + d*x])^(4 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (4 + n)/2, (6 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^4*d*(4 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, (C*(b*Cos[c + d*x])^(2 + n)*Sin[c + d*x])/(b^2*d*(3 + n)) - ((C*(2 + n) + A*(3 + n))*(b*Cos[c + d*x])^(2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*(2 + n)*(3 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (B*(b*Cos[c + d*x])^(3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + n)/2, (5 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^3*d*(3 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^0*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, (C*(b*Cos[c + d*x])^(1 + n)*Sin[c + d*x])/(b*d*(2 + n)) - ((C*(1 + n) + A*(2 + n))*(b*Cos[c + d*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 + n)*(2 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (B*(b*Cos[c + d*x])^(2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*(2 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1, x, 5, (C*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + n)) - ((A + A*n + C*n)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*n*(1 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (B*(b*Cos[c + d*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 5, (b*C*(b*Cos[c + d*x])^(-1 + n)*Sin[c + d*x])/(d*n) - (b*(C*(1 - n) - A*n)*(b*Cos[c + d*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*n*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (B*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*n*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 5, If[$VersionNumber>=8, -((b^2*C*(b*Cos[c + d*x])^(-2 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n))) + (b^2*(A*(1 - n) + C*(2 - n))*(b*Cos[c + d*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-2 + n), n/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*(2 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (b*B*(b*Cos[c + d*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), -((b^2*C*(b*Cos[c + d*x])^(-2 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n))) + (b^2*(A*(1 - n) + C*(2 - n))*(b*Cos[c + d*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-2 + n), n/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 - 3*n + n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (b*B*(b*Cos[c + d*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 5, If[$VersionNumber>=8, -((b^3*C*(b*Cos[c + d*x])^(-3 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n))) + (b^3*(A*(2 - n) + C*(3 - n))*(b*Cos[c + d*x])^(-3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-3 + n), (1/2)*(-1 + n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n)*(3 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (b^2*B*(b*Cos[c + d*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-2 + n), n/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), -((b^3*C*(b*Cos[c + d*x])^(-3 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n))) + (b^3*(A*(2 - n) + C*(3 - n))*(b*Cos[c + d*x])^(-3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-3 + n), (1/2)*(-1 + n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(6 - 5*n + n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (b^2*B*(b*Cos[c + d*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-2 + n), n/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, If[$VersionNumber>=8, (2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 2*n)) - (2*(C*(5 + 2*n) + A*(7 + 2*n))*Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(5 + 2*n), (1/4)*(9 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)*(7 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*B*Cos[c + d*x]^(7/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(7 + 2*n), (1/4)*(11 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 2*n)) - (2*(C*(5 + 2*n) + A*(7 + 2*n))*Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(5 + 2*n), (1/4)*(9 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(35 + 24*n + 4*n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*B*Cos[c + d*x]^(7/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(7 + 2*n), (1/4)*(11 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, If[$VersionNumber>=8, (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)) - (2*(C*(3 + 2*n) + A*(5 + 2*n))*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(3 + 2*n), (1/4)*(7 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)*(5 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(5 + 2*n), (1/4)*(9 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)) - (2*(C*(3 + 2*n) + A*(5 + 2*n))*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(3 + 2*n), (1/4)*(7 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(15 + 16*n + 4*n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(5 + 2*n), (1/4)*(9 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 5, If[$VersionNumber>=8, (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)) - (2*(C + 2*C*n + A*(3 + 2*n))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 + 2*n), (1/4)*(5 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)*(3 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(3 + 2*n), (1/4)*(7 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)) - (2*(C + 2*C*n + A*(3 + 2*n))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 + 2*n), (1/4)*(5 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 8*n + 4*n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(3 + 2*n), (1/4)*(7 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 5, (2*C*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(A - C*(1 - 2*n) + 2*A*n)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-1 + 2*n), (1/4)*(3 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 4*n^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 + 2*n), (1/4)*(5 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 5, If[$VersionNumber>=8, -((2*C*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(3/2))) + (2*(A + C*(3 - 2*n) - 2*A*n)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-3 + 2*n), (1/4)*(1 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*(3 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-1 + 2*n), (1/4)*(3 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), -((2*C*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(3/2))) + (2*(A + C*(3 - 2*n) - 2*A*n)*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-3 + 2*n), (1/4)*(1 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 8*n + 4*n^2)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-1 + 2*n), (1/4)*(3 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{((b*Cos[c + d*x])^n*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 5, If[$VersionNumber>=8, -((2*C*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(5/2))) + (2*(A*(3 - 2*n) + C*(5 - 2*n))*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-5 + 2*n), (1/4)*(-1 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*(5 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-3 + 2*n), (1/4)*(1 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), -((2*C*(b*Cos[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(5/2))) + (2*(A*(3 - 2*n) + C*(5 - 2*n))*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-5 + 2*n), (1/4)*(-1 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(15 - 16*n + 4*n^2)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (2*B*(b*Cos[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-3 + 2*n), (1/4)*(1 + 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x])^m (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Cos[e+f x])^m (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+{(a + a*Cos[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x] + C*Cos[e + f*x]^2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, -(((C - B*(2 + m))*(a + a*Cos[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/(f*(1 + m)*(2 + m))) + (C*(a + a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(a*f*(2 + m)) + (2^(1/2 + m)*(B*m*(2 + m) + C*(1 + m + m^2) + A*(2 + 3*m + m^2))*(1 + Cos[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Cos[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[e + f*x])]*Sin[e + f*x])/(f*(1 + m)*(2 + m)), -(((C - B*(2 + m))*(a + a*Cos[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/(f*(1 + m)*(2 + m))) + (C*(a + a*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(a*f*(2 + m)) + (2^(1/2 + m)*(B*m*(2 + m) + C*(1 + m + m^2) + A*(2 + 3*m + m^2))*(1 + Cos[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Cos[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[e + f*x])]*Sin[e + f*x])/(f*(2 + 3*m + m^2))]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 4, (3*(8*B - 3*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(40*d) + (3*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/3)*Sin[c + d*x])/(8*a*d) + ((40*A + 16*B + 19*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3)*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/(10*2^(5/6)*d*(1 + Cos[c + d*x])^(7/6))}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 4, (3*(7*B - 3*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(28*d) + (3*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(7*a*d) + ((28*A + 7*B + 13*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/(14*2^(1/6)*d*(1 + Cos[c + d*x])^(5/6))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 4, (3*(5*B - 3*C)*Sin[c + d*x])/(10*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3)) + (3*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) + ((10*A - 5*B + 7*C)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/(5*2^(5/6)*d*(1 + Cos[c + d*x])^(1/6)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3))}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 4, (3*(A - B + C)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])^(2/3)) + (3*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(4*a*d) - ((4*A - 8*B + 7*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Sin[c + d*x])/(2*2^(1/6)*a*d*(1 + Cos[c + d*x])^(5/6))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x])^m (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x])^(n/3) (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 8, (3*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/3)*Sin[c + d*x])/(8*b*d) + ((a + b)*(8*b*B - 3*a*C)*AppellF1[1/2, 1/2, -(5/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(4*Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) + ((8*A*b^2 - 8*a*b*B + 3*a^2*C + 5*b^2*C)*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(4*Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(2/3))}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 8, (3*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(7*b*d) + (Sqrt[2]*(a + b)*(7*b*B - 3*a*C)*AppellF1[1/2, 1/2, -(4/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(7*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) + (Sqrt[2]*(7*A*b^2 - 7*a*b*B + 3*a^2*C + 4*b^2*C)*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(7*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3), x, 8, (3*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(5*b*d) + (Sqrt[2]*(5*b*B - 3*a*C)*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) + (Sqrt[2]*(5*A*b^2 - 5*a*b*B + 3*a^2*C + 2*b^2*C)*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3))}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3), x, 8, (3*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(4*b*d) + ((4*b*B - 3*a*C)*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) + ((4*A*b^2 - 4*a*b*B + 3*a^2*C + b^2*C)*AppellF1[1/2, 1/2, 2/3, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[c + d*x]), (b*(1 - Cos[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Cos[c + d*x])/(a + b))^(2/3)*Sin[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(2/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x])^m (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) with m symbolic*)
+
+
+{(a + b*Cos[e + f*x])^m*(A + (A + C)*Cos[e + f*x] + C*Cos[e + f*x]^2), x, 7, (4*Sqrt[2]*C*AppellF1[1/2, -(3/2), -m, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[e + f*x]), (b*(1 - Cos[e + f*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/(((a + b*Cos[e + f*x])/(a + b))^m*(f*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])) + (2*Sqrt[2]*(A - C)*AppellF1[1/2, -(1/2), -m, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[e + f*x]), (b*(1 - Cos[e + f*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/(((a + b*Cos[e + f*x])/(a + b))^m*(f*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]]))}
+
+
+{(a + b*Cos[e + f*x])^m*(A + B*Cos[e + f*x] + C*Cos[e + f*x]^2), x, 8, (C*(a + b*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Sin[e + f*x])/(b*f*(2 + m)) - (Sqrt[2]*(a + b)*(a*C - b*B*(2 + m))*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[e + f*x]), (b*(1 - Cos[e + f*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/(((a + b*Cos[e + f*x])/(a + b))^m*(b^2*f*(2 + m)*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]])) + (Sqrt[2]*(a^2*C + b^2*C*(1 + m) + A*b^2*(2 + m) - a*b*B*(2 + m))*AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1/2)*(1 - Cos[e + f*x]), (b*(1 - Cos[e + f*x]))/(a + b)]*(a + b*Cos[e + f*x])^m*Sin[e + f*x])/(((a + b*Cos[e + f*x])/(a + b))^m*(b^2*f*(2 + m)*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]]))}
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+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.4.2 (a+b cos)^m (c+d cos)^n (A+B cos+C cos^2).m	
@@ -0,0 +1,2446 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+a Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+a Cos[e+f x])^n (A+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (A+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (1/8)*a*(4*A + 3*C)*x + (a*(5*A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a*(4*A + 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*C*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a*(5*A + 4*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]*(a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (1/8)*a*(4*A + 3*C)*x + (a*(3*A + 2*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*(4*A + 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*C*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 2, (a*(2*A + C)*x)/2 + (a*(3*A + C)*Sin[c + d*x])/(3*d) - (a*C*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x], x, 4, (1/2)*a*(2*A + C)*x + (a*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*C*Sin[c + d*x])/d + (a*C*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 4, a*C*x + (a*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*C*Sin[c + d*x])/d + (a*A*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 4, a*C*x + (a*(A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*A*Tan[c + d*x])/d + (a*A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 6, (a*(A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(2*A + 3*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 7, (a*(3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(2*A + 3*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*(3*A + 4*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*A*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*A*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, (1/16)*a^2*(14*A + 11*C)*x + (2*a^2*(5*A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a^2*(14*A + 11*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^2*(10*A + 9*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(40*d) + (C*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(6*d) + (C*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d) - (2*a^2*(5*A + 4*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, (a^2*(4*A + 3*C)*x)/4 + (a^2*(4*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(4*A + 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*d) + ((10*A + 3*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(30*d) + (C*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(10*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (a^2*(12*A + 7*C)*x)/8 + (a^2*(12*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a^2*(12*A + 7*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) - (C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1, x, 6, a^2*(2*A + C)*x + (a^2*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(A + C)*Sin[c + d*x])/d + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d) + (C*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 6, (a^2*(2*A + 3*C)*x)/2 + (2*a^2*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*(2*A - 3*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((2*A - C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 6, 2*a^2*C*x + (a^2*(3*A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (a^2*(3*A - 2*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Tan[c + d*x])/d + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 6, a^2*C*x + (a^2*(A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(A + C)*Tan[c + d*x])/d + (A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 8, (a^2*(7*A + 12*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (2*a^2*(2*A + 3*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(11*A + 12*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + (A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(6*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^6, x, 9, (a^2*(3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) + (a^2*(18*A + 25*C)*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a^2*(3*A + 4*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a^2*(9*A + 10*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(30*d) + (A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(10*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 10, (1/16)*a^3*(26*A + 21*C)*x + (a^3*(133*A + 108*C)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (a^3*(26*A + 21*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^3*(154*A + 129*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(280*d) + (C*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d) + (C*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(14*a*d) + ((A + C)*Cos[c + d*x]^3*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a^3*(133*A + 108*C)*Sin[c + d*x]^3)/(105*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 11, (1/16)*a^3*(30*A + 23*C)*x + (a^3*(30*A + 23*C)*Sin[c + d*x])/(10*d) + (3*a^3*(30*A + 23*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(80*d) + ((30*A + 7*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(120*d) + (C*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(6*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(10*a*d) - (a^3*(30*A + 23*C)*Sin[c + d*x]^3)/(120*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, (1/8)*a^3*(20*A + 13*C)*x + (a^3*(20*A + 13*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (3*a^3*(20*A + 13*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(40*d) - (C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - (a^3*(20*A + 13*C)*Sin[c + d*x]^3)/(60*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1, x, 7, (a^3*(28*A + 15*C)*x)/8 + (a^3*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^3*(4*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(8*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (C*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(4*a*d) + ((4*A + 5*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(8*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 7, (a^3*(6*A + 5*C)*x)/2 + (3*a^3*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^3*C*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((3*A - C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - ((6*A - 5*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 7, (a^3*(2*A + 7*C)*x)/2 + (a^3*(7*A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (5*a^3*(A - C)*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((4*A - C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d) + (3*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(2*a*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 7, 3*a^3*C*x + (a^3*(5*A + 6*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (5*a^3*A*Sin[c + d*x])/(2*d) + ((5*A + 3*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(3*d) + (A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 7, a^3*C*x + (a^3*(15*A + 28*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (5*a^3*(3*A + 4*C)*Tan[c + d*x])/(8*d) + ((5*A + 4*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(4*a*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^6, x, 9, (a^3*(13*A + 20*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*(38*A + 55*C)*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a^3*(109*A + 140*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(120*d) + ((11*A + 10*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(30*d) + (3*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*a*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^7, x, 10, (a^3*(23*A + 30*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (a^3*(34*A + 45*C)*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a^3*(23*A + 30*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (a^3*(73*A + 90*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(120*d) + ((31*A + 30*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(120*d) + (A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(10*a*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 11, (1/128)*a^4*(392*A + 323*C)*x + (4*a^4*(63*A + 52*C)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (a^4*(392*A + 323*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (a^4*(2408*A + 2007*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2240*d) + (a*C*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(14*d) + (C*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(8*d) + ((56*A + 61*C)*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(336*d) + (7*(8*A + 7*C)*Cos[c + d*x]^3*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(120*d) - (4*a^4*(63*A + 52*C)*Sin[c + d*x]^3)/(105*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 14, (1/4)*a^4*(14*A + 11*C)*x + (16*a^4*(14*A + 11*C)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (27*a^4*(14*A + 11*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(140*d) + (a^4*(14*A + 11*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(70*d) + ((21*A + 4*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(105*d) + (C*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^5*Sin[c + d*x])/(21*a*d) - (8*a^4*(14*A + 11*C)*Sin[c + d*x]^3)/(105*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + a*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 12, (7/16)*a^4*(10*A + 7*C)*x + (4*a^4*(10*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (27*a^4*(10*A + 7*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(80*d) + (a^4*(10*A + 7*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(40*d) - (C*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(30*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^5*Sin[c + d*x])/(6*a*d) - (2*a^4*(10*A + 7*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1, x, 8, (a^4*(12*A + 7*C)*x)/2 + (a^4*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^4*(10*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((5*A + 7*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(15*d) + ((8*A + 7*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 8, (a^4*(52*A + 35*C)*x)/8 + (4*a^4*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^4*(4*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a*(4*A - C)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - ((12*A - 7*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) - ((12*A - 35*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(24*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 8, 2*a^4*(2*A + 3*C)*x + (a^4*(13*A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (5*a^4*(A - 2*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((15*A - 2*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(6*d) - ((9*A - 4*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/d + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 8, (a^4*(2*A + 13*C)*x)/2 + (2*a^4*(3*A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (5*a^4*(2*A - C)*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((22*A + 3*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d) + ((8*A + 3*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 8, 4*a^4*C*x + (a^4*(35*A + 52*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - (5*a^4*(7*A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(8*d) + ((35*A + 36*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(12*d) + ((7*A + 4*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^6, x, 8, a^4*C*x + (a^4*(7*A + 12*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a^4*(7*A + 10*C)*Tan[c + d*x])/(2*d) + ((7*A + 8*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + ((7*A + 5*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(5*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^7, x, 10, (7*a^4*(7*A + 10*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (4*a^4*(18*A + 25*C)*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a^4*(417*A + 550*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(240*d) + ((43*A + 50*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(60*d) + ((37*A + 30*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(120*d) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(15*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^8, x, 11, (a^4*(11*A + 14*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) + (a^4*(454*A + 581*C)*Tan[c + d*x])/(105*d) + (a^4*(11*A + 14*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a^4*(247*A + 308*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(210*d) + ((109*A + 126*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(210*d) + ((8*A + 7*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(35*d) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(21*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^6*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, (3*(4*A + 5*C)*x)/(8*a) - ((3*A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(a*d) + (3*(4*A + 5*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*d) + ((4*A + 5*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])) + ((3*A + 4*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, -(((2*A + 3*C)*x)/(2*a)) + ((3*A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((2*A + 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])) - ((3*A + 4*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{(Cos[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 2, ((2*A + 3*C)*x)/(2*a) - ((A + 2*C)*Sin[c + d*x])/(a*d) + ((2*A + 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 3, -((C*x)/a) + (C*Sin[c + d*x])/(a*d) + ((A + C)*Sin[c + d*x])/(a*d*(1 + Cos[c + d*x]))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 3, (C*x)/a + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, -((A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d)) + ((2*A + C)*Tan[c + d*x])/(a*d) - ((A + C)*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, ((3*A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d) - ((2*A + C)*Tan[c + d*x])/(a*d) + ((3*A + 2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, -(((3*A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d)) + ((4*A + 3*C)*Tan[c + d*x])/(a*d) - ((3*A + 2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])) + ((4*A + 3*C)*Tan[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 8, ((28*A + 55*C)*x)/(8*a^2) - (8*(A + 2*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + ((28*A + 55*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^2*d) + ((28*A + 55*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(12*a^2*d) - (2*(A + 2*C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (8*(A + 2*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+{(Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -(((2*A + 5*C)*x)/a^2) + ((5*A + 12*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - ((2*A + 5*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - (2*(2*A + 5*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((5*A + 12*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 3, ((2*A + 7*C)*x)/(2*a^2) - (4*(A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + ((2*A + 7*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) - (2*(A + 4*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(Cos[c + d*x]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, (-2*C*x)/a^2 + ((A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 3, (C*x)/a^2 + ((A - 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((A + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - (2*(2*A - C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, (-2*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + ((10*A + C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) - (2*A*Tan[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, ((7*A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^2*d) - (4*(4*A + C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) + ((7*A + 2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) - (2*(4*A + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -(((5*A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d)) + ((12*A + 5*C)*Tan[c + d*x])/(a^2*d) - ((5*A + 2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(a^2*d) - (2*(5*A + 2*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((12*A + 5*C)*Tan[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -(((6*A + 23*C)*x)/(2*a^3)) + (4*(9*A + 34*C)*Sin[c + d*x])/(5*a^3*d) - ((6*A + 23*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((3*A + 13*C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((6*A + 23*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])) - (4*(9*A + 34*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*a^3*d)}
+{(Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 4, ((2*A + 13*C)*x)/(2*a^3) - (2*(11*A + 76*C)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) + ((2*A + 13*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((A + 11*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((11*A + 76*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, (-3*C*x)/a^3 + ((2*A + 27*C)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((A - 9*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (3*C*Sin[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (C*x)/a^3 - ((A + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((3*A - 7*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((6*A - 29*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 3, ((A + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (2*(A - 4*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((2*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((7*A - 3*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((22*A - 3*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, (-3*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + (2*(36*A + C)*Tan[c + d*x])/(15*a^3*d) - ((A + C)*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((9*A - C)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (3*A*Tan[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, ((13*A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (2*(76*A + 11*C)*Tan[c + d*x])/(15*a^3*d) + ((13*A + 2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((11*A + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((76*A + 11*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -(((23*A + 6*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d)) + (4*(34*A + 9*C)*Tan[c + d*x])/(5*a^3*d) - ((23*A + 6*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((13*A + 3*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((23*A + 6*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])) + (4*(34*A + 9*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*a^3*d)}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 5, ((2*A + 21*C)*x)/(2*a^4) - (32*(5*A + 54*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d) + ((2*A + 21*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^4*d) - ((10*A + 129*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - (16*(5*A + 54*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (2*C*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{(Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 8, (-4*C*x)/a^4 + (2*(3*A + 122*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d) + ((3*A - 88*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + (4*C*Sin[c + d*x])/(a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + (2*(A - 6*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (C*x)/a^4 - ((8*A - 55*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + ((16*A - 215*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + (2*(2*A - 5*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{(Cos[c + d*x]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 5, ((23*A - 54*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + (4*(2*A + 9*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (2*(3*A - 4*C)*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 4, ((A + C)*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + ((3*A - 11*C)*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((6*A + 13*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2) + ((6*A + 13*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x]))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - ((55*A - 8*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - (8*(20*A - C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (2*(5*A - 2*C)*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 8, (-4*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + (2*(332*A + 3*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d) - ((88*A - 3*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - (4*A*Tan[c + d*x])/(a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (2*(6*A - C)*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 9, ((21*A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d) - (32*(54*A + 5*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d) + ((21*A + 2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^4*d) - ((129*A + 10*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - (16*(54*A + 5*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (2*A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4)/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 9, -((2*(11*A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d)) + (4*(454*A + 83*C)*Tan[c + d*x])/(35*a^4*d) - (2*(11*A + 2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(a^4*d) - ((178*A + 31*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - (4*(11*A + 2*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - (2*(8*A + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (4*(454*A + 83*C)*Tan[c + d*x]^3)/(105*a^4*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (A+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 6, (4*a*(99*A + 80*C)*Sin[c + d*x])/(495*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(99*A + 80*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*C*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(99*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (8*(99*A + 80*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(11*d) + (4*(99*A + 80*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(1155*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, (2*a*(21*A + 16*C)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (4*(21*A + 16*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*(21*A + 16*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, (2*a*(35*A + 27*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(35*A + 18*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (2*a*(15*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (4*C*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d)}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x], x, 4, (2*Sqrt[a]*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 4, (Sqrt[a]*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d - (a*(A - 2*C)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/d}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 4, (Sqrt[a]*(3*A + 8*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) + (a*A*Tan[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 5, (Sqrt[a]*(5*A + 8*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (a*(5*A + 8*C)*Tan[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 6, (Sqrt[a]*(35*A + 48*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (a*(35*A + 48*C)*Tan[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*(35*A + 48*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*A*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 6, (2*a^2*(143*A + 112*C)*Sin[c + d*x])/(165*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(33*A + 28*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (4*a*(143*A + 112*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1155*d) + (2*a*C*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(33*d) + (2*(143*A + 112*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(385*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 6, (8*a^2*(63*A + 47*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(63*A + 47*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*(63*A + 22*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(21*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, (8*a^2*(35*A + 19*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(35*A + 19*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) - (4*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*a*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x], x, 5, (2*a^(3/2)*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a^2*(5*A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*C*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 5, (3*a^(3/2)*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d - (a^2*(3*A - 8*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (a*(3*A - 2*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 5, (a^(3/2)*(7*A + 8*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) - (a^2*(5*A - 8*C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (3*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 5, (a^(3/2)*(11*A + 24*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (a^2*(19*A + 24*C)*Tan[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 6, (a^(3/2)*(75*A + 112*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (a^2*(75*A + 112*C)*Tan[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(13*A + 16*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(32*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(8*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^6, x, 7, (a^(3/2)*(133*A + 176*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(128*d) + (a^2*(133*A + 176*C)*Tan[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(133*A + 176*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(67*A + 80*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(240*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (3*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(40*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (2*a^3*(10439*A + 8368*C)*Sin[c + d*x])/(6435*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(2717*A + 2224*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(9009*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (4*a^2*(10439*A + 8368*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(45045*d) + (2*a^2*(143*A + 136*C)*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1287*d) + (2*a*(10439*A + 8368*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15015*d) + (10*a*C*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(143*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(13*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (64*a^3*(33*A + 25*C)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a^2*(33*A + 25*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*a*(33*A + 25*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*(99*A + 26*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(11*d) + (10*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(99*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, (64*a^3*(21*A + 13*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a^2*(21*A + 13*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*a*(21*A + 13*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) - (4*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*a*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x], x, 6, (2*a^(5/2)*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a^3*(49*A + 32*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(7*A + 8*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 6, (5*a^(5/2)*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (a^3*(15*A + 64*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (a^2*(15*A - 16*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) - (a*(5*A - 2*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 6, (a^(5/2)*(19*A + 8*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) - (a^3*(27*A - 56*C)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (a^2*(21*A - 8*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d) + (5*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(4*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 6, (5*a^(5/2)*(5*A + 8*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) - (a^3*(49*A - 24*C)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(31*A + 24*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(24*d) + (5*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 6, (a^(5/2)*(163*A + 304*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (a^3*(299*A + 432*C)*Tan[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(17*A + 16*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(32*d) + (5*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(24*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^6, x, 7, (a^(5/2)*(283*A + 400*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(128*d) + (a^3*(283*A + 400*C)*Tan[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^3*(787*A + 1040*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(960*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(79*A + 80*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(240*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(8*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^7, x, 8, (a^(5/2)*(1015*A + 1304*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(512*d) + (a^3*(1015*A + 1304*C)*Tan[c + d*x])/(512*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^3*(1015*A + 1304*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(768*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^3*(109*A + 136*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(23*A + 24*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(96*d) + (a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(12*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 8, -((Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (4*(147*A + 143*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(21*A + 19*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(9*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(21*A + 29*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 7, (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (4*(35*A + 37*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*C*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(35*A + 31*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 6, -((Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*(15*A + 14*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*C*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 4, (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (4*C*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 6, (2*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 6, -((A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (A*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 7, ((7*A + 8*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (A*Tan[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 8, -(((9*A + 8*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + ((7*A + 8*C)*Tan[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (A*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 9, ((107*A + 112*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - ((21*A + 16*C)*Tan[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((43*A + 48*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (A*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (A*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((11*A + 19*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) - ((455*A + 799*C)*Sin[c + d*x])/(105*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((35*A + 67*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(70*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((7*A + 11*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(14*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((245*A + 397*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(210*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -(((7*A + 15*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((15*A + 31*C)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((5*A + 9*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((5*A + 13*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, ((3*A + 11*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) - ((3*A + 13*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((3*A + 7*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, ((A - 7*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*C*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - ((5*A - 3*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((3*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + ((9*A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((3*A + C)*Tan[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((19*A + 8*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*a^(3/2)*d) - ((13*A + 5*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((7*A + 2*C)*Tan[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((2*A + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, -(((47*A + 24*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*a^(3/2)*d)) + ((17*A + 9*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + (3*(7*A + 4*C)*Tan[c + d*x])/(8*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((13*A + 6*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((5*A + 3*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, -(((75*A + 283*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((5*A + 21*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((465*A + 1729*C)*Sin[c + d*x])/(120*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((45*A + 157*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(80*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((195*A + 787*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, ((19*A + 163*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((A + 17*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) - ((21*A + 197*C)*Sin[c + d*x])/(24*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (5*(3*A + 19*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (5*(A - 15*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((3*A - 13*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((A + 9*C)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, ((3*A + 19*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + ((3*A - 13*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x])/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - ((43*A - 5*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((11*A - 5*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((5*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + ((115*A + 3*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((15*A - C)*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((35*A + 3*C)*Tan[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, ((39*A + 8*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*a^(5/2)*d) - ((219*A + 43*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((63*A + 11*C)*Tan[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((19*A + 3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((31*A + 7*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/2) (A+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (2*a*(9*A + 7*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (10*a*(11*A + 9*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (10*a*(11*A + 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*a*(9*A + 7*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*a*(11*A + 9*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*d) + (2*a*C*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*a*C*Cos[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (2*a*(9*A + 7*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*a*(7*A + 5*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(9*A + 7*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*a*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*a*C*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 6, (2*a*(5*A + 3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*a*(7*A + 5*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 5, (2*a*(5*A + 3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*a*(3*A + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 5, -((2*a*(A - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*a*(3*A + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 5, -((2*a*(A - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*a*(A + 3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 6, -((2*a*(3*A + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*a*(A + 3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 7, -((2*a*(3*A + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*a*(5*A + 7*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, (4*a^2*(9*A + 7*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (8*a^2*(33*A + 25*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (8*a^2*(33*A + 25*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (4*a^2*(9*A + 7*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*a^2*(99*A + 89*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(11*d) + (8*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(99*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (16*a^2*(3*A + 2*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^2*(7*A + 5*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^2*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a^2*(21*A + 19*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d) + (8*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 7, (4*a^2*(5*A + 3*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (8*a^2*(7*A + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a^2*(35*A + 33*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d) + (8*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 7, (16*a^2*C*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^2*(3*A + C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) - (2*a^2*(15*A - 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*(5*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 7, (-4*a^2*(A - C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (8*a^2*(A + C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) - (2*a^2*(5*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (8*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 7, (-16*a^2*A*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^2*(A + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a^2*(17*A + 15*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (8*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 8, (-4*a^2*(3*A + 5*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (8*a^2*(3*A + 7*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a^2*(33*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (8*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 9, (-16*a^2*(2*A + 3*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^2*(5*A + 7*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a^2*(19*A + 21*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^2*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (16*a^2*(2*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (8*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 10, (4*a^3*(221*A + 175*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(195*d) + (4*a^3*(121*A + 95*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (4*a^3*(121*A + 95*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (4*a^3*(221*A + 175*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(585*d) + (40*a^3*(143*A + 118*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9009*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(13*d) + (12*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(143*a*d) + (2*(143*A + 145*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(1287*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, (4*a^3*(7*A + 5*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^3*(143*A + 105*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (4*a^3*(143*A + 105*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (8*a^3*(44*A + 35*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(385*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d) + (4*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(33*a*d) + (2*(33*A + 35*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(231*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 8, (4*a^3*(27*A + 17*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^3*(21*A + 11*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (8*a^3*(21*A + 16*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d) + (4*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*a*d) + (2*(63*A + 73*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(315*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 8, (4*a^3*(5*A + 7*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^3*(35*A + 13*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) - (4*a^3*(35*A - 41*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*(7*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*a*d) - (2*(35*A - 11*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 8, (-4*a^3*(5*A - 9*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^3*(5*A + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) - (8*a^3*(10*A - 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*(35*A - 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 8, (-4*a^3*(9*A - 5*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^3*(3*A + 5*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) - (4*a^3*(21*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (4*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(11*A + 5*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 8, (-4*a^3*(7*A + 5*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^3*(13*A + 35*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (8*a^3*(53*A + 70*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (12*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(35*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(7*A + 5*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 9, (-4*a^3*(17*A + 27*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^3*(11*A + 21*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (8*a^3*(16*A + 21*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(17*A + 27*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (4*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*a*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(73*A + 63*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(13/2), x, 10, (-4*a^3*(5*A + 7*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^3*(105*A + 143*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (8*a^3*(35*A + 44*C)*Sin[c + d*x])/(385*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^3*(105*A + 143*C)*Sin[c + d*x])/(231*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d*Cos[c + d*x]^(11/2)) + (4*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(33*a*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*(35*A + 33*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(231*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, (-3*(5*A + 7*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a*d) + (5*(7*A + 9*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*a*d) + (5*(7*A + 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*a*d) - ((5*A + 7*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) + ((7*A + 9*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*a*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, (3*(5*A + 7*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a*d) - ((3*A + 5*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a*d) - ((3*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d) + ((5*A + 7*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, -(((A + 3*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d)) + ((3*A + 5*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a*d) + ((3*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])), x, 4, ((A + 3*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) + ((A - C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) - ((A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])), x, 5, -(((3*A + C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d)) - ((A - C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) + ((3*A + C)*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])), x, 6, ((3*A + C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) + ((5*A + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a*d) + ((5*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - ((3*A + C)*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Cos[c + d*x])), x, 7, (-3*(7*A + 5*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a*d) - ((5*A + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a*d) + ((7*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - ((5*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (3*(7*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (4*(5*A + 14*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a^2*d) - (5*(A + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) - (5*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + (4*(5*A + 14*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) - ((A + 3*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -(((A + 7*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d)) + (2*(A + 5*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) + (2*(A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((A + 7*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 5, (4*C*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d) + ((A - 5*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) + ((A - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2), x, 5, ((A - C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d) + (2*(A + C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) - ((A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2), x, 6, (-4*A*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d) - ((5*A - C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) + (4*A*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((5*A - C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2), x, 7, ((7*A + C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d) + (2*(5*A + C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) + (2*(5*A + C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - ((7*A + C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((7*A + C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, (7*(7*A + 33*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) - ((13*A + 63*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) - ((13*A + 63*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d) + (7*(7*A + 33*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(30*a^3*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (2*(A + 6*C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((13*A + 63*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -((9*A + 119*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((A + 11*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(2*a^3*d) + ((A + 11*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((9*A + 119*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(30*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, -((A - 49*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((A - 13*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (2*(A - 4*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((A - 13*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, ((A - 9*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((A + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (2*(2*A - 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((A - 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3), x, 6, ((9*A - C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((3*A + C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) - ((A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (2*(3*A - 2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((9*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3), x, 7, -((49*A - C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) - ((13*A - C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) + ((49*A - C)*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (2*(4*A - C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((13*A - C)*Sin[c + d*x])/(6*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3), x, 8, ((119*A + 9*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((11*A + C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(2*a^3*d) + ((11*A + C)*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - ((119*A + 9*C)*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (2*A*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((119*A + 9*C)*Sin[c + d*x])/(30*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/2) (A+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 6, (Sqrt[a]*(48*A + 35*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (a*(48*A + 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*(48*A + 35*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, (Sqrt[a]*(8*A + 5*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (a*(8*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 4, (Sqrt[a]*(8*A + 3*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) + (a*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 4, (Sqrt[a]*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d - (a*(2*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 4, (2*Sqrt[a]*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 3, (2*a*A*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(8*A + 15*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 4, (2*a*A*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(24*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (4*a*(24*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 5, (2*a*A*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(16*A + 21*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a*(16*A + 21*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a*(16*A + 21*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (a^(3/2)*(176*A + 133*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(128*d) + (a^2*(176*A + 133*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(176*A + 133*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(80*A + 67*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(240*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (3*a*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(40*d) + (C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 6, (a^(3/2)*(112*A + 75*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (a^2*(112*A + 75*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(16*A + 13*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(32*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 5, (a^(3/2)*(24*A + 11*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (a^2*(24*A + 19*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 5, (a^(3/2)*(8*A + 7*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) - (a^2*(8*A - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (a*(4*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 5, (3*a^(3/2)*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d - (a^2*(8*A - 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 5, (2*a^(3/2)*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a^2*(4*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 4, (2*a^2*(4*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(104*A + 175*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (6*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 5, (2*a^2*(52*A + 63*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(136*A + 189*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (4*a^2*(136*A + 189*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(13/2), x, 6, (2*a^2*(28*A + 33*C)*Sin[c + d*x])/(231*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(112*A + 143*C)*Sin[c + d*x])/(385*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a^2*(112*A + 143*C)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a^2*(112*A + 143*C)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(33*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(11*d*Cos[c + d*x]^(11/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (a^(5/2)*(1304*A + 1015*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(512*d) + (a^3*(1304*A + 1015*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(512*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^3*(1304*A + 1015*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(768*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^3*(136*A + 109*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(24*A + 23*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(96*d) + (a*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d) + (C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (a^(5/2)*(400*A + 283*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(128*d) + (a^3*(400*A + 283*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^3*(1040*A + 787*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(960*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(80*A + 79*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*d) + (a*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d) + (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 6, (a^(5/2)*(304*A + 163*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (a^3*(432*A + 299*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(16*A + 17*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d) + (5*a*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 6, (5*a^(5/2)*(8*A + 5*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) - (a^3*(24*A - 49*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (a^2*(8*A - 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a*(6*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 6, (a^(5/2)*(8*A + 19*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) - (a^3*(56*A - 27*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (a^2*(8*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (10*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 6, (5*a^(5/2)*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d - (a^3*(64*A + 15*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(8*A + 5*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 6, (2*a^(5/2)*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a^3*(32*A + 49*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(8*A + 7*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 5, (2*a^3*(8*A + 11*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(584*A + 903*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(64*A + 63*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (10*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(13/2), x, 6, (2*a^3*(232*A + 297*C)*Sin[c + d*x])/(693*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(568*A + 759*C)*Sin[c + d*x])/(693*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (4*a^3*(568*A + 759*C)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(32*A + 33*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (10*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(99*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(11*d*Cos[c + d*x]^(11/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(15/2), x, 7, (2*a^3*(2224*A + 2717*C)*Sin[c + d*x])/(9009*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(8368*A + 10439*C)*Sin[c + d*x])/(15015*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a^3*(8368*A + 10439*C)*Sin[c + d*x])/(45045*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a^3*(8368*A + 10439*C)*Sin[c + d*x])/(45045*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(136*A + 143*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1287*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (10*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(143*d*Cos[c + d*x]^(11/2)) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(13*d*Cos[c + d*x]^(13/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 8, -(((8*A + 9*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + ((8*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 7, ((8*A + 7*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]), x, 6, -((C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]), x, 6, (2*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]), x, 5, (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]), x, 6, -((Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*A*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(13*A + 15*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(9/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]), x, 7, (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*A*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(31*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(43*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((8*A + 19*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*a^(3/2)*d) - ((5*A + 13*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) - ((2*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((A + 2*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((3*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + ((A + 9*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 6, (2*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + ((3*A - 5*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 5, -((7*A - C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((5*A + C)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 6, ((11*A + 3*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((7*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((19*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 7, -((15*A + 7*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((9*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((13*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((49*A + 25*C)*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((5*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + ((3*A + 115*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + ((A - 15*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((3*A + 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + ((5*A - 43*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + ((5*A - 11*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 5, ((19*A + 3*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((9*A - 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 6, (-5*(15*A - C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((13*A - 3*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((49*A + C)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 7, ((163*A + 19*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((17*A + C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (5*(19*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((299*A + 27*C)*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+a Cos[e+f x])^n (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>=0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (3*B*x)/8 + (C*Sin[c + d*x])/d + (3*B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (B*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (2*C*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (C*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (3*C*x)/8 + (B*Sin[c + d*x])/d + (3*C*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (B*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 6, (B*x)/2 + (C*Sin[c + d*x])/d + (B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (C*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, (C*x)/2 + (B*Sin[c + d*x])/d + (C*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, B*x + (C*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, C*x + (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (B*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 6, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (C*Tan[c + d*x])/d + (B*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 6, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (B*Tan[c + d*x])/d + (C*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (B*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (3*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (C*Tan[c + d*x])/d + (3*B*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (B*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (C*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 9, (3/8)*a*(B + C)*x + (a*(5*B + 4*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (3*a*(B + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*(B + C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*C*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a*(5*B + 4*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 8, (1/8)*a*(4*B + 3*C)*x + (a*(B + C)*Sin[c + d*x])/d + (a*(4*B + 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a*(B + C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 2, (1/2)*a*(B + C)*x + (a*(3*B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*(3*B - C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 2, (1/2)*a*(2*B + C)*x + (a*(B + C)*Sin[c + d*x])/d + (a*C*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, a*(B + C)*x + (a*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*C*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, a*C*x + (a*(B + C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*B*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, (a*(B + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(B + C)*Tan[c + d*x])/d + (a*B*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 8, (a*(B + C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(2*B + 3*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*(B + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*B*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 8, (a*(3*B + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(B + C)*Tan[c + d*x])/d + (a*(3*B + 4*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*B*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*(B + C)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, (1/8)*a^2*(7*B + 6*C)*x + (a^2*(10*B + 9*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a^2*(7*B + 6*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(5*B + 6*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (C*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a^2*(10*B + 9*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + a*Cos[c + d*x])^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (a^2*(8*B + 7*C)*x)/8 + (a^2*(8*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a^2*(8*B + 7*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + ((4*B - C)*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1, x, 3, (a^2*(3*B + 2*C)*x)/2 + (2*a^2*(3*B + 2*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(3*B + 2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 6, (a^2*(4*B + 3*C)*x)/2 + (a^2*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(2*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (C*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 6, a^2*(B + 2*C)*x + (a^2*(2*B + C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*(B - C)*Sin[c + d*x])/d + (B*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 6, a^2*C*x + (a^2*(3*B + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a^2*(3*B + 2*C)*Tan[c + d*x])/(2*d) + (B*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 8, (a^2*(2*B + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a^2*(5*B + 6*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(4*B + 3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (B*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^6, x, 9, (a^2*(7*B + 8*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*(4*B + 5*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(7*B + 8*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(5*B + 4*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(12*d) + (B*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^7, x, 9, (a^2*(6*B + 7*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*(9*B + 10*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a^2*(6*B + 7*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(6*B + 5*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (B*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a^2*(9*B + 10*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Cos[c + d*x])^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 10, (1/16)*a^3*(26*B + 23*C)*x + (a^3*(19*B + 17*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a^3*(26*B + 23*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^3*(22*B + 21*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(40*d) + (a*C*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(6*d) + ((3*B + 4*C)*Cos[c + d*x]^3*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d) - (a^3*(19*B + 17*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + a*Cos[c + d*x])^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, (1/8)*a^3*(15*B + 13*C)*x + (a^3*(15*B + 13*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (3*a^3*(15*B + 13*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(40*d) + ((5*B - C)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - (a^3*(15*B + 13*C)*Sin[c + d*x]^3)/(60*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1, x, 9, (5/8)*a^3*(4*B + 3*C)*x + (a^3*(4*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/d + (3*a^3*(4*B + 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a^3*(4*B + 3*C)*Sin[c + d*x]^3)/(12*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 7, (a^3*(7*B + 5*C)*x)/2 + (a^3*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^3*(B + C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((3*B + 5*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 7, (a^3*(6*B + 7*C)*x)/2 + (a^3*(3*B + C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^3*C*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((2*B - C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*B*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 7, a^3*(B + 3*C)*x + (a^3*(7*B + 6*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (5*a^3*B*Sin[c + d*x])/(2*d) + ((2*B + C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Tan[c + d*x])/d + (a*B*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 7, a^3*C*x + (a^3*(5*B + 7*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (5*a^3*(B + C)*Tan[c + d*x])/(2*d) + ((5*B + 3*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (a*B*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^6, x, 9, (5*a^3*(3*B + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*(9*B + 11*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a^3*(27*B + 28*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + ((3*B + 2*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(6*d) + (a*B*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^7, x, 10, (a^3*(13*B + 15*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*(38*B + 45*C)*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a^3*(13*B + 15*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^3*(43*B + 45*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(60*d) + ((7*B + 5*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (a*B*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, (3*(B - C)*x)/(2*a) - ((3*B - 4*C)*Sin[c + d*x])/(a*d) + (3*(B - C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) + ((B - C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])) + ((3*B - 4*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 3, -((2*B - 3*C)*x)/(2*a) + (2*(B - C)*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((2*B - 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) + ((B - C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 4, ((B - C)*x)/a + (C*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((B - C)*Sin[c + d*x])/(a*d*(1 + Cos[c + d*x]))}
+{((B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 3, (C*x)/a + ((B - C)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{((B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 4, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d) - ((B - C)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{((B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, -(((B - C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d)) + ((2*B - C)*Tan[c + d*x])/(a*d) - ((B - C)*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{((B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, ((3*B - 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d) - (2*(B - C)*Tan[c + d*x])/(a*d) + ((3*B - 2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - ((B - C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{((B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, -((3*(B - C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d)) + ((4*B - 3*C)*Tan[c + d*x])/(a*d) - (3*(B - C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - ((B - C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])) + ((4*B - 3*C)*Tan[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 8, ((7*B - 10*C)*x)/(2*a^2) - (4*(2*B - 3*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + ((7*B - 10*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) + ((7*B - 10*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((B - C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (4*(2*B - 3*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 4, -((4*B - 7*C)*x)/(2*a^2) + (2*(5*B - 8*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((4*B - 7*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) + ((5*B - 8*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((B - C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, ((B - 2*C)*x)/a^2 - ((B - 4*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((B - 2*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((B - C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^0*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 3, (C*x)/a^2 + ((2*B - 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((B - C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{((B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 3, ((B - C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((B + 2*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x]))}
+{((B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 5, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - ((4*B - C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((B - C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{((B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -(((2*B - C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d)) + (2*(5*B - 2*C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((2*B - C)*Tan[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((B - C)*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{((B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 8, ((7*B - 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^2*d) - (2*(8*B - 5*C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) + ((7*B - 4*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) - ((8*B - 5*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((B - C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 5, -((6*B - 13*C)*x)/(2*a^3) + (8*(9*B - 19*C)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) - ((6*B - 13*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) + ((B - C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((6*B - 11*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (4*(9*B - 19*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, ((B - 3*C)*x)/a^3 - ((7*B - 27*C)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) + ((B - C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((4*B - 9*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((B - 3*C)*Sin[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (C*x)/a^3 + ((B - C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((2*B - 7*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((4*B - 29*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 3, -((B - C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((3*B - 8*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((3*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{((B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 4, ((B - C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((2*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((2*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{((B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - ((B - C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((7*B - 2*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (2*(11*B - C)*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{((B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -(((3*B - C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d)) + (2*(36*B - 11*C)*Tan[c + d*x])/(15*a^3*d) - ((B - C)*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((9*B - 4*C)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((3*B - C)*Tan[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{((B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 9, ((13*B - 6*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (8*(19*B - 9*C)*Tan[c + d*x])/(15*a^3*d) + ((13*B - 6*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((B - C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((11*B - 6*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (4*(19*B - 9*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*a*(5*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(5*B - 2*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d)}
+
+
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (8*a^2*(21*B + 19*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(21*B + 19*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(7*B - 2*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*a*d)}
+
+
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (64*a^3*(15*B + 13*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a^2*(15*B + 13*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*a*(15*B + 13*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(9*B - 2*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*a*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, -((Sqrt[2]*(B - C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*(3*B - 2*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+
+
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, ((3*B - 7*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((B - C)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*C*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, ((5*B + 19*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((B - C)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + ((5*B - 13*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/2) (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>=0*)
+
+
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(3/2), x, 7, (6*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (10*C*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (10*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(1/2), x, 6, (6*C*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 5, (2*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*C*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 4, (2*C*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 5, -((2*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*C*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 6, -((2*C*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*C*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 7, -((6*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*C*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*C*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (6*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/2 (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+a Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>=0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (1/16)*(6*A + 5*C)*x + (B*Sin[c + d*x])/d + ((6*A + 5*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + ((6*A + 5*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (C*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d) - (2*B*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (B*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (3*B*x)/8 + ((5*A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (3*B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (B*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (C*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d) - ((5*A + 4*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 6, (1/8)*(4*A + 3*C)*x + (B*Sin[c + d*x])/d + ((4*A + 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (B*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 2, (B*x)/2 + ((3*A + 2*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (C*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, A*x + (C*x)/2 + (B*Sin[c + d*x])/d + (C*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, B*x + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (C*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, C*x + (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (A*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, ((A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (B*Tan[c + d*x])/d + (A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 6, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((2*A + 3*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (B*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (A*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 6, ((3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (B*Tan[c + d*x])/d + ((3*A + 4*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (A*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (B*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (3*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((4*A + 5*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (3*B*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (B*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (A*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((4*A + 5*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, (1/8)*a*(4*A + 3*(B + C))*x + (a*(5*A + 5*B + 4*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a*(4*A + 3*(B + C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*(B + C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*C*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a*(5*A + 5*B + 4*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 3, (1/8)*a*(4*A + 4*B + 3*C)*x + (a*(3*A + 2*(B + C))*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*(4*A + 4*B + 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*(B + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 2, (1/2)*a*(2*A + B + C)*x + (a*(3*A + 3*B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*(3*B - C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 4, (1/2)*a*(2*A + 2*B + C)*x + (a*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*(B + C)*Sin[c + d*x])/d + (a*C*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 4, a*(B + C)*x + (a*(A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*C*Sin[c + d*x])/d + (a*A*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 4, a*C*x + (a*(A + 2*(B + C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(A + B)*Tan[c + d*x])/d + (a*A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, (a*(A + B + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(2*A + 3*(B + C))*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*(A + B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, (a*(3*A + 4*(B + C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - (a*(A + B - 3*(A + B + C))*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*(3*A + 4*(B + C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*(A + B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*A*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 9, (1/16)*a^2*(14*A + 12*B + 11*C)*x + (a^2*(10*A + 9*B + 8*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a^2*(14*A + 12*B + 11*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^2*(10*A + 12*B + 9*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(40*d) + (C*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(6*d) + ((3*B + C)*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d) - (a^2*(10*A + 9*B + 8*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 5, (1/8)*a^2*(8*A + 7*B + 6*C)*x + (a^2*(8*A + 7*B + 6*C)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a^2*(8*A + 7*B + 6*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + ((20*A - 5*B + 6*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(60*d) + (C*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((5*B + 2*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 3, (1/8)*a^2*(12*A + 8*B + 7*C)*x + (a^2*(12*A + 8*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a^2*(12*A + 8*B + 7*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + ((4*B - C)*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, (1/2)*a^2*(4*A + 3*B + 2*C)*x + (a^2*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(2*A + 3*B + 2*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((3*B + 2*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, (1/2)*a^2*(2*A + 4*B + 3*C)*x + (a^2*(2*A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*(2*A - 2*B - 3*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((2*A - C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, a^2*(B + 2*C)*x + (a^2*(3*A + 4*B + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (a^2*(3*A + 2*B - 2*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + ((A + B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Tan[c + d*x])/d + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, a^2*C*x + (a^2*(2*A + 3*B + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a^2*(2*A + 3*B + 2*C)*Tan[c + d*x])/(2*d) + ((2*A + 3*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 8, (a^2*(7*A + 8*B + 12*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*(4*A + 5*B + 6*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(11*A + 16*B + 12*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + ((A + 2*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(6*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 9, (a^2*(6*A + 7*B + 8*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*(18*A + 20*B + 25*C)*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a^2*(6*A + 7*B + 8*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(18*A + 25*B + 20*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(60*d) + ((2*A + 5*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 10, (1/16)*a^3*(26*A + 23*B + 21*C)*x + (a^3*(133*A + 119*B + 108*C)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (a^3*(26*A + 23*B + 21*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^3*(154*A + 147*B + 129*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(280*d) + (C*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d) + ((7*B + 3*C)*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(42*a*d) + ((3*A + 4*B + 3*C)*Cos[c + d*x]^3*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d) - (a^3*(133*A + 119*B + 108*C)*Sin[c + d*x]^3)/(105*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 11, (1/16)*a^3*(30*A + 26*B + 23*C)*x + (a^3*(30*A + 26*B + 23*C)*Sin[c + d*x])/(10*d) + (3*a^3*(30*A + 26*B + 23*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(80*d) + ((30*A - 6*B + 7*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(120*d) + (C*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(6*d) + ((2*B + C)*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(10*a*d) - (a^3*(30*A + 26*B + 23*C)*Sin[c + d*x]^3)/(120*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 9, (1/8)*a^3*(20*A + 15*B + 13*C)*x + (a^3*(20*A + 15*B + 13*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (3*a^3*(20*A + 15*B + 13*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(40*d) + ((5*B - C)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - (a^3*(20*A + 15*B + 13*C)*Sin[c + d*x]^3)/(60*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, (1/8)*a^3*(28*A + 20*B + 15*C)*x + (a^3*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^3*(4*A + 4*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(8*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + ((4*B + 3*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*a*d) + ((12*A + 20*B + 15*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(24*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, (1/2)*a^3*(6*A + 7*B + 5*C)*x + (a^3*(3*A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^3*(B + C)*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((3*A - C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - ((6*A - 3*B - 5*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, (1/2)*a^3*(2*A + 6*B + 7*C)*x + (a^3*(7*A + 6*B + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (5*a^3*(A - C)*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((4*A + 2*B - C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d) + ((3*A + 2*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(2*a*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, a^3*(B + 3*C)*x + (a^3*(5*A + 7*B + 6*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (5*a^3*(A + B)*Sin[c + d*x])/(2*d) + ((5*A + 6*B + 3*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((A + B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, a^3*C*x + (a^3*(15*A + 20*B + 28*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (5*a^3*(3*A + 4*(B + C))*Tan[c + d*x])/(8*d) + ((15*A + 20*B + 12*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + ((3*A + 4*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(12*a*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 9, (a^3*(13*A + 15*B + 20*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*(38*A + 45*B + 55*C)*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a^3*(109*A + 135*B + 140*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(120*d) + ((11*A + 15*B + 10*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(30*d) + ((3*A + 5*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*a*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 10, (a^3*(23*A + 26*B + 30*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (a^3*(34*A + 38*B + 45*C)*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a^3*(23*A + 26*B + 30*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (a^3*(73*A + 86*B + 90*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(120*d) + ((31*A + 42*B + 30*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(120*d) + ((A + 2*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(10*a*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 11, (1/128)*a^4*(392*A + 352*B + 323*C)*x + (a^4*(252*A + 227*B + 208*C)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (a^4*(392*A + 352*B + 323*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (a^4*(2408*A + 2208*B + 2007*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2240*d) + (a*(2*B + C)*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(14*d) + (C*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(8*d) + ((56*A + 80*B + 61*C)*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(336*d) + (7*(8*A + 8*B + 7*C)*Cos[c + d*x]^3*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(120*d) - (a^4*(252*A + 227*B + 208*C)*Sin[c + d*x]^3)/(105*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 14, (1/16)*a^4*(56*A + 49*B + 44*C)*x + (4*a^4*(56*A + 49*B + 44*C)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (27*a^4*(56*A + 49*B + 44*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(560*d) + (a^4*(56*A + 49*B + 44*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(280*d) + ((42*A - 7*B + 8*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(210*d) + (C*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(7*d) + ((7*B + 4*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^5*Sin[c + d*x])/(42*a*d) - (2*a^4*(56*A + 49*B + 44*C)*Sin[c + d*x]^3)/(105*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 12, (7/16)*a^4*(10*A + 8*B + 7*C)*x + (4*a^4*(10*A + 8*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (27*a^4*(10*A + 8*B + 7*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(80*d) + (a^4*(10*A + 8*B + 7*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(40*d) + ((6*B - C)*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(30*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^5*Sin[c + d*x])/(6*a*d) - (2*a^4*(10*A + 8*B + 7*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 8, (1/8)*a^4*(48*A + 35*B + 28*C)*x + (a^4*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^4*(40*A + 35*B + 28*C)*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*(5*B + 4*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((20*A + 35*B + 28*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(60*d) + ((32*A + 35*B + 28*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(24*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 8, (1/8)*a^4*(52*A + 48*B + 35*C)*x + (a^4*(4*A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^4*(4*A + 8*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a*(4*A - C)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - ((12*A - 4*B - 7*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) - ((12*A - 32*B - 35*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(24*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 8, (1/2)*a^4*(8*A + 13*B + 12*C)*x + (a^4*(13*A + 8*B + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (5*a^4*(A - B - 2*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((15*A + 6*B - 2*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(6*d) - ((18*A + 3*B - 8*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a*(2*A + B)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/d + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 8, (1/2)*a^4*(2*A + 8*B + 13*C)*x + (a^4*(12*A + 13*B + 8*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (5*a^4*(2*A + B - C)*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((22*A + 18*B + 3*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d) + ((16*A + 15*B + 6*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(6*d) + (a*(4*A + 3*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 8, a^4*(B + 4*C)*x + (a^4*(35*A + 48*B + 52*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - (5*a^4*(7*A + 8*B + 4*C)*Sin[c + d*x])/(8*d) + ((35*A + 44*B + 36*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(12*d) + ((7*A + 8*B + 4*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*(A + B)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 8, a^4*C*x + (a^4*(28*A + 35*B + 48*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^4*(28*A + 35*B + 40*C)*Tan[c + d*x])/(8*d) + ((28*A + 35*B + 32*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + ((28*A + 35*B + 20*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(60*d) + (a*(4*A + 5*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 10, (7*a^4*(7*A + 8*B + 10*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (a^4*(72*A + 83*B + 100*C)*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a^4*(417*A + 488*B + 550*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(240*d) + ((43*A + 52*B + 50*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(60*d) + ((37*A + 48*B + 30*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(120*d) + (a*(2*A + 3*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(15*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Sec[c + d*x]^8*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 11, (a^4*(44*A + 49*B + 56*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (a^4*(454*A + 504*B + 581*C)*Tan[c + d*x])/(105*d) + (a^4*(44*A + 49*B + 56*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (a^4*(988*A + 1113*B + 1232*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(840*d) + ((436*A + 511*B + 504*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(840*d) + ((16*A + 21*B + 14*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(70*d) + (a*(4*A + 7*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(42*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^6*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, (3*(4*A - 4*B + 5*C)*x)/(8*a) - ((3*A - 4*B + 4*C)*Sin[c + d*x])/(a*d) + (3*(4*A - 4*B + 5*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*d) + ((4*A - 4*B + 5*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])) + ((3*A - 4*B + 4*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, -(((2*A - 3*B + 3*C)*x)/(2*a)) + ((3*A - 3*B + 4*C)*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((2*A - 3*B + 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])) - ((3*A - 3*B + 4*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 2, ((2*A - 2*B + 3*C)*x)/(2*a) - ((A - 2*B + 2*C)*Sin[c + d*x])/(a*d) + ((2*A - 2*B + 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 3, ((B - C)*x)/a + (C*Sin[c + d*x])/(a*d) + ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(a*d*(1 + Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 3, (C*x)/a + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, -(((A - B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d)) + ((2*A - B + C)*Tan[c + d*x])/(a*d) - ((A - B + C)*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, ((3*A - 2*B + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d) - ((2*A - 2*B + C)*Tan[c + d*x])/(a*d) + ((3*A - 2*B + 2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, -(((3*A - 3*B + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d)) + ((4*A - 3*B + 3*C)*Tan[c + d*x])/(a*d) - ((3*A - 3*B + 2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])) + ((4*A - 3*B + 3*C)*Tan[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -(((4*A - 7*B + 10*C)*x)/(2*a^2)) + ((5*A - 8*B + 12*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - ((4*A - 7*B + 10*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) - ((4*A - 7*B + 10*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((5*A - 8*B + 12*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 3, ((2*A - 4*B + 7*C)*x)/(2*a^2) - (2*(2*A - 5*B + 8*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + ((2*A - 4*B + 7*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) - ((2*A - 5*B + 8*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, ((B - 2*C)*x)/a^2 + ((A - B + 4*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((B - 2*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 3, (C*x)/a^2 + ((A + 2*B - 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - ((4*A - B - 2*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -(((2*A - B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d)) + ((10*A - 4*B + C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((2*A - B)*Tan[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, ((7*A - 4*B + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^2*d) - (2*(8*A - 5*B + 2*C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) + ((7*A - 4*B + 2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) - ((8*A - 5*B + 2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -(((10*A - 7*B + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^2*d)) + ((12*A - 8*B + 5*C)*Tan[c + d*x])/(a^2*d) - ((10*A - 7*B + 4*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) - ((10*A - 7*B + 4*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((12*A - 8*B + 5*C)*Tan[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -(((6*A - 13*B + 23*C)*x)/(2*a^3)) + (4*(9*A - 19*B + 34*C)*Sin[c + d*x])/(5*a^3*d) - ((6*A - 13*B + 23*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((3*A - 8*B + 13*C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((6*A - 13*B + 23*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])) - (4*(9*A - 19*B + 34*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 4, ((2*A - 6*B + 13*C)*x)/(2*a^3) - (2*(11*A - 36*B + 76*C)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) + ((2*A - 6*B + 13*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((A - 6*B + 11*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((11*A - 36*B + 76*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, ((B - 3*C)*x)/a^3 + ((2*A - 7*B + 27*C)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((A + 4*B - 9*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((B - 3*C)*Sin[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (C*x)/a^3 - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((3*A + 2*B - 7*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((6*A + 4*B - 29*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 3, ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((2*A + 3*B - 8*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((2*A + 3*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((7*A - 2*B - 3*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((22*A - 2*B - 3*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -(((3*A - B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d)) + (2*(36*A - 11*B + C)*Tan[c + d*x])/(15*a^3*d) - ((A - B + C)*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((9*A - 4*B - C)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((3*A - B)*Tan[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, ((13*A - 6*B + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (2*(76*A - 36*B + 11*C)*Tan[c + d*x])/(15*a^3*d) + ((13*A - 6*B + 2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((11*A - 6*B + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((76*A - 36*B + 11*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -(((23*A - 13*B + 6*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d)) + (4*(34*A - 19*B + 9*C)*Tan[c + d*x])/(5*a^3*d) - ((23*A - 13*B + 6*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((13*A - 8*B + 3*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((23*A - 13*B + 6*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])) + (4*(34*A - 19*B + 9*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*a^3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 5, ((2*A - 8*B + 21*C)*x)/(2*a^4) - (8*(20*A - 83*B + 216*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d) + ((2*A - 8*B + 21*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^4*d) - ((10*A - 52*B + 129*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - (4*(20*A - 83*B + 216*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + ((B - 2*C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 8, ((B - 4*C)*x)/a^4 + ((6*A - 55*B + 244*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d) + ((3*A + 25*B - 88*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - ((B - 4*C)*Sin[c + d*x])/(a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + ((2*A + 5*B - 12*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (C*x)/a^4 - ((8*A + 6*B - 55*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + ((16*A + 12*B - 215*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + ((4*A + 3*B - 10*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 5, ((23*A - 2*B - 54*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + ((8*A + 13*B + 36*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - ((6*A + B - 8*C)*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 4, ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + ((3*A + 4*B - 11*C)*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((6*A + 8*B + 13*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2) + ((6*A + 8*B + 13*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - ((55*A - 6*B - 8*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - (2*(80*A - 3*B - 4*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - ((10*A - 3*B - 4*C)*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 8, -(((4*A - B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d)) + (2*(332*A - 80*B + 3*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d) - ((88*A - 25*B - 3*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - ((4*A - B)*Tan[c + d*x])/(a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - ((12*A - 5*B - 2*C)*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 9, ((21*A - 8*B + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d) - (8*(216*A - 83*B + 20*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d) + ((21*A - 8*B + 2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^4*d) - ((129*A - 52*B + 10*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - (4*(216*A - 83*B + 20*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - ((2*A - B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^4, x, 9, -(((44*A - 21*B + 8*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d)) + (4*(454*A - 216*B + 83*C)*Tan[c + d*x])/(35*a^4*d) - ((44*A - 21*B + 8*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^4*d) - ((178*A - 87*B + 31*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - ((44*A - 21*B + 8*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - ((16*A - 9*B + 2*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (4*(454*A - 216*B + 83*C)*Tan[c + d*x]^3)/(105*a^4*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (4*a*(99*A + 88*B + 80*C)*Sin[c + d*x])/(495*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(99*A + 88*B + 80*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(11*B + C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(99*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (8*(99*A + 88*B + 80*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(11*d) + (4*(99*A + 88*B + 80*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(1155*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*a*(21*A + 18*B + 16*C)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(9*B + C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (4*(21*A + 18*B + 16*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*(21*A + 18*B + 16*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*a*(35*A + 49*B + 27*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(35*A - 14*B + 18*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*(7*B + C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*a*(15*A + 5*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(5*B - 2*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (2*Sqrt[a]*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a*(3*B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (Sqrt[a]*(A + 2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d - (a*(A - 2*C)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (Sqrt[a]*(3*A + 4*B + 8*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) + (a*(A + 4*B)*Tan[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 5, (Sqrt[a]*(5*A + 6*B + 8*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (a*(5*A + 6*B + 8*C)*Tan[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*(A + 6*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (Sqrt[a]*(35*A + 40*B + 48*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (a*(35*A + 40*B + 48*C)*Tan[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*(35*A + 40*B + 48*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*(A + 8*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*a^2*(429*A + 374*B + 336*C)*Sin[c + d*x])/(495*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(99*A + 110*B + 84*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (4*a*(429*A + 374*B + 336*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*d) + (2*a*(11*B + 3*C)*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*(429*A + 374*B + 336*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(1155*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (8*a^2*(63*A + 57*B + 47*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(63*A + 57*B + 47*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*(63*A - 18*B + 22*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*(3*B + C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(21*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, (8*a^2*(35*A + 21*B + 19*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(35*A + 21*B + 19*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(7*B - 2*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*a^(3/2)*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a^2*(15*A + 20*B + 12*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(5*B + 3*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (a^(3/2)*(3*A + 2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d - (a^2*(3*A - 6*B - 8*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (a*(3*A - 2*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (a^(3/2)*(7*A + 12*B + 8*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) - (a^2*(5*A + 4*B - 8*C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*(3*A + 4*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (a^(3/2)*(11*A + 14*B + 24*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (a^2*(19*A + 30*B + 24*C)*Tan[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*(A + 2*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (a^(3/2)*(75*A + 88*B + 112*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (a^2*(75*A + 88*B + 112*C)*Tan[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(39*A + 56*B + 48*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*(3*A + 8*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(24*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (a^(3/2)*(133*A + 150*B + 176*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(128*d) + (a^2*(133*A + 150*B + 176*C)*Tan[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(133*A + 150*B + 176*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(67*A + 90*B + 80*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(240*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*(3*A + 10*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(40*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*a^3*(10439*A + 9230*B + 8368*C)*Sin[c + d*x])/(6435*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(2717*A + 2522*B + 2224*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(9009*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (4*a^2*(10439*A + 9230*B + 8368*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(45045*d) + (2*a^2*(143*A + 182*B + 136*C)*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1287*d) + (2*a*(10439*A + 9230*B + 8368*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15015*d) + (2*a*(13*B + 5*C)*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(143*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(13*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (64*a^3*(165*A + 143*B + 125*C)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a^2*(165*A + 143*B + 125*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*d) + (2*a*(165*A + 143*B + 125*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(1155*d) + (2*(99*A - 22*B + 26*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(11*d) + (2*(11*B + 5*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(99*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (64*a^3*(21*A + 15*B + 13*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a^2*(21*A + 15*B + 13*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*a*(21*A + 15*B + 13*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(9*B - 2*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*a^(5/2)*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a^3*(245*A + 224*B + 160*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(35*A + 56*B + 40*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*a*(7*B + 5*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (a^(5/2)*(5*A + 2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (a^3*(15*A + 70*B + 64*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (a^2*(15*A - 10*B - 16*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) - (a*(5*A - 2*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (a^(5/2)*(19*A + 20*B + 8*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) - (a^3*(27*A - 12*B - 56*C)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (a^2*(21*A + 12*B - 8*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d) + (a*(5*A + 4*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(4*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (a^(5/2)*(25*A + 38*B + 40*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) - (a^3*(49*A + 54*B - 24*C)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(31*A + 42*B + 24*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(24*d) + (a*(5*A + 6*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (a^(5/2)*(163*A + 200*B + 304*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (a^3*(299*A + 392*B + 432*C)*Tan[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(17*A + 24*B + 16*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(32*d) + (a*(5*A + 8*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(24*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (a^(5/2)*(283*A + 326*B + 400*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(128*d) + (a^3*(283*A + 326*B + 400*C)*Tan[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^3*(787*A + 950*B + 1040*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(960*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(79*A + 110*B + 80*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(240*d) + (a*(A + 2*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(8*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, (a^(5/2)*(1015*A + 1132*B + 1304*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(512*d) + (a^3*(1015*A + 1132*B + 1304*C)*Tan[c + d*x])/(512*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^3*(1015*A + 1132*B + 1304*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(768*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^3*(545*A + 628*B + 680*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(960*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(115*A + 156*B + 120*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(480*d) + (a*(5*A + 12*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(60*d) + (A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 8, -((Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (4*(147*A - 111*B + 143*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(21*A - 3*B + 19*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(9*B - C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(9*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(21*A - 93*B + 29*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (4*(35*A - 49*B + 37*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(7*B - C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(35*A - 7*B + 31*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, -((Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*(15*A - 10*B + 14*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(5*B - C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 4, (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*(3*B - 2*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (2*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, -(((A - 2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (A*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, ((7*A - 4*B + 8*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - ((A - 4*B)*Tan[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 8, -(((9*A - 14*B + 8*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + ((7*A - 2*B + 8*C)*Tan[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A - 6*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (A*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 9, ((107*A - 72*B + 112*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - ((21*A - 56*B + 16*C)*Tan[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((43*A - 8*B + 48*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A - 8*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (A*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((11*A - 15*B + 19*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) - ((455*A - 651*B + 799*C)*Sin[c + d*x])/(105*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((35*A - 63*B + 67*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(70*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((7*A - 7*B + 11*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(14*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((245*A - 273*B + 397*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(210*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -(((7*A - 11*B + 15*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((45*A - 65*B + 93*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((5*A - 5*B + 9*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((15*A - 35*B + 39*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(30*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, ((3*A - 7*B + 11*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) - ((3*A - 9*B + 13*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((3*A - 3*B + 7*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 4, ((A + 3*B - 7*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*C*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - ((5*A - B - 3*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -(((3*A - 2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + ((9*A - 5*B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((3*A - B + C)*Tan[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((19*A - 12*B + 8*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*a^(3/2)*d) - ((13*A - 9*B + 5*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((7*A - 6*B + 2*C)*Tan[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((2*A - B + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, -(((47*A - 38*B + 24*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*a^(3/2)*d)) + ((17*A - 13*B + 9*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((21*A - 14*B + 12*C)*Tan[c + d*x])/(8*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((13*A - 12*B + 6*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((5*A - 3*B + 3*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, -(((75*A - 163*B + 283*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((5*A - 13*B + 21*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((465*A - 985*B + 1729*C)*Sin[c + d*x])/(120*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((45*A - 85*B + 157*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(80*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((195*A - 475*B + 787*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, ((19*A - 75*B + 163*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((A - 9*B + 17*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) - ((21*A - 93*B + 197*C)*Sin[c + d*x])/(24*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((15*A - 39*B + 95*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, ((5*A + 19*B - 75*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((3*A + 5*B - 13*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((A - B + 9*C)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 4, ((3*A + 5*B + 19*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + ((3*A + 5*B - 13*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*A*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - ((43*A - 3*B - 5*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((11*A - 3*B - 5*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, -(((5*A - 2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + ((115*A - 43*B + 3*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((15*A - 7*B - C)*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((35*A - 11*B + 3*C)*Tan[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, ((39*A - 20*B + 8*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*a^(5/2)*d) - ((219*A - 115*B + 43*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((63*A - 35*B + 11*C)*Tan[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((19*A - 11*B + 3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((31*A - 15*B + 7*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/2) (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>=0*)
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(3/2), x, 6, (6*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(7*A + 5*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(1/2), x, 5, (2*(5*A + 3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 4, (2*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*(3*A + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 4, -((2*(A - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 5, -((2*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*(A + 3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 6, -((2*(3*A + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (2*a*(9*A + 7*(B + C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (10*a*(11*A + 11*B + 9*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (10*a*(11*A + 11*B + 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*a*(9*A + 7*(B + C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*a*(11*A + 11*B + 9*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*d) + (2*a*(B + C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*a*C*Cos[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (2*a*(9*A + 9*B + 7*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*a*(7*A + 5*(B + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*(7*A + 5*(B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(9*A + 9*B + 7*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*a*(B + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*a*C*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 6, (2*a*(5*A + 3*(B + C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*a*(7*A + 7*B + 5*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*(7*A + 7*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(B + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 5, (2*a*(5*A + 5*B + 3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*a*(3*A + B + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*(B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 5, -((2*a*(A - B - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*a*(3*A + 3*B + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 5, -((2*a*(A + B - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*a*(A + 3*(B + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(A + B)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 6, -((2*a*(3*A + 5*(B + C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*a*(A + B + 3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(A + B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(3*A + 5*(B + C))*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 7, -((2*a*(3*A + 3*B + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*a*(5*A + 7*(B + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*(A + B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(5*A + 7*(B + C))*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(3*A + 3*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, (4*a^2*(9*A + 8*B + 7*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^2*(66*A + 55*B + 50*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (4*a^2*(66*A + 55*B + 50*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (4*a^2*(9*A + 8*B + 7*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*a^2*(99*A + 121*B + 89*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(11*d) + (2*(11*B + 4*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(99*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (4*a^2*(12*A + 9*B + 8*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^2*(7*A + 6*B + 5*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^2*(7*A + 6*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a^2*(21*A + 27*B + 19*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*(9*B + 4*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 7, (4*a^2*(5*A + 4*B + 3*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^2*(14*A + 7*B + 6*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a^2*(35*A + 49*B + 33*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*(7*B + 4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 7, (4*a^2*(5*B + 4*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^2*(3*A + 2*B + C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) - (2*a^2*(15*A - 5*B - 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*(5*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 7, (-4*a^2*(A - C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (4*a^2*(2*A + 3*B + 2*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) - (2*a^2*(5*A + 3*B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(4*A + 3*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 7, (-4*a^2*(4*A + 5*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^2*(A + 2*B + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a^2*(17*A + 25*B + 15*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(4*A + 5*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 8, (-4*a^2*(3*A + 4*B + 5*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^2*(6*A + 7*B + 14*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a^2*(33*A + 49*B + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(3*A + 4*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(4*A + 7*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 9, (-4*a^2*(8*A + 9*B + 12*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^2*(5*A + 6*B + 7*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a^2*(19*A + 27*B + 21*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^2*(5*A + 6*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(8*A + 9*B + 12*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*(4*A + 9*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 10, (4*a^3*(221*A + 195*B + 175*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(195*d) + (4*a^3*(121*A + 105*B + 95*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (4*a^3*(121*A + 105*B + 95*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (4*a^3*(221*A + 195*B + 175*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(585*d) + (20*a^3*(286*A + 273*B + 236*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9009*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(13*d) + (2*(13*B + 6*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(143*a*d) + (2*(143*A + 195*B + 145*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(1287*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, (4*a^3*(21*A + 17*B + 15*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^3*(143*A + 121*B + 105*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (4*a^3*(143*A + 121*B + 105*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (4*a^3*(264*A + 253*B + 210*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(1155*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d) + (2*(11*B + 6*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(99*a*d) + (2*(99*A + 143*B + 105*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(693*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 8, (4*a^3*(27*A + 21*B + 17*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^3*(21*A + 13*B + 11*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^3*(42*A + 41*B + 32*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*(3*B + 2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*a*d) + (2*(63*A + 99*B + 73*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(315*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 8, (4*a^3*(5*A + 9*B + 7*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^3*(35*A + 21*B + 13*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) - (4*a^3*(35*A - 42*B - 41*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*(7*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*a*d) - (2*(35*A - 7*B - 11*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 8, (-4*a^3*(5*A - 5*B - 9*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^3*(5*A + 5*B + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) - (4*a^3*(20*A + 5*B - 6*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(2*A + B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*(35*A + 15*B - 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d)}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 8, (-4*a^3*(9*A + 5*B - 5*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^3*(3*A + 5*(B + C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) - (4*a^3*(21*A + 20*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(6*A + 5*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(33*A + 35*B + 15*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 8, (-4*a^3*(7*A + 9*B + 5*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^3*(13*A + 21*B + 35*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^3*(106*A + 147*B + 140*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(6*A + 7*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(35*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(7*A + 9*B + 5*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 9, (-4*a^3*(17*A + 21*B + 27*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^3*(11*A + 13*B + 21*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^3*(32*A + 41*B + 42*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(17*A + 21*B + 27*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*(2*A + 3*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*a*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(73*A + 99*B + 63*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(13/2), x, 10, (-4*a^3*(15*A + 17*B + 21*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^3*(105*A + 121*B + 143*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (4*a^3*(210*A + 253*B + 264*C)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^3*(105*A + 121*B + 143*C)*Sin[c + d*x])/(231*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(15*A + 17*B + 21*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d*Cos[c + d*x]^(11/2)) + (2*(6*A + 11*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(99*a*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*(105*A + 143*B + 99*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(693*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, (-3*(5*A - 7*B + 7*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a*d) + (5*(7*A - 7*B + 9*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*a*d) + (5*(7*A - 7*B + 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*a*d) - ((5*A - 7*B + 7*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) + ((7*A - 7*B + 9*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*a*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, (3*(5*A - 5*B + 7*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a*d) - ((3*A - 5*B + 5*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a*d) - ((3*A - 5*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d) + ((5*A - 5*B + 7*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, -(((A - 3*B + 3*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d)) + ((3*A - 3*B + 5*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a*d) + ((3*A - 3*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])), x, 4, ((A - B + 3*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) + ((A + B - C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) - ((A - B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])), x, 5, -(((3*A - B + C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d)) - ((A - B - C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) + ((3*A - B + C)*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])), x, 6, ((3*A - 3*B + C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) + ((5*A - 3*B + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a*d) + ((5*A - 3*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - ((3*A - 3*B + C)*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Cos[c + d*x])), x, 7, (-3*(7*A - 5*B + 5*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a*d) - ((5*A - 5*B + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a*d) + ((7*A - 5*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - ((5*A - 5*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (3*(7*A - 5*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, ((20*A - 35*B + 56*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a^2*d) - (5*(A - 2*B + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) - (5*(A - 2*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + ((20*A - 35*B + 56*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) - ((A - 2*B + 3*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -(((A - 4*B + 7*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d)) + ((2*A - 5*B + 10*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) + ((2*A - 5*B + 10*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((A - 4*B + 7*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 5, -(((B - 4*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d)) + ((A + 2*B - 5*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) + ((A + 2*B - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2), x, 5, ((A - C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d) + ((2*A + B + 2*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) - ((A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2), x, 6, -(((4*A - B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d)) - ((5*A - 2*B - C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) + ((4*A - B)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((5*A - 2*B - C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2), x, 7, ((7*A - 4*B + C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d) + ((10*A - 5*B + 2*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) + ((10*A - 5*B + 2*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - ((7*A - 4*B + C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((7*A - 4*B + C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, (7*(7*A - 17*B + 33*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) - ((13*A - 33*B + 63*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) - ((13*A - 33*B + 63*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d) + (7*(7*A - 17*B + 33*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(30*a^3*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((2*A - 7*B + 12*C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((13*A - 33*B + 63*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -((9*A - 49*B + 119*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((3*A - 13*B + 33*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) + ((3*A - 13*B + 33*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((B - 2*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((9*A - 49*B + 119*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(30*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, -((A + 9*B - 49*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((A + 3*B - 13*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((2*A + 3*B - 8*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((A + 3*B - 13*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 6, ((A - B - 9*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((A + B + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((4*A + B - 6*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((A - B - 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3), x, 6, ((9*A + B - C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((3*A + B + C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) - ((A - B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((6*A - B - 4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((9*A + B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3), x, 7, -((49*A - 9*B - C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) - ((13*A - 3*B - C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) + ((49*A - 9*B - C)*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((8*A - 3*B - 2*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((13*A - 3*B - C)*Sin[c + d*x])/(6*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3), x, 8, ((119*A - 49*B + 9*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((33*A - 13*B + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) + ((33*A - 13*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - ((119*A - 49*B + 9*C)*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((2*A - B)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((119*A - 49*B + 9*C)*Sin[c + d*x])/(30*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/2) (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(3/2), x, 6, (Sqrt[a]*(48*A + 40*B + 35*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (a*(48*A + 40*B + 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*(48*A + 40*B + 35*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*(8*B + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(1/2), x, 5, (Sqrt[a]*(8*A + 6*B + 5*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (a*(8*A + 6*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*(6*B + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 4, (Sqrt[a]*(8*A + 4*B + 3*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) + (a*(4*B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 4, (Sqrt[a]*(2*B + C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d - (a*(2*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 4, (2*Sqrt[a]*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a*(A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 3, (2*a*(A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(8*A + 10*B + 15*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 4, (2*a*(A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(24*A + 28*B + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (4*a*(24*A + 28*B + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 5, (2*a*(A + 9*B)*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(16*A + 18*B + 21*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a*(16*A + 18*B + 21*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a*(16*A + 18*B + 21*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(3/2), x, 7, (a^(3/2)*(176*A + 150*B + 133*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(128*d) + (a^2*(176*A + 150*B + 133*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(176*A + 150*B + 133*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(80*A + 90*B + 67*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(240*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*(10*B + 3*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(40*d) + (C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(1/2), x, 6, (a^(3/2)*(112*A + 88*B + 75*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (a^2*(112*A + 88*B + 75*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(48*A + 56*B + 39*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*(8*B + 3*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 5, (a^(3/2)*(24*A + 14*B + 11*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) + (a^2*(24*A + 30*B + 19*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a*(2*B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 5, (a^(3/2)*(8*A + 12*B + 7*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) - (a^2*(8*A - 4*B - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (a*(4*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 5, (a^(3/2)*(2*B + 3*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d - (a^2*(8*A + 6*B - 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(A + B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 5, (2*a^(3/2)*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a^2*(12*A + 20*B + 15*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(3*A + 5*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 4, (2*a^2*(4*A + 6*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(104*A + 126*B + 175*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(3*A + 7*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 5, (2*a^2*(52*A + 72*B + 63*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(136*A + 156*B + 189*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (4*a^2*(136*A + 156*B + 189*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(A + 3*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(13/2), x, 6, (2*a^2*(84*A + 110*B + 99*C)*Sin[c + d*x])/(693*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(336*A + 374*B + 429*C)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a^2*(336*A + 374*B + 429*C)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a^2*(336*A + 374*B + 429*C)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(3*A + 11*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(99*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(11*d*Cos[c + d*x]^(11/2))}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(3/2), x, 8, (a^(5/2)*(1304*A + 1132*B + 1015*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(512*d) + (a^3*(1304*A + 1132*B + 1015*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(512*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^3*(1304*A + 1132*B + 1015*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(768*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^3*(680*A + 628*B + 545*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(960*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(120*A + 156*B + 115*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(480*d) + (a*(12*B + 5*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(60*d) + (C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(1/2), x, 7, (a^(5/2)*(400*A + 326*B + 283*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(128*d) + (a^3*(400*A + 326*B + 283*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^3*(1040*A + 950*B + 787*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(960*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(80*A + 110*B + 79*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*d) + (a*(2*B + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d) + (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 6, (a^(5/2)*(304*A + 200*B + 163*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(64*d) + (a^3*(432*A + 392*B + 299*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(16*A + 24*B + 17*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d) + (a*(8*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 6, (a^(5/2)*(40*A + 38*B + 25*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*d) - (a^3*(24*A - 54*B - 49*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (a^2*(8*A - 2*B - 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a*(6*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 6, (a^(5/2)*(8*A + 20*B + 19*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*d) - (a^3*(56*A + 12*B - 27*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (a^2*(8*A + 4*B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (2*a*(5*A + 3*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 6, (a^(5/2)*(2*B + 5*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d - (a^3*(64*A + 70*B + 15*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(8*A + 10*B + 5*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*(A + B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 6, (2*a^(5/2)*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/d + (2*a^3*(160*A + 224*B + 245*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(40*A + 56*B + 35*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(5*A + 7*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 5, (2*a^3*(8*A + 10*B + 11*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(584*A + 690*B + 903*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(64*A + 90*B + 63*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(5*A + 9*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(13/2), x, 6, (2*a^3*(1160*A + 1364*B + 1485*C)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(2840*A + 3212*B + 3795*C)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (4*a^3*(2840*A + 3212*B + 3795*C)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(32*A + 44*B + 33*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*(5*A + 11*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(99*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(11*d*Cos[c + d*x]^(11/2))}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(15/2), x, 7, (2*a^3*(2224*A + 2522*B + 2717*C)*Sin[c + d*x])/(9009*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(8368*A + 9230*B + 10439*C)*Sin[c + d*x])/(15015*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a^3*(8368*A + 9230*B + 10439*C)*Sin[c + d*x])/(45045*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (16*a^3*(8368*A + 9230*B + 10439*C)*Sin[c + d*x])/(45045*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(136*A + 182*B + 143*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1287*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*a*(5*A + 13*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(143*d*Cos[c + d*x]^(11/2)) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(13*d*Cos[c + d*x]^(13/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 8, -(((8*A - 14*B + 9*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(8*Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + ((8*A - 2*B + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((6*B - C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 7, ((8*A - 4*B + 7*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + ((4*B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(1/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]), x, 6, ((2*B - C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) + (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]), x, 6, (2*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]), x, 5, (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]), x, 6, -((Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(A - 5*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(13*A - 5*B + 15*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(9/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]), x, 7, (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(31*A - 7*B + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(43*A - 91*B + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a*A + (A*b + a*B)*Cos[c + d*x] + b*B*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 7, ((8*a*A - 4*A*b - 4*a*B + 7*b*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(a - b)*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + ((4*A*b + 4*a*B - b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (b*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((8*A - 12*B + 19*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(4*a^(3/2)*d) - ((5*A - 9*B + 13*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) - ((2*A - 6*B + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((A - B + 2*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((2*B - 3*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + ((A - 5*B + 9*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((A - B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 6, (2*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + ((3*A + B - 5*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 5, -(((7*A - 3*B - C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((5*A - B + C)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 6, ((11*A - 7*B + 3*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((7*A - 3*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((19*A - 15*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 7, -(((15*A - 11*B + 7*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((9*A - 5*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((39*A - 35*B + 15*C)*Sin[c + d*x])/(30*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((147*A - 95*B + 75*C)*Sin[c + d*x])/(30*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((2*B - 5*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + ((3*A - 43*B + 115*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + ((A + 7*B - 15*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((3*A - 11*B + 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + ((5*A + 3*B - 43*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) + ((5*A + 3*B - 11*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 5, ((19*A + 5*B + 3*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((9*A - B - 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 6, -(((75*A - 19*B - 5*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((13*A - 5*B - 3*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((49*A - 9*B + C)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 7, ((163*A - 75*B + 19*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((17*A - 9*B + C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((95*A - 39*B + 15*C)*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((299*A - 147*B + 27*C)*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Cos[e+f x])^n (A+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (A+C Cos[e+f x]^2) (a+b Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (1/8)*a*(4*A + 3*C)*x + (b*(5*A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a*(4*A + 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (b*C*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d) - (b*(5*A + 4*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (1/8)*b*(4*A + 3*C)*x + (a*(3*A + 2*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (b*(4*A + 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*C*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d) + (b*C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 2, (a*(2*A + C)*x)/2 - ((a^2*C - b^2*(3*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(3*b*d) - (a*C*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1, x, 4, (1/2)*b*(2*A + C)*x + (a*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*C*Sin[c + d*x])/d + (b*C*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 4, a*C*x + (A*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b*C*Sin[c + d*x])/d + (a*A*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 4, b*C*x + (a*(A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (A*b*Tan[c + d*x])/d + (a*A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 6, (b*(A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(2*A + 3*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (A*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 7, (a*(3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (b*(2*A + 3*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*(3*A + 4*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (A*b*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*A*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^6, x, 7, (b*(3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(4*A + 5*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (b*(3*A + 4*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (A*b*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*A*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a*(4*A + 5*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (1/16)*(b^2*(6*A + 5*C) + a^2*(8*A + 6*C))*x + (2*a*b*(5*A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((b^2*(6*A + 5*C) + a^2*(8*A + 6*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + ((2*a^2*C + b^2*(6*A + 5*C))*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*b*C*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(15*d) + (C*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(6*d) - (2*a*b*(5*A + 4*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, (1/4)*a*b*(4*A + 3*C)*x + ((5*a^2*(3*A + 2*C) + 2*b^2*(5*A + 4*C))*Sin[c + d*x])/(15*d) + (a*b*(4*A + 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) + ((2*a^2*C + b^2*(5*A + 4*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(15*d) + (a*b*C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(10*d) + (C*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (1/8)*(4*a^2*(2*A + C) + b^2*(4*A + 3*C))*x + (a*(12*A*b^2 - a^2*C + 8*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(6*b*d) - ((2*a^2*C - 3*b^2*(4*A + 3*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) - (a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*b*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*b*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1, x, 5, a*b*(2*A + C)*x + (a^2*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((3*A*b^2 + 2*(a^2 + b^2)*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*b*C*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 5, (1/2)*(2*A*b^2 + (2*a^2 + b^2)*C)*x + (2*a*A*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (2*a*b*(A - C)*Sin[c + d*x])/d - (b^2*(2*A - C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 5, 2*a*b*C*x + ((2*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b^2*(A - 2*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*A*b*Tan[c + d*x])/d + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 5, b^2*C*x + (a*b*(A + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((2*A*b^2 + a^2*(2*A + 3*C))*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*A*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 7, ((4*b^2*(A + 2*C) + a^2*(3*A + 4*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (2*a*b*(2*A + 3*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((2*A*b^2 + a^2*(3*A + 4*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*A*b*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(6*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^6, x, 8, (a*b*(3*A + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) + ((5*b^2*(2*A + 3*C) + 2*a^2*(4*A + 5*C))*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a*b*(3*A + 4*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d) + ((2*A*b^2 + a^2*(4*A + 5*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a*A*b*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(10*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, (1/16)*b*(6*a^2*(4*A + 3*C) + b^2*(6*A + 5*C))*x + (a*(5*a^2*(3*A + 2*C) + 6*b^2*(5*A + 4*C))*Sin[c + d*x])/(15*d) + (b*(6*a^2*(4*A + 3*C) + b^2*(6*A + 5*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a*(15*A*b^2 + (a^2 + 12*b^2)*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(15*d) + (b*(6*a^2*C + 5*b^2*(6*A + 5*C))*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(120*d) + (a*C*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(10*d) + (C*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 4, (1/8)*a*(4*a^2*(2*A + C) + 3*b^2*(4*A + 3*C))*x - ((3*a^4*C - 4*b^4*(5*A + 4*C) - 4*a^2*b^2*(20*A + 13*C))*Sin[c + d*x])/(30*b*d) + (a*(100*A*b^2 - 6*a^2*C + 71*b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(120*d) - ((3*a^2*C - 4*b^2*(5*A + 4*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(60*b*d) - (a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*b*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1, x, 6, (1/8)*b*(12*a^2*(2*A + C) + b^2*(4*A + 3*C))*x + (a^3*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*(6*A*b^2 + (a^2 + 4*b^2)*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b*(2*a^2*C + b^2*(4*A + 3*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(4*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 6, (1/2)*a*(6*A*b^2 + 2*a^2*C + 3*b^2*C)*x + (3*a^2*A*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (b*(a^2*(6*A - 8*C) - b^2*(3*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(3*d) - (a*b^2*(6*A - 5*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) - (b*(3*A - C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 6, (1/2)*b*(2*A*b^2 + (6*a^2 + b^2)*C)*x + (a*(6*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (3*a*b^2*(3*A - 2*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b^3*(4*A - C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (3*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(2*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 6, 3*a*b^2*C*x + (b*(2*A*b^2 + 3*a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b^3*(5*A - 6*C)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a*(3*A*b^2 + a^2*(2*A + 3*C))*Tan[c + d*x])/(3*d) + (A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 6, b^3*C*x + (a*(12*b^2*(A + 2*C) + a^2*(3*A + 4*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (b*(A*b^2 + a^2*(4*A + 6*C))*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*(2*A*b^2 + a^2*(3*A + 4*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(4*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^6, x, 8, (b*(4*b^2*(A + 2*C) + 3*a^2*(3*A + 4*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(15*b^2*(2*A + 3*C) + 2*a^2*(4*A + 5*C))*Tan[c + d*x])/(15*d) + (3*b*(2*A*b^2 + 5*a^2*(3*A + 4*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(40*d) + (a*(3*A*b^2 + 2*a^2*(4*A + 5*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(30*d) + (3*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^7, x, 9, (a*(6*b^2*(3*A + 4*C) + a^2*(5*A + 6*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (b*(5*b^2*(2*A + 3*C) + 6*a^2*(4*A + 5*C))*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a*(6*b^2*(3*A + 4*C) + a^2*(5*A + 6*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (b*(A*b^2 + 3*a^2*(4*A + 5*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a*(6*A*b^2 + 5*a^2*(5*A + 6*C))*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(120*d) + (A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(10*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 6, (1/4)*a*b*(b^2*(6*A + 5*C) + a^2*(8*A + 6*C))*x + ((35*a^4*(3*A + 2*C) + 84*a^2*b^2*(5*A + 4*C) + 8*b^4*(7*A + 6*C))*Sin[c + d*x])/(105*d) + (a*b*(b^2*(6*A + 5*C) + a^2*(8*A + 6*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) + ((4*a^4*C + 4*b^4*(7*A + 6*C) + 3*a^2*b^2*(63*A + 50*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(105*d) + (a*b*(126*A*b^2 + 6*a^2*C + 103*b^2*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(210*d) + ((2*a^2*C + b^2*(7*A + 6*C))*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*a*C*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(21*d) + (C*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 5, (1/16)*(8*a^4*(2*A + C) + 12*a^2*b^2*(4*A + 3*C) + b^4*(6*A + 5*C))*x - (a*(4*a^4*C - 32*b^4*(5*A + 4*C) - a^2*b^2*(190*A + 121*C))*Sin[c + d*x])/(60*b*d) - ((8*a^4*C - 15*b^4*(6*A + 5*C) - 2*a^2*b^2*(130*A + 89*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(240*d) + (a*(70*A*b^2 - 4*a^2*C + 53*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(120*b*d) - ((4*a^2*C - 5*b^2*(6*A + 5*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(120*b*d) - (a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(30*b*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^5*Sin[c + d*x])/(6*b*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^1, x, 7, (1/2)*a*b*(4*a^2*(2*A + C) + b^2*(4*A + 3*C))*x + (a^4*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((6*a^4*C + 2*b^4*(5*A + 4*C) + a^2*b^2*(85*A + 56*C))*Sin[c + d*x])/(15*d) + (a*b*(40*A*b^2 + 6*a^2*C + 29*b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(30*d) + ((3*a^2*C + b^2*(5*A + 4*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(15*d) + (a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 7, (1/8)*(8*a^4*C + 24*a^2*b^2*(2*A + C) + b^4*(4*A + 3*C))*x + (4*a^3*A*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a*b*(a^2*(12*A - 19*C) - 8*b^2*(3*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(6*d) - (b^2*(a^2*(24*A - 26*C) - 3*b^2*(4*A + 3*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) - (a*b*(12*A - 7*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) - (b*(4*A - C)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 7, 2*a*b*(2*A*b^2 + (2*a^2 + b^2)*C)*x + (a^2*(12*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b^2*(a^2*(39*A - 34*C) - 2*b^2*(3*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(6*d) - (a*b^3*(9*A - 4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*d) - (b^2*(15*A - 2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(6*d) + (2*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/d + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 7, (1/2)*b^2*(2*A*b^2 + (12*a^2 + b^2)*C)*x + (2*a*b*(2*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (2*a*b*(b^2*(11*A - 6*C) + a^2*(2*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(3*d) - (b^2*(3*b^2*(6*A - C) + a^2*(4*A + 6*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + ((6*A*b^2 + a^2*(2*A + 3*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + (2*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 7, 4*a*b^3*C*x + ((8*A*b^4 + 24*a^2*b^2*(A + 2*C) + a^4*(3*A + 4*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - (b^2*(2*b^2*(13*A - 12*C) + 3*a^2*(3*A + 4*C))*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*b*(12*A*b^2 + a^2*(23*A + 36*C))*Tan[c + d*x])/(12*d) + ((4*A*b^2 + a^2*(3*A + 4*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^6, x, 7, b^4*C*x + (a*b*(4*b^2*(A + 2*C) + a^2*(3*A + 4*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((6*A*b^4 + 2*a^4*(4*A + 5*C) + a^2*b^2*(56*A + 85*C))*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a*b*(6*A*b^2 + a^2*(29*A + 40*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(30*d) + ((3*A*b^2 + a^2*(4*A + 5*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*d) + (A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(5*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^7, x, 9, ((8*b^4*(A + 2*C) + 12*a^2*b^2*(3*A + 4*C) + a^4*(5*A + 6*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (4*a*b*(5*b^2*(2*A + 3*C) + 2*a^2*(4*A + 5*C))*Tan[c + d*x])/(15*d) + ((24*A*b^4 + 15*a^4*(5*A + 6*C) + 10*a^2*b^2*(49*A + 66*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(240*d) + (a*b*(4*A*b^2 + a^2*(39*A + 50*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(60*d) + ((12*A*b^2 + 5*a^2*(5*A + 6*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(120*d) + (2*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(15*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^8, x, 10, (a*b*(2*b^2*(3*A + 4*C) + a^2*(5*A + 6*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) + ((35*b^4*(2*A + 3*C) + 84*a^2*b^2*(4*A + 5*C) + 8*a^4*(6*A + 7*C))*Tan[c + d*x])/(105*d) + (a*b*(2*b^2*(3*A + 4*C) + a^2*(5*A + 6*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d) + ((4*A*b^4 + 4*a^4*(6*A + 7*C) + 3*a^2*b^2*(50*A + 63*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(105*d) + (a*b*(6*A*b^2 + a^2*(103*A + 126*C))*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(210*d) + ((2*A*b^2 + a^2*(6*A + 7*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(35*d) + (2*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(21*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^6*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(a^2 - b^2*Cos[c + d*x]^2), x, 5, (a*(8*a^4 + 8*a^2*b^2 - 9*b^4)*x)/8 + (b*(83*a^4 - 32*a^2*b^2 - 16*b^4)*Sin[c + d*x])/(30*d) + (a*b^2*(106*a^2 - 71*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(120*d) + (b*(23*a^2 - 16*b^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(60*d) + (a*b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*d) - (b*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(a^2 - b^2*Cos[c + d*x]^2), x, 4, ((8*a^4 - 3*b^4)*x)/8 + (a*b*(13*a^2 - 8*b^2)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (b^2*(14*a^2 - 9*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) - (b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(a^2 - b^2*Cos[c + d*x]^2), x, 3, (a*(2*a^2 - b^2)*x)/2 + (2*b*(2*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) - (b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, ((8*a^4*C + 4*a^2*b^2*(2*A + C) + b^4*(4*A + 3*C))*x)/(8*b^5) - (2*a^3*(A*b^2 + a^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^5*Sqrt[a + b]*d) - (a*(3*A*b^2 + 3*a^2*C + 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^4*d) + ((4*a^2*C + b^2*(4*A + 3*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*b^3*d) - (a*C*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d) + (C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, -((a*(2*A*b^2 + (2*a^2 + b^2)*C)*x)/(2*b^4)) + (2*a^2*(A*b^2 + a^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^4*Sqrt[a + b]*d) + ((3*a^2*C + b^2*(3*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(3*b^3*d) - (a*C*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d) + (C*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, ((2*a^2*C + b^2*(2*A + C))*x)/(2*b^3) - (2*a*(A*b^2 + a^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^3*Sqrt[a + b]*d) - (a*C*Sin[c + d*x])/(b^2*d) + (C*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 4, -((a*C*x)/b^2) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^2*Sqrt[a + b]*d) + (C*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 4, (C*x)/b - (2*(A*b^2 + a^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*d) + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, (2*(A*b^2 + a^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - (A*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (A*Tan[c + d*x])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, -((2*b*(A*b^2 + a^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)) + ((2*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (A*b*Tan[c + d*x])/(a^2*d) + (A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, (2*b^2*(A*b^2 + a^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - (b*(2*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d) + ((3*A*b^2 + a^2*(2*A + 3*C))*Tan[c + d*x])/(3*a^3*d) - (A*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) + (A*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -((a*(2*A*b^2 + (4*a^2 + b^2)*C)*x)/b^5) + (2*a^2*(2*a^2*A*b^2 - 3*A*b^4 + 4*a^4*C - 5*a^2*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^5*(a + b)^(3/2)*d) + ((a^2*b^2*(6*A - 7*C) + 12*a^4*C - b^4*(3*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(3*b^4*(a^2 - b^2)*d) - (a*(A*b^2 + 2*a^2*C - b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) + ((3*A*b^2 + 4*a^2*C - b^2*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, ((2*A*b^2 + (6*a^2 + b^2)*C)*x)/(2*b^4) - (2*a*(a^2*A*b^2 - 2*A*b^4 + 3*a^4*C - 4*a^2*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^4*(a + b)^(3/2)*d) - (a*(A*b^2 + 3*a^2*C - 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) + ((2*A*b^2 + 3*a^2*C - b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, -((2*a*C*x)/b^3) - (2*(A*b^4 - 2*a^4*C + 3*a^2*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) + (C*Sin[c + d*x])/(b^2*d) + (a*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (C*x)/b^2 + (2*a*(A*b^2 - a^2*C + 2*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, -((2*b*(2*a^2*A - A*b^2 + a^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, (2*(3*a^2*A*b^2 - 2*A*b^4 + a^4*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - (2*A*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - ((2*A*b^2 - a^2*(A - C))*Tan[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -((2*b*(4*a^2*A*b^2 - 3*A*b^4 + 2*a^4*C - a^2*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + ((6*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d) + (b*(3*A*b^2 - a^2*(2*A - C))*Tan[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) - ((3*A*b^2 - a^2*(A - 2*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, (2*b^2*(5*a^2*A*b^2 - 4*A*b^4 + 3*a^4*C - 2*a^2*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - (b*(4*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^5*d) - ((12*A*b^4 - a^2*b^2*(7*A - 6*C) - a^4*(2*A + 3*C))*Tan[c + d*x])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d) + (b*(2*A*b^2 - a^2*(A - C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) - ((4*A*b^2 - a^2*(A - 3*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, ((2*A*b^2 + (12*a^2 + b^2)*C)*x)/(2*b^5) - (a*(6*A*b^6 + a^4*b^2*(2*A - 29*C) - 5*a^2*b^4*(A - 4*C) + 12*a^6*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^5*(a + b)^(5/2)*d) - (a*(a^2*b^2*(2*A - 21*C) - b^4*(5*A - 6*C) + 12*a^4*C)*Sin[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^2*b^2*(A - 10*C) - b^4*(4*A - C) + 6*a^4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((3*A*b^4 - 4*a^4*C + 7*a^2*b^2*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, -((3*a*C*x)/b^4) + ((2*A*b^6 + 6*a^6*C - 15*a^4*b^2*C + a^2*b^4*(A + 12*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^4*(a + b)^(5/2)*d) + ((A*b^2 + 3*a^2*C - 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (a*(2*A*b^4 - 3*a^4*C + a^2*b^2*(A + 6*C))*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (C*x)/b^3 - (a*(3*A*b^4 + (2*a^4 - 5*a^2*b^2 + 6*b^4)*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^3*(a + b)^(5/2)*d) + (a*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((2*A*b^4 - 3*a^4*C + a^2*b^2*(A + 6*C))*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, ((a^2*(2*A + C) + b^2*(A + 2*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (a*(3*A*b^2 - a^2*C + 4*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (b*(5*a^2*A*b^2 - 2*A*b^4 - 3*a^4*(2*A + C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((2*A*b^4 - a^4*C - a^2*b^2*(5*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -(((15*a^2*A*b^4 - 6*A*b^6 - 2*a^6*C - a^4*b^2*(12*A + C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) - (3*A*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - ((11*a^2*A*b^2 - 6*A*b^4 - a^4*(2*A - 3*C))*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((3*A*b^4 - 2*a^4*C - a^2*b^2*(6*A + C))*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -((b*(12*A*b^6 - a^2*b^4*(29*A - 2*C) + 5*a^4*b^2*(4*A - C) + 6*a^6*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) + ((12*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^5*d) - (b*(12*A*b^4 + a^4*(6*A - 5*C) - a^2*b^2*(21*A - 2*C))*Tan[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((6*A*b^4 + a^4*(A - 4*C) - a^2*b^2*(10*A - C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((7*a^2*A*b^2 - 4*A*b^4 + 3*a^4*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 8, ((2*A*b^2 + (20*a^2 + b^2)*C)*x)/(2*b^6) + ((8*a*A*b^8 - a^7*b^2*(2*A - 69*C) + 7*a^5*b^4*(A - 12*C) - 8*a^3*b^6*(A - 5*C) - 20*a^9*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^6*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)^3*d) - (a*(a^4*b^2*(6*A - 167*C) - a^2*b^4*(17*A - 146*C) + 2*b^6*(13*A - 12*C) + 60*a^6*C)*Sin[c + d*x])/(6*b^5*(a^2 - b^2)^3*d) + ((a^4*b^2*(A - 27*C) - a^2*b^4*(2*A - 23*C) + b^6*(6*A - C) + 10*a^6*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^3*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + ((4*A*b^4 - 5*a^4*C + a^2*b^2*(A + 10*C))*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((12*A*b^6 + a^4*b^2*(2*A - 53*C) + 20*a^6*C + a^2*b^4*(A + 48*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 7, -((4*a*C*x)/b^5) - ((2*A*b^8 - 8*a^8*C + 28*a^6*b^2*C - 35*a^4*b^4*C + a^2*b^6*(3*A + 20*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*b^5*(a + b)^(7/2)*d) - ((5*A*b^4 - (12*a^4 - 23*a^2*b^2 + 6*b^4)*C)*Sin[c + d*x])/(6*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + ((3*A*b^4 - 4*a^4*C + a^2*b^2*(2*A + 9*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (a*(2*A*b^6 + 4*a^6*C - 11*a^4*b^2*C + 3*a^2*b^4*(A + 4*C))*Sin[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (C*x)/b^4 + (a*(a^2*b^4*(A - 8*C) - 2*a^6*C + 7*a^4*b^2*C + 4*b^6*(A + 2*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*b^4*(a + b)^(7/2)*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - (a*(2*A*b^4 - 3*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 8*C))*Sin[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((4*A*b^6 + 9*a^6*C + 2*a^2*b^4*(7*A + 17*C) - a^4*b^2*(3*A + 28*C))*Sin[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, -((b*(b^2*(A + 2*C) + a^2*(4*A + 3*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) + (a*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + ((3*A*b^4 - 4*a^4*C + a^2*b^2*(2*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (a*(a^2*b^2*(2*A - 5*C) + 2*a^4*C + b^4*(13*A + 18*C))*Sin[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (a*(a^2*(2*A + C) + b^2*(3*A + 4*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - (a*(5*A*b^2 - a^2*C + 6*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(6*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((a^4*C - 2*b^4*(2*A + 3*C) - a^2*b^2*(11*A + 10*C))*Sin[c + d*x])/(6*b*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 7, -((b*(7*a^2*A*b^4 - 2*A*b^6 - a^4*b^2*(8*A - C) + 4*a^6*(2*A + C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - ((3*A*b^4 - 2*a^4*C - a^2*b^2*(8*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((17*a^2*A*b^4 - 6*A*b^6 - 2*a^6*C - 13*a^4*b^2*(2*A + C))*Sin[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 8, -(((35*a^4*A*b^4 - 28*a^2*A*b^6 + 8*A*b^8 - 2*a^8*C - a^6*b^2*(20*A + 3*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) - (4*A*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^5*d) + ((68*a^2*A*b^4 - 24*A*b^6 + a^6*(6*A - 11*C) - a^4*b^2*(65*A + 4*C))*Tan[c + d*x])/(6*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - ((4*A*b^4 - 3*a^4*C - a^2*b^2*(9*A + 2*C))*Tan[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((11*a^2*A*b^4 - 4*A*b^6 - 2*a^6*C - 3*a^4*b^2*(4*A + C))*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 9, ((20*A*b^9 - a^2*b^7*(69*A - 2*C) - 8*a^6*b^3*(5*A - C) + 7*a^4*b^5*(12*A - C) - 8*a^8*b*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^6*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)^3*d) + ((20*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^6*d) + (b*(60*A*b^6 - a^6*(24*A - 26*C) + a^4*b^2*(146*A - 17*C) - a^2*b^4*(167*A - 6*C))*Tan[c + d*x])/(6*a^5*(a^2 - b^2)^3*d) - ((10*A*b^6 - a^6*(A - 6*C) + a^4*b^2*(23*A - 2*C) - a^2*b^4*(27*A - C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - ((5*A*b^4 - 4*a^4*C - a^2*b^2*(10*A + C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((20*A*b^6 - a^2*b^4*(53*A - 2*C) + 12*a^6*C + a^4*b^2*(48*A + C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, -(((8*a^4 - 4*a^2*b^2 - b^4)*x)/(8*b^5)) + (2*a^3*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(b^5*d) + (a*(3*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(3*b^4*d) - ((4*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*b^3*d) + (a*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, (a*(2*a^2 - b^2)*x)/(2*b^4) - (2*a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(b^4*d) - ((3*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(3*b^3*d) + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d) - (Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, -(((2*a^2 - b^2)*x)/(2*b^3)) + (2*a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(b^3*d) + (a*Sin[c + d*x])/(b^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 4, (a*x)/b^2 - (2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(b^2*d) - Sin[c + d*x]/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 4, -(x/b) + (2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*b*d) + ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, -((2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*d)) - (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + Tan[c + d*x]/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, (2*Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*d) - ((a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (b*Tan[c + d*x])/(a^2*d) + (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, -((2*Sqrt[a - b]*b^2*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*d)) + (b*(a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d) - ((a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(3*a^3*d) - (b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) + (Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, -(((40*a^4 - 12*a^2*b^2 - b^4)*x)/(8*b^6)) + (2*a^3*(5*a^2 - 4*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^6*Sqrt[a + b]*d) + (a*(15*a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*b^5*d) - ((20*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*b^4*d) + (5*a*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b^3*d) - (5*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d) + (Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(b*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (a*(4*a^2 - b^2)*x)/b^5 - (2*a^2*(4*a^2 - 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^5*Sqrt[a + b]*d) - ((12*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(3*b^4*d) + (2*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(b^3*d) - (4*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(b*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -(((6*a^2 - b^2)*x)/(2*b^4)) + (2*a*(3*a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^4*Sqrt[a + b]*d) + (3*a*Sin[c + d*x])/(b^3*d) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d) + (Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(b*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, (2*a*x)/b^3 - (2*(2*a^2 - b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^3*Sqrt[a + b]*d) - Sin[c + d*x]/(b^2*d) - (a*Sin[c + d*x])/(b^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, -(x/b^2) + (2*a*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^2*Sqrt[a + b]*d) + Sin[c + d*x]/(b*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -((2*b*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)) + ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^2*d) - Sin[c + d*x]/(a*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -((2*(a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)) - (2*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + (2*Tan[c + d*x])/(a^2*d) - Tan[c + d*x]/(a*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (2*b*(2*a^2 - 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - ((a^2 - 6*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d) - (3*b*Tan[c + d*x])/(a^3*d) + (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) - (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(a*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, -((2*b^2*(3*a^2 - 4*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)) + (b*(a^2 - 4*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^5*d) - ((a^2 - 12*b^2)*Tan[c + d*x])/(3*a^4*d) - (2*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(a^3*d) + (4*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) - (Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(a*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, (a*(20*a^2 - 3*b^2)*x)/(2*b^6) - (a^2*(20*a^4 - 33*a^2*b^2 + 12*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^6*(a + b)^(3/2)*d) - ((60*a^4 - 59*a^2*b^2 + 2*b^4)*Sin[c + d*x])/(6*b^5*(a^2 - b^2)*d) + (a*(10*a^2 - 9*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)*d) - ((20*a^2 - 17*b^2)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)*d) + (Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(2*b*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((5*a^2 - 4*b^2)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -(((12*a^2 - b^2)*x)/(2*b^5)) + (a*(12*a^4 - 19*a^2*b^2 + 6*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^5*(a + b)^(3/2)*d) + (a*(12*a^2 - 11*b^2)*Sin[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)*d) - ((6*a^2 - 5*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*b*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((4*a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (3*a*x)/b^4 - ((6*a^4 - 9*a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^4*(a + b)^(3/2)*d) - (3*Sin[c + d*x])/(2*b^3*d) + (Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*b*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (a*(3*a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, -(x/b^3) + (a*(2*a^2 - 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) - (a*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((3*a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]]/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + Sin[c + d*x]/(2*b*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (a*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, -((b*(3*a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^3*d) - Sin[c + d*x]/(2*a*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -(((2*a^4 - 9*a^2*b^2 + 6*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d)) - (3*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + ((5*a^2 - 6*b^2)*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)*d) - Tan[c + d*x]/(2*a*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((2*a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, (b*(6*a^4 - 19*a^2*b^2 + 12*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - ((a^2 - 12*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^5*d) - (b*(11*a^2 - 12*b^2)*Tan[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)*d) + ((5*a^2 - 6*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)*d) - (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((3*a^2 - 4*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4*(1 - Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 9, -((b^2*(12*a^4 - 33*a^2*b^2 + 20*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^6*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + (b*(3*a^2 - 20*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^6*d) - ((2*a^4 - 59*a^2*b^2 + 60*b^4)*Tan[c + d*x])/(6*a^5*(a^2 - b^2)*d) - (b*(9*a^2 - 10*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)*d) + ((17*a^2 - 20*b^2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)*d) - (Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*a*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((4*a^2 - 5*b^2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{(a^2 - b^2*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, a*x - (b*Sin[c + d*x])/d}
+{(a^2 - b^2*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, -x + (4*a*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)}
+{(a^2 - b^2*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (2*(a^2 + b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - (2*a*b*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(a^2 - b^2*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (2*a*(a^2 + 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (a*b*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (b*(2*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (A+C Cos[e+f x]^2) (a+b Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, -((2*(16*a^4*C + 6*a^2*b^2*(7*A + 4*C) - 21*b^4*(9*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^4*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (4*a*(a^2 - b^2)*(21*A*b^2 + 8*a^2*C + 18*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (4*a*(21*A*b^2 + 8*a^2*C + 18*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*b^3*d) + (2*(24*a^2*C + 7*b^2*(9*A + 7*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*b^3*d) - (4*a*C*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (2*a*(35*A*b^2 + 8*a^2*C + 19*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(35*A*b^2 + 8*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(8*a^2*C + 5*b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*b^2*d) - (8*a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, -((2*(2*a^2*C - 3*b^2*(5*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (4*a*(a^2 - b^2)*C*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (4*a*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b*d) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x], x, 9, (2*a*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2*C - b^2*(3*A + C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 9, -(((A - 2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (a*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (A*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/d}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 10, -(A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*a*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (b*(3*A + 8*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((A*b^2 - 4*a^2*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*a*d) + (A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 11, ((3*A*b^2 - 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(24*a^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - ((A*b^2 - 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(24*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (b*(A*b^2 + 4*a^2*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(8*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((3*A*b^2 - 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(24*a^2*d) + (A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*a*d) + (A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 10, -((4*a*(8*a^4*C + 3*a^2*b^2*(11*A + 6*C) - b^4*(451*A + 348*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(1155*b^4*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(a^2 - b^2)*(16*a^4*C + 6*a^2*b^2*(11*A + 8*C) - 25*b^4*(11*A + 9*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(1155*b^4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(16*a^4*C + 6*a^2*b^2*(11*A + 8*C) - 25*b^4*(11*A + 9*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1155*b^3*d) - (4*a*(33*A*b^2 + 8*a^2*C + 34*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(1155*b^3*d) + (2*(8*a^2*C + 3*b^2*(11*A + 9*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(231*b^3*d) - (4*a*C*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(33*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(11*b*d)}
+{Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, (2*(8*a^4*C + 21*b^4*(9*A + 7*C) + 3*a^2*b^2*(21*A + 11*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*a*(a^2 - b^2)*(63*A*b^2 + 8*a^2*C + 39*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(63*A*b^2 + 8*a^2*C + 39*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*b^2*d) + (2*(8*a^2*C + 7*b^2*(9*A + 7*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*b^2*d) - (8*a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (4*a*(70*A*b^2 - 3*a^2*C + 41*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(35*A*b^2 - 6*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(6*a^2*C - 5*b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*b*d) - (4*a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*b*d) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x], x, 10, (2*(a^2*C + b^2*(5*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(5*b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*a*(5*A*b^2 - (a^2 - b^2)*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(5*b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 10, -(a*(3*A - 8*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + ((a^2*(3*A - 2*C) + 2*b^2*(3*A + C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (3*a*A*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (b*(3*A - 2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 10, -(b*(5*A - 8*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (a*b*(7*A + 8*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A*b^2 + 4*a^2*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (3*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 11, -((3*A*b^2 + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(24*a*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + ((8*a^2*(2*A + 3*C) + b^2*(17*A + 48*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (b*(A*b^2 - 12*a^2*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(8*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A*b^2 + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(24*a*d) + (A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 12, (b*(3*A*b^2 - 4*a^2*(13*A + 20*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(64*a^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (b*(A*b^2 - 4*a^2*(19*A + 28*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(64*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A*b^4 + 24*a^2*b^2*(A + 2*C) + 16*a^4*(3*A + 4*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(64*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (b*(3*A*b^2 - 4*a^2*(13*A + 20*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(64*a^2*d) + ((A*b^2 + 4*a^2*(3*A + 4*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(32*a*d) + (A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(8*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 11, -((2*(240*a^6*C - 1617*b^6*(13*A + 11*C) + 10*a^4*b^2*(143*A + 76*C) - 3*a^2*b^4*(13299*A + 10223*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(45045*b^4*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (4*a*(a^2 - b^2)*(120*a^4*C + 5*a^2*b^2*(143*A + 94*C) - 3*b^4*(2717*A + 2174*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(45045*b^4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (4*a*(120*a^4*C + 5*a^2*b^2*(143*A + 94*C) - 3*b^4*(2717*A + 2174*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(45045*b^3*d) - (2*(240*a^4*C - 539*b^4*(13*A + 11*C) + 10*a^2*b^2*(143*A + 124*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45045*b^3*d) - (4*a*(143*A*b^2 + 24*a^2*C + 166*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9009*b^3*d) + (2*(24*a^2*C + 11*b^2*(13*A + 11*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(1287*b^3*d) - (12*a*C*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(143*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(13*b*d)}
+{Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 10, (2*a*(8*a^4*C + 3*a^2*b^2*(33*A + 17*C) + 3*b^4*(319*A + 247*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(693*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(8*a^4*C + 15*b^4*(11*A + 9*C) + 3*a^2*b^2*(33*A + 19*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(693*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(8*a^4*C + 15*b^4*(11*A + 9*C) + 3*a^2*b^2*(33*A + 19*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*b^2*d) + (2*a*(99*A*b^2 + 8*a^2*C + 67*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(693*b^2*d) + (2*(8*a^2*C + 9*b^2*(11*A + 9*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*b^2*d) - (8*a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(99*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(11*b*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, -((2*(10*a^4*C - 21*b^4*(9*A + 7*C) - 3*a^2*b^2*(161*A + 93*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) - (4*a*(a^2 - b^2)*(84*A*b^2 - 5*a^2*C + 57*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (4*a*(84*A*b^2 - 5*a^2*C + 57*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*b*d) - (2*(10*a^2*C - 7*b^2*(9*A + 7*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*b*d) - (4*a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*b*d) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x], x, 11, (2*a*(49*A*b^2 + 3*a^2*C + 29*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(21*b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(2*a^2*b^2*(7*A - C) - 3*a^4*C + b^4*(7*A + 5*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(21*b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(3*a^2*C + b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2, x, 11, -((a^2*(15*A - 46*C) - 6*b^2*(5*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (a*(a^2*(15*A - 16*C) + 4*b^2*(15*A + 4*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (5*a^2*A*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (a*b*(15*A - 16*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) - (b*(5*A - 2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3, x, 11, -(a*b*(27*A - 56*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(12*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (b*(8*b^2*(3*A + C) + a^2*(33*A + 16*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(12*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (a*(15*A*b^2 + 4*a^2*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (b^2*(21*A - 8*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d) + (5*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(4*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4, x, 11, -((3*b^2*(11*A - 16*C) + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (a*(8*a^2*(2*A + 3*C) + b^2*(59*A + 96*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (5*b*(A*b^2 + 4*a^2*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(8*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((15*A*b^2 + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(24*d) + (5*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^5, x, 12, -(b*(15*A*b^2 + 4*a^2*(71*A + 108*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(192*a*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (b*(4*a^2*(89*A + 132*C) + b^2*(133*A + 384*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(192*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((5*A*b^4 - 120*a^2*b^2*(A + 2*C) - 16*a^4*(3*A + 4*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(64*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (b*(15*A*b^2 + 4*a^2*(71*A + 108*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(192*a*d) + ((5*A*b^2 + 4*a^2*(3*A + 4*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(32*d) + (5*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(24*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a^2 - b^2*Cos[c + d*x]^2), x, 9, (4*a*(73*a^2 - 41*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(105*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(41*a^4 - 66*a^2*b^2 + 25*b^4)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(105*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*(41*a^2 - 25*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (4*a*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) - (2*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(a^2 - b^2*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (2*(17*a^2 - 9*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (4*a*(a^2 - b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (4*a*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) - (2*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 9, (2*(128*a^4*C + 21*b^4*(9*A + 7*C) + 12*a^2*b^2*(14*A + 9*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^5*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*a*(128*a^4*C + 4*a^2*b^2*(42*A + 19*C) + 3*b^4*(49*A + 37*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^5*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (4*a*(42*A*b^2 + 32*a^2*C + 31*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*b^4*d) + (2*(48*a^2*C + 7*b^2*(9*A + 7*C))*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*b^3*d) - (16*a*C*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(63*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 8, -((4*a*(35*A*b^2 + 24*a^2*C + 22*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^4*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(48*a^4*C + 5*b^4*(7*A + 5*C) + 2*a^2*b^2*(35*A + 16*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(24*a^2*C + 5*b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*b^3*d) - (12*a*C*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{(Cos[c + d*x]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 7, (2*(8*a^2*C + 3*b^2*(5*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*a*(15*A*b^2 + 8*a^2*C + 7*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (8*a*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 6, (-4*a*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(2*a^2*C + b^2*(3*A + C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 8, (2*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*a*C*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 9, -((A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((A + 2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (A*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(a*d)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 10, (3*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*a^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (A*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A*b^2 + 4*a^2*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (3*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d) + (A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^4)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 11, -((15*A*b^2 + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(24*a^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + ((5*A*b^2 + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(24*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (b*(5*A*b^2 + 4*a^2*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(8*a^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((15*A*b^2 + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(24*a^3*d) - (5*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*a^2*d) + (A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a*d)}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, -((2*a*(4*a^2*b^2*(70*A - 43*C) + 384*a^4*C - b^4*(175*A + 107*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^5*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(384*a^4*C + 5*b^4*(7*A + 5*C) + 4*a^2*b^2*(70*A + 29*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^5*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(2*a^2*b^2*(70*A - 31*C) + 192*a^4*C - 5*b^4*(7*A + 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*b^4*(a^2 - b^2)*d) - (2*a*(35*A*b^2 + 48*a^2*C - 13*b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*b^3*(a^2 - b^2)*d) + (2*(7*A*b^2 + 8*a^2*C - b^2*C)*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, (2*(2*a^2*b^2*(5*A - 4*C) + 16*a^4*C - b^4*(5*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(5*b^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (4*a*(5*A*b^2 + 2*(4*a^2 + b^2)*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(5*b^4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*a*(5*A*b^2 + 8*a^2*C - 3*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*b^3*(a^2 - b^2)*d) + (2*(5*A*b^2 + 6*a^2*C - b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Cos[c + d*x]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((2*a*(3*A*b^2 + 8*a^2*C - 5*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(3*A*b^2 + (8*a^2 + b^2)*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*(A*b^2 + 2*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (4*a*C*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, (-2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(a*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*C*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 10, ((3*A*b^2 - a^2*(A - 2*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (3*A*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (b*(3*A*b^2 - a^2*(A - 2*C))*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (A*Tan[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 11, -((b*(15*A*b^2 - a^2*(7*A - 8*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) - (5*A*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((15*A*b^2 + 4*a^2*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (b^2*(15*A*b^2 - a^2*(7*A - 8*C))*Sin[c + d*x])/(4*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (5*A*b*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, (2*(4*a^4*b^2*(10*A - 53*C) - 5*a^2*b^4*(15*A - 11*C) + 128*a^6*C + 3*b^6*(5*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(15*b^5*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*a*(4*a^2*b^2*(10*A - 29*C) + 128*a^4*C - b^4*(45*A + 17*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(15*b^5*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (4*(3*A*b^4 - a^2*b^2*(A - 6*C) - 4*a^4*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (4*a*(a^2*b^2*(10*A - 49*C) - b^4*(20*A - 7*C) + 32*a^4*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) + (2*(a^2*b^2*(15*A - 71*C) - b^4*(35*A - 3*C) + 48*a^4*C)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b^3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((4*a*(a^2*b^2*(A - 14*C) - b^4*(3*A - 4*C) + 8*a^4*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(2*a^2*b^2*(A - 8*C) + 16*a^4*C - b^4*(3*A + C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (4*a*(2*A*b^4 - 3*a^4*C + 5*a^2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 + 2*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Cos[c + d*x]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((2*(3*b^4*(A - C) - 8*a^4*C + a^2*b^2*(A + 15*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*a*(A*b^2 - 8*a^2*C + 9*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(3*A*b^4 - 5*a^4*C + a^2*b^2*(A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (4*a*(2*A*b^2 - (a^2 - 3*b^2)*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(A*b^2 - 2*a^2*C + 3*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (4*a*(2*A*b^2 - a^2*C + 3*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 10, (2*(3*A*b^4 - a^4*C - a^2*b^2*(7*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*a^2*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*a*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*(3*A*b^4 - a^4*C - a^2*b^2*(7*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 11, ((26*a^2*A*b^2 - 15*A*b^4 - a^4*(3*A - 8*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - ((5*A*b^2 - a^2*(3*A - 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (5*A*b*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (b*(5*A*b^2 - a^2*(3*A - 2*C))*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (b*(26*a^2*A*b^2 - 15*A*b^4 - a^4*(3*A - 8*C))*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (A*Tan[c + d*x])/(a*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 8, -((2*(2*a^4*C - 3*b^4*(3*A + 5*C) - a^2*b^2*(23*A + 19*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^2*(a^2 - b^2)^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) - (4*a*(4*A*b^2 - (a^2 - 5*b^2)*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(5*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)) - (4*a*(4*A*b^2 - a^2*C + 5*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(15*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(2*a^4*C - 3*b^4*(3*A + 5*C) - a^2*b^2*(23*A + 19*C))*Sin[c + d*x])/(15*b*(a^2 - b^2)^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(a^2 - b^2*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 7, (4*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(a^2 - b^2)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a^2 - b^2*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (-2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (4*a*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(a^2 - b^2*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (4*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (4*a*b*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(a^2 - b^2*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 8, (2*(5*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (4*a*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (4*a*b*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*b*(5*a^2 + 3*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/2) (A+C Cos[e+f x]^2) (a+b Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (2*a*(9*A + 7*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (10*b*(11*A + 9*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (10*b*(11*A + 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*a*(9*A + 7*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*b*(11*A + 9*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*d) + (2*a*C*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*b*C*Cos[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (2*b*(9*A + 7*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*a*(7*A + 5*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*b*(9*A + 7*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*a*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*b*C*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 6, (2*a*(5*A + 3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*b*(7*A + 5*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*b*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*b*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 5, (2*b*(5*A + 3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*a*(3*A + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*b*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 5, -((2*a*(A - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*b*(3*A + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 5, -((2*b*(A - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*a*(A + 3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*b*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 6, -((2*a*(3*A + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*b*(A + 3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*A*b*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 7, -((2*b*(3*A + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*a*(5*A + 7*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*b*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (4*a*b*(9*A + 7*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*(11*a^2*(7*A + 5*C) + 5*b^2*(11*A + 9*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (2*(11*a^2*(7*A + 5*C) + 5*b^2*(11*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (4*a*b*(9*A + 7*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*(4*a^2*C + b^2*(11*A + 9*C))*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*d) + (8*a*b*C*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (2*(3*a^2*(5*A + 3*C) + b^2*(9*A + 7*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (4*a*b*(7*A + 5*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (4*a*b*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(4*a^2*C + b^2*(9*A + 7*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (8*a*b*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 6, (4*a*b*(5*A + 3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(7*a^2*(3*A + C) + b^2*(7*A + 5*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(4*a^2*C + b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (8*a*b*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 6, -((2*(5*a^2*(A - C) - b^2*(5*A + 3*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (4*a*b*(3*A + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) - (4*a*b*(3*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) - (2*b^2*(5*A - C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 6, -((4*a*b*(A - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*(b^2*(3*A + C) + a^2*(A + 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (8*a*A*b*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*b^2*(A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 6, -((2*(5*b^2*(A - C) + a^2*(3*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (4*a*b*(A + 3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (8*a*A*b*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(4*A*b^2 + a^2*(3*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 7, -((4*a*b*(3*A + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(7*b^2*(A + 3*C) + a^2*(5*A + 7*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (8*a*A*b*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(4*A*b^2 + a^2*(5*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a*b*(3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (2*a*(a^2*(5*A + 3*C) + b^2*(9*A + 7*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*b*(33*a^2*(7*A + 5*C) + 5*b^2*(11*A + 9*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (2*b*(33*a^2*(7*A + 5*C) + 5*b^2*(11*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*a*(99*A*b^2 + 8*a^2*C + 77*b^2*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(165*d) + (2*b*(8*a^2*C + 3*b^2*(11*A + 9*C))*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(231*d) + (4*a*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(33*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 7, (2*b*(9*a^2*(5*A + 3*C) + b^2*(9*A + 7*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*a*(7*a^2*(3*A + C) + 3*b^2*(7*A + 5*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*(63*A*b^2 + 8*a^2*C + 45*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*b*(24*a^2*C + 7*b^2*(9*A + 7*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (4*a*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 7, -((2*a*(5*a^2*(A - C) - 3*b^2*(5*A + 3*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*b*(21*a^2*(3*A + C) + b^2*(7*A + 5*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) - (2*b*(6*a^2*(7*A - 3*C) - b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) - (2*a*b^2*(35*A - 11*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) - (2*b*(7*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 7, -((2*b*(15*a^2*(A - C) - b^2*(5*A + 3*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*a*(3*b^2*(3*A + C) + a^2*(A + 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) - (2*a*b^2*(5*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d - (2*b^3*(35*A - 3*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (4*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 7, -((2*a*(15*b^2*(A - C) + a^2*(3*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*b*(b^2*(3*A + C) + 3*a^2*(A + 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*(8*A*b^2 + a^2*(3*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*b^3*(9*A - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (4*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 7, -((2*b*(5*b^2*(A - C) + 3*a^2*(3*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*a*(21*b^2*(A + 3*C) + a^2*(5*A + 7*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*(24*A*b^2 + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (6*b*(8*A*b^2 + 7*a^2*(3*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (12*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 8, -((2*a*(9*b^2*(3*A + 5*C) + a^2*(7*A + 9*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d)) + (2*b*(7*b^2*(A + 3*C) + 3*a^2*(5*A + 7*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*(24*A*b^2 + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*(8*A*b^2 + 9*a^2*(5*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(9*b^2*(3*A + 5*C) + a^2*(7*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (4*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, (2*(39*a^4*(5*A + 3*C) + 78*a^2*b^2*(9*A + 7*C) + 7*b^4*(13*A + 11*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(195*d) + (8*a*b*(11*a^2*(7*A + 5*C) + 5*b^2*(11*A + 9*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (8*a*b*(11*a^2*(7*A + 5*C) + 5*b^2*(11*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*(192*a^4*C + 77*b^4*(13*A + 11*C) + 11*a^2*b^2*(637*A + 491*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6435*d) + (4*a*b*(1573*A*b^2 + 96*a^2*C + 1259*b^2*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9009*d) + (2*(48*a^2*C + 11*b^2*(13*A + 11*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(1287*d) + (16*a*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(143*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(13*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 8, (8*a*b*(3*a^2*(5*A + 3*C) + b^2*(9*A + 7*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*(77*a^4*(3*A + C) + 66*a^2*b^2*(7*A + 5*C) + 5*b^4*(11*A + 9*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (2*(64*a^4*C + 15*b^4*(11*A + 9*C) + 9*a^2*b^2*(143*A + 101*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*d) + (4*a*b*(891*A*b^2 + 96*a^2*C + 673*b^2*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3465*d) + (2*(16*a^2*C + 3*b^2*(11*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(231*d) + (16*a*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 8, -((2*(15*a^4*(A - C) - 18*a^2*b^2*(5*A + 3*C) - b^4*(9*A + 7*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d)) + (8*a*b*(7*a^2*(3*A + C) + b^2*(7*A + 5*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) - (4*a*b*(a^2*(63*A - 31*C) - 6*b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(63*d) - (2*b^2*(3*a^2*(105*A - 41*C) - 7*b^2*(9*A + 7*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) - (2*a*b*(21*A - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*d) - (2*b*(9*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 8, -((8*a*b*(5*a^2*(A - C) - b^2*(5*A + 3*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(42*a^2*b^2*(3*A + C) + 7*a^4*(A + 3*C) + b^4*(7*A + 5*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) - (2*b^2*(3*a^2*(49*A - 13*C) - b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) - (4*a*b^3*(175*A - 27*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) - (2*b^2*(21*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d) + (16*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 8, -((2*(30*a^2*b^2*(A - C) - b^4*(5*A + 3*C) + a^4*(3*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (8*a*b*(b^2*(3*A + C) + a^2*(A + 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) - (4*a*b*(2*b^2*(33*A - 5*C) + 3*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) - (2*b^2*(b^2*(59*A - 3*C) + 3*a^2*(3*A + 5*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(16*A*b^2 + a^2*(3*A + 5*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (16*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 8, -((8*a*b*(5*b^2*(A - C) + a^2*(3*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(7*b^4*(3*A + C) + 42*a^2*b^2*(A + 3*C) + a^4*(5*A + 7*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (4*a*b*(96*A*b^2 + a^2*(101*A + 175*C))*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*b^2*(b^2*(87*A - 35*C) + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(48*A*b^2 + 5*a^2*(5*A + 7*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (16*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 8, -((2*(15*b^4*(A - C) + 18*a^2*b^2*(3*A + 5*C) + a^4*(7*A + 9*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d)) + (8*a*b*(7*b^2*(A + 3*C) + a^2*(5*A + 7*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (4*a*b*(32*A*b^2 + a^2*(101*A + 147*C))*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(192*A*b^4 + 21*a^4*(7*A + 9*C) + 7*a^2*b^2*(155*A + 261*C))*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(48*A*b^2 + 7*a^2*(7*A + 9*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (16*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(13/2), x, 9, -((8*a*b*(3*b^2*(3*A + 5*C) + a^2*(7*A + 9*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d)) + (2*(77*b^4*(A + 3*C) + 66*a^2*b^2*(5*A + 7*C) + 5*a^4*(9*A + 11*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (4*a*b*(96*A*b^2 + a^2*(673*A + 891*C))*Sin[c + d*x])/(3465*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(64*A*b^4 + 15*a^4*(9*A + 11*C) + 9*a^2*b^2*(101*A + 143*C))*Sin[c + d*x])/(693*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (8*a*b*(3*b^2*(3*A + 5*C) + a^2*(7*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(16*A*b^2 + 3*a^2*(9*A + 11*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(231*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (16*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(99*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(11*d*Cos[c + d*x]^(11/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 9, (2*(15*a^4*C + 3*a^2*b^2*(5*A + 3*C) + b^4*(9*A + 7*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*b^5*d) - (2*a*(21*a^4*C + 7*a^2*b^2*(3*A + C) + b^4*(7*A + 5*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b^6*d) + (2*a^4*(A*b^2 + a^2*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^6*(a + b)*d) - (2*a*(7*A*b^2 + 7*a^2*C + 5*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b^4*d) + (2*(9*a^2*C + b^2*(9*A + 7*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*b^3*d) - (2*a*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 8, -((2*a*(5*A*b^2 + 5*a^2*C + 3*b^2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^4*d)) + (2*(21*a^4*C + 7*a^2*b^2*(3*A + C) + b^4*(7*A + 5*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b^5*d) - (2*a^3*(A*b^2 + a^2*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^5*(a + b)*d) + (2*(7*a^2*C + b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b^3*d) - (2*a*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, (2*(5*a^2*C + b^2*(5*A + 3*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d) - (2*a*(3*A*b^2 + (3*a^2 + b^2)*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^4*d) + (2*a^2*(A*b^2 + a^2*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^4*(a + b)*d) - (2*a*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, (-2*a*C*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(b^2*d) + (2*(3*a^2*C + b^2*(3*A + C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*b^3*d) - (2*a*(A*b^2 + a^2*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(b^3*(a + b)*d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])), x, 5, (2*C*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(b*d) - (2*a*C*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(b^2*d) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(b^2*(a + b)*d)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])), x, 6, (-2*A*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) + (2*C*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(b*d) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(a*b*(a + b)*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])), x, 7, (2*A*b*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d) + (2*A*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a*d) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(a^2*(a + b)*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (2*A*b*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Cos[c + d*x])), x, 8, (-2*(5*A*b^2 + a^2*(3*A + 5*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a^3*d) - (2*A*b*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) - (2*b*(A*b^2 + a^2*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(a^3*(a + b)*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - (2*A*b*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*A*b^2 + a^2*(3*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(5*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Cos[c + d*x])), x, 9, (2*b*(5*A*b^2 + a^2*(3*A + 5*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a^4*d) + (2*(7*A*b^2 + a^2*(5*A + 7*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*a^3*d) + (2*b^2*(A*b^2 + a^2*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(a^4*(a + b)*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(7*a*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) - (2*A*b*Sin[c + d*x])/(5*a^2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(7*A*b^2 + a^2*(5*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(21*a^3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (2*b*(5*A*b^2 + a^2*(3*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(5*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + b*Cos[c + d*x])), x, 10, (-2*(15*A*b^4 + 3*a^2*b^2*(3*A + 5*C) + a^4*(7*A + 9*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*a^5*d) - (2*b*(7*A*b^2 + a^2*(5*A + 7*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*a^4*d) - (2*b^3*(A*b^2 + a^2*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(a^5*(a + b)*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(9*a*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) - (2*A*b*Sin[c + d*x])/(7*a^2*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(9*A*b^2 + a^2*(7*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(45*a^3*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - (2*b*(7*A*b^2 + a^2*(5*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(21*a^4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(15*A*b^4 + 3*a^2*b^2*(3*A + 5*C) + a^4*(7*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(15*a^5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, ((3*a^2*b^2*(5*A - 8*C) + 35*a^4*C - 2*b^4*(5*A + 3*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^4*(a^2 - b^2)*d) - (a*(a^2*b^2*(9*A - 20*C) + 21*a^4*C - 4*b^4*(3*A + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^5*(a^2 - b^2)*d) - (a^2*(5*A*b^4 - 3*a^2*b^2*(A - 3*C) - 7*a^4*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a - b)*b^5*(a + b)^2*d) - (a*(3*A*b^2 + 7*a^2*C - 4*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d) + ((5*A*b^2 + 7*a^2*C - 2*b^2*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -((a*(A*b^2 + 5*a^2*C - 4*b^2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*(a^2 - b^2)*d)) + ((a^2*b^2*(3*A - 16*C) + 15*a^4*C - 2*b^4*(3*A + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^4*(a^2 - b^2)*d) + (a*(3*A*b^4 - a^2*b^2*(A - 7*C) - 5*a^4*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a - b)*b^4*(a + b)^2*d) + ((3*A*b^2 + 5*a^2*C - 2*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, ((A*b^2 + 3*a^2*C - 2*b^2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) + (a*(A*b^2 - 3*a^2*C + 4*b^2*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^4 - 3*a^4*C + a^2*b^2*(A + 5*C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a - b)*b^3*(a + b)^2*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2), x, 6, -(((A*b^2 + a^2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*b*(a^2 - b^2)*d)) - ((A*b^2 - a^2*C + 2*b^2*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^4 + a^4*C - 3*a^2*b^2*(A + C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a - b)*b^2*(a + b)^2*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2), x, 7, ((3*A*b^2 - a^2*(2*A - C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*b*(a^2 - b^2)*d) + ((3*A*b^4 - a^4*C - a^2*b^2*(5*A + C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a - b)*b*(a + b)^2*d) - ((3*A*b^2 - a^2*(2*A - C))*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2), x, 8, -((b*(5*A*b^2 - a^2*(4*A - C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a^2 - b^2)*d)) - ((5*A*b^2 - a^2*(2*A - 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) - ((5*A*b^4 - a^2*b^2*(7*A - C) - 3*a^4*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a - b)*(a + b)^2*d) - ((5*A*b^2 - a^2*(2*A - 3*C))*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (b*(5*A*b^2 - a^2*(4*A - C))*Sin[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2), x, 9, ((35*A*b^4 - 3*a^2*b^2*(8*A - 5*C) - 2*a^4*(3*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a^4*(a^2 - b^2)*d) + (b*(7*A*b^2 - a^2*(4*A - 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^3*(a^2 - b^2)*d) + (b*(7*A*b^4 - 3*a^2*b^2*(3*A - C) - 5*a^4*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^4*(a - b)*(a + b)^2*d) - ((7*A*b^2 - a^2*(2*A - 5*C))*Sin[c + d*x])/(5*a^2*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (b*(7*A*b^2 - a^2*(4*A - 3*C))*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - ((35*A*b^4 - 3*a^2*b^2*(8*A - 5*C) - 2*a^4*(3*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(5*a^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -((a*(a^2*b^2*(3*A - 65*C) - 3*b^4*(3*A - 8*C) + 35*a^4*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((a^4*b^2*(9*A - 223*C) - a^2*b^4*(15*A - 128*C) + 105*a^6*C + 8*b^6*(3*A + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(12*b^5*(a^2 - b^2)^2*d) - (a*(15*A*b^6 + a^4*b^2*(3*A - 86*C) - 3*a^2*b^4*(2*A - 21*C) + 35*a^6*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*(a - b)^2*b^5*(a + b)^3*d) + ((a^2*b^2*(3*A - 61*C) - b^4*(21*A - 8*C) + 35*a^4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((5*A*b^4 - 7*a^4*C + a^2*b^2*(A + 13*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -(((b^4*(5*A - 8*C) - 15*a^4*C + a^2*b^2*(A + 29*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d)) - (a*(15*a^4*C + b^4*(7*A + 24*C) - a^2*b^2*(A + 33*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*A*b^6 + 15*a^6*C + 5*a^2*b^4*(2*A + 7*C) - a^4*b^2*(A + 38*C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*(a - b)^2*b^4*(a + b)^3*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((3*A*b^4 - 5*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 11*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, ((A*b^4 - 3*a^4*C + a^2*b^2*(5*A + 9*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^2*b^2*(3*A - 5*C) + 3*a^4*C + b^4*(3*A + 8*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^6 - 3*a^4*b^2*(A - 2*C) - 3*a^6*C - 5*a^2*b^4*(2*A + 3*C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*(a - b)^2*b^3*(a + b)^3*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((A*b^4 - 3*a^4*C + a^2*b^2*(5*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^3), x, 7, ((3*A*b^4 - a^4*C - a^2*b^2*(9*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*b*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^4 + a^4*C - 7*a^2*b^2*(A + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*A*b^6 - 3*a^2*b^4*(2*A - C) - a^6*C + 5*a^4*b^2*(3*A + 2*C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*(a - b)^2*b^2*(a + b)^3*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((3*A*b^4 - a^4*C - a^2*b^2*(9*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3), x, 8, -(((15*A*b^4 + a^4*(8*A - 5*C) - a^2*b^2*(29*A + C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d)) - ((5*A*b^4 - 3*a^4*C - a^2*b^2*(11*A + 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*b*(a^2 - b^2)^2*d) - ((15*A*b^6 + 3*a^6*C - a^2*b^4*(38*A + C) + 5*a^4*b^2*(7*A + 2*C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^3*(a - b)^2*b*(a + b)^3*d) + ((15*A*b^4 + a^4*(8*A - 5*C) - a^2*b^2*(29*A + C))*Sin[c + d*x])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((5*A*b^4 - 3*a^4*C - a^2*b^2*(11*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3), x, 9, (b*(35*A*b^4 + 3*a^4*(8*A - 3*C) - a^2*b^2*(65*A - 3*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((35*A*b^4 + a^4*(8*A - 21*C) - a^2*b^2*(61*A - 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((35*A*b^6 - a^2*b^4*(86*A - 3*C) + 3*a^4*b^2*(21*A - 2*C) + 15*a^6*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^4*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + ((35*A*b^4 + a^4*(8*A - 21*C) - a^2*b^2*(61*A - 3*C))*Sin[c + d*x])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (b*(35*A*b^4 + 3*a^4*(8*A - 3*C) - a^2*b^2*(65*A - 3*C))*Sin[c + d*x])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((7*A*b^4 - 5*a^4*C - a^2*b^2*(13*A + C))*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/2) (A+C Cos[e+f x]^2) (a+b Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(3*a^2*C - 8*b^2*(3*A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b^2*d) - (Sqrt[a + b]*(3*a^2*C - 2*a*b*C - 8*b^2*(3*A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b^2*d) - (a*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + (a^2 + 4*b^2)*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^3*d) - ((3*a^2*C - 8*b^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (a*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 7, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d)) + (Sqrt[a + b]*(8*A*b + (a + 2*b)*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d) + (Sqrt[a + b]*(a^2*C - 4*b^2*(2*A + C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d) + (a*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 7, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(2*A - C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) - (Sqrt[a + b]*(2*a*A - 2*A*b - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) - (a*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((2*A - C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 6, (2*A*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*d) - (2*Sqrt[a + b]*(A*b - a*(A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d) - (2*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 5, -((2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(2*A*b^2 - 3*a^2*(3*A + 5*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^3*d)) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a*A + 2*A*b + 15*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^2*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 6, (2*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + a^2*(19*A + 35*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^4*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*a*A*b + 8*A*b^2 + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^3*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - (2*(4*A*b^2 - 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(80*A*b^2 - 3*a^2*C + 52*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^2*d)) - (Sqrt[a + b]*(3*a^3*C - 2*a^2*b*C - 8*b^3*(4*A + 3*C) - 4*a*b^2*(20*A + 13*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^2*d) - (Sqrt[a + b]*(3*a^4*C + 24*a^2*b^2*(2*A + C) + 16*b^4*(4*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^3*d) + (a*(80*A*b^2 - 3*a^2*C + 52*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(64*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((3*a^2*C - 4*b^2*(4*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*b*d) - (a*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*b*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*b*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 8, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(3*a^2*C + 8*b^2*(3*A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b*d)) + (Sqrt[a + b]*(48*a*A*b + 24*A*b^2 + 3*a^2*C + 14*a*b*C + 16*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b*d) - (a*Sqrt[a + b]*(24*A*b^2 - a^2*C + 12*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^2*d) + ((3*a^2*C + 8*b^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (a*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A - 5*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d) - (Sqrt[a + b]*(8*a*A - 16*A*b - 5*a*C - 2*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d) - (Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + 3*a^2*C + 4*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d) - (a*(8*A - 5*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (b*(4*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 8, ((a - b)*b*Sqrt[a + b]*(8*A - 3*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d) + (Sqrt[a + b]*(6*A*b^2 + 2*a^2*(A + 3*C) - a*(8*A*b - 3*b*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d) - (3*a*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (b*(8*A - 3*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(A*b^2 + a^2*(3*A + 5*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(5*a^2*d) - (2*Sqrt[a + b]*(A*b^2 - 2*a*b*(2*A + 5*C) + a^2*(3*A + 5*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(5*a*d) - (2*b*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 6, -((4*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 - a^2*(41*A + 70*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^3*d)) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(25*a^2*A - 57*a*A*b - 6*A*b^2 + 35*a^2*C - 105*a*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^2*d) + (6*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(3*A*b^2 + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b^4 + 21*a^4*(7*A + 9*C) + 3*a^2*b^2*(11*A + 21*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^4*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*a*A*b^2 + 8*A*b^3 - 21*a^3*(7*A + 9*C) + a^2*(39*A*b + 63*b*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^3*d) + (2*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(3*A*b^2 + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - (4*b*(2*A*b^2 - a^2*(44*A + 63*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2), x, 10, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(45*a^4*C - 256*b^4*(5*A + 4*C) - 12*a^2*b^2*(220*A + 141*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(1920*a*b^2*d) - (Sqrt[a + b]*(45*a^4*C - 30*a^3*b*C - 256*b^4*(5*A + 4*C) - 12*a^2*b^2*(220*A + 141*C) - 8*a*b^3*(260*A + 193*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(1920*b^2*d) - (a*Sqrt[a + b]*(3*a^4*C + 40*a^2*b^2*(2*A + C) + 80*b^4*(4*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(128*b^3*d) - ((45*a^4*C - 256*b^4*(5*A + 4*C) - 12*a^2*b^2*(220*A + 141*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1920*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (a*(240*A*b^2 - 15*a^2*C + 172*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(320*b*d) - ((15*a^2*C - 16*b^2*(5*A + 4*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(240*b*d) - (3*a*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(40*b*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 9, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(432*A*b^2 + 15*a^2*C + 284*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b*d)) + (Sqrt[a + b]*(15*a^3*C + 24*b^3*(4*A + 3*C) + 2*a^2*b*(192*A + 59*C) + 4*a*b^2*(108*A + 71*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b*d) + (Sqrt[a + b]*(5*a^4*C - 120*a^2*b^2*(2*A + C) - 16*b^4*(4*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^2*d) + (a*(432*A*b^2 + 15*a^2*C + 284*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((5*a^2*C + 4*b^2*(4*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d) + (5*a*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(a^2*(48*A - 33*C) - 8*b^2*(3*A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*d) - (Sqrt[a + b]*(a^2*(48*A - 33*C) - 8*b^2*(3*A + 2*C) - 2*a*b*(72*A + 13*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*d) - (5*a*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + (a^2 + 4*b^2)*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b*d) - ((a^2*(48*A - 33*C) - 8*b^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (a*b*(8*A - 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) - (b*(6*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 9, ((a - b)*b*Sqrt[a + b]*(56*A - 27*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(12*d) + (Sqrt[a + b]*(6*b^2*(12*A + C) + 8*a^2*(A + 3*C) - a*(56*A*b - 27*b*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(12*d) - (Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + 15*a^2*C + 4*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d) - (a*b*(56*A - 27*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (b^2*(8*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (10*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(b^2*(46*A - 15*C) + 6*a^2*(3*A + 5*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d) + (Sqrt[a + b]*(30*A*b^3 - a*b^2*(46*A - 15*C) - 6*a^3*(3*A + 5*C) + a^2*(34*A*b + 90*b*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d) - (5*a*b*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*(5*A*b^2 + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((b^2*(46*A - 15*C) + 6*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 8, (2*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 + a^2*(29*A + 49*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(21*a^2*d) - (2*Sqrt[a + b]*(3*A*b^3 - 9*a*b^2*(3*A + 7*C) - a^3*(5*A + 7*C) + a^2*b*(29*A + 49*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(21*a*d) - (2*b^2*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*(3*A*b^2 + a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 7, -((2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*A*b^4 - 21*a^4*(7*A + 9*C) - 3*a^2*b^2*(93*A + 161*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^3*d)) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*A*b^3 + 21*a^3*(7*A + 9*C) + 15*a*b^2*(11*A + 21*C) - 6*a^2*b*(19*A + 28*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^2*d) + (2*(15*A*b^2 + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*(5*A*b^2 + a^2*(163*A + 231*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (10*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(13/2), x, 8, (2*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*(8*A*b^4 + 3*a^2*b^2*(17*A + 33*C) + a^4*(741*A + 957*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(693*a^4*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*a*A*b^3 + 8*A*b^4 + 15*a^4*(9*A + 11*C) + 3*a^2*b^2*(19*A + 33*C) - 6*a^3*b*(101*A + 132*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(693*a^3*d) + (2*(5*A*b^2 + 3*a^2*(9*A + 11*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*b*(3*A*b^2 + a^2*(229*A + 297*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - (2*(4*A*b^4 - 15*a^4*(9*A + 11*C) - a^2*b^2*(205*A + 297*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (10*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(99*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(11*d*Cos[c + d*x]^(11/2))}
+(* {((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(15/2), x, 10, -((2*(a + b)*(17787*a^6*A + 30669*a^4*A*b^2 - 760*a^2*A*b^4 - 240*A*b^6 + 21021*a^6*C + 39897*a^4*b^2*C - 1430*a^2*b^4*C)*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticE[ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])], -((a - b)/(a + b))])/(45045*a^4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])) + (1/(45045*a^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]))*(2*(17787*a^6*A + 30831*a^5*A*b + 30669*a^4*A*b^2 + 16685*a^3*A*b^3 - 760*a^2*A*b^4 - 60*a*A*b^5 - 240*A*b^6 + 21021*a^6*C + 37323*a^5*b*C + 39897*a^4*b^2*C + 22165*a^3*b^3*C - 1430*a^2*b^4*C)*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticF[ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])], -((a - b)/(a + b))]) + (2*(121*a^2*A + 15*A*b^2 + 143*a^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1287*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*b*(2209*a^2*A + 15*A*b^2 + 2717*a^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9009*a*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(5929*a^4*A + 8145*a^2*A*b^2 - 90*A*b^4 + 7007*a^4*C + 10725*a^2*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(45045*a^2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*(18973*a^4*A + 395*a^2*A*b^2 + 120*A*b^4 + 23309*a^4*C + 715*a^2*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(45045*a^3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (10*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(143*d*Cos[c + d*x]^(11/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(13*d*Cos[c + d*x]^(13/2)) + (2*(17787*a^6*A + 30669*a^4*A*b^2 - 760*a^2*A*b^4 - 240*A*b^6 + 21021*a^6*C + 39897*a^4*b^2*C - 1430*a^2*b^4*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x]))/(45045*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])} *)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 8, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(15*a^2*C + 8*b^2*(3*A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b^3*d)) + (Sqrt[a + b]*(15*a^2*C - 10*a*b*C + 8*b^2*(3*A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b^3*d) + (a*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + 5*a^2*C + 4*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^4*d) + ((15*a^2*C + 8*b^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (5*a*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*b^2*d) + (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 7, (3*(a - b)*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d) - ((3*a - 2*b)*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d) - (Sqrt[a + b]*(3*a^2*C + 4*b^2*(2*A + C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^3*d) - (3*a*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x, 6, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*d)) + (Sqrt[a + b]*(2*A*b + a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*d) + (a*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d) + (C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x, 6, (2*A*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*d) - (2*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) - (2*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x, 4, -((4*A*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*d)) + (2*Sqrt[a + b]*(2*A*b + a*(A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x, 5, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + 3*a^2*(3*A + 5*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^4*d) + (2*Sqrt[a + b]*(2*a*A*b - 8*A*b^2 - 3*a^2*(3*A + 5*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^3*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - (8*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(9/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x, 6, -((4*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*(24*A*b^2 + a^2*(22*A + 35*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^5*d)) - (2*Sqrt[a + b]*(12*a*A*b^2 - 48*A*b^3 - 5*a^3*(5*A + 7*C) - a^2*(44*A*b + 70*b*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^4*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*a*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) - (12*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*a^2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(24*A*b^2 + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a^3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((8*A*b^2 + 15*a^2*C - 7*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^3*Sqrt[a + b]*d) - ((8*A*b^2 + (15*a^2 + 5*a*b - 2*b^2)*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^3*Sqrt[a + b]*d) - (Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + 15*a^2*C + 4*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^4*d) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (a*(8*A*b^2 + 15*a^2*C - 7*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((4*A*b^2 + 5*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -(((2*A*b^2 + 3*a^2*C - b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b^2*Sqrt[a + b]*d)) + ((2*A*b^2 + a*(3*a + b)*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b^2*Sqrt[a + b]*d) + (3*a*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^3*d) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((2*A*b^2 + 3*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 6, (2*(A*b^2 + a^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*b*Sqrt[a + b]*d) + (2*(A*b - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*Sqrt[a + b]*d) - (2*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 4, -((2*(2*A*b^2 - a^2*(A - C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^3*Sqrt[a + b]*d)) - (2*(2*A*b + a*(A - C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*Sqrt[a + b]*d) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 5, (2*b*(8*A*b^2 - a^2*(5*A - 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*d) + (2*(6*a*A*b + 8*A*b^2 + a^2*(A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*Sqrt[a + b]*d) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(4*A*b^2 - a^2*(A - 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 6, -((2*(16*A*b^4 - 2*a^2*b^2*(4*A - 5*C) - a^4*(3*A + 5*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(5*a^5*Sqrt[a + b]*d)) - (2*(12*a*A*b^2 + 16*A*b^3 + 2*a^2*b*(2*A + 5*C) + a^3*(3*A + 5*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(5*a^4*Sqrt[a + b]*d) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(6*A*b^2 - a^2*(A - 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^2*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*(8*A*b^2 - a^2*(3*A - 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^3*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((8*A*b^4 - 15*a^4*C + 26*a^2*b^2*C - 3*b^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) + ((2*a*A*b^3 - 6*A*b^4 + 15*a^4*C + 5*a^3*b*C - 21*a^2*b^2*C - 3*a*b^3*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) + (5*a*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^4*d) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(3*A*b^4 - 5*a^4*C + a^2*b^2*(A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((8*A*b^4 - (15*a^4 - 26*a^2*b^2 + 3*b^4)*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((2*(A*b^4 - 3*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 7*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*b^2*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d)) + (2*(3*a*A*b^2 - A*b^3 - 3*a^3*C - a^2*b*C + 6*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) - (2*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^3*d) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(A*b^4 - 3*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 5, (4*b*(3*a^2*A - A*b^2 + 2*a^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) - (2*(2*A*b^2 + 3*a*b*(A + C) - a^2*(3*A + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (4*b*(A*b^2 - a^2*(3*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 5, (2*(8*A*b^4 + 3*a^4*(A - C) - a^2*b^2*(15*A + C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*(6*a*A*b^2 + 8*A*b^3 - 3*a^3*(A - C) - a^2*b*(9*A + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (4*(2*A*b^4 - a^4*C - a^2*b^2*(4*A + C))*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 6, -((4*b*(8*A*b^4 + a^4*(4*A - 3*C) - a^2*b^2*(14*A - C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^5*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d)) - (2*(12*a*A*b^3 + 16*A*b^4 - 2*a^2*b^2*(8*A - C) - a^4*(A + 3*C) - a^3*(9*A*b - 3*b*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (4*(5*a^2*A*b^2 - 3*A*b^4 + 2*a^4*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^4 + a^4*(A - 5*C) - a^2*b^2*(13*A - C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Cos[e+f x])^n (A+C Cos[e+f x]^2) with m and/or n symbolic*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^m*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, If[$VersionNumber>=8, ((2*a^2*C + b^2*(C*(3 + m) + A*(4 + m)))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(4 + m)) + (2*a*b*C*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(3 + m)*(4 + m)) + (C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*(4 + m)) - ((a^2*(4 + m)*(C*(1 + m) + A*(2 + m)) + b^2*(1 + m)*(C*(3 + m) + A*(4 + m)))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m)*(2 + m)*(4 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*a*b*(C*(2 + m) + A*(3 + m))*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), ((2*a^2*C + b^2*(C*(3 + m) + A*(4 + m)))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(4 + m)) + (2*a*b*C*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(3 + m)*(4 + m)) + (C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*(4 + m)) - ((a^2*(4 + m)*(C*(1 + m) + A*(2 + m)) + b^2*(1 + m)*(C*(3 + m) + A*(4 + m)))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(4 + m)*(2 + 3*m + m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*a*b*(C*(2 + m) + A*(3 + m))*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Cos[c + d*x]^m*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^1, x, 5, (a*C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)) + (b*C*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(3 + m)) - (a*(C*(1 + m) + A*(2 + m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (b*(C*(2 + m) + A*(3 + m))*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^m*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^1, x, 8, (a*(A*b^2 + a^2*C)*AppellF1[1/2, (1 - m)/2, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[c + d*x]^(-1 + m)*(Cos[c + d*x]^2)^((1 - m)/2)*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*AppellF1[1/2, -(m/2), 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/((Cos[c + d*x]^2)^(m/2)*(b*(a^2 - b^2)*d)) + (a*C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*(1 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (C*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^m*(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 9, ((A*b^4*m - a^4*C*(1 + m) + a^2*b^2*(A - A*m + C*(2 + m)))*AppellF1[1/2, (1 - m)/2, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[c + d*x]^(-1 + m)*(Cos[c + d*x]^2)^((1 - m)/2)*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^4*m - a^4*C*(1 + m) + a^2*b^2*(A - A*m + C*(2 + m)))*AppellF1[1/2, -(m/2), 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/((Cos[c + d*x]^2)^(m/2)*(a*b*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])) - ((a^2*C*(1 + m) - b^2*(C - A*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*(1 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + ((A*b^2 + a^2*C)*(1 + m)*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(a*b*(a^2 - b^2)*d*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Cos[e+f x])^n (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+b Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 8, (1/8)*(4*a*B + 3*b*C)*x + ((b*B + a*C)*Sin[c + d*x])/d + ((4*a*B + 3*b*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b*C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - ((b*B + a*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 2, (1/2)*(b*B + a*C)*x + ((3*a*B + 2*b*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((b*B + a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b*C*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d), (1/2)*(b*B + a*C)*x + ((3*a*b*B - a^2*C + 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b*d) + ((3*b*B - a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 2, (1/2)*(2*a*B + b*C)*x + ((b*B + a*C)*Sin[c + d*x])/d + (b*C*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, (b*B + a*C)*x + (a*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b*C*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, b*C*x + ((b*B + a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*B*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, ((a*B + 2*b*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((b*B + a*C)*Tan[c + d*x])/d + (a*B*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 8, ((b*B + a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((2*a*B + 3*b*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((b*B + a*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*B*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 8, ((3*a*B + 4*b*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((b*B + a*C)*Tan[c + d*x])/d + ((3*a*B + 4*b*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*B*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + ((b*B + a*C)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, (1/8)*(4*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*x + ((4*b^2*C + 5*a*(2*b*B + a*C))*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((4*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b*(5*b*B + 6*a*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (b*C*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d) - ((4*b^2*C + 5*a*(2*b*B + a*C))*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 3, (1/8)*(8*a*b*B + 4*a^2*C + 3*b^2*C)*x + ((4*a^2*b*B + 4*b^3*B - a^3*C + 8*a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(6*b*d) + ((8*a*b*B - 2*a^2*C + 9*b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + ((4*b*B - a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*b*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 3, (1/2)*(2*a^2*B + b^2*B + 2*a*b*C)*x + (2*(3*a*b*B + a^2*C + b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (b*(3*b*B + 2*a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, (1/2)*(4*a*b*B + 2*a^2*C + b^2*C)*x + (a^2*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b*(2*b*B + 3*a*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b*C*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, b*(b*B + 2*a*C)*x + (a*(2*b*B + a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*C*Sin[c + d*x])/d + (a^2*B*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, b^2*C*x + ((a^2*B + 2*b^2*B + 4*a*b*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(2*b*B + a*C)*Tan[c + d*x])/d + (a^2*B*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, ((2*a*b*B + a^2*C + 2*b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((2*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*(2*b*B + a*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a^2*B*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, ((3*a^2*B + 4*b^2*B + 8*a*b*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((4*a*b*B + 2*a^2*C + 3*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((3*a^2*B + 4*b^2*B + 8*a*b*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*(2*b*B + a*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a^2*B*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^0*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 4, (1/8)*(12*a^2*b*B + 3*b^3*B + 4*a^3*C + 9*a*b^2*C)*x + ((15*a^3*b*B + 60*a*b^3*B - 3*a^4*C + 52*a^2*b^2*C + 16*b^4*C)*Sin[c + d*x])/(30*b*d) + ((30*a^2*b*B + 45*b^3*B - 6*a^3*C + 71*a*b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(120*d) + ((15*a*b*B - 3*a^2*C + 16*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(60*b*d) + ((5*b*B - a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*b*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 4, (1/8)*(8*a^3*B + 12*a*b^2*B + 12*a^2*b*C + 3*b^3*C)*x + ((16*a^2*b*B + 4*b^3*B + 3*a^3*C + 12*a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (b*(20*a*b*B + 6*a^2*C + 9*b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + ((4*b*B + 3*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (1/2)*(6*a^2*b*B + b^3*B + 2*a^3*C + 3*a*b^2*C)*x + (a^3*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b*(9*a*b*B + 8*a^2*C + 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (b^2*(3*b*B + 5*a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (b*C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (1/2)*b*(6*a*b*B + 6*a^2*C + b^2*C)*x + (a^2*(3*b*B + a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (b*(2*a^2*B - b^2*B - 3*a*b*C)*Sin[c + d*x])/d - (b^2*(2*a*B - b*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, b^2*(b*B + 3*a*C)*x + (a*(a^2*B + 6*b^2*B + 6*a*b*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b^2*(a*B - 2*b*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a^2*(2*b*B + a*C)*Tan[c + d*x])/d + (a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, b^3*C*x + ((3*a^2*b*B + 2*b^3*B + a^3*C + 6*a*b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(2*a^2*B + 8*b^2*B + 9*a*b*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(5*b*B + 3*a*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, ((3*a^3*B + 12*a*b^2*B + 12*a^2*b*C + 8*b^3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((6*a^2*b*B + 3*b^3*B + 2*a^3*C + 9*a*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*(3*a^2*B + 10*b^2*B + 12*a*b*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(3*b*B + 2*a*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(6*d) + (a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 9, ((9*a^2*b*B + 4*b^3*B + 3*a^3*C + 12*a*b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((8*a^3*B + 30*a*b^2*B + 30*a^2*b*C + 15*b^3*C)*Tan[c + d*x])/(15*d) + ((9*a^2*b*B + 4*b^3*B + 3*a^3*C + 12*a*b^2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*(4*a^2*B + 12*b^2*B + 15*a*b*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a^2*(7*b*B + 5*a*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, ((2*a^2 + b^2)*(b*B - a*C)*x)/(2*b^4) - (2*a^3*(b*B - a*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^4*Sqrt[a + b]*d) - ((3*a*b*B - 3*a^2*C - 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^3*d) + ((b*B - a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d) + (C*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, -(((2*a*b*B - 2*a^2*C - b^2*C)*x)/(2*b^3)) + (2*a^2*(b*B - a*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^3*Sqrt[a + b]*d) + ((b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(b^2*d) + (C*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, ((b*B - a*C)*x)/b^2 - (2*a*(b*B - a*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^2*Sqrt[a + b]*d) + (C*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 4, (C*x)/b + (2*(b*B - a*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, -((2*(b*B - a*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)) + (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, (2*b*(b*B - a*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - ((b*B - a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (B*Tan[c + d*x])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, -((2*b^2*(b*B - a*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)) + ((a^2*B + 2*b^2*B - 2*a*b*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d) - ((b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(a^2*d) + (B*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -(((4*a*b*B - 6*a^2*C - b^2*C)*x)/(2*b^4)) + (2*a^2*(2*a^2*b*B - 3*b^3*B - 3*a^3*C + 4*a*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^4*(a + b)^(3/2)*d) + ((2*a^2*b*B - b^3*B - 3*a^3*C + 2*a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((2*a*b*B - 3*a^2*C + b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d) + (a*(b*B - a*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, ((b*B - 2*a*C)*x)/b^3 - (2*a*(a^2*b*B - 2*b^3*B - 2*a^3*C + 3*a*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) + (C*Sin[c + d*x])/(b^2*d) - (a^2*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (C*x)/b^2 - (2*(b^3*B + a^3*C - 2*a*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) + (a*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, (2*(a*B - b*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - ((b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -((2*(2*a^2*b*B - b^3*B - a^3*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (b*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (2*b*(3*a^2*b*B - 2*b^3*B - 2*a^3*C + a*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - ((2*b*B - a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + ((a^2*B - 2*b^2*B + a*b*C)*Tan[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -(((6*a*b*B - 12*a^2*C - b^2*C)*x)/(2*b^5)) + (a^2*(6*a^4*b*B - 15*a^2*b^3*B + 12*b^5*B - 12*a^5*C + 29*a^3*b^2*C - 20*a*b^4*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^5*(a + b)^(5/2)*d) + ((6*a^4*b*B - 11*a^2*b^3*B + 2*b^5*B - 12*a^5*C + 21*a^3*b^2*C - 6*a*b^4*C)*Sin[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((3*a^3*b*B - 6*a*b^3*B - 6*a^4*C + 10*a^2*b^2*C - b^4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (a*(b*B - a*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (a*(2*a^2*b*B - 5*b^3*B - 4*a^3*C + 7*a*b^2*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, ((b*B - 3*a*C)*x)/b^4 - (a*(2*a^4*b*B - 5*a^2*b^3*B + 6*b^5*B - 6*a^5*C + 15*a^3*b^2*C - 12*a*b^4*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^4*(a + b)^(5/2)*d) - ((a*b*B - 3*a^2*C + 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)*d) + (a*(b*B - a*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (a^2*(a^2*b*B - 4*b^3*B - 3*a^3*C + 6*a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (C*x)/b^3 + ((a^2*b^3*B + 2*b^5*B - 2*a^5*C + 5*a^3*b^2*C - 6*a*b^4*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^3*(a + b)^(5/2)*d) - (a^2*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (a*(a^2*b*B - 4*b^3*B - 3*a^3*C + 6*a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, -(((3*a*b*B - a^2*C - 2*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) + (a*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((a^2*b*B + 2*b^3*B + a^3*C - 4*a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, ((2*a^2*B + b^2*B - 3*a*b*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - ((b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((3*a*b*B - a^2*C - 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -(((6*a^4*b*B - 5*a^2*b^3*B + 2*b^5*B - 2*a^5*C - a^3*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) + (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + (b*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b*(5*a^2*b*B - 2*b^3*B - 3*a^3*C)*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, (b*(12*a^4*b*B - 15*a^2*b^3*B + 6*b^5*B - 6*a^5*C + 5*a^3*b^2*C - 2*a*b^4*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - ((3*b*B - a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + ((2*a^4*B - 11*a^2*b^2*B + 6*b^4*B + 5*a^3*b*C - 2*a*b^3*C)*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b*(6*a^2*b*B - 3*b^3*B - 4*a^3*C + a*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+b Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 9, -((2*(14*a^2*b*B - 63*b^3*B - 8*a^3*C - 19*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(a^2 - b^2)*(14*a*b*B - 8*a^2*C - 25*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(14*a*b*B - 8*a^2*C - 25*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*b^2*d) + (2*(7*b*B - 4*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, (2*(5*a*b*B - 2*a^2*C + 9*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(5*b*B - 2*a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(5*b*B - 2*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b*d) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, (2*(3*b*B + a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*C*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 9, (2*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*b*B*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*B*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 10, -((B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((a*B + 2*b*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((b*B + 2*a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 11, -(((b*B + 4*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((3*b*B + 4*a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((4*a^2*B - b^2*B + 4*a*b*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((b*B + 4*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*a*d) + (B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 10, -((2*(18*a^3*b*B - 246*a*b^3*B - 8*a^4*C - 33*a^2*b^2*C - 147*b^4*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(a^2 - b^2)*(18*a^2*b*B - 75*b^3*B - 8*a^3*C - 39*a*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(18*a^2*b*B - 75*b^3*B - 8*a^3*C - 39*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*b^2*d) - (2*(18*a*b*B - 8*a^2*C - 49*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*b^2*d) + (2*(9*b*B - 4*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, (2*(21*a^2*b*B + 63*b^3*B - 6*a^3*C + 82*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(21*a*b*B - 6*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(21*a*b*B - 6*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*b*d) + (2*(7*b*B - 2*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*b*d) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, (2*(20*a*b*B + 3*a^2*C + 9*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(5*b*B + 3*a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(5*b*B + 3*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 10, (2*(3*b*B + 4*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(3*a*b*B - a^2*C + b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*B*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 10, -(((a*B - 2*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((a^2*B + 2*b^2*B + 2*a*b*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (a*(3*b*B + 2*a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (a*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 11, -(((5*b*B + 4*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((7*a*b*B + 4*a^2*C + 8*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((4*a^2*B + 3*b^2*B + 12*a*b*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((5*b*B + 4*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 12, -(((16*a^2*B + 3*b^2*B + 30*a*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(24*a*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((16*a^2*B + 17*b^2*B + 42*a*b*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((12*a^2*b*B - b^3*B + 8*a^3*C + 6*a*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(8*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((16*a^2*B + 3*b^2*B + 30*a*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(24*a*d) + ((7*b*B + 6*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*d) + (a*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 11, -((2*(110*a^4*b*B - 3069*a^2*b^3*B - 1617*b^5*B - 40*a^5*C - 255*a^3*b^2*C - 3705*a*b^4*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3465*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(a^2 - b^2)*(110*a^3*b*B - 1254*a*b^3*B - 40*a^4*C - 285*a^2*b^2*C - 675*b^4*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3465*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(110*a^3*b*B - 1254*a*b^3*B - 40*a^4*C - 285*a^2*b^2*C - 675*b^4*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*b^2*d) - (2*(110*a^2*b*B - 539*b^3*B - 40*a^3*C - 335*a*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3465*b^2*d) - (2*(22*a*b*B - 8*a^2*C - 81*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*b^2*d) + (2*(11*b*B - 4*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(99*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(11*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, (2*(45*a^3*b*B + 435*a*b^3*B - 10*a^4*C + 279*a^2*b^2*C + 147*b^4*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(45*a^2*b*B + 75*b^3*B - 10*a^3*C + 114*a*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(45*a^2*b*B + 75*b^3*B - 10*a^3*C + 114*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*b*d) + (2*(45*a*b*B - 10*a^2*C + 49*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*b*d) + (2*(9*b*B - 2*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*b*d) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, (2*(161*a^2*b*B + 63*b^3*B + 15*a^3*C + 145*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(56*a*b*B + 15*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(56*a*b*B + 15*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(7*b*B + 5*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 11, (2*(35*a*b*B + 23*a^2*C + 9*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(10*a^2*b*B + 5*b^3*B - 8*a^3*C + 8*a*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*B*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*(5*b*B + 8*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*b*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 11, -(((3*a^2*B - 6*b^2*B - 14*a*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((3*a^3*B + 12*a*b^2*B + 4*a^2*b*C + 2*b^3*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(5*b*B + 2*a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (b*(3*a*B - 2*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 11, -(((9*a*b*B + 4*a^2*C - 8*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((11*a^2*b*B + 8*b^3*B + 4*a^3*C + 16*a*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (a*(4*a^2*B + 15*b^2*B + 20*a*b*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (a*(7*b*B + 4*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 12, -(((16*a^2*B + 33*b^2*B + 54*a*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((16*a^3*B + 59*a*b^2*B + 66*a^2*b*C + 48*b^3*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((20*a^2*b*B + 5*b^3*B + 8*a^3*C + 30*a*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(8*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((16*a^2*B + 33*b^2*B + 54*a*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(24*d) + (a*(3*b*B + 2*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 13, -(((284*a^2*b*B + 15*b^3*B + 128*a^3*C + 264*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(192*a*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((356*a^2*b*B + 133*b^3*B + 128*a^3*C + 472*a*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(192*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((48*a^4*B + 120*a^2*b^2*B - 5*b^4*B + 160*a^3*b*C + 40*a*b^3*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(64*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((284*a^2*b*B + 15*b^3*B + 128*a^3*C + 264*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(192*a*d) + ((36*a^2*B + 59*b^2*B + 104*a*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(96*d) + (a*(11*b*B + 8*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(24*d) + (a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 8, -((2*(10*a*b*B - 8*a^2*C - 9*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(10*a^2*b*B + 5*b^3*B - 8*a^3*C - 7*a*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(5*b*B - 4*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (2*(3*b*B - 2*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(3*a*b*B - 2*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (2*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(b*B - a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (2*C*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 10, -((B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (B*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((b*B - 2*a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 11, ((3*b*B - 4*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - ((b*B - 4*a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((4*a^2*B + 3*b^2*B - 4*a*b*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((3*b*B - 4*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d) + (B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, -((2*(40*a^3*b*B - 25*a*b^3*B - 48*a^4*C + 24*a^2*b^2*C + 9*b^4*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(40*a^2*b*B + 5*b^3*B - 48*a^3*C - 12*a*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(b*B - a*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(20*a^2*b*B - 5*b^3*B - 24*a^3*C + 9*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b^3*(a^2 - b^2)*d) - (2*(5*a*b*B - 6*a^2*C + b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, (2*(6*a^2*b*B - 3*b^3*B - 8*a^3*C + 5*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(6*a*b*B - 8*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*a^2*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((2*(a*b*B - 2*a^2*C + b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(b*B - 2*a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*(b*B - a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*C*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((2*(b*B - a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*B*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 11, -(((a^2*B - 3*b^2*B + 2*a*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (B*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((3*b*B - 2*a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (b*(a^2*B - 3*b^2*B + 2*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (B*Tan[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, (2*(8*a^4*b*B - 15*a^2*b^3*B + 3*b^5*B - 16*a^5*C + 28*a^3*b^2*C - 8*a*b^4*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(8*a^3*b*B - 9*a*b^3*B - 16*a^4*C + 16*a^2*b^2*C + b^4*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(b*B - a*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*a^2*(3*a^2*b*B - 7*b^3*B - 6*a^3*C + 10*a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(a*b*B - 2*a^2*C + b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((2*(2*a^3*b*B - 6*a*b^3*B - 8*a^4*C + 15*a^2*b^2*C - 3*b^4*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(2*a^2*b*B - 3*b^3*B - 8*a^3*C + 9*a*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*a^2*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*(2*a^2*b*B - 6*b^3*B - 5*a^3*C + 9*a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((2*(a^2*b*B + 3*b^3*B + 2*a^3*C - 6*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(a*b*B + 2*a^2*C - 3*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(a^2*b*B + 3*b^3*B + 2*a^3*C - 6*a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, (2*(4*a*b*B - a^2*C - 3*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(b*B - a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*(4*a*b*B - a^2*C - 3*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 11, -((2*(7*a^2*b*B - 3*b^3*B - 4*a^3*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(b*B - a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(7*a^2*b*B - 3*b^3*B - 4*a^3*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 12, -(((3*a^4*B - 26*a^2*b^2*B + 15*b^4*B + 14*a^3*b*C - 6*a*b^3*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((3*a^2*B - 5*b^2*B + 2*a*b*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((5*b*B - 2*a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (b*(3*a^2*B - 5*b^2*B + 2*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (b*(3*a^4*B - 26*a^2*b^2*B + 15*b^4*B + 14*a^3*b*C - 6*a*b^3*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (B*Tan[c + d*x])/(a*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/2) (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+b Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, (2*(9*a*B + 7*b*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (10*(b*B + a*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (10*(b*B + a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(9*a*B + 7*b*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*(b*B + a*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*b*C*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (6*(b*B + a*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(7*a*B + 5*b*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(7*a*B + 5*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(b*B + a*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*b*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 7, (2*(5*a*B + 3*b*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(b*B + a*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*(b*B + a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*b*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 6, (2*(b*B + a*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*(3*a*B + b*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*b*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 6, (-2*(a*B - b*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*(b*B + a*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*a*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 7, (-2*(b*B + a*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*(a*B + 3*b*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(b*B + a*C)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 8, (-2*(3*a*B + 5*b*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*(b*B + a*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(b*B + a*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(3*a*B + 5*b*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, (2*(9*a^2*B + 7*b^2*B + 14*a*b*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (10*(9*b^2*C + 11*a*(2*b*B + a*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (10*(9*b^2*C + 11*a*(2*b*B + a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*(9*a^2*B + 7*b^2*B + 14*a*b*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*(9*b^2*C + 11*a*(2*b*B + a*C))*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*d) + (2*b*(11*b*B + 13*a*C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*b*C*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (2*(7*b^2*C + 9*a*(2*b*B + a*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*(7*a^2*B + 5*b^2*B + 10*a*b*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(7*a^2*B + 5*b^2*B + 10*a*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(7*b^2*C + 9*a*(2*b*B + a*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*b*(9*b*B + 11*a*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*b*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 7, (2*(5*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(5*b^2*C + 7*a*(2*b*B + a*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(5*b^2*C + 7*a*(2*b*B + a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*b*(7*b*B + 9*a*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*b*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 6, (2*(3*b^2*C + 5*a*(2*b*B + a*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(3*a^2*B + b^2*B + 2*a*b*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*b*(5*b*B + 7*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*b*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 6, -((2*(a^2*B - b^2*B - 2*a*b*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*(6*a*b*B + 3*a^2*C + b^2*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 6, -((2*(2*a*b*B + a^2*C - b^2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*(a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(2*b*B + a*C)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 7, -((2*(3*a^2*B + 5*b^2*B + 10*a*b*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(2*a*b*B + a^2*C + 3*b^2*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(2*b*B + a*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(3*a^2*B + 5*b^2*B + 10*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 8, -((2*(6*a*b*B + 3*a^2*C + 5*b^2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(5*a^2*B + 7*b^2*B + 14*a*b*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a^2*B*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*(2*b*B + a*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(5*a^2*B + 7*b^2*B + 14*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(6*a*b*B + 3*a^2*C + 5*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, (2*(27*a^2*b*B + 7*b^3*B + 9*a^3*C + 21*a*b^2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*(77*a^3*B + 165*a*b^2*B + 165*a^2*b*C + 45*b^3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (2*(77*a^3*B + 165*a*b^2*B + 165*a^2*b*C + 45*b^3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*(27*a^2*b*B + 7*b^3*B + 9*a^3*C + 21*a*b^2*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*b*(33*a*b*B + 26*a^2*C + 9*b^2*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*d) + (2*b^2*(11*b*B + 15*a*C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*b*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 8, (2*(15*a^3*B + 27*a*b^2*B + 27*a^2*b*C + 7*b^3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*(21*a^2*b*B + 5*b^3*B + 7*a^3*C + 15*a*b^2*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(21*a^2*b*B + 5*b^3*B + 7*a^3*C + 15*a*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*b*(27*a*b*B + 22*a^2*C + 7*b^2*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*b^2*(9*b*B + 13*a*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*b*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 7, (2*(15*a^2*b*B + 3*b^3*B + 5*a^3*C + 9*a*b^2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(21*a^3*B + 21*a*b^2*B + 21*a^2*b*C + 5*b^3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*b*(21*a*b*B + 18*a^2*C + 5*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*b^2*(7*b*B + 11*a*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*b*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 7, -((2*(5*a^3*B - 15*a*b^2*B - 15*a^2*b*C - 3*b^3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(9*a^2*b*B + b^3*B + 3*a^3*C + 3*a*b^2*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) - (2*b*(6*a^2*B - b^2*B - 3*a*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) - (2*b^2*(5*a*B - b*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 7, -((2*(3*a^2*b*B - b^3*B + a^3*C - 3*a*b^2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*(a^3*B + 9*a*b^2*B + 9*a^2*b*C + b^3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*(7*b*B + 3*a*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*b^2*(a*B - b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 7, -((2*(3*a^3*B + 15*a*b^2*B + 15*a^2*b*C - 5*b^3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(3*a^2*b*B + 3*b^3*B + a^3*C + 9*a*b^2*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*(9*b*B + 5*a*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(3*a^2*B + 14*b^2*B + 15*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 8, -((2*(9*a^2*b*B + 5*b^3*B + 3*a^3*C + 15*a*b^2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(5*a^3*B + 21*a*b^2*B + 21*a^2*b*C + 21*b^3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a^2*(11*b*B + 7*a*C)*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(5*a^2*B + 18*b^2*B + 21*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(9*a^2*b*B + 5*b^3*B + 3*a^3*C + 15*a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(13/2), x, 9, -((2*(7*a^3*B + 27*a*b^2*B + 27*a^2*b*C + 15*b^3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d)) + (2*(15*a^2*b*B + 7*b^3*B + 5*a^3*C + 21*a*b^2*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a^2*(13*b*B + 9*a*C)*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*(7*a^2*B + 22*b^2*B + 27*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(45*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(15*a^2*b*B + 7*b^3*B + 5*a^3*C + 21*a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(7*a^3*B + 27*a*b^2*B + 27*a^2*b*C + 15*b^3*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 9, (2*(5*a^2 + 3*b^2)*(b*B - a*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^4*d) - (2*(21*a^3*b*B + 7*a*b^3*B - 21*a^4*C - 7*a^2*b^2*C - 5*b^4*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b^5*d) + (2*a^4*(b*B - a*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^5*(a + b)*d) - (2*(7*a*b*B - 7*a^2*C - 5*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b^3*d) + (2*(b*B - a*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 8, -((2*(5*a*b*B - 5*a^2*C - 3*b^2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d)) + (2*(3*a^2 + b^2)*(b*B - a*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^4*d) - (2*a^3*(b*B - a*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^4*(a + b)*d) + (2*(b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, (2*(b*B - a*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d) - (2*(3*a*b*B - 3*a^2*C - b^2*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^3*d) + (2*a^2*(b*B - a*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*(a + b)*d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, (2*C*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d) + (2*(b*B - a*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d) - (2*a*(b*B - a*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*(a + b)*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 4, (2*C*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d) + (2*(b*B - a*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b*(a + b)*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, -((2*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d)) - (2*(b*B - a*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a + b)*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 8, (2*(b*B - a*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d) + (2*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a*d) + (2*b*(b*B - a*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a + b)*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (2*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 9, -((2*(3*a^2*B + 5*b^2*B - 5*a*b*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a^3*d)) - (2*(b*B - a*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) - (2*b^2*(b*B - a*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a + b)*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - (2*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(3*a^2*B + 5*b^2*B - 5*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(5*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 9, -((25*a^3*b*B - 20*a*b^3*B - 35*a^4*C + 24*a^2*b^2*C + 6*b^4*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*b^4*(a^2 - b^2)*d) + ((15*a^4*b*B - 16*a^2*b^3*B - 2*b^5*B - 21*a^5*C + 20*a^3*b^2*C + 4*a*b^4*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*b^5*(a^2 - b^2)*d) - (a^3*(5*a^2*b*B - 7*b^3*B - 7*a^3*C + 9*a*b^2*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/((a - b)*b^5*(a + b)^2*d) + ((5*a^2*b*B - 2*b^3*B - 7*a^3*C + 4*a*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((5*a*b*B - 7*a^2*C + 2*b^2*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*(a^2 - b^2)*d) + (a*(b*B - a*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, ((3*a^2*b*B - 2*b^3*B - 5*a^3*C + 4*a*b^2*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((9*a^3*b*B - 12*a*b^3*B - 15*a^4*C + 16*a^2*b^2*C + 2*b^4*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*b^4*(a^2 - b^2)*d) + (a^2*(3*a^2*b*B - 5*b^3*B - 5*a^3*C + 7*a*b^2*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/((a - b)*b^4*(a + b)^2*d) - ((3*a*b*B - 5*a^2*C + 2*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d) + (a*(b*B - a*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -(((a*b*B - 3*a^2*C + 2*b^2*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*d)) + ((a^2*b*B - 2*b^3*B - 3*a^3*C + 4*a*b^2*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) - (a*(a^2*b*B - 3*b^3*B - 3*a^3*C + 5*a*b^2*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/((a - b)*b^3*(a + b)^2*d) + (a*(b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2), x, 7, ((b*B - a*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(b*(a^2 - b^2)*d) + ((a*b*B + a^2*C - 2*b^2*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((a^2*b*B + b^3*B + a^3*C - 3*a*b^2*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/((a - b)*b^2*(a + b)^2*d) - ((b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2), x, 7, -(((b*B - a*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*(a^2 - b^2)*d)) - ((b*B - a*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(b*(a^2 - b^2)*d) + ((3*a^2*b*B - b^3*B - a^3*C - a*b^2*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(a*(a - b)*b*(a + b)^2*d) + (b*(b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2), x, 8, -(((2*a^2*B - 3*b^2*B + a*b*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*(a^2 - b^2)*d)) + ((b*B - a*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(a*(a^2 - b^2)*d) - ((5*a^2*b*B - 3*b^3*B - 3*a^3*C + a*b^2*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(a^2*(a - b)*(a + b)^2*d) + ((2*a^2*B - 3*b^2*B + a*b*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2), x, 9, ((4*a^2*b*B - 5*b^3*B - 2*a^3*C + 3*a*b^2*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) + ((2*a^2*B - 5*b^2*B + 3*a*b*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b*(7*a^2*b*B - 5*b^3*B - 5*a^3*C + 3*a*b^2*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(a^3*(a - b)*(a + b)^2*d) + ((2*a^2*B - 5*b^2*B + 3*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - ((4*a^2*b*B - 5*b^3*B - 2*a^3*C + 3*a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 9, ((15*a^4*b*B - 29*a^2*b^3*B + 8*b^5*B - 35*a^5*C + 65*a^3*b^2*C - 24*a*b^4*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((45*a^5*b*B - 99*a^3*b^3*B + 72*a*b^5*B - 105*a^6*C + 223*a^4*b^2*C - 128*a^2*b^4*C - 8*b^6*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(12*b^5*(a^2 - b^2)^2*d) + (a^2*(15*a^4*b*B - 38*a^2*b^3*B + 35*b^5*B - 35*a^5*C + 86*a^3*b^2*C - 63*a*b^4*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(4*(a - b)^2*b^5*(a + b)^3*d) - ((15*a^3*b*B - 33*a*b^3*B - 35*a^4*C + 61*a^2*b^2*C - 8*b^4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (a*(b*B - a*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (a*(3*a^2*b*B - 9*b^3*B - 7*a^3*C + 13*a*b^2*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -((3*a^3*b*B - 9*a*b^3*B - 15*a^4*C + 29*a^2*b^2*C - 8*b^4*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*a^4*b*B - 5*a^2*b^3*B + 8*b^5*B - 15*a^5*C + 33*a^3*b^2*C - 24*a*b^4*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - (a*(3*a^4*b*B - 6*a^2*b^3*B + 15*b^5*B - 15*a^5*C + 38*a^3*b^2*C - 35*a*b^4*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(4*(a - b)^2*b^4*(a + b)^3*d) + (a*(b*B - a*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (a*(a^2*b*B - 7*b^3*B - 5*a^3*C + 11*a*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -((a^2*b*B + 5*b^3*B + 3*a^3*C - 9*a*b^2*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^3*b*B - 7*a*b^3*B + 3*a^4*C - 5*a^2*b^2*C + 8*b^4*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((a^4*b*B - 10*a^2*b^3*B - 3*b^5*B + 3*a^5*C - 6*a^3*b^2*C + 15*a*b^4*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(4*(a - b)^2*b^3*(a + b)^3*d) + (a*(b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((a^2*b*B + 5*b^3*B + 3*a^3*C - 9*a*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^3), x, 8, ((5*a^2*b*B + b^3*B - a^3*C - 5*a*b^2*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(4*a*b*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*a^2*b*B + 3*b^3*B + a^3*C - 7*a*b^2*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) - ((3*a^4*b*B + 10*a^2*b^3*B - b^5*B + a^5*C - 10*a^3*b^2*C - 3*a*b^4*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(4*a*(a - b)^2*b^2*(a + b)^3*d) - ((b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((5*a^2*b*B + b^3*B - a^3*C - 5*a*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3), x, 8, -((9*a^2*b*B - 3*b^3*B - 5*a^3*C - a*b^2*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d) - ((7*a^2*b*B - b^3*B - 3*a^3*C - 3*a*b^2*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(4*a*b*(a^2 - b^2)^2*d) + ((15*a^4*b*B - 6*a^2*b^3*B + 3*b^5*B - 3*a^5*C - 10*a^3*b^2*C + a*b^4*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(4*a^2*(a - b)^2*b*(a + b)^3*d) + (b*(b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b*(9*a^2*b*B - 3*b^3*B - 5*a^3*C - a*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3), x, 9, -((8*a^4*B - 29*a^2*b^2*B + 15*b^4*B + 9*a^3*b*C - 3*a*b^3*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((11*a^2*b*B - 5*b^3*B - 7*a^3*C + a*b^2*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d) - ((35*a^4*b*B - 38*a^2*b^3*B + 15*b^5*B - 15*a^5*C + 6*a^3*b^2*C - 3*a*b^4*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(4*a^3*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + ((8*a^4*B - 29*a^2*b^2*B + 15*b^4*B + 9*a^3*b*C - 3*a*b^3*C)*Sin[c + d*x])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (b*(11*a^2*b*B - 5*b^3*B - 7*a^3*C + a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^(m/2) (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+b Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(6*a*b*B - 3*a^2*C + 16*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b^2*d) + (Sqrt[a + b]*(a + 2*b)*(6*b*B - 3*a*C + 8*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b^2*d) + (Sqrt[a + b]*(2*a^2*b*B - 8*b^3*B - a^3*C - 4*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^3*d) + ((6*a*b*B - 3*a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((2*b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 8, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(4*b*B + a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*b*d) + (Sqrt[a + b]*(a*C + 2*b*(2*B + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a*b*B - a^2*C + 4*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d) + ((4*b*B + a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 7, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d)) + (Sqrt[a + b]*(2*B + C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d - (Sqrt[a + b]*(2*b*B + a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d) + (C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) + (2*Sqrt[a + b]*(b*B - a*(B - C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) - (2*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 5, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(b*B + 3*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(B - 3*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d) + (2*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a^2*B - 2*b^2*B + 5*a*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^3*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a*B + 2*b*B - 5*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^2*d) + (2*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(b*B + 5*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(19*a^2*b*B + 8*b^3*B + 63*a^3*C - 14*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^4*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*b^2*B + a^2*(25*B - 63*C) + 2*a*b*(3*B - 7*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^3*d) + (2*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(b*B + 7*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(25*a^2*B - 4*b^2*B + 7*a*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 10, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(24*a^2*b*B + 128*b^3*B - 9*a^3*C + 156*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*a*b^2*d) - (Sqrt[a + b]*(9*a^3*C - 6*a^2*b*(4*B + C) - 8*b^3*(16*B + 9*C) - 4*a*b^2*(28*B + 39*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b^2*d) + (Sqrt[a + b]*(8*a^3*b*B - 96*a*b^3*B - 3*a^4*C - 24*a^2*b^2*C - 48*b^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^3*d) + ((24*a^2*b*B + 128*b^3*B - 9*a^3*C + 156*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((8*a*b*B - 3*a^2*C + 12*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*b*d) + ((8*b*B - 3*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*b*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*b*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 9, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(30*a*b*B + 3*a^2*C + 16*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b*d)) + (Sqrt[a + b]*(30*a*b*B + 12*b^2*B + 3*a^2*C + 14*a*b*C + 16*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b*d) - (Sqrt[a + b]*(6*a^2*b*B + 8*b^3*B - a^3*C + 12*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^2*d) + ((30*a*b*B + 3*a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((6*b*B + 7*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d) + (b*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 8, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(4*b*B + 5*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*d) + (Sqrt[a + b]*(8*a*B + 4*b*B + 5*a*C + 2*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d) - (Sqrt[a + b]*(12*a*b*B + 3*a^2*C + 4*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d) + ((4*b*B + 5*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(2*a*B - b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) - (Sqrt[a + b]*(2*a*(B - C) - b*(4*B + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d - (Sqrt[a + b]*(2*b*B + 3*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*a*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((2*a*B - b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(4*b*B + 3*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d) + (2*Sqrt[a + b]*(3*b^2*B - a*b*(4*B - 6*C) + a^2*(B - 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d) - (2*b*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*a*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a^2*B + 3*b^2*B + 20*a*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^2*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a*B - 3*b*B - 5*a*C + 15*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d) + (2*a*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(6*b*B + 5*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(82*a^2*b*B - 6*b^3*B + 63*a^3*C + 21*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^3*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*b^2*B - a^2*(25*B - 63*C) + 3*a*b*(19*B - 7*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^2*d) + (2*a*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(8*b*B + 7*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(25*a^2*B + 3*b^2*B + 42*a*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 11, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(150*a^3*b*B + 2840*a*b^3*B - 45*a^4*C + 1692*a^2*b^2*C + 1024*b^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(1920*a*b^2*d) - (Sqrt[a + b]*(45*a^4*C - 30*a^3*b*(5*B + C) - 16*b^4*(45*B + 64*C) - 8*a*b^3*(355*B + 193*C) - 4*a^2*b^2*(295*B + 423*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(1920*b^2*d) + (Sqrt[a + b]*(10*a^4*b*B - 240*a^2*b^3*B - 96*b^5*B - 3*a^5*C - 40*a^3*b^2*C - 240*a*b^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(128*b^3*d) + ((150*a^3*b*B + 2840*a*b^3*B - 45*a^4*C + 1692*a^2*b^2*C + 1024*b^4*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1920*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((50*a^2*b*B + 120*b^3*B - 15*a^3*C + 172*a*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(320*b*d) + ((50*a*b*B - 15*a^2*C + 64*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(240*b*d) + ((10*b*B - 3*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(40*b*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 10, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(264*a^2*b*B + 128*b^3*B + 15*a^3*C + 284*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*a*b*d)) + (Sqrt[a + b]*(15*a^3*C + 8*b^3*(16*B + 9*C) + 2*a^2*b*(132*B + 59*C) + 4*a*b^2*(52*B + 71*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b*d) - (Sqrt[a + b]*(40*a^3*b*B + 160*a*b^3*B - 5*a^4*C + 120*a^2*b^2*C + 48*b^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^2*d) + ((264*a^2*b*B + 128*b^3*B + 15*a^3*C + 284*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((24*a*b*B + 5*a^2*C + 12*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d) + ((8*b*B + 11*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d) + (b*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 9, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(54*a*b*B + 33*a^2*C + 16*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*d) + (Sqrt[a + b]*(4*b^2*(3*B + 4*C) + a*b*(54*B + 26*C) + a^2*(48*B + 33*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*d) - (Sqrt[a + b]*(30*a^2*b*B + 8*b^3*B + 5*a^3*C + 20*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b*d) + ((54*a*b*B + 33*a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*(2*b*B + 3*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (b*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a^2*B - 4*b^2*B - 9*a*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*d) - (Sqrt[a + b]*(8*a^2*(B - C) - 2*b^2*(2*B + C) - 3*a*b*(8*B + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d) - (Sqrt[a + b]*(20*a*b*B + 15*a^2*C + 4*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d) - ((8*a^2*B - 4*b^2*B - 9*a*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (b*(4*a*B - b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (2*a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(14*a*b*B + 6*a^2*C - 3*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d) - (Sqrt[a + b]*(2*a*b*(7*B - 9*C) - 2*a^2*(B - 3*C) - 3*b^2*(6*B + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*d) - (b*Sqrt[a + b]*(2*b*B + 5*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*a*(2*b*B + a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((14*a*b*B + 6*a^2*C - 3*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 8, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a^2*B + 23*b^2*B + 35*a*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d) + (2*Sqrt[a + b]*(15*b^3*B - a*b^2*(23*B - 45*C) + a^2*b*(17*B - 35*C) - a^3*(9*B - 5*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d) - (2*b^2*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*a*(8*b*B + 5*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(145*a^2*b*B + 15*b^3*B + 63*a^3*C + 161*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^2*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(a^2*(25*B - 63*C) + 15*b^2*(B - 7*C) - 8*a*b*(15*B - 7*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a*d) + (2*a*(10*b*B + 7*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(25*a^2*B + 45*b^2*B + 77*a*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(13/2), x, 8, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(147*a^4*B + 279*a^2*b^2*B - 10*b^4*B + 435*a^3*b*C + 45*a*b^3*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^3*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*b^3*B - 6*a^2*b*(19*B - 60*C) + 3*a^3*(49*B - 25*C) + 15*a*b^2*(11*B - 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^2*d) + (2*a*(4*b*B + 3*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(49*a^2*B + 75*b^2*B + 135*a*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(163*a^2*b*B + 5*b^3*B + 75*a^3*C + 135*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(15/2), x, 9, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3705*a^4*b*B + 255*a^2*b^3*B + 40*b^5*B + 1617*a^5*C + 3069*a^3*b^2*C - 110*a*b^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3465*a^4*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(40*b^4*B + 3*a^4*(225*B - 539*C) - 6*a^3*b*(505*B - 209*C) + 15*a^2*b^2*(19*B - 121*C) + 10*a*b^3*(3*B - 11*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3465*a^3*d) + (2*a*(14*b*B + 11*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(99*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*(81*a^2*B + 113*b^2*B + 209*a*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(1145*a^2*b*B + 15*b^3*B + 539*a^3*C + 825*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(675*a^4*B + 1025*a^2*b^2*B - 20*b^4*B + 1793*a^3*b*C + 55*a*b^3*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*B*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(11*d*Cos[c + d*x]^(11/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(18*a*b*B - 15*a^2*C - 16*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b^3*d) - (Sqrt[a + b]*(18*a*b*B - 12*b^2*B - 15*a^2*C + 10*a*b*C - 16*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b^3*d) - (Sqrt[a + b]*(6*a^2*b*B + 8*b^3*B - 5*a^3*C - 4*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^4*d) - ((18*a*b*B - 15*a^2*C - 16*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((6*b*B - 5*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*b^2*d) + (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 8, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(4*b*B - 3*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*b^2*d) - (Sqrt[a + b]*(3*a*C - 2*b*(2*B + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d) + (Sqrt[a + b]*(4*a*b*B - 3*a^2*C - 4*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^3*d) + ((4*b*B - 3*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x, 8, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*d)) + (Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d) - (Sqrt[a + b]*(2*b*B - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d) + (C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]), -(((a - b)*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*d)) + (Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d) - (Sqrt[a + b]*(2*b*B - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d) + (a*C*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x, 4, (2*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) - (2*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d)}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x, 4, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*d) - (2*Sqrt[a + b]*(B - C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d)}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x, 5, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(2*b*B - 3*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*d) + (2*Sqrt[a + b]*(2*b*B + a*(B - 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*d) + (2*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(9/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a^2*B + 8*b^2*B - 10*a*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^4*d) - (2*Sqrt[a + b]*(8*b^2*B + a^2*(9*B - 5*C) - 2*a*b*(B + 5*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^3*d) + (2*B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - (2*(4*b*B - 5*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, -((12*a^2*b*B - 4*b^3*B - 15*a^3*C + 7*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*b^3*Sqrt[a + b]*d) + ((a*b*(12*B - 5*C) - 15*a^2*C + 2*b^2*(2*B + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^3*Sqrt[a + b]*d) + (Sqrt[a + b]*(12*a*b*B - 15*a^2*C - 4*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^4*d) + (2*a*(b*B - a*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((12*a^2*b*B - 4*b^3*B - 15*a^3*C + 7*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((4*a*b*B - 5*a^2*C + b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((2*a*b*B - 3*a^2*C + b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b^2*Sqrt[a + b]*d) - ((2*b*B - 3*a*C - b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*Sqrt[a + b]*d) - (Sqrt[a + b]*(2*b*B - 3*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^3*d) + (2*a*(b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((2*a*b*B - 3*a^2*C + b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 7, -((2*(b*B - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*Sqrt[a + b]*d)) + (2*(b*B - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*Sqrt[a + b]*d) - (2*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d) + (2*a*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 5, (2*(b*B - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*Sqrt[a + b]*d) + (2*(B + C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*Sqrt[a + b]*d) - (2*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 5, (2*(a^2*B - 2*b^2*B + a*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^3*Sqrt[a + b]*d) - (2*(2*b*B + a*(B - C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*Sqrt[a + b]*d) + (2*b*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 6, -((2*(5*a^2*b*B - 8*b^3*B - 3*a^3*C + 6*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*d)) + (2*(a + 2*b)*(4*b*B + a*(B - 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*Sqrt[a + b]*d) + (2*b*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(a^2*B - 4*b^2*B + 3*a*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, ((6*a^3*b*B - 14*a*b^3*B - 15*a^4*C + 26*a^2*b^2*C - 3*b^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) - ((a^2*b*(6*B - 5*C) - 3*b^3*(4*B - C) - 15*a^3*C + a*b^2*(2*B + 21*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*b^3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) - (Sqrt[a + b]*(2*b*B - 5*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^4*d) + (2*a*(b*B - a*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*(2*a^2*b*B - 6*b^3*B - 5*a^3*C + 9*a*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((6*a^3*b*B - 14*a*b^3*B - 15*a^4*C + 26*a^2*b^2*C - 3*b^4*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, (2*(4*b^3*B + 3*a^3*C - 7*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(a*b^2*B - 3*b^3*B - 3*a^3*C - a^2*b*C + 6*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) - (2*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^3*d) + (2*a*(b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*a*(4*b^3*B + 3*a^3*C - 7*a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 6, -((2*(3*a^2*B + b^2*B - 4*a*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d)) + (2*(3*a*B - b*B + a*C - 3*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) - (2*(b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(3*a^2*B + b^2*B - 4*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 6, (2*(6*a^2*b*B - 2*b^3*B - 3*a^3*C - a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) - (2*(2*b^2*B - 3*a^2*(B + C) + a*b*(3*B + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*b*(b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*(6*a^2*b*B - 2*b^3*B - 3*a^3*C - a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 6, (2*(3*a^4*B - 15*a^2*b^2*B + 8*b^4*B + 6*a^3*b*C - 2*a*b^3*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(8*b^3*B - 3*a^3*(B - C) + 2*a*b^2*(3*B - C) - 3*a^2*b*(3*B + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*b*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(8*a^2*b*B - 4*b^3*B - 5*a^3*C + a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, (1/8)*(4*a*A + 3*b*B + 3*a*C)*x + ((5*A*b + 5*a*B + 4*b*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((4*a*A + 3*b*B + 3*a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + ((b*B + a*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (b*C*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d) - ((5*A*b + 5*a*B + 4*b*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, (1/8)*(4*A*b + 4*a*B + 3*b*C)*x + ((3*a*A + 2*b*B + 2*a*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((4*A*b + 4*a*B + 3*b*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + ((b*B + a*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d) + (b*C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 2, (1/2)*(b*B + a*(2*A + C))*x + ((A*b + a*B + b*C)*Sin[c + d*x])/d + ((b*B + a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b*C*Sin[c + d*x]^3)/(3*d), (1/2)*(b*B + a*(2*A + C))*x + ((b^2*(3*A + 2*C) + a*(3*b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(3*b*d) + ((3*b*B - a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 4, (1/2)*(2*A*b + 2*a*B + b*C)*x + (a*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((b*B + a*C)*Sin[c + d*x])/d + (b*C*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 4, (b*B + a*C)*x + ((A*b + a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b*C*Sin[c + d*x])/d + (a*A*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 4, b*C*x + ((2*b*B + a*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((A*b + a*B)*Tan[c + d*x])/d + (a*A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, ((A*b + a*B + 2*b*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((2*a*A + 3*b*B + 3*a*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((A*b + a*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, ((3*a*A + 4*b*B + 4*a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((2*A*b + 2*a*B + 3*b*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((3*a*A + 4*b*B + 4*a*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + ((A*b + a*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*A*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, ((3*A*b + 3*a*B + 4*b*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((4*a*A + 5*b*B + 5*a*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((3*A*b + 3*a*B + 4*b*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + ((A*b + a*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*A*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((4*a*A + 5*b*B + 5*a*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (1/8)*(8*a*A*b + 4*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*x + ((20*a*b*B + 5*a^2*(3*A + 2*C) + 2*b^2*(5*A + 4*C))*Sin[c + d*x])/(15*d) + ((8*a*A*b + 4*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + ((5*A*b^2 + 10*a*b*B + 2*a^2*C + 4*b^2*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(15*d) + (b*(5*b*B + 2*a*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (C*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 3, (1/8)*(8*a*b*B + 4*a^2*(2*A + C) + b^2*(4*A + 3*C))*x + ((4*a^2*b*B + 4*b^3*B - a^3*C + 4*a*b^2*(3*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(6*b*d) + ((12*A*b^2 + 8*a*b*B - 2*a^2*C + 9*b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + ((4*b*B - a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*b*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, (1/2)*(2*a^2*B + b^2*B + 2*a*b*(2*A + C))*x + (a^2*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((3*A*b^2 + 6*a*b*B + 2*a^2*C + 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (b*(3*b*B + 2*a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, (1/2)*(2*A*b^2 + 4*a*b*B + 2*a^2*C + b^2*C)*x + (a*(2*A*b + a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (b*(2*a*A - b*B - 2*a*C)*Sin[c + d*x])/d - (b^2*(2*A - C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, b*(b*B + 2*a*C)*x + ((2*A*b^2 + 4*a*b*B + a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b^2*(A - 2*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*(A*b + a*B)*Tan[c + d*x])/d + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, b^2*C*x + ((a^2*B + 2*b^2*B + 2*a*b*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((2*A*b^2 + 6*a*b*B + a^2*(2*A + 3*C))*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*(2*A*b + 3*a*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, ((8*a*b*B + 4*b^2*(A + 2*C) + a^2*(3*A + 4*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((4*a*A*b + 2*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((2*A*b^2 + 8*a*b*B + a^2*(3*A + 4*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*(A*b + 2*a*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(6*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, ((6*a*A*b + 3*a^2*B + 4*b^2*B + 8*a*b*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((20*a*b*B + 5*b^2*(2*A + 3*C) + 2*a^2*(4*A + 5*C))*Tan[c + d*x])/(15*d) + ((6*a*A*b + 3*a^2*B + 4*b^2*B + 8*a*b*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + ((2*A*b^2 + 10*a*b*B + a^2*(4*A + 5*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a*(2*A*b + 5*a*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (1/16)*(8*a^3*B + 18*a*b^2*B + 6*a^2*b*(4*A + 3*C) + b^3*(6*A + 5*C))*x + ((30*a^2*b*B + 8*b^3*B + 5*a^3*(3*A + 2*C) + 6*a*b^2*(5*A + 4*C))*Sin[c + d*x])/(15*d) + ((8*a^3*B + 18*a*b^2*B + 6*a^2*b*(4*A + 3*C) + b^3*(6*A + 5*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + ((12*a^2*b*B + 4*b^3*B + a^3*C + 3*a*b^2*(5*A + 4*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(15*d) + (b*(30*A*b^2 + 42*a*b*B + 6*a^2*C + 25*b^2*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(120*d) + ((2*b*B + a*C)*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(10*d) + (C*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 4, (1/8)*(12*a^2*b*B + 3*b^3*B + 4*a^3*(2*A + C) + 3*a*b^2*(4*A + 3*C))*x + ((15*a^3*b*B + 60*a*b^3*B - 3*a^4*C + 4*b^4*(5*A + 4*C) + 4*a^2*b^2*(20*A + 13*C))*Sin[c + d*x])/(30*b*d) + ((30*a^2*b*B + 45*b^3*B - 6*a^3*C + a*b^2*(100*A + 71*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(120*d) + ((4*b^2*(5*A + 4*C) + 3*a*(5*b*B - a*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(60*b*d) + ((5*b*B - a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*b*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (1/8)*(8*a^3*B + 12*a*b^2*B + 12*a^2*b*(2*A + C) + b^3*(4*A + 3*C))*x + (a^3*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((16*a^2*b*B + 4*b^3*B + 3*a^3*C + 6*a*b^2*(3*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(6*d) + (b*(12*A*b^2 + 20*a*b*B + 6*a^2*C + 9*b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + ((4*b*B + 3*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (1/2)*(6*a^2*b*B + b^3*B + 2*a^3*C + 3*a*b^2*(2*A + C))*x + (a^2*(3*A*b + a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b*(9*a*b*B - a^2*(6*A - 8*C) + b^2*(3*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(3*d) - (b^2*(6*a*A - 3*b*B - 5*a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) - (b*(3*A - C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, (1/2)*b*(2*A*b^2 + 6*a*b*B + 6*a^2*C + b^2*C)*x + (a*(6*A*b^2 + 6*a*b*B + a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b*(9*a*A*b + 4*a^2*B - 2*b^2*B - 6*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b^2*(4*A*b + 2*a*B - b*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + ((3*A*b + 2*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(2*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, b^2*(b*B + 3*a*C)*x + ((2*A*b^3 + a^3*B + 6*a*b^2*B + 3*a^2*b*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b^2*(5*A*b + 3*a*B - 6*b*C)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a*(3*A*b^2 + 6*a*b*B + a^2*(2*A + 3*C))*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((A*b + a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, b^3*C*x + ((12*a^2*b*B + 8*b^3*B + 12*a*b^2*(A + 2*C) + a^3*(3*A + 4*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((3*A*b^3 + 4*a^3*B + 16*a*b^2*B + 6*a^2*b*(2*A + 3*C))*Tan[c + d*x])/(6*d) + (a*(6*A*b^2 + 20*a*b*B + 3*a^2*(3*A + 4*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + ((3*A*b + 4*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(12*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, ((3*a^3*B + 12*a*b^2*B + 4*b^3*(A + 2*C) + 3*a^2*b*(3*A + 4*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((30*a^2*b*B + 15*b^3*B + 15*a*b^2*(2*A + 3*C) + 2*a^3*(4*A + 5*C))*Tan[c + d*x])/(15*d) + ((6*A*b^3 + 15*a^3*B + 50*a*b^2*B + 15*a^2*b*(3*A + 4*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(40*d) + (a*(3*A*b^2 + 15*a*b*B + 2*a^2*(4*A + 5*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(30*d) + ((3*A*b + 5*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 9, ((18*a^2*b*B + 8*b^3*B + 6*a*b^2*(3*A + 4*C) + a^3*(5*A + 6*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + ((8*a^3*B + 30*a*b^2*B + 5*b^3*(2*A + 3*C) + 6*a^2*b*(4*A + 5*C))*Tan[c + d*x])/(15*d) + ((18*a^2*b*B + 8*b^3*B + 6*a*b^2*(3*A + 4*C) + a^3*(5*A + 6*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + ((A*b^3 + 4*a^3*B + 12*a*b^2*B + 3*a^2*b*(4*A + 5*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a*(6*A*b^2 + 42*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 6*C))*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(120*d) + ((A*b + 2*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(10*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (1/16)*(8*a^4*B + 36*a^2*b^2*B + 5*b^4*B + 8*a^3*b*(4*A + 3*C) + 4*a*b^3*(6*A + 5*C))*x + ((280*a^3*b*B + 224*a*b^3*B + 35*a^4*(3*A + 2*C) + 84*a^2*b^2*(5*A + 4*C) + 8*b^4*(7*A + 6*C))*Sin[c + d*x])/(105*d) + ((8*a^4*B + 36*a^2*b^2*B + 5*b^4*B + 8*a^3*b*(4*A + 3*C) + 4*a*b^3*(6*A + 5*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + ((91*a^3*b*B + 112*a*b^3*B + 4*a^4*C + 4*b^4*(7*A + 6*C) + 3*a^2*b^2*(63*A + 50*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(105*d) + (b*(336*a^2*b*B + 175*b^3*B + 24*a^3*C + 4*a*b^2*(126*A + 103*C))*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(840*d) + ((14*A*b^2 + 21*a*b*B + 4*a^2*C + 12*b^2*C)*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(70*d) + ((7*b*B + 4*a*C)*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(42*d) + (C*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 5, (1/16)*(32*a^3*b*B + 24*a*b^3*B + 8*a^4*(2*A + C) + 12*a^2*b^2*(4*A + 3*C) + b^4*(6*A + 5*C))*x + ((24*a^4*b*B + 224*a^2*b^3*B + 32*b^5*B - 4*a^5*C + 32*a*b^4*(5*A + 4*C) + a^3*b^2*(190*A + 121*C))*Sin[c + d*x])/(60*b*d) + ((48*a^3*b*B + 232*a*b^3*B - 8*a^4*C + 15*b^4*(6*A + 5*C) + 2*a^2*b^2*(130*A + 89*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(240*d) + ((24*a^2*b*B + 32*b^3*B - 4*a^3*C + a*b^2*(70*A + 53*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(120*b*d) + ((5*b^2*(6*A + 5*C) + 4*a*(6*b*B - a*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(120*b*d) + ((6*b*B - a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(30*b*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^5*Sin[c + d*x])/(6*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 7, (1/8)*(8*a^4*B + 24*a^2*b^2*B + 3*b^4*B + 16*a^3*b*(2*A + C) + 4*a*b^3*(4*A + 3*C))*x + (a^4*A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((95*a^3*b*B + 80*a*b^3*B + 12*a^4*C + 4*b^4*(5*A + 4*C) + 2*a^2*b^2*(85*A + 56*C))*Sin[c + d*x])/(30*d) + (b*(130*a^2*b*B + 45*b^3*B + 24*a^3*C + 4*a*b^2*(40*A + 29*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(120*d) + ((20*A*b^2 + 35*a*b*B + 12*a^2*C + 16*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(60*d) + ((5*b*B + 4*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 7, (1/8)*(32*a^3*b*B + 16*a*b^3*B + 8*a^4*C + 24*a^2*b^2*(2*A + C) + b^4*(4*A + 3*C))*x + (a^3*(4*A*b + a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b*(34*a^2*b*B + 4*b^3*B - a^3*(12*A - 19*C) + 8*a*b^2*(3*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(6*d) + (b^2*(32*a*b*B - a^2*(24*A - 26*C) + 3*b^2*(4*A + 3*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) - (b*(12*a*A - 4*b*B - 7*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) - (b*(4*A - C)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 7, (1/2)*b*(12*a^2*b*B + b^3*B + 8*a^3*C + 4*a*b^2*(2*A + C))*x + (a^2*(12*A*b^2 + 8*a*b*B + a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b*(12*a^3*B - 24*a*b^2*B + a^2*b*(39*A - 34*C) - 2*b^3*(3*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(6*d) - (b^2*(6*a^2*B - 3*b^2*B + 2*a*b*(9*A - 4*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) - (b*(15*A*b + 6*a*B - 2*b*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(6*d) + ((2*A*b + a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/d + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 7, (1/2)*b^2*(2*A*b^2 + 8*a*b*B + 12*a^2*C + b^2*C)*x + (a*(8*A*b^3 + a^3*B + 12*a*b^2*B + 4*a^2*b*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b*(39*a^2*b*B - 6*b^3*B + 4*a*b^2*(11*A - 6*C) + 4*a^3*(2*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(6*d) - (b^2*(18*a*b*B + 3*b^2*(6*A - C) + a^2*(4*A + 6*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + ((12*A*b^2 + 15*a*b*B + a^2*(4*A + 6*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(6*d) + ((4*A*b + 3*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 7, b^3*(b*B + 4*a*C)*x + ((8*A*b^4 + 16*a^3*b*B + 32*a*b^3*B + 24*a^2*b^2*(A + 2*C) + a^4*(3*A + 4*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - (b^2*(32*a*b*B + 2*b^2*(13*A - 12*C) + 3*a^2*(3*A + 4*C))*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*(12*A*b^3 + 8*a^3*B + 36*a*b^2*B + a^2*b*(23*A + 36*C))*Tan[c + d*x])/(12*d) + ((4*A*b^2 + 8*a*b*B + a^2*(3*A + 4*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + ((A*b + a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 7, b^4*C*x + ((3*a^4*B + 24*a^2*b^2*B + 8*b^4*B + 16*a*b^3*(A + 2*C) + 4*a^3*b*(3*A + 4*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((12*A*b^4 + 80*a^3*b*B + 95*a*b^3*B + 4*a^4*(4*A + 5*C) + 2*a^2*b^2*(56*A + 85*C))*Tan[c + d*x])/(30*d) + (a*(24*A*b^3 + 45*a^3*B + 130*a*b^2*B + 4*a^2*b*(29*A + 40*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(120*d) + ((12*A*b^2 + 35*a*b*B + 4*a^2*(4*A + 5*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(60*d) + ((4*A*b + 5*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 9, ((24*a^3*b*B + 32*a*b^3*B + 8*b^4*(A + 2*C) + 12*a^2*b^2*(3*A + 4*C) + a^4*(5*A + 6*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + ((8*a^4*B + 60*a^2*b^2*B + 15*b^4*B + 20*a*b^3*(2*A + 3*C) + 8*a^3*b*(4*A + 5*C))*Tan[c + d*x])/(15*d) + ((24*A*b^4 + 360*a^3*b*B + 336*a*b^3*B + 15*a^4*(5*A + 6*C) + 10*a^2*b^2*(49*A + 66*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(240*d) + (a*(4*A*b^3 + 16*a^3*B + 36*a*b^2*B + a^2*b*(39*A + 50*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(60*d) + ((12*A*b^2 + 48*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 6*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(120*d) + ((2*A*b + 3*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(15*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Sec[c + d*x]^8*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 10, ((5*a^4*B + 36*a^2*b^2*B + 8*b^4*B + 8*a*b^3*(3*A + 4*C) + 4*a^3*b*(5*A + 6*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + ((224*a^3*b*B + 280*a*b^3*B + 35*b^4*(2*A + 3*C) + 84*a^2*b^2*(4*A + 5*C) + 8*a^4*(6*A + 7*C))*Tan[c + d*x])/(105*d) + ((5*a^4*B + 36*a^2*b^2*B + 8*b^4*B + 8*a*b^3*(3*A + 4*C) + 4*a^3*b*(5*A + 6*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + ((4*A*b^4 + 112*a^3*b*B + 91*a*b^3*B + 4*a^4*(6*A + 7*C) + 3*a^2*b^2*(50*A + 63*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(105*d) + (a*(24*A*b^3 + 175*a^3*B + 336*a*b^2*B + a^2*(412*A*b + 504*b*C))*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(840*d) + ((4*A*b^2 + 21*a*b*B + 2*a^2*(6*A + 7*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(70*d) + ((4*A*b + 7*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(42*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^6*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+
+
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Cos[c + d*x] + b^2*C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (1/8)*(8*a^4*b*B + 24*a^2*b^3*B + 3*b^5*B - 8*a^5*C - 8*a^3*b^2*C + 9*a*b^4*C)*x + (b*(95*a^3*b*B + 80*a*b^3*B - 83*a^4*C + 32*a^2*b^2*C + 16*b^4*C)*Sin[c + d*x])/(30*d) + (b^2*(130*a^2*b*B + 45*b^3*B - 106*a^3*C + 71*a*b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(120*d) + (b*(35*a*b*B - 23*a^2*C + 16*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(60*d) + (b*(5*b*B - a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (b*C*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Cos[c + d*x] + b^2*C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (1/8)*(8*a^3*b*B + 12*a*b^3*B - 8*a^4*C + 3*b^4*C)*x + (b*(16*a^2*b*B + 4*b^3*B - 13*a^3*C + 8*a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (b^2*(20*a*b*B - 14*a^2*C + 9*b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (b*(4*b*B - a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) + (b*C*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Cos[c + d*x] + b^2*C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x]), x, 3, (1/2)*(2*a^2*b*B + b^3*B - 2*a^3*C + a*b^2*C)*x + (2*b*(3*a*b*B - 2*a^2*C + b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (b^2*(3*b*B - a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (b*C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, -(((8*a^3*b*B + 4*a*b^3*B - 8*a^4*C - 4*a^2*b^2*(2*A + C) - b^4*(4*A + 3*C))*x)/(8*b^5)) - (2*a^3*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^5*Sqrt[a + b]*d) + ((3*a^2*b*B + 2*b^3*B - 3*a^3*C - a*b^2*(3*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(3*b^4*d) + ((4*A*b^2 - 4*a*b*B + 4*a^2*C + 3*b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*b^3*d) + ((b*B - a*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d) + (C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, ((2*a^2*b*B + b^3*B - 2*a^3*C - a*b^2*(2*A + C))*x)/(2*b^4) + (2*a^2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^4*Sqrt[a + b]*d) + ((3*A*b^2 - 3*a*b*B + 3*a^2*C + 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^3*d) + ((b*B - a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d) + (C*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, ((b^2*(2*A + C) - 2*a*(b*B - a*C))*x)/(2*b^3) - (2*a*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^3*Sqrt[a + b]*d) + ((b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(b^2*d) + (C*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 4, ((b*B - a*C)*x)/b^2 + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^2*Sqrt[a + b]*d) + (C*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 4, (C*x)/b - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*d) + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - ((A*b - a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (A*Tan[c + d*x])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, -((2*b*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)) + ((2*A*b^2 - 2*a*b*B + a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d) - ((A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(a^2*d) + (A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, (2*b^2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - ((2*A*b^3 - a^3*B - 2*a*b^2*B + a^2*b*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d) + ((3*A*b^2 - 3*a*b*B + a^2*(2*A + 3*C))*Tan[c + d*x])/(3*a^3*d) - ((A*b - a*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) + (A*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 8, -((2*b^3*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)) + ((8*A*b^4 - 4*a^3*b*B - 8*a*b^3*B + 4*a^2*b^2*(A + 2*C) + a^4*(3*A + 4*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*a^5*d) - ((3*A*b^3 - 2*a^3*B - 3*a*b^2*B + a^2*b*(2*A + 3*C))*Tan[c + d*x])/(3*a^4*d) + ((4*A*b^2 - 4*a*b*B + a^2*(3*A + 4*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*a^3*d) - ((A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) + (A*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, ((6*a^2*b*B + b^3*B - 8*a^3*C - 2*a*b^2*(2*A + C))*x)/(2*b^5) + (2*a^2*(2*a^2*A*b^2 - 3*A*b^4 - 3*a^3*b*B + 4*a*b^3*B + 4*a^4*C - 5*a^2*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^5*(a + b)^(3/2)*d) - ((9*a^3*b*B - 6*a*b^3*B - a^2*b^2*(6*A - 7*C) - 12*a^4*C + b^4*(3*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(3*b^4*(a^2 - b^2)*d) + ((3*a^2*b*B - b^3*B - 2*a*b^2*(A - C) - 4*a^3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)*d) + ((3*A*b^2 - 3*a*b*B + 4*a^2*C - b^2*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, ((2*A*b^2 - 4*a*b*B + 6*a^2*C + b^2*C)*x)/(2*b^4) - (2*a*(a^2*A*b^2 - 2*A*b^4 - 2*a^3*b*B + 3*a*b^3*B + 3*a^4*C - 4*a^2*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^4*(a + b)^(3/2)*d) + ((2*a^2*b*B - b^3*B - a*b^2*(A - 2*C) - 3*a^3*C)*Sin[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) + ((2*A*b^2 - 2*a*b*B + 3*a^2*C - b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, ((b*B - 2*a*C)*x)/b^3 - (2*(A*b^4 + a^3*b*B - 2*a*b^3*B - 2*a^4*C + 3*a^2*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) + (C*Sin[c + d*x])/(b^2*d) + (a*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, (C*x)/b^2 + (2*(a*A*b^2 - b^3*B - a^3*C + 2*a*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 5, -((2*(2*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B + a^2*b*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, (2*(3*a^2*A*b^2 - 2*A*b^4 - 2*a^3*b*B + a*b^3*B + a^4*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - ((2*A*b - a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - ((2*A*b^2 - a*b*B - a^2*(A - C))*Tan[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -((2*b*(4*a^2*A*b^2 - 3*A*b^4 - 3*a^3*b*B + 2*a*b^3*B + 2*a^4*C - a^2*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + ((6*A*b^2 - 4*a*b*B + a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d) + ((3*A*b^3 + a^3*B - 2*a*b^2*B - a^2*b*(2*A - C))*Tan[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) - ((3*A*b^2 - 2*a*b*B - a^2*(A - 2*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, (2*b^2*(5*a^2*A*b^2 - 4*A*b^4 - 4*a^3*b*B + 3*a*b^3*B + 3*a^4*C - 2*a^2*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - ((8*A*b^3 - a^3*B - 6*a*b^2*B + 2*a^2*b*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^5*d) - ((12*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 9*a*b^3*B - a^2*b^2*(7*A - 6*C) - a^4*(2*A + 3*C))*Tan[c + d*x])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d) + ((4*A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B - 2*a^2*b*(A - C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)*d) - ((4*A*b^2 - 3*a*b*B - a^2*(A - 3*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, ((2*A*b^2 - 6*a*b*B + 12*a^2*C + b^2*C)*x)/(2*b^5) - (a*(6*A*b^6 - 6*a^5*b*B + 15*a^3*b^3*B - 12*a*b^5*B + a^4*b^2*(2*A - 29*C) - 5*a^2*b^4*(A - 4*C) + 12*a^6*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^5*(a + b)^(5/2)*d) + ((6*a^4*b*B - 11*a^2*b^3*B + 2*b^5*B - a^3*b^2*(2*A - 21*C) + a*b^4*(5*A - 6*C) - 12*a^5*C)*Sin[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((3*a^3*b*B - 6*a*b^3*B - a^2*b^2*(A - 10*C) + b^4*(4*A - C) - 6*a^4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((3*A*b^4 + a*(2*a^2*b*B - 5*b^3*B - 4*a^3*C + 7*a*b^2*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, ((b*B - 3*a*C)*x)/b^4 + ((2*A*b^6 - 2*a^5*b*B + 5*a^3*b^3*B - 6*a*b^5*B + 6*a^6*C - 15*a^4*b^2*C + a^2*b^4*(A + 12*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^4*(a + b)^(5/2)*d) + ((A*b^2 - a*b*B + 3*a^2*C - 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (a*(2*A*b^4 + a^3*b*B - 4*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(A + 6*C))*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (C*x)/b^3 + ((a^2*b^3*B + 2*b^5*B - 2*a^5*C + 5*a^3*b^2*C - 3*a*b^4*(A + 2*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^3*(a + b)^(5/2)*d) + (a*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((2*A*b^4 + a^3*b*B - 4*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(A + 6*C))*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, -(((3*a*b*B - a^2*(2*A + C) - b^2*(A + 2*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((a^2*b*B + 2*b^3*B + a^3*C - a*b^2*(3*A + 4*C))*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 6, ((5*a^2*A*b^3 - 2*A*b^5 + 2*a^5*B + a^3*b^2*B - 3*a^4*b*(2*A + C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((2*A*b^4 + 3*a^3*b*B - a^4*C - a^2*b^2*(5*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -(((15*a^2*A*b^4 - 6*A*b^6 + 6*a^5*b*B - 5*a^3*b^3*B + 2*a*b^5*B - 2*a^6*C - a^4*b^2*(12*A + C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) - ((3*A*b - a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - ((11*a^2*A*b^2 - 6*A*b^4 - 5*a^3*b*B + 2*a*b^3*B - a^4*(2*A - 3*C))*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((3*A*b^4 + 4*a^3*b*B - a*b^3*B - 2*a^4*C - a^2*b^2*(6*A + C))*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -((b*(12*A*b^6 - 12*a^5*b*B + 15*a^3*b^3*B - 6*a*b^5*B - a^2*b^4*(29*A - 2*C) + 5*a^4*b^2*(4*A - C) + 6*a^6*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) + ((12*A*b^2 - 6*a*b*B + a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^5*d) - ((12*A*b^5 - 2*a^5*B + 11*a^3*b^2*B - 6*a*b^4*B + a^4*b*(6*A - 5*C) - a^2*b^3*(21*A - 2*C))*Tan[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((6*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 3*a*b^3*B + a^4*(A - 4*C) - a^2*b^2*(10*A - C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((7*a^2*A*b^2 - 4*A*b^4 - 5*a^3*b*B + 2*a*b^3*B + 3*a^4*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 8, ((2*A*b^2 - 8*a*b*B + 20*a^2*C + b^2*C)*x)/(2*b^6) + (a*(8*A*b^8 + 8*a^7*b*B - 28*a^5*b^3*B + 35*a^3*b^5*B - 20*a*b^7*B - a^6*b^2*(2*A - 69*C) + 7*a^4*b^4*(A - 12*C) - 8*a^2*b^6*(A - 5*C) - 20*a^8*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^6*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)^3*d) + ((24*a^6*b*B - 68*a^4*b^3*B + 65*a^2*b^5*B - 6*b^7*B - a^5*b^2*(6*A - 167*C) + a^3*b^4*(17*A - 146*C) - 2*a*b^6*(13*A - 12*C) - 60*a^7*C)*Sin[c + d*x])/(6*b^5*(a^2 - b^2)^3*d) - ((4*a^5*b*B - 11*a^3*b^3*B + 12*a*b^5*B - a^4*b^2*(A - 27*C) + a^2*b^4*(2*A - 23*C) - b^6*(6*A - C) - 10*a^6*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^3*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + ((4*A*b^4 + 2*a^3*b*B - 7*a*b^3*B - 5*a^4*C + a^2*b^2*(A + 10*C))*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((12*A*b^6 - 8*a^5*b*B + 20*a^3*b^3*B - 27*a*b^5*B + a^4*b^2*(2*A - 53*C) + 20*a^6*C + a^2*b^4*(A + 48*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 7, ((b*B - 4*a*C)*x)/b^5 - ((2*A*b^8 + 2*a^7*b*B - 7*a^5*b^3*B + 8*a^3*b^5*B - 8*a*b^7*B - 8*a^8*C + 28*a^6*b^2*C - 35*a^4*b^4*C + a^2*b^6*(3*A + 20*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*b^5*(a + b)^(7/2)*d) - ((5*A*b^4 + 3*a^3*b*B - 8*a*b^3*B - 12*a^4*C + 23*a^2*b^2*C - 6*b^4*C)*Sin[c + d*x])/(6*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + ((3*A*b^4 + a^3*b*B - 6*a*b^3*B - 4*a^4*C + a^2*b^2*(2*A + 9*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (a*(2*A*b^6 - a^5*b*B + 2*a^3*b^3*B - 6*a*b^5*B + 4*a^6*C - 11*a^4*b^2*C + 3*a^2*b^4*(A + 4*C))*Sin[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, (C*x)/b^4 - ((3*a^2*b^5*B + 2*b^7*B - a^3*b^4*(A - 8*C) + 2*a^7*C - 7*a^5*b^2*C - 4*a*b^6*(A + 2*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*b^4*(a + b)^(7/2)*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - (a*(2*A*b^4 - 5*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 8*C))*Sin[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((4*A*b^6 + a^3*b^3*B - 16*a*b^5*B + 9*a^6*C + 2*a^2*b^4*(7*A + 17*C) - a^4*b^2*(3*A + 28*C))*Sin[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, ((a^3*B + 4*a*b^2*B - b^3*(A + 2*C) - a^2*b*(4*A + 3*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) + (a*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + ((3*A*b^4 + a^3*b*B - 6*a*b^3*B - 4*a^4*C + a^2*b^2*(2*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((a^4*b*B - 10*a^2*b^3*B - 6*b^5*B + a^3*b^2*(2*A - 5*C) + 2*a^5*C + a*b^4*(13*A + 18*C))*Sin[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, -(((4*a^2*b*B + b^3*B - a^3*(2*A + C) - a*b^2*(3*A + 4*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + ((2*a^2*b*B + 3*b^3*B + a^3*C - a*b^2*(5*A + 6*C))*Sin[c + d*x])/(6*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((2*a^3*b*B + 13*a*b^3*B + a^4*C - 2*b^4*(2*A + 3*C) - a^2*b^2*(11*A + 10*C))*Sin[c + d*x])/(6*b*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 7, -(((7*a^2*A*b^5 - 2*A*b^7 - 2*a^7*B - 3*a^5*b^2*B - a^4*b^3*(8*A - C) + 4*a^6*b*(2*A + C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - ((3*A*b^4 + 5*a^3*b*B - 2*a^4*C - a^2*b^2*(8*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((17*a^2*A*b^4 - 6*A*b^6 + 11*a^5*b*B + 4*a^3*b^3*B - 2*a^6*C - 13*a^4*b^2*(2*A + C))*Sin[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 8, -(((35*a^4*A*b^4 - 28*a^2*A*b^6 + 8*A*b^8 + 8*a^7*b*B - 8*a^5*b^3*B + 7*a^3*b^5*B - 2*a*b^7*B - 2*a^8*C - a^6*b^2*(20*A + 3*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) - ((4*A*b - a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^5*d) + ((68*a^2*A*b^4 - 24*A*b^6 + 26*a^5*b*B - 17*a^3*b^3*B + 6*a*b^5*B + a^6*(6*A - 11*C) - a^4*b^2*(65*A + 4*C))*Tan[c + d*x])/(6*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - ((4*A*b^4 + 6*a^3*b*B - a*b^3*B - 3*a^4*C - a^2*b^2*(9*A + 2*C))*Tan[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((11*a^2*A*b^4 - 4*A*b^6 + 6*a^5*b*B - 2*a^3*b^3*B + a*b^5*B - 2*a^6*C - 3*a^4*b^2*(4*A + C))*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 9, (b*(20*A*b^8 + 20*a^7*b*B - 35*a^5*b^3*B + 28*a^3*b^5*B - 8*a*b^7*B - a^2*b^6*(69*A - 2*C) - 8*a^6*b^2*(5*A - C) + 7*a^4*b^4*(12*A - C) - 8*a^8*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^6*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)^3*d) + ((20*A*b^2 - 8*a*b*B + a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^6*d) + ((60*A*b^7 + 6*a^7*B - 65*a^5*b^2*B + 68*a^3*b^4*B - 24*a*b^6*B + a^4*b^3*(146*A - 17*C) - a^2*b^5*(167*A - 6*C) - a^6*(24*A*b - 26*b*C))*Tan[c + d*x])/(6*a^5*(a^2 - b^2)^3*d) - ((10*A*b^6 - 12*a^5*b*B + 11*a^3*b^3*B - 4*a*b^5*B - a^6*(A - 6*C) + a^4*b^2*(23*A - 2*C) - a^2*b^4*(27*A - C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - ((5*A*b^4 + 7*a^3*b*B - 2*a*b^3*B - 4*a^4*C - a^2*b^2*(10*A + C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((20*A*b^6 - 27*a^5*b*B + 20*a^3*b^3*B - 8*a*b^5*B - a^2*b^4*(53*A - 2*C) + 12*a^6*C + a^4*b^2*(48*A + C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Cos[c + d*x] + b^2*C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^1, x, 3, (b*B - a*C)*x + (b*C*Sin[c + d*x])/d}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Cos[c + d*x] + b^2*C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 4, C*x + (2*(b*B - 2*a*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Cos[c + d*x] + b^2*C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 5, (2*(a*b*B - a^2*C - b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - (b*(b*B - 2*a*C)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Cos[c + d*x] + b^2*C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4, x, 6, ((2*a^2*b*B + b^3*B - 2*a^3*C - 4*a*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (b*(b*B - 2*a*C)*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (b*(3*a*b*B - 4*a^2*C - 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Cos[c + d*x] + b^2*C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^5, x, 7, ((2*a^3*b*B + 3*a*b^3*B - 2*a^4*C - 7*a^2*b^2*C - b^4*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - (b*(b*B - 2*a*C)*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - (b*(5*a*b*B - 7*a^2*C - 3*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(6*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (b*(11*a^2*b*B + 4*b^3*B - 13*a^3*C - 17*a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(6*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x])^(n/2) (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 9, (2*(24*a^3*b*B + 57*a*b^3*B - 16*a^4*C - 6*a^2*b^2*(7*A + 4*C) + 21*b^4*(9*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^4*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(24*a^2*b*B + 75*b^3*B - 16*a^3*C - 6*a*b^2*(7*A + 6*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(24*a^2*b*B + 75*b^3*B - 16*a^3*C - 6*a*b^2*(7*A + 6*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*b^3*d) + (2*(63*A*b^2 - 36*a*b*B + 24*a^2*C + 49*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*b^3*d) + (2*(3*b*B - 2*a*C)*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 8, -((2*(14*a^2*b*B - 63*b^3*B - 8*a^3*C - a*b^2*(35*A + 19*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) - (2*(a^2 - b^2)*(35*A*b^2 - 14*a*b*B + 8*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(35*A*b^2 - 14*a*b*B + 8*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*b^2*d) + (2*(7*b*B - 4*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, (2*(3*b^2*(5*A + 3*C) + a*(5*b*B - 2*a*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(5*b*B - 2*a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(5*b*B - 2*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b*d) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 9, (2*(3*b*B + a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(3*A*b^2 - (a^2 - b^2)*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 9, -(((A - 2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((a*A + 2*b*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((A*b + 2*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 10, -(((A*b + 4*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((3*A*b + 4*a*B + 8*b*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((A*b^2 - 4*a*b*B - 4*a^2*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((A*b + 4*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*a*d) + (A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 11, ((3*A*b^2 - 6*a*b*B - 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(24*a^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - ((A*b^2 - 18*a*b*B - 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(24*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((A*b^3 + 8*a^3*B - 2*a*b^2*B + 4*a^2*b*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(8*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((3*A*b^2 - 6*a*b*B - 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(24*a^2*d) + ((A*b + 6*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*a*d) + (A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 10, (2*(88*a^4*b*B + 363*a^2*b^3*B + 1617*b^5*B - 48*a^5*C - 18*a^3*b^2*(11*A + 6*C) + 6*a*b^4*(451*A + 348*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3465*b^4*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(88*a^3*b*B + 429*a*b^3*B - 48*a^4*C - 18*a^2*b^2*(11*A + 8*C) + 75*b^4*(11*A + 9*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3465*b^4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(88*a^3*b*B + 429*a*b^3*B - 48*a^4*C - 18*a^2*b^2*(11*A + 8*C) + 75*b^4*(11*A + 9*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*b^3*d) + (2*(88*a^2*b*B + 539*b^3*B - 48*a^3*C - 6*a*b^2*(33*A + 34*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3465*b^3*d) + (2*(99*A*b^2 - 44*a*b*B + 24*a^2*C + 81*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*b^3*d) + (2*(11*b*B - 6*a*C)*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(99*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(11*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, -((2*(18*a^3*b*B - 246*a*b^3*B - 8*a^4*C - 21*b^4*(9*A + 7*C) - 3*a^2*b^2*(21*A + 11*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(a^2 - b^2)*(18*a^2*b*B - 75*b^3*B - 8*a^3*C - 3*a*b^2*(21*A + 13*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(18*a^2*b*B - 75*b^3*B - 8*a^3*C - 3*a*b^2*(21*A + 13*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*b^2*d) + (2*(63*A*b^2 - 18*a*b*B + 8*a^2*C + 49*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*b^2*d) + (2*(9*b*B - 4*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, (2*(21*a^2*b*B + 63*b^3*B - 6*a^3*C + 2*a*b^2*(70*A + 41*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(35*A*b^2 + 21*a*b*B - 6*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(35*A*b^2 + 21*a*b*B - 6*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*b*d) + (2*(7*b*B - 2*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*b*d) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 10, (2*(15*A*b^2 + 20*a*b*B + 3*a^2*C + 9*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(5*a^2*b*B - 5*b^3*B + 3*a^3*C - 3*a*b^2*(5*A + C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(5*b*B + 3*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 10, -(((3*a*A - 6*b*B - 8*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((6*a*b*B + a^2*(3*A - 2*C) + 2*b^2*(3*A + C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (a*(3*A*b + 2*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (b*(3*A - 2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 10, -(((5*A*b + 4*a*B - 8*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((4*a^2*B + 8*b^2*B + a*b*(7*A + 8*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A*b^2 + 12*a*b*B + 4*a^2*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A*b + 4*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 11, -(((3*A*b^2 + 30*a*b*B + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(24*a*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((42*a*b*B + 8*a^2*(2*A + 3*C) + b^2*(17*A + 48*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((A*b^3 - 8*a^3*B - 6*a*b^2*B - 12*a^2*b*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(8*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A*b^2 + 30*a*b*B + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(24*a*d) + ((A*b + 2*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 12, ((9*A*b^3 - 128*a^3*B - 24*a*b^2*B - 12*a^2*b*(13*A + 20*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(192*a^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - ((3*A*b^3 - 128*a^3*B - 136*a*b^2*B - 12*a^2*b*(19*A + 28*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(192*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A*b^4 + 96*a^3*b*B - 8*a*b^3*B + 24*a^2*b^2*(A + 2*C) + 16*a^4*(3*A + 4*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(64*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((9*A*b^3 - 128*a^3*B - 24*a*b^2*B - 12*a^2*b*(13*A + 20*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(192*a^2*d) + ((3*A*b^2 + 56*a*b*B + 12*a^2*(3*A + 4*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(96*a*d) + ((3*A*b + 8*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(24*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 11, (2*(520*a^5*b*B + 3315*a^3*b^3*B + 48165*a*b^5*B - 240*a^6*C + 1617*b^6*(13*A + 11*C) - 10*a^4*b^2*(143*A + 76*C) + 3*a^2*b^4*(13299*A + 10223*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(45045*b^4*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(520*a^4*b*B + 3705*a^2*b^3*B + 8775*b^5*B - 240*a^5*C - 10*a^3*b^2*(143*A + 94*C) + 6*a*b^4*(2717*A + 2174*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(45045*b^4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(520*a^4*b*B + 3705*a^2*b^3*B + 8775*b^5*B - 240*a^5*C - 10*a^3*b^2*(143*A + 94*C) + 6*a*b^4*(2717*A + 2174*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(45045*b^3*d) + (2*(520*a^3*b*B + 4355*a*b^3*B - 240*a^4*C + 539*b^4*(13*A + 11*C) - 10*a^2*b^2*(143*A + 124*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45045*b^3*d) + (2*(104*a^2*b*B + 1053*b^3*B - 48*a^3*C - 2*a*b^2*(143*A + 166*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9009*b^3*d) + (2*(143*A*b^2 - 52*a*b*B + 24*a^2*C + 121*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(1287*b^3*d) + (2*(13*b*B - 6*a*C)*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(143*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(13*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 10, -((2*(110*a^4*b*B - 3069*a^2*b^3*B - 1617*b^5*B - 40*a^5*C - 15*a^3*b^2*(33*A + 17*C) - 15*a*b^4*(319*A + 247*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3465*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(a^2 - b^2)*(110*a^3*b*B - 1254*a*b^3*B - 40*a^4*C - 75*b^4*(11*A + 9*C) - 15*a^2*b^2*(33*A + 19*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3465*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(110*a^3*b*B - 1254*a*b^3*B - 40*a^4*C - 75*b^4*(11*A + 9*C) - 15*a^2*b^2*(33*A + 19*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*b^2*d) - (2*(110*a^2*b*B - 539*b^3*B - 40*a^3*C - 5*a*b^2*(99*A + 67*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3465*b^2*d) + (2*(99*A*b^2 - 22*a*b*B + 8*a^2*C + 81*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*b^2*d) + (2*(11*b*B - 4*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(99*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(11*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, (2*(45*a^3*b*B + 435*a*b^3*B - 10*a^4*C + 21*b^4*(9*A + 7*C) + 3*a^2*b^2*(161*A + 93*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(45*a^2*b*B + 75*b^3*B - 10*a^3*C + 6*a*b^2*(28*A + 19*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(315*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(45*a^2*b*B + 75*b^3*B - 10*a^3*C + 6*a*b^2*(28*A + 19*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*b*d) + (2*(63*A*b^2 + 45*a*b*B - 10*a^2*C + 49*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*b*d) + (2*(9*b*B - 2*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*b*d) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 11, (2*(161*a^2*b*B + 63*b^3*B + 15*a^3*C + 5*a*b^2*(49*A + 29*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(56*a^3*b*B - 56*a*b^3*B - 10*a^2*b^2*(7*A - C) + 15*a^4*C - 5*b^4*(7*A + 5*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(35*A*b^2 + 56*a*b*B + 15*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(7*b*B + 5*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 11, ((70*a*b*B - a^2*(15*A - 46*C) + 6*b^2*(5*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + ((20*a^2*b*B + 10*b^3*B + a^3*(15*A - 16*C) + 4*a*b^2*(15*A + 4*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (a^2*(5*A*b + 2*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (b*(15*a*A - 10*b*B - 16*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) - (b*(5*A - 2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 11, -(((12*a^2*B - 24*b^2*B + a*b*(27*A - 56*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(12*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((12*a^3*B + 48*a*b^2*B + 8*b^3*(3*A + C) + a^2*b*(33*A + 16*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(12*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (a*(15*A*b^2 + 20*a*b*B + 4*a^2*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (b*(21*A*b + 12*a*B - 8*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d) + ((5*A*b + 4*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(4*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 11, -(((54*a*b*B + 3*b^2*(11*A - 16*C) + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((66*a^2*b*B + 48*b^3*B + 8*a^3*(2*A + 3*C) + a*b^2*(59*A + 96*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((5*A*b^3 + 8*a^3*B + 30*a*b^2*B + 20*a^2*b*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(8*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((15*A*b^2 + 42*a*b*B + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(24*d) + ((5*A*b + 6*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 12, -(((15*A*b^3 + 128*a^3*B + 264*a*b^2*B + 4*a^2*b*(71*A + 108*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(192*a*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((128*a^3*B + 472*a*b^2*B + 4*a^2*b*(89*A + 132*C) + b^3*(133*A + 384*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(192*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((5*A*b^4 - 160*a^3*b*B - 40*a*b^3*B - 120*a^2*b^2*(A + 2*C) - 16*a^4*(3*A + 4*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(64*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((15*A*b^3 + 128*a^3*B + 264*a*b^2*B + 4*a^2*b*(71*A + 108*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(192*a*d) + ((5*A*b^2 + 24*a*b*B + 4*a^2*(3*A + 4*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(32*d) + ((5*A*b + 8*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(24*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 13, ((45*A*b^4 - 2840*a^3*b*B - 150*a*b^3*B - 256*a^4*(4*A + 5*C) - 12*a^2*b^2*(141*A + 220*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(1920*a^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - ((15*A*b^4 - 3560*a^3*b*B - 1330*a*b^3*B - 256*a^4*(4*A + 5*C) - 4*a^2*b^2*(809*A + 1180*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(1920*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A*b^5 + 96*a^5*B + 240*a^3*b^2*B - 10*a*b^4*B + 40*a^2*b^3*(A + 2*C) + 80*a^4*b*(3*A + 4*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(128*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((45*A*b^4 - 2840*a^3*b*B - 150*a*b^3*B - 256*a^4*(4*A + 5*C) - 12*a^2*b^2*(141*A + 220*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(1920*a^2*d) + ((15*A*b^3 + 360*a^3*B + 590*a*b^2*B + 4*a^2*b*(193*A + 260*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(960*a*d) + ((15*A*b^2 + 110*a*b*B + 16*a^2*(4*A + 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(240*d) + ((A*b + 2*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(8*d) + (A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+
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+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Cos[c + d*x] + b^2*C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, (2*(161*a^2*b*B + 63*b^3*B - 146*a^3*C + 82*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(56*a*b*B - 41*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*(56*a*b*B - 41*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*b*(7*b*B - 2*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*b*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Cos[c + d*x] + b^2*C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 8, (2*(20*a*b*B - 17*a^2*C + 9*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*(5*b*B - 2*a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*(5*b*B - 2*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*b*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 8, (2*(56*a^2*b*B + 63*b^3*B - 48*a^3*C - 2*a*b^2*(35*A + 22*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^4*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(56*a^3*b*B + 49*a*b^3*B - 48*a^4*C - 5*b^4*(7*A + 5*C) - 2*a^2*b^2*(35*A + 16*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(105*b^4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(35*A*b^2 - 28*a*b*B + 24*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*b^3*d) + (2*(7*b*B - 6*a*C)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, (2*(15*A*b^2 - 10*a*b*B + 8*a^2*C + 9*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(10*a^2*b*B + 5*b^3*B - 8*a^3*C - a*b^2*(15*A + 7*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(5*b*B - 4*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 6, (2*(3*b*B - 2*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(3*A*b^2 - 3*a*b*B + 2*a^2*C + b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 8, (2*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(b*B - a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 9, -((A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((A + 2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((A*b - 2*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 10, ((3*A*b - 4*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - ((A*b - 4*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((3*A*b^2 - 4*a*b*B + 4*a^2*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((3*A*b - 4*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d) + (A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 11, -(((15*A*b^2 - 18*a*b*B + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(24*a^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + ((5*A*b^2 - 6*a*b*B + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(24*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((5*A*b^3 - 8*a^3*B - 6*a*b^2*B + 4*a^2*b*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(8*a^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((15*A*b^2 - 18*a*b*B + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(24*a^3*d) - ((5*A*b - 6*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*a^2*d) + (A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((2*(40*a^3*b*B - 25*a*b^3*B - 6*a^2*b^2*(5*A - 4*C) - 48*a^4*C + 3*b^4*(5*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(40*a^2*b*B + 5*b^3*B - 48*a^3*C - 6*a*b^2*(5*A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(20*a^2*b*B - 5*b^3*B - 3*a*b^2*(5*A - 3*C) - 24*a^3*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b^3*(a^2 - b^2)*d) + (2*(5*A*b^2 - 5*a*b*B + 6*a^2*C - b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*(6*a^2*b*B - 3*b^3*B - a*b^2*(3*A - 5*C) - 8*a^3*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(3*A*b^2 - 6*a*b*B + 8*a^2*C + b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*(A*b^2 - a*b*B + 2*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(b*B - 2*a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, -((2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*C*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 10, ((3*A*b^2 - 2*a*b*B - a^2*(A - 2*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((3*A*b - 2*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (b*(3*A*b^2 - 2*a*b*B - a^2*(A - 2*C))*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (A*Tan[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 11, -(((15*A*b^3 + 4*a^3*B - 12*a*b^2*B - a^2*(7*A*b - 8*b*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) - ((5*A*b - 4*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((15*A*b^2 - 12*a*b*B + 4*a^2*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (b*(15*A*b^3 + 4*a^3*B - 12*a*b^2*B - a^2*(7*A*b - 8*b*C))*Sin[c + d*x])/(4*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((5*A*b - 4*a*B)*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((2*(80*a^5*b*B - 140*a^3*b^3*B + 40*a*b^5*B - 4*a^4*b^2*(10*A - 53*C) + 5*a^2*b^4*(15*A - 11*C) - 128*a^6*C - 3*b^6*(5*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^5*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(80*a^4*b*B - 80*a^2*b^3*B - 5*b^5*B - 4*a^3*b^2*(10*A - 29*C) - 128*a^5*C + a*b^4*(45*A + 17*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^5*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(6*A*b^4 + 5*a^3*b*B - 9*a*b^3*B - 2*a^2*b^2*(A - 6*C) - 8*a^4*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(40*a^4*b*B - 65*a^2*b^3*B + 5*b^5*B - 2*a^3*b^2*(10*A - 49*C) + 2*a*b^4*(20*A - 7*C) - 64*a^5*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - (2*(30*a^3*b*B - 50*a*b^3*B - a^2*b^2*(15*A - 71*C) + b^4*(35*A - 3*C) - 48*a^4*C)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*b^3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, (2*(8*a^4*b*B - 15*a^2*b^3*B + 3*b^5*B - 2*a^3*b^2*(A - 14*C) + 2*a*b^4*(3*A - 4*C) - 16*a^5*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(8*a^3*b*B - 9*a*b^3*B - 2*a^2*b^2*(A - 8*C) - 16*a^4*C + b^4*(3*A + C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*a*(4*A*b^4 + a*(3*a^2*b*B - 7*b^3*B - 6*a^3*C + 10*a*b^2*C))*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 - a*b*B + 2*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((2*(2*a^3*b*B - 6*a*b^3*B + 3*b^4*(A - C) - 8*a^4*C + a^2*b^2*(A + 15*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(2*a^2*b*B - 3*b^3*B - 8*a^3*C + a*b^2*(A + 9*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(3*A*b^4 + 2*a^3*b*B - 6*a*b^3*B - 5*a^4*C + a^2*b^2*(A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^0*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((2*(a^2*b*B + 3*b^3*B + 2*a^3*C - 2*a*b^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) - (2*(A*b^2 - a*b*B - 2*a^2*C + 3*b^2*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(a^2*b*B + 3*b^3*B + 2*a^3*C - 2*a*b^2*(2*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 10, (2*(3*A*b^4 + 4*a^3*b*B - a^4*C - a^2*b^2*(7*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*a^2*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*a*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*(3*A*b^4 + 4*a^3*b*B - a^4*C - a^2*b^2*(7*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 11, ((26*a^2*A*b^2 - 15*A*b^4 - 14*a^3*b*B + 6*a*b^3*B - a^4*(3*A - 8*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - ((5*A*b^2 - 2*a*b*B - a^2*(3*A - 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((5*A*b - 2*a*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(a^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (b*(5*A*b^2 - 2*a*b*B - a^2*(3*A - 2*C))*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (b*(26*a^2*A*b^2 - 15*A*b^4 - 14*a^3*b*B + 6*a*b^3*B - a^4*(3*A - 8*C))*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (A*Tan[c + d*x])/(a*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 12, ((105*A*b^5 - 12*a^5*B + 104*a^3*b^2*B - 60*a*b^4*B + a^4*b*(33*A - 56*C) - 2*a^2*b^3*(85*A - 12*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(12*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + ((35*A*b^3 + 12*a^3*B - 20*a*b^2*B - a^2*(27*A*b - 8*b*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(12*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((35*A*b^2 - 20*a*b*B + 4*a^2*(A + 2*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(4*a^4*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (b*(35*A*b^3 + 12*a^3*B - 20*a*b^2*B - a^2*(27*A*b - 8*b*C))*Sin[c + d*x])/(12*a^3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (b*(105*A*b^5 - 12*a^5*B + 104*a^3*b^2*B - 60*a*b^4*B + a^4*b*(33*A - 56*C) - 2*a^2*b^3*(85*A - 12*C))*Sin[c + d*x])/(12*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((7*A*b - 4*a*B)*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (A*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 8, -((2*(3*a^3*b*B + 29*a*b^3*B + 2*a^4*C - 3*b^4*(3*A + 5*C) - a^2*b^2*(23*A + 19*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^2*(a^2 - b^2)^3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)])) + (2*(3*a^2*b*B + 5*b^3*B + 2*a^3*C - 2*a*b^2*(4*A + 5*C))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(15*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(5*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*(3*a^2*b*B + 5*b^3*B + 2*a^3*C - 2*a*b^2*(4*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(15*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(3*a^3*b*B + 29*a*b^3*B + 2*a^4*C - 3*b^4*(3*A + 5*C) - a^2*b^2*(23*A + 19*C))*Sin[c + d*x])/(15*b*(a^2 - b^2)^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Cos[c + d*x] + b^2*C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(1/2), x, 7, (2*(3*b*B - 2*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(a^2 - b^2)*C*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Cos[c + d*x] + b^2*C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(b*B - 2*a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Cos[c + d*x] + b^2*C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*(b*B - 2*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*C*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*b*(b*B - 2*a*C)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Cos[c + d*x] + b^2*C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 8, (2*(4*a*b*B - 5*a^2*C - 3*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(b*B - 2*a*C)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*b*(b*B - 2*a*C)*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*b*(4*a*b*B - 5*a^2*C - 3*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(m/2) (a+b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (2*(9*A*b + 9*a*B + 7*b*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (2*(7*a*A + 5*b*B + 5*a*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*(7*a*A + 5*b*B + 5*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(9*A*b + 9*a*B + 7*b*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*(b*B + a*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*b*C*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 6, (2*(5*a*A + 3*b*B + 3*a*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*(7*A*b + 7*a*B + 5*b*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*(7*A*b + 7*a*B + 5*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(b*B + a*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*b*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 5, (2*(5*A*b + 5*a*B + 3*b*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*(b*B + a*(3*A + C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*(b*B + a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*b*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 5, (2*(b*B - a*(A - C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*(3*A*b + 3*a*B + b*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 5, (-2*(A*b + a*B - b*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*(3*b*B + a*(A + 3*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 6, (-2*(3*a*A + 5*b*B + 5*a*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*(A*b + a*B + 3*b*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(3*a*A + 5*b*B + 5*a*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 7, (-2*(3*A*b + 3*a*B + 5*b*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*(5*a*A + 7*b*B + 7*a*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(5*a*A + 7*b*B + 7*a*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(3*A*b + 3*a*B + 5*b*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (2*(18*a*A*b + 9*a^2*B + 7*b^2*B + 14*a*b*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (2*(110*a*b*B + 11*a^2*(7*A + 5*C) + 5*b^2*(11*A + 9*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (2*(110*a*b*B + 11*a^2*(7*A + 5*C) + 5*b^2*(11*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*(18*a*A*b + 9*a^2*B + 7*b^2*B + 14*a*b*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*(11*A*b^2 + 22*a*b*B + 4*a^2*C + 9*b^2*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(77*d) + (2*b*(11*b*B + 4*a*C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 7, (2*(18*a*b*B + 3*a^2*(5*A + 3*C) + b^2*(9*A + 7*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (2*(14*a*A*b + 7*a^2*B + 5*b^2*B + 10*a*b*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*(14*a*A*b + 7*a^2*B + 5*b^2*B + 10*a*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(9*A*b^2 + 18*a*b*B + 4*a^2*C + 7*b^2*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*b*(9*b*B + 4*a*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 6, (2*(10*a*A*b + 5*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*(14*a*b*B + 7*a^2*(3*A + C) + b^2*(7*A + 5*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*(7*A*b^2 + 14*a*b*B + 4*a^2*C + 5*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*b*(7*b*B + 4*a*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 6, (2*(10*a*b*B - 5*a^2*(A - C) + b^2*(5*A + 3*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*(3*a^2*B + b^2*B + 2*a*b*(3*A + C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) - (2*b*(6*a*A - b*B - 2*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) - (2*b^2*(5*A - C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 6, (-2*(a^2*B - b^2*B + 2*a*b*(A - C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*(6*a*b*B + b^2*(3*A + C) + a^2*(A + 3*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*(4*A*b + 3*a*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*b^2*(A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 6, (-2*(10*a*b*B + 5*b^2*(A - C) + a^2*(3*A + 5*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*(a^2*B + 3*b^2*B + 2*a*b*(A + 3*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*(4*A*b + 5*a*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(4*A*b^2 + 10*a*b*B + a^2*(3*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 7, (-2*(6*a*A*b + 3*a^2*B + 5*b^2*B + 10*a*b*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*(14*a*b*B + 7*b^2*(A + 3*C) + a^2*(5*A + 7*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a*(4*A*b + 7*a*B)*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(4*A*b^2 + 14*a*b*B + a^2*(5*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(6*a*A*b + 3*a^2*B + 5*b^2*B + 10*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 8, (-2*(18*a*b*B + 3*b^2*(3*A + 5*C) + a^2*(7*A + 9*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (2*(10*a*A*b + 5*a^2*B + 7*b^2*B + 14*a*b*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a*(4*A*b + 9*a*B)*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(4*A*b^2 + 18*a*b*B + a^2*(7*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(45*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(10*a*A*b + 5*a^2*B + 7*b^2*B + 14*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(18*a*b*B + 3*b^2*(3*A + 5*C) + a^2*(7*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, (2*(27*a^2*b*B + 7*b^3*B + 3*a^3*(5*A + 3*C) + 3*a*b^2*(9*A + 7*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (2*(77*a^3*B + 165*a*b^2*B + 33*a^2*b*(7*A + 5*C) + 5*b^3*(11*A + 9*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (2*(77*a^3*B + 165*a*b^2*B + 33*a^2*b*(7*A + 5*C) + 5*b^3*(11*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*(242*a^2*b*B + 77*b^3*B + 24*a^3*C + 33*a*b^2*(9*A + 7*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(495*d) + (2*b*(99*A*b^2 + 143*a*b*B + 24*a^2*C + 81*b^2*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*(11*b*B + 6*a*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 7, (2*(15*a^3*B + 27*a*b^2*B + 9*a^2*b*(5*A + 3*C) + b^3*(9*A + 7*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (2*(21*a^2*b*B + 5*b^3*B + 7*a^3*(3*A + C) + 3*a*b^2*(7*A + 5*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*(54*a^2*b*B + 15*b^3*B + 8*a^3*C + 9*a*b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*b*(63*A*b^2 + 99*a*b*B + 24*a^2*C + 49*b^2*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*(3*b*B + 2*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 7, (2*(15*a^2*b*B + 3*b^3*B - 5*a^3*(A - C) + 3*a*b^2*(5*A + 3*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*(21*a^3*B + 21*a*b^2*B + 21*a^2*b*(3*A + C) + b^3*(7*A + 5*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*b*(21*a*b*B - 6*a^2*(7*A - 3*C) + b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) - (2*b^2*(35*a*A - 7*b*B - 11*a*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) - (2*b*(7*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 7, (-2*(5*a^3*B - 15*a*b^2*B + 15*a^2*b*(A - C) - b^3*(5*A + 3*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*(9*a^2*b*B + b^3*B + 3*a*b^2*(3*A + C) + a^3*(A + 3*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) - (2*b*(6*a^2*B - b^2*B + 3*a*b*(5*A - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) - (2*b^2*(35*A*b + 15*a*B - 3*b*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(2*A*b + a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 7, (-2*(15*a^2*b*B - 5*b^3*B + 15*a*b^2*(A - C) + a^3*(3*A + 5*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*(a^3*B + 9*a*b^2*B + b^3*(3*A + C) + 3*a^2*b*(A + 3*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*(24*A*b^2 + 35*a*b*B + 3*a^2*(3*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*b^2*(9*A*b + 5*a*B - 5*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(6*A*b + 5*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 7, (-2*(3*a^3*B + 15*a*b^2*B + 5*b^3*(A - C) + 3*a^2*b*(3*A + 5*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*(21*a^2*b*B + 21*b^3*B + 21*a*b^2*(A + 3*C) + a^3*(5*A + 7*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a*(24*A*b^2 + 63*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(24*A*b^3 + 21*a^3*B + 98*a*b^2*B + 21*a^2*b*(3*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(6*A*b + 7*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 8, (-2*(27*a^2*b*B + 15*b^3*B + 9*a*b^2*(3*A + 5*C) + a^3*(7*A + 9*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (2*(5*a^3*B + 21*a*b^2*B + 7*b^3*(A + 3*C) + 3*a^2*b*(5*A + 7*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a*(24*A*b^2 + 99*a*b*B + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(8*A*b^3 + 15*a^3*B + 54*a*b^2*B + 9*a^2*b*(5*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(27*a^2*b*B + 15*b^3*B + 9*a*b^2*(3*A + 5*C) + a^3*(7*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(2*A*b + 3*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, (2*(468*a^3*b*B + 364*a*b^3*B + 39*a^4*(5*A + 3*C) + 78*a^2*b^2*(9*A + 7*C) + 7*b^4*(13*A + 11*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(195*d) + (2*(77*a^4*B + 330*a^2*b^2*B + 45*b^4*B + 44*a^3*b*(7*A + 5*C) + 20*a*b^3*(11*A + 9*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (2*(77*a^4*B + 330*a^2*b^2*B + 45*b^4*B + 44*a^3*b*(7*A + 5*C) + 20*a*b^3*(11*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*(3458*a^3*b*B + 4004*a*b^3*B + 192*a^4*C + 77*b^4*(13*A + 11*C) + 11*a^2*b^2*(637*A + 491*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6435*d) + (2*b*(2171*a^2*b*B + 1053*b^3*B + 192*a^3*C + 2*a*b^2*(1573*A + 1259*C))*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9009*d) + (2*(143*A*b^2 + 221*a*b*B + 48*a^2*C + 121*b^2*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(1287*d) + (2*(13*b*B + 8*a*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(143*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(13*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 8, (2*(15*a^4*B + 54*a^2*b^2*B + 7*b^4*B + 12*a^3*b*(5*A + 3*C) + 4*a*b^3*(9*A + 7*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (2*(308*a^3*b*B + 220*a*b^3*B + 77*a^4*(3*A + C) + 66*a^2*b^2*(7*A + 5*C) + 5*b^4*(11*A + 9*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (2*(682*a^3*b*B + 660*a*b^3*B + 64*a^4*C + 15*b^4*(11*A + 9*C) + 9*a^2*b^2*(143*A + 101*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*b*(1353*a^2*b*B + 539*b^3*B + 192*a^3*C + 2*a*b^2*(891*A + 673*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3465*d) + (2*(33*A*b^2 + 55*a*b*B + 16*a^2*C + 27*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*(11*b*B + 8*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 8, (2*(60*a^3*b*B + 36*a*b^3*B - 15*a^4*(A - C) + 18*a^2*b^2*(5*A + 3*C) + b^4*(9*A + 7*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (2*(21*a^4*B + 42*a^2*b^2*B + 5*b^4*B + 28*a^3*b*(3*A + C) + 4*a*b^3*(7*A + 5*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*b*(117*a^2*b*B + 15*b^3*B - a^3*(126*A - 62*C) + 12*a*b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*b^2*(162*a*b*B - a^2*(315*A - 123*C) + 7*b^2*(9*A + 7*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) - (2*b*(21*a*A - 3*b*B - 5*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*d) - (2*b*(9*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 8, (-2*(5*a^4*B - 30*a^2*b^2*B - 3*b^4*B + 20*a^3*b*(A - C) - 4*a*b^3*(5*A + 3*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*(84*a^3*b*B + 28*a*b^3*B + 42*a^2*b^2*(3*A + C) + 7*a^4*(A + 3*C) + b^4*(7*A + 5*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) - (2*b*(42*a^3*B - 28*a*b^2*B + 3*a^2*b*(49*A - 13*C) - b^3*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) - (2*b^2*(350*a*A*b + 105*a^2*B - 21*b^2*B - 54*a*b*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) - (2*b*(21*A*b + 7*a*B - b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*(8*A*b + 3*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 8, (-2*(20*a^3*b*B - 20*a*b^3*B + 30*a^2*b^2*(A - C) - b^4*(5*A + 3*C) + a^4*(3*A + 5*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*(a^4*B + 18*a^2*b^2*B + b^4*B + 4*a*b^3*(3*A + C) + 4*a^3*b*(A + 3*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) - (2*b*(105*a^2*b*B - 5*b^3*B + 4*a*b^2*(33*A - 5*C) + 6*a^3*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) - (2*b^2*(50*a*b*B + b^2*(59*A - 3*C) + 3*a^2*(3*A + 5*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(16*A*b^2 + 15*a*b*B + a^2*(3*A + 5*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(8*A*b + 5*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 8, (-2*(3*a^4*B + 30*a^2*b^2*B - 5*b^4*B + 20*a*b^3*(A - C) + 4*a^3*b*(3*A + 5*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*(28*a^3*b*B + 84*a*b^3*B + 7*b^4*(3*A + C) + 42*a^2*b^2*(A + 3*C) + a^4*(5*A + 7*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a*(192*A*b^3 + 63*a^3*B + 413*a*b^2*B + a^2*(202*A*b + 350*b*C))*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*b^2*(98*a*b*B + b^2*(87*A - 35*C) + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(48*A*b^2 + 77*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 7*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(8*A*b + 7*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 8, (-2*(36*a^3*b*B + 60*a*b^3*B + 15*b^4*(A - C) + 18*a^2*b^2*(3*A + 5*C) + a^4*(7*A + 9*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (2*(5*a^4*B + 42*a^2*b^2*B + 21*b^4*B + 28*a*b^3*(A + 3*C) + 4*a^3*b*(5*A + 7*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a*(64*A*b^3 + 75*a^3*B + 261*a*b^2*B + a^2*(202*A*b + 294*b*C))*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(192*A*b^4 + 756*a^3*b*B + 1098*a*b^3*B + 21*a^4*(7*A + 9*C) + 7*a^2*b^2*(155*A + 261*C))*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(48*A*b^2 + 117*a*b*B + 7*a^2*(7*A + 9*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(8*A*b + 9*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(13/2), x, 9, (-2*(7*a^4*B + 54*a^2*b^2*B + 15*b^4*B + 12*a*b^3*(3*A + 5*C) + 4*a^3*b*(7*A + 9*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (2*(220*a^3*b*B + 308*a*b^3*B + 77*b^4*(A + 3*C) + 66*a^2*b^2*(5*A + 7*C) + 5*a^4*(9*A + 11*C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (2*a*(192*A*b^3 + 539*a^3*B + 1353*a*b^2*B + 2*a^2*b*(673*A + 891*C))*Sin[c + d*x])/(3465*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(64*A*b^4 + 660*a^3*b*B + 682*a*b^3*B + 15*a^4*(9*A + 11*C) + 9*a^2*b^2*(101*A + 143*C))*Sin[c + d*x])/(693*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(7*a^4*B + 54*a^2*b^2*B + 15*b^4*B + 12*a*b^3*(3*A + 5*C) + 4*a^3*b*(7*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(16*A*b^2 + 55*a*b*B + 3*a^2*(9*A + 11*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(231*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(8*A*b + 11*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(99*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(11*d*Cos[c + d*x]^(11/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
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+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 8, (2*(5*a^2*b*B + 3*b^3*B - 5*a^3*C - a*b^2*(5*A + 3*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^4*d) - (2*(21*a^3*b*B + 7*a*b^3*B - 21*a^4*C - 7*a^2*b^2*(3*A + C) - b^4*(7*A + 5*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*b^5*d) - (2*a^3*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^5*(a + b)*d) + (2*(7*A*b^2 - 7*a*b*B + 7*a^2*C + 5*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*b^3*d) + (2*(b*B - a*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, (2*(5*A*b^2 - 5*a*b*B + 5*a^2*C + 3*b^2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d) + (2*(3*a^2*b*B + b^3*B - 3*a^3*C - a*b^2*(3*A + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^4*d) + (2*a^2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^4*(a + b)*d) + (2*(b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, (2*(b*B - a*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d) + (2*(b^2*(3*A + C) - 3*a*(b*B - a*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^3*d) - (2*a*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*(a + b)*d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 5, (2*C*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d) + (2*(b*B - a*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*(a + b)*d)}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, -((2*A*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d)) + (2*C*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a*b*(a + b)*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, (2*(A*b - a*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d) + (2*A*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a*d) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a + b)*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 8, -((2*(5*A*b^2 - 5*a*b*B + a^2*(3*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a^3*d)) - (2*(A*b - a*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) - (2*b*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a + b)*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - (2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*A*b^2 - 5*a*b*B + a^2*(3*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(5*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-9/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 9, (2*(5*A*b^3 - 3*a^3*B - 5*a*b^2*B + a^2*b*(3*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a^4*d) + (2*(7*A*b^2 - 7*a*b*B + a^2*(5*A + 7*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*a^3*d) + (2*b^2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^4*(a + b)*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(7*a*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) - (2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(5*a^2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(7*A*b^2 - 7*a*b*B + a^2*(5*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(21*a^3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (2*(5*A*b^3 - 3*a^3*B - 5*a*b^2*B + a^2*b*(3*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(5*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, -(((25*a^3*b*B - 20*a*b^3*B - 3*a^2*b^2*(5*A - 8*C) - 35*a^4*C + 2*b^4*(5*A + 3*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^4*(a^2 - b^2)*d)) + ((15*a^4*b*B - 16*a^2*b^3*B - 2*b^5*B - a^3*b^2*(9*A - 20*C) - 21*a^5*C + 4*a*b^4*(3*A + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^5*(a^2 - b^2)*d) - (a^2*(5*A*b^4 + 5*a^3*b*B - 7*a*b^3*B - 3*a^2*b^2*(A - 3*C) - 7*a^4*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a - b)*b^5*(a + b)^2*d) + ((5*a^2*b*B - 2*b^3*B - a*b^2*(3*A - 4*C) - 7*a^3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d) + ((5*A*b^2 - 5*a*b*B + 7*a^2*C - 2*b^2*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, ((3*a^2*b*B - 2*b^3*B - a*b^2*(A - 4*C) - 5*a^3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((9*a^3*b*B - 12*a*b^3*B - a^2*b^2*(3*A - 16*C) - 15*a^4*C + 2*b^4*(3*A + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^4*(a^2 - b^2)*d) + (a*(3*A*b^4 + 3*a^3*b*B - 5*a*b^3*B - a^2*b^2*(A - 7*C) - 5*a^4*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a - b)*b^4*(a + b)^2*d) + ((3*A*b^2 - 3*a*b*B + 5*a^2*C - 2*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, ((A*b^2 - a*b*B + 3*a^2*C - 2*b^2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) + ((a^2*b*B - 2*b^3*B - 3*a^3*C + a*b^2*(A + 4*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^4 + a^3*b*B - 3*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(A + 5*C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a - b)*b^3*(a + b)^2*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, -(((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*b*(a^2 - b^2)*d)) - ((A*b^2 - a*b*B - a^2*C + 2*b^2*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^4 + a^3*b*B + a*b^3*B + a^4*C - 3*a^2*b^2*(A + C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a - b)*b^2*(a + b)^2*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, ((3*A*b^2 - a*b*B - a^2*(2*A - C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*b*(a^2 - b^2)*d) + ((3*A*b^4 + 3*a^3*b*B - a*b^3*B - a^4*C - a^2*b^2*(5*A + C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a - b)*b*(a + b)^2*d) - ((3*A*b^2 - a*b*B - a^2*(2*A - C))*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, -(((5*A*b^3 + 2*a^3*B - 3*a*b^2*B - a^2*b*(4*A - C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a^2 - b^2)*d)) - ((5*A*b^2 - 3*a*b*B - a^2*(2*A - 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) - ((5*A*b^4 + 5*a^3*b*B - 3*a*b^3*B - a^2*b^2*(7*A - C) - 3*a^4*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a - b)*(a + b)^2*d) - ((5*A*b^2 - 3*a*b*B - a^2*(2*A - 3*C))*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((5*A*b^3 + 2*a^3*B - 3*a*b^2*B - a^2*b*(4*A - C))*Sin[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 9, -(((175*a^5*b*B - 325*a^3*b^3*B + 120*a*b^5*B + a^2*b^4*(145*A - 192*C) - 3*a^4*b^2*(25*A - 187*C) - 315*a^6*C - 8*b^6*(5*A + 3*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(20*b^5*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((105*a^6*b*B - 223*a^4*b^3*B + 128*a^2*b^5*B + 8*b^7*B + 3*a^3*b^4*(33*A - 64*C) - 9*a^5*b^2*(5*A - 43*C) - 189*a^7*C - 24*a*b^6*(3*A + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(12*b^6*(a^2 - b^2)^2*d) + (a^2*(35*A*b^6 - 35*a^5*b*B + 86*a^3*b^3*B - 63*a*b^5*B - a^2*b^4*(38*A - 99*C) + 15*a^4*b^2*(A - 10*C) + 63*a^6*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*(a - b)^2*b^6*(a + b)^3*d) + ((35*a^4*b*B - 61*a^2*b^3*B + 8*b^5*B + 3*a*b^4*(11*A - 8*C) - 15*a^3*b^2*(A - 7*C) - 63*a^5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((35*a^3*b*B - 65*a*b^3*B - a^2*b^2*(15*A - 101*C) + b^4*(45*A - 8*C) - 63*a^4*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(20*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((7*A*b^4 + 5*a^3*b*B - 11*a*b^3*B - a^2*b^2*(A - 15*C) - 9*a^4*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, ((15*a^4*b*B - 29*a^2*b^3*B + 8*b^5*B - a^3*b^2*(3*A - 65*C) + 3*a*b^4*(3*A - 8*C) - 35*a^5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((45*a^5*b*B - 99*a^3*b^3*B + 72*a*b^5*B - a^4*b^2*(9*A - 223*C) + a^2*b^4*(15*A - 128*C) - 105*a^6*C - 8*b^6*(3*A + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(12*b^5*(a^2 - b^2)^2*d) - (a*(15*A*b^6 - 15*a^5*b*B + 38*a^3*b^3*B - 35*a*b^5*B + a^4*b^2*(3*A - 86*C) - 3*a^2*b^4*(2*A - 21*C) + 35*a^6*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*(a - b)^2*b^5*(a + b)^3*d) - ((15*a^3*b*B - 33*a*b^3*B - a^2*b^2*(3*A - 61*C) + b^4*(21*A - 8*C) - 35*a^4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((5*A*b^4 + 3*a^3*b*B - 9*a*b^3*B - 7*a^4*C + a^2*b^2*(A + 13*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, -(((3*a^3*b*B - 9*a*b^3*B + b^4*(5*A - 8*C) - 15*a^4*C + a^2*b^2*(A + 29*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((3*a^4*b*B - 5*a^2*b^3*B + 8*b^5*B - 15*a^5*C - a*b^4*(7*A + 24*C) + a^3*b^2*(A + 33*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*A*b^6 - 3*a^5*b*B + 6*a^3*b^3*B - 15*a*b^5*B + 15*a^6*C + 5*a^2*b^4*(2*A + 7*C) - a^4*b^2*(A + 38*C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*(a - b)^2*b^4*(a + b)^3*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((3*A*b^4 + a^3*b*B - 7*a*b^3*B - 5*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 11*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, ((A*b^4 - a^3*b*B - 5*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(5*A + 9*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^3*b*B - 7*a*b^3*B + a^2*b^2*(3*A - 5*C) + 3*a^4*C + b^4*(3*A + 8*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^6 - a^5*b*B + 10*a^3*b^3*B + 3*a*b^5*B - 3*a^4*b^2*(A - 2*C) - 3*a^6*C - 5*a^2*b^4*(2*A + 3*C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*(a - b)^2*b^3*(a + b)^3*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((A*b^4 - a^3*b*B - 5*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(5*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 7, ((3*A*b^4 + 5*a^3*b*B + a*b^3*B - a^4*C - a^2*b^2*(9*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*b*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^4 + 3*a^3*b*B + 3*a*b^3*B + a^4*C - 7*a^2*b^2*(A + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*A*b^6 - 3*a^5*b*B - 10*a^3*b^3*B + a*b^5*B - 3*a^2*b^4*(2*A - C) - a^6*C + 5*a^4*b^2*(3*A + 2*C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*(a - b)^2*b^2*(a + b)^3*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((3*A*b^4 + 5*a^3*b*B + a*b^3*B - a^4*C - a^2*b^2*(9*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -(((15*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 3*a*b^3*B + a^4*(8*A - 5*C) - a^2*b^2*(29*A + C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d)) - ((5*A*b^4 + 7*a^3*b*B - a*b^3*B - 3*a^4*C - a^2*b^2*(11*A + 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*b*(a^2 - b^2)^2*d) - ((15*A*b^6 - 15*a^5*b*B + 6*a^3*b^3*B - 3*a*b^5*B + 3*a^6*C - a^2*b^4*(38*A + C) + 5*a^4*b^2*(7*A + 2*C))*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^3*(a - b)^2*b*(a + b)^3*d) + ((15*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 3*a*b^3*B + a^4*(8*A - 5*C) - a^2*b^2*(29*A + C))*Sin[c + d*x])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((5*A*b^4 + 7*a^3*b*B - a*b^3*B - 3*a^4*C - a^2*b^2*(11*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 9, ((35*A*b^5 - 8*a^5*B + 29*a^3*b^2*B - 15*a*b^4*B + 3*a^4*b*(8*A - 3*C) - a^2*b^3*(65*A - 3*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((35*A*b^4 + 33*a^3*b*B - 15*a*b^3*B + a^4*(8*A - 21*C) - a^2*b^2*(61*A - 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((35*A*b^6 - 35*a^5*b*B + 38*a^3*b^3*B - 15*a*b^5*B - a^2*b^4*(86*A - 3*C) + 3*a^4*b^2*(21*A - 2*C) + 15*a^6*C)*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^4*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + ((35*A*b^4 + 33*a^3*b*B - 15*a*b^3*B + a^4*(8*A - 21*C) - a^2*b^2*(61*A - 3*C))*Sin[c + d*x])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - ((35*A*b^5 - 8*a^5*B + 29*a^3*b^2*B - 15*a*b^4*B + 3*a^4*b*(8*A - 3*C) - a^2*b^3*(65*A - 3*C))*Sin[c + d*x])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((7*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 3*a*b^3*B - 5*a^4*C - a^2*b^2*(13*A + C))*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(m/2) (a+b Cos[e+f x])^(n/2) (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 8, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(8*b^2*(3*A + 2*C) + 3*a*(2*b*B - a*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b^2*d) + (Sqrt[a + b]*(24*A*b^2 + (a + 2*b)*(6*b*B - 3*a*C + 8*b*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b^2*d) + (Sqrt[a + b]*(2*a^2*b*B - 8*b^3*B - a^3*C - 4*a*b^2*(2*A + C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^3*d) + ((8*b^2*(3*A + 2*C) + 3*a*(2*b*B - a*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((2*b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 7, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(4*b*B + a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*b*d) + (Sqrt[a + b]*(8*A*b + a*C + 2*b*(2*B + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d) - (Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + 4*a*b*B - a^2*C + 4*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d) + ((4*b*B + a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 7, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(2*A - C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) + (Sqrt[a + b]*(2*A*b - a*(2*A - 2*B - C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) - (Sqrt[a + b]*(2*b*B + a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((2*A - C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(A*b + 3*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*d) - (2*Sqrt[a + b]*(b*(A - 3*B) - a*(A - 3*B + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d) - (2*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 5, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(2*A*b^2 - 5*a*b*B - 3*a^2*(3*A + 5*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^3*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(2*A*b + a*(9*A - 5*B + 15*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^2*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b^3 + 63*a^3*B - 14*a*b^2*B + a^2*b*(19*A + 35*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^4*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + 2*a*b*(3*A - 7*B) + a^2*(25*A - 63*B + 35*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^3*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - (2*(4*A*b^2 - 7*a*b*B - 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 9, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(24*a^2*b*B + 128*b^3*B - 9*a^3*C + 12*a*b^2*(20*A + 13*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*a*b^2*d) - (Sqrt[a + b]*(9*a^3*C - 6*a^2*b*(4*B + C) - 8*b^3*(12*A + 16*B + 9*C) - 4*a*b^2*(60*A + 28*B + 39*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b^2*d) + (Sqrt[a + b]*(8*a^3*b*B - 96*a*b^3*B - 3*a^4*C - 24*a^2*b^2*(2*A + C) - 16*b^4*(4*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^3*d) + ((24*a^2*b*B + 128*b^3*B - 9*a^3*C + 12*a*b^2*(20*A + 13*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((4*b^2*(4*A + 3*C) + a*(8*b*B - 3*a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*b*d) + ((8*b*B - 3*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*b*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*b*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 8, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(24*A*b^2 + 30*a*b*B + 3*a^2*C + 16*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b*d) + (Sqrt[a + b]*(3*a^2*C + 4*b^2*(6*A + 3*B + 4*C) + 2*a*b*(24*A + 15*B + 7*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b*d) - (Sqrt[a + b]*(6*a^2*b*B + 8*b^3*B - a^3*C + 12*a*b^2*(2*A + C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^2*d) + ((24*A*b^2 + 30*a*b*B + 3*a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((2*b*B + a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a*A - 4*b*B - 5*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*d) - (Sqrt[a + b]*(a*(8*A - 8*B - 5*C) - 2*b*(8*A + 2*B + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d) - (Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + 12*a*b*B + 3*a^2*C + 4*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d) - ((8*a*A - 4*b*B - 5*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (b*(4*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b + 6*a*B - 3*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d) + (Sqrt[a + b]*(6*A*b^2 + 2*a^2*(A - 3*B + 3*C) - a*b*(8*A - 3*(4*B + C)))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d) - (Sqrt[a + b]*(2*b*B + 3*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*(A*b + a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((8*A*b + 6*a*B - 3*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 + 20*a*b*B + 3*a^2*(3*A + 5*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^2*d) - (2*Sqrt[a + b]*(3*b^2*(A - 5*B) - 2*a*b*(6*A - 10*B + 15*C) + a^2*(9*A - 5*B + 15*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d) - (2*b*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*(3*A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 6, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*A*b^3 - 63*a^3*B - 21*a*b^2*B - 2*a^2*b*(41*A + 70*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^3*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*A*b^2 - a^2*(25*A - 63*B + 35*C) + 3*a*b*(19*A - 7*B + 35*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^2*d) + (2*(3*A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(3*A*b^2 + 42*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b^4 + 246*a^3*b*B - 18*a*b^3*B + 21*a^4*(7*A + 9*C) + 3*a^2*b^2*(11*A + 21*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^4*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b^3 + 6*a*b^2*(A - 3*B) + 3*a^2*b*(13*A - 57*B + 21*C) - 3*a^3*(49*A - 25*B + 63*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^3*d) + (2*(A*b + 3*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(3*A*b^2 + 72*a*b*B + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - (2*(4*A*b^3 - 75*a^3*B - 9*a*b^2*B - 2*a^2*b*(44*A + 63*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2), x, 10, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(150*a^3*b*B + 2840*a*b^3*B - 45*a^4*C + 256*b^4*(5*A + 4*C) + 12*a^2*b^2*(220*A + 141*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(1920*a*b^2*d) - (Sqrt[a + b]*(45*a^4*C - 30*a^3*b*(5*B + C) - 16*b^4*(80*A + 45*B + 64*C) - 8*a*b^3*(260*A + 355*B + 193*C) - 4*a^2*b^2*(660*A + 295*B + 423*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(1920*b^2*d) + (Sqrt[a + b]*(10*a^4*b*B - 240*a^2*b^3*B - 96*b^5*B - 3*a^5*C - 40*a^3*b^2*(2*A + C) - 80*a*b^4*(4*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(128*b^3*d) + ((150*a^3*b*B + 2840*a*b^3*B - 45*a^4*C + 256*b^4*(5*A + 4*C) + 12*a^2*b^2*(220*A + 141*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1920*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((50*a^2*b*B + 120*b^3*B - 15*a^3*C + 4*a*b^2*(60*A + 43*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(320*b*d) + ((80*A*b^2 + 50*a*b*B - 15*a^2*C + 64*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(240*b*d) + ((10*b*B - 3*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(40*b*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 9, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(264*a^2*b*B + 128*b^3*B + 15*a^3*C + 4*a*b^2*(108*A + 71*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*a*b*d) + (Sqrt[a + b]*(15*a^3*C + 8*b^3*(12*A + 16*B + 9*C) + 2*a^2*b*(192*A + 132*B + 59*C) + 4*a*b^2*(108*A + 52*B + 71*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b*d) - (Sqrt[a + b]*(40*a^3*b*B + 160*a*b^3*B - 5*a^4*C + 120*a^2*b^2*(2*A + C) + 16*b^4*(4*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^2*d) + ((264*a^2*b*B + 128*b^3*B + 15*a^3*C + 4*a*b^2*(108*A + 71*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((16*A*b^2 + 24*a*b*B + 5*a^2*C + 12*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d) + ((8*b*B + 5*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 9, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(54*a*b*B - a^2*(48*A - 33*C) + 8*b^2*(3*A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*d) - (Sqrt[a + b]*(a^2*(48*A - 48*B - 33*C) - 4*b^2*(6*A + 3*B + 4*C) - 2*a*b*(72*A + 27*B + 13*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*d) - (Sqrt[a + b]*(30*a^2*b*B + 8*b^3*B + 5*a^3*C + 20*a*b^2*(2*A + C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b*d) + ((54*a*b*B - a^2*(48*A - 33*C) + 8*b^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (b*(8*a*A - 2*b*B - 3*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) - (b*(6*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(24*a^2*B - 12*b^2*B + a*b*(56*A - 27*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(12*a*d) - (Sqrt[a + b]*(a*b*(56*A - 72*B - 27*C) - 6*b^2*(12*A + 2*B + C) - 8*a^2*(A - 3*B + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(12*d) - (Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + 20*a*b*B + 15*a^2*C + 4*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d) - ((24*a^2*B - 12*b^2*B + a*b*(56*A - 27*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (b*(8*A*b + 4*a*B - b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (2*(5*A*b + 3*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(70*a*b*B + b^2*(46*A - 15*C) + 6*a^2*(3*A + 5*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d) + (Sqrt[a + b]*(30*A*b^3 - 2*a^3*(9*A - 5*B + 15*C) + 2*a^2*b*(17*A - 35*B + 45*C) - a*b^2*(46*A - 15*(6*B + C)))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d) - (b*Sqrt[a + b]*(2*b*B + 5*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*(5*A*b^2 + 10*a*b*B + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((70*a*b*B + b^2*(46*A - 15*C) + 6*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(A*b + a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(9/2), x, 8, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(15*A*b^3 + 63*a^3*B + 161*a*b^2*B + 5*a^2*b*(29*A + 49*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^2*d) - (2*Sqrt[a + b]*(15*b^3*(A - 7*B) - a^3*(25*A - 63*B + 35*C) + a^2*b*(145*A - 119*B + 245*C) - a*b^2*(135*A - 161*B + 315*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a*d) - (2*b^2*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*(15*A*b^2 + 56*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*A*b + 7*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(11/2), x, 7, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*A*b^4 - 435*a^3*b*B - 45*a*b^3*B - 21*a^4*(7*A + 9*C) - 3*a^2*b^2*(93*A + 161*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^3*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*A*b^3 + 15*a*b^2*(11*A - 3*B + 21*C) - 6*a^2*b*(19*A - 60*B + 28*C) + 3*a^3*(49*A - 25*B + 63*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^2*d) + (2*(15*A*b^2 + 90*a*b*B + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(5*A*b^3 + 75*a^3*B + 135*a*b^2*B + a^2*b*(163*A + 231*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*A*b + 9*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
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+
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+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 8, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(24*A*b^2 - 18*a*b*B + 15*a^2*C + 16*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b^3*d) + (Sqrt[a + b]*(24*A*b^2 - 18*a*b*B + 12*b^2*B + 15*a^2*C - 10*a*b*C + 16*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b^3*d) - (Sqrt[a + b]*(6*a^2*b*B + 8*b^3*B - 5*a^3*C - 4*a*b^2*(2*A + C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^4*d) + ((24*A*b^2 - 18*a*b*B + 15*a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((6*b*B - 5*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*b^2*d) + (C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 7, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(4*b*B - 3*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*b^2*d) - (Sqrt[a + b]*(3*a*C - 2*b*(2*B + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d) - (Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 - 4*a*b*B + 3*a^2*C + 4*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^3*d) + ((4*b*B - 3*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x, 6, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*d)) + (Sqrt[a + b]*(2*A*b + a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*d) - (Sqrt[a + b]*(2*b*B - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d) + (C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x, 5, (2*A*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*d) - (2*Sqrt[a + b]*(A - B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) - (2*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x, 4, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(2*A*b - 3*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*d) + (2*Sqrt[a + b]*(2*A*b + a*(A - 3*B + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x, 5, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 - 10*a*b*B + 3*a^2*(3*A + 5*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^4*d) - (2*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 - 2*a*b*(A + 5*B) + a^2*(9*A - 5*B + 15*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^3*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - (2*(4*A*b - 5*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(9/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x, 6, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(48*A*b^3 - 63*a^3*B - 56*a*b^2*B + a^2*(44*A*b + 70*b*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^5*d) + (2*Sqrt[a + b]*(48*A*b^3 - 4*a*b^2*(3*A + 14*B) + a^3*(25*A - 63*B + 35*C) + 2*a^2*b*(22*A + 7*(B + 5*C)))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^4*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*a*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) - (2*(6*A*b - 7*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*a^2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(24*A*b^2 - 28*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a^3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a*A + (A*b + a*B)*Cos[c + d*x] + b*B*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 8, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(4*A*b + a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*b*d) + (Sqrt[a + b]*(4*A*b + (a + 2*b)*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a*A*b - a^2*B + 4*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d) + ((4*A*b + a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x] + 2*b*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]), x, 4, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d) + (4*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/d + (2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((12*a^2*b*B - 4*b^3*B - a*b^2*(8*A - 7*C) - 15*a^3*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*b^3*Sqrt[a + b]*d) - ((8*A*b^2 - a*b*(12*B - 5*C) + 15*a^2*C - 2*b^2*(2*B + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^3*Sqrt[a + b]*d) - (Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 - 12*a*b*B + 15*a^2*C + 4*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^4*d) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((12*a^2*b*B - 4*b^3*B - a*b^2*(8*A - 7*C) - 15*a^3*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((4*A*b^2 - 4*a*b*B + 5*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -(((2*A*b^2 - 2*a*b*B + 3*a^2*C - b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b^2*Sqrt[a + b]*d)) + ((2*A*b^2 - a*(b*(2*B - C) - 3*a*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b^2*Sqrt[a + b]*d) - (Sqrt[a + b]*(2*b*B - 3*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^3*d) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + ((2*A*b^2 - 2*a*b*B + 3*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 6, (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*b*Sqrt[a + b]*d) + (2*(A*b + b*B - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*Sqrt[a + b]*d) - (2*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 4, -((2*(2*A*b^2 - a*b*B - a^2*(A - C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^3*Sqrt[a + b]*d)) - (2*(2*A*b + a*(A - B - C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*Sqrt[a + b]*d) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 5, (2*(8*A*b^3 + 3*a^3*B - 6*a*b^2*B - a^2*(5*A*b - 3*b*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*d) + (2*(8*A*b^2 + 6*a*b*(A - B) + a^2*(A - 3*B + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*Sqrt[a + b]*d) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(4*A*b^2 - 3*a*b*B - a^2*(A - 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)), x, 6, -((2*(48*A*b^4 + 25*a^3*b*B - 40*a*b^3*B - 6*a^2*b^2*(4*A - 5*C) - 3*a^4*(3*A + 5*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^5*Sqrt[a + b]*d)) - (2*(48*A*b^3 + 4*a*b^2*(9*A - 10*B) + 6*a^2*b*(2*A - 5*B + 5*C) + a^3*(9*A - 5*B + 15*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^4*Sqrt[a + b]*d) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(6*A*b^2 - 5*a*b*B - a^2*(A - 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^2*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(24*A*b^3 + 5*a^3*B - 20*a*b^2*B - a^2*(9*A*b - 15*b*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^3*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((8*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 14*a*b^3*B - 15*a^4*C + 26*a^2*b^2*C - 3*b^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) - ((6*A*b^4 - a*b^3*(2*A + 3*(4*B - C)) + a^3*b*(6*B - 5*C) - 15*a^4*C + a^2*b^2*(2*B + 21*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*b^3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) - (Sqrt[a + b]*(2*b*B - 5*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^4*d) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(3*A*b^4 + 2*a^3*b*B - 6*a*b^3*B - 5*a^4*C + a^2*b^2*(A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - ((8*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 14*a*b^3*B - 15*a^4*C + 26*a^2*b^2*C - 3*b^4*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((2*(A*b^4 - 4*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 7*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*b^2*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d)) - (2*(b^3*(A + 3*B) + 3*a^3*C + a^2*b*C - a*b^2*(3*A + B + 6*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*b^2*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) - (2*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^3*d) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(A*b^4 - 4*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 5, (2*(6*a^2*A*b - 2*A*b^3 - 3*a^3*B - a*b^2*B + 4*a^2*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) - (2*(2*A*b^2 - a^2*(3*A + 3*B + C) + a*b*(3*A + B + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(2*A*b^3 + 3*a^3*B + a*b^2*B - 2*a^2*b*(3*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 5, (2*(8*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 2*a*b^3*B + 3*a^4*(A - C) - a^2*b^2*(15*A + C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*(8*A*b^3 + 2*a*b^2*(3*A - B) - 3*a^3*(A - B - C) - a^2*b*(9*A + 3*B + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*(4*A*b^4 + 5*a^3*b*B - a*b^3*B - 2*a^4*C - 2*a^2*b^2*(4*A + C))*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)), x, 6, -((2*(16*A*b^5 - 3*a^5*B + 15*a^3*b^2*B - 8*a*b^4*B - 2*a^2*b^3*(14*A - C) + a^4*(8*A*b - 6*b*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^5*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d)) - (2*(16*A*b^4 + 4*a*b^3*(3*A - 2*B) - 3*a^3*b*(3*A - 3*B - C) - 2*a^2*b^2*(8*A + 3*B - C) - a^4*(A - 3*B + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(10*a^2*A*b^2 - 6*A*b^4 - 7*a^3*b*B + 3*a*b^3*B + 4*a^4*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^4 + 8*a^3*b*B - 4*a*b^3*B + a^4*(A - 5*C) - a^2*b^2*(13*A - C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) with m and/or n symbolic*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^m*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 6, If[$VersionNumber>=8, ((2*a^2*C + b^2*C*(3 + m) + A*b^2*(4 + m) + 2*a*b*B*(4 + m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(4 + m)) + (b*(2*a*C + b*B*(4 + m))*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(3 + m)*(4 + m)) + (C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*(4 + m)) - ((2*a*b*B*(4 + 5*m + m^2) + a^2*(4 + m)*(C*(1 + m) + A*(2 + m)) + b^2*(1 + m)*(C*(3 + m) + A*(4 + m)))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m)*(2 + m)*(4 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - ((b^2*B*(2 + m) + a^2*B*(3 + m) + 2*a*b*(C*(2 + m) + A*(3 + m)))*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), ((2*a^2*C + b^2*C*(3 + m) + A*b^2*(4 + m) + 2*a*b*B*(4 + m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(4 + m)) + (b*(2*a*C + b*B*(4 + m))*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(3 + m)*(4 + m)) + (C*Cos[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*(4 + m)) - ((2*a*b*B*(4 + 5*m + m^2) + a^2*(4 + m)*(C*(1 + m) + A*(2 + m)) + b^2*(1 + m)*(C*(3 + m) + A*(4 + m)))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(4 + m)*(2 + 3*m + m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - ((b^2*B*(2 + m) + a^2*B*(3 + m) + 2*a*b*(C*(2 + m) + A*(3 + m)))*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Cos[c + d*x]^m*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^1, x, 5, ((b*B + a*C)*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)) + (b*C*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(3 + m)) - (((b*B + a*C)*(1 + m) + a*A*(2 + m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - ((b*C*(2 + m) + A*b*(3 + m) + a*B*(3 + m))*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^m*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^1, x, 8, (a*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*AppellF1[1/2, (1 - m)/2, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[c + d*x]^(-1 + m)*(Cos[c + d*x]^2)^((1 - m)/2)*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*AppellF1[1/2, -(m/2), 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/((Cos[c + d*x]^2)^(m/2)*(b*(a^2 - b^2)*d)) - ((b*B - a*C)*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*(1 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (C*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^m*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 9, ((A*b^4*m + a^3*b*B*m - a*b^3*B*(1 + m) - a^4*C*(1 + m) + a^2*b^2*(A - A*m + C*(2 + m)))*AppellF1[1/2, (1 - m)/2, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[c + d*x]^(-1 + m)*(Cos[c + d*x]^2)^((1 - m)/2)*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^4*m + a^3*b*B*m - a*b^3*B*(1 + m) - a^4*C*(1 + m) + a^2*b^2*(A - A*m + C*(2 + m)))*AppellF1[1/2, -(m/2), 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, -((b^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/((Cos[c + d*x]^2)^(m/2)*(a*b*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])) + ((a*b*B*m - a^2*C*(1 + m) + b^2*(C - A*m))*Cos[c + d*x]^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*(1 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(1 + m)*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(a*b*(a^2 - b^2)*d*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+a Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+a Cos[e+f x])^n (A+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/2) (A+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 8, -((2*a*(3*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*a*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*(3*A + 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*(5*A + 7*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 7, -((2*a*(3*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*a*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*(3*A + 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 6, -((2*a*(A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*a*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 6, -((2*a*(A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*a*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 6, (2*a*(5*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 7, (2*a*(5*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(7*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (2*a*(9*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*a*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(9*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(7*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 10, (-16*a^2*(2*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^2*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (16*a^2*(2*A + 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (4*a^2*(5*A + 7*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a^2*(19*A + 21*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (8*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 9, (-4*a^2*(3*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (8*a^2*(3*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^2*(3*A + 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^2*(33*A + 35*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (8*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 8, (-16*a^2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*(17*A + 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (8*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 8, (-4*a^2*(A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (8*a^2*(A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*a^2*(5*A - C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (8*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (16*a^2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*a^2*(15*A - 7*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(5*A - C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 8, (4*a^2*(5*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (8*a^2*(7*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^2*(35*A + 33*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (8*C*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, (16*a^2*(3*A + 2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^2*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^2*(21*A + 19*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (8*C*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(7*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 10, (4*a^2*(9*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (8*a^2*(33*A + 25*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*a^2*(99*A + 89*C)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (8*C*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^2*(9*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (8*a^2*(33*A + 25*C)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(13/2), x, 11, (-4*a^3*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(105*A + 143*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (4*a^3*(5*A + 7*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (4*a^3*(105*A + 143*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(231*d) + (8*a^3*(35*A + 44*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(385*d) + (2*(35*A + 33*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(231*d) + (4*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(33*a*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(11/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 10, (-4*a^3*(17*A + 27*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^3*(11*A + 21*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^3*(17*A + 27*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (8*a^3*(16*A + 21*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(73*A + 63*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (4*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(21*a*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 9, (-4*a^3*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(13*A + 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (8*a^3*(53*A + 70*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(7*A + 5*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (12*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*a*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 9, (-4*a^3*(9*A - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(3*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (4*a^3*(21*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(11*A + 5*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (4*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 9, (-4*a^3*(5*A - 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(5*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (8*a^3*(10*A - 3*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(35*A - 3*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (4*A*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, (4*a^3*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(35*A + 13*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) - (4*a^3*(35*A - 41*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(7*A - C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(35*A - 11*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, (4*a^3*(27*A + 17*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^3*(21*A + 11*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (8*a^3*(21*A + 16*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (4*C*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(63*A + 73*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 10, (4*a^3*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(143*A + 105*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (8*a^3*(44*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(385*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*C*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(33*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(33*A + 35*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(231*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(143*A + 105*C)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 11, (4*a^3*(221*A + 175*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(195*d) + (4*a^3*(121*A + 95*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (40*a^3*(143*A + 118*C)*Sin[c + d*x])/(9009*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(13*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (12*C*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(143*a*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(143*A + 145*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(1287*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^3*(221*A + 175*C)*Sin[c + d*x])/(585*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(121*A + 95*C)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
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+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 8, (-3*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a*d) - ((5*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + (3*(7*A + 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - ((5*A + 3*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d) + ((7*A + 5*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, ((3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + ((5*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) - ((3*A + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d) + ((5*A + 3*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, -(((3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d)) - ((A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + ((3*A + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((A + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, ((A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + ((A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 6, -(((A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d)) + ((3*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 7, (3*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a*d) - ((3*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - ((3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 8, (-3*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a*d) + (5*(7*A + 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*a*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2)) + ((7*A + 9*C)*Sin[c + d*x])/(7*a*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) - ((5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (5*(7*A + 9*C)*Sin[c + d*x])/(21*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 8, ((7*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*(5*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - ((7*A + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + (2*(5*A + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((7*A + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, (-4*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) - ((5*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + (4*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - ((5*A - C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, ((A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*(A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - ((A - C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 6, (4*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + ((A - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((A - 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 7, -(((A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) + (2*(A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)) - ((A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 8, (4*(5*A + 14*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a^2*d) - (5*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(7/2)) - ((A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (4*(5*A + 14*C)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (5*(A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 9, ((119*A + 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((11*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*a^3*d) - ((119*A + 9*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d) + ((11*A + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (2*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((119*A + 9*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(30*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -((49*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) - ((13*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) + ((49*A - C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d) - ((A + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (2*(4*A - C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((13*A - C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, ((9*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(3*A - 2*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((9*A - C)*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 7, ((A - 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(2*A - 3*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A - 9*C)*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 7, -((A - 49*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((A - 13*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(A - 4*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((A - 13*C)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 8, -((9*A + 119*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((A + 11*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*a^3*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(7/2)) - (2*C*Sin[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)) - ((9*A + 119*C)*Sin[c + d*x])/(30*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((A + 11*C)*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(7/2)), x, 9, (7*(7*A + 33*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) - ((13*A + 63*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(9/2)) - (2*(A + 6*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(7/2)) - ((13*A + 63*C)*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (7*(7*A + 33*C)*Sin[c + d*x])/(30*a^3*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - ((13*A + 63*C)*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/2) (A+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 6, (16*a*(16*A + 21*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a*(16*A + 21*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(16*A + 21*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 5, (4*a*(24*A + 35*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(24*A + 35*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 4, (2*a*(8*A + 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 5, (2*Sqrt[a]*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 5, (Sqrt[a]*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d - (a*(2*A - C)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 5, (Sqrt[a]*(8*A + 3*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (a*C*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 6, (Sqrt[a]*(8*A + 5*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a*C*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (C*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a*(8*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, (Sqrt[a]*(48*A + 35*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*d) + (a*C*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (C*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (a*(48*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a*(48*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(13/2), x, 7, (16*a^2*(112*A + 143*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1155*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a^2*(112*A + 143*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(112*A + 143*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(385*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(28*A + 33*C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(33*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(11/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 6, (4*a^2*(136*A + 189*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(136*A + 189*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(52*A + 63*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 5, (2*a^2*(104*A + 175*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(4*A + 5*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (6*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 6, (2*a^(3/2)*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^2*(4*A + 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 6, (3*a^(3/2)*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d - (a^2*(8*A - 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 6, (a^(3/2)*(8*A + 7*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) - (a^2*(8*A - 5*C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a*(4*A - C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 6, (a^(3/2)*(24*A + 11*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*(24*A + 19*C)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*C*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 7, (a^(3/2)*(112*A + 75*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*d) + (a^2*(16*A + 13*C)*Sin[c + d*x])/(32*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a*C*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a^2*(112*A + 75*C)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (a^(3/2)*(176*A + 133*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(128*d) + (a^2*(80*A + 67*C)*Sin[c + d*x])/(240*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (3*a*C*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(40*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (a^2*(176*A + 133*C)*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a^2*(176*A + 133*C)*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(15/2), x, 8, (16*a^3*(8368*A + 10439*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(45045*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a^3*(8368*A + 10439*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45045*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(8368*A + 10439*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(15015*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(2224*A + 2717*C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9009*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(136*A + 143*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(1287*d) + (10*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(11/2)*Sin[c + d*x])/(143*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(13/2)*Sin[c + d*x])/(13*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(13/2), x, 7, (4*a^3*(568*A + 759*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(568*A + 759*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(232*A + 297*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(32*A + 33*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(231*d) + (10*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(11/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 6, (2*a^3*(584*A + 903*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(8*A + 11*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(64*A + 63*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (10*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 7, (2*a^(5/2)*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^3*(32*A + 49*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(8*A + 7*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 7, (5*a^(5/2)*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d - (a^3*(64*A + 15*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(8*A + 5*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 7, (a^(5/2)*(8*A + 19*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) - (a^3*(56*A - 27*C)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a^2*(8*A - C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (10*a*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, (5*a^(5/2)*(8*A + 5*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) - (a^3*(24*A - 49*C)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a^2*(8*A - 3*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a*(6*A - C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 7, (a^(5/2)*(304*A + 163*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*d) + (a^3*(432*A + 299*C)*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a^2*(16*A + 17*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (5*a*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 8, (a^(5/2)*(400*A + 283*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(128*d) + (a^3*(1040*A + 787*C)*Sin[c + d*x])/(960*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a^2*(80*A + 79*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a^3*(400*A + 283*C)*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, (a^(5/2)*(1304*A + 1015*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(512*d) + (a^3*(136*A + 109*C)*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (a^2*(24*A + 23*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(96*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (a*C*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (a^3*(1304*A + 1015*C)*Sin[c + d*x])/(768*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a^3*(1304*A + 1015*C)*Sin[c + d*x])/(512*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2))/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 9, -((Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (2*(257*A + 273*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(29*A + 21*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(19*A + 21*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*A*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2))/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 8, (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (2*(43*A + 35*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(31*A + 35*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*A*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2))/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 7, -((Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (2*(13*A + 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 6, (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (2*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 7, (2*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 7, -((C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (C*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 8, ((8*A + 7*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (C*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (C*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 9, -(((8*A + 9*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (C*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)) - (C*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((8*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, ((19*A + 11*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((1201*A + 665*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(210*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((397*A + 245*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(210*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((67*A + 35*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(70*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((11*A + 7*C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(14*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((15*A + 7*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((49*A + 25*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((13*A + 5*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((9*A + 5*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((11*A + 3*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((19*A + 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((7*A + 3*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((7*A - C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((5*A + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) + ((3*A - 5*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 8, -((3*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(3/2)*d)) + ((A + 9*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 9, ((8*A + 19*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^(3/2)*d) - ((5*A + 13*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((A + 2*C)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) - ((2*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((283*A + 75*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((2671*A + 735*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((787*A + 195*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(240*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((21*A + 5*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((157*A + 45*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(80*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((163*A + 19*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((299*A + 27*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((17*A + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (5*(19*A + 3*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, (-5*(15*A - C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((13*A - 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((49*A + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, ((19*A + 3*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((9*A - 7*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 8, (2*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + ((5*A - 43*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((5*A - 11*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 9, -((5*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(5/2)*d)) + ((3*A + 115*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((A - 15*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((3*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 10, ((8*A + 39*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^(5/2)*d) - ((43*A + 219*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)) - ((3*A + 19*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((7*A + 31*C)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) - ((11*A + 63*C)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+a Cos[e+f x])^n (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/2) (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>=0*)
+
+
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 8, -((6*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (6*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*B*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 7, -((2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*B*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 6, -((2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 5, (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 6, (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 7, (6*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (6*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (10*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (10*C*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/2) (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+a Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/2) (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>=0*)
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 7, -((2*(3*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*(3*A + 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*B*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 6, (-2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 5, (-2*(A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 5, (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 6, (2*(5*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, (6*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(7*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 8, -((2*a*(3*A + 3*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*a*(5*A + 7*(B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*(3*A + 3*B + 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*(5*A + 7*(B + C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(A + B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 7, -((2*a*(3*A + 5*(B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*a*(A + B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*(3*A + 5*(B + C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*(A + B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 6, -((2*a*(A + B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*a*(A + 3*(B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*(A + B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 6, -((2*a*(A - B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*a*(3*A + 3*B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 6, (2*a*(5*A + 5*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(3*A + B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 7, (2*a*(5*A + 3*(B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(7*A + 7*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(B + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(7*A + 7*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (2*a*(9*A + 9*B + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*a*(7*A + 5*(B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*(B + C)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(9*A + 9*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(7*A + 5*(B + C))*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 10, (-4*a^2*(8*A + 9*B + 12*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^2*(5*A + 6*B + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^2*(8*A + 9*B + 12*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (4*a^2*(5*A + 6*B + 7*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a^2*(19*A + 27*B + 21*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(4*A + 9*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 9, (-4*a^2*(3*A + 4*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*(6*A + 7*B + 14*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^2*(3*A + 4*B + 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^2*(33*A + 49*B + 35*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(4*A + 7*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 8, (-4*a^2*(4*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*(A + 2*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*(17*A + 25*B + 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(4*A + 5*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 8, (-4*a^2*(A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (4*a^2*(2*A + 3*B + 2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*a^2*(5*A + 3*B - C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(4*A + 3*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (4*a^2*(5*B + 4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*(3*A + 2*B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*a^2*(15*A - 5*B - 7*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(5*A - C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 8, (4*a^2*(5*A + 4*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*(14*A + 7*B + 6*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^2*(35*A + 49*B + 33*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(7*B + 4*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, (4*a^2*(12*A + 9*B + 8*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^2*(7*A + 6*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^2*(21*A + 27*B + 19*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(9*B + 4*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(7*A + 6*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 10, (4*a^2*(9*A + 8*B + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^2*(66*A + 55*B + 50*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*a^2*(99*A + 121*B + 89*C)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(11*B + 4*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^2*(9*A + 8*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(66*A + 55*B + 50*C)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(13/2), x, 11, (-4*a^3*(15*A + 17*B + 21*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^3*(105*A + 121*B + 143*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (4*a^3*(15*A + 17*B + 21*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (4*a^3*(105*A + 121*B + 143*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(231*d) + (4*a^3*(210*A + 253*B + 264*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(1155*d) + (2*(105*A + 143*B + 99*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*(6*A + 11*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(99*a*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(11/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 10, (-4*a^3*(17*A + 21*B + 27*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^3*(11*A + 13*B + 21*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^3*(17*A + 21*B + 27*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (4*a^3*(32*A + 41*B + 42*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(73*A + 99*B + 63*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*(2*A + 3*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(21*a*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 9, (-4*a^3*(7*A + 9*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(13*A + 21*B + 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^3*(106*A + 147*B + 140*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(7*A + 9*B + 5*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(6*A + 7*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*a*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 9, (-4*a^3*(9*A + 5*B - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(3*A + 5*(B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (4*a^3*(21*A + 20*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(33*A + 35*B + 15*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(6*A + 5*B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 9, (-4*a^3*(5*A - 5*B - 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(5*A + 5*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (4*a^3*(20*A + 5*B - 6*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(35*A + 15*B - 3*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(2*A + B)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, (4*a^3*(5*A + 9*B + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(35*A + 21*B + 13*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) - (4*a^3*(35*A - 42*B - 41*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(7*A - C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(35*A - 7*B - 11*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, (4*a^3*(27*A + 21*B + 17*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^3*(21*A + 13*B + 11*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^3*(42*A + 41*B + 32*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(3*B + 2*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(63*A + 99*B + 73*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 10, (4*a^3*(21*A + 17*B + 15*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^3*(143*A + 121*B + 105*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (4*a^3*(264*A + 253*B + 210*C)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(11*B + 6*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(99*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(99*A + 143*B + 105*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(693*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(143*A + 121*B + 105*C)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 11, (4*a^3*(221*A + 195*B + 175*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(195*d) + (4*a^3*(121*A + 105*B + 95*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (20*a^3*(286*A + 273*B + 236*C)*Sin[c + d*x])/(9009*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(13*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(13*B + 6*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(143*a*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(143*A + 195*B + 145*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(1287*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^3*(221*A + 195*B + 175*C)*Sin[c + d*x])/(585*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(121*A + 105*B + 95*C)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 8, (-3*(7*A - 5*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a*d) - ((5*A - 5*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + (3*(7*A - 5*B + 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - ((5*A - 5*B + 3*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d) + ((7*A - 5*B + 5*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 7, ((3*A - 3*B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + ((5*A - 3*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) - ((3*A - 3*B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d) + ((5*A - 3*B + 3*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 6, -(((3*A - B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d)) - ((A - B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + ((3*A - B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((A - B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + a*Cos[c + d*x]), x, 5, ((A - B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + ((A + B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 6, -(((A - 3*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d)) + ((3*A - 3*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((3*A - 3*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 7, (3*(5*A - 5*B + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a*d) - ((3*A - 5*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((5*A - 5*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - ((3*A - 5*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 8, (-3*(5*A - 7*B + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a*d) + (5*(7*A - 7*B + 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*a*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(7/2)) + ((7*A - 7*B + 9*C)*Sin[c + d*x])/(7*a*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) - ((5*A - 7*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (5*(7*A - 7*B + 9*C)*Sin[c + d*x])/(21*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 8, ((7*A - 4*B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + ((10*A - 5*B + 2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - ((7*A - 4*B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + ((10*A - 5*B + 2*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((7*A - 4*B + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -(((4*A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) - ((5*A - 2*B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + ((4*A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - ((5*A - 2*B - C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + a*Cos[c + d*x])^2, x, 6, ((A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + ((2*A + B + 2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - ((A - C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 6, -(((B - 4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) + ((A + 2*B - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((A + 2*B - 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 7, -(((A - 4*B + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) + ((2*A - 5*B + 10*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)) - ((A - 4*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((2*A - 5*B + 10*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 8, ((20*A - 35*B + 56*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a^2*d) - (5*(A - 2*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(7/2)) - ((A - 2*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((20*A - 35*B + 56*C)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (5*(A - 2*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 9, ((119*A - 49*B + 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((33*A - 13*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((119*A - 49*B + 9*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d) + ((33*A - 13*B + 3*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((2*A - B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((119*A - 49*B + 9*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(30*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 8, -((49*A - 9*B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) - ((13*A - 3*B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) + ((49*A - 9*B - C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d) - ((A - B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((8*A - 3*B - 2*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((13*A - 3*B - C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + a*Cos[c + d*x])^3, x, 7, ((9*A + B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((3*A + B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((6*A - B - 4*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((9*A + B - C)*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 7, ((A - B - 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((A + B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((4*A + B - 6*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A - B - 9*C)*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 7, -((A + 9*B - 49*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((A + 3*B - 13*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((2*A + 3*B - 8*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((A + 3*B - 13*C)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 8, -((9*A - 49*B + 119*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((3*A - 13*B + 33*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(7/2)) + ((B - 2*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)) - ((9*A - 49*B + 119*C)*Sin[c + d*x])/(30*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((3*A - 13*B + 33*C)*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(7/2)), x, 9, (7*(7*A - 17*B + 33*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) - ((13*A - 33*B + 63*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(9/2)) - ((2*A - 7*B + 12*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(7/2)) - ((13*A - 33*B + 63*C)*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (7*(7*A - 17*B + 33*C)*Sin[c + d*x])/(30*a^3*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - ((13*A - 33*B + 63*C)*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/2) (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+a Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 6, (16*a*(16*A + 18*B + 21*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a*(16*A + 18*B + 21*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(16*A + 18*B + 21*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(A + 9*B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 5, (4*a*(24*A + 28*B + 35*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(24*A + 28*B + 35*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(A + 7*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 4, (2*a*(8*A + 10*B + 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(A + 5*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 5, (2*Sqrt[a]*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*(A + 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 5, (Sqrt[a]*(2*B + C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d - (a*(2*A - C)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 5, (Sqrt[a]*(8*A + 4*B + 3*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (a*(4*B + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 6, (Sqrt[a]*(8*A + 6*B + 5*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a*(6*B + C)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (C*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a*(8*A + 6*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, (Sqrt[a]*(48*A + 40*B + 35*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*d) + (a*(8*B + C)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (C*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (a*(48*A + 40*B + 35*C)*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a*(48*A + 40*B + 35*C)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(13/2), x, 7, (16*a^2*(336*A + 374*B + 429*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a^2*(336*A + 374*B + 429*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(336*A + 374*B + 429*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(84*A + 110*B + 99*C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(3*A + 11*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(11/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 6, (4*a^2*(136*A + 156*B + 189*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(136*A + 156*B + 189*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(52*A + 72*B + 63*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(A + 3*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 5, (2*a^2*(104*A + 126*B + 175*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(4*A + 6*B + 5*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(3*A + 7*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 6, (2*a^(3/2)*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^2*(12*A + 20*B + 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a*(3*A + 5*B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 6, (a^(3/2)*(2*B + 3*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d - (a^2*(8*A + 6*B - 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(A + B)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 6, (a^(3/2)*(8*A + 12*B + 7*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) - (a^2*(8*A - 4*B - 5*C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a*(4*A - C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 6, (a^(3/2)*(24*A + 14*B + 11*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*(24*A + 30*B + 19*C)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*(2*B + C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 7, (a^(3/2)*(112*A + 88*B + 75*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*d) + (a^2*(48*A + 56*B + 39*C)*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a*(8*B + 3*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a^2*(112*A + 88*B + 75*C)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (a^(3/2)*(176*A + 150*B + 133*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(128*d) + (a^2*(80*A + 90*B + 67*C)*Sin[c + d*x])/(240*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (a*(10*B + 3*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(40*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (a^2*(176*A + 150*B + 133*C)*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a^2*(176*A + 150*B + 133*C)*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(15/2), x, 8, (16*a^3*(8368*A + 9230*B + 10439*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(45045*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (8*a^3*(8368*A + 9230*B + 10439*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45045*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(8368*A + 9230*B + 10439*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(15015*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(2224*A + 2522*B + 2717*C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9009*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(136*A + 182*B + 143*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(1287*d) + (2*a*(5*A + 13*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(11/2)*Sin[c + d*x])/(143*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(13/2)*Sin[c + d*x])/(13*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(13/2), x, 7, (4*a^3*(2840*A + 3212*B + 3795*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(2840*A + 3212*B + 3795*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(1160*A + 1364*B + 1485*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(32*A + 44*B + 33*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*a*(5*A + 11*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(11/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 6, (2*a^3*(584*A + 690*B + 903*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*(8*A + 10*B + 11*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(64*A + 90*B + 63*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*a*(5*A + 9*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 7, (2*a^(5/2)*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^3*(160*A + 224*B + 245*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(40*A + 56*B + 35*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*a*(5*A + 7*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 7, (a^(5/2)*(2*B + 5*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d - (a^3*(64*A + 70*B + 15*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(8*A + 10*B + 5*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*(A + B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 7, (a^(5/2)*(8*A + 20*B + 19*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) - (a^3*(56*A + 12*B - 27*C)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a^2*(8*A + 4*B - C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(5*A + 3*B)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, (a^(5/2)*(40*A + 38*B + 25*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) - (a^3*(24*A - 54*B - 49*C)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a^2*(8*A - 2*B - 3*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a*(6*A - C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 7, (a^(5/2)*(304*A + 200*B + 163*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*d) + (a^3*(432*A + 392*B + 299*C)*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a^2*(16*A + 24*B + 17*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*(8*B + 5*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 8, (a^(5/2)*(400*A + 326*B + 283*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(128*d) + (a^3*(1040*A + 950*B + 787*C)*Sin[c + d*x])/(960*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a^2*(80*A + 110*B + 79*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a*(2*B + C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a^3*(400*A + 326*B + 283*C)*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, (a^(5/2)*(1304*A + 1132*B + 1015*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(512*d) + (a^3*(680*A + 628*B + 545*C)*Sin[c + d*x])/(960*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (a^2*(120*A + 156*B + 115*C)*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(480*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (a*(12*B + 5*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(60*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (C*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (a^3*(1304*A + 1132*B + 1015*C)*Sin[c + d*x])/(768*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a^3*(1304*A + 1132*B + 1015*C)*Sin[c + d*x])/(512*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 9, -((Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (2*(257*A - 129*B + 273*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(29*A - 93*B + 21*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(19*A - 3*B + 21*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(A - 9*B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 8, (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (2*(43*A - 91*B + 35*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*(31*A - 7*B + 35*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(A - 7*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 7, -((Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (2*(13*A - 5*B + 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - (2*(A - 5*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 6, (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (2*(A - 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 7, (2*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(1/2)/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 7, ((2*B - C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (C*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(1/2)), x, 8, ((8*A - 4*B + 7*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (C*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((4*B - C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 9, -(((8*A - 14*B + 9*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (C*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((6*B - C)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((8*A - 2*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+{((a*A + (A*b + a*B)*Cos[c + d*x] + b*B*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]], x, 7, ((2*A*b + 2*a*B - b*B)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (Sqrt[2]*(a - b)*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (b*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 9, ((19*A - 15*B + 11*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((1201*A - 1029*B + 665*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(210*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) + ((397*A - 273*B + 245*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(210*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((67*A - 63*B + 35*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(70*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((11*A - 7*B + 7*C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(14*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 8, -(((15*A - 11*B + 7*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) + ((147*A - 95*B + 75*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(30*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((39*A - 35*B + 15*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(30*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((9*A - 5*B + 5*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((11*A - 7*B + 3*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((19*A - 15*B + 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((7*A - 3*B + 3*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, -(((7*A - 3*B - C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A - B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((5*A - B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) + ((3*A + B - 5*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(1/2)), x, 8, ((2*B - 3*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) + ((A - 5*B + 9*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((A - B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 9, ((8*A - 12*B + 19*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^(3/2)*d) - ((5*A - 9*B + 13*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((A - B + 2*C)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) - ((2*A - 6*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 9, -(((283*A - 163*B + 75*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) + ((2671*A - 1495*B + 735*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((787*A - 475*B + 195*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(240*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((21*A - 13*B + 5*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((157*A - 85*B + 45*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(80*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((163*A - 75*B + 19*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((299*A - 147*B + 27*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((17*A - 9*B + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((95*A - 39*B + 15*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -(((75*A - 19*B - 5*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A - B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)) - ((13*A - 5*B - 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)) + ((49*A - 9*B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, ((19*A + 5*B + 3*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((9*A - B - 7*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(1/2)), x, 8, (2*C*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + ((5*A + 3*B - 43*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((5*A + 3*B - 11*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 9, ((2*B - 5*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + ((3*A - 43*B + 115*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((A + 7*B - 15*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((3*A - 11*B + 35*C)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 10, ((8*A - 20*B + 39*C)*ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^(5/2)*d) - ((43*A - 115*B + 219*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)) - ((3*A - 11*B + 19*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((7*A - 15*B + 31*C)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) - ((11*A - 35*B + 63*C)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+b Cos[e+f x])^n (A+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/2) (A+C Cos[e+f x]^2) (a+b Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 8, (-2*b*(3*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b*(3*A + 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*(5*A + 7*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*b*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 7, (-2*a*(3*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*b*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*(3*A + 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*A*b*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 6, (-2*b*(A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*A*b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 6, (-2*a*(A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*b*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b*C*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 6, (2*b*(5*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b*C*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 7, (2*a*(5*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*b*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b*C*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*(7*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (2*b*(9*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*a*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b*C*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*(9*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(7*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 9, (-2*(3*b^2*(3*A + 5*C) + a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a*b*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(3*b^2*(3*A + 5*C) + a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (4*a*b*(5*A + 7*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(4*A*b^2 + a^2*(7*A + 9*C))*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (8*a*A*b*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 8, (-4*a*b*(3*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(7*b^2*(A + 3*C) + a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a*b*(3*A + 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(4*A*b^2 + a^2*(5*A + 7*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (8*a*A*b*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 7, (-2*(5*b^2*(A - C) + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a*b*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*(4*A*b^2 + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (8*a*A*b*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 7, (-4*a*b*(A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*(b^2*(3*A + C) + a^2*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*b^2*(A - C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (8*a*A*b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, (-2*(5*a^2*(A - C) - b^2*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a*b*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*b^2*(5*A - C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (4*a*b*(3*A - C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 7, (4*a*b*(5*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(7*a^2*(3*A + C) + b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (8*a*b*C*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(4*a^2*C + b^2*(7*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 8, (2*(3*a^2*(5*A + 3*C) + b^2*(9*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a*b*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (8*a*b*C*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(4*a^2*C + b^2*(9*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a*b*(7*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, (4*a*b*(9*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(11*a^2*(7*A + 5*C) + 5*b^2*(11*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (8*a*b*C*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*(4*a^2*C + b^2*(11*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(77*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (4*a*b*(9*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(11*a^2*(7*A + 5*C) + 5*b^2*(11*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 9, (-2*a*(9*b^2*(3*A + 5*C) + a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*b*(7*b^2*(A + 3*C) + 3*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*(9*b^2*(3*A + 5*C) + a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*b*(8*A*b^2 + 9*a^2*(5*A + 7*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*a*(24*A*b^2 + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (4*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 8, (-2*b*(5*b^2*(A - C) + 3*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(21*b^2*(A + 3*C) + a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (6*b*(8*A*b^2 + 7*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*a*(24*A*b^2 + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (12*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 8, (-2*a*(15*b^2*(A - C) + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*b*(b^2*(3*A + C) + 3*a^2*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*b^3*(9*A - 5*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(8*A*b^2 + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (4*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 8, (-2*b*(15*a^2*(A - C) - b^2*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(3*b^2*(3*A + C) + a^2*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*b^3*(35*A - 3*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*a*b^2*(5*A - C)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (4*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (-2*a*(5*a^2*(A - C) - 3*b^2*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*b*(21*a^2*(3*A + C) + b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) - (2*a*b^2*(35*A - 11*C)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*b*(6*a^2*(7*A - 3*C) - b^2*(7*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b*(7*A - C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 8, (2*b*(9*a^2*(5*A + 3*C) + b^2*(9*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*a*(7*a^2*(3*A + C) + 3*b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b*(24*a^2*C + 7*b^2*(9*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(315*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(63*A*b^2 + 8*a^2*C + 45*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (4*a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, (2*a*(a^2*(5*A + 3*C) + b^2*(9*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*b*(33*a^2*(7*A + 5*C) + 5*b^2*(11*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*b*(8*a^2*C + 3*b^2*(11*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(231*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(99*A*b^2 + 8*a^2*C + 77*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(165*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(33*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*(33*a^2*(7*A + 5*C) + 5*b^2*(11*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 10, (2*b*(39*a^2*(9*A + 7*C) + 7*b^2*(13*A + 11*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(195*d) + (2*a*(11*a^2*(7*A + 5*C) + 15*b^2*(11*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*b*(24*a^2*C + 11*b^2*(13*A + 11*C))*Sin[c + d*x])/(1287*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (6*a*(143*A*b^2 + 8*a^2*C + 117*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(1001*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (12*a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(143*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(13*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*(39*a^2*(9*A + 7*C) + 7*b^2*(13*A + 11*C))*Sin[c + d*x])/(585*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(11*a^2*(7*A + 5*C) + 15*b^2*(11*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(13/2), x, 10, (-8*a*b*(3*b^2*(3*A + 5*C) + a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(77*b^4*(A + 3*C) + 66*a^2*b^2*(5*A + 7*C) + 5*a^4*(9*A + 11*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (8*a*b*(3*b^2*(3*A + 5*C) + a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(64*A*b^4 + 15*a^4*(9*A + 11*C) + 9*a^2*b^2*(101*A + 143*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(693*d) + (4*a*b*(96*A*b^2 + a^2*(673*A + 891*C))*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3465*d) + (2*(16*A*b^2 + 3*a^2*(9*A + 11*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(231*d) + (16*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^(11/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 9, (-2*(15*b^4*(A - C) + 18*a^2*b^2*(3*A + 5*C) + a^4*(7*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (8*a*b*(7*b^2*(A + 3*C) + a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(192*A*b^4 + 21*a^4*(7*A + 9*C) + 7*a^2*b^2*(155*A + 261*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (4*a*b*(32*A*b^2 + a^2*(101*A + 147*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*(48*A*b^2 + 7*a^2*(7*A + 9*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (16*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 9, (-8*a*b*(5*b^2*(A - C) + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(7*b^4*(3*A + C) + 42*a^2*b^2*(A + 3*C) + a^4*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) - (2*b^2*(b^2*(87*A - 35*C) + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (4*a*b*(96*A*b^2 + a^2*(101*A + 175*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(48*A*b^2 + 5*a^2*(5*A + 7*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (16*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 9, (-2*(30*a^2*b^2*(A - C) - b^4*(5*A + 3*C) + a^4*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (8*a*b*(b^2*(3*A + C) + a^2*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*b^2*(b^2*(59*A - 3*C) + 3*a^2*(3*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(15*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (4*a*b*(2*b^2*(33*A - 5*C) + 3*a^2*(3*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(16*A*b^2 + a^2*(3*A + 5*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (16*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 9, (-8*a*b*(5*a^2*(A - C) - b^2*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(42*a^2*b^2*(3*A + C) + 7*a^4*(A + 3*C) + b^4*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) - (4*a*b^3*(175*A - 27*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*b^2*(3*a^2*(49*A - 13*C) - b^2*(7*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b^2*(21*A - C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (16*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, (-2*(15*a^4*(A - C) - 18*a^2*b^2*(5*A + 3*C) - b^4*(9*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (8*a*b*(7*a^2*(3*A + C) + b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) - (2*b^2*(3*a^2*(105*A - 41*C) - 7*b^2*(9*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(315*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (4*a*b*(a^2*(63*A - 31*C) - 6*b^2*(7*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*a*b*(21*A - 5*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b*(9*A - C)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, (8*a*b*(3*a^2*(5*A + 3*C) + b^2*(9*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(77*a^4*(3*A + C) + 66*a^2*b^2*(7*A + 5*C) + 5*b^4*(11*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (4*a*b*(891*A*b^2 + 96*a^2*C + 673*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(64*a^4*C + 15*b^4*(11*A + 9*C) + 9*a^2*b^2*(143*A + 101*C))*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(16*a^2*C + 3*b^2*(11*A + 9*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (16*a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(99*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(11*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 10, (2*(39*a^4*(5*A + 3*C) + 78*a^2*b^2*(9*A + 7*C) + 7*b^4*(13*A + 11*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(195*d) + (8*a*b*(11*a^2*(7*A + 5*C) + 5*b^2*(11*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (4*a*b*(1573*A*b^2 + 96*a^2*C + 1259*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(9009*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(192*a^4*C + 77*b^4*(13*A + 11*C) + 11*a^2*b^2*(637*A + 491*C))*Sin[c + d*x])/(6435*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(48*a^2*C + 11*b^2*(13*A + 11*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(1287*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (16*a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(143*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(13*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (8*a*b*(11*a^2*(7*A + 5*C) + 5*b^2*(11*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2))/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 9, (-2*(5*A*b^2 + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a^3*d) - (2*A*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - (2*b*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a + b)*d) + (2*(5*A*b^2 + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^3*d) - (2*A*b*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + (2*A*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 8, (2*A*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a + b)*d) - (2*A*b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + (2*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, (-2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*b*(a + b)*d) + (2*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d) - (2*a*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*(a + b)*d)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 7, (-2*a*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d) + (2*(3*a^2*C + b^2*(3*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b^3*d) - (2*a*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*(a + b)*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 8, (2*(5*a^2*C + b^2*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*b^3*d) - (2*a*(3*A*b^2 + (3*a^2 + b^2)*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b^4*d) + (2*a^2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^4*(a + b)*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*a*C*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 9, (-2*a*(5*A*b^2 + 5*a^2*C + 3*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*b^4*d) + (2*(21*a^4*C + 7*a^2*b^2*(3*A + C) + b^4*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*b^5*d) - (2*a^3*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^5*(a + b)*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(7*b*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) - (2*a*C*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(7*a^2*C + b^2*(7*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(21*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 9, -((b*(5*A*b^2 - a^2*(4*A - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a^2 - b^2)*d)) - ((5*A*b^2 - a^2*(2*A - 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) - ((5*A*b^4 - a^2*b^2*(7*A - C) - 3*a^4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a - b)*(a + b)^2*d) + (b*(5*A*b^2 - a^2*(4*A - C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) - ((5*A*b^2 - a^2*(2*A - 3*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, ((3*A*b^2 - a^2*(2*A - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*b*(a^2 - b^2)*d) + ((3*A*b^4 - a^4*C - a^2*b^2*(5*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a - b)*b*(a + b)^2*d) - ((3*A*b^2 - a^2*(2*A - C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -(((A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*b*(a^2 - b^2)*d)) - ((A*b^2 - a^2*C + 2*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^4 + a^4*C - 3*a^2*b^2*(A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a - b)*b^2*(a + b)^2*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 7, ((A*b^2 + 3*a^2*C - 2*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) + (a*(A*b^2 - 3*a^2*C + 4*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^4 - 3*a^4*C + a^2*b^2*(A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a - b)*b^3*(a + b)^2*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 8, -((a*(A*b^2 + 5*a^2*C - 4*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*(a^2 - b^2)*d)) + ((a^2*b^2*(3*A - 16*C) + 15*a^4*C - 2*b^4*(3*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b^4*(a^2 - b^2)*d) + (a*(3*A*b^4 - a^2*b^2*(A - 7*C) - 5*a^4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a - b)*b^4*(a + b)^2*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((3*A*b^2 + 5*a^2*C - 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 9, ((3*a^2*b^2*(5*A - 8*C) + 35*a^4*C - 2*b^4*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*b^4*(a^2 - b^2)*d) - (a*(a^2*b^2*(9*A - 20*C) + 21*a^4*C - 4*b^4*(3*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b^5*(a^2 - b^2)*d) - (a^2*(5*A*b^4 - 3*a^2*b^2*(A - 3*C) - 7*a^4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a - b)*b^5*(a + b)^2*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((5*A*b^2 + 7*a^2*C - 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (a*(3*A*b^2 + 7*a^2*C - 4*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 10, (b*(35*A*b^4 + 3*a^4*(8*A - 3*C) - a^2*b^2*(65*A - 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((35*A*b^4 + a^4*(8*A - 21*C) - a^2*b^2*(61*A - 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((35*A*b^6 - a^2*b^4*(86*A - 3*C) + 3*a^4*b^2*(21*A - 2*C) + 15*a^6*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^4*(a - b)^2*(a + b)^3*d) - (b*(35*A*b^4 + 3*a^4*(8*A - 3*C) - a^2*b^2*(65*A - 3*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((35*A*b^4 + a^4*(8*A - 21*C) - a^2*b^2*(61*A - 3*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((7*A*b^4 - 5*a^4*C - a^2*b^2*(13*A + C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 9, -((15*A*b^4 + a^4*(8*A - 5*C) - a^2*b^2*(29*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((5*A*b^4 - 3*a^4*C - a^2*b^2*(11*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*b*(a^2 - b^2)^2*d) - ((15*A*b^6 + 3*a^6*C - a^2*b^4*(38*A + C) + 5*a^4*b^2*(7*A + 2*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^3*(a - b)^2*b*(a + b)^3*d) + ((15*A*b^4 + a^4*(8*A - 5*C) - a^2*b^2*(29*A + C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((5*A*b^4 - 3*a^4*C - a^2*b^2*(11*A + 3*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, ((3*A*b^4 - a^4*C - a^2*b^2*(9*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*b*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^4 + a^4*C - 7*a^2*b^2*(A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*A*b^6 - 3*a^2*b^4*(2*A - C) - a^6*C + 5*a^4*b^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*(a - b)^2*b^2*(a + b)^3*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((3*A*b^4 - a^4*C - a^2*b^2*(9*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 8, ((A*b^4 - 3*a^4*C + a^2*b^2*(5*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^2*b^2*(3*A - 5*C) + 3*a^4*C + b^4*(3*A + 8*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^6 - 3*a^4*b^2*(A - 2*C) - 3*a^6*C - 5*a^2*b^4*(2*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*(a - b)^2*b^3*(a + b)^3*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A*b^4 - 3*a^4*C + a^2*b^2*(5*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(4*a*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 8, -((b^4*(5*A - 8*C) - 15*a^4*C + a^2*b^2*(A + 29*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - (a*(15*a^4*C + b^4*(7*A + 24*C) - a^2*b^2*(A + 33*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*A*b^6 + 15*a^6*C + 5*a^2*b^4*(2*A + 7*C) - a^4*b^2*(A + 38*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*b^4*(a + b)^3*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((3*A*b^4 - 5*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 11*C))*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 9, -(a*(a^2*b^2*(3*A - 65*C) - 3*b^4*(3*A - 8*C) + 35*a^4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^4*b^2*(9*A - 223*C) - a^2*b^4*(15*A - 128*C) + 105*a^6*C + 8*b^6*(3*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(12*b^5*(a^2 - b^2)^2*d) - (a*(15*A*b^6 + a^4*b^2*(3*A - 86*C) - 3*a^2*b^4*(2*A - 21*C) + 35*a^6*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*b^5*(a + b)^3*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((5*A*b^4 - 7*a^4*C + a^2*b^2*(A + 13*C))*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((a^2*b^2*(3*A - 61*C) - b^4*(21*A - 8*C) + 35*a^4*C)*Sin[c + d*x])/(12*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(7/2)), x, 10, -((a^2*b^4*(145*A - 192*C) - 3*a^4*b^2*(25*A - 187*C) - 315*a^6*C - 8*b^6*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(20*b^5*(a^2 - b^2)^2*d) + (a*(a^2*b^4*(33*A - 64*C) - 3*a^4*b^2*(5*A - 43*C) - 63*a^6*C - 8*b^6*(3*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^6*(a^2 - b^2)^2*d) + (a^2*(35*A*b^6 - a^2*b^4*(38*A - 99*C) + 15*a^4*b^2*(A - 10*C) + 63*a^6*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*b^6*(a + b)^3*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(7/2)) + ((7*A*b^4 - a^2*b^2*(A - 15*C) - 9*a^4*C)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((a^2*b^2*(15*A - 101*C) - b^4*(45*A - 8*C) + 63*a^4*C)*Sin[c + d*x])/(20*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (a*(b^4*(11*A - 8*C) - 5*a^2*b^2*(A - 7*C) - 21*a^4*C)*Sin[c + d*x])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/2) (A+C Cos[e+f x]^2) (a+b Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 8, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(16*A*b^4 + 6*a^2*b^2*(4*A + 7*C) - 21*a^4*(7*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^5*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(12*a*A*b^2 + 16*A*b^3 + 6*a^2*b*(6*A + 7*C) + 21*a^3*(7*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*(8*A*b^2 + a^2*(13*A + 21*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*a^3*d) - (2*(6*A*b^2 - 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*a^2*d) + (2*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*a*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 7, (2*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + a^2*(19*A + 35*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*a*A*b + 8*A*b^2 + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(4*A*b^2 - 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*a^2*d) + (2*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*a*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 6, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(2*A*b^2 - 3*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a*A + 2*A*b + 15*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 7, (2*A*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*(A*b - a*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(2*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(2*a*A - 2*A*b - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d - ((2*A - C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 8, -((a - b)*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(8*A*b + (a + 2*b)*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(a^2*C - 4*b^2*(2*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d)}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(3*a^2*C - 8*b^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(3*a^2*C - 2*a*b*C - 8*b^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + (a^2 + 4*b^2)*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((3*a^2*C - 8*b^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b^2*d)}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 10, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(48*A*b^2 + 15*a^2*C + 28*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(15*a^3*C - 10*a^2*b*C + 24*b^3*(4*A + 3*C) + 4*a*b^2*(12*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(5*a^4*C + 8*a^2*b^2*(2*A + C) - 16*b^4*(4*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((5*a^2*C + 4*b^2*(4*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (5*a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*(48*A*b^2 + 15*a^2*C + 28*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b^3*d)}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 8, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b^4 + 21*a^4*(7*A + 9*C) + 3*a^2*b^2*(11*A + 21*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*a*A*b^2 + 8*A*b^3 - 21*a^3*(7*A + 9*C) + a^2*(39*A*b + 63*b*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (4*b*(2*A*b^2 - a^2*(44*A + 63*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*a^2*d) + (2*(3*A*b^2 + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*a*d) + (2*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 7, (-4*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 - a^2*(41*A + 70*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(25*a^2*A - 57*a*A*b - 6*A*b^2 + 35*a^2*C - 105*a*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(3*A*b^2 + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*a*d) + (6*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 8, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(A*b^2 + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(5*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*(A*b^2 - 2*a*b*(2*A + 5*C) + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(5*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 9, ((a - b)*b*Sqrt[a + b]*(8*A - 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(6*A*b^2 + 2*a^2*(A + 3*C) - a*(8*A*b - 3*b*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (3*a*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d - (b*(8*A - 3*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(8*a*A - 16*A*b - 5*a*C - 2*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + 3*a^2*C + 4*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (b*(4*A - C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a*(8*A - 5*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(3*a^2*C + 8*b^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(48*a*A*b + 24*A*b^2 + 3*a^2*C + 14*a*b*C + 16*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a*Sqrt[a + b]*(24*A*b^2 - a^2*C + 12*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((3*a^2*C + 8*b^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 10, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(80*A*b^2 - 3*a^2*C + 52*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(3*a^3*C - 2*a^2*b*C - 8*b^3*(4*A + 3*C) - 4*a*b^2*(20*A + 13*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(3*a^4*C + 24*a^2*b^2*(2*A + C) + 16*b^4*(4*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((3*a^2*C - 4*b^2*(4*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*(80*A*b^2 - 3*a^2*C + 52*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(64*b^2*d)}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(13/2), x, 9, (2*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*(8*A*b^4 + 3*a^2*b^2*(17*A + 33*C) + a^4*(741*A + 957*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(693*a^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*a*A*b^3 + 8*A*b^4 + 15*a^4*(9*A + 11*C) + 3*a^2*b^2*(19*A + 33*C) - 6*a^3*b*(101*A + 132*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(693*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(4*A*b^4 - 15*a^4*(9*A + 11*C) - a^2*b^2*(205*A + 297*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(693*a^2*d) + (2*b*(3*A*b^2 + a^2*(229*A + 297*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*a*d) + (2*(5*A*b^2 + 3*a^2*(9*A + 11*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(231*d) + (10*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(11/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 8, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*A*b^4 - 21*a^4*(7*A + 9*C) - 3*a^2*b^2*(93*A + 161*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*A*b^3 + 21*a^3*(7*A + 9*C) + 15*a*b^2*(11*A + 21*C) - 6*a^2*b*(19*A + 28*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*(5*A*b^2 + a^2*(163*A + 231*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*a*d) + (2*(15*A*b^2 + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (10*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 9, (2*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 + a^2*(29*A + 49*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(21*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*(3*A*b^3 - 9*a*b^2*(3*A + 7*C) - a^3*(5*A + 7*C) + a^2*b*(29*A + 49*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(21*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b^2*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(3*A*b^2 + a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 10, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(b^2*(46*A - 15*C) + 6*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(30*A*b^3 - a*b^2*(46*A - 15*C) - 6*a^3*(3*A + 5*C) + a^2*(34*A*b + 90*b*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (5*a*b*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(5*A*b^2 + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) - ((b^2*(46*A - 15*C) + 6*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 10, ((a - b)*b*Sqrt[a + b]*(56*A - 27*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(12*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(6*b^2*(12*A + C) + 8*a^2*(A + 3*C) - a*(56*A*b - 27*b*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(12*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + 15*a^2*C + 4*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (b^2*(8*A - C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a*b*(56*A - 27*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d) + (10*A*b*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 10, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(a^2*(48*A - 33*C) - 8*b^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(a^2*(48*A - 33*C) - 8*b^2*(3*A + 2*C) - 2*a*b*(72*A + 13*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (5*a*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + (a^2 + 4*b^2)*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a*b*(8*A - 3*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (b*(6*A - C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((a^2*(48*A - 33*C) - 8*b^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 10, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(432*A*b^2 + 15*a^2*C + 284*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(15*a^3*C + 24*b^3*(4*A + 3*C) + 2*a^2*b*(192*A + 59*C) + 4*a*b^2*(108*A + 71*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(5*a^4*C - 120*a^2*b^2*(2*A + C) - 16*b^4*(4*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((5*a^2*C + 4*b^2*(4*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (5*a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*(432*A*b^2 + 15*a^2*C + 284*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 11, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(45*a^4*C - 256*b^4*(5*A + 4*C) - 12*a^2*b^2*(220*A + 141*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(1920*a*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(45*a^4*C - 30*a^3*b*C - 256*b^4*(5*A + 4*C) - 12*a^2*b^2*(220*A + 141*C) - 8*a*b^3*(260*A + 193*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(1920*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a*Sqrt[a + b]*(3*a^4*C + 40*a^2*b^2*(2*A + C) + 80*b^4*(4*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(128*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*(240*A*b^2 - 15*a^2*C + 172*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(320*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((15*a^2*C - 16*b^2*(5*A + 4*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(240*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (3*a*C*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(40*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((45*a^4*C - 256*b^4*(5*A + 4*C) - 12*a^2*b^2*(220*A + 141*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1920*b^2*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2))/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 7, (-4*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*(24*A*b^2 + a^2*(22*A + 35*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^5*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*(12*a*A*b^2 - 48*A*b^3 - 5*a^3*(5*A + 7*C) - a^2*(44*A*b + 70*b*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(24*A*b^2 + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*a^3*d) - (12*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*a^2*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*a*d)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2))/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + 3*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b]*(2*a*A*b - 8*A*b^2 - 3*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (8*A*b*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 5, (-4*A*(a - b)*b*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b]*(2*A*b + a*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 7, (2*A*(a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*A*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 7, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (Sqrt[a + b]*(2*A*b + a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (a*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 8, (3*(a - b)*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((3*a - 2*b)*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(3*a^2*C + 4*b^2*(2*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (3*a*C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d)}
+
+
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((2*(16*A*b^4 - 2*a^2*b^2*(4*A - 5*C) - a^4*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(5*a^5*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) - (2*(12*a*A*b^2 + 16*A*b^3 + 2*a^2*b*(2*A + 5*C) + a^3*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(5*a^4*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*(8*A*b^2 - a^2*(3*A - 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a^3*(a^2 - b^2)*d) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(6*A*b^2 - a^2*(A - 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*a^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*b*(8*A*b^2 - a^2*(5*A - 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(6*a*A*b + 8*A*b^2 + a^2*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(4*A*b^2 - a^2*(A - 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((2*(2*A*b^2 - a^2*(A - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^3*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) - (2*(2*A*b + a*(A - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*b*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 8, -(((2*A*b^2 + 3*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b^2*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + ((2*A*b^2 + a*(3*a + b)*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b^2*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (3*a*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((2*A*b^2 + 3*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 9, ((8*A*b^2 + 15*a^2*C - 7*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^3*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((8*A*b^2 + (15*a^2 + 5*a*b - 2*b^2)*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^3*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + 15*a^2*C + 4*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((4*A*b^2 + 5*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (a*(8*A*b^2 + 15*a^2*C - 7*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^3*(a^2 - b^2)*d)}
+
+
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((4*b*(8*A*b^4 + a^4*(4*A - 3*C) - a^2*b^2*(14*A - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^5*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) - (2*(12*a*A*b^3 + 16*A*b^4 - 2*a^2*b^2*(8*A - C) - a^4*(A + 3*C) - a^3*(9*A*b - 3*b*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (4*(5*a^2*A*b^2 - 3*A*b^4 + 2*a^4*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^4 + a^4*(A - 5*C) - a^2*b^2*(13*A - C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*(8*A*b^4 + 3*a^4*(A - C) - a^2*b^2*(15*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(6*a*A*b^2 + 8*A*b^3 - 3*a^3*(A - C) - a^2*b*(9*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (4*(2*A*b^4 - a^4*C - a^2*b^2*(4*A + C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, -((4*b*(A*b^2 - a^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) - (2*(2*A*b^2 + 3*a*b*(A + C) - a^2*(3*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (4*b*(A*b^2 - a^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 8, -((2*(A*b^4 - 3*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*b^2*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) - (2*(A*b^3 + 3*a^3*C + a^2*b*C - 3*a*b^2*(A + 2*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*b^2*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^4 - 3*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 7*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 9, ((8*A*b^4 - (15*a^4 - 26*a^2*b^2 + 3*b^4)*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*b^3*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((6*A*b^4 - a*b^3*(2*A - 3*C) - 15*a^4*C - 5*a^3*b*C + 21*a^2*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*(a - b)*b^3*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (5*a*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(3*A*b^4 - 5*a^4*C + a^2*b^2*(A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((8*A*b^4 - (15*a^4 - 26*a^2*b^2 + 3*b^4)*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+b Cos[e+f x])^n (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/2) (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+b Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/2) (B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+b Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+b Cos[e+f x])^n (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/2) (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+b Cos[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 8, (-2*(3*A*b + 3*a*B + 5*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(5*a*A + 7*b*B + 7*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(3*A*b + 3*a*B + 5*b*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(5*a*A + 7*b*B + 7*a*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(A*b + a*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 7, (-2*(3*a*A + 5*b*B + 5*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(A*b + a*B + 3*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*(3*a*A + 5*b*B + 5*a*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(A*b + a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 6, (-2*(A*b + a*B - b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*(3*b*B + a*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*(A*b + a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 6, (2*(b*B - a*(A - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*(3*A*b + 3*a*B + b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b*C*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 6, (2*(5*A*b + 5*a*B + 3*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(b*B + a*(3*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b*C*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(b*B + a*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 7, (2*(5*a*A + 3*b*B + 3*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(7*A*b + 7*a*B + 5*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b*C*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(b*B + a*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(7*A*b + 7*a*B + 5*b*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (2*(9*A*b + 9*a*B + 7*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(7*a*A + 5*b*B + 5*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b*C*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*(b*B + a*C)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(9*A*b + 9*a*B + 7*b*C)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(7*a*A + 5*b*B + 5*a*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 9, (-2*(18*a*b*B + 3*b^2*(3*A + 5*C) + a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(10*a*A*b + 5*a^2*B + 7*b^2*B + 14*a*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(18*a*b*B + 3*b^2*(3*A + 5*C) + a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(10*a*A*b + 5*a^2*B + 7*b^2*B + 14*a*b*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(4*A*b^2 + 18*a*b*B + a^2*(7*A + 9*C))*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*a*(4*A*b + 9*a*B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 8, (-2*(6*a*A*b + 3*a^2*B + 5*b^2*B + 10*a*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(14*a*b*B + 7*b^2*(A + 3*C) + a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(6*a*A*b + 3*a^2*B + 5*b^2*B + 10*a*b*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(4*A*b^2 + 14*a*b*B + a^2*(5*A + 7*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(4*A*b + 7*a*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 7, (-2*(10*a*b*B + 5*b^2*(A - C) + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(a^2*B + 3*b^2*B + 2*a*b*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*(4*A*b^2 + 10*a*b*B + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*(4*A*b + 5*a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 7, (-2*(a^2*B - b^2*B + 2*a*b*(A - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*(6*a*b*B + b^2*(3*A + C) + a^2*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*b^2*(A - C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(4*A*b + 3*a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, (2*(10*a*b*B - 5*a^2*(A - C) + b^2*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(3*a^2*B + b^2*B + 2*a*b*(3*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*b^2*(5*A - C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*b*(6*a*A - b*B - 2*a*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 7, (2*(10*a*A*b + 5*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(14*a*b*B + 7*a^2*(3*A + C) + b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b*(7*b*B + 4*a*C)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(7*A*b^2 + 14*a*b*B + 4*a^2*C + 5*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 8, (2*(18*a*b*B + 3*a^2*(5*A + 3*C) + b^2*(9*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(14*a*A*b + 7*a^2*B + 5*b^2*B + 10*a*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b*(9*b*B + 4*a*C)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(9*A*b^2 + 18*a*b*B + 4*a^2*C + 7*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(14*a*A*b + 7*a^2*B + 5*b^2*B + 10*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, (2*(18*a*A*b + 9*a^2*B + 7*b^2*B + 14*a*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(110*a*b*B + 11*a^2*(7*A + 5*C) + 5*b^2*(11*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*b*(11*b*B + 4*a*C)*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*(11*A*b^2 + 22*a*b*B + 4*a^2*C + 9*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(77*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(18*a*A*b + 9*a^2*B + 7*b^2*B + 14*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(110*a*b*B + 11*a^2*(7*A + 5*C) + 5*b^2*(11*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 9, (-2*(27*a^2*b*B + 15*b^3*B + 9*a*b^2*(3*A + 5*C) + a^3*(7*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(5*a^3*B + 21*a*b^2*B + 7*b^3*(A + 3*C) + 3*a^2*b*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(27*a^2*b*B + 15*b^3*B + 9*a*b^2*(3*A + 5*C) + a^3*(7*A + 9*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(8*A*b^3 + 15*a^3*B + 54*a*b^2*B + 9*a^2*b*(5*A + 7*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*a*(24*A*b^2 + 99*a*b*B + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*(2*A*b + 3*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 8, (-2*(3*a^3*B + 15*a*b^2*B + 5*b^3*(A - C) + 3*a^2*b*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(21*a^2*b*B + 21*b^3*B + 21*a*b^2*(A + 3*C) + a^3*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(24*A*b^3 + 21*a^3*B + 98*a*b^2*B + 21*a^2*b*(3*A + 5*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*a*(24*A*b^2 + 63*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(6*A*b + 7*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 8, (-2*(15*a^2*b*B - 5*b^3*B + 15*a*b^2*(A - C) + a^3*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(a^3*B + 9*a*b^2*B + b^3*(3*A + C) + 3*a^2*b*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*b^2*(9*A*b + 5*a*B - 5*b*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(24*A*b^2 + 35*a*b*B + 3*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(6*A*b + 5*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 8, (-2*(5*a^3*B - 15*a*b^2*B + 15*a^2*b*(A - C) - b^3*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(9*a^2*b*B + b^3*B + 3*a*b^2*(3*A + C) + a^3*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*b^2*(35*A*b + 15*a*B - 3*b*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*b*(6*a^2*B - b^2*B + 3*a*b*(5*A - C))*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(2*A*b + a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (2*(15*a^2*b*B + 3*b^3*B - 5*a^3*(A - C) + 3*a*b^2*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(21*a^3*B + 21*a*b^2*B + 21*a^2*b*(3*A + C) + b^3*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) - (2*b^2*(35*a*A - 7*b*B - 11*a*C)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*(21*a*b*B - 6*a^2*(7*A - 3*C) + b^2*(7*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b*(7*A - C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 8, (2*(15*a^3*B + 27*a*b^2*B + 9*a^2*b*(5*A + 3*C) + b^3*(9*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(21*a^2*b*B + 5*b^3*B + 7*a^3*(3*A + C) + 3*a*b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b*(63*A*b^2 + 99*a*b*B + 24*a^2*C + 49*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(54*a^2*b*B + 15*b^3*B + 8*a^3*C + 9*a*b^2*(7*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(3*b*B + 2*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, (2*(27*a^2*b*B + 7*b^3*B + 3*a^3*(5*A + 3*C) + 3*a*b^2*(9*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(77*a^3*B + 165*a*b^2*B + 33*a^2*b*(7*A + 5*C) + 5*b^3*(11*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*b*(99*A*b^2 + 143*a*b*B + 24*a^2*C + 81*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(242*a^2*b*B + 77*b^3*B + 24*a^3*C + 33*a*b^2*(9*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(495*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(11*b*B + 6*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(77*a^3*B + 165*a*b^2*B + 33*a^2*b*(7*A + 5*C) + 5*b^3*(11*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^3*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 10, (2*(117*a^3*B + 273*a*b^2*B + 39*a^2*b*(9*A + 7*C) + 7*b^3*(13*A + 11*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(195*d) + (2*(165*a^2*b*B + 45*b^3*B + 11*a^3*(7*A + 5*C) + 15*a*b^2*(11*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*b*(143*A*b^2 + 195*a*b*B + 24*a^2*C + 121*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(1287*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*(338*a^2*b*B + 117*b^3*B + 24*a^3*C + 39*a*b^2*(11*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(1001*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(13*b*B + 6*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(143*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(13*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(117*a^3*B + 273*a*b^2*B + 39*a^2*b*(9*A + 7*C) + 7*b^3*(13*A + 11*C))*Sin[c + d*x])/(585*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(165*a^2*b*B + 45*b^3*B + 11*a^3*(7*A + 5*C) + 15*a*b^2*(11*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(13/2), x, 10, (-2*(7*a^4*B + 54*a^2*b^2*B + 15*b^4*B + 12*a*b^3*(3*A + 5*C) + 4*a^3*b*(7*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(220*a^3*b*B + 308*a*b^3*B + 77*b^4*(A + 3*C) + 66*a^2*b^2*(5*A + 7*C) + 5*a^4*(9*A + 11*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*(7*a^4*B + 54*a^2*b^2*B + 15*b^4*B + 12*a*b^3*(3*A + 5*C) + 4*a^3*b*(7*A + 9*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(64*A*b^4 + 660*a^3*b*B + 682*a*b^3*B + 15*a^4*(9*A + 11*C) + 9*a^2*b^2*(101*A + 143*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*a*(192*A*b^3 + 539*a^3*B + 1353*a*b^2*B + 2*a^2*b*(673*A + 891*C))*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3465*d) + (2*(16*A*b^2 + 55*a*b*B + 3*a^2*(9*A + 11*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*(8*A*b + 11*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^(11/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 9, (-2*(36*a^3*b*B + 60*a*b^3*B + 15*b^4*(A - C) + 18*a^2*b^2*(3*A + 5*C) + a^4*(7*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(5*a^4*B + 42*a^2*b^2*B + 21*b^4*B + 28*a*b^3*(A + 3*C) + 4*a^3*b*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(192*A*b^4 + 756*a^3*b*B + 1098*a*b^3*B + 21*a^4*(7*A + 9*C) + 7*a^2*b^2*(155*A + 261*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*a*(64*A*b^3 + 75*a^3*B + 261*a*b^2*B + a^2*(202*A*b + 294*b*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*(48*A*b^2 + 117*a*b*B + 7*a^2*(7*A + 9*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*(8*A*b + 9*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 9, (-2*(3*a^4*B + 30*a^2*b^2*B - 5*b^4*B + 20*a*b^3*(A - C) + 4*a^3*b*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(28*a^3*b*B + 84*a*b^3*B + 7*b^4*(3*A + C) + 42*a^2*b^2*(A + 3*C) + a^4*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) - (2*b^2*(98*a*b*B + b^2*(87*A - 35*C) + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(192*A*b^3 + 63*a^3*B + 413*a*b^2*B + a^2*(202*A*b + 350*b*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(48*A*b^2 + 77*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 7*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(8*A*b + 7*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 9, (-2*(20*a^3*b*B - 20*a*b^3*B + 30*a^2*b^2*(A - C) - b^4*(5*A + 3*C) + a^4*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(a^4*B + 18*a^2*b^2*B + b^4*B + 4*a*b^3*(3*A + C) + 4*a^3*b*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*b^2*(50*a*b*B + b^2*(59*A - 3*C) + 3*a^2*(3*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(15*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*b*(105*a^2*b*B - 5*b^3*B + 4*a*b^2*(33*A - 5*C) + 6*a^3*(3*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(16*A*b^2 + 15*a*b*B + a^2*(3*A + 5*C))*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(8*A*b + 5*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 9, (-2*(5*a^4*B - 30*a^2*b^2*B - 3*b^4*B + 20*a^3*b*(A - C) - 4*a*b^3*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(84*a^3*b*B + 28*a*b^3*B + 42*a^2*b^2*(3*A + C) + 7*a^4*(A + 3*C) + b^4*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) - (2*b^2*(350*a*A*b + 105*a^2*B - 21*b^2*B - 54*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*b*(42*a^3*B - 28*a*b^2*B + 3*a^2*b*(49*A - 13*C) - b^3*(7*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b*(21*A*b + 7*a*B - b*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(8*A*b + 3*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, (2*(60*a^3*b*B + 36*a*b^3*B - 15*a^4*(A - C) + 18*a^2*b^2*(5*A + 3*C) + b^4*(9*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(21*a^4*B + 42*a^2*b^2*B + 5*b^4*B + 28*a^3*b*(3*A + C) + 4*a*b^3*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b^2*(162*a*b*B - a^2*(315*A - 123*C) + 7*b^2*(9*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(315*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*(117*a^2*b*B + 15*b^3*B - a^3*(126*A - 62*C) + 12*a*b^2*(7*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b*(21*a*A - 3*b*B - 5*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b*(9*A - C)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, (2*(15*a^4*B + 54*a^2*b^2*B + 7*b^4*B + 12*a^3*b*(5*A + 3*C) + 4*a*b^3*(9*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(308*a^3*b*B + 220*a*b^3*B + 77*a^4*(3*A + C) + 66*a^2*b^2*(7*A + 5*C) + 5*b^4*(11*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*b*(1353*a^2*b*B + 539*b^3*B + 192*a^3*C + 2*a*b^2*(891*A + 673*C))*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(682*a^3*b*B + 660*a*b^3*B + 64*a^4*C + 15*b^4*(11*A + 9*C) + 9*a^2*b^2*(143*A + 101*C))*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(33*A*b^2 + 55*a*b*B + 16*a^2*C + 27*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(11*b*B + 8*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(99*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(11*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^4*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 10, (2*(468*a^3*b*B + 364*a*b^3*B + 39*a^4*(5*A + 3*C) + 78*a^2*b^2*(9*A + 7*C) + 7*b^4*(13*A + 11*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(195*d) + (2*(77*a^4*B + 330*a^2*b^2*B + 45*b^4*B + 44*a^3*b*(7*A + 5*C) + 20*a*b^3*(11*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*b*(2171*a^2*b*B + 1053*b^3*B + 192*a^3*C + 2*a*b^2*(1573*A + 1259*C))*Sin[c + d*x])/(9009*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(3458*a^3*b*B + 4004*a*b^3*B + 192*a^4*C + 77*b^4*(13*A + 11*C) + 11*a^2*b^2*(637*A + 491*C))*Sin[c + d*x])/(6435*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(143*A*b^2 + 221*a*b*B + 48*a^2*C + 121*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(1287*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(13*b*B + 8*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(143*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*C*(a + b*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(13*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(77*a^4*B + 330*a^2*b^2*B + 45*b^4*B + 44*a^3*b*(7*A + 5*C) + 20*a*b^3*(11*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2))/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 9, (-2*(5*A*b^2 - 5*a*b*B + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a^3*d) - (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - (2*b*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a + b)*d) + (2*(5*A*b^2 - 5*a*b*B + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^3*d) - (2*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + (2*A*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d)}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 8, (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a + b)*d) - (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + (2*A*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 7, (-2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*b*(a + b)*d) + (2*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d)}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + b*Cos[c + d*x]), x, 6, (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d) + (2*(b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*(a + b)*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 7, (2*(b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d) + (2*(b^2*(3*A + C) - 3*a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b^3*d) - (2*a*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*(a + b)*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 8, (2*(5*A*b^2 - 5*a*b*B + 5*a^2*C + 3*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*b^3*d) + (2*(3*a^2*b*B + b^3*B - 3*a^3*C - a*b^2*(3*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b^4*d) + (2*a^2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^4*(a + b)*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 9, (2*(5*a^2*b*B + 3*b^3*B - 5*a^3*C - a*b^2*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*b^4*d) - (2*(21*a^3*b*B + 7*a*b^3*B - 21*a^4*C - 7*a^2*b^2*(3*A + C) - b^4*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*b^5*d) - (2*a^3*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^5*(a + b)*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(7*b*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(7*A*b^2 - 7*a*b*B + 7*a^2*C + 5*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(21*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 9, -(((5*A*b^3 + 2*a^3*B - 3*a*b^2*B - a^2*b*(4*A - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a^2 - b^2)*d)) - ((5*A*b^2 - 3*a*b*B - a^2*(2*A - 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) - ((5*A*b^4 + 5*a^3*b*B - 3*a*b^3*B - a^2*b^2*(7*A - C) - 3*a^4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a - b)*(a + b)^2*d) + ((5*A*b^3 + 2*a^3*B - 3*a*b^2*B - a^2*b*(4*A - C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) - ((5*A*b^2 - 3*a*b*B - a^2*(2*A - 3*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 8, ((3*A*b^2 - a*b*B - a^2*(2*A - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*b*(a^2 - b^2)*d) + ((3*A*b^4 + 3*a^3*b*B - a*b^3*B - a^4*C - a^2*b^2*(5*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a - b)*b*(a + b)^2*d) - ((3*A*b^2 - a*b*B - a^2*(2*A - C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + b*Cos[c + d*x])^2, x, 7, -(((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*b*(a^2 - b^2)*d)) - ((A*b^2 - a*b*B - a^2*C + 2*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^4 + a^3*b*B + a*b^3*B + a^4*C - 3*a^2*b^2*(A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a - b)*b^2*(a + b)^2*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 7, ((A*b^2 - a*b*B + 3*a^2*C - 2*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) + ((a^2*b*B - 2*b^3*B - 3*a^3*C + a*b^2*(A + 4*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^4 + a^3*b*B - 3*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a - b)*b^3*(a + b)^2*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 8, ((3*a^2*b*B - 2*b^3*B - a*b^2*(A - 4*C) - 5*a^3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((9*a^3*b*B - 12*a*b^3*B - a^2*b^2*(3*A - 16*C) - 15*a^4*C + 2*b^4*(3*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b^4*(a^2 - b^2)*d) + (a*(3*A*b^4 + 3*a^3*b*B - 5*a*b^3*B - a^2*b^2*(A - 7*C) - 5*a^4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a - b)*b^4*(a + b)^2*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((3*A*b^2 - 3*a*b*B + 5*a^2*C - 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 9, -((25*a^3*b*B - 20*a*b^3*B - 3*a^2*b^2*(5*A - 8*C) - 35*a^4*C + 2*b^4*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*b^4*(a^2 - b^2)*d) + ((15*a^4*b*B - 16*a^2*b^3*B - 2*b^5*B - a^3*b^2*(9*A - 20*C) - 21*a^5*C + 4*a*b^4*(3*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b^5*(a^2 - b^2)*d) - (a^2*(5*A*b^4 + 5*a^3*b*B - 7*a*b^3*B - 3*a^2*b^2*(A - 3*C) - 7*a^4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a - b)*b^5*(a + b)^2*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((5*A*b^2 - 5*a*b*B + 7*a^2*C - 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((5*a^2*b*B - 2*b^3*B - a*b^2*(3*A - 4*C) - 7*a^3*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 10, ((35*A*b^5 - 8*a^5*B + 29*a^3*b^2*B - 15*a*b^4*B + 3*a^4*b*(8*A - 3*C) - a^2*b^3*(65*A - 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((35*A*b^4 + 33*a^3*b*B - 15*a*b^3*B + a^4*(8*A - 21*C) - a^2*b^2*(61*A - 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((35*A*b^6 - 35*a^5*b*B + 38*a^3*b^3*B - 15*a*b^5*B - a^2*b^4*(86*A - 3*C) + 3*a^4*b^2*(21*A - 2*C) + 15*a^6*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^4*(a - b)^2*(a + b)^3*d) - ((35*A*b^5 - 8*a^5*B + 29*a^3*b^2*B - 15*a*b^4*B + 3*a^4*b*(8*A - 3*C) - a^2*b^3*(65*A - 3*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((35*A*b^4 + 33*a^3*b*B - 15*a*b^3*B + a^4*(8*A - 21*C) - a^2*b^2*(61*A - 3*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((7*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 3*a*b^3*B - 5*a^4*C - a^2*b^2*(13*A + C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 9, -((15*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 3*a*b^3*B + a^4*(8*A - 5*C) - a^2*b^2*(29*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((5*A*b^4 + 7*a^3*b*B - a*b^3*B - 3*a^4*C - a^2*b^2*(11*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*b*(a^2 - b^2)^2*d) - ((15*A*b^6 - 15*a^5*b*B + 6*a^3*b^3*B - 3*a*b^5*B + 3*a^6*C - a^2*b^4*(38*A + C) + 5*a^4*b^2*(7*A + 2*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^3*(a - b)^2*b*(a + b)^3*d) + ((15*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 3*a*b^3*B + a^4*(8*A - 5*C) - a^2*b^2*(29*A + C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((5*A*b^4 + 7*a^3*b*B - a*b^3*B - 3*a^4*C - a^2*b^2*(11*A + 3*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + b*Cos[c + d*x])^3, x, 8, ((3*A*b^4 + 5*a^3*b*B + a*b^3*B - a^4*C - a^2*b^2*(9*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*b*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^4 + 3*a^3*b*B + 3*a*b^3*B + a^4*C - 7*a^2*b^2*(A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*A*b^6 - 3*a^5*b*B - 10*a^3*b^3*B + a*b^5*B - 3*a^2*b^4*(2*A - C) - a^6*C + 5*a^4*b^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*(a - b)^2*b^2*(a + b)^3*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((3*A*b^4 + 5*a^3*b*B + a*b^3*B - a^4*C - a^2*b^2*(9*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 8, ((A*b^4 - a^3*b*B - 5*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(5*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^3*b*B - 7*a*b^3*B + a^2*b^2*(3*A - 5*C) + 3*a^4*C + b^4*(3*A + 8*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^6 - a^5*b*B + 10*a^3*b^3*B + 3*a*b^5*B - 3*a^4*b^2*(A - 2*C) - 3*a^6*C - 5*a^2*b^4*(2*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*(a - b)^2*b^3*(a + b)^3*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A*b^4 - a^3*b*B - 5*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(5*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(4*a*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 8, -((3*a^3*b*B - 9*a*b^3*B + b^4*(5*A - 8*C) - 15*a^4*C + a^2*b^2*(A + 29*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*a^4*b*B - 5*a^2*b^3*B + 8*b^5*B - 15*a^5*C - a*b^4*(7*A + 24*C) + a^3*b^2*(A + 33*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*A*b^6 - 3*a^5*b*B + 6*a^3*b^3*B - 15*a*b^5*B + 15*a^6*C + 5*a^2*b^4*(2*A + 7*C) - a^4*b^2*(A + 38*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*b^4*(a + b)^3*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((3*A*b^4 + a^3*b*B - 7*a*b^3*B - 5*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 11*C))*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(5/2)), x, 9, ((15*a^4*b*B - 29*a^2*b^3*B + 8*b^5*B - a^3*b^2*(3*A - 65*C) + 3*a*b^4*(3*A - 8*C) - 35*a^5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((45*a^5*b*B - 99*a^3*b^3*B + 72*a*b^5*B - a^4*b^2*(9*A - 223*C) + a^2*b^4*(15*A - 128*C) - 105*a^6*C - 8*b^6*(3*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(12*b^5*(a^2 - b^2)^2*d) - (a*(15*A*b^6 - 15*a^5*b*B + 38*a^3*b^3*B - 35*a*b^5*B + a^4*b^2*(3*A - 86*C) - 3*a^2*b^4*(2*A - 21*C) + 35*a^6*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*b^5*(a + b)^3*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2)) + ((5*A*b^4 + 3*a^3*b*B - 9*a*b^3*B - 7*a^4*C + a^2*b^2*(A + 13*C))*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2)) - ((15*a^3*b*B - 33*a*b^3*B - a^2*b^2*(3*A - 61*C) + b^4*(21*A - 8*C) - 35*a^4*C)*Sin[c + d*x])/(12*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(7/2)), x, 10, -((175*a^5*b*B - 325*a^3*b^3*B + 120*a*b^5*B + a^2*b^4*(145*A - 192*C) - 3*a^4*b^2*(25*A - 187*C) - 315*a^6*C - 8*b^6*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(20*b^5*(a^2 - b^2)^2*d) + ((105*a^6*b*B - 223*a^4*b^3*B + 128*a^2*b^5*B + 8*b^7*B + 3*a^3*b^4*(33*A - 64*C) - 9*a^5*b^2*(5*A - 43*C) - 189*a^7*C - 24*a*b^6*(3*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(12*b^6*(a^2 - b^2)^2*d) + (a^2*(35*A*b^6 - 35*a^5*b*B + 86*a^3*b^3*B - 63*a*b^5*B - a^2*b^4*(38*A - 99*C) + 15*a^4*b^2*(A - 10*C) + 63*a^6*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*b^6*(a + b)^3*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(7/2)) + ((7*A*b^4 + 5*a^3*b*B - 11*a*b^3*B - a^2*b^2*(A - 15*C) - 9*a^4*C)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2)) - ((35*a^3*b*B - 65*a*b^3*B - a^2*b^2*(15*A - 101*C) + b^4*(45*A - 8*C) - 63*a^4*C)*Sin[c + d*x])/(20*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((35*a^4*b*B - 61*a^2*b^3*B + 8*b^5*B + 3*a*b^4*(11*A - 8*C) - 15*a^3*b^2*(A - 7*C) - 63*a^5*C)*Sin[c + d*x])/(12*b^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^(m/2) (A+B Cos[e+f x]+C Cos[e+f x]^2) (a+b Cos[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 8, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(16*A*b^4 - 57*a^3*b*B - 24*a*b^3*B + 6*a^2*b^2*(4*A + 7*C) - 21*a^4*(7*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^5*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(16*A*b^3 + 12*a*b^2*(A - 2*B) + 6*a^2*b*(6*A - 3*B + 7*C) + 3*a^3*(49*A - 25*B + 63*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^3 + 75*a^3*B - 12*a*b^2*B + a^2*b*(13*A + 21*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*a^3*d) - (2*(6*A*b^2 - 9*a*b*B - 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*a^2*d) + (2*(A*b + 9*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*a*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b^3 + 63*a^3*B - 14*a*b^2*B + a^2*b*(19*A + 35*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + 2*a*b*(3*A - 7*B) + a^2*(25*A - 63*B + 35*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(4*A*b^2 - 7*a*b*B - 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*a^2*d) + (2*(A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*a*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 6, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(2*A*b^2 - 5*a*b*B - 3*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(2*A*b + a*(9*A - 5*B + 15*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(A*b + 3*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*(b*(A - 3*B) - a*(A - 3*B + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(2*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(2*A*b - a*(2*A - 2*B - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(2*b*B + a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d - ((2*A - C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 8, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(4*b*B + a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(8*A*b + a*C + 2*b*(2*B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + 4*a*b*B - a^2*C + 4*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((4*b*B + a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d)}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(8*b^2*(3*A + 2*C) + 3*a*(2*b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(24*A*b^2 + (a + 2*b)*(6*b*B - 3*a*C + 8*b*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(2*a^2*b*B - 8*b^3*B - a^3*C - 4*a*b^2*(2*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((2*b*B - a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((8*b^2*(3*A + 2*C) + 3*a*(2*b*B - a*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b^2*d)}
+{(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 10, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(24*a^2*b*B - 128*b^3*B - 15*a^3*C - 4*a*b^2*(12*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*a*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(15*a^3*C - 2*a^2*b*(12*B + 5*C) + 4*a*b^2*(12*A + 4*B + 7*C) + 8*b^3*(12*A + 16*B + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(8*a^3*b*B + 32*a*b^3*B - 5*a^4*C - 8*a^2*b^2*(2*A + C) + 16*b^4*(4*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((16*A*b^2 - 8*a*b*B + 5*a^2*C + 12*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((8*b*B - 5*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((24*a^2*b*B - 128*b^3*B - 15*a^3*C - 4*a*b^2*(12*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b^3*d)}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 8, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b^4 + 246*a^3*b*B - 18*a*b^3*B + 21*a^4*(7*A + 9*C) + 3*a^2*b^2*(11*A + 21*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b^3 + 6*a*b^2*(A - 3*B) + 3*a^2*b*(13*A - 57*B + 21*C) - 3*a^3*(49*A - 25*B + 63*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(4*A*b^3 - 75*a^3*B - 9*a*b^2*B - 2*a^2*b*(44*A + 63*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*a^2*d) + (2*(3*A*b^2 + 72*a*b*B + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*a*d) + (2*(A*b + 3*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 7, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*A*b^3 - 63*a^3*B - 21*a*b^2*B - 2*a^2*b*(41*A + 70*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*A*b^2 - a^2*(25*A - 63*B + 35*C) + 3*a*b*(19*A - 7*B + 35*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(3*A*b^2 + 42*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*a*d) + (2*(3*A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 8, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 + 20*a*b*B + 3*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*(3*b^2*(A - 5*B) - 2*a*b*(6*A - 10*B + 15*C) + a^2*(9*A - 5*B + 15*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(3*A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b + 6*a*B - 3*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(6*A*b^2 + 2*a^2*(A - 3*B + 3*C) - a*b*(8*A - 3*(4*B + C)))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(2*b*B + 3*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b + a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d - ((8*A*b + 6*a*B - 3*b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a*A - 4*b*B - 5*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(a*(8*A - 8*B - 5*C) - 2*b*(8*A + 2*B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + 12*a*b*B + 3*a^2*C + 4*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (b*(4*A - C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((8*a*A - 4*b*B - 5*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(24*A*b^2 + 30*a*b*B + 3*a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(3*a^2*C + 4*b^2*(6*A + 3*B + 4*C) + 2*a*b*(24*A + 15*B + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(6*a^2*b*B + 8*b^3*B - a^3*C + 12*a*b^2*(2*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((2*b*B + a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((24*A*b^2 + 30*a*b*B + 3*a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 10, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(24*a^2*b*B + 128*b^3*B - 9*a^3*C + 12*a*b^2*(20*A + 13*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*a*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(9*a^3*C - 6*a^2*b*(4*B + C) - 8*b^3*(12*A + 16*B + 9*C) - 4*a*b^2*(60*A + 28*B + 39*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(8*a^3*b*B - 96*a*b^3*B - 3*a^4*C - 24*a^2*b^2*(2*A + C) - 16*b^4*(4*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((4*b^2*(4*A + 3*C) + a*(8*b*B - 3*a*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((8*b*B - 3*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((24*a^2*b*B + 128*b^3*B - 9*a^3*C + 12*a*b^2*(20*A + 13*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b^2*d)}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(13/2), x, 9, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B + 15*a^2*b^3*(17*A + 33*C) + 15*a^4*b*(247*A + 319*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3465*a^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(40*A*b^4 + 10*a*b^3*(3*A - 11*B) + 15*a^2*b^2*(19*A - 121*B + 33*C) + 3*a^4*(225*A - 539*B + 275*C) - 6*a^3*b*(505*A - 209*B + 660*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3465*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(20*A*b^4 - 1793*a^3*b*B - 55*a*b^3*B - 75*a^4*(9*A + 11*C) - 5*a^2*b^2*(205*A + 297*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3465*a^2*d) + (2*(15*A*b^3 + 539*a^3*B + 825*a*b^2*B + 5*a^2*b*(229*A + 297*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3465*a*d) + (2*(5*A*b^2 + 44*a*b*B + 3*a^2*(9*A + 11*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*(5*A*b + 11*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(11/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(11/2), x, 8, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*A*b^4 - 435*a^3*b*B - 45*a*b^3*B - 21*a^4*(7*A + 9*C) - 3*a^2*b^2*(93*A + 161*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*A*b^3 + 15*a*b^2*(11*A - 3*B + 21*C) - 6*a^2*b*(19*A - 60*B + 28*C) + 3*a^3*(49*A - 25*B + 63*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(315*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(5*A*b^3 + 75*a^3*B + 135*a*b^2*B + a^2*b*(163*A + 231*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*a*d) + (2*(15*A*b^2 + 90*a*b*B + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*(5*A*b + 9*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 9, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(15*A*b^3 + 63*a^3*B + 161*a*b^2*B + 5*a^2*b*(29*A + 49*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*(15*b^3*(A - 7*B) - a^3*(25*A - 63*B + 35*C) + a^2*b*(145*A - 119*B + 245*C) - a*b^2*(135*A - 161*B + 315*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b^2*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(15*A*b^2 + 56*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(5*A*b + 7*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 10, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(70*a*b*B + b^2*(46*A - 15*C) + 6*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(30*A*b^3 - 2*a^3*(9*A - 5*B + 15*C) + 2*a^2*b*(17*A - 35*B + 45*C) - a*b^2*(46*A - 15*(6*B + C)))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (b*Sqrt[a + b]*(2*b*B + 5*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(5*A*b^2 + 10*a*b*B + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) - ((70*a*b*B + b^2*(46*A - 15*C) + 6*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(A*b + a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 10, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(24*a^2*B - 12*b^2*B + a*b*(56*A - 27*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(12*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(a*b*(56*A - 72*B - 27*C) - 6*b^2*(12*A + 2*B + C) - 8*a^2*(A - 3*B + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(12*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 + 20*a*b*B + 15*a^2*C + 4*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (b*(8*A*b + 4*a*B - b*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((24*a^2*B - 12*b^2*B + a*b*(56*A - 27*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d) + (2*(5*A*b + 3*a*B)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 10, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(54*a*b*B - a^2*(48*A - 33*C) + 8*b^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(a^2*(48*A - 48*B - 33*C) - 4*b^2*(6*A + 3*B + 4*C) - 2*a*b*(72*A + 27*B + 13*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(30*a^2*b*B + 8*b^3*B + 5*a^3*C + 20*a*b^2*(2*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (b*(8*a*A - 2*b*B - 3*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (b*(6*A - C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((54*a*b*B - a^2*(48*A - 33*C) + 8*b^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (2*A*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 10, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(264*a^2*b*B + 128*b^3*B + 15*a^3*C + 4*a*b^2*(108*A + 71*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*a*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(15*a^3*C + 8*b^3*(12*A + 16*B + 9*C) + 2*a^2*b*(192*A + 132*B + 59*C) + 4*a*b^2*(108*A + 52*B + 71*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(192*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(40*a^3*b*B + 160*a*b^3*B - 5*a^4*C + 120*a^2*b^2*(2*A + C) + 16*b^4*(4*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(64*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((16*A*b^2 + 24*a*b*B + 5*a^2*C + 12*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((8*b*B + 5*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((264*a^2*b*B + 128*b^3*B + 15*a^3*C + 4*a*b^2*(108*A + 71*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b*d)}
+{((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 11, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(150*a^3*b*B + 2840*a*b^3*B - 45*a^4*C + 256*b^4*(5*A + 4*C) + 12*a^2*b^2*(220*A + 141*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(1920*a*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(45*a^4*C - 30*a^3*b*(5*B + C) - 16*b^4*(80*A + 45*B + 64*C) - 8*a*b^3*(260*A + 355*B + 193*C) - 4*a^2*b^2*(660*A + 295*B + 423*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(1920*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(10*a^4*b*B - 240*a^2*b^3*B - 96*b^5*B - 3*a^5*C - 40*a^3*b^2*(2*A + C) - 80*a*b^4*(4*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(128*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((50*a^2*b*B + 120*b^3*B - 15*a^3*C + 4*a*b^2*(60*A + 43*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(320*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((80*A*b^2 + 50*a*b*B - 15*a^2*C + 64*b^2*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(240*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((10*b*B - 3*a*C)*(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(40*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*(a + b*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((150*a^3*b*B + 2840*a*b^3*B - 45*a^4*C + 256*b^4*(5*A + 4*C) + 12*a^2*b^2*(220*A + 141*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1920*b^2*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(9/2))/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 7, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(48*A*b^3 - 63*a^3*B - 56*a*b^2*B + a^2*(44*A*b + 70*b*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^5*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b]*(48*A*b^3 - 4*a*b^2*(3*A + 14*B) + a^3*(25*A - 63*B + 35*C) + 2*a^2*b*(22*A + 7*(B + 5*C)))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(105*a^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(24*A*b^2 - 28*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*a^3*d) - (2*(6*A*b - 7*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*a^2*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*a*d)}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2))/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 - 10*a*b*B + 3*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 - 2*a*b*(A + 5*B) + a^2*(9*A - 5*B + 15*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(4*A*b - 5*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d)}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 5, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(2*A*b - 3*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b]*(2*A*b + a*(A - 3*B + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 6, (2*A*(a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*(A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 7, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (Sqrt[a + b]*(2*A*b + a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(2*b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 8, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(4*b*B - 3*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(3*a*C - 2*b*(2*B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 - 4*a*b*B + 3*a^2*C + 4*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((4*b*B - 3*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 9, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(24*A*b^2 - 18*a*b*B + 15*a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*a*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[a + b]*(24*A*b^2 - 18*a*b*B + 12*b^2*B + 15*a^2*C - 10*a*b*C + 16*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(24*b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(6*a^2*b*B + 8*b^3*B - 5*a^3*C - 4*a*b^2*(2*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(8*b^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((6*b*B - 5*a*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((24*A*b^2 - 18*a*b*B + 15*a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b^3*d)}
+
+{((a*A + (A*b + a*B)*Cos[c + d*x] + b*B*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]], x, 8, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (Sqrt[a + b]*(2*A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(2*A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (B*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(7/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((2*(48*A*b^4 + 25*a^3*b*B - 40*a*b^3*B - 6*a^2*b^2*(4*A - 5*C) - 3*a^4*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^5*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) - (2*(48*A*b^3 + 4*a*b^2*(9*A - 10*B) + 6*a^2*b*(2*A - 5*B + 5*C) + a^3*(9*A - 5*B + 15*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(15*a^4*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(24*A*b^3 + 5*a^3*B - 20*a*b^2*B - a^2*(9*A*b - 15*b*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*(a^2 - b^2)*d) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(6*A*b^2 - 5*a*b*B - a^2*(A - 5*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*a^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*(8*A*b^3 + 3*a^3*B - 6*a*b^2*B - a^2*(5*A*b - 3*b*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^2 + 6*a*b*(A - B) + a^2*(A - 3*B + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(4*A*b^2 - 3*a*b*B - a^2*(A - 3*C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((2*(2*A*b^2 - a*b*B - a^2*(A - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^3*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) - (2*(2*A*b + a*(A - B - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a^2*b*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b + b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]), x, 8, -(((2*A*b^2 - 2*a*b*B + 3*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b^2*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + ((2*A*b^2 - a*(b*(2*B - C) - 3*a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(a*b^2*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(2*b*B - 3*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(b^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((2*A*b^2 - 2*a*b*B + 3*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 9, -((12*a^2*b*B - 4*b^3*B - a*b^2*(8*A - 7*C) - 15*a^3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*a*b^3*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((8*A*b^2 - a*b*(12*B - 5*C) + 15*a^2*C - 2*b^2*(2*B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^3*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[a + b]*(8*A*b^2 - 12*a*b*B + 15*a^2*C + 4*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/b, ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(4*b^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((4*A*b^2 - 4*a*b*B + 5*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((12*a^2*b*B - 4*b^3*B - a*b^2*(8*A - 7*C) - 15*a^3*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^3*(a^2 - b^2)*d)}
+
+
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(5/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((2*(16*A*b^5 - 3*a^5*B + 15*a^3*b^2*B - 8*a*b^4*B - 2*a^2*b^3*(14*A - C) + a^4*(8*A*b - 6*b*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^5*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) - (2*(16*A*b^4 + 4*a*b^3*(3*A - 2*B) - 3*a^3*b*(3*A - 3*B - C) - 2*a^2*b^2*(8*A + 3*B - C) - a^4*(A - 3*B + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*(10*a^2*A*b^2 - 6*A*b^4 - 7*a^3*b*B + 3*a*b^3*B + 4*a^4*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^4 + 8*a^3*b*B - 4*a*b^3*B + a^4*(A - 5*C) - a^2*b^2*(13*A - C))*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^(3/2))/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*(8*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 2*a*b^3*B + 3*a^4*(A - C) - a^2*b^2*(15*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^3 + 2*a*b^2*(3*A - B) - 3*a^3*(A - B - C) - a^2*b*(9*A + 3*B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*(4*A*b^4 + 5*a^3*b*B - a*b^3*B - 2*a^4*C - 2*a^2*b^2*(4*A + C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+{((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 6, -((2*(2*A*b^3 + 3*a^3*B + a*b^2*B - 2*a^2*b*(3*A + 2*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^3*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])) - (2*(2*A*b^2 - a^2*(3*A + 3*B + C) + a*b*(3*A + B + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3*a^2*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(2*A*b^3 + 3*a^3*B + a*b^2*B - 2*a^2*b*(3*A + 2*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])}
+(* {(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(1/2)), x, 8, (2*(A*b^4 - 4*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticE[ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])], -((a - b)/(a + b))]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*(a - b)*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(3*a*A*b - a*b*B - 2*a^2*C + 3*a*b*C + b^2*(A - 3*B + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticF[ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])], -((a - b)/(a + b))]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*(a - b)*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (4*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticPi[-1, ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])], -((a - b)/(a + b))]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^4 - 4*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 7*C))*Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x]))/(3*a*b^2*(a + b)*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])} *)
+(* {(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)/((a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)), x, 9, -((8*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 14*a*b^3*B - 15*a^4*C + 26*a^2*b^2*C - 3*b^4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticE[ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])], -((a - b)/(a + b))]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*(a - b)^2*b^3*(a + b)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(a*A*b^2 + 3*A*b^3 + 2*a^2*b*B - 3*a*b^2*B - 3*b^3*B - 5*a^3*C + 3*a^2*b*C + 6*a*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticF[ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])], -((a - b)/(a + b))]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*(a - b)^2*b^2*(a + b)*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*(2*b*B - 5*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticPi[-1, ArcSin[Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])], -((a - b)/(a + b))]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(a^2*A*b^2 + 3*A*b^4 + 2*a^3*b*B - 6*a*b^3*B - 5*a^4*C + 9*a^2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((8*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 14*a*b^3*B - 15*a^4*C + 26*a^2*b^2*C - 3*b^4*C)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x]))/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])} *)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.7 (d trig)^m (a+b (c cos)^n)^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.7 (d trig)^m (a+b (c cos)^n)^p.m
new file mode 100644
index 00000000..3a06b42e
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.7 (d trig)^m (a+b (c cos)^n)^p.m	
@@ -0,0 +1,392 @@
+(* ::Package:: *)
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+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^n)^p*)
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^2)^p*)
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^2)^p when a+b=0*)
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+{Sin[x]^2/(a - a*Cos[x]^2), x, 2, x/a}
+{Sin[x]^1/(a - a*Cos[x]^2), x, 2, -(ArcTanh[Cos[x]]/a)}
+{Csc[x]^1/(a - a*Cos[x]^2), x, 3, -(ArcTanh[Cos[x]]/(2*a)) - (Cot[x]*Csc[x])/(2*a)}
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^2)^p*)
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+(*p>0*)
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+(*p<0*)
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+{Sin[x]^7/(a + b*Cos[x]^2), x, 4, -(((a + b)^3*ArcTan[(Sqrt[b]*Cos[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^(7/2))) + ((a^2 + 3*a*b + 3*b^2)*Cos[x])/b^3 - ((a + 3*b)*Cos[x]^3)/(3*b^2) + Cos[x]^5/(5*b)}
+{Sin[x]^5/(a + b*Cos[x]^2), x, 4, -(((a + b)^2*ArcTan[(Sqrt[b]*Cos[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^(5/2))) + ((a + 2*b)*Cos[x])/b^2 - Cos[x]^3/(3*b)}
+{Sin[x]^3/(a + b*Cos[x]^2), x, 3, -(((a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cos[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^(3/2))) + Cos[x]/b}
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+{Csc[x]^1/(a + b*Cos[x]^2), x, 4, -((Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Cos[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b))) - ArcTanh[Cos[x]]/(a + b)}
+{Csc[x]^3/(a + b*Cos[x]^2), x, 5, -((b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cos[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)^2)) - ((a + 3*b)*ArcTanh[Cos[x]])/(2*(a + b)^2) - (Cot[x]*Csc[x])/(2*(a + b))}
+{Csc[x]^5/(a + b*Cos[x]^2), x, 6, -((b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cos[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)^3)) - ((3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*ArcTanh[Cos[x]])/(8*(a + b)^3) - ((3*a + 7*b)*Cot[x]*Csc[x])/(8*(a + b)^2) - (Cot[x]*Csc[x]^3)/(4*(a + b))}
+
+{Sin[x]^6/(a + b*Cos[x]^2), x, 6, -(((8*a^2 + 20*a*b + 15*b^2)*x)/(8*b^3)) - ((a + b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Cot[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^3) + ((4*a + 7*b)*Cos[x]*Sin[x])/(8*b^2) + (Cos[x]*Sin[x]^3)/(4*b)}
+{Sin[x]^4/(a + b*Cos[x]^2), x, 5, -(((2*a + 3*b)*x)/(2*b^2)) - ((a + b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Cot[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^2) + (Cos[x]*Sin[x])/(2*b)}
+{Sin[x]^2/(a + b*Cos[x]^2), x, 4, -(x/b) - (Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Cot[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b)}
+{Sin[x]^0/(a + b*Cos[x]^2), x, 2, -(ArcTan[(Sqrt[a + b]*Cot[x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))}
+{Csc[x]^2/(a + b*Cos[x]^2), x, 3, -((b*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Cot[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)^(3/2))) - Cot[x]/(a + b)}
+{Csc[x]^4/(a + b*Cos[x]^2), x, 4, -((b^2*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Cot[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)^(5/2))) - ((a + 2*b)*Cot[x])/(a + b)^2 - Cot[x]^3/(3*(a + b))}
+{Csc[x]^6/(a + b*Cos[x]^2), x, 4, -((b^3*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Cot[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)^(7/2))) - ((a^2 + 3*a*b + 3*b^2)*Cot[x])/(a + b)^3 - ((2*a + 3*b)*Cot[x]^3)/(3*(a + b)^2) - Cot[x]^5/(5*(a + b))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
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+{Sin[x]/(4 - 3*Cos[x]^3), x, 7, -(ArcTan[(1 + 6^(1/3)*Cos[x])/Sqrt[3]]/(2*2^(1/3)*3^(5/6))) + Log[2^(2/3) - 3^(1/3)*Cos[x]]/(6*6^(1/3)) - Log[2*2^(1/3) + 2^(2/3)*3^(1/3)*Cos[x] + 3^(2/3)*Cos[x]^2]/(12*6^(1/3))}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^n)^p*)
+
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^2)^p*)
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^2)^p when a+b=0*)
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+(*p>0*)
+
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+(*p<0*)
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+{1/(1 - Cos[x]^2), x, 3, -Cot[x]}
+{1/(1 - Cos[x]^2)^2, x, 3, -Cot[x] - Cot[x]^3/3}
+{1/(1 - Cos[x]^2)^3, x, 3, -Cot[x] - (2*Cot[x]^3)/3 - Cot[x]^5/5}
+
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^2)^p*)
+
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+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
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+{Cos[x]^7/(a + b*Cos[x]^2), x, 4, -((a^3*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a + b]])/(b^(7/2)*Sqrt[a + b])) + ((a^2 - a*b + b^2)*Sin[x])/b^3 + ((a - 2*b)*Sin[x]^3)/(3*b^2) + Sin[x]^5/(5*b)}
+{Cos[x]^5/(a + b*Cos[x]^2), x, 4, (a^2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a + b]])/(b^(5/2)*Sqrt[a + b]) - ((a - b)*Sin[x])/b^2 - Sin[x]^3/(3*b)}
+{Cos[x]^3/(a + b*Cos[x]^2), x, 3, -((a*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a + b]])/(b^(3/2)*Sqrt[a + b])) + Sin[x]/b}
+{Cos[x]^1/(a + b*Cos[x]^2), x, 2, ArcTanh[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[b]*Sqrt[a + b])}
+{Sec[x]^1/(a + b*Cos[x]^2), x, 4, ArcTanh[Sin[x]]/a - (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a + b])}
+{Sec[x]^3/(a + b*Cos[x]^2), x, 5, ((a - 2*b)*ArcTanh[Sin[x]])/(2*a^2) + (b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a + b]) + (Sec[x]*Tan[x])/(2*a)}
+{Sec[x]^5/(a + b*Cos[x]^2), x, 6, ((3*a^2 - 4*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[Sin[x]])/(8*a^3) - (b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sin[x])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a + b]) + ((3*a - 4*b)*Sec[x]*Tan[x])/(8*a^2) + (Sec[x]^3*Tan[x])/(4*a)}
+
+{Cos[x]^6/(a + b*Cos[x]^2), x, 6, ((8*a^2 - 4*a*b + 3*b^2)*x)/(8*b^3) + (a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Cot[x])/Sqrt[a]])/(b^3*Sqrt[a + b]) - ((4*a - 3*b)*Cos[x]*Sin[x])/(8*b^2) + (Cos[x]^3*Sin[x])/(4*b)}
+{Cos[x]^4/(a + b*Cos[x]^2), x, 5, -(((2*a - b)*x)/(2*b^2)) - (a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Cot[x])/Sqrt[a]])/(b^2*Sqrt[a + b]) + (Cos[x]*Sin[x])/(2*b)}
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+{Cos[x]^0/(a + b*Cos[x]^2), x, 2, -(ArcTan[(Sqrt[a + b]*Cot[x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))}
+{Sec[x]^2/(a + b*Cos[x]^2), x, 3, (b*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Cot[x])/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*Sqrt[a + b]) + Tan[x]/a}
+{Sec[x]^4/(a + b*Cos[x]^2), x, 4, -((b^2*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Cot[x])/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*Sqrt[a + b])) + ((a - b)*Tan[x])/a^2 + Tan[x]^3/(3*a)}
+{Sec[x]^6/(a + b*Cos[x]^2), x, 4, (b^3*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Cot[x])/Sqrt[a]])/(a^(7/2)*Sqrt[a + b]) + ((a^2 - a*b + b^2)*Tan[x])/a^3 + ((2*a - b)*Tan[x]^3)/(3*a^2) + Tan[x]^5/(5*a)}
+
+
+{1/(a + b*Cos[x]^2)^2, x, 4, -(((2*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Cot[x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^(3/2))) - (b*Cos[x]*Sin[x])/(2*a*(a + b)*(a + b*Cos[x]^2))}
+
+
+{1/(a + b*Cos[x]^2)^3, x, 5, -(((8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Cot[x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a + b)^(5/2))) - (b*Cos[x]*Sin[x])/(4*a*(a + b)*(a + b*Cos[x]^2)^2) - (3*b*(2*a + b)*Cos[x]*Sin[x])/(8*a^2*(a + b)^2*(a + b*Cos[x]^2))}
+
+
+{1/(1 + Cos[x]^2)^1, x, 2, x/Sqrt[2] - ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Cos[x]^2)]/Sqrt[2]}
+{1/(1 + Cos[x]^2)^2, x, 4, (3*x)/(4*Sqrt[2]) - (3*ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Cos[x]^2)])/(4*Sqrt[2]) - (Cos[x]*Sin[x])/(4*(1 + Cos[x]^2))}
+{1/(1 + Cos[x]^2)^3, x, 5, (19*x)/(32*Sqrt[2]) - (19*ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Cos[x]^2)])/(32*Sqrt[2]) - (Cos[x]*Sin[x])/(8*(1 + Cos[x]^2)^2) - (9*Cos[x]*Sin[x])/(32*(1 + Cos[x]^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^2)^(p/2) when a+b=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[1 - Cos[x]^2], x, 3, -(Cot[x]*Sqrt[Sin[x]^2])}
+{Sqrt[-1 + Cos[x]^2], x, 3, (-Cot[x])*Sqrt[-Sin[x]^2]}
+
+
+{(1 - Cos[x]^2)^(3/2), x, 4, (-(2/3))*Cot[x]*Sqrt[Sin[x]^2] - (1/3)*Cot[x]*(Sin[x]^2)^(3/2)}
+{(-1 + Cos[x]^2)^(3/2), x, 4, (2/3)*Cot[x]*Sqrt[-Sin[x]^2] - (1/3)*Cot[x]*(-Sin[x]^2)^(3/2)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/Sqrt[1 - Cos[x]^2], x, 3, -((ArcTanh[Cos[x]]*Sin[x])/Sqrt[Sin[x]^2])}
+{1/Sqrt[-1 + Cos[x]^2], x, 3, -((ArcTanh[Cos[x]]*Sin[x])/Sqrt[-Sin[x]^2])}
+
+
+{1/(1 - Cos[x]^2)^(3/2), x, 4, -(Cot[x]/(2*Sqrt[Sin[x]^2])) - (ArcTanh[Cos[x]]*Sin[x])/(2*Sqrt[Sin[x]^2])}
+{1/(-1 + Cos[x]^2)^(3/2), x, 4, Cot[x]/(2*Sqrt[-Sin[x]^2]) + (ArcTanh[Cos[x]]*Sin[x])/(2*Sqrt[-Sin[x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[1 + Cos[x]^2], x, 1, EllipticE[Pi/2 + x, -1]}
+{Sqrt[-1 - Cos[x]^2], x, 2, (Sqrt[-1 - Cos[x]^2]*EllipticE[Pi/2 + x, -1])/Sqrt[1 + Cos[x]^2]}
+{Sqrt[a + b*Cos[x]^2], x, 2, (Sqrt[a + b*Cos[x]^2]*EllipticE[Pi/2 + x, -(b/a)])/Sqrt[1 + (b*Cos[x]^2)/a]}
+
+
+{(1 + Cos[x]^2)^(3/2), x, 4, 2*EllipticE[Pi/2 + x, -1] - (2/3)*EllipticF[Pi/2 + x, -1] + (1/3)*Cos[x]*Sqrt[1 + Cos[x]^2]*Sin[x]}
+{(-1 - Cos[x]^2)^(3/2), x, 6, -((2*Sqrt[-1 - Cos[x]^2]*EllipticE[Pi/2 + x, -1])/Sqrt[1 + Cos[x]^2]) - (2*Sqrt[1 + Cos[x]^2]*EllipticF[Pi/2 + x, -1])/(3*Sqrt[-1 - Cos[x]^2]) - (1/3)*Cos[x]*Sqrt[-1 - Cos[x]^2]*Sin[x]}
+{(a + b*Cos[x]^2)^(3/2), x, 6, (2*(2*a + b)*Sqrt[a + b*Cos[x]^2]*EllipticE[Pi/2 + x, -(b/a)])/(3*Sqrt[1 + (b*Cos[x]^2)/a]) - (a*(a + b)*Sqrt[1 + (b*Cos[x]^2)/a]*EllipticF[Pi/2 + x, -(b/a)])/(3*Sqrt[a + b*Cos[x]^2]) + (1/3)*b*Cos[x]*Sqrt[a + b*Cos[x]^2]*Sin[x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/Sqrt[1 + Cos[x]^2], x, 1, EllipticF[Pi/2 + x, -1]}
+{1/Sqrt[-1 - Cos[x]^2], x, 2, (Sqrt[1 + Cos[x]^2]*EllipticF[Pi/2 + x, -1])/Sqrt[-1 - Cos[x]^2]}
+{1/Sqrt[a + b*Cos[x]^2], x, 2, (Sqrt[1 + (b*Cos[x]^2)/a]*EllipticF[Pi/2 + x, -(b/a)])/Sqrt[a + b*Cos[x]^2]}
+
+
+{1/(1 + Cos[x]^2)^(3/2), x, 3, (1/2)*EllipticE[Pi/2 + x, -1] - (Cos[x]*Sin[x])/(2*Sqrt[1 + Cos[x]^2])}
+{1/(-1 - Cos[x]^2)^(3/2), x, 4, (Sqrt[-1 - Cos[x]^2]*EllipticE[Pi/2 + x, -1])/(2*Sqrt[1 + Cos[x]^2]) + (Cos[x]*Sin[x])/(2*Sqrt[-1 - Cos[x]^2])}
+{1/(a + b*Cos[x]^2)^(3/2), x, 4, (Sqrt[a + b*Cos[x]^2]*EllipticE[Pi/2 + x, -(b/a)])/(a*(a + b)*Sqrt[1 + (b*Cos[x]^2)/a]) - (b*Cos[x]*Sin[x])/(a*(a + b)*Sqrt[a + b*Cos[x]^2])}
+
+
+{Cos[x]/Sqrt[1 + Cos[x]^2], x, 2, ArcSin[Sin[x]/Sqrt[2]]}
+{Cos[5 + 3*x]/Sqrt[3 + Cos[5 + 3*x]^2], x, 2, ArcSin[Sin[5 + 3*x]/2]/3}
+{Cos[x]/Sqrt[4 - Cos[x]^2], x, 2, ArcSinh[Sin[x]/Sqrt[3]]}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/(a + b*Cos[x]^4), x, 10, ((Sqrt[a] + Sqrt[a + b])*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[a + b - Sqrt[a]*Sqrt[a + b]] - Sqrt[2]*(a + b)^(3/4)*Cot[x])/(a^(1/4)*Sqrt[a + b + Sqrt[a]*Sqrt[a + b]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)^(1/4)*Sqrt[a + b + Sqrt[a]*Sqrt[a + b]]) - ((Sqrt[a] + Sqrt[a + b])*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[a + b - Sqrt[a]*Sqrt[a + b]] + Sqrt[2]*(a + b)^(3/4)*Cot[x])/(a^(1/4)*Sqrt[a + b + Sqrt[a]*Sqrt[a + b]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)^(1/4)*Sqrt[a + b + Sqrt[a]*Sqrt[a + b]]) - ((Sqrt[a] - Sqrt[a + b])*Log[Sqrt[a]*(a + b)^(1/4) - Sqrt[2]*a^(1/4)*Sqrt[a + b - Sqrt[a]*Sqrt[a + b]]*Cot[x] + (a + b)^(3/4)*Cot[x]^2])/(4*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)^(1/4)*Sqrt[a + b - Sqrt[a]*Sqrt[a + b]]) + ((Sqrt[a] - Sqrt[a + b])*Log[Sqrt[a]*(a + b)^(1/4) + Sqrt[2]*a^(1/4)*Sqrt[a + b - Sqrt[a]*Sqrt[a + b]]*Cot[x] + (a + b)^(3/4)*Cot[x]^2])/(4*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)^(1/4)*Sqrt[a + b - Sqrt[a]*Sqrt[a + b]])}
+
+
+{1/(a - b*Cos[x]^4), x, 4, -(ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Cot[x])/a^(1/4)]/(2*a^(3/4)*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]])) - ArcTan[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Cot[x])/a^(1/4)]/(2*a^(3/4)*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]])}
+
+
+{1/(1 + Cos[x]^4), x, 10, x/(2*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]) + ArcTan[((-2 + Sqrt[2])*Cos[x]*Sin[x] + Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*(1 - 2*Sin[x]^2))/(2 + Sqrt[1 + Sqrt[2]] + 2*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*Cos[x]*Sin[x] + (-2 + Sqrt[2])*Sin[x]^2)]/(4*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]) + ArcTan[((-2 + Sqrt[2])*Cos[x]*Sin[x] + Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*(-1 + 2*Sin[x]^2))/(2 + Sqrt[1 + Sqrt[2]] - 2*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*Cos[x]*Sin[x] + (-2 + Sqrt[2])*Sin[x]^2)]/(4*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]) + (1/8)*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*Log[Sqrt[2] - 2*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*Cot[x] + 2*Cot[x]^2] - (1/8)*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*Log[1 + Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]*Cot[x] + Sqrt[2]*Cot[x]^2]}
+
+
+{1/(1 - Cos[x]^4), x, 3, x/(2*Sqrt[2]) - ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Cos[x]^2)]/(2*Sqrt[2]) - Cot[x]/2}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^n)^p*)
+
+
+{1/(a + b*Cos[x]^5), x, 12, (2*ArcTan[(Sqrt[a^(1/5) - b^(1/5)]*Tan[x/2])/Sqrt[a^(1/5) + b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + b^(1/5)]) + (2*ArcTan[(Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(1/5)*b^(1/5)]*Tan[x/2])/Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(1/5)*b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(1/5)*b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(1/5)*b^(1/5)]) + (2*ArcTan[(Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(2/5)*b^(1/5)]*Tan[x/2])/Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(2/5)*b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(2/5)*b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(2/5)*b^(1/5)]) + (2*ArcTan[(Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(3/5)*b^(1/5)]*Tan[x/2])/Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(3/5)*b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(3/5)*b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(3/5)*b^(1/5)]) + (2*ArcTan[(Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(4/5)*b^(1/5)]*Tan[x/2])/Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(4/5)*b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(4/5)*b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(4/5)*b^(1/5)])}
+{1/(a + b*Cos[x]^6), x, 7, -(ArcTan[(Sqrt[a^(1/3) + b^(1/3)]*Cot[x])/a^(1/6)]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) + b^(1/3)])) - ArcTan[(Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(1/3)]*Cot[x])/a^(1/6)]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(1/3)]) - ArcTan[(Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)]*Cot[x])/a^(1/6)]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)])}
+{1/(a + b*Cos[x]^8), x, 9, ArcTan[(Sqrt[(-a)^(1/4) - b^(1/4)]*Cot[x])/(-a)^(1/8)]/(4*(-a)^(7/8)*Sqrt[(-a)^(1/4) - b^(1/4)]) + ArcTan[(Sqrt[(-a)^(1/4) - I*b^(1/4)]*Cot[x])/(-a)^(1/8)]/(4*(-a)^(7/8)*Sqrt[(-a)^(1/4) - I*b^(1/4)]) + ArcTan[(Sqrt[(-a)^(1/4) + I*b^(1/4)]*Cot[x])/(-a)^(1/8)]/(4*(-a)^(7/8)*Sqrt[(-a)^(1/4) + I*b^(1/4)]) + ArcTan[(Sqrt[(-a)^(1/4) + b^(1/4)]*Cot[x])/(-a)^(1/8)]/(4*(-a)^(7/8)*Sqrt[(-a)^(1/4) + b^(1/4)])}
+
+{1/(a - b*Cos[x]^5), x, 12, (2*ArcTan[(Sqrt[a^(1/5) + b^(1/5)]*Tan[x/2])/Sqrt[a^(1/5) - b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + b^(1/5)]) + (2*ArcTan[(Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(1/5)*b^(1/5)]*Tan[x/2])/Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(1/5)*b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(1/5)*b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(1/5)*b^(1/5)]) + (2*ArcTan[(Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(2/5)*b^(1/5)]*Tan[x/2])/Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(2/5)*b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(2/5)*b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(2/5)*b^(1/5)]) + (2*ArcTan[(Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(3/5)*b^(1/5)]*Tan[x/2])/Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(3/5)*b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(3/5)*b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(3/5)*b^(1/5)]) + (2*ArcTan[(Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(4/5)*b^(1/5)]*Tan[x/2])/Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(4/5)*b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(4/5)*b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(4/5)*b^(1/5)])}
+{1/(a - b*Cos[x]^6), x, 7, -(ArcTan[(Sqrt[a^(1/3) - b^(1/3)]*Cot[x])/a^(1/6)]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) - b^(1/3)])) - ArcTan[(Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(1/3)]*Cot[x])/a^(1/6)]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(1/3)]) - ArcTan[(Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(1/3)]*Cot[x])/a^(1/6)]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(1/3)])}
+{1/(a - b*Cos[x]^8), x, 9, -(ArcTan[(Sqrt[a^(1/4) - b^(1/4)]*Cot[x])/a^(1/8)]/(4*a^(7/8)*Sqrt[a^(1/4) - b^(1/4)])) - ArcTan[(Sqrt[a^(1/4) - I*b^(1/4)]*Cot[x])/a^(1/8)]/(4*a^(7/8)*Sqrt[a^(1/4) - I*b^(1/4)]) - ArcTan[(Sqrt[a^(1/4) + I*b^(1/4)]*Cot[x])/a^(1/8)]/(4*a^(7/8)*Sqrt[a^(1/4) + I*b^(1/4)]) - ArcTan[(Sqrt[a^(1/4) + b^(1/4)]*Cot[x])/a^(1/8)]/(4*a^(7/8)*Sqrt[a^(1/4) + b^(1/4)])}
+
+
+{1/(1 + Cos[x]^5), x, 11, (2*ArcTan[Sqrt[(1 - (-1)^(2/5))/(1 + (-1)^(2/5))]*Tan[x/2]])/(5*Sqrt[1 - (-1)^(4/5)]) + (2*ArcTan[Sqrt[(1 - (-1)^(4/5))/(1 + (-1)^(4/5))]*Tan[x/2]])/(5*Sqrt[1 + (-1)^(3/5)]) - (2*ArcTanh[Tan[x/2]/Sqrt[-((1 - (-1)^(1/5))/(1 + (-1)^(1/5)))]])/(5*Sqrt[-1 + (-1)^(2/5)]) - (2*Sqrt[-((1 + (-1)^(3/5))/(1 - (-1)^(3/5)))]*ArcTanh[Sqrt[-((1 + (-1)^(3/5))/(1 - (-1)^(3/5)))]*Tan[x/2]])/(5*(1 + (-1)^(3/5))) + Sin[x]/(5*(1 + Cos[x]))}
+{1/(1 + Cos[x]^6), x, 7, ArcTan[Tan[x]/Sqrt[2]]/(3*Sqrt[2]) + ArcTan[Tan[x]/Sqrt[1 - (-1)^(1/3)]]/(3*Sqrt[1 - (-1)^(1/3)]) + ArcTan[Tan[x]/Sqrt[1 + (-1)^(2/3)]]/(3*Sqrt[1 + (-1)^(2/3)]), x/(3*Sqrt[2]) - ArcTan[Sqrt[1 - (-1)^(1/3)]*Cot[x]]/(3*Sqrt[1 - (-1)^(1/3)]) - ArcTan[Sqrt[1 + (-1)^(2/3)]*Cot[x]]/(3*Sqrt[1 + (-1)^(2/3)]) - ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Cos[x]^2)]/(3*Sqrt[2])}
+{1/(1 + Cos[x]^8), x, 9, -(ArcTan[Sqrt[1 - (-1)^(1/4)]*Cot[x]]/(4*Sqrt[1 - (-1)^(1/4)])) - ArcTan[Sqrt[1 + (-1)^(1/4)]*Cot[x]]/(4*Sqrt[1 + (-1)^(1/4)]) - ArcTan[Sqrt[1 - (-1)^(3/4)]*Cot[x]]/(4*Sqrt[1 - (-1)^(3/4)]) - ArcTan[Sqrt[1 + (-1)^(3/4)]*Cot[x]]/(4*Sqrt[1 + (-1)^(3/4)])}
+
+{1/(1 - Cos[x]^5), x, 11, (2*ArcTan[Sqrt[(1 - (-1)^(1/5))/(1 + (-1)^(1/5))]*Tan[x/2]])/(5*Sqrt[1 - (-1)^(2/5)]) + (2*ArcTan[Sqrt[(1 - (-1)^(3/5))/(1 + (-1)^(3/5))]*Tan[x/2]])/(5*Sqrt[1 + (-1)^(1/5)]) - (2*ArcTanh[Tan[x/2]/Sqrt[-((1 - (-1)^(2/5))/(1 + (-1)^(2/5)))]])/(5*Sqrt[-1 + (-1)^(4/5)]) + (2*ArcTanh[Sqrt[-((1 + (-1)^(4/5))/(1 - (-1)^(4/5)))]*Tan[x/2]])/(5*Sqrt[-1 - (-1)^(3/5)]) - Sin[x]/(5*(1 - Cos[x]))}
+{1/(1 - Cos[x]^6), x, 8, -(ArcTan[Sqrt[1 + (-1)^(1/3)]*Cot[x]]/(3*Sqrt[1 + (-1)^(1/3)])) - ArcTan[Sqrt[1 - (-1)^(2/3)]*Cot[x]]/(3*Sqrt[1 - (-1)^(2/3)]) - Cot[x]/3}
+{1/(1 - Cos[x]^8), x, 10, x/(4*Sqrt[2]) - ArcTan[Sqrt[1 - I]*Cot[x]]/(4*Sqrt[1 - I]) - ArcTan[Sqrt[1 + I]*Cot[x]]/(4*Sqrt[1 + I]) - ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Cos[x]^2)]/(4*Sqrt[2]) - Cot[x]/4}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^2)^p*)
+
+
+{Tan[x]/(1 + Cos[x]^2), x, 4, -Log[Cos[x]] + (1/2)*Log[1 + Cos[x]^2]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Tan[x]*Sqrt[a + b*Cos[x]^2], x, 4, Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cos[x]^2]/Sqrt[a]] - Sqrt[a + b*Cos[x]^2]}
+
+
+{Tan[x]*Sqrt[1 - Cos[x]^2], x, 5, ArcTanh[Sqrt[Sin[x]^2]] - Sqrt[Sin[x]^2]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tan[x]/Sqrt[a + b*Cos[x]^2], x, 3, ArcTanh[Sqrt[a + b*Cos[x]^2]/Sqrt[a]]/Sqrt[a]}
+{Tan[x]/Sqrt[1 + Cos[x]^2], x, 3, ArcTanh[Sqrt[1 + Cos[x]^2]]}
+
+
+{Tan[x]/Sqrt[1 - Cos[x]^2], x, 4, ArcTanh[Sqrt[Sin[x]^2]]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^3)^p*)
+
+
+{Tan[x]^3/(a + b*Cos[x]^3), x, 11, -((b^(2/3)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Cos[x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(5/3))) + Log[Cos[x]]/a + (b^(2/3)*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Cos[x]])/(3*a^(5/3)) - (b^(2/3)*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Cos[x] + b^(2/3)*Cos[x]^2])/(6*a^(5/3)) - Log[a + b*Cos[x]^3]/(3*a) + Sec[x]^2/(2*a)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^3)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Tan[x]*Sqrt[a + b*Cos[x]^3], x, 5, (2/3)*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cos[x]^3]/Sqrt[a]] - (2/3)*Sqrt[a + b*Cos[x]^3]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tan[x]/Sqrt[a + b*Cos[x]^3], x, 4, (2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cos[x]^3]/Sqrt[a]])/(3*Sqrt[a])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^4)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Tan[x]*Sqrt[a + b*Cos[x]^4], x, 5, (1/2)*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cos[x]^4]/Sqrt[a]] - (1/2)*Sqrt[a + b*Cos[x]^4]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tan[x]/Sqrt[a + b*Cos[x]^4], x, 4, (2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cos[x]^4]/Sqrt[a]])/(4*Sqrt[a])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Cos[e+f x]^n)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Tan[x]*Sqrt[a + b*Cos[x]^n], x, 5, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cos[x]^n]/Sqrt[a]])/n - (2*Sqrt[a + b*Cos[x]^n])/n}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tan[x]/Sqrt[a + b*Cos[x]^n], x, 4, (2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cos[x]^n]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*n)}
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new file mode 100644
index 00000000..a34c6e79
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.8 (a+b cos)^m (c+d trig)^n.m	
@@ -0,0 +1,82 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[c+d x])^m (A+B Trig[c+d x])*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[c+d x])^m (A+B Sin[c+d x])*)
+
+
+{(A + B*Sin[x])/(a + b*Cos[x]), x, 6, (2*A*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) - (B*Log[a + b*Cos[x]])/b}
+
+{(A + B*Sin[x])/(1 + Cos[x]), x, 5, (-B)*Log[1 + Cos[x]] + (A*Sin[x])/(1 + Cos[x])}
+{(A + B*Sin[x])/(1 - Cos[x]), x, 5, B*Log[1 - Cos[x]] - (A*Sin[x])/(1 - Cos[x])}
+
+
+{(b + c + Sin[x])/(a + b*Cos[x]), x, 6, (2*(b + c)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) - Log[a + b*Cos[x]]/b}
+{(b + c + Sin[x])/(a - b*Cos[x]), x, 6, (2*(b + c)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[x/2])/Sqrt[a - b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) + Log[a - b*Cos[x]]/b}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[c+d x])^m (A+B Tan[c+d x])*)
+
+
+{(A + B*Tan[x])/(a + b*Cos[x]), x, 8, (2*A*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) - (B*Log[Cos[x]])/a + (B*Log[a + b*Cos[x]])/a}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[c+d x])^m (A+B Cot[c+d x])*)
+
+
+{(A + B*Cot[x])/(a + b*Cos[x]), x, 7, (2*A*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) + (B*Log[1 - Cos[x]])/(2*(a + b)) + (B*Log[1 + Cos[x]])/(2*(a - b)) - (a*B*Log[a + b*Cos[x]])/(a^2 - b^2)}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[c+d x])^m (A+B Sec[c+d x])*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[c+d x])^m (A+B Csc[c+d x])*)
+
+
+{(A + B*Csc[x])/(a + b*Cos[x]), x, 11, (2*A*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) + (B*Log[1 - Cos[x]])/(2*(a + b)) - (B*Log[1 + Cos[x]])/(2*(a - b)) + (b*B*Log[a + b*Cos[x]])/(a^2 - b^2)}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x])^m (c+d Trig[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[e+f x])^m (c+d Sec[e+f x])^n*)
+
+
+{(c + d*Sec[e + f*x])^4/(a + b*Cos[e + f*x]), x, 12, (2*(a*c - b*d)^4*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*f) + (d^3*(4*a*c - b*d)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*a^2*f) + (d*(2*a*c - b*d)*(2*a^2*c^2 - 2*a*b*c*d + b^2*d^2)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a^4*f) + (d^4*Tan[e + f*x])/(a*f) + (d^2*(6*a^2*c^2 - 4*a*b*c*d + b^2*d^2)*Tan[e + f*x])/(a^3*f) + (d^3*(4*a*c - b*d)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*a^2*f) + (d^4*Tan[e + f*x]^3)/(3*a*f)}
+{(c + d*Sec[e + f*x])^3/(a + b*Cos[e + f*x]), x, 10, (2*(a*c - b*d)^3*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*f) + (d^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*a*f) + (d*(3*a^2*c^2 - 3*a*b*c*d + b^2*d^2)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a^3*f) + (d^2*(3*a*c - b*d)*Tan[e + f*x])/(a^2*f) + (d^3*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*a*f)}
+{(c + d*Sec[e + f*x])^2/(a + b*Cos[e + f*x]), x, 8, (2*(a*c - b*d)^2*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*f) + (d*(2*a*c - b*d)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a^2*f) + (d^2*Tan[e + f*x])/(a*f)}
+{(c + d*Sec[e + f*x])^1/(a + b*Cos[e + f*x]), x, 5, (2*(a*c - b*d)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*f) + (d*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a*f)}
+{1/((a + b*Cos[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^1), x, 6, (2*a*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*(a*c - b*d)*f) - (2*d*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[c + d]*(a*c - b*d)*f)}
+{1/((a + b*Cos[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^2), x, 7, (2*a^2*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*(a*c - b*d)^2*f) - (2*d*(2*a*c^2 - b*c*d - a*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(3/2)*(c + d)^(3/2)*(a*c - b*d)^2*f) + (d^2*Sin[e + f*x])/((a*c - b*d)*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x]))}
+{1/((a + b*Cos[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^3), x, 16, (2*a^3*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*(a*c - b*d)^3*f) - (2*d^3*(3*a*c - 2*b*d)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(c^2*(c - d)^(3/2)*(c + d)^(3/2)*(a*c - b*d)^2*f) - (d^3*(c^2 + 2*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(c^2*(c - d)^(5/2)*(c + d)^(5/2)*(a*c - b*d)*f) - (2*d*(3*a^2*c^2 - 3*a*b*c*d + b^2*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(c^2*Sqrt[c - d]*Sqrt[c + d]*(a*c - b*d)^3*f) - (d^3*Sin[e + f*x])/(2*c*(a*c - b*d)*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x])^2) + (3*d^4*Sin[e + f*x])/(2*c*(a*c - b*d)*(c^2 - d^2)^2*f*(d + c*Cos[e + f*x])) + (d^2*(3*a*c - 2*b*d)*Sin[e + f*x])/(c*(a*c - b*d)^2*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x]))}
+
+
+(* {(c + d*Sec[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Cos[e + f*x]), x, 0, 0} *)
+(* {(c + d*Sec[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Cos[e + f*x]), x, 0, 0} *)
+{(c + d*Sec[e + f*x])^(1/2)/(a + b*Cos[e + f*x]), x, 4, (2*Sqrt[c + d]*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]/Sqrt[c + d]], (c + d)/(c - d)]*Sqrt[(d*(1 - Sec[e + f*x]))/(c + d)]*Sqrt[-((d*(1 + Sec[e + f*x]))/(c - d))])/(a*f) + (2*(a*c - b*d)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), ArcSin[Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]/Sqrt[2]], (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sec[e + f*x])/(c + d)]*Tan[e + f*x])/(a*(a + b)*f*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])}
+{1/((a + b*Cos[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^(1/2)), x, 2, (2*EllipticPi[(2*a)/(a + b), ArcSin[Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]/Sqrt[2]], (2*d)/(c + d)]*Sqrt[(c + d*Sec[e + f*x])/(c + d)]*Tan[e + f*x])/((a + b)*f*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])}
+(* {1/((a + b*Cos[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^(3/2)), x, 0, 0} *)
+(* {1/((a + b*Cos[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^(5/2)), x, 0, 0} *)
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[c+d x])^m (A+B Cos[c+d x]+C Sin[c+d x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cos[c+d x])^m (A+B Cos[c+d x]+C Sin[c+d x]^2)*)
+
+
+{(A + B*Cos[d + e*x] + C*Sin[d + e*x])/(a + b*Cos[d + e*x])^1, x, 6, (B*x)/b + (2*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*e) - (C*Log[a + b*Cos[d + e*x]])/(b*e)}
+{(A + B*Cos[d + e*x] + C*Sin[d + e*x])/(a + b*Cos[d + e*x])^2, x, 7, (2*(a*A - b*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*e) + C/(b*e*(a + b*Cos[d + e*x])) - ((A*b - a*B)*Sin[d + e*x])/((a^2 - b^2)*e*(a + b*Cos[d + e*x]))}
+{(A + B*Cos[d + e*x] + C*Sin[d + e*x])/(a + b*Cos[d + e*x])^3, x, 8, ((2*a^2*A + A*b^2 - 3*a*b*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*e) + C/(2*b*e*(a + b*Cos[d + e*x])^2) - ((A*b - a*B)*Sin[d + e*x])/(2*(a^2 - b^2)*e*(a + b*Cos[d + e*x])^2) - ((3*a*A*b - a^2*B - 2*b^2*B)*Sin[d + e*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*e*(a + b*Cos[d + e*x]))}
+{(A + B*Cos[d + e*x] + C*Sin[d + e*x])/(a + b*Cos[d + e*x])^4, x, 9, ((2*a^3*A + 3*a*A*b^2 - 4*a^2*b*B - b^3*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*e) + C/(3*b*e*(a + b*Cos[d + e*x])^3) - ((A*b - a*B)*Sin[d + e*x])/(3*(a^2 - b^2)*e*(a + b*Cos[d + e*x])^3) - ((5*a*A*b - 2*a^2*B - 3*b^2*B)*Sin[d + e*x])/(6*(a^2 - b^2)^2*e*(a + b*Cos[d + e*x])^2) - ((11*a^2*A*b + 4*A*b^3 - 2*a^3*B - 13*a*b^2*B)*Sin[d + e*x])/(6*(a^2 - b^2)^3*e*(a + b*Cos[d + e*x]))}
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index 00000000..08cf0803
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.2 Cosine/4.2.9 trig^m (a+b cos^n+c cos^(2 n))^p.m	
@@ -0,0 +1,75 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form Trig[d+e x]^m (a+b Cos[d+e x]^n+c Cos[d+e x]^(2 n))^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[d+e x]^m (a+b Cos[d+e x]^n+c Cos[d+e x]^(2 n))^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[d+e x]^m (a+b Cos[d+e x]+c Cos[d+e x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sin[x]^5/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2), x, 7, ((b^4 + 2*c^2*(a + c)^2 - 2*b^2*c*(2*a + c))*ArcTanh[(b + 2*c*Cos[x])/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(c^4*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) - ((b^2 - c*(a + 2*c))*Cos[x])/c^3 + (b*Cos[x]^2)/(2*c^2) - Cos[x]^3/(3*c) + (b*(b^2 - 2*c*(a + c))*Log[a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2])/(2*c^4)}
+{Sin[x]^3/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2), x, 7, -(((b^2 - 2*c*(a + c))*ArcTanh[(b + 2*c*Cos[x])/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(c^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])) + Cos[x]/c - (b*Log[a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2])/(2*c^2)}
+{Sin[x]^1/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2), x, 3, (2*ArcTanh[(b + 2*c*Cos[x])/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/Sqrt[b^2 - 4*a*c]}
+{Csc[x]^1/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2), x, 9, -(((b^2 - 2*a*c - 2*c^2)*ArcTanh[(b + 2*c*Cos[x])/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/((a - b + c)*(a + b + c)*Sqrt[b^2 - 4*a*c])) + Log[1 - Cos[x]]/(2*(a + b + c)) - Log[1 + Cos[x]]/(2*(a - b + c)) + (b*Log[a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2])/(2*(a - b + c)*(a + b + c))}
+{Csc[x]^3/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2), x, 10, ((b^4 + 2*c^2*(a + c)^2 - 2*b^2*c*(2*a + c))*ArcTanh[(b + 2*c*Cos[x])/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(a^2 - b^2 + 2*a*c + c^2)^2) + ((b - (a + c)*Cos[x])*Csc[x]^2)/(2*(a - b + c)*(a + b + c)) + ((a + 2*b + 3*c)*Log[1 - Cos[x]])/(4*(a + b + c)^2) - ((a - 2*b + 3*c)*Log[1 + Cos[x]])/(4*(a - b + c)^2) - (b*(b^2 - 2*c*(a + c))*Log[a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2])/(2*(a^2 - b^2 + 2*a*c + c^2)^2)}
+
+{Sin[x]^4/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2), x, 10, If[$VersionNumber<9, x/(2*c) + ((b^2 - c*(a + 2*c))*x)/c^3 - (2*(b*(b^2 - 2*c*(a + c)) - (b^4 + 2*c^2*(a + c)^2 - 2*b^2*c*(2*a + c))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c^3*Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - (2*(b^4 + 2*c^2*(a + c)^2 - 2*b^2*c*(2*a + c) + b^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c] - 2*b*c*(a + c)*Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - (b*Sin[x])/c^2 + (Cos[x]*Sin[x])/(2*c), x/(2*c) + ((b^2 - c*(a + 2*c))*x)/c^3 + (2*(b^2*(b^2 - 2*c*(a + c)) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b^2 - 2*c*(a + c)) - 2*c*(a*b^2 - c*(a + c)^2))*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - (2*(b^4 + 2*c^2*(a + c)^2 - 2*b^2*c*(2*a + c) + b^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c] - 2*b*c*(a + c)*Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - (b*Sin[x])/c^2 + (Cos[x]*Sin[x])/(2*c)]}
+{Sin[x]^2/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2), x, 7, -(x/c) + (2*(b - (b^2 - 2*c*(a + c))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c*Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + (2*(b + (b^2 - 2*c*(a + c))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c*Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]])}
+{Csc[x]^2/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2), x, 9, -((2*b*c*(1 + (b^2 - 2*c*(a + c))/(b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]))*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/((a - b + c)*(a + b + c)*Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]])) - (2*b*c*(1 - (b^2 - 2*c*(a + c))/(b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]))*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/((a - b + c)*(a + b + c)*Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - Sin[x]/(2*(a + b + c)*(1 - Cos[x])) + Sin[x]/(2*(a - b + c)*(1 + Cos[x]))}
+
+
+{Sin[x]/(-2 + Cos[x] + Cos[x]^2), x, 4, (-(1/3))*Log[1 - Cos[x]] + (1/3)*Log[2 + Cos[x]]}
+{Sin[x]/(4 - 5*Cos[x] + Cos[x]^2), x, 4, (1/3)*Log[1 - Cos[x]] - (1/3)*Log[4 - Cos[x]]}
+{Sin[x]/(3 - 2*Cos[x] + Cos[x]^2), x, 3, ArcTan[(1 - Cos[x])/Sqrt[2]]/Sqrt[2]}
+{Sin[x]/(13 - 4*Cos[x] + Cos[x]^2)^2, x, 4, (-(1/54))*ArcTan[(1/3)*(-2 + Cos[x])] + (2 - Cos[x])/(18*(13 - 4*Cos[x] + Cos[x]^2))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sin[d+e x]^m (a+b Cos[d+e x]^2+c Cos[d+e x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[d+e x]^m (a+b Cos[d+e x]^n+c Cos[d+e x]^(2 n))^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[d+e x]^m (a+b Cos[d+e x]+c Cos[d+e x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cos[x]^4/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2), x, 10, x/(2*c) + ((b^2 - a*c)*x)/c^3 - (2*(b^3 - 2*a*b*c - (b^4 - 4*a*b^2*c + 2*a^2*c^2)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c^3*Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - (2*(b^3 - 2*a*b*c + (b^4 - 4*a*b^2*c + 2*a^2*c^2)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c^3*Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - (b*Sin[x])/c^2 + (Cos[x]*Sin[x])/(2*c)}
+{Cos[x]^3/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2), x, 8, -((b*x)/c^2) + (2*(b^2 - a*c - b^3/Sqrt[b^2 - 4*a*c] + (3*a*b*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c^2*Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + (2*(b^2 - a*c + b^3/Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (3*a*b*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c^2*Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + Sin[x]/c}
+{Cos[x]^2/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2), x, 7, x/c - (2*(b - (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c*Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - (2*(b + (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c*Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]])}
+{Cos[x]^1/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2), x, 6, (2*(1 - b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + (2*(1 + b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]])}
+{Cos[x]^0/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2), x, 5, (4*c*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - (4*c*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]])}
+{Sec[x]^1/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2), x, 8, -((2*c*(1 + b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(a*Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]])) - (2*c*(1 - b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(a*Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + ArcTanh[Sin[x]]/a}
+{Sec[x]^2/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2), x, 10, (2*b*c*(1 + (b^2 - 2*a*c)/(b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]))*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(a^2*Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + (2*b*c*(1 - (b^2 - 2*a*c)/(b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]))*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(a^2*Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - (b*ArcTanh[Sin[x]])/a^2 + Tan[x]/a}
+{Sec[x]^3/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2), x, 12, -((2*c*(b^3 - 3*a*b*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b^2 - a*c))*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(a^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]])) + (2*c*(b^3 - 3*a*b*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b^2 - a*c))*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(a^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + ArcTanh[Sin[x]]/(2*a) + ((b^2 - a*c)*ArcTanh[Sin[x]])/a^3 - (b*Tan[x])/a^2 + (Sec[x]*Tan[x])/(2*a)}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cos[d+e x]^m (a+b Cos[d+e x]^2+c Cos[d+e x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Tan[d+e x]^m (a+b Cos[d+e x]^n+c Cos[d+e x]^(2 n))^p*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.0 (a trg)^m (b tan)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.0 (a trg)^m (b tan)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..931a89d2
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.0 (a trg)^m (b tan)^n.m	
@@ -0,0 +1,732 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (b Tan[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tan[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^n*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^1, x, 1, -(Log[Cos[c + d*x]]/d)}
+{Tan[c + d*x]^2, x, 2, -x + Tan[c + d*x]/d}
+{Tan[c + d*x]^3, x, 2, Log[Cos[c + d*x]]/d + Tan[c + d*x]^2/(2*d)}
+{Tan[c + d*x]^4, x, 3, x - Tan[c + d*x]/d + Tan[c + d*x]^3/(3*d)}
+{Tan[c + d*x]^5, x, 3, -(Log[Cos[c + d*x]]/d) - Tan[c + d*x]^2/(2*d) + Tan[c + d*x]^4/(4*d)}
+{Tan[c + d*x]^6, x, 4, -x + Tan[c + d*x]/d - Tan[c + d*x]^3/(3*d) + Tan[c + d*x]^5/(5*d)}
+{Tan[c + d*x]^7, x, 4, Log[Cos[c + d*x]]/d + Tan[c + d*x]^2/(2*d) - Tan[c + d*x]^4/(4*d) + Tan[c + d*x]^6/(6*d)}
+{Tan[c + d*x]^8, x, 5, x - Tan[c + d*x]/d + Tan[c + d*x]^3/(3*d) - Tan[c + d*x]^5/(5*d) + Tan[c + d*x]^7/(7*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tan[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+{(b*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 13, -((b^(7/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[2]*d)) + (b^(7/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[2]*d) - (b^(7/2)*Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) + (b^(7/2)*Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*b^3*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/d + (2*b*(b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+{(b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 12, (b^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[2]*d) - (b^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[2]*d) - (b^(5/2)*Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) + (b^(5/2)*Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*b*(b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{(b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 12, (b^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[2]*d) - (b^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[2]*d) + (b^(3/2)*Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) - (b^(3/2)*Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*b*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/d}
+{(b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 11, -((Sqrt[b]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[2]*d)) + (Sqrt[b]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[2]*d) + (Sqrt[b]*Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) - (Sqrt[b]*Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{1/(b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 11, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[b]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b]*d)) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[b]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b]*d) - Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[b]*d) + Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[b]*d)}
+{1/(b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 12, ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[b]]/(Sqrt[2]*b^(3/2)*d) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[b]]/(Sqrt[2]*b^(3/2)*d) - Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]]/(2*Sqrt[2]*b^(3/2)*d) + Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]]/(2*Sqrt[2]*b^(3/2)*d) - 2/(b*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])}
+{1/(b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 12, ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[b]]/(Sqrt[2]*b^(5/2)*d) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[b]]/(Sqrt[2]*b^(5/2)*d) + Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]]/(2*Sqrt[2]*b^(5/2)*d) - Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]]/(2*Sqrt[2]*b^(5/2)*d) - 2/(3*b*d*(b*Tan[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(b*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 13, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[b]]/(Sqrt[2]*b^(7/2)*d)) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[b]]/(Sqrt[2]*b^(7/2)*d) + Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]]/(2*Sqrt[2]*b^(7/2)*d) - Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]]/(2*Sqrt[2]*b^(7/2)*d) - 2/(5*b*d*(b*Tan[c + d*x])^(5/2)) + 2/(b^3*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tan[c+d x])^(n/3)*)
+
+
+{(b*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 13, -((b^(4/3)*ArcTan[(b*Tan[c + d*x])^(1/3)/b^(1/3)])/d) + (b^(4/3)*ArcTan[Sqrt[3] - (2*(b*Tan[c + d*x])^(1/3))/b^(1/3)])/(2*d) - (b^(4/3)*ArcTan[Sqrt[3] + (2*(b*Tan[c + d*x])^(1/3))/b^(1/3)])/(2*d) + (Sqrt[3]*b^(4/3)*Log[b^(2/3) - Sqrt[3]*b^(1/3)*(b*Tan[c + d*x])^(1/3) + (b*Tan[c + d*x])^(2/3)])/(4*d) - (Sqrt[3]*b^(4/3)*Log[b^(2/3) + Sqrt[3]*b^(1/3)*(b*Tan[c + d*x])^(1/3) + (b*Tan[c + d*x])^(2/3)])/(4*d) + (3*b*(b*Tan[c + d*x])^(1/3))/d}
+{(b*Tan[c + d*x])^(2/3), x, 12, (b^(2/3)*ArcTan[(b*Tan[c + d*x])^(1/3)/b^(1/3)])/d - (b^(2/3)*ArcTan[Sqrt[3] - (2*(b*Tan[c + d*x])^(1/3))/b^(1/3)])/(2*d) + (b^(2/3)*ArcTan[Sqrt[3] + (2*(b*Tan[c + d*x])^(1/3))/b^(1/3)])/(2*d) + (Sqrt[3]*b^(2/3)*Log[b^(2/3) - Sqrt[3]*b^(1/3)*(b*Tan[c + d*x])^(1/3) + (b*Tan[c + d*x])^(2/3)])/(4*d) - (Sqrt[3]*b^(2/3)*Log[b^(2/3) + Sqrt[3]*b^(1/3)*(b*Tan[c + d*x])^(1/3) + (b*Tan[c + d*x])^(2/3)])/(4*d)}
+{(b*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 9, -((Sqrt[3]*b^(1/3)*ArcTan[(b^(2/3) - 2*(b*Tan[c + d*x])^(2/3))/(Sqrt[3]*b^(2/3))])/(2*d)) - (b^(1/3)*Log[b^(2/3) + (b*Tan[c + d*x])^(2/3)])/(2*d) + (b^(1/3)*Log[b^(4/3) - b^(2/3)*(b*Tan[c + d*x])^(2/3) + (b*Tan[c + d*x])^(4/3)])/(4*d)}
+{1/(b*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 9, -((Sqrt[3]*ArcTan[(b^(2/3) - 2*(b*Tan[c + d*x])^(2/3))/(Sqrt[3]*b^(2/3))])/(2*b^(1/3)*d)) + Log[b^(2/3) + (b*Tan[c + d*x])^(2/3)]/(2*b^(1/3)*d) - Log[b^(4/3) - b^(2/3)*(b*Tan[c + d*x])^(2/3) + (b*Tan[c + d*x])^(4/3)]/(4*b^(1/3)*d)}
+{1/(b*Tan[c + d*x])^(2/3), x, 12, ArcTan[(b*Tan[c + d*x])^(1/3)/b^(1/3)]/(b^(2/3)*d) - ArcTan[Sqrt[3] - (2*(b*Tan[c + d*x])^(1/3))/b^(1/3)]/(2*b^(2/3)*d) + ArcTan[Sqrt[3] + (2*(b*Tan[c + d*x])^(1/3))/b^(1/3)]/(2*b^(2/3)*d) - (Sqrt[3]*Log[b^(2/3) - Sqrt[3]*b^(1/3)*(b*Tan[c + d*x])^(1/3) + (b*Tan[c + d*x])^(2/3)])/(4*b^(2/3)*d) + (Sqrt[3]*Log[b^(2/3) + Sqrt[3]*b^(1/3)*(b*Tan[c + d*x])^(1/3) + (b*Tan[c + d*x])^(2/3)])/(4*b^(2/3)*d)}
+{1/(b*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 13, -(ArcTan[(b*Tan[c + d*x])^(1/3)/b^(1/3)]/(b^(4/3)*d)) + ArcTan[Sqrt[3] - (2*(b*Tan[c + d*x])^(1/3))/b^(1/3)]/(2*b^(4/3)*d) - ArcTan[Sqrt[3] + (2*(b*Tan[c + d*x])^(1/3))/b^(1/3)]/(2*b^(4/3)*d) - (Sqrt[3]*Log[b^(2/3) - Sqrt[3]*b^(1/3)*(b*Tan[c + d*x])^(1/3) + (b*Tan[c + d*x])^(2/3)])/(4*b^(4/3)*d) + (Sqrt[3]*Log[b^(2/3) + Sqrt[3]*b^(1/3)*(b*Tan[c + d*x])^(1/3) + (b*Tan[c + d*x])^(2/3)])/(4*b^(4/3)*d) - 3/(b*d*(b*Tan[c + d*x])^(1/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tan[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(b*Tan[c + d*x])^n, x, 2, (Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[c + d*x]^2]*(b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b*d*(1 + n))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tan[c+d x]^p)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tan[c+d x]^p)^(n/2) with p positive integer*)
+
+
+{(b*Tan[c + d*x]^2)^(5/2),x, 4, -((b^2*Cot[c + d*x]*Log[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^2])/d) - (b^2*Tan[c + d*x]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^2])/(2*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^3*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^2])/(4*d)}
+{(b*Tan[c + d*x]^2)^(3/2),x, 3, (b*Cot[c + d*x]*Log[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^2])/d + (b*Tan[c + d*x]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^2])/(2*d)}
+{(b*Tan[c + d*x]^2)^(1/2), x, 2, -((Cot[c + d*x]*Log[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^2])/d)}
+{1/(b*Tan[c + d*x]^2)^(1/2), x, 2, (Log[Sin[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^2])}
+{1/(b*Tan[c + d*x]^2)^(3/2), x, 3, -(Cot[c + d*x]/(2*b*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^2])) - (Log[Sin[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^2])}
+{1/(b*Tan[c + d*x]^2)^(5/2), x, 4, Cot[c + d*x]/(2*b^2*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^2]) - Cot[c + d*x]^3/(4*b^2*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^2]) + (Log[Sin[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^2])}
+
+
+{(b*Tan[c + d*x]^3)^(5/2),x, 16, -((2*b^2*Cot[c + d*x]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/d) - (b^2*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/(Sqrt[2]*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (b^2*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/(Sqrt[2]*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (b^2*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/(2*Sqrt[2]*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (b^2*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/(2*Sqrt[2]*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*b^2*Tan[c + d*x]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/(5*d) - (2*b^2*Tan[c + d*x]^3*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/(9*d) + (2*b^2*Tan[c + d*x]^5*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/(13*d)}
+{(b*Tan[c + d*x]^3)^(3/2),x, 14, -((2*b*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/(3*d)) - (b*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/(Sqrt[2]*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (b*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/(Sqrt[2]*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (b*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/(2*Sqrt[2]*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (b*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/(2*Sqrt[2]*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*Tan[c + d*x]^2*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/(7*d)}
+{(b*Tan[c + d*x]^3)^(1/2), x, 13, (2*Cot[c + d*x]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/d + (ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/(Sqrt[2]*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/(Sqrt[2]*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/(2*Sqrt[2]*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])/(2*Sqrt[2]*d*Tan[c + d*x]^(3/2))}
+{1/(b*Tan[c + d*x]^3)^(1/2), x, 13, -((2*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])) + (ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*Tan[c + d*x]^(3/2))/(Sqrt[2]*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3]) - (ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*Tan[c + d*x]^(3/2))/(Sqrt[2]*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3]) - (Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(3/2))/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3]) + (Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(3/2))/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])}
+{1/(b*Tan[c + d*x]^3)^(3/2),x, 14, 2/(3*b*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3]) - (2*Cot[c + d*x]^2)/(7*b*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3]) - (ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*Tan[c + d*x]^(3/2))/(Sqrt[2]*b*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3]) + (ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*Tan[c + d*x]^(3/2))/(Sqrt[2]*b*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3]) - (Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(3/2))/(2*Sqrt[2]*b*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3]) + (Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(3/2))/(2*Sqrt[2]*b*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])}
+{1/(b*Tan[c + d*x]^3)^(5/2),x, 16, -((2*Cot[c + d*x])/(5*b^2*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])) + (2*Cot[c + d*x]^3)/(9*b^2*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3]) - (2*Cot[c + d*x]^5)/(13*b^2*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3]) + (2*Tan[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3]) - (ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*Tan[c + d*x]^(3/2))/(Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3]) + (ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*Tan[c + d*x]^(3/2))/(Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3]) + (Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(3/2))/(2*Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3]) - (Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(3/2))/(2*Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^3])}
+
+
+{(b*Tan[c + d*x]^4)^(5/2),x, 7, (b^2*Cot[c + d*x]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4])/d - b^2*x*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4] - (b^2*Tan[c + d*x]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4])/(3*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^3*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4])/(5*d) - (b^2*Tan[c + d*x]^5*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4])/(7*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^7*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4])/(9*d)}
+{(b*Tan[c + d*x]^4)^(3/2),x, 5, (b*Cot[c + d*x]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4])/d - b*x*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4] - (b*Tan[c + d*x]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4])/(3*d) + (b*Tan[c + d*x]^3*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4])/(5*d)}
+{(b*Tan[c + d*x]^4)^(1/2), x, 3, (Cot[c + d*x]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4])/d - x*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4]}
+{1/(b*Tan[c + d*x]^4)^(1/2), x, 3, -(Tan[c + d*x]/(d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4])) - (x*Tan[c + d*x]^2)/Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4]}
+{1/(b*Tan[c + d*x]^4)^(3/2),x, 5, Cot[c + d*x]/(3*b*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4]) - Cot[c + d*x]^3/(5*b*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4]) - Tan[c + d*x]/(b*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4]) - (x*Tan[c + d*x]^2)/(b*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4])}
+{1/(b*Tan[c + d*x]^4)^(5/2),x, 7, Cot[c + d*x]/(3*b^2*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4]) - Cot[c + d*x]^3/(5*b^2*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4]) + Cot[c + d*x]^5/(7*b^2*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4]) - Cot[c + d*x]^7/(9*b^2*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4]) - Tan[c + d*x]/(b^2*d*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4]) - (x*Tan[c + d*x]^2)/(b^2*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^4])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tan[c+d x]^p)^n with n symbolic*)
+
+
+{(b*Tan[c + d*x]^p)^n, x, 3, (Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]*(b*Tan[c + d*x]^p)^n)/(d*(1 + n*p))}
+
+
+{(b*Tan[c + d*x]^2)^n,x, 3, (Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + 2*n), (1/2)*(3 + 2*n), -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]*(b*Tan[c + d*x]^2)^n)/(d*(1 + 2*n))}
+{(b*Tan[c + d*x]^3)^n,x, 3, (Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + 3*n), (3*(1 + n))/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]*(b*Tan[c + d*x]^3)^n)/(d*(1 + 3*n))}
+{(b*Tan[c + d*x]^4)^n,x, 3, (Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + 4*n), (1/2)*(3 + 4*n), -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]*(b*Tan[c + d*x]^4)^n)/(d*(1 + 4*n))}
+
+
+{(b*Tan[c + d*x]^p)^(5/2), x, 3, (2*b^2*Hypergeometric2F1[1, (1/4)*(2 + 5*p), (1/4)*(6 + 5*p), -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + 2*p)*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^p])/(d*(2 + 5*p))}
+{(b*Tan[c + d*x]^p)^(3/2), x, 3, (2*b*Hypergeometric2F1[1, (1/4)*(2 + 3*p), (3*(2 + p))/4, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + p)*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^p])/(d*(2 + 3*p))}
+{(b*Tan[c + d*x]^p)^(1/2), x, 3, (2*Hypergeometric2F1[1, (2 + p)/4, (6 + p)/4, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^p])/(d*(2 + p))}
+{1/(b*Tan[c + d*x]^p)^(1/2), x, 3, (2*Hypergeometric2F1[1, (2 - p)/4, (6 - p)/4, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x])/(d*(2 - p)*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^p])}
+{1/(b*Tan[c + d*x]^p)^(3/2), x, 3, (2*Hypergeometric2F1[1, (1/4)*(2 - 3*p), (3*(2 - p))/4, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 - p))/(b*d*(2 - 3*p)*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^p])}
+{1/(b*Tan[c + d*x]^p)^(5/2), x, 3, (2*Hypergeometric2F1[1, (1/4)*(2 - 5*p), (1/4)*(6 - 5*p), -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 - 2*p))/(b^2*d*(2 - 5*p)*Sqrt[b*Tan[c + d*x]^p])}
+
+
+{(b*Tan[c + d*x]^p)^(1/p), x, 2, -((Cot[c + d*x]*Log[Cos[c + d*x]]*(b*Tan[c + d*x]^p)^(1/p))/d)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a (b Tan[c+d x])^p)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a (b Tan[c+d x])^p)^n with n symbolic*)
+
+
+{(a*(b*Tan[c + d*x])^p)^n, x, 3, (Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]*(a*(b*Tan[c + d*x])^p)^n)/(d*(1 + n*p))}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a Trg[e+f x])^m (b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^m (b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (b Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sin[a + b*x]^4*(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 13, -((21*Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[2]*b)) + (21*Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[2]*b) + (21*Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(64*Sqrt[2]*b) - (21*Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(64*Sqrt[2]*b) - (7*Cos[a + b*x]^2*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(16*b*d) - (Cos[a + b*x]^4*(d*Tan[a + b*x])^(7/2))/(4*b*d^3)}
+{Sin[a + b*x]^2*(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 12, -((3*Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[2]*b)) + (3*Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[2]*b) + (3*Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(8*Sqrt[2]*b) - (3*Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(8*Sqrt[2]*b) - (Cos[a + b*x]^2*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(2*b*d)}
+{Csc[a + b*x]^2*(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 2, -((2*d)/(b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]))}
+{Csc[a + b*x]^4*(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 3, -((2*d^3)/(5*b*(d*Tan[a + b*x])^(5/2))) - (2*d)/(b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])}
+{Csc[a + b*x]^6*(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 3, -((2*d^5)/(9*b*(d*Tan[a + b*x])^(9/2))) - (4*d^3)/(5*b*(d*Tan[a + b*x])^(5/2)) - (2*d)/(b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])}
+
+{Sin[a + b*x]^3*(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 5, -((5*d*Sin[a + b*x])/(6*b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) - (d*Sin[a + b*x]^3)/(3*b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) + (5*Csc[a + b*x]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(12*b)}
+{Sin[a + b*x]^1*(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 4, -((d*Sin[a + b*x])/(b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) + (Csc[a + b*x]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(2*b)}
+{Csc[a + b*x]^1*(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 3, (Csc[a + b*x]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/b}
+{Csc[a + b*x]^3*(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 4, -((2*d*Csc[a + b*x])/(3*b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) + (2*Csc[a + b*x]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(3*b)}
+{Csc[a + b*x]^5*(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 5, -((4*d*Csc[a + b*x])/(7*b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) - (2*d*Csc[a + b*x]^3)/(7*b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) + (4*Csc[a + b*x]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(7*b)}
+
+
+{Sin[a + b*x]^4*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 14, (45*d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[2]*b) - (45*d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[2]*b) + (45*d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(64*Sqrt[2]*b) - (45*d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(64*Sqrt[2]*b) + (45*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(16*b) - (9*Cos[a + b*x]^2*(d*Tan[a + b*x])^(5/2))/(16*b*d) - (Cos[a + b*x]^4*(d*Tan[a + b*x])^(9/2))/(4*b*d^3)}
+{Sin[a + b*x]^2*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 13, (5*d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[2]*b) - (5*d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[2]*b) + (5*d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(8*Sqrt[2]*b) - (5*d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(8*Sqrt[2]*b) + (5*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(2*b) - (Cos[a + b*x]^2*(d*Tan[a + b*x])^(5/2))/(2*b*d)}
+{Csc[a + b*x]^2*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 2, (2*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/b}
+{Csc[a + b*x]^4*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 3, -((2*d^3)/(3*b*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))) + (2*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/b}
+{Csc[a + b*x]^6*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 3, -((2*d^5)/(7*b*(d*Tan[a + b*x])^(7/2))) - (4*d^3)/(3*b*(d*Tan[a + b*x])^(3/2)) + (2*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/b}
+
+{Sin[a + b*x]^3*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 5, (7*d^3*Sin[a + b*x]^3)/(3*b*(d*Tan[a + b*x])^(3/2)) - (7*d^2*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sin[a + b*x])/(2*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) + (2*d*Sin[a + b*x]^3*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/b}
+{Sin[a + b*x]^1*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 4, -((3*d^2*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sin[a + b*x])/(b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) + (2*d*Sin[a + b*x]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/b}
+{Csc[a + b*x]^1*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 4, -((2*d^2*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sin[a + b*x])/(b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) + (2*d*Sin[a + b*x]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/b}
+{Csc[a + b*x]^3*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 5, -((4*d^2*Cos[a + b*x])/(b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) - (4*d^2*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sin[a + b*x])/(b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) + (2*d*Csc[a + b*x]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/b}
+
+
+{Sin[a + b*x]^4*(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 14, (77*d^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[2]*b) - (77*d^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[2]*b) - (77*d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(64*Sqrt[2]*b) + (77*d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(64*Sqrt[2]*b) + (77*d*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(48*b) - (11*Cos[a + b*x]^2*(d*Tan[a + b*x])^(7/2))/(16*b*d) - (Cos[a + b*x]^4*(d*Tan[a + b*x])^(11/2))/(4*b*d^3)}
+{Sin[a + b*x]^2*(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 13, (7*d^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[2]*b) - (7*d^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[2]*b) - (7*d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(8*Sqrt[2]*b) + (7*d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(8*Sqrt[2]*b) + (7*d*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(6*b) - (Cos[a + b*x]^2*(d*Tan[a + b*x])^(7/2))/(2*b*d)}
+{Csc[a + b*x]^2*(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 2, (2*d*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(3*b)}
+{Csc[a + b*x]^4*(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 3, -((2*d^3)/(b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) + (2*d*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(3*b)}
+{Csc[a + b*x]^6*(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 3, -((2*d^5)/(5*b*(d*Tan[a + b*x])^(5/2))) - (4*d^3)/(b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) + (2*d*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(3*b)}
+
+{Sin[a + b*x]^3*(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 6, (5*d^3*Sin[a + b*x])/(2*b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) + (d^3*Sin[a + b*x]^3)/(b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) - (5*d^2*Csc[a + b*x]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(4*b) + (2*d*Sin[a + b*x]^3*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(3*b)}
+{Sin[a + b*x]^1*(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 5, (5*d^3*Sin[a + b*x])/(3*b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) - (5*d^2*Csc[a + b*x]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(6*b) + (2*d*Sin[a + b*x]*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(3*b)}
+{Csc[a + b*x]^1*(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 4, -((d^2*Csc[a + b*x]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(3*b)) + (2*d*Csc[a + b*x]*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(3*b)}
+{Csc[a + b*x]^3*(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 4, (2*d^2*Csc[a + b*x]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(3*b) + (2*d*Csc[a + b*x]*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(3*b)}
+{Csc[a + b*x]^5*(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 5, -((4*d^3*Csc[a + b*x])/(3*b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) + (4*d^2*Csc[a + b*x]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(3*b) + (2*d*Csc[a + b*x]^3*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(3*b)}
+{Csc[a + b*x]^7*(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 6, -((40*d^3*Csc[a + b*x])/(21*b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) - (20*d^3*Csc[a + b*x]^3)/(21*b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) + (40*d^2*Csc[a + b*x]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(21*b) + (2*d*Csc[a + b*x]^5*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(3*b)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sin[a + b*x]^4/(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 13, -((5*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[2]*b*Sqrt[d])) + (5*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[2]*b*Sqrt[d]) - (5*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(64*Sqrt[2]*b*Sqrt[d]) + (5*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(64*Sqrt[2]*b*Sqrt[d]) - (5*Cos[a + b*x]^2*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(16*b*d) - (Cos[a + b*x]^4*(d*Tan[a + b*x])^(5/2))/(4*b*d^3)}
+{Sin[a + b*x]^2/(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 12, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]]/(4*Sqrt[2]*b*Sqrt[d])) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]]/(4*Sqrt[2]*b*Sqrt[d]) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]]/(8*Sqrt[2]*b*Sqrt[d]) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]]/(8*Sqrt[2]*b*Sqrt[d]) - (Cos[a + b*x]^2*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(2*b*d)}
+{Csc[a + b*x]^2/(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 2, -((2*d)/(3*b*(d*Tan[a + b*x])^(3/2)))}
+{Csc[a + b*x]^4/(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 3, -((2*d^3)/(7*b*(d*Tan[a + b*x])^(7/2))) - (2*d)/(3*b*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))}
+{Csc[a + b*x]^6/(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 3, -((2*d^5)/(11*b*(d*Tan[a + b*x])^(11/2))) - (4*d^3)/(7*b*(d*Tan[a + b*x])^(7/2)) - (2*d)/(3*b*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))}
+
+{Sin[a + b*x]^5/(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 5, -((7*d*Sin[a + b*x]^3)/(30*b*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))) - (d*Sin[a + b*x]^5)/(5*b*(d*Tan[a + b*x])^(3/2)) + (7*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sin[a + b*x])/(20*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])}
+{Sin[a + b*x]^3/(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 4, -((d*Sin[a + b*x]^3)/(3*b*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))) + (EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sin[a + b*x])/(2*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])}
+{Sin[a + b*x]^1/(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 3, (EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sin[a + b*x])/(b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])}
+{Csc[a + b*x]^1/(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 4, -((2*Cos[a + b*x])/(b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) - (2*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sin[a + b*x])/(b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])}
+{Csc[a + b*x]^3/(d*Tan[a + b*x])^(1/2), x, 5, -((2*d*Csc[a + b*x])/(5*b*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))) - (4*Cos[a + b*x])/(5*b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) - (4*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sin[a + b*x])/(5*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])}
+
+
+{Sin[a + b*x]^4/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 13, -((3*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[2]*b*d^(3/2))) + (3*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[2]*b*d^(3/2)) + (3*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(64*Sqrt[2]*b*d^(3/2)) - (3*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(64*Sqrt[2]*b*d^(3/2)) + (3*Cos[a + b*x]^2*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(16*b*d^3) - (Cos[a + b*x]^4*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(4*b*d^3)}
+{Sin[a + b*x]^2/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 12, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]]/(4*Sqrt[2]*b*d^(3/2))) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]]/(4*Sqrt[2]*b*d^(3/2)) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]]/(8*Sqrt[2]*b*d^(3/2)) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]]/(8*Sqrt[2]*b*d^(3/2)) + (Cos[a + b*x]^2*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(2*b*d^3)}
+{Csc[a + b*x]^2/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 2, -((2*d)/(5*b*(d*Tan[a + b*x])^(5/2)))}
+{Csc[a + b*x]^4/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 3, -((2*d^3)/(9*b*(d*Tan[a + b*x])^(9/2))) - (2*d)/(5*b*(d*Tan[a + b*x])^(5/2))}
+{Csc[a + b*x]^6/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 3, -((2*d^5)/(13*b*(d*Tan[a + b*x])^(13/2))) - (4*d^3)/(9*b*(d*Tan[a + b*x])^(9/2)) - (2*d)/(5*b*(d*Tan[a + b*x])^(5/2))}
+
+{Sin[a + b*x]^3/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 5, -(Sin[a + b*x]/(6*b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) + Sin[a + b*x]^3/(3*b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) + (Csc[a + b*x]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(12*b*d^2)}
+{Sin[a + b*x]^1/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 4, Sin[a + b*x]/(b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) + (EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sec[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(2*b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])}
+{Csc[a + b*x]^1/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 4, -((2*Csc[a + b*x])/(3*b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) - (Csc[a + b*x]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(3*b*d^2)}
+{Csc[a + b*x]^3/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 5, (2*Csc[a + b*x])/(21*b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) - (2*Csc[a + b*x]^3)/(7*b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) - (2*Csc[a + b*x]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(21*b*d^2)}
+
+
+{Sin[a + b*x]^4/(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 13, -((3*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[2]*b*d^(5/2))) + (3*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[2]*b*d^(5/2)) - (3*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(64*Sqrt[2]*b*d^(5/2)) + (3*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(64*Sqrt[2]*b*d^(5/2)) + (Cos[a + b*x]^2*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(16*b*d^3) - (Cos[a + b*x]^4*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(4*b*d^3)}
+{Sin[a + b*x]^2/(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 12, -((3*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[2]*b*d^(5/2))) + (3*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[2]*b*d^(5/2)) - (3*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(8*Sqrt[2]*b*d^(5/2)) + (3*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(8*Sqrt[2]*b*d^(5/2)) + (Cos[a + b*x]^2*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(2*b*d^3)}
+{Csc[a + b*x]^2/(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 2, -((2*d)/(7*b*(d*Tan[a + b*x])^(7/2)))}
+{Csc[a + b*x]^4/(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 3, -((2*d^3)/(11*b*(d*Tan[a + b*x])^(11/2))) - (2*d)/(7*b*(d*Tan[a + b*x])^(7/2))}
+{Csc[a + b*x]^6/(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 3, -((2*d^5)/(15*b*(d*Tan[a + b*x])^(15/2))) - (4*d^3)/(11*b*(d*Tan[a + b*x])^(11/2)) - (2*d)/(7*b*(d*Tan[a + b*x])^(7/2))}
+
+{Sin[a + b*x]^7/(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 6, -(Sin[a + b*x]^3/(20*b*d*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))) - (3*Sin[a + b*x]^5)/(70*b*d*(d*Tan[a + b*x])^(3/2)) + Sin[a + b*x]^7/(7*b*d*(d*Tan[a + b*x])^(3/2)) + (3*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sin[a + b*x])/(40*b*d^2*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])}
+{Sin[a + b*x]^5/(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 5, -(Sin[a + b*x]^3/(10*b*d*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))) + Sin[a + b*x]^5/(5*b*d*(d*Tan[a + b*x])^(3/2)) + (3*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sin[a + b*x])/(20*b*d^2*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])}
+{Sin[a + b*x]^3/(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 4, Sin[a + b*x]^3/(3*b*d*(d*Tan[a + b*x])^(3/2)) + (EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sin[a + b*x])/(2*b*d^2*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])}
+{Sin[a + b*x]^1/(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 4, -((2*Sin[a + b*x])/(b*d*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))) - (3*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sin[a + b*x])/(b*d^2*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])}
+{Csc[a + b*x]^1/(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 5, -((2*Csc[a + b*x])/(5*b*d*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))) + (6*Cos[a + b*x])/(5*b*d^2*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) + (6*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sin[a + b*x])/(5*b*d^2*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])}
+{Csc[a + b*x]^3/(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 6, (2*Csc[a + b*x])/(15*b*d*(d*Tan[a + b*x])^(3/2)) - (2*Csc[a + b*x]^3)/(9*b*d*(d*Tan[a + b*x])^(3/2)) + (4*Cos[a + b*x])/(15*b*d^2*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) + (4*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sin[a + b*x])/(15*b*d^2*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^(m/2) (b Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]], x, 2, (-8*a^2*b*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(5*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) - (2*b*(a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])}
+{(a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]], x, 3, (-2*b*(a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + (4*a^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(3*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]], x, 1, (-2*b*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])}
+{Sqrt[b*Tan[e + f*x]]/Sqrt[a*Sin[e + f*x]], x, 2, (2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[b*Tan[e + f*x]]/(a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 7, -((ArcTan[Sqrt[Cos[e + f*x]]]*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])) - (ArcTanh[Sqrt[Cos[e + f*x]]]*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[b*Tan[e + f*x]]/(a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 3, -(b/(a^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])) + (Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 4, (-24*a^2*b^2*EllipticE[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(5*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + (12*a^2*b*Sqrt[a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(5*f) - (2*b*(a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(5*f)}
+{(a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 2, (8*a^2*b*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(3*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]]) - (2*b*(a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(3*f)}
+{Sqrt[a*Sin[e + f*x]]*(b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, (-4*b^2*EllipticE[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + (2*b*Sqrt[a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/f}
+{(b*Tan[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[a*Sin[e + f*x]], x, 1, (2*b*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{(b*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, (-2*b^2*EllipticE[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + (2*b*Sqrt[a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(a^2*f)}
+{(b*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a*Sin[e + f*x])^(5/2), x, 8, (b^2*ArcTan[Sqrt[Cos[e + f*x]]]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(a^3*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) - (b^2*ArcTanh[Sqrt[Cos[e + f*x]]]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(a^3*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + (2*b*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(a*Sin[e + f*x])^(9/2)/Sqrt[b*Tan[e + f*x]], x, 4, -((4*a^2*b*(a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(15*f*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))) - (2*b*(a*Sin[e + f*x])^(9/2))/(9*f*(b*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (8*a^4*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(15*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])}
+{(a*Sin[e + f*x])^(7/2)/Sqrt[b*Tan[e + f*x]], x, 2, -((8*a^2*b*(a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(21*f*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))) - (2*b*(a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(7*f*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{(a*Sin[e + f*x])^(5/2)/Sqrt[b*Tan[e + f*x]], x, 3, (-2*b*(a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*f*(b*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (4*a^2*EllipticE[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(5*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])}
+{(a*Sin[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[b*Tan[e + f*x]], x, 1, (-2*b*(a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*f*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{Sqrt[a*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b*Tan[e + f*x]], x, 2, (2*EllipticE[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])}
+{1/(Sqrt[a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]), x, 7, (ArcTan[Sqrt[Cos[e + f*x]]]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) - (ArcTanh[Sqrt[Cos[e + f*x]]]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]), x, 3, -((b*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(a^2*f*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))) - (EllipticE[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]), x, 8, -(b/(2*a^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]]*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))) + (ArcTan[Sqrt[Cos[e + f*x]]]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(4*a^3*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) - (ArcTanh[Sqrt[Cos[e + f*x]]]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(4*a^3*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a*Sin[e + f*x])^(13/2)/(b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((64*a^6*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(585*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])) - (16*a^4*(a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(585*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) - (2*a^2*(a*Sin[e + f*x])^(9/2))/(117*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + (2*(a*Sin[e + f*x])^(13/2))/(13*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])}
+{(a*Sin[e + f*x])^(9/2)/(b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((8*a^4*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(45*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])) - (2*a^2*(a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(45*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + (2*(a*Sin[e + f*x])^(9/2))/(9*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])}
+{(a*Sin[e + f*x])^(5/2)/(b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 1, (-2*b*(a*Sin[e + f*x])^(5/2))/(5*f*(b*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+{Sqrt[a*Sin[e + f*x]]/(b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 8, (2*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])/(b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) - (a*ArcTan[Sqrt[Cos[e + f*x]]]*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(b^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]]) - (a*ArcTanh[Sqrt[Cos[e + f*x]]]*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(b^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(b*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 8, -(1/(2*b*f*(a*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])) + (ArcTan[Sqrt[Cos[e + f*x]]]*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(4*a*b^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]]) + (ArcTanh[Sqrt[Cos[e + f*x]]]*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(4*a*b^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+
+{(a*Sin[e + f*x])^(11/2)/(b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 5, -((4*a^4*(a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(77*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])) - (2*a^2*(a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(77*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + (2*(a*Sin[e + f*x])^(11/2))/(11*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + (8*a^6*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(77*b^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{(a*Sin[e + f*x])^(7/2)/(b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((2*a^2*(a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(21*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])) + (2*(a*Sin[e + f*x])^(7/2))/(7*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + (4*a^4*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(21*b^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{(a*Sin[e + f*x])^(3/2)/(b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, (2*(a*Sin[e + f*x])^(3/2))/(3*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + (2*a^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(3*b^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{1/(Sqrt[a*Sin[e + f*x]]*(b*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 3, -(1/(b*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])) - (Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(b^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a*Sin[e + f*x])^(5/2)*(b*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 4, -1/(3*b*f*(a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + 1/(6*a^2*b*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) - (Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(6*a^2*b^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{1/((a*Sin[e + f*x])^(9/2)*(b*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 5, -(1/(5*b*f*(a*Sin[e + f*x])^(9/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])) + 1/(30*a^2*b*f*(a*Sin[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + 1/(12*a^4*b*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) - (Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(12*a^4*b^2*f*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^(m/3) (b Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+{Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(b*Sin[e + f*x])^(4/3), x, 2, (6*(Cos[e + f*x]^2)^(3/4)*Hypergeometric2F1[3/4, 17/12, 29/12, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(4/3)*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(17*d*f)}
+{Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(b*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 2, (6*(Cos[e + f*x]^2)^(3/4)*Hypergeometric2F1[3/4, 11/12, 23/12, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(1/3)*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(11*d*f)}
+{Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/(b*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 2, (6*(Cos[e + f*x]^2)^(3/4)*Hypergeometric2F1[7/12, 3/4, 19/12, Sin[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(7*d*f*(b*Sin[e + f*x])^(1/3))}
+{Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/(b*Sin[e + f*x])^(4/3), x, 2, (6*(Cos[e + f*x]^2)^(3/4)*Hypergeometric2F1[1/12, 3/4, 13/12, Sin[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(d*f*(b*Sin[e + f*x])^(4/3))}
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(b*Sin[e + f*x])^(4/3), x, 2, (6*(Cos[e + f*x]^2)^(5/4)*Hypergeometric2F1[5/4, 23/12, 35/12, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(4/3)*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(23*d*f)}
+{(d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(b*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 2, (6*(Cos[e + f*x]^2)^(5/4)*Hypergeometric2F1[5/4, 17/12, 29/12, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(1/3)*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(17*d*f)}
+{(d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(b*Sin[e + f*x])^(1/3), x, 2, (6*(Cos[e + f*x]^2)^(5/4)*Hypergeometric2F1[13/12, 5/4, 25/12, Sin[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(13*d*f*(b*Sin[e + f*x])^(1/3))}
+{(d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(b*Sin[e + f*x])^(4/3), x, 2, (6*(Cos[e + f*x]^2)^(5/4)*Hypergeometric2F1[7/12, 5/4, 19/12, Sin[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(7*d*f*(b*Sin[e + f*x])^(4/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^(m/2) (b Tan[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+{Sqrt[b*Sin[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(4/3), x, 2, (6*(Cos[e + f*x]^2)^(7/6)*Hypergeometric2F1[7/6, 17/12, 29/12, Sin[e + f*x]^2]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(7/3))/(17*d*f)}
+{Sqrt[b*Sin[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(1/3), x, 2, (6*(Cos[e + f*x]^2)^(2/3)*Hypergeometric2F1[2/3, 11/12, 23/12, Sin[e + f*x]^2]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(4/3))/(11*d*f)}
+{Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/(d*Tan[e + f*x])^(1/3), x, 2, (6*(Cos[e + f*x]^2)^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 7/12, 19/12, Sin[e + f*x]^2]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(2/3))/(7*d*f)}
+{Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/(d*Tan[e + f*x])^(4/3), x, 2, (6*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/12, 13/12, Sin[e + f*x]^2]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]])/(d*f*(Cos[e + f*x]^2)^(1/6)*(d*Tan[e + f*x])^(1/3))}
+
+
+{(b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(d*Tan[e + f*x])^(4/3), x, 2, (6*(Cos[e + f*x]^2)^(7/6)*Hypergeometric2F1[7/6, 23/12, 35/12, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(d*Tan[e + f*x])^(7/3))/(23*d*f)}
+{(b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(d*Tan[e + f*x])^(1/3), x, 2, (6*(Cos[e + f*x]^2)^(2/3)*Hypergeometric2F1[2/3, 17/12, 29/12, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(d*Tan[e + f*x])^(4/3))/(17*d*f)}
+{(b*Sin[e + f*x])^(3/2)/(d*Tan[e + f*x])^(1/3), x, 2, (6*(Cos[e + f*x]^2)^(1/3)*Hypergeometric2F1[1/3, 13/12, 25/12, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(d*Tan[e + f*x])^(2/3))/(13*d*f)}
+{(b*Sin[e + f*x])^(3/2)/(d*Tan[e + f*x])^(4/3), x, 2, (6*Hypergeometric2F1[-(1/6), 7/12, 19/12, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sin[e + f*x])^(3/2))/(7*d*f*(Cos[e + f*x]^2)^(1/6)*(d*Tan[e + f*x])^(1/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^m (b Tan[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(a*Sin[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]^3, x, 2, (Hypergeometric2F1[2, (4 + m)/2, (6 + m)/2, Sin[e + f*x]^2]*(a*Sin[e + f*x])^(4 + m))/(a^4*f*(4 + m))}
+{(a*Sin[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]^1, x, 2, (Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Sin[e + f*x]^2]*(a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(a^2*f*(2 + m))}
+{(a*Sin[e + f*x])^m*Cot[e + f*x]^1, x, 2, (a*Sin[e + f*x])^m/(f*m)}
+{(a*Sin[e + f*x])^m*Cot[e + f*x]^3, x, 3, -((a^2*(a*Sin[e + f*x])^(-2 + m))/(f*(2 - m))) - (a*Sin[e + f*x])^m/(f*m)}
+{(a*Sin[e + f*x])^m*Cot[e + f*x]^5, x, 3, -((a^4*(a*Sin[e + f*x])^(-4 + m))/(f*(4 - m))) + (2*a^2*(a*Sin[e + f*x])^(-2 + m))/(f*(2 - m)) + (a*Sin[e + f*x])^m/(f*m)}
+
+{(a*Sin[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]^4, x, 2, (Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Hypergeometric2F1[5/2, (5 + m)/2, (7 + m)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]*(a*Sin[e + f*x])^(5 + m))/(a^5*f*(5 + m))}
+{(a*Sin[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]^2, x, 2, (Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Hypergeometric2F1[3/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]*(a*Sin[e + f*x])^(3 + m))/(a^3*f*(3 + m))}
+{(a*Sin[e + f*x])^m*Cot[e + f*x]^2, x, 2, -((a*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1/2)*(-1 + m), (1 + m)/2, Sin[e + f*x]^2]*(a*Sin[e + f*x])^(-1 + m))/(f*(1 - m)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]))}
+{(a*Sin[e + f*x])^m*Cot[e + f*x]^4, x, 2, -((a^3*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1/2)*(-3 + m), (1/2)*(-1 + m), Sin[e + f*x]^2]*(a*Sin[e + f*x])^(-3 + m))/(f*(3 - m)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]))}
+
+
+{(a*Sin[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 2, (2*(Cos[e + f*x]^2)^(5/4)*Hypergeometric2F1[5/4, (1/4)*(5 + 2*m), (1/4)*(9 + 2*m), Sin[e + f*x]^2]*(a*Sin[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x])^(5/2))/(b*f*(5 + 2*m))}
+{(a*Sin[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 2, (2*(Cos[e + f*x]^2)^(3/4)*Hypergeometric2F1[3/4, (1/4)*(3 + 2*m), (1/4)*(7 + 2*m), Sin[e + f*x]^2]*(a*Sin[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(b*f*(3 + 2*m))}
+{(a*Sin[e + f*x])^m/(b*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 2, (2*(Cos[e + f*x]^2)^(1/4)*Hypergeometric2F1[1/4, (1/4)*(1 + 2*m), (1/4)*(5 + 2*m), Sin[e + f*x]^2]*(a*Sin[e + f*x])^m*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(b*f*(1 + 2*m))}
+{(a*Sin[e + f*x])^m/(b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 2, -((2*Hypergeometric2F1[-(1/4), (1/4)*(-1 + 2*m), (1/4)*(3 + 2*m), Sin[e + f*x]^2]*(a*Sin[e + f*x])^m)/(b*f*(1 - 2*m)*(Cos[e + f*x]^2)^(1/4)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^m (b Tan[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(a*Sin[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 2, ((Cos[e + f*x]^2)^((1 + n)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (1/2)*(1 + m + n), (1/2)*(3 + m + n), Sin[e + f*x]^2]*(a*Sin[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(b*f*(1 + m + n))}
+
+
+{Sin[e + f*x]^4*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 2, (Hypergeometric2F1[3, (5 + n)/2, (7 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(b*Tan[e + f*x])^(5 + n))/(b^5*f*(5 + n))}
+{Sin[e + f*x]^2*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 2, (Hypergeometric2F1[2, (3 + n)/2, (5 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(b*Tan[e + f*x])^(3 + n))/(b^3*f*(3 + n))}
+{Csc[e + f*x]^2*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 2, -((b*(b*Tan[e + f*x])^(-1 + n))/(f*(1 - n)))}
+{Csc[e + f*x]^4*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 3, -((b^3*(b*Tan[e + f*x])^(-3 + n))/(f*(3 - n))) - (b*(b*Tan[e + f*x])^(-1 + n))/(f*(1 - n))}
+{Csc[e + f*x]^6*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 3, -((b^5*(b*Tan[e + f*x])^(-5 + n))/(f*(5 - n))) - (2*b^3*(b*Tan[e + f*x])^(-3 + n))/(f*(3 - n)) - (b*(b*Tan[e + f*x])^(-1 + n))/(f*(1 - n))}
+
+{Sin[e + f*x]^3*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 2, ((Cos[e + f*x]^2)^((1 + n)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (4 + n)/2, (6 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^3*(b*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(b*f*(4 + n))}
+{Sin[e + f*x]^1*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 2, ((Cos[e + f*x]^2)^((1 + n)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*(b*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(b*f*(2 + n))}
+{Csc[e + f*x]^1*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 2, -((Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[(1 - n)/2, (2 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(b*Tan[e + f*x])^n)/((Sin[e + f*x]^2)^(n/2)*(f*(1 - n))))}
+{Csc[e + f*x]^3*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 2, -((Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[(1 - n)/2, (4 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(b*Tan[e + f*x])^n)/((Sin[e + f*x]^2)^(n/2)*(f*(1 - n))))}
+{Csc[e + f*x]^5*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 2, -((Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[(1 - n)/2, (6 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(b*Tan[e + f*x])^n)/((Sin[e + f*x]^2)^(n/2)*(f*(1 - n))))}
+
+
+{(a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 2, (2*(Cos[e + f*x]^2)^((1 + n)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (1/4)*(5 + 2*n), (1/4)*(9 + 2*n), Sin[e + f*x]^2]*(a*Sin[e + f*x])^(3/2)*(b*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(b*f*(5 + 2*n))}
+{(a*Sin[e + f*x])^(1/2)*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 2, (2*(Cos[e + f*x]^2)^((1 + n)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (1/4)*(3 + 2*n), (1/4)*(7 + 2*n), Sin[e + f*x]^2]*Sqrt[a*Sin[e + f*x]]*(b*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(b*f*(3 + 2*n))}
+{(b*Tan[e + f*x])^n/(a*Sin[e + f*x])^(1/2), x, 2, (2*(Cos[e + f*x]^2)^((1 + n)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (1/4)*(1 + 2*n), (1/4)*(5 + 2*n), Sin[e + f*x]^2]*(b*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(b*f*(1 + 2*n)*Sqrt[a*Sin[e + f*x]])}
+{(b*Tan[e + f*x])^n/(a*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 2, -((2*(Cos[e + f*x]^2)^((1 + n)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (1/4)*(-1 + 2*n), (1/4)*(3 + 2*n), Sin[e + f*x]^2]*(b*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(b*f*(1 - 2*n)*(a*Sin[e + f*x])^(3/2)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+{(a*Cos[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 2, ((a*Cos[e + f*x])^m*(Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(1 - m + n))*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (1/2)*(1 - m + n), (3 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(b*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(b*f*(1 + n))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Tan[e+f x])^m (b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+{(a*Tan[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 3, (Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + m + n), (1/2)*(3 + m + n), -Tan[e + f*x]^2]*(a*Tan[e + f*x])^(1 + m)*(b*Tan[e + f*x])^n)/(a*f*(1 + m + n))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cot[e+f x])^m (b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cot[e+f x]^m (b Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cot[e+f x])^(m/2) Tan[e+f x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^4*Sqrt[d*Cot[e + f*x]], x, 14, (Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) - (Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) + (2*d^3)/(5*f*(d*Cot[e + f*x])^(5/2)) - (2*d)/(f*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]) - (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) + (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f)}
+{Tan[e + f*x]^3*Sqrt[d*Cot[e + f*x]], x, 13, -((Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f)) + (Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) + (2*d^2)/(3*f*(d*Cot[e + f*x])^(3/2)) - (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) + (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f)}
+{Tan[e + f*x]^2*Sqrt[d*Cot[e + f*x]], x, 13, -((Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f)) + (Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) + (2*d)/(f*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]) + (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) - (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f)}
+{Tan[e + f*x]^1*Sqrt[d*Cot[e + f*x]], x, 12, (Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) - (Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) + (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) - (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f)}
+{Tan[e + f*x]^0*Sqrt[d*Cot[e + f*x]], x, 11, (Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) - (Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) - (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) + (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f)}
+{Cot[e + f*x]^1*Sqrt[d*Cot[e + f*x]], x, 13, -((Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f)) + (Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) - (2*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/f - (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) + (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f)}
+{Cot[e + f*x]^2*Sqrt[d*Cot[e + f*x]], x, 13, -((Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f)) + (Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) - (2*(d*Cot[e + f*x])^(3/2))/(3*d*f) + (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) - (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f)}
+{Cot[e + f*x]^3*Sqrt[d*Cot[e + f*x]], x, 14, (Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) - (Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) + (2*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/f - (2*(d*Cot[e + f*x])^(5/2))/(5*d^2*f) + (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) - (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f)}
+
+
+{Tan[e + f*x]^5*(d*Cot[e + f*x])^(3/2), x, 14, (d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) - (d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) + (2*d^4)/(5*f*(d*Cot[e + f*x])^(5/2)) - (2*d^2)/(f*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]) - (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) + (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f)}
+{Tan[e + f*x]^4*(d*Cot[e + f*x])^(3/2), x, 13, -((d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f)) + (d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) + (2*d^3)/(3*f*(d*Cot[e + f*x])^(3/2)) - (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) + (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f)}
+{Tan[e + f*x]^3*(d*Cot[e + f*x])^(3/2), x, 13, -((d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f)) + (d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) + (2*d^2)/(f*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]) + (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) - (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f)}
+{Tan[e + f*x]^2*(d*Cot[e + f*x])^(3/2), x, 12, (d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) - (d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) + (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) - (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f)}
+{Tan[e + f*x]^1*(d*Cot[e + f*x])^(3/2), x, 12, (d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) - (d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) - (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) + (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f)}
+{Tan[e + f*x]^0*(d*Cot[e + f*x])^(3/2), x, 12, -((d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f)) + (d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) - (2*d*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/f - (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) + (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f)}
+{Cot[e + f*x]^1*(d*Cot[e + f*x])^(3/2), x, 13, -((d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f)) + (d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) - (2*(d*Cot[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) - (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f)}
+{Cot[e + f*x]^2*(d*Cot[e + f*x])^(3/2), x, 14, (d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) - (d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) + (2*d*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/f - (2*(d*Cot[e + f*x])^(5/2))/(5*d*f) + (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) - (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^3/Sqrt[d*Cot[e + f*x]], x, 14, ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) + (2*d^2)/(5*f*(d*Cot[e + f*x])^(5/2)) - 2/(f*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[d]*f)}
+{Tan[e + f*x]^2/Sqrt[d*Cot[e + f*x]], x, 13, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*Sqrt[d]*f)) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) + (2*d)/(3*f*(d*Cot[e + f*x])^(3/2)) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[d]*f)}
+{Tan[e + f*x]^1/Sqrt[d*Cot[e + f*x]], x, 13, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*Sqrt[d]*f)) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) + 2/(f*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[d]*f)}
+{Tan[e + f*x]^0/Sqrt[d*Cot[e + f*x]], x, 11, ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[d]*f)}
+{Cot[e + f*x]^1/Sqrt[d*Cot[e + f*x]], x, 12, ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[d]*f)}
+{Cot[e + f*x]^2/Sqrt[d*Cot[e + f*x]], x, 13, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*Sqrt[d]*f)) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) - (2*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/(d*f) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[d]*f)}
+{Cot[e + f*x]^3/Sqrt[d*Cot[e + f*x]], x, 13, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*Sqrt[d]*f)) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) - (2*(d*Cot[e + f*x])^(3/2))/(3*d^2*f) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[d]*f)}
+
+
+{Tan[e + f*x]^2/(d*Cot[e + f*x])^(3/2), x, 14, ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*d^(3/2)*f) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*d^(3/2)*f) + (2*d)/(5*f*(d*Cot[e + f*x])^(5/2)) - 2/(d*f*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*d^(3/2)*f) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*d^(3/2)*f)}
+{Tan[e + f*x]^1/(d*Cot[e + f*x])^(3/2), x, 13, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*d^(3/2)*f)) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*d^(3/2)*f) + 2/(3*f*(d*Cot[e + f*x])^(3/2)) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*d^(3/2)*f) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*d^(3/2)*f)}
+{Tan[e + f*x]^0/(d*Cot[e + f*x])^(3/2), x, 12, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*d^(3/2)*f)) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*d^(3/2)*f) + 2/(d*f*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*d^(3/2)*f) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*d^(3/2)*f)}
+{Cot[e + f*x]^1/(d*Cot[e + f*x])^(3/2), x, 12, ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*d^(3/2)*f) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*d^(3/2)*f) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*d^(3/2)*f) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*d^(3/2)*f)}
+{Cot[e + f*x]^2/(d*Cot[e + f*x])^(3/2), x, 12, ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*d^(3/2)*f) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*d^(3/2)*f) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*d^(3/2)*f) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*d^(3/2)*f)}
+{Cot[e + f*x]^3/(d*Cot[e + f*x])^(3/2), x, 13, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*d^(3/2)*f)) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*d^(3/2)*f) - (2*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/(d^2*f) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*d^(3/2)*f) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*d^(3/2)*f)}
+{Cot[e + f*x]^4/(d*Cot[e + f*x])^(3/2), x, 13, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*d^(3/2)*f)) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*d^(3/2)*f) - (2*(d*Cot[e + f*x])^(3/2))/(3*d^3*f) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*d^(3/2)*f) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*d^(3/2)*f)}
+{Cot[e + f*x]^5/(d*Cot[e + f*x])^(3/2), x, 14, ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*d^(3/2)*f) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*d^(3/2)*f) + (2*Sqrt[d*Cot[e + f*x]])/(d^2*f) - (2*(d*Cot[e + f*x])^(5/2))/(5*d^4*f) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*d^(3/2)*f) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Cot[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Cot[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2]*d^(3/2)*f)}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a Cot[e+f x])^(m/2) (b Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cot[e+f x])^m (b Tan[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(Cot[e + f*x])^m*(Tan[e + f*x])^n, x, 3, (1/(f*(1 - m + n)))*(Cot[e + f*x]^m*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 - m + n), (1/2)*(3 - m + n), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^(1 + n))}
+{(Cot[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 3, (1/(b*f*(1 - m + n)))*(Cot[e + f*x]^m*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 - m + n), (1/2)*(3 - m + n), -Tan[e + f*x]^2]*(b*Tan[e + f*x])^(1 + n))}
+{(a*Cot[e + f*x])^m*(Tan[e + f*x])^n, x, 3, (1/(f*(1 - m + n)))*((a*Cot[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 - m + n), (1/2)*(3 - m + n), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^(1 + n))}
+{(a*Cot[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 3, (1/(b*f*(1 - m + n)))*((a*Cot[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 - m + n), (1/2)*(3 - m + n), -Tan[e + f*x]^2]*(b*Tan[e + f*x])^(1 + n))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[e+f x])^m (b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^m (b Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^6*Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 3, (2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*d*f) + (4*(d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*d^3*f) + (2*(d*Tan[e + f*x])^(11/2))/(11*d^5*f)}
+{Sec[e + f*x]^4*Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 3, (2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*d*f) + (2*(d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*d^3*f)}
+{Sec[e + f*x]^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 2, (2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*d*f)}
+{Sec[e + f*x]^0*Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 11, -((Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f)) + (Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) + (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) - (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 12, -((Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[2]*f)) + (Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[2]*f) + (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(8*Sqrt[2]*f) - (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(8*Sqrt[2]*f) + (Cos[e + f*x]^2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*d*f)}
+
+{Sec[e + f*x]^3*Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 5, -((4*Cos[e + f*x]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(5*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])) + (4*Cos[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(5*d*f) + (2*Sec[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(5*d*f)}
+{Sec[e + f*x]^1*Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 4, -((2*Cos[e + f*x]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])) + (2*Cos[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(d*f)}
+{Cos[e + f*x]^1*Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 3, (Cos[e + f*x]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])}
+{Cos[e + f*x]^3*Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 4, (Cos[e + f*x]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(2*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]]) + (Cos[e + f*x]^3*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*d*f)}
+{Cos[e + f*x]^5*Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 5, (7*Cos[e + f*x]*EllipticE[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(20*f*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]]) + (7*Cos[e + f*x]^3*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(30*d*f) + (Cos[e + f*x]^5*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(5*d*f)}
+
+
+{Sec[a + b*x]^6*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 3, (2*(d*Tan[a + b*x])^(5/2))/(5*b*d) + (4*(d*Tan[a + b*x])^(9/2))/(9*b*d^3) + (2*(d*Tan[a + b*x])^(13/2))/(13*b*d^5)}
+{Sec[a + b*x]^4*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 3, (2*(d*Tan[a + b*x])^(5/2))/(5*b*d) + (2*(d*Tan[a + b*x])^(9/2))/(9*b*d^3)}
+{Sec[a + b*x]^2*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 2, (2*(d*Tan[a + b*x])^(5/2))/(5*b*d)}
+{Sec[a + b*x]^0*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 12, (d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*b) - (d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*b) + (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(2*Sqrt[2]*b) - (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(2*Sqrt[2]*b) + (2*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/b}
+{Cos[a + b*x]^2*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 12, -((d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[2]*b)) + (d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[2]*b) - (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(8*Sqrt[2]*b) + (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(8*Sqrt[2]*b) - (d*Cos[a + b*x]^2*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(2*b)}
+
+{Sec[a + b*x]^5*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 6, -((4*d^2*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sec[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(77*b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) - (4*d*Sec[a + b*x]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(77*b) - (2*d*Sec[a + b*x]^3*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(77*b) + (2*d*Sec[a + b*x]^5*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(11*b)}
+{Sec[a + b*x]^3*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 5, -((2*d^2*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sec[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(21*b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) - (2*d*Sec[a + b*x]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(21*b) + (2*d*Sec[a + b*x]^3*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(7*b)}
+{Sec[a + b*x]^1*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 4, -((d^2*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sec[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(3*b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) + (2*d*Sec[a + b*x]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]^1*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 4, (d^2*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sec[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(2*b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) - (d*Cos[a + b*x]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/b}
+{Cos[a + b*x]^3*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 5, (d^2*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sec[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(12*b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) + (d*Cos[a + b*x]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(6*b) - (d*Cos[a + b*x]^3*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]^5*(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 6, (d^2*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sec[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(24*b*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) + (d*Cos[a + b*x]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(12*b) + (d*Cos[a + b*x]^3*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(30*b) - (d*Cos[a + b*x]^5*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(5*b)}
+
+
+{Sec[e + f*x]^6*(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 3, (2*(d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*d*f) + (4*(d*Tan[e + f*x])^(11/2))/(11*d^3*f) + (2*(d*Tan[e + f*x])^(15/2))/(15*d^5*f)}
+{Sec[e + f*x]^4*(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 3, (2*(d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*d*f) + (2*(d*Tan[e + f*x])^(11/2))/(11*d^3*f)}
+{Sec[e + f*x]^2*(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 2, (2*(d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*d*f)}
+{Sec[e + f*x]^0*(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 12, (d^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) - (d^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*f) - (d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) + (d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(2*Sqrt[2]*f) + (2*d*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 12, -((3*d^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[2]*f)) + (3*d^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[2]*f) + (3*d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(8*Sqrt[2]*f) - (3*d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(8*Sqrt[2]*f) - (d*Cos[e + f*x]^2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*f)}
+{Cos[e + f*x]^4*(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 13, -((3*d^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[2]*f)) + (3*d^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[2]*f) + (3*d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(64*Sqrt[2]*f) - (3*d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(64*Sqrt[2]*f) + (3*d*Cos[e + f*x]^2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(16*f) - (d*Cos[e + f*x]^4*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(4*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^5/Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 5, (4*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sec[e + f*x]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(7*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) + (4*Sec[e + f*x]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(7*d*f) + (2*Sec[e + f*x]^3*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(7*d*f)}
+{Sec[e + f*x]^3/Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 4, (2*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sec[e + f*x]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(3*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) + (2*Sec[e + f*x]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(3*d*f)}
+{Sec[e + f*x]^1/Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 3, (EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sec[e + f*x]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+{Cos[e + f*x]^1/Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 4, (EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sec[e + f*x]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(2*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) + (Cos[e + f*x]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(d*f)}
+{Cos[e + f*x]^3/Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 5, (5*EllipticF[e - Pi/4 + f*x, 2]*Sec[e + f*x]*Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])/(12*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) + (5*Cos[e + f*x]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(6*d*f) + (Cos[e + f*x]^3*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(3*d*f)}
+
+
+{Sec[a + b*x]^6/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 3, -(2/(b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) + (4*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(3*b*d^3) + (2*(d*Tan[a + b*x])^(7/2))/(7*b*d^5)}
+{Sec[a + b*x]^4/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 3, -(2/(b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) + (2*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(3*b*d^3)}
+{Sec[a + b*x]^2/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 2, -(2/(b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]))}
+{Sec[a + b*x]^0/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 12, ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*b*d^(3/2)) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]]/(Sqrt[2]*b*d^(3/2)) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]]/(2*Sqrt[2]*b*d^(3/2)) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]]/(2*Sqrt[2]*b*d^(3/2)) - 2/(b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])}
+{Cos[a + b*x]^2/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 13, (5*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[2]*b*d^(3/2)) - (5*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[2]*b*d^(3/2)) - (5*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(8*Sqrt[2]*b*d^(3/2)) + (5*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]])/(8*Sqrt[2]*b*d^(3/2)) - 5/(2*b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) + Cos[a + b*x]^2/(2*b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])}
+
+{Sec[a + b*x]^5/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 6, -((2*Sec[a + b*x]^3)/(b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) - (24*Cos[a + b*x]*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(5*b*d^2*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]) + (24*Cos[a + b*x]*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(5*b*d^3) + (12*Sec[a + b*x]*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(5*b*d^3)}
+{Sec[a + b*x]^3/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 5, -((2*Sec[a + b*x])/(b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) - (4*Cos[a + b*x]*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(b*d^2*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]) + (4*Cos[a + b*x]*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(b*d^3)}
+{Sec[a + b*x]^1/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 4, -((2*Cos[a + b*x])/(b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) - (2*Cos[a + b*x]*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(b*d^2*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Cos[a + b*x]^1/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 4, -((2*Cos[a + b*x])/(b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) - (3*Cos[a + b*x]*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(b*d^2*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Cos[a + b*x]^3/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 5, -((2*Cos[a + b*x]^3)/(b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) - (7*Cos[a + b*x]*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(2*b*d^2*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]) - (7*Cos[a + b*x]^3*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(3*b*d^3)}
+{Cos[a + b*x]^5/(d*Tan[a + b*x])^(3/2), x, 6, -((2*Cos[a + b*x]^5)/(b*d*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])) - (77*Cos[a + b*x]*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(20*b*d^2*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]) - (77*Cos[a + b*x]^3*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(30*b*d^3) - (11*Cos[a + b*x]^5*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))/(5*b*d^3)}
+
+
+{Sec[a + b*x]^1/(d*Tan[a + b*x])^(5/2), x, 4, -((2*Sec[a + b*x])/(3*b*d*(d*Tan[a + b*x])^(3/2))) - (EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sec[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(3*b*d^2*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])}
+
+
+{Sec[a + b*x]^3/(d*Tan[a + b*x])^(7/2), x, 5, -((2*Sec[a + b*x])/(5*b*d*(d*Tan[a + b*x])^(5/2))) - (4*Cos[a + b*x])/(5*b*d^3*Sqrt[d*Tan[a + b*x]]) - (4*Cos[a + b*x]*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[d*Tan[a + b*x]])/(5*b*d^4*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[e+f x])^(m/3) (b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^(4/3)*Tan[e + f*x]^2, x, 2, (3*Hypergeometric2F1[-(7/6), -(1/2), -(1/6), Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(7/3)*Sin[e + f*x])/(7*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^(2/3)*Tan[e + f*x]^2, x, 2, (3*Hypergeometric2F1[-(5/6), -(1/2), 1/6, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(5/3)*Sin[e + f*x])/(5*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^(1/3)*Tan[e + f*x]^2, x, 2, (3*Hypergeometric2F1[-(2/3), -(1/2), 1/3, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(4/3)*Sin[e + f*x])/(4*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^2/Sec[e + f*x]^(1/3), x, 2, (3*Hypergeometric2F1[-(1/2), -(1/3), 2/3, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(2/3)*Sin[e + f*x])/(2*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^2/Sec[e + f*x]^(2/3), x, 2, (3*Hypergeometric2F1[-(1/2), -(1/6), 5/6, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(1/3)*Sin[e + f*x])/(f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+{Sec[e + f*x]^(4/3)*Tan[e + f*x]^4, x, 2, (3*Hypergeometric2F1[-(13/6), -(3/2), -(7/6), Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(13/3)*Sin[e + f*x])/(13*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^(2/3)*Tan[e + f*x]^4, x, 2, (3*Hypergeometric2F1[-(11/6), -(3/2), -(5/6), Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(11/3)*Sin[e + f*x])/(11*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^(1/3)*Tan[e + f*x]^4, x, 2, (3*Hypergeometric2F1[-(5/3), -(3/2), -(2/3), Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(10/3)*Sin[e + f*x])/(10*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^4/Sec[e + f*x]^(1/3), x, 2, (3*Hypergeometric2F1[-(3/2), -(4/3), -(1/3), Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(8/3)*Sin[e + f*x])/(8*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^4/Sec[e + f*x]^(2/3), x, 2, (3*Hypergeometric2F1[-(3/2), -(7/6), -(1/6), Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(7/3)*Sin[e + f*x])/(7*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(4/3)*Tan[e + f*x]^2, x, 1, ((Cos[e + f*x]^2)^(13/6)*Hypergeometric2F1[3/2, 13/6, 5/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(4/3)*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(2/3)*Tan[e + f*x]^2, x, 1, ((Cos[e + f*x]^2)^(11/6)*Hypergeometric2F1[3/2, 11/6, 5/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(2/3)*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/3)*Tan[e + f*x]^2, x, 1, ((Cos[e + f*x]^2)^(5/3)*Hypergeometric2F1[3/2, 5/3, 5/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Tan[e + f*x]^2/(d*Sec[e + f*x])^(1/3), x, 1, ((Cos[e + f*x]^2)^(4/3)*Hypergeometric2F1[4/3, 3/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^3)/(3*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))}
+{Tan[e + f*x]^2/(d*Sec[e + f*x])^(2/3), x, 1, ((Cos[e + f*x]^2)^(7/6)*Hypergeometric2F1[7/6, 3/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^3)/(3*f*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))}
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(4/3)*Tan[e + f*x]^4, x, 1, ((Cos[e + f*x]^2)^(19/6)*Hypergeometric2F1[5/2, 19/6, 7/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(4/3)*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(2/3)*Tan[e + f*x]^4, x, 1, ((Cos[e + f*x]^2)^(17/6)*Hypergeometric2F1[5/2, 17/6, 7/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(2/3)*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/3)*Tan[e + f*x]^4, x, 1, ((Cos[e + f*x]^2)^(8/3)*Hypergeometric2F1[5/2, 8/3, 7/2, Sin[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{Tan[e + f*x]^4/(d*Sec[e + f*x])^(1/3), x, 1, ((Cos[e + f*x]^2)^(7/3)*Hypergeometric2F1[7/3, 5/2, 7/2, Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^5)/(5*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))}
+{Tan[e + f*x]^4/(d*Sec[e + f*x])^(2/3), x, 1, ((Cos[e + f*x]^2)^(13/6)*Hypergeometric2F1[13/6, 5/2, 7/2, Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^5)/(5*f*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[e+f x])^(m/2) (b Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]], x, 7, -((Sqrt[b]*d^3*ArcTan[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(4*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]])) + (Sqrt[b]*d^3*ArcTanh[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(4*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]]) + (d^2*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*b*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]], x, 4, -((d^2*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])) + (d^2*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(b*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]], x, 6, -((Sqrt[b]*d*ArcTan[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]])) + (Sqrt[b]*d*ArcTanh[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[b*Tan[e + f*x]]/(d*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 3, (2*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[b*Tan[e + f*x]]/(d*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 1, (2*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*b*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{Sqrt[b*Tan[e + f*x]]/(d*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 4, (4*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(5*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]]) + (2*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(5*b*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{Sqrt[b*Tan[e + f*x]]/(d*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 2, (2*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(7*b*f*(d*Sec[e + f*x])^(7/2)) + (8*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(21*b*d^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{Sqrt[b*Tan[e + f*x]]/(d*Sec[e + f*x])^(9/2), x, 5, (8*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(15*d^4*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]]) + (2*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(9*b*f*(d*Sec[e + f*x])^(9/2)) + (4*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(15*b*d^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(5/2)*(b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 5, -((b^2*d^2*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(6*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])) - (b*d^2*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(6*f) + (b*(d*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(3*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 7, -((b^(3/2)*d*ArcTan[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]])/(4*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])) - (b^(3/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]])/(4*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + (b*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(2*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/2)*(b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((b^2*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])) + (b*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/f}
+{(b*Tan[e + f*x])^(3/2)/(d*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 7, -((2*d*Csc[e + f*x]*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))) + (b^(3/2)*d*ArcTan[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(b*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (b^(3/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(b*Sin[e + f*x])^(3/2))}
+{(b*Tan[e + f*x])^(3/2)/(d*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 4, (2*b^2*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(3*d^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) - (2*b*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(3*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{(b*Tan[e + f*x])^(3/2)/(d*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 1, (2*(b*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*b*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{(b*Tan[e + f*x])^(3/2)/(d*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 5, (4*b^2*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(21*d^4*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) - (2*b*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(7*f*(d*Sec[e + f*x])^(7/2)) + (2*b*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(21*d^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{(b*Tan[e + f*x])^(3/2)/(d*Sec[e + f*x])^(9/2), x, 3, -((2*b*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(9*f*(d*Sec[e + f*x])^(9/2))) + (2*b*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(45*d^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (8*b*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(45*d^4*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])}
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(5/2)*(b*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 8, (3*b^(5/2)*d^3*ArcTan[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(32*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]]) - (3*b^(5/2)*d^3*ArcTanh[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(32*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]]) - (3*b*d^2*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(16*f) + (b*(d*Sec[e + f*x])^(5/2)*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(4*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(b*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 5, (b^2*d^2*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]]) - (b*d^2*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (b*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/2)*(b*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 7, (3*b^(5/2)*d*ArcTan[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(4*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]]) - (3*b^(5/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(4*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]]) + (b*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*f)}
+{(b*Tan[e + f*x])^(5/2)/(d*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 4, -((3*b^2*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])) + (b*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])}
+{(b*Tan[e + f*x])^(5/2)/(d*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 7, -((b^(5/2)*ArcTan[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(d*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]])) + (b^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(d*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]]) - (2*b*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{(b*Tan[e + f*x])^(5/2)/(d*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 4, (6*b^2*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(5*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]]) - (2*b*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(5*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{(b*Tan[e + f*x])^(5/2)/(d*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 1, (2*(b*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*b*f*(d*Sec[e + f*x])^(7/2))}
+{(b*Tan[e + f*x])^(5/2)/(d*Sec[e + f*x])^(9/2), x, 5, (4*b^2*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(15*d^4*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]]) - (2*b*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(9*f*(d*Sec[e + f*x])^(9/2)) + (2*b*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(15*d^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(7/2)/Sqrt[b*Tan[e + f*x]], x, 7, (3*d^3*ArcTan[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]])/(4*Sqrt[b]*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + (3*d^3*ArcTanh[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]])/(4*Sqrt[b]*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + (d^2*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(2*b*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(5/2)/Sqrt[b*Tan[e + f*x]], x, 4, (d^2*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + (d^2*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(b*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[b*Tan[e + f*x]], x, 6, (d*ArcTan[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[b]*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + (d*ArcTanh[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[b]*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/2)/Sqrt[b*Tan[e + f*x]], x, 3, (2*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(1/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]), x, 1, (2*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(b*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]), x, 4, (4*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(3*d^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + (2*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(3*b*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]), x, 2, (2*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(5*b*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (8*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(5*b*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])}
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(5/2)/(b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 7, -((2*d^2*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])) - (d^3*ArcTan[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(b^(3/2)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]]) + (d^3*ArcTanh[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(b^(3/2)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]])}
+{(d*Sec[e + f*x])^(3/2)/(b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((2*d^2)/(b*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])) - (2*d^2*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(b^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/2)/(b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 1, -((2*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(1/2)*(b*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 4, -(2/(b*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])) - (4*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(b^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(b*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 2, 2/(3*b*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) - (8*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(3*b*d^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]), -(2/(b*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])) - (8*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*b^3*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(5/2)*(b*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 5, -(2/(b*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])) - (24*EllipticE[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(5*b^2*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]]) - (12*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(5*b^3*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(7/2)/(b*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 7, -((2*d^2*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*b*f*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))) + (d^3*ArcTan[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]])/(b^(5/2)*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) + (d^3*ArcTanh[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[b*Sin[e + f*x]])/(b^(5/2)*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])}
+{(d*Sec[e + f*x])^(5/2)/(b*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((2*d^2*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(3*b*f*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))) + (2*d^2*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(3*b^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])}
+{(d*Sec[e + f*x])^(3/2)/(b*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 1, -((2*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*b*f*(b*Tan[e + f*x])^(3/2)))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/2)/(b*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((2*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(3*b*f*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))) - (4*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(3*b^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(1/2)*(b*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 2, -(2/(3*b*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))) - (8*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(3*b^3*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(b*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 5, -(2/(3*b*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))) - (8*EllipticF[(1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(3*b^2*d^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]]) - (4*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(3*b^3*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(5/2)*(b*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 3, -(2/(3*b*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/2)*(b*Tan[e + f*x])^(3/2))) - (16*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(15*b^3*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/2)) - (64*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])/(15*b^3*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[e+f x])^(m/3) (b Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+{Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(b*Sec[e + f*x])^(4/3), x, 1, (2*(Cos[e + f*x]^2)^(17/12)*Hypergeometric2F1[3/4, 17/12, 7/4, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(4/3)*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*d*f)}
+{Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(b*Sec[e + f*x])^(1/3), x, 1, (2*(Cos[e + f*x]^2)^(11/12)*Hypergeometric2F1[3/4, 11/12, 7/4, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(1/3)*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*d*f)}
+{Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/(b*Sec[e + f*x])^(1/3), x, 1, (2*(Cos[e + f*x]^2)^(7/12)*Hypergeometric2F1[7/12, 3/4, 7/4, Sin[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*d*f*(b*Sec[e + f*x])^(1/3))}
+{Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/(b*Sec[e + f*x])^(4/3), x, 1, (2*(Cos[e + f*x]^2)^(1/12)*Hypergeometric2F1[1/12, 3/4, 7/4, Sin[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*d*f*(b*Sec[e + f*x])^(4/3))}
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(b*Sec[e + f*x])^(4/3), x, 1, (2*(Cos[e + f*x]^2)^(23/12)*Hypergeometric2F1[5/4, 23/12, 9/4, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(4/3)*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*d*f)}
+{(d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(b*Sec[e + f*x])^(1/3), x, 1, (2*(Cos[e + f*x]^2)^(17/12)*Hypergeometric2F1[5/4, 17/12, 9/4, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(1/3)*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*d*f)}
+{(d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(b*Sec[e + f*x])^(1/3), x, 1, (2*(Cos[e + f*x]^2)^(13/12)*Hypergeometric2F1[13/12, 5/4, 9/4, Sin[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*d*f*(b*Sec[e + f*x])^(1/3))}
+{(d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(b*Sec[e + f*x])^(4/3), x, 1, (2*(Cos[e + f*x]^2)^(7/12)*Hypergeometric2F1[7/12, 5/4, 9/4, Sin[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*d*f*(b*Sec[e + f*x])^(4/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[e+f x])^(m/2) (b Tan[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(4/3), x, 1, (3*(Cos[e + f*x]^2)^(17/12)*Hypergeometric2F1[7/6, 17/12, 13/6, Sin[e + f*x]^2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(7/3))/(7*d*f)}
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(1/3), x, 1, (3*(Cos[e + f*x]^2)^(11/12)*Hypergeometric2F1[2/3, 11/12, 5/3, Sin[e + f*x]^2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(4/3))/(4*d*f)}
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/(d*Tan[e + f*x])^(1/3), x, 1, (3*(Cos[e + f*x]^2)^(7/12)*Hypergeometric2F1[1/3, 7/12, 4/3, Sin[e + f*x]^2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(2/3))/(2*d*f)}
+{Sqrt[b*Sec[e + f*x]]/(d*Tan[e + f*x])^(4/3), x, 1, -((3*(Cos[e + f*x]^2)^(1/12)*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/12, 5/6, Sin[e + f*x]^2]*Sqrt[b*Sec[e + f*x]])/(d*f*(d*Tan[e + f*x])^(1/3)))}
+
+
+{(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*(d*Tan[e + f*x])^(4/3), x, 1, (3*(Cos[e + f*x]^2)^(23/12)*Hypergeometric2F1[7/6, 23/12, 13/6, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*(d*Tan[e + f*x])^(7/3))/(7*d*f)}
+{(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*(d*Tan[e + f*x])^(1/3), x, 1, (3*(Cos[e + f*x]^2)^(17/12)*Hypergeometric2F1[2/3, 17/12, 5/3, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*(d*Tan[e + f*x])^(4/3))/(4*d*f)}
+{(b*Sec[e + f*x])^(3/2)/(d*Tan[e + f*x])^(1/3), x, 1, (3*(Cos[e + f*x]^2)^(13/12)*Hypergeometric2F1[1/3, 13/12, 4/3, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(3/2)*(d*Tan[e + f*x])^(2/3))/(2*d*f)}
+{(b*Sec[e + f*x])^(3/2)/(d*Tan[e + f*x])^(4/3), x, 1, -((3*(Cos[e + f*x]^2)^(7/12)*Hypergeometric2F1[-(1/6), 7/12, 5/6, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(3/2))/(d*f*(d*Tan[e + f*x])^(1/3)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[e+f x])^m (b Tan[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(b*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]^5, x, 3, (b*Sec[e + f*x])^m/(f*m) - (2*(b*Sec[e + f*x])^(2 + m))/(b^2*f*(2 + m)) + (b*Sec[e + f*x])^(4 + m)/(b^4*f*(4 + m))}
+{(b*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]^3, x, 3, -((b*Sec[e + f*x])^m/(f*m)) + (b*Sec[e + f*x])^(2 + m)/(b^2*f*(2 + m))}
+{(b*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]^1, x, 2, (b*Sec[e + f*x])^m/(f*m)}
+{(b*Sec[e + f*x])^m*Cot[e + f*x]^1, x, 2, -((Hypergeometric2F1[1, m/2, (2 + m)/2, Sec[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^m)/(f*m))}
+{(b*Sec[e + f*x])^m*Cot[e + f*x]^3, x, 2, (Hypergeometric2F1[2, m/2, (2 + m)/2, Sec[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^m)/(f*m)}
+{(b*Sec[e + f*x])^m*Cot[e + f*x]^5, x, 2, -((Hypergeometric2F1[3, m/2, (2 + m)/2, Sec[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^m)/(f*m))}
+
+{(b*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]^4, x, 1, ((Cos[e + f*x]^2)^((5 + m)/2)*Hypergeometric2F1[5/2, (5 + m)/2, 7/2, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{(b*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]^2, x, 1, ((Cos[e + f*x]^2)^((3 + m)/2)*Hypergeometric2F1[3/2, (3 + m)/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(b*Sec[e + f*x])^m*Cot[e + f*x]^2, x, 1, -(((Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 + m))*Cot[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1/2)*(-1 + m), 1/2, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^m)/f)}
+{(b*Sec[e + f*x])^m*Cot[e + f*x]^4, x, 1, -(((Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(-3 + m))*Cot[e + f*x]^3*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1/2)*(-3 + m), -(1/2), Sin[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^m)/(3*f))}
+{(b*Sec[e + f*x])^m*Cot[e + f*x]^6, x, 1, -(((Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(-5 + m))*Cot[e + f*x]^5*Hypergeometric2F1[-(5/2), (1/2)*(-5 + m), -(3/2), Sin[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^m)/(5*f))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[e+f x])^m (b Tan[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(a*Sec[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 1, ((Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(1 + m + n))*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (1/2)*(1 + m + n), (3 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(a*Sec[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(b*f*(1 + n))}
+
+
+{Sec[a + b*x]^6*(d*Tan[a + b*x])^n, x, 3, (d*Tan[a + b*x])^(1 + n)/(b*d*(1 + n)) + (2*(d*Tan[a + b*x])^(3 + n))/(b*d^3*(3 + n)) + (d*Tan[a + b*x])^(5 + n)/(b*d^5*(5 + n))}
+{Sec[a + b*x]^4*(d*Tan[a + b*x])^n, x, 3, (d*Tan[a + b*x])^(n + 1)/(b*d*(1 + n)) + (d*Tan[a + b*x])^(n + 3)/(b*d^3*(3 + n))}
+{Sec[a + b*x]^2*(d*Tan[a + b*x])^n, x, 2, (d*Tan[a + b*x])^(1 + n)/(b*d*(1 + n))}
+{Sec[a + b*x]^0*(d*Tan[a + b*x])^n, x, 2, (Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[a + b*x]^2]*(d*Tan[a + b*x])^(1 + n))/(b*d*(1 + n))}
+{Cos[a + b*x]^2*(d*Tan[a + b*x])^n, x, 2, (Hypergeometric2F1[2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[a + b*x]^2]*(d*Tan[a + b*x])^(1 + n))/(b*d*(1 + n))}
+{Cos[a + b*x]^4*(d*Tan[a + b*x])^n, x, 2, (Hypergeometric2F1[3, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[a + b*x]^2]*(d*Tan[a + b*x])^(1 + n))/(b*d*(1 + n))}
+
+{Sec[a + b*x]^5*(d*Tan[a + b*x])^n, x, 1, ((Cos[a + b*x]^2)^((6 + n)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (6 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[a + b*x]^2]*Sec[a + b*x]^5*(d*Tan[a + b*x])^(1 + n))/(b*d*(1 + n))}
+{Sec[a + b*x]^3*(d*Tan[a + b*x])^n, x, 1, ((Cos[a + b*x]^2)^((4 + n)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (4 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[a + b*x]^2]*Sec[a + b*x]^3*(d*Tan[a + b*x])^(1 + n))/(b*d*(1 + n))}
+{Sec[a + b*x]^1*(d*Tan[a + b*x])^n, x, 1, ((Cos[a + b*x]^2)^((2 + n)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (2 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[a + b*x]^2]*Sec[a + b*x]*(d*Tan[a + b*x])^(1 + n))/(b*d*(1 + n))}
+{Cos[a + b*x]^1*(d*Tan[a + b*x])^n, x, 1, (Cos[a + b*x]*(Cos[a + b*x]^2)^(n/2)*Hypergeometric2F1[n/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[a + b*x]^2]*(d*Tan[a + b*x])^(1 + n))/(b*d*(1 + n))}
+{Cos[a + b*x]^3*(d*Tan[a + b*x])^n, x, 1, (Cos[a + b*x]^3*(Cos[a + b*x]^2)^((1/2)*(-2 + n))*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-2 + n), (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[a + b*x]^2]*(d*Tan[a + b*x])^(1 + n))/(b*d*(1 + n))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Csc[e+f x])^m (b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a Csc[e+f x])^(m/2) (b Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Csc[e+f x])^m (b Tan[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(b*Csc[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]^3, x, 2, -(((b*Csc[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[2, m/2, (2 + m)/2, Csc[e + f*x]^2])/(f*m))}
+{(b*Csc[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]^1, x, 2, ((b*Csc[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1, m/2, (2 + m)/2, Csc[e + f*x]^2])/(f*m)}
+{(b*Csc[e + f*x])^m*Cot[e + f*x]^1, x, 2, -((b*Csc[e + f*x])^m/(f*m))}
+{(b*Csc[e + f*x])^m*Cot[e + f*x]^3, x, 3, (b*Csc[e + f*x])^m/(f*m) - (b*Csc[e + f*x])^(2 + m)/(b^2*f*(2 + m))}
+{(b*Csc[e + f*x])^m*Cot[e + f*x]^5, x, 3, -((b*Csc[e + f*x])^m/(f*m)) + (2*(b*Csc[e + f*x])^(2 + m))/(b^2*f*(2 + m)) - (b*Csc[e + f*x])^(4 + m)/(b^4*f*(4 + m))}
+
+{(b*Csc[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]^4, x, 1, ((b*Csc[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1/2)*(-3 + m), -(1/2), Cos[e + f*x]^2]*(Sin[e + f*x]^2)^((1/2)*(-3 + m))*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(b*Csc[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]^2, x, 1, ((b*Csc[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1/2)*(-1 + m), 1/2, Cos[e + f*x]^2]*(Sin[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 + m))*Tan[e + f*x])/f}
+{(b*Csc[e + f*x])^m*Cot[e + f*x]^2, x, 1, -((Cot[e + f*x]^3*(b*Csc[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[3/2, (3 + m)/2, 5/2, Cos[e + f*x]^2]*(Sin[e + f*x]^2)^((3 + m)/2))/(3*f))}
+{(b*Csc[e + f*x])^m*Cot[e + f*x]^4, x, 1, -((Cot[e + f*x]^5*(b*Csc[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[5/2, (5 + m)/2, 7/2, Cos[e + f*x]^2]*(Sin[e + f*x]^2)^((5 + m)/2))/(5*f))}
+
+
+{(b*Csc[e + f*x])^m*(d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, (2*(Cos[e + f*x]^2)^(5/4)*(b*Csc[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[5/4, (1/4)*(5 - 2*m), (1/4)*(9 - 2*m), Sin[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(d*f*(5 - 2*m))}
+{(b*Csc[e + f*x])^m*(d*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 3, (2*(Cos[e + f*x]^2)^(3/4)*(b*Csc[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[3/4, (1/4)*(3 - 2*m), (1/4)*(7 - 2*m), Sin[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(d*f*(3 - 2*m))}
+{(b*Csc[e + f*x])^m/(d*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 3, (2*(Cos[e + f*x]^2)^(1/4)*(b*Csc[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1/4, (1/4)*(1 - 2*m), (1/4)*(5 - 2*m), Sin[e + f*x]^2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(d*f*(1 - 2*m))}
+{(b*Csc[e + f*x])^m/(d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((2*(b*Csc[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[-(1/4), (1/4)*(-1 - 2*m), (1/4)*(3 - 2*m), Sin[e + f*x]^2])/(d*f*(1 + 2*m)*(Cos[e + f*x]^2)^(1/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Csc[e+f x])^m (b Tan[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(a*Csc[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x])^n, x, 3, ((Cos[e + f*x]^2)^((1 + n)/2)*(a*Csc[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (1/2)*(1 - m + n), (1/2)*(3 - m + n), Sin[e + f*x]^2]*(b*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(b*f*(1 - m + n))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.1.2 (d sec)^m (a+b tan)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.1.2 (d sec)^m (a+b tan)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..f3ba7c8c
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.1.2 (d sec)^m (a+b tan)^n.m	
@@ -0,0 +1,1063 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n when a^2+b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+a I Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^10*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, (I*a*Sec[c + d*x]^10)/(10*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (4*a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (6*a*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (4*a*Tan[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*Tan[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Sec[c + d*x]^8*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, (I*a*Sec[c + d*x]^8)/(8*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x]^3)/d + (3*a*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Tan[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, (I*a*Sec[c + d*x]^6)/(6*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (2*a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, (I*a*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, -((I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(2*a*d)), (I*a*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 2, a*x - (I*a*Log[Cos[c + d*x]])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, (a*x)/2 - (I*a*Cos[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 4, (3*a*x)/8 - (I*a*Cos[c + d*x]^4)/(4*d) + (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 5, (5*a*x)/16 - (I*a*Cos[c + d*x]^6)/(6*d) + (5*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (5*a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 6, (35*a*x)/128 - (I*a*Cos[c + d*x]^8)/(8*d) + (35*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (35*a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*d) + (7*a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*d) + (a*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(8*d)}
+
+{Sec[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 5, (5*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + ((I/7)*a*Sec[c + d*x]^7)/d + (5*a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (5*a*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(24*d) + (a*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 4, (3*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((I/5)*a*Sec[c + d*x]^5)/d + (3*a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((I/3)*a*Sec[c + d*x]^3)/d + (a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 2, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (I*a*Sec[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 2, -((I*a*Cos[c + d*x])/d) + (a*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, -((I*a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d)) + (a*Sin[c + d*x])/d - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, -((I*a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d)) + (a*Sin[c + d*x])/d - (2*a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, -((I*a*Cos[c + d*x]^7)/(7*d)) + (a*Sin[c + d*x])/d - (a*Sin[c + d*x]^3)/d + (3*a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^8*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -((4*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^6)/(3*a^4*d)) + (12*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7)/(7*a^5*d) - (3*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8)/(4*a^6*d) + (I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^9)/(9*a^7*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -((4*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5)/(5*a^3*d)) + (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^6)/(3*a^4*d) - (I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7)/(7*a^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -((I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4)/(2*a^2*d)) + (I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5)/(5*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 2, -((I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(3*a*d))}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 2, 2*a^2*x - (2*I*a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 2, -((I*a^3)/(d*(a - I*a*Tan[c + d*x])))}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (a^2*x)/4 - (I*a^4)/(4*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2) - (I*a^3)/(4*d*(a - I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (a^2*x)/4 - (I*a^5)/(12*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3) - (I*a^4)/(8*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2) - (3*I*a^3)/(16*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])) + (I*a^3)/(16*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^8*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (15*a^2*x)/64 - (I*a^6)/(32*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^4) - (I*a^5)/(16*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3) - (3*I*a^4)/(32*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2) - (5*I*a^3)/(32*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])) + (I*a^4)/(64*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (5*I*a^3)/(64*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+
+{Sec[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 5, (7*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (7*I*a^2*Sec[c + d*x]^5)/(30*d) + (7*a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (7*a^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(24*d) + (I*Sec[c + d*x]^5*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(6*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (5*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (5*I*a^2*Sec[c + d*x]^3)/(12*d) + (5*a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (I*Sec[c + d*x]^3*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (3*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (3*I*a^2*Sec[c + d*x])/(2*d) + (I*Sec[c + d*x]*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 2, -((a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d) - (2*I*Cos[c + d*x]*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 2, (a^2*Sin[c + d*x])/(3*d) - (2*I*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (3*a^2*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a^2*Sin[c + d*x]^3)/(5*d) - (2*I*Cos[c + d*x]^5*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (5*a^2*Sin[c + d*x])/(7*d) - (10*a^2*Sin[c + d*x]^3)/(21*d) + (a^2*Sin[c + d*x]^5)/(7*d) - (2*I*Cos[c + d*x]^7*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^9*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (7*a^2*Sin[c + d*x])/(9*d) - (7*a^2*Sin[c + d*x]^3)/(9*d) + (7*a^2*Sin[c + d*x]^5)/(15*d) - (a^2*Sin[c + d*x]^7)/(9*d) - (2*I*Cos[c + d*x]^9*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(9*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^8*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 3, -((8*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7)/(7*a^4*d)) + (3*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8)/(2*a^5*d) - (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^9)/(3*a^6*d) + (I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^10)/(10*a^7*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 3, -((2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^6)/(3*a^3*d)) + (4*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7)/(7*a^4*d) - (I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8)/(8*a^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 3, -((2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5)/(5*a^2*d)) + (I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^6)/(6*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 2, -((I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4)/(4*a*d))}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 3, 4*a^3*x - (4*I*a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d - (2*a^3*Tan[c + d*x])/d + (I*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 3, (-a^3)*x + (I*a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d - (2*I*a^4)/(d*(a - I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 2, -((I*a^5)/(2*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2))}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (a^3*x)/8 - (I*a^6)/(6*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3) - (I*a^5)/(8*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2) - (I*a^4)/(8*d*(a - I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^8*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (5*a^3*x)/32 - (I*a^7)/(16*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^4) - (I*a^6)/(12*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3) - (3*I*a^5)/(32*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2) - (I*a^4)/(8*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])) + (I*a^4)/(32*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 5, (7*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (7*I*a^3*Sec[c + d*x]^3)/(12*d) + (7*a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (I*a*Sec[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(5*d) + (7*I*Sec[c + d*x]^3*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(20*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (5*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (5*I*a^3*Sec[c + d*x])/(2*d) + (I*a*Sec[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(3*d) + (5*I*Sec[c + d*x]*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 3, -((3*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d) - (3*I*a^3*Sec[c + d*x])/d - (2*I*a*Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/d}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 1, ((-I/3)*Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/d}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, -((I*a^3*Cos[c + d*x]^3)/(15*d)) + (a^3*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a^3*Sin[c + d*x]^3)/(15*d) - (2*I*a*Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, -((3*I*a^3*Cos[c + d*x]^5)/(35*d)) + (3*a^3*Sin[c + d*x])/(7*d) - (2*a^3*Sin[c + d*x]^3)/(7*d) + (3*a^3*Sin[c + d*x]^5)/(35*d) - (2*I*a*Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^9*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, -((5*I*a^3*Cos[c + d*x]^7)/(63*d)) + (5*a^3*Sin[c + d*x])/(9*d) - (5*a^3*Sin[c + d*x]^3)/(9*d) + (a^3*Sin[c + d*x]^5)/(3*d) - (5*a^3*Sin[c + d*x]^7)/(63*d) - (2*I*a*Cos[c + d*x]^9*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(9*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 6, (21*a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (7*I*a^4*Sec[c + d*x]^3)/(8*d) + (21*a^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (I*a*Sec[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(6*d) + (3*I*Sec[c + d*x]^3*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(10*d) + (21*I*Sec[c + d*x]^3*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(40*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, (35*a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (35*I*a^4*Sec[c + d*x])/(8*d) + (I*a*Sec[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(4*d) + (7*I*Sec[c + d*x]*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(12*d) + (35*I*Sec[c + d*x]*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(24*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 4, -((15*a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d)) - (15*I*a^4*Sec[c + d*x])/(2*d) - (2*I*a*Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/d - (5*I*Sec[c + d*x]*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 3, (a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (2*I*a*Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) + (2*I*Cos[c + d*x]*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 2, -((I*a*Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(15*d)) - (I*Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 4, (3*a^4*Sin[c + d*x])/(35*d) - (a^4*Sin[c + d*x]^3)/(35*d) - (2*I*a*Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(7*d) - (2*I*Cos[c + d*x]^5*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(35*d)}
+{Cos[c + d*x]^9*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 4, (5*a^4*Sin[c + d*x])/(21*d) - (10*a^4*Sin[c + d*x]^3)/(63*d) + (a^4*Sin[c + d*x]^5)/(21*d) - (2*I*a*Cos[c + d*x]^9*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(9*d) - (2*I*Cos[c + d*x]^7*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(21*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^8*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 3, -((8*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^9)/(9*a^4*d)) + (6*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^10)/(5*a^5*d) - (6*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^11)/(11*a^6*d) + (I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^12)/(12*a^7*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 3, -((I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8)/(2*a^3*d)) + (4*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^9)/(9*a^4*d) - (I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^10)/(10*a^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 3, -((2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7)/(7*a^2*d)) + (I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8)/(8*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 2, -((I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^6)/(6*a*d))}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 5, 16*a^5*x - (16*I*a^5*Log[Cos[c + d*x]])/d - (8*a^5*Tan[c + d*x])/d + (2*I*a^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) + (I*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4)/(4*d) + (2*I*a*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 3, -12*a^5*x + (12*I*a^5*Log[Cos[c + d*x]])/d + (5*a^5*Tan[c + d*x])/d + (I*a^5*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) - (8*I*a^6)/(d*(a - I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 3, a^5*x - (I*a^5*Log[Cos[c + d*x]])/d - (2*I*a^7)/(d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2) + (4*I*a^6)/(d*(a - I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 3, -((2*I*a^8)/(3*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3)) + (I*a^7)/(2*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^8*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 2, -((I*a^9)/(4*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^4))}
+{Cos[c + d*x]^10*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 4, (a^5*x)/32 - (I*a^10)/(10*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^5) - (I*a^9)/(16*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^4) - (I*a^8)/(24*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3) - (I*a^7)/(32*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2) - (I*a^6)/(32*d*(a - I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^12*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 4, (7*a^5*x)/128 - (I*a^11)/(24*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^6) - (I*a^10)/(20*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^5) - (3*I*a^9)/(64*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^4) - (I*a^8)/(24*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3) - (5*I*a^7)/(128*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2) - (3*I*a^6)/(64*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])) + (I*a^6)/(128*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+
+{Sec[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 6, (63*a^5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (63*I*a^5*Sec[c + d*x])/(8*d) + (9*I*a^2*Sec[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(20*d) + (I*a*Sec[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4)/(5*d) + (21*I*a*Sec[c + d*x]*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(20*d) + (21*I*Sec[c + d*x]*(a^5 + I*a^5*Tan[c + d*x]))/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 5, -((35*a^5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d)) - (35*I*a^5*Sec[c + d*x])/(2*d) - (7*I*a^3*Sec[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(3*d) - (2*I*a*Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4)/d - (35*I*Sec[c + d*x]*(a^5 + I*a^5*Tan[c + d*x]))/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 4, (5*a^5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*I*a^5*Sec[c + d*x])/d + (10*I*a^3*Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(3*d) - (2*I*a*Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 1, -((I*Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5)/(5*d))}
+{Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 3, -((2*I*a^2*Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(105*d)) - (2*I*a*Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4)/(35*d) - (I*Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^9*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 5, -((I*a^5*Cos[c + d*x]^5)/(105*d)) + (a^5*Sin[c + d*x])/(21*d) - (2*a^5*Sin[c + d*x]^3)/(63*d) + (a^5*Sin[c + d*x]^5)/(105*d) - (2*I*a^3*Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(63*d) - (2*I*a*Cos[c + d*x]^9*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4)/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^11*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 5, -((5*I*a^5*Cos[c + d*x]^7)/(231*d)) + (5*a^5*Sin[c + d*x])/(33*d) - (5*a^5*Sin[c + d*x]^3)/(33*d) + (a^5*Sin[c + d*x]^5)/(11*d) - (5*a^5*Sin[c + d*x]^7)/(231*d) - (2*I*a^3*Cos[c + d*x]^9*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(33*d) - (2*I*a*Cos[c + d*x]^11*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4)/(11*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^8*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 3, -((2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^12)/(3*a^4*d)) + (12*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^13)/(13*a^5*d) - (3*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^14)/(7*a^6*d) + (I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^15)/(15*a^7*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 3, -((4*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^11)/(11*a^3*d)) + (I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^12)/(3*a^4*d) - (I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^13)/(13*a^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 3, -((I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^10)/(5*a^2*d)) + (I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^11)/(11*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 2, -((I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^9)/(9*a*d))}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 8, 128*a^8*x - (128*I*a^8*Log[Cos[c + d*x]])/d - (64*a^8*Tan[c + d*x])/d + (4*I*a^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5)/(5*d) + (I*a^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^6)/(3*d) + (I*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7)/(7*d) + (16*I*a^2*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) + (2*I*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^4)/d + (16*I*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x])^2)/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 3, -192*a^8*x + (192*I*a^8*Log[Cos[c + d*x]])/d + (129*a^8*Tan[c + d*x])/d + (36*I*a^8*Tan[c + d*x]^2)/d - (10*a^8*Tan[c + d*x]^3)/d - (2*I*a^8*Tan[c + d*x]^4)/d + (a^8*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) - (64*I*a^9)/(d*(a - I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 3, 80*a^8*x - (80*I*a^8*Log[Cos[c + d*x]])/d - (31*a^8*Tan[c + d*x])/d - (4*I*a^8*Tan[c + d*x]^2)/d + (a^8*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) - (16*I*a^10)/(d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2) + (80*I*a^9)/(d*(a - I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 3, -8*a^8*x + (8*I*a^8*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^8*Tan[c + d*x])/d - (16*I*a^11)/(3*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3) + (16*I*a^10)/(d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2) - (24*I*a^9)/(d*(a - I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^8*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 2, -((I*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x])^4)/(8*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^4))}
+{Cos[c + d*x]^10*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 3, -((4*I*a^13)/(5*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^5)) + (I*a^12)/(d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^4) - (I*a^11)/(3*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^12*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 3, -((I*a^14)/(3*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^6)) + (I*a^13)/(5*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^5)}
+{Cos[c + d*x]^14*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 2, -((I*a^15)/(7*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^7))}
+{Cos[c + d*x]^16*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 4, (a^8*x)/256 - (I*a^16)/(16*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^8) - (I*a^15)/(28*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^7) - (I*a^14)/(48*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^6) - (I*a^13)/(80*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^5) - (I*a^12)/(128*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^4) - (I*a^11)/(192*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3) - (I*a^10)/(256*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2) - (I*a^9)/(256*d*(a - I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^18*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 4, (5*a^8*x)/512 - (I*a^17)/(36*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^9) - (I*a^16)/(32*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^8) - (3*I*a^15)/(112*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^7) - (I*a^14)/(48*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^6) - (I*a^13)/(64*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^5) - (3*I*a^12)/(256*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^4) - (7*I*a^11)/(768*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3) - (I*a^10)/(128*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2) - (9*I*a^9)/(1024*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])) + (I*a^9)/(1024*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+
+{Cos[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 8, -((3003*a^8*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d)) - (3003*I*a^8*Sec[c + d*x])/(16*d) - (13*I*a^3*Sec[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5)/(6*d) - (2*I*a*Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7)/d - (429*I*a^2*Sec[c + d*x]*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^3)/(40*d) - (143*I*Sec[c + d*x]*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^4)/(30*d) - (1001*I*Sec[c + d*x]*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x])^2)/(40*d) - (1001*I*Sec[c + d*x]*(a^8 + I*a^8*Tan[c + d*x]))/(16*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 7, (1155*a^8*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (1155*I*a^8*Sec[c + d*x])/(8*d) + (22*I*a^3*Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5)/(3*d) - (2*I*a*Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7)/(3*d) + (33*I*a^2*Sec[c + d*x]*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^3)/(4*d) + (77*I*Sec[c + d*x]*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x])^2)/(4*d) + (385*I*Sec[c + d*x]*(a^8 + I*a^8*Tan[c + d*x]))/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 6, -((63*a^8*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d)) - (63*I*a^8*Sec[c + d*x])/(2*d) + (6*I*a^3*Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5)/(5*d) - (2*I*a*Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7)/(5*d) - (42*I*a^2*Cos[c + d*x]*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^3)/(5*d) - (21*I*Sec[c + d*x]*(a^8 + I*a^8*Tan[c + d*x]))/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 5, (a^8*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (2*I*a^3*Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5)/(5*d) - (2*I*a*Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7)/(7*d) - (2*I*a^2*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) + (2*I*Cos[c + d*x]*(a^8 + I*a^8*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cos[c + d*x]^9*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 2, -((I*a*Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7)/(63*d)) - (I*Cos[c + d*x]^9*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8)/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^11*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 4, -((2*I*a^3*Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5)/(1155*d)) - (2*I*a^2*Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^6)/(231*d) - (I*a*Cos[c + d*x]^9*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7)/(33*d) - (I*Cos[c + d*x]^11*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8)/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^13*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 6, -((20*I*a^3*Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5)/(3003*d)) - (20*I*a^2*Cos[c + d*x]^9*(a + I*a*Tan[c + d*x])^6)/(1287*d) - (5*I*a*Cos[c + d*x]^11*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7)/(143*d) - (I*Cos[c + d*x]^13*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8)/(13*d) - (8*I*a^2*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^3)/(9009*d) - (8*I*Cos[c + d*x]^5*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^4)/(3003*d)}
+{Cos[c + d*x]^15*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 6, (7*a^8*Sin[c + d*x])/(1287*d) - (7*a^8*Sin[c + d*x]^3)/(1287*d) + (7*a^8*Sin[c + d*x]^5)/(2145*d) - (a^8*Sin[c + d*x]^7)/(1287*d) - (2*I*a^3*Cos[c + d*x]^13*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5)/(195*d) - (2*I*a*Cos[c + d*x]^15*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7)/(15*d) - (2*I*a^2*Cos[c + d*x]^11*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^3)/(715*d) - (2*I*Cos[c + d*x]^9*(a^8 + I*a^8*Tan[c + d*x]))/(1287*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^10/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, (8*I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^5)/(5*a^6*d) - (2*I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^6)/(a^7*d) + (6*I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^7)/(7*a^8*d) - (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^8)/(8*a^9*d)}
+{Sec[c + d*x]^8/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^4)/(a^5*d) - (4*I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^5)/(5*a^6*d) + (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^6)/(6*a^7*d)}
+{Sec[c + d*x]^6/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, (2*I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3)/(3*a^4*d) - (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^4)/(4*a^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 2, Tan[c + d*x]/(a*d) - (I*Tan[c + d*x]^2)/(2*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 2, x/a + (I*Log[Cos[c + d*x]])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 2, x/(2*a) + I/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 4, (3*x)/(8*a) - I/(8*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])) + (I*a)/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + I/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 4, (5*x)/(16*a) - (I*a)/(32*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2) - I/(8*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])) + (I*a^2)/(24*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (3*I*a)/(32*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (3*I)/(16*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+
+{Sec[c + d*x]^7/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 4, (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*a*d) - (I*Sec[c + d*x]^5)/(5*a*d) + (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*a*d) + (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(2*a*d) - ((I/3)*Sec[c + d*x]^3)/(a*d) + (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 2, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a*d) - (I*Sec[c + d*x])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 1, (I*Sec[c + d*x])/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 2, (2*Sin[c + d*x])/(3*a*d) + (I*Cos[c + d*x])/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, (4*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - (4*Sin[c + d*x]^3)/(15*a*d) + (I*Cos[c + d*x]^3)/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^5/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, (6*Sin[c + d*x])/(7*a*d) - (4*Sin[c + d*x]^3)/(7*a*d) + (6*Sin[c + d*x]^5)/(35*a*d) + (I*Cos[c + d*x]^5)/(7*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^10/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (4*I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^5)/(5*a^7*d) - (2*I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^6)/(3*a^8*d) + (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^7)/(7*a^9*d)}
+{Sec[c + d*x]^8/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^4)/(2*a^6*d) - (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^5)/(5*a^7*d)}
+{Sec[c + d*x]^6/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 2, (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3)/(3*a^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (2*x)/a^2 + ((2*I)*Log[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - Tan[c + d*x]/(a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 2, I/(d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, x/(4*a^2) + I/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + I/(4*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, x/(4*a^2) + (I*a)/(12*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + I/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) - I/(16*d*(a^2 - I*a^2*Tan[c + d*x])) + (3*I)/(16*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (15*x)/(64*a^2) - I/(64*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2) + (I*a^2)/(32*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + (I*a)/(16*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (3*I)/(32*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) - (5*I)/(64*d*(a^2 - I*a^2*Tan[c + d*x])) + (5*I)/(32*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+
+{Sec[c + d*x]^9/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 5, (7*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*a^2*d) + (7*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*a^2*d) + (7*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(24*a^2*d) + (7*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(30*a^2*d) - (2*I*Sec[c + d*x]^7)/(5*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^7/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*a^2*d) + (5*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*a^2*d) + (5*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(12*a^2*d) - (2*I*Sec[c + d*x]^5)/(3*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^2*d) + (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) - (2*I*Sec[c + d*x]^3)/(d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 2, -(ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^2*d)) + ((2*I)*Sec[c + d*x])/(d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 2, (I*Sec[c + d*x])/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (I*Sec[c + d*x])/(3*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (3*Sin[c + d*x])/(5*a^2*d) - Sin[c + d*x]^3/(5*a^2*d) + (2*I*Cos[c + d*x]^3)/(5*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (5*Sin[c + d*x])/(7*a^2*d) - (10*Sin[c + d*x]^3)/(21*a^2*d) + Sin[c + d*x]^5/(7*a^2*d) + (2*I*Cos[c + d*x]^5)/(7*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^5/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (7*Sin[c + d*x])/(9*a^2*d) - (7*Sin[c + d*x]^3)/(9*a^2*d) + (7*Sin[c + d*x]^5)/(15*a^2*d) - Sin[c + d*x]^7/(9*a^2*d) + (2*I*Cos[c + d*x]^7)/(9*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^14/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 3, (8*I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^7)/(7*a^10*d) - (3*I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^8)/(2*a^11*d) + (2*I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^9)/(3*a^12*d) - (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^10)/(10*a^13*d)}
+{Sec[c + d*x]^12/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 3, (2*I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^6)/(3*a^9*d) - (4*I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^7)/(7*a^10*d) + (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^8)/(8*a^11*d)}
+{Sec[c + d*x]^10/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 3, (2*I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^5)/(5*a^8*d) - (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^6)/(6*a^9*d)}
+{Sec[c + d*x]^8/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 2, (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^4)/(4*a^7*d)}
+{Sec[c + d*x]^6/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 3, (4*x)/a^3 + (4*I*Log[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) - (3*Tan[c + d*x])/(a^3*d) + (I*Tan[c + d*x]^2)/(2*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 3, -(x/a^3) - (I*Log[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) + (2*I)/(d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 2, I/(2*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, x/(8*a^3) + I/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + I/(8*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + I/(8*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (5*x)/(32*a^3) + (I*a)/(16*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + I/(12*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (3*I)/(32*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) - I/(32*d*(a^3 - I*a^3*Tan[c + d*x])) + I/(8*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (21*x)/(128*a^3) - I/(128*a*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2) + (I*a^2)/(40*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5) + (3*I*a)/(64*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + I/(16*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (5*I)/(64*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) - (3*I)/(64*d*(a^3 - I*a^3*Tan[c + d*x])) + (15*I)/(128*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+
+{Sec[c + d*x]^9/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 5, (7*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*a^3*d) - (7*I*Sec[c + d*x]^5)/(15*a^3*d) + (7*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*a^3*d) + (7*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(12*a^3*d) - (2*I*Sec[c + d*x]^7)/(3*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^7/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (((5*I)/3)*Sec[c + d*x]^3)/(a^3*d) + (5*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((2*I)*Sec[c + d*x]^5)/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 3, (-3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + ((3*I)*Sec[c + d*x])/(a^3*d) + ((2*I)*Sec[c + d*x]^3)/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 1, ((I/3)*Sec[c + d*x]^3)/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 3, (I*Sec[c + d*x])/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (2*I*Sec[c + d*x])/(15*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (2*I*Sec[c + d*x])/(15*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (12*Sin[c + d*x])/(35*a^3*d) - (4*Sin[c + d*x]^3)/(35*a^3*d) + (I*Cos[c + d*x])/(7*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (8*I*Cos[c + d*x]^3)/(35*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (10*Sin[c + d*x])/(21*a^3*d) - (20*Sin[c + d*x]^3)/(63*a^3*d) + (2*Sin[c + d*x]^5)/(21*a^3*d) + (I*Cos[c + d*x]^3)/(9*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (4*I*Cos[c + d*x]^5)/(21*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^5/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (56*Sin[c + d*x])/(99*a^3*d) - (56*Sin[c + d*x]^3)/(99*a^3*d) + (56*Sin[c + d*x]^5)/(165*a^3*d) - (8*Sin[c + d*x]^7)/(99*a^3*d) + (I*Cos[c + d*x]^5)/(11*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (16*I*Cos[c + d*x]^7)/(99*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^14/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 3, (4*I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^7)/(7*a^11*d) - (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^8)/(2*a^12*d) + (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^9)/(9*a^13*d)}
+{Sec[c + d*x]^12/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 3, (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^6)/(3*a^10*d) - (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^7)/(7*a^11*d)}
+{Sec[c + d*x]^10/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 2, (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^5)/(5*a^9*d)}
+{Sec[c + d*x]^8/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 3, (8*x)/a^4 + (8*I*Log[Cos[c + d*x]])/(a^4*d) - (4*Tan[c + d*x])/(a^4*d) - (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2)/(a^6*d) - (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3)/(3*a^7*d)}
+{Sec[c + d*x]^6/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 3, -((4*x)/a^4) - (4*I*Log[Cos[c + d*x]])/(a^4*d) + Tan[c + d*x]/(a^4*d) + (4*I)/(d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 2, Tan[c + d*x]/(d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 2, I/(3*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, x/(16*a^4) + I/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + I/(12*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + I/(16*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2) + I/(16*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 4, (3*x)/(32*a^4) + (I*a)/(20*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5) + I/(16*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + I/(16*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + I/(16*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2) - I/(64*d*(a^4 - I*a^4*Tan[c + d*x])) + (5*I)/(64*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 4, (7*x)/(64*a^4) + (I*a^2)/(48*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^6) + (3*I*a)/(80*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5) + (3*I)/(64*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + (5*I)/(96*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) - I/(256*d*(a^2 - I*a^2*Tan[c + d*x])^2) + (15*I)/(256*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2) - (7*I)/(256*d*(a^4 - I*a^4*Tan[c + d*x])) + (21*I)/(256*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+
+{Sec[c + d*x]^9/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, (35*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*a^4*d) + (35*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*a^4*d) + (35*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(12*a^4*d) - (2*I*Sec[c + d*x]^7)/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) - (14*I*Sec[c + d*x]^5)/(3*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^7/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 4, -((15*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d)) - (15*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^4*d) + (2*I*Sec[c + d*x]^5)/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (10*I*Sec[c + d*x]^3)/(d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 3, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^4*d) + (2*I*Sec[c + d*x]^3)/(3*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) - (2*I*Sec[c + d*x])/(d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 2, (I*Sec[c + d*x]^3)/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + (I*Sec[c + d*x]^3)/(15*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 4, (I*Sec[c + d*x])/(7*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + (3*I*Sec[c + d*x])/(35*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (2*I*Sec[c + d*x])/(35*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2) + (2*I*Sec[c + d*x])/(35*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, (4*Sin[c + d*x])/(21*a^4*d) - (4*Sin[c + d*x]^3)/(63*a^4*d) + (I*Cos[c + d*x])/(9*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + (5*I*Cos[c + d*x])/(63*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (8*I*Cos[c + d*x]^3)/(63*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, (10*Sin[c + d*x])/(33*a^4*d) - (20*Sin[c + d*x]^3)/(99*a^4*d) + (2*Sin[c + d*x]^5)/(33*a^4*d) + (I*Cos[c + d*x]^3)/(11*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + (7*I*Cos[c + d*x]^3)/(99*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (4*I*Cos[c + d*x]^5)/(33*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^5/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, (56*Sin[c + d*x])/(143*a^4*d) - (56*Sin[c + d*x]^3)/(143*a^4*d) + (168*Sin[c + d*x]^5)/(715*a^4*d) - (8*Sin[c + d*x]^7)/(143*a^4*d) + (I*Cos[c + d*x]^5)/(13*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + (9*I*Cos[c + d*x]^5)/(143*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (16*I*Cos[c + d*x]^7)/(143*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^14/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 3, -((192*x)/a^8) - (192*I*Log[Cos[c + d*x]])/(a^8*d) + (129*Tan[c + d*x])/(a^8*d) - (36*I*Tan[c + d*x]^2)/(a^8*d) - (10*Tan[c + d*x]^3)/(a^8*d) + (2*I*Tan[c + d*x]^4)/(a^8*d) + Tan[c + d*x]^5/(5*a^8*d) + (64*I)/(d*(a^8 + I*a^8*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^12/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 3, (80*x)/a^8 + (80*I*Log[Cos[c + d*x]])/(a^8*d) - (31*Tan[c + d*x])/(a^8*d) + (4*I*Tan[c + d*x]^2)/(a^8*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a^8*d) + (16*I)/(d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x])^2) - (80*I)/(d*(a^8 + I*a^8*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^10/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 3, -((8*x)/a^8) - (8*I*Log[Cos[c + d*x]])/(a^8*d) + Tan[c + d*x]/(a^8*d) + (16*I)/(3*a^5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) - (16*I)/(d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x])^2) + (24*I)/(d*(a^8 + I*a^8*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^8/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 2, (I*(a - I*a*Tan[c + d*x])^4)/(8*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x])^4)}
+{Sec[c + d*x]^6/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 3, (4*I)/(5*a^3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5) + I/(3*a^5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) - I/(d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^4)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 3, I/(3*a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^6) - I/(5*a^3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 2, I/(7*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7)}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 9, x/(256*a^8) + I/(16*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8) + I/(28*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7) + I/(48*a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^6) + I/(80*a^3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5) + I/(128*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^4) + I/(192*a^2*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^3) + I/(256*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x])^2) + I/(256*d*(a^8 + I*a^8*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 4, (5*x)/(512*a^8) + (I*a)/(36*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^9) + I/(32*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8) + (3*I)/(112*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7) + I/(48*a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^6) + I/(64*a^3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5) + (7*I)/(768*a^5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (3*I)/(256*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^4) + I/(128*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x])^2) - I/(1024*d*(a^8 - I*a^8*Tan[c + d*x])) + (9*I)/(1024*d*(a^8 + I*a^8*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 4, (33*x)/(2048*a^8) + (I*a^2)/(80*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^10) + (I*a)/(48*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^9) + (3*I)/(128*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8) + (5*I)/(224*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7) + (5*I)/(256*a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^6) + (21*I)/(1280*a^3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5) + (3*I)/(256*a^5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (7*I)/(512*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^4) - I/(4096*d*(a^4 - I*a^4*Tan[c + d*x])^2) + (45*I)/(4096*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x])^2) - (11*I)/(4096*d*(a^8 - I*a^8*Tan[c + d*x])) + (55*I)/(4096*d*(a^8 + I*a^8*Tan[c + d*x]))}
+
+{Sec[c + d*x]^13/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 7, (1155*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*a^8*d) + (1155*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*a^8*d) + (385*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*a^8*d) + (2*I*Sec[c + d*x]^11)/(3*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7) - (22*I*Sec[c + d*x]^9)/(3*a^3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5) - (66*I*Sec[c + d*x]^7)/(a^2*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^3) - (154*I*Sec[c + d*x]^5)/(d*(a^8 + I*a^8*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^11/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 6, -((63*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^8*d)) - (63*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^8*d) + (2*I*Sec[c + d*x]^9)/(5*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7) - (6*I*Sec[c + d*x]^7)/(5*a^3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5) + (42*I*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^2*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^3) + (42*I*Sec[c + d*x]^3)/(d*(a^8 + I*a^8*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^9/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 5, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^8*d) + (2*I*Sec[c + d*x]^7)/(7*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7) - (2*I*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5) + (2*I*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^2*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^3) - (2*I*Sec[c + d*x])/(d*(a^8 + I*a^8*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^7/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 2, (I*Sec[c + d*x]^7)/(9*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8) + (I*Sec[c + d*x]^7)/(63*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7)}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 4, (I*Sec[c + d*x]^5)/(11*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8) + (I*Sec[c + d*x]^5)/(33*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7) + (2*I*Sec[c + d*x]^5)/(231*a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^6) + (2*I*Sec[c + d*x]^5)/(1155*a^3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 6, (I*Sec[c + d*x]^3)/(13*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8) + (5*I*Sec[c + d*x]^3)/(143*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7) + (20*I*Sec[c + d*x]^3)/(1287*a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^6) + (20*I*Sec[c + d*x]^3)/(3003*a^3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5) + (8*I*Sec[c + d*x]^3)/(3003*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^4) + (8*I*Sec[c + d*x]^3)/(9009*a^2*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 8, (I*Sec[c + d*x])/(15*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8) + (7*I*Sec[c + d*x])/(195*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7) + (14*I*Sec[c + d*x])/(715*a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^6) + (14*I*Sec[c + d*x])/(1287*a^3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5) + (8*I*Sec[c + d*x])/(1287*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^4) + (8*I*Sec[c + d*x])/(2145*a^2*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^3) + (16*I*Sec[c + d*x])/(6435*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x])^2) + (16*I*Sec[c + d*x])/(6435*d*(a^8 + I*a^8*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 9, (192*Sin[c + d*x])/(12155*a^8*d) - (64*Sin[c + d*x]^3)/(12155*a^8*d) + (I*Cos[c + d*x])/(17*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8) + (3*I*Cos[c + d*x])/(85*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7) + (24*I*Cos[c + d*x])/(1105*a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^6) + (168*I*Cos[c + d*x])/(12155*a^3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5) + (112*I*Cos[c + d*x])/(12155*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^4) + (16*I*Cos[c + d*x])/(2431*a^2*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^3) + (128*I*Cos[c + d*x]^3)/(12155*d*(a^8 + I*a^8*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^8, x, 9, (160*Sin[c + d*x])/(4199*a^8*d) - (320*Sin[c + d*x]^3)/(12597*a^8*d) + (32*Sin[c + d*x]^5)/(4199*a^8*d) + (I*Cos[c + d*x]^3)/(19*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^8) + (11*I*Cos[c + d*x]^3)/(323*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^7) + (22*I*Cos[c + d*x]^3)/(969*a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^6) + (66*I*Cos[c + d*x]^3)/(4199*a^3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5) + (48*I*Cos[c + d*x]^3)/(4199*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^4) + (112*I*Cos[c + d*x]^3)/(12597*a^2*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^3) + (64*I*Cos[c + d*x]^5)/(4199*d*(a^8 + I*a^8*Tan[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(m/2) (a+a I Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 5, (-6*a*e^4*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (((2*I)/7)*a*(e*Sec[c + d*x])^(7/2))/d + (6*a*e^3*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*e*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 4, (2*a*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(3*d) + (((2*I)/5)*a*(e*Sec[c + d*x])^(5/2))/d + (2*a*e*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 4, (-2*a*e^2*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (((2*I)/3)*a*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/d + (2*a*e*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(e*Sec[c + d*x])^(1/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, ((2*I)*a*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/d + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/d}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])/(e*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 3, ((-2*I)*a)/(d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (2*a*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])/(e*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((2*I*a)/(3*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(3*d*e^2) + (2*a*Sin[c + d*x])/(3*d*e*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])/(e*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((2*I*a)/(5*d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2))) + (6*a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (2*a*Sin[c + d*x])/(5*d*e*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])/(e*Sec[c + d*x])^(7/2), x, 5, -((2*I*a)/(7*d*(e*Sec[c + d*x])^(7/2))) + (10*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(21*d*e^4) + (2*a*Sin[c + d*x])/(7*d*e*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (10*a*Sin[c + d*x])/(21*d*e^3*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 5, -((14*a^2*e^2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])) + (14*I*a^2*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/(15*d) + (14*a^2*e*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*I*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(5*d)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(1/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (10*I*a^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(3*d) + (10*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*I*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(3*d)}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^2/(e*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 4, (6*a^2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (6*a^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*e) - (4*I*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^2/(e*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, (-2*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(3*d*e^2) - (((4*I)/3)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^2/(e*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 3, (2*a^2*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (((4*I)/5)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^2/(e*Sec[c + d*x])^(7/2), x, 4, (2*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(7*d*e^4) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(7*d*e^3*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (((4*I)/7)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(d*(e*Sec[c + d*x])^(7/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^2/(e*Sec[c + d*x])^(9/2), x, 4, (2*a^2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(9*d*e^3*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (4*I*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(9*d*(e*Sec[c + d*x])^(9/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^2/(e*Sec[c + d*x])^(11/2), x, 5, (10*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(33*d*e^6) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(11*d*e^3*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (10*a^2*Sin[c + d*x])/(33*d*e^5*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (4*I*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(11*d*(e*Sec[c + d*x])^(11/2))}
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 7, -((2*a^3*e^4*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])) + (10*I*a^3*(e*Sec[c + d*x])^(7/2))/(21*d) + (2*a^3*e^3*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a^3*e*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*I*a*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(11*d) + (10*I*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(33*d)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 6, (26*a^3*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(21*d) + (26*I*a^3*(e*Sec[c + d*x])^(5/2))/(35*d) + (26*a^3*e*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*I*a*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(9*d) + (26*I*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(63*d)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 6, -((22*a^3*e^2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])) + (22*I*a^3*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/(15*d) + (22*a^3*e*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*I*a*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(7*d) + (22*I*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(35*d)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(1/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 5, (6*I*a^3*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/d + (6*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/d + (2*I*a*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(5*d) + (6*I*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(5*d)}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^3/(e*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 5, -((26*I*a^3)/(3*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])) + (14*a^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (6*a^3*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (2*I*a^3*Tan[c + d*x]^2)/(3*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]), (14*a^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (14*a^3*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*e) + (2*I*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(3*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (28*I*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(3*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^3/(e*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (((-10*I)/3)*a^3*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(d*e^2) - (10*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(3*d*e^2) - (((4*I)/3)*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^3/(e*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (((6*I)/5)*a^3)/(d*e^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (6*a^3*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (((4*I)/5)*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^3/(e*Sec[c + d*x])^(7/2), x, 4, -((2*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(21*d*e^4)) - (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(7*d*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)) - (4*I*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(21*d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^3/(e*Sec[c + d*x])^(9/2), x, 4, (2*a^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(9*d*(e*Sec[c + d*x])^(9/2)) - (4*I*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(15*d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(5/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^3/(e*Sec[c + d*x])^(11/2), x, 5, (10*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(77*d*e^6) + (10*a^3*Sin[c + d*x])/(77*d*e^5*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(11*d*(e*Sec[c + d*x])^(11/2)) - (20*I*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(77*d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(7/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^3/(e*Sec[c + d*x])^(13/2), x, 5, (14*a^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(39*d*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (14*a^3*Sin[c + d*x])/(117*d*e^5*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(13*d*(e*Sec[c + d*x])^(13/2)) - (28*I*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(117*d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(9/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^3/(e*Sec[c + d*x])^(15/2), x, 6, (2*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(11*d*e^8) + (6*a^3*Sin[c + d*x])/(55*d*e^5*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(11*d*e^7*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(15*d*(e*Sec[c + d*x])^(15/2)) - (12*I*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(55*d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(11/2))}
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 7, -((22*a^4*e^2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])) + (22*I*a^4*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/(9*d) + (22*a^4*e*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*I*a*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(9*d) + (10*I*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(21*d) + (22*I*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(21*d)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(1/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 6, (78*I*a^4*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(7*d) + (78*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(7*d) + (2*I*a*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(7*d) + (26*I*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(35*d) + (78*I*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(35*d)}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^4/(e*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 6, (154*a^4*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (154*I*a^4*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/(15*d*e^2) - (154*a^4*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*e) - (4*I*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (22*I*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(5*d*e^2)}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^4/(e*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((10*I*a^4*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(d*e^2)) - (10*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(d*e^2) - (4*I*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(3*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*I*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(d*e^2)}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^4/(e*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, -((42*a^4*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])) + (42*a^4*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*e^3) - (4*I*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(5*d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (28*I*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(5*d*e^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^4/(e*Sec[c + d*x])^(7/2), x, 4, (10*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(21*d*e^4) - (((4*I)/7)*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(d*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)) + (((20*I)/21)*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^4/(e*Sec[c + d*x])^(9/2), x, 4, -((2*a^4*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])) - (4*I*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(9*d*(e*Sec[c + d*x])^(9/2)) + (4*I*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(15*d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(5/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^4/(e*Sec[c + d*x])^(11/2), x, 5, -((2*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(77*d*e^6)) - (2*a^4*Sin[c + d*x])/(77*d*e^5*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (4*I*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(11*d*(e*Sec[c + d*x])^(11/2)) + (4*I*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(77*d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(7/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^4/(e*Sec[c + d*x])^(13/2), x, 5, (2*a^4*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(39*d*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (2*a^4*Sin[c + d*x])/(117*d*e^5*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (4*I*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(13*d*(e*Sec[c + d*x])^(13/2)) - (4*I*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(117*d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(9/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^4/(e*Sec[c + d*x])^(15/2), x, 6, (2*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(33*d*e^8) + (2*a^4*Sin[c + d*x])/(55*d*e^5*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (2*a^4*Sin[c + d*x])/(33*d*e^7*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (4*I*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(15*d*(e*Sec[c + d*x])^(15/2)) - (4*I*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(55*d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(11/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(11/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 5, (-6*e^6*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (((2*I)/7)*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(7/2))/(a*d) + (6*e^5*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d) + (2*e^3*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(9/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 4, (2*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(3*a*d) - (((2*I)/5)*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(5/2))/(a*d) + (2*e^3*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(7/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 4, (-2*e^4*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (((2*I)/3)*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/(a*d) + (2*e^3*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, ((-2*I)*e^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(a*d) + (2*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(a*d)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, ((2*I)*e^2)/(a*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (2*e^2*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])}
+{(e*Sec[c + d*x])^(1/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + (((2*I)/3)*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(1/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])), x, 3, (6*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + ((2*I)/5)/(d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])), x, 4, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(21*a*d*e^2) + (10*Sin[c + d*x])/(21*a*d*e*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + ((2*I)/7)/(d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])), x, 4, (14*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*a*d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (14*Sin[c + d*x])/(45*a*d*e*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((2*I)/9)/(d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])), x, 5, (30*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(77*a*d*e^4) + (18*Sin[c + d*x])/(77*a*d*e*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (30*Sin[c + d*x])/(77*a*d*e^3*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + ((2*I)/11)/(d*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(15/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 6, -((22*e^8*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])) + (22*e^7*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) + (22*e^5*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(45*a^2*d) + (22*e^3*(e*Sec[c + d*x])^(9/2)*Sin[c + d*x])/(63*a^2*d) - (4*I*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(11/2))/(7*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(13/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 5, (6*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(7*a^2*d) + (6*e^5*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*a^2*d) + (18*e^3*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(35*a^2*d) - (4*I*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(9/2))/(5*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(11/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 5, (-14*e^6*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (14*e^5*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^2*d) + (14*e^3*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) - (((4*I)/3)*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(7/2))/(d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(9/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (10*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + (10*e^3*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((4*I)*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(5/2))/(d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(7/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (6*e^4*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (6*e^3*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + ((4*I)*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/(d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (-2*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + (((4*I)/3)*e^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (2*e^2*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (((4*I)/5)*e^2)/(d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(1/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(7*a^2*d) + (2*e*Sin[c + d*x])/(7*a^2*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (4*I*e^2)/(7*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(1/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 4, (2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (2*e*Sin[c + d*x])/(9*a^2*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (4*I*e^2)/(9*d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 5, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(33*a^2*d*e^2) + (2*e*Sin[c + d*x])/(11*a^2*d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (10*Sin[c + d*x])/(33*a^2*d*e*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (4*I*e^2)/(11*d*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 5, (42*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(65*a^2*d*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (2*e*Sin[c + d*x])/(13*a^2*d*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)) + (14*Sin[c + d*x])/(65*a^2*d*e*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (4*I*e^2)/(13*d*(e*Sec[c + d*x])^(9/2)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 6, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(7*a^2*d*e^4) + (2*e*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d*(e*Sec[c + d*x])^(9/2)) + (6*Sin[c + d*x])/(35*a^2*d*e*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (2*Sin[c + d*x])/(7*a^2*d*e^3*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (4*I*e^2)/(15*d*(e*Sec[c + d*x])^(11/2)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(15/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 6, -((22*e^8*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])) - (22*I*e^4*(e*Sec[c + d*x])^(7/2))/(21*a^3*d) + (22*e^7*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^3*d) + (22*e^5*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) - (4*I*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(11/2))/(3*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(13/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 5, (6*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(a^3*d) - (((18*I)/5)*e^4*(e*Sec[c + d*x])^(5/2))/(a^3*d) + (6*e^5*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(a^3*d) - ((4*I)*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(9/2))/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(11/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 5, (14*e^6*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (((14*I)/3)*e^4*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/(a^3*d) - (14*e^5*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^3*d) + ((4*I)*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(7/2))/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(9/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (((10*I)/3)*e^4*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(a^3*d) - (10*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(3*a^3*d) + (((4*I)/3)*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(5/2))/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(7/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (((-6*I)/5)*e^4)/(a^3*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (6*e^4*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (((4*I)/5)*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (-2*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(21*a^3*d) + (((4*I)/7)*e^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) - (((2*I)/21)*e^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (2*e^2*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (((4*I)/9)*e^2)/(a*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (((2*I)/45)*e^2)/(d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(1/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 5, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(77*a^3*d) + (10*e*Sin[c + d*x])/(77*a^3*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (2*I*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(11*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (20*I*e^2)/(77*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(1/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3), x, 5, (14*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(39*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (14*e*Sin[c + d*x])/(117*a^3*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*I)/(13*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (28*I*e^2)/(117*d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3), x, 6, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(11*a^3*d*e^2) + (6*e*Sin[c + d*x])/(55*a^3*d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (2*Sin[c + d*x])/(11*a^3*d*e*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (2*I)/(15*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (12*I*e^2)/(55*d*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(15/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 6, (154*e^8*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (154*e^7*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^4*d) - (154*e^5*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^4*d) + (4*I*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(11/2))/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (44*I*e^4*(e*Sec[c + d*x])^(7/2))/(3*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(13/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, -((10*e^6*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(a^4*d)) - (10*e^5*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(a^4*d) + (4*I*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(9/2))/(3*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (12*I*e^4*(e*Sec[c + d*x])^(5/2))/(d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(11/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, -((42*e^6*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])) + (42*e^5*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^4*d) + (4*I*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(7/2))/(5*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) - (28*I*e^4*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/(5*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(9/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 4, (10*e^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(21*a^4*d) + (4*I*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(5/2))/(7*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) - (20*I*e^4*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(21*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(7/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 4, (-2*e^4*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (((4*I)/9)*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) - (((4*I)/15)*e^4)/(d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, -((2*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(77*a^4*d)) - (2*e^3*Sin[c + d*x])/(77*a^4*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (4*I*e^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(11*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) - (4*I*e^4)/(77*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, (2*e^2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(39*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (2*e^3*Sin[c + d*x])/(117*a^4*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (4*I*e^2)/(13*a*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (4*I*e^4)/(117*d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(1/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 6, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(33*a^4*d) + (2*e*Sin[c + d*x])/(33*a^4*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (2*I*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(15*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + (14*I*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(165*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (4*I*e^2)/(33*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(m/3) (a+a I Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(5/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 4, (((6*I)/5)*2^(5/6)*a*Hypergeometric2F1[-5/6, 5/6, 11/6, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))/(f*(1 + I*Tan[e + f*x])^(5/6))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 4, ((6*I)*2^(1/6)*a*Hypergeometric2F1[-1/6, 1/6, 7/6, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))/(f*(1 + I*Tan[e + f*x])^(1/6))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])/(d*Sec[e + f*x])^(1/3), x, 4, ((-3*I)*2^(5/6)*a*Hypergeometric2F1[-1/6, 1/6, 5/6, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(1 + I*Tan[e + f*x])^(1/6))/(f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])/(d*Sec[e + f*x])^(5/3), x, 4, (((-3*I)/5)*2^(1/6)*a*Hypergeometric2F1[-5/6, 5/6, 1/6, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(1 + I*Tan[e + f*x])^(5/6))/(f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))}
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(5/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 4, (((12*I)/5)*2^(5/6)*a^2*Hypergeometric2F1[-11/6, 5/6, 11/6, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))/(f*(1 + I*Tan[e + f*x])^(5/6))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 4, ((12*I)*2^(1/6)*a^2*Hypergeometric2F1[-7/6, 1/6, 7/6, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))/(f*(1 + I*Tan[e + f*x])^(1/6))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/(d*Sec[e + f*x])^(1/3), x, 4, ((-6*I)*2^(5/6)*Hypergeometric2F1[-5/6, -1/6, 5/6, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(a^2 + I*a^2*Tan[e + f*x]))/(f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)*(1 + I*Tan[e + f*x])^(5/6))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/(d*Sec[e + f*x])^(5/3), x, 4, (((-6*I)/5)*2^(1/6)*Hypergeometric2F1[-5/6, -1/6, 1/6, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(a^2 + I*a^2*Tan[e + f*x]))/(f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)*(1 + I*Tan[e + f*x])^(1/6))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(5/3)/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 4, (((3*I)/5)*Hypergeometric2F1[5/6, 7/6, 11/6, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)*(1 + I*Tan[e + f*x])^(1/6))/(2^(1/6)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/3)/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 4, ((3*I)*Hypergeometric2F1[1/6, 11/6, 7/6, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)*(1 + I*Tan[e + f*x])^(5/6))/(2^(5/6)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(1/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])), x, 4, (((-3*I)/2)*Hypergeometric2F1[-1/6, 13/6, 5/6, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(1 + I*Tan[e + f*x])^(1/6))/(2^(1/6)*a*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(5/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])), x, 4, (((-3*I)/10)*Hypergeometric2F1[-5/6, 17/6, 1/6, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(1 + I*Tan[e + f*x])^(5/6))/(2^(5/6)*a*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))}
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(5/3)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 4, (((3*I)/10)*Hypergeometric2F1[5/6, 13/6, 11/6, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)*(1 + I*Tan[e + f*x])^(1/6))/(2^(1/6)*f*(a^2 + I*a^2*Tan[e + f*x]))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/3)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 4, (((3*I)/2)*Hypergeometric2F1[1/6, 17/6, 7/6, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)*(1 + I*Tan[e + f*x])^(5/6))/(2^(5/6)*f*(a^2 + I*a^2*Tan[e + f*x]))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(1/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2), x, 4, (((-3*I)/4)*Hypergeometric2F1[-1/6, 19/6, 5/6, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(1 + I*Tan[e + f*x])^(1/6))/(2^(1/6)*a^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(5/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2), x, 4, (((-3*I)/20)*Hypergeometric2F1[-5/6, 23/6, 1/6, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(1 + I*Tan[e + f*x])^(5/6))/(2^(5/6)*a^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+a I Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^8*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 3, -((16*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2))/(9*a^4*d)) + (24*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2))/(11*a^5*d) - (12*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(13/2))/(13*a^6*d) + (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(15/2))/(15*a^7*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 3, (((-8*I)/7)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))/(a^3*d) + (((8*I)/9)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2))/(a^4*d) - (((2*I)/11)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2))/(a^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 3, (((-4*I)/5)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(a^2*d) + (((2*I)/7)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))/(a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 2, (((-2*I)/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 5, -((3*I*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(4*Sqrt[2]*d)) + (3*I*a)/(4*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (I*a^2)/(2*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 7, -((35*I*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(64*Sqrt[2]*d)) + (35*I*a^2)/(96*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (I*a^4)/(4*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (7*I*a^3)/(16*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (35*I*a)/(64*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^6*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 9, -((231*I*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(512*Sqrt[2]*d)) + (231*I*a^3)/(640*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) - (I*a^6)/(6*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) - (11*I*a^5)/(48*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) - (33*I*a^4)/(64*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (77*I*a^2)/(256*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (231*I*a)/(512*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+
+{Sec[c + d*x]^7*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 4, (256*I*a^4*Sec[c + d*x]^7)/(3003*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (64*I*a^3*Sec[c + d*x]^7)/(429*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (24*I*a^2*Sec[c + d*x]^7)/(143*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*I*a*Sec[c + d*x]^7)/(13*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^5*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 3, (64*I*a^3*Sec[c + d*x]^5)/(315*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (16*I*a^2*Sec[c + d*x]^5)/(63*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*I*a*Sec[c + d*x]^5)/(9*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 2, (8*I*a^2*Sec[c + d*x]^3)/(15*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*I*a*Sec[c + d*x]^3)/(5*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 1, ((2*I)*a*Sec[c + d*x])/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 3, (I*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*d) - (I*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 5, (5*I*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(8*Sqrt[2]*d) + (5*I*a*Cos[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (5*I*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(8*d) - (I*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 7, (63*I*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(128*Sqrt[2]*d) + (21*I*a*Cos[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (9*I*a*Cos[c + d*x]^3)/(40*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (63*I*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(128*d) - (21*I*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(80*d) - (I*Cos[c + d*x]^5*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^8*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 3, -((16*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2))/(11*a^4*d)) + (24*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(13/2))/(13*a^5*d) - (4*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(15/2))/(5*a^6*d) + (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(17/2))/(17*a^7*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 3, (((-8*I)/9)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2))/(a^3*d) + (((8*I)/11)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2))/(a^4*d) - (((2*I)/13)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(13/2))/(a^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 3, (((-4*I)/7)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))/(a^2*d) + (((2*I)/9)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2))/(a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 2, (((-2*I)/5)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((I*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(2*Sqrt[2]*d)) - (I*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*d*(a - I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((15*I*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(32*Sqrt[2]*d)) + (15*I*a^2)/(32*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (I*a^4)/(4*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (5*I*a^3)/(16*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((105*I*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(256*Sqrt[2]*d)) + (35*I*a^3)/(128*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (I*a^6)/(6*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (3*I*a^5)/(16*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (21*I*a^4)/(64*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (105*I*a^2)/(256*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+
+{Sec[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, (256*I*a^4*Sec[c + d*x]^5)/(1155*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (64*I*a^3*Sec[c + d*x]^5)/(231*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (8*I*a^2*Sec[c + d*x]^5)/(33*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (2*I*a*Sec[c + d*x]^5*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(11*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 3, (64*I*a^3*Sec[c + d*x]^3)/(105*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (16*I*a^2*Sec[c + d*x]^3)/(35*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (2*I*a*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 2, (8*I*a^2*Sec[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (2*I*a*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 1, ((-2*I)*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, (I*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*d) - (I*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*d) - (I*Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 6, (7*I*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*d) + (7*I*a^2*Cos[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (7*I*a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(16*d) - (7*I*a*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(30*d) - (I*Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(5*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^8*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 3, -((16*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(13/2))/(13*a^4*d)) + (8*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(15/2))/(5*a^5*d) - (12*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(17/2))/(17*a^6*d) + (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(19/2))/(19*a^7*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 3, -((8*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2))/(11*a^3*d)) + (8*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(13/2))/(13*a^4*d) - (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(15/2))/(15*a^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 3, (((-4*I)/9)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2))/(a^2*d) + (((2*I)/11)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2))/(a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 2, (((-2*I)/7)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 4, (I*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*d) - (I*a^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*(a - I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 5, -((3*I*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(16*Sqrt[2]*d)) - (I*a^4*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2) - (3*I*a^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(16*d*(a - I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((35*I*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(128*Sqrt[2]*d)) + (35*I*a^3)/(128*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (I*a^6)/(6*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (7*I*a^5)/(48*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (35*I*a^4)/(192*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 4, (256*I*a^4*Sec[c + d*x]^3)/(315*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (64*I*a^3*Sec[c + d*x]^3)/(105*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (8*I*a^2*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(21*d) + (2*I*a*Sec[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(9*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 3, (64*I*a^3*Sec[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (16*I*a^2*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*d) + (2*I*a*Sec[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 2, -((8*I*a^2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d) + (2*I*a*Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/d}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 1, (((-2*I)/3)*a*Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/d}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 5, (I*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(4*Sqrt[2]*d) - (I*a^2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d) - (I*a*Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(6*d) - (I*Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 7, (9*I*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(32*Sqrt[2]*d) + (3*I*a^3*Cos[c + d*x])/(16*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (9*I*a^2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(32*d) - (3*I*a^2*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(20*d) - (9*I*a*Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(70*d) - (I*Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(7*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^8*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 3, -((16*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(15/2))/(15*a^4*d)) + (24*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(17/2))/(17*a^5*d) - (12*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(19/2))/(19*a^6*d) + (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(21/2))/(21*a^7*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 3, -((8*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(13/2))/(13*a^3*d)) + (8*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(15/2))/(15*a^4*d) - (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(17/2))/(17*a^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 3, -((4*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2))/(11*a^2*d)) + (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(13/2))/(13*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 2, -((2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2))/(9*a*d))}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 5, (3*I*Sqrt[2]*a^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (3*I*a^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d - (I*a^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(d*(a - I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 5, (I*a^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(8*Sqrt[2]*d) - (I*a^5*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2) + (I*a^4*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(8*d*(a - I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 6, -((5*I*a^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(64*Sqrt[2]*d)) - (I*a^6*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(6*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3) - (5*I*a^5*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(48*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2) - (5*I*a^4*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(64*d*(a - I*a*Tan[c + d*x]))}
+
+{Sec[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 4, (256*I*a^4*Sec[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (64*I*a^3*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*d) + (24*I*a^2*Sec[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(35*d) + (2*I*a*Sec[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 3, -((64*I*a^3*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d)) + (16*I*a^2*Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d) + (2*I*a*Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 2, (8*I*a^2*Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (2*I*a*Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/d}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 1, -((2*I*a*Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*d))}
+{Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 6, (I*a^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(8*Sqrt[2]*d) - (I*a^3*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(8*d) - (I*a^2*Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(12*d) - (I*a*Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(10*d) - (I*Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^9*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 8, (11*I*a^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*d) + (11*I*a^4*Cos[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (11*I*a^3*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(64*d) - (11*I*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(120*d) - (11*I*a^2*Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(140*d) - (11*I*a*Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(126*d) - (I*Cos[c + d*x]^9*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^11*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 10, (195*I*a^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(1024*Sqrt[2]*d) + (65*I*a^4*Cos[c + d*x])/(512*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (39*I*a^4*Cos[c + d*x]^3)/(448*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (195*I*a^3*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(1024*d) - (13*I*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(128*d) - (13*I*a^3*Cos[c + d*x]^5*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(168*d) - (65*I*a^2*Cos[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(924*d) - (5*I*a*Cos[c + d*x]^9*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(66*d) - (I*Cos[c + d*x]^11*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))/(11*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^8/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 3, -((16*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))/(7*a^4*d)) + (8*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2))/(3*a^5*d) - (12*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2))/(11*a^6*d) + (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(13/2))/(13*a^7*d)}
+{Sec[c + d*x]^6/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 3, (((-8*I)/5)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(a^3*d) + (((8*I)/7)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))/(a^4*d) - (((2*I)/9)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2))/(a^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 3, (((-4*I)/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(a^2*d) + (((2*I)/5)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 2, ((-2*I)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 6, -((5*I*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(8*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d)) + (5*I*a)/(12*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (I*a^2)/(2*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (5*I)/(8*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 8, -((63*I*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(128*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d)) + (63*I*a^2)/(160*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) - (I*a^4)/(4*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) - (9*I*a^3)/(16*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (21*I*a)/(64*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (63*I)/(128*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^6/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 10, -((429*I*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(1024*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d)) + (429*I*a^3)/(896*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) - (I*a^6)/(6*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) - (13*I*a^5)/(48*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) - (143*I*a^4)/(192*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (429*I*a^2)/(1280*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (143*I*a)/(512*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (429*I)/(1024*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+
+{Sec[c + d*x]^9/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 4, (256*I*a^4*Sec[c + d*x]^9)/(6435*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2)) + (64*I*a^3*Sec[c + d*x]^9)/(715*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (8*I*a^2*Sec[c + d*x]^9)/(65*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (2*I*a*Sec[c + d*x]^9)/(15*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^7/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 3, (64*I*a^3*Sec[c + d*x]^7)/(693*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (16*I*a^2*Sec[c + d*x]^7)/(99*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (2*I*a*Sec[c + d*x]^7)/(11*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^5/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 2, (8*I*a^2*Sec[c + d*x]^5)/(35*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (2*I*a*Sec[c + d*x]^5)/(7*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^3/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 1, (((2*I)/3)*a*Sec[c + d*x]^3)/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^1/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 2, (I*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 4, (3*I*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(4*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) + (I*Cos[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (3*I*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 6, (35*I*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) + (35*I*Cos[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (I*Cos[c + d*x]^3)/(4*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (35*I*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(64*a*d) - (7*I*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(24*a*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^8/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 3, -((16*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*a^4*d)) + (24*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))/(7*a^5*d) - (4*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2))/(3*a^6*d) + (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2))/(11*a^7*d)}
+{Sec[c + d*x]^6/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 3, (((-8*I)/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(a^3*d) + (((8*I)/5)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(a^4*d) - (((2*I)/7)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))/(a^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 3, ((-4*I)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a^2*d) + (((2*I)/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 2, (2*I)/(a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((7*I*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(16*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) + (7*I*a)/(20*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) - (I*a^2)/(2*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (7*I)/(24*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (7*I)/(16*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 9, -((99*I*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(256*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) + (99*I*a^2)/(224*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) - (I*a^4)/(4*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) - (11*I*a^3)/(16*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (99*I*a)/(320*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (33*I)/(128*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (99*I)/(256*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^6/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 11, -((715*I*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(2048*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) + (715*I*a^3)/(1152*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2)) - (I*a^6)/(6*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2)) - (5*I*a^5)/(16*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2)) - (65*I*a^4)/(64*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2)) + (715*I*a^2)/(1792*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (143*I*a)/(512*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (715*I)/(3072*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (715*I)/(2048*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+
+{Sec[c + d*x]^11/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, (256*I*a^4*Sec[c + d*x]^11)/(12155*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2)) + (64*I*a^3*Sec[c + d*x]^11)/(1105*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2)) + (8*I*a^2*Sec[c + d*x]^11)/(85*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (2*I*a*Sec[c + d*x]^11)/(17*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))}
+{Sec[c + d*x]^9/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 3, (64*I*a^3*Sec[c + d*x]^9)/(1287*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2)) + (16*I*a^2*Sec[c + d*x]^9)/(143*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (2*I*a*Sec[c + d*x]^9)/(13*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))}
+{Sec[c + d*x]^7/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 2, (8*I*a^2*Sec[c + d*x]^7)/(63*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (2*I*a*Sec[c + d*x]^7)/(9*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 1, (((2*I)/5)*a*Sec[c + d*x]^5)/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*I*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d) - (2*I*Sec[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 3, (I*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + (I*Sec[c + d*x])/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 5, (15*I*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(32*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + (I*Cos[c + d*x])/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (5*I*Cos[c + d*x])/(16*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (15*I*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(32*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 7, (105*I*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(256*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + (I*Cos[c + d*x]^3)/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (35*I*Cos[c + d*x])/(128*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (3*I*Cos[c + d*x]^3)/(16*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (105*I*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(256*a^2*d) - (7*I*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(32*a^2*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^10/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 3, (((-32*I)/5)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(a^5*d) + (((64*I)/7)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))/(a^6*d) - (((16*I)/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2))/(a^7*d) + (((16*I)/11)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2))/(a^8*d) - (((2*I)/13)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(13/2))/(a^9*d)}
+{Sec[c + d*x]^8/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 3, (((-16*I)/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(a^4*d) + (((24*I)/5)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(a^5*d) - (((12*I)/7)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))/(a^6*d) + (((2*I)/9)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2))/(a^7*d)}
+{Sec[c + d*x]^6/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 3, ((-8*I)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a^3*d) + (((8*I)/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(a^4*d) - (((2*I)/5)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(a^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 3, (4*I)/(a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + ((2*I)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 2, ((2*I)/3)/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((9*I*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(32*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) + (9*I*a)/(28*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) - (I*a^2)/(2*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (9*I)/(40*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (3*I)/(16*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (9*I)/(32*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 10, -((143*I*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(512*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) + (143*I*a^2)/(288*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2)) - (I*a^4)/(4*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2)) - (13*I*a^3)/(16*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2)) + (143*I*a)/(448*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (143*I)/(640*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (143*I)/(768*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (143*I)/(512*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+
+{Sec[c + d*x]^13/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 4, (256*I*a^4*Sec[c + d*x]^13)/(20995*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(13/2)) + (64*I*a^3*Sec[c + d*x]^13)/(1615*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2)) + (24*I*a^2*Sec[c + d*x]^13)/(323*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2)) + (2*I*a*Sec[c + d*x]^13)/(19*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))}
+{Sec[c + d*x]^11/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 3, (64*I*a^3*Sec[c + d*x]^11)/(2145*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2)) + (16*I*a^2*Sec[c + d*x]^11)/(195*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2)) + (2*I*a*Sec[c + d*x]^11)/(15*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))}
+{Sec[c + d*x]^9/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 2, (8*I*a^2*Sec[c + d*x]^9)/(99*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2)) + (2*I*a*Sec[c + d*x]^9)/(11*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))}
+{Sec[c + d*x]^7/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 1, (((2*I)/7)*a*Sec[c + d*x]^7)/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 4, (4*I*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(a^(5/2)*d) - (2*I*Sec[c + d*x]^3)/(3*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (4*I*Sec[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((I*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) + (I*Sec[c + d*x])/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 4, (3*I*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + (I*Sec[c + d*x])/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (3*I*Sec[c + d*x])/(16*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 6, (35*I*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(128*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + (I*Cos[c + d*x])/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (7*I*Cos[c + d*x])/(48*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (35*I*Cos[c + d*x])/(192*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (35*I*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(128*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 8, (1155*I*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(4096*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + (I*Cos[c + d*x]^3)/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (11*I*Cos[c + d*x]^3)/(96*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (385*I*Cos[c + d*x])/(2048*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (33*I*Cos[c + d*x]^3)/(256*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (1155*I*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4096*a^3*d) - (77*I*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(512*a^3*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^10/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 3, -((32*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*a^5*d)) + (64*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*a^6*d) - (48*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))/(7*a^7*d) + (16*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2))/(9*a^8*d) - (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2))/(11*a^9*d)}
+{Sec[c + d*x]^8/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 3, -((16*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a^4*d)) + (8*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(a^5*d) - (12*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*a^6*d) + (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))/(7*a^7*d)}
+{Sec[c + d*x]^6/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 3, (8*I)/(a^3*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (8*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a^4*d) - (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*a^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 3, (4*I)/(3*a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*I)/(a^3*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 2, (2*I)/(5*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 9, -((11*I*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d)) + (11*I*a)/(36*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2)) - (I*a^2)/(2*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2)) + (11*I)/(56*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (11*I)/(80*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (11*I)/(96*a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (11*I)/(64*a^3*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 11, -((195*I*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(1024*Sqrt[2]*a^(7/2)*d)) + (195*I*a^2)/(352*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2)) - (I*a^4)/(4*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2)) - (15*I*a^3)/(16*d*(a - I*a*Tan[c + d*x])*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2)) + (65*I*a)/(192*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2)) + (195*I)/(896*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (39*I)/(256*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (65*I)/(512*a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (195*I)/(1024*a^3*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+
+{Sec[c + d*x]^13/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 3, (64*I*a^3*Sec[c + d*x]^13)/(3315*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(13/2)) + (16*I*a^2*Sec[c + d*x]^13)/(255*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2)) + (2*I*a*Sec[c + d*x]^13)/(17*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2))}
+{Sec[c + d*x]^11/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 2, (8*I*a^2*Sec[c + d*x]^11)/(143*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(11/2)) + (2*I*a*Sec[c + d*x]^11)/(13*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2))}
+{Sec[c + d*x]^9/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 1, (2*I*a*Sec[c + d*x]^9)/(9*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(9/2))}
+{Sec[c + d*x]^7/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 5, (8*I*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(a^(7/2)*d) - (2*I*Sec[c + d*x]^5)/(5*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) - (4*I*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (8*I*Sec[c + d*x])/(a^3*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 5, -((3*I*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(a^(7/2)*d)) - (2*I*Sec[c + d*x]^3)/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (6*I*Sec[c + d*x])/(a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 5, -((I*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(8*Sqrt[2]*a^(7/2)*d)) + (I*Sec[c + d*x])/(2*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) - (I*Sec[c + d*x])/(8*a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 5, (5*I*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) + (I*Sec[c + d*x])/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (5*I*Sec[c + d*x])/(48*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (5*I*Sec[c + d*x])/(64*a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 7, (315*I*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(2048*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) + (I*Cos[c + d*x])/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (3*I*Cos[c + d*x])/(32*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (21*I*Cos[c + d*x])/(256*a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (105*I*Cos[c + d*x])/(1024*a^3*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (315*I*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2048*a^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 9, (3003*I*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])])/(16384*Sqrt[2]*a^(7/2)*d) + (I*Cos[c + d*x]^3)/(10*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (13*I*Cos[c + d*x]^3)/(160*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (143*I*Cos[c + d*x]^3)/(1920*a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (1001*I*Cos[c + d*x])/(8192*a^3*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (429*I*Cos[c + d*x]^3)/(5120*a^3*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (3003*I*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(16384*a^4*d) - (1001*I*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(10240*a^4*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(m/2) (a+a I Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 12, (I*a*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (I*a^(3/2)*e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (I*a^(3/2)*e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (I*a^(3/2)*e^(3/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (I*a^(3/2)*e^(3/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 10, (I*Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/d - (I*Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/d - (I*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(Sqrt[2]*d) + (I*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(Sqrt[2]*d)}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[e*Sec[c + d*x]], x, 1, ((-2*I)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(e*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 2, (((4*I)/3)*a*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(d*e^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (((2*I)/3)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(e*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 3, (8*I*a)/(15*d*e^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (2*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (16*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*d*e^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(e*Sec[c + d*x])^(7/2), x, 4, (12*I*a)/(35*d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (32*I*a*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(35*d*e^4*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (2*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(7*d*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)) - (16*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 13, (7*I*a^(3/2)*e^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/(8*Sqrt[2]*d) - (7*I*a^(3/2)*e^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/(8*Sqrt[2]*d) - (7*I*a^(3/2)*e^(5/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(16*Sqrt[2]*d) + (7*I*a^(3/2)*e^(5/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(16*Sqrt[2]*d) + (7*I*a^2*(e*Sec[c + d*x])^(5/2))/(12*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (7*I*a*e^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(8*d) + (I*a*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 13, (5*I*a^2*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/(4*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (5*I*a^(5/2)*e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(4*Sqrt[2]*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (5*I*a^(5/2)*e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(4*Sqrt[2]*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (5*I*a^(5/2)*e^(3/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(8*Sqrt[2]*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (5*I*a^(5/2)*e^(3/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(8*Sqrt[2]*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (I*a*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*d)}
+{Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 11, (3*I*a^(3/2)*Sqrt[e]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*d) - (3*I*a^(3/2)*Sqrt[e]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*d) - (3*I*a^(3/2)*Sqrt[e]*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(2*Sqrt[2]*d) + (3*I*a^(3/2)*Sqrt[e]*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(2*Sqrt[2]*d) + (I*a*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)/Sqrt[e*Sec[c + d*x]], x, 12, (I*Sqrt[2]*a^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(d*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (I*Sqrt[2]*a^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(d*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (I*a^(5/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (I*a^(5/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (4*I*a*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)/(e*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 1, (((-2*I)/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)/(e*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 2, (((-4*I)/5)*a*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*e^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (((2*I)/5)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)/(e*Sec[c + d*x])^(7/2), x, 3, (((16*I)/21)*a^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(d*e^4*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (((8*I)/21)*a*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (((2*I)/7)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(d*(e*Sec[c + d*x])^(7/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)/(e*Sec[c + d*x])^(9/2), x, 4, (16*I*a^2)/(45*d*e^4*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (4*I*a*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (32*I*a*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(45*d*e^4*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(9*d*(e*Sec[c + d*x])^(9/2))}
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 14, (15*I*a^3*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/(8*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (15*I*a^(7/2)*e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(8*Sqrt[2]*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (15*I*a^(7/2)*e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(8*Sqrt[2]*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (15*I*a^(7/2)*e^(3/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(16*Sqrt[2]*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (15*I*a^(7/2)*e^(3/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(16*Sqrt[2]*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (3*I*a^2*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d) + (I*a*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 12, (21*I*a^(5/2)*Sqrt[e]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/(4*Sqrt[2]*d) - (21*I*a^(5/2)*Sqrt[e]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/(4*Sqrt[2]*d) - (21*I*a^(5/2)*Sqrt[e]*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(8*Sqrt[2]*d) + (21*I*a^(5/2)*Sqrt[e]*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(8*Sqrt[2]*d) + (7*I*a^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d) + (I*a*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(2*d)}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)/Sqrt[e*Sec[c + d*x]], x, 13, (5*I*a^(7/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (5*I*a^(7/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (5*I*a^(7/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (5*I*a^(7/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (10*I*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) + (I*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)/(e*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 11, -((I*Sqrt[2]*a^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/(d*e^(3/2))) + (I*Sqrt[2]*a^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/(d*e^(3/2)) + (I*a^(5/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(Sqrt[2]*d*e^(3/2)) - (I*a^(5/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(Sqrt[2]*d*e^(3/2)) - (4*I*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)/(e*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 1, (((-2*I)/5)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)/(e*Sec[c + d*x])^(7/2), x, 2, (((-4*I)/21)*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (((2*I)/7)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(d*(e*Sec[c + d*x])^(7/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)/(e*Sec[c + d*x])^(9/2), x, 3, (((-16*I)/45)*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*e^4*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]) - (((8*I)/45)*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (((2*I)/9)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(d*(e*Sec[c + d*x])^(9/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)/(e*Sec[c + d*x])^(11/2), x, 4, (((32*I)/77)*a^3*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(d*e^6*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (((16*I)/77)*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*e^4*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (((12*I)/77)*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)) - (((2*I)/11)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(d*(e*Sec[c + d*x])^(11/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 11, (I*e^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) - (I*e^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) - (I*e^(5/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) + (I*e^(5/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) - (I*e^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a*d)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 11, -((I*Sqrt[2]*Sqrt[a]*e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])) + (I*Sqrt[2]*Sqrt[a]*e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (I*Sqrt[a]*e^(3/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (I*Sqrt[a]*e^(3/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Sqrt[e*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 1, ((2*I)*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 2, (2*I)/(3*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (4*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*a*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 3, (2*I)/(5*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (16*I*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(15*d*e^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (8*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*a*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 4, (2*I)/(7*d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (16*I)/(35*d*e^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (12*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*a*d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (32*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*a*d*e^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 5, (2*I)/(9*d*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (32*I)/(105*d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (256*I*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(315*d*e^4*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (16*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(63*a*d*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)) - (128*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(315*a*d*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(7/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 13, -((I*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/(a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])) - (3*I*e^(7/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (3*I*e^(7/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (3*I*e^(7/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (3*I*e^(7/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(e*Sec[c + d*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 11, -((I*Sqrt[2]*e^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d)) + (I*Sqrt[2]*e^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d) + (I*e^(5/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (I*e^(5/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + (4*I*e^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(e*Sec[c + d*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 1, (((2*I)/3)*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))}
+{Sqrt[e*Sec[c + d*x]]/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 2, (2*I*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (4*I*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(5*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 3, (2*I)/(7*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (8*I)/(21*a*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (16*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(21*a^2*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 4, (2*I)/(9*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (4*I)/(15*a*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (32*I*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(45*a*d*e^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (16*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(45*a^2*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 5, (2*I)/(11*d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (16*I)/(77*a*d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (128*I)/(385*a*d*e^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (96*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(385*a^2*d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (256*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(385*a^2*d*e^2*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(9/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 12, -((5*I*e^(9/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) + (5*I*e^(9/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + (5*I*e^(9/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(2*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (5*I*e^(9/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(2*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + (4*I*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(5/2))/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (5*I*e^4*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a^3*d)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(7/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 12, (4*I*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/(3*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (I*Sqrt[2]*e^(7/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(a^(3/2)*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (I*Sqrt[2]*e^(7/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(a^(3/2)*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (I*e^(7/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (I*e^(7/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*d*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(e*Sec[c + d*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 1, (((2*I)/5)*(e*Sec[c + d*x])^(5/2))/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 2, (2*I*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/(7*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (4*I*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))/(21*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))}
+{Sqrt[e*Sec[c + d*x]]/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 3, (2*I*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(9*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (8*I*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(45*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (16*I*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(45*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 4, (2*I)/(11*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (12*I)/(77*a*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (16*I)/(77*a^2*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (32*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(77*a^3*d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 5, (2*I)/(13*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (16*I)/(117*a*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (32*I)/(195*a^2*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (256*I*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])/(585*a^2*d*e^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (128*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(585*a^3*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(m/3) (a+a I Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(7/3)/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 4, (3*I*2^(2/3)*a*Hypergeometric2F1[1/3, 7/6, 13/6, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^(7/3)*(1 + I*Tan[c + d*x])^(1/3))/(7*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(5/3)/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 4, (3*I*2^(1/3)*a*Hypergeometric2F1[2/3, 5/6, 11/6, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^(5/3)*(1 + I*Tan[c + d*x])^(2/3))/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(2/3)/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 4, (3*I*Hypergeometric2F1[1/3, 7/6, 4/3, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^(2/3)*(1 + I*Tan[c + d*x])^(1/6))/(2*2^(1/6)*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(e*Sec[c + d*x])^(1/3)/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 4, ((3*I)*Hypergeometric2F1[1/6, 4/3, 7/6, (1 - I*Tan[c + d*x])/2]*(e*Sec[c + d*x])^(1/3)*(1 + I*Tan[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3)*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 4, ((-3*I)*Hypergeometric2F1[-1/6, 5/3, 5/6, (1 - I*Tan[c + d*x])/2]*(1 + I*Tan[c + d*x])^(2/3))/(2^(2/3)*d*(e*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 4, -((3*I*Hypergeometric2F1[-(2/3), 13/6, 1/3, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(1 + I*Tan[c + d*x])^(1/6)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(8*2^(1/6)*a*d*(e*Sec[c + d*x])^(4/3)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(m/3) (a+a I Tan[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(2/3)/(a + a*I*Tan[e + f*x])^(1/3 + 2), x, 9, (I*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(4*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/3)) - (5*x*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(72*2^(2/3)*a^(5/3)*(a - I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)) + (5*I*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a - I*a*Tan[e + f*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))]*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(12*2^(2/3)*Sqrt[3]*a^(5/3)*f*(a - I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)) - (5*I*Log[Cos[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(72*2^(2/3)*a^(5/3)*f*(a - I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)) - (5*I*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a - I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)]*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(24*2^(2/3)*a^(5/3)*f*(a - I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)) + (5*I*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(24*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)*(a^2 + I*a^2*Tan[e + f*x]))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(2/3)/(a + a*I*Tan[e + f*x])^(1/3 + 1), x, 8, (I*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(4/3)) - (x*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(6*2^(2/3)*a^(2/3)*(a - I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)) + (I*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a - I*a*Tan[e + f*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))]*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(2^(2/3)*Sqrt[3]*a^(2/3)*f*(a - I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)) - (I*Log[Cos[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(6*2^(2/3)*a^(2/3)*f*(a - I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)) - (I*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a - I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)]*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(2*2^(2/3)*a^(2/3)*f*(a - I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/3))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(2/3)/(a + a*I*Tan[e + f*x])^(1/3 + 0), x, 6, -((a^(1/3)*x*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(2*2^(2/3)*(a - I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/3))) + (I*Sqrt[3]*a^(1/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a - I*a*Tan[e + f*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))]*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(2^(2/3)*f*(a - I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)) - (I*a^(1/3)*Log[Cos[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(2*2^(2/3)*f*(a - I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)) - (3*I*a^(1/3)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a - I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)]*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(2*2^(2/3)*f*(a - I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/3))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(2/3)/(a + a*I*Tan[e + f*x])^(1/3 - 1), x, 1, (3*I*a*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/3))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(2/3)/(a + a*I*Tan[e + f*x])^(1/3 - 2), x, 2, (9*I*a^2*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)) + (3*I*a*(d*Sec[e + f*x])^(2/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(2/3))/(4*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(2/3)/(a + a*I*Tan[e + f*x])^(1/3 - 3), x, 3, (54*I*a^3*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(7*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)) + (9*I*a^2*(d*Sec[e + f*x])^(2/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(2/3))/(7*f) + (3*I*a*(d*Sec[e + f*x])^(2/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/3))/(7*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(2/3)/(a + a*I*Tan[e + f*x])^(1/3 - 4), x, 4, (486*I*a^4*(d*Sec[e + f*x])^(2/3))/(35*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/3)) + (81*I*a^3*(d*Sec[e + f*x])^(2/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(2/3))/(35*f) + (27*I*a^2*(d*Sec[e + f*x])^(2/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/3))/(35*f) + (3*I*a*(d*Sec[e + f*x])^(2/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(8/3))/(10*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+a I Tan[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5, x, 4, (1/(d*m))*((I*2^(5 + m/2)*a^5*Hypergeometric2F1[-4 - m/2, m/2, (2 + m)/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^m)/(1 + I*Tan[c + d*x])^(m/2))}
+{(e*Sec[c + d*x])^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (I*2^(3 + m/2)*a^3*Hypergeometric2F1[-2 - m/2, m/2, (2 + m)/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^m)/((1 + I*Tan[c + d*x])^(m/2)*(d*m))}
+{(e*Sec[c + d*x])^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (I*2^(2 + m/2)*a^2*Hypergeometric2F1[-1 - m/2, m/2, (2 + m)/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^m)/((1 + I*Tan[c + d*x])^(m/2)*(d*m))}
+{(e*Sec[c + d*x])^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^1, x, 4, (I*2^(1 + m/2)*a*Hypergeometric2F1[-(m/2), m/2, (2 + m)/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^m)/((1 + I*Tan[c + d*x])^(m/2)*(d*m))}
+{(e*Sec[c + d*x])^m/(a + I*a*Tan[c + d*x])^1, x, 4, (1/(a*d*m))*((I*2^(-1 + m/2)*Hypergeometric2F1[2 - m/2, m/2, (2 + m)/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^m)/(1 + I*Tan[c + d*x])^(m/2))}
+{(e*Sec[c + d*x])^m/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (1/(a^2*d*m))*((I*2^(-2 + m/2)*Hypergeometric2F1[3 - m/2, m/2, (2 + m)/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^m)/(1 + I*Tan[c + d*x])^(m/2))}
+{(e*Sec[c + d*x])^m/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (1/(a^3*d*m))*((I*2^(-3 + m/2)*Hypergeometric2F1[4 - m/2, m/2, (2 + m)/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^m)/(1 + I*Tan[c + d*x])^(m/2))}
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 4, (1/(d*m))*(I*2^((7 + m)/2)*a^3*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-5 - m), m/2, (2 + m)/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^m*(1 + I*Tan[c + d*x])^((1/2)*(-1 - m))*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(e*Sec[c + d*x])^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 4, (1/(d*m))*(I*2^((5 + m)/2)*a^2*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 - m), m/2, (2 + m)/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^m*(1 + I*Tan[c + d*x])^((1/2)*(-1 - m))*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(e*Sec[c + d*x])^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, (1/(d*m))*(I*2^((3 + m)/2)*a*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 - m), m/2, (2 + m)/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^m*(1 + I*Tan[c + d*x])^((1/2)*(-1 - m))*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(e*Sec[c + d*x])^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 4, (I*2^((1 + m)/2)*a*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, m/2, (2 + m)/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^m*(1 + I*Tan[c + d*x])^((1 - m)/2))/(d*m*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(e*Sec[c + d*x])^m/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 4, (I*2^((1/2)*(-1 + m))*Hypergeometric2F1[(3 - m)/2, m/2, (2 + m)/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^m*(1 + I*Tan[c + d*x])^((1 - m)/2))/(d*m*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(e*Sec[c + d*x])^m/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, (I*2^((1/2)*(-3 + m))*Hypergeometric2F1[(5 - m)/2, m/2, (2 + m)/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^m*(1 + I*Tan[c + d*x])^((1 - m)/2))/(a*d*m*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(e*Sec[c + d*x])^m/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 4, (I*2^((1/2)*(-5 + m))*Hypergeometric2F1[(7 - m)/2, m/2, (2 + m)/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^m*(1 + I*Tan[c + d*x])^((1 - m)/2))/(a^2*d*m*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+a I Tan[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 4, (1/(d*m))*(I*2^(m/2 + n)*Hypergeometric2F1[m/2, 1 - m/2 - n, (2 + m)/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^m*(1 + I*Tan[c + d*x])^(-(m/2) - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 3, -((4*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3 + n))/(a^3*d*(3 + n))) + (4*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4 + n))/(a^4*d*(4 + n)) - (I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5 + n))/(a^5*d*(5 + n))}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 3, ((-2*I)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2 + n))/(a^2*d*(2 + n)) + (I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3 + n))/(a^3*d*(3 + n))}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 2, ((-I)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(1 + n))}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 2, (I*a*Hypergeometric2F1[2, -1 + n, n, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-1 + n))/(4*d*(1 - n))}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 2, (I*a^2*Hypergeometric2F1[3, -2 + n, -1 + n, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-2 + n))/(8*d*(2 - n))}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 2, (I*a^3*Hypergeometric2F1[4, -3 + n, -2 + n, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-3 + n))/(16*d*(3 - n))}
+
+{Sec[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 4, (1/(5*d))*(I*2^(5/2 + n)*a^2*Hypergeometric2F1[5/2, -(3/2) - n, 7/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x]^5*(1 + I*Tan[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-2 + n))}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 4, (1/(3*d))*(I*2^(3/2 + n)*a*Hypergeometric2F1[3/2, -(1/2) - n, 5/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x]^3*(1 + I*Tan[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-1 + n))}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 4, (1/d)*(I*2^(1/2 + n)*a*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x]*(1 + I*Tan[c + d*x])^(1/2 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-1 + n))}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 4, -((1/d)*(I*2^(-(1/2) + n)*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(1/2), 3/2 - n, 1/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(1 + I*Tan[c + d*x])^(1/2 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n))}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 4, -((1/(3*a*d))*(I*2^(-(3/2) + n)*Cos[c + d*x]^3*Hypergeometric2F1[-(3/2), 5/2 - n, -(1/2), (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(1 + I*Tan[c + d*x])^(1/2 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1 + n)))}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 4, -((1/(5*a^2*d))*(I*2^(-(5/2) + n)*Cos[c + d*x]^5*Hypergeometric2F1[-(5/2), 7/2 - n, -(3/2), (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(1 + I*Tan[c + d*x])^(1/2 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2 + n)))}
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 4, (1/(5*d))*(I*2^(9/4 + n)*a*Hypergeometric2F1[5/4, -(1/4) - n, 9/4, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])^(-(1/4) - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-1 + n))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 4, (1/(3*d))*(I*2^(7/4 + n)*a*Hypergeometric2F1[3/4, 1/4 - n, 7/4, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])^(1/4 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-1 + n))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(1/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 4, (1/d)*(I*2^(5/4 + n)*a*Hypergeometric2F1[1/4, 3/4 - n, 5/4, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]*(1 + I*Tan[c + d*x])^(3/4 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-1 + n))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^n/(e*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 4, -((1/(d*Sqrt[e*Sec[c + d*x]]))*(I*2^(3/4 + n)*Hypergeometric2F1[-(1/4), 5/4 - n, 3/4, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(1 + I*Tan[c + d*x])^(1/4 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^n/(e*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((1/(3*d*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)))*(I*2^(1/4 + n)*Hypergeometric2F1[-(3/4), 7/4 - n, 1/4, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(1 + I*Tan[c + d*x])^(3/4 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^n/(e*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((1/(5*a*d*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)))*(I*2^(-(1/4) + n)*Hypergeometric2F1[-(5/4), 9/4 - n, -(1/4), (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(1 + I*Tan[c + d*x])^(1/4 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1 + n)))}
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(-4 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 5, (I*(e*Sec[c + d*x])^(-4 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(4 - n)) + (4*I*(e*Sec[c + d*x])^(-4 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(8 - 6*n + n^2)) - (12*I*(e*Sec[c + d*x])^(-4 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2 + n))/(a^2*d*(2 - n)*(4 - n)*n) + (24*I*(e*Sec[c + d*x])^(-4 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3 + n))/(a^3*d*(4 - n)*n*(4 - n^2)) - (24*I*(e*Sec[c + d*x])^(-4 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4 + n))/(a^4*d*n*(64 - 20*n^2 + n^4))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(-3 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 4, (I*(e*Sec[c + d*x])^(-3 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(3 - n)) + (3*I*(e*Sec[c + d*x])^(-3 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(3 - 4*n + n^2)) - (6*I*(e*Sec[c + d*x])^(-3 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2 + n))/(a^2*d*(3 - n)*(1 - n^2)) + (6*I*(e*Sec[c + d*x])^(-3 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3 + n))/(a^3*d*(9 - 10*n^2 + n^4))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(-2 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 3, (I*(e*Sec[c + d*x])^(-2 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(2 - n)) - (2*I*(e*Sec[c + d*x])^(-2 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(2 - n)*n) + (2*I*(e*Sec[c + d*x])^(-2 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2 + n))/(a^2*d*n*(4 - n^2))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(-1 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 2, (I*(e*Sec[c + d*x])^(-1 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(1 - n)) - (I*(e*Sec[c + d*x])^(-1 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(1 - n^2))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(0 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 1, ((-I)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*n*(e*Sec[c + d*x])^n)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(1 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 4, (1/(d*(1 - n)))*(I*2^((1 + n)/2)*Hypergeometric2F1[(1 - n)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^(1 - n)*(1 + I*Tan[c + d*x])^((1/2)*(-1 - n))*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(2 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 4, (I*2^(1 + n/2)*a*Hypergeometric2F1[(2 - n)/2, -(n/2), (4 - n)/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^(2 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-1 + n))/((1 + I*Tan[c + d*x])^(n/2)*(d*(2 - n)))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(3 - n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 4, (I*2^((3 + n)/2)*a*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 - n), (3 - n)/2, (5 - n)/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^(3 - n)*(1 + I*Tan[c + d*x])^((1/2)*(-1 - n))*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-1 + n))/(d*(3 - n))}
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(6 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 3, If[$VersionNumber>=8, (8*I*a^3*(e*Sec[c + d*x])^(6 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-3 + n))/(d*(5 - n)*(12 - 7*n + n^2)) + (4*I*a^2*(e*Sec[c + d*x])^(6 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-2 + n))/(d*(20 - 9*n + n^2)) + (I*a*(e*Sec[c + d*x])^(6 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-1 + n))/(d*(5 - n)), (8*I*a^3*(e*Sec[c + d*x])^(6 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-3 + n))/(d*(60 - 47*n + 12*n^2 - n^3)) + (4*I*a^2*(e*Sec[c + d*x])^(6 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-2 + n))/(d*(20 - 9*n + n^2)) + (I*a*(e*Sec[c + d*x])^(6 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-1 + n))/(d*(5 - n))]}
+{(e*Sec[c + d*x])^(5 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 5, -((I*2^(5/2 - n)*Hypergeometric2F1[5/2, (1/2)*(-3 + 2*n), 7/2, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^(5 - 2*n)*(1 - I*Tan[c + d*x])^(-(5/2) + n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(5*d))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(4 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 2, If[$VersionNumber>=8, (2*I*a^2*(e*Sec[c + d*x])^(4 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-2 + n))/(d*(6 - 5*n + n^2)) + (I*a*(e*Sec[c + d*x])^(4 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-1 + n))/(d*(3 - n)), (2*I*a^2*(e*Sec[c + d*x])^(4 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-2 + n))/(d*(6 - 5*n + n^2)) + (I*a*(e*Sec[c + d*x])^(4 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-1 + n))/(d*(3 - n))]}
+{(e*Sec[c + d*x])^(3 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 5, -((I*2^(3/2 - n)*Hypergeometric2F1[3/2, (1/2)*(-1 + 2*n), 5/2, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^(3 - 2*n)*(1 - I*Tan[c + d*x])^(-(3/2) + n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(3*d))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(2 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 1, (I*a*(e*Sec[c + d*x])^(2 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-1 + n))/(d*(1 - n))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(1 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 5, -((I*2^(1/2 - n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 + 2*n), 3/2, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^(1 - 2*n)*(1 - I*Tan[c + d*x])^(-(1/2) + n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/d)}
+{(e*Sec[c + d*x])^(0 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 3, ((-I/2)*Hypergeometric2F1[1, -n, 1 - n, (1 - I*Tan[c + d*x])/2]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*n*(e*Sec[c + d*x])^(2*n))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(-1 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 5, (I*2^(-(1/2) - n)*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1/2)*(3 + 2*n), 1/2, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^(-1 - 2*n)*(1 - I*Tan[c + d*x])^(1/2 + n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/d}
+{(e*Sec[c + d*x])^(-2 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 4, -((I*Hypergeometric2F1[2, -1 - n, -n, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1 + n))/((e*Sec[c + d*x])^(2*(1 + n))*(4*a*d*(1 + n))))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(-3 - 2*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 5, (I*2^(-(3/2) - n)*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1/2)*(5 + 2*n), -(1/2), (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(e*Sec[c + d*x])^(-3 - 2*n)*(1 - I*Tan[c + d*x])^(3/2 + n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(3*d)}
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(2*n)/(a + a*I*Tan[e + f*x])^(n + 2), x, 4, (I*Hypergeometric2F1[3, n, 1 + n, (1/2)*(1 - I*Tan[e + f*x])]*(d*Sec[e + f*x])^(2*n))/((a + I*a*Tan[e + f*x])^n*(8*a^2*f*n))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(2*n)/(a + a*I*Tan[e + f*x])^(n + 1), x, 4, (I*Hypergeometric2F1[2, n, 1 + n, (1/2)*(1 - I*Tan[e + f*x])]*(d*Sec[e + f*x])^(2*n))/((a + I*a*Tan[e + f*x])^n*(4*a*f*n))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(2*n)/(a + a*I*Tan[e + f*x])^(n + 0), x, 3, (I*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, (1/2)*(1 - I*Tan[e + f*x])]*(d*Sec[e + f*x])^(2*n))/((a + I*a*Tan[e + f*x])^n*(2*f*n))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(2*n)/(a + a*I*Tan[e + f*x])^(n - 1), x, 1, (I*a*(d*Sec[e + f*x])^(2*n))/((a + I*a*Tan[e + f*x])^n*(f*n))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(2*n)/(a + a*I*Tan[e + f*x])^(n - 2), x, 2, (I*a*(d*Sec[e + f*x])^(2*n)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1 - n))/(f*(1 + n)) + (2*I*a^2*(d*Sec[e + f*x])^(2*n))/((a + I*a*Tan[e + f*x])^n*(f*n*(1 + n)))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(2*n)/(a + a*I*Tan[e + f*x])^(n - 3), x, 3, (4*I*a^2*(d*Sec[e + f*x])^(2*n)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1 - n))/(f*(2 + 3*n + n^2)) + (I*a*(d*Sec[e + f*x])^(2*n)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(2 - n))/(f*(2 + n)) + (8*I*a^3*(d*Sec[e + f*x])^(2*n))/((a + I*a*Tan[e + f*x])^n*(f*n*(2 + 3*n + n^2)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, (b*Sec[c + d*x]^6)/(6*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (2*a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 4, (3*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (b*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, (b*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (b*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, (b*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 2, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b*Sec[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 2, -((b*Cos[c + d*x])/d) + (a*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, (a*x)/2 - (b*Cos[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, -((b*Cos[c + d*x]^3)/(3*d)) + (a*Sin[c + d*x])/d - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 4, (3*a*x)/8 - (b*Cos[c + d*x]^4)/(4*d) + (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^8*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (a*b*Sec[c + d*x]^8)/(4*d) + (a^2*Tan[c + d*x])/d + ((3*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*(a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + ((a^2 + 3*b^2)*Tan[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (a*b*Sec[c + d*x]^6)/(3*d) + (a^2*Tan[c + d*x])/d + ((2*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + ((a^2 + 2*b^2)*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, ((a^2 + b^2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*b^3*d) - (a*(a + b*Tan[c + d*x])^4)/(2*b^3*d) + (a + b*Tan[c + d*x])^5/(5*b^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 2, (a + b*Tan[c + d*x])^3/(3*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (1/2)*(a^2 + b^2)*x - (Cos[c + d*x]^2*(b - a*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x]))/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (1/8)*(3*a^2 + b^2)*x - (Cos[c + d*x]^4*(b - a*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x]))/(4*d) - (Cos[c + d*x]^2*(2*a*b - (3*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]))/(8*d)}
+
+{Sec[c + d*x]^7*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, (5*(8*a^2 - b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*d) + (9*a*b*Sec[c + d*x]^7)/(56*d) + (5*(8*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(128*d) + (5*(8*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(192*d) + ((8*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(48*d) + (b*Sec[c + d*x]^7*(a + b*Tan[c + d*x]))/(8*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 5, ((6*a^2 - b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (7*a*b*Sec[c + d*x]^5)/(30*d) + ((6*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + ((6*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(24*d) + (b*Sec[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x]))/(6*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 4, ((4*a^2 - b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (5*a*b*Sec[c + d*x]^3)/(12*d) + ((4*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b*Sec[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x]))/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, ((2*a^2 - b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (3*a*b*Sec[c + d*x])/(2*d) + (b*Sec[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x]))/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 1, (b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (2*a*b*Cos[c + d*x])/d + ((a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 4, -((a*b*Cos[c + d*x]^3)/(6*d)) + ((2*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((2*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(6*d) - (b*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x]))/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 4, -((3*a*b*Cos[c + d*x]^5)/(20*d)) + ((4*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/(4*d) - ((4*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(6*d) + ((4*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x]^5)/(20*d) - (b*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x]))/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 4, -((5*a*b*Cos[c + d*x]^7)/(42*d)) + ((6*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/(6*d) - ((6*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(6*d) + ((6*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x]^5)/(10*d) - ((6*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x]^7)/(42*d) - (b*Cos[c + d*x]^7*(a + b*Tan[c + d*x]))/(6*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^8*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (3*a^2*b*Sec[c + d*x]^8)/(8*d) + (a^3*Tan[c + d*x])/d + (a*(a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^3)/d + (b^3*Tan[c + d*x]^4)/(4*d) + (3*a*(a^2 + 3*b^2)*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^3*Tan[c + d*x]^6)/(2*d) + (a*(a^2 + 9*b^2)*Tan[c + d*x]^7)/(7*d) + (3*b^3*Tan[c + d*x]^8)/(8*d) + (a*b^2*Tan[c + d*x]^9)/(3*d) + (b^3*Tan[c + d*x]^10)/(10*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 3, ((a^2 + b^2)^2*(a + b*Tan[c + d*x])^4)/(4*b^5*d) - (4*a*(a^2 + b^2)*(a + b*Tan[c + d*x])^5)/(5*b^5*d) + ((3*a^2 + b^2)*(a + b*Tan[c + d*x])^6)/(3*b^5*d) - (4*a*(a + b*Tan[c + d*x])^7)/(7*b^5*d) + (a + b*Tan[c + d*x])^8/(8*b^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 3, ((a^2 + b^2)*(a + b*Tan[c + d*x])^4)/(4*b^3*d) - (2*a*(a + b*Tan[c + d*x])^5)/(5*b^3*d) + (a + b*Tan[c + d*x])^6/(6*b^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 2, (a + b*Tan[c + d*x])^4/(4*b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 6, (1/2)*a*(a^2 + 3*b^2)*x - (b^3*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a*b^2*Tan[c + d*x])/(2*d) - (Cos[c + d*x]^2*(b - a*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (3/8)*a*(a^2 + b^2)*x - (3*a*Cos[c + d*x]^2*(b - a*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x]))/(8*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(4*d)}
+
+{Sec[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 6, (3*a*(2*a^2 - b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (3*a*(2*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (a*(2*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b*Sec[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(7*d) + (b*Sec[c + d*x]^5*(4*(8*a^2 - b^2) + 15*a*b*Tan[c + d*x]))/(70*d), (3*a*(2*a^2 - b^2)*ArcSinh[Tan[c + d*x]]*Sec[c + d*x])/(16*d*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]) + (3*a*(2*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (a*(2*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b*Sec[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(7*d) + (b*Sec[c + d*x]^5*(4*(8*a^2 - b^2) + 15*a*b*Tan[c + d*x]))/(70*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 5, (a*(4*a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(4*a^2 - 3*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b*Sec[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(5*d) + (b*Sec[c + d*x]^3*(8*(6*a^2 - b^2) + 21*a*b*Tan[c + d*x]))/(60*d), (a*(4*a^2 - 3*b^2)*ArcSinh[Tan[c + d*x]]*Sec[c + d*x])/(8*d*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]) + (a*(4*a^2 - 3*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b*Sec[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(5*d) + (b*Sec[c + d*x]^3*(8*(6*a^2 - b^2) + 21*a*b*Tan[c + d*x]))/(60*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (a*(2*a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (b*Sec[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(3*d) + (b*Sec[c + d*x]*(4*(4*a^2 - b^2) + 5*a*b*Tan[c + d*x]))/(6*d), (a*(2*a^2 - 3*b^2)*ArcSinh[Tan[c + d*x]]*Sec[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]) + (b*Sec[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(3*d) + (b*Sec[c + d*x]*(4*(4*a^2 - b^2) + 5*a*b*Tan[c + d*x]))/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (3*a*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (Cos[c + d*x]*(b - a*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/d - (b*Sec[c + d*x]*(2*(a^2 - b^2) + a*b*Tan[c + d*x]))/d, (3*a*b^2*ArcSinh[Tan[c + d*x]]*Cos[c + d*x]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])/d - (Cos[c + d*x]*(b - a*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/d - (b*Sec[c + d*x]*(2*(a^2 - b^2) + a*b*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 3, -((2*(a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]*(b - a*Tan[c + d*x]))/(3*d)) - (Cos[c + d*x]^3*(b - a*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, -((2*(4*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x]*(b - a*Tan[c + d*x]))/(15*d)) - (Cos[c + d*x]^3*(b - 4*a*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(15*d) + (Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 5, (8*a*(2*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/(35*d) - (3*Cos[c + d*x]^5*(b - 2*a*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(35*d) + (Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(7*d) - (2*Cos[c + d*x]^3*(b*(6*a^2 + b^2) - a*(4*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]))/(35*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^6/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, ((a^2 + b^2)^2*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^5*d) - (a*(a^2 + 2*b^2)*Tan[c + d*x])/(b^4*d) + ((a^2 + 2*b^2)*Tan[c + d*x]^2)/(2*b^3*d) - (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*b^2*d) + Tan[c + d*x]^4/(4*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, ((a^2 + b^2)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^3*d) - (a*Tan[c + d*x])/(b^2*d) + Tan[c + d*x]^2/(2*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 2, Log[a + b*Tan[c + d*x]]/(b*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 7, (a*(a^2 + 3*b^2)*x)/(2*(a^2 + b^2)^2) + (b^3*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) + (Cos[c + d*x]^2*(b + a*Tan[c + d*x]))/(2*(a^2 + b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 8, (a*(3*a^4 + 10*a^2*b^2 + 15*b^4)*x)/(8*(a^2 + b^2)^3) + (b^5*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) + (Cos[c + d*x]^4*(b + a*Tan[c + d*x]))/(4*(a^2 + b^2)*d) + (Cos[c + d*x]^2*(4*b^3 + a*(3*a^2 + 7*b^2)*Tan[c + d*x]))/(8*(a^2 + b^2)^2*d)}
+
+{Sec[c + d*x]^5/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 9, -((a*(2*a^2 + 3*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^4*d)) - ((a^2 + b^2)^(3/2)*ArcTanh[(Cos[c + d*x]*(b - a*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^4*d) + ((a^2 + b^2)*Sec[c + d*x])/(b^3*d) + Sec[c + d*x]^3/(3*b*d) - (a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^2*d), -((a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^2*d)) - (a*(a^2 + b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^4*d) - ((a^2 + b^2)^(3/2)*ArcTanh[(Cos[c + d*x]*(b - a*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^4*d) + ((a^2 + b^2)*Sec[c + d*x])/(b^3*d) + Sec[c + d*x]^3/(3*b*d) - (a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 5, -((a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^2*d)) - (Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(Cos[c + d*x]*(b - a*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^2*d) + Sec[c + d*x]/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 2, -(ArcTanh[(Cos[c + d*x]*(b - a*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a^2 + b^2]]/(Sqrt[a^2 + b^2]*d))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 5, -((b^2*ArcTanh[(Cos[c + d*x]*(b - a*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d)) + (b*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d) + (a*Sin[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 9, -((b^4*ArcTanh[(Cos[c + d*x]*(b - a*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(5/2)*d)) + (b^3*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)^2*d) + (b*Cos[c + d*x]^3)/(3*(a^2 + b^2)*d) + (a*b^2*Sin[c + d*x])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a*Sin[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d) - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*(a^2 + b^2)*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^8/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -((6*a*(a^2 + b^2)^2*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^7*d)) + ((5*a^4 + 9*a^2*b^2 + 3*b^4)*Tan[c + d*x])/(b^6*d) - (a*(2*a^2 + 3*b^2)*Tan[c + d*x]^2)/(b^5*d) + ((a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(b^4*d) - (a*Tan[c + d*x]^4)/(2*b^3*d) + Tan[c + d*x]^5/(5*b^2*d) - (a^2 + b^2)^3/(b^7*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^6/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -((4*a*(a^2 + b^2)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^5*d)) + ((3*a^2 + 2*b^2)*Tan[c + d*x])/(b^4*d) - (a*Tan[c + d*x]^2)/(b^3*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*b^2*d) - (a^2 + b^2)^2/(b^5*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -((2*a*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^3*d)) + Tan[c + d*x]/(b^2*d) - (a^2 + b^2)/(b^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 2, -(1/(b*d*(a + b*Tan[c + d*x])))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 7, ((a^4 + 6*a^2*b^2 - 3*b^4)*x)/(2*(a^2 + b^2)^3) + (4*a*b^3*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) + (b*(a^2 - 3*b^2))/(2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])) + (Cos[c + d*x]^2*(b + a*Tan[c + d*x]))/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 8, (3*(a^6 + 5*a^4*b^2 + 15*a^2*b^4 - 5*b^6)*x)/(8*(a^2 + b^2)^4) + (6*a*b^5*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^4*d) + (3*b*(a^2 - b^2)*(a^2 + 5*b^2))/(8*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x])) + (Cos[c + d*x]^4*(b + a*Tan[c + d*x]))/(4*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^2*(b*(a^2 - 5*b^2) - 3*a*(a^2 + 3*b^2)*Tan[c + d*x]))/(8*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+
+{Sec[c + d*x]^7/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 8, (5*(8*a^4 + 12*a^2*b^2 + 3*b^4)*ArcSinh[Tan[c + d*x]]*Sec[c + d*x])/(8*b^6*d*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]) + (5*a*(a^2 + b^2)^(3/2)*ArcTanh[(b - a*Tan[c + d*x])/(Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])]*Sec[c + d*x])/(b^6*d*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]) - (5*Sec[c + d*x]^3*(4*a - 3*b*Tan[c + d*x]))/(12*b^3*d) - Sec[c + d*x]^5/(b*d*(a + b*Tan[c + d*x])) - (5*Sec[c + d*x]*(8*a*(a^2 + b^2) - b*(4*a^2 + 3*b^2)*Tan[c + d*x]))/(8*b^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 7, (3*(2*a^2 + b^2)*ArcSinh[Tan[c + d*x]]*Sec[c + d*x])/(2*b^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]) + (3*a*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b - a*Tan[c + d*x])/(Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])]*Sec[c + d*x])/(b^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]) - (3*Sec[c + d*x]*(2*a - b*Tan[c + d*x]))/(2*b^3*d) - Sec[c + d*x]^3/(b*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(b^2*d) + (a*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - Sec[c + d*x]/(b*d*(a + b*Tan[c + d*x])), (ArcSinh[Tan[c + d*x]]*Sec[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]) + (a*ArcTanh[(b - a*Tan[c + d*x])/(Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])]*Sec[c + d*x])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]) - Sec[c + d*x]/(b*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 4, -((a*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d)) - (b*Sec[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])), -((a*ArcTanh[(b - a*Tan[c + d*x])/(Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])]*Sec[c + d*x])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])) - (b*Sec[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 5, -((3*a*b^2*ArcTanh[(b - a*Tan[c + d*x])/(Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])]*Cos[c + d*x]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])/((a^2 + b^2)^(5/2)*d)) + (b*(a^2 - 2*b^2)*Sec[c + d*x])/((a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])) + (Cos[c + d*x]*(b + a*Tan[c + d*x]))/((a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, -((5*a*b^4*ArcTanh[(b - a*Tan[c + d*x])/(Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])]*Cos[c + d*x]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])/((a^2 + b^2)^(7/2)*d)) + (b*(2*a^4 + 9*a^2*b^2 - 8*b^4)*Sec[c + d*x])/(3*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x])) + (Cos[c + d*x]^3*(b + a*Tan[c + d*x]))/(3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]*(b*(a^2 - 4*b^2) - a*(2*a^2 + 7*b^2)*Tan[c + d*x]))/(3*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^8/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 3, (3*(a^2 + b^2)*(5*a^2 + b^2)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^7*d) - (a*(10*a^2 + 9*b^2)*Tan[c + d*x])/(b^6*d) + (3*(2*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/(2*b^5*d) - (a*Tan[c + d*x]^3)/(b^4*d) + Tan[c + d*x]^4/(4*b^3*d) - (a^2 + b^2)^3/(2*b^7*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (6*a*(a^2 + b^2)^2)/(b^7*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^6/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 3, (2*(3*a^2 + b^2)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^5*d) - (3*a*Tan[c + d*x])/(b^4*d) + Tan[c + d*x]^2/(2*b^3*d) - (a^2 + b^2)^2/(2*b^5*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (4*a*(a^2 + b^2))/(b^5*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 3, Log[a + b*Tan[c + d*x]]/(b^3*d) - (a^2 + b^2)/(2*b^3*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (2*a)/(b^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 2, -(1/(2*b*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 7, (a*(a^4 + 10*a^2*b^2 - 15*b^4)*x)/(2*(a^2 + b^2)^4) + (2*b^3*(5*a^2 - b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^4*d) + (b*(a^2 - 2*b^2))/(2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (Cos[c + d*x]^2*(b + a*Tan[c + d*x]))/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (a*b*(a^2 - 11*b^2))/(2*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 8, (3*a*(a^6 + 7*a^4*b^2 + 35*a^2*b^4 - 35*b^6)*x)/(8*(a^2 + b^2)^5) + (3*b^5*(7*a^2 - b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^5*d) + (3*b*(a^4 + 5*a^2*b^2 - 4*b^4))/(8*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (Cos[c + d*x]^4*(b + a*Tan[c + d*x]))/(4*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (3*a*b*(a^4 + 6*a^2*b^2 - 27*b^4))/(8*(a^2 + b^2)^4*d*(a + b*Tan[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^2*(2*b*(a^2 - 3*b^2) - a*(3*a^2 + 11*b^2)*Tan[c + d*x]))/(8*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2)}
+
+{Sec[c + d*x]^7/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 8, -((5*a*(4*a^2 + 3*b^2)*ArcSinh[Tan[c + d*x]]*Sec[c + d*x])/(2*b^6*d*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])) - (5*Sqrt[a^2 + b^2]*(4*a^2 + b^2)*ArcTanh[(b - a*Tan[c + d*x])/(Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])]*Sec[c + d*x])/(2*b^6*d*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]) - Sec[c + d*x]^5/(2*b*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (5*Sec[c + d*x]^3*(4*a + b*Tan[c + d*x]))/(6*b^3*d*(a + b*Tan[c + d*x])) + (5*Sec[c + d*x]*(4*a^2 + b^2 - 2*a*b*Tan[c + d*x]))/(2*b^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 7, -((3*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^4*d)) - (3*(2*a^2 + b^2)*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(2*b^4*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - Sec[c + d*x]^3/(2*b*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (3*Sec[c + d*x]*(2*a + b*Tan[c + d*x]))/(2*b^3*d*(a + b*Tan[c + d*x])), -((3*a*ArcSinh[Tan[c + d*x]]*Sec[c + d*x])/(b^4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])) - (3*(2*a^2 + b^2)*ArcTanh[(b - a*Tan[c + d*x])/(Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])]*Sec[c + d*x])/(2*b^4*Sqrt[a^2 + b^2]*d*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]) - Sec[c + d*x]^3/(2*b*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (3*Sec[c + d*x]*(2*a + b*Tan[c + d*x]))/(2*b^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, -(ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]]/(2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d)) - (Sec[c + d*x]*(b - a*Tan[c + d*x]))/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2), -((ArcTanh[(b - a*Tan[c + d*x])/(Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])]*Sec[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])) - (Sec[c + d*x]*(b - a*Tan[c + d*x]))/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 5, -(((2*a^2 - b^2)*ArcTanh[(b - a*Tan[c + d*x])/(Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])]*Sec[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)^(5/2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])) - (b*Sec[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (3*a*b*Sec[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 6, -((3*b^2*(4*a^2 - b^2)*ArcTanh[(b - a*Tan[c + d*x])/(Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])]*Cos[c + d*x]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])/(2*(a^2 + b^2)^(7/2)*d)) + (b*(2*a^2 - 3*b^2)*Sec[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (Cos[c + d*x]*(b + a*Tan[c + d*x]))/((a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (a*b*(2*a^2 - 13*b^2)*Sec[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 7, -((5*b^4*(6*a^2 - b^2)*ArcTanh[(b - a*Tan[c + d*x])/(Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])]*Cos[c + d*x]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])/(2*(a^2 + b^2)^(9/2)*d)) + (b*(4*a^4 + 24*a^2*b^2 - 15*b^4)*Sec[c + d*x])/(6*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (Cos[c + d*x]^3*(b + a*Tan[c + d*x]))/(3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (a*b*(4*a^4 + 28*a^2*b^2 - 81*b^4)*Sec[c + d*x])/(6*(a^2 + b^2)^4*d*(a + b*Tan[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]*(b*(2*a^2 - 5*b^2) - a*(2*a^2 + 9*b^2)*Tan[c + d*x]))/(3*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(m/2) (a+b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(7/2)*(a + b*Tan[e + f*x]), x, 5, -((6*a*d^4*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])) + (2*b*(d*Sec[e + f*x])^(7/2))/(7*f) + (6*a*d^3*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(5*f) + (2*a*d*(d*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sin[e + f*x])/(5*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(5/2)*(a + b*Tan[e + f*x]), x, 4, (2*a*d^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(3*f) + (2*b*(d*Sec[e + f*x])^(5/2))/(5*f) + (2*a*d*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x])/(3*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Tan[e + f*x]), x, 4, (-2*a*d^2*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (2*b*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (2*a*d*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/f}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/2)*(a + b*Tan[e + f*x]), x, 3, (2*b*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/f + (2*a*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/f}
+{(a + b*Tan[e + f*x])/(d*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 3, (-2*b)/(f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (2*a*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])/(d*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 4, (-2*b)/(3*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (2*a*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(3*d^2*f) + (2*a*Sin[e + f*x])/(3*d*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])/(d*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 4, (-2*b)/(5*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (6*a*EllipticE[(e + f*x)/2, 2])/(5*d^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (2*a*Sin[e + f*x])/(5*d*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])/(d*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 5, (-2*b)/(7*f*(d*Sec[e + f*x])^(7/2)) + (10*a*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(e + f*x)/2, 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(21*d^4*f) + (2*a*Sin[e + f*x])/(7*d*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (10*a*Sin[e + f*x])/(21*d^3*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])}
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(5/2)*(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 5, (2*(7*a^2 - 2*b^2)*d^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(21*f) + (18*a*b*(d*Sec[e + f*x])^(5/2))/(35*f) + (2*(7*a^2 - 2*b^2)*d*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x])/(21*f) + (2*b*(d*Sec[e + f*x])^(5/2)*(a + b*Tan[e + f*x]))/(7*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 5, -((2*(5*a^2 - 2*b^2)*d^2*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])) + (14*a*b*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(15*f) + (2*(5*a^2 - 2*b^2)*d*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(5*f) + (2*b*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Tan[e + f*x]))/(5*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/2)*(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 4, (10*a*b*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(3*f) + (2*(3*a^2 - 2*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(3*f) + (2*b*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(a + b*Tan[e + f*x]))/(3*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2/(d*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 4, -((6*a*b)/(f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])) + (2*(a^2 - 2*b^2)*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (2*b*(a + b*Tan[e + f*x]))/(f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2/(d*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 5, (2*a*b)/(3*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (2*(a^2 + 2*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(3*d^2*f) + (2*(a^2 + 2*b^2)*Sin[e + f*x])/(3*d*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (2*b*(a + b*Tan[e + f*x]))/(f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2/(d*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 5, -((2*a*b)/(15*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/2))) + (2*(3*a^2 + 2*b^2)*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(5*d^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (2*(3*a^2 + 2*b^2)*Sin[e + f*x])/(15*d*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (2*b*(a + b*Tan[e + f*x]))/(3*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2/(d*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 6, -((6*a*b)/(35*f*(d*Sec[e + f*x])^(7/2))) + (2*(5*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(21*d^4*f) + (2*(5*a^2 + 2*b^2)*Sin[e + f*x])/(35*d*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (2*(5*a^2 + 2*b^2)*Sin[e + f*x])/(21*d^3*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (2*b*(a + b*Tan[e + f*x]))/(5*f*(d*Sec[e + f*x])^(7/2))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2/(d*Sec[e + f*x])^(9/2), x, 6, -((10*a*b)/(63*f*(d*Sec[e + f*x])^(9/2))) + (2*(7*a^2 + 2*b^2)*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), 2])/(15*d^4*f*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (2*(7*a^2 + 2*b^2)*Sin[e + f*x])/(63*d*f*(d*Sec[e + f*x])^(7/2)) + (2*(7*a^2 + 2*b^2)*Sin[e + f*x])/(45*d^3*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (2*b*(a + b*Tan[e + f*x]))/(7*f*(d*Sec[e + f*x])^(9/2))}
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(5/2)*(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 5, (2*a*(7*a^2 - 6*b^2)*d^2*EllipticF[(1/2)*ArcTan[Tan[e + f*x]], 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(21*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) + (2*a*(7*a^2 - 6*b^2)*d^2*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(21*f) + (2*b*d^2*Sec[e + f*x]^2*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(9*f) + (2*b*d^2*Sec[e + f*x]^2*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(14*(11*a^2 - 2*b^2) + 65*a*b*Tan[e + f*x]))/(315*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 5, (-2*a*(5*a^2 - 6*b^2)*EllipticE[ArcTan[Tan[e + f*x]]/2, 2]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(5*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) + (2*a*(5*a^2 - 6*b^2)*Cos[e + f*x]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x])/(5*f) + (2*b*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(7*f) + (2*b*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(10*(9*a^2 - 2*b^2) + 33*a*b*Tan[e + f*x]))/(105*f)}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/2)*(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 4, (2*a*(a^2 - 2*b^2)*EllipticF[ArcTan[Tan[e + f*x]]/2, 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) + (2*b*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(5*f) + (2*b*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(2*(7*a^2 - 2*b^2) + 3*a*b*Tan[e + f*x]))/(5*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3/(d*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 5, (2*a*(a^2 - 6*b^2)*EllipticE[ArcTan[Tan[e + f*x]]/2, 2]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (2*a*(a^2 - 6*b^2)*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (2*(b - a*Tan[e + f*x])*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (2*b*Sec[e + f*x]^2*(2*(3*a^2 - 2*b^2) + 3*a*b*Tan[e + f*x]))/(3*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3/(d*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 4, (2*a*(a^2 + 6*b^2)*EllipticF[ArcTan[Tan[e + f*x]]/2, 2]*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4))/(3*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (2*(b - a*Tan[e + f*x])*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(3*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (2*b*Sec[e + f*x]^2*(2*(a^2 - 2*b^2) + a*b*Tan[e + f*x]))/(3*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3/(d*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 5, (6*a*(a^2 + 2*b^2)*EllipticE[(1/2)*ArcTan[Tan[e + f*x]], 2]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(5*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (6*a*(a^2 + 2*b^2)*Tan[e + f*x])/(5*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (2*Cos[e + f*x]^2*(b - a*Tan[e + f*x])*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(5*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (2*(2*b*(a^2 + 2*b^2) - a*(3*a^2 + 5*b^2)*Tan[e + f*x]))/(5*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3/(d*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 4, (2*a*(5*a^2 + 6*b^2)*EllipticF[(1/2)*ArcTan[Tan[e + f*x]], 2]*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4))/(21*d^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (2*Cos[e + f*x]^2*(b - a*Tan[e + f*x])*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(7*d^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (2*(2*b*(3*a^2 + 2*b^2) - a*(5*a^2 + 3*b^2)*Tan[e + f*x]))/(21*d^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3/(d*Sec[e + f*x])^(9/2), x, 4, (2*a*(7*a^2 + 6*b^2)*EllipticE[(1/2)*ArcTan[Tan[e + f*x]], 2]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(15*d^4*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (2*Cos[e + f*x]^4*(b - a*Tan[e + f*x])*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(9*d^4*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (2*Cos[e + f*x]^2*(2*b*(5*a^2 + 2*b^2) - a*(7*a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]))/(45*d^4*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3/(d*Sec[e + f*x])^(11/2), x, 5, (10*a*(3*a^2 + 2*b^2)*EllipticF[(1/2)*ArcTan[Tan[e + f*x]], 2]*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4))/(77*d^4*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (10*a*(3*a^2 + 2*b^2)*Tan[e + f*x])/(77*d^4*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (2*Cos[e + f*x]^4*(b - a*Tan[e + f*x])*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(11*d^4*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (2*Cos[e + f*x]^2*(2*b*(7*a^2 + 2*b^2) - a*(9*a^2 - b^2)*Tan[e + f*x]))/(77*d^4*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(7/2)/(a + b*Tan[e + f*x]), x, 17, (2*d^2*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*b*f) + ((a^2 + b^2)^(3/4)*d^2*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(b^(5/2)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) - ((a^2 + b^2)^(3/4)*d^2*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(b^(5/2)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) + (2*a*d^2*EllipticE[(1/2)*ArcTan[Tan[e + f*x]], 2]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(b^2*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) - (2*a*d^2*Cos[e + f*x]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x])/(b^2*f) - (a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(b^3*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) + (a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(b^3*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Tan[e + f*x]), x, 17, (2*d^2*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(b*f) - ((a^2 + b^2)^(1/4)*d^2*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(b^(3/2)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) - ((a^2 + b^2)^(1/4)*d^2*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(b^(3/2)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) - (2*a*d^2*EllipticF[(1/2)*ArcTan[Tan[e + f*x]], 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(b^2*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) + (a*d^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(b^2*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) + (a*d^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(b^2*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Tan[e + f*x]), x, 13, (ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^(1/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) - (ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^(1/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) - (a*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) + (a*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/2)/(a + b*Tan[e + f*x]), x, 14, -((Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^(3/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))) - (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^(3/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) + (a*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/((a^2 + b^2)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) + (a*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/((a^2 + b^2)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(1/2)*(a + b*Tan[e + f*x])), x, 17, (b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/((a^2 + b^2)^(5/4)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/((a^2 + b^2)^(5/4)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (2*a*EllipticE[ArcTan[Tan[e + f*x]]/2, 2]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/((a^2 + b^2)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (2*a*Tan[e + f*x])/((a^2 + b^2)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (a*b*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/((a^2 + b^2)^(3/2)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (a*b*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/((a^2 + b^2)^(3/2)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (2*(b + a*Tan[e + f*x]))/((a^2 + b^2)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Tan[e + f*x])), x, 17, -((b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4))/((a^2 + b^2)^(7/4)*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))) - (b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4))/((a^2 + b^2)^(7/4)*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (2*a*EllipticF[ArcTan[Tan[e + f*x]]/2, 2]*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4))/(3*(a^2 + b^2)*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (a*b^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/((a^2 + b^2)^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (a*b^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/((a^2 + b^2)^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (2*(b + a*Tan[e + f*x]))/(3*(a^2 + b^2)*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(5/2)*(a + b*Tan[e + f*x])), x, 18, (b^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/((a^2 + b^2)^(9/4)*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (b^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/((a^2 + b^2)^(9/4)*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (2*a*(3*a^2 + 8*b^2)*EllipticE[(1/2)*ArcTan[Tan[e + f*x]], 2]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(5*(a^2 + b^2)^2*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (2*a*(3*a^2 + 8*b^2)*Tan[e + f*x])/(5*(a^2 + b^2)^2*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (a*b^3*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/((a^2 + b^2)^(5/2)*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (a*b^3*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/((a^2 + b^2)^(5/2)*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (2*Cos[e + f*x]^2*(b + a*Tan[e + f*x]))/(5*(a^2 + b^2)*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (2*(5*b^3 + a*(3*a^2 + 8*b^2)*Tan[e + f*x]))/(5*(a^2 + b^2)^2*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])}
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(7/2)/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 17, -((3*a*d^2*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(2*b^(5/2)*(a^2 + b^2)^(1/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4))) + (3*a*d^2*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(2*b^(5/2)*(a^2 + b^2)^(1/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) - (3*d^2*EllipticE[(1/2)*ArcTan[Tan[e + f*x]], 2]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(b^2*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) + (3*d^2*Cos[e + f*x]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x])/(b^2*f) + (3*a^2*d^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(2*b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) - (3*a^2*d^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(2*b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) - (d^2*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(b*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 17, (a*d^2*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(2*b^(3/2)*(a^2 + b^2)^(3/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) + (a*d^2*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(2*b^(3/2)*(a^2 + b^2)^(3/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) + (d^2*EllipticF[(1/2)*ArcTan[Tan[e + f*x]], 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(b^2*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) - (a^2*d^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(2*b^2*(a^2 + b^2)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) - (a^2*d^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(2*b^2*(a^2 + b^2)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) - (d^2*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(b*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 17, (a*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(2*Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^(5/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) - (a*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(2*Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^(5/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) - (EllipticE[ArcTan[Tan[e + f*x]]/2, 2]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/((a^2 + b^2)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) + (Cos[e + f*x]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x])/((a^2 + b^2)*f) - (a^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(2*b*(a^2 + b^2)^(3/2)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) + (a^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(2*b*(a^2 + b^2)^(3/2)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) - (b*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/((a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/2)/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 17, (-3*a*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(2*(a^2 + b^2)^(7/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) - (3*a*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(2*(a^2 + b^2)^(7/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) - (EllipticF[ArcTan[Tan[e + f*x]]/2, 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) + (3*a^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(2*(a^2 + b^2)^2*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) + (3*a^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(2*(a^2 + b^2)^2*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) - (b*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(1/2)*(a + b*Tan[e + f*x])^2), x, 18, (5*a*b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(2*(a^2 + b^2)^(9/4)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (5*a*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(2*(a^2 + b^2)^(9/4)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + ((2*a^2 - 3*b^2)*EllipticE[ArcTan[Tan[e + f*x]]/2, 2]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/((a^2 + b^2)^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - ((2*a^2 - 3*b^2)*Tan[e + f*x])/((a^2 + b^2)^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (5*a^2*b*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(2*(a^2 + b^2)^(5/2)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (5*a^2*b*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(2*(a^2 + b^2)^(5/2)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (b*(2*a^2 - 3*b^2)*Sec[e + f*x]^2)/((a^2 + b^2)^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(a + b*Tan[e + f*x])) + (2*(b + a*Tan[e + f*x]))/((a^2 + b^2)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Tan[e + f*x])^2), x, 18, (-7*a*b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4))/(2*(a^2 + b^2)^(11/4)*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (7*a*b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4))/(2*(a^2 + b^2)^(11/4)*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) + ((2*a^2 - 5*b^2)*EllipticF[ArcTan[Tan[e + f*x]]/2, 2]*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4))/(3*(a^2 + b^2)^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (7*a^2*b^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(2*(a^2 + b^2)^3*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (7*a^2*b^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(2*(a^2 + b^2)^3*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (b*(2*a^2 - 5*b^2)*Sec[e + f*x]^2)/(3*(a^2 + b^2)^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Tan[e + f*x])) + (2*(b + a*Tan[e + f*x]))/(3*(a^2 + b^2)*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(5/2)*(a + b*Tan[e + f*x])^2), x, 19, (9*a*b^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(2*(a^2 + b^2)^(13/4)*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (9*a*b^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(2*(a^2 + b^2)^(13/4)*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (3*(2*a^4 + 10*a^2*b^2 - 7*b^4)*EllipticE[(1/2)*ArcTan[Tan[e + f*x]], 2]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(5*(a^2 + b^2)^3*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (3*(2*a^4 + 10*a^2*b^2 - 7*b^4)*Tan[e + f*x])/(5*(a^2 + b^2)^3*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (9*a^2*b^3*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(2*(a^2 + b^2)^(7/2)*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (9*a^2*b^3*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(2*(a^2 + b^2)^(7/2)*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (3*b*(2*a^4 + 10*a^2*b^2 - 7*b^4)*Sec[e + f*x]^2)/(5*(a^2 + b^2)^3*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(a + b*Tan[e + f*x])) + (2*Cos[e + f*x]^2*(b + a*Tan[e + f*x]))/(5*(a^2 + b^2)*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(a + b*Tan[e + f*x])) - (2*(b*(2*a^2 - 7*b^2) - 3*a*(a^2 + 4*b^2)*Tan[e + f*x]))/(5*(a^2 + b^2)^2*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(7/2)/(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 18, (3*(a^2 + 2*b^2)*d^2*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(8*b^(5/2)*(a^2 + b^2)^(5/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) - (3*(a^2 + 2*b^2)*d^2*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(8*b^(5/2)*(a^2 + b^2)^(5/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) + (3*a*d^2*EllipticE[(1/2)*ArcTan[Tan[e + f*x]], 2]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(4*b^2*(a^2 + b^2)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) - (3*a*d^2*Cos[e + f*x]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x])/(4*b^2*(a^2 + b^2)*f) - (3*a*(a^2 + 2*b^2)*d^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(8*b^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) + (3*a*(a^2 + 2*b^2)*d^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(8*b^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) - (d^2*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(2*b*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2) + (3*a*d^2*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(4*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 18, ((a^2 - 2*b^2)*d^2*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(8*b^(3/2)*(a^2 + b^2)^(7/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) + ((a^2 - 2*b^2)*d^2*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(8*b^(3/2)*(a^2 + b^2)^(7/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) + (a*d^2*EllipticF[(1/2)*ArcTan[Tan[e + f*x]], 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(4*b^2*(a^2 + b^2)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) - (a*(a^2 - 2*b^2)*d^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(8*b^2*(a^2 + b^2)^2*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) - (a*(a^2 - 2*b^2)*d^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(8*b^2*(a^2 + b^2)^2*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) - (d^2*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(2*b*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2) + (a*d^2*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(4*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 18, ((3*a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(8*Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^(9/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) - ((3*a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(8*Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^(9/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) - (5*a*EllipticE[ArcTan[Tan[e + f*x]]/2, 2]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(4*(a^2 + b^2)^2*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) + (5*a*Cos[e + f*x]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sin[e + f*x])/(4*(a^2 + b^2)^2*f) - (a*(3*a^2 - 2*b^2)*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(8*b*(a^2 + b^2)^(5/2)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) + (a*(3*a^2 - 2*b^2)*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(8*b*(a^2 + b^2)^(5/2)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)) - (b*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(2*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2) - (5*a*b*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))/(4*(a^2 + b^2)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/2)/(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 18, (-3*Sqrt[b]*(5*a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(8*(a^2 + b^2)^(11/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) - (3*Sqrt[b]*(5*a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(8*(a^2 + b^2)^(11/4)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) - (7*a*EllipticF[ArcTan[Tan[e + f*x]]/2, 2]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(4*(a^2 + b^2)^2*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) + (3*a*(5*a^2 - 2*b^2)*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(8*(a^2 + b^2)^3*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) + (3*a*(5*a^2 - 2*b^2)*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(8*(a^2 + b^2)^3*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)) - (b*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(2*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2) - (7*a*b*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])/(4*(a^2 + b^2)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(1/2)*(a + b*Tan[e + f*x])^3), x, 19, (5*b^(3/2)*(7*a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(8*(a^2 + b^2)^(13/4)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (5*b^(3/2)*(7*a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(8*(a^2 + b^2)^(13/4)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (a*(8*a^2 - 37*b^2)*EllipticE[ArcTan[Tan[e + f*x]]/2, 2]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(4*(a^2 + b^2)^3*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (a*(8*a^2 - 37*b^2)*Tan[e + f*x])/(4*(a^2 + b^2)^3*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (5*a*b*(7*a^2 - 2*b^2)*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(8*(a^2 + b^2)^(7/2)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (5*a*b*(7*a^2 - 2*b^2)*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(8*(a^2 + b^2)^(7/2)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (b*(4*a^2 - 5*b^2)*Sec[e + f*x]^2)/(2*(a^2 + b^2)^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(a + b*Tan[e + f*x])^2) + (2*(b + a*Tan[e + f*x]))/((a^2 + b^2)*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(a + b*Tan[e + f*x])^2) + (a*b*(8*a^2 - 37*b^2)*Sec[e + f*x]^2)/(4*(a^2 + b^2)^3*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Tan[e + f*x])^3), x, 19, (-7*b^(5/2)*(9*a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4))/(8*(a^2 + b^2)^(15/4)*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (7*b^(5/2)*(9*a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4))/(8*(a^2 + b^2)^(15/4)*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (a*(8*a^2 - 69*b^2)*EllipticF[ArcTan[Tan[e + f*x]]/2, 2]*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4))/(12*(a^2 + b^2)^3*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (7*a*b^2*(9*a^2 - 2*b^2)*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(8*(a^2 + b^2)^4*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (7*a*b^2*(9*a^2 - 2*b^2)*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(Sec[e + f*x]^2)^(3/4)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(8*(a^2 + b^2)^4*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (b*(4*a^2 - 7*b^2)*Sec[e + f*x]^2)/(6*(a^2 + b^2)^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Tan[e + f*x])^2) + (2*(b + a*Tan[e + f*x]))/(3*(a^2 + b^2)*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Tan[e + f*x])^2) + (a*b*(8*a^2 - 69*b^2)*Sec[e + f*x]^2)/(12*(a^2 + b^2)^3*f*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(5/2)*(a + b*Tan[e + f*x])^3), x, 20, (9*b^(7/2)*(11*a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(8*(a^2 + b^2)^(17/4)*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (9*b^(7/2)*(11*a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(a^2 + b^2)^(1/4)]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(8*(a^2 + b^2)^(17/4)*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (3*a*(8*a^4 + 64*a^2*b^2 - 139*b^4)*EllipticE[(1/2)*ArcTan[Tan[e + f*x]], 2]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4))/(20*(a^2 + b^2)^4*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (3*a*(8*a^4 + 64*a^2*b^2 - 139*b^4)*Tan[e + f*x])/(20*(a^2 + b^2)^4*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) - (9*a*b^3*(11*a^2 - 2*b^2)*Cot[e + f*x]*EllipticPi[-(b/Sqrt[a^2 + b^2]), ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(8*(a^2 + b^2)^(9/2)*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (9*a*b^3*(11*a^2 - 2*b^2)*Cot[e + f*x]*EllipticPi[b/Sqrt[a^2 + b^2], ArcSin[(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)], -1]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/4)*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])/(8*(a^2 + b^2)^(9/2)*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]) + (3*b*(4*a^4 + 28*a^2*b^2 - 15*b^4)*Sec[e + f*x]^2)/(10*(a^2 + b^2)^3*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(a + b*Tan[e + f*x])^2) + (2*Cos[e + f*x]^2*(b + a*Tan[e + f*x]))/(5*(a^2 + b^2)*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(a + b*Tan[e + f*x])^2) + (3*a*b*(8*a^4 + 64*a^2*b^2 - 139*b^4)*Sec[e + f*x]^2)/(20*(a^2 + b^2)^4*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(a + b*Tan[e + f*x])) - (2*(b*(4*a^2 - 9*b^2) - a*(3*a^2 + 16*b^2)*Tan[e + f*x]))/(5*(a^2 + b^2)^2*d^2*f*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(a + b*Tan[e + f*x])^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(m/3) (a+b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])*(d*Sec[e + f*x])^(5/3), x, 3, (3*b*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))/(5*f) + (3*a*d*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(2/3)*Sin[e + f*x])/(2*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])*(d*Sec[e + f*x])^(1/3), x, 3, (3*b*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))/f - (3*a*d*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(2*f*(d*Sec[e + f*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])/(d*Sec[e + f*x])^(1/3), x, 3, -((3*b)/(f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))) - (3*a*d*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(4*f*(d*Sec[e + f*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])/(d*Sec[e + f*x])^(5/3), x, 3, -((3*b)/(5*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))) - (3*a*d*Hypergeometric2F1[1/2, 4/3, 7/3, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(8*f*(d*Sec[e + f*x])^(8/3)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2*(d*Sec[e + f*x])^(5/3), x, 4, (33*a*b*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))/(40*f) + (3*(8*a^2 - 3*b^2)*d*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(2/3)*Sin[e + f*x])/(16*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (3*b*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)*(a + b*Tan[e + f*x]))/(8*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2*(d*Sec[e + f*x])^(1/3), x, 4, (21*a*b*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))/(4*f) - (3*(4*a^2 - 3*b^2)*d*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(8*f*(d*Sec[e + f*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (3*b*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)*(a + b*Tan[e + f*x]))/(4*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2/(d*Sec[e + f*x])^(1/3), x, 4, -((15*a*b)/(2*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))) - (3*(2*a^2 - 3*b^2)*d*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(8*f*(d*Sec[e + f*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (3*b*(a + b*Tan[e + f*x]))/(2*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2/(d*Sec[e + f*x])^(5/3), x, 4, (3*a*b)/(10*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)) - (3*(2*a^2 + 3*b^2)*d*Hypergeometric2F1[1/2, 4/3, 7/3, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(16*f*(d*Sec[e + f*x])^(8/3)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (3*b*(a + b*Tan[e + f*x]))/(2*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(5/3)/(a + b*Tan[e + f*x]), x, 16, -((Sqrt[3]*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(1/6))]*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))/(2*b^(2/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6))) + (Sqrt[3]*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(1/6))]*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))/(2*b^(2/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6)) - (ArcTanh[(b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(a^2 + b^2)^(1/6)]*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))/(b^(2/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6)) + (Log[(a^2 + b^2)^(1/3) - b^(1/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6) + b^(2/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/3)]*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))/(4*b^(2/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6)) - (Log[(a^2 + b^2)^(1/3) + b^(1/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6) + b^(2/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/3)]*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))/(4*b^(2/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6)) + (AppellF1[1/2, 1, 1/6, 3/2, (b^2*Tan[e + f*x]^2)/a^2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)*Tan[e + f*x])/(a*f*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/3)/(a + b*Tan[e + f*x]), x, 16, (Sqrt[3]*b^(2/3)*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(1/6))]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))/(2*(a^2 + b^2)^(5/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6)) - (Sqrt[3]*b^(2/3)*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(1/6))]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))/(2*(a^2 + b^2)^(5/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6)) - (b^(2/3)*ArcTanh[(b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(a^2 + b^2)^(1/6)]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))/((a^2 + b^2)^(5/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6)) + (b^(2/3)*Log[(a^2 + b^2)^(1/3) - b^(1/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6) + b^(2/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/3)]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))/(4*(a^2 + b^2)^(5/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6)) - (b^(2/3)*Log[(a^2 + b^2)^(1/3) + b^(1/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6) + b^(2/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/3)]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))/(4*(a^2 + b^2)^(5/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6)) + (AppellF1[1/2, 1, 5/6, 3/2, (b^2*Tan[e + f*x]^2)/a^2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)*Tan[e + f*x])/(a*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(1/3)*(a + b*Tan[e + f*x])), x, 17, (3*b)/((a^2 + b^2)*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)) - (Sqrt[3]*b^(4/3)*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(1/6))]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(2*(a^2 + b^2)^(7/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)) + (Sqrt[3]*b^(4/3)*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(1/6))]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(2*(a^2 + b^2)^(7/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)) - (b^(4/3)*ArcTanh[(b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(a^2 + b^2)^(1/6)]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/((a^2 + b^2)^(7/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)) + (b^(4/3)*Log[(a^2 + b^2)^(1/3) - b^(1/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6) + b^(2/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/3)]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(4*(a^2 + b^2)^(7/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)) - (b^(4/3)*Log[(a^2 + b^2)^(1/3) + b^(1/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6) + b^(2/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/3)]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(4*(a^2 + b^2)^(7/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)) + (AppellF1[1/2, 1, 7/6, 3/2, (b^2*Tan[e + f*x]^2)/a^2, -Tan[e + f*x]^2]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6)*Tan[e + f*x])/(a*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(5/3)*(a + b*Tan[e + f*x])), x, 17, (3*b)/(5*(a^2 + b^2)*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)) + (Sqrt[3]*b^(8/3)*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(1/6))]*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6))/(2*(a^2 + b^2)^(11/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)) - (Sqrt[3]*b^(8/3)*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(1/6))]*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6))/(2*(a^2 + b^2)^(11/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)) - (b^(8/3)*ArcTanh[(b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(a^2 + b^2)^(1/6)]*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6))/((a^2 + b^2)^(11/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)) + (b^(8/3)*Log[(a^2 + b^2)^(1/3) - b^(1/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6) + b^(2/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/3)]*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6))/(4*(a^2 + b^2)^(11/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)) - (b^(8/3)*Log[(a^2 + b^2)^(1/3) + b^(1/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6) + b^(2/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/3)]*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6))/(4*(a^2 + b^2)^(11/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)) + (AppellF1[1/2, 1, 11/6, 3/2, (b^2*Tan[e + f*x]^2)/a^2, -Tan[e + f*x]^2]*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6)*Tan[e + f*x])/(a*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))}
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^(5/3)/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 18, -((a*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(1/6))]*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))/(2*Sqrt[3]*b^(2/3)*(a^2 + b^2)^(7/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6))) + (a*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(1/6))]*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))/(2*Sqrt[3]*b^(2/3)*(a^2 + b^2)^(7/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6)) - (a*ArcTanh[(b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(a^2 + b^2)^(1/6)]*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))/(3*b^(2/3)*(a^2 + b^2)^(7/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6)) + (a*Log[(a^2 + b^2)^(1/3) - b^(1/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6) + b^(2/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/3)]*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))/(12*b^(2/3)*(a^2 + b^2)^(7/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6)) - (a*Log[(a^2 + b^2)^(1/3) + b^(1/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6) + b^(2/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/3)]*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))/(12*b^(2/3)*(a^2 + b^2)^(7/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6)) + (AppellF1[1/2, 2, 1/6, 3/2, (b^2*Tan[e + f*x]^2)/a^2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)*Tan[e + f*x])/(a^2*f*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6)) + (b^2*AppellF1[3/2, 2, 1/6, 5/2, (b^2*Tan[e + f*x]^2)/a^2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)*Tan[e + f*x]^3)/(3*a^4*f*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6)) - (a*b*(d*Sec[e + f*x])^(5/3))/((a^2 + b^2)*f*(a^2 - b^2*Tan[e + f*x]^2))}
+{(d*Sec[e + f*x])^(1/3)/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 18, (5*a*b^(2/3)*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(1/6))]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))/(2*Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(11/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6)) - (5*a*b^(2/3)*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(1/6))]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))/(2*Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(11/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6)) - (5*a*b^(2/3)*ArcTanh[(b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(a^2 + b^2)^(1/6)]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))/(3*(a^2 + b^2)^(11/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6)) + (5*a*b^(2/3)*Log[(a^2 + b^2)^(1/3) - b^(1/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6) + b^(2/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/3)]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))/(12*(a^2 + b^2)^(11/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6)) - (5*a*b^(2/3)*Log[(a^2 + b^2)^(1/3) + b^(1/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6) + b^(2/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/3)]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))/(12*(a^2 + b^2)^(11/6)*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6)) + (AppellF1[1/2, 2, 5/6, 3/2, (b^2*Tan[e + f*x]^2)/a^2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)*Tan[e + f*x])/(a^2*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6)) + (b^2*AppellF1[3/2, 2, 5/6, 5/2, (b^2*Tan[e + f*x]^2)/a^2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)*Tan[e + f*x]^3)/(3*a^4*f*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6)) - (a*b*(d*Sec[e + f*x])^(1/3))/((a^2 + b^2)*f*(a^2 - b^2*Tan[e + f*x]^2))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(1/3)*(a + b*Tan[e + f*x])^2), x, 19, (7*a*b)/((a^2 + b^2)^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)) - (7*a*b^(4/3)*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(1/6))]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(2*Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(13/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)) + (7*a*b^(4/3)*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(1/6))]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(2*Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(13/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)) - (7*a*b^(4/3)*ArcTanh[(b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(a^2 + b^2)^(1/6)]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(3*(a^2 + b^2)^(13/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)) + (7*a*b^(4/3)*Log[(a^2 + b^2)^(1/3) - b^(1/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6) + b^(2/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/3)]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(12*(a^2 + b^2)^(13/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)) - (7*a*b^(4/3)*Log[(a^2 + b^2)^(1/3) + b^(1/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6) + b^(2/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/3)]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(12*(a^2 + b^2)^(13/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)) + (AppellF1[1/2, 2, 7/6, 3/2, (b^2*Tan[e + f*x]^2)/a^2, -Tan[e + f*x]^2]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6)*Tan[e + f*x])/(a^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)) + (b^2*AppellF1[3/2, 2, 7/6, 5/2, (b^2*Tan[e + f*x]^2)/a^2, -Tan[e + f*x]^2]*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6)*Tan[e + f*x]^3)/(3*a^4*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)) - (a*b)/((a^2 + b^2)*f*(d*Sec[e + f*x])^(1/3)*(a^2 - b^2*Tan[e + f*x]^2))}
+{1/((d*Sec[e + f*x])^(5/3)*(a + b*Tan[e + f*x])^2), x, 19, (11*a*b)/(5*(a^2 + b^2)^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)) + (11*a*b^(8/3)*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(1/6))]*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6))/(2*Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(17/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)) - (11*a*b^(8/3)*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(1/6))]*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6))/(2*Sqrt[3]*(a^2 + b^2)^(17/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)) - (11*a*b^(8/3)*ArcTanh[(b^(1/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6))/(a^2 + b^2)^(1/6)]*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6))/(3*(a^2 + b^2)^(17/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)) + (11*a*b^(8/3)*Log[(a^2 + b^2)^(1/3) - b^(1/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6) + b^(2/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/3)]*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6))/(12*(a^2 + b^2)^(17/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)) - (11*a*b^(8/3)*Log[(a^2 + b^2)^(1/3) + b^(1/3)*(a^2 + b^2)^(1/6)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/6) + b^(2/3)*(Sec[e + f*x]^2)^(1/3)]*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6))/(12*(a^2 + b^2)^(17/6)*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)) + (AppellF1[1/2, 2, 11/6, 3/2, (b^2*Tan[e + f*x]^2)/a^2, -Tan[e + f*x]^2]*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6)*Tan[e + f*x])/(a^2*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)) + (b^2*AppellF1[3/2, 2, 11/6, 5/2, (b^2*Tan[e + f*x]^2)/a^2, -Tan[e + f*x]^2]*(Sec[e + f*x]^2)^(5/6)*Tan[e + f*x]^3)/(3*a^4*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)) - (a*b)/((a^2 + b^2)*f*(d*Sec[e + f*x])^(5/3)*(a^2 - b^2*Tan[e + f*x]^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 4, -((a*(3*b^2 - a^2*(1 + m))*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - m/2, 3/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/((Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*(f*(1 + m)))) + (b*(d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(f*(2 + m)) - (b*(d*Sec[e + f*x])^m*(2*(1 + m)*(b^2 - a^2*(3 + m)) - a*b*m*(4 + m)*Tan[e + f*x]))/(f*m*(2 + 3*m + m^2))}
+{(d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 4, If[$VersionNumber>=8, (a*b*(2 + m)*(d*Sec[e + f*x])^m)/(f*m*(1 + m)) + (d*(b^2 - a^2*(1 + m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - m)/2, (3 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(-1 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - m)*(1 + m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (b*(d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x]))/(f*(1 + m)), (a*b*(2 + m)*(d*Sec[e + f*x])^m)/(f*m*(1 + m)) + (d*(b^2 - a^2*(1 + m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - m)/2, (3 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(-1 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - m^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (b*(d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x]))/(f*(1 + m))]}
+{(d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^1, x, 3, (b*(d*Sec[e + f*x])^m)/(f*m) - (a*d*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - m)/2, (3 - m)/2, Cos[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(-1 + m)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{(d*Sec[e + f*x])^m/(a + b*Tan[e + f*x])^1, x, 6, -((b*Hypergeometric2F1[1, m/2, (2 + m)/2, (b^2*Sec[e + f*x]^2)/(a^2 + b^2)]*(d*Sec[e + f*x])^m)/((a^2 + b^2)*f*m)) + (AppellF1[1/2, 1, 1 - m/2, 3/2, (b^2*Tan[e + f*x]^2)/a^2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/((Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*(a*f))}
+{(d*Sec[e + f*x])^m/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 7, -((2*a*b*Hypergeometric2F1[2, m/2, (2 + m)/2, (b^2*Sec[e + f*x]^2)/(a^2 + b^2)]*(d*Sec[e + f*x])^m)/((a^2 + b^2)^2*f*m)) + (AppellF1[1/2, 2, 1 - m/2, 3/2, (b^2*Tan[e + f*x]^2)/a^2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/((Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*(a^2*f)) + (b^2*AppellF1[3/2, 2, 1 - m/2, 5/2, (b^2*Tan[e + f*x]^2)/a^2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]^3)/((Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*(3*a^4*f))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^n, x, 3, (b*AppellF1[1 + n, 1 - m/2, 1 - m/2, 2 + n, (a + b*Tan[e + f*x])/(a + Sqrt[-b^2]), (a + b*Tan[e + f*x])/(a - Sqrt[-b^2])]*(d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + n))/((1 + (a + b*Tan[e + f*x])/(-a + Sqrt[-b^2]))^(m/2)*(1 - (a + b*Tan[e + f*x])/(a + Sqrt[-b^2]))^(m/2)*((a^2 + b^2)*f*(1 + n))), (AppellF1[1 + n, 1 - m/2, 1 - m/2, 2 + n, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - Sqrt[-b^2]), (a + b*Tan[e + f*x])/(a + Sqrt[-b^2])]*Cos[e + f*x]^2*(d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + n)*(1 - (a + b*Tan[e + f*x])/(a - Sqrt[-b^2]))^(1 - m/2)*(1 - (a + b*Tan[e + f*x])/(a + Sqrt[-b^2]))^(1 - m/2))/(b*f*(1 + n))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 3, ((a^2 + b^2)^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b^5*d*(1 + n)) - (4*a*(a^2 + b^2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(2 + n))/(b^5*d*(2 + n)) + (2*(3*a^2 + b^2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3 + n))/(b^5*d*(3 + n)) - (4*a*(a + b*Tan[c + d*x])^(4 + n))/(b^5*d*(4 + n)) + (a + b*Tan[c + d*x])^(5 + n)/(b^5*d*(5 + n))}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 3, ((a^2 + b^2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b^3*d*(1 + n)) - (2*a*(a + b*Tan[c + d*x])^(2 + n))/(b^3*d*(2 + n)) + (a + b*Tan[c + d*x])^(3 + n)/(b^3*d*(3 + n))}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 2, (a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n)/(b*d*(1 + n))}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 6, -(((Sqrt[-b^2]*(1 + a^2/b^2 - n) - a*n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - Sqrt[-b^2])]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(4*(1 + a^2/b^2)*b*(a - Sqrt[-b^2])*d*(1 + n))) + (b*(Sqrt[-b^2]*(1 + a^2/b^2 - n) + a*n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + Sqrt[-b^2])]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(4*(a^2 + b^2)*(a + Sqrt[-b^2])*d*(1 + n)) + (Cos[c + d*x]^2*(b + a*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a^2 + b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 7, (b*((a*(5 + (3*a^2)/b^2 - 2*n)*n)/b^2 - (Sqrt[-b^2]*(3*a^4 + a^2*b^2*(6 - 2*n - n^2) + b^4*(3 - 4*n + n^2)))/b^6)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - Sqrt[-b^2])]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(16*(1 + a^2/b^2)^2*(a - Sqrt[-b^2])*d*(1 + n)) + (b*((a*(5 + (3*a^2)/b^2 - 2*n)*n)/b^2 + (Sqrt[-b^2]*(3*a^4 + a^2*b^2*(6 - 2*n - n^2) + b^4*(3 - 4*n + n^2)))/b^6)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + Sqrt[-b^2])]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(16*(1 + a^2/b^2)^2*(a + Sqrt[-b^2])*d*(1 + n)) + (Cos[c + d*x]^4*(b + a*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(4*(a^2 + b^2)*d) + (b*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n)*(b^2*(3 - n) + a^2*(1 + n) + a*b*(5 + (3*a^2)/b^2 - 2*n)*Tan[c + d*x]))/(8*(a^2 + b^2)^2*d)}
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 3, (AppellF1[1 + n, -(1/2), -(1/2), 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - Sqrt[-b^2]), (a + b*Tan[c + d*x])/(a + Sqrt[-b^2])]*Sec[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b*d*(1 + n)*Sqrt[1 - (a + b*Tan[c + d*x])/(a - Sqrt[-b^2])]*Sqrt[1 - (a + b*Tan[c + d*x])/(a + Sqrt[-b^2])])}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 3, (AppellF1[1 + n, 1/2, 1/2, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - Sqrt[-b^2]), (a + b*Tan[c + d*x])/(a + Sqrt[-b^2])]*Cos[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n)*Sqrt[1 - (a + b*Tan[c + d*x])/(a - Sqrt[-b^2])]*Sqrt[1 - (a + b*Tan[c + d*x])/(a + Sqrt[-b^2])])/(b*d*(1 + n))}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 3, (AppellF1[1 + n, 3/2, 3/2, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - Sqrt[-b^2]), (a + b*Tan[c + d*x])/(a + Sqrt[-b^2])]*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n)*(1 - (a + b*Tan[c + d*x])/(a - Sqrt[-b^2]))^(3/2)*(1 - (a + b*Tan[c + d*x])/(a + Sqrt[-b^2]))^(3/2))/(b*d*(1 + n))}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 3, (AppellF1[1 + n, 5/2, 5/2, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - Sqrt[-b^2]), (a + b*Tan[c + d*x])/(a + Sqrt[-b^2])]*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n)*(1 - (a + b*Tan[c + d*x])/(a - Sqrt[-b^2]))^(5/2)*(1 - (a + b*Tan[c + d*x])/(a + Sqrt[-b^2]))^(5/2))/(b*d*(1 + n))}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n when a^2+b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(m/2) (a+a I Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 6, -((2*I*a*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(7*d)) + (10*a*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(7*d) + (10*a*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(21*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 5, -((2*I*a*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(5*d)) + (6*a*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 5, -((2*I*a*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(3*d)) + (2*a*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 4, ((-2*I)*a*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/d + (2*a*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])/Sqrt[e*Cos[c + d*x]], x, 4, ((2*I)*a)/(d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])/(e*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*I*a)/(3*d*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*a*Cos[c + d*x]^(3/2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*Sin[c + d*x])/(d*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]), (((2*I)/3)*a)/(d*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)) - (2*a*Cos[c + d*x]^(3/2)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(d*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(d*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])/(e*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 5, (((2*I)/5)*a)/(d*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*a*Cos[c + d*x]^(5/2)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (2*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*d*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])/(e*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 6, (((2*I)/7)*a)/(d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)) - (6*a*Cos[c + d*x]^(7/2)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (2*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(5*d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)) + (6*a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(5*d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 7, (2*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(7*a^2*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*Cos[c + d*x]*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) + (6*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(35*a^2*d) + (2*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(7*a^2*d) + (4*I*Cos[c + d*x]^2*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))/(15*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 6, (42*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(65*a^2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*Cos[c + d*x]*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(13*a^2*d) + (14*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(65*a^2*d) + (4*I*Cos[c + d*x]^2*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(13*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 6, (10*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(33*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*Cos[c + d*x]*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(11*a^2*d) + (10*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(33*a^2*d) + (4*I*Cos[c + d*x]^2*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(11*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 5, (2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*I*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(9*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (2*I*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(9*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])), (2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*a^2*d) + (4*I*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(9*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{1/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 5, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(7*a^2*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*I)/(7*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (2*I)/(7*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])), (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(7*a^2*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(7*a^2*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]) + (4*I*Cos[c + d*x]^2)/(7*d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 4, (2*Cos[c + d*x]^(3/2)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a^2*d*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)) + (((4*I)/5)*Cos[c + d*x]^2)/(d*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 4, (-2*Cos[c + d*x]^(5/2)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)) + (((4*I)/3)*Cos[c + d*x]^2)/(d*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 5, (6*Cos[c + d*x]^(7/2)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)) - (6*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)) + ((4*I)*Cos[c + d*x]^2)/(d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(9/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 5, (10*Cos[c + d*x]^(9/2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d*(e*Cos[c + d*x])^(9/2)) + (10*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(e*Cos[c + d*x])^(9/2)) - (4*I*Cos[c + d*x]^2)/(d*(e*Cos[c + d*x])^(9/2)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(11/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 6, -((14*Cos[c + d*x]^(11/2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a^2*d*(e*Cos[c + d*x])^(11/2))) + (14*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d*(e*Cos[c + d*x])^(11/2)) + (14*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(5*a^2*d*(e*Cos[c + d*x])^(11/2)) - (4*I*Cos[c + d*x]^2)/(3*d*(e*Cos[c + d*x])^(11/2)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(m/2) (a+a I Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 5, (12*I*a*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^2)/(35*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (32*I*a*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^4)/(35*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (2*I*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(7*d) - (16*I*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 4, (8*I*a*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^2)/(15*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (2*I*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*d) - (16*I*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 3, (4*I*a*e*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (2*I*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d), (((4*I)/3)*a*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^2)/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (((2*I)/3)*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 2, ((-2*I)*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[e*Cos[c + d*x]], x, 10, (I*Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(d*Sqrt[e]) - (I*Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(d*Sqrt[e]) - (I*Sqrt[a]*Log[a*Sqrt[e] - Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]] + Sqrt[e]*Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) + (I*Sqrt[a]*Log[a*Sqrt[e] + Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]] + Sqrt[e]*Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e])}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(e*Cos[c + d*x])^(3/2), x, 13, (I*a)/(d*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (I*a^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*d*e^(3/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (I*a^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*d*e^(3/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (I*a^(3/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*d*e^(3/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (I*a^(3/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*d*e^(3/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), (I*a)/(d*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (I*a^(3/2)*e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*d*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (I*a^(3/2)*e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*d*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (I*a^(3/2)*e^(3/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*d*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (I*a^(3/2)*e^(3/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*d*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*(e*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(e*Cos[c + d*x])^(5/2), x, 13, (3*I*Sqrt[a]*e^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/(4*Sqrt[2]*d*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (3*I*Sqrt[a]*e^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/(4*Sqrt[2]*d*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (3*I*Sqrt[a]*e^(5/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(8*Sqrt[2]*d*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (3*I*Sqrt[a]*e^(5/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(8*Sqrt[2]*d*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (I*a)/(2*d*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (3*I*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(e*Cos[c + d*x])^(7/2), x, 15, (I*a)/(3*d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (5*I*a*Cos[c + d*x]^2)/(8*d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (5*I*a^(3/2)*e^(7/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(8*Sqrt[2]*d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (5*I*a^(3/2)*e^(7/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(8*Sqrt[2]*d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (5*I*a^(3/2)*e^(7/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(16*Sqrt[2]*d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (5*I*a^(3/2)*e^(7/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(16*Sqrt[2]*d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (5*I*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(12*d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^(5/2)/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 5, (2*I*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))/(7*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (16*I*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^2)/(35*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (12*I*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*a*d) - (32*I*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*a*d)}
+{(e*Cos[c + d*x])^(3/2)/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 4, (2*I*(e*Cos[c + d*x])^(3/2))/(5*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (16*I*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^2)/(15*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (8*I*(e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*a*d)}
+{Sqrt[e*Cos[c + d*x]]/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 3, (2*I*Sqrt[e*Cos[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (4*I*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*a*d)}
+{1/(Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 2, (2*I)/(d*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 11, -((I*Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])]*Sec[c + d*x])/(d*e^(3/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])) + (I*Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])]*Sec[c + d*x])/(d*e^(3/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (I*Sqrt[a]*Log[a*Sqrt[e] - Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]] + Sqrt[e]*Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*d*e^(3/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (I*Sqrt[a]*Log[a*Sqrt[e] + Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e*Cos[c + d*x]]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]] + Sqrt[e]*Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(Sqrt[2]*d*e^(3/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 12, (I*e^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (I*e^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (I*e^(5/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (I*e^(5/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d*(e*Cos[c + d*x])^(5/2)*(e*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (I*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a*d*(e*Cos[c + d*x])^(5/2))}
+{1/((e*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 14, (3*I*Cos[c + d*x]^2)/(4*d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (3*I*Sqrt[a]*e^(7/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(4*Sqrt[2]*d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (3*I*Sqrt[a]*e^(7/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sec[c + d*x]])]*Sec[c + d*x])/(4*Sqrt[2]*d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (3*I*Sqrt[a]*e^(7/2)*Log[a - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(8*Sqrt[2]*d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (3*I*Sqrt[a]*e^(7/2)*Log[a + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[e]*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e*Sec[c + d*x]] + Cos[c + d*x]*(a - I*a*Tan[c + d*x])]*Sec[c + d*x])/(8*Sqrt[2]*d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2)*(e*Sec[c + d*x])^(7/2)*Sqrt[a - I*a*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (I*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*a*d*(e*Cos[c + d*x])^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+a I Tan[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 5, -((I*2^(-(m/2) + n)*(e*Cos[c + d*x])^m*Hypergeometric2F1[-(m/2), (1/2)*(2 + m - 2*n), 1 - m/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(1 + I*Tan[c + d*x])^((1/2)*(m - 2*n))*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*m))}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 5, -((I*2^(2 - m/2)*a^2*(e*Cos[c + d*x])^m*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-2 + m), -(m/2), 1 - m/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(1 + I*Tan[c + d*x])^(m/2))/(d*m))}
+{(e*Cos[c + d*x])^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^1, x, 5, -((I*2^(1 - m/2)*a*(e*Cos[c + d*x])^m*Hypergeometric2F1[-(m/2), m/2, 1 - m/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(1 + I*Tan[c + d*x])^(m/2))/(d*m))}
+{(e*Cos[c + d*x])^m/(a + I*a*Tan[c + d*x])^1, x, 5, -((I*2^(-1 - m/2)*(e*Cos[c + d*x])^m*Hypergeometric2F1[-(m/2), (4 + m)/2, 1 - m/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(1 + I*Tan[c + d*x])^(m/2))/(a*d*m))}
+{(e*Cos[c + d*x])^m/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 5, -((I*2^(-2 - m/2)*(e*Cos[c + d*x])^m*Hypergeometric2F1[-(m/2), (6 + m)/2, 1 - m/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(1 + I*Tan[c + d*x])^(m/2))/(a^2*d*m))}
+
+
+{(e*Cos[c + d*x])^m*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 5, -((I*2^(1/2 - m/2)*a*(e*Cos[c + d*x])^m*Hypergeometric2F1[-(m/2), (1 + m)/2, 1 - m/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(1 + I*Tan[c + d*x])^((1 + m)/2))/(d*m*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]))}
+{(e*Cos[c + d*x])^m/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 5, -((I*2^(-(1/2) - m/2)*(e*Cos[c + d*x])^m*Hypergeometric2F1[-(m/2), (3 + m)/2, 1 - m/2, (1/2)*(1 - I*Tan[c + d*x])]*(1 + I*Tan[c + d*x])^((1 + m)/2))/(d*m*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(d*Cos[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 5, If[$VersionNumber>=8, -((a*(3*b^2 - a^2*(1 - m))*(d*Cos[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, 3/2, -Tan[e + f*x]^2]*(Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*Tan[e + f*x])/(f*(1 - m))) + (b*(d*Cos[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(f*(2 - m)) + (b*(d*Cos[e + f*x])^m*(2*(b^2 - a^2*(3 - m))*(1 - m) + a*b*(4 - m)*m*Tan[e + f*x]))/(f*m*(2 - 3*m + m^2)), -((1/(f*(1 - m)))*(a*(3*b^2 - a^2*(1 - m))*(d*Cos[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, 3/2, -Tan[e + f*x]^2]*(Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*Tan[e + f*x])) + (b*(d*Cos[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(f*(2 - m)) + (b*(d*Cos[e + f*x])^m*(2*(b^2 - a^2*(3 - m))*(1 - m) + a*b*(4 - m)*m*Tan[e + f*x]))/(f*(1 - m)*(2 - m)*m)]}
+{(d*Cos[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 5, If[$VersionNumber>=8, -((a*b*(2 - m)*(d*Cos[e + f*x])^m)/(f*(1 - m)*m)) + ((b^2 - a^2*(1 - m))*Cos[e + f*x]*(d*Cos[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*(1 - m)*(1 + m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (b*(d*Cos[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x]))/(f*(1 - m)), -((a*b*(2 - m)*(d*Cos[e + f*x])^m)/(f*(1 - m)*m)) + ((b^2 - a^2*(1 - m))*Cos[e + f*x]*(d*Cos[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*(1 - m^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (b*(d*Cos[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x]))/(f*(1 - m))]}
+{(d*Cos[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^1, x, 4, -((b*(d*Cos[e + f*x])^m)/(f*m)) - (a*(d*Cos[e + f*x])^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(d*f*(1 + m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]), -((b*(d*Cos[e + f*x])^m)/(f*m)) - (a*Cos[e + f*x]*(d*Cos[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*(1 + m)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{(d*Cos[e + f*x])^m/(a + b*Tan[e + f*x])^1, x, 7, (b*(d*Cos[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1, -(m/2), 1 - m/2, (b^2*Sec[e + f*x]^2)/(a^2 + b^2)])/((a^2 + b^2)*f*m) + (AppellF1[1/2, 1, (2 + m)/2, 3/2, (b^2*Tan[e + f*x]^2)/a^2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Cos[e + f*x])^m*(Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*Tan[e + f*x])/(a*f)}
+{(d*Cos[e + f*x])^m/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 8, (2*a*b*(d*Cos[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[2, -(m/2), 1 - m/2, (b^2*Sec[e + f*x]^2)/(a^2 + b^2)])/((a^2 + b^2)^2*f*m) + (AppellF1[1/2, 2, (2 + m)/2, 3/2, (b^2*Tan[e + f*x]^2)/a^2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Cos[e + f*x])^m*(Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*Tan[e + f*x])/(a^2*f) + (b^2*AppellF1[3/2, 2, (2 + m)/2, 5/2, (b^2*Tan[e + f*x]^2)/a^2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Cos[e + f*x])^m*(Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*Tan[e + f*x]^3)/(3*a^4*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(d*Cos[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^n, x, 4, (AppellF1[1 + n, (2 + m)/2, (2 + m)/2, 2 + n, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - Sqrt[-b^2]), (a + b*Tan[e + f*x])/(a + Sqrt[-b^2])]*Cos[e + f*x]^2*(d*Cos[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + n)*(1 - (a + b*Tan[e + f*x])/(a - Sqrt[-b^2]))^((2 + m)/2)*(1 - (a + b*Tan[e + f*x])/(a + Sqrt[-b^2]))^((2 + m)/2))/(b*f*(1 + n))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.1.3 (d sin)^m (a+b tan)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.1.3 (d sin)^m (a+b tan)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..6dc3fb42
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.1.3 (d sin)^m (a+b tan)^n.m	
@@ -0,0 +1,203 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n with a^2+b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+a I Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sin[x]^4/(I + Tan[x]), x, 5, -((I*x)/16) - 1/(32*(I - Tan[x])^2) - I/(8*(I - Tan[x])) + I/(24*(I + Tan[x])^3) - 5/(32*(I + Tan[x])^2) - (3*I)/(16*(I + Tan[x]))}
+{Sin[x]^3/(I + Tan[x]), x, 9, (1/3)*I*Cos[x]^3 - (1/5)*I*Cos[x]^5 + Sin[x]^5/5}
+{Sin[x]^2/(I + Tan[x]), x, 5, -((I*x)/8) - I/(8*(I - Tan[x])) - 1/(8*(I + Tan[x])^2) - I/(4*(I + Tan[x]))}
+{Sin[x]^1/(I + Tan[x]), x, 8, (1/3)*I*Cos[x]^3 + Sin[x]^3/3}
+{Csc[x]^1/(I + Tan[x]), x, 8, I*ArcTanh[Cos[x]] - I*Cos[x] + Sin[x]}
+{Csc[x]^2/(I + Tan[x]), x, 3, I*x + I*Cot[x] + Log[Cos[x]] + Log[Tan[x]]}
+{Csc[x]^3/(I + Tan[x]), x, 8, (-(1/2))*I*ArcTanh[Cos[x]] - Csc[x] + (1/2)*I*Cot[x]*Csc[x]}
+{Csc[x]^4/(I + Tan[x]), x, 4, (-(1/2))*Cot[x]^2 + (1/3)*I*Cot[x]^3}
+{Csc[x]^5/(I + Tan[x]), x, 9, (-(1/8))*I*ArcTanh[Cos[x]] - (1/8)*I*Cot[x]*Csc[x] - Csc[x]^3/3 + (1/4)*I*Cot[x]*Csc[x]^3}
+{Csc[x]^6/(I + Tan[x]), x, 4, (-(1/2))*Cot[x]^2 + (1/3)*I*Cot[x]^3 - Cot[x]^4/4 + (1/5)*I*Cot[x]^5}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 8, (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a*Cos[c + d*x])/d + (2*a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (b*Sin[c + d*x])/d - (b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sin[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 6, (3*a*x)/8 - (b*Log[Cos[c + d*x]])/d - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x]))/(4*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*(3*a + 4*b*Tan[c + d*x]))/(8*d)}
+{Sin[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 8, (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a*Cos[c + d*x])/d + (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*Sin[c + d*x])/d - (b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sin[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 5, (a*x)/2 - (b*Log[Cos[c + d*x]])/d - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x]))/(2*d)}
+{Sin[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 6, (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a*Cos[c + d*x])/d - (b*Sin[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 4, -((a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) + (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, -((a*Cot[c + d*x])/d) + (b*Log[Tan[c + d*x]])/d}
+{Csc[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 7, -((a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) + (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (b*Csc[c + d*x])/d - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, -((a*Cot[c + d*x])/d) - (b*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*Log[Tan[c + d*x]])/d}
+{Csc[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 9, -((3*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d)) + (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (b*Csc[c + d*x])/d - (3*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (b*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Csc[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, -((a*Cot[c + d*x])/d) - (b*Cot[c + d*x]^2)/d - (2*a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*Cot[c + d*x]^4)/(4*d) - (a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (b*Log[Tan[c + d*x]])/d}
+
+
+{Sin[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 8, (3/8)*(a^2 - 5*b^2)*x - (2*a*b*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b^2*Tan[c + d*x])/d + (Cos[c + d*x]^2*(7*b - 5*a*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x]))/(8*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(4*d)}
+{Sin[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 11, (2*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*Cos[c + d*x])/d + (2*b^2*Cos[c + d*x])/d + (a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Sec[c + d*x])/d - (2*a*b*Sin[c + d*x])/d - (2*a*b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sin[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, (1/2)*(a^2 - 3*b^2)*x - (2*a*b*Log[Cos[c + d*x]])/d + (3*b^2*Tan[c + d*x])/(2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Sin[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 9, (2*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*Cos[c + d*x])/d + (b^2*Cos[c + d*x])/d + (b^2*Sec[c + d*x])/d - (2*a*b*Sin[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, -((a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) + (2*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*Sec[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -((a^2*Cot[c + d*x])/d) + (2*a*b*Log[Tan[c + d*x]])/d + (b^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 10, -((a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (b^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (2*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (2*a*b*Csc[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d) + (b^2*Sec[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -(((a^2 + b^2)*Cot[c + d*x])/d) - (a*b*Cot[c + d*x]^2)/d - (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a*b*Log[Tan[c + d*x]])/d + (b^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 13, -((3*a^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d)) - (3*b^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) + (2*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (2*a*b*Csc[c + d*x])/d - (3*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (2*a*b*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d) + (3*b^2*Sec[c + d*x])/(2*d) - (b^2*Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x])/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -(((a^2 + 2*b^2)*Cot[c + d*x])/d) - (2*a*b*Cot[c + d*x]^2)/d - ((2*a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*b*Cot[c + d*x]^4)/(2*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (2*a*b*Log[Tan[c + d*x]])/d + (b^2*Tan[c + d*x])/d}
+
+
+{Sin[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 16, (3*a^2*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (5*b^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (a^3*Cos[c + d*x])/d + (6*a*b^2*Cos[c + d*x])/d + (a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*b^2*Cos[c + d*x]^3)/d + (3*a*b^2*Sec[c + d*x])/d - (3*a^2*b*Sin[c + d*x])/d + (5*b^3*Sin[c + d*x])/(2*d) - (a^2*b*Sin[c + d*x]^3)/d + (5*b^3*Sin[c + d*x]^3)/(6*d) + (b^3*Sin[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Sin[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 7, (1/2)*a*(a^2 - 9*b^2)*x - (b*(3*a^2 - 2*b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (9*a*b^2*Tan[c + d*x])/(2*d) + (b^3*Tan[c + d*x]^2)/d - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(2*d)}
+{Sin[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 13, (3*a^2*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (3*b^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (a^3*Cos[c + d*x])/d + (3*a*b^2*Cos[c + d*x])/d + (3*a*b^2*Sec[c + d*x])/d - (3*a^2*b*Sin[c + d*x])/d + (3*b^3*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b^3*Sin[c + d*x]*Tan[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 8, -((a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) + (3*a^2*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (b^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (3*a*b^2*Sec[c + d*x])/d + (b^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 3, -((a^3*Cot[c + d*x])/d) + (3*a^2*b*Log[Tan[c + d*x]])/d + (3*a*b^2*Tan[c + d*x])/d + (b^3*Tan[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 12, -((a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (3*a*b^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (3*a^2*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (3*a^2*b*Csc[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d) + (3*a*b^2*Sec[c + d*x])/d + (b^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 3, -((a*(a^2 + 3*b^2)*Cot[c + d*x])/d) - (3*a^2*b*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*(3*a^2 + b^2)*Log[Tan[c + d*x]])/d + (3*a*b^2*Tan[c + d*x])/d + (b^3*Tan[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 17, -((3*a^3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d)) - (9*a*b^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) + (3*a^2*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (3*b^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (3*a^2*b*Csc[c + d*x])/d - (3*b^3*Csc[c + d*x])/(2*d) - (3*a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a^2*b*Csc[c + d*x]^3)/d - (a^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d) + (9*a*b^2*Sec[c + d*x])/(2*d) - (3*a*b^2*Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x])/(2*d) + (b^3*Csc[c + d*x]*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 3, -((a*(a^2 + 6*b^2)*Cot[c + d*x])/d) - (b*(6*a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*(2*a^2 + 3*b^2)*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^2*b*Cot[c + d*x]^4)/(4*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (b*(3*a^2 + 2*b^2)*Log[Tan[c + d*x]])/d + (3*a*b^2*Tan[c + d*x])/d + (b^3*Tan[c + d*x]^2)/(2*d)}
+
+
+{Sin[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 19, (4*a^3*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (10*a*b^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a^4*Cos[c + d*x])/d + (12*a^2*b^2*Cos[c + d*x])/d - (3*b^4*Cos[c + d*x])/d + (a^4*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^2*b^2*Cos[c + d*x]^3)/d + (b^4*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (6*a^2*b^2*Sec[c + d*x])/d - (3*b^4*Sec[c + d*x])/d + (b^4*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) - (4*a^3*b*Sin[c + d*x])/d + (10*a*b^3*Sin[c + d*x])/d - (4*a^3*b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (10*a*b^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a*b^3*Sin[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^2)/d}
+{Sin[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 7, (1/2)*(a^4 - 18*a^2*b^2 + 5*b^4)*x - (4*a*b*(a^2 - 2*b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b^2*(18*a^2 - 5*b^2)*Tan[c + d*x])/(2*d) + (4*a*b^3*Tan[c + d*x]^2)/d + (5*b^4*Tan[c + d*x]^3)/(6*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^4)/(2*d)}
+{Sin[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 16, (4*a^3*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (6*a*b^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a^4*Cos[c + d*x])/d + (6*a^2*b^2*Cos[c + d*x])/d - (b^4*Cos[c + d*x])/d + (6*a^2*b^2*Sec[c + d*x])/d - (2*b^4*Sec[c + d*x])/d + (b^4*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) - (4*a^3*b*Sin[c + d*x])/d + (6*a*b^3*Sin[c + d*x])/d + (2*a*b^3*Sin[c + d*x]*Tan[c + d*x]^2)/d}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 10, -((a^4*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) + (4*a^3*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (2*a*b^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (6*a^2*b^2*Sec[c + d*x])/d - (b^4*Sec[c + d*x])/d + (b^4*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a*b^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 3, -((a^4*Cot[c + d*x])/d) + (4*a^3*b*Log[Tan[c + d*x]])/d + (6*a^2*b^2*Tan[c + d*x])/d + (2*a*b^3*Tan[c + d*x]^2)/d + (b^4*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Csc[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 14, -((a^4*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (6*a^2*b^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (4*a^3*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (2*a*b^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (4*a^3*b*Csc[c + d*x])/d - (a^4*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d) + (6*a^2*b^2*Sec[c + d*x])/d + (b^4*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a*b^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 3, -((a^2*(a^2 + 6*b^2)*Cot[c + d*x])/d) - (2*a^3*b*Cot[c + d*x]^2)/d - (a^4*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (4*a*b*(a^2 + b^2)*Log[Tan[c + d*x]])/d + (b^2*(6*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x])/d + (2*a*b^3*Tan[c + d*x]^2)/d + (b^4*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Csc[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 21, -((3*a^4*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d)) - (9*a^2*b^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (b^4*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d + (4*a^3*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (6*a*b^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (4*a^3*b*Csc[c + d*x])/d - (6*a*b^3*Csc[c + d*x])/d - (3*a^4*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (4*a^3*b*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^4*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d) + (9*a^2*b^2*Sec[c + d*x])/d + (b^4*Sec[c + d*x])/d - (3*a^2*b^2*Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x])/d + (2*a*b^3*Csc[c + d*x]*Sec[c + d*x]^2)/d + (b^4*Sec[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Csc[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 3, -(((a^4 + 12*a^2*b^2 + b^4)*Cot[c + d*x])/d) - (2*a*b*(2*a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]^2)/d - (2*a^2*(a^2 + 3*b^2)*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*b*Cot[c + d*x]^4)/d - (a^4*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (4*a*b*(a^2 + 2*b^2)*Log[Tan[c + d*x]])/d + (2*b^2*(3*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x])/d + (2*a*b^3*Tan[c + d*x]^2)/d + (b^4*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Csc[c + d*x]^7*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 25, -((5*a^4*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d)) - (45*a^2*b^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(4*d) - (5*b^4*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) + (4*a^3*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (10*a*b^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (4*a^3*b*Csc[c + d*x])/d - (10*a*b^3*Csc[c + d*x])/d - (5*a^4*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) - (4*a^3*b*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (10*a*b^3*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*a^4*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(24*d) - (4*a^3*b*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^4*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(6*d) + (45*a^2*b^2*Sec[c + d*x])/(4*d) + (5*b^4*Sec[c + d*x])/(2*d) - (15*a^2*b^2*Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x])/(4*d) - (3*a^2*b^2*Csc[c + d*x]^4*Sec[c + d*x])/(2*d) + (2*a*b^3*Csc[c + d*x]^3*Sec[c + d*x]^2)/d + (5*b^4*Sec[c + d*x]^3)/(6*d) - (b^4*Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x]^3)/(2*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^5/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 13, (a^5*b*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(7/2)*d) + (a^3*b^2*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)^3*d) + (a*b^2*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)^2*d) - (a*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d) - (a*b^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2*d) + (2*a*Cos[c + d*x]^3)/(3*(a^2 + b^2)*d) - (a*Cos[c + d*x]^5)/(5*(a^2 + b^2)*d) + (a^4*b*Sin[c + d*x])/((a^2 + b^2)^3*d) + (a^2*b*Sin[c + d*x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2*d) + (b*Sin[c + d*x]^5)/(5*(a^2 + b^2)*d)}
+{Sin[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 8, (a*(3*a^4 - 6*a^2*b^2 - b^4)*x)/(8*(a^2 + b^2)^3) + (a^4*b*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) + (Cos[c + d*x]^4*(b + a*Tan[c + d*x]))/(4*(a^2 + b^2)*d) - (Cos[c + d*x]^2*(4*b*(2*a^2 + b^2) + a*(5*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]))/(8*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 10, (a^3*b*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(5/2)*d) + (a*b^2*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)^2*d) - (a*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d) + (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*(a^2 + b^2)*d) + (a^2*b*Sin[c + d*x])/((a^2 + b^2)^2*d) + (b*Sin[c + d*x]^3)/(3*(a^2 + b^2)*d)}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 7, (a*(a^2 - b^2)*x)/(2*(a^2 + b^2)^2) + (a^2*b*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) - (Cos[c + d*x]^2*(b + a*Tan[c + d*x]))/(2*(a^2 + b^2)*d)}
+{Sin[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 6, (a*b*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (a*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d) + (b*Sin[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d)}
+{Csc[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 6, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a*d)) + (b*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d)}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, -(Cot[c + d*x]/(a*d)) - (b*Log[Tan[c + d*x]])/(a^2*d) + (b*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(a^2*d)}
+{Csc[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 15, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(2*a*d)) - (b^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) + (b*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^3*d) + (b*Csc[c + d*x])/(a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Csc[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, -(((a^2 + b^2)*Cot[c + d*x])/(a^3*d)) + (b*Cot[c + d*x]^2)/(2*a^2*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) - (b*(a^2 + b^2)*Log[Tan[c + d*x]])/(a^4*d) + (b*(a^2 + b^2)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(a^4*d)}
+(* {Csc[c + d*x]^5/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 25, -((3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*a*d)) - (3*b^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (b^4*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^5*d) - (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - (b^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + (b*(a^2 + b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + (b*(a^2 + b^2)^(3/2)*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^5*d) + (b*Csc[c + d*x])/(a^2*d) + (3*b^3*Csc[c + d*x])/(2*a^4*d) - (3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a*d) + (b*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a*d) + (3*b^2*Sec[c + d*x])/(2*a^3*d) + (b^4*Sec[c + d*x])/(a^5*d) - (b^2*(a^2 + b^2)*Sec[c + d*x])/(a^5*d) - (b^2*Csc[c + d*x]^2*Sec[c + d*x])/(2*a^3*d) - (b^3*Csc[c + d*x]*Sec[c + d*x]^2)/(2*a^4*d) + (b^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^4*d)} *)
+{Csc[c + d*x]^6/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, -(((a^2 + b^2)^2*Cot[c + d*x])/(a^5*d)) + (b*(2*a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]^2)/(2*a^4*d) - ((2*a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (b*Cot[c + d*x]^4)/(4*a^2*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a*d) - (b*(a^2 + b^2)^2*Log[Tan[c + d*x]])/(a^6*d) + (b*(a^2 + b^2)^2*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(a^6*d)}
+
+
+{Sin[c + d*x]^6/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 9, ((5*a^8 - 80*a^6*b^2 + 50*a^4*b^4 + 8*a^2*b^6 + b^8)*x)/(16*(a^2 + b^2)^5) + (2*a^5*b*(a^2 - 3*b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^5*d) - (a^6*b)/((a^2 + b^2)^4*d*(a + b*Tan[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^6*(2*a*b + (a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]))/(6*(a^2 + b^2)^2*d) + (Cos[c + d*x]^4*(12*a*b*(3*a^2 + b^2) + (13*a^4 - 18*a^2*b^2 - 7*b^4)*Tan[c + d*x]))/(24*(a^2 + b^2)^3*d) - (Cos[c + d*x]^2*(48*a^5*b + (11*a^6 - 43*a^4*b^2 - 7*a^2*b^4 - b^6)*Tan[c + d*x]))/(16*(a^2 + b^2)^4*d)}
+{Sin[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 8, ((3*a^6 - 33*a^4*b^2 + 13*a^2*b^4 + b^6)*x)/(8*(a^2 + b^2)^4) + (2*a^3*b*(a^2 - 2*b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^4*d) - (a^4*b)/((a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x])) + (Cos[c + d*x]^4*(2*a*b + (a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]))/(4*(a^2 + b^2)^2*d) - (Cos[c + d*x]^2*(16*a^3*b + (5*a^4 - 12*a^2*b^2 - b^4)*Tan[c + d*x]))/(8*(a^2 + b^2)^3*d)}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 7, ((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x)/(2*(a^2 + b^2)^3) + (2*a*b*(a^2 - b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) - (a^2*b)/((a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^2*(2*a*b + (a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]))/(2*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -(Cot[c + d*x]/(a^2*d)) - (2*b*Log[Tan[c + d*x]])/(a^3*d) + (2*b*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(a^3*d) - b/(a^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -(((a^2 + 3*b^2)*Cot[c + d*x])/(a^4*d)) + (b*Cot[c + d*x]^2)/(a^3*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^2*d) - (2*b*(a^2 + 2*b^2)*Log[Tan[c + d*x]])/(a^5*d) + (2*b*(a^2 + 2*b^2)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(a^5*d) - (b*(a^2 + b^2))/(a^4*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^6/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -(((a^2 + b^2)*(a^2 + 5*b^2)*Cot[c + d*x])/(a^6*d)) + (2*b*(a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]^2)/(a^5*d) - ((2*a^2 + 3*b^2)*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^4*d) + (b*Cot[c + d*x]^4)/(2*a^3*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a^2*d) - (2*b*(a^2 + b^2)*(a^2 + 3*b^2)*Log[Tan[c + d*x]])/(a^7*d) + (2*b*(a^2 + b^2)*(a^2 + 3*b^2)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(a^7*d) - (b*(a^2 + b^2)^2)/(a^6*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+(*
+{Sin[c + d*x]^5/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 0, (5*Sec[c + d*x]^2*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])*(a*(a^2 + b^2) + 2*b*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(-b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]]*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])))/(64*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (1/(64*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2))*(Sec[c + d*x]^2*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])*(6*b*(-3*a^2 + b^2)*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(-b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]]*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]) - (a^2 + b^2)*(3*a*(a^2 - 3*b^2) + 2*a*(a^2 + b^2)*Cos[2*(c + d*x)] - 2*b*(a^2 + b^2)*Sin[2*(c + d*x)]))) - (3*Sec[c + d*x]^2*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2*((10*b*(5*a^4 - 10*a^2*b^2 + b^4)*ArcTanh[(-b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(7/2) + (8*(a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Cos[c + d*x])/(a^2 + b^2)^3 - (4*(a^2 - b^2)*Cos[3*(c + d*x)])/(3*(a^2 + b^2)^2) - (32*a*b*(a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(a^2 + b^2)^3 + (a*(a^4 - 10*a^2*b^2 + 5*b^4))/((a^2 + b^2)^3*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])) + (8*a*b*Sin[3*(c + d*x)])/(3*(a^2 + b^2)^2)))/(64*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (1/(64*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2))*(Sec[c + d*x]^2*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2*((14*b*(-7*a^6 + 35*a^4*b^2 - 21*a^2*b^4 + b^6)*ArcTanh[(-b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(9/2) - (12*(a^6 - 15*a^4*b^2 + 15*a^2*b^4 - b^6)*Cos[c + d*x])/(a^2 + b^2)^4 + (8*(a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Cos[3*(c + d*x)])/(3*(a^2 + b^2)^3) - (4*(a^2 - b^2)*Cos[5*(c + d*x)])/(5*(a^2 + b^2)^2) + (24*a*b*(3*a^4 - 10*a^2*b^2 + 3*b^4)*Sin[c + d*x])/(a^2 + b^2)^4 - (a*(a^6 - 21*a^4*b^2 + 35*a^2*b^4 - 7*b^6))/((a^2 + b^2)^4*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])) - (32*a*b*(a^2 - b^2)*Sin[3*(c + d*x)])/(3*(a^2 + b^2)^3) + (8*a*b*Sin[5*(c + d*x)])/(5*(a^2 + b^2)^2)))}
+{Sin[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 31, (2*a^4*b*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(7/2)*d) - (3*a^2*b^3*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(7/2)*d) + (4*a^2*b^2*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)^3*d) - (a^2*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2*d) - (b^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2*d) + (2*a^3*b*Sin[c + d*x])/((a^2 + b^2)^3*d) - (2*a*b^3*Sin[c + d*x])/((a^2 + b^2)^3*d) + (2*a*b*Sin[c + d*x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2*d) + (a^3*b^2)/((a^2 + b^2)^3*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sin[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 14, (2*a^2*b*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(5/2)*d) - (b^3*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(5/2)*d) - (a^2*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)^2*d) + (b^2*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)^2*d) + (2*a*b*Sin[c + d*x])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a*b^2)/((a^2 + b^2)^2*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 9, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(a^2*d)) + (b*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (b*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + b^2/(a*(a^2 + b^2)*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 17, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(2*a^2*d)) - (3*b^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^4*d) - (b*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (3*b*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^4*d) + (2*b*Csc[c + d*x])/(a^3*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^2*d) + b^2/(a^3*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))}
+*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^6/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 9, (a*(5*a^8 - 180*a^6*b^2 + 390*a^4*b^4 - 68*a^2*b^6 - 3*b^8)*x)/(16*(a^2 + b^2)^6) + (a^4*b*(3*a^4 - 22*a^2*b^2 + 15*b^4)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^6*d) - (a^6*b)/(2*(a^2 + b^2)^4*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (2*a^5*b*(a^2 - 3*b^2))/((a^2 + b^2)^5*d*(a + b*Tan[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^6*(b*(3*a^2 - b^2) + a*(a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x]))/(6*(a^2 + b^2)^3*d) + (Cos[c + d*x]^4*(6*b*(9*a^4 - 4*a^2*b^2 - b^4) + a*(13*a^4 - 62*a^2*b^2 - 3*b^4)*Tan[c + d*x]))/(24*(a^2 + b^2)^4*d) - (a*Cos[c + d*x]^2*(24*a^3*b*(3*a^2 - 5*b^2) + (11*a^6 - 119*a^4*b^2 + 65*a^2*b^4 + 3*b^6)*Tan[c + d*x]))/(16*(a^2 + b^2)^5*d)}
+{Sin[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 8, (3*a*(a^6 - 25*a^4*b^2 + 35*a^2*b^4 - 3*b^6)*x)/(8*(a^2 + b^2)^5) + (3*a^2*b*(a^4 - 5*a^2*b^2 + 2*b^4)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^5*d) - (a^4*b)/(2*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (2*a^3*b*(a^2 - 2*b^2))/((a^2 + b^2)^4*d*(a + b*Tan[c + d*x])) + (Cos[c + d*x]^4*(b*(3*a^2 - b^2) + a*(a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x]))/(4*(a^2 + b^2)^3*d) - (a*Cos[c + d*x]^2*(24*a*b*(a^2 - b^2) + (5*a^4 - 34*a^2*b^2 + 9*b^4)*Tan[c + d*x]))/(8*(a^2 + b^2)^4*d)}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 7, (a*(a^4 - 14*a^2*b^2 + 9*b^4)*x)/(2*(a^2 + b^2)^4) + (b*(3*a^4 - 8*a^2*b^2 + b^4)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^4*d) - (a^2*b)/(2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (2*a*b*(a^2 - b^2))/((a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^2*(b*(3*a^2 - b^2) + a*(a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x]))/(2*(a^2 + b^2)^3*d)}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 3, -(Cot[c + d*x]/(a^3*d)) - (3*b*Log[Tan[c + d*x]])/(a^4*d) + (3*b*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(a^4*d) - b/(2*a^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (2*b)/(a^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 3, -(((a^2 + 6*b^2)*Cot[c + d*x])/(a^5*d)) + (3*b*Cot[c + d*x]^2)/(2*a^4*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^3*d) - (b*(3*a^2 + 10*b^2)*Log[Tan[c + d*x]])/(a^6*d) + (b*(3*a^2 + 10*b^2)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(a^6*d) - (b*(a^2 + b^2))/(2*a^4*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (2*b*(a^2 + 2*b^2))/(a^5*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^6/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 3, -(((a^4 + 12*a^2*b^2 + 15*b^4)*Cot[c + d*x])/(a^7*d)) + (b*(3*a^2 + 5*b^2)*Cot[c + d*x]^2)/(a^6*d) - (2*(a^2 + 3*b^2)*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^5*d) + (3*b*Cot[c + d*x]^4)/(4*a^4*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a^3*d) - (b*(3*a^4 + 20*a^2*b^2 + 21*b^4)*Log[Tan[c + d*x]])/(a^8*d) + (b*(3*a^4 + 20*a^2*b^2 + 21*b^4)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(a^8*d) - (b*(a^2 + b^2)^2)/(2*a^6*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (2*b*(a^2 + b^2)*(a^2 + 3*b^2))/(a^7*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+(*
+{Sin[c + d*x]^5/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 0, (3*Sec[c + d*x]^3*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])*(6*a*b*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(-b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]]*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2 + (a^2 + b^2)*(a*(2*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x] + b*(a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])))/(64*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) + (1/(64*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3))*(Sec[c + d*x]^3*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3*(-((70*a*b*(3*a^4 - 10*a^2*b^2 + 3*b^4)*ArcTanh[(-b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(9/2)) - (24*a*(a^4 - 10*a^2*b^2 + 5*b^4)*Cos[c + d*x])/(a^2 + b^2)^4 + (8*a*(a^2 - 3*b^2)*Cos[3*(c + d*x)])/(3*(a^2 + b^2)^3) + (24*b*(5*a^4 - 10*a^2*b^2 + b^4)*Sin[c + d*x])/(a^2 + b^2)^4 - (b*(-3*a^4 + 10*a^2*b^2 - 3*b^4)*Sin[c + d*x])/((a^2 + b^2)^3*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2) - (6*a^6 - 87*a^4*b^2 + 80*a^2*b^4 - 3*b^6)/((a^2 + b^2)^4*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])) + (8*b*(-3*a^2 + b^2)*Sin[3*(c + d*x)])/(3*(a^2 + b^2)^3))) + (Sec[c + d*x]^3*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3*((60*a*b*(a^2 - b^2)*ArcTanh[(-b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(7/2) + (2*(5*a^3*(a^2 - 5*b^2)*Cos[c + d*x] + a*(a^2 + b^2)^2*Cos[3*(c + d*x)] - b*(-5*b^2*(-5*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x] + (a^2 + b^2)^2*Sin[3*(c + d*x)])))/((a^2 + b^2)^3*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2)))/(64*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) - (1/(320*(a^2 + b^2)^6*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3))*(Sec[c + d*x]^3*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])*(1260*a*b*Sqrt[a^2 + b^2]*(a^6 - 7*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 - b^6)*ArcTanh[(-b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]]*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2 + (a^2 + b^2)*(105*a*(a^8 - 26*a^6*b^2 + 56*a^4*b^4 - 14*a^2*b^6 - b^8)*Cos[c + d*x] + 21*a*(a^2 + b^2)^2*(a^4 - 10*a^2*b^2 + 5*b^4)*Cos[3*(c + d*x)] - 3*a^9*Cos[5*(c + d*x)] + 18*a^5*b^4*Cos[5*(c + d*x)] + 24*a^3*b^6*Cos[5*(c + d*x)] + 9*a*b^8*Cos[5*(c + d*x)] + a^9*Cos[7*(c + d*x)] + 4*a^7*b^2*Cos[7*(c + d*x)] + 6*a^5*b^4*Cos[7*(c + d*x)] + 4*a^3*b^6*Cos[7*(c + d*x)] + a*b^8*Cos[7*(c + d*x)] - 105*a^8*b*Sin[c + d*x] - 1470*a^6*b^3*Sin[c + d*x] + 5880*a^4*b^5*Sin[c + d*x] - 2730*a^2*b^7*Sin[c + d*x] + 105*b^9*Sin[c + d*x] - 105*a^8*b*Sin[3*(c + d*x)] + 294*a^4*b^5*Sin[3*(c + d*x)] + 168*a^2*b^7*Sin[3*(c + d*x)] - 21*b^9*Sin[3*(c + d*x)] + 9*a^8*b*Sin[5*(c + d*x)] + 24*a^6*b^3*Sin[5*(c + d*x)] + 18*a^4*b^5*Sin[5*(c + d*x)] - 3*b^9*Sin[5*(c + d*x)] - a^8*b*Sin[7*(c + d*x)] - 4*a^6*b^3*Sin[7*(c + d*x)] - 6*a^4*b^5*Sin[7*(c + d*x)] - 4*a^2*b^7*Sin[7*(c + d*x)] - b^9*Sin[7*(c + d*x)])))}
+{Sin[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 99, (3*a^5*b*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(9/2)*d) - (23*a^3*b^3*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(2*(a^2 + b^2)^(9/2)*d) + (3*a*b^5*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(9/2)*d) + (9*a^3*b^2*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)^4*d) - (3*a*b^4*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)^4*d) - (a^3*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)^3*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^3*d) - (a*b^2*Cos[c + d*x]^3)/((a^2 + b^2)^3*d) + (3*a^4*b*Sin[c + d*x])/((a^2 + b^2)^4*d) - (9*a^2*b^3*Sin[c + d*x])/((a^2 + b^2)^4*d) + (b^3*Sin[c + d*x])/((a^2 + b^2)^3*d) + (a^2*b*Sin[c + d*x]^3)/((a^2 + b^2)^3*d) - (b^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^3*d) + (a^3*b^3*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]))/(2*(a^2 + b^2)^4*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2) + (3*a^4*b^2)/((a^2 + b^2)^4*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])) - (3*a^2*b^4)/((a^2 + b^2)^4*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sin[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 0, -((1/(4*(a^2 + b^2)^(7/2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3))*(Sec[c + d*x]^3*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])*(12*a*b*(2*a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[(-b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]]*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2 + Sqrt[a^2 + b^2]*(a*(3*a^4 - 26*a^2*b^2 + b^4)*Cos[c + d*x] + a*(a^2 + b^2)^2*Cos[3*(c + d*x)] - 2*b*(a^4 + 13*a^2*b^2 - 3*b^4 + (a^2 + b^2)^2*Cos[2*(c + d*x)])*Sin[c + d*x]))))}
+{Csc[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 0, (1/(2*a^3*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3))*(Sec[c + d*x]^2*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])*((3*a*b^2*(2*a^2 + b^2)*Sec[c + d*x]*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))/(a^2 + b^2)^2 - (2*b*(6*a^4 + 5*a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTanh[(-b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]]*Sec[c + d*x]*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2)/(a^2 + b^2)^(5/2) - 2*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)]]*Sec[c + d*x]*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2 + 2*Log[Sin[(1/2)*(c + d*x)]]*Sec[c + d*x]*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2 - (a*b^3*Tan[c + d*x])/(a^2 + b^2)))}
+{Csc[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 20, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(2*a^3*d)) - (6*b^2*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(a^5*d) + (b^3*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(2*a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (3*b*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (6*b*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^5*d) + (3*b*Csc[c + d*x])/(a^4*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a^3*d) + (b^3*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]))/(2*a^3*(a^2 + b^2)*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2) + (3*b^2)/(a^4*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))}
+*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 8, ((3*a^8 - 132*a^6*b^2 + 370*a^4*b^4 - 132*a^2*b^6 + 3*b^8)*x)/(8*(a^2 + b^2)^6) + (4*a*b*(a^2 - b^2)*(a^4 - 8*a^2*b^2 + b^4)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^6*d) - (a^4*b)/(3*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) - (a^3*b*(a^2 - 2*b^2))/((a^2 + b^2)^4*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (3*a^2*b*(a^4 - 5*a^2*b^2 + 2*b^4))/((a^2 + b^2)^5*d*(a + b*Tan[c + d*x])) + (Cos[c + d*x]^4*(4*a*b*(a^2 - b^2) + (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Tan[c + d*x]))/(4*(a^2 + b^2)^4*d) - (Cos[c + d*x]^2*(16*a*b*(2*a^4 - 5*a^2*b^2 + b^4) + (5*a^6 - 65*a^4*b^2 + 55*a^2*b^4 - 3*b^6)*Tan[c + d*x]))/(8*(a^2 + b^2)^5*d)}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 7, ((a^6 - 25*a^4*b^2 + 35*a^2*b^4 - 3*b^6)*x)/(2*(a^2 + b^2)^5) + (4*a*b*(a^4 - 5*a^2*b^2 + 2*b^4)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^5*d) - (a^2*b)/(3*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) - (a*b*(a^2 - b^2))/((a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (b*(3*a^4 - 8*a^2*b^2 + b^4))/((a^2 + b^2)^4*d*(a + b*Tan[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^2*(4*a*b*(a^2 - b^2) + (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Tan[c + d*x]))/(2*(a^2 + b^2)^4*d)}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 3, -(Cot[c + d*x]/(a^4*d)) - (4*b*Log[Tan[c + d*x]])/(a^5*d) + (4*b*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(a^5*d) - b/(3*a^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) - b/(a^3*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (3*b)/(a^4*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 3, -(((a^2 + 10*b^2)*Cot[c + d*x])/(a^6*d)) + (2*b*Cot[c + d*x]^2)/(a^5*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^4*d) - (4*b*(a^2 + 5*b^2)*Log[Tan[c + d*x]])/(a^7*d) + (4*b*(a^2 + 5*b^2)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(a^7*d) - (b*(a^2 + b^2))/(3*a^4*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) - (b*(a^2 + 2*b^2))/(a^5*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (b*(3*a^2 + 10*b^2))/(a^6*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^6/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 3, -(((a^4 + 20*a^2*b^2 + 35*b^4)*Cot[c + d*x])/(a^8*d)) + (2*b*(2*a^2 + 5*b^2)*Cot[c + d*x]^2)/(a^7*d) - (2*(a^2 + 5*b^2)*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^6*d) + (b*Cot[c + d*x]^4)/(a^5*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a^4*d) - (4*b*(a^4 + 10*a^2*b^2 + 14*b^4)*Log[Tan[c + d*x]])/(a^9*d) + (4*b*(a^4 + 10*a^2*b^2 + 14*b^4)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(a^9*d) - (b*(a^2 + b^2)^2)/(3*a^6*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) - (b*(a^2 + b^2)*(a^2 + 3*b^2))/(a^7*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (b*(3*a^4 + 20*a^2*b^2 + 21*b^4))/(a^8*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+
+
+(* Hangs Mathematica 6 & 7: *) 
+{Csc[x]/(1 + Tan[x]), x, 6, -ArcTanh[Cos[x]] + ArcTanh[(Cos[x] - Sin[x])/Sqrt[2]]/Sqrt[2]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^(m/2) (a+b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^(m/2) (a+b Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^m*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 8, (a^3*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (3*a^2*b*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + m))/(d*(2 + m)) + (3*a*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]*Hypergeometric2F1[3/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(3 + m))/(d*(3 + m)) + (b^3*Hypergeometric2F1[2, (4 + m)/2, (6 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(4 + m))/(d*(4 + m))}
+{Sin[c + d*x]^m*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, (a^2*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (2*a*b*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + m))/(d*(2 + m)) + (b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]*Hypergeometric2F1[3/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]*Sin[c + d*x]^(3 + m))/(d*(3 + m))}
+{Sin[c + d*x]^m*(a + b*Tan[c + d*x])^1, x, 5, (a*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (b*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]^(2 + m))/(d*(2 + m))}
+{Sin[c + d*x]^m/(a + b*Tan[c + d*x])^1, x, 14, (2^(1 + m)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, 1 + m, (3 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/(a*d*(1 + m)) + (2^(1 + m)*b*AppellF1[(2 + m)/2, 1 + m, 1, (4 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(b - Sqrt[a^2 + b^2])^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/(Sqrt[a^2 + b^2]*(b - Sqrt[a^2 + b^2])*d*(2 + m)) - (2^(1 + m)*b*AppellF1[(2 + m)/2, 1 + m, 1, (4 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(b + Sqrt[a^2 + b^2])^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/(Sqrt[a^2 + b^2]*(b + Sqrt[a^2 + b^2])*d*(2 + m)) + (2^(1 + m)*a*b*AppellF1[(3 + m)/2, 1 + m, 1, (5 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(b - Sqrt[a^2 + b^2])^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^3*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/(Sqrt[a^2 + b^2]*(b - Sqrt[a^2 + b^2])^2*d*(3 + m)) - (2^(1 + m)*a*b*AppellF1[(3 + m)/2, 1 + m, 1, (5 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(b + Sqrt[a^2 + b^2])^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^3*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/(Sqrt[a^2 + b^2]*(b + Sqrt[a^2 + b^2])^2*d*(3 + m))}
+(* {Sin[c + d*x]^m/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 52, -((2^(1 + m)*b^2*AppellF1[(1 + m)/2, 1 + m, 1, (3 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(b - Sqrt[a^2 + b^2])^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/((a^2 + b^2)^(3/2)*(b - Sqrt[a^2 + b^2])*d*(1 + m))) - (2^(2 + m)*b*(1 - (2*b)/Sqrt[a^2 + b^2])*AppellF1[(1 + m)/2, 1 + m, 1, (3 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(b - Sqrt[a^2 + b^2])^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/(a^2*(b - Sqrt[a^2 + b^2])*d*(1 + m)) + (2^(1 + m)*b^2*AppellF1[(1 + m)/2, 1 + m, 1, (3 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(b + Sqrt[a^2 + b^2])^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/((a^2 + b^2)^(3/2)*(b + Sqrt[a^2 + b^2])*d*(1 + m)) - (2^(2 + m)*b*(1 + (2*b)/Sqrt[a^2 + b^2])*AppellF1[(1 + m)/2, 1 + m, 1, (3 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(b + Sqrt[a^2 + b^2])^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/(a^2*(b + Sqrt[a^2 + b^2])*d*(1 + m)) + (2^(1 + m)*b^2*(b - Sqrt[a^2 + b^2])^2*AppellF1[(1 + m)/2, 1 + m, 2, (3 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(a^2 + 2*b*(b - Sqrt[a^2 + b^2]))]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/((a^2 + b^2)*(a^2 + 2*b*(b - Sqrt[a^2 + b^2]))^2*d*(1 + m)) + (2^(1 + m)*b^2*(b + Sqrt[a^2 + b^2])^2*AppellF1[(1 + m)/2, 1 + m, 2, (3 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(a^2 + 2*b*(b + Sqrt[a^2 + b^2]))]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/((a^2 + b^2)*(a^2 + 2*b*(b + Sqrt[a^2 + b^2]))^2*d*(1 + m)) + (2^(1 + m)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, 1 + m, (3 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/(a^2*d*(1 + m)) - (2^(1 + m)*a*b^2*AppellF1[(2 + m)/2, 1 + m, 1, (4 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(b - Sqrt[a^2 + b^2])^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/((a^2 + b^2)^(3/2)*(b - Sqrt[a^2 + b^2])^2*d*(2 + m)) - (2^(2 + m)*b*(1 - (2*b)/Sqrt[a^2 + b^2])*AppellF1[(2 + m)/2, 1 + m, 1, (4 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(b - Sqrt[a^2 + b^2])^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/(a*(b - Sqrt[a^2 + b^2])^2*d*(2 + m)) - (2^(2 + m)*b^3*AppellF1[(2 + m)/2, 1 + m, 1, (4 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(b - Sqrt[a^2 + b^2])^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*(b - Sqrt[a^2 + b^2])*d*(2 + m)) + (2^(1 + m)*a*b^2*AppellF1[(2 + m)/2, 1 + m, 1, (4 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(b + Sqrt[a^2 + b^2])^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/((a^2 + b^2)^(3/2)*(b + Sqrt[a^2 + b^2])^2*d*(2 + m)) - (2^(2 + m)*b*(1 + (2*b)/Sqrt[a^2 + b^2])*AppellF1[(2 + m)/2, 1 + m, 1, (4 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(b + Sqrt[a^2 + b^2])^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/(a*(b + Sqrt[a^2 + b^2])^2*d*(2 + m)) + (2^(2 + m)*b^3*AppellF1[(2 + m)/2, 1 + m, 1, (4 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(b + Sqrt[a^2 + b^2])^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*(b + Sqrt[a^2 + b^2])*d*(2 + m)) + (2^(2 + m)*a*b^2*(b - Sqrt[a^2 + b^2])*AppellF1[(2 + m)/2, 1 + m, 2, (4 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(a^2 + 2*b*(b - Sqrt[a^2 + b^2]))]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/((a^2 + b^2)*(a^2 + 2*b*(b - Sqrt[a^2 + b^2]))^2*d*(2 + m)) + (2^(2 + m)*b^3*(b - Sqrt[a^2 + b^2])^2*AppellF1[(2 + m)/2, 1 + m, 2, (4 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(a^2 + 2*b*(b - Sqrt[a^2 + b^2]))]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/(a*(a^2 + b^2)*(a^2 + 2*b*(b - Sqrt[a^2 + b^2]))^2*d*(2 + m)) + (2^(2 + m)*a*b^2*(b + Sqrt[a^2 + b^2])*AppellF1[(2 + m)/2, 1 + m, 2, (4 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(a^2 + 2*b*(b + Sqrt[a^2 + b^2]))]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/((a^2 + b^2)*(a^2 + 2*b*(b + Sqrt[a^2 + b^2]))^2*d*(2 + m)) + (2^(2 + m)*b^3*(b + Sqrt[a^2 + b^2])^2*AppellF1[(2 + m)/2, 1 + m, 2, (4 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(a^2 + 2*b*(b + Sqrt[a^2 + b^2]))]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/(a*(a^2 + b^2)*(a^2 + 2*b*(b + Sqrt[a^2 + b^2]))^2*d*(2 + m)) - (2^(2 + m)*b^3*AppellF1[(3 + m)/2, 1 + m, 1, (5 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(b - Sqrt[a^2 + b^2])^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^3*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/((a^2 + b^2)^(3/2)*(b - Sqrt[a^2 + b^2])^2*d*(3 + m)) + (2^(2 + m)*b^3*AppellF1[(3 + m)/2, 1 + m, 1, (5 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(b + Sqrt[a^2 + b^2])^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^3*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/((a^2 + b^2)^(3/2)*(b + Sqrt[a^2 + b^2])^2*d*(3 + m)) + (2^(1 + m)*a^2*b^2*AppellF1[(3 + m)/2, 1 + m, 2, (5 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(a^2 + 2*b*(b - Sqrt[a^2 + b^2]))]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^3*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/((a^2 + b^2)*(a^2 + 2*b*(b - Sqrt[a^2 + b^2]))^2*d*(3 + m)) + (2^(3 + m)*b^3*(b - Sqrt[a^2 + b^2])*AppellF1[(3 + m)/2, 1 + m, 2, (5 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(a^2 + 2*b*(b - Sqrt[a^2 + b^2]))]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^3*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/((a^2 + b^2)*(a^2 + 2*b*(b - Sqrt[a^2 + b^2]))^2*d*(3 + m)) + (2^(1 + m)*a^2*b^2*AppellF1[(3 + m)/2, 1 + m, 2, (5 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(a^2 + 2*b*(b + Sqrt[a^2 + b^2]))]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^3*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/((a^2 + b^2)*(a^2 + 2*b*(b + Sqrt[a^2 + b^2]))^2*d*(3 + m)) + (2^(3 + m)*b^3*(b + Sqrt[a^2 + b^2])*AppellF1[(3 + m)/2, 1 + m, 2, (5 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(a^2 + 2*b*(b + Sqrt[a^2 + b^2]))]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^3*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/((a^2 + b^2)*(a^2 + 2*b*(b + Sqrt[a^2 + b^2]))^2*d*(3 + m)) + (2^(2 + m)*a*b^3*AppellF1[(4 + m)/2, 1 + m, 2, (6 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(a^2 + 2*b*(b - Sqrt[a^2 + b^2]))]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^4*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/((a^2 + b^2)*(a^2 + 2*b*(b - Sqrt[a^2 + b^2]))^2*d*(4 + m)) + (2^(2 + m)*a*b^3*AppellF1[(4 + m)/2, 1 + m, 2, (6 + m)/2, -Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2, (a^2*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)/(a^2 + 2*b*(b + Sqrt[a^2 + b^2]))]*Tan[(1/2)*(c + d*x)]^4*(Tan[(1/2)*(c + d*x)]/(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2))^m*(1 + Tan[(1/2)*(c + d*x)]^2)^m)/((a^2 + b^2)*(a^2 + 2*b*(b + Sqrt[a^2 + b^2]))^2*d*(4 + m))} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^m*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 0, CannotIntegrate[Sin[c + d*x]^m*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x]}
+
+
+{Sin[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 7, -(((a*b^2*n*(5*a^2 + b^2*(3 + 2*n)) + Sqrt[-b^2]*(3*a^4 + a^2*b^2*(6 + 6*n - n^2) + b^4*(3 + 4*n + n^2)))*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - Sqrt[-b^2])]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(16*b*(a^2 + b^2)^2*(a - Sqrt[-b^2])*d*(1 + n))) - ((a*b^2*n*(5*a^2 + b^2*(3 + 2*n)) - Sqrt[-b^2]*(3*a^4 + a^2*b^2*(6 + 6*n - n^2) + b^4*(3 + 4*n + n^2)))*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + Sqrt[-b^2])]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(16*b*(a^2 + b^2)^2*(a + Sqrt[-b^2])*d*(1 + n)) + (Cos[c + d*x]^4*(b + a*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(4*(a^2 + b^2)*d) - (Cos[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n)*(b*(a^2*(7 - n) + b^2*(5 + n)) + a*(5*a^2 + b^2*(3 + 2*n))*Tan[c + d*x]))/(8*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 6, -(((a*b^2*n + Sqrt[-b^2]*(a^2 + b^2*(1 + n)))*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - Sqrt[-b^2])]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(4*b*(a^2 + b^2)*(a - Sqrt[-b^2])*d*(1 + n))) - ((a*b^2*n - Sqrt[-b^2]*(a^2 + b^2*(1 + n)))*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + Sqrt[-b^2])]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(4*b*(a^2 + b^2)*(a + Sqrt[-b^2])*d*(1 + n)) - (Cos[c + d*x]^2*(b + a*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a^2 + b^2)*d)}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 2, (b*Hypergeometric2F1[2, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*Tan[c + d*x])/a]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(a^2*d*(1 + n))}
+{Csc[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 4, (b*(2 - n)*Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(6*a^2*d) - (Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(3*a*d) + (b*(6*a^2 + b^2*(2 - 3*n + n^2))*Hypergeometric2F1[2, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*Tan[c + d*x])/a]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(6*a^4*d*(1 + n))}
+
+{Sin[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 0, CannotIntegrate[Sin[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x]}
+{Sin[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 0, CannotIntegrate[Sin[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x]}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 0, CannotIntegrate[Csc[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x]}
+{Csc[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 0, CannotIntegrate[Csc[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Csc[e+f x]^(m/2) (a+b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Csc[e+f x]^(m/2) (a+b Tan[e+f x])^(n/2)*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.10 (c+d x)^m (a+b tan)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.10 (c+d x)^m (a+b tan)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..864d4bf9
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.10 (c+d x)^m (a+b tan)^n.m	
@@ -0,0 +1,141 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+{x^3*Tan[a + b*x], x, 6, (I*x^4)/4 - (x^3*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b + (3*I*x^2*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*x*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) - (3*I*PolyLog[4, -E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^4)}
+{x^2*Tan[a + b*x], x, 5, (I*x^3)/3 - (x^2*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b + (I*x*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))]/(2*b^3)}
+{x^1*Tan[a + b*x], x, 4, (I*x^2)/2 - (x*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b + (I*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2)}
+{Tan[a + b*x]/x^1, x, 0, Unintegrable[Tan[a + b*x]/x, x]}
+{Tan[a + b*x]/x^2, x, 0, Unintegrable[Tan[a + b*x]/x^2, x]}
+
+
+{x^3*Tan[a + b*x]^2, x, 7, -((I*x^3)/b) - x^4/4 + (3*x^2*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (3*I*x*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (3*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^4) + (x^3*Tan[a + b*x])/b}
+{x^2*Tan[a + b*x]^2, x, 6, -((I*x^2)/b) - x^3/3 + (2*x*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (I*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (x^2*Tan[a + b*x])/b}
+{x^1*Tan[a + b*x]^2, x, 3, -x^2/2 + Log[Cos[a + b*x]]/b^2 + (x*Tan[a + b*x])/b}
+{Tan[a + b*x]^2/x^1, x, 0, Unintegrable[Tan[a + b*x]^2/x, x]}
+{Tan[a + b*x]^2/x^2, x, 0, Unintegrable[Tan[a + b*x]^2/x^2, x]}
+
+
+{x^3*Tan[a + b*x]^3, x, 13, (3*I*x^2)/(2*b^2) + x^3/(2*b) - (I*x^4)/4 - (3*x*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (x^3*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b + (3*I*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^4) - (3*I*x^2*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) + (3*x*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) + (3*I*PolyLog[4, -E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^4) - (3*x^2*Tan[a + b*x])/(2*b^2) + (x^3*Tan[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^2*Tan[a + b*x]^3, x, 9, x^2/(2*b) - (I*x^3)/3 + (x^2*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b - Log[Cos[a + b*x]]/b^3 - (I*x*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 + PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))]/(2*b^3) - (x*Tan[a + b*x])/b^2 + (x^2*Tan[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^1*Tan[a + b*x]^3, x, 7, x/(2*b) - (I*x^2)/2 + (x*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b - (I*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - Tan[a + b*x]/(2*b^2) + (x*Tan[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Tan[a + b*x]^3/x^1, x, 0, Unintegrable[Tan[a + b*x]^3/x, x]}
+{Tan[a + b*x]^3/x^2, x, 0, Unintegrable[Tan[a + b*x]^3/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+{x^2/Tan[a + b*x]^(3/2) - (4*x)/(b*Sqrt[Tan[a + b*x]]) + x^2*Sqrt[Tan[a + b*x]], x, 76, -((2*x^2)/(b*Sqrt[Tan[a + b*x]]))}
+{x^2*Tan[a + b*x^2]^(3/2) + x^2/Sqrt[Tan[a + b*x^2]] + Sqrt[Tan[a + b*x^2]]/b, x, -1, (x*Sqrt[Tan[a + b*x^2]])/b}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Tan[e+f x])^n with a^2+b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+I a Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 5, (((3*I)/8)*d^3*x)/(a*f^3) - (3*d*(c + d*x)^2)/(8*a*f^2) - ((I/4)*(c + d*x)^3)/(a*f) + (c + d*x)^4/(8*a*d) - (3*d^3)/(8*f^4*(a + I*a*Tan[e + f*x])) - (((3*I)/4)*d^2*(c + d*x))/(f^3*(a + I*a*Tan[e + f*x])) + (3*d*(c + d*x)^2)/(4*f^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])) + ((I/2)*(c + d*x)^3)/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{(c + d*x)^2/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 4, -(d^2*x)/(4*a*f^2) - ((I/4)*(c + d*x)^2)/(a*f) + (c + d*x)^3/(6*a*d) - ((I/4)*d^2)/(f^3*(a + I*a*Tan[e + f*x])) + (d*(c + d*x))/(2*f^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])) + ((I/2)*(c + d*x)^2)/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{(c + d*x)^1/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 3, ((-I/4)*d*x)/(a*f) + (c + d*x)^2/(4*a*d) + d/(4*f^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])) + ((I/2)*(c + d*x))/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)^1*(a + I*a*Tan[e + f*x])), x, 7, (Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a*d) + Log[c + d*x]/(2*a*d) - ((I/2)*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sin[2*e - (2*c*f)/d])/(a*d) - ((I/2)*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d) - (Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a*d)}
+{1/((c + d*x)^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])), x, 7, ((-I)*f*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^2) - (f*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sin[2*e - (2*c*f)/d])/(a*d^2) - (f*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^2) + (I*f*Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^2) - 1/(d*(c + d*x)*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)^3*(a + I*a*Tan[e + f*x])), x, 8, ((-I/2)*f)/(a*d^2*(c + d*x)) - (f^2*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^3) + (I*f^2*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sin[2*e - (2*c*f)/d])/(a*d^3) + (I*f^2*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^3) + (f^2*Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^3) - 1/(2*d*(c + d*x)^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])) + (I*f)/(d^2*(c + d*x)*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 10, (-3*d^3*E^((-2*I)*e - (2*I)*f*x))/(16*a^2*f^4) - (3*d^3*E^((-4*I)*e - (4*I)*f*x))/(512*a^2*f^4) - (((3*I)/8)*d^2*E^((-2*I)*e - (2*I)*f*x)*(c + d*x))/(a^2*f^3) - (((3*I)/128)*d^2*E^((-4*I)*e - (4*I)*f*x)*(c + d*x))/(a^2*f^3) + (3*d*E^((-2*I)*e - (2*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(8*a^2*f^2) + (3*d*E^((-4*I)*e - (4*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(64*a^2*f^2) + ((I/4)*E^((-2*I)*e - (2*I)*f*x)*(c + d*x)^3)/(a^2*f) + ((I/16)*E^((-4*I)*e - (4*I)*f*x)*(c + d*x)^3)/(a^2*f) + (c + d*x)^4/(16*a^2*d)}
+{(c + d*x)^2/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 8, ((-I/8)*d^2*E^((-2*I)*e - (2*I)*f*x))/(a^2*f^3) - ((I/128)*d^2*E^((-4*I)*e - (4*I)*f*x))/(a^2*f^3) + (d*E^((-2*I)*e - (2*I)*f*x)*(c + d*x))/(4*a^2*f^2) + (d*E^((-4*I)*e - (4*I)*f*x)*(c + d*x))/(32*a^2*f^2) + ((I/4)*E^((-2*I)*e - (2*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(a^2*f) + ((I/16)*E^((-4*I)*e - (4*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(a^2*f) + (c + d*x)^3/(12*a^2*d)}
+{(c + d*x)^1/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 7, (((-3*I)/16)*d*x)/(a^2*f) - (d*x^2)/(8*a^2) + (x*(c + d*x))/(4*a^2) + d/(16*f^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + ((I/4)*(c + d*x))/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + (3*d)/(16*f^2*(a^2 + I*a^2*Tan[e + f*x])) + ((I/4)*(c + d*x))/(f*(a^2 + I*a^2*Tan[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)^1*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2), x, 21, (Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a^2*d) + (Cos[4*e - (4*c*f)/d]*CosIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(4*a^2*d) + Log[c + d*x]/(4*a^2*d) - ((I/4)*CosIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x]*Sin[4*e - (4*c*f)/d])/(a^2*d) - ((I/2)*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sin[2*e - (2*c*f)/d])/(a^2*d) - ((I/2)*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a^2*d) - (Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a^2*d) - ((I/4)*Cos[4*e - (4*c*f)/d]*SinIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(a^2*d) - (Sin[4*e - (4*c*f)/d]*SinIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(4*a^2*d)}
+{1/((c + d*x)^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2), x, 24, -(1/(4*a^2*d*(c + d*x))) - Cos[2*e + 2*f*x]/(2*a^2*d*(c + d*x)) - Cos[2*e + 2*f*x]^2/(4*a^2*d*(c + d*x)) - (I*f*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a^2*d^2) - (I*f*Cos[4*e - (4*c*f)/d]*CosIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(a^2*d^2) - (f*CosIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x]*Sin[4*e - (4*c*f)/d])/(a^2*d^2) - (f*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sin[2*e - (2*c*f)/d])/(a^2*d^2) + (I*Sin[2*e + 2*f*x])/(2*a^2*d*(c + d*x)) + Sin[2*e + 2*f*x]^2/(4*a^2*d*(c + d*x)) + (I*Sin[4*e + 4*f*x])/(4*a^2*d*(c + d*x)) - (f*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a^2*d^2) + (I*f*Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a^2*d^2) - (f*Cos[4*e - (4*c*f)/d]*SinIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(a^2*d^2) + (I*f*Sin[4*e - (4*c*f)/d]*SinIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(a^2*d^2)}
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 14, (-9*d^3*E^((-2*I)*e - (2*I)*f*x))/(64*a^3*f^4) - (9*d^3*E^((-4*I)*e - (4*I)*f*x))/(1024*a^3*f^4) - (d^3*E^((-6*I)*e - (6*I)*f*x))/(1728*a^3*f^4) - (((9*I)/32)*d^2*E^((-2*I)*e - (2*I)*f*x)*(c + d*x))/(a^3*f^3) - (((9*I)/256)*d^2*E^((-4*I)*e - (4*I)*f*x)*(c + d*x))/(a^3*f^3) - ((I/288)*d^2*E^((-6*I)*e - (6*I)*f*x)*(c + d*x))/(a^3*f^3) + (9*d*E^((-2*I)*e - (2*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(32*a^3*f^2) + (9*d*E^((-4*I)*e - (4*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(128*a^3*f^2) + (d*E^((-6*I)*e - (6*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(96*a^3*f^2) + (((3*I)/16)*E^((-2*I)*e - (2*I)*f*x)*(c + d*x)^3)/(a^3*f) + (((3*I)/32)*E^((-4*I)*e - (4*I)*f*x)*(c + d*x)^3)/(a^3*f) + ((I/48)*E^((-6*I)*e - (6*I)*f*x)*(c + d*x)^3)/(a^3*f) + (c + d*x)^4/(32*a^3*d)}
+{(c + d*x)^2/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 11, (((-3*I)/32)*d^2*E^((-2*I)*e - (2*I)*f*x))/(a^3*f^3) - (((3*I)/256)*d^2*E^((-4*I)*e - (4*I)*f*x))/(a^3*f^3) - ((I/864)*d^2*E^((-6*I)*e - (6*I)*f*x))/(a^3*f^3) + (3*d*E^((-2*I)*e - (2*I)*f*x)*(c + d*x))/(16*a^3*f^2) + (3*d*E^((-4*I)*e - (4*I)*f*x)*(c + d*x))/(64*a^3*f^2) + (d*E^((-6*I)*e - (6*I)*f*x)*(c + d*x))/(144*a^3*f^2) + (((3*I)/16)*E^((-2*I)*e - (2*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(a^3*f) + (((3*I)/32)*E^((-4*I)*e - (4*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(a^3*f) + ((I/48)*E^((-6*I)*e - (6*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(a^3*f) + (c + d*x)^3/(24*a^3*d)}
+{(c + d*x)^1/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 11, (((-11*I)/96)*d*x)/(a^3*f) - (d*x^2)/(16*a^3) + (x*(c + d*x))/(8*a^3) + d/(36*f^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + ((I/6)*(c + d*x))/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + (5*d)/(96*a*f^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + ((I/8)*(c + d*x))/(a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + (11*d)/(96*f^2*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x])) + ((I/8)*(c + d*x))/(f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)^1*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3), x, 53, (3*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(8*a^3*d) + (3*Cos[4*e - (4*c*f)/d]*CosIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(8*a^3*d) + (Cos[6*e - (6*c*f)/d]*CosIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(8*a^3*d) + Log[c + d*x]/(8*a^3*d) - ((I/8)*CosIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x]*Sin[6*e - (6*c*f)/d])/(a^3*d) - (((3*I)/8)*CosIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x]*Sin[4*e - (4*c*f)/d])/(a^3*d) - (((3*I)/8)*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sin[2*e - (2*c*f)/d])/(a^3*d) - (((3*I)/8)*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a^3*d) - (3*Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(8*a^3*d) - (((3*I)/8)*Cos[4*e - (4*c*f)/d]*SinIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(a^3*d) - (3*Sin[4*e - (4*c*f)/d]*SinIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(8*a^3*d) - ((I/8)*Cos[6*e - (6*c*f)/d]*SinIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(a^3*d) - (Sin[6*e - (6*c*f)/d]*SinIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(8*a^3*d)}
+{1/((c + d*x)^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3), x, 60, -(1/(8*a^3*d*(c + d*x))) - (9*Cos[2*e + 2*f*x])/(32*a^3*d*(c + d*x)) - (3*Cos[2*e + 2*f*x]^2)/(8*a^3*d*(c + d*x)) - Cos[2*e + 2*f*x]^3/(8*a^3*d*(c + d*x)) - (3*Cos[6*e + 6*f*x])/(32*a^3*d*(c + d*x)) - (3*I*f*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(4*a^3*d^2) - (3*I*f*Cos[4*e - (4*c*f)/d]*CosIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(2*a^3*d^2) - (3*I*f*Cos[6*e - (6*c*f)/d]*CosIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(4*a^3*d^2) - (3*f*CosIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x]*Sin[6*e - (6*c*f)/d])/(4*a^3*d^2) - (3*f*CosIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x]*Sin[4*e - (4*c*f)/d])/(2*a^3*d^2) - (3*f*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sin[2*e - (2*c*f)/d])/(4*a^3*d^2) + (15*I*Sin[2*e + 2*f*x])/(32*a^3*d*(c + d*x)) + (3*Sin[2*e + 2*f*x]^2)/(8*a^3*d*(c + d*x)) - (I*Sin[2*e + 2*f*x]^3)/(8*a^3*d*(c + d*x)) + (3*I*Sin[4*e + 4*f*x])/(8*a^3*d*(c + d*x)) + (3*I*Sin[6*e + 6*f*x])/(32*a^3*d*(c + d*x)) - (3*f*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(4*a^3*d^2) + (3*I*f*Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(4*a^3*d^2) - (3*f*Cos[4*e - (4*c*f)/d]*SinIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(2*a^3*d^2) + (3*I*f*Sin[4*e - (4*c*f)/d]*SinIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(2*a^3*d^2) - (3*f*Cos[6*e - (6*c*f)/d]*SinIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(4*a^3*d^2) + (3*I*f*Sin[6*e - (6*c*f)/d]*SinIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(4*a^3*d^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Tan[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x]}
+{(c + d*x)^m*(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(a + I*a*Tan[e + f*x]), x]}
+{(c + d*x)^m/(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 2, (c + d*x)^(1 + m)/(2*a*d*(1 + m)) + (I*2^(-2 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((2*I)*f*(c + d*x))/d])/(a*E^((2*I)*(e - (c*f)/d))*f*((I*f*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 4, (c + d*x)^(1 + m)/(4*a^2*d*(1 + m)) + (I*2^(-2 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((2*I)*f*(c + d*x))/d])/(a^2*E^((2*I)*(e - (c*f)/d))*f*((I*f*(c + d*x))/d)^m) + (I*4^(-2 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((4*I)*f*(c + d*x))/d])/(a^2*E^((4*I)*(e - (c*f)/d))*f*((I*f*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 5, (c + d*x)^(1 + m)/(8*a^3*d*(1 + m)) + ((3*I)*2^(-4 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((2*I)*f*(c + d*x))/d])/(a^3*E^((2*I)*(e - (c*f)/d))*f*((I*f*(c + d*x))/d)^m) + ((3*I)*2^(-5 - 2*m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((4*I)*f*(c + d*x))/d])/(a^3*E^((4*I)*(e - (c*f)/d))*f*((I*f*(c + d*x))/d)^m) + (I*2^(-4 - m)*3^(-1 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((6*I)*f*(c + d*x))/d])/(a^3*E^((6*I)*(e - (c*f)/d))*f*((I*f*(c + d*x))/d)^m)}
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+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Tan[e+f x])^n*)
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
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+{(c + d*x)^3*(a + b*Tan[e + f*x]), x, 8, (a*(c + d*x)^4)/(4*d) + ((I/4)*b*(c + d*x)^4)/d - (b*(c + d*x)^3*Log[1 + E^((2*I)*(e + f*x))])/f + (((3*I)/2)*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2 - (3*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^((2*I)*(e + f*x))])/(2*f^3) - (((3*I)/4)*b*d^3*PolyLog[4, -E^((2*I)*(e + f*x))])/f^4}
+{(c + d*x)^2*(a + b*Tan[e + f*x]), x, 7, (a*(c + d*x)^3)/(3*d) + ((I/3)*b*(c + d*x)^3)/d - (b*(c + d*x)^2*Log[1 + E^((2*I)*(e + f*x))])/f + (I*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2 - (b*d^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*(e + f*x))])/(2*f^3)}
+{(c + d*x)^1*(a + b*Tan[e + f*x]), x, 6, (a*(c + d*x)^2)/(2*d) + ((I/2)*b*(c + d*x)^2)/d - (b*(c + d*x)*Log[1 + E^((2*I)*(e + f*x))])/f + ((I/2)*b*d*PolyLog[2, -E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2}
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+
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new file mode 100644
index 00000000..9d690d9a
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.11 (e x)^m (a+b tan(c+d x^n))^p.m	
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+
+
+{x^3*(a + b*Tan[c + d*x^2])^2, x, 10, (a^2*x^4)/4 + (I/2)*a*b*x^4 - (b^2*x^4)/4 - (a*b*x^2*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*x^2))])/d + (b^2*Log[Cos[c + d*x^2]])/(2*d^2) + ((I/2)*a*b*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*x^2))])/d^2 + (b^2*x^2*Tan[c + d*x^2])/(2*d)}
+{x^2*(a + b*Tan[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[x^2*(a + b*Tan[c + d*x^2])^2, x]}
+{x^1*(a + b*Tan[c + d*x^2])^2, x, 3, ((a^2 - b^2)*x^2)/2 - (a*b*Log[Cos[c + d*x^2]])/d + (b^2*Tan[c + d*x^2])/(2*d)}
+{x^0*(a + b*Tan[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Tan[c + d*x^2])^2, x]}
+{(a + b*Tan[c + d*x^2])^2/x^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Tan[c + d*x^2])^2/x, x]}
+{(a + b*Tan[c + d*x^2])^2/x^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Tan[c + d*x^2])^2/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3/(a + b*Tan[c + d*x^2]), x, 5, x^4/(4*(a + I*b)) + (b*x^2*Log[1 + ((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^2)))/(a + I*b)^2])/(2*(a^2 + b^2)*d) - (I*b*PolyLog[2, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^2)))/(a + I*b)^2)])/(4*(a^2 + b^2)*d^2)}
+{x^2/(a + b*Tan[c + d*x^2]), x, 0, Unintegrable[x^2/(a + b*Tan[c + d*x^2]), x]}
+{x^1/(a + b*Tan[c + d*x^2]), x, 3, (a*x^2)/(2*(a^2 + b^2)) + (b*Log[a*Cos[c + d*x^2] + b*Sin[c + d*x^2]])/(2*(a^2 + b^2)*d)}
+{x^0/(a + b*Tan[c + d*x^2]), x, 0, Unintegrable[(a + b*Tan[c + d*x^2])^(-1), x]}
+{1/(x*(a + b*Tan[c + d*x^2])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Tan[c + d*x^2])), x]}
+{1/(x^2*(a + b*Tan[c + d*x^2])), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Tan[c + d*x^2])), x]}
+
+
+{x^3/(a + b*Tan[c + d*x^2])^2, x, 6, -(x^4/(4*(a^2 + b^2))) + (b + 2*a*d*x^2)^2/(8*a*(a + I*b)*(a^2 + b^2)*d^2) + (b*(b + 2*a*d*x^2)*Log[1 + ((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^2)))/(a + I*b)^2])/(2*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (I*a*b*PolyLog[2, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^2)))/(a + I*b)^2)])/(2*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (b*x^2)/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x^2]))}
+{x^2/(a + b*Tan[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[x^2/(a + b*Tan[c + d*x^2])^2, x]}
+{x^1/(a + b*Tan[c + d*x^2])^2, x, 4, ((a^2 - b^2)*x^2)/(2*(a^2 + b^2)^2) + (a*b*Log[a*Cos[c + d*x^2] + b*Sin[c + d*x^2]])/((a^2 + b^2)^2*d) - b/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x^2]))}
+{x^0/(a + b*Tan[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Tan[c + d*x^2])^(-2), x]}
+{1/(x*(a + b*Tan[c + d*x^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Tan[c + d*x^2])^2), x]}
+{1/(x^2*(a + b*Tan[c + d*x^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Tan[c + d*x^2])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Tan[c+d x^(1/2)])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]]), x, 13, (a*x^4)/4 + (I/4)*b*x^4 - (2*b*x^(7/2)*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d + ((7*I)*b*x^3*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (21*b*x^(5/2)*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - (((105*I)/2)*b*x^2*PolyLog[4, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + (105*b*x^(3/2)*PolyLog[5, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + (((315*I)/2)*b*x*PolyLog[6, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 - (315*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/(2*d^7) - (((315*I)/4)*b*PolyLog[8, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^8}
+{x^2*(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]]), x, 11, (a*x^3)/3 + (I/3)*b*x^3 - (2*b*x^(5/2)*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d + ((5*I)*b*x^2*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (10*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - ((15*I)*b*x*PolyLog[4, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + (15*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + (((15*I)/2)*b*PolyLog[6, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6}
+{x^1*(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]]), x, 9, (a*x^2)/2 + (I/2)*b*x^2 - (2*b*x^(3/2)*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d + ((3*I)*b*x*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (3*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - (((3*I)/2)*b*PolyLog[4, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4}
+{a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]], x, 6, a*x + I*b*x - (2*b*Sqrt[x]*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d + (I*b*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2}
+{(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])/x^1, x, 2, a*Log[x] + b*Unintegrable[Tan[c + d*Sqrt[x]]/x, x]}
+{(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Tan[c + d*Sqrt[x]]/x^2, x]}
+
+
+{x^2*(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 20, ((-2*I)*b^2*x^(5/2))/d + (a^2*x^3)/3 + ((2*I)/3)*a*b*x^3 - (b^2*x^3)/3 + (10*b^2*x^2*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (4*a*b*x^(5/2)*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d - ((20*I)*b^2*x^(3/2)*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + ((10*I)*a*b*x^2*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 + (30*b^2*x*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - (20*a*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + ((30*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[4, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 - ((30*I)*a*b*x*PolyLog[4, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - (15*b^2*PolyLog[5, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 + (30*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + ((15*I)*a*b*PolyLog[6, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 + (2*b^2*x^(5/2)*Tan[c + d*Sqrt[x]])/d}
+{x^1*(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 16, ((-2*I)*b^2*x^(3/2))/d + (a^2*x^2)/2 + I*a*b*x^2 - (b^2*x^2)/2 + (6*b^2*x*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (4*a*b*x^(3/2)*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d - ((6*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + ((6*I)*a*b*x*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 + (3*b^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - (6*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - ((3*I)*a*b*PolyLog[4, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + (2*b^2*x^(3/2)*Tan[c + d*Sqrt[x]])/d}
+{x^0*(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 10, a^2*x + (2*I)*a*b*x - b^2*x - (4*a*b*Sqrt[x]*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d + (2*b^2*Log[Cos[c + d*Sqrt[x]]])/d^2 + ((2*I)*a*b*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 + (2*b^2*Sqrt[x]*Tan[c + d*Sqrt[x]])/d}
+{(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])^2/x^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])^2/x, x]}
+{(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])^2/x^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])^2/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3/(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]]), x, 11, x^4/(4*(a + I*b)) + (2*b*x^(7/2)*Log[1 + ((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2])/((a^2 + b^2)*d) - (7*I*b*x^3*PolyLog[2, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^2) + (21*b*x^(5/2)*PolyLog[3, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^3) + (105*I*b*x^2*PolyLog[4, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2)])/(2*(a^2 + b^2)*d^4) - (105*b*x^(3/2)*PolyLog[5, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^5) - (315*I*b*x*PolyLog[6, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2)])/(2*(a^2 + b^2)*d^6) + (315*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2)])/(2*(a^2 + b^2)*d^7) + (315*I*b*PolyLog[8, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2)])/(4*(a^2 + b^2)*d^8)}
+{x^2/(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]]), x, 9, x^3/(3*(a + I*b)) + (2*b*x^(5/2)*Log[1 + ((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2])/((a^2 + b^2)*d) - (5*I*b*x^2*PolyLog[2, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^2) + (10*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^3) + (15*I*b*x*PolyLog[4, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^4) - (15*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^5) - (15*I*b*PolyLog[6, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2)])/(2*(a^2 + b^2)*d^6)}
+{x^1/(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]]), x, 7, x^2/(2*(a + I*b)) + (2*b*x^(3/2)*Log[1 + ((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2])/((a^2 + b^2)*d) - (3*I*b*x*PolyLog[2, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^2) + (3*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^3) + (3*I*b*PolyLog[4, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2)])/(2*(a^2 + b^2)*d^4)}
+{x^0/(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]]), x, 5, x/(a + I*b) + (2*b*Sqrt[x]*Log[1 + ((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2])/((a^2 + b^2)*d) - (I*b*PolyLog[2, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^2)}
+{1/(x*(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])), x]}
+{1/(x^2*(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])), x]}
+
+
+{x^2/(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 28, -((4*I*b^2*x^(5/2))/((a^2 + b^2)^2*d)) + (4*b^2*x^(5/2))/((a + I*b)*(I*a + b)^2*d*(I*a - b + (I*a + b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))) + x^3/(3*(a - I*b)^2) + (4*b*x^3)/(3*(I*a - b)*(a - I*b)^2) - (4*b^2*x^3)/(3*(a^2 + b^2)^2) + (10*b^2*x^2*Log[1 + ((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (4*b*x^(5/2)*Log[1 + ((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*d) - (4*I*b^2*x^(5/2)*Log[1 + ((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)])/((a^2 + b^2)^2*d) - (20*I*b^2*x^(3/2)*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) + (10*b*x^2*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((I*a - b)*(a - I*b)^2*d^2) - (10*b^2*x^2*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (30*b^2*x*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^4) + (20*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*d^3) - (20*I*b^2*x^(3/2)*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) + (30*I*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[4, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^5) - (30*b*x*PolyLog[4, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((I*a - b)*(a - I*b)^2*d^4) + (30*b^2*x*PolyLog[4, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^4) - (15*b^2*PolyLog[5, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^6) - (30*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*d^5) + (30*I*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[5, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^5) + (15*b*PolyLog[6, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((I*a - b)*(a - I*b)^2*d^6) - (15*b^2*PolyLog[6, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^6)}
+{x^1/(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 22, -((4*I*b^2*x^(3/2))/((a^2 + b^2)^2*d)) + (4*b^2*x^(3/2))/((a + I*b)*(I*a + b)^2*d*(I*a - b + (I*a + b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))) + x^2/(2*(a - I*b)^2) + (2*b*x^2)/((I*a - b)*(a - I*b)^2) - (2*b^2*x^2)/(a^2 + b^2)^2 + (6*b^2*x*Log[1 + ((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (4*b*x^(3/2)*Log[1 + ((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*d) - (4*I*b^2*x^(3/2)*Log[1 + ((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)])/((a^2 + b^2)^2*d) - (6*I*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) + (6*b*x*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((I*a - b)*(a - I*b)^2*d^2) - (6*b^2*x*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (3*b^2*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^4) + (6*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*d^3) - (6*I*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) - (3*b*PolyLog[4, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((I*a - b)*(a - I*b)^2*d^4) + (3*b^2*PolyLog[4, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^4)}
+{x^0/(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 6, (b + 2*a*d*Sqrt[x])^2/(2*a*(a + I*b)*(a^2 + b^2)*d^2) - x/(a^2 + b^2) + (2*b*(b + 2*a*d*Sqrt[x])*Log[1 + ((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (2*I*a*b*PolyLog[2, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*Sqrt[x])))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (2*b*Sqrt[x])/((a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]]))}
+{1/(x*(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])^2), x]}
+{1/(x^2*(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Tan[c + d*Sqrt[x]])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Tan[c+d x^(1/3)])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^2*(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)]), x, 14, (a*x^3)/3 + (I/3)*b*x^3 - (3*b*x^(8/3)*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d + ((12*I)*b*x^(7/3)*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^2 - (42*b*x^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^3 - ((126*I)*b*x^(5/3)*PolyLog[4, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^4 + (315*b*x^(4/3)*PolyLog[5, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^5 + ((630*I)*b*x*PolyLog[6, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^6 - (945*b*x^(2/3)*PolyLog[7, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^7 - ((945*I)*b*x^(1/3)*PolyLog[8, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^8 + (945*b*PolyLog[9, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/(2*d^9)}
+{x^1*(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)]), x, 11, (a*x^2)/2 + (I/2)*b*x^2 - (3*b*x^(5/3)*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d + (((15*I)/2)*b*x^(4/3)*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^2 - (15*b*x*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^3 - (((45*I)/2)*b*x^(2/3)*PolyLog[4, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^4 + (45*b*x^(1/3)*PolyLog[5, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/(2*d^5) + (((45*I)/4)*b*PolyLog[6, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^6}
+{a + b*Tan[c + d*x^(1/3)], x, 7, a*x + I*b*x - (3*b*x^(2/3)*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d + ((3*I)*b*x^(1/3)*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^2 - (3*b*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/(2*d^3)}
+{(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])/x^1, x, 2, a*Log[x] + b*Unintegrable[Tan[c + d*x^(1/3)]/x, x]}
+{(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Tan[c + d*x^(1/3)]/x^2, x]}
+
+
+{x^2*(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])^2, x, 26, ((-3*I)*b^2*x^(8/3))/d + (a^2*x^3)/3 + ((2*I)/3)*a*b*x^3 - (b^2*x^3)/3 + (24*b^2*x^(7/3)*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^2 - (6*a*b*x^(8/3)*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d - ((84*I)*b^2*x^2*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^3 + ((24*I)*a*b*x^(7/3)*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^2 + (252*b^2*x^(5/3)*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^4 - (84*a*b*x^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^3 + ((630*I)*b^2*x^(4/3)*PolyLog[4, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^5 - ((252*I)*a*b*x^(5/3)*PolyLog[4, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^4 - (1260*b^2*x*PolyLog[5, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^6 + (630*a*b*x^(4/3)*PolyLog[5, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^5 - ((1890*I)*b^2*x^(2/3)*PolyLog[6, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^7 + ((1260*I)*a*b*x*PolyLog[6, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^6 + (1890*b^2*x^(1/3)*PolyLog[7, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^8 - (1890*a*b*x^(2/3)*PolyLog[7, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^7 + ((945*I)*b^2*PolyLog[8, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^9 - ((1890*I)*a*b*x^(1/3)*PolyLog[8, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^8 + (945*a*b*PolyLog[9, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^9 + (3*b^2*x^(8/3)*Tan[c + d*x^(1/3)])/d}
+{x^1*(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])^2, x, 20, ((-3*I)*b^2*x^(5/3))/d + (a^2*x^2)/2 + I*a*b*x^2 - (b^2*x^2)/2 + (15*b^2*x^(4/3)*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^2 - (6*a*b*x^(5/3)*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d - ((30*I)*b^2*x*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^3 + ((15*I)*a*b*x^(4/3)*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^2 + (45*b^2*x^(2/3)*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^4 - (30*a*b*x*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^3 + ((45*I)*b^2*x^(1/3)*PolyLog[4, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^5 - ((45*I)*a*b*x^(2/3)*PolyLog[4, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^4 - (45*b^2*PolyLog[5, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/(2*d^6) + (45*a*b*x^(1/3)*PolyLog[5, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^5 + (((45*I)/2)*a*b*PolyLog[6, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^6 + (3*b^2*x^(5/3)*Tan[c + d*x^(1/3)])/d}
+{x^0*(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])^2, x, 14, ((-3*I)*b^2*x^(2/3))/d + a^2*x + (2*I)*a*b*x - b^2*x + (6*b^2*x^(1/3)*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^2 - (6*a*b*x^(2/3)*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d - ((3*I)*b^2*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^3 + ((6*I)*a*b*x^(1/3)*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^2 - (3*a*b*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*x^(1/3)))])/d^3 + (3*b^2*x^(2/3)*Tan[c + d*x^(1/3)])/d}
+{(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])^2/x^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])^2/x, x]}
+{(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])^2/x^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])^2/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^2/(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)]), x, 12, x^3/(3*(a + I*b)) + (3*b*x^(8/3)*Log[1 + ((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)^2])/((a^2 + b^2)*d) - (12*I*b*x^(7/3)*PolyLog[2, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^2) + (42*b*x^2*PolyLog[3, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^3) + (126*I*b*x^(5/3)*PolyLog[4, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^4) - (315*b*x^(4/3)*PolyLog[5, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^5) - (630*I*b*x*PolyLog[6, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^6) + (945*b*x^(2/3)*PolyLog[7, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^7) + (945*I*b*x^(1/3)*PolyLog[8, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^8) - (945*b*PolyLog[9, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)^2)])/(2*(a^2 + b^2)*d^9)}
+{x^1/(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)]), x, 9, x^2/(2*(a + I*b)) + (3*b*x^(5/3)*Log[1 + ((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)^2])/((a^2 + b^2)*d) - (15*I*b*x^(4/3)*PolyLog[2, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)^2)])/(2*(a^2 + b^2)*d^2) + (15*b*x*PolyLog[3, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^3) + (45*I*b*x^(2/3)*PolyLog[4, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)^2)])/(2*(a^2 + b^2)*d^4) - (45*b*x^(1/3)*PolyLog[5, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)^2)])/(2*(a^2 + b^2)*d^5) - (45*I*b*PolyLog[6, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)^2)])/(4*(a^2 + b^2)*d^6)}
+{x^0/(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)]), x, 6, x/(a + I*b) + (3*b*x^(2/3)*Log[1 + ((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)^2])/((a^2 + b^2)*d) - (3*I*b*x^(1/3)*PolyLog[2, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)^2)])/((a^2 + b^2)*d^2) + (3*b*PolyLog[3, -(((a^2 + b^2)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)^2)])/(2*(a^2 + b^2)*d^3)}
+{1/(x*(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])), x]}
+{1/(x^2*(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])), x]}
+
+
+{x^2/(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])^2, x, 37, -((6*I*b^2*x^(8/3))/((a^2 + b^2)^2*d)) + (6*b^2*x^(8/3))/((a + I*b)*(I*a + b)^2*d*(I*a - b + (I*a + b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))) + x^3/(3*(a - I*b)^2) + (4*b*x^3)/(3*(I*a - b)*(a - I*b)^2) - (4*b^2*x^3)/(3*(a^2 + b^2)^2) + (24*b^2*x^(7/3)*Log[1 + ((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (6*b*x^(8/3)*Log[1 + ((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*d) - (6*I*b^2*x^(8/3)*Log[1 + ((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)])/((a^2 + b^2)^2*d) - (84*I*b^2*x^2*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) + (24*b*x^(7/3)*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((I*a - b)*(a - I*b)^2*d^2) - (24*b^2*x^(7/3)*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (252*b^2*x^(5/3)*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^4) + (84*b*x^2*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*d^3) - (84*I*b^2*x^2*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) + (630*I*b^2*x^(4/3)*PolyLog[4, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^5) - (252*b*x^(5/3)*PolyLog[4, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((I*a - b)*(a - I*b)^2*d^4) + (252*b^2*x^(5/3)*PolyLog[4, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^4) - (1260*b^2*x*PolyLog[5, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^6) - (630*b*x^(4/3)*PolyLog[5, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*d^5) + (630*I*b^2*x^(4/3)*PolyLog[5, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^5) - (1890*I*b^2*x^(2/3)*PolyLog[6, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^7) + (1260*b*x*PolyLog[6, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((I*a - b)*(a - I*b)^2*d^6) - (1260*b^2*x*PolyLog[6, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^6) + (1890*b^2*x^(1/3)*PolyLog[7, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^8) + (1890*b*x^(2/3)*PolyLog[7, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*d^7) - (1890*I*b^2*x^(2/3)*PolyLog[7, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^7) + (945*I*b^2*PolyLog[8, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^9) - (1890*b*x^(1/3)*PolyLog[8, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((I*a - b)*(a - I*b)^2*d^8) + (1890*b^2*x^(1/3)*PolyLog[8, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^8) - (945*b*PolyLog[9, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*d^9) + (945*I*b^2*PolyLog[9, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^9)}
+{x^1/(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])^2, x, 28, -((6*I*b^2*x^(5/3))/((a^2 + b^2)^2*d)) + (6*b^2*x^(5/3))/((a + I*b)*(I*a + b)^2*d*(I*a - b + (I*a + b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))) + x^2/(2*(a - I*b)^2) + (2*b*x^2)/((I*a - b)*(a - I*b)^2) - (2*b^2*x^2)/(a^2 + b^2)^2 + (15*b^2*x^(4/3)*Log[1 + ((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (6*b*x^(5/3)*Log[1 + ((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*d) - (6*I*b^2*x^(5/3)*Log[1 + ((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)])/((a^2 + b^2)^2*d) - (30*I*b^2*x*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) + (15*b*x^(4/3)*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((I*a - b)*(a - I*b)^2*d^2) - (15*b^2*x^(4/3)*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (45*b^2*x^(2/3)*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^4) + (30*b*x*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*d^3) - (30*I*b^2*x*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) + (45*I*b^2*x^(1/3)*PolyLog[4, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^5) - (45*b*x^(2/3)*PolyLog[4, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((I*a - b)*(a - I*b)^2*d^4) + (45*b^2*x^(2/3)*PolyLog[4, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^4) - (45*b^2*PolyLog[5, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/(2*(a^2 + b^2)^2*d^6) - (45*b*x^(1/3)*PolyLog[5, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*d^5) + (45*I*b^2*x^(1/3)*PolyLog[5, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^5) + (45*b*PolyLog[6, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/(2*(I*a - b)*(a - I*b)^2*d^6) - (45*b^2*PolyLog[6, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/(2*(a^2 + b^2)^2*d^6)}
+{x^0/(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])^2, x, 19, -((6*I*b^2*x^(2/3))/((a^2 + b^2)^2*d)) + (6*b^2*x^(2/3))/((a + I*b)*(I*a + b)^2*d*(I*a - b + (I*a + b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))) + x/(a - I*b)^2 + (4*b*x)/((I*a - b)*(a - I*b)^2) - (4*b^2*x)/(a^2 + b^2)^2 + (6*b^2*x^(1/3)*Log[1 + ((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (6*b*x^(2/3)*Log[1 + ((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*d) - (6*I*b^2*x^(2/3)*Log[1 + ((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b)])/((a^2 + b^2)^2*d) - (3*I*b^2*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) + (6*b*x^(1/3)*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((I*a - b)*(a - I*b)^2*d^2) - (6*b^2*x^(1/3)*PolyLog[2, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (3*b*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a - I*b)^2*(a + I*b)*d^3) - (3*I*b^2*PolyLog[3, -(((a - I*b)*E^(2*I*(c + d*x^(1/3))))/(a + I*b))])/((a^2 + b^2)^2*d^3)}
+{1/(x*(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])^2), x]}
+{1/(x^2*(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Tan[c + d*x^(1/3)])^2), x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.2.1 (a+b tan)^m (c+d tan)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.2.1 (a+b tan)^m (c+d tan)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..8471e2f0
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.2.1 (a+b tan)^m (c+d tan)^n.m	
@@ -0,0 +1,2220 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (d Tan[e+f x])^n*)
+
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (d Tan[e+f x])^n*)
+
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (d Tan[e+f x])^n*)
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
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+
+{Tan[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 6, (-I)*a*x - (a*Log[Cos[c + d*x]])/d + (I*a*Tan[c + d*x])/d - (a*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) - ((I/3)*a*Tan[c + d*x]^3)/d + (a*Tan[c + d*x]^4)/(4*d) + ((I/5)*a*Tan[c + d*x]^5)/d}
+{Tan[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 5, a*x - (I*a*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a*Tan[c + d*x])/d - ((I/2)*a*Tan[c + d*x]^2)/d + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + ((I/4)*a*Tan[c + d*x]^4)/d}
+{Tan[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 4, I*a*x + (a*Log[Cos[c + d*x]])/d - (I*a*Tan[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) + ((I/3)*a*Tan[c + d*x]^3)/d}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, -(a*x) + (I*a*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a*Tan[c + d*x])/d + ((I/2)*a*Tan[c + d*x]^2)/d}
+{Tan[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 2, (-I)*a*x - (a*Log[Cos[c + d*x]])/d + (I*a*Tan[c + d*x])/d}
+{a + I*a*Tan[c + d*x], x, 2, a*x - (I*a*Log[Cos[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 2, I*a*x + (a*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, -(a*x) - (a*Cot[c + d*x])/d + (I*a*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 4, (-I)*a*x - (I*a*Cot[c + d*x])/d - (a*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 5, a*x + (a*Cot[c + d*x])/d - ((I/2)*a*Cot[c + d*x]^2)/d - (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (I*a*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 6, I*a*x + (I*a*Cot[c + d*x])/d + (a*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - ((I/3)*a*Cot[c + d*x]^3)/d - (a*Cot[c + d*x]^4)/(4*d) + (a*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 7, -(a*x) - (a*Cot[c + d*x])/d + ((I/2)*a*Cot[c + d*x]^2)/d + (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - ((I/4)*a*Cot[c + d*x]^4)/d - (a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (I*a*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+
+
+{Tan[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 6, 2*a^2*x - ((2*I)*a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d - (2*a^2*Tan[c + d*x])/d - (I*a^2*Tan[c + d*x]^2)/d + (2*a^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + ((I/2)*a^2*Tan[c + d*x]^4)/d - (a^2*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Tan[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 5, (2*I)*a^2*x + (2*a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d - ((2*I)*a^2*Tan[c + d*x])/d + (a^2*Tan[c + d*x]^2)/d + (((2*I)/3)*a^2*Tan[c + d*x]^3)/d - (a^2*Tan[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -2*a^2*x + (2*I*a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*Tan[c + d*x])/d - (I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(3*a*d)}
+{Tan[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -2*I*a^2*x - (2*a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d + (I*a^2*Tan[c + d*x])/d + (a + I*a*Tan[c + d*x])^2/(2*d)}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 2, 2*a^2*x - ((2*I)*a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (2*I)*a^2*x + (a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -2*a^2*x - (a^2*Cot[c + d*x])/d + ((2*I)*a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (-2*I)*a^2*x - ((2*I)*a^2*Cot[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (2*a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 5, 2*a^2*x + (2*a^2*Cot[c + d*x])/d - (I*a^2*Cot[c + d*x]^2)/d - (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - ((2*I)*a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 6, (2*I)*a^2*x + ((2*I)*a^2*Cot[c + d*x])/d + (a^2*Cot[c + d*x]^2)/d - (((2*I)/3)*a^2*Cot[c + d*x]^3)/d - (a^2*Cot[c + d*x]^4)/(4*d) + (2*a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 7, -2*a^2*x - (2*a^2*Cot[c + d*x])/d + (I*a^2*Cot[c + d*x]^2)/d + (2*a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - ((I/2)*a^2*Cot[c + d*x]^4)/d - (a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + ((2*I)*a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 6, (4*I)*a^3*x + (4*a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d - ((4*I)*a^3*Tan[c + d*x])/d + (2*a^3*Tan[c + d*x]^2)/d + (((4*I)/3)*a^3*Tan[c + d*x]^3)/d - (11*a^3*Tan[c + d*x]^4)/(20*d) - (Tan[c + d*x]^4*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(5*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, -4*a^3*x + ((4*I)*a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d + (2*a^3*Tan[c + d*x])/d - ((I/2)*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/d - ((I/4)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4)/(a*d)}
+{Tan[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (-4*I)*a^3*x - (4*a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d + ((2*I)*a^3*Tan[c + d*x])/d + (a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + (a + I*a*Tan[c + d*x])^3/(3*d)}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 3, 4*a^3*x - ((4*I)*a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d - (2*a^3*Tan[c + d*x])/d + ((I/2)*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/d}
+{Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 5, (4*I)*a^3*x + (3*a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 5, -4*a^3*x + (I*a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d + ((3*I)*a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d - (Cot[c + d*x]*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (-4*I)*a^3*x - ((2*I)*a^3*Cot[c + d*x])/d - (4*a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 5, 4*a^3*x + (2*a^3*Cot[c + d*x])/d - ((4*I)*a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d - ((I/2)*a*Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/d - (Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 6, (4*I)*a^3*x + ((4*I)*a^3*Cot[c + d*x])/d + (2*a^3*Cot[c + d*x]^2)/d - (((3*I)/4)*a^3*Cot[c + d*x]^3)/d + (4*a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d - (Cot[c + d*x]^4*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(4*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 7, -4*a^3*x - (4*a^3*Cot[c + d*x])/d + ((2*I)*a^3*Cot[c + d*x]^2)/d + (4*a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (((11*I)/20)*a^3*Cot[c + d*x]^4)/d + ((4*I)*a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d - (Cot[c + d*x]^5*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(5*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 7, (8*I)*a^4*x + (8*a^4*Log[Cos[c + d*x]])/d - ((8*I)*a^4*Tan[c + d*x])/d + (4*a^4*Tan[c + d*x]^2)/d + (((8*I)/3)*a^4*Tan[c + d*x]^3)/d - (67*a^4*Tan[c + d*x]^4)/(60*d) - (Tan[c + d*x]^4*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(6*d) - (7*Tan[c + d*x]^4*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(15*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, -8*a^4*x + ((8*I)*a^4*Log[Cos[c + d*x]])/d + (4*a^4*Tan[c + d*x])/d - ((I/3)*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/d - ((I/5)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5)/(a*d) - (I*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/d}
+{Tan[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, (-8*I)*a^4*x - (8*a^4*Log[Cos[c + d*x]])/d + ((4*I)*a^4*Tan[c + d*x])/d + (a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) + (a + I*a*Tan[c + d*x])^4/(4*d) + (a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2/d}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 4, 8*a^4*x - ((8*I)*a^4*Log[Cos[c + d*x]])/d - (4*a^4*Tan[c + d*x])/d + ((I/3)*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/d + (I*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/d}
+{Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 6, (8*I)*a^4*x + (7*a^4*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^4*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2/(2*d) - (3*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, -8*a^4*x + ((4*I)*a^4*Log[Cos[c + d*x]])/d + ((4*I)*a^4*Log[Sin[c + d*x]])/d - (Cot[c + d*x]*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 6, (-8*I)*a^4*x - (a^4*Log[Cos[c + d*x]])/d - (7*a^4*Log[Sin[c + d*x]])/d - (Cot[c + d*x]^2*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) - ((3*I)*Cot[c + d*x]*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, 8*a^4*x + (4*a^4*Cot[c + d*x])/d - ((8*I)*a^4*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) - (I*Cot[c + d*x]^2*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/d}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 6, (8*I)*a^4*x + ((4*I)*a^4*Cot[c + d*x])/d + (8*a^4*Log[Sin[c + d*x]])/d - ((I/3)*a*Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/d - (Cot[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4)/(4*d) + (Cot[c + d*x]^2*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/d}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 7, -8*a^4*x - (8*a^4*Cot[c + d*x])/d + ((4*I)*a^4*Cot[c + d*x]^2)/d + (23*a^4*Cot[c + d*x]^3)/(15*d) + ((8*I)*a^4*Log[Sin[c + d*x]])/d - (Cot[c + d*x]^5*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(5*d) - (((3*I)/5)*Cot[c + d*x]^4*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cot[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 8, (-8*I)*a^4*x - ((8*I)*a^4*Cot[c + d*x])/d - (4*a^4*Cot[c + d*x]^2)/d + (((8*I)/3)*a^4*Cot[c + d*x]^3)/d + (67*a^4*Cot[c + d*x]^4)/(60*d) - (8*a^4*Log[Sin[c + d*x]])/d - (Cot[c + d*x]^6*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(6*d) - (((7*I)/15)*Cot[c + d*x]^5*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/d}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^6/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 6, (5*x)/(2*a) + ((3*I)*Log[Cos[c + d*x]])/(a*d) - (5*Tan[c + d*x])/(2*a*d) + (((3*I)/2)*Tan[c + d*x]^2)/(a*d) + (5*Tan[c + d*x]^3)/(6*a*d) - (((3*I)/4)*Tan[c + d*x]^4)/(a*d) - Tan[c + d*x]^5/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^5/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 5, (((-5*I)/2)*x)/a + (2*Log[Cos[c + d*x]])/(a*d) + (((5*I)/2)*Tan[c + d*x])/(a*d) + Tan[c + d*x]^2/(a*d) - (((5*I)/6)*Tan[c + d*x]^3)/(a*d) - Tan[c + d*x]^4/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 4, (-3*x)/(2*a) - ((2*I)*Log[Cos[c + d*x]])/(a*d) + (3*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - (I*Tan[c + d*x]^2)/(a*d) - Tan[c + d*x]^3/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, (((3*I)/2)*x)/a - Log[Cos[c + d*x]]/(a*d) - (((3*I)/2)*Tan[c + d*x])/(a*d) - Tan[c + d*x]^2/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, x/(2*a) + (I*Log[Cos[c + d*x]])/(a*d) - I/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 2, -((I*x)/(2*a)) - 1/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-1), x, 2, x/(2*a) + (I/2)/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 4, ((-I/2)*x)/a + Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) + 1/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 4, (-3*x)/(2*a) - (3*Cot[c + d*x])/(2*a*d) - (I*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d) + Cot[c + d*x]/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 5, (((3*I)/2)*x)/a + (((3*I)/2)*Cot[c + d*x])/(a*d) - Cot[c + d*x]^2/(a*d) - (2*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d) + Cot[c + d*x]^2/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 6, (5*x)/(2*a) + (5*Cot[c + d*x])/(2*a*d) + (I*Cot[c + d*x]^2)/(a*d) - (5*Cot[c + d*x]^3)/(6*a*d) + ((2*I)*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d) + Cot[c + d*x]^3/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^6/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 6, (-25*x)/(4*a^2) - ((6*I)*Log[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) + (25*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d) - ((3*I)*Tan[c + d*x]^2)/(a^2*d) - (25*Tan[c + d*x]^3)/(12*a^2*d) + (((3*I)/2)*Tan[c + d*x]^4)/(a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) - Tan[c + d*x]^5/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{Tan[c + d*x]^5/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 5, (((15*I)/4)*x)/a^2 - (4*Log[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - (((15*I)/4)*Tan[c + d*x])/(a^2*d) - (2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2*d) + (((5*I)/4)*Tan[c + d*x]^3)/(a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) - Tan[c + d*x]^4/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (9*x)/(4*a^2) + ((2*I)*Log[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) - (9*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d) + (I*Tan[c + d*x]^2)/(a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) - Tan[c + d*x]^3/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 6, -((3*I*x)/(4*a^2)) + Log[Cos[c + d*x]]/(a^2*d) - 3/(4*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) - Tan[c + d*x]^2/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -(x/(4*a^2)) + (3*I)/(4*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) - I/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, ((-I/4)*x)/a^2 - 1/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + 1/(4*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^0/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, x/(4*a^2) + (I/4)/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (I/4)/(d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (((-3*I)/4)*x)/a^2 + Log[Sin[c + d*x]]/(a^2*d) + 3/(4*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + 1/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 5, (-9*x)/(4*a^2) - (9*Cot[c + d*x])/(4*a^2*d) - ((2*I)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + Cot[c + d*x]/(a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + Cot[c + d*x]/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 6, (((15*I)/4)*x)/a^2 + (((15*I)/4)*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - (2*Cot[c + d*x]^2)/(a^2*d) - (4*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (5*Cot[c + d*x]^2)/(4*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + Cot[c + d*x]^2/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^6/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 6, (55*x)/(8*a^3) + ((7*I)*Log[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) - (55*Tan[c + d*x])/(8*a^3*d) + (((7*I)/2)*Tan[c + d*x]^2)/(a^3*d) - Tan[c + d*x]^5/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (((13*I)/24)*Tan[c + d*x]^4)/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (55*Tan[c + d*x]^3)/(24*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^5/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 5, (((-25*I)/8)*x)/a^3 + (3*Log[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) + (((25*I)/8)*Tan[c + d*x])/(a^3*d) - Tan[c + d*x]^4/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (((11*I)/24)*Tan[c + d*x]^3)/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (3*Tan[c + d*x]^2)/(2*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 7, -((7*x)/(8*a^3)) - (I*Log[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) - Tan[c + d*x]^3/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (3*I*Tan[c + d*x]^2)/(8*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (7*I)/(8*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (I*x)/(8*a^3) + 3/(8*a^3*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + (I*Tan[c + d*x]^3)/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) - 1/(8*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, -(x/(8*a^3)) - I/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (3*I)/(8*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) - I/(8*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, ((-I/8)*x)/a^3 - 1/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + 1/(8*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + 1/(8*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-3), x, 4, x/(8*a^3) + (I/6)/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (I/8)/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (I/8)/(d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 5, (((-7*I)/8)*x)/a^3 + Log[Sin[c + d*x]]/(a^3*d) + 1/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + 3/(8*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + 7/(8*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 6, (-25*x)/(8*a^3) - (25*Cot[c + d*x])/(8*a^3*d) - ((3*I)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + Cot[c + d*x]/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (11*Cot[c + d*x])/(24*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (3*Cot[c + d*x])/(2*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^6/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 6, (-65*x)/(16*a^4) - ((4*I)*Log[Cos[c + d*x]])/(a^4*d) + (65*Tan[c + d*x])/(16*a^4*d) - ((2*I)*Tan[c + d*x]^2)/(a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + (31*Tan[c + d*x]^3)/(48*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])^2) - Tan[c + d*x]^5/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + (((7*I)/24)*Tan[c + d*x]^4)/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)}
+{Tan[c + d*x]^5/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 8, (15*I*x)/(16*a^4) - Log[Cos[c + d*x]]/(a^4*d) + 15/(16*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + (7*Tan[c + d*x]^2)/(16*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])^2) - Tan[c + d*x]^4/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + (I*Tan[c + d*x]^3)/(4*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, x/(16*a^4) - (3*I)/(16*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + (I*Tan[c + d*x]^4)/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + Tan[c + d*x]^3/(12*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + I/(16*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, (I*x)/(16*a^4) + 3/(16*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + Tan[c + d*x]^4/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + (I*Tan[c + d*x]^3)/(12*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) - 1/(16*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, -(x/(16*a^4)) - I/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + I/(4*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) - I/(16*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2) - I/(16*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, ((-I/16)*x)/a^4 - 1/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + 1/(12*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + 1/(16*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2) + 1/(16*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-4), x, 5, x/(16*a^4) + (I/8)/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + (I/12)/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (I/16)/(d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2) + (I/16)/(d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 6, (((-15*I)/16)*x)/a^4 + Log[Sin[c + d*x]]/(a^4*d) + 7/(16*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])^2) + 15/(16*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + 1/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + 1/(4*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 7, (-65*x)/(16*a^4) - (65*Cot[c + d*x])/(16*a^4*d) - ((4*I)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + (31*Cot[c + d*x])/(48*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])^2) + (2*Cot[c + d*x])/(a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + Cot[c + d*x]/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + (7*Cot[c + d*x])/(24*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^(m/2) (d Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^4*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 6, -((I*Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d) + (8*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*d) - (2*I*Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*d) + (2*Tan[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(7*d) + (62*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(105*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 5, (Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (8*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*d) + (2*Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*d) - (2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(15*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 3, (I*Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (((2*I)/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(a*d)}
+{Tan[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 3, -((Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d) + (2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 2, ((-I)*Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d}
+{Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 6, (-2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d}
+{Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 8, ((-I)*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + (I*Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 8, (7*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*d) - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - ((I/4)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d - (Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*Sqrt[2]*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d + (((2*I)/7)*a^2*Tan[c + d*x]^3)/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (2*a^2*Tan[c + d*x]^4)/(7*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (64*a*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*d) + (16*a*Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*d) - (76*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(105*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, ((2*I)*Sqrt[2]*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - ((2*I)*a*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d - (((2*I)/5)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(a*d)}
+{Tan[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, (-2*Sqrt[2]*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d + (2*a*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d + (2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 3, ((-2*I)*Sqrt[2]*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d + ((2*I)*a*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 6, (-2*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + (2*Sqrt[2]*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((-3*I)*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + ((2*I)*Sqrt[2]*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (I*a^2)/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (a^2*Cot[c + d*x])/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 9, (11*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*d) - (2*Sqrt[2]*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - ((I/2)*a^2*Cot[c + d*x])/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (a^2*Cot[c + d*x]^2)/(2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (((5*I)/4)*a*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 7, (4*Sqrt[2]*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (368*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d) + (92*a^2*Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d) + (((38*I)/63)*a^2*Tan[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d - (2*a^2*Tan[c + d*x]^4*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(9*d) - (472*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(315*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 5, ((4*I)*Sqrt[2]*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - ((4*I)*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d - (((2*I)/3)*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/d - (((2*I)/7)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))/(a*d)}
+{Tan[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 5, (-4*Sqrt[2]*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d + (4*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d + (2*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d) + (2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 4, ((-4*I)*Sqrt[2]*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d + ((4*I)*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d + (((2*I)/3)*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/d}
+{Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 7, (-2*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + (4*Sqrt[2]*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (2*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 7, ((-5*I)*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + ((4*I)*Sqrt[2]*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (a^2*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 8, (23*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*d) - (4*Sqrt[2]*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (((9*I)/4)*a^2*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, (((45*I)/8)*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - ((4*I)*Sqrt[2]*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d + (19*a^2*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(8*d) - (((13*I)/12)*a^2*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+
+
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 5, ((-8*I)*Sqrt[2]*a^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d + ((8*I)*a^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d + (((4*I)/3)*a^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/d + (((2*I)/5)*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/d}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^5/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 7, -(ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d)) - Tan[c + d*x]^4/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (188*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*a*d) + (47*Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*a*d) - (9*I*Tan[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(7*a*d) + (223*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(105*a^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^4/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 6, -((I*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d)) - Tan[c + d*x]^3/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (28*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*a*d) - (7*I*Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*a*d) - (23*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(15*a^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) - Tan[c + d*x]^2/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (4*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a*d) - (5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*a^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^2/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 4, (I*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) - I/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - ((2*I)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a*d)}
+{Tan[c + d*x]^1/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 3, -(ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d)) - 1/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^0/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 3, ((-I)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) + I/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^1/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 7, (-2*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d) + ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) + 1/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^2/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 8, (I*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d) + (I*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) + Cot[c + d*x]/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (2*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a*d)}
+{Cot[c + d*x]^3/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 9, (11*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*Sqrt[a]*d) - ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) + Cot[c + d*x]^2/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (7*I*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*a*d) - (3*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*a*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^5/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 7, -ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Tan[c + d*x]^4/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (((19*I)/6)*Tan[c + d*x]^3)/(a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (78*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*a^2*d) - (39*Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(10*a^2*d) - (151*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(30*a^3*d)}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 6, ((-I/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Tan[c + d*x]^3/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (((5*I)/2)*Tan[c + d*x]^2)/(a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - ((10*I)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a^2*d) + (((7*I)/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(a^3*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Tan[c + d*x]^2/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - 11/(6*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (7*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*a^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, (I*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - I/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (3*I)/(2*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, -ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - 1/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + 1/(2*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^0/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, ((-I/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + (I/3)/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (I/2)/(a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, (-2*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) + ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + 1/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + 3/(2*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 9, ((3*I)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) + ((I/2)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + Cot[c + d*x]/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (13*Cot[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (7*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*a^2*d)}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 10, (23*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*a^(3/2)*d) - ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + Cot[c + d*x]^2/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (17*Cot[c + d*x]^2)/(6*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (((21*I)/4)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a^2*d) - (11*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*a^2*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^5/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 7, -ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(4*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Tan[c + d*x]^4/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (((7*I)/10)*Tan[c + d*x]^3)/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (89*Tan[c + d*x]^2)/(20*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (89*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*a^3*d) + (361*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(60*a^4*d)}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 6, ((-I/4)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Tan[c + d*x]^3/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (((17*I)/30)*Tan[c + d*x]^2)/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + ((151*I)/60)/(a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (((83*I)/30)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a^3*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(4*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Tan[c + d*x]^2/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) - 13/(30*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + 31/(20*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 5, (I*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(4*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - I/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + I/(2*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - I/(4*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 5, -ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(4*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - 1/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + 1/(6*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + 1/(4*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^0/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 5, ((-I/4)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + (I/5)/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (I/6)/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (I/4)/(a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, (-2*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*d) + ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(4*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + 1/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + 1/(2*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + 7/(4*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 10, ((5*I)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*d) + ((I/4)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + Cot[c + d*x]/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (19*Cot[c + d*x])/(30*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (41*Cot[c + d*x])/(12*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (21*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*a^3*d)}
+
+
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-7/2), x, 6, ((-I/8)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*a^(7/2)*d) + (I/7)/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (I/10)/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (I/12)/(a^2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (I/8)/(a^3*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (d Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 5, (-2*(-1)^(3/4)*a*d^(5/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/f - ((2*I)*a*d^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f + (2*a*d*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (((2*I)/5)*a*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/f}
+{(d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 4, (2*(-1)^(1/4)*a*d^(3/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/f + (2*a*d*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f + (((2*I)/3)*a*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/f}
+{Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 3, (2*(-1)^(3/4)*a*Sqrt[d]*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/f + ((2*I)*a*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])/Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 2, (-2*(-1)^(1/4)*a*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[d]*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])/(d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, (-2*(-1)^(3/4)*a*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(d^(3/2)*f) - (2*a)/(d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])/(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 4, (2*(-1)^(1/4)*a*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(d^(5/2)*f) - (2*a)/(3*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - ((2*I)*a)/(d^2*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])/(d*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 5, (2*(-1)^(3/4)*a*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(d^(7/2)*f) - (2*a)/(5*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (((2*I)/3)*a)/(d^2*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*a)/(d^3*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+
+{(d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(a - I*a*Tan[e + f*x]), x, 5, (2*(-1)^(3/4)*a*d^(5/2)*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/f + (2*I*a*d^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f + (2*a*d*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) - (2*I*a*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f)}
+{(d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(a - I*a*Tan[e + f*x]), x, 4, (2*(-1)^(1/4)*a*d^(3/2)*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/f + (2*a*d*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f - (2*I*a*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(a - I*a*Tan[e + f*x]), x, 3, -((2*(-1)^(3/4)*a*Sqrt[d]*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/f) - (2*I*a*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f}
+{(a - I*a*Tan[e + f*x])/Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 2, -((2*(-1)^(1/4)*a*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[d]*f))}
+{(a - I*a*Tan[e + f*x])/(d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, (2*(-1)^(3/4)*a*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(d^(3/2)*f) - (2*a)/(d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+{(a - I*a*Tan[e + f*x])/(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 4, (2*(-1)^(1/4)*a*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(d^(5/2)*f) - (2*a)/(3*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*I*a)/(d^2*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+{(a - I*a*Tan[e + f*x])/(d*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 5, -((2*(-1)^(3/4)*a*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(d^(7/2)*f)) - (2*a)/(5*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (2*I*a)/(3*d^2*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*a)/(d^3*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 6, (-4*(-1)^(3/4)*a^2*d^(5/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/f - ((4*I)*a^2*d^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f + (4*a^2*d*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (((4*I)/5)*a^2*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/f - (2*a^2*(d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*d*f)}
+{(d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 5, (4*(-1)^(1/4)*a^2*d^(3/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/f + (4*a^2*d*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f + (((4*I)/3)*a^2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/f - (2*a^2*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*d*f)}
+{Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 4, (4*(-1)^(3/4)*a^2*Sqrt[d]*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/f + ((4*I)*a^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f - (2*a^2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 3, (-4*(-1)^(1/4)*a^2*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[d]*f) - (2*a^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/(d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, (-4*(-1)^(3/4)*a^2*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(d^(3/2)*f) - (2*a^2)/(d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 4, (4*(-1)^(1/4)*a^2*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(d^(5/2)*f) - (2*a^2)/(3*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - ((4*I)*a^2)/(d^2*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/(d*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 5, (4*(-1)^(3/4)*a^2*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(d^(7/2)*f) - (2*a^2)/(5*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (((4*I)/3)*a^2)/(d^2*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (4*a^2)/(d^3*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 7, (-8*(-1)^(3/4)*a^3*d^(5/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/f - ((8*I)*a^3*d^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f + (8*a^3*d*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (((8*I)/5)*a^3*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/f - (40*a^3*(d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(63*d*f) - (2*(d*Tan[e + f*x])^(7/2)*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))/(9*d*f)}
+{(d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 6, (8*(-1)^(1/4)*a^3*d^(3/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/f + (8*a^3*d*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f + (((8*I)/3)*a^3*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/f - (32*a^3*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(35*d*f) - (2*(d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))/(7*d*f)}
+{Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 5, (8*(-1)^(3/4)*a^3*Sqrt[d]*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/f + ((8*I)*a^3*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f - (8*a^3*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(5*d*f) - (2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))/(5*d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3/Sqrt[d*Tan[e + f*x]], x, 4, (-8*(-1)^(1/4)*a^3*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[d]*f) - (16*a^3*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(3*d*f) - (2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))/(3*d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3/(d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 4, (-8*(-1)^(3/4)*a^3*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(d^(3/2)*f) - (2*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))/(d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3/(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 4, (8*(-1)^(1/4)*a^3*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(d^(5/2)*f) - (((16*I)/3)*a^3)/(d^2*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) - (2*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))/(3*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3/(d*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 5, (8*(-1)^(3/4)*a^3*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(d^(7/2)*f) - (((8*I)/5)*a^3)/(d^2*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (8*a^3)/(d^3*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) - (2*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))/(5*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3/(d*Tan[e + f*x])^(9/2), x, 6, (-8*(-1)^(1/4)*a^3*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(d^(9/2)*f) - (((32*I)/35)*a^3)/(d^2*f*(d*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (8*a^3)/(3*d^3*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((8*I)*a^3)/(d^4*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) - (2*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))/(7*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^(7/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 13, ((5/4 - (7*I)/4)*d^(7/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a*f) - ((5/4 - (7*I)/4)*d^(7/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a*f) + ((5/8 + (7*I)/8)*d^(7/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a*f) - ((5/8 + (7*I)/8)*d^(7/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a*f) + (5*d^3*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(2*a*f) - (7*I*d^2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(6*a*f) - (d*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{(d*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 12, -(((3/4 + (5*I)/4)*d^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a*f)) + ((3/4 + (5*I)/4)*d^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a*f) + ((3/8 - (5*I)/8)*d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a*f) - ((3/8 - (5*I)/8)*d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a*f) - (5*I*d^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(2*a*f) - (d*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{(d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 11, -(((1/4 - (3*I)/4)*d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a*f)) + ((1/4 - (3*I)/4)*d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a*f) - ((1/8 + (3*I)/8)*d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a*f) + ((1/8 + (3*I)/8)*d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a*f) - (d*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 3, ((-1)^(3/4)*Sqrt[d]*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(2*a*f) + ((I/2)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{1/(Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(a + I*a*Tan[e + f*x])), x, 11, -(((3/4 - I/4)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a*Sqrt[d]*f)) + ((3/4 - I/4)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a*Sqrt[d]*f) - ((3/8 + I/8)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a*Sqrt[d]*f) + ((3/8 + I/8)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a*Sqrt[d]*f) + Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/(2*d*f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{1/((d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[e + f*x])), x, 12, ((5/4 + (3*I)/4)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a*d^(3/2)*f) - ((5/4 + (3*I)/4)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a*d^(3/2)*f) - ((5/8 - (3*I)/8)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a*d^(3/2)*f) + ((5/8 - (3*I)/8)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a*d^(3/2)*f) - 5/(2*a*d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) + 1/(2*d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{1/((d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(a + I*a*Tan[e + f*x])), x, 13, ((7/4 - (5*I)/4)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a*d^(5/2)*f) - ((7/4 - (5*I)/4)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a*d^(5/2)*f) + ((7/8 + (5*I)/8)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a*d^(5/2)*f) - ((7/8 + (5*I)/8)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a*d^(5/2)*f) - 7/(6*a*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (5*I)/(2*a*d^2*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) + 1/(2*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^(9/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 14, -(((49/16 + (45*I)/16)*d^(9/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^2*f)) + ((49/16 + (45*I)/16)*d^(9/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^2*f) + ((49/32 - (45*I)/32)*d^(9/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*f) - ((49/32 - (45*I)/32)*d^(9/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*f) - (45*I*d^4*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(8*a^2*f) - (49*d^3*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(24*a^2*f) + (9*I*d^2*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(8*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) - (d*(d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(4*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{(d*Tan[e + f*x])^(7/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 13, -(((25/16 - (21*I)/16)*d^(7/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^2*f)) + ((25/16 - (21*I)/16)*d^(7/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^2*f) - ((25/32 + (21*I)/32)*d^(7/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*f) + ((25/32 + (21*I)/32)*d^(7/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*f) - (25*d^3*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(8*a^2*f) + (7*I*d^2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(8*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) - (d*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(4*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{(d*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 12, ((9/16 + (5*I)/16)*d^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^2*f) - ((9/16 + (5*I)/16)*d^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^2*f) - ((9/32 - (5*I)/32)*d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*f) + ((9/32 - (5*I)/32)*d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*f) + (5*I*d^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(8*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) - (d*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(4*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{(d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 12, ((1/16 + (3*I)/16)*d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^2*f) - ((1/16 + (3*I)/16)*d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^2*f) + ((1/32 - (3*I)/32)*d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*f) - ((1/32 - (3*I)/32)*d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*f) + (3*d*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(8*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) - (d*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(4*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 12, -(((1/16 - (3*I)/16)*Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^2*f)) + ((1/16 - (3*I)/16)*Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^2*f) + ((1/32 + (3*I)/32)*Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*f) - ((1/32 + (3*I)/32)*Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*f) + (I*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(8*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) + (I*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(4*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{1/(Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2), x, 12, -(((9/16 - (5*I)/16)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^2*Sqrt[d]*f)) + ((9/16 - (5*I)/16)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^2*Sqrt[d]*f) - ((9/32 + (5*I)/32)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*Sqrt[d]*f) + ((9/32 + (5*I)/32)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*Sqrt[d]*f) + (5*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(8*a^2*d*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) + Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/(4*d*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{1/((d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2), x, 13, ((25/16 + (21*I)/16)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^2*d^(3/2)*f) - ((25/16 + (21*I)/16)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^2*d^(3/2)*f) - ((25/32 - (21*I)/32)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d^(3/2)*f) + ((25/32 - (21*I)/32)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d^(3/2)*f) - 25/(8*a^2*d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) + 7/(8*a^2*d*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) + 1/(4*d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{1/((d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2), x, 14, ((49/16 - (45*I)/16)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^2*d^(5/2)*f) - ((49/16 - (45*I)/16)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^2*d^(5/2)*f) + ((49/32 + (45*I)/32)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d^(5/2)*f) - ((49/32 + (45*I)/32)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d^(5/2)*f) - 49/(24*a^2*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + 9/(8*a^2*d*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (45*I)/(8*a^2*d^2*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) + 1/(4*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^(9/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 14, ((7/4 + (15*I)/8)*d^(9/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^3*f) - ((7/4 + (15*I)/8)*d^(9/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^3*f) - ((7/8 - (15*I)/16)*d^(9/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*f) + ((7/8 - (15*I)/16)*d^(9/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*f) + (15*I*d^4*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(4*a^3*f) - (d*(d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(6*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + (5*I*d^2*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(12*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + (7*d^3*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(6*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))}
+{(d*Tan[e + f*x])^(7/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 13, ((5/16 - (7*I)/16)*d^(7/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^3*f) - ((5/16 - (7*I)/16)*d^(7/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^3*f) + ((5/32 + (7*I)/32)*d^(7/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*f) - ((5/32 + (7*I)/32)*d^(7/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*f) - (d*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(6*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + (I*d^2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + (5*d^3*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(8*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))}
+{(d*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 16, (d^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[2]*a^3*f) - (d^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[2]*a^3*f) - (d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^3*f) + (d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^3*f) - (d*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(6*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + ((I/4)*d^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) - ((I/4)*d^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))}
+{(d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 7, ((-1)^(1/4)*d^(3/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(8*a^3*f) - (d*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(6*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + (d*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(6*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + (d*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(8*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))}
+{Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 14, ((I/8)*Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^3*f) - ((I/8)*Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^3*f) + ((I/16)*Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*f) - ((I/16)*Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*f) + ((I/6)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + ((I/12)*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{1/(Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3), x, 13, -(((7/16 - (5*I)/16)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^3*Sqrt[d]*f)) + ((7/16 - (5*I)/16)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^3*Sqrt[d]*f) - ((7/32 + (5*I)/32)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*Sqrt[d]*f) + ((7/32 + (5*I)/32)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*Sqrt[d]*f) + Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/(6*d*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/(3*a*d*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + (5*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(8*d*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))}
+{1/((d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3), x, 14, ((15/8 + (7*I)/4)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^3*d^(3/2)*f) - ((15/8 + (7*I)/4)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[2]*a^3*d^(3/2)*f) - ((15/16 - (7*I)/8)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*d^(3/2)*f) + ((15/16 - (7*I)/8)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*d^(3/2)*f) - 15/(4*a^3*d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) + 1/(6*d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + 5/(12*a*d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + 7/(6*d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^(m/2) (d Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 9, (7*(-1)^(3/4)*Sqrt[a]*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(4*d) + ((1 + I)*Sqrt[a]*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (I*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d) + (Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*d)}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 9, -(((-1)^(1/4)*Sqrt[a]*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d) - ((1 - I)*Sqrt[a]*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + (Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 7, -((2*(-1)^(3/4)*Sqrt[a]*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d) - ((1 + I)*Sqrt[a]*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 2, ((1 - I)*Sqrt[a]*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 3, ((1 + I)*Sqrt[a]*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 5, ((-1 + I)*Sqrt[a]*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (((2*I)/3)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Tan[c + d*x]^(7/2), x, 6, ((-1 - I)*Sqrt[a]*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) - (((2*I)/15)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (26*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 11, (23*(-1)^(3/4)*a^(3/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(8*d) + ((2 + 2*I)*a^(3/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + (I*a^2*Tan[c + d*x]^(5/2))/(3*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (a^2*Tan[c + d*x]^(7/2))/(3*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (9*I*a*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(8*d) + (7*a*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(12*d)}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 10, -((11*(-1)^(1/4)*a^(3/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(4*d)) - ((2 - 2*I)*a^(3/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + (I*a^2*Tan[c + d*x]^(3/2))/(2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (a^2*Tan[c + d*x]^(5/2))/(2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (5*a*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 9, -((3*(-1)^(3/4)*a^(3/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d) - ((2 + 2*I)*a^(3/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + (I*a^2*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (a^2*Tan[c + d*x]^(3/2))/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 7, (2*(-1)^(1/4)*a^(3/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + ((2 - 2*I)*a^(3/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 3, ((2 + 2*I)*a^(3/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 4, ((-2 + 2*I)*a^(3/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - ((2*I)*a*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)/Tan[c + d*x]^(7/2), x, 7, ((-2 - 2*I)*a^(3/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a^2)/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (((2*I)/5)*a^2)/(d*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (((4*I)/5)*a*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (12*a*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)/Tan[c + d*x]^(9/2), x, 8, ((2 - 2*I)*a^(3/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a^2)/(7*d*Tan[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (((2*I)/7)*a^2)/(d*Tan[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (((16*I)/35)*a*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (76*a*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (((268*I)/105)*a*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 11, (363*(-1)^(3/4)*a^(5/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(64*d) + ((4 + 4*I)*a^(5/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (149*I*a^2*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(64*d) + (107*a^2*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(96*d) + (17*I*a^2*Tan[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(24*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d)}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 10, -((45*(-1)^(1/4)*a^(5/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(8*d)) - ((4 - 4*I)*a^(5/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + (19*a^2*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(8*d) + (13*I*a^2*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(12*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((23*(-1)^(3/4)*a^(5/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(4*d)) - ((4 + 4*I)*a^(5/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + (9*I*a^2*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*d)}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 8, (5*(-1)^(1/4)*a^(5/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + ((4 - 4*I)*a^(5/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (a^2*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 8, (2*(-1)^(3/4)*a^(5/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + ((4 + 4*I)*a^(5/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 4, ((-4 + 4*I)*a^(5/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - ((4*I)*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)/Tan[c + d*x]^(7/2), x, 5, ((-4 - 4*I)*a^(5/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + (4*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (((2*I)/3)*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)/Tan[c + d*x]^(9/2), x, 7, ((4 - 4*I)*a^(5/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(7*d*Tan[c + d*x]^(7/2)) - (((6*I)/7)*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (32*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(21*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (((104*I)/21)*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)/Tan[c + d*x]^(11/2), x, 8, ((4 + 4*I)*a^(5/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(9*d*Tan[c + d*x]^(9/2)) - (((38*I)/63)*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Tan[c + d*x]^(7/2)) + (92*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (((472*I)/315)*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (1576*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(315*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^(7/2)/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 10, (11*(-1)^(1/4)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d) + ((1/2 - I/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - Tan[c + d*x]^(5/2)/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (7*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*a*d) - (3*I*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^(5/2)/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 9, -(((-1)^(3/4)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + ((1/2 + I/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - Tan[c + d*x]^(3/2)/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (2*I*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a*d)}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 8, -((2*(-1)^(1/4)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) - ((1/2 - I/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - Sqrt[Tan[c + d*x]]/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(1/2)/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 3, ((-1/2 - I/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) + (I*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Tan[c + d*x]^(1/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 4, ((1/2 - I/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) + Sqrt[Tan[c + d*x]]/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 5, ((1/2 + I/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) + 1/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{1/(Tan[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 6, -(((1/2 - I/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + 1/(d*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (5*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (7*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{1/(Tan[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 7, -(((1/2 + I/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + 1/(d*Tan[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (7*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*a*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (23*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (61*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(7/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 10, -((3*(-1)^(1/4)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + ((1/4 - I/4)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - Tan[c + d*x]^(5/2)/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (13*I*Tan[c + d*x]^(3/2))/(6*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (7*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*a^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^(5/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 9, (2*(-1)^(3/4)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + ((1/4 + I/4)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - Tan[c + d*x]^(3/2)/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (3*I*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, ((-1/4 + I/4)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + ((I/3)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + Sqrt[Tan[c + d*x]]/(2*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(1/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, -(((1/4 + I/4)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + Tan[c + d*x]^(3/2)/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (I*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Tan[c + d*x]^(1/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 5, ((1/4 - I/4)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + Sqrt[Tan[c + d*x]]/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (7*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(6*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 6, ((1/4 + I/4)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + 1/(3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + 11/(6*a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (25*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(6*a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{1/(Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 7, ((-1/4 + I/4)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + 1/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + 5/(2*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (7*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*a^2*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (((13*I)/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(9/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 11, (5*(-1)^(3/4)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - ((1/8 + I/8)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - Tan[c + d*x]^(7/2)/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (19*I*Tan[c + d*x]^(5/2))/(30*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (41*Tan[c + d*x]^(3/2))/(12*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (21*I*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*a^3*d)}
+{Tan[c + d*x]^(7/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 10, (2*(-1)^(1/4)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + ((1/8 - I/8)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - Tan[c + d*x]^(5/2)/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (I*Tan[c + d*x]^(3/2))/(2*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (7*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(5/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 5, ((1/8 + I/8)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + ((I/5)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + Tan[c + d*x]^(3/2)/(6*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - ((I/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 5, ((-1/8 + I/8)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + Tan[c + d*x]^(5/2)/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + ((I/6)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + Sqrt[Tan[c + d*x]]/(4*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(1/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 6, ((-1/8 - I/8)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + ((I/5)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + ((I/10)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - ((I/20)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Tan[c + d*x]^(1/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 6, ((1/8 - I/8)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + Sqrt[Tan[c + d*x]]/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (13*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(30*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (67*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(60*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 7, ((1/8 + I/8)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + 1/(5*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + 17/(30*a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + 151/(60*a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (317*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(60*a^3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{1/(Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 8, ((-1/8 + I/8)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + 1/(5*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + 7/(10*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + 89/(20*a^2*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (361*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(60*a^3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (((707*I)/60)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a^3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (d Tan[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m>0*)
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+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
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+{Tan[c + d*x]^(10/3)/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 25, (7*ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(12*a*d) - (7*ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(12*a*d) - (5*I*ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*Sqrt[3]*a*d) - (7*ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)])/(6*a*d) - (5*I*Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(6*a*d) + (7*Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(8*Sqrt[3]*a*d) - (7*Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(8*Sqrt[3]*a*d) + (5*I*Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)])/(12*a*d) + (7*Tan[c + d*x]^(1/3))/(2*a*d) - (5*I*Tan[c + d*x]^(4/3))/(4*a*d) - Tan[c + d*x]^(7/3)/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^(8/3)/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 24, -((5*ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(12*a*d)) + (5*ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(12*a*d) - (2*I*ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(Sqrt[3]*a*d) + (5*ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)])/(6*a*d) + (2*I*Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(3*a*d) + (5*Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(8*Sqrt[3]*a*d) - (5*Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(8*Sqrt[3]*a*d) - (I*Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)])/(3*a*d) - (2*I*Tan[c + d*x]^(2/3))/(a*d) - Tan[c + d*x]^(5/3)/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^(4/3)/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 23, -(ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)]/(12*a*d)) + ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)]/(12*a*d) + (I*ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(Sqrt[3]*a*d) + ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)]/(6*a*d) + (I*Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(3*a*d) - Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)]/(8*Sqrt[3]*a*d) + Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)]/(8*Sqrt[3]*a*d) - (I*Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)])/(6*a*d) - Tan[c + d*x]^(1/3)/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^(2/3)/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 23, -(ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)]/(12*a*d)) + ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)]/(12*a*d) + (I*ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*Sqrt[3]*a*d) + ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)]/(6*a*d) - (I*Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(6*a*d) + Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)]/(8*Sqrt[3]*a*d) - Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)]/(8*Sqrt[3]*a*d) + (I*Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)])/(12*a*d) + (I*Tan[c + d*x]^(2/3))/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{1/(Tan[c + d*x]^(1/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])), x, 23, (I*ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(12*a*d) - (I*ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(12*a*d) - ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]]/(Sqrt[3]*a*d) - (I*ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)])/(6*a*d) + Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)]/(3*a*d) - (I*Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(8*Sqrt[3]*a*d) + (I*Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(8*Sqrt[3]*a*d) - Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)]/(6*a*d) + Tan[c + d*x]^(2/3)/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{1/(Tan[c + d*x]^(5/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])), x, 24, (5*I*ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(12*a*d) - (5*I*ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(12*a*d) + (2*ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(Sqrt[3]*a*d) - (5*I*ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)])/(6*a*d) + (2*Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(3*a*d) + (5*I*Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(8*Sqrt[3]*a*d) - (5*I*Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(8*Sqrt[3]*a*d) - Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)]/(3*a*d) - 2/(a*d*Tan[c + d*x]^(2/3)) + 1/(2*d*Tan[c + d*x]^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{1/(Tan[c + d*x]^(7/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])), x, 25, -((7*I*ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(12*a*d)) + (7*I*ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(12*a*d) + (5*ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*Sqrt[3]*a*d) + (7*I*ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)])/(6*a*d) - (5*Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(6*a*d) + (7*I*Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(8*Sqrt[3]*a*d) - (7*I*Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(8*Sqrt[3]*a*d) + (5*Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)])/(12*a*d) - 5/(4*a*d*Tan[c + d*x]^(4/3)) + (7*I)/(2*a*d*Tan[c + d*x]^(1/3)) + 1/(2*d*Tan[c + d*x]^(4/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(14/3)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 26, -((121*ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(72*a^2*d)) + (121*ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(72*a^2*d) - (14*I*ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(3*Sqrt[3]*a^2*d) + (121*ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)])/(36*a^2*d) + (14*I*Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(9*a^2*d) + (121*Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(48*Sqrt[3]*a^2*d) - (121*Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(48*Sqrt[3]*a^2*d) - (7*I*Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)])/(9*a^2*d) - (14*I*Tan[c + d*x]^(2/3))/(3*a^2*d) - (121*Tan[c + d*x]^(5/3))/(60*a^2*d) + (7*I*Tan[c + d*x]^(8/3))/(6*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) - Tan[c + d*x]^(11/3)/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{Tan[c + d*x]^(10/3)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 25, -((49*ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(72*a^2*d)) + (49*ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(72*a^2*d) + (5*I*ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(3*Sqrt[3]*a^2*d) + (49*ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)])/(36*a^2*d) + (5*I*Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(9*a^2*d) - (49*Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(48*Sqrt[3]*a^2*d) + (49*Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(48*Sqrt[3]*a^2*d) - (5*I*Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)])/(18*a^2*d) - (49*Tan[c + d*x]^(1/3))/(12*a^2*d) + (5*I*Tan[c + d*x]^(4/3))/(6*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) - Tan[c + d*x]^(7/3)/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{Tan[c + d*x]^(8/3)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 24, (25*ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(72*a^2*d) - (25*ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(72*a^2*d) + (2*I*ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(3*Sqrt[3]*a^2*d) - (25*ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)])/(36*a^2*d) - (2*I*Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(9*a^2*d) - (25*Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(48*Sqrt[3]*a^2*d) + (25*Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(48*Sqrt[3]*a^2*d) + (I*Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)])/(9*a^2*d) + (2*I*Tan[c + d*x]^(2/3))/(3*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) - Tan[c + d*x]^(5/3)/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{Tan[c + d*x]^(4/3)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 24, ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)]/(72*a^2*d) - ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)]/(72*a^2*d) + (I*ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(3*Sqrt[3]*a^2*d) - ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)]/(36*a^2*d) + (I*Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(9*a^2*d) + Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)]/(48*Sqrt[3]*a^2*d) - Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)]/(48*Sqrt[3]*a^2*d) - (I*Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)])/(18*a^2*d) + Tan[c + d*x]^(1/3)/(3*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) - Tan[c + d*x]^(1/3)/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{Tan[c + d*x]^(2/3)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 24, -(ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)]/(72*a^2*d)) + ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)]/(72*a^2*d) + (I*ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(3*Sqrt[3]*a^2*d) + ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)]/(36*a^2*d) - (I*Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(9*a^2*d) + Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)]/(48*Sqrt[3]*a^2*d) - Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)]/(48*Sqrt[3]*a^2*d) + (I*Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)])/(18*a^2*d) + (I*Tan[c + d*x]^(2/3))/(3*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + Tan[c + d*x]^(5/3)/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{1/(Tan[c + d*x]^(1/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 24, (7*I*ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(72*a^2*d) - (7*I*ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(72*a^2*d) - (2*ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(3*Sqrt[3]*a^2*d) - (7*I*ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)])/(36*a^2*d) + (2*Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(9*a^2*d) - (7*I*Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(48*Sqrt[3]*a^2*d) + (7*I*Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(48*Sqrt[3]*a^2*d) - Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)]/(9*a^2*d) + (7*Tan[c + d*x]^(2/3))/(12*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + Tan[c + d*x]^(2/3)/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{1/(Tan[c + d*x]^(5/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 25, (55*I*ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(72*a^2*d) - (55*I*ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(72*a^2*d) + (8*ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(3*Sqrt[3]*a^2*d) - (55*I*ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)])/(36*a^2*d) + (8*Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(9*a^2*d) + (55*I*Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(48*Sqrt[3]*a^2*d) - (55*I*Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(48*Sqrt[3]*a^2*d) - (4*Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)])/(9*a^2*d) - 8/(3*a^2*d*Tan[c + d*x]^(2/3)) + 11/(12*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])*Tan[c + d*x]^(2/3)) + 1/(4*d*Tan[c + d*x]^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{1/(Tan[c + d*x]^(7/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 26, -((91*I*ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(72*a^2*d)) + (91*I*ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(72*a^2*d) + (25*ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(6*Sqrt[3]*a^2*d) + (91*I*ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)])/(36*a^2*d) - (25*Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(18*a^2*d) + (91*I*Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(48*Sqrt[3]*a^2*d) - (91*I*Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(48*Sqrt[3]*a^2*d) + (25*Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)])/(36*a^2*d) - 25/(12*a^2*d*Tan[c + d*x]^(4/3)) + 13/(12*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])*Tan[c + d*x]^(4/3)) + (91*I)/(12*a^2*d*Tan[c + d*x]^(1/3)) + 1/(4*d*Tan[c + d*x]^(4/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^(m/2) (d Tan[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/2)*Tan[c + d*x]^(4/3), x, 4, (3*a*AppellF1[7/3, 1/2, 1, 10/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(7/3))/(7*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/2)*Tan[c + d*x]^(2/3), x, 4, (3*a*AppellF1[5/3, 1/2, 1, 8/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(5/3))/(5*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/2)*Tan[c + d*x]^(1/3), x, 4, (3*a*AppellF1[4/3, 1/2, 1, 7/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(4/3))/(4*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/2)/Tan[c + d*x]^(1/3), x, 4, (3*a*AppellF1[2/3, 1/2, 1, 5/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(2/3))/(2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/2)/Tan[c + d*x]^(2/3), x, 4, (3*a*AppellF1[1/3, 1/2, 1, 4/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1/3))/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/2)/Tan[c + d*x]^(4/3), x, 4, -((3*a*AppellF1[-(1/3), 1/2, 1, 2/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]])/(d*Tan[c + d*x]^(1/3)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(4/3), x, 4, (3*a*AppellF1[7/3, -(1/2), 1, 10/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(7/3)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(7*d*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(2/3), x, 4, (3*a*AppellF1[5/3, -(1/2), 1, 8/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(5/3)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*d*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(1/3), x, 4, (3*a*AppellF1[4/3, -(1/2), 1, 7/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(4/3)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)/Tan[c + d*x]^(1/3), x, 4, (3*a*AppellF1[2/3, -(1/2), 1, 5/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(2/3)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)/Tan[c + d*x]^(2/3), x, 4, (3*a*AppellF1[1/3, -(1/2), 1, 4/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1/3)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)/Tan[c + d*x]^(4/3), x, 4, -((3*a*AppellF1[-(1/3), -(1/2), 1, 2/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1/3)))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^(4/3)/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 4, (3*AppellF1[7/3, 3/2, 1, 10/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(7/3))/(7*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(2/3)/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 4, (3*AppellF1[5/3, 3/2, 1, 8/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(5/3))/(5*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(1/3)/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 4, (3*AppellF1[4/3, 3/2, 1, 7/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(4/3))/(4*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Tan[c + d*x]^(1/3)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 4, (3*AppellF1[2/3, 3/2, 1, 5/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(2/3))/(2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Tan[c + d*x]^(2/3)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 4, (3*AppellF1[1/3, 3/2, 1, 4/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1/3))/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Tan[c + d*x]^(4/3)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 4, -((3*AppellF1[-(1/3), 3/2, 1, 2/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]])/(d*Tan[c + d*x]^(1/3)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(4/3)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, (3*AppellF1[7/3, 5/2, 1, 10/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(7/3))/(7*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(2/3)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, (3*AppellF1[5/3, 5/2, 1, 8/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(5/3))/(5*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(1/3)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, (3*AppellF1[4/3, 5/2, 1, 7/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(4/3))/(4*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Tan[c + d*x]^(1/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 4, (3*AppellF1[2/3, 5/2, 1, 5/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(2/3))/(2*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Tan[c + d*x]^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 4, (3*AppellF1[1/3, 5/2, 1, 4/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1/3))/(a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Tan[c + d*x]^(4/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 4, -((3*AppellF1[-(1/3), 5/2, 1, 2/3, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]])/(a*d*Tan[c + d*x]^(1/3)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^(m/3) (d Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 8, -((I*a^(1/3)*x)/(2*2^(2/3))) + (Sqrt[3]*a^(1/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2^(2/3)*d) - (a^(1/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(2*2^(2/3)*d) - (3*a^(1/3)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*2^(2/3)*d) - (18*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(7*d) + (3*Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(7*d) - (3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3))/(28*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 6, (a^(1/3)*x)/(2*2^(2/3)) + (I*Sqrt[3]*a^(1/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2^(2/3)*d) - (I*a^(1/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(2*2^(2/3)*d) - (3*I*a^(1/3)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*2^(2/3)*d) - (3*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3))/(4*a*d)}
+{Tan[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 6, (I*a^(1/3)*x)/(2*2^(2/3)) - (Sqrt[3]*a^(1/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2^(2/3)*d) + (a^(1/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(2*2^(2/3)*d) + (3*a^(1/3)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*2^(2/3)*d) + (3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/d}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 5, -((a^(1/3)*x)/(2*2^(2/3))) - (I*Sqrt[3]*a^(1/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2^(2/3)*d) + (I*a^(1/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(2*2^(2/3)*d) + (3*I*a^(1/3)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*2^(2/3)*d)}
+{Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 11, -((I*a^(1/3)*x)/(2*2^(2/3))) - (Sqrt[3]*a^(1/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/d + (Sqrt[3]*a^(1/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2^(2/3)*d) - (a^(1/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(2*2^(2/3)*d) - (a^(1/3)*Log[Tan[c + d*x]])/(2*d) + (3*a^(1/3)*Log[a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*d) - (3*a^(1/3)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*2^(2/3)*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 12, (a^(1/3)*x)/(2*2^(2/3)) - (I*a^(1/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*d) + (I*Sqrt[3]*a^(1/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2^(2/3)*d) - (I*a^(1/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(2*2^(2/3)*d) - (I*a^(1/3)*Log[Tan[c + d*x]])/(6*d) + (I*a^(1/3)*Log[a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*d) - (3*I*a^(1/3)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*2^(2/3)*d) - (Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 13, (I*a^(1/3)*x)/(2*2^(2/3)) + (8*a^(1/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(3*Sqrt[3]*d) - (Sqrt[3]*a^(1/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2^(2/3)*d) + (a^(1/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(2*2^(2/3)*d) + (4*a^(1/3)*Log[Tan[c + d*x]])/(9*d) - (4*a^(1/3)*Log[a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(3*d) + (3*a^(1/3)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*2^(2/3)*d) - (I*Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(6*d) - (Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(2*d)}
+
+
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3), x, 5, -((a^(2/3)*x)/(2*2^(1/3))) + (I*Sqrt[3]*a^(2/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2^(1/3)*d) + (I*a^(2/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(2*2^(1/3)*d) + (3*I*a^(2/3)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*2^(1/3)*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 9, -((I*a^(4/3)*x)/2^(2/3)) + (2^(1/3)*Sqrt[3]*a^(4/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/d - (a^(4/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(2^(2/3)*d) - (3*a^(4/3)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2^(2/3)*d) - (3*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/d - (9*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3))/(20*d) + (3*Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3))/(10*d) - (6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/3))/(35*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 7, (a^(4/3)*x)/2^(2/3) + (I*2^(1/3)*Sqrt[3]*a^(4/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/d - (I*a^(4/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(2^(2/3)*d) - (3*I*a^(4/3)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2^(2/3)*d) - (3*I*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/d - (3*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/3))/(7*a*d)}
+{Tan[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 7, (I*a^(4/3)*x)/2^(2/3) - (2^(1/3)*Sqrt[3]*a^(4/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/d + (a^(4/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(2^(2/3)*d) + (3*a^(4/3)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2^(2/3)*d) + (3*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/d + (3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3))/(4*d)}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 6, -((a^(4/3)*x)/2^(2/3)) - (I*2^(1/3)*Sqrt[3]*a^(4/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/d + (I*a^(4/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(2^(2/3)*d) + (3*I*a^(4/3)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2^(2/3)*d) + (3*I*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/d}
+{Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 13, -((I*a^(4/3)*x)/2^(2/3)) - (Sqrt[3]*a^(4/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/d + (2^(1/3)*Sqrt[3]*a^(4/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/d - (a^(4/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(2^(2/3)*d) - (a^(4/3)*Log[Tan[c + d*x]])/(2*d) + (3*a^(4/3)*Log[a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*d) - (3*a^(4/3)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2^(2/3)*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 13, (a^(4/3)*x)/2^(2/3) - (4*I*a^(4/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*d) + (I*2^(1/3)*Sqrt[3]*a^(4/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/d - (I*a^(4/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(2^(2/3)*d) - (2*I*a^(4/3)*Log[Tan[c + d*x]])/(3*d) + (2*I*a^(4/3)*Log[a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/d - (3*I*a^(4/3)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2^(2/3)*d) + (I*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/d - (Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3))/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 13, (I*a^(4/3)*x)/2^(2/3) + (11*a^(4/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(3*Sqrt[3]*d) - (2^(1/3)*Sqrt[3]*a^(4/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/d + (a^(4/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(2^(2/3)*d) + (11*a^(4/3)*Log[Tan[c + d*x]])/(18*d) - (11*a^(4/3)*Log[a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(6*d) + (3*a^(4/3)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2^(2/3)*d) - (2*I*a*Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(3*d) - (Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3))/(2*d)}
+
+
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/3), x, 6, -((a^(5/3)*x)/2^(1/3)) + (I*2^(2/3)*Sqrt[3]*a^(5/3)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/d + (I*a^(5/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(2^(1/3)*d) + (3*I*a^(5/3)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2^(1/3)*d) + (3*I*a*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3))/(2*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^m/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 3, (AppellF1[1 + m, 4/3, 1, 2 + m, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*(1 + I*Tan[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))}
+{Tan[c + d*x]^(1/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 4, (2*AppellF1[3/2, 4/3, 1, 5/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*(1 + I*Tan[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))}
+
+{Tan[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 9, -(x/(4*2^(1/3)*a^(1/3))) + (I*Sqrt[3]*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2*2^(1/3)*a^(1/3)*d) + (I*Log[Cos[c + d*x]])/(4*2^(1/3)*a^(1/3)*d) + (3*I*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*2^(1/3)*a^(1/3)*d) - (15*I*Tan[c + d*x]^2)/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)) + (3*Tan[c + d*x]^3)/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)) + (45*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3))/(8*a*d) - (39*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/3))/(20*a^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 8, -((I*x)/(4*2^(1/3)*a^(1/3))) - (Sqrt[3]*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2*2^(1/3)*a^(1/3)*d) - Log[Cos[c + d*x]]/(4*2^(1/3)*a^(1/3)*d) - (3*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*2^(1/3)*a^(1/3)*d) + 21/(10*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)) + (3*Tan[c + d*x]^2)/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)) + (3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3))/(10*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 7, x/(4*2^(1/3)*a^(1/3)) - (I*Sqrt[3]*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2*2^(1/3)*a^(1/3)*d) - (I*Log[Cos[c + d*x]])/(4*2^(1/3)*a^(1/3)*d) - (3*I*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*2^(1/3)*a^(1/3)*d) - (3*I)/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)) - (3*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3))/(2*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 6, (I*x)/(4*2^(1/3)*a^(1/3)) + (Sqrt[3]*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2*2^(1/3)*a^(1/3)*d) + Log[Cos[c + d*x]]/(4*2^(1/3)*a^(1/3)*d) + (3*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*2^(1/3)*a^(1/3)*d) - 3/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))}
+{Tan[c + d*x]^0/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 6, -(x/(4*2^(1/3)*a^(1/3))) + (I*Sqrt[3]*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2*2^(1/3)*a^(1/3)*d) + (I*Log[Cos[c + d*x]])/(4*2^(1/3)*a^(1/3)*d) + (3*I*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*2^(1/3)*a^(1/3)*d) + (3*I)/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 13, -((I*x)/(4*2^(1/3)*a^(1/3))) + (Sqrt[3]*ArcTan[(a^(1/3) + 2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(a^(1/3)*d) - (Sqrt[3]*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2*2^(1/3)*a^(1/3)*d) - Log[Cos[c + d*x]]/(4*2^(1/3)*a^(1/3)*d) - Log[Tan[c + d*x]]/(2*a^(1/3)*d) + (3*Log[a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*a^(1/3)*d) - (3*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*2^(1/3)*a^(1/3)*d) + 3/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 13, x/(4*2^(1/3)*a^(1/3)) - (I*ArcTan[(a^(1/3) + 2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(1/3)*d) - (I*Sqrt[3]*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2*2^(1/3)*a^(1/3)*d) - (I*Log[Cos[c + d*x]])/(4*2^(1/3)*a^(1/3)*d) + (I*Log[Tan[c + d*x]])/(6*a^(1/3)*d) - (I*Log[a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*a^(1/3)*d) - (3*I*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*2^(1/3)*a^(1/3)*d) - (5*I)/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)) - Cot[c + d*x]/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))}
+
+
+{1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3), x, 6, -(x/(4*2^(2/3)*a^(2/3))) - (I*Sqrt[3]*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2*2^(2/3)*a^(2/3)*d) + (I*Log[Cos[c + d*x]])/(4*2^(2/3)*a^(2/3)*d) + (3*I*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*2^(2/3)*a^(2/3)*d) + (3*I)/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^m/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 3, (AppellF1[1 + m, 7/3, 1, 2 + m, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*(1 + I*Tan[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(a*d*(1 + m)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))}
+{Tan[c + d*x]^(1/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 4, (2*AppellF1[3/2, 7/3, 1, 5/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*(1 + I*Tan[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))}
+
+{Tan[c + d*x]^4/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 9,  -(x/(8*2^(1/3)*a^(4/3))) + (I*Sqrt[3]*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(4*2^(1/3)*a^(4/3)*d) + (I*Log[Cos[c + d*x]])/(8*2^(1/3)*a^(4/3)*d) + (3*I*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(8*2^(1/3)*a^(4/3)*d) - (39*I*Tan[c + d*x]^2)/(40*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3)) + (3*Tan[c + d*x]^3)/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3)) - (51*I)/(10*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)) - (87*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3))/(40*a^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 8,  -((I*x)/(8*2^(1/3)*a^(4/3))) - (Sqrt[3]*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(4*2^(1/3)*a^(4/3)*d) - Log[Cos[c + d*x]]/(8*2^(1/3)*a^(4/3)*d) - (3*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(8*2^(1/3)*a^(4/3)*d) + 15/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3)) + (3*Tan[c + d*x]^2)/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3)) - 27/(4*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 7, x/(8*2^(1/3)*a^(4/3)) - (I*Sqrt[3]*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(4*2^(1/3)*a^(4/3)*d) - (I*Log[Cos[c + d*x]])/(8*2^(1/3)*a^(4/3)*d) - (3*I*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(8*2^(1/3)*a^(4/3)*d) - (3*I)/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3)) + (9*I)/(4*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 7, (I*x)/(8*2^(1/3)*a^(4/3)) + (Sqrt[3]*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(4*2^(1/3)*a^(4/3)*d) + Log[Cos[c + d*x]]/(8*2^(1/3)*a^(4/3)*d) + (3*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(8*2^(1/3)*a^(4/3)*d) - 3/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3)) + 3/(4*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))}
+{Tan[c + d*x]^0/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 7, -(x/(8*2^(1/3)*a^(4/3))) + (I*Sqrt[3]*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(4*2^(1/3)*a^(4/3)*d) + (I*Log[Cos[c + d*x]])/(8*2^(1/3)*a^(4/3)*d) + (3*I*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(8*2^(1/3)*a^(4/3)*d) + (3*I)/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3)) + (3*I)/(4*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 15, -((I*x)/(8*2^(1/3)*a^(4/3))) + (Sqrt[3]*ArcTan[(a^(1/3) + 2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(a^(4/3)*d) - (Sqrt[3]*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(4*2^(1/3)*a^(4/3)*d) - Log[Cos[c + d*x]]/(8*2^(1/3)*a^(4/3)*d) - Log[Tan[c + d*x]]/(2*a^(4/3)*d) + (3*Log[a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*a^(4/3)*d) - (3*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(8*2^(1/3)*a^(4/3)*d) + 3/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3)) + 9/(4*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 14, x/(8*2^(1/3)*a^(4/3)) - (4*I*ArcTan[(a^(1/3) + 2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(4/3)*d) - (I*Sqrt[3]*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(4*2^(1/3)*a^(4/3)*d) - (I*Log[Cos[c + d*x]])/(8*2^(1/3)*a^(4/3)*d) + (2*I*Log[Tan[c + d*x]])/(3*a^(4/3)*d) - (2*I*Log[a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(a^(4/3)*d) - (3*I*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(8*2^(1/3)*a^(4/3)*d) - (11*I)/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3)) - Cot[c + d*x]/(d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(4/3)) - (19*I)/(4*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(-5/3), x, 7, -(x/(8*2^(2/3)*a^(5/3))) - (I*Sqrt[3]*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(4*2^(2/3)*a^(5/3)*d) + (I*Log[Cos[c + d*x]])/(8*2^(2/3)*a^(5/3)*d) + (3*I*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(8*2^(2/3)*a^(5/3)*d) + (3*I)/(10*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/3)) + (3*I)/(8*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (d Tan[e+f x])^n with n synbolic*)
+
+
+{(e*Tan[c + d*x])^m*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 2, (a*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, I*Tan[c + d*x]]*(e*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m))}
+{(e*Tan[c + d*x])^m*(a - I*a*Tan[c + d*x]), x, 2, (a*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (-I)*Tan[c + d*x]]*(e*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m))}
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^n*(a + I*a*Tan[e + f*x])^4, x, 6, If[$VersionNumber>=8, -((2*a^4*(16 + 11*n + 2*n^2)*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n))) + (8*a^4*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, I*Tan[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)) - ((d*Tan[e + f*x])^(1 + n)*(a^2 + I*a^2*Tan[e + f*x])^2)/(d*f*(3 + n)) - (2*(4 + n)*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n)*(a^4 + I*a^4*Tan[e + f*x]))/(d*f*(2 + n)*(3 + n)), -((2*a^4*(16 + 11*n + 2*n^2)*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(3 + n)*(2 + 3*n + n^2))) + (8*a^4*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, I*Tan[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)) - ((d*Tan[e + f*x])^(1 + n)*(a^2 + I*a^2*Tan[e + f*x])^2)/(d*f*(3 + n)) - (2*(4 + n)*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n)*(a^4 + I*a^4*Tan[e + f*x]))/(d*f*(2 + n)*(3 + n))]}
+{(d*Tan[e + f*x])^n*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 5, -((a^3*(5 + 2*n)*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)*(2 + n))) + (4*a^3*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, I*Tan[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)) - ((d*Tan[e + f*x])^(1 + n)*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))/(d*f*(2 + n))}
+{(d*Tan[e + f*x])^n*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 4, -((a^2*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n))) + (2*a^2*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, I*Tan[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n))}
+{(d*Tan[e + f*x])^n*(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 2, (a*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, I*Tan[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n))}
+{(d*Tan[e + f*x])^n/(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 6, ((1 - n)*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(2*a*d*f*(1 + n)) + (I*n*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/2, (4 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(2 + n))/(2*a*d^2*f*(2 + n)) + (d*Tan[e + f*x])^(1 + n)/(2*d*f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{(d*Tan[e + f*x])^n/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 7, ((1 - n)^2*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(4*a^2*d*f*(1 + n)) + ((2 - n)*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(4*a^2*d*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) + (I*(2 - n)*n*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/2, (4 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(2 + n))/(4*a^2*d^2*f*(2 + n)) + (d*Tan[e + f*x])^(1 + n)/(4*d*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{(d*Tan[e + f*x])^n/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 8, ((1 - 2*n)*(1 - n)*(3 - n)*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(24*a^3*d*f*(1 + n)) + (I*(5 - 2*n)*(2 - n)*n*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/2, (4 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(2 + n))/(24*a^3*d^2*f*(2 + n)) + (d*Tan[e + f*x])^(1 + n)/(6*d*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + ((7 - 2*n)*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(24*a*d*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + ((5 - 2*n)*(2 - n)*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(24*d*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))}
+{(d*Tan[e + f*x])^n/(a + I*a*Tan[e + f*x])^4, x, 9, ((1 - n)*(3 - n)*(1 - 4*n + n^2)*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(48*a^4*d*f*(1 + n)) + ((13 - 7*n + n^2)*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(48*a^4*d*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2) + ((2 - n)^2*(4 - n)*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(48*a^4*d*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) + (I*(2 - n)^2*(4 - n)*n*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/2, (4 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(2 + n))/(48*a^4*d^2*f*(2 + n)) + (d*Tan[e + f*x])^(1 + n)/(8*d*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^4) + ((5 - n)*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(24*a*d*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3)}
+
+{(d*Tan[e + f*x])^n*(a - I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 2, (a*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (-I)*Tan[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n))}
+{(d*Tan[e + f*x])^n/(a - I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 6, ((1 - n)*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(2*a*d*f*(1 + n)) - (I*n*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/2, (4 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(2 + n))/(2*a*d^2*f*(2 + n)) + (d*Tan[e + f*x])^(1 + n)/(2*d*f*(a - I*a*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^n*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, (a*AppellF1[1 + n, -(1/2), 1, 2 + n, (-I)*Tan[e + f*x], I*Tan[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(d*f*(1 + n)*Sqrt[1 + I*Tan[e + f*x]])}
+{(d*Tan[e + f*x])^n*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 3, (a*AppellF1[1 + n, 1/2, 1, 2 + n, (-I)*Tan[e + f*x], I*Tan[e + f*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{(d*Tan[e + f*x])^n/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 3, (AppellF1[1 + n, 3/2, 1, 2 + n, (-I)*Tan[e + f*x], I*Tan[e + f*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{(d*Tan[e + f*x])^n/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, (AppellF1[1 + n, 5/2, 1, 2 + n, (-I)*Tan[e + f*x], I*Tan[e + f*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(a*d*f*(1 + n)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (d Tan[e+f x])^n with m synbolic*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(d*Tan[e + f*x])^n, x, 3, (AppellF1[1 + n, 1 - m, 1, 2 + n, (-I)*Tan[e + f*x], I*Tan[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/((1 + I*Tan[e + f*x])^m*(d*f*(1 + n)))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m, x, 6, If[$VersionNumber>=8, (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/(d*(6 + 5*m + m^2)) - (I*Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/(2*d*m) - (I*m*Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/(d*(6 + 5*m + m^2)) + (Tan[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/(d*(3 + m)) + (I*(6 + 3*m + m^2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(a*d*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)), (2*I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/(d*(6 + 5*m + m^2)) - (I*Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/(2*d*m) - (I*m*Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/(d*(6 + 5*m + m^2)) + (Tan[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/(d*(3 + m)) + (I*(6 + 3*m + m^2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(a*d*(3 + m)*(2 + 3*m + m^2))]}
+{Tan[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m, x, 5, -((2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/(d*m*(2 + m))) + (Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/(2*d*m) + (Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/(d*(2 + m)) - (m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(a*d*(2 + 3*m + m^2))}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m, x, 3, (I*Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/(2*d*m) - (I*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(a*d*(1 + m))}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m, x, 3, (a + I*a*Tan[c + d*x])^m/(d*m) - (Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/(2*d*m)}
+{Tan[c + d*x]^0*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m, x, 2, -((I*Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/(2*d*m))}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m, x, 5, (Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/(2*d*m) - (Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, 1 + I*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/(d*m)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m, x, 6, -((Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/d) + (I*Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/(2*d*m) - (I*Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, 1 + I*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/d}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m, x, 4, (2*AppellF1[5/2, 1 - m, 1, 7/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/((1 + I*Tan[c + d*x])^m*(5*d))}
+{Tan[c + d*x]^(1/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m, x, 4, (2*AppellF1[3/2, 1 - m, 1, 5/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/((1 + I*Tan[c + d*x])^m*(3*d))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^m/Tan[c + d*x]^(1/2), x, 4, (2*AppellF1[1/2, 1 - m, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/((1 + I*Tan[c + d*x])^m*d)}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^m/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 4, -((2*AppellF1[-(1/2), 1 - m, 1, 1/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^m)/((1 + I*Tan[c + d*x])^m*(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Tan[e+f x])^m (d Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Tan[e+f x])^m (d Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + a*Tan[e + f*x])*(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 5, (Sqrt[2]*a*d^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/f - (2*a*d^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f + (2*a*d*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (2*a*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f)}
+{(a + a*Tan[e + f*x])*(d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 4, (Sqrt[2]*a*d^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[d] - Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/f + (2*a*d*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f + (2*a*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{(a + a*Tan[e + f*x])*(d*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 3, -((Sqrt[2]*a*Sqrt[d]*ArcTanh[(Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/f) + (2*a*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f}
+{(a + a*Tan[e + f*x])/(d*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 2, -((Sqrt[2]*a*ArcTan[(Sqrt[d]*(1 - Tan[e + f*x]))/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[d]*f))}
+{(a + a*Tan[e + f*x])/(d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, (Sqrt[2]*a*ArcTanh[(Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/(d^(3/2)*f) - (2*a)/(d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + a*Tan[e + f*x])/(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 4, (Sqrt[2]*a*ArcTan[(Sqrt[d] - Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/(d^(5/2)*f) - (2*a)/(3*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*a)/(d^2*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + a*Tan[e + f*x])/(d*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 5, -((Sqrt[2]*a*ArcTanh[(Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/(d^(7/2)*f)) - (2*a)/(5*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (2*a)/(3*d^2*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*a)/(d^3*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a + a*Tan[e + f*x])^2*(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 16, -((Sqrt[2]*a^2*d^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/f) + (Sqrt[2]*a^2*d^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/f - (a^2*d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*f) + (a^2*d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*f) - (4*a^2*d^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f + (4*a^2*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f) + (2*a^2*(d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*d*f)}
+{(a + a*Tan[e + f*x])^2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 15, (Sqrt[2]*a^2*d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/f - (Sqrt[2]*a^2*d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/f - (a^2*d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*f) + (a^2*d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*f) + (4*a^2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (2*a^2*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*d*f)}
+{(a + a*Tan[e + f*x])^2*(d*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 15, (Sqrt[2]*a^2*Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/f - (Sqrt[2]*a^2*Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/f + (a^2*Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*f) - (a^2*Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*f) + (4*a^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f + (2*a^2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*d*f)}
+{(a + a*Tan[e + f*x])^2/(d*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 14, -((Sqrt[2]*a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[d]*f)) + (Sqrt[2]*a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(Sqrt[d]*f) + (a^2*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) - (a^2*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[d]*f) + (2*a^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(d*f)}
+{(a + a*Tan[e + f*x])^2/(d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 13, -((Sqrt[2]*a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(d^(3/2)*f)) + (Sqrt[2]*a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(d^(3/2)*f) - (a^2*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*d^(3/2)*f) + (a^2*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*d^(3/2)*f) - (2*a^2)/(d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + a*Tan[e + f*x])^2/(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 14, (Sqrt[2]*a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(d^(5/2)*f) - (Sqrt[2]*a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(d^(5/2)*f) - (a^2*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*d^(5/2)*f) + (a^2*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(Sqrt[2]*d^(5/2)*f) - (2*a^2)/(3*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (4*a^2)/(d^2*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a + a*Tan[e + f*x])^3*(d*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 8, -((2*Sqrt[2]*a^3*d^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/f) + (4*a^3*d^3*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f - (4*a^3*d^2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) - (4*a^3*d*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f) + (4*a^3*(d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*f) + (16*a^3*(d*Tan[e + f*x])^(9/2))/(33*d*f) + (2*(d*Tan[e + f*x])^(9/2)*(a^3 + a^3*Tan[e + f*x]))/(11*d*f)}
+{(a + a*Tan[e + f*x])^3*(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 7, -((2*Sqrt[2]*a^3*d^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[d] - Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/f) - (4*a^3*d^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f - (4*a^3*d*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (4*a^3*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f) + (40*a^3*(d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(63*d*f) + (2*(d*Tan[e + f*x])^(7/2)*(a^3 + a^3*Tan[e + f*x]))/(9*d*f)}
+{(a + a*Tan[e + f*x])^3*(d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 6, (2*Sqrt[2]*a^3*d^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/f - (4*a^3*d*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f + (4*a^3*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (32*a^3*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(35*d*f) + (2*(d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(a^3 + a^3*Tan[e + f*x]))/(7*d*f)}
+{(a + a*Tan[e + f*x])^3*(d*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 5, (2*Sqrt[2]*a^3*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[d] - Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/f + (4*a^3*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/f + (8*a^3*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(5*d*f) + (2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(a^3 + a^3*Tan[e + f*x]))/(5*d*f)}
+{(a + a*Tan[e + f*x])^3/(d*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 4, -((2*Sqrt[2]*a^3*ArcTanh[(Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[d]*f)) + (16*a^3*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(3*d*f) + (2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(a^3 + a^3*Tan[e + f*x]))/(3*d*f)}
+{(a + a*Tan[e + f*x])^3/(d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((2*Sqrt[2]*a^3*ArcTan[(Sqrt[d] - Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/(d^(3/2)*f)) + (4*a^3*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(d^2*f) - (2*(a^3 + a^3*Tan[e + f*x]))/(d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + a*Tan[e + f*x])^3/(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 4, (2*Sqrt[2]*a^3*ArcTanh[(Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/(d^(5/2)*f) - (16*a^3)/(3*d^2*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) - (2*(a^3 + a^3*Tan[e + f*x]))/(3*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + a*Tan[e + f*x])^3/(d*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 5, (2*Sqrt[2]*a^3*ArcTan[(Sqrt[d] - Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/(d^(7/2)*f) - (8*a^3)/(5*d^2*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (4*a^3)/(d^3*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) - (2*(a^3 + a^3*Tan[e + f*x]))/(5*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+{(a + a*Tan[e + f*x])^3/(d*Tan[e + f*x])^(9/2), x, 6, -((2*Sqrt[2]*a^3*ArcTanh[(Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/(d^(9/2)*f)) - (32*a^3)/(35*d^2*f*(d*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (4*a^3)/(3*d^3*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (4*a^3)/(d^4*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) - (2*(a^3 + a^3*Tan[e + f*x]))/(7*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])*(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 7, -((d^(5/2)*ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]])/(a*f)) + (d^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[d] - Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a*f) + (2*d^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(a*f)}
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])*(d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 6, (d^(3/2)*ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]])/(a*f) - (d^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a*f)}
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])*(d*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 6, -((Sqrt[d]*ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]])/(a*f)) - (Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[d] - Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a*f)}
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])/(d*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 6, ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]]/(a*Sqrt[d]*f) + ArcTanh[(Sqrt[d]*(1 + Tan[e + f*x]))/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])]/(Sqrt[2]*a*Sqrt[d]*f)}
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])/(d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 7, -(ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]]/(a*d^(3/2)*f)) + ArcTan[(Sqrt[d] - Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])]/(Sqrt[2]*a*d^(3/2)*f) - 2/(a*d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])/(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 10, ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]]/(a*d^(5/2)*f) - ArcTanh[(Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])]/(Sqrt[2]*a*d^(5/2)*f) - 2/(3*a*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + 2/(a*d^2*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])^2*(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 17, (3*d^(5/2)*ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]])/(2*a^2*f) + (d^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[2]*a^2*f) - (d^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[2]*a^2*f) + (d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(4*Sqrt[2]*a^2*f) - (d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(4*Sqrt[2]*a^2*f) - (d^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(2*f*(a^2 + a^2*Tan[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])^2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 18, -((d^(3/2)*ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]])/(2*a^2*f)) - (d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[2]*a^2*f) + (d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[2]*a^2*f) + (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(4*Sqrt[2]*a^2*f) - (d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(4*Sqrt[2]*a^2*f) + (d*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(2*f*(a^2 + a^2*Tan[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])^2*(d*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 17, -((Sqrt[d]*ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]])/(2*a^2*f)) - (Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[2]*a^2*f) + (Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[2]*a^2*f) - (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(4*Sqrt[2]*a^2*f) + (Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]])/(4*Sqrt[2]*a^2*f) - Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/(2*f*(a^2 + a^2*Tan[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])^2/(d*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 18, (3*ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]])/(2*a^2*Sqrt[d]*f) + ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(2*Sqrt[2]*a^2*Sqrt[d]*f) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(2*Sqrt[2]*a^2*Sqrt[d]*f) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]]/(4*Sqrt[2]*a^2*Sqrt[d]*f) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]]/(4*Sqrt[2]*a^2*Sqrt[d]*f) + Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/(2*d*f*(a^2 + a^2*Tan[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])^2/(d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 18, -((5*ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]])/(2*a^2*d^(3/2)*f)) + ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d^(3/2)*f) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d^(3/2)*f) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]]/(4*Sqrt[2]*a^2*d^(3/2)*f) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]]/(4*Sqrt[2]*a^2*d^(3/2)*f) - 5/(2*a^2*d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) + 1/(2*d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(a^2 + a^2*Tan[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])^2/(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 20, (7*ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]])/(2*a^2*d^(5/2)*f) - ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d^(5/2)*f) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[d]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d^(5/2)*f) + Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] - Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]]/(4*Sqrt[2]*a^2*d^(5/2)*f) - Log[Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x] + Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]]/(4*Sqrt[2]*a^2*d^(5/2)*f) - 7/(6*a^2*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + 9/(2*a^2*d^2*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) + 1/(2*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(a^2 + a^2*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])^3*(d*Tan[e + f*x])^(9/2), x, 9, -((31*d^(9/2)*ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]])/(8*a^3*f)) + (d^(9/2)*ArcTanh[(Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^3*f) + (27*d^4*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(8*a^3*f) - (9*d^3*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(8*a^3*f*(1 + Tan[e + f*x])) - (d^2*(d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(4*a*f*(a + a*Tan[e + f*x])^2)}
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])^3*(d*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 8, (11*d^(7/2)*ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]])/(8*a^3*f) + (d^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[d] - Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^3*f) - (7*d^3*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(8*a^3*f*(1 + Tan[e + f*x])) - (d^2*(d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(4*a*f*(a + a*Tan[e + f*x])^2)}
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])^3*(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 8, (d^(5/2)*ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]])/(8*a^3*f) - (d^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^3*f) + (5*d^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(8*a^3*f*(1 + Tan[e + f*x])) - (d^2*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(4*a*f*(a + a*Tan[e + f*x])^2)}
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])^3*(d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 8, -((5*d^(3/2)*ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]])/(8*a^3*f)) - (d^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[d] - Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^3*f) + (d*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(4*a*f*(a + a*Tan[e + f*x])^2) - (d*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(8*f*(a^3 + a^3*Tan[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])^3*(d*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 8, (Sqrt[d]*ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]])/(8*a^3*f) + (Sqrt[d]*ArcTanh[(Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^3*f) - Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/(4*a*f*(a + a*Tan[e + f*x])^2) - (3*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(8*f*(a^3 + a^3*Tan[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])^3/(d*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 8, (11*ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]])/(8*a^3*Sqrt[d]*f) + ArcTan[(Sqrt[d] - Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])]/(2*Sqrt[2]*a^3*Sqrt[d]*f) + (7*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])/(8*a^3*d*f*(1 + Tan[e + f*x])) + Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/(4*a*d*f*(a + a*Tan[e + f*x])^2)}
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])^3/(d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 9, -((31*ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]])/(8*a^3*d^(3/2)*f)) - ArcTanh[(Sqrt[d] + Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])]/(2*Sqrt[2]*a^3*d^(3/2)*f) - 27/(8*a^3*d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) + 9/(8*a^3*d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(1 + Tan[e + f*x])) + 1/(4*a*d*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]*(a + a*Tan[e + f*x])^2)}
+{1/(a + a*Tan[e + f*x])^3/(d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 10, (59*ArcTan[Sqrt[d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d]])/(8*a^3*d^(5/2)*f) - ArcTan[(Sqrt[d] - Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[d*Tan[e + f*x]])]/(2*Sqrt[2]*a^3*d^(5/2)*f) - 55/(24*a^3*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + 63/(8*a^3*d^2*f*Sqrt[d*Tan[e + f*x]]) + 11/(8*a^3*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(1 + Tan[e + f*x])) + 1/(4*a*d*f*(d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(a + a*Tan[e + f*x])^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Tan[e+f x])^(m/2) Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^5*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 11, -((Sqrt[(1/2)*(-1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(4 - 3*Sqrt[2] + (2 - Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[-7 + 5*Sqrt[2]]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f) - (Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTanh[(4 + 3*Sqrt[2] + (2 + Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[7 + 5*Sqrt[2]]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f + (2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/f + (52*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2))/(315*f) - (26*Tan[e + f*x]*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2))/(105*f) - (4*Tan[e + f*x]^2*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2))/(21*f) + (2*Tan[e + f*x]^3*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2))/(9*f)}
+{Tan[e + f*x]^3*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 9, (Sqrt[(1/2)*(-1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(4 - 3*Sqrt[2] + (2 - Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[-7 + 5*Sqrt[2]]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f + (Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTanh[(4 + 3*Sqrt[2] + (2 + Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[7 + 5*Sqrt[2]]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f - (2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/f - (4*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2))/(15*f) + (2*Tan[e + f*x]*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2))/(5*f)}
+{Tan[e + f*x]^1*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 6, -((Sqrt[(1/2)*(-1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(4 - 3*Sqrt[2] + (2 - Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[-7 + 5*Sqrt[2]]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f) - (Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTanh[(4 + 3*Sqrt[2] + (2 + Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[7 + 5*Sqrt[2]]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f + (2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/f}
+{Cot[e + f*x]^1*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 9, (Sqrt[(1/2)*(-1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(4 - 3*Sqrt[2] + (2 - Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[-7 + 5*Sqrt[2]]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f - (2*ArcTanh[Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]])/f + (Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTanh[(4 + 3*Sqrt[2] + (2 + Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[7 + 5*Sqrt[2]]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f}
+{Cot[e + f*x]^3*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 11, -((Sqrt[(1/2)*(-1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(4 - 3*Sqrt[2] + (2 - Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[-7 + 5*Sqrt[2]]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f) + (9*ArcTanh[Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]])/(4*f) - (Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTanh[(4 + 3*Sqrt[2] + (2 + Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[7 + 5*Sqrt[2]]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f - (Cot[e + f*x]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(4*f) - (Cot[e + f*x]^2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(2*f)}
+{Cot[e + f*x]^5*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 13, (Sqrt[(1/2)*(-1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(4 - 3*Sqrt[2] + (2 - Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[-7 + 5*Sqrt[2]]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f - (139*ArcTanh[Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]])/(64*f) + (Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTanh[(4 + 3*Sqrt[2] + (2 + Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[7 + 5*Sqrt[2]]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f + (11*Cot[e + f*x]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(64*f) + (53*Cot[e + f*x]^2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(96*f) - (Cot[e + f*x]^3*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(24*f) - (Cot[e + f*x]^4*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(4*f)}
+
+{Tan[e + f*x]^4*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 14, -((Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f) + (Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f + Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*f) - Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*f) - (18*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2))/(35*f) - (8*Tan[e + f*x]*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2))/(35*f) + (2*Tan[e + f*x]^2*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2))/(7*f)}
+{Tan[e + f*x]^2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 12, (Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f - (Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f - Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*f) + Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*f) + (2*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{Tan[e + f*x]^0*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 11, -((Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f) + (Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f + Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*f) - Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*f)}
+{Cot[e + f*x]^2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 16, (Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f - (Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f - ArcTanh[Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/f - Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*f) + Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*f) - (Cot[e + f*x]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/f}
+{Cot[e + f*x]^4*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 19, -((Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f) + (Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f + (7*ArcTanh[Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]])/(8*f) + Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*f) - Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*f) + (9*Cot[e + f*x]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(8*f) - (Cot[e + f*x]^2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(12*f) - (Cot[e + f*x]^3*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(3*f)}
+
+
+{Tan[e + f*x]^5*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2), x, 19, (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f - (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f + Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) - Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) + (2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/f + (2*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (20*(1 + Tan[e + f*x])^(5/2))/(231*f) - (50*Tan[e + f*x]*(1 + Tan[e + f*x])^(5/2))/(231*f) - (4*Tan[e + f*x]^2*(1 + Tan[e + f*x])^(5/2))/(33*f) + (2*Tan[e + f*x]^3*(1 + Tan[e + f*x])^(5/2))/(11*f)}
+{Tan[e + f*x]^3*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2), x, 17, -((Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f) + (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f - Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) + Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) - (2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/f - (2*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) - (4*(1 + Tan[e + f*x])^(5/2))/(35*f) + (2*Tan[e + f*x]*(1 + Tan[e + f*x])^(5/2))/(7*f)}
+{Tan[e + f*x]^1*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2), x, 14, (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f - (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f + Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) - Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) + (2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/f + (2*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{Cot[e + f*x]^1*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2), x, 16, -((Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f) + (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f - (2*ArcTanh[Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]])/f - Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) + Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f)}
+{Cot[e + f*x]^3*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2), x, 18, (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f - (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f + (5*ArcTanh[Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]])/(4*f) + Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) - Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) - (5*Cot[e + f*x]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(4*f) - (Cot[e + f*x]^2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(2*f)}
+{Cot[e + f*x]^5*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2), x, 20, -((Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f) + (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/f - (83*ArcTanh[Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]])/(64*f) - Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) + Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(2*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) + (83*Cot[e + f*x]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(64*f) + (15*Cot[e + f*x]^2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(32*f) - (3*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(8*f) - (Cot[e + f*x]^4*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(4*f)}
+
+{Tan[e + f*x]^4*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2), x, 10, -((Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(3 - 2*Sqrt[2] + (1 - Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(-7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f) - (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTanh[(3 + 2*Sqrt[2] + (1 + Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f + (2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/f - (22*(1 + Tan[e + f*x])^(5/2))/(63*f) - (8*Tan[e + f*x]*(1 + Tan[e + f*x])^(5/2))/(63*f) + (2*Tan[e + f*x]^2*(1 + Tan[e + f*x])^(5/2))/(9*f)}
+{Tan[e + f*x]^2*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2), x, 8, (Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(3 - 2*Sqrt[2] + (1 - Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(-7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f + (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTanh[(3 + 2*Sqrt[2] + (1 + Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f - (2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/f + (2*(1 + Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f)}
+{Tan[e + f*x]^0*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2), x, 7, -((Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(3 - 2*Sqrt[2] + (1 - Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(-7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f) - (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTanh[(3 + 2*Sqrt[2] + (1 + Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f + (2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/f}
+{Cot[e + f*x]^2*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2), x, 11, (Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(3 - 2*Sqrt[2] + (1 - Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(-7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f - (3*ArcTanh[Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]])/f + (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTanh[(3 + 2*Sqrt[2] + (1 + Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f - (Cot[e + f*x]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/f}
+{Cot[e + f*x]^4*(1 + Tan[e + f*x])^(3/2), x, 13, -((Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(3 - 2*Sqrt[2] + (1 - Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(-7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f) + (25*ArcTanh[Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]])/(8*f) - (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTanh[(3 + 2*Sqrt[2] + (1 + Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/f + (7*Cot[e + f*x]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(8*f) - (7*Cot[e + f*x]^2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(12*f) - (Cot[e + f*x]^3*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(3*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 10, -((Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(3 - 2*Sqrt[2] + (1 - Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(-7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/(2*f)) - (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTanh[(3 + 2*Sqrt[2] + (1 + Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/(2*f) + (44*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(105*f) - (22*Tan[e + f*x]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(105*f) - (12*Tan[e + f*x]^2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(35*f) + (2*Tan[e + f*x]^3*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(7*f)}
+{Tan[e + f*x]^3/Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 8, (Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(3 - 2*Sqrt[2] + (1 - Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(-7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/(2*f) + (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTanh[(3 + 2*Sqrt[2] + (1 + Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/(2*f) - (4*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(3*f) + (2*Tan[e + f*x]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(3*f)}
+{Tan[e + f*x]^1/Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 5, -((Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(3 - 2*Sqrt[2] + (1 - Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(-7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/(2*f)) - (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTanh[(3 + 2*Sqrt[2] + (1 + Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/(2*f)}
+{Cot[e + f*x]^1/Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 9, (Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(3 - 2*Sqrt[2] + (1 - Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(-7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/(2*f) - (2*ArcTanh[Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]])/f + (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTanh[(3 + 2*Sqrt[2] + (1 + Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/(2*f)}
+{Cot[e + f*x]^3/Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 12, -((Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(3 - 2*Sqrt[2] + (1 - Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(-7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/(2*f)) + (5*ArcTanh[Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]])/(4*f) - (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTanh[(3 + 2*Sqrt[2] + (1 + Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/(2*f) + (3*Cot[e + f*x]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(4*f) - (Cot[e + f*x]^2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(2*f)}
+{Cot[e + f*x]^5/Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 14, (Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(3 - 2*Sqrt[2] + (1 - Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(-7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/(2*f) - (115*ArcTanh[Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]])/(64*f) + (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTanh[(3 + 2*Sqrt[2] + (1 + Sqrt[2])*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2*(7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])])/(2*f) - (13*Cot[e + f*x]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(64*f) + (13*Cot[e + f*x]^2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(96*f) + (7*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(24*f) - (Cot[e + f*x]^4*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(4*f)}
+
+{Tan[e + f*x]^4/Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 14, -((Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/(2*f)) + (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/(2*f) - Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(4*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) + Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(4*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) - (14*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(15*f) - (8*Tan[e + f*x]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(15*f) + (2*Tan[e + f*x]^2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(5*f)}
+{Tan[e + f*x]^2/Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 12, (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/(2*f) - (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/(2*f) + Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(4*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) - Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(4*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) + (2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/f}
+{Tan[e + f*x]^0/Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 11, -((Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/(2*f)) + (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/(2*f) - Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(4*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) + Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(4*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f)}
+{Cot[e + f*x]^2/Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 19, (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/(2*f) - (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/(2*f) + ArcTanh[Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/f + Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(4*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) - Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(4*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) - (Cot[e + f*x]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/f}
+{Cot[e + f*x]^4/Sqrt[1 + Tan[e + f*x]], x, 19, -((Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/(2*f)) + (Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]])/(2*f) - (3*ArcTanh[Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]])/(8*f) - Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(4*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) + Log[1 + Sqrt[2] + Tan[e + f*x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]]]/(4*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*f) + (3*Cot[e + f*x]*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(8*f) + (5*Cot[e + f*x]^2*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(12*f) - (Cot[e + f*x]^3*Sqrt[1 + Tan[e + f*x]])/(3*f)}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Tan[e+f x])^m (d Tan[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Tan[e+f x])^m (d Tan[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(a + a*Tan[e + f*x])^m*(d*Tan[e + f*x])^n, x, 7, (AppellF1[1 + n, -m, 1, 2 + n, -Tan[e + f*x], (-I)*Tan[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n)*(a + a*Tan[e + f*x])^m)/((1 + Tan[e + f*x])^m*(2*d*f*(1 + n))) + (AppellF1[1 + n, -m, 1, 2 + n, -Tan[e + f*x], I*Tan[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n)*(a + a*Tan[e + f*x])^m)/((1 + Tan[e + f*x])^m*(2*d*f*(1 + n)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (d Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (d Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 6, (-b)*x - (a*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b*Tan[c + d*x])/d - (a*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) - (b*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Tan[c + d*x]^4)/(4*d) + (b*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Tan[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 5, a*x - (b*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a*Tan[c + d*x])/d - (b*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*Tan[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Tan[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 4, b*x + (a*Log[Cos[c + d*x]])/d - (b*Tan[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) + (b*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, (-a)*x + (b*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a*Tan[c + d*x])/d + (b*Tan[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 2, (-b)*x - (a*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b*Tan[c + d*x])/d}
+{Tan[c + d*x]^0*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 2, a*x - (b*Log[Cos[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 2, b*x + (a*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, (-a)*x - (a*Cot[c + d*x])/d + (b*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 4, (-b)*x - (b*Cot[c + d*x])/d - (a*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 5, a*x + (a*Cot[c + d*x])/d - (b*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 6, b*x + (b*Cot[c + d*x])/d + (a*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (b*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Cot[c + d*x]^4)/(4*d) + (a*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 7, (-a)*x - (a*Cot[c + d*x])/d + (b*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*Cot[c + d*x]^4)/(4*d) - (a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (b*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+
+
+{Tan[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, (a^2 - b^2)*x - (2*a*b*Log[Cos[c + d*x]])/d - ((a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/d - (a*b*Tan[c + d*x]^2)/d + ((a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*b*Tan[c + d*x]^4)/(2*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Tan[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 5, 2*a*b*x + ((a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d - (2*a*b*Tan[c + d*x])/d + ((a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) + (2*a*b*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -((a^2 - b^2)*x) + (2*a*b*Log[Cos[c + d*x]])/d - (b^2*Tan[c + d*x])/d + (a + b*Tan[c + d*x])^3/(3*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -2*a*b*x - ((a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a*b*Tan[c + d*x])/d + (a + b*Tan[c + d*x])^2/(2*d)}
+{Tan[c + d*x]^0*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 2, (a^2 - b^2)*x - (2*a*b*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, 2*a*b*x - (b^2*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -((a^2 - b^2)*x) - (a^2*Cot[c + d*x])/d + (2*a*b*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 4, -2*a*b*x - (2*a*b*Cot[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - ((a^2 - b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 5, (a^2 - b^2)*x + ((a^2 - b^2)*Cot[c + d*x])/d - (a*b*Cot[c + d*x]^2)/d - (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a*b*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, 2*a*b*x + (2*a*b*Cot[c + d*x])/d + ((a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (2*a*b*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^4)/(4*d) + ((a^2 - b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 7, -((a^2 - b^2)*x) - ((a^2 - b^2)*Cot[c + d*x])/d + (a*b*Cot[c + d*x]^2)/d + ((a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*b*Cot[c + d*x]^4)/(2*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (2*a*b*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 7, b*(3*a^2 - b^2)*x + (a*(a^2 - 3*b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d - (b*(a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/d - (a*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) - (a + b*Tan[c + d*x])^3/(3*d) - (a*(a + b*Tan[c + d*x])^4)/(20*b^2*d) + (Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^4)/(5*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (-a)*(a^2 - 3*b^2)*x + (b*(3*a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d - (2*a*b^2*Tan[c + d*x])/d - (b*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + (a + b*Tan[c + d*x])^4/(4*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (-b)*(3*a^2 - b^2)*x - (a*(a^2 - 3*b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b*(a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/d + (a*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + (a + b*Tan[c + d*x])^3/(3*d)}
+{Tan[c + d*x]^0*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 3, a*(a^2 - 3*b^2)*x - (b*(3*a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (2*a*b^2*Tan[c + d*x])/d + (b*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, b*(3*a^2 - b^2)*x - (3*a*b^2*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^3*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*(a + b*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (-a)*(a^2 - 3*b^2)*x - (b^3*Log[Cos[c + d*x]])/d + (3*a^2*b*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (-b)*(3*a^2 - b^2)*x - (5*a^2*b*Cot[c + d*x])/(2*d) - (a*(a^2 - 3*b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x]))/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 5, a*(a^2 - 3*b^2)*x + (a*(a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x])/d - (7*a^2*b*Cot[c + d*x]^2)/(6*d) - (b*(3*a^2 - b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x]))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 6, b*(3*a^2 - b^2)*x + (b*(3*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x])/d + (a*(a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (3*a^2*b*Cot[c + d*x]^3)/(4*d) + (a*(a^2 - 3*b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x]))/(4*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 7, (-a)*(a^2 - 3*b^2)*x - (a*(a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x])/d + (b*(3*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*(a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (11*a^2*b*Cot[c + d*x]^4)/(20*d) + (b*(3*a^2 - b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x]))/(5*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 8, 4*a*b*(a^2 - b^2)*x + ((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a*b*(a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x])/d - ((a^2 - b^2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) - (a*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) - (a + b*Tan[c + d*x])^4/(4*d) - (a*(a + b*Tan[c + d*x])^5)/(30*b^2*d) + (Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^5)/(6*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 5, -((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x) + (4*a*b*(a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d - (b^2*(3*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/d - (a*b*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/d - (b*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) + (a + b*Tan[c + d*x])^5/(5*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 5, -4*a*b*(a^2 - b^2)*x - ((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a*b*(a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x])/d + ((a^2 - b^2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + (a*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) + (a + b*Tan[c + d*x])^4/(4*d)}
+{Tan[c + d*x]^0*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 4, (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x - (4*a*b*(a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b^2*(3*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/d + (a*b*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/d + (b*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 5, 4*a*b*(a^2 - b^2)*x - (b^2*(6*a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^4*Log[Sin[c + d*x]])/d + (3*a*b^3*Tan[c + d*x])/d + (b^2*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 5, -((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x) - (4*a*b^3*Log[Cos[c + d*x]])/d + (4*a^3*b*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*(a^2 + b^2)*Tan[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 5, -4*a*b*(a^2 - b^2)*x - (3*a^3*b*Cot[c + d*x])/d - (b^4*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a^2*(a^2 - 6*b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 5, (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x + (a^2*(3*a^2 - 17*b^2)*Cot[c + d*x])/(3*d) - (4*a^3*b*Cot[c + d*x]^2)/(3*d) - (4*a*b*(a^2 - b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 6, 4*a*b*(a^2 - b^2)*x + (4*a*b*(a^2 - b^2)*Cot[c + d*x])/d + (a^2*(2*a^2 - 11*b^2)*Cot[c + d*x]^2)/(4*d) - (5*a^3*b*Cot[c + d*x]^3)/(6*d) + ((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(4*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 7, -((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x) - ((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Cot[c + d*x])/d + (2*a*b*(a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]^2)/d + (a^2*(5*a^2 - 27*b^2)*Cot[c + d*x]^3)/(15*d) - (3*a^3*b*Cot[c + d*x]^4)/(5*d) + (4*a*b*(a^2 - b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^7*(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 8, -4*a*b*(a^2 - b^2)*x - (4*a*b*(a^2 - b^2)*Cot[c + d*x])/d - ((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) + (4*a*b*(a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*(3*a^2 - 16*b^2)*Cot[c + d*x]^4)/(12*d) - (7*a^3*b*Cot[c + d*x]^5)/(15*d) - ((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(6*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^6/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 8, -((a*x)/(a^2 + b^2)) - (b*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) + (a^6*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^5*(a^2 + b^2)*d) - (a*(a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/(b^4*d) + ((a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^2)/(2*b^3*d) - (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*b^2*d) + Tan[c + d*x]^4/(4*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^5/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 7, (b*x)/(a^2 + b^2) - (a^5*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^4*(a^2 + b^2)*d) - (a*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) + ((a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/(b^3*d) - (a*Tan[c + d*x]^2)/(2*b^2*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 6, (a*x)/(a^2 + b^2) + (a^4*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)*d) + (b*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) - (a*Tan[c + d*x])/(b^2*d) + Tan[c + d*x]^2/(2*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 5, -((b*x)/(a^2 + b^2)) - (a^3*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + (a*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) + Tan[c + d*x]/(b*d)}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 4, -((a*x)/(a^2 + b^2)) - Log[Cos[c + d*x]]/(b*d) + (a^2*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d), -((a*x)/b^2) + (a^3*x)/(b^2*(a^2 + b^2)) - Log[Cos[c + d*x]]/(b*d) + (a^2*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d)}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 2, (b*x)/(a^2 + b^2) - (a*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d)}
+{Tan[c + d*x]^0/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 2, (a*x)/(a^2 + b^2) + (b*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d)}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, -((b*x)/(a^2 + b^2)) + Log[Sin[c + d*x]]/(a*d) - (b^2*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a*(a^2 + b^2)*d)}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 4, -((a*x)/(a^2 + b^2)) - Cot[c + d*x]/(a*d) - (b*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (b^3*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^2*(a^2 + b^2)*d)}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 5, (b*x)/(a^2 + b^2) + (b*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]^2/(2*a*d) - ((a^2 - b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (b^4*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^3*(a^2 + b^2)*d)}
+{Cot[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 6, (a*x)/(a^2 + b^2) + ((a^2 - b^2)*Cot[c + d*x])/(a^3*d) + (b*Cot[c + d*x]^2)/(2*a^2*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) + (b*(a^2 - b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + (b^5*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^4*(a^2 + b^2)*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^6/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 8, -(((a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^2) - (2*a*b*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) - (2*a^5*(2*a^2 + 3*b^2)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^5*(a^2 + b^2)^2*d) + ((4*a^4 + 2*a^2*b^2 - b^4)*Tan[c + d*x])/(b^4*(a^2 + b^2)*d) - (a*(2*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/(b^3*(a^2 + b^2)*d) + ((4*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(3*b^2*(a^2 + b^2)*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^4)/(b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^5/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 7, (2*a*b*x)/(a^2 + b^2)^2 - ((a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a^4*(3*a^2 + 5*b^2)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^4*(a^2 + b^2)^2*d) - (a*(3*a^2 + 2*b^2)*Tan[c + d*x])/(b^3*(a^2 + b^2)*d) + ((3*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/(2*b^2*(a^2 + b^2)*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^3)/(b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, ((a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^2 + (2*a*b*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) - (2*a^3*(a^2 + 2*b^2)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)^2*d) + ((2*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^2)/(b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 5, -((2*a*b*x)/(a^2 + b^2)^2) + (a^2*(a^2 + 3*b^2)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) + a^3/(b^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])), -((2*a*b*x)/(a^2 + b^2)^2) + ((a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a^2*(a^2 + 3*b^2)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)^2*d) - (a^2*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -(((a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^2) - (2*a*b*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) - a^2/(b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (2*a*b*x)/(a^2 + b^2)^2 - ((a^2 - b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) + a/((a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^0/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, ((a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^2 + (2*a*b*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) - b/((a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 4, -((2*a*b*x)/(a^2 + b^2)^2) + Log[Sin[c + d*x]]/(a^2*d) - (b^2*(3*a^2 + b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d) + b^2/(a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 5, -(((a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^2) - (2*b*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + (2*b^3*(2*a^2 + b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d) - (b*(a^2 + 2*b^2))/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])) - Cot[c + d*x]/(a*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, (2*a*b*x)/(a^2 + b^2)^2 - ((a^2 - 3*b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - (b^4*(5*a^2 + 3*b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^4*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^2*(2*a^2 + 3*b^2))/(a^3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])) + (3*b*Cot[c + d*x])/(2*a^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])) - Cot[c + d*x]^2/(2*a*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^6/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 8, -((a*(a^2 - 3*b^2)*x)/(a^2 + b^2)^3) - (b*(3*a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) + (a^4*(6*a^4 + 17*a^2*b^2 + 15*b^4)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^5*(a^2 + b^2)^3*d) - (a*(6*a^4 + 11*a^2*b^2 + 3*b^4)*Tan[c + d*x])/(b^4*(a^2 + b^2)^2*d) + ((6*a^4 + 11*a^2*b^2 + b^4)*Tan[c + d*x]^2)/(2*b^3*(a^2 + b^2)^2*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^4)/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (2*a^2*(a^2 + 2*b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^5/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 7, (b*(3*a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^3 - (a*(a^2 - 3*b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) - (a^3*(3*a^4 + 9*a^2*b^2 + 10*b^4)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^4*(a^2 + b^2)^3*d) + ((3*a^4 + 6*a^2*b^2 + b^4)*Tan[c + d*x])/(b^3*(a^2 + b^2)^2*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^3)/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (a^2*(3*a^2 + 7*b^2)*Tan[c + d*x]^2)/(2*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 6, (a*(a^2 - 3*b^2)*x)/(a^2 + b^2)^3 + (b*(3*a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) + (a^2*(a^4 + 3*a^2*b^2 + 6*b^4)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)^3*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^2)/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (a^3*(a^2 + 3*b^2))/(b^3*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, -((b*(3*a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^3) + (a*(a^2 - 3*b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) - (a^2*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (a^2*(a^2 + 5*b^2))/(2*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, -((a*(a^2 - 3*b^2)*x)/(a^2 + b^2)^3) - (b*(3*a^2 - b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) - a^2/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (2*a*b)/((a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (b*(3*a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^3 - (a*(a^2 - 3*b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) + a/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (a^2 - b^2)/((a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^0/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (a*(a^2 - 3*b^2)*x)/(a^2 + b^2)^3 + (b*(3*a^2 - b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) - b/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (2*a*b)/((a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 5, -((b*(3*a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^3) + Log[Sin[c + d*x]]/(a^3*d) - (b^2*(6*a^4 + 3*a^2*b^2 + b^4)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^3*(a^2 + b^2)^3*d) + b^2/(2*a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (b^2*(3*a^2 + b^2))/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 6, -((a*(a^2 - 3*b^2)*x)/(a^2 + b^2)^3) - (3*b*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + (b^3*(10*a^4 + 9*a^2*b^2 + 3*b^4)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^4*(a^2 + b^2)^3*d) - (b*(2*a^2 + 3*b^2))/(2*a^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - Cot[c + d*x]/(a*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (b*(a^4 + 6*a^2*b^2 + 3*b^4))/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^6/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 8, -(((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x)/(a^2 + b^2)^4) - (4*a*b*(a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^4*d) - (4*a^3*(a^6 + 4*a^4*b^2 + 6*a^2*b^4 + 5*b^6)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^5*(a^2 + b^2)^4*d) + ((4*a^6 + 12*a^4*b^2 + 13*a^2*b^4 + b^6)*Tan[c + d*x])/(b^4*(a^2 + b^2)^3*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^4)/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) - (a^2*(2*a^2 + 5*b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(3*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (2*a^2*(a^4 + 3*a^2*b^2 + 4*b^4)*Tan[c + d*x]^2)/(b^3*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^5/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 7, (4*a*b*(a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^4 - ((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^4*d) + (a^2*(a^6 + 4*a^4*b^2 + 5*a^2*b^4 + 10*b^6)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^4*(a^2 + b^2)^4*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) - (a^2*(a^2 + 3*b^2)*Tan[c + d*x]^2)/(2*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (a^3*(a^4 + 3*a^2*b^2 + 6*b^4))/(b^4*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 5, ((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x)/(a^2 + b^2)^4 + (4*a*b*(a^2 - b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^4*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^2)/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) + (a^3*(a^2 + 4*b^2))/(3*b^3*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (a^2*(2*a^4 + 7*a^2*b^2 + 17*b^4))/(3*b^3*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 5, -((4*a*b*(a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^4) + ((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^4*d) - (a^2*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) - (a^2*(a^2 + 7*b^2))/(6*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (a*(a^2 - 3*b^2))/((a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 5, -(((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x)/(a^2 + b^2)^4) - (4*a*b*(a^2 - b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^4*d) - a^2/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) + (a*b)/((a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (b*(3*a^2 - b^2))/((a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 5, (4*a*b*(a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^4 - ((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^4*d) + a/(3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) + (a^2 - b^2)/(2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (a*(a^2 - 3*b^2))/((a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^0/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 5, ((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x)/(a^2 + b^2)^4 + (4*a*b*(a^2 - b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^4*d) - b/(3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) - (a*b)/((a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (b*(3*a^2 - b^2))/((a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 6, -((4*a*b*(a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^4) + Log[Sin[c + d*x]]/(a^4*d) - (b^2*(10*a^6 + 5*a^4*b^2 + 4*a^2*b^4 + b^6)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^4*(a^2 + b^2)^4*d) + b^2/(3*a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) + (b^2*(3*a^2 + b^2))/(2*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (b^2*(6*a^4 + 3*a^2*b^2 + b^4))/(a^3*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 7, -(((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x)/(a^2 + b^2)^4) - (4*b*Log[Sin[c + d*x]])/(a^5*d) + (4*b^3*(5*a^6 + 6*a^4*b^2 + 4*a^2*b^4 + b^6)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^5*(a^2 + b^2)^4*d) - (b*(3*a^2 + 4*b^2))/(3*a^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) - Cot[c + d*x]/(a*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) - (b*(a^4 + 4*a^2*b^2 + 2*b^4))/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (b*(a^6 + 13*a^4*b^2 + 12*a^2*b^4 + 4*b^6))/(a^4*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{1/(3 + 5*Tan[c + d*x]), x, 2, (3*x)/34 + (5*Log[3*Cos[c + d*x] + 5*Sin[c + d*x]])/(34*d)}
+{1/(3 + 5*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -((4*x)/289) + (15*Log[3*Cos[c + d*x] + 5*Sin[c + d*x]])/(578*d) - 5/(34*d*(3 + 5*Tan[c + d*x]))}
+{1/(3 + 5*Tan[c + d*x])^3, x, 4, -((99*x)/19652) + (5*Log[3*Cos[c + d*x] + 5*Sin[c + d*x]])/(19652*d) - 5/(68*d*(3 + 5*Tan[c + d*x])^2) - 15/(578*d*(3 + 5*Tan[c + d*x]))}
+{1/(3 + 5*Tan[c + d*x])^4, x, 5, -((161*x)/334084) - (60*Log[3*Cos[c + d*x] + 5*Sin[c + d*x]])/(83521*d) - 5/(102*d*(3 + 5*Tan[c + d*x])^3) - 15/(1156*d*(3 + 5*Tan[c + d*x])^2) - 5/(19652*d*(3 + 5*Tan[c + d*x]))}
+
+{1/(5 + 3*Tan[c + d*x]), x, 2, (5*x)/34 + (3*Log[5*Cos[c + d*x] + 3*Sin[c + d*x]])/(34*d)}
+{1/(5 + 3*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (4*x)/289 + (15*Log[5*Cos[c + d*x] + 3*Sin[c + d*x]])/(578*d) - 3/(34*d*(5 + 3*Tan[c + d*x]))}
+{1/(5 + 3*Tan[c + d*x])^3, x, 4, -((5*x)/19652) + (99*Log[5*Cos[c + d*x] + 3*Sin[c + d*x]])/(19652*d) - 3/(68*d*(5 + 3*Tan[c + d*x])^2) - 15/(578*d*(5 + 3*Tan[c + d*x]))}
+{1/(5 + 3*Tan[c + d*x])^4, x, 5, -((161*x)/334084) + (60*Log[5*Cos[c + d*x] + 3*Sin[c + d*x]])/(83521*d) - 1/(34*d*(5 + 3*Tan[c + d*x])^3) - 15/(1156*d*(5 + 3*Tan[c + d*x])^2) - 99/(19652*d*(5 + 3*Tan[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^(m/2) (d Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^4*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 14, (b*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] - Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] + Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (b*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (2*(8*a^2 - 35*b^2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(105*b^3*d) - (8*a*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(35*b^2*d) + (2*Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(7*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 11, (Sqrt[a - I*b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d + (Sqrt[a + I*b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d - (4*a*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(15*b^2*d) + (2*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(5*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 12, -((b*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] - Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d)) + (b*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] + Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (b*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 8, -((Sqrt[a - I*b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d) - (Sqrt[a + I*b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{Tan[c + d*x]^0*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 11, (b*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] - Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] + Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (b*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d)}
+{Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*Cot[c + d*x]^1, x, 11, -((2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d) + (Sqrt[a - I*b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d + (Sqrt[a + I*b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d}
+{Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*Cot[c + d*x]^2, x, 16, -((b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d)) - (b*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] - Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (b*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] + Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (b*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*Cot[c + d*x]^3, x, 13, ((8*a^2 + b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*a^(3/2)*d) - (Sqrt[a - I*b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - (Sqrt[a + I*b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (b*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*a*d) - (Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 11, -((I*(a - I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d) + (I*(a + I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (2*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d + (2*(8*a^2 - 63*b^2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(315*b^3*d) - (8*a*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(63*b^2*d) + (2*Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(9*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 12, ((a - I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d + ((a + I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (2*a*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d - (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (4*a*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(35*b^2*d) + (2*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(7*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 9, (I*(a - I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - (I*(a + I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (2*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 9, -(((a - I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d) - ((a + I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (2*a*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Tan[c + d*x]^0*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((I*(a - I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d) + (I*(a + I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (2*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*Cot[c + d*x]^1, x, 11, -((2*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d) + ((a - I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d + ((a + I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*Cot[c + d*x]^2, x, 12, -((3*Sqrt[a]*b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d) + (I*(a - I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - (I*(a + I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (a*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*Cot[c + d*x]^3, x, 13, ((8*a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*Sqrt[a]*d) - ((a - I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - ((a + I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (5*b*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*d) - (a*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 13, ((a - I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d + ((a + I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (2*(a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d - (2*a*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*d) - (4*a*(a + b*Tan[c + d*x])^(7/2))/(63*b^2*d) + (2*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(7/2))/(9*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 10, (I*(a - I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - (I*(a + I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (4*a*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d - (2*b*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d) + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(7/2))/(7*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 10, -(((a - I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d) - ((a + I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (2*(a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d + (2*a*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d) + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+{Tan[c + d*x]^0*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((I*(a - I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d) + (I*(a + I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (4*a*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d + (2*b*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*Cot[c + d*x]^1, x, 12, -((2*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d) + ((a - I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d + ((a + I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (2*b^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*Cot[c + d*x]^2, x, 12, -((5*a^(3/2)*b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d) + (I*(a - I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - (I*(a + I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (a^2*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*Cot[c + d*x]^3, x, 13, (Sqrt[a]*(8*a^2 - 15*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*d) - ((a - I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - ((a + I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (9*a*b*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*Cot[c + d*x]^4, x, 14, (5*b*(8*a^2 - b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(8*Sqrt[a]*d) - (I*(a - I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d + (I*(a + I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + ((8*a^2 - 11*b^2)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(8*d) - (13*a*b*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(12*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+
+
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 10, -((I*(a - I*b)^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d) + (I*(a + I*b)^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (2*b*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d + (4*a*b*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d) + (2*b*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^5/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 12, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]]/(Sqrt[a - I*b]*d)) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]]/(Sqrt[a + I*b]*d) - (4*a*(24*a^2 - 35*b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*b^4*d) + (2*(24*a^2 - 35*b^2)*Tan[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*b^3*d) - (12*a*Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(35*b^2*d) + (2*Tan[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(7*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^4/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 14, (b*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] - Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] + Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (b*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (2*(8*a^2 - 15*b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*b^3*d) - (8*a*Tan[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*b^2*d) + (2*Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 10, ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]]/(Sqrt[a - I*b]*d) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]]/(Sqrt[a + I*b]*d) - (4*a*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*b^2*d) + (2*Tan[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^2/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 12, -((b*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] - Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d)) + (b*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] + Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (b*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(b*d)}
+{Tan[c + d*x]^1/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 7, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]]/(Sqrt[a - I*b]*d)) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]]/(Sqrt[a + I*b]*d)}
+{Tan[c + d*x]^0/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 11, (b*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] - Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] + Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (b*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d)}
+{Cot[c + d*x]^1/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 11, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d)) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]]/(Sqrt[a - I*b]*d) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]]/(Sqrt[a + I*b]*d)}
+{Cot[c + d*x]^2/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 17, (b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) - (b*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] - Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (b*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] + Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (b*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(a*d)}
+{Cot[c + d*x]^3/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 14, ((8*a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*a^(5/2)*d) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]]/(Sqrt[a - I*b]*d) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]]/(Sqrt[a + I*b]*d) + (3*b*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*a^2*d) - (Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*a*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^5/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 11, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]]/((a - I*b)^(3/2)*d)) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]]/((a + I*b)^(3/2)*d) - (2*a^2*Tan[c + d*x]^3)/(b*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (2*(16*a^4 + 6*a^2*b^2 - 5*b^4)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*b^4*(a^2 + b^2)*d) - (2*a*(8*a^2 + 3*b^2)*Tan[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*b^3*(a^2 + b^2)*d) + (2*(6*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*b^2*(a^2 + b^2)*d)}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 10, -((I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(3/2)*d)) + (I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(3/2)*d) - (2*a^2*Tan[c + d*x]^2)/(b*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) - (2*a*(8*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*b^3*(a^2 + b^2)*d) + (2*(4*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*b^2*(a^2 + b^2)*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 9, ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]]/((a - I*b)^(3/2)*d) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]]/((a + I*b)^(3/2)*d) - (2*a^2*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (2*(2*a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*d)}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, (I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(3/2)*d) - (I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(3/2)*d) - (2*a^2)/(b*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]]/((a - I*b)^(3/2)*d)) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]]/((a + I*b)^(3/2)*d) + (2*a)/((a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^0/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(3/2)*d)) + (I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(3/2)*d) - (2*b)/((a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 12, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d)) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]]/((a - I*b)^(3/2)*d) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]]/((a + I*b)^(3/2)*d) + (2*b^2)/(a*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 13, (3*b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*d) + (I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(3/2)*d) - (I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(3/2)*d) - (b*(a^2 + 3*b^2))/(a^2*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) - Cot[c + d*x]/(a*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 14, ((8*a^2 - 15*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*a^(7/2)*d) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]]/((a - I*b)^(3/2)*d) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]]/((a + I*b)^(3/2)*d) + (b^2*(7*a^2 + 15*b^2))/(4*a^3*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (5*b*Cot[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) - Cot[c + d*x]^2/(2*a*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^5/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 11, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]]/((a - I*b)^(5/2)*d)) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]]/((a + I*b)^(5/2)*d) - (2*a^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (4*a^2*(a^2 + 2*b^2)*Tan[c + d*x]^2)/(b^2*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) - (4*a*(8*a^4 + 15*a^2*b^2 + 4*b^4)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*b^4*(a^2 + b^2)^2*d) + (2*(8*a^4 + 15*a^2*b^2 + b^4)*Tan[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*b^3*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 10, -((I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(5/2)*d)) + (I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(5/2)*d) - (2*a^2*Tan[c + d*x]^2)/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (4*a^3*(2*a^2 + 5*b^2))/(3*b^3*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (2*(4*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*b^3*(a^2 + b^2)*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]]/((a - I*b)^(5/2)*d) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]]/((a + I*b)^(5/2)*d) - (2*a^2*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (4*a^2*(a^2 + 4*b^2))/(3*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, (I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(5/2)*d) - (I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(5/2)*d) - (2*a^2)/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (4*a*b)/((a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]]/((a - I*b)^(5/2)*d)) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]]/((a + I*b)^(5/2)*d) + (2*a)/(3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*(a^2 - b^2))/((a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^0/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(5/2)*d)) + (I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(5/2)*d) - (2*b)/(3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (4*a*b)/((a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 13, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*d)) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]]/((a - I*b)^(5/2)*d) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]]/((a + I*b)^(5/2)*d) + (2*b^2)/(3*a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*b^2*(3*a^2 + b^2))/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 14, (5*b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(7/2)*d) + (I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(5/2)*d) - (I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(5/2)*d) - (b*(3*a^2 + 5*b^2))/(3*a^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - Cot[c + d*x]/(a*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (b*(a^4 + 10*a^2*b^2 + 5*b^4))/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+{1/(a + b*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 10, -((I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(7/2)*d)) + (I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(7/2)*d) - (2*b)/(5*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)) - (4*a*b)/(3*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*b*(3*a^2 - b^2))/((a^2 + b^2)^3*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (d Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 13, ((a - b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a - b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a + b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a + b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*b*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*a*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d) + (2*b*Tan[c + d*x]^(5/2))/(5*d)}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 12, ((a + b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a + b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a - b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a - b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*a*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*b*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 11, -(((a - b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a - b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a + b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a + b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*b*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d}
+{(a + b*Tan[c + d*x])/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 10, -(((a + b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a + b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a - b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a - b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 11, ((a - b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a - b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a + b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a + b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*a)/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(a + b*Tan[c + d*x])/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 12, ((a + b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a + b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a - b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a - b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*a)/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (2*b)/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(a + b*Tan[c + d*x])/Tan[c + d*x]^(7/2), x, 13, -(((a - b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a - b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a + b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a + b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*a)/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) - (2*b)/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*a)/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 14, ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (4*a*b*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*(a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d) + (4*a*b*Tan[c + d*x]^(5/2))/(5*d) + (2*b^2*Tan[c + d*x]^(7/2))/(7*d)}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 13, ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*(a^2 - b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (4*a*b*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d) + (2*b^2*Tan[c + d*x]^(5/2))/(5*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 12, -(((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (4*a*b*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*b^2*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^2/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 11, -(((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*b^2*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^2/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 11, ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*a^2)/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^2/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 12, ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*a^2)/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (4*a*b)/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^2/Tan[c + d*x]^(7/2), x, 13, -(((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*a^2)/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) - (4*a*b)/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*(a^2 - b^2))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 15, ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*b*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*a*(a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d) + (2*b*(3*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(5*d) + (40*a*b^2*Tan[c + d*x]^(7/2))/(63*d) + (2*b^2*Tan[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Tan[c + d*x]))/(9*d)}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 14, ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*a*(a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*b*(3*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d) + (32*a*b^2*Tan[c + d*x]^(5/2))/(35*d) + (2*b^2*Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x]))/(7*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 13, -(((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*b*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (8*a*b^2*Tan[c + d*x]^(3/2))/(5*d) + (2*b^2*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x]))/(5*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^3/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 12, -(((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (16*a*b^2*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*d) + (2*b^2*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x]))/(3*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^3/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 12, ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*b*(a^2 + b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*a^2*(a + b*Tan[c + d*x]))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^3/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 12, ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (16*a^2*b)/(3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*a^2*(a + b*Tan[c + d*x]))/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2))}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^3/Tan[c + d*x]^(7/2), x, 13, -(((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (8*a^2*b)/(5*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(a^2 - 3*b^2))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*a^2*(a + b*Tan[c + d*x]))/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2))}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^3/Tan[c + d*x]^(9/2), x, 14, -(((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (32*a^2*b)/(35*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(a^2 - 3*b^2))/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*(3*a^2 - b^2))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*a^2*(a + b*Tan[c + d*x]))/(7*d*Tan[c + d*x]^(7/2))}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^3/Tan[c + d*x]^(11/2), x, 15, ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (40*a^2*b)/(63*d*Tan[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*(a^2 - 3*b^2))/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*(3*a^2 - b^2))/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (2*a*(a^2 - 3*b^2))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*a^2*(a + b*Tan[c + d*x]))/(9*d*Tan[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+{(a + b*Tan[c + d*x])/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 10, -(((a + b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a + b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a - b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a - b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])/Sqrt[-Tan[c + d*x]], x, 10, ((a - b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[-Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a - b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[-Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a + b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[-Tan[c + d*x]] - Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a + b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[-Tan[c + d*x]] - Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])/Sqrt[e*Tan[c + d*x]], x, 10, -(((a + b)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e])) + ((a + b)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) - ((a - b)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) + ((a - b)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e])}
+{(a + b*Tan[c + d*x])/Sqrt[-e*Tan[c + d*x]], x, 10, ((a - b)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[(-e)*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) - ((a - b)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[(-e)*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) + ((a + b)*Log[Sqrt[e] - Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[(-e)*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) - ((a + b)*Log[Sqrt[e] - Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[(-e)*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^(9/2)/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 17, -(((a + b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)) + ((a + b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*a^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(b^(7/2)*(a^2 + b^2)*d) + ((a - b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a - b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*(a^2 - b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b^3*d) - (2*a*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*b^2*d) + (2*Tan[c + d*x]^(5/2))/(5*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^(7/2)/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 16, -(((a - b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)) + ((a - b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*a^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(b^(5/2)*(a^2 + b^2)*d) - ((a + b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + ((a + b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*a*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b^2*d) + (2*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 15, ((a + b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a + b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(b^(3/2)*(a^2 + b^2)*d) - ((a - b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + ((a - b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b*d)}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 14, ((a - b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a - b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(Sqrt[b]*(a^2 + b^2)*d) + ((a + b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a + b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 14, -(((a + b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)) + ((a + b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/((a^2 + b^2)*d) + ((a - b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a - b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{1/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 14, -(((a - b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)) + ((a - b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a^2 + b^2)*d) - ((a + b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + ((a + b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{1/(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 15, ((a + b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a + b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*(a^2 + b^2)*d) - ((a - b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + ((a - b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - 2/(a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{1/(Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 16, ((a - b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a - b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*b^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*(a^2 + b^2)*d) + ((a + b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a + b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - 2/(3*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*b)/(a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{1/(Tan[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 17, -(((a + b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)) + ((a + b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*b^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(a^(7/2)*(a^2 + b^2)*d) + ((a - b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a - b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - 2/(5*a*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (2*b)/(3*a^2*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*(a^2 - b^2))/(a^3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(9/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 17, -(((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (a^(7/2)*(5*a^2 + 9*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(b^(7/2)*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (a*(5*a^2 + 4*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)*d) + ((5*a^2 + 2*b^2)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*b^2*(a^2 + b^2)*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^(5/2))/(b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^(7/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 16, -(((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (a^(5/2)*(3*a^2 + 7*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(b^(5/2)*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((3*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^(3/2))/(b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 15, ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (a^(3/2)*(a^2 + 5*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(b^(3/2)*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (a^2*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 15, ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (Sqrt[a]*(a^2 - 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (a*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 15, -(((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (Sqrt[b]*(3*a^2 - b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (b*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{1/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^2), x, 15, -(((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^(3/2)*(5*a^2 + b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^2*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{1/(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2), x, 16, ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (b^(5/2)*(7*a^2 + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (2*a^2 + 3*b^2)/(a^2*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + b^2/(a*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{1/(Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2), x, 17, ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^(7/2)*(9*a^2 + 5*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(a^(7/2)*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (2*a^2 + 5*b^2)/(3*a^2*(a^2 + b^2)*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (b*(4*a^2 + 5*b^2))/(a^3*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + b^2/(a*(a^2 + b^2)*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(11/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 18, ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (a^(7/2)*(35*a^4 + 102*a^2*b^2 + 99*b^4)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(4*b^(9/2)*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (a*(35*a^4 + 67*a^2*b^2 + 24*b^4)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*b^4*(a^2 + b^2)^2*d) + ((35*a^4 + 67*a^2*b^2 + 8*b^4)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(12*b^3*(a^2 + b^2)^2*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^(7/2))/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (a^2*(7*a^2 + 15*b^2)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(4*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^(9/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 17, -(((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (a^(5/2)*(15*a^4 + 46*a^2*b^2 + 63*b^4)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(4*b^(7/2)*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((15*a^4 + 31*a^2*b^2 + 8*b^4)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*b^3*(a^2 + b^2)^2*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^(5/2))/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (a^2*(5*a^2 + 13*b^2)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(4*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^(7/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 16, -(((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (a^(3/2)*(3*a^4 + 6*a^2*b^2 + 35*b^4)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(4*b^(5/2)*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^(3/2))/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (a^2*(3*a^2 + 11*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 16, ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (Sqrt[a]*(a^4 + 18*a^2*b^2 - 15*b^4)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(4*b^(3/2)*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (a^2*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (a*(a^2 + 9*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*b*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 16, ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((3*a^4 - 26*a^2*b^2 + 3*b^4)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (a*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + ((3*a^2 - 5*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 16, -(((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (Sqrt[b]*(15*a^4 - 18*a^2*b^2 - b^4)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(4*a^(3/2)*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (b*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (b*(7*a^2 - b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*a*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{1/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^3), x, 16, -(((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (b^(3/2)*(35*a^4 + 6*a^2*b^2 + 3*b^4)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(4*a^(5/2)*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (b^2*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (b^2*(11*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{1/(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3), x, 17, ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (b^(5/2)*(63*a^4 + 46*a^2*b^2 + 15*b^4)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(4*a^(7/2)*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (8*a^4 + 31*a^2*b^2 + 15*b^4)/(4*a^3*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + b^2/(2*a*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (b^2*(13*a^2 + 5*b^2))/(4*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{1/(Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3), x, 18, ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (b^(7/2)*(99*a^4 + 102*a^2*b^2 + 35*b^4)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(4*a^(9/2)*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (8*a^4 + 67*a^2*b^2 + 35*b^4)/(12*a^3*(a^2 + b^2)^2*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (b*(24*a^4 + 67*a^2*b^2 + 35*b^4))/(4*a^4*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + b^2/(2*a*(a^2 + b^2)*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (b^2*(15*a^2 + 7*b^2))/(4*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^(m/2) (d Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 14, -((Sqrt[I*a - b]*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) - ((a^2 + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(4*b^(3/2)*d) + (Sqrt[I*a + b]*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (a*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*b*d) + (Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(2*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 13, (I*Sqrt[I*a - b]*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (a*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[b]*d) + (I*Sqrt[I*a + b]*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{Tan[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 11, (Sqrt[I*a - b]*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (2*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (Sqrt[I*a + b]*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d}
+{Tan[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 7, -((I*Sqrt[I*a - b]*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) - (I*Sqrt[I*a + b]*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d}
+{Tan[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 8, -((Sqrt[I*a - b]*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) + (Sqrt[I*a + b]*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 10, (I*Sqrt[I*a - b]*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (I*Sqrt[I*a + b]*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (2*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-7/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 10, (Sqrt[I*a - b]*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (Sqrt[I*a + b]*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) - (2*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*(15*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 15, (I*(I*a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (a*(a^2 + 24*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(8*b^(3/2)*d) - (I*(I*a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - ((a^2 + 8*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(8*b*d) - (a*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(12*b*d) + (Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(3*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 14, ((I*a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + ((3*a^2 - 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(4*Sqrt[b]*d) + ((I*a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (3*a*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*d) + (Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(2*d)}
+{Tan[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 13, -((I*(I*a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) + (3*a*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (I*(I*a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (b*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{Tan[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 12, -(((I*a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) + (2*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - ((I*a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d}
+{Tan[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, (I*(I*a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (I*(I*a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 9, ((I*a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + ((I*a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (8*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-7/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 10, -((I*(I*a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) + (I*(I*a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) - (4*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-9/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 11, -(((I*a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) - ((I*a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(7*d*Tan[c + d*x]^(7/2)) - (16*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(35*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (2*(35*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (4*b*(70*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 16, ((I*a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - ((5*a^4 + 240*a^2*b^2 - 128*b^4)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(64*b^(3/2)*d) - ((I*a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (a*(5*a^2 + 112*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(64*b*d) - ((5*a^2 + 48*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(96*b*d) - (a*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(24*b*d) + (Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(7/2))/(4*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 15, -((I*(I*a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) + (5*a*(a^2 - 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(8*Sqrt[b]*d) - (I*(I*a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + ((11*a^2 - 8*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(8*d) + (13*a*b*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(12*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+{Tan[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 14, -(((I*a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) + (Sqrt[b]*(15*a^2 - 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(4*d) + ((I*a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (9*a*b*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d)}
+{Tan[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 13, (I*(I*a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (5*a*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (I*(I*a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (b^2*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{Tan[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 13, ((I*a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (2*b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - ((I*a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((I*(I*a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) - (I*(I*a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (14*a*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-7/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 10, -(((I*a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) + ((I*a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) - (22*a*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*(15*a^2 - 23*b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-9/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 11, (I*(I*a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (I*(I*a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(7*d*Tan[c + d*x]^(7/2)) - (6*a*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(7*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (2*(7*a^2 - 9*b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(21*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*(49*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(21*a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-11/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 12, ((I*a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - ((I*a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(9*d*Tan[c + d*x]^(9/2)) - (38*a*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(63*d*Tan[c + d*x]^(7/2)) + (2*(21*a^2 - 25*b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*(231*a^2 - 5*b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(315*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (2*(315*a^4 - 483*a^2*b^2 - 10*b^4)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(315*a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^(7/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 14, ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[I*a - b]*d) + ((3*a^2 - 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(4*b^(5/2)*d) + ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[I*a + b]*d) - (3*a*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*b^2*d) + (Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 13, -((I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a - b]*d)) - (a*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(b^(3/2)*d) + (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a + b]*d) + (Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(b*d)}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 12, -(ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[I*a - b]*d)) + (2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[b]*d) - ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[I*a + b]*d)}
+{Tan[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 7, (I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a - b]*d) - (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a + b]*d)}
+{Tan[c + d*x]^(-1/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 7, ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[I*a - b]*d) + ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[I*a + b]*d)}
+{Tan[c + d*x]^(-3/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 9, -((I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a - b]*d)) + (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a + b]*d) - (2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-5/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 10, -(ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[I*a - b]*d)) - ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[I*a + b]*d) - (2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (4*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-7/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 11, (I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a - b]*d) - (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a + b]*d) - (2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*a*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (8*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*a^2*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*(15*a^2 - 8*b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*a^3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(7/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 14, (I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(3/2)*d) - (3*a*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(b^(5/2)*d) + (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(3/2)*d) - (2*a^2*Tan[c + d*x]^(3/2))/(b*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + ((3*a^2 + b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*d)}
+{Tan[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 13, ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/((I*a - b)^(3/2)*d) + (2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(b^(3/2)*d) - ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/((I*a + b)^(3/2)*d) - (2*a^2*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(3/2)*d)) - (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(3/2)*d) + (2*a*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, -(ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/((I*a - b)^(3/2)*d)) + ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/((I*a + b)^(3/2)*d) - (2*b*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-1/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, (I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(3/2)*d) + (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(3/2)*d) + (2*b^2*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-3/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 9, ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/((I*a - b)^(3/2)*d) - ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/((I*a + b)^(3/2)*d) - 2/(a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) - (2*b*(a^2 + 2*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^2*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-5/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 10, -((I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(3/2)*d)) - (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(3/2)*d) - 2/(3*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (8*b)/(3*a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (2*b^2*(5*a^2 + 8*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(9/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 15, -((I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(5/2)*d)) - (5*a*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(b^(7/2)*d) + (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(5/2)*d) - (2*a^2*Tan[c + d*x]^(5/2))/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*a^2*(5*a^2 + 11*b^2)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + ((5*a^4 + 10*a^2*b^2 + b^4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^(7/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 14, -(ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/((I*a - b)^(5/2)*d)) + (2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(b^(5/2)*d) - ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/((I*a + b)^(5/2)*d) - (2*a^2*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*a^2*(a^2 + 3*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, (I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(5/2)*d) - (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(5/2)*d) - (2*a^2*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*(a^2 + 7*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*b*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/((I*a - b)^(5/2)*d) + ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/((I*a + b)^(5/2)*d) + (2*a*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (4*(a^2 - 2*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(5/2)*d)) + (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(5/2)*d) - (2*b*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*b*(5*a^2 - b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*a*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-1/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, -(ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/((I*a - b)^(5/2)*d)) - ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/((I*a + b)^(5/2)*d) + (2*b^2*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (4*b^2*(4*a^2 + b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-3/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 10, (I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(5/2)*d) - (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(5/2)*d) - 2/(a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*b*(3*a^2 + 4*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*b*(3*a^4 + 17*a^2*b^2 + 8*b^4)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-5/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 11, ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/((I*a - b)^(5/2)*d) + ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]/((I*a + b)^(5/2)*d) - 2/(3*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (4*b)/(a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*b^2*(7*a^2 + 8*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (4*b^2*(4*a^4 + 15*a^2*b^2 + 8*b^4)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*a^4*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+{1/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[2 + 3*Tan[c + d*x]]), x, 7, ArcTanh[(Sqrt[3 - 2*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[2 + 3*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[3 - 2*I]*d) + ArcTanh[(Sqrt[3 + 2*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[2 + 3*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[3 + 2*I]*d)}
+{1/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[-2 + 3*Tan[c + d*x]]), x, 7, ArcTanh[(Sqrt[3 - 2*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[-2 + 3*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[3 - 2*I]*d) + ArcTanh[(Sqrt[3 + 2*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[-2 + 3*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[3 + 2*I]*d)}
+
+{1/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[2 - 3*Tan[c + d*x]]), x, 7, ArcTan[(Sqrt[3 - 2*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[2 - 3*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[3 - 2*I]*d) + ArcTan[(Sqrt[3 + 2*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[2 - 3*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[3 + 2*I]*d)}
+{1/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[-2 - 3*Tan[c + d*x]]), x, 7, ArcTan[(Sqrt[3 - 2*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[-2 - 3*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[3 - 2*I]*d) + ArcTan[(Sqrt[3 + 2*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[-2 - 3*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[3 + 2*I]*d)}
+
+{1/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[3 + 2*Tan[c + d*x]]), x, 7, ArcTanh[(Sqrt[2 - 3*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[3 + 2*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2 - 3*I]*d) + ArcTanh[(Sqrt[2 + 3*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[3 + 2*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2 + 3*I]*d)}
+{1/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[3 - 2*Tan[c + d*x]]), x, 7, ArcTan[(Sqrt[2 - 3*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[3 - 2*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2 - 3*I]*d) + ArcTan[(Sqrt[2 + 3*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[3 - 2*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2 + 3*I]*d)}
+
+{1/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[-3 + 2*Tan[c + d*x]]), x, 7, ArcTanh[(Sqrt[2 - 3*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[-3 + 2*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2 - 3*I]*d) + ArcTanh[(Sqrt[2 + 3*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[-3 + 2*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2 + 3*I]*d)}
+{1/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[-3 - 2*Tan[c + d*x]]), x, 7, ArcTan[(Sqrt[2 - 3*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[-3 - 2*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2 - 3*I]*d) + ArcTan[(Sqrt[2 + 3*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[-3 - 2*Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2 + 3*I]*d)}
+
+
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]/Sqrt[2 + 3*Tan[c + d*x]], x, 7, (I*ArcTanh[(Sqrt[3 - 2*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[2 + 3*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[3 - 2*I]*d) - (I*ArcTanh[(Sqrt[3 + 2*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[2 + 3*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[3 + 2*I]*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]/Sqrt[-2 + 3*Tan[c + d*x]], x, 7, -((I*ArcTanh[(Sqrt[3 - 2*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[-2 + 3*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[3 - 2*I]*d)) + (I*ArcTanh[(Sqrt[3 + 2*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[-2 + 3*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[3 + 2*I]*d)}
+
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]/Sqrt[2 - 3*Tan[c + d*x]], x, 7, -((I*ArcTan[(Sqrt[3 - 2*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[2 - 3*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[3 - 2*I]*d)) + (I*ArcTan[(Sqrt[3 + 2*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[2 - 3*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[3 + 2*I]*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]/Sqrt[-2 - 3*Tan[c + d*x]], x, 7, (I*ArcTan[(Sqrt[3 - 2*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[-2 - 3*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[3 - 2*I]*d) - (I*ArcTan[(Sqrt[3 + 2*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[-2 - 3*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[3 + 2*I]*d)}
+
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]/Sqrt[3 + 2*Tan[c + d*x]], x, 7, (I*ArcTanh[(Sqrt[2 - 3*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[3 + 2*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2 - 3*I]*d) - (I*ArcTanh[(Sqrt[2 + 3*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[3 + 2*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2 + 3*I]*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]/Sqrt[3 - 2*Tan[c + d*x]], x, 7, -((I*ArcTan[(Sqrt[2 - 3*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[3 - 2*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2 - 3*I]*d)) + (I*ArcTan[(Sqrt[2 + 3*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[3 - 2*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2 + 3*I]*d)}
+
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]/Sqrt[-3 + 2*Tan[c + d*x]], x, 7, -((I*ArcTanh[(Sqrt[2 - 3*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[-3 + 2*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2 - 3*I]*d)) + (I*ArcTanh[(Sqrt[2 + 3*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[-3 + 2*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2 + 3*I]*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]/Sqrt[-3 - 2*Tan[c + d*x]], x, 7, (I*ArcTan[(Sqrt[2 - 3*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[-3 - 2*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2 - 3*I]*d) - (I*ArcTan[(Sqrt[2 + 3*I]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[-3 - 2*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2 + 3*I]*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (d Tan[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^(5/3)/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 32, -((b*ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(2*(a^2 + b^2)*d)) + (b*ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(2*(a^2 + b^2)*d) - (Sqrt[3]*a^(5/3)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Tan[c + d*x]^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(b^(2/3)*(a^2 + b^2)*d) + (Sqrt[3]*a*ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*(a^2 + b^2)*d) + (b*ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)])/((a^2 + b^2)*d) - (3*a^(5/3)*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(2*b^(2/3)*(a^2 + b^2)*d) - (a*Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(2*(a^2 + b^2)*d) + (Sqrt[3]*b*Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(4*(a^2 + b^2)*d) - (Sqrt[3]*b*Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(4*(a^2 + b^2)*d) + (a^(5/3)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*b^(2/3)*(a^2 + b^2)*d) + (a*Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)])/(4*(a^2 + b^2)*d)}
+{Tan[c + d*x]^(1/3)/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 30, -((b*ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(2*(a^2 + b^2)*d)) + (b*ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(2*(a^2 + b^2)*d) + (Sqrt[3]*a^(1/3)*b^(2/3)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Tan[c + d*x]^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/((a^2 + b^2)*d) - (Sqrt[3]*a*ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*(a^2 + b^2)*d) + (b*ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)])/((a^2 + b^2)*d) - (3*a^(1/3)*b^(2/3)*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(2*(a^2 + b^2)*d) - (a*Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(2*(a^2 + b^2)*d) - (Sqrt[3]*b*Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(4*(a^2 + b^2)*d) + (Sqrt[3]*b*Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(4*(a^2 + b^2)*d) + (a^(1/3)*b^(2/3)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*(a^2 + b^2)*d) + (a*Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)])/(4*(a^2 + b^2)*d)}
+{Tan[c + d*x]^(-1/3)/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 28, (b*ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(2*(a^2 + b^2)*d) - (b*ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(2*(a^2 + b^2)*d) - (Sqrt[3]*b^(4/3)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Tan[c + d*x]^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(a^(1/3)*(a^2 + b^2)*d) - (Sqrt[3]*a*ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*(a^2 + b^2)*d) - (b*ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)])/((a^2 + b^2)*d) - (3*b^(4/3)*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(2*a^(1/3)*(a^2 + b^2)*d) + (a*Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(2*(a^2 + b^2)*d) - (Sqrt[3]*b*Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(4*(a^2 + b^2)*d) + (Sqrt[3]*b*Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(4*(a^2 + b^2)*d) + (b^(4/3)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*a^(1/3)*(a^2 + b^2)*d) - (a*Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)])/(4*(a^2 + b^2)*d)}
+{Tan[c + d*x]^(-5/3)/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 30, (b*ArcTan[Sqrt[3] - 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(2*(a^2 + b^2)*d) - (b*ArcTan[Sqrt[3] + 2*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(2*(a^2 + b^2)*d) + (Sqrt[3]*b^(8/3)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Tan[c + d*x]^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(a^(5/3)*(a^2 + b^2)*d) + (Sqrt[3]*a*ArcTan[(1 - 2*Tan[c + d*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*(a^2 + b^2)*d) - (b*ArcTan[Tan[c + d*x]^(1/3)])/((a^2 + b^2)*d) - (3*b^(8/3)*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Tan[c + d*x]^(1/3)])/(2*a^(5/3)*(a^2 + b^2)*d) + (a*Log[1 + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(2*(a^2 + b^2)*d) + (Sqrt[3]*b*Log[1 - Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(4*(a^2 + b^2)*d) - (Sqrt[3]*b*Log[1 + Sqrt[3]*Tan[c + d*x]^(1/3) + Tan[c + d*x]^(2/3)])/(4*(a^2 + b^2)*d) + (b^(8/3)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*a^(5/3)*(a^2 + b^2)*d) - (a*Log[1 - Tan[c + d*x]^(2/3) + Tan[c + d*x]^(4/3)])/(4*(a^2 + b^2)*d) - (3*a)/(2*(a^2 + b^2)*d*Tan[c + d*x]^(2/3)) - (3*b^2)/(2*a*(a^2 + b^2)*d*Tan[c + d*x]^(2/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^(m/2) (d Tan[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^(4/3)/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 9, (3*AppellF1[7/3, 1, 1/2, 10/3, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(7/3)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(14*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (3*AppellF1[7/3, 1, 1/2, 10/3, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(7/3)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(14*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(2/3)/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 9, (3*AppellF1[5/3, 1, 1/2, 8/3, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(5/3)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(10*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (3*AppellF1[5/3, 1, 1/2, 8/3, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(5/3)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(10*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(1/3)/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 9, (3*AppellF1[4/3, 1, 1/2, 7/3, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(4/3)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(8*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (3*AppellF1[4/3, 1, 1/2, 7/3, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(4/3)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(8*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-1/3)/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 9, (3*AppellF1[2/3, 1, 1/2, 5/3, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(2/3)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(4*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (3*AppellF1[2/3, 1, 1/2, 5/3, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(2/3)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(4*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-2/3)/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 9, (3*AppellF1[1/3, 1, 1/2, 4/3, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(1/3)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (3*AppellF1[1/3, 1, 1/2, 4/3, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(1/3)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^(-4/3)/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 9, -((3*AppellF1[-(1/3), 1, 1/2, 2/3, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(2*d*Tan[c + d*x]^(1/3)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])) - (3*AppellF1[-(1/3), 1, 1/2, 2/3, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(2*d*Tan[c + d*x]^(1/3)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^(m/3) (d Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^4*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3), x, 16, (-(1/4))*(c - Sqrt[-d^2])^(1/3)*x - (1/4)*(c + Sqrt[-d^2])^(1/3)*x - (Sqrt[3]*Sqrt[-d^2]*(c - Sqrt[-d^2])^(1/3)*ArcTan[(1 + (2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(c - Sqrt[-d^2])^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*d*f) + (Sqrt[3]*Sqrt[-d^2]*(c + Sqrt[-d^2])^(1/3)*ArcTan[(1 + (2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(c + Sqrt[-d^2])^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*d*f) + (Sqrt[-d^2]*(c - Sqrt[-d^2])^(1/3)*Log[Cos[e + f*x]])/(4*d*f) - (Sqrt[-d^2]*(c + Sqrt[-d^2])^(1/3)*Log[Cos[e + f*x]])/(4*d*f) + (3*Sqrt[-d^2]*(c - Sqrt[-d^2])^(1/3)*Log[(c - Sqrt[-d^2])^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(4*d*f) - (3*Sqrt[-d^2]*(c + Sqrt[-d^2])^(1/3)*Log[(c + Sqrt[-d^2])^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(4*d*f) + (3*(9*c^2 - 35*d^2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(4/3))/(140*d^3*f) - (9*c*Tan[e + f*x]*(c + d*Tan[e + f*x])^(4/3))/(35*d^2*f) + (3*Tan[e + f*x]^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(4/3))/(10*d*f)}
+{Tan[e + f*x]^3*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3), x, 15, (-(1/4))*I*(c - I*d)^(1/3)*x + (1/4)*I*(c + I*d)^(1/3)*x + (Sqrt[3]*(c - I*d)^(1/3)*ArcTan[(1 + (2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(c - I*d)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*f) + (Sqrt[3]*(c + I*d)^(1/3)*ArcTan[(1 + (2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(c + I*d)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*f) - ((c - I*d)^(1/3)*Log[Cos[e + f*x]])/(4*f) - ((c + I*d)^(1/3)*Log[Cos[e + f*x]])/(4*f) - (3*(c - I*d)^(1/3)*Log[(c - I*d)^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(4*f) - (3*(c + I*d)^(1/3)*Log[(c + I*d)^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(4*f) - (3*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/f - (9*c*(c + d*Tan[e + f*x])^(4/3))/(28*d^2*f) + (3*Tan[e + f*x]*(c + d*Tan[e + f*x])^(4/3))/(7*d*f)}
+{Tan[e + f*x]^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3), x, 14, (1/4)*(c - Sqrt[-d^2])^(1/3)*x + (1/4)*(c + Sqrt[-d^2])^(1/3)*x - (Sqrt[3]*d*(c - Sqrt[-d^2])^(1/3)*ArcTan[(1 + (2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(c - Sqrt[-d^2])^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*Sqrt[-d^2]*f) + (Sqrt[3]*d*(c + Sqrt[-d^2])^(1/3)*ArcTan[(1 + (2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(c + Sqrt[-d^2])^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*Sqrt[-d^2]*f) + (d*(c - Sqrt[-d^2])^(1/3)*Log[Cos[e + f*x]])/(4*Sqrt[-d^2]*f) - (d*(c + Sqrt[-d^2])^(1/3)*Log[Cos[e + f*x]])/(4*Sqrt[-d^2]*f) + (3*d*(c - Sqrt[-d^2])^(1/3)*Log[(c - Sqrt[-d^2])^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(4*Sqrt[-d^2]*f) - (3*d*(c + Sqrt[-d^2])^(1/3)*Log[(c + Sqrt[-d^2])^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(4*Sqrt[-d^2]*f) + (3*(c + d*Tan[e + f*x])^(4/3))/(4*d*f)}
+{Tan[e + f*x]^1*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3), x, 12, (1/4)*I*(c - I*d)^(1/3)*x - (1/4)*I*(c + I*d)^(1/3)*x - (Sqrt[3]*(c - I*d)^(1/3)*ArcTan[(1 + (2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(c - I*d)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*f) - (Sqrt[3]*(c + I*d)^(1/3)*ArcTan[(1 + (2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(c + I*d)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*f) + ((c - I*d)^(1/3)*Log[Cos[e + f*x]])/(4*f) + ((c + I*d)^(1/3)*Log[Cos[e + f*x]])/(4*f) + (3*(c - I*d)^(1/3)*Log[(c - I*d)^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(4*f) + (3*(c + I*d)^(1/3)*Log[(c + I*d)^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(4*f) + (3*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/f}
+{Tan[e + f*x]^0*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3), x, 13, (-(1/4))*(c - Sqrt[-d^2])^(1/3)*x - (1/4)*(c + Sqrt[-d^2])^(1/3)*x + (Sqrt[3]*d*(c - Sqrt[-d^2])^(1/3)*ArcTan[(1 + (2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(c - Sqrt[-d^2])^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*Sqrt[-d^2]*f) - (Sqrt[3]*d*(c + Sqrt[-d^2])^(1/3)*ArcTan[(1 + (2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(c + Sqrt[-d^2])^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*Sqrt[-d^2]*f) - (d*(c - Sqrt[-d^2])^(1/3)*Log[Cos[e + f*x]])/(4*Sqrt[-d^2]*f) + (d*(c + Sqrt[-d^2])^(1/3)*Log[Cos[e + f*x]])/(4*Sqrt[-d^2]*f) - (3*d*(c - Sqrt[-d^2])^(1/3)*Log[(c - Sqrt[-d^2])^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(4*Sqrt[-d^2]*f) + (3*d*(c + Sqrt[-d^2])^(1/3)*Log[(c + Sqrt[-d^2])^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(4*Sqrt[-d^2]*f)}
+{Cot[e + f*x]^1*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3), x, 19, (-(1/4))*I*(c - I*d)^(1/3)*x + (1/4)*I*(c + I*d)^(1/3)*x - (Sqrt[3]*c^(1/3)*ArcTan[(c^(1/3) + 2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*c^(1/3))])/f + (Sqrt[3]*(c - I*d)^(1/3)*ArcTan[(1 + (2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(c - I*d)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*f) + (Sqrt[3]*(c + I*d)^(1/3)*ArcTan[(1 + (2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(c + I*d)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*f) - ((c - I*d)^(1/3)*Log[Cos[e + f*x]])/(4*f) - ((c + I*d)^(1/3)*Log[Cos[e + f*x]])/(4*f) - (c^(1/3)*Log[Tan[e + f*x]])/(2*f) + (3*c^(1/3)*Log[c^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(2*f) - (3*(c - I*d)^(1/3)*Log[(c - I*d)^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(4*f) - (3*(c + I*d)^(1/3)*Log[(c + I*d)^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(4*f)}
+{Cot[e + f*x]^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3), x, 20, (1/4)*(c - Sqrt[-d^2])^(1/3)*x + (1/4)*(c + Sqrt[-d^2])^(1/3)*x - (d*ArcTan[(c^(1/3) + 2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*c^(1/3))])/(Sqrt[3]*c^(2/3)*f) - (Sqrt[3]*d*(c - Sqrt[-d^2])^(1/3)*ArcTan[(1 + (2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(c - Sqrt[-d^2])^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*Sqrt[-d^2]*f) + (Sqrt[3]*d*(c + Sqrt[-d^2])^(1/3)*ArcTan[(1 + (2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(c + Sqrt[-d^2])^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*Sqrt[-d^2]*f) + (d*(c - Sqrt[-d^2])^(1/3)*Log[Cos[e + f*x]])/(4*Sqrt[-d^2]*f) - (d*(c + Sqrt[-d^2])^(1/3)*Log[Cos[e + f*x]])/(4*Sqrt[-d^2]*f) - (d*Log[Tan[e + f*x]])/(6*c^(2/3)*f) + (d*Log[c^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(2*c^(2/3)*f) + (3*d*(c - Sqrt[-d^2])^(1/3)*Log[(c - Sqrt[-d^2])^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(4*Sqrt[-d^2]*f) - (3*d*(c + Sqrt[-d^2])^(1/3)*Log[(c + Sqrt[-d^2])^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(4*Sqrt[-d^2]*f) - (Cot[e + f*x]*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/f}
+
+
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(5/3), x, 12, (-(1/4))*(a - I*b)^(5/3)*x - (1/4)*(a + I*b)^(5/3)*x + (I*Sqrt[3]*(a - I*b)^(5/3)*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a - I*b)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*d) - (I*Sqrt[3]*(a + I*b)^(5/3)*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a + I*b)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*d) + (I*(a - I*b)^(5/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(4*d) - (I*(a + I*b)^(5/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(4*d) + (3*I*(a - I*b)^(5/3)*Log[(a - I*b)^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*d) - (3*I*(a + I*b)^(5/3)*Log[(a + I*b)^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*d) + (3*b*(a + b*Tan[c + d*x])^(2/3))/(2*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 12, (-(1/4))*(a - I*b)^(4/3)*x - (1/4)*(a + I*b)^(4/3)*x - (I*Sqrt[3]*(a - I*b)^(4/3)*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a - I*b)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*d) + (I*Sqrt[3]*(a + I*b)^(4/3)*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a + I*b)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*d) + (I*(a - I*b)^(4/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(4*d) - (I*(a + I*b)^(4/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(4*d) + (3*I*(a - I*b)^(4/3)*Log[(a - I*b)^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*d) - (3*I*(a + I*b)^(4/3)*Log[(a + I*b)^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*d) + (3*b*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/d}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(2/3), x, 13, (-(1/4))*(a - Sqrt[-b^2])^(2/3)*x - (1/4)*(a + Sqrt[-b^2])^(2/3)*x - (Sqrt[3]*b*(a - Sqrt[-b^2])^(2/3)*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a - Sqrt[-b^2])^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*Sqrt[-b^2]*d) + (Sqrt[3]*b*(a + Sqrt[-b^2])^(2/3)*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a + Sqrt[-b^2])^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*Sqrt[-b^2]*d) - (b*(a - Sqrt[-b^2])^(2/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(4*Sqrt[-b^2]*d) + (b*(a + Sqrt[-b^2])^(2/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(4*Sqrt[-b^2]*d) - (3*b*(a - Sqrt[-b^2])^(2/3)*Log[(a - Sqrt[-b^2])^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*Sqrt[-b^2]*d) + (3*b*(a + Sqrt[-b^2])^(2/3)*Log[(a + Sqrt[-b^2])^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*Sqrt[-b^2]*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 13, (-(1/4))*(a - Sqrt[-b^2])^(1/3)*x - (1/4)*(a + Sqrt[-b^2])^(1/3)*x + (Sqrt[3]*b*(a - Sqrt[-b^2])^(1/3)*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a - Sqrt[-b^2])^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*Sqrt[-b^2]*d) - (Sqrt[3]*b*(a + Sqrt[-b^2])^(1/3)*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a + Sqrt[-b^2])^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*Sqrt[-b^2]*d) - (b*(a - Sqrt[-b^2])^(1/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(4*Sqrt[-b^2]*d) + (b*(a + Sqrt[-b^2])^(1/3)*Log[Cos[c + d*x]])/(4*Sqrt[-b^2]*d) - (3*b*(a - Sqrt[-b^2])^(1/3)*Log[(a - Sqrt[-b^2])^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*Sqrt[-b^2]*d) + (3*b*(a + Sqrt[-b^2])^(1/3)*Log[(a + Sqrt[-b^2])^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*Sqrt[-b^2]*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 11, -(x/(4*(a - Sqrt[-b^2])^(1/3))) - x/(4*(a + Sqrt[-b^2])^(1/3)) - (Sqrt[3]*b*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a - Sqrt[-b^2])^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*Sqrt[-b^2]*(a - Sqrt[-b^2])^(1/3)*d) + (Sqrt[3]*b*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a + Sqrt[-b^2])^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*Sqrt[-b^2]*(a + Sqrt[-b^2])^(1/3)*d) - (b*Log[Cos[c + d*x]])/(4*Sqrt[-b^2]*(a - Sqrt[-b^2])^(1/3)*d) + (b*Log[Cos[c + d*x]])/(4*Sqrt[-b^2]*(a + Sqrt[-b^2])^(1/3)*d) - (3*b*Log[(a - Sqrt[-b^2])^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*Sqrt[-b^2]*(a - Sqrt[-b^2])^(1/3)*d) + (3*b*Log[(a + Sqrt[-b^2])^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*Sqrt[-b^2]*(a + Sqrt[-b^2])^(1/3)*d)}
+{1/(a + b*Tan[c + d*x])^(2/3), x, 11, -(x/(4*(a - Sqrt[-b^2])^(2/3))) - x/(4*(a + Sqrt[-b^2])^(2/3)) + (Sqrt[3]*b*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a - Sqrt[-b^2])^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*Sqrt[-b^2]*(a - Sqrt[-b^2])^(2/3)*d) - (Sqrt[3]*b*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a + Sqrt[-b^2])^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*Sqrt[-b^2]*(a + Sqrt[-b^2])^(2/3)*d) - (b*Log[Cos[c + d*x]])/(4*Sqrt[-b^2]*(a - Sqrt[-b^2])^(2/3)*d) + (b*Log[Cos[c + d*x]])/(4*Sqrt[-b^2]*(a + Sqrt[-b^2])^(2/3)*d) - (3*b*Log[(a - Sqrt[-b^2])^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*Sqrt[-b^2]*(a - Sqrt[-b^2])^(2/3)*d) + (3*b*Log[(a + Sqrt[-b^2])^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*Sqrt[-b^2]*(a + Sqrt[-b^2])^(2/3)*d)}
+{1/(a + b*Tan[c + d*x])^(4/3), x, 12, -(x/(4*(a - I*b)^(4/3))) - x/(4*(a + I*b)^(4/3)) + (I*Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a - I*b)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*(a - I*b)^(4/3)*d) - (I*Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a + I*b)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*(a + I*b)^(4/3)*d) + (I*Log[Cos[c + d*x]])/(4*(a - I*b)^(4/3)*d) - (I*Log[Cos[c + d*x]])/(4*(a + I*b)^(4/3)*d) + (3*I*Log[(a - I*b)^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*(a - I*b)^(4/3)*d) - (3*I*Log[(a + I*b)^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*(a + I*b)^(4/3)*d) - (3*b)/((a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))}
+{1/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/3), x, 12, -(x/(4*(a - I*b)^(5/3))) - x/(4*(a + I*b)^(5/3)) - (I*Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a - I*b)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*(a - I*b)^(5/3)*d) + (I*Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a + I*b)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*(a + I*b)^(5/3)*d) + (I*Log[Cos[c + d*x]])/(4*(a - I*b)^(5/3)*d) - (I*Log[Cos[c + d*x]])/(4*(a + I*b)^(5/3)*d) + (3*I*Log[(a - I*b)^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*(a - I*b)^(5/3)*d) - (3*I*Log[(a + I*b)^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*(a + I*b)^(5/3)*d) - (3*b)/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(2/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (d Tan[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^n*(a + b*Tan[e + f*x])^4, x, 8, -((b^2*(b^2*(3 + n) - a^2*(17 + 5*n))*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)*(3 + n))) + ((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)) + (2*a*b^3*(4 + n)*Tan[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(2 + n)*(3 + n)) + (4*a*b*(a^2 - b^2)*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/2, (4 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(2 + n))/(d^2*f*(2 + n)) + (b^2*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n)*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(d*f*(3 + n))}
+{(d*Tan[e + f*x])^n*(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 7, (a*b^2*(5 + 2*n)*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)*(2 + n)) + (a*(a^2 - 3*b^2)*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)) + (b*(3*a^2 - b^2)*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/2, (4 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(2 + n))/(d^2*f*(2 + n)) + (b^2*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n)*(a + b*Tan[e + f*x]))/(d*f*(2 + n))}
+{(d*Tan[e + f*x])^n*(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 6, (b^2*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)) + ((a^2 - b^2)*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)) + (2*a*b*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/2, (4 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(2 + n))/(d^2*f*(2 + n))}
+{(d*Tan[e + f*x])^n*(a + b*Tan[e + f*x])^1, x, 5, (a*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)) + (b*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/2, (4 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(2 + n))/(d^2*f*(2 + n))}
+{(d*Tan[e + f*x])^n/(a + b*Tan[e + f*x])^1, x, 8, (a*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/((a^2 + b^2)*d*f*(1 + n)) + (b^2*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, -((b*Tan[e + f*x])/a)]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(a*(a^2 + b^2)*d*f*(1 + n)) - (b*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/2, (4 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(2 + n))/((a^2 + b^2)*d^2*f*(2 + n))}
+{(d*Tan[e + f*x])^n/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 9, ((a^2 - b^2)*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/((a^2 + b^2)^2*d*f*(1 + n)) + (b^2*(a^2*(2 - n) - b^2*n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, -((b*Tan[e + f*x])/a)]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d*f*(1 + n)) - (2*a*b*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/2, (4 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(2 + n))/((a^2 + b^2)^2*d^2*f*(2 + n)) + (b^2*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(a*(a^2 + b^2)*d*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^m*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 7, (a*AppellF1[1 + m, -(3/2), 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), (-I)*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d*(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a]) + (a*AppellF1[1 + m, -(3/2), 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d*(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])}
+{Tan[c + d*x]^m*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 7, (AppellF1[1 + m, -(1/2), 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), (-I)*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d*(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a]) + (AppellF1[1 + m, -(1/2), 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d*(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])}
+{Tan[c + d*x]^m/(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 7, (AppellF1[1 + m, 1/2, 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), (-I)*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(2*d*(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (AppellF1[1 + m, 1/2, 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(2*d*(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^m/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 7, (AppellF1[1 + m, 3/2, 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), (-I)*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(2*a*d*(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (AppellF1[1 + m, 3/2, 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(2*a*d*(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (d Tan[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m*(d*Tan[e + f*x])^n, x, 7, (AppellF1[1 + n, -m, 1, 2 + n, -((b*Tan[e + f*x])/a), (-I)*Tan[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n)*(a + b*Tan[e + f*x])^m)/((1 + (b*Tan[e + f*x])/a)^m*(2*d*f*(1 + n))) + (AppellF1[1 + n, -m, 1, 2 + n, -((b*Tan[e + f*x])/a), I*Tan[e + f*x]]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n)*(a + b*Tan[e + f*x])^m)/((1 + (b*Tan[e + f*x])/a)^m*(2*d*f*(1 + n)))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 8, ((2*a^2 - b^2*(2 + n)*(3 + n))*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b^3*d*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)) - (Sqrt[-b^2]*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - Sqrt[-b^2])]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*b*(a - Sqrt[-b^2])*d*(1 + n)) + (Sqrt[-b^2]*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + Sqrt[-b^2])]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*b*(a + Sqrt[-b^2])*d*(1 + n)) - (2*a*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b^2*d*(2 + n)*(3 + n)) + (Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b*d*(3 + n))}
+{Tan[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 8, -((a*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b^2*d*(1 + n)*(2 + n))) + (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a - I*b)*d*(1 + n)) + (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a + I*b)*d*(1 + n)) + (Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b*d*(2 + n))}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 6, (a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n)/(b*d*(1 + n)) - (b*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - Sqrt[-b^2])]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*Sqrt[-b^2]*(a - Sqrt[-b^2])*d*(1 + n)) + (b*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + Sqrt[-b^2])]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*Sqrt[-b^2]*(a + Sqrt[-b^2])*d*(1 + n))}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 5, -((Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a - I*b)*d*(1 + n))) - (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a + I*b)*d*(1 + n))}
+{Tan[c + d*x]^0*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 5, (b*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - Sqrt[-b^2])]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*Sqrt[-b^2]*(a - Sqrt[-b^2])*d*(1 + n)) - (b*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + Sqrt[-b^2])]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*Sqrt[-b^2]*(a + Sqrt[-b^2])*d*(1 + n))}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 8, (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a - I*b)*d*(1 + n)) + (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a + I*b)*d*(1 + n)) - (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*Tan[c + d*x])/a]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(1 + n))}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 10, -((Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(a*d)) - (b*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - Sqrt[-b^2])]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*Sqrt[-b^2]*(a - Sqrt[-b^2])*d*(1 + n)) + (b*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + Sqrt[-b^2])]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*Sqrt[-b^2]*(a + Sqrt[-b^2])*d*(1 + n)) - (b*n*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*Tan[c + d*x])/a]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(a^2*d*(1 + n))}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 11, (b*(1 - n)*Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*a^2*d) - (Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*a*d) - (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a - I*b)*d*(1 + n)) - (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a + I*b)*d*(1 + n)) + ((2*a^2 + b^2*(1 - n)*n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*Tan[c + d*x])/a]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*a^3*d*(1 + n))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 9, (AppellF1[5/2, 1, -n, 7/2, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(5*d)) + (AppellF1[5/2, 1, -n, 7/2, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(5*d))}
+{Tan[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 9, (AppellF1[3/2, 1, -n, 5/2, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(3*d)) + (AppellF1[3/2, 1, -n, 5/2, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(3*d))}
+{Tan[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 9, (AppellF1[1/2, 1, -n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*d) + (AppellF1[1/2, 1, -n, 3/2, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*d)}
+{Tan[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 9, -((AppellF1[-(1/2), 1, -n, 1/2, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]))) - (AppellF1[-(1/2), 1, -n, 1/2, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (d Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (d Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (d Cot[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 5, (-2*(-1)^(3/4)*a*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d - ((2*I)*a*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - (2*a*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 4, (-2*(-1)^(1/4)*a*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d - (2*a*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, (2*(-1)^(3/4)*a*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 4, (2*(-1)^(1/4)*a*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d + ((2*I)*a)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])/Cot[c + d*x]^(3/2), x, 5, (-2*(-1)^(3/4)*a*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d + (((2*I)/3)*a)/(d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (2*a)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 6, (4*(-1)^(1/4)*a^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d + (4*a^2*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - (4*I*a^2*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^(5/2))/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 5, -((4*(-1)^(3/4)*a^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d) - (4*I*a^2*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - (2*a^2*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, -((4*(-1)^(1/4)*a^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d) - (2*a^2*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, (4*(-1)^(3/4)*a^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d - (2*a^2)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^2/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 5, (4*(-1)^(1/4)*a^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d - (2*a^2)/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (4*I*a^2)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^2/Cot[c + d*x]^(3/2), x, 6, -((4*(-1)^(3/4)*a^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d) - (2*a^2)/(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2)) + (4*I*a^2)/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 6, (8*(-1)^(1/4)*a^3*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d + (8*a^3*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - (8*I*a^3*Cot[c + d*x]^(3/2))/(5*d) - (2*Cot[c + d*x]^(3/2)*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 5, -((8*(-1)^(3/4)*a^3*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d) - (16*I*a^3*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(3*d) - (2*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 5, (-8*(-1)^(1/4)*a^3*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d - (2*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 5, (8*(-1)^(3/4)*a^3*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d - (16*a^3)/(3*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - (2*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^3/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 6, (8*(-1)^(1/4)*a^3*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d - (8*a^3)/(5*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (8*I*a^3)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - (2*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cot[c + d*x]^(3/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 13, -(((5/4 + (3*I)/4)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d)) + ((5/4 + (3*I)/4)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) - (5*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(2*a*d) + Cot[c + d*x]^(3/2)/(2*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])) - ((5/8 - (3*I)/8)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d) + ((5/8 - (3*I)/8)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d)}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 12, ((3/4 - I/4)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) - ((3/4 - I/4)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) + Sqrt[Cot[c + d*x]]/(2*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])) - ((3/8 + I/8)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d) + ((3/8 + I/8)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d)}
+{1/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])), x, 4, ((-1)^(1/4)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(2*a*d) + (I*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(2*d*(I*a + a*Cot[c + d*x]))}
+{1/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])), x, 12, ((1/4 - (3*I)/4)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) - ((1/4 - (3*I)/4)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) - Sqrt[Cot[c + d*x]]/(2*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])) - ((1/8 + (3*I)/8)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d) + ((1/8 + (3*I)/8)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d)}
+{1/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])), x, 13, ((3/4 + (5*I)/4)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) - ((3/4 + (5*I)/4)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) - (5*I)/(2*a*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - 1/(2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(I*a + a*Cot[c + d*x])) + ((3/8 - (5*I)/8)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d) - ((3/8 - (5*I)/8)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d)}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(3/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 14, -(((25/16 + (21*I)/16)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d)) + ((25/16 + (21*I)/16)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d) - (25*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(8*a^2*d) + (7*Cot[c + d*x]^(3/2))/(8*a^2*d*(I + Cot[c + d*x])) + Cot[c + d*x]^(5/2)/(4*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) - ((25/32 - (21*I)/32)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + ((25/32 - (21*I)/32)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d)}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 13, ((9/16 - (5*I)/16)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d) - ((9/16 - (5*I)/16)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + (5*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(8*a^2*d*(I + Cot[c + d*x])) + Cot[c + d*x]^(3/2)/(4*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) - ((9/32 + (5*I)/32)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + ((9/32 + (5*I)/32)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d)}
+{1/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 13, ((1/16 - (3*I)/16)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d) - ((1/16 - (3*I)/16)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + (3*I*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(8*a^2*d*(I + Cot[c + d*x])) + Sqrt[Cot[c + d*x]]/(4*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) + ((1/32 + (3*I)/32)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d) - ((1/32 + (3*I)/32)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d)}
+{1/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 13, -(((1/16 + (3*I)/16)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d)) + ((1/16 + (3*I)/16)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + Sqrt[Cot[c + d*x]]/(8*a^2*d*(I + Cot[c + d*x])) + (I*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(4*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) + ((1/32 - (3*I)/32)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d) - ((1/32 - (3*I)/32)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d)}
+{1/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 13, -(((9/16 + (5*I)/16)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d)) + ((9/16 + (5*I)/16)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + (5*I*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(8*a^2*d*(I + Cot[c + d*x])) - Sqrt[Cot[c + d*x]]/(4*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) - ((9/32 - (5*I)/32)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + ((9/32 - (5*I)/32)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d)}
+{1/(Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 14, ((25/16 - (21*I)/16)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d) - ((25/16 - (21*I)/16)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d) - 25/(8*a^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (7*I)/(8*a^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(I + Cot[c + d*x])) - 1/(4*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) - ((25/32 + (21*I)/32)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + ((25/32 + (21*I)/32)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d)}
+
+
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 14, ((7/16 - (5*I)/16)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*d) - ((7/16 - (5*I)/16)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*d) + Cot[c + d*x]^(5/2)/(6*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^3) + Cot[c + d*x]^(3/2)/(3*a*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) + (5*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(8*d*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x])) - ((7/32 + (5*I)/32)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^3*d) + ((7/32 + (5*I)/32)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^3*d)}
+{1/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3), x, 16, -((I*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(8*Sqrt[2]*a^3*d)) + (I*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(8*Sqrt[2]*a^3*d) + Cot[c + d*x]^(3/2)/(6*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^3) + Sqrt[Cot[c + d*x]]/(4*a*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) + (I*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(4*d*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x])) + (I*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^3*d) - (I*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^3*d)}
+{1/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3), x, 7, -(((-1)^(3/4)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(8*a^3*d)) + Sqrt[Cot[c + d*x]]/(6*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^3) + (I*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(6*a*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) + Sqrt[Cot[c + d*x]]/(8*d*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))}
+{1/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3), x, 15, -(ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]]/(8*Sqrt[2]*a^3*d)) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]]/(8*Sqrt[2]*a^3*d) + (I*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(6*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^3) + Sqrt[Cot[c + d*x]]/(12*a*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) - Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]]/(16*Sqrt[2]*a^3*d) + Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]]/(16*Sqrt[2]*a^3*d)}
+{1/(Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3), x, 14, -(((5/16 - (7*I)/16)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*d)) + ((5/16 - (7*I)/16)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*d) - Sqrt[Cot[c + d*x]]/(6*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^3) + (I*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(3*a*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) + (5*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(8*d*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x])) + ((5/32 + (7*I)/32)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^3*d) - ((5/32 + (7*I)/32)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^3*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^(m/2) (d Cot[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 7, ((-1 - I)*Sqrt[a]*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (26*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*d) - (((2*I)/15)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d - (2*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 6, ((-1 + I)*Sqrt[a]*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (((2*I)/3)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d - (2*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 4, ((1 + I)*Sqrt[a]*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 3, ((1 - I)*Sqrt[a]*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 8, -((2*(-1)^(3/4)*Sqrt[a]*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) - ((1 + I)*Sqrt[a]*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Cot[c + d*x]^(3/2), x, 10, -(((-1)^(1/4)*Sqrt[a]*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) - ((1 - I)*Sqrt[a]*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((-2 - 2*I)*a^(3/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (((2*I)/5)*a^2*Cot[c + d*x]^(3/2))/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^(5/2))/(5*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (12*a*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*d) - (((4*I)/5)*a*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 5, ((-2 + 2*I)*a^(3/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - ((2*I)*a*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d - (2*Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, ((2 + 2*I)*a^(3/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*a*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, (2*(-1)^(1/4)*a^(3/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + ((2 - 2*I)*a^(3/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 10, -((3*(-1)^(3/4)*a^(3/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) - ((2 + 2*I)*a^(3/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - a^2/(d*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (I*a^2)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(9/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((4 - 4*I)*a^(5/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (((104*I)/21)*a^2*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d + (32*a^2*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(21*d) - (((6*I)/7)*a^2*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d - (2*a^2*Cot[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(7*d)}
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 6, ((-4 - 4*I)*a^(5/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (4*a^2*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d - (((2*I)/3)*a*Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/d - (2*Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 5, ((-4 + 4*I)*a^(5/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - ((4*I)*a^2*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d - (2*a*Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, (2*(-1)^(3/4)*a^(5/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + ((4 + 4*I)*a^(5/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*a^2*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, (5*(-1)^(1/4)*a^(5/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + ((4 - 4*I)*a^(5/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 10, -((23*(-1)^(3/4)*a^(5/2)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*d)) - ((4 + 4*I)*a^(5/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (9*I*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cot[c + d*x]^(5/2)/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 7, -(((1/2 - I/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + Cot[c + d*x]^(3/2)/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (7*I*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*a*d) - (5*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 6, ((1/2 + I/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + Sqrt[Cot[c + d*x]]/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (3*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a*d)}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 5, ((1/2 - I/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + 1/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 4, ((-1/2 - I/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + I/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 9, -((2*(-1)^(1/4)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) - ((1/2 - I/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - 1/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 10, -(((-1)^(3/4)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + ((1/2 + I/2)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - 1/(d*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (2*I*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(5/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((-1/4 + I/4)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) + Cot[c + d*x]^(3/2)/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (5*Cot[c + d*x]^(3/2))/(2*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (((13*I)/2)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a^2*d) - (7*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*a^2*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((1/4 + I/4)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) + Sqrt[Cot[c + d*x]]/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (11*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(6*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (25*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(6*a^2*d)}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 6, ((1/4 - I/4)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) + 1/(3*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + 7/(6*a*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 5, -(((1/4 + I/4)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(3/2)*d)) + 1/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + I/(2*a*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 5, ((-1/4 + I/4)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) + (I/3)/(d*Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + 1/(2*a*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 10, (2*(-1)^(3/4)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) + ((1/4 + I/4)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) - 1/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (3*I)/(2*a*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 11, -((3*(-1)^(1/4)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(3/2)*d)) + ((1/4 - I/4)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) - 1/(3*d*Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (13*I)/(6*a*d*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (7*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*a^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(5/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, ((-1/8 + I/8)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + Cot[c + d*x]^(3/2)/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (7*Cot[c + d*x]^(3/2))/(10*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (89*Cot[c + d*x]^(3/2))/(20*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (((707*I)/60)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a^3*d) - (361*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(60*a^3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((1/8 + I/8)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + Sqrt[Cot[c + d*x]]/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (17*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(30*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (151*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(60*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (317*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(60*a^3*d)}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 7, ((1/8 - I/8)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + 1/(5*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + 13/(30*a*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + 67/(60*a^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 7, ((-1/8 - I/8)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + (I/5)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (I/10)/(a*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (I/20)/(a^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 6, ((-1/8 + I/8)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + 1/(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (I/6)/(a*d*Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + 1/(4*a^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 6, ((1/8 + I/8)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + (I/5)/(d*Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + 1/(6*a*d*Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (I/4)/(a^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 11, (2*(-1)^(1/4)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + ((1/8 - I/8)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) - 1/(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + I/(2*a*d*Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + 7/(4*a^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (d Cot[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(d*Cot[e + f*x])^n*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 6, If[$VersionNumber>=8, (I*a^3*d^2*(1 - 2*n)*(d*Cot[e + f*x])^(-2 + n))/(f*(1 - n)*(2 - n)) + (d^2*(d*Cot[e + f*x])^(-2 + n)*(I*a^3 + a^3*Cot[e + f*x]))/(f*(1 - n)) - (4*I*a^3*d^2*(d*Cot[e + f*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1, -2 + n, -1 + n, (-I)*Cot[e + f*x]])/(f*(2 - n)), (I*a^3*d^2*(1 - 2*n)*(d*Cot[e + f*x])^(-2 + n))/(f*(2 - 3*n + n^2)) + (d^2*(d*Cot[e + f*x])^(-2 + n)*(I*a^3 + a^3*Cot[e + f*x]))/(f*(1 - n)) - (4*I*a^3*d^2*(d*Cot[e + f*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1, -2 + n, -1 + n, (-I)*Cot[e + f*x]])/(f*(2 - n))]}
+{(d*Cot[e + f*x])^n*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 5, (a^2*d*(d*Cot[e + f*x])^(-1 + n))/(f*(1 - n)) - (2*a^2*d*(d*Cot[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1, -1 + n, n, (-I)*Cot[e + f*x]])/(f*(1 - n))}
+{(d*Cot[e + f*x])^n*(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 3, -((I*a*(d*Cot[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, (-I)*Cot[e + f*x]])/(f*n))}
+{(d*Cot[e + f*x])^n/(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 7, -((d*Cot[e + f*x])^(2 + n)/(2*d^2*f*(I*a + a*Cot[e + f*x]))) - (I*n*(d*Cot[e + f*x])^(2 + n)*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/2, (4 + n)/2, -Cot[e + f*x]^2])/(2*a*d^2*f*(2 + n)) + ((1 + n)*(d*Cot[e + f*x])^(3 + n)*Hypergeometric2F1[1, (3 + n)/2, (5 + n)/2, -Cot[e + f*x]^2])/(2*a*d^3*f*(3 + n))}
+{(d*Cot[e + f*x])^n/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 8, -((I*n*(d*Cot[e + f*x])^(3 + n))/(4*a^2*d^3*f*(I + Cot[e + f*x]))) - (d*Cot[e + f*x])^(3 + n)/(4*d^3*f*(I*a + a*Cot[e + f*x])^2) + ((1 + n)^2*(d*Cot[e + f*x])^(3 + n)*Hypergeometric2F1[1, (3 + n)/2, (5 + n)/2, -Cot[e + f*x]^2])/(4*a^2*d^3*f*(3 + n)) + (I*n*(2 + n)*(d*Cot[e + f*x])^(4 + n)*Hypergeometric2F1[1, (4 + n)/2, (6 + n)/2, -Cot[e + f*x]^2])/(4*a^2*d^4*f*(4 + n))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (d Cot[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(d*Cot[e + f*x])^n, x, 4, (AppellF1[1 - n, 1 - m, 1, 2 - n, (-I)*Tan[e + f*x], I*Tan[e + f*x]]*(d*Cot[e + f*x])^n*Tan[e + f*x]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/((1 + I*Tan[e + f*x])^m*(f*(1 - n)))}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 5, -((2*AppellF1[-(1/2), 1 - n, 1, 1/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*d))}
+{Cot[c + d*x]^(1/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n, x, 5, (2*AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^n/Cot[c + d*x]^(1/2), x, 5, (2*AppellF1[3/2, 1 - n, 1, 5/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)))}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^n/Cot[c + d*x]^(3/2), x, 5, (2*AppellF1[5/2, 1 - n, 1, 7/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2)))}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Tan[e+f x])^m (d Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (d Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (d Cot[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 14, ((a - b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a - b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*a*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - (2*b*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*d) - (2*a*Cot[c + d*x]^(5/2))/(5*d) + ((a + b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a + b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 13, -(((a + b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a + b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (2*b*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - (2*a*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*d) + ((a - b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a - b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 12, -(((a - b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a - b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (2*a*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - ((a + b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a + b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x]), x, 11, ((a + b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a + b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a - b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a - b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 12, ((a - b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a - b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*b)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + ((a + b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a + b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])/Cot[c + d*x]^(3/2), x, 13, -(((a + b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a + b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*b)/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (2*a)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + ((a - b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a - b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])/Cot[c + d*x]^(5/2), x, 14, -(((a - b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a - b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*b)/(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2)) + (2*a)/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) - (2*b)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - ((a + b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a + b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 15, ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (4*a*b*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d + (2*(a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*d) - (4*a*b*Cot[c + d*x]^(5/2))/(5*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^(7/2))/(7*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 14, ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*(a^2 - b^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - (4*a*b*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^(5/2))/(5*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 13, -(((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (4*a*b*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - (2*a^2*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*d) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 12, -(((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (2*a^2*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 12, ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*b^2)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^2/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 13, ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*b^2)/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (4*a*b)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^2/Cot[c + d*x]^(3/2), x, 14, -(((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*b^2)/(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2)) + (4*a*b)/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (2*(a^2 - b^2))/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^2/Cot[c + d*x]^(5/2), x, 15, -(((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*b^2)/(7*d*Cot[c + d*x]^(7/2)) + (4*a*b)/(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2)) + (2*(a^2 - b^2))/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) - (4*a*b)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 15, ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*b*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d + (2*a*(a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*d) - (32*a^2*b*Cot[c + d*x]^(5/2))/(35*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^(5/2)*(b + a*Cot[c + d*x]))/(7*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 14, ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*a*(a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - (8*a^2*b*Cot[c + d*x]^(3/2))/(5*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^(3/2)*(b + a*Cot[c + d*x]))/(5*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 13, -(((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (16*a^2*b*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(3*d) - (2*a^2*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(b + a*Cot[c + d*x]))/(3*d) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 13, -(((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (2*a*(a^2 + b^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d + (2*b^2*(b + a*Cot[c + d*x]))/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 13, ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (16*a*b^2)/(3*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (2*b^2*(b + a*Cot[c + d*x]))/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^3/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 14, ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (8*a*b^2)/(5*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*(3*a^2 - b^2))/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (2*b^2*(b + a*Cot[c + d*x]))/(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2)) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^3/Cot[c + d*x]^(3/2), x, 15, -(((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (32*a*b^2)/(35*d*Cot[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*(3*a^2 - b^2))/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(a^2 - 3*b^2))/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (2*b^2*(b + a*Cot[c + d*x]))/(7*d*Cot[c + d*x]^(7/2)) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cot[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 17, -(((a - b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)) + ((a - b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*b^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(a^(5/2)*(a^2 + b^2)*d) + (2*b*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(a^2*d) - (2*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*a*d) + ((a + b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a + b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 16, -(((a + b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)) + ((a + b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(a^(3/2)*(a^2 + b^2)*d) - (2*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(a*d) - ((a - b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + ((a - b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 15, ((a - b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a - b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[a]*(a^2 + b^2)*d) - ((a + b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + ((a + b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{1/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 15, ((a + b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a + b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/((a^2 + b^2)*d) + ((a - b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a - b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{1/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 15, -(((a - b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)) + ((a - b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*(a^2 + b^2)*d) + ((a + b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a + b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{1/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 16, -(((a + b)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)) + ((a + b)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*(a^2 + b^2)*d) + 2/(b*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - ((a - b)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + ((a - b)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 18, -(((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (b^(7/2)*(9*a^2 + 5*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(a^(7/2)*(a^2 + b^2)^2*d) + (b*(4*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(a^3*(a^2 + b^2)*d) - ((2*a^2 + 5*b^2)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*a^2*(a^2 + b^2)*d) + (b^2*Cot[c + d*x]^(5/2))/(a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 17, -(((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^(5/2)*(7*a^2 + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(a^(5/2)*(a^2 + b^2)^2*d) - ((2*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (b^2*Cot[c + d*x]^(3/2))/(a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 16, ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (b^(3/2)*(5*a^2 + b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(a^(3/2)*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^2*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{1/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^2), x, 16, ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (Sqrt[b]*(3*a^2 - b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[a]*(a^2 + b^2)^2*d) - (b*Sqrt[Cot[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{1/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2), x, 16, -(((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (Sqrt[a]*(a^2 - 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^2*d) + (a*Sqrt[Cot[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{1/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2), x, 16, -(((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (a^(3/2)*(a^2 + 5*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*(a^2 + b^2)^2*d) - (a^2*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{1/(Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2), x, 17, ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (a^(5/2)*(3*a^2 + 7*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(b^(5/2)*(a^2 + b^2)^2*d) + (3*a^2 + 2*b^2)/(b^2*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - a^2/(b*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(b + a*Cot[c + d*x])) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 19, -(((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (b^(7/2)*(99*a^4 + 102*a^2*b^2 + 35*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*a^(9/2)*(a^2 + b^2)^3*d) + (b*(24*a^4 + 67*a^2*b^2 + 35*b^4)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(4*a^4*(a^2 + b^2)^2*d) - ((8*a^4 + 67*a^2*b^2 + 35*b^4)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(12*a^3*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^2*Cot[c + d*x]^(7/2))/(2*a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])^2) + (b^2*(15*a^2 + 7*b^2)*Cot[c + d*x]^(5/2))/(4*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*(b + a*Cot[c + d*x])) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 18, -(((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (b^(5/2)*(63*a^4 + 46*a^2*b^2 + 15*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*a^(7/2)*(a^2 + b^2)^3*d) - ((8*a^4 + 31*a^2*b^2 + 15*b^4)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(4*a^3*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^2*Cot[c + d*x]^(5/2))/(2*a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])^2) + (b^2*(13*a^2 + 5*b^2)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(4*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*(b + a*Cot[c + d*x])) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 17, ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (b^(3/2)*(35*a^4 + 6*a^2*b^2 + 3*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*a^(5/2)*(a^2 + b^2)^3*d) + (b^2*Cot[c + d*x]^(3/2))/(2*a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])^2) + (b^2*(11*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(4*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*(b + a*Cot[c + d*x])) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)}
+{1/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^3), x, 17, ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (Sqrt[b]*(15*a^4 - 18*a^2*b^2 - b^4)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*a^(3/2)*(a^2 + b^2)^3*d) + (b^2*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(2*a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])^2) - (b*(9*a^2 + b^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(4*a*(a^2 + b^2)^2*d*(b + a*Cot[c + d*x])) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)}
+{1/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3), x, 17, -(((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((3*a^4 - 26*a^2*b^2 + 3*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^3*d) - (b*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(2*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])^2) + ((5*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(4*(a^2 + b^2)^2*d*(b + a*Cot[c + d*x])) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)}
+{1/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3), x, 17, -(((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (Sqrt[a]*(a^4 + 18*a^2*b^2 - 15*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*(a^2 + b^2)^3*d) + (a*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(2*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])^2) - (a*(a^2 - 7*b^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(4*b*(a^2 + b^2)^2*d*(b + a*Cot[c + d*x])) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)}
+{1/(Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3), x, 17, ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (a^(3/2)*(3*a^4 + 6*a^2*b^2 + 35*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(5/2)*(a^2 + b^2)^3*d) - (a^2*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])^2) - (a^2*(3*a^2 + 11*b^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(4*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(b + a*Cot[c + d*x])) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^(m/2) (d Cot[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 11, (Sqrt[I*a - b]*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (Sqrt[I*a + b]*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*(15*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*a^2*d) - (2*b*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*a*d) - (2*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 11, (I*Sqrt[I*a - b]*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (I*Sqrt[I*a + b]*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*b*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*a*d) - (2*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 9, -((Sqrt[I*a - b]*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) + (Sqrt[I*a + b]*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 8, ((-I)*Sqrt[I*a - b]*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (I*Sqrt[I*a + b]*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 12, (Sqrt[I*a - b]*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (Sqrt[I*a + b]*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Cot[c + d*x]^(3/2), x, 14, (I*Sqrt[I*a - b]*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (a*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[b]*d) + (I*Sqrt[I*a + b]*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 12, -(((I*a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) - ((I*a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (4*b*(70*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*a^2*d) + (2*(35*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*a*d) - (16*b*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(35*d) - (2*a*Cot[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(7*d)}
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 11, -((I*(I*a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) + (I*(I*a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*(5*a^2 - b^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*a*d) - (4*b*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*d) - (2*a*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 10, ((I*a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + ((I*a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (8*b*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d) - (2*a*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 9, (I*(I*a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (I*(I*a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*a*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 13, -(((I*a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) + (2*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - ((I*a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 14, -((I*(I*a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) + (3*a*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (I*(I*a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)/Cot[c + d*x]^(3/2), x, 15, ((I*a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + ((3*a^2 - 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*Sqrt[b]*d) + ((I*a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (3*a*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)/(2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(11/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 13, ((I*a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - ((I*a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*(315*a^4 - 483*a^2*b^2 - 10*b^4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(315*a^2*d) + (2*b*(231*a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(315*a*d) + (2*(21*a^2 - 25*b^2)*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*d) - (38*a*b*Cot[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(63*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^(9/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(9*d)}
+{Cot[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 12, (I*(I*a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (I*(I*a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*b*(49*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(21*a*d) + (2*(7*a^2 - 9*b^2)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(21*d) - (6*a*b*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(7*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(7*d)}
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 11, -(((I*a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) + ((I*a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*(15*a^2 - 23*b^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*d) - (22*a*b*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 10, -((I*(I*a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) - (I*(I*a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (14*a*b*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 14, ((I*a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - ((I*a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*a^2*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 14, (I*(I*a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (5*a*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (I*(I*a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (b^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 15, -(((I*a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) + (Sqrt[b]*(15*a^2 - 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*d) + ((I*a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (b^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (9*a*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)/Cot[c + d*x]^(3/2), x, 16, -((I*(I*a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) + (5*a*(a^2 - 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(8*Sqrt[b]*d) - (I*(I*a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (b^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d*Cot[c + d*x]^(5/2)) + (13*a*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(12*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + ((11*a^2 - 8*b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cot[c + d*x]^(5/2)/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 11, -((ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a - b]*d)) - (ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a + b]*d) + (4*b*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*a^2*d) - (2*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 10, ((-I)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a - b]*d) + (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a + b]*d) - (2*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(a*d)}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 8, (ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a - b]*d) + (ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a + b]*d)}
+{1/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]), x, 8, (I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a - b]*d) - (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a + b]*d)}
+{1/(Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]), x, 13, -((ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a - b]*d)) + (2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[b]*d) - (ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a + b]*d)}
+{1/(Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]), x, 14, ((-I)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a - b]*d) - (a*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b^(3/2)*d) + (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a + b]*d) + Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/(b*d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 11, -((I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(3/2)*d)) - (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(3/2)*d) + (2*b^2*(5*a^2 + 8*b^2))/(3*a^3*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (8*b*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(3*a^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) - (2*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*a*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 10, (ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(3/2)*d) - (ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(3/2)*d) - (2*b*(a^2 + 2*b^2))/(a^2*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) - (2*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 9, (I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(3/2)*d) + (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(3/2)*d) + (2*b^2)/(a*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 9, -((ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(3/2)*d)) + (ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(3/2)*d) - (2*b)/((a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 9, -((I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(3/2)*d)) - (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(3/2)*d) + (2*a)/((a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 14, (ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(3/2)*d) + (2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b^(3/2)*d) - (ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(3/2)*d) - (2*a^2)/(b*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 15, (I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(3/2)*d) - (3*a*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b^(5/2)*d) + (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(3/2)*d) - (2*a^2)/(b*(a^2 + b^2)*d*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + ((3*a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 12, (ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(5/2)*d) + (ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(5/2)*d) + (2*b^2*(7*a^2 + 8*b^2))/(3*a^3*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (4*b*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(a^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*a*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (4*b^2*(4*a^4 + 15*a^2*b^2 + 8*b^4))/(3*a^4*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 11, (I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(5/2)*d) - (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(5/2)*d) - (2*b*(3*a^2 + 4*b^2))/(3*a^2*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(a*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*b*(3*a^4 + 17*a^2*b^2 + 8*b^4))/(3*a^3*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 10, -((ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(5/2)*d)) - (ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(5/2)*d) + (2*b^2)/(3*a*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (4*b^2*(4*a^2 + b^2))/(3*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 10, -((I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(5/2)*d)) + (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(5/2)*d) - (2*b)/(3*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*b*(5*a^2 - b^2))/(3*a*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 10, (ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(5/2)*d) + (ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(5/2)*d) + (2*a)/(3*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (4*(a^2 - 2*b^2))/(3*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{1/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 10, (I*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(5/2)*d) - (I*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(5/2)*d) - (2*a^2)/(3*b*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*(a^2 + 7*b^2))/(3*b*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (d Cot[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(d*Cot[e + f*x])^n*(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 8, If[$VersionNumber>=8, (a^2*b*d^2*(1 - 2*n)*(d*Cot[e + f*x])^(-2 + n))/(f*(1 - n)*(2 - n)) + (a^2*d^2*(d*Cot[e + f*x])^(-2 + n)*(b + a*Cot[e + f*x]))/(f*(1 - n)) - (b*(3*a^2 - b^2)*d^2*(d*Cot[e + f*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-2 + n), n/2, -Cot[e + f*x]^2])/(f*(2 - n)) - (a*(a^2 - 3*b^2)*d*(d*Cot[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, -Cot[e + f*x]^2])/(f*(1 - n)), (a^2*b*d^2*(1 - 2*n)*(d*Cot[e + f*x])^(-2 + n))/(f*(2 - 3*n + n^2)) + (a^2*d^2*(d*Cot[e + f*x])^(-2 + n)*(b + a*Cot[e + f*x]))/(f*(1 - n)) - (b*(3*a^2 - b^2)*d^2*(d*Cot[e + f*x])^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-2 + n), n/2, -Cot[e + f*x]^2])/(f*(2 - n)) - (a*(a^2 - 3*b^2)*d*(d*Cot[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, -Cot[e + f*x]^2])/(f*(1 - n))]}
+{(d*Cot[e + f*x])^n*(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 7, (a^2*d*(d*Cot[e + f*x])^(-1 + n))/(f*(1 - n)) - ((a^2 - b^2)*d*(d*Cot[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, -Cot[e + f*x]^2])/(f*(1 - n)) - (2*a*b*(d*Cot[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1, n/2, (2 + n)/2, -Cot[e + f*x]^2])/(f*n)}
+{(d*Cot[e + f*x])^n*(a + b*Tan[e + f*x])^1, x, 6, -((b*(d*Cot[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1, n/2, (2 + n)/2, -Cot[e + f*x]^2])/(f*n)) - (a*(d*Cot[e + f*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Cot[e + f*x]^2])/(d*f*(1 + n))}
+{(d*Cot[e + f*x])^n/(a + b*Tan[e + f*x])^1, x, 9, -((b*(d*Cot[e + f*x])^(2 + n)*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/2, (4 + n)/2, -Cot[e + f*x]^2])/((a^2 + b^2)*d^2*f*(2 + n))) - (a^2*(d*Cot[e + f*x])^(2 + n)*Hypergeometric2F1[1, 2 + n, 3 + n, -((a*Cot[e + f*x])/b)])/(b*(a^2 + b^2)*d^2*f*(2 + n)) + (a*(d*Cot[e + f*x])^(3 + n)*Hypergeometric2F1[1, (3 + n)/2, (5 + n)/2, -Cot[e + f*x]^2])/((a^2 + b^2)*d^3*f*(3 + n))}
+{(d*Cot[e + f*x])^n/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 10, -((a^2*(d*Cot[e + f*x])^(3 + n))/(b*(a^2 + b^2)*d^3*f*(b + a*Cot[e + f*x]))) + ((a^2 - b^2)*(d*Cot[e + f*x])^(3 + n)*Hypergeometric2F1[1, (3 + n)/2, (5 + n)/2, -Cot[e + f*x]^2])/((a^2 + b^2)^2*d^3*f*(3 + n)) + (a^2*(b^2*n + a^2*(2 + n))*(d*Cot[e + f*x])^(3 + n)*Hypergeometric2F1[1, 3 + n, 4 + n, -((a*Cot[e + f*x])/b)])/(b^2*(a^2 + b^2)^2*d^3*f*(3 + n)) + (2*a*b*(d*Cot[e + f*x])^(4 + n)*Hypergeometric2F1[1, (4 + n)/2, (6 + n)/2, -Cot[e + f*x]^2])/((a^2 + b^2)^2*d^4*f*(4 + n))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (d Cot[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m*(d*Cot[e + f*x])^n, x, 8, (AppellF1[1 - n, -m, 1, 2 - n, -((b*Tan[e + f*x])/a), (-I)*Tan[e + f*x]]*(d*Cot[e + f*x])^n*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x])^m)/((1 + (b*Tan[e + f*x])/a)^m*(2*f*(1 - n))) + (AppellF1[1 - n, -m, 1, 2 - n, -((b*Tan[e + f*x])/a), I*Tan[e + f*x]]*(d*Cot[e + f*x])^n*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x])^m)/((1 + (b*Tan[e + f*x])/a)^m*(2*f*(1 - n)))}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 10, -((AppellF1[-(1/2), 1, -n, 1/2, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*d)) - (AppellF1[-(1/2), 1, -n, 1/2, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*d)}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 10, (AppellF1[1/2, 1, -n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])) + (AppellF1[1/2, 1, -n, 3/2, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]))}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^n/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 10, (AppellF1[3/2, 1, -n, 5/2, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2))) + (AppellF1[3/2, 1, -n, 5/2, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)))}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^n/Cot[c + d*x]^(3/2), x, 10, (AppellF1[5/2, 1, -n, 7/2, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2))) + (AppellF1[5/2, 1, -n, 7/2, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2)))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (c-c I Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (c-c I Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n > 0*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x]), x, 3, -((I*c*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3)/(3*f))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x]), x, 4, -((I*c*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)/(2*f)), (I*a^2*c*Sec[e + f*x]^2)/(2*f) + (a^2*c*Tan[e + f*x])/f}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c - I*c*Tan[e + f*x]), x, 3, (a*c*Tan[e + f*x])/f}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])/(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 3, (I*c)/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 3, (I*c)/(2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 3, (I*c)/(3*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3)}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^4*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2, x, 4, -((I*c^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^4)/(2*f)) + (I*c^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^5)/(5*a*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2, x, 4, (I*a^3*c^2*Sec[e + f*x]^4)/(4*f) + (a^3*c^2*Tan[e + f*x])/f + (a^3*c^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2, x, 3, (a^2*c^2*Tan[e + f*x])/f + (a^2*c^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2, x, 4, (I*a*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2)/(2*f), -((I*a*c^2*Sec[e + f*x]^2)/(2*f)) + (a*c^2*Tan[e + f*x])/f}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^2/(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 4, -((c^2*x)/a) - (I*c^2*Log[Cos[e + f*x]])/(a*f) + (2*I*c^2)/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^2/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 3, (c^2*Tan[e + f*x])/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^2/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 4, (2*I*c^2)/(3*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) - (I*c^2)/(2*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^2/(a + I*a*Tan[e + f*x])^4, x, 4, (I*c^2)/(2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^4) - (I*a^2*c^2)/(3*f*(a^2 + I*a^2*Tan[e + f*x])^3)}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^5*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 4, -((4*I*c^3*(a + I*a*Tan[e + f*x])^5)/(5*f)) + (2*I*c^3*(a + I*a*Tan[e + f*x])^6)/(3*a*f) - (I*c^3*(a + I*a*Tan[e + f*x])^7)/(7*a^2*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^4*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 4, (I*a^4*c^3*Sec[e + f*x]^6)/(6*f) + (a^4*c^3*Tan[e + f*x])/f + (2*a^4*c^3*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + (a^4*c^3*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 3, (a^3*c^3*Tan[e + f*x])/f + (2*a^3*c^3*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + (a^3*c^3*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 4, -((I*a^2*c^3*Sec[e + f*x]^4)/(4*f)) + (a^2*c^3*Tan[e + f*x])/f + (a^2*c^3*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 3, (I*a*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3)/(3*f)}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^3/(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 4, -((4*c^3*x)/a) - (4*I*c^3*Log[Cos[e + f*x]])/(a*f) + (c^3*Tan[e + f*x])/(a*f) + (4*I*c^3)/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^3/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 4, (c^3*x)/a^2 + (I*c^3*Log[Cos[e + f*x]])/(a^2*f) + (2*I*c^3)/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) - (4*I*c^3)/(f*(a^2 + I*a^2*Tan[e + f*x]))}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^3/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 3, (I*c^3*(a^2 - I*a^2*Tan[e + f*x])^3)/(6*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x])^3)}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^3/(a + I*a*Tan[e + f*x])^4, x, 4, (I*c^3)/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^4) - (4*I*c^3)/(3*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + (I*c^3)/(2*f*(a^2 + I*a^2*Tan[e + f*x])^2)}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^3/(a + I*a*Tan[e + f*x])^5, x, 4, (4*I*c^3)/(5*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^5) + (I*c^3)/(3*a^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) - (I*a^3*c^3)/(f*(a^2 + I*a^2*Tan[e + f*x])^4)}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^5*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 4, (I*a^5*c^4*Sec[e + f*x]^8)/(8*f) + (a^5*c^4*Tan[e + f*x])/f + (a^5*c^4*Tan[e + f*x]^3)/f + (3*a^5*c^4*Tan[e + f*x]^5)/(5*f) + (a^5*c^4*Tan[e + f*x]^7)/(7*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^4*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 3, (a^4*c^4*Tan[e + f*x])/f + (a^4*c^4*Tan[e + f*x]^3)/f + (3*a^4*c^4*Tan[e + f*x]^5)/(5*f) + (a^4*c^4*Tan[e + f*x]^7)/(7*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 4, -((I*a^3*c^4*Sec[e + f*x]^6)/(6*f)) + (a^3*c^4*Tan[e + f*x])/f + (2*a^3*c^4*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + (a^3*c^4*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 4, (I*a^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4)/(2*f) - (I*a^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^5)/(5*c*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 3, (I*a*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4)/(4*f)}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^4/(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 4, -((12*c^4*x)/a) - (12*I*c^4*Log[Cos[e + f*x]])/(a*f) + (5*c^4*Tan[e + f*x])/(a*f) - (I*c^4*Tan[e + f*x]^2)/(2*a*f) + (8*I*c^4)/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^4/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 4, (6*c^4*x)/a^2 + (6*I*c^4*Log[Cos[e + f*x]])/(a^2*f) - (c^4*Tan[e + f*x])/(a^2*f) + (4*I*c^4)/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) - (12*I*c^4)/(f*(a^2 + I*a^2*Tan[e + f*x]))}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^4/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 4, -((c^4*x)/a^3) - (I*c^4*Log[Cos[e + f*x]])/(a^3*f) + (8*I*c^4)/(3*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) - (6*I*c^4)/(a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + (6*I*c^4)/(f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^4/(a + I*a*Tan[e + f*x])^4, x, 3, (I*c^4*(a^2 - I*a^2*Tan[e + f*x])^4)/(8*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x])^4)}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^4/(a + I*a*Tan[e + f*x])^5, x, 4, (I*c^4*(1 - I*Tan[e + f*x])^4)/(10*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^5) + (I*c^4*(a - I*a*Tan[e + f*x])^4)/(80*a^5*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n < 0*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^4/(c - I*c*Tan[e + f*x]), x, 4, -((12*a^4*x)/c) + (12*I*a^4*Log[Cos[e + f*x]])/(c*f) + (5*a^4*Tan[e + f*x])/(c*f) + (I*a^4*Tan[e + f*x]^2)/(2*c*f) - (8*I*a^4)/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x]))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3/(c - I*c*Tan[e + f*x]), x, 4, -((4*a^3*x)/c) + (4*I*a^3*Log[Cos[e + f*x]])/(c*f) + (a^3*Tan[e + f*x])/(c*f) - (4*I*a^3)/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x]))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/(c - I*c*Tan[e + f*x]), x, 4, -((a^2*x)/c) + (I*a^2*Log[Cos[e + f*x]])/(c*f) - (2*I*a^2)/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x]))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1/(c - I*c*Tan[e + f*x]), x, 3, -((I*a)/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c - I*c*Tan[e + f*x])), x, 3, x/(2*a*c) + (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*a*c*f)}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])), x, 5, (3*x)/(8*a^2*c) + (I*Cos[e + f*x]^4)/(4*a^2*c*f) + (3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*a^2*c*f) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*a^2*c*f)}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])), x, 5, x/(4*a^3*c) - I/(16*a^3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])) + (I*c^2)/(12*a^3*f*(c + I*c*Tan[e + f*x])^3) + (I*c)/(8*a^3*f*(c + I*c*Tan[e + f*x])^2) + (3*I)/(16*a^3*f*(c + I*c*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^4/(c - I*c*Tan[e + f*x])^2, x, 4, (6*a^4*x)/c^2 - (6*I*a^4*Log[Cos[e + f*x]])/(c^2*f) - (a^4*Tan[e + f*x])/(c^2*f) - (4*I*a^4)/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2) + (12*I*a^4)/(f*(c^2 - I*c^2*Tan[e + f*x]))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3/(c - I*c*Tan[e + f*x])^2, x, 4, (a^3*x)/c^2 - (I*a^3*Log[Cos[e + f*x]])/(c^2*f) - (2*I*a^3)/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2) + (4*I*a^3)/(f*(c^2 - I*c^2*Tan[e + f*x]))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/(c - I*c*Tan[e + f*x])^2, x, 3, (a^2*Tan[e + f*x])/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1/(c - I*c*Tan[e + f*x])^2, x, 3, -((I*a)/(2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2), x, 5, (3*x)/(8*a*c^2) - I/(8*a*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2) - I/(4*a*f*(c^2 - I*c^2*Tan[e + f*x])) + I/(8*a*f*(c^2 + I*c^2*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2), x, 4, (3*x)/(8*a^2*c^2) + (3*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*a^2*c^2*f) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*a^2*c^2*f)}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2), x, 6, (5*x)/(16*a^3*c^2) + (I*Cos[e + f*x]^6)/(6*a^3*c^2*f) + (5*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*a^3*c^2*f) + (5*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*a^3*c^2*f) + (Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(6*a^3*c^2*f)}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^6/(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 4, -((40*a^6*x)/c^3) + (40*I*a^6*Log[Cos[e + f*x]])/(c^3*f) + (9*a^6*Tan[e + f*x])/(c^3*f) + (I*a^6*Tan[e + f*x]^2)/(2*c^3*f) - (32*I*a^6)/(3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3) + (40*I*a^6)/(c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2) - (80*I*a^6)/(f*(c^3 - I*c^3*Tan[e + f*x]))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^5/(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 4, -((8*a^5*x)/c^3) + (8*I*a^5*Log[Cos[e + f*x]])/(c^3*f) + (a^5*Tan[e + f*x])/(c^3*f) - (16*I*a^5)/(3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3) - (24*I*a^5)/(f*(c^3 - I*c^3*Tan[e + f*x])) + (16*I*a^5*c^5)/(f*(c^4 - I*c^4*Tan[e + f*x])^2)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^4/(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 4, -((a^4*x)/c^3) + (I*a^4*Log[Cos[e + f*x]])/(c^3*f) - (8*I*a^4)/(3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3) + (6*I*a^4)/(c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2) - (6*I*a^4)/(f*(c^3 - I*c^3*Tan[e + f*x]))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3/(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 3, -((I*a^3*(c^2 + I*c^2*Tan[e + f*x])^3)/(6*f*(c^3 - I*c^3*Tan[e + f*x])^3))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 4, -((2*I*a^2)/(3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3)) + (I*a^2)/(2*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1/(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 3, -((I*a)/(3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3), x, 5, x/(4*a*c^3) - I/(12*a*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3) - I/(8*a*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2) - (3*I)/(16*a*f*(c^3 - I*c^3*Tan[e + f*x])) + I/(16*a*f*(c^3 + I*c^3*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3), x, 5, (5*x)/(16*a^2*c^3) - I/(24*a^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3) - (3*I)/(32*a^2*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2) + I/(32*a^2*c*f*(c + I*c*Tan[e + f*x])^2) - (3*I)/(16*a^2*f*(c^3 - I*c^3*Tan[e + f*x])) + I/(8*a^2*f*(c^3 + I*c^3*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3), x, 5, (5*x)/(16*a^3*c^3) + (5*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*a^3*c^3*f) + (5*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*a^3*c^3*f) + (Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(6*a^3*c^3*f)}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^6/(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 4, (10*a^6*x)/c^4 - (10*I*a^6*Log[Cos[e + f*x]])/(c^4*f) - (a^6*Tan[e + f*x])/(c^4*f) - (8*I*a^6)/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4) + (80*I*a^6)/(3*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3) - (40*I*a^6)/(f*(c^2 - I*c^2*Tan[e + f*x])^2) + (40*I*a^6)/(f*(c^4 - I*c^4*Tan[e + f*x]))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^5/(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 4, (a^5*x)/c^4 - (I*a^5*Log[Cos[e + f*x]])/(c^4*f) - (4*I*a^5)/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4) - (12*I*a^5)/(f*(c^2 - I*c^2*Tan[e + f*x])^2) + (32*I*a^5*c^5)/(3*f*(c^3 - I*c^3*Tan[e + f*x])^3) + (8*I*a^5)/(f*(c^4 - I*c^4*Tan[e + f*x]))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^4/(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 3, -((I*a^4*(c^2 + I*c^2*Tan[e + f*x])^4)/(8*f*(c^3 - I*c^3*Tan[e + f*x])^4))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3/(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 4, -((I*a^3)/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4)) + (4*I*a^3)/(3*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3) - (I*a^3)/(2*f*(c^2 - I*c^2*Tan[e + f*x])^2)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 4, -((I*a^2)/(2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4)) + (I*a^2*c^2)/(3*f*(c^2 - I*c^2*Tan[e + f*x])^3)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1/(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 3, -((I*a)/(4*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4), x, 5, (5*x)/(32*a*c^4) - I/(16*a*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4) - I/(12*a*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3) - (3*I)/(32*a*f*(c^2 - I*c^2*Tan[e + f*x])^2) - I/(8*a*f*(c^4 - I*c^4*Tan[e + f*x])) + I/(32*a*f*(c^4 + I*c^4*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4), x, 5, (15*x)/(64*a^2*c^4) - I/(32*a^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4) - I/(16*a^2*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3) - (3*I)/(32*a^2*f*(c^2 - I*c^2*Tan[e + f*x])^2) + I/(64*a^2*f*(c^2 + I*c^2*Tan[e + f*x])^2) - (5*I)/(32*a^2*f*(c^4 - I*c^4*Tan[e + f*x])) + (5*I)/(64*a^2*f*(c^4 + I*c^4*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4), x, 5, (35*x)/(128*a^3*c^4) - I/(64*a^3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4) - I/(24*a^3*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3) + I/(96*a^3*c*f*(c + I*c*Tan[e + f*x])^3) - (5*I)/(64*a^3*f*(c^2 - I*c^2*Tan[e + f*x])^2) + (5*I)/(128*a^3*f*(c^2 + I*c^2*Tan[e + f*x])^2) - (5*I)/(32*a^3*f*(c^4 - I*c^4*Tan[e + f*x])) + (15*I)/(128*a^3*f*(c^4 + I*c^4*Tan[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (c-c I Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n > 0*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 4, (8*I*a^3*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/f - (8*I*a^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*c*f) + (2*I*a^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*c^2*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 4, ((4*I)*a^2*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/f - (((2*I)/3)*a^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(c*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 3, ((2*I)*a*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/f}
+{Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 5, (I*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(2*Sqrt[2]*a*f) + (I*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*a*f*(1 + I*Tan[e + f*x]))}
+{Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 6, (3*I*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(16*Sqrt[2]*a^2*f) + (I*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(4*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2) + (3*I*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(16*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x]))}
+{Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 7, (5*I*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(64*Sqrt[2]*a^3*f) + (I*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(6*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^3) + (5*I*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(48*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2) + (5*I*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(64*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 4, (8*I*a^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) - (8*I*a^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*c*f) + (2*I*a^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*c^2*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 4, (((4*I)/3)*a^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/f - (((2*I)/5)*a^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(c*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, (((2*I)/3)*a*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/f}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 5, -((I*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(Sqrt[2]*a*f)) + (I*c^2*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a*f*(c + I*c*Tan[e + f*x]))}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 6, -((I*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(8*Sqrt[2]*a^2*f)) + (I*c^3*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*a^2*f*(c + I*c*Tan[e + f*x])^2) - (I*c^2*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(8*a^2*f*(c + I*c*Tan[e + f*x]))}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 7, -((I*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*Sqrt[2]*a^3*f)) + (I*c^4*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(3*a^3*f*(c + I*c*Tan[e + f*x])^3) - (I*c^3*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(24*a^3*f*(c + I*c*Tan[e + f*x])^2) - (I*c^2*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(32*a^3*f*(c + I*c*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 4, (8*I*a^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f) - (8*I*a^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*c*f) + (2*I*a^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2))/(9*c^2*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 4, (((4*I)/5)*a^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/f - (((2*I)/7)*a^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(c*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 3, (((2*I)/5)*a*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/f}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 6, -((3*I*Sqrt[2]*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(a*f)) + (3*I*c^2*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a*f) + (I*c^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(a*f*(c + I*c*Tan[e + f*x]))}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 6, (3*I*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[2]*a^2*f) + (I*c^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*a^2*f*(c + I*c*Tan[e + f*x])^2) - (3*I*c^3*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(4*a^2*f*(c + I*c*Tan[e + f*x]))}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 7, (I*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(16*Sqrt[2]*a^3*f) + (I*c^4*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*a^3*f*(c + I*c*Tan[e + f*x])^3) - (I*c^4*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(4*a^3*f*(c + I*c*Tan[e + f*x])^2) + (I*c^3*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(16*a^3*f*(c + I*c*Tan[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n < 0*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3/Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 4, -((8*I*a^3)/(f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])) - (8*I*a^3*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(c*f) + (2*I*a^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*c^2*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 4, ((-4*I)*a^2)/(f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) - ((2*I)*a^2*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(c*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1/Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 3, ((-2*I)*a)/(f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^1*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]), x, 6, (3*I*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[2]*a*Sqrt[c]*f) - (3*I)/(4*a*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + I/(2*a*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]), x, 7, (15*I*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*Sqrt[2]*a^2*Sqrt[c]*f) - (15*I)/(32*a^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + I/(4*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (5*I)/(16*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]), x, 8, (35*I*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(128*Sqrt[2]*a^3*Sqrt[c]*f) - (35*I)/(128*a^3*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + I/(6*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^3*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (7*I)/(48*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (35*I)/(192*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((8*I*a^3)/(3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))) + (8*I*a^3)/(c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (2*I*a^3*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(c^2*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 4, (((-4*I)/3)*a^2)/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((2*I)*a^2)/(c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, (((-2*I)/3)*a)/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 7, (5*I*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(8*Sqrt[2]*a*c^(3/2)*f) - (5*I)/(12*a*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + I/(2*a*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (5*I)/(8*a*c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 8, (35*I*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(64*Sqrt[2]*a^2*c^(3/2)*f) - (35*I)/(96*a^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + I/(4*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (7*I)/(16*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (35*I)/(64*a^2*c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 9, (105*I*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(256*Sqrt[2]*a^3*c^(3/2)*f) - (35*I)/(128*a^3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + I/(6*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (3*I)/(16*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (21*I)/(64*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (105*I)/(256*a^3*c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((8*I*a^3)/(5*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))) + (8*I*a^3)/(3*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*I*a^3)/(c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 4, (((-4*I)/5)*a^2)/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (((2*I)/3)*a^2)/(c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 3, (((-2*I)/5)*a)/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 8, (7*I*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(16*Sqrt[2]*a*c^(5/2)*f) - (7*I)/(20*a*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + I/(2*a*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (7*I)/(24*a*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (7*I)/(16*a*c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 9, (63*I*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(128*Sqrt[2]*a^2*c^(5/2)*f) - (63*I)/(160*a^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + I/(4*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (9*I)/(16*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (21*I)/(64*a^2*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (63*I)/(128*a^2*c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 10, (231*I*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(512*Sqrt[2]*a^3*c^(5/2)*f) - (231*I)/(640*a^3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + I/(6*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (11*I)/(48*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (33*I)/(64*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (77*I)/(256*a^3*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (231*I)/(512*a^3*c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^(m/2) (c-c I Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n > 0*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 6, ((-3*I)*a^(5/2)*Sqrt[c]*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/f + (((3*I)/2)*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/f + ((I/2)*a*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/f}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 5, ((-2*I)*a^(3/2)*Sqrt[c]*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/f + (I*a*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/f}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 4, ((-2*I)*Sqrt[a]*Sqrt[c]*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/f}
+{Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 2, (I*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, ((I/3)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((I/3)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 4, ((I/5)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (((2*I)/15)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (((2*I)/15)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 5, (I*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(7*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)) + (3*I*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(35*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (2*I*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(35*a^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*I*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(35*a^3*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 6, -((I*a^(5/2)*c^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/f) + (a^2*c*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*f) + (I*a*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 5, -((I*a^(3/2)*c^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/f) + (a*c*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 5, ((-2*I)*Sqrt[a]*c^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/f - (I*c*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/f}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 5, ((2*I)*c^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) + ((2*I)*c*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 2, ((I/3)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 3, ((I/5)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)) + ((I/15)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 4, (I*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(7*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)) + (2*I*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(35*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (2*I*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(105*a^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(9/2), x, 5, (I*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(9*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(9/2)) + (I*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(21*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)) + (2*I*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(105*a^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (2*I*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(315*a^3*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 6, -((3*I*a^(5/2)*c^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(4*f)) + (3*a^2*c^2*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(8*f) + (a*c*Tan[e + f*x]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(4*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 6, -((I*a^(3/2)*c^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/f) + (a*c^2*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*f) - (I*c*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 6, ((-3*I)*Sqrt[a]*c^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/f - (((3*I)/2)*c^2*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/f - ((I/2)*c*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/f}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 6, (6*I*c^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) + (3*I*c^2*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a*f) + (2*I*c*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 6, ((-2*I)*c^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(a^(3/2)*f) - ((2*I)*c^2*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]) + (((2*I)/3)*c*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 2, ((I/5)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 3, (I*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(7*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)) + (I*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(35*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(9/2), x, 4, (I*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(9*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(9/2)) + (2*I*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(63*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)) + (2*I*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(315*a^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(11/2), x, 5, (I*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(11*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(11/2)) + (I*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(33*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(9/2)) + (2*I*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(231*a^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)) + (2*I*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(1155*a^3*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n < 0*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)/Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 7, (15*I*a^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f) - (2*I*a*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) - (15*I*a^3*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*c*f) - (5*I*a^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*c*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)/Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 6, (6*I*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f) - (2*I*a*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) - (3*I*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(c*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 5, ((2*I)*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f) - ((2*I)*a*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/2)/Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 2, ((-I)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]), x, 2, Tan[e + f*x]/(f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]), x, 3, I/(3*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (2*Tan[e + f*x])/(3*a*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]), x, 4, I/(5*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + I/(5*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (2*Tan[e + f*x])/(5*a^2*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]), x, 5, I/(7*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (4*I)/(35*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (4*I)/(35*a^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (8*Tan[e + f*x])/(35*a^3*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(9/2)/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 8, -((35*I*a^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(c^(3/2)*f)) - (2*I*a*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (14*I*a^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(3*c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (35*I*a^4*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*c^2*f) + (35*I*a^3*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(6*c^2*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 7, -((10*I*a^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(c^(3/2)*f)) - (2*I*a*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (10*I*a^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (5*I*a^3*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(c^2*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 6, ((-2*I)*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(c^(3/2)*f) - (((2*I)/3)*a*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((2*I)*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 2, ((-I/3)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/2)/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, ((-I/3)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - ((I/3)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 4, I/(f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*I*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(3*a*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*I*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(3*a*c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 3, Tan[e + f*x]/(3*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*Tan[e + f*x])/(3*a*c*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 4, I/(5*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (4*Tan[e + f*x])/(15*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (8*Tan[e + f*x])/(15*a^2*c*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 5, I/(7*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + I/(7*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (4*Tan[e + f*x])/(21*a^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (8*Tan[e + f*x])/(21*a^3*c*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(11/2)/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 9, (63*I*a^(11/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(c^(5/2)*f) - (2*I*a*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(9/2))/(5*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (6*I*a^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(5*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (42*I*a^3*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) - (63*I*a^5*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*c^3*f) - (21*I*a^4*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*c^3*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(9/2)/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 8, (14*I*a^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(c^(5/2)*f) - (2*I*a*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(5*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (14*I*a^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(15*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (14*I*a^3*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) - (7*I*a^4*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(c^3*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 7, (2*I*a^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(c^(5/2)*f) - (2*I*a*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (2*I*a^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*I*a^3*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 2, ((-I/5)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 3, ((-I/5)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - ((I/15)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/2)/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 4, ((-I/5)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (((2*I)/15)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (((2*I)/15)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(1/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 5, I/(f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (3*I*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(5*a*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (2*I*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(5*a*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*I*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(5*a*c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 6, I/(3*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (4*I)/(3*a*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (4*I*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(5*a^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (8*I*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(15*a^2*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (8*I*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(15*a^2*c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 4, Tan[e + f*x]/(5*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (4*Tan[e + f*x])/(15*a*c*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (8*Tan[e + f*x])/(15*a^2*c^2*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 5, I/(7*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (6*Tan[e + f*x])/(35*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (8*Tan[e + f*x])/(35*a^2*c*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (16*Tan[e + f*x])/(35*a^3*c^2*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (c-c I Tan[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^4*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n, x, 4, (8*I*a^4*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(f*n) - (12*I*a^4*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(c*f*(1 + n)) + (6*I*a^4*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(2 + n))/(c^2*f*(2 + n)) - (I*a^4*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3 + n))/(c^3*f*(3 + n))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n, x, 4, (4*I*a^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(f*n) - (4*I*a^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(c*f*(1 + n)) + (I*a^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(2 + n))/(c^2*f*(2 + n))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n, x, 4, ((2*I)*a^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(f*n) - (I*a^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(c*f*(1 + n))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n, x, 3, (I*a*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(f*n)}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^n/(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 3, (I*Hypergeometric2F1[2, n, 1 + n, (1/2)*(1 - I*Tan[e + f*x])]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(4*a*f*n)}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^n/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 3, (I*Hypergeometric2F1[3, n, 1 + n, (1/2)*(1 - I*Tan[e + f*x])]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(8*a^2*f*n)}
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^n/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 3, (I*Hypergeometric2F1[4, n, 1 + n, (1/2)*(1 - I*Tan[e + f*x])]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(16*a^3*f*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (c-c I Tan[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n, x, 3, ((I/2)*Hypergeometric2F1[1, m + n, 1 + n, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(f*n), -((1/(f*m))*((I*2^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[m, 1 - n, 1 + m, (1/2)*(1 + I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(1 - I*Tan[e + f*x])^n))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 4, -((8*I*c^4*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(f*m)) + (12*I*c^4*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(1 + m)) - (6*I*c^4*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(2 + m))/(a^2*f*(2 + m)) + (I*c^4*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3 + m))/(a^3*f*(3 + m))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 4, ((-4*I)*c^3*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(f*m) + ((4*I)*c^3*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(1 + m)) - (I*c^3*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(2 + m))/(a^2*f*(2 + m))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2, x, 4, ((-2*I)*c^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(f*m) + (I*c^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(1 + m))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c - I*c*Tan[e + f*x])^1, x, 3, ((-I)*c*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(f*m)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m/(c - I*c*Tan[e + f*x])^1, x, 3, -((I*Hypergeometric2F1[2, m, 1 + m, (1/2)*(1 + I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(4*c*f*m))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m/(c - I*c*Tan[e + f*x])^2, x, 3, -((I*Hypergeometric2F1[3, m, 1 + m, (1/2)*(1 + I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(8*c^2*f*m))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m/(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 3, -((I*Hypergeometric2F1[4, m, 1 + m, (1/2)*(1 + I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(16*c^3*f*m))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m/(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 3, -((I*Hypergeometric2F1[5, m, 1 + m, (1/2)*(1 + I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(32*c^4*f*m))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 3, ((I/5)*Hypergeometric2F1[1, 5/2 + m, 7/2, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/f, (1/(5*f))*((I*2^m*Hypergeometric2F1[5/2, 1 - m, 7/2, (1/2)*(1 - I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(1 + I*Tan[e + f*x])^m)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, ((I/3)*Hypergeometric2F1[1, 3/2 + m, 5/2, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/f, (1/(3*f))*((I*2^m*Hypergeometric2F1[3/2, 1 - m, 5/2, (1/2)*(1 - I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(1 + I*Tan[e + f*x])^m)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 3, (I*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + m, 3/2, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/f, (1/f)*((I*2^m*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - m, 3/2, (1/2)*(1 - I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(1 + I*Tan[e + f*x])^m)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 3, ((-I)*Hypergeometric2F1[1, -1/2 + m, 1/2, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]), -((1/(f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]))*((I*2^m*Hypergeometric2F1[-(1/2), 1 - m, 1/2, (1/2)*(1 - I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(1 + I*Tan[e + f*x])^m))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, ((-I/3)*Hypergeometric2F1[1, -3/2 + m, -1/2, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)), -((I*2^m*Hypergeometric2F1[-(3/2), 1 - m, -(1/2), (1/2)*(1 - I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(1 + I*Tan[e + f*x])^m/(3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 3, ((-I/5)*Hypergeometric2F1[1, -5/2 + m, -3/2, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)), -((I*2^m*Hypergeometric2F1[-(5/2), 1 - m, -(3/2), (1/2)*(1 - I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(1 + I*Tan[e + f*x])^m/(5*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n > 0*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x]), x, 4, 4*a^3*(c - I*d)*x - (4*a^3*(I*c + d)*Log[Cos[e + f*x]])/f - (2*a^3*(c - I*d)*Tan[e + f*x])/f + (a*(I*c + d)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)/(2*f) + (d*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3)/(3*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x]), x, 3, 2*a^2*(c - I*d)*x - (2*a^2*(I*c + d)*Log[Cos[e + f*x]])/f - (a^2*(c - I*d)*Tan[e + f*x])/f + (d*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)/(2*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c + d*Tan[e + f*x]), x, 2, a*(c - I*d)*x - (a*(I*c + d)*Log[Cos[e + f*x]])/f + (I*a*d*Tan[e + f*x])/f}
+{(c + d*Tan[e + f*x])/(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 2, ((c - I*d)*x)/(2*a) + (I*c - d)/(2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{(c + d*Tan[e + f*x])/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 3, ((c - I*d)*x)/(4*a^2) + (I*c - d)/(4*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + (I*c + d)/(4*f*(a^2 + I*a^2*Tan[e + f*x]))}
+{(c + d*Tan[e + f*x])/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 4, ((c - I*d)*x)/(8*a^3) + (I*c - d)/(6*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + (I*c + d)/(8*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + (I*c + d)/(8*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 5, 4*a^3*(c - I*d)^2*x - ((4*I)*a^3*(c - I*d)^2*Log[Cos[e + f*x]])/f - (2*a^3*(c - I*d)^2*Tan[e + f*x])/f + ((I/2)*a*(c - I*d)^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)/f + (2*c*d*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3)/(3*f) - ((I/4)*d^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^4)/(a*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 4, 2*a^2*(c - I*d)^2*x - ((2*I)*a^2*(c - I*d)^2*Log[Cos[e + f*x]])/f - (a^2*(c - I*d)^2*Tan[e + f*x])/f + (c*d*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)/f - ((I/3)*d^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3)/(a*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 3, a*(c - I*d)^2*x - (I*a*(c - I*d)^2*Log[Cos[e + f*x]])/f + (a*d*(I*c + d)*Tan[e + f*x])/f + ((I/2)*a*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/f}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^2/(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 3, ((c^2 - 2*I*c*d + d^2)*x)/(2*a) + (I*d^2*Log[Cos[e + f*x]])/(a*f) + (I*(c + I*d)^2)/(2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^2/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 3, ((c - I*d)^2*x)/(4*a^2) + ((c + I*d)*(I*c + 3*d))/(4*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) + (I*(c + I*d)^2)/(4*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^2/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 4, ((c - I*d)^2*x)/(8*a^3) + (I*(c + I*d)^2)/(6*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + ((c + I*d)*(I*c + 3*d))/(8*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + (I*(c - I*d)^2)/(8*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 6, 4*a^3*(c - I*d)^3*x + (4*a^3*(I*c + d)^3*Log[Cos[e + f*x]])/f + ((4*I)*a^3*(c - I*d)^2*d*Tan[e + f*x])/f + (2*a^3*(I*c + d)*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/f + (((4*I)/3)*a^3*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/f + (a^3*(I*c - 11*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^4)/(20*d^2*f) - ((a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^4)/(5*d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 5, 2*a^2*(c - I*d)^3*x + (2*a^2*(I*c + d)^3*Log[Cos[e + f*x]])/f + ((2*I)*a^2*(c - I*d)^2*d*Tan[e + f*x])/f + (a^2*(I*c + d)*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/f + (((2*I)/3)*a^2*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/f - (a^2*(c + d*Tan[e + f*x])^4)/(4*d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 4, a*(c - I*d)^3*x + (a*(I*c + d)^3*Log[Cos[e + f*x]])/f + (I*a*(c - I*d)^2*d*Tan[e + f*x])/f + (a*(I*c + d)*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*f) + ((I/3)*a*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/f}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^3/(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 3, ((c^3 - (3*I)*c^2*d + 3*c*d^2 + (3*I)*d^3)*x)/(2*a) + (((3*I)*c - d)*d^2*Log[Cos[e + f*x]])/(a*f) - ((c + (3*I)*d)*d^2*Tan[e + f*x])/(2*a*f) + ((I*c - d)*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^3/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 5, ((c^3 - (3*I)*c^2*d - 3*c*d^2 - (3*I)*d^3)*x)/(4*a^2) + (d^3*Log[Cos[e + f*x]])/(a^2*f) + ((c + I*d)^2*(I*c + 3*d))/(4*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) + ((I*c - d)*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(4*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^3/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 4, ((c - I*d)^3*x)/(8*a^3) + ((c + I*d)*(c - 3*I*d)*(I*c + d))/(8*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) + ((c + I*d)^2*(I*c + d))/(8*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + (I*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(6*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n < 0*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3/(c + d*Tan[e + f*x]), x, 5, (4*a^3*x)/(c - I*d) - (a^3*(I*c - 3*d)*Log[Cos[e + f*x]])/(d^2*f) - (a^3*(c + I*d)^2*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/(d^2*(I*c + d)*f) - (a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x])/(d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/(c + d*Tan[e + f*x]), x, 4, -((a^2*c*(c + I*d)*x)/((c - I*d)*d^2)) + (a^2*(c + (2*I)*d)*x)/d^2 + (a^2*Log[Cos[e + f*x]])/(d*f) - (a^2*(I*c - d)*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/(d*(I*c + d)*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1/(c + d*Tan[e + f*x]), x, 2, (a*x)/(c - I*d) + (a*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((I*c + d)*f)}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c + d*Tan[e + f*x])), x, 5, x/(2*a*(c + I*d)) - (c*d*x)/(a*(I*c - d)*(c^2 + d^2)) - (d^2*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/(a*(I*c - d)*(c^2 + d^2)*f) - 1/(2*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])), x, 4, ((c^3 + (3*I)*c^2*d - 3*c*d^2 + (3*I)*d^3)*x)/(4*a^2*(c - I*d)*(c + I*d)^3) - (d^3*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/(a^2*(c - I*d)*(c + I*d)^3*f) + (I*c - 3*d)/(4*a^2*(c + I*d)^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) - 1/(4*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])), x, 5, ((c^4 + (4*I)*c^3*d - 6*c^2*d^2 - (4*I)*c*d^3 - 7*d^4)*x)/(8*a^3*(c - I*d)*(c + I*d)^4) + (d^4*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/(a^3*(c + I*d)^4*(I*c + d)*f) - 1/(6*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + (I*c - 3*d)/(8*a*(c + I*d)^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + (c^2 + (4*I)*c*d - 7*d^2)/(8*(I*c - d)^3*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3/(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 5, (4*a^3*x)/(c - I*d)^2 + (I*a^3*Log[Cos[e + f*x]])/(d^2*f) - (a^3*(I*c - d)*(c - (3*I)*d)*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((c - I*d)^2*d^2*f) + ((c + I*d)*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))/((c - I*d)*d*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 3, (2*a^2*x)/(c - I*d)^2 - ((2*I)*a^2*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((c - I*d)^2*f) + (a^2*(I*c - d))/(d*(I*c + d)*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1/(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 3, (a*x)/(c - I*d)^2 - (I*a*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((c - I*d)^2*f) - a/((I*c + d)*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c + d*Tan[e + f*x])^2), x, 4, ((c^3 + (3*I)*c^2*d + 3*c*d^2 - (3*I)*d^3)*x)/(2*a*(c - I*d)^2*(c + I*d)^3) + ((3*c - I*d)*d^2*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/(a*(I*c - d)^3*(c - I*d)^2*f) + ((c - (3*I)*d)*d)/(2*a*(c - I*d)*(c + I*d)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x])) - 1/(2*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^2), x, 5, ((c^4 + (4*I)*c^3*d - 6*c^2*d^2 + (12*I)*c*d^3 + 9*d^4)*x)/(4*a^2*(c - I*d)^2*(c + I*d)^4) - (2*(2*c - I*d)*d^3*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/(a^2*(c - I*d)^2*(c + I*d)^4*f) + (d*(c^2 + (4*I)*c*d + 9*d^2))/(4*a^2*(c - I*d)*(c + I*d)^3*f*(c + d*Tan[e + f*x])) + (I*c - 4*d)/(4*a^2*(c + I*d)^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])) - 1/(4*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^2), x, 6, ((c^5 + (5*I)*c^4*d - 10*c^3*d^2 - (10*I)*c^2*d^3 - 35*c*d^4 + (25*I)*d^5)*x)/(8*a^3*(c - I*d)^2*(c + I*d)^5) + ((5*c - (3*I)*d)*d^4*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/(a^3*(I*c - d)^5*(c - I*d)^2*f) + (d*(c^3 + (5*I)*c^2*d - 11*c*d^2 + (25*I)*d^3))/(8*a^3*(c - I*d)*(c + I*d)^4*f*(c + d*Tan[e + f*x])) - 1/(6*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])) + ((3*I)*c - 11*d)/(24*a*(c + I*d)^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])) + (c^2 + (5*I)*c*d - 12*d^2)/(8*(I*c - d)^3*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3/(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 4, (4*a^3*x)/(c - I*d)^3 - (4*a^3*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((I*c + d)^3*f) - (a*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)/(2*(I*c + d)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) + (2*a^3*(c + I*d))/((c - I*d)^2*d*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 4, (2*a^2*x)/(c - I*d)^3 - (2*a^2*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((I*c + d)^3*f) + (a^2*(I*c - d))/(2*d*(I*c + d)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) + ((2*I)*a^2)/((c - I*d)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1/(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 4, (a*x)/(c - I*d)^3 - (a*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((I*c + d)^3*f) - a/(2*(I*c + d)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) + (I*a)/((c - I*d)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c + d*Tan[e + f*x])^3), x, 5, ((c^4 + (4*I)*c^3*d + 6*c^2*d^2 - (12*I)*c*d^3 - 3*d^4)*x)/(2*a*(c - I*d)^3*(c + I*d)^4) + (2*d^2*(3*c^2 - (2*I)*c*d - d^2)*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/(a*(c + I*d)^4*(I*c + d)^3*f) + ((c - (2*I)*d)*d)/(2*a*(c - I*d)*(c + I*d)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - 1/(2*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^2) + (d*(c^2 - (8*I)*c*d - 3*d^2))/(2*a*(c - I*d)^2*(c + I*d)^3*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^3), x, 6, ((c^5 + (5*I)*c^4*d - 10*c^3*d^2 + (30*I)*c^2*d^3 + 45*c*d^4 - (15*I)*d^5)*x)/(4*a^2*(c - I*d)^3*(c + I*d)^5) - (2*d^3*(5*c^2 - (5*I)*c*d - 2*d^2)*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/(a^2*(I*c - d)^5*(I*c + d)^3*f) + (d*(c^2 + (5*I)*c*d + 8*d^2))/(4*a^2*(c - I*d)*(c + I*d)^3*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) + (I*c - 5*d)/(4*a^2*(c + I*d)^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - 1/(4*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^2) + ((c - (3*I)*d)*d*(c^2 + (8*I)*c*d + 5*d^2))/(4*a^2*(c - I*d)^2*(c + I*d)^4*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^3), x, 7, ((c^6 + (6*I)*c^5*d - 15*c^4*d^2 - (20*I)*c^3*d^3 - 105*c^2*d^4 + (150*I)*c*d^5 + 55*d^6)*x)/(8*a^3*(c - I*d)^3*(c + I*d)^6) - (d^4*(15*c^2 - (18*I)*c*d - 7*d^2)*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/(a^3*(c + I*d)^6*(I*c + d)^3*f) + (d*(c^3 + (6*I)*c^2*d - 17*c*d^2 + (28*I)*d^3))/(8*a^3*(c - I*d)*(c + I*d)^4*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - 1/(6*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^2) + ((3*I)*c - 13*d)/(24*a*(c + I*d)^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^2) + (3*c^2 + (18*I)*c*d - 55*d^2)/(24*(I*c - d)^3*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^2) + (d*(c^4 + (6*I)*c^3*d - 16*c^2*d^2 + (94*I)*c*d^3 + 55*d^4))/(8*a^3*(c - I*d)^2*(c + I*d)^5*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n > 0*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 6, ((-8*I)*a^3*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f + ((8*I)*a^3*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (4*a^3*(I*c - 6*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(15*d^2*f) - (2*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(5*d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 5, ((-4*I)*a^2*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f + ((4*I)*a^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f - (2*a^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 4, ((-2*I)*a*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f + ((2*I)*a*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f}
+{Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 8, ((-I/2)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(a*f) + ((I/2)*c*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(a*Sqrt[c + I*d]*f) + ((I/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 9, ((-I/4)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(a^2*f) - ((2*c*d - I*(2*c^2 + d^2))*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(8*a^2*(c + I*d)^(3/2)*f) + (((2*I)*c - d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(8*a^2*(c + I*d)*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) + ((I/4)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 10, ((-I/8)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(a^3*f) + (((2*I)*c^3 - 4*c^2*d - I*c*d^2 - 2*d^3)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(16*a^3*(c + I*d)^(5/2)*f) + ((I/6)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + (((3*I)*c - 2*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(24*a*(c + I*d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + (c*((2*I)*c - 3*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(16*(c + I*d)^2*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 7, ((-8*I)*a^3*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f + (8*a^3*(I*c + d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (((8*I)/3)*a^3*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/f + (4*a^3*(I*c - 8*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(35*d^2*f) - (2*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(7*d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 6, ((-4*I)*a^2*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f + (4*a^2*(I*c + d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (((4*I)/3)*a^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/f - (2*a^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 5, ((-2*I)*a*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f + (2*a*(I*c + d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (((2*I)/3)*a*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/f}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 8, ((-I/2)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(a*f) + (Sqrt[c + I*d]*(I*c + 2*d)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(2*a*f) + ((I*c - d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 9, ((-I/4)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(a^2*f) + ((2*c*d + I*(2*c^2 + d^2))*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(8*a^2*Sqrt[c + I*d]*f) + (((2*I)*c + 3*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(8*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) + ((I*c - d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 10, ((-I/8)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(a^3*f) + ((I/16)*c*(2*c^2 + 3*d^2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(a^3*(c + I*d)^(3/2)*f) + ((I*c - d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(6*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + (((3*I)*c + 4*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(24*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) - ((2*c^2 - I*c*d + 2*d^2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(16*(I*c - d)*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 8, ((-8*I)*a^3*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f + ((8*I)*a^3*(c - I*d)^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (8*a^3*(I*c + d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (((8*I)/5)*a^3*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/f + (4*a^3*(I*c - 10*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(63*d^2*f) - (2*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(9*d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 7, ((-4*I)*a^2*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f + ((4*I)*a^2*(c - I*d)^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (4*a^2*(I*c + d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (((4*I)/5)*a^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/f - (2*a^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 6, ((-2*I)*a*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f + ((2*I)*a*(c - I*d)^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (2*a*(I*c + d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (((2*I)/5)*a*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/f}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 9, ((-I/2)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(a*f) + ((c + I*d)^(3/2)*(I*c + 4*d)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(2*a*f) - ((c + (5*I)*d)*d*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(2*a*f) + ((I*c - d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 9, ((-I/4)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(a^2*f) + (Sqrt[c + I*d]*((2*I)*c^2 + 6*c*d - (7*I)*d^2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(8*a^2*f) + ((c + I*d)*((2*I)*c + 5*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(8*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) + ((I*c - d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(4*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 10, ((-I/8)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(a^3*f) + (((2*I)*c^3 + 4*c^2*d - I*c*d^2 + 2*d^3)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(16*a^3*Sqrt[c + I*d]*f) + ((c + I*d)*(I*c + 2*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(8*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + (((2*I)*c^2 + 5*c*d - (4*I)*d^2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(16*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x])) + ((I*c - d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(6*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n < 0*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 5, ((-8*I)*a^3*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(Sqrt[c - I*d]*f) + (4*a^3*(I*c - 4*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*d^2*f) - (2*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x])*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 4, ((-4*I)*a^2*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(Sqrt[c - I*d]*f) - (2*a^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 3, ((-2*I)*a*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(Sqrt[c - I*d]*f)}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x, 8, ((-I/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(a*Sqrt[c - I*d]*f) + ((I*c - 2*d)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(2*a*(c + I*d)^(3/2)*f) - Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/(2*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x, 9, ((-I/4)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(a^2*Sqrt[c - I*d]*f) + (((2*I)*c^2 - 6*c*d - (7*I)*d^2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(8*a^2*(c + I*d)^(5/2)*f) + (((2*I)*c - 5*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(8*a^2*(c + I*d)^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) - Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/(4*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x, 10, ((-I/8)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(a^3*Sqrt[c - I*d]*f) + (((2*I)*c^3 - 8*c^2*d - (13*I)*c*d^2 + 12*d^3)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(16*a^3*(c + I*d)^(7/2)*f) - Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/(6*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + (((3*I)*c - 8*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(24*a*(c + I*d)^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + ((2*c^2 + (7*I)*c*d - 10*d^2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(16*(I*c - d)^3*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 5, ((-8*I)*a^3*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(3/2)*f) + (2*(c + I*d)*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))/((c - I*d)*d*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + (4*a^3*c*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^2*(I*c + d)*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 4, ((-4*I)*a^2*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(3/2)*f) + (2*a^2*(I*c - d))/(d*(I*c + d)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 4, ((-2*I)*a*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(3/2)*f) - (2*a)/((I*c + d)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 9, ((-I/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(a*(c - I*d)^(3/2)*f) + ((I*c - 4*d)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(2*a*(c + I*d)^(5/2)*f) + ((c - (5*I)*d)*d)/(2*a*(c - I*d)*(c + I*d)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - 1/(2*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 10, ((-I/4)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(a^2*(c - I*d)^(3/2)*f) + (((2*I)*c^2 - 10*c*d - (23*I)*d^2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(8*a^2*(c + I*d)^(7/2)*f) + (d*(2*c^2 + (7*I)*c*d + 25*d^2))/(8*a^2*(c - I*d)*(c + I*d)^3*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + ((2*I)*c - 7*d)/(8*a^2*(c + I*d)^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - 1/(4*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 11, ((-I/8)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(a^3*(c - I*d)^(3/2)*f) + (((2*I)*c^3 - 12*c^2*d - (33*I)*c*d^2 + 58*d^3)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(16*a^3*(c + I*d)^(9/2)*f) + (d*(2*c^3 + (9*I)*c^2*d - 17*c*d^2 + (60*I)*d^3))/(16*a^3*(c - I*d)*(c + I*d)^4*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - 1/(6*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + ((3*I)*c - 10*d)/(24*a*(c + I*d)^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + (6*c^2 + (27*I)*c*d - 56*d^2)/(48*(I*c - d)^3*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x])*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 5, ((-8*I)*a^3*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(5/2)*f) + (2*(c + I*d)*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))/(3*(c - I*d)*d*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (4*a^3*(I*c - d)*(c - (4*I)*d))/(3*(c - I*d)^2*d^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 5, ((-4*I)*a^2*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(5/2)*f) + (2*a^2*(I*c - d))/(3*d*(I*c + d)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((4*I)*a^2)/((c - I*d)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 5, ((-2*I)*a*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(5/2)*f) - (2*a)/(3*(I*c + d)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((2*I)*a)/((c - I*d)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 10, ((-I/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(a*(c - I*d)^(5/2)*f) + ((I*c - 6*d)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(2*a*(c + I*d)^(7/2)*f) + (d*((3*I)*c + 7*d))/(6*a*(I*c - d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - 1/(2*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (d*(c^2 - (14*I)*c*d - 5*d^2))/(2*a*(c - I*d)^2*(c + I*d)^3*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 11, ((-I/4)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(a^2*(c - I*d)^(5/2)*f) + (((2*I)*c^2 - 14*c*d - (47*I)*d^2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(8*a^2*(c + I*d)^(9/2)*f) + (d*(6*c^2 + (27*I)*c*d + 49*d^2))/(24*a^2*(c - I*d)*(c + I*d)^3*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((2*I)*c - 9*d)/(8*a^2*(c + I*d)^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - 1/(4*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (d*(2*c^3 + (9*I)*c^2*d + 88*c*d^2 - (45*I)*d^3))/(8*a^2*(c - I*d)^2*(c + I*d)^4*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 12, ((-I/8)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(a^3*(c - I*d)^(5/2)*f) + (((2*I)*c^3 - 16*c^2*d - (61*I)*c*d^2 + 152*d^3)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(16*a^3*(c + I*d)^(11/2)*f) + (d*(6*c^3 + (33*I)*c^2*d - 83*c*d^2 + (154*I)*d^3))/(48*a^3*(c - I*d)*(c + I*d)^4*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - 1/(6*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (I*c - 4*d)/(8*a*(c + I*d)^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*c^2 + (11*I)*c*d - 30*d^2)/(16*(I*c - d)^3*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (d*(2*c^4 + (11*I)*c^3*d - 26*c^2*d^2 + (253*I)*c*d^3 + 150*d^4))/(16*a^3*(c - I*d)^2*(c + I*d)^5*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^(m/2) (c+d Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n > 0*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 9, -((-1)^(1/4)*a^(5/2)*(c^2 + (10*I)*c*d + 23*d^2)*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(4*d^(3/2)*f) - ((4*I)*Sqrt[2]*a^(5/2)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/f + (a^2*(c + (9*I)*d)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*d*f) - (a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 9, -(((-1)^(1/4)*a^(3/2)*(I*c + 3*d)*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[d]*f)) - ((2*I)*Sqrt[2]*a^(3/2)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/f + (a^2*(c + I*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(d*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]) - (a^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(d*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 7, (-2*(-1)^(1/4)*Sqrt[a]*Sqrt[d]*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f - (I*Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/f}
+{Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]], x, 3, ((-I)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*f) + (I*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 4, ((-I/2)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*f) + ((I/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]) - (c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(3*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 6, ((-I/4)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a^(5/2)*f) + ((I/5)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (((5*I)*c - 3*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(30*a*(c + I*d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)) - ((20*c*d - I*(15*c^2 + 3*d^2))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(60*a^2*(c + I*d)^2*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 10, -((-1)^(1/4)*a^(5/2)*(c - (3*I)*d)*(c^2 + (18*I)*c*d + 15*d^2)*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(8*d^(3/2)*f) - ((4*I)*Sqrt[2]*a^(5/2)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/f + (a^2*(c^2 + (14*I)*c*d + 19*d^2)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(8*d*f) + (a^2*(c + (13*I)*d)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(12*d*f) - (a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(3*d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 10, -((-1)^(1/4)*a^(3/2)*((3*I)*c^2 + 18*c*d - (11*I)*d^2)*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(4*Sqrt[d]*f) - ((2*I)*Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/f + (a*((3*I)*c + 5*d)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*f) + (a^2*(c + I*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*d*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]) - (a^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(2*d*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 8, -(((-1)^(1/4)*Sqrt[a]*(3*c - I*d)*Sqrt[d]*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f) - (I*Sqrt[2]*Sqrt[a]*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/f + (d*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]], x, 8, (2*(-1)^(3/4)*d^(3/2)*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) - (I*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*f) + ((I*c - d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 4, ((-I/2)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*f) + ((I*c + d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(2*a*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]) + ((I/3)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 5, ((-I/4)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a^(5/2)*f) + ((I*c + d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*a^2*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]) + ((I/6)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)/(5*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 11, -((-1)^(1/4)*a^(5/2)*(5*c^4 + (100*I)*c^3*d + 690*c^2*d^2 - (900*I)*c*d^3 - 363*d^4)*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(64*d^(3/2)*f) - ((4*I)*Sqrt[2]*a^(5/2)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/f + (a^2*(5*c^3 + (95*I)*c^2*d + 273*c*d^2 - (149*I)*d^3)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(64*d*f) + (a^2*(5*c^2 + (90*I)*c*d + 107*d^2)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(96*d*f) + (a^2*(c + (17*I)*d)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(24*d*f) - (a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(4*d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 11, -((-1)^(1/4)*a^(3/2)*((5*I)*c^3 + 45*c^2*d - (55*I)*c*d^2 - 23*d^3)*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(8*Sqrt[d]*f) - ((2*I)*Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/f + (a*(c - (3*I)*d)*((5*I)*c + 3*d)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(8*f) + (a*((5*I)*c + 7*d)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(12*f) + (a^2*(c + I*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(3*d*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]) - (a^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(3*d*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 9, -((-1)^(1/4)*Sqrt[a]*Sqrt[d]*(15*c^2 - (10*I)*c*d - 7*d^2)*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(4*f) - (I*Sqrt[2]*Sqrt[a]*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/f + ((7*c - I*d)*d*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*f) + (d*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*f)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)/Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]], x, 9, ((-1)^(1/4)*(5*I*c - d)*d^(3/2)*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) - (I*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*f) - ((c + 2*I*d)*d*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(a*f) + ((I*c - d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 9, (2*(-1)^(1/4)*d^(5/2)*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(a^(3/2)*f) - ((I/2)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*f) + ((c + I*d)*(I*c + 3*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(2*a*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]) + ((I*c - d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 5, ((-I/4)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a^(5/2)*f) + ((I/4)*(c - I*d)^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]) + ((I*c + d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(6*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((I/5)*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n < 0*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 8, -(((-1)^(1/4)*a^(5/2)*(c + (5*I)*d)*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(d^(3/2)*f)) - ((4*I)*Sqrt[2]*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c - I*d]*f) - (a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(d*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 7, (-2*(-1)^(3/4)*a^(3/2)*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[d]*f) - ((2*I)*Sqrt[2]*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c - I*d]*f)}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 2, ((-I)*Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c - I*d]*f)}
+{1/(Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x, 4, ((-I)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c - I*d]*f) - Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/((I*c + d)*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]) + (2*d*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((c^2 + d^2)*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x, 5, ((-I/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*Sqrt[c - I*d]*f) - Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/(3*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (((3*I)*c - 7*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(6*a*(c + I*d)^2*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x, 6, ((-I/4)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a^(5/2)*Sqrt[c - I*d]*f) - Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/(5*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (((5*I)*c - 13*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(30*a*(c + I*d)^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((15*c^2 + (50*I)*c*d - 67*d^2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(60*a^2*(I*c - d)^3*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 8, (2*(-1)^(1/4)*a^(5/2)*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Sqrt[d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(d^(3/2)*f) - ((4*I)*Sqrt[2]*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(3/2)*f) + (2*a^2*(c + I*d)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/((c - I*d)*d*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, ((-2*I)*Sqrt[2]*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(3/2)*f) - (2*a*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/((I*c + d)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, ((-I)*Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(3/2)*f) - (2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/((c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/(Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 5, -((I*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*(c - I*d)^(3/2)*f)) - 1/((I*c - d)*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + ((c - 3*I*d)*d*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(a*(c - I*d)*(c + I*d)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 6, ((-I/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - I*d)^(3/2)*f) - 1/(3*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + ((3*I)*c - 11*d)/(6*a*(c + I*d)^2*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + ((3*c - (5*I)*d)*(c + (5*I)*d)*d*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(6*a^2*(c - I*d)*(c + I*d)^3*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 7, ((-I/4)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a^(5/2)*(c - I*d)^(3/2)*f) - 1/(5*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + ((5*I)*c - 17*d)/(30*a*(c + I*d)^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + (15*c^2 + (70*I)*c*d - 151*d^2)/(60*a^2*(I*c - d)^3*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + (d*(15*c^3 + (65*I)*c^2*d - 117*c*d^2 + (317*I)*d^3)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(60*a^3*(c - I*d)*(c + I*d)^4*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 4, ((-4*I)*Sqrt[2]*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(5/2)*f) - (2*a*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*(I*c + d)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((4*I)*a^2*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/((c - I*d)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 4, ((-2*I)*Sqrt[2]*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(5/2)*f) - (2*d*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((2*I)*a*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/((c - I*d)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 5, ((-I)*Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(5/2)*f) - (2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(3*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*(5*c + I*d)*d*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(3*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/(Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 6, -((I*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*(c - I*d)^(5/2)*f)) - 1/((I*c - d)*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (d*(3*I*c + 5*d)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(3*a*(I*c - d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((3*c - I*d)*(c - 7*I*d)*d*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(3*a*(c - I*d)^2*(c + I*d)^3*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 7, ((-I/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - I*d)^(5/2)*f) - 1/(3*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (I*c - 5*d)/(2*a*(c + I*d)^2*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (d*(3*c^2 + (14*I)*c*d + 21*d^2)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(6*a^2*(c - I*d)*(c + I*d)^3*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((c - (3*I)*d)*d*(3*c^2 + (22*I)*c*d + 13*d^2)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(6*a^2*(c - I*d)^2*(c + I*d)^4*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 8, ((-I/4)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a^(5/2)*(c - I*d)^(5/2)*f) - 1/(5*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((5*I)*c - 21*d)/(30*a*(c + I*d)^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (5*c^2 + (30*I)*c*d - 89*d^2)/(20*a^2*(I*c - d)^3*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (d*(15*c^3 + (85*I)*c^2*d - 221*c*d^2 + (361*I)*d^3)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(60*a^3*(c - I*d)*(c + I*d)^4*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (d*(15*c^4 + (80*I)*c^3*d - 182*c^2*d^2 + (1224*I)*c*d^3 + 707*d^4)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(60*a^3*(c - I*d)^2*(c + I*d)^5*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^n, x, 3, -((1/(2*f*m))*((I*AppellF1[m, -n, 1, 1 + m, -((d*(1 + I*Tan[e + f*x]))/(I*c - d)), (1/2)*(1 + I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^n)/((c + d*Tan[e + f*x])/(c + I*d))^n))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^n, x, 4, (a^3*(I*c - d*(5 + 2*n))*(c + d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d^2*f*(1 + n)*(2 + n)) + (4*a^3*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (c + d*Tan[e + f*x])/(c - I*d)]*(c + d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/((I*c + d)*f*(1 + n)) - ((a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(2 + n))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^n, x, 3, -((a^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n))) + (2*a^2*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (c + d*Tan[e + f*x])/(c - I*d)]*(c + d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/((I*c + d)*f*(1 + n))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^1*(c + d*Tan[e + f*x])^n, x, 2, (a*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (c + d*Tan[e + f*x])/(c - I*d)]*(c + d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/((I*c + d)*f*(1 + n))}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^n/(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 6, (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (c + d*Tan[e + f*x])/(c - I*d)]*(c + d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(4*a*(I*c + d)*f*(1 + n)) + ((I*c - d + 2*d*n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (c + d*Tan[e + f*x])/(c + I*d)]*(c + d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(4*a*(c + I*d)^2*f*(1 + n)) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1 + n)/(2*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^n/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 7, (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (c + d*Tan[e + f*x])/(c - I*d)]*(c + d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(8*a^2*(I*c + d)*f*(1 + n)) + ((c^2 + 2*I*c*d*(1 - n) - d^2*(1 - 4*n + 2*n^2))*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (c + d*Tan[e + f*x])/(c + I*d)]*(c + d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(8*a^2*(I*c - d)^3*f*(1 + n)) + ((I*c - d*(2 - n))*(c + d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(4*a^2*(c + I*d)^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1 + n)/(4*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^n/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 8, (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (c + d*Tan[e + f*x])/(c - I*d)]*(c + d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(16*a^3*(I*c + d)*f*(1 + n)) + ((3*I*c^3 - c^2*d*(9 - 6*n) - 3*I*c*d^2*(3 - 6*n + 2*n^2) + d^3*(3 - 20*n + 18*n^2 - 4*n^3))*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (c + d*Tan[e + f*x])/(c + I*d)]*(c + d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(48*a^3*(c + I*d)^4*f*(1 + n)) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1 + n)/(6*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + ((3*I*c - d*(7 - 2*n))*(c + d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(24*a*(c + I*d)^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + ((3*I*c^2 - 3*c*d*(3 - n) - I*d^2*(10 - 9*n + 2*n^2))*(c + d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(24*(c + I*d)^3*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 5, (-2*d*(d^2 + I*c*d*m - c^2*(3 + m))*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(f*m*(2 + m)) + ((I*c + d)^3*Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, (1 + I*Tan[e + f*x])/2]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(2*f*m) - (d^2*(d*m + I*c*(4 + m))*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(1 + m)*(2 + m)) + (d*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(f*(2 + m))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 4, (2*c*d*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(f*m) - ((I/2)*(c - I*d)^2*Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, (1 + I*Tan[e + f*x])/2]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(f*m) - (I*d^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(1 + m))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^1, x, 3, (d*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(f*m) - ((I*c + d)*Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, (1 + I*Tan[e + f*x])/2]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(2*f*m)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m/(c + d*Tan[e + f*x])^1, x, 5, (Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, (1/2)*(1 + I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(2*(I*c + d)*f*m) - (d*Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, -((d*(1 + I*Tan[e + f*x]))/(I*c - d))]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/((c^2 + d^2)*f*m)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m/(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 6, -((I*Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, (1/2)*(1 + I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(2*(c - I*d)^2*f*m)) - (d*(c*(2 - m) + I*d*m)*Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, -((d*(1 + I*Tan[e + f*x]))/(I*c - d))]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/((c^2 + d^2)^2*f*m) - (d*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/((c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m/(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 7, -((Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, (1/2)*(1 + I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(2*(I*c + d)^3*f*m)) - (d*(2*I*c*d*(3 - m)*m + c^2*(6 - 5*m + m^2) - d^2*(2 - m + m^2))*Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, -((d*(1 + I*Tan[e + f*x]))/(I*c - d))]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(2*(c^2 + d^2)^3*f*m) - (d*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(2*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - (d*(c*(4 - m) + I*d*m)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(2*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, -(((I*c - d)*AppellF1[m, -(3/2), 1, 1 + m, -((d*(1 + I*Tan[e + f*x]))/(I*c - d)), (1/2)*(1 + I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(2*f*m*Sqrt[(c + d*Tan[e + f*x])/(c + I*d)]))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 3, -((I*AppellF1[m, -(1/2), 1, 1 + m, -((d*(1 + I*Tan[e + f*x]))/(I*c - d)), (1/2)*(1 + I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(2*f*m*Sqrt[(c + d*Tan[e + f*x])/(c + I*d)]))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m/(c + d*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 3, -((I*AppellF1[m, 1/2, 1, 1 + m, -((d*(1 + I*Tan[e + f*x]))/(I*c - d)), (1/2)*(1 + I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[(c + d*Tan[e + f*x])/(c + I*d)])/(2*f*m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]))}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, (AppellF1[m, 3/2, 1, 1 + m, -((d*(1 + I*Tan[e + f*x]))/(I*c - d)), (1/2)*(1 + I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[(c + d*Tan[e + f*x])/(c + I*d)])/(2*(I*c - d)*f*m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 3, -((I*AppellF1[m, 5/2, 1, 1 + m, -((d*(1 + I*Tan[e + f*x]))/(I*c - d)), (1/2)*(1 + I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[(c + d*Tan[e + f*x])/(c + I*d)])/(2*(c + I*d)^2*f*m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n > 0*)
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x]), x, 4, (a^3*c - 3*a*b^2*c - 3*a^2*b*d + b^3*d)*x - ((3*a^2*b*c - b^3*c + a^3*d - 3*a*b^2*d)*Log[Cos[e + f*x]])/f + (b*(2*a*b*c + a^2*d - b^2*d)*Tan[e + f*x])/f + ((b*c + a*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(2*f) + (d*(a + b*Tan[e + f*x])^3)/(3*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x]), x, 3, (a^2*c - b^2*c - 2*a*b*d)*x - ((2*a*b*c + a^2*d - b^2*d)*Log[Cos[e + f*x]])/f + (b*(b*c + a*d)*Tan[e + f*x])/f + (d*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(2*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x]), x, 2, (a*c - b*d)*x - ((b*c + a*d)*Log[Cos[e + f*x]])/f + (b*d*Tan[e + f*x])/f}
+{(c + d*Tan[e + f*x])/(a + b*Tan[e + f*x]), x, 2, ((a*c + b*d)*x)/(a^2 + b^2) + ((b*c - a*d)*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*f)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 3, ((a^2*c - b^2*c + 2*a*b*d)*x)/(a^2 + b^2)^2 + ((2*a*b*c - a^2*d + b^2*d)*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^2*f) - (b*c - a*d)/((a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{(c + d*Tan[e + f*x])/(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 4, ((a^3*c - 3*a*b^2*c + 3*a^2*b*d - b^3*d)*x)/(a^2 + b^2)^3 + ((3*a^2*b*c - b^3*c - a^3*d + 3*a*b^2*d)*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^3*f) - (b*c - a*d)/(2*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2) - (2*a*b*c - a^2*d + b^2*d)/((a^2 + b^2)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 5, -((6*a^2*b*c*d - 2*b^3*c*d - a^3*(c^2 - d^2) + 3*a*b^2*(c^2 - d^2))*x) - ((2*a^3*c*d - 6*a*b^2*c*d + 3*a^2*b*(c^2 - d^2) - b^3*(c^2 - d^2))*Log[Cos[e + f*x]])/f + (2*b*(b*c + a*d)*(a*c - b*d)*Tan[e + f*x])/f + ((2*a*c*d + b*(c^2 - d^2))*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(2*f) + (2*c*d*(a + b*Tan[e + f*x])^3)/(3*f) + (d^2*(a + b*Tan[e + f*x])^4)/(4*b*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 4, (a*c - b*c - a*d - b*d)*(a*c + b*c + a*d - b*d)*x - (2*(b*c + a*d)*(a*c - b*d)*Log[Cos[e + f*x]])/f + (b*(2*a*c*d + b*(c^2 - d^2))*Tan[e + f*x])/f + (c*d*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/f + (d^2*(a + b*Tan[e + f*x])^3)/(3*b*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 3, -((2*b*c*d - a*(c^2 - d^2))*x) - ((2*a*c*d + b*(c^2 - d^2))*Log[Cos[e + f*x]])/f + (d*(b*c + a*d)*Tan[e + f*x])/f + (b*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*f)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^2/(a + b*Tan[e + f*x]), x, 4, (a*(b*c - a*d)^2*x)/(b^2*(a^2 + b^2)) + (d*(2*b*c - a*d)*x)/b^2 - (d^2*Log[Cos[e + f*x]])/(b*f) + ((b*c - a*d)^2*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/(b*(a^2 + b^2)*f)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^2/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 3, -(((b*(c - d) - a*(c + d))*(a*(c - d) + b*(c + d))*x)/(a^2 + b^2)^2) + (2*(b*c - a*d)*(a*c + b*d)*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^2*f) - (b*c - a*d)^2/(b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^2/(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 4, ((6*a^2*b*c*d - 2*b^3*c*d + a^3*(c^2 - d^2) - 3*a*b^2*(c^2 - d^2))*x)/(a^2 + b^2)^3 - ((2*a^3*c*d - 6*a*b^2*c*d - 3*a^2*b*(c^2 - d^2) + b^3*(c^2 - d^2))*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^3*f) - (b*c - a*d)^2/(2*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2) - (2*(b*c - a*d)*(a*c + b*d))/((a^2 + b^2)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 6, -((a*c - b*d)*(8*a*b*c*d - a^2*(c^2 - 3*d^2) + b^2*(3*c^2 - d^2))*x) + ((b*c + a*d)*(8*a*b*c*d + b^2*(c^2 - 3*d^2) - a^2*(3*c^2 - d^2))*Log[Cos[e + f*x]])/f + (d*(2*a^3*c*d - 6*a*b^2*c*d + 3*a^2*b*(c^2 - d^2) - b^3*(c^2 - d^2))*Tan[e + f*x])/f + ((3*a^2*b*c - b^3*c + a^3*d - 3*a*b^2*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*f) + (b*(3*a^2 - b^2)*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(3*f) - (b^2*(b*c - 11*a*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^4)/(20*d^2*f) + (b^2*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^4)/(5*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 5, -((b^2*c*(c^2 - 3*d^2) + 2*a*b*d*(3*c^2 - d^2) - a^2*(c^3 - 3*c*d^2))*x) - ((2*a*b*c*(c^2 - 3*d^2) - b^2*d*(3*c^2 - d^2) + a^2*(3*c^2*d - d^3))*Log[Cos[e + f*x]])/f + (2*d*(b*c + a*d)*(a*c - b*d)*Tan[e + f*x])/f + ((2*a*b*c + a^2*d - b^2*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*f) + (2*a*b*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(3*f) + (b^2*(c + d*Tan[e + f*x])^4)/(4*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 4, -((b*d*(3*c^2 - d^2) - a*(c^3 - 3*c*d^2))*x) - ((b*c^3 + 3*a*c^2*d - 3*b*c*d^2 - a*d^3)*Log[Cos[e + f*x]])/f + (d*(2*a*c*d + b*(c^2 - d^2))*Tan[e + f*x])/f + ((b*c + a*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*f) + (b*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(3*f)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^3/(a + b*Tan[e + f*x]), x, 5, ((a*c^3 + 3*b*c^2*d - 3*a*c*d^2 - b*d^3)*x)/(a^2 + b^2) + ((b*c^3 - 3*a*c^2*d - 3*b*c*d^2 + a*d^3)*Log[Cos[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*f) + ((b*c - a*d)^3*Log[a + b*Tan[e + f*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*f) + (d^2*(c + d*Tan[e + f*x]))/(b*f)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^3/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 5, -(((b^2*c*(c^2 - 3*d^2) - 2*a*b*d*(3*c^2 - d^2) - a^2*(c^3 - 3*c*d^2))*x)/(a^2 + b^2)^2) + ((2*a*b*c*(c^2 - 3*d^2) + b^2*d*(3*c^2 - d^2) - a^2*(3*c^2*d - d^3))*Log[Cos[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^2*f) + ((b*c - a*d)^2*(2*a*b*c + a^2*d + 3*b^2*d)*Log[a + b*Tan[e + f*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)^2*f) - ((b*c - a*d)^2*(c + d*Tan[e + f*x]))/(b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^3/(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 4, ((a*c + b*d)*(8*a*b*c*d + a^2*(c^2 - 3*d^2) - b^2*(3*c^2 - d^2))*x)/(a^2 + b^2)^3 + ((b*c - a*d)*(8*a*b*c*d - b^2*(c^2 - 3*d^2) + a^2*(3*c^2 - d^2))*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^3*f) - ((b*c - a*d)^2*(4*a*b*c + a^2*d + 5*b^2*d))/(2*b^2*(a^2 + b^2)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x])) - ((b*c - a*d)^2*(c + d*Tan[e + f*x]))/(2*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n < 0*)
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^4/(c + d*Tan[e + f*x]), x, 6, ((a^4*c - 6*a^2*b^2*c + b^4*c + 4*a^3*b*d - 4*a*b^3*d)*x)/(c^2 + d^2) - ((4*a^3*b*c - 4*a*b^3*c - a^4*d + 6*a^2*b^2*d - b^4*d)*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2 + d^2)*f) + ((b*c - a*d)^4*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^3*(c^2 + d^2)*f) - (b^3*(b*c - 3*a*d)*Tan[e + f*x])/(d^2*f) + (b^2*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(2*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3/(c + d*Tan[e + f*x]), x, 5, ((a^3*c - 3*a*b^2*c + 3*a^2*b*d - b^3*d)*x)/(c^2 + d^2) - ((3*a^2*b*c - b^3*c - a^3*d + 3*a*b^2*d)*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2 + d^2)*f) - ((b*c - a*d)^3*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^2*(c^2 + d^2)*f) + (b^2*(a + b*Tan[e + f*x]))/(d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2/(c + d*Tan[e + f*x]), x, 4, -((b*(b*c - 2*a*d)*x)/d^2) + (c*(b*c - a*d)^2*x)/(d^2*(c^2 + d^2)) - (b^2*Log[Cos[e + f*x]])/(d*f) + ((b*c - a*d)^2*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/(d*(c^2 + d^2)*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])/(c + d*Tan[e + f*x]), x, 2, ((a*c + b*d)*x)/(c^2 + d^2) - ((b*c - a*d)*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((c^2 + d^2)*f)}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])), x, 3, ((a*c - b*d)*x)/((a^2 + b^2)*(c^2 + d^2)) + (b^2*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f) - (d^2*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f)}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])), x, 4, ((a^2*c - b^2*c - 2*a*b*d)*x)/((a^2 + b^2)^2*(c^2 + d^2)) + (b^2*(2*a*b*c - 3*a^2*d - b^2*d)*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f) + (d^3*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)*f) - b^2/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])), x, 5, ((a^3*c - 3*a*b^2*c - 3*a^2*b*d + b^3*d)*x)/((a^2 + b^2)^3*(c^2 + d^2)) - (b^2*(8*a^3*b*c*d - 6*a^4*d^2 + b^4*(c^2 - d^2) - 3*a^2*b^2*(c^2 + d^2))*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^3*(b*c - a*d)^3*f) - (d^4*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)*f) - b^2/(2*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2) - (b^2*(2*a*b*c - 3*a^2*d - b^2*d))/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^4/(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 6, ((8*a^3*b*c*d - 8*a*b^3*c*d + a^4*(c^2 - d^2) - 6*a^2*b^2*(c^2 - d^2) + b^4*(c^2 - d^2))*x)/(c^2 + d^2)^2 - (2*(a^2*c - b^2*c + 2*a*b*d)*(2*a*b*c - a^2*d + b^2*d)*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2 + d^2)^2*f) - (2*(b*c - a*d)^3*(a*c*d + b*(c^2 + 2*d^2))*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^3*(c^2 + d^2)^2*f) - (b^2*(a*d*(2*b*c - a*d) - b^2*(2*c^2 + d^2))*Tan[e + f*x])/(d^2*(c^2 + d^2)*f) - ((b*c - a*d)^2*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3/(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 5, ((6*a^2*b*c*d - 2*b^3*c*d + a^3*(c^2 - d^2) - 3*a*b^2*(c^2 - d^2))*x)/(c^2 + d^2)^2 + ((2*a^3*c*d - 6*a*b^2*c*d - 3*a^2*b*(c^2 - d^2) + b^3*(c^2 - d^2))*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2 + d^2)^2*f) + ((b*c - a*d)^2*(2*a*c*d + b*(c^2 + 3*d^2))*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^2*(c^2 + d^2)^2*f) - ((b*c - a*d)^2*(a + b*Tan[e + f*x]))/(d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2/(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 3, -(((b*(c - d) - a*(c + d))*(a*(c - d) + b*(c + d))*x)/(c^2 + d^2)^2) - (2*(b*c - a*d)*(a*c + b*d)*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((c^2 + d^2)^2*f) - (b*c - a*d)^2/(d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])/(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 3, ((2*b*c*d + a*(c^2 - d^2))*x)/(c^2 + d^2)^2 + ((2*a*c*d - b*(c^2 - d^2))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((c^2 + d^2)^2*f) + (b*c - a*d)/((c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^2), x, 4, -(((2*b*c*d - a*(c^2 - d^2))*x)/((a^2 + b^2)*(c^2 + d^2)^2)) + (b^3*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^2*f) + (d^2*(2*a*c*d - b*(3*c^2 + d^2))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)^2*f) + d^2/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^2), x, 5, ((b*(c - d) + a*(c + d))*(a*(c - d) - b*(c + d))*x)/((a^2 + b^2)^2*(c^2 + d^2)^2) + (2*b^3*(a*b*c - 2*a^2*d - b^2*d)*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^3*f) - (2*d^3*(a*c*d - b*(2*c^2 + d^2))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)^2*f) - (d*(a^2*d^2 + b^2*(c^2 + 2*d^2)))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])) - b^2/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^2), x, 6, -(((6*a^2*b*c*d - 2*b^3*c*d - a^3*(c^2 - d^2) + 3*a*b^2*(c^2 - d^2))*x)/((a^2 + b^2)^3*(c^2 + d^2)^2)) - (b^3*(10*a^3*b*c*d + 2*a*b^3*c*d - 10*a^4*d^2 + b^4*(c^2 - 3*d^2) - 3*a^2*b^2*(c^2 + 3*d^2))*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^3*(b*c - a*d)^4*f) - (d^4*(5*b*c^2 - 2*a*c*d + 3*b*d^2)*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((b*c - a*d)^4*(c^2 + d^2)^2*f) + (d*(a^4*d^3 - 2*a*b^3*c*(c^2 + d^2) + 2*a^2*b^2*d*(2*c^2 + 3*d^2) + b^4*d*(2*c^2 + 3*d^2)))/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])) - b^2/(2*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])) - (b^2*(4*a*b*c - 7*a^2*d - 3*b^2*d))/(2*(a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^4/(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 6, -(((6*a^2*b^2*c*(c^2 - 3*d^2) - b^4*c*(c^2 - 3*d^2) - 4*a^3*b*d*(3*c^2 - d^2) + 4*a*b^3*d*(3*c^2 - d^2) - a^4*(c^3 - 3*c*d^2))*x)/(c^2 + d^2)^3) - ((4*a^3*b*c*(c^2 - 3*d^2) - 4*a*b^3*c*(c^2 - 3*d^2) + 6*a^2*b^2*d*(3*c^2 - d^2) - b^4*d*(3*c^2 - d^2) - a^4*(3*c^2*d - d^3))*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2 + d^2)^3*f) + ((b*c - a*d)^2*(a^2*d^2*(3*c^2 - d^2) + 2*a*b*c*d*(c^2 + 5*d^2) + b^2*(c^4 + 3*c^2*d^2 + 6*d^4))*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^3*(c^2 + d^2)^3*f) - ((b*c - a*d)^2*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(2*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) + ((b*c - a*d)^3*(2*a*c*d + b*(c^2 + 3*d^2)))/(d^3*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3/(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 4, ((a*c + b*d)*(8*a*b*c*d + a^2*(c^2 - 3*d^2) - b^2*(3*c^2 - d^2))*x)/(c^2 + d^2)^3 - ((b*c - a*d)*(8*a*b*c*d - b^2*(c^2 - 3*d^2) + a^2*(3*c^2 - d^2))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((c^2 + d^2)^3*f) - ((b*c - a*d)^2*(a + b*Tan[e + f*x]))/(2*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - ((b*c - a*d)^2*(4*a*c*d + b*(c^2 + 5*d^2)))/(2*d^2*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2/(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 4, -(((b^2*c*(c^2 - 3*d^2) - 2*a*b*d*(3*c^2 - d^2) - a^2*(c^3 - 3*c*d^2))*x)/(c^2 + d^2)^3) - ((2*a*b*c*(c^2 - 3*d^2) + b^2*d*(3*c^2 - d^2) - a^2*(3*c^2*d - d^3))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((c^2 + d^2)^3*f) - (b*c - a*d)^2/(2*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) + (2*(b*c - a*d)*(a*c + b*d))/((c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])/(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 4, ((a*c^3 + 3*b*c^2*d - 3*a*c*d^2 - b*d^3)*x)/(c^2 + d^2)^3 + ((a*d*(3*c^2 - d^2) - b*(c^3 - 3*c*d^2))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((c^2 + d^2)^3*f) + (b*c - a*d)/(2*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - (2*a*c*d - b*(c^2 - d^2))/((c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^3), x, 5, -(((b*d*(3*c^2 - d^2) - a*(c^3 - 3*c*d^2))*x)/((a^2 + b^2)*(c^2 + d^2)^3)) + (b^4*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^3*f) + (d^2*(8*a*b*c^3*d - a^2*d^2*(3*c^2 - d^2) - b^2*(6*c^4 + 3*c^2*d^2 + d^4))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)^3*f) + d^2/(2*(b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - (d^2*(2*a*c*d - b*(3*c^2 + d^2)))/((b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^3), x, 6, -(((b^2*c*(c^2 - 3*d^2) - a^2*(c^3 - 3*c*d^2) + a*b*(6*c^2*d - 2*d^3))*x)/((a^2 + b^2)^2*(c^2 + d^2)^3)) + (b^4*(2*a*b*c - 5*a^2*d - 3*b^2*d)*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^4*f) + (d^3*(a^2*d^2*(3*c^2 - d^2) - 2*a*b*c*d*(5*c^2 + d^2) + b^2*(10*c^4 + 9*c^2*d^2 + 3*d^4))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((b*c - a*d)^4*(c^2 + d^2)^3*f) - (d*(a^2*d^2 + b^2*(2*c^2 + 3*d^2)))/(2*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - b^2/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^2) + (d*(2*a^3*c*d^3 + 2*a*b^2*c*d^3 - 2*a^2*b*d^2*(2*c^2 + d^2) - b^3*(c^4 + 6*c^2*d^2 + 3*d^4)))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n > 0*)
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 10, ((I*a + b)^3*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f - ((I*a - b)^3*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*b*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f - (4*b^2*(b*c - 6*a*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(15*d^2*f) + (2*b^2*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(5*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 9, ((-I)*(a - I*b)^2*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f + (I*(a + I*b)^2*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (4*a*b*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (2*b^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 8, -(((I*a + b)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f) + ((I*a - b)*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*b*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f}
+{Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/(a + b*Tan[e + f*x]), x, 11, (Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((I*a + b)*f) - (Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((I*a - b)*f) - (2*Sqrt[b]*Sqrt[b*c - a*d]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/((a^2 + b^2)*f)}
+{Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 12, ((-I)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((a - I*b)^2*f) + (I*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((a + I*b)^2*f) - (Sqrt[b]*(4*a*b*c - 3*a^2*d + b^2*d)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/((a^2 + b^2)^2*Sqrt[b*c - a*d]*f) - (b*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 13, -((Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((I*a + b)^3*f)) + (Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((I*a - b)^3*f) + (Sqrt[b]*(40*a^3*b*c*d - 24*a*b^3*c*d - 15*a^4*d^2 - 6*a^2*b^2*(4*c^2 - 3*d^2) + b^4*(8*c^2 + d^2))*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/(4*(a^2 + b^2)^3*(b*c - a*d)^(3/2)*f) - (b*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(2*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2) - (b*(8*a*b*c - 7*a^2*d + b^2*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*(a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 11, ((I*a + b)^3*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f - ((I*a - b)^3*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*(3*a^2*b*c - b^3*c + a^3*d - 3*a*b^2*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (2*b*(3*a^2 - b^2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) - (4*b^2*(b*c - 8*a*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(35*d^2*f) + (2*b^2*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(7*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 10, ((-I)*(a - I*b)^2*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f + (I*(a + I*b)^2*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*(2*a*b*c + a^2*d - b^2*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (4*a*b*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (2*b^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 9, -(((I*a + b)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f) + ((I*a - b)*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*(b*c + a*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (2*b*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Tan[e + f*x]), x, 11, ((c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((I*a + b)*f) - ((c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((I*a - b)*f) - (2*(b*c - a*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/(Sqrt[b]*(a^2 + b^2)*f)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 12, ((-I)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((a - I*b)^2*f) + (I*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((a + I*b)^2*f) - (Sqrt[b*c - a*d]*(4*a*b*c - a^2*d + 3*b^2*d)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/(Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^2*f) - ((b*c - a*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 13, -(((c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((I*a + b)^3*f)) + ((c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((I*a - b)^3*f) + ((24*a^3*b*c*d - 40*a*b^3*c*d - 3*a^4*d^2 - 2*a^2*b^2*(12*c^2 - 13*d^2) + b^4*(8*c^2 - 3*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/(4*Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^3*Sqrt[b*c - a*d]*f) - ((b*c - a*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(2*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2) - ((8*a*b*c - 3*a^2*d + 5*b^2*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*(a^2 + b^2)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 12, ((I*a + b)^3*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f - ((I*a - b)^3*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*(2*a^3*c*d - 6*a*b^2*c*d + 3*a^2*b*(c^2 - d^2) - b^3*(c^2 - d^2))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (2*(3*a^2*b*c - b^3*c + a^3*d - 3*a*b^2*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (2*b*(3*a^2 - b^2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f) - (4*b^2*(b*c - 10*a*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(63*d^2*f) + (2*b^2*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(9*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 11, ((-I)*(a - I*b)^2*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f + (I*(a + I*b)^2*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (4*(b*c + a*d)*(a*c - b*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (2*(2*a*b*c + a^2*d - b^2*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (4*a*b*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f) + (2*b^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 10, -(((I*a + b)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f) + ((I*a - b)*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*(2*a*c*d + b*(c^2 - d^2))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (2*(b*c + a*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (2*b*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Tan[e + f*x]), x, 12, ((c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((I*a + b)*f) - ((c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((I*a - b)*f) - (2*(b*c - a*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/(b^(3/2)*(a^2 + b^2)*f) + (2*d^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(b*f)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 12, ((-I)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((a - I*b)^2*f) + (I*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((a + I*b)^2*f) - ((b*c - a*d)^(3/2)*(4*a*b*c + a^2*d + 5*b^2*d)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/(b^(3/2)*(a^2 + b^2)^2*f) - ((b*c - a*d)^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 13, -(((c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((I*a + b)^3*f)) + ((c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((I*a - b)^3*f) + (Sqrt[b*c - a*d]*(8*a^3*b*c*d - 56*a*b^3*c*d + a^4*d^2 + b^4*(8*c^2 - 15*d^2) - 6*a^2*b^2*(4*c^2 - 3*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/(4*b^(3/2)*(a^2 + b^2)^3*f) - ((b*c - a*d)^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(2*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2) - ((b*c - a*d)*(8*a*b*c + a^2*d + 9*b^2*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*b*(a^2 + b^2)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n < 0*)
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^4/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 10, -((I*(a - I*b)^4*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(Sqrt[c - I*d]*f)) + (I*(a + I*b)^4*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(Sqrt[c + I*d]*f) - (2*b^2*(40*a*b*c*d - 87*a^2*d^2 - b^2*(8*c^2 - 15*d^2))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(15*d^3*f) - (4*b^3*(2*b*c - 7*a*d)*Tan[e + f*x]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(15*d^2*f) + (2*b^2*(a + b*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(5*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 9, ((I*a + b)^3*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(Sqrt[c - I*d]*f) - ((I*a - b)^3*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(Sqrt[c + I*d]*f) - (4*b^2*(b*c - 4*a*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*d^2*f) + (2*b^2*(a + b*Tan[e + f*x])*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 8, ((-I)*(a - I*b)^2*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(Sqrt[c - I*d]*f) + (I*(a + I*b)^2*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(Sqrt[c + I*d]*f) + (2*b^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 7, -(((I*a + b)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(Sqrt[c - I*d]*f)) + ((I*a - b)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(Sqrt[c + I*d]*f)}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x, 11, ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]]/((I*a + b)*Sqrt[c - I*d]*f) - ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]]/((I*a - b)*Sqrt[c + I*d]*f) - (2*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/((a^2 + b^2)*Sqrt[b*c - a*d]*f)}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x, 12, ((-I)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((a - I*b)^2*Sqrt[c - I*d]*f) + (I*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((a + I*b)^2*Sqrt[c + I*d]*f) - (b^(3/2)*(4*a*b*c - 5*a^2*d - b^2*d)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^(3/2)*f) - (b^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^4/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 10, -((I*(a - I*b)^4*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(3/2)*f)) + (I*(a + I*b)^4*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((c + I*d)^(3/2)*f) - (2*(b*c - a*d)^2*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(d*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - (2*b*(15*a^2*b*c*d^2 - 6*a^3*d^3 - 12*a*b^2*d*(2*c^2 + d^2) + b^3*(8*c^3 + 5*c*d^2))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*d^3*(c^2 + d^2)*f) - (2*b^2*(3*a*d*(2*b*c - a*d) - b^2*(4*c^2 + d^2))*Tan[e + f*x]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*d^2*(c^2 + d^2)*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 9, ((I*a + b)^3*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(3/2)*f) - ((I*a - b)^3*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((c + I*d)^(3/2)*f) - (2*(b*c - a*d)^2*(a + b*Tan[e + f*x]))/(d*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - (2*b*(a*d*(2*b*c - a*d) - b^2*(2*c^2 + d^2))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^2*(c^2 + d^2)*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 8, ((-I)*(a - I*b)^2*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(3/2)*f) + (I*(a + I*b)^2*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((c + I*d)^(3/2)*f) - (2*(b*c - a*d)^2)/(d*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 8, -(((I*a + b)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(3/2)*f)) + ((I*a - b)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((c + I*d)^(3/2)*f) + (2*(b*c - a*d))/((c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 12, ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]]/((I*a + b)*(c - I*d)^(3/2)*f) - ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]]/((I*a - b)*(c + I*d)^(3/2)*f) - (2*b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^(3/2)*f) + (2*d^2)/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 13, ((-I)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((a - I*b)^2*(c - I*d)^(3/2)*f) + (I*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((a + I*b)^2*(c + I*d)^(3/2)*f) - (b^(5/2)*(4*a*b*c - 7*a^2*d - 3*b^2*d)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^(5/2)*f) - (d*(2*a^2*d^2 + b^2*(c^2 + 3*d^2)))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - b^2/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^4/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 10, -((I*(a - I*b)^4*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(5/2)*f)) + (I*(a + I*b)^4*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((c + I*d)^(5/2)*f) - (2*(b*c - a*d)^2*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(3*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (4*(b*c - a*d)^3*(2*b*c^2 + 3*a*c*d + 5*b*d^2))/(3*d^3*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - (2*b^2*(a*d*(2*b*c - a*d) - b^2*(4*c^2 + 3*d^2))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*d^3*(c^2 + d^2)*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 9, ((I*a + b)^3*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(5/2)*f) - ((I*a - b)^3*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((c + I*d)^(5/2)*f) - (2*(b*c - a*d)^2*(a + b*Tan[e + f*x]))/(3*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (4*(b*c - a*d)^2*(3*a*c*d + b*(c^2 + 4*d^2)))/(3*d^2*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 9, ((-I)*(a - I*b)^2*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(5/2)*f) + (I*(a + I*b)^2*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((c + I*d)^(5/2)*f) - (2*(b*c - a*d)^2)/(3*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (4*(b*c - a*d)*(a*c + b*d))/((c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 9, -(((I*a + b)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(5/2)*f)) + ((I*a - b)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((c + I*d)^(5/2)*f) + (2*(b*c - a*d))/(3*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*(2*a*c*d - b*(c^2 - d^2)))/((c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 13, ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]]/((I*a + b)*(c - I*d)^(5/2)*f) - ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]]/((I*a - b)*(c + I*d)^(5/2)*f) - (2*b^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^(5/2)*f) + (2*d^2)/(3*(b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*d^2*(2*a*c*d - b*(3*c^2 + d^2)))/((b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 14, ((-I)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((a - I*b)^2*(c - I*d)^(5/2)*f) + (I*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((a + I*b)^2*(c + I*d)^(5/2)*f) - (b^(7/2)*(4*a*b*c - 9*a^2*d - 5*b^2*d)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^(7/2)*f) - (d*(2*a^2*d^2 + b^2*(3*c^2 + 5*d^2)))/(3*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - b^2/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (d*(4*a^3*c*d^3 + 4*a*b^2*c*d^3 - 4*a^2*b*d^2*(2*c^2 + d^2) - b^3*(c^4 + 10*c^2*d^2 + 5*d^4)))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^(m/2) (c+d Tan[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n > 0*)
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 14, -((I*(a - I*b)^(5/2)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f) + (I*(a + I*b)^(5/2)*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f + (Sqrt[b]*(10*a*b*c*d + 15*a^2*d^2 - b^2*(c^2 + 8*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(4*d^(3/2)*f) - (b*(b*c - 9*a*d)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*d*f) + (b^2*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 13, -((I*(a - I*b)^(3/2)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f) + (I*(a + I*b)^(3/2)*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f + (Sqrt[b]*(b*c + 3*a*d)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[d]*f) + (b*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f}
+{Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 11, -((I*Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f) + (I*Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f + (2*Sqrt[b]*Sqrt[d]*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f}
+{Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]], x, 7, -((I*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a - I*b]*f)) + (I*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a + I*b]*f)}
+{Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 8, ((-I)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(3/2)*f) + (I*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(3/2)*f) - (2*b*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])}
+{Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 9, ((-I)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(5/2)*f) + (I*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(5/2)*f) - (2*b*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*b*(6*a*b*c - 5*a^2*d + b^2*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*(a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 14, -((I*(a - I*b)^(3/2)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f) + (I*(a + I*b)^(3/2)*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f + ((18*a*b*c*d + 3*a^2*d^2 + b^2*(3*c^2 - 8*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(4*Sqrt[b]*Sqrt[d]*f) + ((3*b*c + 5*a*d)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*f) + (b*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*f)}
+{Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 13, -((I*Sqrt[a - I*b]*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f) + (I*Sqrt[a + I*b]*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f + (Sqrt[d]*(3*b*c + a*d)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[b]*f) + (d*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]], x, 12, -((I*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a - I*b]*f)) + (I*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a + I*b]*f) + (2*d^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[b]*f)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 8, ((-I)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(3/2)*f) + (I*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(3/2)*f) - (2*(b*c - a*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 9, ((-I)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(5/2)*f) + (I*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(5/2)*f) - (2*(b*c - a*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (4*(3*a*b*c - a^2*d + 2*b^2*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*(a^2 + b^2)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 10, -((I*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(7/2)*f)) + (I*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(7/2)*f) - (2*(b*c - a*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(5*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (4*(5*a*b*c - 2*a^2*d + 3*b^2*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(15*(a^2 + b^2)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*(50*a^3*b*c*d - 70*a*b^3*c*d - 8*a^4*d^2 - a^2*b^2*(45*c^2 - 49*d^2) + 3*b^4*(5*c^2 - d^2))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(15*(a^2 + b^2)^3*(b*c - a*d)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 15, -((I*(a - I*b)^(3/2)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f) + (I*(a + I*b)^(3/2)*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f + ((15*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3 + 3*a*b^2*d*(15*c^2 - 8*d^2) + 5*b^3*(c^3 - 8*c*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(8*b^(3/2)*Sqrt[d]*f) + ((14*a*b*c*d - a^2*d^2 + b^2*(11*c^2 - 8*d^2))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(8*b*f) + (d*(13*b*c - a*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(12*b*f) + (d^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*b*f)}
+{Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 14, -((I*Sqrt[a - I*b]*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f) + (I*Sqrt[a + I*b]*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f + (Sqrt[d]*(10*a*b*c*d - a^2*d^2 + b^2*(15*c^2 - 8*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(4*b^(3/2)*f) + (d*(9*b*c - a*d)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*b*f) + (d^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(2*b*f)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]], x, 13, -((I*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a - I*b]*f)) + (I*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a + I*b]*f) + (d^(3/2)*(5*b*c - a*d)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(b^(3/2)*f) + (d^2*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(b*f)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 13, -((I*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(3/2)*f)) + (I*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(3/2)*f) + (2*d^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(b^(3/2)*f) - (2*(b*c - a*d)^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(b*(a^2 + b^2)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 9, ((-I)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(5/2)*f) + (I*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(5/2)*f) - (2*(b*c - a*d)^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*(b*c - a*d)*(6*a*b*c + a^2*d + 7*b^2*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*b*(a^2 + b^2)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 10, -((I*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(7/2)*f)) + (I*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(7/2)*f) - (2*(b*c - a*d)^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(5*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (2*(b*c - a*d)*(10*a*b*c + a^2*d + 11*b^2*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(15*b*(a^2 + b^2)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*(20*a^3*b*c*d - 100*a*b^3*c*d + 2*a^4*d^2 + b^4*(15*c^2 - 23*d^2) - 3*a^2*b^2*(15*c^2 - 13*d^2))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(15*b*(a^2 + b^2)^3*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n < 0*)
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 13, -((I*(a - I*b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c - I*d]*f)) + (I*(a + I*b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c + I*d]*f) - (b^(3/2)*(b*c - 5*a*d)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(d^(3/2)*f) + (b^2*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 12, -((I*(a - I*b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c - I*d]*f)) + (I*(a + I*b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c + I*d]*f) + (2*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[d]*f)}
+{Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 7, -((I*Sqrt[a - I*b]*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c - I*d]*f)) + (I*Sqrt[a + I*b]*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c + I*d]*f)}
+{1/(Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x, 7, -((I*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c - I*d]*f)) + (I*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + I*d]*f)}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x, 8, ((-I)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(3/2)*Sqrt[c - I*d]*f) + (I*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(3/2)*Sqrt[c + I*d]*f) - (2*b^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x, 9, ((-I)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(5/2)*Sqrt[c - I*d]*f) + (I*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(5/2)*Sqrt[c + I*d]*f) - (2*b^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (4*b^2*(3*a*b*c - 4*a^2*d - b^2*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*(a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^(7/2)/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 14, -((I*(a - I*b)^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(3/2)*f)) + (I*(a + I*b)^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c + I*d)^(3/2)*f) - (b^(5/2)*(3*b*c - 7*a*d)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(d^(5/2)*f) - (2*(b*c - a*d)^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(d*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - (b*(2*a*d*(2*b*c - a*d) - b^2*(3*c^2 + d^2))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^2*(c^2 + d^2)*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 13, -((I*(a - I*b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(3/2)*f)) + (I*(a + I*b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c + I*d)^(3/2)*f) + (2*b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(d^(3/2)*f) - (2*(b*c - a*d)^2*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(d*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 8, ((-I)*(a - I*b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(3/2)*f) + (I*(a + I*b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c + I*d)^(3/2)*f) + (2*(b*c - a*d)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/((c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 8, ((-I)*Sqrt[a - I*b]*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(3/2)*f) + (I*Sqrt[a + I*b]*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c + I*d)^(3/2)*f) - (2*d*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/((c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/(Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 8, ((-I)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a - I*b]*(c - I*d)^(3/2)*f) + (I*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a + I*b]*(c + I*d)^(3/2)*f) + (2*d^2*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 9, ((-I)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(3/2)*(c - I*d)^(3/2)*f) + (I*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(3/2)*(c + I*d)^(3/2)*f) - (2*b^2)/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - (2*d*(a^2*d^2 + b^2*(c^2 + 2*d^2))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 10, ((-I)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(5/2)*(c - I*d)^(3/2)*f) + (I*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(5/2)*(c + I*d)^(3/2)*f) - (2*b^2)/(3*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - (4*b^2*(3*a*b*c - 5*a^2*d - 2*b^2*d))/(3*(a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + (2*d*(3*a^4*d^3 - 6*a*b^3*c*(c^2 + d^2) + b^4*d*(5*c^2 + 8*d^2) + a^2*b^2*d*(11*c^2 + 17*d^2))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*(a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^(9/2)/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 15, -((I*(a - I*b)^(9/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(5/2)*f)) + (I*(a + I*b)^(9/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c + I*d)^(5/2)*f) - (b^(7/2)*(5*b*c - 9*a*d)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(d^(7/2)*f) - (2*(b*c - a*d)^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2))/(3*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*(b*c - a*d)^2*(5*b*c^2 + 6*a*c*d + 11*b*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*d^2*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + (b*(4*a^3*c*d^3 - 4*a^2*b*d^2*(c^2 - 2*d^2) - 4*a*b^2*c*d*(c^2 + 4*d^2) + b^3*(5*c^4 + 10*c^2*d^2 + d^4))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^3*(c^2 + d^2)^2*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^(7/2)/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 14, -((I*(a - I*b)^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(5/2)*f)) + (I*(a + I*b)^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c + I*d)^(5/2)*f) + (2*b^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(d^(5/2)*f) - (2*(b*c - a*d)^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*(b*c - a*d)^2*(2*a*c*d + b*(c^2 + 3*d^2))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(d^2*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 9, ((-I)*(a - I*b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(5/2)*f) + (I*(a + I*b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c + I*d)^(5/2)*f) - (2*(b*c - a*d)^2*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*(b*c - a*d)*(6*a*c*d + b*(c^2 + 7*d^2))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*d*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 9, -((I*(a - I*b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(5/2)*f)) + (I*(a + I*b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c + I*d)^(5/2)*f) + (2*(b*c - a*d)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (4*(b*c^2 - 3*a*c*d - 2*b*d^2)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 9, ((-I)*Sqrt[a - I*b]*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(5/2)*f) + (I*Sqrt[a + I*b]*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c + I*d)^(5/2)*f) - (2*d*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*d*(6*a*c*d - b*(5*c^2 - d^2))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*(b*c - a*d)*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/(Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 9, ((-I)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a - I*b]*(c - I*d)^(5/2)*f) + (I*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a + I*b]*(c + I*d)^(5/2)*f) + (2*d^2*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*(b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (4*d^2*(3*a*c*d - b*(4*c^2 + d^2))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 10, -((I*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(3/2)*(c - I*d)^(5/2)*f)) + (I*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(3/2)*(c + I*d)^(5/2)*f) - (2*b^2)/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*d*(a^2*d^2 + b^2*(3*c^2 + 4*d^2))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*(6*a^3*c*d^4 + 6*a*b^2*c*d^4 - a^2*b*d^3*(11*c^2 + 5*d^2) - b^3*(3*c^4*d + 17*c^2*d^3 + 8*d^5))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/((a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 11, ((-I)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(5/2)*(c - I*d)^(5/2)*f) + (I*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(5/2)*(c + I*d)^(5/2)*f) - (2*b^2)/(3*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (4*b^2*(a*b*c - 2*a^2*d - b^2*d))/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*d*(a^4*d^3 - 6*a*b^3*c*(c^2 + d^2) + b^4*d*(7*c^2 + 8*d^2) + a^2*b^2*d*(13*c^2 + 15*d^2))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*(a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (4*d*(3*a^5*c*d^4 + 6*a^3*b^2*c*d^4 - a^4*b*d^3*(7*c^2 + 4*d^2) + 3*a*b^4*c*(c^4 + 2*c^2*d^2 + 2*d^4) - b^5*d*(4*c^4 + 15*c^2*d^2 + 8*d^4) - a^2*b^3*d*(7*c^4 + 28*c^2*d^2 + 15*d^4))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*(a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^4*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^n with m and/or n symbolic*)
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^n, x, 7, (AppellF1[1 + m, -n, 1, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)), (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*(c + d*Tan[e + f*x])^n)/(((b*(c + d*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d))^n*(2*(I*a + b)*f*(1 + m))) - (AppellF1[1 + m, -n, 1, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)), (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*(c + d*Tan[e + f*x])^n)/(((b*(c + d*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d))^n*(2*(I*a - b)*f*(1 + m)))}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 7, (d^2*(3*b*c - a*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(b^2*f*(1 + m)) + ((I*c + d)^3*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(a - I*b)*f*(1 + m)) - ((I*c - d)^3*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(a + I*b)*f*(1 + m)) + (d^3*(a + b*Tan[e + f*x])^(2 + m))/(b^2*f*(2 + m)), -((d^2*(a*d - b*c*(5 + 2*m))*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(b^2*f*(1 + m)*(2 + m))) + ((c - I*d)^3*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a + b)*f*(1 + m)) - ((I*c - d)^3*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(a + I*b)*f*(1 + m)) + (d^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*(c + d*Tan[e + f*x]))/(b*f*(2 + m))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 6, (d^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(b*f*(1 + m)) + ((c - I*d)^2*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a + b)*f*(1 + m)) - ((c + I*d)^2*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a - b)*f*(1 + m))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^1, x, 5, ((c - I*d)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a + b)*f*(1 + m)) + ((I*c - d)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(a + I*b)*f*(1 + m))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^0, x, 5, (b*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - Sqrt[-b^2])]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*Sqrt[-b^2]*(a - Sqrt[-b^2])*f*(1 + m)) - (b*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a + Sqrt[-b^2])]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*Sqrt[-b^2]*(a + Sqrt[-b^2])*f*(1 + m))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m/(c + d*Tan[e + f*x])^1, x, 8, If[$VersionNumber>=8, (Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a + b)*(c - I*d)*f*(1 + m)) - (Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(a + I*b)*(I*c - d)*f*(1 + m)) + (d^2*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d))]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*(1 + m)), (Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a + b)*(c - I*d)*f*(1 + m)) - (Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a - b)*(c + I*d)*f*(1 + m)) + (d^2*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d))]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*(1 + m))]}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m/(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 9, (Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a + b)*(c - I*d)^2*f*(1 + m)) - (Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a - b)*(c + I*d)^2*f*(1 + m)) - (d^2*(2*a*c*d - b*(c^2*(2 - m) - d^2*m))*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d))]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/((b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)^2*f*(1 + m)) + (d^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m/(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 10, (Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a + b)*(c - I*d)^3*f*(1 + m)) + (Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(a + I*b)*(I*c - d)^3*f*(1 + m)) + (d^2*(2*a^2*d^2*(3*c^2 - d^2) - 4*a*b*c*d*(c^2*(3 - m) - d^2*(1 + m)) - b^2*(d^4*(1 - m)*m + 2*c^2*d^2*(1 + 3*m - m^2) - c^4*(6 - 5*m + m^2)))*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d))]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)^3*f*(1 + m)) + (d^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - (d^2*(4*a*c*d - b*(d^2*(1 - m) + c^2*(5 - m)))*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 7, ((b*c - a*d)*AppellF1[1 + m, -(3/2), 1, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)), (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(2*b*(I*a + b)*f*(1 + m)*Sqrt[(b*(c + d*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)]) - ((b*c - a*d)*AppellF1[1 + m, -(3/2), 1, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)), (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(2*(I*a - b)*b*f*(1 + m)*Sqrt[(b*(c + d*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 7, (AppellF1[1 + m, -(1/2), 1, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)), (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(2*(I*a + b)*f*(1 + m)*Sqrt[(b*(c + d*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)]) - (AppellF1[1 + m, -(1/2), 1, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)), (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(2*(I*a - b)*f*(1 + m)*Sqrt[(b*(c + d*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 7, (AppellF1[1 + m, 1/2, 1, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)), (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[(b*(c + d*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)])/(2*(I*a + b)*f*(1 + m)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - (AppellF1[1 + m, 1/2, 1, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)), (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[(b*(c + d*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)])/(2*(I*a - b)*f*(1 + m)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 7, (b*AppellF1[1 + m, 3/2, 1, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)), (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[(b*(c + d*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)])/(2*(I*a + b)*(b*c - a*d)*f*(1 + m)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - (b*AppellF1[1 + m, 3/2, 1, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)), (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[(b*(c + d*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)])/(2*(I*a - b)*(b*c - a*d)*f*(1 + m)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 7, (b^2*AppellF1[1 + m, 5/2, 1, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)), (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[(b*(c + d*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)])/(2*(I*a + b)*(b*c - a*d)^2*f*(1 + m)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - (b^2*AppellF1[1 + m, 5/2, 1, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)), (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[(b*(c + d*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)])/(2*(I*a - b)*(b*c - a*d)^2*f*(1 + m)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (c (d Tan[e+f x])^p)^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (c (d Tan[e+f x])^p)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Tan[e+f x])^m (c (d Tan[e+f x])^p)^n with n and p symbolic*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n, x, 4, (AppellF1[1 + n*p, 1 - m, 1, 2 + n*p, (-I)*Tan[e + f*x], I*Tan[e + f*x]]*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/((1 + I*Tan[e + f*x])^m*(f*(1 + n*p)))}
+
+
+{(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 8, -((3*a^3*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(f*(1 + n*p))) + (4*a^3*Hypergeometric2F1[1, 1 + n*p, 2 + n*p, I*Tan[e + f*x]]*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(f*(1 + n*p)) - (I*a^3*Tan[e + f*x]^2*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(f*(2 + n*p))}
+{(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 5, -((a^2*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(f*(1 + n*p))) + (2*a^2*Hypergeometric2F1[1, 1 + n*p, 2 + n*p, I*Tan[e + f*x]]*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(f*(1 + n*p))}
+{(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n*(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 4, (a*Hypergeometric2F1[1, 1 + n*p, 2 + n*p, I*Tan[e + f*x]]*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(f*(1 + n*p))}
+{(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n/(a + I*a*Tan[e + f*x])^1, x, 8, (Hypergeometric2F1[2, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(a*f*(1 + n*p)) - (I*Hypergeometric2F1[2, (1/2)*(2 + n*p), (1/2)*(4 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^2*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(a*f*(2 + n*p))}
+{(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 8, ((1 - 4*n*p + 2*n^2*p^2)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n*p, 2 + n*p, (-I)*Tan[e + f*x]]*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(8*a^2*f*(1 + n*p)) + (Hypergeometric2F1[1, 1 + n*p, 2 + n*p, I*Tan[e + f*x]]*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(8*a^2*f*(1 + n*p)) + (Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(4*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2) + ((2 - n*p)*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(4*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (c (d Tan[e+f x])^p)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (c (d Tan[e+f x])^p)^n with n and p symbolic*)
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n, x, 8, (AppellF1[1 + n*p, -m, 1, 2 + n*p, -((b*Tan[e + f*x])/a), (-I)*Tan[e + f*x]]*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n*(a + b*Tan[e + f*x])^m)/((1 + (b*Tan[e + f*x])/a)^m*(2*f*(1 + n*p))) + (AppellF1[1 + n*p, -m, 1, 2 + n*p, -((b*Tan[e + f*x])/a), I*Tan[e + f*x]]*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n*(a + b*Tan[e + f*x])^m)/((1 + (b*Tan[e + f*x])/a)^m*(2*f*(1 + n*p)))}
+
+
+{(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n*(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 7, (3*a*b^2*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(f*(1 + n*p)) + (a*(a^2 - 3*b^2)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(f*(1 + n*p)) + (b^3*Tan[e + f*x]^2*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(f*(2 + n*p)) + (b*(3*a^2 - b^2)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(2 + n*p), (1/2)*(4 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^2*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(f*(2 + n*p))}
+{(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n*(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 7, (b^2*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(f*(1 + n*p)) + ((a^2 - b^2)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(f*(1 + n*p)) + (2*a*b*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(2 + n*p), (1/2)*(4 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^2*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(f*(2 + n*p))}
+{(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n*(a + b*Tan[e + f*x])^1, x, 5, (a*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(f*(1 + n*p)) + (b*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(2 + n*p), (1/2)*(4 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^2*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(f*(2 + n*p))}
+{(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n/(a + b*Tan[e + f*x])^1, x, 8, (a*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/((a^2 + b^2)*f*(1 + n*p)) + (b^2*Hypergeometric2F1[1, 1 + n*p, 2 + n*p, -((b*Tan[e + f*x])/a)]*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(a*(a^2 + b^2)*f*(1 + n*p)) - (b*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(2 + n*p), (1/2)*(4 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^2*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/((a^2 + b^2)*f*(2 + n*p))}
+{(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 9, ((a^2 - b^2)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/((a^2 + b^2)^2*f*(1 + n*p)) + (2*b^2*Hypergeometric2F1[1, 1 + n*p, 2 + n*p, -((b*Tan[e + f*x])/a)]*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/((a^2 + b^2)^2*f*(1 + n*p)) + (b^2*Hypergeometric2F1[2, 1 + n*p, 2 + n*p, -((b*Tan[e + f*x])/a)]*Tan[e + f*x]*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/(a^2*(a^2 + b^2)*f*(1 + n*p)) - (2*a*b*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(2 + n*p), (1/2)*(4 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^2*(c*(d*Tan[e + f*x])^p)^n)/((a^2 + b^2)^2*f*(2 + n*p))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.3.1 (a+b tan)^m (c+d tan)^n (A+B tan).m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.3.1 (a+b tan)^m (c+d tan)^n (A+B tan).m
new file mode 100644
index 00000000..ce33e649
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.3.1 (a+b tan)^m (c+d tan)^n (A+B tan).m	
@@ -0,0 +1,1420 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n (A+B Tan[e+f x])*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^m (a+a I Tan[e+f x])^n (A+B Tan[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^m (A+B Tan[c+d x]) (a+i a Tan[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, -(a*(A - I*B)*x) + (a*(I*A + B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a*(A - I*B)*Tan[c + d*x])/d + (a*(I*A + B)*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) + ((I/3)*a*B*Tan[c + d*x]^3)/d}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 3, -(a*(I*A + B)*x) - (a*(A - I*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a*(I*A + B)*Tan[c + d*x])/d + ((I/2)*a*B*Tan[c + d*x]^2)/d}
+{Tan[c + d*x]^0*(a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 2, a*(A - I*B)*x - (a*(I*A + B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + I*a*B*Tan[c + d*x]/d}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, a*(I*A + B)*x - (I*a*B*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a*A*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 3, -(a*(A - I*B)*x) - (a*A*Cot[c + d*x])/d + (a*(I*A + B)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, -(a*(I*A + B)*x) - (a*(I*A + B)*Cot[c + d*x])/d - (a*A*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*(A - I*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, a*(A - I*B)*x + (a*(A - I*B)*Cot[c + d*x])/d - (a*(I*A + B)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*(I*A + B)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, a*(I*A + B)*x + (a*(I*A + B)*Cot[c + d*x])/d + (a*(A - I*B)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*(I*A + B)*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^4)/(4*d) + (a*(A - I*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+
+
+{Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, -2*a^2*(A - I*B)*x + (2*a^2*(I*A + B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (2*a^2*(A - I*B)*Tan[c + d*x])/d + (a^2*(I*A + B)*Tan[c + d*x]^2)/d - (a^2*(4*A - (5*I)*B)*Tan[c + d*x]^3)/(12*d) + ((I/4)*B*Tan[c + d*x]^3*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/d}
+{Tan[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, -2*a^2*(I*A + B)*x - (2*a^2*(A - I*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*(I*A + B)*Tan[c + d*x])/d + (A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) - ((I/3)*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(a*d)}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 3, 2*a^2*(A - I*B)*x - (2*a^2*(I*A + B)*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a^2*(A - I*B)*Tan[c + d*x])/d + (B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, 2*a^2*(I*A + B)*x + (a^2*(A - (2*I)*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*A*Log[Sin[c + d*x]])/d + (I*B*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, -2*a^2*(A - I*B)*x + (a^2*B*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*((2*I)*A + B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (A*Cot[c + d*x]*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, -2*a^2*(I*A + B)*x - (a^2*((3*I)*A + 2*B)*Cot[c + d*x])/(2*d) - (2*a^2*(A - I*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (A*Cot[c + d*x]^2*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, 2*a^2*(A - I*B)*x + (2*a^2*(A - I*B)*Cot[c + d*x])/d - (a^2*((4*I)*A + 3*B)*Cot[c + d*x]^2)/(6*d) - (2*a^2*(I*A + B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (A*Cot[c + d*x]^3*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, 2*a^2*(I*A + B)*x + (2*a^2*(I*A + B)*Cot[c + d*x])/d + (a^2*(A - I*B)*Cot[c + d*x]^2)/d - (a^2*((5*I)*A + 4*B)*Cot[c + d*x]^3)/(12*d) + (2*a^2*(A - I*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (A*Cot[c + d*x]^4*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(4*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, -4*a^3*(A - I*B)*x + (4*a^3*(I*A + B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (4*a^3*(A - I*B)*Tan[c + d*x])/d + (2*a^3*(I*A + B)*Tan[c + d*x]^2)/d - (a^3*(45*A - (47*I)*B)*Tan[c + d*x]^3)/(60*d) + ((I/5)*a*B*Tan[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/d - ((5*A - (7*I)*B)*Tan[c + d*x]^3*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(20*d)}
+{Tan[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, -4*a^3*(I*A + B)*x - (4*a^3*(A - I*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (2*a^3*(I*A + B)*Tan[c + d*x])/d + (a*(A - I*B)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + (A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) - ((I/4)*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4)/(a*d)}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, 4*a^3*(A - I*B)*x - (4*a^3*(I*A + B)*Log[Cos[c + d*x]])/d - (2*a^3*(A - I*B)*Tan[c + d*x])/d + (a*(I*A + B)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + (B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, 4*a^3*(I*A + B)*x + (a^3*(3*A - (4*I)*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^3*A*Log[Sin[c + d*x]])/d + ((I/2)*a*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/d - ((A - (2*I)*B)*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, -4*a^3*(A - I*B)*x + (a^3*(I*A + 3*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^3*(3*I*A + B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*A*Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/d + ((I*A - B)*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, -4*a^3*(I*A + B)*x + (I*a^3*B*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a^3*(4*A - (3*I)*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*A*Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) - (((2*I)*A + B)*Cot[c + d*x]*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, 4*a^3*(A - I*B)*x + (a^3*(17*A - (15*I)*B)*Cot[c + d*x])/(6*d) - (4*a^3*(I*A + B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*A*Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(3*d) - (((5*I)*A + 3*B)*Cot[c + d*x]^2*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(6*d)}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, 4*a^3*(I*A + B)*x + (4*a^3*(I*A + B)*Cot[c + d*x])/d + (a^3*(15*A - (14*I)*B)*Cot[c + d*x]^2)/(12*d) + (4*a^3*(A - I*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*A*Cot[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(4*d) - (((3*I)*A + 2*B)*Cot[c + d*x]^3*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(6*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, -4*a^3*(A - I*B)*x - (4*a^3*(A - I*B)*Cot[c + d*x])/d + (2*a^3*(I*A + B)*Cot[c + d*x]^2)/d + (a^3*(47*A - (45*I)*B)*Cot[c + d*x]^3)/(60*d) + (4*a^3*(I*A + B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*A*Cot[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(5*d) - (((7*I)*A + 5*B)*Cot[c + d*x]^4*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(20*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, -8*a^4*(A - I*B)*x + (8*a^4*(I*A + B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (8*a^4*(A - I*B)*Tan[c + d*x])/d + (4*a^4*(I*A + B)*Tan[c + d*x]^2)/d - (a^4*(92*A - (93*I)*B)*Tan[c + d*x]^3)/(60*d) + ((I/6)*a*B*Tan[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/d - ((2*A - (3*I)*B)*Tan[c + d*x]^3*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(10*d) - ((12*A - (13*I)*B)*Tan[c + d*x]^3*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(20*d)}
+{Tan[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, -8*a^4*(I*A + B)*x - (8*a^4*(A - I*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (4*a^4*(I*A + B)*Tan[c + d*x])/d + (a*(A - I*B)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) + (A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4)/(4*d) - ((I/5)*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^5)/(a*d) + ((A - I*B)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/d}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, 8*a^4*(A - I*B)*x - (8*a^4*(I*A + B)*Log[Cos[c + d*x]])/d - (4*a^4*(A - I*B)*Tan[c + d*x])/d + (a*(I*A + B)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) + (B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4)/(4*d) + ((I*A + B)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/d}
+{Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, 8*a^4*(I*A + B)*x + (a^4*(7*A - (8*I)*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^4*A*Log[Sin[c + d*x]])/d + ((I/3)*a*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/d - ((A - (2*I)*B)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) - ((3*A - (4*I)*B)*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, -8*a^4*(A - I*B)*x + (a^4*(4*I*A + 7*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^4*(4*I*A + B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*A*Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/d + ((2*I*A - B)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) - (3*B*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, -8*a^4*(I*A + B)*x - (a^4*(A - (4*I)*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a^4*(7*A - (4*I)*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*A*Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(2*d) - (((5*I)*A + 2*B)*Cot[c + d*x]*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) - (3*A*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, 8*a^4*(A - I*B)*x - (a^4*B*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a^4*((8*I)*A + 7*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*A*Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) - (((2*I)*A + B)*Cot[c + d*x]^2*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + ((4*A - (3*I)*B)*Cot[c + d*x]*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/d}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, 8*a^4*(I*A + B)*x + (a^4*((67*I)*A + 64*B)*Cot[c + d*x])/(12*d) + (8*a^4*(A - I*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*A*Cot[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(4*d) - (((7*I)*A + 4*B)*Cot[c + d*x]^3*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(12*d) + ((19*A - (16*I)*B)*Cot[c + d*x]^2*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(12*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, -8*a^4*(A - I*B)*x - (8*a^4*(A - I*B)*Cot[c + d*x])/d + (a^4*((148*I)*A + 145*B)*Cot[c + d*x]^2)/(60*d) + (8*a^4*(I*A + B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*A*Cot[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(5*d) - (((8*I)*A + 5*B)*Cot[c + d*x]^4*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(20*d) + ((28*A - (25*I)*B)*Cot[c + d*x]^3*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(30*d)}
+{Cot[c + d*x]^7*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 8, -8*a^4*(I*A + B)*x - (8*a^4*(I*A + B)*Cot[c + d*x])/d - (4*a^4*(A - I*B)*Cot[c + d*x]^2)/d + (a^4*((93*I)*A + 92*B)*Cot[c + d*x]^3)/(60*d) - (8*a^4*(A - I*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*A*Cot[c + d*x]^6*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(6*d) - (((3*I)*A + 2*B)*Cot[c + d*x]^5*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(10*d) + ((13*A - (12*I)*B)*Cot[c + d*x]^4*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(20*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Tan[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 4, (3*(I*A - B)*x)/(2*a) - ((A + 2*I*B)*Log[Cos[c + d*x]])/(a*d) - (3*(I*A - B)*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - ((A + 2*I*B)*Tan[c + d*x]^2)/(2*a*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^3)/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, ((A + 3*I*B)*x)/(2*a) + ((I*A - B)*Log[Cos[c + d*x]])/(a*d) - ((A + 3*I*B)*Tan[c + d*x])/(2*a*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^2)/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 5, -(((I*A - B)*x)/(2*a)) + (I*B*Log[Cos[c + d*x]])/(a*d) - (A + I*B)/(2*a*d*(1 + I*Tan[c + d*x]))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 2, ((A - I*B)*x)/(2*a) + (I*A - B)/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{(Cot[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 3, -(((I*A - B)*x)/(2*a)) + (A*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d) + (A + I*B)/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{(Cot[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 4, -(((3*A + I*B)*x)/(2*a)) - ((3*A + I*B)*Cot[c + d*x])/(2*a*d) - ((I*A - B)*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x])/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{(Cot[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 5, (3*(I*A - B)*x)/(2*a) + (3*(I*A - B)*Cot[c + d*x])/(2*a*d) - ((2*A + I*B)*Cot[c + d*x]^2)/(2*a*d) - ((2*A + I*B)*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{(Cot[c + d*x]^4*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 6, ((5*A + 3*I*B)*x)/(2*a) + ((5*A + 3*I*B)*Cot[c + d*x])/(2*a*d) + ((I*A - B)*Cot[c + d*x]^2)/(a*d) - ((5*A + 3*I*B)*Cot[c + d*x]^3)/(6*a*d) + (2*(I*A - B)*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x]^3)/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, -((3*(I*A - 3*B)*x)/(4*a^2)) + ((A + 2*I*B)*Log[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) + (3*(I*A - 3*B)*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d) + ((A + 2*I*B)*Tan[c + d*x]^2)/(2*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^3)/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{(Tan[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 6, -(((A + 3*I*B)*x)/(4*a^2)) + (B*Log[Cos[c + d*x]])/(a^2*d) + (I*A - 3*B)/(4*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^2)/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{(Tan[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -(((I*A + B)*x)/(4*a^2)) + (A + 3*I*B)/(4*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) - (A + I*B)/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, ((A - I*B)*x)/(4*a^2) + (I*A - B)/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (I*A + B)/(4*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))}
+{(Cot[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 4, -(((3*I*A - B)*x)/(4*a^2)) + (A*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (3*A + I*B)/(4*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + (A + I*B)/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{(Cot[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 5, -((3*(3*A + I*B)*x)/(4*a^2)) - (3*(3*A + I*B)*Cot[c + d*x])/(4*a^2*d) - ((2*I*A - B)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + ((2*A + I*B)*Cot[c + d*x])/(2*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x])/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{(Cot[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 6, (3*(5*I*A - 3*B)*x)/(4*a^2) + (3*(5*I*A - 3*B)*Cot[c + d*x])/(4*a^2*d) - ((2*A + I*B)*Cot[c + d*x]^2)/(a^2*d) - (2*(2*A + I*B)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + ((5*A + 3*I*B)*Cot[c + d*x]^2)/(4*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x]^2)/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^4*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 5, -(((7*A + 25*I*B)*x)/(8*a^3)) - ((I*A - 3*B)*Log[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) + ((7*A + 25*I*B)*Tan[c + d*x])/(8*a^3*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^4)/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + ((5*A + 11*I*B)*Tan[c + d*x]^3)/(24*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) - ((I*A - 3*B)*Tan[c + d*x]^2)/(2*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 7, ((I*A - 7*B)*x)/(8*a^3) - (I*B*Log[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^3)/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + ((A + 3*I*B)*Tan[c + d*x]^2)/(8*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (A + 7*I*B)/(8*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, -(((A - I*B)*x)/(8*a^3)) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^2)/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (I*A - 7*B)/(24*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (I*A + 17*B)/(24*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, -(((I*A + B)*x)/(8*a^3)) - (A + I*B)/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (A + 3*I*B)/(8*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (A - I*B)/(8*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 4, ((A - I*B)*x)/(8*a^3) + (I*A - B)/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (I*A + B)/(8*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (I*A + B)/(8*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{(Cot[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 5, -(((7*I*A - B)*x)/(8*a^3)) + (A*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + (A + I*B)/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (3*A + I*B)/(8*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (7*A + I*B)/(8*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{(Cot[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 6, -(((25*A + 7*I*B)*x)/(8*a^3)) - ((25*A + 7*I*B)*Cot[c + d*x])/(8*a^3*d) - ((3*I*A - B)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x])/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + ((11*A + 5*I*B)*Cot[c + d*x])/(24*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + ((3*A + I*B)*Cot[c + d*x])/(2*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{(Cot[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 7, (5*(11*I*A - 5*B)*x)/(8*a^3) + (5*(11*I*A - 5*B)*Cot[c + d*x])/(8*a^3*d) - ((7*A + 3*I*B)*Cot[c + d*x]^2)/(2*a^3*d) - ((7*A + 3*I*B)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x]^2)/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + ((13*A + 7*I*B)*Cot[c + d*x]^2)/(24*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (5*(11*A + 5*I*B)*Cot[c + d*x]^2)/(24*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^4*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 8, ((A + 15*I*B)*x)/(16*a^4) - (B*Log[Cos[c + d*x]])/(a^4*d) - (I*A - 15*B)/(16*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) - ((I*A - 7*B)*Tan[c + d*x]^2)/(16*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])^2) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^4)/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + ((A + 3*I*B)*Tan[c + d*x]^3)/(12*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)}
+{(Tan[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, ((I*A + B)*x)/(16*a^4) - (A - 13*I*B)/(48*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])^2) + (5*A - 29*I*B)/(48*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^3)/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + ((A + 5*I*B)*Tan[c + d*x]^2)/(24*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)}
+{(Tan[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, -(((A - I*B)*x)/(16*a^4)) + (I*A + 5*B)/(16*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])^2) - (I*A + B)/(16*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^2)/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) - B/(6*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)}
+{(Tan[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, -(((I*A + B)*x)/(16*a^4)) - (A + I*B)/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + (A + 3*I*B)/(12*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (A - I*B)/(16*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2) + (A - I*B)/(16*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 5, ((A - I*B)*x)/(16*a^4) + (I*A - B)/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + (I*A + B)/(12*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (I*A + B)/(16*d*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2) + (I*A + B)/(16*d*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))}
+{(Cot[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 6, -(((15*I*A - B)*x)/(16*a^4)) + (A*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + (7*A + I*B)/(16*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])^2) + (15*A + I*B)/(16*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + (A + I*B)/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + (3*A + I*B)/(12*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)}
+{(Cot[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 7, -((5*(13*A + 3*I*B)*x)/(16*a^4)) - (5*(13*A + 3*I*B)*Cot[c + d*x])/(16*a^4*d) - ((4*I*A - B)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + ((31*A + 9*I*B)*Cot[c + d*x])/(48*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])^2) + ((4*A + I*B)*Cot[c + d*x])/(2*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x])/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + ((7*A + 3*I*B)*Cot[c + d*x])/(24*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)}
+{(Cot[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 8, (5*(35*I*A - 13*B)*x)/(16*a^4) + (5*(35*I*A - 13*B)*Cot[c + d*x])/(16*a^4*d) - ((11*A + 4*I*B)*Cot[c + d*x]^2)/(2*a^4*d) - ((11*A + 4*I*B)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + ((43*A + 17*I*B)*Cot[c + d*x]^2)/(48*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])^2) + (5*(35*A + 13*I*B)*Cot[c + d*x]^2)/(48*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x]^2)/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + ((2*A + I*B)*Cot[c + d*x]^2)/(6*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^m (A+B Tan[c+d x]) (a+i a Tan[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, (Sqrt[2]*Sqrt[a]*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (8*(7*A - I*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*d) + (2*(7*A - I*B)*Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*d) + (2*B*Tan[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(7*d) - (2*(7*A - (31*I)*B)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(105*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, (Sqrt[2]*Sqrt[a]*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (8*B*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*d) + (2*B*Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*d) - (2*((5*I)*A + B)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(15*a*d)}
+{Tan[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, -((Sqrt[2]*Sqrt[a]*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d) + (2*A*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d - (((2*I)/3)*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(a*d)}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 3, -((Sqrt[2]*Sqrt[a]*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d) + (2*B*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, (-2*Sqrt[a]*A*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d}
+{Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, -((Sqrt[a]*(I*A + 2*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d) + (Sqrt[2]*Sqrt[a]*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (A*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 8, (Sqrt[a]*(7*A - (4*I)*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*d) - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - ((I*A + 4*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d) - (A*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^4*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 9, (Sqrt[a]*((9*I)*A + 14*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(8*d) - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d + ((7*A - (2*I)*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(8*d) - ((I*A + 6*B)*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(12*d) - (A*Cot[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, (2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (8*a*((7*I)*A + 8*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*d) + (2*a*((7*I)*A + 8*B)*Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*d) + (((2*I)/7)*a*B*Tan[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d - (4*((21*I)*A + 19*B)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(105*d)}
+{Tan[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, (-2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d + (2*a*(A - I*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d + (2*A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (((2*I)/5)*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(a*d)}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, (-2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d + (2*a*(I*A + B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d + (2*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, (-2*a^(3/2)*A*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + (2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d + ((2*I)*a*B*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, -((a^(3/2)*((3*I)*A + 2*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d) + (2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (a*A*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 8, (a^(3/2)*(11*A - (12*I)*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*d) - (2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (a*((5*I)*A + 4*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 9, (a^(3/2)*((23*I)*A + 22*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(8*d) - (2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d + (a*(9*A - (10*I)*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(8*d) - (a*((7*I)*A + 6*B)*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(12*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, (4*Sqrt[2]*a^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (8*a^2*((45*I)*A + 46*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d) + (2*a^2*((45*I)*A + 46*B)*Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d) - (2*a^2*(3*A - (4*I)*B)*Tan[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(21*d) - (8*a*((60*I)*A + 59*B)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(315*d) + (((2*I)/9)*a*B*Tan[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/d}
+{Tan[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, (-4*Sqrt[2]*a^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d + (4*a^2*(A - I*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d + (2*a*(A - I*B)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d) + (2*A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*d) - (((2*I)/7)*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(7/2))/(a*d)}
+{(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, (-4*Sqrt[2]*a^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d + (4*a^2*(I*A + B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d + (2*a*(I*A + B)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d) + (2*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 8, (-2*a^(5/2)*A*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + (4*Sqrt[2]*a^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (2*a^2*(A - (2*I)*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d + (((2*I)/3)*a*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 8, -((a^(5/2)*(5*I*A + 2*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d) + (4*Sqrt[2]*a^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d + (a^2*(I*A - 2*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d - (a*A*Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 8, (a^(5/2)*(23*A - (20*I)*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*d) - (4*Sqrt[2]*a^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d - (a^2*((7*I)*A + 4*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 9, (a^(5/2)*((45*I)*A + 46*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(8*d) - (4*Sqrt[2]*a^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d + (a^2*(19*A - (18*I)*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(8*d) - (a^2*((3*I)*A + 2*B)*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 10, (-3*a^(5/2)*(121*A - (120*I)*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(64*d) + (4*Sqrt[2]*a^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d + (a^2*((149*I)*A + 152*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(64*d) + (a^2*(107*A - (104*I)*B)*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(96*d) - (a^2*((11*I)*A + 8*B)*Cot[c + d*x]^3*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(24*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^4*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(4*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Tan[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 6, ((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^3)/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (4*(5*A + 7*I*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*a*d) - ((5*A + 7*I*B)*Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*a*d) - ((25*A + 23*I*B)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(15*a^2*d)}
+{(Tan[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 5, ((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^2)/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (4*(I*A - B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a*d) + ((3*I*A - 5*B)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*a^2*d)}
+{(Tan[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 4, -(((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d)) - (A + I*B)/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - ((2*I)*B*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 3, -(((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d)) + (I*A - B)/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(Cot[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 7, (-2*A*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d) + ((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) + (A + I*B)/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(Cot[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 8, ((I*A - 2*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d) + ((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x])/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - ((2*A + I*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a*d)}
+{(Cot[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 9, ((11*A + (4*I)*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*Sqrt[a]*d) - ((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x]^2)/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (((7*I)*A - 8*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*a*d) - ((3*A + (2*I)*B)*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*a*d)}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 6, ((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + ((3*A + 5*I*B)*Tan[c + d*x]^2)/(2*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (2*(3*A + 5*I*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a^2*d) + ((11*A + 21*I*B)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(6*a^3*d)}
+{(Tan[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 5, ((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^2)/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (5*I*A - 11*B)/(6*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + ((I*A - 7*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*a^2*d)}
+{(Tan[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, -(((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - (A + I*B)/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (A + 3*I*B)/(2*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 4, -(((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) + (I*A - B)/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (I*A + B)/(2*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(Cot[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, (-2*A*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) + ((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + (A + I*B)/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (3*A + I*B)/(2*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(Cot[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 9, (((3*I)*A - 2*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) + ((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x])/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + ((13*A + (7*I)*B)*Cot[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - ((7*A + (3*I)*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*a^2*d)}
+{(Cot[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 10, ((23*A + (12*I)*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*a^(3/2)*d) - ((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x]^2)/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + ((17*A + (11*I)*B)*Cot[c + d*x]^2)/(6*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (7*((3*I)*A - 2*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*a^2*d) - ((22*A + (13*I)*B)*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(6*a^2*d)}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^4*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 7, -(((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(4*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^4)/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + ((11*A + 21*I*B)*Tan[c + d*x]^3)/(30*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - ((39*I*A - 89*B)*Tan[c + d*x]^2)/(20*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + ((39*I*A - 89*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*a^3*d) - ((151*I*A - 361*B)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(60*a^4*d)}
+{(Tan[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 6, ((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(4*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^3)/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + ((7*A + 17*I*B)*Tan[c + d*x]^2)/(30*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (41*A + 151*I*B)/(60*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + ((13*A + 83*I*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(30*a^3*d)}
+{(Tan[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 5, ((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(4*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^2)/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (3*I*A - 13*B)/(30*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (I*A - 31*B)/(20*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(Tan[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 5, -(((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(4*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - (A + I*B)/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (A + 3*I*B)/(6*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (A - I*B)/(4*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 5, -(((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(4*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) + (I*A - B)/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (I*A + B)/(6*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (I*A + B)/(4*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(Cot[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, (-2*A*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*d) + ((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(4*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + (A + I*B)/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (3*A + I*B)/(6*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (7*A + I*B)/(4*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(Cot[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 10, (((5*I)*A - 2*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*d) + ((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(4*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x])/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + ((19*A + (9*I)*B)*Cot[c + d*x])/(30*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + ((41*A + (15*I)*B)*Cot[c + d*x])/(12*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - (7*(3*A + I*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*a^3*d)}
+{(Cot[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 11, ((43*A + (20*I)*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*a^(5/2)*d) - ((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(4*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x]^2)/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + ((23*A + (13*I)*B)*Cot[c + d*x]^2)/(30*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + ((337*A + (167*I)*B)*Cot[c + d*x]^2)/(60*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (21*((2*I)*A - B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*a^3*d) - ((85*A + (41*I)*B)*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(12*a^3*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^(m/2) (A+B Tan[c+d x]) (a+i a Tan[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, -((2*(-1)^(1/4)*a*(I*A + B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d) - (2*a*(I*A + B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*a*(A - I*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d) + (2*a*(I*A + B)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(5*d) + (2*I*a*B*Tan[c + d*x]^(7/2))/(7*d)}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, (2*(-1)^(1/4)*a*(A - I*B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d + (2*a*(A - I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*a*(I*A + B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d) + (2*I*a*B*Tan[c + d*x]^(5/2))/(5*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, (2*(-1)^(1/4)*a*(I*A + B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d + (2*a*(I*A + B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*I*a*B*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d)}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 3, -((2*(-1)^(1/4)*a*(A - I*B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d) + (2*I*a*B*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 3, -((2*(-1)^(1/4)*a*(I*A + B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d) - (2*a*A)/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 4, (2*(-1)^(1/4)*a*(A - I*B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*A)/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (2*a*(I*A + B))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(7/2), x, 5, (2*(-1)^(1/4)*a*(I*A + B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*A)/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) - (2*a*(I*A + B))/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(A - I*B))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, -((4*(-1)^(1/4)*a^2*(I*A + B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d) - (4*a^2*(I*A + B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (4*a^2*(A - I*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d) + (4*a^2*(I*A + B)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(5*d) - (2*a^2*(9*A - 11*I*B)*Tan[c + d*x]^(7/2))/(63*d) + (2*I*B*Tan[c + d*x]^(7/2)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(9*d)}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, (4*(-1)^(1/4)*a^2*(A - I*B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d + (4*a^2*(A - I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (4*a^2*(I*A + B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d) - (2*a^2*(7*A - 9*I*B)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(35*d) + (2*I*B*Tan[c + d*x]^(5/2)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(7*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, (4*(-1)^(1/4)*a^2*(I*A + B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d + (4*a^2*(I*A + B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*a^2*(5*A - 7*I*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(15*d) + (2*I*B*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(5*d)}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 4, -((4*(-1)^(1/4)*a^2*(A - I*B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d) - (2*a^2*(3*A - 5*I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*d) + (2*I*B*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(3*d)}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 4, -((4*(-1)^(1/4)*a^2*(I*A + B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d) + (2*a^2*(I*A - B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*A*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 4, (4*(-1)^(1/4)*a^2*(A - I*B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d - (2*a^2*(5*I*A + 3*B))/(3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*A*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(7/2), x, 5, (4*(-1)^(1/4)*a^2*(I*A + B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d - (2*a^2*(7*I*A + 5*B))/(15*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(A - I*B))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*A*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(9/2), x, 6, -((4*(-1)^(1/4)*a^2*(A - I*B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d) - (2*a^2*(9*I*A + 7*B))/(35*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^2*(A - I*B))/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(I*A + B))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*A*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(7*d*Tan[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, (8*(-1)^(1/4)*a^3*(A - I*B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d + (8*a^3*(A - I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (8*a^3*(I*A + B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d) - (16*a^3*(18*A - 19*I*B)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(315*d) + (2*I*a*B*Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(9*d) - (2*(9*A - 13*I*B)*Tan[c + d*x]^(5/2)*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(63*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, (8*(-1)^(1/4)*a^3*(I*A + B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d + (8*a^3*(I*A + B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (8*a^3*(21*A - 23*I*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(105*d) + (2*I*a*B*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(7*d) - (2*(7*A - 11*I*B)*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(35*d)}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 5, -((8*(-1)^(1/4)*a^3*(A - I*B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d) - (16*a^3*(5*A - 6*I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(15*d) + (2*I*a*B*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(5*d) - (2*(5*A - 9*I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(15*d)}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 5, -((8*(-1)^(1/4)*a^3*(I*A + B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d) - (16*a^3*B*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*d) - (2*a*A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + (2*(3*I*A - B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(3*d)}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 5, (8*(-1)^(1/4)*a^3*(A - I*B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d - (16*a^3*A*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*d) - (2*a*A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (2*(7*I*A + 3*B)*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(7/2), x, 5, (8*(-1)^(1/4)*a^3*(I*A + B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d + (16*a^3*(6*A - 5*I*B))/(15*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*a*A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) - (2*(9*I*A + 5*B)*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(15*d*Tan[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(9/2), x, 6, -((8*(-1)^(1/4)*a^3*(A - I*B)*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/d) + (8*a^3*(23*A - 21*I*B))/(105*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (8*a^3*(I*A + B))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*a*A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(7*d*Tan[c + d*x]^(7/2)) - (2*(11*I*A + 7*B)*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(35*d*Tan[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Tan[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 13, -(((1/4 + I/4)*((4 + I)*A + (1 + 6*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d)) + ((1/4 + I/4)*((4 + I)*A + (1 + 6*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) - ((1/8 + I/8)*((1 + 4*I)*A - (6 + I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d) - (((3 - 5*I)*A + (5 + 7*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(8*Sqrt[2]*a*d) - (5*(I*A - B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*a*d) - ((3*A + 7*I*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(6*a*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 12, -((((1 - 3*I)*A + (3 + 5*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(4*Sqrt[2]*a*d)) - ((1/4 + I/4)*((1 + 2*I)*A - (4 + I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) - ((1/8 + I/8)*((2 + I)*A + (1 + 4*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d) + ((1/8 + I/8)*((2 + I)*A + (1 + 4*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d) - ((A + 5*I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*a*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 11, -(((1/4 - I/4)*(A + (2 - I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d)) + ((1/4 - I/4)*(A + (2 - I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) + ((1/8 + I/8)*(A - (2 + I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d) - ((1/8 + I/8)*(A - (2 + I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d) + ((I*A - B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])), x, 11, -(((1/4 - I/4)*((2 + I)*A + B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d)) + ((1/4 - I/4)*((2 + I)*A + B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) - (((3 + I)*A - (1 + I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(8*Sqrt[2]*a*d) + (((3 + I)*A - (1 + I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(8*Sqrt[2]*a*d) + ((A + I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])), x, 12, (((5 + 3*I)*A - (3 - I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(4*Sqrt[2]*a*d) + (((-5 - 3*I)*A + (3 - I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(4*Sqrt[2]*a*d) - ((1/8 - I/8)*((4 + I)*A + (1 + 2*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d) + (((5 - 3*I)*A + (3 + I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(8*Sqrt[2]*a*d) - (5*A + I*B)/(2*a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + (A + I*B)/(2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])), x, 13, (((7 - 5*I)*A + (5 + 3*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(4*Sqrt[2]*a*d) - ((1/4 - I/4)*((6 + I)*A + (1 + 4*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) + (((7 + 5*I)*A - (5 - 3*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(8*Sqrt[2]*a*d) + (((-7 - 5*I)*A + (5 - 3*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(8*Sqrt[2]*a*d) - (7*A + 3*I*B)/(6*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (5*(I*A - B))/(2*a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + (A + I*B)/(2*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 13, (((9 + 5*I)*A - (25 - 21*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^2*d) - (((9 + 5*I)*A - (25 - 21*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^2*d) - ((1/32 - I/32)*((7 + 2*I)*A + (2 + 23*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + ((1/32 - I/32)*((7 + 2*I)*A + (2 + 23*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + (5*(I*A - 5*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(8*a^2*d) + ((3*A + 7*I*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(8*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{(Tan[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 12, (((1 + 3*I)*A + (9 + 5*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^2*d) - (((1 + 3*I)*A + (9 + 5*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^2*d) + (((1 - 3*I)*A - (9 - 5*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^2*d) - (((1 - 3*I)*A - (9 - 5*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^2*d) + ((A + 5*I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(8*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 12, (((-1 + 3*I)*A + (1 + 3*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^2*d) - (((-1 + 3*I)*A + (1 + 3*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^2*d) + (((1 + 3*I)*A + (1 - 3*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^2*d) - (((1 + 3*I)*A + (1 - 3*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^2*d) + ((I*A + 3*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(8*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + ((I*A - B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 12, ((1/16 + I/16)*((-2 + 7*I)*A + (1 + 2*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + (((9 - 5*I)*A + (1 - 3*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^2*d) + ((1/32 + I/32)*((-7 + 2*I)*A + (2 + I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + (((9 + 5*I)*A - (1 + 3*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^2*d) + ((5*A + I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(8*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + ((A + I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 13, (((25 + 21*I)*A - (9 - 5*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^2*d) - ((1/16 - I/16)*((2 + 23*I)*A - (7 + 2*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d) - ((1/32 - I/32)*((23 + 2*I)*A + (2 + 7*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + ((1/32 - I/32)*((23 + 2*I)*A + (2 + 7*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d) - (5*(5*A + I*B))/(8*a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + (7*A + 3*I*B)/(8*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + (A + I*B)/(4*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 14, ((1/16 - I/16)*((47 + 2*I)*A + (2 + 23*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d) - ((1/16 - I/16)*((47 + 2*I)*A + (2 + 23*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + (((49 + 45*I)*A - (25 - 21*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^2*d) - ((1/32 - I/32)*((2 + 47*I)*A - (23 + 2*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d) - (7*(7*A + 3*I*B))/(24*a^2*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (9*A + 5*I*B)/(8*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (5*(9*I*A - 5*B))/(8*a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + (A + I*B)/(4*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^(9/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 15, ((1/16 + I/16)*((29 + I)*A + (1 + 76*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*d) - ((1/16 + I/16)*((29 + I)*A + (1 + 76*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*d) - (((28 - 30*I)*A + (75 + 77*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^3*d) - ((1/32 + I/32)*((1 + 29*I)*A - (76 + I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^3*d) + (15*(2*I*A - 5*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(8*a^3*d) + (7*(4*A + 11*I*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(24*a^3*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^(9/2))/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + ((A + 2*I*B)*Tan[c + d*x]^(7/2))/(4*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) - (3*(2*I*A - 5*B)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(8*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 14, -(((1/16 + I/16)*((1 + 6*I)*A - (29 + I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*d)) - (((5 - 7*I)*A + (28 + 30*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^3*d) + ((1/32 + I/32)*((6 + I)*A + (1 + 29*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^3*d) - ((1/32 + I/32)*((6 + I)*A + (1 + 29*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^3*d) + (5*(A + 6*I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(8*a^3*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^(7/2))/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + ((2*A + 5*I*B)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(12*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) - (7*(I*A - 4*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(24*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 13, ((2*A + (5 - 7*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^3*d) - ((2*A + (5 - 7*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^3*d) - ((2*A - (5 + 7*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^3*d) + ((2*A - (5 + 7*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^3*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + ((A + 4*I*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(12*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (5*B*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(8*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 13, (((1 + I)*A + 2*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^3*d) - (((1 + I)*A + 2*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^3*d) - (((-1 + I)*A + 2*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^3*d) + (((-1 + I)*A + 2*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^3*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (I*B*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + ((A - 2*I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(8*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 13, ((1/16 + I/16)*((1 + I)*A + B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*d) - ((1/16 + I/16)*((1 + I)*A + B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*d) + ((2*I*A + (1 - I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^3*d) - ((2*I*A + (1 - I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^3*d) + ((I*A - B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + ((I*A + 2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(12*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (B*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(8*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3), x, 13, -((((7 - 5*I)*A - 2*I*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^3*d)) + (((7 - 5*I)*A - 2*I*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^3*d) - (((7 + 5*I)*A - 2*I*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^3*d) + (((7 + 5*I)*A - 2*I*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^3*d) + ((A + I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + ((4*A + I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(12*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (5*A*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(8*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3), x, 14, (((30 + 28*I)*A - (7 - 5*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^3*d) - ((1/16 - I/16)*((1 + 29*I)*A - (6 + I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*d) - ((1/32 - I/32)*((29 + I)*A + (1 + 6*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^3*d) + ((1/32 - I/32)*((29 + I)*A + (1 + 6*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^3*d) - (5*(6*A + I*B))/(8*a^3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + (A + I*B)/(6*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (5*A + 2*I*B)/(12*a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (7*(4*A + I*B))/(24*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3), x, 15, ((1/16 - I/16)*((76 + I)*A + (1 + 29*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*d) - ((1/16 - I/16)*((76 + I)*A + (1 + 29*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*d) + (((77 + 75*I)*A - (30 - 28*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^3*d) - ((1/32 - I/32)*((1 + 76*I)*A - (29 + I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^3*d) - (7*(11*A + 4*I*B))/(24*a^3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (15*(5*I*A - 2*B))/(8*a^3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + (A + I*B)/(6*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + (2*A + I*B)/(4*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + (3*(5*A + 2*I*B))/(8*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^(m/2) (A+B Tan[c+d x]) (a+i a Tan[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 9, ((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*(4*I*A + 7*B)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(4*d) + ((1 + I)*Sqrt[a]*(I*A + B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + ((4*A - I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d) + (B*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 8, -(((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*(2*A - I*B)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d) - ((1 + I)*Sqrt[a]*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + (B*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{(Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 7, -((2*(-1)^(3/4)*Sqrt[a]*B*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d) - ((1 + I)*Sqrt[a]*(I*A + B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d}
+{(Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 4, ((1 + I)*Sqrt[a]*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*A*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 5, ((1 + I)*Sqrt[a]*(I*A + B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*A*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (2*(I*A + 3*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(7/2), x, 6, ((-1 - I)*Sqrt[a]*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*A*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) - (2*(I*A + 5*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*(13*A - (5*I)*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(9/2), x, 7, ((1 - I)*Sqrt[a]*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*A*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(7*d*Tan[c + d*x]^(7/2)) - (2*(I*A + 7*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (2*(31*A - (7*I)*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*((43*I)*A + 91*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 10, ((-1)^(3/4)*a^(3/2)*(22*I*A + 23*B)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(8*d) + ((2 + 2*I)*a^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + (a*(10*A - 9*I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(8*d) + (a*(6*I*A + 7*B)*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(12*d) + (I*a*B*Tan[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 9, -(((-1)^(3/4)*a^(3/2)*(12*A - 11*I*B)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(4*d)) - ((2 + 2*I)*a^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + (a*(4*I*A + 5*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d) + (I*a*B*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*d)}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 8, -(((-1)^(3/4)*a^(3/2)*(2*I*A + 3*B)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d) - ((2 + 2*I)*a^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + (I*a*B*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 8, (2*(-1)^(1/4)*a^(3/2)*B*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + ((2 + 2*I)*a^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*A*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 5, ((2 + 2*I)*a^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*A*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (2*a*(4*I*A + 3*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(7/2), x, 6, ((-2 - 2*I)*a^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*A*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) - (2*a*((6*I)*A + 5*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (4*a*(9*A - (10*I)*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(9/2), x, 7, ((2 - 2*I)*a^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*A*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(7*d*Tan[c + d*x]^(7/2)) - (2*a*(8*I*A + 7*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (4*a*(19*A - 21*I*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (4*a*(67*I*A + 63*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(11/2), x, 8, ((2 + 2*I)*a^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*A*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(9*d*Tan[c + d*x]^(9/2)) - (2*a*((10*I)*A + 9*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(63*d*Tan[c + d*x]^(7/2)) + (4*a*(11*A - (12*I)*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (4*a*((61*I)*A + 57*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(315*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (4*a*(193*A - (201*I)*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(315*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 11, (3*(-1)^(3/4)*a^(5/2)*(120*I*A + 121*B)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(64*d) + ((4 + 4*I)*a^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + (a^2*(152*A - 149*I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(64*d) + (a^2*(104*I*A + 107*B)*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(96*d) - (a^2*(8*A - 11*I*B)*Tan[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(24*d) + (I*a*B*Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(4*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 10, -(((-1)^(3/4)*a^(5/2)*(46*A - 45*I*B)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(8*d)) - ((4 + 4*I)*a^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + (a^2*(18*I*A + 19*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(8*d) - (a^2*(2*A - 3*I*B)*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d) + (I*a*B*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 9, -(((-1)^(3/4)*a^(5/2)*(20*I*A + 23*B)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(4*d)) + ((4 - 4*I)*a^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (a^2*(4*A - 7*I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d) + (I*a*B*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(2*d)}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 9, ((-1)^(3/4)*a^(5/2)*(2*A - 5*I*B)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + ((4 + 4*I)*a^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + (a^2*(2*I*A - B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d - (2*a*A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 9, (2*(-1)^(3/4)*a^(5/2)*B*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + ((4 + 4*I)*a^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a^2*(2*I*A + B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*a*A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(7/2), x, 6, ((-4 - 4*I)*a^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a^2*((8*I)*A + 5*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*a^2*(38*A - (35*I)*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*a*A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(9/2), x, 7, ((4 - 4*I)*a^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a^2*(10*I*A + 7*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (2*a^2*(80*A - 77*I*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(130*I*A + 133*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*a*A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(7*d*Tan[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(11/2), x, 8, ((4 + 4*I)*a^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a^2*((4*I)*A + 3*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(21*d*Tan[c + d*x]^(7/2)) + (2*a^2*(46*A - (45*I)*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (8*a^2*((59*I)*A + 60*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(315*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (8*a^2*(197*A - (195*I)*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(315*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*a*A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(9*d*Tan[c + d*x]^(9/2))}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(13/2), x, 9, ((4 + 4*I)*a^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a^2*(14*I*A + 11*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(99*d*Tan[c + d*x]^(9/2)) + (2*a^2*(212*A - 209*I*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(693*d*Tan[c + d*x]^(7/2)) + (4*a^2*(250*I*A + 253*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(1155*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) - (8*a^2*(655*A - 649*I*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3465*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (8*a^2*(2155*I*A + 2167*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3465*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*a*A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(11*d*Tan[c + d*x]^(11/2))}
+
+
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*((3*b*B)/(2*a) + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 9, (2*(-1)^(3/4)*a^(5/2)*B*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d + ((2 + 2*I)*a^(3/2)*(2*a + 3*I*b)*B*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*(a + 3*I*b)*B*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (b*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(d*Tan[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Tan[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 9, ((-1)^(3/4)*(2*I*A - B)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - ((1/2 - I/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - ((A + 2*I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a*d)}
+{(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 8, -((2*(-1)^(1/4)*B*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) - ((1/2 + I/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) + ((I*A - B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 4, ((1/2 - I/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) + ((A + I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 5, ((1/2 + I/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) + (A + I*B)/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - ((3*A + I*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 6, ((1/2 + I/2)*(I*A + B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) + (A + I*B)/(d*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - ((5*A + 3*I*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + ((7*I*A - 9*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 7, ((-1/2 - I/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) + (A + I*B)/(d*Tan[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - ((7*A + (5*I)*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*a*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (((23*I)*A - 25*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + ((61*A + (35*I)*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 9, (2*(-1)^(3/4)*B*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - ((1/4 - I/4)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + ((A + 3*I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 5, -(((1/4 + I/4)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + ((I*A - B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + ((I*A + 5*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(6*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 5, ((1/4 - I/4)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + ((A + I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + ((7*A + I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(6*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 6, ((1/4 + I/4)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + (A + I*B)/(3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (11*A + (5*I)*B)/(6*a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - ((25*A + (7*I)*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(6*a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 7, ((1/4 + I/4)*(I*A + B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + (A + I*B)/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (5*A + 3*I*B)/(2*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - ((21*A + 11*I*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(6*a^2*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + ((39*I*A - 25*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(6*a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 10, (2*(-1)^(1/4)*B*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + ((1/8 + I/8)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + ((A + 3*I*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(6*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - ((I*A - 7*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(Tan[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 6, -(((1/8 - I/8)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + ((I*A - B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + ((A + 11*I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(30*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + ((13*A - 37*I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(60*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 6, -(((1/8 + I/8)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + ((I*A - B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + ((3*I*A + 7*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(30*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - ((3*I*A - 13*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(60*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 6, ((1/8 - I/8)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + ((A + I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + ((13*A + 3*I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(30*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + ((67*A - 3*I*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(60*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 7, ((1/8 + I/8)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + (A + I*B)/(5*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (17*A + (7*I)*B)/(30*a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (151*A + (41*I)*B)/(60*a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - ((317*A + (67*I)*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(60*a^3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 8, ((1/8 + I/8)*(I*A + B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + (A + I*B)/(5*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (21*A + 11*I*B)/(30*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (89*A + 39*I*B)/(20*a^2*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - ((361*A + 151*I*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(60*a^3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + ((707*I*A - 317*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(60*a^3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^m (A+B Tan[c+d x]) (a+i a Tan[c+d x])^(n/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^0*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, -((a^(1/3)*(A - I*B)*x)/(2*2^(2/3))) - (Sqrt[3]*a^(1/3)*(I*A + B)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2^(2/3)*d) + (a^(1/3)*(I*A + B)*Log[Cos[c + d*x]])/(2*2^(2/3)*d) + (3*a^(1/3)*(I*A + B)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*2^(2/3)*d) + (3*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/d}
+
+
+{Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 8, (a^(2/3)*(A - I*B)*x)/(2*2^(1/3)) - (Sqrt[3]*a^(2/3)*(I*A + B)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2^(1/3)*d) - (a^(2/3)*(I*A + B)*Log[Cos[c + d*x]])/(2*2^(1/3)*d) - (3*a^(2/3)*(I*A + B)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*2^(1/3)*d) - (9*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3))/(8*d) + (3*B*Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3))/(8*d) - (3*(4*I*A + B)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/3))/(20*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, (a^(2/3)*(I*A + B)*x)/(2*2^(1/3)) + (Sqrt[3]*a^(2/3)*(A - I*B)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2^(1/3)*d) + (a^(2/3)*(A - I*B)*Log[Cos[c + d*x]])/(2*2^(1/3)*d) + (3*a^(2/3)*(A - I*B)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*2^(1/3)*d) + (3*A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3))/(2*d) - (3*I*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/3))/(5*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^0*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, -((a^(2/3)*(A - I*B)*x)/(2*2^(1/3))) + (Sqrt[3]*a^(2/3)*(I*A + B)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2^(1/3)*d) + (a^(2/3)*(I*A + B)*Log[Cos[c + d*x]])/(2*2^(1/3)*d) + (3*a^(2/3)*(I*A + B)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*2^(1/3)*d) + (3*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3))/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 11, -((a^(2/3)*(I*A + B)*x)/(2*2^(1/3))) + (Sqrt[3]*a^(2/3)*A*ArcTan[(a^(1/3) + 2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/d - (Sqrt[3]*a^(2/3)*(A - I*B)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2^(1/3)*d) - (a^(2/3)*(A - I*B)*Log[Cos[c + d*x]])/(2*2^(1/3)*d) - (a^(2/3)*A*Log[Tan[c + d*x]])/(2*d) + (3*a^(2/3)*A*Log[a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*d) - (3*a^(2/3)*(A - I*B)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*2^(1/3)*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 12, (a^(2/3)*(A - I*B)*x)/(2*2^(1/3)) + (a^(2/3)*(2*I*A + 3*B)*ArcTan[(a^(1/3) + 2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*d) - (Sqrt[3]*a^(2/3)*(I*A + B)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2^(1/3)*d) - (a^(2/3)*(I*A + B)*Log[Cos[c + d*x]])/(2*2^(1/3)*d) - (a^(2/3)*(2*I*A + 3*B)*Log[Tan[c + d*x]])/(6*d) + (a^(2/3)*(2*I*A + 3*B)*Log[a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*d) - (3*a^(2/3)*(I*A + B)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(2*2^(1/3)*d) - (A*Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3))/d}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 6, -(((A - I*B)*x)/(4*2^(1/3)*a^(1/3))) + (Sqrt[3]*(I*A + B)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2*2^(1/3)*a^(1/3)*d) + ((I*A + B)*Log[Cos[c + d*x]])/(4*2^(1/3)*a^(1/3)*d) + (3*(I*A + B)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*2^(1/3)*a^(1/3)*d) + (3*(I*A - B))/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3), x, 6, -(((A - I*B)*x)/(4*2^(2/3)*a^(2/3))) - (Sqrt[3]*(I*A + B)*ArcTan[(a^(1/3) + 2^(2/3)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3))/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(2*2^(2/3)*a^(2/3)*d) + ((I*A + B)*Log[Cos[c + d*x]])/(4*2^(2/3)*a^(2/3)*d) + (3*(I*A + B)*Log[2^(1/3)*a^(1/3) - (a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*2^(2/3)*a^(2/3)*d) + (3*(I*A - B))/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(2/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^m (A+B Tan[c+d x]) (a+i a Tan[c+d x])^n with m symbolic*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((2*a^4*(A*(64 + 60*m + 19*m^2 + 2*m^3) - I*B*(67 + 60*m + 19*m^2 + 2*m^3))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m))) + (8*a^4*(A - I*B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (I*a*B*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(d*(4 + m)) - ((A*(4 + m) - I*B*(7 + m))*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(d*(3 + m)*(4 + m)) - (2*(A*(4 + m)^2 - I*B*(19 + 8*m + m^2))*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(d*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)), -((2*a^4*(A*(64 + 60*m + 19*m^2 + 2*m^3) - I*B*(67 + 60*m + 19*m^2 + 2*m^3))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(3 + m)*(4 + m)*(2 + 3*m + m^2))) + (8*a^4*(A - I*B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (I*a*B*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)/(d*(4 + m)) - ((A*(4 + m) - I*B*(7 + m))*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x])^2)/(d*(3 + m)*(4 + m)) - (2*(A*(4 + m)^2 - I*B*(19 + 8*m + m^2))*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a^4 + I*a^4*Tan[c + d*x]))/(d*(4 + m)*(6 + 5*m + m^2))]}
+{Tan[c + d*x]^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, If[$VersionNumber>=8, -((a^3*(A*(15 + 11*m + 2*m^2) - I*B*(17 + 11*m + 2*m^2))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m))) + (4*a^3*(A - I*B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (I*a*B*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(d*(3 + m)) - ((A*(3 + m) - I*B*(5 + m))*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(d*(2 + m)*(3 + m)), -((a^3*(A*(15 + 11*m + 2*m^2) - I*B*(17 + 11*m + 2*m^2))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(3 + m)*(2 + 3*m + m^2))) + (4*a^3*(A - I*B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (I*a*B*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)/(d*(3 + m)) - ((A*(3 + m) - I*B*(5 + m))*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))/(d*(2 + m)*(3 + m))]}
+{Tan[c + d*x]^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, (I*a^2*(B + (I*A + B)*(2 + m))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)*(2 + m)) + (2*a^2*(A - I*B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (I*B*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a^2 + I*a^2*Tan[c + d*x]))/(d*(2 + m))}
+{Tan[c + d*x]^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^1*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 3, (I*a*B*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (a*(A - I*B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m))}
+{(Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^1, x, 6, ((A*(1 - m) - I*B*(1 + m))*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(2*a*d*(1 + m)) + ((I*A - B)*m*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(2 + m))/(2*a*d*(2 + m)) + ((A + I*B)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(2*d*(a + I*a*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 7, ((1 - m)*(A*(1 - m) - I*B*(1 + m))*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(4*a^2*d*(1 + m)) + ((A*(2 - m) - I*B*m)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(4*a^2*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + (m*(I*A*(2 - m) + B*m)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(2 + m))/(4*a^2*d*(2 + m)) + ((A + I*B)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(4*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2)}
+{(Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 8, -(((1 - m)*(I*B*(3 + m - 2*m^2) - A*(3 - 7*m + 2*m^2))*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(24*a^3*d*(1 + m))) + ((2 - m)*m*(B + I*A*(5 - 2*m) + 2*B*m)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(2 + m))/(24*a^3*d*(2 + m)) + ((A + I*B)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(6*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3) + ((I*B*(1 - 2*m) + A*(7 - 2*m))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(24*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2) + ((2 - m)*(A*(5 - 2*m) - I*(B + 2*B*m))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(24*d*(a^3 + I*a^3*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^4, x, 9, -(((3 - 4*m + m^2)*(I*B*(1 - m^2) - A*(1 - 4*m + m^2))*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(48*a^4*d*(1 + m))) - ((I*B*(1 + 3*m - m^2) - A*(13 - 7*m + m^2))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(48*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])^2) - ((2 - m)*(I*B*(2 + 2*m - m^2) - A*(8 - 6*m + m^2))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(48*a^4*d*(1 + I*Tan[c + d*x])) + ((2 - m)*m*(B*(2 + 2*m - m^2) + I*A*(8 - 6*m + m^2))*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(2 + m))/(48*a^4*d*(2 + m)) + ((A + I*B)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(8*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^4) + ((I*B*(1 - m) + A*(5 - m))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(24*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 9, (4*a^3*(A - I*B)*AppellF1[1 + m, 1/2, 1, 2 + m, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (2*a^2*(2*B*(19 + 17*m + 4*m^2) + I*A*(35 + 34*m + 8*m^2))*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 3/2, 1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^m*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(((-I)*Tan[c + d*x])^m*(d*(3 + 2*m)*(5 + 2*m))) + (2*a^2*(2*I*B*(4 + m) - A*(5 + 2*m))*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*(3 + 2*m)*(5 + 2*m)) + (2*I*a*B*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(d*(5 + 2*m))}
+{Tan[c + d*x]^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 8, (2*a^2*(A - I*B)*AppellF1[1 + m, 1/2, 1, 2 + m, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (2*a*(B + (I*A + B)*(3 + 2*m))*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 3/2, 1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^m*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(((-I)*Tan[c + d*x])^m*(d*(3 + 2*m))) + (2*I*a*B*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*(3 + 2*m))}
+{Tan[c + d*x]^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, (a*(A - I*B)*AppellF1[1 + m, 1/2, 1, 2 + m, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (2*B*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 3/2, 1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^m*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(((-I)*Tan[c + d*x])^m*d)}
+{(Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 8, ((A + I*B)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + ((A - I*B)*AppellF1[1 + m, 1/2, 1, 2 + m, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(2*d*(1 + m)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + ((I*A - B)*(1 + 2*m)*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 3/2, 1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^m*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(((-I)*Tan[c + d*x])^m*(a*d))}
+{(Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 9, ((A + I*B)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + ((A*(5 - 4*m) - I*(B + 4*B*m))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(6*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + ((A - I*B)*AppellF1[1 + m, 1/2, 1, 2 + m, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(4*a*d*(1 + m)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + ((1 + 2*m)*(B + I*A*(5 - 4*m) + 4*B*m)*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 3/2, 1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^m*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(((-I)*Tan[c + d*x])^m*(6*a^2*d))}
+{(Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 10, ((A + I*B)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + ((I*B*(1 - 4*m) + A*(11 - 4*m))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(30*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - ((I*B*(13 + 12*m - 16*m^2) - A*(37 - 52*m + 16*m^2))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(60*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + ((A - I*B)*AppellF1[1 + m, 1/2, 1, 2 + m, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(8*a^2*d*(1 + m)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + ((1 + 2*m)*(B*(13 + 12*m - 16*m^2) + I*A*(37 - 52*m + 16*m^2))*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 3/2, 1 + I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^m*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(((-I)*Tan[c + d*x])^m*(60*a^3*d))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^m (A+B Tan[c+d x]) (a+i a Tan[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, (1/(d*(1 + m)))*(((A - I*B)*AppellF1[1 + m, 1 - n, 1, 2 + m, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(1 + I*Tan[c + d*x])^n) + (1/(d*(1 + m)))*((I*B*Hypergeometric2F1[1 + m, 1 - n, 2 + m, (-I)*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(1 + I*Tan[c + d*x])^n)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, If[$VersionNumber>=8, (2*(I*B*n - A*(3 + n))*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*n*(2 + n)*(3 + n)) + ((A - I*B)*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(2*d*n) - ((I*B*n - A*(3 + n))*Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(2 + n)*(3 + n)) + (B*Tan[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(3 + n)) - ((A*n*(3 + n) - I*B*(6 + 3*n + n^2))*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)), (2*(I*B*n - A*(3 + n))*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*n*(2 + n)*(3 + n)) + ((A - I*B)*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(2*d*n) - ((I*B*n - A*(3 + n))*Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(2 + n)*(3 + n)) + (B*Tan[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(3 + n)) - ((A*n*(3 + n) - I*B*(6 + 3*n + n^2))*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(3 + n)*(2 + 3*n + n^2))]}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, -((2*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*n*(2 + n))) + ((I*A + B)*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(2*d*n) + (B*Tan[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(2 + n)) - ((B*n + I*A*(2 + n))*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(1 + n)*(2 + n))}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, (A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*n) - ((A - I*B)*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(2*d*n) - (I*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(1 + n))}
+{Tan[c + d*x]^0*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 3, (B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*n) - ((I*A + B)*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(2*d*n)}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, ((A - I*B)*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(2*d*n) - (A*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, 1 + I*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*n)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, -((A*Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/d) + ((I*A + B)*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(2*d*n) - ((B + I*A*n)*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, 1 + I*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*n)}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, -(((2*B + I*A*n)*Cot[c + d*x]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(2*d)) - (A*Cot[c + d*x]^2*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(2*d) - ((A - I*B)*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(2*d*n) - ((2*I*B*n - A*(2 - n + n^2))*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, 1 + I*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(2*d*n)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 11, If[$VersionNumber>=8, -((2*(2*I*A*n*(5 + 2*n) + B*(15 + 10*n + 4*n^2))*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(1 + 2*n)*(3 + 2*n)*(5 + 2*n))) + (2*(I*A + B)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*d) - (2*(4*B*n*(9 + 8*n + 2*n^2) + I*A*(15 + 36*n + 32*n^2 + 8*n^3))*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*(1 + 2*n)*(3 + 2*n)*(5 + 2*n))) - (2*(2*I*B*n - A*(5 + 2*n))*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(3 + 2*n)*(5 + 2*n)) + (2*B*Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(5 + 2*n)), -((2*(2*I*A*n*(5 + 2*n) + B*(15 + 10*n + 4*n^2))*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(5 + 2*n)*(3 + 8*n + 4*n^2))) + (2*(I*A + B)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*d) - (2*(4*B*n*(9 + 8*n + 2*n^2) + I*A*(15 + 36*n + 32*n^2 + 8*n^3))*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*(5 + 2*n)*(3 + 8*n + 4*n^2))) - (2*(2*I*B*n - A*(5 + 2*n))*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(3 + 2*n)*(5 + 2*n)) + (2*B*Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(5 + 2*n))]}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 10, If[$VersionNumber>=8, -((2*(2*I*B*n - A*(3 + 2*n))*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(1 + 2*n)*(3 + 2*n))) - (2*(A - I*B)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*d) + (2*(2*A*n*(3 + 2*n) - I*B*(3 + 6*n + 4*n^2))*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*(1 + 2*n)*(3 + 2*n))) + (2*B*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(3 + 2*n)), -((2*(2*I*B*n - A*(3 + 2*n))*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(3 + 8*n + 4*n^2))) - (2*(A - I*B)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*d) + (2*(2*A*n*(3 + 2*n) - I*B*(3 + 6*n + 4*n^2))*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*(3 + 8*n + 4*n^2))) + (2*B*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(3 + 2*n))]}
+{Tan[c + d*x]^(1/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 9, (2*B*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(1 + 2*n)) - (2*(I*A + B)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*d) + (2*(2*B*n + I*A*(1 + 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*(1 + 2*n)))}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(1/2), x, 8, (2*(A - I*B)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*d) + (2*I*B*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*d)}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 9, -((2*A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])) + (2*(I*A + B)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*d) - (2*I*A*(1 - 2*n)*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*d)}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 10, -((2*A*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2))) - (2*(3*B + 2*I*A*n)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*(A - I*B)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*d) - (2*(1 - 2*n)*(3*I*B - 2*A*n)*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(3*d))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n (A+B Tan[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^m (A+B Tan[c+d x]) (a+b Tan[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, -((a*A - b*B)*x) + ((A*b + a*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + ((a*A - b*B)*Tan[c + d*x])/d + ((A*b + a*B)*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) + (b*B*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 3, -((A*b + a*B)*x) - ((a*A - b*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + ((A*b + a*B)*Tan[c + d*x])/d + (b*B*Tan[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 2, (a*A - b*B)*x - ((A*b + a*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b*B*Tan[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, (A*b + a*B)*x - (b*B*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a*A*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 3, -((a*A - b*B)*x) - (a*A*Cot[c + d*x])/d + ((A*b + a*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, -((A*b + a*B)*x) - ((A*b + a*B)*Cot[c + d*x])/d - (a*A*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - ((a*A - b*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, (a*A - b*B)*x + ((a*A - b*B)*Cot[c + d*x])/d - ((A*b + a*B)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - ((A*b + a*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, (A*b + a*B)*x + ((A*b + a*B)*Cot[c + d*x])/d + ((a*A - b*B)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - ((A*b + a*B)*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^4)/(4*d) + ((a*A - b*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+
+
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, -((a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*x) + ((2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d - (b*(A*b + a*B)*Tan[c + d*x])/d - (B*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + ((4*A*b - a*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(12*b^2*d) + (B*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(4*b*d)}
+{Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, -((2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*x) - ((a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b*(a*A - b*B)*Tan[c + d*x])/d + (A*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + (B*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*b*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 3, (a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*x - ((2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b*(A*b + a*B)*Tan[c + d*x])/d + (B*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, (2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*x - (b*(A*b + 2*a*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*A*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*B*Tan[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, -((a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*x) - (a^2*A*Cot[c + d*x])/d - (b^2*B*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a*(2*A*b + a*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, (b^2*B - a*(2*A*b + a*B))*x - (a*(2*A*b + a*B)*Cot[c + d*x])/d - (a^2*A*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - ((a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, (a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*x + ((a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*Cot[c + d*x])/d - (a*(2*A*b + a*B)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a^2*A*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + ((b^2*B - a*(2*A*b + a*B))*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, (2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*x - ((b^2*B - a*(2*A*b + a*B))*Cot[c + d*x])/d + ((a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*(2*A*b + a*B)*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*A*Cot[c + d*x]^4)/(4*d) + ((a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+
+
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, -((a^3*A - 3*a*A*b^2 - 3*a^2*b*B + b^3*B)*x) + ((3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d - (b*(2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*Tan[c + d*x])/d - ((A*b + a*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) - (B*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) + ((5*A*b - a*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^4)/(20*b^2*d) + (B*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^4)/(5*b*d)}
+{Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, -((3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*x) - ((a^3*A - 3*a*A*b^2 - 3*a^2*b*B + b^3*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b*(a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*Tan[c + d*x])/d + ((a*A - b*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + (A*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) + (B*(a + b*Tan[c + d*x])^4)/(4*b*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, (a^3*A - 3*a*A*b^2 - 3*a^2*b*B + b^3*B)*x - ((3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b*(2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*Tan[c + d*x])/d + ((A*b + a*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + (B*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, (3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*x - (b*(3*a*A*b + 3*a^2*B - b^2*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^3*A*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*(A*b + 2*a*B)*Tan[c + d*x])/d + (b*B*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, -((a^3*A - 3*a*A*b^2 - 3*a^2*b*B + b^3*B)*x) - (b^2*(A*b + 3*a*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*(3*A*b + a*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*(a*A + b*B)*Tan[c + d*x])/d - (a*A*Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, -((3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*x) - (a^2*(2*A*b + a*B)*Cot[c + d*x])/d - (b^3*B*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a*(a^2*A - 3*A*b^2 - 3*a*b*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*A*Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, (a^3*A - 3*a*A*b^2 - 3*a^2*b*B + b^3*B)*x + (a*(3*a^2*A - 8*A*b^2 - 9*a*b*B)*Cot[c + d*x])/(3*d) - (a^2*(5*A*b + 3*a*B)*Cot[c + d*x]^2)/(6*d) - ((3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*A*Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, (3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*x + ((3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*Cot[c + d*x])/d + (a*(2*a^2*A - 5*A*b^2 - 6*a*b*B)*Cot[c + d*x]^2)/(4*d) - (a^2*(3*A*b + 2*a*B)*Cot[c + d*x]^3)/(6*d) + ((a^3*A - 3*a*A*b^2 - 3*a^2*b*B + b^3*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*A*Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(4*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, -((a^3*A - 3*a*A*b^2 - 3*a^2*b*B + b^3*B)*x) - ((a^3*A - 3*a*A*b^2 - 3*a^2*b*B + b^3*B)*Cot[c + d*x])/d + ((3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*(5*a^2*A - 12*A*b^2 - 15*a*b*B)*Cot[c + d*x]^3)/(15*d) - (a^2*(7*A*b + 5*a*B)*Cot[c + d*x]^4)/(20*d) + ((3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*A*Cot[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(5*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, -((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 - 4*a^3*b*B + 4*a*b^3*B)*x) + ((4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 + a^4*B - 6*a^2*b^2*B + b^4*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d - (b*(3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/d - ((2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) - ((A*b + a*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) - (B*(a + b*Tan[c + d*x])^4)/(4*d) + ((6*A*b - a*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^5)/(30*b^2*d) + (B*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^5)/(6*b*d)}
+{Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, -((4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 + a^4*B - 6*a^2*b^2*B + b^4*B)*x) - ((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 - 4*a^3*b*B + 4*a*b^3*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b*(a^3*A - 3*a*A*b^2 - 3*a^2*b*B + b^3*B)*Tan[c + d*x])/d + ((a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + ((a*A - b*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) + (A*(a + b*Tan[c + d*x])^4)/(4*d) + (B*(a + b*Tan[c + d*x])^5)/(5*b*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, (a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 - 4*a^3*b*B + 4*a*b^3*B)*x - ((4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 + a^4*B - 6*a^2*b^2*B + b^4*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b*(3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/d + ((2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + ((A*b + a*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) + (B*(a + b*Tan[c + d*x])^4)/(4*d)}
+{Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, (4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 + a^4*B - 6*a^2*b^2*B + b^4*B)*x - (b*(6*a^2*A*b - A*b^3 + 4*a^3*B - 4*a*b^2*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^4*A*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*(3*a*A*b + 3*a^2*B - b^2*B)*Tan[c + d*x])/d + (b*(A*b + 2*a*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + (b*B*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, -((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 - 4*a^3*b*B + 4*a*b^3*B)*x) - (b^2*(4*a*A*b + 6*a^2*B - b^2*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^3*(4*A*b + a*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*(a^2*A + A*b^2 + 3*a*b*B)*Tan[c + d*x])/d + (b*(2*a*A + b*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) - (a*A*Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, -((4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 + a^4*B - 6*a^2*b^2*B + b^4*B)*x) - (b^3*(A*b + 4*a*B)*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a^2*(a^2*A - 6*A*b^2 - 4*a*b*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*(3*a*A*b + a^2*B + b^2*B)*Tan[c + d*x])/d - (a*(5*A*b + 2*a*B)*Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, (a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 - 4*a^3*b*B + 4*a*b^3*B)*x + (a^2*(a^2*A - 3*A*b^2 - 3*a*b*B)*Cot[c + d*x])/d - (b^4*B*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a*(4*a^2*A*b - 4*A*b^3 + a^3*B - 6*a*b^2*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*(2*A*b + a*B)*Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, (4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 + a^4*B - 6*a^2*b^2*B + b^4*B)*x + (a*(24*a^2*A*b - 19*A*b^3 + 6*a^3*B - 34*a*b^2*B)*Cot[c + d*x])/(6*d) + (a^2*(6*a^2*A - 13*A*b^2 - 16*a*b*B)*Cot[c + d*x]^2)/(12*d) + ((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 - 4*a^3*b*B + 4*a*b^3*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*(7*A*b + 4*a*B)*Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(12*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(4*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, -((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 - 4*a^3*b*B + 4*a*b^3*B)*x) - ((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 - 4*a^3*b*B + 4*a*b^3*B)*Cot[c + d*x])/d + (a*(40*a^2*A*b - 28*A*b^3 + 10*a^3*B - 55*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]^2)/(20*d) + (a^2*(10*a^2*A - 18*A*b^2 - 25*a*b*B)*Cot[c + d*x]^3)/(30*d) + ((4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 + a^4*B - 6*a^2*b^2*B + b^4*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*(8*A*b + 5*a*B)*Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(20*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^7*(a + b*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 8, -((4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 + a^4*B - 6*a^2*b^2*B + b^4*B)*x) - ((4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 + a^4*B - 6*a^2*b^2*B + b^4*B)*Cot[c + d*x])/d - ((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 - 4*a^3*b*B + 4*a*b^3*B)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*(20*a^2*A*b - 13*A*b^3 + 5*a^3*B - 27*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]^3)/(15*d) + (a^2*(5*a^2*A - 8*A*b^2 - 12*a*b*B)*Cot[c + d*x]^4)/(20*d) - ((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 - 4*a^3*b*B + 4*a*b^3*B)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*(3*A*b + 2*a*B)*Cot[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(10*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(6*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Tan[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 6, -(((A*b - a*B)*x)/(a^2 + b^2)) + ((a*A + b*B)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) - (a^3*(A*b - a*B)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)*d) + ((A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(b^2*d) + (B*Tan[c + d*x]^2)/(2*b*d)}
+{(Tan[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 5, -(((a*A + b*B)*x)/(a^2 + b^2)) - ((A*b - a*B)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) + (a^2*(A*b - a*B)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + (B*Tan[c + d*x])/(b*d)}
+{(Tan[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 5, ((A*b - a*B)*x)/(a^2 + b^2) - (B*Log[Cos[c + d*x]])/(b*d) - (a*(A*b - a*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 2, ((a*A + b*B)*x)/(a^2 + b^2) + ((A*b - a*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d)}
+{(Cot[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, -(((A*b - a*B)*x)/(a^2 + b^2)) + (A*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d) - (b*(A*b - a*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Cot[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 4, -(((a*A + b*B)*x)/(a^2 + b^2)) - (A*Cot[c + d*x])/(a*d) - ((A*b - a*B)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (b^2*(A*b - a*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^2*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Cot[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 5, ((A*b - a*B)*x)/(a^2 + b^2) + ((A*b - a*B)*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - (A*Cot[c + d*x]^2)/(2*a*d) - ((a^2*A - A*b^2 + a*b*B)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (b^3*(A*b - a*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^3*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Cot[c + d*x]^4*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 6, ((a*A + b*B)*x)/(a^2 + b^2) + ((a^2*A - A*b^2 + a*b*B)*Cot[c + d*x])/(a^3*d) + ((A*b - a*B)*Cot[c + d*x]^2)/(2*a^2*d) - (A*Cot[c + d*x]^3)/(3*a*d) + ((a^2 - b^2)*(A*b - a*B)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + (b^4*(A*b - a*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^4*(a^2 + b^2)*d)}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, -(((2*a*A*b - a^2*B + b^2*B)*x)/(a^2 + b^2)^2) + ((a^2*A - A*b^2 + 2*a*b*B)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a^2*(a^2*A*b + 3*A*b^3 - 2*a^3*B - 4*a*b^2*B)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a*A*b - 2*a^2*B - b^2*B)*Tan[c + d*x])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + (a*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x]^2)/(b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 5, -(((a^2*A - A*b^2 + 2*a*b*B)*x)/(a^2 + b^2)^2) - ((2*a*A*b - a^2*B + b^2*B)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) - (a*(2*A*b^3 - a*(a^2 + 3*b^2)*B)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)^2*d) - (a^2*(A*b - a*B))/(b^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, ((2*a*A*b - a^2*B + b^2*B)*x)/(a^2 + b^2)^2 - ((a^2*A - A*b^2 + 2*a*b*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a*(A*b - a*B))/(b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, ((a^2*A - A*b^2 + 2*a*b*B)*x)/(a^2 + b^2)^2 + ((2*a*A*b - a^2*B + b^2*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) - (A*b - a*B)/((a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Cot[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 4, -(((2*a*A*b - a^2*B + b^2*B)*x)/(a^2 + b^2)^2) + (A*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - (b*(3*a^2*A*b + A*b^3 - 2*a^3*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d) + (b*(A*b - a*B))/(a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Cot[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 5, -(((a^2*A - A*b^2 + 2*a*b*B)*x)/(a^2 + b^2)^2) - ((2*A*b - a*B)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + (b^2*(4*a^2*A*b + 2*A*b^3 - 3*a^3*B - a*b^2*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d) - (b*(a^2*A + 2*A*b^2 - a*b*B))/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])) - (A*Cot[c + d*x])/(a*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Cot[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, ((2*a*A*b - a^2*B + b^2*B)*x)/(a^2 + b^2)^2 - ((a^2*A - 3*A*b^2 + 2*a*b*B)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - (b^3*(5*a^2*A*b + 3*A*b^3 - 4*a^3*B - 2*a*b^2*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^4*(a^2 + b^2)^2*d) + (b*(2*a^2*A*b + 3*A*b^3 - a^3*B - 2*a*b^2*B))/(a^3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])) + ((3*A*b - 2*a*B)*Cot[c + d*x])/(2*a^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])) - (A*Cot[c + d*x]^2)/(2*a*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^4*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 7, ((a^3*A - 3*a*A*b^2 + 3*a^2*b*B - b^3*B)*x)/(a^2 + b^2)^3 + ((3*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B + 3*a*b^2*B)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) + (a^2*(a^4*A*b + 3*a^2*A*b^3 + 6*A*b^5 - 3*a^5*B - 9*a^3*b^2*B - 10*a*b^4*B)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^4*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a^3*A*b + 3*a*A*b^3 - 3*a^4*B - 6*a^2*b^2*B - b^4*B)*Tan[c + d*x])/(b^3*(a^2 + b^2)^2*d) + (a*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x]^3)/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (a*(a^2*A*b + 5*A*b^3 - 3*a^3*B - 7*a*b^2*B)*Tan[c + d*x]^2)/(2*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 6, -(((3*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B + 3*a*b^2*B)*x)/(a^2 + b^2)^3) + ((a^3*A - 3*a*A*b^2 + 3*a^2*b*B - b^3*B)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) + (a*(a^2*A*b^3 - 3*A*b^5 + a^5*B + 3*a^3*b^2*B + 6*a*b^4*B)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)^3*d) + (a*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x]^2)/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (a^2*(2*A*b^3 - a*(a^2 + 3*b^2)*B))/(b^3*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, -(((a^3*A - 3*a*A*b^2 + 3*a^2*b*B - b^3*B)*x)/(a^2 + b^2)^3) - ((3*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B + 3*a*b^2*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) - (a^2*(A*b - a*B))/(2*b^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (a*(2*A*b^3 - a*(a^2 + 3*b^2)*B))/(b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, ((3*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B + 3*a*b^2*B)*x)/(a^2 + b^2)^3 - ((a^3*A - 3*a*A*b^2 + 3*a^2*b*B - b^3*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) + (a*(A*b - a*B))/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (a^2*A - A*b^2 + 2*a*b*B)/((a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, ((a^3*A - 3*a*A*b^2 + 3*a^2*b*B - b^3*B)*x)/(a^2 + b^2)^3 + ((3*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B + 3*a*b^2*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) - (A*b - a*B)/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (2*a*A*b - a^2*B + b^2*B)/((a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Cot[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 5, -(((3*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B + 3*a*b^2*B)*x)/(a^2 + b^2)^3) + (A*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (b*(6*a^4*A*b + 3*a^2*A*b^3 + A*b^5 - 3*a^5*B + a^3*b^2*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^3*(a^2 + b^2)^3*d) + (b*(A*b - a*B))/(2*a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (b*(3*a^2*A*b + A*b^3 - 2*a^3*B))/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Cot[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 6, -(((a^3*A - 3*a*A*b^2 + 3*a^2*b*B - b^3*B)*x)/(a^2 + b^2)^3) - ((3*A*b - a*B)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + (b^2*(10*a^4*A*b + 9*a^2*A*b^3 + 3*A*b^5 - 6*a^5*B - 3*a^3*b^2*B - a*b^4*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^4*(a^2 + b^2)^3*d) - (b*(2*a^2*A + 3*A*b^2 - a*b*B))/(2*a^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (A*Cot[c + d*x])/(a*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (b*(a^4*A + 6*a^2*A*b^2 + 3*A*b^4 - 3*a^3*b*B - a*b^3*B))/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Cot[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 7, ((3*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B + 3*a*b^2*B)*x)/(a^2 + b^2)^3 - ((a^2*A - 6*A*b^2 + 3*a*b*B)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^5*d) - (b^3*(15*a^4*A*b + 17*a^2*A*b^3 + 6*A*b^5 - 10*a^5*B - 9*a^3*b^2*B - 3*a*b^4*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^5*(a^2 + b^2)^3*d) + (b*(5*a^2*A*b + 6*A*b^3 - 2*a^3*B - 3*a*b^2*B))/(2*a^3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + ((2*A*b - a*B)*Cot[c + d*x])/(a^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (A*Cot[c + d*x]^2)/(2*a*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (b*(3*a^4*A*b + 11*a^2*A*b^3 + 6*A*b^5 - a^5*B - 6*a^3*b^2*B - 3*a*b^4*B))/(a^4*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^4*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 7, ((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 + 4*a^3*b*B - 4*a*b^3*B)*x)/(a^2 + b^2)^4 + ((4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 - a^4*B + 6*a^2*b^2*B - b^4*B)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^4*d) + (a*(4*a^2*A*b^5 - 4*A*b^7 + a^7*B + 4*a^5*b^2*B + 5*a^3*b^4*B + 10*a*b^6*B)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^4*(a^2 + b^2)^4*d) + (a*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x]^3)/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) + (a*(2*A*b^3 - a*(a^2 + 3*b^2)*B)*Tan[c + d*x]^2)/(2*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (a^2*(a^2*A*b^3 - 3*A*b^5 + a^5*B + 3*a^3*b^2*B + 6*a*b^4*B))/(b^4*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 5, -(((4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 - a^4*B + 6*a^2*b^2*B - b^4*B)*x)/(a^2 + b^2)^4) + ((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 + 4*a^3*b*B - 4*a*b^3*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^4*d) + (a*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x]^2)/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) + (a^2*(a^2*A*b - 5*A*b^3 + 2*a^3*B + 8*a*b^2*B))/(6*b^3*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (a*(a^4*A*b + 5*a^2*A*b^3 - 8*A*b^5 + 2*a^5*B + 7*a^3*b^2*B + 17*a*b^4*B))/(3*b^3*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 5, -(((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 + 4*a^3*b*B - 4*a*b^3*B)*x)/(a^2 + b^2)^4) - ((4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 - a^4*B + 6*a^2*b^2*B - b^4*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^4*d) - (a^2*(A*b - a*B))/(3*b^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) + (a*(2*A*b^3 - a*(a^2 + 3*b^2)*B))/(2*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (3*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B + 3*a*b^2*B)/((a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 5, ((4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 - a^4*B + 6*a^2*b^2*B - b^4*B)*x)/(a^2 + b^2)^4 - ((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 + 4*a^3*b*B - 4*a*b^3*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^4*d) + (a*(A*b - a*B))/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) + (a^2*A - A*b^2 + 2*a*b*B)/(2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (a^3*A - 3*a*A*b^2 + 3*a^2*b*B - b^3*B)/((a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 5, ((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 + 4*a^3*b*B - 4*a*b^3*B)*x)/(a^2 + b^2)^4 + ((4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 - a^4*B + 6*a^2*b^2*B - b^4*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^4*d) - (A*b - a*B)/(3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) - (2*a*A*b - a^2*B + b^2*B)/(2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (3*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B + 3*a*b^2*B)/((a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Cot[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 6, -(((4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 - a^4*B + 6*a^2*b^2*B - b^4*B)*x)/(a^2 + b^2)^4) + (A*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - (b*(10*a^6*A*b + 5*a^4*A*b^3 + 4*a^2*A*b^5 + A*b^7 - 4*a^7*B + 4*a^5*b^2*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^4*(a^2 + b^2)^4*d) + (b*(A*b - a*B))/(3*a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) + (b*(3*a^2*A*b + A*b^3 - 2*a^3*B))/(2*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (b*(6*a^4*A*b + 3*a^2*A*b^3 + A*b^5 - 3*a^5*B + a^3*b^2*B))/(a^3*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Cot[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 7, -(((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 + 4*a^3*b*B - 4*a*b^3*B)*x)/(a^2 + b^2)^4) - ((4*A*b - a*B)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^5*d) + (b^2*(20*a^6*A*b + 24*a^4*A*b^3 + 16*a^2*A*b^5 + 4*A*b^7 - 10*a^7*B - 5*a^5*b^2*B - 4*a^3*b^4*B - a*b^6*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^5*(a^2 + b^2)^4*d) - (b*(3*a^2*A + 4*A*b^2 - a*b*B))/(3*a^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) - (A*Cot[c + d*x])/(a*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) - (b*(2*a^4*A + 8*a^2*A*b^2 + 4*A*b^4 - 3*a^3*b*B - a*b^3*B))/(2*a^3*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (b*(a^6*A + 13*a^4*A*b^2 + 12*a^2*A*b^4 + 4*A*b^6 - 6*a^5*b*B - 3*a^3*b^3*B - a*b^5*B))/(a^4*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Cot[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 8, ((4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 - a^4*B + 6*a^2*b^2*B - b^4*B)*x)/(a^2 + b^2)^4 - ((a^2*A - 10*A*b^2 + 4*a*b*B)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^6*d) - (b^3*(35*a^6*A*b + 56*a^4*A*b^3 + 39*a^2*A*b^5 + 10*A*b^7 - 20*a^7*B - 24*a^5*b^2*B - 16*a^3*b^4*B - 4*a*b^6*B)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^6*(a^2 + b^2)^4*d) + (b*(9*a^2*A*b + 10*A*b^3 - 3*a^3*B - 4*a*b^2*B))/(3*a^3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) + ((5*A*b - 2*a*B)*Cot[c + d*x])/(2*a^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) - (A*Cot[c + d*x]^2)/(2*a*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) + (b*(7*a^4*A*b + 19*a^2*A*b^3 + 10*A*b^5 - 2*a^5*B - 8*a^3*b^2*B - 4*a*b^4*B))/(2*a^4*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (b*(4*a^6*A*b + 27*a^4*A*b^3 + 29*a^2*A*b^5 + 10*A*b^7 - a^7*B - 13*a^5*b^2*B - 12*a^3*b^4*B - 4*a*b^6*B))/(a^5*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^3*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, (B*Log[Cos[c + d*x]])/d + (B*Tan[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{(Tan[c + d*x]^2*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, -(B*x) + (B*Tan[c + d*x])/d}
+{(Tan[c + d*x]*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 2, -((B*Log[Cos[c + d*x]])/d)}
+{(a*B + b*B*Tan[c + d*x])/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 2, B*x}
+{(Cot[c + d*x]*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 2, (B*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{(Cot[c + d*x]^2*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, -(B*x) - (B*Cot[c + d*x])/d}
+{(Cot[c + d*x]^3*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, -(B*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (B*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{(Cot[c + d*x]^4*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 4, B*x + (B*Cot[c + d*x])/d - (B*Cot[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^4*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 7, (a*B*x)/(a^2 + b^2) + (b*B*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) + (a^4*B*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)*d) - (a*B*Tan[c + d*x])/(b^2*d) + (B*Tan[c + d*x]^2)/(2*b*d)}
+{(Tan[c + d*x]^3*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, -((b*B*x)/(a^2 + b^2)) + (a*B*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) - (a^3*B*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + (B*Tan[c + d*x])/(b*d)}
+{(Tan[c + d*x]^2*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 5, -((a*B*x)/b^2) + (a^3*B*x)/(b^2*(a^2 + b^2)) - (B*Log[Cos[c + d*x]])/(b*d) + (a^2*B*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Tan[c + d*x]*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (b*B*x)/(a^2 + b^2) - (a*B*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d)}
+{(a*B + b*B*Tan[c + d*x])/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, (a*B*x)/(a^2 + b^2) + (b*B*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d)}
+{(Cot[c + d*x]*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 4, -((b*B*x)/(a^2 + b^2)) + (B*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d) - (b^2*B*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Cot[c + d*x]^2*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 5, -((a*B*x)/(a^2 + b^2)) - (B*Cot[c + d*x])/(a*d) - (b*B*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (b^3*B*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^2*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Cot[c + d*x]^3*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, (b*B*x)/(a^2 + b^2) + (b*B*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - (B*Cot[c + d*x]^2)/(2*a*d) - ((a^2 - b^2)*B*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (b^4*B*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^3*(a^2 + b^2)*d)}
+
+
+{(3 + Tan[c + d*x])/(2 - Tan[c + d*x]), x, 2, x - Log[2*Cos[c + d*x] - Sin[c + d*x]]/d}
+{((b*B)/a + B*Tan[c + d*x])/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 2, (2*b*B*x)/(a^2 + b^2) - ((a - b^2/a)*B*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d)}
+
+{(a + b*Tan[c + d*x])/(b + a*Tan[c + d*x])^2, x, 3, -((a*(a^2 - 3*b^2)*x)/(a^2 + b^2)^2) + (b*(3*a^2 - b^2)*Log[b*Cos[c + d*x] + a*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) - (a^2 - b^2)/((a^2 + b^2)*d*(b + a*Tan[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^m (A+B Tan[c+d x]) (a+b Tan[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 11, (Sqrt[a - I*b]*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d + (Sqrt[a + I*b]*(A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (2*A*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d - (2*(14*a*A*b - 8*a^2*B + 35*b^2*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(105*b^3*d) + (2*(7*A*b - 4*a*B)*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(35*b^2*d) + (2*B*Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(7*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 10, (Sqrt[a - I*b]*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - (Sqrt[a + I*b]*(I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (2*B*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d + (2*(5*A*b - 2*a*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(15*b^2*d) + (2*B*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(5*b*d)}
+{Tan[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 9, -((Sqrt[a - I*b]*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d) - (Sqrt[a + I*b]*(A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (2*A*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d + (2*B*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*b*d)}
+{Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 8, -((Sqrt[a - I*b]*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d) + (Sqrt[a + I*b]*(I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (2*B*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 11, (-2*Sqrt[a]*A*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + (Sqrt[a - I*b]*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d + (Sqrt[a + I*b]*(A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d}
+{Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 12, -(((A*b + 2*a*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[a - I*b]*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - (Sqrt[a + I*b]*(I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (A*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 13, ((8*a^2*A + A*b^2 - 4*a*b*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*a^(3/2)*d) - (Sqrt[a - I*b]*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - (Sqrt[a + I*b]*(A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - ((A*b + 4*a*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*a*d) - (A*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^4*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 14, ((8*a^2*A*b - A*b^3 + 16*a^3*B + 2*a*b^2*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*d) - (Sqrt[a - I*b]*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d + (Sqrt[a + I*b]*(I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + ((8*a^2*A + A*b^2 - 2*a*b*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(8*a^2*d) - ((A*b + 6*a*B)*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(12*a*d) - (A*Cot[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 11, ((a - I*b)^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - ((a + I*b)^(3/2)*(I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (2*(A*b + a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d - (2*B*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d) + (2*(7*A*b - 2*a*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(35*b^2*d) + (2*B*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(7*b*d)}
+{Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 10, -(((a - I*b)^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d) - ((a + I*b)^(3/2)*(A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (2*(a*A - b*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d + (2*A*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d) + (2*B*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*b*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 9, -(((a - I*b)^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d) + ((a + I*b)^(3/2)*(I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (2*(A*b + a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d + (2*B*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 12, (-2*a^(3/2)*A*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + ((a - I*b)^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d + ((a + I*b)^(3/2)*(A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (2*b*B*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 12, -((Sqrt[a]*(3*A*b + 2*a*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d) + ((a - I*b)^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - ((a + I*b)^(3/2)*(I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (a*A*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 13, ((8*a^2*A - 3*A*b^2 - 12*a*b*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*Sqrt[a]*d) - ((a - I*b)^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - ((a + I*b)^(3/2)*(A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - ((5*A*b + 4*a*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 14, ((24*a^2*A*b + A*b^3 + 16*a^3*B - 6*a*b^2*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(8*a^(3/2)*d) - ((a - I*b)^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d + ((a + I*b)^(3/2)*(I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + ((8*a^2*A - A*b^2 - 10*a*b*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(8*a*d) - ((7*A*b + 6*a*B)*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(12*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 12, ((a - I*b)^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - ((a + I*b)^(5/2)*(I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (2*(2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d - (2*(A*b + a*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (2*B*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*d) + (2*(9*A*b - 2*a*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^(7/2))/(63*b^2*d) + (2*B*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(7/2))/(9*b*d)}
+{Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 11, -(((a - I*b)^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d) - ((a + I*b)^(5/2)*(A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (2*(a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d + (2*(a*A - b*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d) + (2*A*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*d) + (2*B*(a + b*Tan[c + d*x])^(7/2))/(7*b*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 10, -(((a - I*b)^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d) + ((a + I*b)^(5/2)*(I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (2*(2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d + (2*(A*b + a*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d) + (2*B*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 13, (-2*a^(5/2)*A*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + ((a - I*b)^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d + ((a + I*b)^(5/2)*(A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (2*b*(A*b + 2*a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d + (2*b*B*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 13, -((a^(3/2)*(5*A*b + 2*a*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d) + ((a - I*b)^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - ((a + I*b)^(5/2)*(I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (b*(a*A + 2*b*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d - (a*A*Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 13, (Sqrt[a]*(8*a^2*A - 15*A*b^2 - 20*a*b*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*d) - ((a - I*b)^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - ((a + I*b)^(5/2)*(A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (a*(7*A*b + 4*a*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 14, ((40*a^2*A*b - 5*A*b^3 + 16*a^3*B - 30*a*b^2*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(8*Sqrt[a]*d) - ((a - I*b)^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d + ((a + I*b)^(5/2)*(I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + ((8*a^2*A - 11*A*b^2 - 18*a*b*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(8*d) - (a*(3*A*b + 2*a*B)*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 15, -((128*a^4*A - 240*a^2*A*b^2 - 5*A*b^4 - 320*a^3*b*B + 40*a*b^3*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(64*a^(3/2)*d) + ((a - I*b)^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d + ((a + I*b)^(5/2)*(A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + ((144*a^2*A*b - 5*A*b^3 + 64*a^3*B - 88*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(64*a*d) + ((48*a^2*A - 59*A*b^2 - 104*a*b*B)*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(96*d) - (a*(11*A*b + 8*a*B)*Cot[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(24*d) - (a*A*Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(4*d)}
+
+
+{(-a + b*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 10, ((I*a - b)*(a - I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - ((a + I*b)^(5/2)*(I*a + b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (2*b*(a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d + (2*b*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+{(-a + b*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 13, -((b*(a^2 + b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] - Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d)) + (b*(a^2 + b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] + Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*(a^2 + b^2)*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (b*(a^2 + b^2)*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (2*b*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{(-a + b*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 13, -((b*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] - Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d)) + (b*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] + Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (b*Sqrt[a^2 + b^2]*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*Sqrt[a^2 + b^2]*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (2*b*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Tan[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 10, ((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/(Sqrt[a - I*b]*d) + ((A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/(Sqrt[a + I*b]*d) - (2*(10*a*A*b - 8*a^2*B + 15*b^2*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*b^3*d) + (2*(5*A*b - 4*a*B)*Tan[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*b^2*d) + (2*B*Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*b*d)}
+{(Tan[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 9, ((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/(Sqrt[a - I*b]*d) - ((I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/(Sqrt[a + I*b]*d) + (2*(3*A*b - 2*a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*b^2*d) + (2*B*Tan[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*b*d)}
+{(Tan[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 8, -(((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/(Sqrt[a - I*b]*d)) - ((A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/(Sqrt[a + I*b]*d) + (2*B*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(b*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 7, -(((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/(Sqrt[a - I*b]*d)) + ((I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/(Sqrt[a + I*b]*d)}
+{(Cot[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 11, (-2*A*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d) + ((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/(Sqrt[a - I*b]*d) + ((A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/(Sqrt[a + I*b]*d)}
+{(Cot[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 12, ((A*b - 2*a*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) + ((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/(Sqrt[a - I*b]*d) - ((I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/(Sqrt[a + I*b]*d) - (A*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(a*d)}
+{(Cot[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 13, ((8*a^2*A - 3*A*b^2 + 4*a*b*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*a^(5/2)*d) - ((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/(Sqrt[a - I*b]*d) - ((A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/(Sqrt[a + I*b]*d) + ((3*A*b - 4*a*B)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*a^2*d) - (A*Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*a*d)}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 10, ((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(3/2)*d) + ((A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(3/2)*d) + (2*a*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x]^2)/(b*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (2*(6*a^2*A*b + 3*A*b^3 - 8*a^3*B - 5*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*b^3*(a^2 + b^2)*d) - (2*(3*a*A*b - 4*a^2*B - b^2*B)*Tan[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*b^2*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Tan[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 9, ((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(3/2)*d) - ((I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(3/2)*d) - (2*a^2*(A*b - a*B))/(b^2*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^2*d)}
+{(Tan[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, -(((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(3/2)*d)) - ((A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(3/2)*d) + (2*a*(A*b - a*B))/(b*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, -(((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(3/2)*d)) + ((I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(3/2)*d) - (2*(A*b - a*B))/((a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(Cot[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 12, (-2*A*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) + ((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(3/2)*d) + ((A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(3/2)*d) + (2*b*(A*b - a*B))/(a*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(Cot[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 13, ((3*A*b - 2*a*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*d) + ((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(3/2)*d) - ((I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(3/2)*d) - (b*(a^2*A + 3*A*b^2 - 2*a*b*B))/(a^2*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) - (A*Cot[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(Cot[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 14, ((8*a^2*A - 15*A*b^2 + 12*a*b*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*a^(7/2)*d) - ((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(3/2)*d) - ((A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(3/2)*d) + (b*(7*a^2*A*b + 15*A*b^3 - 4*a^3*B - 12*a*b^2*B))/(4*a^3*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + ((5*A*b - 4*a*B)*Cot[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) - (A*Cot[c + d*x]^2)/(2*a*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^4*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 11, -(((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(5/2)*d)) + ((I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(5/2)*d) + (2*a*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x]^3)/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*(a^2*A*b + 3*A*b^3 - 2*a^3*B - 4*a*b^2*B)*Tan[c + d*x]^2)/(b^2*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (2*(8*a^4*A*b + 17*a^2*A*b^3 + 3*A*b^5 - 16*a^5*B - 30*a^3*b^2*B - 8*a*b^4*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*b^4*(a^2 + b^2)^2*d) - (2*(4*a^3*A*b + 10*a*A*b^3 - 8*a^4*B - 15*a^2*b^2*B - b^4*B)*Tan[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*b^3*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{(Tan[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 10, ((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(5/2)*d) + ((A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(5/2)*d) + (2*a*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x]^2)/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*a^2*(a^2*A*b + 7*A*b^3 - 4*a^3*B - 10*a*b^2*B))/(3*b^3*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) - (2*(a*A*b - 4*a^2*B - 3*b^2*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*b^3*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Tan[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, ((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(5/2)*d) - ((I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(5/2)*d) - (2*a^2*(A*b - a*B))/(3*b^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*(2*A*b^3 - a*(a^2 + 3*b^2)*B))/(b^2*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(Tan[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, -(((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(5/2)*d)) - ((A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(5/2)*d) + (2*a*(A*b - a*B))/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*(a^2*A - A*b^2 + 2*a*b*B))/((a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, -(((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(5/2)*d)) + ((I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(5/2)*d) - (2*(A*b - a*B))/(3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*(2*a*A*b - a^2*B + b^2*B))/((a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(Cot[c + d*x]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 13, (-2*A*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*d) + ((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(5/2)*d) + ((A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(5/2)*d) + (2*b*(A*b - a*B))/(3*a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(3*a^2*A*b + A*b^3 - 2*a^3*B))/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(Cot[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 14, ((5*A*b - 2*a*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(7/2)*d) + ((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(5/2)*d) - ((I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(5/2)*d) - (b*(3*a^2*A + 5*A*b^2 - 2*a*b*B))/(3*a^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (A*Cot[c + d*x])/(a*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (b*(a^4*A + 10*a^2*A*b^2 + 5*A*b^4 - 6*a^3*b*B - 2*a*b^3*B))/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(Cot[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 15, ((8*a^2*A - 35*A*b^2 + 20*a*b*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(4*a^(9/2)*d) - ((A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(5/2)*d) - ((A + I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(5/2)*d) + (b*(27*a^2*A*b + 35*A*b^3 - 12*a^3*B - 20*a*b^2*B))/(12*a^3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + ((7*A*b - 4*a*B)*Cot[c + d*x])/(4*a^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (A*Cot[c + d*x]^2)/(2*a*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (b*(11*a^4*A*b + 62*a^2*A*b^3 + 35*A*b^5 - 4*a^5*B - 40*a^3*b^2*B - 20*a*b^4*B))/(4*a^4*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+{(a*B + b*B*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 12, (b*B*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] - Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*B*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] + Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (b*B*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*B*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d)}
+{(a*B + b*B*Tan[c + d*x])/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 12, (b*B*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] - Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*B*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] + Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*B*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (b*B*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d)}
+{(Cot[c + d*x]*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 12, (-2*B*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d) + (B*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/(Sqrt[a - I*b]*d) + (B*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/(Sqrt[a + I*b]*d)}
+{(a*B + b*B*Tan[c + d*x])/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, ((-I)*B*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(3/2)*d) + (I*B*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(3/2)*d) - (2*b*B)/((a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(Cot[c + d*x]*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 13, (-2*B*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) + (B*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(3/2)*d) + (B*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(3/2)*d) + (2*b^2*B)/(a*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+{(-a + b*Tan[c + d*x])/(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 7, ((I*a - b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/(Sqrt[a - I*b]*d) - ((I*a + b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/(Sqrt[a + I*b]*d)}
+{(-a + b*Tan[c + d*x])/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((I*a - b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(3/2)*d) - ((I*a + b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(3/2)*d) + (4*a*b)/((a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(-a + b*Tan[c + d*x])/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, ((I*a - b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(5/2)*d) - ((I*a + b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(5/2)*d) + (4*a*b)/(3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(3*a^2 - b^2))/((a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+{(1 + I*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 3, -((2*I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/(Sqrt[a - I*b]*d))}
+{(1 - I*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 3, (2*I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/(Sqrt[a + I*b]*d)}
+
+
+{(3 + Tan[x])/Sqrt[4 + 3*Tan[x]], x, 2, (-Sqrt[2])*ArcTan[(1 - 3*Tan[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[4 + 3*Tan[x]])]}
+{(1 - 3*Tan[x])/Sqrt[4 + 3*Tan[x]], x, 2, Sqrt[2]*ArcTanh[(3 + Tan[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[4 + 3*Tan[x]])]}
+
+
+{(4 - 3*Tan[a + b*x])/Sqrt[4 + 3*Tan[a + b*x]], x, 5, -((9*ArcTan[(1 - 3*Tan[a + b*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[4 + 3*Tan[a + b*x]])])/(5*Sqrt[2]*b)) + (13*ArcTanh[(3 + Tan[a + b*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[4 + 3*Tan[a + b*x]])])/(5*Sqrt[2]*b)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^(m/2) (A+B Tan[c+d x]) (a+b Tan[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 14, ((a*(A - B) - b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a*(A - B) - b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((b*(A - B) + a*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((b*(A - B) + a*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*(A*b + a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*(a*A - b*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d) + (2*(A*b + a*B)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(5*d) + (2*b*B*Tan[c + d*x]^(7/2))/(7*d)}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 13, ((b*(A - B) + a*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((b*(A - B) + a*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a*(A - B) - b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a*(A - B) - b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*(a*A - b*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*(A*b + a*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d) + (2*b*B*Tan[c + d*x]^(5/2))/(5*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 12, -(((a*(A - B) - b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a*(A - B) - b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((b*(A - B) + a*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((b*(A - B) + a*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*(A*b + a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*b*B*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d)}
+{((a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 11, -(((b*(A - B) + a*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((b*(A - B) + a*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a*(A - B) - b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a*(A - B) - b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*b*B*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d}
+{((a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 11, ((a*(A - B) - b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a*(A - B) - b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((b*(A - B) + a*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((b*(A - B) + a*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*a*A)/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{((a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 12, ((b*(A - B) + a*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((b*(A - B) + a*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a*(A - B) - b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a*(A - B) - b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*a*A)/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (2*(A*b + a*B))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{((a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(7/2), x, 13, -(((a*(A - B) - b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a*(A - B) - b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((b*(A - B) + a*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((b*(A - B) + a*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*a*A)/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) - (2*(A*b + a*B))/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*(a*A - b*B))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 15, ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*(2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*(a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d) + (2*(2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(5*d) + (2*b*(9*A*b + 11*a*B)*Tan[c + d*x]^(7/2))/(63*d) + (2*b*B*Tan[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Tan[c + d*x]))/(9*d)}
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 14, ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*(a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*(2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d) + (2*b*(7*A*b + 9*a*B)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(35*d) + (2*b*B*Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x]))/(7*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 13, -(((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*(2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*b*(5*A*b + 7*a*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(15*d) + (2*b*B*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x]))/(5*d)}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 12, -(((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*b*(3*A*b + 5*a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*d) + (2*b*B*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x]))/(3*d)}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 12, ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*a^2*A)/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + (2*b^2*B*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 12, ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*a^2*A)/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (2*a*(2*A*b + a*B))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(7/2), x, 13, -(((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*a^2*A)/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) - (2*a*(2*A*b + a*B))/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*(a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 15, ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*(a^3*A - 3*a*A*b^2 - 3*a^2*b*B + b^3*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*(3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d) + (2*b*(27*a*A*b + 22*a^2*B - 9*b^2*B)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(45*d) + (2*b^2*(9*A*b + 13*a*B)*Tan[c + d*x]^(7/2))/(63*d) + (2*b*B*Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(9*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 14, -(((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*(3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*b*(21*a*A*b + 18*a^2*B - 7*b^2*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(21*d) + (2*b^2*(7*A*b + 11*a*B)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(35*d) + (2*b*B*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(7*d)}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 13, -(((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*b*(15*a*A*b + 14*a^2*B - 5*b^2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(5*d) + (2*b^2*(5*A*b + 9*a*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(15*d) + (2*b*B*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(5*d)}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 13, ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*b*(2*a^2*A + A*b^2 + 3*a*b*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*b^2*(3*a*A + b*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d) - (2*a*A*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 13, ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*a^2*(7*A*b + 3*a*B))/(3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + (2*b^2*(a*A + 3*b*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*d) - (2*a*A*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(7/2), x, 13, -(((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*a^2*(9*A*b + 5*a*B))/(15*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(5*a^2*A - 14*A*b^2 - 15*a*b*B))/(5*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*a*A*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Tan[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 16, ((a*(A - B) + b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a*(A - B) + b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*a^(5/2)*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(b^(5/2)*(a^2 + b^2)*d) + ((b*(A - B) - a*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((b*(A - B) - a*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b^2*d) + (2*B*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*b*d)}
+{(Tan[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 15, -(((b*(A - B) - a*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)) + ((b*(A - B) - a*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*a^(3/2)*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(b^(3/2)*(a^2 + b^2)*d) + ((a*(A - B) + b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a*(A - B) + b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*B*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b*d)}
+{(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 14, -(((a*(A - B) + b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)) + ((a*(A - B) + b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*Sqrt[a]*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(Sqrt[b]*(a^2 + b^2)*d) - ((b*(A - B) - a*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + ((b*(A - B) - a*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 14, ((b*(A - B) - a*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((b*(A - B) - a*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*Sqrt[b]*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a^2 + b^2)*d) - ((a*(A - B) + b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + ((a*(A - B) + b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 15, ((a*(A - B) + b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a*(A - B) + b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*b^(3/2)*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*(a^2 + b^2)*d) + ((b*(A - B) - a*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((b*(A - B) - a*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*A)/(a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 16, -(((b*(A - B) - a*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)) + ((b*(A - B) - a*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*b^(5/2)*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*(a^2 + b^2)*d) + ((a*(A - B) + b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a*(A - B) + b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*A)/(3*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*(A*b - a*B))/(a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 16, ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (a^(3/2)*(a^2*A*b + 5*A*b^3 - 3*a^3*B - 7*a*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(b^(5/2)*(a^2 + b^2)^2*d) + ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a*A*b - 3*a^2*B - 2*b^2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + (a*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 15, -(((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)) + ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (Sqrt[a]*(a^2*A*b - 3*A*b^3 + a^3*B + 5*a*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(b^(3/2)*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (a*(A*b - a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 15, -(((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)) + ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((3*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B + 3*a*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((A*b - a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^2), x, 15, ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (Sqrt[b]*(5*a^2*A*b + A*b^3 - 3*a^3*B + a*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (b*(A*b - a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2), x, 16, ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (b^(3/2)*(7*a^2*A*b + 3*A*b^3 - 5*a^3*B - a*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*(a^2 + b^2)^2*d) + ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (2*a^2*A + 3*A*b^2 - a*b*B)/(a^2*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + (b*(A*b - a*B))/(a*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2), x, 17, -(((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)) + ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^(5/2)*(9*a^2*A*b + 5*A*b^3 - 7*a^3*B - 3*a*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(a^(7/2)*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (2*a^2*A + 5*A*b^2 - 3*a*b*B)/(3*a^2*(a^2 + b^2)*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*A*b + 5*A*b^3 - 2*a^3*B - 3*a*b^2*B)/(a^3*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + (b*(A*b - a*B))/(a*(a^2 + b^2)*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 17, ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (a^(3/2)*(3*a^4*A*b + 6*a^2*A*b^3 + 35*A*b^5 - 15*a^5*B - 46*a^3*b^2*B - 63*a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(4*b^(7/2)*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((3*a^3*A*b + 11*a*A*b^3 - 15*a^4*B - 31*a^2*b^2*B - 8*b^4*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*b^3*(a^2 + b^2)^2*d) + (a*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (a*(a^2*A*b + 9*A*b^3 - 5*a^3*B - 13*a*b^2*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(4*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 16, ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (Sqrt[a]*(a^4*A*b + 18*a^2*A*b^3 - 15*A*b^5 + 3*a^5*B + 6*a^3*b^2*B + 35*a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(4*b^(5/2)*(a^2 + b^2)^3*d) + ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (a*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (a*(a^2*A*b - 7*A*b^3 + 3*a^3*B + 11*a*b^2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 16, -(((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)) + ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((3*a^4*A*b - 26*a^2*A*b^3 + 3*A*b^5 + a^5*B + 18*a^3*b^2*B - 15*a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(4*Sqrt[a]*b^(3/2)*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (a*(A*b - a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + ((3*a^2*A*b - 5*A*b^3 + a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*b*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 16, -(((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)) + ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((15*a^4*A*b - 18*a^2*A*b^3 - A*b^5 - 3*a^5*B + 26*a^3*b^2*B - 3*a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(4*a^(3/2)*Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((A*b - a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - ((7*a^2*A*b - A*b^3 - 3*a^3*B + 5*a*b^2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*a*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^3), x, 16, ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (Sqrt[b]*(35*a^4*A*b + 6*a^2*A*b^3 + 3*A*b^5 - 15*a^5*B + 18*a^3*b^2*B + a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(4*a^(5/2)*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (b*(A*b - a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (b*(11*a^2*A*b + 3*A*b^3 - 7*a^3*B + a*b^2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3), x, 17, ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (b^(3/2)*(63*a^4*A*b + 46*a^2*A*b^3 + 15*A*b^5 - 35*a^5*B - 6*a^3*b^2*B - 3*a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(4*a^(7/2)*(a^2 + b^2)^3*d) + ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (8*a^4*A + 31*a^2*A*b^2 + 15*A*b^4 - 11*a^3*b*B - 3*a*b^3*B)/(4*a^3*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + (b*(A*b - a*B))/(2*a*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (b*(13*a^2*A*b + 5*A*b^3 - 9*a^3*B - a*b^2*B))/(4*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^(5/2)*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 13, (B*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (B*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (B*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (B*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*B*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*d)}
+{(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 13, (B*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (B*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (B*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (B*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*B*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d}
+{(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 12, -((B*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + (B*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (B*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (B*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a*B + b*B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 12, -((B*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + (B*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (B*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (B*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a*B + b*B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 13, (B*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (B*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (B*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (B*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*B)/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(a*B + b*B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 13, (B*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (B*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (B*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (B*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*B)/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^(5/2)*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 16, ((a + b)*B*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a + b)*B*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*a^(5/2)*B*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(b^(3/2)*(a^2 + b^2)*d) - ((a - b)*B*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + ((a - b)*B*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*B*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b*d)}
+{(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 15, ((a - b)*B*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a - b)*B*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*a^(3/2)*B*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(Sqrt[b]*(a^2 + b^2)*d) + ((a + b)*B*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a + b)*B*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 15, -(((a + b)*B*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)) + ((a + b)*B*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*B*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/((a^2 + b^2)*d) + ((a - b)*B*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a - b)*B*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{(a*B + b*B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^2), x, 15, -(((a - b)*B*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)) + ((a - b)*B*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*b^(3/2)*B*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a^2 + b^2)*d) - ((a + b)*B*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + ((a + b)*B*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{(a*B + b*B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2), x, 16, ((a + b)*B*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a + b)*B*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*b^(5/2)*B*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*(a^2 + b^2)*d) - ((a - b)*B*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + ((a - b)*B*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*B)/(a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^(m/2) (A+B Tan[c+d x]) (a+b Tan[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 14, (Sqrt[I*a - b]*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + ((4*a*A*b - a^2*B - 8*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(4*b^(3/2)*d) + (Sqrt[I*a + b]*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + ((4*A*b - a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*b*d) + (B*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(2*b*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 13, (Sqrt[I*a - b]*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + ((2*A*b + a*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[b]*d) - (Sqrt[I*a + b]*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (B*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{(Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 12, -((Sqrt[I*a - b]*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) + (2*Sqrt[b]*B*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (Sqrt[I*a + b]*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d}
+{(Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 8, -((Sqrt[I*a - b]*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) + (Sqrt[I*a + b]*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*A*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 9, (Sqrt[I*a - b]*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (Sqrt[I*a + b]*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*A*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (2*(A*b + 3*a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(7/2), x, 10, (Sqrt[I*a - b]*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (Sqrt[I*a + b]*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*A*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) - (2*(A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*(15*a^2*A + 2*A*b^2 - 5*a*b*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(9/2), x, 11, -((Sqrt[I*a - b]*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) - (Sqrt[I*a + b]*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*A*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(7*d*Tan[c + d*x]^(7/2)) - (2*(A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(35*a*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (2*(35*a^2*A + 4*A*b^2 - 7*a*b*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*a^2*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*(35*a^2*A*b - 8*A*b^3 + 105*a^3*B + 14*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*a^3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 15, ((I*a - b)^(3/2)*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + ((6*a^2*A*b - 16*A*b^3 - a^3*B - 24*a*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(8*b^(3/2)*d) + ((I*a + b)^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + ((6*a*A*b - a^2*B - 8*b^2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(8*b*d) + ((6*A*b - a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(12*b*d) + (B*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(3*b*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 14, ((a + I*b)^2*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a - b]*d) + ((12*a*A*b + 3*a^2*B - 8*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(4*Sqrt[b]*d) + ((I*a + b)^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + ((4*A*b + 5*a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*d) + (b*B*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d)}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 13, -(((I*a - b)^(3/2)*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) + (Sqrt[b]*(2*A*b + 3*a*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - ((I*a + b)^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (b*B*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 13, -(((a + I*b)^2*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a - b]*d)) + (2*b^(3/2)*B*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - ((I*a + b)^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*A*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 9, ((I*a - b)^(3/2)*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + ((I*a + b)^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*A*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (2*(4*A*b + 3*a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(7/2), x, 10, ((a + I*b)^2*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a - b]*d) + ((I*a + b)^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*A*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) - (2*(6*A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*(15*a^2*A - 3*A*b^2 - 20*a*b*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(9/2), x, 11, -(((I*a - b)^(3/2)*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) - ((I*a + b)^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*A*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(7*d*Tan[c + d*x]^(7/2)) - (2*(8*A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(35*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (2*(35*a^2*A - 3*A*b^2 - 42*a*b*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*(140*a^2*A*b + 6*A*b^3 + 105*a^3*B - 21*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(11/2), x, 12, ((I*a - b)^(3/2)*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - ((I*a + b)^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*A*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(9*d*Tan[c + d*x]^(9/2)) - (2*(10*A*b + 9*a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(63*d*Tan[c + d*x]^(7/2)) + (2*(21*a^2*A - A*b^2 - 24*a*b*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*a*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (2*(126*a^2*A*b + 4*A*b^3 + 105*a^3*B - 9*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(315*a^2*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (2*(315*a^4*A - 63*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 - 420*a^3*b*B - 18*a*b^3*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(315*a^3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 16, -(((I*a - b)^(5/2)*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) + ((40*a^3*A*b - 320*a*A*b^3 - 5*a^4*B - 240*a^2*b^2*B + 128*b^4*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(64*b^(3/2)*d) - ((I*a + b)^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + ((40*a^2*A*b - 64*A*b^3 - 5*a^3*B - 112*a*b^2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(64*b*d) + ((40*a*A*b - 5*a^2*B - 48*b^2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(96*b*d) + ((8*A*b - a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(24*b*d) + (B*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(7/2))/(4*b*d)}
+{Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 15, -(((I*a - b)^(5/2)*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) + ((30*a^2*A*b - 16*A*b^3 + 5*a^3*B - 40*a*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(8*Sqrt[b]*d) + ((I*a + b)^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + ((14*a*A*b + 5*a^2*B - 8*b^2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(8*d) + ((2*A*b + 3*a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(4*d) + (b*B*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Tan[c + d*x]], x, 14, ((I*a - b)^(5/2)*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (Sqrt[b]*(20*a*A*b + 15*a^2*B - 8*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(4*d) + ((I*a + b)^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (b*(4*A*b + 7*a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*d) + (b*B*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(2*d)}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(3/2), x, 14, ((I*a - b)^(5/2)*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (b^(3/2)*(2*A*b + 5*a*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - ((I*a + b)^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + (b*(2*a*A + b*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d - (2*a*A*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 14, -(((I*a - b)^(5/2)*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) + (2*b^(5/2)*B*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - ((I*a + b)^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*(2*A*b + a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*a*A*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d*Tan[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(7/2), x, 10, -(((I*a - b)^(5/2)*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) + ((I*a + b)^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*(8*A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*(15*a^2*A - 23*A*b^2 - 35*a*b*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*a*A*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(9/2), x, 11, ((I*a - b)^(5/2)*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d + ((I*a + b)^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*(10*A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(35*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (2*(35*a^2*A - 45*A*b^2 - 77*a*b*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*(245*a^2*A*b - 15*A*b^3 + 105*a^3*B - 161*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*a*A*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(7*d*Tan[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(11/2), x, 12, ((I*a - b)^(5/2)*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - ((I*a + b)^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*(4*A*b + 3*a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(21*d*Tan[c + d*x]^(7/2)) + (2*(21*a^2*A - 25*A*b^2 - 45*a*b*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (2*(231*a^2*A*b - 5*A*b^3 + 105*a^3*B - 135*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(315*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (2*(315*a^4*A - 483*a^2*A*b^2 - 10*A*b^4 - 735*a^3*b*B + 45*a*b^3*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(315*a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*a*A*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(9*d*Tan[c + d*x]^(9/2))}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(13/2), x, 13, -(((I*a - b)^(5/2)*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d) - ((I*a + b)^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - (2*a*(14*A*b + 11*a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(99*d*Tan[c + d*x]^(9/2)) + (2*(99*a^2*A - 113*A*b^2 - 209*a*b*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(693*d*Tan[c + d*x]^(7/2)) + (2*(495*a^2*A*b - 5*A*b^3 + 231*a^3*B - 275*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(1155*a*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) - (2*(1155*a^4*A - 1485*a^2*A*b^2 - 20*A*b^4 - 2541*a^3*b*B + 55*a*b^3*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3465*a^2*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (2*(8085*a^4*A*b - 495*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 3465*a^5*B - 5313*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3465*a^3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (2*a*A*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(11*d*Tan[c + d*x]^(11/2))}
+
+
+{((a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*((3*b*B)/(2*a) + B*Tan[c + d*x]))/Tan[c + d*x]^(5/2), x, 14, ((I*a - b)^(5/2)*(2*a - 3*I*b)*B*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*a*d) + (2*b^(5/2)*B*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/d - ((2*a + 3*I*b)*(I*a + b)^(5/2)*B*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(2*a*d) - (2*(a^2 + 3*b^2)*B*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (b*B*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(d*Tan[c + d*x]^(3/2))}
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
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+
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+{(Tan[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 13, -(((A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a - b]*d)) + ((2*A*b - a*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(b^(3/2)*d) - ((A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a + b]*d) + (B*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(b*d)}
+{(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 12, ((I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a - b]*d) + (2*B*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[b]*d) - ((I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a + b]*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]), x, 7, ((A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a - b]*d) + ((A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a + b]*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]), x, 8, -(((I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a - b]*d)) + ((I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a + b]*d) - (2*A*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]), x, 9, -(((A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a - b]*d)) - ((A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a + b]*d) - (2*A*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*(2*A*b - 3*a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]), x, 10, ((I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a - b]*d) - ((I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a + b]*d) - (2*A*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*a*d*Tan[c + d*x]^(5/2)) + (2*(4*A*b - 5*a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*a^2*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*(15*a^2*A - 8*A*b^2 + 10*a*b*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*a^3*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 13, -(((I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(3/2)*d)) + (2*B*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(b^(3/2)*d) - ((I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(3/2)*d) + (2*a*(A*b - a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, -(((A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(3/2)*d)) + ((A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(3/2)*d) - (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 8, ((I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(3/2)*d) + ((I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(3/2)*d) + (2*b*(A*b - a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 9, ((A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(3/2)*d) - ((A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(3/2)*d) - (2*A)/(a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) - (2*b*(a^2*A + 2*A*b^2 - a*b*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^2*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 10, -(((I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(3/2)*d)) - ((I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(3/2)*d) - (2*A)/(3*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (2*(4*A*b - 3*a*B))/(3*a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (2*b*(5*a^2*A*b + 8*A*b^3 - 3*a^3*B - 6*a*b^2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 14, ((I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(5/2)*d) + (2*B*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(b^(5/2)*d) - ((I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(5/2)*d) + (2*a*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*(2*A*b^3 - a*(a^2 + 3*b^2)*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(Tan[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, ((A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(5/2)*d) + ((A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(5/2)*d) + (2*a*(A*b - a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*(2*a^2*A*b - 4*A*b^3 + a^3*B + 7*a*b^2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*b*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 9, -(((I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(5/2)*d)) + ((I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(5/2)*d) - (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*(5*a^2*A*b - A*b^3 - 2*a^3*B + 4*a*b^2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*a*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 9, -(((A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(5/2)*d)) - ((A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(5/2)*d) + (2*b*(A*b - a*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(8*a^2*A*b + 2*A*b^3 - 5*a^3*B + a*b^2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 10, ((I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(5/2)*d) - ((I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(5/2)*d) - (2*A)/(a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*b*(3*a^2*A + 4*A*b^2 - a*b*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*b*(3*a^4*A + 17*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 - 8*a^3*b*B - 2*a*b^3*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 11, ((A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a - b)^(5/2)*d) + ((A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/((I*a + b)^(5/2)*d) - (2*A)/(3*a*d*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*(2*A*b - a*B))/(a^2*d*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(7*a^2*A*b + 8*A*b^3 - 3*a^3*B - 4*a*b^2*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(8*a^4*A*b + 30*a^2*A*b^3 + 16*A*b^5 - 3*a^5*B - 17*a^3*b^2*B - 8*a*b^4*B)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(3*a^4*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+{(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 13, -((B*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a - b]*d)) + (2*B*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[b]*d) - (B*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a + b]*d)}
+{(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 8, (I*B*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a - b]*d) - (I*B*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a + b]*d)}
+{(a*B + b*B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 8, (B*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a - b]*d) + (B*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a + b]*d)}
+{(a*B + b*B*Tan[c + d*x])/(Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 10, ((-I)*B*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a - b]*d) + (I*B*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[I*a + b]*d) - (2*B*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^m (A+B Tan[c+d x]) (a+b Tan[c+d x])^(n/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 12, (-(1/4))*(a - I*b)^(2/3)*(A - I*B)*x - (1/4)*(a + I*b)^(2/3)*(A + I*B)*x + (Sqrt[3]*(a - I*b)^(2/3)*(I*A + B)*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a - I*b)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*d) - (Sqrt[3]*(a + I*b)^(2/3)*(I*A - B)*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a + I*b)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*d) - ((a + I*b)^(2/3)*(I*A - B)*Log[Cos[c + d*x]])/(4*d) + ((a - I*b)^(2/3)*(I*A + B)*Log[Cos[c + d*x]])/(4*d) + (3*(a - I*b)^(2/3)*(I*A + B)*Log[(a - I*b)^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*d) - (3*(a + I*b)^(2/3)*(I*A - B)*Log[(a + I*b)^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*d) + (3*B*(a + b*Tan[c + d*x])^(2/3))/(2*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 12, (-(1/4))*(a - I*b)^(1/3)*(A - I*B)*x - (1/4)*(a + I*b)^(1/3)*(A + I*B)*x - (Sqrt[3]*(a - I*b)^(1/3)*(I*A + B)*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a - I*b)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*d) + (Sqrt[3]*(a + I*b)^(1/3)*(I*A - B)*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a + I*b)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*d) - ((a + I*b)^(1/3)*(I*A - B)*Log[Cos[c + d*x]])/(4*d) + ((a - I*b)^(1/3)*(I*A + B)*Log[Cos[c + d*x]])/(4*d) + (3*(a - I*b)^(1/3)*(I*A + B)*Log[(a - I*b)^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*d) - (3*(a + I*b)^(1/3)*(I*A - B)*Log[(a + I*b)^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*d) + (3*B*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/d}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3), x, 11, -(((A - I*B)*x)/(4*(a - I*b)^(1/3))) - ((A + I*B)*x)/(4*(a + I*b)^(1/3)) + (Sqrt[3]*(I*A + B)*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a - I*b)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*(a - I*b)^(1/3)*d) - (Sqrt[3]*(I*A - B)*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a + I*b)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*(a + I*b)^(1/3)*d) - ((I*A - B)*Log[Cos[c + d*x]])/(4*(a + I*b)^(1/3)*d) + ((I*A + B)*Log[Cos[c + d*x]])/(4*(a - I*b)^(1/3)*d) + (3*(I*A + B)*Log[(a - I*b)^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*(a - I*b)^(1/3)*d) - (3*(I*A - B)*Log[(a + I*b)^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*(a + I*b)^(1/3)*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(a + b*Tan[c + d*x])^(2/3), x, 11, -(((A - I*B)*x)/(4*(a - I*b)^(2/3))) - ((A + I*B)*x)/(4*(a + I*b)^(2/3)) - (Sqrt[3]*(I*A + B)*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a - I*b)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*(a - I*b)^(2/3)*d) + (Sqrt[3]*(I*A - B)*ArcTan[(1 + (2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/3))/(a + I*b)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*(a + I*b)^(2/3)*d) - ((I*A - B)*Log[Cos[c + d*x]])/(4*(a + I*b)^(2/3)*d) + ((I*A + B)*Log[Cos[c + d*x]])/(4*(a - I*b)^(2/3)*d) + (3*(I*A + B)*Log[(a - I*b)^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*(a - I*b)^(2/3)*d) - (3*(I*A - B)*Log[(a + I*b)^(1/3) - (a + b*Tan[c + d*x])^(1/3)])/(4*(a + I*b)^(2/3)*d)}
+
+
+{(I - Tan[e + f*x])/(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3), x, 5, -((I*x)/(2*(c - I*d)^(1/3))) - (Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(c - I*d)^(1/3))/Sqrt[3]])/((c - I*d)^(1/3)*f) - Log[Cos[e + f*x]]/(2*(c - I*d)^(1/3)*f) - (3*Log[(c - I*d)^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(2*(c - I*d)^(1/3)*f)}
+
+
+{(d - c*Tan[e + f*x])/(c + d*Tan[e + f*x])^(2/3), x, 11, (-(1/4))*I*(c - I*d)^(1/3)*x + (1/4)*I*(c + I*d)^(1/3)*x + (Sqrt[3]*(c - I*d)^(1/3)*ArcTan[(1 + (2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(c - I*d)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*f) + (Sqrt[3]*(c + I*d)^(1/3)*ArcTan[(1 + (2*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/3))/(c + I*d)^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*f) - ((c - I*d)^(1/3)*Log[Cos[e + f*x]])/(4*f) - ((c + I*d)^(1/3)*Log[Cos[e + f*x]])/(4*f) - (3*(c - I*d)^(1/3)*Log[(c - I*d)^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(4*f) - (3*(c + I*d)^(1/3)*Log[(c + I*d)^(1/3) - (c + d*Tan[e + f*x])^(1/3)])/(4*f)}
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^m (A+B Tan[c+d x]) (a+b Tan[c+d x])^n with m symbolic*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^m*(a + b*Tan[c + d*x])^4*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 9, If[$VersionNumber>=8, -((b*(A*b^3*(12 + 7*m + m^2) + 4*a*b^2*B*(12 + 7*m + m^2) - 2*a^3*B*(19 + 8*m + m^2) - a^2*A*b*(68 + 37*m + 5*m^2))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)*(3 + m)*(4 + m))) + ((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 - 4*a^3*b*B + 4*a*b^3*B)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (b^2*(2*a*A*b*(4 + m)^2 - b^2*B*(12 + 7*m + m^2) + a^2*B*(26 + 9*m + m^2))*Tan[c + d*x]^(2 + m))/(d*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)) + ((4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 + a^4*B - 6*a^2*b^2*B + b^4*B)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(2 + m))/(d*(2 + m)) + (b*(A*b*(4 + m) + a*B*(7 + m))*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(d*(3 + m)*(4 + m)) + (b*B*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(d*(4 + m)), -((b*(A*b^3*(12 + 7*m + m^2) + 4*a*b^2*B*(12 + 7*m + m^2) - 2*a^3*B*(19 + 8*m + m^2) - a^2*A*b*(68 + 37*m + 5*m^2))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(4 + m)*(3 + 4*m + m^2))) + ((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 - 4*a^3*b*B + 4*a*b^3*B)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (b^2*(2*a*A*b*(4 + m)^2 - b^2*B*(12 + 7*m + m^2) + a^2*B*(26 + 9*m + m^2))*Tan[c + d*x]^(2 + m))/(d*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)) + ((4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 + a^4*B - 6*a^2*b^2*B + b^4*B)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(2 + m))/(d*(2 + m)) + (b*(A*b*(4 + m) + a*B*(7 + m))*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(d*(3 + m)*(4 + m)) + (b*B*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(d*(4 + m))]}
+{Tan[c + d*x]^m*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 8, (b*(3*a*A*b*(3 + m) - b^2*B*(3 + m) + 2*a^2*B*(4 + m))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)*(3 + m)) + ((a^3*A - 3*a*A*b^2 - 3*a^2*b*B + b^3*B)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (b^2*(A*b*(3 + m) + a*B*(5 + m))*Tan[c + d*x]^(2 + m))/(d*(2 + m)*(3 + m)) + ((3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(2 + m))/(d*(2 + m)) + (b*B*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(d*(3 + m))}
+{Tan[c + d*x]^m*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, (b*(A*b*(2 + m) + a*B*(3 + m))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)*(2 + m)) + ((a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)) + ((2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(2 + m))/(d*(2 + m)) + (b*B*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Tan[c + d*x]))/(d*(2 + m))}
+{Tan[c + d*x]^m*(a + b*Tan[c + d*x])^1*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, (b*B*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)) + ((a*A - b*B)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)) + ((A*b + a*B)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(2 + m))/(d*(2 + m))}
+{(Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^1, x, 8, ((a*A + b*B)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/((a^2 + b^2)*d*(1 + m)) + (b*(A*b - a*B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(a*(a^2 + b^2)*d*(1 + m)) - ((A*b - a*B)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(2 + m))/((a^2 + b^2)*d*(2 + m))}
+{(Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 9, ((a^2*A - A*b^2 + 2*a*b*B)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/((a^2 + b^2)^2*d*(1 + m)) + (1/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d*(1 + m)))*(b*(a^2*A*b*(2 - m) - A*b^3*m + a*b^2*B*(1 + m) - a^3*(B - B*m))*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(1 + m)) - ((2*a*A*b - a^2*B + b^2*B)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(2 + m))/((a^2 + b^2)^2*d*(2 + m)) + (b*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 10, ((a^3*A - 3*a*A*b^2 + 3*a^2*b*B - b^3*B)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/((a^2 + b^2)^3*d*(1 + m)) - (b*(A*b^5*(1 - m)*m + a*b^4*B*m*(1 + m) - 2*a^3*b^2*B*(3 + m - m^2) + 2*a^2*A*b^3*(1 + 3*m - m^2) - a^4*A*b*(6 - 5*m + m^2) + a^5*B*(2 - 3*m + m^2))*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(2*a^3*(a^2 + b^2)^3*d*(1 + m)) - ((3*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B + 3*a*b^2*B)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(2 + m))/((a^2 + b^2)^3*d*(2 + m)) + (b*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(2*a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (b*(A*b^3*(1 - m) - a^3*B*(3 - m) + a^2*A*b*(5 - m) + a*b^2*B*(1 + m))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(2*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{(Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^4, x, 11, ((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 + 4*a^3*b*B - 4*a*b^3*B)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/((a^2 + b^2)^4*d*(1 + m)) - (1/(6*a^4*(a^2 + b^2)^4*d*(1 + m)))*(b*(a*b^6*B*m*(1 - m^2) + 3*a^2*A*b^5*m*(2 - 5*m + m^2) + A*b^7*m*(2 - 3*m + m^2) + 3*a^3*b^4*B*(2 + 5*m + 2*m^2 - m^3) + a^7*B*(6 - 11*m + 6*m^2 - m^3) - a^6*A*b*(24 - 26*m + 9*m^2 - m^3) + 3*a^4*A*b^3*(8 + 10*m - 7*m^2 + m^3) - 3*a^5*b^2*B*(12 - m - 4*m^2 + m^3))*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(1 + m)) - ((4*a^3*A*b - 4*a*A*b^3 - a^4*B + 6*a^2*b^2*B - b^4*B)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(2 + m))/((a^2 + b^2)^4*d*(2 + m)) + (b*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(3*a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) + (b*(A*b^3*(2 - m) - a^3*B*(5 - m) + a^2*A*b*(8 - m) + a*b^2*B*(1 + m))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(6*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (b*(a*b^4*B*(1 - m^2) + 2*a^3*b^2*B*(7 + 3*m - m^2) + a^4*A*b*(26 - 9*m + m^2) + 2*a^2*A*b^3*(2 - 6*m + m^2) - a^5*B*(11 - 6*m + m^2) + A*b^5*(2 - 3*m + m^2))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(6*a^3*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^m*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, (a^2*(A + I*B)*AppellF1[1 + m, -(5/2), 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), (-I)*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d*(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a]) + (a^2*(A - I*B)*AppellF1[1 + m, -(5/2), 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d*(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])}
+{Tan[c + d*x]^m*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, (a*(A + I*B)*AppellF1[1 + m, -(3/2), 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), (-I)*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d*(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a]) + (a*(A - I*B)*AppellF1[1 + m, -(3/2), 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d*(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])}
+{Tan[c + d*x]^m*(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, ((A + I*B)*AppellF1[1 + m, -(1/2), 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), (-I)*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d*(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a]) + ((A - I*B)*AppellF1[1 + m, -(1/2), 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d*(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])}
+{(Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 7, ((A + I*B)*AppellF1[1 + m, 1/2, 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), (-I)*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(2*d*(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + ((A - I*B)*AppellF1[1 + m, 1/2, 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(2*d*(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((A + I*B)*AppellF1[1 + m, 3/2, 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), (-I)*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(2*a*d*(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + ((A - I*B)*AppellF1[1 + m, 3/2, 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(2*a*d*(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 7, ((A + I*B)*AppellF1[1 + m, 5/2, 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), (-I)*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(2*a^2*d*(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + ((A - I*B)*AppellF1[1 + m, 5/2, 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[1 + (b*Tan[c + d*x])/a])/(2*a^2*d*(1 + m)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^m (A+B Tan[c+d x]) (a+b Tan[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 7, (1/(2*d*(1 + m)))*(((A + I*B)*AppellF1[1 + m, -n, 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), (-I)*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/(1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n) + (1/(2*d*(1 + m)))*(((A - I*B)*AppellF1[1 + m, -n, 1, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a), I*Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/(1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^4*(A + B*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 9, -(((A*b^3*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n) - a*(b^2*B*(3 + n)*(4 + n) - 2*a*(3*a*B - A*b*(4 + n))))*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b^4*d*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n))) + ((A - I*B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(I*a + b)*d*(1 + n)) - ((A + I*B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(I*a - b)*d*(1 + n)) - ((b^2*B*(3 + n)*(4 + n) - 2*a*(3*a*B - A*b*(4 + n)))*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b^3*d*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)) - ((3*a*B - A*b*(4 + n))*Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b^2*d*(3 + n)*(4 + n)) + (B*Tan[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b*d*(4 + n))}
+{Tan[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 8, ((2*a^2*B - a*A*b*(3 + n) - b^2*B*(6 + 5*n + n^2))*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b^3*d*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)) + ((I*A + B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(I*a + b)*d*(1 + n)) + ((A + I*B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a + I*b)*d*(1 + n)) - ((2*a*B - A*b*(3 + n))*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b^2*d*(2 + n)*(3 + n)) + (B*Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b*d*(3 + n))}
+{Tan[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 7, -(((a*B - A*b*(2 + n))*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b^2*d*(1 + n)*(2 + n))) + ((I*A + B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a - I*b)*d*(1 + n)) + ((A + I*B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(I*a - b)*d*(1 + n)) + (B*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b*d*(2 + n))}
+{Tan[c + d*x]^1*(A + B*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 6, (B*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(b*d*(1 + n)) - ((A - I*B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a - I*b)*d*(1 + n)) - ((A + I*B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a + I*b)*d*(1 + n))}
+{Tan[c + d*x]^0*(A + B*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 5, ((A - I*B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(I*a + b)*d*(1 + n)) + ((I*A - B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a + I*b)*d*(1 + n))}
+{Cot[c + d*x]^1*(A + B*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 8, ((I*A + B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(I*a + b)*d*(1 + n)) + ((A + I*B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a + I*b)*d*(1 + n)) - (A*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*Tan[c + d*x])/a]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(1 + n))}
+{Cot[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 9, -((A*Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(a*d)) - ((A - I*B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(I*a + b)*d*(1 + n)) + ((A + I*B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(I*a - b)*d*(1 + n)) - ((a*B + A*b*n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*Tan[c + d*x])/a]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(a^2*d*(1 + n))}
+{Cot[c + d*x]^3*(A + B*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 10, -(((2*a*B - A*b*(1 - n))*Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*a^2*d)) - (A*Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*a*d) - ((I*A + B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(I*a + b)*d*(1 + n)) - ((A + I*B)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a + I*b)*d*(1 + n)) + ((2*a^2*A - 2*a*b*B*n + A*b^2*(1 - n)*n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*Tan[c + d*x])/a]*(a + b*Tan[c + d*x])^(1 + n))/(2*a^3*d*(1 + n))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n (A+B Tan[e+f x])*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^m (a+a I Tan[e+f x])^n (A+B Tan[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cot[c+d x]^(m/2) (A+B Tan[c+d x]) (a+i a Tan[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, (2*(-1)^(1/4)*a*(A - I*B)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d + (2*a*(A - I*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - (2*a*(I*A + B)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*d) - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(5/2))/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, -((2*(-1)^(1/4)*a*(I*A + B)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d) - (2*a*(I*A + B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, -((2*(-1)^(1/4)*a*(A - I*B)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d) - (2*a*A*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 4, (2*(-1)^(1/4)*a*(I*A + B)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d + (2*I*a*B)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 5, (2*(-1)^(1/4)*a*(A - I*B)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d + (2*I*a*B)/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(I*A + B))/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]))/Cot[c + d*x]^(3/2), x, 6, -((2*(-1)^(1/4)*a*(I*A + B)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d) + (2*I*a*B)/(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(I*A + B))/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(A - I*B))/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, (4*(-1)^(1/4)*a^2*(A - I*B)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d + (4*a^2*(A - I*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - (2*a^2*(7*I*A + 5*B)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(15*d) - (2*A*Cot[c + d*x]^(3/2)*(I*a^2 + a^2*Cot[c + d*x]))/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, -((4*(-1)^(1/4)*a^2*(I*A + B)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d) - (2*a^2*(5*I*A + 3*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(3*d) - (2*A*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(I*a^2 + a^2*Cot[c + d*x]))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, -((4*(-1)^(1/4)*a^2*(A - I*B)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d) - (2*a^2*(A + I*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d + (2*I*B*(I*a^2 + a^2*Cot[c + d*x]))/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, (4*(-1)^(1/4)*a^2*(I*A + B)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d - (2*a^2*(3*A - 5*I*B))/(3*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (2*I*B*(I*a^2 + a^2*Cot[c + d*x]))/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 6, (4*(-1)^(1/4)*a^2*(A - I*B)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d - (2*a^2*(5*A - 7*I*B))/(15*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(I*A + B))/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (2*I*B*(I*a^2 + a^2*Cot[c + d*x]))/(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(9/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, (8*(-1)^(1/4)*a^3*(I*A + B)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d + (8*a^3*(I*A + B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d + (8*a^3*(23*A - 21*I*B)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(105*d) - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(3/2)*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2)/(7*d) - (2*(11*I*A + 7*B)*Cot[c + d*x]^(3/2)*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(35*d)}
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, (8*(-1)^(1/4)*a^3*(A - I*B)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d + (16*a^3*(6*A - 5*I*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(15*d) - (2*a*A*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2)/(5*d) - (2*(9*I*A + 5*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(15*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, -((8*(-1)^(1/4)*a^3*(I*A + B)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d) - (16*I*a^3*A*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(3*d) + (2*I*a*B*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - (2*(A + 3*I*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, -((8*(-1)^(1/4)*a^3*(A - I*B)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d) - (16*I*a^3*B*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(3*d) + (2*I*a*B*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2)/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) - (2*(3*A - 7*I*B)*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(3*d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, (8*(-1)^(1/4)*a^3*(I*A + B)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d - (16*a^3*(5*A - 6*I*B))/(15*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (2*I*a*B*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2)/(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2)) - (2*(5*A - 9*I*B)*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(15*d*Cot[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 7, (8*(-1)^(1/4)*a^3*(A - I*B)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/d - (8*a^3*(21*A - 23*I*B))/(105*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (8*a^3*(I*A + B))/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (2*I*a*B*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2)/(7*d*Cot[c + d*x]^(7/2)) - (2*(7*A - 11*I*B)*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(35*d*Cot[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cot[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 14, -(((1/4 - I/4)*((6 + I)*A + (1 + 4*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d)) + (((7 - 5*I)*A + (5 + 3*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(4*Sqrt[2]*a*d) + (5*(I*A - B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(2*a*d) - ((7*A + 3*I*B)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(6*a*d) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x]^(5/2))/(2*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])) + (((7 + 5*I)*A - (5 - 3*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(8*Sqrt[2]*a*d) + (((-7 - 5*I)*A + (5 - 3*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(8*Sqrt[2]*a*d)}
+{(Cot[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 13, (1/(4*Sqrt[2]*a*d))*(((-5 - 3*I)*A + (3 - I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]]) + (1/(4*Sqrt[2]*a*d))*(((5 + 3*I)*A - (3 - I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]]) - ((5*A + I*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(2*a*d) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(2*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])) - (1/(Sqrt[2]*a*d))*((1/8 - I/8)*((4 + I)*A + (1 + 2*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]]) + (1/(8*Sqrt[2]*a*d))*(((5 - 3*I)*A + (3 + I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x]), x, 12, ((1/4 - I/4)*((2 + I)*A + B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) - ((1/4 - I/4)*((2 + I)*A + B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) + ((A + I*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(2*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])) - (((3 + I)*A - (1 + I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(8*Sqrt[2]*a*d) + (((3 + I)*A - (1 + I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(8*Sqrt[2]*a*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])), x, 12, ((1/4 - I/4)*(A + (2 - I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) - ((1/4 - I/4)*(A + (2 - I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) + ((I*A - B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(2*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])) + ((1/8 + I/8)*(A - (2 + I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d) - ((1/8 + I/8)*(A - (2 + I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])), x, 13, (((1 - 3*I)*A + (3 + 5*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(4*Sqrt[2]*a*d) + ((1/4 + I/4)*((1 + 2*I)*A - (4 + I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) - (A + 5*I*B)/(2*a*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (I*A - B)/(2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(I*a + a*Cot[c + d*x])) - ((1/8 + I/8)*((2 + I)*A + (1 + 4*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d) + ((1/8 + I/8)*((2 + I)*A + (1 + 4*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])), x, 14, ((1/4 + I/4)*((4 + I)*A + (1 + 6*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) - ((1/4 + I/4)*((4 + I)*A + (1 + 6*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a*d) - (3*A + 7*I*B)/(6*a*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) - (5*(I*A - B))/(2*a*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (I*A - B)/(2*d*Cot[c + d*x]^(3/2)*(I*a + a*Cot[c + d*x])) + (((3 - 5*I)*A + (5 + 7*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(8*Sqrt[2]*a*d) + ((1/8 + I/8)*((1 + 4*I)*A - (6 + I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d)}
+
+
+{(Cot[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 14, -(((1/16 - I/16)*((2 + 23*I)*A - (7 + 2*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d)) + (((25 + 21*I)*A - (9 - 5*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^2*d) - (5*(5*A + I*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(8*a^2*d) + ((7*A + 3*I*B)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(8*a^2*d*(I + Cot[c + d*x])) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x]^(5/2))/(4*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) - ((1/32 - I/32)*((23 + 2*I)*A + (2 + 7*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + ((1/32 - I/32)*((23 + 2*I)*A + (2 + 7*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d)}
+{(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^2, x, 13, (((9 - 5*I)*A + (1 - 3*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^2*d) + ((1/16 + I/16)*((-2 + 7*I)*A + (1 + 2*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + ((5*A + I*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(8*a^2*d*(I + Cot[c + d*x])) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(4*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) + ((1/32 + I/32)*((-7 + 2*I)*A + (2 + I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + (((9 + 5*I)*A - (1 + 3*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^2*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 13, -((((-1 + 3*I)*A + (1 + 3*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^2*d)) + (((-1 + 3*I)*A + (1 + 3*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^2*d) + ((3*I*A + B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(8*a^2*d*(I + Cot[c + d*x])) + ((A + I*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(4*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) + (((1 + 3*I)*A + (1 - 3*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^2*d) - (((1 + 3*I)*A + (1 - 3*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^2*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 13, -(((1/16 + I/16)*((2 + I)*A + (7 - 2*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d)) + (((1 + 3*I)*A + (9 + 5*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^2*d) + ((A + 5*I*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(8*a^2*d*(I + Cot[c + d*x])) + ((I*A - B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(4*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) + (((1 - 3*I)*A - (9 - 5*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^2*d) + ((1/32 + I/32)*((1 + 2*I)*A + (2 - 7*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^2), x, 14, -(((1/16 - I/16)*((2 + 7*I)*A - (23 + 2*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^2*d)) + (((9 + 5*I)*A - (25 - 21*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^2*d) + (5*(I*A - 5*B))/(8*a^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (3*A + 7*I*B)/(8*a^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(I + Cot[c + d*x])) + (I*A - B)/(4*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) - ((1/32 - I/32)*((7 + 2*I)*A + (2 + 23*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + ((1/32 - I/32)*((7 + 2*I)*A + (2 + 23*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^2*d)}
+
+
+{(Cot[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 15, -(((1/16 - I/16)*((1 + 29*I)*A - (6 + I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*d)) + (((30 + 28*I)*A - (7 - 5*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^3*d) - (5*(6*A + I*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(8*a^3*d) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x]^(7/2))/(6*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^3) + ((5*A + 2*I*B)*Cot[c + d*x]^(5/2))/(12*a*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) + (7*(4*A + I*B)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(24*d*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x])) - ((1/32 - I/32)*((29 + I)*A + (1 + 6*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^3*d) + ((1/32 - I/32)*((29 + I)*A + (1 + 6*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^3*d)}
+{(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^3, x, 14, -((((-7 + 5*I)*A + 2*I*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^3*d)) + (((-7 + 5*I)*A + 2*I*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^3*d) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x]^(5/2))/(6*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^3) + ((4*A + I*B)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(12*a*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) + (5*A*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(8*d*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x])) - (((7 + 5*I)*A - 2*I*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^3*d) + (((7 + 5*I)*A - 2*I*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^3*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3), x, 14, -(((1/16 + I/16)*((1 + I)*A + B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*d)) + ((1/16 + I/16)*((1 + I)*A + B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*d) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(6*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^3) + (A*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(4*a*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) + ((2*I*A + B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(8*d*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x])) + ((2*I*A + (1 - I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^3*d) - ((2*I*A + (1 - I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^3*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3), x, 14, -((((1 + I)*A + 2*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^3*d)) + (((1 + I)*A + 2*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^3*d) + ((A + I*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(6*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^3) + ((2*I*A + B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(12*a*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) + (A*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(8*d*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x])) - (((-1 + I)*A + 2*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^3*d) + (((-1 + I)*A + 2*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^3*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3), x, 14, -(((2*A + (5 - 7*I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^3*d)) + ((2*A + (5 - 7*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^3*d) + ((I*A - B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(6*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^3) + ((A + 4*I*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(12*a*d*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) + (5*B*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(8*d*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x])) - ((2*A - (5 + 7*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^3*d) + ((2*A - (5 + 7*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(32*Sqrt[2]*a^3*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^3), x, 15, ((1/16 + I/16)*((1 + 6*I)*A - (29 + I)*B)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*a^3*d) + (((5 - 7*I)*A + (28 + 30*I)*B)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(16*Sqrt[2]*a^3*d) + (5*(A + 6*I*B))/(8*a^3*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (I*A - B)/(6*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(I*a + a*Cot[c + d*x])^3) + (2*A + 5*I*B)/(12*a*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(I*a + a*Cot[c + d*x])^2) - (7*(I*A - 4*B))/(24*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(I*a^3 + a^3*Cot[c + d*x])) + ((1/32 + I/32)*((6 + I)*A + (1 + 29*I)*B)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^3*d) - ((1/32 + I/32)*((6 + I)*A + (1 + 29*I)*B)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a^3*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cot[c+d x]^(m/2) (A+B Tan[c+d x]) (a+i a Tan[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, ((-1 - I)*Sqrt[a]*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*(13*A - (5*I)*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*d) - (2*(I*A + 5*B)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*d) - (2*A*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, ((1 + I)*Sqrt[a]*(I*A + B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*(I*A + 3*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d) - (2*A*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 5, ((1 + I)*Sqrt[a]*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*A*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 8, -((2*(-1)^(3/4)*Sqrt[a]*B*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) + ((1 - I)*Sqrt[a]*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d}
+{(Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 9, -(((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*(2*A - I*B)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) - ((1 + I)*Sqrt[a]*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (B*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(9/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 8, ((2 - 2*I)*a^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (4*a*((67*I)*A + 63*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d) + (4*a*(19*A - (21*I)*B)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d) - (2*a*((8*I)*A + 7*B)*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*d) - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(7*d)}
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, ((-2 - 2*I)*a^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (4*a*(9*A - (10*I)*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*d) - (2*a*((6*I)*A + 5*B)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*d) - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 6, ((2 + 2*I)*a^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*a*((4*I)*A + 3*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d) - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 9, (2*(-1)^(1/4)*a^(3/2)*B*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + ((2 + 2*I)*a^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*a*A*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 9, -(((-1)^(3/4)*a^(3/2)*(2*I*A + 3*B)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) + ((2 - 2*I)*a^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (I*a*B*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 10, -(((-1)^(3/4)*a^(3/2)*(12*A - 11*I*B)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*d)) - ((2 + 2*I)*a^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (I*a*B*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(2*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (a*(4*I*A + 5*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(11/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 9, ((4 + 4*I)*a^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (8*a^2*(197*A - (195*I)*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(315*d) + (8*a^2*((59*I)*A + 60*B)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(315*d) + (2*a^2*(46*A - (45*I)*B)*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d) - (2*a^2*((4*I)*A + 3*B)*Cot[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(21*d) - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(9/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(9*d)}
+{Cot[c + d*x]^(9/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 8, ((4 - 4*I)*a^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (4*a^2*((130*I)*A + 133*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d) + (2*a^2*(80*A - (77*I)*B)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(105*d) - (2*a^2*((10*I)*A + 7*B)*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(35*d) - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(7*d)}
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 7, ((-4 - 4*I)*a^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*a^2*(38*A - (35*I)*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*d) - (2*a^2*((8*I)*A + 5*B)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(15*d) - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 10, (2*(-1)^(3/4)*a^(5/2)*B*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + ((4 + 4*I)*a^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*a^2*(2*I*A + B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/d - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 10, ((-1)^(3/4)*a^(5/2)*(2*A - 5*I*B)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + ((4 + 4*I)*a^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (a^2*(2*I*A - B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - (2*a*A*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/d}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 10, -(((-1)^(3/4)*a^(5/2)*(20*I*A + 23*B)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*d)) + ((4 - 4*I)*a^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (a^2*(4*A - 7*I*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (I*a*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 11, -(((-1)^(3/4)*a^(5/2)*(46*A - 45*I*B)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(8*d)) - ((4 + 4*I)*a^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (a^2*(2*A - 3*I*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(4*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (a^2*(18*I*A + 19*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (I*a*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cot[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 7, ((1/2 + I/2)*(I*A + B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + ((A + I*B)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) + (((7*I)*A - 9*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*a*d) - ((5*A + (3*I)*B)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(3*a*d)}
+{(Cot[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 6, ((1/2 + I/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + ((A + I*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - ((3*A + I*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(a*d)}
+{(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]], x, 5, ((1/2 - I/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (A + I*B)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]), x, 9, -((2*(-1)^(1/4)*B*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) - ((1/2 + I/2)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (I*A - B)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+
+
+{(Cot[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((1/4 + I/4)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) + ((A + I*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(3*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + ((11*A + (5*I)*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(6*a*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - ((25*A + (7*I)*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(6*a^2*d)}
+{(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 6, ((1/4 - I/4)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) + (A + I*B)/(3*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (7*A + I*B)/(6*a*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 6, -(((1/4 + I/4)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(3/2)*d)) + (I*A - B)/(3*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (I*A + 5*B)/(6*a*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 10, (2*(-1)^(3/4)*B*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) + ((1/4 + I/4)*(I*A + B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) + (I*A - B)/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (A + 3*I*B)/(2*a*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+
+
+{(Cot[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((1/8 + I/8)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + ((A + I*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(5*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + ((17*A + (7*I)*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(30*a*d*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + ((151*A + (41*I)*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(60*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]) - ((317*A + (67*I)*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])/(60*a^3*d)}
+{(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 7, ((1/8 - I/8)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + (A + I*B)/(5*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (13*A + (3*I)*B)/(30*a*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (67*A - (3*I)*B)/(60*a^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 7, -(((1/8 + I/8)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(5/2)*d)) + (I*A - B)/(5*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (3*I*A + 7*B)/(30*a*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (3*I*A - 13*B)/(60*a^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 7, ((1/8 + I/8)*(I*A + B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + (I*A - B)/(5*d*Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (A + 11*I*B)/(30*a*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (13*A - 37*I*B)/(60*a^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 11, (2*(-1)^(1/4)*B*ArcTan[((-1)^(3/4)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + ((1/8 + I/8)*(A - I*B)*ArcTanh[((1 + I)*Sqrt[a]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + (I*A - B)/(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (A + 3*I*B)/(6*a*d*Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (I*A - 7*B)/(4*a^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + I*a*Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cot[c+d x]^(m/2) (A+B Tan[c+d x]) (a+i a Tan[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Cot[c + d*x]^m*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 8, (1/(d*(1 - m)))*(((A - I*B)*AppellF1[1 - m, 1 - n, 1, 2 - m, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*Cot[c + d*x]^(-1 + m)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(1 + I*Tan[c + d*x])^n) + (1/(d*(1 - m)))*((I*B*Cot[c + d*x]^(-1 + m)*Hypergeometric2F1[1 - m, 1 - n, 2 - m, (-I)*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(1 + I*Tan[c + d*x])^n)}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 11, -((2*(3*B + 2*I*A*n)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(3*d)) - (2*A*Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(3*d) - (2*(A - I*B)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])) - (2*(1 - 2*n)*(3*I*B - 2*A*n)*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(3*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]))}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 10, -((2*A*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/d) + (2*(I*A + B)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])) - (2*I*A*(1 - 2*n)*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]))}
+{Cot[c + d*x]^(1/2)*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 9, (2*(A - I*B)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])) + (2*I*B*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]))}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]))/Cot[c + d*x]^(1/2), x, 10, If[$VersionNumber>=8, (2*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(1 + 2*n)*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - (2*(I*A + B)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])) + (2*(2*B*n + I*A*(1 + 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*(1 + 2*n)*Sqrt[Cot[c + d*x]])), (2*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(1 + 2*n)*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - (2*(I*A + B)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])) + (2*(2*B*n + I*A*(1 + 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*(1 + 2*n)*Sqrt[Cot[c + d*x]]))]}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]))/Cot[c + d*x]^(3/2), x, 11, If[$VersionNumber>=8, (2*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(3 + 2*n)*Cot[c + d*x]^(3/2)) - (2*(2*I*B*n - A*(3 + 2*n))*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(1 + 2*n)*(3 + 2*n)*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - (2*(A - I*B)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])) + (2*(2*A*n*(3 + 2*n) - I*B*(3 + 6*n + 4*n^2))*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*(1 + 2*n)*(3 + 2*n)*Sqrt[Cot[c + d*x]])), (2*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(3 + 2*n)*Cot[c + d*x]^(3/2)) - (2*(2*I*B*n - A*(3 + 2*n))*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(3 + 8*n + 4*n^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - (2*(A - I*B)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])) + (2*(2*A*n*(3 + 2*n) - I*B*(3 + 6*n + 4*n^2))*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*(3 + 8*n + 4*n^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]]))]}
+{((a + I*a*Tan[c + d*x])^n*(A + B*Tan[c + d*x]))/Cot[c + d*x]^(5/2), x, 12, If[$VersionNumber>=8, (2*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(5 + 2*n)*Cot[c + d*x]^(5/2)) - (2*(2*I*B*n - A*(5 + 2*n))*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(3 + 2*n)*(5 + 2*n)*Cot[c + d*x]^(3/2)) - (2*(2*I*A*n*(5 + 2*n) + B*(15 + 10*n + 4*n^2))*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(1 + 2*n)*(3 + 2*n)*(5 + 2*n)*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (2*(I*A + B)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])) - (2*(4*B*n*(9 + 8*n + 2*n^2) + I*A*(15 + 36*n + 32*n^2 + 8*n^3))*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*(1 + 2*n)*(3 + 2*n)*(5 + 2*n)*Sqrt[Cot[c + d*x]])), (2*B*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(5 + 2*n)*Cot[c + d*x]^(5/2)) - (2*(2*I*B*n - A*(5 + 2*n))*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(3 + 2*n)*(5 + 2*n)*Cot[c + d*x]^(3/2)) - (2*(2*I*A*n*(5 + 2*n) + B*(15 + 10*n + 4*n^2))*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/(d*(5 + 2*n)*(3 + 8*n + 4*n^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (2*(I*A + B)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], I*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])) - (2*(4*B*n*(9 + 8*n + 2*n^2) + I*A*(15 + 36*n + 32*n^2 + 8*n^3))*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x]]*(a + I*a*Tan[c + d*x])^n)/((1 + I*Tan[c + d*x])^n*(d*(5 + 2*n)*(3 + 8*n + 4*n^2)*Sqrt[Cot[c + d*x]]))]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x])^n (A+B Tan[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cot[c+d x]^(m/2) (A+B Tan[c+d x]) (a+b Tan[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 13, -(((b*(A - B) + a*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((b*(A - B) + a*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (2*(A*b + a*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*d) + ((a*(A - B) - b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a*(A - B) - b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 12, -(((a*(A - B) - b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a*(A - B) - b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (2*a*A*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - ((b*(A - B) + a*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((b*(A - B) + a*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 12, ((b*(A - B) + a*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((b*(A - B) + a*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*b*B)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - ((a*(A - B) - b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a*(A - B) - b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{((a + b*Tan[c + d*x])*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 13, ((a*(A - B) - b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a*(A - B) - b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*b*B)/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (2*(A*b + a*B))/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + ((b*(A - B) + a*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((b*(A - B) + a*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 14, ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*(a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - (2*a*(7*A*b + 5*a*B)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(15*d) - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(3/2)*(b + a*Cot[c + d*x]))/(5*d) + ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 13, -(((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (2*a*(5*A*b + 3*a*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(3*d) - (2*a*A*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(b + a*Cot[c + d*x]))/(3*d) + ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 13, -(((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*b^2*B)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - (2*a^2*A*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 13, ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*b^2*B)/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*(A*b + 2*a*B))/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^2*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 14, ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) - 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*b^2*B)/(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*(A*b + 2*a*B))/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (2*(2*a*A*b + a^2*B - b^2*B))/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((2*a*b*(A - B) + a^2*(A + B) - b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 15, ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*(3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d + (2*a*(7*a^2*A - 18*A*b^2 - 21*a*b*B)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(21*d) - (2*a^2*(11*A*b + 7*a*B)*Cot[c + d*x]^(5/2))/(35*d) - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(3/2)*(b + a*Cot[c + d*x])^2)/(7*d) - ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 14, ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*a*(5*a^2*A - 14*A*b^2 - 15*a*b*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(5*d) - (2*a^2*(9*A*b + 5*a*B)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(15*d) - (2*a*A*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(b + a*Cot[c + d*x])^2)/(5*d) + ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 14, -(((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (2*a*(3*a*A*b + a^2*B + 2*b^2*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - (2*a^2*(a*A + 3*b*B)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*d) + (2*b*B*(b + a*Cot[c + d*x])^2)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 14, -(((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*b^2*(3*A*b + 7*a*B))/(3*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - (2*a^2*(3*a*A + b*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(3*d) + (2*b*B*(b + a*Cot[c + d*x])^2)/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 14, ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*b^2*(5*A*b + 9*a*B))/(15*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*(15*a*A*b + 14*a^2*B - 5*b^2*B))/(5*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (2*b*B*(b + a*Cot[c + d*x])^2)/(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2)) - ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^3*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 15, ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) - 3*a^2*b*(A + B) + b^3*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*b^2*(7*A*b + 11*a*B))/(35*d*Cot[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*(21*a*A*b + 18*a^2*B - 7*b^2*B))/(21*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (2*(3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B))/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (2*b*B*(b + a*Cot[c + d*x])^2)/(7*d*Cot[c + d*x]^(7/2)) + ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) + a^3*(A + B) - 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cot[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 17, ((b*(A - B) - a*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((b*(A - B) - a*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*b^(5/2)*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(a^(5/2)*(a^2 + b^2)*d) + (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(a^2*d) - (2*A*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*a*d) + ((a*(A - B) + b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a*(A - B) + b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Cot[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 16, -(((a*(A - B) + b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)) + ((a*(A - B) + b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*b^(3/2)*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(a^(3/2)*(a^2 + b^2)*d) - (2*A*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(a*d) + ((b*(A - B) - a*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((b*(A - B) - a*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 15, -(((b*(A - B) - a*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)) + ((b*(A - B) - a*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*Sqrt[b]*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[a]*(a^2 + b^2)*d) - ((a*(A - B) + b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + ((a*(A - B) + b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 15, ((a*(A - B) + b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a*(A - B) + b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*Sqrt[a]*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*(a^2 + b^2)*d) - ((b*(A - B) - a*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + ((b*(A - B) - a*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 16, ((b*(A - B) - a*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((b*(A - B) - a*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*a^(3/2)*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*(a^2 + b^2)*d) + (2*B)/(b*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + ((a*(A - B) + b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a*(A - B) + b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 17, -(((a*(A - B) + b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)) + ((a*(A - B) + b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + (2*a^(5/2)*(A*b - a*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(b^(5/2)*(a^2 + b^2)*d) + (2*B)/(3*b*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + (2*(A*b - a*B))/(b^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + ((b*(A - B) - a*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((b*(A - B) - a*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+
+
+{(Cot[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 17, -(((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)) + ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^(3/2)*(7*a^2*A*b + 3*A*b^3 - 5*a^3*B - a*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(a^(5/2)*(a^2 + b^2)^2*d) - ((2*a^2*A + 3*A*b^2 - a*b*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (b*(A*b - a*B)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])) + ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 16, -(((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)) + ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (Sqrt[b]*(5*a^2*A*b + A*b^3 - 3*a^3*B + a*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(a^(3/2)*(a^2 + b^2)^2*d) + (b*(A*b - a*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])) - ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^2), x, 16, ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((3*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B + 3*a*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((A*b - a*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])) - ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2), x, 16, ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (Sqrt[a]*(a^2*A*b - 3*A*b^3 + a^3*B + 5*a*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*(a^2 + b^2)^2*d) + (a*(A*b - a*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])) + ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2), x, 17, -(((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)) + ((a^2*(A - B) - b^2*(A - B) + 2*a*b*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (a^(3/2)*(a^2*A*b + 5*A*b^3 - 3*a^3*B - 7*a*b^2*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(b^(5/2)*(a^2 + b^2)^2*d) - (a*A*b - 3*a^2*B - 2*b^2*B)/(b^2*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (a*(A*b - a*B))/(b*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(b + a*Cot[c + d*x])) + ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((2*a*b*(A - B) - a^2*(A + B) + b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)}
+
+
+{(Cot[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 18, -(((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)) + ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (b^(3/2)*(63*a^4*A*b + 46*a^2*A*b^3 + 15*A*b^5 - 35*a^5*B - 6*a^3*b^2*B - 3*a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*a^(7/2)*(a^2 + b^2)^3*d) - ((8*a^4*A + 31*a^2*A*b^2 + 15*A*b^4 - 11*a^3*b*B - 3*a*b^3*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(4*a^3*(a^2 + b^2)^2*d) + (b*(A*b - a*B)*Cot[c + d*x]^(5/2))/(2*a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])^2) + (b*(13*a^2*A*b + 5*A*b^3 - 9*a^3*B - a*b^2*B)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(4*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*(b + a*Cot[c + d*x])) + ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)}
+{(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 17, -(((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)) + ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (Sqrt[b]*(35*a^4*A*b + 6*a^2*A*b^3 + 3*A*b^5 - 15*a^5*B + 18*a^3*b^2*B + a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*a^(5/2)*(a^2 + b^2)^3*d) + (b*(A*b - a*B)*Cot[c + d*x]^(3/2))/(2*a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])^2) + (b*(11*a^2*A*b + 3*A*b^3 - 7*a^3*B + a*b^2*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(4*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*(b + a*Cot[c + d*x])) - ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^3), x, 17, ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((15*a^4*A*b - 18*a^2*A*b^3 - A*b^5 - 3*a^5*B + 26*a^3*b^2*B - 3*a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*a^(3/2)*Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^3*d) + (b*(A*b - a*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(2*a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])^2) - ((9*a^2*A*b + A*b^3 - 5*a^3*B + 3*a*b^2*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(4*a*(a^2 + b^2)^2*d*(b + a*Cot[c + d*x])) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3), x, 17, ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((3*a^4*A*b - 26*a^2*A*b^3 + 3*A*b^5 + a^5*B + 18*a^3*b^2*B - 15*a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[a]*b^(3/2)*(a^2 + b^2)^3*d) - ((A*b - a*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(2*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])^2) + ((5*a^2*A*b - 3*A*b^3 - a^3*B + 7*a*b^2*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(4*b*(a^2 + b^2)^2*d*(b + a*Cot[c + d*x])) + ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3), x, 17, -(((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)) + ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (Sqrt[a]*(a^4*A*b + 18*a^2*A*b^3 - 15*A*b^5 + 3*a^5*B + 6*a^3*b^2*B + 35*a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(5/2)*(a^2 + b^2)^3*d) + (a*(A*b - a*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Cot[c + d*x])^2) - (a*(a^2*A*b - 7*A*b^3 + 3*a^3*B + 11*a*b^2*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(4*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(b + a*Cot[c + d*x])) + ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^3), x, 18, -(((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)) + ((3*a^2*b*(A - B) - b^3*(A - B) - a^3*(A + B) + 3*a*b^2*(A + B))*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (a^(3/2)*(3*a^4*A*b + 6*a^2*A*b^3 + 35*A*b^5 - 15*a^5*B - 46*a^3*b^2*B - 63*a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[Cot[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(7/2)*(a^2 + b^2)^3*d) - (3*a^3*A*b + 11*a*A*b^3 - 15*a^4*B - 31*a^2*b^2*B - 8*b^4*B)/(4*b^3*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (a*(A*b - a*B))/(2*b*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(b + a*Cot[c + d*x])^2) + (a*(a^2*A*b + 9*A*b^3 - 5*a^3*B - 13*a*b^2*B))/(4*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(b + a*Cot[c + d*x])) - ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a^3*(A - B) - 3*a*b^2*(A - B) + 3*a^2*b*(A + B) - b^3*(A + B))*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)}
+
+
+{(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 13, -((B*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + (B*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (2*B*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*d) + (B*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (B*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 13, -((B*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + (B*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (2*B*Sqrt[Cot[c + d*x]])/d - (B*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (B*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 12, (B*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (B*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (B*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (B*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a*B + b*B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 12, (B*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (B*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (B*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (B*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a*B + b*B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 13, -((B*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + (B*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*B)/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (B*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (B*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a*B + b*B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])), x, 13, -((B*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + (B*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (2*B)/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) - (B*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (B*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[c + d*x]] + Cot[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cot[c+d x]^(m/2) (A+B Tan[c+d x]) (a+b Tan[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cot[c + d*x]^(9/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 12, -((Sqrt[I*a - b]*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) - (Sqrt[I*a + b]*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*(35*a^2*A*b - 8*A*b^3 + 105*a^3*B + 14*a*b^2*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*a^3*d) + (2*(35*a^2*A + 4*A*b^2 - 7*a*b*B)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*a^2*d) - (2*(A*b + 7*a*B)*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(35*a*d) - (2*A*Cot[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(7*d)}
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 11, (Sqrt[I*a - b]*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (Sqrt[I*a + b]*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*(15*a^2*A + 2*A*b^2 - 5*a*b*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*a^2*d) - (2*(A*b + 5*a*B)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*a*d) - (2*A*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 10, (Sqrt[I*a - b]*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (Sqrt[I*a + b]*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*(A*b + 3*a*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*a*d) - (2*A*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 9, -((Sqrt[I*a - b]*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) + (Sqrt[I*a + b]*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*A*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 13, -((Sqrt[I*a - b]*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) + (2*Sqrt[b]*B*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (Sqrt[I*a + b]*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d}
+{(Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 14, (Sqrt[I*a - b]*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + ((2*A*b + a*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[b]*d) - (Sqrt[I*a + b]*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (B*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Cot[c + d*x]^(3/2), x, 15, (Sqrt[I*a - b]*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + ((4*a*A*b - a^2*B - 8*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*b^(3/2)*d) + (Sqrt[I*a + b]*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + ((4*A*b - a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*b*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (B*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(2*b*d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(11/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 13, ((I*a - b)^(3/2)*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - ((I*a + b)^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*(315*a^4*A - 63*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 - 420*a^3*b*B - 18*a*b^3*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(315*a^3*d) + (2*(126*a^2*A*b + 4*A*b^3 + 105*a^3*B - 9*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(315*a^2*d) + (2*(21*a^2*A - A*b^2 - 24*a*b*B)*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*a*d) - (2*(10*A*b + 9*a*B)*Cot[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(63*d) - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(9/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(9*d)}
+{Cot[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 12, -(((I*a - b)^(3/2)*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) - ((I*a + b)^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*(140*a^2*A*b + 6*A*b^3 + 105*a^3*B - 21*a*b^2*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*a^2*d) + (2*(35*a^2*A - 3*A*b^2 - 42*a*b*B)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*a*d) - (2*(8*A*b + 7*a*B)*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(35*d) - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(7*d)}
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 11, ((a + I*b)^2*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a - b]*d) + ((I*a + b)^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*(15*a^2*A - 3*A*b^2 - 20*a*b*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*a*d) - (2*(6*A*b + 5*a*B)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*d) - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 10, ((I*a - b)^(3/2)*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + ((I*a + b)^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*(4*A*b + 3*a*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d) - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 14, -(((a + I*b)^2*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a - b]*d)) + (2*b^(3/2)*B*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - ((I*a + b)^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*a*A*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 14, -(((I*a - b)^(3/2)*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) + (Sqrt[b]*(2*A*b + 3*a*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - ((I*a + b)^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (b*B*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 15, ((a + I*b)^2*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a - b]*d) + ((12*a*A*b + 3*a^2*B - 8*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*Sqrt[b]*d) + ((I*a + b)^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (b*B*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(2*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + ((4*A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Cot[c + d*x]^(3/2), x, 16, ((I*a - b)^(3/2)*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + ((6*a^2*A*b - 16*A*b^3 - a^3*B - 24*a*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(8*b^(3/2)*d) + ((I*a + b)^(3/2)*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + ((6*a*A*b - a^2*B - 8*b^2*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(8*b*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + ((6*A*b - a*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(12*b*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (B*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(3*b*d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(13/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 14, -(((I*a - b)^(5/2)*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) - ((I*a + b)^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*(8085*a^4*A*b - 495*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 3465*a^5*B - 5313*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3465*a^3*d) - (2*(1155*a^4*A - 1485*a^2*A*b^2 - 20*A*b^4 - 2541*a^3*b*B + 55*a*b^3*B)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3465*a^2*d) + (2*(495*a^2*A*b - 5*A*b^3 + 231*a^3*B - 275*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(1155*a*d) + (2*(99*a^2*A - 113*A*b^2 - 209*a*b*B)*Cot[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(693*d) - (2*a*(14*A*b + 11*a*B)*Cot[c + d*x]^(9/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(99*d) - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(11/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(11*d)}
+{Cot[c + d*x]^(11/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 13, ((I*a - b)^(5/2)*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - ((I*a + b)^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*(315*a^4*A - 483*a^2*A*b^2 - 10*A*b^4 - 735*a^3*b*B + 45*a*b^3*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(315*a^2*d) + (2*(231*a^2*A*b - 5*A*b^3 + 105*a^3*B - 135*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(315*a*d) + (2*(21*a^2*A - 25*A*b^2 - 45*a*b*B)*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*d) - (2*a*(4*A*b + 3*a*B)*Cot[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(21*d) - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(9*d)}
+{Cot[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 12, ((I*a - b)^(5/2)*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + ((I*a + b)^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*(245*a^2*A*b - 15*A*b^3 + 105*a^3*B - 161*a*b^2*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*a*d) + (2*(35*a^2*A - 45*A*b^2 - 77*a*b*B)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(105*d) - (2*a*(10*A*b + 7*a*B)*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(35*d) - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(7*d)}
+{Cot[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 11, -(((I*a - b)^(5/2)*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) + ((I*a + b)^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (2*(15*a^2*A - 23*A*b^2 - 35*a*b*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*d) - (2*a*(8*A*b + 5*a*B)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*d) - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 15, -(((I*a - b)^(5/2)*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) + (2*b^(5/2)*B*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - ((I*a + b)^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - (2*a*(2*A*b + a*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d - (2*a*A*Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 15, ((I*a - b)^(5/2)*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (b^(3/2)*(2*A*b + 5*a*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d - ((I*a + b)^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (b*(2*a*A + b*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) - (2*a*A*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/d}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]), x, 15, ((I*a - b)^(5/2)*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (Sqrt[b]*(20*a*A*b + 15*a^2*B - 8*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(4*d) + ((I*a + b)^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + (b*(4*A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (b*B*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 16, -(((I*a - b)^(5/2)*(A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) + ((30*a^2*A*b - 16*A*b^3 + 5*a^3*B - 40*a*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(8*Sqrt[b]*d) + ((I*a + b)^(5/2)*(A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + ((14*a*A*b + 5*a^2*B - 8*b^2*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (b*B*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)) + ((2*A*b + 3*a*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(4*d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+{((a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Cot[c + d*x]^(3/2), x, 17, -(((I*a - b)^(5/2)*(I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d) + ((40*a^3*A*b - 320*a*A*b^3 - 5*a^4*B - 240*a^2*b^2*B + 128*b^4*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(64*b^(3/2)*d) - ((I*a + b)^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/d + ((40*a^2*A*b - 64*A*b^3 - 5*a^3*B - 112*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(64*b*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + ((40*a*A*b - 5*a^2*B - 48*b^2*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(96*b*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + ((8*A*b - a*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2))/(24*b*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]) + (B*(a + b*Tan[c + d*x])^(7/2))/(4*b*d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cot[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 11, ((I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a - b]*d) - ((I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a + b]*d) + (2*(15*a^2*A - 8*A*b^2 + 10*a*b*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*a^3*d) + (2*(4*A*b - 5*a*B)*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(15*a^2*d) - (2*A*Cot[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(5*a*d)}
+{(Cot[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 10, -(((A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a - b]*d)) - ((A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a + b]*d) + (2*(2*A*b - 3*a*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*a^2*d) - (2*A*Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(3*a*d)}
+{(Cot[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 9, -(((I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a - b]*d)) + ((I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a + b]*d) - (2*A*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(a*d)}
+{(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 8, ((A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a - b]*d) + ((A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a + b]*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]), x, 13, ((I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a - b]*d) + (2*B*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[b]*d) - ((I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a + b]*d)}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]), x, 14, -(((A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a - b]*d)) + ((2*A*b - a*B)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b^(3/2)*d) - ((A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a + b]*d) + (B*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[Cot[c + d*x]])}
+
+
+{(Cot[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 11, -(((I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(3/2)*d)) - ((I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(3/2)*d) + (2*b*(5*a^2*A*b + 8*A*b^3 - 3*a^3*B - 6*a*b^2*B))/(3*a^3*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (2*(4*A*b - 3*a*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(3*a^2*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) - (2*A*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*a*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(Cot[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 10, ((A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(3/2)*d) - ((A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(3/2)*d) - (2*b*(a^2*A + 2*A*b^2 - a*b*B))/(a^2*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) - (2*A*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(Cot[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 9, ((I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(3/2)*d) + ((I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(3/2)*d) + (2*b*(A*b - a*B))/(a*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 9, -(((A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(3/2)*d)) + ((A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(3/2)*d) - (2*(A*b - a*B))/((a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 14, -(((I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(3/2)*d)) + (2*B*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b^(3/2)*d) - ((I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(3/2)*d) + (2*a*(A*b - a*B))/(b*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+{(Cot[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 12, ((A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(5/2)*d) + ((A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(5/2)*d) + (2*b*(7*a^2*A*b + 8*A*b^3 - 3*a^3*B - 4*a*b^2*B))/(3*a^3*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*(2*A*b - a*B)*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(a^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*A*Cot[c + d*x]^(3/2))/(3*a*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(8*a^4*A*b + 30*a^2*A*b^3 + 16*A*b^5 - 3*a^5*B - 17*a^3*b^2*B - 8*a*b^4*B))/(3*a^4*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(Cot[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 11, ((I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(5/2)*d) - ((I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(5/2)*d) - (2*b*(3*a^2*A + 4*A*b^2 - a*b*B))/(3*a^2*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*A*Sqrt[Cot[c + d*x]])/(a*d*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*b*(3*a^4*A + 17*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 - 8*a^3*b*B - 2*a*b^3*B))/(3*a^3*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 10, -(((A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(5/2)*d)) - ((A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(5/2)*d) + (2*b*(A*b - a*B))/(3*a*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(8*a^2*A*b + 2*A*b^3 - 5*a^3*B + a*b^2*B))/(3*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 10, -(((I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(5/2)*d)) + ((I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(5/2)*d) - (2*(A*b - a*B))/(3*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*(5*a^2*A*b - A*b^3 - 2*a^3*B + 4*a*b^2*B))/(3*a*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 10, ((A + I*B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(5/2)*d) + ((A - I*B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(5/2)*d) + (2*a*(A*b - a*B))/(3*b*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*(2*a^2*A*b - 4*A*b^3 + a^3*B + 7*a*b^2*B))/(3*b*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+{(A + B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 15, ((I*A - B)*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a - b)^(5/2)*d) + (2*B*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b^(5/2)*d) - ((I*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/((I*a + b)^(5/2)*d) + (2*a*(A*b - a*B))/(3*b*(a^2 + b^2)*d*Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*(2*A*b^3 - a*(a^2 + 3*b^2)*B))/(b^2*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+{(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a*B + b*B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 9, (B*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a - b]*d) + (B*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a + b]*d)}
+{(a*B + b*B*Tan[c + d*x])/(Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 9, (I*B*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a - b]*d) - (I*B*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a + b]*d)}
+{(a*B + b*B*Tan[c + d*x])/(Cot[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 14, -((B*ArcTan[(Sqrt[I*a - b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a - b]*d)) + (2*B*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[b]*d) - (B*ArcTanh[(Sqrt[I*a + b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[I*a + b]*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cot[c+d x]^(m/2) (A+B Tan[c+d x]) (a+b Tan[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Cot[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 8, (1/(2*d*(1 - m)))*(((A + I*B)*AppellF1[1 - m, -n, 1, 2 - m, -((b*Tan[c + d*x])/a), (-I)*Tan[c + d*x]]*Cot[c + d*x]^(-1 + m)*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/(1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n) + (1/(2*d*(1 - m)))*(((A - I*B)*AppellF1[1 - m, -n, 1, 2 - m, -((b*Tan[c + d*x])/a), I*Tan[c + d*x]]*Cot[c + d*x]^(-1 + m)*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/(1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n)}
+
+
+{Cot[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 10, -(((A + I*B)*AppellF1[-(1/2), 1, -n, 1/2, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*d)) - ((A - I*B)*AppellF1[-(1/2), 1, -n, 1/2, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Sqrt[Cot[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*d)}
+{Sqrt[Cot[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 10, ((A + I*B)*AppellF1[1/2, 1, -n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(d*Sqrt[Cot[c + d*x]])) + ((A - I*B)*AppellF1[1/2, 1, -n, 3/2, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(d*Sqrt[Cot[c + d*x]]))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^n/Sqrt[Cot[c + d*x]], x, 10, ((A + I*B)*AppellF1[3/2, 1, -n, 5/2, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2))) + ((A - I*B)*AppellF1[3/2, 1, -n, 5/2, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(3*d*Cot[c + d*x]^(3/2)))}
+{(A + B*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^n/Cot[c + d*x]^(3/2), x, 10, ((A + I*B)*AppellF1[5/2, 1, -n, 7/2, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2))) + ((A - I*B)*AppellF1[5/2, 1, -n, 7/2, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(5*d*Cot[c + d*x]^(5/2)))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 9, ((A + I*B)*AppellF1[5/2, 1, -n, 7/2, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(5*d)) + ((A - I*B)*AppellF1[5/2, 1, -n, 7/2, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(5*d))}
+{Tan[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 9, ((A + I*B)*AppellF1[3/2, 1, -n, 5/2, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(3*d)) + ((A - I*B)*AppellF1[3/2, 1, -n, 5/2, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(3*d))}
+{Tan[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 9, ((A + I*B)*AppellF1[1/2, 1, -n, 3/2, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*d) + ((A - I*B)*AppellF1[1/2, 1, -n, 3/2, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Sqrt[Tan[c + d*x]]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*d)}
+{Tan[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^n, x, 9, -(((A + I*B)*AppellF1[-(1/2), 1, -n, 1/2, (-I)*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]))) - ((A - I*B)*AppellF1[-(1/2), 1, -n, 1/2, I*Tan[c + d*x], -((b*Tan[c + d*x])/a)]*(a + b*Tan[c + d*x])^n)/((1 + (b*Tan[c + d*x])/a)^n*(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^n (A+B Tan[e+f x])*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a I Tan[e+f x])^m (c-c I Tan[e+f x])^n (A+B Tan[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a I Tan[e+f x])^m (c-c I Tan[e+f x])^n (A+B Tan[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n, x, 3, (a*(I*A + B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(f*n) - (a*B*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(c*f*(1 + n))}
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 3, (a*(I*A + B)*c^4*(1 - I*Tan[e + f*x])^4)/(4*f) - (a*B*c^4*(1 - I*Tan[e + f*x])^5)/(5*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 3, (a*(I*A + B)*c^3*(1 - I*Tan[e + f*x])^3)/(3*f) - (a*B*c^3*(1 - I*Tan[e + f*x])^4)/(4*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2, x, 3, (a*A*c^2*Tan[e + f*x])/f - (a*(I*A - B)*c^2*Tan[e + f*x]^2)/(2*f) - (I*a*B*c^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x]), x, 2, (a*A*c*Tan[e + f*x])/f + (a*B*c*Tan[e + f*x]^2)/(2*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x]), x, 2, a*(A - I*B)*x - (a*(I*A + B)*Log[Cos[e + f*x]])/f + (I*a*B*Tan[e + f*x])/f}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x]), x, 3, (I*a*B*x)/c + (a*B*Log[Cos[e + f*x]])/(c*f) + (a*(A - I*B))/(c*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^2, x, 2, (a*(A + B*Tan[e + f*x])^2)/(2*(I*A + B)*c^2*f*(1 - I*Tan[e + f*x])^2)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 3, -((a*(A - I*B))/(3*c^3*f*(I + Tan[e + f*x])^3)) - (a*B)/(2*c^3*f*(I + Tan[e + f*x])^2)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 3, -((a*(I*A + B))/(4*c^4*f*(I + Tan[e + f*x])^4)) - (I*a*B)/(3*c^4*f*(I + Tan[e + f*x])^3)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^5, x, 3, (a*(A - I*B))/(5*c^5*f*(I + Tan[e + f*x])^5) + (a*B)/(4*c^5*f*(I + Tan[e + f*x])^4)}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n, x, 3, (2*a^2*(I*A + B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(f*n) - (a^2*(I*A + 3*B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(c*f*(1 + n)) + (a^2*B*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(2 + n))/(c^2*f*(2 + n))}
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^5, x, 3, (2*a^2*(I*A + B)*c^5*(1 - I*Tan[e + f*x])^5)/(5*f) - (a^2*(I*A + 3*B)*c^5*(1 - I*Tan[e + f*x])^6)/(6*f) + (a^2*B*c^5*(1 - I*Tan[e + f*x])^7)/(7*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 3, (a^2*(I*A + B)*c^4*(1 - I*Tan[e + f*x])^4)/(2*f) - (a^2*(I*A + 3*B)*c^4*(1 - I*Tan[e + f*x])^5)/(5*f) + (a^2*B*c^4*(1 - I*Tan[e + f*x])^6)/(6*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 3, (2*a^2*(I*A + B)*c^3*(1 - I*Tan[e + f*x])^3)/(3*f) - (a^2*(I*A + 3*B)*c^3*(1 - I*Tan[e + f*x])^4)/(4*f) + (a^2*B*c^3*(1 - I*Tan[e + f*x])^5)/(5*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2, x, 4, (a^2*B*c^2*Sec[e + f*x]^4)/(4*f) + (a^2*A*c^2*Tan[e + f*x])/f + (a^2*A*c^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x]), x, 3, (a^2*A*c*Tan[e + f*x])/f + (a^2*(I*A + B)*c*Tan[e + f*x]^2)/(2*f) + (I*a^2*B*c*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x]), x, 3, 2*a^2*(A - I*B)*x - (2*a^2*(I*A + B)*Log[Cos[e + f*x]])/f - (a^2*(A - I*B)*Tan[e + f*x])/f + (B*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)/(2*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x]), x, 3, -((a^2*(A - (3*I)*B)*x)/c) + (a^2*(I*A + 3*B)*Log[Cos[e + f*x]])/(c*f) - (I*a^2*B*Tan[e + f*x])/(c*f) + (2*a^2*(A - I*B))/(c*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^2, x, 3, ((-I)*a^2*B*x)/c^2 - (a^2*B*Log[Cos[e + f*x]])/(c^2*f) + (a^2*(I*A + B))/(c^2*f*(I + Tan[e + f*x])^2) - (a^2*(A - (3*I)*B))/(c^2*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 3, (-2*a^2*(A - I*B))/(3*c^3*f*(I + Tan[e + f*x])^3) - (a^2*(I*A + 3*B))/(2*c^3*f*(I + Tan[e + f*x])^2) - (I*a^2*B)/(c^3*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 3, -(a^2*(I*A + B))/(2*c^4*f*(I + Tan[e + f*x])^4) + (a^2*(A - (3*I)*B))/(3*c^4*f*(I + Tan[e + f*x])^3) + (a^2*B)/(2*c^4*f*(I + Tan[e + f*x])^2)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^5, x, 3, (2*a^2*(A - I*B))/(5*c^5*f*(I + Tan[e + f*x])^5) + (a^2*(I*A + 3*B))/(4*c^5*f*(I + Tan[e + f*x])^4) + ((I/3)*a^2*B)/(c^5*f*(I + Tan[e + f*x])^3)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^6, x, 3, (a^2*(I*A + B))/(3*c^6*f*(I + Tan[e + f*x])^6) - (a^2*(A - (3*I)*B))/(5*c^6*f*(I + Tan[e + f*x])^5) - (a^2*B)/(4*c^6*f*(I + Tan[e + f*x])^4)}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n, x, 3, (4*a^3*(I*A + B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(f*n) - (4*a^3*(I*A + 2*B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(c*f*(1 + n)) + (a^3*(I*A + 5*B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(2 + n))/(c^2*f*(2 + n)) - (a^3*B*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3 + n))/(c^3*f*(3 + n))}
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^6, x, 3, (2*a^3*(I*A + B)*c^6*(1 - I*Tan[e + f*x])^6)/(3*f) - (4*a^3*(I*A + 2*B)*c^6*(1 - I*Tan[e + f*x])^7)/(7*f) + (a^3*(I*A + 5*B)*c^6*(1 - I*Tan[e + f*x])^8)/(8*f) - (a^3*B*c^6*(1 - I*Tan[e + f*x])^9)/(9*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^5, x, 3, (4*a^3*(I*A + B)*c^5*(1 - I*Tan[e + f*x])^5)/(5*f) - (2*a^3*(I*A + 2*B)*c^5*(1 - I*Tan[e + f*x])^6)/(3*f) + (a^3*(I*A + 5*B)*c^5*(1 - I*Tan[e + f*x])^7)/(7*f) - (a^3*B*c^5*(1 - I*Tan[e + f*x])^8)/(8*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 3, (a^3*(I*A + B)*c^4*(1 - I*Tan[e + f*x])^4)/f - (4*a^3*(I*A + 2*B)*c^4*(1 - I*Tan[e + f*x])^5)/(5*f) + (a^3*(I*A + 5*B)*c^4*(1 - I*Tan[e + f*x])^6)/(6*f) - (a^3*B*c^4*(1 - I*Tan[e + f*x])^7)/(7*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 5, (a^3*B*c^3*Sec[e + f*x]^6)/(6*f) + (a^3*A*c^3*Tan[e + f*x])/f + (2*a^3*A*c^3*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + (a^3*A*c^3*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2, x, 3, -((2*a^3*(I*A - B)*c^2*(1 + I*Tan[e + f*x])^3)/(3*f)) + (a^3*(I*A - 3*B)*c^2*(1 + I*Tan[e + f*x])^4)/(4*f) + (a^3*B*c^2*(1 + I*Tan[e + f*x])^5)/(5*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x]), x, 3, -((a^3*(I*A - B)*c*(1 + I*Tan[e + f*x])^3)/(3*f)) - (a^3*B*c*(1 + I*Tan[e + f*x])^4)/(4*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x]), x, 4, 4*a^3*(A - I*B)*x - (4*a^3*(I*A + B)*Log[Cos[e + f*x]])/f - (2*a^3*(A - I*B)*Tan[e + f*x])/f + (a*(I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)/(2*f) + (B*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3)/(3*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x]), x, 3, (-4*a^3*(A - (2*I)*B)*x)/c + (4*a^3*(I*A + 2*B)*Log[Cos[e + f*x]])/(c*f) + (a^3*(A - (4*I)*B)*Tan[e + f*x])/(c*f) + (a^3*B*Tan[e + f*x]^2)/(2*c*f) + (4*a^3*(A - I*B))/(c*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^2, x, 3, (a^3*(A - (5*I)*B)*x)/c^2 - (a^3*(I*A + 5*B)*Log[Cos[e + f*x]])/(c^2*f) + (I*a^3*B*Tan[e + f*x])/(c^2*f) + (2*a^3*(I*A + B))/(c^2*f*(I + Tan[e + f*x])^2) - (4*a^3*(A - (2*I)*B))/(c^2*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^3, x, 4, (I*a^3*B*x)/c^3 + (a^3*B*Log[Cos[e + f*x]])/(c^3*f) - (a^3*(I*A + B)*(1 + I*Tan[e + f*x])^3)/(6*c^3*f*(1 - I*Tan[e + f*x])^3) - (2*a^3*B)/(c^3*f*(I + Tan[e + f*x])^2) - ((4*I)*a^3*B)/(c^3*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^4, x, 3, -(a^3*(I*A + B)*(1 + I*Tan[e + f*x])^3)/(8*c^4*f*(1 - I*Tan[e + f*x])^4) - (a^3*(I*A - 7*B)*(1 + I*Tan[e + f*x])^3)/(48*c^4*f*(1 - I*Tan[e + f*x])^3)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^5, x, 3, (4*a^3*(A - I*B))/(5*c^5*f*(I + Tan[e + f*x])^5) + (a^3*(I*A + 2*B))/(c^5*f*(I + Tan[e + f*x])^4) - (a^3*(A - (5*I)*B))/(3*c^5*f*(I + Tan[e + f*x])^3) - (a^3*B)/(2*c^5*f*(I + Tan[e + f*x])^2)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^6, x, 3, (2*a^3*(I*A + B))/(3*c^6*f*(I + Tan[e + f*x])^6) - (4*a^3*(A - (2*I)*B))/(5*c^6*f*(I + Tan[e + f*x])^5) - (a^3*(I*A + 5*B))/(4*c^6*f*(I + Tan[e + f*x])^4) - ((I/3)*a^3*B)/(c^6*f*(I + Tan[e + f*x])^3)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^7, x, 3, (-4*a^3*(A - I*B))/(7*c^7*f*(I + Tan[e + f*x])^7) - (2*a^3*(I*A + 2*B))/(3*c^7*f*(I + Tan[e + f*x])^6) + (a^3*(A - (5*I)*B))/(5*c^7*f*(I + Tan[e + f*x])^5) + (a^3*B)/(4*c^7*f*(I + Tan[e + f*x])^4)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^8, x, 3, -(a^3*(I*A + B))/(2*c^8*f*(I + Tan[e + f*x])^8) + (4*a^3*(A - (2*I)*B))/(7*c^8*f*(I + Tan[e + f*x])^7) + (a^3*(I*A + 5*B))/(6*c^8*f*(I + Tan[e + f*x])^6) + ((I/5)*a^3*B)/(c^8*f*(I + Tan[e + f*x])^5)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 3, ((I*A*(1 - n) + B*(1 + n))*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, (1/2)*(1 - I*Tan[e + f*x])]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(4*a*f*n) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(2*a*f*(1 + I*Tan[e + f*x]))}
+
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4)/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 3, (-4*(3*A + (5*I)*B)*c^4*x)/a - (4*((3*I)*A - 5*B)*c^4*Log[Cos[e + f*x]])/(a*f) - (8*(A + I*B)*c^4)/(a*f*(I - Tan[e + f*x])) + ((5*A + (12*I)*B)*c^4*Tan[e + f*x])/(a*f) - ((I*A - 5*B)*c^4*Tan[e + f*x]^2)/(2*a*f) - ((I/3)*B*c^4*Tan[e + f*x]^3)/(a*f)}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3)/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 3, (-4*(A + (2*I)*B)*c^3*x)/a - (4*(I*A - 2*B)*c^3*Log[Cos[e + f*x]])/(a*f) - (4*(A + I*B)*c^3)/(a*f*(I - Tan[e + f*x])) + ((A + (4*I)*B)*c^3*Tan[e + f*x])/(a*f) + (B*c^3*Tan[e + f*x]^2)/(2*a*f)}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2)/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 3, -(((A + (3*I)*B)*c^2*x)/a) - ((I*A - 3*B)*c^2*Log[Cos[e + f*x]])/(a*f) - (2*(A + I*B)*c^2)/(a*f*(I - Tan[e + f*x])) + (I*B*c^2*Tan[e + f*x])/(a*f)}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x]))/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 3, -((I*B*c*x)/a) + (B*c*Log[Cos[e + f*x]])/(a*f) - ((A + I*B)*c)/(a*f*(I - Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 2, ((A - I*B)*x)/(2*a) + (I*A - B)/(2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])), x, 4, (A*x)/(2*a*c) - (Cos[e + f*x]^2*(B - A*Tan[e + f*x]))/(2*a*c*f)}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2), x, 4, ((3*A + I*B)*x)/(8*a*c^2) - (A + I*B)/(8*a*c^2*f*(I - Tan[e + f*x])) + (I*A + B)/(8*a*c^2*f*(I + Tan[e + f*x])^2) + A/(4*a*c^2*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3), x, 4, ((2*A + I*B)*x)/(8*a*c^3) - (A + I*B)/(16*a*c^3*f*(I - Tan[e + f*x])) - (A - I*B)/(12*a*c^3*f*(I + Tan[e + f*x])^3) + ((I/8)*A)/(a*c^3*f*(I + Tan[e + f*x])^2) + (3*A + I*B)/(16*a*c^3*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4), x, 4, ((5*A + (3*I)*B)*x)/(32*a*c^4) - (A + I*B)/(32*a*c^4*f*(I - Tan[e + f*x])) - (I*A + B)/(16*a*c^4*f*(I + Tan[e + f*x])^4) - A/(12*a*c^4*f*(I + Tan[e + f*x])^3) + ((3*I)*A - B)/(32*a*c^4*f*(I + Tan[e + f*x])^2) + (2*A + I*B)/(16*a*c^4*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+
+
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 3, ((I*A*(2 - n) + B*(2 + n))*Hypergeometric2F1[2, n, 1 + n, (1/2)*(1 - I*Tan[e + f*x])]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(16*a^2*f*n) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(4*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2)}
+
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^5)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 3, (8*(3*A + (7*I)*B)*c^5*x)/a^2 + (8*((3*I)*A - 7*B)*c^5*Log[Cos[e + f*x]])/(a^2*f) - (8*(I*A - B)*c^5)/(a^2*f*(I - Tan[e + f*x])^2) + (16*(2*A + (3*I)*B)*c^5)/(a^2*f*(I - Tan[e + f*x])) - ((7*A + (24*I)*B)*c^5*Tan[e + f*x])/(a^2*f) + ((I*A - 7*B)*c^5*Tan[e + f*x]^2)/(2*a^2*f) + ((I/3)*B*c^5*Tan[e + f*x]^3)/(a^2*f)}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 3, (6*(A + (3*I)*B)*c^4*x)/a^2 + (6*(I*A - 3*B)*c^4*Log[Cos[e + f*x]])/(a^2*f) - (4*(I*A - B)*c^4)/(a^2*f*(I - Tan[e + f*x])^2) + (4*(3*A + (5*I)*B)*c^4)/(a^2*f*(I - Tan[e + f*x])) - ((A + (6*I)*B)*c^4*Tan[e + f*x])/(a^2*f) - (B*c^4*Tan[e + f*x]^2)/(2*a^2*f)}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 3, ((A + (5*I)*B)*c^3*x)/a^2 + ((I*A - 5*B)*c^3*Log[Cos[e + f*x]])/(a^2*f) - (2*(I*A - B)*c^3)/(a^2*f*(I - Tan[e + f*x])^2) + (4*(A + (2*I)*B)*c^3)/(a^2*f*(I - Tan[e + f*x])) - (I*B*c^3*Tan[e + f*x])/(a^2*f)}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 3, (I*B*c^2*x)/a^2 - (B*c^2*Log[Cos[e + f*x]])/(a^2*f) - ((I*A - B)*c^2)/(a^2*f*(I - Tan[e + f*x])^2) + ((A + (3*I)*B)*c^2)/(a^2*f*(I - Tan[e + f*x]))}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x]))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 2, -((c*(A + B*Tan[e + f*x])^2)/(2*a^2*(I*A - B)*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2))}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 3, ((A - I*B)*x)/(4*a^2) + (I*A - B)/(4*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + (I*A + B)/(4*f*(a^2 + I*a^2*Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])), x, 4, ((3*A - I*B)*x)/(8*a^2*c) - (I*A - B)/(8*a^2*c*f*(I - Tan[e + f*x])^2) - A/(4*a^2*c*f*(I - Tan[e + f*x])) + (A - I*B)/(8*a^2*c*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2), x, 5, (3*A*x)/(8*a^2*c^2) + (3*A*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*a^2*c^2*f) - (Cos[e + f*x]^4*(B - A*Tan[e + f*x]))/(4*a^2*c^2*f)}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3), x, 4, ((5*A + I*B)*x)/(16*a^2*c^3) - (I*A - B)/(32*a^2*c^3*f*(I - Tan[e + f*x])^2) - (2*A + I*B)/(16*a^2*c^3*f*(I - Tan[e + f*x])) - (A - I*B)/(24*a^2*c^3*f*(I + Tan[e + f*x])^3) + ((3*I)*A + B)/(32*a^2*c^3*f*(I + Tan[e + f*x])^2) + (3*A)/(16*a^2*c^3*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4), x, 4, (5*(3*A + I*B)*x)/(64*a^2*c^4) - (I*A - B)/(64*a^2*c^4*f*(I - Tan[e + f*x])^2) - (5*A + (3*I)*B)/(64*a^2*c^4*f*(I - Tan[e + f*x])) - (I*A + B)/(32*a^2*c^4*f*(I + Tan[e + f*x])^4) - (3*A - I*B)/(48*a^2*c^4*f*(I + Tan[e + f*x])^3) + (((3*I)/32)*A)/(a^2*c^4*f*(I + Tan[e + f*x])^2) + (5*A + I*B)/(32*a^2*c^4*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^5), x, 4, (3*(7*A + (3*I)*B)*x)/(128*a^2*c^5) - (I*A - B)/(128*a^2*c^5*f*(I - Tan[e + f*x])^2) - (3*A + (2*I)*B)/(64*a^2*c^5*f*(I - Tan[e + f*x])) + (A - I*B)/(40*a^2*c^5*f*(I + Tan[e + f*x])^5) - ((3*I)*A + B)/(64*a^2*c^5*f*(I + Tan[e + f*x])^4) - A/(16*a^2*c^5*f*(I + Tan[e + f*x])^3) + ((5*I)*A - B)/(64*a^2*c^5*f*(I + Tan[e + f*x])^2) + (5*(3*A + I*B))/(128*a^2*c^5*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+
+
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 3, ((I*A*(3 - n) + B*(3 + n))*Hypergeometric2F1[3, n, 1 + n, (1/2)*(1 - I*Tan[e + f*x])]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(48*a^3*f*n) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(6*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^3)}
+
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^5)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 3, (-8*(A + (4*I)*B)*c^5*x)/a^3 - (8*(I*A - 4*B)*c^5*Log[Cos[e + f*x]])/(a^3*f) + (16*(A + I*B)*c^5)/(3*a^3*f*(I - Tan[e + f*x])^3) + (8*((2*I)*A - 3*B)*c^5)/(a^3*f*(I - Tan[e + f*x])^2) - (8*(3*A + (7*I)*B)*c^5)/(a^3*f*(I - Tan[e + f*x])) + ((A + (8*I)*B)*c^5*Tan[e + f*x])/(a^3*f) + (B*c^5*Tan[e + f*x]^2)/(2*a^3*f)}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 3, -(((A + (7*I)*B)*c^4*x)/a^3) - ((I*A - 7*B)*c^4*Log[Cos[e + f*x]])/(a^3*f) + (8*(A + I*B)*c^4)/(3*a^3*f*(I - Tan[e + f*x])^3) + (2*((3*I)*A - 5*B)*c^4)/(a^3*f*(I - Tan[e + f*x])^2) - (6*(A + (3*I)*B)*c^4)/(a^3*f*(I - Tan[e + f*x])) + (I*B*c^4*Tan[e + f*x])/(a^3*f)}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 4, ((-I)*B*c^3*x)/a^3 + (B*c^3*Log[Cos[e + f*x]])/(a^3*f) - (2*B*c^3)/(a^3*f*(I - Tan[e + f*x])^2) - ((4*I)*B*c^3)/(a^3*f*(I - Tan[e + f*x])) + ((I*A - B)*c^3*(1 - I*Tan[e + f*x])^3)/(6*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^3)}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 3, (2*(A + I*B)*c^2)/(3*a^3*f*(I - Tan[e + f*x])^3) + ((I*A - 3*B)*c^2)/(2*a^3*f*(I - Tan[e + f*x])^2) - (I*B*c^2)/(a^3*f*(I - Tan[e + f*x]))}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x]))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 3, ((A + I*B)*c)/(3*a^3*f*(I - Tan[e + f*x])^3) - (B*c)/(2*a^3*f*(I - Tan[e + f*x])^2)}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 4, ((A - I*B)*x)/(8*a^3) + (I*A - B)/(6*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^3) + (I*A + B)/(8*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + (I*A + B)/(8*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])), x, 4, ((2*A - I*B)*x)/(8*a^3*c) + (A + I*B)/(12*a^3*c*f*(I - Tan[e + f*x])^3) - ((I/8)*A)/(a^3*c*f*(I - Tan[e + f*x])^2) - (3*A - I*B)/(16*a^3*c*f*(I - Tan[e + f*x])) + (A - I*B)/(16*a^3*c*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^2), x, 4, ((5*A - I*B)*x)/(16*a^3*c^2) + (A + I*B)/(24*a^3*c^2*f*(I - Tan[e + f*x])^3) - ((3*I)*A - B)/(32*a^3*c^2*f*(I - Tan[e + f*x])^2) - (3*A)/(16*a^3*c^2*f*(I - Tan[e + f*x])) + (I*A + B)/(32*a^3*c^2*f*(I + Tan[e + f*x])^2) + (2*A - I*B)/(16*a^3*c^2*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^3), x, 6, (5*A*x)/(16*a^3*c^3) + (5*A*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*a^3*c^3*f) + (5*A*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*a^3*c^3*f) - (Cos[e + f*x]^6*(B - A*Tan[e + f*x]))/(6*a^3*c^3*f)}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^4), x, 4, (5*(7*A + I*B)*x)/(128*a^3*c^4) + (A + I*B)/(96*a^3*c^4*f*(I - Tan[e + f*x])^3) - ((5*I)*A - 3*B)/(128*a^3*c^4*f*(I - Tan[e + f*x])^2) - (5*(3*A + I*B))/(128*a^3*c^4*f*(I - Tan[e + f*x])) - (I*A + B)/(64*a^3*c^4*f*(I + Tan[e + f*x])^4) - (2*A - I*B)/(48*a^3*c^4*f*(I + Tan[e + f*x])^3) + ((5*I)*A + B)/(64*a^3*c^4*f*(I + Tan[e + f*x])^2) + (5*A)/(32*a^3*c^4*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^5), x, 4, (7*(4*A + I*B)*x)/(128*a^3*c^5) + (A + I*B)/(192*a^3*c^5*f*(I - Tan[e + f*x])^3) - ((3*I)*A - 2*B)/(128*a^3*c^5*f*(I - Tan[e + f*x])^2) - (3*(7*A + (3*I)*B))/(256*a^3*c^5*f*(I - Tan[e + f*x])) + (A - I*B)/(80*a^3*c^5*f*(I + Tan[e + f*x])^5) - ((2*I)*A + B)/(64*a^3*c^5*f*(I + Tan[e + f*x])^4) - (5*A - I*B)/(96*a^3*c^5*f*(I + Tan[e + f*x])^3) + (((5*I)/64)*A)/(a^3*c^5*f*(I + Tan[e + f*x])^2) + (5*(7*A + I*B))/(256*a^3*c^5*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^6), x, 4, (7*(3*A + I*B)*x)/(128*a^3*c^6) + (A + I*B)/(384*a^3*c^6*f*(I - Tan[e + f*x])^3) - ((7*I)*A - 5*B)/(512*a^3*c^6*f*(I - Tan[e + f*x])^2) - (7*(2*A + I*B))/(256*a^3*c^6*f*(I - Tan[e + f*x])) + (I*A + B)/(96*a^3*c^6*f*(I + Tan[e + f*x])^6) + (2*A - I*B)/(80*a^3*c^6*f*(I + Tan[e + f*x])^5) - ((5*I)*A + B)/(128*a^3*c^6*f*(I + Tan[e + f*x])^4) - (5*A)/(96*a^3*c^6*f*(I + Tan[e + f*x])^3) + (5*((7*I)*A - B))/(512*a^3*c^6*f*(I + Tan[e + f*x])^2) + (7*(4*A + I*B))/(256*a^3*c^6*f*(I + Tan[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a I Tan[e+f x])^m (c-c I Tan[e+f x])^(n/2) (A+B Tan[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 3, (2*a*(I*A + B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*f) - (2*a*B*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2))/(9*c*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 3, (2*a*(I*A + B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f) - (2*a*B*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*c*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, (2*a*(I*A + B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) - (2*a*B*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*c*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 3, (2*a*(I*A + B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/f - (2*a*B*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*c*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x]))/Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 3, (-2*a*(I*A + B))/(f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) - (2*a*B*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(c*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, (-2*a*(I*A + B))/(3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*a*B)/(c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 3, (-2*a*(I*A + B))/(5*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (2*a*B)/(3*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 3, (-2*a*(I*A + B))/(7*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2)) + (2*a*B)/(5*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 3, (4*a^2*(I*A + B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*f) - (2*a^2*(I*A + 3*B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2))/(9*c*f) + (2*a^2*B*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(11/2))/(11*c^2*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 3, (4*a^2*(I*A + B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f) - (2*a^2*(I*A + 3*B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*c*f) + (2*a^2*B*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2))/(9*c^2*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, (4*a^2*(I*A + B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) - (2*a^2*(I*A + 3*B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*c*f) + (2*a^2*B*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*c^2*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 3, (4*a^2*(I*A + B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/f - (2*a^2*(I*A + 3*B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*c*f) + (2*a^2*B*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*c^2*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x]))/Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 3, (-4*a^2*(I*A + B))/(f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) - (2*a^2*(I*A + 3*B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(c*f) + (2*a^2*B*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*c^2*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, (-4*a^2*(I*A + B))/(3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*a^2*(I*A + 3*B))/(c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (2*a^2*B*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(c^2*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 3, (-4*a^2*(I*A + B))/(5*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (2*a^2*(I*A + 3*B))/(3*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*a^2*B)/(c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 3, (-4*a^2*(I*A + B))/(7*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2)) + (2*a^2*(I*A + 3*B))/(5*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (2*a^2*B)/(3*c^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 3, (8*a^3*(I*A + B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*f) - (8*a^3*(I*A + 2*B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2))/(9*c*f) + (2*a^3*(I*A + 5*B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(11/2))/(11*c^2*f) - (2*a^3*B*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(13/2))/(13*c^3*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 3, (8*a^3*(I*A + B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f) - (8*a^3*(I*A + 2*B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*c*f) + (2*a^3*(I*A + 5*B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2))/(9*c^2*f) - (2*a^3*B*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(11/2))/(11*c^3*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, (8*a^3*(I*A + B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) - (8*a^3*(I*A + 2*B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*c*f) + (2*a^3*(I*A + 5*B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*c^2*f) - (2*a^3*B*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2))/(9*c^3*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 3, (8*a^3*(I*A + B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/f - (8*a^3*(I*A + 2*B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*c*f) + (2*a^3*(I*A + 5*B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*c^2*f) - (2*a^3*B*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*c^3*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x]))/Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 3, (-8*a^3*(I*A + B))/(f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) - (8*a^3*(I*A + 2*B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(c*f) + (2*a^3*(I*A + 5*B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*c^2*f) - (2*a^3*B*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*c^3*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, (-8*a^3*(I*A + B))/(3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (8*a^3*(I*A + 2*B))/(c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (2*a^3*(I*A + 5*B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(c^2*f) - (2*a^3*B*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*c^3*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 3, (-8*a^3*(I*A + B))/(5*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (8*a^3*(I*A + 2*B))/(3*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*a^3*(I*A + 5*B))/(c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) - (2*a^3*B*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(c^3*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 3, (-8*a^3*(I*A + B))/(7*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2)) + (8*a^3*(I*A + 2*B))/(5*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (2*a^3*(I*A + 5*B))/(3*c^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*a^3*B)/(c^3*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 7, (-2*Sqrt[2]*((5*I)*A - 9*B)*c^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(a*f) + (2*((5*I)*A - 9*B)*c^3*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a*f) + (((5*I)*A - 9*B)*c^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*a*f) + (((5*I)*A - 9*B)*c*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(10*a*f) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(2*a*f*(1 + I*Tan[e + f*x]))}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 6, -((Sqrt[2]*((3*I)*A - 7*B)*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(a*f)) + (((3*I)*A - 7*B)*c^2*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a*f) + (((3*I)*A - 7*B)*c*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(6*a*f) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(2*a*f*(1 + I*Tan[e + f*x]))}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 5, -(((I*A - 5*B)*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(Sqrt[2]*a*f)) + ((I*A - 5*B)*c*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*a*f) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*a*f*(1 + I*Tan[e + f*x]))}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a + I*a*Tan[e + f*x]), x, 4, ((I*A + 3*B)*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(2*Sqrt[2]*a*f) + ((I*A - B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*a*f*(1 + I*Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]), x, 5, (((3*I)*A + B)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[2]*a*Sqrt[c]*f) - ((3*I)*A + B)/(4*a*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (I*A - B)/(2*a*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 6, (((5*I)*A - B)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(8*Sqrt[2]*a*c^(3/2)*f) - ((5*I)*A - B)/(12*a*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (I*A - B)/(2*a*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - ((5*I)*A - B)/(8*a*c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 7, (((7*I)*A - 3*B)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(16*Sqrt[2]*a*c^(5/2)*f) - ((7*I)*A - 3*B)/(20*a*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (I*A - B)/(2*a*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - ((7*I)*A - 3*B)/(24*a*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - ((7*I)*A - 3*B)/(16*a*c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 8, (7*(5*I*A - 13*B)*c^(9/2)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(Sqrt[2]*a^2*f) - (7*(5*I*A - 13*B)*c^4*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*a^2*f) - (7*(5*I*A - 13*B)*c^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(12*a^2*f) - (7*(5*I*A - 13*B)*c^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(40*a^2*f) - ((5*I*A - 13*B)*c*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(8*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2))/(4*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2)}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 7, (5*((3*I)*A - 11*B)*c^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(2*Sqrt[2]*a^2*f) - (5*((3*I)*A - 11*B)*c^3*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(4*a^2*f) - (5*((3*I)*A - 11*B)*c^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(24*a^2*f) - (((3*I)*A - 11*B)*c*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(8*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(4*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2)}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 6, (3*(I*A - 9*B)*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[2]*a^2*f) - (3*(I*A - 9*B)*c^2*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(8*a^2*f) - ((I*A - 9*B)*c*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(8*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(4*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2)}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 5, -((I*A + 7*B)*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(8*Sqrt[2]*a^2*f) + ((I*A + 7*B)*c*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(8*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(4*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2)}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 5, (((3*I)*A + 5*B)*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(16*Sqrt[2]*a^2*f) + ((I*A - B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(4*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2) + (((3*I)*A + 5*B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(16*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]), x, 6, (3*((5*I)*A + 3*B)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*Sqrt[2]*a^2*Sqrt[c]*f) - (3*((5*I)*A + 3*B))/(32*a^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (I*A - B)/(4*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + ((5*I)*A + 3*B)/(16*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 7, (5*((7*I)*A + B)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(64*Sqrt[2]*a^2*c^(3/2)*f) - (5*((7*I)*A + B))/(96*a^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (I*A - B)/(4*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((7*I)*A + B)/(16*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (5*((7*I)*A + B))/(64*a^2*c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 8, (7*((9*I)*A - B)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(128*Sqrt[2]*a^2*c^(5/2)*f) - (7*((9*I)*A - B))/(160*a^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (I*A - B)/(4*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + ((9*I)*A - B)/(16*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (7*((9*I)*A - B))/(192*a^2*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (7*((9*I)*A - B))/(128*a^2*c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 8, -((35*(I*A - 5*B)*c^(9/2)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[2]*a^3*f)) + (35*(I*A - 5*B)*c^4*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(8*a^3*f) + (35*(I*A - 5*B)*c^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(48*a^3*f) + (7*(I*A - 5*B)*c^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(16*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) - ((I*A - 5*B)*c*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(8*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2))/(6*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^3)}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 7, (-5*(I*A - 13*B)*c^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(8*Sqrt[2]*a^3*f) + (5*(I*A - 13*B)*c^3*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(16*a^3*f) + (5*(I*A - 13*B)*c^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(48*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) - ((I*A - 13*B)*c*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(24*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(6*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^3)}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 6, ((I*A + 11*B)*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(16*Sqrt[2]*a^3*f) - ((I*A + 11*B)*c^2*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(16*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) + ((I*A + 11*B)*c*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(24*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(6*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^3)}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 6, -((I*A + 3*B)*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*Sqrt[2]*a^3*f) + ((I*A + 3*B)*c*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(8*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2) - ((I*A + 3*B)*c*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(32*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(6*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^3)}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a + I*a*Tan[e + f*x])^3, x, 6, (((5*I)*A + 7*B)*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(64*Sqrt[2]*a^3*f) + ((I*A - B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(6*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^3) + (((5*I)*A + 7*B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(48*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2) + (((5*I)*A + 7*B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(64*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]), x, 7, (5*((7*I)*A + 5*B)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(128*Sqrt[2]*a^3*Sqrt[c]*f) - (5*((7*I)*A + 5*B))/(128*a^3*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (I*A - B)/(6*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^3*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + ((7*I)*A + 5*B)/(48*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (5*((7*I)*A + 5*B))/(192*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 8, (35*((3*I)*A + B)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(256*Sqrt[2]*a^3*c^(3/2)*f) - (35*((3*I)*A + B))/(384*a^3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (I*A - B)/(6*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((3*I)*A + B)/(16*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (7*((3*I)*A + B))/(64*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (35*((3*I)*A + B))/(256*a^3*c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 9, (21*((11*I)*A + B)*ArcTanh[Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(512*Sqrt[2]*a^3*c^(5/2)*f) - (21*((11*I)*A + B))/(640*a^3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (I*A - B)/(6*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^3*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + ((11*I)*A + B)/(48*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (3*((11*I)*A + B))/(64*a^3*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (7*((11*I)*A + B))/(256*a^3*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (21*((11*I)*A + B))/(512*a^3*c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a I Tan[e+f x])^(m/2) (c-c I Tan[e+f x])^(n/2) (A+B Tan[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 8, (-5*Sqrt[a]*((4*I)*A - 3*B)*c^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(4*f) - (5*((4*I)*A - 3*B)*c^3*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(8*f) - (5*((4*I)*A - 3*B)*c^2*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(24*f) - (((4*I)*A - 3*B)*c*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(12*f) + (B*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(4*f)}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 7, -((Sqrt[a]*((3*I)*A - 2*B)*c^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/f) - (((3*I)*A - 2*B)*c^2*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*f) - (((3*I)*A - 2*B)*c*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(6*f) + (B*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(3*f)}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 6, -((Sqrt[a]*((2*I)*A - B)*c^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/f) - (((2*I)*A - B)*c*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*f) + (B*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*f)}
+{Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 5, ((-2*I)*Sqrt[a]*A*Sqrt[c]*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/f + (B*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/f}
+{(Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x]))/Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 5, (2*Sqrt[a]*B*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f) - ((I*A + B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{(Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((I*A + B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - ((I*A - 2*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(3*c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{(Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((I*A + B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(5*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (((2*I)*A - 3*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(15*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (((2*I)*A - 3*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(15*c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{(Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 5, -((I*A + B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(7*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2)) - (((3*I)*A - 4*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(35*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (2*((3*I)*A - 4*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(105*c^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*((3*I)*A - 4*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(105*c^3*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 8, -(a^(3/2)*((5*I)*A - 2*B)*c^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(4*f) + (a*(5*A + (2*I)*B)*c^3*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(8*f) - (((5*I)*A - 2*B)*c^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(12*f) - (((5*I)*A - 2*B)*c*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(20*f) + (B*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(5*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 7, -(a^(3/2)*((4*I)*A - B)*c^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(4*f) + (a*(4*A + I*B)*c^2*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(8*f) - (((4*I)*A - B)*c*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(12*f) + (B*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(4*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 6, ((-I)*a^(3/2)*A*c^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/f + (a*A*c*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*f) + (B*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 6, -((a^(3/2)*((2*I)*A + B)*Sqrt[c]*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/f) + (a*((2*I)*A + B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*f) + (B*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 6, (2*a^(3/2)*(I*A + 2*B)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f) - ((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) - (a*(I*A + 2*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(c*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 6, (-2*a^(3/2)*B*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(c^(3/2)*f) - ((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*a*B*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 3, -((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(5*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - ((I*A - 4*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(15*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 4, -((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(7*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2)) - (((2*I)*A - 5*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(35*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (((2*I)*A - 5*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(105*c^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2), x, 5, -((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(9*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2)) - ((I*A - 2*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(21*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2)) - (2*(I*A - 2*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(105*c^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (2*(I*A - 2*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(315*c^3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(11/2), x, 6, -((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(11*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(11/2)) - (((4*I)*A - 7*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(99*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2)) - (((4*I)*A - 7*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(231*c^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2)) - (2*((4*I)*A - 7*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(1155*c^3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (2*((4*I)*A - 7*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3465*c^4*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 8, -(a^(5/2)*((6*I)*A - B)*c^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(8*f) + (a^2*(6*A + I*B)*c^3*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(16*f) + (a*(6*A + I*B)*c^2*Tan[e + f*x]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(24*f) - (((6*I)*A - B)*c*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(30*f) + (B*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(6*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 7, (((-3*I)/4)*a^(5/2)*A*c^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/f + (3*a^2*A*c^2*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(8*f) + (a*A*c*Tan[e + f*x]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(4*f) + (B*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 7, -(a^(5/2)*((4*I)*A + B)*c^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(4*f) + (a^2*(4*A - I*B)*c*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(8*f) + (a*((4*I)*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(12*f) + (B*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(4*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 7, -((a^(5/2)*((3*I)*A + 2*B)*Sqrt[c]*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/f) + (a^2*((3*I)*A + 2*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*f) + (a*((3*I)*A + 2*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(6*f) + (B*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(3*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 7, (3*a^(5/2)*((2*I)*A + 3*B)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f) - ((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) - (3*a^2*((2*I)*A + 3*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*c*f) - (a*((2*I)*A + 3*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*c*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 7, (-2*a^(5/2)*(I*A + 4*B)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(c^(3/2)*f) - ((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*a*(I*A + 4*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (a^2*(I*A + 4*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(c^2*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 7, (2*a^(5/2)*B*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(c^(5/2)*f) - ((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (2*a*B*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*a^2*B*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 3, -((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(7*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2)) - ((I*A - 6*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(35*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2), x, 4, -((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(9*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2)) - (((2*I)*A - 7*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(63*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2)) - (((2*I)*A - 7*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(315*c^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(11/2), x, 5, -((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(11*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(11/2)) - (((3*I)*A - 8*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(99*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2)) - (2*((3*I)*A - 8*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(693*c^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2)) - (2*((3*I)*A - 8*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(3465*c^3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(13/2), x, 6, -((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(13*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(13/2)) - (((4*I)*A - 9*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(143*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(11/2)) - (((4*I)*A - 9*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(429*c^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2)) - (2*((4*I)*A - 9*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(3003*c^3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2)) - (2*((4*I)*A - 9*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(15015*c^4*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2), x, 9, (-5*a^(7/2)*((8*I)*A - B)*c^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(64*f) + (5*a^3*(8*A + I*B)*c^4*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(128*f) + (5*a^2*(8*A + I*B)*c^3*Tan[e + f*x]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(192*f) + (a*(8*A + I*B)*c^2*Tan[e + f*x]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(48*f) - (((8*I)*A - B)*c*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(56*f) + (B*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2))/(8*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 8, (((-5*I)/8)*a^(7/2)*A*c^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/f + (5*a^3*A*c^3*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(16*f) + (5*a^2*A*c^2*Tan[e + f*x]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(24*f) + (a*A*c*Tan[e + f*x]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(6*f) + (B*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 8, -(a^(7/2)*((6*I)*A + B)*c^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(8*f) + (a^3*(6*A - I*B)*c^2*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(16*f) + (a^2*(6*A - I*B)*c*Tan[e + f*x]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(24*f) + (a*((6*I)*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(30*f) + (B*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(6*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 8, -(a^(7/2)*((5*I)*A + 2*B)*c^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(4*f) + (a^3*(5*A - (2*I)*B)*c*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(8*f) + (a^2*((5*I)*A + 2*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(12*f) + (a*((5*I)*A + 2*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(20*f) + (B*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(5*f)}
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 8, (-5*a^(7/2)*((4*I)*A + 3*B)*Sqrt[c]*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(4*f) + (5*a^3*((4*I)*A + 3*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(8*f) + (5*a^2*((4*I)*A + 3*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(24*f) + (a*((4*I)*A + 3*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(12*f) + (B*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(4*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]], x, 8, (5*a^(7/2)*((3*I)*A + 4*B)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f) - ((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) - (5*a^3*((3*I)*A + 4*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*c*f) - (5*a^2*((3*I)*A + 4*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(6*c*f) - (a*((3*I)*A + 4*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(3*c*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 8, (-5*a^(7/2)*((2*I)*A + 5*B)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(c^(3/2)*f) - ((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*a*((2*I)*A + 5*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(3*c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (5*a^3*((2*I)*A + 5*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*c^2*f) + (5*a^2*((2*I)*A + 5*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(6*c^2*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 8, (2*a^(7/2)*(I*A + 6*B)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(c^(5/2)*f) - ((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(5*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (2*a*(I*A + 6*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(15*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*a^2*(I*A + 6*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) - (a^3*(I*A + 6*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(c^3*f)}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 8, (-2*a^(7/2)*B*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(c^(7/2)*f) - ((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2)) + (2*a*B*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (2*a^2*B*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*c^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*a^3*B*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(c^3*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2), x, 3, -((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(9*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2)) - ((I*A - 8*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(63*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(11/2), x, 4, -((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(11*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(11/2)) - (((2*I)*A - 9*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(99*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2)) - (((2*I)*A - 9*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(693*c^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(13/2), x, 5, -((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(13*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(13/2)) - (((3*I)*A - 10*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(143*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(11/2)) - (2*((3*I)*A - 10*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(1287*c^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2)) - (2*((3*I)*A - 10*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(9009*c^3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(15/2), x, 6, -((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(15*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(15/2)) - (((4*I)*A - 11*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(195*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(13/2)) - (((4*I)*A - 11*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(715*c^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(11/2)) - (2*((4*I)*A - 11*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(6435*c^3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2)) - (2*((4*I)*A - 11*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(45045*c^4*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))}
+{((a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2)*(A + B*Tan[e + f*x]))/(c - I*c*Tan[e + f*x])^(17/2), x, 7, -((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(17*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(17/2)) - (((5*I)*A - 12*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(255*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(15/2)) - (4*((5*I)*A - 12*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(3315*c^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(13/2)) - (4*((5*I)*A - 12*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(12155*c^3*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(11/2)) - (8*((5*I)*A - 12*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(109395*c^4*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2)) - (8*((5*I)*A - 12*B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(7/2))/(765765*c^5*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]], x, 7, (3*((2*I)*A - 3*B)*c^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) + (3*((2*I)*A - 3*B)*c^2*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*a*f) + (((2*I)*A - 3*B)*c*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*a*f) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]], x, 6, (2*(I*A - 2*B)*c^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) + ((I*A - 2*B)*c*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a*f) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]], x, 5, (-2*B*Sqrt[c]*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) + ((I*A - B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]), x, 3, -((I*A + B)/(f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])) + (I*A*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 4, (I*A - B)/(f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (((2*I)*A - B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(3*a*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (((2*I)*A - B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(3*a*c*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 5, (I*A - B)/(f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (((3*I)*A - 2*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(5*a*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (2*((3*I)*A - 2*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(15*a*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*((3*I)*A - 2*B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(15*a*c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 8, (-5*((2*I)*A - 5*B)*c^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(a^(3/2)*f) - (5*((2*I)*A - 5*B)*c^3*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*a^2*f) - (5*((2*I)*A - 5*B)*c^2*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(6*a^2*f) - (2*((2*I)*A - 5*B)*c*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(3*a*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(3*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 7, (-2*(I*A - 4*B)*c^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(a^(3/2)*f) - ((I*A - 4*B)*c^2*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a^2*f) - (2*(I*A - 4*B)*c*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*a*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(3*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 6, (2*B*c^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(a^(3/2)*f) + (2*B*c*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 3, ((I*A - B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(3*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((I*A + 2*B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(3*a*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]), x, 4, -((I*A + B)/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])) + (((2*I)*A + B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(3*c*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (((2*I)*A + B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(3*a*c*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 4, -(I*A + B)/(3*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((I/3)*A)/(c*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (2*A*Tan[e + f*x])/(3*a*c*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 6, (I*A - B)/(3*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (4*I*A - B)/(3*a*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - ((4*I*A - B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(5*a^2*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (2*(4*I*A - B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(15*a^2*c*f*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*(4*I*A - B)*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(15*a^2*c^2*f*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 9, (7*((2*I)*A - 7*B)*c^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(a^(5/2)*f) + (7*((2*I)*A - 7*B)*c^4*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(2*a^3*f) + (7*((2*I)*A - 7*B)*c^3*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(6*a^3*f) + (14*((2*I)*A - 7*B)*c^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(15*a^2*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]) - (2*((2*I)*A - 7*B)*c*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(15*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(9/2))/(5*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 8, (2*(I*A - 6*B)*c^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(a^(5/2)*f) + ((I*A - 6*B)*c^3*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a^3*f) + (2*(I*A - 6*B)*c^2*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*a^2*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]) - (2*(I*A - 6*B)*c*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(15*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(7/2))/(5*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 7, (-2*B*c^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])])/(a^(5/2)*f) - (2*B*c^2*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a^2*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]) + (2*B*c*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 3, ((I*A - B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(5*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)) + ((I*A + 4*B)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2))/(15*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{((A + B*Tan[e + f*x])*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 4, ((I*A - B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(5*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (((2*I)*A + 3*B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(15*a*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (((2*I)*A + 3*B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(15*a^2*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]), x, 5, -((I*A + B)/(f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])) + (((3*I)*A + 2*B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(5*c*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)) + (2*((3*I)*A + 2*B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(15*a*c*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*((3*I)*A + 2*B)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])/(15*a^2*c*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 5, -(I*A + B)/(3*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + ((4*I)*A + B)/(15*c*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + ((4*I)*A + B)/(15*a*c*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]]) + (2*(4*A - I*B)*Tan[e + f*x])/(15*a^2*c*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x])/((a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 5, -(I*A + B)/(5*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(5/2)) + ((I/5)*A)/(c*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (4*A*Tan[e + f*x])/(15*a*c*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (8*A*Tan[e + f*x])/(15*a^2*c^2*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c - I*c*Tan[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a I Tan[e+f x])^m (c-c I Tan[e+f x])^n (A+B Tan[e+f x]) when m and n symbolic*)
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n*(A + B*Tan[e + f*x]), x, 4, ((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(2*f*n) - (1/(f*m*n))*((2^(-1 + n)*(B*(m - n) + I*A*(m + n))*Hypergeometric2F1[m, -n, 1 + m, (1/2)*(1 + I*Tan[e + f*x])]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m*(c - I*c*Tan[e + f*x])^n)/(1 - I*Tan[e + f*x])^n)}
+
+
+{(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1 + m)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(-1 - m)*(A + B*Tan[e + f*x]), x, 4, -((I*A + B)*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(1 + m)*(c - I*c*Tan[e + f*x])^(-1 - m))/(2*f*(1 + m)) + (2^m*a*B*Hypergeometric2F1[-m, -m, 1 - m, (1 - I*Tan[e + f*x])/2]*(a + I*a*Tan[e + f*x])^m)/(c*f*m*(1 + I*Tan[e + f*x])^m*(c - I*c*Tan[e + f*x])^m)}
+
+
+{(c - I*c*Tan[e + f*x])^n*((-I)*(2 + n) + (-2 + n)*Tan[e + f*x])/(-I + Tan[e + f*x])^2, x, 2, (c - I*c*Tan[e + f*x])^n/(f*(I - Tan[e + f*x])^2)}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (a+a I Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^n (A+B Tan[e+f x])*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^n (A+B Tan[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^n (A+B Tan[e+f x])*)
+
+
+{((c + d*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x]))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2, x, 3, ((A - I*B)*(c - I*d)*x)/(4*a^2) + (B*(c + 3*I*d) + A*(I*c + d))/(4*a^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])) + ((I*A - B)*(c + I*d))/(4*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^(n/2) (A+B Tan[e+f x])*)
+
+
+{((c + d*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x]))/(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 4, -(((I*A + B)*(c - I*d)*ArcTanh[Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*f)) + ((I*A - B)*(c + I*d))/(3*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (B*(c + 3*I*d) + A*(I*c + d))/(2*a*f*Sqrt[a + I*a*Tan[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^(m/2) (c+d Tan[e+f x])^(n/2) (A+B Tan[e+f x])*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.4.2 (a+b tan)^m (c+d tan)^n (A+B tan+C tan^2).m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.4.2 (a+b tan)^m (c+d tan)^n (A+B tan+C tan^2).m
new file mode 100644
index 00000000..6b0f918a
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.4.2 (a+b tan)^m (c+d tan)^n (A+B tan+C tan^2).m	
@@ -0,0 +1,313 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^n (A+B Tan[e+f x]+C Tan[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m Tan[e+f x]^n (A+B Tan[e+f x]+C Tan[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (B Tan[e+f x]+C Tan[e+f x]^2) (a+b Tan[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 5, -((a*B - b*C)*x) + ((b*B + a*C)*Log[Cos[c + d*x]])/d + ((a*B - b*C)*Tan[c + d*x])/d + ((b*B + a*C)*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) + (b*C*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Tan[c + d*x]^0*(a + b*Tan[c + d*x])*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 3, -((b*B + a*C)*x) - ((a*B - b*C)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b*B*Tan[c + d*x])/d + (C*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*b*d)}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 3, (a*B - b*C)*x - ((b*B + a*C)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b*C*Tan[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 5, (b*B + a*C)*x - (b*C*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a*B*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 4, -((a*B - b*C)*x) - (a*B*Cot[c + d*x])/d + ((b*B + a*C)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 5, -((b*B + a*C)*x) - ((b*B + a*C)*Cot[c + d*x])/d - (a*B*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - ((a*B - b*C)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 6, (a*B - b*C)*x + ((a*B - b*C)*Cot[c + d*x])/d - ((b*B + a*C)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*B*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - ((b*B + a*C)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x])*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 7, (b*B + a*C)*x + ((b*B + a*C)*Cot[c + d*x])/d + ((a*B - b*C)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - ((b*B + a*C)*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*B*Cot[c + d*x]^4)/(4*d) + ((a*B - b*C)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+
+
+{Tan[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 6, -((a^2*B - b^2*B - 2*a*b*C)*x) + ((2*a*b*B + a^2*C - b^2*C)*Log[Cos[c + d*x]])/d - (b*(b*B + a*C)*Tan[c + d*x])/d - (C*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + ((4*b*B - a*C)*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(12*b^2*d) + (C*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(4*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^0*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 4, -((2*a*b*B + a^2*C - b^2*C)*x) - ((a^2*B - b^2*B - 2*a*b*C)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b*(a*B - b*C)*Tan[c + d*x])/d + (B*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + (C*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*b*d)}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 4, (a^2*B - b^2*B - 2*a*b*C)*x - ((2*a*b*B + a^2*C - b^2*C)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b*(b*B + a*C)*Tan[c + d*x])/d + (C*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 5, (2*a*b*B + a^2*C - b^2*C)*x - (b*(b*B + 2*a*C)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*B*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*C*Tan[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 5, -((a^2*B - b^2*B - 2*a*b*C)*x) - (a^2*B*Cot[c + d*x])/d - (b^2*C*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a*(2*b*B + a*C)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 5, (b^2*C - a*(2*b*B + a*C))*x - (a*(2*b*B + a*C)*Cot[c + d*x])/d - (a^2*B*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - ((a^2*B - b^2*B - 2*a*b*C)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 6, (a^2*B - b^2*B - 2*a*b*C)*x + ((a^2*B - b^2*B - 2*a*b*C)*Cot[c + d*x])/d - (a*(2*b*B + a*C)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a^2*B*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + ((b^2*C - a*(2*b*B + a*C))*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x])^2*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 7, (2*a*b*B + a^2*C - b^2*C)*x - ((b^2*C - a*(2*b*B + a*C))*Cot[c + d*x])/d + ((a^2*B - b^2*B - 2*a*b*C)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*(2*b*B + a*C)*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*B*Cot[c + d*x]^4)/(4*d) + ((a^2*B - b^2*B - 2*a*b*C)*Log[Sin[c + d*x]])/d}
+
+
+{Tan[c + d*x]^0*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 5, -((3*a^2*b*B - b^3*B + a^3*C - 3*a*b^2*C)*x) - ((a^3*B - 3*a*b^2*B - 3*a^2*b*C + b^3*C)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b*(a^2*B - b^2*B - 2*a*b*C)*Tan[c + d*x])/d + ((a*B - b*C)*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + (B*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) + (C*(a + b*Tan[c + d*x])^4)/(4*b*d)}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 5, (a^3*B - 3*a*b^2*B - 3*a^2*b*C + b^3*C)*x - ((3*a^2*b*B - b^3*B + a^3*C - 3*a*b^2*C)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b*(2*a*b*B + a^2*C - b^2*C)*Tan[c + d*x])/d + ((b*B + a*C)*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + (C*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 6, (3*a^2*b*B - b^3*B + a^3*C - 3*a*b^2*C)*x - (b*(3*a*b*B + 3*a^2*C - b^2*C)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^3*B*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*(b*B + 2*a*C)*Tan[c + d*x])/d + (b*C*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 6, -((a^3*B - 3*a*b^2*B - 3*a^2*b*C + b^3*C)*x) - (b^2*(b*B + 3*a*C)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*(3*b*B + a*C)*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*(a*B + b*C)*Tan[c + d*x])/d - (a*B*Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 6, -((3*a^2*b*B - b^3*B + a^3*C - 3*a*b^2*C)*x) - (a^2*(2*b*B + a*C)*Cot[c + d*x])/d - (b^3*C*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a*(a^2*B - 3*b^2*B - 3*a*b*C)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*B*Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 6, (a^3*B - 3*a*b^2*B - 3*a^2*b*C + b^3*C)*x + (a*(3*a^2*B - 8*b^2*B - 9*a*b*C)*Cot[c + d*x])/(3*d) - (a^2*(5*b*B + 3*a*C)*Cot[c + d*x]^2)/(6*d) - ((3*a^2*b*B - b^3*B + a^3*C - 3*a*b^2*C)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*B*Cot[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 7, (3*a^2*b*B - b^3*B + a^3*C - 3*a*b^2*C)*x + ((3*a^2*b*B - b^3*B + a^3*C - 3*a*b^2*C)*Cot[c + d*x])/d + (a*(2*a^2*B - 5*b^2*B - 6*a*b*C)*Cot[c + d*x]^2)/(4*d) - (a^2*(3*b*B + 2*a*C)*Cot[c + d*x]^3)/(6*d) + ((a^3*B - 3*a*b^2*B - 3*a^2*b*C + b^3*C)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*B*Cot[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(4*d)}
+{Cot[c + d*x]^7*(a + b*Tan[c + d*x])^3*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2), x, 8, -((a^3*B - 3*a*b^2*B - 3*a^2*b*C + b^3*C)*x) - ((a^3*B - 3*a*b^2*B - 3*a^2*b*C + b^3*C)*Cot[c + d*x])/d + ((3*a^2*b*B - b^3*B + a^3*C - 3*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*(5*a^2*B - 12*b^2*B - 15*a*b*C)*Cot[c + d*x]^3)/(15*d) - (a^2*(7*b*B + 5*a*C)*Cot[c + d*x]^4)/(20*d) + ((3*a^2*b*B - b^3*B + a^3*C - 3*a*b^2*C)*Log[Sin[c + d*x]])/d - (a*B*Cot[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^2*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 7, -(((b*B - a*C)*x)/(a^2 + b^2)) + ((a*B + b*C)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) - (a^3*(b*B - a*C)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)*d) + ((b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(b^2*d) + (C*Tan[c + d*x]^2)/(2*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^1*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 6, -(((a*B + b*C)*x)/(a^2 + b^2)) - ((b*B - a*C)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) + (a^2*(b*B - a*C)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + (C*Tan[c + d*x])/(b*d)}
+{Tan[c + d*x]^0*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 6, ((b*B - a*C)*x)/(a^2 + b^2) - ((a*B + b*C)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) - (a*(b*B - a*C)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d)}
+{Cot[c + d*x]^1*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 3, ((a*B + b*C)*x)/(a^2 + b^2) + ((b*B - a*C)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 4, -(((b*B - a*C)*x)/(a^2 + b^2)) + (B*Log[Sin[c + d*x]])/(a*d) - (b*(b*B - a*C)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a*(a^2 + b^2)*d)}
+{Cot[c + d*x]^3*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 5, -(((a*B + b*C)*x)/(a^2 + b^2)) - (B*Cot[c + d*x])/(a*d) - ((b*B - a*C)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (b^2*(b*B - a*C)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^2*(a^2 + b^2)*d)}
+{Cot[c + d*x]^4*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x]), x, 6, ((b*B - a*C)*x)/(a^2 + b^2) + ((b*B - a*C)*Cot[c + d*x])/(a^2*d) - (B*Cot[c + d*x]^2)/(2*a*d) - ((a^2*B - b^2*B + a*b*C)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (b^3*(b*B - a*C)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^3*(a^2 + b^2)*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^2*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 7, -(((2*a*b*B - a^2*C + b^2*C)*x)/(a^2 + b^2)^2) + ((a^2*B - b^2*B + 2*a*b*C)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a^2*(a^2*b*B + 3*b^3*B - 2*a^3*C - 4*a*b^2*C)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a*b*B - 2*a^2*C - b^2*C)*Tan[c + d*x])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + (a*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x]^2)/(b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^1*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, -(((a^2*B - b^2*B + 2*a*b*C)*x)/(a^2 + b^2)^2) - ((2*a*b*B - a^2*C + b^2*C)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) - (a*(2*b^3*B - a^3*C - 3*a*b^2*C)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)^2*d) - (a^2*(b*B - a*C))/(b^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^0*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 3, ((2*a*b*B - a^2*C + b^2*C)*x)/(a^2 + b^2)^2 - ((a^2*B - b^2*B + 2*a*b*C)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a*(b*B - a*C))/(b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^1*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 4, ((a^2*B - b^2*B + 2*a*b*C)*x)/(a^2 + b^2)^2 + ((2*a*b*B - a^2*C + b^2*C)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) - (b*B - a*C)/((a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^2*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 5, -(((2*a*b*B - a^2*C + b^2*C)*x)/(a^2 + b^2)^2) + (B*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - (b*(3*a^2*b*B + b^3*B - 2*a^3*C)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d) + (b*(b*B - a*C))/(a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^3*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, -(((a^2*B - b^2*B + 2*a*b*C)*x)/(a^2 + b^2)^2) - ((2*b*B - a*C)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + (b^2*(4*a^2*b*B + 2*b^3*B - 3*a^3*C - a*b^2*C)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d) - (b*(a^2*B + 2*b^2*B - a*b*C))/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])) - (B*Cot[c + d*x])/(a*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^3*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 8, ((a^3*B - 3*a*b^2*B + 3*a^2*b*C - b^3*C)*x)/(a^2 + b^2)^3 + ((3*a^2*b*B - b^3*B - a^3*C + 3*a*b^2*C)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) + (a^2*(a^4*b*B + 3*a^2*b^3*B + 6*b^5*B - 3*a^5*C - 9*a^3*b^2*C - 10*a*b^4*C)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^4*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a^3*b*B + 3*a*b^3*B - 3*a^4*C - 6*a^2*b^2*C - b^4*C)*Tan[c + d*x])/(b^3*(a^2 + b^2)^2*d) + (a*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x]^3)/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (a*(a^2*b*B + 5*b^3*B - 3*a^3*C - 7*a*b^2*C)*Tan[c + d*x]^2)/(2*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^2*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 7, -(((3*a^2*b*B - b^3*B - a^3*C + 3*a*b^2*C)*x)/(a^2 + b^2)^3) + ((a^3*B - 3*a*b^2*B + 3*a^2*b*C - b^3*C)*Log[Cos[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) + (a*(a^2*b^3*B - 3*b^5*B + a^5*C + 3*a^3*b^2*C + 6*a*b^4*C)*Log[a + b*Tan[c + d*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)^3*d) + (a*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x]^2)/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (a^2*(2*b^3*B - a^3*C - 3*a*b^2*C))/(b^3*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^1*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 5, -(((a^3*B - 3*a*b^2*B + 3*a^2*b*C - b^3*C)*x)/(a^2 + b^2)^3) - ((3*a^2*b*B - b^3*B - a^3*C + 3*a*b^2*C)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) - (a^2*(b*B - a*C))/(2*b^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (a*(2*b^3*B - a^3*C - 3*a*b^2*C))/(b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^0*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, ((3*a^2*b*B - b^3*B - a^3*C + 3*a*b^2*C)*x)/(a^2 + b^2)^3 - ((a^3*B - 3*a*b^2*B + 3*a^2*b*C - b^3*C)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) + (a*(b*B - a*C))/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (a^2*B - b^2*B + 2*a*b*C)/((a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^1*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 5, ((a^3*B - 3*a*b^2*B + 3*a^2*b*C - b^3*C)*x)/(a^2 + b^2)^3 + ((3*a^2*b*B - b^3*B - a^3*C + 3*a*b^2*C)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) - (b*B - a*C)/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (2*a*b*B - a^2*C + b^2*C)/((a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^2*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 6, -(((3*a^2*b*B - b^3*B - a^3*C + 3*a*b^2*C)*x)/(a^2 + b^2)^3) + (B*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (b*(6*a^4*b*B + 3*a^2*b^3*B + b^5*B - 3*a^5*C + a^3*b^2*C)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^3*(a^2 + b^2)^3*d) + (b*(b*B - a*C))/(2*a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (b*(3*a^2*b*B + b^3*B - 2*a^3*C))/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^3*(B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)/(a + b*Tan[c + d*x])^3, x, 7, -(((a^3*B - 3*a*b^2*B + 3*a^2*b*C - b^3*C)*x)/(a^2 + b^2)^3) - ((3*b*B - a*C)*Log[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + (b^2*(10*a^4*b*B + 9*a^2*b^3*B + 3*b^5*B - 6*a^5*C - 3*a^3*b^2*C - a*b^4*C)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(a^4*(a^2 + b^2)^3*d) - (b*(2*a^2*B + 3*b^2*B - a*b*C))/(2*a^2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (B*Cot[c + d*x])/(a*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (b*(a^4*B + 6*a^2*b^2*B + 3*b^4*B - 3*a^3*b*C - a*b^3*C))/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^m (A+B Tan[c+d x]+C Tan[c+d x]^2) (b Tan[c+d x])^n*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^2*(A + B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)*(b*Tan[c + d*x])^n, x, 7, (C*(b*Tan[c + d*x])^(3 + n))/(b^3*d*(3 + n)) + ((A - C)*Hypergeometric2F1[1, (3 + n)/2, (5 + n)/2, -Tan[c + d*x]^2]*(b*Tan[c + d*x])^(3 + n))/(b^3*d*(3 + n)) + (B*Hypergeometric2F1[1, (4 + n)/2, (6 + n)/2, -Tan[c + d*x]^2]*(b*Tan[c + d*x])^(4 + n))/(b^4*d*(4 + n))}
+{Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)*(b*Tan[c + d*x])^n, x, 7, (C*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(b*Tan[c + d*x])^n)/(d*(1 + m + n)) + ((A - C)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + m + n), (1/2)*(3 + m + n), -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*(b*Tan[c + d*x])^n)/(d*(1 + m + n)) + (B*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(2 + m + n), (1/2)*(4 + m + n), -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(2 + m)*(b*Tan[c + d*x])^n)/(d*(2 + m + n))}
+{Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2)*(b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 7, (2*C*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/(d*(3 + 2*m)) + (2*(A - C)*Hypergeometric2F1[1, (1/4)*(3 + 2*m), (1/4)*(7 + 2*m), -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/(d*(3 + 2*m)) + (2*B*Hypergeometric2F1[1, (1/4)*(5 + 2*m), (1/4)*(9 + 2*m), -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(2 + m)*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/(d*(5 + 2*m))}
+{(Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2))/(b*Tan[c + d*x])^(1/2), x, 7, (2*C*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + 2*m)*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]) + (2*(A - C)*Hypergeometric2F1[1, (1/4)*(1 + 2*m), (1/4)*(5 + 2*m), -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + 2*m)*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]) + (2*B*Hypergeometric2F1[1, (1/4)*(3 + 2*m), (1/4)*(7 + 2*m), -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(2 + m))/(d*(3 + 2*m)*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^m (A+B Tan[c+d x]+C Tan[c+d x]^2) (a+b Tan[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x] + C*Tan[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]], x, 13, -(((b*B + Sqrt[-b^2]*(A - C))*AppellF1[1/2, 1, -m, 3/2, (a + b*Tan[c + d*x])/(a - Sqrt[-b^2]), 1 + (b*Tan[c + d*x])/a]*Tan[c + d*x]^m*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/((-((b*Tan[c + d*x])/a))^m*(b*(a - Sqrt[-b^2])*d))) - ((b*B - Sqrt[-b^2]*(A - C))*AppellF1[1/2, 1, -m, 3/2, (a + b*Tan[c + d*x])/(a + Sqrt[-b^2]), 1 + (b*Tan[c + d*x])/a]*Tan[c + d*x]^m*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/((-((b*Tan[c + d*x])/a))^m*(b*(a + Sqrt[-b^2])*d)) + (2*C*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 3/2, 1 + (b*Tan[c + d*x])/a]*Tan[c + d*x]^m*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/((-((b*Tan[c + d*x])/a))^m*(b*d))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^n (A+B Tan[e+f x]+C Tan[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^n (A+B Tan[e+f x]+C Tan[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n > 0*)
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 6, (a^3*(A*c - c*C - B*d) - 3*a*b^2*(A*c - c*C - B*d) - 3*a^2*b*(B*c + (A - C)*d) + b^3*(B*c + (A - C)*d))*x - ((3*a^2*b*(A*c - c*C - B*d) - b^3*(A*c - c*C - B*d) + a^3*(B*c + (A - C)*d) - 3*a*b^2*(B*c + (A - C)*d))*Log[Cos[e + f*x]])/f + (b*(2*a*b*(A*c - c*C - B*d) + a^2*(B*c + (A - C)*d) - b^2*(B*c + (A - C)*d))*Tan[e + f*x])/f + ((A*b*c + a*B*c - b*c*C + a*A*d - b*B*d - a*C*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(2*f) + ((B*c + (A - C)*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^3)/(3*f) - ((a*C*d - 5*b*(c*C + B*d))*(a + b*Tan[e + f*x])^4)/(20*b^2*f) + (C*d*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x])^4)/(5*b*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 5, (a^2*(A*c - c*C - B*d) - b^2*(A*c - c*C - B*d) - 2*a*b*(B*c + (A - C)*d))*x - ((2*a*b*(A*c - c*C - B*d) + a^2*(B*c + (A - C)*d) - b^2*(B*c + (A - C)*d))*Log[Cos[e + f*x]])/f + (b*(A*b*c + a*B*c - b*c*C + a*A*d - b*B*d - a*C*d)*Tan[e + f*x])/f + ((B*c + (A - C)*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(2*f) - ((a*C*d - 4*b*(c*C + B*d))*(a + b*Tan[e + f*x])^3)/(12*b^2*f) + (C*d*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x])^3)/(4*b*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^1*(c + d*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 4, (a*(A*c - c*C - B*d) - b*(B*c + (A - C)*d))*x - ((A*b*c + a*B*c - b*c*C + a*A*d - b*B*d - a*C*d)*Log[Cos[e + f*x]])/f + ((A*b + a*B - b*C)*d*Tan[e + f*x])/f - ((b*c*C - 3*b*B*d - 3*a*C*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(6*d^2*f) + (b*C*Tan[e + f*x]*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(3*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^0*(c + d*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 3, (A*c - c*C - B*d)*x - ((B*c + (A - C)*d)*Log[Cos[e + f*x]])/f + (B*d*Tan[e + f*x])/f + (C*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*d*f)}
+{((c + d*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^1, x, 5, ((a*(A*c - c*C - B*d) + b*(B*c + (A - C)*d))*x)/(a^2 + b^2) + ((A*b*c - a*B*c - b*c*C - a*A*d - b*B*d + a*C*d)*Log[Cos[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*f) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(b*c - a*d)*Log[a + b*Tan[e + f*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*f) + (C*d*Tan[e + f*x])/(b*f)}
+{((c + d*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 5, ((a^2*(A*c - c*C - B*d) - b^2*(A*c - c*C - B*d) + 2*a*b*(B*c + (A - C)*d))*x)/(a^2 + b^2)^2 + ((2*a*b*(A*c - c*C - B*d) - a^2*(B*c + (A - C)*d) + b^2*(B*c + (A - C)*d))*Log[Cos[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^2*f) + ((a^4*C*d + b^4*(B*c + A*d) + 2*a*b^3*(A*c - c*C - B*d) - a^2*b^2*(B*c + (A - 3*C)*d))*Log[a + b*Tan[e + f*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)^2*f) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(b*c - a*d))/(b^2*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{((c + d*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 4, ((a^3*(A*c - c*C - B*d) - 3*a*b^2*(A*c - c*C - B*d) + 3*a^2*b*(B*c + (A - C)*d) - b^3*(B*c + (A - C)*d))*x)/(a^2 + b^2)^3 + ((3*a^2*b*(A*c - c*C - B*d) - b^3*(A*c - c*C - B*d) - a^3*(B*c + (A - C)*d) + 3*a*b^2*(B*c + (A - C)*d))*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^3*f) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(b*c - a*d))/(2*b^2*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2) - (a^4*C*d + b^4*(B*c + A*d) + 2*a*b^3*(A*c - c*C - B*d) - a^2*b^2*(B*c + (A - 3*C)*d))/(b^2*(a^2 + b^2)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 7, -((a^3*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - 3*a*b^2*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) + 3*a^2*b*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)) - b^3*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)))*x) + ((3*a^2*b*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - b^3*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - a^3*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)) + 3*a*b^2*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)))*Log[Cos[e + f*x]])/f + (d*(3*a^2*b*(A*c - c*C - B*d) - b^3*(A*c - c*C - B*d) + a^3*(B*c + (A - C)*d) - 3*a*b^2*(B*c + (A - C)*d))*Tan[e + f*x])/f + ((a^3*B - 3*a*b^2*B + 3*a^2*b*(A - C) - b^3*(A - C))*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*f) + ((4*a^3*C*d^3 - 3*a^2*b*d^2*(3*c*C - 16*B*d) + 3*a*b^2*d*(2*c^2*C - 5*B*c*d + 20*(A - C)*d^2) - b^3*(c^3*C - 2*B*c^2*d + 5*c*(A - C)*d^2 + 20*B*d^3))*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(60*d^4*f) + (b*(5*b*(A*b + a*B - b*C)*d^2 + (b*c - a*d)*(b*c*C - 2*b*B*d - a*C*d))*Tan[e + f*x]*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(20*d^3*f) - ((b*c*C - 2*b*B*d - a*C*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(10*d^2*f) + (C*(a + b*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(6*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 6, -((a^2*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - b^2*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) + 2*a*b*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)))*x) + ((2*a*b*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - a^2*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)) + b^2*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)))*Log[Cos[e + f*x]])/f + (d*(2*a*b*(A*c - c*C - B*d) + a^2*(B*c + (A - C)*d) - b^2*(B*c + (A - C)*d))*Tan[e + f*x])/f + ((a^2*B - b^2*B + 2*a*b*(A - C))*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*f) + ((8*a^2*C*d^2 - 10*a*b*d*(c*C - 4*B*d) + b^2*(2*c^2*C - 5*B*c*d + 20*(A - C)*d^2))*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(60*d^3*f) - (b*(2*b*c*C - 5*b*B*d - 2*a*C*d)*Tan[e + f*x]*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(20*d^2*f) + (C*(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(5*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^1*(c + d*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 5, -((a*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) + b*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)))*x) - ((a*(B*c^2 - 2*c*C*d - B*d^2) - b*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2) + A*(2*a*c*d + b*(c^2 - d^2)))*Log[Cos[e + f*x]])/f + (d*(A*b*c + a*B*c - b*c*C + a*A*d - b*B*d - a*C*d)*Tan[e + f*x])/f + ((A*b + a*B - b*C)*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*f) - ((b*c*C - 4*b*B*d - 4*a*C*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(12*d^2*f) + (b*C*Tan[e + f*x]*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(4*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^0*(c + d*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 4, -((c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2))*x) - ((2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2))*Log[Cos[e + f*x]])/f + (d*(B*c + (A - C)*d)*Tan[e + f*x])/f + (B*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*f) + (C*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(3*d*f)}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^1, x, 6, -(((a*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - b*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)))*x)/(a^2 + b^2)) - ((a*(B*c^2 - 2*c*C*d - B*d^2) + b*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2) + A*(2*a*c*d - b*(c^2 - d^2)))*Log[Cos[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*f) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(b*c - a*d)^2*Log[a + b*Tan[e + f*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)*f) + (d*(b*c*C + b*B*d - a*C*d)*Tan[e + f*x])/(b^2*f) + (C*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*b*f)}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 6, -(((a^2*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - b^2*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - 2*a*b*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)))*x)/(a^2 + b^2)^2) - ((2*a*b*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) + a^2*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)) - b^2*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)))*Log[Cos[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^2*f) - ((b*c - a*d)*(a^3*b*B*d - 2*a^4*C*d - b^4*(B*c + 2*A*d) - a*b^3*(2*A*c - 2*c*C - 3*B*d) + a^2*b^2*(B*c - 4*C*d))*Log[a + b*Tan[e + f*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)^2*f) + ((A*b^2 - a*b*B + 2*a^2*C + b^2*C)*d^2*Tan[e + f*x])/(b^2*(a^2 + b^2)*f) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 6, -(((a^3*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - 3*a*b^2*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - 3*a^2*b*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)) + b^3*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)))*x)/(a^2 + b^2)^3) - ((3*a^2*b*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - b^3*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) + a^3*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)) - 3*a*b^2*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)))*Log[Cos[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^3*f) + ((a^6*C*d^2 + 3*a^4*b^2*C*d^2 - 3*a^2*b^4*(c^2*C + 2*B*c*d - 2*C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) + b^6*(c*(c*C + 2*B*d) - A*(c^2 - d^2)) - a^3*b^3*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)) + 3*a*b^5*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)))*Log[a + b*Tan[e + f*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)^3*f) - ((b*c - a*d)*(a^4*C*d + b^4*(B*c + A*d) + 2*a*b^3*(A*c - c*C - B*d) - a^2*b^2*(B*c + (A - 3*C)*d)))/(b^3*(a^2 + b^2)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x])) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2)}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 7, (a^2*(A*c^3 - c^3*C - 3*B*c^2*d - 3*A*c*d^2 + 3*c*C*d^2 + B*d^3) + b^2*(c^3*C + 3*B*c^2*d - 3*c*C*d^2 - B*d^3 - A*(c^3 - 3*c*d^2)) - 2*a*b*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) + B*(c^3 - 3*c*d^2)))*x + ((2*a*b*(c^3*C + 3*B*c^2*d - 3*c*C*d^2 - B*d^3 - A*(c^3 - 3*c*d^2)) - a^2*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) + B*(c^3 - 3*c*d^2)) + b^2*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) + B*(c^3 - 3*c*d^2)))*Log[Cos[e + f*x]])/f - (d*(2*a*b*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - a^2*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)) + b^2*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)))*Tan[e + f*x])/f + ((2*a*b*(A*c - c*C - B*d) + a^2*(B*c + (A - C)*d) - b^2*(B*c + (A - C)*d))*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*f) + ((a^2*B - b^2*B + 2*a*b*(A - C))*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(3*f) + ((5*a^2*C*d^2 - 6*a*b*d*(c*C - 5*B*d) + b^2*(c^2*C - 3*B*c*d + 15*(A - C)*d^2))*(c + d*Tan[e + f*x])^4)/(60*d^3*f) - (b*(b*c*C - 3*b*B*d - a*C*d)*Tan[e + f*x]*(c + d*Tan[e + f*x])^4)/(15*d^2*f) + (C*(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^4)/(6*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^1*(c + d*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 6, (a*(A*c^3 - c^3*C - 3*B*c^2*d - 3*A*c*d^2 + 3*c*C*d^2 + B*d^3) - b*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) + B*(c^3 - 3*c*d^2)))*x - ((A*(b*c^3 + 3*a*c^2*d - 3*b*c*d^2 - a*d^3) - b*(c^3*C + 3*B*c^2*d - 3*c*C*d^2 - B*d^3) + a*(B*c^3 - 3*c^2*C*d - 3*B*c*d^2 + C*d^3))*Log[Cos[e + f*x]])/f + (d*(a*(B*c^2 - 2*c*C*d - B*d^2) - b*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2) + A*(2*a*c*d + b*(c^2 - d^2)))*Tan[e + f*x])/f + ((A*b*c + a*B*c - b*c*C + a*A*d - b*B*d - a*C*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*f) + ((A*b + a*B - b*C)*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(3*f) - ((b*c*C - 5*b*B*d - 5*a*C*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^4)/(20*d^2*f) + (b*C*Tan[e + f*x]*(c + d*Tan[e + f*x])^4)/(5*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^0*(c + d*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 5, -((c^3*C + 3*B*c^2*d - 3*c*C*d^2 - B*d^3 - A*(c^3 - 3*c*d^2))*x) - (((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) + B*(c^3 - 3*c*d^2))*Log[Cos[e + f*x]])/f + (d*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2))*Tan[e + f*x])/f + ((B*c + (A - C)*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*f) + (B*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(3*f) + (C*(c + d*Tan[e + f*x])^4)/(4*d*f)}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^1, x, 7, -(((a*(c^3*C + 3*B*c^2*d - 3*c*C*d^2 - B*d^3 - A*(c^3 - 3*c*d^2)) - b*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) + B*(c^3 - 3*c*d^2)))*x)/(a^2 + b^2)) - ((b*(c^3*C + 3*B*c^2*d - 3*c*C*d^2 - B*d^3) + a*(B*c^3 - 3*c^2*C*d - 3*B*c*d^2 + C*d^3) + A*(a*d*(3*c^2 - d^2) - b*(c^3 - 3*c*d^2)))*Log[Cos[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*f) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(b*c - a*d)^3*Log[a + b*Tan[e + f*x]])/(b^4*(a^2 + b^2)*f) + (d*(b^2*d*(B*c + (A - C)*d) + (b*c - a*d)*(b*c*C + b*B*d - a*C*d))*Tan[e + f*x])/(b^3*f) + ((b*c*C + b*B*d - a*C*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*b^2*f) + (C*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(3*b*f)}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 7, -(((b^2*(A*c^3 - c^3*C - 3*B*c^2*d - 3*A*c*d^2 + 3*c*C*d^2 + B*d^3) + a^2*(c^3*C + 3*B*c^2*d - 3*c*C*d^2 - B*d^3 - A*(c^3 - 3*c*d^2)) - 2*a*b*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) + B*(c^3 - 3*c*d^2)))*x)/(a^2 + b^2)^2) + ((2*a*b*(A*c^3 - c^3*C - 3*B*c^2*d - 3*A*c*d^2 + 3*c*C*d^2 + B*d^3) - a^2*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) + B*(c^3 - 3*c*d^2)) + b^2*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) + B*(c^3 - 3*c*d^2)))*Log[Cos[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^2*f) - ((b*c - a*d)^2*(2*a^3*b*B*d - 3*a^4*C*d - b^4*(B*c + 3*A*d) - 2*a*b^3*(A*c - c*C - 2*B*d) + a^2*b^2*(B*c - (A + 5*C)*d))*Log[a + b*Tan[e + f*x]])/(b^4*(a^2 + b^2)^2*f) - (d^2*(3*a^3*C*d - A*b^2*(b*c - a*d) - b^3*(2*c*C + B*d) - a^2*b*(3*c*C + 2*B*d) + a*b^2*(B*c + 2*C*d))*Tan[e + f*x])/(b^3*(a^2 + b^2)*f) + ((2*A*b^2 - 2*a*b*B + 3*a^2*C + b^2*C)*d*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*b^2*(a^2 + b^2)*f) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 7, -(((3*a*b^2*(A*c^3 - c^3*C - 3*B*c^2*d - 3*A*c*d^2 + 3*c*C*d^2 + B*d^3) + a^3*(c^3*C + 3*B*c^2*d - 3*c*C*d^2 - B*d^3 - A*(c^3 - 3*c*d^2)) - 3*a^2*b*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) + B*(c^3 - 3*c*d^2)) + b^3*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) + B*(c^3 - 3*c*d^2)))*x)/(a^2 + b^2)^3) - ((b^3*(A*c^3 - c^3*C - 3*B*c^2*d - 3*A*c*d^2 + 3*c*C*d^2 + B*d^3) + 3*a^2*b*(c^3*C + 3*B*c^2*d - 3*c*C*d^2 - B*d^3 - A*(c^3 - 3*c*d^2)) + a^3*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) + B*(c^3 - 3*c*d^2)) - 3*a*b^2*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) + B*(c^3 - 3*c*d^2)))*Log[Cos[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^3*f) - ((b*c - a*d)*(a^5*b*B*d^2 - 3*a^6*C*d^2 + a^4*b^2*d*(B*c - 9*C*d) + a^3*b^3*B*(c^2 + 3*d^2) - b^6*(c*(c*C + 3*B*d) - A*(c^2 - 3*d^2)) - a*b^5*(8*c*(A - C)*d + 3*B*(c^2 - 2*d^2)) + a^2*b^4*(3*c^2*C + 6*B*c*d - 10*C*d^2 - A*(3*c^2 - d^2)))*Log[a + b*Tan[e + f*x]])/(b^4*(a^2 + b^2)^3*f) - (d^2*(a^3*b*B*d - 3*a^4*C*d - a*b^3*(2*A*c - 2*c*C - 3*B*d) + a^2*b^2*(B*c - 6*C*d) - b^4*(B*c + (2*A + C)*d))*Tan[e + f*x])/(b^3*(a^2 + b^2)^2*f) + ((a^3*b*B*d - 3*a^4*C*d - b^4*(2*B*c + 3*A*d) - a*b^3*(4*A*c - 4*c*C - 5*B*d) + a^2*b^2*(2*B*c + (A - 7*C)*d))*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(2*b^2*(a^2 + b^2)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x])) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(2*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n < 0*)
+
+
+{((a + b*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x]), x, 7, ((a^3*(A*c - c*C + B*d) - 3*a*b^2*(A*c - c*C + B*d) - 3*a^2*b*(B*c - (A - C)*d) + b^3*(B*c - (A - C)*d))*x)/(c^2 + d^2) - ((3*a^2*b*(A*c - c*C + B*d) - b^3*(A*c - c*C + B*d) + a^3*(B*c - (A - C)*d) - 3*a*b^2*(B*c - (A - C)*d))*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2 + d^2)*f) - ((b*c - a*d)^3*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^4*(c^2 + d^2)*f) + (b*(b*(A*b + a*B - b*C)*d^2 + (b*c - a*d)*(b*c*C - b*B*d - a*C*d))*Tan[e + f*x])/(d^3*f) - ((b*c*C - b*B*d - a*C*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(2*d^2*f) + (C*(a + b*Tan[e + f*x])^3)/(3*d*f)}
+{((a + b*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x]), x, 6, ((a^2*(A*c - c*C + B*d) - b^2*(A*c - c*C + B*d) - 2*a*b*(B*c - (A - C)*d))*x)/(c^2 + d^2) - ((2*a*b*(A*c - c*C + B*d) + a^2*(B*c - (A - C)*d) - b^2*(B*c - (A - C)*d))*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2 + d^2)*f) + ((b*c - a*d)^2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^3*(c^2 + d^2)*f) - (b*(b*c*C - b*B*d - a*C*d)*Tan[e + f*x])/(d^2*f) + (C*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(2*d*f)}
+{((a + b*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x]), x, 5, ((a*(A*c - c*C + B*d) - b*(B*c - (A - C)*d))*x)/(c^2 + d^2) - ((A*b*c + a*B*c - b*c*C - a*A*d + b*B*d + a*C*d)*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2 + d^2)*f) - ((b*c - a*d)*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^2*(c^2 + d^2)*f) + (b*C*Tan[e + f*x])/(d*f)}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/(c + d*Tan[e + f*x]), x, 4, ((A*c - c*C + B*d)*x)/(c^2 + d^2) - ((B*c - (A - C)*d)*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2 + d^2)*f) + ((c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d*(c^2 + d^2)*f)}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])), x, 3, ((a*(A*c - c*C + B*d) + b*(B*c - (A - C)*d))*x)/((a^2 + b^2)*(c^2 + d^2)) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f) - ((c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f)}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])), x, 4, ((a^2*(A*c - c*C + B*d) - b^2*(A*c - c*C + B*d) + 2*a*b*(B*c - (A - C)*d))*x)/((a^2 + b^2)^2*(c^2 + d^2)) + ((2*a*b^3*c*(A - C) + 2*a^3*b*B*d - a^4*C*d + b^4*(B*c - A*d) - a^2*b^2*(B*c + 3*A*d - C*d))*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f) + (d*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)*f) - (A*b^2 - a*(b*B - a*C))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])), x, 5, ((a^3*(A*c - c*C + B*d) - 3*a*b^2*(A*c - c*C + B*d) + 3*a^2*b*(B*c - (A - C)*d) - b^3*(B*c - (A - C)*d))*x)/((a^2 + b^2)^3*(c^2 + d^2)) + ((3*a*b^5*B*c^2 - 3*a^5*b*B*d^2 + a^6*C*d^2 + 3*a^4*b^2*d*(B*c + 2*A*d - C*d) + b^6*(c*(c*C - B*d) - A*(c^2 - d^2)) - a^3*b^3*(8*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)) - 3*a^2*b^4*(c*(c*C + 2*B*d) - A*(c^2 + d^2)))*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^3*(b*c - a*d)^3*f) - (d^2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)*f) - (A*b^2 - a*(b*B - a*C))/(2*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2) - (2*a*b^3*c*(A - C) + 2*a^3*b*B*d - a^4*C*d + b^4*(B*c - A*d) - a^2*b^2*(B*c + 3*A*d - C*d))/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{((a + b*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 7, -(((a^3*(c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - 3*a*b^2*(c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - 3*a^2*b*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)) + b^3*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*x)/(c^2 + d^2)^2) + ((3*a^2*b*(c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - b^3*(c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) + a^3*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)) - 3*a*b^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2 + d^2)^2*f) + ((b*c - a*d)^2*(b*(3*c^4*C - 2*B*c^3*d + c^2*(A + 5*C)*d^2 - 4*B*c*d^3 + 3*A*d^4) + a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^4*(c^2 + d^2)^2*f) + (b^2*(a*d*(3*c^2*C - B*c*d + (A + 2*C)*d^2) - b*(3*c^3*C - 2*B*c^2*d + c*(A + 2*C)*d^2 - B*d^3))*Tan[e + f*x])/(d^3*(c^2 + d^2)*f) + (b*(3*c^2*C - 2*B*c*d + (2*A + C)*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(2*d^2*(c^2 + d^2)*f) - ((c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^3)/(d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{((a + b*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 6, -(((a^2*(c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - b^2*(c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - 2*a*b*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*x)/(c^2 + d^2)^2) + ((2*a*b*(c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) + a^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)) - b^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2 + d^2)^2*f) - ((b*c - a*d)*(b*(2*c^4*C - B*c^3*d + 4*c^2*C*d^2 - 3*B*c*d^3 + 2*A*d^4) + a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^3*(c^2 + d^2)^2*f) + (b^2*(2*c^2*C - B*c*d + (A + C)*d^2)*Tan[e + f*x])/(d^2*(c^2 + d^2)*f) - ((c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{((a + b*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 5, -(((a*(c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - b*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*x)/(c^2 + d^2)^2) - ((a*(B*c^2 + 2*c*C*d - B*d^2) - b*(c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2) - A*(2*a*c*d - b*(c^2 - d^2)))*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2 + d^2)^2*f) + ((b*(c^4*C - c^2*(A - 3*C)*d^2 - 2*B*c*d^3 + A*d^4) + a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^2*(c^2 + d^2)^2*f) + ((b*c - a*d)*(c^2*C - B*c*d + A*d^2))/(d^2*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 3, -(((c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2))*x)/(c^2 + d^2)^2) + ((2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((c^2 + d^2)^2*f) - (c^2*C - B*c*d + A*d^2)/(d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^2), x, 4, -(((a*(c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) + b*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*x)/((a^2 + b^2)*(c^2 + d^2)^2)) + (b*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^2*f) - ((b*(c^4*C - 2*B*c^3*d + c^2*(3*A - C)*d^2 + A*d^4) - a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)^2*f) + (c^2*C - B*c*d + A*d^2)/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^2), x, 5, -(((a^2*(c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - b^2*(c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) + 2*a*b*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*x)/((a^2 + b^2)^2*(c^2 + d^2)^2)) + (b*(3*a^3*b*B*d - 2*a^4*C*d + b^4*(B*c - 2*A*d) - a^2*b^2*(B*c + 4*A*d) + a*b^3*(2*A*c - 2*c*C + B*d))*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^3*f) + (d*(b*(2*c^4*C - 3*B*c^3*d + 4*A*c^2*d^2 - B*c*d^3 + 2*A*d^4) - a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)^2*f) - (d*(b^2*c*(c*C - B*d) - a*b*B*(c^2 + d^2) + a^2*(2*c^2*C - B*c*d + C*d^2) + A*(a^2*d^2 + b^2*(c^2 + 2*d^2))))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])) - (A*b^2 - a*(b*B - a*C))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^2), x, 6, -(((a^3*(c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - 3*a*b^2*(c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) + 3*a^2*b*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)) - b^3*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*x)/((a^2 + b^2)^3*(c^2 + d^2)^2)) - (b*(6*a^5*b*B*d^2 - 3*a^6*C*d^2 - a^4*b^2*d*(4*B*c + (10*A - C)*d) - b^6*(c*(c*C - 2*B*d) - A*(c^2 - 3*d^2)) + a*b^5*(2*c*(A - C)*d - B*(3*c^2 - d^2)) + 3*a^2*b^4*(c*(c*C + 2*B*d) - A*(c^2 + 3*d^2)) + a^3*b^3*(10*c*(A - C)*d + B*(c^2 + 3*d^2)))*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^3*(b*c - a*d)^4*f) - (d^2*(b*(3*c^4*C - 4*B*c^3*d + c^2*(5*A + C)*d^2 - 2*B*c*d^3 + 3*A*d^4) - a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((b*c - a*d)^4*(c^2 + d^2)^2*f) - (d*(3*a^3*b*B*d*(c^2 + d^2) + a*b^3*(2*A*c - 2*c*C + B*d)*(c^2 + d^2) - a^4*d*(3*c^2*C - B*c*d + (A + 2*C)*d^2) - a^2*b^2*(B*c^3 + 4*A*c^2*d + 2*c^2*C*d - B*c*d^2 + 6*A*d^3) - b^4*(d*(2*A*c^2 + c^2*C + 3*A*d^2) - B*(c^3 + 2*c*d^2))))/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])) - (A*b^2 - a*(b*B - a*C))/(2*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])) - (5*a^3*b*B*d - 3*a^4*C*d + b^4*(2*B*c - 3*A*d) + a*b^3*(4*A*c - 4*c*C + B*d) - a^2*b^2*(2*B*c + (7*A - C)*d))/(2*(a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{((a + b*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 7, -(((3*a*b^2*(A*c^3 - c^3*C + 3*B*c^2*d - 3*A*c*d^2 + 3*c*C*d^2 - B*d^3) + a^3*(c^3*C - 3*B*c^2*d - 3*c*C*d^2 + B*d^3 - A*(c^3 - 3*c*d^2)) - 3*a^2*b*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)) + b^3*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)))*x)/(c^2 + d^2)^3) - ((3*a^2*b*(A*c^3 - c^3*C + 3*B*c^2*d - 3*A*c*d^2 + 3*c*C*d^2 - B*d^3) - b^3*(A*c^3 - c^3*C + 3*B*c^2*d - 3*A*c*d^2 + 3*c*C*d^2 - B*d^3) - a^3*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)) + 3*a*b^2*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)))*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2 + d^2)^3*f) - ((b*c - a*d)*(b^2*(3*c^6*C - B*c^5*d + 9*c^4*C*d^2 - 3*B*c^3*d^3 - c^2*(A - 10*C)*d^4 - 6*B*c*d^5 + 3*A*d^6) + a^2*d^3*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)) + a*b*d^2*(8*c*(A - C)*d^3 - B*(c^4 + 6*c^2*d^2 - 3*d^4)))*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^4*(c^2 + d^2)^3*f) + (b^2*(b*(3*c^4*C - B*c^3*d + 6*c^2*C*d^2 - 3*B*c*d^3 + (2*A + C)*d^4) + a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*Tan[e + f*x])/(d^3*(c^2 + d^2)^2*f) - ((c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^3)/(2*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - ((b*(3*c^4*C - B*c^3*d - c^2*(A - 7*C)*d^2 - 5*B*c*d^3 + 3*A*d^4) + 2*a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(2*d^2*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{((a + b*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 6, -(((b^2*(A*c^3 - c^3*C + 3*B*c^2*d - 3*A*c*d^2 + 3*c*C*d^2 - B*d^3) + a^2*(c^3*C - 3*B*c^2*d - 3*c*C*d^2 + B*d^3 - A*(c^3 - 3*c*d^2)) - 2*a*b*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)))*x)/(c^2 + d^2)^3) - ((2*a*b*(A*c^3 - c^3*C + 3*B*c^2*d - 3*A*c*d^2 + 3*c*C*d^2 - B*d^3) - a^2*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)) + b^2*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)))*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2 + d^2)^3*f) - ((2*a*b*d^3*(A*c^3 - c^3*C + 3*B*c^2*d - 3*A*c*d^2 + 3*c*C*d^2 - B*d^3) - b^2*(c^6*C + 3*c^4*C*d^2 + B*c^3*d^3 - 3*c^2*(A - 2*C)*d^4 - 3*B*c*d^5 + A*d^6) - a^2*d^3*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)))*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^3*(c^2 + d^2)^3*f) - ((c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(2*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) + ((b*c - a*d)*(b*(c^4*C - c^2*(A - 3*C)*d^2 - 2*B*c*d^3 + A*d^4) + a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2))))/(d^3*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{((a + b*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 4, -(((a*(c^3*C - 3*B*c^2*d - 3*c*C*d^2 + B*d^3 - A*(c^3 - 3*c*d^2)) - b*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)))*x)/(c^2 + d^2)^3) + ((b*(c^3*C - 3*B*c^2*d - 3*c*C*d^2 + B*d^3) - a*(B*c^3 + 3*c^2*C*d - 3*B*c*d^2 - C*d^3) + A*(a*d*(3*c^2 - d^2) - b*(c^3 - 3*c*d^2)))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((c^2 + d^2)^3*f) + ((b*c - a*d)*(c^2*C - B*c*d + A*d^2))/(2*d^2*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - (b*(c^4*C - c^2*(A - 3*C)*d^2 - 2*B*c*d^3 + A*d^4) + a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))/(d^2*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 4, -(((c^3*C - 3*B*c^2*d - 3*c*C*d^2 + B*d^3 - A*(c^3 - 3*c*d^2))*x)/(c^2 + d^2)^3) + (((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((c^2 + d^2)^3*f) - (c^2*C - B*c*d + A*d^2)/(2*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - (2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2))/((c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^3), x, 5, -(((a*(c^3*C - 3*B*c^2*d - 3*c*C*d^2 + B*d^3 - A*(c^3 - 3*c*d^2)) + b*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)))*x)/((a^2 + b^2)*(c^2 + d^2)^3)) + (b^2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^3*f) - ((b^2*(c^6*C - 3*B*c^5*d + 3*c^4*(2*A - C)*d^2 + B*c^3*d^3 + 3*A*c^2*d^4 + A*d^6) + a^2*d^3*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)) - a*b*d^2*(8*c^3*(A - C)*d - B*(3*c^4 - 6*c^2*d^2 - d^4)))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/((b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)^3*f) + (c^2*C - B*c*d + A*d^2)/(2*(b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) + (b*(c^4*C - 2*B*c^3*d + c^2*(3*A - C)*d^2 + A*d^4) - a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))/((b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^3), x, 6, -(((b^2*(A*c^3 - c^3*C + 3*B*c^2*d - 3*A*c*d^2 + 3*c*C*d^2 - B*d^3) + a^2*(c^3*C - 3*B*c^2*d - 3*c*C*d^2 + B*d^3 - A*(c^3 - 3*c*d^2)) + 2*a*b*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)))*x)/((a^2 + b^2)^2*(c^2 + d^2)^3)) + (b^2*(4*a^3*b*B*d - 3*a^4*C*d + b^4*(B*c - 3*A*d) + 2*a*b^3*(A*c - c*C + B*d) - a^2*b^2*(B*c + (5*A + C)*d))*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^4*f) + (1/((b*c - a*d)^4*(c^2 + d^2)^3*f))*(d*(b^2*(3*c^6*C - 6*B*c^5*d + c^4*(10*A - C)*d^2 - 3*B*c^3*d^3 + 9*A*c^2*d^4 - B*c*d^5 + 3*A*d^6) + a^2*d^3*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)) - 2*a*b*d^2*(c*(A - C)*d*(5*c^2 + d^2) - B*(2*c^4 - 3*c^2*d^2 - d^4)))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]]) - (d*(b^2*c*(c*C - B*d) - 2*a*b*B*(c^2 + d^2) + a^2*(3*c^2*C - B*c*d + 2*C*d^2) + A*(a^2*d^2 + b^2*(2*c^2 + 3*d^2))))/(2*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - (A*b^2 - a*(b*B - a*C))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - (d*(b^3*c*(2*c^3*C - 3*B*c^2*d - B*d^3) + a^2*b*(3*c^4*C - 3*B*c^3*d + 2*c^2*C*d^2 - B*c*d^3 + C*d^4) + a^3*d^2*(2*c*C*d + B*(c^2 - d^2)) + a*b^2*(2*c*C*d^3 - B*(c^4 + c^2*d^2 + 2*d^4)) - A*(2*a^3*c*d^3 + 2*a*b^2*c*d^3 - 2*a^2*b*d^2*(2*c^2 + d^2) - b^3*(c^4 + 6*c^2*d^2 + 3*d^4))))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^(n/2) (A+B Tan[e+f x]+C Tan[e+f x]^2)*)
+
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n > 0*)
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 12, -(((a - I*b)^3*(I*A + B - I*C)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f) + ((a + I*b)^3*(I*A - B - I*C)*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*(a^3*B - 3*a*b^2*B + 3*a^2*b*(A - C) - b^3*(A - C))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (1/(315*d^4*f))*(2*(40*a^3*C*d^3 - 6*a^2*b*d^2*(16*c*C - 45*B*d) + 9*a*b^2*d*(8*c^2*C - 14*B*c*d + 35*(A - C)*d^2) - b^3*(16*c^3*C - 24*B*c^2*d + 42*c*(A - C)*d^2 + 105*B*d^3))*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*b*(21*b*(A*b + a*B - b*C)*d^2 + 4*(b*c - a*d)*(2*b*c*C - 3*b*B*d - 2*a*C*d))*Tan[e + f*x]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(105*d^3*f) - (2*(2*b*c*C - 3*b*B*d - 2*a*C*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(21*d^2*f) + (2*C*(a + b*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(9*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 11, -(((a - I*b)^2*(B + I*(A - C))*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f) - ((a + I*b)^2*(B - I*(A - C))*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*(a^2*B - b^2*B + 2*a*b*(A - C))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (2*(20*a^2*C*d^2 - 14*a*b*d*(2*c*C - 5*B*d) + b^2*(8*c^2*C - 14*B*c*d + 35*(A - C)*d^2))*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(105*d^3*f) - (2*b*(4*b*c*C - 7*b*B*d - 4*a*C*d)*Tan[e + f*x]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(35*d^2*f) + (2*C*(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(7*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 10, -(((I*a + b)*(A - I*B - C)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f) + ((I*a - b)*(A + I*B - C)*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*(A*b + a*B - b*C)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f - (2*(2*b*c*C - 5*b*B*d - 5*a*C*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(15*d^2*f) + (2*b*C*Tan[e + f*x]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(5*d*f)}
+{Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 9, -(((I*A + B - I*C)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f) - ((B - I*(A - C))*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*B*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (2*C*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*d*f)}
+{(Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x]), x, 12, -(((I*A + B - I*C)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((a - I*b)*f)) + ((I*A - B - I*C)*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((a + I*b)*f) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[b*c - a*d]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/(b^(3/2)*(a^2 + b^2)*f) + (2*C*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(b*f)}
+{(Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 12, -(((I*A + B - I*C)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((a - I*b)^2*f)) - ((B - I*(A - C))*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((a + I*b)^2*f) - ((a^3*b*B*d + a^4*C*d + b^4*(2*B*c + A*d) + a*b^3*(4*A*c - 4*c*C - 3*B*d) - a^2*b^2*(2*B*c + 3*A*d - 5*C*d))*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/(b^(3/2)*(a^2 + b^2)^2*Sqrt[b*c - a*d]*f) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{(Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 13, -(((A - I*B - C)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((I*a + b)^3*f)) + ((A + I*B - C)*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((I*a - b)^3*f) + ((3*a^5*b*B*d^2 + a^6*C*d^2 - 3*a^4*b^2*d*(4*B*c + 5*A*d - 6*C*d) - 3*a^2*b^4*(8*A*c^2 - 8*c^2*C - 16*B*c*d - 6*A*d^2 + 5*C*d^2) + 2*a^3*b^3*(20*c*(A - C)*d + B*(4*c^2 - 13*d^2)) - 3*a*b^5*(8*c*(A - C)*d + B*(8*c^2 - d^2)) - b^6*(4*c*(2*c*C + B*d) - A*(8*c^2 + d^2)))*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/(4*b^(3/2)*(a^2 + b^2)^3*(b*c - a*d)^(3/2)*f) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(2*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2) - ((3*a^3*b*B*d + a^4*C*d + b^4*(4*B*c + A*d) + a*b^3*(8*A*c - 8*c*C - 5*B*d) - a^2*b^2*(4*B*c + 7*A*d - 9*C*d))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*b*(a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 13, ((I*a + b)^3*(A - I*B - C)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f + ((a + I*b)^3*(I*A - B - I*C)*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*(3*a^2*b*(A*c - c*C - B*d) - b^3*(A*c - c*C - B*d) + a^3*(B*c + (A - C)*d) - 3*a*b^2*(B*c + (A - C)*d))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (2*(a^3*B - 3*a*b^2*B + 3*a^2*b*(A - C) - b^3*(A - C))*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (2*(168*a^3*C*d^3 - 2*a^2*b*d^2*(192*c*C - 847*B*d) + 33*a*b^2*d*(8*c^2*C - 18*B*c*d + 63*(A - C)*d^2) - b^3*(48*c^3*C - 88*B*c^2*d + 198*c*(A - C)*d^2 + 693*B*d^3))*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(3465*d^4*f) + (2*b*(99*b*(A*b + a*B - b*C)*d^2 + 4*(b*c - a*d)*(6*b*c*C - 11*b*B*d - 6*a*C*d))*Tan[e + f*x]*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(693*d^3*f) - (2*(6*b*c*C - 11*b*B*d - 6*a*C*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(99*d^2*f) + (2*C*(a + b*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(11*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 12, -(((a - I*b)^2*(B + I*(A - C))*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f) + ((a + I*b)^2*(I*A - B - I*C)*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*(2*a*b*(A*c - c*C - B*d) + a^2*(B*c + (A - C)*d) - b^2*(B*c + (A - C)*d))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (2*(a^2*B - b^2*B + 2*a*b*(A - C))*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (2*(28*a^2*C*d^2 - 18*a*b*d*(2*c*C - 7*B*d) + b^2*(8*c^2*C - 18*B*c*d + 63*(A - C)*d^2))*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(315*d^3*f) - (2*b*(4*b*c*C - 9*b*B*d - 4*a*C*d)*Tan[e + f*x]*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(63*d^2*f) + (2*C*(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(9*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 11, -(((I*a + b)*(A - I*B - C)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f) + ((I*a - b)*(A + I*B - C)*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*(A*b*c + a*B*c - b*c*C + a*A*d - b*B*d - a*C*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (2*(A*b + a*B - b*C)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) - (2*(2*b*c*C - 7*b*B*d - 7*a*C*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(35*d^2*f) + (2*b*C*Tan[e + f*x]*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(7*d*f)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 10, -(((I*A + B - I*C)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f) - ((B - I*(A - C))*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*(B*c + (A - C)*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (2*B*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (2*C*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*d*f)}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x]), x, 13, -(((I*A + B - I*C)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((a - I*b)*f)) - ((A + I*B - C)*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((I*a - b)*f) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(b*c - a*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/(b^(5/2)*(a^2 + b^2)*f) + (2*(b*c*C + b*B*d - a*C*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(b^2*f) + (2*C*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*b*f)}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 13, -(((I*A + B - I*C)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((a - I*b)^2*f)) - ((B - I*(A - C))*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((a + I*b)^2*f) + (Sqrt[b*c - a*d]*(a^3*b*B*d - 3*a^4*C*d - b^4*(2*B*c + 3*A*d) - a*b^3*(4*A*c - 4*c*C - 5*B*d) + a^2*b^2*(2*B*c + (A - 7*C)*d))*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/(b^(5/2)*(a^2 + b^2)^2*f) + ((A*b^2 - a*b*B + 3*a^2*C + 2*b^2*C)*d*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*f) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 13, -(((A - I*B - C)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((I*a + b)^3*f)) + ((A + I*B - C)*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((I*a - b)^3*f) - ((a^5*b*B*d^2 + 3*a^6*C*d^2 + a^4*b^2*d*(4*B*c + 3*(A + 2*C)*d) - b^6*(8*A*c^2 - 8*c^2*C - 12*B*c*d - 3*A*d^2) + a^2*b^4*(24*A*c^2 - 24*c^2*C - 48*B*c*d - 26*A*d^2 + 35*C*d^2) - 2*a^3*b^3*(12*c*(A - C)*d + B*(4*c^2 - 9*d^2)) + a*b^5*(40*c*(A - C)*d + 3*B*(8*c^2 - 5*d^2)))*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/(4*b^(5/2)*(a^2 + b^2)^3*Sqrt[b*c - a*d]*f) - ((a^3*b*B*d + 3*a^4*C*d + b^4*(4*B*c + 3*A*d) + a*b^3*(8*A*c - 8*c*C - 7*B*d) - a^2*b^2*(4*B*c + 5*A*d - 11*C*d))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*b^2*(a^2 + b^2)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x])) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2)}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 13, -(((a - I*b)^2*(I*A + B - I*C)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f) + ((a + I*b)^2*(I*A - B - I*C)*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f - (2*(2*a*b*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - a^2*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)) + b^2*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (2*(2*a*b*(A*c - c*C - B*d) + a^2*(B*c + (A - C)*d) - b^2*(B*c + (A - C)*d))*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (2*(a^2*B - b^2*B + 2*a*b*(A - C))*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f) + (2*(36*a^2*C*d^2 - 22*a*b*d*(2*c*C - 9*B*d) + b^2*(8*c^2*C - 22*B*c*d + 99*(A - C)*d^2))*(c + d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(693*d^3*f) - (2*b*(4*b*c*C - 11*b*B*d - 4*a*C*d)*Tan[e + f*x]*(c + d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(99*d^2*f) + (2*C*(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(11*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 12, -(((I*a + b)*(A - I*B - C)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f) + ((I*a - b)*(A + I*B - C)*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*(a*(B*c^2 - 2*c*C*d - B*d^2) - b*(c^2*C + 2*B*c*d - C*d^2) + A*(2*a*c*d + b*(c^2 - d^2)))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (2*(A*b*c + a*B*c - b*c*C + a*A*d - b*B*d - a*C*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (2*(A*b + a*B - b*C)*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f) - (2*(2*b*c*C - 9*b*B*d - 9*a*C*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(63*d^2*f) + (2*b*C*Tan[e + f*x]*(c + d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(9*d*f)}
+{(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 11, -(((I*A + B - I*C)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f) - ((B - I*(A - C))*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f + (2*(B*c + (A - C)*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*f) + (2*B*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*f) + (2*C*(c + d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(7*d*f)}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x]), x, 14, -(((I*A + B - I*C)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((a - I*b)*f)) + ((I*A - B - I*C)*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((a + I*b)*f) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(b*c - a*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/(b^(7/2)*(a^2 + b^2)*f) + (2*(b^2*d*(B*c + (A - C)*d) + (b*c - a*d)*(b*c*C + b*B*d - a*C*d))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(b^3*f) + (2*(b*c*C + b*B*d - a*C*d)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*b^2*f) + (2*C*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*b*f)}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^2, x, 14, -(((I*A + B - I*C)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((a - I*b)^2*f)) - ((B - I*(A - C))*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((a + I*b)^2*f) + ((b*c - a*d)^(3/2)*(3*a^3*b*B*d - 5*a^4*C*d - b^4*(2*B*c + 5*A*d) - a*b^3*(4*A*c - 4*c*C - 7*B*d) + a^2*b^2*(2*B*c - (A + 9*C)*d))*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/(b^(7/2)*(a^2 + b^2)^2*f) - (d*(5*a^3*C*d - A*b^2*(b*c - a*d) - 2*b^3*(2*c*C + B*d) - a^2*b*(5*c*C + 3*B*d) + a*b^2*(B*c + 4*C*d))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)*f) + ((3*A*b^2 - 3*a*b*B + 5*a^2*C + 2*b^2*C)*d*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*b^2*(a^2 + b^2)*f) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^3, x, 14, -(((A - I*B - C)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((I*a + b)^3*f)) + ((A + I*B - C)*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((I*a - b)^3*f) + (1/(4*b^(7/2)*(a^2 + b^2)^3*f))*(Sqrt[b*c - a*d]*(3*a^5*b*B*d^2 - 15*a^6*C*d^2 + a^4*b^2*d*(4*B*c + (A - 46*C)*d) - 3*a^2*b^4*(8*A*c^2 - 8*c^2*C - 16*B*c*d - 6*A*d^2 + 21*C*d^2) - a*b^5*(56*c*(A - C)*d + B*(24*c^2 - 35*d^2)) - b^6*(4*c*(2*c*C + 5*B*d) - A*(8*c^2 - 15*d^2)) + 2*a^3*b^3*(4*c*(A - C)*d + B*(4*c^2 + 3*d^2)))*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]]) - (d*(3*a^3*b*B*d - 15*a^4*C*d - a*b^3*(8*A*c - 8*c*C - 11*B*d) + a^2*b^2*(4*B*c + (A - 31*C)*d) - b^4*(4*B*c + 7*A*d + 8*C*d))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*b^3*(a^2 + b^2)^2*f) + ((a^3*b*B*d - 5*a^4*C*d - b^4*(4*B*c + 5*A*d) - a*b^3*(8*A*c - 8*c*C - 9*B*d) + a^2*b^2*(4*B*c + 3*A*d - 13*C*d))*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(4*b^2*(a^2 + b^2)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x])) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(2*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n < 0*)
+
+
+{((a + b*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 11, ((I*a + b)^3*(A - I*B - C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(Sqrt[c - I*d]*f) - ((I*a - b)^3*(A + I*B - C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(Sqrt[c + I*d]*f) + (2*(72*a^3*C*d^3 - 6*a^2*b*d^2*(32*c*C - 49*B*d) + 21*a*b^2*d*(8*c^2*C - 10*B*c*d + 15*(A - C)*d^2) - b^3*(48*c^3*C - 56*B*c^2*d + 70*c*(A - C)*d^2 + 105*B*d^3))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(105*d^4*f) + (2*b*(35*b*(A*b + a*B - b*C)*d^2 + 4*(b*c - a*d)*(6*b*c*C - 7*b*B*d - 6*a*C*d))*Tan[e + f*x]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(105*d^3*f) - (2*(6*b*c*C - 7*b*B*d - 6*a*C*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(35*d^2*f) + (2*C*(a + b*Tan[e + f*x])^3*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(7*d*f)}
+{((a + b*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 10, -(((a - I*b)^2*(B + I*(A - C))*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(Sqrt[c - I*d]*f)) + ((a + I*b)^2*(I*A - B - I*C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(Sqrt[c + I*d]*f) + (2*(12*a^2*C*d^2 - 10*a*b*d*(2*c*C - 3*B*d) + b^2*(8*c^2*C - 10*B*c*d + 15*(A - C)*d^2))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(15*d^3*f) - (2*b*(4*b*c*C - 5*b*B*d - 4*a*C*d)*Tan[e + f*x]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(15*d^2*f) + (2*C*(a + b*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(5*d*f)}
+{((a + b*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 9, -(((I*a + b)*(A - I*B - C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(Sqrt[c - I*d]*f)) + ((I*a - b)*(A + I*B - C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(Sqrt[c + I*d]*f) - (2*(2*b*c*C - 3*b*B*d - 3*a*C*d)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*d^2*f) + (2*b*C*Tan[e + f*x]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*d*f)}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 8, -(((I*A + B - I*C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(Sqrt[c - I*d]*f)) - ((B - I*(A - C))*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(Sqrt[c + I*d]*f) + (2*C*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(d*f)}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x, 11, -(((I*A + B - I*C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((a - I*b)*Sqrt[c - I*d]*f)) - ((A + I*B - C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((I*a - b)*Sqrt[c + I*d]*f) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/(Sqrt[b]*(a^2 + b^2)*Sqrt[b*c - a*d]*f)}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x, 12, -(((I*A + B - I*C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((a - I*b)^2*Sqrt[c - I*d]*f)) - ((B - I*(A - C))*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((a + I*b)^2*Sqrt[c + I*d]*f) - ((3*a^3*b*B*d - a^4*C*d + b^4*(2*B*c - A*d) + a*b^3*(4*A*c - 4*c*C - B*d) - a^2*b^2*(2*B*c + 5*A*d - 3*C*d))*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/(Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^(3/2)*f) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))}
+
+
+{((a + b*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 11, -(((a - I*b)^3*(I*A + B - I*C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(3/2)*f)) - ((I*a - b)^3*(A + I*B - C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((c + I*d)^(3/2)*f) - (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^3)/(d*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + (2*b*(6*a^2*d^2*(12*c^2*C - 5*B*c*d + (5*A + 7*C)*d^2) - 15*a*b*d*(8*c^3*C - 6*B*c^2*d + c*(3*A + 5*C)*d^2 - 3*B*d^3) + b^2*(48*c^4*C - 40*B*c^3*d + 6*c^2*(5*A + 3*C)*d^2 - 25*B*c*d^3 + 15*(A - C)*d^4))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(15*d^4*(c^2 + d^2)*f) - (2*b^2*(4*(b*c - a*d)*(6*c^2*C - 5*B*c*d + (5*A + C)*d^2) - 5*d^2*((A - C)*(b*c - a*d) + B*(a*c + b*d)))*Tan[e + f*x]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(15*d^3*(c^2 + d^2)*f) + (2*b*(6*c^2*C - 5*B*c*d + (5*A + C)*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(5*d^2*(c^2 + d^2)*f)}
+{((a + b*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 10, -(((a - I*b)^2*(I*A + B - I*C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(3/2)*f)) - ((a + I*b)^2*(B - I*(A - C))*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((c + I*d)^(3/2)*f) - (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(d*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + (2*b*(6*a*d*(2*c^2*C - B*c*d + (A + C)*d^2) - b*(8*c^3*C - 6*B*c^2*d + c*(3*A + 5*C)*d^2 - 3*B*d^3))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*d^3*(c^2 + d^2)*f) + (2*b^2*(4*c^2*C - 3*B*c*d + (3*A + C)*d^2)*Tan[e + f*x]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*d^2*(c^2 + d^2)*f)}
+{((a + b*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 9, -(((I*a + b)*(A - I*B - C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(3/2)*f)) + ((I*a - b)*(A + I*B - C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((c + I*d)^(3/2)*f) + (2*(b*c - a*d)*(c^2*C - B*c*d + A*d^2))/(d^2*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + (2*b*C*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^2*f)}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 8, -(((I*A + B - I*C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(3/2)*f)) - ((B - I*(A - C))*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((c + I*d)^(3/2)*f) - (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2))/(d*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 12, ((A - I*B - C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((I*a + b)*(c - I*d)^(3/2)*f) + ((I*A - B - I*C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((a + I*b)*(c + I*d)^(3/2)*f) - (2*Sqrt[b]*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^(3/2)*f) + (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2))/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 13, -(((I*A + B - I*C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((a - I*b)^2*(c - I*d)^(3/2)*f)) - ((B - I*(A - C))*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((a + I*b)^2*(c + I*d)^(3/2)*f) - (Sqrt[b]*(5*a^3*b*B*d - 3*a^4*C*d + b^4*(2*B*c - 3*A*d) + a*b^3*(4*A*c - 4*c*C + B*d) - a^2*b^2*(2*B*c + (7*A - C)*d))*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^(5/2)*f) - (d*(2*b^2*c*(c*C - B*d) - a*b*B*(c^2 + d^2) + a^2*(3*c^2*C - 2*B*c*d + C*d^2) + A*(2*a^2*d^2 + b^2*(c^2 + 3*d^2))))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - (A*b^2 - a*(b*B - a*C))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{((a + b*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 11, -(((a - I*b)^3*(I*A + B - I*C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(5/2)*f)) - ((I*a - b)^3*(A + I*B - C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((c + I*d)^(5/2)*f) - (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^3)/(3*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*(b*(2*c^4*C - B*c^3*d + 4*c^2*C*d^2 - 3*B*c*d^3 + 2*A*d^4) + a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(d^2*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + (2*b*(3*a*b*d*(8*c^4*C - 2*B*c^3*d - c^2*(A - 17*C)*d^2 - 8*B*c*d^3 + (5*A + 3*C)*d^4) - b^2*(16*c^5*C - 8*B*c^4*d + 2*c^3*(A + 15*C)*d^2 - 17*B*c^2*d^3 + 8*c*(A + C)*d^4 - 3*B*d^5) + 6*a^2*d^3*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*d^4*(c^2 + d^2)^2*f) + (2*b^2*(b*(8*c^4*C - 4*B*c^3*d + c^2*(A + 15*C)*d^2 - 10*B*c*d^3 + (7*A + C)*d^4) + 3*a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*Tan[e + f*x]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*d^3*(c^2 + d^2)^2*f)}
+{((a + b*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 10, -(((a - I*b)^2*(I*A + B - I*C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(5/2)*f)) - ((a + I*b)^2*(B - I*(A - C))*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((c + I*d)^(5/2)*f) - (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(3*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*(b*c - a*d)*(b*(4*c^4*C - B*c^3*d - 2*c^2*(A - 5*C)*d^2 - 7*B*c*d^3 + 4*A*d^4) + 3*a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2))))/(3*d^3*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + (2*b^2*(4*c^2*C - B*c*d + (A + 3*C)*d^2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*d^3*(c^2 + d^2)*f)}
+{((a + b*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 9, -(((a - I*b)*(I*A + B - I*C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(5/2)*f)) + ((I*a - b)*(A + I*B - C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((c + I*d)^(5/2)*f) + (2*(b*c - a*d)*(c^2*C - B*c*d + A*d^2))/(3*d^2*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*(b*(c^4*C - c^2*(A - 3*C)*d^2 - 2*B*c*d^3 + A*d^4) + a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2))))/(d^2*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 9, -(((I*A + B - I*C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((c - I*d)^(5/2)*f)) - ((B - I*(A - C))*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((c + I*d)^(5/2)*f) - (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2))/(3*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))/((c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 13, ((A - I*B - C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((I*a + b)*(c - I*d)^(5/2)*f) + ((I*A - B - I*C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((a + I*b)*(c + I*d)^(5/2)*f) - (2*b^(3/2)*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^(5/2)*f) + (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2))/(3*(b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*(b*(c^4*C - 2*B*c^3*d + c^2*(3*A - C)*d^2 + A*d^4) - a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2))))/((b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{1/(a + b*Tan[e + f*x])^2/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 14, -(((I*A + B - I*C)*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/((a - I*b)^2*(c - I*d)^(5/2)*f)) - ((B - I*(A - C))*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/((a + I*b)^2*(c + I*d)^(5/2)*f) - (b^(3/2)*(7*a^3*b*B*d - 5*a^4*C*d + b^4*(2*B*c - 5*A*d) + a*b^3*(4*A*c - 4*c*C + 3*B*d) - a^2*b^2*(2*B*c + (9*A + C)*d))*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/Sqrt[b*c - a*d]])/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^(7/2)*f) - (d*(2*b^2*c*(c*C - B*d) - 3*a*b*B*(c^2 + d^2) + a^2*(5*c^2*C - 2*B*c*d + 3*C*d^2) + A*(2*a^2*d^2 + b^2*(3*c^2 + 5*d^2))))/(3*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (A*b^2 - a*(b*B - a*C))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (1/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]))*(d*(2*a^3*d^2*(B*c^2 + 2*c*C*d - B*d^2) + 2*b^3*c*(2*c^3*C - 3*B*c^2*d - B*d^3) - a*b^2*(B*c^4 - 4*c*C*d^3 + 3*B*d^4) + a^2*b*(5*c^4*C - 6*B*c^3*d + 2*c^2*C*d^2 - 2*B*c*d^3 + C*d^4) - A*(4*a^3*c*d^3 + 4*a*b^2*c*d^3 - 4*a^2*b*d^2*(2*c^2 + d^2) - b^3*(c^4 + 10*c^2*d^2 + 5*d^4))))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^(m/2) (c+d Tan[e+f x])^(n/2) (A+B Tan[e+f x]+C Tan[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n > 0*)
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 16, -(((a - I*b)^(5/2)*(I*A + B - I*C)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f) - ((a + I*b)^(5/2)*(B - I*(A - C))*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f - ((5*a^4*C*d^4 - 20*a^3*b*d^3*(c*C + 2*B*d) + 30*a^2*b^2*d^2*(c^2*C - 4*B*c*d - 8*(A - C)*d^2) - 20*a*b^3*d*(c^3*C - 2*B*c^2*d + 8*c*(A - C)*d^2 - 16*B*d^3) + b^4*(5*c^4*C - 8*B*c^3*d + 16*c^2*(A - C)*d^2 + 64*B*c*d^3 + 128*(A - C)*d^4))*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(64*b^(3/2)*d^(7/2)*f) + ((64*b*(a^2*B - b^2*B + 2*a*b*(A - C))*d^3 - (b*c - a*d)*(16*b*(A*b + a*B - b*C)*d^2 + (b*c - a*d)*(5*b*c*C - 8*b*B*d - 5*a*C*d)))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(64*b*d^3*f) + ((16*b*(A*b + a*B - b*C)*d^2 + (b*c - a*d)*(5*b*c*C - 8*b*B*d - 5*a*C*d))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(32*d^3*f) - ((5*b*c*C - 8*b*B*d - 5*a*C*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(24*d^2*f) + (C*(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(4*d*f)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 15, -(((a - I*b)^(3/2)*(I*A + B - I*C)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f) + ((a + I*b)^(3/2)*(I*A - B - I*C)*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f - ((a^3*C*d^3 - 3*a^2*b*d^2*(c*C + 2*B*d) + 3*a*b^2*d*(c^2*C - 4*B*c*d - 8*(A - C)*d^2) - b^3*(c^3*C - 2*B*c^2*d + 8*c*(A - C)*d^2 - 16*B*d^3))*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(8*b^(3/2)*d^(5/2)*f) + ((8*b*(A*b + a*B - b*C)*d^2 + (b*c - a*d)*(b*c*C - 2*b*B*d - a*C*d))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(8*b*d^2*f) - ((b*c*C - 2*b*B*d - a*C*d)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(4*d^2*f) + (C*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*d*f)}
+{Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 14, -((Sqrt[a - I*b]*(I*A + B - I*C)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f) - (Sqrt[a + I*b]*(B - I*(A - C))*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f - ((a^2*C*d^2 - 2*a*b*d*(c*C + 2*B*d) + b^2*(c^2*C - 4*B*c*d - 8*(A - C)*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(4*b^(3/2)*d^(3/2)*f) - ((b*c*C - 4*b*B*d - a*C*d)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*b*d*f) + (C*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*d*f)}
+{(Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]], x, 13, -(((I*A + B - I*C)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a - I*b]*f)) - ((B - I*(A - C))*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a + I*b]*f) + ((b*c*C + 2*b*B*d - a*C*d)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(b^(3/2)*Sqrt[d]*f) + (C*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(b*f)}
+{(Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 13, -(((I*A + B - I*C)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(3/2)*f)) - ((B - I*(A - C))*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(3/2)*f) + (2*C*Sqrt[d]*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(b^(3/2)*f) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(b*(a^2 + b^2)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])}
+{(Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 9, -(((I*A + B - I*C)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(5/2)*f)) - ((B - I*(A - C))*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(5/2)*f) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*(2*a^3*b*B*d + a^4*C*d + b^4*(3*B*c + A*d) + 2*a*b^3*(3*A*c - 3*c*C - 2*B*d) - a^2*b^2*(3*B*c + 5*A*d - 7*C*d))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*b*(a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])}
+{(Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 10, -(((I*A + B - I*C)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(7/2)*f)) - ((B - I*(A - C))*Sqrt[c + I*d]*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(7/2)*f) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(5*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (2*(4*a^3*b*B*d + a^4*C*d + b^4*(5*B*c + A*d) + 2*a*b^3*(5*A*c - 5*c*C - 3*B*d) - a^2*b^2*(5*B*c + 9*A*d - 11*C*d))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(15*b*(a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*(8*a^5*b*B*d^2 + 2*a^6*C*d^2 - a^4*b^2*d*(25*B*c + 33*A*d - 39*C*d) - a^2*b^4*(45*A*c^2 - 45*c^2*C - 90*B*c*d - 29*A*d^2 + 23*C*d^2) + a^3*b^3*(80*c*(A - C)*d + B*(15*c^2 - 49*d^2)) - a*b^5*(40*c*(A - C)*d + B*(45*c^2 - 3*d^2)) - b^6*(5*c*(3*c*C + B*d) - A*(15*c^2 + 2*d^2)))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(15*b*(a^2 + b^2)^3*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 16, -(((a - I*b)^(3/2)*(B + I*(A - C))*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f) - ((a + I*b)^(3/2)*(B - I*(A - C))*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f + ((3*a^4*C*d^4 - 4*a^3*b*d^3*(3*c*C + 2*B*d) + 6*a^2*b^2*d^2*(3*c^2*C + 12*B*c*d + 8*(A - C)*d^2) - 12*a*b^3*d*(c^3*C - 6*B*c^2*d - 24*c*(A - C)*d^2 + 16*B*d^3) + b^4*(3*c^4*C - 8*B*c^3*d + 48*c^2*(A - C)*d^2 - 192*B*c*d^3 - 128*(A - C)*d^4))*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(64*b^(5/2)*d^(5/2)*f) + ((64*b*(a^2*B - b^2*B + 2*a*b*(A - C))*d^3 + (b*c - a*d)*(48*b*(A*b + a*B - b*C)*d^2 + (b*c - a*d)*(3*b*c*C - 8*b*B*d - 3*a*C*d)))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(64*b^2*d^2*f) + ((48*b*(A*b + a*B - b*C)*d^2 + (b*c - a*d)*(3*b*c*C - 8*b*B*d - 3*a*C*d))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(96*b*d^2*f) - ((3*b*c*C - 8*b*B*d - 3*a*C*d)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(24*d^2*f) + (C*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(4*d*f)}
+{Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 15, -((Sqrt[a - I*b]*(I*A + B - I*C)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f) - (Sqrt[a + I*b]*(B - I*(A - C))*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f + ((a^3*C*d^3 - a^2*b*d^2*(3*c*C + 2*B*d) + a*b^2*d*(3*c^2*C + 12*B*c*d + 8*(A - C)*d^2) - b^3*(c^3*C - 6*B*c^2*d - 24*c*(A - C)*d^2 + 16*B*d^3))*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(8*b^(5/2)*d^(3/2)*f) + ((8*b*(A*b + a*B - b*C)*d^2 - (b*c - a*d)*(b*c*C - 6*b*B*d - a*C*d))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(8*b^2*d*f) - ((b*c*C - 6*b*B*d - a*C*d)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(12*b*d*f) + (C*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(3*d*f)}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]], x, 14, -(((I*A + B - I*C)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a - I*b]*f)) + ((I*A - B - I*C)*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a + I*b]*f) + ((3*a^2*C*d^2 - 2*a*b*d*(3*c*C + 2*B*d) + b^2*(3*c^2*C + 12*B*c*d + 8*(A - C)*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(4*b^(5/2)*Sqrt[d]*f) + ((3*b*c*C + 4*b*B*d - 3*a*C*d)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*b^2*f) + (C*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*b*f)}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 14, -(((I*A + B - I*C)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(3/2)*f)) - ((B - I*(A - C))*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(3/2)*f) + (Sqrt[d]*(3*b*c*C + 2*b*B*d - 3*a*C*d)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(b^(5/2)*f) + ((2*A*b^2 - 2*a*b*B + 3*a^2*C + b^2*C)*d*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*f) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(b*(a^2 + b^2)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 14, -(((I*A + B - I*C)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(5/2)*f)) - ((B - I*(A - C))*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(5/2)*f) + (2*C*d^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(b^(5/2)*f) - (2*(a^4*C*d + b^4*(B*c + A*d) + 2*a*b^3*(A*c - c*C - B*d) - a^2*b^2*(B*c + (A - 3*C)*d))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 10, -(((I*A + B - I*C)*(c - I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(7/2)*f)) - ((B - I*(A - C))*(c + I*d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(7/2)*f) - (2*(2*a^3*b*B*d + 3*a^4*C*d + b^4*(5*B*c + 3*A*d) + 2*a*b^3*(5*A*c - 5*c*C - 4*B*d) - a^2*b^2*(5*B*c + 7*A*d - 13*C*d))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(15*b^2*(a^2 + b^2)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*(2*a^5*b*B*d^2 + 3*a^6*C*d^2 + a^4*b^2*d*(10*B*c + (8*A + C)*d) + a^2*b^4*(45*A*c^2 - 45*c^2*C - 90*B*c*d - 49*A*d^2 + 58*C*d^2) - a^3*b^3*(50*c*(A - C)*d + B*(15*c^2 - 39*d^2)) + a*b^5*(70*c*(A - C)*d + B*(45*c^2 - 23*d^2)) + b^6*(5*c*(3*c*C + 4*B*d) - 3*A*(5*c^2 - d^2)))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(15*b^2*(a^2 + b^2)^3*(b*c - a*d)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(5*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+
+
+{Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 16, -((Sqrt[a - I*b]*(I*A + B - I*C)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f) + (Sqrt[a + I*b]*(I*A - B - I*C)*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/f - ((5*a^4*C*d^4 - 4*a^3*b*d^3*(5*c*C + 2*B*d) + 2*a^2*b^2*d^2*(15*c^2*C + 20*B*c*d + 8*(A - C)*d^2) - 4*a*b^3*d*(5*c^3*C + 30*B*c^2*d + 40*c*(A - C)*d^2 - 16*B*d^3) + b^4*(5*c^4*C - 40*B*c^3*d - 240*c^2*(A - C)*d^2 + 320*B*c*d^3 + 128*(A - C)*d^4))*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(64*b^(7/2)*d^(3/2)*f) + ((64*b^2*d^2*(A*b*c + a*B*c - b*c*C + a*A*d - b*B*d - a*C*d) + (b*c - a*d)*(48*b*(A*b + a*B - b*C)*d^2 - 5*(b*c - a*d)*(b*c*C - 8*b*B*d - a*C*d)))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(64*b^3*d*f) + ((48*b*(A*b + a*B - b*C)*d^2 - 5*(b*c - a*d)*(b*c*C - 8*b*B*d - a*C*d))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(96*b^2*d*f) - ((b*c*C - 8*b*B*d - a*C*d)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(24*b*d*f) + (C*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(7/2))/(4*d*f)}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]], x, 15, -(((I*A + B - I*C)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a - I*b]*f)) - ((B - I*(A - C))*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a + I*b]*f) - ((5*a^3*C*d^3 - 3*a^2*b*d^2*(5*c*C + 2*B*d) + a*b^2*d*(15*c^2*C + 20*B*c*d + 8*(A - C)*d^2) - b^3*(5*c^3*C + 30*B*c^2*d + 40*c*(A - C)*d^2 - 16*B*d^3))*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(8*b^(7/2)*Sqrt[d]*f) + ((8*b^2*d*(B*c + (A - C)*d) + (b*c - a*d)*(5*b*c*C + 6*b*B*d - 5*a*C*d))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(8*b^3*f) + ((5*b*c*C + 6*b*B*d - 5*a*C*d)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(12*b^2*f) + (C*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(3*b*f)}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 15, -(((I*A + B - I*C)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(3/2)*f)) - ((B - I*(A - C))*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(3/2)*f) + (Sqrt[d]*(15*a^2*C*d^2 - 6*a*b*d*(5*c*C + 2*B*d) + b^2*(15*c^2*C + 20*B*c*d + 8*(A - C)*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(4*b^(7/2)*f) - (d*(15*a^3*C*d - 8*A*b^2*(b*c - a*d) - 3*a^2*b*(5*c*C + 4*B*d) - b^3*(7*c*C + 4*B*d) + a*b^2*(8*B*c + 7*C*d))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*b^3*(a^2 + b^2)*f) + ((4*A*b^2 - 4*a*b*B + 5*a^2*C + b^2*C)*d*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(2*b^2*(a^2 + b^2)*f) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(b*(a^2 + b^2)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 15, -(((I*A + B - I*C)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(5/2)*f)) - ((B - I*(A - C))*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(5/2)*f) + (d^(3/2)*(5*b*c*C + 2*b*B*d - 5*a*C*d)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(b^(7/2)*f) - (d*(2*a^3*b*B*d - 5*a^4*C*d - 2*a*b^3*(2*A*c - 2*c*C - 3*B*d) + 2*a^2*b^2*(B*c - 5*C*d) - b^4*(2*B*c + (4*A + C)*d))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)^2*f) + (2*(2*a^3*b*B*d - 5*a^4*C*d - b^4*(3*B*c + 5*A*d) - 2*a*b^3*(3*A*c - 3*c*C - 4*B*d) + a^2*b^2*(3*B*c + (A - 11*C)*d))*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*b^2*(a^2 + b^2)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(3*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2))}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^(7/2), x, 15, -(((I*A + B - I*C)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(7/2)*f)) - ((B - I*(A - C))*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(7/2)*f) + (2*C*d^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(b^(7/2)*f) - (2*(a^6*C*d^2 + 3*a^4*b^2*C*d^2 - 3*a^2*b^4*(c^2*C + 2*B*c*d - 2*C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) + b^6*(c*(c*C + 2*B*d) - A*(c^2 - d^2)) - a^3*b^3*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)) + 3*a*b^5*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2)))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)^3*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]) - (2*(a^4*C*d + b^4*(B*c + A*d) + 2*a*b^3*(A*c - c*C - B*d) - a^2*b^2*(B*c + (A - 3*C)*d))*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*b^2*(a^2 + b^2)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(5*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2))}
+{((c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^(9/2), x, 11, -(((I*A + B - I*C)*(c - I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(9/2)*f)) - ((B - I*(A - C))*(c + I*d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(9/2)*f) - (2*(6*a^5*b*B*d^2 + 15*a^6*C*d^2 + a^4*b^2*d*(14*B*c + 8*A*d + 37*C*d) + 3*a^2*b^4*(35*A*c^2 - 35*c^2*C - 70*B*c*d - 39*A*d^2 + 54*C*d^2) - a^3*b^3*(98*c*(A - C)*d + B*(35*c^2 - 75*d^2)) + a*b^5*(182*c*(A - C)*d + B*(105*c^2 - 71*d^2)) + b^6*(7*c*(5*c*C + 8*B*d) - 5*A*(7*c^2 - 3*d^2)))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(105*b^3*(a^2 + b^2)^3*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (1/(105*b^3*(a^2 + b^2)^4*(b*c - a*d)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]))*(2*(6*a^7*b*B*d^3 + 15*a^8*C*d^3 + 2*a^6*b^2*d^2*(7*B*c + 4*A*d + 26*C*d) - 2*a*b^7*(210*A*c^3 - 210*c^3*C - 525*B*c^2*d - 406*A*c*d^2 + 406*c*C*d^2 + 88*B*d^3) - a^4*b^4*(105*B*c^3 + 525*A*c^2*d - 525*c^2*C*d - 749*B*c*d^2 - 311*A*d^3 + 221*C*d^3) + 2*a^2*b^6*(315*B*c^3 + 875*A*c^2*d - 875*c^2*C*d - 812*B*c*d^2 - 261*A*d^3 + 291*C*d^3) + 2*a^5*b^3*d*(56*c*(A - C)*d + B*(35*c^2 - 12*d^2)) - b^8*(5*d*(49*A*c^2 - 49*c^2*C - 3*A*d^2) + 7*B*(15*c^3 - 23*c*d^2)) - 2*a^3*b^5*(210*c^3*C + 700*B*c^2*d - 798*c*C*d^2 - 317*B*d^3 - 42*A*(5*c^3 - 19*c*d^2)))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - (2*(2*a^3*b*B*d + 5*a^4*C*d + b^4*(7*B*c + 5*A*d) + 2*a*b^3*(7*A*c - 7*c*C - 6*B*d) - a^2*b^2*(7*B*c + 9*A*d - 19*C*d))*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(35*b^2*(a^2 + b^2)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2))/(7*b*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(7/2))}
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+{((a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 15, -(((a - I*b)^(5/2)*(I*A + B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c - I*d]*f)) - ((a + I*b)^(5/2)*(B - I*(A - C))*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c + I*d]*f) + ((5*a^3*C*d^3 - 15*a^2*b*d^2*(c*C - 2*B*d) + 5*a*b^2*d*(3*c^2*C - 4*B*c*d + 8*(A - C)*d^2) - b^3*(5*c^3*C - 6*B*c^2*d + 8*c*(A - C)*d^2 + 16*B*d^3))*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(8*Sqrt[b]*d^(7/2)*f) + ((8*b*(A*b + a*B - b*C)*d^2 + (b*c - a*d)*(5*b*c*C - 6*b*B*d - 5*a*C*d))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(8*d^3*f) - ((5*b*c*C - 6*b*B*d - 5*a*C*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(12*d^2*f) + (C*(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*d*f)}
+{((a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 14, -(((a - I*b)^(3/2)*(I*A + B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c - I*d]*f)) + ((a + I*b)^(3/2)*(I*A - B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c + I*d]*f) + ((3*a^2*C*d^2 - 6*a*b*d*(c*C - 2*B*d) + b^2*(3*c^2*C - 4*B*c*d + 8*(A - C)*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(4*Sqrt[b]*d^(5/2)*f) - ((3*b*c*C - 4*b*B*d - 3*a*C*d)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*d^2*f) + (C*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(2*d*f)}
+{(Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x, 13, -((Sqrt[a - I*b]*(I*A + B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c - I*d]*f)) + (Sqrt[a + I*b]*(I*A - B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[c + I*d]*f) - ((b*c*C - 2*b*B*d - a*C*d)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[b]*d^(3/2)*f) + (C*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(d*f)}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/(Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x, 12, -(((B + I*(A - C))*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c - I*d]*f)) + ((I*A - B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + I*d]*f) + (2*C*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[b]*Sqrt[d]*f)}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x, 8, -(((I*A + B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(3/2)*Sqrt[c - I*d]*f)) - ((B - I*(A - C))*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(3/2)*Sqrt[c + I*d]*f) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x, 9, -(((I*A + B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(5/2)*Sqrt[c - I*d]*f)) - ((B - I*(A - C))*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(5/2)*Sqrt[c + I*d]*f) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*(5*a^3*b*B*d - 2*a^4*C*d + b^4*(3*B*c - 2*A*d) + a*b^3*(6*A*c - 6*c*C - B*d) - a^2*b^2*(3*B*c + 8*A*d - 4*C*d))*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(3*(a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{((a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 15, -(((a - I*b)^(5/2)*(I*A + B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(3/2)*f)) - ((a + I*b)^(5/2)*(B - I*(A - C))*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c + I*d)^(3/2)*f) + (Sqrt[b]*(15*a^2*C*d^2 - 10*a*b*d*(3*c*C - 2*B*d) + b^2*(15*c^2*C - 12*B*c*d + 8*(A - C)*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(4*d^(7/2)*f) - (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2))/(d*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - (b*(3*(b*c - a*d)*(5*c^2*C - 4*B*c*d + (4*A + C)*d^2) - 4*d^2*((A - C)*(b*c - a*d) + B*(a*c + b*d)))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(4*d^3*(c^2 + d^2)*f) + (b*(5*c^2*C - 4*B*c*d + (4*A + C)*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(2*d^2*(c^2 + d^2)*f)}
+{((a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 14, -(((a - I*b)^(3/2)*(I*A + B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(3/2)*f)) - ((a + I*b)^(3/2)*(B - I*(A - C))*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c + I*d)^(3/2)*f) - (Sqrt[b]*(3*b*c*C - 2*b*B*d - 3*a*C*d)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(d^(5/2)*f) - (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(d*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + (b*(3*c^2*C - 2*B*c*d + (2*A + C)*d^2)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^2*(c^2 + d^2)*f)}
+{(Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 13, -((Sqrt[a - I*b]*(I*A + B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(3/2)*f)) - (Sqrt[a + I*b]*(B - I*(A - C))*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c + I*d)^(3/2)*f) + (2*Sqrt[b]*C*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(d^(3/2)*f) - (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(d*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/(Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 8, -(((B + I*(A - C))*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a - I*b]*(c - I*d)^(3/2)*f)) + ((I*A - B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a + I*b]*(c + I*d)^(3/2)*f) + (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 9, -(((I*A + B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(3/2)*(c - I*d)^(3/2)*f)) - ((B - I*(A - C))*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(3/2)*(c + I*d)^(3/2)*f) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C)))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - (2*d*(b^2*c*(c*C - B*d) - a*b*B*(c^2 + d^2) + a^2*(2*c^2*C - B*c*d + C*d^2) + A*(a^2*d^2 + b^2*(c^2 + 2*d^2)))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)), x, 10, -(((I*A + B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(5/2)*(c - I*d)^(3/2)*f)) - ((B - I*(A - C))*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(5/2)*(c + I*d)^(3/2)*f) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C)))/(3*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - (2*(7*a^3*b*B*d - 4*a^4*C*d + b^4*(3*B*c - 4*A*d) + a*b^3*(6*A*c - 6*c*C + B*d) - a^2*b^2*(3*B*c + 2*(5*A - C)*d)))/(3*(a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - (2*d*(8*a^3*b*B*d*(c^2 + d^2) + 2*a*b^3*(3*A*c - 3*c*C + B*d)*(c^2 + d^2) - a^4*d*(8*c^2*C - 3*B*c*d + (3*A + 5*C)*d^2) - a^2*b^2*(3*B*c^3 + 11*A*c^2*d + 5*c^2*C*d - 3*B*c*d^2 + 17*A*d^3 - C*d^3) - b^4*(d*(5*A*c^2 + 3*c^2*C + 8*A*d^2) - 3*B*(c^3 + 2*c*d^2)))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*(a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+
+
+{((a + b*Tan[e + f*x])^(5/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 15, -(((a - I*b)^(5/2)*(I*A + B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(5/2)*f)) - ((a + I*b)^(5/2)*(B - I*(A - C))*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c + I*d)^(5/2)*f) - (b^(3/2)*(5*b*c*C - 2*b*B*d - 5*a*C*d)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(d^(7/2)*f) - (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^(5/2))/(3*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*(b*(5*c^4*C - 2*B*c^3*d - c^2*(A - 11*C)*d^2 - 8*B*c*d^3 + 5*A*d^4) + 3*a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*d^2*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) + (b*(b*(5*c^4*C - 2*B*c^3*d + 10*c^2*C*d^2 - 6*B*c*d^3 + (4*A + C)*d^4) + 2*a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^3*(c^2 + d^2)^2*f)}
+{((a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 14, -(((a - I*b)^(3/2)*(I*A + B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(5/2)*f)) - ((a + I*b)^(3/2)*(B - I*(A - C))*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c + I*d)^(5/2)*f) + (2*b^(3/2)*C*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(d^(5/2)*f) - (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2))/(3*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*(b*(c^4*C - c^2*(A - 3*C)*d^2 - 2*B*c*d^3 + A*d^4) + a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(d^2*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2), x, 9, -((Sqrt[a - I*b]*(I*A + B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c - I*d)^(5/2)*f)) - (Sqrt[a + I*b]*(B - I*(A - C))*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((c + I*d)^(5/2)*f) - (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*(b*(c^4*C + 2*B*c^3*d - c^2*(5*A - 7*C)*d^2 - 4*B*c*d^3 + A*d^4) + 3*a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*d*(b*c - a*d)*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/(Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 9, -(((B + I*(A - C))*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a - I*b]*(c - I*d)^(5/2)*f)) + ((I*A - B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/(Sqrt[a + I*b]*(c + I*d)^(5/2)*f) + (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*(b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) + (2*(b*(2*c^4*C - 5*B*c^3*d + 4*c^2*(2*A - C)*d^2 + B*c*d^3 + 2*A*d^4) - 3*a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+{(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(5/2)), x, 10, -(((I*A + B - I*C)*ArcTanh[(Sqrt[c - I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a - I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a - I*b)^(3/2)*(c - I*d)^(5/2)*f)) - ((B - I*(A - C))*ArcTanh[(Sqrt[c + I*d]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(Sqrt[a + I*b]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])])/((a + I*b)^(3/2)*(c + I*d)^(5/2)*f) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C)))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*d*(b^2*c*(c*C - B*d) - 3*a*b*B*(c^2 + d^2) + a^2*(4*c^2*C - B*c*d + 3*C*d^2) + A*(a^2*d^2 + b^2*(3*c^2 + 4*d^2)))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)) - (2*d*(b^3*c*(5*c^3*C - 8*B*c^2*d - c*C*d^2 - 2*B*d^3) + a^2*b*(8*c^4*C - 8*B*c^3*d + 5*c^2*C*d^2 - 2*B*c*d^3 + 3*C*d^4) + 3*a^3*d^2*(2*c*C*d + B*(c^2 - d^2)) + 3*a*b^2*(2*c*C*d^3 - B*(c^4 + c^2*d^2 + 2*d^4)) - A*(6*a^3*c*d^3 + 6*a*b^2*c*d^3 - a^2*b*d^2*(11*c^2 + 5*d^2) - b^3*(3*c^4 + 17*c^2*d^2 + 8*d^4)))*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])/(3*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)^2*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x])^m (c+d Tan[e+f x])^n (A+B Tan[e+f x]+C Tan[e+f x]^2) with m and/or n symbolic*)
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^n*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 9, -(((B + I*(A - C))*AppellF1[1 + m, -n, 1, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)), (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*(c + d*Tan[e + f*x])^n)/(((b*(c + d*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d))^n*(2*(a - I*b)*f*(1 + m)))) - ((A + I*B - C)*AppellF1[1 + m, -n, 1, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d)), (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*(c + d*Tan[e + f*x])^n)/(((b*(c + d*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d))^n*(2*(I*a - b)*f*(1 + m))) + (C*Hypergeometric2F1[1 + m, -n, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d))]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*(c + d*Tan[e + f*x])^n)/(((b*(c + d*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d))^n*(b*f*(1 + m)))}
+
+
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 9, ((b*c*(2 + m)*(b^2*d*(B*c + (A - C)*d)*(3 + m)*(4 + m) - 2*(b*c - a*d)*(3*a*C*d - b*(3*c*C + B*d*(4 + m)))) + d*(b^3*(2*c*(A - C)*d + B*(c^2 - d^2))*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m) - a*(b^2*d*(B*c + (A - C)*d)*(3 + m)*(4 + m) - 2*(b*c - a*d)*(3*a*C*d - b*(3*c*C + B*d*(4 + m))))))*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(b^4*f*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)) + ((A - I*B - C)*(c - I*d)^3*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a + b)*f*(1 + m)) - ((A + I*B - C)*(c + I*d)^3*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a - b)*f*(1 + m)) + (d*(b^2*d*(B*c + (A - C)*d)*(3 + m)*(4 + m) - 2*(b*c - a*d)*(3*a*C*d - b*(3*c*C + B*d*(4 + m))))*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(b^3*f*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)) - ((3*a*C*d - b*(3*c*C + B*d*(4 + m)))*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(b^2*f*(3 + m)*(4 + m)) + (C*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*(c + d*Tan[e + f*x])^3)/(b*f*(4 + m))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^2*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 8, ((2*a^2*C*d^2 - a*b*d*(2*c*C + B*d)*(3 + m) + b^2*(2 + m)*(2*c^2*C + 2*B*c*d*(3 + m) + (A - C)*d^2*(3 + m)))*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(b^3*f*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)) + ((A - I*B - C)*(c - I*d)^2*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a + b)*f*(1 + m)) + ((I*A - B - I*C)*(c + I*d)^2*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(a + I*b)*f*(1 + m)) - (d*(2*a*C*d - b*(2*c*C + B*d*(3 + m)))*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(b^2*f*(2 + m)*(3 + m)) + (C*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*(c + d*Tan[e + f*x])^2)/(b*f*(3 + m))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^1*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 7, -(((a*C*d - b*(c*C + B*d)*(2 + m))*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(b^2*f*(1 + m)*(2 + m))) + ((A - I*B - C)*(c - I*d)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a + b)*f*(1 + m)) - ((A + I*B - C)*(c + I*d)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a - b)*f*(1 + m)) + (C*d*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(b*f*(2 + m))}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^0*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 6, (C*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(b*f*(1 + m)) + ((A - I*B - C)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a + b)*f*(1 + m)) + ((I*A - B - I*C)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(a + I*b)*f*(1 + m))}
+{((a + b*Tan[e + f*x])^m*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^1, x, 8, -(((I*A + B - I*C)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(a - I*b)*(c - I*d)*f*(1 + m))) - ((A + I*B - C)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a - b)*(c + I*d)*f*(1 + m)) + ((c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d))]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*(1 + m))}
+{((a + b*Tan[e + f*x])^m*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^2, x, 9, ((A - I*B - C)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a + b)*(c - I*d)^2*f*(1 + m)) + ((I*A - B - I*C)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(a + I*b)*(c + I*d)^2*f*(1 + m)) - ((a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)) - b*(A*d^2*(c^2*(2 - m) - d^2*m) - B*c*d*(c^2*(1 - m) - d^2*(1 + m)) - c^2*C*(c^2*m + d^2*(2 + m))))*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d))]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/((b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)^2*f*(1 + m)) + ((c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+{((a + b*Tan[e + f*x])^m*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^3, x, 10, ((A - I*B - C)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a - I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(I*a + b)*(c - I*d)^3*f*(1 + m)) + ((A + I*B - C)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (a + b*Tan[e + f*x])/(a + I*b)]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(a + I*b)*(I*c - d)^3*f*(1 + m)) + (1/(2*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)^3*f*(1 + m)))*((2*a^2*d^3*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)) - 2*a*b*d^2*(B*(6*c^2*d^2 - c^4*(2 - m) - d^4*m) + 2*c*(A - C)*d*(c^2*(3 - m) - d^2*(1 + m))) - b^2*(A*d^2*(d^4*(1 - m)*m + 2*c^2*d^2*(1 + 3*m - m^2) - c^4*(6 - 5*m + m^2)) + B*c*d*(d^4*m*(1 + m) - 2*c^2*d^2*(3 + m - m^2) + c^4*(2 - 3*m + m^2)) + c^2*C*(c^4*(1 - m)*m + 2*c^2*d^2*(3 - m - m^2) - d^4*(2 + 3*m + m^2))))*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((d*(a + b*Tan[e + f*x]))/(b*c - a*d))]*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)) + ((c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - ((2*a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)) - b*(c^4*C*(1 - m) + A*d^4*(1 - m) - B*c^3*d*(3 - m) + B*c*d^3*(1 + m) + c^2*d^2*(A*(5 - m) - C*(3 + m))))*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/(2*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))}
+
+
+(* {(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 18, -((2*(3*a*C*d - b*(3*c*C + B*d*(5 + 2*m)))*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(b^2*f*(3 + 2*m)*(5 + 2*m))) + (2*C*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2))/(b*f*(5 + 2*m)) - ((B*d*(c^2 - d^2 - 2*c*Sqrt[-d^2]) + (A - C)*(2*c*d^2 + c^2*Sqrt[-d^2] + (-d^2)^(3/2)))*AppellF1[1/2, -m, 1, 3/2, (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d), (c + d*Tan[e + f*x])/(c - Sqrt[-d^2])]*(a + b*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((1 - (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d))^m*(d*(c - Sqrt[-d^2])*f)) - ((B*d*(c^2 - d^2 + 2*c*Sqrt[-d^2]) + (A - C)*(2*c*d^2 - c^2*Sqrt[-d^2] - (-d^2)^(3/2)))*AppellF1[1/2, -m, 1, 3/2, (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d), (c + d*Tan[e + f*x])/(c + Sqrt[-d^2])]*(a + b*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((1 - (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d))^m*(d*(c + Sqrt[-d^2])*f)) + (1/(b^2*d*f*(3 + 2*m)*(5 + 2*m)))*((2*(3*a^2*C*d^2 - a*b*d*(6*c*C + B*d*(5 + 2*m)) + b^2*(3*c^2*C + 2*B*c*d*(10 + 9*m + 2*m^2) + (A - C)*d^2*(15 + 16*m + 4*m^2)))*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 3/2, (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d)]*(a + b*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(1 - (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d))^m)}
+{(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^(1/2)*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2), x, 16, (2*C*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m)*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(b*f*(3 + 2*m)) - ((B*d*(c - Sqrt[-d^2]) + (A - C)*(d^2 + c*Sqrt[-d^2]))*AppellF1[1/2, -m, 1, 3/2, (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d), (c + d*Tan[e + f*x])/(c - Sqrt[-d^2])]*(a + b*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((1 - (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d))^m*(d*(c - Sqrt[-d^2])*f)) - ((B*d*(c + Sqrt[-d^2]) + (A - C)*(d^2 - c*Sqrt[-d^2]))*AppellF1[1/2, -m, 1, 3/2, (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d), (c + d*Tan[e + f*x])/(c + Sqrt[-d^2])]*(a + b*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((1 - (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d))^m*(d*(c + Sqrt[-d^2])*f)) - (2*(a*C*d - b*(c*C + B*d*(3 + 2*m)))*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 3/2, (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d)]*(a + b*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((1 - (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d))^m*(b*d*f*(3 + 2*m)))}
+{((a + b*Tan[e + f*x])^m*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^(1/2), x, 15, -(((B*d + (A - C)*Sqrt[-d^2])*AppellF1[1/2, -m, 1, 3/2, (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d), (c + d*Tan[e + f*x])/(c - Sqrt[-d^2])]*(a + b*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((1 - (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d))^m*(d*(c - Sqrt[-d^2])*f))) - ((B*d - (A - C)*Sqrt[-d^2])*AppellF1[1/2, -m, 1, 3/2, (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d), (c + d*Tan[e + f*x])/(c + Sqrt[-d^2])]*(a + b*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((1 - (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d))^m*(d*(c + Sqrt[-d^2])*f)) + (2*C*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 3/2, (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d)]*(a + b*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((1 - (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d))^m*(d*f))}
+{((a + b*Tan[e + f*x])^m*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^(3/2), x, 16, If[$VersionNumber<9, (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - ((B*c - (A - C)*d - (d*(A*c - c*C + B*d))/Sqrt[-d^2])*AppellF1[1/2, -m, 1, 3/2, (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d), (c + d*Tan[e + f*x])/(c - Sqrt[-d^2])]*(a + b*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((1 - (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d))^m*((c^2 + d^2)*(c - Sqrt[-d^2])*f)) - ((B*c - (A - C)*d + (d*(A*c - c*C + B*d))/Sqrt[-d^2])*AppellF1[1/2, -m, 1, 3/2, (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d), (c + d*Tan[e + f*x])/(c + Sqrt[-d^2])]*(a + b*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((1 - (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d))^m*((c^2 + d^2)*(c + Sqrt[-d^2])*f)) - (2*b*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(1 + 2*m)*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 3/2, (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d)]*(a + b*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((1 - (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d))^m*(d*(b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f)), (2*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^(1 + m))/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]) - ((B*d*(c + Sqrt[-d^2]) - (A - C)*(d^2 - c*Sqrt[-d^2]))*AppellF1[1/2, -m, 1, 3/2, (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d), (c + d*Tan[e + f*x])/(c - Sqrt[-d^2])]*(a + b*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((1 - (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d))^m*(d*(c^2 + d^2)*(c - Sqrt[-d^2])*f)) - ((B*d*(c - Sqrt[-d^2]) - (A - C)*(d^2 + c*Sqrt[-d^2]))*AppellF1[1/2, -m, 1, 3/2, (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d), (c + d*Tan[e + f*x])/(c + Sqrt[-d^2])]*(a + b*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((1 - (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d))^m*(d*(c^2 + d^2)*(c + Sqrt[-d^2])*f)) - (2*b*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(1 + 2*m)*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 3/2, (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d)]*(a + b*Tan[e + f*x])^m*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/((1 - (b*c + b*d*Tan[e + f*x])/(b*c - a*d))^m*(d*(b*c - a*d)*(c^2 + d^2)*f))]} *)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.7 (d trig)^m (a+b (c tan)^n)^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.7 (d trig)^m (a+b (c tan)^n)^p.m
new file mode 100644
index 00000000..94447989
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.7 (d trig)^m (a+b (c tan)^n)^p.m	
@@ -0,0 +1,1027 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b (c Tan[e+f x])^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b (c Tan[e+f x])^n)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tan[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
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+{(b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 3, (b*Cot[e + f*x]*Log[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^2])/f + (b*Tan[e + f*x]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{(b*Tan[e + f*x]^2)^(1/2), x, 2, -((Cot[e + f*x]*Log[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^2])/f)}
+{1/(b*Tan[e + f*x]^2)^(1/2), x, 2, (Log[Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^2])}
+{1/(b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 3, -(Cot[e + f*x]/(2*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^2])) - (Log[Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^2])}
+{1/(b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 4, Cot[e + f*x]/(2*b^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^2]) - Cot[e + f*x]^3/(4*b^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^2]) + (Log[Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(b^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tan[e+f x]^3)^(p/2)*)
+
+
+{(b*Tan[e + f*x]^3)^(5/2), x, 16, -((2*b^2*Cot[e + f*x]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/f) - (b^2*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/(Sqrt[2]*f*Tan[e + f*x]^(3/2)) + (b^2*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/(Sqrt[2]*f*Tan[e + f*x]^(3/2)) - (b^2*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]] + Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/(2*Sqrt[2]*f*Tan[e + f*x]^(3/2)) + (b^2*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]] + Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/(2*Sqrt[2]*f*Tan[e + f*x]^(3/2)) + (2*b^2*Tan[e + f*x]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/(5*f) - (2*b^2*Tan[e + f*x]^3*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/(9*f) + (2*b^2*Tan[e + f*x]^5*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/(13*f)}
+{(b*Tan[e + f*x]^3)^(3/2), x, 14, -((2*b*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/(3*f)) - (b*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/(Sqrt[2]*f*Tan[e + f*x]^(3/2)) + (b*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/(Sqrt[2]*f*Tan[e + f*x]^(3/2)) + (b*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]] + Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/(2*Sqrt[2]*f*Tan[e + f*x]^(3/2)) - (b*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]] + Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/(2*Sqrt[2]*f*Tan[e + f*x]^(3/2)) + (2*b*Tan[e + f*x]^2*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/(7*f)}
+{(b*Tan[e + f*x]^3)^(1/2), x, 13, (2*Cot[e + f*x]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/f + (ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/(Sqrt[2]*f*Tan[e + f*x]^(3/2)) - (ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/(Sqrt[2]*f*Tan[e + f*x]^(3/2)) + (Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]] + Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/(2*Sqrt[2]*f*Tan[e + f*x]^(3/2)) - (Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]] + Tan[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])/(2*Sqrt[2]*f*Tan[e + f*x]^(3/2))}
+{1/(b*Tan[e + f*x]^3)^(1/2), x, 13, -((2*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])) + (ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]]]*Tan[e + f*x]^(3/2))/(Sqrt[2]*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3]) - (ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]]]*Tan[e + f*x]^(3/2))/(Sqrt[2]*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3]) - (Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]] + Tan[e + f*x]]*Tan[e + f*x]^(3/2))/(2*Sqrt[2]*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3]) + (Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]] + Tan[e + f*x]]*Tan[e + f*x]^(3/2))/(2*Sqrt[2]*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])}
+{1/(b*Tan[e + f*x]^3)^(3/2), x, 14, 2/(3*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3]) - (2*Cot[e + f*x]^2)/(7*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3]) - (ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]]]*Tan[e + f*x]^(3/2))/(Sqrt[2]*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3]) + (ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]]]*Tan[e + f*x]^(3/2))/(Sqrt[2]*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3]) - (Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]] + Tan[e + f*x]]*Tan[e + f*x]^(3/2))/(2*Sqrt[2]*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3]) + (Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]] + Tan[e + f*x]]*Tan[e + f*x]^(3/2))/(2*Sqrt[2]*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])}
+{1/(b*Tan[e + f*x]^3)^(5/2), x, 16, -((2*Cot[e + f*x])/(5*b^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])) + (2*Cot[e + f*x]^3)/(9*b^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3]) - (2*Cot[e + f*x]^5)/(13*b^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3]) + (2*Tan[e + f*x])/(b^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3]) - (ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]]]*Tan[e + f*x]^(3/2))/(Sqrt[2]*b^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3]) + (ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]]]*Tan[e + f*x]^(3/2))/(Sqrt[2]*b^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3]) + (Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]] + Tan[e + f*x]]*Tan[e + f*x]^(3/2))/(2*Sqrt[2]*b^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3]) - (Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[e + f*x]] + Tan[e + f*x]]*Tan[e + f*x]^(3/2))/(2*Sqrt[2]*b^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^3])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tan[e+f x]^4)^(p/2)*)
+
+
+{(b*Tan[e + f*x]^4)^(5/2), x, 7, (b^2*Cot[e + f*x]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4])/f - b^2*x*Cot[e + f*x]^2*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4] - (b^2*Tan[e + f*x]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4])/(3*f) + (b^2*Tan[e + f*x]^3*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4])/(5*f) - (b^2*Tan[e + f*x]^5*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4])/(7*f) + (b^2*Tan[e + f*x]^7*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4])/(9*f)}
+{(b*Tan[e + f*x]^4)^(3/2), x, 5, (b*Cot[e + f*x]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4])/f - b*x*Cot[e + f*x]^2*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4] - (b*Tan[e + f*x]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4])/(3*f) + (b*Tan[e + f*x]^3*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4])/(5*f)}
+{(b*Tan[e + f*x]^4)^(1/2), x, 3, (Cot[e + f*x]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4])/f - x*Cot[e + f*x]^2*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4]}
+{1/(b*Tan[e + f*x]^4)^(1/2), x, 3, -(Tan[e + f*x]/(f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4])) - (x*Tan[e + f*x]^2)/Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4]}
+{1/(b*Tan[e + f*x]^4)^(3/2), x, 5, Cot[e + f*x]/(3*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4]) - Cot[e + f*x]^3/(5*b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4]) - Tan[e + f*x]/(b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4]) - (x*Tan[e + f*x]^2)/(b*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4])}
+{1/(b*Tan[e + f*x]^4)^(5/2), x, 7, Cot[e + f*x]/(3*b^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4]) - Cot[e + f*x]^3/(5*b^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4]) + Cot[e + f*x]^5/(7*b^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4]) - Cot[e + f*x]^7/(9*b^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4]) - Tan[e + f*x]/(b^2*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4]) - (x*Tan[e + f*x]^2)/(b^2*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^4])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b (c Tan[e+f x])^n)^(p/2)*)
+
+
+{(b*Tan[e + f*x]^n)^(5/2), x, 3, (2*b^2*Hypergeometric2F1[1, (1/4)*(2 + 5*n), (1/4)*(6 + 5*n), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^(1 + 2*n)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^n])/(f*(2 + 5*n))}
+{(b*Tan[e + f*x]^n)^(3/2), x, 3, (2*b*Hypergeometric2F1[1, (1/4)*(2 + 3*n), (3*(2 + n))/4, -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^(1 + n)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^n])/(f*(2 + 3*n))}
+{(b*Tan[e + f*x]^n)^(1/2), x, 3, (2*Hypergeometric2F1[1, (2 + n)/4, (6 + n)/4, -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^n])/(f*(2 + n))}
+{1/(b*Tan[e + f*x]^n)^(1/2), x, 3, (2*Hypergeometric2F1[1, (2 - n)/4, (6 - n)/4, -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])/(f*(2 - n)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^n])}
+{1/(b*Tan[e + f*x]^n)^(3/2), x, 3, (2*Hypergeometric2F1[1, (1/4)*(2 - 3*n), (3*(2 - n))/4, -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^(1 - n))/(b*f*(2 - 3*n)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^n])}
+{1/(b*Tan[e + f*x]^n)^(5/2), x, 3, (2*Hypergeometric2F1[1, (1/4)*(2 - 5*n), (1/4)*(6 - 5*n), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^(1 - 2*n))/(b^2*f*(2 - 5*n)*Sqrt[b*Tan[e + f*x]^n])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b (c Tan[e+f x])^n)^p when p symbolic*)
+
+
+{(b*Tan[e + f*x]^n)^p, x, 3, (Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(b*Tan[e + f*x]^n)^p)/(f*(1 + n*p))}
+
+
+{(b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, (Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + 2*p), (1/2)*(3 + 2*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + 2*p))}
+{(b*Tan[e + f*x]^3)^p, x, 3, (Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + 3*p), (3*(1 + p))/2, -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(b*Tan[e + f*x]^3)^p)/(f*(1 + 3*p))}
+{(b*Tan[e + f*x]^4)^p, x, 3, (Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + 4*p), (1/2)*(3 + 4*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(b*Tan[e + f*x]^4)^p)/(f*(1 + 4*p))}
+
+
+{(b*Tan[e + f*x]^n)^(1/n), x, 2, -((Cot[e + f*x]*Log[Cos[e + f*x]]*(b*Tan[e + f*x]^n)^(1/n))/f)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^m (a+b (c Tan[e+f x])^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Tan[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 3, -(((a - 3*b)*Cos[e + f*x])/f) + ((2*a - 3*b)*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) - ((a - b)*Cos[e + f*x]^5)/(5*f) + (b*Sec[e + f*x])/f}
+{Sin[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 3, -(((a - 2*b)*Cos[e + f*x])/f) + ((a - b)*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) + (b*Sec[e + f*x])/f}
+{Sin[e + f*x]^1*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 3, -(((a - b)*Cos[e + f*x])/f) + (b*Sec[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^1*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 3, -((a*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/f) + (b*Sec[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 4, -((a + 2*b)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(2*f) - (a*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*f) + (b*Sec[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 5, (-3*(a + 4*b)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(8*f) - ((5*a + 4*b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*f) - (a*Cot[e + f*x]^3*Csc[e + f*x])/(4*f) + (b*Sec[e + f*x])/f}
+
+{Sin[e + f*x]^6*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 6, (5*(a - 7*b)*x)/16 - ((11*a - 29*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) + ((13*a - 19*b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*f) - ((a - b)*Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(6*f) + (b*Tan[e + f*x])/f}
+{Sin[e + f*x]^4*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 5, (3*(a - 5*b)*x)/8 - ((5*a - 9*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) + ((a - b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*f) + (b*Tan[e + f*x])/f}
+{Sin[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 4, ((a - 3*b)*x)/2 - ((a - b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f) + (b*Tan[e + f*x])/f}
+{Sin[e + f*x]^0*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 3, a*x - b*x + (b*Tan[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 3, -((a*Cot[e + f*x])/f) + (b*Tan[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^4*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 3, -(((a + b)*Cot[e + f*x])/f) - (a*Cot[e + f*x]^3)/(3*f) + (b*Tan[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^6*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 3, -(((a + 2*b)*Cot[e + f*x])/f) - ((2*a + b)*Cot[e + f*x]^3)/(3*f) - (a*Cot[e + f*x]^5)/(5*f) + (b*Tan[e + f*x])/f}
+
+
+{Sin[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 3, -(((a^2 - 6*a*b + 6*b^2)*Cos[e + f*x])/f) + (2*(a - 2*b)*(a - b)*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) - ((a - b)^2*Cos[e + f*x]^5)/(5*f) + (2*(a - 2*b)*b*Sec[e + f*x])/f + (b^2*Sec[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Sin[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 3, -(((a - 3*b)*(a - b)*Cos[e + f*x])/f) + ((a - b)^2*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) + ((2*a - 3*b)*b*Sec[e + f*x])/f + (b^2*Sec[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Sin[e + f*x]^1*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 3, -(((a - b)^2*Cos[e + f*x])/f) + (2*(a - b)*b*Sec[e + f*x])/f + (b^2*Sec[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^1*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, -((a^2*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/f) + ((2*a - b)*b*Sec[e + f*x])/f + (b^2*Sec[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 5, -(a*(a + 4*b)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(2*f) + (a*(a + 4*b)*Sec[e + f*x])/(2*f) - (a^2*Csc[e + f*x]^2*Sec[e + f*x])/(2*f) + (b^2*Sec[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 6, -((3*a^2 + 24*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(8*f) - (a*(a + 8*b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*f) + ((a^2 + 8*a*b + 4*b^2)*Sec[e + f*x])/(4*f) - (a^2*Csc[e + f*x]^4*Sec[e + f*x])/(4*f) + (b^2*Sec[e + f*x]^3)/(3*f)}
+
+{Sin[e + f*x]^4*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 6, ((3*a^2 - 30*a*b + 35*b^2)*x)/8 - ((a - 9*b)*(a - b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - ((a^2 - 10*a*b + 13*b^2)*Tan[e + f*x])/(4*f) + ((a - b)^2*Sin[e + f*x]^4*Tan[e + f*x])/(4*f) + (b^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Sin[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 5, ((a - 5*b)*(a - b)*x)/2 - ((a - 5*b)*(a - b)*Tan[e + f*x])/(2*f) + ((a - b)^2*Sin[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(2*f) + (b^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Sin[e + f*x]^0*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, (a - b)^2*x + ((2*a - b)*b*Tan[e + f*x])/f + (b^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 3, -((a^2*Cot[e + f*x])/f) + (2*a*b*Tan[e + f*x])/f + (b^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^4*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 3, -((a*(a + 2*b)*Cot[e + f*x])/f) - (a^2*Cot[e + f*x]^3)/(3*f) + (b*(2*a + b)*Tan[e + f*x])/f + (b^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^6*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 3, -(((a^2 + 4*a*b + b^2)*Cot[e + f*x])/f) - (2*a*(a + b)*Cot[e + f*x]^3)/(3*f) - (a^2*Cot[e + f*x]^5)/(5*f) + (2*b*(a + b)*Tan[e + f*x])/f + (b^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 4, -((a^2*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b]])/((a - b)^(7/2)*f)) - (a^2*Cos[e + f*x])/((a - b)^3*f) + ((2*a - b)*Cos[e + f*x]^3)/(3*(a - b)^2*f) - Cos[e + f*x]^5/(5*(a - b)*f)}
+{Sin[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 4, -((a*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b]])/((a - b)^(5/2)*f)) - (a*Cos[e + f*x])/((a - b)^2*f) + Cos[e + f*x]^3/(3*(a - b)*f)}
+{Sin[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 3, -((Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b]])/((a - b)^(3/2)*f)) - Cos[e + f*x]/((a - b)*f)}
+{Csc[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 4, -((Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b]])/(a*Sqrt[a - b]*f)) - ArcTanh[Cos[e + f*x]]/(a*f)}
+{Csc[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 5, -((Sqrt[a - b]*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b]])/(a^2*f)) - ((a - 2*b)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(2*a^2*f) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*a*f)}
+{Csc[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 6, -(((a - b)^(3/2)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b]])/(a^3*f)) - ((3*a^2 - 12*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(8*a^3*f) - ((5*a - 4*b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*a^2*f) - (Cot[e + f*x]^3*Csc[e + f*x])/(4*a*f)}
+
+{Sin[e + f*x]^6/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 7, ((5*a^3 + 15*a^2*b - 5*a*b^2 + b^3)*x)/(16*(a - b)^4) - (a^(5/2)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/((a - b)^4*f) - ((11*a^2 - 4*a*b + b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*(a - b)^3*f) + ((3*a - b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(8*(a - b)^2*f) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]^3)/(6*(a - b)*f)}
+{Sin[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 6, ((3*a^2 + 6*a*b - b^2)*x)/(8*(a - b)^3) - (a^(3/2)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/((a - b)^3*f) - ((5*a - b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*(a - b)^2*f) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*(a - b)*f)}
+{Sin[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 5, ((a + b)*x)/(2*(a - b)^2) - (Sqrt[a]*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/((a - b)^2*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*(a - b)*f)}
+{Sin[e + f*x]^0/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 3, x/(a - b) - (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a - b)*f)}
+{Csc[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 3, -((Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*f)) - Cot[e + f*x]/(a*f)}
+{Csc[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 4, -(((a - b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*f)) - ((a - b)*Cot[e + f*x])/(a^2*f) - Cot[e + f*x]^3/(3*a*f)}
+{Csc[e + f*x]^6/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 4, -(((a - b)^2*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(a^(7/2)*f)) - ((a - b)^2*Cot[e + f*x])/(a^3*f) - ((2*a - b)*Cot[e + f*x]^3)/(3*a^2*f) - Cot[e + f*x]^5/(5*a*f)}
+
+
+{Sin[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 6, -(a*Sqrt[b]*(3*a + 4*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b]])/(2*(a - b)^(9/2)*f) - ((5*a^2 + 10*a*b - b^2)*Cos[e + f*x])/(5*(a - b)^4*f) + ((10*a - 3*b)*Cos[e + f*x]^3)/(15*(a - b)^3*f) - Cos[e + f*x]^5/(5*(a - b)*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)) - (b*(5*a^2 + 2*b^2)*Sec[e + f*x])/(10*(a - b)^4*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2))}
+{Sin[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 5, -(Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b]])/(2*(a - b)^(7/2)*f) - ((a + b)*Cos[e + f*x])/((a - b)^3*f) + Cos[e + f*x]^3/(3*(a - b)^2*f) - (a*b*Sec[e + f*x])/(2*(a - b)^3*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2))}
+{Sin[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, (-3*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b]])/(2*(a - b)^(5/2)*f) - (3*Cos[e + f*x])/(2*(a - b)^2*f) + Cos[e + f*x]/(2*(a - b)*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 5, -((3*a - 2*b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b]])/(2*a^2*(a - b)^(3/2)*f) - ArcTanh[Cos[e + f*x]]/(a^2*f) - (b*Sec[e + f*x])/(2*a*(a - b)*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 6, -((3*a - 4*b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b]])/(2*a^3*Sqrt[a - b]*f) - ((a - 4*b)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(2*a^3*f) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*a*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)) - (b*Sec[e + f*x])/(a^2*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 7, (-3*(a - 2*b)*Sqrt[a - b]*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b]])/(2*a^4*f) - (3*(a^2 - 8*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(8*a^4*f) - ((5*a - 6*b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*a^2*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)) - (Cot[e + f*x]^3*Csc[e + f*x])/(4*a*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)) - (3*(3*a - 4*b)*b*Sec[e + f*x])/(8*a^3*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2))}
+
+{Sin[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 7, (3*(a^2 + 6*a*b + b^2)*x)/(8*(a - b)^4) - (3*Sqrt[a]*Sqrt[b]*(a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(2*(a - b)^4*f) - ((5*a + b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*(a - b)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)) - (3*b*(3*a + b)*Tan[e + f*x])/(8*(a - b)^3*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Sin[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 6, ((a + 3*b)*x)/(2*(a - b)^3) - (Sqrt[b]*(3*a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(2*Sqrt[a]*(a - b)^3*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)) - (b*Tan[e + f*x])/((a - b)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Sin[e + f*x]^0/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 5, x/(a - b)^2 - ((3*a - b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a - b)^2*f) - (b*Tan[e + f*x])/(2*a*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, (-3*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(5/2)*f) - (3*Cot[e + f*x])/(2*a^2*f) + Cot[e + f*x]/(2*a*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 5, -((3*a - 5*b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(7/2)*f) - ((a - 2*b)*Cot[e + f*x])/(a^3*f) - Cot[e + f*x]^3/(3*a^2*f) - ((a - b)*b*Tan[e + f*x])/(2*a^3*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^6/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 6, -(((3*a - 7*b)*(a - b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(9/2)*f)) - ((5*a^2 - 20*a*b + 14*b^2)*Cot[e + f*x])/(5*a^4*f) - ((10*a - 7*b)*Cot[e + f*x]^3)/(15*a^3*f) - Cot[e + f*x]^5/(5*a*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)) - (b*(5*a^2 - 10*a*b + 7*b^2)*Tan[e + f*x])/(10*a^4*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+
+
+{Sin[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 7, -(Sqrt[b]*(15*a^2 + 40*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b]])/(8*(a - b)^(11/2)*f) - ((5*a^2 + 20*a*b + 2*b^2)*Cos[e + f*x])/(5*(a - b)^5*f) + ((10*a - b)*Cos[e + f*x]^3)/(15*(a - b)^4*f) - Cos[e + f*x]^5/(5*(a - b)*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^2) - (b*(5*a^2 + 4*b^2)*Sec[e + f*x])/(20*(a - b)^4*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^2) - (b*(35*a^2 + 40*a*b + 24*b^2)*Sec[e + f*x])/(40*(a - b)^5*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2))}
+{Sin[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 6, (-5*Sqrt[b]*(3*a + 4*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b]])/(8*(a - b)^(9/2)*f) - ((a + 2*b)*Cos[e + f*x])/((a - b)^4*f) + Cos[e + f*x]^3/(3*(a - b)^3*f) - (a*b*Sec[e + f*x])/(4*(a - b)^3*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^2) - (b*(7*a + 4*b)*Sec[e + f*x])/(8*(a - b)^4*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2))}
+{Sin[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 5, (-15*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b]])/(8*(a - b)^(7/2)*f) - (15*Cos[e + f*x])/(8*(a - b)^3*f) + Cos[e + f*x]/(4*(a - b)*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^2) + (5*Cos[e + f*x])/(8*(a - b)^2*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 6, -(Sqrt[b]*(15*a^2 - 20*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b]])/(8*a^3*(a - b)^(5/2)*f) - ArcTanh[Cos[e + f*x]]/(a^3*f) - (b*Sec[e + f*x])/(4*a*(a - b)*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^2) - ((7*a - 4*b)*b*Sec[e + f*x])/(8*a^2*(a - b)^2*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 7, -(Sqrt[b]*(15*a^2 - 40*a*b + 24*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b]])/(8*a^4*(a - b)^(3/2)*f) - ((a - 6*b)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(2*a^4*f) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*a*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^2) - (3*b*Sec[e + f*x])/(4*a^2*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^2) - ((11*a - 12*b)*b*Sec[e + f*x])/(8*a^3*(a - b)*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 8, (-3*Sqrt[b]*(5*a^2 - 20*a*b + 16*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b]])/(8*a^5*Sqrt[a - b]*f) - (3*(a^2 - 12*a*b + 16*b^2)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(8*a^5*f) - ((5*a - 8*b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*a^2*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^2) - (Cot[e + f*x]^3*Csc[e + f*x])/(4*a*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^2) - ((7*a - 12*b)*b*Sec[e + f*x])/(8*a^3*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^2) - (3*(a - 2*b)*b*Sec[e + f*x])/(2*a^4*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2))}
+
+{Sin[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 8, (3*(a^2 + 10*a*b + 5*b^2)*x)/(8*(a - b)^5) - (3*Sqrt[b]*(5*a^2 + 10*a*b + b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(8*Sqrt[a]*(a - b)^5*f) - ((5*a + 3*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*(a - b)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (b*(7*a + 5*b)*Tan[e + f*x])/(8*(a - b)^3*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (3*b*(a + b)*Tan[e + f*x])/(2*(a - b)^4*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Sin[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 7, ((a + 5*b)*x)/(2*(a - b)^4) - (Sqrt[b]*(15*a^2 + 10*a*b - b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(3/2)*(a - b)^4*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (3*b*Tan[e + f*x])/(4*(a - b)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (b*(11*a + b)*Tan[e + f*x])/(8*a*(a - b)^3*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Sin[e + f*x]^0/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 6, x/(a - b)^3 - (Sqrt[b]*(15*a^2 - 10*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a - b)^3*f) - (b*Tan[e + f*x])/(4*a*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - ((7*a - 3*b)*b*Tan[e + f*x])/(8*a^2*(a - b)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 5, (-15*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(7/2)*f) - (15*Cot[e + f*x])/(8*a^3*f) + Cot[e + f*x]/(4*a*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + (5*Cot[e + f*x])/(8*a^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 6, (-5*(3*a - 7*b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(9/2)*f) - ((a - 3*b)*Cot[e + f*x])/(a^4*f) - Cot[e + f*x]^3/(3*a^3*f) - ((a - b)*b*Tan[e + f*x])/(4*a^3*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - ((7*a - 11*b)*b*Tan[e + f*x])/(8*a^4*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^6/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 7, -(Sqrt[b]*(15*a^2 - 70*a*b + 63*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(11/2)*f) - ((5*a^2 - 30*a*b + 27*b^2)*Cot[e + f*x])/(5*a^5*f) - ((10*a - 9*b)*Cot[e + f*x]^3)/(15*a^4*f) - Cot[e + f*x]^5/(5*a*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (b*(5*a^2 - 10*a*b + 9*b^2)*Tan[e + f*x])/(20*a^4*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (b*(35*a^2 - 110*a*b + 99*b^2)*Tan[e + f*x])/(40*a^5*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Tan[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 6, (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/f - (Cos[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/f + (2*(5*a - 4*b)*Cos[e + f*x]^3*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))/(15*(a - b)^2*f) - (Cos[e + f*x]^5*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))/(5*(a - b)*f)}
+{Sin[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 5, (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/f - (Cos[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/f + (Cos[e + f*x]^3*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))/(3*(a - b)*f)}
+{Sin[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 4, (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/f - (Cos[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/f}
+{Csc[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 6, -((Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/f) + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/f}
+{Csc[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 7, -((a + b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*Sqrt[a]*f) + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/f - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 8, -((3*a^2 + 6*a*b - b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/(8*a^(3/2)*f) + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/f - ((3*a + b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/(8*a*f) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^3*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/(4*f)}
+
+{Sin[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 8, ((3*a^2 - 12*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*(a - b)^(3/2)*f) + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f - ((3*a - 4*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*(a - b)*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(4*f)}
+{Sin[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 7, ((a - 2*b)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*Sqrt[a - b]*f) + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Sin[e + f*x]^0*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 6, (Sqrt[a - b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f}
+{Csc[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 4, (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f - (Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/f}
+{Csc[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 5, (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f - (Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/f - (Cot[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(3*a*f)}
+{Csc[e + f*x]^6*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 6, (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f - (Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/f - (2*(5*a - b)*Cot[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(15*a^2*f) - (Cot[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(5*a*f)}
+
+
+{Sin[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, ((3*a - 7*b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*f) + ((3*a - 7*b)*b*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/(2*(a - b)*f) - ((3*a - 7*b)*Cos[e + f*x]*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))/(3*(a - b)*f) + (2*Cos[e + f*x]^3*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2))/(3*(a - b)*f) - (Cos[e + f*x]^5*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2))/(5*(a - b)*f)}
+{Sin[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, ((3*a - 5*b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*f) + ((3*a - 5*b)*b*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/(2*(a - b)*f) - ((3*a - 5*b)*Cos[e + f*x]*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))/(3*(a - b)*f) + (Cos[e + f*x]^3*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2))/(3*(a - b)*f)}
+{Sin[e + f*x]^1*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (3*(a - b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*f) + (3*b*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/(2*f) - (Cos[e + f*x]*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))/f}
+{Csc[e + f*x]^1*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, -((a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/f) + ((3*a - b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, -(Sqrt[a]*(a + 3*b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*f) + (Sqrt[b]*(3*a + b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/f - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, (-3*(a^2 + 6*a*b + b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/(8*Sqrt[a]*f) + (3*Sqrt[b]*(a + b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*f) + (3*(a + 3*b)*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/(8*f) - (3*(a + b)*Csc[e + f*x]^2*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/(8*f) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^3*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*f)}
+
+{Sin[e + f*x]^4*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, (3*(a^2 - 8*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*Sqrt[a - b]*f) + (3*(a - 2*b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) - (3*(a - 4*b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*f) + (3*(a - 2*b)*Sin[e + f*x]^2*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*f)}
+{Sin[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, ((a - 4*b)*Sqrt[a - b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) + ((3*a - 4*b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/f - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(2*f)}
+{Sin[e + f*x]^0*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, ((a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f + ((3*a - 2*b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (3*a*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) + (3*b*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*f) - (Cot[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/f}
+{Csc[e + f*x]^4*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, (Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b*(3*a + 2*b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*a*f) - ((3*a + 2*b)*Cot[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(3*a*f) - (Cot[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2))/(3*a*f)}
+{Csc[e + f*x]^6*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, (Sqrt[b]*(3*a + 4*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b*(3*a + 4*b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*a*f) - ((3*a + 4*b)*Cot[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(3*a*f) - (2*Cot[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2))/(3*a*f) - (Cot[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2))/(5*a*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^5/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 4, -((15*a^2 - 10*a*b + 3*b^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/(15*(a - b)^3*f) + (2*(5*a - 3*b)*Cos[e + f*x]^3*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/(15*(a - b)^2*f) - (Cos[e + f*x]^5*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/(5*(a - b)*f)}
+{Sin[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 3, -((3*a - b)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/(3*(a - b)^2*f) + (Cos[e + f*x]^3*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/(3*(a - b)*f)}
+{Sin[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 2, -((Cos[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/((a - b)*f))}
+{Csc[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 3, -(ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a]*f))}
+{Csc[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 5, -((a - b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*a^(3/2)*f) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/(2*a*f)}
+{Csc[e + f*x]^5/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 6, (-3*(a - b)^2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/(8*a^(5/2)*f) - ((5*a - 3*b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/(8*a^2*f) - (Cot[e + f*x]^3*Csc[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])/(4*a*f)}
+
+{Sin[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 6, (3*a^2*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*(a - b)^(5/2)*f) - ((5*a - 2*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*(a - b)^2*f) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(4*(a - b)*f)}
+{Sin[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 5, (a*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*(a - b)^(3/2)*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*(a - b)*f)}
+{Sin[e + f*x]^0/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 3, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a - b]*f)}
+{Csc[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 2, -((Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(a*f))}
+{Csc[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 3, -((3*a - 2*b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*a^2*f) - (Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*a*f)}
+{Csc[e + f*x]^6/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 4, -((15*a^2 - 20*a*b + 8*b^2)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*a^3*f) - (2*(5*a - 2*b)*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*a^2*f) - (Cot[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(5*a*f)}
+
+
+{Sin[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -((15*a^2 + 10*a*b - b^2)*Cos[e + f*x])/(15*(a - b)^3*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]) + (2*(5*a - 2*b)*Cos[e + f*x]^3)/(15*(a - b)^2*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]) - Cos[e + f*x]^5/(5*(a - b)*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]) - (2*b*(15*a^2 + 10*a*b - b^2)*Sec[e + f*x])/(15*(a - b)^4*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -((3*a + b)*Cos[e + f*x])/(3*(a - b)^2*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]) + Cos[e + f*x]^3/(3*(a - b)*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]) - (2*b*(3*a + b)*Sec[e + f*x])/(3*(a - b)^3*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 3, -(Cos[e + f*x]/((a - b)*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])) - (2*b*Sec[e + f*x])/((a - b)^2*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -(ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]]/(a^(3/2)*f)) - (b*Sec[e + f*x])/(a*(a - b)*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -((a - 3*b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*a^(5/2)*f) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*a*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]) - (3*b*Sec[e + f*x])/(2*a^2*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, (-3*(a - 5*b)*(a - b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/(8*a^(7/2)*f) - (5*(a - b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*a^2*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]) - (Cot[e + f*x]^3*Csc[e + f*x])/(4*a*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]) - ((13*a - 15*b)*b*Sec[e + f*x])/(8*a^3*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])}
+
+{Sin[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, (3*a*(a + 4*b)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*(a - b)^(7/2)*f) - (5*a*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) - (b*(13*a + 2*b)*Tan[e + f*x])/(8*(a - b)^3*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, ((a + 2*b)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*(a - b)^(5/2)*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) - (3*b*Tan[e + f*x])/(2*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^0/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/((a - b)^(3/2)*f) - (b*Tan[e + f*x])/(a*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 3, -(Cot[e + f*x]/(a*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])) - (2*b*Tan[e + f*x])/(a^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -((3*a - 4*b)*Cot[e + f*x])/(3*a^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) - Cot[e + f*x]^3/(3*a*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) - (2*(3*a - 4*b)*b*Tan[e + f*x])/(3*a^3*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^6/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -((15*a^2 - 40*a*b + 24*b^2)*Cot[e + f*x])/(15*a^3*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) - (2*(5*a - 3*b)*Cot[e + f*x]^3)/(15*a^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) - Cot[e + f*x]^5/(5*a*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) - (2*b*(15*a^2 - 40*a*b + 24*b^2)*Tan[e + f*x])/(15*a^4*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+
+
+{Sin[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, -((5*a^2 + 10*a*b + b^2)*Cos[e + f*x])/(5*(a - b)^3*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*(5*a - b)*Cos[e + f*x]^3)/(15*(a - b)^2*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - Cos[e + f*x]^5/(5*(a - b)*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (4*b*(5*a^2 + 10*a*b + b^2)*Sec[e + f*x])/(15*(a - b)^4*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (8*b*(5*a^2 + 10*a*b + b^2)*Sec[e + f*x])/(15*(a - b)^5*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 5, -(((a + b)*Cos[e + f*x])/((a - b)^2*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))) + Cos[e + f*x]^3/(3*(a - b)*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (4*b*(a + b)*Sec[e + f*x])/(3*(a - b)^3*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (8*b*(a + b)*Sec[e + f*x])/(3*(a - b)^4*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 4, -(Cos[e + f*x]/((a - b)*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))) - (4*b*Sec[e + f*x])/(3*(a - b)^2*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (8*b*Sec[e + f*x])/(3*(a - b)^3*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, -(ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]]/(a^(5/2)*f)) - (b*Sec[e + f*x])/(3*a*(a - b)*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - ((5*a - 3*b)*b*Sec[e + f*x])/(3*a^2*(a - b)^2*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, -((a - 5*b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*a^(7/2)*f) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*a*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (5*b*Sec[e + f*x])/(6*a^2*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - ((13*a - 15*b)*b*Sec[e + f*x])/(6*a^3*(a - b)*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 8, -((3*a^2 - 30*a*b + 35*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2]])/(8*a^(9/2)*f) - ((5*a - 7*b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*a^2*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (Cot[e + f*x]^3*Csc[e + f*x])/(4*a*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - ((23*a - 35*b)*b*Sec[e + f*x])/(24*a^3*f*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (5*(11*a - 21*b)*b*Sec[e + f*x])/(24*a^4*f*Sqrt[a - b + b*Sec[e + f*x]^2])}
+
+{Sin[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 8, ((3*a^2 + 24*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*(a - b)^(9/2)*f) - ((5*a + 2*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*(a - b)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (b*(23*a + 12*b)*Tan[e + f*x])/(24*(a - b)^3*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (5*b*(11*a + 10*b)*Tan[e + f*x])/(24*(a - b)^4*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, ((a + 4*b)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*(a - b)^(7/2)*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (5*b*Tan[e + f*x])/(6*(a - b)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (b*(13*a + 2*b)*Tan[e + f*x])/(6*a*(a - b)^3*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^0/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/((a - b)^(5/2)*f) - (b*Tan[e + f*x])/(3*a*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - ((5*a - 2*b)*b*Tan[e + f*x])/(3*a^2*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 4, -(Cot[e + f*x]/(a*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))) - (4*b*Tan[e + f*x])/(3*a^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (8*b*Tan[e + f*x])/(3*a^3*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 5, -(((a - 2*b)*Cot[e + f*x])/(a^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))) - Cot[e + f*x]^3/(3*a*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (4*(a - 2*b)*b*Tan[e + f*x])/(3*a^3*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (8*(a - 2*b)*b*Tan[e + f*x])/(3*a^4*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^6/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, -((5*a^2 - 20*a*b + 16*b^2)*Cot[e + f*x])/(5*a^3*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (2*(5*a - 4*b)*Cot[e + f*x]^3)/(15*a^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - Cot[e + f*x]^5/(5*a*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (4*b*(5*a^2 - 20*a*b + 16*b^2)*Tan[e + f*x])/(15*a^4*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (8*b*(5*a^2 - 20*a*b + 16*b^2)*Tan[e + f*x])/(15*a^5*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Tan[e+f x]^2)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Sin[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, ((Cos[e + f*x]^2)^(1/2 + p)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + 2*p), (1/2)*(1 + m + 2*p), (1/2)*(3 + m + 2*p), Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]*(b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + m + 2*p))}
+
+
+{(d*Sin[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[(1 + m)/2, (2 + m)/2, -p, (3 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*(d*Sin[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + m)*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p)}
+
+
+{Sin[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 5, ((10*a - 7*b - 2*b*p)*Cos[e + f*x]^3*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(1 + p))/(15*(a - b)^2*f) - (Cos[e + f*x]^5*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(1 + p))/(5*(a - b)*f) - ((15*a^2 - 20*a*b*(1 + p) + 4*b^2*(2 + 3*p + p^2))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-1/2, -p, 1/2, -((b*Sec[e + f*x]^2)/(a - b))]*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^p)/(15*(a - b)^2*f*(1 + (b*Sec[e + f*x]^2)/(a - b))^p)}
+{Sin[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 4, (Cos[e + f*x]^3*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^(1 + p))/(3*(a - b)*f) - ((3*a - 2*b*(1 + p))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-1/2, -p, 1/2, -((b*Sec[e + f*x]^2)/(a - b))]*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^p)/(3*(a - b)*f*(1 + (b*Sec[e + f*x]^2)/(a - b))^p)}
+{Sin[e + f*x]^1*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, -((Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-1/2, -p, 1/2, -((b*Sec[e + f*x]^2)/(a - b))]*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Sec[e + f*x]^2)/(a - b))^p))}
+{Csc[e + f*x]^1*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, -((AppellF1[1/2, 1, -p, 3/2, Sec[e + f*x]^2, -((b*Sec[e + f*x]^2)/(a - b))]*Sec[e + f*x]*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Sec[e + f*x]^2)/(a - b))^p))}
+{Csc[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[3/2, 2, -p, 5/2, Sec[e + f*x]^2, -((b*Sec[e + f*x]^2)/(a - b))]*Sec[e + f*x]^3*(a - b + b*Sec[e + f*x]^2)^p)/(3*f*(1 + (b*Sec[e + f*x]^2)/(a - b))^p)}
+
+{Sin[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[3/2, 2, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Tan[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(3*f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{Sin[e + f*x]^0*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, 1, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{Csc[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, -((Cot[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-1/2, -p, 1/2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p))}
+{Csc[e + f*x]^4*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 4, -(Cot[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(3*a*f) - ((3*a - b*(1 - 2*p))*Cot[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-1/2, -p, 1/2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(3*a*f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{Csc[e + f*x]^6*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 5, -((10*a - b*(3 - 2*p))*Cot[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(15*a^2*f) - (Cot[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(5*a*f) - ((15*a^2 - b*(10*a - b*(3 - 2*p))*(1 - 2*p))*Cot[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-1/2, -p, 1/2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(15*a^2*f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p)}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^m (a+b (c Tan[e+f x])^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^m (b (c Tan[e+f x])^n)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Sin[e + f*x])^m*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 3, ((Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(1 + n*p))*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(1 + m + n*p), (1/2)*(3 + m + n*p), Sin[e + f*x]^2]*(d*Sin[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 + m + n*p))}
+
+
+{Sin[e + f*x]^2*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 3, (Hypergeometric2F1[2, (1/2)*(3 + n*p), (1/2)*(5 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^3*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(3 + n*p))}
+{Sin[e + f*x]^0*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 3, (Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 + n*p))}
+{Csc[e + f*x]^2*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 3, -((Cot[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 - n*p)))}
+{Csc[e + f*x]^4*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 4, -((Cot[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 - n*p))) - (Cot[e + f*x]^3*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(3 - n*p))}
+{Csc[e + f*x]^6*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 4, -((Cot[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 - n*p))) - (2*Cot[e + f*x]^3*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(3 - n*p)) - (Cot[e + f*x]^5*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(5 - n*p))}
+
+{Sin[e + f*x]^3*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 3, ((Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(1 + n*p))*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(4 + n*p), (1/2)*(6 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^3*Tan[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(4 + n*p))}
+{Sin[e + f*x]^1*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 3, ((Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(1 + n*p))*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(2 + n*p), (1/2)*(4 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*Tan[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(2 + n*p))}
+{Csc[e + f*x]^1*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 3, ((Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(1 + n*p))*Hypergeometric2F1[(n*p)/2, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(2 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*n*p)}
+{Csc[e + f*x]^3*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 3, -(((Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(1 + n*p))*Csc[e + f*x]^2*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-2 + n*p), (1/2)*(1 + n*p), (n*p)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(2 - n*p)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^m (a+b (c Tan[e+f x])^n)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Sin[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x]^n)^p, x, 0, Unintegrable[(d*Sin[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x]^n)^p, x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b (c Tan[e+f x])^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^2)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Cos[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, ((d*Cos[e + f*x])^m*(Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(1 - m + 2*p))*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + 2*p), (1/2)*(1 - m + 2*p), (1/2)*(3 + 2*p), Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + 2*p))}
+
+
+{(d*Cos[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 4, (AppellF1[1/2, (2 + m)/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(d*Cos[e + f*x])^m*(Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/((1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p*f)}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b (c Tan[e+f x])^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (b (cTan[e+f x])^n)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Cos[e + f*x])^m*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 3, ((d*Cos[e + f*x])^m*(Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(1 - m + n*p))*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(1 - m + n*p), (1/2)*(3 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 + n*p))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b (c Tan[e+f x])^n)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Cos[e + f*x])^m*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 1, (d*Cos[e + f*x])^m*(Sec[e + f*x]/d)^m*Unintegrable[(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p/(Sec[e + f*x]/d)^m, x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^m (a+b (c Tan[e+f x])^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Tan[e+f x]^2)^p when a-b=0*)
+
+
+{(a + a*Tan[c + d*x]^2)^4, x, 4, (a^4*Tan[c + d*x])/d + (a^4*Tan[c + d*x]^3)/d + (3*a^4*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^4*Tan[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{(a + a*Tan[c + d*x]^2)^3, x, 4, (a^3*Tan[c + d*x])/d + (2*a^3*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^3*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{(a + a*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 4, (a^2*Tan[c + d*x])/d + (a^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{1/(a + a*Tan[c + d*x]^2)^1, x, 4, x/(2*a) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d)}
+{1/(a + a*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 5, (3*x)/(8*a^2) + (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^2*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d)}
+{1/(a + a*Tan[c + d*x]^2)^3, x, 6, (5*x)/(16*a^3) + (5*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a^3*d) + (5*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*a^3*d) + (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Tan[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 4, -(((a - b)*Log[Cos[e + f*x]])/f) - ((a - b)*Tan[e + f*x]^2)/(2*f) + ((a - b)*Tan[e + f*x]^4)/(4*f) + (b*Tan[e + f*x]^6)/(6*f)}
+{Tan[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 3, ((a - b)*Log[Cos[e + f*x]])/f + ((a - b)*Tan[e + f*x]^2)/(2*f) + (b*Tan[e + f*x]^4)/(4*f)}
+{Tan[e + f*x]^1*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 2, -(((a - b)*Log[Cos[e + f*x]])/f) + (b*Tan[e + f*x]^2)/(2*f)}
+{Cot[e + f*x]^1*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 3, -((b*Log[Cos[e + f*x]])/f) + (a*Log[Sin[e + f*x]])/f}
+{Cot[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 3, -(a*Cot[e + f*x]^2)/(2*f) - ((a - b)*Log[Sin[e + f*x]])/f}
+{Cot[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 4, ((a - b)*Cot[e + f*x]^2)/(2*f) - (a*Cot[e + f*x]^4)/(4*f) + ((a - b)*Log[Sin[e + f*x]])/f}
+
+{Tan[e + f*x]^6*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 5, -((a - b)*x) + ((a - b)*Tan[e + f*x])/f - ((a - b)*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + ((a - b)*Tan[e + f*x]^5)/(5*f) + (b*Tan[e + f*x]^7)/(7*f)}
+{Tan[e + f*x]^4*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 4, (a - b)*x - ((a - b)*Tan[e + f*x])/f + ((a - b)*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + (b*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{Tan[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 3, -((a - b)*x) + ((a - b)*Tan[e + f*x])/f + (b*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Tan[e + f*x]^0*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 3, a*x - b*x + (b*Tan[e + f*x])/f}
+{Cot[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 2, -((a - b)*x) - (a*Cot[e + f*x])/f}
+{Cot[e + f*x]^4*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 4, (a - b)*x + ((a - b)*Cot[e + f*x])/f - (a*Cot[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Cot[e + f*x]^6*(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 5, -((a - b)*x) - ((a - b)*Cot[e + f*x])/f + ((a - b)*Cot[e + f*x]^3)/(3*f) - (a*Cot[e + f*x]^5)/(5*f)}
+
+
+{Tan[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, -(((a - b)^2*Log[Cos[e + f*x]])/f) - ((a - b)^2*Tan[e + f*x]^2)/(2*f) + ((a - b)^2*Tan[e + f*x]^4)/(4*f) + ((2*a - b)*b*Tan[e + f*x]^6)/(6*f) + (b^2*Tan[e + f*x]^8)/(8*f)}
+{Tan[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, ((a - b)^2*Log[Cos[e + f*x]])/f + ((a - b)^2*Tan[e + f*x]^2)/(2*f) + ((2*a - b)*b*Tan[e + f*x]^4)/(4*f) + (b^2*Tan[e + f*x]^6)/(6*f)}
+{Tan[e + f*x]^1*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, -(((a - b)^2*Log[Cos[e + f*x]])/f) + ((a - b)*b*Tan[e + f*x]^2)/(2*f) + (a + b*Tan[e + f*x]^2)^2/(4*f)}
+{Cot[e + f*x]^1*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, ((a - b)^2*Log[Cos[e + f*x]])/f + (a^2*Log[Tan[e + f*x]])/f + (b^2*Tan[e + f*x]^2)/(2*f)}
+{Cot[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, -(a^2*Cot[e + f*x]^2)/(2*f) - ((a - b)^2*Log[Cos[e + f*x]])/f - (a*(a - 2*b)*Log[Tan[e + f*x]])/f}
+{Cot[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, (a*(a - 2*b)*Cot[e + f*x]^2)/(2*f) - (a^2*Cot[e + f*x]^4)/(4*f) + ((a - b)^2*Log[Cos[e + f*x]])/f + ((a - b)^2*Log[Tan[e + f*x]])/f}
+
+{Tan[e + f*x]^6*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, -((a - b)^2*x) + ((a - b)^2*Tan[e + f*x])/f - ((a - b)^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + ((a - b)^2*Tan[e + f*x]^5)/(5*f) + ((2*a - b)*b*Tan[e + f*x]^7)/(7*f) + (b^2*Tan[e + f*x]^9)/(9*f)}
+{Tan[e + f*x]^4*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, (a - b)^2*x - ((a - b)^2*Tan[e + f*x])/f + ((a - b)^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + ((2*a - b)*b*Tan[e + f*x]^5)/(5*f) + (b^2*Tan[e + f*x]^7)/(7*f)}
+{Tan[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, -((a - b)^2*x) + ((a - b)^2*Tan[e + f*x])/f + ((2*a - b)*b*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + (b^2*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{Tan[e + f*x]^0*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, (a - b)^2*x + ((2*a - b)*b*Tan[e + f*x])/f + (b^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Cot[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, -((a - b)^2*x) - (a^2*Cot[e + f*x])/f + (b^2*Tan[e + f*x])/f}
+{Cot[e + f*x]^4*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, (a - b)^2*x + (a*(a - 2*b)*Cot[e + f*x])/f - (a^2*Cot[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Cot[e + f*x]^6*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, -((a - b)^2*x) - ((a - b)^2*Cot[e + f*x])/f + (a*(a - 2*b)*Cot[e + f*x]^3)/(3*f) - (a^2*Cot[e + f*x]^5)/(5*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 4, -(Log[Cos[e + f*x]]/((a - b)*f)) - (a^2*Log[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*(a - b)*b^2*f) + Tan[e + f*x]^2/(2*b*f)}
+{Tan[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 4, Log[Cos[e + f*x]]/((a - b)*f) + (a*Log[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*(a - b)*b*f)}
+{Tan[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 5, -Log[a*Cos[e + f*x]^2 + b*Sin[e + f*x]^2]/(2*(a - b)*f)}
+{Cot[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 4, Log[Cos[e + f*x]]/((a - b)*f) + Log[Tan[e + f*x]]/(a*f) + (b*Log[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*a*(a - b)*f)}
+{Cot[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 4, -Cot[e + f*x]^2/(2*a*f) - Log[Cos[e + f*x]]/((a - b)*f) - ((a + b)*Log[Tan[e + f*x]])/(a^2*f) - (b^2*Log[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*a^2*(a - b)*f)}
+{Cot[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 4, ((a + b)*Cot[e + f*x]^2)/(2*a^2*f) - Cot[e + f*x]^4/(4*a*f) + Log[Cos[e + f*x]]/((a - b)*f) + ((a^2 + a*b + b^2)*Log[Tan[e + f*x]])/(a^3*f) + (b^3*Log[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*a^3*(a - b)*f)}
+
+{Tan[e + f*x]^6/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 6, -(x/(a - b)) + (a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/((a - b)*b^(5/2)*f) - ((a + b)*Tan[e + f*x])/(b^2*f) + Tan[e + f*x]^3/(3*b*f)}
+{Tan[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 5, x/(a - b) - (a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/((a - b)*b^(3/2)*f) + Tan[e + f*x]/(b*f)}
+{Tan[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 4, -(x/(a - b)) + (Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/((a - b)*Sqrt[b]*f)}
+{Tan[e + f*x]^0/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 3, x/(a - b) - (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a - b)*f)}
+{Cot[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 5, -(x/(a - b)) + (b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*(a - b)*f) - Cot[e + f*x]/(a*f)}
+{Cot[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 6, x/(a - b) - (b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*(a - b)*f) + ((a + b)*Cot[e + f*x])/(a^2*f) - Cot[e + f*x]^3/(3*a*f)}
+{Cot[e + f*x]^6/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x, 7, -(x/(a - b)) + (b^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(a^(7/2)*(a - b)*f) - ((a^2 + a*b + b^2)*Cot[e + f*x])/(a^3*f) + ((a + b)*Cot[e + f*x]^3)/(3*a^2*f) - Cot[e + f*x]^5/(5*a*f)}
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, -(Log[Cos[e + f*x]]/((a - b)^2*f)) + (a*(a - 2*b)*Log[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*(a - b)^2*b^2*f) + a^2/(2*(a - b)*b^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Tan[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, Log[a*Cos[e + f*x]^2 + b*Sin[e + f*x]^2]/(2*(a - b)^2*f) - a/(2*(a - b)*b*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Tan[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, -Log[a*Cos[e + f*x]^2 + b*Sin[e + f*x]^2]/(2*(a - b)^2*f) + 1/(2*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cot[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, Log[Cos[e + f*x]]/((a - b)^2*f) + Log[Tan[e + f*x]]/(a^2*f) + ((2*a - b)*b*Log[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*a^2*(a - b)^2*f) - b/(2*a*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cot[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, -Cot[e + f*x]^2/(2*a^2*f) - Log[Cos[e + f*x]]/((a - b)^2*f) - ((a + 2*b)*Log[Tan[e + f*x]])/(a^3*f) - ((3*a - 2*b)*b^2*Log[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*a^3*(a - b)^2*f) + b^2/(2*a^2*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cot[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 4, ((a + 2*b)*Cot[e + f*x]^2)/(2*a^3*f) - Cot[e + f*x]^4/(4*a^2*f) + Log[Cos[e + f*x]]/((a - b)^2*f) + ((a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*Log[Tan[e + f*x]])/(a^4*f) + ((4*a - 3*b)*b^3*Log[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*a^4*(a - b)^2*f) - b^3/(2*a^3*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+
+{Tan[e + f*x]^6/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 6, -(x/(a - b)^2) - (a^(3/2)*(3*a - 5*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(2*(a - b)^2*b^(5/2)*f) + ((3*a - 2*b)*Tan[e + f*x])/(2*(a - b)*b^2*f) - (a*Tan[e + f*x]^3)/(2*(a - b)*b*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Tan[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 5, x/(a - b)^2 + (Sqrt[a]*(a - 3*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(2*(a - b)^2*b^(3/2)*f) - (a*Tan[e + f*x])/(2*(a - b)*b*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Tan[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 5, -(x/(a - b)^2) + ((a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(2*Sqrt[a]*(a - b)^2*Sqrt[b]*f) + Tan[e + f*x]/(2*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Tan[e + f*x]^0/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 5, x/(a - b)^2 - ((3*a - b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a - b)^2*f) - (b*Tan[e + f*x])/(2*a*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cot[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 6, -(x/(a - b)^2) + ((5*a - 3*b)*b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(5/2)*(a - b)^2*f) - ((2*a - 3*b)*Cot[e + f*x])/(2*a^2*(a - b)*f) - (b*Cot[e + f*x])/(2*a*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cot[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 7, x/(a - b)^2 - ((7*a - 5*b)*b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(7/2)*(a - b)^2*f) + ((2*a^2 + 2*a*b - 5*b^2)*Cot[e + f*x])/(2*a^3*(a - b)*f) - ((2*a - 5*b)*Cot[e + f*x]^3)/(6*a^2*(a - b)*f) - (b*Cot[e + f*x]^3)/(2*a*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cot[e + f*x]^6/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2, x, 8, -(x/(a - b)^2) + ((9*a - 7*b)*b^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(9/2)*(a - b)^2*f) - ((2*a^3 + 2*a^2*b + 2*a*b^2 - 7*b^3)*Cot[e + f*x])/(2*a^4*(a - b)*f) + ((2*a^2 + 2*a*b - 7*b^2)*Cot[e + f*x]^3)/(6*a^3*(a - b)*f) - ((2*a - 7*b)*Cot[e + f*x]^5)/(10*a^2*(a - b)*f) - (b*Cot[e + f*x]^5)/(2*a*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 4, -Log[a*Cos[e + f*x]^2 + b*Sin[e + f*x]^2]/(2*(a - b)^3*f) + a^2/(4*(a - b)*b^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (a*(a - 2*b))/(2*(a - b)^2*b^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Tan[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 4, Log[a*Cos[e + f*x]^2 + b*Sin[e + f*x]^2]/(2*(a - b)^3*f) - a/(4*(a - b)*b*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - 1/(2*(a - b)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Tan[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 4, -Log[a*Cos[e + f*x]^2 + b*Sin[e + f*x]^2]/(2*(a - b)^3*f) + 1/(4*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + 1/(2*(a - b)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cot[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 4, Log[Cos[e + f*x]]/((a - b)^3*f) + Log[Tan[e + f*x]]/(a^3*f) + (b*(3*a^2 - 3*a*b + b^2)*Log[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*a^3*(a - b)^3*f) - b/(4*a*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - ((2*a - b)*b)/(2*a^2*(a - b)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cot[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 4, -Cot[e + f*x]^2/(2*a^3*f) - Log[Cos[e + f*x]]/((a - b)^3*f) - ((a + 3*b)*Log[Tan[e + f*x]])/(a^4*f) - (b^2*(6*a^2 - 8*a*b + 3*b^2)*Log[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*a^4*(a - b)^3*f) + b^2/(4*a^2*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + ((3*a - 2*b)*b^2)/(2*a^3*(a - b)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cot[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 4, ((a + 3*b)*Cot[e + f*x]^2)/(2*a^4*f) - Cot[e + f*x]^4/(4*a^3*f) + Log[Cos[e + f*x]]/((a - b)^3*f) + ((a^2 + 3*a*b + 6*b^2)*Log[Tan[e + f*x]])/(a^5*f) + (b^3*(10*a^2 - 15*a*b + 6*b^2)*Log[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*a^5*(a - b)^3*f) - b^3/(4*a^3*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - ((4*a - 3*b)*b^3)/(2*a^4*(a - b)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+
+{Tan[e + f*x]^6/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 6, -(x/(a - b)^3) + (Sqrt[a]*(3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(8*(a - b)^3*b^(5/2)*f) - (a*Tan[e + f*x]^3)/(4*(a - b)*b*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (a*(3*a - 7*b)*Tan[e + f*x])/(8*(a - b)^2*b^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Tan[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 6, x/(a - b)^3 + ((a^2 - 6*a*b - 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(8*Sqrt[a]*(a - b)^3*b^(3/2)*f) - (a*Tan[e + f*x])/(4*(a - b)*b*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + ((a - 5*b)*Tan[e + f*x])/(8*(a - b)^2*b*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Tan[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 6, -(x/(a - b)^3) + ((3*a^2 + 6*a*b - b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(3/2)*(a - b)^3*Sqrt[b]*f) + Tan[e + f*x]/(4*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + ((3*a + b)*Tan[e + f*x])/(8*a*(a - b)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Tan[e + f*x]^0/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 6, x/(a - b)^3 - (Sqrt[b]*(15*a^2 - 10*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a - b)^3*f) - (b*Tan[e + f*x])/(4*a*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - ((7*a - 3*b)*b*Tan[e + f*x])/(8*a^2*(a - b)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cot[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 7, -(x/(a - b)^3) + (b^(3/2)*(35*a^2 - 42*a*b + 15*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(7/2)*(a - b)^3*f) - ((8*a^2 - 27*a*b + 15*b^2)*Cot[e + f*x])/(8*a^3*(a - b)^2*f) - (b*Cot[e + f*x])/(4*a*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - ((9*a - 5*b)*b*Cot[e + f*x])/(8*a^2*(a - b)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cot[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 8, x/(a - b)^3 - (b^(5/2)*(63*a^2 - 90*a*b + 35*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(9/2)*(a - b)^3*f) + ((8*a^3 + 8*a^2*b - 55*a*b^2 + 35*b^3)*Cot[e + f*x])/(8*a^4*(a - b)^2*f) - ((8*a^2 - 55*a*b + 35*b^2)*Cot[e + f*x]^3)/(24*a^3*(a - b)^2*f) - (b*Cot[e + f*x]^3)/(4*a*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - ((11*a - 7*b)*b*Cot[e + f*x]^3)/(8*a^2*(a - b)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cot[e + f*x]^6/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3, x, 9, -(x/(a - b)^3) + (b^(7/2)*(99*a^2 - 154*a*b + 63*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(11/2)*(a - b)^3*f) - ((8*a^4 + 8*a^3*b + 8*a^2*b^2 - 91*a*b^3 + 63*b^4)*Cot[e + f*x])/(8*a^5*(a - b)^2*f) + ((8*a^3 + 8*a^2*b - 91*a*b^2 + 63*b^3)*Cot[e + f*x]^3)/(24*a^4*(a - b)^2*f) - ((8*a^2 - 91*a*b + 63*b^2)*Cot[e + f*x]^5)/(40*a^3*(a - b)^2*f) - (b*Cot[e + f*x]^5)/(4*a*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - ((13*a - 9*b)*b*Cot[e + f*x]^5)/(8*a^2*(a - b)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2))}
+
+
+{(a + b*Tan[c + d*x]^2)^4, x, 4, ((a - b)^4*d*x)/d + ((2*a - b)*b*(2*a^2 - 2*a*b + b^2)*Tan[c + d*x])/d + (b^2*(6*a^2 - 4*a*b + b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + ((4*a - b)*b^3*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^4*Tan[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x]^2)^3, x, 4, ((a - b)^3*d*x)/d + (b*(3*a^2 - 3*a*b + b^2)*Tan[c + d*x])/d + ((3*a - b)*b^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^3*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 4, ((a - b)^2*d*x)/d + ((2*a - b)*b*Tan[c + d*x])/d + (b^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x]^2)^1, x, 3, a*x - b*x + (b*Tan[c + d*x])/d}
+{1/(a + b*Tan[c + d*x]^2)^1, x, 3, (d*x)/((a - b)*d) - (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a - b)*d)}
+{1/(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 5, (d*x)/((a - b)^2*d) - ((3*a - b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a - b)^2*d) - (b*Tan[c + d*x])/(2*a*(a - b)*d*(a + b*Tan[c + d*x]^2))}
+{1/(a + b*Tan[c + d*x]^2)^3, x, 6, (d*x)/((a - b)^3*d) - (Sqrt[b]*(15*a^2 - 10*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a - b)^3*d) - (b*Tan[c + d*x])/(4*a*(a - b)*d*(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2) - ((7*a - 3*b)*b*Tan[c + d*x])/(8*a^2*(a - b)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Tan[e+f x]^2)^(p/2) when a-b=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Tan[x]^4*Sqrt[a + a*Tan[x]^2], x, 5, (3/8)*ArcTanh[Sin[x]]*Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^2] - (3/8)*Sqrt[a*Sec[x]^2]*Tan[x] + (1/4)*Sqrt[a*Sec[x]^2]*Tan[x]^3}
+{Tan[x]^3*Sqrt[a + a*Tan[x]^2], x, 4, -Sqrt[a*Sec[x]^2] + (a*Sec[x]^2)^(3/2)/(3*a)}
+{Tan[x]^2*Sqrt[a + a*Tan[x]^2], x, 4, (-(1/2))*ArcTanh[Sin[x]]*Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^2] + (1/2)*Sqrt[a*Sec[x]^2]*Tan[x]}
+{Tan[x]^1*Sqrt[a + a*Tan[x]^2], x, 3, Sqrt[a*Sec[x]^2]}
+{Cot[x]^1*Sqrt[a + a*Tan[x]^2], x, 4, (-Sqrt[a])*ArcTanh[Sqrt[a*Sec[x]^2]/Sqrt[a]]}
+{Cot[x]^2*Sqrt[a + a*Tan[x]^2], x, 4, (-Cot[x])*Sqrt[a*Sec[x]^2]}
+{Cot[x]^3*Sqrt[a + a*Tan[x]^2], x, 5, (1/2)*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a*Sec[x]^2]/Sqrt[a]] - (1/2)*Cot[x]^2*Sqrt[a*Sec[x]^2]}
+{Cot[x]^4*Sqrt[a + a*Tan[x]^2], x, 4, Cot[x]*Sqrt[a*Sec[x]^2] - (1/3)*Cot[x]*Csc[x]^2*Sqrt[a*Sec[x]^2]}
+
+
+{(a + a*Tan[c + d*x]^2)^(1/2), x, 4, (Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a*Sec[c + d*x]^2]])/d}
+
+
+{Tan[x]^3*(a + a*Tan[x]^2)^(3/2), x, 4, (-(1/3))*(a*Sec[x]^2)^(3/2) + (a*Sec[x]^2)^(5/2)/(5*a)}
+{Tan[x]^2*(a + a*Tan[x]^2)^(3/2), x, 5, (-(1/8))*a*ArcTanh[Sin[x]]*Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^2] - (1/8)*a*Sqrt[a*Sec[x]^2]*Tan[x] + (1/4)*a*Sec[x]^2*Sqrt[a*Sec[x]^2]*Tan[x]}
+{Tan[x]^1*(a + a*Tan[x]^2)^(3/2), x, 3, (1/3)*(a*Sec[x]^2)^(3/2)}
+{Cot[x]^1*(a + a*Tan[x]^2)^(3/2), x, 5, (-a^(3/2))*ArcTanh[Sqrt[a*Sec[x]^2]/Sqrt[a]] + a*Sqrt[a*Sec[x]^2]}
+{Cot[x]^2*(a + a*Tan[x]^2)^(3/2), x, 5, a*ArcTanh[Sin[x]]*Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^2] - a*Cot[x]*Sqrt[a*Sec[x]^2]}
+
+
+{(a + a*Tan[c + d*x]^2)^(3/2), x, 5, (a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a*Sec[c + d*x]^2]])/(2*d) + (a*Sqrt[a*Sec[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+
+
+{(a + a*Tan[c + d*x]^2)^(5/2), x, 6, (3*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a*Sec[c + d*x]^2]])/(8*d) + (3*a^2*Sqrt[a*Sec[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*(a*Sec[c + d*x]^2)^(3/2)*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tan[x]^3/Sqrt[a + a*Tan[x]^2], x, 4, 1/Sqrt[a*Sec[x]^2] + Sqrt[a*Sec[x]^2]/a}
+{Tan[x]^2/Sqrt[a + a*Tan[x]^2], x, 5, (ArcTanh[Sin[x]]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2] - Tan[x]/Sqrt[a*Sec[x]^2]}
+{Tan[x]^1/Sqrt[a + a*Tan[x]^2], x, 3, -(1/Sqrt[a*Sec[x]^2])}
+{Cot[x]^1/Sqrt[a + a*Tan[x]^2], x, 5, -(ArcTanh[Sqrt[a*Sec[x]^2]/Sqrt[a]]/Sqrt[a]) + 1/Sqrt[a*Sec[x]^2]}
+{Cot[x]^2/Sqrt[a + a*Tan[x]^2], x, 5, -((Csc[x]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2]) - Tan[x]/Sqrt[a*Sec[x]^2]}
+
+
+{Tan[x]^3/(a + a*Tan[x]^2)^(3/2), x, 4, 1/(3*(a*Sec[x]^2)^(3/2)) - 1/(a*Sqrt[a*Sec[x]^2])}
+{Tan[x]^2/(a + a*Tan[x]^2)^(3/2), x, 4, (Sin[x]^2*Tan[x])/(3*a*Sqrt[a*Sec[x]^2])}
+{Tan[x]^1/(a + a*Tan[x]^2)^(3/2), x, 3, -(1/(3*(a*Sec[x]^2)^(3/2)))}
+{Cot[x]^1/(a + a*Tan[x]^2)^(3/2), x, 6, -(ArcTanh[Sqrt[a*Sec[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(3/2)) + 1/(3*(a*Sec[x]^2)^(3/2)) + 1/(a*Sqrt[a*Sec[x]^2])}
+{Cot[x]^2/(a + a*Tan[x]^2)^(3/2), x, 5, -((Csc[x]*Sec[x])/(a*Sqrt[a*Sec[x]^2])) - (2*Tan[x])/(a*Sqrt[a*Sec[x]^2]) + (Sin[x]^2*Tan[x])/(3*a*Sqrt[a*Sec[x]^2])}
+
+
+{1/(a + a*Tan[c + d*x]^2)^(1/2), x, 3, Tan[c + d*x]/(d*Sqrt[a*Sec[c + d*x]^2])}
+{1/(a + a*Tan[c + d*x]^2)^(3/2), x, 4, Tan[c + d*x]/(3*d*(a*Sec[c + d*x]^2)^(3/2)) + (2*Tan[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[a*Sec[c + d*x]^2])}
+{1/(a + a*Tan[c + d*x]^2)^(5/2), x, 5, Tan[c + d*x]/(5*d*(a*Sec[c + d*x]^2)^(5/2)) + (4*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a*Sec[c + d*x]^2)^(3/2)) + (8*Tan[c + d*x])/(15*a^2*d*Sqrt[a*Sec[c + d*x]^2])}
+{1/(a + a*Tan[c + d*x]^2)^(7/2), x, 6, Tan[c + d*x]/(7*d*(a*Sec[c + d*x]^2)^(7/2)) + (6*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a*Sec[c + d*x]^2)^(5/2)) + (8*Tan[c + d*x])/(35*a^2*d*(a*Sec[c + d*x]^2)^(3/2)) + (16*Tan[c + d*x])/(35*a^3*d*Sqrt[a*Sec[c + d*x]^2])}
+
+
+{(1 + Tan[x]^2)^(3/2), x, 4, (1/2)*ArcSinh[Tan[x]] + (1/2)*Sqrt[Sec[x]^2]*Tan[x]}
+{Sqrt[1 + Tan[x]^2], x, 3, ArcSinh[Tan[x]]}
+{1/Sqrt[1 + Tan[x]^2], x, 3, Tan[x]/Sqrt[Sec[x]^2]}
+
+
+{(-1 - Tan[x]^2)^(3/2), x, 5, (1/2)*ArcTan[Tan[x]/Sqrt[-Sec[x]^2]] - (1/2)*Sqrt[-Sec[x]^2]*Tan[x]}
+{Sqrt[-1 - Tan[x]^2], x, 4, -ArcTan[Tan[x]/Sqrt[-Sec[x]^2]]}
+{1/Sqrt[-1 - Tan[x]^2], x, 3, Tan[x]/Sqrt[-Sec[x]^2]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Tan[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 7, -((Sqrt[a - b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/f) + Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/f - ((a + b)*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(3*b^2*f) + (a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2)/(5*b^2*f)}
+{Tan[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 6, (Sqrt[a - b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/f - Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/f + (a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)/(3*b*f)}
+{Tan[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 5, -((Sqrt[a - b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/f) + Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/f}
+{Cot[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 7, -((Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f) + (Sqrt[a - b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/f}
+{Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 8, ((2*a - b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*Sqrt[a]*f) - (Sqrt[a - b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/f - (Cot[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Cot[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 9, -((8*a^2 - 4*a*b - b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(8*a^(3/2)*f) + (Sqrt[a - b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/f + ((4*a - b)*Cot[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*a*f) - (Cot[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(4*f)}
+
+{Tan[e + f*x]^6*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 9, -((Sqrt[a - b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f) + ((a^3 + 2*a^2*b + 8*a*b^2 - 16*b^3)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(16*b^(5/2)*f) - ((a - 2*b)*(a + 4*b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(16*b^2*f) + ((a - 6*b)*Tan[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(24*b*f) + (Tan[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(6*f)}
+{Tan[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 8, (Sqrt[a - b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f - ((a^2 + 4*a*b - 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*b^(3/2)*f) + ((a - 4*b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*b*f) + (Tan[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(4*f)}
+{Tan[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 7, -((Sqrt[a - b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f) + ((a - 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*Sqrt[b]*f) + (Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Tan[e + f*x]^0*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 6, (Sqrt[a - b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f}
+{Cot[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 5, -((Sqrt[a - b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f) - (Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/f}
+{Cot[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 6, (Sqrt[a - b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f + ((3*a - b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*a*f) - (Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*f)}
+{Cot[e + f*x]^6*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 7, -((Sqrt[a - b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f) - ((15*a^2 - 5*a*b - 2*b^2)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*a^2*f) + ((5*a - b)*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*a*f) - (Cot[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(5*f)}
+
+
+{Tan[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, -(((a - b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/f) + ((a - b)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/f + (a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)/(3*f) - ((a + b)*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2))/(5*b^2*f) + (a + b*Tan[e + f*x]^2)^(7/2)/(7*b^2*f)}
+{Tan[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, ((a - b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/f - ((a - b)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/f - (a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)/(3*f) + (a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2)/(5*b*f)}
+{Tan[e + f*x]^1*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -(((a - b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/f) + ((a - b)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/f + (a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)/(3*f)}
+{Cot[e + f*x]^1*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, -((a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f) + ((a - b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/f + (b*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/f}
+{Cot[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, (Sqrt[a]*(2*a - 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*f) - ((a - b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/f - (a*Cot[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Cot[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, -((8*a^2 - 12*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(8*Sqrt[a]*f) + ((a - b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/f + ((4*a - 5*b)*Cot[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*f) - (a*Cot[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(4*f)}
+
+{Tan[e + f*x]^6*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 10, -(((a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f) + ((3*a^4 + 8*a^3*b + 48*a^2*b^2 - 192*a*b^3 + 128*b^4)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(128*b^(5/2)*f) - ((3*a^3 + 8*a^2*b - 80*a*b^2 + 64*b^3)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(128*b^2*f) + ((3*a^2 - 56*a*b + 48*b^2)*Tan[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(192*b*f) + ((9*a - 8*b)*Tan[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(48*f) + (b*Tan[e + f*x]^7*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*f)}
+{Tan[e + f*x]^4*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, ((a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f - ((a^3 + 6*a^2*b - 24*a*b^2 + 16*b^3)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(16*b^(3/2)*f) + ((a^2 - 10*a*b + 8*b^2)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(16*b*f) + ((7*a - 6*b)*Tan[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(24*f) + (b*Tan[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(6*f)}
+{Tan[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, -(((a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f) + ((3*a^2 - 12*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*Sqrt[b]*f) + ((5*a - 4*b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*f) + (b*Tan[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(4*f)}
+{Tan[e + f*x]^0*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, ((a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f + ((3*a - 2*b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Cot[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, -(((a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f) + (b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f - (a*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/f}
+{Cot[e + f*x]^4*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, ((a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f + ((3*a - 4*b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*f) - (a*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*f)}
+{Cot[e + f*x]^6*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, -(((a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/f) - ((15*a^2 - 20*a*b + 3*b^2)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*a*f) + ((5*a - 6*b)*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*f) - (a*Cot[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(5*f)}
+
+
+{(a + b*Tan[c + d*x]^2)^(5/2), x, 8, ((a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]^2]])/d + (Sqrt[b]*(15*a^2 - 20*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]^2]])/(8*d) + ((7*a - 4*b)*b*Tan[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]^2])/(8*d) + (b*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x]^2)^(3/2))/(4*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 6, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/(Sqrt[a - b]*f)) - ((a + b)*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(b^2*f) + (a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)/(3*b^2*f)}
+{Tan[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/(Sqrt[a - b]*f) + Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/(b*f)}
+{Tan[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 4, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/(Sqrt[a - b]*f))}
+{Cot[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 7, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*f)) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/(Sqrt[a - b]*f)}
+{Cot[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 8, ((2*a + b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*f) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/(Sqrt[a - b]*f) - (Cot[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*a*f)}
+{Cot[e + f*x]^5/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 9, -((8*a^2 + 4*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*f) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/(Sqrt[a - b]*f) + ((4*a + 3*b)*Cot[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*a^2*f) - (Cot[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(4*a*f)}
+
+{Tan[e + f*x]^6/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 8, -(ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a - b]*f)) + ((3*a^2 + 4*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*b^(5/2)*f) - ((3*a + 4*b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*b^2*f) + (Tan[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(4*b*f)}
+{Tan[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 7, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a - b]*f) - ((a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*b^(3/2)*f) + (Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*b*f)}
+{Tan[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 6, -(ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a - b]*f)) + ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[b]*f)}
+{Tan[e + f*x]^0/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 3, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a - b]*f)}
+{Cot[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 5, -(ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a - b]*f)) - (Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(a*f)}
+{Cot[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 6, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a - b]*f) + ((3*a + 2*b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*a^2*f) - (Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*a*f)}
+{Cot[e + f*x]^6/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2], x, 7, -(ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a - b]*f)) - ((15*a^2 + 10*a*b + 8*b^2)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*a^3*f) + ((5*a + 4*b)*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*a^2*f) - (Cot[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(5*a*f)}
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/((a - b)^(3/2)*f)) + a^2/((a - b)*b^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) + Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/(b^2*f)}
+{Tan[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/((a - b)^(3/2)*f) - a/((a - b)*b*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/((a - b)^(3/2)*f)) + 1/((a - b)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(3/2)*f)) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/((a - b)^(3/2)*f) - b/(a*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, ((2*a + 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*a^(5/2)*f) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/((a - b)^(3/2)*f) - ((a - 3*b)*b)/(2*a^2*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) - Cot[e + f*x]^2/(2*a*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 10, -((8*a^2 + 12*a*b + 15*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(8*a^(7/2)*f) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/((a - b)^(3/2)*f) + (b*(4*a^2 + 3*a*b - 15*b^2))/(8*a^3*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) + ((4*a + 5*b)*Cot[e + f*x]^2)/(8*a^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) - Cot[e + f*x]^4/(4*a*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+
+{Tan[e + f*x]^6/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, -(ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/((a - b)^(3/2)*f)) - ((3*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*b^(5/2)*f) - (a*Tan[e + f*x]^3)/((a - b)*b*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) + ((3*a - b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*(a - b)*b^2*f)}
+{Tan[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/((a - b)^(3/2)*f) + ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/(b^(3/2)*f) - (a*Tan[e + f*x])/((a - b)*b*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -(ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/((a - b)^(3/2)*f)) + Tan[e + f*x]/((a - b)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^0/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/((a - b)^(3/2)*f) - (b*Tan[e + f*x])/(a*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -(ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/((a - b)^(3/2)*f)) - (b*Cot[e + f*x])/(a*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) - ((a - 2*b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(a^2*(a - b)*f)}
+{Cot[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/((a - b)^(3/2)*f) - (b*Cot[e + f*x]^3)/(a*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) + ((3*a - 4*b)*(a + 2*b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*a^3*(a - b)*f) - ((a - 4*b)*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*a^2*(a - b)*f)}
+{Cot[e + f*x]^6/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, -(ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/((a - b)^(3/2)*f)) - (b*Cot[e + f*x]^5)/(a*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) - ((15*a^3 + 10*a^2*b + 8*a*b^2 - 48*b^3)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*a^4*(a - b)*f) + ((5*a^2 + 4*a*b - 24*b^2)*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*a^3*(a - b)*f) - ((a - 6*b)*Cot[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(5*a^2*(a - b)*f)}
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/((a - b)^(5/2)*f)) + a^2/(3*(a - b)*b^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (a*(a - 2*b))/((a - b)^2*b^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/((a - b)^(5/2)*f) - a/(3*(a - b)*b*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - 1/((a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/((a - b)^(5/2)*f)) + 1/(3*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + 1/((a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^1/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 9, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(5/2)*f)) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/((a - b)^(5/2)*f) - b/(3*a*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - ((2*a - b)*b)/(a^2*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^3/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 10, ((2*a + 5*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*a^(7/2)*f) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/((a - b)^(5/2)*f) - ((3*a - 5*b)*b)/(6*a^2*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - Cot[e + f*x]^2/(2*a*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (b*(a^2 - 8*a*b + 5*b^2))/(2*a^3*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^5/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 11, -((8*a^2 + 20*a*b + 35*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(8*a^(9/2)*f) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/((a - b)^(5/2)*f) + (b*(12*a^2 + 15*a*b - 35*b^2))/(24*a^3*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + ((4*a + 7*b)*Cot[e + f*x]^2)/(8*a^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - Cot[e + f*x]^4/(4*a*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (b*(4*a^3 + 3*a^2*b - 50*a*b^2 + 35*b^3))/(8*a^4*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+
+{Tan[e + f*x]^6/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 8, -(ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/((a - b)^(5/2)*f)) + ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/(b^(5/2)*f) - (a*Tan[e + f*x]^3)/(3*(a - b)*b*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (a*(a - 2*b)*Tan[e + f*x])/((a - b)^2*b^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/((a - b)^(5/2)*f) - (a*Tan[e + f*x])/(3*(a - b)*b*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + ((a - 4*b)*Tan[e + f*x])/(3*(a - b)^2*b*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, -(ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/((a - b)^(5/2)*f)) + Tan[e + f*x]/(3*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + ((2*a + b)*Tan[e + f*x])/(3*a*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^0/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/((a - b)^(5/2)*f) - (b*Tan[e + f*x])/(3*a*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - ((5*a - 2*b)*b*Tan[e + f*x])/(3*a^2*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, -(ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/((a - b)^(5/2)*f)) - (b*Cot[e + f*x])/(3*a*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - ((7*a - 4*b)*b*Cot[e + f*x])/(3*a^2*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) - ((a - 4*b)*(3*a - 2*b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*a^3*(a - b)^2*f)}
+{Cot[e + f*x]^4/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 8, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/((a - b)^(5/2)*f) - (b*Cot[e + f*x]^3)/(3*a*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - ((3*a - 2*b)*b*Cot[e + f*x]^3)/(a^2*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) + ((a - 2*b)*(3*a^2 + 8*a*b - 8*b^2)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*a^4*(a - b)^2*f) - ((a^2 - 12*a*b + 8*b^2)*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*a^3*(a - b)^2*f)}
+{Cot[e + f*x]^6/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2), x, 9, -(ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]]/((a - b)^(5/2)*f)) - (b*Cot[e + f*x]^5)/(3*a*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - ((11*a - 8*b)*b*Cot[e + f*x]^5)/(3*a^2*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2]) - ((15*a^4 + 10*a^3*b + 8*a^2*b^2 - 176*a*b^3 + 128*b^4)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*a^5*(a - b)^2*f) + ((5*a^3 + 4*a^2*b - 88*a*b^2 + 64*b^3)*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*a^4*(a - b)^2*f) - ((a^2 - 22*a*b + 16*b^2)*Cot[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]^2])/(5*a^3*(a - b)^2*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^2)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 4, (Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + m + 2*p), (1/2)*(3 + m + 2*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + m + 2*p))}
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[(1 + m)/2, 1, -p, (3 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + m)*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(d*f*(1 + m)*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p)}
+
+
+{Tan[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 5, -((a + b)*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*b^2*f*(1 + p)) - (Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, (a + b*Tan[e + f*x]^2)/(a - b)]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*(a - b)*f*(1 + p)) + (a + b*Tan[e + f*x]^2)^(2 + p)/(2*b^2*f*(2 + p))}
+{Tan[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 4, (a + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p)/(2*b*f*(1 + p)) + (Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, (a + b*Tan[e + f*x]^2)/(a - b)]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*(a - b)*f*(1 + p))}
+{Tan[e + f*x]^1*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, -(Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, (a + b*Tan[e + f*x]^2)/(a - b)]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*(a - b)*f*(1 + p))}
+{Cot[e + f*x]^1*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 5, (Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, (a + b*Tan[e + f*x]^2)/(a - b)]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*(a - b)*f*(1 + p)) - (Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*a*f*(1 + p))}
+{Cot[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 6, -(Cot[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*a*f) - (Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, (a + b*Tan[e + f*x]^2)/(a - b)]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*(a - b)*f*(1 + p)) + ((a - b*p)*Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*a^2*f*(1 + p))}
+{Cot[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 7, ((2*a + b - b*p)*Cot[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(4*a^2*f) - (Cot[e + f*x]^4*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(4*a*f) + (Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, (a + b*Tan[e + f*x]^2)/(a - b)]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*(a - b)*f*(1 + p)) - ((2*a^2 - 2*a*b*p - b^2*(1 - p)*p)*Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(4*a^3*f*(1 + p))}
+
+{Tan[e + f*x]^6*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[7/2, 1, -p, 9/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Tan[e + f*x]^7*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(7*f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{Tan[e + f*x]^4*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[5/2, 1, -p, 7/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Tan[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(5*f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{Tan[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[3/2, 1, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Tan[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(3*f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{Tan[e + f*x]^0*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, 1, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{Cot[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, -((AppellF1[-1/2, 1, -p, 1/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Cot[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p))}
+{Cot[e + f*x]^4*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, -(AppellF1[-3/2, 1, -p, -1/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Cot[e + f*x]^3*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(3*f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{Cot[e + f*x]^6*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, -(AppellF1[-5/2, 1, -p, -3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Cot[e + f*x]^5*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(5*f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x]^3)^p*)
+
+
+{(a + b*Tan[c + d*x]^3)^4, x, 6, (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x + (4*a*b*(a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b^2*(6*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/d + (2*a*b*(a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^2)/d - (b^2*(6*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*b^3*Tan[c + d*x]^4)/d + (b^2*(6*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a*b^3*Tan[c + d*x]^6)/(3*d) + (b^4*Tan[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*b^3*Tan[c + d*x]^8)/(2*d) - (b^4*Tan[c + d*x]^9)/(9*d) + (b^4*Tan[c + d*x]^11)/(11*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x]^3)^3, x, 6, a*(a^2 - 3*b^2)*x + (b*(3*a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (3*a*b^2*Tan[c + d*x])/d + (b*(3*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*b^2*Tan[c + d*x]^3)/d + (b^3*Tan[c + d*x]^4)/(4*d) + (3*a*b^2*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^3*Tan[c + d*x]^6)/(6*d) + (b^3*Tan[c + d*x]^8)/(8*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x]^3)^2, x, 6, (a^2 - b^2)*x + (2*a*b*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b^2*Tan[c + d*x])/d + (a*b*Tan[c + d*x]^2)/d - (b^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x]^3)^1, x, 3, a*x + (b*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b*Tan[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{1/(a + b*Tan[c + d*x]^3)^1, x, 14, (a*x)/(a^2 + b^2) + (b^(1/3)*(a^(4/3) - b^(4/3))*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Tan[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(2/3)*(a^2 + b^2)*d) - (b*Log[a*Cos[c + d*x]^3 + b*Sin[c + d*x]^3])/(3*(a^2 + b^2)*d) + (b^(1/3)*(a^(4/3) + b^(4/3))*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Tan[c + d*x]])/(3*a^(2/3)*(a^2 + b^2)*d) - (b^(1/3)*(a^(4/3) + b^(4/3))*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Tan[c + d*x] + b^(2/3)*Tan[c + d*x]^2])/(6*a^(2/3)*(a^2 + b^2)*d)}
+{1/(a + b*Tan[c + d*x]^3)^2, x, 21, ((a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^2 + (b^(1/3)*(a^2 - 2*a^(2/3)*b^(4/3) - b^2)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Tan[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(1/3)*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^(1/3)*(a^(4/3) - 2*b^(4/3))*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Tan[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(3*Sqrt[3]*a^(5/3)*(a^2 + b^2)*d) - (2*a*b*Log[a*Cos[c + d*x]^3 + b*Sin[c + d*x]^3])/(3*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^(1/3)*(a^2 + 2*a^(2/3)*b^(4/3) - b^2)*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Tan[c + d*x]])/(3*a^(1/3)*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^(1/3)*(a^(4/3) + 2*b^(4/3))*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Tan[c + d*x]])/(9*a^(5/3)*(a^2 + b^2)*d) - (b^(1/3)*(a^2 + 2*a^(2/3)*b^(4/3) - b^2)*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Tan[c + d*x] + b^(2/3)*Tan[c + d*x]^2])/(6*a^(1/3)*(a^2 + b^2)^2*d) - (b^(1/3)*(a^(4/3) + 2*b^(4/3))*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Tan[c + d*x] + b^(2/3)*Tan[c + d*x]^2])/(18*a^(5/3)*(a^2 + b^2)*d) + (b*(a + Tan[c + d*x]*(b - a*Tan[c + d*x])))/(3*a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]^3))}
+
+
+{1/(1 + Tan[x]^3), x, 7, x/2 - (1/2)*Log[Cos[x]] + (1/6)*Log[1 + Tan[x]] - (1/3)*Log[1 - Tan[x] + Tan[x]^2]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x]^4)^p*)
+
+
+{(a + b*Tan[c + d*x]^4)^4, x, 4, (a + b)^4*x - (b*(2*a + b)*(2*a^2 + 2*a*b + b^2)*Tan[c + d*x])/d + (b*(2*a + b)*(2*a^2 + 2*a*b + b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^2*(6*a^2 + 4*a*b + b^2)*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*(6*a^2 + 4*a*b + b^2)*Tan[c + d*x]^7)/(7*d) - (b^3*(4*a + b)*Tan[c + d*x]^9)/(9*d) + (b^3*(4*a + b)*Tan[c + d*x]^11)/(11*d) - (b^4*Tan[c + d*x]^13)/(13*d) + (b^4*Tan[c + d*x]^15)/(15*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x]^4)^3, x, 4, (a + b)^3*x - (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Tan[c + d*x])/d + (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^2*(3*a + b)*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*(3*a + b)*Tan[c + d*x]^7)/(7*d) - (b^3*Tan[c + d*x]^9)/(9*d) + (b^3*Tan[c + d*x]^11)/(11*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x]^4)^2, x, 4, (a + b)^2*x - (b*(2*a + b)*Tan[c + d*x])/d + (b*(2*a + b)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^2*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{(a + b*Tan[c + d*x]^4)^1, x, 4, a*x + b*x - (b*Tan[c + d*x])/d + (b*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{1/(a + b*Tan[c + d*x]^4)^1, x, 13, x/(a + b) + ((Sqrt[a] - Sqrt[b])*b^(1/4)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*b^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)*d) - ((Sqrt[a] - Sqrt[b])*b^(1/4)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*b^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)*d) - ((Sqrt[a] + Sqrt[b])*b^(1/4)*Log[Sqrt[a] - Sqrt[2]*a^(1/4)*b^(1/4)*Tan[c + d*x] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2])/(4*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)*d) + ((Sqrt[a] + Sqrt[b])*b^(1/4)*Log[Sqrt[a] + Sqrt[2]*a^(1/4)*b^(1/4)*Tan[c + d*x] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2])/(4*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)*d)}
+{1/(a + b*Tan[c + d*x]^4)^2, x, 23, x/(a + b)^2 + ((Sqrt[a] - Sqrt[b])*b^(1/4)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*b^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)^2*d) + ((Sqrt[a] - 3*Sqrt[b])*b^(1/4)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*b^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^(7/4)*(a + b)*d) - ((Sqrt[a] - Sqrt[b])*b^(1/4)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*b^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)^2*d) - ((Sqrt[a] - 3*Sqrt[b])*b^(1/4)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*b^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^(7/4)*(a + b)*d) - ((Sqrt[a] + Sqrt[b])*b^(1/4)*Log[Sqrt[a] - Sqrt[2]*a^(1/4)*b^(1/4)*Tan[c + d*x] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2])/(4*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)^2*d) - ((Sqrt[a] + 3*Sqrt[b])*b^(1/4)*Log[Sqrt[a] - Sqrt[2]*a^(1/4)*b^(1/4)*Tan[c + d*x] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2])/(16*Sqrt[2]*a^(7/4)*(a + b)*d) + ((Sqrt[a] + Sqrt[b])*b^(1/4)*Log[Sqrt[a] + Sqrt[2]*a^(1/4)*b^(1/4)*Tan[c + d*x] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2])/(4*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)^2*d) + ((Sqrt[a] + 3*Sqrt[b])*b^(1/4)*Log[Sqrt[a] + Sqrt[2]*a^(1/4)*b^(1/4)*Tan[c + d*x] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2])/(16*Sqrt[2]*a^(7/4)*(a + b)*d) + (b*Tan[c + d*x]*(1 - Tan[c + d*x]^2))/(4*a*(a + b)*d*(a + b*Tan[c + d*x]^4))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tan[e+f x]^4)^(p/2)*)
+
+
+{(a + b*Tan[c + d*x]^4)^(1/2), x, 8, (Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]^4]])/(2*d) + (Sqrt[b]*Tan[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]^4])/(d*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2)) - (a^(1/4)*b^(1/4)*EllipticE[2*ArcTan[(b^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)], 1/2]*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[c + d*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2)^2])/(d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]^4]) + ((Sqrt[a] - Sqrt[b])*b^(1/4)*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)], 1/2]*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[c + d*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2)^2])/(2*a^(1/4)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]^4]) - (b^(1/4)*(a + b)*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)], 1/2]*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[c + d*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2)^2])/(2*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]^4]) + ((Sqrt[a] + Sqrt[b])*(a + b)*EllipticPi[-((Sqrt[a] - Sqrt[b])^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[b])), 2*ArcTan[(b^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)], 1/2]*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[c + d*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2)^2])/(4*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])*b^(1/4)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]^4])}
+{1/(a + b*Tan[c + d*x]^4)^(1/2), x, 4, ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]^4]]/(2*Sqrt[a + b]*d) - (b^(1/4)*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)], 1/2]*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[c + d*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2)^2])/(2*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]^4]) + ((Sqrt[a] + Sqrt[b])*EllipticPi[-((Sqrt[a] - Sqrt[b])^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[b])), 2*ArcTan[(b^(1/4)*Tan[c + d*x])/a^(1/4)], 1/2]*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[c + d*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x]^2)^2])/(4*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])*b^(1/4)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]^4])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Tan[e+f x]^4)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Tan[x]^3*Sqrt[a + b*Tan[x]^4], x, 8, ((a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[x]^2)/Sqrt[a + b*Tan[x]^4]])/(4*Sqrt[b]) + (1/2)*Sqrt[a + b]*ArcTanh[(a - b*Tan[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])] - (1/4)*(2 - Tan[x]^2)*Sqrt[a + b*Tan[x]^4]}
+{Tan[x]^1*Sqrt[a + b*Tan[x]^4], x, 8, (-(1/2))*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[x]^2)/Sqrt[a + b*Tan[x]^4]] - (1/2)*Sqrt[a + b]*ArcTanh[(a - b*Tan[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])] + (1/2)*Sqrt[a + b*Tan[x]^4]}
+{Cot[x]^1*Sqrt[a + b*Tan[x]^4], x, 11, (1/2)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[x]^2)/Sqrt[a + b*Tan[x]^4]] + (1/2)*Sqrt[a + b]*ArcTanh[(a - b*Tan[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])] - (1/2)*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[x]^4]/Sqrt[a]]}
+
+{Tan[x]^2*Sqrt[a + b*Tan[x]^4], x, 12, (-(1/2))*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[x])/Sqrt[a + b*Tan[x]^4]] + (1/3)*Tan[x]*Sqrt[a + b*Tan[x]^4] - (Sqrt[b]*Tan[x]*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[x]^2) + (a^(1/4)*b^(1/4)*EllipticE[2*ArcTan[(b^(1/4)*Tan[x])/a^(1/4)], 1/2]*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[x]^2)^2])/Sqrt[a + b*Tan[x]^4] + (a^(3/4)*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*Tan[x])/a^(1/4)], 1/2]*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[x]^2)^2])/(3*b^(1/4)*Sqrt[a + b*Tan[x]^4]) - ((Sqrt[a] - Sqrt[b])*b^(1/4)*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*Tan[x])/a^(1/4)], 1/2]*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[x]^2)^2])/(2*a^(1/4)*Sqrt[a + b*Tan[x]^4]) + (b^(1/4)*(a + b)*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*Tan[x])/a^(1/4)], 1/2]*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[x]^2)^2])/(2*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])*Sqrt[a + b*Tan[x]^4]) - ((Sqrt[a] + Sqrt[b])*(a + b)*EllipticPi[-((Sqrt[a] - Sqrt[b])^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[b])), 2*ArcTan[(b^(1/4)*Tan[x])/a^(1/4)], 1/2]*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[x]^2)^2])/(4*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])*b^(1/4)*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])}
+
+
+{Tan[x]^3*(a + b*Tan[x]^4)^(3/2), x, 9, ((3*a^2 + 12*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[x]^2)/Sqrt[a + b*Tan[x]^4]])/(16*Sqrt[b]) + (1/2)*(a + b)^(3/2)*ArcTanh[(a - b*Tan[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])] - (1/16)*(8*(a + b) - (3*a + 4*b)*Tan[x]^2)*Sqrt[a + b*Tan[x]^4] - (1/24)*(4 - 3*Tan[x]^2)*(a + b*Tan[x]^4)^(3/2)}
+{Tan[x]^1*(a + b*Tan[x]^4)^(3/2), x, 9, (-(1/4))*Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[x]^2)/Sqrt[a + b*Tan[x]^4]] - (1/2)*(a + b)^(3/2)*ArcTanh[(a - b*Tan[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])] + (1/4)*(2*(a + b) - b*Tan[x]^2)*Sqrt[a + b*Tan[x]^4] + (1/6)*(a + b*Tan[x]^4)^(3/2)}
+{Cot[x]^1*(a + b*Tan[x]^4)^(3/2), x, 13, (1/4)*Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[x]^2)/Sqrt[a + b*Tan[x]^4]] + (1/2)*(a + b)^(3/2)*ArcTanh[(a - b*Tan[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])] - (1/2)*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[x]^4]/Sqrt[a]] + (1/2)*a*Sqrt[a + b*Tan[x]^4] - (1/4)*(2*(a + b) - b*Tan[x]^2)*Sqrt[a + b*Tan[x]^4]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tan[x]^3/Sqrt[a + b*Tan[x]^4], x, 7, ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[x]^2)/Sqrt[a + b*Tan[x]^4]]/(2*Sqrt[b]) + ArcTanh[(a - b*Tan[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b])}
+{Tan[x]^1/Sqrt[a + b*Tan[x]^4], x, 4, -(ArcTanh[(a - b*Tan[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b]))}
+{Cot[x]^1/Sqrt[a + b*Tan[x]^4], x, 9, ArcTanh[(a - b*Tan[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b]) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[x]^4]/Sqrt[a]]/(2*Sqrt[a])}
+
+{Tan[x]^2/Sqrt[a + b*Tan[x]^4], x, 4, -(ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[x])/Sqrt[a + b*Tan[x]^4]]/(2*Sqrt[a + b])) + (a^(1/4)*EllipticF[2*ArcTan[(b^(1/4)*Tan[x])/a^(1/4)], 1/2]*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[x]^2)^2])/(2*(Sqrt[a] - Sqrt[b])*b^(1/4)*Sqrt[a + b*Tan[x]^4]) - ((Sqrt[a] + Sqrt[b])*EllipticPi[-((Sqrt[a] - Sqrt[b])^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[b])), 2*ArcTan[(b^(1/4)*Tan[x])/a^(1/4)], 1/2]*(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[b]*Tan[x]^2)^2])/(4*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])*b^(1/4)*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])}
+
+
+{Tan[x]^3/(a + b*Tan[x]^4)^(3/2), x, 6, ArcTanh[(a - b*Tan[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])]/(2*(a + b)^(3/2)) - (1 - Tan[x]^2)/(2*(a + b)*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])}
+{Tan[x]^1/(a + b*Tan[x]^4)^(3/2), x, 6, -(ArcTanh[(a - b*Tan[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])]/(2*(a + b)^(3/2))) + (a + b*Tan[x]^2)/(2*a*(a + b)*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])}
+{Cot[x]^1/(a + b*Tan[x]^4)^(3/2), x, 12, ArcTanh[(a - b*Tan[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])]/(2*(a + b)^(3/2)) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[x]^4]/Sqrt[a]]/(2*a^(3/2)) + 1/(2*a*Sqrt[a + b*Tan[x]^4]) - (a + b*Tan[x]^2)/(2*a*(a + b)*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])}
+
+
+{Tan[x]^3/(a + b*Tan[x]^4)^(5/2), x, 7, ArcTanh[(a - b*Tan[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])]/(2*(a + b)^(5/2)) - (1 - Tan[x]^2)/(6*(a + b)*(a + b*Tan[x]^4)^(3/2)) - (3*a + (-2*a + b)*Tan[x]^2)/(6*a*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])}
+{Tan[x]^1/(a + b*Tan[x]^4)^(5/2), x, 7, -(ArcTanh[(a - b*Tan[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])]/(2*(a + b)^(5/2))) + (a + b*Tan[x]^2)/(6*a*(a + b)*(a + b*Tan[x]^4)^(3/2)) + (3*a^2 + b*(5*a + 2*b)*Tan[x]^2)/(6*a^2*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])}
+{Cot[x]^1/(a + b*Tan[x]^4)^(5/2), x, 14, ArcTanh[(a - b*Tan[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])]/(2*(a + b)^(5/2)) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[x]^4]/Sqrt[a]]/(2*a^(5/2)) + 1/(6*a*(a + b*Tan[x]^4)^(3/2)) - (a + b*Tan[x]^2)/(6*a*(a + b)*(a + b*Tan[x]^4)^(3/2)) + 1/(2*a^2*Sqrt[a + b*Tan[x]^4]) - (3*a^2 + b*(5*a + 2*b)*Tan[x]^2)/(6*a^2*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Tan[x]^4])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^m (a+b (c Tan[e+f x])^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Tan[e+f x]^(n/2))^p*)
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^m*(a + b*Sqrt[c*Tan[e + f*x]])^2, x, 9, ((a^2 - b^2*Sqrt[-c^2])*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((c*Tan[e + f*x])/Sqrt[-c^2])]*Tan[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^m)/(2*f*(1 + m)) + ((a^2 + b^2*Sqrt[-c^2])*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (c*Tan[e + f*x])/Sqrt[-c^2]]*Tan[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^m)/(2*f*(1 + m)) + (4*a*b*Hypergeometric2F1[1, (1/4)*(3 + 2*m), (1/4)*(7 + 2*m), -Tan[e + f*x]^2]*(c*Tan[e + f*x])^(3/2)*(d*Tan[e + f*x])^m)/(c*f*(3 + 2*m))}
+{(d*Tan[e + f*x])^m*(a + b*Sqrt[c*Tan[e + f*x]])^1, x, 7, (a*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^m)/(f*(1 + m)) + (2*b*Hypergeometric2F1[1, (1/4)*(3 + 2*m), (1/4)*(7 + 2*m), -Tan[e + f*x]^2]*(c*Tan[e + f*x])^(3/2)*(d*Tan[e + f*x])^m)/(c*f*(3 + 2*m))}
+{(d*Tan[e + f*x])^m/(a + b*Sqrt[c*Tan[e + f*x]])^1, x, 14, (a*(a^2 - b^2*Sqrt[-c^2])*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((c*Tan[e + f*x])/Sqrt[-c^2])]*Tan[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^m)/(2*(a^4 + b^4*c^2)*f*(1 + m)) + (a*(a^2 + b^2*Sqrt[-c^2])*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (c*Tan[e + f*x])/Sqrt[-c^2]]*Tan[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^m)/(2*(a^4 + b^4*c^2)*f*(1 + m)) + (b^4*c^2*Hypergeometric2F1[1, 2*(1 + m), 3 + 2*m, -((b*Sqrt[c*Tan[e + f*x]])/a)]*Tan[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^m)/(a*(a^4 + b^4*c^2)*f*(1 + m)) - (b*(a^2 - b^2*Sqrt[-c^2])*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(5 + 2*m), -((c*Tan[e + f*x])/Sqrt[-c^2])]*(c*Tan[e + f*x])^(3/2)*(d*Tan[e + f*x])^m)/(c*(a^4 + b^4*c^2)*f*(3 + 2*m)) - (b*(a^2 + b^2*Sqrt[-c^2])*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(5 + 2*m), (c*Tan[e + f*x])/Sqrt[-c^2]]*(c*Tan[e + f*x])^(3/2)*(d*Tan[e + f*x])^m)/(c*(a^4 + b^4*c^2)*f*(3 + 2*m))}
+{(d*Tan[e + f*x])^m/(a + b*Sqrt[c*Tan[e + f*x]])^2, x, 15, ((a^6 - 3*a^2*b^4*c^2 - 3*a^4*b^2*Sqrt[-c^2] - b^6*(-c^2)^(3/2))*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((c*Tan[e + f*x])/Sqrt[-c^2])]*Tan[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^m)/(2*(a^4 + b^4*c^2)^2*f*(1 + m)) + ((a^6 - 3*a^2*b^4*c^2 + 3*a^4*b^2*Sqrt[-c^2] + b^6*(-c^2)^(3/2))*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (c*Tan[e + f*x])/Sqrt[-c^2]]*Tan[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^m)/(2*(a^4 + b^4*c^2)^2*f*(1 + m)) + (4*a^2*b^4*c^2*Hypergeometric2F1[1, 2*(1 + m), 3 + 2*m, -((b*Sqrt[c*Tan[e + f*x]])/a)]*Tan[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^m)/((a^4 + b^4*c^2)^2*f*(1 + m)) + (b^4*c^2*Hypergeometric2F1[2, 2*(1 + m), 3 + 2*m, -((b*Sqrt[c*Tan[e + f*x]])/a)]*Tan[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^m)/(a^2*(a^4 + b^4*c^2)*f*(1 + m)) - (2*a*b*(a^4 - b^4*c^2 - 2*a^2*b^2*Sqrt[-c^2])*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(5 + 2*m), -((c*Tan[e + f*x])/Sqrt[-c^2])]*(c*Tan[e + f*x])^(3/2)*(d*Tan[e + f*x])^m)/(c*(a^4 + b^4*c^2)^2*f*(3 + 2*m)) - (2*a*b*(a^4 - b^4*c^2 + 2*a^2*b^2*Sqrt[-c^2])*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(3 + 2*m), (1/2)*(5 + 2*m), (c*Tan[e + f*x])/Sqrt[-c^2]]*(c*Tan[e + f*x])^(3/2)*(d*Tan[e + f*x])^m)/(c*(a^4 + b^4*c^2)^2*f*(3 + 2*m))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^m (b (c Tan[e+f x])^n)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^m*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 4, (Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + m + n*p), (1/2)*(3 + m + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^m*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 + m + n*p))}
+
+
+{Tan[e + f*x]^2*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 4, (Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(3 + n*p), (1/2)*(5 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^3*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(3 + n*p))}
+{Tan[e + f*x]^0*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 3, (Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 + n*p))}
+{Cot[e + f*x]^2*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 4, -((Cot[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n*p), (1/2)*(1 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 - n*p)))}
+{Cot[e + f*x]^4*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 4, -((Cot[e + f*x]^3*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-3 + n*p), (1/2)*(-1 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(3 - n*p)))}
+{Cot[e + f*x]^6*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 4, -((Cot[e + f*x]^5*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-5 + n*p), (1/2)*(-3 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(5 - n*p)))}
+
+{Tan[e + f*x]^3*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 4, (Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(4 + n*p), (1/2)*(6 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^4*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(4 + n*p))}
+{Tan[e + f*x]^1*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 4, (Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(2 + n*p), (1/2)*(4 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^2*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(2 + n*p))}
+{Cot[e + f*x]^1*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 4, (Hypergeometric2F1[1, (n*p)/2, 1 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*n*p)}
+{Cot[e + f*x]^3*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 4, -((Cot[e + f*x]^2*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-2 + n*p), (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(2 - n*p)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^m (a+b (c Tan[e+f x])^n)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^m*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 0, Unintegrable[(d*Tan[e + f*x])^m*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^m (a+b (c Tan[e+f x])^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^2)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Cot[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 4, ((d*Cot[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 - m + 2*p), (1/2)*(3 - m + 2*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 - m + 2*p))}
+
+
+{(d*Cot[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 4, (AppellF1[(1 - m)/2, 1, -p, (3 - m)/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(d*Cot[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/((1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p*(f*(1 - m)))}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^m (a+b (c Tan[e+f x])^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^m (b (cTan[e+f x])^n)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Cot[e + f*x])^m*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 4, ((d*Cot[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 - m + n*p), (1/2)*(3 - m + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 - m + n*p))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^m (a+b (c Tan[e+f x])^n)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Cot[e + f*x])^m*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 1, (d*Cot[e + f*x])^m*(Tan[e + f*x]/d)^m*Unintegrable[(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p/(Tan[e + f*x]/d)^m, x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+b (c Tan[e+f x])^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^m (a+b Tan[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 4, ((4*a - b)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((4*a - b)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 3, ((2*a - b)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 3, (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((a - b)*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 2, (a*Sin[c + d*x])/d - ((a - b)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 3, (a*Sin[c + d*x])/d - ((2*a - b)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + ((a - b)*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 3, (a*Sin[c + d*x])/d - ((3*a - b)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + ((3*a - 2*b)*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - ((a - b)*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+
+{Sec[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 3, (a*Tan[c + d*x])/d + ((2*a + b)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + ((a + 2*b)*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (b*Tan[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 3, (a*Tan[c + d*x])/d + ((a + b)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 2, (a*Tan[c + d*x])/d + (b*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 3, (1/2)*(a + b)*x + ((a - b)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 4, (1/8)*(3*a + b)*x + ((3*a + b)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + ((a - b)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 5, (1/16)*(5*a + b)*x + ((5*a + b)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + ((5*a + b)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + ((a - b)*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 5, ((8*a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + ((8*a^2 - 4*a*b + b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + ((8*a - 3*b)*b*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(24*d) + (b*Sec[c + d*x]^5*(a - (a - b)*Sin[c + d*x]^2)*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 4, ((8*a^2 - 8*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (3*(2*a - b)*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b*Sec[c + d*x]^3*(a - (a - b)*Sin[c + d*x]^2)*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 5, ((4*a - 3*b)*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((a - b)^2*Sin[c + d*x])/d + (b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 4, (b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/d - ((a - b)^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 3, (a^2*Sin[c + d*x])/d - (2*a*(a - b)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + ((a - b)^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 3, (a^2*Sin[c + d*x])/d - (a*(3*a - 2*b)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + ((a - b)*(3*a - b)*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - ((a - b)^2*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^9*(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 3, (a^2*Sin[c + d*x])/d - (2*a*(2*a - b)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + ((6*a^2 - 6*a*b + b^2)*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*(a - b)*(2*a - b)*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + ((a - b)^2*Sin[c + d*x]^9)/(9*d)}
+
+{Sec[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 3, (a^2*Tan[c + d*x])/d + (2*a*(a + b)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + ((a^2 + 4*a*b + b^2)*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (2*b*(a + b)*Tan[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 3, (a^2*Tan[c + d*x])/d + (a*(a + 2*b)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*(2*a + b)*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 3, (a^2*Tan[c + d*x])/d + (2*a*b*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 5, (1/2)*(a - b)*(a + 3*b)*x + ((a - b)^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 4, (1/8)*(3*a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*x + (3*(a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + ((a - b)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x]^2))/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 5, (1/16)*(5*a^2 + 2*a*b + b^2)*x + ((5*a^2 + 2*a*b + b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + ((a - b)*(5*a + 3*b)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + ((a - b)*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x]^2))/(6*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^5/(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 5, -(((2*a - 3*b)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^2*d)) + ((a - b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^2*d) + (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 4, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(b*d) - (Sqrt[a - b]*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 2, ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[a - b]*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 3, -((b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a - b)^(3/2)*d)) + Sin[c + d*x]/((a - b)*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 4, (b^2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a - b)^(5/2)*d) + ((a - 2*b)*Sin[c + d*x])/((a - b)^2*d) - Sin[c + d*x]^3/(3*(a - b)*d)}
+{Cos[c + d*x]^5/(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 4, -((b^3*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a - b)^(7/2)*d)) + ((a^2 - 3*a*b + 3*b^2)*Sin[c + d*x])/((a - b)^3*d) - ((2*a - 3*b)*Sin[c + d*x]^3)/(3*(a - b)^2*d) + Sin[c + d*x]^5/(5*(a - b)*d)}
+
+{Sec[c + d*x]^8/(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 4, -(((a - b)^3*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^(7/2)*d)) + ((a^2 - 3*a*b + 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(b^3*d) - ((a - 3*b)*Tan[c + d*x]^3)/(3*b^2*d) + Tan[c + d*x]^5/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^6/(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 4, ((a - b)^2*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^(5/2)*d) - ((a - 2*b)*Tan[c + d*x])/(b^2*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 3, -(((a - b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^(3/2)*d)) + Tan[c + d*x]/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 5, ((a - 3*b)*x)/(2*(a - b)^2) + (b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a - b)^2*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*(a - b)*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 6, ((3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*x)/(8*(a - b)^3) - (b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a - b)^3*d) + ((3*a - 7*b)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*(a - b)^2*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*(a - b)*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^7/(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 6, -(((4*a - 5*b)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^3*d)) + ((a - b)^(3/2)*(4*a + b)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*b^3*d) + ((a - b)*(2*a - b)*Sin[c + d*x])/(2*a*b^2*d*(a - (a - b)*Sin[c + d*x]^2)) + (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b*d*(a - (a - b)*Sin[c + d*x]^2))}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 5, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(b^2*d) - (Sqrt[a - b]*(2*a + b)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*b^2*d) - ((a - b)*Sin[c + d*x])/(2*a*b*d*(a - (a - b)*Sin[c + d*x]^2))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 3, ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a]]/(2*a^(3/2)*Sqrt[a - b]*d) + Sin[c + d*x]/(2*a*d*(a - (a - b)*Sin[c + d*x]^2))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 3, ((2*a - b)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a - b)^(3/2)*d) - (b*Sin[c + d*x])/(2*a*(a - b)*d*(a - (a - b)*Sin[c + d*x]^2))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 5, -(((4*a - b)*b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a - b)^(5/2)*d)) + Sin[c + d*x]/((a - b)^2*d) + (b^2*Sin[c + d*x])/(2*a*(a - b)^2*d*(a - (a - b)*Sin[c + d*x]^2))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 5, ((6*a - b)*b^2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Sin[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a - b)^(7/2)*d) + ((a - 3*b)*Sin[c + d*x])/((a - b)^3*d) - Sin[c + d*x]^3/(3*(a - b)^2*d) - (b^3*Sin[c + d*x])/(2*a*(a - b)^3*d*(a - (a - b)*Sin[c + d*x]^2))}
+
+{Sec[c + d*x]^8/(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 5, ((a - b)^2*(5*a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*b^(7/2)*d) - ((2*a - 3*b)*Tan[c + d*x])/(b^3*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*b^2*d) - ((a - b)^3*Tan[c + d*x])/(2*a*b^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]^2))}
+{Sec[c + d*x]^6/(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 5, -(((3*a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*b^(5/2)*d)) + Tan[c + d*x]/(b^2*d) + ((a - b)^2*Tan[c + d*x])/(2*a*b^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]^2))}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 3, ((a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*b^(3/2)*d) - ((a - b)*Tan[c + d*x])/(2*a*b*d*(a + b*Tan[c + d*x]^2))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 3, ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]]/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*d) + Tan[c + d*x]/(2*a*d*(a + b*Tan[c + d*x]^2))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 6, ((a - 5*b)*x)/(2*(a - b)^3) + ((5*a - b)*b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a - b)^3*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*(a - b)*d*(a + b*Tan[c + d*x]^2)) + (b*(a + b)*Tan[c + d*x])/(2*a*(a - b)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]^2))}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Tan[c + d*x]^2)^2, x, 7, ((3*a^2 - 14*a*b + 35*b^2)*x)/(8*(a - b)^4) - ((7*a - b)*b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a - b)^4*d) + (3*(a - 3*b)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*(a - b)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]^2)) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*(a - b)*d*(a + b*Tan[c + d*x]^2)) + ((a - 4*b)*b*(3*a + b)*Tan[c + d*x])/(8*a*(a - b)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]^2))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^m (a+b Tan[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^2)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 2, ((Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(1 + m + 2*p))*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + 2*p), (1/2)*(1 + m + 2*p), (1/2)*(3 + 2*p), Sin[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]*(b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + 2*p))}
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, 1 - m/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(d*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/((Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p*f)}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+b (c Tan[e+f x])^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (b (cTan[e+f x])^n)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^m*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 2, ((Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(1 + m + n*p))*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(1 + m + n*p), (1/2)*(3 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 + n*p))}
+
+
+{Sec[e + f*x]^6*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 4, (Tan[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 + n*p)) + (2*Tan[e + f*x]^3*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(3 + n*p)) + (Tan[e + f*x]^5*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(5 + n*p))}
+{Sec[e + f*x]^4*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 4, (Tan[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 + n*p)) + (Tan[e + f*x]^3*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(3 + n*p))}
+{Sec[e + f*x]^2*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 3, (Tan[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 + n*p))}
+{Cos[e + f*x]^0*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 3, (Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 + n*p))}
+{Cos[e + f*x]^2*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 3, (Hypergeometric2F1[2, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 + n*p))}
+
+{Sec[e + f*x]^3*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 2, ((Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(4 + n*p))*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(4 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 + n*p))}
+{Sec[e + f*x]^1*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 2, ((Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(2 + n*p))*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(2 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 + n*p))}
+{Cos[e + f*x]^1*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 2, ((Cos[e + f*x]^2)^((n*p)/2)*Hypergeometric2F1[(n*p)/2, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 + n*p))}
+{Cos[e + f*x]^3*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 2, ((Cos[e + f*x]^2)^((n*p)/2)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-2 + n*p), (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 + n*p))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^m (a+b (c Tan[e+f x])^n)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 0, Unintegrable[(d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x]}
+
+
+{Sec[e + f*x]^3*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 0, Unintegrable[Sec[e + f*x]^3*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x]}
+{Sec[e + f*x]^1*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 0, Unintegrable[Sec[e + f*x]*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x]}
+{Cos[e + f*x]^1*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 0, Unintegrable[Cos[e + f*x]*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x]}
+{Cos[e + f*x]^3*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 0, Unintegrable[Cos[e + f*x]^3*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x]}
+
+{Sec[e + f*x]^6*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 9, (Hypergeometric2F1[1/n, -p, 1 + 1/n, -((b*(c*Tan[e + f*x])^n)/a)]*Tan[e + f*x]*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/((1 + (b*(c*Tan[e + f*x])^n)/a)^p*f) + (2*Hypergeometric2F1[3/n, -p, (3 + n)/n, -((b*(c*Tan[e + f*x])^n)/a)]*Tan[e + f*x]^3*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/((1 + (b*(c*Tan[e + f*x])^n)/a)^p*(3*f)) + (Hypergeometric2F1[5/n, -p, (5 + n)/n, -((b*(c*Tan[e + f*x])^n)/a)]*Tan[e + f*x]^5*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/((1 + (b*(c*Tan[e + f*x])^n)/a)^p*(5*f))}
+{Sec[e + f*x]^4*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 7, (Hypergeometric2F1[1/n, -p, 1 + 1/n, -((b*(c*Tan[e + f*x])^n)/a)]*Tan[e + f*x]*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/((1 + (b*(c*Tan[e + f*x])^n)/a)^p*f) + (Hypergeometric2F1[3/n, -p, (3 + n)/n, -((b*(c*Tan[e + f*x])^n)/a)]*Tan[e + f*x]^3*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/((1 + (b*(c*Tan[e + f*x])^n)/a)^p*(3*f))}
+{Sec[e + f*x]^2*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 3, (Hypergeometric2F1[1/n, -p, 1 + 1/n, -((b*(c*Tan[e + f*x])^n)/a)]*Tan[e + f*x]*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/((1 + (b*(c*Tan[e + f*x])^n)/a)^p*f)}
+{Sec[e + f*x]^0*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 0, Unintegrable[(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x]}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 0, Unintegrable[Cos[e + f*x]^2*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^m (a+b (c Tan[e+f x])^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^2)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Csc[e + f*x])^m*(b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 4, ((Cos[e + f*x]^2)^(1/2 + p)*(d*Csc[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + 2*p), (1/2)*(1 - m + 2*p), (1/2)*(3 - m + 2*p), Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 - m + 2*p))}
+
+
+{(d*Csc[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p, x, 4, (AppellF1[(1 - m)/2, 1 - m/2, -p, (3 - m)/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(d*Csc[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/((Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p*(f*(1 - m)))}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^m (a+b Tan[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^m (a+b (c Tan[e+f x])^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^m (b (cTan[e+f x])^n)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Csc[e + f*x])^m*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 4, ((Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(1 + n*p))*(d*Csc[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(1 - m + n*p), (1/2)*(3 - m + n*p), Sin[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 - m + n*p))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^m (a+b (c Tan[e+f x])^n)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Csc[e + f*x])^m*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x, 1, (d*Csc[e + f*x])^m*(Sin[e + f*x]/d)^m*Unintegrable[(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p/(Sin[e + f*x]/d)^m, x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.9 trig^m (a+b tan^n+c tan^(2 n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.9 trig^m (a+b tan^n+c tan^(2 n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..09636b3b
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.3 Tangent/4.3.9 trig^m (a+b tan^n+c tan^(2 n))^p.m	
@@ -0,0 +1,107 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form Trig[d+e x]^m (a+b Tan[d+e x]^n+c Tan[d+e x]^(2 n))^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Sin[d+e x]^m (a+b Tan[d+e x]^n+c Tan[d+e x]^(2 n))^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Cos[d+e x]^m (a+b Tan[d+e x]^n+c Tan[d+e x]^(2 n))^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[d+e x]^m (a+b Tan[d+e x]^n+c Tan[d+e x]^(2 n))^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[d+e x]^m (a+b Tan[d+e x]+c Tan[d+e x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Tan[d + e*x]^5*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2], x, 21, (1/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e))*(Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTan[(b^2 + (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])]) + (b*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(2*Sqrt[c]*e) - (b*(b^2 - 4*a*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(16*c^(5/2)*e) + (b*(7*b^2 - 12*a*c)*(b^2 - 4*a*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(256*c^(9/2)*e) - (1/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e))*(Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTanh[(b^2 + (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) + b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])]) + Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]/e + (b*(b + 2*c*Tan[d + e*x])*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(8*c^2*e) - (b*(7*b^2 - 12*a*c)*(b + 2*c*Tan[d + e*x])*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(128*c^4*e) - (a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2)^(3/2)/(3*c*e) + (Tan[d + e*x]^2*(a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2)^(3/2))/(5*c*e) + ((35*b^2 - 32*a*c - 42*b*c*Tan[d + e*x])*(a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2)^(3/2))/(240*c^3*e)}
+{Tan[d + e*x]^4*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2], x, 19, -((1/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e))*(Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTan[(b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] - (b^2 + (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]))*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])) + (Sqrt[c]*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/e + ((b^2 - 4*a*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(8*c^(3/2)*e) - ((b^2 - 4*a*c)*(5*b^2 - 4*a*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(128*c^(7/2)*e) - (1/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e))*(Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTanh[(b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + (b^2 + (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]))*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])]) - ((b + 2*c*Tan[d + e*x])*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(4*c*e) + ((5*b^2 - 4*a*c)*(b + 2*c*Tan[d + e*x])*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(64*c^3*e) - (5*b*(a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2)^(3/2))/(24*c^2*e) + (Tan[d + e*x]*(a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2)^(3/2))/(4*c*e)}
+{Tan[d + e*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2], x, 16, -((Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTan[(b^2 + (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e)) - (b*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(2*Sqrt[c]*e) + (b*(b^2 - 4*a*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(16*c^(5/2)*e) + (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTanh[(b^2 + (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) + b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e) - Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]/e - (b*(b + 2*c*Tan[d + e*x])*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(8*c^2*e) + (a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2)^(3/2)/(3*c*e)}
+{Tan[d + e*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2], x, 10, (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTan[(b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] - (a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]))*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e) - ((b^2 - 4*(a - 2*c)*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(8*c^(3/2)*e) + (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTanh[(b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + (a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]))*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e) + ((b + 2*c*Tan[d + e*x])*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(4*c*e)}
+{Tan[d + e*x]^1*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2], x, 10, (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTan[(b^2 + (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e) + (b*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(2*Sqrt[c]*e) - (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTanh[(b^2 + (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) + b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e) + Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]/e}
+{Tan[d + e*x]^0*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2], x, 9, -((Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTan[(b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] - (b^2 + (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]))*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e)) + (Sqrt[c]*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/e - (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTanh[(b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + (b^2 + (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]))*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e)}
+{Cot[d + e*x]^1*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2], x, 18, -((Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTan[(b^2 + (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e)) - (Sqrt[a]*ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/e + (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTanh[(b^2 + (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) + b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e)}
+{Cot[d + e*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2], x, 17, (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTan[(b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] - (b^2 + (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]))*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e) - (b*ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(2*Sqrt[a]*e) + (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTanh[(b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + (b^2 + (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]))*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e) - (Cot[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/e}
+{Cot[d + e*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2], x, 21, (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTan[(b^2 + (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e) + (Sqrt[a]*ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/e + ((b^2 - 4*a*c)*ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(8*a^(3/2)*e) - (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTanh[(b^2 + (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) + b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e) - (Cot[d + e*x]^2*(2*a + b*Tan[d + e*x])*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(4*a*e)}
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
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+
+
+{Tan[d + e*x]^5/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2], x, 15, (Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e) - (Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e) + (b*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(2*c^(3/2)*e) - (b*(5*b^2 - 12*a*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(16*c^(7/2)*e) - Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]/(c*e) + (Tan[d + e*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(3*c*e) + ((15*b^2 - 16*a*c - 10*b*c*Tan[d + e*x])*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(24*c^3*e)}
+{Tan[d + e*x]^4/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2], x, 14, (Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTan[(b - (a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e) - (Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTan[(b - (a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e) - ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])]/(Sqrt[c]*e) + ((3*b^2 - 4*a*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(8*c^(5/2)*e) - (3*b*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(4*c^2*e) + (Tan[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(2*c*e)}
+{Tan[d + e*x]^3/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2], x, 11, -((Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e)) + (Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e) - (b*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(2*c^(3/2)*e) + Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]/(c*e)}
+{Tan[d + e*x]^2/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2], x, 9, -((Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTan[(b - (a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e)) + (Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTan[(b - (a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e) + ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])]/(Sqrt[c]*e)}
+{Tan[d + e*x]^1/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2], x, 6, (Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e) - (Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e)}
+{Tan[d + e*x]^0/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2], x, 6, (Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTan[(b - (a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e) - (Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTan[(b - (a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e)}
+{Cot[d + e*x]^1/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2], x, 10, -(ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])]/(Sqrt[a]*e)) - (Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e) + (Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e)}
+{Cot[d + e*x]^2/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2], x, 11, -((Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTan[(b - (a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e)) + (Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTan[(b - (a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e) + (b*ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(2*a^(3/2)*e) - (Cot[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(a*e)}
+{Cot[d + e*x]^3/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2], x, 14, ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])]/(Sqrt[a]*e) - ((3*b^2 - 4*a*c)*ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(8*a^(5/2)*e) + (Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e) - (Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e) + (3*b*Cot[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(4*a^2*e) - (Cot[d + e*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(2*a*e)}
+
+
+{Tan[d + e*x]^7/(a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2)^(3/2), x, 20, (3*b*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(2*c^(5/2)*e) - (5*b*(7*b^2 - 12*a*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(16*c^(9/2)*e) - (Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) + (Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) + (2*(2*a + b*Tan[d + e*x]))/((b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]) - (2*Tan[d + e*x]^2*(2*a + b*Tan[d + e*x]))/((b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]) + (2*Tan[d + e*x]^4*(2*a + b*Tan[d + e*x]))/((b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]) - (2*(a*(b^2 - 2*(a - c)*c) + b*c*(a + c)*Tan[d + e*x]))/((b^2 + (a - c)^2)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]) + ((7*b^2 - 16*a*c)*Tan[d + e*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(3*c^2*(b^2 - 4*a*c)*e) - (2*b*Tan[d + e*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(c*(b^2 - 4*a*c)*e) - ((3*b^2 - 8*a*c - 2*b*c*Tan[d + e*x])*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(c^2*(b^2 - 4*a*c)*e) + ((105*b^4 - 460*a*b^2*c + 256*a^2*c^2 - 2*b*c*(35*b^2 - 116*a*c)*Tan[d + e*x])*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(24*c^4*(b^2 - 4*a*c)*e)}
+{Tan[d + e*x]^5/(a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2)^(3/2), x, 14, -((3*b*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(2*c^(5/2)*e)) + (Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) - (Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) - (2*(2*a + b*Tan[d + e*x]))/((b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]) + (2*Tan[d + e*x]^2*(2*a + b*Tan[d + e*x]))/((b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]) + (2*(a*(b^2 - 2*(a - c)*c) + b*c*(a + c)*Tan[d + e*x]))/((b^2 + (a - c)^2)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]) + ((3*b^2 - 8*a*c - 2*b*c*Tan[d + e*x])*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(c^2*(b^2 - 4*a*c)*e)}
+{Tan[d + e*x]^3/(a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2)^(3/2), x, 10, -((Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e)) + (Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) + (2*(2*a + b*Tan[d + e*x]))/((b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]) - (2*(a*(b^2 - 2*(a - c)*c) + b*c*(a + c)*Tan[d + e*x]))/((b^2 + (a - c)^2)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])}
+{Tan[d + e*x]^2/(a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2)^(3/2), x, 7, -((Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTan[(b*(2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) + (b^2 - (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]))*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e)) + (Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTan[(b*(2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) + (b^2 - (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]))*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) - (2*(a*b*(a + c) + c*(2*a^2 + b^2 - 2*a*c)*Tan[d + e*x]))/((b^2 + (a - c)^2)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])}
+{Tan[d + e*x]^1/(a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2)^(3/2), x, 7, (Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) - (Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) + (2*(a*(b^2 - 2*(a - c)*c) + b*c*(a + c)*Tan[d + e*x]))/((b^2 + (a - c)^2)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])}
+{Cot[d + e*x]^1/(a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2)^(3/2), x, 13, -(ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])]/(a^(3/2)*e)) - (Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) + (Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) + (2*(b^2 - 2*a*c + b*c*Tan[d + e*x]))/(a*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]) - (2*(a*(b^2 - 2*(a - c)*c) + b*c*(a + c)*Tan[d + e*x]))/((b^2 + (a - c)^2)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])}
+{Cot[d + e*x]^2/(a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2)^(3/2), x, 13, -((Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTan[(b*(2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) + (b^2 - (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]))*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e)) + (Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTan[(b*(2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) + (b^2 - (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]))*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) + (3*b*ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(2*a^(5/2)*e) + (2*Cot[d + e*x]*(b^2 - 2*a*c + b*c*Tan[d + e*x]))/(a*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]) + (2*(b*(b^2 - (3*a - c)*c) + c*(b^2 - 2*(a - c)*c)*Tan[d + e*x]))/((b^2 + (a - c)^2)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]) - ((3*b^2 - 8*a*c)*Cot[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*e)}
+{Cot[d + e*x]^3/(a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2)^(3/2), x, 18, ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])]/(a^(3/2)*e) - (3*(5*b^2 - 4*a*c)*ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(8*a^(7/2)*e) + (Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) - (Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) - (2*(b^2 - 2*a*c + b*c*Tan[d + e*x]))/(a*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]) + (2*Cot[d + e*x]^2*(b^2 - 2*a*c + b*c*Tan[d + e*x]))/(a*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]) + (2*(a*(b^2 - 2*(a - c)*c) + b*c*(a + c)*Tan[d + e*x]))/((b^2 + (a - c)^2)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]) + (b*(15*b^2 - 52*a*c)*Cot[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(4*a^3*(b^2 - 4*a*c)*e) - ((5*b^2 - 12*a*c)*Cot[d + e*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*e)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[d+e x]^m (a+b Tan[d+e x]^2+c Tan[d+e x]^4)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Tan[d + e*x]^5*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4], x, 9, -((Sqrt[a - b + c]*ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(2*e)) + ((b^3 + 2*b^2*c - 4*b*(a - 2*c)*c - 8*c^2*(a + 2*c))*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(32*c^(5/2)*e) - (((b - 2*c)*(b + 4*c) + 2*c*(b + 2*c)*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(16*c^2*e) + (a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)^(3/2)/(6*c*e)}
+{Tan[d + e*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4], x, 8, (Sqrt[a - b + c]*ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(2*e) - ((b^2 + 4*b*c - 4*c*(a + 2*c))*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(16*c^(3/2)*e) + ((b - 4*c + 2*c*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(8*c*e)}
+{Tan[d + e*x]^1*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4], x, 8, -((Sqrt[a - b + c]*ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(2*e)) + ((b - 2*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(4*Sqrt[c]*e) + Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]/(2*e)}
+{Cot[d + e*x]^1*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4], x, 10, -((Sqrt[a]*ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(2*e)) + (Sqrt[a - b + c]*ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(2*e) + (Sqrt[c]*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(2*e)}
+{Cot[d + e*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4], x, 22, (Sqrt[a]*ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(2*e) - (b*ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(4*Sqrt[a]*e) - (Sqrt[a - b + c]*ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(2*e) - (b*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(4*Sqrt[c]*e) + ((b - 2*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(4*Sqrt[c]*e) + (Sqrt[c]*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(2*e) - (Cot[d + e*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(2*e)}
+
+{Tan[d + e*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4], x, 14, -((Sqrt[a - b + c]*ArcTan[(Sqrt[a - b + c]*Tan[d + e*x])/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]])/(2*e)) + (Tan[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(3*e) + (b*Tan[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(3*Sqrt[c]*e*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)) - (Sqrt[c]*Tan[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(e*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)) - (a^(1/4)*b*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(3*c^(3/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) + (a^(1/4)*c^(1/4)*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) + (a^(1/4)*(b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[c])*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(6*c^(3/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) - ((b + Sqrt[a]*Sqrt[c] - c)*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(2*a^(1/4)*c^(1/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) + (c^(1/4)*(a - b + c)*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(2*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[c])*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) - ((Sqrt[a] + Sqrt[c])*(a - b + c)*EllipticPi[-((Sqrt[a] - Sqrt[c])^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c])), 2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(4*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[c])*c^(1/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])}
+{Tan[d + e*x]^0*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4], x, 8, (Sqrt[a - b + c]*ArcTan[(Sqrt[a - b + c]*Tan[d + e*x])/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]])/(2*e) + (Sqrt[c]*Tan[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(e*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)) - (a^(1/4)*c^(1/4)*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) + ((b + Sqrt[a]*Sqrt[c] - c)*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(2*a^(1/4)*c^(1/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) - (c^(1/4)*(a - b + c)*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(2*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[c])*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) + ((Sqrt[a] + Sqrt[c])*(a - b + c)*EllipticPi[-((Sqrt[a] - Sqrt[c])^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c])), 2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(4*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[c])*c^(1/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])}
+{Cot[d + e*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4], x, 9, -((Sqrt[a - b + c]*ArcTan[(Sqrt[a - b + c]*Tan[d + e*x])/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]])/(2*e)) - (Cot[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/e + (Sqrt[c]*Tan[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(e*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)) - (a^(1/4)*c^(1/4)*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) + ((Sqrt[a] + Sqrt[c])*c^(1/4)*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(2*a^(1/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) + (c^(1/4)*(a - b + c)*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(2*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[c])*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) - ((Sqrt[a] + Sqrt[c])*(a - b + c)*EllipticPi[-((Sqrt[a] - Sqrt[c])^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c])), 2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(4*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[c])*c^(1/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])}
+{Cot[d + e*x]^4*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4], x, 10, (Sqrt[a - b + c]*ArcTan[(Sqrt[a - b + c]*Tan[d + e*x])/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]])/(2*e) + ((3*a - b)*Cot[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(3*a*e) - (Cot[d + e*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(3*e) - ((3*a - b)*Sqrt[c]*Tan[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(3*a*e*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)) + ((3*a - b)*c^(1/4)*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(3*a^(3/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) - ((3*a - b + Sqrt[a]*Sqrt[c])*c^(1/4)*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(6*a^(3/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) - (c^(1/4)*(a - b + c)*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(2*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[c])*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) + ((Sqrt[a] + Sqrt[c])*(a - b + c)*EllipticPi[-((Sqrt[a] - Sqrt[c])^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c])), 2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(4*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[c])*c^(1/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tan[d + e*x]^5/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4], x, 8, -(ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]/(2*Sqrt[a - b + c]*e)) - ((b + 2*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(4*c^(3/2)*e) + Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]/(2*c*e)}
+{Tan[d + e*x]^3/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4], x, 7, ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]/(2*Sqrt[a - b + c]*e) + ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]/(2*Sqrt[c]*e)}
+{Tan[d + e*x]^1/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4], x, 4, -(ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]/(2*Sqrt[a - b + c]*e))}
+{Cot[d + e*x]^1/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4], x, 8, -(ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]/(2*Sqrt[a]*e)) + ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]/(2*Sqrt[a - b + c]*e)}
+{Cot[d + e*x]^3/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4], x, 11, ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]/(2*Sqrt[a]*e) + (b*ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(4*a^(3/2)*e) - ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]/(2*Sqrt[a - b + c]*e) - (Cot[d + e*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(2*a*e)}
+
+{Tan[d + e*x]^4/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4], x, 5, ArcTan[(Sqrt[a - b + c]*Tan[d + e*x])/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]]/(2*Sqrt[a - b + c]*e) + (Tan[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(Sqrt[c]*e*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)) - (a^(1/4)*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(c^(3/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) + (a^(1/4)*(Sqrt[a] - 2*Sqrt[c])*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(2*(Sqrt[a] - Sqrt[c])*c^(3/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) + ((Sqrt[a] + Sqrt[c])*EllipticPi[-((Sqrt[a] - Sqrt[c])^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c])), 2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(4*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[c])*c^(1/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])}
+{Tan[d + e*x]^2/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4], x, 4, -(ArcTan[(Sqrt[a - b + c]*Tan[d + e*x])/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]]/(2*Sqrt[a - b + c]*e)) + (a^(1/4)*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(2*(Sqrt[a] - Sqrt[c])*c^(1/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) - ((Sqrt[a] + Sqrt[c])*EllipticPi[-((Sqrt[a] - Sqrt[c])^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c])), 2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(4*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[c])*c^(1/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])}
+{Tan[d + e*x]^0/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4], x, 4, ArcTan[(Sqrt[a - b + c]*Tan[d + e*x])/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]]/(2*Sqrt[a - b + c]*e) - (c^(1/4)*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(2*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[c])*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) + ((Sqrt[a] + Sqrt[c])*EllipticPi[-((Sqrt[a] - Sqrt[c])^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c])), 2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(4*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[c])*c^(1/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])}
+{Cot[d + e*x]^2/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4], x, 7, -(ArcTan[(Sqrt[a - b + c]*Tan[d + e*x])/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]]/(2*Sqrt[a - b + c]*e)) - (Cot[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(a*e) + (Sqrt[c]*Tan[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(a*e*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)) - (c^(1/4)*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(a^(3/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) + ((2*Sqrt[a] - Sqrt[c])*c^(1/4)*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(2*a^(3/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[c])*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) - ((Sqrt[a] + Sqrt[c])*EllipticPi[-((Sqrt[a] - Sqrt[c])^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c])), 2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(4*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[c])*c^(1/4)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])}
+
+
+{Tan[d + e*x]^7/(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)^(3/2), x, 8, ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]/(2*(a - b + c)^(3/2)*e) + ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]/(2*c^(3/2)*e) + (a*(b^2 - a*(b + 2*c)) + (b^3 + 2*a^2*c - a*b*(b + 3*c))*Tan[d + e*x]^2)/(c*(a - b + c)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])}
+{Tan[d + e*x]^5/(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)^(3/2), x, 6, -(ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]/(2*(a - b + c)^(3/2)*e)) + (a*(2*a - b) + ((a - b)*b + 2*a*c)*Tan[d + e*x]^2)/((a - b + c)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])}
+{Tan[d + e*x]^3/(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)^(3/2), x, 6, ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]/(2*(a - b + c)^(3/2)*e) - (a*(b - 2*c) + (2*a - b)*c*Tan[d + e*x]^2)/((a - b + c)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])}
+{Tan[d + e*x]^1/(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)^(3/2), x, 6, -(ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]/(2*(a - b + c)^(3/2)*e)) + (b^2 - 2*a*c - b*c + (b - 2*c)*c*Tan[d + e*x]^2)/((a - b + c)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])}
+{Cot[d + e*x]^1/(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)^(3/2), x, 12, -(ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]/(2*a^(3/2)*e)) + ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]/(2*(a - b + c)^(3/2)*e) + (b^2 - 2*a*c + b*c*Tan[d + e*x]^2)/(a*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) - (b^2 - 2*a*c - b*c + (b - 2*c)*c*Tan[d + e*x]^2)/((a - b + c)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])}
+{Cot[d + e*x]^3/(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)^(3/2), x, 16, ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]/(2*a^(3/2)*e) + (3*b*ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(4*a^(5/2)*e) - ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]/(2*(a - b + c)^(3/2)*e) - (b^2 - 2*a*c + b*c*Tan[d + e*x]^2)/(a*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) + (Cot[d + e*x]^2*(b^2 - 2*a*c + b*c*Tan[d + e*x]^2))/(a*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) + (b^2 - 2*a*c - b*c + (b - 2*c)*c*Tan[d + e*x]^2)/((a - b + c)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) - ((3*b^2 - 8*a*c)*Cot[d + e*x]^2*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*e)}
+
+{Tan[d + e*x]^2/(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)^(3/2), x, 9, -(ArcTan[(Sqrt[a - b + c]*Tan[d + e*x])/Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]]/(2*(a - b + c)^(3/2)*e)) + (Tan[d + e*x]*(b^2 - 2*a*c - b*c + (b - 2*c)*c*Tan[d + e*x]^2))/((a - b + c)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) - ((b - 2*c)*Sqrt[c]*Tan[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/((a - b + c)*(b^2 - 4*a*c)*e*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)) + (a^(1/4)*(b - 2*c)*c^(1/4)*EllipticE[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/((a - b + c)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) + (c^(1/4)*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(2*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[c])*(a - b + c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) - ((Sqrt[a] - Sqrt[c])*c^(1/4)*EllipticF[2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(2*a^(1/4)*(b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[c])*(a - b + c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) - ((Sqrt[a] + Sqrt[c])*EllipticPi[-((Sqrt[a] - Sqrt[c])^2/(4*Sqrt[a]*Sqrt[c])), 2*ArcTan[(c^(1/4)*Tan[d + e*x])/a^(1/4)], (1/4)*(2 - b/(Sqrt[a]*Sqrt[c]))]*(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)*Sqrt[(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)/(Sqrt[a] + Sqrt[c]*Tan[d + e*x]^2)^2])/(4*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[c])*c^(1/4)*(a - b + c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])}
+(* {Cot[d + e*x]^2/(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)^(3/2), x, 21, (Cot[d + e*x]*(b^2 - 2*a*c + b*c*Tan[d + e*x]^2))/(a*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) + ((b^2 - 3*a*c)*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[-c]*Tan[d + e*x])/Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]], (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])]*Sqrt[1 + (2*c*Tan[d + e*x]^2)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])]*Sqrt[1 + (2*c*Tan[d + e*x]^2)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(Sqrt[2]*a^2*Sqrt[-c]*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) - (Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*(b^3 - 4*a*b*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(b^2 - 3*a*c))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[-c]*Tan[d + e*x])/Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]], (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])]*Sqrt[1 + (2*c*Tan[d + e*x]^2)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])]*Sqrt[1 + (2*c*Tan[d + e*x]^2)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])/(Sqrt[2]*a^2*Sqrt[-c]*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) - (2*(b^2 - 3*a*c)*Cot[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*e) - ((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])^2*Tan[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(4*a^2*(a - b + c)*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e*(1 + (2*c*Tan[d + e*x]^2)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))) + (b*c*Tan[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(a^2*(b^2 - 4*a*c)*(1 - (2*c)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))*e*(1 + (2*c*Tan[d + e*x]^2)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))) + (c*(1 + b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[d + e*x]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(a^2*(b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e*(1 + (2*c*Tan[d + e*x]^2)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]))*(1 + (2*c*Tan[d + e*x]^2)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]))) - (Sqrt[-c]*Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[-c]*Tan[d + e*x])/Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]], (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(Sqrt[2]*a*(a - b + c)*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e*Sqrt[1 + (2*c*Tan[d + e*x]^2)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])]*Sqrt[1 + (2*c*Tan[d + e*x]^2)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])]) + (b*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])^3*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])^(5/2)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[-c]*Tan[d + e*x])/Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]], (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(16*Sqrt[2]*a^4*(-c)^(3/2)*(b^2 - 4*a*c)*(b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e*Sqrt[1 + (2*c*Tan[d + e*x]^2)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])]*Sqrt[1 + (2*c*Tan[d + e*x]^2)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])]) - ((b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])^2*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])^(5/2)*(b^2 - 4*a*c - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c])*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[-c]*Tan[d + e*x])/Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]], (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(16*Sqrt[2]*a^4*(-c)^(3/2)*(b^2 - 4*a*c)*(b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e*Sqrt[1 + (2*c*Tan[d + e*x]^2)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])]*Sqrt[1 + (2*c*Tan[d + e*x]^2)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])]) - (Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*EllipticPi[(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])/(2*c), ArcSin[(Sqrt[2]*Sqrt[-c]*Tan[d + e*x])/Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]], (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])/(Sqrt[2]*a*Sqrt[-c]*(a - b + c)*e*Sqrt[1 + (2*c*Tan[d + e*x]^2)/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])]*Sqrt[1 + (2*c*Tan[d + e*x]^2)/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])])} *)
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+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.0 (a trg)^m (b cot)^n.m	
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+{(c*Cot[a + b*x])^(7/2), x, 13, (c^(7/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(Sqrt[2]*b) - (c^(7/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(Sqrt[2]*b) + (2*c^3*Sqrt[c*Cot[a + b*x]])/b - (2*c*(c*Cot[a + b*x])^(5/2))/(5*b) + (c^(7/2)*Log[Sqrt[c] + Sqrt[c]*Cot[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]]])/(2*Sqrt[2]*b) - (c^(7/2)*Log[Sqrt[c] + Sqrt[c]*Cot[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]]])/(2*Sqrt[2]*b)}
+{(c*Cot[a + b*x])^(5/2), x, 12, -((c^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(Sqrt[2]*b)) + (c^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(Sqrt[2]*b) - (2*c*(c*Cot[a + b*x])^(3/2))/(3*b) + (c^(5/2)*Log[Sqrt[c] + Sqrt[c]*Cot[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]]])/(2*Sqrt[2]*b) - (c^(5/2)*Log[Sqrt[c] + Sqrt[c]*Cot[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]]])/(2*Sqrt[2]*b)}
+{(c*Cot[a + b*x])^(3/2), x, 12, -((c^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(Sqrt[2]*b)) + (c^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(Sqrt[2]*b) - (2*c*Sqrt[c*Cot[a + b*x]])/b - (c^(3/2)*Log[Sqrt[c] + Sqrt[c]*Cot[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]]])/(2*Sqrt[2]*b) + (c^(3/2)*Log[Sqrt[c] + Sqrt[c]*Cot[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]]])/(2*Sqrt[2]*b)}
+{(c*Cot[a + b*x])^(1/2), x, 11, (Sqrt[c]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(Sqrt[2]*b) - (Sqrt[c]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(Sqrt[2]*b) - (Sqrt[c]*Log[Sqrt[c] + Sqrt[c]*Cot[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]]])/(2*Sqrt[2]*b) + (Sqrt[c]*Log[Sqrt[c] + Sqrt[c]*Cot[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]]])/(2*Sqrt[2]*b)}
+{1/(c*Cot[a + b*x])^(1/2), x, 11, ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]])/Sqrt[c]]/(Sqrt[2]*b*Sqrt[c]) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]])/Sqrt[c]]/(Sqrt[2]*b*Sqrt[c]) + Log[Sqrt[c] + Sqrt[c]*Cot[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]]]/(2*Sqrt[2]*b*Sqrt[c]) - Log[Sqrt[c] + Sqrt[c]*Cot[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]]]/(2*Sqrt[2]*b*Sqrt[c])}
+{1/(c*Cot[a + b*x])^(3/2), x, 12, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]])/Sqrt[c]]/(Sqrt[2]*b*c^(3/2))) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]])/Sqrt[c]]/(Sqrt[2]*b*c^(3/2)) + 2/(b*c*Sqrt[c*Cot[a + b*x]]) + Log[Sqrt[c] + Sqrt[c]*Cot[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]]]/(2*Sqrt[2]*b*c^(3/2)) - Log[Sqrt[c] + Sqrt[c]*Cot[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]]]/(2*Sqrt[2]*b*c^(3/2))}
+{1/(c*Cot[a + b*x])^(5/2), x, 12, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]])/Sqrt[c]]/(Sqrt[2]*b*c^(5/2))) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]])/Sqrt[c]]/(Sqrt[2]*b*c^(5/2)) + 2/(3*b*c*(c*Cot[a + b*x])^(3/2)) - Log[Sqrt[c] + Sqrt[c]*Cot[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]]]/(2*Sqrt[2]*b*c^(5/2)) + Log[Sqrt[c] + Sqrt[c]*Cot[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]]]/(2*Sqrt[2]*b*c^(5/2))}
+{1/(c*Cot[a + b*x])^(7/2), x, 13, ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]])/Sqrt[c]]/(Sqrt[2]*b*c^(7/2)) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]])/Sqrt[c]]/(Sqrt[2]*b*c^(7/2)) + 2/(5*b*c*(c*Cot[a + b*x])^(5/2)) - 2/(b*c^3*Sqrt[c*Cot[a + b*x]]) - Log[Sqrt[c] + Sqrt[c]*Cot[a + b*x] - Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]]]/(2*Sqrt[2]*b*c^(7/2)) + Log[Sqrt[c] + Sqrt[c]*Cot[a + b*x] + Sqrt[2]*Sqrt[c*Cot[a + b*x]]]/(2*Sqrt[2]*b*c^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Cot[c+d x])^(n/3)*)
+
+
+{(c*Cot[a + b*x])^(4/3), x, 13, (c^(4/3)*ArcTan[(c*Cot[a + b*x])^(1/3)/c^(1/3)])/b - (c^(4/3)*ArcTan[Sqrt[3] - (2*(c*Cot[a + b*x])^(1/3))/c^(1/3)])/(2*b) + (c^(4/3)*ArcTan[Sqrt[3] + (2*(c*Cot[a + b*x])^(1/3))/c^(1/3)])/(2*b) - (3*c*(c*Cot[a + b*x])^(1/3))/b - (Sqrt[3]*c^(4/3)*Log[c^(2/3) - Sqrt[3]*c^(1/3)*(c*Cot[a + b*x])^(1/3) + (c*Cot[a + b*x])^(2/3)])/(4*b) + (Sqrt[3]*c^(4/3)*Log[c^(2/3) + Sqrt[3]*c^(1/3)*(c*Cot[a + b*x])^(1/3) + (c*Cot[a + b*x])^(2/3)])/(4*b)}
+{(c*Cot[a + b*x])^(2/3), x, 12, -((c^(2/3)*ArcTan[(c*Cot[a + b*x])^(1/3)/c^(1/3)])/b) + (c^(2/3)*ArcTan[Sqrt[3] - (2*(c*Cot[a + b*x])^(1/3))/c^(1/3)])/(2*b) - (c^(2/3)*ArcTan[Sqrt[3] + (2*(c*Cot[a + b*x])^(1/3))/c^(1/3)])/(2*b) - (Sqrt[3]*c^(2/3)*Log[c^(2/3) - Sqrt[3]*c^(1/3)*(c*Cot[a + b*x])^(1/3) + (c*Cot[a + b*x])^(2/3)])/(4*b) + (Sqrt[3]*c^(2/3)*Log[c^(2/3) + Sqrt[3]*c^(1/3)*(c*Cot[a + b*x])^(1/3) + (c*Cot[a + b*x])^(2/3)])/(4*b)}
+{(c*Cot[a + b*x])^(1/3), x, 9, (Sqrt[3]*c^(1/3)*ArcTan[(c^(2/3) - 2*(c*Cot[a + b*x])^(2/3))/(Sqrt[3]*c^(2/3))])/(2*b) + (c^(1/3)*Log[c^(2/3) + (c*Cot[a + b*x])^(2/3)])/(2*b) - (c^(1/3)*Log[c^(4/3) - c^(2/3)*(c*Cot[a + b*x])^(2/3) + (c*Cot[a + b*x])^(4/3)])/(4*b)}
+{1/(c*Cot[a + b*x])^(1/3), x, 9, (Sqrt[3]*ArcTan[(c^(2/3) - 2*(c*Cot[a + b*x])^(2/3))/(Sqrt[3]*c^(2/3))])/(2*b*c^(1/3)) - Log[c^(2/3) + (c*Cot[a + b*x])^(2/3)]/(2*b*c^(1/3)) + Log[c^(4/3) - c^(2/3)*(c*Cot[a + b*x])^(2/3) + (c*Cot[a + b*x])^(4/3)]/(4*b*c^(1/3))}
+{1/(c*Cot[a + b*x])^(2/3), x, 12, -(ArcTan[(c*Cot[a + b*x])^(1/3)/c^(1/3)]/(b*c^(2/3))) + ArcTan[Sqrt[3] - (2*(c*Cot[a + b*x])^(1/3))/c^(1/3)]/(2*b*c^(2/3)) - ArcTan[Sqrt[3] + (2*(c*Cot[a + b*x])^(1/3))/c^(1/3)]/(2*b*c^(2/3)) + (Sqrt[3]*Log[c^(2/3) - Sqrt[3]*c^(1/3)*(c*Cot[a + b*x])^(1/3) + (c*Cot[a + b*x])^(2/3)])/(4*b*c^(2/3)) - (Sqrt[3]*Log[c^(2/3) + Sqrt[3]*c^(1/3)*(c*Cot[a + b*x])^(1/3) + (c*Cot[a + b*x])^(2/3)])/(4*b*c^(2/3))}
+{1/(c*Cot[a + b*x])^(4/3), x, 13, ArcTan[(c*Cot[a + b*x])^(1/3)/c^(1/3)]/(b*c^(4/3)) - ArcTan[Sqrt[3] - (2*(c*Cot[a + b*x])^(1/3))/c^(1/3)]/(2*b*c^(4/3)) + ArcTan[Sqrt[3] + (2*(c*Cot[a + b*x])^(1/3))/c^(1/3)]/(2*b*c^(4/3)) + 3/(b*c*(c*Cot[a + b*x])^(1/3)) + (Sqrt[3]*Log[c^(2/3) - Sqrt[3]*c^(1/3)*(c*Cot[a + b*x])^(1/3) + (c*Cot[a + b*x])^(2/3)])/(4*b*c^(4/3)) - (Sqrt[3]*Log[c^(2/3) + Sqrt[3]*c^(1/3)*(c*Cot[a + b*x])^(1/3) + (c*Cot[a + b*x])^(2/3)])/(4*b*c^(4/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Cot[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Cot[a + b*x]^n, x, 2, -((Cot[a + b*x]^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Cot[a + b*x]^2])/(b*(1 + n)))}
+
+
+{(b*Cot[c + d*x])^n, x, 2, -(((b*Cot[c + d*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Cot[c + d*x]^2])/(b*d*(1 + n)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Cot[c+d x]^p)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Cot[c+d x]^2)^(n/2)*)
+
+
+{(a*Cot[x]^2)^(3/2),x, 3, (-(1/2))*a*Cot[x]*Sqrt[a*Cot[x]^2] - a*Sqrt[a*Cot[x]^2]*Log[Sin[x]]*Tan[x]}
+{Sqrt[a*Cot[x]^2], x, 2, Sqrt[a*Cot[x]^2]*Log[Sin[x]]*Tan[x]}
+{1/Sqrt[a*Cot[x]^2], x, 2, -((Cot[x]*Log[Cos[x]])/Sqrt[a*Cot[x]^2])}
+{1/(a*Cot[x]^2)^(3/2),x, 3, (Cot[x]*Log[Cos[x]])/(a*Sqrt[a*Cot[x]^2]) + Tan[x]/(2*a*Sqrt[a*Cot[x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Cot[c+d x]^3)^(n/2)*)
+
+
+{(a*Cot[x]^3)^(3/2), x, 14, (2/3)*a*Sqrt[a*Cot[x]^3] + (a*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[x]]]*Sqrt[a*Cot[x]^3])/(Sqrt[2]*Cot[x]^(3/2)) - (a*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[x]]]*Sqrt[a*Cot[x]^3])/(Sqrt[2]*Cot[x]^(3/2)) - (2/7)*a*Cot[x]^2*Sqrt[a*Cot[x]^3] - (a*Sqrt[a*Cot[x]^3]*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[x]] + Cot[x]])/(2*Sqrt[2]*Cot[x]^(3/2)) + (a*Sqrt[a*Cot[x]^3]*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[x]] + Cot[x]])/(2*Sqrt[2]*Cot[x]^(3/2))}
+{Sqrt[a*Cot[x]^3], x, 13, -((ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[x]]]*Sqrt[a*Cot[x]^3])/(Sqrt[2]*Cot[x]^(3/2))) + (ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[x]]]*Sqrt[a*Cot[x]^3])/(Sqrt[2]*Cot[x]^(3/2)) - (Sqrt[a*Cot[x]^3]*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[x]] + Cot[x]])/(2*Sqrt[2]*Cot[x]^(3/2)) + (Sqrt[a*Cot[x]^3]*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[x]] + Cot[x]])/(2*Sqrt[2]*Cot[x]^(3/2)) - 2*Sqrt[a*Cot[x]^3]*Tan[x]}
+{1/Sqrt[a*Cot[x]^3], x, 13, (2*Cot[x])/Sqrt[a*Cot[x]^3] - (ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[x]]]*Cot[x]^(3/2))/(Sqrt[2]*Sqrt[a*Cot[x]^3]) + (ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[x]]]*Cot[x]^(3/2))/(Sqrt[2]*Sqrt[a*Cot[x]^3]) + (Cot[x]^(3/2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[x]] + Cot[x]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a*Cot[x]^3]) - (Cot[x]^(3/2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[x]] + Cot[x]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a*Cot[x]^3])}
+{1/(a*Cot[x]^3)^(3/2),x, 14, -(2/(3*a*Sqrt[a*Cot[x]^3])) + (ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[x]]]*Cot[x]^(3/2))/(Sqrt[2]*a*Sqrt[a*Cot[x]^3]) - (ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[x]]]*Cot[x]^(3/2))/(Sqrt[2]*a*Sqrt[a*Cot[x]^3]) + (Cot[x]^(3/2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[x]] + Cot[x]])/(2*Sqrt[2]*a*Sqrt[a*Cot[x]^3]) - (Cot[x]^(3/2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[x]] + Cot[x]])/(2*Sqrt[2]*a*Sqrt[a*Cot[x]^3]) + (2*Tan[x]^2)/(7*a*Sqrt[a*Cot[x]^3])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Cot[c+d x]^4)^(n/2)*)
+
+
+{(a*Cot[x]^4)^(3/2),x, 5, (1/3)*a*Cot[x]*Sqrt[a*Cot[x]^4] - (1/5)*a*Cot[x]^3*Sqrt[a*Cot[x]^4] - a*Sqrt[a*Cot[x]^4]*Tan[x] - a*x*Sqrt[a*Cot[x]^4]*Tan[x]^2}
+{Sqrt[a*Cot[x]^4], x, 3, (-Sqrt[a*Cot[x]^4])*Tan[x] - x*Sqrt[a*Cot[x]^4]*Tan[x]^2}
+{1/Sqrt[a*Cot[x]^4], x, 3, Cot[x]/Sqrt[a*Cot[x]^4] - (x*Cot[x]^2)/Sqrt[a*Cot[x]^4]}
+{1/(a*Cot[x]^4)^(3/2),x, 5, Cot[x]/(a*Sqrt[a*Cot[x]^4]) - (x*Cot[x]^2)/(a*Sqrt[a*Cot[x]^4]) - Tan[x]/(3*a*Sqrt[a*Cot[x]^4]) + Tan[x]^3/(5*a*Sqrt[a*Cot[x]^4])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Cot[c+d x]^p)^n with n symbolic*)
+
+
+{(b*Cot[c + d*x]^p)^n, x, 3, -((Cot[c + d*x]*(b*Cot[c + d*x]^p)^n*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), -Cot[c + d*x]^2])/(d*(1 + n*p)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a (b Cot[c+d x])^p)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a (b Cot[c+d x])^p)^n with n symbolic*)
+
+
+{(a*(b*Cot[c + d*x])^p)^n, x, 3, -((Cot[c + d*x]*(a*(b*Cot[c + d*x])^p)^n*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + n*p), (1/2)*(3 + n*p), -Cot[c + d*x]^2])/(d*(1 + n*p)))}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a Trg[e+f x])^m (b Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[e+f x])^m (b Cot[e+f x])^n*)
+
+
+{(a*Sin[e + f*x])^m*(b*Cot[e + f*x])^n, x, 2, -(((b*Cot[e + f*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (1/2)*(1 - m + n), (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(a*Sin[e + f*x])^m*(Sin[e + f*x]^2)^((1/2)*(1 - m + n)))/(b*f*(1 + n)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[e+f x])^m (b Cot[e+f x])^n*)
+
+
+{(a*Cos[e + f*x])^m*(b*Cot[e + f*x])^n, x, 2, -(((a*Cos[e + f*x])^m*(b*Cot[e + f*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (1/2)*(1 + m + n), (1/2)*(3 + m + n), Cos[e + f*x]^2]*(Sin[e + f*x]^2)^((1 + n)/2))/(b*f*(1 + m + n)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cot[e+f x])^m (b Cot[e+f x])^n*)
+
+
+{(a*Cot[e + f*x])^m*(b*Cot[e + f*x])^n, x, 3, -(((a*Cot[e + f*x])^(1 + m)*(b*Cot[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + m + n), (1/2)*(3 + m + n), -Cot[e + f*x]^2])/(a*f*(1 + m + n)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[e+f x])^m (b Cot[e+f x])^n*)
+
+
+{(a*Sec[e + f*x])^m*(b*Cot[e + f*x])^n, x, 3, -(((b*Cot[e + f*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (1/2)*(1 - m + n), (1/2)*(3 - m + n), Cos[e + f*x]^2]*(a*Sec[e + f*x])^m*(Sin[e + f*x]^2)^((1 + n)/2))/(b*f*(1 - m + n)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Csc[e+f x])^m (b Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Csc[e+f x]^m (b Cot[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a Csc[e+f x])^(m/2) (b Cot[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Csc[e+f x])^m (b Cot[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Csc[e + f*x]^6*(d*Cot[e + f*x])^n, x, 3, -((d*Cot[e + f*x])^(1 + n)/(d*f*(1 + n))) - (2*(d*Cot[e + f*x])^(3 + n))/(d^3*f*(3 + n)) - (d*Cot[e + f*x])^(5 + n)/(d^5*f*(5 + n))}
+{Csc[e + f*x]^4*(d*Cot[e + f*x])^n, x, 3, -((d*Cot[e + f*x])^(1 + n)/(d*f*(1 + n))) - (d*Cot[e + f*x])^(3 + n)/(d^3*f*(3 + n))}
+{Csc[e + f*x]^2*(d*Cot[e + f*x])^n, x, 2, -((d*Cot[e + f*x])^(1 + n)/(d*f*(1 + n)))}
+{Sin[e + f*x]^2*(d*Cot[e + f*x])^n, x, 2, -(((d*Cot[e + f*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Cot[e + f*x]^2])/(d*f*(1 + n)))}
+{Sin[e + f*x]^4*(d*Cot[e + f*x])^n, x, 2, -(((d*Cot[e + f*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[3, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Cot[e + f*x]^2])/(d*f*(1 + n)))}
+
+{Csc[e + f*x]^3*(d*Cot[e + f*x])^n, x, 1, -(((d*Cot[e + f*x])^(1 + n)*Csc[e + f*x]^3*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (4 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(Sin[e + f*x]^2)^((4 + n)/2))/(d*f*(1 + n)))}
+{Csc[e + f*x]^1*(d*Cot[e + f*x])^n, x, 1, -(((d*Cot[e + f*x])^(1 + n)*Csc[e + f*x]*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (2 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(Sin[e + f*x]^2)^((2 + n)/2))/(d*f*(1 + n)))}
+{Sin[e + f*x]^1*(d*Cot[e + f*x])^n, x, 1, -(((d*Cot[e + f*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[n/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^(n/2))/(d*f*(1 + n)))}
+{Sin[e + f*x]^3*(d*Cot[e + f*x])^n, x, 1, -(((d*Cot[e + f*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-2 + n), (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^3*(Sin[e + f*x]^2)^((1/2)*(-2 + n)))/(d*f*(1 + n)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Csc[e+f x])^m (b Cot[e+f x])^n with m and n symbolic*)
+
+
+{(a*Csc[e + f*x])^m*(b*Cot[e + f*x])^n, x, 1, -(((b*Cot[e + f*x])^(1 + n)*(a*Csc[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (1/2)*(1 + m + n), (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(Sin[e + f*x]^2)^((1/2)*(1 + m + n)))/(b*f*(1 + n)))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.1.2 (d csc)^m (a+b cot)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.1.2 (d csc)^m (a+b cot)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..d444fa40
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.1.2 (d csc)^m (a+b cot)^n.m	
@@ -0,0 +1,93 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^m (a+b Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^m (a+b Cot[e+f x])^n with a^2+b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Csc[e+f x]^m (a+a I Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sin[x]^4/(I + Cot[x]), x, 4, -((5*I*x)/16) + 1/(32*(I - Cot[x])^2) - I/(8*(I - Cot[x])) - I/(24*(I + Cot[x])^3) - 3/(32*(I + Cot[x])^2) + (3*I)/(16*(I + Cot[x]))}
+{Sin[x]^3/(I + Cot[x]), x, 3, (4/5)*I*Cos[x] - (4/15)*I*Cos[x]^3 + (I*Sin[x]^3)/(5*(I + Cot[x]))}
+{Sin[x]^2/(I + Cot[x]), x, 4, -((3*I*x)/8) - I/(8*(I - Cot[x])) - 1/(8*(I + Cot[x])^2) + I/(4*(I + Cot[x]))}
+{Sin[x]^1/(I + Cot[x]), x, 2, (2/3)*I*Cos[x] + (I*Sin[x])/(3*(I + Cot[x]))}
+{Csc[x]^1/(I + Cot[x]), x, 1, (I*Csc[x])/(I + Cot[x])}
+{Csc[x]^2/(I + Cot[x]), x, 2, (-I)*x + Log[Sin[x]]}
+{Csc[x]^3/(I + Cot[x]), x, 2, I*ArcTanh[Cos[x]] - Csc[x]}
+{Csc[x]^4/(I + Cot[x]), x, 2, I*Cot[x] - Cot[x]^2/2}
+{Csc[x]^5/(I + Cot[x]), x, 3, (1/2)*I*ArcTanh[Cos[x]] + (1/2)*I*Cot[x]*Csc[x] - Csc[x]^3/3}
+{Csc[x]^6/(I + Cot[x]), x, 3, I*Cot[x] - Cot[x]^2/2 + (1/3)*I*Cot[x]^3 - Cot[x]^4/4}
+{Csc[x]^7/(I + Cot[x]), x, 4, (3/8)*I*ArcTanh[Cos[x]] + (3/8)*I*Cot[x]*Csc[x] + (1/4)*I*Cot[x]*Csc[x]^3 - Csc[x]^5/5}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^m (a+b Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Csc[e+f x]^m (a+b Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Csc[x]^6/(a + b*Cot[x]), x, 3, (a*(a^2 + 2*b^2)*Cot[x])/b^4 - ((a^2 + 2*b^2)*Cot[x]^2)/(2*b^3) + (a*Cot[x]^3)/(3*b^2) - Cot[x]^4/(4*b) - ((a^2 + b^2)^2*Log[a + b*Cot[x]])/b^5}
+{Csc[x]^4/(a + b*Cot[x]), x, 3, (a*Cot[x])/b^2 - Cot[x]^2/(2*b) - ((a^2 + b^2)*Log[a + b*Cot[x]])/b^3}
+{Csc[x]^2/(a + b*Cot[x]), x, 2, -(Log[a + b*Cot[x]]/b)}
+{Sin[x]^2/(a + b*Cot[x]), x, 7, (a*(a^2 + 3*b^2)*x)/(2*(a^2 + b^2)^2) - (b^3*Log[b*Cos[x] + a*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^2 - ((b + a*Cot[x])*Sin[x]^2)/(2*(a^2 + b^2))}
+{Sin[x]^4/(a + b*Cot[x]), x, 8, (a*(3*a^4 + 10*a^2*b^2 + 15*b^4)*x)/(8*(a^2 + b^2)^3) - (b^5*Log[b*Cos[x] + a*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^3 - ((4*b^3 + a*(3*a^2 + 7*b^2)*Cot[x])*Sin[x]^2)/(8*(a^2 + b^2)^2) - ((b + a*Cot[x])*Sin[x]^4)/(4*(a^2 + b^2))}
+
+{Csc[x]^5/(a + b*Cot[x]), x, 9, (a*ArcTanh[Cos[x]])/(2*b^2) + (a*(a^2 + b^2)*ArcTanh[Cos[x]])/b^4 + ((a^2 + b^2)^(3/2)*ArcTanh[((b - a*Cot[x])*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/b^4 - ((a^2 + b^2)*Csc[x])/b^3 + (a*Cot[x]*Csc[x])/(2*b^2) - Csc[x]^3/(3*b)}
+{Csc[x]^3/(a + b*Cot[x]), x, 5, (a*ArcTanh[Cos[x]])/b^2 + (Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[((b - a*Cot[x])*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/b^2 - Csc[x]/b}
+{Csc[x]^1/(a + b*Cot[x]), x, 2, -(ArcTanh[((-b + a*Cot[x])*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]]/Sqrt[a^2 + b^2])}
+{Sin[x]^1/(a + b*Cot[x]), x, 5, (b^2*ArcTanh[((b - a*Cot[x])*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(3/2) - (a*Cos[x])/(a^2 + b^2) - (b*Sin[x])/(a^2 + b^2)}
+{Sin[x]^3/(a + b*Cot[x]), x, 9, (b^4*ArcTanh[((b - a*Cot[x])*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2) - (a*b^2*Cos[x])/(a^2 + b^2)^2 - (a*Cos[x])/(a^2 + b^2) + (a*Cos[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)) - (b^3*Sin[x])/(a^2 + b^2)^2 - (b*Sin[x]^3)/(3*(a^2 + b^2))}
+
+
+{Csc[x]^2/(a + b*Cot[x])^2, x, 2, 1/(b*(a + b*Cot[x]))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Csc[e+f x]^m (a+b Cot[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Csc[e+f x]^(m/2) (a+b Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Csc[e+f x]^(m/2) (a+b Cot[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^m (a+b Cot[e+f x])^n with n symbolic*)
+(**)
+
+
+{Csc[x]^2*(a + b*Cot[x])^n, x, 2, -((a + b*Cot[x])^(1 + n)/(b*(1 + n)))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^(m/2) (a+b Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^(m/2) (a+b Cot[e+f x])^(n/2)*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.1.3 (d cos)^m (a+b cot)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.1.3 (d cos)^m (a+b cot)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..4ac84b55
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.1.3 (d cos)^m (a+b cot)^n.m	
@@ -0,0 +1,62 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Cot[e+f x])^n with a^2+b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cot[e+f x])^n when a^2+b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[x]^4/(I + Cot[x]), x, 5, -((I*x)/16) + 1/(32*(I - Cot[x])^2) + I/(8*(I - Cot[x])) - I/(24*(I + Cot[x])^3) + 5/(32*(I + Cot[x])^2) + (3*I)/(16*(I + Cot[x]))}
+{Cos[x]^3/(I + Cot[x]), x, 9, (-(1/5))*Cos[x]^5 - (1/3)*I*Sin[x]^3 + (1/5)*I*Sin[x]^5}
+{Cos[x]^2/(I + Cot[x]), x, 5, -((I*x)/8) + I/(8*(I - Cot[x])) + 1/(8*(I + Cot[x])^2) + I/(4*(I + Cot[x]))}
+{Cos[x]^1/(I + Cot[x]), x, 8, (-(1/3))*Cos[x]^3 - (1/3)*I*Sin[x]^3}
+{Sec[x]^1/(I + Cot[x]), x, 8, (-I)*ArcTanh[Sin[x]] - Cos[x] + I*Sin[x]}
+{Sec[x]^2/(I + Cot[x]), x, 3, I*x - Log[Sin[x]] + Log[Tan[x]] - I*Tan[x]}
+{Sec[x]^3/(I + Cot[x]), x, 8, (1/2)*I*ArcTanh[Sin[x]] + Sec[x] - (1/2)*I*Sec[x]*Tan[x]}
+{Sec[x]^4/(I + Cot[x]), x, 4, Tan[x]^2/2 - (1/3)*I*Tan[x]^3}
+{Sec[x]^5/(I + Cot[x]), x, 9, (1/8)*I*ArcTanh[Sin[x]] + Sec[x]^3/3 + (1/8)*I*Sec[x]*Tan[x] - (1/4)*I*Sec[x]^3*Tan[x]}
+{Sec[x]^6/(I + Cot[x]), x, 4, Tan[x]^2/2 - (1/3)*I*Tan[x]^3 + Tan[x]^4/4 - (1/5)*I*Tan[x]^5}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^m (a+b Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[e+f x]^m (a+b Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[x]^4/(a + b*Cot[x]), x, 8, (a*(3*a^4 - 6*a^2*b^2 - b^4)*x)/(8*(a^2 + b^2)^3) - (a^4*b*Log[b*Cos[x] + a*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^3 + ((4*b*(2*a^2 + b^2) + a*(5*a^2 + b^2)*Cot[x])*Sin[x]^2)/(8*(a^2 + b^2)^2) - ((b + a*Cot[x])*Sin[x]^4)/(4*(a^2 + b^2))}
+{Cos[x]^3/(a + b*Cot[x]), x, 10, (a^3*b*ArcTanh[(a*Cos[x] - b*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2) - (a^2*b*Cos[x])/(a^2 + b^2)^2 - (b*Cos[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)) - (a*b^2*Sin[x])/(a^2 + b^2)^2 + (a*Sin[x])/(a^2 + b^2) - (a*Sin[x]^3)/(3*(a^2 + b^2))}
+{Cos[x]^2/(a + b*Cot[x]), x, 7, (a*(a^2 - b^2)*x)/(2*(a^2 + b^2)^2) - (a^2*b*Log[b*Cos[x] + a*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^2 + ((b + a*Cot[x])*Sin[x]^2)/(2*(a^2 + b^2))}
+{Cos[x]^1/(a + b*Cot[x]), x, 6, (a*b*ArcTanh[(a*Cos[x] - b*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(3/2) - (b*Cos[x])/(a^2 + b^2) + (a*Sin[x])/(a^2 + b^2)}
+{Sec[x]^1/(a + b*Cot[x]), x, 6, ArcTanh[Sin[x]]/a + (b*ArcTanh[(a*Cos[x] - b*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a*Sqrt[a^2 + b^2])}
+{Sec[x]^2/(a + b*Cot[x]), x, 3, -((b*Log[a + b*Cot[x]])/a^2) - (b*Log[Tan[x]])/a^2 + Tan[x]/a}
+{Sec[x]^3/(a + b*Cot[x]), x, 9, ArcTanh[Sin[x]]/(2*a) + (b^2*ArcTanh[Sin[x]])/a^3 + (b*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(a*Cos[x] - b*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/a^3 - (b*Sec[x])/a^2 + (Sec[x]*Tan[x])/(2*a)}
+{Sec[x]^4/(a + b*Cot[x]), x, 3, -((b*(a^2 + b^2)*Log[a + b*Cot[x]])/a^4) - (b*(a^2 + b^2)*Log[Tan[x]])/a^4 + ((a^2 + b^2)*Tan[x])/a^3 - (b*Tan[x]^2)/(2*a^2) + Tan[x]^3/(3*a)}
+
+
+(* Following hangs Mathematica 6 & 7: *) 
+{Sec[x]/(1 + 2*Cot[x]), x, 6, (2*ArcTanh[(Cos[x] - 2*Sin[x])/Sqrt[5]])/Sqrt[5] + ArcTanh[Sin[x]]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.10 (c+d x)^m (a+b cot)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.10 (c+d x)^m (a+b cot)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..9fd722a6
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.10 (c+d x)^m (a+b cot)^n.m	
@@ -0,0 +1,137 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cot[a+b x]^n*)
+
+
+{x^3*Cot[a + b*x], x, 6, -((I*x^4)/4) + (x^3*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b - (3*I*x^2*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) + (3*x*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) + (3*I*PolyLog[4, E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^4)}
+{x^2*Cot[a + b*x], x, 5, -((I*x^3)/3) + (x^2*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b - (I*x*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 + PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))]/(2*b^3)}
+{x*Cot[a + b*x], x, 4, -((I*x^2)/2) + (x*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b - (I*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2)}
+{Cot[a + b*x]/x, x, 0, Unintegrable[Cot[a + b*x]/x, x]}
+{Cot[a + b*x]/x^2, x, 0, Unintegrable[Cot[a + b*x]/x^2, x]}
+
+
+{x^3*Cot[a + b*x]^2, x, 7, -((I*x^3)/b) - x^4/4 - (x^3*Cot[a + b*x])/b + (3*x^2*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (3*I*x*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (3*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^4)}
+{x^2*Cot[a + b*x]^2, x, 6, -((I*x^2)/b) - x^3/3 - (x^2*Cot[a + b*x])/b + (2*x*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (I*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^3}
+{x*Cot[a + b*x]^2, x, 3, -x^2/2 - (x*Cot[a + b*x])/b + Log[Sin[a + b*x]]/b^2}
+{Cot[a + b*x]^2/x, x, 0, Unintegrable[Cot[a + b*x]^2/x, x]}
+{Cot[a + b*x]^2/x^2, x, 0, Unintegrable[Cot[a + b*x]^2/x^2, x]}
+
+
+{x^3*Cot[a + b*x]^3, x, 13, -((3*I*x^2)/(2*b^2)) - x^3/(2*b) + (I*x^4)/4 - (3*x^2*Cot[a + b*x])/(2*b^2) - (x^3*Cot[a + b*x]^2)/(2*b) + (3*x*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 - (x^3*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b - (3*I*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^4) + (3*I*x^2*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*x*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) - (3*I*PolyLog[4, E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^4)}
+{x^2*Cot[a + b*x]^3, x, 9, -(x^2/(2*b)) + (I*x^3)/3 - (x*Cot[a + b*x])/b^2 - (x^2*Cot[a + b*x]^2)/(2*b) - (x^2*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b + Log[Sin[a + b*x]]/b^3 + (I*x*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))]/(2*b^3)}
+{x*Cot[a + b*x]^3, x, 7, -(x/(2*b)) + (I*x^2)/2 - Cot[a + b*x]/(2*b^2) - (x*Cot[a + b*x]^2)/(2*b) - (x*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b + (I*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2)}
+{Cot[a + b*x]^3/x, x, 0, Unintegrable[Cot[a + b*x]^3/x, x]}
+{Cot[a + b*x]^3/x^2, x, 0, Unintegrable[Cot[a + b*x]^3/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cot[a+b x]^(n/2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Cot[e+f x])^n with a^2+b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+I a Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + I*a*Cot[e + f*x]), x, 5, (((-3*I)/8)*d^3*x)/(a*f^3) - (3*d*(c + d*x)^2)/(8*a*f^2) + ((I/4)*(c + d*x)^3)/(a*f) + (c + d*x)^4/(8*a*d) - (3*d^3)/(8*f^4*(a + I*a*Cot[e + f*x])) + (((3*I)/4)*d^2*(c + d*x))/(f^3*(a + I*a*Cot[e + f*x])) + (3*d*(c + d*x)^2)/(4*f^2*(a + I*a*Cot[e + f*x])) - ((I/2)*(c + d*x)^3)/(f*(a + I*a*Cot[e + f*x]))}
+{(c + d*x)^2/(a + I*a*Cot[e + f*x]), x, 4, -(d^2*x)/(4*a*f^2) + ((I/4)*(c + d*x)^2)/(a*f) + (c + d*x)^3/(6*a*d) + ((I/4)*d^2)/(f^3*(a + I*a*Cot[e + f*x])) + (d*(c + d*x))/(2*f^2*(a + I*a*Cot[e + f*x])) - ((I/2)*(c + d*x)^2)/(f*(a + I*a*Cot[e + f*x]))}
+{(c + d*x)^1/(a + I*a*Cot[e + f*x]), x, 3, ((I/4)*d*x)/(a*f) + (c + d*x)^2/(4*a*d) + d/(4*f^2*(a + I*a*Cot[e + f*x])) - ((I/2)*(c + d*x))/(f*(a + I*a*Cot[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)^1*(a + I*a*Cot[e + f*x])), x, 7, -(Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a*d) + Log[c + d*x]/(2*a*d) - ((I/2)*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sin[2*e - (2*c*f)/d])/(a*d) - ((I/2)*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d) + (Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a*d)}
+{1/((c + d*x)^2*(a + I*a*Cot[e + f*x])), x, 7, ((-I)*f*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^2) - 1/(d*(c + d*x)*(a + I*a*Cot[e + f*x])) + (f*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sin[2*e - (2*c*f)/d])/(a*d^2) + (f*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^2) + (I*f*Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^2)}
+{1/((c + d*x)^3*(a + I*a*Cot[e + f*x])), x, 8, ((I/2)*f)/(a*d^2*(c + d*x)) + (f^2*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^3) - 1/(2*d*(c + d*x)^2*(a + I*a*Cot[e + f*x])) - (I*f)/(d^2*(c + d*x)*(a + I*a*Cot[e + f*x])) + (I*f^2*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sin[2*e - (2*c*f)/d])/(a*d^3) + (I*f^2*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^3) - (f^2*Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^3)}
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + I*a*Cot[e + f*x])^2, x, 10, (3*d^3*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(16*a^2*f^4) - (3*d^3*E^((4*I)*e + (4*I)*f*x))/(512*a^2*f^4) - (((3*I)/8)*d^2*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x)*(c + d*x))/(a^2*f^3) + (((3*I)/128)*d^2*E^((4*I)*e + (4*I)*f*x)*(c + d*x))/(a^2*f^3) - (3*d*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(8*a^2*f^2) + (3*d*E^((4*I)*e + (4*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(64*a^2*f^2) + ((I/4)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x)*(c + d*x)^3)/(a^2*f) - ((I/16)*E^((4*I)*e + (4*I)*f*x)*(c + d*x)^3)/(a^2*f) + (c + d*x)^4/(16*a^2*d)}
+{(c + d*x)^2/(a + I*a*Cot[e + f*x])^2, x, 8, ((-I/8)*d^2*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a^2*f^3) + ((I/128)*d^2*E^((4*I)*e + (4*I)*f*x))/(a^2*f^3) - (d*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x)*(c + d*x))/(4*a^2*f^2) + (d*E^((4*I)*e + (4*I)*f*x)*(c + d*x))/(32*a^2*f^2) + ((I/4)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(a^2*f) - ((I/16)*E^((4*I)*e + (4*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(a^2*f) + (c + d*x)^3/(12*a^2*d)}
+{(c + d*x)^1/(a + I*a*Cot[e + f*x])^2, x, 7, (((3*I)/16)*d*x)/(a^2*f) - (d*x^2)/(8*a^2) + (x*(c + d*x))/(4*a^2) + d/(16*f^2*(a + I*a*Cot[e + f*x])^2) - ((I/4)*(c + d*x))/(f*(a + I*a*Cot[e + f*x])^2) + (3*d)/(16*f^2*(a^2 + I*a^2*Cot[e + f*x])) - ((I/4)*(c + d*x))/(f*(a^2 + I*a^2*Cot[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)^1*(a + I*a*Cot[e + f*x])^2), x, 21, -(Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a^2*d) + (Cos[4*e - (4*c*f)/d]*CosIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(4*a^2*d) + Log[c + d*x]/(4*a^2*d) + ((I/4)*CosIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x]*Sin[4*e - (4*c*f)/d])/(a^2*d) - ((I/2)*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sin[2*e - (2*c*f)/d])/(a^2*d) - ((I/2)*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a^2*d) + (Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a^2*d) + ((I/4)*Cos[4*e - (4*c*f)/d]*SinIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(a^2*d) - (Sin[4*e - (4*c*f)/d]*SinIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(4*a^2*d)}
+{1/((c + d*x)^2*(a + I*a*Cot[e + f*x])^2), x, 24, -(1/(4*a^2*d*(c + d*x))) + Cos[2*e + 2*f*x]/(2*a^2*d*(c + d*x)) - Cos[2*e + 2*f*x]^2/(4*a^2*d*(c + d*x)) - (I*f*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a^2*d^2) + (I*f*Cos[4*e - (4*c*f)/d]*CosIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(a^2*d^2) - (f*CosIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x]*Sin[4*e - (4*c*f)/d])/(a^2*d^2) + (f*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sin[2*e - (2*c*f)/d])/(a^2*d^2) + (I*Sin[2*e + 2*f*x])/(2*a^2*d*(c + d*x)) + Sin[2*e + 2*f*x]^2/(4*a^2*d*(c + d*x)) - (I*Sin[4*e + 4*f*x])/(4*a^2*d*(c + d*x)) + (f*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a^2*d^2) + (I*f*Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a^2*d^2) - (f*Cos[4*e - (4*c*f)/d]*SinIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(a^2*d^2) - (I*f*Sin[4*e - (4*c*f)/d]*SinIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(a^2*d^2)}
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + I*a*Cot[e + f*x])^3, x, 14, (9*d^3*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(64*a^3*f^4) - (9*d^3*E^((4*I)*e + (4*I)*f*x))/(1024*a^3*f^4) + (d^3*E^((6*I)*e + (6*I)*f*x))/(1728*a^3*f^4) - (((9*I)/32)*d^2*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x)*(c + d*x))/(a^3*f^3) + (((9*I)/256)*d^2*E^((4*I)*e + (4*I)*f*x)*(c + d*x))/(a^3*f^3) - ((I/288)*d^2*E^((6*I)*e + (6*I)*f*x)*(c + d*x))/(a^3*f^3) - (9*d*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(32*a^3*f^2) + (9*d*E^((4*I)*e + (4*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(128*a^3*f^2) - (d*E^((6*I)*e + (6*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(96*a^3*f^2) + (((3*I)/16)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x)*(c + d*x)^3)/(a^3*f) - (((3*I)/32)*E^((4*I)*e + (4*I)*f*x)*(c + d*x)^3)/(a^3*f) + ((I/48)*E^((6*I)*e + (6*I)*f*x)*(c + d*x)^3)/(a^3*f) + (c + d*x)^4/(32*a^3*d)}
+{(c + d*x)^2/(a + I*a*Cot[e + f*x])^3, x, 11, (((-3*I)/32)*d^2*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a^3*f^3) + (((3*I)/256)*d^2*E^((4*I)*e + (4*I)*f*x))/(a^3*f^3) - ((I/864)*d^2*E^((6*I)*e + (6*I)*f*x))/(a^3*f^3) - (3*d*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x)*(c + d*x))/(16*a^3*f^2) + (3*d*E^((4*I)*e + (4*I)*f*x)*(c + d*x))/(64*a^3*f^2) - (d*E^((6*I)*e + (6*I)*f*x)*(c + d*x))/(144*a^3*f^2) + (((3*I)/16)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(a^3*f) - (((3*I)/32)*E^((4*I)*e + (4*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(a^3*f) + ((I/48)*E^((6*I)*e + (6*I)*f*x)*(c + d*x)^2)/(a^3*f) + (c + d*x)^3/(24*a^3*d)}
+{(c + d*x)^1/(a + I*a*Cot[e + f*x])^3, x, 11, (((11*I)/96)*d*x)/(a^3*f) - (d*x^2)/(16*a^3) + (x*(c + d*x))/(8*a^3) + d/(36*f^2*(a + I*a*Cot[e + f*x])^3) - ((I/6)*(c + d*x))/(f*(a + I*a*Cot[e + f*x])^3) + (5*d)/(96*a*f^2*(a + I*a*Cot[e + f*x])^2) - ((I/8)*(c + d*x))/(a*f*(a + I*a*Cot[e + f*x])^2) + (11*d)/(96*f^2*(a^3 + I*a^3*Cot[e + f*x])) - ((I/8)*(c + d*x))/(f*(a^3 + I*a^3*Cot[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)^1*(a + I*a*Cot[e + f*x])^3), x, 53, (-3*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(8*a^3*d) + (3*Cos[4*e - (4*c*f)/d]*CosIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(8*a^3*d) - (Cos[6*e - (6*c*f)/d]*CosIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(8*a^3*d) + Log[c + d*x]/(8*a^3*d) - ((I/8)*CosIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x]*Sin[6*e - (6*c*f)/d])/(a^3*d) + (((3*I)/8)*CosIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x]*Sin[4*e - (4*c*f)/d])/(a^3*d) - (((3*I)/8)*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sin[2*e - (2*c*f)/d])/(a^3*d) - (((3*I)/8)*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a^3*d) + (3*Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(8*a^3*d) + (((3*I)/8)*Cos[4*e - (4*c*f)/d]*SinIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(a^3*d) - (3*Sin[4*e - (4*c*f)/d]*SinIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(8*a^3*d) - ((I/8)*Cos[6*e - (6*c*f)/d]*SinIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(a^3*d) + (Sin[6*e - (6*c*f)/d]*SinIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(8*a^3*d)}
+{1/((c + d*x)^2*(a + I*a*Cot[e + f*x])^3), x, 60, -(1/(8*a^3*d*(c + d*x))) + (9*Cos[2*e + 2*f*x])/(32*a^3*d*(c + d*x)) - (3*Cos[2*e + 2*f*x]^2)/(8*a^3*d*(c + d*x)) + Cos[2*e + 2*f*x]^3/(8*a^3*d*(c + d*x)) + (3*Cos[6*e + 6*f*x])/(32*a^3*d*(c + d*x)) - (3*I*f*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(4*a^3*d^2) + (3*I*f*Cos[4*e - (4*c*f)/d]*CosIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(2*a^3*d^2) - (3*I*f*Cos[6*e - (6*c*f)/d]*CosIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(4*a^3*d^2) + (3*f*CosIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x]*Sin[6*e - (6*c*f)/d])/(4*a^3*d^2) - (3*f*CosIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x]*Sin[4*e - (4*c*f)/d])/(2*a^3*d^2) + (3*f*CosIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sin[2*e - (2*c*f)/d])/(4*a^3*d^2) + (15*I*Sin[2*e + 2*f*x])/(32*a^3*d*(c + d*x)) + (3*Sin[2*e + 2*f*x]^2)/(8*a^3*d*(c + d*x)) - (I*Sin[2*e + 2*f*x]^3)/(8*a^3*d*(c + d*x)) - (3*I*Sin[4*e + 4*f*x])/(8*a^3*d*(c + d*x)) + (3*I*Sin[6*e + 6*f*x])/(32*a^3*d*(c + d*x)) + (3*f*Cos[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(4*a^3*d^2) + (3*I*f*Sin[2*e - (2*c*f)/d]*SinIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(4*a^3*d^2) - (3*f*Cos[4*e - (4*c*f)/d]*SinIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(2*a^3*d^2) - (3*I*f*Sin[4*e - (4*c*f)/d]*SinIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(2*a^3*d^2) + (3*f*Cos[6*e - (6*c*f)/d]*SinIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(4*a^3*d^2) + (3*I*f*Sin[6*e - (6*c*f)/d]*SinIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(4*a^3*d^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+I a Cot[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + I*a*Cot[e + f*x])^2, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(a + I*a*Cot[e + f*x])^2, x]}
+{(c + d*x)^m*(a + I*a*Cot[e + f*x])^1, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(a + I*a*Cot[e + f*x]), x]}
+{(c + d*x)^m/(a + I*a*Cot[e + f*x])^1, x, 2, (c + d*x)^(1 + m)/(2*a*d*(1 + m)) + (I*2^(-2 - m)*E^((2*I)*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-2*I)*f*(c + d*x))/d])/(a*f*(((-I)*f*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m/(a + I*a*Cot[e + f*x])^2, x, 4, (c + d*x)^(1 + m)/(4*a^2*d*(1 + m)) + (I*2^(-2 - m)*E^((2*I)*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-2*I)*f*(c + d*x))/d])/(a^2*f*(((-I)*f*(c + d*x))/d)^m) - (I*4^(-2 - m)*E^((4*I)*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-4*I)*f*(c + d*x))/d])/(a^2*f*(((-I)*f*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m/(a + I*a*Cot[e + f*x])^3, x, 5, (c + d*x)^(1 + m)/(8*a^3*d*(1 + m)) + ((3*I)*2^(-4 - m)*E^((2*I)*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-2*I)*f*(c + d*x))/d])/(a^3*f*(((-I)*f*(c + d*x))/d)^m) - ((3*I)*2^(-5 - 2*m)*E^((4*I)*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-4*I)*f*(c + d*x))/d])/(a^3*f*(((-I)*f*(c + d*x))/d)^m) + (I*2^(-4 - m)*3^(-1 - m)*E^((6*I)*(e - (c*f)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-6*I)*f*(c + d*x))/d])/(a^3*f*(((-I)*f*(c + d*x))/d)^m)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Cot[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + b*Cot[e + f*x]), x, 8, (a*(c + d*x)^4)/(4*d) - ((I/4)*b*(c + d*x)^4)/d + (b*(c + d*x)^3*Log[1 - E^((2*I)*(e + f*x))])/f - (((3*I)/2)*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2 + (3*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^((2*I)*(e + f*x))])/(2*f^3) + (((3*I)/4)*b*d^3*PolyLog[4, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^4}
+{(c + d*x)^2*(a + b*Cot[e + f*x]), x, 7, (a*(c + d*x)^3)/(3*d) - ((I/3)*b*(c + d*x)^3)/d + (b*(c + d*x)^2*Log[1 - E^((2*I)*(e + f*x))])/f - (I*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2 + (b*d^2*PolyLog[3, E^((2*I)*(e + f*x))])/(2*f^3)}
+{(c + d*x)^1*(a + b*Cot[e + f*x]), x, 6, (a*(c + d*x)^2)/(2*d) - ((I/2)*b*(c + d*x)^2)/d + (b*(c + d*x)*Log[1 - E^((2*I)*(e + f*x))])/f - ((I/2)*b*d*PolyLog[2, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2}
+{(a + b*Cot[e + f*x])/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Cot[e + f*x])/(c + d*x), x]}
+{(a + b*Cot[e + f*x])/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Cot[e + f*x])/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + b*Cot[e + f*x])^2, x, 15, ((-I)*b^2*(c + d*x)^3)/f + (a^2*(c + d*x)^4)/(4*d) - ((I/2)*a*b*(c + d*x)^4)/d - (b^2*(c + d*x)^4)/(4*d) - (b^2*(c + d*x)^3*Cot[e + f*x])/f + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 - E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2 + (2*a*b*(c + d*x)^3*Log[1 - E^((2*I)*(e + f*x))])/f - ((3*I)*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^3 - ((3*I)*a*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2 + (3*b^2*d^3*PolyLog[3, E^((2*I)*(e + f*x))])/(2*f^4) + (3*a*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^3 + (((3*I)/2)*a*b*d^3*PolyLog[4, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^4}
+{(c + d*x)^2*(a + b*Cot[e + f*x])^2, x, 13, ((-I)*b^2*(c + d*x)^2)/f + (a^2*(c + d*x)^3)/(3*d) - (((2*I)/3)*a*b*(c + d*x)^3)/d - (b^2*(c + d*x)^3)/(3*d) - (b^2*(c + d*x)^2*Cot[e + f*x])/f + (2*b^2*d*(c + d*x)*Log[1 - E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2 + (2*a*b*(c + d*x)^2*Log[1 - E^((2*I)*(e + f*x))])/f - (I*b^2*d^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^3 - ((2*I)*a*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2 + (a*b*d^2*PolyLog[3, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^3}
+{(c + d*x)^1*(a + b*Cot[e + f*x])^2, x, 9, -(b^2*c*x) - (b^2*d*x^2)/2 + (a^2*(c + d*x)^2)/(2*d) - (I*a*b*(c + d*x)^2)/d - (b^2*(c + d*x)*Cot[e + f*x])/f + (2*a*b*(c + d*x)*Log[1 - E^((2*I)*(e + f*x))])/f + (b^2*d*Log[Sin[e + f*x]])/f^2 - (I*a*b*d*PolyLog[2, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2}
+{(a + b*Cot[e + f*x])^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Cot[e + f*x])^2/(c + d*x), x]}
+{(a + b*Cot[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Cot[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + b*Cot[e + f*x])^3, x, 28, (((-3*I)/2)*b^3*d*(c + d*x)^2)/f^2 - ((3*I)*a*b^2*(c + d*x)^3)/f - (b^3*(c + d*x)^3)/(2*f) + (a^3*(c + d*x)^4)/(4*d) - (((3*I)/4)*a^2*b*(c + d*x)^4)/d - (3*a*b^2*(c + d*x)^4)/(4*d) + ((I/4)*b^3*(c + d*x)^4)/d - (3*b^3*d*(c + d*x)^2*Cot[e + f*x])/(2*f^2) - (3*a*b^2*(c + d*x)^3*Cot[e + f*x])/f - (b^3*(c + d*x)^3*Cot[e + f*x]^2)/(2*f) + (3*b^3*d^2*(c + d*x)*Log[1 - E^((2*I)*(e + f*x))])/f^3 + (9*a*b^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 - E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2 + (3*a^2*b*(c + d*x)^3*Log[1 - E^((2*I)*(e + f*x))])/f - (b^3*(c + d*x)^3*Log[1 - E^((2*I)*(e + f*x))])/f - (((3*I)/2)*b^3*d^3*PolyLog[2, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^4 - ((9*I)*a*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^3 - (((9*I)/2)*a^2*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2 + (((3*I)/2)*b^3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2 + (9*a*b^2*d^3*PolyLog[3, E^((2*I)*(e + f*x))])/(2*f^4) + (9*a^2*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^((2*I)*(e + f*x))])/(2*f^3) - (3*b^3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^((2*I)*(e + f*x))])/(2*f^3) + (((9*I)/4)*a^2*b*d^3*PolyLog[4, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^4 - (((3*I)/4)*b^3*d^3*PolyLog[4, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^4}
+{(c + d*x)^2*(a + b*Cot[e + f*x])^3, x, 22, -((b^3*c*d*x)/f) - (b^3*d^2*x^2)/(2*f) - ((3*I)*a*b^2*(c + d*x)^2)/f + (a^3*(c + d*x)^3)/(3*d) - (I*a^2*b*(c + d*x)^3)/d - (a*b^2*(c + d*x)^3)/d + ((I/3)*b^3*(c + d*x)^3)/d - (b^3*d*(c + d*x)*Cot[e + f*x])/f^2 - (3*a*b^2*(c + d*x)^2*Cot[e + f*x])/f - (b^3*(c + d*x)^2*Cot[e + f*x]^2)/(2*f) + (6*a*b^2*d*(c + d*x)*Log[1 - E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2 + (3*a^2*b*(c + d*x)^2*Log[1 - E^((2*I)*(e + f*x))])/f - (b^3*(c + d*x)^2*Log[1 - E^((2*I)*(e + f*x))])/f + (b^3*d^2*Log[Sin[e + f*x]])/f^3 - ((3*I)*a*b^2*d^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^3 - ((3*I)*a^2*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2 + (I*b^3*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2 + (3*a^2*b*d^2*PolyLog[3, E^((2*I)*(e + f*x))])/(2*f^3) - (b^3*d^2*PolyLog[3, E^((2*I)*(e + f*x))])/(2*f^3)}
+{(c + d*x)^1*(a + b*Cot[e + f*x])^3, x, 16, -3*a*b^2*c*x - (b^3*d*x)/(2*f) - (3*a*b^2*d*x^2)/2 + (a^3*(c + d*x)^2)/(2*d) - (((3*I)/2)*a^2*b*(c + d*x)^2)/d + ((I/2)*b^3*(c + d*x)^2)/d - (b^3*d*Cot[e + f*x])/(2*f^2) - (3*a*b^2*(c + d*x)*Cot[e + f*x])/f - (b^3*(c + d*x)*Cot[e + f*x]^2)/(2*f) + (3*a^2*b*(c + d*x)*Log[1 - E^((2*I)*(e + f*x))])/f - (b^3*(c + d*x)*Log[1 - E^((2*I)*(e + f*x))])/f + (3*a*b^2*d*Log[Sin[e + f*x]])/f^2 - (((3*I)/2)*a^2*b*d*PolyLog[2, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2 + ((I/2)*b^3*d*PolyLog[2, E^((2*I)*(e + f*x))])/f^2}
+{(a + b*Cot[e + f*x])^3/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Cot[e + f*x])^3/(c + d*x), x]}
+{(a + b*Cot[e + f*x])^3/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Cot[e + f*x])^3/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + b*Cot[e + f*x]), x, 6, (c + d*x)^4/(4*(a - I*b)*d) - (b*(c + d*x)^3*Log[1 - ((a + I*b)*E^(2*I*(e + f*x)))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)*f) + (3*I*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^(2*I*(e + f*x)))/(a - I*b)])/(2*(a^2 + b^2)*f^2) - (3*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, ((a + I*b)*E^(2*I*(e + f*x)))/(a - I*b)])/(2*(a^2 + b^2)*f^3) - (3*I*b*d^3*PolyLog[4, ((a + I*b)*E^(2*I*(e + f*x)))/(a - I*b)])/(4*(a^2 + b^2)*f^4)}
+{(c + d*x)^2/(a + b*Cot[e + f*x]), x, 5, (c + d*x)^3/(3*(a - I*b)*d) - (b*(c + d*x)^2*Log[1 - ((a + I*b)*E^(2*I*(e + f*x)))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)*f) + (I*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^(2*I*(e + f*x)))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)*f^2) - (b*d^2*PolyLog[3, ((a + I*b)*E^(2*I*(e + f*x)))/(a - I*b)])/(2*(a^2 + b^2)*f^3)}
+{(c + d*x)^1/(a + b*Cot[e + f*x]), x, 4, (c + d*x)^2/(2*(a - I*b)*d) - (b*(c + d*x)*Log[1 - ((a + I*b)*E^(2*I*(e + f*x)))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)*f) + (I*b*d*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^(2*I*(e + f*x)))/(a - I*b)])/(2*(a^2 + b^2)*f^2)}
+{1/((c + d*x)^1*(a + b*Cot[e + f*x])), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*Cot[e + f*x])), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + b*Cot[e + f*x])), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + b*Cot[e + f*x])), x]}
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + b*Cot[e + f*x])^2, x, 21, -((2*I*b^2*(c + d*x)^3)/((a^2 + b^2)^2*f)) - (2*b^2*(c + d*x)^3)/((a - I*b)*(a + I*b)^2*(I*a + b - (I*a - b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))*f) + (c + d*x)^4/(4*(a + I*b)^2*d) - (b*(c + d*x)^4)/((a + I*b)^2*(I*a + b)*d) - (b^2*(c + d*x)^4)/((a^2 + b^2)^2*d) + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 - ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^2) - (2*b*(c + d*x)^3*Log[1 - ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/((a - I*b)*(a + I*b)^2*f) - (2*I*b^2*(c + d*x)^3*Log[1 - ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f) - (3*I*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^3) - (3*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/((a + I*b)^2*(I*a + b)*f^2) - (3*b^2*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^2) + (3*b^2*d^3*PolyLog[3, ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/(2*(a^2 + b^2)^2*f^4) - (3*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/((a - I*b)*(a + I*b)^2*f^3) - (3*I*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^3) + (3*b*d^3*PolyLog[4, ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/(2*(a + I*b)^2*(I*a + b)*f^4) + (3*b^2*d^3*PolyLog[4, ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/(2*(a^2 + b^2)^2*f^4)}
+{(c + d*x)^2/(a + b*Cot[e + f*x])^2, x, 18, -((2*I*b^2*(c + d*x)^2)/((a^2 + b^2)^2*f)) - (2*b^2*(c + d*x)^2)/((a - I*b)*(a + I*b)^2*(I*a + b - (I*a - b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))*f) + (c + d*x)^3/(3*(a + I*b)^2*d) - (4*b*(c + d*x)^3)/(3*(a + I*b)^2*(I*a + b)*d) - (4*b^2*(c + d*x)^3)/(3*(a^2 + b^2)^2*d) + (2*b^2*d*(c + d*x)*Log[1 - ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^2) - (2*b*(c + d*x)^2*Log[1 - ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/((a - I*b)*(a + I*b)^2*f) - (2*I*b^2*(c + d*x)^2*Log[1 - ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f) - (I*b^2*d^2*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^3) - (2*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/((a + I*b)^2*(I*a + b)*f^2) - (2*b^2*d*(c + d*x)*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^2) - (b*d^2*PolyLog[3, ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/((a - I*b)*(a + I*b)^2*f^3) - (I*b^2*d^2*PolyLog[3, ((a + I*b)*E^(2*I*e + 2*I*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^3)}
+{(c + d*x)^1/(a + b*Cot[e + f*x])^2, x, 5, -((c + d*x)^2/(2*(a^2 + b^2)*d)) + (b*d - 2*a*c*f - 2*a*d*f*x)^2/(4*a*(a - I*b)^2*(a + I*b)*d*f^2) + (b*(c + d*x))/((a^2 + b^2)*f*(a + b*Cot[e + f*x])) + (b*(b*d - 2*a*c*f - 2*a*d*f*x)*Log[1 - ((a + I*b)*E^(2*I*(e + f*x)))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^2) + (I*a*b*d*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^(2*I*(e + f*x)))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^2)}
+{1/((c + d*x)^1*(a + b*Cot[e + f*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*Cot[e + f*x])^2), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + b*Cot[e + f*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + b*Cot[e + f*x])^2), x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.2.1 (a+b cot)^m (c+d cot)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.2.1 (a+b cot)^m (c+d cot)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..0337d245
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.2.1 (a+b cot)^m (c+d cot)^n.m	
@@ -0,0 +1,286 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^n (a+b Cot[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^n (a+I a Cot[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+I a Cot[e+f x])^m (d Cot[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(a + a*I*Cot[c + d*x])^n, x, 2, (I*(a + I*a*Cot[c + d*x])^n*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, (1/2)*(1 + I*Cot[c + d*x])])/(2*d*n)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^n (a+a Cot[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^(n/2) (a+a Cot[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + a*Cot[c + d*x])*(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 5, -((Sqrt[2]*a*e^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/d) + (2*a*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/d - (2*a*e*(e*Cot[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (2*a*(e*Cot[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+{(a + a*Cot[c + d*x])*(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((Sqrt[2]*a*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[e] - Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/d) - (2*a*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/d - (2*a*(e*Cot[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{(a + a*Cot[c + d*x])*(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[2]*a*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/d - (2*a*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/d}
+{(a + a*Cot[c + d*x])/(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 2, (Sqrt[2]*a*ArcTan[(Sqrt[e]*(1 - Cot[c + d*x]))/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/(d*Sqrt[e])}
+{(a + a*Cot[c + d*x])/(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 3, -((Sqrt[2]*a*ArcTanh[(Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/(d*e^(3/2))) + (2*a)/(d*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])}
+{(a + a*Cot[c + d*x])/(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((Sqrt[2]*a*ArcTan[(Sqrt[e] - Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/(d*e^(5/2))) + (2*a)/(3*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) + (2*a)/(d*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Cot[c + d*x])^2*(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 16, (Sqrt[2]*a^2*e^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/d - (Sqrt[2]*a^2*e^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/d + (4*a^2*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/d - (4*a^2*(e*Cot[c + d*x])^(5/2))/(5*d) - (2*a^2*(e*Cot[c + d*x])^(7/2))/(7*d*e) + (a^2*e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (a^2*e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)}
+{(a + a*Cot[c + d*x])^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 15, -((Sqrt[2]*a^2*e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/d) + (Sqrt[2]*a^2*e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/d - (4*a^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (2*a^2*(e*Cot[c + d*x])^(5/2))/(5*d*e) + (a^2*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) - (a^2*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)}
+{(a + a*Cot[c + d*x])^2*(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 15, -((Sqrt[2]*a^2*Sqrt[e]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/d) + (Sqrt[2]*a^2*Sqrt[e]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/d - (4*a^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/d - (2*a^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2))/(3*d*e) - (a^2*Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + (a^2*Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)}
+{(a + a*Cot[c + d*x])^2/(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 14, (Sqrt[2]*a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(d*Sqrt[e]) - (Sqrt[2]*a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(d*Sqrt[e]) - (2*a^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(d*e) - (a^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) + (a^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e])}
+{(a + a*Cot[c + d*x])^2/(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 13, (Sqrt[2]*a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(d*e^(3/2)) - (Sqrt[2]*a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(d*e^(3/2)) + (2*a^2)/(d*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) + (a^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d*e^(3/2)) - (a^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d*e^(3/2))}
+{(a + a*Cot[c + d*x])^2/(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 14, -((Sqrt[2]*a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(d*e^(5/2))) + (Sqrt[2]*a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(d*e^(5/2)) + (2*a^2)/(3*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) + (4*a^2)/(d*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) + (a^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d*e^(5/2)) - (a^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d*e^(5/2))}
+{(a + a*Cot[c + d*x])^2/(e*Cot[c + d*x])^(7/2), x, 14, -((Sqrt[2]*a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(d*e^(7/2))) + (Sqrt[2]*a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(d*e^(7/2)) + (2*a^2)/(5*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)) + (4*a^2)/(3*d*e^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) - (a^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d*e^(7/2)) + (a^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d*e^(7/2))}
+
+
+{(a + a*Cot[c + d*x])^3*(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*Sqrt[2]*a^3*e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[e] - Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/d + (4*a^3*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/d + (4*a^3*e*(e*Cot[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (4*a^3*(e*Cot[c + d*x])^(5/2))/(5*d) - (40*a^3*(e*Cot[c + d*x])^(7/2))/(63*d*e) - (2*(e*Cot[c + d*x])^(7/2)*(a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(9*d*e)}
+{(a + a*Cot[c + d*x])^3*(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((2*Sqrt[2]*a^3*e^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/d) + (4*a^3*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/d - (4*a^3*(e*Cot[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (32*a^3*(e*Cot[c + d*x])^(5/2))/(35*d*e) - (2*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*(a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(7*d*e)}
+{(a + a*Cot[c + d*x])^3*(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 5, -((2*Sqrt[2]*a^3*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[e] - Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/d) - (4*a^3*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/d - (8*a^3*(e*Cot[c + d*x])^(3/2))/(5*d*e) - (2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*(a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(5*d*e)}
+{(a + a*Cot[c + d*x])^3/(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 4, (2*Sqrt[2]*a^3*ArcTanh[(Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/(d*Sqrt[e]) - (16*a^3*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(3*d*e) - (2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(3*d*e)}
+{(a + a*Cot[c + d*x])^3/(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*Sqrt[2]*a^3*ArcTan[(Sqrt[e] - Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/(d*e^(3/2)) - (4*a^3*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(d*e^2) + (2*(a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(d*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])}
+{(a + a*Cot[c + d*x])^3/(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((2*Sqrt[2]*a^3*ArcTanh[(Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/(d*e^(5/2))) + (16*a^3)/(3*d*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) + (2*(a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(3*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(3/2))}
+{(a + a*Cot[c + d*x])^3/(e*Cot[c + d*x])^(7/2), x, 5, -((2*Sqrt[2]*a^3*ArcTan[(Sqrt[e] - Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/(d*e^(7/2))) + (8*a^3)/(5*d*e^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) + (4*a^3)/(d*e^3*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) + (2*(a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(5*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(5/2))}
+{(a + a*Cot[c + d*x])^3/(e*Cot[c + d*x])^(9/2), x, 6, (2*Sqrt[2]*a^3*ArcTanh[(Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/(d*e^(9/2)) + (32*a^3)/(35*d*e^2*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)) + (4*a^3)/(3*d*e^3*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) - (4*a^3)/(d*e^4*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) + (2*(a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))/(7*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/(a + a*Cot[c + d*x])*(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 7, (e^(5/2)*ArcTan[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(a*d) - (e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[e] - Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*a*d) - (2*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(a*d)}
+{1/(a + a*Cot[c + d*x])*(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((e^(3/2)*ArcTan[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(a*d)) + (e^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*a*d)}
+{1/(a + a*Cot[c + d*x])*(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 6, (Sqrt[e]*ArcTan[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(a*d) + (Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[e] - Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*a*d)}
+{1/(a + a*Cot[c + d*x])/(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 6, -(ArcTan[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/Sqrt[e]]/(a*d*Sqrt[e])) - ArcTanh[(Sqrt[e]*(1 + Cot[c + d*x]))/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])]/(Sqrt[2]*a*d*Sqrt[e])}
+{1/(a + a*Cot[c + d*x])/(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 7, ArcTan[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/Sqrt[e]]/(a*d*e^(3/2)) - ArcTan[(Sqrt[e] - Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])]/(Sqrt[2]*a*d*e^(3/2)) + 2/(a*d*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])}
+{1/(a + a*Cot[c + d*x])/(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 10, -(ArcTan[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/Sqrt[e]]/(a*d*e^(5/2))) + ArcTanh[(Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])]/(Sqrt[2]*a*d*e^(5/2)) + 2/(3*a*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) - 2/(a*d*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])}
+
+
+{1/(a + a*Cot[c + d*x])^2*(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 17, -((3*e^(5/2)*ArcTan[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(2*a^2*d)) - (e^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) + (e^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) + (e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(2*d*(a^2 + a^2*Cot[c + d*x])) - (e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(4*Sqrt[2]*a^2*d) + (e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(4*Sqrt[2]*a^2*d)}
+{1/(a + a*Cot[c + d*x])^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 18, (e^(3/2)*ArcTan[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(2*a^2*d) + (e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) - (e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) - (e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(2*d*(a^2 + a^2*Cot[c + d*x])) - (e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(4*Sqrt[2]*a^2*d) + (e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(4*Sqrt[2]*a^2*d)}
+{1/(a + a*Cot[c + d*x])^2*(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 17, (Sqrt[e]*ArcTan[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(2*a^2*d) + (Sqrt[e]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) - (Sqrt[e]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) + Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/(2*d*(a^2 + a^2*Cot[c + d*x])) + (Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(4*Sqrt[2]*a^2*d) - (Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(4*Sqrt[2]*a^2*d)}
+{1/(a + a*Cot[c + d*x])^2/(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 18, -((3*ArcTan[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(2*a^2*d*Sqrt[e])) - ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*Sqrt[e]) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*Sqrt[e]) - Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/(2*d*e*(a^2 + a^2*Cot[c + d*x])) + Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]]/(4*Sqrt[2]*a^2*d*Sqrt[e]) - Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]]/(4*Sqrt[2]*a^2*d*Sqrt[e])}
+{1/(a + a*Cot[c + d*x])^2/(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 18, (5*ArcTan[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(2*a^2*d*e^(3/2)) - ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*e^(3/2)) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*e^(3/2)) + 5/(2*a^2*d*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) - 1/(2*d*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cot[c + d*x])) - Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]]/(4*Sqrt[2]*a^2*d*e^(3/2)) + Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]]/(4*Sqrt[2]*a^2*d*e^(3/2))}
+{1/(a + a*Cot[c + d*x])^2/(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 20, -((7*ArcTan[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(2*a^2*d*e^(5/2))) + ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*e^(5/2)) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*e^(5/2)) + 7/(6*a^2*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) - 9/(2*a^2*d*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) - 1/(2*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*(a^2 + a^2*Cot[c + d*x])) - Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]]/(4*Sqrt[2]*a^2*d*e^(5/2)) + Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]]/(4*Sqrt[2]*a^2*d*e^(5/2))}
+
+
+{1/(a + a*Cot[c + d*x])^3*(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((e^(5/2)*ArcTan[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(8*a^3*d)) + (e^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^3*d) - (5*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(8*a^3*d*(1 + Cot[c + d*x])) + (e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(4*a*d*(a + a*Cot[c + d*x])^2)}
+{1/(a + a*Cot[c + d*x])^3*(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 8, (5*e^(3/2)*ArcTan[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(8*a^3*d) + (e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[e] - Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^3*d) - (e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(4*a*d*(a + a*Cot[c + d*x])^2) + (e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(8*d*(a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))}
+{1/(a + a*Cot[c + d*x])^3*(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 8, -((Sqrt[e]*ArcTan[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(8*a^3*d)) - (Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^3*d) + Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/(4*a*d*(a + a*Cot[c + d*x])^2) + (3*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(8*d*(a^3 + a^3*Cot[c + d*x]))}
+{1/(a + a*Cot[c + d*x])^3/(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 8, -((11*ArcTan[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(8*a^3*d*Sqrt[e])) - ArcTan[(Sqrt[e] - Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])]/(2*Sqrt[2]*a^3*d*Sqrt[e]) - (7*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(8*a^3*d*e*(1 + Cot[c + d*x])) - Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/(4*a*d*e*(a + a*Cot[c + d*x])^2)}
+{1/(a + a*Cot[c + d*x])^3/(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 9, (31*ArcTan[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(8*a^3*d*e^(3/2)) + ArcTanh[(Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])]/(2*Sqrt[2]*a^3*d*e^(3/2)) + 27/(8*a^3*d*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) - 9/(8*a^3*d*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*(1 + Cot[c + d*x])) - 1/(4*a*d*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*(a + a*Cot[c + d*x])^2)}
+{1/(a + a*Cot[c + d*x])^3/(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 10, -((59*ArcTan[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(8*a^3*d*e^(5/2))) + ArcTan[(Sqrt[e] - Sqrt[e]*Cot[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])]/(2*Sqrt[2]*a^3*d*e^(5/2)) + 55/(24*a^3*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) - 63/(8*a^3*d*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) - 11/(8*a^3*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*(1 + Cot[c + d*x])) - 1/(4*a*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Cot[c + d*x])^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^n (a+a Cot[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cot[x]^2*Sqrt[1 + Cot[x]], x, 12, (-Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])])*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Cot[x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]] + Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Cot[x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]] - (2/3)*(1 + Cot[x])^(3/2) + Log[1 + Sqrt[2] + Cot[x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Cot[x]]]/(2*Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]) - Log[1 + Sqrt[2] + Cot[x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Cot[x]]]/(2*Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])])}
+{Cot[x]^1*Sqrt[1 + Cot[x]], x, 6, Sqrt[(1/2)*(-1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(4 - 3*Sqrt[2] + (2 - Sqrt[2])*Cot[x])/(2*Sqrt[-7 + 5*Sqrt[2]]*Sqrt[1 + Cot[x]])] + Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTanh[(4 + 3*Sqrt[2] + (2 + Sqrt[2])*Cot[x])/(2*Sqrt[7 + 5*Sqrt[2]]*Sqrt[1 + Cot[x]])] - 2*Sqrt[1 + Cot[x]]}
+
+
+{Cot[x]^2*(1 + Cot[x])^(3/2), x, 8, (-Sqrt[-1 + Sqrt[2]])*ArcTan[(3 - 2*Sqrt[2] + (1 - Sqrt[2])*Cot[x])/(Sqrt[2*(-7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Cot[x]])] - Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTanh[(3 + 2*Sqrt[2] + (1 + Sqrt[2])*Cot[x])/(Sqrt[2*(7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Cot[x]])] + 2*Sqrt[1 + Cot[x]] - (2/5)*(1 + Cot[x])^(5/2)}
+{Cot[x]^1*(1 + Cot[x])^(3/2), x, 14, (-Sqrt[1 + Sqrt[2]])*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Cot[x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]] + Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Cot[x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]] - 2*Sqrt[1 + Cot[x]] - (2/3)*(1 + Cot[x])^(3/2) - Log[1 + Sqrt[2] + Cot[x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Cot[x]]]/(2*Sqrt[1 + Sqrt[2]]) + Log[1 + Sqrt[2] + Cot[x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Cot[x]]]/(2*Sqrt[1 + Sqrt[2]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Cot[x]^2/Sqrt[1 + Cot[x]], x, 12, (-(1/2))*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Cot[x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]] + (1/2)*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Cot[x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]] - 2*Sqrt[1 + Cot[x]] - Log[1 + Sqrt[2] + Cot[x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Cot[x]]]/(4*Sqrt[1 + Sqrt[2]]) + Log[1 + Sqrt[2] + Cot[x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Cot[x]]]/(4*Sqrt[1 + Sqrt[2]])}
+{Cot[x]^1/Sqrt[1 + Cot[x]], x, 5, (1/2)*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(3 - 2*Sqrt[2] + (1 - Sqrt[2])*Cot[x])/(Sqrt[2*(-7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Cot[x]])] + (1/2)*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTanh[(3 + 2*Sqrt[2] + (1 + Sqrt[2])*Cot[x])/(Sqrt[2*(7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Cot[x]])]}
+
+
+{Cot[x]^2/(1 + Cot[x])^(3/2), x, 6, (1/2)*Sqrt[(1/2)*(-1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(4 - 3*Sqrt[2] + (2 - Sqrt[2])*Cot[x])/(2*Sqrt[-7 + 5*Sqrt[2]]*Sqrt[1 + Cot[x]])] + (1/2)*Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTanh[(4 + 3*Sqrt[2] + (2 + Sqrt[2])*Cot[x])/(2*Sqrt[7 + 5*Sqrt[2]]*Sqrt[1 + Cot[x]])] + 1/Sqrt[1 + Cot[x]]}
+{Cot[x]^1/(1 + Cot[x])^(3/2), x, 13, (1/2)*Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Cot[x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]] - (1/2)*Sqrt[(1/2)*(1 + Sqrt[2])]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Cot[x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]] - 1/Sqrt[1 + Cot[x]] - Log[1 + Sqrt[2] + Cot[x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Cot[x]]]/(4*Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]) + Log[1 + Sqrt[2] + Cot[x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Cot[x]]]/(4*Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])])}
+
+
+{Cot[x]^2/(1 + Cot[x])^(5/2), x, 8, (1/4)*Sqrt[-1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(3 - 2*Sqrt[2] + (1 - Sqrt[2])*Cot[x])/(Sqrt[2*(-7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Cot[x]])] + (1/4)*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTanh[(3 + 2*Sqrt[2] + (1 + Sqrt[2])*Cot[x])/(Sqrt[2*(7 + 5*Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Cot[x]])] + 1/(3*(1 + Cot[x])^(3/2)) - 1/Sqrt[1 + Cot[x]]}
+{Cot[x]^1/(1 + Cot[x])^(5/2), x, 13, (1/4)*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] - 2*Sqrt[1 + Cot[x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]] - (1/4)*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])] + 2*Sqrt[1 + Cot[x]])/Sqrt[2*(-1 + Sqrt[2])]] - 1/(3*(1 + Cot[x])^(3/2)) + Log[1 + Sqrt[2] + Cot[x] - Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Cot[x]]]/(8*Sqrt[1 + Sqrt[2]]) - Log[1 + Sqrt[2] + Cot[x] + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Sqrt[1 + Cot[x]]]/(8*Sqrt[1 + Sqrt[2]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^n (a+b Cot[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^(n/2) (a+b Cot[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + b*Cot[c + d*x])*(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 12, -(((a + b)*e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a + b)*e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) - (2*a*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/d - (2*b*(e*Cot[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - ((a - b)*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a - b)*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a + b*Cot[c + d*x])*(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 11, ((a - b)*Sqrt[e]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) - ((a - b)*Sqrt[e]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) - (2*b*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/d - ((a + b)*Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a + b)*Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a + b*Cot[c + d*x])/(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 10, ((a + b)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) - ((a + b)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) + ((a - b)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) - ((a - b)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e])}
+{(a + b*Cot[c + d*x])/(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 11, -(((a - b)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(3/2))) + ((a - b)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(3/2)) + (2*a)/(d*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) + ((a + b)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(3/2)) - ((a + b)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(3/2))}
+{(a + b*Cot[c + d*x])/(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 12, -(((a + b)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(5/2))) + ((a + b)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(5/2)) + (2*a)/(3*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) + (2*b)/(d*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) - ((a - b)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(5/2)) + ((a - b)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(5/2))}
+
+
+{(a + b*Cot[c + d*x])^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 13, -(((a^2 + 2*a*b - b^2)*e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) - (2*(a^2 - b^2)*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/d - (4*a*b*(e*Cot[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (2*b^2*(e*Cot[c + d*x])^(5/2))/(5*d*e) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a + b*Cot[c + d*x])^2*(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 12, ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Sqrt[e]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Sqrt[e]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) - (4*a*b*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/d - (2*b^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2))/(3*d*e) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a + b*Cot[c + d*x])^2/(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 11, ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) - (2*b^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(d*e) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e])}
+{(a + b*Cot[c + d*x])^2/(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 11, -(((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(3/2))) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(3/2)) + (2*a^2)/(d*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(3/2)) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(3/2))}
+{(a + b*Cot[c + d*x])^2/(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 12, -(((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(5/2))) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(5/2)) + (2*a^2)/(3*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) + (4*a*b)/(d*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(5/2)) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(5/2))}
+{(a + b*Cot[c + d*x])^2/(e*Cot[c + d*x])^(7/2), x, 13, ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(7/2)) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(7/2)) + (2*a^2)/(5*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)) + (4*a*b)/(3*d*e^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) - (2*(a^2 - b^2))/(d*e^3*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(7/2)) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(7/2))}
+
+
+{(a + b*Cot[c + d*x])^3*(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 14, -(((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) - (2*a*(a^2 - 3*b^2)*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/d - (2*b*(3*a^2 - b^2)*(e*Cot[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (32*a*b^2*(e*Cot[c + d*x])^(5/2))/(35*d*e) - (2*b^2*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*(a + b*Cot[c + d*x]))/(7*d*e) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a + b*Cot[c + d*x])^3*(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 13, ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Sqrt[e]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Sqrt[e]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) - (2*b*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/d - (8*a*b^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2))/(5*d*e) - (2*b^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Cot[c + d*x]))/(5*d*e) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a + b*Cot[c + d*x])^3/(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 12, ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) - (16*a*b^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(3*d*e) - (2*b^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*(a + b*Cot[c + d*x]))/(3*d*e) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e])}
+{(a + b*Cot[c + d*x])^3/(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 12, -(((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(3/2))) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(3/2)) - (2*b*(a^2 + b^2)*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(d*e^2) + (2*a^2*(a + b*Cot[c + d*x]))/(d*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(3/2)) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(3/2))}
+{(a + b*Cot[c + d*x])^3/(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 12, -(((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(5/2))) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(5/2)) + (16*a^2*b)/(3*d*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) + (2*a^2*(a + b*Cot[c + d*x]))/(3*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(5/2)) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(5/2))}
+{(a + b*Cot[c + d*x])^3/(e*Cot[c + d*x])^(7/2), x, 13, ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(7/2)) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(7/2)) + (8*a^2*b)/(5*d*e^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) - (2*a*(a^2 - 3*b^2))/(d*e^3*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) + (2*a^2*(a + b*Cot[c + d*x]))/(5*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(7/2)) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(7/2))}
+{(a + b*Cot[c + d*x])^3/(e*Cot[c + d*x])^(9/2), x, 14, ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(9/2)) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(9/2)) + (32*a^2*b)/(35*d*e^2*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)) - (2*a*(a^2 - 3*b^2))/(3*d*e^3*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) - (2*b*(3*a^2 - b^2))/(d*e^4*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) + (2*a^2*(a + b*Cot[c + d*x]))/(7*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(7/2)) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(9/2)) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(9/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])*(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 15, (2*a^(5/2)*e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(b^(3/2)*(a^2 + b^2)*d) - ((a + b)*e^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + ((a + b)*e^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - (2*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(b*d) + ((a - b)*e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a - b)*e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])*(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 14, -((2*a^(3/2)*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(Sqrt[b]*(a^2 + b^2)*d)) - ((a - b)*e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + ((a - b)*e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a + b)*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + ((a + b)*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])*(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 14, (2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/((a^2 + b^2)*d) + ((a + b)*Sqrt[e]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a + b)*Sqrt[e]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) - ((a - b)*Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d) + ((a - b)*Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d)}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])/(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 14, -((2*b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(Sqrt[a]*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[e])) + ((a - b)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[e]) - ((a - b)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[e]) + ((a + b)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[e]) - ((a + b)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[e])}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])/(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 15, (2*b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(a^(3/2)*(a^2 + b^2)*d*e^(3/2)) - ((a + b)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d*e^(3/2)) + ((a + b)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d*e^(3/2)) + 2/(a*d*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) + ((a - b)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d*e^(3/2)) - ((a - b)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d*e^(3/2))}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])/(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 16, -((2*b^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(a^(5/2)*(a^2 + b^2)*d*e^(5/2))) - ((a - b)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d*e^(5/2)) + ((a - b)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d*e^(5/2)) + 2/(3*a*d*e*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) - (2*b)/(a^2*d*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) - ((a + b)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d*e^(5/2)) + ((a + b)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)*d*e^(5/2))}
+
+
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])^2*(e*Cot[c + d*x])^(7/2), x, 16, (a^(5/2)*(3*a^2 + 7*b^2)*e^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(b^(5/2)*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*e^(7/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*e^(7/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((3*a^2 + 2*b^2)*e^3*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + (a^2*e^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2))/(b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Cot[c + d*x])) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*e^(7/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*e^(7/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])^2*(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 15, -((a^(3/2)*(a^2 + 5*b^2)*e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(b^(3/2)*(a^2 + b^2)^2*d)) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*e^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*e^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (a^2*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Cot[c + d*x])) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 15, -((Sqrt[a]*(a^2 - 3*b^2)*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^2*d)) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (a*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d*(a + b*Cot[c + d*x])) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])^2*(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 15, (Sqrt[b]*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(Sqrt[a]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Sqrt[e]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Sqrt[e]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + (b*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d*(a + b*Cot[c + d*x])) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])^2/(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 15, -((b^(3/2)*(5*a^2 + b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(a^(3/2)*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[e])) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[e]) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[e]) - (b^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(a*(a^2 + b^2)*d*e*(a + b*Cot[c + d*x])) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[e]) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[e])}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])^2/(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 16, (b^(5/2)*(7*a^2 + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(a^(5/2)*(a^2 + b^2)^2*d*e^(3/2)) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d*e^(3/2)) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d*e^(3/2)) + (2*a^2 + 3*b^2)/(a^2*(a^2 + b^2)*d*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) - b^2/(a*(a^2 + b^2)*d*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*(a + b*Cot[c + d*x])) + ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d*e^(3/2)) - ((a^2 - 2*a*b - b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d*e^(3/2))}
+
+
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])^3*(e*Cot[c + d*x])^(9/2), x, 17, (a^(5/2)*(15*a^4 + 46*a^2*b^2 + 63*b^4)*e^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(4*b^(7/2)*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*e^(9/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*e^(9/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((15*a^4 + 31*a^2*b^2 + 8*b^4)*e^4*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(4*b^3*(a^2 + b^2)^2*d) + (a^2*e^2*(e*Cot[c + d*x])^(5/2))/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Cot[c + d*x])^2) + (a^2*(5*a^2 + 13*b^2)*e^3*(e*Cot[c + d*x])^(3/2))/(4*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Cot[c + d*x])) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*e^(9/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*e^(9/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])^3*(e*Cot[c + d*x])^(7/2), x, 16, -((a^(3/2)*(3*a^4 + 6*a^2*b^2 + 35*b^4)*e^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(4*b^(5/2)*(a^2 + b^2)^3*d)) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*e^(7/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*e^(7/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (a^2*e^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2))/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Cot[c + d*x])^2) + (a^2*(3*a^2 + 11*b^2)*e^3*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(4*b^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Cot[c + d*x])) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*e^(7/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*e^(7/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])^3*(e*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 16, -((Sqrt[a]*(a^4 + 18*a^2*b^2 - 15*b^4)*e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(4*b^(3/2)*(a^2 + b^2)^3*d)) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*e^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*e^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (a^2*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(2*b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Cot[c + d*x])^2) - (a*(a^2 + 9*b^2)*e^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(4*b*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Cot[c + d*x])) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])^3*(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 16, -(((3*a^4 - 26*a^2*b^2 + 3*b^4)*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[b]*(a^2 + b^2)^3*d)) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - (a*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Cot[c + d*x])^2) - ((3*a^2 - 5*b^2)*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(4*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Cot[c + d*x])) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])^3*(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 16, (Sqrt[b]*(15*a^4 - 18*a^2*b^2 - b^4)*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(4*a^(3/2)*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Sqrt[e]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Sqrt[e]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + (b*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Cot[c + d*x])^2) + (b*(7*a^2 - b^2)*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(4*a*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Cot[c + d*x])) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d)}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])^3/(e*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 16, -((b^(3/2)*(35*a^4 + 6*a^2*b^2 + 3*b^4)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(4*a^(5/2)*(a^2 + b^2)^3*d*Sqrt[e])) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d*Sqrt[e]) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d*Sqrt[e]) - (b^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(2*a*(a^2 + b^2)*d*e*(a + b*Cot[c + d*x])^2) - (b^2*(11*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(4*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*e*(a + b*Cot[c + d*x])) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d*Sqrt[e]) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d*Sqrt[e])}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x])^3/(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 17, (b^(5/2)*(63*a^4 + 46*a^2*b^2 + 15*b^4)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[e])])/(4*a^(7/2)*(a^2 + b^2)^3*d*e^(3/2)) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d*e^(3/2)) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d*e^(3/2)) + (8*a^4 + 31*a^2*b^2 + 15*b^4)/(4*a^3*(a^2 + b^2)^2*d*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) - b^2/(2*a*(a^2 + b^2)*d*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*(a + b*Cot[c + d*x])^2) - (b^2*(13*a^2 + 5*b^2))/(4*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*e*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*(a + b*Cot[c + d*x])) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d*e^(3/2)) - ((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^3*d*e^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^n (a+b Cot[e+f x])^m with m symbolic*)
+
+
+{(a + b*Cot[c + d*x])^n, x, 5, -((b*(a + b*Cot[c + d*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Cot[c + d*x])/(a - Sqrt[-b^2])])/(2*Sqrt[-b^2]*(a - Sqrt[-b^2])*d*(1 + n))) + (b*(a + b*Cot[c + d*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Cot[c + d*x])/(a + Sqrt[-b^2])])/(2*Sqrt[-b^2]*(a + Sqrt[-b^2])*d*(1 + n))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^n (a+b Cot[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^n (a+I a Cot[e+f x])^m*)
+
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+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^n (a+a Cot[e+f x])^m*)
+
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^n (a+b Cot[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^n (a+b Cot[e+f x])^m with m symbolic*)
+
+
+{(a + b*Cot[e + f*x])^m*(d*Tan[e + f*x])^n, x, 8, -((AppellF1[1 - n, -m, 1, 2 - n, -((b*Cot[e + f*x])/a), (-I)*Cot[e + f*x]]*Cot[e + f*x]*(a + b*Cot[e + f*x])^m*(d*Tan[e + f*x])^n)/((1 + (b*Cot[e + f*x])/a)^m*(2*f*(1 - n)))) - (AppellF1[1 - n, -m, 1, 2 - n, -((b*Cot[e + f*x])/a), I*Cot[e + f*x]]*Cot[e + f*x]*(a + b*Cot[e + f*x])^m*(d*Tan[e + f*x])^n)/((1 + (b*Cot[e + f*x])/a)^m*(2*f*(1 - n)))}
+
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+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cot[e+f x])^m (c+d Cot[e+f x])^n*)
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+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (a+a I Cot[e+f x])^m (c-c I Cot[e+f x])^n*)
+
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a I Cot[e+f x])^m (c+d Cot[e+f x])^n*)
+
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a I Cot[e+f x])^m (c+d Cot[e+f x])^(n/2)*)
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+{(1 + I*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]], x, 3, (2*I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/(Sqrt[a - I*b]*d)}
+{(1 - I*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]], x, 3, -((2*I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/(Sqrt[a + I*b]*d))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cot[e+f x])^m (c+d Cot[e+f x])^n*)
+
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cot[e+f x])^m (c+d Cot[e+f x])^n*)
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+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m>0*)
+
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
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+{(A + B*Cot[c + d*x])/(a + b*Cot[c + d*x]), x, 2, ((a*A + b*B)*x)/(a^2 + b^2) - ((A*b - a*B)*Log[b*Cos[c + d*x] + a*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d)}
+
+
+{(A + B*Cot[c + d*x])/(a + b*Cot[c + d*x])^2, x, 3, ((a^2*A - A*b^2 + 2*a*b*B)*x)/(a^2 + b^2)^2 + (A*b - a*B)/((a^2 + b^2)*d*(a + b*Cot[c + d*x])) - ((2*a*A*b - a^2*B + b^2*B)*Log[b*Cos[c + d*x] + a*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d)}
+
+
+{(A + B*Cot[c + d*x])/(a + b*Cot[c + d*x])^3, x, 4, ((a^3*A - 3*a*A*b^2 + 3*a^2*b*B - b^3*B)*x)/(a^2 + b^2)^3 + (A*b - a*B)/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Cot[c + d*x])^2) + (2*a*A*b - a^2*B + b^2*B)/((a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Cot[c + d*x])) - ((3*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B + 3*a*b^2*B)*Log[b*Cos[c + d*x] + a*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cot[e+f x])^m (c+d Cot[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(A + B*Cot[c + d*x])*(a + b*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 10, ((a - I*b)^(5/2)*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - ((a + I*b)^(5/2)*(I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (2*(2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]])/d - (2*(A*b + a*B)*(a + b*Cot[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (2*B*(a + b*Cot[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+{(A + B*Cot[c + d*x])*(a + b*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 9, ((a - I*b)^(3/2)*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - ((a + I*b)^(3/2)*(I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (2*(A*b + a*B)*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]])/d - (2*B*(a + b*Cot[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{(A + B*Cot[c + d*x])*(a + b*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 8, (Sqrt[a - I*b]*(I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d - (Sqrt[a + I*b]*(I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (2*B*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]])/d}
+
+
+{(-a + b*Cot[c + d*x])*(a + b*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 10, -(((I*a - b)*(a - I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d) + ((a + I*b)^(5/2)*(I*a + b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (2*b*(a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]])/d - (2*b*(a + b*Cot[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+{(-a + b*Cot[c + d*x])*(a + b*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 13, (b*(a^2 + b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] - Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*(a^2 + b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] + Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (2*b*(a + b*Cot[c + d*x])^(3/2))/(3*d) + (b*(a^2 + b^2)*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*(a^2 + b^2)*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d)}
+{(-a + b*Cot[c + d*x])*(a + b*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 13, (b*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] - Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (b*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]] + Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]])/Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - Sqrt[a^2 + b^2]]*d) - (2*b*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]])/d - (b*Sqrt[a^2 + b^2]*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Cot[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d) + (b*Sqrt[a^2 + b^2]*Log[a + Sqrt[a^2 + b^2] + b*Cot[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + Sqrt[a^2 + b^2]]*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(A + B*Cot[c + d*x])/(a + b*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 7, ((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/(Sqrt[a - I*b]*d) - ((I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/(Sqrt[a + I*b]*d)}
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+{(A + B*Cot[c + d*x])/(a + b*Cot[c + d*x])^(5/2), x, 9, ((I*A + B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/((a - I*b)^(5/2)*d) - ((I*A - B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(5/2)*d) + (2*(A*b - a*B))/(3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Cot[c + d*x])^(3/2)) + (2*(2*a*A*b - a^2*B + b^2*B))/((a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]])}
+
+
+{(-a + b*Cot[c + d*x])/(a + b*Cot[c + d*x])^(1/2), x, 7, -(((I*a - b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/(Sqrt[a - I*b]*d)) + ((I*a + b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/(Sqrt[a + I*b]*d)}
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diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.7 (d trig)^m (a+b (c cot)^n)^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.7 (d trig)^m (a+b (c cot)^n)^p.m
new file mode 100644
index 00000000..96a26b54
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.7 (d trig)^m (a+b (c cot)^n)^p.m	
@@ -0,0 +1,205 @@
+(* ::Package:: *)
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+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (b Cot[e+f x]^n)^p*)
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+(* ::Title:: *)
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+(* ::Title:: *)
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+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Cot[e+f x]^n)^p*)
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+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Cot[e+f x]^2)^p*)
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+{(A + C*Cot[c + d*x]^2)/Sqrt[b*Tan[c + d*x]], x, 15, -(((A - C)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[2]*Sqrt[b]*d)) + ((A - C)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[2]*Sqrt[b]*d) - ((A - C)*Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[b]*d) + ((A - C)*Log[Sqrt[b] + Sqrt[b]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[b*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[b]*d) - (2*b*C)/(3*d*(b*Tan[c + d*x])^(3/2))}
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+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cot[e+f x]^m (a+b Cot[e+f x]^n)^p*)
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cot[e+f x]^m (a+b Cot[e+f x]^2)^p*)
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+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cot[e+f x]^m (a+b Cot[e+f x]^2)^p*)
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+(*p>0*)
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+(*p<0*)
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+{1/(a + b*Cot[c + d*x]^2)^1, x, 3, x/(a - b) + (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a - b)*d)}
+
+
+{1/(a + b*Cot[c + d*x]^2)^2, x, 5, x/(a - b)^2 + ((3*a - b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a - b)^2*d) + (b*Cot[c + d*x])/(2*a*(a - b)*d*(a + b*Cot[c + d*x]^2))}
+
+
+{1/(a + b*Cot[c + d*x]^2)^3, x, 6, x/(a - b)^3 + (Sqrt[b]*(15*a^2 - 10*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a - b)^3*d) + (b*Cot[c + d*x])/(4*a*(a - b)*d*(a + b*Cot[c + d*x]^2)^2) + ((7*a - 3*b)*b*Cot[c + d*x])/(8*a^2*(a - b)^2*d*(a + b*Cot[c + d*x]^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cot[e+f x]^m (a+b Cot[e+f x]^2)^(p/2) with a-b=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(1 + Cot[x]^2)^(3/2), x, 4, (-(1/2))*ArcSinh[Cot[x]] - (1/2)*Cot[x]*Sqrt[Csc[x]^2]}
+{Sqrt[1 + Cot[x]^2], x, 3, -ArcSinh[Cot[x]]}
+{1/Sqrt[1 + Cot[x]^2], x, 3, -(Cot[x]/Sqrt[Csc[x]^2])}
+
+
+{(-1 - Cot[x]^2)^(3/2), x, 5, (-(1/2))*ArcTan[Cot[x]/Sqrt[-Csc[x]^2]] + (1/2)*Cot[x]*Sqrt[-Csc[x]^2]}
+{Sqrt[-1 - Cot[x]^2], x, 4, ArcTan[Cot[x]/Sqrt[-Csc[x]^2]]}
+{1/Sqrt[-1 - Cot[x]^2], x, 3, -(Cot[x]/Sqrt[-Csc[x]^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cot[x]^3/Sqrt[a + a*Cot[x]^2], x, 4, -(1/Sqrt[a*Csc[x]^2]) - Sqrt[a*Csc[x]^2]/a}
+{Cot[x]^2/Sqrt[a + a*Cot[x]^2], x, 5, Cot[x]/Sqrt[a*Csc[x]^2] - (ArcTanh[Cos[x]]*Csc[x])/Sqrt[a*Csc[x]^2]}
+{Cot[x]^1/Sqrt[a + a*Cot[x]^2], x, 3, 1/Sqrt[a*Csc[x]^2]}
+{Tan[x]^1/Sqrt[a + a*Cot[x]^2], x, 5, ArcTanh[Sqrt[a*Csc[x]^2]/Sqrt[a]]/Sqrt[a] - 1/Sqrt[a*Csc[x]^2]}
+{Tan[x]^2/Sqrt[a + a*Cot[x]^2], x, 5, Cot[x]/Sqrt[a*Csc[x]^2] + (Csc[x]*Sec[x])/Sqrt[a*Csc[x]^2]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cot[e+f x]^m (a+b Cot[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Cot[x]^3*Sqrt[a + b*Cot[x]^2], x, 6, (-Sqrt[a - b])*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a - b]] + Sqrt[a + b*Cot[x]^2] - (a + b*Cot[x]^2)^(3/2)/(3*b)}
+{Cot[x]^1*Sqrt[a + b*Cot[x]^2], x, 5, Sqrt[a - b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a - b]] - Sqrt[a + b*Cot[x]^2]}
+{Tan[x]^1*Sqrt[a + b*Cot[x]^2], x, 7, Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a]] - Sqrt[a - b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a - b]]}
+
+{Cot[x]^2*Sqrt[a + b*Cot[x]^2], x, 7, Sqrt[a - b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[x])/Sqrt[a + b*Cot[x]^2]] - ((a - 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cot[x])/Sqrt[a + b*Cot[x]^2]])/(2*Sqrt[b]) - (1/2)*Cot[x]*Sqrt[a + b*Cot[x]^2]}
+{Cot[x]^0*Sqrt[a + b*Cot[x]^2], x, 6, (-Sqrt[a - b])*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[x])/Sqrt[a + b*Cot[x]^2]] - Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cot[x])/Sqrt[a + b*Cot[x]^2]]}
+{Tan[x]^2*Sqrt[a + b*Cot[x]^2], x, 5, Sqrt[a - b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[x])/Sqrt[a + b*Cot[x]^2]] + Sqrt[a + b*Cot[x]^2]*Tan[x]}
+{Tan[x]^4*Sqrt[a + b*Cot[x]^2], x, 6, (-Sqrt[a - b])*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[x])/Sqrt[a + b*Cot[x]^2]] - ((3*a - b)*Sqrt[a + b*Cot[x]^2]*Tan[x])/(3*a) + (1/3)*Sqrt[a + b*Cot[x]^2]*Tan[x]^3}
+
+
+{Cot[x]^3*(a + b*Cot[x]^2)^(3/2), x, 7, (-(a - b)^(3/2))*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a - b]] + (a - b)*Sqrt[a + b*Cot[x]^2] + (1/3)*(a + b*Cot[x]^2)^(3/2) - (a + b*Cot[x]^2)^(5/2)/(5*b)}
+{Cot[x]^2*(a + b*Cot[x]^2)^(3/2), x, 8, (a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[x])/Sqrt[a + b*Cot[x]^2]] - ((3*a^2 - 12*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cot[x])/Sqrt[a + b*Cot[x]^2]])/(8*Sqrt[b]) - (1/8)*(5*a - 4*b)*Cot[x]*Sqrt[a + b*Cot[x]^2] - (1/4)*b*Cot[x]^3*Sqrt[a + b*Cot[x]^2]}
+{Cot[x]^1*(a + b*Cot[x]^2)^(3/2), x, 6, (a - b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a - b]] - (a - b)*Sqrt[a + b*Cot[x]^2] - (1/3)*(a + b*Cot[x]^2)^(3/2)}
+{Tan[x]^1*(a + b*Cot[x]^2)^(3/2), x, 8, a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a]] - (a - b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a - b]] - b*Sqrt[a + b*Cot[x]^2]}
+{Tan[x]^2*(a + b*Cot[x]^2)^(3/2), x, 7, (a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[x])/Sqrt[a + b*Cot[x]^2]] - b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cot[x])/Sqrt[a + b*Cot[x]^2]] + a*Sqrt[a + b*Cot[x]^2]*Tan[x]}
+
+
+{(a + b*Cot[c + d*x]^2)^(5/2), x, 8, -(((a - b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]^2]])/d) - (Sqrt[b]*(15*a^2 - 20*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]^2]])/(8*d) - ((7*a - 4*b)*b*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]^2])/(8*d) - (b*Cot[c + d*x]*(a + b*Cot[c + d*x]^2)^(3/2))/(4*d)}
+{(a + b*Cot[c + d*x]^2)^(3/2), x, 7, -(((a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]^2]])/d) - ((3*a - 2*b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]^2]])/(2*d) - (b*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]^2])/(2*d)}
+{(a + b*Cot[c + d*x]^2)^(1/2), x, 6, -((Sqrt[a - b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]^2]])/d) - (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]^2]])/d}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x]^2)^(1/2), x, 3, -(ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]^2]]/(Sqrt[a - b]*d))}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x]^2)^(3/2), x, 4, -(ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]^2]]/((a - b)^(3/2)*d)) + (b*Cot[c + d*x])/(a*(a - b)*d*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]^2])}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x]^2)^(5/2), x, 6, -(ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]^2]]/((a - b)^(5/2)*d)) + (b*Cot[c + d*x])/(3*a*(a - b)*d*(a + b*Cot[c + d*x]^2)^(3/2)) + ((5*a - 2*b)*b*Cot[c + d*x])/(3*a^2*(a - b)^2*d*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]^2])}
+{1/(a + b*Cot[c + d*x]^2)^(7/2), x, 7, -(ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]^2]]/((a - b)^(7/2)*d)) + (b*Cot[c + d*x])/(5*a*(a - b)*d*(a + b*Cot[c + d*x]^2)^(5/2)) + ((9*a - 4*b)*b*Cot[c + d*x])/(15*a^2*(a - b)^2*d*(a + b*Cot[c + d*x]^2)^(3/2)) + (b*(33*a^2 - 26*a*b + 8*b^2)*Cot[c + d*x])/(15*a^3*(a - b)^3*d*Sqrt[a + b*Cot[c + d*x]^2])}
+
+
+{(1 - Cot[x]^2)^(3/2), x, 6, (5/2)*ArcSin[Cot[x]] - 2*Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[2]*Cot[x])/Sqrt[1 - Cot[x]^2]] + (1/2)*Cot[x]*Sqrt[1 - Cot[x]^2]}
+{Sqrt[1 - Cot[x]^2], x, 5, ArcSin[Cot[x]] - Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[2]*Cot[x])/Sqrt[1 - Cot[x]^2]]}
+{1/Sqrt[1 - Cot[x]^2], x, 3, -(ArcTan[(Sqrt[2]*Cot[x])/Sqrt[1 - Cot[x]^2]]/Sqrt[2])}
+
+
+{(-1 + Cot[x]^2)^(3/2), x, 7, (5/2)*ArcTanh[Cot[x]/Sqrt[-1 + Cot[x]^2]] - 2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Cot[x])/Sqrt[-1 + Cot[x]^2]] - (1/2)*Cot[x]*Sqrt[-1 + Cot[x]^2]}
+{Sqrt[-1 + Cot[x]^2], x, 6, -ArcTanh[Cot[x]/Sqrt[-1 + Cot[x]^2]] + Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Cot[x])/Sqrt[-1 + Cot[x]^2]]}
+{1/Sqrt[-1 + Cot[x]^2], x, 3, -(ArcTanh[(Sqrt[2]*Cot[x])/Sqrt[-1 + Cot[x]^2]]/Sqrt[2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cot[x]^3/Sqrt[a + b*Cot[x]^2], x, 5, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a - b]]/Sqrt[a - b]) - Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/b}
+{Cot[x]^2/Sqrt[a + b*Cot[x]^2], x, 6, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[x])/Sqrt[a + b*Cot[x]^2]]/Sqrt[a - b] - ArcTanh[(Sqrt[b]*Cot[x])/Sqrt[a + b*Cot[x]^2]]/Sqrt[b]}
+{Cot[x]^1/Sqrt[a + b*Cot[x]^2], x, 4, ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a - b]]/Sqrt[a - b]}
+{Tan[x]^1/Sqrt[a + b*Cot[x]^2], x, 7, ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a]]/Sqrt[a] - ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a - b]]/Sqrt[a - b]}
+{Tan[x]^2/Sqrt[a + b*Cot[x]^2], x, 5, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[x])/Sqrt[a + b*Cot[x]^2]]/Sqrt[a - b] + (Sqrt[a + b*Cot[x]^2]*Tan[x])/a}
+
+
+{Cot[x]^3/(a + b*Cot[x]^2)^(3/2), x, 5, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a - b]]/(a - b)^(3/2)) + a/((a - b)*b*Sqrt[a + b*Cot[x]^2])}
+{Cot[x]^2/(a + b*Cot[x]^2)^(3/2), x, 4, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[x])/Sqrt[a + b*Cot[x]^2]]/(a - b)^(3/2) - Cot[x]/((a - b)*Sqrt[a + b*Cot[x]^2])}
+{Cot[x]^1/(a + b*Cot[x]^2)^(3/2), x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a - b]]/(a - b)^(3/2) - 1/((a - b)*Sqrt[a + b*Cot[x]^2])}
+{Tan[x]^1/(a + b*Cot[x]^2)^(3/2), x, 8, ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(3/2) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a - b]]/(a - b)^(3/2) + b/(a*(a - b)*Sqrt[a + b*Cot[x]^2])}
+{Tan[x]^2/(a + b*Cot[x]^2)^(3/2), x, 6, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[x])/Sqrt[a + b*Cot[x]^2]]/(a - b)^(3/2) + (b*Tan[x])/(a*(a - b)*Sqrt[a + b*Cot[x]^2]) + ((a - 2*b)*Sqrt[a + b*Cot[x]^2]*Tan[x])/(a^2*(a - b))}
+
+
+{Cot[x]^3/(a + b*Cot[x]^2)^(5/2), x, 6, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a - b]]/(a - b)^(5/2)) + a/(3*(a - b)*b*(a + b*Cot[x]^2)^(3/2)) + 1/((a - b)^2*Sqrt[a + b*Cot[x]^2])}
+{Cot[x]^2/(a + b*Cot[x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[x])/Sqrt[a + b*Cot[x]^2]]/(a - b)^(5/2) - Cot[x]/(3*(a - b)*(a + b*Cot[x]^2)^(3/2)) - ((2*a + b)*Cot[x])/(3*a*(a - b)^2*Sqrt[a + b*Cot[x]^2])}
+{Cot[x]^1/(a + b*Cot[x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a - b]]/(a - b)^(5/2) - 1/(3*(a - b)*(a + b*Cot[x]^2)^(3/2)) - 1/((a - b)^2*Sqrt[a + b*Cot[x]^2])}
+{Tan[x]^1/(a + b*Cot[x]^2)^(5/2), x, 9, ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(5/2) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Cot[x]^2]/Sqrt[a - b]]/(a - b)^(5/2) + b/(3*a*(a - b)*(a + b*Cot[x]^2)^(3/2)) + ((2*a - b)*b)/(a^2*(a - b)^2*Sqrt[a + b*Cot[x]^2])}
+{Tan[x]^2/(a + b*Cot[x]^2)^(5/2), x, 7, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Cot[x])/Sqrt[a + b*Cot[x]^2]]/(a - b)^(5/2) + (b*Tan[x])/(3*a*(a - b)*(a + b*Cot[x]^2)^(3/2)) + ((7*a - 4*b)*b*Tan[x])/(3*a^2*(a - b)^2*Sqrt[a + b*Cot[x]^2]) + ((a - 4*b)*(3*a - 2*b)*Sqrt[a + b*Cot[x]^2]*Tan[x])/(3*a^3*(a - b)^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cot[e+f x]^m (a+b Cot[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Cot[e+f x]^3)^n*)
+
+
+{1/(1 + Cot[x]^3), x, 7, x/2 - (1/6)*Log[1 + Cot[x]] + (1/3)*Log[1 - Cot[x] + Cot[x]^2] + (1/2)*Log[Sin[x]]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cot[e+f x]^m (a+b Cot[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cot[e+f x]^m (a+b Cot[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cot[e+f x]^m (a+b Cot[e+f x]^4)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Cot[x]*Sqrt[a + b*Cot[x]^4], x, 8, (1/2)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cot[x]^2)/Sqrt[a + b*Cot[x]^4]] + (1/2)*Sqrt[a + b]*ArcTanh[(a - b*Cot[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Cot[x]^4])] - (1/2)*Sqrt[a + b*Cot[x]^4]}
+
+
+{Cot[x]*(a + b*Cot[x]^4)^(3/2), x, 9, (1/4)*Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cot[x]^2)/Sqrt[a + b*Cot[x]^4]] + (1/2)*(a + b)^(3/2)*ArcTanh[(a - b*Cot[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Cot[x]^4])] - (1/4)*(2*(a + b) - b*Cot[x]^2)*Sqrt[a + b*Cot[x]^4] - (1/6)*(a + b*Cot[x]^4)^(3/2)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cot[x]/Sqrt[a + b*Cot[x]^4], x, 4, ArcTanh[(a - b*Cot[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Cot[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b])}
+
+
+{Cot[x]/(a + b*Cot[x]^4)^(3/2), x, 6, ArcTanh[(a - b*Cot[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Cot[x]^4])]/(2*(a + b)^(3/2)) - (a + b*Cot[x]^2)/(2*a*(a + b)*Sqrt[a + b*Cot[x]^4])}
+
+
+{Cot[x]/(a + b*Cot[x]^4)^(5/2), x, 7, ArcTanh[(a - b*Cot[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Cot[x]^4])]/(2*(a + b)^(5/2)) - (a + b*Cot[x]^2)/(6*a*(a + b)*(a + b*Cot[x]^4)^(3/2)) - (3*a^2 + b*(5*a + 2*b)*Cot[x]^2)/(6*a^2*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Cot[x]^4])}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.9 trig^m (a+b cot^n+c cot^(2 n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.9 trig^m (a+b cot^n+c cot^(2 n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..7b7c9dbc
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.4 Cotangent/4.4.9 trig^m (a+b cot^n+c cot^(2 n))^p.m	
@@ -0,0 +1,68 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form Trig[d+e x]^m (a+b Cot[d+e x]^n+c Cot[d+e x]^(2 n))^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Sin[d+e x]^m (a+b Cot[d+e x]^n+c Cot[d+e x]^(2 n))^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Cos[d+e x]^m (a+b Cot[d+e x]^n+c Cot[d+e x]^(2 n))^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cot[d+e x]^m (a+b Cot[d+e x]^n+c Cot[d+e x]^(2 n))^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cot[d+e x]^m (a+b Cot[d+e x]+c Cot[d+e x]^2)^(p/2)*)
+
+
+{Cot[d + e*x]^5/Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2], x, 15, -((Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e)) + (Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e) - (b*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(2*c^(3/2)*e) + (b*(5*b^2 - 12*a*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(16*c^(7/2)*e) + Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]/(c*e) - (Cot[d + e*x]^2*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])/(3*c*e) - ((15*b^2 - 16*a*c - 10*b*c*Cot[d + e*x])*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])/(24*c^3*e)}
+{Cot[d + e*x]^3/Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2], x, 11, (Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e) - (Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e) + (b*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(2*c^(3/2)*e) - Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]/(c*e)}
+{Cot[d + e*x]^1/Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2], x, 6, -((Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e)) + (Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e)}
+{Tan[d + e*x]^1/Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2], x, 10, ArcTanh[(2*a + b*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])]/(Sqrt[a]*e) + (Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e) - (Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e)}
+{Tan[d + e*x]^3/Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2], x, 14, -(ArcTanh[(2*a + b*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])]/(Sqrt[a]*e)) + ((3*b^2 - 4*a*c)*ArcTanh[(2*a + b*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(8*a^(5/2)*e) - (Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e) + (Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2] + b*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*e) - (3*b*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]*Tan[d + e*x])/(4*a^2*e) + (Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]*Tan[d + e*x]^2)/(2*a*e)}
+
+
+{Cot[d + e*x]^5*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2], x, 21, -((Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTan[(b^2 + (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e)) - (b*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(2*Sqrt[c]*e) + (b*(b^2 - 4*a*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(16*c^(5/2)*e) - (b*(7*b^2 - 12*a*c)*(b^2 - 4*a*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(256*c^(9/2)*e) + (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTanh[(b^2 + (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) + b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e) - Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]/e - (b*(b + 2*c*Cot[d + e*x])*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])/(8*c^2*e) + (b*(7*b^2 - 12*a*c)*(b + 2*c*Cot[d + e*x])*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])/(128*c^4*e) + (a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2)^(3/2)/(3*c*e) - (Cot[d + e*x]^2*(a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2)^(3/2))/(5*c*e) - ((35*b^2 - 32*a*c - 42*b*c*Cot[d + e*x])*(a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2)^(3/2))/(240*c^3*e)}
+{Cot[d + e*x]^3*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2], x, 16, (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTan[(b^2 + (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e) + (b*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(2*Sqrt[c]*e) - (b*(b^2 - 4*a*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(16*c^(5/2)*e) - (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTanh[(b^2 + (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) + b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e) + Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]/e + (b*(b + 2*c*Cot[d + e*x])*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])/(8*c^2*e) - (a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2)^(3/2)/(3*c*e)}
+{Cot[d + e*x]^1*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2], x, 10, -((Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTan[(b^2 + (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e)) - (b*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(2*Sqrt[c]*e) + (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTanh[(b^2 + (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) + b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e) - Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]/e}
+{Tan[d + e*x]^1*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2], x, 18, (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTan[(b^2 + (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e) + (Sqrt[a]*ArcTanh[(2*a + b*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/e - (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTanh[(b^2 + (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) + b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e)}
+{Tan[d + e*x]^3*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2], x, 21, -((Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTan[(b^2 + (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e)) - (Sqrt[a]*ArcTanh[(2*a + b*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/e - ((b^2 - 4*a*c)*ArcTanh[(2*a + b*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(8*a^(3/2)*e) + (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTanh[(b^2 + (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) + b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e) + ((2*a + b*Cot[d + e*x])*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]*Tan[d + e*x]^2)/(4*a*e)}
+
+
+{Cot[d + e*x]^7/(a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2)^(3/2), x, 20, -((3*b*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(2*c^(5/2)*e)) + (5*b*(7*b^2 - 12*a*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(16*c^(9/2)*e) + (Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) - (Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) - (2*(2*a + b*Cot[d + e*x]))/((b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]) + (2*Cot[d + e*x]^2*(2*a + b*Cot[d + e*x]))/((b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]) - (2*Cot[d + e*x]^4*(2*a + b*Cot[d + e*x]))/((b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]) + (2*(a*(b^2 - 2*(a - c)*c) + b*c*(a + c)*Cot[d + e*x]))/((b^2 + (a - c)^2)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]) - ((7*b^2 - 16*a*c)*Cot[d + e*x]^2*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])/(3*c^2*(b^2 - 4*a*c)*e) + (2*b*Cot[d + e*x]^3*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])/(c*(b^2 - 4*a*c)*e) + ((3*b^2 - 8*a*c - 2*b*c*Cot[d + e*x])*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])/(c^2*(b^2 - 4*a*c)*e) - ((105*b^4 - 460*a*b^2*c + 256*a^2*c^2 - 2*b*c*(35*b^2 - 116*a*c)*Cot[d + e*x])*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])/(24*c^4*(b^2 - 4*a*c)*e)}
+{Cot[d + e*x]^5/(a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2)^(3/2), x, 14, (3*b*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(2*c^(5/2)*e) - (Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) + (Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) + (2*(2*a + b*Cot[d + e*x]))/((b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]) - (2*Cot[d + e*x]^2*(2*a + b*Cot[d + e*x]))/((b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]) - (2*(a*(b^2 - 2*(a - c)*c) + b*c*(a + c)*Cot[d + e*x]))/((b^2 + (a - c)^2)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]) - ((3*b^2 - 8*a*c - 2*b*c*Cot[d + e*x])*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])/(c^2*(b^2 - 4*a*c)*e)}
+{Cot[d + e*x]^3/(a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2)^(3/2), x, 10, (Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) - (Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) - (2*(2*a + b*Cot[d + e*x]))/((b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]) + (2*(a*(b^2 - 2*(a - c)*c) + b*c*(a + c)*Cot[d + e*x]))/((b^2 + (a - c)^2)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])}
+{Cot[d + e*x]^1/(a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2)^(3/2), x, 7, -((Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e)) + (Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) - (2*(a*(b^2 - 2*(a - c)*c) + b*c*(a + c)*Cot[d + e*x]))/((b^2 + (a - c)^2)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])}
+{Tan[d + e*x]^1/(a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2)^(3/2), x, 13, ArcTanh[(2*a + b*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])]/(a^(3/2)*e) + (Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) - (Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e) - (2*(b^2 - 2*a*c + b*c*Cot[d + e*x]))/(a*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]) + (2*(a*(b^2 - 2*(a - c)*c) + b*c*(a + c)*Cot[d + e*x]))/((b^2 + (a - c)^2)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])}
+{Tan[d + e*x]^3/(a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2)^(3/2), x, 18, -(ArcTanh[(2*a + b*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])]/(a^(3/2)*e)) + (3*(5*b^2 - 4*a*c)*ArcTanh[(2*a + b*Cot[d + e*x])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])])/(8*a^(7/2)*e) - (1/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e))*(Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 + (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])]) + (1/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(3/2)*e))*(Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*ArcTanh[(b^2 - (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*(2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])*Cot[d + e*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[2*a - 2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a^2 - b^2 - 2*a*c + c^2 - (a - c)*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2])]) + (2*(b^2 - 2*a*c + b*c*Cot[d + e*x]))/(a*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]) - (2*(a*(b^2 - 2*(a - c)*c) + b*c*(a + c)*Cot[d + e*x]))/((b^2 + (a - c)^2)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]) - (b*(15*b^2 - 52*a*c)*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]*Tan[d + e*x])/(4*a^3*(b^2 - 4*a*c)*e) - (2*(b^2 - 2*a*c + b*c*Cot[d + e*x])*Tan[d + e*x]^2)/(a*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]) + ((5*b^2 - 12*a*c)*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2]*Tan[d + e*x]^2)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*e)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cot[d+e x]^m (a+b Cot[d+e x]^2+c Cot[d+e x]^4)^(p/2)*)
+
+
+{Cot[d + e*x]^5/Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4], x, 8, ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])]/(2*Sqrt[a - b + c]*e) + ((b + 2*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])])/(4*c^(3/2)*e) - Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4]/(2*c*e)}
+{Cot[d + e*x]^3/Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4], x, 7, -(ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])]/(2*Sqrt[a - b + c]*e)) - ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])]/(2*Sqrt[c]*e)}
+{Cot[d + e*x]^1/Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4], x, 4, ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])]/(2*Sqrt[a - b + c]*e)}
+{Tan[d + e*x]^1/Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4], x, 8, ArcTanh[(2*a + b*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])]/(2*Sqrt[a]*e) - ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])]/(2*Sqrt[a - b + c]*e)}
+{Tan[d + e*x]^3/Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4], x, 11, -(ArcTanh[(2*a + b*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])]/(2*Sqrt[a]*e)) - (b*ArcTanh[(2*a + b*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])])/(4*a^(3/2)*e) + ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])]/(2*Sqrt[a - b + c]*e) + (Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4]*Tan[d + e*x]^2)/(2*a*e)}
+
+
+{Cot[d + e*x]^5*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4], x, 9, (Sqrt[a - b + c]*ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])])/(2*e) - ((b^3 + 2*b^2*c - 4*b*(a - 2*c)*c - 8*c^2*(a + 2*c))*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])])/(32*c^(5/2)*e) + (((b - 2*c)*(b + 4*c) + 2*c*(b + 2*c)*Cot[d + e*x]^2)*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])/(16*c^2*e) - (a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4)^(3/2)/(6*c*e)}
+{Cot[d + e*x]^3*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4], x, 8, -((Sqrt[a - b + c]*ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])])/(2*e)) + ((b^2 + 4*b*c - 4*c*(a + 2*c))*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])])/(16*c^(3/2)*e) - ((b - 4*c + 2*c*Cot[d + e*x]^2)*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])/(8*c*e)}
+{Cot[d + e*x]^1*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4], x, 8, (Sqrt[a - b + c]*ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])])/(2*e) - ((b - 2*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])])/(4*Sqrt[c]*e) - Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4]/(2*e)}
+{Tan[d + e*x]^1*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4], x, 10, (Sqrt[a]*ArcTanh[(2*a + b*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])])/(2*e) - (Sqrt[a - b + c]*ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])])/(2*e) - (Sqrt[c]*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])])/(2*e)}
+{Tan[d + e*x]^3*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4], x, 22, -((Sqrt[a]*ArcTanh[(2*a + b*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])])/(2*e)) + (b*ArcTanh[(2*a + b*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])])/(4*Sqrt[a]*e) + (Sqrt[a - b + c]*ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])])/(2*e) + (b*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])])/(4*Sqrt[c]*e) - ((b - 2*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])])/(4*Sqrt[c]*e) - (Sqrt[c]*ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])])/(2*e) + (Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4]*Tan[d + e*x]^2)/(2*e)}
+
+
+{Cot[d + e*x]^7/(a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4)^(3/2), x, 8, -(ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])]/(2*(a - b + c)^(3/2)*e)) - ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])]/(2*c^(3/2)*e) - (a*(b^2 - a*(b + 2*c)) + (b^3 + 2*a^2*c - a*b*(b + 3*c))*Cot[d + e*x]^2)/(c*(a - b + c)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])}
+{Cot[d + e*x]^5/(a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4)^(3/2), x, 6, ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])]/(2*(a - b + c)^(3/2)*e) - (a*(2*a - b) + ((a - b)*b + 2*a*c)*Cot[d + e*x]^2)/((a - b + c)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])}
+{Cot[d + e*x]^3/(a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4)^(3/2), x, 6, -(ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])]/(2*(a - b + c)^(3/2)*e)) + (a*(b - 2*c) + (2*a - b)*c*Cot[d + e*x]^2)/((a - b + c)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])}
+{Cot[d + e*x]^1/(a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4)^(3/2), x, 6, ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])]/(2*(a - b + c)^(3/2)*e) - (b^2 - 2*a*c - b*c + (b - 2*c)*c*Cot[d + e*x]^2)/((a - b + c)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])}
+{Tan[d + e*x]^1/(a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4)^(3/2), x, 12, ArcTanh[(2*a + b*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])]/(2*a^(3/2)*e) - ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])]/(2*(a - b + c)^(3/2)*e) - (b^2 - 2*a*c + b*c*Cot[d + e*x]^2)/(a*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4]) + (b^2 - 2*a*c - b*c + (b - 2*c)*c*Cot[d + e*x]^2)/((a - b + c)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])}
+{Tan[d + e*x]^3/(a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4)^(3/2), x, 16, -(ArcTanh[(2*a + b*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])]/(2*a^(3/2)*e)) - (3*b*ArcTanh[(2*a + b*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])])/(4*a^(5/2)*e) + ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])]/(2*(a - b + c)^(3/2)*e) + (b^2 - 2*a*c + b*c*Cot[d + e*x]^2)/(a*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4]) - (b^2 - 2*a*c - b*c + (b - 2*c)*c*Cot[d + e*x]^2)/((a - b + c)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4]) - ((b^2 - 2*a*c + b*c*Cot[d + e*x]^2)*Tan[d + e*x]^2)/(a*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4]) + ((3*b^2 - 8*a*c)*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4]*Tan[d + e*x]^2)/(2*a^2*(b^2 - 4*a*c)*e)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.0 (a sec)^m (b trg)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.0 (a sec)^m (b trg)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..84462a89
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.0 (a sec)^m (b trg)^n.m	
@@ -0,0 +1,520 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (b Sec[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sec[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sec[c+d x])^n*)
+
+
+{Sec[a + b*x]^1, x, 1, ArcTanh[Sin[a + b*x]]/b}
+{Sec[a + b*x]^2, x, 2, Tan[a + b*x]/b}
+{Sec[a + b*x]^3, x, 2, ArcTanh[Sin[a + b*x]]/(2*b) + (Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]^4, x, 2, Tan[a + b*x]/b + Tan[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Sec[a + b*x]^5, x, 3, (3*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(8*b) + (3*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(8*b) + (Sec[a + b*x]^3*Tan[a + b*x])/(4*b)}
+{Sec[a + b*x]^6, x, 2, Tan[a + b*x]/b + (2*Tan[a + b*x]^3)/(3*b) + Tan[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Sec[a + b*x]^7, x, 4, (5*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(16*b) + (5*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(16*b) + (5*Sec[a + b*x]^3*Tan[a + b*x])/(24*b) + (Sec[a + b*x]^5*Tan[a + b*x])/(6*b)}
+{Sec[a + b*x]^8, x, 2, Tan[a + b*x]/b + Tan[a + b*x]^3/b + (3*Tan[a + b*x]^5)/(5*b) + Tan[a + b*x]^7/(7*b)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sec[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+{Sec[a + b*x]^(7/2), x, 4, -((6*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sec[a + b*x]])/(5*b)) + (6*Sqrt[Sec[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(5*b) + (2*Sec[a + b*x]^(5/2)*Sin[a + b*x])/(5*b)}
+{Sec[a + b*x]^(5/2), x, 3, (2*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sec[a + b*x]])/(3*b) + (2*Sec[a + b*x]^(3/2)*Sin[a + b*x])/(3*b)}
+{Sec[a + b*x]^(3/2), x, 3, -((2*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sec[a + b*x]])/b) + (2*Sqrt[Sec[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/b}
+{Sec[a + b*x]^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sec[a + b*x]])/b}
+{1/Sec[a + b*x]^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sec[a + b*x]])/b}
+{1/Sec[a + b*x]^(3/2), x, 3, (2*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sec[a + b*x]])/(3*b) + (2*Sin[a + b*x])/(3*b*Sqrt[Sec[a + b*x]])}
+{1/Sec[a + b*x]^(5/2), x, 3, (6*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sec[a + b*x]])/(5*b) + (2*Sin[a + b*x])/(5*b*Sec[a + b*x]^(3/2))}
+{1/Sec[a + b*x]^(7/2), x, 4, (10*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sec[a + b*x]])/(21*b) + (2*Sin[a + b*x])/(7*b*Sec[a + b*x]^(5/2)) + (10*Sin[a + b*x])/(21*b*Sqrt[Sec[a + b*x]])}
+
+
+{(c*Sec[a + b*x])^(7/2), x, 4, -((6*c^4*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(5*b*Sqrt[Cos[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])) + (6*c^3*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(5*b) + (2*c*(c*Sec[a + b*x])^(5/2)*Sin[a + b*x])/(5*b)}
+{(c*Sec[a + b*x])^(5/2), x, 3, (2*c^2*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(3*b) + (2*c*(c*Sec[a + b*x])^(3/2)*Sin[a + b*x])/(3*b)}
+{(c*Sec[a + b*x])^(3/2), x, 3, -((2*c^2*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(b*Sqrt[Cos[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])) + (2*c*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/b}
+{(c*Sec[a + b*x])^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/b}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(1/2), x, 2, (2*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(b*Sqrt[Cos[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(3/2), x, 3, (2*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(3*b*c^2) + (2*Sin[a + b*x])/(3*b*c*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(5/2), x, 3, (6*EllipticE[(1/2)*(a + b*x), 2])/(5*b*c^2*Sqrt[Cos[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) + (2*Sin[a + b*x])/(5*b*c*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(7/2), x, 4, (10*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*x), 2]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(21*b*c^4) + (2*Sin[a + b*x])/(7*b*c*(c*Sec[a + b*x])^(5/2)) + (10*Sin[a + b*x])/(21*b*c^3*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sec[c+d x])^(n/3)*)
+
+
+{Sec[a + b*x]^(4/3), x, 2, (3*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[a + b*x]^2]*Sec[a + b*x]^(1/3)*Sin[a + b*x])/(b*Sqrt[Sin[a + b*x]^2])}
+{Sec[a + b*x]^(2/3), x, 2, -((3*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(b*Sec[a + b*x]^(1/3)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{Sec[a + b*x]^(1/3), x, 2, -((3*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(2*b*Sec[a + b*x]^(2/3)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{1/Sec[a + b*x]^(1/3), x, 2, -((3*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(4*b*Sec[a + b*x]^(4/3)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{1/Sec[a + b*x]^(2/3), x, 2, -((3*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(5*b*Sec[a + b*x]^(5/3)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{1/Sec[a + b*x]^(4/3), x, 2, -((3*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(7*b*Sec[a + b*x]^(7/3)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+
+
+{(c*Sec[a + b*x])^(4/3), x, 2, (3*c*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[a + b*x]^2]*(c*Sec[a + b*x])^(1/3)*Sin[a + b*x])/(b*Sqrt[Sin[a + b*x]^2])}
+{(c*Sec[a + b*x])^(2/3), x, 2, -((3*c*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(b*(c*Sec[a + b*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{(c*Sec[a + b*x])^(1/3), x, 2, -((3*c*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(2*b*(c*Sec[a + b*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(1/3), x, 2, -((3*c*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(4*b*(c*Sec[a + b*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(2/3), x, 2, -((3*c*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(5*b*(c*Sec[a + b*x])^(5/3)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(4/3), x, 2, -((3*c*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x])/(7*b*(c*Sec[a + b*x])^(7/3)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sec[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Sec[a + b*x]^n, x, 2, -((Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[a + b*x]^2]*Sec[a + b*x]^(-1 + n)*Sin[a + b*x])/(b*(1 - n)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+
+
+{(c*Sec[a + b*x])^n, x, 2, -((c*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[a + b*x]^2]*(c*Sec[a + b*x])^(-1 + n)*Sin[a + b*x])/(b*(1 - n)*Sqrt[Sin[a + b*x]^2]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sec[c+d x]^p)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sec[c+d x]^p)^(n/2) with p positive integer*)
+
+
+{(Sec[x]^2)^(7/2), x, 5, (5/16)*ArcSinh[Tan[x]] + (5/16)*Sqrt[Sec[x]^2]*Tan[x] + (5/24)*(Sec[x]^2)^(3/2)*Tan[x] + (1/6)*(Sec[x]^2)^(5/2)*Tan[x]}
+{(Sec[x]^2)^(5/2), x, 4, (3/8)*ArcSinh[Tan[x]] + (3/8)*Sqrt[Sec[x]^2]*Tan[x] + (1/4)*(Sec[x]^2)^(3/2)*Tan[x]}
+{(Sec[x]^2)^(3/2), x, 3, (1/2)*ArcSinh[Tan[x]] + (1/2)*Sqrt[Sec[x]^2]*Tan[x]}
+{(Sec[x]^2)^(1/2), x, 2, ArcSinh[Tan[x]]}
+{1/(Sec[x]^2)^(1/2), x, 2, Tan[x]/Sqrt[Sec[x]^2]}
+{1/(Sec[x]^2)^(3/2), x, 3, Tan[x]/(3*(Sec[x]^2)^(3/2)) + (2*Tan[x])/(3*Sqrt[Sec[x]^2])}
+{1/(Sec[x]^2)^(5/2), x, 4, Tan[x]/(5*(Sec[x]^2)^(5/2)) + (4*Tan[x])/(15*(Sec[x]^2)^(3/2)) + (8*Tan[x])/(15*Sqrt[Sec[x]^2])}
+{1/(Sec[x]^2)^(7/2), x, 5, Tan[x]/(7*(Sec[x]^2)^(7/2)) + (6*Tan[x])/(35*(Sec[x]^2)^(5/2)) + (8*Tan[x])/(35*(Sec[x]^2)^(3/2)) + (16*Tan[x])/(35*Sqrt[Sec[x]^2])}
+
+
+{(a*Sec[x]^2)^(7/2), x, 6, (5/16)*a^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tan[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2]] + (5/16)*a^3*Sqrt[a*Sec[x]^2]*Tan[x] + (5/24)*a^2*(a*Sec[x]^2)^(3/2)*Tan[x] + (1/6)*a*(a*Sec[x]^2)^(5/2)*Tan[x]}
+{(a*Sec[x]^2)^(5/2), x, 5, (3/8)*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tan[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2]] + (3/8)*a^2*Sqrt[a*Sec[x]^2]*Tan[x] + (1/4)*a*(a*Sec[x]^2)^(3/2)*Tan[x]}
+{(a*Sec[x]^2)^(3/2), x, 4, (1/2)*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tan[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2]] + (1/2)*a*Sqrt[a*Sec[x]^2]*Tan[x]}
+{(a*Sec[x]^2)^(1/2), x, 3, Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tan[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2]]}
+{1/(a*Sec[x]^2)^(1/2), x, 2, Tan[x]/Sqrt[a*Sec[x]^2]}
+{1/(a*Sec[x]^2)^(3/2), x, 3, Tan[x]/(3*(a*Sec[x]^2)^(3/2)) + (2*Tan[x])/(3*a*Sqrt[a*Sec[x]^2])}
+{1/(a*Sec[x]^2)^(5/2), x, 4, Tan[x]/(5*(a*Sec[x]^2)^(5/2)) + (4*Tan[x])/(15*a*(a*Sec[x]^2)^(3/2)) + (8*Tan[x])/(15*a^2*Sqrt[a*Sec[x]^2])}
+{1/(a*Sec[x]^2)^(7/2), x, 5, Tan[x]/(7*(a*Sec[x]^2)^(7/2)) + (6*Tan[x])/(35*a*(a*Sec[x]^2)^(5/2)) + (8*Tan[x])/(35*a^2*(a*Sec[x]^2)^(3/2)) + (16*Tan[x])/(35*a^3*Sqrt[a*Sec[x]^2])}
+
+
+{(a*Sec[x]^3)^(5/2), x, 7, (-(154/195))*a^2*Cos[x]^(3/2)*EllipticE[x/2, 2]*Sqrt[a*Sec[x]^3] + (154/195)*a^2*Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^3]*Sin[x] + (154/585)*a^2*Sqrt[a*Sec[x]^3]*Tan[x] + (22/117)*a^2*Sec[x]^2*Sqrt[a*Sec[x]^3]*Tan[x] + (2/13)*a^2*Sec[x]^4*Sqrt[a*Sec[x]^3]*Tan[x]}
+{(a*Sec[x]^3)^(3/2), x, 5, (10/21)*a*Cos[x]^(3/2)*EllipticF[x/2, 2]*Sqrt[a*Sec[x]^3] + (10/21)*a*Sqrt[a*Sec[x]^3]*Sin[x] + (2/7)*a*Sec[x]*Sqrt[a*Sec[x]^3]*Tan[x]}
+{(a*Sec[x]^3)^(1/2), x, 4, -2*Cos[x]^(3/2)*EllipticE[x/2, 2]*Sqrt[a*Sec[x]^3] + 2*Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^3]*Sin[x]}
+{1/(a*Sec[x]^3)^(1/2), x, 4, (2*EllipticF[x/2, 2])/(3*Cos[x]^(3/2)*Sqrt[a*Sec[x]^3]) + (2*Tan[x])/(3*Sqrt[a*Sec[x]^3])}
+{1/(a*Sec[x]^3)^(3/2), x, 5, (14*EllipticE[x/2, 2])/(15*a*Cos[x]^(3/2)*Sqrt[a*Sec[x]^3]) + (14*Sin[x])/(45*a*Sqrt[a*Sec[x]^3]) + (2*Cos[x]^2*Sin[x])/(9*a*Sqrt[a*Sec[x]^3])}
+{1/(a*Sec[x]^3)^(5/2), x, 7, (26*EllipticF[x/2, 2])/(77*a^2*Cos[x]^(3/2)*Sqrt[a*Sec[x]^3]) + (78*Cos[x]*Sin[x])/(385*a^2*Sqrt[a*Sec[x]^3]) + (26*Cos[x]^3*Sin[x])/(165*a^2*Sqrt[a*Sec[x]^3]) + (2*Cos[x]^5*Sin[x])/(15*a^2*Sqrt[a*Sec[x]^3]) + (26*Tan[x])/(77*a^2*Sqrt[a*Sec[x]^3])}
+
+
+{(a*Sec[x]^4)^(7/2), x, 3, a^3*Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x] + 2*a^3*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x]^2*Tan[x] + 3*a^3*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x]^2*Tan[x]^3 + (20/7)*a^3*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x]^2*Tan[x]^5 + (5/3)*a^3*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x]^2*Tan[x]^7 + (6/11)*a^3*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x]^2*Tan[x]^9 + (1/13)*a^3*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x]^2*Tan[x]^11}
+{(a*Sec[x]^4)^(5/2), x, 3, a^2*Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x] + (4/3)*a^2*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x]^2*Tan[x] + (6/5)*a^2*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x]^2*Tan[x]^3 + (4/7)*a^2*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x]^2*Tan[x]^5 + (1/9)*a^2*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x]^2*Tan[x]^7}
+{(a*Sec[x]^4)^(3/2), x, 3, a*Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x] + (2/3)*a*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x]^2*Tan[x] + (1/5)*a*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x]^2*Tan[x]^3}
+{(a*Sec[x]^4)^(1/2), x, 3, Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x]}
+{1/(a*Sec[x]^4)^(1/2), x, 3, (x*Sec[x]^2)/(2*Sqrt[a*Sec[x]^4]) + Tan[x]/(2*Sqrt[a*Sec[x]^4])}
+{1/(a*Sec[x]^4)^(3/2), x, 5, (5*x*Sec[x]^2)/(16*a*Sqrt[a*Sec[x]^4]) + (5*Cos[x]*Sin[x])/(24*a*Sqrt[a*Sec[x]^4]) + (Cos[x]^3*Sin[x])/(6*a*Sqrt[a*Sec[x]^4]) + (5*Tan[x])/(16*a*Sqrt[a*Sec[x]^4])}
+{1/(a*Sec[x]^4)^(5/2), x, 7, (63*x*Sec[x]^2)/(256*a^2*Sqrt[a*Sec[x]^4]) + (21*Cos[x]*Sin[x])/(128*a^2*Sqrt[a*Sec[x]^4]) + (21*Cos[x]^3*Sin[x])/(160*a^2*Sqrt[a*Sec[x]^4]) + (9*Cos[x]^5*Sin[x])/(80*a^2*Sqrt[a*Sec[x]^4]) + (Cos[x]^7*Sin[x])/(10*a^2*Sqrt[a*Sec[x]^4]) + (63*Tan[x])/(256*a^2*Sqrt[a*Sec[x]^4])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form ((b Sec[c+d x])^p)^n with n symbolic*)
+
+
+{((b*Sec[c + d*x])^p)^n, x, 3, -((Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - n*p), (1/2)*(3 - n*p), Cos[c + d*x]^2]*((b*Sec[c + d*x])^p)^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n*p)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a (b Sec[c+d x])^p)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a (b Sec[c+d x])^p)^n with p symbolic*)
+
+
+{(a*(b*Sec[c + d*x])^p)^n, x, 3, -((Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - n*p), (1/2)*(3 - n*p), Cos[c + d*x]^2]*(a*(b*Sec[c + d*x])^p)^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n*p)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[e+f x])^m (b Trg[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[c+d x])^m (b Sec[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^m (b Sec[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 5, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*d) + (10*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*b*d) + (2*(b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 5, -((6*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (6*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 4, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 4, -((2*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (2*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^0*Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/d}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 3, (2*b*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 4, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 4, (6*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^4*Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 5, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b^3*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (10*b*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^5*Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 5, (14*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^4*Sin[c + d*x])/(9*d*(b*Sec[c + d*x])^(7/2)) + (14*b^2*Sin[c + d*x])/(45*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (10*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*d) + (10*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((6*b^2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (6*b*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, -((2*b^2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (2*b*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*b^2*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (6*b^2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^3*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^5*(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (10*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b^4*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (10*b^2*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^6*(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (14*b^2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^5*Sin[c + d*x])/(9*d*(b*Sec[c + d*x])^(7/2)) + (14*b^3*Sin[c + d*x])/(45*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (10*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*d) + (10*b*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, -((6*b^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (6*b^2*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 3, (2*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((2*b^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (2*b^2*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 3, (2*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/d}
+{Cos[c + d*x]^3*(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 3, (2*b^3*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (2*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^5*(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (6*b^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^4*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^6*(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (10*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b^5*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (10*b^3*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^7*(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (14*b^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^6*Sin[c + d*x])/(9*d*(b*Sec[c + d*x])^(7/2)) + (14*b^4*Sin[c + d*x])/(45*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{(b*Sec[c + d*x])^(7/2), x, 4, -((6*b^4*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (6*b^3*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*b*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^5/Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 5, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*b*d) + (10*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*b^2*d) + (2*(b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^4*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 5, -((6*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (6*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*b*d) + (2*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 4, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*b*d) + (2*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 4, -((2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (2*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 3, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0/Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 2, (2*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1/Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 4, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*b*d) + (2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2/Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 4, (6*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*b*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^3/Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 5, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*b*d) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (10*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4/Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 5, (14*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^3*Sin[c + d*x])/(9*d*(b*Sec[c + d*x])^(7/2)) + (14*b*Sin[c + d*x])/(45*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^6/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*b^2*d) + (10*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*b^3*d) + (2*(b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^5/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((6*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (6*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d) + (2*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^4*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*b^2*d) + (2*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (2*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(b^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^0/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*b^2*d) + (2*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (6*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^2/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*b^2*d) + (2*b*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (10*Sin[c + d*x])/(21*b*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (14*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(9*d*(b*Sec[c + d*x])^(7/2)) + (14*Sin[c + d*x])/(45*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^7/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*b^3*d) + (10*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*b^4*d) + (2*(b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*b^6*d)}
+{Sec[c + d*x]^6/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, -((6*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (6*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d) + (2*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*b^5*d)}
+{Sec[c + d*x]^5/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*b^3*d) + (2*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b^4*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (2*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 3, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(b^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 3, (2*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*b^3*d) + (2*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^0/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 3, (6*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*Sin[c + d*x])/(5*b*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^1/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*b^3*d) + (2*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (10*Sin[c + d*x])/(21*b^2*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (14*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*b*Sin[c + d*x])/(9*d*(b*Sec[c + d*x])^(7/2)) + (14*Sin[c + d*x])/(45*b*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{(b*Sec[c + d*x])^(-7/2), x, 4, (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*b^4*d) + (2*Sin[c + d*x])/(7*b*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (10*Sin[c + d*x])/(21*b^3*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[c+d x])^(m/2) (b Sec[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(9/2), x, 4, (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 3, (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 3, (ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 3, (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 2, (ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[b*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 2, (x*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/Sqrt[Sec[c + d*x]]}
+{Sqrt[b*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 2, (Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[b*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 3, (x*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{Sqrt[b*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 3, (Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[b*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 4, (3*x*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(8*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (3*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 4, (3*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (3*b*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 3, (b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (b*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 3, (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 3, (b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(b*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 2, (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(b*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 2, (b*x*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/Sqrt[Sec[c + d*x]]}
+{(b*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 2, (b*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(b*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 3, (b*x*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{(b*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 3, (b*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (b*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(b*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(11/2), x, 4, (3*b*x*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(8*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (3*b*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{(b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(7/2), x, 3, (b^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*b^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{(b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 3, (b^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (b^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{(b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 3, (b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(b*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 3, (b^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(b*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 2, (b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(b*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 2, (b^2*x*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/Sqrt[Sec[c + d*x]]}
+{(b*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 2, (b^2*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(b*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 3, (b^2*x*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b^2*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{(b*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(11/2), x, 3, (b^2*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (b^2*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/2)/Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 3, (ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 3, (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 2, (ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/Sqrt[b*Sec[c + d*x]], x, 2, (x*Sqrt[Sec[c + d*x]])/Sqrt[b*Sec[c + d*x]]}
+{1/(Sec[c + d*x]^(1/2)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]), x, 2, (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]), x, 3, (x*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + Sin[c + d*x]/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]), x, 3, (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(9/2)/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, (ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*b*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(7/2)/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 2, (ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 2, (x*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 2, (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sec[c + d*x]^(1/2)*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 3, (x*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*b*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + Sin[c + d*x]/(2*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 3, (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*b*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 4, (3*x*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*b*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + Sin[c + d*x]/(4*b*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (3*Sin[c + d*x])/(8*b*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(11/2)/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 3, (ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*b^2*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(9/2)/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 3, (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(7/2)/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 2, (ArcTanh[Sin[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 2, (x*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
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+{Sec[c + d*x]^(1/2)/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 3, (x*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*b^2*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + Sin[c + d*x]/(2*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sec[c + d*x]^(1/2)*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 3, (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x]^3)/(3*b^2*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 4, (3*x*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*b^2*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + Sin[c + d*x]/(4*b^2*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (3*Sin[c + d*x])/(8*b^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^m (b Sec[c+d x])^(n/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 3, (3*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]*(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 3, (3*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 2, -((3*b*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]*(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 3, -((3*b^2*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 3, -((3*b^3*Hypergeometric2F1[1/2, 4/3, 7/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*d*(b*Sec[c + d*x])^(8/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 3, (3*Hypergeometric2F1[-(7/6), 1/2, -(1/6), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(7/3)*Sin[c + d*x])/(7*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 3, (3*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 2, (3*b*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 3, -((3*b^2*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 3, -((3*b^3*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^2/(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 3, (3*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]/(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 3, -((3*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{(b*Sec[c + d*x])^(-1/3), x, 2, -((3*b*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]/(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 3, -((3*b^2*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Sec[c + d*x])^(7/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 3, -((3*b^3*Hypergeometric2F1[1/2, 5/3, 8/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*d*(b*Sec[c + d*x])^(10/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 3, -((3*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Sec[c + d*x]/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 3, -((3*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{(b*Sec[c + d*x])^(-4/3), x, 2, -((3*b*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Sec[c + d*x])^(7/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 3, -((3*b^2*Hypergeometric2F1[1/2, 5/3, 8/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*d*(b*Sec[c + d*x])^(10/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 3, -((3*b^3*Hypergeometric2F1[1/2, 13/6, 19/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(13*d*(b*Sec[c + d*x])^(13/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^m (b Sec[c+d x])^n with m symbolic*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 3, (3*b*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-1 - 3*m), (1/6)*(5 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 3, -((3*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(1 - 3*m), (1/6)*(7 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 3, -((3*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(2 - 3*m), (1/6)*(8 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Sec[c + d*x]^m/(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 3, -((3*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(4 - 3*m), (1/6)*(10 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(4 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Sec[c + d*x]^m/(b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 3, -((3*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(5 - 3*m), (1/6)*(11 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Sec[c + d*x]^m/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 3, -((3*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(7 - 3*m), (1/6)*(13 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-2 + m)*Sin[c + d*x])/(b*d*(7 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^m (b Sec[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^n, x, 3, -((Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - m - n), (1/2)*(3 - m - n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - m - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^n, x, 3, (Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 - n), (1 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1 + n)*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]^1*(b*Sec[c + d*x])^n, x, 3, (Hypergeometric2F1[1/2, -(n/2), (2 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*n*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]^0*(b*Sec[c + d*x])^n, x, 2, -((b*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-1 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Sec[c + d*x])^n, x, 3, -((b^2*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - n)/2, (4 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-2 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^n, x, 3, -((b^3*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-3 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(3 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(b*Sec[c + d*x])^n, x, 3, -((b^4*Hypergeometric2F1[1/2, (4 - n)/2, (6 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-4 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(4 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(b*Sec[c + d*x])^n, x, 3, (2*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-3 - 2*n), (1/4)*(1 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(3/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(b*Sec[c + d*x])^n, x, 3, (2*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-1 - 2*n), (1/4)*(3 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b*Sec[c + d*x])^n, x, 3, -((2*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 - 2*n), (1/4)*(5 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{(b*Sec[c + d*x])^n/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 3, -((2*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(3 - 2*n), (1/4)*(7 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{(b*Sec[c + d*x])^n/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 3, -((2*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(5 - 2*n), (1/4)*(9 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 2*n)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+{(b*Sec[c + d*x])^n/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 3, -((2*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(7 - 2*n), (1/4)*(11 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(7 - 2*n)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]))}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[c+d x])^m (b Csc[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[e+f x])^(m/2) (b Csc[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sin[a + b*x]*(d*Sec[a + b*x])^(7/2), x, 2, (2*d*(d*Sec[a + b*x])^(5/2))/(5*b)}
+{Sin[a + b*x]*(d*Sec[a + b*x])^(5/2), x, 2, (2*d*(d*Sec[a + b*x])^(3/2))/(3*b)}
+{Sin[a + b*x]*(d*Sec[a + b*x])^(3/2), x, 2, (2*d*Sqrt[d*Sec[a + b*x]])/b}
+{Sin[a + b*x]*(d*Sec[a + b*x])^(1/2), x, 2, -((2*d)/(b*Sqrt[d*Sec[a + b*x]]))}
+{Sin[a + b*x]/(d*Sec[a + b*x])^(1/2), x, 2, -((2*d)/(3*b*(d*Sec[a + b*x])^(3/2)))}
+
+
+{Sin[a + b*x]^3*(d*Sec[a + b*x])^(5/2), x, 3, 2*d^3/(b*Sqrt[(d*Sec[a + b*x])]) + (2/3)*d*(d*Sec[a + b*x])^(3/2)/b}
+{Sin[a + b*x]^3*(d*Sec[a + b*x])^(9/2), x, 3, (-(2/3))*d^3*(d*Sec[a + b*x])^(3/2)/b + (2/7)*d*(d*Sec[a + b*x])^(7/2)/b}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m<0*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[e+f x])^(m/2) (b Csc[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c*Sec[a + b*x])^(1/2)*(d*Csc[a + b*x])^(9/2), x, 5, -((4*c*d^3*(d*Csc[a + b*x])^(3/2))/(7*b*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])) - (2*c*d*(d*Csc[a + b*x])^(7/2))/(7*b*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) + (4*d^4*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(7*b)}
+{(c*Sec[a + b*x])^(1/2)*(d*Csc[a + b*x])^(7/2), x, 2, -((8*c*d^3*Sqrt[d*Csc[a + b*x]])/(5*b*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])) - (2*c*d*(d*Csc[a + b*x])^(5/2))/(5*b*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])}
+{(c*Sec[a + b*x])^(1/2)*(d*Csc[a + b*x])^(5/2), x, 4, -((2*c*d*(d*Csc[a + b*x])^(3/2))/(3*b*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])) + (2*d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(3*b)}
+{(c*Sec[a + b*x])^(1/2)*(d*Csc[a + b*x])^(3/2), x, 1, -((2*c*d*Sqrt[d*Csc[a + b*x]])/(b*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]))}
+{(c*Sec[a + b*x])^(1/2)*(d*Csc[a + b*x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/b}
+{(c*Sec[a + b*x])^(1/2)/(d*Csc[a + b*x])^(1/2), x, 12, -((ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(Sqrt[2]*b*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])) + (ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(Sqrt[2]*b*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]]) + (Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(2*Sqrt[2]*b*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]]) - (Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(2*Sqrt[2]*b*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])}
+{(c*Sec[a + b*x])^(1/2)/(d*Csc[a + b*x])^(3/2), x, 4, -(c/(b*d*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])) + (Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(2*b*d^2)}
+{(c*Sec[a + b*x])^(1/2)/(d*Csc[a + b*x])^(5/2), x, 13, -(c/(2*b*d*(d*Csc[a + b*x])^(3/2)*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])) - (3*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(4*Sqrt[2]*b*d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]]) + (3*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(4*Sqrt[2]*b*d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]]) + (3*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(8*Sqrt[2]*b*d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]]) - (3*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(8*Sqrt[2]*b*d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])}
+
+
+{(c*Sec[a + b*x])^(3/2)*(d*Csc[a + b*x])^(9/2), x, 3, (64*c*d^5*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(21*b*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]) - (16*c*d^3*(d*Csc[a + b*x])^(3/2)*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(21*b) - (2*c*d*(d*Csc[a + b*x])^(7/2)*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(7*b)}
+{(c*Sec[a + b*x])^(3/2)*(d*Csc[a + b*x])^(7/2), x, 6, (24*c*d^5*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(5*b*(d*Csc[a + b*x])^(3/2)) - (12*c*d^3*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(5*b) - (2*c*d*(d*Csc[a + b*x])^(5/2)*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(5*b) - (24*c^2*d^4*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2])/(5*b*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{(c*Sec[a + b*x])^(3/2)*(d*Csc[a + b*x])^(5/2), x, 2, (8*c*d^3*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(3*b*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]) - (2*c*d*(d*Csc[a + b*x])^(3/2)*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(3*b)}
+{(c*Sec[a + b*x])^(3/2)*(d*Csc[a + b*x])^(3/2), x, 5, (4*c*d^3*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(b*(d*Csc[a + b*x])^(3/2)) - (2*c*d*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/b - (4*c^2*d^2*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2])/(b*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{(c*Sec[a + b*x])^(3/2)*(d*Csc[a + b*x])^(1/2), x, 1, (2*c*d*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(b*Sqrt[d*Csc[a + b*x]])}
+{(c*Sec[a + b*x])^(3/2)/(d*Csc[a + b*x])^(1/2), x, 4, (2*c*d*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(b*(d*Csc[a + b*x])^(3/2)) - (2*c^2*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2])/(b*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{(c*Sec[a + b*x])^(3/2)/(d*Csc[a + b*x])^(3/2), x, 13, (2*c*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(b*d*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]) + (c^2*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(Sqrt[2]*b*d^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) - (c^2*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(Sqrt[2]*b*d^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) + (c^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(2*Sqrt[2]*b*d^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) - (c^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(2*Sqrt[2]*b*d^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])}
+{(c*Sec[a + b*x])^(3/2)/(d*Csc[a + b*x])^(5/2), x, 4, (2*c*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(b*d*(d*Csc[a + b*x])^(3/2)) - (3*c^2*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2])/(b*d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+
+
+{(c*Sec[a + b*x])^(5/2)*(d*Csc[a + b*x])^(9/2), x, 6, (40*c*d^5*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))/(21*b*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]) - (20*c*d^3*(d*Csc[a + b*x])^(3/2)*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))/(21*b) - (2*c*d*(d*Csc[a + b*x])^(7/2)*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))/(7*b) + (40*c^2*d^4*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(21*b)}
+{(c*Sec[a + b*x])^(5/2)*(d*Csc[a + b*x])^(7/2), x, 3, -((64*c^3*d^3*Sqrt[d*Csc[a + b*x]])/(15*b*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])) + (16*c*d^3*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))/(15*b) - (2*c*d*(d*Csc[a + b*x])^(5/2)*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))/(5*b)}
+{(c*Sec[a + b*x])^(5/2)*(d*Csc[a + b*x])^(5/2), x, 5, (4*c*d^3*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))/(3*b*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]) - (2*c*d*(d*Csc[a + b*x])^(3/2)*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))/(3*b) + (4*c^2*d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(3*b)}
+{(c*Sec[a + b*x])^(5/2)*(d*Csc[a + b*x])^(3/2), x, 2, -((8*c^3*d*Sqrt[d*Csc[a + b*x]])/(3*b*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])) + (2*c*d*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))/(3*b)}
+{(c*Sec[a + b*x])^(5/2)*(d*Csc[a + b*x])^(1/2), x, 4, (2*c*d*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))/(3*b*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]) + (2*c^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(3*b)}
+{(c*Sec[a + b*x])^(5/2)/(d*Csc[a + b*x])^(1/2), x, 1, (2*c*d*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))/(3*b*(d*Csc[a + b*x])^(3/2))}
+{(c*Sec[a + b*x])^(5/2)/(d*Csc[a + b*x])^(3/2), x, 4, (2*c*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))/(3*b*d*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]) - (c^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(3*b*d^2)}
+{(c*Sec[a + b*x])^(5/2)/(d*Csc[a + b*x])^(5/2), x, 13, (2*c*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))/(3*b*d*(d*Csc[a + b*x])^(3/2)) + (c^2*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(Sqrt[2]*b*d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]]) - (c^2*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(Sqrt[2]*b*d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]]) - (c^2*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(2*Sqrt[2]*b*d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]]) + (c^2*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(2*Sqrt[2]*b*d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(1/2)*(d*Csc[a + b*x])^(9/2), x, 2, -((8*c*d^3*(d*Csc[a + b*x])^(3/2))/(21*b*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))) - (2*c*d*(d*Csc[a + b*x])^(7/2))/(7*b*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(1/2)*(d*Csc[a + b*x])^(7/2), x, 5, -((4*c*d^3*Sqrt[d*Csc[a + b*x]])/(5*b*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))) - (2*c*d*(d*Csc[a + b*x])^(5/2))/(5*b*(c*Sec[a + b*x])^(3/2)) - (4*d^4*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2])/(5*b*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(1/2)*(d*Csc[a + b*x])^(5/2), x, 1, -((2*c*d*(d*Csc[a + b*x])^(3/2))/(3*b*(c*Sec[a + b*x])^(3/2)))}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(1/2)*(d*Csc[a + b*x])^(3/2), x, 4, -((2*c*d*Sqrt[d*Csc[a + b*x]])/(b*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))) - (2*d^2*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2])/(b*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(1/2)*(d*Csc[a + b*x])^(1/2), x, 12, -((ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(Sqrt[2]*b*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])) + (ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(Sqrt[2]*b*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) - (Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(2*Sqrt[2]*b*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) + (Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(2*Sqrt[2]*b*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(1/2)/(d*Csc[a + b*x])^(1/2), x, 3, EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]/(b*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(1/2)/(d*Csc[a + b*x])^(3/2), x, 13, -(c/(2*b*d*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))) - (ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(4*Sqrt[2]*b*d^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) + (ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(4*Sqrt[2]*b*d^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) - (Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(8*Sqrt[2]*b*d^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) + (Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(8*Sqrt[2]*b*d^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(1/2)/(d*Csc[a + b*x])^(5/2), x, 4, -(c/(3*b*d*(d*Csc[a + b*x])^(3/2)*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))) + EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]/(2*b*d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+
+
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(3/2)*(d*Csc[a + b*x])^(11/2), x, 3, (8*d^5*Sqrt[d*Csc[a + b*x]])/(45*b*c*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) + (2*d^3*(d*Csc[a + b*x])^(5/2))/(45*b*c*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) - (2*d*(d*Csc[a + b*x])^(9/2))/(9*b*c*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(3/2)*(d*Csc[a + b*x])^(9/2), x, 5, (2*d^3*(d*Csc[a + b*x])^(3/2))/(21*b*c*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) - (2*d*(d*Csc[a + b*x])^(7/2))/(7*b*c*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) - (2*d^4*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(21*b*c^2)}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(3/2)*(d*Csc[a + b*x])^(7/2), x, 1, -((2*c*d*(d*Csc[a + b*x])^(5/2))/(5*b*(c*Sec[a + b*x])^(5/2)))}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(3/2)*(d*Csc[a + b*x])^(5/2), x, 4, -((2*d*(d*Csc[a + b*x])^(3/2))/(3*b*c*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])) - (d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(3*b*c^2)}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(3/2)*(d*Csc[a + b*x])^(3/2), x, 13, -((2*d*Sqrt[d*Csc[a + b*x]])/(b*c*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])) + (d^2*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(Sqrt[2]*b*c^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]]) - (d^2*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(Sqrt[2]*b*c^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]]) - (d^2*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(2*Sqrt[2]*b*c^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]]) + (d^2*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(2*Sqrt[2]*b*c^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(3/2)*(d*Csc[a + b*x])^(1/2), x, 4, d/(b*c*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) + (Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(2*b*c^2)}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(3/2)/(d*Csc[a + b*x])^(1/2), x, 13, d/(2*b*c*(d*Csc[a + b*x])^(3/2)*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) - (ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(4*Sqrt[2]*b*c^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]]) + (ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(4*Sqrt[2]*b*c^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]]) + (Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(8*Sqrt[2]*b*c^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]]) - (Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(8*Sqrt[2]*b*c^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(3/2)/(d*Csc[a + b*x])^(3/2), x, 5, -(c/(3*b*d*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*(c*Sec[a + b*x])^(5/2))) + 1/(6*b*c*d*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) + (Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(12*b*c^2*d^2)}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(3/2)/(d*Csc[a + b*x])^(5/2), x, 14, -(c/(4*b*d*(d*Csc[a + b*x])^(3/2)*(c*Sec[a + b*x])^(5/2))) + 3/(16*b*c*d*(d*Csc[a + b*x])^(3/2)*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) - (3*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(32*Sqrt[2]*b*c^2*d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]]) + (3*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(32*Sqrt[2]*b*c^2*d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]]) + (3*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(64*Sqrt[2]*b*c^2*d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]]) - (3*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])/(64*Sqrt[2]*b*c^2*d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])}
+
+
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(5/2)*(d*Csc[a + b*x])^(9/2), x, 1, -((2*c*d*(d*Csc[a + b*x])^(7/2))/(7*b*(c*Sec[a + b*x])^(7/2)))}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(5/2)*(d*Csc[a + b*x])^(7/2), x, 5, (6*d^3*Sqrt[d*Csc[a + b*x]])/(5*b*c*(c*Sec[a + b*x])^(3/2)) - (2*d*(d*Csc[a + b*x])^(5/2))/(5*b*c*(c*Sec[a + b*x])^(3/2)) + (6*d^4*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2])/(5*b*c^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(5/2)*(d*Csc[a + b*x])^(5/2), x, 13, -((2*d*(d*Csc[a + b*x])^(3/2))/(3*b*c*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))) + (d^2*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(Sqrt[2]*b*c^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) - (d^2*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(Sqrt[2]*b*c^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) + (d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(2*Sqrt[2]*b*c^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) - (d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(2*Sqrt[2]*b*c^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(5/2)*(d*Csc[a + b*x])^(3/2), x, 4, -((2*d*Sqrt[d*Csc[a + b*x]])/(b*c*(c*Sec[a + b*x])^(3/2))) - (3*d^2*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2])/(b*c^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(5/2)*(d*Csc[a + b*x])^(1/2), x, 13, d/(2*b*c*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*(c*Sec[a + b*x])^(3/2)) - (3*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(4*Sqrt[2]*b*c^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) + (3*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(4*Sqrt[2]*b*c^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) - (3*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(8*Sqrt[2]*b*c^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) + (3*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(8*Sqrt[2]*b*c^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(5/2)/(d*Csc[a + b*x])^(1/2), x, 4, d/(3*b*c*(d*Csc[a + b*x])^(3/2)*(c*Sec[a + b*x])^(3/2)) + EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]/(2*b*c^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(5/2)/(d*Csc[a + b*x])^(3/2), x, 14, -(c/(4*b*d*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*(c*Sec[a + b*x])^(7/2))) + 1/(16*b*c*d*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*(c*Sec[a + b*x])^(3/2)) - (3*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(32*Sqrt[2]*b*c^2*d^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) + (3*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(32*Sqrt[2]*b*c^2*d^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) - (3*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(64*Sqrt[2]*b*c^2*d^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) + (3*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(64*Sqrt[2]*b*c^2*d^2*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(5/2)/(d*Csc[a + b*x])^(5/2), x, 5, -(c/(5*b*d*(d*Csc[a + b*x])^(3/2)*(c*Sec[a + b*x])^(7/2))) + 1/(10*b*c*d*(d*Csc[a + b*x])^(3/2)*(c*Sec[a + b*x])^(3/2)) + (3*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2])/(20*b*c^2*d^2*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{1/(c*Sec[a + b*x])^(5/2)/(d*Csc[a + b*x])^(7/2), x, 15, -(c/(6*b*d*(d*Csc[a + b*x])^(5/2)*(c*Sec[a + b*x])^(7/2))) - (5*c)/(48*b*d^3*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*(c*Sec[a + b*x])^(7/2)) + 5/(192*b*c*d^3*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*(c*Sec[a + b*x])^(3/2)) - (5*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(128*Sqrt[2]*b*c^2*d^4*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) + (5*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]]]*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(128*Sqrt[2]*b*c^2*d^4*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) - (5*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(256*Sqrt[2]*b*c^2*d^4*Sqrt[c*Sec[a + b*x]]) + (5*Sqrt[d*Csc[a + b*x]]*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*x]] + Tan[a + b*x]]*Sqrt[Tan[a + b*x]])/(256*Sqrt[2]*b*c^2*d^4*Sqrt[c*Sec[a + b*x]])}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[e+f x])^m (b Csc[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(Sec[e + f*x])^m*(Csc[e + f*x])^n, x, 2, ((Cos[e + f*x]^2)^((1 + m)/2)*Csc[e + f*x]^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(1 + m))/(f*(1 - n))}
+{(a*Sec[e + f*x])^m*(Csc[e + f*x])^n, x, 2, ((Cos[e + f*x]^2)^((1 + m)/2)*Csc[e + f*x]^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(a*Sec[e + f*x])^(m + 1))/(a*f*(1 - n))}
+{(Sec[e + f*x])^m*(b*Csc[e + f*x])^n, x, 2, (b*(Cos[e + f*x]^2)^((1 + m)/2)*(b*Csc[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(1 + m))/(f*(1 - n))}
+{(a*Sec[e + f*x])^m*(b*Csc[e + f*x])^n, x, 2, (b*(Cos[e + f*x]^2)^((1 + m)/2)*(b*Csc[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(a*Sec[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(1 - n))}
+
+
+{(b*Csc[e + f*x])^n*Sec[e + f*x]^5, x, 2, ((b*Csc[e + f*x])^(5 + n)*Hypergeometric2F1[3, (5 + n)/2, (7 + n)/2, Csc[e + f*x]^2])/(b^5*f*(5 + n))}
+{(b*Csc[e + f*x])^n*Sec[e + f*x]^3, x, 2, -(((b*Csc[e + f*x])^(3 + n)*Hypergeometric2F1[2, (3 + n)/2, (5 + n)/2, Csc[e + f*x]^2])/(b^3*f*(3 + n)))}
+{(b*Csc[e + f*x])^n*Sec[e + f*x]^1, x, 2, ((b*Csc[e + f*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Csc[e + f*x]^2])/(b*f*(1 + n))}
+{(b*Csc[e + f*x])^n*Cos[e + f*x]^1, x, 2, (b*(b*Csc[e + f*x])^(-1 + n))/(f*(1 - n))}
+{(b*Csc[e + f*x])^n*Cos[e + f*x]^3, x, 3, -((b^3*(b*Csc[e + f*x])^(-3 + n))/(f*(3 - n))) + (b*(b*Csc[e + f*x])^(-1 + n))/(f*(1 - n))}
+{(b*Csc[e + f*x])^n*Cos[e + f*x]^5, x, 3, (b^5*(b*Csc[e + f*x])^(-5 + n))/(f*(5 - n)) - (2*b^3*(b*Csc[e + f*x])^(-3 + n))/(f*(3 - n)) + (b*(b*Csc[e + f*x])^(-1 + n))/(f*(1 - n))}
+
+{(b*Csc[e + f*x])^n*Sec[e + f*x]^6, x, 2, (b*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*(b*Csc[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[7/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x])/(f*(1 - n))}
+{(b*Csc[e + f*x])^n*Sec[e + f*x]^4, x, 2, (b*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*(b*Csc[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[5/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x])/(f*(1 - n))}
+{(b*Csc[e + f*x])^n*Sec[e + f*x]^2, x, 2, (b*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*(b*Csc[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[3/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x])/(f*(1 - n))}
+{(b*Csc[e + f*x])^n*Sec[e + f*x]^0, x, 2, (b*Cos[e + f*x]*(b*Csc[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(1 - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{(b*Csc[e + f*x])^n*Cos[e + f*x]^2, x, 2, (b*Cos[e + f*x]*(b*Csc[e + f*x])^(n - 1)*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(1 - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+{(b*Csc[e + f*x])^n*Cos[e + f*x]^4, x, 2, (b*Cos[e + f*x]*(b*Csc[e + f*x])^(n - 1)*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(f*(1 - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
+
+
+{(b*Csc[e + f*x])^n*(c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 2, (b*(Cos[e + f*x]^2)^(5/4)*(b*Csc[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[5/4, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(5/2))/(c*f*(1 - n))}
+{(b*Csc[e + f*x])^n*(c*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 2, (b*(Cos[e + f*x]^2)^(3/4)*(b*Csc[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[3/4, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2]*(c*Sec[e + f*x])^(3/2))/(c*f*(1 - n))}
+{(b*Csc[e + f*x])^n/(c*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 2, (b*(Cos[e + f*x]^2)^(1/4)*(b*Csc[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/4, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sqrt[c*Sec[e + f*x]])/(c*f*(1 - n))}
+{(b*Csc[e + f*x])^n/(c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 2, (b*(b*Csc[e + f*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[-(1/4), (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[e + f*x]^2])/(c*f*(1 - n)*(Cos[e + f*x]^2)^(1/4)*Sqrt[c*Sec[e + f*x]])}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.2 (d sec)^n (a+b sec)^m.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.2 (d sec)^n (a+b sec)^m.m
new file mode 100644
index 00000000..ba6d75b1
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.2 (d sec)^n (a+b sec)^m.m	
@@ -0,0 +1,1403 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+a Sec[e+f x])^m*)
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+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, (3*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (3*a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 2, a*x + (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, a*x + (a*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, (a*x)/2 + (a*Sin[c + d*x])/d + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, (a*x)/2 + (a*Sin[c + d*x])/d + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, (3*a*x)/8 + (a*Sin[c + d*x])/d + (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (3*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) + (9*a^2*Tan[c + d*x])/(5*d) + (3*a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + (3*a^2*Tan[c + d*x]^3)/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (7*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (2*a^2*Tan[c + d*x])/d + (7*a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (2*a^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
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+{Sec[c + d*x]^0*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 4, a^2*x + (2*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 4, 2*a^2*x + (a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 4, (3*a^2*x)/2 + (2*a^2*Sin[c + d*x])/d + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, a^2*x + (2*a^2*Sin[c + d*x])/d + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/d - (a^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (7*a^2*x)/8 + (2*a^2*Sin[c + d*x])/d + (7*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (2*a^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (3*a^2*x)/4 + (2*a^2*Sin[c + d*x])/d + (3*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*d) - (a^2*Sin[c + d*x]^3)/d + (a^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 11, (13*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (4*a^3*Tan[c + d*x])/d + (13*a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (3*a^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (5*a^3*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^3*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 11, (15*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (4*a^3*Tan[c + d*x])/d + (15*a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a^3*Tan[c + d*x]^3)/d}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (5*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (4*a^3*Tan[c + d*x])/d + (3*a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a^3*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, a^3*x + (7*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (5*a^3*Tan[c + d*x])/(2*d) + ((a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 6, 3*a^3*x + (3*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^3*Sin[c + d*x])/d + (a^3*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 6, (7*a^3*x)/2 + (a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (3*a^3*Sin[c + d*x])/d + (a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (5*a^3*x)/2 + (4*a^3*Sin[c + d*x])/d + (3*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 10, (15*a^3*x)/8 + (4*a^3*Sin[c + d*x])/d + (15*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a^3*Sin[c + d*x]^3)/d}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 11, (13*a^3*x)/8 + (4*a^3*Sin[c + d*x])/d + (13*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (3*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (5*a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^3*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 13, (23*a^3*x)/16 + (4*a^3*Sin[c + d*x])/d + (23*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (23*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d) - (7*a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^3*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 15, (49*a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (8*a^4*Tan[c + d*x])/d + (49*a^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (41*a^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(24*d) + (a^4*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d) + (4*a^4*Tan[c + d*x]^3)/d + (4*a^4*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 13, (7*a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (8*a^4*Tan[c + d*x])/d + (7*a^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/d + (8*a^4*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^4*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 12, (35*a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (8*a^4*Tan[c + d*x])/d + (27*a^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (4*a^4*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 6, a^4*x + (6*a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^4*Tan[c + d*x])/d + ((a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + (4*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 8, 4*a^4*x + (13*a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a^4*Sin[c + d*x])/d + (4*a^4*Tan[c + d*x])/d + (a^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (13*a^4*x)/2 + (4*a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (4*a^4*Sin[c + d*x])/d + (a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a^4*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 8, 6*a^4*x + (a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (7*a^4*Sin[c + d*x])/d + (2*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/d - (a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 10, (35*a^4*x)/8 + (8*a^4*Sin[c + d*x])/d + (27*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^4*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (4*a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 12, (7*a^4*x)/2 + (8*a^4*Sin[c + d*x])/d + (7*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a^4*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/d - (8*a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^4*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 15, (49*a^4*x)/16 + (8*a^4*Sin[c + d*x])/d + (49*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (41*a^4*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a^4*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d) - (4*a^4*Sin[c + d*x]^3)/d + (4*a^4*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 15, (11*a^4*x)/4 + (8*a^4*Sin[c + d*x])/d + (11*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (11*a^4*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(6*d) + (2*a^4*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(3*d) - (16*a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (9*a^4*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^4*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^5, x, 17, (93*a^5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (16*a^5*Tan[c + d*x])/d + (93*a^5*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (85*a^5*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(24*d) + (5*a^5*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d) + (28*a^5*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (13*a^5*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^5*Tan[c + d*x]^7)/(7*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, -((3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d)) + (4*Tan[c + d*x])/(a*d) - (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])) + (4*Tan[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d) - (2*Tan[c + d*x])/(a*d) + (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - (Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, -(ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a*d)) + Tan[c + d*x]/(d*(a + a*Sec[c + d*x])) + Tan[c + d*x]/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a*d) - Tan[c + d*x]/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 1, Tan[c + d*x]/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 2, x/a - Tan[c + d*x]/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, -(x/a) + (2*Sin[c + d*x])/(a*d) - Sin[c + d*x]/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, (3*x)/(2*a) - (2*Sin[c + d*x])/(a*d) + (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, -((3*x)/(2*a)) + (4*Sin[c + d*x])/(a*d) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - (Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])) - (4*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (15*x)/(8*a) - (4*Sin[c + d*x])/(a*d) + (15*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*d) + (5*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])) + (4*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (7*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^2*d) - (16*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) + (7*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) - (8*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, -((2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d)) + (4*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) + (2*Tan[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 4, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^2*d) - (5*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) + Tan[c + d*x]/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 2, -(Tan[c + d*x]/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)) + (2*Tan[c + d*x])/(3*d*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 2, Tan[c + d*x]/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + Tan[c + d*x]/(3*d*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, x/a^2 - (4*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - Tan[c + d*x]/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -((2*x)/a^2) + (10*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - (2*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (7*x)/(2*a^2) - (16*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + (7*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) - (8*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -((5*x)/a^2) + (12*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - (5*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - (10*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (4*Sin[c + d*x]^3)/(a^2*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (13*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (152*Tan[c + d*x])/(15*a^3*d) + (13*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*d) - (Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (11*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (76*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 7, -((3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d)) + (9*Tan[c + d*x])/(5*a^3*d) - (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (3*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + (3*Tan[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^3*d) - (Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + (7*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (29*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, Tan[c + d*x]/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (8*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + (7*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, -(Tan[c + d*x]/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)) + Tan[c + d*x]/(5*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + Tan[c + d*x]/(5*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, Tan[c + d*x]/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + (2*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + (2*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 4, x/a^3 - Tan[c + d*x]/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (7*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (22*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 6, -((3*x)/a^3) + (24*Sin[c + d*x])/(5*a^3*d) - Sin[c + d*x]/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (3*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (3*Sin[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (13*x)/(2*a^3) - (152*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) + (13*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (11*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (76*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^7/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 9, (21*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d) - (576*Tan[c + d*x])/(35*a^4*d) + (21*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^4*d) - (43*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(35*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - (288*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(35*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - (2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 8, -((4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d)) + (244*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d) - (88*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) + (4*Tan[c + d*x])/(a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - (12*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 6, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^4*d) + (11*Tan[c + d*x])/(21*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - (43*Tan[c + d*x])/(21*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - (2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(7*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 4, (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) + (3*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (8*Tan[c + d*x])/(35*d*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2) + Tan[c + d*x]/(5*d*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 4, Tan[c + d*x]/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - (11*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + (13*Tan[c + d*x])/(105*d*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2) + (13*Tan[c + d*x])/(105*d*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 4, -(Tan[c + d*x]/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4)) + (4*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + (8*Tan[c + d*x])/(105*d*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2) + (8*Tan[c + d*x])/(105*d*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 4, Tan[c + d*x]/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) + (3*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + (2*Tan[c + d*x])/(35*d*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2) + (2*Tan[c + d*x])/(35*d*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 5, x/a^4 - (11*Tan[c + d*x])/(21*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - (32*Tan[c + d*x])/(21*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - Tan[c + d*x]/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - (2*Tan[c + d*x])/(7*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 7, -((4*x)/a^4) + (664*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d) - (88*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - (4*Sin[c + d*x])/(a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - (12*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (21*x)/(2*a^4) - (576*Sin[c + d*x])/(35*a^4*d) + (21*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^4*d) - (43*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(35*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - (288*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(35*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^7/(a + a*Sec[c + d*x])^5, x, 9, -((5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^5*d)) + (181*Tan[c + d*x])/(63*a^5*d) - (Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(9*d*(a + a*Sec[c + d*x])^5) - (5*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(21*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - (29*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(63*a^2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (67*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(63*a^3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + (5*Tan[c + d*x])/(d*(a^5 + a^5*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x])^5, x, 7, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^5*d) - (Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(9*d*(a + a*Sec[c + d*x])^5) - (13*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(63*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - (34*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(105*a^2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + (173*Tan[c + d*x])/(315*a^3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (661*Tan[c + d*x])/(315*d*(a^5 + a^5*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x])^5, x, 5, (Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(9*d*(a + a*Sec[c + d*x])^5) + (4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(63*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) + (4*Tan[c + d*x])/(105*a^2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (32*Tan[c + d*x])/(315*a*d*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2) + (4*Tan[c + d*x])/(45*d*(a^5 + a^5*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^5, x, 5, -((Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(9*d*(a + a*Sec[c + d*x])^5)) + (5*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(63*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) + Tan[c + d*x]/(21*a^2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (8*Tan[c + d*x])/(63*a*d*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2) + Tan[c + d*x]/(9*d*(a^5 + a^5*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^5, x, 5, Tan[c + d*x]/(9*d*(a + a*Sec[c + d*x])^5) - (2*Tan[c + d*x])/(9*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) + Tan[c + d*x]/(15*a^2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + (2*Tan[c + d*x])/(45*a^3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + (2*Tan[c + d*x])/(45*d*(a^5 + a^5*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^5, x, 5, -(Tan[c + d*x]/(9*d*(a + a*Sec[c + d*x])^5)) + (5*Tan[c + d*x])/(63*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) + Tan[c + d*x]/(21*a^2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + (2*Tan[c + d*x])/(63*a*d*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2) + (2*Tan[c + d*x])/(63*d*(a^5 + a^5*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^5, x, 5, Tan[c + d*x]/(9*d*(a + a*Sec[c + d*x])^5) + (4*Tan[c + d*x])/(63*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) + (4*Tan[c + d*x])/(105*a^2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + (8*Tan[c + d*x])/(315*a*d*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2) + (8*Tan[c + d*x])/(315*d*(a^5 + a^5*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + a*Sec[c + d*x])^5, x, 6, x/a^5 - Tan[c + d*x]/(9*d*(a + a*Sec[c + d*x])^5) - (13*Tan[c + d*x])/(63*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - (34*Tan[c + d*x])/(105*a^2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (173*Tan[c + d*x])/(315*a^3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (488*Tan[c + d*x])/(315*d*(a^5 + a^5*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^5, x, 8, -((5*x)/a^5) + (496*Sin[c + d*x])/(63*a^5*d) - Sin[c + d*x]/(9*d*(a + a*Sec[c + d*x])^5) - (5*Sin[c + d*x])/(21*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - (29*Sin[c + d*x])/(63*a^2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (67*Sin[c + d*x])/(63*a^3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (5*Sin[c + d*x])/(d*(a^5 + a^5*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^5, x, 9, (31*x)/(2*a^5) - (7664*Sin[c + d*x])/(315*a^5*d) + (31*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^5*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(9*d*(a + a*Sec[c + d*x])^5) - (17*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(63*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - (28*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(45*a^2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (577*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(315*a^3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (3832*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(315*d*(a^5 + a^5*Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+a Sec[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 4, (4*a*Tan[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (8*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(35*d) + (12*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 3, (14*a*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (4*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 2, (2*a*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 1, (2*a*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^0*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 3, (Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (a*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 4, (3*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (3*a*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 5, (5*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (5*a*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (5*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, (35*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (35*a*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (35*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (7*a*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (68*a^2*Tan[c + d*x])/(45*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (34*a^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(9*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (136*a*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*d) + (68*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(105*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (152*a^2*Tan[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (38*a*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*d) - (4*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, (8*a^2*Tan[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 2, (8*a^2*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a^2*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (3*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (a^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (7*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (7*a^2*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (11*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (11*a^2*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (11*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, (284*a^3*Tan[c + d*x])/(99*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (710*a^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (46*a^3*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(99*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (568*a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(693*d) + (2*a^2*Sec[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(11*d) + (284*a*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(231*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (832*a^3*Tan[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (208*a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*d) + (26*a*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(105*d) - (4*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(63*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(9*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (64*a^3*Tan[c + d*x])/(21*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(7*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 3, (64*a^3*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*a*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (14*a^3*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (5*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d - (a^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (19*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (9*a^3*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (25*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (25*a^3*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (13*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, (163*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (163*a^3*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (163*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (17*a^3*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^1*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]], x, 1, -((2*a*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]))}
+{Sec[c + d*x]^0*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]])/d}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]], x, 3, -((Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]])/d) + (a*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 5, -((Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (28*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 4, (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (4*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 3, -((Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 2, (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{Sec[c + d*x]^0/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 5, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + Sin[c + d*x]/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, (7*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - Sin[c + d*x]/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((15*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (31*Tan[c + d*x])/(5*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (9*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (13*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(10*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (11*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (13*Tan[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (7*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(6*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((7*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) + Tan[c + d*x]/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*Tan[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, (3*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Tan[c + d*x]/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + Tan[c + d*x]/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - (5*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Tan[c + d*x]/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((3*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + (9*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Sin[c + d*x]/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (3*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, (19*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*a^(3/2)*d) - (13*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (7*Sin[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, (163*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (17*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (197*Tan[c + d*x])/(24*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (95*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(48*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, -((75*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - (Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (13*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (9*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (19*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + Tan[c + d*x]/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (13*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (5*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Tan[c + d*x]/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (5*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (3*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + Tan[c + d*x]/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (3*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - (43*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Tan[c + d*x]/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (11*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((5*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + (115*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (15*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (35*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]], x, 2, -((Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d))}
+{1/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]], x, 5, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+a Sec[e+f x])^(m/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 7, -((9*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(40*d)) + (57*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(80*d*(1 + Sec[c + d*x])) + (3*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3)*Tan[c + d*x])/(8*a*d) - (19*3^(3/4)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(80*2^(1/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 6, (3*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (3*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(5*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (3^(3/4)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(5*2^(1/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 5, (3*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (3^(3/4)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(2*2^(1/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 3, (3*Sqrt[2]*AppellF1[7/6, 1/2, 1, 13/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(7*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 3, -((3*Sqrt[2]*AppellF1[7/6, 1/2, 2, 13/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(7*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 8, (147*a*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(440*d) + (1029*a*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(880*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (9*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3)*Tan[c + d*x])/(88*d) + (3*(a + a*Sec[c + d*x])^(8/3)*Tan[c + d*x])/(11*a*d) - (343*3^(3/4)*a*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(880*2^(1/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 7, (3*a*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(8*d) + (21*a*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(16*d*(1 + Sec[c + d*x])) + (3*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3)*Tan[c + d*x])/(8*d) - (7*3^(3/4)*a*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(16*2^(1/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 6, (3*a*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (21*a*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(10*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (7*3^(3/4)*a*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(10*2^(1/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 3, (3*Sqrt[2]*a*AppellF1[13/6, 1/2, 1, 19/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(13*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 3, -((3*Sqrt[2]*a*AppellF1[13/6, 1/2, 2, 19/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(13*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 7, (99*Tan[c + d*x])/(80*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)) + (3*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(8*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)) - (3*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(40*a*d) + (37*3^(3/4)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(80*2^(1/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 6, -((9*Tan[c + d*x])/(10*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3))) + (3*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(5*a*d) - (7*3^(3/4)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(10*2^(1/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 5, (3*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)) + (3^(3/4)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(2*2^(1/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 4, -((3^(3/4)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(2^(1/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)]))}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 3, (3*Sqrt[2]*AppellF1[1/6, 1/2, 1, 7/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 3, -((3*Sqrt[2]*AppellF1[1/6, 1/2, 2, 7/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 9, -((33*Tan[c + d*x])/(28*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3))) + (3*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3)) + (135*Tan[c + d*x])/(14*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)) + (375*(1 + Sqrt[3])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(28*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))) - (375*3^(1/4)*EllipticE[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(14*2^(2/3)*a^2*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)]) - (125*3^(3/4)*(1 - Sqrt[3])*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(28*2^(2/3)*a^2*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 8, (3*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3)) - (36*Tan[c + d*x])/(7*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)) - (57*(1 + Sqrt[3])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(7*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))) + (57*2^(1/3)*3^(1/4)*EllipticE[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(7*a^2*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)]) + (19*3^(3/4)*(1 - Sqrt[3])*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(7*2^(2/3)*a^2*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 8, -((3*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3))) + (15*Tan[c + d*x])/(7*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)) + (15*(1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(7*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))) - (15*2^(1/3)*3^(1/4)*EllipticE[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(7*a*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)]) - (5*3^(3/4)*(1 - Sqrt[3])*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(7*2^(2/3)*a*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 8, (6*Tan[c + d*x])/(7*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)) + (3*Tan[c + d*x])/(7*a*d*(1 + Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)) + (6*(1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(7*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))) - (6*2^(1/3)*3^(1/4)*EllipticE[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(7*a*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)]) - (2^(1/3)*3^(3/4)*(1 - Sqrt[3])*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(7*a*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 3, -((3*Sqrt[2]*AppellF1[-(7/6), 1/2, 1, -(1/6), (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(7*a*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 3, (3*Sqrt[2]*AppellF1[-(7/6), 1/2, 2, -(1/6), (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(7*a*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 8, (-6*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (6*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, (-2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 6, (-2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 5, (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 6, (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 7, (6*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 8, (6*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (10*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (10*a*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(5/2), x, 9, (-12*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (8*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(7*d) + (12*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (8*a^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (4*a^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^2*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (-16*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (16*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (4*a^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 7, (-4*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (8*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (4*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 4, (4*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 6, (4*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (8*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 7, (16*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 8, (12*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (8*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(7*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (8*a^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 16, -((28*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (52*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (28*a^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (52*a^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (6*a^3*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^3*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 14, -((36*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (4*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (36*a^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/d + (2*a^3*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 12, -((4*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (20*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (6*a^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 12, (4*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (20*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 12, (36*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 14, (28*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (52*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (6*a^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (52*a^3*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 16, (68*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (44*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (6*a^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (68*a^3*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (44*a^3*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^(3/2), x, 21, -((152*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d)) + (32*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(7*d) + (152*a^4*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (32*a^4*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (122*a^4*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (8*a^4*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*a^4*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]^(1/2), x, 18, -((64*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (136*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (64*a^4*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (94*a^4*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (8*a^4*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^4*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^4/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 16, -((56*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (32*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (66*a^4*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (8*a^4*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a^4*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^4/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 15, (40*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^4*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (8*a^4*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a^4*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^4/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 15, (56*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (32*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^4*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (8*a^4*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^4*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^4/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 16, (64*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (136*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^4*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (8*a^4*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (94*a^4*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^4/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 18, (152*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (32*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(7*d) + (2*a^4*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (8*a^4*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (122*a^4*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (32*a^4*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^4/Sec[c + d*x]^(11/2), x, 21, (128*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (904*a^4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*a^4*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2)) + (8*a^4*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (150*a^4*Sin[c + d*x])/(77*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (128*a^4*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (904*a^4*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 8, (3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) - (3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d) + (5*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - (Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, -((3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d)) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + (3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d) - (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, -((Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d)) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 6, (3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 7, -((3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d)) + (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + (5*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - Sin[c + d*x]/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 8, (21*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a*d) - (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + (7*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (5*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - Sin[c + d*x]/(d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(9/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 9, (7*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - (7*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + (10*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - (7*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^(7/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, -((4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) - (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + (4*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - (5*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 4, (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -((Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) + (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{1/(Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 7, (4*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) - (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - (5*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{1/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 8, -((7*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) + (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + (10*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (7*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{1/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 9, (56*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a^2*d) - (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + (56*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (5*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (3*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(1 + Sec[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(3*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(11/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 10, (119*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + (11*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (119*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d) + (11*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - (Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (2*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (119*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(30*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(9/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 9, -((49*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d)) - (13*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) + (49*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d) - (Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (8*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (13*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(7/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (9*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (9*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (4*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -((Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d)) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) + (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -((9*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d)) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + (2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 8, (49*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) - (13*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (8*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (13*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 9, -((119*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d)) + (11*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*a^3*d) + (11*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - Sin[c + d*x]/(5*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (2*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (119*Sin[c + d*x])/(30*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 10, (231*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) - (21*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*a^3*d) + (77*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (21*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - Sin[c + d*x]/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (4*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (63*Sin[c + d*x])/(10*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 4, (3*Sqrt[a]*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (3*a*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 3, (Sqrt[a]*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (a*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[a]*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d}
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 1, (2*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 2, (2*a*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (4*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 3, (2*a*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 4, (2*a*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (12*a*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (32*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (11*a^(3/2)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (11*a^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (11*a^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (7*a^(3/2)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (7*a^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (3*a^(3/2)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (a^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 4, (2*a^(3/2)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 2, (8*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 3, (8*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 5, (2*a^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (26*a^2*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (104*a^2*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (208*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 6, (2*a^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (34*a^2*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (68*a^2*Sin[c + d*x])/(105*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (272*a^2*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (544*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, (163*a^(5/2)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (163*a^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (163*a^3*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (17*a^3*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (25*a^(5/2)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (25*a^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (13*a^3*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (19*a^(5/2)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (9*a^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 4, (5*a^(5/2)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (a^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 4, (2*a^(5/2)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (14*a^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 3, (64*a^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 4, (64*a^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 5, (38*a^3*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (146*a^3*Sin[c + d*x])/(105*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (584*a^3*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (1168*a^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(11/2), x, 6, (46*a^3*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (710*a^3*Sin[c + d*x])/(693*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (284*a^3*Sin[c + d*x])/(231*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (1136*a^3*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2272*a^3*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(-1/4)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 2, (4*a^2*Sec[c + d*x]^(3/4)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sqrt[Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]], x, 2, (2*Sqrt[a]*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/f}
+{Sqrt[-Sec[e + f*x]]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]], x, 2, (2*Sqrt[a]*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]])/f}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, -(ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 5, (2*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 2, (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{1/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 3, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 4, (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 5, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (26*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((3*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + (9*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - (5*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, (3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 4, -((7*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (5*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 5, (11*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Sin[c + d*x]/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (7*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (19*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 6, -((15*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - Sin[c + d*x]/(2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (9*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (13*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (49*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(9/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((5*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + (115*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (15*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (35*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(7/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - (43*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (11*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + (Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (5*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (5*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (19*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (9*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 5, -((75*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (13*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (49*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 6, (163*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (17*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (95*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (299*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/2)/Sqrt[1 + Sec[c + d*x]], x, 7, -((Sqrt[2]*ArcSinh[Tan[c + d*x]/(1 + Sec[c + d*x])])/d) + (7*ArcSinh[Tan[c + d*x]/Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]])/(4*d) - (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]) + (Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/Sqrt[1 + Sec[c + d*x]], x, 6, (Sqrt[2]*ArcSinh[Tan[c + d*x]/(1 + Sec[c + d*x])])/d - ArcSinh[Tan[c + d*x]/Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]]/d + (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/Sqrt[1 + Sec[c + d*x]], x, 5, -((Sqrt[2]*ArcSinh[Tan[c + d*x]/(1 + Sec[c + d*x])])/d) + (2*ArcSinh[Tan[c + d*x]/Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]])/d}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]/Sqrt[1 + Sec[c + d*x]], x, 2, (Sqrt[2]*ArcSinh[Tan[c + d*x]/(1 + Sec[c + d*x])])/d}
+{1/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]), x, 3, -((Sqrt[2]*ArcSinh[Tan[c + d*x]/(1 + Sec[c + d*x])])/d) + (2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]), x, 4, (Sqrt[2]*ArcSinh[Tan[c + d*x]/(1 + Sec[c + d*x])])/d + (2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]), x, 5, -((Sqrt[2]*ArcSinh[Tan[c + d*x]/(1 + Sec[c + d*x])])/d) + (2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]) - (2*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]) + (26*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/3) (a+a Sec[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(e*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 4, (6*a*e*(e*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (4*3^(3/4)*Sqrt[2 + Sqrt[3]]*a^2*e*EllipticF[ArcSin[((1 - Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]]*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(e^(2/3) + e^(1/3)*(e*Sec[c + d*x])^(1/3) + (e*Sec[c + d*x])^(2/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(5*d*(a - a*Sec[c + d*x])*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sqrt[(e^(1/3)*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3)))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2])}
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(e*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 3, (2*3^(3/4)*Sqrt[2 + Sqrt[3]]*a^2*EllipticF[ArcSin[((1 - Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]]*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(e^(2/3) + e^(1/3)*(e*Sec[c + d*x])^(1/3) + (e*Sec[c + d*x])^(2/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(d*(a - a*Sec[c + d*x])*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sqrt[(e^(1/3)*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3)))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2])}
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(e*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 4, (3*a*Tan[c + d*x])/(2*d*(e*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (3^(3/4)*Sqrt[2 + Sqrt[3]]*a^2*EllipticF[ArcSin[((1 - Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]]*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(e^(2/3) + e^(1/3)*(e*Sec[c + d*x])^(1/3) + (e*Sec[c + d*x])^(2/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(2*d*e*(a - a*Sec[c + d*x])*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sqrt[(e^(1/3)*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3)))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2])}
+
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(e*Sec[c + d*x])^(8/3), x, 7, (60*a*e^2*(e*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(91*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (6*a*e*(e*Sec[c + d*x])^(5/3)*Tan[c + d*x])/(13*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (240*a*e^3*Tan[c + d*x])/(91*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))) + (120*3^(1/4)*Sqrt[2 - Sqrt[3]]*a^2*e^(7/3)*EllipticE[ArcSin[((1 - Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]]*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(e^(2/3) + e^(1/3)*(e*Sec[c + d*x])^(1/3) + (e*Sec[c + d*x])^(2/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(91*d*(a - a*Sec[c + d*x])*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sqrt[(e^(1/3)*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3)))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2]) - (80*Sqrt[2]*3^(3/4)*a^2*e^(7/3)*EllipticF[ArcSin[((1 - Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]]*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(e^(2/3) + e^(1/3)*(e*Sec[c + d*x])^(1/3) + (e*Sec[c + d*x])^(2/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(91*d*(a - a*Sec[c + d*x])*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sqrt[(e^(1/3)*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3)))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2])}
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(e*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 6, (6*a*e*(e*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (24*a*e^2*Tan[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))) + (12*3^(1/4)*Sqrt[2 - Sqrt[3]]*a^2*e^(4/3)*EllipticE[ArcSin[((1 - Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]]*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(e^(2/3) + e^(1/3)*(e*Sec[c + d*x])^(1/3) + (e*Sec[c + d*x])^(2/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(7*d*(a - a*Sec[c + d*x])*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sqrt[(e^(1/3)*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3)))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2]) - (8*Sqrt[2]*3^(3/4)*a^2*e^(4/3)*EllipticF[ArcSin[((1 - Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]]*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(e^(2/3) + e^(1/3)*(e*Sec[c + d*x])^(1/3) + (e*Sec[c + d*x])^(2/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(7*d*(a - a*Sec[c + d*x])*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sqrt[(e^(1/3)*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3)))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2])}
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(e*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 5, -((6*a*e*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3)))) + (3*3^(1/4)*Sqrt[2 - Sqrt[3]]*a^2*e^(1/3)*EllipticE[ArcSin[((1 - Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]]*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(e^(2/3) + e^(1/3)*(e*Sec[c + d*x])^(1/3) + (e*Sec[c + d*x])^(2/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(d*(a - a*Sec[c + d*x])*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sqrt[(e^(1/3)*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3)))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2]) - (2*Sqrt[2]*3^(3/4)*a^2*e^(1/3)*EllipticF[ArcSin[((1 - Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]]*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(e^(2/3) + e^(1/3)*(e*Sec[c + d*x])^(1/3) + (e*Sec[c + d*x])^(2/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(d*(a - a*Sec[c + d*x])*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sqrt[(e^(1/3)*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3)))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2])}
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(e*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 6, (3*a*Tan[c + d*x])/(d*(e*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (3*a*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))) - (3*3^(1/4)*Sqrt[2 - Sqrt[3]]*a^2*EllipticE[ArcSin[((1 - Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]]*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(e^(2/3) + e^(1/3)*(e*Sec[c + d*x])^(1/3) + (e*Sec[c + d*x])^(2/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(2*d*e^(2/3)*(a - a*Sec[c + d*x])*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sqrt[(e^(1/3)*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3)))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2]) + (Sqrt[2]*3^(3/4)*a^2*EllipticF[ArcSin[((1 - Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]]*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(e^(2/3) + e^(1/3)*(e*Sec[c + d*x])^(1/3) + (e*Sec[c + d*x])^(2/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(d*e^(2/3)*(a - a*Sec[c + d*x])*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sqrt[(e^(1/3)*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3)))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2])}
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(e*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 7, (3*a*Tan[c + d*x])/(4*d*(e*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (15*a*Tan[c + d*x])/(8*d*e*(e*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (15*a*Tan[c + d*x])/(8*d*e*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))) - (15*3^(1/4)*Sqrt[2 - Sqrt[3]]*a^2*EllipticE[ArcSin[((1 - Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]]*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(e^(2/3) + e^(1/3)*(e*Sec[c + d*x])^(1/3) + (e*Sec[c + d*x])^(2/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(16*d*e^(5/3)*(a - a*Sec[c + d*x])*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sqrt[(e^(1/3)*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3)))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2]) + (5*3^(3/4)*a^2*EllipticF[ArcSin[((1 - Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]]*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(e^(2/3) + e^(1/3)*(e*Sec[c + d*x])^(1/3) + (e*Sec[c + d*x])^(2/3))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(4*Sqrt[2]*d*e^(5/3)*(a - a*Sec[c + d*x])*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sqrt[(e^(1/3)*(e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3)))/((1 + Sqrt[3])*e^(1/3) - (e*Sec[c + d*x])^(1/3))^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e*Sec[c + d*x])^(2/3)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 4, -((3*AppellF1[2/3, 1/2, 1, 5/3, Sec[c + d*x], -Sec[c + d*x]]*(e*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(2*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]))}
+{(e*Sec[c + d*x])^(1/3)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 4, -((3*AppellF1[1/3, 1/2, 1, 4/3, Sec[c + d*x], -Sec[c + d*x]]*(e*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]))}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 4, (3*AppellF1[-(1/3), 1/2, 1, 2/3, Sec[c + d*x], -Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*(e*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{1/((e*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 4, (3*AppellF1[-(2/3), 1/2, 1, 1/3, Sec[c + d*x], -Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(2*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*(e*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/3) (a+a Sec[e+f x])^(m/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(4/3)*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 3, (2^(5/6)*AppellF1[1/2, -(1/3), 1/6, 3/2, 1 - Sec[c + d*x], (1/2)*(1 - Sec[c + d*x])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(d*(1 + Sec[c + d*x])^(5/6))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(4/3)*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 3, (2*2^(1/6)*AppellF1[1/2, -(1/3), -(1/6), 3/2, 1 - Sec[c + d*x], (1/2)*(1 - Sec[c + d*x])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(d*(1 + Sec[c + d*x])^(7/6))}
+{Sec[c + d*x]^(5/3)*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3), x, -3, (9*Sec[c + d*x]^(2/3)*(a*(1 + Sec[c + d*x]))^(2/3)*Sin[c + d*x])/(4*d) - (3*a*Sec[c + d*x]^(5/3)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a*(1 + Sec[c + d*x]))^(1/3)) - (9*(a*(1 + Sec[c + d*x]))^(2/3)*Tan[c + d*x])/(4*d*(1/(1 + Cos[c + d*x]))^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(7/3)) + (Hypergeometric2F1[1/4, 1/3, 5/4, Tan[(1/2)*(c + d*x)]^4]*(Cos[c + d*x]*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^4)^(1/3)*(a*(1 + Sec[c + d*x]))^(2/3)*Tan[c + d*x])/(8*d*(1/(1 + Cos[c + d*x]))^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(4/3)) - (5*Hypergeometric2F1[1/3, 3/4, 7/4, Tan[(1/2)*(c + d*x)]^4]*(Cos[c + d*x]*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^4)^(1/3)*(a*(1 + Sec[c + d*x]))^(2/3)*Tan[c + d*x]^3)/(8*d*(1/(1 + Cos[c + d*x]))^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(10/3))}
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(4/3)/Sec[c + d*x]^(1/3), x, 3, (2*2^(5/6)*a*AppellF1[1/2, 4/3, -(5/6), 3/2, 1 - Sec[c + d*x], (1/2)*(1 - Sec[c + d*x])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(d*(1 + Sec[c + d*x])^(5/6))}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m with n symbolic*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^n*(a + a*Sec[e + f*x])^4, x, 8, If[$VersionNumber>=8, (a^4*(30 + 21*n + 4*n^2)*Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)) + (Sec[e + f*x]^(1 + n)*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])^2*Sin[e + f*x])/(f*(3 + n)) + (2*(4 + n)*Sec[e + f*x]^(1 + n)*(a^4 + a^4*Sec[e + f*x])*Sin[e + f*x])/(f*(2 + n)*(3 + n)) - (a^4*(3 + 24*n + 8*n^2)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(-1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n)*(1 + n)*(3 + n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (4*a^4*(3 + 2*n)*Hypergeometric2F1[1/2, -(n/2), (2 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^n*Sin[e + f*x])/(f*n*(2 + n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]), (a^4*(30 + 21*n + 4*n^2)*Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(6 + 11*n + 6*n^2 + n^3)) + (Sec[e + f*x]^(1 + n)*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])^2*Sin[e + f*x])/(f*(3 + n)) + (2*(4 + n)*Sec[e + f*x]^(1 + n)*(a^4 + a^4*Sec[e + f*x])*Sin[e + f*x])/(f*(2 + n)*(3 + n)) - (a^4*(3 + 24*n + 8*n^2)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(-1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(3 + n)*(1 - n^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (4*a^4*(3 + 2*n)*Hypergeometric2F1[1/2, -(n/2), (2 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^n*Sin[e + f*x])/(f*n*(2 + n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])]}
+{Sec[e + f*x]^n*(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 7, (a^3*(5 + 2*n)*Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 + n)*(2 + n)) + (Sec[e + f*x]^(1 + n)*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Sin[e + f*x])/(f*(2 + n)) - (a^3*(1 + 4*n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(-1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (a^3*(7 + 4*n)*Hypergeometric2F1[1/2, -(n/2), (2 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^n*Sin[e + f*x])/(f*n*(2 + n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^n*(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 6, (a^2*Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 + n)) - (a^2*(1 + 2*n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(-1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (2*a^2*Hypergeometric2F1[1/2, -(n/2), (2 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^n*Sin[e + f*x])/(f*n*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^n*(a + a*Sec[e + f*x])^1, x, 5, -((a*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(-1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) + (a*Hypergeometric2F1[1/2, -(n/2), (2 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^n*Sin[e + f*x])/(f*n*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^n/(a + a*Sec[e + f*x])^1, x, 6, (Sec[e + f*x]^n*Sin[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])) + ((1 - n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - n)/2, (4 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(-2 + n)*Sin[e + f*x])/(a*f*(2 - n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(-1 + n)*Sin[e + f*x])/(a*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^n/(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 7, -((2*(2 - n)*Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sin[e + f*x])/(3*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x]))) - (Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sin[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) - ((3 - 2*n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^(-1 + n)*Sin[e + f*x])/(3*a^2*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (2*(2 - n)*Hypergeometric2F1[1/2, -(n/2), (2 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^n*Sin[e + f*x])/(3*a^2*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+
+
+{Sec[e + f*x]^n*(1 + Sec[e + f*x])^(5/2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (2*(7 + 4*n)*Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*(3 + 2*n)*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]) + (2*Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(f*(3 + 2*n)) + (2*(3 + 24*n + 16*n^2)*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*(3 + 2*n)*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]), (2*(7 + 4*n)*Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(3 + 8*n + 4*n^2)*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]) + (2*Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(f*(3 + 2*n)) + (2*(3 + 24*n + 16*n^2)*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*(3 + 8*n + 4*n^2)*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]])]}
+{Sec[e + f*x]^n*(1 + Sec[e + f*x])^(3/2), x, 4, (2*Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]) + (2*(1 + 4*n)*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]^n*(1 + Sec[e + f*x])^(1/2), x, 2, (2*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]^n/(1 + Sec[e + f*x])^(1/2), x, 3, (AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, 1 - Sec[e + f*x], (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]^n/(1 + Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, (AppellF1[1/2, 1 - n, 2, 3/2, 1 - Sec[e + f*x], (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*Tan[e + f*x])/(2*f*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]])}
+
+{(-Sec[e + f*x])^n*(1 + Sec[e + f*x])^(3/2), x, 4, (2*(-Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]) - ((1 + 4*n)*Hypergeometric2F1[1/2, n, 1 + n, Sec[e + f*x]]*(-Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*n*(1 + 2*n)*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]])}
+{(-Sec[e + f*x])^n*(1 + Sec[e + f*x])^(1/2), x, 2, -((Hypergeometric2F1[1/2, n, 1 + n, Sec[e + f*x]]*(-Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]))}
+{(-Sec[e + f*x])^n/(1 + Sec[e + f*x])^(1/2), x, 2, -((AppellF1[n, 1/2, 1, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(-Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]))}
+{(-Sec[e + f*x])^n/(1 + Sec[e + f*x])^(3/2), x, 2, -((AppellF1[n, 1/2, 2, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(-Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]))}
+
+{(d*Sec[e + f*x])^n*(1 + Sec[e + f*x])^(3/2), x, 4, (2*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]) - ((1 + 4*n)*Hypergeometric2F1[1/2, n, 1 + n, Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*n*(1 + 2*n)*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]])}
+{(d*Sec[e + f*x])^n*(1 + Sec[e + f*x])^(1/2), x, 2, -((Hypergeometric2F1[1/2, n, 1 + n, Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]))}
+{(d*Sec[e + f*x])^n/(1 + Sec[e + f*x])^(1/2), x, 2, -((AppellF1[n, 1/2, 1, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]))}
+{(d*Sec[e + f*x])^n/(1 + Sec[e + f*x])^(3/2), x, 2, -((AppellF1[n, 1/2, 2, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]))}
+
+
+{Sec[e + f*x]^n*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (2*a^3*(7 + 4*n)*Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*(3 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(f*(3 + 2*n)) + (2*a^3*(3 + 24*n + 16*n^2)*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*(3 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]), (2*a^3*(7 + 4*n)*Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(3 + 8*n + 4*n^2)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(f*(3 + 2*n)) + (2*a^3*(3 + 24*n + 16*n^2)*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*(3 + 8*n + 4*n^2)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])]}
+{Sec[e + f*x]^n*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 4, (2*a^2*Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*(1 + 4*n)*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]^n*(a + a*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 2, (2*a*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]^n/(a + a*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 4, (AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, 1 - Sec[e + f*x], (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]^n/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 4, (AppellF1[1/2, 1 - n, 2, 3/2, 1 - Sec[e + f*x], (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*Tan[e + f*x])/(2*a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+
+{(-Sec[e + f*x])^n*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 5, (2*a^2*(1 + 4*n)*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 - Sec[e + f*x]]*(-Sec[e + f*x])^n*Sec[e + f*x]^(1 - n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*(-Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{(-Sec[e + f*x])^n*(a + a*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 3, (2*a*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 - Sec[e + f*x]]*(-Sec[e + f*x])^n*Sec[e + f*x]^(1 - n)*Sin[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{(-Sec[e + f*x])^n/(a + a*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 3, -((AppellF1[n, 1/2, 1, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(-Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]))}
+{(-Sec[e + f*x])^n/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((AppellF1[n, 1/2, 2, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(-Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(a*f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]))}
+
+{(d*Sec[e + f*x])^n*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 5, (2*a^2*(1 + 4*n)*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 - Sec[e + f*x]]*Sec[e + f*x]^(1 - n)*(d*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{(d*Sec[e + f*x])^n*(a + a*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 3, (2*a*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 - Sec[e + f*x]]*Sec[e + f*x]^(1 - n)*(d*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{(d*Sec[e + f*x])^n/(a + a*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 3, -((AppellF1[n, 1/2, 1, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]))}
+{(d*Sec[e + f*x])^n/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((AppellF1[n, 1/2, 2, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(a*f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]))}
+
+
+{(-Sec[e + f*x])^n*(a - a*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (2*a^3*(3 + 24*n + 16*n^2)*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*(3 + 2*n)*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^3*(7 + 4*n)*(-Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*(3 + 2*n)*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*(-Sec[e + f*x])^n*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*(3 + 2*n)), (2*a^3*(3 + 24*n + 16*n^2)*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*(3 + 8*n + 4*n^2)*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^3*(7 + 4*n)*(-Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(3 + 8*n + 4*n^2)*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*(-Sec[e + f*x])^n*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*(3 + 2*n))]}
+{(-Sec[e + f*x])^n*(a - a*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 4, (2*a^2*(1 + 4*n)*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*(-Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])}
+{(-Sec[e + f*x])^n*(a - a*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 2, (2*a*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])}
+{(-Sec[e + f*x])^n/(a - a*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 4, (AppellF1[1/2, 1 - n, 1, 3/2, 1 + Sec[e + f*x], (1/2)*(1 + Sec[e + f*x])]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])}
+{(-Sec[e + f*x])^n/(a - a*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 4, (AppellF1[1/2, 1 - n, 2, 3/2, 1 + Sec[e + f*x], (1/2)*(1 + Sec[e + f*x])]*Tan[e + f*x])/(2*a*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])}
+
+{Sec[e + f*x]^n*(a - a*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 5, (2*a^2*Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*(1 + 4*n)*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 + Sec[e + f*x]]*Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sin[e + f*x])/((-Sec[e + f*x])^n*(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]))}
+{Sec[e + f*x]^n*(a - a*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 3, (2*a*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 + Sec[e + f*x]]*Sec[e + f*x]^(1 + n)*Sin[e + f*x])/((-Sec[e + f*x])^n*(f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]))}
+
+{(d*Sec[e + f*x])^n*(a - a*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 5, (2*a^2*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*(1 + 4*n)*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 + Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/((-Sec[e + f*x])^n*(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]))}
+{(d*Sec[e + f*x])^n*(a - a*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 3, (2*a*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 + Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/((-Sec[e + f*x])^n*(f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m with m symbolic*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^n*(1 + Sec[e + f*x])^m, x, 2, (2^(1/2 + m)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1/2 - m, 3/2, 1 - Sec[e + f*x], (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]^n*(1 - Sec[e + f*x])^m, x, 2, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1 - n, 1/2, 3/2 + m, 1 - Sec[e + f*x], (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*(1 - Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]^n*(a + a*Sec[e + f*x])^m, x, 3, (2^(1/2 + m)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1/2 - m, 3/2, 1 - Sec[e + f*x], (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*(1 + Sec[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/f}
+{Sec[e + f*x]^n*(a - a*Sec[e + f*x])^m, x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1 - n, 1/2, 3/2 + m, 1 - Sec[e + f*x], (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*(a - a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]])}
+
+{(-Sec[e + f*x])^n*(1 + Sec[e + f*x])^m, x, 2, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1 - n, 1/2, 3/2 + m, 1 + Sec[e + f*x], (1/2)*(1 + Sec[e + f*x])]*(1 + Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]])}
+{(-Sec[e + f*x])^n*(1 - Sec[e + f*x])^m, x, 2, (2^(1/2 + m)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1/2 - m, 3/2, 1 + Sec[e + f*x], (1/2)*(1 + Sec[e + f*x])]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]])}
+{(-Sec[e + f*x])^n*(a + a*Sec[e + f*x])^m, x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1 - n, 1/2, 3/2 + m, 1 + Sec[e + f*x], (1/2)*(1 + Sec[e + f*x])]*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]])}
+{(-Sec[e + f*x])^n*(a - a*Sec[e + f*x])^m, x, 3, (2^(1/2 + m)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1/2 - m, 3/2, 1 + Sec[e + f*x], (1/2)*(1 + Sec[e + f*x])]*(1 - Sec[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a - a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/f}
+
+{(d*Sec[e + f*x])^n*(1 + Sec[e + f*x])^m, x, 2, -((AppellF1[n, 1/2, 1/2 - m, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]))}
+{(d*Sec[e + f*x])^n*(1 - Sec[e + f*x])^m, x, 2, -((AppellF1[n, 1/2 - m, 1/2, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]))}
+{(d*Sec[e + f*x])^n*(a + a*Sec[e + f*x])^m, x, 3, -((AppellF1[n, 1/2, 1/2 - m, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^n*(1 + Sec[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]))}
+{(d*Sec[e + f*x])^n*(a - a*Sec[e + f*x])^m, x, 3, -((AppellF1[n, 1/2 - m, 1/2, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(1 - Sec[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(d*Sec[e + f*x])^n*(a - a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]))}
+
+
+{Sec[e + f*x]^4*(a + a*Sec[e + f*x])^m, x, 6, If[$VersionNumber>=8, ((4 + m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)) + (Sec[e + f*x]^2*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(3 + m)) + (2^(1/2 + m)*m*(5 + 3*m + m^2)*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*(1 + Sec[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)) + (m*(a + a*Sec[e + f*x])^(1 + m)*Tan[e + f*x])/(a*f*(6 + 5*m + m^2)), ((4 + m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3)) + (Sec[e + f*x]^2*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(3 + m)) + (2^(1/2 + m)*m*(5 + 3*m + m^2)*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*(1 + Sec[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3)) + (m*(a + a*Sec[e + f*x])^(1 + m)*Tan[e + f*x])/(a*f*(6 + 5*m + m^2))]}
+{Sec[e + f*x]^3*(a + a*Sec[e + f*x])^m, x, 5, If[$VersionNumber>=8, -(((a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(2 + 3*m + m^2))) + (2^(1/2 + m)*(1 + m + m^2)*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*(1 + Sec[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(1 + m)*(2 + m)) + ((a + a*Sec[e + f*x])^(1 + m)*Tan[e + f*x])/(a*f*(2 + m)), -(((a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(2 + 3*m + m^2))) + (2^(1/2 + m)*(1 + m + m^2)*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*(1 + Sec[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(2 + 3*m + m^2)) + ((a + a*Sec[e + f*x])^(1 + m)*Tan[e + f*x])/(a*f*(2 + m))]}
+{Sec[e + f*x]^2*(a + a*Sec[e + f*x])^m, x, 4, ((a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(1 + m)) + (2^(1/2 + m)*m*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*(1 + Sec[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(1 + m))}
+{Sec[e + f*x]^1*(a + a*Sec[e + f*x])^m, x, 3, (2^(1/2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*(1 + Sec[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/f}
+{Sec[e + f*x]^0*(a + a*Sec[e + f*x])^m, x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 1, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sec[e + f*x]), 1 + Sec[e + f*x]]*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]])}
+{Cos[e + f*x]^1*(a + a*Sec[e + f*x])^m, x, 3, -((Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 2, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sec[e + f*x]), 1 + Sec[e + f*x]]*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]))}
+
+
+{(a + a*Sec[e + f*x])^m*(d*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((2*AppellF1[3/2, 1/2, 1/2 - m, 5/2, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(1 + Sec[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]))}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^m*(d*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 3, -((2*AppellF1[1/2, 1/2, 1/2 - m, 3/2, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*(1 + Sec[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]))}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^m/(d*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 3, (2*AppellF1[-(1/2), 1/2, 1/2 - m, 1/2, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(1 + Sec[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*Sqrt[d*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^m/(d*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, (2*AppellF1[-(3/2), 1/2, 1/2 - m, -(1/2), Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(1 + Sec[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (6*a*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (10*a*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (10*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, (6*a*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*a*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, (2*a*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*a*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, (2*a*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*a*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 5, (-2*a*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*a*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*a*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 6, (-2*a*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*a*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 7, (-6*a*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*a*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (6*a*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/Cos[c + d*x]^(7/2), x, 8, (-6*a*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (10*a*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (10*a*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (6*a*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 10, (32*a^2*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (20*a^2*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (20*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (32*a^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (4*a^2*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 9, (12*a^2*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (8*a^2*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(7*d) + (8*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d) + (4*a^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (16*a^2*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^2*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (4*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (4*a^2*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (8*a^2*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (4*a^2*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 8, (-4*a^2*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (8*a^2*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 9, (-16*a^2*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^2*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (16*a^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 10, (-12*a^2*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (8*a^2*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(7*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (4*a^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (8*a^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (12*a^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 17, (68*a^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (44*a^3*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (44*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (68*a^3*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (6*a^3*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*a^3*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 15, (28*a^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (52*a^3*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (52*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (6*a^3*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^3*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 13, (36*a^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (4*a^3*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a^3*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 13, (4*a^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (20*a^3*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 13, -((4*a^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (20*a^3*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (6*a^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 15, -((36*a^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (4*a^3*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (36*a^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 17, -((28*a^3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (52*a^3*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (6*a^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (52*a^3*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (28*a^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 9, (21*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a*d) - (5*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a*d) - (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d) + (7*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 8, -((3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d)) + (5*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a*d) + (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d) - EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/(a*d) - Sin[c + d*x]/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 7, -(EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]/(a*d)) + EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/(a*d) + Sin[c + d*x]/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 7, EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]/(a*d) + EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/(a*d) - Sin[c + d*x]/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 8, -((3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d)) - EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/(a*d) + (3*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - Sin[c + d*x]/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 9, (3*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d) + (5*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a*d) + (5*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (3*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - Sin[c + d*x]/(d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 10, (56*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a^2*d) - (5*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d) - (5*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + (56*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) - (3*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 9, -((7*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d)) + (10*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) + (10*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - (7*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (4*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d) - (5*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) - (5*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{1/(Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 8, -(EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]/(a^2*d)) + (2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) + Sin[c + d*x]/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{1/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 5, EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/(3*a^2*d) + Sin[c + d*x]/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{1/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 8, EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]/(a^2*d) + (2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) - Sin[c + d*x]/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{1/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 9, -((4*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d)) - (5*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) + (4*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (5*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(1 + Sec[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(3*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{1/(Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 10, (7*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d) + (10*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) + (10*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (7*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (7*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(1 + Sec[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 11, (231*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d) - (21*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(2*a^3*d) - (21*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) + (77*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d) - (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (4*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (63*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 10, -((119*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d)) + (11*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(2*a^3*d) + (11*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (119*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(30*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (49*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d) - (13*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(6*a^3*d) - Sin[c + d*x]/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (8*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (13*Sin[c + d*x])/(6*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 9, -((9*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d)) + EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/(2*a^3*d) - Sin[c + d*x]/(5*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + (2*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + Sin[c + d*x]/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 9, -(EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]/(10*a^3*d)) + EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/(6*a^3*d) + Sin[c + d*x]/(5*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - Sin[c + d*x]/(15*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + Sin[c + d*x]/(6*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 9, EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]/(10*a^3*d) + EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/(6*a^3*d) - Sin[c + d*x]/(5*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (4*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + Sin[c + d*x]/(6*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 9, (9*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d) + EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/(2*a^3*d) - Sin[c + d*x]/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (2*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (9*Sin[c + d*x])/(10*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 10, -((49*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d)) - (13*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(6*a^3*d) + (49*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - Sin[c + d*x]/(5*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (8*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (13*Sin[c + d*x])/(6*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 11, (119*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d) + (11*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(2*a^3*d) + (11*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (119*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - Sin[c + d*x]/(5*d*Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (2*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (119*Sin[c + d*x])/(30*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 5, (32*a*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (12*a*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 4, (16*a*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 3, (4*a*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 2, (2*a*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 3, (2*Sqrt[a]*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 4, (Sqrt[a]*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (a*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 5, (3*Sqrt[a]*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (a*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (3*a*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (208*a^2*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (104*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (26*a^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (8*a^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, (8*a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*a^(3/2)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 5, (3*a^(3/2)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (a^2*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 6, (7*a^(3/2)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (a^2*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (7*a^2*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 7, (11*a^(3/2)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (11*a^2*Sin[c + d*x])/(12*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (11*a^2*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, (1168*a^3*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (584*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (146*a^3*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (38*a^3*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (64*a^3*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (64*a^3*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*a^(5/2)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (14*a^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (5*a^(5/2)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (a^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 5, (19*a^(5/2)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (9*a^3*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 6, (25*a^(5/2)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (13*a^3*Sin[c + d*x])/(12*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (25*a^3*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 7, (163*a^(5/2)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*d) + (17*a^3*Sin[c + d*x])/(24*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (163*a^3*Sin[c + d*x])/(96*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (163*a^3*Sin[c + d*x])/(64*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (26*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 5, (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 4, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 3, (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d), (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)}
+{1/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 6, (2*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)}
+{1/(Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 7, -((ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + Sin[c + d*x]/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 8, (7*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + Sin[c + d*x]/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - Sin[c + d*x]/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((15*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - (Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (49*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (13*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (9*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (11*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (19*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (7*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((7*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - Sin[c + d*x]/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (5*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 4, (3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Sin[c + d*x]/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 4, (ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + Sin[c + d*x]/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 7, (2*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) - (5*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Sin[c + d*x]/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 8, -((3*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(3/2)*d)) + (9*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Sin[c + d*x]/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (3*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (163*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (17*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (299*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (95*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, -((75*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - Sin[c + d*x]/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (13*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (49*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 5, (19*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (9*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 5, (5*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(4*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (5*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 5, (3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + Sin[c + d*x]/(4*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (3*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 8, (2*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) - (43*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(4*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (11*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 9, -((5*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(5/2)*d)) + (115*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(4*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (15*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (35*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m with n symbolic*)
+
+
+{(d*Cos[e + f*x])^n*(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 8, If[$VersionNumber>=8, -((a^3*(7 - 4*n)*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*(2 - n)*n*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - (a^3*(1 - 4*n)*Cos[e + f*x]*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n)*(1 + n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (a^3*(5 - 2*n)*(d*Cos[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 - n)*(2 - n)) + ((d*Cos[e + f*x])^n*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(f*(2 - n)), -((a^3*(7 - 4*n)*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*(2 - n)*n*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - (a^3*(1 - 4*n)*Cos[e + f*x]*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (a^3*(5 - 2*n)*(d*Cos[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(2 - 3*n + n^2)) + ((d*Cos[e + f*x])^n*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(f*(2 - n))]}
+{(d*Cos[e + f*x])^n*(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((2*a^2*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*n*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - (a^2*(1 - 2*n)*Cos[e + f*x]*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n)*(1 + n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (a^2*(d*Cos[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 - n)), -((2*a^2*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*n*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - (a^2*(1 - 2*n)*Cos[e + f*x]*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (a^2*(d*Cos[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 - n))]}
+{(d*Cos[e + f*x])^n*(a + a*Sec[e + f*x])^1, x, 5, -((a*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*n*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - (a*(d*Cos[e + f*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(d*f*(1 + n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{(d*Cos[e + f*x])^n/(a + a*Sec[e + f*x])^1, x, 7, ((d*Cos[e + f*x])^n*Sin[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])) - (Cos[e + f*x]*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(a*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + ((1 + n)*Cos[e + f*x]^2*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/2, (4 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(a*f*(2 + n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{(d*Cos[e + f*x])^n/(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 8, (2*(2 + n)*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(3*a^2*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - ((3 + 2*n)*Cos[e + f*x]*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(3*a^2*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (2*(2 + n)*(d*Cos[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(3*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x])) - ((d*Cos[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+b Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, (3*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (3*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (b*Tan[c + d*x])/d + (a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (b*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 4, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 2, a*x + (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 3, b*x + (a*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 4, (a*x)/2 + (b*Sin[c + d*x])/d + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, (b*x)/2 + (a*Sin[c + d*x])/d + (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, (3*a*x)/8 + (b*Sin[c + d*x])/d + (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, (3*b*x)/8 + (a*Sin[c + d*x])/d + (3*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (2*a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (3*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) + ((5*a^2 + 4*b^2)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (3*a*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*b*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(2*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((5*a^2 + 4*b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, ((4*a^2 + 3*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (2*a*b*Tan[c + d*x])/d + ((4*a^2 + 3*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (2*a*b*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((3*a^2 + 2*b^2)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/d + (b^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, ((2*a^2 + b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (2*a*b*Tan[c + d*x])/d + (b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 4, a^2*x + (2*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 4, 2*a*b*x + (b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 4, (1/2)*(a^2 + 2*b^2)*x + (2*a*b*Sin[c + d*x])/d + (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, a*b*x + ((a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/d + (a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/d - (a^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (1/8)*(3*a^2 + 4*b^2)*x + (2*a*b*Sin[c + d*x])/d + ((3*a^2 + 4*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (2*a*b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (3*a*b*x)/4 + ((a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/d + (3*a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((2*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (a*(4*a^2 + 9*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - ((3*a^4 - 52*a^2*b^2 - 16*b^4)*Tan[c + d*x])/(30*b*d) - (a*(6*a^2 - 71*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(120*d) - ((3*a^2 - 16*b^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(60*b*d) - (a*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(20*b*d) + ((a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (3*b*(4*a^2 + b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(a^2 + 4*b^2)*Tan[c + d*x])/(2*d) + (b*(2*a^2 + 3*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(4*d) + ((a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, (a*(2*a^2 + 3*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (2*b*(4*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (5*a*b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (b*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 5, a^3*x + (b*(6*a^2 + b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (5*a*b^2*Tan[c + d*x])/(2*d) + (b^2*(a + b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 5, 3*a^2*b*x + (3*a*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*(a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/d + (b^2*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 5, (1/2)*a*(a^2 + 6*b^2)*x + (b^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^2*b*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a^2*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 5, (1/2)*b*(3*a^2 + 2*b^2)*x + (a*(2*a^2 + 9*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (7*a^2*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (3/8)*a*(a^2 + 4*b^2)*x + (b*(11*a^2 + 4*b^2)*Sin[c + d*x])/(4*d) + (3*a*(a^2 + 4*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(4*d) - (3*a^2*b*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (1/8)*b*(9*a^2 + 4*b^2)*x + (a*(4*a^2 + 15*b^2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (b*(9*a^2 + 4*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (11*a^2*b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a*(4*a^2 + 15*b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (1/16)*a*(5*a^2 + 18*b^2)*x + (b*(17*a^2 + 6*b^2)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a*(5*a^2 + 18*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a*(5*a^2 + 18*b^2)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d) - (b*(5*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (13*a^2*b*Sin[c + d*x]^5)/(30*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 9, ((8*a^4 + 36*a^2*b^2 + 5*b^4)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) - (a*(4*a^4 - 121*a^2*b^2 - 128*b^4)*Tan[c + d*x])/(60*b*d) - ((8*a^4 - 178*a^2*b^2 - 75*b^4)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(240*d) - (a*(4*a^2 - 53*b^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(120*b*d) - ((4*a^2 - 25*b^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(120*b*d) - (a*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(30*b*d) + ((a + b*Sec[c + d*x])^5*Tan[c + d*x])/(6*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (a*b*(4*a^2 + 3*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (2*(3*a^4 + 28*a^2*b^2 + 4*b^4)*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a*b*(6*a^2 + 29*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(30*d) + ((3*a^2 + 4*b^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, ((8*a^4 + 24*a^2*b^2 + 3*b^4)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*b*(19*a^2 + 16*b^2)*Tan[c + d*x])/(6*d) + (b^2*(26*a^2 + 9*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + (7*a*b*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*d) + (b*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 6, a^4*x + (2*a*b*(2*a^2 + b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*(17*a^2 + 2*b^2)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (4*a*b^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*d) + (b^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 6, 4*a^3*b*x + (b^2*(12*a^2 + b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a^2*(2*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) + (3*a*b^3*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 6, (1/2)*a^2*(a^2 + 12*b^2)*x + (4*a*b^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (3*a^3*b*Sin[c + d*x])/d + (a^2*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b^2*(a^2 - 2*b^2)*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 6, 2*a*b*(a^2 + 2*b^2)*x + (b^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(2*a^2 + 17*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (4*a^3*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 6, (1/8)*(3*a^4 + 24*a^2*b^2 + 8*b^4)*x + (4*a*b*(2*a^2 + 3*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(3*a^2 + 22*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (5*a^3*b*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (1/2)*a*b*(3*a^2 + 4*b^2)*x + ((4*a^4 + 29*a^2*b^2 + 5*b^4)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a*b*(3*a^2 + 4*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (3*a^3*b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a^2*(4*a^2 + 27*b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (1/16)*(5*a^4 + 36*a^2*b^2 + 8*b^4)*x + (4*a*b*(4*a^2 + 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((5*a^4 + 36*a^2*b^2 + 8*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^2*(5*a^2 + 32*b^2)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (7*a^3*b*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(15*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(6*d) - (4*a*b*(4*a^2 + 5*b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{(a + b*Sec[c + d*x])^5, x, 7, a^5*x + (b*(40*a^4 + 40*a^2*b^2 + 3*b^4)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*b^2*(53*a^2 + 20*b^2)*Tan[c + d*x])/(6*d) + (b^3*(58*a^2 + 9*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + (11*a*b^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*d) + (b^2*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^5/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, -((a*(2*a^2 + b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^4*d)) + (2*a^4*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^4*Sqrt[a + b]*d) + ((3*a^2 + 2*b^2)*Tan[c + d*x])/(3*b^3*d) - (a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^2*d) + (Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, ((2*a^2 + b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^3*d) - (2*a^3*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^3*Sqrt[a + b]*d) - (a*Tan[c + d*x])/(b^2*d) + (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, -((a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^2*d)) + (2*a^2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^2*Sqrt[a + b]*d) + Tan[c + d*x]/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(b*d) - (2*a*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 3, (2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 3, x/a - (2*b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, -((b*x)/a^2) + (2*b^2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) + Sin[c + d*x]/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, ((a^2 + 2*b^2)*x)/(2*a^3) - (2*b^3*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - (b*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, -((b*(a^2 + 2*b^2)*x)/(2*a^4)) + (2*b^4*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) + ((2*a^2 + 3*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*a^3*d) - (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) + (Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, ((3*a^4 + 4*a^2*b^2 + 8*b^4)*x)/(8*a^5) - (2*b^5*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - (b*(2*a^2 + 3*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*a^4*d) + ((3*a^2 + 4*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^3*d) - (b*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^5/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, ((6*a^2 + b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^4*d) - (2*a^3*(3*a^2 - 4*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^4*(a + b)^(3/2)*d) - (a*(3*a^2 - 2*b^2)*Tan[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) + ((3*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d) - (a^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -((2*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^3*d)) + (2*a^2*(2*a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) + ((2*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) - (a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(b^2*d) - (2*a*(a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) - (a^2*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -((2*b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + (a*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (2*a*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - (b*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, x/a^2 - (2*b*(2*a^2 - b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (b^2*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, -((2*b*x)/a^3) + (2*b^2*(3*a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b^2*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, ((a^2 + 6*b^2)*x)/(2*a^4) - (2*b^3*(4*a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - (b*(2*a^2 - 3*b^2)*Sin[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) + ((a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, -((b*(a^2 + 4*b^2)*x)/a^5) + (2*b^4*(5*a^2 - 4*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + ((2*a^4 + 7*a^2*b^2 - 12*b^4)*Sin[c + d*x])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d) - (b*(a^2 - 2*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) + ((a^2 - 4*b^2)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b^2*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^5/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -((3*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^4*d)) + (3*a^2*(2*a^4 - 5*a^2*b^2 + 4*b^4)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^4*(a + b)^(5/2)*d) + ((3*a^2 - 2*b^2)*Tan[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)*d) - (a^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (3*a^3*(a^2 - 2*b^2)*Tan[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(b^3*d) - (a*(2*a^4 - 5*a^2*b^2 + 6*b^4)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^3*(a + b)^(5/2)*d) - (a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (a^2*(2*a^2 - 5*b^2)*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, ((a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (a^2*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (a*(a^2 - 4*b^2)*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, -((3*a*b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) + (a*Tan[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((a^2 + 2*b^2)*Tan[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, ((2*a^2 + b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (b*Tan[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (3*a*b*Tan[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, x/a^3 - (b*(6*a^4 - 5*a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) + (b^2*Tan[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b^2*(5*a^2 - 2*b^2)*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, -((3*b*x)/a^4) + (3*b^2*(4*a^4 - 5*a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) + ((2*a^4 - 11*a^2*b^2 + 6*b^4)*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b^2*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (3*b^2*(2*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, ((a^2 + 12*b^2)*x)/(2*a^5) - (b^3*(20*a^4 - 29*a^2*b^2 + 12*b^4)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (3*b*(2*a^4 - 7*a^2*b^2 + 4*b^4)*Sin[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^4 - 10*a^2*b^2 + 6*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b^2*(7*a^2 - 4*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^6/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 9, -((4*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^5*d)) + (a^2*(8*a^6 - 28*a^4*b^2 + 35*a^2*b^4 - 20*b^6)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*b^5*(a + b)^(7/2)*d) + ((12*a^4 - 23*a^2*b^2 + 6*b^4)*Tan[c + d*x])/(6*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - (a^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) - (a^2*(4*a^2 - 9*b^2)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (a^3*(4*a^4 - 11*a^2*b^2 + 12*b^4)*Tan[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^5/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(b^4*d) - (a*(2*a^6 - 7*a^4*b^2 + 8*a^2*b^4 - 8*b^6)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*b^4*(a + b)^(7/2)*d) - (a^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + (a^3*(3*a^2 - 8*b^2)*Tan[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (a^2*(9*a^4 - 28*a^2*b^2 + 34*b^4)*Tan[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, -((b*(3*a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) - (a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) - (a^2*(2*a^2 - 7*b^2)*Tan[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (a*(2*a^4 - 5*a^2*b^2 + 18*b^4)*Tan[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, (a*(a^2 + 4*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - (a^2*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + (a*(a^2 - 6*b^2)*Tan[c + d*x])/(6*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((a^4 - 10*a^2*b^2 - 6*b^4)*Tan[c + d*x])/(6*b*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, -((b*(4*a^2 + b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) + (a*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + ((2*a^2 + 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(6*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (a*(2*a^2 + 13*b^2)*Tan[c + d*x])/(6*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, (a*(2*a^2 + 3*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - (b*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) - (5*a*b*Tan[c + d*x])/(6*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (b*(11*a^2 + 4*b^2)*Tan[c + d*x])/(6*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, x/a^4 - (b*(8*a^6 - 8*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 - 2*b^6)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) + (b^2*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + (b^2*(8*a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b^2*(26*a^4 - 17*a^2*b^2 + 6*b^4)*Tan[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, -((4*b*x)/a^5) + (b^2*(20*a^6 - 35*a^4*b^2 + 28*a^2*b^4 - 8*b^6)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) + ((6*a^6 - 65*a^4*b^2 + 68*a^2*b^4 - 24*b^6)*Sin[c + d*x])/(6*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + (b^2*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + (b^2*(9*a^2 - 4*b^2)*Sin[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b^2*(12*a^4 - 11*a^2*b^2 + 4*b^4)*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 9, ((a^2 + 20*b^2)*x)/(2*a^6) - (b^3*(40*a^6 - 84*a^4*b^2 + 69*a^2*b^4 - 20*b^6)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^6*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - (b*(24*a^6 - 146*a^4*b^2 + 167*a^2*b^4 - 60*b^6)*Sin[c + d*x])/(6*a^5*(a^2 - b^2)^3*d) + ((a^6 - 23*a^4*b^2 + 27*a^2*b^4 - 10*b^6)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + (b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + (5*b^2*(2*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b^2*(48*a^4 - 53*a^2*b^2 + 20*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{1/(3 + 5*Sec[c + d*x]), x, 2, -(x/12) + (5*ArcTan[Sin[c + d*x]/(3 + Cos[c + d*x])])/(6*d)}
+{1/(3 + 5*Sec[c + d*x])^2, x, 4, (29*x)/576 + (35*ArcTan[Sin[c + d*x]/(3 + Cos[c + d*x])])/(288*d) - (25*Tan[c + d*x])/(48*d*(3 + 5*Sec[c + d*x]))}
+{1/(3 + 5*Sec[c + d*x])^3, x, 5, -((1007*x)/55296) + (3055*ArcTan[Sin[c + d*x]/(3 + Cos[c + d*x])])/(27648*d) - (25*Tan[c + d*x])/(96*d*(3 + 5*Sec[c + d*x])^2) - (125*Tan[c + d*x])/(4608*d*(3 + 5*Sec[c + d*x]))}
+{1/(3 + 5*Sec[c + d*x])^4, x, 6, (21553*x)/2654208 + (11215*ArcTan[Sin[c + d*x]/(3 + Cos[c + d*x])])/(1327104*d) - (25*Tan[c + d*x])/(144*d*(3 + 5*Sec[c + d*x])^3) - (25*Tan[c + d*x])/(4608*d*(3 + 5*Sec[c + d*x])^2) - (16925*Tan[c + d*x])/(221184*d*(3 + 5*Sec[c + d*x]))}
+
+{1/(5 + 3*Sec[c + d*x]), x, 3, x/5 + (3*Log[2*Cos[(1/2)*(c + d*x)] - Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(20*d) - (3*Log[2*Cos[(1/2)*(c + d*x)] + Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(20*d)}
+{1/(5 + 3*Sec[c + d*x])^2, x, 5, x/25 + (123*Log[2*Cos[(1/2)*(c + d*x)] - Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(1600*d) - (123*Log[2*Cos[(1/2)*(c + d*x)] + Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(1600*d) + (9*Tan[c + d*x])/(80*d*(5 + 3*Sec[c + d*x]))}
+{1/(5 + 3*Sec[c + d*x])^3, x, 6, x/125 + (8361*Log[2*Cos[(1/2)*(c + d*x)] - Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(256000*d) - (8361*Log[2*Cos[(1/2)*(c + d*x)] + Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(256000*d) + (9*Tan[c + d*x])/(160*d*(5 + 3*Sec[c + d*x])^2) + (963*Tan[c + d*x])/(12800*d*(5 + 3*Sec[c + d*x]))}
+{1/(5 + 3*Sec[c + d*x])^4, x, 7, x/625 + (278151*Log[2*Cos[(1/2)*(c + d*x)] - Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(20480000*d) - (278151*Log[2*Cos[(1/2)*(c + d*x)] + Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(20480000*d) + (3*Tan[c + d*x])/(80*d*(5 + 3*Sec[c + d*x])^3) + (519*Tan[c + d*x])/(12800*d*(5 + 3*Sec[c + d*x])^2) + (38733*Tan[c + d*x])/(1024000*d*(5 + 3*Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+b Sec[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 5, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(2*a^2 - 9*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^3*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(2*a + 9*b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^2*d) - (4*a*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*b*d) + (2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 4, (-2*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^2*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) + (2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 3, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 1, (-2*Cot[c + d*x]*EllipticPi[a/(a + b), ArcSin[Sqrt[a + b]/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]], (a - b)/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x]))]*Sqrt[(b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])]*(a + b*Sec[c + d*x]))/(Sqrt[a + b]*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 6, ((a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) + (Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d - (b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d) + (Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 7, ((a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a*d) + (Sqrt[a + b]*(2*a + b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^2*d) + (b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*d) + (Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a^4 + 33*a^2*b^2 + 147*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^4*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a^3 + 6*a^2*b + 39*a*b^2 - 147*b^3)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^3*d) + (2*a*(8*a^2 + 39*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*b^2*d) + (2*(8*a^2 + 49*b^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(315*b^2*d) - (8*a*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(63*b^2*d) + (2*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (4*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*a^2 - 41*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^3*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*a^2 + 57*a*b - 25*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^2*d) - (2*(6*a^2 - 25*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*b*d) - (4*a*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*b*d) + (2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(a^2 + 3*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(5*b^2*d) - (2*(a - 3*b)*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(5*b*d) + (2*a*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*d) + (2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (-8*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) + (2*(a - b)*(3*a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) + (2*b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (2*(2*a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d - (2*a*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (a*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) + (Sqrt[a + b]*(a + 2*b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d - (3*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (a*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, (5*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*d) + (Sqrt[a + b]*(2*a + 5*b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2 + 3*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a*d) + (5*b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, (-2*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a^4 + 51*a^2*b^2 + 741*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(693*b^4*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a^4 + 6*a^3*b + 57*a^2*b^2 - 606*a*b^3 + 135*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(693*b^3*d) + (2*(8*a^4 + 57*a^2*b^2 + 135*b^4)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(693*b^2*d) + (2*a*(8*a^2 + 67*b^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(693*b^2*d) + (2*(8*a^2 + 81*b^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(693*b^2*d) - (8*a*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(99*b^2*d) + (2*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(11*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*a^4 - 279*a^2*b^2 - 147*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^3*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*a^3 + 165*a^2*b - 114*a*b^2 + 147*b^3)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^2*d) - (4*a*(5*a^2 - 57*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*b*d) - (2*(10*a^2 - 49*b^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(315*b*d) - (4*a*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(63*b*d) + (2*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, (-2*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*a^2 + 29*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(21*b^2*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*a^2 - 24*a*b + 5*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(21*b*d) + (2*(3*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(7*d) + (2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(23*a^2 + 9*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(15*a^2 - 8*a*b + 9*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b*d) + (16*a*b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*b*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, (-14*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*d) + (2*Sqrt[a + b]*(9*a^2 - 7*a*b + b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*d) - (2*a^2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (2*b^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) + (Sqrt[a + b]*(a^2 + 6*a*b - 2*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d - (5*a*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (a^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (9*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*d) + (Sqrt[a + b]*(2*a^2 + 9*a*b + 8*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2 + 15*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*d) + (9*a*b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a^2*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(16*a^2 + 33*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*b*d) + (Sqrt[a + b]*(16*a^2 + 26*a*b + 33*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*d) - (5*b*Sqrt[a + b]*(4*a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(8*a*d) + ((16*a^2 + 33*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (13*a*b*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(284*a^2 + 15*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(192*a*d) + (Sqrt[a + b]*(72*a^3 + 284*a^2*b + 118*a*b^2 + 15*b^3)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(192*a*d) - (Sqrt[a + b]*(48*a^4 + 120*a^2*b^2 - 5*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(64*a^2*d) + (b*(284*a^2 + 15*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a*d) + ((36*a^2 + 59*b^2)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(96*d) + (17*a*b*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2), x, 7, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(58*a^2 + 9*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*d) + (2*Sqrt[a + b]*(60*a^3 - 58*a^2*b + 22*a*b^2 - 9*b^3)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*d) - (2*a^3*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (26*a*b^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*b^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^5/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 6, (8*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*(12*a^2 + 11*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^5*d) + (2*Sqrt[a + b]*(48*a^3 - 12*a^2*b + 44*a*b^2 + 25*b^3)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^4*d) + (2*(24*a^2 + 25*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*b^3*d) - (12*a*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(35*b^2*d) + (2*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 5, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a^2 + 9*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^4*d) - (2*Sqrt[a + b]*(8*a^2 - 2*a*b + 9*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^3*d) - (8*a*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*b^2*d) + (2*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 4, (4*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^3*d) + (2*Sqrt[a + b]*(2*a + b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^2*d) + (2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 3, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*d) - (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 1, (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 1, (-2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 6, ((a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b*d) + (Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d) + (b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) + (Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 7, (-3*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^2*d) + ((2*a - 3*b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^2*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2 + 3*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^3*d) - (3*b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d) + (Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^5/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (-2*(16*a^4 - 8*a^2*b^2 - 3*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(5*b^5*Sqrt[a + b]*d) - (2*(4*a + 3*b)*(4*a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(5*b^4*Sqrt[a + b]*d) - (2*a^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*a*(8*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*b^3*(a^2 - b^2)*d) + (2*(6*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*a*(8*a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^4*Sqrt[a + b]*d) + (2*(2*a + b)*(4*a + b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^3*Sqrt[a + b]*d) - (2*a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(4*a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (-2*(2*a^2 - b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^3*Sqrt[a + b]*d) - (2*(2*a + b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*Sqrt[a + b]*d) - (2*a^2*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*a*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*Sqrt[a + b]*d) + (2*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*Sqrt[a + b]*d) + (2*a*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (-2*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*Sqrt[a + b]*d) + (2*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*Sqrt[a + b]*d) - (2*b*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*Sqrt[a + b]*d) - (2*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*Sqrt[a + b]*d) - (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) + (2*b^2*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*b*Sqrt[a + b]*d) + ((a + 3*b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*Sqrt[a + b]*d) + (3*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^3*d) + Sin[c + d*x]/(a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b*(a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((7*a^2 - 15*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^3*Sqrt[a + b]*d) + ((2*a^2 - 5*a*b - 15*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^3*Sqrt[a + b]*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2 + 15*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^4*d) - (5*b*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (b^2*(7*a^2 - 15*b^2)*Tan[c + d*x])/(4*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^5/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, (8*a*(4*a^4 - 7*a^2*b^2 + 2*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b^5*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(16*a^4 + 12*a^3*b - 16*a^2*b^2 - 9*a*b^3 - b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b^4*(a + b)^(3/2)*d) - (2*a^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (4*a^3*(3*a^2 - 5*b^2)*Tan[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(2*a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (-2*(8*a^4 - 15*a^2*b^2 + 3*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b^4*(a + b)^(3/2)*d) - (2*(8*a^3 + 6*a^2*b - 9*a*b^2 - 3*b^3)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) - (2*a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (8*a^2*(a^2 - 2*b^2)*Tan[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (4*a*(a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(2*a^2 + 3*a*b - 3*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) - (2*a^2*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (4*a*(a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*(a^2 + 3*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(a - 3*b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b*(a + b)^(3/2)*d) + (2*a*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*(a^2 + 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (-8*a*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(3*a - b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b*(a + b)^(3/2)*d) - (2*b*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (8*a*b*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*(7*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^2*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) - (2*(6*a^2 - a*b - 3*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^2*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) - (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^3*d) + (2*b^2*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*b^2*(7*a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((3*a^4 - 26*a^2*b^2 + 15*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^3*(a - b)*b*(a + b)^(3/2)*d) + ((3*a^3 + 21*a^2*b - 5*a*b^2 - 15*b^3)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^3*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) + (5*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^4*d) + Sin[c + d*x]/(a*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (b*(3*a^2 - 5*b^2)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (b*(3*a^4 - 26*a^2*b^2 + 15*b^4)*Tan[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((33*a^4 - 170*a^2*b^2 + 105*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(12*a^4*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) + ((a + 3*b)*(6*a^3 - 45*a^2*b + 35*b^3)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(12*a^4*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2 + 35*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^5*d) - (7*b*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (b^2*(27*a^2 - 35*b^2)*Tan[c + d*x])/(12*a^3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (b^2*(33*a^4 - 170*a^2*b^2 + 105*b^4)*Tan[c + d*x])/(12*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + b*Sec[c + d*x])^(-7/2), x, 8, (2*(58*a^4 - 41*a^2*b^2 + 15*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*a^3*(a - b)^2*(a + b)^(5/2)*d) - (2*(45*a^4 - 13*a^3*b - 36*a^2*b^2 + 5*a*b^3 + 15*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*a^3*(a - b)^2*(a + b)^(5/2)*d) - (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^4*d) + (2*b^2*Tan[c + d*x])/(5*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (2*b^2*(13*a^2 - 5*b^2)*Tan[c + d*x])/(15*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*b^2*(58*a^4 - 41*a^2*b^2 + 15*b^4)*Tan[c + d*x])/(15*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+b Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, -((6*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (6*b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*b*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, -((2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*b*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, -((2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, (6*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-7/2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, (6*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (10*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (10*a*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, -((12*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*(7*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (12*a*b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(7*a^2 + 5*b^2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (4*a*b*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*b^2*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, -((2*(5*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (4*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*(5*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (4*a*b*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*b^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -((4*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*(3*a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (4*a*b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*b^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (2*(a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (4*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*b^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (4*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*(a^2 + 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (2*(3*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a*b*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (12*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(5*a^2 + 7*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (4*a*b*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*a^2 + 7*b^2)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, -((2*a*(5*a^2 + 9*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*b*(21*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*(5*a^2 + 9*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*b*(21*a^2 + 5*b^2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (32*a*b^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*b^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -((6*b*(5*a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*a*(a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (6*b*(5*a^2 + b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (8*a*b^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*b^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (2*a*(a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*b*(9*a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (16*a*b^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*b^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (2*b*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*(a^2 + 9*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*b*(a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a^2*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (6*a*(a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*b*(a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (8*a^2*b*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (2*b*(9*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(5*a^2 + 21*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (32*a^2*b*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(5*a^2 + 21*b^2)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-9/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (2*a*(7*a^2 + 27*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*b*(15*a^2 + 7*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (40*a^2*b*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(7*a^2 + 27*b^2)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*(15*a^2 + 7*b^2)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 10, -((2*(15*a^4 + 54*a^2*b^2 + 7*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d)) + (8*a*b*(7*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(15*a^4 + 54*a^2*b^2 + 7*b^4)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (8*a*b*(7*a^2 + 5*b^2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (14*b^2*(7*a^2 + b^2)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (44*a*b^3*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*b^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 9, -((8*a*b*(5*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*(21*a^4 + 42*a^2*b^2 + 5*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (8*a*b*(5*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*b^2*(39*a^2 + 5*b^2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (36*a*b^3*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*b^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (2*(5*a^4 - 30*a^2*b^2 - 3*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (8*a*b*(3*a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b^2*(29*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (28*a*b^3*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*b^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (8*a*b*(a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*(a^4 + 18*a^2*b^2 + b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (4*a*b*(a^2 - 6*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) - (2*b^2*(a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (2*(3*a^4 + 30*a^2*b^2 - 5*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (8*a*b*(a^2 + 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (28*a^3*b*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b^2*(a^2 - 5*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (8*a*b*(3*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(5*a^4 + 42*a^2*b^2 + 21*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (36*a^3*b*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a^2*(5*a^2 + 39*b^2)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-9/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 9, (2*(7*a^4 + 54*a^2*b^2 + 15*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (8*a*b*(5*a^2 + 7*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (44*a^3*b*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (14*a^2*(a^2 + 7*b^2)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (8*a*b*(5*a^2 + 7*b^2)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-11/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 10, (8*a*b*(7*a^2 + 9*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(45*a^4 + 330*a^2*b^2 + 77*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (52*a^3*b*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*a^2*(9*a^2 + 59*b^2)*Sin[c + d*x])/(77*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (8*a*b*(7*a^2 + 9*b^2)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(45*a^4 + 330*a^2*b^2 + 77*b^4)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 10, (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d) + (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b*d) + (2*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*(a + b)*d) - (2*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*d) + (2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, (-2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d) - (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*(a + b)*d) + (2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 2, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a + b)*d)}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 4, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a + b)*d)}
+{1/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])), x, 8, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a + b)*d)}
+{1/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])), x, 9, (-2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*(a^2 + 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^3*d) - (2*b^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a + b)*d) + (2*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(9/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 11, (a*(5*a^2 - 4*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) + ((5*a^2 - 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d) + (a^2*(5*a^2 - 7*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a - b)*b^3*(a + b)^2*d) - (a*(5*a^2 - 4*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) + ((5*a^2 - 2*b^2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d) - (a^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(7/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 10, -(((3*a^2 - 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d)) - (a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*(a^2 - b^2)*d) - (a*(3*a^2 - 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a - b)*b^2*(a + b)^2*d) + ((3*a^2 - 2*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) - (a^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, (a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*(a^2 - b^2)*d) + (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d) + ((a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a - b)*b*(a + b)^2*d) - (a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, -((Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d)) - (b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)*d) + ((a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a - b)*(a + b)^2*d) + (a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, (b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)*d) + ((2*a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) - (b*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a - b)*(a + b)^2*d) - (b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2), x, 9, ((2*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) - (b*(4*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) + (b^2*(5*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a - b)*(a + b)^2*d) + (b^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2), x, 10, -((b*(4*a^2 - 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a^2 - b^2)*d)) + ((2*a^4 + 16*a^2*b^2 - 15*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d) - (b^3*(7*a^2 - 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^4*(a - b)*(a + b)^2*d) + ((2*a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b^2*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(9/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 11, -((15*a^4 - 29*a^2*b^2 + 8*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - (a*(5*a^2 - 11*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) - (a*(15*a^4 - 38*a^2*b^2 + 35*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*b^3*(a + b)^3*d) + ((15*a^4 - 29*a^2*b^2 + 8*b^4)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - (a^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (a^2*(5*a^2 - 11*b^2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(7/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 10, (3*a*(a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^2 - 7*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*d) + (3*(a^4 - 2*a^2*b^2 + 5*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*b^2*(a + b)^3*d) - (a^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (3*a^2*(a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 10, ((a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*d) + (3*(a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^4 - 10*a^2*b^2 - 3*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*(a - b)^2*b*(a + b)^3*d) - (a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (a*(a^2 - 7*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 10, -(((5*a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*(a^2 - b^2)^2*d)) - (b*(7*a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*a^4 + 10*a^2*b^2 - b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + (a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (3*(a^2 + b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 10, (3*b*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((8*a^4 - 5*a^2*b^2 + 3*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) - (3*b*(5*a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^3*(a - b)^2*(a + b)^3*d) - (b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (b*(7*a^2 - b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^3), x, 10, ((8*a^4 - 29*a^2*b^2 + 15*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) - (3*b*(8*a^4 - 11*a^2*b^2 + 5*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + (b^2*(35*a^4 - 38*a^2*b^2 + 15*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^4*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + (b^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b^2*(11*a^2 - 5*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3), x, 11, -(b*(24*a^4 - 65*a^2*b^2 + 35*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((8*a^6 + 128*a^4*b^2 - 223*a^2*b^4 + 105*b^6)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(12*a^5*(a^2 - b^2)^2*d) - (b^3*(63*a^4 - 86*a^2*b^2 + 35*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^5*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + ((8*a^4 - 61*a^2*b^2 + 35*b^4)*Sin[c + d*x])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b^2*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b^2*(13*a^2 - 7*b^2)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+b Sec[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 12, (b*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (a*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 7, (2*a*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 8, (2*(a^2 - b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 9, -((4*b*(a^2 - b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) + (2*(9*a^2 - 2*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 10, (2*(25*a^4 - 17*a^2*b^2 - 8*b^4)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(105*a^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b*(19*a^2 + 8*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(105*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(25*a^2 - 4*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 13, (7*a*b*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((3*a^2 + 4*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (5*a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (5*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (b*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 12, ((2*a^2 + b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (3*a*b*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 11, (2*a*b*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, (2*(a^2 - b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (8*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 9, (2*b*(a^2 - b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(3*a^2 + b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(5*a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 10, (2*(25*a^4 - 31*a^2*b^2 + 6*b^4)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(105*a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (4*b*(41*a^2 - 3*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(105*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (16*b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(25*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 14, (b*(59*a^2 + 16*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(24*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (5*a*(a^2 + 4*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((33*a^2 + 16*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(24*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((33*a^2 + 16*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (13*a*b*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 13, (a*(8*a^2 + 11*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b*(15*a^2 + 4*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (9*a*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (9*a*b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 12, (b*(4*a^2 + b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (5*a*b^2*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*a^2 - b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 12, (2*a*(a^2 + 2*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^3*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (14*a*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 9, (16*b*(a^2 - b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*a^2 + 23*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (22*a*b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 10, (2*(5*a^4 - 2*a^2*b^2 - 3*b^4)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b*(29*a^2 + 3*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(21*a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (6*a*b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*a^2 + 9*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-9/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 11, (4*b*(57*a^4 - 62*a^2*b^2 + 5*b^4)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(315*a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(147*a^4 + 279*a^2*b^2 - 10*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(315*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (38*a*b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(49*a^2 + 75*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*(163*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 13, -((a*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) + ((3*a^2 + 4*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (3*a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*b^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (3*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d) + (Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 12, (Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (a*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 7, -((2*b*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) + (2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 8, (2*(a^2 + 2*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (4*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 9, -((2*b*(7*a^2 + 8*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*a^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) + (2*(9*a^2 + 8*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (8*b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 13, (Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (3*a*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((3*a^2 - b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*a^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((3*a^2 - b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 9, (2*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])) + (2*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, (2*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((4*b*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) + (2*(a^2 - 2*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 9, (2*(a^2 + 8*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*b*(5*a^2 - 8*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(a^2 - 4*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 10, -((8*b*(a^2 + 4*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a^4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) + (2*(3*a^4 + 8*a^2*b^2 - 16*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(5*a^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(a^2 - 6*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*b*(3*a^2 - 8*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(9/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 14, ((5*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (5*a*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((15*a^4 - 26*a^2*b^2 + 3*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*a^2*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*a^2*(5*a^2 - 9*b^2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((15*a^4 - 26*a^2*b^2 + 3*b^4)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^(7/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 13, -((2*a*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) + (2*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(3*a^2 - 7*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*a^2*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*a^2*(3*a^2 - 7*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 9, (2*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (8*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*(a^2 - 5*b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((2*b*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) - (2*(3*a^2 + b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (4*(a^2 + b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 9, (2*(3*a^2 - 2*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (4*b*(3*a^2 - b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*b*(5*a^2 - b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((2*b*(9*a^2 - 8*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) + (2*(3*a^4 - 15*a^2*b^2 + 8*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (8*b^2*(2*a^2 - b^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 10, (2*(a^4 + 16*a^2*b^2 - 16*b^4)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (8*b*(2*a^4 - 7*a^2*b^2 + 4*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (4*b^2*(5*a^2 - 3*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(a^4 - 13*a^2*b^2 + 8*b^4)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 11, -((2*b*(17*a^4 + 116*a^2*b^2 - 128*b^4)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*a^5*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) + (2*(9*a^6 + 55*a^4*b^2 - 212*a^2*b^4 + 128*b^6)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^5*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (8*b^2*(3*a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(3*a^4 - 71*a^2*b^2 + 48*b^4)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (4*b*(7*a^4 - 49*a^2*b^2 + 32*b^4)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{1/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[2 + 3*Sec[c + d*x]]), x, 5, -((3*Sqrt[3 + 2*Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 4/5]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[5]*d*Sqrt[2 + 3*Sec[c + d*x]])) + (Sqrt[5]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 4/5]*Sqrt[2 + 3*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[3 + 2*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[-2 + 3*Sec[c + d*x]]), x, 5, (3*Sqrt[3 - 2*Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), -4]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[-2 + 3*Sec[c + d*x]]) - (EllipticE[(1/2)*(c + d*x), -4]*Sqrt[-2 + 3*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[3 - 2*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+{1/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[2 - 3*Sec[c + d*x]]), x, 7, (EllipticE[(1/2)*(c + d*x), -4]*Sqrt[2 - 3*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[3 - 2*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (3*Sqrt[3 - 2*Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), -4]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[2 - 3*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[-2 - 3*Sec[c + d*x]]), x, 7, -((Sqrt[5]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 4/5]*Sqrt[-2 - 3*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[3 + 2*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])) - (3*Sqrt[3 + 2*Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 4/5]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[5]*d*Sqrt[-2 - 3*Sec[c + d*x]])}
+
+{1/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[3 + 2*Sec[c + d*x]]), x, 5, -((4*Sqrt[2 + 3*Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 6/5]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*Sqrt[5]*d*Sqrt[3 + 2*Sec[c + d*x]])) + (2*Sqrt[5]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 6/5]*Sqrt[3 + 2*Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[2 + 3*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[3 - 2*Sec[c + d*x]]), x, 5, (2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 6]*Sqrt[3 - 2*Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[-2 + 3*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (4*Sqrt[-2 + 3*Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 6]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[3 - 2*Sec[c + d*x]])}
+
+{1/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[-3 + 2*Sec[c + d*x]]), x, 5, (4*Sqrt[2 - 3*Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + Pi + d*x), 6/5]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*Sqrt[5]*d*Sqrt[-3 + 2*Sec[c + d*x]]) - (2*Sqrt[5]*EllipticE[(1/2)*(c + Pi + d*x), 6/5]*Sqrt[-3 + 2*Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[2 - 3*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{1/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[-3 - 2*Sec[c + d*x]]), x, 5, -((2*EllipticE[(1/2)*(c + Pi + d*x), 6]*Sqrt[-3 - 2*Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[-2 - 3*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])) - (4*Sqrt[-2 - 3*Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + Pi + d*x), 6]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[-3 - 2*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]/Sqrt[2 + 3*Sec[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[3 + 2*Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 4/5]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[5]*d*Sqrt[2 + 3*Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]/Sqrt[-2 + 3*Sec[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[3 - 2*Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), -4]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[-2 + 3*Sec[c + d*x]])}
+
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]/Sqrt[2 - 3*Sec[c + d*x]], x, 3, (2*Sqrt[3 - 2*Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), -4]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[2 - 3*Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]/Sqrt[-2 - 3*Sec[c + d*x]], x, 3, (2*Sqrt[3 + 2*Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 4/5]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[5]*d*Sqrt[-2 - 3*Sec[c + d*x]])}
+
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]/Sqrt[3 + 2*Sec[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[2 + 3*Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 6/5]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[5]*d*Sqrt[3 + 2*Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]/Sqrt[3 - 2*Sec[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[-2 + 3*Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 6]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[3 - 2*Sec[c + d*x]])}
+
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]/Sqrt[-3 + 2*Sec[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[2 - 3*Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + Pi + d*x), 6/5]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[5]*d*Sqrt[-3 + 2*Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]/Sqrt[-3 - 2*Sec[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[-2 - 3*Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + Pi + d*x), 6]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[-3 - 2*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+b Sec[e+f x])^(m/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3))}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x]}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 10, (3*(9*a^2 + 32*b^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(220*b^2*d) - (9*a*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Tan[c + d*x])/(44*b^2*d) + (3*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Tan[c + d*x])/(11*b*d) + (a*(18*a^2 + 49*b^2)*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(110*Sqrt[2]*b^3*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) - ((9*a^4 + 23*a^2*b^2 - 32*b^4)*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Tan[c + d*x])/(55*Sqrt[2]*b^3*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3))}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 9, -((9*a*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(40*b*d)) + (3*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Tan[c + d*x])/(8*b*d) - ((6*a^2 - 25*b^2)*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(20*Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) + (3*a*(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Tan[c + d*x])/(10*Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3))}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 8, (3*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (2*Sqrt[2]*a*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(5*b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) - (2*Sqrt[2]*(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Tan[c + d*x])/(5*b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3))}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3))}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x]}
+
+
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 3, (Sqrt[2]*(a + b)*AppellF1[1/2, 1/2, -(4/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3))}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(4/3), x]}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 11, (3*a*(18*a^2 + 97*b^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(1232*b^2*d) + (3*(18*a^2 + 121*b^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Tan[c + d*x])/(1232*b^2*d) - (9*a*(a + b*Sec[c + d*x])^(8/3)*Tan[c + d*x])/(77*b^2*d) + (3*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(8/3)*Tan[c + d*x])/(14*b*d) + ((36*a^4 + 164*a^2*b^2 + 605*b^4)*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(616*Sqrt[2]*b^3*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) - (a*(18*a^4 + 79*a^2*b^2 - 97*b^4)*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Tan[c + d*x])/(308*Sqrt[2]*b^3*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3))}
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 10, -((3*(15*a^2 - 64*b^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(440*b*d)) - (9*a*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Tan[c + d*x])/(88*b*d) + (3*(a + b*Sec[c + d*x])^(8/3)*Tan[c + d*x])/(11*b*d) - (a*(30*a^2 - 373*b^2)*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(220*Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) + ((15*a^4 - 79*a^2*b^2 + 64*b^4)*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Tan[c + d*x])/(110*Sqrt[2]*b^2*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3))}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 9, (3*a*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(8*d) + (3*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Tan[c + d*x])/(8*d) + ((2*a^2 + 5*b^2)*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(4*Sqrt[2]*b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) - (a*(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Tan[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3))}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 3, (Sqrt[2]*(a + b)*AppellF1[1/2, 1/2, -(5/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3))}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(5/3), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 9, -((9*a*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(20*b^2*d)) + (3*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(8*b*d) + ((18*a^2 + 25*b^2)*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(20*Sqrt[2]*b^3*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) - (a*(9*a^2 + 11*b^2)*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Tan[c + d*x])/(10*Sqrt[2]*b^3*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 8, (3*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(5*b*d) - (3*Sqrt[2]*a*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(5*b^2*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) + (Sqrt[2]*(3*a^2 + 2*b^2)*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Tan[c + d*x])/(5*b^2*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 7, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) - (Sqrt[2]*a*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3))}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 0, Unintegrable[1/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x]}
+
+
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, 2/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3))}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 0, Unintegrable[1/(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x]}
+
+
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, 4/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Tan[c + d*x])/((a + b)*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3))}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 0, Unintegrable[1/(a + b*Sec[c + d*x])^(4/3), x]}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 9, -((3*a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3))) + (3*(3*a^2 - b^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)*d) - (a*(9*a^2 - 7*b^2)*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) + ((9*a^4 - 10*a^2*b^2 - b^4)*AppellF1[1/2, 1/2, 2/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)*Tan[c + d*x])/(2*Sqrt[2]*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 8, -((3*a^2*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3))) + ((3*a^2 - 2*b^2)*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) - (a*(3*a^2 - 4*b^2)*AppellF1[1/2, 1/2, 2/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 8, (3*a*Tan[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)) - (a*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) + ((a^2 - 2*b^2)*AppellF1[1/2, 1/2, 2/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, 5/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)*Tan[c + d*x])/((a + b)*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3))}
+{Sec[c + d*x]^0/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 0, Unintegrable[1/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/3), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/3) (a+b Sec[e+f x])^m*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(2/3)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, (a*AppellF1[1/2, -(1/6), 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(Cos[c + d*x]^2)^(1/6)*Sec[c + d*x]^(1/3)) - (b*AppellF1[1/2, 1/3, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*(Cos[c + d*x]^2)^(1/3)*Sec[c + d*x]^(2/3)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/3)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, (a*AppellF1[1/2, -(1/3), 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(Cos[c + d*x]^2)^(1/3)*Sec[c + d*x]^(2/3)) - (b*AppellF1[1/2, 1/6, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*(Cos[c + d*x]^2)^(1/6)*Sec[c + d*x]^(1/3)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-1/3)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, -((b*AppellF1[1/2, -(1/6), 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(Cos[c + d*x]^2)^(1/6)*Sec[c + d*x]^(1/3))) + (a*AppellF1[1/2, -(2/3), 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*(Cos[c + d*x]^2)^(1/3)*Sec[c + d*x]^(2/3)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-2/3)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, -((b*AppellF1[1/2, -(1/3), 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(Cos[c + d*x]^2)^(1/3)*Sec[c + d*x]^(2/3))) + (a*AppellF1[1/2, -(5/6), 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*(Cos[c + d*x]^2)^(1/6)*Sec[c + d*x]^(1/3)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/3) (a+b Sec[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/3)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(7/3)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x]}
+{Sec[c + d*x]^(5/3)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(5/3)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x]}
+{Sec[c + d*x]^(4/3)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(4/3)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x]}
+{Sec[c + d*x]^(2/3)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(2/3)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x]}
+{Sec[c + d*x]^(1/3)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(1/3)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x]}
+{Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(1/3), x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(1/3), x]}
+{Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(2/3), x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(2/3), x]}
+{Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(4/3), x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(4/3), x]}
+{Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(5/3), x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(5/3), x]}
+{Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(7/3), x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sec[c + d*x]^(7/3), x]}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(7/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x]}
+{Sec[c + d*x]^(5/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(5/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x]}
+{Sec[c + d*x]^(4/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(4/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x]}
+{Sec[c + d*x]^(2/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(2/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x]}
+{Sec[c + d*x]^(1/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(1/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x]}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(1/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(1/3), x]}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(2/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(2/3), x]}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(4/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(4/3), x]}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(5/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(5/3), x]}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(7/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)/Sec[c + d*x]^(7/3), x]}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(7/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x]}
+{Sec[c + d*x]^(5/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(5/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x]}
+{Sec[c + d*x]^(4/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(4/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x]}
+{Sec[c + d*x]^(2/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(2/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x]}
+{Sec[c + d*x]^(1/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(1/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x]}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(1/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(1/3), x]}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(2/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(2/3), x]}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(4/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(4/3), x]}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(5/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(5/3), x]}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(7/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)/Sec[c + d*x]^(7/3), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/3)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(7/3)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x]}
+{Sec[c + d*x]^(5/3)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(5/3)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x]}
+{Sec[c + d*x]^(4/3)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(4/3)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x]}
+{Sec[c + d*x]^(2/3)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(2/3)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x]}
+{Sec[c + d*x]^(1/3)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(1/3)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x]}
+{Sec[c + d*x]^(-1/3)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[1/(Sec[c + d*x]^(1/3)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x]}
+{Sec[c + d*x]^(-2/3)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[1/(Sec[c + d*x]^(2/3)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x]}
+{Sec[c + d*x]^(-4/3)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[1/(Sec[c + d*x]^(4/3)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x]}
+{Sec[c + d*x]^(-5/3)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[1/(Sec[c + d*x]^(5/3)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x]}
+{Sec[c + d*x]^(-7/3)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 0, Unintegrable[1/(Sec[c + d*x]^(7/3)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x]}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(7/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x]}
+{Sec[c + d*x]^(5/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(5/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x]}
+{Sec[c + d*x]^(4/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(4/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x]}
+{Sec[c + d*x]^(2/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(2/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x]}
+{Sec[c + d*x]^(1/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(1/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x]}
+{Sec[c + d*x]^(-1/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[1/(Sec[c + d*x]^(1/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x]}
+{Sec[c + d*x]^(-2/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[1/(Sec[c + d*x]^(2/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x]}
+{Sec[c + d*x]^(-4/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[1/(Sec[c + d*x]^(4/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x]}
+{Sec[c + d*x]^(-5/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[1/(Sec[c + d*x]^(5/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x]}
+{Sec[c + d*x]^(-7/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[1/(Sec[c + d*x]^(7/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x]}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(7/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x]}
+{Sec[c + d*x]^(5/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(5/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x]}
+{Sec[c + d*x]^(4/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(4/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x]}
+{Sec[c + d*x]^(2/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(2/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x]}
+{Sec[c + d*x]^(1/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 0, Unintegrable[Sec[c + d*x]^(1/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x]}
+{Sec[c + d*x]^(-1/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 0, Unintegrable[1/(Sec[c + d*x]^(1/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x]}
+{Sec[c + d*x]^(-2/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 0, Unintegrable[1/(Sec[c + d*x]^(2/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x]}
+{Sec[c + d*x]^(-4/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 0, Unintegrable[1/(Sec[c + d*x]^(4/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x]}
+{Sec[c + d*x]^(-5/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 0, Unintegrable[1/(Sec[c + d*x]^(5/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x]}
+{Sec[c + d*x]^(-7/3)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 0, Unintegrable[1/(Sec[c + d*x]^(7/3)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m with n symbolic*)
+
+
+{(d* Sec[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])^3, x, 7, -((a*d*(3*b^2*n + a^2*(1 + n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) + (b*(b^2*(1 + n) + 3*a^2*(2 + n))*Hypergeometric2F1[1/2, -(n/2), (2 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x])/(f*n*(2 + n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (a*b^2*(5 + 2*n)*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + n)*(2 + n)) + (b^2*(d*Sec[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(f*(2 + n))}
+{(d* Sec[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])^2, x, 6, -((d*(b^2*n + a^2*(1 + n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) + (2*a*b*Hypergeometric2F1[1/2, -(n/2), (2 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x])/(f*n*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (b^2*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + n))}
+{(d* Sec[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])^1, x, 5, -((a*d*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) + (b*Hypergeometric2F1[1/2, -(n/2), (2 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(d*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x])/(f*n*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{(d* Sec[e + f*x])^n/(a + b*Sec[e + f*x])^1, x, 6, (a*AppellF1[1/2, (1/2)*(-1 + n), 1, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Cos[e + f*x]*(Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 + n))*(d*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f) - (b*AppellF1[1/2, n/2, 1, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2)]*(Cos[e + f*x]^2)^(n/2)*(d*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f)}
+{(d* Sec[e + f*x])^n/(a + b*Sec[e + f*x])^2, x, 9, (a^2*AppellF1[1/2, (1/2)*(-3 + n), 2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Cos[e + f*x]*(Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 + n))*(d*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x])/((a^2 - b^2)^2*f) + (b^2*AppellF1[1/2, (1/2)*(-1 + n), 2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Cos[e + f*x]*(Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 + n))*(d*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x])/((a^2 - b^2)^2*f) - (2*a*b*AppellF1[1/2, (1/2)*(-2 + n), 2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2)]*(Cos[e + f*x]^2)^(n/2)*(d*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x])/((a^2 - b^2)^2*f)}
+
+
+{(d* Sec[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[(d*Sec[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2), x]}
+{(d* Sec[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 0, Unintegrable[(d*Sec[e + f*x])^n*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x]}
+{(d* Sec[e + f*x])^n/(a + b*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 0, Unintegrable[(d*Sec[e + f*x])^n/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x]}
+{(d* Sec[e + f*x])^n/(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[(d*Sec[e + f*x])^n/(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m with m symbolic*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^n*(a + b*Sec[e + f*x])^m, x, 0, Unintegrable[Sec[e + f*x]^n*(a + b*Sec[e + f*x])^m, x]}
+{(d* Sec[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])^m, x, 0, Unintegrable[(d*Sec[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])^m, x]}
+
+
+{Sec[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x])^m, x, 8, ((a + b*Sec[e + f*x])^(1 + m)*Tan[e + f*x])/(b*f*(2 + m)) - (Sqrt[2]*a*(a + b)*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[e + f*x]), (b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(((a + b*Sec[e + f*x])/(a + b))^m*(b^2*f*(2 + m)*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]])) + (Sqrt[2]*(a^2 + b^2*(1 + m))*AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[e + f*x]), (b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(((a + b*Sec[e + f*x])/(a + b))^m*(b^2*f*(2 + m)*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]))}
+{Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x])^m, x, 7, (Sqrt[2]*(a + b)*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[e + f*x]), (b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(((a + b*Sec[e + f*x])/(a + b))^m*(b*f*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]])) - (Sqrt[2]*a*AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[e + f*x]), (b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(((a + b*Sec[e + f*x])/(a + b))^m*(b*f*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]))}
+{Sec[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x])^m, x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[e + f*x]), (b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(((a + b*Sec[e + f*x])/(a + b))^m*(f*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]))}
+{Sec[e + f*x]^0*(a + b*Sec[e + f*x])^m, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[e + f*x])^m, x]}
+{Cos[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x])^m, x, 0, Unintegrable[Cos[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^m, x]}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x])^m, x, 0, Unintegrable[Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x])^m, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(n/2) (a+b Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, (14*a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (10*b*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (10*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (14*a*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*b*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*a*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, (6*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (10*a*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (10*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*b*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, (6*a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*b*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, (2*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*a*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 4, (2*a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*b*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, -((2*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*a*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*b*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, -((2*a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*b*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*b*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, -((6*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*a*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*b*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (6*b*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 10, (2*(7*a^2 + 9*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (20*a*b*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (20*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(7*a^2 + 9*b^2)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (4*a*b*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, (12*a*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(5*a^2 + 7*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(5*a^2 + 7*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (4*a*b*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (2*(3*a^2 + 5*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (4*a*b*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (4*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (4*a*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*(a^2 + 3*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (2*(a^2 - b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (4*a*b*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, -((4*a*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*(3*a^2 + b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a*b*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, -((2*(5*a^2 + 3*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (4*a*b*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (4*a*b*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*a^2 + 3*b^2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 10, -((12*a*b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(7*a^2 + 5*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (4*a*b*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(7*a^2 + 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (12*a*b*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 10, (2*a*(7*a^2 + 27*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*b*(15*a^2 + 7*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*b*(15*a^2 + 7*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(7*a^2 + 27*b^2)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (40*a^2*b*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (2*b*(9*a^2 + 5*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*a*(5*a^2 + 21*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*(5*a^2 + 21*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (32*a^2*b*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (6*a*(a^2 + 5*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*b*(a^2 + b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (8*a^2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (2*b*(3*a^2 - b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*a*(a^2 + 9*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) - (2*b*(a^2 - 3*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (2*a*(a^2 - 3*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*b*(9*a^2 + b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (16*a*b^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(-1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, -((6*b*(5*a^2 + b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*a*(a^2 + b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (8*a*b^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (6*b*(5*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(-3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 10, -((2*a*(5*a^2 + 9*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*b*(21*a^2 + 5*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (32*a*b^2*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*(21*a^2 + 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(5*a^2 + 9*b^2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*b^2*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 11, (2*(3*a^2 + 5*b^2)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a^3*d) - (2*b*(a^2 + 3*b^2)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^4*d) + (2*b^4*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(a^4*(a + b)*d) - (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + (2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 10, (-2*b*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d) + (2*(a^2 + 3*b^2)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^3*d) - (2*b^3*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(a^3*(a + b)*d) + (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 9, (2*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) - (2*b*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d) + (2*b^2*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(a^2*(a + b)*d)}
+{1/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])), x, 5, (2*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) - (2*b*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(a*(a + b)*d)}
+{1/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])), x, 3, (2*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/((a + b)*d)}
+{1/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])), x, 7, (-2*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(b*d) - (2*a*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(b*(a + b)*d) + (2*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{1/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])), x, 11, (2*a*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(b^2*d) + (2*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*b*d) + (2*a^2*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(b^2*(a + b)*d) + (2*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (2*a*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 11, -((b*(4*a^2 - 5*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a^2 - b^2)*d)) + ((2*a^4 + 16*a^2*b^2 - 15*b^4)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d) - (b^3*(7*a^2 - 5*b^2)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^4*(a - b)*(a + b)^2*d) + ((2*a^2 - 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 10, ((2*a^2 - 3*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) - (b*(4*a^2 - 3*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) + (b^2*(5*a^2 - 3*b^2)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a - b)*(a + b)^2*d) + (b^2*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2), x, 10, (b*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a^2 - b^2)*d) + ((2*a^2 - b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) - (b*(3*a^2 - b^2)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a - b)*(a + b)^2*d) - (b*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2), x, 10, -(EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]/((a^2 - b^2)*d)) - (b*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a^2 - b^2)*d) + ((a^2 + b^2)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a - b)*(a + b)^2*d) + (a*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2), x, 10, (a*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*(a^2 - b^2)*d) + EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]/((a^2 - b^2)*d) + ((a^2 - 3*b^2)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a - b)*b*(a + b)^2*d) - (a^2*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2), x, 11, -(((3*a^2 - 2*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*d)) - (a*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*(a^2 - b^2)*d) - (a*(3*a^2 - 5*b^2)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a - b)*b^2*(a + b)^2*d) + ((3*a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (a^2*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 12, -((b*(24*a^4 - 65*a^2*b^2 + 35*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((8*a^6 + 128*a^4*b^2 - 223*a^2*b^4 + 105*b^6)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(12*a^5*(a^2 - b^2)^2*d) - (b^3*(63*a^4 - 86*a^2*b^2 + 35*b^4)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^5*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + ((8*a^4 - 61*a^2*b^2 + 35*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b^2*(13*a^2 - 7*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 11, ((8*a^4 - 29*a^2*b^2 + 15*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) - (3*b*(8*a^4 - 11*a^2*b^2 + 5*b^4)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + (b^2*(35*a^4 - 38*a^2*b^2 + 15*b^4)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^4*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + (b^2*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b^2*(11*a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^3), x, 11, (3*b*(3*a^2 - b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((8*a^4 - 5*a^2*b^2 + 3*b^4)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) - (3*b*(5*a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^3*(a - b)^2*(a + b)^3*d) - (b*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (b*(7*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(4*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3), x, 11, -(((5*a^2 + b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*(a^2 - b^2)^2*d)) - (b*(7*a^2 - b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*a^4 + 10*a^2*b^2 - b^4)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + (a*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (3*(a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/(4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3), x, 11, ((a^2 + 5*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*d) + (3*(a^2 + b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^4 - 10*a^2*b^2 - 3*b^4)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*(a - b)^2*b*(a + b)^3*d) - (a^2*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (a*(a^2 - 7*b^2)*Sin[c + d*x])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3), x, 11, (3*a*(a^2 - 3*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^2 - 7*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*d) + (3*(a^4 - 2*a^2*b^2 + 5*b^4)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*(a - b)^2*b^2*(a + b)^3*d) - (a^2*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (3*a^2*(a^2 - 3*b^2)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{1/(Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3), x, 12, -(((15*a^4 - 29*a^2*b^2 + 8*b^4)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d)) - (a*(5*a^2 - 11*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) - (a*(15*a^4 - 38*a^2*b^2 + 35*b^4)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*(a - b)^2*b^3*(a + b)^3*d) + ((15*a^4 - 29*a^2*b^2 + 8*b^4)*Sin[c + d*x])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (a^2*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (a^2*(5*a^2 - 11*b^2)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(n/2) (a+b Sec[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 10, (-4*b*(a^2 - b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(15*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*a^2 - 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d) + (2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 9, (2*(a^2 - b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 4, (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)])}
+{Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 8, (2*a*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 13, (b*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (a*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 11, (2*(25*a^4 - 31*a^2*b^2 + 6*b^4)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(105*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (4*b*(41*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(105*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(25*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a*d) + (16*b*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*a*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 10, (2*b*(a^2 - b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(5*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(3*a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(5*a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (4*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 9, (2*(a^2 - b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (8*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 12, (2*a*b*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)])}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 13, ((2*a^2 + b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (3*a*b*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 14, (7*a*b*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((3*a^2 + 4*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (5*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (5*a*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 12, (4*b*(57*a^4 - 62*a^2*b^2 + 5*b^4)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(315*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(147*a^4 + 279*a^2*b^2 - 10*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(315*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*b*(163*a^2 + 5*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d) + (2*(49*a^2 + 75*b^2)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (38*a*b*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 11, (2*(5*a^4 - 2*a^2*b^2 - 3*b^4)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(21*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b*(29*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(21*a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(5*a^2 + 9*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (6*a*b*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 10, (16*b*(a^2 - b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*a^2 + 23*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (22*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 13, (2*a*(a^2 + 2*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^3*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (14*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 13, (b*(4*a^2 + b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (5*a*b^2*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (b^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 14, (a*(8*a^2 + 11*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b*(15*a^2 + 4*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (9*a*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (b^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (9*a*b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 15, (b*(59*a^2 + 16*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (5*a*(a^2 + 4*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(8*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((33*a^2 + 16*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(24*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (b^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (13*a*b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((33*a^2 + 16*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 10, (-2*b*(7*a^2 + 8*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(15*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*a^2 + 8*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (8*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) + (2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 9, (2*(a^2 + 2*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (4*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 8, (-2*b*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)])}
+{1/(Cos[c + d*x]^(1/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x, 4, (2*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x, 4, (2*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x, 13, (Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (a*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{1/(Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x, 14, -(a*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(4*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((3*a^2 + 4*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(4*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (3*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*b^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (3*a*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(5/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 11, -((8*b*(a^2 + 4*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(5*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) + (2*(3*a^4 + 8*a^2*b^2 - 16*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(5*a^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*b^2*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*b*(3*a^2 - 8*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^3*(a^2 - b^2)*d) + (2*(a^2 - 6*b^2)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 10, (2*(a^2 + 8*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(3*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*b*(5*a^2 - 8*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(a^2 - 4*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 9, (-4*b*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(a^2 - 2*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 9, (2*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*b*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 6, (-2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*a*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 10, (2*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*a^2*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 14, (Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (3*a*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((3*a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*a^2*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((3*a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 11, (2*(a^4 + 16*a^2*b^2 - 16*b^4)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (8*b*(2*a^4 - 7*a^2*b^2 + 4*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (4*b^2*(5*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(a^4 - 13*a^2*b^2 + 8*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 10, -((2*b*(9*a^2 - 8*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(3*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) + (2*(3*a^4 - 15*a^2*b^2 + 8*b^4)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*b^2*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (8*b^2*(2*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 10, (2*(3*a^2 - 2*b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (4*b*(3*a^2 - b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*b*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*b*(5*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 10, (-2*b*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(3*a^2 + b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*a*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (4*(a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 10, (2*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (8*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*a^2*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*(a^2 - 5*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{1/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 14, (-2*a*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(3*a^2 - 7*b^2)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*a^2*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*a^2*(3*a^2 - 7*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m with n symbolic*)
+
+
+{(d*Cos[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])^3, x, 8, If[$VersionNumber>=8, -((b*(b^2*(1 - n) + 3*a^2*(2 - n))*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*(2 - n)*n*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - (a*(a^2*(1 - n) - 3*b^2*n)*Cos[e + f*x]*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n)*(1 + n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (a*b^2*(5 - 2*n)*(d*Cos[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 - n)*(2 - n)) + (b^2*(d*Cos[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(f*(2 - n)), -((b*(b^2*(1 - n) + 3*a^2*(2 - n))*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*(2 - n)*n*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - (a*(a^2*(1 - n) - 3*b^2*n)*Cos[e + f*x]*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (a*b^2*(5 - 2*n)*(d*Cos[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(2 - 3*n + n^2)) + (b^2*(d*Cos[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(f*(2 - n))]}
+{(d*Cos[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])^2, x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((2*a*b*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*n*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - ((a^2*(1 - n) - b^2*n)*Cos[e + f*x]*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n)*(1 + n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (b^2*(d*Cos[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 - n)), -((2*a*b*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*n*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - ((a^2*(1 - n) - b^2*n)*Cos[e + f*x]*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (b^2*(d*Cos[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 - n))]}
+{(d*Cos[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])^1, x, 5, -((b*(d*Cos[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, n/2, (2 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(f*n*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) - (a*(d*Cos[e + f*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x])/(d*f*(1 + n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{(d*Cos[e + f*x])^n/(a + b*Sec[e + f*x])^1, x, 7, (a*AppellF1[1/2, (1/2)*(-1 - n), 1, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Cos[e + f*x]*(d*Cos[e + f*x])^n*(Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 - n))*Sin[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f) - (b*AppellF1[1/2, -(n/2), 1, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2)]*(d*Cos[e + f*x])^n*Sin[e + f*x])/((Cos[e + f*x]^2)^(n/2)*((a^2 - b^2)*f))}
+{(d*Cos[e + f*x])^n/(a + b*Sec[e + f*x])^2, x, 10, (a^2*AppellF1[1/2, (1/2)*(-3 - n), 2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Cos[e + f*x]*(d*Cos[e + f*x])^n*(Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 - n))*Sin[e + f*x])/((a^2 - b^2)^2*f) + (b^2*AppellF1[1/2, (1/2)*(-1 - n), 2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Cos[e + f*x]*(d*Cos[e + f*x])^n*(Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 - n))*Sin[e + f*x])/((a^2 - b^2)^2*f) - (2*a*b*AppellF1[1/2, (1/2)*(-2 - n), 2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2)]*(d*Cos[e + f*x])^n*Sin[e + f*x])/((Cos[e + f*x]^2)^(n/2)*((a^2 - b^2)^2*f))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.3 (d sin)^n (a+b sec)^m.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.3 (d sin)^n (a+b sec)^m.m
new file mode 100644
index 00000000..79bb72e2
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.3 (d sin)^n (a+b sec)^m.m	
@@ -0,0 +1,525 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m when a^2-b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+a Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x]^9, x, 5, -((a*Cos[c + d*x])/d) + (2*a*Cos[c + d*x]^2)/d + (4*a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a*Cos[c + d*x]^4)/(2*d) - (6*a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (2*a*Cos[c + d*x]^6)/(3*d) + (4*a*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Cos[c + d*x]^8)/(8*d) - (a*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) - (a*Log[Cos[c + d*x]])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x]^7, x, 5, -((a*Cos[c + d*x])/d) + (3*a*Cos[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Cos[c + d*x]^3)/d - (3*a*Cos[c + d*x]^4)/(4*d) - (3*a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Cos[c + d*x]^6)/(6*d) + (a*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Log[Cos[c + d*x]])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x]^5, x, 5, -((a*Cos[c + d*x])/d) + (a*Cos[c + d*x]^2)/d + (2*a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Cos[c + d*x]^4)/(4*d) - (a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Log[Cos[c + d*x]])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x]^3, x, 5, -((a*Cos[c + d*x])/d) + (a*Cos[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Log[Cos[c + d*x]])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x]^1, x, 4, -((a*Cos[c + d*x])/d) - (a*Log[Cos[c + d*x]])/d}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, (a*Log[1 - Cos[c + d*x]])/d - (a*Log[Cos[c + d*x]])/d}
+{Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, -a^2/(2*d*(a - a*Cos[c + d*x])) + (3*a*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(4*d) - (a*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(4*d)}
+{Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, -a^3/(8*d*(a - a*Cos[c + d*x])^2) - a^2/(2*d*(a - a*Cos[c + d*x])) - a^2/(8*d*(a + a*Cos[c + d*x])) + (11*a*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(16*d) - (a*Log[Cos[c + d*x]])/d + (5*a*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(16*d)}
+{Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, -a^4/(24*d*(a - a*Cos[c + d*x])^3) - (5*a^3)/(32*d*(a - a*Cos[c + d*x])^2) - a^2/(2*d*(a - a*Cos[c + d*x])) - a^3/(32*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (3*a^2)/(16*d*(a + a*Cos[c + d*x])) + (21*a*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(32*d) - (a*Log[Cos[c + d*x]])/d + (11*a*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(32*d)}
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x]^8, x, 11, (35*a*x)/128 + (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a*Sin[c + d*x])/d - (35*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (35*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(192*d) - (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (7*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(48*d) - (a*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^7)/(8*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x]^6, x, 10, (5*a*x)/16 + (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a*Sin[c + d*x])/d - (5*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(24*d) - (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(6*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x]^4, x, 9, (3*a*x)/8 + (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a*Sin[c + d*x])/d - (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x]^2, x, 7, (a*x)/2 + (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a*Sin[c + d*x])/d - (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a*Cot[c + d*x])/d - (a*Csc[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 8, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a*Cot[c + d*x])/d - (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Csc[c + d*x])/d - (a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 8, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a*Cot[c + d*x])/d - (2*a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Csc[c + d*x])/d - (a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Csc[c + d*x]^8*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 8, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a*Cot[c + d*x])/d - (a*Cot[c + d*x]^3)/d - (3*a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Csc[c + d*x])/d - (a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Csc[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Csc[c + d*x]^10*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 8, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a*Cot[c + d*x])/d - (4*a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (6*a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (4*a*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) - (a*Csc[c + d*x])/d - (a*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*Csc[c + d*x]^9)/(9*d)}
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x]^9, x, 5, (3*a^2*Cos[c + d*x])/d + (4*a^2*Cos[c + d*x]^2)/d - (2*a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^2*Cos[c + d*x]^4)/d - (2*a^2*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (4*a^2*Cos[c + d*x]^6)/(3*d) + (3*a^2*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^8)/(4*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) - (2*a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*Sec[c + d*x])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x]^7, x, 5, (2*a^2*Cos[c + d*x])/d + (3*a^2*Cos[c + d*x]^2)/d - (3*a^2*Cos[c + d*x]^4)/(2*d) - (2*a^2*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^6)/(3*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) - (2*a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*Sec[c + d*x])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x]^5, x, 5, (a^2*Cos[c + d*x])/d + (2*a^2*Cos[c + d*x]^2)/d + (a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^4)/(2*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*Sec[c + d*x])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x]^3, x, 5, (a^2*Cos[c + d*x]^2)/d + (a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*Sec[c + d*x])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x]^1, x, 5, -((a^2*Cos[c + d*x])/d) - (2*a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*Sec[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (2*a^2*Log[1 - Cos[c + d*x]])/d - (2*a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*Sec[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -(a^3/(d*(a - a*Cos[c + d*x]))) + (2*a^2*Log[1 - Cos[c + d*x]])/d - (2*a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^2*Sec[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -a^4/(4*d*(a - a*Cos[c + d*x])^2) - (5*a^3)/(4*d*(a - a*Cos[c + d*x])) + (17*a^2*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(8*d) - (2*a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a^2*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*Sec[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -a^5/(12*d*(a - a*Cos[c + d*x])^3) - (3*a^4)/(8*d*(a - a*Cos[c + d*x])^2) - (23*a^3)/(16*d*(a - a*Cos[c + d*x])) + a^3/(16*d*(a + a*Cos[c + d*x])) + (9*a^2*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(4*d) - (2*a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a^2*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(4*d) + (a^2*Sec[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^9*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -a^6/(32*d*(a - a*Cos[c + d*x])^4) - (7*a^5)/(48*d*(a - a*Cos[c + d*x])^3) - (15*a^4)/(32*d*(a - a*Cos[c + d*x])^2) - (51*a^3)/(32*d*(a - a*Cos[c + d*x])) + a^4/(64*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + (9*a^3)/(64*d*(a + a*Cos[c + d*x])) + (303*a^2*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(128*d) - (2*a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d - (47*a^2*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(128*d) + (a^2*Sec[c + d*x])/d}
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x]^8, x, 27, -((245*a^2*x)/128) + (2*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (2*a^2*Sin[c + d*x])/d + (139*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (11*a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*d) - (17*a^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(8*d) - (2*a^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a^2*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (a^2*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x]^6, x, 18, (-25*a^2*x)/16 + (2*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (2*a^2*Sin[c + d*x])/d + (7*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (7*a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d) - (2*a^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^2*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x]^4, x, 14, (-9*a^2*x)/8 + (2*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (2*a^2*Sin[c + d*x])/d - (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (2*a^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x]^2, x, 9, -(a^2*x)/2 + (2*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (2*a^2*Sin[c + d*x])/d - (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 11, (2*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (2*a^2*Cot[c + d*x])/d - (2*a^2*Csc[c + d*x])/d + (a^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (2*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (10*a^2*Tan[c + d*x])/(3*d) - (2*a^2*Tan[c + d*x])/(d*(1 - Cos[c + d*x])) - (a^4*Tan[c + d*x])/(3*d*(a - a*Cos[c + d*x])^2)}
+{Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 12, (2*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (4*a^2*Cot[c + d*x])/d - (5*a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a^2*Csc[c + d*x])/d - (2*a^2*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^2*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^8*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 12, (2*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (5*a^2*Cot[c + d*x])/d - (3*a^2*Cot[c + d*x]^3)/d - (7*a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (2*a^2*Csc[c + d*x])/d - (2*a^2*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^2*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a^2*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) + (a^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^10*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 12, (2*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (6*a^2*Cot[c + d*x])/d - (14*a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (16*a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (9*a^2*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) - (2*a^2*Csc[c + d*x])/d - (2*a^2*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^2*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a^2*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) - (2*a^2*Csc[c + d*x]^9)/(9*d) + (a^2*Tan[c + d*x])/d}
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x]^9, x, 5, (11*a^3*Cos[c + d*x])/d + (3*a^3*Cos[c + d*x]^2)/d - (14*a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (7*a^3*Cos[c + d*x]^4)/(2*d) + (6*a^3*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (11*a^3*Cos[c + d*x]^6)/(6*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) - (3*a^3*Cos[c + d*x]^8)/(8*d) - (a^3*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) + (a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d + (3*a^3*Sec[c + d*x])/d + (a^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x]^7, x, 5, (8*a^3*Cos[c + d*x])/d + (3*a^3*Cos[c + d*x]^2)/d - (2*a^3*Cos[c + d*x]^3)/d - (2*a^3*Cos[c + d*x]^4)/d + (a^3*Cos[c + d*x]^6)/(2*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (3*a^3*Sec[c + d*x])/d + (a^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x]^5, x, 5, (5*a^3*Cos[c + d*x])/d + (5*a^3*Cos[c + d*x]^2)/(2*d) - (a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^3*Cos[c + d*x]^4)/(4*d) - (a^3*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d + (3*a^3*Sec[c + d*x])/d + (a^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x]^3, x, 4, (2*a^3*Cos[c + d*x])/d + (3*a^3*Cos[c + d*x]^2)/(2*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d + (3*a^3*Sec[c + d*x])/d + (a^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x]^1, x, 5, -((a^3*Cos[c + d*x])/d) - (3*a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d + (3*a^3*Sec[c + d*x])/d + (a^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, (4*a^3*Log[1 - Cos[c + d*x]])/d - (4*a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d + (3*a^3*Sec[c + d*x])/d + (a^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, (-2*a^4)/(d*(a - a*Cos[c + d*x])) + (5*a^3*Log[1 - Cos[c + d*x]])/d - (5*a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d + (3*a^3*Sec[c + d*x])/d + (a^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, -a^5/(2*d*(a - a*Cos[c + d*x])^2) - (3*a^4)/(d*(a - a*Cos[c + d*x])) + (6*a^3*Log[1 - Cos[c + d*x]])/d - (6*a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d + (3*a^3*Sec[c + d*x])/d + (a^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^7*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, -a^6/(6*d*(a - a*Cos[c + d*x])^3) - (7*a^5)/(8*d*(a - a*Cos[c + d*x])^2) - (31*a^4)/(8*d*(a - a*Cos[c + d*x])) + (111*a^3*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(16*d) - (7*a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^3*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(16*d) + (3*a^3*Sec[c + d*x])/d + (a^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^9*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, -a^7/(16*d*(a - a*Cos[c + d*x])^4) - a^6/(3*d*(a - a*Cos[c + d*x])^3) - (39*a^5)/(32*d*(a - a*Cos[c + d*x])^2) - (75*a^4)/(16*d*(a - a*Cos[c + d*x])) - a^4/(32*d*(a + a*Cos[c + d*x])) + (501*a^3*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(64*d) - (8*a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d + (11*a^3*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(64*d) + (3*a^3*Sec[c + d*x])/d + (a^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x]^8, x, 29, -((805*a^3*x)/128) - (a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (603*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) - (293*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*d) - (a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^3*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (3*a^3*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (3*a^3*Tan[c + d*x])/d + (a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x]^6, x, 18, (-85*a^3*x)/16 + (a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (a^3*Sin[c + d*x])/d + (43*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) - (5*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) - (a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d) - (2*a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^3*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a^3*Tan[c + d*x])/d + (a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x]^4, x, 16, (-33*a^3*x)/8 + (3*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (2*a^3*Sin[c + d*x])/d + (7*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a^3*Sin[c + d*x]^3)/d + (3*a^3*Tan[c + d*x])/d + (a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x]^2, x, 11, (-5*a^3*x)/2 + (5*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (3*a^3*Sin[c + d*x])/d - (a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (3*a^3*Tan[c + d*x])/d + (a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (9*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (4*a^3*Sin[c + d*x])/(d*(1 - Cos[c + d*x])) + (3*a^3*Tan[c + d*x])/d + (a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 11, (11*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (2*a^3*Sin[c + d*x])/(3*d*(1 - Cos[c + d*x])^2) - (17*a^3*Sin[c + d*x])/(3*d*(1 - Cos[c + d*x])) + (3*a^3*Tan[c + d*x])/d + (a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 10, (13*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (152*a^3*Tan[c + d*x])/(15*d) + (13*a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) - (a^6*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(5*d*(a - a*Cos[c + d*x])^3) - (11*a^5*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(15*d*(a - a*Cos[c + d*x])^2) - (76*a^6*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 - a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^8*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 17, (15*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (13*a^3*Cot[c + d*x])/d - (7*a^3*Cot[c + d*x]^3)/d - (3*a^3*Cot[c + d*x]^5)/d - (4*a^3*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (15*a^3*Csc[c + d*x])/(2*d) - (5*a^3*Csc[c + d*x]^3)/(2*d) - (3*a^3*Csc[c + d*x]^5)/(2*d) - (15*a^3*Csc[c + d*x]^7)/(14*d) + (a^3*Csc[c + d*x]^7*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (3*a^3*Tan[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^10*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 17, (17*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (16*a^3*Cot[c + d*x])/d - (34*a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (36*a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (19*a^3*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (4*a^3*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) - (17*a^3*Csc[c + d*x])/(2*d) - (17*a^3*Csc[c + d*x]^3)/(6*d) - (17*a^3*Csc[c + d*x]^5)/(10*d) - (17*a^3*Csc[c + d*x]^7)/(14*d) - (17*a^3*Csc[c + d*x]^9)/(18*d) + (a^3*Csc[c + d*x]^9*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (3*a^3*Tan[c + d*x])/d}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^9/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, Cos[c + d*x]^3/(3*a*d) - (3*Cos[c + d*x]^5)/(5*a*d) + (3*Cos[c + d*x]^7)/(7*a*d) - Cos[c + d*x]^9/(9*a*d) + Sin[c + d*x]^8/(8*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^7/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, Cos[c + d*x]^3/(3*a*d) - (2*Cos[c + d*x]^5)/(5*a*d) + Cos[c + d*x]^7/(7*a*d) + Sin[c + d*x]^6/(6*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, Cos[c + d*x]^3/(3*a*d) - Cos[c + d*x]^5/(5*a*d) + Sin[c + d*x]^4/(4*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, Cos[c + d*x]^3/(3*a*d) + Sin[c + d*x]^2/(2*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, -(Cos[c + d*x]/(a*d)) + Log[1 + Cos[c + d*x]]/(a*d)}
+{Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(2*a*d)) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*a*d) - Csc[c + d*x]^2/(2*a*d)}
+{Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(8*a*d)) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*a*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*a*d) - Csc[c + d*x]^4/(4*a*d)}
+{Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 8, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(16*a*d)) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*a*d) - (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(24*a*d) + (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(6*a*d) - Csc[c + d*x]^6/(6*a*d)}
+
+{Sin[c + d*x]^8/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 9, -((5*x)/(128*a)) - (5*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*a*d) + (5*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*a*d) + (5*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^3)/(48*a*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^5)/(8*a*d) + Sin[c + d*x]^7/(7*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 8, -(x/(16*a)) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(8*a*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^3)/(6*a*d) + Sin[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, -(x/(8*a)) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d) + Sin[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, -(x/(2*a)) + Sin[c + d*x]/(a*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) - Csc[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) + Cot[c + d*x]^5/(5*a*d) - Csc[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Csc[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) + (2*Cot[c + d*x]^5)/(5*a*d) + Cot[c + d*x]^7/(7*a*d) - Csc[c + d*x]^7/(7*a*d)}
+{Csc[c + d*x]^8/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) + (3*Cot[c + d*x]^5)/(5*a*d) + (3*Cot[c + d*x]^7)/(7*a*d) + Cot[c + d*x]^9/(9*a*d) - Csc[c + d*x]^9/(9*a*d)}
+{Csc[c + d*x]^10/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, Cot[c + d*x]^3/(3*a*d) + (4*Cot[c + d*x]^5)/(5*a*d) + (6*Cot[c + d*x]^7)/(7*a*d) + (4*Cot[c + d*x]^9)/(9*a*d) + Cot[c + d*x]^11/(11*a*d) - Csc[c + d*x]^11/(11*a*d)}
+
+
+{Sin[c + d*x]^11/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (4*(a - a*Cos[c + d*x])^6)/(3*a^8*d) - (4*(a - a*Cos[c + d*x])^7)/(a^9*d) + (19*(a - a*Cos[c + d*x])^8)/(4*a^10*d) - (25*(a - a*Cos[c + d*x])^9)/(9*a^11*d) + (4*(a - a*Cos[c + d*x])^10)/(5*a^12*d) - (a - a*Cos[c + d*x])^11/(11*a^13*d)}
+{Sin[c + d*x]^9/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (4*(a - a*Cos[c + d*x])^5)/(5*a^7*d) - (2*(a - a*Cos[c + d*x])^6)/(a^8*d) + (13*(a - a*Cos[c + d*x])^7)/(7*a^9*d) - (3*(a - a*Cos[c + d*x])^8)/(4*a^10*d) + (a - a*Cos[c + d*x])^9/(9*a^11*d)}
+{Sin[c + d*x]^7/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -(Cos[c + d*x]^3/(3*a^2*d)) + Cos[c + d*x]^4/(2*a^2*d) - Cos[c + d*x]^6/(3*a^2*d) + Cos[c + d*x]^7/(7*a^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -(Cos[c + d*x]^3/(3*a^2*d)) + Cos[c + d*x]^4/(2*a^2*d) - Cos[c + d*x]^5/(5*a^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (2*Cos[c + d*x])/(a^2*d) - Cos[c + d*x]^2/(a^2*d) + Cos[c + d*x]^3/(3*a^2*d) - (2*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(a^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -(Cos[c + d*x]/(a^2*d)) + 1/(d*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])) + (2*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(a^2*d)}
+{Csc[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(4*a^2*d)) + 1/(4*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - 3/(4*d*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 4, -((a + 2*a*Cos[c + d*x])/(6*d*(1 - Cos[c + d*x])*(a + a*Cos[c + d*x])^3))}
+{Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(64*a^2*d) - 1/(64*d*(a - a*Cos[c + d*x])^2) + a^2/(32*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - a/(48*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - 1/(32*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - 1/(64*d*(a^2 - a^2*Cos[c + d*x])) - 1/(32*d*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x]))}
+
+{Sin[c + d*x]^8/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 16, (11*x)/(128*a^2) + (11*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*a^2*d) - (7*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*a^2*d) - (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^3)/(6*a^2*d) - (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(8*a^2*d) - (2*Sin[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + (2*Sin[c + d*x]^7)/(7*a^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (3*x)/(16*a^2) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(8*a^2*d) - ((a - a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x]^3)/(6*a^5*d) - Sin[c + d*x]^5/(10*a^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 11, (7*x)/(8*a^2) - (2*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + (7*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^2*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d) + (2*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 9, -((5*x)/(2*a^2)) + (2*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) + (2*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 11, -(Cot[c + d*x]^3/(3*a^2*d)) - (2*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (2*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + (2*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^2*d)}
+{Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 13, -(Cot[c + d*x]^3/(3*a^2*d)) - (3*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (2*Cot[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) - (2*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + (2*Csc[c + d*x]^7)/(7*a^2*d)}
+{Csc[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 13, -(Cot[c + d*x]^3/(3*a^2*d)) - (4*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (5*Cot[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) - (2*Cot[c + d*x]^9)/(9*a^2*d) - (2*Csc[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) + (2*Csc[c + d*x]^9)/(9*a^2*d)}
+{Csc[c + d*x]^8/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 13, -(Cot[c + d*x]^3/(3*a^2*d)) - Cot[c + d*x]^5/(a^2*d) - (9*Cot[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) - (7*Cot[c + d*x]^9)/(9*a^2*d) - (2*Cot[c + d*x]^11)/(11*a^2*d) - (2*Csc[c + d*x]^9)/(9*a^2*d) + (2*Csc[c + d*x]^11)/(11*a^2*d)}
+
+
+{Sin[c + d*x]^11/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, (2*(a - a*Cos[c + d*x])^6)/(3*a^9*d) - (16*(a - a*Cos[c + d*x])^7)/(7*a^10*d) + (25*(a - a*Cos[c + d*x])^8)/(8*a^11*d) - (19*(a - a*Cos[c + d*x])^9)/(9*a^12*d) + (7*(a - a*Cos[c + d*x])^10)/(10*a^13*d) - (a - a*Cos[c + d*x])^11/(11*a^14*d)}
+{Sin[c + d*x]^9/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, -Cos[c + d*x]^4/(4*a^3*d) + (3*Cos[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - Cos[c + d*x]^6/(3*a^3*d) - (2*Cos[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) + (3*Cos[c + d*x]^8)/(8*a^3*d) - Cos[c + d*x]^9/(9*a^3*d)}
+{Sin[c + d*x]^7/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, -Cos[c + d*x]^4/(4*a^3*d) + (3*Cos[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - Cos[c + d*x]^6/(2*a^3*d) + Cos[c + d*x]^7/(7*a^3*d)}
+{Sin[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, (-4*Cos[c + d*x])/(a^3*d) + (2*Cos[c + d*x]^2)/(a^3*d) - (4*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (3*Cos[c + d*x]^4)/(4*a^3*d) - Cos[c + d*x]^5/(5*a^3*d) + (4*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(a^3*d)}
+{Sin[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, (5*Cos[c + d*x])/(a^3*d) - (3*Cos[c + d*x]^2)/(2*a^3*d) + Cos[c + d*x]^3/(3*a^3*d) - 2/(d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])) - (7*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(a^3*d)}
+{Sin[c + d*x]/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, -(Cos[c + d*x]/(a^3*d)) - 1/(2*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + 3/(d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])) + (3*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(a^3*d)}
+{Csc[c + d*x]/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 6, -ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(8*a^3*d) - 1/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + 5/(8*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - 7/(8*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, ArcTanh[Cos[c + d*x]]/(32*a^3*d) - a/(16*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + 1/(6*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - 3/(32*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - 1/(32*d*(a^3 - a^3*Cos[c + d*x])) - 1/(16*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 6, (3*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(128*a^3*d) - 1/(128*a*d*(a - a*Cos[c + d*x])^2) - a^2/(40*d*(a + a*Cos[c + d*x])^5) + (3*a)/(64*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - 1/(64*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - 3/(128*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+
+{Sin[c + d*x]^8/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 19, (-29*x)/(128*a^3) - (29*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*a^3*d) - (29*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*a^3*d) + (23*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*a^3*d) + (Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(8*a^3*d) + (4*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) - (7*Sin[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + (3*Sin[c + d*x]^7)/(7*a^3*d)}
+{Sin[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 15, -((23*x)/(16*a^3)) + (4*Sin[c + d*x])/(a^3*d) - (23*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a^3*d) - (23*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*a^3*d) - (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d) - (7*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (3*Sin[c + d*x]^5)/(5*a^3*d)}
+{Sin[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 13, (51*x)/(8*a^3) - (7*Sin[c + d*x])/(a^3*d) + (19*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^3*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a^3*d) - (4*Sin[c + d*x])/(a^3*d*(1 + Cos[c + d*x])) + Sin[c + d*x]^3/(a^3*d)}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 10, -((11*x)/(2*a^3)) + (3*Sin[c + d*x])/(a^3*d) - (Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - (2*Sin[c + d*x])/(3*a^3*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + (19*Sin[c + d*x])/(3*a^3*d*(1 + Cos[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 15, (3*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + (4*Cot[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) - Csc[c + d*x]^3/(a^3*d) + (7*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - (4*Csc[c + d*x]^7)/(7*a^3*d)}
+{Csc[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 16, (3*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + Cot[c + d*x]^7/(a^3*d) + (4*Cot[c + d*x]^9)/(9*a^3*d) - (3*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + Csc[c + d*x]^7/(a^3*d) - (4*Csc[c + d*x]^9)/(9*a^3*d)}
+{Csc[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 16, (3*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + (10*Cot[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) + (11*Cot[c + d*x]^9)/(9*a^3*d) + (4*Cot[c + d*x]^11)/(11*a^3*d) - (3*Csc[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) + (7*Csc[c + d*x]^9)/(9*a^3*d) - (4*Csc[c + d*x]^11)/(11*a^3*d)}
+{Csc[c + d*x]^8/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 16, (3*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + (13*Cot[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) + (7*Cot[c + d*x]^9)/(3*a^3*d) + (15*Cot[c + d*x]^11)/(11*a^3*d) + (4*Cot[c + d*x]^13)/(13*a^3*d) - Csc[c + d*x]^9/(3*a^3*d) + (7*Csc[c + d*x]^11)/(11*a^3*d) - (4*Csc[c + d*x]^13)/(13*a^3*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e Sin[e+f x])^(m/2) (a+a Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 11, -((a*e^(5/2)*ArcTan[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/d) + (a*e^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/d + (6*a*e^2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (2*a*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (2*a*e*Cos[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 11, (a*e^(3/2)*ArcTan[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/d + (a*e^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/d + (2*a*e^2*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*a*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/d - (2*a*e*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(3*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])*Sqrt[e*Sin[c + d*x]], x, 9, -((a*Sqrt[e]*ArcTan[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/d) + (a*Sqrt[e]*ArcTanh[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/d + (2*a*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(d*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/Sqrt[e*Sin[c + d*x]], x, 9, (a*ArcTan[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(d*Sqrt[e]) + (a*ArcTanh[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(d*Sqrt[e]) + (2*a*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/(e*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 11, -((a*ArcTan[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(d*e^(3/2))) + (a*ArcTanh[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(d*e^(3/2)) - (2*a)/(d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*a*Cos[c + d*x])/(d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*a*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(d*e^2*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/(e*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 11, (a*ArcTan[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(d*e^(5/2)) + (a*ArcTanh[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(d*e^(5/2)) - (2*a)/(3*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (2*a*Cos[c + d*x])/(3*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])}
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 15, -((2*a^2*e^(5/2)*ArcTan[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/d) + (2*a^2*e^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/d - (9*a^2*e^2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (4*a^2*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (2*a^2*e*Cos[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*d) + (a^2*e*Sec[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 15, (2*a^2*e^(3/2)*ArcTan[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/d + (2*a^2*e^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/d - (a^2*e^2*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (4*a^2*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/d - (2*a^2*e*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(3*d) + (a^2*e*Sec[c + d*x]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]], x, 13, -((2*a^2*Sqrt[e]*ArcTan[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/d) + (2*a^2*Sqrt[e]*ArcTanh[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/d + (a^2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (a^2*Sec[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(d*e)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/Sqrt[e*Sin[c + d*x]], x, 13, (2*a^2*ArcTan[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(d*Sqrt[e]) + (2*a^2*ArcTanh[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(d*Sqrt[e]) + (3*a^2*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (a^2*Sec[c + d*x]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(d*e)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/(e*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 16, -((2*a^2*ArcTan[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(d*e^(3/2))) + (2*a^2*ArcTanh[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(d*e^(3/2)) - (4*a^2)/(d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*a^2*Cos[c + d*x])/(d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*a^2*Sec[c + d*x])/(d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (5*a^2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(d*e^2*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (3*a^2*Sec[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(d*e^3)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/(e*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 16, (2*a^2*ArcTan[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(d*e^(5/2)) + (2*a^2*ArcTanh[Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/Sqrt[e]])/(d*e^(5/2)) - (4*a^2)/(3*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (2*a^2*Cos[c + d*x])/(3*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (2*a^2*Sec[c + d*x])/(3*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (7*a^2*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (5*a^2*Sec[c + d*x]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(3*d*e^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e*Sin[c + d*x])^(7/2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 8, -((4*e^4*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(21*a*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])) - (2*e^3*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(21*a*d) + (2*e^3*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(7*a*d) + (2*e*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*a*d)}
+{(e*Sin[c + d*x])^(5/2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, -((4*e^2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*a*d*Sqrt[Sin[c + d*x]])) + (2*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*a*d) - (2*e*Cos[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*a*d)}
+{(e*Sin[c + d*x])^(3/2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, -((4*e^2*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*a*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])) + (2*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(a*d) - (2*e*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(3*a*d)}
+{Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, -((2*e)/(a*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])) + (2*e*Cos[c + d*x])/(a*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (4*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Sec[c + d*x])*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]), x, 7, -((2*e)/(3*a*d*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))) + (2*e*Cos[c + d*x])/(3*a*d*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (4*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*a*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Sec[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)), x, 8, -((2*e)/(5*a*d*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))) + (2*e*Cos[c + d*x])/(5*a*d*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (4*Cos[c + d*x])/(5*a*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (4*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*a*d*e^2*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Sec[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)), x, 8, -((2*e)/(7*a*d*(e*Sin[c + d*x])^(7/2))) + (2*e*Cos[c + d*x])/(7*a*d*(e*Sin[c + d*x])^(7/2)) - (4*Cos[c + d*x])/(21*a*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (4*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(21*a*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])}
+
+
+{(e*Sin[c + d*x])^(7/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 14, (52*e^4*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(21*a^2*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (4*e^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (26*e^3*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(21*a^2*d) + (2*e^3*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(7*a^2*d) + (4*e*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*a^2*d)}
+{(e*Sin[c + d*x])^(5/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 14, (4*e^3)/(a^2*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*e^3*Cos[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*e^3*Cos[c + d*x]^3)/(a^2*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (44*e^2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*a^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (4*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*a^2*d) - (12*e*Cos[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*a^2*d)}
+{(e*Sin[c + d*x])^(3/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 14, (4*e^3)/(3*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (2*e^3*Cos[c + d*x])/(3*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (2*e^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) - (4*e^2*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^2*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (4*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - (4*e*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(3*a^2*d)}
+{Sqrt[e*Sin[c + d*x]]/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 15, (4*e^3)/(5*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (2*e^3*Cos[c + d*x])/(5*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (2*e^3*Cos[c + d*x]^3)/(5*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (4*e)/(a^2*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (16*e*Cos[c + d*x])/(5*a^2*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (28*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*a^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Sec[c + d*x])^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]), x, 15, (4*e^3)/(7*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(7/2)) - (2*e^3*Cos[c + d*x])/(7*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(7/2)) - (2*e^3*Cos[c + d*x]^3)/(7*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(7/2)) - (4*e)/(3*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (16*e*Cos[c + d*x])/(21*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (20*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(21*a^2*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Sec[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)), x, 17, (4*e^3)/(9*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(9/2)) - (2*e^3*Cos[c + d*x])/(9*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(9/2)) - (2*e^3*Cos[c + d*x]^3)/(9*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(9/2)) - (4*e)/(5*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)) + (16*e*Cos[c + d*x])/(45*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (4*Cos[c + d*x])/(15*a^2*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (4*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(15*a^2*d*e^2*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Sec[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)), x, 17, (4*e^3)/(11*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(11/2)) - (2*e^3*Cos[c + d*x])/(11*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(11/2)) - (2*e^3*Cos[c + d*x]^3)/(11*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(11/2)) - (4*e)/(7*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(7/2)) + (16*e*Cos[c + d*x])/(77*a^2*d*(e*Sin[c + d*x])^(7/2)) - (4*Cos[c + d*x])/(231*a^2*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (4*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(231*a^2*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+a Sec[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e Sin[e+f x])^m (a+a Sec[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3*(e*Sin[c + d*x])^m, x, 9, (a^3*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (3*a^3*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)) + (a^3*Hypergeometric2F1[2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)) + (1/(d*e*(1 + m)))*(3*a^3*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]*Hypergeometric2F1[3/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*(e*Sin[c + d*x])^m, x, 7, (a^2*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (2*a^2*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)) + (1/(d*e*(1 + m)))*(a^2*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]*Hypergeometric2F1[3/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^1*(e*Sin[c + d*x])^m, x, 5, (a*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (a*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m))}
+{(e*Sin[c + d*x])^m/(a + a*Sec[c + d*x])^1, x, 5, -((e*(e*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(a*d*(1 - m))) + (e*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1/2)*(-1 + m), (1 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(a*d*(1 - m)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2])}
+{(e*Sin[c + d*x])^m/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 9, (2*e^3*(e*Sin[c + d*x])^(-3 + m))/(a^2*d*(3 - m)) - (e^3*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1/2)*(-3 + m), (1/2)*(-1 + m), Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(-3 + m))/(a^2*d*(3 - m)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) - (e^3*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1/2)*(-3 + m), (1/2)*(-1 + m), Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(-3 + m))/(a^2*d*(3 - m)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) - (2*e*(e*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(a^2*d*(1 - m))}
+{(e*Sin[c + d*x])^m/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 12, -((4*e^5*(e*Sin[c + d*x])^(-5 + m))/(a^3*d*(5 - m))) + (e^5*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(5/2), (1/2)*(-5 + m), (1/2)*(-3 + m), Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(-5 + m))/(a^3*d*(5 - m)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (3*e^5*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1/2)*(-5 + m), (1/2)*(-3 + m), Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(-5 + m))/(a^3*d*(5 - m)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (7*e^3*(e*Sin[c + d*x])^(-3 + m))/(a^3*d*(3 - m)) - (3*e*(e*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(a^3*d*(1 - m))}
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(e*Sin[c + d*x])^m, x, 5, (2*a*e*AppellF1[-(1/2), (1 - m)/2, (1/2)*(-2 - m), 1/2, Cos[c + d*x], -Cos[c + d*x]]*(1 - Cos[c + d*x])^((1 - m)/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(e*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/((1 + Cos[c + d*x])^(m/2)*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2)*(e*Sin[c + d*x])^m, x, 5, -((2*e*AppellF1[1/2, (1 - m)/2, -(m/2), 3/2, Cos[c + d*x], -Cos[c + d*x]]*(1 - Cos[c + d*x])^((1 - m)/2)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(e*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/((1 + Cos[c + d*x])^(m/2)*d))}
+{(e*Sin[c + d*x])^m/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 5, -((2*e*AppellF1[3/2, (1 - m)/2, (2 - m)/2, 5/2, Cos[c + d*x], -Cos[c + d*x]]*(1 - Cos[c + d*x])^((1 - m)/2)*Cos[c + d*x]*(1 + Cos[c + d*x])^(1 - m/2)*(e*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]))}
+{(e*Sin[c + d*x])^m/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((2*e*AppellF1[5/2, (1 - m)/2, (4 - m)/2, 7/2, Cos[c + d*x], -Cos[c + d*x]]*(1 - Cos[c + d*x])^((1 - m)/2)*Cos[c + d*x]^2*(1 + Cos[c + d*x])^(1 - m/2)*(e*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(5*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e Sin[e+f x])^m (a+a Sec[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^n*(e*Sin[c + d*x])^m, x, 5, -((e*AppellF1[1 - n, (1 - m)/2, (1/2)*(1 - m - 2*n), 2 - n, Cos[c + d*x], -Cos[c + d*x]]*(1 - Cos[c + d*x])^((1 - m)/2)*Cos[c + d*x]*(1 + Cos[c + d*x])^((1/2)*(1 - m - 2*n))*(a + a*Sec[c + d*x])^n*(e*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(d*(1 - n)))}
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x]^7, x, 4, If[$VersionNumber>=8, -(((3 - n)*(8 - n)*(16 - n)*Hypergeometric2F1[6, 4 + n, 5 + n, 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(4 + n))/(42*a^4*d*(1 - n)*(4 + n))) - (Cos[c + d*x]^7*(1 - Sec[c + d*x])^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(4 + n))/(a^4*d*(1 - n)) + (Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sec[c + d*x])^(4 + n)*(6*(8 - n) - (108 - 25*n + n^2)*Sec[c + d*x]))/(42*a^4*d*(1 - n)), -(((3 - n)*(8 - n)*(16 - n)*Hypergeometric2F1[6, 4 + n, 5 + n, 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(4 + n))/(42*a^4*d*(4 - 3*n - n^2))) - (Cos[c + d*x]^7*(1 - Sec[c + d*x])^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(4 + n))/(a^4*d*(1 - n)) + (Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sec[c + d*x])^(4 + n)*(6*(8 - n) - (108 - 25*n + n^2)*Sec[c + d*x]))/(42*a^4*d*(1 - n))]}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x]^5, x, 4, ((12 - n)*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(3 + n))/(20*a^3*d) - (Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^(3 + n))/(5*a^3*d) + ((32 - 13*n + n^2)*Hypergeometric2F1[4, 3 + n, 4 + n, 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3 + n))/(20*a^3*d*(3 + n))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x]^3, x, 3, (Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(2 + n))/(3*a^2*d) - ((4 - n)*Hypergeometric2F1[3, 2 + n, 3 + n, 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2 + n))/(3*a^2*d*(2 + n))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x]^1, x, 2, (Hypergeometric2F1[2, 1 + n, 2 + n, 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(1 + n))}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 2, -((Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x])]*(a + a*Sec[c + d*x])^n)/(2*d*n))}
+{Csc[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 4, -((a*(2 - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^(-1 + n))/(4*d*(1 - n))) + (a*(a + a*Sec[c + d*x])^(-1 + n))/(2*d*(1 - Sec[c + d*x])) - ((2 + n)*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x])]*(a + a*Sec[c + d*x])^n)/(8*d*n)}
+{Csc[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 5, (a^2*(12 + 9*n + n^2)*Hypergeometric2F1[1, -2 + n, -1 + n, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(-2 + n))/(16*d*(2 - n)) + (a^2*(3 + n)*Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(-2 + n))/(4*d*(1 - n)*(1 - Sec[c + d*x])^2) - (a^2*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(-2 + n))/(d*(1 - n)*(1 - Sec[c + d*x])^2) - (a^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(-2 + n)*(12 + 4*n - 7*n^2 - n^3 - 2*(1 - n)*(6 + n)*Sec[c + d*x]))/(8*d*(2 - 3*n + n^2)*(1 - Sec[c + d*x]))}
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x]^4, x, 11, -((AppellF1[1 - n, -(1/2), 1/2 - n, 2 - n, Cos[c + d*x], -Cos[c + d*x]]*(1 + Cos[c + d*x])^(1/2 - n)*(n - n*Cos[c + d*x])*Cot[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^n)/(d*(1 - n)*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]])) - (Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/d + (2^(1/2 + n)*AppellF1[1/2, -4 + n, 1/2 - n, 3/2, 1 - Cos[c + d*x], (1/2)*(1 - Cos[c + d*x])]*Cos[c + d*x]^n*(1 + Cos[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x]^2, x, 6, -((AppellF1[1 - n, -(1/2), -(1/2) - n, 2 - n, Cos[c + d*x], -Cos[c + d*x]]*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]]*(1 + Cos[c + d*x])^(1/2 - n)*Cot[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^n)/(d*(1 - n)))}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 4, -((Cot[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^n)/d) + (2^(-(1/2) + n)*n*Hypergeometric2F1[1/2, 3/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x])]*(1 + Sec[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 7, If[$VersionNumber>=8, ((2 - n + n^2)*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*(1 - 4*n^2)*(1 - Cos[c + d*x])^2) - (a^4*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*(a - a*Cos[c + d*x])^2*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (a^3*(4 - n)*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 8*n + 4*n^2)*(a - a*Cos[c + d*x])^2*(a + a*Cos[c + d*x])) + (n*(7 - 3*n - n^2)*Cos[c + d*x]*((1 + Cos[c + d*x])/(1 - Cos[c + d*x]))^(-(1/2) - n)*Hypergeometric2F1[-(1/2) - n, 1 - n, 2 - n, -((2*Cos[c + d*x])/(1 - Cos[c + d*x]))]*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*(3 - 2*n)*(1 - n)*(1 + 2*n)*(1 - Cos[c + d*x])^2), ((2 - n + n^2)*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*(1 - 4*n^2)*(1 - Cos[c + d*x])^2) - (a^4*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*(a - a*Cos[c + d*x])^2*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (a^3*(4 - n)*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 8*n + 4*n^2)*(a - a*Cos[c + d*x])^2*(a + a*Cos[c + d*x])) + (n*(7 - 3*n - n^2)*Cos[c + d*x]*((1 + Cos[c + d*x])/(1 - Cos[c + d*x]))^(-(1/2) - n)*Hypergeometric2F1[-(1/2) - n, 1 - n, 2 - n, -((2*Cos[c + d*x])/(1 - Cos[c + d*x]))]*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 5*n - 10*n^2 + 20*n^3 - 8*n^4)*(1 - Cos[c + d*x])^2)]}
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x]^(3/2), x, 5, -((AppellF1[1 - n, -(1/4), -(1/4) - n, 2 - n, Cos[c + d*x], -Cos[c + d*x]]*Cos[c + d*x]*(1 + Cos[c + d*x])^(-(1/4) - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(d*(1 - n)*(1 - Cos[c + d*x])^(1/4)))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sqrt[Sin[c + d*x]], x, 5, -((AppellF1[1 - n, 1/4, 1/4 - n, 2 - n, Cos[c + d*x], -Cos[c + d*x]]*(1 - Cos[c + d*x])^(1/4)*Cos[c + d*x]*(1 + Cos[c + d*x])^(1/4 - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n)/(d*(1 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]]))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^n/Sqrt[Sin[c + d*x]], x, 5, -((AppellF1[1 - n, 3/4, 3/4 - n, 2 - n, Cos[c + d*x], -Cos[c + d*x]]*(1 - Cos[c + d*x])^(3/4)*Cos[c + d*x]*(1 + Cos[c + d*x])^(3/4 - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n)/(d*(1 - n)*Sin[c + d*x]^(3/2)))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^n/Sin[c + d*x]^(3/2), x, 5, -((AppellF1[1 - n, 5/4, 5/4 - n, 2 - n, Cos[c + d*x], -Cos[c + d*x]]*(1 - Cos[c + d*x])^(5/4)*Cos[c + d*x]*(1 + Cos[c + d*x])^(5/4 - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n)/(d*(1 - n)*Sin[c + d*x]^(5/2)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sin[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^7*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, -((a*Cos[c + d*x])/d) + (3*b*Cos[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Cos[c + d*x]^3)/d - (3*b*Cos[c + d*x]^4)/(4*d) - (3*a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (b*Cos[c + d*x]^6)/(6*d) + (a*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) - (b*Log[Cos[c + d*x]])/d}
+{Sin[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, -((a*Cos[c + d*x])/d) + (b*Cos[c + d*x]^2)/d + (2*a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*Cos[c + d*x]^4)/(4*d) - (a*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (b*Log[Cos[c + d*x]])/d}
+{Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, -((a*Cos[c + d*x])/d) + (b*Cos[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*Log[Cos[c + d*x]])/d}
+{Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 4, -((a*Cos[c + d*x])/d) - (b*Log[Cos[c + d*x]])/d}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, -((a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) + (b*Log[Tan[c + d*x]])/d}
+{Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, -((a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (b*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d) + (b*Log[Tan[c + d*x]])/d}
+{Csc[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 9, -((3*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d)) - (b*Cot[c + d*x]^2)/d - (b*Cot[c + d*x]^4)/(4*d) - (3*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d) + (b*Log[Tan[c + d*x]])/d}
+{Csc[c + d*x]^7*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 10, -((5*a*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(16*d)) - (3*b*Cot[c + d*x]^2)/(2*d) - (3*b*Cot[c + d*x]^4)/(4*d) - (b*Cot[c + d*x]^6)/(6*d) - (5*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(16*d) - (5*a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(24*d) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^5)/(6*d) + (b*Log[Tan[c + d*x]])/d}
+
+{Sin[c + d*x]^6*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 10, (5*a*x)/16 + (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (b*Sin[c + d*x])/d - (5*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) - (b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(24*d) - (b*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(6*d)}
+{Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 9, (3*a*x)/8 + (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (b*Sin[c + d*x])/d - (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, (a*x)/2 + (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (b*Sin[c + d*x])/d - (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a*Cot[c + d*x])/d - (b*Csc[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a*Cot[c + d*x])/d - (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*Csc[c + d*x])/d - (b*Csc[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Csc[c + d*x]^6*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (a*Cot[c + d*x])/d - (2*a*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (b*Csc[c + d*x])/d - (b*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*Csc[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+{Sin[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -(((a^2 - 2*b^2)*Cos[c + d*x])/d) + (2*a*b*Cos[c + d*x]^2)/d + ((2*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*b*Cos[c + d*x]^4)/(2*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a*b*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b^2*Sec[c + d*x])/d}
+{Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -(((a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/d) + (a*b*Cos[c + d*x]^2)/d + (a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a*b*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b^2*Sec[c + d*x])/d}
+{Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -((a^2*Cos[c + d*x])/d) - (2*a*b*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b^2*Sec[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, ((a + b)^2*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(2*d) - (2*a*b*Log[Cos[c + d*x]])/d - ((a - b)^2*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(2*d) + (b^2*Sec[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, -(((2*a*b + (a^2 + b^2)*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^2)/(2*d)) + ((a + b)*(a + 3*b)*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(4*d) - (2*a*b*Log[Cos[c + d*x]])/d - ((a - 3*b)*(a - b)*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(4*d) + (b^2*Sec[c + d*x])/d}
+
+{Sin[c + d*x]^6*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 12, (5/16)*(a^2 - 6*b^2)*x + (2*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (2*a*b*Sin[c + d*x])/d - ((11*a^2 - 18*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + ((13*a^2 - 6*b^2)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) - (a^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d) - (2*a*b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a*b*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (3/8)*(a^2 - 4*b^2)*x + (2*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (b*(28*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/(6*a*d) - ((39*a^2 + 2*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) - ((12*a^2 + b^2)*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*a*b*d) + ((b + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d) + ((b + a*Cos[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(b*d)}
+{Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 10, (a^2*x)/2 - b^2*x + (2*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (2*a*b*Sin[c + d*x])/d - (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (2*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - ((a^2 + b^2)*Cot[c + d*x])/d - (2*a*b*Csc[c + d*x])/d + (b^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, (2*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - ((a^2 + 2*b^2)*Cot[c + d*x])/d - ((a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a*b*Csc[c + d*x])/d - (2*a*b*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^6*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, (2*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - ((a^2 + 3*b^2)*Cot[c + d*x])/d - ((2*a^2 + 3*b^2)*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - ((a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a*b*Csc[c + d*x])/d - (2*a*b*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a*b*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*Tan[c + d*x])/d}
+
+
+{Sin[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 5, -((a*(a^2 - 6*b^2)*Cos[c + d*x])/d) + (b*(6*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*(2*a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^2*b*Cos[c + d*x]^4)/(4*d) - (a^3*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (b*(3*a^2 - 2*b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (3*a*b^2*Sec[c + d*x])/d + (b^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 4, -((a*(a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x])/d) + (3*a^2*b*Cos[c + d*x]^2)/(2*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*(3*a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (3*a*b^2*Sec[c + d*x])/d + (b^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 5, -((a^3*Cos[c + d*x])/d) - (3*a^2*b*Log[Cos[c + d*x]])/d + (3*a*b^2*Sec[c + d*x])/d + (b^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 5, ((a + b)^3*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(2*d) - (b*(3*a^2 + b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d - ((a - b)^3*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(2*d) + (3*a*b^2*Sec[c + d*x])/d + (b^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, -((a^2*(b*(3 + b^2/a^2) + a*(1 + (3*b^2)/a^2)*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^2)/(2*d)) + ((a + b)^2*(a + 4*b)*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(4*d) - (b*(3*a^2 + 2*b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d - ((a - 4*b)*(a - b)^2*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(4*d) + (3*a*b^2*Sec[c + d*x])/d + (b^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+
+{Sin[c + d*x]^6*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 21, (5*a^3*x)/16 - (45/8)*a*b^2*x + (3*a^2*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (5*b^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (3*a^2*b*Sin[c + d*x])/d + (5*b^3*Sin[c + d*x])/(2*d) - (5*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) - (a^2*b*Sin[c + d*x]^3)/d + (5*b^3*Sin[c + d*x]^3)/(6*d) - (5*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(24*d) - (3*a^2*b*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(6*d) + (45*a*b^2*Tan[c + d*x])/(8*d) - (15*a*b^2*Sin[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(8*d) - (3*a*b^2*Sin[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(4*d) + (b^3*Sin[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (3/8)*a*(a^2 - 12*b^2)*x + (3*b*(2*a^2 - b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b*(17*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(2*d) - (a*(21*a^2 - 2*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - ((6*a^2 - b^2)*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(4*b*d) - ((4*a^2 - b^2)*(b + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d) + (a*(b + a*Cos[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(b^2*d) + ((b + a*Cos[c + d*x])^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (1/2)*a*(a^2 - 6*b^2)*x + (b*(6*a^2 - b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (15*a^2*b*Sin[c + d*x])/(2*d) - (5*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (3*a*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(2*d) + ((b + a*Cos[c + d*x])^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 15, (3*a^2*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (3*b^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (a^3*Cot[c + d*x])/d - (3*a*b^2*Cot[c + d*x])/d - (3*a^2*b*Csc[c + d*x])/d - (3*b^3*Csc[c + d*x])/(2*d) + (b^3*Csc[c + d*x]*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (3*a*b^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 17, (3*a^2*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*b^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (a^3*Cot[c + d*x])/d - (6*a*b^2*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*b^2*Cot[c + d*x]^3)/d - (3*a^2*b*Csc[c + d*x])/d - (5*b^3*Csc[c + d*x])/(2*d) - (a^2*b*Csc[c + d*x]^3)/d - (5*b^3*Csc[c + d*x]^3)/(6*d) + (b^3*Csc[c + d*x]^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (3*a*b^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Csc[c + d*x]^6*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 17, (3*a^2*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (7*b^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (a^3*Cot[c + d*x])/d - (9*a*b^2*Cot[c + d*x])/d - (2*a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a*b^2*Cot[c + d*x]^3)/d - (a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (3*a*b^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (3*a^2*b*Csc[c + d*x])/d - (7*b^3*Csc[c + d*x])/(2*d) - (a^2*b*Csc[c + d*x]^3)/d - (7*b^3*Csc[c + d*x]^3)/(6*d) - (3*a^2*b*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (7*b^3*Csc[c + d*x]^5)/(10*d) + (b^3*Csc[c + d*x]^5*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (3*a*b^2*Tan[c + d*x])/d}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sin[c + d*x]^7/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, -(((a^2 - b^2)^3*Cos[c + d*x])/(a^7*d)) - (b*(3*a^4 - 3*a^2*b^2 + b^4)*Cos[c + d*x]^2)/(2*a^6*d) + ((3*a^4 - 3*a^2*b^2 + b^4)*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^5*d) + (b*(3*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]^4)/(4*a^4*d) - ((3*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - (b*Cos[c + d*x]^6)/(6*a^2*d) + Cos[c + d*x]^7/(7*a*d) + (b*(a^2 - b^2)^3*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/(a^8*d)}
+{Sin[c + d*x]^5/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, -(((a^2 - b^2)^2*Cos[c + d*x])/(a^5*d)) - (b*(2*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]^2)/(2*a^4*d) + ((2*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (b*Cos[c + d*x]^4)/(4*a^2*d) - Cos[c + d*x]^5/(5*a*d) + (b*(a^2 - b^2)^2*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/(a^6*d)}
+{Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, -(((a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/(a^3*d)) - (b*Cos[c + d*x]^2)/(2*a^2*d) + Cos[c + d*x]^3/(3*a*d) + (b*(a^2 - b^2)*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/(a^4*d)}
+{Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, -(Cos[c + d*x]/(a*d)) + (b*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/(a^2*d)}
+{Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 4, Log[1 - Cos[c + d*x]]/(2*(a + b)*d) - Log[1 + Cos[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) + (b*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d)}
+{Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, ((b - a*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^2)/(2*(a^2 - b^2)*d) + (a*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(4*(a + b)^2*d) - (a*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*d) + (a^2*b*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*d)}
+{Csc[c + d*x]^5/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, ((4*a^2*b - a*(3*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^2)/(8*(a^2 - b^2)^2*d) + ((b - a*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^4)/(4*(a^2 - b^2)*d) + (a*(3*a + b)*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(16*(a + b)^3*d) - (a*(3*a - b)*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(16*(a - b)^3*d) + (a^4*b*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^3*d)}
+
+{Sin[c + d*x]^6/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, ((5*a^6 - 30*a^4*b^2 + 40*a^2*b^4 - 16*b^6)*x)/(16*a^7) - (2*(a - b)^(5/2)*b*(a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^7*d) + ((16*b*(a^2 - b^2)^2 - a*(5*a^4 - 14*a^2*b^2 + 8*b^4)*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(16*a^6*d) + ((8*b*(a^2 - b^2) - a*(5*a^2 - 6*b^2)*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x]^3)/(24*a^4*d) + ((6*b - 5*a*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x]^5)/(30*a^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, ((3*a^4 - 12*a^2*b^2 + 8*b^4)*x)/(8*a^5) - (2*(a - b)^(3/2)*b*(a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*d) + ((8*b*(a^2 - b^2) - a*(3*a^2 - 4*b^2)*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(8*a^4*d) + ((4*b - 3*a*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x]^3)/(12*a^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, ((a^2 - 2*b^2)*x)/(2*a^3) - (2*Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*d) + ((2*b - a*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d)}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, -((2*a*b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + ((b - a*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d)}
+{Csc[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, -((2*a^3*b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) + ((3*a^2*b - a*(2*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((b - a*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^3)/(3*(a^2 - b^2)*d)}
+{Csc[c + d*x]^6/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, -((2*a^5*b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) + ((15*a^4*b - a*(8*a^4 + 9*a^2*b^2 - 2*b^4)*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x])/(15*(a^2 - b^2)^3*d) + ((5*a^2*b - a*(4*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^3)/(15*(a^2 - b^2)^2*d) + ((b - a*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^5)/(5*(a^2 - b^2)*d)}
+
+
+{Sin[c + d*x]^7/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -(((a^2 - 7*b^2)*(a^2 - b^2)^2*Cos[c + d*x])/(a^8*d)) - (3*b*(a^2 - b^2)^2*Cos[c + d*x]^2)/(a^7*d) + ((3*a^4 - 9*a^2*b^2 + 5*b^4)*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^6*d) + (b*(3*a^2 - 2*b^2)*Cos[c + d*x]^4)/(2*a^5*d) - (3*(a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]^5)/(5*a^4*d) - (b*Cos[c + d*x]^6)/(3*a^3*d) + Cos[c + d*x]^7/(7*a^2*d) + (b^2*(a^2 - b^2)^3)/(a^9*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + (2*b*(a^2 - 4*b^2)*(a^2 - b^2)^2*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/(a^9*d)}
+{Sin[c + d*x]^5/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -(((a^4 - 6*a^2*b^2 + 5*b^4)*Cos[c + d*x])/(a^6*d)) - (2*b*(a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]^2)/(a^5*d) + ((2*a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^4*d) + (b*Cos[c + d*x]^4)/(2*a^3*d) - Cos[c + d*x]^5/(5*a^2*d) + (b^2*(a^2 - b^2)^2)/(a^7*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + (2*b*(a^4 - 4*a^2*b^2 + 3*b^4)*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/(a^7*d)}
+{Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -(((a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x])/(a^4*d)) - (b*Cos[c + d*x]^2)/(a^3*d) + Cos[c + d*x]^3/(3*a^2*d) + (b^2*(a^2 - b^2))/(a^5*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + (2*b*(a^2 - 2*b^2)*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/(a^5*d)}
+{Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -(Cos[c + d*x]/(a^2*d)) + b^2/(a^3*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + (2*b*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/(a^3*d)}
+{Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, b^2/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + Log[1 - Cos[c + d*x]]/(2*(a + b)^2*d) - Log[1 + Cos[c + d*x]]/(2*(a - b)^2*d) + (2*a*b*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*d)}
+{Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (a*b^2)/((a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + ((2*a*b - (a^2 + b^2)*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^2)/(2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a - b)*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(4*(a + b)^3*d) - ((a + b)*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(4*(a - b)^3*d) + (2*a*b*(a^2 + b^2)*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^3*d)}
+{Csc[c + d*x]^5/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (a^3*b^2)/((a^2 - b^2)^3*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + ((8*a*b*(a^2 + b^2) - (3*a^4 + 12*a^2*b^2 + b^4)*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^2)/(8*(a^2 - b^2)^3*d) + ((2*a*b - (a^2 + b^2)*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^4)/(4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*a^2 - 4*a*b - b^2)*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(16*(a + b)^4*d) - ((3*a^2 + 4*a*b - b^2)*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(16*(a - b)^4*d) + (2*a^3*b*(a^2 + 2*b^2)*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^4*d)}
+
+{Sin[c + d*x]^6/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 10, ((5*a^6 - 90*a^4*b^2 + 200*a^2*b^4 - 112*b^6)*x)/(16*a^8) - (2*(a - b)^(3/2)*b*(a + b)^(3/2)*(2*a^2 - 7*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^8*d) + (b*(61*a^4 - 170*a^2*b^2 + 105*b^4)*Sin[c + d*x])/(15*a^7*d) - ((27*a^4 - 86*a^2*b^2 + 56*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a^6*d) + ((15*a^4 - 52*a^2*b^2 + 35*b^4)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(15*a^5*b*d) - ((16*a^4 - 61*a^2*b^2 + 42*b^4)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*a^4*b^2*d) - (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(3*b*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + (a*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(6*b^2*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + ((5*a^4 - 20*a^2*b^2 + 14*b^4)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(10*a^3*b^2*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + (7*b*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(30*a^2*d*(b + a*Cos[c + d*x])) - (Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x])/(6*a*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{Sin[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, ((3*a^4 - 36*a^2*b^2 + 40*b^4)*x)/(8*a^6) - (2*Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*(2*a^2 - 5*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^6*d) + (b*(11*a^2 - 15*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*a^5*d) - ((13*a^2 - 20*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^4*d) + ((3*a^2 - 5*b^2)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^3*b*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d) - ((a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(a^2*b*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, ((a^2 - 6*b^2)*x)/(2*a^4) - (2*b*(2*a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) + (3*b*Sin[c + d*x])/(a^3*d) - (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) + (Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(a*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 11, -((4*a^2*b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) - (2*b^3*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(2*(a + b)^2*d*(1 - Cos[c + d*x])) + Sin[c + d*x]/(2*(a - b)^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + (a*b^2*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 15, -((2*a^2*b^3*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) - (4*a^2*b*(a^2 + b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - Sin[c + d*x]/(12*(a + b)^2*d*(1 - Cos[c + d*x])^2) - ((a - b)*Sin[c + d*x])/(4*(a + b)^3*d*(1 - Cos[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(12*(a + b)^2*d*(1 - Cos[c + d*x])) + Sin[c + d*x]/(12*(a - b)^2*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + Sin[c + d*x]/(12*(a - b)^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((a + b)*Sin[c + d*x])/(4*(a - b)^3*d*(1 + Cos[c + d*x])) + (a^3*b^2*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)^3*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Sin[c + d*x]^7/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 5, -(((a^6 - 18*a^4*b^2 + 45*a^2*b^4 - 28*b^6)*Cos[c + d*x])/(a^9*d)) - (3*b*(3*a^4 - 10*a^2*b^2 + 7*b^4)*Cos[c + d*x]^2)/(2*a^8*d) + ((a^4 - 6*a^2*b^2 + 5*b^4)*Cos[c + d*x]^3)/(a^7*d) + (b*(9*a^2 - 10*b^2)*Cos[c + d*x]^4)/(4*a^6*d) - (3*(a^2 - 2*b^2)*Cos[c + d*x]^5)/(5*a^5*d) - (b*Cos[c + d*x]^6)/(2*a^4*d) + Cos[c + d*x]^7/(7*a^3*d) - (b^3*(a^2 - b^2)^3)/(2*a^10*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + (3*b^2*(a^2 - 3*b^2)*(a^2 - b^2)^2)/(a^10*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + (3*b*(a^2 - b^2)*(a^4 - 9*a^2*b^2 + 12*b^4)*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/(a^10*d)}
+{Sin[c + d*x]^5/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 5, -(((a^4 - 12*a^2*b^2 + 15*b^4)*Cos[c + d*x])/(a^7*d)) - (b*(3*a^2 - 5*b^2)*Cos[c + d*x]^2)/(a^6*d) + (2*(a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^5*d) + (3*b*Cos[c + d*x]^4)/(4*a^4*d) - Cos[c + d*x]^5/(5*a^3*d) - (b^3*(a^2 - b^2)^2)/(2*a^8*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + (b^2*(3*a^4 - 10*a^2*b^2 + 7*b^4))/(a^8*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + (b*(3*a^4 - 20*a^2*b^2 + 21*b^4)*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/(a^8*d)}
+{Sin[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 5, -(((a^2 - 6*b^2)*Cos[c + d*x])/(a^5*d)) - (3*b*Cos[c + d*x]^2)/(2*a^4*d) + Cos[c + d*x]^3/(3*a^3*d) - (b^3*(a^2 - b^2))/(2*a^6*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + (b^2*(3*a^2 - 5*b^2))/(a^6*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + (b*(3*a^2 - 10*b^2)*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/(a^6*d)}
+{Sin[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 5, -(Cos[c + d*x]/(a^3*d)) - b^3/(2*a^4*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + (3*b^2)/(a^4*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + (3*b*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/(a^4*d)}
+{Csc[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 5, -(b^3/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2)) + (b^2*(3*a^2 - b^2))/(a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + Log[1 - Cos[c + d*x]]/(2*(a + b)^3*d) - Log[1 + Cos[c + d*x]]/(2*(a - b)^3*d) + (b*(3*a^2 + b^2)*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^3*d)}
+{Csc[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 5, -(b^3/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2)) + (b^2*(3*a^2 + b^2))/((a^2 - b^2)^3*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + ((b*(3*a^2 + b^2) - a*(a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^2)/(2*(a^2 - b^2)^3*d) + ((a - 2*b)*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(4*(a + b)^4*d) - ((a + 2*b)*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(4*(a - b)^4*d) + (b*(3*a^4 + 8*a^2*b^2 + b^4)*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^4*d)}
+{Csc[c + d*x]^5/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, -((a^2*b^3)/(2*(a^2 - b^2)^3*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2)) + (3*a^2*b^2*(a^2 + b^2))/((a^2 - b^2)^4*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + ((4*b*(3*a^4 + 8*a^2*b^2 + b^4) - 3*a*(a^4 + 10*a^2*b^2 + 5*b^4)*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^2)/(8*(a^2 - b^2)^4*d) + ((b*(3*a^2 + b^2) - a*(a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^4)/(4*(a^2 - b^2)^3*d) + (3*a*(a - 3*b)*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(16*(a + b)^5*d) - (3*a*(a + 3*b)*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(16*(a - b)^5*d) + (3*a^2*b*(a^4 + 5*a^2*b^2 + 2*b^4)*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^5*d)}
+
+{Sin[c + d*x]^6/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 11, ((5*a^6 - 180*a^4*b^2 + 600*a^2*b^4 - 448*b^6)*x)/(16*a^9) - (Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*(6*a^4 - 47*a^2*b^2 + 56*b^4)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^9*d) + (b*(213*a^4 - 985*a^2*b^2 + 840*b^4)*Sin[c + d*x])/(30*a^8*d) - ((43*a^4 - 244*a^2*b^2 + 224*b^4)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a^7*d) + ((45*a^4 - 291*a^2*b^2 + 280*b^4)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(30*a^6*b*d) - ((24*a^4 - 169*a^2*b^2 + 168*b^4)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*a^5*b^2*d) - (Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(4*b*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(10*b^2*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + ((9*a^4 - 60*a^2*b^2 + 56*b^4)*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(60*a^3*b^2*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + (4*b*Cos[c + d*x]^6*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) - (Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(6*a*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + ((15*a^4 - 110*a^2*b^2 + 112*b^4)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(20*a^4*b^2*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{Sin[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (3*(a^4 - 24*a^2*b^2 + 40*b^4)*x)/(8*a^7) - (3*b*(2*a^4 - 11*a^2*b^2 + 10*b^4)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^7*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) + (b*(13*a^2 - 30*b^2)*Sin[c + d*x])/(2*a^6*d) - (3*(7*a^2 - 20*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^5*d) + ((3*a^2 - 10*b^2)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*a^4*b*d) - ((4*a^2 - 15*b^2)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a^3*b^2*d) - ((a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(2*a^2*b*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + ((2*a^2 - 7*b^2)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(2*a^2*b^2*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{Sin[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, ((a^2 - 12*b^2)*x)/(2*a^5) - (b*(6*a^4 - 19*a^2*b^2 + 12*b^4)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (b*(11*a^2 - 12*b^2)*Sin[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)*d) - ((5*a^2 - 6*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2*a*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + ((3*a^2 - 4*b^2)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 16, -((2*b^3*(3*a^2 - b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) - (2*a*b*(3*a^2 + b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - (b^3*(a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - Sin[c + d*x]/(2*(a + b)^3*d*(1 - Cos[c + d*x])) + Sin[c + d*x]/(2*(a - b)^3*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (b^3*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + (3*b^4*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^3*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + (b^2*(3*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)^3*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{Csc[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 20, -((2*a*b^3*(3*a^2 + b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(9/2)*(a + b)^(9/2)*d)) - (a*b^3*(a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(9/2)*(a + b)^(9/2)*d) - (2*a*b*(3*a^4 + 8*a^2*b^2 + b^4)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(9/2)*(a + b)^(9/2)*d) - Sin[c + d*x]/(12*(a + b)^3*d*(1 - Cos[c + d*x])^2) - ((a - 2*b)*Sin[c + d*x])/(4*(a + b)^4*d*(1 - Cos[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(12*(a + b)^3*d*(1 - Cos[c + d*x])) + Sin[c + d*x]/(12*(a - b)^3*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + Sin[c + d*x]/(12*(a - b)^3*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((a + 2*b)*Sin[c + d*x])/(4*(a - b)^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (a^2*b^3*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^3*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + (3*a^2*b^4*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^4*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + (a^2*b^2*(3*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)^4*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e Sin[e+f x])^(m/2) (a+b Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e*Sin[c + d*x])^(7/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 15, -((b*(a^2 - b^2)^(5/4)*e^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(9/2)*d)) - (b*(a^2 - b^2)^(5/4)*e^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(9/2)*d) + (2*(5*a^4 - 28*a^2*b^2 + 21*b^4)*e^4*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(21*a^5*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (b^2*(a^2 - b^2)^2*e^4*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^5*(a^2 - b^2 - a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (b^2*(a^2 - b^2)^2*e^4*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^5*(a^2 - b^2 + a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (2*e^3*(21*b*(a^2 - b^2) - a*(5*a^2 - 7*b^2)*Cos[c + d*x])*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(21*a^4*d) + (2*e*(7*b - 5*a*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(35*a^2*d)}
+{(e*Sin[c + d*x])^(5/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 14, (b*(a^2 - b^2)^(3/4)*e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(7/2)*d) - (b*(a^2 - b^2)^(3/4)*e^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(7/2)*d) - (b^2*(a^2 - b^2)*e^3*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^4*(a - Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (b^2*(a^2 - b^2)*e^3*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^4*(a + Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (2*(3*a^2 - 5*b^2)*e^2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*a^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (2*e*(5*b - 3*a*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(15*a^2*d)}
+{(e*Sin[c + d*x])^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 14, -((b*(a^2 - b^2)^(1/4)*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(5/2)*d)) - (b*(a^2 - b^2)^(1/4)*e^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(5/2)*d) + (2*(a^2 - 3*b^2)*e^2*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*a^3*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (b^2*(a^2 - b^2)*e^2*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^3*(a^2 - b^2 - a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (b^2*(a^2 - b^2)*e^2*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^3*(a^2 - b^2 + a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (2*e*(3*b - a*Cos[c + d*x])*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(3*a^2*d)}
+{(e*Sin[c + d*x])^(1/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 13, (b*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(3/2)*(a^2 - b^2)^(1/4)*d) - (b*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(3/2)*(a^2 - b^2)^(1/4)*d) - (b^2*e*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^2*(a - Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (b^2*e*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^2*(a + Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{1/(e*Sin[c + d*x])^(1/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 13, -((b*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(Sqrt[a]*(a^2 - b^2)^(3/4)*d*Sqrt[e])) - (b*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(Sqrt[a]*(a^2 - b^2)^(3/4)*d*Sqrt[e]) + (2*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (b^2*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2 - a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (b^2*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2 + a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])}
+{1/(e*Sin[c + d*x])^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 14, (Sqrt[a]*b*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((a^2 - b^2)^(5/4)*d*e^(3/2)) - (Sqrt[a]*b*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((a^2 - b^2)^(5/4)*d*e^(3/2)) + (2*(b - a*Cos[c + d*x]))/((a^2 - b^2)*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (b^2*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*(a - Sqrt[a^2 - b^2])*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (b^2*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*(a + Sqrt[a^2 - b^2])*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*a*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d*e^2*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{1/(e*Sin[c + d*x])^(5/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 14, -((a^(3/2)*b*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((a^2 - b^2)^(7/4)*d*e^(5/2))) - (a^(3/2)*b*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((a^2 - b^2)^(7/4)*d*e^(5/2)) + (2*(b - a*Cos[c + d*x]))/(3*(a^2 - b^2)*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*(a^2 - b^2)*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (a*b^2*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*(a^2 - b^2 - a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (a*b^2*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*(a^2 - b^2 + a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])}
+{1/(e*Sin[c + d*x])^(7/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 15, (a^(5/2)*b*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((a^2 - b^2)^(9/4)*d*e^(7/2)) - (a^(5/2)*b*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((a^2 - b^2)^(9/4)*d*e^(7/2)) + (2*(b - a*Cos[c + d*x]))/(5*(a^2 - b^2)*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(5/2)) + (2*(5*a^2*b - a*(3*a^2 + 2*b^2)*Cos[c + d*x]))/(5*(a^2 - b^2)^2*d*e^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (a^2*b^2*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*(a - Sqrt[a^2 - b^2])*d*e^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (a^2*b^2*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*(a + Sqrt[a^2 - b^2])*d*e^3*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*a*(3*a^2 + 2*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*(a^2 - b^2)^2*d*e^4*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+
+
+{(e*Sin[c + d*x])^(9/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 35, -((7*b^3*(a^2 - b^2)^(3/4)*e^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*a^(13/2)*d)) + (2*b*(a^2 - b^2)^(7/4)*e^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(13/2)*d) + (7*b^3*(a^2 - b^2)^(3/4)*e^(9/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*a^(13/2)*d) - (2*b*(a^2 - b^2)^(7/4)*e^(9/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(13/2)*d) + (7*b^4*(a^2 - b^2)*e^5*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*a^7*(a - Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*b^2*(a^2 - b^2)^2*e^5*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^7*(a - Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (7*b^4*(a^2 - b^2)*e^5*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*a^7*(a + Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*b^2*(a^2 - b^2)^2*e^5*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^7*(a + Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (14*e^4*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(15*a^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (7*b^2*(3*a^2 - 5*b^2)*e^4*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*a^6*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (4*b^2*(8*a^2 - 5*b^2)*e^4*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*a^6*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (14*e^3*Cos[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(45*a^2*d) - (7*b^2*e^3*(5*b - 3*a*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(15*a^5*d) + (4*b*e^3*(5*(a^2 - b^2) + 3*a*b*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(15*a^5*d) + (4*b*e*(e*Sin[c + d*x])^(7/2))/(7*a^3*d) - (2*e*Cos[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(7/2))/(9*a^2*d) + (b^2*e*(e*Sin[c + d*x])^(7/2))/(a^3*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(e*Sin[c + d*x])^(7/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 35, (5*b^3*(a^2 - b^2)^(1/4)*e^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*a^(11/2)*d) - (2*b*(a^2 - b^2)^(5/4)*e^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(11/2)*d) + (5*b^3*(a^2 - b^2)^(1/4)*e^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*a^(11/2)*d) - (2*b*(a^2 - b^2)^(5/4)*e^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(11/2)*d) + (10*e^4*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(21*a^2*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (5*b^2*(a^2 - 3*b^2)*e^4*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*a^6*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (4*b^2*(4*a^2 - 3*b^2)*e^4*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*a^6*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (5*b^4*(a^2 - b^2)*e^4*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*a^6*(a^2 - b^2 - a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (2*b^2*(a^2 - b^2)^2*e^4*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^6*(a^2 - b^2 - a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (5*b^4*(a^2 - b^2)*e^4*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*a^6*(a^2 - b^2 + a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (2*b^2*(a^2 - b^2)^2*e^4*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^6*(a^2 - b^2 + a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (10*e^3*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(21*a^2*d) - (5*b^2*e^3*(3*b - a*Cos[c + d*x])*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(3*a^5*d) + (4*b*e^3*(3*(a^2 - b^2) + a*b*Cos[c + d*x])*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(3*a^5*d) + (4*b*e*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*a^3*d) - (2*e*Cos[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(7*a^2*d) + (b^2*e*(e*Sin[c + d*x])^(5/2))/(a^3*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(e*Sin[c + d*x])^(5/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 32, -((3*b^3*e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*a^(9/2)*(a^2 - b^2)^(1/4)*d)) + (2*b*(a^2 - b^2)^(3/4)*e^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(9/2)*d) + (3*b^3*e^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*a^(9/2)*(a^2 - b^2)^(1/4)*d) - (2*b*(a^2 - b^2)^(3/4)*e^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(9/2)*d) + (3*b^4*e^3*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*a^5*(a - Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*b^2*(a^2 - b^2)*e^3*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^5*(a - Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (3*b^4*e^3*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*a^5*(a + Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*b^2*(a^2 - b^2)*e^3*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^5*(a + Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (6*e^2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(5*a^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (7*b^2*e^2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(a^4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (4*b*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*a^3*d) - (2*e*Cos[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*a^2*d) + (b^2*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(a^3*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(e*Sin[c + d*x])^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 32, (b^3*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*a^(7/2)*(a^2 - b^2)^(3/4)*d) - (2*b*(a^2 - b^2)^(1/4)*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(7/2)*d) + (b^3*e^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*a^(7/2)*(a^2 - b^2)^(3/4)*d) - (2*b*(a^2 - b^2)^(1/4)*e^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(7/2)*d) + (2*e^2*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*a^2*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (5*b^2*e^2*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^4*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (b^4*e^2*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*(a^2 - b^2 - a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (2*b^2*(a^2 - b^2)*e^2*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^4*(a^2 - b^2 - a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (b^4*e^2*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*(a^2 - b^2 + a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (2*b^2*(a^2 - b^2)*e^2*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^4*(a^2 - b^2 + a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (4*b*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (2*e*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(3*a^2*d) + (b^2*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(a^3*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(e*Sin[c + d*x])^(1/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 27, (b^3*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*a^(5/2)*(a^2 - b^2)^(5/4)*d) + (2*b*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(5/2)*(a^2 - b^2)^(1/4)*d) - (b^3*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*a^(5/2)*(a^2 - b^2)^(5/4)*d) - (2*b*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(5/2)*(a^2 - b^2)^(1/4)*d) - (2*b^2*e*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^3*(a - Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (b^4*e*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*(a^2 - b^2)*(a - Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*b^2*e*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^3*(a + Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (b^4*e*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*(a^2 - b^2)*(a + Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(a^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (b^2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (b^2*(e*Sin[c + d*x])^(3/2))/(a*(a^2 - b^2)*d*e*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{1/(e*Sin[c + d*x])^(1/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 27, -((3*b^3*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*a^(3/2)*(a^2 - b^2)^(7/4)*d*Sqrt[e])) - (2*b*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(3/2)*(a^2 - b^2)^(3/4)*d*Sqrt[e]) - (3*b^3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*a^(3/2)*(a^2 - b^2)^(7/4)*d*Sqrt[e]) - (2*b*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(a^(3/2)*(a^2 - b^2)^(3/4)*d*Sqrt[e]) + (2*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^2*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (b^2*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (2*b^2*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2 - a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (3*b^4*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*(a^2 - b^2 - a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (2*b^2*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2 + a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (3*b^4*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*(a^2 - b^2 + a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (b^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*e*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{1/(e*Sin[c + d*x])^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 33, (5*b^3*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*Sqrt[a]*(a^2 - b^2)^(9/4)*d*e^(3/2)) + (2*b*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(Sqrt[a]*(a^2 - b^2)^(5/4)*d*e^(3/2)) - (5*b^3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*Sqrt[a]*(a^2 - b^2)^(9/4)*d*e^(3/2)) - (2*b*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(Sqrt[a]*(a^2 - b^2)^(5/4)*d*e^(3/2)) - (2*Cos[c + d*x])/(a^2*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + b^2/(a*(a^2 - b^2)*d*e*(b + a*Cos[c + d*x])*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (4*b*(a - b*Cos[c + d*x]))/(a^2*(a^2 - b^2)*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (b^2*(5*a*b - (3*a^2 + 2*b^2)*Cos[c + d*x]))/(a^2*(a^2 - b^2)^2*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (5*b^4*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*a*(a^2 - b^2)^2*(a - Sqrt[a^2 - b^2])*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*b^2*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)*(a - Sqrt[a^2 - b^2])*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (5*b^4*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*a*(a^2 - b^2)^2*(a + Sqrt[a^2 - b^2])*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*b^2*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)*(a + Sqrt[a^2 - b^2])*d*e*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) - (2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(a^2*d*e^2*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (4*b^2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*e^2*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (b^2*(3*a^2 + 2*b^2)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)^2*d*e^2*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{1/(e*Sin[c + d*x])^(5/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 33, -((7*Sqrt[a]*b^3*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*(a^2 - b^2)^(11/4)*d*e^(5/2))) - (2*Sqrt[a]*b*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((a^2 - b^2)^(7/4)*d*e^(5/2)) - (7*Sqrt[a]*b^3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/(2*(a^2 - b^2)^(11/4)*d*e^(5/2)) - (2*Sqrt[a]*b*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^(1/4)*Sqrt[e])])/((a^2 - b^2)^(7/4)*d*e^(5/2)) - (2*Cos[c + d*x])/(3*a^2*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + b^2/(a*(a^2 - b^2)*d*e*(b + a*Cos[c + d*x])*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (4*b*(a - b*Cos[c + d*x]))/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (b^2*(7*a*b - (5*a^2 + 2*b^2)*Cos[c + d*x]))/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*e*(e*Sin[c + d*x])^(3/2)) + (2*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*a^2*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (4*b^2*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (b^2*(5*a^2 + 2*b^2)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (7*b^4*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*(a^2 - b^2)^2*(a^2 - b^2 - a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (2*b^2*EllipticPi[(2*a)/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*(a^2 - b^2 - a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (7*b^4*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(2*(a^2 - b^2)^2*(a^2 - b^2 + a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]]) + (2*b^2*EllipticPi[(2*a)/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), (1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*(a^2 - b^2 + a*Sqrt[a^2 - b^2])*d*e^2*Sqrt[e*Sin[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* {Sin[e + f*x]^6*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x, 11, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(3248*a^4 - 1416*a^2*b^2 + 315*b^4)*Cos[e + f*x]^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(7680*a^5*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])) + (1/(7680*a^5*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]))*Sqrt[a + b]*(10080*a^5 - 3248*a^4*b - 928*a^3*b^2 + 1416*a^2*b^3 + 210*a*b^4 - 315*b^5)*Cos[e + f*x]^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]] - (Sqrt[a + b]*(320*a^6 + 240*a^4*b^2 - 100*a^2*b^4 + 21*b^6)*Cos[e + f*x]^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(512*a^6*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]) - (b*(3248*a^4 - 1416*a^2*b^2 + 315*b^4)*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(7680*a^5*f) - ((880*a^4 - 416*a^2*b^2 + 105*b^4)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(1280*a^4*f) - (2*Cos[e + f*x]*(b + a*Cos[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(b*f) + ((1920*a^4 - 428*a^2*b^2 + 105*b^4)*Cos[e + f*x]*(b + a*Cos[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(960*a^4*b*f) + (8*a*Cos[e + f*x]^2*(b + a*Cos[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(3*b^2*f) - ((1280*a^4 - 260*a^2*b^2 + 63*b^4)*Cos[e + f*x]^2*(b + a*Cos[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(480*a^3*b^2*f) + (3*b*Cos[e + f*x]^3*(b + a*Cos[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(20*a^2*f) - (Cos[e + f*x]^4*(b + a*Cos[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(6*a*f)}
+{Sin[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x, 9, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(68*a^2 - 15*b^2)*Cos[e + f*x]^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(192*a^3*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])) + (Sqrt[a + b]*(264*a^3 - 68*a^2*b - 10*a*b^2 + 15*b^3)*Cos[e + f*x]^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(192*a^3*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]) - (Sqrt[a + b]*(48*a^4 + 24*a^2*b^2 - 5*b^4)*Cos[e + f*x]^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(64*a^4*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]) - (b*(68*a^2 - 15*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(192*a^3*f) - (5*(4*a^2 - b^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(32*a^2*f) - (5*b*Cos[e + f*x]*(b + a*Cos[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(24*a^2*f) + (Cos[e + f*x]^2*(b + a*Cos[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(4*a*f)}
+{Sin[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x, 9, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(4*a*f)) + ((6*a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(4*a*f) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2 + b^2)*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(4*a^2*f) - (b*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(4*a*f) - (Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(2*f)} *)
+{Sin[e + f*x]^0*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x, 1, -((2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[a/(a + b), ArcSin[Sqrt[a + b]/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]], (a - b)/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b*Sec[e + f*x]))]*Sqrt[(b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a + b*Sec[e + f*x])]*(a + b*Sec[e + f*x]))/(Sqrt[a + b]*f))}
+{Csc[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x, 2, (Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/f - (Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/f}
+(* {Csc[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x, 0, 0}
+{Csc[e + f*x]^6*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x, 0, 0} *)
+
+
+(* {Sin[e + f*x]^4*(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 10, -(((a - b)*Sqrt[a + b]*(236*a^2 + 3*b^2)*Cos[e + f*x]^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(64*a^2*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])) + (Sqrt[a + b]*(216*a^3 - 236*a^2*b + 2*a*b^2 - 3*b^3)*Cos[e + f*x]^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(64*a^2*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]) - (3*Sqrt[a + b]*(16*a^4 - 24*a^2*b^2 + b^4)*Cos[e + f*x]^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(64*a^3*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]) - (b*(236*a^2 + 3*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(64*a^2*f) - (3*(28*a^2 + b^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(32*a*f) - ((16*a^2 + b^2)*Cos[e + f*x]*(b + a*Cos[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(8*a*b*f) + (2*(b + a*Cos[e + f*x])^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(b*f) + (Cos[e + f*x]*(b + a*Cos[e + f*x])^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(4*a*f)}
+{Sin[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 10, -((13*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cos[e + f*x]^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(4*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])) + ((14*a - 13*b)*Sqrt[a + b]*Cos[e + f*x]^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(4*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2 - 3*b^2)*Cos[e + f*x]^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(4*a*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]) - (13*b*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(4*f) - (5*a*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(2*f) + (2*(b + a*Cos[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/f} *)
+{Sin[e + f*x]^0*(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 5, -((2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/f) + (2*(2*a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/f - (2*a*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/f}
+{Csc[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((3*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/f) + (3*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/f - (Cot[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2))/f}
+(* {Csc[e + f*x]^4*(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 0, 0}
+{Csc[e + f*x]^6*(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 0, 0} *)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* {Sin[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(188*a^2 - 105*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(192*a^4*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[a + b]*(120*a^3 - 188*a^2*b - 70*a*b^2 + 105*b^3)*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(192*a^4*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[a + b]*(48*a^4 - 72*a^2*b^2 + 35*b^4)*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(64*a^5*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) - (5*(12*a^2 - 7*b^2)*(b + a*Cos[e + f*x])*Sin[e + f*x])/(96*a^3*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) - (7*b*Cos[e + f*x]*(b + a*Cos[e + f*x])*Sin[e + f*x])/(24*a^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) + (Cos[e + f*x]^2*(b + a*Cos[e + f*x])*Sin[e + f*x])/(4*a*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) + (b*(188*a^2 - 105*b^2)*(b + a*Cos[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(192*a^4*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x, 9, (3*(a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(4*a^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) - ((2*a - 3*b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(4*a^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2 - 3*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(4*a^3*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) - ((b + a*Cos[e + f*x])*Sin[e + f*x])/(2*a*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) + (3*b*(b + a*Cos[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(4*a^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])} *)
+{Sin[e + f*x]^0/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x, 1, -((2*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(a*f))}
+{Csc[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x, 6, (Cot[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(Sqrt[a + b]*f) - (Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(Sqrt[a + b]*f) - Cot[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) + (b^2*Tan[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])}
+(* {Csc[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x, 0, 0}
+{Csc[e + f*x]^6/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x, 0, 0} *)
+
+
+(* {Sin[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 10, (3*(a - b)*Sqrt[a + b]*(92*a^2 - 105*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(64*a^5*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) - (3*Sqrt[a + b]*(56*a^3 - 92*a^2*b - 70*a*b^2 + 105*b^3)*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(64*a^5*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) - (3*Sqrt[a + b]*(16*a^4 - 120*a^2*b^2 + 105*b^4)*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(64*a^6*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) - (2*(a^2 - b^2)*Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x])/(a^2*b*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) - (21*(4*a^2 - 5*b^2)*(b + a*Cos[e + f*x])*Sin[e + f*x])/(32*a^4*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) + ((16*a^2 - 21*b^2)*Cos[e + f*x]*(b + a*Cos[e + f*x])*Sin[e + f*x])/(8*a^3*b*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) + (Cos[e + f*x]^2*(b + a*Cos[e + f*x])*Sin[e + f*x])/(4*a^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) + (3*b*(92*a^2 - 105*b^2)*(b + a*Cos[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(64*a^5*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 10, (15*(a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(4*a^3*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) - (5*(2*a - 3*b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(4*a^3*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2 - 15*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(4*a^4*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) + (2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) - (5*(b + a*Cos[e + f*x])*Sin[e + f*x])/(2*a^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) + (15*b*(b + a*Cos[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(4*a^3*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])} *)
+{Sin[e + f*x]^0/(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 6, (2*Cot[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(a*Sqrt[a + b]*f) - (2*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(a*Sqrt[a + b]*f) - (2*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(a^2*f) + (2*b^2*Tan[e + f*x])/(a*(a^2 - b^2)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])}
+{Csc[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 6, (4*a*Cot[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/((a - b)*(a + b)^(3/2)*f) - ((3*a - b)*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/((a - b)*(a + b)^(3/2)*f) - Cot[e + f*x]/(f*(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (b^2*Tan[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f*(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (4*a*b^2*Tan[e + f*x])/((a^2 - b^2)^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])}
+(* {Csc[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 0, 0}
+{Csc[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 0, 0} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e Sin[e+f x])^m (a+b Sec[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(e*Sin[c + d*x])^m*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (a^3*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (3*a^2*b*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)) + (b^3*Hypergeometric2F1[2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)) + (3*a*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]*Hypergeometric2F1[3/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m))}
+{(e*Sin[c + d*x])^m*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, (a^2*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x]*(e*Sin[c + d*x])^m)/(d*(1 + m)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (2*a*b*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)) + (b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]*Hypergeometric2F1[3/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^m*Tan[c + d*x])/(d*(1 + m))}
+{(e*Sin[c + d*x])^m*(a + b*Sec[c + d*x])^1, x, 5, (a*Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]) + (b*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m))}
+{(e*Sin[c + d*x])^m/(a + b*Sec[c + d*x])^1, x, 4, -((b*e*AppellF1[1 - m, (1 - m)/2, (1 - m)/2, 2 - m, -((a - b)/(b + a*Cos[c + d*x])), (a + b)/(b + a*Cos[c + d*x])]*(-((a*(1 - Cos[c + d*x]))/(b + a*Cos[c + d*x])))^((1 - m)/2)*((a*(1 + Cos[c + d*x]))/(b + a*Cos[c + d*x]))^((1 - m)/2)*(e*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(a^2*d*(1 - m))) + (Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(a*d*e*(1 + m)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2])}
+{(e*Sin[c + d*x])^m/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, -((2*b*e*AppellF1[1 - m, (1 - m)/2, (1 - m)/2, 2 - m, -((a - b)/(b + a*Cos[c + d*x])), (a + b)/(b + a*Cos[c + d*x])]*(-((a*(1 - Cos[c + d*x]))/(b + a*Cos[c + d*x])))^((1 - m)/2)*((a*(1 + Cos[c + d*x]))/(b + a*Cos[c + d*x]))^((1 - m)/2)*(e*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(a^3*d*(1 - m))) + (b^2*e*AppellF1[2 - m, (1 - m)/2, (1 - m)/2, 3 - m, -((a - b)/(b + a*Cos[c + d*x])), (a + b)/(b + a*Cos[c + d*x])]*(-((a*(1 - Cos[c + d*x]))/(b + a*Cos[c + d*x])))^((1 - m)/2)*((a*(1 + Cos[c + d*x]))/(b + a*Cos[c + d*x]))^((1 - m)/2)*(e*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(a^3*d*(2 - m)*(b + a*Cos[c + d*x])) + (Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(a^2*d*e*(1 + m)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2])}
+{(e*Sin[c + d*x])^m/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, -((3*b*e*AppellF1[1 - m, (1 - m)/2, (1 - m)/2, 2 - m, -((a - b)/(b + a*Cos[c + d*x])), (a + b)/(b + a*Cos[c + d*x])]*(-((a*(1 - Cos[c + d*x]))/(b + a*Cos[c + d*x])))^((1 - m)/2)*((a*(1 + Cos[c + d*x]))/(b + a*Cos[c + d*x]))^((1 - m)/2)*(e*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(a^4*d*(1 - m))) - (b^3*e*AppellF1[3 - m, (1 - m)/2, (1 - m)/2, 4 - m, -((a - b)/(b + a*Cos[c + d*x])), (a + b)/(b + a*Cos[c + d*x])]*(-((a*(1 - Cos[c + d*x]))/(b + a*Cos[c + d*x])))^((1 - m)/2)*((a*(1 + Cos[c + d*x]))/(b + a*Cos[c + d*x]))^((1 - m)/2)*(e*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(a^4*d*(3 - m)*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + (3*b^2*e*AppellF1[2 - m, (1 - m)/2, (1 - m)/2, 3 - m, -((a - b)/(b + a*Cos[c + d*x])), (a + b)/(b + a*Cos[c + d*x])]*(-((a*(1 - Cos[c + d*x]))/(b + a*Cos[c + d*x])))^((1 - m)/2)*((a*(1 + Cos[c + d*x]))/(b + a*Cos[c + d*x]))^((1 - m)/2)*(e*Sin[c + d*x])^(-1 + m))/(a^4*d*(2 - m)*(b + a*Cos[c + d*x])) + (Cos[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*(e*Sin[c + d*x])^(1 + m))/(a^3*d*e*(1 + m)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2])}
+
+
+{(e*Sin[c + d*x])^m*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(e*Sin[c + d*x])^m, x]}
+{(e*Sin[c + d*x])^m*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(e*Sin[c + d*x])^m, x]}
+{(e*Sin[c + d*x])^m/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 0, Unintegrable[(e*Sin[c + d*x])^m/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x]}
+{(e*Sin[c + d*x])^m/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[(e*Sin[c + d*x])^m/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e Sin[e+f x])^m (a+b Sec[e+f x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(e*Sin[c + d*x])^m*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^n*(e*Sin[c + d*x])^m, x]}
+
+
+{Sin[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 6, (b*Hypergeometric2F1[2, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*Sec[c + d*x])/a]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(a^2*d*(1 + n)) - (2*b^3*Hypergeometric2F1[4, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*Sec[c + d*x])/a]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(a^4*d*(1 + n)) + (b^5*Hypergeometric2F1[6, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*Sec[c + d*x])/a]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(a^6*d*(1 + n))}
+{Sin[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 3, (b*(6*a^2 - b^2*(2 - 3*n + n^2))*Hypergeometric2F1[2, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*Sec[c + d*x])/a]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(6*a^4*d*(1 + n)) + (Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n)*(2*a - b*(2 - n)*Sec[c + d*x]))/(6*a^2*d)}
+{Sin[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 2, (b*Hypergeometric2F1[2, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*Sec[c + d*x])/a]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(a^2*d*(1 + n))}
+{Csc[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 4, (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Sec[c + d*x])/(a - b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a - b)*d*(1 + n)) - (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Sec[c + d*x])/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a + b)*d*(1 + n))}
+{Csc[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 9, (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Sec[c + d*x])/(a - b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(4*(a - b)*d*(1 + n)) - (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Sec[c + d*x])/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(4*(a + b)*d*(1 + n)) + (b*Hypergeometric2F1[2, 1 + n, 2 + n, (a + b*Sec[c + d*x])/(a - b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(4*(a - b)^2*d*(1 + n)) + (b*Hypergeometric2F1[2, 1 + n, 2 + n, (a + b*Sec[c + d*x])/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(4*(a + b)^2*d*(1 + n))}
+
+{Sin[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x]^4, x]}
+{Sin[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x]^2, x]}
+{Csc[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 4, -((Cot[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^n)/d) + (Sqrt[2]*b*n*AppellF1[1/2, 1/2, 1 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/(((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^n*((a + b)*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]))}
+{Csc[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, -1, -((3*AppellF1[-(1/2), 5/2, -n, 1/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Cot[c + d*x]*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^n)/(((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^n*(2*Sqrt[2]*d))) - (AppellF1[-(3/2), 5/2, -n, -(1/2), (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Cot[c + d*x]^3*(1 + Sec[c + d*x])^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^n)/(((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^n*(6*Sqrt[2]*d)) + (AppellF1[1/2, 3/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/(((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^n*(Sqrt[2]*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])) + (AppellF1[1/2, 5/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/(((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^n*(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]))}
+
+
+{Sin[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x]^(3/2), x]}
+{Sin[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^n*Sqrt[Sin[c + d*x]], x]}
+{1/Sin[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^n/Sqrt[Sin[c + d*x]], x]}
+{1/Sin[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^n/Sin[c + d*x]^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m when a^2-b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e Csc[e+f x])^(m/2) (a+a Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(e*Csc[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 11, -((2*a*e^2*Cot[c + d*x]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(3*d)) - (2*a*e^2*Csc[c + d*x]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(3*d) + (a*e^2*ArcTan[Sqrt[Sin[c + d*x]]]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/d + (a*e^2*ArcTanh[Sqrt[Sin[c + d*x]]]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/d + (2*a*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*d)}
+{(e*Csc[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 11, -((2*a*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/d) - (2*a*e*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/d - (a*e*ArcTan[Sqrt[Sin[c + d*x]]]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/d + (a*e*ArcTanh[Sqrt[Sin[c + d*x]]]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/d - (2*a*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/d}
+{Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 9, (a*ArcTan[Sqrt[Sin[c + d*x]]]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/d + (a*ArcTanh[Sqrt[Sin[c + d*x]]]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/d + (2*a*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/Sqrt[e*Csc[c + d*x]], x, 9, -((a*ArcTan[Sqrt[Sin[c + d*x]]])/(d*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])) + (a*ArcTanh[Sqrt[Sin[c + d*x]]])/(d*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (2*a*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2])/(d*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/(e*Csc[c + d*x])^(3/2), x, 11, -((2*a)/(d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])) - (2*a*Cos[c + d*x])/(3*d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) + (a*ArcTan[Sqrt[Sin[c + d*x]]])/(d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (a*ArcTanh[Sqrt[Sin[c + d*x]]])/(d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (2*a*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2])/(3*d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/(e*Csc[c + d*x])^(5/2), x, 11, -((a*ArcTan[Sqrt[Sin[c + d*x]]])/(d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])) + (a*ArcTanh[Sqrt[Sin[c + d*x]]])/(d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (6*a*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2])/(5*d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (2*a*Sin[c + d*x])/(3*d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) - (2*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(5*d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])}
+
+
+{(e*Csc[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 15, -((2*a^2*e^2*Cot[c + d*x]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(3*d)) - (4*a^2*e^2*Csc[c + d*x]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(3*d) - (2*a^2*e^2*Csc[c + d*x]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sec[c + d*x])/(3*d) + (2*a^2*e^2*ArcTan[Sqrt[Sin[c + d*x]]]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/d + (2*a^2*e^2*ArcTanh[Sqrt[Sin[c + d*x]]]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/d + (7*a^2*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*d) + (5*a^2*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(e*Csc[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 15, -((4*a^2*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/d) - (2*a^2*e*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/d - (2*a^2*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sec[c + d*x])/d - (2*a^2*e*ArcTan[Sqrt[Sin[c + d*x]]]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/d + (2*a^2*e*ArcTanh[Sqrt[Sin[c + d*x]]]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/d - (5*a^2*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/d + (3*a^2*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sin[c + d*x]*Tan[c + d*x])/d}
+{Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 12, (2*a^2*ArcTan[Sqrt[Sin[c + d*x]]]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/d + (2*a^2*ArcTanh[Sqrt[Sin[c + d*x]]]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/d + (3*a^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/Sqrt[e*Csc[c + d*x]], x, 12, -((2*a^2*ArcTan[Sqrt[Sin[c + d*x]]])/(d*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])) + (2*a^2*ArcTanh[Sqrt[Sin[c + d*x]]])/(d*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (a^2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2])/(d*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (a^2*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/(e*Csc[c + d*x])^(3/2), x, 14, -((4*a^2)/(d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])) - (2*a^2*Cos[c + d*x])/(3*d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) + (a^2*Sec[c + d*x])/(d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) + (2*a^2*ArcTan[Sqrt[Sin[c + d*x]]])/(d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (2*a^2*ArcTanh[Sqrt[Sin[c + d*x]]])/(d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (a^2*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2])/(3*d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/(e*Csc[c + d*x])^(5/2), x, 14, -((2*a^2*ArcTan[Sqrt[Sin[c + d*x]]])/(d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])) + (2*a^2*ArcTanh[Sqrt[Sin[c + d*x]]])/(d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (9*a^2*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2])/(5*d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (4*a^2*Sin[c + d*x])/(3*d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) - (2*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(5*d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) + (a^2*Tan[c + d*x])/(d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e*Csc[c + d*x])^(5/2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 8, -((4*e^2*Cot[c + d*x]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(21*a*d)) + (2*e^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(7*a*d) - (2*e^2*Csc[c + d*x]^3*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(7*a*d) + (4*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(21*a*d)}
+{(e*Csc[c + d*x])^(3/2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 8, -((4*e*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(5*a*d)) + (2*e*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(5*a*d) - (2*e*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(5*a*d) - (4*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(5*a*d)}
+{Sqrt[e*Csc[c + d*x]]/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (2*Cot[c + d*x]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(3*a*d) - (2*Csc[c + d*x]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(3*a*d) + (4*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*a*d)}
+{1/(Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 7, (2*Cot[c + d*x])/(a*d*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) - (2*Csc[c + d*x])/(a*d*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) + (4*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2])/(a*d*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{1/((e*Csc[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 7, 2/(a*d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x])/(3*a*d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) - (4*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2])/(3*a*d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{1/((e*Csc[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 7, -((4*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2])/(5*a*d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])) + (2*Sin[c + d*x])/(3*a*d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(5*a*d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])}
+{1/((e*Csc[c + d*x])^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 8, -((2*Cos[c + d*x])/(21*a*d*e^3*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])) + (2*Cos[c + d*x]^3)/(7*a*d*e^3*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) - (4*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2])/(21*a*d*e^3*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (2*Sin[c + d*x]^2)/(5*a*d*e^3*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])}
+
+
+{(e*Csc[c + d*x])^(5/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 16, -((4*e^2*Cot[c + d*x]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(231*a^2*d)) + (16*e^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(77*a^2*d) - (2*e^2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(11*a^2*d) - (4*e^2*Csc[c + d*x]^3*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(7*a^2*d) - (2*e^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^4*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(11*a^2*d) + (4*e^2*Csc[c + d*x]^5*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(11*a^2*d) + (4*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(231*a^2*d)}
+{(e*Csc[c + d*x])^(3/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 16, -((4*e*Cos[c + d*x]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(15*a^2*d)) + (16*e*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(45*a^2*d) - (2*e*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(9*a^2*d) - (4*e*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(5*a^2*d) - (2*e*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(9*a^2*d) + (4*e*Csc[c + d*x]^4*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(9*a^2*d) - (4*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(15*a^2*d)}
+{Sqrt[e*Csc[c + d*x]]/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 14, (16*Cot[c + d*x]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(21*a^2*d) - (2*Cot[c + d*x]^3*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(7*a^2*d) - (4*Csc[c + d*x]*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(3*a^2*d) - (2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(7*a^2*d) + (4*Csc[c + d*x]^3*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])/(7*a^2*d) + (20*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(21*a^2*d)}
+{1/(Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 14, (16*Cot[c + d*x])/(5*a^2*d*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) - (2*Cot[c + d*x]^3)/(5*a^2*d*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) - (4*Csc[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) - (2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(5*a^2*d*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) + (4*Csc[c + d*x]^3)/(5*a^2*d*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) + (28*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2])/(5*a^2*d*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{1/((e*Csc[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 13, 4/(a^2*d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) - (4*Cos[c + d*x])/(3*a^2*d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2)/(3*a^2*d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) - (2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(3*a^2*d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) + (4*Csc[c + d*x]^2)/(3*a^2*d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) - (4*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2])/(a^2*d*e*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{1/((e*Csc[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 13, -((2*Cot[c + d*x])/(a^2*d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])) - (2*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x])/(a^2*d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) + (4*Csc[c + d*x])/(a^2*d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) - (44*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2])/(5*a^2*d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (4*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) - (12*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(5*a^2*d*e^2*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])}
+{1/((e*Csc[c + d*x])^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 13, -(4/(a^2*d*e^3*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])) + (26*Cos[c + d*x])/(21*a^2*d*e^3*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]^3)/(7*a^2*d*e^3*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]) + (52*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2])/(21*a^2*d*e^3*Sqrt[e*Csc[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (4*Sin[c + d*x]^2)/(5*a^2*d*e^3*Sqrt[e*Csc[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.4 (d tan)^n (a+b sec)^m.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.4 (d tan)^n (a+b sec)^m.m
new file mode 100644
index 00000000..f3a8bc08
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.1.4 (d tan)^n (a+b sec)^m.m	
@@ -0,0 +1,590 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m*)
+
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^n (a+a Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^9*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, -((a*Log[Cos[c + d*x]])/d) + (a*Sec[c + d*x])/d - (2*a*Sec[c + d*x]^2)/d - (4*a*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a*Sec[c + d*x]^4)/(2*d) + (6*a*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a*Sec[c + d*x]^6)/(3*d) - (4*a*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*Sec[c + d*x]^8)/(8*d) + (a*Sec[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Tan[c + d*x]^7*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, (a*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a*Sec[c + d*x])/d + (3*a*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Sec[c + d*x]^3)/d - (3*a*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) - (3*a*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Sec[c + d*x]^6)/(6*d) + (a*Sec[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Tan[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, -((a*Log[Cos[c + d*x]])/d) + (a*Sec[c + d*x])/d - (a*Sec[c + d*x]^2)/d - (2*a*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) + (a*Sec[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Tan[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, (a*Log[Cos[c + d*x]])/d - (a*Sec[c + d*x])/d + (a*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Sec[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, -((a*Log[Cos[c + d*x]])/d) + (a*Sec[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 2, (a*Log[1 - Cos[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, -(a/(2*d*(1 - Cos[c + d*x]))) - (3*a*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(4*d) - (a*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(4*d)}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, -(a/(8*d*(1 - Cos[c + d*x])^2)) + (3*a)/(4*d*(1 - Cos[c + d*x])) + a/(8*d*(1 + Cos[c + d*x])) + (11*a*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(16*d) + (5*a*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(16*d)}
+{Cot[c + d*x]^7*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, -(a/(24*d*(1 - Cos[c + d*x])^3)) + (9*a)/(32*d*(1 - Cos[c + d*x])^2) - (15*a)/(16*d*(1 - Cos[c + d*x])) + a/(32*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - a/(4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (21*a*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(32*d) - (11*a*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(32*d)}
+
+{Tan[c + d*x]^8*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, a*x + (35*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*d) - ((128*a + 35*a*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(128*d) + ((64*a + 35*a*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^3)/(192*d) - ((48*a + 35*a*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^5)/(240*d) + ((8*a + 7*a*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^7)/(56*d)}
+{Tan[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, (-a)*x - (5*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + ((16*a + 5*a*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(16*d) - ((8*a + 5*a*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^3)/(24*d) + ((6*a + 5*a*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^5)/(30*d)}
+{Tan[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, a*x + (3*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - ((8*a + 3*a*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(8*d) + ((4*a + 3*a*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^3)/(12*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, (-a)*x - (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((2*a + a*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 2, (-a)*x - (Cot[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x]))/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, a*x - (Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x]))/(3*d) + (Cot[c + d*x]*(3*a + 2*a*Sec[c + d*x]))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, (-a)*x - (Cot[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x]))/(5*d) + (Cot[c + d*x]^3*(5*a + 4*a*Sec[c + d*x]))/(15*d) - (Cot[c + d*x]*(15*a + 8*a*Sec[c + d*x]))/(15*d)}
+{Cot[c + d*x]^8*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, a*x - (Cot[c + d*x]^7*(a + a*Sec[c + d*x]))/(7*d) + (Cot[c + d*x]^5*(7*a + 6*a*Sec[c + d*x]))/(35*d) + (Cot[c + d*x]*(35*a + 16*a*Sec[c + d*x]))/(35*d) - (Cot[c + d*x]^3*(35*a + 24*a*Sec[c + d*x]))/(105*d)}
+{Cot[c + d*x]^10*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, (-a)*x - (Cot[c + d*x]^9*(a + a*Sec[c + d*x]))/(9*d) + (Cot[c + d*x]^7*(9*a + 8*a*Sec[c + d*x]))/(63*d) - (Cot[c + d*x]^5*(21*a + 16*a*Sec[c + d*x]))/(105*d) + (Cot[c + d*x]^3*(105*a + 64*a*Sec[c + d*x]))/(315*d) - (Cot[c + d*x]*(315*a + 128*a*Sec[c + d*x]))/(315*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^9*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, -((a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d) + (2*a^2*Sec[c + d*x])/d - (3*a^2*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) - (8*a^2*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Sec[c + d*x]^4)/(2*d) + (12*a^2*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^2*Sec[c + d*x]^6)/(3*d) - (8*a^2*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) - (3*a^2*Sec[c + d*x]^8)/(8*d) + (2*a^2*Sec[c + d*x]^9)/(9*d) + (a^2*Sec[c + d*x]^10)/(10*d)}
+{Tan[c + d*x]^7*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, (a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d - (2*a^2*Sec[c + d*x])/d + (a^2*Sec[c + d*x]^2)/d + (2*a^2*Sec[c + d*x]^3)/d - (6*a^2*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^2*Sec[c + d*x]^6)/(3*d) + (2*a^2*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) + (a^2*Sec[c + d*x]^8)/(8*d)}
+{Tan[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, -((a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d) + (2*a^2*Sec[c + d*x])/d - (a^2*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) - (4*a^2*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) + (2*a^2*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^2*Sec[c + d*x]^6)/(6*d)}
+{Tan[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, (a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d - (2*a^2*Sec[c + d*x])/d + (2*a^2*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Sec[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, -((a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d) + (2*a^2*Sec[c + d*x])/d + (a^2*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, (2*a^2*Log[1 - Cos[c + d*x]])/d - (a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, -(a^2/(d*(1 - Cos[c + d*x]))) - (a^2*Log[1 - Cos[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, -(a^2/(4*d*(1 - Cos[c + d*x])^2)) + (5*a^2)/(4*d*(1 - Cos[c + d*x])) + (7*a^2*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(8*d)}
+{Cot[c + d*x]^7*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, -(a^2/(12*d*(1 - Cos[c + d*x])^3)) + a^2/(2*d*(1 - Cos[c + d*x])^2) - (23*a^2)/(16*d*(1 - Cos[c + d*x])) - a^2/(16*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (13*a^2*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(16*d) - (3*a^2*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(16*d)}
+{Cot[c + d*x]^9*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, -(a^2/(32*d*(1 - Cos[c + d*x])^4)) + (11*a^2)/(48*d*(1 - Cos[c + d*x])^3) - (3*a^2)/(4*d*(1 - Cos[c + d*x])^2) + (51*a^2)/(32*d*(1 - Cos[c + d*x])) - a^2/(64*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + (9*a^2)/(64*d*(1 + Cos[c + d*x])) + (99*a^2*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(128*d) + (29*a^2*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(128*d)}
+
+{Tan[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 12, (-a^2)*x - (5*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*Tan[c + d*x])/d + (5*a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(12*d) + (a^2*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^5)/(3*d) + (a^2*Tan[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Tan[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 10, a^2*x + (3*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) - (a^2*Tan[c + d*x])/d - (3*a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(2*d) + (a^2*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (-a^2)*x - (a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*Tan[c + d*x])/d + (a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/d + (a^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (-a^2)*x - (2*a^2*Cot[c + d*x])/d - (2*a^2*Csc[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 9, a^2*x + (a^2*Cot[c + d*x])/d - (2*a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a^2*Csc[c + d*x])/d - (2*a^2*Csc[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 11, (-a^2)*x - (a^2*Cot[c + d*x])/d + (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a^2*Csc[c + d*x])/d + (4*a^2*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a^2*Csc[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^8*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 12, a^2*x + (a^2*Cot[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) + (2*a^2*Csc[c + d*x])/d - (2*a^2*Csc[c + d*x]^3)/d + (6*a^2*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a^2*Csc[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cot[c + d*x]^10*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 13, (-a^2)*x - (a^2*Cot[c + d*x])/d + (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^2*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (2*a^2*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) - (2*a^2*Csc[c + d*x])/d + (8*a^2*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (12*a^2*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) + (8*a^2*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) - (2*a^2*Csc[c + d*x]^9)/(9*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^9*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, -((a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d) + (3*a^3*Sec[c + d*x])/d - (a^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) - (11*a^3*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^3*Sec[c + d*x]^4)/(2*d) + (14*a^3*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (7*a^3*Sec[c + d*x]^6)/(3*d) - (6*a^3*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) - (11*a^3*Sec[c + d*x]^8)/(8*d) - (a^3*Sec[c + d*x]^9)/(9*d) + (3*a^3*Sec[c + d*x]^10)/(10*d) + (a^3*Sec[c + d*x]^11)/(11*d)}
+{Tan[c + d*x]^7*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, (a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d - (3*a^3*Sec[c + d*x])/d + (8*a^3*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^3*Sec[c + d*x]^4)/(2*d) - (6*a^3*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) - (4*a^3*Sec[c + d*x]^6)/(3*d) + (3*a^3*Sec[c + d*x]^8)/(8*d) + (a^3*Sec[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Tan[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, -((a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d) + (3*a^3*Sec[c + d*x])/d + (a^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) - (5*a^3*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*a^3*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) + (a^3*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^3*Sec[c + d*x]^6)/(2*d) + (a^3*Sec[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Tan[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, (a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d - (3*a^3*Sec[c + d*x])/d - (a^3*Sec[c + d*x]^2)/d + (2*a^3*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^3*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) + (a^3*Sec[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, -((a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d) + (3*a^3*Sec[c + d*x])/d + (3*a^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (a^3*Sec[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, (4*a^3*Log[1 - Cos[c + d*x]])/d - (3*a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a^3*Sec[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, -((2*a^3)/(d*(1 - Cos[c + d*x]))) - (a^3*Log[1 - Cos[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, -(a^3/(2*d*(1 - Cos[c + d*x])^2)) + (2*a^3)/(d*(1 - Cos[c + d*x])) + (a^3*Log[1 - Cos[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^7*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, -(a^3/(6*d*(1 - Cos[c + d*x])^3)) + (7*a^3)/(8*d*(1 - Cos[c + d*x])^2) - (17*a^3)/(8*d*(1 - Cos[c + d*x])) - (15*a^3*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(16*d) - (a^3*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(16*d)}
+{Cot[c + d*x]^9*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, -(a^3/(16*d*(1 - Cos[c + d*x])^4)) + (5*a^3)/(12*d*(1 - Cos[c + d*x])^3) - (39*a^3)/(32*d*(1 - Cos[c + d*x])^2) + (9*a^3)/(4*d*(1 - Cos[c + d*x])) + a^3/(32*d*(1 + Cos[c + d*x])) + (57*a^3*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(64*d) + (7*a^3*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(64*d)}
+
+{Tan[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 17, (-a^3)*x - (125*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*d) + (a^3*Tan[c + d*x])/d + (115*a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(128*d) + (5*a^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(64*d) - (a^3*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(8*d) - (5*a^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^3)/(48*d) + (a^3*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^5)/(2*d) + (a^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^5)/(8*d) + (3*a^3*Tan[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Tan[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 14, a^3*x + (19*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) - (a^3*Tan[c + d*x])/d - (17*a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) - (a^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^3*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(4*d) + (a^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^3)/(6*d) + (3*a^3*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 11, (-a^3)*x - (13*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*Tan[c + d*x])/d + (11*a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a^3*Tan[c + d*x]^3)/d}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 11, (-a^3)*x + (a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (4*a^3*Cot[c + d*x])/d - (4*a^3*Csc[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 11, a^3*x + (a^3*Cot[c + d*x])/d - (4*a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^3*Csc[c + d*x])/d - (4*a^3*Csc[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 14, (-a^3)*x - (a^3*Cot[c + d*x])/d + (a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (4*a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (3*a^3*Csc[c + d*x])/d + (7*a^3*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (4*a^3*Csc[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^8*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 15, a^3*x + (a^3*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (4*a^3*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) + (3*a^3*Csc[c + d*x])/d - (10*a^3*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) + (11*a^3*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (4*a^3*Csc[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cot[c + d*x]^10*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 16, (-a^3)*x - (a^3*Cot[c + d*x])/d + (a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^3*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (4*a^3*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) - (3*a^3*Csc[c + d*x])/d + (13*a^3*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (21*a^3*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) + (15*a^3*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) - (4*a^3*Csc[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Cot[c + d*x]^12*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 17, a^3*x + (a^3*Cot[c + d*x])/d - (a^3*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^3*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) + (a^3*Cot[c + d*x]^9)/(9*d) - (4*a^3*Cot[c + d*x]^11)/(11*d) + (3*a^3*Csc[c + d*x])/d - (16*a^3*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) + (34*a^3*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (36*a^3*Csc[c + d*x]^7)/(7*d) + (19*a^3*Csc[c + d*x]^9)/(9*d) - (4*a^3*Csc[c + d*x]^11)/(11*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^9/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, -(Log[Cos[c + d*x]]/(a*d)) - Sec[c + d*x]/(a*d) - (3*Sec[c + d*x]^2)/(2*a*d) + Sec[c + d*x]^3/(a*d) + (3*Sec[c + d*x]^4)/(4*a*d) - (3*Sec[c + d*x]^5)/(5*a*d) - Sec[c + d*x]^6/(6*a*d) + Sec[c + d*x]^7/(7*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^7/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, Log[Cos[c + d*x]]/(a*d) + Sec[c + d*x]/(a*d) + Sec[c + d*x]^2/(a*d) - (2*Sec[c + d*x]^3)/(3*a*d) - Sec[c + d*x]^4/(4*a*d) + Sec[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, -(Log[Cos[c + d*x]]/(a*d)) - Sec[c + d*x]/(a*d) - Sec[c + d*x]^2/(2*a*d) + Sec[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, Log[Cos[c + d*x]]/(a*d) + Sec[c + d*x]/(a*d)}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 2, -(Log[1 + Cos[c + d*x]]/(a*d))}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, 1/(2*a*d*(1 + Cos[c + d*x])) + Log[1 - Cos[c + d*x]]/(4*a*d) + (3*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(4*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, -(1/(8*a*d*(1 - Cos[c + d*x]))) + 1/(8*a*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - 3/(4*a*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (5*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(16*a*d) - (11*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(16*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, -(1/(32*a*d*(1 - Cos[c + d*x])^2)) + 1/(4*a*d*(1 - Cos[c + d*x])) + 1/(24*a*d*(1 + Cos[c + d*x])^3) - 9/(32*a*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + 15/(16*a*d*(1 + Cos[c + d*x])) + (11*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(32*a*d) + (21*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(32*a*d)}
+
+{Tan[c + d*x]^8/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, x/a - (5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*a*d) - ((16 - 5*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(16*a*d) + ((8 - 5*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^3)/(24*a*d) - ((6 - 5*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^5)/(30*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, -(x/a) + (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*a*d) + ((8 - 3*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(8*a*d) - ((4 - 3*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^3)/(12*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, x/a - ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(2*a*d) - ((2 - Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, -(x/a) + ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a*d)}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, -(x/a) - (Cot[c + d*x]*(3 - 2*Sec[c + d*x]))/(3*a*d) + (Cot[c + d*x]^3*(1 - Sec[c + d*x]))/(3*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, x/a + (Cot[c + d*x]*(15 - 8*Sec[c + d*x]))/(15*a*d) - (Cot[c + d*x]^3*(5 - 4*Sec[c + d*x]))/(15*a*d) + (Cot[c + d*x]^5*(1 - Sec[c + d*x]))/(5*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, -(x/a) + (Cot[c + d*x]^3*(35 - 24*Sec[c + d*x]))/(105*a*d) - (Cot[c + d*x]*(35 - 16*Sec[c + d*x]))/(35*a*d) - (Cot[c + d*x]^5*(7 - 6*Sec[c + d*x]))/(35*a*d) + (Cot[c + d*x]^7*(1 - Sec[c + d*x]))/(7*a*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^9/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, -(Log[Cos[c + d*x]]/(a^2*d)) - (2*Sec[c + d*x])/(a^2*d) - Sec[c + d*x]^2/(2*a^2*d) + (4*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - Sec[c + d*x]^4/(4*a^2*d) - (2*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + Sec[c + d*x]^6/(6*a^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^7/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, Log[Cos[c + d*x]]/(a^2*d) + (2*Sec[c + d*x])/(a^2*d) - (2*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + Sec[c + d*x]^4/(4*a^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, -(Log[Cos[c + d*x]]/(a^2*d)) - (2*Sec[c + d*x])/(a^2*d) + Sec[c + d*x]^2/(2*a^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, -(Log[Cos[c + d*x]]/(a^2*d)) + (2*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(a^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, -(1/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x]))) - Log[1 + Cos[c + d*x]]/(a^2*d)}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, -(1/(4*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])^2)) + 5/(4*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + Log[1 - Cos[c + d*x]]/(8*a^2*d) + (7*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(8*a^2*d)}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, -(1/(16*a^2*d*(1 - Cos[c + d*x]))) - 1/(12*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])^3) + 1/(2*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - 23/(16*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (3*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(16*a^2*d) - (13*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(16*a^2*d)}
+{Cot[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, -(1/(64*a^2*d*(1 - Cos[c + d*x])^2)) + 9/(64*a^2*d*(1 - Cos[c + d*x])) - 1/(32*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])^4) + 11/(48*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])^3) - 3/(4*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + 51/(32*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + (29*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(128*a^2*d) + (99*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(128*a^2*d)}
+
+{Tan[c + d*x]^8/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 11, x/a^2 - (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*a^2*d) - Tan[c + d*x]/(a^2*d) + (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a^2*d) - (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(2*a^2*d) + Tan[c + d*x]^5/(5*a^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 9, -(x/a^2) + ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^2*d) + Tan[c + d*x]/(a^2*d) - (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(a^2*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, x/a^2 - (2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + Tan[c + d*x]/(a^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 9, -(x/a^2) + (2*Tan[c + d*x])/(a*d*(a + a*Sec[c + d*x])), -(x/a^2) - (2*Cot[c + d*x])/(a^2*d) + (2*Csc[c + d*x])/(a^2*d)}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 12, -(x/a^2) - Cot[c + d*x]/(a^2*d) + Cot[c + d*x]^3/(3*a^2*d) - (2*Cot[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + (2*Csc[c + d*x])/(a^2*d) - (4*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + (2*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^2*d)}
+{Cot[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 13, x/a^2 + Cot[c + d*x]/(a^2*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^2*d) + Cot[c + d*x]^5/(5*a^2*d) - (2*Cot[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) - (2*Csc[c + d*x])/(a^2*d) + (2*Csc[c + d*x]^3)/(a^2*d) - (6*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + (2*Csc[c + d*x]^7)/(7*a^2*d)}
+{Cot[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 14, -(x/a^2) - Cot[c + d*x]/(a^2*d) + Cot[c + d*x]^3/(3*a^2*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a^2*d) + Cot[c + d*x]^7/(7*a^2*d) - (2*Cot[c + d*x]^9)/(9*a^2*d) + (2*Csc[c + d*x])/(a^2*d) - (8*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + (12*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) - (8*Csc[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) + (2*Csc[c + d*x]^9)/(9*a^2*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^11/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, Log[Cos[c + d*x]]/(a^3*d) + (3*Sec[c + d*x])/(a^3*d) - Sec[c + d*x]^2/(2*a^3*d) - (5*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (5*Sec[c + d*x]^4)/(4*a^3*d) + Sec[c + d*x]^5/(5*a^3*d) - Sec[c + d*x]^6/(2*a^3*d) + Sec[c + d*x]^7/(7*a^3*d)}
+{Tan[c + d*x]^9/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, -(Log[Cos[c + d*x]]/(a^3*d)) - (3*Sec[c + d*x])/(a^3*d) + Sec[c + d*x]^2/(a^3*d) + (2*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) - (3*Sec[c + d*x]^4)/(4*a^3*d) + Sec[c + d*x]^5/(5*a^3*d)}
+{Tan[c + d*x]^7/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, Log[Cos[c + d*x]]/(a^3*d) + (3*Sec[c + d*x])/(a^3*d) - (3*Sec[c + d*x]^2)/(2*a^3*d) + Sec[c + d*x]^3/(3*a^3*d)}
+{Tan[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, (3*Log[Cos[c + d*x]])/(a^3*d) - (4*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(a^3*d) + Sec[c + d*x]/(a^3*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, 2/(a^3*d*(1 + Cos[c + d*x])) + Log[1 + Cos[c + d*x]]/(a^3*d)}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, 1/(2*a^3*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - 2/(a^3*d*(1 + Cos[c + d*x])) - Log[1 + Cos[c + d*x]]/(a^3*d)}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, 1/(6*a^3*d*(1 + Cos[c + d*x])^3) - 7/(8*a^3*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + 17/(8*a^3*d*(1 + Cos[c + d*x])) + Log[1 - Cos[c + d*x]]/(16*a^3*d) + (15*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(16*a^3*d)}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, -(1/(32*a^3*d*(1 - Cos[c + d*x]))) + 1/(16*a^3*d*(1 + Cos[c + d*x])^4) - 5/(12*a^3*d*(1 + Cos[c + d*x])^3) + 39/(32*a^3*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - 9/(4*a^3*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (7*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(64*a^3*d) - (57*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(64*a^3*d)}
+{Cot[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, -(1/(128*a^3*d*(1 - Cos[c + d*x])^2)) + 5/(64*a^3*d*(1 - Cos[c + d*x])) + 1/(40*a^3*d*(1 + Cos[c + d*x])^5) - 13/(64*a^3*d*(1 + Cos[c + d*x])^4) + 35/(48*a^3*d*(1 + Cos[c + d*x])^3) - 99/(64*a^3*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + 303/(128*a^3*d*(1 + Cos[c + d*x])) + (37*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(256*a^3*d) + (219*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(256*a^3*d)}
+
+{Tan[c + d*x]^12/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 18, x/a^3 - (125*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*a^3*d) - Tan[c + d*x]/(a^3*d) + (115*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(128*a^3*d) + (5*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(64*a^3*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a^3*d) - (5*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(8*a^3*d) - (5*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^3)/(48*a^3*d) - Tan[c + d*x]^5/(5*a^3*d) + (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^5)/(2*a^3*d) + (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^5)/(8*a^3*d) - (3*Tan[c + d*x]^7)/(7*a^3*d)}
+{Tan[c + d*x]^10/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 15, -(x/a^3) + (19*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*a^3*d) + Tan[c + d*x]/(a^3*d) - (17*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*a^3*d) - (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(8*a^3*d) - Tan[c + d*x]^3/(3*a^3*d) + (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(4*a^3*d) + (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^3)/(6*a^3*d) - (3*Tan[c + d*x]^5)/(5*a^3*d)}
+{Tan[c + d*x]^8/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 12, x/a^3 - (13*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*a^3*d) - Tan[c + d*x]/(a^3*d) + (11*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*a^3*d) + (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*a^3*d) - Tan[c + d*x]^3/(a^3*d)}
+{Tan[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 6, -(x/a^3) + (7*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (5*Tan[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((1 - Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(2*a^3*d)}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 12, x/a^3 + ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^3*d) - (4*Tan[c + d*x])/(a^2*d*(a + a*Sec[c + d*x])), x/a^3 + ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^3*d) + (4*Cot[c + d*x])/(a^3*d) - (4*Csc[c + d*x])/(a^3*d)}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 12, -(x/a^3) + (2*Tan[c + d*x])/(a^2*d*(a + a*Sec[c + d*x])) - Tan[c + d*x]^3/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3), -(x/a^3) - Cot[c + d*x]/(a^3*d) + (4*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (3*Csc[c + d*x])/(a^3*d) - (4*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^3*d)}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 16, -(x/a^3) - Cot[c + d*x]/(a^3*d) + Cot[c + d*x]^3/(3*a^3*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a^3*d) + (4*Cot[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) + (3*Csc[c + d*x])/(a^3*d) - (10*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (11*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - (4*Csc[c + d*x]^7)/(7*a^3*d)}
+{Cot[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 17, x/a^3 + Cot[c + d*x]/(a^3*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^3*d) + Cot[c + d*x]^5/(5*a^3*d) - Cot[c + d*x]^7/(7*a^3*d) + (4*Cot[c + d*x]^9)/(9*a^3*d) - (3*Csc[c + d*x])/(a^3*d) + (13*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) - (21*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + (15*Csc[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) - (4*Csc[c + d*x]^9)/(9*a^3*d)}
+{Cot[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 18, -(x/a^3) - Cot[c + d*x]/(a^3*d) + Cot[c + d*x]^3/(3*a^3*d) - Cot[c + d*x]^5/(5*a^3*d) + Cot[c + d*x]^7/(7*a^3*d) - Cot[c + d*x]^9/(9*a^3*d) + (4*Cot[c + d*x]^11)/(11*a^3*d) + (3*Csc[c + d*x])/(a^3*d) - (16*Csc[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (34*Csc[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - (36*Csc[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) + (19*Csc[c + d*x]^9)/(9*a^3*d) - (4*Csc[c + d*x]^11)/(11*a^3*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])*(e*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 17, (a*e^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) - (a*e^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) - (a*e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) + (a*e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) + (6*a*e^2*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(5*d*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) - (6*a*e*Cos[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(5*d) + (2*e*(5*a + 3*a*Sec[c + d*x])*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(15*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])*(e*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 16, (a*e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) - (a*e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) + (a*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) - (a*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) - (a*e^2*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(3*d*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) + (2*e*(3*a + a*Sec[c + d*x])*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(3*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])*Sqrt[e*Tan[c + d*x]], x, 16, -((a*Sqrt[e]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d)) + (a*Sqrt[e]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) + (a*Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) - (a*Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*a*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) + (2*a*Cos[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(d*e)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/Sqrt[e*Tan[c + d*x]], x, 15, -((a*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e])) + (a*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) - (a*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) + (a*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) + (a*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(d*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/(e*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 17, (a*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(3/2)) - (a*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(3/2)) - (a*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(3/2)) + (a*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(3/2)) - (2*(a + a*Sec[c + d*x]))/(d*e*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) - (2*a*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(d*e^2*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) + (2*a*Cos[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(d*e^3)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/(e*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 16, (a*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(5/2)) - (a*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(5/2)) + (a*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(5/2)) - (a*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(5/2)) - (2*(a + a*Sec[c + d*x]))/(3*d*e*(e*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (a*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(3*d*e^2*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/(e*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 18, -((a*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(7/2))) + (a*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(7/2)) + (a*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(7/2)) - (a*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(7/2)) - (2*(a + a*Sec[c + d*x]))/(5*d*e*(e*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (2*(5*a + 3*a*Sec[c + d*x]))/(5*d*e^3*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) + (6*a*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(5*d*e^4*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) - (6*a*Cos[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(5*d*e^5)}
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*(e*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 21, (a^2*e^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) - (a^2*e^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) - (a^2*e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) + (a^2*e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) + (12*a^2*e^2*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(5*d*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) + (2*a^2*e*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (12*a^2*e*Cos[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(5*d) + (4*a^2*e*Sec[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(5*d) + (2*a^2*(e*Tan[c + d*x])^(7/2))/(7*d*e)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*(e*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 20, (a^2*e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) - (a^2*e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) + (a^2*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) - (a^2*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) - (2*a^2*e^2*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(3*d*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) + (2*a^2*e*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/d + (4*a^2*e*Sec[c + d*x]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*(e*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*d*e)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sqrt[e*Tan[c + d*x]], x, 19, -((a^2*Sqrt[e]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d)) + (a^2*Sqrt[e]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d) + (a^2*Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) - (a^2*Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d) - (4*a^2*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(d*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) + (2*a^2*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*d*e) + (4*a^2*Cos[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(d*e)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/Sqrt[e*Tan[c + d*x]], x, 18, -((a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e])) + (a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) - (a^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) + (a^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e]) + (2*a^2*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(d*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(d*e)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/(e*Tan[c + d*x])^(3/2), x, 20, (a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(3/2)) - (a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(3/2)) - (a^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(3/2)) + (a^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(3/2)) - (4*a^2)/(d*e*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) - (4*a^2*Cos[c + d*x])/(d*e*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) - (4*a^2*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(d*e^2*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/(e*Tan[c + d*x])^(5/2), x, 20, (a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(5/2)) - (a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(5/2)) + (a^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(5/2)) - (a^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(5/2)) - (4*a^2)/(3*d*e*(e*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (4*a^2*Sec[c + d*x])/(3*d*e*(e*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*a^2*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(3*d*e^2*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/(e*Tan[c + d*x])^(7/2), x, 22, -((a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(7/2))) + (a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*d*e^(7/2)) + (a^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(7/2)) - (a^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*d*e^(7/2)) - (4*a^2)/(5*d*e*(e*Tan[c + d*x])^(5/2)) - (4*a^2*Sec[c + d*x])/(5*d*e*(e*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (2*a^2)/(d*e^3*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) + (12*a^2*Cos[c + d*x])/(5*d*e^3*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) + (12*a^2*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(5*d*e^4*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e*Tan[c + d*x])^(11/2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 18, (e^(11/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*d) - (e^(11/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*d) + (e^(11/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*d) - (e^(11/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*d) + (5*e^6*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(21*a*d*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) + (2*e^5*(21 - 5*Sec[c + d*x])*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(21*a*d) - (2*e^3*(7 - 5*Sec[c + d*x])*(e*Tan[c + d*x])^(5/2))/(35*a*d)}
+{(e*Tan[c + d*x])^(9/2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 18, -((e^(9/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*d)) + (e^(9/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*d) + (e^(9/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*d) - (e^(9/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*d) + (6*e^4*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(5*a*d*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) - (6*e^3*Cos[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(5*a*d) - (2*e^3*(5 - 3*Sec[c + d*x])*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(15*a*d)}
+{(e*Tan[c + d*x])^(7/2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 17, -((e^(7/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*d)) + (e^(7/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*d) - (e^(7/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*d) + (e^(7/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*d) - (e^4*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(3*a*d*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) - (2*e^3*(3 - Sec[c + d*x])*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(3*a*d)}
+{(e*Tan[c + d*x])^(5/2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 17, (e^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*d) - (e^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*d) - (e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*d) + (e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*d) - (2*e^2*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) + (2*e*Cos[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(a*d)}
+{(e*Tan[c + d*x])^(3/2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 16, (e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*d) - (e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*d) + (e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*d) - (e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*d) + (e^2*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(a*d*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])}
+{Sqrt[e*Tan[c + d*x]]/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 18, -((Sqrt[e]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*d)) + (Sqrt[e]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*d) + (Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*d) - (Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*d) + (2*e*(1 - Sec[c + d*x]))/(a*d*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) + (2*Cos[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(a*d*e)}
+{1/((a + a*Sec[c + d*x])*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]), x, 17, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]]/(Sqrt[2]*a*d*Sqrt[e])) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]]/(Sqrt[2]*a*d*Sqrt[e]) - Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]]/(2*Sqrt[2]*a*d*Sqrt[e]) + Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]]/(2*Sqrt[2]*a*d*Sqrt[e]) + (2*e*(1 - Sec[c + d*x]))/(3*a*d*(e*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(3*a*d*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])}
+{1/((a + a*Sec[c + d*x])*(e*Tan[c + d*x])^(3/2)), x, 19, ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]]/(Sqrt[2]*a*d*e^(3/2)) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]]/(Sqrt[2]*a*d*e^(3/2)) - Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]]/(2*Sqrt[2]*a*d*e^(3/2)) + Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]]/(2*Sqrt[2]*a*d*e^(3/2)) + (2*e*(1 - Sec[c + d*x]))/(5*a*d*(e*Tan[c + d*x])^(5/2)) - (2*(5 - 3*Sec[c + d*x]))/(5*a*d*e*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) + (6*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(5*a*d*e^2*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) - (6*Cos[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(5*a*d*e^3)}
+{1/((a + a*Sec[c + d*x])*(e*Tan[c + d*x])^(5/2)), x, 18, ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]]/(Sqrt[2]*a*d*e^(5/2)) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]]/(Sqrt[2]*a*d*e^(5/2)) + Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]]/(2*Sqrt[2]*a*d*e^(5/2)) - Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]]/(2*Sqrt[2]*a*d*e^(5/2)) + (2*e*(1 - Sec[c + d*x]))/(7*a*d*(e*Tan[c + d*x])^(7/2)) - (2*(7 - 5*Sec[c + d*x]))/(21*a*d*e*(e*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (5*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(21*a*d*e^2*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])}
+
+
+{(e*Tan[c + d*x])^(13/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 22, (e^(13/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a^2*d) - (e^(13/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a^2*d) - (e^(13/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) + (e^(13/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) - (12*e^6*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(5*a^2*d*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) + (2*e^5*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*a^2*d) + (12*e^5*Cos[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(5*a^2*d) - (4*e^5*Sec[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(5*a^2*d) + (2*e^3*(e*Tan[c + d*x])^(7/2))/(7*a^2*d)}
+{(e*Tan[c + d*x])^(11/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 21, (e^(11/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a^2*d) - (e^(11/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + (e^(11/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) - (e^(11/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) + (2*e^6*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(3*a^2*d*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) + (2*e^5*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(a^2*d) - (4*e^5*Sec[c + d*x]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(3*a^2*d) + (2*e^3*(e*Tan[c + d*x])^(5/2))/(5*a^2*d)}
+{(e*Tan[c + d*x])^(9/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 20, -((e^(9/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a^2*d)) + (e^(9/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + (e^(9/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) - (e^(9/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) + (4*e^4*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(a^2*d*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) + (2*e^3*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3*a^2*d) - (4*e^3*Cos[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(a^2*d)}
+{(e*Tan[c + d*x])^(7/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 19, -((e^(7/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a^2*d)) + (e^(7/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a^2*d) - (e^(7/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) + (e^(7/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) - (2*e^4*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(a^2*d*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) + (2*e^3*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(a^2*d)}
+{(e*Tan[c + d*x])^(5/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 21, (e^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a^2*d) - (e^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a^2*d) - (e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) + (e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) - (4*e^3)/(a^2*d*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) + (4*e^3*Cos[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) + (4*e^2*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(a^2*d*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])}
+{(e*Tan[c + d*x])^(3/2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 21, (e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a^2*d) - (e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + (e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) - (e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) - (4*e^3)/(3*a^2*d*(e*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (4*e^3*Sec[c + d*x])/(3*a^2*d*(e*Tan[c + d*x])^(3/2)) + (2*e^2*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(3*a^2*d*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])}
+{Sqrt[e*Tan[c + d*x]]/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 23, -((Sqrt[e]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a^2*d)) + (Sqrt[e]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a^2*d) + (Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) - (Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a^2*d) - (4*e^3)/(5*a^2*d*(e*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (4*e^3*Sec[c + d*x])/(5*a^2*d*(e*Tan[c + d*x])^(5/2)) + (2*e)/(a^2*d*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) - (12*e*Cos[c + d*x])/(5*a^2*d*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) - (12*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(5*a^2*d*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])}
+{1/((a + a*Sec[c + d*x])^2*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]), x, 23, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]]/(Sqrt[2]*a^2*d*Sqrt[e])) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]]/(Sqrt[2]*a^2*d*Sqrt[e]) - Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*Sqrt[e]) + Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*Sqrt[e]) - (4*e^3)/(7*a^2*d*(e*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (4*e^3*Sec[c + d*x])/(7*a^2*d*(e*Tan[c + d*x])^(7/2)) + (2*e)/(3*a^2*d*(e*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (20*e*Sec[c + d*x])/(21*a^2*d*(e*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (10*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(21*a^2*d*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^n (a+a Sec[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^5, x, 8, (-2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + (2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/d + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(3*a*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(5*a^2*d) - (6*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2))/(7*a^3*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(9/2))/(9*a^4*d)}
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^3, x, 6, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - (2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/d - (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(3*a*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(5*a^2*d)}
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x], x, 4, (-2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + (2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 8, -((2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d) + (7*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(4*Sqrt[2]*d) + a/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + a/(2*d*(1 - Sec[c + d*x])*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^5*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 10, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - (107*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(64*Sqrt[2]*d) + (43*a^2)/(96*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - a^2/(4*d*(1 - Sec[c + d*x])^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (15*a^2)/(16*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (21*a)/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^6, x, 4, -((2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d) + (2*a*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*a^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*a^3*Tan[c + d*x]^5)/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (2*a^4*Tan[c + d*x]^7)/(d*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)) + (10*a^5*Tan[c + d*x]^9)/(9*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(9/2)) + (2*a^6*Tan[c + d*x]^11)/(11*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(11/2))}
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^4, x, 4, (2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d - (2*a*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (6*a^3*Tan[c + d*x]^5)/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (2*a^4*Tan[c + d*x]^7)/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2))}
+{Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^2, x, 4, -((2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d) + (2*a*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 5, -((2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d) + (Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*d) - (Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, (2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d - (9*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(8*Sqrt[2]*d) + (7*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(8*d) + (Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(12*a*d) - (Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^3*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(4*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 9, -((2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d) + (151*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(128*Sqrt[2]*d) - (105*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(128*d) - (23*Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(192*a*d) + (87*Cot[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(160*a^2*d) - (17*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^5*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(32*a^2*d) - (Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^5*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(16*a^2*d)}
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^5, x, 9, (-2*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + (2*a*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/d + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(3*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(5*a*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2))/(7*a^2*d) - (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(9/2))/(3*a^3*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(11/2))/(11*a^4*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^3, x, 7, (2*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - (2*a*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/d - (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(5*a*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2))/(7*a^2*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x], x, 5, (-2*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + (2*a*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/d + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - (2*Sqrt[2]*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, (-2*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + (5*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(2*Sqrt[2]*d) + (a*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(2*d*(1 - Sec[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 9, (2*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - (71*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(32*Sqrt[2]*d) + (7*a^2)/(32*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - a^2/(4*d*(1 - Sec[c + d*x])^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (13*a^2)/(16*d*(1 - Sec[c + d*x])*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^6, x, 4, -((2*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d) + (2*a^2*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*a^3*Tan[c + d*x]^3)/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*a^4*Tan[c + d*x]^5)/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (30*a^5*Tan[c + d*x]^7)/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)) + (34*a^6*Tan[c + d*x]^9)/(9*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(9/2)) + (14*a^7*Tan[c + d*x]^11)/(11*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(11/2)) + (2*a^8*Tan[c + d*x]^13)/(13*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(13/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^4, x, 4, (2*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d - (2*a^2*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*Tan[c + d*x]^3)/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (14*a^4*Tan[c + d*x]^5)/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (10*a^5*Tan[c + d*x]^7)/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)) + (2*a^6*Tan[c + d*x]^9)/(9*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(9/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^2, x, 4, -((2*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d) + (2*a^2*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*Tan[c + d*x]^3)/(d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*a^4*Tan[c + d*x]^5)/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, -((2*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d) - (2*a*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d - (a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*d) + (3*a*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(2*d) - (Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((2*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d) + (11*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*d) - (21*a*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(16*d) + (5*Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(24*d) + (3*Cot[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(20*a*d) - (Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^5*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(4*a*d)}
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x]^5, x, 10, (-2*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + (2*a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/d + (2*a*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(3*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(5*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2))/(7*a*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(9/2))/(9*a^2*d) - (6*(a + a*Sec[c + d*x])^(11/2))/(11*a^3*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(13/2))/(13*a^4*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x]^3, x, 8, (2*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - (2*a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/d - (2*a*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(5*d) - (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2))/(7*a*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(9/2))/(9*a^2*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x], x, 6, (-2*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + (2*a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/d + (2*a*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(3*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - (4*Sqrt[2]*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/d + (2*a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (-2*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + (3*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(Sqrt[2]*d) + (a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(d*(1 - Sec[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, (2*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - (43*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(16*Sqrt[2]*d) - (a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(4*d*(1 - Sec[c + d*x])^2) - (11*a^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(16*d*(1 - Sec[c + d*x]))}
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x]^6, x, 4, -((2*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d) + (2*a^3*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*a^4*Tan[c + d*x]^3)/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*a^5*Tan[c + d*x]^5)/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (62*a^6*Tan[c + d*x]^7)/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)) + (98*a^7*Tan[c + d*x]^9)/(9*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(9/2)) + (62*a^8*Tan[c + d*x]^11)/(11*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(11/2)) + (18*a^9*Tan[c + d*x]^13)/(13*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(13/2)) + (2*a^10*Tan[c + d*x]^15)/(15*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(15/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x]^4, x, 4, (2*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d - (2*a^3*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^4*Tan[c + d*x]^3)/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (6*a^5*Tan[c + d*x]^5)/(d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (34*a^6*Tan[c + d*x]^7)/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)) + (14*a^7*Tan[c + d*x]^9)/(9*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(9/2)) + (2*a^8*Tan[c + d*x]^11)/(11*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(11/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x]^2, x, 4, -((2*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d) + (2*a^3*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (14*a^4*Tan[c + d*x]^3)/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*a^5*Tan[c + d*x]^5)/(d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (2*a^6*Tan[c + d*x]^7)/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2))}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 3, -((2*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d) - (4*a^2*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (2*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a^2*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/d - (2*a*Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((2*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d) + (a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(4*Sqrt[2]*d) - (7*a^2*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(4*d) + (a*Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(2*d) - (Cot[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^5/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, (-2*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d) + (2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(a*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(3*a^2*d) - (6*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(5*a^3*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2))/(7*a^4*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 5, (2*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d) - (2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(a*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(3*a^2*d)}
+{Tan[c + d*x]/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 3, (-2*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d)}
+{Cot[c + d*x]/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, (2*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d) - ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) - 1/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^3/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 9, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d)) + (9*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(8*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) - a/(12*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + a/(2*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + 7/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^5/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 11, (2*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d) - (151*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(128*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) + (87*a^2)/(160*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - a^2/(4*d*(1 - Sec[c + d*x])^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (17*a^2)/(16*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (23*a)/(192*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - 105/(128*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+{Tan[c + d*x]^6/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 4, -((2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + (2*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*a^2*Tan[c + d*x]^5)/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (6*a^3*Tan[c + d*x]^7)/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)) + (2*a^4*Tan[c + d*x]^9)/(9*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(9/2))}
+{Tan[c + d*x]^4/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 5, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (2*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*a^2*Tan[c + d*x]^5)/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))}
+{Tan[c + d*x]^2/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 3, (-2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) + (2*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^2/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, -((2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + (7*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(4*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) - (Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(4*a*d) - (Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(4*a*d)}
+{Cot[c + d*x]^4/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 8, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (107*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(64*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) + (21*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(64*a*d) + (43*Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(96*a^2*d) - (15*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^3*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(32*a^2*d) - (Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^3*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(16*a^2*d)}
+{Cot[c + d*x]^6/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 10, -((2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + (835*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(512*Sqrt[2]*Sqrt[a]*d) - (189*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(512*a*d) - (323*Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(768*a^2*d) + (579*Cot[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(640*a^3*d) - (101*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^5*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(128*a^3*d) - (23*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^5*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(192*a^3*d) - (Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^5*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(48*a^3*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (-2*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) + (2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(a^2*d) - (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(a^3*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(5*a^4*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) + (2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(a^2*d)}
+{Tan[c + d*x]/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (-2*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) + 2/(a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, (2*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) - ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - 1/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - 3/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 10, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d)) + (11*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(16*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (3*a)/(20*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + a/(2*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + 5/(24*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + 21/(16*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 12, (2*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) - (203*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(256*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + (139*a^2)/(224*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)) - a^2/(4*d*(1 - Sec[c + d*x])^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)) - (19*a^2)/(16*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)) + (15*a)/(64*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - 53/(384*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - 309/(256*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+{Tan[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + (2*Tan[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*Tan[c + d*x]^5)/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (2*a^2*Tan[c + d*x]^7)/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2))}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - (2*Tan[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (-2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + (2*Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(a^(3/2)*d)}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + (71*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(32*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + (7*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(32*a^2*d) - (13*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(32*a^2*d) - (Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^4*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(16*a^2*d)}
+{Cot[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 9, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - (533*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(256*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (21*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(256*a^2*d) + (277*Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(384*a^3*d) - (81*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^3*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(128*a^3*d) - (7*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^3*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(64*a^3*d) - (Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^3*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(48*a^3*d)}
+{Cot[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 11, -((2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + (16363*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(8192*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (21*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(8192*a^2*d) - (8171*Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(12288*a^3*d) + (12267*Cot[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(10240*a^4*d) - (2045*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^5*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(2048*a^4*d) - (511*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^5*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(3072*a^4*d) - (29*Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^5*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(768*a^4*d) - (Cos[c + d*x]^4*Cot[c + d*x]^5*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^8*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(128*a^4*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (-2*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*d) - (6*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(a^3*d) + (2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(3*a^4*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (2*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*d) - 4/(a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (-2*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*d) + 2/(3*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + 2/(a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 9, (2*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*d) - ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]/(4*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - 1/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - 1/(2*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - 7/(4*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 11, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*d)) + (13*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(32*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (5*a)/(28*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)) + a/(2*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)) + 3/(40*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + 19/(48*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + 51/(32*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^5/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 13, (2*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*d) - (263*ArcTanh[Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])])/(512*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + (199*a^2)/(288*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(9/2)) - a^2/(4*d*(1 - Sec[c + d*x])^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(9/2)) - (21*a^2)/(16*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(9/2)) + (135*a)/(448*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)) + 7/(640*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - 83/(256*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - 761/(512*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+{Tan[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + (2*Tan[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*Tan[c + d*x]^3)/(3*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*Tan[c + d*x]^5)/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - (4*Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(a^(5/2)*d) + (2*Tan[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, -((2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + (3*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + (Sec[(1/2)*(c + d*x)]^2*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + (319*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(128*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + (63*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(128*a^3*d) - (191*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(384*a^3*d) - (19*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^4*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(192*a^3*d) - (Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^6*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(48*a^3*d)}
+{Cot[c + d*x]^4/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 10, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - (9683*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(4096*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (1491*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(4096*a^3*d) + (5587*Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(6144*a^4*d) - (1527*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^3*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(2048*a^4*d) - (145*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^3*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(1024*a^4*d) - (9*Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^3*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(256*a^4*d) - (Cos[c + d*x]^4*Cot[c + d*x]^3*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^8*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(128*a^4*d)}
+{Cot[c + d*x]^6/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 12, -((2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + (74461*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(32768*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + (8925*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])/(32768*a^3*d) - (41693*Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))/(49152*a^4*d) + (58077*Cot[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(40960*a^5*d) - (9467*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^5*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(8192*a^5*d) - (2473*Cos[c + d*x]^2*Cot[c + d*x]^5*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(12288*a^5*d) - (155*Cos[c + d*x]^3*Cot[c + d*x]^5*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(3072*a^5*d) - (7*Cos[c + d*x]^4*Cot[c + d*x]^5*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^8*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(512*a^5*d) - (Cos[c + d*x]^5*Cot[c + d*x]^5*Sec[(1/2)*(c + d*x)]^10*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2))/(320*a^5*d)}
+
+
+{Tan[e + f*x]^2/(a + a*Sec[e + f*x])^(9/2), x, -7, -((2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(9/2)*f)) + (91*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(32*Sqrt[2]*a^(9/2)*f) + Tan[e + f*x]/(3*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(7/2)) + (11*Tan[e + f*x])/(24*a^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (27*Tan[e + f*x])/(32*a^3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m with m and/or n symbolic*)
+
+
+{(e*Tan[c + d*x])^m*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 1, (2^(1 + m + n)*AppellF1[(1 + m)/2, m + n, 1, (3 + m)/2, -((a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])), (a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])]*(1/(1 + Sec[c + d*x]))^(1 + m + n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*(e*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m))}
+
+
+{(e*Tan[c + d*x])^m*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (3*a^3*(e*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)) + (a^3*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*(e*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)) + (3*a^3*(Cos[c + d*x]^2)^((2 + m)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, (2 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)) + (a^3*(Cos[c + d*x]^2)^((4 + m)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, (4 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^3*(e*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m))}
+{(e*Tan[c + d*x])^m*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (a^2*(e*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)) + (a^2*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*(e*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)) + (2*a^2*(Cos[c + d*x]^2)^((2 + m)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, (2 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m))}
+{(e*Tan[c + d*x])^m*(a + a*Sec[c + d*x])^1, x, 4, (a*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*(e*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)) + (a*(Cos[c + d*x]^2)^((2 + m)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, (2 + m)/2, (3 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m))}
+{(e*Tan[c + d*x])^m/(a + a*Sec[c + d*x])^1, x, 5, (e*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + m), (1 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*(e*Tan[c + d*x])^(-1 + m))/(a*d*(1 - m)) - (e*(Cos[c + d*x]^2)^(m/2)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 + m), m/2, (1 + m)/2, Sin[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(-1 + m))/(a*d*(1 - m))}
+{(e*Tan[c + d*x])^m/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, -((e^3*(e*Tan[c + d*x])^(-3 + m))/(a^2*d*(3 - m))) - (e^3*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-3 + m), (1/2)*(-1 + m), -Tan[c + d*x]^2]*(e*Tan[c + d*x])^(-3 + m))/(a^2*d*(3 - m)) + (2*e^3*(Cos[c + d*x]^2)^((1/2)*(-2 + m))*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 + m), (1/2)*(-2 + m), (1/2)*(-1 + m), Sin[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(-3 + m))/(a^2*d*(3 - m))}
+{(e*Tan[c + d*x])^m/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (3*e^5*(e*Tan[c + d*x])^(-5 + m))/(a^3*d*(5 - m)) + (e^5*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-5 + m), (1/2)*(-3 + m), -Tan[c + d*x]^2]*(e*Tan[c + d*x])^(-5 + m))/(a^3*d*(5 - m)) - (3*e^5*(Cos[c + d*x]^2)^((1/2)*(-4 + m))*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-5 + m), (1/2)*(-4 + m), (1/2)*(-3 + m), Sin[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(-5 + m))/(a^3*d*(5 - m)) - (e^5*(Cos[c + d*x]^2)^((1/2)*(-2 + m))*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-5 + m), (1/2)*(-2 + m), (1/2)*(-3 + m), Sin[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^3*(e*Tan[c + d*x])^(-5 + m))/(a^3*d*(5 - m))}
+
+
+{(e*Tan[c + d*x])^m*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 1, (2^(5/2 + m)*AppellF1[(1 + m)/2, 3/2 + m, 1, (3 + m)/2, -((a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])), (a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])]*(1/(1 + Sec[c + d*x]))^(5/2 + m)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(e*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m))}
+{(e*Tan[c + d*x])^m*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 1, (2^(3/2 + m)*AppellF1[(1 + m)/2, 1/2 + m, 1, (3 + m)/2, -((a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])), (a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])]*(1/(1 + Sec[c + d*x]))^(3/2 + m)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(e*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m))}
+{(e*Tan[c + d*x])^m/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 1, (2^(1/2 + m)*AppellF1[(1 + m)/2, -(1/2) + m, 1, (3 + m)/2, -((a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])), (a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])]*(1/(1 + Sec[c + d*x]))^(1/2 + m)*(e*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(e*Tan[c + d*x])^m/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 1, (2^(-(1/2) + m)*AppellF1[(1 + m)/2, -(3/2) + m, 1, (3 + m)/2, -((a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])), (a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])]*(1/(1 + Sec[c + d*x]))^(-(1/2) + m)*(e*Tan[c + d*x])^(1 + m))/(d*e*(1 + m)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^7*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 4, (7*(a + a*Sec[c + d*x])^(4 + n))/(a^4*d*(4 + n)) + (Hypergeometric2F1[1, 4 + n, 5 + n, 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(4 + n))/(a^4*d*(4 + n)) - (5*(a + a*Sec[c + d*x])^(5 + n))/(a^5*d*(5 + n)) + (a + a*Sec[c + d*x])^(6 + n)/(a^6*d*(6 + n))}
+{Tan[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 4, -((3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3 + n))/(a^3*d*(3 + n))) - (Hypergeometric2F1[1, 3 + n, 4 + n, 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3 + n))/(a^3*d*(3 + n)) + (a + a*Sec[c + d*x])^(4 + n)/(a^4*d*(4 + n))}
+{Tan[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 3, (a + a*Sec[c + d*x])^(2 + n)/(a^2*d*(2 + n)) + (Hypergeometric2F1[1, 2 + n, 3 + n, 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2 + n))/(a^2*d*(2 + n))}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 2, -((Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(1 + n)))}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 4, -((Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x])]*(a + a*Sec[c + d*x])^n)/(2*d*n)) + (Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^n)/(d*n)}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 5, -((a*(4 - n)*Hypergeometric2F1[1, -1 + n, n, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(-1 + n))/(4*d*(1 - n))) + (a*Hypergeometric2F1[1, -1 + n, n, 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(-1 + n))/(d*(1 - n)) + (a*(a + a*Sec[c + d*x])^(-1 + n))/(2*d*(1 - Sec[c + d*x]))}
+
+{Tan[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 1, (2^(5 + n)*AppellF1[5/2, 4 + n, 1, 7/2, -((a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])), (a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])]*(1/(1 + Sec[c + d*x]))^(5 + n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 1, (2^(3 + n)*AppellF1[3/2, 2 + n, 1, 5/2, -((a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])), (a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])]*(1/(1 + Sec[c + d*x]))^(3 + n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 1, -((2^(-1 + n)*AppellF1[-(1/2), -2 + n, 1, 1/2, -((a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])), (a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])]*Cot[c + d*x]*(1/(1 + Sec[c + d*x]))^(-1 + n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n)/d)}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 1, -((2^(-3 + n)*AppellF1[-(3/2), -4 + n, 1, -(1/2), -((a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])), (a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])]*Cot[c + d*x]^3*(1/(1 + Sec[c + d*x]))^(-3 + n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n)/(3*d))}
+
+
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 1, (1/(5*d))*(2^(7/2 + n)*AppellF1[5/4, 3/2 + n, 1, 9/4, -((a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])), (a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])]*(1/(1 + Sec[c + d*x]))^(5/2 + n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x]^(5/2))}
+{Tan[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 1, (1/(3*d))*(2^(5/2 + n)*AppellF1[3/4, 1/2 + n, 1, 7/4, -((a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])), (a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])]*(1/(1 + Sec[c + d*x]))^(3/2 + n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x]^(3/2))}
+{1/Tan[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 1, (1/d)*(2^(3/2 + n)*AppellF1[1/4, -(1/2) + n, 1, 5/4, -((a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])), (a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])]*(1/(1 + Sec[c + d*x]))^(1/2 + n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{1/Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 1, -((2^(1/2 + n)*AppellF1[-(1/4), -(3/2) + n, 1, 3/4, -((a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])), (a - a*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])]*(1/(1 + Sec[c + d*x]))^(-(1/2) + n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n)/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 17, -((2*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(3*d)) - (a*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]*Tan[c + d*x]^2)/(3*d) + (a*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(Sqrt[2]*d) - (a*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(Sqrt[2]*d) + (a*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(5/2))/(2*Sqrt[2]*d) - (a*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(5/2))/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 18, -((2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/d) - (2*a*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sin[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) + (a*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(Sqrt[2]*d) - (a*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(Sqrt[2]*d) - (a*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(3/2))/(2*Sqrt[2]*d) + (a*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(3/2))/(2*Sqrt[2]*d) + (2*a*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x]*Tan[c + d*x]^2)/d}
+{Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 16, (a*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/d - (a*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*d) + (a*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*d) - (a*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (a*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/Sqrt[e*Cot[c + d*x]], x, 17, (2*a*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) - (2*a*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2])/(d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) - (a*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + (a*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + (a*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (a*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])/(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 17, (2*Cot[c + d*x]*(3*a + a*Sec[c + d*x]))/(3*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) - (a*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(3*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) + (a*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (a*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (a*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (a*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 21, -((4*a^2*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(3*d)) - (4*a^2*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*d) - (2*a^2*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]*Tan[c + d*x]^2)/(3*d) + (a^2*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(Sqrt[2]*d) - (a^2*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x]^(5/2))/(Sqrt[2]*d) + (a^2*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(5/2))/(2*Sqrt[2]*d) - (a^2*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(5/2))/(2*Sqrt[2]*d)}
+{(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 21, -((4*a^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/d) - (4*a^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/d - (4*a^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sin[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) + (a^2*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(Sqrt[2]*d) - (a^2*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(Sqrt[2]*d) - (a^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(3/2))/(2*Sqrt[2]*d) + (a^2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(3/2))/(2*Sqrt[2]*d)}
+{Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 19, (2*a^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/d - (a^2*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*d) + (a^2*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*d) - (a^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (a^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) + (2*a^2*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/Sqrt[e*Cot[c + d*x]], x, 20, (4*a^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) - (4*a^2*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2])/(d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) - (a^2*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + (a^2*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + (a^2*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - (a^2*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + (2*a^2*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2/(e*Cot[c + d*x])^(3/2), x, 21, (2*a^2*Cot[c + d*x])/(d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) + (4*a^2*Csc[c + d*x])/(3*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) - (2*a^2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(3*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) + (a^2*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (a^2*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (a^2*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2)) - (a^2*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*a^2*Tan[c + d*x])/(5*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e*Cot[c + d*x])^(3/2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 20, (2*Cot[c + d*x]*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*(1 - Sec[c + d*x]))/(5*a*d) - (2*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*(5 - 3*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(5*a*d) + (6*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sin[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(5*a*d*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) + (ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(Sqrt[2]*a*d) - (ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2))/(Sqrt[2]*a*d) - ((e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(3/2))/(2*Sqrt[2]*a*d) + ((e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Tan[c + d*x]^(3/2))/(2*Sqrt[2]*a*d) - (6*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x]*Tan[c + d*x]^2)/(5*a*d)}
+{Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 18, (2*Cot[c + d*x]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*(1 - Sec[c + d*x]))/(3*a*d) - (Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(3*a*d) - (ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d) + (ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(Sqrt[2]*a*d) - (Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a*d) + (Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a*d)}
+{1/(Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 19, (2*Cot[c + d*x]*(1 - Sec[c + d*x]))/(a*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) + (2*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) - (2*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2])/(a*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) - ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{1/((e*Cot[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 17, (Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(a*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) + ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2)) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2)) + Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2)) - Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2))}
+{1/((e*Cot[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 18, (2*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x])/(a*d*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)) - (2*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2])/(a*d*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) + ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x]^(5/2)) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x]^(5/2)) - Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x]^(5/2)) + Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x]^(5/2))}
+{1/((e*Cot[c + d*x])^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 18, -((2*Cot[c + d*x]^3*(3 - Sec[c + d*x]))/(3*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(7/2))) - (Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(3*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(7/2)) - ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x]^(7/2)) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x]^(7/2)) - Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x]^(7/2)) + Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x]^(7/2))}
+{1/((e*Cot[c + d*x])^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 19, -((6*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^3)/(5*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(9/2))) - (2*Cot[c + d*x]^3*(5 - 3*Sec[c + d*x]))/(15*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(9/2)) + (6*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^4*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2])/(5*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(9/2)*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) - ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(9/2)*Tan[c + d*x]^(9/2)) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(9/2)*Tan[c + d*x]^(9/2)) + Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(9/2)*Tan[c + d*x]^(9/2)) - Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a*d*(e*Cot[c + d*x])^(9/2)*Tan[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+{1/(Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 24, (2*Cot[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) - (12*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x])/(5*a^2*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) - (4*Cot[c + d*x]^3)/(5*a^2*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) + (4*Cot[c + d*x]^2*Csc[c + d*x])/(5*a^2*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]) - (12*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2])/(5*a^2*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) - ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a^2*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a^2*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]) + Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]]) - Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*Sqrt[Tan[c + d*x]])}
+{1/((e*Cot[c + d*x])^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 22, -((4*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2))) + (4*Cot[c + d*x]^2*Csc[c + d*x])/(3*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) + (2*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(3*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)) + ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2)) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2)) + Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2)) - Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2))}
+{1/((e*Cot[c + d*x])^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 22, -((4*Cot[c + d*x]^3)/(a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(5/2))) + (4*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^3)/(a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)) + (4*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^2*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2])/(a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) + ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x]^(5/2)) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x]^(5/2)) - Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x]^(5/2)) + Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x]^(5/2))}
+{1/((e*Cot[c + d*x])^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 20, (2*Cot[c + d*x]^3)/(a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(7/2)) - (2*Cot[c + d*x]^3*Csc[c + d*x]*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(7/2)) - ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x]^(7/2)) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x]^(7/2)) - Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x]^(7/2)) + Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x]^(7/2))}
+{1/((e*Cot[c + d*x])^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 21, (2*Cot[c + d*x]^3)/(3*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(9/2)) - (4*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^3)/(a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(9/2)) + (4*Cos[c + d*x]*Cot[c + d*x]^4*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2])/(a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(9/2)*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) - ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(9/2)*Tan[c + d*x]^(9/2)) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(9/2)*Tan[c + d*x]^(9/2)) + Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(9/2)*Tan[c + d*x]^(9/2)) - Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(9/2)*Tan[c + d*x]^(9/2))}
+{1/((e*Cot[c + d*x])^(11/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 22, (2*Cot[c + d*x]^3)/(5*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(11/2)) + (2*Cot[c + d*x]^5)/(a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(11/2)) - (4*Cot[c + d*x]^4*Csc[c + d*x])/(3*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(11/2)) + (2*Cot[c + d*x]^5*Csc[c + d*x]*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(3*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(11/2)) + ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(11/2)*Tan[c + d*x]^(11/2)) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]]/(Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(11/2)*Tan[c + d*x]^(11/2)) + Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(11/2)*Tan[c + d*x]^(11/2)) - Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + Tan[c + d*x]]/(2*Sqrt[2]*a^2*d*(e*Cot[c + d*x])^(11/2)*Tan[c + d*x]^(11/2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^m (a+b Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^n (a+b Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^7, x, 7, (a*Log[Cos[c + d*x]])/d - (16*b*Sec[c + d*x])/(35*d) + ((35*a + 16*b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^2)/(70*d) - ((35*a + 24*b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^4)/(140*d) + ((7*a + 6*b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^6)/(42*d)}
+{(a + b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^5, x, 6, -((a*Log[Cos[c + d*x]])/d) + (8*b*Sec[c + d*x])/(15*d) - ((15*a + 8*b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^2)/(30*d) + ((5*a + 4*b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^4)/(20*d)}
+{(a + b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^3, x, 5, (a*Log[Cos[c + d*x]])/d - (2*b*Sec[c + d*x])/(3*d) + ((3*a + 2*b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^2)/(6*d)}
+{(a + b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^1, x, 4, -((a*Log[Cos[c + d*x]])/d) + (b*Sec[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, ((a + b)*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(2*d) + ((a - b)*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, -(((2*a + b)*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(4*d)) - ((2*a - b)*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(4*d) - (Cot[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x]))/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, ((8*a + 3*b)*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(16*d) + ((8*a - 3*b)*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(16*d) - (Cot[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x]))/(4*d) + (Cot[c + d*x]^2*(4*a + 3*b*Sec[c + d*x]))/(8*d)}
+{Cot[c + d*x]^7*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, -(((16*a + 5*b)*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(32*d)) - ((16*a - 5*b)*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(32*d) - (Cot[c + d*x]^6*(a + b*Sec[c + d*x]))/(6*d) + (Cot[c + d*x]^4*(6*a + 5*b*Sec[c + d*x]))/(24*d) - (Cot[c + d*x]^2*(8*a + 5*b*Sec[c + d*x]))/(16*d)}
+
+{(a + b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^6, x, 5, (-a)*x - (5*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + ((16*a + 5*b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(16*d) - ((8*a + 5*b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^3)/(24*d) + ((6*a + 5*b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^5)/(30*d)}
+{(a + b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^4, x, 4, a*x + (3*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - ((8*a + 3*b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(8*d) + ((4*a + 3*b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^3)/(12*d)}
+{(a + b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x]^2, x, 3, (-a)*x - (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((2*a + b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 2, (-a)*x - (Cot[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x]))/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 3, a*x - (Cot[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x]))/(3*d) + (Cot[c + d*x]*(3*a + 2*b*Sec[c + d*x]))/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 4, (-a)*x - (Cot[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x]))/(5*d) + (Cot[c + d*x]^3*(5*a + 4*b*Sec[c + d*x]))/(15*d) - (Cot[c + d*x]*(15*a + 8*b*Sec[c + d*x]))/(15*d)}
+{Cot[c + d*x]^8*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, a*x - (Cot[c + d*x]^7*(a + b*Sec[c + d*x]))/(7*d) + (Cot[c + d*x]^5*(7*a + 6*b*Sec[c + d*x]))/(35*d) + (Cot[c + d*x]*(35*a + 16*b*Sec[c + d*x]))/(35*d) - (Cot[c + d*x]^3*(35*a + 24*b*Sec[c + d*x]))/(105*d)}
+
+
+{(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x]^9, x, 3, -((a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d) + (2*a*b*Sec[c + d*x])/d - (2*a^2*Sec[c + d*x]^2)/d - (8*a*b*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^2*Sec[c + d*x]^4)/(2*d) + (12*a*b*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a^2*Sec[c + d*x]^6)/(3*d) - (8*a*b*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) + (a^2*Sec[c + d*x]^8)/(8*d) + (2*a*b*Sec[c + d*x]^9)/(9*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^10)/(10*d), -((a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d) + (2*a*b*Sec[c + d*x])/d - ((4*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) - (8*a*b*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + ((3*a^2 - 2*b^2)*Sec[c + d*x]^4)/(2*d) + (12*a*b*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) - ((2*a^2 - 3*b^2)*Sec[c + d*x]^6)/(3*d) - (8*a*b*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) + ((a^2 - 4*b^2)*Sec[c + d*x]^8)/(8*d) + (2*a*b*Sec[c + d*x]^9)/(9*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^10)/(10*d)}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x]^7, x, 3, (a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d - (2*a*b*Sec[c + d*x])/d + (3*a^2*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (2*a*b*Sec[c + d*x]^3)/d - (3*a^2*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) - (6*a*b*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^2*Sec[c + d*x]^6)/(6*d) + (2*a*b*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^8)/(8*d), (a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d - (2*a*b*Sec[c + d*x])/d + ((3*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (2*a*b*Sec[c + d*x]^3)/d - (3*(a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) - (6*a*b*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + ((a^2 - 3*b^2)*Sec[c + d*x]^6)/(6*d) + (2*a*b*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^8)/(8*d)}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x]^5, x, 3, -((a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d) + (2*a*b*Sec[c + d*x])/d - (a^2*Sec[c + d*x]^2)/d - (4*a*b*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) + (2*a*b*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^6)/(6*d), -((a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d) + (2*a*b*Sec[c + d*x])/d - ((2*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) - (4*a*b*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) + (2*a*b*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^6)/(6*d)}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x]^3, x, 3, (a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d - (2*a*b*Sec[c + d*x])/d + ((a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (2*a*b*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x]^1, x, 3, -((a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d) + (2*a*b*Sec[c + d*x])/d + (b^2*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 3, (a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d + ((a + b)^2*Log[1 - Sec[c + d*x]])/(2*d) + ((a - b)^2*Log[1 + Sec[c + d*x]])/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 4, -((a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d) - (a*(a + b)*Log[1 - Sec[c + d*x]])/(2*d) - (a*(a - b)*Log[1 + Sec[c + d*x]])/(2*d) - (Cot[c + d*x]^2*(a^2 + b^2 + 2*a*b*Sec[c + d*x]))/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (a^2*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a*(4*a + 3*b)*Log[1 - Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a*(4*a - 3*b)*Log[1 + Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a*Cot[c + d*x]^2*(2*a + 3*b*Sec[c + d*x]))/(4*d) - (Cot[c + d*x]^4*(a^2 + b^2 + 2*a*b*Sec[c + d*x]))/(4*d)}
+
+{(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x]^6, x, 12, (-a^2)*x - (5*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*Tan[c + d*x])/d + (5*a*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) - (a^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*a*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(12*d) + (a^2*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^5)/(3*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x]^4, x, 10, a^2*x + (3*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) - (a^2*Tan[c + d*x])/d - (3*a*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(2*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x]^2, x, 8, (-a^2)*x - (a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*Tan[c + d*x])/d + (a*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/d + (b^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (-a^2)*x - (a^2*Cot[c + d*x])/d - (b^2*Cot[c + d*x])/d - (2*a*b*Csc[c + d*x])/d}
+{Cot[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, a^2*x + (a^2*Cot[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a*b*Csc[c + d*x])/d - (2*a*b*Csc[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cot[c + d*x]^6*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 11, (-a^2)*x - (a^2*Cot[c + d*x])/d + (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a*b*Csc[c + d*x])/d + (4*a*b*Csc[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*a*b*Csc[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cot[c + d*x]^8*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 12, a^2*x + (a^2*Cot[c + d*x])/d - (a^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^2*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) - (b^2*Cot[c + d*x]^7)/(7*d) + (2*a*b*Csc[c + d*x])/d - (2*a*b*Csc[c + d*x]^3)/d + (6*a*b*Csc[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*a*b*Csc[c + d*x]^7)/(7*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^9/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 3, -(Log[Cos[c + d*x]]/(a*d)) - ((a^2 - b^2)^4*Log[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*b^8*d) + ((a^6 - 4*a^4*b^2 + 6*a^2*b^4 - 4*b^6)*Sec[c + d*x])/(b^7*d) - (a*(a^4 - 4*a^2*b^2 + 6*b^4)*Sec[c + d*x]^2)/(2*b^6*d) + ((a^4 - 4*a^2*b^2 + 6*b^4)*Sec[c + d*x]^3)/(3*b^5*d) - (a*(a^2 - 4*b^2)*Sec[c + d*x]^4)/(4*b^4*d) + ((a^2 - 4*b^2)*Sec[c + d*x]^5)/(5*b^3*d) - (a*Sec[c + d*x]^6)/(6*b^2*d) + Sec[c + d*x]^7/(7*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^7/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 3, Log[Cos[c + d*x]]/(a*d) - ((a^2 - b^2)^3*Log[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*b^6*d) + ((a^4 - 3*a^2*b^2 + 3*b^4)*Sec[c + d*x])/(b^5*d) - (a*(a^2 - 3*b^2)*Sec[c + d*x]^2)/(2*b^4*d) + ((a^2 - 3*b^2)*Sec[c + d*x]^3)/(3*b^3*d) - (a*Sec[c + d*x]^4)/(4*b^2*d) + Sec[c + d*x]^5/(5*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^5/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 3, -(Log[Cos[c + d*x]]/(a*d)) - ((a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*b^4*d) + ((a^2 - 2*b^2)*Sec[c + d*x])/(b^3*d) - (a*Sec[c + d*x]^2)/(2*b^2*d) + Sec[c + d*x]^3/(3*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 3, Log[Cos[c + d*x]]/(a*d) - ((a^2 - b^2)*Log[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*b^2*d) + Sec[c + d*x]/(b*d)}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 4, -(Log[Cos[c + d*x]]/(a*d)) - Log[a + b*Sec[c + d*x]]/(a*d)}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 3, Log[Cos[c + d*x]]/(a*d) + Log[1 - Sec[c + d*x]]/(2*(a + b)*d) + Log[1 + Sec[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) - (b^2*Log[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)*d)}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 3, -(Log[Cos[c + d*x]]/(a*d)) - ((2*a + 3*b)*Log[1 - Sec[c + d*x]])/(4*(a + b)^2*d) - ((2*a - 3*b)*Log[1 + Sec[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*d) - (b^4*Log[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)^2*d) + 1/(4*(a + b)*d*(1 - Sec[c + d*x])) + 1/(4*(a - b)*d*(1 + Sec[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^5/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 3, Log[Cos[c + d*x]]/(a*d) + ((8*a^2 + 21*a*b + 15*b^2)*Log[1 - Sec[c + d*x]])/(16*(a + b)^3*d) + ((8*a^2 - 21*a*b + 15*b^2)*Log[1 + Sec[c + d*x]])/(16*(a - b)^3*d) - (b^6*Log[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)^3*d) - 1/(16*(a + b)*d*(1 - Sec[c + d*x])^2) - (5*a + 7*b)/(16*(a + b)^2*d*(1 - Sec[c + d*x])) - 1/(16*(a - b)*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - (5*a - 7*b)/(16*(a - b)^2*d*(1 + Sec[c + d*x]))}
+
+{Tan[c + d*x]^6/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 15, -(x/a) + ((8*a^4 - 20*a^2*b^2 + 15*b^4)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*b^5*d) - (2*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*b^5*d) - (a*(a^2 - 2*b^2)*Tan[c + d*x])/(b^4*d) + ((4*a^2 - 7*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*b^3*d) - (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*b^2*d) + (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(4*b*d), -(x/a) + (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*b*d) + ((a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^3*d) + ((a^4 - 3*a^2*b^2 + 3*b^4)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^5*d) - (2*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*b^5*d) - (a*Tan[c + d*x])/(b^2*d) - (a*(a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(b^4*d) + (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*b*d) + ((a^2 - 3*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^3*d) + (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*b*d) - (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*b^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, x/a + ((2*a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^3*d) - (2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*b^3*d) - (a*Tan[c + d*x])/(b^2*d) + (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, -(x/a) + ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(b*d) - (2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*b*d)}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 9, -(x/a) - (2*b^3*ArcTanh[(Sqrt[a^2 - b^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/(a + b)])/(a*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (a*Cot[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) + (b*Csc[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d), -((a*x)/(a^2 - b^2)) + (b^2*x)/(a*(a^2 - b^2)) - (2*b^3*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - (a*Cot[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) + (b*Csc[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d)}
+{Cot[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 15, x/a - (2*b^5*ArcTanh[(Sqrt[a^2 - b^2]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/(a + b)])/(a*(a^2 - b^2)^(5/2)*d) + (a*(a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d) - (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*(a^2 - b^2)*d) - (b*(a^2 - 2*b^2)*Csc[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d) + (b*Csc[c + d*x]^3)/(3*(a^2 - b^2)*d), -((a*b^2*x)/(a^2 - b^2)^2) + (b^4*x)/(a*(a^2 - b^2)^2) + (a*x)/(a^2 - b^2) - (2*b^5*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (a*b^2*Cot[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d) + (a*Cot[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) - (a*Cot[c + d*x]^3)/(3*(a^2 - b^2)*d) + (b^3*Csc[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d) - (b*Csc[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d) + (b*Csc[c + d*x]^3)/(3*(a^2 - b^2)*d)}
+
+
+{Tan[c + d*x]^9/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 3, -(Log[Cos[c + d*x]]/(a^2*d)) + ((a^2 - b^2)^3*(7*a^2 + b^2)*Log[a + b*Sec[c + d*x]])/(a^2*b^8*d) - (2*a*(3*a^4 - 8*a^2*b^2 + 6*b^4)*Sec[c + d*x])/(b^7*d) + ((5*a^4 - 12*a^2*b^2 + 6*b^4)*Sec[c + d*x]^2)/(2*b^6*d) - (4*a*(a^2 - 2*b^2)*Sec[c + d*x]^3)/(3*b^5*d) + ((3*a^2 - 4*b^2)*Sec[c + d*x]^4)/(4*b^4*d) - (2*a*Sec[c + d*x]^5)/(5*b^3*d) + Sec[c + d*x]^6/(6*b^2*d) + (a^2 - b^2)^4/(a*b^8*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^7/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 3, Log[Cos[c + d*x]]/(a^2*d) + ((a^2 - b^2)^2*(5*a^2 + b^2)*Log[a + b*Sec[c + d*x]])/(a^2*b^6*d) - (2*a*(2*a^2 - 3*b^2)*Sec[c + d*x])/(b^5*d) + (3*(a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^2)/(2*b^4*d) - (2*a*Sec[c + d*x]^3)/(3*b^3*d) + Sec[c + d*x]^4/(4*b^2*d) + (a^2 - b^2)^3/(a*b^6*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^5/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 3, -(Log[Cos[c + d*x]]/(a^2*d)) + ((a^2 - b^2)*(3*a^2 + b^2)*Log[a + b*Sec[c + d*x]])/(a^2*b^4*d) - (2*a*Sec[c + d*x])/(b^3*d) + Sec[c + d*x]^2/(2*b^2*d) + (a^2 - b^2)^2/(a*b^4*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 3, Log[Cos[c + d*x]]/(a^2*d) + ((a^2 + b^2)*Log[a + b*Sec[c + d*x]])/(a^2*b^2*d) + (a^2 - b^2)/(a*b^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 3, -(Log[Cos[c + d*x]]/(a^2*d)) - Log[a + b*Sec[c + d*x]]/(a^2*d) + 1/(a*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 3, Log[Cos[c + d*x]]/(a^2*d) + Log[1 - Sec[c + d*x]]/(2*(a + b)^2*d) + Log[1 + Sec[c + d*x]]/(2*(a - b)^2*d) - (b^2*(3*a^2 - b^2)*Log[a + b*Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)^2*d) + b^2/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 3, -(Log[Cos[c + d*x]]/(a^2*d)) - ((a + 2*b)*Log[1 - Sec[c + d*x]])/(2*(a + b)^3*d) - ((a - 2*b)*Log[1 + Sec[c + d*x]])/(2*(a - b)^3*d) - (b^4*(5*a^2 - b^2)*Log[a + b*Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)^3*d) + 1/(4*(a + b)^2*d*(1 - Sec[c + d*x])) + 1/(4*(a - b)^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) + b^4/(a*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^5/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 3, Log[Cos[c + d*x]]/(a^2*d) + ((4*a^2 + 13*a*b + 12*b^2)*Log[1 - Sec[c + d*x]])/(8*(a + b)^4*d) + ((4*a^2 - 13*a*b + 12*b^2)*Log[1 + Sec[c + d*x]])/(8*(a - b)^4*d) - (b^6*(7*a^2 - b^2)*Log[a + b*Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)^4*d) - 1/(16*(a + b)^2*d*(1 - Sec[c + d*x])^2) - (5*a + 9*b)/(16*(a + b)^3*d*(1 - Sec[c + d*x])) - 1/(16*(a - b)^2*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - (5*a - 9*b)/(16*(a - b)^3*d*(1 + Sec[c + d*x])) + b^6/(a*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+{Tan[c + d*x]^6/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 16, -(x/a^2) - (a*(4*a^2 - 5*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^5*d) + (2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*(4*a^2 + b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*b^5*d) + ((a^2 - b^2)^2*Sin[c + d*x])/(a*b^4*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + ((3*a^2 - 2*b^2)*Tan[c + d*x])/(b^4*d) - (a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(b^3*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*b^2*d), -(x/a^2) - (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^3*d) - (2*a*(2*a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^5*d) - (2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*b^3*d) + (4*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*(2*a^2 + b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*b^5*d) + ((a^2 - b^2)^2*Sin[c + d*x])/(a*b^4*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + Tan[c + d*x]/(b^2*d) + (3*(a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/(b^4*d) - (a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(b^3*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*b^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, x/a^2 - (2*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^3*d) + (2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*(2*a^2 + b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*b^3*d) + ((2*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/(a*b^2*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + Tan[c + d*x]/(b*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, -(x/a^2) + (2*b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) + Tan[c + d*x]/(a*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 11, -(x/a^2) - (2*b^5*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (4*b^3*(2*a^2 - b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(2*(a + b)^2*d*(1 - Cos[c + d*x])) + Sin[c + d*x]/(2*(a - b)^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + (b^4*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{Cot[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 15, x/a^2 - (2*b^7*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - (4*b^5*(3*a^2 - b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - Sin[c + d*x]/(12*(a + b)^2*d*(1 - Cos[c + d*x])^2) - Sin[c + d*x]/(12*(a + b)^2*d*(1 - Cos[c + d*x])) + ((3*a + 5*b)*Sin[c + d*x])/(4*(a + b)^3*d*(1 - Cos[c + d*x])) + Sin[c + d*x]/(12*(a - b)^2*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - ((3*a - 5*b)*Sin[c + d*x])/(4*(a - b)^3*d*(1 + Cos[c + d*x])) + Sin[c + d*x]/(12*(a - b)^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + (b^6*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)^3*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^(n/2) (a+b Sec[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e*Tan[c + d*x])^(5/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 38, (a*e^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*b^2*d) - ((a^2 - b^2)*e^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*b^2*d) - (a*e^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*b^2*d) + ((a^2 - b^2)*e^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*b^2*d) - (a*e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*b^2*d) + ((a^2 - b^2)*e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*b^2*d) + (a*e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*b^2*d) - ((a^2 - b^2)*e^(5/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*b^2*d) + (2*Sqrt[2]*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[-(Sqrt[a - b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[Sin[c + d*x]]/Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]], -1]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(a*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (2*Sqrt[2]*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*e^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[Sqrt[a - b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[Sin[c + d*x]]/Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]], -1]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(a*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (2*e^2*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) + (2*e*Cos[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/(b*d)}
+{(e*Tan[c + d*x])^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 35, (a*e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*b^2*d) - ((a^2 - b^2)*e^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*b^2*d) - (a*e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*b^2*d) + ((a^2 - b^2)*e^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*b^2*d) + (a*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*b^2*d) - ((a^2 - b^2)*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*b^2*d) - (a*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*b^2*d) + ((a^2 - b^2)*e^(3/2)*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*b^2*d) - (2*Sqrt[2]*Sqrt[a^2 - b^2]*e^2*EllipticPi[b/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), ArcSin[Sqrt[-Cos[c + d*x]]/Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]], -1]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a*b*d*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) + (2*Sqrt[2]*Sqrt[a^2 - b^2]*e^2*EllipticPi[b/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), ArcSin[Sqrt[-Cos[c + d*x]]/Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]], -1]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a*b*d*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) + (e^2*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(b*d*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])}
+{(e*Tan[c + d*x])^(1/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 21, -((Sqrt[e]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*d)) + (Sqrt[e]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*d) + (Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*d) - (Sqrt[e]*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*d) + (2*Sqrt[2]*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[-(Sqrt[a - b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[Sin[c + d*x]]/Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]], -1]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (2*Sqrt[2]*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[Sqrt[a - b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[Sin[c + d*x]]/Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]], -1]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d*Sqrt[Sin[c + d*x]])}
+{1/(e*Tan[c + d*x])^(1/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 19, -(ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]]/(Sqrt[2]*a*d*Sqrt[e])) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]]/(Sqrt[2]*a*d*Sqrt[e]) - Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]]/(2*Sqrt[2]*a*d*Sqrt[e]) + Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]]/(2*Sqrt[2]*a*d*Sqrt[e]) - (2*Sqrt[2]*b*EllipticPi[b/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), ArcSin[Sqrt[-Cos[c + d*x]]/Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]], -1]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) + (2*Sqrt[2]*b*EllipticPi[b/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), ArcSin[Sqrt[-Cos[c + d*x]]/Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]], -1]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])}
+{1/(e*Tan[c + d*x])^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 39, (a*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 - b^2)*d*e^(3/2)) - (b^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*(a^2 - b^2)*d*e^(3/2)) - (a*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 - b^2)*d*e^(3/2)) + (b^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*(a^2 - b^2)*d*e^(3/2)) - (a*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 - b^2)*d*e^(3/2)) + (b^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*(a^2 - b^2)*d*e^(3/2)) + (a*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 - b^2)*d*e^(3/2)) - (b^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*(a^2 - b^2)*d*e^(3/2)) - (2*(a - b*Sec[c + d*x]))/((a^2 - b^2)*d*e*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) + (2*Sqrt[2]*b^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[-(Sqrt[a - b]/Sqrt[a + b]), ArcSin[Sqrt[Sin[c + d*x]]/Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]], -1]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(a*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d*e^2*Sqrt[Sin[c + d*x]]) - (2*Sqrt[2]*b^3*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[Sqrt[a - b]/Sqrt[a + b], ArcSin[Sqrt[Sin[c + d*x]]/Sqrt[1 + Cos[c + d*x]]], -1]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/(a*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d*e^2*Sqrt[Sin[c + d*x]]) + (2*b*Cos[c + d*x]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d*e^2*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]]) - (2*b*Cos[c + d*x]*(e*Tan[c + d*x])^(3/2))/((a^2 - b^2)*d*e^3)}
+{1/(e*Tan[c + d*x])^(5/2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 36, (a*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 - b^2)*d*e^(5/2)) - (b^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*(a^2 - b^2)*d*e^(5/2)) - (a*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*(a^2 - b^2)*d*e^(5/2)) + (b^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])/Sqrt[e]])/(Sqrt[2]*a*(a^2 - b^2)*d*e^(5/2)) + (a*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 - b^2)*d*e^(5/2)) - (b^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] - Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*(a^2 - b^2)*d*e^(5/2)) - (a*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 - b^2)*d*e^(5/2)) + (b^2*Log[Sqrt[e] + Sqrt[e]*Tan[c + d*x] + Sqrt[2]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*a*(a^2 - b^2)*d*e^(5/2)) - (2*(a - b*Sec[c + d*x]))/(3*(a^2 - b^2)*d*e*(e*Tan[c + d*x])^(3/2)) - (2*Sqrt[2]*b^3*EllipticPi[b/(a - Sqrt[a^2 - b^2]), ArcSin[Sqrt[-Cos[c + d*x]]/Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]], -1]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)^(3/2)*d*e^2*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) + (2*Sqrt[2]*b^3*EllipticPi[b/(a + Sqrt[a^2 - b^2]), ArcSin[Sqrt[-Cos[c + d*x]]/Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]], -1]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)^(3/2)*d*e^2*Sqrt[-Cos[c + d*x]]*Sqrt[e*Tan[c + d*x]]) + (b*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, 2]*Sec[c + d*x]*Sqrt[Sin[2*c + 2*d*x]])/(3*(a^2 - b^2)*d*e^2*Sqrt[e*Tan[c + d*x]])}
+
+
+(* Mathematica indicates these have a closed-form antiderivative in terms of EllipticPi. *)
+(* {(e*Tan[c + d*x])^(5/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 21, 0}
+{(e*Tan[c + d*x])^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 20, 0}
+{(e*Tan[c + d*x])^(1/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, 0}
+{1/(e*Tan[c + d*x])^(1/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, 0}
+{1/(e*Tan[c + d*x])^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 22, 0}
+{1/(e*Tan[c + d*x])^(5/2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 22, 0} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^n (a+b Sec[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^5*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 5, -((2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d) + (2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/d - (2*a*(a^2 - 2*b^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2))/(3*b^4*d) + (2*(3*a^2 - 2*b^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2))/(5*b^4*d) - (6*a*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2))/(7*b^4*d) + (2*(a + b*Sec[c + d*x])^(9/2))/(9*b^4*d)}
+{Tan[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 5, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - (2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/d - (2*a*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2))/(3*b^2*d) + (2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2))/(5*b^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 4, -((2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d) + (2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/d}
+{Cot[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 7, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - (Sqrt[a - b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/d - (Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/d}
+{Cot[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 13, -((2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d) + (a*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(Sqrt[a - b]*d) - (3*b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(4*Sqrt[a - b]*d) + (a*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a + b]*d) + (3*b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(4*Sqrt[a + b]*d) - (Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(2*d)}
+
+{Tan[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 7, -((2*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^2*d)) - (2*Sqrt[a + b]*(a + 2*b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) + (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Tan[c + d*x]^0*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 1, -((2*Cot[c + d*x]*EllipticPi[a/(a + b), ArcSin[Sqrt[a + b]/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]], (a - b)/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x]))]*Sqrt[(b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])]*(a + b*Sec[c + d*x]))/(Sqrt[a + b]*d))}
+{Cot[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 5, (Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d - (Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/d + (2*Cot[c + d*x]*EllipticPi[a/(a + b), ArcSin[Sqrt[a + b]/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]], (a - b)/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x]))]*Sqrt[(b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])]*(a + b*Sec[c + d*x]))/(Sqrt[a + b]*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Tan[c + d*x]^5/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 5, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d)) - (2*a*(a^2 - 2*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b^4*d) + (2*(3*a^2 - 2*b^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2))/(3*b^4*d) - (6*a*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2))/(5*b^4*d) + (2*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2))/(7*b^4*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 5, (2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d) - (2*a*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b^2*d) + (2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2))/(3*b^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^1/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 3, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d))}
+{Cot[c + d*x]^1/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 7, (2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a - b]]/(Sqrt[a - b]*d) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[a + b]*d)}
+{Cot[c + d*x]^3/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 11, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d)) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a - b]]/(Sqrt[a - b]*d) - (b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(4*(a - b)^(3/2)*d) + (b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(4*(a + b)^(3/2)*d) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[a + b]*d) + Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/(4*(a + b)*d*(1 - Sec[c + d*x])) + Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/(4*(a - b)*d*(1 + Sec[c + d*x]))}
+
+{Tan[c + d*x]^4/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 11, -((2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d)) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a^2 - 21*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[-((b*(-1 + Sec[c + d*x]))/(a + b))]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^4*d) + (2*Sqrt[a + b]*(-8*a^2 + 2*a*b + 21*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[-((b*(-1 + Sec[c + d*x]))/(a + b))]*Sqrt[(b*(1 + Sec[c + d*x]))/(-a + b)])/(15*b^3*d) - (8*a*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*b^2*d) + (2*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*b*d), (4*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a^2 + 9*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^4*d) + (4*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) - (2*Sqrt[a + b]*(8*a^2 - 2*a*b + 9*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^3*d) - (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d) - (8*a*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*b^2*d) + (2*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Tan[c + d*x]^2/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 6, -((2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*d)) - (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) + (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d)}
+{Tan[c + d*x]^0/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 1, -((2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d))}
+{Cot[c + d*x]^2/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 9, (Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(Sqrt[a + b]*d) - (Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(Sqrt[a + b]*d) + (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d) - Cot[c + d*x]/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b^2*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Tan[c + d*x]^5/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d)) + (2*(a^2 - b^2)^2)/(a*b^4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(3*a^2 - 2*b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b^4*d) - (2*a*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2))/(b^4*d) + (2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2))/(5*b^4*d)}
+{Tan[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) + (2*(a^2 - b^2))/(a*b^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b^2*d)}
+{Tan[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d)) + 2/(a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^1/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a - b]]/((a - b)^(3/2)*d) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]]/((a + b)^(3/2)*d) + (2*b^2)/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^3/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 11, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d)) + ((4*a - 7*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(4*(a - b)^(5/2)*d) + ((4*a + 7*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(4*(a + b)^(5/2)*d) + (2*b^4)/(a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/(4*(a + b)^2*d*(1 - Sec[c + d*x])) + Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/(4*(a - b)^2*d*(1 + Sec[c + d*x])), -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d)) + ((2*a - 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(2*(a - b)^(5/2)*d) - (b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(4*(a - b)^(5/2)*d) + (b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(4*(a + b)^(5/2)*d) + ((2*a + 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(2*(a + b)^(5/2)*d) + (2*b^4)/(a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/(4*(a + b)^2*d*(1 - Sec[c + d*x])) + Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/(4*(a - b)^2*d*(1 + Sec[c + d*x]))}
+
+{Tan[c + d*x]^4/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 17, (2*(8*a^4 - 11*a^2*b^2 + 3*b^4)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[-((b*(-1 + Sec[c + d*x]))/(a + b))]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a*b^4*Sqrt[a + b]*d) + (2*(2*a + b)*(4*a^2 + a*b - 3*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[-((b*(-1 + Sec[c + d*x]))/(a + b))]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a*b^3*Sqrt[a + b]*d) - (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) - (4*a*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(4*a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d), (2*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*Sqrt[a + b]*d) - (4*a*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*Sqrt[a + b]*d) + (2*a*(8*a^2 - 5*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^4*Sqrt[a + b]*d) - (2*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*Sqrt[a + b]*d) - (4*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*Sqrt[a + b]*d) + (2*(2*a + b)*(4*a + b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^3*Sqrt[a + b]*d) - (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) - (4*a*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(4*a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Tan[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b^2*d) + (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b*d) + (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) + (2*Tan[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Tan[c + d*x]^0/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*Sqrt[a + b]*d) - (2*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*Sqrt[a + b]*d) - (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) + (2*b^2*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Cot[c + d*x]^2/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 14, (2*(a^2 + b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[-((b*(-1 + Sec[c + d*x]))/(a + b))]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) - ((a^2 - a*b + 2*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[-((b*(-1 + Sec[c + d*x]))/(a + b))]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) + (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]/(d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (b^2*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*b^2*(a^2 + b^2)*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), (4*a*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/((a - b)*(a + b)^(3/2)*d) - (2*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*Sqrt[a + b]*d) - ((3*a - b)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/((a - b)*(a + b)^(3/2)*d) + (2*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*Sqrt[a + b]*d) + (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) - Cot[c + d*x]/(d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (b^2*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (4*a*b^2*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*b^2*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m with n symbolic*)
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])^3, x, 8, (3*a*b^2*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)) + (a^3*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)) + (3*a^2*b*(Cos[e + f*x]^2)^((2 + n)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (2 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)) + (b^3*(Cos[e + f*x]^2)^((4 + n)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (4 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^3*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n))}
+{(d*Tan[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])^2, x, 7, (b^2*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)) + (a^2*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)) + (2*a*b*(Cos[e + f*x]^2)^((2 + n)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (2 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n))}
+{(d*Tan[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])^1, x, 4, (a*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)) + (b*(Cos[e + f*x]^2)^((2 + n)/2)*Hypergeometric2F1[(1 + n)/2, (2 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n))}
+{(d*Tan[e + f*x])^n/(a + b*Sec[e + f*x])^1, x, -1, (d*AppellF1[1 - n, (1 - n)/2, (1 - n)/2, 2 - n, (a + b)/(a + b*Sec[e + f*x]), (a - b)/(a + b*Sec[e + f*x])]*(-((b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b*Sec[e + f*x])))^((1 - n)/2)*((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a + b*Sec[e + f*x]))^((1 - n)/2)*(d*Tan[e + f*x])^(-1 + n)*(-Tan[e + f*x]^2)^((1 - n)/2 + (1/2)*(-1 + n)))/(a*f*(1 - n)) - (d*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Tan[e + f*x]^2]*(d*Tan[e + f*x])^(-1 + n)*(-Tan[e + f*x]^2)^((1 - n)/2 + (1 + n)/2))/(a*f*(1 + n))}
+(* {(d*Tan[e + f*x])^n/(a + b*Sec[e + f*x])^2, x, 0, 0} *)
+
+
+{(e*Tan[c + d*x])^m*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(e*Tan[c + d*x])^m, x]}
+{(e*Tan[c + d*x])^m*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(e*Tan[c + d*x])^m, x]}
+{(e*Tan[c + d*x])^m/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 0, Unintegrable[(e*Tan[c + d*x])^m/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x]}
+{(e*Tan[c + d*x])^m/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 0, Unintegrable[(e*Tan[c + d*x])^m/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tan[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m with m symbolic*)
+
+
+{(e*Tan[c + d*x])^m*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^n*(e*Tan[c + d*x])^m, x]}
+
+
+{Tan[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 5, -((a*(a^2 - 2*b^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(b^4*d*(1 + n))) - (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*Sec[c + d*x])/a]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(1 + n)) + ((3*a^2 - 2*b^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(2 + n))/(b^4*d*(2 + n)) - (3*a*(a + b*Sec[c + d*x])^(3 + n))/(b^4*d*(3 + n)) + (a + b*Sec[c + d*x])^(4 + n)/(b^4*d*(4 + n))}
+{Tan[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 4, -((a*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(b^2*d*(1 + n))) + (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*Sec[c + d*x])/a]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(1 + n)) + (a + b*Sec[c + d*x])^(2 + n)/(b^2*d*(2 + n))}
+{Tan[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 2, -((Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*Sec[c + d*x])/a]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(1 + n)))}
+{Cot[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 8, -((Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Sec[c + d*x])/(a - b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a - b)*d*(1 + n))) - (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Sec[c + d*x])/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a + b)*d*(1 + n)) + (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*Sec[c + d*x])/a]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(1 + n))}
+{Cot[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 10, (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Sec[c + d*x])/(a - b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a - b)*d*(1 + n)) + (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*Sec[c + d*x])/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(2*(a + b)*d*(1 + n)) - (Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*Sec[c + d*x])/a]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(a*d*(1 + n)) - (b*Hypergeometric2F1[2, 1 + n, 2 + n, (a + b*Sec[c + d*x])/(a - b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(4*(a - b)^2*d*(1 + n)) + (b*Hypergeometric2F1[2, 1 + n, 2 + n, (a + b*Sec[c + d*x])/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + n))/(4*(a + b)^2*d*(1 + n))}
+
+{Tan[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x]^4, x]}
+{Tan[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 9, (Sqrt[2]*(a + b)*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - n, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/(((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^n*(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])) - (Sqrt[2]*a*AppellF1[1/2, 1/2, -n, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/(((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^n*(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])) - Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^n, x]}
+{Cot[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 0, Unintegrable[Cot[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x]}
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+
+
+{Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x]^(3/2), x]}
+{Tan[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^n*Sqrt[Tan[c + d*x]], x]}
+{1/Tan[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^n/Sqrt[Tan[c + d*x]], x]}
+{1/Tan[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^n/Tan[c + d*x]^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d Cot[e+f x])^m (a+b Sec[e+f x])^m*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.10 (c+d x)^m (a+b sec)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.10 (c+d x)^m (a+b sec)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..344d6129
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.10 (c+d x)^m (a+b sec)^n.m	
@@ -0,0 +1,114 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Sec[e+f x])^n with a^2-b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*x)^3, x, 11, (a*(c + d*x)^4)/(4*d) - (2*I*a*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(e + f*x))])/f + (3*I*a*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (3*I*a*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (6*a*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^3 + (6*a*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(e + f*x))])/f^3 - (6*I*a*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^4 + (6*I*a*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(e + f*x))])/f^4}
+{(a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*x)^2, x, 9, (a*(c + d*x)^3)/(3*d) - (2*I*a*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(e + f*x))])/f + (2*I*a*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (2*I*a*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (2*a*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^3 + (2*a*d^2*PolyLog[3, I*E^(I*(e + f*x))])/f^3}
+{(a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*x)^1, x, 7, (a*(c + d*x)^2)/(2*d) - (2*I*a*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(e + f*x))])/f + (I*a*d*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (I*a*d*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/f^2}
+{(a + a*Sec[e + f*x])/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + a*Sec[e + f*x])/(c + d*x), x]}
+{(a + a*Sec[e + f*x])/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[(a + a*Sec[e + f*x])/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*x)^3, x, 17, -((I*a^2*(c + d*x)^3)/f) + (a^2*(c + d*x)^4)/(4*d) - (4*I*a^2*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(e + f*x))])/f + (3*a^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*I*(e + f*x))])/f^2 + (6*I*a^2*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (6*I*a^2*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (3*I*a^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*I*(e + f*x))])/f^3 - (12*a^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^3 + (12*a^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(e + f*x))])/f^3 + (3*a^2*d^3*PolyLog[3, -E^(2*I*(e + f*x))])/(2*f^4) - (12*I*a^2*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^4 + (12*I*a^2*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(e + f*x))])/f^4 + (a^2*(c + d*x)^3*Tan[e + f*x])/f}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*x)^2, x, 14, -((I*a^2*(c + d*x)^2)/f) + (a^2*(c + d*x)^3)/(3*d) - (4*I*a^2*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(e + f*x))])/f + (2*a^2*d*(c + d*x)*Log[1 + E^(2*I*(e + f*x))])/f^2 + (4*I*a^2*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (4*I*a^2*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (I*a^2*d^2*PolyLog[2, -E^(2*I*(e + f*x))])/f^3 - (4*a^2*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^3 + (4*a^2*d^2*PolyLog[3, I*E^(I*(e + f*x))])/f^3 + (a^2*(c + d*x)^2*Tan[e + f*x])/f}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*x)^1, x, 9, (a^2*(c + d*x)^2)/(2*d) - (4*I*a^2*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(e + f*x))])/f + (a^2*d*Log[Cos[e + f*x]])/f^2 + (2*I*a^2*d*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (2*I*a^2*d*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/f^2 + (a^2*(c + d*x)*Tan[e + f*x])/f}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c + d*x), x]}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*x)^3, x, 9, (I*(c + d*x)^3)/(a*f) + (c + d*x)^4/(4*a*d) - (6*d*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(I*(e + f*x))])/(a*f^2) + (12*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(e + f*x))])/(a*f^3) - (12*d^3*PolyLog[3, -E^(I*(e + f*x))])/(a*f^4) - ((c + d*x)^3*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(a*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*x)^2, x, 8, (I*(c + d*x)^2)/(a*f) + (c + d*x)^3/(3*a*d) - (4*d*(c + d*x)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))])/(a*f^2) + (4*I*d^2*PolyLog[2, -E^(I*(e + f*x))])/(a*f^3) - ((c + d*x)^2*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(a*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*x)^1, x, 5, (c + d*x)^2/(2*a*d) - (2*d*Log[Cos[e/2 + (f*x)/2]])/(a*f^2) - ((c + d*x)*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(a*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + a*Sec[e + f*x])), x]}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + a*Sec[e + f*x])), x]}
+
+
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*x)^3, x, 19, (5*I*(c + d*x)^3)/(3*a^2*f) + (c + d*x)^4/(4*a^2*d) - (10*d*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(I*(e + f*x))])/(a^2*f^2) + (4*d^3*Log[Cos[e/2 + (f*x)/2]])/(a^2*f^4) + (20*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(e + f*x))])/(a^2*f^3) - (20*d^3*PolyLog[3, -E^(I*(e + f*x))])/(a^2*f^4) - (d*(c + d*x)^2*Sec[e/2 + (f*x)/2]^2)/(2*a^2*f^2) + (2*d^2*(c + d*x)*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(a^2*f^3) - (5*(c + d*x)^3*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(3*a^2*f) + ((c + d*x)^3*Sec[e/2 + (f*x)/2]^2*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(6*a^2*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*x)^2, x, 17, (5*I*(c + d*x)^2)/(3*a^2*f) + (c + d*x)^3/(3*a^2*d) - (20*d*(c + d*x)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))])/(3*a^2*f^2) + (20*I*d^2*PolyLog[2, -E^(I*(e + f*x))])/(3*a^2*f^3) - (d*(c + d*x)*Sec[e/2 + (f*x)/2]^2)/(3*a^2*f^2) + (2*d^2*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(3*a^2*f^3) - (5*(c + d*x)^2*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(3*a^2*f) + ((c + d*x)^2*Sec[e/2 + (f*x)/2]^2*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(6*a^2*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*x)^1, x, 9, (c + d*x)^2/(2*a^2*d) - (10*d*Log[Cos[e/2 + (f*x)/2]])/(3*a^2*f^2) - (d*Sec[e/2 + (f*x)/2]^2)/(6*a^2*f^2) - (5*(c + d*x)*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(3*a^2*f) + ((c + d*x)*Sec[e/2 + (f*x)/2]^2*Tan[e/2 + (f*x)/2])/(6*a^2*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + a*Sec[e + f*x])^2), x]}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + a*Sec[e + f*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Sec[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + a*Sec[e + f*x])^n, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(a + a*Sec[e + f*x])^n, x]}
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + a*Sec[e + f*x])^1, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(a + a*Sec[e + f*x]), x]}
+{(c + d*x)^m/(a + a*Sec[e + f*x])^1, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m/(a + a*Sec[e + f*x]), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x])*(c + d*x)^3, x, 11, (a*(c + d*x)^4)/(4*d) - (2*I*b*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(e + f*x))])/f + (3*I*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (3*I*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (6*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^3 + (6*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(e + f*x))])/f^3 - (6*I*b*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^4 + (6*I*b*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(e + f*x))])/f^4}
+{(a + b*Sec[e + f*x])*(c + d*x)^2, x, 9, (a*(c + d*x)^3)/(3*d) - (2*I*b*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(e + f*x))])/f + (2*I*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (2*I*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (2*b*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^3 + (2*b*d^2*PolyLog[3, I*E^(I*(e + f*x))])/f^3}
+{(a + b*Sec[e + f*x])*(c + d*x)^1, x, 7, (a*(c + d*x)^2)/(2*d) - (2*I*b*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(e + f*x))])/f + (I*b*d*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (I*b*d*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/f^2}
+{(a + b*Sec[e + f*x])/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[e + f*x])/(c + d*x), x]}
+{(a + b*Sec[e + f*x])/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[e + f*x])/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x])^2*(c + d*x)^3, x, 17, -((I*b^2*(c + d*x)^3)/f) + (a^2*(c + d*x)^4)/(4*d) - (4*I*a*b*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(e + f*x))])/f + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*I*(e + f*x))])/f^2 + (6*I*a*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (6*I*a*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (3*I*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*I*(e + f*x))])/f^3 - (12*a*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^3 + (12*a*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(e + f*x))])/f^3 + (3*b^2*d^3*PolyLog[3, -E^(2*I*(e + f*x))])/(2*f^4) - (12*I*a*b*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^4 + (12*I*a*b*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(e + f*x))])/f^4 + (b^2*(c + d*x)^3*Tan[e + f*x])/f}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^2*(c + d*x)^2, x, 14, -((I*b^2*(c + d*x)^2)/f) + (a^2*(c + d*x)^3)/(3*d) - (4*I*a*b*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(e + f*x))])/f + (2*b^2*d*(c + d*x)*Log[1 + E^(2*I*(e + f*x))])/f^2 + (4*I*a*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (4*I*a*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (I*b^2*d^2*PolyLog[2, -E^(2*I*(e + f*x))])/f^3 - (4*a*b*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^3 + (4*a*b*d^2*PolyLog[3, I*E^(I*(e + f*x))])/f^3 + (b^2*(c + d*x)^2*Tan[e + f*x])/f}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^2*(c + d*x)^1, x, 9, (a^2*(c + d*x)^2)/(2*d) - (4*I*a*b*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(e + f*x))])/f + (b^2*d*Log[Cos[e + f*x]])/f^2 + (2*I*a*b*d*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/f^2 - (2*I*a*b*d*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/f^2 + (b^2*(c + d*x)*Tan[e + f*x])/f}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[e + f*x])^2/(c + d*x), x]}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + b*Sec[e + f*x]), x, 14, (c + d*x)^4/(4*a*d) + (I*b*(c + d*x)^3*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*f) - (I*b*(c + d*x)^3*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*f) + (3*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^2) - (3*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^2) + (6*I*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^3) - (6*I*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^3) - (6*b*d^3*PolyLog[4, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^4) + (6*b*d^3*PolyLog[4, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^4)}
+{(c + d*x)^2/(a + b*Sec[e + f*x]), x, 12, (c + d*x)^3/(3*a*d) + (I*b*(c + d*x)^2*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*f) - (I*b*(c + d*x)^2*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*f) + (2*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^2) - (2*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^2) + (2*I*b*d^2*PolyLog[3, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^3) - (2*I*b*d^2*PolyLog[3, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^3)}
+{(c + d*x)^1/(a + b*Sec[e + f*x]), x, 10, (c + d*x)^2/(2*a*d) + (I*b*(c + d*x)*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*f) - (I*b*(c + d*x)*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*f) + (b*d*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^2) - (b*d*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^2)}
+{1/((c + d*x)^1*(a + b*Sec[e + f*x])), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*Sec[e + f*x])), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + b*Sec[e + f*x])), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + b*Sec[e + f*x])), x]}
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + b*Sec[e + f*x])^2, x, 36, -((I*b^2*(c + d*x)^3)/(a^2*(a^2 - b^2)*f)) + (c + d*x)^4/(4*a^2*d) + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*f^2) + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*f^2) - (I*b^3*(c + d*x)^3*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*f) + (2*I*b*(c + d*x)^3*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f) + (I*b^3*(c + d*x)^3*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*f) - (2*I*b*(c + d*x)^3*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f) - (6*I*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*f^3) - (6*I*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*f^3) - (3*b^3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*f^2) + (6*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^2) + (3*b^3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*f^2) - (6*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^2) + (6*b^2*d^3*PolyLog[3, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*f^4) + (6*b^2*d^3*PolyLog[3, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*f^4) - (6*I*b^3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*f^3) + (12*I*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^3) + (6*I*b^3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*f^3) - (12*I*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^3) + (6*b^3*d^3*PolyLog[4, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*f^4) - (12*b*d^3*PolyLog[4, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^4) - (6*b^3*d^3*PolyLog[4, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*f^4) + (12*b*d^3*PolyLog[4, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^4) + (b^2*(c + d*x)^3*Sin[e + f*x])/(a*(a^2 - b^2)*f*(b + a*Cos[e + f*x]))}
+{(c + d*x)^2/(a + b*Sec[e + f*x])^2, x, 30, -((I*b^2*(c + d*x)^2)/(a^2*(a^2 - b^2)*f)) + (c + d*x)^3/(3*a^2*d) + (2*b^2*d*(c + d*x)*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*f^2) + (2*b^2*d*(c + d*x)*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*f^2) - (I*b^3*(c + d*x)^2*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*f) + (2*I*b*(c + d*x)^2*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f) + (I*b^3*(c + d*x)^2*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*f) - (2*I*b*(c + d*x)^2*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f) - (2*I*b^2*d^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*f^3) - (2*I*b^2*d^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*f^3) - (2*b^3*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*f^2) + (4*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^2) + (2*b^3*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*f^2) - (4*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^2) - (2*I*b^3*d^2*PolyLog[3, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*f^3) + (4*I*b*d^2*PolyLog[3, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^3) + (2*I*b^3*d^2*PolyLog[3, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*f^3) - (4*I*b*d^2*PolyLog[3, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^3) + (b^2*(c + d*x)^2*Sin[e + f*x])/(a*(a^2 - b^2)*f*(b + a*Cos[e + f*x]))}
+{(c + d*x)^1/(a + b*Sec[e + f*x])^2, x, 21, (c + d*x)^2/(2*a^2*d) - (I*b^3*(c + d*x)*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*f) + (2*I*b*(c + d*x)*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f) + (I*b^3*(c + d*x)*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*f) - (2*I*b*(c + d*x)*Log[1 + (a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f) + (b^2*d*Log[b + a*Cos[e + f*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*f^2) - (b^3*d*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*f^2) + (2*b*d*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^2) + (b^3*d*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*f^2) - (2*b*d*PolyLog[2, -((a*E^(I*(e + f*x)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*f^2) + (b^2*(c + d*x)*Sin[e + f*x])/(a*(a^2 - b^2)*f*(b + a*Cos[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)^1*(a + b*Sec[e + f*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*Sec[e + f*x])^2), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + b*Sec[e + f*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + b*Sec[e + f*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Sec[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + b*Sec[e + f*x])^n, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(a + b*Sec[e + f*x])^n, x]}
+
+
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+{(c + d*x)^m/(a + b*Sec[e + f*x])^1, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m/(a + b*Sec[e + f*x]), x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.11 (e x)^m (a+b sec(c+d x^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.11 (e x)^m (a+b sec(c+d x^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..f4ecf9ad
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.11 (e x)^m (a+b sec(c+d x^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,179 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sec[c+d x^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sec[c+d x^2])^p*)
+
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Sec[c+d x^2])^p*)
+
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
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+{x^5*(a + b*Sec[c + d*x^2]), x, 10, (a*x^6)/6 - (I*b*x^4*ArcTan[E^(I*(c + d*x^2))])/d + (I*b*x^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x^2))])/d^2 - (I*b*x^2*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x^2))])/d^2 - (b*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*x^2))])/d^3 + (b*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x^2))])/d^3}
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+{x^2*(a + b*Sec[c + d*x^2]), x, 2, (a*x^3)/3 + b*Unintegrable[x^2*Sec[c + d*x^2], x]}
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+{(a + b*Sec[c + d*x^2])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Sec[c + d*x^2]/x^2, x]}
+
+
+{x^5*(a + b*Sec[c + d*x^2])^2, x, 15, ((-I/2)*b^2*x^4)/d + (a^2*x^6)/6 - ((2*I)*a*b*x^4*ArcTan[E^(I*(c + d*x^2))])/d + (b^2*x^2*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*x^2))])/d^2 + ((2*I)*a*b*x^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x^2))])/d^2 - ((2*I)*a*b*x^2*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x^2))])/d^2 - ((I/2)*b^2*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*x^2))])/d^3 - (2*a*b*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*x^2))])/d^3 + (2*a*b*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x^2))])/d^3 + (b^2*x^4*Tan[c + d*x^2])/(2*d)}
+{x^4*(a + b*Sec[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[x^4*(a + b*Sec[c + d*x^2])^2, x]}
+{x^3*(a + b*Sec[c + d*x^2])^2, x, 10, (a^2*x^4)/4 - ((2*I)*a*b*x^2*ArcTan[E^(I*(c + d*x^2))])/d + (b^2*Log[Cos[c + d*x^2]])/(2*d^2) + (I*a*b*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x^2))])/d^2 - (I*a*b*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x^2))])/d^2 + (b^2*x^2*Tan[c + d*x^2])/(2*d)}
+{x^2*(a + b*Sec[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[x^2*(a + b*Sec[c + d*x^2])^2, x]}
+{x*(a + b*Sec[c + d*x^2])^2, x, 5, (a^2*x^2)/2 + (a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x^2]])/d + (b^2*Tan[c + d*x^2])/(2*d)}
+{(a + b*Sec[c + d*x^2])^2/x, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x^2])^2/x, x]}
+{(a + b*Sec[c + d*x^2])^2/x^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x^2])^2/x^2, x]}
+
+
+{x*Sec[a + b*x^2]^7, x, 5, (5*ArcTanh[Sin[a + b*x^2]])/(32*b) + (5*Sec[a + b*x^2]*Tan[a + b*x^2])/(32*b) + (5*Sec[a + b*x^2]^3*Tan[a + b*x^2])/(48*b) + (Sec[a + b*x^2]^5*Tan[a + b*x^2])/(12*b)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^5/(a + b*Sec[c + d*x^2]), x, 13, x^6/(6*a) + ((I/2)*b*x^4*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((I/2)*b*x^4*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (I*b*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (I*b*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3)}
+{x^4/(a + b*Sec[c + d*x^2]), x, 0, Unintegrable[x^4/(a + b*Sec[c + d*x^2]), x]}
+{x^3/(a + b*Sec[c + d*x^2]), x, 11, x^4/(4*a) + ((I/2)*b*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((I/2)*b*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (b*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(2*a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (b*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(2*a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2)}
+{x^2/(a + b*Sec[c + d*x^2]), x, 0, Unintegrable[x^2/(a + b*Sec[c + d*x^2]), x]}
+{x/(a + b*Sec[c + d*x^2]), x, 4, x^2/(2*a) - (b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x^2)/2])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)}
+{1/(x*(a + b*Sec[c + d*x^2])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Sec[c + d*x^2])), x]}
+{(a + b*Sec[c + d*x^2])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Sec[c + d*x^2]/x^2, x]}
+
+
+{x^5/(a + b*Sec[c + d*x^2])^2, x, 31, ((-I/2)*b^2*x^4)/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + x^6/(6*a^2) + (b^2*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) + (b^2*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - ((I/2)*b^3*x^4*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (I*b*x^4*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + ((I/2)*b^3*x^4*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (I*b*x^4*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (I*b^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (I*b^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (b^3*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (2*b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (b^3*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (2*b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (I*b^3*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + ((2*I)*b*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + (I*b^3*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - ((2*I)*b*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + (b^2*x^4*Sin[c + d*x^2])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x^2]))}
+{x^4/(a + b*Sec[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[x^4/(a + b*Sec[c + d*x^2])^2, x]}
+{x^3/(a + b*Sec[c + d*x^2])^2, x, 22, x^4/(4*a^2) - ((I/2)*b^3*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (I*b*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + ((I/2)*b^3*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (I*b*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (b^2*Log[b + a*Cos[c + d*x^2]])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - (b^3*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(2*a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (b*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (b^3*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(2*a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (b*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (b^2*x^2*Sin[c + d*x^2])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x^2]))}
+{x^2/(a + b*Sec[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[x^2/(a + b*Sec[c + d*x^2])^2, x]}
+{x/(a + b*Sec[c + d*x^2])^2, x, 6, x^2/(2*a^2) - (b*(2*a^2 - b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x^2)/2])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (b^2*Tan[c + d*x^2])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x^2]))}
+{1/(x*(a + b*Sec[c + d*x^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Sec[c + d*x^2])^2), x]}
+{1/(x^2*(a + b*Sec[c + d*x^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Sec[c + d*x^2])^2), x]}
+{1/(x^3*(a + b*Sec[c + d*x^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^3*(a + b*Sec[c + d*x^2])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sec[c+d x^(1/2)])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Sec[c+d x^(1/2)])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]]), x, 20, (a*x^4)/4 - ((4*I)*b*x^(7/2)*ArcTan[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d + ((14*I)*b*x^3*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((14*I)*b*x^3*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (84*b*x^(5/2)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (84*b*x^(5/2)*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - ((420*I)*b*x^2*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((420*I)*b*x^2*PolyLog[4, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + (1680*b*x^(3/2)*PolyLog[5, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 - (1680*b*x^(3/2)*PolyLog[5, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + ((5040*I)*b*x*PolyLog[6, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 - ((5040*I)*b*x*PolyLog[6, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 - (10080*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^7 + (10080*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^7 - ((10080*I)*b*PolyLog[8, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^8 + ((10080*I)*b*PolyLog[8, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^8}
+{x^2*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]]), x, 16, (a*x^3)/3 - ((4*I)*b*x^(5/2)*ArcTan[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d + ((10*I)*b*x^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((10*I)*b*x^2*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (40*b*x^(3/2)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (40*b*x^(3/2)*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - ((120*I)*b*x*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((120*I)*b*x*PolyLog[4, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + (240*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 - (240*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + ((240*I)*b*PolyLog[6, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 - ((240*I)*b*PolyLog[6, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6}
+{x*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]]), x, 12, (a*x^2)/2 - ((4*I)*b*x^(3/2)*ArcTan[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d + ((6*I)*b*x*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((6*I)*b*x*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (12*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (12*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - ((12*I)*b*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((12*I)*b*PolyLog[4, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4}
+{(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])/x, x, 2, a*Log[x] + b*Unintegrable[Sec[c + d*Sqrt[x]]/x, x]}
+{(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Sec[c + d*Sqrt[x]]/x^2, x]}
+
+
+{x^3*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 30, ((-2*I)*b^2*x^(7/2))/d + (a^2*x^4)/4 - ((8*I)*a*b*x^(7/2)*ArcTan[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d + (14*b^2*x^3*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 + ((28*I)*a*b*x^3*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((28*I)*a*b*x^3*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((42*I)*b^2*x^(5/2)*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - (168*a*b*x^(5/2)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (168*a*b*x^(5/2)*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (105*b^2*x^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - ((840*I)*a*b*x^2*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((840*I)*a*b*x^2*PolyLog[4, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((210*I)*b^2*x^(3/2)*PolyLog[4, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + (3360*a*b*x^(3/2)*PolyLog[5, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 - (3360*a*b*x^(3/2)*PolyLog[5, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 - (315*b^2*x*PolyLog[5, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 + ((10080*I)*a*b*x*PolyLog[6, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 - ((10080*I)*a*b*x*PolyLog[6, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 - ((315*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[6, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^7 - (20160*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^7 + (20160*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^7 + (315*b^2*PolyLog[7, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/(2*d^8) - ((20160*I)*a*b*PolyLog[8, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^8 + ((20160*I)*a*b*PolyLog[8, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^8 + (2*b^2*x^(7/2)*Tan[c + d*Sqrt[x]])/d}
+{x^2*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 24, ((-2*I)*b^2*x^(5/2))/d + (a^2*x^3)/3 - ((8*I)*a*b*x^(5/2)*ArcTan[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d + (10*b^2*x^2*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 + ((20*I)*a*b*x^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((20*I)*a*b*x^2*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((20*I)*b^2*x^(3/2)*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - (80*a*b*x^(3/2)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (80*a*b*x^(3/2)*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (30*b^2*x*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - ((240*I)*a*b*x*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((240*I)*a*b*x*PolyLog[4, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((30*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[4, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + (480*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 - (480*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 - (15*b^2*PolyLog[5, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 + ((480*I)*a*b*PolyLog[6, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 - ((480*I)*a*b*PolyLog[6, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 + (2*b^2*x^(5/2)*Tan[c + d*Sqrt[x]])/d}
+{x*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 18, ((-2*I)*b^2*x^(3/2))/d + (a^2*x^2)/2 - ((8*I)*a*b*x^(3/2)*ArcTan[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d + (6*b^2*x*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 + ((12*I)*a*b*x*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((12*I)*a*b*x*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((6*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - (24*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (24*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (3*b^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - ((24*I)*a*b*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((24*I)*a*b*PolyLog[4, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + (2*b^2*x^(3/2)*Tan[c + d*Sqrt[x]])/d}
+{(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2/x, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2/x, x]}
+{(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2/x^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3/(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]]), x, 23, x^4/(4*a) + ((2*I)*b*x^(7/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((2*I)*b*x^(7/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (14*b*x^3*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (14*b*x^3*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + ((84*I)*b*x^(5/2)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - ((84*I)*b*x^(5/2)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (420*b*x^2*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (420*b*x^2*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - ((1680*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) + ((1680*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) + (5040*b*x*PolyLog[6, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) - (5040*b*x*PolyLog[6, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) + ((10080*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^7) - ((10080*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^7) - (10080*b*PolyLog[8, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^8) + (10080*b*PolyLog[8, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^8)}
+{x^2/(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]]), x, 19, x^3/(3*a) + ((2*I)*b*x^(5/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((2*I)*b*x^(5/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (10*b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (10*b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + ((40*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - ((40*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (120*b*x*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (120*b*x*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - ((240*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) + ((240*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) + (240*b*PolyLog[6, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) - (240*b*PolyLog[6, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6)}
+{x/(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]]), x, 15, x^2/(2*a) + ((2*I)*b*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((2*I)*b*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (6*b*x*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (6*b*x*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + ((12*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - ((12*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (12*b*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (12*b*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4)}
+{1/(x*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])), x]}
+{(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Sec[c + d*Sqrt[x]]/x^2, x]}
+
+
+{x^3/(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 61, ((-2*I)*b^2*x^(7/2))/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + x^4/(4*a^2) + (14*b^2*x^3*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) + (14*b^2*x^3*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - ((2*I)*b^3*x^(7/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + ((4*I)*b*x^(7/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + ((2*I)*b^3*x^(7/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - ((4*I)*b*x^(7/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((84*I)*b^2*x^(5/2)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - ((84*I)*b^2*x^(5/2)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (14*b^3*x^3*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (28*b*x^3*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (14*b^3*x^3*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (28*b*x^3*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (420*b^2*x^2*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) + (420*b^2*x^2*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) - ((84*I)*b^3*x^(5/2)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + ((168*I)*b*x^(5/2)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + ((84*I)*b^3*x^(5/2)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - ((168*I)*b*x^(5/2)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + ((1680*I)*b^2*x^(3/2)*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^5) + ((1680*I)*b^2*x^(3/2)*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^5) + (420*b^3*x^2*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (840*b*x^2*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - (420*b^3*x^2*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (840*b*x^2*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - (5040*b^2*x*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^6) - (5040*b^2*x*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^6) + ((1680*I)*b^3*x^(3/2)*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) - ((3360*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) - ((1680*I)*b^3*x^(3/2)*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) + ((3360*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) - ((10080*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[6, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^7) - ((10080*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[6, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^7) - (5040*b^3*x*PolyLog[6, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^6) + (10080*b*x*PolyLog[6, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) + (5040*b^3*x*PolyLog[6, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^6) - (10080*b*x*PolyLog[6, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) + (10080*b^2*PolyLog[7, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^8) + (10080*b^2*PolyLog[7, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^8) - ((10080*I)*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[7, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^7) + ((20160*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^7) + ((10080*I)*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[7, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^7) - ((20160*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^7) + (10080*b^3*PolyLog[8, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^8) - (20160*b*PolyLog[8, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^8) - (10080*b^3*PolyLog[8, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^8) + (20160*b*PolyLog[8, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^8) + (2*b^2*x^(7/2)*Sin[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*Sqrt[x]]))}
+{x^2/(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 49, ((-2*I)*b^2*x^(5/2))/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + x^3/(3*a^2) + (10*b^2*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) + (10*b^2*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - ((2*I)*b^3*x^(5/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + ((4*I)*b*x^(5/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + ((2*I)*b^3*x^(5/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - ((4*I)*b*x^(5/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((40*I)*b^2*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - ((40*I)*b^2*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (10*b^3*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (20*b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (10*b^3*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (20*b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (120*b^2*x*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) + (120*b^2*x*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) - ((40*I)*b^3*x^(3/2)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + ((80*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + ((40*I)*b^3*x^(3/2)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - ((80*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + ((240*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^5) + ((240*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^5) + (120*b^3*x*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (240*b*x*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - (120*b^3*x*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (240*b*x*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - (240*b^2*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^6) - (240*b^2*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^6) + ((240*I)*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) - ((480*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) - ((240*I)*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) + ((480*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) - (240*b^3*PolyLog[6, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^6) + (480*b*PolyLog[6, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) + (240*b^3*PolyLog[6, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^6) - (480*b*PolyLog[6, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) + (2*b^2*x^(5/2)*Sin[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*Sqrt[x]]))}
+{x/(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 37, ((-2*I)*b^2*x^(3/2))/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + x^2/(2*a^2) + (6*b^2*x*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) + (6*b^2*x*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - ((2*I)*b^3*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + ((4*I)*b*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + ((2*I)*b^3*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - ((4*I)*b*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((12*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - ((12*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (6*b^3*x*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (12*b*x*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (6*b^3*x*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (12*b*x*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (12*b^2*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) + (12*b^2*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) - ((12*I)*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + ((24*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + ((12*I)*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - ((24*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + (12*b^3*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (24*b*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - (12*b^3*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (24*b*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (2*b^2*x^(3/2)*Sin[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*Sqrt[x]]))}
+{1/(x*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2), x]}
+{1/(x^2*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b Sec[c+d x^(1/2)])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]]), x, 14, (2*a*x^(5/2))/5 - ((4*I)*b*x^2*ArcTan[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d + ((8*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((8*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (24*b*x*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (24*b*x*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - ((48*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((48*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + (48*b*PolyLog[5, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 - (48*b*PolyLog[5, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5}
+{Sqrt[x]*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]]), x, 10, (2*a*x^(3/2))/3 - ((4*I)*b*x*ArcTan[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d + ((4*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((4*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (4*b*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (4*b*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3}
+{(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])/Sqrt[x], x, 4, 2*a*Sqrt[x] + (2*b*ArcTanh[Sin[c + d*Sqrt[x]]])/d}
+{(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])/x^(3/2), x, 2, (-2*a)/Sqrt[x] + b*Unintegrable[Sec[c + d*Sqrt[x]]/x^(3/2), x]}
+{(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])/x^(5/2), x, 2, (-2*a)/(3*x^(3/2)) + b*Unintegrable[Sec[c + d*Sqrt[x]]/x^(5/2), x]}
+
+
+{x^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 21, ((-2*I)*b^2*x^2)/d + (2*a^2*x^(5/2))/5 - ((8*I)*a*b*x^2*ArcTan[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d + (8*b^2*x^(3/2)*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 + ((16*I)*a*b*x^(3/2)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((16*I)*a*b*x^(3/2)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((12*I)*b^2*x*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - (48*a*b*x*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (48*a*b*x*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (12*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[3, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - ((96*I)*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((96*I)*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((6*I)*b^2*PolyLog[4, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + (96*a*b*PolyLog[5, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 - (96*a*b*PolyLog[5, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + (2*b^2*x^2*Tan[c + d*Sqrt[x]])/d}
+{Sqrt[x]*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 15, ((-2*I)*b^2*x)/d + (2*a^2*x^(3/2))/3 - ((8*I)*a*b*x*ArcTan[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d + (4*b^2*Sqrt[x]*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 + ((8*I)*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((8*I)*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((2*I)*b^2*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - (8*a*b*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (8*a*b*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (2*b^2*x*Tan[c + d*Sqrt[x]])/d}
+{(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2/Sqrt[x], x, 5, 2*a^2*Sqrt[x] + (4*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*Sqrt[x]]])/d + (2*b^2*Tan[c + d*Sqrt[x]])/d}
+{(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2/x^(3/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2/x^(3/2), x]}
+{(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2/x^(5/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2/x^(5/2), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]]), x, 17, (2*x^(5/2))/(5*a) + ((2*I)*b*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((2*I)*b*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (8*b*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (8*b*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + ((24*I)*b*x*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - ((24*I)*b*x*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (48*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (48*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - ((48*I)*b*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) + ((48*I)*b*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5)}
+{Sqrt[x]/(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]]), x, 13, (2*x^(3/2))/(3*a) + ((2*I)*b*x*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((2*I)*b*x*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (4*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (4*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + ((4*I)*b*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - ((4*I)*b*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3)}
+{1/(Sqrt[x]*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])), x, 4, (2*Sqrt[x])/a - (4*b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*Sqrt[x])/2])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)}
+{1/(x^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])), x, 0, Unintegrable[1/(x^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])), x]}
+{1/(x^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])), x, 0, Unintegrable[1/(x^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])), x]}
+
+
+{x^(3/2)/(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 43, ((-2*I)*b^2*x^2)/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + (2*x^(5/2))/(5*a^2) + (8*b^2*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) + (8*b^2*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - ((2*I)*b^3*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + ((4*I)*b*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + ((2*I)*b^3*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - ((4*I)*b*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((24*I)*b^2*x*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - ((24*I)*b^2*x*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (8*b^3*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (16*b*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (8*b^3*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (16*b*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (48*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) + (48*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) - ((24*I)*b^3*x*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + ((48*I)*b*x*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + ((24*I)*b^3*x*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - ((48*I)*b*x*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + ((48*I)*b^2*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^5) + ((48*I)*b^2*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^5) + (48*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (96*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - (48*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (96*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + ((48*I)*b^3*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) - ((96*I)*b*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) - ((48*I)*b^3*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) + ((96*I)*b*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) + (2*b^2*x^2*Sin[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*Sqrt[x]]))}
+{Sqrt[x]/(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 31, ((-2*I)*b^2*x)/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + (2*x^(3/2))/(3*a^2) + (4*b^2*Sqrt[x]*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) + (4*b^2*Sqrt[x]*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - ((2*I)*b^3*x*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + ((4*I)*b*x*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + ((2*I)*b^3*x*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - ((4*I)*b*x*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((4*I)*b^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - ((4*I)*b^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (4*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (8*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (4*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (8*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - ((4*I)*b^3*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + ((8*I)*b*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + ((4*I)*b^3*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - ((8*I)*b*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + (2*b^2*x*Sin[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*Sqrt[x]]))}
+{1/(Sqrt[x]*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 6, (2*Sqrt[x])/a^2 - (4*b*(2*a^2 - b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*Sqrt[x])/2])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (2*b^2*Tan[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]]))}
+{1/(x^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2), x]}
+{1/(x^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*Sqrt[x]])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sec[c+d x^n])^p*)
+
+
+{(e*x)^m*(a + b*Sec[c + d*x^n])^p, x, 1, ((e*x)^m*Unintegrable[x^m*(a + b*Sec[c + d*x^n])^p, x])/x^m}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(e*x)^(-1 + n)*(a + b*Sec[c + d*x^n]), x, 5, (a*(e*x)^n)/(e*n) + (b*(e*x)^n*ArcTanh[Sin[c + d*x^n]])/(d*e*n*x^n)}
+{(e*x)^(-1 + 2*n)*(a + b*Sec[c + d*x^n]), x, 9, (a*(e*x)^(2*n))/(2*e*n) - ((2*I)*b*(e*x)^(2*n)*ArcTan[E^(I*(c + d*x^n))])/(d*e*n*x^n) + (I*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x^n))])/(d^2*e*n*x^(2*n)) - (I*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x^n))])/(d^2*e*n*x^(2*n))}
+{(e*x)^(-1 + 3*n)*(a + b*Sec[c + d*x^n]), x, 11, (a*(e*x)^(3*n))/(3*e*n) - ((2*I)*b*(e*x)^(3*n)*ArcTan[E^(I*(c + d*x^n))])/(d*e*n*x^n) + ((2*I)*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x^n))])/(d^2*e*n*x^(2*n)) - ((2*I)*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x^n))])/(d^2*e*n*x^(2*n)) - (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*x^n))])/(d^3*e*n*x^(3*n)) + (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x^n))])/(d^3*e*n*x^(3*n))}
+
+
+{(e*x)^(-1 + n)*(a + b*Sec[c + d*x^n])^2, x, 6, (a^2*(e*x)^n)/(e*n) + (2*a*b*(e*x)^n*ArcTanh[Sin[c + d*x^n]])/(d*e*n*x^n) + (b^2*(e*x)^n*Tan[c + d*x^n])/(d*e*n*x^n)}
+{(e*x)^(-1 + 2*n)*(a + b*Sec[c + d*x^n])^2, x, 11, (a^2*(e*x)^(2*n))/(2*e*n) - ((4*I)*a*b*(e*x)^(2*n)*ArcTan[E^(I*(c + d*x^n))])/(d*e*n*x^n) + (b^2*(e*x)^(2*n)*Log[Cos[c + d*x^n]])/(d^2*e*n*x^(2*n)) + ((2*I)*a*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x^n))])/(d^2*e*n*x^(2*n)) - ((2*I)*a*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x^n))])/(d^2*e*n*x^(2*n)) + (b^2*(e*x)^(2*n)*Tan[c + d*x^n])/(d*e*n*x^n)}
+{(e*x)^(-1 + 3*n)*(a + b*Sec[c + d*x^n])^2, x, 16, (a^2*(e*x)^(3*n))/(3*e*n) - (I*b^2*(e*x)^(3*n))/(d*e*n*x^n) - ((4*I)*a*b*(e*x)^(3*n)*ArcTan[E^(I*(c + d*x^n))])/(d*e*n*x^n) + (2*b^2*(e*x)^(3*n)*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*x^n))])/(d^2*e*n*x^(2*n)) + ((4*I)*a*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x^n))])/(d^2*e*n*x^(2*n)) - ((4*I)*a*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x^n))])/(d^2*e*n*x^(2*n)) - (I*b^2*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*x^n))])/(d^3*e*n*x^(3*n)) - (4*a*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*x^n))])/(d^3*e*n*x^(3*n)) + (4*a*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x^n))])/(d^3*e*n*x^(3*n)) + (b^2*(e*x)^(3*n)*Tan[c + d*x^n])/(d*e*n*x^n)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(e*x)^(-1 + n)/(a + b*Sec[c + d*x^n]), x, 5, (e*x)^n/(a*e*n) - (2*b*(e*x)^n*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x^n)/2])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d*e*n*x^n)}
+{(e*x)^(-1 + 2*n)/(a + b*Sec[c + d*x^n]), x, 12, (e*x)^(2*n)/(2*a*e*n) + (I*b*(e*x)^(2*n)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) - (I*b*(e*x)^(2*n)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) + (b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) - (b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n))}
+{(e*x)^(-1 + 3*n)/(a + b*Sec[c + d*x^n]), x, 14, (e*x)^(3*n)/(3*a*e*n) + (I*b*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) - (I*b*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) + (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) - (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) + ((2*I)*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3*e*n*x^(3*n)) - ((2*I)*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3*e*n*x^(3*n))}
+
+
+{(e*x)^(-1 + n)/(a + b*Sec[c + d*x^n])^2, x, 7, (e*x)^n/(a^2*e*n) - (2*b*(2*a^2 - b^2)*(e*x)^n*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x^n)/2])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d*e*n*x^n) + (b^2*(e*x)^n*Tan[c + d*x^n])/(a*(a^2 - b^2)*d*e*n*x^n*(a + b*Sec[c + d*x^n]))}
+{(e*x)^(-1 + 2*n)/(a + b*Sec[c + d*x^n])^2, x, 23, (e*x)^(2*n)/(2*a^2*e*n) - (I*b^3*(e*x)^(2*n)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d*e*n*x^n) + ((2*I)*b*(e*x)^(2*n)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) + (I*b^3*(e*x)^(2*n)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d*e*n*x^n) - ((2*I)*b*(e*x)^(2*n)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) + (b^2*(e*x)^(2*n)*Log[b + a*Cos[c + d*x^n]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2*e*n*x^(2*n)) - (b^3*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2*e*n*x^(2*n)) + (2*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) + (b^3*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2*e*n*x^(2*n)) - (2*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) + (b^2*(e*x)^(2*n)*Sin[c + d*x^n])/(a*(a^2 - b^2)*d*e*n*x^n*(b + a*Cos[c + d*x^n]))}
+{(e*x)^(-1 + 3*n)/(a + b*Sec[c + d*x^n])^2, x, 32, (e*x)^(3*n)/(3*a^2*e*n) - (I*b^2*(e*x)^(3*n))/(x^n*(a^2*(a^2 - b^2)*d*e*n)) + (2*b^2*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2])])/(x^(2*n)*(a^2*(a^2 - b^2)*d^2*e*n)) + (2*b^2*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2])])/(x^(2*n)*(a^2*(a^2 - b^2)*d^2*e*n)) - (I*b^3*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(x^n*(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d*e*n)) + (2*I*b*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(x^n*(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n)) + (I*b^3*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(x^n*(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d*e*n)) - (2*I*b*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(x^n*(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n)) - (2*I*b^2*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(x^(3*n)*(a^2*(a^2 - b^2)*d^3*e*n)) - (2*I*b^2*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + I*Sqrt[a^2 - b^2]))])/(x^(3*n)*(a^2*(a^2 - b^2)*d^3*e*n)) - (2*b^3*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(x^(2*n)*(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2*e*n)) + (4*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(x^(2*n)*(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n)) + (2*b^3*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(x^(2*n)*(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2*e*n)) - (4*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(x^(2*n)*(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n)) - (2*I*b^3*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(x^(3*n)*(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3*e*n)) + (4*I*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(x^(3*n)*(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3*e*n)) + (2*I*b^3*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(x^(3*n)*(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3*e*n)) - (4*I*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(x^(3*n)*(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3*e*n)) + (b^2*(e*x)^(3*n)*Sin[c + d*x^n])/(x^n*(a*(a^2 - b^2)*d*e*n*(b + a*Cos[c + d*x^n])))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.2.1 (a+b sec)^m (c+d sec)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.2.1 (a+b sec)^m (c+d sec)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..4f438d07
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.2.1 (a+b sec)^m (c+d sec)^n.m	
@@ -0,0 +1,532 @@
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+(*Integrands of the form (a+b Sec[e+f x])^m (c+d Sec[e+f x])^n*)
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+(*Integrands of the form (a+a Sec[e+f x])^m (c-c Sec[e+f x])^n*)
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+(*Integrands of the form (a+a Sec[e+f x])^m (c-c Sec[e+f x])^n*)
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
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+{(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 11, a^2*c^4*x - (3*a^2*c^4*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(4*f) - (a^2*c^4*Tan[e + f*x])/f + (3*a^2*c^4*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(4*f) + (a^2*c^4*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) - (a^2*c^4*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]^3)/(2*f) + (a^2*c^4*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 5, a^2*c^3*x - (3*a^2*c^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) - (a^2*(8*c^3 - 3*c^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(8*f) + (a^2*(4*c^3 - 3*c^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x]^3)/(12*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 4, a^2*c^2*x - (a^2*c^2*Tan[e + f*x])/f + (a^2*c^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 4, a^2*c*x + (a^2*c*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*f) - (c*(2*a^2 + a^2*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(2*f)}
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+{(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 12, (a^2*x)/c^3 - (4*a^2*Tan[e + f*x])/(5*c^3*f*(1 - Sec[e + f*x])^3) - (8*a^2*Tan[e + f*x])/(15*c^3*f*(1 - Sec[e + f*x])^2) - (23*a^2*Tan[e + f*x])/(15*c^3*f*(1 - Sec[e + f*x]))}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 15, (a^2*x)/c^4 - (4*a^2*Tan[e + f*x])/(7*c^4*f*(1 - Sec[e + f*x])^4) - (12*a^2*Tan[e + f*x])/(35*c^4*f*(1 - Sec[e + f*x])^3) - (59*a^2*Tan[e + f*x])/(105*c^4*f*(1 - Sec[e + f*x])^2) - (164*a^2*Tan[e + f*x])/(105*c^4*f*(1 - Sec[e + f*x]))}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c - c*Sec[e + f*x])^5, x, 18, (a^2*x)/c^5 - (4*a^2*Tan[e + f*x])/(9*c^5*f*(1 - Sec[e + f*x])^5) - (16*a^2*Tan[e + f*x])/(63*c^5*f*(1 - Sec[e + f*x])^4) - (37*a^2*Tan[e + f*x])/(105*c^5*f*(1 - Sec[e + f*x])^3) - (179*a^2*Tan[e + f*x])/(315*c^5*f*(1 - Sec[e + f*x])^2) - (494*a^2*Tan[e + f*x])/(315*c^5*f*(1 - Sec[e + f*x]))}
+
+
+{(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^5, x, 13, a^3*c^5*x - (5*a^3*c^5*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) - (a^3*c^5*Tan[e + f*x])/f + (5*a^3*c^5*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(8*f) + (a^3*c^5*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) - (5*a^3*c^5*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]^3)/(12*f) - (a^3*c^5*Tan[e + f*x]^5)/(5*f) + (a^3*c^5*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]^5)/(3*f) - (a^3*c^5*Tan[e + f*x]^7)/(7*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 6, a^3*c^4*x - (5*a^3*c^4*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(16*f) - (a^3*(16*c^4 - 5*c^4*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(16*f) + (a^3*(8*c^4 - 5*c^4*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x]^3)/(24*f) - (a^3*(6*c^4 - 5*c^4*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x]^5)/(30*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 5, a^3*c^3*x - (a^3*c^3*Tan[e + f*x])/f + (a^3*c^3*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) - (a^3*c^3*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 5, a^3*c^2*x + (3*a^3*c^2*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) - (c^2*(8*a^3 + 3*a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(8*f) + (c^2*(4*a^3 + 3*a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x]^3)/(12*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 9, a^3*c*x + (a^3*c*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/f - (a^3*c*Tan[e + f*x])/f - (a^3*c*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/f - (a^3*c*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^3/(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 15, (a^3*x)/c - (4*a^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(c*f) + (8*a^3*Cot[e + f*x])/(c*f) + (8*a^3*Csc[e + f*x])/(c*f) - (a^3*Tan[e + f*x])/(c*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^3/(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 13, (a^3*x)/c^2 + (a^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(c^2*f) - (8*a^3*Tan[e + f*x])/(3*c^2*f*(1 - Sec[e + f*x])^2) + (4*a^3*Tan[e + f*x])/(3*c^2*f*(1 - Sec[e + f*x]))}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^3/(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 15, (a^3*x)/c^3 - (8*a^3*Tan[e + f*x])/(5*c^3*f*(1 - Sec[e + f*x])^3) + (4*a^3*Tan[e + f*x])/(15*c^3*f*(1 - Sec[e + f*x])^2) - (26*a^3*Tan[e + f*x])/(15*c^3*f*(1 - Sec[e + f*x]))}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^3/(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 19, (a^3*x)/c^4 - (8*a^3*Tan[e + f*x])/(7*c^4*f*(1 - Sec[e + f*x])^4) + (4*a^3*Tan[e + f*x])/(35*c^4*f*(1 - Sec[e + f*x])^3) - (62*a^3*Tan[e + f*x])/(105*c^4*f*(1 - Sec[e + f*x])^2) - (167*a^3*Tan[e + f*x])/(105*c^4*f*(1 - Sec[e + f*x]))}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^3/(c - c*Sec[e + f*x])^5, x, 23, (a^3*x)/c^5 - (8*a^3*Tan[e + f*x])/(9*c^5*f*(1 - Sec[e + f*x])^5) + (4*a^3*Tan[e + f*x])/(63*c^5*f*(1 - Sec[e + f*x])^4) - (38*a^3*Tan[e + f*x])/(105*c^5*f*(1 - Sec[e + f*x])^3) - (181*a^3*Tan[e + f*x])/(315*c^5*f*(1 - Sec[e + f*x])^2) - (496*a^3*Tan[e + f*x])/(315*c^5*f*(1 - Sec[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
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+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 21, (c^4*x)/a^2 - (6*c^4*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a^2*f) - (16*c^4*Cot[e + f*x])/(a^2*f) - (32*c^4*Cot[e + f*x]^3)/(3*a^2*f) + (32*c^4*Csc[e + f*x]^3)/(3*a^2*f) + (c^4*Tan[e + f*x])/(a^2*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 13, (c^3*x)/a^2 - (c^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a^2*f) - (8*c^3*Tan[e + f*x])/(3*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x])^2) + (4*c^3*Tan[e + f*x])/(3*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 9, (c^2*x)/a^2 - (4*c^2*Tan[e + f*x])/(3*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x])^2) - (4*c^2*Tan[e + f*x])/(3*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 7, (c*x)/a^2 - (2*c*Tan[e + f*x])/(3*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x])^2) - (5*c*Tan[e + f*x])/(3*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 4, x/(a^2*c) + (Cot[e + f*x]*(3 - 2*Sec[e + f*x]))/(3*a^2*c*f) - (Cot[e + f*x]^3*(1 - Sec[e + f*x]))/(3*a^2*c*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 4, x/(a^2*c^2) + Cot[e + f*x]/(a^2*c^2*f) - Cot[e + f*x]^3/(3*a^2*c^2*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 5, x/(a^2*c^3) + (Cot[e + f*x]^5*(1 + Sec[e + f*x]))/(5*a^2*c^3*f) - (Cot[e + f*x]^3*(5 + 4*Sec[e + f*x]))/(15*a^2*c^3*f) + (Cot[e + f*x]*(15 + 8*Sec[e + f*x]))/(15*a^2*c^3*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 13, x/(a^2*c^4) + Cot[e + f*x]/(a^2*c^4*f) - Cot[e + f*x]^3/(3*a^2*c^4*f) + Cot[e + f*x]^5/(5*a^2*c^4*f) - (2*Cot[e + f*x]^7)/(7*a^2*c^4*f) + (2*Csc[e + f*x])/(a^2*c^4*f) - (2*Csc[e + f*x]^3)/(a^2*c^4*f) + (6*Csc[e + f*x]^5)/(5*a^2*c^4*f) - (2*Csc[e + f*x]^7)/(7*a^2*c^4*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c - c*Sec[e + f*x])^5, x, 17, x/(a^2*c^5) + Cot[e + f*x]/(a^2*c^5*f) - Cot[e + f*x]^3/(3*a^2*c^5*f) + Cot[e + f*x]^5/(5*a^2*c^5*f) - Cot[e + f*x]^7/(7*a^2*c^5*f) + (4*Cot[e + f*x]^9)/(9*a^2*c^5*f) + (3*Csc[e + f*x])/(a^2*c^5*f) - (13*Csc[e + f*x]^3)/(3*a^2*c^5*f) + (21*Csc[e + f*x]^5)/(5*a^2*c^5*f) - (15*Csc[e + f*x]^7)/(7*a^2*c^5*f) + (4*Csc[e + f*x]^9)/(9*a^2*c^5*f)}
+
+
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^5, x, 29, (c^5*x)/a^3 + (8*c^5*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a^3*f) + (32*c^5*Cot[e + f*x])/(a^3*f) + (128*c^5*Cot[e + f*x]^3)/(3*a^3*f) + (128*c^5*Cot[e + f*x]^5)/(5*a^3*f) - (16*c^5*Csc[e + f*x])/(a^3*f) + (64*c^5*Csc[e + f*x]^3)/(3*a^3*f) - (128*c^5*Csc[e + f*x]^5)/(5*a^3*f) - (c^5*Tan[e + f*x])/(a^3*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 20, (c^4*x)/a^3 + (c^4*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a^3*f) - (3*c^4*Tan[e + f*x])/(a^3*f*(1 + Sec[e + f*x])^3) - (c^4*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(5*a^3*f*(1 + Sec[e + f*x])^3) + (14*c^4*Tan[e + f*x])/(5*a^3*f*(1 + Sec[e + f*x])^2) - (23*c^4*Tan[e + f*x])/(5*a^3*f*(1 + Sec[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 15, (c^3*x)/a^3 - (8*c^3*Tan[e + f*x])/(5*a^3*f*(1 + Sec[e + f*x])^3) + (4*c^3*Tan[e + f*x])/(15*a^3*f*(1 + Sec[e + f*x])^2) - (26*c^3*Tan[e + f*x])/(15*a^3*f*(1 + Sec[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 12, (c^2*x)/a^3 - (4*c^2*Tan[e + f*x])/(5*a^3*f*(1 + Sec[e + f*x])^3) - (8*c^2*Tan[e + f*x])/(15*a^3*f*(1 + Sec[e + f*x])^2) - (23*c^2*Tan[e + f*x])/(15*a^3*f*(1 + Sec[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 9, (c*x)/a^3 - (2*c*Tan[e + f*x])/(5*a^3*f*(1 + Sec[e + f*x])^3) - (3*c*Tan[e + f*x])/(5*a^3*f*(1 + Sec[e + f*x])^2) - (8*c*Tan[e + f*x])/(5*a^3*f*(1 + Sec[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^3/(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 12, x/(a^3*c) + Cot[e + f*x]/(a^3*c*f) - Cot[e + f*x]^3/(3*a^3*c*f) + (2*Cot[e + f*x]^5)/(5*a^3*c*f) - (2*Csc[e + f*x])/(a^3*c*f) + (4*Csc[e + f*x]^3)/(3*a^3*c*f) - (2*Csc[e + f*x]^5)/(5*a^3*c*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^3/(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 5, x/(a^3*c^2) + (Cot[e + f*x]*(15 - 8*Sec[e + f*x]))/(15*a^3*c^2*f) - (Cot[e + f*x]^3*(5 - 4*Sec[e + f*x]))/(15*a^3*c^2*f) + (Cot[e + f*x]^5*(1 - Sec[e + f*x]))/(5*a^3*c^2*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^3/(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 5, x/(a^3*c^3) + Cot[e + f*x]/(a^3*c^3*f) - Cot[e + f*x]^3/(3*a^3*c^3*f) + Cot[e + f*x]^5/(5*a^3*c^3*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^3/(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 6, x/(a^3*c^4) - (Cot[e + f*x]^7*(1 + Sec[e + f*x]))/(7*a^3*c^4*f) + (Cot[e + f*x]^5*(7 + 6*Sec[e + f*x]))/(35*a^3*c^4*f) + (Cot[e + f*x]*(35 + 16*Sec[e + f*x]))/(35*a^3*c^4*f) - (Cot[e + f*x]^3*(35 + 24*Sec[e + f*x]))/(105*a^3*c^4*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^3/(c - c*Sec[e + f*x])^5, x, 14, x/(a^3*c^5) + Cot[e + f*x]/(a^3*c^5*f) - Cot[e + f*x]^3/(3*a^3*c^5*f) + Cot[e + f*x]^5/(5*a^3*c^5*f) - Cot[e + f*x]^7/(7*a^3*c^5*f) + (2*Cot[e + f*x]^9)/(9*a^3*c^5*f) + (2*Csc[e + f*x])/(a^3*c^5*f) - (8*Csc[e + f*x]^3)/(3*a^3*c^5*f) + (12*Csc[e + f*x]^5)/(5*a^3*c^5*f) - (8*Csc[e + f*x]^7)/(7*a^3*c^5*f) + (2*Csc[e + f*x]^9)/(9*a^3*c^5*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^3/(c - c*Sec[e + f*x])^6, x, 18, x/(a^3*c^6) + Cot[e + f*x]/(a^3*c^6*f) - Cot[e + f*x]^3/(3*a^3*c^6*f) + Cot[e + f*x]^5/(5*a^3*c^6*f) - Cot[e + f*x]^7/(7*a^3*c^6*f) + Cot[e + f*x]^9/(9*a^3*c^6*f) - (4*Cot[e + f*x]^11)/(11*a^3*c^6*f) + (3*Csc[e + f*x])/(a^3*c^6*f) - (16*Csc[e + f*x]^3)/(3*a^3*c^6*f) + (34*Csc[e + f*x]^5)/(5*a^3*c^6*f) - (36*Csc[e + f*x]^7)/(7*a^3*c^6*f) + (19*Csc[e + f*x]^9)/(9*a^3*c^6*f) - (4*Csc[e + f*x]^11)/(11*a^3*c^6*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (c-c Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 5, (2*Sqrt[a]*c^4*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/f - (2*a*c^4*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*c^4*Tan[e + f*x]^3)/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (2*a^3*c^4*Tan[e + f*x]^5)/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (2*a^4*c^4*Tan[e + f*x]^7)/(7*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(7/2))}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 5, (2*Sqrt[a]*c^3*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/f - (2*a*c^3*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*c^3*Tan[e + f*x]^3)/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (2*a^3*c^3*Tan[e + f*x]^5)/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 5, (2*Sqrt[a]*c^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/f - (2*a*c^2*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*c^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 4, (2*Sqrt[a]*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/f - (2*a*c*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 4, (2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(c*f) + (2*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(c*f)}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 5, (2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(c^2*f) + (2*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(c^2*f) - (2*Cot[e + f*x]^3*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*a*c^2*f)}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 6, (2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(c^3*f) + (2*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(c^3*f) - (2*Cot[e + f*x]^3*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*a*c^3*f) + (2*Cot[e + f*x]^5*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))/(5*a^2*c^3*f)}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 7, (2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(c^4*f) + (2*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(c^4*f) - (2*Cot[e + f*x]^3*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*a*c^4*f) + (2*Cot[e + f*x]^5*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))/(5*a^2*c^4*f) - (2*Cot[e + f*x]^7*(a + a*Sec[e + f*x])^(7/2))/(7*a^3*c^4*f)}
+
+
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 6, (2*a^(3/2)*c^3*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/f - (2*a^2*c^3*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^3*c^3*Tan[e + f*x]^3)/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (2*a^4*c^3*Tan[e + f*x]^5)/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)) - (2*a^5*c^3*Tan[e + f*x]^7)/(7*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(7/2))}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 6, (2*a^(3/2)*c^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/f - (2*a^2*c^2*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^3*c^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (2*a^4*c^2*Tan[e + f*x]^5)/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 5, (2*a^(3/2)*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/f - (2*a^2*c*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*a^3*c*Tan[e + f*x]^3)/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 4, (2*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(c*f) + (4*a*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(c*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 5, (2*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(c^2*f) + (2*a*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(c^2*f) - (4*Cot[e + f*x]^3*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*c^2*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 6, (2*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(c^3*f) + (2*a*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(c^3*f) - (2*Cot[e + f*x]^3*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*c^3*f) + (4*Cot[e + f*x]^5*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))/(5*a*c^3*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 7, (2*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(c^4*f) + (2*a*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(c^4*f) - (2*Cot[e + f*x]^3*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*c^4*f) + (2*Cot[e + f*x]^5*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))/(5*a*c^4*f) - (4*Cot[e + f*x]^7*(a + a*Sec[e + f*x])^(7/2))/(7*a^2*c^4*f)}
+
+
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 5, (2*a^(5/2)*c^3*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/f - (2*a^3*c^3*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^4*c^3*Tan[e + f*x]^3)/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (2*a^5*c^3*Tan[e + f*x]^5)/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)) - (6*a^6*c^3*Tan[e + f*x]^7)/(7*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(7/2)) - (2*a^7*c^3*Tan[e + f*x]^9)/(9*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(9/2))}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 5, (2*a^(5/2)*c^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/f - (2*a^3*c^2*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^4*c^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (6*a^5*c^2*Tan[e + f*x]^5)/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (2*a^6*c^2*Tan[e + f*x]^7)/(7*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(7/2))}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 5, (2*a^(5/2)*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/f - (2*a^3*c*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*a^4*c*Tan[e + f*x]^3)/(f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (2*a^5*c*Tan[e + f*x]^5)/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 5, (2*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(c*f) + (8*a^2*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(c*f) - (2*a^3*Tan[e + f*x])/(c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 5, (2*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(c^2*f) - (8*a*Cot[e + f*x]^3*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*c^2*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 5, (2*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(c^3*f) + (2*a^2*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(c^3*f) + (8*Cot[e + f*x]^5*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))/(5*c^3*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 5, (2*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(c^4*f) + (2*a^2*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(c^4*f) - (2*a*Cot[e + f*x]^3*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*c^4*f) - (8*Cot[e + f*x]^7*(a + a*Sec[e + f*x])^(7/2))/(7*a*c^4*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^5, x, 5, (2*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(c^5*f) + (2*a^2*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(c^5*f) - (2*a*Cot[e + f*x]^3*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*c^5*f) + (2*Cot[e + f*x]^5*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))/(5*c^5*f) + (8*Cot[e + f*x]^9*(a + a*Sec[e + f*x])^(9/2))/(9*a^2*c^5*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 8, (2*c^4*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(Sqrt[a]*f) - (16*Sqrt[2]*c^4*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) + (14*c^4*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*a*c^4*Tan[e + f*x]^3)/(f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (2*a^2*c^4*Tan[e + f*x]^5)/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{1/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 7, (2*c^3*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(Sqrt[a]*f) - (8*Sqrt[2]*c^3*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) + (6*c^3*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*a*c^3*Tan[e + f*x]^3)/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{1/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 6, (2*c^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(Sqrt[a]*f) - (4*Sqrt[2]*c^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) + (2*c^2*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{1/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 5, (2*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(Sqrt[a]*f) - (2*Sqrt[2]*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f)}
+{1/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 6, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(Sqrt[a]*c*f) - ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])]/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*c*f) + (Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(a*c*f)}
+{1/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 7, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(Sqrt[a]*c^2*f) - ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a]*c^2*f) + (3*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(2*a*c^2*f) - (Cot[e + f*x]^3*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(3*a^2*c^2*f)}
+{1/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 8, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(Sqrt[a]*c^3*f) - ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])]/(4*Sqrt[2]*Sqrt[a]*c^3*f) + (7*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(4*a*c^3*f) - (Cot[e + f*x]^3*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(2*a^2*c^3*f) + (Cot[e + f*x]^5*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))/(5*a^3*c^3*f)}
+
+
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 8, (2*c^4*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(3/2)*f) + (12*Sqrt[2]*c^4*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(a^(3/2)*f) - (14*c^4*Tan[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (8*c^4*Tan[e + f*x]^3)/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (a*c^4*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^2*Sin[e + f*x]*Tan[e + f*x]^4)/(f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 7, (2*c^3*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(3/2)*f) + (2*Sqrt[2]*c^3*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(a^(3/2)*f) - (4*c^3*Tan[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (c^3*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^2*Sin[e + f*x]*Tan[e + f*x]^2)/(f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 7, (2*c^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(3/2)*f) - (Sqrt[2]*c^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(a^(3/2)*f) - (2*c^2*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)), (2*c^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(3/2)*f) - (Sqrt[2]*c^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(a^(3/2)*f) - (c^2*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^2*Sin[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 6, (2*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(3/2)*f) - (3*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*f) - (c*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)), (2*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(3/2)*f) - (3*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*f) - (c*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^2*Sin[e + f*x])/(2*a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 7, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(3/2)*c*f) - (7*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*a^(3/2)*c*f) + (Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(4*a^2*c*f) + (Cos[e + f*x]*Cot[e + f*x]*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^2*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(4*a^2*c*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 8, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(3/2)*c^2*f) - (9*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(8*Sqrt[2]*a^(3/2)*c^2*f) + (7*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(8*a^2*c^2*f) + (Cot[e + f*x]^3*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(12*a^3*c^2*f) - (Cos[e + f*x]*Cot[e + f*x]^3*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^2*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(4*a^3*c^2*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 9, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(3/2)*c^3*f) - (11*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(3/2)*c^3*f) + (21*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(16*a^2*c^3*f) - (5*Cot[e + f*x]^3*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(24*a^3*c^3*f) - (3*Cot[e + f*x]^5*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))/(20*a^4*c^3*f) + (Cos[e + f*x]*Cot[e + f*x]^5*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^2*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))/(4*a^4*c^3*f)}
+
+
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^5, x, 9, (2*c^5*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(5/2)*f) - (23*Sqrt[2]*c^5*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(a^(5/2)*f) + (21*c^5*Tan[e + f*x])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (19*c^5*Tan[e + f*x]^3)/(6*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (3*c^5*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^2*Sin[e + f*x]*Tan[e + f*x]^4)/(4*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (a*c^5*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^4*Sin[e + f*x]^2*Tan[e + f*x]^5)/(4*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(7/2))}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 8, (2*c^4*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(5/2)*f) - (11*c^4*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*a^(5/2)*f) + (7*c^4*Tan[e + f*x])/(2*a^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (c^4*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^2*Sin[e + f*x]*Tan[e + f*x]^2)/(4*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (c^4*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^4*Sin[e + f*x]^2*Tan[e + f*x]^3)/(4*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 7, (2*c^3*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(5/2)*f) - (7*c^3*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(5/2)*f) - (c^3*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^2*Sin[e + f*x])/(4*a^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (c^3*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^4*Sin[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(4*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 7, (2*c^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(5/2)*f) - (11*c^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*a^(5/2)*f) - (3*c^2*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^2*Sin[e + f*x])/(8*a^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (c^2*Cos[e + f*x]*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^4*Sin[e + f*x])/(4*a^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 7, (2*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(5/2)*f) - (23*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(8*Sqrt[2]*a^(5/2)*f) - (c*Tan[e + f*x])/(2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)) - (7*c*Tan[e + f*x])/(8*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)), (2*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(5/2)*f) - (23*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(8*Sqrt[2]*a^(5/2)*f) - (7*c*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^2*Sin[e + f*x])/(16*a^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (c*Cos[e + f*x]*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^4*Sin[e + f*x])/(8*a^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 8, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(5/2)*c*f) - (71*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(32*Sqrt[2]*a^(5/2)*c*f) - (7*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(32*a^3*c*f) + (13*Cos[e + f*x]*Cot[e + f*x]*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^2*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(32*a^3*c*f) + (Cos[e + f*x]^2*Cot[e + f*x]*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^4*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(16*a^3*c*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 9, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(5/2)*c^2*f) - (107*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^(5/2)*c^2*f) + (21*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(64*a^3*c^2*f) + (43*Cot[e + f*x]^3*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(96*a^4*c^2*f) - (15*Cos[e + f*x]*Cot[e + f*x]^3*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^2*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(32*a^4*c^2*f) - (Cos[e + f*x]^2*Cot[e + f*x]^3*Sec[(1/2)*(e + f*x)]^4*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(16*a^4*c^2*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (c-c Sec[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 5, (a*c^4*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (a*c^3*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (a*c^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (a*c*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 4, (a*c^3*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (a*c^2*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (a*c*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, (a*c^2*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (a*c*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 2, (a*c*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c - c*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 2, (a*Log[1 - Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((a*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2))) + (a*Log[1 - Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((a*Tan[e + f*x])/(2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2))) - (a*Tan[e + f*x])/(c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (a*Log[1 - Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 5, -((a*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2))) - (a*Tan[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) - (a*Tan[e + f*x])/(c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (a*Log[1 - Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c^3*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+
+
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 5, (a^2*c^3*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (a^2*c^2*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (a^2*c*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (a^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, (a^2*c^2*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (a^2*c^2*Tan[e + f*x]^3)/(2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 3, (a^2*c*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (a*c*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 3, (a^2*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*Log[1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((2*a^2*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2))) + (a^2*Log[1 - Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((a^2*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2))) - (a^2*Tan[e + f*x])/(c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (a^2*Log[1 - Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 5, -((2*a^2*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2))) - (a^2*Tan[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) - (a^2*Tan[e + f*x])/(c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (a^2*Log[1 - Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c^3*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+
+
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 4, (a^3*c^3*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (a^3*c^3*Tan[e + f*x]^3)/(2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (a^3*c^3*Tan[e + f*x]^5)/(4*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 5, (a^3*c^2*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (a^2*c^2*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (a*c^2*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(2*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (c^2*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 4, (a^3*c*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (a^2*c*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (a*c*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(2*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 3, (a^3*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (4*a^3*Log[1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (a^3*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((4*a^3*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2))) + (a^3*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 3, -((2*a^3*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2))) + (a^3*Log[1 - Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 4, -((4*a^3*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2))) - (a^3*Tan[e + f*x])/(c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (a^3*Log[1 - Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c^3*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^(9/2), x, 5, -((a^3*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(9/2))) - (a^3*Tan[e + f*x])/(2*c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) - (a^3*Tan[e + f*x])/(c^3*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (a^3*Log[1 - Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c^4*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c - c*Sec[e + f*x])^(11/2), x, 6, -((4*a^3*Tan[e + f*x])/(5*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(11/2))) - (a^3*Tan[e + f*x])/(3*c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2)) - (a^3*Tan[e + f*x])/(2*c^3*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) - (a^3*Tan[e + f*x])/(c^4*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (a^3*Log[1 - Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c^5*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2)/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]], x, 3, (c^4*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (8*c^4*Log[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (4*c^4*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (c^4*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]], x, 3, (c^3*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (4*c^3*Log[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (c^3*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]], x, 3, (c^2*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (2*c^2*Log[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(c - c*Sec[e + f*x])^(1/2)/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]], x, 2, (c*Log[1 + Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{1/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(1/2)), x, 2, (Log[Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{1/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)), x, 3, Tan[e + f*x]/(2*c*f*(1 - Cos[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (3*Log[1 - Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(4*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (Log[1 + Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(4*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]), (Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (3*Log[1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(4*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (Log[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(4*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - Tan[e + f*x]/(2*c*f*(1 - Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{1/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)), x, 3, (Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (7*Log[1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(8*c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (Log[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(8*c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - Tan[e + f*x]/(4*c^2*f*(1 - Sec[e + f*x])^2*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (3*Tan[e + f*x])/(4*c^2*f*(1 - Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+
+
+{(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2)/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, (c^4*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (4*c^4*Log[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (c^4*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (8*c^4*Tan[e + f*x])/(a*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((4*c^3*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) + (c^3*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((2*c^2*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) + (c^2*Log[1 + Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(c - c*Sec[e + f*x])^(1/2)/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((c*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) + (c*Log[1 + Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{1/((a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(1/2)), x, 3, (Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (Log[1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(4*a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (3*Log[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(4*a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - Tan[e + f*x]/(2*a*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{1/((a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)), x, 3, Cot[e + f*x]/(2*a*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (Log[Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{1/((a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)), x, 3, (Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a*c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (11*Log[1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(16*a*c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (5*Log[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(16*a*c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - Tan[e + f*x]/(8*a*c^2*f*(1 - Sec[e + f*x])^2*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - Tan[e + f*x]/(2*a*c^2*f*(1 - Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - Tan[e + f*x]/(8*a*c^2*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+
+
+{(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2)/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 3, (c^4*Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (2*c^4*Log[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (4*c^4*Tan[e + f*x])/(a^2*f*(1 + Sec[e + f*x])^2*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (4*c^4*Tan[e + f*x])/(a^2*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 3, -((2*c^3*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) + (c^3*Log[1 + Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((c^2*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) - (c^2*Tan[e + f*x])/(a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (c^2*Log[1 + Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(c - c*Sec[e + f*x])^(1/2)/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((c*Tan[e + f*x])/(2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) - (c*Tan[e + f*x])/(a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (c*Log[1 + Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{1/((a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(1/2)), x, 3, (Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (Log[1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(8*a^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (7*Log[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(8*a^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - Tan[e + f*x]/(4*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x])^2*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (3*Tan[e + f*x])/(4*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{1/((a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)), x, 3, (Log[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a^2*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (5*Log[1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(16*a^2*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (11*Log[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(16*a^2*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - Tan[e + f*x]/(8*a^2*c*f*(1 - Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - Tan[e + f*x]/(8*a^2*c*f*(1 + Sec[e + f*x])^2*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - Tan[e + f*x]/(2*a^2*c*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{1/((a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)), x, 4, Cot[e + f*x]/(2*a^2*c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - Cot[e + f*x]^3/(4*a^2*c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (Log[Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a^2*c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sec[e+f x])^m (c-c Sec[e+f x])^n with m and/or n symbolic*)
+
+
+{(1 + Sec[e + f*x])^m*(c - c*Sec[e + f*x])^n, x, 2, (2^(1/2 + m)*AppellF1[1/2 + n, 1/2 - m, 1, 3/2 + n, (1/2)*(1 - Sec[e + f*x]), 1 - Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^m*(c - c*Sec[e + f*x])^n, x, 3, (2^(1/2 + n)*c*AppellF1[1/2 + m, 1/2 - n, 1, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sec[e + f*x]), 1 + Sec[e + f*x]]*(1 - Sec[e + f*x])^(1/2 - n)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*(c - c*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*m))}
+
+
+{(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^n, x, 3, (2^(1/2 + n)*c*AppellF1[7/2, 1/2 - n, 1, 9/2, (1/2)*(1 + Sec[e + f*x]), 1 + Sec[e + f*x]]*(1 - Sec[e + f*x])^(1/2 - n)*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Tan[e + f*x])/(7*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^n, x, 3, (2^(1/2 + n)*c*AppellF1[5/2, 1/2 - n, 1, 7/2, (1/2)*(1 + Sec[e + f*x]), 1 + Sec[e + f*x]]*(1 - Sec[e + f*x])^(1/2 - n)*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Tan[e + f*x])/(5*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^1*(c - c*Sec[e + f*x])^n, x, 3, (2^(1/2 + n)*c*AppellF1[3/2, 1/2 - n, 1, 5/2, (1/2)*(1 + Sec[e + f*x]), 1 + Sec[e + f*x]]*(1 - Sec[e + f*x])^(1/2 - n)*(a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Tan[e + f*x])/(3*f)}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^1*(c - c*Sec[e + f*x])^n, x, 3, -((2^(1/2 + n)*c*AppellF1[-(1/2), 1/2 - n, 1, 1/2, (1/2)*(1 + Sec[e + f*x]), 1 + Sec[e + f*x]]*(1 - Sec[e + f*x])^(1/2 - n)*(c - c*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])))}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^n, x, 3, -((2^(1/2 + n)*c*AppellF1[-(3/2), 1/2 - n, 1, -(1/2), (1/2)*(1 + Sec[e + f*x]), 1 + Sec[e + f*x]]*(1 - Sec[e + f*x])^(1/2 - n)*(c - c*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2))}
+
+
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^n, x, 4, (6*a^3*(c - c*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^3*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + n, 3/2 + n, 1 - Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*a^3*(c - c*Sec[e + f*x])^(1 + n)*Tan[e + f*x])/(c*f*(3 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^n, x, 3, (2*a^2*(c - c*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + n, 3/2 + n, 1 - Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(1/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^n, x, 2, (2*a*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + n, 3/2 + n, 1 - Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(1/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^n, x, 4, -((Hypergeometric2F1[1, 1/2 + n, 3/2 + n, (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*(c - c*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])) + (2*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + n, 3/2 + n, 1 - Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^n, x, 5, -(((5 - 2*n)*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + n, 3/2 + n, (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*(c - c*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(4*a*f*(1 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])) + (2*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + n, 3/2 + n, 1 - Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(a*f*(1 + 2*n)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - ((c - c*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(2*a*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sec[e+f x])^m (c+d Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sec[e+f x])^m (c+d Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sec[e+f x])^m (c+d Sec[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c + c*Sec[e + f*x]), x, 6, (2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(c*f) - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(c*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(c + d*Sec[e + f*x])^(3/2)/(a + a*Sec[e + f*x]), x, 3, -((2*c*Cot[e + f*x]*EllipticPi[c/(c + d), ArcSin[Sqrt[c + d]/Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]], (c - d)/(c + d)]*Sqrt[-((d*(1 - Sec[e + f*x]))/(c + d*Sec[e + f*x]))]*Sqrt[(d*(1 + Sec[e + f*x]))/(c + d*Sec[e + f*x])]*(c + d*Sec[e + f*x]))/(a*Sqrt[c + d]*f)) - ((c - d)*EllipticE[ArcSin[Tan[e + f*x]/(1 + Sec[e + f*x])], (c - d)/(c + d)]*Sqrt[1/(1 + Sec[e + f*x])]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[(c + d*Sec[e + f*x])/((c + d)*(1 + Sec[e + f*x]))])}
+{(c + d*Sec[e + f*x])^(1/2)/(a + a*Sec[e + f*x]), x, 3, -((2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[c/(c + d), ArcSin[Sqrt[c + d]/Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]], (c - d)/(c + d)]*Sqrt[-((d*(1 - Sec[e + f*x]))/(c + d*Sec[e + f*x]))]*Sqrt[(d*(1 + Sec[e + f*x]))/(c + d*Sec[e + f*x])]*(c + d*Sec[e + f*x]))/(a*Sqrt[c + d]*f)) - (EllipticE[ArcSin[Tan[e + f*x]/(1 + Sec[e + f*x])], (c - d)/(c + d)]*Sqrt[1/(1 + Sec[e + f*x])]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[(c + d*Sec[e + f*x])/((c + d)*(1 + Sec[e + f*x]))])}
+{1/((c + d*Sec[e + f*x])^(1/2)*(a + a*Sec[e + f*x])), x, 5, (2*Sqrt[c + d]*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]/Sqrt[c + d]], (c + d)/(c - d)]*Sqrt[(d*(1 - Sec[e + f*x]))/(c + d)]*Sqrt[-((d*(1 + Sec[e + f*x]))/(c - d))])/(a*(c - d)*f) - (2*Sqrt[c + d]*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(c + d)/c, ArcSin[Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]/Sqrt[c + d]], (c + d)/(c - d)]*Sqrt[(d*(1 - Sec[e + f*x]))/(c + d)]*Sqrt[-((d*(1 + Sec[e + f*x]))/(c - d))])/(a*c*f) - (EllipticE[ArcSin[Tan[e + f*x]/(1 + Sec[e + f*x])], (c - d)/(c + d)]*Sqrt[1/(1 + Sec[e + f*x])]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])/(a*(c - d)*f*Sqrt[(c + d*Sec[e + f*x])/((c + d)*(1 + Sec[e + f*x]))])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (c+d Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^4, x, 5, (2*a*d*(2*c + d)*(2*c^2 + 2*c*d + d^2)*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^(3/2)*c^4*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*d^2*(6*c^2 + 8*c*d + 3*d^2)*(a - a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*d^3*(4*c + 3*d)*(a - a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(5*a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*d^4*(a - a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(7*a^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 5, (2*a*d*(3*c^2 + 3*c*d + d^2)*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^(3/2)*c^3*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*d^2*(3*c + 2*d)*(a - a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*d^3*(a - a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(5*a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 5, (2*a*d*(2*c + d)*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^(3/2)*c^2*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*d^2*(a - a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 4, (2*Sqrt[a]*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/f + (2*a*d*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 5, (2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(c*f) - (2*Sqrt[a]*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(c*Sqrt[c + d]*f)}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 7, (2*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(c^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (a^(3/2)*Sqrt[d]*(3*c + 2*d)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(c^2*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (a*d*Tan[e + f*x])/(c*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 8, (2*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(c^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (a^(3/2)*Sqrt[d]*(15*c^2 + 20*c*d + 8*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(4*c^3*(c + d)^(5/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (a*d*Tan[e + f*x])/(2*c*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - (a*d*(7*c + 4*d)*Tan[e + f*x])/(4*c^2*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+
+
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 6, (2*a^(5/2)*c^3*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*(6*c + 13*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(35*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(7*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*(2*(36*c^3 + 243*c^2*d + 189*c*d^2 + 52*d^3) + d*(24*c^2 + 111*c*d + 52*d^2)*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(105*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 5, (2*a^(5/2)*c^2*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(5*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*(2*(6*c^2 + 25*c*d + 9*d^2) + d*(4*c + 9*d)*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(15*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 5, (2*a^(3/2)*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/f + (2*a^2*(3*c + 4*d)*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(3*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 5, (2*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(c*f) + (2*a^(3/2)*(c - d)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c + d]*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 7, (2*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(c^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (a^(5/2)*(c^2 - 3*c*d - 2*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(c^2*Sqrt[d]*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (a^2*(c - d)*Tan[e + f*x])/(c*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 8, (2*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(c^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (a^(5/2)*(3*c^3 - 15*c^2*d - 20*c*d^2 - 8*d^3)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(4*c^3*Sqrt[d]*(c + d)^(5/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (a^2*(c - d)*Tan[e + f*x])/(2*c*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (a^2*(3*c^2 - 7*c*d - 4*d^2)*Tan[e + f*x])/(4*c^2*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+
+
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 5, (2*a^3*(3*c^3 + 12*c^2*d + 12*c*d^2 + 4*d^3)*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^(7/2)*c^3*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a*d*(3*c^2 + 15*c*d + 13*d^2)*(a - a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(5*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (6*d^2*(c + 2*d)*(a - a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(7*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*d^3*(a - a*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(9*a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*(c^3 + 12*c^2*d + 24*c*d^2 + 12*d^3)*(a^3 - a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 5, (2*a^3*(c + 2*d)*(3*c + 2*d)*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^(7/2)*c^2*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a*d*(2*c + 5*d)*(a - a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(5*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*d^2*(a - a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(7*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*(c^2 + 8*c*d + 8*d^2)*(a^3 - a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 6, (2*a^(5/2)*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/f + (2*a^3*(35*c + 32*d)*Tan[e + f*x])/(15*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*(5*c + 8*d)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(15*f) + (2*a*d*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(5*f)}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 7, (2*a^3*Tan[e + f*x])/(d*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(c*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*a^(7/2)*(c - d)^2*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(c*d^(3/2)*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 10, (2*a^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(c^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (a^(7/2)*(c - d)^2*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(c*d^(3/2)*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^(7/2)*(c - d)*Sqrt[c + d]*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(c^2*d^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (a^3*(c - d)^2*Tan[e + f*x])/(c*d*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 14, (2*a^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(c^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (3*a^(7/2)*(c - d)^2*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(4*c*d^(3/2)*(c + d)^(5/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (a^(7/2)*(c - d)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(c^2*d^(3/2)*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*a^(7/2)*Sqrt[d]*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(c^3*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (a^3*(c - d)^2*Tan[e + f*x])/(2*c*d*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (a^3*(c - d)*Tan[e + f*x])/(c^2*d*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])) - (3*a^3*(c - d)^2*Tan[e + f*x])/(4*c*d*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{1/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 9, (2*(3*c - d)*d^2*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*d^3*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*d^3*(1 - Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*Sqrt[a]*c^3*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*(c - d)^3*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{1/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 7, (2*d^2*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*Sqrt[a]*c^2*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*(c - d)^2*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{1/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 5, (2*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(Sqrt[a]*f) - (Sqrt[2]*(c - d)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f)}
+{1/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 8, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(Sqrt[a]*c*f) - (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)*f) + (2*d^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*c*(c - d)*Sqrt[c + d]*f)}
+{1/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 12, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(c^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/((c - d)^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (Sqrt[a]*d^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(c*(c - d)*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*Sqrt[a]*(2*c - d)*d^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(c^2*(c - d)^2*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (d^2*Tan[e + f*x])/(c*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{1/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 16, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(c^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/((c - d)^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (3*Sqrt[a]*d^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(4*c*(c - d)*(c + d)^(5/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (Sqrt[a]*(2*c - d)*d^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(c^2*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*Sqrt[a]*d^(3/2)*(3*c^2 - 3*c*d + d^2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(c^3*(c - d)^3*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (d^2*Tan[e + f*x])/(2*c*(c^2 - d^2)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (3*d^2*Tan[e + f*x])/(4*c*(c - d)*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])) + ((2*c - d)*d^2*Tan[e + f*x])/(c^2*(c - d)^2*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+
+
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 10, (2*d^3*Tan[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - ((c - d)^3*Tan[e + f*x])/(2*a*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*c^3*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - ((c - d)^3*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*(c - d)^2*(c + 2*d)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 10, -(((c - d)^2*Tan[e + f*x])/(2*a*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])) + (2*c^2*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - ((c - d)^2*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*(c^2 - d^2)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 6, (2*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(3/2)*f) - ((5*c - d)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*f) - ((c - d)*Tan[e + f*x])/(2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 12, -(Tan[e + f*x]/(2*a*(c - d)*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])) + (2*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*c*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*(c - 2*d)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*(c - d)^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a]*(c - d)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*d^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*c*(c - d)^2*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 15, -(Tan[e + f*x]/(2*a*(c - d)^2*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])) + (2*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*c^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*(c - 3*d)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*(c - d)^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a]*(c - d)^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (d^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*c*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*(3*c - d)*d^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*c^2*(c - d)^3*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (d^3*Tan[e + f*x])/(a*c*(c - d)^2*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 19, If[$VersionNumber>=8, -(Tan[e + f*x]/(2*a*(c - d)^3*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])) + (2*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*c^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*(c - 4*d)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*(c - d)^4*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a]*(c - d)^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (3*d^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(4*Sqrt[a]*c*(c - d)^2*(c + d)^(5/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - ((3*c - d)*d^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*c^2*(c - d)^3*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*d^(5/2)*(6*c^2 - 4*c*d + d^2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*c^3*(c - d)^4*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (d^3*Tan[e + f*x])/(2*a*c*(c - d)^2*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - ((3*c - d)*d^3*Tan[e + f*x])/(a*c^2*(c - d)^3*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])) - (3*d^3*Tan[e + f*x])/(4*a*c*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])), -(Tan[e + f*x]/(2*a*(c - d)^3*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])) + (2*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*c^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*(c - 4*d)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*(c - d)^4*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a]*(c - d)^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (3*d^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(4*Sqrt[a]*c*(c - d)^2*(c + d)^(5/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - ((3*c - d)*d^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*c^2*(c - d)^3*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*d^(5/2)*(6*c^2 - 4*c*d + d^2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a]*c^3*(c - d)^4*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (d^3*Tan[e + f*x])/(2*a*c*(c - d)^2*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - ((3*c - d)*d^3*Tan[e + f*x])/(a*c^2*(c - d)^3*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])) - (3*d^3*Tan[e + f*x])/(4*a*c*(c^2 - d^2)^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x]))]}
+
+
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 14, -(((c - d)^3*Tan[e + f*x])/(4*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x])^2*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])) - (3*(c - d)^3*Tan[e + f*x])/(16*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - ((c - d)^2*(c + 2*d)*Tan[e + f*x])/(2*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*c^3*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(a^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (3*(c - d)^3*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(16*Sqrt[2]*a^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - ((c - d)^2*(c + 2*d)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*(c^3 - d^3)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(a^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 14, -(((c - d)^2*Tan[e + f*x])/(4*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x])^2*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])) - (3*(c - d)^2*Tan[e + f*x])/(16*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - ((c^2 - d^2)*Tan[e + f*x])/(2*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*c^2*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(a^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*c^2*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(a^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (3*(c - d)^2*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(16*Sqrt[2]*a^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - ((c^2 - d^2)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 7, (2*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(a^(5/2)*f) - ((43*c - 3*d)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*f) - ((c - d)*Tan[e + f*x])/(4*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)) - ((11*c - 3*d)*Tan[e + f*x])/(16*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 16, -(Tan[e + f*x]/(4*a^2*(c - d)*f*(1 + Sec[e + f*x])^2*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])) - ((c - 2*d)*Tan[e + f*x])/(2*a^2*(c - d)^2*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (3*Tan[e + f*x])/(16*a^2*(c - d)*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(a^(3/2)*c*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - ((c - 2*d)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - d)^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (3*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(16*Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - d)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*(c^2 - 3*c*d + 3*d^2)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(a^(3/2)*(c - d)^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*d^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(a^(3/2)*c*(c - d)^3*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 19, -(Tan[e + f*x]/(4*a^2*(c - d)^2*f*(1 + Sec[e + f*x])^2*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])) - ((c - 3*d)*Tan[e + f*x])/(2*a^2*(c - d)^3*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (3*Tan[e + f*x])/(16*a^2*(c - d)^2*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(a^(3/2)*c^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - ((c - 3*d)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - d)^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (3*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(16*Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - d)^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*(c^2 - 4*c*d + 6*d^2)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(a^(3/2)*(c - d)^4*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (d^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(a^(3/2)*c*(c - d)^3*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*(4*c - d)*d^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(a^(3/2)*c^2*(c - d)^4*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (d^4*Tan[e + f*x])/(a^2*c*(c - d)^3*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{1/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 23, -(Tan[e + f*x]/(4*a^2*(c - d)^3*f*(1 + Sec[e + f*x])^2*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])) - ((c - 4*d)*Tan[e + f*x])/(2*a^2*(c - d)^4*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (3*Tan[e + f*x])/(16*a^2*(c - d)^3*f*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(a^(3/2)*c^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - ((c - 4*d)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - d)^4*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (3*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(16*Sqrt[2]*a^(3/2)*(c - d)^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (Sqrt[2]*(c^2 - 5*c*d + 10*d^2)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a])]*Tan[e + f*x])/(a^(3/2)*(c - d)^5*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (3*d^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(4*a^(3/2)*c*(c - d)^3*(c + d)^(5/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((4*c - d)*d^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(a^(3/2)*c^2*(c - d)^4*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*d^(7/2)*(10*c^2 - 5*c*d + d^2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(a^(3/2)*c^3*(c - d)^5*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (d^4*Tan[e + f*x])/(2*a^2*c*(c - d)^3*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (3*d^4*Tan[e + f*x])/(4*a^2*c*(c - d)^3*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])) + ((4*c - d)*d^4*Tan[e + f*x])/(a^2*c^2*(c - d)^4*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (c+d Sec[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 5, (2*Sqrt[a]*Sqrt[c]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])])/f + (2*Sqrt[a]*Sqrt[d]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])])/f}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c + d*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f)}
+{Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c + d*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 5, (2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])])/(c^(3/2)*f) - (2*a*d*Tan[e + f*x])/(c*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]], x, 5, (2*Sqrt[c]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) - (Sqrt[2]*Sqrt[c - d]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f)}
+{1/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]), x, 5, (2*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*Sqrt[c]*f) - (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*f)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sec[e+f x])^m (c+d Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sec[e+f x])^m (c+d Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x])/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 4, (a*x)/c + (2*(b*c - a*d)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(c*Sqrt[c - d]*Sqrt[c + d]*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x])/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 5, (a*x)/c^2 + (2*(b*c^3 - 2*a*c^2*d + a*d^3)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(c^2*(c - d)^(3/2)*(c + d)^(3/2)*f) - (d*(b*c - a*d)*Tan[e + f*x])/(c*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(a + b*Sec[e + f*x])/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 6, (a*x)/c^3 + ((b*c^3*(2*c^2 + d^2) - a*d*(6*c^4 - 5*c^2*d^2 + 2*d^4))*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(c^3*(c - d)^(5/2)*(c + d)^(5/2)*f) - (d*(b*c - a*d)*Tan[e + f*x])/(2*c*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - (d*(3*b*c^3 - 5*a*c^2*d + 2*a*d^3)*Tan[e + f*x])/(2*c^2*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x])^2/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 5, (a^2*x)/c^2 + (2*(b*c - a*d)*(2*a*c^2 - b*c*d - a*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(c^2*(c - d)^(3/2)*(c + d)^(3/2)*f) + ((b*c - a*d)^2*Sin[e + f*x])/(c*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x]))}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^2/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 6, (a^2*x)/c^3 - ((3*b^2*c^4*d - 2*a*b*c^3*(2*c^2 + d^2) + a^2*(6*c^4*d - 5*c^2*d^3 + 2*d^5))*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(c^3*(c - d)^(5/2)*(c + d)^(5/2)*f) - (d*(b*c - a*d)^2*Sin[e + f*x])/(2*c^2*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x])^2) - ((b*c - a*d)*(3*a*d*(2*c^2 - d^2) - b*c*(2*c^2 + d^2))*Sin[e + f*x])/(2*c^2*(c^2 - d^2)^2*f*(d + c*Cos[e + f*x]))}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^2/(c + d*Sec[e + f*x])^4, x, 7, (a^2*x)/c^4 - ((b^2*c^4*d*(4*c^2 + d^2) - a*b*(4*c^7 + 6*c^5*d^2) + a^2*(8*c^6*d - 8*c^4*d^3 + 7*c^2*d^5 - 2*d^7))*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(c^4*(c - d)^(7/2)*(c + d)^(7/2)*f) + (d^2*(b + a*Cos[e + f*x])^2*Sin[e + f*x])/(3*c*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x])^3) - (d*(b*c - a*d)*(6*b*c^3 - 8*a*c^2*d - b*c*d^2 + 3*a*d^3)*Sin[e + f*x])/(6*c^3*(c^2 - d^2)^2*f*(d + c*Cos[e + f*x])^2) - ((2*a*b*c*d*(18*c^4 - 5*c^2*d^2 + 2*d^4) - a^2*d^2*(34*c^4 - 28*c^2*d^2 + 9*d^4) - b^2*(6*c^6 + 10*c^4*d^2 - c^2*d^4))*Sin[e + f*x])/(6*c^3*(c^2 - d^2)^3*f*(d + c*Cos[e + f*x]))}
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x])^3/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 6, (a^3*x)/c^3 - ((b*c - a*d)*(2*a*b*c*d*(4*c^2 - d^2) - b^2*c^2*(c^2 + 2*d^2) - a^2*(6*c^4 - 5*c^2*d^2 + 2*d^4))*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(c^3*(c - d)^(5/2)*(c + d)^(5/2)*f) + ((b*c - a*d)^2*(b + a*Cos[e + f*x])*Sin[e + f*x])/(2*c*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x])^2) + ((b*c - a*d)^2*(5*a*c^2 - 3*b*c*d - 2*a*d^2)*Sin[e + f*x])/(2*c^2*(c^2 - d^2)^2*f*(d + c*Cos[e + f*x]))}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^3/(c + d*Sec[e + f*x])^4, x, 7, If[$VersionNumber>=8, (a^3*x)/c^4 - ((3*a*b^2*c^4*d*(4*c^2 + d^2) - b^3*c^5*(c^2 + 4*d^2) - a^2*b*(6*c^7 + 9*c^5*d^2) + a^3*(8*c^6*d - 8*c^4*d^3 + 7*c^2*d^5 - 2*d^7))*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(c^4*Sqrt[c - d]*Sqrt[c + d]*(c^2 - d^2)^3*f) - (d*(b*c - a*d)*(b + a*Cos[e + f*x])^2*Sin[e + f*x])/(3*c*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x])^3) + ((b*c - a*d)^2*(3*b*c^3 - 8*a*c^2*d + 2*b*c*d^2 + 3*a*d^3)*Sin[e + f*x])/(6*c^3*(c^2 - d^2)^2*f*(d + c*Cos[e + f*x])^2) - ((b*c - a*d)*(b^2*c^2*d*(13*c^2 + 2*d^2) - a*b*c*(18*c^4 + 17*c^2*d^2 - 5*d^4) + a^2*(34*c^4*d - 28*c^2*d^3 + 9*d^5))*Sin[e + f*x])/(6*c^3*(c^2 - d^2)^3*f*(d + c*Cos[e + f*x])), (a^3*x)/c^4 - ((3*a*b^2*c^4*d*(4*c^2 + d^2) - b^3*c^5*(c^2 + 4*d^2) - a^2*b*(6*c^7 + 9*c^5*d^2) + a^3*(8*c^6*d - 8*c^4*d^3 + 7*c^2*d^5 - 2*d^7))*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(c^4*Sqrt[c - d]*Sqrt[c + d]*(c^2 - d^2)^3*f) - (d*(b*c - a*d)*(b + a*Cos[e + f*x])^2*Sin[e + f*x])/(3*c*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x])^3) + ((b*c - a*d)^2*(3*b*c^3 - 8*a*c^2*d + 2*b*c*d^2 + 3*a*d^3)*Sin[e + f*x])/(6*c^3*(c^2 - d^2)^2*f*(d + c*Cos[e + f*x])^2) - ((b*c - a*d)*(b^2*c^2*d*(13*c^2 + 2*d^2) - a*b*c*(18*c^4 + 17*c^2*d^2 - 5*d^4) + a^2*(34*c^4*d - 28*c^2*d^3 + 9*d^5))*Sin[e + f*x])/(6*c^3*(c^2 - d^2)^3*f*(d + c*Cos[e + f*x]))]}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^3/(c + d*Sec[e + f*x])^5, x, 8, (a^3*x)/c^5 - ((15*a*b^2*c^6*d*(4*c^2 + 3*d^2) - 3*a^2*b*c^5*(8*c^4 + 24*c^2*d^2 + 3*d^4) - b^3*c^5*(4*c^4 + 27*c^2*d^2 + 4*d^4) + a^3*(40*c^8*d - 40*c^6*d^3 + 63*c^4*d^5 - 36*c^2*d^7 + 8*d^9))*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(4*c^5*Sqrt[c - d]*Sqrt[c + d]*(c^2 - d^2)^4*f) + (d^2*(b + a*Cos[e + f*x])^3*Sin[e + f*x])/(4*c*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x])^4) - (d*(8*b*c^3 - 11*a*c^2*d - b*c*d^2 + 4*a*d^3)*(b + a*Cos[e + f*x])^2*Sin[e + f*x])/(12*c^2*(c^2 - d^2)^2*f*(d + c*Cos[e + f*x])^3) - ((b*c - a*d)*(2*a*b*c*d*(32*c^4 + c^2*d^2 + 2*d^4) - a^2*d^2*(58*c^4 - 35*c^2*d^2 + 12*d^4) - b^2*(12*c^6 + 25*c^4*d^2 - 2*c^2*d^4))*Sin[e + f*x])/(24*c^4*(c^2 - d^2)^3*f*(d + c*Cos[e + f*x])^2) - ((b^3*c^3*d*(68*c^4 + 39*c^2*d^2 - 2*d^4) + a^2*b*c*d*(272*c^6 + 10*c^4*d^2 + 49*c^2*d^4 - 16*d^6) - 3*a*b^2*c^2*(24*c^6 + 84*c^4*d^2 - 5*c^2*d^4 + 2*d^6) - a^3*(212*c^6*d^2 - 210*c^4*d^4 + 139*c^2*d^6 - 36*d^8))*Sin[e + f*x])/(24*c^4*(c^2 - d^2)^4*f*(d + c*Cos[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sec[e+f x])^(m/2) (c+d Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+(* {Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 0, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*d*(2*a*d^2 + 3*b*(15*c^2 - 5*c*d + 3*d^2))*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[-((b*(-1 + Sec[e + f*x]))/(a + b))]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(15*b^2*f) + (2*Sqrt[a + b]*d*(15*a*b*c*d - 2*a^2*d^2 + 9*b^2*(5*c^2 + d^2))*Cot[(1/2)*(e + f*x)]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[-((b*(-1 + Sec[e + f*x]))/(a + b))])/(15*b^2*f*Sqrt[(b*(1 + Sec[e + f*x]))/(-a + b)]) - (2*c^3*Cot[e + f*x]*EllipticPi[a/(a + b), ArcSin[Sqrt[a + b]/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]], (a - b)/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b*Sec[e + f*x]))]*Sqrt[(b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a + b*Sec[e + f*x])]*(a + b*Sec[e + f*x]))/(Sqrt[a + b]*f) + (2*c*d^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/f - (4*a*d^3*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(15*b*f) + (2*d^3*(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(5*b*f)}
+{Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 0, (2*Sqrt[a + b]*d*(6*b*c + a*d)*Cot[(1/2)*(e + f*x)]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[-((b*(-1 + Sec[e + f*x]))/(a + b))])/(3*b*f*Sqrt[(b*(1 + Sec[e + f*x]))/(-a + b)]) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*c - d)*d*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[-((b*(-1 + Sec[e + f*x]))/(a + b))]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(3*b*f) - (2*c^2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[a/(a + b), ArcSin[Sqrt[a + b]/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]], (a - b)/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b*Sec[e + f*x]))]*Sqrt[(b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a + b*Sec[e + f*x])]*(a + b*Sec[e + f*x]))/(Sqrt[a + b]*f) + (2*d^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(3*f)} *)
+{Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 5, -((2*(a - b)*Sqrt[a + b]*d*Cot[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(b*f)) + (2*Sqrt[a + b]*(b*(c - d) + a*d)*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(b*f) - (2*Sqrt[a + b]*c*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/f}
+{Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 3, -((2*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(c*f)) + (2*(b*c - a*d)*EllipticPi[(2*d)/(c + d), ArcSin[Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]/Sqrt[2]], (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sec[e + f*x])/(a + b)]*Tan[e + f*x])/(c*(c + d)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])}
+(* {Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 0, 0}
+{Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 0, 0} *)
+
+
+(* {(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 0, 0}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 0, 0} *)
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 6, -((2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b*c + 4*a*d)*Cot[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(3*b*f)) + (2*Sqrt[a + b]*(a*b*(6*c - 4*d) - b^2*(3*c - d) + 3*a^2*d)*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(3*b*f) - (2*a*Sqrt[a + b]*c*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/f + (2*b*d*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(3*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 5, (2*b*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(d*f) - (2*a*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(c*f) - (2*(b*c - a*d)^2*EllipticPi[(2*d)/(c + d), ArcSin[Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]/Sqrt[2]], (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sec[e + f*x])/(a + b)]*Tan[e + f*x])/(c*d*(c + d)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])}
+(* {(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 0, 0}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 0, 0} *)
+
+
+(* {(a + b*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 0, 0}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 0, 0} *)
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 7, -((2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(35*a*b*c + 23*a^2*d + 9*b^2*d)*Cot[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(15*b*f)) + (2*Sqrt[a + b]*(a^2*b*(45*c - 23*d) - a*b^2*(35*c - 17*d) + b^3*(5*c - 9*d) + 15*a^3*d)*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(15*b*f) - (2*a^2*Sqrt[a + b]*c*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/f + (2*b*(5*b*c + 8*a*d)*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(15*f) + (2*b*d*(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(5*f)}
+(* {(a + b*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 0, 0}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 0, 0}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 0, 0} *)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+(* {1/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 0, -((2*Sqrt[a + b]*c^3*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(a*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*d^2*(-9*b*c + 2*a*d)*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[-((b*(-1 + Sec[e + f*x]))/(a + b))]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(3*b^3*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) + (2*Sqrt[a + b]*d*(2*a*d^2 + b*(9*c^2 - 9*c*d + d^2))*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[-((b*(-1 + Sec[e + f*x]))/(a + b))]*Sqrt[(b*(1 + Sec[e + f*x]))/(-a + b)])/(3*b^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) + (2*d^3*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(3*b*f)}
+{1/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 0, -((2*(a - b)*Sqrt[a + b]*d^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(b^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])) - (2*Sqrt[a + b]*c^2*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(a*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) + (2*Sqrt[a + b]*(2*c - d)*d*Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[e + f*x]])], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[-((b*(-1 + Sec[e + f*x]))/(a + b))]*Sqrt[(b*(1 + Sec[e + f*x]))/(-a + b)])/(b*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])} *)
+{1/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 3, (2*Sqrt[a + b]*d*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(b*f) - (2*Sqrt[a + b]*c*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(a*f)}
+{1/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 3, -((2*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(a*c*f)) - (2*d*EllipticPi[(2*d)/(c + d), ArcSin[Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]/Sqrt[2]], (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sec[e + f*x])/(a + b)]*Tan[e + f*x])/(c*(c + d)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])}
+(* {1/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 0, 0}
+{1/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 0, 0} *)
+
+
+(* {1/(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 0, 0}
+{1/(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 0, 0} *)
+{1/(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 6, (2*(b*c - a*d)*Cot[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(a*b*Sqrt[a + b]*f) - (2*(b*c - a*d)*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(a*b*Sqrt[a + b]*f) - (2*Sqrt[a + b]*c*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(a^2*f) + (2*b*(b*c - a*d)*Tan[e + f*x])/(a*(a^2 - b^2)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])}
+(* {1/(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 0, 0}
+{1/(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 0, 0}
+{1/(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 0, 0} *)
+
+
+(* {1/(a + b*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 0, 0}
+{1/(a + b*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 0, 0} *)
+{1/(a + b*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 7, (2*(7*a^2*b*c - 3*b^3*c - 4*a^3*d)*Cot[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(3*a^2*(a - b)*b*(a + b)^(3/2)*f) - (2*(6*a^2*b*c - a*b^2*c - 3*b^3*c - 3*a^3*d + a^2*b*d)*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(3*a^2*(a - b)*b*(a + b)^(3/2)*f) - (2*Sqrt[a + b]*c*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(a^3*f) + (2*b*(b*c - a*d)*Tan[e + f*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (2*b*(7*a^2*b*c - 3*b^3*c - 4*a^3*d)*Tan[e + f*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])}
+(* {1/(a + b*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 0, 0}
+{1/(a + b*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 0, 0}
+{1/(a + b*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 0, 0} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sec[e+f x])^(m/2) (c+d Sec[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+(* {(a + b*Sec[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 1, 0} *)
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(1/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 3, -((2*Sqrt[c + d]*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(a*(c + d))/((a + b)*c), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sec[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sec[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sec[e + f*x]))]*(a + b*Sec[e + f*x]))/(Sqrt[a + b]*f)) + (2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[(a + b)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sec[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sec[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sec[e + f*x]))]*(a + b*Sec[e + f*x]))/(Sqrt[(a + b)/(c + d)]*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 1, -((2*Sqrt[c + d]*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(a*(c + d))/((a + b)*c), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sec[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sec[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sec[e + f*x]))]*(a + b*Sec[e + f*x]))/(Sqrt[a + b]*c*f))}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 5, -((2*Sqrt[c + d]*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(a*(c + d))/((a + b)*c), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sec[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sec[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sec[e + f*x]))]*(a + b*Sec[e + f*x]))/(Sqrt[a + b]*c^2*f)) - (2*Sqrt[a + b]*d*Cot[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*(1 + Sec[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sec[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sec[e + f*x]))])/(c*(c - d)*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sec[e + f*x])))]) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*d*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sec[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sec[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sec[e + f*x])))]*(c + d*Sec[e + f*x]))/(c*(c - d)*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(1/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*d*(6*b*c^3 - 7*a*c^2*d - 2*b*c*d^2 + 3*a*d^3)*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(3*c^2*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) + (2*Sqrt[a + b]*(b*c^2*(3*c^2 + 3*c*d - 2*d^2) - a*d*(9*c^3 - 2*c^2*d - 6*c*d^2 + 3*d^3))*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(3*c^3*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticPi[((a + b)*c)/(a*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c^3*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) + (2*d^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(3*c*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])}
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 6, -((2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c*(c - d)*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])) - (2*Sqrt[a + b]*(b*c - a*(2*c - d))*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c^2*(c - d)*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*a*Sqrt[a + b]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticPi[((a + b)*c)/(a*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c^2*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 7, -((2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b*c^3 - 7*a*c^2*d + b*c*d^2 + 3*a*d^3)*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(3*c^2*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])) - (2*Sqrt[a + b]*(b^2*c^3*(3*c + d) - 2*a*b*c^2*(3*c^2 + 2*c*d - d^2) + a^2*d*(9*c^3 - 2*c^2*d - 6*c*d^2 + 3*d^3))*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(3*c^3*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*a*Sqrt[a + b]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticPi[((a + b)*c)/(a*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c^3*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*d*(b*c - a*d)*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(3*c*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 8, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(2*a*b*c*d*(35*c^4 - 8*c^2*d^2 + 5*d^4) - a^2*d^2*(58*c^4 - 41*c^2*d^2 + 15*d^4) - b^2*(15*c^6 + 19*c^4*d^2 - 2*c^2*d^4))*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(15*c^3*(c - d)^3*(c + d)^(5/2)*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*(b^2*c^3*(15*c^3 + 10*c^2*d + 9*c*d^2 - 2*d^3) - 2*a*b*c^2*(15*c^4 + 20*c^3*d - 4*c^2*d^2 - 4*c*d^3 + 5*d^4) + a^2*d*(60*c^5 - 2*c^4*d - 66*c^3*d^2 + 25*c^2*d^3 + 30*c*d^4 - 15*d^5))*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(15*c^4*(c - d)^3*(c + d)^(5/2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*a*Sqrt[a + b]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticPi[((a + b)*c)/(a*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c^4*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) + (2*d^2*(b + a*Cos[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(5*c*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*d*(10*b*c^3 - 13*a*c^2*d - 2*b*c*d^2 + 5*a*d^3)*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(15*c^2*(c^2 - d^2)^2*f*(d + c*Cos[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])}
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 7, -((2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(7*a*c^2 - 4*b*c*d - 3*a*d^2)*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(3*c^2*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])) + (2*Sqrt[a + b]*(b^2*c^2*(c + 3*d) - a*b*c*(7*c^2 + 4*c*d - 3*d^2) + a^2*(9*c^3 - 2*c^2*d - 6*c*d^2 + 3*d^3))*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(3*c^3*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*a^2*Sqrt[a + b]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticPi[((a + b)*c)/(a*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c^3*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) + (2*(b*c - a*d)^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(3*c*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 8, If[$VersionNumber>=8, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(b^2*c^2*d*(29*c^2 + 3*d^2) - a*b*c*(35*c^4 + 34*c^2*d^2 - 5*d^4) + a^2*(58*c^4*d - 41*c^2*d^3 + 15*d^5))*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(15*c^3*(c - d)^3*(c + d)^(5/2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) + (2*Sqrt[a + b]*(b^3*c^4*(5*c^2 + 24*c*d + 3*d^2) - a*b^2*c^3*(35*c^3 + 42*c^2*d + 21*c*d^2 - 2*d^3) + a^2*b*c^2*(45*c^4 + 48*c^3*d + c^2*d^2 - 8*c*d^3 + 10*d^4) - a^3*d*(60*c^5 - 2*c^4*d - 66*c^3*d^2 + 25*c^2*d^3 + 30*c*d^4 - 15*d^5))*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(15*c^4*(c - d)^3*(c + d)^(5/2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*a^2*Sqrt[a + b]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticPi[((a + b)*c)/(a*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c^4*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*d*(b*c - a*d)*(b + a*Cos[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(5*c*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) + (2*(b*c - a*d)*(5*b*c^3 - 13*a*c^2*d + 3*b*c*d^2 + 5*a*d^3)*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(15*c^2*(c^2 - d^2)^2*f*(d + c*Cos[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]), (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(b^2*c^2*d*(29*c^2 + 3*d^2) - a*b*c*(35*c^4 + 34*c^2*d^2 - 5*d^4) + a^2*(58*c^4*d - 41*c^2*d^3 + 15*d^5))*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(15*c^3*(c - d)^3*(c + d)^(5/2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) + (2*Sqrt[a + b]*(b^3*c^4*(5*c^2 + 24*c*d + 3*d^2) - a*b^2*c^3*(35*c^3 + 42*c^2*d + 21*c*d^2 - 2*d^3) + a^2*b*c^2*(45*c^4 + 48*c^3*d + c^2*d^2 - 8*c*d^3 + 10*d^4) - a^3*d*(60*c^5 - 2*c^4*d - 66*c^3*d^2 + 25*c^2*d^3 + 30*c*d^4 - 15*d^5))*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(15*c^4*(c - d)^3*(c + d)^(5/2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*a^2*Sqrt[a + b]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticPi[((a + b)*c)/(a*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c^4*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*d*(b*c - a*d)*(b + a*Cos[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(5*c*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) + (2*(b*c - a*d)*(5*b*c^3 - 13*a*c^2*d + 3*b*c*d^2 + 5*a*d^3)*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(15*c^2*(c^2 - d^2)^2*f*(d + c*Cos[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])]}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^(9/2), x, 9, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(2*b^3*c^3*d*(133*c^4 + 62*c^2*d^2 - 3*d^4) + 2*a^2*b*c*d*(406*c^6 + 73*c^4*d^2 + 132*c^2*d^4 - 35*d^6) - a*b^2*c^2*(245*c^6 + 852*c^4*d^2 + 41*c^2*d^4 + 14*d^6) - a^3*(582*c^6*d^2 - 485*c^4*d^4 + 392*c^2*d^6 - 105*d^8))*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(105*c^4*(c - d)^4*(c + d)^(7/2)*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) + (2*Sqrt[a + b]*(b^3*c^4*(35*c^4 + 231*c^3*d + 67*c^2*d^2 + 57*c*d^3 - 6*d^4) - a*b^2*c^3*(245*c^5 + 413*c^4*d + 439*c^3*d^2 + 53*c^2*d^3 - 12*c*d^4 + 14*d^5) + a^2*b*c^2*(315*c^6 + 497*c^5*d + 219*c^4*d^2 - 73*c^3*d^3 + 208*c^2*d^4 + 56*c*d^5 - 70*d^6) - a^3*d*(525*c^7 + 57*c^6*d - 699*c^5*d^2 + 214*c^4*d^3 + 672*c^3*d^4 - 280*c^2*d^5 - 210*c*d^6 + 105*d^7))*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(105*c^5*(c - d)^4*(c + d)^(7/2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*a^2*Sqrt[a + b]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticPi[((a + b)*c)/(a*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c^5*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) + (2*d^2*(b + a*Cos[e + f*x])^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(7*c*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x])^3*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*d*(14*b*c^3 - 19*a*c^2*d - 2*b*c*d^2 + 7*a*d^3)*(b + a*Cos[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(35*c^2*(c^2 - d^2)^2*f*(d + c*Cos[e + f*x])^2*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*(2*a*b*c*d*(91*c^4 - 2*c^2*d^2 + 7*d^4) - a^2*d^2*(162*c^4 - 101*c^2*d^2 + 35*d^4) - b^2*(35*c^6 + 67*c^4*d^2 - 6*c^2*d^4))*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(105*c^3*(c^2 - d^2)^3*f*(d + c*Cos[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(c + d*Sec[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x, -1, -((2*c*(c + d)*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(a*(c + d))/((a + b)*c), ArcSin[Sqrt[((a + b)*(c + d*Sec[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sec[e + f*x]))]], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sec[e + f*x]))]*(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[((a + b)*(b*c - a*d)*(-1 + Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x]))/((c + d)^2*(a + b*Sec[e + f*x])^2)])/(a*(a + b)*f*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])) + (2*d*(c + d)*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[Sqrt[((a + b)*(c + d*Sec[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sec[e + f*x]))]], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sec[e + f*x]))]*(a + b*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[-(((a + b)*((-b)*c + a*d)*(-1 + Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x]))/((c + d)^2*(a + b*Sec[e + f*x])^2))])/(b*(a + b)*f*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) + (2*(b*c - a*d)*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[((a + b)*(c + d*Sec[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sec[e + f*x]))]], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(-1 + Sec[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sec[e + f*x]))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sec[e + f*x]))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])/(a*b*f*Sqrt[((a + b)*(c + d*Sec[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sec[e + f*x]))])}
+{(c + d*Sec[e + f*x])^(1/2)/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x, 1, -((2*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticPi[((a + b)*c)/(a*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sec[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sec[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sec[e + f*x])))]*(c + d*Sec[e + f*x]))/(a*Sqrt[c + d]*f))}
+{1/(Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^(1/2)), x, 3, -((2*Sqrt[c + d]*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(a*(c + d))/((a + b)*c), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sec[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sec[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sec[e + f*x]))]*(a + b*Sec[e + f*x]))/(a*Sqrt[a + b]*c*f)) - (2*b*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sec[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sec[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sec[e + f*x])))]*(c + d*Sec[e + f*x]))/(a*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f)}
+{1/(Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^(3/2)), x, 6, -((2*(a - b)*Sqrt[a + b]*d^2*Cot[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sec[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sec[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sec[e + f*x])))]*(c + d*Sec[e + f*x]))/(c*(c - d)*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)^2*f)) - (2*Sqrt[a + b]*(2*c - d)*d*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sec[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sec[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sec[e + f*x])))]*(c + d*Sec[e + f*x]))/(c^2*(c - d)*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f) - (2*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticPi[((a + b)*c)/(a*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sec[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sec[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sec[e + f*x])))]*(c + d*Sec[e + f*x]))/(a*c^2*Sqrt[c + d]*f), -((2*(a - b)*Sqrt[a + b]*d^2*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c*(c - d)*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])) - (2*Sqrt[a + b]*(2*c - d)*d*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c^2*(c - d)*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*Sqrt[a + b]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticPi[((a + b)*c)/(a*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(a*c^2*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])}
+(* {1/(Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^(5/2)), x, 0, 0} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sec[e+f x])^(m/3) (c+d Sec[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(1/3)/(c + d*Sec[e + f*x])^(1/3), x, 1, ((d + c*Cos[e + f*x])^(1/3)*(a + b*Sec[e + f*x])^(1/3)*Unintegrable[(b + a*Cos[e + f*x])^(1/3)/(d + c*Cos[e + f*x])^(1/3), x])/((b + a*Cos[e + f*x])^(1/3)*(c + d*Sec[e + f*x])^(1/3))}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(1/3)/(c + d*Sec[e + f*x])^(4/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[e + f*x])^(1/3)/(c + d*Sec[e + f*x])^(4/3), x]}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(1/3)/(c + d*Sec[e + f*x])^(7/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[e + f*x])^(1/3)/(c + d*Sec[e + f*x])^(7/3), x]}
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(2/3)/(c + d*Sec[e + f*x])^(2/3), x, 1, ((d + c*Cos[e + f*x])^(2/3)*(a + b*Sec[e + f*x])^(2/3)*Unintegrable[(b + a*Cos[e + f*x])^(2/3)/(d + c*Cos[e + f*x])^(2/3), x])/((b + a*Cos[e + f*x])^(2/3)*(c + d*Sec[e + f*x])^(2/3))}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(2/3)/(c + d*Sec[e + f*x])^(5/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[e + f*x])^(2/3)/(c + d*Sec[e + f*x])^(5/3), x]}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(2/3)/(c + d*Sec[e + f*x])^(8/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[e + f*x])^(2/3)/(c + d*Sec[e + f*x])^(8/3), x]}
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(4/3)/(c + d*Sec[e + f*x])^(4/3), x, 1, ((d + c*Cos[e + f*x])^(4/3)*(a + b*Sec[e + f*x])^(4/3)*Unintegrable[(b + a*Cos[e + f*x])^(4/3)/(d + c*Cos[e + f*x])^(4/3), x])/((b + a*Cos[e + f*x])^(4/3)*(c + d*Sec[e + f*x])^(4/3))}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(4/3)/(c + d*Sec[e + f*x])^(7/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[e + f*x])^(4/3)/(c + d*Sec[e + f*x])^(7/3), x]}
+{(a + b*Sec[e + f*x])^(4/3)/(c + d*Sec[e + f*x])^(10/3), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sec[e + f*x])^(4/3)/(c + d*Sec[e + f*x])^(10/3), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m<0*)
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sec[e+f x])^m (c (d Sec[e+f x])^p)^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sec[e+f x])^m (c (d Sec[e+f x])^p)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sec[e+f x])^m (c (d Sec[e+f x])^p)^n with n and p symbolic*)
+
+
+{(a + a*Sec[e + f*x])^m*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n, x, 4, -((AppellF1[n*p, 1/2, 1/2 - m, 1 + n*p, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*(1 + Sec[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*n*p*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]))}
+
+
+{(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 8, (a^3*(7 + 4*n*p)*Hypergeometric2F1[1/2, -((n*p)/2), (1/2)*(2 - n*p), Cos[e + f*x]^2]*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/(f*n*p*(2 + n*p)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (a^3*(1 + 4*n*p)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - n*p), (1/2)*(3 - n*p), Cos[e + f*x]^2]*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n^2*p^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (a^3*(5 + 2*n*p)*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + n*p)*(2 + n*p)) + ((c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(f*(2 + n*p))}
+{(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 7, (2*a^2*Hypergeometric2F1[1/2, -((n*p)/2), (1/2)*(2 - n*p), Cos[e + f*x]^2]*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/(f*n*p*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (a^2*(1 + 2*n*p)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - n*p), (1/2)*(3 - n*p), Cos[e + f*x]^2]*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n^2*p^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (a^2*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + n*p))}
+{(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*(a + a*Sec[e + f*x])^1, x, 6, (a*Hypergeometric2F1[1/2, -((n*p)/2), (1/2)*(2 - n*p), Cos[e + f*x]^2]*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/(f*n*p*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (a*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - n*p), (1/2)*(3 - n*p), Cos[e + f*x]^2]*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n*p)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n/(a + a*Sec[e + f*x])^1, x, 7, ((c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])) - (Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - n*p), (1/2)*(3 - n*p), Cos[e + f*x]^2]*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/(a*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + ((1 - n*p)*Cos[e + f*x]^2*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(2 - n*p), (1/2)*(4 - n*p), Cos[e + f*x]^2]*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/(a*f*(2 - n*p)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n/(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 8, (2*(2 - n*p)*Hypergeometric2F1[1/2, -((n*p)/2), (1/2)*(2 - n*p), Cos[e + f*x]^2]*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/(3*a^2*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - ((3 - 2*n*p)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - n*p), (1/2)*(3 - n*p), Cos[e + f*x]^2]*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/(3*a^2*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (2*(2 - n*p)*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Tan[e + f*x])/(3*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x])) - ((c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sec[e+f x])^m (c (d Sec[e+f x])^p)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sec[e+f x])^m (c (d Sec[e+f x])^p)^n with n and p symbolic*)
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x])^m*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n, x, 1, ((c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Unintegrable[(d*Sec[e + f*x])^(n*p)*(a + b*Sec[e + f*x])^m, x])/(d*Sec[e + f*x])^(n*p)}
+
+
+{(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*(a + b*Sec[e + f*x])^3, x, 8, (b*(b^2*(1 + n*p) + 3*a^2*(2 + n*p))*Hypergeometric2F1[1/2, -((n*p)/2), (1/2)*(2 - n*p), Cos[e + f*x]^2]*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/(f*n*p*(2 + n*p)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (a*(3*b^2*n*p + a^2*(1 + n*p))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - n*p), (1/2)*(3 - n*p), Cos[e + f*x]^2]*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n^2*p^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (a*b^2*(5 + 2*n*p)*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + n*p)*(2 + n*p)) + (b^2*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*(a + b*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(f*(2 + n*p))}
+{(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*(a + b*Sec[e + f*x])^2, x, 7, (2*a*b*Hypergeometric2F1[1/2, -((n*p)/2), (1/2)*(2 - n*p), Cos[e + f*x]^2]*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/(f*n*p*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - ((b^2*n*p + a^2*(1 + n*p))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - n*p), (1/2)*(3 - n*p), Cos[e + f*x]^2]*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n^2*p^2)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) + (b^2*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Tan[e + f*x])/(f*(1 + n*p))}
+{(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*(a + b*Sec[e + f*x])^1, x, 6, (b*Hypergeometric2F1[1/2, -((n*p)/2), (1/2)*(2 - n*p), Cos[e + f*x]^2]*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/(f*n*p*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (a*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - n*p), (1/2)*(3 - n*p), Cos[e + f*x]^2]*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/(f*(1 - n*p)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])}
+{(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n/(a + b*Sec[e + f*x])^1, x, 7, -((b*AppellF1[1/2, (n*p)/2, 1, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2)]*(Cos[e + f*x]^2)^((n*p)/2)*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f)) + (a*AppellF1[1/2, (1/2)*(-1 + n*p), 1, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Cos[e + f*x]*(Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 + n*p))*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f)}
+{(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n/(a + b*Sec[e + f*x])^2, x, 10, -((2*a*b*AppellF1[1/2, (1/2)*(-2 + n*p), 2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2)]*(Cos[e + f*x]^2)^((n*p)/2)*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/((a^2 - b^2)^2*f)) + (a^2*AppellF1[1/2, (1/2)*(-3 + n*p), 2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Cos[e + f*x]*(Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 + n*p))*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/((a^2 - b^2)^2*f) + (b^2*AppellF1[1/2, (1/2)*(-1 + n*p), 2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a^2*Sin[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Cos[e + f*x]*(Cos[e + f*x]^2)^((1/2)*(-1 + n*p))*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*Sin[e + f*x])/((a^2 - b^2)^2*f)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.2.3 (g sec)^p (a+b sec)^m (c+d sec)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.2.3 (g sec)^p (a+b sec)^m (c+d sec)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..92fe71e5
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.2.3 (g sec)^p (a+b sec)^m (c+d sec)^n.m	
@@ -0,0 +1,673 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+b Sec[e+f x])^m (c+d Sec[e+f x])^n*)
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+(*Integrands of the form Sec[e+f x] (a+a Sec[e+f x])^m (c-c Sec[e+f x])^n*)
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+(*Integrands of the form Sec[e+f x] (a+a Sec[e+f x])^m (c-c Sec[e+f x])^n*)
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
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+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 12, (7*a*c^4*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) - (a*c^4*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(8*f) - (3*a*c^4*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x])/(4*f) + (4*a*c^4*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + (a*c^4*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 9, (5*a*c^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) - (3*a*c^3*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(8*f) - (a*c^3*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x])/(4*f) + (2*a*c^3*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 6, (a*c^2*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*f) - (a*c^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*f) + (a*c^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 3, (a*c*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*f) - (a*c*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])/(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 2, -((a*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(c*f)) - (2*a*Tan[e + f*x])/(f*(c - c*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])/(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 1, -(((a + a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*(c - c*Sec[e + f*x])^2))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])/(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 2, -(((a + a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(5*f*(c - c*Sec[e + f*x])^3)) - ((a + a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(15*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^2)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])/(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 3, -(((a + a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(7*f*(c - c*Sec[e + f*x])^4)) - (2*(a + a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(35*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^3) - (2*(a + a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(105*f*(c^2 - c^2*Sec[e + f*x])^2)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])/(c - c*Sec[e + f*x])^5, x, 4, -(((a + a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(9*f*(c - c*Sec[e + f*x])^5)) - ((a + a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(21*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^4) - (2*(a + a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(105*c^2*f*(c - c*Sec[e + f*x])^3) - (2*(a + a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(315*c*f*(c^2 - c^2*Sec[e + f*x])^2)}
+
+
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^5, x, 14, (9*a^2*c^5*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(16*f) - (3*a^2*c^5*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(16*f) - (3*a^2*c^5*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x])/(8*f) + (a^2*c^5*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]^3)/(4*f) + (a^2*c^5*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x]^3)/(2*f) - (4*a^2*c^5*Tan[e + f*x]^5)/(5*f) - (a^2*c^5*Tan[e + f*x]^7)/(7*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 11, (7*a^2*c^4*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(16*f) - (5*a^2*c^4*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(16*f) - (a^2*c^4*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x])/(8*f) + (a^2*c^4*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]^3)/(4*f) + (a^2*c^4*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x]^3)/(6*f) - (2*a^2*c^4*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 7, (3*a^2*c^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) - (3*a^2*c^3*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(8*f) + (a^2*c^3*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]^3)/(4*f) - (a^2*c^3*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 4, (3*a^2*c^2*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) - (3*a^2*c^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(8*f) + (a^2*c^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]^3)/(4*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 6, (a^2*c*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*f) - (a^2*c*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*f) - (a^2*c*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 5, -((3*a^2*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(c*f)) - (3*a^2*Tan[e + f*x])/(c*f) - (2*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(f*(c - c*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 3, (a^2*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(c^2*f) - (2*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*(c - c*Sec[e + f*x])^2) + (2*a^2*Tan[e + f*x])/(f*(c^2 - c^2*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 1, -(((a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(5*f*(c - c*Sec[e + f*x])^3))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 2, -(((a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(7*f*(c - c*Sec[e + f*x])^4)) - ((a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(35*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^3)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c - c*Sec[e + f*x])^5, x, 3, -(((a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(9*f*(c - c*Sec[e + f*x])^5)) - (2*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(63*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^4) - (2*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(315*c^2*f*(c - c*Sec[e + f*x])^3)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2/(c - c*Sec[e + f*x])^6, x, 4, -(((a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(11*f*(c - c*Sec[e + f*x])^6)) - ((a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(33*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^5) - (2*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(231*c^2*f*(c - c*Sec[e + f*x])^4) - (2*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(1155*f*(c^2 - c^2*Sec[e + f*x])^3)}
+
+
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^6, x, 16, (55*a^3*c^6*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(128*f) - (25*a^3*c^6*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(128*f) - (15*a^3*c^6*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x])/(64*f) + (5*a^3*c^6*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]^3)/(24*f) + (5*a^3*c^6*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x]^3)/(16*f) - (a^3*c^6*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]^5)/(6*f) - (3*a^3*c^6*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x]^5)/(8*f) + (4*a^3*c^6*Tan[e + f*x]^7)/(7*f) + (a^3*c^6*Tan[e + f*x]^9)/(9*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^5, x, 13, (45*a^3*c^5*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(128*f) - (35*a^3*c^5*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(128*f) - (5*a^3*c^5*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x])/(64*f) + (5*a^3*c^5*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]^3)/(24*f) + (5*a^3*c^5*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x]^3)/(48*f) - (a^3*c^5*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]^5)/(6*f) - (a^3*c^5*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x]^5)/(8*f) + (2*a^3*c^5*Tan[e + f*x]^7)/(7*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 8, (5*a^3*c^4*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(16*f) - (5*a^3*c^4*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(16*f) + (5*a^3*c^4*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]^3)/(24*f) - (a^3*c^4*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]^5)/(6*f) + (a^3*c^4*Tan[e + f*x]^7)/(7*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 5, (5*a^3*c^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(16*f) - (5*a^3*c^3*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(16*f) + (5*a^3*c^3*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]^3)/(24*f) - (a^3*c^3*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]^5)/(6*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 7, (3*a^3*c^2*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) - (3*a^3*c^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(8*f) + (a^3*c^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]^3)/(4*f) + (a^3*c^2*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 9, (5*a^3*c*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) - (3*a^3*c*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(8*f) - (a^3*c*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x])/(4*f) - (2*a^3*c*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3/(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 6, -((15*a^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*c*f)) - (10*a^3*Tan[e + f*x])/(c*f) - (5*a^3*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*c*f) - (2*a*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(f*(c - c*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3/(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 6, (5*a^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(c^2*f) + (5*a^3*Tan[e + f*x])/(c^2*f) - (2*a*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*f*(c - c*Sec[e + f*x])^2) + (10*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*(c^2 - c^2*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3/(c - c*Sec[e + f*x])^3, x, 4, -((a^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(c^3*f)) - (2*a*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(5*f*(c - c*Sec[e + f*x])^3) + (2*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^2) - (2*a^3*Tan[e + f*x])/(f*(c^3 - c^3*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3/(c - c*Sec[e + f*x])^4, x, 1, -(((a + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(7*f*(c - c*Sec[e + f*x])^4))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3/(c - c*Sec[e + f*x])^5, x, 2, -(((a + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(9*f*(c - c*Sec[e + f*x])^5)) - ((a + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(63*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^4)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3/(c - c*Sec[e + f*x])^6, x, 3, -(((a + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(11*f*(c - c*Sec[e + f*x])^6)) - (2*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(99*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^5) - (2*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(693*c^2*f*(c - c*Sec[e + f*x])^4)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3/(c - c*Sec[e + f*x])^7, x, 4, -(((a + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(13*f*(c - c*Sec[e + f*x])^7)) - (3*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(143*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^6) - (2*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(429*c^2*f*(c - c*Sec[e + f*x])^5) - (2*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(3003*c^3*f*(c - c*Sec[e + f*x])^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^4/(a + a*Sec[e + f*x]), x, 10, -((35*c^4*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*a*f)) + (28*c^4*Tan[e + f*x])/(a*f) - (21*c^4*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*a*f) + (2*c*(c - c*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])) + (7*c^4*Tan[e + f*x]^3)/(3*a*f)}
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^3/(a + a*Sec[e + f*x]), x, 6, -((15*c^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*a*f)) + (10*c^3*Tan[e + f*x])/(a*f) - (5*c^3*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*a*f) + (2*c*(c - c*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^2/(a + a*Sec[e + f*x]), x, 5, -((3*c^2*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a*f)) + (3*c^2*Tan[e + f*x])/(a*f) + (2*(c^2 - c^2*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^1/(a + a*Sec[e + f*x]), x, 2, -((c*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a*f)) + (2*c*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])), x, 3, Csc[e + f*x]/(a*c*f)}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^2), x, 6, -(Cot[e + f*x]^3/(3*a*c^2*f)) + Csc[e + f*x]/(a*c^2*f) - Csc[e + f*x]^3/(3*a*c^2*f)}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^3), x, 10, (2*Cot[e + f*x]^5)/(5*a*c^3*f) + Csc[e + f*x]/(a*c^3*f) - Csc[e + f*x]^3/(a*c^3*f) + (2*Csc[e + f*x]^5)/(5*a*c^3*f)}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^4), x, 13, -(Cot[e + f*x]^5/(5*a*c^4*f)) - (4*Cot[e + f*x]^7)/(7*a*c^4*f) + Csc[e + f*x]/(a*c^4*f) - (2*Csc[e + f*x]^3)/(a*c^4*f) + (9*Csc[e + f*x]^5)/(5*a*c^4*f) - (4*Csc[e + f*x]^7)/(7*a*c^4*f)}
+
+
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^5/(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 11, (105*c^5*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*a^2*f) - (84*c^5*Tan[e + f*x])/(a^2*f) + (63*c^5*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*a^2*f) - (6*c^2*(c - c*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])) + (2*c*(c - c*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) - (7*c^5*Tan[e + f*x]^3)/(a^2*f)}
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^4/(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 7, (35*c^4*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*a^2*f) - (70*c^4*Tan[e + f*x])/(3*a^2*f) + (35*c^4*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(6*a^2*f) + (2*c*(c - c*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) - (14*(c^2 - c^2*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^3/(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 6, (5*c^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a^2*f) - (5*c^3*Tan[e + f*x])/(a^2*f) + (2*c*(c - c*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) - (10*(c^3 - c^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^2/(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 3, (c^2*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a^2*f) - (2*c^2*Tan[e + f*x])/(f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])) + (2*(c^2 - c^2*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2)}
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^1/(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 1, ((c - c*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2)}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^1), x, 6, Cot[e + f*x]^3/(3*a^2*c*f) + Csc[e + f*x]/(a^2*c*f) - Csc[e + f*x]^3/(3*a^2*c*f)}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^2), x, 3, Csc[e + f*x]/(a^2*c^2*f) - Csc[e + f*x]^3/(3*a^2*c^2*f)}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^3), x, 7, Cot[e + f*x]^5/(5*a^2*c^3*f) + Csc[e + f*x]/(a^2*c^3*f) - (2*Csc[e + f*x]^3)/(3*a^2*c^3*f) + Csc[e + f*x]^5/(5*a^2*c^3*f)}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^4), x, 10, -((2*Cot[e + f*x]^7)/(7*a^2*c^4*f)) + Csc[e + f*x]/(a^2*c^4*f) - (4*Csc[e + f*x]^3)/(3*a^2*c^4*f) + Csc[e + f*x]^5/(a^2*c^4*f) - (2*Csc[e + f*x]^7)/(7*a^2*c^4*f)}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^5), x, 13, Cot[e + f*x]^7/(7*a^2*c^5*f) + (4*Cot[e + f*x]^9)/(9*a^2*c^5*f) + Csc[e + f*x]/(a^2*c^5*f) - (7*Csc[e + f*x]^3)/(3*a^2*c^5*f) + (3*Csc[e + f*x]^5)/(a^2*c^5*f) - (13*Csc[e + f*x]^7)/(7*a^2*c^5*f) + (4*Csc[e + f*x]^9)/(9*a^2*c^5*f)}
+
+
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^6/(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 12, -((231*c^6*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*a^3*f)) + (924*c^6*Tan[e + f*x])/(5*a^3*f) - (693*c^6*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(10*a^3*f) - (22*c^2*(c - c*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + (2*c*(c - c*Sec[e + f*x])^5*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3) + (66*(c^2 - c^2*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(5*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])) + (77*c^6*Tan[e + f*x]^3)/(5*a^3*f)}
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^5/(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 8, -((63*c^5*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*a^3*f)) + (42*c^5*Tan[e + f*x])/(a^3*f) - (21*c^5*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*a^3*f) - (6*c^2*(c - c*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(5*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + (2*c*(c - c*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3) + (42*c*(c^2 - c^2*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(5*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^4/(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 7, -((7*c^4*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a^3*f)) + (7*c^4*Tan[e + f*x])/(a^3*f) + (2*c*(c - c*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3) - (14*(c^2 - c^2*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + (14*(c^4 - c^4*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^3/(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 4, -((c^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a^3*f)) + (2*c^3*Tan[e + f*x])/(f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])) + (2*c*(c - c*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3) - (2*(c^3 - c^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2)}
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^2/(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 1, ((c - c*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3)}
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^1/(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 2, ((c - c*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3) + ((c - c*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2)}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^1), x, 10, -((2*Cot[e + f*x]^5)/(5*a^3*c*f)) + Csc[e + f*x]/(a^3*c*f) - Csc[e + f*x]^3/(a^3*c*f) + (2*Csc[e + f*x]^5)/(5*a^3*c*f)}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^2), x, 7, -(Cot[e + f*x]^5/(5*a^3*c^2*f)) + Csc[e + f*x]/(a^3*c^2*f) - (2*Csc[e + f*x]^3)/(3*a^3*c^2*f) + Csc[e + f*x]^5/(5*a^3*c^2*f)}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^3), x, 4, Csc[e + f*x]/(a^3*c^3*f) - (2*Csc[e + f*x]^3)/(3*a^3*c^3*f) + Csc[e + f*x]^5/(5*a^3*c^3*f)}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^4), x, 7, -(Cot[e + f*x]^7/(7*a^3*c^4*f)) + Csc[e + f*x]/(a^3*c^4*f) - Csc[e + f*x]^3/(a^3*c^4*f) + (3*Csc[e + f*x]^5)/(5*a^3*c^4*f) - Csc[e + f*x]^7/(7*a^3*c^4*f)}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^5), x, 10, (2*Cot[e + f*x]^9)/(9*a^3*c^5*f) + Csc[e + f*x]/(a^3*c^5*f) - (5*Csc[e + f*x]^3)/(3*a^3*c^5*f) + (9*Csc[e + f*x]^5)/(5*a^3*c^5*f) - Csc[e + f*x]^7/(a^3*c^5*f) + (2*Csc[e + f*x]^9)/(9*a^3*c^5*f)}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^6), x, 13, -(Cot[e + f*x]^9/(9*a^3*c^6*f)) - (4*Cot[e + f*x]^11)/(11*a^3*c^6*f) + Csc[e + f*x]/(a^3*c^6*f) - (8*Csc[e + f*x]^3)/(3*a^3*c^6*f) + (22*Csc[e + f*x]^5)/(5*a^3*c^6*f) - (4*Csc[e + f*x]^7)/(a^3*c^6*f) + (17*Csc[e + f*x]^9)/(9*a^3*c^6*f) - (4*Csc[e + f*x]^11)/(11*a^3*c^6*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x] (a+a Sec[e+f x])^m (c-c Sec[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 4, -((256*c^4*(a + a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(315*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) - (64*c^3*(a + a*Sec[e + f*x])*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(105*f) - (8*c^2*(a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(21*f) - (2*c*(a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(9*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 3, -((64*c^3*(a + a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(105*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) - (16*c^2*(a + a*Sec[e + f*x])*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(35*f) - (2*c*(a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(7*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 2, -((8*c^2*(a + a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(15*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) - (2*c*(a + a*Sec[e + f*x])*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(5*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]], x, 1, -((2*c*(a + a*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x]))/Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]], x, 3, (-2*Sqrt[2]*a*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f) + (2*a*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x]))/(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, (a*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*c^(3/2)*f) - (a*Tan[e + f*x])/(f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x]))/(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 4, (a*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(8*Sqrt[2]*c^(5/2)*f) - (a*Tan[e + f*x])/(2*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (a*Tan[e + f*x])/(8*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 4, -((256*c^4*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(1155*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) - (64*c^3*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(231*f) - (8*c^2*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(33*f) - (2*c*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(11*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 3, -((64*c^3*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(315*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) - (16*c^2*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(63*f) - (2*c*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(9*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 2, -((8*c^2*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(35*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) - (2*c*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(7*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]], x, 1, -((2*c*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(5*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2)/Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]], x, 4, -((4*Sqrt[2]*a^2*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f)) + (16*a^2*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (2*a^2*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(3*c*f), -((4*Sqrt[2]*a^2*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f)) + (4*a^2*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (2*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2)/(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 4, (3*Sqrt[2]*a^2*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(c^(3/2)*f) - (2*a^2*Tan[e + f*x])/(f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (2*a^2*Tan[e + f*x])/(c*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]), (3*Sqrt[2]*a^2*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(c^(3/2)*f) - ((a^2 + a^2*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (3*a^2*Tan[e + f*x])/(c*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2)/(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 4, -((3*a^2*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*c^(5/2)*f)) - (a^2*Tan[e + f*x])/(f*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (5*a^2*Tan[e + f*x])/(4*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)), -((3*a^2*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*c^(5/2)*f)) - ((a^2 + a^2*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(2*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (3*a^2*Tan[e + f*x])/(4*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2)/(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 5, -((a^2*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*c^(7/2)*f)) - ((a^2 + a^2*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2)) + (a^2*Tan[e + f*x])/(4*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) - (a^2*Tan[e + f*x])/(16*c^2*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 4, -((256*c^4*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(3003*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) - (64*c^3*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(429*f) - (24*c^2*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(143*f) - (2*c*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(13*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 3, -((64*c^3*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(693*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) - (16*c^2*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(99*f) - (2*c*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(11*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 2, -((8*c^2*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(63*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) - (2*c*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(9*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]], x, 1, -((2*c*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(7*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3)/Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]], x, 5, (-8*Sqrt[2]*a^3*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[c]*f) + (8*a^3*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (2*a*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(5*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (4*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3)/(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 5, (10*Sqrt[2]*a^3*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(c^(3/2)*f) - (a*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (10*a^3*Tan[e + f*x])/(c*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (5*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*c*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3)/(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 5, (-15*a^3*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(2*Sqrt[2]*c^(5/2)*f) - (a*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(2*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (5*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(4*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (15*a^3*Tan[e + f*x])/(4*c^2*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2)/(a + a*Sec[e + f*x]), x, 4, (128*c^4*Tan[e + f*x])/(5*a*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (32*c^3*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(5*a*f) + (12*c^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(5*a*f) + (2*c*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)/(a + a*Sec[e + f*x]), x, 3, (32*c^3*Tan[e + f*x])/(3*a*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (8*c^2*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(3*a*f) + (2*c*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)/(a + a*Sec[e + f*x]), x, 2, (4*c^2*Tan[e + f*x])/(a*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (2*c*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]/(a + a*Sec[e + f*x]), x, 1, (2*c*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]), x, 3, -(ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])]/(Sqrt[2]*a*Sqrt[c]*f)) + Tan[e + f*x]/(f*(a + a*Sec[e + f*x])*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)), x, 4, (-3*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(4*Sqrt[2]*a*c^(3/2)*f) - (3*Tan[e + f*x])/(4*a*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) + Tan[e + f*x]/(f*(a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)), x, 5, (-15*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(32*Sqrt[2]*a*c^(5/2)*f) - (5*Tan[e + f*x])/(8*a*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) + Tan[e + f*x]/(f*(a + a*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) - (15*Tan[e + f*x])/(32*a*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2)/(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 4, -((64*c^4*Tan[e + f*x])/(3*a^2*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) - (16*c^3*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(3*a^2*f) - (4*c^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])) + (2*c*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2)}
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)/(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 3, (-16*c^3*Tan[e + f*x])/(3*a^2*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (8*c^2*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(3*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])) + (2*c*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2)}
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)/(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 2, -((4*c^2*Tan[e + f*x])/(3*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) + (2*c*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2)}
+{Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]/(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 1, (2*c*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^2*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]), x, 4, -(ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])]/(2*Sqrt[2]*a^2*Sqrt[c]*f)) + Tan[e + f*x]/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + Tan[e + f*x]/(2*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)), x, 5, (-5*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(8*Sqrt[2]*a^2*c^(3/2)*f) - (5*Tan[e + f*x])/(8*a^2*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) + Tan[e + f*x]/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (5*Tan[e + f*x])/(6*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)), x, 6, (-35*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(64*Sqrt[2]*a^2*c^(5/2)*f) - (35*Tan[e + f*x])/(48*a^2*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) + Tan[e + f*x]/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (7*Tan[e + f*x])/(6*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) - (35*Tan[e + f*x])/(64*a^2*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2)/(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 4, (32*c^4*Tan[e + f*x])/(5*a^3*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (16*c^3*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(5*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])) - (4*c^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(5*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + (2*c*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3)}
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)/(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 3, (16*c^3*Tan[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (8*c^2*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + (2*c*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3)}
+{Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)/(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 2, -((4*c^2*Tan[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) + (2*c*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3)}
+{Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]/(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 1, (2*c*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^3*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]), x, 5, -(ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])]/(4*Sqrt[2]*a^3*Sqrt[c]*f)) + Tan[e + f*x]/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + Tan[e + f*x]/(6*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + Tan[e + f*x]/(4*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)), x, 6, (-7*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^3*c^(3/2)*f) - (7*Tan[e + f*x])/(16*a^3*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) + Tan[e + f*x]/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (7*Tan[e + f*x])/(30*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (7*Tan[e + f*x])/(12*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)), x, 7, (-63*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])])/(128*Sqrt[2]*a^3*c^(5/2)*f) - (21*Tan[e + f*x])/(32*a^3*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) + Tan[e + f*x]/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (3*Tan[e + f*x])/(10*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (21*Tan[e + f*x])/(20*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) - (63*Tan[e + f*x])/(128*a^3*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x] (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (c-c Sec[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 1, (a*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 1, (a*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]], x, 1, -((c*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]))}
+{(Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]], x, 1, (a*Log[1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 1, -((Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(2*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)))}
+{(Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 1, -((a*Tan[e + f*x])/(2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)))}
+
+
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 2, (a^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2)*Tan[e + f*x])/(10*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (a*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2)*Tan[e + f*x])/(5*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 2, (a^2*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(6*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (a*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(4*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 2, -((c^2*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) - (c*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(3*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]], x, 1, -((c*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(2*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]], x, 2, (2*a^2*Log[1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (a*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 2, -((a*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2))) - (a^2*Log[1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 1, -((a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(4*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 2, -(((a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(6*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2))) - ((a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(24*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(c - c*Sec[e + f*x])^(9/2), x, 2, -((a*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(4*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(9/2))) + (a^2*Tan[e + f*x])/(12*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))/(c - c*Sec[e + f*x])^(11/2), x, 2, -((a*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(5*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(11/2))) + (a^2*Tan[e + f*x])/(20*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(9/2))}
+
+
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 3, (a^3*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2)*Tan[e + f*x])/(15*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2)*Tan[e + f*x])/(15*f) + (a*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2)*Tan[e + f*x])/(6*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 3, -((2*c^3*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(15*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) - (c^2*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(5*f) - (c*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(5*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 2, -((c^2*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(6*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) - (c*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(4*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]], x, 1, -((c*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(3*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))/Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]], x, 3, (4*a^3*Log[1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (a*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(2*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))/(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, -((a*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2))) - (4*a^3*Log[1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (2*a^2*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c*f*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))/(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 3, -(a*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(2*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) + (a^2*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (a^3*Log[1 - Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))/(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2), x, 1, -(((a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(6*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2)))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))/(c - c*Sec[e + f*x])^(9/2), x, 2, -(((a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(8*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(9/2))) - ((a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(48*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))/(c - c*Sec[e + f*x])^(11/2), x, 3, -(((a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(10*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(11/2))) - ((a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(40*c*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(9/2)) - ((a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Tan[e + f*x])/(240*c^2*f*(c - c*Sec[e + f*x])^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2))/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]], x, 3, (-4*c^3*Log[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (2*c^2*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (c*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{(Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2))/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]], x, 2, (-2*c^2*Log[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (c*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{(Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]], x, 1, -((c*Log[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]))}
+{Sec[e + f*x]/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]), x, 2, -((ArcTanh[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]))}
+{Sec[e + f*x]/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)), x, 3, -Tan[e + f*x]/(2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (ArcTanh[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(2*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)), x, 4, -Tan[e + f*x]/(4*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) - Tan[e + f*x]/(4*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (ArcTanh[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(4*c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+
+
+{(Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2))/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 3, (4*c^3*Log[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (2*c^2*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (c*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{(Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2))/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 2, (c^2*Log[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + (c*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{(Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])/(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 1, (Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2))}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]), x, 3, Tan[e + f*x]/(2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (ArcTanh[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(2*a*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)), x, 3, Csc[e + f*x]/(2*a*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (ArcTanh[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(2*a*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)), x, 4, (3*Csc[e + f*x])/(8*a*c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - Tan[e + f*x]/(4*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)) - (3*ArcTanh[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(8*a*c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+
+
+{(Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2))/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 3, -((c^3*Log[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) - (c^2*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)) + (c*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{(Sec[e + f*x]*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2))/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 1, ((c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(4*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2))}
+{(Sec[e + f*x]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])/(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 1, (c*Tan[e + f*x])/(2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]), x, 4, Tan[e + f*x]/(4*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + Tan[e + f*x]/(4*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (ArcTanh[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(4*a^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)), x, 4, (3*Csc[e + f*x])/(8*a^2*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) + Tan[e + f*x]/(4*f*(a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)) - (3*ArcTanh[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(8*a^2*c*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^(5/2)*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2)), x, 4, (3*Csc[e + f*x])/(8*a^2*c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (Cot[e + f*x]^2*Csc[e + f*x])/(4*a^2*c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (3*ArcTanh[Cos[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(8*a^2*c^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x] (a+a Sec[e+f x])^m (c-c Sec[e+f x])^n with m and/or n symbolic*)
+
+
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^m*(c - c*Sec[e + f*x])^n, x, 3, -((2^(1/2 + n)*c*Hypergeometric2F1[1/2 + m, 1/2 - n, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sec[e + f*x])]*(1 - Sec[e + f*x])^(1/2 - n)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*(c - c*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*m)))}
+
+
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^m*(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 3, (2^(1/2 + m)*a*Hypergeometric2F1[5/2, 1/2 - m, 7/2, (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*(1 + Sec[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^(-1 + m)*(c - c*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(5*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^m*(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 3, (2^(1/2 + m)*a*Hypergeometric2F1[3/2, 1/2 - m, 5/2, (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*(1 + Sec[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^(-1 + m)*(c - c*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^m/(c - c*Sec[e + f*x])^1, x, 3, -((2^(1/2 + m)*a*Hypergeometric2F1[-(1/2), 1/2 - m, 1/2, (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*(1 + Sec[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^(-1 + m)*Tan[e + f*x])/(f*(c - c*Sec[e + f*x])))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^m/(c - c*Sec[e + f*x])^2, x, 3, -((2^(1/2 + m)*a*Hypergeometric2F1[-(3/2), 1/2 - m, -(1/2), (1/2)*(1 - Sec[e + f*x])]*(1 + Sec[e + f*x])^(1/2 - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^(-1 + m)*Tan[e + f*x])/(3*f*(c - c*Sec[e + f*x])^2))}
+
+
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^m*(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 3, -((64*c^3*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(5 + 2*m)*(3 + 8*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) - (16*c^2*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*(15 + 16*m + 4*m^2)) - (2*c*(a + a*Sec[e + f*x])^m*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2)*Tan[e + f*x])/(f*(5 + 2*m))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^m*(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 2, -((8*c^2*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(3 + 8*m + 4*m^2)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])) - (2*c*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*(3 + 2*m))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^m*(c - c*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 1, -((2*c*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^m/(c - c*Sec[e + f*x])^(1/2), x, 2, -((Hypergeometric2F1[1, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sec[e + f*x])]*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^m/(c - c*Sec[e + f*x])^(3/2), x, 2, -((Hypergeometric2F1[2, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sec[e + f*x])]*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(2*c*f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^m/(c - c*Sec[e + f*x])^(5/2), x, 2, -((Hypergeometric2F1[3, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sec[e + f*x])]*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(4*c^2*f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]))}
+
+
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^m/(c - c*Sec[e + f*x])^(m + 3), x, 3, -(((a + a*Sec[e + f*x])^m*(c - c*Sec[e + f*x])^(-3 - m)*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*m))) + (2*(a + a*Sec[e + f*x])^(1 + m)*(c - c*Sec[e + f*x])^(-3 - m)*Tan[e + f*x])/(a*f*(3 + 8*m + 4*m^2)) - (2*(a + a*Sec[e + f*x])^(2 + m)*(c - c*Sec[e + f*x])^(-3 - m)*Tan[e + f*x])/(a^2*f*(1 + 2*m)*(15 + 16*m + 4*m^2))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^m/(c - c*Sec[e + f*x])^(m + 2), x, 2, -(((a + a*Sec[e + f*x])^m*(c - c*Sec[e + f*x])^(-2 - m)*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*m))) + ((a + a*Sec[e + f*x])^(1 + m)*(c - c*Sec[e + f*x])^(-2 - m)*Tan[e + f*x])/(a*f*(3 + 8*m + 4*m^2))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^m/(c - c*Sec[e + f*x])^(m + 1), x, 1, -(((a + a*Sec[e + f*x])^m*(c - c*Sec[e + f*x])^(-1 - m)*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*m)))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^m/(c - c*Sec[e + f*x])^(m + 0), x, 3, -((2^(1/2 - m)*c*Hypergeometric2F1[1/2 + m, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sec[e + f*x])]*(1 - Sec[e + f*x])^(1/2 + m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*(c - c*Sec[e + f*x])^(-1 - m)*Tan[e + f*x])/(f*(1 + 2*m)))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^m/(c - c*Sec[e + f*x])^(m - 1), x, 3, -((2^(3/2 - m)*c*Hypergeometric2F1[-(1/2) + m, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sec[e + f*x])]*(1 - Sec[e + f*x])^(-(1/2) + m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/((c - c*Sec[e + f*x])^m*(f*(1 + 2*m))))}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^m/(c - c*Sec[e + f*x])^(m - 2), x, 3, -((2^(5/2 - m)*c^2*Hypergeometric2F1[-(3/2) + m, 1/2 + m, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Sec[e + f*x])]*(1 - Sec[e + f*x])^(-(1/2) + m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/((c - c*Sec[e + f*x])^m*(f*(1 + 2*m))))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+a Sec[e+f x])^m (c-c Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+a Sec[e+f x])^m (c-c Sec[e+f x])*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^2*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x]), x, 10, (a^3*c*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(4*f) + (a^3*c*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(4*f) - (a^3*c*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x])/(2*f) - (2*a^3*c*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) - (a^3*c*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{Sec[e + f*x]^2*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x]), x, 7, (a^2*c*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) + (a^2*c*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(8*f) - (a^2*c*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x])/(4*f) - (a^2*c*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Sec[e + f*x]^2*(a + a*Sec[e + f*x])^1*(c - c*Sec[e + f*x]), x, 3, -((a*c*Tan[e + f*x]^3)/(3*f))}
+{Sec[e + f*x]^2/(a + a*Sec[e + f*x])^1*(c - c*Sec[e + f*x]), x, 5, (2*c*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a*f) - (c*Tan[e + f*x])/(a*f) - (2*c*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]^2/(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x]), x, 4, -((c*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a^2*f)) + (7*c*Tan[e + f*x])/(3*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x])) - (2*c*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2)}
+{Sec[e + f*x]^2/(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c - c*Sec[e + f*x]), x, 3, -((2*c*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3)) + (11*c*Tan[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) - (4*c*Tan[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x]))}
+
+
+{(g*Sec[e + f*x])^p*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x]), x, 5, -((a^2*c*(Cos[e + f*x]^2)^((3 + p)/2)*Hypergeometric2F1[3/2, (3 + p)/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2]*(g*Sec[e + f*x])^p*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)) - (a^2*c*(Cos[e + f*x]^2)^((4 + p)/2)*Hypergeometric2F1[3/2, (4 + p)/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2]*(g*Sec[e + f*x])^(1 + p)*Tan[e + f*x]^3)/(3*f*g)}
+{(g*Sec[e + f*x])^p*(a + a*Sec[e + f*x])^1*(c - c*Sec[e + f*x]), x, 2, -((a*c*(Cos[e + f*x]^2)^((3 + p)/2)*Hypergeometric2F1[3/2, (3 + p)/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2]*(g*Sec[e + f*x])^p*Tan[e + f*x]^3)/(3*f))}
+{(g*Sec[e + f*x])^p/(a + a*Sec[e + f*x])^1*(c - c*Sec[e + f*x]), x, 6, -((c*g*(1 - 2*p)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - p)/2, (3 - p)/2, Cos[e + f*x]^2]*(g*Sec[e + f*x])^(-1 + p)*Sin[e + f*x])/(a*f*(1 - p)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) + (2*c*Hypergeometric2F1[1/2, -(p/2), (2 - p)/2, Cos[e + f*x]^2]*(g*Sec[e + f*x])^p*Sin[e + f*x])/(a*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (2*c*(g*Sec[e + f*x])^p*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x]))}
+{(g*Sec[e + f*x])^p/(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c - c*Sec[e + f*x]), x, 7, -((c*g*(3 - 4*p)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - p)/2, (3 - p)/2, Cos[e + f*x]^2]*(g*Sec[e + f*x])^(-1 + p)*Sin[e + f*x])/(3*a^2*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2])) + (c*(5 - 4*p)*Hypergeometric2F1[1/2, -(p/2), (2 - p)/2, Cos[e + f*x]^2]*(g*Sec[e + f*x])^p*Sin[e + f*x])/(3*a^2*f*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]) - (c*(5 - 4*p)*(g*Sec[e + f*x])^p*Tan[e + f*x])/(3*a^2*f*(1 + Sec[e + f*x])) - (2*c*(g*Sec[e + f*x])^p*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+a Sec[e+f x])^(m/2) / (c-c Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(g*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c - c*Sec[e + f*x]), x, 5, -((2*Sqrt[a]*g^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[g]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(c*f)) + (2*g*Cot[e + f*x]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(c*f), -((2*a*g*Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x]))) + (2*a*g^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[c]*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^2/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])), x, 4, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])]/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*c*f)) + (Cot[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(a*c*f), -(Tan[e + f*x]/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x]))) - (ArcTanh[Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c]*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+
+
+{Sec[e + f*x]^(5/2)/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])), x, 8, -((2*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]])/(Sqrt[a]*c*f)) + ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])]/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*c*f) + (Csc[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(a*c*f*Sqrt[Sec[e + f*x]]), -((Sec[e + f*x]^(3/2)*Sin[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x]))) + (2*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[Sec[e + f*x]])/Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[c]*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[Sec[e + f*x]])/Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c]*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+
+
+{(g*Sec[e + f*x])^(3/2)/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])), x, 4, -((g^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[g]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*c*f)) + (g*Cot[e + f*x]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(a*c*f), -((g*Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x]))) + (g^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c]*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+{(g*Sec[e + f*x])^(5/2)/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x])), x, 8, -((2*g^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[g]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*c*f)) + (g^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[g]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*c*f) + (g^2*Cot[e + f*x]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(a*c*f), -((g^2*Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c - c*Sec[e + f*x]))) + (2*g^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[c]*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]) - (g^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[g]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c]*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (c-c Sec[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^2/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]]), x, 3, (Log[Tan[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c - c*Sec[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+a Sec[e+f x])^m (c+d Sec[e+f x])^n*)
+
+
+{(Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(c - d*Sec[e + f*x]), x, 2, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[d]*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x] (a+a Sec[e+f x])^m (c+d Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^4, x, 8, (a*(8*c^4 + 16*c^3*d + 24*c^2*d^2 + 12*c*d^3 + 3*d^4)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) + (a*(12*c^4 + 95*c^3*d + 112*c^2*d^2 + 80*c*d^3 + 16*d^4)*Tan[e + f*x])/(30*f) + (a*d*(24*c^3 + 130*c^2*d + 116*c*d^2 + 45*d^3)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(120*f) + (a*(12*c^2 + 35*c*d + 16*d^2)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(60*f) + (a*(4*c + 5*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(20*f) + (a*(c + d*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(5*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 7, (a*(8*c^3 + 12*c^2*d + 12*c*d^2 + 3*d^3)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) + (a*(3*c^3 + 16*c^2*d + 12*c*d^2 + 4*d^3)*Tan[e + f*x])/(6*f) + (a*d*(6*c^2 + 20*c*d + 9*d^2)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(24*f) + (a*(3*c + 4*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(12*f) + (a*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(4*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 6, (a*(2*c^2 + 2*c*d + d^2)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*f) + (2*a*(c^2 + 3*c*d + d^2)*Tan[e + f*x])/(3*f) + (a*d*(2*c + 3*d)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(6*f) + (a*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 5, (a*(2*c + d)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*f) + (a*(c + d)*Tan[e + f*x])/f + (a*d*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x]))/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 5, (a*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(d*f) - (2*a*Sqrt[c - d]*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(d*Sqrt[c + d]*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x]))/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 5, (2*a*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(Sqrt[c - d]*(c + d)^(3/2)*f) + (a*Tan[e + f*x])/((c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x]))/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 6, (a*(2*c - d)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(3/2)*(c + d)^(5/2)*f) + (a*Tan[e + f*x])/(2*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (a*(c - 2*d)*Tan[e + f*x])/(2*(c - d)*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x]))/(c + d*Sec[e + f*x])^4, x, 7, (a*(2*c^2 - 2*c*d + d^2)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(5/2)*(c + d)^(7/2)*f) + (a*Tan[e + f*x])/(3*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^3) + (a*(2*c - 3*d)*Tan[e + f*x])/(6*(c - d)*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (a*(c - 4*d)*(2*c - d)*Tan[e + f*x])/(6*(c - d)^2*(c + d)^3*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+
+
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^4, x, 9, (a^2*(24*c^4 + 64*c^3*d + 84*c^2*d^2 + 48*c*d^3 + 11*d^4)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(16*f) - (a^2*(4*c^5 - 48*c^4*d - 311*c^3*d^2 - 448*c^2*d^3 - 288*c*d^4 - 64*d^5)*Tan[e + f*x])/(60*d*f) - (a^2*(8*c^4 - 96*c^3*d - 438*c^2*d^2 - 464*c*d^3 - 165*d^4)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(240*f) - (a^2*(4*c^3 - 48*c^2*d - 123*c*d^2 - 64*d^3)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(120*d*f) - (a^2*(4*c^2 - 48*c*d - 55*d^2)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(120*d*f) - (a^2*(c - 12*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(30*d*f) + (a^2*(c + d*Sec[e + f*x])^5*Tan[e + f*x])/(6*d*f), (a^2*(24*c^4 + 64*c^3*d + 84*c^2*d^2 + 48*c*d^3 + 11*d^4)*Tan[e + f*x])/(16*f) + (a^3*(24*c^4 + 64*c^3*d + 84*c^2*d^2 + 48*c*d^3 + 11*d^4)*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(8*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((24*c^4 + 64*c^3*d + 84*c^2*d^2 + 48*c*d^3 + 11*d^4)*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(48*f) + (d*(9*c + 2*d)*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(30*f) + (d*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(6*f) + (1/(120*f))*(d*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(2*(52*c^3 + 56*c^2*d + 48*c*d^2 + 9*d^3) + d*(48*c^2 + 32*c*d + 19*d^2)*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 8, (3*a^2*(2*c + d)*(2*c^2 + 3*c*d + 2*d^2)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) - (a^2*(c^4 - 10*c^3*d - 44*c^2*d^2 - 40*c*d^3 - 12*d^4)*Tan[e + f*x])/(10*d*f) - (a^2*(2*c^3 - 20*c^2*d - 57*c*d^2 - 30*d^3)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(40*f) - (a^2*(c^2 - 10*c*d - 12*d^2)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(20*d*f) - (a^2*(c - 10*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(20*d*f) + (a^2*(c + d*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(5*d*f), (3*a^2*(2*c + d)*(2*c^2 + 3*c*d + 2*d^2)*Tan[e + f*x])/(8*f) + (3*a^3*(2*c + d)*(2*c^2 + 3*c*d + 2*d^2)*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(4*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((2*c + d)*(2*c^2 + 3*c*d + 2*d^2)*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(8*f) + (d*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(5*f) + (d*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(2*(8*c^2 + 5*c*d + 2*d^2) + d*(7*c + 2*d)*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(20*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 8, (a^2*(12*c^2 + 16*c*d + 7*d^2)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) - (a^2*(c^3 - 8*c^2*d - 20*c*d^2 - 8*d^3)*Tan[e + f*x])/(6*d*f) - (a^2*(2*c*(c - 8*d) - 21*d^2)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(24*f) - (a^2*(c - 8*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(12*d*f) + (a^2*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(4*d*f), (a^2*(12*c^2 + 16*c*d + 7*d^2)*Tan[e + f*x])/(8*f) + (a^3*(12*c^2 + 16*c*d + 7*d^2)*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(4*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (d*(5*c + 2*d)*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(12*f) + ((12*c^2 + 16*c*d + 7*d^2)*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(24*f) + (d*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(4*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 6, (a^2*(3*c + 2*d)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*f) + (2*a^2*(3*c + 2*d)*Tan[e + f*x])/(3*f) + (a^2*(3*c + 2*d)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(6*f) + (d*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2)/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 8, -((a^2*(c - 2*d)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(d^2*f)) + (2*a^2*(c - d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(d^2*Sqrt[c + d]*f) + (a^2*Tan[e + f*x])/(d*f), (a^2*Tan[e + f*x])/(d*f) - (2*a^3*(c - 2*d)*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(d^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*a^3*(c - d)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(d^2*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2)/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 8, (a^2*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(d^2*f) - (2*a^2*Sqrt[c - d]*(c + 2*d)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(d^2*(c + d)^(3/2)*f) - (a^2*(c - d)*Tan[e + f*x])/(d*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x])), (2*a^3*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(d^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^3*Sqrt[c - d]*(c + 2*d)*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(d^2*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (a^2*(c - d)*Tan[e + f*x])/(d*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2)/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 5, (3*a^2*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(Sqrt[c - d]*(c + d)^(5/2)*f) + ((a^2 + a^2*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(2*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (3*a^2*Tan[e + f*x])/(2*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])), -((3*a^3*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[c - d]*(c + d)^(5/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])) + ((a^2 + a^2*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(2*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (3*a^2*Tan[e + f*x])/(2*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2)/(c + d*Sec[e + f*x])^4, x, 6, (a^2*(3*c - 2*d)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(3/2)*(c + d)^(7/2)*f) - (d*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^3) + ((3*c - 2*d)*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(6*(c - d)*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (a^2*(3*c - 2*d)*Tan[e + f*x])/(2*(c - d)*(c + d)^3*f*(c + d*Sec[e + f*x])), -((a^3*(3*c - 2*d)*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/((c - d)^(3/2)*(c + d)^(7/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])) - (d*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^3) + ((3*c - 2*d)*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(6*(c - d)*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (a^2*(3*c - 2*d)*Tan[e + f*x])/(2*(c - d)*(c + d)^3*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^2)/(c + d*Sec[e + f*x])^5, x, 8, (a^2*(12*c^2 - 16*c*d + 7*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(4*(c - d)^(5/2)*(c + d)^(9/2)*f) - (a^2*(c - d)*Tan[e + f*x])/(4*d*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^4) + (a^2*(c + 8*d)*Tan[e + f*x])/(12*d*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])^3) + (a^2*(2*c^2 + 16*c*d - 21*d^2)*Tan[e + f*x])/(24*(c - d)*d*(c + d)^3*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (a^2*(2*c^3 + 16*c^2*d - 59*c*d^2 + 32*d^3)*Tan[e + f*x])/(24*(c - d)^2*d*(c + d)^4*f*(c + d*Sec[e + f*x])), -((a^3*(12*c^2 - 16*c*d + 7*d^2)*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(4*(c - d)^(5/2)*(c + d)^(9/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])) - (a^2*(c - d)*Tan[e + f*x])/(4*d*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^4) + (a^2*(c + 8*d)*Tan[e + f*x])/(12*d*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])^3) + (a^2*(2*c^2 + 16*c*d - 21*d^2)*Tan[e + f*x])/(24*(c - d)*d*(c + d)^3*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (a^2*(2*c^3 + 16*c^2*d - 59*c*d^2 + 32*d^3)*Tan[e + f*x])/(24*(c - d)^2*d*(c + d)^4*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+
+
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 9, (a^3*(40*c^3 + 90*c^2*d + 78*c*d^2 + 23*d^3)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(16*f) + (a^3*(40*c^3 + 90*c^2*d + 78*c*d^2 + 23*d^3)*Tan[e + f*x])/(16*f) + ((40*c^3 + 90*c^2*d + 78*c*d^2 + 23*d^3)*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(48*f) + (a*(3*c + 8*d)*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(30*f) + (a*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(6*f) + (a*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(2*(4*c^3 + 74*c^2*d + 66*c*d^2 + 21*d^3) + d*(6*c^2 + 62*c*d + 31*d^2)*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(120*f), (a^3*(40*c^3 + 90*c^2*d + 78*c*d^2 + 23*d^3)*Tan[e + f*x])/(16*f) + (a^4*(40*c^3 + 90*c^2*d + 78*c*d^2 + 23*d^3)*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(8*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (a*(40*c^3 + 90*c^2*d + 78*c*d^2 + 23*d^3)*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(120*f) + ((40*c^3 + 90*c^2*d + 78*c*d^2 + 23*d^3)*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(48*f) + (d*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(6*f) + (d*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(70*c^2 + 54*c*d + 19*d^2 + 4*d*(8*c + 3*d)*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(120*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 9, (a^3*(20*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) + (a^3*(2*c^4 - 15*c^3*d + 72*c^2*d^2 + 180*c*d^3 + 76*d^4)*Tan[e + f*x])/(30*d^2*f) + (a^3*(4*c^3 - 30*c^2*d + 146*c*d^2 + 195*d^3)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(120*d*f) + (a^3*(2*c^2 - 15*c*d + 76*d^2)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(60*d^2*f) - (a^3*(2*c - 11*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(20*d^2*f) + ((a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(5*d*f), (a^3*(20*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*Tan[e + f*x])/(8*f) + (a^4*(20*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(4*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (a*(20*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(60*f) + (3*d*(2*c + d)*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(20*f) + ((20*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(24*f) + (d*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(5*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 10, (5*a^3*(4*c + 3*d)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) + (a^3*(4*c + 3*d)*Tan[e + f*x])/f + (3*a^3*(4*c + 3*d)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(8*f) + (d*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(4*f) + (a^3*(4*c + 3*d)*Tan[e + f*x]^3)/(12*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3)/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 9, (a^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*d*f) + (a^3*(c^2 - 3*c*d + 3*d^2)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(d^3*f) - (2*a^3*(c - d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(d^3*Sqrt[c + d]*f) - (a^3*(c - 3*d)*Tan[e + f*x])/(d^2*f) + (a^3*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*d*f), -((a^3*(2*c - 5*d)*Tan[e + f*x])/(2*d^2*f)) + (a^4*(2*c^2 - 6*c*d + 7*d^2)*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(d^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (2*a^4*(c - d)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(d^3*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(2*d*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3)/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 9, -((a^3*(2*c - 3*d)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(d^3*f)) + (2*a^3*(c - d)^(3/2)*(2*c + 3*d)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(d^3*(c + d)^(3/2)*f) + (2*a^3*c*Tan[e + f*x])/(d^2*(c + d)*f) - ((c - d)*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(d*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x])), (2*a^3*c*Tan[e + f*x])/(d^2*(c + d)*f) - (2*a^4*(2*c - 3*d)*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(d^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (2*a^4*(c - d)^(3/2)*(2*c + 3*d)*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(d^3*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - ((c - d)*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(d*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3)/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 9, (a^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(d^3*f) - (a^3*Sqrt[c - d]*(2*c^2 + 6*c*d + 7*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(d^3*(c + d)^(5/2)*f) - ((c - d)*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(2*d*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - (a^3*(c - d)*(2*c + 5*d)*Tan[e + f*x])/(2*d^2*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])), (2*a^4*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(d^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (a^4*Sqrt[c - d]*(2*c^2 + 6*c*d + 7*d^2)*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(d^3*(c + d)^(5/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - ((c - d)*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(2*d*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - (a^3*(c - d)*(2*c + 5*d)*Tan[e + f*x])/(2*d^2*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3)/(c + d*Sec[e + f*x])^4, x, 6, (5*a^3*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(Sqrt[c - d]*(c + d)^(7/2)*f) + (a*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^3) - (5*a^3*(c - d)*Tan[e + f*x])/(6*d*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (5*a^3*(c + 4*d)*Tan[e + f*x])/(6*d*(c + d)^3*f*(c + d*Sec[e + f*x])), -((5*a^4*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[c - d]*(c + d)^(7/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])) + (a*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^3) + (5*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(6*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (5*a^3*Tan[e + f*x])/(2*(c + d)^3*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + a*Sec[e + f*x])^3)/(c + d*Sec[e + f*x])^5, x, 7, (5*a^3*(4*c - 3*d)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(4*(c - d)^(3/2)*(c + d)^(9/2)*f) - (d*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(4*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^4) + (a*(4*c - 3*d)*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(12*(c - d)*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])^3) - (5*a^3*(4*c - 3*d)*Tan[e + f*x])/(24*d*(c + d)^3*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (5*a^3*(4*c - 3*d)*(c + 4*d)*Tan[e + f*x])/(24*(c - d)*d*(c + d)^4*f*(c + d*Sec[e + f*x])), -((5*a^4*(4*c - 3*d)*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(4*(c - d)^(3/2)*(c + d)^(9/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])) - (d*(a + a*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(4*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^4) + (a*(4*c - 3*d)*(a + a*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(12*(c - d)*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])^3) + (5*(4*c - 3*d)*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(24*(c - d)*(c + d)^3*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (5*a^3*(4*c - 3*d)*Tan[e + f*x])/(8*(c - d)*(c + d)^4*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^4)/(a + a*Sec[e + f*x]), x, 7, (d*(8*c^3 - 12*c^2*d + 12*c*d^2 - 3*d^3)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*a*f) - ((3*c - 4*d)*d*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*a*f) + ((c - d)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])) - (d*(4*(3*c^3 - 16*c^2*d + 12*c*d^2 - 4*d^3) + d*(6*c^2 - 20*c*d + 9*d^2)*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(6*a*f), (d*(8*c^3 - 12*c^2*d + 12*c*d^2 - 3*d^3)*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - ((3*c - 4*d)*d*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*a*f) + ((c - d)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])) - (d*(4*(3*c^3 - 16*c^2*d + 12*c*d^2 - 4*d^3) + d*(6*c^2 - 20*c*d + 9*d^2)*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(6*a*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^3)/(a + a*Sec[e + f*x]), x, 6, (3*d*(2*c^2 - 2*c*d + d^2)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*a*f) + ((c - d)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])) - (d*(4*(c^2 - 3*c*d + d^2) + (2*c - 3*d)*d*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(2*a*f), (3*d*(2*c^2 - 2*c*d + d^2)*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((c - d)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])) - (d*(4*(c^2 - 3*c*d + d^2) + (2*c - 3*d)*d*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(2*a*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^2)/(a + a*Sec[e + f*x]), x, 6, (d^2*Tan[e + f*x])/(a*f) + ((c - d)^2*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])) + ((2*c - d)*d*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a*f), (d^2*Tan[e + f*x])/(a*f) + ((c - d)^2*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x])) + (2*(2*c - d)*d*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^1)/(a + a*Sec[e + f*x]), x, 3, (d*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a*f) + ((c - d)*Tan[e + f*x])/(f*(a + a*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^1), x, 4, Tan[e + f*x]/((c - d)*f*(a + a*Sec[e + f*x])) - (2*d*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(a*(c - d)^(3/2)*Sqrt[c + d]*f), Tan[e + f*x]/((c - d)*f*(a + a*Sec[e + f*x])) + (2*d*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/((c - d)^(3/2)*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^2), x, 6, ((c + 2*d)*Tan[e + f*x])/((c - d)^2*(c + d)*f*(a + a*Sec[e + f*x])) - (2*d*(2*c + d)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(a*(c - d)^(5/2)*(c + d)^(3/2)*f) - (d*Tan[e + f*x])/((c^2 - d^2)*f*(a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])), ((c + 2*d)*Tan[e + f*x])/((c - d)^2*(c + d)*f*(a + a*Sec[e + f*x])) + (2*d*(2*c + d)*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/((c - d)^(5/2)*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (d*Tan[e + f*x])/((c^2 - d^2)*f*(a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^3), x, 7, (-3*d*(2*c^2 + 2*c*d + d^2)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(a*(c - d)^(7/2)*(c + d)^(5/2)*f) + (d*(2*c + 3*d)*Tan[e + f*x])/(2*a*(c - d)^2*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + Tan[e + f*x]/((c - d)*f*(a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (d*(2*c + d)*(c + 4*d)*Tan[e + f*x])/(2*a*(c - d)^3*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])), If[$VersionNumber>=8, ((2*c + d)*(c + 4*d)*Tan[e + f*x])/(2*(c - d)^3*(c + d)^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])) + (3*d*(2*c^2 + 2*c*d + d^2)*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/((c - d)^(7/2)*(c + d)^(5/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (d*Tan[e + f*x])/(2*(c^2 - d^2)*f*(a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - (d*(4*c + d)*Tan[e + f*x])/(2*(c^2 - d^2)^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])), ((2*c + d)*(c + 4*d)*Tan[e + f*x])/(2*(c - d)^3*(c + d)^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])) + (3*d*(2*c^2 + 2*c*d + d^2)*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/((c - d)^(7/2)*(c + d)^(5/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (d*Tan[e + f*x])/(2*(c^2 - d^2)*f*(a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - (d*(4*c + d)*Tan[e + f*x])/(2*(c^2 - d^2)^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x]))]}
+
+
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^5)/(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 8, (5*(2*c - d)*d^2*(2*c^2 - 3*c*d + 2*d^2)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*a^2*f) - (d*(c^2 + 10*c*d - 12*d^2)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*a^2*f) + ((c - d)*(c + 10*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(3*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])) + ((c - d)*(c + d*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) - (d*(4*(c^4 + 10*c^3*d - 44*c^2*d^2 + 40*c*d^3 - 12*d^4) + d*(2*c^3 + 20*c^2*d - 57*c*d^2 + 30*d^3)*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(6*a^2*f), (5*(2*c - d)*d^2*(2*c^2 - 3*c*d + 2*d^2)*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (d*(c^2 + 10*c*d - 12*d^2)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*a^2*f) + ((c - d)*(c + 10*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(3*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])) + ((c - d)*(c + d*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) - (d*(4*(c^4 + 10*c^3*d - 44*c^2*d^2 + 40*c*d^3 - 12*d^4) + d*(2*c^3 + 20*c^2*d - 57*c*d^2 + 30*d^3)*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(6*a^2*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^4)/(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 7, (d^2*(12*c^2 - 16*c*d + 7*d^2)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*a^2*f) + ((c - d)*(c + 8*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])) + ((c - d)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) - (d*(4*(c^3 + 8*c^2*d - 20*c*d^2 + 8*d^3) + d*(2*c^2 + 16*c*d - 21*d^2)*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(6*a^2*f), (d^2*(12*c^2 - 16*c*d + 7*d^2)*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((c - d)*(c + 8*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])) + ((c - d)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) - (d*(4*(c^3 + 8*c^2*d - 20*c*d^2 + 8*d^3) + d*(2*c^2 + 16*c*d - 21*d^2)*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(6*a^2*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^3)/(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 6, ((3*c - 2*d)*d^2*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a^2*f) + ((c - d)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + ((c^3 + 4*c^2*d - 12*c*d^2 + 10*d^3 - (c - 4*d)*d^2*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])), (2*(3*c - 2*d)*d^2*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((c - d)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + ((c^3 + 4*c^2*d - 12*c*d^2 + 10*d^3 - (c - 4*d)*d^2*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^2)/(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 6, ((c - d)^2*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + (d^2*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a^2*f) + ((c - d)*(c + 5*d)*Tan[e + f*x])/(3*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])), ((c - d)^2*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + (2*d^2*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((c - d)*(c + 5*d)*Tan[e + f*x])/(3*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^1)/(a + a*Sec[e + f*x])^2, x, 2, ((c - d)*Tan[e + f*x])/(3*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + ((c + 2*d)*Tan[e + f*x])/(3*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^1), x, 6, Tan[e + f*x]/(3*(c - d)*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + (2*d^2*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(a^2*(c - d)^(5/2)*Sqrt[c + d]*f) + ((c - 4*d)*Tan[e + f*x])/(3*(c - d)^2*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])), Tan[e + f*x]/(3*(c - d)*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) - (2*d^2*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(a*(c - d)^(5/2)*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((c - 4*d)*Tan[e + f*x])/(3*(c - d)^2*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^2), x, 7, (2*d^2*(3*c + 2*d)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(a^2*(c - d)^(7/2)*(c + d)^(3/2)*f) + (d*(c^2 - 6*c*d - 10*d^2)*Tan[e + f*x])/(3*a^2*(c - d)^3*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x])) + ((c - 6*d)*Tan[e + f*x])/(3*a^2*(c - d)^2*f*(1 + Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])) + Tan[e + f*x]/(3*(c - d)*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])), ((c + 4*d)*Tan[e + f*x])/(3*(c - d)^2*(c + d)*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) - (2*d^2*(3*c + 2*d)*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(a*(c - d)^(7/2)*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((c^2 - 6*c*d - 10*d^2)*Tan[e + f*x])/(3*(c - d)^3*(c + d)*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])) - (d*Tan[e + f*x])/((c^2 - d^2)*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^3), x, 8, (d^2*(12*c^2 + 16*c*d + 7*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(a^2*(c - d)^(9/2)*(c + d)^(5/2)*f) + (d*(2*c^2 - 16*c*d - 21*d^2)*Tan[e + f*x])/(6*a^2*(c - d)^3*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + ((c - 8*d)*Tan[e + f*x])/(3*a^2*(c - d)^2*f*(1 + Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + Tan[e + f*x]/(3*(c - d)*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (d*(2*c^3 - 16*c^2*d - 59*c*d^2 - 32*d^3)*Tan[e + f*x])/(6*a^2*(c - d)^4*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])), If[$VersionNumber>=8, ((2*c^2 + 22*c*d + 11*d^2)*Tan[e + f*x])/(6*(c - d)^3*(c + d)^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) - (d^2*(12*c^2 + 16*c*d + 7*d^2)*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(a*(c - d)^(9/2)*(c + d)^(5/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((2*c^3 - 16*c^2*d - 59*c*d^2 - 32*d^3)*Tan[e + f*x])/(6*(c - d)^4*(c + d)^2*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])) - (d*Tan[e + f*x])/(2*(c^2 - d^2)*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - (d*(5*c + 2*d)*Tan[e + f*x])/(2*(c^2 - d^2)^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])), ((2*c^2 + 22*c*d + 11*d^2)*Tan[e + f*x])/(6*(c - d)^3*(c + d)^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) - (d^2*(12*c^2 + 16*c*d + 7*d^2)*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(a*(c - d)^(9/2)*(c + d)^(5/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((2*c^3 - 16*c^2*d - 59*c*d^2 - 32*d^3)*Tan[e + f*x])/(6*(c - d)^4*(c + d)^2*f*(a^2 + a^2*Sec[e + f*x])) - (d*Tan[e + f*x])/(2*(c^2 - d^2)*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - (d*(5*c + 2*d)*Tan[e + f*x])/(2*(c^2 - d^2)^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x]))]}
+
+
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^6)/(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 9, (d^3*(40*c^3 - 90*c^2*d + 78*c*d^2 - 23*d^3)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*a^3*f) - (2*d*(2*c^5 + 18*c^4*d + 107*c^3*d^2 - 472*c^2*d^3 + 456*c*d^4 - 136*d^5)*Tan[e + f*x])/(15*a^3*f) - (d^2*(4*c^4 + 36*c^3*d + 216*c^2*d^2 - 626*c*d^3 + 345*d^4)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(30*a^3*f) - (d*(2*c^3 + 18*c^2*d + 111*c*d^2 - 136*d^3)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(15*a^3*f) + ((c - d)*(2*c^2 + 18*c*d + 115*d^2)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])) + ((c - d)*(2*c + 13*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + ((c - d)*(c + d*Sec[e + f*x])^5*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3), (d^3*(40*c^3 - 90*c^2*d + 78*c*d^2 - 23*d^3)*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(a^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) - (d*(2*c^3 + 18*c^2*d + 111*c*d^2 - 136*d^3)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(15*a^3*f) + ((c - d)*(2*c^2 + 18*c*d + 115*d^2)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])) + ((c - d)*(2*c + 13*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + ((c - d)*(c + d*Sec[e + f*x])^5*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3) - (d*(4*(2*c^5 + 18*c^4*d + 107*c^3*d^2 - 472*c^2*d^3 + 456*c*d^4 - 136*d^5) + d*(4*c^4 + 36*c^3*d + 216*c^2*d^2 - 626*c*d^3 + 345*d^4)*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(30*a^3*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^5)/(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 8, (d^3*(20*c^2 - 30*c*d + 13*d^2)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*a^3*f) - (2*d*(2*c^4 + 15*c^3*d + 72*c^2*d^2 - 180*c*d^3 + 76*d^4)*Tan[e + f*x])/(15*a^3*f) - (d^2*(4*c^3 + 30*c^2*d + 146*c*d^2 - 195*d^3)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(30*a^3*f) + ((c - d)*(2*c^2 + 15*c*d + 76*d^2)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])) + ((c - d)*(2*c + 11*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + ((c - d)*(c + d*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3), (d^3*(20*c^2 - 30*c*d + 13*d^2)*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(a^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((c - d)*(2*c^2 + 15*c*d + 76*d^2)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])) + ((c - d)*(2*c + 11*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + ((c - d)*(c + d*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3) - (d*(4*(2*c^4 + 15*c^3*d + 72*c^2*d^2 - 180*c*d^3 + 76*d^4) + d*(4*c^3 + 30*c^2*d + 146*c*d^2 - 195*d^3)*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(30*a^3*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^4)/(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 7, ((4*c - 3*d)*d^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a^3*f) + ((c - d)*(2*c + 9*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + ((c - d)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3) + ((2*c^4 + 8*c^3*d + 21*c^2*d^2 - 88*c*d^3 + 72*d^4 - d^2*(2*c^2 + 10*c*d - 27*d^2)*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])), (2*(4*c - 3*d)*d^3*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(a^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((c - d)*(2*c + 9*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + ((c - d)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3) + ((2*c^4 + 8*c^3*d + 21*c^2*d^2 - 88*c*d^3 + 72*d^4 - d^2*(2*c^2 + 10*c*d - 27*d^2)*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^3)/(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 6, (d^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(a^3*f) + ((c - d)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3) + ((c - d)*(2*(2*c^2 + 8*c*d + 11*d^2) + (2*c^2 + 11*c*d + 29*d^2)*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2), (2*d^3*ArcTan[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]]*Tan[e + f*x])/(a^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((c - d)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3) + ((c - d)*(2*(2*c^2 + 8*c*d + 11*d^2) + (2*c^2 + 11*c*d + 29*d^2)*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2)}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^2)/(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 4, ((c - d)^2*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3) + (2*(c - d)*(c + 4*d)*Tan[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + ((2*c^2 + 6*c*d + 7*d^2)*Tan[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^1)/(a + a*Sec[e + f*x])^3, x, 3, ((c - d)*Tan[e + f*x])/(5*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3) + ((2*c + 3*d)*Tan[e + f*x])/(15*a*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + ((2*c + 3*d)*Tan[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])^1), x, 7, (-2*d^3*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(a^3*(c - d)^(7/2)*Sqrt[c + d]*f) + Tan[e + f*x]/(5*(c - d)*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3) + ((2*c - 7*d)*Tan[e + f*x])/(15*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + ((2*c^2 - 9*c*d + 22*d^2)*Tan[e + f*x])/(15*(c - d)^3*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])), Tan[e + f*x]/(5*(c - d)*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3) + ((2*c - 7*d)*Tan[e + f*x])/(15*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + (2*d^3*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(a^2*(c - d)^(7/2)*Sqrt[c + d]*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((2*c^2 - 9*c*d + 22*d^2)*Tan[e + f*x])/(15*(c - d)^3*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])^2), x, 8, (-2*d^3*(4*c + 3*d)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(a^3*(c - d)^(9/2)*(c + d)^(3/2)*f) + (d*(2*c^3 - 12*c^2*d + 43*c*d^2 + 72*d^3)*Tan[e + f*x])/(15*a^3*(c - d)^4*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x])) + Tan[e + f*x]/(5*(c - d)*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])) + ((2*c - 9*d)*Tan[e + f*x])/(15*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])) + ((2*c^2 - 12*c*d + 45*d^2)*Tan[e + f*x])/(15*(c - d)^3*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])), ((c + 6*d)*Tan[e + f*x])/(5*(c - d)^2*(c + d)*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3) + ((2*c^2 - 10*c*d - 27*d^2)*Tan[e + f*x])/(15*a*(c - d)^3*(c + d)*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + (2*d^3*(4*c + 3*d)*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(a^2*(c - d)^(9/2)*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((2*c^3 - 12*c^2*d + 43*c*d^2 + 72*d^3)*Tan[e + f*x])/(15*(c - d)^4*(c + d)*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])) - (d*Tan[e + f*x])/((c^2 - d^2)*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]/((a + a*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])^3), x, 9, -((d^3*(20*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(a^3*(c - d)^(11/2)*(c + d)^(5/2)*f)) + (d*(4*c^3 - 30*c^2*d + 146*c*d^2 + 195*d^3)*Tan[e + f*x])/(30*a^3*(c - d)^4*(c + d)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + Tan[e + f*x]/(5*(c - d)*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + ((2*c - 11*d)*Tan[e + f*x])/(15*a*(c - d)^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + ((2*c^2 - 15*c*d + 76*d^2)*Tan[e + f*x])/(15*(c - d)^3*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (d*(4*c^4 - 30*c^3*d + 142*c^2*d^2 + 525*c*d^3 + 304*d^4)*Tan[e + f*x])/(30*a^3*(c - d)^5*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])), If[$VersionNumber>=8, ((2*c^2 + 39*c*d + 22*d^2)*Tan[e + f*x])/(10*(c - d)^3*(c + d)^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3) + ((4*c^3 - 26*c^2*d - 184*c*d^2 - 109*d^3)*Tan[e + f*x])/(30*a*(c - d)^4*(c + d)^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + (d^3*(20*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(a^2*(c - d)^(11/2)*(c + d)^(5/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((4*c^4 - 30*c^3*d + 142*c^2*d^2 + 525*c*d^3 + 304*d^4)*Tan[e + f*x])/(30*(c - d)^5*(c + d)^2*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])) - (d*Tan[e + f*x])/(2*(c^2 - d^2)*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - (3*d*(2*c + d)*Tan[e + f*x])/(2*(c^2 - d^2)^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])), ((2*c^2 + 39*c*d + 22*d^2)*Tan[e + f*x])/(10*(c - d)^3*(c + d)^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3) + ((4*c^3 - 26*c^2*d - 184*c*d^2 - 109*d^3)*Tan[e + f*x])/(30*a*(c - d)^4*(c + d)^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^2) + (d^3*(20*c^2 + 30*c*d + 13*d^2)*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])]*Tan[e + f*x])/(a^2*(c - d)^(11/2)*(c + d)^(5/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + ((4*c^4 - 30*c^3*d + 142*c^2*d^2 + 525*c*d^3 + 304*d^4)*Tan[e + f*x])/(30*(c - d)^5*(c + d)^2*f*(a^3 + a^3*Sec[e + f*x])) - (d*Tan[e + f*x])/(2*(c^2 - d^2)*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - (3*d*(2*c + d)*Tan[e + f*x])/(2*(c^2 - d^2)^2*f*(a + a*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x]))]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x] (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (c+d Sec[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]], x, 2, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[d]*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]], x, 5, (Sqrt[2]*Sqrt[c - d]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) + (2*Sqrt[d]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f)}
+{Sec[e + f*x]/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]), x, 2, (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^2 (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (c+d Sec[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^2/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]), x, 5, -((Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*f)) + (2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*Sqrt[d]*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+a Sec[e+f x])^(m/2) / (c+d Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(Sec[e + f*x]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])/(c + d*Sec[e + f*x]), x, 2, (2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[d]*Sqrt[c + d]*f)}
+
+
+{(g*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]/(c + d*Sec[e + f*x]), x, 5, (2*Sqrt[a]*g^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[g]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(d*f) - (2*Sqrt[a]*Sqrt[c]*g^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Sqrt[g]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(d*Sqrt[c + d]*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^1/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])), x, 5, (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)*f) - (2*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)*Sqrt[c + d]*f)}
+{Sec[e + f*x]^2/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])), x, 5, -((Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)*f)) + (2*c*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)*Sqrt[d]*Sqrt[c + d]*f)}
+
+
+{(g*Sec[e + f*x])^(3/2)/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])), x, 5, -((Sqrt[2]*g^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[g]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)*f)) + (2*Sqrt[c]*g^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Sqrt[g]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)*Sqrt[c + d]*f)}
+{(g*Sec[e + f*x])^(5/2)/(Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])), x, 8, (2*g^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[g]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*d*f) + (Sqrt[2]*g^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[g]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)*f) - (2*c^(3/2)*g^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Sqrt[g]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*(c - d)*d*Sqrt[c + d]*f)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+b Sec[e+f x])^m (c+d Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x] (a+b Sec[e+f x])^m (c+d Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^4, x, 8, ((8*a*c^4 + 16*b*c^3*d + 24*a*c^2*d^2 + 12*b*c*d^3 + 3*a*d^4)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) + ((12*b*c^4 + 95*a*c^3*d + 112*b*c^2*d^2 + 80*a*c*d^3 + 16*b*d^4)*Tan[e + f*x])/(30*f) + (d*(24*b*c^3 + 130*a*c^2*d + 116*b*c*d^2 + 45*a*d^3)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(120*f) + ((12*b*c^2 + 35*a*c*d + 16*b*d^2)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(60*f) + ((4*b*c + 5*a*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(20*f) + (b*(c + d*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(5*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 7, ((8*a*c^3 + 12*b*c^2*d + 12*a*c*d^2 + 3*b*d^3)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) + ((4*a*d*(4*c^2 + d^2) + 3*b*(c^3 + 4*c*d^2))*Tan[e + f*x])/(6*f) + (d*(6*b*c^2 + 20*a*c*d + 9*b*d^2)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(24*f) + ((3*b*c + 4*a*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(12*f) + (b*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(4*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 6, ((2*b*c*d + a*(2*c^2 + d^2))*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*f) + (2*(3*a*c*d + b*(c^2 + d^2))*Tan[e + f*x])/(3*f) + (d*(2*b*c + 3*a*d)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(6*f) + (b*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 5, ((2*a*c + b*d)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*f) + ((b*c + a*d)*Tan[e + f*x])/f + (b*d*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x]))/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 5, (b*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(d*f) - (2*(b*c - a*d)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(Sqrt[c - d]*d*Sqrt[c + d]*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x]))/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 5, (2*(a*c - b*d)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(3/2)*(c + d)^(3/2)*f) + ((b*c - a*d)*Tan[e + f*x])/((c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x]))/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 6, -(((3*b*c*d - a*(2*c^2 + d^2))*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(5/2)*(c + d)^(5/2)*f)) + ((b*c - a*d)*Tan[e + f*x])/(2*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - ((3*a*c*d - b*(c^2 + 2*d^2))*Tan[e + f*x])/(2*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x]))/(c + d*Sec[e + f*x])^4, x, 7, ((2*a*c^3 - 4*b*c^2*d + 3*a*c*d^2 - b*d^3)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(7/2)*(c + d)^(7/2)*f) + ((b*c - a*d)*Tan[e + f*x])/(3*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^3) + ((2*b*c^2 - 5*a*c*d + 3*b*d^2)*Tan[e + f*x])/(6*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + ((2*b*c^3 - 11*a*c^2*d + 13*b*c*d^2 - 4*a*d^3)*Tan[e + f*x])/(6*(c^2 - d^2)^3*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+
+
+(* {Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^4, x, 8, ((16*a*b*d*(4*c^3 + 3*c*d^2) + 2*a^2*(8*c^4 + 24*c^2*d^2 + 3*d^4) + b^2*(8*c^4 + 36*c^2*d^2 + 5*d^4))*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(16*f) + ((10*a^2*c*d^2*(19*c^2 + 16*d^2) + 16*a*b*d*(3*c^4 + 28*c^2*d^2 + 4*d^4) - b^2*(4*c^5 - 121*c^3*d^2 - 128*c*d^4))*Tan[e + f*x])/(60*d*f) + ((10*a^2*d^2*(26*c^2 + 9*d^2) + 16*a*b*d*(6*c^3 + 29*c*d^2) - b^2*(8*c^4 - 178*c^2*d^2 - 75*d^4))*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(240*f) + ((70*a^2*c*d^2 + 16*a*b*d*(3*c^2 + 4*d^2) - b^2*(4*c^3 - 53*c*d^2))*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(120*d*f) + ((5*(6*a^2 + 5*b^2)*d^2 - 4*b*c*(b*c - 12*a*d))*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(120*d*f) - (b*(b*c - 12*a*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(30*d*f) + (b^2*(c + d*Sec[e + f*x])^5*Tan[e + f*x])/(6*d*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 7, ((6*a*b*d*(4*c^2 + d^2) + b^2*c*(4*c^2 + 9*d^2) + 4*a^2*(2*c^3 + 3*c*d^2))*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) + ((20*a^2*d^2*(4*c^2 + d^2) + 30*a*b*c*d*(c^2 + 4*d^2) - b^2*(3*c^4 - 52*c^2*d^2 - 16*d^4))*Tan[e + f*x])/(30*d*f) + ((100*a^2*c*d^2 + 30*a*b*d*(2*c^2 + 3*d^2) - b^2*(6*c^3 - 71*c*d^2))*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(120*f) + ((4*(5*a^2 + 4*b^2)*d^2 - 3*b*c*(b*c - 10*a*d))*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(60*d*f) - (b*(b*c - 10*a*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(20*d*f) + (b^2*(c + d*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(5*d*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 6, ((16*a*b*c*d + 4*a^2*(2*c^2 + d^2) + b^2*(4*c^2 + 3*d^2))*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) + ((8*a^2*b*c*d + 8*b^3*c*d - a^3*d^2 + 4*a*b^2*(3*c^2 + 2*d^2))*Tan[e + f*x])/(6*b*f) + ((2*a*d*(8*b*c - a*d) + 3*b^2*(4*c^2 + 3*d^2))*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(24*f) + (d*(8*b*c - a*d)*(a + b*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(12*b*f) + (d^2*(a + b*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(4*b*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 5, ((2*a^2*c + b^2*c + 2*a*b*d)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*f) + (2*(3*a*b*c + a^2*d + b^2*d)*Tan[e + f*x])/(3*f) + (b*(3*b*c + 2*a*d)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(6*f) + (d*(a + b*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(3*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^2)/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 6, -((b*(b*c - 2*a*d)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(d^2*f)) + (2*(b*c - a*d)^2*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(Sqrt[c - d]*d^2*Sqrt[c + d]*f) + (b^2*Tan[e + f*x])/(d*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^2)/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 6, (b^2*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(d^2*f) - (2*(b*c - a*d)*(b*c^2 + a*c*d - 2*b*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(3/2)*d^2*(c + d)^(3/2)*f) - ((b*c - a*d)^2*Tan[e + f*x])/(d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^2)/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 6, -(((6*a*b*c*d - a^2*(2*c^2 + d^2) - b^2*(c^2 + 2*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(5/2)*(c + d)^(5/2)*f)) - ((b*c - a*d)^2*Tan[e + f*x])/(2*d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + ((b*c - a*d)*(3*a*c*d + b*(c^2 - 4*d^2))*Tan[e + f*x])/(2*(c - d)^2*d*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^2)/(c + d*Sec[e + f*x])^4, x, 7, -(((2*a*b*d*(4*c^2 + d^2) - b^2*c*(c^2 + 4*d^2) - a^2*(2*c^3 + 3*c*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(7/2)*(c + d)^(7/2)*f)) - ((b*c - a*d)^2*Tan[e + f*x])/(3*d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^3) + ((b*c - a*d)*(5*a*c*d + b*(c^2 - 6*d^2))*Tan[e + f*x])/(6*(c - d)^2*d*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - ((a^2*d^2*(11*c^2 + 4*d^2) - a*b*(4*c^3*d + 26*c*d^3) - b^2*(c^4 - 10*c^2*d^2 - 6*d^4))*Tan[e + f*x])/(6*d*(c^2 - d^2)^3*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^2)/(c + d*Sec[e + f*x])^5, x, 8, -((10*a*b*d*(4*c^3 + 3*c*d^2) - a^2*(8*c^4 + 24*c^2*d^2 + 3*d^4) - b^2*(4*c^4 + 27*c^2*d^2 + 4*d^4))*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(4*(c - d)^(9/2)*(c + d)^(9/2)*f) - ((b*c - a*d)^2*Tan[e + f*x])/(4*d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^4) + ((b*c - a*d)*(7*a*c*d + b*(c^2 - 8*d^2))*Tan[e + f*x])/(12*(c - d)^2*d*(c + d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])^3) - ((a^2*d^2*(26*c^2 + 9*d^2) - 2*a*b*d*(6*c^3 + 29*c*d^2) - b^2*(2*c^4 - 25*c^2*d^2 - 12*d^4))*Tan[e + f*x])/(24*d*(c^2 - d^2)^3*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - ((5*a^2*c*d^2*(10*c^2 + 11*d^2) - 2*a*b*d*(6*c^4 + 83*c^2*d^2 + 16*d^4) - b^2*(2*c^5 - 39*c^3*d^2 - 68*c*d^4))*Tan[e + f*x])/(24*d*(c^2 - d^2)^4*f*(c + d*Sec[e + f*x]))} *)
+
+
+(* {Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 8, ((18*a^2*b*d*(4*c^2 + d^2) + b^3*d*(18*c^2 + 5*d^2) + 6*a*b^2*c*(4*c^2 + 9*d^2) + 8*a^3*(2*c^3 + 3*c*d^2))*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(16*f) + ((40*a^3*d^3*(4*c^2 + d^2) + 90*a^2*b*c*d^2*(c^2 + 4*d^2) - 6*a*b^2*d*(3*c^4 - 52*c^2*d^2 - 16*d^4) + b^3*(2*c^5 + 17*c^3*d^2 + 96*c*d^4))*Tan[e + f*x])/(60*d^2*f) + ((200*a^3*c*d^3 + 90*a^2*b*d^2*(2*c^2 + 3*d^2) - 6*a*b^2*d*(6*c^3 - 71*c*d^2) + b^3*(4*c^4 + 36*c^2*d^2 + 75*d^4))*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(240*d*f) + ((90*a^2*b*c*d^2 + 40*a^3*d^3 + b^3*(2*c^3 + 21*c*d^2) - a*b^2*(18*c^2*d - 96*d^3))*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(120*d^2*f) - (b*(18*a*b*c*d - 90*a^2*d^2 - b^2*(2*c^2 + 25*d^2))*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(120*d^2*f) - (b^2*(2*b*c - 13*a*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(30*d^2*f) + (b^2*(a + b*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(6*d*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 7, ((24*a^2*b*c*d + 6*b^3*c*d + 4*a^3*(2*c^2 + d^2) + 3*a*b^2*(4*c^2 + 3*d^2))*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) + ((30*a^3*b*c*d + 120*a*b^3*c*d - 3*a^4*d^2 + 4*b^4*(5*c^2 + 4*d^2) + 4*a^2*b^2*(20*c^2 + 13*d^2))*Tan[e + f*x])/(30*b*f) + ((60*a^2*b*c*d + 90*b^3*c*d - 6*a^3*d^2 + a*b^2*(100*c^2 + 71*d^2))*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(120*f) + ((3*a*d*(10*b*c - a*d) + 4*b^2*(5*c^2 + 4*d^2))*(a + b*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(60*b*f) + (d*(10*b*c - a*d)*(a + b*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(20*b*f) + (d^2*(a + b*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(5*b*f)}
+{Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 6, ((8*a^3*c + 12*a*b^2*c + 12*a^2*b*d + 3*b^3*d)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) + ((16*a^2*b*c + 4*b^3*c + 3*a^3*d + 12*a*b^2*d)*Tan[e + f*x])/(6*f) + (b*(20*a*b*c + 6*a^2*d + 9*b^2*d)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(24*f) + ((4*b*c + 3*a*d)*(a + b*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(12*f) + (d*(a + b*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(4*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^3)/(c + d*Sec[e + f*x])^1, x, 7, -(b*(6*a*b*c*d - 6*a^2*d^2 - b^2*(2*c^2 + d^2))*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*d^3*f) - (2*(b*c - a*d)^3*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(Sqrt[c - d]*d^3*Sqrt[c + d]*f) - (b^2*(2*b*c - 5*a*d)*Tan[e + f*x])/(2*d^2*f) + (b^2*(a + b*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(2*d*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^3)/(c + d*Sec[e + f*x])^2, x, 7, -((b^2*(2*b*c - 3*a*d)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(d^3*f)) + (2*(b*c - a*d)^2*(2*b*c^2 + a*c*d - 3*b*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(3/2)*d^3*(c + d)^(3/2)*f) - (b*(2*a*b*c*d - a^2*d^2 - b^2*(2*c^2 - d^2))*Tan[e + f*x])/(d^2*(c^2 - d^2)*f) - ((b*c - a*d)^2*(a + b*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^3)/(c + d*Sec[e + f*x])^3, x, 7, (b^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(d^3*f) - ((b*c - a*d)*(2*a*b*c*d*(c^2 - 4*d^2) + a^2*d^2*(2*c^2 + d^2) + b^2*(2*c^4 - 5*c^2*d^2 + 6*d^4))*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(5/2)*d^3*(c + d)^(5/2)*f) - ((b*c - a*d)^2*(a + b*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(2*d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - ((b*c - a*d)^2*(2*b*c^2 + 3*a*c*d - 5*b*d^2)*Tan[e + f*x])/(2*d^2*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^3)/(c + d*Sec[e + f*x])^4, x, 7, -(((a*c - b*d)*(10*a*b*c*d - b^2*(3*c^2 + 2*d^2) - a^2*(2*c^2 + 3*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(7/2)*(c + d)^(7/2)*f)) - ((b*c - a*d)^2*(a + b*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(3*d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^3) - ((b*c - a*d)^2*(2*b*c^2 + 5*a*c*d - 7*b*d^2)*Tan[e + f*x])/(6*d^2*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + ((b*c - a*d)*(5*a*b*c*d*(c^2 - 7*d^2) + a^2*d^2*(11*c^2 + 4*d^2) + b^2*(2*c^4 - 5*c^2*d^2 + 18*d^4))*Tan[e + f*x])/(6*(c - d)^3*d^2*(c + d)^3*f*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^3)/(c + d*Sec[e + f*x])^5, x, 8, -((5*b^3*c*d*(3*c^2 + 4*d^2) + 15*a^2*b*d*(4*c^3 + 3*c*d^2) - a^3*(8*c^4 + 24*c^2*d^2 + 3*d^4) - 3*a*b^2*(4*c^4 + 27*c^2*d^2 + 4*d^4))*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(4*(c - d)^(9/2)*(c + d)^(9/2)*f) - ((b*c - a*d)^2*(a + b*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(4*d*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^4) - ((b*c - a*d)^2*(2*b*c^2 + 7*a*c*d - 9*b*d^2)*Tan[e + f*x])/(12*d^2*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])^3) + ((b*c - a*d)*(a^2*d^2*(26*c^2 + 9*d^2) + a*b*(8*c^3*d - 78*c*d^3) + b^2*(2*c^4 - 3*c^2*d^2 + 36*d^4))*Tan[e + f*x])/(24*(c - d)^3*d^2*(c + d)^3*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - ((5*a^3*c*d^3*(10*c^2 + 11*d^2) - 3*a*b^2*c*d*(2*c^4 - 39*c^2*d^2 - 68*d^4) - 3*a^2*b*d^2*(6*c^4 + 83*c^2*d^2 + 16*d^4) - b^3*(2*c^6 - 5*c^4*d^2 + 84*c^2*d^4 + 24*d^6))*Tan[e + f*x])/(24*d^2*(c^2 - d^2)^4*f*(c + d*Sec[e + f*x]))} *)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^4)/(a + b*Sec[e + f*x]), x, 12, (d^3*(4*b*c - a*d)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*b^2*f) + (d*(2*b*c - a*d)*(2*b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(b^4*f) + (2*(b*c - a*d)^4*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^4*Sqrt[a + b]*f) + (d^4*Tan[e + f*x])/(b*f) + (d^2*(6*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*Tan[e + f*x])/(b^3*f) + (d^3*(4*b*c - a*d)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*b^2*f) + (d^4*Tan[e + f*x]^3)/(3*b*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^3)/(a + b*Sec[e + f*x]), x, 10, (d^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*b*f) + (d*(3*b^2*c^2 - 3*a*b*c*d + a^2*d^2)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(b^3*f) + (2*(b*c - a*d)^3*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^3*Sqrt[a + b]*f) + (d^2*(3*b*c - a*d)*Tan[e + f*x])/(b^2*f) + (d^3*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*b*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^2)/(a + b*Sec[e + f*x]), x, 8, (d*(2*b*c - a*d)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(b^2*f) + (2*(b*c - a*d)^2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^2*Sqrt[a + b]*f) + (d^2*Tan[e + f*x])/(b*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^1)/(a + b*Sec[e + f*x]), x, 5, (d*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(b*f) + (2*(b*c - a*d)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*f)}
+{Sec[e + f*x]/((a + b*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^1), x, 6, (2*b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*(b*c - a*d)*f) - (2*d*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f)}
+{Sec[e + f*x]/((a + b*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^2), x, 7, (2*b^2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*(b*c - a*d)^2*f) - (2*d*(2*b*c^2 - a*c*d - b*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(3/2)*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)^2*f) + (d^2*Sin[e + f*x])/((b*c - a*d)*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x]))}
+(* {Sec[e + f*x]/((a + b*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^3), x, 9, (2*b^3*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*(b*c - a*d)^3*f) + (d*(6*a*b*c^3*d - a^2*d^2*(2*c^2 + d^2) - b^2*(6*c^4 - 5*c^2*d^2 + 2*d^4))*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(5/2)*(c + d)^(5/2)*(b*c - a*d)^3*f) + (d^2*Tan[e + f*x])/(2*(b*c - a*d)*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (d^2*(5*b*c^2 - 3*a*c*d - 2*b*d^2)*Tan[e + f*x])/(2*(b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x]))} *)
+
+
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^5)/(a + b*Sec[e + f*x])^2, x, 16, (d^4*(5*b*c - 2*a*d)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*b^3*f) + (d^2*(10*b^3*c^3 - 20*a*b^2*c^2*d + 15*a^2*b*c*d^2 - 4*a^3*d^3)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(b^5*f) + (2*(b*c - a*d)^5*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*(a - b)^(3/2)*b^3*(a + b)^(3/2)*f) + (2*(b*c - a*d)^4*(b*c + 4*a*d)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*b^5*Sqrt[a + b]*f) - ((b*c - a*d)^5*Sin[e + f*x])/(b^4*(a^2 - b^2)*f*(b + a*Cos[e + f*x])) + (d^5*Tan[e + f*x])/(b^2*f) + (d^3*(10*b^2*c^2 - 10*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*Tan[e + f*x])/(b^4*f) + (d^4*(5*b*c - 2*a*d)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*b^3*f) + (d^5*Tan[e + f*x]^3)/(3*b^2*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^4)/(a + b*Sec[e + f*x])^2, x, 14, (d^4*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*b^2*f) + (d^2*(6*b^2*c^2 - 8*a*b*c*d + 3*a^2*d^2)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(b^4*f) + (2*(b*c - a*d)^4*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*(a - b)^(3/2)*b^2*(a + b)^(3/2)*f) + (2*(b*c - a*d)^3*(b*c + 3*a*d)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*b^4*Sqrt[a + b]*f) - ((b*c - a*d)^4*Sin[e + f*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*f*(b + a*Cos[e + f*x])) + (2*d^3*(2*b*c - a*d)*Tan[e + f*x])/(b^3*f) + (d^4*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*b^2*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^3)/(a + b*Sec[e + f*x])^2, x, 12, (d^2*(3*b*c - 2*a*d)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(b^3*f) + (2*(b*c - a*d)^3*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*(a - b)^(3/2)*b*(a + b)^(3/2)*f) + (2*(b*c - a*d)^2*(b*c + 2*a*d)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*b^3*Sqrt[a + b]*f) - ((b*c - a*d)^3*Sin[e + f*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*f*(b + a*Cos[e + f*x])) + (d^3*Tan[e + f*x])/(b^2*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^2)/(a + b*Sec[e + f*x])^2, x, 10, (d^2*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(b^2*f) + (2*(b*c - a*d)^2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*f) + (2*(b^2*c^2 - a^2*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*b^2*Sqrt[a + b]*f) - ((b*c - a*d)^2*Sin[e + f*x])/(b*(a^2 - b^2)*f*(b + a*Cos[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^1)/(a + b*Sec[e + f*x])^2, x, 5, (2*(a*c - b*d)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*f) - ((b*c - a*d)*Tan[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f*(a + b*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]/((a + b*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^1), x, 7, (2*b*(a*b*c - 2*a^2*d + b^2*d)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*(b*c - a*d)^2*f) + (2*d^2*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(1/2)*(e + f*x)])/Sqrt[c + d]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)^2*f) - (b^2*Sin[e + f*x])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(b + a*Cos[e + f*x]))}
+(* {Sec[e + f*x]/((a + b*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^2), x, 9, (2*b^2*(a*b*c - 3*a^2*d + 2*b^2*d)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*(b*c - a*d)^3*f) + (2*d^2*(3*b*c^2 - a*c*d - 2*b*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(3/2)*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)^3*f) - (d*(a^2*d^2 + b^2*(c^2 - 2*d^2))*Tan[e + f*x])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x])) - (b^2*Tan[e + f*x])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]/((a + b*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^3), x, 10, (2*b^3*(a*b*c - 4*a^2*d + 3*b^2*d)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*(b*c - a*d)^4*f) - (d^2*(2*a*b*c*d*(4*c^2 - d^2) - a^2*d^2*(2*c^2 + d^2) - 3*b^2*(4*c^4 - 5*c^2*d^2 + 2*d^4))*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(5/2)*(c + d)^(5/2)*(b*c - a*d)^4*f) - (d*(a^2*d^2 + b^2*(2*c^2 - 3*d^2))*Tan[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - (b^2*Tan[e + f*x])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (d*(3*a^3*c*d^3 - 3*a*b^2*c*d^3 - a^2*b*d^2*(7*c^2 - 4*d^2) - b^3*(2*c^4 - 11*c^2*d^2 + 6*d^4))*Tan[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x]))} *)
+
+
+(* {(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^6)/(a + b*Sec[e + f*x])^3, x, 10, (d^3*(72*a^2*b*c*d^2 - 20*a^3*d^3 - 3*a*b^2*d*(30*c^2 + d^2) + b^3*(40*c^3 + 6*c*d^2))*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*b^6*f) + ((b*c - a*d)^4*(8*a^3*b*c*d - 14*a*b^3*c*d + 20*a^4*d^2 + a^2*b^2*(2*c^2 - 47*d^2) + b^4*(c^2 + 30*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^6*(a + b)^(5/2)*f) - (d*(216*a^5*b*c*d^4 - 60*a^6*d^5 - a^4*b^2*d^3*(250*c^2 - 101*d^2) + 6*a^3*b^3*c*d^2*(13*c^2 - 63*d^2) - 6*a*b^5*c*(3*c^4 + 37*c^2*d^2 - 18*d^4) + 2*a^2*b^4*d*(9*c^4 + 232*c^2*d^2 - 14*d^4) + b^6*d*(63*c^4 - 88*c^2*d^2 - 4*d^4))*Tan[e + f*x])/(6*b^5*(a^2 - b^2)^2*f) + (d^2*(68*a^4*b*c*d^3 - 30*a^5*d^4 - 2*b^5*c*d*(15*c^2 - 7*d^2) - 12*a^3*b^2*d^2*(3*c^2 - 4*d^2) - 2*a^2*b^3*c*d*(3*c^2 + 59*d^2) + 9*a*b^4*(c^4 + 10*c^2*d^2 - d^4))*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(6*b^4*(a^2 - b^2)^2*f) - (d*(27*a^3*b*c*d^2 - 20*a^4*d^3 + 31*a^2*b^2*d^3 + b^4*d*(27*c^2 - 2*d^2) - 9*a*b^3*c*(c^2 + 6*d^2))*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^2*f) - ((b*c - a*d)^2*(3*a*b*c + 5*a^2*d - 8*b^2*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*f*(a + b*Sec[e + f*x])) - ((b*c - a*d)^2*(c + d*Sec[e + f*x])^4*Tan[e + f*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sec[e + f*x])^2)}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^5)/(a + b*Sec[e + f*x])^3, x, 9, -(d^3*(30*a*b*c*d - 12*a^2*d^2 - b^2*(20*c^2 + d^2))*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*b^5*f) + ((b*c - a*d)^3*(6*a^3*b*c*d - 12*a*b^3*c*d + 12*a^4*d^2 + a^2*b^2*(2*c^2 - 29*d^2) + b^4*(c^2 + 20*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^5*(a + b)^(5/2)*f) + (d*(30*a^4*b*c*d^3 - 12*a^5*d^4 - a^3*b^2*d^2*(16*c^2 - 21*d^2) - b^5*c*d*(17*c^2 - 10*d^2) - a^2*b^3*c*d*(4*c^2 + 55*d^2) + a*b^4*(6*c^4 + 43*c^2*d^2 - 6*d^4))*Tan[e + f*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^2*f) - (d^2*(7*a^3*b*c*d^2 - 6*a^4*d^3 + b^4*d*(8*c^2 - d^2) + a^2*b^2*d*(c^2 + 10*d^2) - a*b^3*c*(3*c^2 + 16*d^2))*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*f) - ((b*c - a*d)^2*(3*a*b*c + 4*a^2*d - 7*b^2*d)*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*f*(a + b*Sec[e + f*x])) - ((b*c - a*d)^2*(c + d*Sec[e + f*x])^3*Tan[e + f*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sec[e + f*x])^2)}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^4)/(a + b*Sec[e + f*x])^3, x, 8, (d^3*(4*b*c - 3*a*d)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(b^4*f) + ((b*c - a*d)^2*(4*a^3*b*c*d - 10*a*b^3*c*d + 6*a^4*d^2 + a^2*b^2*(2*c^2 - 15*d^2) + b^4*(c^2 + 12*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^4*(a + b)^(5/2)*f) - (d^2*(2*a*b*c*d - 3*a^2*d^2 - b^2*(c^2 - 2*d^2))*Tan[e + f*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)*f) - (3*(b*c - a*d)^3*(a*b*c + a^2*d - 2*b^2*d)*Tan[e + f*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*f*(a + b*Sec[e + f*x])) - ((b*c - a*d)^2*(c + d*Sec[e + f*x])^2*Tan[e + f*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sec[e + f*x])^2)}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^3)/(a + b*Sec[e + f*x])^3, x, 7, (d^3*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(b^3*f) + ((b*c - a*d)*(2*a^3*b*c*d - 8*a*b^3*c*d + 2*a^4*d^2 + a^2*b^2*(2*c^2 - 5*d^2) + b^4*(c^2 + 6*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^3*(a + b)^(5/2)*f) - ((b*c - a*d)^2*(3*a*b*c + 2*a^2*d - 5*b^2*d)*Tan[e + f*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*f*(a + b*Sec[e + f*x])) - ((b*c - a*d)^2*(c + d*Sec[e + f*x])*Tan[e + f*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sec[e + f*x])^2)}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^2)/(a + b*Sec[e + f*x])^3, x, 6, -(((6*a*b*c*d - a^2*(2*c^2 + d^2) - b^2*(c^2 + 2*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*f)) - ((b*c - a*d)^2*Tan[e + f*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sec[e + f*x])^2) - ((b*c - a*d)*(3*a*b*c + a^2*d - 4*b^2*d)*Tan[e + f*x])/(2*b*(a^2 - b^2)^2*f*(a + b*Sec[e + f*x]))}
+{(Sec[e + f*x]*(c + d*Sec[e + f*x])^1)/(a + b*Sec[e + f*x])^3, x, 6, ((2*a^2*c + b^2*c - 3*a*b*d)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*f) - ((b*c - a*d)*Tan[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)*f*(a + b*Sec[e + f*x])^2) - ((3*a*b*c - a^2*d - 2*b^2*d)*Tan[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*f*(a + b*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]/((a + b*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])^1), x, 9, -((b*(6*a^3*b*c*d - 6*a^4*d^2 - a^2*b^2*(2*c^2 - 5*d^2) - b^4*(c^2 + 2*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*(b*c - a*d)^3*f)) - (2*d^3*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)^3*f) - (b^2*Tan[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sec[e + f*x])^2) - (b^2*(3*a*b*c - 5*a^2*d + 2*b^2*d)*Tan[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*(a + b*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]/((a + b*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])^2), x, 10, -((b^2*(8*a^3*b*c*d - 2*a*b^3*c*d - 12*a^4*d^2 - a^2*b^2*(2*c^2 - 15*d^2) - b^4*(c^2 + 6*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*(b*c - a*d)^4*f)) - (2*d^3*(4*b*c^2 - a*c*d - 3*b*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(3/2)*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)^4*f) + (d*(2*a^4*d^3 + a^2*b^2*d*(7*c^2 - 11*d^2) - 2*b^4*d*(2*c^2 - 3*d^2) - 3*a*b^3*c*(c^2 - d^2))*Tan[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x])) - (b^2*Tan[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])) - (3*b^2*(a*b*c - 2*a^2*d + b^2*d)*Tan[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*(a + b*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x]))}
+{Sec[e + f*x]/((a + b*Sec[e + f*x])^3*(c + d*Sec[e + f*x])^3), x, 11, -((b^3*(10*a^3*b*c*d - 4*a*b^3*c*d - 20*a^4*d^2 - a^2*b^2*(2*c^2 - 29*d^2) - b^4*(c^2 + 12*d^2))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*(b*c - a*d)^5*f)) - (d^3*(a^2*d^2*(2*c^2 + d^2) - a*b*(10*c^3*d - 4*c*d^3) + b^2*(20*c^4 - 29*c^2*d^2 + 12*d^4))*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[c + d]])/((c - d)^(5/2)*(c + d)^(5/2)*(b*c - a*d)^5*f) + (d*(a^4*d^3 - b^4*d*(5*c^2 - 6*d^2) + 2*a^2*b^2*d*(4*c^2 - 5*d^2) - 3*a*b^3*c*(c^2 - d^2))*Tan[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - (b^2*Tan[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sec[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - (b^2*(3*a*b*c - 7*a^2*d + 4*b^2*d)*Tan[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*(a + b*Sec[e + f*x])*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - (3*d*(a^5*c*d^4 - 2*a^3*b^2*c*d^4 + a*b^4*c*(c^4 - 2*c^2*d^2 + 2*d^4) + b^5*d*(2*c^4 - 7*c^2*d^2 + 4*d^4) - a^2*b^3*d*(3*c^4 - 12*c^2*d^2 + 7*d^4) - a^4*b*(3*c^2*d^3 - 2*d^5))*Tan[e + f*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^4*(c^2 - d^2)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x]))} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x] (a+b Sec[e+f x])^(m/2) (c+d Sec[e+f x])^n*)
+
+
+{(Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c + d*Sec[e + f*x]), x, 3, (2*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(d*f) - (2*(b*c - a*d)*EllipticPi[(2*d)/(c + d), ArcSin[Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]/Sqrt[2]], (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sec[e + f*x])/(a + b)]*Tan[e + f*x])/(d*(c + d)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x] (a+b Sec[e+f x])^(m/2) (c+d Sec[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]], x, 1, (2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[(a + b)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sec[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sec[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sec[e + f*x]))]*(a + b*Sec[e + f*x]))/(d*Sqrt[(a + b)/(c + d)]*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]), x, 1, (2*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sec[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sec[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sec[e + f*x])))]*(c + d*Sec[e + f*x]))/(Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f)}
+
+
+{Sec[e + f*x]/(Sqrt[2 + 3*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-4 + 5*Sec[e + f*x]]), x, 1, (2*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[2 + 3*Sec[e + f*x]]/(Sqrt[5]*Sqrt[-4 + 5*Sec[e + f*x]])], 45]*(4 - 5*Sec[e + f*x])*Sqrt[(1 - Sec[e + f*x])/(4 - 5*Sec[e + f*x])]*Sqrt[(1 + Sec[e + f*x])/(4 - 5*Sec[e + f*x])])/f}
+{Sec[e + f*x]/(Sqrt[2 + 3*Sec[e + f*x]]*Sqrt[4 - 5*Sec[e + f*x]]), x, 1, (2*I*Cot[e + f*x]*EllipticF[I*ArcSinh[(Sqrt[5]*Sqrt[4 - 5*Sec[e + f*x]])/Sqrt[2 + 3*Sec[e + f*x]]], 1/45]*Sqrt[(1 - Sec[e + f*x])/(2 + 3*Sec[e + f*x])]*Sqrt[(1 + Sec[e + f*x])/(2 + 3*Sec[e + f*x])]*(2 + 3*Sec[e + f*x]))/(3*Sqrt[5]*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^2 (a+b Sec[e+f x])^(m/2) (c+d Sec[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^2/(Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]), x, 3, (2*Cot[e + f*x]*EllipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[(a + b)/(c + d)]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sec[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sec[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sec[e + f*x]))]*(a + b*Sec[e + f*x]))/(b*d*Sqrt[(a + b)/(c + d)]*f) - (2*a*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sec[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sec[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sec[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sec[e + f*x])))]*(c + d*Sec[e + f*x]))/(b*Sqrt[c + d]*(b*c - a*d)*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^(3/2) (a+b Sec[e+f x])^m (c+d Sec[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* {(g*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^(5/2)/(a + b*Sec[e + f*x]), x, 0, 0}
+{(g*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Sec[e + f*x]), x, 0, 0} *)
+{(g*Sec[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^(1/2)/(a + b*Sec[e + f*x]), x, 7, (2*d*g*Sqrt[(d + c*Cos[e + f*x])/(c + d)]*EllipticPi[2, (1/2)*(e + f*x), (2*c)/(c + d)]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/(b*f*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) + (2*(b*c - a*d)*g*Sqrt[(d + c*Cos[e + f*x])/(c + d)]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(e + f*x), (2*c)/(c + d)]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/(b*(a + b)*f*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])}
+{(g*Sec[e + f*x])^(3/2)/((c + d*Sec[e + f*x])^(1/2)*(a + b*Sec[e + f*x])), x, 3, (2*g*Sqrt[(d + c*Cos[e + f*x])/(c + d)]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(e + f*x), (2*c)/(c + d)]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/((a + b)*f*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])}
+(* {(g*Sec[e + f*x])^(3/2)/((c + d*Sec[e + f*x])^(3/2)*(a + b*Sec[e + f*x])), x, 0, 0}
+{(g*Sec[e + f*x])^(3/2)/((c + d*Sec[e + f*x])^(5/2)*(a + b*Sec[e + f*x])), x, 0, 0} *)
+
+
+{(Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])/(a + b*Cos[e + f*x]), x, 8, (2*d*Sqrt[(d + c*Cos[e + f*x])/(c + d)]*EllipticPi[2, (1/2)*(e + f*x), (2*c)/(c + d)]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/(a*f*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) + (2*(a*c - b*d)*Sqrt[(d + c*Cos[e + f*x])/(c + d)]*EllipticPi[(2*b)/(a + b), (1/2)*(e + f*x), (2*c)/(c + d)]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/(a*(a + b)*f*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+b Sec[e+f x])^(m/2) / (c+c Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c + c*Sec[e + f*x]), x, 1, (EllipticE[ArcSin[Tan[e + f*x]/(1 + Sec[e + f*x])], (a - b)/(a + b)]*Sqrt[1/(1 + Sec[e + f*x])]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[(a + b*Sec[e + f*x])/((a + b)*(1 + Sec[e + f*x]))])}
+
+
+{(g*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/(c + c*Sec[e + f*x]), x, 11, (g*(b + a*Cos[e + f*x])*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[(b + a*Cos[e + f*x])/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) + ((a - b)*g*Sqrt[(b + a*Cos[e + f*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) + (2*b*g*Sqrt[(b + a*Cos[e + f*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(e + f*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) - (g*(b + a*Cos[e + f*x])*Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(f*(c + c*Cos[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^1/(Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*(c + c*Sec[e + f*x])), x, 3, -((2*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/((a - b)*c*f)) + (EllipticE[ArcSin[Tan[e + f*x]/(1 + Sec[e + f*x])], (a - b)/(a + b)]*Sqrt[1/(1 + Sec[e + f*x])]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/((a - b)*c*f*Sqrt[(a + b*Sec[e + f*x])/((a + b)*(1 + Sec[e + f*x]))])}
+{Sec[e + f*x]^2/(Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*(c + c*Sec[e + f*x])), x, 3, (2*a*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/((a - b)*b*c*f) - (EllipticE[ArcSin[Tan[e + f*x]/(1 + Sec[e + f*x])], (a - b)/(a + b)]*Sqrt[1/(1 + Sec[e + f*x])]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/((a - b)*c*f*Sqrt[(a + b*Sec[e + f*x])/((a + b)*(1 + Sec[e + f*x]))])}
+
+
+{(g*Sec[e + f*x])^(3/2)/(Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*(c + c*Sec[e + f*x])), x, 7, (g*(b + a*Cos[e + f*x])*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/((a - b)*c*f*Sqrt[(b + a*Cos[e + f*x])/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) + (g*Sqrt[(b + a*Cos[e + f*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) - (g*(b + a*Cos[e + f*x])*Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/((a - b)*f*(c + c*Cos[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])}
+{(g*Sec[e + f*x])^(5/2)/(Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*(c + c*Sec[e + f*x])), x, 11, -((g^2*(b + a*Cos[e + f*x])*EllipticE[(1/2)*(e + f*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/((a - b)*c*f*Sqrt[(b + a*Cos[e + f*x])/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])) - (g^2*Sqrt[(b + a*Cos[e + f*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(e + f*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) + (2*g^2*Sqrt[(b + a*Cos[e + f*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(e + f*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) + (g^2*(b + a*Cos[e + f*x])*Sqrt[g*Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/((a - b)*f*(c + c*Cos[e + f*x])*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (g Sec[e+f x])^p (a+b Sec[e+f x])^(m/2) / (c+d Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c + d*Sec[e + f*x]), x, 3, (2*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(d*f) - (2*(b*c - a*d)*EllipticPi[(2*d)/(c + d), ArcSin[Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]/Sqrt[2]], (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sec[e + f*x])/(a + b)]*Tan[e + f*x])/(d*(c + d)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])}
+
+
+{(g*Sec[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/(c + d*Sec[e + f*x]), x, 7, (2*b*g*Sqrt[(b + a*Cos[e + f*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(e + f*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/(d*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) - (2*(b*c - a*d)*g*Sqrt[(b + a*Cos[e + f*x])/(a + b)]*EllipticPi[(2*c)/(c + d), (1/2)*(e + f*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/(d*(c + d)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^1/(Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])), x, 1, (2*EllipticPi[(2*d)/(c + d), ArcSin[Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]/Sqrt[2]], (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sec[e + f*x])/(a + b)]*Tan[e + f*x])/((c + d)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^2/(Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])), x, 3, (2*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(b*d*f) - (2*c*EllipticPi[(2*d)/(c + d), ArcSin[Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]/Sqrt[2]], (2*b)/(a + b)]*Sqrt[(a + b*Sec[e + f*x])/(a + b)]*Tan[e + f*x])/(d*(c + d)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2])}
+
+
+{(g*Sec[e + f*x])^(3/2)/(Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])), x, 3, (2*g*Sqrt[(b + a*Cos[e + f*x])/(a + b)]*EllipticPi[(2*c)/(c + d), (1/2)*(e + f*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/((c + d)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])}
+{(g*Sec[e + f*x])^(5/2)/(Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])), x, 7, (2*g^2*Sqrt[(b + a*Cos[e + f*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(e + f*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/(d*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]) - (2*c*g^2*Sqrt[(b + a*Cos[e + f*x])/(a + b)]*EllipticPi[(2*c)/(c + d), (1/2)*(e + f*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[g*Sec[e + f*x]])/(d*(c + d)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (c Sec[e+f x])^p (d Tan[e+f x])^m (a+b Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form  (c Sec[e+f x])^p (d Tan[e+f x])^m (a-a Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x] Tan[e+f x]^m (a-a Sec[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]^4/(c - c*Sec[e + f*x])^7, x, 4, Cot[(1/2)*(e + f*x)]^5/(20*c^7*f) - Cot[(1/2)*(e + f*x)]^7/(14*c^7*f) + Cot[(1/2)*(e + f*x)]^9/(36*c^7*f)}
+{Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]^4/(c - c*Sec[e + f*x])^8, x, 4, Cot[(1/2)*(e + f*x)]^5/(40*c^8*f) - (3*Cot[(1/2)*(e + f*x)]^7)/(56*c^8*f) + Cot[(1/2)*(e + f*x)]^9/(24*c^8*f) - Cot[(1/2)*(e + f*x)]^11/(88*c^8*f)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.3.1 (a+b sec)^m (d sec)^n (A+B sec).m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.3.1 (a+b sec)^m (d sec)^n (A+B sec).m
new file mode 100644
index 00000000..6c3c14c0
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.3.1 (a+b sec)^m (d sec)^n (A+B sec).m	
@@ -0,0 +1,1058 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sec[e+f x])^m (d Sec[e+f x])^n (A+B Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[c+d x])^m (b Sec[c+d x])^n (A+B Sec[c+d x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^m (A+B Sec[c+d x]) (b Sec[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^0*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 8, -((6*b^3*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (2*A*b^2*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*d) + (6*b^2*B*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*A*b*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*B*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, -((2*A*b^2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (2*b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*A*b*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*B*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(b*Sec[c + d*x])^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, -((2*b*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/d + (2*B*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])/(b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*A*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*b^2*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (6*A*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*b^3*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*b*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^(m/2) (A+B Sec[c+d x]) (b Sec[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^m (A+B Sec[c+d x]) (b Sec[c+d x])^(n/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (3*A*Hypergeometric2F1[-(5/6), 1/2, 1/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(4/3), 1/2, -(1/3), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(8/3)*Sin[c + d*x])/(8*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (3*A*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(5/6), 1/2, 1/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 5, -((3*A*b*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, -((3*A*b^2*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*b*B*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, -((3*A*b^3*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Sec[c + d*x])^(7/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*b^2*B*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (3*A*Hypergeometric2F1[-(7/6), 1/2, -(1/6), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(7/3)*Sin[c + d*x])/(7*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(5/3), 1/2, -(2/3), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(10/3)*Sin[c + d*x])/(10*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (3*A*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(7/6), 1/2, -(1/6), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(7/3)*Sin[c + d*x])/(7*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 5, (3*A*b*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, -((3*A*b^2*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*b*B*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, -((3*A*b^3*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*b^2*B*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x]))/(b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 6, (3*A*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Sec[c + d*x]*(A + B*Sec[c + d*x]))/(b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 6, -((3*A*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 5, -((3*A*b*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Sec[c + d*x]*(A + B*Sec[c + d*x]))/(b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 6, -((3*A*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x]))/(b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 6, (3*A*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x]))/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 6, -((3*A*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Sec[c + d*x]*(A + B*Sec[c + d*x]))/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 6, -((3*A*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 5, -((3*A*b*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Sec[c + d*x])^(7/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Sec[c + d*x]*(A + B*Sec[c + d*x]))/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 6, -((3*A*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x]))/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 6, -((3*A*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^m (A+B Sec[c+d x]) (b Sec[c+d x])^n with m symbolic*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (3*A*b*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-1 - 3*m), (1/6)*(5 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*b*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-4 - 3*m), (1/6)*(2 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, -((3*A*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(1 - 3*m), (1/6)*(7 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-2 - 3*m), (1/6)*(4 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, -((3*A*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(2 - 3*m), (1/6)*(8 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-1 - 3*m), (1/6)*(5 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Sec[c + d*x]^m*(A + B*Sec[c + d*x]))/(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 6, -((3*A*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(4 - 3*m), (1/6)*(10 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(4 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(1 - 3*m), (1/6)*(7 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Sec[c + d*x]^m*(A + B*Sec[c + d*x]))/(b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 6, -((3*A*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(5 - 3*m), (1/6)*(11 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(2 - 3*m), (1/6)*(8 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(d*(2 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(Sec[c + d*x]^m*(A + B*Sec[c + d*x]))/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 6, -((3*A*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(7 - 3*m), (1/6)*(13 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-2 + m)*Sin[c + d*x])/(b*d*(7 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(4 - 3*m), (1/6)*(10 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(b*d*(4 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^m (A+B Sec[c+d x]) (b Sec[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, -((A*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - m - n), (1/2)*(3 - m - n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - m - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-m - n), (1/2)*(2 - m - n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(m + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (A*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 - n), (1 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1 + n)*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-2 - n), -(n/2), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(2 + n)*Sin[c + d*x])/(b^2*d*(2 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (A*Hypergeometric2F1[1/2, -(n/2), (2 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*n*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 - n), (1 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1 + n)*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{(b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 5, -((A*b*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-1 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (B*Hypergeometric2F1[1/2, -(n/2), (2 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*n*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, -((A*b^2*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - n)/2, (4 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-2 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (b*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-1 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, -((A*b^3*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-3 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(3 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (b^2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - n)/2, (4 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-2 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (2*A*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-1 - 2*n), (1/4)*(3 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-3 - 2*n), (1/4)*(1 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(3/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, -((2*A*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 - 2*n), (1/4)*(5 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-1 - 2*n), (1/4)*(3 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 6, -((2*A*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(3 - 2*n), (1/4)*(7 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 - 2*n), (1/4)*(5 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{((b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 6, -((2*A*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(5 - 2*n), (1/4)*(9 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 2*n)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(3 - 2*n), (1/4)*(7 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x])*)
+
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+a Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (3*a*(A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(5*A + 4*B)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (3*a*(A + B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*(A + B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*B*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a*(5*A + 4*B)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, (a*(4*A + 3*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(A + B)*Tan[c + d*x])/d + (a*(4*A + 3*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*B*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*(A + B)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, (a*(A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(3*A + 2*B)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*(A + B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*B*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, (a*(2*A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(A + B)*Tan[c + d*x])/d + (a*B*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, a*A*x + (a*(A + B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*B*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, a*(A + B)*x + (a*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*A*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, (a*(A + 2*B)*x)/2 + (a*(A + B)*Sin[c + d*x])/d + (a*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, (a*(A + B)*x)/2 + (a*(2*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*(A + B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, (1/8)*a*(3*A + 4*B)*x + (a*(A + B)*Sin[c + d*x])/d + (a*(3*A + 4*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a*(A + B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (3/8)*a*(A + B)*x + (a*(4*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (3*a*(A + B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*(A + B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a*(4*A + 5*B)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (a^2*(7*A + 6*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*(10*A + 9*B)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a^2*(7*A + 6*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(5*A + 6*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (B*Sec[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a^2*(10*A + 9*B)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (a^2*(8*A + 7*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*(8*A + 7*B)*Tan[c + d*x])/(6*d) + (a^2*(8*A + 7*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + ((4*A - B)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*d) + (B*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (a^2*(3*A + 2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (2*a^2*(3*A + 2*B)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(3*A + 2*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (B*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, a^2*A*x + (a^2*(4*A + 3*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a^2*(2*A + 3*B)*Tan[c + d*x])/(2*d) + (B*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 4, a^2*(2*A + B)*x + (a^2*(A + 2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(A - B)*Sin[c + d*x])/d + (B*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 4, (1/2)*a^2*(3*A + 4*B)*x + (a^2*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(3*A + 2*B)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (1/2)*a^2*(2*A + 3*B)*x + (2*a^2*(2*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(2*A + 3*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (1/8)*a^2*(7*A + 8*B)*x + (a^2*(4*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(7*A + 8*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(5*A + 4*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(12*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (1/8)*a^2*(6*A + 7*B)*x + (a^2*(9*A + 10*B)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a^2*(6*A + 7*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(6*A + 5*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a^2*(9*A + 10*B)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (a^3*(26*A + 23*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (a^3*(19*A + 17*B)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a^3*(26*A + 23*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (a^3*(22*A + 21*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(40*d) + (a*B*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(6*d) + ((3*A + 4*B)*Sec[c + d*x]^3*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a^3*(19*A + 17*B)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 11, (a^3*(15*A + 13*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*(15*A + 13*B)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (3*a^3*(15*A + 13*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(40*d) + ((5*A - B)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (B*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(5*a*d) + (a^3*(15*A + 13*B)*Tan[c + d*x]^3)/(60*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 10, (5*a^3*(4*A + 3*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*(4*A + 3*B)*Tan[c + d*x])/d + (3*a^3*(4*A + 3*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (B*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a^3*(4*A + 3*B)*Tan[c + d*x]^3)/(12*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 6, a^3*A*x + (a^3*(7*A + 5*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (5*a^3*(A + B)*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*B*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((3*A + 5*B)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, a^3*(3*A + B)*x + (a^3*(6*A + 7*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (5*a^3*B*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*B*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) + ((A + 2*B)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, (1/2)*a^3*(7*A + 6*B)*x + (a^3*(A + 3*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^3*A*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((A - 2*B)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, (1/2)*a^3*(5*A + 7*B)*x + (a^3*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^3*(A + B)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((5*A + 3*B)*Cos[c + d*x]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (5/8)*a^3*(3*A + 4*B)*x + (a^3*(3*A + 4*B)*Sin[c + d*x])/d + (3*a^3*(3*A + 4*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a^3*(3*A + 4*B)*Sin[c + d*x]^3)/(12*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (1/8)*a^3*(13*A + 15*B)*x + (a^3*(38*A + 45*B)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (a^3*(13*A + 15*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^3*(43*A + 45*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(60*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((7*A + 5*B)*Cos[c + d*x]^3*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(20*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (1/16)*a^3*(23*A + 26*B)*x + (a^3*(17*A + 19*B)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a^3*(23*A + 26*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^3*(21*A + 22*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(40*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(6*d) + ((4*A + 3*B)*Cos[c + d*x]^4*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d) - (a^3*(17*A + 19*B)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 14, (7*a^4*(8*A + 7*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (4*a^4*(8*A + 7*B)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (27*a^4*(8*A + 7*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(80*d) + (a^4*(8*A + 7*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(40*d) + ((6*A - B)*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(30*d) + (B*(a + a*Sec[c + d*x])^5*Tan[c + d*x])/(6*a*d) + (2*a^4*(8*A + 7*B)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 13, (7*a^4*(5*A + 4*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (8*a^4*(5*A + 4*B)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (27*a^4*(5*A + 4*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(40*d) + (a^4*(5*A + 4*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (B*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + (4*a^4*(5*A + 4*B)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 7, a^4*A*x + (a^4*(48*A + 35*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (5*a^4*(8*A + 7*B)*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*B*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + ((4*A + 7*B)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*d) + ((32*A + 35*B)*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(24*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 6, a^4*(4*A + B)*x + (a^4*(13*A + 12*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (5*a^4*(A + 2*B)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*B*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((A + 2*B)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) + ((9*A + 11*B)*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 6, (1/2)*a^4*(13*A + 8*B)*x + (a^4*(8*A + 13*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (5*a^4*(A - B)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((A - B)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) + ((A + 6*B)*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 6, (1/2)*a^4*(12*A + 13*B)*x + (a^4*(A + 4*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^4*(2*A + B)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((2*A + B)*Cos[c + d*x]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((8*A - 3*B)*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 6, (1/8)*a^4*(35*A + 48*B)*x + (a^4*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^4*(7*A + 8*B)*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + ((7*A + 4*B)*Cos[c + d*x]^2*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) + ((35*A + 32*B)*Cos[c + d*x]*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(24*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 11, (7/8)*a^4*(4*A + 5*B)*x + (8*a^4*(4*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (27*a^4*(4*A + 5*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(40*d) + (a^4*(4*A + 5*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d) - (4*a^4*(4*A + 5*B)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (7/16)*a^4*(7*A + 8*B)*x + (a^4*(72*A + 83*B)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (7*a^4*(7*A + 8*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^4*(159*A + 176*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(120*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(6*d) + ((3*A + 2*B)*Cos[c + d*x]^4*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(10*d) + ((73*A + 72*B)*Cos[c + d*x]^3*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(120*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 9, (1/16)*a^4*(44*A + 49*B)*x + (a^4*(227*A + 252*B)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (a^4*(44*A + 49*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^4*(276*A + 301*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(280*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d) + ((10*A + 7*B)*Cos[c + d*x]^5*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(42*d) + (7*(A + B)*Cos[c + d*x]^4*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d) - (a^4*(227*A + 252*B)*Sin[c + d*x]^3)/(105*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, (3*(A - B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d) - ((3*A - 4*B)*Tan[c + d*x])/(a*d) + (3*(A - B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])) - ((3*A - 4*B)*Tan[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, -(((2*A - 3*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d)) + (2*(A - B)*Tan[c + d*x])/(a*d) - ((2*A - 3*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, ((A - B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d) + (B*Tan[c + d*x])/(a*d) - ((A - B)*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d) + ((A - B)*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 2, (A*x)/a - ((A - B)*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, -(((A - B)*x)/a) + ((2*A - B)*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, ((3*A - 2*B)*x)/(2*a) - (2*(A - B)*Sin[c + d*x])/(a*d) + ((3*A - 2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - ((A - B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, -((3*(A - B)*x)/(2*a)) + ((4*A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(a*d) - (3*(A - B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - ((A - B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])) - ((4*A - 3*B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, ((7*A - 10*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^2*d) - (4*(2*A - 3*B)*Tan[c + d*x])/(a^2*d) + ((7*A - 10*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) + ((7*A - 10*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (4*(2*A - 3*B)*Tan[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -(((4*A - 7*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^2*d)) + (2*(5*A - 8*B)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((4*A - 7*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) + ((5*A - 8*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, ((A - 2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - ((A - 4*B)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((A - 2*B)*Tan[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 4, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + ((2*A - 5*B)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B)*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 2, ((A - B)*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((A + 2*B)*Tan[c + d*x])/(3*d*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, (A*x)/a^2 - ((4*A - B)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B)*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -(((2*A - B)*x)/a^2) + (2*(5*A - 2*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((2*A - B)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, ((7*A - 4*B)*x)/(2*a^2) - (2*(8*A - 5*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + ((7*A - 4*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) - ((8*A - 5*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -(((10*A - 7*B)*x)/(2*a^2)) + (4*(3*A - 2*B)*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - ((10*A - 7*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) - ((10*A - 7*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (4*(3*A - 2*B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -(((6*A - 13*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d)) + (8*(9*A - 19*B)*Tan[c + d*x])/(15*a^3*d) - ((6*A - 13*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((6*A - 11*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + (4*(9*A - 19*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 7, ((A - 3*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - ((7*A - 27*B)*Tan[c + d*x])/(15*a^3*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((4*A - 9*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((A - 3*B)*Tan[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((2*A - 7*B)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((4*A - 29*B)*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, -(((A - B)*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)) + ((3*A - 8*B)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((3*A + 7*B)*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, ((A - B)*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((2*A + 3*B)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((2*A + 3*B)*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 4, (A*x)/a^3 - ((A - B)*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((7*A - 2*B)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (2*(11*A - B)*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 6, -(((3*A - B)*x)/a^3) + (2*(36*A - 11*B)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((9*A - 4*B)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((3*A - B)*Sin[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 7, ((13*A - 6*B)*x)/(2*a^3) - (8*(19*A - 9*B)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) + ((13*A - 6*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A - B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((11*A - 6*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (4*(19*A - 9*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -(((23*A - 13*B)*x)/(2*a^3)) + (4*(34*A - 19*B)*Sin[c + d*x])/(5*a^3*d) - ((23*A - 13*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A - B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((13*A - 8*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((23*A - 13*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])) - (4*(34*A - 19*B)*Sin[c + d*x]^3)/(15*a^3*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^6*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 9, -(((8*A - 21*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d)) + (8*(83*A - 216*B)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d) - ((8*A - 21*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^4*d) + ((52*A - 129*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) + (4*(83*A - 216*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) + ((A - 2*B)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 8, ((A - 4*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - ((55*A - 244*B)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d) + ((25*A - 88*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - ((A - 4*B)*Tan[c + d*x])/(a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) + ((5*A - 12*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 6, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - ((6*A - 55*B)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) + ((12*A - 215*B)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) + ((3*A - 10*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 4, -(((A - B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4)) + ((4*A + 3*B)*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (8*(4*A + 3*B)*Tan[c + d*x])/(105*d*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2) + ((4*A + 3*B)*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 4, -(((A - B)*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4)) + ((4*A - 11*B)*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((8*A + 13*B)*Tan[c + d*x])/(105*d*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2) + ((8*A + 13*B)*Tan[c + d*x])/(105*d*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 4, ((A - B)*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) + ((3*A + 4*B)*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + (2*(3*A + 4*B)*Tan[c + d*x])/(105*d*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2) + (2*(3*A + 4*B)*Tan[c + d*x])/(105*d*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 5, (A*x)/a^4 - ((55*A - 6*B)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - (2*(80*A - 3*B)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B)*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - ((10*A - 3*B)*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 7, -(((4*A - B)*x)/a^4) + (8*(83*A - 20*B)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d) - ((88*A - 25*B)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - ((4*A - B)*Sin[c + d*x])/(a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - ((12*A - 5*B)*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 8, ((21*A - 8*B)*x)/(2*a^4) - (8*(216*A - 83*B)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d) + ((21*A - 8*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^4*d) - ((129*A - 52*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - (4*(216*A - 83*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - ((2*A - B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 9, -(((44*A - 21*B)*x)/(2*a^4)) + (8*(227*A - 108*B)*Sin[c + d*x])/(35*a^4*d) - ((44*A - 21*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^4*d) - ((178*A - 87*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - ((44*A - 21*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - ((16*A - 9*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (8*(227*A - 108*B)*Sin[c + d*x]^3)/(105*a^4*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (A+B Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 5, (4*a*(9*A + 8*B)*Tan[c + d*x])/(45*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(9*A + 8*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*B*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(9*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (8*(9*A + 8*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*d) + (4*(9*A + 8*B)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(105*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 4, (2*a*(7*A + 6*B)*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*B*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (4*(7*A + 6*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*d) + (2*(7*A + 6*B)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*a*(5*A + 7*B)*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(5*A - 2*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*B*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 2, (2*a*(3*A + B)*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 4, (2*Sqrt[a]*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a*B*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[a]*(A + 2*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (a*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 4, (Sqrt[a]*(3*A + 4*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a*(3*A + 4*B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 5, (Sqrt[a]*(5*A + 6*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a*(5*A + 6*B)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(5*A + 6*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 6, (5*Sqrt[a]*(7*A + 8*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (5*a*(7*A + 8*B)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (5*a*(7*A + 8*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(7*A + 8*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*A*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*a^2*(39*A + 34*B)*Tan[c + d*x])/(45*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(9*A + 10*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (4*a*(39*A + 34*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*d) + (2*a*B*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(9*d) + (2*(39*A + 34*B)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(105*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (8*a^2*(21*A + 19*B)*Tan[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(21*A + 19*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*d) + (2*(7*A - 2*B)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*d) + (2*B*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, (8*a^2*(5*A + 3*B)*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(5*A + 3*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*B*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*a^(3/2)*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a^2*(3*A + 4*B)*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*B*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (a^(3/2)*(3*A + 2*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (a^2*(A - 2*B)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*B*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (a^(3/2)*(7*A + 12*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a^2*(5*A + 4*B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*A*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (a^(3/2)*(11*A + 14*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a^2*(11*A + 14*B)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(7*A + 6*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*A*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (a^(3/2)*(75*A + 88*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (a^2*(75*A + 88*B)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(75*A + 88*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(9*A + 8*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*A*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*a^3*(803*A + 710*B)*Tan[c + d*x])/(495*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(209*A + 194*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (4*a^2*(803*A + 710*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3465*d) + (2*a^2*(11*A + 14*B)*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(99*d) + (2*a*(803*A + 710*B)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(1155*d) + (2*a*B*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(11*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (64*a^3*(15*A + 13*B)*Tan[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*(15*A + 13*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*d) + (2*a*(15*A + 13*B)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(105*d) + (2*(9*A - 2*B)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(63*d) + (2*B*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(9*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (64*a^3*(7*A + 5*B)*Tan[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*(7*A + 5*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*d) + (2*a*(7*A + 5*B)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*d) + (2*B*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*a^(5/2)*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a^3*(35*A + 32*B)*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(5*A + 8*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*a*B*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (a^(5/2)*(5*A + 2*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d - (a^3*(3*A + 14*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(A + 2*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a*B*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (a^(5/2)*(19*A + 20*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a^3*(9*A - 4*B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a^2*(A - 4*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (a^(5/2)*(25*A + 38*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a^3*(49*A + 54*B)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(3*A + 2*B)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, (a^(5/2)*(163*A + 200*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (a^3*(163*A + 200*B)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(95*A + 104*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(11*A + 8*B)*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (a^(5/2)*(283*A + 326*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(128*d) + (a^3*(283*A + 326*B)*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(283*A + 326*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(157*A + 170*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(240*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(13*A + 10*B)*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(40*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 6, -((Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (4*(49*A - 37*B)*Tan[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(7*A - B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*B*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*(7*A - 31*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 5, (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (4*(5*A - 7*B)*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*B*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(5*A - B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 4, -((Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*(3*A - 2*B)*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*B*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 6, -(((A - 2*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 7, ((7*A - 4*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - ((A - 4*B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 8, -(((9*A - 14*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + ((7*A - 2*B)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((A - 6*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, ((11*A - 15*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((65*A - 93*B)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((5*A - 9*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((35*A - 39*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(30*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, -(((7*A - 11*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((9*A - 13*B)*Tan[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((3*A - 7*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(6*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, ((3*A - 7*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B)*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*B*Tan[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, ((A + 3*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A - B)*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - ((5*A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B)*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, -(((3*A - 2*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + ((9*A - 5*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((3*A - B)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((19*A - 12*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*a^(3/2)*d) - ((13*A - 9*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((7*A - 6*B)*Sin[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((2*A - B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 9, -(((47*A - 38*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*a^(3/2)*d)) + ((17*A - 13*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (7*(3*A - 2*B)*Sin[c + d*x])/(8*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((13*A - 12*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((5*A - 3*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, -(((75*A - 163*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((9*A - 17*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((93*A - 197*B)*Tan[c + d*x])/(24*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((39*A - 95*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(48*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, ((19*A - 75*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((5*A - 13*B)*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((A - 9*B)*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, ((5*A + 19*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B)*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((5*A - 13*B)*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, ((3*A + 5*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A - B)*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((3*A + 5*B)*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - ((43*A - 3*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B)*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((11*A - 3*B)*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, -(((5*A - 2*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + ((115*A - 43*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((15*A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((35*A - 11*B)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 9, ((39*A - 20*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*a^(5/2)*d) - ((219*A - 115*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((19*A - 11*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (7*(9*A - 5*B)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((31*A - 15*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a - a Sec[e+f x])^(m/2) (A+A Sec[e+f x])*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^0*(A + A*Sec[c + d*x])/(a - a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (2*Sqrt[2]*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + A*Sec[c + d*x])/(a - a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 6, (3*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (2*Sqrt[2]*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + A*Sec[c + d*x])/(a - a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 7, (11*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d) - (2*Sqrt[2]*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (5*A*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + A*Sec[c + d*x])/(a - a*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 8, (23*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]])/(8*Sqrt[a]*d) - (2*Sqrt[2]*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (9*A*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]) + (7*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^0*(A + A*Sec[c + d*x])/(a - a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - (3*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (A*Tan[c + d*x])/(d*(a - a*Sec[c + d*x])^(3/2)), (2*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - (3*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + (A*Csc[(1/2)*(c + d*x)]^2*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + A*Sec[c + d*x])/(a - a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, (5*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - (7*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (A*Sin[c + d*x])/(d*(a - a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*A*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + A*Sec[c + d*x])/(a - a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, (31*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]])/(4*a^(3/2)*d) - (11*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(d*(a - a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (13*A*Sin[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]) + (3*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + A*Sec[c + d*x])/(a - a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 9, (85*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]])/(8*a^(3/2)*d) - (15*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - (A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(d*(a - a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (35*A*Sin[c + d*x])/(8*a*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]) + (25*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*a*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]) + (4*A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^0*(A + A*Sec[c + d*x])/(a - a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - (23*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])])/(8*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (A*Tan[c + d*x])/(2*d*(a - a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (7*A*Tan[c + d*x])/(8*a*d*(a - a*Sec[c + d*x])^(3/2)), (2*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - (23*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])])/(8*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + (7*A*Csc[(1/2)*(c + d*x)]^2*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]) - (A*Cos[c + d*x]*Csc[(1/2)*(c + d*x)]^4*Sin[c + d*x])/(8*a^2*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + A*Sec[c + d*x])/(a - a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, (7*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - (79*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])])/(8*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (A*Sin[c + d*x])/(2*d*(a - a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (11*A*Sin[c + d*x])/(8*a*d*(a - a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (23*A*Sin[c + d*x])/(8*a^2*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + A*Sec[c + d*x])/(a - a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 9, (59*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]])/(4*a^(5/2)*d) - (167*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])])/(8*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a - a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (15*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*d*(a - a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (49*A*Sin[c + d*x])/(8*a^2*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]) + (23*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^2*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + A*Sec[c + d*x])/(a - a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 10, (203*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]])/(8*a^(5/2)*d) - (287*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])])/(8*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - (A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*d*(a - a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (19*A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(8*a*d*(a - a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (21*A*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]) + (119*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*a^2*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]]) + (77*A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(24*a^2*d*Sqrt[a - a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 9, (-6*a*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(7*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (6*a*(A + B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*(7*A + 5*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(A + B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*B*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 8, (-2*a*(5*A + 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*(5*A + 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*(A + B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*B*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, (-2*a*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*(3*A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*(A + B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a*B*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 6, (2*a*(A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{((a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 6, (2*a*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*(A + 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 7, (2*a*(3*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(A + B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 8, (6*a*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(5*A + 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(A + B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(5*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 9, (-4*a^2*(4*A + 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*(7*A + 6*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^2*(4*A + 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (4*a^2*(7*A + 6*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a^2*(7*A + 9*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*B*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 8, (-4*a^2*(5*A + 4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*(2*A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (4*a^2*(5*A + 4*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^2*(5*A + 7*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*B*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 7, (-4*a^2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (4*a^2*(3*A + 2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*(3*A + 5*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, (4*a^2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (4*a^2*(2*A + 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*a^2*(A - 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 7, (4*a^2*(4*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*(A + 2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*(7*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 8, (4*a^2*(3*A + 4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*(6*A + 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^2*(9*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(6*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 9, (4*a^2*(8*A + 9*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^2*(5*A + 6*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^2*(11*A + 9*B)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^2*(8*A + 9*B)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(5*A + 6*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 10, (-4*a^3*(21*A + 17*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^3*(13*A + 11*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^3*(21*A + 17*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (4*a^3*(13*A + 11*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (4*a^3*(24*A + 23*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*a*B*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*(9*A + 13*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d)}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 9, (-4*a^3*(9*A + 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(21*A + 13*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^3*(9*A + 7*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (4*a^3*(42*A + 41*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*a*B*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*(7*A + 11*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 8, (-4*a^3*(5*A + 9*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(5*A + 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (4*a^3*(20*A + 21*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(5*A + 9*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (4*a^3*(A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (20*a^3*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (4*a^3*(A + 4*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 8, (4*a^3*(9*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(3*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (4*a^3*(6*A - 5*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*A*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(9*A + 5*B)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 8, (4*a^3*(7*A + 9*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(13*A + 21*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^3*(41*A + 42*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(11*A + 7*B)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 9, (4*a^3*(17*A + 21*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^3*(11*A + 13*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^3*(23*A + 24*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(11*A + 13*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*(13*A + 9*B)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(11/2), x, 10, (4*a^3*(15*A + 17*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^3*(105*A + 121*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (20*a^3*(21*A + 22*B)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^3*(15*A + 17*B)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(105*A + 121*B)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2)) + (2*(15*A + 11*B)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 9, (3*(5*A - 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a*d) + (5*(A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) - (3*(5*A - 7*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d) + (5*(A - B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - ((5*A - 7*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 8, (-3*(A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - ((3*A - 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + (3*(A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((3*A - 5*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, ((A - 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - ((A - 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, -(((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d)) + ((A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + ((A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 6, ((3*A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - ((A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 7, (-3*(A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + ((5*A - 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + ((5*A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 8, (3*(7*A - 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a*d) - (5*(A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + ((7*A - 5*B)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (5*(A - B)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 9, (-21*(A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a*d) + (5*(9*A - 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*a*d) + ((9*A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(7*a*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) - (7*(A - B)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (5*(9*A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(21*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(d*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 9, -(((4*A - 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) - (5*(A - 2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + ((4*A - 7*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - (5*(A - 2*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + ((4*A - 7*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, ((A - 4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + ((2*A - 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - ((A - 4*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + ((2*A - 5*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + ((A + 2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - (B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -((A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) + ((2*A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + ((2*A + B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) + ((A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 7, ((4*A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) - ((5*A - 2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - ((5*A - 2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 8, -(((7*A - 4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) + (5*(2*A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + (5*(2*A - B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((7*A - 4*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 9, (7*(8*A - 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a^2*d) - (5*(3*A - 2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + (7*(8*A - 5*B)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (5*(3*A - 2*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((3*A - 2*B)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(9/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 10, (-7*(7*A - 17*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) - ((13*A - 33*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) + (7*(7*A - 17*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d) - ((13*A - 33*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((A - 2*B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + (7*(7*A - 17*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(30*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 9, ((9*A - 49*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((3*A - 13*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((9*A - 49*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((3*A - 8*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((3*A - 13*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, ((A + 9*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((A + 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((A - 6*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((A + 9*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((A + 4*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((A + B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -((9*A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((3*A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) + ((A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((3*A + 2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((3*A + B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 8, ((49*A - 9*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) - ((13*A - 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((8*A - 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((13*A - 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 9, (-7*(17*A - 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((33*A - 13*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) + ((33*A - 13*B)*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((2*A - B)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (7*(17*A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(30*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 10, (7*(33*A - 17*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) - ((21*A - 11*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*a^3*d) + (7*(33*A - 17*B)*Sin[c + d*x])/(30*a^3*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - ((21*A - 11*B)*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((12*A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (3*(21*A - 11*B)*Sin[c + d*x])/(10*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (A+B Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 5, (Sqrt[a]*(6*A + 5*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a*(6*A + 5*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(6*A + 5*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*B*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 4, (Sqrt[a]*(4*A + 3*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a*(4*A + 3*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*B*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 3, (Sqrt[a]*(2*A + B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (a*B*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 3, (2*Sqrt[a]*B*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 2, (2*a*(A + 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 3, (2*a*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(4*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (4*a*(4*A + 5*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 4, (2*a*A*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(6*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a*(6*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a*(6*A + 7*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (a^(3/2)*(88*A + 75*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (a^2*(88*A + 75*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(88*A + 75*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(8*A + 9*B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*B*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 5, (a^(3/2)*(14*A + 11*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a^2*(14*A + 11*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(6*A + 7*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*B*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 4, (a^(3/2)*(12*A + 7*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a^2*(4*A + 5*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*B*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 4, (a^(3/2)*(2*A + 3*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (a^2*(2*A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 4, (2*a^(3/2)*B*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a^2*(4*A + 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 3, (8*a^2*(3*A + 5*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(3*A + 5*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 4, (2*a^2*(8*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(52*A + 63*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (4*a^2*(52*A + 63*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 5, (2*a^2*(10*A + 9*B)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(34*A + 39*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a^2*(34*A + 39*B)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*(34*A + 39*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, (a^(5/2)*(326*A + 283*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(128*d) + (a^3*(326*A + 283*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(326*A + 283*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(170*A + 157*B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(240*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(10*A + 13*B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(40*d) + (a*B*Sec[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (a^(5/2)*(200*A + 163*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (a^3*(200*A + 163*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(104*A + 95*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(8*A + 11*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*B*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 5, (a^(5/2)*(38*A + 25*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a^3*(54*A + 49*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(2*A + 3*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*B*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 5, (a^(5/2)*(20*A + 19*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a^3*(4*A - 9*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(4*A + 7*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 5, (a^(5/2)*(2*A + 5*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (a^3*(14*A + 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a^2*(2*A - 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 5, (2*a^(5/2)*B*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a^3*(32*A + 35*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(8*A + 5*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 4, (64*a^3*(5*A + 7*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*(5*A + 7*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(5*A + 7*B)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 5, (2*a^3*(124*A + 135*B)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(292*A + 345*B)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (4*a^3*(292*A + 345*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(4*A + 3*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/Sec[c + d*x]^(11/2), x, 6, (2*a^3*(194*A + 209*B)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(710*A + 803*B)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a^3*(710*A + 803*B)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^3*(710*A + 803*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(14*A + 11*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, -(((4*A - 7*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + ((4*A - B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (B*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, ((2*A - B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (B*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 5, (2*B*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) + (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 3, -((Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 4, (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*(A - 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 5, -((Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*(A - 5*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(13*A - 5*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 6, (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*(A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(31*A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*(43*A - 91*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, -(((12*A - 19*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*a^(3/2)*d)) + ((9*A - 13*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((6*A - 7*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((A - 2*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((2*A - 3*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - ((5*A - 9*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((A - 3*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*B*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + ((A - 5*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, ((3*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 4, -(((7*A - 3*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((5*A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 5, ((11*A - 7*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((7*A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((19*A - 15*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 6, -(((15*A - 11*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((9*A - 5*B)*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((39*A - 35*B)*Sin[c + d*x])/(30*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((147*A - 95*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(30*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((2*A - 5*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - ((43*A - 115*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((7*A - 15*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((11*A - 35*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*B*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + ((3*A - 43*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A - B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((3*A - 11*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, ((5*A + 3*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((5*A + 3*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, ((19*A + 5*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((9*A - B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), ((19*A + 5*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((5*A + 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((9*A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 5, -(((75*A - 19*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A - B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((13*A - 5*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((49*A - 9*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 6, ((163*A - 75*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((17*A - 9*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((95*A - 39*B)*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((299*A - 147*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 7, -(((283*A - 163*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((21*A - 13*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((157*A - 85*B)*Sin[c + d*x])/(80*a^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((787*A - 475*B)*Sin[c + d*x])/(240*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((2671*A - 1495*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+a Sec[e+f x])^(m/3) (A+B Sec[e+f x])*)
+
+
+{(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 9, (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[7/6, 1/2, 1, 13/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(7*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]) + (3*B*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (3^(3/4)*B*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(2*2^(1/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 8, (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[1/6, 1/2, 1, 7/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)) - (3^(3/4)*B*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(2^(1/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 9, (3*B*Tan[c + d*x])/(5*a*d*(1 + Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)) - (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[-(5/6), 1/2, 1, 1/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*a*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)) - (3^(3/4)*B*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(5*2^(1/3)*a*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+
+{(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 11, (3*a*B*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(4*d) + (3*Sqrt[2]*a*A*AppellF1[11/6, 1/2, 1, 17/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(11*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]) - (15*(1 + Sqrt[3])*a*B*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(4*d*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))) + (15*3^(1/4)*a*B*EllipticE[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(2*2^(2/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)]) + (5*3^(3/4)*(1 - Sqrt[3])*a*B*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(4*2^(2/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 10, (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[5/6, 1/2, 1, 11/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(5*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]) - (3*(1 + Sqrt[3])*B*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(d*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))) + (3*2^(1/3)*3^(1/4)*B*EllipticE[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)]) + (3^(3/4)*(1 - Sqrt[3])*B*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(2^(2/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 11, (3*B*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)) - (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[-(1/6), 1/2, 1, 5/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)) + (3*(1 + Sqrt[3])*B*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))) - (3*2^(1/3)*3^(1/4)*B*EllipticE[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)]) - (3^(3/4)*(1 - Sqrt[3])*B*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(2^(2/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x]) with m and/or n symbolic*)
+
+
+{(c*Sec[e + f*x])^n*(a + a*Sec[e + f*x])^m*(A + B*Sec[e + f*x]), x, 7, -((B*AppellF1[n, 1/2, -(1/2) - m, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(c*Sec[e + f*x])^n*(1 + Sec[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]])) - ((A - B)*AppellF1[n, 1/2, 1/2 - m, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(c*Sec[e + f*x])^n*(1 + Sec[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(-1 - n)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 4, (A*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^n*(d*(1 + n))) + ((B + A*n + B*n)*Hypergeometric2F1[1/2 - n, -n, 1 - n, -((2*Sec[c + d*x])/(1 - Sec[c + d*x]))]*Sec[c + d*x]^(1 - n)*((1 + Sec[c + d*x])/(1 - Sec[c + d*x]))^(1/2 - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*n*(1 + n)*(1 + Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x])*)
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+b Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, ((4*a*A + 3*b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((A*b + a*B)*Tan[c + d*x])/d + ((4*a*A + 3*b*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b*B*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + ((A*b + a*B)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, ((A*b + a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((3*a*A + 2*b*B)*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((A*b + a*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (b*B*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, ((2*a*A + b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((A*b + a*B)*Tan[c + d*x])/d + (b*B*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 4, a*A*x + ((A*b + a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b*B*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 3, (A*b + a*B)*x + (b*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*A*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 4, (1/2)*(a*A + 2*b*B)*x + ((A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/d + (a*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, (1/2)*(A*b + a*B)*x + ((2*a*A + 3*b*B)*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((A*b + a*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, (1/8)*(3*a*A + 4*b*B)*x + ((A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/d + ((3*a*A + 4*b*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - ((A*b + a*B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, ((4*a^2*A + 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((4*b^2*B + 5*a*(2*A*b + a*B))*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((4*a^2*A + 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b*(5*A*b + 6*a*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (b*B*Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((4*b^2*B + 5*a*(2*A*b + a*B))*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, ((8*a*A*b + 4*a^2*B + 3*b^2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((4*a^2*A*b + 4*A*b^3 - a^3*B + 8*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(6*b*d) + ((8*a*A*b - 2*a^2*B + 9*b^2*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + ((4*A*b - a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*b*d) + (B*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, ((2*a^2*A + A*b^2 + 2*a*b*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (2*(3*a*A*b + a^2*B + b^2*B)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (b*(3*A*b + 2*a*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (B*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, a^2*A*x + ((4*a*A*b + 2*a^2*B + b^2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (b*(2*A*b + 3*a*B)*Tan[c + d*x])/(2*d) + (b*B*(a + b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, a*(2*A*b + a*B)*x + (b*(A*b + 2*a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*A*Sin[c + d*x])/d + (b^2*B*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (1/2)*(a^2*A + 2*A*b^2 + 4*a*b*B)*x + (b^2*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*(2*A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/d + (a^2*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (1/2)*(2*a*A*b + a^2*B + 2*b^2*B)*x + ((2*a^2*A + 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*(2*A*b + a*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a^2*A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (1/8)*(3*a^2*A + 4*A*b^2 + 8*a*b*B)*x + ((2*a*A*b + a^2*B + b^2*B)*Sin[c + d*x])/d + ((3*a^2*A + 4*A*b^2 + 8*a*b*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*A*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a*(2*A*b + a*B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (1/8)*(6*a*A*b + 3*a^2*B + 4*b^2*B)*x + ((4*a^2*A + 5*A*b^2 + 10*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((6*a*A*b + 3*a^2*B + 4*b^2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*(2*A*b + a*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a^2*A*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d) - ((4*a^2*A + 5*A*b^2 + 10*a*b*B)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, ((12*a^2*A*b + 3*A*b^3 + 4*a^3*B + 9*a*b^2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((15*a^3*A*b + 60*a*A*b^3 - 3*a^4*B + 52*a^2*b^2*B + 16*b^4*B)*Tan[c + d*x])/(30*b*d) + ((30*a^2*A*b + 45*A*b^3 - 6*a^3*B + 71*a*b^2*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(120*d) + ((15*a*A*b - 3*a^2*B + 16*b^2*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(60*b*d) + ((5*A*b - a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(20*b*d) + (B*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, ((8*a^3*A + 12*a*A*b^2 + 12*a^2*b*B + 3*b^3*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((16*a^2*A*b + 4*A*b^3 + 3*a^3*B + 12*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(6*d) + (b*(20*a*A*b + 6*a^2*B + 9*b^2*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + ((4*A*b + 3*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*d) + (B*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, a^3*A*x + ((6*a^2*A*b + A*b^3 + 2*a^3*B + 3*a*b^2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (b*(9*a*A*b + 8*a^2*B + 2*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (b^2*(3*A*b + 5*a*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (b*B*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, a^2*(3*A*b + a*B)*x + (b*(6*a*A*b + 6*a^2*B + b^2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a^2*(2*a*A - b*B)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b*B*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b^2*(A*b + 2*a*B)*Tan[c + d*x])/d, a^2*(3*A*b + a*B)*x + (b*(6*a*A*b + 6*a^2*B + b^2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*A*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/d - (b*(2*a^2*A - A*b^2 - 3*a*b*B)*Tan[c + d*x])/d - (b^2*(2*a*A - b*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, (1/2)*a*(a^2*A + 6*A*b^2 + 6*a*b*B)*x + (b^2*(A*b + 3*a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(2*A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/d + (a*A*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b^2*(a*A - 2*b*B)*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, (1/2)*(3*a^2*A*b + 2*A*b^3 + a^3*B + 6*a*b^2*B)*x + (b^3*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*(2*a^2*A + 8*A*b^2 + 9*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(5*A*b + 3*a*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, (1/8)*(3*a^3*A + 12*a*A*b^2 + 12*a^2*b*B + 8*b^3*B)*x + ((6*a^2*A*b + 3*A*b^3 + 2*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*(3*a^2*A + 10*A*b^2 + 12*a*b*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(3*A*b + 2*a*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (1/8)*(9*a^2*A*b + 4*A*b^3 + 3*a^3*B + 12*a*b^2*B)*x + ((4*a^3*A + 14*a*A*b^2 + 15*a^2*b*B + 5*b^3*B)*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((9*a^2*A*b + 4*A*b^3 + 3*a^3*B + 12*a*b^2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(7*A*b + 5*a*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a*(4*a^2*A + 12*A*b^2 + 15*a*b*B)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 9, ((32*a^3*A*b + 24*a*A*b^3 + 8*a^4*B + 36*a^2*b^2*B + 5*b^4*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + ((24*a^4*A*b + 224*a^2*A*b^3 + 32*A*b^5 - 4*a^5*B + 121*a^3*b^2*B + 128*a*b^4*B)*Tan[c + d*x])/(60*b*d) + ((48*a^3*A*b + 232*a*A*b^3 - 8*a^4*B + 178*a^2*b^2*B + 75*b^4*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(240*d) + ((24*a^2*A*b + 32*A*b^3 - 4*a^3*B + 53*a*b^2*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(120*b*d) + ((24*a*A*b - 4*a^2*B + 25*b^2*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(120*b*d) + ((6*A*b - a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(30*b*d) + (B*(a + b*Sec[c + d*x])^5*Tan[c + d*x])/(6*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, ((8*a^4*A + 24*a^2*A*b^2 + 3*A*b^4 + 16*a^3*b*B + 12*a*b^3*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((95*a^3*A*b + 80*a*A*b^3 + 12*a^4*B + 112*a^2*b^2*B + 16*b^4*B)*Tan[c + d*x])/(30*d) + (b*(130*a^2*A*b + 45*A*b^3 + 24*a^3*B + 116*a*b^2*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(120*d) + ((35*a*A*b + 12*a^2*B + 16*b^2*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(60*d) + ((5*A*b + 4*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (B*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, a^4*A*x + ((32*a^3*A*b + 16*a*A*b^3 + 8*a^4*B + 24*a^2*b^2*B + 3*b^4*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (b*(34*a^2*A*b + 4*A*b^3 + 19*a^3*B + 16*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(6*d) + (b^2*(32*a*A*b + 26*a^2*B + 9*b^2*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + (b*(4*A*b + 7*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*d) + (b*B*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, a^3*(4*A*b + a*B)*x + (b*(12*a^2*A*b + A*b^3 + 8*a^3*B + 4*a*b^2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*A*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/d - (b*(6*a^3*A - 12*a*A*b^2 - 17*a^2*b*B - 2*b^3*B)*Tan[c + d*x])/(3*d) - (b^2*(6*a^2*A - 3*A*b^2 - 8*a*b*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) - (b*(3*a*A - b*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, (1/2)*a^2*(a^2*A + 12*A*b^2 + 8*a*b*B)*x + (b^2*(8*a*A*b + 12*a^2*B + b^2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(5*A*b + 2*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b*(13*a^2*A*b - 2*A*b^3 + 4*a^3*B - 8*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(2*d) - (b^2*(6*a*A*b + 2*a^2*B - b^2*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, (1/2)*a*(4*a^2*A*b + 8*A*b^3 + a^3*B + 12*a*b^2*B)*x + (b^3*(A*b + 4*a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(2*a^2*A + 9*A*b^2 + 9*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*(2*A*b + a*B)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d) - (b^2*(8*a*A*b + 3*a^2*B - 6*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, (1/8)*(3*a^4*A + 24*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 16*a^3*b*B + 32*a*b^3*B)*x + (b^4*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*(16*a^2*A*b + 19*A*b^3 + 4*a^3*B + 34*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a^2*(9*a^2*A + 26*A*b^2 + 32*a*b*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*(7*A*b + 4*a*B)*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, (1/8)*(12*a^3*A*b + 16*a*A*b^3 + 3*a^4*B + 24*a^2*b^2*B + 8*b^4*B)*x + ((8*a^4*A + 60*a^2*A*b^2 + 15*A*b^4 + 40*a^3*b*B + 60*a*b^3*B)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (a*(60*a^2*A*b + 56*A*b^3 + 15*a^3*B + 110*a*b^2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(40*d) + (a^2*(8*a^2*A + 18*A*b^2 + 25*a*b*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(30*d) + (a*(8*A*b + 5*a*B)*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(20*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 9, (1/16)*(5*a^4*A + 36*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 24*a^3*b*B + 32*a*b^3*B)*x + ((48*a^3*A*b + 53*a*A*b^3 + 12*a^4*B + 87*a^2*b^2*B + 15*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(15*d) + ((5*a^4*A + 36*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 24*a^3*b*B + 32*a*b^3*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^2*(25*a^2*A + 48*A*b^2 + 72*a*b*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(120*d) + (a*(3*A*b + 2*a*B)*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(10*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(6*d) - (a*(16*a^2*A*b + 13*A*b^3 + 4*a^3*B + 27*a*b^2*B)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, ((2*a^2 + b^2)*(A*b - a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^4*d) - (2*a^3*(A*b - a*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^4*Sqrt[a + b]*d) - ((3*a*A*b - 3*a^2*B - 2*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(3*b^3*d) + ((A*b - a*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^2*d) + (B*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, -(((2*a*A*b - 2*a^2*B - b^2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^3*d)) + (2*a^2*(A*b - a*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^3*Sqrt[a + b]*d) + ((A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(b^2*d) + (B*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, ((A*b - a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^2*d) - (2*a*(A*b - a*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^2*Sqrt[a + b]*d) + (B*Tan[c + d*x])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b*d) + (2*(A*b - a*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 4, (A*x)/a - (2*(A*b - a*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, -(((A*b - a*B)*x)/a^2) + (2*b*(A*b - a*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) + (A*Sin[c + d*x])/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, ((a^2*A + 2*A*b^2 - 2*a*b*B)*x)/(2*a^3) - (2*b^2*(A*b - a*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - ((A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + (A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, -(((a^2 + 2*b^2)*(A*b - a*B)*x)/(2*a^4)) + (2*b^3*(A*b - a*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) + ((2*a^2*A + 3*A*b^2 - 3*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^3*d) - ((A*b - a*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, ((3*a^4*A + 4*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 - 4*a^3*b*B - 8*a*b^3*B)*x)/(8*a^5) - (2*b^4*(A*b - a*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - ((2*a^2 + 3*b^2)*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^4*d) + ((3*a^2*A + 4*A*b^2 - 4*a*b*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^3*d) - ((A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, -(((4*a*A*b - 6*a^2*B - b^2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^4*d)) + (2*a^2*(2*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 3*a^3*B + 4*a*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^4*(a + b)^(3/2)*d) + ((2*a^2*A*b - A*b^3 - 3*a^3*B + 2*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((2*a*A*b - 3*a^2*B + b^2*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d) + (a*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, ((A*b - 2*a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^3*d) - (2*a*(a^2*A*b - 2*A*b^3 - 2*a^3*B + 3*a*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) + (B*Tan[c + d*x])/(b^2*d) - (a^2*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^2*d) - (2*(A*b^3 + a^3*B - 2*a*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) + (a*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (2*(a*A - b*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - ((A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (A*x)/a^2 - (2*(2*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (b*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, -(((2*A*b - a*B)*x)/a^3) + (2*b*(3*a^2*A*b - 2*A*b^3 - 2*a^3*B + a*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + ((a^2*A - 2*A*b^2 + a*b*B)*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, ((a^2*A + 6*A*b^2 - 4*a*b*B)*x)/(2*a^4) - (2*b^2*(4*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 3*a^3*B + 2*a*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - ((2*a^2*A*b - 3*A*b^3 - a^3*B + 2*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) + ((a^2*A - 3*A*b^2 + 2*a*b*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, -(((2*a^2*A*b + 8*A*b^3 - a^3*B - 6*a*b^2*B)*x)/(2*a^5)) + (2*b^3*(5*a^2*A*b - 4*A*b^3 - 4*a^3*B + 3*a*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + ((2*a^4*A + 7*a^2*A*b^2 - 12*A*b^4 - 6*a^3*b*B + 9*a*b^3*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d) - ((2*a^2*A*b - 4*A*b^3 - a^3*B + 3*a*b^2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)*d) + ((a^2*A - 4*A*b^2 + 3*a*b*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, -(((6*a*A*b - 12*a^2*B - b^2*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^5*d)) + (a^2*(6*a^4*A*b - 15*a^2*A*b^3 + 12*A*b^5 - 12*a^5*B + 29*a^3*b^2*B - 20*a*b^4*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^5*(a + b)^(5/2)*d) + ((6*a^4*A*b - 11*a^2*A*b^3 + 2*A*b^5 - 12*a^5*B + 21*a^3*b^2*B - 6*a*b^4*B)*Tan[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((3*a^3*A*b - 6*a*A*b^3 - 6*a^4*B + 10*a^2*b^2*B - b^4*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (a*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (a*(2*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 4*a^3*B + 7*a*b^2*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, ((A*b - 3*a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^4*d) - (a*(2*a^4*A*b - 5*a^2*A*b^3 + 6*A*b^5 - 6*a^5*B + 15*a^3*b^2*B - 12*a*b^4*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^4*(a + b)^(5/2)*d) - ((a*A*b - 3*a^2*B + 2*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)*d) + (a*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (a^2*(a^2*A*b - 4*A*b^3 - 3*a^3*B + 6*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^3*d) + ((a^2*A*b^3 + 2*A*b^5 - 2*a^5*B + 5*a^3*b^2*B - 6*a*b^4*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^3*(a + b)^(5/2)*d) - (a^2*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (a*(a^2*A*b - 4*A*b^3 - 3*a^3*B + 6*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, -(((3*a*A*b - a^2*B - 2*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) + (a*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((a^2*A*b + 2*A*b^3 + a^3*B - 4*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, ((2*a^2*A + A*b^2 - 3*a*b*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - ((A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - ((3*a*A*b - a^2*B - 2*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, (A*x)/a^3 - ((6*a^4*A*b - 5*a^2*A*b^3 + 2*A*b^5 - 2*a^5*B - a^3*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) + (b*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b*(5*a^2*A*b - 2*A*b^3 - 3*a^3*B)*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, -(((3*A*b - a*B)*x)/a^4) + (b*(12*a^4*A*b - 15*a^2*A*b^3 + 6*A*b^5 - 6*a^5*B + 5*a^3*b^2*B - 2*a*b^4*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) + ((2*a^4*A - 11*a^2*A*b^2 + 6*A*b^4 + 5*a^3*b*B - 2*a*b^3*B)*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b*(6*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 4*a^3*B + a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, ((a^2*A + 12*A*b^2 - 6*a*b*B)*x)/(2*a^5) - (b^2*(20*a^4*A*b - 29*a^2*A*b^3 + 12*A*b^5 - 12*a^5*B + 15*a^3*b^2*B - 6*a*b^4*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - ((6*a^4*A*b - 21*a^2*A*b^3 + 12*A*b^5 - 2*a^5*B + 11*a^3*b^2*B - 6*a*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^4*A - 10*a^2*A*b^2 + 6*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 3*a*b^3*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b*(7*a^2*A*b - 4*A*b^3 - 5*a^3*B + 2*a*b^2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 9, ((A*b - 4*a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^5*d) - (a*(2*a^6*A*b - 7*a^4*A*b^3 + 8*a^2*A*b^5 - 8*A*b^7 - 8*a^7*B + 28*a^5*b^2*B - 35*a^3*b^4*B + 20*a*b^6*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*b^5*(a + b)^(7/2)*d) - ((3*a^3*A*b - 8*a*A*b^3 - 12*a^4*B + 23*a^2*b^2*B - 6*b^4*B)*Tan[c + d*x])/(6*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) + (a*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + (a*(a^2*A*b - 6*A*b^3 - 4*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (a^2*(a^4*A*b - 2*a^2*A*b^3 + 6*A*b^5 - 4*a^5*B + 11*a^3*b^2*B - 12*a*b^4*B)*Tan[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^4*d) - ((3*a^2*A*b^5 + 2*A*b^7 + 2*a^7*B - 7*a^5*b^2*B + 8*a^3*b^4*B - 8*a*b^6*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*b^4*(a + b)^(7/2)*d) + (a*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + (a^2*(5*A*b^3 + 3*a^3*B - 8*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (a*(a^2*A*b^3 - 16*A*b^5 + 9*a^5*B - 28*a^3*b^2*B + 34*a*b^4*B)*Tan[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, ((a^3*A + 4*a*A*b^2 - 3*a^2*b*B - 2*b^3*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - (a^2*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + (a*(a^2*A*b - 6*A*b^3 - 4*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((a^4*A*b - 10*a^2*A*b^3 - 6*A*b^5 + 2*a^5*B - 5*a^3*b^2*B + 18*a*b^4*B)*Tan[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, -(((4*a^2*A*b + A*b^3 - a^3*B - 4*a*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) + (a*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + ((2*a^2*A*b + 3*A*b^3 + a^3*B - 6*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(6*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((2*a^3*A*b + 13*a*A*b^3 + a^4*B - 10*a^2*b^2*B - 6*b^4*B)*Tan[c + d*x])/(6*b*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, ((2*a^3*A + 3*a*A*b^2 - 4*a^2*b*B - b^3*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - ((A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) - ((5*a*A*b - 2*a^2*B - 3*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(6*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - ((11*a^2*A*b + 4*A*b^3 - 2*a^3*B - 13*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(6*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, (A*x)/a^4 - ((8*a^6*A*b - 8*a^4*A*b^3 + 7*a^2*A*b^5 - 2*A*b^7 - 2*a^7*B - 3*a^5*b^2*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) + (b*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + (b*(8*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 5*a^3*B)*Tan[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b*(26*a^4*A*b - 17*a^2*A*b^3 + 6*A*b^5 - 11*a^5*B - 4*a^3*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, -(((4*A*b - a*B)*x)/a^5) + (b*(20*a^6*A*b - 35*a^4*A*b^3 + 28*a^2*A*b^5 - 8*A*b^7 - 8*a^7*B + 8*a^5*b^2*B - 7*a^3*b^4*B + 2*a*b^6*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) + ((6*a^6*A - 65*a^4*A*b^2 + 68*a^2*A*b^4 - 24*A*b^6 + 26*a^5*b*B - 17*a^3*b^3*B + 6*a*b^5*B)*Sin[c + d*x])/(6*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + (b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + (b*(9*a^2*A*b - 4*A*b^3 - 6*a^3*B + a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b*(12*a^4*A*b - 11*a^2*A*b^3 + 4*A*b^5 - 6*a^5*B + 2*a^3*b^2*B - a*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 9, ((a^2*A + 20*A*b^2 - 8*a*b*B)*x)/(2*a^6) - (b^2*(40*a^6*A*b - 84*a^4*A*b^3 + 69*a^2*A*b^5 - 20*A*b^7 - 20*a^7*B + 35*a^5*b^2*B - 28*a^3*b^4*B + 8*a*b^6*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^6*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - ((24*a^6*A*b - 146*a^4*A*b^3 + 167*a^2*A*b^5 - 60*A*b^7 - 6*a^7*B + 65*a^5*b^2*B - 68*a^3*b^4*B + 24*a*b^6*B)*Sin[c + d*x])/(6*a^5*(a^2 - b^2)^3*d) + ((a^6*A - 23*a^4*A*b^2 + 27*a^2*A*b^4 - 10*A*b^6 + 12*a^5*b*B - 11*a^3*b^3*B + 4*a*b^5*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + (b*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + (b*(10*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 7*a^3*B + 2*a*b^2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b*(48*a^4*A*b - 53*a^2*A*b^3 + 20*A*b^5 - 27*a^5*B + 20*a^3*b^2*B - 8*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{(b*B/a + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 4, (b*B*x)/a^2 + (2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*B*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*d)}
+{(a*B/b + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 2, (B*x)/b}
+
+{(a + b*Sec[c + d*x])/(b + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (a*x)/b^2 - (2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(b^2*d) - (a*Tan[c + d*x])/(b*d*(b + a*Sec[c + d*x]))}
+{(3 + Sec[c + d*x])/(2 - Sec[c + d*x]), x, 4, (3*x)/2 - (5*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] - Sqrt[3]*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(2*Sqrt[3]*d) + (5*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] + Sqrt[3]*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(2*Sqrt[3]*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+b Sec[e+f x])^(m/2) (A+B Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(24*a^3*A*b + 57*a*A*b^3 - 16*a^4*B - 24*a^2*b^2*B + 147*b^4*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^5*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b^3*(25*A - 49*B) + 18*a*b^2*(A - 2*B) + 12*a^2*b*(2*A - B) - 16*a^3*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^4*d) - (2*(12*a^2*A*b - 75*A*b^3 - 8*a^3*B - 13*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*b^3*d) + (2*(9*a*A*b - 6*a^2*B + 49*b^2*B)*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*b^2*d) + (2*(9*A*b + a*B)*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(63*b*d) + (2*B*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(9*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(14*a^2*A*b - 63*A*b^3 - 8*a^3*B - 19*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^4*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(b^2*(63*A - 25*B) + 2*a*b*(7*A - 3*B) - 8*a^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^3*d) + (2*(7*a*A*b - 4*a^2*B + 25*b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*b^2*d) + (2*(7*A*b + a*B)*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(35*b*d) + (2*B*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 5, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(5*a*A*b - 2*a^2*B + 9*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^3*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(5*A*b - 2*a*B - 9*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^2*d) + (2*(5*A*b - 2*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*b*d) + (2*B*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 4, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*A*b + a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^2*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*A - B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) + (2*B*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 5, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) + (2*Sqrt[a + b]*(A*b + (a - b)*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) - (2*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (A*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) + (Sqrt[a + b]*(A + 2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d - (Sqrt[a + b]*(A*b + 2*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d) + (A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(A*b + 4*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a*b*d) + (Sqrt[a + b]*(A*b + 2*a*(A + 2*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2*A - A*b^2 + 4*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^2*d) + ((A*b + 4*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*d) + (A*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(16*a^2*A - 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a^2*b*d) + (Sqrt[a + b]*(2*a + b)*(8*a*A - 3*A*b + 6*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a^2*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2*A*b + A*b^3 + 8*a^3*B - 2*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(8*a^3*d) + ((16*a^2*A - 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*a^2*d) + ((A*b + 6*a*B)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*a*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(18*a^3*A*b - 246*a*A*b^3 - 8*a^4*B - 33*a^2*b^2*B - 147*b^4*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^4*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b^3*(25*A - 49*B) - 3*a*b^2*(57*A - 13*B) - 6*a^2*b*(3*A - B) + 8*a^3*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^3*d) - (2*(18*a^2*A*b - 75*A*b^3 - 8*a^3*B - 39*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*b^2*d) - (2*(18*a*A*b - 8*a^2*B - 49*b^2*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(315*b^2*d) + (2*(9*A*b - 4*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(63*b^2*d) + (2*B*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(21*a^2*A*b + 63*A*b^3 - 6*a^3*B + 82*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^3*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(b^2*(63*A - 25*B) + 6*a^2*B - a*(21*A*b - 57*b*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^2*d) + (2*(21*a*A*b - 6*a^2*B + 25*b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*b*d) + (2*(7*A*b - 2*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*b*d) + (2*B*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 5, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(20*a*A*b + 3*a^2*B + 9*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^2*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(15*a*A - 5*A*b - 3*a*B + 9*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b*d) + (2*(5*A*b + 3*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*B*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*A*b + 4*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) - (2*Sqrt[a + b]*(b^2*(3*A - B) - 3*a^2*B - a*(6*A*b - 4*b*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) - (2*a*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (2*b*B*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(a*A - 2*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) + (Sqrt[a + b]*(2*b*(A - B) + a*(A + 4*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d - (Sqrt[a + b]*(3*A*b + 2*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (a*A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(5*A*b + 4*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*b*d) + (Sqrt[a + b]*(2*a*A + 5*A*b + 4*a*B + 8*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2*A + 3*A*b^2 + 12*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a*d) + ((5*A*b + 4*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*A*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(16*a^2*A + 3*A*b^2 + 30*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a*b*d) + (Sqrt[a + b]*(16*a^2*A + 14*a*A*b + 3*A*b^2 + 12*a^2*B + 30*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a*d) - (Sqrt[a + b]*(12*a^2*A*b - A*b^3 + 8*a^3*B + 6*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(8*a^2*d) + ((16*a^2*A + 3*A*b^2 + 30*a*b*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*a*d) + ((7*A*b + 6*a*B)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 8, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(110*a^4*A*b - 3069*a^2*A*b^3 - 1617*A*b^5 - 40*a^5*B - 255*a^3*b^2*B - 3705*a*b^4*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3465*b^4*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*a*b^3*(209*A - 505*B) - 3*b^4*(539*A - 225*B) - 15*a^2*b^2*(121*A - 19*B) + 40*a^4*B - a^3*(110*A*b - 30*b*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3465*b^3*d) - (2*(110*a^3*A*b - 1254*a*A*b^3 - 40*a^4*B - 285*a^2*b^2*B - 675*b^4*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3465*b^2*d) - (2*(110*a^2*A*b - 539*A*b^3 - 40*a^3*B - 335*a*b^2*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(3465*b^2*d) - (2*(22*a*A*b - 8*a^2*B - 81*b^2*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(693*b^2*d) + (2*(11*A*b - 4*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(99*b^2*d) + (2*B*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(11*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(45*a^3*A*b + 435*a*A*b^3 - 10*a^4*B + 279*a^2*b^2*B + 147*b^4*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^3*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b^3*(25*A - 49*B) - 6*a*b^2*(60*A - 19*B) + 15*a^2*b*(3*A - 11*B) - 10*a^3*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^2*d) + (2*(45*a^2*A*b + 75*A*b^3 - 10*a^3*B + 114*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*b*d) + (2*(45*a*A*b - 10*a^2*B + 49*b^2*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(315*b*d) + (2*(9*A*b - 2*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(63*b*d) + (2*B*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(161*a^2*A*b + 63*A*b^3 + 15*a^3*B + 145*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^2*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(b^2*(63*A - 25*B) - 8*a*b*(7*A - 15*B) + 15*a^2*(7*A - B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b*d) + (2*(56*a*A*b + 15*a^2*B + 25*b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*d) + (2*(7*A*b + 5*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*d) + (2*B*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(35*a*A*b + 23*a^2*B + 9*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b*d) + (2*Sqrt[a + b]*(a^2*b*(45*A - 23*B) - a*b^2*(35*A - 17*B) + b^3*(5*A - 9*B) + 15*a^3*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b*d) - (2*a^2*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (2*b*(5*A*b + 8*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*b*B*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(3*a^2*A - 6*A*b^2 - 14*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) + (Sqrt[a + b]*(2*a*b*(9*A - 7*B) - 2*b^2*(3*A - B) + 3*a^2*(A + 6*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*d) - (a*Sqrt[a + b]*(5*A*b + 2*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (a*A*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/d - (b*(3*a*A - 2*b*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a*A*b + 4*a^2*B - 8*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*b*d) + (Sqrt[a + b]*(8*b^2*(A - B) + 2*a^2*(A + 2*B) + 3*a*b*(3*A + 8*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2*A + 15*A*b^2 + 20*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*d) + (a*(7*A*b + 4*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*A*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(16*a^2*A + 33*A*b^2 + 54*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*b*d) + (Sqrt[a + b]*(16*a^2*A + 26*a*A*b + 33*A*b^2 + 12*a^2*B + 54*a*b*B + 48*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*d) - (Sqrt[a + b]*(20*a^2*A*b + 5*A*b^3 + 8*a^3*B + 30*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(8*a*d) + ((16*a^2*A + 33*A*b^2 + 54*a*b*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*(3*A*b + 2*a*B)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(284*a^2*A*b + 15*A*b^3 + 128*a^3*B + 264*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(192*a*b*d) + (Sqrt[a + b]*(15*A*b^3 + 8*a^3*(9*A + 16*B) + 4*a^2*b*(71*A + 52*B) + 2*a*b^2*(59*A + 132*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(192*a*d) - (Sqrt[a + b]*(48*a^4*A + 120*a^2*A*b^2 - 5*A*b^4 + 160*a^3*b*B + 40*a*b^3*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(64*a^2*d) + ((284*a^2*A*b + 15*A*b^3 + 128*a^3*B + 264*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a*d) + ((36*a^2*A + 59*A*b^2 + 104*a*b*B)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(96*d) + (a*(11*A*b + 8*a*B)*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 5, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*a*A*b - 8*a^2*B - 9*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^4*d) + (2*Sqrt[a + b]*(b^2*(5*A - 9*B) - 8*a^2*B + 2*a*b*(5*A + B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^3*d) + (2*(5*A*b - 4*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*b^2*d) + (2*B*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 4, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*A*b - 2*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^3*d) - (2*Sqrt[a + b]*(3*A*b - (2*a + b)*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^2*d) + (2*B*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 3, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*d) + (2*Sqrt[a + b]*(A - B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 3, (2*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) - (2*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 6, (A*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b*d) + (A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d) + (Sqrt[a + b]*(A*b - 2*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) + (A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 7, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(3*A*b - 4*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^2*b*d) - (Sqrt[a + b]*(3*A*b - 2*a*(A + 2*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^2*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2*A + 3*A*b^2 - 4*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^3*d) - ((3*A*b - 4*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d) + (A*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(16*a^2*A + 15*A*b^2 - 18*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a^3*b*d) + (Sqrt[a + b]*(16*a^2*A - 10*a*A*b + 15*A*b^2 + 12*a^2*B - 18*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a^3*d) + (Sqrt[a + b]*(4*a^2*A*b + 5*A*b^3 - 8*a^3*B - 6*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(8*a^4*d) + ((16*a^2*A + 15*A*b^2 - 18*a*b*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*a^3*d) - ((5*A*b - 6*a*B)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*a^2*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((2*(6*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 8*a^3*B + 5*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^4*Sqrt[a + b]*d)) - (2*(2*a + b)*(3*A*b - (4*a + b)*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^3*Sqrt[a + b]*d) - (2*a^2*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*b^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*(a*A*b - 2*a^2*B + b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^3*Sqrt[a + b]*d) + (2*(A*b - (2*a + b)*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*Sqrt[a + b]*d) + (2*a*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (-2*(A*b - a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*Sqrt[a + b]*d) + (2*(A + B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*Sqrt[a + b]*d) - (2*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*(A*b - a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b*Sqrt[a + b]*d) - (2*(A*b - a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b*Sqrt[a + b]*d) - (2*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) + (2*b*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((a^2*A - 3*A*b^2 + 2*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*b*Sqrt[a + b]*d) + ((3*A*b + a*(A - 2*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*Sqrt[a + b]*d) + (Sqrt[a + b]*(3*A*b - 2*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^3*d) + (A*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b*(a^2*A - 3*A*b^2 + 2*a*b*B)*Tan[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((7*a^2*A*b - 15*A*b^3 - 4*a^3*B + 12*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^3*b*Sqrt[a + b]*d) - ((15*A*b^2 + a*b*(5*A - 12*B) - 2*a^2*(A + 2*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^3*Sqrt[a + b]*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2*A + 15*A*b^2 - 12*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^4*d) - ((5*A*b - 4*a*B)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (b*(7*a^2*A*b - 15*A*b^3 - 4*a^3*B + 12*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(4*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 9, ((16*a^4*A + 41*a^2*A*b^2 - 105*A*b^4 - 42*a^3*b*B + 90*a*b^3*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a^4*b*Sqrt[a + b]*d) + ((105*A*b^3 + 5*a*b^2*(7*A - 18*B) + 4*a^3*(4*A + 3*B) - 6*a^2*b*(A + 5*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a^4*Sqrt[a + b]*d) + (Sqrt[a + b]*(12*a^2*A*b + 35*A*b^3 - 8*a^3*B - 30*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(8*a^5*d) + ((16*a^2*A + 35*A*b^2 - 30*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(24*a^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((7*A*b - 6*a*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b*(16*a^4*A + 41*a^2*A*b^2 - 105*A*b^4 - 42*a^3*b*B + 90*a*b^3*B)*Tan[c + d*x])/(24*a^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, (-2*(8*a^4*A*b - 15*a^2*A*b^3 + 3*A*b^5 - 16*a^5*B + 28*a^3*b^2*B - 8*a*b^4*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b^5*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(9*a*b^3*(A - B) + b^4*(3*A - B) + 16*a^4*B - 2*a^2*b^2*(3*A + 8*B) - a^3*(8*A*b - 12*b*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*a*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*a^2*(3*a^2*A*b - 7*A*b^3 - 6*a^3*B + 10*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(a*A*b - 2*a^2*B + b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*(2*a^3*A*b - 6*a*A*b^3 - 8*a^4*B + 15*a^2*b^2*B - 3*b^4*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b^4*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(2*a^2*b*(A - 3*B) - 3*b^3*(A - B) - 8*a^3*B + 3*a*b^2*(A + 3*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) - (2*a^2*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*(2*a^2*A*b - 6*A*b^3 - 5*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*(a^2*A*b + 3*A*b^3 + 2*a^3*B - 6*a*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(2*a^2*B - 3*b^2*(A + B) + a*b*(A + 3*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^2*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*a*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*(a^2*A*b + 3*A*b^3 + 2*a^3*B - 6*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (-2*(4*a*A*b - a^2*B - 3*b^2*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(3*a*A - A*b + a*B - 3*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b*(a + b)^(3/2)*d) - (2*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*(4*a*A*b - a^2*B - 3*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*(7*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 4*a^3*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^2*(a - b)*b*(a + b)^(3/2)*d) - (2*(6*a^2*A*b - a*A*b^2 - 3*A*b^3 - 3*a^3*B + a^2*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^2*(a - b)*b*(a + b)^(3/2)*d) - (2*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^3*d) + (2*b*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(7*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 4*a^3*B)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((3*a^4*A - 26*a^2*A*b^2 + 15*A*b^4 + 14*a^3*b*B - 6*a*b^3*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^3*(a - b)*b*(a + b)^(3/2)*d) - ((15*A*b^3 + a*b^2*(5*A - 6*B) - 3*a^3*(A - 4*B) - a^2*b*(21*A + 2*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (Sqrt[a + b]*(5*A*b - 2*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^4*d) + (A*Sin[c + d*x])/(a*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (b*(3*a^2*A - 5*A*b^2 + 2*a*b*B)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (b*(3*a^4*A - 26*a^2*A*b^2 + 15*A*b^4 + 14*a^3*b*B - 6*a*b^3*B)*Tan[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((33*a^4*A*b - 170*a^2*A*b^3 + 105*A*b^5 - 12*a^5*B + 104*a^3*b^2*B - 60*a*b^4*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(12*a^4*(a - b)*b*(a + b)^(3/2)*d) + ((105*A*b^4 + 5*a*b^3*(7*A - 12*B) + 6*a^4*(A + 2*B) - 5*a^2*b^2*(27*A + 4*B) - a^3*(27*A*b - 84*b*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(12*a^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2*A + 35*A*b^2 - 20*a*b*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^5*d) - ((7*A*b - 4*a*B)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (b*(27*a^2*A*b - 35*A*b^3 - 12*a^3*B + 20*a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(12*a^3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (b*(33*a^4*A*b - 170*a^2*A*b^3 + 105*A*b^5 - 12*a^5*B + 104*a^3*b^2*B - 60*a*b^4*B)*Tan[c + d*x])/(12*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(Sec[e + f*x]*(A + A*Sec[e + f*x]))/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x, 1, (-2*A*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(b^2*f)}
+{(Sec[e + f*x]*(A - A*Sec[e + f*x]))/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]], x, 1, (2*A*Sqrt[a - b]*(a + b)*Cot[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a - b]], (a - b)/(a + b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[e + f*x]))/(a - b))])/(b^2*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+b Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, -((2*(5*a*A + 3*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*(A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*(5*a*A + 3*b*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(A*b + a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*b*B*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, -((2*(A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*(3*a*A + b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*(A*b + a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*b*B*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, (2*(a*A - b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*(A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*b*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, (2*(A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*(a*A + 3*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, (2*(3*a*A + 5*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, (6*(A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(5*a*A + 7*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*a*A + 7*b*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, -((2*(5*a^2*A + 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*(5*b^2*B + 7*a*(2*A*b + a*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(5*a^2*A + 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(5*b^2*B + 7*a*(2*A*b + a*B))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*b*(7*A*b + 9*a*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*b*B*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, -((2*(3*b^2*B + 5*a*(2*A*b + a*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*(3*a^2*A + A*b^2 + 2*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*(3*b^2*B + 5*a*(2*A*b + a*B))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*b*(5*A*b + 7*a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*b*B*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (2*(a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*(6*a*A*b + 3*a^2*B + b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b*(3*A*b + 5*a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*b*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -((2*(b^2*B - a*(2*A*b + a*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*(a^2*A + 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (2*(3*a^2*A + 5*A*b^2 + 10*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(2*a*A*b + a^2*B + 3*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(2*A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (2*(6*a*A*b + 3*a^2*B + 5*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(5*a^2*A + 7*A*b^2 + 14*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^2*A*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(2*A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*a^2*A + 7*A*b^2 + 14*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-9/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, (2*(7*a^2*A + 9*A*b^2 + 18*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(7*b^2*B + 5*a*(2*A*b + a*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^2*A*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*(2*A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(7*a^2*A + 9*A*b^2 + 18*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(7*b^2*B + 5*a*(2*A*b + a*B))*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 10, -((2*(15*a^3*A + 27*a*A*b^2 + 27*a^2*b*B + 7*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d)) + (2*(21*a^2*A*b + 5*A*b^3 + 7*a^3*B + 15*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(15*a^3*A + 27*a*A*b^2 + 27*a^2*b*B + 7*b^3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(21*a^2*A*b + 5*A*b^3 + 7*a^3*B + 15*a*b^2*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*b*(27*a*A*b + 22*a^2*B + 7*b^2*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*b^2*(9*A*b + 13*a*B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*b*B*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, -((2*(15*a^2*A*b + 3*A*b^3 + 5*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*(21*a^3*A + 21*a*A*b^2 + 21*a^2*b*B + 5*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(15*a^2*A*b + 3*A*b^3 + 5*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*b*(21*a*A*b + 18*a^2*B + 5*b^2*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*b^2*(7*A*b + 11*a*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*b*B*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (2*(5*a^3*A - 15*a*A*b^2 - 15*a^2*b*B - 3*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(9*a^2*A*b + A*b^3 + 3*a^3*B + 3*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b*(15*a*A*b + 14*a^2*B + 3*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*b^2*(5*A*b + 9*a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*b*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (2*(3*a^2*A*b - A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*(a^3*A + 9*a*A*b^2 + 9*a^2*b*B + b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*b*(2*a^2*A - 3*A*b^2 - 9*a*b*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) - (2*b^2*(a*A - b*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (2*(3*a^3*A + 15*a*A*b^2 + 15*a^2*b*B - 5*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(3*a^2*A*b + 3*A*b^3 + a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*(9*A*b + 5*a*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b^2*(a*A - 5*b*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*A*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (2*(9*a^2*A*b + 5*A*b^3 + 3*a^3*B + 15*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(5*a^3*A + 21*a*A*b^2 + 21*a^2*b*B + 21*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^2*(11*A*b + 7*a*B)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(5*a^2*A + 18*A*b^2 + 21*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-9/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (2*(7*a^3*A + 27*a*A*b^2 + 27*a^2*b*B + 15*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(15*a^2*A*b + 7*A*b^3 + 5*a^3*B + 21*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^2*(13*A*b + 9*a*B)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(7*a^2*A + 22*A*b^2 + 27*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(15*a^2*A*b + 7*A*b^3 + 5*a^3*B + 21*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-11/2)*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 10, (2*(21*a^2*A*b + 9*A*b^3 + 7*a^3*B + 27*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(45*a^3*A + 165*a*A*b^2 + 165*a^2*b*B + 77*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*a^2*(15*A*b + 11*a*B)*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*(9*a^2*A + 26*A*b^2 + 33*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(77*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(21*a^2*A*b + 9*A*b^3 + 7*a^3*B + 27*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(45*a^3*A + 165*a*A*b^2 + 165*a^2*b*B + 77*b^3*B)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 11, (2*(5*a*A*b - 5*a^2*B - 3*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*b^3*d) + (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b^2*d) + (2*a^2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*(a + b)*d) - (2*(5*a*A*b - 5*a^2*B - 3*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d) + (2*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d) + (2*B*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 10, -((2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d)) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b*d) - (2*a*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*(a + b)*d) + (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*d) + (2*B*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, -((2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d)) + (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*(a + b)*d) + (2*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a + b)*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*b*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a + b)*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 9, -((2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) + (2*(a^2*A + 3*A*b^2 - 3*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^3*d) - (2*b^2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a + b)*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 10, (2*(3*a^2*A + 5*A*b^2 - 5*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a^3*d) - (2*(a^2 + 3*b^2)*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^4*d) + (2*b^3*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^4*(a + b)*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 11, -(((3*a^2*A*b - 2*A*b^3 - 5*a^3*B + 4*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*(a^2 - b^2)*d)) - ((3*a*A*b - 5*a^2*B + 2*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d) - (a*(3*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 5*a^3*B + 7*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a - b)*b^3*(a + b)^2*d) + ((3*a^2*A*b - 2*A*b^3 - 5*a^3*B + 4*a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((3*a*A*b - 5*a^2*B + 2*b^2*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d) + (a*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 10, ((a*A*b - 3*a^2*B + 2*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*(a^2 - b^2)*d) + ((a^2*A*b - 3*A*b^3 - 3*a^3*B + 5*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a - b)*b^2*(a + b)^2*d) - ((a*A*b - 3*a^2*B + 2*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) + (a*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, -(((A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*(a^2 - b^2)*d)) - ((A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)*d) + ((a^2*A*b + A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a - b)*b*(a + b)^2*d) + (a*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, ((A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)*d) + ((2*a^2*A - A*b^2 - a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) - ((3*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B - a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a - b)*(a + b)^2*d) - ((A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, ((2*a^2*A - 3*A*b^2 + a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) - ((4*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 2*a^3*B + a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) + (b*(5*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 3*a^3*B + a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a - b)*(a + b)^2*d) + (b*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 10, -(((4*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 2*a^3*B + 3*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a^2 - b^2)*d)) + ((2*a^4*A + 16*a^2*A*b^2 - 15*A*b^4 - 12*a^3*b*B + 9*a*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d) - (b^2*(7*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 5*a^3*B + 3*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^4*(a - b)*(a + b)^2*d) + ((2*a^2*A - 5*A*b^2 + 3*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(9/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 12, -(((15*a^4*A*b - 29*a^2*A*b^3 + 8*A*b^5 - 35*a^5*B + 65*a^3*b^2*B - 24*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d)) - ((15*a^3*A*b - 33*a*A*b^3 - 35*a^4*B + 61*a^2*b^2*B - 8*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(12*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - (a*(15*a^4*A*b - 38*a^2*A*b^3 + 35*A*b^5 - 35*a^5*B + 86*a^3*b^2*B - 63*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*b^4*(a + b)^3*d) + ((15*a^4*A*b - 29*a^2*A*b^3 + 8*A*b^5 - 35*a^5*B + 65*a^3*b^2*B - 24*a*b^4*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((15*a^3*A*b - 33*a*A*b^3 - 35*a^4*B + 61*a^2*b^2*B - 8*b^4*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (a*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (a*(3*a^2*A*b - 9*A*b^3 - 7*a^3*B + 13*a*b^2*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 11, ((3*a^3*A*b - 9*a*A*b^3 - 15*a^4*B + 29*a^2*b^2*B - 8*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^2*A*b - 7*A*b^3 - 5*a^3*B + 11*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*a^4*A*b - 6*a^2*A*b^3 + 15*A*b^5 - 15*a^5*B + 38*a^3*b^2*B - 35*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*b^3*(a + b)^3*d) - ((3*a^3*A*b - 9*a*A*b^3 - 15*a^4*B + 29*a^2*b^2*B - 8*b^4*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (a*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (a*(a^2*A*b - 7*A*b^3 - 5*a^3*B + 11*a*b^2*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 10, ((a^2*A*b + 5*A*b^3 + 3*a^3*B - 9*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*a^2*A*b + 3*A*b^3 + a^3*B - 7*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*b*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^4*A*b - 10*a^2*A*b^3 - 3*A*b^5 + 3*a^5*B - 6*a^3*b^2*B + 15*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*(a - b)^2*b^2*(a + b)^3*d) + (a*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (a*(a^2*A*b + 5*A*b^3 + 3*a^3*B - 9*a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 10, -(((5*a^2*A*b + A*b^3 - a^3*B - 5*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*b*(a^2 - b^2)^2*d)) - ((7*a^2*A*b - A*b^3 - 3*a^3*B - 3*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*a^4*A*b + 10*a^2*A*b^3 - A*b^5 + a^5*B - 10*a^3*b^2*B - 3*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*(a - b)^2*b*(a + b)^3*d) + (a*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((3*a^2*A*b + 3*A*b^3 + a^3*B - 7*a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 10, ((9*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 5*a^3*B - a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((8*a^4*A - 5*a^2*A*b^2 + 3*A*b^4 - 7*a^3*b*B + a*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((15*a^4*A*b - 6*a^2*A*b^3 + 3*A*b^5 - 3*a^5*B - 10*a^3*b^2*B + a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^3*(a - b)^2*(a + b)^3*d) - ((A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - ((7*a^2*A*b - A*b^3 - 3*a^3*B - 3*a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 10, ((8*a^4*A - 29*a^2*A*b^2 + 15*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 3*a*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((24*a^4*A*b - 33*a^2*A*b^3 + 15*A*b^5 - 8*a^5*B + 5*a^3*b^2*B - 3*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + (b*(35*a^4*A*b - 38*a^2*A*b^3 + 15*A*b^5 - 15*a^5*B + 6*a^3*b^2*B - 3*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^4*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + (b*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b*(11*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 7*a^3*B + a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 11, -(((24*a^4*A*b - 65*a^2*A*b^3 + 35*A*b^5 - 8*a^5*B + 29*a^3*b^2*B - 15*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((8*a^6*A + 128*a^4*A*b^2 - 223*a^2*A*b^4 + 105*A*b^6 - 72*a^5*b*B + 99*a^3*b^3*B - 45*a*b^5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(12*a^5*(a^2 - b^2)^2*d) - (b^2*(63*a^4*A*b - 86*a^2*A*b^3 + 35*A*b^5 - 35*a^5*B + 38*a^3*b^2*B - 15*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^5*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + ((8*a^4*A - 61*a^2*A*b^2 + 35*A*b^4 + 33*a^3*b*B - 15*a*b^3*B)*Sin[c + d*x])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b*(13*a^2*A*b - 7*A*b^3 - 9*a^3*B + 3*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+b Sec[e+f x])^(m/2) (A+B Sec[e+f x])*)
+
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 13, ((4*A*b + 3*a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((4*a*A*b - a^2*B + 4*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((4*A*b + a*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*b*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((4*A*b + a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d) + (B*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 12, ((2*a*A + b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*A*b + a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (B*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 11, (2*a*B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b*B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*A*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (2*A*(a^2 - b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b + 3*a*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 9, (-2*(a^2 - b^2)*(2*A*b - 5*a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*a^2*A - 2*A*b^2 + 5*a*b*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 10, (2*(a^2 - b^2)*(25*a^2*A + 8*A*b^2 - 14*a*b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(105*a^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(19*a^2*A*b + 8*A*b^3 + 63*a^3*B - 14*a*b^2*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(105*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(25*a^2*A - 4*A*b^2 + 7*a*b*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 14, ((42*a*A*b + 17*a^2*B + 16*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(24*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((6*a^2*A*b + 8*A*b^3 - a^3*B + 12*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((30*a*A*b + 3*a^2*B + 16*b^2*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(24*b*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((30*a*A*b + 3*a^2*B + 16*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b*d) + ((6*A*b + 7*a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d) + (b*B*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 13, ((8*a^2*A + 4*A*b^2 + 7*a*b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((12*a*A*b + 3*a^2*B + 4*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((4*A*b + 5*a*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((4*A*b + 5*a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (b*B*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 12, ((2*a*A*b + 2*a^2*B + b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b*(2*A*b + 3*a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*a*A - b*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 12, (2*(a^2*A - A*b^2 + 3*a*b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(4*A*b + 3*a*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 9, (2*(a^2 - b^2)*(3*A*b + 5*a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*a^2*A + 3*A*b^2 + 20*a*b*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(6*A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 10, (2*(a^2 - b^2)*(25*a^2*A - 6*A*b^2 + 21*a*b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(105*a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(82*a^2*A*b - 6*A*b^3 + 63*a^3*B + 21*a*b^2*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(105*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(8*A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(25*a^2*A + 3*A*b^2 + 42*a*b*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 11, (2*(a^2 - b^2)*(39*a^2*A*b + 8*A*b^3 + 75*a^3*B - 18*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(315*a^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(147*a^4*A + 33*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 246*a^3*b*B - 18*a*b^3*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(315*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*(10*A*b + 9*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(49*a^2*A + 3*A*b^2 + 72*a*b*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(88*a^2*A*b - 4*A*b^3 + 75*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 15, ((472*a^2*A*b + 128*A*b^3 + 133*a^3*B + 356*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(192*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((40*a^3*A*b + 160*a*A*b^3 - 5*a^4*B + 120*a^2*b^2*B + 48*b^4*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((264*a^2*A*b + 128*A*b^3 + 15*a^3*B + 284*a*b^2*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(192*b*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((264*a^2*A*b + 128*A*b^3 + 15*a^3*B + 284*a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b*d) + ((104*a*A*b + 59*a^2*B + 36*b^2*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(96*d) + (b*(8*A*b + 11*a*B)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (b*B*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 14, ((48*a^3*A + 66*a*A*b^2 + 59*a^2*b*B + 16*b^3*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(24*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((30*a^2*A*b + 8*A*b^3 + 5*a^3*B + 20*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((54*a*A*b + 33*a^2*B + 16*b^2*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(24*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((54*a*A*b + 33*a^2*B + 16*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (b*(2*A*b + 3*a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (b*B*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 13, ((16*a^2*A*b + 4*A*b^3 + 8*a^3*B + 11*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b*(20*a*A*b + 15*a^2*B + 4*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((8*a^2*A - 4*A*b^2 - 9*a*b*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (b*(4*A*b + 7*a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (b*B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 13, ((2*a^3*A + 4*a*A*b^2 + 12*a^2*b*B + 3*b^3*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b^2*(2*A*b + 5*a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((14*a*A*b + 6*a^2*B - 3*b^2*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (b*(2*a*A - 3*b*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 13, (2*(8*a^2*A*b - 8*A*b^3 + 5*a^3*B + 10*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^3*B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*a^2*A + 23*A*b^2 + 35*a*b*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(8*A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 10, (2*(a^2 - b^2)*(25*a^2*A + 15*A*b^2 + 56*a*b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(105*a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(145*a^2*A*b + 15*A*b^3 + 63*a^3*B + 161*a*b^2*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(105*a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(10*A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(25*a^2*A + 45*A*b^2 + 77*a*b*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 11, (2*(a^2 - b^2)*(114*a^2*A*b - 10*A*b^3 + 75*a^3*B + 45*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(315*a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(147*a^4*A + 279*a^2*A*b^2 - 10*A*b^4 + 435*a^3*b*B + 45*a*b^3*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(315*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(4*A*b + 3*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(49*a^2*A + 75*A*b^2 + 135*a*b*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(163*a^2*A*b + 5*A*b^3 + 75*a^3*B + 135*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sec[c + d*x]^(11/2), x, 12, (2*(a^2 - b^2)*(675*a^4*A + 285*a^2*A*b^2 + 40*A*b^4 + 1254*a^3*b*B - 110*a*b^3*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3465*a^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(3705*a^4*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3465*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(14*A*b + 11*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*(81*a^2*A + 113*A*b^2 + 209*a*b*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(1145*a^2*A*b + 15*A*b^3 + 539*a^3*B + 825*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(675*a^4*A + 1025*a^2*A*b^2 - 20*A*b^4 + 1793*a^3*b*B + 55*a*b^3*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 13, ((4*A*b - a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((4*a*A*b - 3*a^2*B - 4*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((4*A*b - 3*a*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*b^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((4*A*b - 3*a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d) + (B*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 12, (B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*A*b - a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (B*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 7, (2*A*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x, 7, (-2*(A*b - a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*A*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x, 8, (2*(a^2*A + 2*A*b^2 - 3*a*b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(2*A*b - 3*a*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x, 9, (-2*(7*a^2*A*b + 8*A*b^3 - 5*a^3*B - 10*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*a^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*a^2*A + 8*A*b^2 - 10*a*b*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*(4*A*b - 5*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 13, (B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*A*b - 3*a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*a*A*b - 3*a^2*B + b^2*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((2*a*A*b - 3*a^2*B + b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 9, (2*B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b - a*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, (2*A*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b - a*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 8, (-2*(2*A*b - a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(a^2*A - 2*A*b^2 + a*b*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 9, (2*(a^2*A + 8*A*b^2 - 6*a*b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(5*a^2*A*b - 8*A*b^3 - 3*a^3*B + 6*a*b^2*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(a^2*A - 4*A*b^2 + 3*a*b*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 10, (-2*(12*a^2*A*b + 48*A*b^3 - 5*a^3*B - 40*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*a^4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*a^4*A + 24*a^2*A*b^2 - 48*A*b^4 - 25*a^3*b*B + 40*a*b^3*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(a^2*A - 6*A*b^2 + 5*a*b*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*(9*a^2*A*b - 24*A*b^3 - 5*a^3*B + 20*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 13, (2*(A*b - a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(4*A*b^3 + 3*a^3*B - 7*a*b^2*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*a*(4*A*b^3 + 3*a^3*B - 7*a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 9, (-2*(A*b - a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(3*a^2*A + A*b^2 - 4*a*b*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*(2*a^2*A*b + 2*A*b^3 + a^3*B - 5*a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 9, (2*(3*a^2*A - 2*A*b^2 - a*b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(6*a^2*A*b - 2*A*b^3 - 3*a^3*B - a*b^2*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*(5*a^2*A*b - A*b^3 - 2*a^3*B - 2*a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 9, (-2*(9*a^2*A*b - 8*A*b^3 - 3*a^3*B + 2*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(3*a^4*A - 15*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 2*a*b^3*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(8*a^2*A*b - 4*A*b^3 - 5*a^3*B + a*b^2*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 10, (2*(a^4*A + 16*a^2*A*b^2 - 16*A*b^4 - 9*a^3*b*B + 8*a*b^3*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(8*a^4*A*b - 28*a^2*A*b^3 + 16*A*b^5 - 3*a^5*B + 15*a^3*b^2*B - 8*a*b^4*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(10*a^2*A*b - 6*A*b^3 - 7*a^3*B + 3*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(a^4*A - 13*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 8*a^3*b*B - 4*a*b^3*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 11, (-2*(17*a^4*A*b + 116*a^2*A*b^3 - 128*A*b^5 - 5*a^5*B - 80*a^3*b^2*B + 80*a*b^4*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*a^5*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*a^6*A + 55*a^4*A*b^2 - 212*a^2*A*b^4 + 128*A*b^6 - 40*a^5*b*B + 140*a^3*b^3*B - 80*a*b^5*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^5*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(12*a^2*A*b - 8*A*b^3 - 9*a^3*B + 5*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(3*a^4*A - 71*a^2*A*b^2 + 48*A*b^4 + 50*a^3*b*B - 30*a*b^3*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*(14*a^4*A*b - 98*a^2*A*b^3 + 64*A*b^5 - 5*a^5*B + 65*a^3*b^2*B - 40*a*b^4*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+b Sec[e+f x])^(m/3) (A+B Sec[e+f x])*)
+
+
+{(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 4, (Sqrt[2]*B*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) + A*Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x]}
+{(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 4, (Sqrt[2]*B*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) + A*Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x]}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 4, (Sqrt[2]*B*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)) + A*Unintegrable[1/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x]}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 4, (Sqrt[2]*B*AppellF1[1/2, 1/2, 2/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)) + A*Unintegrable[1/(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x]) with m and/or n symbolic*)
+
+
+{(c*Sec[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])^m*(A + B*Sec[e + f*x]), x, 0, Unintegrable[(c*Sec[e + f*x])^n*(a + b*Sec[e + f*x])^m*(A + B*Sec[e + f*x]), x]}
+
+
+{Sec[c + d*x]^m*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 9, If[$VersionNumber>=8, (b*(A*b^3*(8 + 6*m + m^2) + 4*a*b^2*B*(8 + 6*m + m^2) + 2*a^3*B*(19 + 8*m + m^2) + a^2*A*b*(68 + 37*m + 5*m^2))*Sec[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m)*(3 + m)*(4 + m)) + (b^2*(b^2*B*(3 + m)^2 + 2*a*A*b*(4 + m)^2 + a^2*B*(26 + 9*m + m^2))*Sec[c + d*x]^(2 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)) + (b*(A*b*(4 + m) + a*B*(7 + m))*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*(3 + m)*(4 + m)) + (b*B*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(d*(4 + m)) - ((A*b^4*m*(2 + m) + 4*a*b^3*B*m*(2 + m) + 6*a^2*A*b^2*m*(3 + m) + 4*a^3*b*B*m*(3 + m) + a^4*A*(3 + 4*m + m^2))*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - m)/2, (3 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - m)*(1 + m)*(3 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + ((b^4*B*(3 + 4*m + m^2) + 4*a*A*b^3*(4 + 5*m + m^2) + 6*a^2*b^2*B*(4 + 5*m + m^2) + 4*a^3*A*b*(8 + 6*m + m^2) + a^4*B*(8 + 6*m + m^2))*Hypergeometric2F1[1/2, -(m/2), (2 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(d*m*(2 + m)*(4 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (b*(A*b^3*(8 + 6*m + m^2) + 4*a*b^2*B*(8 + 6*m + m^2) + 2*a^3*B*(19 + 8*m + m^2) + a^2*A*b*(68 + 37*m + 5*m^2))*Sec[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(4 + m)*(3 + 4*m + m^2)) + (b^2*(b^2*B*(3 + m)^2 + 2*a*A*b*(4 + m)^2 + a^2*B*(26 + 9*m + m^2))*Sec[c + d*x]^(2 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(4 + m)*(6 + 5*m + m^2)) + (b*(A*b*(4 + m) + a*B*(7 + m))*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*(3 + m)*(4 + m)) + (b*B*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(d*(4 + m)) - ((A*b^4*m*(2 + m) + 4*a*b^3*B*m*(2 + m) + 6*a^2*A*b^2*m*(3 + m) + 4*a^3*b*B*m*(3 + m) + a^4*A*(3 + 4*m + m^2))*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - m)/2, (3 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(3 + m)*(1 - m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + ((b^4*B*(3 + 4*m + m^2) + 4*a*A*b^3*(4 + 5*m + m^2) + 6*a^2*b^2*B*(4 + 5*m + m^2) + 4*a^3*A*b*(8 + 6*m + m^2) + a^4*B*(8 + 6*m + m^2))*Hypergeometric2F1[1/2, -(m/2), (2 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(d*m*(2 + m)*(4 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Sec[c + d*x]^m*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (b*(b^2*B*(2 + m) + 3*a*A*b*(3 + m) + 2*a^2*B*(4 + m))*Sec[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m)*(3 + m)) + (b^2*(A*b*(3 + m) + a*B*(5 + m))*Sec[c + d*x]^(2 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)*(3 + m)) + (b*B*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*(3 + m)) - ((b^3*B*m*(2 + m) + 3*a*A*b^2*m*(3 + m) + 3*a^2*b*B*m*(3 + m) + a^3*A*(3 + 4*m + m^2))*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - m)/2, (3 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(3 + m)*(1 - m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + ((A*b^3*(1 + m) + 3*a*b^2*B*(1 + m) + 3*a^2*A*b*(2 + m) + a^3*B*(2 + m))*Hypergeometric2F1[1/2, -(m/2), (2 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(d*m*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]^m*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (b*(A*b*(2 + m) + a*B*(3 + m))*Sec[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m)*(2 + m)) + (b*B*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(a + b*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)) - ((A*b^2*m + 2*a*b*B*m + a^2*A*(1 + m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - m)/2, (3 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + ((b^2*B*(1 + m) + a*(2*A*b + a*B)*(2 + m))*Hypergeometric2F1[1/2, -(m/2), (2 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(d*m*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Sec[c + d*x]^m*(A + B*Sec[c + d*x])*(a + b*Sec[c + d*x])^1, x, 6, (b*B*Sec[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m)) - ((b*B*m + a*A*(1 + m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - m)/2, (3 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + ((A*b + a*B)*Hypergeometric2F1[1/2, -(m/2), (2 - m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(d*m*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 8, (6*a*(A + B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*a*(5*A + 7*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a*(5*A + 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(A + B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, (2*a*(3*A + 5*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*a*(A + B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (2*a*(A + B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*a*(A + 3*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (2*a*(A - B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*a*(A + B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*a*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 7, (-2*a*(A + B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*a*(3*A + B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(A + B)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 8, (-2*a*(5*A + 3*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*a*(A + B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(A + B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(5*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 9, (4*a^2*(8*A + 9*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (4*a^2*(5*A + 6*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (4*a^2*(5*A + 6*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (4*a^2*(8*A + 9*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*a^2*(11*A + 9*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 8, (4*a^2*(3*A + 4*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (4*a^2*(6*A + 7*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (4*a^2*(6*A + 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a^2*(9*A + 7*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, (4*a^2*(4*A + 5*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (4*a^2*(A + 2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*(7*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, (4*a^2*A*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (4*a^2*(2*A + 3*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*(A - 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*B*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, -((4*a^2*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (4*a^2*(3*A + 2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*(3*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*B*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 8, -((4*a^2*(5*A + 4*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (4*a^2*(2*A + B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*(5*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(5*A + 4*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*B*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 9, -((4*a^2*(4*A + 3*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (4*a^2*(7*A + 6*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a^2*(7*A + 9*B)*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^2*(7*A + 6*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(4*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*B*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (3*(7*A - 5*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a*d) - (5*(A - B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a*d) - (5*(A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d) + ((7*A - 5*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - ((A - B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, -((3*(A - B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d)) + ((5*A - 3*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a*d) + ((5*A - 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - ((A - B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, ((3*A - B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d) - ((A - B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d) - ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 5, -(((A - B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d)) + ((A + B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d) + ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 6, ((A - 3*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d) + ((A - B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d) - ((A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 7, -((3*(A - B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d)) - ((3*A - 5*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a*d) - ((3*A - 5*B)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (3*(A - B)*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (7*(8*A - 5*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a^2*d) - (5*(3*A - 2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) - (5*(3*A - 2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + (7*(8*A - 5*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) - ((3*A - 2*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -(((7*A - 4*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d)) + (5*(2*A - B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) + (5*(2*A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((7*A - 4*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, ((4*A - B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d) - ((5*A - 2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) - ((5*A - 2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 6, -((A*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d)) + ((2*A + B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) + (A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 6, (B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d) + ((A + 2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) - (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 7, ((A - 4*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d) + ((2*A - 5*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) - ((A - 4*B)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((2*A - 5*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(1 + Cos[c + d*x])) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 8, -(((4*A - 7*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d)) - (5*(A - 2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) - (5*(A - 2*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((4*A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((4*A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(1 + Cos[c + d*x])) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -((7*(17*A - 7*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d)) + ((33*A - 13*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(6*a^3*d) + ((33*A - 13*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d) - ((A - B)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((2*A - B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - (7*(17*A - 7*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(30*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 7, ((49*A - 9*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d) - ((13*A - 3*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(6*a^3*d) - ((A - B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((8*A - 3*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((13*A - 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 7, -(((9*A + B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d)) + ((3*A + B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(6*a^3*d) - ((A - B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((6*A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((9*A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 7, -(((A - B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d)) + ((A + B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(6*a^3*d) - ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((4*A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 7, ((A + 9*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d) + ((A + 3*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(6*a^3*d) + ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((A - 6*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((A + 9*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 8, ((9*A - 49*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d) + ((3*A - 13*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(6*a^3*d) - ((9*A - 49*B)*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((3*A - 8*B)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((3*A - 13*B)*Sin[c + d*x])/(6*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (A+B Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (32*a*(8*A + 9*B)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a*(8*A + 9*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (4*a*(8*A + 9*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(8*A + 9*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 5, (16*a*(6*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a*(6*A + 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(6*A + 7*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 4, (4*a*(4*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(4*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 3, (2*a*(A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 4, (2*Sqrt[a]*B*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 4, (Sqrt[a]*(2*A + B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (a*B*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 5, (Sqrt[a]*(4*A + 3*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (a*B*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(4*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 6, (Sqrt[a]*(6*A + 5*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(6*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(12*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(6*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, (32*a^2*(168*A + 187*B)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*(168*A + 187*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (4*a^2*(168*A + 187*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(168*A + 187*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(12*A + 11*B)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(99*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(9/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (16*a^2*(34*A + 39*B)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a^2*(34*A + 39*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(34*A + 39*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(10*A + 9*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 5, (4*a^2*(52*A + 63*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(52*A + 63*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(8*A + 7*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 4, (8*a^2*(3*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(3*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 5, (2*a^(3/2)*B*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^2*(4*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 5, (a^(3/2)*(2*A + 3*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (a^2*(2*A - B)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*B*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 5, (a^(3/2)*(12*A + 7*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (a^2*(4*A + 5*B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*B*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 6, (a^(3/2)*(14*A + 11*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*(6*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(12*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(14*A + 11*B)*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*B*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 7, (a^(3/2)*(88*A + 75*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*d) + (a^2*(8*A + 9*B)*Sin[c + d*x])/(24*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(88*A + 75*B)*Sin[c + d*x])/(96*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(88*A + 75*B)*Sin[c + d*x])/(64*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*B*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, (16*a^3*(710*A + 803*B)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a^3*(710*A + 803*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(710*A + 803*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(194*A + 209*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(14*A + 11*B)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (4*a^3*(292*A + 345*B)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(292*A + 345*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(124*A + 135*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(4*A + 3*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 5, (64*a^3*(5*A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*(5*A + 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*a*(5*A + 7*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (2*a^(5/2)*B*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^3*(32*A + 35*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(8*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (a^(5/2)*(2*A + 5*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (a^3*(14*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a^2*(2*A - 3*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (a^(5/2)*(20*A + 19*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (a^3*(4*A - 9*B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(4*A + 7*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (a*B*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 6, (a^(5/2)*(38*A + 25*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*(54*A + 49*B)*Sin[c + d*x])/(24*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(2*A + 3*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (a*B*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 7, (a^(5/2)*(200*A + 163*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*d) + (a^3*(104*A + 95*B)*Sin[c + d*x])/(96*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(200*A + 163*B)*Sin[c + d*x])/(64*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(8*A + 11*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (a*B*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 8, (a^(5/2)*(326*A + 283*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(128*d) + (a^3*(170*A + 157*B)*Sin[c + d*x])/(240*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(326*A + 283*B)*Sin[c + d*x])/(192*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(326*A + 283*B)*Sin[c + d*x])/(128*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(10*A + 13*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(40*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (a*B*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (2*(43*A - 91*B)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(31*A - 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*(A - 7*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, -((Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (2*(13*A - 5*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*(A - 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 5, (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (2*(A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 4, -((Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (2*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 6, (2*B*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 7, ((2*A - B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (B*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 8, -(((4*A - 7*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (B*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((4*A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, -(((15*A - 11*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A - B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((147*A - 95*B)*Sin[c + d*x])/(30*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((39*A - 35*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(30*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((9*A - 5*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, ((11*A - 7*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((19*A - 15*B)*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((7*A - 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, -(((7*A - 3*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((5*A - B)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 4, ((3*A + B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 7, (2*B*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) + ((A - 5*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 8, ((2*A - 3*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) - ((5*A - 9*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 9, -(((12*A - 19*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^(3/2)*d)) + ((9*A - 13*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((A - 2*B)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((6*A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(4*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, -(((283*A - 163*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A - B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((21*A - 13*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((2671*A - 1495*B)*Sin[c + d*x])/(240*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((787*A - 475*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((157*A - 85*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(80*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, ((163*A - 75*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((17*A - 9*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((299*A - 147*B)*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((95*A - 39*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, -(((75*A - 19*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((13*A - 5*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((49*A - 9*B)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 6, ((19*A + 5*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((5*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((9*A - B)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 5, ((5*A + 3*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((5*A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 8, (2*B*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + ((3*A - 43*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((3*A - 11*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 9, ((2*A - 5*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) - ((43*A - 115*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((A - B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((7*A - 15*B)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((11*A - 35*B)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(n/2) (a+b Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 8, (6*(A*b + a*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(5*a*A + 7*b*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(5*a*A + 7*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(A*b + a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, (2*(3*a*A + 5*b*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(A*b + a*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*(A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (2*(A*b + a*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*(a*A + 3*b*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (2*(a*A - b*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*(A*b + a*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*b*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + b*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x])/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 7, (-2*(A*b + a*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*(3*a*A + b*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*b*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + b*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x])/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 8, (-2*(5*a*A + 3*b*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*(A*b + a*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*b*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*a*A + 3*b*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 7, (2*(6*a*A*b + 3*a^2*B + 5*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(5*a^2*A + 7*b*(A*b + 2*a*B))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(5*a^2*A + 7*b*(A*b + 2*a*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(9*A*b + 7*a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b + a*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (2*(3*a^2*A + 5*b*(A*b + 2*a*B))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(2*a*A*b + a^2*B + 3*b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*(7*A*b + 5*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b + a*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (2*(2*a*A*b + a^2*B - b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*(a^2*A + 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*b^2*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 6, (2*(a^2*A - A*b^2 - 2*a*b*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*(6*a*A*b + 3*a^2*B + b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*b^2*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*b*(A*b + 2*a*B)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x])/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 7, -((2*(10*a*A*b + 5*a^2*B + 3*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(3*a^2*A + A*b^2 + 2*a*b*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*b^2*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*b*(A*b + 2*a*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(10*a*A*b + 5*a^2*B + 3*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + b*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x])/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 8, -((2*(5*a^2*A + 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(14*a*A*b + 7*a^2*B + 5*b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*b^2*B*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*b*(A*b + 2*a*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(14*a*A*b + 7*a^2*B + 5*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*a^2*A + 3*A*b^2 + 6*a*b*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, (2*(3*a^2*A + 5*A*b^2 - 5*a*b*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a^3*d) - (2*(a^2 + 3*b^2)*(A*b - a*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^4*d) + (2*b^3*(A*b - a*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^4*(a + b)*d) - (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d)}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, (-2*(A*b - a*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d) + (2*(a^2*A + 3*A*b^2 - 3*a*b*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^3*d) - (2*b^2*(A*b - a*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(a^3*(a + b)*d) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{(Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, (2*A*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) - (2*(A*b - a*B)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d) + (2*b*(A*b - a*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(a^2*(a + b)*d)}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])), x, 4, (2*A*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d) - (2*(A*b - a*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a + b)*d)}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])), x, 6, (-2*B*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(b*d) + (2*(A*b - a*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(b*(a + b)*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])), x, 8, (-2*(A*b - a*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(b^2*d) + (2*B*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*b*d) - (2*a*(A*b - a*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (c + d*x)/2, 2])/(b^2*(a + b)*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])), x, 9, (2*(5*a*A*b - 5*a^2*B - 3*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d) + (2*(A*b - a*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^2*d) + (2*a^2*(A*b - a*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*(a + b)*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - (2*(5*a*A*b - 5*a^2*B - 3*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, -(((4*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 2*a^3*B + 3*a*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a^2 - b^2)*d)) + ((2*a^4*A + 16*a^2*A*b^2 - 15*A*b^4 - 12*a^3*b*B + 9*a*b^3*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d) - (b^2*(7*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 5*a^3*B + 3*a*b^2*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^4*(a - b)*(a + b)^2*d) + ((2*a^2*A - 5*A*b^2 + 3*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, ((2*a^2*A - 3*A*b^2 + a*b*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) - ((4*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 2*a^3*B + a*b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) + (b*(5*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 3*a^3*B + a*b^2*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a - b)*(a + b)^2*d) + (b*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2), x, 7, ((A*b - a*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a^2 - b^2)*d) + ((2*a^2*A - A*b^2 - a*b*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) - ((3*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B - a*b^2*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a - b)*(a + b)^2*d) - ((A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2), x, 7, -(((A*b - a*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*(a^2 - b^2)*d)) - ((A*b - a*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a^2 - b^2)*d) + ((a^2*A*b + A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a*(a - b)*b*(a + b)^2*d) + (a*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2), x, 8, ((a*A*b - 3*a^2*B + 2*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b - a*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*(a^2 - b^2)*d) + ((a^2*A*b - 3*A*b^3 - 3*a^3*B + 5*a*b^2*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a - b)*b^2*(a + b)^2*d) - ((a*A*b - 3*a^2*B + 2*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2), x, 9, -(((3*a^2*A*b - 2*A*b^3 - 5*a^3*B + 4*a*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*(a^2 - b^2)*d)) - ((3*a*A*b - 5*a^2*B + 2*b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d) - (a*(3*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 5*a^3*B + 7*a*b^2*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a - b)*b^3*(a + b)^2*d) - ((3*a*A*b - 5*a^2*B + 2*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((3*a^2*A*b - 2*A*b^3 - 5*a^3*B + 4*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, -(((24*a^4*A*b - 65*a^2*A*b^3 + 35*A*b^5 - 8*a^5*B + 29*a^3*b^2*B - 15*a*b^4*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((8*a^6*A + 128*a^4*A*b^2 - 223*a^2*A*b^4 + 105*A*b^6 - 72*a^5*b*B + 99*a^3*b^3*B - 45*a*b^5*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(12*a^5*(a^2 - b^2)^2*d) - (b^2*(63*a^4*A*b - 86*a^2*A*b^3 + 35*A*b^5 - 35*a^5*B + 38*a^3*b^2*B - 15*a*b^4*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^5*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + ((8*a^4*A - 61*a^2*A*b^2 + 35*A*b^4 + 33*a^3*b*B - 15*a*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + (b*(13*a^2*A*b - 7*A*b^3 - 9*a^3*B + 3*a*b^2*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, ((8*a^4*A - 29*a^2*A*b^2 + 15*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 3*a*b^3*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((24*a^4*A*b - 33*a^2*A*b^3 + 15*A*b^5 - 8*a^5*B + 5*a^3*b^2*B - 3*a*b^4*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + (b*(35*a^4*A*b - 38*a^2*A*b^3 + 15*A*b^5 - 15*a^5*B + 6*a^3*b^2*B - 3*a*b^4*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^4*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + (b*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + (b*(11*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 7*a^3*B + a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^3), x, 8, ((9*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 5*a^3*B - a*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((8*a^4*A - 5*a^2*A*b^2 + 3*A*b^4 - 7*a^3*b*B + a*b^3*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((15*a^4*A*b - 6*a^2*A*b^3 + 3*A*b^5 - 3*a^5*B - 10*a^3*b^2*B + a*b^4*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^3*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + (b*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) - ((9*a^2*A*b - 3*A*b^3 - 5*a^3*B - a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3), x, 8, -(((5*a^2*A*b + A*b^3 - a^3*B - 5*a*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*b*(a^2 - b^2)^2*d)) - ((7*a^2*A*b - A*b^3 - 3*a^3*B - 3*a*b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*a^4*A*b + 10*a^2*A*b^3 - A*b^5 + a^5*B - 10*a^3*b^2*B - 3*a*b^4*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*(a - b)^2*b*(a + b)^3*d) - ((A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + ((5*a^2*A*b + A*b^3 - a^3*B - 5*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3), x, 8, ((a^2*A*b + 5*A*b^3 + 3*a^3*B - 9*a*b^2*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*a^2*A*b + 3*A*b^3 + a^3*B - 7*a*b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*b*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^4*A*b - 10*a^2*A*b^3 - 3*A*b^5 + 3*a^5*B - 6*a^3*b^2*B + 15*a*b^4*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*(a - b)^2*b^2*(a + b)^3*d) + (a*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) - (a*(a^2*A*b + 5*A*b^3 + 3*a^3*B - 9*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3), x, 9, ((3*a^3*A*b - 9*a*A*b^3 - 15*a^4*B + 29*a^2*b^2*B - 8*b^4*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^2*A*b - 7*A*b^3 - 5*a^3*B + 11*a*b^2*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*a^4*A*b - 6*a^2*A*b^3 + 15*A*b^5 - 15*a^5*B + 38*a^3*b^2*B - 35*a*b^4*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*(a - b)^2*b^3*(a + b)^3*d) - ((3*a^3*A*b - 9*a*A*b^3 - 15*a^4*B + 29*a^2*b^2*B - 8*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + (a*(a^2*A*b - 7*A*b^3 - 5*a^3*B + 11*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3), x, 10, -(((15*a^4*A*b - 29*a^2*A*b^3 + 8*A*b^5 - 35*a^5*B + 65*a^3*b^2*B - 24*a*b^4*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d)) - ((15*a^3*A*b - 33*a*A*b^3 - 35*a^4*B + 61*a^2*b^2*B - 8*b^4*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(12*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - (a*(15*a^4*A*b - 38*a^2*A*b^3 + 35*A*b^5 - 35*a^5*B + 86*a^3*b^2*B - 63*a*b^4*B)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*(a - b)^2*b^4*(a + b)^3*d) - ((15*a^3*A*b - 33*a*A*b^3 - 35*a^4*B + 61*a^2*b^2*B - 8*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(12*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((15*a^4*A*b - 29*a^2*A*b^3 + 8*A*b^5 - 35*a^5*B + 65*a^3*b^2*B - 24*a*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + (a*(3*a^2*A*b - 9*A*b^3 - 7*a^3*B + 13*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(n/2) (a+b Sec[e+f x])^(m/2) (A+B Sec[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 11, (2*(a^2 - b^2)*(25*a^2*A + 8*A*b^2 - 14*a*b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(105*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(19*a^2*A*b + 8*A*b^3 + 63*a^3*B - 14*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(105*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(25*a^2*A - 4*A*b^2 + 7*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a^2*d) + (2*(A*b + 7*a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*a*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 10, (-2*(a^2 - b^2)*(2*A*b - 5*a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(15*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*a^2*A - 2*A*b^2 + 5*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(A*b + 5*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 9, (2*A*(a^2 - b^2)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b + 3*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 12, (2*a*B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b*B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)])}
+{(Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 13, ((2*a*A + b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*A*b + a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (B*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 14, ((4*A*b + 3*a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((4*a*A*b - a^2*B + 4*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(4*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((4*A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*b*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (B*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((4*A*b + a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 12, (2*(a^2 - b^2)*(39*a^2*A*b + 8*A*b^3 + 75*a^3*B - 18*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(315*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(147*a^4*A + 33*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 246*a^3*b*B - 18*a*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(315*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(88*a^2*A*b - 4*A*b^3 + 75*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a^2*d) + (2*(49*a^2*A + 3*A*b^2 + 72*a*b*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d) + (2*(10*A*b + 9*a*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 11, (2*(a^2 - b^2)*(25*a^2*A - 6*A*b^2 + 21*a*b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(105*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(82*a^2*A*b - 6*A*b^3 + 63*a^3*B + 21*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(105*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(25*a^2*A + 3*A*b^2 + 42*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a*d) + (2*(8*A*b + 7*a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 10, (2*(a^2 - b^2)*(3*A*b + 5*a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(15*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*a^2*A + 3*A*b^2 + 20*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(6*A*b + 5*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 13, (2*(a^2*A - A*b^2 + 3*a*b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(4*A*b + 3*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*a*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 13, ((2*a*A*b + 2*a^2*B + b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b*(2*A*b + 3*a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*a*A - b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (b*B*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 14, ((8*a^2*A + 4*A*b^2 + 7*a*b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((12*a*A*b + 3*a^2*B + 4*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((4*A*b + 5*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (b*B*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((4*A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 15, ((42*a*A*b + 17*a^2*B + 16*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((6*a^2*A*b + 8*A*b^3 - a^3*B + 12*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(8*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((30*a*A*b + 3*a^2*B + 16*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(24*b*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (b*B*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + ((6*A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((30*a*A*b + 3*a^2*B + 16*b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 13, (2*(a^2 - b^2)*(675*a^4*A + 285*a^2*A*b^2 + 40*A*b^4 + 1254*a^3*b*B - 110*a*b^3*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3465*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(3705*a^4*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3465*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(675*a^4*A + 1025*a^2*A*b^2 - 20*A*b^4 + 1793*a^3*b*B + 55*a*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*a^2*d) + (2*(1145*a^2*A*b + 15*A*b^3 + 539*a^3*B + 825*a*b^2*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*a*d) + (2*(81*a^2*A + 113*A*b^2 + 209*a*b*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*a*(14*A*b + 11*a*B)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 12, (2*(a^2 - b^2)*(114*a^2*A*b - 10*A*b^3 + 75*a^3*B + 45*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(315*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(147*a^4*A + 279*a^2*A*b^2 - 10*A*b^4 + 435*a^3*b*B + 45*a*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(315*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(163*a^2*A*b + 5*A*b^3 + 75*a^3*B + 135*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d) + (2*(49*a^2*A + 75*A*b^2 + 135*a*b*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*a*(4*A*b + 3*a*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 11, (2*(a^2 - b^2)*(25*a^2*A + 15*A*b^2 + 56*a*b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(105*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(145*a^2*A*b + 15*A*b^3 + 63*a^3*B + 161*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(105*a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(25*a^2*A + 45*A*b^2 + 77*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*a*(10*A*b + 7*a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 14, (2*(8*a^2*A*b - 8*A*b^3 + 5*a^3*B + 10*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^3*B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*a^2*A + 23*A*b^2 + 35*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*a*(8*A*b + 5*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 14, ((2*a^3*A + 4*a*A*b^2 + 12*a^2*b*B + 3*b^3*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b^2*(2*A*b + 5*a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((14*a*A*b + 6*a^2*B - 3*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (b*(2*a*A - 3*b*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]), x, 14, ((16*a^2*A*b + 4*A*b^3 + 8*a^3*B + 11*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b*(20*a*A*b + 15*a^2*B + 4*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((8*a^2*A - 4*A*b^2 - 9*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (b*(4*A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*B*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 15, ((48*a^3*A + 66*a*A*b^2 + 59*a^2*b*B + 16*b^3*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((30*a^2*A*b + 8*A*b^3 + 5*a^3*B + 20*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(8*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((54*a*A*b + 33*a^2*B + 16*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(24*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (b*(2*A*b + 3*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((54*a*A*b + 33*a^2*B + 16*b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*B*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 16, ((472*a^2*A*b + 128*A*b^3 + 133*a^3*B + 356*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(192*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((40*a^3*A*b + 160*a*A*b^3 - 5*a^4*B + 120*a^2*b^2*B + 48*b^4*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(64*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((264*a^2*A*b + 128*A*b^3 + 15*a^3*B + 284*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(192*b*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (b*(8*A*b + 11*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + ((104*a*A*b + 59*a^2*B + 36*b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(96*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((264*a^2*A*b + 128*A*b^3 + 15*a^3*B + 284*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (b*B*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 10, (-2*(7*a^2*A*b + 8*A*b^3 - 5*a^3*B - 10*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(15*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*a^2*A + 8*A*b^2 - 10*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(4*A*b - 5*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d)}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 9, (2*(a^2*A + 2*A*b^2 - 3*a*b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(2*A*b - 3*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 8, (-2*(A*b - a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x, 8, (2*A*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x, 13, (B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*A*b - a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (B*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x, 14, ((4*A*b - a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(4*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((4*a*A*b - 3*a^2*B - 4*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(4*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((4*A*b - 3*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*b^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (B*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((4*A*b - 3*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 11, (-2*(12*a^2*A*b + 48*A*b^3 - 5*a^3*B - 40*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(15*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*a^4*A + 24*a^2*A*b^2 - 48*A*b^4 - 25*a^3*b*B + 40*a*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*b*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(9*a^2*A*b - 24*A*b^3 - 5*a^3*B + 20*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^3*(a^2 - b^2)*d) + (2*(a^2*A - 6*A*b^2 + 5*a*b*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 10, (2*(a^2*A + 8*A*b^2 - 6*a*b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(5*a^2*A*b - 8*A*b^3 - 3*a^3*B + 6*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(a^2*A - 4*A*b^2 + 3*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 9, (-2*(2*A*b - a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(a^2*A - 2*A*b^2 + a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 9, (2*A*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 10, (2*B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 14, (B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*A*b - 3*a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*a*A*b - 3*a^2*B + b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((2*a*A*b - 3*a^2*B + b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 15, ((4*A*b - 5*a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(4*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((12*a*A*b - 15*a^2*B - 4*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(4*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((12*a^2*A*b - 4*A*b^3 - 15*a^3*B + 7*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((4*a*A*b - 5*a^2*B + b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((12*a^2*A*b - 4*A*b^3 - 15*a^3*B + 7*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 12, (-2*(17*a^4*A*b + 116*a^2*A*b^3 - 128*A*b^5 - 5*a^5*B - 80*a^3*b^2*B + 80*a*b^4*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(15*a^5*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*a^6*A + 55*a^4*A*b^2 - 212*a^2*A*b^4 + 128*A*b^6 - 40*a^5*b*B + 140*a^3*b^3*B - 80*a*b^5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^5*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*b*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(12*a^2*A*b - 8*A*b^3 - 9*a^3*B + 5*a*b^2*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(14*a^4*A*b - 98*a^2*A*b^3 + 64*A*b^5 - 5*a^5*B + 65*a^3*b^2*B - 40*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + (2*(3*a^4*A - 71*a^2*A*b^2 + 48*A*b^4 + 50*a^3*b*B - 30*a*b^3*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 11, (2*(a^4*A + 16*a^2*A*b^2 - 16*A*b^4 - 9*a^3*b*B + 8*a*b^3*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(8*a^4*A*b - 28*a^2*A*b^3 + 16*A*b^5 - 3*a^5*B + 15*a^3*b^2*B - 8*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(10*a^2*A*b - 6*A*b^3 - 7*a^3*B + 3*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(a^4*A - 13*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 8*a^3*b*B - 4*a*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 10, (-2*(9*a^2*A*b - 8*A*b^3 - 3*a^3*B + 2*a*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(3*a^4*A - 15*a^2*A*b^2 + 8*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 2*a*b^3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*b*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(8*a^2*A*b - 4*A*b^3 - 5*a^3*B + a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 10, (2*(3*a^2*A - 2*A*b^2 - a*b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(6*a^2*A*b - 2*A*b^3 - 3*a^3*B - a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*(5*a^2*A*b - A*b^3 - 2*a^3*B - 2*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 10, (-2*(A*b - a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(3*a^2*A + A*b^2 - 4*a*b*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*(2*a^2*A*b + 2*A*b^3 + a^3*B - 5*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 14, (2*(A*b - a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(4*A*b^3 + 3*a^3*B - 7*a*b^2*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*a*(4*A*b^3 + 3*a^3*B - 7*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x])/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 15, -((2*a*A*b - 5*a^2*B + 3*b^2*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*A*b - 5*a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((6*a^3*A*b - 14*a*A*b^3 - 15*a^4*B + 26*a^2*b^2*B - 3*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*a*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*(2*a^2*A*b - 6*A*b^3 - 5*a^3*B + 9*a*b^2*B)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((6*a^3*A*b - 14*a*A*b^3 - 15*a^4*B + 26*a^2*b^2*B - 3*b^4*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.4.1 (a+b sec)^m (A+B sec+C sec^2).m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.4.1 (a+b sec)^m (A+B sec+C sec^2).m
new file mode 100644
index 00000000..e3560731
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.4.1 (a+b sec)^m (A+B sec+C sec^2).m	
@@ -0,0 +1,137 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (b Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sec[e+f x])^m (A+C Sec[e+f x]^2)*)
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^m (A+C Sec[e+f x]^2)*)
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+{Sec[c + d*x]^6*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 3, ((7*A + 6*C)*Tan[c + d*x])/(7*d) + (C*Sec[c + d*x]^6*Tan[c + d*x])/(7*d) + (2*(7*A + 6*C)*Tan[c + d*x]^3)/(21*d) + ((7*A + 6*C)*Tan[c + d*x]^5)/(35*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, ((6*A + 5*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + ((6*A + 5*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + ((6*A + 5*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(24*d) + (C*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 3, ((5*A + 4*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (C*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((5*A + 4*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 3, ((4*A + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((4*A + 3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (C*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 3, ((3*A + 2*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (C*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 2, ((2*A + C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (C*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 3, A*x + (C*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 2, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (A*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 2, (1/2)*(A + 2*C)*x + (A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 3, ((A + C)*Sin[c + d*x])/d - (A*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 3, (1/8)*(3*A + 4*C)*x + ((3*A + 4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, ((A + C)*Sin[c + d*x])/d - ((2*A + C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (A*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (1/16)*(5*A + 6*C)*x + ((5*A + 6*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + ((5*A + 6*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (A*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^m*(-C*m/(m + 1) + C*Sec[c + d*x]^2), x, 1, (C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m))}
+{Sec[c + d*x]^m*(A - A*(m + 1)/m*Sec[c + d*x]^2), x, 1, -((A*Sec[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*m))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sec[e+f x])^(m/2) (A+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, (2*b^2*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b*(7*A + 5*C)*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*C*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, -((2*b^2*(5*A + 3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (2*b*(5*A + 3*C)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*C*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*C*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 3, (2*(A - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*b^2*d) + (2*A*Tan[c + d*x])/(3*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 3, (2*(3*A + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Tan[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/2))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(7/2), x, 4, (2*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*b^4*d) + (2*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*b^3*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Tan[c + d*x])/(7*d*(b*Sec[c + d*x])^(7/2))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(9/2), x, 4, (2*(7*A + 9*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*b^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*(7*A + 9*C)*Sin[c + d*x])/(45*b^3*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*A*Tan[c + d*x])/(9*d*(b*Sec[c + d*x])^(9/2))}
+
+
+{(3 + 3*Sec[c + d*x]^2)/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 1, (6*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^m (A+C Sec[e+f x]^2) when A (m+1)+C m=0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^m*(m - (m + 1)*Sec[e + f*x]^2), x, 1, -((Sec[e + f*x]^(1 + m)*Sin[e + f*x])/f)}
+
+{Sec[e + f*x]^5*(5 - 6*Sec[e + f*x]^2), x, 1, -((Sec[e + f*x]^5*Tan[e + f*x])/f)}
+{Sec[e + f*x]^4*(4 - 5*Sec[e + f*x]^2), x, 1, -((Sec[e + f*x]^4*Tan[e + f*x])/f)}
+{Sec[e + f*x]^3*(3 - 4*Sec[e + f*x]^2), x, 1, -((Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x])/f)}
+{Sec[e + f*x]^2*(2 - 3*Sec[e + f*x]^2), x, 1, -((Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/f)}
+{Sec[e + f*x]^1*(1 - 2*Sec[e + f*x]^2), x, 1, -((Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/f)}
+{Sec[e + f*x]^0*(0 - 1*Sec[e + f*x]^2), x, 2, -(Tan[e + f*x]/f)}
+{Cos[e + f*x]^1*(-1 - 0*Sec[e + f*x]^2), x, 1, -(Sin[e + f*x]/f)}
+{Cos[e + f*x]^2*(-2 + 1*Sec[e + f*x]^2), x, 1, -((Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/f)}
+{Cos[e + f*x]^3*(-3 + 2*Sec[e + f*x]^2), x, 1, -((Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x])/f)}
+{Cos[e + f*x]^4*(-4 + 3*Sec[e + f*x]^2), x, 1, -((Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/f)}
+{Cos[e + f*x]^5*(-5 + 4*Sec[e + f*x]^2), x, 1, -((Cos[e + f*x]^4*Sin[e + f*x])/f)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sec[e+f x])^m (B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^m (B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (3*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (B*Tan[c + d*x])/d + (3*C*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (C*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (B*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (C*Tan[c + d*x])/d + (B*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (C*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (B*Tan[c + d*x])/d + (C*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (C*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, B*x + (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 3, C*x + (B*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (B*x)/2 + (C*Sin[c + d*x])/d + (B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (C*x)/2 + (B*Sin[c + d*x])/d + (C*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (B*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (3*B*x)/8 + (C*Sin[c + d*x])/d + (3*B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (B*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (C*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (3*C*x)/8 + (B*Sin[c + d*x])/d + (3*C*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (C*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (2*B*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (B*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sec[e+f x])^(m/2) (B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 10, -((6*b^2*C*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (2*b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*d) + (6*b*C*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*B*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*C*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 9, -((2*b*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*B*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*C*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 8, -((2*C*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(b*d) + (2*C*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(b^2*d)}
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, (2*C*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*b^3*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(7/2), x, 9, (6*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*b^4*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*C*Sin[c + d*x])/(3*b^3*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(9/2), x, 10, (6*C*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (10*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*b^5*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(7*b^2*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/2)) + (2*C*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (10*B*Sin[c + d*x])/(21*b^4*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^m (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (3*B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((5*A + 4*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (3*B*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (B*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (C*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((5*A + 4*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, ((4*A + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (B*Tan[c + d*x])/d + ((4*A + 3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (C*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (B*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((3*A + 2*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (B*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (C*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, ((2*A + C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (B*Tan[c + d*x])/d + (C*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, A*x + (B*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (C*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, B*x + (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (A*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (1/2)*(A + 2*C)*x + (B*Sin[c + d*x])/d + (A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (B*x)/2 + ((A + C)*Sin[c + d*x])/d + (B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (A*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (1/8)*(3*A + 4*C)*x + (B*Sin[c + d*x])/d + ((3*A + 4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (B*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (3*B*x)/8 + ((A + C)*Sin[c + d*x])/d + (3*B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (B*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - ((2*A + C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (A*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (1/16)*(5*A + 6*C)*x + (B*Sin[c + d*x])/d + ((5*A + 6*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + ((5*A + 6*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (A*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d) - (2*B*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (B*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sec[e+f x])^(m/2) (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((2*b^2*(5*A + 3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (2*b*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b*(5*A + 3*C)*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*B*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*C*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 7, -((2*b*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])) + (2*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*B*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*C*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(1/2), x, 6, (2*(A - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(b*d) + (2*C*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*b^2*d) + (2*A*Tan[c + d*x])/(3*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*(3*A + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(3*b^3*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Tan[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/2))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(7/2), x, 8, (6*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sec[c + d*x]])/(21*b^4*d) + (2*B*Sin[c + d*x])/(5*b^2*d*(b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*b^3*d*Sqrt[b*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Tan[c + d*x])/(7*d*(b*Sec[c + d*x])^(7/2))}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.4.2 (a+b sec)^m (d sec)^n (A+B sec+C sec^2).m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.4.2 (a+b sec)^m (d sec)^n (A+B sec+C sec^2).m
new file mode 100644
index 00000000..00f38bef
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.4.2 (a+b sec)^m (d sec)^n (A+B sec+C sec^2).m	
@@ -0,0 +1,2325 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Sec[e+f x])^m (d Sec[e+f x])^n (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+(**)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[e+f x])^m (b Sec[e+f x])^n (A+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^m (A+C Sec[c+d x]^2) (b Sec[c+d x])^(n/2)*)
+
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+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^(m/2) (A+C Sec[c+d x]^2) (b Sec[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^m (A+C Sec[c+d x]^2) (b Sec[c+d x])^(n/3)*)
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+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (3*(10*A + 7*C)*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(40*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(7/3)*Tan[c + d*x])/(10*b^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (3*(7*A + 4*C)*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Tan[c + d*x])/(7*b*d)}
+{(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 3, -((3*b*(4*A + C)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, -((3*b^2*(A - 2*C)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*b*C*Tan[c + d*x])/(d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3))}
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, -((3*b*(2*A + 5*C)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*A*b^2*Tan[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/3))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (3*(13*A + 10*C)*Hypergeometric2F1[-(7/6), 1/2, -(1/6), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(7/3)*Sin[c + d*x])/(91*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(10/3)*Tan[c + d*x])/(13*b^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (3*(10*A + 7*C)*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(40*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(7/3)*Tan[c + d*x])/(10*b*d)}
+{(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 3, (3*b*(7*A + 4*C)*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, -((3*b^2*(4*A + C)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*b*C*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, -((3*b^3*(A - 2*C)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*b^2*C*Tan[c + d*x])/(d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 4, (3*(8*A + 5*C)*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(16*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Tan[c + d*x])/(8*b^2*d)}
+{(Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 4, -((3*(5*A + 2*C)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 3, -((3*b*(2*A - C)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*C*Tan[c + d*x])/(2*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3))}
+{(Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 4, -((3*(A + 4*C)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*A*b*Tan[c + d*x])/(4*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3))}
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 4, -((3*b*(4*A + 7*C)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(28*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*A*b^2*Tan[c + d*x])/(7*d*(b*Sec[c + d*x])^(7/3))}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 4, -((3*(5*A + 2*C)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*b*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(5*b^2*d)}
+{(Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 4, -((3*(2*A - C)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*C*Tan[c + d*x])/(2*b*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 3, -((3*(A + 4*C)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*b*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*A*Tan[c + d*x])/(4*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3))}
+{(Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 4, -((3*(4*A + 7*C)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(28*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*A*b*Tan[c + d*x])/(7*d*(b*Sec[c + d*x])^(7/3))}
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 4, -((3*b*(7*A + 10*C)*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(70*d*(b*Sec[c + d*x])^(7/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*A*b^2*Tan[c + d*x])/(10*d*(b*Sec[c + d*x])^(10/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^m (A+C Sec[c+d x]^2) (b Sec[c+d x])^n with m symbolic*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (3*b*C*Sec[c + d*x]^(2 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 3*m)) + (3*b*(C*(4 + 3*m) + A*(7 + 3*m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-1 - 3*m), (1/6)*(5 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 3*m)*(7 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*b*C*Sec[c + d*x]^(2 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 3*m)) + (3*b*(C*(4 + 3*m) + A*(7 + 3*m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-1 - 3*m), (1/6)*(5 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 24*m + 9*m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (3*C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 3*m)) - (3*(C*(2 + 3*m) + A*(5 + 3*m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(1 - 3*m), (1/6)*(7 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 3*m)*(5 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 3*m)) - (3*(C*(2 + 3*m) + A*(5 + 3*m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(1 - 3*m), (1/6)*(7 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 12*m - 9*m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (3*C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)) - (3*(C + 3*C*m + A*(4 + 3*m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(2 - 3*m), (1/6)*(8 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - 3*m)*(4 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)) - (3*(C + 3*C*m + A*(4 + 3*m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(2 - 3*m), (1/6)*(8 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(8 - 6*m - 9*m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{(Sec[c + d*x]^m*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (3*C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)) + (3*(C*(1 - 3*m) - A*(2 + 3*m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(4 - 3*m), (1/6)*(10 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(4 - 3*m)*(2 + 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)) + (3*(C*(1 - 3*m) - A*(2 + 3*m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(4 - 3*m), (1/6)*(10 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(8 + 6*m - 9*m^2)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{(Sec[c + d*x]^m*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (3*C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)) - (3*(A - C*(2 - 3*m) + 3*A*m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(5 - 3*m), (1/6)*(11 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 3*m)*(1 + 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)) - (3*(A - C*(2 - 3*m) + 3*A*m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(5 - 3*m), (1/6)*(11 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 12*m - 9*m^2)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{(Sec[c + d*x]^m*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((3*C*Sec[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3))) - (3*(A + C*(4 - 3*m) - 3*A*m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(7 - 3*m), (1/6)*(13 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-2 + m)*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 - 3*m)*(7 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), -((3*C*Sec[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3))) - (3*(A + C*(4 - 3*m) - 3*A*m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(7 - 3*m), (1/6)*(13 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-2 + m)*Sin[c + d*x])/(b*d*(7 - 24*m + 9*m^2)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^m (A+C Sec[c+d x]^2) (b Sec[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m + n)) - ((C*(m + n) + A*(1 + m + n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - m - n), (1/2)*(3 - m - n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - m - n)*(1 + m + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m + n)) - ((C*(m + n) + A*(1 + m + n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - m - n), (1/2)*(3 - m - n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - m^2 - 2*m*n - n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, ((C*(2 + n) + A*(3 + n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 - n), (1 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1 + n)*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 + n)*(3 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (C*(b*Sec[c + d*x])^(2 + n)*Tan[c + d*x])/(b^2*d*(3 + n))}
+{Sec[c + d*x]^1*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, ((C*(1 + n) + A*(2 + n))*Hypergeometric2F1[1/2, -(n/2), (2 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*n*(2 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (C*(b*Sec[c + d*x])^(1 + n)*Tan[c + d*x])/(b*d*(2 + n))}
+{Sec[c + d*x]^0*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 3, If[$VersionNumber>=8, -((b*(A + A*n + C*n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-1 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*(1 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (C*(b*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/(d*(1 + n)), -((b*(A + A*n + C*n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-1 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (C*(b*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/(d*(1 + n))]}
+{Cos[c + d*x]^1*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (b^2*(C*(1 - n) - A*n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - n)/2, (4 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-2 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n)*n*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (b*C*(b*Sec[c + d*x])^(-1 + n)*Tan[c + d*x])/(d*n)}
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((b^3*(A*(1 - n) + C*(2 - n))*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-3 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*(3 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (b^2*C*(b*Sec[c + d*x])^(-2 + n)*Tan[c + d*x])/(d*(1 - n)), -((b^3*(A*(1 - n) + C*(2 - n))*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-3 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 4*n + n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (b^2*C*(b*Sec[c + d*x])^(-2 + n)*Tan[c + d*x])/(d*(1 - n))]}
+{Cos[c + d*x]^3*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((b^4*(A*(2 - n) + C*(3 - n))*Hypergeometric2F1[1/2, (4 - n)/2, (6 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-4 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n)*(4 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (b^3*C*(b*Sec[c + d*x])^(-3 + n)*Tan[c + d*x])/(d*(2 - n)), -((b^4*(A*(2 - n) + C*(3 - n))*Hypergeometric2F1[1/2, (4 - n)/2, (6 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-4 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(8 - 6*n + n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (b^3*C*(b*Sec[c + d*x])^(-3 + n)*Tan[c + d*x])/(d*(2 - n))]}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (2*C*Sec[c + d*x]^(7/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 2*n)) + (2*(C*(5 + 2*n) + A*(7 + 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-3 - 2*n), (1/4)*(1 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(3/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)*(7 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (2*C*Sec[c + d*x]^(7/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 2*n)) + (2*(C*(5 + 2*n) + A*(7 + 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-3 - 2*n), (1/4)*(1 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(3/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(21 + 20*n + 4*n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (2*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)) + (2*(C*(3 + 2*n) + A*(5 + 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-1 - 2*n), (1/4)*(3 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)*(5 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (2*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)) + (2*(C*(3 + 2*n) + A*(5 + 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-1 - 2*n), (1/4)*(3 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 12*n + 4*n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (2*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)) - (2*(C + 2*C*n + A*(3 + 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 - 2*n), (1/4)*(5 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*(3 + 2*n)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (2*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)) - (2*(C + 2*C*n + A*(3 + 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 - 2*n), (1/4)*(5 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 4*n - 4*n^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{((b*Sec[c + d*x])^n*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 4, If[$VersionNumber>=8, (2*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)) - (2*(A - C*(1 - 2*n) + 2*A*n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(3 - 2*n), (1/4)*(7 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*(1 + 2*n)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (2*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)) - (2*(A - C*(1 - 2*n) + 2*A*n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(3 - 2*n), (1/4)*(7 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 4*n - 4*n^2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{((b*Sec[c + d*x])^n*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((2*C*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Sqrt[Sec[c + d*x]])) - (2*(A + C*(3 - 2*n) - 2*A*n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(5 - 2*n), (1/4)*(9 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*(5 - 2*n)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), -((2*C*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Sqrt[Sec[c + d*x]])) - (2*(A + C*(3 - 2*n) - 2*A*n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(5 - 2*n), (1/4)*(9 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 12*n + 4*n^2)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{((b*Sec[c + d*x])^n*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((2*C*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Sec[c + d*x]^(3/2))) - (2*(A*(3 - 2*n) + C*(5 - 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(7 - 2*n), (1/4)*(11 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*(7 - 2*n)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), -((2*C*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Sec[c + d*x]^(3/2))) - (2*(A*(3 - 2*n) + C*(5 - 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(7 - 2*n), (1/4)*(11 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(21 - 20*n + 4*n^2)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[c+d x])^m (b Sec[c+d x])^n (B Sec[c+d x]+C Sec[c+d x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^m (B Sec[c+d x]+C Sec[c+d x]^2) (b Sec[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^(m/2) (B Sec[c+d x]+C Sec[c+d x]^2) (b Sec[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^m (B Sec[c+d x]+C Sec[c+d x]^2) (b Sec[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^n*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-m - n), (1/2)*(2 - m - n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(m + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (C*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 - m - n), (1/2)*(1 - m - n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[c+d x])^m (b Sec[c+d x])^n (A+B Sec[c+d x]+C Sec[c+d x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^m (A+B Sec[c+d x]+C Sec[c+d x]^2) (b Sec[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^(m/2) (A+B Sec[c+d x]+C Sec[c+d x]^2) (b Sec[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^m (A+B Sec[c+d x]+C Sec[c+d x]^2) (b Sec[c+d x])^(n/3)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (3*(11*A + 8*C)*Hypergeometric2F1[-(5/6), 1/2, 1/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Sin[c + d*x])/(55*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(4/3), 1/2, -(1/3), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(8/3)*Sin[c + d*x])/(8*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(8/3)*Tan[c + d*x])/(11*b^2*d)}
+{Sec[c + d*x]*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (3*(8*A + 5*C)*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(16*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(5/6), 1/2, 1/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Tan[c + d*x])/(8*b*d)}
+{(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, -((3*b*(5*A + 2*C)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, -((3*b^2*(2*A - C)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*b*B*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*b*C*Tan[c + d*x])/(2*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3))}
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, -((3*b^2*B*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*b*(A + 4*C)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*A*b^2*Tan[c + d*x])/(4*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3))}
+{Cos[c + d*x]^3*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, -((3*b^3*B*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(7*d*(b*Sec[c + d*x])^(7/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*b^2*(4*A + 7*C)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(28*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*A*b^3*Tan[c + d*x])/(7*d*(b*Sec[c + d*x])^(7/3))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (3*(13*A + 10*C)*Hypergeometric2F1[-(7/6), 1/2, -(1/6), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(7/3)*Sin[c + d*x])/(91*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(5/3), 1/2, -(2/3), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(10/3)*Sin[c + d*x])/(10*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(10/3)*Tan[c + d*x])/(13*b^2*d)}
+{Sec[c + d*x]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (3*(10*A + 7*C)*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(40*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(7/6), 1/2, -(1/6), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(7/3)*Sin[c + d*x])/(7*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(7/3)*Tan[c + d*x])/(10*b*d)}
+{(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (3*b*(7*A + 4*C)*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, -((3*b^2*(4*A + C)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*b*B*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*b*C*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, -((3*b^3*(A - 2*C)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*b^2*B*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*b^2*C*Tan[c + d*x])/(d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3))}
+{Cos[c + d*x]^3*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, -((3*b^3*B*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*b^2*(2*A + 5*C)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(10*d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*A*b^3*Tan[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/3))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 7, (3*(7*A + 4*C)*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(7*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Tan[c + d*x])/(7*b^2*d)}
+{(Sec[c + d*x]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 7, -((3*(4*A + C)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(4*b*d)}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 6, -((3*b*(A - 2*C)*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*d*(b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(2*d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*Tan[c + d*x])/(d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3))}
+{(Sec[c + d*x]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 7, -((3*(4*A + C)*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*d*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(4*b*d)}
+{(Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 7, (3*(7*A + 4*C)*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(7*b*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Tan[c + d*x])/(7*b^2*d)}
+{(Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 7, (3*(10*A + 7*C)*Hypergeometric2F1[-(2/3), 1/2, 1/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sin[c + d*x])/(40*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(7/6), 1/2, -(1/6), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(7/3)*Sin[c + d*x])/(7*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(7/3)*Tan[c + d*x])/(10*b^3*d)}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 7, -((3*(5*A + 2*C)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*b*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(5*b^2*d)}
+{(Sec[c + d*x]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 7, -((3*(2*A - C)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*Tan[c + d*x])/(2*b*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 6, -((3*B*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*(A + 4*C)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(4*b*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*A*Tan[c + d*x])/(4*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3))}
+{(Sec[c + d*x]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 7, -((3*(2*A - C)*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(8*d*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (3*B*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(b*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*Tan[c + d*x])/(2*b*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3))}
+{(Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 7, -((3*(5*A + 2*C)*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(5*b*d*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(5*b^2*d)}
+{(Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 7, (3*(8*A + 5*C)*Hypergeometric2F1[-(1/3), 1/2, 2/3, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(16*b^2*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[-(5/6), 1/2, 1/6, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*C*(b*Sec[c + d*x])^(5/3)*Tan[c + d*x])/(8*b^3*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^m (A+B Sec[c+d x]+C Sec[c+d x]^2) (b Sec[c+d x])^n with m symbolic*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(4/3)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, If[$VersionNumber>=8, (3*b*C*Sec[c + d*x]^(2 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 3*m)) + (3*b*(C*(4 + 3*m) + A*(7 + 3*m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-1 - 3*m), (1/6)*(5 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 3*m)*(7 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*b*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-4 - 3*m), (1/6)*(2 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*b*C*Sec[c + d*x]^(2 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 3*m)) + (3*b*(C*(4 + 3*m) + A*(7 + 3*m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-1 - 3*m), (1/6)*(5 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 24*m + 9*m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*b*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-4 - 3*m), (1/6)*(2 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, If[$VersionNumber>=8, (3*C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 3*m)) - (3*(C*(2 + 3*m) + A*(5 + 3*m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(1 - 3*m), (1/6)*(7 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 3*m)*(5 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-2 - 3*m), (1/6)*(4 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 3*m)) - (3*(C*(2 + 3*m) + A*(5 + 3*m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(1 - 3*m), (1/6)*(7 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 12*m - 9*m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-2 - 3*m), (1/6)*(4 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, If[$VersionNumber>=8, (3*C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)) - (3*(C + 3*C*m + A*(4 + 3*m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(2 - 3*m), (1/6)*(8 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - 3*m)*(4 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-1 - 3*m), (1/6)*(5 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(4 + 3*m)) - (3*(C + 3*C*m + A*(4 + 3*m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(2 - 3*m), (1/6)*(8 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(8 - 6*m - 9*m^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (3*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-1 - 3*m), (1/6)*(5 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 3*m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{(Sec[c + d*x]^m*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 7, If[$VersionNumber>=8, (3*C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)) + (3*(C*(1 - 3*m) - A*(2 + 3*m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(4 - 3*m), (1/6)*(10 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(4 - 3*m)*(2 + 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(1 - 3*m), (1/6)*(7 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(2 + 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)) + (3*(C*(1 - 3*m) - A*(2 + 3*m))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(4 - 3*m), (1/6)*(10 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(8 + 6*m - 9*m^2)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(1 - 3*m), (1/6)*(7 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{(Sec[c + d*x]^m*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 7, If[$VersionNumber>=8, (3*C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)) - (3*(A - C*(2 - 3*m) + 3*A*m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(5 - 3*m), (1/6)*(11 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 3*m)*(1 + 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(2 - 3*m), (1/6)*(8 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(d*(2 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (3*C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)) - (3*(A - C*(2 - 3*m) + 3*A*m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(5 - 3*m), (1/6)*(11 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 12*m - 9*m^2)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(2 - 3*m), (1/6)*(8 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(d*(2 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{(Sec[c + d*x]^m*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(b*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((3*C*Sec[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3))) - (3*(A + C*(4 - 3*m) - 3*A*m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(7 - 3*m), (1/6)*(13 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-2 + m)*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 - 3*m)*(7 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(4 - 3*m), (1/6)*(10 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(b*d*(4 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), -((3*C*Sec[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3))) - (3*(A + C*(4 - 3*m) - 3*A*m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(7 - 3*m), (1/6)*(13 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-2 + m)*Sin[c + d*x])/(b*d*(7 - 24*m + 9*m^2)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (3*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(4 - 3*m), (1/6)*(10 - 3*m), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(b*d*(4 - 3*m)*(b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[c+d x]^m (A+B Sec[c+d x]+C Sec[c+d x]^2) (b Sec[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, If[$VersionNumber>=8, (C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m + n)) - ((C*(m + n) + A*(1 + m + n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - m - n), (1/2)*(3 - m - n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - m - n)*(1 + m + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-m - n), (1/2)*(2 - m - n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(m + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m + n)) - ((C*(m + n) + A*(1 + m + n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - m - n), (1/2)*(3 - m - n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(-1 + m)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - m^2 - 2*m*n - n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-m - n), (1/2)*(2 - m - n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^m*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(m + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, ((C*(2 + n) + A*(3 + n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 - n), (1 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1 + n)*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 + n)*(3 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-2 - n), -(n/2), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(2 + n)*Sin[c + d*x])/(b^2*d*(2 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (C*(b*Sec[c + d*x])^(2 + n)*Tan[c + d*x])/(b^2*d*(3 + n))}
+{Sec[c + d*x]*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, ((C*(1 + n) + A*(2 + n))*Hypergeometric2F1[1/2, -(n/2), (2 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*n*(2 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 - n), (1 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(1 + n)*Sin[c + d*x])/(b*d*(1 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (C*(b*Sec[c + d*x])^(1 + n)*Tan[c + d*x])/(b*d*(2 + n))}
+{(b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, If[$VersionNumber>=8, -((b*(A + A*n + C*n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-1 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*(1 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (B*Hypergeometric2F1[1/2, -(n/2), (2 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*n*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (C*(b*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/(d*(1 + n)), -((b*(A + A*n + C*n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-1 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) + (B*Hypergeometric2F1[1/2, -(n/2), (2 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*n*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (C*(b*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/(d*(1 + n))]}
+{Cos[c + d*x]*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (b^2*(C*(1 - n) - A*n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - n)/2, (4 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-2 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n)*n*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (b*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-1 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (b*C*(b*Sec[c + d*x])^(-1 + n)*Tan[c + d*x])/(d*n)}
+{Cos[c + d*x]^2*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((b^3*(A*(1 - n) + C*(2 - n))*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-3 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n)*(3 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (b^2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - n)/2, (4 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-2 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (b^2*C*(b*Sec[c + d*x])^(-2 + n)*Tan[c + d*x])/(d*(1 - n)), -((b^3*(A*(1 - n) + C*(2 - n))*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-3 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 4*n + n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (b^2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (2 - n)/2, (4 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-2 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (b^2*C*(b*Sec[c + d*x])^(-2 + n)*Tan[c + d*x])/(d*(1 - n))]}
+{Cos[c + d*x]^3*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((b^4*(A*(2 - n) + C*(3 - n))*Hypergeometric2F1[1/2, (4 - n)/2, (6 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-4 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(2 - n)*(4 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (b^3*B*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-3 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(3 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (b^3*C*(b*Sec[c + d*x])^(-3 + n)*Tan[c + d*x])/(d*(2 - n)), -((b^4*(A*(2 - n) + C*(3 - n))*Hypergeometric2F1[1/2, (4 - n)/2, (6 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-4 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(8 - 6*n + n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])) - (b^3*B*Hypergeometric2F1[1/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^(-3 + n)*Sin[c + d*x])/(d*(3 - n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (b^3*C*(b*Sec[c + d*x])^(-3 + n)*Tan[c + d*x])/(d*(2 - n))]}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, If[$VersionNumber>=8, (2*C*Sec[c + d*x]^(7/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 2*n)) + (2*(C*(5 + 2*n) + A*(7 + 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-3 - 2*n), (1/4)*(1 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(3/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)*(7 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-5 - 2*n), (1/4)*(-1 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(5/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (2*C*Sec[c + d*x]^(7/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(7 + 2*n)) + (2*(C*(5 + 2*n) + A*(7 + 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-3 - 2*n), (1/4)*(1 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(3/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(21 + 20*n + 4*n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-5 - 2*n), (1/4)*(-1 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(5/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, If[$VersionNumber>=8, (2*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)) + (2*(C*(3 + 2*n) + A*(5 + 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-1 - 2*n), (1/4)*(3 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)*(5 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-3 - 2*n), (1/4)*(1 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(3/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (2*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 2*n)) + (2*(C*(3 + 2*n) + A*(5 + 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-1 - 2*n), (1/4)*(3 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 + 12*n + 4*n^2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-3 - 2*n), (1/4)*(1 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^(3/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, If[$VersionNumber>=8, (2*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)) - (2*(C + 2*C*n + A*(3 + 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 - 2*n), (1/4)*(5 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*(3 + 2*n)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-1 - 2*n), (1/4)*(3 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (2*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 2*n)) - (2*(C + 2*C*n + A*(3 + 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 - 2*n), (1/4)*(5 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 4*n - 4*n^2)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) + (2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-1 - 2*n), (1/4)*(3 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{((b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 7, If[$VersionNumber>=8, (2*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)) - (2*(A - C*(1 - 2*n) + 2*A*n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(3 - 2*n), (1/4)*(7 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*(1 + 2*n)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 - 2*n), (1/4)*(5 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), (2*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + 2*n)) - (2*(A - C*(1 - 2*n) + 2*A*n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(3 - 2*n), (1/4)*(7 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 + 4*n - 4*n^2)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 - 2*n), (1/4)*(5 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{((b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((2*C*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Sqrt[Sec[c + d*x]])) - (2*(A + C*(3 - 2*n) - 2*A*n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(5 - 2*n), (1/4)*(9 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*(5 - 2*n)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(3 - 2*n), (1/4)*(7 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), -((2*C*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 - 2*n)*Sqrt[Sec[c + d*x]])) - (2*(A + C*(3 - 2*n) - 2*A*n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(5 - 2*n), (1/4)*(9 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 12*n + 4*n^2)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(3 - 2*n), (1/4)*(7 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+{((b*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((2*C*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Sec[c + d*x]^(3/2))) - (2*(A*(3 - 2*n) + C*(5 - 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(7 - 2*n), (1/4)*(11 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*(7 - 2*n)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(5 - 2*n), (1/4)*(9 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 2*n)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]), -((2*C*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(3 - 2*n)*Sec[c + d*x]^(3/2))) - (2*(A*(3 - 2*n) + C*(5 - 2*n))*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(7 - 2*n), (1/4)*(11 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(21 - 20*n + 4*n^2)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*B*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(5 - 2*n), (1/4)*(9 - 2*n), Cos[c + d*x]^2]*(b*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(5 - 2*n)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sec[e+f x])^m (d Sec[e+f x])^n (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m (A+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+a Sec[e+f x])^m (A+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (a*(4*A + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(5*A + 4*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a*(4*A + 3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*C*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*C*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a*(5*A + 4*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (a*(4*A + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(3*A + 2*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*(4*A + 3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*C*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*C*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, (a*(2*A + C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(3*A + 2*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*C*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*C*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, a*A*x + (a*(2*A + C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*C*Tan[c + d*x])/d + (a*C*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, a*A*x + (a*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*A*Sin[c + d*x])/d + (a*C*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, (1/2)*a*(A + 2*C)*x + (a*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*A*Sin[c + d*x])/d + (a*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, (1/2)*a*(A + 2*C)*x + (a*(2*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (1/8)*a*(3*A + 4*C)*x + (a*(A + C)*Sin[c + d*x])/d + (a*(3*A + 4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a*A*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (1/8)*a*(3*A + 4*C)*x + (a*(4*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a*(3*A + 4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a*(4*A + 5*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (a^2*(4*A + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) + (a^2*(4*A + 3*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(4*A + 3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(12*d) + ((10*A + 3*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(30*d) + (C*Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(5*d) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(10*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (a^2*(12*A + 7*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*(12*A + 7*C)*Tan[c + d*x])/(6*d) + (a^2*(12*A + 7*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) - (C*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*d) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, a^2*A*x + (a^2*(2*A + C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(A + C)*Tan[c + d*x])/d + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + (C*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, 2*a^2*A*x + (a^2*(2*A + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (A*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/d - (a^2*(2*A - 3*C)*Tan[c + d*x])/(2*d) - ((2*A - C)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (1/2)*a^2*(3*A + 2*C)*x + (2*a^2*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(3*A - 2*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((A - 2*C)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, a^2*(A + 2*C)*x + (a^2*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(A + C)*Sin[c + d*x])/d + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (1/8)*a^2*(7*A + 12*C)*x + (a^2*(7*A + 12*C)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a^2*(7*A + 12*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(6*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (1/4)*a^2*(3*A + 4*C)*x + (a^2*(18*A + 25*C)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (a^2*(3*A + 4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a^2*(9*A + 10*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(30*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (1/16)*a^2*(11*A + 14*C)*x + (2*a^2*(4*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a^2*(11*A + 14*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^2*(9*A + 10*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(40*d) + (A*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(6*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d) - (2*a^2*(4*A + 5*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 12, (a^3*(30*A + 23*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (a^3*(30*A + 23*C)*Tan[c + d*x])/(10*d) + (3*a^3*(30*A + 23*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(80*d) + ((30*A + 7*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(120*d) + (C*Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(6*d) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(10*a*d) + (a^3*(30*A + 23*C)*Tan[c + d*x]^3)/(120*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 11, (a^3*(20*A + 13*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*(20*A + 13*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (3*a^3*(20*A + 13*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(40*d) - (C*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(5*a*d) + (a^3*(20*A + 13*C)*Tan[c + d*x]^3)/(60*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 7, a^3*A*x + (a^3*(28*A + 15*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (5*a^3*(4*A + 3*C)*Tan[c + d*x])/(8*d) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (C*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(4*a*d) + ((4*A + 5*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 7, 3*a^3*A*x + (a^3*(6*A + 5*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (A*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/d + (5*a^3*C*Tan[c + d*x])/(2*d) - ((3*A - C)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*a*d) - ((6*A - 5*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 6, (1/2)*a^3*(7*A + 2*C)*x + (a^3*(2*A + 7*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (5*a^3*(A - C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((A - C)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - ((A - 4*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 6, (1/2)*a^3*(5*A + 6*C)*x + (3*a^3*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^3*A*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - ((5*A - 6*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 6, (1/8)*a^3*(15*A + 28*C)*x + (a^3*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^3*(3*A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(8*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(4*a*d) + ((5*A + 4*C)*Cos[c + d*x]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (1/8)*a^3*(13*A + 20*C)*x + (a^3*(13*A + 20*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (3*a^3*(13*A + 20*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(40*d) + (3*A*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a^3*(13*A + 20*C)*Sin[c + d*x]^3)/(60*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (1/16)*a^3*(23*A + 30*C)*x + (a^3*(34*A + 45*C)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (a^3*(23*A + 30*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^3*(73*A + 90*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(120*d) + (A*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(6*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(10*a*d) + ((31*A + 30*C)*Cos[c + d*x]^3*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(120*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 15, (a^4*(14*A + 11*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) + (16*a^4*(14*A + 11*C)*Tan[c + d*x])/(35*d) + (27*a^4*(14*A + 11*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(140*d) + (a^4*(14*A + 11*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(70*d) + ((21*A + 4*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(105*d) + (C*Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(7*d) + (2*C*(a + a*Sec[c + d*x])^5*Tan[c + d*x])/(21*a*d) + (8*a^4*(14*A + 11*C)*Tan[c + d*x]^3)/(105*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 14, (7*a^4*(10*A + 7*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (4*a^4*(10*A + 7*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (27*a^4*(10*A + 7*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(80*d) + (a^4*(10*A + 7*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(40*d) - (C*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(30*d) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^5*Tan[c + d*x])/(6*a*d) + (2*a^4*(10*A + 7*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 8, a^4*A*x + (a^4*(12*A + 7*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a^4*(10*A + 7*C)*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*C*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(5*d) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((5*A + 7*C)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(15*d) + ((8*A + 7*C)*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 8, 4*a^4*A*x + (a^4*(52*A + 35*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (A*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/d + (5*a^4*(4*A + 7*C)*Tan[c + d*x])/(8*d) - (a*(4*A - C)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d) - ((12*A - 7*C)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*d) - ((12*A - 35*C)*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(24*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 7, (1/2)*a^4*(13*A + 2*C)*x + (2*a^4*(2*A + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^4*(A - 2*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) - (a*(3*A - 2*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(6*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((A - 2*C)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) + ((3*A + 22*C)*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 7, 2*a^4*(3*A + 2*C)*x + (a^4*(2*A + 13*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (5*a^4*(2*A - C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(3*d) - ((2*A - C)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((4*A - 9*C)*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 7, (1/8)*a^4*(35*A + 52*C)*x + (4*a^4*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^4*(7*A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(4*d) + ((7*A + 4*C)*Cos[c + d*x]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(8*d) - ((35*A - 12*C)*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(24*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 7, (1/2)*a^4*(7*A + 12*C)*x + (a^4*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^4*(7*A + 10*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((7*A + 5*C)*Cos[c + d*x]^2*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(15*d) + ((7*A + 8*C)*Cos[c + d*x]*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 12, (7/16)*a^4*(7*A + 10*C)*x + (4*a^4*(7*A + 10*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (27*a^4*(7*A + 10*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(80*d) + (a^4*(7*A + 10*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(40*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(15*d) + (A*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(6*d) - (2*a^4*(7*A + 10*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 9, (1/4)*a^4*(11*A + 14*C)*x + (a^4*(454*A + 581*C)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (a^4*(11*A + 14*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a^4*(247*A + 308*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(210*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(21*d) + (A*Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(7*d) + ((8*A + 7*C)*Cos[c + d*x]^4*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(35*d) + ((109*A + 126*C)*Cos[c + d*x]^3*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(210*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (3*(4*A + 5*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*a*d) - ((3*A + 4*C)*Tan[c + d*x])/(a*d) + (3*(4*A + 5*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*a*d) + ((4*A + 5*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*a*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])) - ((3*A + 4*C)*Tan[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, -(((2*A + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d)) + ((3*A + 4*C)*Tan[c + d*x])/(a*d) - ((2*A + 3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])) + ((3*A + 4*C)*Tan[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, ((2*A + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d) - ((A + 2*C)*Tan[c + d*x])/(a*d) + ((2*A + 3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, -((C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d)) + (C*Tan[c + d*x])/(a*d) + ((A + C)*Tan[c + d*x])/(a*d*(1 + Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, (A*x)/a + (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d) - ((A + C)*Tan[c + d*x])/(a*d*(1 + Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, -((A*x)/a) + ((2*A + C)*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, ((3*A + 2*C)*x)/(2*a) - ((2*A + C)*Sin[c + d*x])/(a*d) + ((3*A + 2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, -(((3*A + 2*C)*x)/(2*a)) + ((4*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((3*A + 2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])) - ((4*A + 3*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (3*(5*A + 4*C)*x)/(8*a) - ((4*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(a*d) + (3*(5*A + 4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*d) + ((5*A + 4*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])) + ((4*A + 3*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -(((2*A + 5*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d)) + ((5*A + 12*C)*Tan[c + d*x])/(a^2*d) - ((2*A + 5*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(a^2*d) - (2*(2*A + 5*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((5*A + 12*C)*Tan[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, ((2*A + 7*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^2*d) - (4*(A + 4*C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) + ((2*A + 7*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) - (2*(A + 4*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, -((2*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d)) + ((A + 4*C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) + (2*C*Tan[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 4, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + ((A - 5*C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) + ((A + C)*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2), (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*(A - 2*C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, (A*x)/a^2 - (2*(2*A - C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -((2*A*x)/a^2) + ((10*A + C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - (2*A*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, ((7*A + 2*C)*x)/(2*a^2) - (4*(4*A + C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + ((7*A + 2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) - (2*(4*A + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -(((5*A + 2*C)*x)/a^2) + ((12*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - ((5*A + 2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - (2*(5*A + 2*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((12*A + 5*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, ((2*A + 13*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (2*(11*A + 76*C)*Tan[c + d*x])/(15*a^3*d) + ((2*A + 13*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((A + 11*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((11*A + 76*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 7, -((3*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d)) + ((2*A + 27*C)*Tan[c + d*x])/(15*a^3*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((A - 9*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + (3*C*Tan[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((3*A - 7*C)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((6*A - 29*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, -(((A + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)) + ((A - C)*Tan[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((2*A + 7*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 4, (A*x)/a^3 - ((A + C)*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((7*A - 3*C)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((22*A - 3*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 6, -((3*A*x)/a^3) + (2*(36*A + C)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((9*A - C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (3*A*Sin[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 7, ((13*A + 2*C)*x)/(2*a^3) - (2*(76*A + 11*C)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) + ((13*A + 2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((11*A + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((76*A + 11*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -(((23*A + 6*C)*x)/(2*a^3)) + (4*(34*A + 9*C)*Sin[c + d*x])/(5*a^3*d) - ((23*A + 6*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((13*A + 3*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((23*A + 6*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])) - (4*(34*A + 9*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*a^3*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^5*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 9, ((2*A + 21*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d) - (32*(5*A + 54*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d) + ((2*A + 21*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^4*d) - ((10*A + 129*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - (16*(5*A + 54*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - (2*C*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 8, -((4*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d)) + (2*(3*A + 122*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d) + ((3*A - 88*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) + (4*C*Tan[c + d*x])/(a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) + (2*(A - 6*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 6, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - ((8*A - 55*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) + ((16*A - 215*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) + (2*(2*A - 5*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 4, ((23*A - 54*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) + (4*(2*A + 9*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - (2*(3*A - 4*C)*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 4, -(((A + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4)) + (2*(4*A - 3*C)*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((6*A + 13*C)*Tan[c + d*x])/(105*d*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2) + ((6*A + 13*C)*Tan[c + d*x])/(105*d*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 5, (A*x)/a^4 - ((55*A - 8*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - (8*(20*A - C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - (2*(5*A - 2*C)*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 7, -((4*A*x)/a^4) + (2*(332*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d) - ((88*A - 3*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - (4*A*Sin[c + d*x])/(a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - (2*(6*A - C)*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 8, ((21*A + 2*C)*x)/(2*a^4) - (32*(54*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d) + ((21*A + 2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^4*d) - ((129*A + 10*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - (16*(54*A + 5*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - (2*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 9, -((2*(11*A + 2*C)*x)/a^4) + (4*(454*A + 83*C)*Sin[c + d*x])/(35*a^4*d) - (2*(11*A + 2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(a^4*d) - ((178*A + 31*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - (4*(11*A + 2*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - (2*(8*A + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (4*(454*A + 83*C)*Sin[c + d*x]^3)/(105*a^4*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (A+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (4*a*(99*A + 80*C)*Tan[c + d*x])/(495*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(99*A + 80*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*C*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(99*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (8*(99*A + 80*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3465*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(11*d) + (4*(99*A + 80*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(1155*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (2*a*(21*A + 16*C)*Tan[c + d*x])/(45*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*C*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (4*(21*A + 16*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(9*d) + (2*(21*A + 16*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(105*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (2*a*(35*A + 27*C)*Tan[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(35*A + 18*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(7*d) + (2*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 3, (2*a*(15*A + 7*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (4*C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (2*Sqrt[a]*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a*C*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (Sqrt[a]*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (A*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d - (a*(A - 2*C)*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (Sqrt[a]*(3*A + 8*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a*A*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (Sqrt[a]*(5*A + 8*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a*(5*A + 8*C)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (Sqrt[a]*(35*A + 48*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (a*(35*A + 48*C)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(35*A + 48*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (2*a^2*(143*A + 112*C)*Tan[c + d*x])/(165*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(33*A + 28*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(231*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (4*a*(143*A + 112*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(1155*d) + (2*a*C*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(33*d) + (2*(143*A + 112*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(385*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(11*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (8*a^2*(63*A + 47*C)*Tan[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(63*A + 47*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*d) + (2*(63*A + 22*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(315*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(9*d) + (2*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(21*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (8*a^2*(35*A + 19*C)*Tan[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(35*A + 19*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*d) - (4*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*d) + (2*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (2*a^(3/2)*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a^2*(5*A + 4*C)*Tan[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*d) + (2*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (3*a^(3/2)*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/d - (a^2*(3*A - 8*C)*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a*(3*A - 2*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (a^(3/2)*(7*A + 8*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a^2*(5*A - 8*C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a*(A - 4*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (a^(3/2)*(11*A + 24*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a^2*(19*A + 24*C)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*A*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(3/2)*(75*A + 112*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (a^2*(75*A + 112*C)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(13*A + 16*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(32*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*A*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a^(3/2)*(133*A + 176*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(128*d) + (a^2*(133*A + 176*C)*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(133*A + 176*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(67*A + 80*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(240*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (3*a*A*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(40*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*a^3*(10439*A + 8368*C)*Tan[c + d*x])/(6435*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(2717*A + 2224*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(9009*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (4*a^2*(10439*A + 8368*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(45045*d) + (2*a^2*(143*A + 136*C)*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(1287*d) + (2*a*(10439*A + 8368*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(15015*d) + (10*a*C*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(143*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(13*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (64*a^3*(33*A + 25*C)*Tan[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*(33*A + 25*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(693*d) + (2*a*(33*A + 25*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(231*d) + (2*(99*A + 26*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(693*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(11*d) + (10*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(99*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (64*a^3*(21*A + 13*C)*Tan[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*(21*A + 13*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*d) + (2*a*(21*A + 13*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(105*d) - (4*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(63*d) + (2*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(9*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*a^(5/2)*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a^3*(49*A + 32*C)*Tan[c + d*x])/(21*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(7*A + 8*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(21*d) + (2*a*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(7*d) + (2*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (5*a^(5/2)*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (A*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/d + (a^3*(15*A + 64*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a^2*(15*A - 16*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) - (a*(5*A - 2*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(5/2)*(19*A + 8*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a^3*(27*A - 56*C)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a^2*(A - 8*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (a*(3*A - 4*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (5*a^(5/2)*(5*A + 8*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a^3*(49*A - 24*C)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a^2*(3*A - 8*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (5*a*A*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(5/2)*(163*A + 304*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (a^3*(299*A + 432*C)*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(17*A + 16*C)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d) + (5*a*A*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a^(5/2)*(283*A + 400*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(128*d) + (a^3*(283*A + 400*C)*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(787*A + 1040*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(960*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(79*A + 80*C)*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (a^(5/2)*(1015*A + 1304*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(512*d) + (a^3*(1015*A + 1304*C)*Sin[c + d*x])/(512*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(1015*A + 1304*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(768*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(109*A + 136*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(23*A + 24*C)*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(96*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d) + (A*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, -((Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (4*(147*A + 143*C)*Tan[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(21*A + 19*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*C*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(9*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*(21*A + 29*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (4*(35*A + 37*C)*Tan[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*C*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(35*A + 31*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 5, -((Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*(15*A + 14*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 4, (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (4*C*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, (2*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*C*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, -((A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, ((7*A + 8*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (A*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 8, -((9*A + 8*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*Sqrt[a]*d) + (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + ((7*A + 8*C)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 9, ((107*A + 112*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - ((21*A + 16*C)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((43*A + 48*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((11*A + 19*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((455*A + 799*C)*Tan[c + d*x])/(105*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((35*A + 67*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(70*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((7*A + 11*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(14*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((245*A + 397*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(210*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, -(((7*A + 15*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((15*A + 31*C)*Tan[c + d*x])/(5*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((5*A + 9*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((5*A + 13*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(10*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, ((3*A + 11*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((3*A + 13*C)*Tan[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((3*A + 7*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(6*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, ((A - 7*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((A + 5*C)*Tan[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - ((5*A - 3*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, (-3*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + ((9*A + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((3*A + C)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((19*A + 8*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*a^(3/2)*d) - ((13*A + 5*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((7*A + 2*C)*Sin[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((2*A + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 9, -((47*A + 24*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*a^(3/2)*d) + ((17*A + 9*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (3*(7*A + 4*C)*Sin[c + d*x])/(8*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((13*A + 6*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((5*A + 3*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, -(((75*A + 283*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((5*A + 21*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((465*A + 1729*C)*Tan[c + d*x])/(120*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((45*A + 157*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(80*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((195*A + 787*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(240*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, ((19*A + 163*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((A + 17*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((21*A + 197*C)*Tan[c + d*x])/(24*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (5*(3*A + 19*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(48*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (5*(A - 15*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((3*A - 13*C)*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((A + 9*C)*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, ((3*A + 19*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((7*A - 9*C)*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - ((43*A - 5*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((11*A - 5*C)*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, (-5*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + ((115*A + 3*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((15*A - C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((35*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 9, ((39*A + 8*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*a^(5/2)*d) - ((219*A + 43*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((19*A + 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((63*A + 11*C)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((31*A + 7*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^m (A+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, -((2*a*(5*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*a*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*(5*A + 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*(7*A + 5*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*C*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, -((2*a*(5*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*a*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*(5*A + 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 7, (2*a*(A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, (2*a*(A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{((a + a*Sec[c + d*x])*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 7, (2*a*(3*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 8, (2*a*(3*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 9, (2*a*(7*A + 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*a*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(7*A + 9*C)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 10, (-16*a^2*(3*A + 2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^2*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (16*a^2*(3*A + 2*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (4*a^2*(7*A + 5*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a^2*(21*A + 19*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d) + (8*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d)}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (-4*a^2*(5*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (8*a^2*(7*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^2*(5*A + 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^2*(35*A + 33*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d) + (8*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 8, (-16*a^2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*(15*A + 17*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d) + (8*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (4*a^2*(A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (8*a^2*(A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*a^2*(A - 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A - C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 8, (16*a^2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*(A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*a^2*(7*A - 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (8*A*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 8, (4*a^2*(3*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (8*a^2*(3*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^2*(33*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (8*A*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 9, (16*a^2*(2*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^2*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^2*(19*A + 21*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (8*A*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(11/2), x, 10, (4*a^2*(7*A + 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (8*a^2*(25*A + 33*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*a^2*(89*A + 99*C)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^2*(7*A + 9*C)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (8*a^2*(25*A + 33*C)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2)) + (8*A*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 11, (-4*a^3*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(143*A + 105*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (4*a^3*(7*A + 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (4*a^3*(143*A + 105*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(231*d) + (8*a^3*(44*A + 35*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(385*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d) + (4*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(33*a*d) + (2*(33*A + 35*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(231*d)}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 10, (-4*a^3*(27*A + 17*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^3*(21*A + 11*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^3*(27*A + 17*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (8*a^3*(21*A + 16*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d) + (4*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*a*d) + (2*(63*A + 73*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(315*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, (-4*a^3*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(35*A + 13*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (8*a^3*(70*A + 53*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d) + (12*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(35*a*d) + (2*(5*A + 7*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, (4*a^3*(5*A - 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(5*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (4*a^3*(5*A + 21*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(5*A - 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(15*a*d) - (2*(5*A - 9*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 9, (4*a^3*(9*A - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(3*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (8*a^3*(3*A - 10*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*A*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(9*A - 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 9, (4*a^3*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(13*A + 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) - (4*a^3*(41*A - 35*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (12*A*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(35*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(7*A + 5*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 9, (4*a^3*(17*A + 27*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^3*(11*A + 21*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (8*a^3*(16*A + 21*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (4*A*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*a*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(73*A + 63*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(315*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(11/2), x, 10, (4*a^3*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(105*A + 143*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (8*a^3*(35*A + 44*C)*Sin[c + d*x])/(385*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(105*A + 143*C)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2)) + (4*A*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(33*a*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*(35*A + 33*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(231*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(13/2), x, 11, (4*a^3*(175*A + 221*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(195*d) + (4*a^3*(95*A + 121*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (40*a^3*(118*A + 143*C)*Sin[c + d*x])/(9009*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^3*(175*A + 221*C)*Sin[c + d*x])/(585*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(95*A + 121*C)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(13*d*Sec[c + d*x]^(11/2)) + (12*A*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(143*a*d*Sec[c + d*x]^(9/2)) + (2*(145*A + 143*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(1287*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 9, (-3*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a*d) - ((3*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + (3*(5*A + 7*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - ((3*A + 5*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d) + ((5*A + 7*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 8, ((A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + ((3*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) - ((A + 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d) + ((3*A + 5*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, -(((A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d)) + ((A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + ((A + 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 6, ((3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - ((A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - ((A + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 7, -(((3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d)) + ((5*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + ((5*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 8, (3*(7*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a*d) - ((5*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + ((7*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - ((5*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 9, ((A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*(A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - ((A + 7*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + (2*(A + 5*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((A + 7*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (-4*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + ((A - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + (4*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + ((A - 5*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -(((A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) + (2*(A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + ((A - C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 7, (4*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) - ((5*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - ((5*A - C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 8, -(((7*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) + (2*(5*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + (2*(5*A + C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((7*A + C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 9, (4*(14*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a^2*d) - (5*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + (4*(14*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (5*(3*A + C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((3*A + C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(7/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 10, ((9*A + 119*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((A + 11*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*a^3*d) - ((9*A + 119*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d) + ((A + 11*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (2*C*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((9*A + 119*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(30*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 9, ((A - 49*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((A - 13*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A - 49*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + (2*(A - 4*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((A - 13*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -((A - 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + (2*(2*A - 3*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((A - 9*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -((9*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + (2*(3*A - 2*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((3*A + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 8, ((49*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) - ((13*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (2*(4*A - C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((13*A - C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 9, -((119*A + 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((11*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*a^3*d) + ((11*A + C)*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (2*A*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((119*A + 9*C)*Sin[c + d*x])/(30*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 10, (7*(33*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) - ((63*A + 13*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) + (7*(33*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(30*a^3*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - ((63*A + 13*C)*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - (2*(6*A + C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((63*A + 13*C)*Sin[c + d*x])/(10*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (A+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (Sqrt[a]*(48*A + 35*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (a*(48*A + 35*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(48*A + 35*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*C*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (Sqrt[a]*(8*A + 5*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a*(8*A + 5*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (Sqrt[a]*(8*A + 3*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 4, (Sqrt[a]*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (a*(2*A - C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 4, (2*Sqrt[a]*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 3, (2*a*(7*A + 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 4, (2*a*A*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(24*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (4*a*(24*A + 35*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 5, (2*a*A*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(16*A + 21*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a*(16*A + 21*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a*(16*A + 21*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a^(3/2)*(176*A + 133*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(128*d) + (a^2*(176*A + 133*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(176*A + 133*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(80*A + 67*C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(240*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (3*a*C*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(40*d) + (C*Sec[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(3/2)*(112*A + 75*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (a^2*(112*A + 75*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(16*A + 13*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(32*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (C*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (a^(3/2)*(24*A + 11*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a^2*(24*A + 19*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 5, (a^(3/2)*(8*A + 7*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a^2*(8*A - 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (3*a*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 5, (3*a^(3/2)*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (a^2*(8*A - 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a*(2*A - 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 5, (2*a^(3/2)*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a^2*(4*A + 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 4, (8*a^2*(19*A + 35*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(19*A + 35*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (6*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 5, (2*a^2*(52*A + 63*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(136*A + 189*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (4*a^2*(136*A + 189*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(11/2), x, 6, (2*a^2*(28*A + 33*C)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(112*A + 143*C)*Sin[c + d*x])/(385*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a^2*(112*A + 143*C)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*(112*A + 143*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1155*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(33*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (a^(5/2)*(1304*A + 1015*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(512*d) + (a^3*(1304*A + 1015*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(512*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(1304*A + 1015*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(768*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(136*A + 109*C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(24*A + 23*C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(96*d) + (a*C*Sec[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d) + (C*Sec[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a^(5/2)*(400*A + 283*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(128*d) + (a^3*(400*A + 283*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(1040*A + 787*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(960*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(80*A + 79*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*d) + (a*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d) + (C*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(5/2)*(304*A + 163*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (a^3*(432*A + 299*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(16*A + 17*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d) + (5*a*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d) + (C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 6, (5*a^(5/2)*(8*A + 5*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a^3*(24*A - 49*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(24*A + 31*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (5*a*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d) + (C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 6, (a^(5/2)*(8*A + 19*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a^3*(56*A - 27*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a^2*(8*A - 21*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d) - (a*(4*A - 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 6, (5*a^(5/2)*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (a^3*(64*A + 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a^2*(16*A - 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 6, (2*a^(5/2)*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a^3*(32*A + 49*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(8*A + 7*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 5, (64*a^3*(13*A + 21*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*(13*A + 21*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(13*A + 21*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (10*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(11/2), x, 6, (2*a^3*(232*A + 297*C)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(568*A + 759*C)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (4*a^3*(568*A + 759*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(32*A + 33*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (10*a*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(13/2), x, 7, (2*a^3*(2224*A + 2717*C)*Sin[c + d*x])/(9009*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(8368*A + 10439*C)*Sin[c + d*x])/(15015*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a^3*(8368*A + 10439*C)*Sin[c + d*x])/(45045*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^3*(8368*A + 10439*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(45045*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(136*A + 143*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1287*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (10*a*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(143*d*Sec[c + d*x]^(9/2)) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(13*d*Sec[c + d*x]^(11/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 8, -(((8*A + 9*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + ((8*A + 7*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (C*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, ((8*A + 7*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (C*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, -((C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (C*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 6, (2*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 4, (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 5, -((Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*A*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(13*A + 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 6, (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*A*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(31*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*(43*A + 35*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((3*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + ((A + 9*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((A + 3*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + ((3*A - 5*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 4, -(((7*A - C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((5*A + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 5, ((11*A + 3*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((7*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((19*A + 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 6, -(((15*A + 7*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((9*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((13*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((49*A + 25*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((5*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + ((3*A + 115*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((A - 15*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((3*A + 35*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + ((5*A - 43*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((5*A - 11*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, ((19*A + 3*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((9*A - 7*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 5, -((5*(15*A - C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((13*A - 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((49*A + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 6, ((163*A + 19*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((17*A + C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (5*(19*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((299*A + 27*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 7, -(((283*A + 75*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((21*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((157*A + 45*C)*Sin[c + d*x])/(80*a^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((787*A + 195*C)*Sin[c + d*x])/(240*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((2671*A + 735*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+a Sec[e+f x])^(m/3) (A+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 10, (3*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[7/6, 1/2, 1, 13/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(7*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]) + (3*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(5*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (3^(3/4)*C*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(5*2^(1/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 9, (3*C*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)) + (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[1/6, 1/2, 1, 7/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)) + (3^(3/4)*C*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(2*2^(1/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 9, -((3*(A + C)*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(4/3))) + (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[1/6, 1/2, 1, 7/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(a*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)) + (3^(3/4)*(A - 4*C)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(5*2^(1/3)*a*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(7/3), x, 10, -((3*(A + C)*Tan[c + d*x])/(11*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/3))) - (3*(4*A - 7*C)*Tan[c + d*x])/(55*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)) - (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[-(5/6), 1/2, 1, 1/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*a^2*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)) + (3^(3/4)*(4*A - 7*C)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(55*2^(1/3)*a^2*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 12, (3*a*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(7*d) + (3*Sqrt[2]*a*A*AppellF1[11/6, 1/2, 1, 17/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(11*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]) + (3*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(4/3)*Tan[c + d*x])/(7*d) - (15*(1 + Sqrt[3])*a*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(7*d*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))) + (15*2^(1/3)*3^(1/4)*a*C*EllipticE[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(7*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)]) + (5*3^(3/4)*(1 - Sqrt[3])*a*C*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(7*2^(2/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 11, (3*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(4*d) + (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[5/6, 1/2, 1, 11/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(5*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]) - (3*(1 + Sqrt[3])*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(4*d*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))) + (3*3^(1/4)*C*EllipticE[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(2*2^(2/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)]) + (3^(3/4)*(1 - Sqrt[3])*C*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(4*2^(2/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 11, -((3*(A + C)*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3))) + (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[5/6, 1/2, 1, 11/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(5*a*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]) - (3*(1 + Sqrt[3])*(A + 2*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(a*d*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))) + (3*2^(1/3)*3^(1/4)*(A + 2*C)*EllipticE[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(a*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)]) + (3^(3/4)*(1 - Sqrt[3])*(A + 2*C)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(2^(2/3)*a*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 12, -((3*(A + C)*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3))) - (3*(2*A - 5*C)*Tan[c + d*x])/(7*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)) - (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[-(1/6), 1/2, 1, 5/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(a*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)) - (3*(1 + Sqrt[3])*(2*A - 5*C)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(7*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))) + (3*2^(1/3)*3^(1/4)*(2*A - 5*C)*EllipticE[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(7*a*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)]) + (3^(3/4)*(1 - Sqrt[3])*(2*A - 5*C)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(7*2^(2/3)*a*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m (A+C Sec[e+f x]^2) with m and/or n symbolic*)
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+{Sec[c + d*x]^m*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 8, (C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m + n)) + (2^(3/2 + n)*C*n*AppellF1[1/2, 1 - m, -(1/2) - n, 3/2, 1 - Sec[c + d*x], (1/2)*(1 - Sec[c + d*x])]*(1 + Sec[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/(d*(1 + m + n)) + (2^(1/2 + n)*(C*(m - n) + A*(1 + m + n))*AppellF1[1/2, 1 - m, 1/2 - n, 3/2, 1 - Sec[c + d*x], (1/2)*(1 - Sec[c + d*x])]*(1 + Sec[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/(d*(1 + m + n))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(-n - 1)*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 8, (A*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^n*(d*(1 + n))) - ((C - A*n + C*n)*Hypergeometric2F1[1/2 - n, -n, 1 - n, -((2*Sec[c + d*x])/(1 - Sec[c + d*x]))]*Sec[c + d*x]^(1 - n)*((1 + Sec[c + d*x])/(1 - Sec[c + d*x]))^(1/2 - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*n*(1 + n)*(1 + Sec[c + d*x])) + (2^(3/2 + n)*C*AppellF1[1/2, 1 + n, -(1/2) - n, 3/2, 1 - Sec[c + d*x], (1/2)*(1 - Sec[c + d*x])]*(1 + Sec[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/d}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(-1 - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*(A + C*Sec[c + d*x]^2) + (((-a)*A*n - a*C*(1 + n)*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^n)/(Sec[c + d*x]^n*(a*(1 + n))), x, 16, (A*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^n*(d*(1 + n)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m (B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+a Sec[e+f x])^m (B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (a*(4*B + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(B + C)*Tan[c + d*x])/d + (a*(4*B + 3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*C*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*(B + C)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (a*(B + C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(3*B + 2*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*(B + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*C*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, (a*(2*B + C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(B + C)*Tan[c + d*x])/d + (a*C*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, a*B*x + (a*(B + C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*C*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, a*(B + C)*x + (a*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*B*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, (1/2)*a*(B + 2*C)*x + (a*(B + C)*Sin[c + d*x])/d + (a*B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, (1/2)*a*(B + C)*x + (a*(2*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*(B + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (1/8)*a*(3*B + 4*C)*x + (a*(B + C)*Sin[c + d*x])/d + (a*(3*B + 4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a*(B + C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (a^2*(7*B + 6*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*(10*B + 9*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a^2*(7*B + 6*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(5*B + 6*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (C*Sec[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a^2*(10*B + 9*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (a^2*(8*B + 7*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*(8*B + 7*C)*Tan[c + d*x])/(6*d) + (a^2*(8*B + 7*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + ((4*B - C)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*d) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (a^2*(3*B + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (2*a^2*(3*B + 2*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(3*B + 2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, a^2*B*x + (a^2*(4*B + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a^2*(2*B + 3*C)*Tan[c + d*x])/(2*d) + (C*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, a^2*(2*B + C)*x + (a^2*(B + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(B - C)*Sin[c + d*x])/d + (C*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (1/2)*a^2*(3*B + 4*C)*x + (a^2*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(3*B + 2*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (B*Cos[c + d*x]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (1/2)*a^2*(2*B + 3*C)*x + (2*a^2*(2*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(2*B + 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (B*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (1/8)*a^2*(7*B + 8*C)*x + (a^2*(4*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(7*B + 8*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(5*B + 4*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(12*d) + (B*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (1/8)*a^2*(6*B + 7*C)*x + (a^2*(9*B + 10*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a^2*(6*B + 7*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(6*B + 5*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (B*Cos[c + d*x]^4*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a^2*(9*B + 10*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 12, (a^3*(15*B + 13*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*(15*B + 13*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (3*a^3*(15*B + 13*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(40*d) + ((5*B - C)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(5*a*d) + (a^3*(15*B + 13*C)*Tan[c + d*x]^3)/(60*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 11, (5*a^3*(4*B + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*(4*B + 3*C)*Tan[c + d*x])/d + (3*a^3*(4*B + 3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a^3*(4*B + 3*C)*Tan[c + d*x]^3)/(12*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 7, a^3*B*x + (a^3*(7*B + 5*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (5*a^3*(B + C)*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*C*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((3*B + 5*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 6, a^3*(3*B + C)*x + (a^3*(6*B + 7*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (5*a^3*C*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*C*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) + ((B + 2*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 6, (1/2)*a^3*(7*B + 6*C)*x + (a^3*(B + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^3*B*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*B*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((B - 2*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 6, (1/2)*a^3*(5*B + 7*C)*x + (a^3*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^3*(B + C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((5*B + 3*C)*Cos[c + d*x]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (5/8)*a^3*(3*B + 4*C)*x + (a^3*(3*B + 4*C)*Sin[c + d*x])/d + (3*a^3*(3*B + 4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (B*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a^3*(3*B + 4*C)*Sin[c + d*x]^3)/(12*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (1/8)*a^3*(13*B + 15*C)*x + (a^3*(38*B + 45*C)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (a^3*(13*B + 15*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^3*(43*B + 45*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(60*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((7*B + 5*C)*Cos[c + d*x]^3*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(20*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (1/16)*a^3*(23*B + 26*C)*x + (a^3*(17*B + 19*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a^3*(23*B + 26*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^3*(21*B + 22*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(40*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(6*d) + ((4*B + 3*C)*Cos[c + d*x]^4*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d) - (a^3*(17*B + 19*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (3*(B - C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d) - ((3*B - 4*C)*Tan[c + d*x])/(a*d) + (3*(B - C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) + ((B - C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])) - ((3*B - 4*C)*Tan[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, -(((2*B - 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d)) + (2*(B - C)*Tan[c + d*x])/(a*d) - ((2*B - 3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) + ((B - C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, ((B - C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d) + (C*Tan[c + d*x])/(a*d) - ((B - C)*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d) + ((B - C)*Tan[c + d*x])/(a*d*(1 + Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 3, (B*x)/a - ((B - C)*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, -(((B - C)*x)/a) + ((2*B - C)*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((B - C)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, ((3*B - 2*C)*x)/(2*a) - (2*(B - C)*Sin[c + d*x])/(a*d) + ((3*B - 2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - ((B - C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, -((3*(B - C)*x)/(2*a)) + ((4*B - 3*C)*Sin[c + d*x])/(a*d) - (3*(B - C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - ((B - C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])) - ((4*B - 3*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, -(((4*B - 7*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^2*d)) + (2*(5*B - 8*C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((4*B - 7*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) + ((5*B - 8*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) + ((B - C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, ((B - 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - ((B - 4*C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((B - 2*C)*Tan[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) + ((B - C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + ((2*B - 5*C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((B - C)*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, ((B + 2*C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) + ((B - C)*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 4, (B*x)/a^2 - ((4*B - C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((B - C)*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, -(((2*B - C)*x)/a^2) + (2*(5*B - 2*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((2*B - C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((B - C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, ((7*B - 4*C)*x)/(2*a^2) - (2*(8*B - 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + ((7*B - 4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) - ((8*B - 5*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((B - C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^4*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, -(((10*B - 7*C)*x)/(2*a^2)) + (4*(3*B - 2*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - ((10*B - 7*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) - ((10*B - 7*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((B - C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (4*(3*B - 2*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 9, -(((6*B - 13*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d)) + (8*(9*B - 19*C)*Tan[c + d*x])/(15*a^3*d) - ((6*B - 13*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*d) + ((B - C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((6*B - 11*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + (4*(9*B - 19*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, ((B - 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - ((7*B - 27*C)*Tan[c + d*x])/(15*a^3*d) + ((B - C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((4*B - 9*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((B - 3*C)*Tan[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 6, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + ((B - C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((2*B - 7*C)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((4*B - 29*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 4, -(((B - C)*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)) + ((3*B - 8*C)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((3*B + 7*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 4, ((B - C)*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((2*B + 3*C)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((2*B + 3*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, (B*x)/a^3 - ((B - C)*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((7*B - 2*C)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (2*(11*B - C)*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 7, -(((3*B - C)*x)/a^3) + (2*(36*B - 11*C)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) - ((B - C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((9*B - 4*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((3*B - C)*Sin[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, ((13*B - 6*C)*x)/(2*a^3) - (8*(19*B - 9*C)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) + ((13*B - 6*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((B - C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((11*B - 6*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - (4*(19*B - 9*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (32*a*(11*B + 10*C)*Tan[c + d*x])/(495*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a*(11*B + 10*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(11*B + 10*C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(99*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*C*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(11*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (64*(11*B + 10*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3465*d) + (32*(11*B + 10*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(1155*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (4*a*(9*B + 8*C)*Tan[c + d*x])/(45*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(9*B + 8*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*C*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(9*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (8*(9*B + 8*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*d) + (4*(9*B + 8*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(105*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (2*a*(7*B + 6*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*C*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (4*(7*B + 6*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*d) + (2*(7*B + 6*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (2*a*(5*B + 7*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(5*B - 2*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 3, (2*a*(3*B + C)*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (2*Sqrt[a]*B*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a*C*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (Sqrt[a]*(B + 2*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (a*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (Sqrt[a]*(3*B + 4*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a*(3*B + 4*C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (Sqrt[a]*(5*B + 6*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a*(5*B + 6*C)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(5*B + 6*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*B*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (4*a^2*(187*B + 168*C)*Tan[c + d*x])/(495*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(187*B + 168*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(11*B + 12*C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(99*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (8*a*(187*B + 168*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3465*d) + (2*a*C*Sec[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(11*d) + (4*(187*B + 168*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(1155*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (2*a^2*(39*B + 34*C)*Tan[c + d*x])/(45*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(9*B + 10*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (4*a*(39*B + 34*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*d) + (2*a*C*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(9*d) + (2*(39*B + 34*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(105*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (8*a^2*(21*B + 19*C)*Tan[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(21*B + 19*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*d) + (2*(7*B - 2*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*d) + (2*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (8*a^2*(5*B + 3*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(5*B + 3*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (2*a^(3/2)*B*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a^2*(3*B + 4*C)*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (a^(3/2)*(3*B + 2*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (a^2*(B - 2*C)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (a^(3/2)*(7*B + 12*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a^2*(5*B + 4*C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*B*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(3/2)*(11*B + 14*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a^2*(11*B + 14*C)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(7*B + 6*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*B*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a^(3/2)*(75*B + 88*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (a^2*(75*B + 88*C)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(75*B + 88*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(9*B + 8*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*B*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (4*a^3*(4615*B + 4184*C)*Tan[c + d*x])/(6435*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(4615*B + 4184*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(9009*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(299*B + 280*C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(1287*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (8*a^2*(4615*B + 4184*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(45045*d) + (2*a^2*(13*B + 16*C)*Sec[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(143*d) + (4*a*(4615*B + 4184*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(15015*d) + (2*a*C*Sec[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(13*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*a^3*(803*B + 710*C)*Tan[c + d*x])/(495*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(209*B + 194*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (4*a^2*(803*B + 710*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3465*d) + (2*a^2*(11*B + 14*C)*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(99*d) + (2*a*(803*B + 710*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(1155*d) + (2*a*C*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(11*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (64*a^3*(15*B + 13*C)*Tan[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*(15*B + 13*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*d) + (2*a*(15*B + 13*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(105*d) + (2*(9*B - 2*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(63*d) + (2*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(9*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (64*a^3*(7*B + 5*C)*Tan[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*(7*B + 5*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*d) + (2*a*(7*B + 5*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*d) + (2*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*a^(5/2)*B*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a^3*(35*B + 32*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(5*B + 8*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*a*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(5/2)*(5*B + 2*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d - (a^3*(3*B + 14*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(B + 2*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(5/2)*(19*B + 20*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a^3*(9*B - 4*C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a^2*(B - 4*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*B*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(5/2)*(25*B + 38*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a^3*(49*B + 54*C)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(3*B + 2*C)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a^(5/2)*(163*B + 200*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (a^3*(163*B + 200*C)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(95*B + 104*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(11*B + 8*C)*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (a^(5/2)*(283*B + 326*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(128*d) + (a^3*(283*B + 326*C)*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(283*B + 326*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(157*B + 170*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(240*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(13*B + 10*C)*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(40*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 8, (Sqrt[2]*(B - C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (4*(111*B - 143*C)*Tan[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*(3*B - 19*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*B - C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(9*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(93*B - 29*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, -((Sqrt[2]*(B - C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (4*(49*B - 37*C)*Tan[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(7*B - C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*(7*B - 31*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, (Sqrt[2]*(B - C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (4*(5*B - 7*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(5*B - C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 5, -((Sqrt[2]*(B - C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*(3*B - 2*C)*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 4, (Sqrt[2]*(B - C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*C*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, (2*B*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(B - C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, -(((B - 2*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(B - C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 8, ((7*B - 4*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(B - C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - ((B - 4*C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 9, -((9*B - 14*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*Sqrt[a]*d) + (Sqrt[2]*(B - C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + ((7*B - 2*C)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((B - 6*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (B*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((15*B - 19*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((B - C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((651*B - 799*C)*Tan[c + d*x])/(105*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((63*B - 67*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(70*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((7*B - 11*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(14*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((273*B - 397*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(210*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((11*B - 15*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((B - C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((65*B - 93*C)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((5*B - 9*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((35*B - 39*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(30*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((7*B - 11*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((B - C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((9*B - 13*C)*Tan[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((3*B - 7*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(6*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, ((3*B - 7*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((B - C)*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*C*Tan[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, ((B + 3*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((B - C)*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*B*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - ((5*B - C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((B - C)*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, -(((3*B - 2*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + ((9*B - 5*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((B - C)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((3*B - C)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 9, ((19*B - 12*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*a^(3/2)*d) - ((13*B - 9*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((B - C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((7*B - 6*C)*Sin[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((2*B - C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((163*B - 283*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((B - C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((13*B - 21*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((985*B - 1729*C)*Tan[c + d*x])/(120*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((85*B - 157*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(80*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((475*B - 787*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(240*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, -((75*B - 163*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((B - C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((9*B - 17*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((93*B - 197*C)*Tan[c + d*x])/(24*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((39*B - 95*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(48*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, ((19*B - 75*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((B - C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((5*B - 13*C)*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((B - 9*C)*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, ((5*B + 19*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((B - C)*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((5*B - 13*C)*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, ((3*B + 5*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + ((B - C)*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((3*B + 5*C)*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, (2*B*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - ((43*B - 3*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((B - C)*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((11*B - 3*C)*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 9, -(((5*B - 2*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + ((115*B - 43*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((B - C)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((15*B - 7*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((35*B - 11*C)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^m (B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+a Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a*(4*A + 3*(B + C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(5*A + 5*B + 4*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a*(4*A + 3*(B + C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*(B + C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (a*C*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a*(5*A + 5*B + 4*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a*(4*A + 4*B + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(3*A + 2*(B + C))*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*(4*A + 4*B + 3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*(B + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*C*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a*(2*A + B + C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(3*A + 3*B + 2*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*(B + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (a*C*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, a*A*x + (a*(2*A + 2*B + C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*(B + C)*Tan[c + d*x])/d + (a*C*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, a*(A + B)*x + (a*(B + C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*A*Sin[c + d*x])/d + (a*C*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (1/2)*a*(A + 2*(B + C))*x + (a*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*(A + B)*Sin[c + d*x])/d + (a*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (1/2)*a*(A + B + 2*C)*x + (a*(2*A + 3*(B + C))*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*(A + B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (1/8)*a*(3*A + 4*(B + C))*x + (a*(A + B + C)*Sin[c + d*x])/d + (a*(3*A + 4*(B + C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a*(A + B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (1/8)*a*(3*(A + B) + 4*C)*x + (a*(4*A + 5*(B + C))*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a*(3*(A + B) + 4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*(A + B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a*(4*A + 5*(B + C))*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (a^2*(14*A + 12*B + 11*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (a^2*(10*A + 9*B + 8*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a^2*(14*A + 12*B + 11*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (a^2*(10*A + 12*B + 9*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(40*d) + (C*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(6*d) + ((3*B + C)*Sec[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a^2*(10*A + 9*B + 8*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (a^2*(8*A + 7*B + 6*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*(8*A + 7*B + 6*C)*Tan[c + d*x])/(6*d) + (a^2*(8*A + 7*B + 6*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + ((20*A - 5*B + 6*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(60*d) + (C*Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((5*B + 2*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(20*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a^2*(12*A + 8*B + 7*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*(12*A + 8*B + 7*C)*Tan[c + d*x])/(6*d) + (a^2*(12*A + 8*B + 7*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + ((4*B - C)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*d) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, a^2*A*x + (a^2*(4*A + 3*B + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a^2*(2*A + 3*B + 2*C)*Tan[c + d*x])/(2*d) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((3*B + 2*C)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, a^2*(2*A + B)*x + (a^2*(2*A + 4*B + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (A*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/d - (a^2*(2*A - 2*B - 3*C)*Tan[c + d*x])/(2*d) - ((2*A - C)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (1/2)*a^2*(3*A + 4*B + 2*C)*x + (a^2*(B + 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(3*A + 2*B - 2*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((A - 2*C)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (1/2)*a^2*(2*A + 3*B + 4*C)*x + (a^2*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(2*A + 3*B + 2*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((2*A + 3*B)*Cos[c + d*x]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (1/8)*a^2*(7*A + 8*B + 12*C)*x + (a^2*(7*A + 8*B + 12*C)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a^2*(7*A + 8*B + 12*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + ((A + 2*B)*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(6*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (1/8)*a^2*(6*A + 7*B + 8*C)*x + (a^2*(18*A + 20*B + 25*C)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (a^2*(6*A + 7*B + 8*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(18*A + 25*B + 20*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(60*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((2*A + 5*B)*Cos[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(20*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (1/16)*a^2*(11*A + 12*B + 14*C)*x + (a^2*(8*A + 9*B + 10*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a^2*(11*A + 12*B + 14*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^2*(9*A + 12*B + 10*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(40*d) + (A*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(6*d) + ((A + 3*B)*Cos[c + d*x]^4*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d) - (a^2*(8*A + 9*B + 10*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (a^3*(26*A + 23*B + 21*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (a^3*(133*A + 119*B + 108*C)*Tan[c + d*x])/(35*d) + (a^3*(26*A + 23*B + 21*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (a^3*(154*A + 147*B + 129*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(280*d) + (C*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(7*d) + ((7*B + 3*C)*Sec[c + d*x]^3*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(42*a*d) + ((3*A + 4*B + 3*C)*Sec[c + d*x]^3*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a^3*(133*A + 119*B + 108*C)*Tan[c + d*x]^3)/(105*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 12, (a^3*(30*A + 26*B + 23*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (a^3*(30*A + 26*B + 23*C)*Tan[c + d*x])/(10*d) + (3*a^3*(30*A + 26*B + 23*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(80*d) + ((30*A - 6*B + 7*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(120*d) + (C*Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(6*d) + ((2*B + C)*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(10*a*d) + (a^3*(30*A + 26*B + 23*C)*Tan[c + d*x]^3)/(120*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 11, (a^3*(20*A + 15*B + 13*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*(20*A + 15*B + 13*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (3*a^3*(20*A + 15*B + 13*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(40*d) + ((5*B - C)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(5*a*d) + (a^3*(20*A + 15*B + 13*C)*Tan[c + d*x]^3)/(60*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, a^3*A*x + (a^3*(28*A + 20*B + 15*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (5*a^3*(4*A + 4*B + 3*C)*Tan[c + d*x])/(8*d) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + ((4*B + 3*C)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*a*d) + ((12*A + 20*B + 15*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(24*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, a^3*(3*A + B)*x + (a^3*(6*A + 7*B + 5*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (A*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/d + (5*a^3*(B + C)*Tan[c + d*x])/(2*d) - ((3*A - C)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*a*d) - ((6*A - 3*B - 5*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (1/2)*a^3*(7*A + 6*B + 2*C)*x + (a^3*(2*A + 6*B + 7*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (5*a^3*(A - C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((A - C)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - ((A - 2*B - 4*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (1/2)*a^3*(5*A + 7*B + 6*C)*x + (a^3*(B + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^3*(A + B)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((A + B)*Cos[c + d*x]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - ((5*A + 3*B - 6*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (1/8)*a^3*(15*A + 20*B + 28*C)*x + (a^3*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^3*(3*A + 4*(B + C))*Sin[c + d*x])/(8*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + ((3*A + 4*B)*Cos[c + d*x]^2*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*a*d) + ((15*A + 20*B + 12*C)*Cos[c + d*x]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(24*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (1/8)*a^3*(13*A + 15*B + 20*C)*x + (a^3*(13*A + 15*B + 20*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (3*a^3*(13*A + 15*B + 20*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(40*d) + ((3*A + 5*B)*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a^3*(13*A + 15*B + 20*C)*Sin[c + d*x]^3)/(60*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (1/16)*a^3*(23*A + 26*B + 30*C)*x + (a^3*(34*A + 38*B + 45*C)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (a^3*(23*A + 26*B + 30*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^3*(73*A + 86*B + 90*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(120*d) + (A*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(6*d) + ((A + 2*B)*Cos[c + d*x]^4*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(10*a*d) + ((31*A + 42*B + 30*C)*Cos[c + d*x]^3*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(120*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (1/16)*a^3*(21*A + 23*B + 26*C)*x + (a^3*(108*A + 119*B + 133*C)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (a^3*(21*A + 23*B + 26*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^3*(129*A + 147*B + 154*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(280*d) + (A*Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d) + ((3*A + 7*B)*Cos[c + d*x]^5*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(42*a*d) + ((3*A + 4*B + 3*C)*Cos[c + d*x]^4*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d) - (a^3*(108*A + 119*B + 133*C)*Sin[c + d*x]^3)/(105*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 15, (a^4*(56*A + 49*B + 44*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (4*a^4*(56*A + 49*B + 44*C)*Tan[c + d*x])/(35*d) + (27*a^4*(56*A + 49*B + 44*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(560*d) + (a^4*(56*A + 49*B + 44*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(280*d) + ((42*A - 7*B + 8*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(210*d) + (C*Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(7*d) + ((7*B + 4*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^5*Tan[c + d*x])/(42*a*d) + (2*a^4*(56*A + 49*B + 44*C)*Tan[c + d*x]^3)/(105*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 14, (7*a^4*(10*A + 8*B + 7*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (4*a^4*(10*A + 8*B + 7*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (27*a^4*(10*A + 8*B + 7*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(80*d) + (a^4*(10*A + 8*B + 7*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(40*d) + ((6*B - C)*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(30*d) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^5*Tan[c + d*x])/(6*a*d) + (2*a^4*(10*A + 8*B + 7*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, a^4*A*x + (a^4*(48*A + 35*B + 28*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^4*(40*A + 35*B + 28*C)*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*(5*B + 4*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((20*A + 35*B + 28*C)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(60*d) + ((32*A + 35*B + 28*C)*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(24*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, a^4*(4*A + B)*x + (a^4*(52*A + 48*B + 35*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (A*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/d + (5*a^4*(4*A + 8*B + 7*C)*Tan[c + d*x])/(8*d) - (a*(4*A - C)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d) - ((12*A - 4*B - 7*C)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*d) - ((12*A - 32*B - 35*C)*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(24*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (1/2)*a^4*(13*A + 8*B + 2*C)*x + (a^4*(8*A + 13*B + 12*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (5*a^4*(A - B - 2*C)*Sin[c + d*x])/(2*d) - (a*(3*A - 2*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(6*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((A - B - 2*C)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) + ((3*A + 18*B + 22*C)*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (1/2)*a^4*(12*A + 13*B + 8*C)*x + (a^4*(2*A + 8*B + 13*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (5*a^4*(2*A + B - C)*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*(4*A + 3*B)*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(6*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(3*d) - ((2*A + B - C)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) - ((8*A - 3*B - 18*C)*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (1/8)*a^4*(35*A + 48*B + 52*C)*x + (a^4*(B + 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (5*a^4*(7*A + 8*B + 4*C)*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*(A + B)*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(4*d) + ((7*A + 8*B + 4*C)*Cos[c + d*x]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(8*d) - ((35*A + 32*B - 12*C)*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(24*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (1/8)*a^4*(28*A + 35*B + 48*C)*x + (a^4*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^4*(28*A + 35*B + 40*C)*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*(4*A + 5*B)*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((28*A + 35*B + 20*C)*Cos[c + d*x]^2*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(60*d) + ((28*A + 35*B + 32*C)*Cos[c + d*x]*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(24*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 12, (7/16)*a^4*(7*A + 8*B + 10*C)*x + (4*a^4*(7*A + 8*B + 10*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (27*a^4*(7*A + 8*B + 10*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(80*d) + (a^4*(7*A + 8*B + 10*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(40*d) + ((2*A + 3*B)*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(15*d) + (A*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(6*d) - (2*a^4*(7*A + 8*B + 10*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (1/16)*a^4*(44*A + 49*B + 56*C)*x + (a^4*(454*A + 504*B + 581*C)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (a^4*(44*A + 49*B + 56*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^4*(988*A + 1113*B + 1232*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(840*d) + (a*(4*A + 7*B)*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(42*d) + (A*Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(7*d) + ((16*A + 21*B + 14*C)*Cos[c + d*x]^4*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(70*d) + ((436*A + 511*B + 504*C)*Cos[c + d*x]^3*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(840*d)}
+{Cos[c + d*x]^8*(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 10, (1/128)*a^4*(323*A + 352*B + 392*C)*x + (a^4*(208*A + 227*B + 252*C)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (a^4*(323*A + 352*B + 392*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (a^4*(2007*A + 2208*B + 2408*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(2240*d) + (a*(A + 2*B)*Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(14*d) + (A*Cos[c + d*x]^7*(a + a*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(8*d) + ((61*A + 80*B + 56*C)*Cos[c + d*x]^5*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(336*d) + (7*(7*A + 8*(B + C))*Cos[c + d*x]^4*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(120*d) - (a^4*(208*A + 227*B + 252*C)*Sin[c + d*x]^3)/(105*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (3*(4*A - 4*B + 5*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*a*d) - ((3*A - 4*B + 4*C)*Tan[c + d*x])/(a*d) + (3*(4*A - 4*B + 5*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*a*d) + ((4*A - 4*B + 5*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*a*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])) - ((3*A - 4*B + 4*C)*Tan[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, -(((2*A - 3*B + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d)) + ((3*A - 3*B + 4*C)*Tan[c + d*x])/(a*d) - ((2*A - 3*B + 3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])) + ((3*A - 3*B + 4*C)*Tan[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, ((2*A - 2*B + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a*d) - ((A - 2*B + 2*C)*Tan[c + d*x])/(a*d) + ((2*A - 2*B + 3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, ((B - C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d) + (C*Tan[c + d*x])/(a*d) + ((A - B + C)*Tan[c + d*x])/(a*d*(1 + Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, (A*x)/a + (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a*d) - ((A - B + C)*Tan[c + d*x])/(a*d*(1 + Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 4, -(((A - B)*x)/a) + ((2*A - B + C)*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, ((3*A - 2*B + 2*C)*x)/(2*a) - ((2*A - 2*B + C)*Sin[c + d*x])/(a*d) + ((3*A - 2*B + 2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, -(((3*A - 3*B + 2*C)*x)/(2*a)) + ((4*A - 3*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((3*A - 3*B + 2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])) - ((4*A - 3*B + 3*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (3*(5*A - 4*B + 4*C)*x)/(8*a) - ((4*A - 4*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(a*d) + (3*(5*A - 4*B + 4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*d) + ((5*A - 4*B + 4*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])) + ((4*A - 4*B + 3*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -(((4*A - 7*B + 10*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^2*d)) + ((5*A - 8*B + 12*C)*Tan[c + d*x])/(a^2*d) - ((4*A - 7*B + 10*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) - ((4*A - 7*B + 10*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((5*A - 8*B + 12*C)*Tan[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, ((2*A - 4*B + 7*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^2*d) - (2*(2*A - 5*B + 8*C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) + ((2*A - 4*B + 7*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d) - ((2*A - 5*B + 8*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, ((B - 2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + ((A - B + 4*C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((B - 2*C)*Tan[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 4, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + ((A + 2*B - 5*C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) + ((A - B + C)*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2), (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) + ((2*A + B - 4*C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 3, (A*x)/a^2 - ((4*A - B - 2*C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Tan[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 5, -(((2*A - B)*x)/a^2) + ((10*A - 4*B + C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((2*A - B)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, ((7*A - 4*B + 2*C)*x)/(2*a^2) - (2*(8*A - 5*B + 2*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + ((7*A - 4*B + 2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) - ((8*A - 5*B + 2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -(((10*A - 7*B + 4*C)*x)/(2*a^2)) + ((12*A - 8*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d) - ((10*A - 7*B + 4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) - ((10*A - 7*B + 4*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((12*A - 8*B + 5*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, ((2*A - 6*B + 13*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (2*(11*A - 36*B + 76*C)*Tan[c + d*x])/(15*a^3*d) + ((2*A - 6*B + 13*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((A - 6*B + 11*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((11*A - 36*B + 76*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 7, ((B - 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + ((2*A - 7*B + 27*C)*Tan[c + d*x])/(15*a^3*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((A + 4*B - 9*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((B - 3*C)*Tan[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 5, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((3*A + 2*B - 7*C)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((6*A + 4*B - 29*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 3, -(((A - B + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)) + ((A - C)*Tan[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((2*A + 3*B + 7*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 4, (A*x)/a^3 - ((A - B + C)*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((7*A - 2*B - 3*C)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((22*A - 2*B - 3*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 6, -(((3*A - B)*x)/a^3) + (2*(36*A - 11*B + C)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((9*A - 4*B - C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((3*A - B)*Sin[c + d*x])/(d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 7, ((13*A - 6*B + 2*C)*x)/(2*a^3) - (2*(76*A - 36*B + 11*C)*Sin[c + d*x])/(15*a^3*d) + ((13*A - 6*B + 2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((11*A - 6*B + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((76*A - 36*B + 11*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -(((23*A - 13*B + 6*C)*x)/(2*a^3)) + (4*(34*A - 19*B + 9*C)*Sin[c + d*x])/(5*a^3*d) - ((23*A - 13*B + 6*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((13*A - 8*B + 3*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((23*A - 13*B + 6*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])) - (4*(34*A - 19*B + 9*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*a^3*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 9, ((2*A - 8*B + 21*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^4*d) - (8*(20*A - 83*B + 216*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d) + ((2*A - 8*B + 21*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^4*d) - ((10*A - 52*B + 129*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - (4*(20*A - 83*B + 216*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) + ((B - 2*C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 8, ((B - 4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + ((6*A - 55*B + 244*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d) + ((3*A + 25*B - 88*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - ((B - 4*C)*Tan[c + d*x])/(a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) + ((2*A + 5*B - 12*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 6, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) - ((8*A + 6*B - 55*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) + ((16*A + 12*B - 215*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) + ((4*A + 3*B - 10*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 4, ((23*A - 2*B - 54*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) + ((8*A + 13*B + 36*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - ((6*A + B - 8*C)*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 4, -(((A - B + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4)) + ((8*A - B - 6*C)*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((6*A + 8*B + 13*C)*Tan[c + d*x])/(105*d*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2) + ((6*A + 8*B + 13*C)*Tan[c + d*x])/(105*d*(a^4 + a^4*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 5, (A*x)/a^4 - ((55*A - 6*B - 8*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - (2*(80*A - 3*B - 4*C)*Tan[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - ((10*A - 3*B - 4*C)*Tan[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 7, -(((4*A - B)*x)/a^4) + (2*(332*A - 80*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d) - ((88*A - 25*B - 3*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - ((4*A - B)*Sin[c + d*x])/(a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - ((12*A - 5*B - 2*C)*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 8, ((21*A - 8*B + 2*C)*x)/(2*a^4) - (8*(216*A - 83*B + 20*C)*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d) + ((21*A - 8*B + 2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^4*d) - ((129*A - 52*B + 10*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])^2) - (4*(216*A - 83*B + 20*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(105*a^4*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^4) - ((2*A - B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (4*a*(99*A + 88*B + 80*C)*Tan[c + d*x])/(495*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(99*A + 88*B + 80*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(11*B + C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(99*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (8*(99*A + 88*B + 80*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3465*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(11*d) + (4*(99*A + 88*B + 80*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(1155*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (2*a*(21*A + 18*B + 16*C)*Tan[c + d*x])/(45*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(9*B + C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (4*(21*A + 18*B + 16*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(9*d) + (2*(21*A + 18*B + 16*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(105*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (2*a*(35*A + 49*B + 27*C)*Tan[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(35*A - 14*B + 18*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(7*d) + (2*(7*B + C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 3, (2*a*(15*A + 5*B + 7*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(5*B - 2*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (2*Sqrt[a]*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a*(3*B + C)*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (Sqrt[a]*(A + 2*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (A*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d - (a*(A - 2*C)*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (Sqrt[a]*(3*A + 4*B + 8*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a*(A + 4*B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (Sqrt[a]*(5*A + 6*B + 8*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a*(5*A + 6*B + 8*C)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(A + 6*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (Sqrt[a]*(35*A + 40*B + 48*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (a*(35*A + 40*B + 48*C)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(35*A + 40*B + 48*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(A + 8*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (2*a^2*(429*A + 374*B + 336*C)*Tan[c + d*x])/(495*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(99*A + 110*B + 84*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (4*a*(429*A + 374*B + 336*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3465*d) + (2*a*(11*B + 3*C)*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(99*d) + (2*(429*A + 374*B + 336*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(1155*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(11*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (8*a^2*(63*A + 57*B + 47*C)*Tan[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(63*A + 57*B + 47*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*d) + (2*(63*A - 18*B + 22*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(315*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(9*d) + (2*(3*B + C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(21*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (8*a^2*(35*A + 21*B + 19*C)*Tan[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(35*A + 21*B + 19*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*d) + (2*(7*B - 2*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*d) + (2*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (2*a^(3/2)*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a^2*(15*A + 20*B + 12*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(5*B + 3*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(3/2)*(3*A + 2*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/d - (a^2*(3*A - 6*B - 8*C)*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a*(3*A - 2*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (a^(3/2)*(7*A + 12*B + 8*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a^2*(5*A + 4*B - 8*C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a*(A - 4*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (a^(3/2)*(11*A + 14*B + 24*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a^2*(19*A + 30*B + 24*C)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(A + 2*B)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(3/2)*(75*A + 88*B + 112*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (a^2*(75*A + 88*B + 112*C)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(39*A + 56*B + 48*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(3*A + 8*B)*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a^(3/2)*(133*A + 150*B + 176*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(128*d) + (a^2*(133*A + 150*B + 176*C)*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(133*A + 150*B + 176*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(67*A + 90*B + 80*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(240*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(3*A + 10*B)*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(40*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*a^3*(10439*A + 9230*B + 8368*C)*Tan[c + d*x])/(6435*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(2717*A + 2522*B + 2224*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(9009*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (4*a^2*(10439*A + 9230*B + 8368*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(45045*d) + (2*a^2*(143*A + 182*B + 136*C)*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(1287*d) + (2*a*(10439*A + 9230*B + 8368*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(15015*d) + (2*a*(13*B + 5*C)*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(143*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(13*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (64*a^3*(165*A + 143*B + 125*C)*Tan[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*(165*A + 143*B + 125*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3465*d) + (2*a*(165*A + 143*B + 125*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(1155*d) + (2*(99*A - 22*B + 26*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(693*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(11*d) + (2*(11*B + 5*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(99*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (64*a^3*(21*A + 15*B + 13*C)*Tan[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*(21*A + 15*B + 13*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*d) + (2*a*(21*A + 15*B + 13*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(105*d) + (2*(9*B - 2*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(63*d) + (2*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(9*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*a^(5/2)*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a^3*(245*A + 224*B + 160*C)*Tan[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(35*A + 56*B + 40*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*d) + (2*a*(7*B + 5*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*d) + (2*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a^(5/2)*(5*A + 2*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (A*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/d + (a^3*(15*A + 70*B + 64*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a^2*(15*A - 10*B - 16*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) - (a*(5*A - 2*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(5/2)*(19*A + 20*B + 8*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a^3*(27*A - 12*B - 56*C)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a^2*(A - 4*B - 8*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d) - (a*(3*A - 4*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(5/2)*(25*A + 38*B + 40*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a^3*(49*A + 54*B - 24*C)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a^2*(3*A + 2*B - 8*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*(5*A + 6*B)*Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(5/2)*(163*A + 200*B + 304*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (a^3*(299*A + 392*B + 432*C)*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(17*A + 24*B + 16*C)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d) + (a*(5*A + 8*B)*Cos[c + d*x]^2*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a^(5/2)*(283*A + 326*B + 400*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(128*d) + (a^3*(283*A + 326*B + 400*C)*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(787*A + 950*B + 1040*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(960*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(79*A + 110*B + 80*C)*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*d) + (a*(A + 2*B)*Cos[c + d*x]^3*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (a^(5/2)*(1015*A + 1132*B + 1304*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(512*d) + (a^3*(1015*A + 1132*B + 1304*C)*Sin[c + d*x])/(512*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(1015*A + 1132*B + 1304*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(768*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(545*A + 628*B + 680*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(960*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(115*A + 156*B + 120*C)*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(480*d) + (a*(5*A + 12*B)*Cos[c + d*x]^4*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(60*d) + (A*Cos[c + d*x]^5*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, -((Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (4*(147*A - 111*B + 143*C)*Tan[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(21*A - 3*B + 19*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(9*B - C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(9*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*(21*A - 93*B + 29*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - (4*(35*A - 49*B + 37*C)*Tan[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(7*B - C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(35*A - 7*B + 31*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 5, -((Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*(15*A - 10*B + 14*C)*Tan[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(5*B - C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 4, (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*(3*B - 2*C)*Tan[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, (2*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*C*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, -(((A - 2*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, ((7*A - 4*B + 8*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - ((A - 4*B)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 8, -(((9*A - 14*B + 8*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + ((7*A - 2*B + 8*C)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((A - 6*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 9, ((107*A - 72*B + 112*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) - ((21*A - 56*B + 16*C)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((43*A - 8*B + 48*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((A - 8*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((11*A - 15*B + 19*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((455*A - 651*B + 799*C)*Tan[c + d*x])/(105*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((35*A - 63*B + 67*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(70*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((7*A - 7*B + 11*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(14*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((245*A - 273*B + 397*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(210*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, -(((7*A - 11*B + 15*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((45*A - 65*B + 93*C)*Tan[c + d*x])/(15*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((5*A - 5*B + 9*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((15*A - 35*B + 39*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(30*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, ((3*A - 7*B + 11*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((3*A - 9*B + 13*C)*Tan[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((3*A - 3*B + 7*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(6*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, ((A + 3*B - 7*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + ((A - B + C)*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*C*Tan[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), ((A + 3*B - 7*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((A - B + 5*C)*Tan[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - ((5*A - B - 3*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, -(((3*A - 2*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d)) + ((9*A - 5*B + C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((3*A - B + C)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((19*A - 12*B + 8*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*a^(3/2)*d) - ((13*A - 9*B + 5*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((7*A - 6*B + 2*C)*Sin[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((2*A - B + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 9, -(((47*A - 38*B + 24*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*a^(3/2)*d)) + ((17*A - 13*B + 9*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((21*A - 14*B + 12*C)*Sin[c + d*x])/(8*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((13*A - 12*B + 6*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(12*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((5*A - 3*B + 3*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, -(((75*A - 163*B + 283*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((5*A - 13*B + 21*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((465*A - 985*B + 1729*C)*Tan[c + d*x])/(120*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((45*A - 85*B + 157*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(80*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((195*A - 475*B + 787*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(240*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, ((19*A - 75*B + 163*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((A - 9*B + 17*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((21*A - 93*B + 197*C)*Tan[c + d*x])/(24*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((15*A - 39*B + 95*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(48*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, ((5*A + 19*B - 75*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((3*A + 5*B - 13*C)*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((A - B + 9*C)*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, ((3*A + 5*B + 19*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((7*A + B - 9*C)*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*A*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) - ((43*A - 3*B - 5*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Tan[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((11*A - 3*B - 5*C)*Tan[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, -(((5*A - 2*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d)) + ((115*A - 43*B + 3*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((15*A - 7*B - C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((35*A - 11*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 9, ((39*A - 20*B + 8*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*a^(5/2)*d) - ((219*A - 115*B + 43*C)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((19*A - 11*B + 3*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((63*A - 35*B + 11*C)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((31*A - 15*B + 7*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, -((2*a*(5*A + 3*(B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*a*(7*A + 7*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*(5*A + 3*(B + C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*(7*A + 7*B + 5*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(B + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*C*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, -((2*a*(5*A + 5*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*a*(3*A + B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*(5*A + 5*B + 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*(B + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 7, (2*a*(A - B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*(3*A + 3*B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*(B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*a*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 7, (2*a*(A + B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*(A + 3*(B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{((a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 7, (2*a*(3*A + 5*(B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(A + B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(A + B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 8, (2*a*(3*(A + B) + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*a*(5*A + 7*(B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(A + B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(5*A + 7*(B + C))*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 9, (2*a*(7*A + 9*(B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*a*(5*(A + B) + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*(A + B)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(7*A + 9*(B + C))*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(5*(A + B) + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 10, (-4*a^2*(12*A + 9*B + 8*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^2*(7*A + 6*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^2*(12*A + 9*B + 8*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (4*a^2*(7*A + 6*B + 5*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a^2*(21*A + 27*B + 19*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*(9*B + 4*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d)}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (-4*a^2*(5*A + 4*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*(14*A + 7*B + 6*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^2*(5*A + 4*B + 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a^2*(35*A + 49*B + 33*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*(7*B + 4*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 8, (-4*a^2*(5*B + 4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*(3*A + 2*B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a^2*(15*A + 25*B + 17*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(5*B + 4*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 8, (4*a^2*(A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (4*a^2*(2*A + 3*B + 2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*a^2*(A - 3*B - 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A - C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 8, (4*a^2*(4*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*(A + 2*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*a^2*(7*A + 5*B - 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(4*A + 5*B)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 8, (4*a^2*(3*A + 4*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^2*(6*A + 7*B + 14*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^2*(33*A + 49*B + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(4*A + 7*B)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 9, (4*a^2*(8*A + 9*B + 12*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^2*(5*A + 6*B + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a^2*(19*A + 27*B + 21*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(5*A + 6*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*(4*A + 9*B)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(11/2), x, 10, (4*a^2*(7*A + 8*B + 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^2*(50*A + 55*B + 66*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*a^2*(89*A + 121*B + 99*C)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^2*(7*A + 8*B + 9*C)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(50*A + 55*B + 66*C)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2)) + (2*(4*A + 11*B)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 11, (-4*a^3*(21*A + 17*B + 15*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^3*(143*A + 121*B + 105*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (4*a^3*(21*A + 17*B + 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (4*a^3*(143*A + 121*B + 105*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(231*d) + (4*a^3*(264*A + 253*B + 210*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(1155*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d) + (2*(11*B + 6*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(99*a*d) + (2*(99*A + 143*B + 105*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(693*d)}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 10, (-4*a^3*(27*A + 21*B + 17*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^3*(21*A + 13*B + 11*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^3*(27*A + 21*B + 17*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (4*a^3*(42*A + 41*B + 32*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*(3*B + 2*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*a*d) + (2*(63*A + 99*B + 73*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(315*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 9, (-4*a^3*(5*A + 9*B + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(35*A + 21*B + 13*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^3*(140*A + 147*B + 106*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*(7*B + 6*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(35*a*d) + (2*(5*A + 9*B + 7*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 9, (4*a^3*(5*A - 5*B - 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(5*A + 5*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (4*a^3*(5*A + 20*B + 21*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(5*A - 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(15*a*d) - (2*(5*A - 5*B - 9*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 9, (4*a^3*(9*A + 5*B - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(3*A + 5*(B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (4*a^3*(6*A - 5*B - 20*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(6*A + 5*B)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(9*A + 5*B - 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 9, (4*a^3*(7*A + 9*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (4*a^3*(13*A + 21*B + 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) - (4*a^3*(41*A + 42*B - 35*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(6*A + 7*B)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(35*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(7*A + 9*B + 5*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 9, (4*a^3*(17*A + 21*B + 27*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^3*(11*A + 13*B + 21*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (4*a^3*(32*A + 41*B + 42*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*(2*A + 3*B)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*a*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(73*A + 99*B + 63*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(315*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(11/2), x, 10, (4*a^3*(15*A + 17*B + 21*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (4*a^3*(105*A + 121*B + 143*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (4*a^3*(210*A + 253*B + 264*C)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(105*A + 121*B + 143*C)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2)) + (2*(6*A + 11*B)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(99*a*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*(105*A + 143*B + 99*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(693*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(13/2), x, 11, (4*a^3*(175*A + 195*B + 221*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(195*d) + (4*a^3*(95*A + 105*B + 121*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (20*a^3*(236*A + 273*B + 286*C)*Sin[c + d*x])/(9009*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^3*(175*A + 195*B + 221*C)*Sin[c + d*x])/(585*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(95*A + 105*B + 121*C)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(13*d*Sec[c + d*x]^(11/2)) + (2*(6*A + 13*B)*(a^2 + a^2*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(143*a*d*Sec[c + d*x]^(9/2)) + (2*(145*A + 195*B + 143*C)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(1287*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 9, (-3*(5*A - 5*B + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a*d) - ((3*A - 5*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + (3*(5*A - 5*B + 7*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - ((3*A - 5*B + 5*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d) + ((5*A - 5*B + 7*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 8, ((A - 3*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + ((3*A - 3*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) - ((A - 3*B + 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d) + ((3*A - 3*B + 5*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, -(((A - B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d)) + ((A + B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) + ((A - B + 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 6, ((3*A - B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - ((A - B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - ((A - B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 7, -(((3*A - 3*B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d)) + ((5*A - 3*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + ((5*A - 3*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 8, (3*(7*A - 5*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a*d) - ((5*A - 5*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d) + ((7*A - 5*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - ((5*A - 5*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 9, -((3*(7*A - 7*B + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a*d)) + (5*(9*A - 7*B + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*a*d) + ((9*A - 7*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(7*a*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) - ((7*A - 7*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (5*(9*A - 7*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(21*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(d*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 9, ((A - 4*B + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + ((2*A - 5*B + 10*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - ((A - 4*B + 7*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + ((2*A - 5*B + 10*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((A - 4*B + 7*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, ((B - 4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + ((A + 2*B - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - ((B - 4*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + ((A + 2*B - 5*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -(((A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) + ((2*A + B + 2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + ((A - C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 7, ((4*A - B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) - ((5*A - 2*B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) - ((5*A - 2*B - C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 8, -(((7*A - 4*B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) + ((10*A - 5*B + 2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + ((10*A - 5*B + 2*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((7*A - 4*B + C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 9, ((56*A - 35*B + 20*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a^2*d) - (5*(3*A - 2*B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d) + ((56*A - 35*B + 20*C)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (5*(3*A - 2*B + C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((3*A - 2*B + C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(1 + Sec[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2)}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 10, ((9*A - 49*B + 119*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((3*A - 13*B + 33*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((9*A - 49*B + 119*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d) + ((3*A - 13*B + 33*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((B - 2*C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((9*A - 49*B + 119*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(30*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 9, ((A + 9*B - 49*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((A + 3*B - 13*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A + 9*B - 49*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((2*A + 3*B - 8*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((A + 3*B - 13*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -((A - B - 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((A + B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((4*A + B - 6*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((A - B - 9*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -((9*A + B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((3*A + B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) + ((6*A - B - 4*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) + ((3*A + B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 8, ((49*A - 9*B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) - ((13*A - 3*B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) - ((A - B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((8*A - 3*B - 2*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((13*A - 3*B - C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 9, -((119*A - 49*B + 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) + ((33*A - 13*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) + ((33*A - 13*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((2*A - B)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((119*A - 49*B + 9*C)*Sin[c + d*x])/(30*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 10, (7*(33*A - 17*B + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(10*a^3*d) - ((63*A - 33*B + 13*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(c + d*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(6*a^3*d) + (7*(33*A - 17*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(30*a^3*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - ((63*A - 33*B + 13*C)*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3) - ((12*A - 7*B + 2*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2) - ((63*A - 33*B + 13*C)*Sin[c + d*x])/(10*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (Sqrt[a]*(48*A + 40*B + 35*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (a*(48*A + 40*B + 35*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(48*A + 40*B + 35*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(8*B + C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (Sqrt[a]*(8*A + 6*B + 5*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a*(8*A + 6*B + 5*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(6*B + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (Sqrt[a]*(8*A + 4*B + 3*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a*(4*B + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 4, (Sqrt[a]*(2*B + C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (a*(2*A - C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 4, (2*Sqrt[a]*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a*(A + 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 3, (2*a*(7*A + 5*B + 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(A + 5*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 4, (2*a*(A + 7*B)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(24*A + 28*B + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (4*a*(24*A + 28*B + 35*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 5, (2*a*(A + 9*B)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(16*A + 18*B + 21*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a*(16*A + 18*B + 21*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a*(16*A + 18*B + 21*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a^(3/2)*(176*A + 150*B + 133*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(128*d) + (a^2*(176*A + 150*B + 133*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(176*A + 150*B + 133*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(80*A + 90*B + 67*C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(240*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(10*B + 3*C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(40*d) + (C*Sec[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(3/2)*(112*A + 88*B + 75*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (a^2*(112*A + 88*B + 75*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(64*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(48*A + 56*B + 39*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(96*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(8*B + 3*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (C*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (a^(3/2)*(24*A + 14*B + 11*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a^2*(24*A + 30*B + 19*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(2*B + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 5, (a^(3/2)*(8*A + 12*B + 7*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a^2*(8*A - 4*B - 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(4*B + 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 5, (a^(3/2)*(2*B + 3*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (a^2*(8*A + 6*B - 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a*(2*A - 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 5, (2*a^(3/2)*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a^2*(12*A + 20*B + 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(3*A + 5*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 4, (8*a^2*(19*A + 21*B + 35*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(19*A + 21*B + 35*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(3*A + 7*B)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 5, (2*a^2*(52*A + 72*B + 63*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(136*A + 156*B + 189*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (4*a^2*(136*A + 156*B + 189*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(A + 3*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(11/2), x, 6, (2*a^2*(84*A + 110*B + 99*C)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(336*A + 374*B + 429*C)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a^2*(336*A + 374*B + 429*C)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*(336*A + 374*B + 429*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(3*A + 11*B)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (a^(5/2)*(1304*A + 1132*B + 1015*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(512*d) + (a^3*(1304*A + 1132*B + 1015*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(512*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(1304*A + 1132*B + 1015*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(768*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(680*A + 628*B + 545*C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(960*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(120*A + 156*B + 115*C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(480*d) + (a*(12*B + 5*C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(60*d) + (C*Sec[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a^(5/2)*(400*A + 326*B + 283*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(128*d) + (a^3*(400*A + 326*B + 283*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(128*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(1040*A + 950*B + 787*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(960*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(80*A + 110*B + 79*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*d) + (a*(2*B + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d) + (C*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(5/2)*(304*A + 200*B + 163*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(64*d) + (a^3*(432*A + 392*B + 299*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(192*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(16*A + 24*B + 17*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d) + (a*(8*B + 5*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d) + (C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(1/2), x, 6, (a^(5/2)*(40*A + 38*B + 25*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*d) + (a^3*(24*A - 54*B - 49*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(24*A + 42*B + 31*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*(6*B + 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d) + (C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 6, (a^(5/2)*(8*A + 20*B + 19*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*d) + (a^3*(56*A + 12*B - 27*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a^2*(8*A - 12*B - 21*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d) - (a*(4*A - 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 6, (a^(5/2)*(2*B + 5*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (a^3*(64*A + 70*B + 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a^2*(16*A + 10*B - 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*(A + B)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 6, (2*a^(5/2)*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/d + (2*a^3*(160*A + 224*B + 245*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(40*A + 56*B + 35*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(5*A + 7*B)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 5, (64*a^3*(13*A + 15*B + 21*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*(13*A + 15*B + 21*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*a*(13*A + 15*B + 21*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*(5*A + 9*B)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(11/2), x, 6, (2*a^3*(1160*A + 1364*B + 1485*C)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(2840*A + 3212*B + 3795*C)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (4*a^3*(2840*A + 3212*B + 3795*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(32*A + 44*B + 33*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(5*A + 11*B)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(13/2), x, 7, (2*a^3*(2224*A + 2522*B + 2717*C)*Sin[c + d*x])/(9009*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(8368*A + 9230*B + 10439*C)*Sin[c + d*x])/(15015*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a^3*(8368*A + 9230*B + 10439*C)*Sin[c + d*x])/(45045*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^3*(8368*A + 9230*B + 10439*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(45045*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(136*A + 182*B + 143*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1287*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*(5*A + 13*B)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(143*d*Sec[c + d*x]^(9/2)) + (2*A*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(13*d*Sec[c + d*x]^(11/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 8, -(((8*A - 14*B + 9*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(8*Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + ((8*A - 2*B + 7*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((6*B - C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, ((8*A - 4*B + 7*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + ((4*B - C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sec[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, ((2*B - C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) + (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (C*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(1/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 6, (2*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 4, (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*(A - 3*B)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 5, -((Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*(A - 5*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(13*A - 5*B + 15*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 6, (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*(A - 7*B)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(31*A - 7*B + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*(43*A - 91*B + 35*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a*A + (A*b + a*B)*Sec[c + d*x] + b*B*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, ((2*A*b + 2*a*B - b*B)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) + (Sqrt[2]*(a - b)*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d) + (b*B*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((8*A - 12*B + 19*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(4*a^(3/2)*d) - ((5*A - 9*B + 13*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((2*A - 6*B + 7*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((A - B + 2*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, ((2*B - 3*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + ((A - 5*B + 9*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((A - B + 3*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sec[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) + ((3*A + B - 5*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 4, -(((7*A - 3*B - C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A - B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((5*A - B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 5, ((11*A - 7*B + 3*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((7*A - 3*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((19*A - 15*B + 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 6, -(((15*A - 11*B + 7*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((9*A - 5*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((39*A - 35*B + 15*C)*Sin[c + d*x])/(30*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((147*A - 95*B + 75*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(30*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, ((2*B - 5*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + ((3*A - 43*B + 115*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((A + 7*B - 15*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((3*A - 11*B + 35*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]])/(a^(5/2)*d) + ((5*A + 3*B - 43*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((5*A + 3*B - 11*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(Sec[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 4, ((19*A + 5*B + 3*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((9*A - B - 7*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 5, -(((75*A - 19*B - 5*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A - B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((13*A - 5*B - 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((49*A - 9*B + C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 6, ((163*A - 75*B + 19*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((17*A - 9*B + C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((95*A - 39*B + 15*C)*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((299*A - 147*B + 27*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 7, -(((283*A - 163*B + 75*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((21*A - 13*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((157*A - 85*B + 45*C)*Sin[c + d*x])/(80*a^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((787*A - 475*B + 195*C)*Sin[c + d*x])/(240*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((2671*A - 1495*B + 735*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+a Sec[e+f x])^(m/3) (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 10, (3*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[7/6, 1/2, 1, 13/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(7*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]) + (3*(5*B + 2*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(10*d*(1 + Sec[c + d*x])) - (3^(3/4)*(5*B + 2*C)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(10*2^(1/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 9, (3*C*Tan[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)) + (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[1/6, 1/2, 1, 7/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)) - (3^(3/4)*(2*B - C)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(2*2^(1/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 9, -((3*(A - B + C)*Tan[c + d*x])/(5*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(4/3))) + (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[1/6, 1/2, 1, 7/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(a*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)) + (3^(3/4)*(A - B - 4*C)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(5*2^(1/3)*a*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(7/3), x, 10, -((3*(A - B + C)*Tan[c + d*x])/(11*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(7/3))) - (3*(4*A - 4*B - 7*C)*Tan[c + d*x])/(55*a^2*d*(1 + Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)) - (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[-(5/6), 1/2, 1, 1/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*a^2*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)) + (3^(3/4)*(4*A - 4*B - 7*C)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(55*2^(1/3)*a^2*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(4/3), x, 12, (3*a*(7*B + 4*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(28*d) + (3*Sqrt[2]*a*A*AppellF1[11/6, 1/2, 1, 17/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(11*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]) + (3*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(4/3)*Tan[c + d*x])/(7*d) - (15*(1 + Sqrt[3])*a*(7*B + 4*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(28*d*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))) + (15*3^(1/4)*a*(7*B + 4*C)*EllipticE[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(14*2^(2/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)]) + (5*3^(3/4)*(1 - Sqrt[3])*a*(7*B + 4*C)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(28*2^(2/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 11, (3*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(4*d) + (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[5/6, 1/2, 1, 11/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(5*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]) - (3*(1 + Sqrt[3])*(4*B + C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(4*d*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))) + (3*3^(1/4)*(4*B + C)*EllipticE[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(2*2^(2/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)]) + (3^(3/4)*(1 - Sqrt[3])*(4*B + C)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(4*2^(2/3)*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 11, -((3*(A - B + C)*Tan[c + d*x])/(d*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3))) + (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[5/6, 1/2, 1, 11/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(5*a*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]) - (3*(1 + Sqrt[3])*(A - B + 2*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(a*d*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))) + (3*2^(1/3)*3^(1/4)*(A - B + 2*C)*EllipticE[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(a*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)]) + (3^(3/4)*(1 - Sqrt[3])*(A - B + 2*C)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(a + a*Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(2^(2/3)*a*d*(1 - Sec[c + d*x])*(1 + Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3), x, 12, -((3*(A - B + C)*Tan[c + d*x])/(7*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/3))) - (3*(2*A - 2*B - 5*C)*Tan[c + d*x])/(7*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)) - (3*Sqrt[2]*A*AppellF1[-(1/6), 1/2, 1, 5/6, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(a*d*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)) - (3*(1 + Sqrt[3])*(2*A - 2*B - 5*C)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(7*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))) + (3*2^(1/3)*3^(1/4)*(2*A - 2*B - 5*C)*EllipticE[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(7*a*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)]) + (3^(3/4)*(1 - Sqrt[3])*(2*A - 2*B - 5*C)*EllipticF[ArcCos[(2^(1/3) - (1 - Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))], (1/4)*(2 + Sqrt[3])]*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3))*Sqrt[(2^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3) + (1 + Sec[c + d*x])^(2/3))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2]*Tan[c + d*x])/(7*2^(2/3)*a*d*(1 - Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^(2/3)*Sqrt[-(((1 + Sec[c + d*x])^(1/3)*(2^(1/3) - (1 + Sec[c + d*x])^(1/3)))/(2^(1/3) - (1 + Sqrt[3])*(1 + Sec[c + d*x])^(1/3))^2)])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2) when m and n symbolic*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^m*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + a*Sec[c + d*x])^n, x, 8, (C*Sec[c + d*x]^(1 + m)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*(1 + m + n)) + (2^(3/2 + n)*(C*n + B*(1 + m + n))*AppellF1[1/2, 1 - m, -(1/2) - n, 3/2, 1 - Sec[c + d*x], (1/2)*(1 - Sec[c + d*x])]*(1 + Sec[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/(d*(1 + m + n)) + (2^(1/2 + n)*(C*(m - n) + A*(1 + m + n) - B*(1 + m + n))*AppellF1[1/2, 1 - m, 1/2 - n, 3/2, 1 - Sec[c + d*x], (1/2)*(1 - Sec[c + d*x])]*(1 + Sec[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/(d*(1 + m + n))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(-n - 1)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, If[$VersionNumber>=8, (A*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^n*(d*(1 + n))) + ((A*n + B*(1 + n) - C*(1 + n))*Hypergeometric2F1[1/2 - n, -n, 1 - n, -((2*Sec[c + d*x])/(1 - Sec[c + d*x]))]*Sec[c + d*x]^(1 - n)*((1 + Sec[c + d*x])/(1 - Sec[c + d*x]))^(1/2 - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*n*(1 + n)*(1 + Sec[c + d*x])) + (2^(3/2 + n)*C*AppellF1[1/2, 1 + n, -(1/2) - n, 3/2, 1 - Sec[c + d*x], (1/2)*(1 - Sec[c + d*x])]*(1 + Sec[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/d, (A*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^n*(d*(1 + n))) + ((B - C + A*n + B*n - C*n)*Hypergeometric2F1[1/2 - n, -n, 1 - n, -((2*Sec[c + d*x])/(1 - Sec[c + d*x]))]*Sec[c + d*x]^(1 - n)*((1 + Sec[c + d*x])/(1 - Sec[c + d*x]))^(1/2 - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(d*n*(1 + n)*(1 + Sec[c + d*x])) + (2^(3/2 + n)*C*AppellF1[1/2, 1 + n, -(1/2) - n, 3/2, 1 - Sec[c + d*x], (1/2)*(1 - Sec[c + d*x])]*(1 + Sec[c + d*x])^(-(1/2) - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Tan[c + d*x])/d]}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(-n - 1)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2) + (((-a)*(B + A*n + B*n) - a*C*(1 + n)*Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^n)/(Sec[c + d*x]^n*(a*(1 + n))), x, 16, (A*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/(Sec[c + d*x]^n*(d*(1 + n)))}
+
+
+{(a + a*Sec[c + d*x])^m*(B - C + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (Sqrt[2]*(B - C)*AppellF1[3/2 + m, 1/2, 1, 5/2 + m, (1/2)*(1 + Sec[c + d*x]), 1 + Sec[c + d*x]]*(1 + Sec[c + d*x])*(a + a*Sec[c + d*x])^m*Tan[c + d*x])/(d*(3 + 2*m)*Sqrt[1 - Sec[c + d*x]]) + (2^(3/2 + m)*C*Hypergeometric2F1[1/2, -(1/2) - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x])]*(1 + Sec[c + d*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Sec[c + d*x])^m*Tan[c + d*x])/d}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sec[e+f x])^m (d Sec[e+f x])^n (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+(**)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m (A+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+b Sec[e+f x])^m (A+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, (a*(4*A + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (b*(5*A + 4*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (a*(4*A + 3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*C*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (b*C*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + (b*(5*A + 4*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, (b*(4*A + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(3*A + 2*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (b*(4*A + 3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*C*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + (b*C*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, (a*(2*A + C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (b*(3*A + 2*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*C*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (b*C*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, a*A*x + (b*(2*A + C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*C*Tan[c + d*x])/d + (b*C*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, A*b*x + (a*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*A*Sin[c + d*x])/d + (b*C*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, (1/2)*a*(A + 2*C)*x + (b*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (A*b*Sin[c + d*x])/d + (a*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, (1/2)*b*(A + 2*C)*x + (a*(2*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (A*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, (1/8)*a*(3*A + 4*C)*x + (b*(A + C)*Sin[c + d*x])/d + (a*(3*A + 4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (A*b*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, (1/8)*b*(3*A + 4*C)*x + (a*(4*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (b*(3*A + 4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (A*b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a*(4*A + 5*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (a*b*(4*A + 3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) + ((a^4*C + 2*a^2*b^2*(5*A + 3*C) + 2*b^4*(5*A + 4*C))*Tan[c + d*x])/(15*b^2*d) + (a*(20*A*b^2 + 2*a^2*C + 13*b^2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(60*b*d) + ((a^2*C + 2*b^2*(5*A + 4*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(30*b^2*d) - (a*C*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(10*b^2*d) + (C*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, ((4*a^2*(2*A + C) + b^2*(4*A + 3*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(12*A*b^2 - a^2*C + 8*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(6*b*d) - ((2*a^2*C - 3*b^2*(4*A + 3*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) - (a*C*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*b*d) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, a^2*A*x + (a*b*(2*A + C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((3*A*b^2 + 2*(a^2 + b^2)*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*b*C*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*d) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, 2*a*A*b*x + ((2*A*b^2 + (2*a^2 + b^2)*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (A*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/d - (2*a*b*(A - C)*Tan[c + d*x])/d - (b^2*(2*A - C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (1/2)*(2*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*x + (2*a*b*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*A*b*Sin[c + d*x])/d + (A*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b^2*(A - 2*C)*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, a*b*(A + 2*C)*x + (b^2*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((2*A*b^2 + a^2*(2*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*A*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (1/8)*(4*b^2*(A + 2*C) + a^2*(3*A + 4*C))*x + (2*a*b*(2*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((2*A*b^2 + a^2*(3*A + 4*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*A*b*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(6*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (1/4)*a*b*(3*A + 4*C)*x + ((a^2 + b^2)*(4*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (a*b*(3*A + 4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*A*b*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(10*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d) - ((2*A*b^2 + a^2*(4*A + 5*C))*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (b*(6*a^2*(4*A + 3*C) + b^2*(6*A + 5*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (a*(2*a^4*C + 24*b^4*(5*A + 4*C) + a^2*b^2*(30*A + 17*C))*Tan[c + d*x])/(60*b^2*d) + ((4*a^4*C + 12*a^2*b^2*(5*A + 3*C) + 15*b^4*(6*A + 5*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(240*b*d) + (a*(30*A*b^2 + 2*a^2*C + 21*b^2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(120*b^2*d) + ((2*a^2*C + 5*b^2*(6*A + 5*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(120*b^2*d) - (a*C*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(15*b^2*d) + (C*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(6*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (a*(4*a^2*(2*A + C) + 3*b^2*(4*A + 3*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - ((3*a^4*C - 4*b^4*(5*A + 4*C) - 4*a^2*b^2*(20*A + 13*C))*Tan[c + d*x])/(30*b*d) + (a*(100*A*b^2 - 6*a^2*C + 71*b^2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(120*d) - ((3*a^2*C - 4*b^2*(5*A + 4*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(60*b*d) - (a*C*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(20*b*d) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, a^3*A*x + (b*(12*a^2*(2*A + C) + b^2*(4*A + 3*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*(6*A*b^2 + (a^2 + 4*b^2)*C)*Tan[c + d*x])/(2*d) + (b*(2*a^2*C + b^2*(4*A + 3*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*C*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(4*d) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, 3*a^2*A*b*x + (a*(6*A*b^2 + 2*a^2*C + 3*b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (A*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/d - (b*(a^2*(6*A - 8*C) - b^2*(3*A + 2*C))*Tan[c + d*x])/(3*d) - (a*b^2*(6*A - 5*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) - (b*(3*A - C)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (1/2)*a*(6*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*x + (b*(2*A*b^2 + (6*a^2 + b^2)*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (3*A*b*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(2*d) - (3*a*b^2*(3*A - 2*C)*Tan[c + d*x])/(2*d) - (b^3*(4*A - C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (1/2)*b*(2*A*b^2 + 3*a^2*(A + 2*C))*x + (3*a*b^2*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*(3*A*b^2 + a^2*(2*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(3*d) + (A*b*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d) - (b^3*(5*A - 6*C)*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (1/8)*a*(12*b^2*(A + 2*C) + a^2*(3*A + 4*C))*x + (b^3*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b*(A*b^2 + a^2*(4*A + 6*C))*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*(2*A*b^2 + a^2*(3*A + 4*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (A*b*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(4*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (1/8)*b*(4*b^2*(A + 2*C) + 3*a^2*(3*A + 4*C))*x + (a*(15*b^2*(2*A + 3*C) + 2*a^2*(4*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(15*d) + (3*b*(2*A*b^2 + 5*a^2*(3*A + 4*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(40*d) + (a*(3*A*b^2 + 2*a^2*(4*A + 5*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(30*d) + (3*A*b*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(20*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (1/16)*a*(6*b^2*(3*A + 4*C) + a^2*(5*A + 6*C))*x + (b*(9*a^2*(4*A + 5*C) + b^2*(11*A + 15*C))*Sin[c + d*x])/(15*d) + (a*(6*b^2*(3*A + 4*C) + a^2*(5*A + 6*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a*(6*A*b^2 + 5*a^2*(5*A + 6*C))*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(120*d) + (A*b*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(10*d) + (A*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(6*d) - (b*(A*b^2 + 3*a^2*(4*A + 5*C))*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 10, (a*b*(b^2*(6*A + 5*C) + a^2*(8*A + 6*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) + ((2*a^6*C + 8*b^6*(7*A + 6*C) + a^4*b^2*(42*A + 23*C) + 8*a^2*b^4*(49*A + 39*C))*Tan[c + d*x])/(105*b^2*d) + (a*(4*a^4*C + 12*a^2*b^2*(7*A + 4*C) + b^4*(406*A + 333*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(420*b*d) + ((2*a^4*C + 8*b^4*(7*A + 6*C) + 3*a^2*b^2*(14*A + 9*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(210*b^2*d) + (a*(42*A*b^2 + 2*a^2*C + 31*b^2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(210*b^2*d) + ((a^2*C + 3*b^2*(7*A + 6*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(105*b^2*d) - (a*C*(a + b*Sec[c + d*x])^5*Tan[c + d*x])/(21*b^2*d) + (C*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^5*Tan[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 9, ((8*a^4*(2*A + C) + 12*a^2*b^2*(4*A + 3*C) + b^4*(6*A + 5*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) - (a*(4*a^4*C - 32*b^4*(5*A + 4*C) - a^2*b^2*(190*A + 121*C))*Tan[c + d*x])/(60*b*d) - ((8*a^4*C - 15*b^4*(6*A + 5*C) - 2*a^2*b^2*(130*A + 89*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(240*d) + (a*(70*A*b^2 - 4*a^2*C + 53*b^2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(120*b*d) - ((4*a^2*C - 5*b^2*(6*A + 5*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(120*b*d) - (a*C*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(30*b*d) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^5*Tan[c + d*x])/(6*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, a^4*A*x + (a*b*(4*a^2*(2*A + C) + b^2*(4*A + 3*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((6*a^4*C + 2*b^4*(5*A + 4*C) + a^2*b^2*(85*A + 56*C))*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a*b*(40*A*b^2 + 6*a^2*C + 29*b^2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(30*d) + ((3*a^2*C + b^2*(5*A + 4*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(15*d) + (a*C*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(5*d) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, 4*a^3*A*b*x + ((8*a^4*C + 24*a^2*b^2*(2*A + C) + b^4*(4*A + 3*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (A*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/d - (a*b*(a^2*(12*A - 19*C) - 8*b^2*(3*A + 2*C))*Tan[c + d*x])/(6*d) - (b^2*(a^2*(24*A - 26*C) - 3*b^2*(4*A + 3*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) - (a*b*(12*A - 7*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*d) - (b*(4*A - C)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (1/2)*a^2*(12*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*x + (2*a*b*(2*A*b^2 + (2*a^2 + b^2)*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (2*A*b*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/d + (A*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b^2*(a^2*(39*A - 34*C) - 2*b^2*(3*A + 2*C))*Tan[c + d*x])/(6*d) - (a*b^3*(9*A - 4*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*d) - (b^2*(15*A - 2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, 2*a*b*(2*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*x + (b^2*(2*A*b^2 + (12*a^2 + b^2)*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((6*A*b^2 + a^2*(2*A + 3*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*b*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(3*d) - (2*a*b*(b^2*(11*A - 6*C) + a^2*(2*A + 3*C))*Tan[c + d*x])/(3*d) - (b^2*(3*b^2*(6*A - C) + a^2*(4*A + 6*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (1/8)*(8*A*b^4 + 24*a^2*b^2*(A + 2*C) + a^4*(3*A + 4*C))*x + (4*a*b^3*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*b*(12*A*b^2 + a^2*(23*A + 36*C))*Sin[c + d*x])/(12*d) + ((4*A*b^2 + a^2*(3*A + 4*C))*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(8*d) + (A*b*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(4*d) - (b^2*(2*b^2*(13*A - 12*C) + 3*a^2*(3*A + 4*C))*Tan[c + d*x])/(24*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (1/2)*a*b*(4*b^2*(A + 2*C) + a^2*(3*A + 4*C))*x + (b^4*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((6*A*b^4 + 2*a^4*(4*A + 5*C) + a^2*b^2*(56*A + 85*C))*Sin[c + d*x])/(15*d) + (a*b*(6*A*b^2 + a^2*(29*A + 40*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(30*d) + ((3*A*b^2 + a^2*(4*A + 5*C))*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(15*d) + (A*b*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (1/16)*(8*b^4*(A + 2*C) + 12*a^2*b^2*(3*A + 4*C) + a^4*(5*A + 6*C))*x + (4*a*b*(5*b^2*(2*A + 3*C) + 2*a^2*(4*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(15*d) + ((24*A*b^4 + 15*a^4*(5*A + 6*C) + 10*a^2*b^2*(49*A + 66*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(240*d) + (a*b*(4*A*b^2 + a^2*(39*A + 50*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(60*d) + ((12*A*b^2 + 5*a^2*(5*A + 6*C))*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(120*d) + (2*A*b*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(15*d) + (A*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 10, (1/4)*a*b*(2*b^2*(3*A + 4*C) + a^2*(5*A + 6*C))*x + ((12*a^4*(6*A + 7*C) + b^4*(74*A + 105*C) + 3*a^2*b^2*(162*A + 203*C))*Sin[c + d*x])/(105*d) + (a*b*(2*b^2*(3*A + 4*C) + a^2*(5*A + 6*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*b*(6*A*b^2 + a^2*(103*A + 126*C))*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(210*d) + ((2*A*b^2 + a^2*(6*A + 7*C))*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*b*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(21*d) + (A*Cos[c + d*x]^6*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(7*d) - ((4*A*b^4 + 4*a^4*(6*A + 7*C) + 3*a^2*b^2*(50*A + 63*C))*Sin[c + d*x]^3)/(105*d)}
+
+
+{(a^2 - b^2*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, a^5*x + (b*(24*a^4 - 8*a^2*b^2 - 3*b^4)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a*b^2*(5*a^2 - 4*b^2)*Tan[c + d*x])/(2*d) + (b^3*(2*a^2 - 3*b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) - (a*b^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(4*d) - (b^2*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{(a^2 - b^2*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, a^4*x + (a*b*(2*a^2 - b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b^2*(a^2 - 2*b^2)*Tan[c + d*x])/(3*d) - (a*b^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*d) - (b^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(a^2 - b^2*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^1, x, 6, a^3*x + (b*(2*a^2 - b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (a*b^2*Tan[c + d*x])/(2*d) - (b^2*(a + b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, -((a*(2*A*b^2 + (2*a^2 + b^2)*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^4*d)) + (2*a^2*(A*b^2 + a^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^4*Sqrt[a + b]*d) + ((3*a^2*C + b^2*(3*A + 2*C))*Tan[c + d*x])/(3*b^3*d) - (a*C*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^2*d) + (C*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, ((2*a^2*C + b^2*(2*A + C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^3*d) - (2*a*(A*b^2 + a^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^3*Sqrt[a + b]*d) - (a*C*Tan[c + d*x])/(b^2*d) + (C*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, -((a*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^2*d)) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^2*Sqrt[a + b]*d) + (C*Tan[c + d*x])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, (A*x)/a + (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b*d) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, -((A*b*x)/a^2) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) + (A*Sin[c + d*x])/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, ((2*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*x)/(2*a^3) - (2*b*(A*b^2 + a^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - (A*b*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + (A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, -((b*(2*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*x)/(2*a^4)) + (2*b^2*(A*b^2 + a^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) + ((3*A*b^2 + a^2*(2*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(3*a^3*d) - (A*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, ((8*A*b^4 + 4*a^2*b^2*(A + 2*C) + a^4*(3*A + 4*C))*x)/(8*a^5) - (2*b^3*(A*b^2 + a^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - (b*(3*A*b^2 + a^2*(2*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(3*a^4*d) + ((4*A*b^2 + a^2*(3*A + 4*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^3*d) - (A*b*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, ((2*A*b^2 + (6*a^2 + b^2)*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^4*d) - (2*a*(a^2*A*b^2 - 2*A*b^4 + 3*a^4*C - 4*a^2*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^4*(a + b)^(3/2)*d) - (a*(A*b^2 + 3*a^2*C - 2*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) + ((2*A*b^2 + 3*a^2*C - b^2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -((2*a*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^3*d)) - (2*(A*b^4 - 2*a^4*C + 3*a^2*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) + (C*Tan[c + d*x])/(b^2*d) + (a*(A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^2*d) + (2*a*(A*b^2 - a^2*C + 2*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (A*x)/a^2 - (2*b*(2*a^2*A - A*b^2 + a^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, -((2*A*b*x)/a^3) + (2*(3*a^2*A*b^2 - 2*A*b^4 + a^4*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - ((2*A*b^2 - a^2*(A - C))*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, ((6*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*x)/(2*a^4) - (2*b*(4*a^2*A*b^2 - 3*A*b^4 + 2*a^4*C - a^2*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (b*(3*A*b^2 - a^2*(2*A - C))*Sin[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) - ((3*A*b^2 - a^2*(A - 2*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, -((b*(4*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*x)/a^5) + (2*b^2*(5*a^2*A*b^2 - 4*A*b^4 + 3*a^4*C - 2*a^2*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - ((12*A*b^4 - a^2*b^2*(7*A - 6*C) - a^4*(2*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d) + (b*(2*A*b^2 - a^2*(A - C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) - ((4*A*b^2 - a^2*(A - 3*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, ((2*A*b^2 + (12*a^2 + b^2)*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^5*d) - (a*(6*A*b^6 + a^4*b^2*(2*A - 29*C) - 5*a^2*b^4*(A - 4*C) + 12*a^6*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^5*(a + b)^(5/2)*d) - (a*(a^2*b^2*(2*A - 21*C) - b^4*(5*A - 6*C) + 12*a^4*C)*Tan[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^2*b^2*(A - 10*C) - b^4*(4*A - C) + 6*a^4*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((3*A*b^4 - 4*a^4*C + 7*a^2*b^2*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -((3*a*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^4*d)) + ((2*A*b^6 + 6*a^6*C - 15*a^4*b^2*C + a^2*b^4*(A + 12*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^4*(a + b)^(5/2)*d) + ((A*b^2 + 3*a^2*C - 2*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (a*(2*A*b^4 - 3*a^4*C + a^2*b^2*(A + 6*C))*Tan[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^3*d) - (a*(3*A*b^4 + (2*a^4 - 5*a^2*b^2 + 6*b^4)*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^3*(a + b)^(5/2)*d) + (a*(A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((2*A*b^4 - 3*a^4*C + a^2*b^2*(A + 6*C))*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, ((a^2*(2*A + C) + b^2*(A + 2*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (a*(3*A*b^2 - a^2*C + 4*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, (A*x)/a^3 + (b*(5*a^2*A*b^2 - 2*A*b^4 - 3*a^4*(2*A + C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - ((2*A*b^4 - a^4*C - a^2*b^2*(5*A + 2*C))*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, -((3*A*b*x)/a^4) - ((15*a^2*A*b^4 - 6*A*b^6 - 2*a^6*C - a^4*b^2*(12*A + C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - ((11*a^2*A*b^2 - 6*A*b^4 - a^4*(2*A - 3*C))*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - ((3*A*b^4 - 2*a^4*C - a^2*b^2*(6*A + C))*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, ((12*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*x)/(2*a^5) - (b*(12*A*b^6 - a^2*b^4*(29*A - 2*C) + 5*a^4*b^2*(4*A - C) + 6*a^6*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (b*(12*A*b^4 + a^4*(6*A - 5*C) - a^2*b^2*(21*A - 2*C))*Sin[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((6*A*b^4 + a^4*(A - 4*C) - a^2*b^2*(10*A - C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((7*a^2*A*b^2 - 4*A*b^4 + 3*a^4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 9, -((4*a*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^5*d)) - ((2*A*b^8 - 8*a^8*C + 28*a^6*b^2*C - 35*a^4*b^4*C + a^2*b^6*(3*A + 20*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*b^5*(a + b)^(7/2)*d) - ((5*A*b^4 - (12*a^4 - 23*a^2*b^2 + 6*b^4)*C)*Tan[c + d*x])/(6*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + ((3*A*b^4 - 4*a^4*C + a^2*b^2*(2*A + 9*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (a*(2*A*b^6 + 4*a^6*C - 11*a^4*b^2*C + 3*a^2*b^4*(A + 4*C))*Tan[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^4*d) + (a*(a^2*b^4*(A - 8*C) - 2*a^6*C + 7*a^4*b^2*C + 4*b^6*(A + 2*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*b^4*(a + b)^(7/2)*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) - (a*(2*A*b^4 - 3*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 8*C))*Tan[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - ((4*A*b^6 + 9*a^6*C + 2*a^2*b^4*(7*A + 17*C) - a^4*b^2*(3*A + 28*C))*Tan[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, -((b*(b^2*(A + 2*C) + a^2*(4*A + 3*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) + (a*(A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + ((3*A*b^4 - 4*a^4*C + a^2*b^2*(2*A + 9*C))*Tan[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (a*(a^2*b^2*(2*A - 5*C) + 2*a^4*C + b^4*(13*A + 18*C))*Tan[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, (a*(a^2*(2*A + C) + b^2*(3*A + 4*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) - (a*(5*A*b^2 - a^2*C + 6*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(6*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((a^4*C - 2*b^4*(2*A + 3*C) - a^2*b^2*(11*A + 10*C))*Tan[c + d*x])/(6*b*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, (A*x)/a^4 - (b*(7*a^2*A*b^4 - 2*A*b^6 - a^4*b^2*(8*A - C) + 4*a^6*(2*A + C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) - ((3*A*b^4 - 2*a^4*C - a^2*b^2*(8*A + 3*C))*Tan[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - ((17*a^2*A*b^4 - 6*A*b^6 - 2*a^6*C - 13*a^4*b^2*(2*A + C))*Tan[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, -((4*A*b*x)/a^5) - ((35*a^4*A*b^4 - 28*a^2*A*b^6 + 8*A*b^8 - 2*a^8*C - a^6*b^2*(20*A + 3*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) + ((68*a^2*A*b^4 - 24*A*b^6 + a^6*(6*A - 11*C) - a^4*b^2*(65*A + 4*C))*Sin[c + d*x])/(6*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) - ((4*A*b^4 - 3*a^4*C - a^2*b^2*(9*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - ((11*a^2*A*b^4 - 4*A*b^6 - 2*a^6*C - 3*a^4*b^2*(4*A + C))*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 9, ((20*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*x)/(2*a^6) + ((20*A*b^9 - a^2*b^7*(69*A - 2*C) - 8*a^6*b^3*(5*A - C) + 7*a^4*b^5*(12*A - C) - 8*a^8*b*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^6*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)^3*d) + (b*(60*A*b^6 - a^6*(24*A - 26*C) + a^4*b^2*(146*A - 17*C) - a^2*b^4*(167*A - 6*C))*Sin[c + d*x])/(6*a^5*(a^2 - b^2)^3*d) - ((10*A*b^6 - a^6*(A - 6*C) + a^4*b^2*(23*A - 2*C) - a^2*b^4*(27*A - C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) - ((5*A*b^4 - 4*a^4*C - a^2*b^2*(10*A + C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((20*A*b^6 - a^2*b^4*(53*A - 2*C) + 12*a^6*C + a^4*b^2*(48*A + C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{(a^2 - b^2*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^1, x, 3, a*x - (b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d}
+{(a^2 - b^2*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, x - (4*b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)}
+{(a^2 - b^2*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, x/a - (2*b*(3*a^2 - b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (2*b^2*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{(a^2 - b^2*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, x/a^2 - (2*b*(4*a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) + (b^2*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b^2*(4*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+b Sec[e+f x])^(m/2) (A+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(16*a^4*C + 6*a^2*b^2*(7*A + 4*C) - 21*b^4*(9*A + 7*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^5*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(16*a^3*C + 12*a^2*b*C + 6*a*b^2*(7*A + 6*C) + 21*b^3*(9*A + 7*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^4*d) + (2*a*(21*A*b^2 + 8*a^2*C + 13*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*b^3*d) - (2*(6*a^2*C - 7*b^2*(9*A + 7*C))*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*b^2*d) + (2*a*C*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(63*b*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(9*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (-2*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*(35*A*b^2 + 8*a^2*C + 19*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^4*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(35*A*b^2 + (8*a^2 + 6*a*b + 25*b^2)*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^3*d) + (2*(8*a^2*C + 5*b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*b^2*d) - (8*a*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*b^2*d) + (2*C*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(2*a^2*C - 3*b^2*(5*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^3*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(15*A*b + 2*a*C + 9*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^2*d) - (4*a*C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*b*d) + (2*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (-2*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^2*d) + (2*Sqrt[a + b]*(3*A*b - (a - b)*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) - (2*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (2*C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(A - 2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) + (Sqrt[a + b]*(A*b + 2*(a - b)*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) - (A*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d) + (A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (A*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a*d) + (Sqrt[a + b]*(A*b + 2*a*(A + 4*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a*d) + (Sqrt[a + b]*(A*b^2 - 4*a^2*(A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^2*d) + (A*b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*d) + (A*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 - 8*a^2*(2*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a^2*b*d) + (Sqrt[a + b]*(2*a*A*b - 3*A*b^2 + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a^2*d) - (b*Sqrt[a + b]*(A*b^2 + 4*a^2*(A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(8*a^3*d) - ((3*A*b^2 - 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*a^2*d) + (A*b*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*a*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(15*A*b^2 + 4*a^2*(7*A + 12*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(192*a^3*d) - (Sqrt[a + b]*(10*a*A*b^2 - 15*A*b^3 - 24*a^3*(3*A + 4*C) - 4*a^2*b*(7*A + 12*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(192*a^3*d) + (Sqrt[a + b]*(5*A*b^4 + 8*a^2*b^2*(A + 2*C) - 16*a^4*(3*A + 4*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(64*a^4*d) + (b*(15*A*b^2 + 4*a^2*(7*A + 12*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a^3*d) - ((5*A*b^2 - 12*a^2*(3*A + 4*C))*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(96*a^2*d) + (A*b*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*a*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (4*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a^4*C + 3*a^2*b^2*(11*A + 6*C) - b^4*(451*A + 348*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(1155*b^5*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(16*a^4*C + 12*a^3*b*C + 6*a^2*b^2*(11*A + 8*C) - 25*b^4*(11*A + 9*C) + 3*a*b^3*(209*A + 157*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(1155*b^4*d) + (2*(8*a^4*C + 25*b^4*(11*A + 9*C) + a^2*b^2*(33*A + 19*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(1155*b^3*d) + (4*a*(132*A*b^2 - 3*a^2*C + 101*b^2*C)*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(1155*b^2*d) + (2*(a^2*C + 3*b^2*(11*A + 9*C))*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(231*b*d) + (2*a*C*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(33*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(11*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a^4*C + 21*b^4*(9*A + 7*C) + 3*a^2*b^2*(21*A + 11*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^4*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a^3*C + 6*a^2*b*C - 21*b^3*(9*A + 7*C) + 3*a*b^2*(21*A + 13*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^3*d) + (2*a*(63*A*b^2 + 8*a^2*C + 39*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*b^2*d) + (2*(8*a^2*C + 7*b^2*(9*A + 7*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(315*b^2*d) - (8*a*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(63*b^2*d) + (2*C*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (-4*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*(70*A*b^2 - 3*a^2*C + 41*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^3*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(105*a*A*b - 35*A*b^2 + 6*a^2*C + 57*a*b*C - 25*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^2*d) - (2*(6*a^2*C - 5*b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*b*d) - (4*a*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*b*d) + (2*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(a^2*C + b^2*(5*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(5*b^2*d) - (2*Sqrt[a + b]*(a^2*C - 2*a*b*(5*A + 2*C) + b^2*(5*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(5*b*d) - (2*a*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (2*a*C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*d) + (2*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*A - 8*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) + (Sqrt[a + b]*(a*b*(3*A - 8*C) + 6*a^2*C + 2*b^2*(3*A + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) - (3*A*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (A*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/d - (b*(3*A - 2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(5*A - 8*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*d) + (Sqrt[a + b]*(2*a*A + 5*A*b + 16*a*C - 8*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*d) - (Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 + 4*a^2*(A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a*d) + (3*A*b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a*b*d) + (Sqrt[a + b]*(16*a^2*A + 14*a*A*b + 3*A*b^2 + 24*a^2*C + 48*a*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a*d) + (b*Sqrt[a + b]*(A*b^2 - 12*a^2*(A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(8*a^2*d) + ((3*A*b^2 + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*a*d) + (A*b*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 - 4*a^2*(13*A + 20*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(64*a^2*d) + (Sqrt[a + b]*(2*a*A*b^2 - 3*A*b^3 + 8*a^3*(3*A + 4*C) + a^2*(52*A*b + 80*b*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(64*a^2*d) - (Sqrt[a + b]*(3*A*b^4 + 24*a^2*b^2*(A + 2*C) + 16*a^4*(3*A + 4*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(64*a^3*d) - (b*(3*A*b^2 - 4*a^2*(13*A + 20*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(64*a^2*d) + ((A*b^2 + 4*a^2*(3*A + 4*C))*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*a*d) + (A*b*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(240*a^6*C - 1617*b^6*(13*A + 11*C) + 10*a^4*b^2*(143*A + 76*C) - 3*a^2*b^4*(13299*A + 10223*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(45045*b^5*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(240*a^5*C + 180*a^4*b*C + 1617*b^5*(13*A + 11*C) + 10*a^3*b^2*(143*A + 94*C) + 15*a^2*b^3*(1573*A + 1175*C) - 6*a*b^4*(2717*A + 2174*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(45045*b^4*d) + (2*a*(120*a^4*C + 5*a^2*b^2*(143*A + 79*C) + b^4*(23309*A + 18973*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(45045*b^3*d) - (2*(90*a^4*C - 539*b^4*(13*A + 11*C) - 15*a^2*b^2*(715*A + 543*C))*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(45045*b^2*d) + (2*a*(2717*A*b^2 + 15*a^2*C + 2209*b^2*C)*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(9009*b*d) + (2*(15*a^2*C + 11*b^2*(13*A + 11*C))*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(1287*d) + (10*a*C*Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(143*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(13*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (-2*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a^4*C + 3*a^2*b^2*(33*A + 17*C) + 3*b^4*(319*A + 247*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(693*b^4*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a^4*C + 6*a^3*b*C + 15*b^4*(11*A + 9*C) + 3*a^2*b^2*(33*A + 19*C) - 6*a*b^3*(132*A + 101*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(693*b^3*d) + (2*(8*a^4*C + 15*b^4*(11*A + 9*C) + 3*a^2*b^2*(33*A + 19*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(693*b^2*d) + (2*a*(99*A*b^2 + 8*a^2*C + 67*b^2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(693*b^2*d) + (2*(8*a^2*C + 9*b^2*(11*A + 9*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(693*b^2*d) - (8*a*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(99*b^2*d) + (2*C*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(11*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*a^4*C - 21*b^4*(9*A + 7*C) - 3*a^2*b^2*(161*A + 93*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^3*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*a^3*C + 21*b^3*(9*A + 7*C) + 15*a^2*b*(21*A + 11*C) - 6*a*b^2*(28*A + 19*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^2*d) + (4*a*(84*A*b^2 - 5*a^2*C + 57*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*b*d) - (2*(10*a^2*C - 7*b^2*(9*A + 7*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(315*b*d) - (4*a*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(63*b*d) + (2*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (-2*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*(49*A*b^2 + 3*a^2*C + 29*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(21*b^2*d) - (2*Sqrt[a + b]*(3*a^3*C - 9*a^2*b*(7*A + 3*C) - b^3*(7*A + 5*C) + a*b^2*(49*A + 29*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(21*b*d) - (2*a^2*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (2*(3*a^2*C + b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(21*d) + (2*a*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(7*d) + (2*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(a^2*(15*A - 46*C) - 6*b^2*(5*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b*d) + (Sqrt[a + b]*(a^2*b*(15*A - 46*C) + 30*a^3*C - 6*b^3*(5*A + 3*C) + 2*a*b^2*(45*A + 17*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b*d) - (5*a*A*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (A*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/d - (a*b*(15*A - 16*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) - (b*(5*A - 2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (a*(a - b)*Sqrt[a + b]*(27*A - 56*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(12*d) + (Sqrt[a + b]*(a*b*(27*A - 56*C) + 8*b^2*(3*A + C) + 6*a^2*(A + 12*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(12*d) - (Sqrt[a + b]*(15*A*b^2 + 4*a^2*(A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*d) + (5*A*b*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b^2*(21*A - 8*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(12*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b^2*(11*A - 16*C) + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*b*d) + (Sqrt[a + b]*(16*a^2*A + 26*a*A*b + 33*A*b^2 + 24*a^2*C + 144*a*b*C - 48*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*d) - (5*b*Sqrt[a + b]*(A*b^2 + 4*a^2*(A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(8*a*d) + ((15*A*b^2 + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (5*A*b*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(15*A*b^2 + 4*a^2*(71*A + 108*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(192*a*d) + (Sqrt[a + b]*(15*A*b^3 + 24*a^3*(3*A + 4*C) + 4*a^2*b*(71*A + 108*C) + 2*a*b^2*(59*A + 192*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(192*a*d) + (Sqrt[a + b]*(5*A*b^4 - 120*a^2*b^2*(A + 2*C) - 16*a^4*(3*A + 4*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(64*a^2*d) + (b*(15*A*b^2 + 4*a^2*(71*A + 108*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a*d) + ((5*A*b^2 + 4*a^2*(3*A + 4*C))*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d) + (5*A*b*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a^2 - b^2*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(4*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(5*d) + (2*Sqrt[a + b]*(10*a^3 - 4*a^2*b - 4*a*b^2 + 3*b^3)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(5*d) - (2*a^3*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d - (2*a*b^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*d) - (2*b^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(a^2 - b^2*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*d) + (2*Sqrt[a + b]*(3*a^2 + a*b - b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*d) - (2*a^2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d - (2*b^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Sec[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 6, (4*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*(35*A*b^2 + 24*a^2*C + 22*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^5*d) + (2*Sqrt[a + b]*(48*a^3*C - 12*a^2*b*C + 5*b^3*(7*A + 5*C) + 2*a*b^2*(35*A + 22*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^4*d) + (2*(24*a^2*C + 5*b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*b^3*d) - (12*a*C*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(35*b^2*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(7*b*d)}
+{(Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 5, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a^2*C + 3*b^2*(5*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^4*d) - (2*Sqrt[a + b]*(8*a^2*C - 2*a*b*C + 3*b^2*(5*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^3*d) - (8*a*C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*b^2*d) + (2*C*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{(Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 4, (4*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^3*d) + (2*Sqrt[a + b]*(3*A*b + (2*a + b)*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^2*d) + (2*C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 5, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*d) - (2*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) - (2*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d)}
+{(Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 6, (A*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b*d) + (Sqrt[a + b]*(A*b + 2*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b*d) + (A*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) + (A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d)}
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 7, (-3*A*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^2*d) + (A*(2*a - 3*b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^2*d) - (Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 + 4*a^2*(A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^3*d) - (3*A*b*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d) + (A*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*d)}
+{(Cos[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(15*A*b^2 + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a^3*b*d) - (Sqrt[a + b]*(10*a*A*b - 15*A*b^2 - 8*a^2*(2*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a^3*d) + (b*Sqrt[a + b]*(5*A*b^2 + 4*a^2*(A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(8*a^4*d) + ((15*A*b^2 + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*a^3*d) - (5*A*b*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*a^2*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (-2*(2*a^2*b^2*(5*A - 4*C) + 16*a^4*C - b^4*(5*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(5*b^5*Sqrt[a + b]*d) - (2*(16*a^3*C + 12*a^2*b*C + 2*a*b^2*(5*A + 2*C) + b^3*(5*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(5*b^4*Sqrt[a + b]*d) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*a*(5*A*b^2 + 8*a^2*C - 3*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*b^3*(a^2 - b^2)*d) + (2*(5*A*b^2 + 6*a^2*C - b^2*C)*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*a*(3*A*b^2 + 8*a^2*C - 5*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^4*Sqrt[a + b]*d) + (2*(3*A*b^2 + (8*a^2 + 6*a*b + b^2)*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^3*Sqrt[a + b]*d) + (2*a*(A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*b^2*d)}
+{(Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (-2*(A*b^2 + 2*a^2*C - b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^3*Sqrt[a + b]*d) + (2*(A*b - (2*a + b)*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*Sqrt[a + b]*d) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*(A*b^2 + a^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b^2*Sqrt[a + b]*d) - (2*(A*b - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b*Sqrt[a + b]*d) - (2*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, -(((3*A*b^2 - a^2*(A - 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*b*Sqrt[a + b]*d)) + ((a*A*b + 3*A*b^2 + 2*a^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*b*Sqrt[a + b]*d) + (3*A*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^3*d) + (A*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (b*(3*A*b^2 - a^2*(A - 2*C))*Tan[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((15*A*b^2 - a^2*(7*A - 8*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^3*Sqrt[a + b]*d) - ((5*a*A*b + 15*A*b^2 - 2*a^2*(A - 4*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^3*Sqrt[a + b]*d) - (Sqrt[a + b]*(15*A*b^2 + 4*a^2*(A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^4*d) - (5*A*b*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b^2*(15*A*b^2 - a^2*(7*A - 8*C))*Tan[c + d*x])/(4*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, (4*a*(a^2*b^2*(A - 14*C) - b^4*(3*A - 4*C) + 8*a^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^5*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*(2*a^2*b^2*(A - 8*C) + 3*a*b^3*(A - 3*C) + 16*a^4*C + 12*a^3*b*C - b^4*(3*A + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (4*a*(2*A*b^4 - 3*a^4*C + 5*a^2*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 + 2*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Sec[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*(3*b^4*(A - C) - 8*a^4*C + a^2*b^2*(A + 15*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) - (2*(3*b^3*(A - C) + 8*a^3*C + 6*a^2*b*C - a*b^2*(A + 9*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*a*(A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*(3*A*b^4 - 5*a^4*C + a^2*b^2*(A + 9*C))*Tan[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(Sec[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (-4*a*(2*A*b^2 - a^2*C + 3*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(2*a^2*C + 3*a*b*(A + C) - b^2*(A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^2*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) - (2*(A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (4*a*(2*A*b^2 - a^2*C + 3*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (-2*(3*A*b^4 - a^4*C - a^2*b^2*(7*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^2*b^2*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) - (2*(6*a^2*A*b - a*A*b^2 - 3*A*b^3 - a^3*C + 3*a^2*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^2*(a - b)*b*(a + b)^(3/2)*d) - (2*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^3*d) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*(3*A*b^4 - a^4*C - a^2*b^2*(7*A + 3*C))*Tan[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^1*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((26*a^2*A*b^2 - 15*A*b^4 - a^4*(3*A - 8*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^3*(a - b)*b*(a + b)^(3/2)*d) + ((21*a^2*A*b^2 - 5*a*A*b^3 - 15*A*b^4 + a^3*b*(3*A - 2*C) + 6*a^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^3*(a - b)*b*(a + b)^(3/2)*d) + (5*A*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^4*d) + (A*Sin[c + d*x])/(a*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (b*(5*A*b^2 - a^2*(3*A - 2*C))*Tan[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (b*(26*a^2*A*b^2 - 15*A*b^4 - a^4*(3*A - 8*C))*Tan[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((105*A*b^4 + a^4*(33*A - 56*C) - 2*a^2*b^2*(85*A - 12*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(12*a^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + ((35*a*A*b^3 + 105*A*b^4 + 6*a^4*(A - 8*C) - 3*a^2*b^2*(45*A - 8*C) - a^3*(27*A*b - 8*b*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(12*a^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) - (Sqrt[a + b]*(35*A*b^2 + 4*a^2*(A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^5*d) - (7*A*b*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (b^2*(35*A*b^2 - a^2*(27*A - 8*C))*Tan[c + d*x])/(12*a^3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (b^2*(105*A*b^4 + a^4*(33*A - 56*C) - 2*a^2*b^2*(85*A - 12*C))*Tan[c + d*x])/(12*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2), x, 8, (-2*(41*a^2*A*b^4 - 15*A*b^6 - 3*a^6*C - 29*a^4*b^2*(2*A + C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*a^3*b^2*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)^2*d) + (2*(36*a^2*A*b^3 - 5*a*A*b^4 - 15*A*b^5 + 3*a^5*C + a^3*b^2*(13*A + 5*C) - 3*a^4*b*(15*A + 8*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*a^3*b*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)^2*d) - (2*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^4*d) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Tan[c + d*x])/(5*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (2*(5*A*b^4 - 3*a^4*C - a^2*b^2*(13*A + 5*C))*Tan[c + d*x])/(15*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*(41*a^2*A*b^4 - 15*A*b^6 - 3*a^6*C - 29*a^4*b^2*(2*A + C))*Tan[c + d*x])/(15*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a^2 - b^2*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (2*b*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d - (2*a*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d}
+{(a^2 - b^2*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (-2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d - (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d}
+{(a^2 - b^2*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (4*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(Sqrt[a + b]*d) - (4*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(Sqrt[a + b]*d) - (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d) + (4*b^2*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(a^2 - b^2*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2), x, 8, (2*(11*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) - (2*(9*a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) - (2*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) + (4*b^2*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*b^2*(11*a^2 - 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+b Sec[e+f x])^m (A+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])), x, 8, (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - (2*A*b*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*(A*b^2 + a^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a + b)*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+b Sec[e+f x])^(m/2) (A+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x, 11, -((2*A*b*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) + (2*C*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*A*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sec[e+f x])^(n/3) (A+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 8, (Sqrt[2]*(a + b)*C*AppellF1[1/2, 1/2, -(5/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) - (Sqrt[2]*a*C*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) + A*Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x]}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 8, (Sqrt[2]*(a + b)*C*AppellF1[1/2, 1/2, -(4/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) - (Sqrt[2]*a*C*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) + A*Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x]}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 8, (Sqrt[2]*C*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) - (Sqrt[2]*a*C*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)) + A*Unintegrable[1/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x]}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 8, (Sqrt[2]*C*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) - (Sqrt[2]*a*C*AppellF1[1/2, 1/2, 2/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)) + A*Unintegrable[1/(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m (B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+b Sec[e+f x])^m (B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, (3*(b*B + a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((5*a*B + 4*b*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + (3*(b*B + a*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + ((b*B + a*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (b*C*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((5*a*B + 4*b*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, ((4*a*B + 3*b*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((b*B + a*C)*Tan[c + d*x])/d + ((4*a*B + 3*b*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b*C*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + ((b*B + a*C)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, ((b*B + a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((3*a*B + 2*b*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((b*B + a*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (b*C*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, ((2*a*B + b*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((b*B + a*C)*Tan[c + d*x])/d + (b*C*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, a*B*x + ((b*B + a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b*C*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 4, (b*B + a*C)*x + (b*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*B*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, (1/2)*(a*B + 2*b*C)*x + ((b*B + a*C)*Sin[c + d*x])/d + (a*B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, (1/2)*(b*B + a*C)*x + ((2*a*B + 3*b*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((b*B + a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, (1/8)*(3*a*B + 4*b*C)*x + ((b*B + a*C)*Sin[c + d*x])/d + ((3*a*B + 4*b*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - ((b*B + a*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, (3/8)*(b*B + a*C)*x + ((4*a*B + 5*b*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (3*(b*B + a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + ((b*B + a*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d) - ((4*a*B + 5*b*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, ((4*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((4*b^2*C + 5*a*(2*b*B + a*C))*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((4*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b*(5*b*B + 6*a*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (b*C*Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((4*b^2*C + 5*a*(2*b*B + a*C))*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, ((8*a*b*B + 4*a^2*C + 3*b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((4*a^2*b*B + 4*b^3*B - a^3*C + 8*a*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(6*b*d) + ((8*a*b*B - 2*a^2*C + 9*b^2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + ((4*b*B - a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*b*d) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, ((2*a^2*B + b^2*B + 2*a*b*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (2*(3*a*b*B + a^2*C + b^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (b*(3*b*B + 2*a*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, a^2*B*x + ((4*a*b*B + 2*a^2*C + b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (b*(2*b*B + 3*a*C)*Tan[c + d*x])/(2*d) + (b*C*(a + b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, a*(2*b*B + a*C)*x + (b*(b*B + 2*a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*B*Sin[c + d*x])/d + (b^2*C*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (1/2)*(a^2*B + 2*b^2*B + 4*a*b*C)*x + (b^2*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*(2*b*B + a*C)*Sin[c + d*x])/d + (a^2*B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (1/2)*(2*a*b*B + a^2*C + 2*b^2*C)*x + ((2*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*(2*b*B + a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a^2*B*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (1/8)*(3*a^2*B + 4*b^2*B + 8*a*b*C)*x + ((2*a*b*B + a^2*C + b^2*C)*Sin[c + d*x])/d + ((3*a^2*B + 4*b^2*B + 8*a*b*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*B*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (a*(2*b*B + a*C)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (1/8)*(6*a*b*B + 3*a^2*C + 4*b^2*C)*x + ((4*a^2*B + 5*b^2*B + 10*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((6*a*b*B + 3*a^2*C + 4*b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*(2*b*B + a*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a^2*B*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d) - ((4*a^2*B + 5*b^2*B + 10*a*b*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, ((8*a^3*B + 18*a*b^2*B + 18*a^2*b*C + 5*b^3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + ((15*a^2*b*B + 4*b^3*B + 5*a^3*C + 12*a*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((8*a^3*B + 18*a*b^2*B + 18*a^2*b*C + 5*b^3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (b*(18*a*b*B + 14*a^2*C + 5*b^2*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(24*d) + (b^2*(3*b*B + 4*a*C)*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(15*d) + (b*C*Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(6*d) + ((15*a^2*b*B + 4*b^3*B + 5*a^3*C + 12*a*b^2*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, ((12*a^2*b*B + 3*b^3*B + 4*a^3*C + 9*a*b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((15*a^3*b*B + 60*a*b^3*B - 3*a^4*C + 52*a^2*b^2*C + 16*b^4*C)*Tan[c + d*x])/(30*b*d) + ((30*a^2*b*B + 45*b^3*B - 6*a^3*C + 71*a*b^2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(120*d) + ((15*a*b*B - 3*a^2*C + 16*b^2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(60*b*d) + ((5*b*B - a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(20*b*d) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, ((8*a^3*B + 12*a*b^2*B + 12*a^2*b*C + 3*b^3*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((16*a^2*b*B + 4*b^3*B + 3*a^3*C + 12*a*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(6*d) + (b*(20*a*b*B + 6*a^2*C + 9*b^2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + ((4*b*B + 3*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*d) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, a^3*B*x + ((6*a^2*b*B + b^3*B + 2*a^3*C + 3*a*b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (b*(9*a*b*B + 8*a^2*C + 2*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (b^2*(3*b*B + 5*a*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (b*C*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, a^2*(3*b*B + a*C)*x + (b*(6*a*b*B + 6*a^2*C + b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (a*B*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/d - (b*(2*a^2*B - b^2*B - 3*a*b*C)*Tan[c + d*x])/d - (b^2*(2*a*B - b*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (1/2)*a*(a^2*B + 6*b^2*B + 6*a*b*C)*x + (b^2*(b*B + 3*a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a^2*(2*b*B + a*C)*Sin[c + d*x])/d + (a*B*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b^2*(a*B - 2*b*C)*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (1/2)*(3*a^2*b*B + 2*b^3*B + a^3*C + 6*a*b^2*C)*x + (b^3*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*(2*a^2*B + 8*b^2*B + 9*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a^2*(5*b*B + 3*a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (1/8)*(3*a^3*B + 12*a*b^2*B + 12*a^2*b*C + 8*b^3*C)*x + ((6*a^2*b*B + 3*b^3*B + 2*a^3*C + 9*a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*(3*a^2*B + 10*b^2*B + 12*a*b*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(3*b*B + 2*a*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (1/8)*(9*a^2*b*B + 4*b^3*B + 3*a^3*C + 12*a*b^2*C)*x + ((4*a^3*B + 14*a*b^2*B + 15*a^2*b*C + 5*b^3*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((9*a^2*b*B + 4*b^3*B + 3*a^3*C + 12*a*b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*(7*b*B + 5*a*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d) - (a*(4*a^2*B + 12*b^2*B + 15*a*b*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 9, ((2*a^2 + b^2)*(b*B - a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^4*d) - (2*a^3*(b*B - a*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^4*Sqrt[a + b]*d) - ((3*a*b*B - 3*a^2*C - 2*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*b^3*d) + ((b*B - a*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^2*d) + (C*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, -(((2*a*b*B - 2*a^2*C - b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^3*d)) + (2*a^2*(b*B - a*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^3*Sqrt[a + b]*d) + ((b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(b^2*d) + (C*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, ((b*B - a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^2*d) - (2*a*(b*B - a*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^2*Sqrt[a + b]*d) + (C*Tan[c + d*x])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b*d) + (2*(b*B - a*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, (B*x)/a - (2*(b*B - a*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, -(((b*B - a*C)*x)/a^2) + (2*b*(b*B - a*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) + (B*Sin[c + d*x])/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, ((a^2*B + 2*b^2*B - 2*a*b*C)*x)/(2*a^3) - (2*b^2*(b*B - a*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - ((b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + (B*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, -(((a^2 + 2*b^2)*(b*B - a*C)*x)/(2*a^4)) + (2*b^3*(b*B - a*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) + ((2*a^2*B + 3*b^2*B - 3*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^3*d) - ((b*B - a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) + (B*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, -(((4*a*b*B - 6*a^2*C - b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^4*d)) + (2*a^2*(2*a^2*b*B - 3*b^3*B - 3*a^3*C + 4*a*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^4*(a + b)^(3/2)*d) + ((2*a^2*b*B - b^3*B - 3*a^3*C + 2*a*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((2*a*b*B - 3*a^2*C + b^2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d) + (a*(b*B - a*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, ((b*B - 2*a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^3*d) - (2*a*(a^2*b*B - 2*b^3*B - 2*a^3*C + 3*a*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) + (C*Tan[c + d*x])/(b^2*d) - (a^2*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^2*d) - (2*(b^3*B + a^3*C - 2*a*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) + (a*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (2*(a*B - b*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - ((b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (B*x)/a^2 - (2*(2*a^2*b*B - b^3*B - a^3*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (b*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -(((2*b*B - a*C)*x)/a^3) + (2*b*(3*a^2*b*B - 2*b^3*B - 2*a^3*C + a*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + ((a^2*B - 2*b^2*B + a*b*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, ((a^2*B + 6*b^2*B - 4*a*b*C)*x)/(2*a^4) - (2*b^2*(4*a^2*b*B - 3*b^3*B - 3*a^3*C + 2*a*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - ((2*a^2*b*B - 3*b^3*B - a^3*C + 2*a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) + ((a^2*B - 3*b^2*B + 2*a*b*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d) + (b*(b*B - a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, ((b*B - 3*a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^4*d) - (a*(2*a^4*b*B - 5*a^2*b^3*B + 6*b^5*B - 6*a^5*C + 15*a^3*b^2*C - 12*a*b^4*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^4*(a + b)^(5/2)*d) - ((a*b*B - 3*a^2*C + 2*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)*d) + (a*(b*B - a*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (a^2*(a^2*b*B - 4*b^3*B - 3*a^3*C + 6*a*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^3*d) + ((a^2*b^3*B + 2*b^5*B - 2*a^5*C + 5*a^3*b^2*C - 6*a*b^4*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^3*(a + b)^(5/2)*d) - (a^2*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (a*(a^2*b*B - 4*b^3*B - 3*a^3*C + 6*a*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, -(((3*a*b*B - a^2*C - 2*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) + (a*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((a^2*b*B + 2*b^3*B + a^3*C - 4*a*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, ((2*a^2*B + b^2*B - 3*a*b*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - ((b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - ((3*a*b*B - a^2*C - 2*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (B*x)/a^3 - ((6*a^4*b*B - 5*a^2*b^3*B + 2*b^5*B - 2*a^5*C - a^3*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) + (b*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b*(5*a^2*b*B - 2*b^3*B - 3*a^3*C)*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -(((3*b*B - a*C)*x)/a^4) + (b*(12*a^4*b*B - 15*a^2*b^3*B + 6*b^5*B - 6*a^5*C + 5*a^3*b^2*C - 2*a*b^4*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) + ((2*a^4*B - 11*a^2*b^2*B + 6*b^4*B + 5*a^3*b*C - 2*a*b^3*C)*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b*(6*a^2*b*B - 3*b^3*B - 4*a^3*C + a*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+b Sec[e+f x])^(m/2) (B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(24*a^3*b*B + 57*a*b^3*B - 16*a^4*C - 24*a^2*b^2*C + 147*b^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^5*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b^3*(25*B - 49*C) + 18*a*b^2*(B - 2*C) + 12*a^2*b*(2*B - C) - 16*a^3*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^4*d) - (2*(12*a^2*b*B - 75*b^3*B - 8*a^3*C - 13*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*b^3*d) + (2*(9*a*b*B - 6*a^2*C + 49*b^2*C)*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*b^2*d) + (2*(9*b*B + a*C)*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(63*b*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(9*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(14*a^2*b*B - 63*b^3*B - 8*a^3*C - 19*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^4*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(b^2*(63*B - 25*C) + 2*a*b*(7*B - 3*C) - 8*a^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^3*d) + (2*(7*a*b*B - 4*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*b^2*d) + (2*(7*b*B + a*C)*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(35*b*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(5*a*b*B - 2*a^2*C + 9*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^3*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(5*b*B - 2*a*C - 9*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^2*d) + (2*(5*b*B - 2*a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*b*d) + (2*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b*B + a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^2*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*B - C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) + (2*C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) + (2*Sqrt[a + b]*(b*(B - C) + a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) - (2*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, ((a - b)*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) + (Sqrt[a + b]*(B + 2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d - (Sqrt[a + b]*(b*B + 2*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d) + (B*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(b*B + 4*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a*b*d) + (Sqrt[a + b]*(b*B + 2*a*(B + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2*B - b^2*B + 4*a*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^2*d) + ((b*B + 4*a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*d) + (B*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, -((2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(88*a^4*b*B + 363*a^2*b^3*B + 1617*b^5*B - 48*a^5*C - 108*a^3*b^2*C + 2088*a*b^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3465*b^5*d)) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*a*b^3*(143*B - 471*C) - 3*b^4*(539*B - 225*C) + 6*a^2*b^2*(11*B - 24*C) + 4*a^3*b*(22*B - 9*C) - 48*a^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3465*b^4*d) + (2*(88*a^3*b*B + 429*a*b^3*B - 48*a^4*C - 144*a^2*b^2*C + 675*b^4*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3465*b^3*d) + (2*(88*a^2*b*B + 539*b^3*B - 48*a^3*C - 204*a*b^2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(3465*b^3*d) - (2*(44*a*b*B - 24*a^2*C - 81*b^2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(693*b^3*d) + (2*(11*b*B - 6*a*C)*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(99*b^2*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(11*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(18*a^3*b*B - 246*a*b^3*B - 8*a^4*C - 33*a^2*b^2*C - 147*b^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^4*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b^3*(25*B - 49*C) - 3*a*b^2*(57*B - 13*C) - 6*a^2*b*(3*B - C) + 8*a^3*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^3*d) - (2*(18*a^2*b*B - 75*b^3*B - 8*a^3*C - 39*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*b^2*d) - (2*(18*a*b*B - 8*a^2*C - 49*b^2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(315*b^2*d) + (2*(9*b*B - 4*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(63*b^2*d) + (2*C*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(21*a^2*b*B + 63*b^3*B - 6*a^3*C + 82*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^3*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(a*b*(21*B - 57*C) - b^2*(63*B - 25*C) - 6*a^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^2*d) + (2*(21*a*b*B - 6*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*b*d) + (2*(7*b*B - 2*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*b*d) + (2*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(20*a*b*B + 3*a^2*C + 9*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^2*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(15*a*B - 5*b*B - 3*a*C + 9*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b*d) + (2*(5*b*B + 3*a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b*B + 4*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) + (2*Sqrt[a + b]*(a*b*(6*B - 4*C) - b^2*(3*B - C) + 3*a^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) - (2*a*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (2*b*C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(a*B - 2*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) + (Sqrt[a + b]*(2*b*(B - C) + a*(B + 4*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d - (Sqrt[a + b]*(3*b*B + 2*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (a*B*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(5*b*B + 4*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*b*d) + (Sqrt[a + b]*(2*a*B + 5*b*B + 4*a*C + 8*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2*B + 3*b^2*B + 12*a*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a*d) + ((5*b*B + 4*a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*B*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(16*a^2*B + 3*b^2*B + 30*a*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a*b*d) + (Sqrt[a + b]*(16*a^2*B + 14*a*b*B + 3*b^2*B + 12*a^2*C + 30*a*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a*d) - (Sqrt[a + b]*(12*a^2*b*B - b^3*B + 8*a^3*C + 6*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(8*a^2*d) + ((16*a^2*B + 3*b^2*B + 30*a*b*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*a*d) + ((7*b*B + 6*a*C)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(110*a^4*b*B - 3069*a^2*b^3*B - 1617*b^5*B - 40*a^5*C - 255*a^3*b^2*C - 3705*a*b^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3465*b^4*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*a*b^3*(209*B - 505*C) - 3*b^4*(539*B - 225*C) - a^3*b*(110*B - 30*C) - 15*a^2*b^2*(121*B - 19*C) + 40*a^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3465*b^3*d) - (2*(110*a^3*b*B - 1254*a*b^3*B - 40*a^4*C - 285*a^2*b^2*C - 675*b^4*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3465*b^2*d) - (2*(110*a^2*b*B - 539*b^3*B - 40*a^3*C - 335*a*b^2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(3465*b^2*d) - (2*(22*a*b*B - 8*a^2*C - 81*b^2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(693*b^2*d) + (2*(11*b*B - 4*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(99*b^2*d) + (2*C*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(11*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(45*a^3*b*B + 435*a*b^3*B - 10*a^4*C + 279*a^2*b^2*C + 147*b^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^3*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b^3*(25*B - 49*C) - 6*a*b^2*(60*B - 19*C) + 15*a^2*b*(3*B - 11*C) - 10*a^3*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^2*d) + (2*(45*a^2*b*B + 75*b^3*B - 10*a^3*C + 114*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*b*d) + (2*(45*a*b*B - 10*a^2*C + 49*b^2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(315*b*d) + (2*(9*b*B - 2*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(63*b*d) + (2*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(161*a^2*b*B + 63*b^3*B + 15*a^3*C + 145*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^2*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(b^2*(63*B - 25*C) - 8*a*b*(7*B - 15*C) + 15*a^2*(7*B - C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b*d) + (2*(56*a*b*B + 15*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*d) + (2*(7*b*B + 5*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*d) + (2*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(35*a*b*B + 23*a^2*C + 9*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b*d) + (2*Sqrt[a + b]*(a^2*b*(45*B - 23*C) - a*b^2*(35*B - 17*C) + b^3*(5*B - 9*C) + 15*a^3*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b*d) - (2*a^2*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (2*b*(5*b*B + 8*a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*b*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(3*a^2*B - 6*b^2*B - 14*a*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) + (Sqrt[a + b]*(2*a*b*(9*B - 7*C) - 2*b^2*(3*B - C) + 3*a^2*(B + 6*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*d) - (a*Sqrt[a + b]*(5*b*B + 2*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (a*B*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/d - (b*(3*a*B - 2*b*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(9*a*b*B + 4*a^2*C - 8*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*b*d) + (Sqrt[a + b]*(8*b^2*(B - C) + 2*a^2*(B + 2*C) + 3*a*b*(3*B + 8*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*d) - (Sqrt[a + b]*(4*a^2*B + 15*b^2*B + 20*a*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*d) + (a*(7*b*B + 4*a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*B*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(16*a^2*B + 33*b^2*B + 54*a*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*b*d) + (Sqrt[a + b]*(4*a^2*(4*B + 3*C) + 3*b^2*(11*B + 16*C) + a*b*(26*B + 54*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*d) - (Sqrt[a + b]*(20*a^2*b*B + 5*b^3*B + 8*a^3*C + 30*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(8*a*d) + ((16*a^2*B + 33*b^2*B + 54*a*b*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*(3*b*B + 2*a*C)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 10, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(284*a^2*b*B + 15*b^3*B + 128*a^3*C + 264*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(192*a*b*d) + (Sqrt[a + b]*(15*b^3*B + 8*a^3*(9*B + 16*C) + 4*a^2*b*(71*B + 52*C) + 2*a*b^2*(59*B + 132*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(192*a*d) - (Sqrt[a + b]*(48*a^4*B + 120*a^2*b^2*B - 5*b^4*B + 160*a^3*b*C + 40*a*b^3*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(64*a^2*d) + ((284*a^2*b*B + 15*b^3*B + 128*a^3*C + 264*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a*d) + ((36*a^2*B + 59*b^2*B + 104*a*b*C)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(96*d) + (a*(11*b*B + 8*a*C)*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*B*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Sec[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 7, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(56*a^2*b*B + 63*b^3*B - 48*a^3*C - 44*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^5*d) - (2*Sqrt[a + b]*(b^3*(63*B - 25*C) - 48*a^3*C + 4*a^2*b*(14*B + 3*C) - 2*a*b^2*(7*B + 22*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^4*d) - (2*(28*a*b*B - 24*a^2*C - 25*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*b^3*d) + (2*(7*b*B - 6*a*C)*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(35*b^2*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(7*b*d)}
+{(Sec[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*a*b*B - 8*a^2*C - 9*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^4*d) + (2*Sqrt[a + b]*(b^2*(5*B - 9*C) - 8*a^2*C + 2*a*b*(5*B + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^3*d) + (2*(5*b*B - 4*a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*b^2*d) + (2*C*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{(Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 5, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b*B - 2*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^3*d) - (2*Sqrt[a + b]*(3*b*B - 2*a*C - b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^2*d) + (2*C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 4, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*d) + (2*Sqrt[a + b]*(B - C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d)}
+{(Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 4, (2*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) - (2*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d)}
+{(Cos[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 7, ((a - b)*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b*d) + (Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d) + (Sqrt[a + b]*(b*B - 2*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) + (B*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d)}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*(40*a^3*b*B - 25*a*b^3*B - 48*a^4*C + 24*a^2*b^2*C + 9*b^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^5*Sqrt[a + b]*d) + (2*(b^3*(5*B - 9*C) + 4*a^2*b*(10*B - 9*C) + 6*a*b^2*(5*B - 2*C) - 48*a^3*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^4*Sqrt[a + b]*d) + (2*a*(b*B - a*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(20*a^2*b*B - 5*b^3*B - 24*a^3*C + 9*a*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*b^3*(a^2 - b^2)*d) - (2*(5*a*b*B - 6*a^2*C + b^2*C)*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Sec[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (-2*(6*a^2*b*B - 3*b^3*B - 8*a^3*C + 5*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^4*Sqrt[a + b]*d) - (2*(2*a + b)*(3*b*B - 4*a*C - b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^3*Sqrt[a + b]*d) - (2*a^2*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*b^2*d)}
+{(Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*(a*b*B - 2*a^2*C + b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^3*Sqrt[a + b]*d) + (2*(b*(B - C) - 2*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*Sqrt[a + b]*d) + (2*a*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (-2*(b*B - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*Sqrt[a + b]*d) + (2*(B + C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*Sqrt[a + b]*d) - (2*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*(b*B - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b*Sqrt[a + b]*d) - (2*(b*B - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b*Sqrt[a + b]*d) - (2*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) + (2*b*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((a^2*B - 3*b^2*B + 2*a*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*b*Sqrt[a + b]*d) + ((3*b*B + a*(B - 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*Sqrt[a + b]*d) + (Sqrt[a + b]*(3*b*B - 2*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^3*d) + (B*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b*(a^2*B - 3*b^2*B + 2*a*b*C)*Tan[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^3*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (-2*(8*a^4*b*B - 15*a^2*b^3*B + 3*b^5*B - 16*a^5*C + 28*a^3*b^2*C - 8*a*b^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b^5*(a + b)^(3/2)*d) - (2*(a^3*b*(8*B - 12*C) - 9*a*b^3*(B - C) - b^4*(3*B - C) - 16*a^4*C + 2*a^2*b^2*(3*B + 8*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*a*(b*B - a*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*a^2*(3*a^2*b*B - 7*b^3*B - 6*a^3*C + 10*a*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(a*b*B - 2*a^2*C + b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Sec[c + d*x]^2*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*(2*a^3*b*B - 6*a*b^3*B - 8*a^4*C + 15*a^2*b^2*C - 3*b^4*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b^4*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(2*a^2*b*(B - 3*C) - 3*b^3*(B - C) - 8*a^3*C + 3*a*b^2*(B + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) - (2*a^2*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*a*(2*a^2*b*B - 6*b^3*B - 5*a^3*C + 9*a*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(Sec[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, (2*(a^2*b*B + 3*b^3*B + 2*a^3*C - 6*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(2*a^2*C - 3*b^2*(B + C) + a*b*(B + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^2*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*a*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*(a^2*b*B + 3*b^3*B + 2*a^3*C - 6*a*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^0*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, (-2*(4*a*b*B - a^2*C - 3*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(3*a*B - b*B + a*C - 3*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b*(a + b)^(3/2)*d) - (2*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*(4*a*b*B - a^2*C - 3*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^1*(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, (2*(7*a^2*b*B - 3*b^3*B - 4*a^3*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^2*(a - b)*b*(a + b)^(3/2)*d) - (2*(6*a^2*b*B - a*b^2*B - 3*b^3*B - 3*a^3*C + a^2*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^2*(a - b)*b*(a + b)^(3/2)*d) - (2*Sqrt[a + b]*B*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^3*d) + (2*b*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*b*(7*a^2*b*B - 3*b^3*B - 4*a^3*C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2), x, 7, (-2*(23*a^2*b*B + 9*b^3*B - 3*a^3*C - 29*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*(a - b)^2*b^2*(a + b)^(5/2)*d) + (2*(3*a^2*(5*B + C) - 8*a*b*(B + 3*C) + b^2*(9*B + 5*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)^2*d) - (2*(b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(5*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)) - (2*(8*a*b*B - 3*a^2*C - 5*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(15*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*(23*a^2*b*B + 9*b^3*B - 3*a^3*C - 29*a*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(15*(a^2 - b^2)^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+b Sec[e+f x])^m (B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
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+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
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+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])), x, 6, (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - (2*(b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a + b)*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+b Sec[e+f x])^(m/2) (B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
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+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
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+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x, 8, (2*B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+b Sec[e+f x])^(m/3) (B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 8, (Sqrt[2]*(a + b)*C*AppellF1[1/2, 1/2, -(5/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) + (Sqrt[2]*(b*B - a*C)*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3))}
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 8, (Sqrt[2]*(a + b)*C*AppellF1[1/2, 1/2, -(4/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) + (Sqrt[2]*(b*B - a*C)*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3))}
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 8, (Sqrt[2]*C*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) + (Sqrt[2]*(b*B - a*C)*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3))}
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 8, (Sqrt[2]*C*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) + (Sqrt[2]*(b*B - a*C)*AppellF1[1/2, 1/2, 2/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3))}
+
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+b Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, ((4*a*A + 3*b*B + 3*a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((5*A*b + 5*a*B + 4*b*C)*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((4*a*A + 3*b*B + 3*a*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + ((b*B + a*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (b*C*Sec[c + d*x]^4*Tan[c + d*x])/(5*d) + ((5*A*b + 5*a*B + 4*b*C)*Tan[c + d*x]^3)/(15*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, ((4*A*b + 4*a*B + 3*b*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((3*a*A + 2*b*B + 2*a*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((4*A*b + 4*a*B + 3*b*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + ((b*B + a*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d) + (b*C*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, ((b*B + a*(2*A + C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((3*A*b + 3*a*B + 2*b*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((b*B + a*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) + (b*C*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, a*A*x + ((2*A*b + 2*a*B + b*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((b*B + a*C)*Tan[c + d*x])/d + (b*C*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, (A*b + a*B)*x + ((b*B + a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*A*Sin[c + d*x])/d + (b*C*Tan[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, (1/2)*(2*b*B + a*(A + 2*C))*x + (b*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/d + (a*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, (1/2)*(A*b + a*B + 2*b*C)*x + ((2*a*A + 3*b*B + 3*a*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((A*b + a*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, (1/8)*(3*a*A + 4*b*B + 4*a*C)*x + ((A*b + a*B + b*C)*Sin[c + d*x])/d + ((3*a*A + 4*b*B + 4*a*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - ((A*b + a*B)*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, (1/8)*(3*A*b + 3*a*B + 4*b*C)*x + ((4*a*A + 5*b*B + 5*a*C)*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((3*A*b + 3*a*B + 4*b*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + ((A*b + a*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) + (a*A*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(5*d) - ((4*a*A + 5*b*B + 5*a*C)*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, ((8*a*A*b + 4*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((20*a*b*B + 5*a^2*(3*A + 2*C) + 2*b^2*(5*A + 4*C))*Tan[c + d*x])/(15*d) + ((8*a*A*b + 4*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + ((5*A*b^2 + 10*a*b*B + 2*a^2*C + 4*b^2*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(15*d) + (b*(5*b*B + 2*a*C)*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (C*Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(5*d), ((8*a*A*b + 4*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - ((5*a^3*b*B - 40*a*b^3*B - 2*a^4*C - 4*a^2*b^2*(5*A + 3*C) - 4*b^4*(5*A + 4*C))*Tan[c + d*x])/(30*b^2*d) - ((10*a^2*b*B - 45*b^3*B - 4*a^3*C - 2*a*b^2*(20*A + 13*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(120*b*d) + ((20*A*b^2 - 5*a*b*B + 2*a^2*C + 16*b^2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(60*b^2*d) + ((5*b*B - 2*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(20*b^2*d) + (C*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, ((8*a*b*B + 4*a^2*(2*A + C) + b^2*(4*A + 3*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((4*a^2*b*B + 4*b^3*B - a^3*C + 4*a*b^2*(3*A + 2*C))*Tan[c + d*x])/(6*b*d) + ((12*A*b^2 + 8*a*b*B - 2*a^2*C + 9*b^2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + ((4*b*B - a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*b*d) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, a^2*A*x + ((2*a^2*B + b^2*B + 2*a*b*(2*A + C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((3*A*b^2 + 6*a*b*B + 2*a^2*C + 2*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (b*(3*b*B + 2*a*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, a*(2*A*b + a*B)*x + ((2*A*b^2 + 4*a*b*B + 2*a^2*C + b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (A*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/d - (b*(2*a*A - b*B - 2*a*C)*Tan[c + d*x])/d - (b^2*(2*A - C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (1/2)*(2*A*b^2 + 4*a*b*B + a^2*(A + 2*C))*x + (b*(b*B + 2*a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*(A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/d + (A*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b^2*(A - 2*C)*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (1/2)*(a^2*B + 2*b^2*B + 2*a*b*(A + 2*C))*x + (b^2*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((2*A*b^2 + 6*a*b*B + a^2*(2*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(3*d) + (a*(2*A*b + 3*a*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (1/8)*(8*a*b*B + 4*b^2*(A + 2*C) + a^2*(3*A + 4*C))*x + ((4*a*A*b + 2*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((2*A*b^2 + 8*a*b*B + a^2*(3*A + 4*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*(A*b + 2*a*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(6*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (1/8)*(6*a*A*b + 3*a^2*B + 4*b^2*B + 8*a*b*C)*x + ((10*a*b*B + a^2*(4*A + 5*C) + b^2*(4*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(5*d) + ((6*a*A*b + 3*a^2*B + 4*b^2*B + 8*a*b*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*(2*A*b + 5*a*B)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d) - ((2*A*b^2 + 10*a*b*B + a^2*(4*A + 5*C))*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, ((8*a^3*B + 18*a*b^2*B + 6*a^2*b*(4*A + 3*C) + b^3*(6*A + 5*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) - ((6*a^4*b*B - 104*a^2*b^3*B - 32*b^5*B - 2*a^5*C - 24*a*b^4*(5*A + 4*C) - a^3*b^2*(30*A + 17*C))*Tan[c + d*x])/(60*b^2*d) - ((12*a^3*b*B - 142*a*b^3*B - 4*a^4*C - 12*a^2*b^2*(5*A + 3*C) - 15*b^4*(6*A + 5*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(240*b*d) - ((6*a^2*b*B - 32*b^3*B - 2*a^3*C - 3*a*b^2*(10*A + 7*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(120*b^2*d) + ((30*A*b^2 - 6*a*b*B + 2*a^2*C + 25*b^2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(120*b^2*d) + ((3*b*B - a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(15*b^2*d) + (C*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(6*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, ((12*a^2*b*B + 3*b^3*B + 4*a^3*(2*A + C) + 3*a*b^2*(4*A + 3*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((15*a^3*b*B + 60*a*b^3*B - 3*a^4*C + 4*b^4*(5*A + 4*C) + 4*a^2*b^2*(20*A + 13*C))*Tan[c + d*x])/(30*b*d) + ((30*a^2*b*B + 45*b^3*B - 6*a^3*C + a*b^2*(100*A + 71*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(120*d) + ((4*b^2*(5*A + 4*C) + 3*a*(5*b*B - a*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(60*b*d) + ((5*b*B - a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(20*b*d) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, a^3*A*x + ((8*a^3*B + 12*a*b^2*B + 12*a^2*b*(2*A + C) + b^3*(4*A + 3*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((16*a^2*b*B + 4*b^3*B + 3*a^3*C + 6*a*b^2*(3*A + 2*C))*Tan[c + d*x])/(6*d) + (b*(12*A*b^2 + 20*a*b*B + 6*a^2*C + 9*b^2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + ((4*b*B + 3*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*d) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, a^2*(3*A*b + a*B)*x + ((6*a^2*b*B + b^3*B + 2*a^3*C + 3*a*b^2*(2*A + C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (A*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/d + (b*(9*a*b*B - a^2*(6*A - 8*C) + b^2*(3*A + 2*C))*Tan[c + d*x])/(3*d) - (b^2*(6*a*A - 3*b*B - 5*a*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) - (b*(3*A - C)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (1/2)*a*(6*A*b^2 + 6*a*b*B + a^2*(A + 2*C))*x + (b*(2*A*b^2 + 6*a*b*B + 6*a^2*C + b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((3*A*b + 2*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b*(9*a*A*b + 4*a^2*B - 2*b^2*B - 6*a*b*C)*Tan[c + d*x])/(2*d) - (b^2*(4*A*b + 2*a*B - b*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (1/2)*(2*A*b^3 + a^3*B + 6*a*b^2*B + 3*a^2*b*(A + 2*C))*x + (b^2*(b*B + 3*a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*(3*A*b^2 + 6*a*b*B + a^2*(2*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(3*d) + ((A*b + a*B)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(2*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d) - (b^2*(5*A*b + 3*a*B - 6*b*C)*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (1/8)*(12*a^2*b*B + 8*b^3*B + 12*a*b^2*(A + 2*C) + a^3*(3*A + 4*C))*x + (b^3*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((3*A*b^3 + 4*a^3*B + 16*a*b^2*B + 6*a^2*b*(2*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(6*d) + (a*(6*A*b^2 + 20*a*b*B + 3*a^2*(3*A + 4*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(24*d) + ((3*A*b + 4*a*B)*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(12*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (1/8)*(3*a^3*B + 12*a*b^2*B + 4*b^3*(A + 2*C) + 3*a^2*b*(3*A + 4*C))*x + ((30*a^2*b*B + 15*b^3*B + 15*a*b^2*(2*A + 3*C) + 2*a^3*(4*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(15*d) + ((6*A*b^3 + 15*a^3*B + 50*a*b^2*B + 15*a^2*b*(3*A + 4*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(40*d) + (a*(3*A*b^2 + 15*a*b*B + 2*a^2*(4*A + 5*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(30*d) + ((3*A*b + 5*a*B)*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(20*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (1/16)*(18*a^2*b*B + 8*b^3*B + 6*a*b^2*(3*A + 4*C) + a^3*(5*A + 6*C))*x + ((12*a^3*B + 42*a*b^2*B + 9*a^2*b*(4*A + 5*C) + b^3*(11*A + 15*C))*Sin[c + d*x])/(15*d) + ((18*a^2*b*B + 8*b^3*B + 6*a*b^2*(3*A + 4*C) + a^3*(5*A + 6*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a*(6*A*b^2 + 42*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 6*C))*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(120*d) + ((A*b + 2*a*B)*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(10*d) + (A*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(6*d) - ((A*b^3 + 4*a^3*B + 12*a*b^2*B + 3*a^2*b*(4*A + 5*C))*Sin[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 10, ((8*a^4*B + 36*a^2*b^2*B + 5*b^4*B + 8*a^3*b*(4*A + 3*C) + 4*a*b^3*(6*A + 5*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) - ((28*a^5*b*B - 847*a^3*b^3*B - 896*a*b^5*B - 8*a^6*C - 32*b^6*(7*A + 6*C) - 4*a^4*b^2*(42*A + 23*C) - 32*a^2*b^4*(49*A + 39*C))*Tan[c + d*x])/(420*b^2*d) - ((56*a^4*b*B - 1246*a^2*b^3*B - 525*b^5*B - 16*a^5*C - 48*a^3*b^2*(7*A + 4*C) - 4*a*b^4*(406*A + 333*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(1680*b*d) - ((28*a^3*b*B - 371*a*b^3*B - 8*a^4*C - 32*b^4*(7*A + 6*C) - 12*a^2*b^2*(14*A + 9*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(840*b^2*d) - ((28*a^2*b*B - 175*b^3*B - 8*a^3*C - 4*a*b^2*(42*A + 31*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(840*b^2*d) + ((42*A*b^2 - 7*a*b*B + 2*a^2*C + 36*b^2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(210*b^2*d) + ((7*b*B - 2*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^5*Tan[c + d*x])/(42*b^2*d) + (C*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^5*Tan[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 9, ((32*a^3*b*B + 24*a*b^3*B + 8*a^4*(2*A + C) + 12*a^2*b^2*(4*A + 3*C) + b^4*(6*A + 5*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + ((24*a^4*b*B + 224*a^2*b^3*B + 32*b^5*B - 4*a^5*C + 32*a*b^4*(5*A + 4*C) + a^3*b^2*(190*A + 121*C))*Tan[c + d*x])/(60*b*d) + ((48*a^3*b*B + 232*a*b^3*B - 8*a^4*C + 15*b^4*(6*A + 5*C) + 2*a^2*b^2*(130*A + 89*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(240*d) + ((24*a^2*b*B + 32*b^3*B - 4*a^3*C + a*b^2*(70*A + 53*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(120*b*d) + ((5*b^2*(6*A + 5*C) + 4*a*(6*b*B - a*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(120*b*d) + ((6*b*B - a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(30*b*d) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^5*Tan[c + d*x])/(6*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, a^4*A*x + ((8*a^4*B + 24*a^2*b^2*B + 3*b^4*B + 16*a^3*b*(2*A + C) + 4*a*b^3*(4*A + 3*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + ((95*a^3*b*B + 80*a*b^3*B + 12*a^4*C + 4*b^4*(5*A + 4*C) + 2*a^2*b^2*(85*A + 56*C))*Tan[c + d*x])/(30*d) + (b*(130*a^2*b*B + 45*b^3*B + 24*a^3*C + 4*a*b^2*(40*A + 29*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(120*d) + ((20*A*b^2 + 35*a*b*B + 12*a^2*C + 16*b^2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(60*d) + ((5*b*B + 4*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(20*d) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, a^3*(4*A*b + a*B)*x + ((32*a^3*b*B + 16*a*b^3*B + 8*a^4*C + 24*a^2*b^2*(2*A + C) + b^4*(4*A + 3*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (A*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/d + (b*(34*a^2*b*B + 4*b^3*B - a^3*(12*A - 19*C) + 8*a*b^2*(3*A + 2*C))*Tan[c + d*x])/(6*d) + (b^2*(32*a*b*B - a^2*(24*A - 26*C) + 3*b^2*(4*A + 3*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) - (b*(12*a*A - 4*b*B - 7*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*d) - (b*(4*A - C)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (1/2)*a^2*(12*A*b^2 + 8*a*b*B + a^2*(A + 2*C))*x + (b*(12*a^2*b*B + b^3*B + 8*a^3*C + 4*a*b^2*(2*A + C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((2*A*b + a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/d + (A*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b*(12*a^3*B - 24*a*b^2*B + a^2*b*(39*A - 34*C) - 2*b^3*(3*A + 2*C))*Tan[c + d*x])/(6*d) - (b^2*(6*a^2*B - 3*b^2*B + 2*a*b*(9*A - 4*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) - (b*(15*A*b + 6*a*B - 2*b*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (1/2)*a*(8*A*b^3 + a^3*B + 12*a*b^2*B + 4*a^2*b*(A + 2*C))*x + (b^2*(2*A*b^2 + 8*a*b*B + 12*a^2*C + b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + ((12*A*b^2 + 15*a*b*B + a^2*(4*A + 6*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(6*d) + ((4*A*b + 3*a*B)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(6*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(3*d) - (b*(39*a^2*b*B - 6*b^3*B + 4*a*b^2*(11*A - 6*C) + 4*a^3*(2*A + 3*C))*Tan[c + d*x])/(6*d) - (b^2*(18*a*b*B + 3*b^2*(6*A - C) + a^2*(4*A + 6*C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (1/8)*(8*A*b^4 + 16*a^3*b*B + 32*a*b^3*B + 24*a^2*b^2*(A + 2*C) + a^4*(3*A + 4*C))*x + (b^3*(b*B + 4*a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (a*(12*A*b^3 + 8*a^3*B + 36*a*b^2*B + a^2*b*(23*A + 36*C))*Sin[c + d*x])/(12*d) + ((4*A*b^2 + 8*a*b*B + a^2*(3*A + 4*C))*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(8*d) + ((A*b + a*B)*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(4*d) - (b^2*(32*a*b*B + 2*b^2*(13*A - 12*C) + 3*a^2*(3*A + 4*C))*Tan[c + d*x])/(24*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (1/8)*(3*a^4*B + 24*a^2*b^2*B + 8*b^4*B + 16*a*b^3*(A + 2*C) + 4*a^3*b*(3*A + 4*C))*x + (b^4*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((12*A*b^4 + 80*a^3*b*B + 95*a*b^3*B + 4*a^4*(4*A + 5*C) + 2*a^2*b^2*(56*A + 85*C))*Sin[c + d*x])/(30*d) + (a*(24*A*b^3 + 45*a^3*B + 130*a*b^2*B + 4*a^2*b*(29*A + 40*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(120*d) + ((12*A*b^2 + 35*a*b*B + 4*a^2*(4*A + 5*C))*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(60*d) + ((4*A*b + 5*a*B)*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(20*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^6*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (1/16)*(24*a^3*b*B + 32*a*b^3*B + 8*b^4*(A + 2*C) + 12*a^2*b^2*(3*A + 4*C) + a^4*(5*A + 6*C))*x + ((8*a^4*B + 60*a^2*b^2*B + 15*b^4*B + 20*a*b^3*(2*A + 3*C) + 8*a^3*b*(4*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(15*d) + ((24*A*b^4 + 360*a^3*b*B + 336*a*b^3*B + 15*a^4*(5*A + 6*C) + 10*a^2*b^2*(49*A + 66*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(240*d) + (a*(4*A*b^3 + 16*a^3*B + 36*a*b^2*B + a^2*b*(39*A + 50*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(60*d) + ((12*A*b^2 + 48*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 6*C))*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(120*d) + ((2*A*b + 3*a*B)*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(15*d) + (A*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^7*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 10, (1/16)*(5*a^4*B + 36*a^2*b^2*B + 8*b^4*B + 8*a*b^3*(3*A + 4*C) + 4*a^3*b*(5*A + 6*C))*x + ((336*a^3*b*B + 371*a*b^3*B + 12*a^4*(6*A + 7*C) + b^4*(74*A + 105*C) + 3*a^2*b^2*(162*A + 203*C))*Sin[c + d*x])/(105*d) + ((5*a^4*B + 36*a^2*b^2*B + 8*b^4*B + 8*a*b^3*(3*A + 4*C) + 4*a^3*b*(5*A + 6*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a*(24*A*b^3 + 175*a^3*B + 336*a*b^2*B + a^2*(412*A*b + 504*b*C))*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(840*d) + ((4*A*b^2 + 21*a*b*B + 2*a^2*(6*A + 7*C))*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(70*d) + ((4*A*b + 7*a*B)*Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(42*d) + (A*Cos[c + d*x]^6*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(7*d) - ((4*A*b^4 + 112*a^3*b*B + 91*a*b^3*B + 4*a^4*(6*A + 7*C) + 3*a^2*b^2*(50*A + 63*C))*Sin[c + d*x]^3)/(105*d)}
+
+
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Sec[c + d*x] + b^2*C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, a^4*(b*B - a*C)*x + (b*(32*a^3*b*B + 16*a*b^3*B - 24*a^4*C + 8*a^2*b^2*C + 3*b^4*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (b^2*(34*a^2*b*B + 4*b^3*B - 15*a^3*C + 12*a*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(6*d) + (b^3*(32*a*b*B - 6*a^2*C + 9*b^2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(24*d) + (b^2*(4*b*B + 3*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(12*d) + (b^2*C*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Sec[c + d*x] + b^2*C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, a^3*(b*B - a*C)*x + (b*(6*a^2*b*B + b^3*B - 4*a^3*C + 2*a*b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (b^2*(9*a*b*B - a^2*C + 2*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (b^3*(3*b*B + 2*a*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*d) + (b^2*C*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Sec[c + d*x] + b^2*C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^1, x, 6, a^2*(b*B - a*C)*x + (b*(4*a*b*B - 2*a^2*C + b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (b^2*(2*b*B + a*C)*Tan[c + d*x])/(2*d) + (b^2*C*(a + b*Sec[c + d*x])*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, ((2*a^2*b*B + b^3*B - 2*a^3*C - a*b^2*(2*A + C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^4*d) + (2*a^2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^4*Sqrt[a + b]*d) + ((3*A*b^2 - 3*a*b*B + 3*a^2*C + 2*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*b^3*d) + ((b*B - a*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^2*d) + (C*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, ((b^2*(2*A + C) - 2*a*(b*B - a*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^3*d) - (2*a*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^3*Sqrt[a + b]*d) + ((b*B - a*C)*Tan[c + d*x])/(b^2*d) + (C*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, ((b*B - a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^2*d) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^2*Sqrt[a + b]*d) + (C*Tan[c + d*x])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, (A*x)/a + (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b*d) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 5, -(((A*b - a*B)*x)/a^2) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) + (A*Sin[c + d*x])/(a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, ((2*A*b^2 - 2*a*b*B + a^2*(A + 2*C))*x)/(2*a^3) - (2*b*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - ((A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(a^2*d) + (A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, -(((2*A*b^3 - a^3*B - 2*a*b^2*B + a^2*b*(A + 2*C))*x)/(2*a^4)) + (2*b^2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) + ((3*A*b^2 - 3*a*b*B + a^2*(2*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(3*a^3*d) - ((A*b - a*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, ((8*A*b^4 - 4*a^3*b*B - 8*a*b^3*B + 4*a^2*b^2*(A + 2*C) + a^4*(3*A + 4*C))*x)/(8*a^5) - (2*b^3*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d) - ((3*A*b^3 - 2*a^3*B - 3*a*b^2*B + a^2*b*(2*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(3*a^4*d) + ((4*A*b^2 - 4*a*b*B + a^2*(3*A + 4*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a^3*d) - ((A*b - a*B)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, ((6*a^2*b*B + b^3*B - 8*a^3*C - 2*a*b^2*(2*A + C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^5*d) + (2*a^2*(2*a^2*A*b^2 - 3*A*b^4 - 3*a^3*b*B + 4*a*b^3*B + 4*a^4*C - 5*a^2*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^5*(a + b)^(3/2)*d) - ((9*a^3*b*B - 6*a*b^3*B - a^2*b^2*(6*A - 7*C) - 12*a^4*C + b^4*(3*A + 2*C))*Tan[c + d*x])/(3*b^4*(a^2 - b^2)*d) + ((3*a^2*b*B - b^3*B - 2*a*b^2*(A - C) - 4*a^3*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)*d) + ((3*A*b^2 - 3*a*b*B + 4*a^2*C - b^2*C)*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, ((2*A*b^2 - 4*a*b*B + 6*a^2*C + b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^4*d) - (2*a*(a^2*A*b^2 - 2*A*b^4 - 2*a^3*b*B + 3*a*b^3*B + 3*a^4*C - 4*a^2*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^4*(a + b)^(3/2)*d) + ((2*a^2*b*B - b^3*B - a*b^2*(A - 2*C) - 3*a^3*C)*Tan[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) + ((2*A*b^2 - 2*a*b*B + 3*a^2*C - b^2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, ((b*B - 2*a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^3*d) - (2*(A*b^4 + a^3*b*B - 2*a*b^3*B - 2*a^4*C + 3*a^2*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) + (C*Tan[c + d*x])/(b^2*d) + (a*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^2*d) + (2*(a*A*b^2 - b^3*B - a^3*C + 2*a*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, (A*x)/a^2 - (2*(2*a^2*A*b - A*b^3 - a^3*B + a^2*b*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 6, -(((2*A*b - a*B)*x)/a^3) + (2*(3*a^2*A*b^2 - 2*A*b^4 - 2*a^3*b*B + a*b^3*B + a^4*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - ((2*A*b^2 - a*b*B - a^2*(A - C))*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, ((6*A*b^2 - 4*a*b*B + a^2*(A + 2*C))*x)/(2*a^4) - (2*b*(4*a^2*A*b^2 - 3*A*b^4 - 3*a^3*b*B + 2*a*b^3*B + 2*a^4*C - a^2*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + ((3*A*b^3 + a^3*B - 2*a*b^2*B - a^2*b*(2*A - C))*Sin[c + d*x])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) - ((3*A*b^2 - 2*a*b*B - a^2*(A - 2*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, -(((8*A*b^3 - a^3*B - 6*a*b^2*B + 2*a^2*b*(A + 2*C))*x)/(2*a^5)) + (2*b^2*(5*a^2*A*b^2 - 4*A*b^4 - 4*a^3*b*B + 3*a*b^3*B + 3*a^4*C - 2*a^2*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - ((12*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 9*a*b^3*B - a^2*b^2*(7*A - 6*C) - a^4*(2*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d) + ((4*A*b^3 + a^3*B - 3*a*b^2*B - 2*a^2*b*(A - C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)*d) - ((4*A*b^2 - 3*a*b*B - a^2*(A - 3*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, ((2*A*b^2 - 6*a*b*B + 12*a^2*C + b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^5*d) - (a*(6*A*b^6 - 6*a^5*b*B + 15*a^3*b^3*B - 12*a*b^5*B + a^4*b^2*(2*A - 29*C) - 5*a^2*b^4*(A - 4*C) + 12*a^6*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^5*(a + b)^(5/2)*d) + ((6*a^4*b*B - 11*a^2*b^3*B + 2*b^5*B - a^3*b^2*(2*A - 21*C) + a*b^4*(5*A - 6*C) - 12*a^5*C)*Tan[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((3*a^3*b*B - 6*a*b^3*B - a^2*b^2*(A - 10*C) + b^4*(4*A - C) - 6*a^4*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((3*A*b^4 + a*(2*a^2*b*B - 5*b^3*B - 4*a^3*C + 7*a*b^2*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, ((b*B - 3*a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^4*d) + ((2*A*b^6 - 2*a^5*b*B + 5*a^3*b^3*B - 6*a*b^5*B + 6*a^6*C - 15*a^4*b^2*C + a^2*b^4*(A + 12*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^4*(a + b)^(5/2)*d) + ((A*b^2 - a*b*B + 3*a^2*C - 2*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - (a*(2*A*b^4 + a^3*b*B - 4*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(A + 6*C))*Tan[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^3*d) + ((a^2*b^3*B + 2*b^5*B - 2*a^5*C + 5*a^3*b^2*C - 3*a*b^4*(A + 2*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^3*(a + b)^(5/2)*d) + (a*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((2*A*b^4 + a^3*b*B - 4*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(A + 6*C))*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, -(((3*a*b*B - a^2*(2*A + C) - b^2*(A + 2*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((a^2*b*B + 2*b^3*B + a^3*C - a*b^2*(3*A + 4*C))*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, (A*x)/a^3 + ((5*a^2*A*b^3 - 2*A*b^5 + 2*a^5*B + a^3*b^2*B - 3*a^4*b*(2*A + C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - ((2*A*b^4 + 3*a^3*b*B - a^4*C - a^2*b^2*(5*A + 2*C))*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 7, -(((3*A*b - a*B)*x)/a^4) - ((15*a^2*A*b^4 - 6*A*b^6 + 6*a^5*b*B - 5*a^3*b^3*B + 2*a*b^5*B - 2*a^6*C - a^4*b^2*(12*A + C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - ((11*a^2*A*b^2 - 6*A*b^4 - 5*a^3*b*B + 2*a*b^3*B - a^4*(2*A - 3*C))*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - ((3*A*b^4 + 4*a^3*b*B - a*b^3*B - 2*a^4*C - a^2*b^2*(6*A + C))*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, ((12*A*b^2 - 6*a*b*B + a^2*(A + 2*C))*x)/(2*a^5) - (b*(12*A*b^6 - 12*a^5*b*B + 15*a^3*b^3*B - 6*a*b^5*B - a^2*b^4*(29*A - 2*C) + 5*a^4*b^2*(4*A - C) + 6*a^6*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - ((12*A*b^5 - 2*a^5*B + 11*a^3*b^2*B - 6*a*b^4*B + a^4*b*(6*A - 5*C) - a^2*b^3*(21*A - 2*C))*Sin[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((6*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 3*a*b^3*B + a^4*(A - 4*C) - a^2*b^2*(10*A - C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((7*a^2*A*b^2 - 4*A*b^4 - 5*a^3*b*B + 2*a*b^3*B + 3*a^4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 9, ((b*B - 4*a*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^5*d) - ((2*A*b^8 + 2*a^7*b*B - 7*a^5*b^3*B + 8*a^3*b^5*B - 8*a*b^7*B - 8*a^8*C + 28*a^6*b^2*C - 35*a^4*b^4*C + a^2*b^6*(3*A + 20*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*b^5*(a + b)^(7/2)*d) - ((5*A*b^4 + 3*a^3*b*B - 8*a*b^3*B - 12*a^4*C + 23*a^2*b^2*C - 6*b^4*C)*Tan[c + d*x])/(6*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + ((3*A*b^4 + a^3*b*B - 6*a*b^3*B - 4*a^4*C + a^2*b^2*(2*A + 9*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (a*(2*A*b^6 - a^5*b*B + 2*a^3*b^3*B - 6*a*b^5*B + 4*a^6*C - 11*a^4*b^2*C + 3*a^2*b^4*(A + 4*C))*Tan[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, (C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^4*d) - ((3*a^2*b^5*B + 2*b^7*B - a^3*b^4*(A - 8*C) + 2*a^7*C - 7*a^5*b^2*C - 4*a*b^6*(A + 2*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*b^4*(a + b)^(7/2)*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) - (a*(2*A*b^4 - 5*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 8*C))*Tan[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - ((4*A*b^6 + a^3*b^3*B - 16*a*b^5*B + 9*a^6*C + 2*a^2*b^4*(7*A + 17*C) - a^4*b^2*(3*A + 28*C))*Tan[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, ((a^3*B + 4*a*b^2*B - b^3*(A + 2*C) - a^2*b*(4*A + 3*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) + (a*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + ((3*A*b^4 + a^3*b*B - 6*a*b^3*B - 4*a^4*C + a^2*b^2*(2*A + 9*C))*Tan[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((a^4*b*B - 10*a^2*b^3*B - 6*b^5*B + a^3*b^2*(2*A - 5*C) + 2*a^5*C + a*b^4*(13*A + 18*C))*Tan[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, -(((4*a^2*b*B + b^3*B - a^3*(2*A + C) - a*b^2*(3*A + 4*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + ((2*a^2*b*B + 3*b^3*B + a^3*C - a*b^2*(5*A + 6*C))*Tan[c + d*x])/(6*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((2*a^3*b*B + 13*a*b^3*B + a^4*C - 2*b^4*(2*A + 3*C) - a^2*b^2*(11*A + 10*C))*Tan[c + d*x])/(6*b*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, (A*x)/a^4 - ((7*a^2*A*b^5 - 2*A*b^7 - 2*a^7*B - 3*a^5*b^2*B - a^4*b^3*(8*A - C) + 4*a^6*b*(2*A + C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) - ((3*A*b^4 + 5*a^3*b*B - 2*a^4*C - a^2*b^2*(8*A + 3*C))*Tan[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - ((17*a^2*A*b^4 - 6*A*b^6 + 11*a^5*b*B + 4*a^3*b^3*B - 2*a^6*C - 13*a^4*b^2*(2*A + C))*Tan[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 8, -(((4*A*b - a*B)*x)/a^5) - ((35*a^4*A*b^4 - 28*a^2*A*b^6 + 8*A*b^8 + 8*a^7*b*B - 8*a^5*b^3*B + 7*a^3*b^5*B - 2*a*b^7*B - 2*a^8*C - a^6*b^2*(20*A + 3*C))*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) + ((68*a^2*A*b^4 - 24*A*b^6 + 26*a^5*b*B - 17*a^3*b^3*B + 6*a*b^5*B + a^6*(6*A - 11*C) - a^4*b^2*(65*A + 4*C))*Sin[c + d*x])/(6*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) - ((4*A*b^4 + 6*a^3*b*B - a*b^3*B - 3*a^4*C - a^2*b^2*(9*A + 2*C))*Sin[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - ((11*a^2*A*b^4 - 4*A*b^6 + 6*a^5*b*B - 2*a^3*b^3*B + a*b^5*B - 2*a^6*C - 3*a^4*b^2*(4*A + C))*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 9, ((20*A*b^2 - 8*a*b*B + a^2*(A + 2*C))*x)/(2*a^6) + (b*(20*A*b^8 + 20*a^7*b*B - 35*a^5*b^3*B + 28*a^3*b^5*B - 8*a*b^7*B - a^2*b^6*(69*A - 2*C) - 8*a^6*b^2*(5*A - C) + 7*a^4*b^4*(12*A - C) - 8*a^8*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^6*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)^3*d) + ((60*A*b^7 + 6*a^7*B - 65*a^5*b^2*B + 68*a^3*b^4*B - 24*a*b^6*B + a^4*b^3*(146*A - 17*C) - a^2*b^5*(167*A - 6*C) - a^6*(24*A*b - 26*b*C))*Sin[c + d*x])/(6*a^5*(a^2 - b^2)^3*d) - ((10*A*b^6 - 12*a^5*b*B + 11*a^3*b^3*B - 4*a*b^5*B - a^6*(A - 6*C) + a^4*b^2*(23*A - 2*C) - a^2*b^4*(27*A - C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) - ((5*A*b^4 + 7*a^3*b*B - 2*a*b^3*B - 4*a^4*C - a^2*b^2*(10*A + C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((20*A*b^6 - 27*a^5*b*B + 20*a^3*b^3*B - 8*a*b^5*B - a^2*b^4*(53*A - 2*C) + 12*a^6*C + a^4*b^2*(48*A + C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Sec[c + d*x] + b^2*C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^1, x, 3, (b*B - a*C)*x + (b*C*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Sec[c + d*x] + b^2*C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 5, ((b*B - a*C)*x)/a - (2*b*(b*B - 2*a*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Sec[c + d*x] + b^2*C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 6, ((b*B - a*C)*x)/a^2 - (2*b*(2*a^2*b*B - b^3*B - 3*a^3*C + a*b^2*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (b^2*(b*B - 2*a*C)*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Sec[c + d*x] + b^2*C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 7, ((b*B - a*C)*x)/a^3 - (b*(6*a^4*b*B - 5*a^2*b^3*B + 2*b^5*B - 8*a^5*C + 4*a^3*b^2*C - 2*a*b^4*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) + (b^2*(b*B - 2*a*C)*Tan[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b^2*(5*a^2*b*B - 2*b^3*B - 8*a^3*C + 2*a*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Sec[c + d*x] + b^2*C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^5, x, 8, ((b*B - a*C)*x)/a^4 - (b*(8*a^6*b*B - 8*a^4*b^3*B + 7*a^2*b^5*B - 2*b^7*B - 10*a^7*C + 5*a^5*b^2*C - 7*a^3*b^4*C + 2*a*b^6*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) + (b^2*(b*B - 2*a*C)*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + (b^2*(8*a^2*b*B - 3*b^3*B - 13*a^3*C + 3*a*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b^2*(26*a^4*b*B - 17*a^2*b^3*B + 6*b^5*B - 37*a^5*C + 13*a^3*b^2*C - 6*a*b^4*C)*Tan[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+b Sec[e+f x])^(m/2) (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(24*a^3*b*B + 57*a*b^3*B - 16*a^4*C - 6*a^2*b^2*(7*A + 4*C) + 21*b^4*(9*A + 7*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^5*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(12*a^2*b*(2*B - C) - 16*a^3*C - 6*a*b^2*(7*A - 3*B + 6*C) - 3*b^3*(63*A - 25*B + 49*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^4*d) - (2*(12*a^2*b*B - 75*b^3*B - 8*a^3*C - a*b^2*(21*A + 13*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*b^3*d) + (2*(63*A*b^2 + 9*a*b*B - 6*a^2*C + 49*b^2*C)*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*b^2*d) + (2*(9*b*B + a*C)*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(63*b*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(9*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(14*a^2*b*B - 63*b^3*B - 8*a^3*C - a*b^2*(35*A + 19*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^4*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(35*A*b^2 - b^2*(63*B - 25*C) + 8*a^2*C - a*(14*b*B - 6*b*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^3*d) + (2*(35*A*b^2 - 14*a*b*B + 8*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*b^2*d) + (2*(7*b*B - 4*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*b^2*d) + (2*C*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b^2*(5*A + 3*C) + a*(5*b*B - 2*a*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^3*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(15*A*b - 5*b*B + 2*a*C + 9*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^2*d) + (2*(5*b*B - 2*a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*b*d) + (2*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b*B + a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^2*d) + (2*Sqrt[a + b]*(3*A*b + (a - b)*(3*B - C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) - (2*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (2*C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(A - 2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) + (Sqrt[a + b]*(A*b + 2*b*B + 2*a*C - 2*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) - (Sqrt[a + b]*(A*b + 2*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d) + (A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(A*b + 4*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a*b*d) + (Sqrt[a + b]*(A*b + 2*a*(A + 2*B + 4*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a*d) + (Sqrt[a + b]*(A*b^2 - 4*a*b*B - 4*a^2*(A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^2*d) + ((A*b + 4*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*d) + (A*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 - 6*a*b*B - 8*a^2*(2*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a^2*b*d) - (Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 - 2*a*b*(A + 3*B) - 4*a^2*(4*A + 3*B + 6*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a^2*d) - (Sqrt[a + b]*(A*b^3 + 8*a^3*B - 2*a*b^2*B + 4*a^2*b*(A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(8*a^3*d) - ((3*A*b^2 - 6*a*b*B - 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*a^2*d) + ((A*b + 6*a*B)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*a*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(88*a^4*b*B + 363*a^2*b^3*B + 1617*b^5*B - 48*a^5*C - 18*a^3*b^2*(11*A + 6*C) + 6*a*b^4*(451*A + 348*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3465*b^5*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(4*a^3*b*(22*B - 9*C) - 48*a^4*C - 6*a^2*b^2*(33*A - 11*B + 24*C) + 3*b^4*(275*A - 539*B + 225*C) - 3*a*b^3*(627*A - 143*B + 471*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3465*b^4*d) - (2*(44*a^3*b*B - 968*a*b^3*B - 24*a^4*C - 75*b^4*(11*A + 9*C) - 3*a^2*b^2*(33*A + 19*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3465*b^3*d) + (2*(33*a^2*b*B + 539*b^3*B - 18*a^3*C + 6*a*b^2*(132*A + 101*C))*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3465*b^2*d) + (2*(99*A*b^2 + 110*a*b*B + 3*a^2*C + 81*b^2*C)*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(693*b*d) + (2*(11*b*B + 3*a*C)*Sec[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(99*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(11*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(18*a^3*b*B - 246*a*b^3*B - 8*a^4*C - 21*b^4*(9*A + 7*C) - 3*a^2*b^2*(21*A + 11*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^4*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*a^2*b*(3*B - C) - 8*a^3*C - 3*a*b^2*(21*A - 57*B + 13*C) + 3*b^3*(63*A - 25*B + 49*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^3*d) - (2*(18*a^2*b*B - 75*b^3*B - 8*a^3*C - 3*a*b^2*(21*A + 13*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*b^2*d) + (2*(63*A*b^2 - 18*a*b*B + 8*a^2*C + 49*b^2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(315*b^2*d) + (2*(9*b*B - 4*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(63*b^2*d) + (2*C*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(21*a^2*b*B + 63*b^3*B - 6*a^3*C + 2*a*b^2*(70*A + 41*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^3*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*a^2*C + 3*a*b*(35*A - 7*B + 19*C) - b^2*(35*A - 63*B + 25*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^2*d) + (2*(35*A*b^2 + 21*a*b*B - 6*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*b*d) + (2*(7*b*B - 2*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*b*d) + (2*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(15*A*b^2 + 20*a*b*B + 3*a^2*C + 9*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^2*d) + (2*Sqrt[a + b]*(3*a^2*(5*B - C) + 2*a*b*(15*A - 10*B + 6*C) - b^2*(15*A - 5*B + 9*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b*d) - (2*a*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (2*(5*b*B + 3*a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(3*a*A - 6*b*B - 8*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) + (Sqrt[a + b]*(a*b*(3*A + 12*B - 8*C) + 6*a^2*C + 2*b^2*(3*A - 3*B + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) - (Sqrt[a + b]*(3*A*b + 2*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (A*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/d - (b*(3*A - 2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(5*A*b + 4*a*B - 8*b*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*b*d) + (Sqrt[a + b]*(b*(5*A + 8*B - 8*C) + 2*a*(A + 2*B + 8*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*d) - (Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 + 12*a*b*B + 4*a^2*(A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a*d) + ((3*A*b + 4*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 + 30*a*b*B + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a*b*d) + (Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 + 4*a^2*(4*A + 3*B + 6*C) + 2*a*b*(7*A + 15*B + 24*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*a*d) + (Sqrt[a + b]*(A*b^3 - 8*a^3*B - 6*a*b^2*B - 12*a^2*b*(A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(8*a^2*d) + ((3*A*b^2 + 30*a*b*B + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*a*d) + ((A*b + 2*a*B)*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(9*A*b^3 - 128*a^3*B - 24*a*b^2*B - 12*a^2*b*(13*A + 20*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(192*a^2*b*d) - (Sqrt[a + b]*(9*A*b^3 - 6*a*b^2*(A + 4*B) - 8*a^3*(9*A + 16*B + 12*C) - 4*a^2*b*(39*A + 28*B + 60*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(192*a^2*d) - (Sqrt[a + b]*(3*A*b^4 + 96*a^3*b*B - 8*a*b^3*B + 24*a^2*b^2*(A + 2*C) + 16*a^4*(3*A + 4*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(64*a^3*d) - ((9*A*b^3 - 128*a^3*B - 24*a*b^2*B - 12*a^2*b*(13*A + 20*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a^2*d) + ((3*A*b^2 + 56*a*b*B + 12*a^2*(3*A + 4*C))*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(96*a*d) + ((3*A*b + 8*a*B)*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(110*a^4*b*B - 3069*a^2*b^3*B - 1617*b^5*B - 40*a^5*C - 15*a^3*b^2*(33*A + 17*C) - 15*a*b^4*(319*A + 247*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3465*b^4*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*a^3*b*(11*B - 3*C) - 40*a^4*C - 15*a^2*b^2*(33*A - 121*B + 19*C) - 3*b^4*(275*A - 539*B + 225*C) + 6*a*b^3*(660*A - 209*B + 505*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3465*b^3*d) - (2*(110*a^3*b*B - 1254*a*b^3*B - 40*a^4*C - 75*b^4*(11*A + 9*C) - 15*a^2*b^2*(33*A + 19*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3465*b^2*d) - (2*(110*a^2*b*B - 539*b^3*B - 40*a^3*C - 5*a*b^2*(99*A + 67*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(3465*b^2*d) + (2*(99*A*b^2 - 22*a*b*B + 8*a^2*C + 81*b^2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(693*b^2*d) + (2*(11*b*B - 4*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(99*b^2*d) + (2*C*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(11*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(45*a^3*b*B + 435*a*b^3*B - 10*a^4*C + 21*b^4*(9*A + 7*C) + 3*a^2*b^2*(161*A + 93*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^3*d) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(10*a^3*C + 15*a^2*b*(21*A - 3*B + 11*C) - 6*a*b^2*(28*A - 60*B + 19*C) + 3*b^3*(63*A - 25*B + 49*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(315*b^2*d) + (2*(45*a^2*b*B + 75*b^3*B - 10*a^3*C + 6*a*b^2*(28*A + 19*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(315*b*d) + (2*(63*A*b^2 + 45*a*b*B - 10*a^2*C + 49*b^2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(315*b*d) + (2*(9*b*B - 2*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(63*b*d) + (2*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(9*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(161*a^2*b*B + 63*b^3*B + 15*a^3*C + 5*a*b^2*(49*A + 29*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^2*d) + (2*Sqrt[a + b]*(15*a^3*(7*B - C) + b^3*(35*A - 63*B + 25*C) + a^2*b*(315*A - 161*B + 135*C) - a*b^2*(245*A - 119*B + 145*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b*d) - (2*a^2*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (2*(35*A*b^2 + 56*a*b*B + 15*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*d) + (2*(7*b*B + 5*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(35*d) + (2*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(70*a*b*B - a^2*(15*A - 46*C) + 6*b^2*(5*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b*d) + (Sqrt[a + b]*(a^2*b*(15*A + 90*B - 46*C) + 30*a^3*C - 2*b^3*(15*A - 5*B + 9*C) + 2*a*b^2*(45*A - 35*B + 17*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b*d) - (a*Sqrt[a + b]*(5*A*b + 2*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (A*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/d - (b*(15*a*A - 10*b*B - 16*a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) - (b*(5*A - 2*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(12*a^2*B - 24*b^2*B + a*b*(27*A - 56*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(12*b*d) + (Sqrt[a + b]*(a*b*(27*A + 72*B - 56*C) + 8*b^2*(3*A - 3*B + C) + 6*a^2*(A + 2*(B + 6*C)))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(12*d) - (Sqrt[a + b]*(15*A*b^2 + 20*a*b*B + 4*a^2*(A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*d) + ((5*A*b + 4*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d) + (A*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*d) - (b*(21*A*b + 12*a*B - 8*b*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(12*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(54*a*b*B + 3*b^2*(11*A - 16*C) + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*b*d) + (Sqrt[a + b]*(3*b^2*(11*A + 16*(B - C)) + 4*a^2*(4*A + 3*B + 6*C) + 2*a*b*(13*A + 27*B + 72*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(24*d) - (Sqrt[a + b]*(5*A*b^3 + 8*a^3*B + 30*a*b^2*B + 20*a^2*b*(A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(8*a*d) + ((15*A*b^2 + 42*a*b*B + 8*a^2*(2*A + 3*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + ((5*A*b + 6*a*B)*Cos[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d) + (A*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, ((a - b)*Sqrt[a + b]*(15*A*b^3 + 128*a^3*B + 264*a*b^2*B + 4*a^2*b*(71*A + 108*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(192*a*b*d) + (Sqrt[a + b]*(15*A*b^3 + 8*a^3*(9*A + 16*B + 12*C) + 4*a^2*b*(71*A + 52*B + 108*C) + 2*a*b^2*(59*A + 132*B + 192*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(192*a*d) + (Sqrt[a + b]*(5*A*b^4 - 160*a^3*b*B - 40*a*b^3*B - 120*a^2*b^2*(A + 2*C) - 16*a^4*(3*A + 4*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(64*a^2*d) + ((15*A*b^3 + 128*a^3*B + 264*a*b^2*B + 4*a^2*b*(71*A + 108*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*a*d) + ((5*A*b^2 + 24*a*b*B + 4*a^2*(3*A + 4*C))*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d) + ((5*A*b + 8*a*B)*Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d) + (A*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^5*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 10, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(45*A*b^4 - 2840*a^3*b*B - 150*a*b^3*B - 256*a^4*(4*A + 5*C) - 12*a^2*b^2*(141*A + 220*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(1920*a^2*b*d) - (Sqrt[a + b]*(45*A*b^4 - 30*a*b^3*(A + 5*B) - 16*a^4*(64*A + 45*B + 80*C) - 8*a^3*b*(193*A + 355*B + 260*C) - 4*a^2*b^2*(423*A + 295*B + 660*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(1920*a^2*d) - (Sqrt[a + b]*(3*A*b^5 + 96*a^5*B + 240*a^3*b^2*B - 10*a*b^4*B + 40*a^2*b^3*(A + 2*C) + 80*a^4*b*(3*A + 4*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(128*a^3*d) - ((45*A*b^4 - 2840*a^3*b*B - 150*a*b^3*B - 256*a^4*(4*A + 5*C) - 12*a^2*b^2*(141*A + 220*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1920*a^2*d) + ((15*A*b^3 + 360*a^3*B + 590*a*b^2*B + 4*a^2*b*(193*A + 260*C))*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(960*a*d) + ((15*A*b^2 + 110*a*b*B + 16*a^2*(4*A + 5*C))*Cos[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*d) + ((A*b + 2*a*B)*Cos[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d) + (A*Cos[c + d*x]^4*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 6, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(56*a^2*b*B + 63*b^3*B - 48*a^3*C - 2*a*b^2*(35*A + 22*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^5*d) + (2*Sqrt[a + b]*(48*a^3*C - 4*a^2*b*(14*B + 3*C) + 2*a*b^2*(35*A + 7*B + 22*C) + b^3*(35*A - 63*B + 25*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(105*b^4*d) + (2*(35*A*b^2 - 28*a*b*B + 24*a^2*C + 25*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(105*b^3*d) + (2*(7*b*B - 6*a*C)*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(35*b^2*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(7*b*d)}
+{(Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 5, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(15*A*b^2 - 10*a*b*B + 8*a^2*C + 9*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^4*d) - (2*Sqrt[a + b]*(15*A*b^2 - b^2*(5*B - 9*C) + 8*a^2*C - 2*a*b*(5*B + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^3*d) + (2*(5*b*B - 4*a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*b^2*d) + (2*C*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*b*d)}
+{(Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 4, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b*B - 2*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^3*d) + (2*Sqrt[a + b]*(3*A*b - b*(3*B - C) + 2*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^2*d) + (2*C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 5, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*d) + (2*Sqrt[a + b]*(B - C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) - (2*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d)}
+{(Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 6, (A*(a - b)*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b*d) + (Sqrt[a + b]*(A*b + 2*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b*d) + (Sqrt[a + b]*(A*b - 2*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) + (A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*d)}
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 7, -((a - b)*Sqrt[a + b]*(3*A*b - 4*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^2*b*d) - (Sqrt[a + b]*(3*A*b - 2*a*(A + 2*B))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^2*d) - (Sqrt[a + b]*(3*A*b^2 - 4*a*b*B + 4*a^2*(A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^3*d) - ((3*A*b - 4*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d) + (A*Cos[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*d)}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*(40*a^3*b*B - 25*a*b^3*B - 6*a^2*b^2*(5*A - 4*C) - 48*a^4*C + 3*b^4*(5*A + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^5*Sqrt[a + b]*d) + (2*(a^2*b*(40*B - 36*C) - 48*a^3*C - 6*a*b^2*(5*A - 5*B + 2*C) - b^3*(15*A - 5*B + 9*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^4*Sqrt[a + b]*d) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(20*a^2*b*B - 5*b^3*B - 3*a*b^2*(5*A - 3*C) - 24*a^3*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*b^3*(a^2 - b^2)*d) + (2*(5*A*b^2 - 5*a*b*B + 6*a^2*C - b^2*C)*Sec[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(5*b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, (-2*(6*a^2*b*B - 3*b^3*B - a*b^2*(3*A - 5*C) - 8*a^3*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^4*Sqrt[a + b]*d) + (2*(3*A*b^2 - (2*a + b)*(b*(3*B - C) - 4*a*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^3*Sqrt[a + b]*d) + (2*a*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*b^2*d)}
+{(Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (-2*(A*b^2 - a*b*B + 2*a^2*C - b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^3*Sqrt[a + b]*d) + (2*(A*b + b*(B - C) - 2*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*Sqrt[a + b]*d) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b^2*Sqrt[a + b]*d) - (2*(A*b - a*(B + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b*Sqrt[a + b]*d) - (2*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, -(((3*A*b^2 - 2*a*b*B - a^2*(A - 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*b*Sqrt[a + b]*d)) + ((3*A*b^2 + a*b*(A - 2*B) + 2*a^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*b*Sqrt[a + b]*d) + (Sqrt[a + b]*(3*A*b - 2*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^3*d) + (A*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (b*(3*A*b^2 - 2*a*b*B - a^2*(A - 2*C))*Tan[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 8, ((15*A*b^3 + 4*a^3*B - 12*a*b^2*B - a^2*(7*A*b - 8*b*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^3*b*Sqrt[a + b]*d) - ((15*A*b^2 + a*b*(5*A - 12*B) - 2*a^2*(A + 2*B - 4*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^3*Sqrt[a + b]*d) - (Sqrt[a + b]*(15*A*b^2 - 12*a*b*B + 4*a^2*(A + 2*C))*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(4*a^4*d) - ((5*A*b - 4*a*B)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b*(15*A*b^3 + 4*a^3*B - 12*a*b^2*B - a^2*(7*A*b - 8*b*C))*Tan[c + d*x])/(4*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, (-2*(8*a^4*b*B - 15*a^2*b^3*B + 3*b^5*B - 2*a^3*b^2*(A - 14*C) + 2*a*b^4*(3*A - 4*C) - 16*a^5*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^5*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) - (2*(a^3*b*(8*B - 12*C) - 2*a^2*b^2*(A - 3*B - 8*C) - 3*a*b^3*(A + 3*B - 3*C) - 16*a^4*C + b^4*(3*A - 3*B + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*a*(4*A*b^4 + a*(3*a^2*b*B - 7*b^3*B - 6*a^3*C + 10*a*b^2*C))*Tan[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 - a*b*B + 2*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Sec[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*(2*a^3*b*B - 6*a*b^3*B + 3*b^4*(A - C) - 8*a^4*C + a^2*b^2*(A + 15*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^4*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*(2*a^2*b*(B - 3*C) - 3*b^3*(A + B - C) - 8*a^3*C + a*b^2*(A + 3*B + 9*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (2*a*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*(3*A*b^4 + 2*a^3*b*B - 6*a*b^3*B - 5*a^4*C + a^2*b^2*(A + 9*C))*Tan[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(Sec[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 5, (-2*(4*a*A*b^2 - a^2*b*B - 3*b^3*B - 2*a^3*C + 6*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*(a - b)*b^3*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(2*a^2*C + a*b*(3*A + B + 3*C) - b^2*(A + 3*(B + C)))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^2*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*(a^2*b*B + 3*b^3*B + 2*a^3*C - 2*a*b^2*(2*A + 3*C))*Tan[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^0*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*(7*a^2*A*b^2 - 3*A*b^4 - 4*a^3*b*B + a^4*C + 3*a^2*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^2*(a - b)*b^2*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(a*A*b^2 + 3*A*b^3 + a^3*(3*B + C) - a^2*b*(6*A + B + 3*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^2*b*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) - (2*A*Sqrt[a + b]*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^3*d) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*(3*A*b^4 + 4*a^3*b*B - a^4*C - a^2*b^2*(7*A + 3*C))*Tan[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^1*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((26*a^2*A*b^2 - 15*A*b^4 - 14*a^3*b*B + 6*a*b^3*B - a^4*(3*A - 8*C))*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^3*(a - b)*b*(a + b)^(3/2)*d) - ((15*A*b^4 + a*b^3*(5*A - 6*B) - a^2*b^2*(21*A + 2*B) - 6*a^4*C - a^3*b*(3*A - 2*(6*B + C)))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^3*b*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) + (Sqrt[a + b]*(5*A*b - 2*a*B)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^4*d) + (A*Sin[c + d*x])/(a*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (b*(5*A*b^2 - 2*a*b*B - a^2*(3*A - 2*C))*Tan[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (b*(26*a^2*A*b^2 - 15*A*b^4 - 14*a^3*b*B + 6*a*b^3*B - a^4*(3*A - 8*C))*Tan[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Sec[c + d*x] + b^2*C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(35*a*b*B - 12*a^2*C + 9*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*d) - (2*Sqrt[a + b]*(a*b^2*(35*B - 12*C) - b^3*(5*B - 9*C) + 30*a^3*C - 3*a^2*b*(15*B + 4*C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(15*d) - (2*a^2*Sqrt[a + b]*(b*B - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (2*b^2*(5*b*B + 3*a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(15*d) + (2*b^2*C*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(5*d)}
+{Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Sec[c + d*x] + b^2*C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3*b*B + a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*d) - (2*Sqrt[a + b]*(b^2*(3*B - C) - a*b*(6*B - C) + 3*a^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*d) - (2*a*Sqrt[a + b]*(b*B - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (2*b^2*C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Sec[c + d*x] + b^2*C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 6, (-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d + (2*b*Sqrt[a + b]*(B - C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d - (2*Sqrt[a + b]*(b*B - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Sec[c + d*x] + b^2*C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*Sqrt[a + b]*C*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/d - (2*Sqrt[a + b]*(b*B - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d)}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Sec[c + d*x] + b^2*C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, (2*(b*B - 2*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*Sqrt[a + b]*d) - (2*(b*B - 2*a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a*Sqrt[a + b]*d) - (2*Sqrt[a + b]*(b*B - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) + (2*b^2*(b*B - 2*a*C)*Tan[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Sec[c + d*x] + b^2*C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2), x, 8, (2*(7*a^2*b*B - 3*b^3*B - 11*a^3*C + 3*a*b^2*C)*Cot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^2*(a - b)*(a + b)^(3/2)*d) + (2*(3*b^3*B + a*b^2*(B - 3*C) + 9*a^3*C - 2*a^2*b*(3*B + C))*Cot[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3*a^2*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*d) - (2*Sqrt[a + b]*(b*B - a*C)*Cot[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(a^3*d) + (2*b^2*(b*B - 2*a*C)*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*b^2*(7*a^2*b*B - 3*b^3*B - 11*a^3*C + 3*a*b^2*C)*Tan[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+b Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 10, -((2*(9*A*b + 9*a*B + 7*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d)) + (2*(7*a*A + 5*b*B + 5*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(9*A*b + 9*a*B + 7*b*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(7*a*A + 5*b*B + 5*a*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(9*A*b + 9*a*B + 7*b*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*(b*B + a*C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*b*C*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 9, -((2*(5*a*A + 3*b*B + 3*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*(7*A*b + 7*a*B + 5*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(5*a*A + 3*b*B + 3*a*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(7*A*b + 7*a*B + 5*b*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(b*B + a*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*b*C*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, -((2*(5*A*b + 5*a*B + 3*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*(b*B + a*(3*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*(5*A*b + 5*a*B + 3*b*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(b*B + a*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*b*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, -((2*(b*B - a*(A - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d) + (2*(3*A*b + 3*a*B + b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*(b*B + a*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d + (2*b*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, (2*(A*b + a*B - b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*(3*b*B + a*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*b*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, (2*(3*a*A + 5*b*B + 5*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(A*b + a*B + 3*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, (2*(3*A*b + 3*a*B + 5*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(5*a*A + 7*b*B + 7*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*a*A + 7*b*B + 7*a*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-9/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 9, (2*(7*a*A + 9*b*B + 9*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(5*A*b + 5*a*B + 7*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*(A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(7*a*A + 9*b*B + 9*a*C)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*A*b + 5*a*B + 7*b*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-11/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x]), x, 10, (2*(7*A*b + 7*a*B + 9*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (10*(9*a*A + 11*b*B + 11*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2)) + (2*(A*b + a*B)*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*(9*a*A + 11*b*B + 11*a*C)*Sin[c + d*x])/(77*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(7*A*b + 7*a*B + 9*b*C)*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (10*(9*a*A + 11*b*B + 11*a*C)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 10, -((2*(18*a*b*B + 3*a^2*(5*A + 3*C) + b^2*(9*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d)) + (2*(14*a*A*b + 7*a^2*B + 5*b^2*B + 10*a*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(18*a*b*B + 3*a^2*(5*A + 3*C) + b^2*(9*A + 7*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(14*a*A*b + 7*a^2*B + 5*b^2*B + 10*a*b*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(9*A*b^2 + 18*a*b*B + 4*a^2*C + 7*b^2*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*b*(9*b*B + 4*a*C)*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, -((2*(10*a*A*b + 5*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*(14*a*b*B + 7*a^2*(3*A + C) + b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(10*a*A*b + 5*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*(7*A*b^2 + 14*a*b*B + 4*a^2*C + 5*b^2*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*b*(7*b*B + 4*a*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, -((2*(10*a*b*B - 5*a^2*(A - C) + b^2*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*(3*a^2*B + b^2*B + 2*a*b*(3*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*(5*A*b^2 + 10*a*b*B + 4*a^2*C + 3*b^2*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*b*(5*b*B + 4*a*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (2*(a^2*B - b^2*B + 2*a*b*(A - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*(6*a*b*B + b^2*(3*A + C) + a^2*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b*(3*b*B - 2*a*(A - 3*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) - (2*b^2*(A - C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (2*(10*a*b*B + 5*b^2*(A - C) + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(a^2*B + 3*b^2*B + 2*a*b*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*a*(4*A*b + 5*a*B)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b^2*(A - 5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (2*(6*a*A*b + 3*a^2*B + 5*b^2*B + 10*a*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(14*a*b*B + 7*b^2*(A + 3*C) + a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*(4*A*b + 7*a*B)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(4*A*b^2 + 14*a*b*B + a^2*(5*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-9/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, (2*(18*a*b*B + 3*b^2*(3*A + 5*C) + a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(10*a*A*b + 5*a^2*B + 7*b^2*B + 14*a*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*(4*A*b + 9*a*B)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(4*A*b^2 + 18*a*b*B + a^2*(7*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(45*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(10*a*A*b + 5*a^2*B + 7*b^2*B + 14*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 10, -((2*(15*a^3*B + 27*a*b^2*B + 9*a^2*b*(5*A + 3*C) + b^3*(9*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d)) + (2*(21*a^2*b*B + 5*b^3*B + 7*a^3*(3*A + C) + 3*a*b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(15*a^3*B + 27*a*b^2*B + 9*a^2*b*(5*A + 3*C) + b^3*(9*A + 7*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(54*a^2*b*B + 15*b^3*B + 8*a^3*C + 9*a*b^2*(7*A + 5*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*b*(63*A*b^2 + 99*a*b*B + 24*a^2*C + 49*b^2*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*(3*b*B + 2*a*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, -((2*(15*a^2*b*B + 3*b^3*B - 5*a^3*(A - C) + 3*a*b^2*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d)) + (2*(21*a^3*B + 21*a*b^2*B + 21*a^2*b*(3*A + C) + b^3*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(98*a^2*b*B + 21*b^3*B + 24*a^3*C + 21*a*b^2*(5*A + 3*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*b*(35*A*b^2 + 63*a*b*B + 24*a^2*C + 25*b^2*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(7*b*B + 6*a*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (2*(5*a^3*B - 15*a*b^2*B + 15*a^2*b*(A - C) - b^3*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(9*a^2*b*B + b^3*B + 3*a*b^2*(3*A + C) + a^3*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) + (2*b*(45*a*b*B - a^2*(10*A - 42*C) + 3*b^2*(5*A + 3*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) - (2*b^2*(5*a*A - 5*b*B - 9*a*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) - (2*b*(5*A - 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (2*(15*a^2*b*B - 5*b^3*B + 15*a*b^2*(A - C) + a^3*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(a^3*B + 9*a*b^2*B + b^3*(3*A + C) + 3*a^2*b*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*b*(10*a^2*B - 15*b^2*B + 3*a*b*(7*A - 15*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) - (2*b^2*(9*A*b + 5*a*B - 5*b*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(6*A*b + 5*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (2*(3*a^3*B + 15*a*b^2*B + 5*b^3*(A - C) + 3*a^2*b*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(21*a^2*b*B + 21*b^3*B + 21*a*b^2*(A + 3*C) + a^3*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*(24*A*b^2 + 63*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b^2*(11*A*b + 7*a*B - 35*b*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*(6*A*b + 7*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-9/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (2*(27*a^2*b*B + 15*b^3*B + 9*a*b^2*(3*A + 5*C) + a^3*(7*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(5*a^3*B + 21*a*b^2*B + 7*b^3*(A + 3*C) + 3*a^2*b*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*(24*A*b^2 + 99*a*b*B + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(315*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(8*A*b^3 + 15*a^3*B + 54*a*b^2*B + 9*a^2*b*(5*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(2*A*b + 3*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-11/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 10, (2*(7*a^3*B + 27*a*b^2*B + 3*b^3*(3*A + 5*C) + 3*a^2*b*(7*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(165*a^2*b*B + 77*b^3*B + 33*a*b^2*(5*A + 7*C) + 5*a^3*(9*A + 11*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*a*(24*A*b^2 + 143*a*b*B + 9*a^2*(9*A + 11*C))*Sin[c + d*x])/(693*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(24*A*b^3 + 77*a^3*B + 242*a*b^2*B + 33*a^2*b*(7*A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(495*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(165*a^2*b*B + 77*b^3*B + 33*a*b^2*(5*A + 7*C) + 5*a^3*(9*A + 11*C))*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(6*A*b + 11*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 11, -((2*(15*a^4*B + 54*a^2*b^2*B + 7*b^4*B + 12*a^3*b*(5*A + 3*C) + 4*a*b^3*(9*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d)) + (2*(308*a^3*b*B + 220*a*b^3*B + 77*a^4*(3*A + C) + 66*a^2*b^2*(7*A + 5*C) + 5*b^4*(11*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*(15*a^4*B + 54*a^2*b^2*B + 7*b^4*B + 12*a^3*b*(5*A + 3*C) + 4*a*b^3*(9*A + 7*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(682*a^3*b*B + 660*a*b^3*B + 64*a^4*C + 15*b^4*(11*A + 9*C) + 9*a^2*b^2*(143*A + 101*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*b*(1353*a^2*b*B + 539*b^3*B + 192*a^3*C + 2*a*b^2*(891*A + 673*C))*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3465*d) + (2*(33*A*b^2 + 55*a*b*B + 16*a^2*C + 27*b^2*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*(11*b*B + 8*a*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 10, -((2*(60*a^3*b*B + 36*a*b^3*B - 15*a^4*(A - C) + 18*a^2*b^2*(5*A + 3*C) + b^4*(9*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d)) + (2*(21*a^4*B + 42*a^2*b^2*B + 5*b^4*B + 28*a^3*b*(3*A + C) + 4*a*b^3*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*(1098*a^3*b*B + 756*a*b^3*B + 192*a^4*C + 21*b^4*(9*A + 7*C) + 7*a^2*b^2*(261*A + 155*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*b*(261*a^2*b*B + 75*b^3*B + 64*a^3*C + 2*a*b^2*(147*A + 101*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*(63*A*b^2 + 117*a*b*B + 48*a^2*C + 49*b^2*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*(9*b*B + 8*a*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 10, (2*(5*a^4*B - 30*a^2*b^2*B - 3*b^4*B + 20*a^3*b*(A - C) - 4*a*b^3*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(84*a^3*b*B + 28*a*b^3*B + 42*a^2*b^2*(3*A + C) + 7*a^4*(A + 3*C) + b^4*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*b*(609*a^2*b*B + 63*b^3*B - a^3*(70*A - 366*C) + 84*a*b^2*(5*A + 3*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*b^2*(98*a*b*B - a^2*(35*A - 87*C) + 5*b^2*(7*A + 5*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) - (2*b*(35*a*A - 21*b*B - 39*a*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(105*d) - (2*b*(7*A - 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 10, (2*(20*a^3*b*B - 20*a*b^3*B + 30*a^2*b^2*(A - C) - b^4*(5*A + 3*C) + a^4*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(a^4*B + 18*a^2*b^2*B + b^4*B + 4*a*b^3*(3*A + C) + 4*a^3*b*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d) - (2*b*(10*a^3*B - 60*a*b^2*B + a^2*b*(31*A - 87*C) - 3*b^3*(5*A + 3*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) - (2*b^2*(5*a^2*B - 5*b^2*B + 14*a*b*(A - C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) - (2*b*(11*A*b + 5*a*B - 3*b*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(8*A*b + 5*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 10, (2*(3*a^4*B + 30*a^2*b^2*B - 5*b^4*B + 20*a*b^3*(A - C) + 4*a^3*b*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*d) + (2*(28*a^3*b*B + 84*a*b^3*B + 7*b^4*(3*A + C) + 42*a^2*b^2*(A + 3*C) + a^4*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) - (2*b*(217*a^2*b*B - 105*b^3*B + 12*a*b^2*(19*A - 35*C) + 10*a^3*(5*A + 7*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) - (2*b^2*(98*a*b*B + b^2*(87*A - 35*C) + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(48*A*b^2 + 77*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 7*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(8*A*b + 7*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-9/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 10, (2*(36*a^3*b*B + 60*a*b^3*B + 15*b^4*(A - C) + 18*a^2*b^2*(3*A + 5*C) + a^4*(7*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(5*a^4*B + 42*a^2*b^2*B + 21*b^4*B + 28*a*b^3*(A + 3*C) + 4*a^3*b*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*d) + (2*a*(64*A*b^3 + 75*a^3*B + 261*a*b^2*B + a^2*(202*A*b + 294*b*C))*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*b^2*(162*a*b*B + 3*b^2*(41*A - 105*C) + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*(48*A*b^2 + 117*a*b*B + 7*a^2*(7*A + 9*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(315*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(8*A*b + 9*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-11/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 10, (2*(7*a^4*B + 54*a^2*b^2*B + 15*b^4*B + 12*a*b^3*(3*A + 5*C) + 4*a^3*b*(7*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d) + (2*(220*a^3*b*B + 308*a*b^3*B + 77*b^4*(A + 3*C) + 66*a^2*b^2*(5*A + 7*C) + 5*a^4*(9*A + 11*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*a*(192*A*b^3 + 539*a^3*B + 1353*a*b^2*B + 2*a^2*b*(673*A + 891*C))*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(64*A*b^4 + 660*a^3*b*B + 682*a*b^3*B + 15*a^4*(9*A + 11*C) + 9*a^2*b^2*(101*A + 143*C))*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(16*A*b^2 + 55*a*b*B + 3*a^2*(9*A + 11*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(231*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(8*A*b + 11*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2))}
+{Sec[c + d*x]^(-13/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4, x, 11, (2*(364*a^3*b*B + 468*a*b^3*B + 39*b^4*(3*A + 5*C) + 78*a^2*b^2*(7*A + 9*C) + a^4*(77*A + 91*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(195*d) + (2*(45*a^4*B + 330*a^2*b^2*B + 77*b^4*B + 44*a*b^3*(5*A + 7*C) + 20*a^3*b*(9*A + 11*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*d) + (2*a*(192*A*b^3 + 1053*a^3*B + 2171*a*b^2*B + a^2*(2518*A*b + 3146*b*C))*Sin[c + d*x])/(9009*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(192*A*b^4 + 4004*a^3*b*B + 3458*a*b^3*B + 77*a^4*(11*A + 13*C) + 11*a^2*b^2*(491*A + 637*C))*Sin[c + d*x])/(6435*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(45*a^4*B + 330*a^2*b^2*B + 77*b^4*B + 44*a*b^3*(5*A + 7*C) + 20*a^3*b*(9*A + 11*C))*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(48*A*b^2 + 221*a*b*B + 11*a^2*(11*A + 13*C))*(a + b*Sec[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(1287*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*(8*A*b + 13*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(143*d*Sec[c + d*x]^(9/2)) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(13*d*Sec[c + d*x]^(11/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 11, -((2*(5*A*b^2 - 5*a*b*B + 5*a^2*C + 3*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*b^3*d)) + (2*(b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b^2*d) - (2*a*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*(a + b)*d) + (2*(5*A*b^2 - 5*a*b*B + 5*a^2*C + 3*b^2*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d) + (2*(b*B - a*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 10, -((2*(b*B - a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d)) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b*d) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*(a + b)*d) + (2*(b*B - a*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*d) + (2*C*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 9, -((2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d)) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*b*(a + b)*d) + (2*C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d) - (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a + b)*d)}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 9, -((2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d)) + (2*(3*A*b^2 - 3*a*b*B + a^2*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^3*d) - (2*b*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a + b)*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 10, (2*(5*A*b^2 - 5*a*b*B + a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a^3*d) - (2*(3*A*b^3 - a^3*B - 3*a*b^2*B + a^2*b*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^4*d) + (2*b^2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^4*(a + b)*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{Sec[c + d*x]^(-7/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 11, -((2*(5*A*b^3 - 3*a^3*B - 5*a*b^2*B + a^2*b*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a^4*d)) + (2*(21*A*b^4 - 7*a^3*b*B - 21*a*b^3*B + 7*a^2*b^2*(A + 3*C) + a^4*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(21*a^5*d) - (2*b^3*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^5*(a + b)*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(7*a*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) - (2*(A*b - a*B)*Sin[c + d*x])/(5*a^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(7*A*b^2 - 7*a*b*B + a^2*(5*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(21*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 11, -(((3*a^2*b*B - 2*b^3*B - a*b^2*(A - 4*C) - 5*a^3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*(a^2 - b^2)*d)) + ((3*A*b^2 - 3*a*b*B + 5*a^2*C - 2*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((3*A*b^4 + 3*a^3*b*B - 5*a*b^3*B - a^2*b^2*(A - 7*C) - 5*a^4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/((a - b)*b^3*(a + b)^2*d) + ((3*a^2*b*B - 2*b^3*B - a*b^2*(A - 4*C) - 5*a^3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) + ((3*A*b^2 - 3*a*b*B + 5*a^2*C - 2*b^2*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 10, -(((A*b^2 - a*b*B + 3*a^2*C - 2*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d)) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*b*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^4 + a^3*b*B - 3*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*(a - b)*b^2*(a + b)^2*d) + ((A*b^2 - a*b*B + 3*a^2*C - 2*b^2*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*b*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 + a*b*B - a^2*(2*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^4 + a^3*b*B + a*b^3*B + a^4*C - 3*a^2*b^2*(A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a - b)*b*(a + b)^2*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 9, -(((3*A*b^2 - a*b*B - a^2*(2*A - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d)) + ((3*A*b^3 + 2*a^3*B - a*b^2*B - a^2*b*(4*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) - ((3*A*b^4 + 3*a^3*b*B - a*b^3*B - a^4*C - a^2*b^2*(5*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a - b)*(a + b)^2*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 10, ((5*A*b^3 + 2*a^3*B - 3*a*b^2*B - a^2*b*(4*A - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) - ((15*A*b^4 + 12*a^3*b*B - 9*a*b^3*B - a^2*b^2*(16*A - 3*C) - 2*a^4*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d) + (b*(5*A*b^4 + 5*a^3*b*B - 3*a*b^3*B - a^2*b^2*(7*A - C) - 3*a^4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^4*(a - b)*(a + b)^2*d) - ((5*A*b^2 - 3*a*b*B - a^2*(2*A - 3*C))*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(-5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 11, -(((35*A*b^4 + 20*a^3*b*B - 25*a*b^3*B - 3*a^2*b^2*(8*A - 5*C) - 2*a^4*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(5*a^4*(a^2 - b^2)*d)) + ((21*A*b^5 + 2*a^5*B + 16*a^3*b^2*B - 15*a*b^4*B - a^2*b^3*(20*A - 9*C) - 4*a^4*b*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^5*(a^2 - b^2)*d) - (b^2*(7*A*b^4 + 7*a^3*b*B - 5*a*b^3*B - 3*a^2*b^2*(3*A - C) - 5*a^4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^5*(a - b)*(a + b)^2*d) - ((7*A*b^2 - 5*a*b*B - a^2*(2*A - 5*C))*Sin[c + d*x])/(5*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + ((7*A*b^3 + 2*a^3*B - 5*a*b^2*B - a^2*(4*A*b - 3*b*C))*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 12, -(((15*a^4*b*B - 29*a^2*b^3*B + 8*b^5*B - a^3*b^2*(3*A - 65*C) + 3*a*b^4*(3*A - 8*C) - 35*a^5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d)) - ((15*a^3*b*B - 33*a*b^3*B - a^2*b^2*(3*A - 61*C) + b^4*(21*A - 8*C) - 35*a^4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(12*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((15*A*b^6 - 15*a^5*b*B + 38*a^3*b^3*B - 35*a*b^5*B + a^4*b^2*(3*A - 86*C) - 3*a^2*b^4*(2*A - 21*C) + 35*a^6*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*b^4*(a + b)^3*d) + ((15*a^4*b*B - 29*a^2*b^3*B + 8*b^5*B - a^3*b^2*(3*A - 65*C) + 3*a*b^4*(3*A - 8*C) - 35*a^5*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((15*a^3*b*B - 33*a*b^3*B - a^2*b^2*(3*A - 61*C) + b^4*(21*A - 8*C) - 35*a^4*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((5*A*b^4 + 3*a^3*b*B - 9*a*b^3*B - 7*a^4*C + a^2*b^2*(A + 13*C))*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 11, ((3*a^3*b*B - 9*a*b^3*B + b^4*(5*A - 8*C) - 15*a^4*C + a^2*b^2*(A + 29*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*A*b^4 + a^3*b*B - 7*a*b^3*B - 5*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 11*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) - ((3*A*b^6 - 3*a^5*b*B + 6*a^3*b^3*B - 15*a*b^5*B + 15*a^6*C + 5*a^2*b^4*(2*A + 7*C) - a^4*b^2*(A + 38*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*(a - b)^2*b^3*(a + b)^3*d) - ((3*a^3*b*B - 9*a*b^3*B + b^4*(5*A - 8*C) - 15*a^4*C + a^2*b^2*(A + 29*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((3*A*b^4 + a^3*b*B - 7*a*b^3*B - 5*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 11*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 10, -(((A*b^4 - a^3*b*B - 5*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(5*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a*b^2*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((A*b^4 + 3*a^3*b*B + 3*a*b^3*B + a^4*C - 7*a^2*b^2*(A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*b*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^6 - a^5*b*B + 10*a^3*b^3*B + 3*a*b^5*B - 3*a^4*b^2*(A - 2*C) - 3*a^6*C - 5*a^2*b^4*(2*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*(a - b)^2*b^2*(a + b)^3*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((A*b^4 - a^3*b*B - 5*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(5*A + 9*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 10, -(((3*A*b^4 + 5*a^3*b*B + a*b^3*B - a^4*C - a^2*b^2*(9*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^2*b*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((3*A*b^4 - 7*a^3*b*B + a*b^3*B - a^2*b^2*(5*A - 3*C) + a^4*(8*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((3*A*b^6 - 3*a^5*b*B - 10*a^3*b^3*B + a*b^5*B - 3*a^2*b^4*(2*A - C) - a^6*C + 5*a^4*b^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^3*(a - b)^2*b*(a + b)^3*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((A*b^4 + 3*a^3*b*B + 3*a*b^3*B + a^4*C - 7*a^2*b^2*(A + C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*b*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(-1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 10, ((15*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 3*a*b^3*B + a^4*(8*A - 5*C) - a^2*b^2*(29*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((15*A*b^5 - 8*a^5*B + 5*a^3*b^2*B - 3*a*b^4*B - a^2*b^3*(33*A + C) + a^4*b*(24*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((15*A*b^6 - 15*a^5*b*B + 6*a^3*b^3*B - 3*a*b^5*B + 3*a^6*C - a^2*b^4*(38*A + C) + 5*a^4*b^2*(7*A + 2*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^4*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - ((5*A*b^4 + 7*a^3*b*B - a*b^3*B - 3*a^4*C - a^2*b^2*(11*A + 3*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^(-3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 11, -(((35*A*b^5 - 8*a^5*B + 29*a^3*b^2*B - 15*a*b^4*B + 3*a^4*b*(8*A - 3*C) - a^2*b^3*(65*A - 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((105*A*b^6 - 72*a^5*b*B + 99*a^3*b^3*B - 45*a*b^5*B + a^4*b^2*(128*A - 15*C) - a^2*b^4*(223*A - 9*C) + 8*a^6*(A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(12*a^5*(a^2 - b^2)^2*d) - (b*(35*A*b^6 - 35*a^5*b*B + 38*a^3*b^3*B - 15*a*b^5*B - a^2*b^4*(86*A - 3*C) + 3*a^4*b^2*(21*A - 2*C) + 15*a^6*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^5*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + ((35*A*b^4 + 33*a^3*b*B - 15*a*b^3*B + a^4*(8*A - 21*C) - a^2*b^2*(61*A - 3*C))*Sin[c + d*x])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2) - ((7*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 3*a*b^3*B - 5*a^4*C - a^2*b^2*(13*A + C))*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^(n/2) (a+b Sec[e+f x])^(m/2) (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 14, ((24*A*b^2 + 18*a*b*B - a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(24*b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((2*a^2*b*B - 8*b^3*B - a^3*C - 4*a*b^2*(2*A + C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*b^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((24*A*b^2 + 6*a*b*B - 3*a^2*C + 16*b^2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(24*b^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((24*A*b^2 + 6*a*b*B - 3*a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b^2*d) + ((6*b*B + a*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*b*d) + (C*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 13, ((8*a*A + 4*b*B + 3*a*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((8*A*b^2 + 4*a*b*B - a^2*C + 4*b^2*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((4*b*B + a*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*b*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((4*b*B + a*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d) + (C*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 12, ((2*a*B + b*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*b*B + a*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*A - C)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+{(Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 12, (-2*(A*b^2 - a^2*(A + 3*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b*C*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b + 3*a*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 9, (-2*(a^2 - b^2)*(2*A*b - 5*a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(2*A*b^2 - 5*a*b*B - 3*a^2*(3*A + 5*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 10, (2*(a^2 - b^2)*(25*a^2*A + 8*A*b^2 - 14*a*b*B + 35*a^2*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(105*a^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^3 + 63*a^3*B - 14*a*b^2*B + a^2*b*(19*A + 35*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(105*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*(4*A*b^2 - 7*a*b*B - 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 11, (-2*(a^2 - b^2)*(16*A*b^3 - 75*a^3*B - 24*a*b^2*B + 6*a^2*b*(6*A + 7*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(315*a^4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(16*A*b^4 - 57*a^3*b*B - 24*a*b^3*B + 6*a^2*b^2*(4*A + 7*C) - 21*a^4*(7*A + 9*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(315*a^4*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*(A*b + 9*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(63*a*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) - (2*(6*A*b^2 - 9*a*b*B - 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(8*A*b^3 + 75*a^3*B - 12*a*b^2*B + a^2*b*(13*A + 21*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 15, ((136*a^2*b*B + 128*b^3*B - 3*a^3*C + 12*a*b^2*(28*A + 19*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(192*b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((8*a^3*b*B - 96*a*b^3*B - 3*a^4*C - 24*a^2*b^2*(2*A + C) - 16*b^4*(4*A + 3*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*b^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((24*a^2*b*B + 128*b^3*B - 9*a^3*C + 12*a*b^2*(20*A + 13*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(192*b^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((24*a^2*b*B + 128*b^3*B - 9*a^3*C + 12*a*b^2*(20*A + 13*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b^2*d) + ((48*A*b^2 + 56*a*b*B + 3*a^2*C + 36*b^2*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(96*b*d) + ((8*b*B + 3*a*C)*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + (C*Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 14, ((42*a*b*B + 8*b^2*(3*A + 2*C) + a^2*(48*A + 17*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(24*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((6*a^2*b*B + 8*b^3*B - a^3*C + 12*a*b^2*(2*A + C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((24*A*b^2 + 30*a*b*B + 3*a^2*C + 16*b^2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(24*b*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((24*A*b^2 + 30*a*b*B + 3*a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b*d) + ((2*b*B + a*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 13, ((8*a^2*B + 4*b^2*B + a*b*(8*A + 7*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((8*A*b^2 + 12*a*b*B + 3*a^2*C + 4*b^2*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((8*a*A - 4*b*B - 5*a*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((4*b*B + 3*a*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d) + (C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 13, ((6*a*b*B - b^2*(2*A - 3*C) + 2*a^2*(A + 3*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b*(2*b*B + 3*a*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((8*A*b + 6*a*B - 3*b*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (b*(2*A - 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 13, -((2*(3*A*b^3 - 5*a^3*B + 5*a*b^2*B - 3*a^2*b*(A + 5*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) + (2*b^2*C*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(3*A*b^2 + 20*a*b*B + 3*a^2*(3*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(3*A*b + 5*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 10, (2*(a^2 - b^2)*(25*a^2*A - 6*A*b^2 + 21*a*b*B + 35*a^2*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(105*a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(6*A*b^3 - 63*a^3*B - 21*a*b^2*B - 2*a^2*b*(41*A + 70*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(105*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(3*A*b + 7*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(3*A*b^2 + 42*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 11, (2*(a^2 - b^2)*(8*A*b^3 + 75*a^3*B - 18*a*b^2*B + a^2*(39*A*b + 63*b*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(315*a^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^4 + 246*a^3*b*B - 18*a*b^3*B + 21*a^4*(7*A + 9*C) + 3*a^2*b^2*(11*A + 21*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(315*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b + 3*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(3*A*b^2 + 72*a*b*B + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*(4*A*b^3 - 75*a^3*B - 9*a*b^2*B - 2*a^2*b*(44*A + 63*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 15, ((472*a^2*b*B + 128*b^3*B + 4*a*b^2*(132*A + 89*C) + a^3*(384*A + 133*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(192*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((40*a^3*b*B + 160*a*b^3*B - 5*a^4*C + 120*a^2*b^2*(2*A + C) + 16*b^4*(4*A + 3*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((264*a^2*b*B + 128*b^3*B + 15*a^3*C + 4*a*b^2*(108*A + 71*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(192*b*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((264*a^2*b*B + 128*b^3*B + 15*a^3*C + 4*a*b^2*(108*A + 71*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b*d) + ((16*A*b^2 + 24*a*b*B + 5*a^2*C + 12*b^2*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d) + ((8*b*B + 5*a*C)*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d) + (C*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Sec[c + d*x]], x, 14, ((48*a^3*B + 66*a*b^2*B + 8*b^3*(3*A + 2*C) + a^2*b*(96*A + 59*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(24*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((30*a^2*b*B + 8*b^3*B + 5*a^3*C + 20*a*b^2*(2*A + C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((54*a*b*B - a^2*(48*A - 33*C) + 8*b^2*(3*A + 2*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(24*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((24*A*b^2 + 42*a*b*B + 15*a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d) + ((6*b*B + 5*a*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d) + (C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(3/2), x, 14, ((48*a^2*b*B + 12*b^3*B + 8*a^3*(A + 3*C) + a*b^2*(16*A + 33*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(12*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b*(8*A*b^2 + 20*a*b*B + 15*a^2*C + 4*b^2*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((24*a^2*B - 12*b^2*B + a*b*(56*A - 27*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(12*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (b*(8*a*A - 12*b*B - 21*a*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d) - (b*(4*A - 3*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*d) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(5/2), x, 14, ((10*a^3*B + 20*a*b^2*B - b^3*(16*A - 15*C) + 4*a^2*b*(4*A + 15*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b^2*(2*b*B + 5*a*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((70*a*b*B + b^2*(46*A - 15*C) + 6*a^2*(3*A + 5*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (b*(16*A*b + 10*a*B - 15*b*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(A*b + a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sec[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(7/2), x, 14, (-2*(15*A*b^4 - 56*a^3*b*B + 56*a*b^3*B + 10*a^2*b^2*(A - 7*C) - 5*a^4*(5*A + 7*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(105*a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^3*C*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(15*A*b^3 + 63*a^3*B + 161*a*b^2*B + 5*a^2*b*(29*A + 49*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(105*a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(15*A*b^2 + 56*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(5*A*b + 7*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sec[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(9/2), x, 11, (-2*(a^2 - b^2)*(10*A*b^3 - 75*a^3*B - 45*a*b^2*B - 6*a^2*b*(19*A + 28*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(315*a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(10*A*b^4 - 435*a^3*b*B - 45*a*b^3*B - 21*a^4*(7*A + 9*C) - 3*a^2*b^2*(93*A + 161*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(315*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(15*A*b^2 + 90*a*b*B + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*A*b^3 + 75*a^3*B + 135*a*b^2*B + a^2*b*(163*A + 231*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(5*A*b + 9*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9*d*Sec[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sec[c + d*x]^(11/2), x, 12, (2*(a^2 - b^2)*(40*A*b^4 + 1254*a^3*b*B - 110*a*b^3*B + 75*a^4*(9*A + 11*C) + 15*a^2*b^2*(19*A + 33*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3465*a^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B + 15*a^2*b^3*(17*A + 33*C) + 15*a^4*b*(247*A + 319*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3465*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(5*A*b^2 + 44*a*b*B + 3*a^2*(9*A + 11*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) + (2*(15*A*b^3 + 539*a^3*B + 825*a*b^2*B + 5*a^2*b*(229*A + 297*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*(20*A*b^4 - 1793*a^3*b*B - 55*a*b^3*B - 75*a^4*(9*A + 11*C) - 5*a^2*b^2*(205*A + 297*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(5*A*b + 11*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(99*d*Sec[c + d*x]^(7/2)) + (2*A*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(11*d*Sec[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 13, ((4*b*B - a*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((8*A*b^2 - 4*a*b*B + 3*a^2*C + 4*b^2*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*b^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((4*b*B - 3*a*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*b^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + ((4*b*B - 3*a*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d) + (C*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*d)}
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 12, ((2*A + C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*b*B - a*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (C*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d)}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x, 11, (-2*(A*b - a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*A*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x, 8, (2*(2*A*b^2 - 3*a*b*B + a^2*(A + 3*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(2*A*b - 3*a*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x, 9, (-2*(8*A*b^3 - 5*a^3*B - 10*a*b^2*B + a^2*b*(7*A + 15*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*a^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^2 - 10*a*b*B + 3*a^2*(3*A + 5*C))*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*(4*A*b - 5*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x, 10, (2*(48*A*b^4 - 49*a^3*b*B - 56*a*b^3*B + 5*a^4*(5*A + 7*C) + 2*a^2*b^2*(16*A + 35*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(105*a^4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(48*A*b^3 - 63*a^3*B - 56*a*b^2*B + a^2*(44*A*b + 70*b*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(105*a^4*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*a*d*Sec[c + d*x]^(5/2)) - (2*(6*A*b - 7*a*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*a^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(24*A*b^2 - 28*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a*A + (A*b + a*B)*Sec[c + d*x] + b*B*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 13, ((2*a*A + b*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*A*b + a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (B*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (B*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/d}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 13, (C*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*b*B - 3*a*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((2*A*b^2 - 2*a*b*B + 3*a^2*C - b^2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*A*b^2 - 2*a*b*B + 3*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 12, (2*A*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 8, -((2*(2*A*b - a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) - (2*(2*A*b^2 - a*b*B - a^2*(A - C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 9, (2*(8*A*b^2 - 6*a*b*B + a^2*(A + 3*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^3 + 3*a^3*B - 6*a*b^2*B - a^2*(5*A*b - 3*b*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(4*A*b^2 - 3*a*b*B - a^2*(A - 3*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 10, -((2*(48*A*b^3 - 5*a^3*B - 40*a*b^2*B + 6*a^2*b*(2*A + 5*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*a^4*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) - (2*(48*A*b^4 + 25*a^3*b*B - 40*a*b^3*B - 6*a^2*b^2*(4*A - 5*C) - 3*a^4*(3*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(6*A*b^2 - 5*a*b*B - a^2*(A - 5*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) + (2*(24*A*b^3 + 5*a^3*B - 20*a*b^2*B - a^2*(9*A*b - 15*b*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(Sec[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 14, ((2*A*b^2 - 2*a*b*B + 5*a^2*C - 3*b^2*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*b*B - 5*a*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^3*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((8*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 14*a*b^3*B - 15*a^4*C + 26*a^2*b^2*C - 3*b^4*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*(3*A*b^4 + 2*a^3*b*B - 6*a*b^3*B - 5*a^4*C + a^2*b^2*(A + 9*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((8*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 14*a*b^3*B - 15*a^4*C + 26*a^2*b^2*C - 3*b^4*C)*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{(Sec[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 13, -((2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) + (2*C*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b^4 - 4*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 7*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*(A*b^4 - 4*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 7*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((2*(2*A*b^2 + a*b*B - a^2*(3*A + C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) - (2*(2*A*b^3 + 3*a^3*B + a*b^2*B - 2*a^2*b*(3*A + 2*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*(A*b^4 + 2*a^3*b*B + 2*a*b^3*B + a^4*C - 5*a^2*b^2*(A + C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 9, (2*(8*A*b^3 + 3*a^3*B - 2*a*b^2*B - a^2*b*(9*A + C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 2*a*b^3*B + 3*a^4*(A - C) - a^2*b^2*(15*A + C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*(4*A*b^4 + 5*a^3*b*B - a*b^3*B - 2*a^4*C - 2*a^2*b^2*(4*A + C))*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 10, -((2*(16*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 8*a*b^3*B - 2*a^2*b^2*(8*A - C) - a^4*(A + 3*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) - (2*(16*A*b^5 - 3*a^5*B + 15*a^3*b^2*B - 8*a*b^4*B - 2*a^2*b^3*(14*A - C) + a^4*(8*A*b - 6*b*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*(10*a^2*A*b^2 - 6*A*b^4 - 7*a^3*b*B + 3*a*b^3*B + 4*a^4*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^4 + 8*a^3*b*B - 4*a*b^3*B + a^4*(A - 5*C) - a^2*b^2*(13*A - C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sec[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 11, (2*(128*A*b^5 + 5*a^5*B + 80*a^3*b^2*B - 80*a*b^4*B - 4*a^2*b^3*(29*A - 10*C) - a^4*b*(17*A + 45*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*a^5*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(128*A*b^6 - 40*a^5*b*B + 140*a^3*b^3*B - 80*a*b^5*B + 5*a^4*b^2*(11*A - 15*C) - 4*a^2*b^4*(53*A - 10*C) + 3*a^6*(3*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^5*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*(8*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 5*a*b^3*B - 2*a^2*b^2*(6*A - C) - 6*a^4*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(48*A*b^4 + 50*a^3*b*B - 30*a*b^3*B + a^4*(3*A - 35*C) - a^2*b^2*(71*A - 15*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sec[c + d*x]^(3/2)) - (2*(64*A*b^5 - 5*a^5*B + 65*a^3*b^2*B - 40*a*b^4*B + 2*a^4*b*(7*A - 20*C) - 2*a^2*b^3*(49*A - 10*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^n (a+b Sec[e+f x])^(m/3) (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 8, (Sqrt[2]*(a + b)*C*AppellF1[1/2, 1/2, -(5/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) + (Sqrt[2]*(b*B - a*C)*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) + A*Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x]}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 8, (Sqrt[2]*(a + b)*C*AppellF1[1/2, 1/2, -(4/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) + (Sqrt[2]*(b*B - a*C)*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) + A*Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x]}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x, 8, (Sqrt[2]*C*AppellF1[1/2, 1/2, -(2/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)) + (Sqrt[2]*(b*B - a*C)*AppellF1[1/2, 1/2, 1/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)) + A*Unintegrable[1/(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3), x]}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x, 8, (Sqrt[2]*C*AppellF1[1/2, 1/2, -(1/3), 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^(1/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(1/3)) + (Sqrt[2]*(b*B - a*C)*AppellF1[1/2, 1/2, 2/3, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^(2/3)*Tan[c + d*x])/(b*d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3)) + A*Unintegrable[1/(a + b*Sec[c + d*x])^(2/3), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sec[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2) with m and/or n symbolic*)
+
+
+{(a + b*Sec[c + d*x])^m*(a*b*B - a^2*C + b^2*B*Sec[c + d*x] + b^2*C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (Sqrt[2]*b*(a + b)*C*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Sec[c + d*x]), (b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[c + d*x])^m*Tan[c + d*x])/(((a + b*Sec[c + d*x])/(a + b))^m*(d*Sqrt[1 + Sec[c + d*x]])) + (b*B - a*C)*Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x])^(1 + m), x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Sec[e+f x])^m (d Cos[e+f x])^n (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m (A+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^m (A+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>=0*)
+
+
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(9/2), x, 4, (2*(7*A + 9*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*(7*A + 9*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(7/2), x, 4, (2*(5*A + 7*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(5/2), x, 3, (2*(3*A + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(3/2), x, 3, (2*(A + 3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(1/2), x, 3, (2*(A - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*C*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 3, (2*(3*A + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 4, -((2*(5*A + 3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*C*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(5*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 4, (2*(7*A + 5*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(7*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (2*a*(7*A + 9*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*a*(5*A + 7*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(7*A + 9*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*a*(3*A + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*a*(5*A + 7*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (2*a*(3*A + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*a*(A + 3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (2*a*(A - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*a*(A + 3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (2*a*(A - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*a*(3*A + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 7, -((2*a*(5*A + 3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*a*(3*A + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(5*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 8, -((2*a*(5*A + 3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*a*(7*A + 5*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(7*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(5*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 10, (4*a^2*(7*A + 9*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (8*a^2*(25*A + 33*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (8*a^2*(25*A + 33*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (4*a^2*(7*A + 9*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*a^2*(89*A + 99*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(11*d) + (8*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(99*d)}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (16*a^2*(2*A + 3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (4*a^2*(5*A + 7*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (4*a^2*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a^2*(19*A + 21*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d) + (8*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (4*a^2*(3*A + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (8*a^2*(3*A + 7*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a^2*(33*A + 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d) + (8*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (16*a^2*A*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (4*a^2*(A + 3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*(7*A - 15*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(A - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (4*a^2*(A - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (8*a^2*(A + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*(A - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (8*C*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, -((16*a^2*C*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (4*a^2*(3*A + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a^2*(15*A + 17*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (8*C*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 9, -((4*a^2*(5*A + 3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (8*a^2*(7*A + 3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a^2*(35*A + 33*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(5*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (8*C*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 10, -((16*a^2*(3*A + 2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d)) + (4*a^2*(7*A + 5*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a^2*(21*A + 19*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^2*(7*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (16*a^2*(3*A + 2*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (8*C*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(13/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 11, (4*a^3*(175*A + 221*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(195*d) + (4*a^3*(95*A + 121*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (4*a^3*(95*A + 121*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (4*a^3*(175*A + 221*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(585*d) + (40*a^3*(118*A + 143*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9009*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(13*d) + (12*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(143*a*d) + (2*(145*A + 143*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(1287*d)}
+{Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 10, (4*a^3*(5*A + 7*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (4*a^3*(105*A + 143*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (4*a^3*(105*A + 143*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (8*a^3*(35*A + 44*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(385*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d) + (4*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(33*a*d) + (2*(35*A + 33*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(231*d)}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (4*a^3*(17*A + 27*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (4*a^3*(11*A + 21*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (8*a^3*(16*A + 21*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d) + (4*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*a*d) + (2*(73*A + 63*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(315*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (4*a^3*(7*A + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (4*a^3*(13*A + 35*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (4*a^3*(41*A - 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(A - 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*a*d) + (2*(11*A - 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (4*a^3*(9*A - 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (4*a^3*(3*A + 5*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (8*a^3*(3*A - 10*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*C*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(3*A - 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (4*a^3*(5*A - 9*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (4*a^3*(5*A + 3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) - (4*a^3*(5*A + 21*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (4*C*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*A + 11*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, -((4*a^3*(5*A + 7*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (4*a^3*(35*A + 13*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (8*a^3*(70*A + 53*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (12*C*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(35*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(5*A + 7*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 10, -((4*a^3*(27*A + 17*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d)) + (4*a^3*(21*A + 11*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (8*a^3*(21*A + 16*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(27*A + 17*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (4*C*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*a*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(63*A + 73*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 11, -((4*a^3*(7*A + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (4*a^3*(143*A + 105*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (8*a^3*(44*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(385*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^3*(143*A + 105*C)*Sin[c + d*x])/(231*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(7*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d*Cos[c + d*x]^(11/2)) + (4*C*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(33*a*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*(33*A + 35*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(231*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
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+
+
+{(Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 8, -((3*(7*A + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a*d)) + (5*(9*A + 7*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*a*d) + (5*(9*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*a*d) - ((7*A + 5*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) + ((9*A + 7*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*a*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (3*(7*A + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a*d) - ((5*A + 3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a*d) - ((5*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d) + ((7*A + 5*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, -(((3*A + C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d)) + ((5*A + 3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a*d) + ((5*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, ((3*A + C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d) - ((A - C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d) - ((A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 6, -(((A + 3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d)) + ((A - C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d) + ((A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 7, ((A + 3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d) + ((3*A + 5*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a*d) + ((3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - ((A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 8, -((3*(5*A + 7*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a*d)) - ((3*A + 5*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a*d) + ((5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - ((3*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (3*(5*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, (4*(14*A + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a^2*d) - (5*(3*A + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) - (5*(3*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + (4*(14*A + 5*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) - ((3*A + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -(((7*A + C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d)) + (2*(5*A + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) + (2*(5*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((7*A + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, (4*A*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d) - ((5*A - C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) - ((5*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 6, -(((A - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d)) + (2*(A + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) + ((A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 7, -((4*C*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d)) + ((A - 5*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) + (4*C*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((A - 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 8, ((A + 7*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d) + (2*(A + 5*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^2*d) + (2*(A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - ((A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (7*(33*A + 7*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d) - ((63*A + 13*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(6*a^3*d) - ((63*A + 13*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d) + (7*(33*A + 7*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(30*a^3*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (2*(6*A + C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((63*A + 13*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -(((119*A + 9*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d)) + ((11*A + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(2*a^3*d) + ((11*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((119*A + 9*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(30*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 7, ((49*A - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d) - ((13*A - C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(6*a^3*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (2*(4*A - C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((13*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 7, -(((9*A - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d)) + ((3*A + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(6*a^3*d) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (2*(3*A - 2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((9*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 7, -(((A - 9*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d)) + ((A + 3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(6*a^3*d) - ((A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (2*(2*A - 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((A - 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 8, ((A - 49*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d) + ((A - 13*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(6*a^3*d) - ((A - 49*C)*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + (2*(A - 4*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((A - 13*C)*Sin[c + d*x])/(6*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 9, ((9*A + 119*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(10*a^3*d) + ((A + 11*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(2*a^3*d) + ((A + 11*C)*Sin[c + d*x])/(2*a^3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - ((9*A + 119*C)*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - (2*C*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((9*A + 119*C)*Sin[c + d*x])/(30*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (A+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (16*a*(16*A + 21*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a*(16*A + 21*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(16*A + 21*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (4*a*(24*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(24*A + 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (2*a*(7*A + 15*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (2*Sqrt[a]*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (Sqrt[a]*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (a*(2*A - C)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 5, (Sqrt[a]*(8*A + 3*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (a*C*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 6, (Sqrt[a]*(8*A + 5*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a*C*Sin[c + d*x])/(12*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(8*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 7, (Sqrt[a]*(48*A + 35*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*d) + (a*C*Sin[c + d*x])/(24*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(48*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(96*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(48*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(64*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (16*a^2*(112*A + 143*C)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a^2*(112*A + 143*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1155*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(112*A + 143*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(385*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(28*A + 33*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(231*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(33*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (4*a^2*(136*A + 189*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(136*A + 189*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(52*A + 63*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (8*a^2*(19*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(19*A + 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (6*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (2*a^(3/2)*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^2*(4*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (3*a^(3/2)*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (a^2*(8*A - 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a*(2*A - 3*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(3/2)*(8*A + 7*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (a^2*(8*A - 5*C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (3*a*C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 6, (a^(3/2)*(24*A + 11*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*(24*A + 19*C)*Sin[c + d*x])/(24*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 7, (a^(3/2)*(112*A + 75*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*d) + (a^2*(16*A + 13*C)*Sin[c + d*x])/(32*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(112*A + 75*C)*Sin[c + d*x])/(64*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 8, (a^(3/2)*(176*A + 133*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(128*d) + (a^2*(80*A + 67*C)*Sin[c + d*x])/(240*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(176*A + 133*C)*Sin[c + d*x])/(192*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(176*A + 133*C)*Sin[c + d*x])/(128*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (3*a*C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(40*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(13/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (16*a^3*(8368*A + 10439*C)*Sin[c + d*x])/(45045*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a^3*(8368*A + 10439*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(45045*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(8368*A + 10439*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15015*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(2224*A + 2717*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9009*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(136*A + 143*C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1287*d) + (10*a*A*Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(143*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(13*d)}
+{Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (4*a^3*(568*A + 759*C)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(568*A + 759*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(232*A + 297*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(32*A + 33*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (10*a*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (64*a^3*(13*A + 21*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*(13*A + 21*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*a*(13*A + 21*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (10*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*a^(5/2)*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^3*(32*A + 49*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(8*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (5*a^(5/2)*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (a^3*(64*A + 15*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a^2*(16*A - 15*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a^(5/2)*(8*A + 19*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (a^3*(56*A - 27*C)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a^2*(8*A - 21*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (a*(4*A - 3*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (5*a^(5/2)*(8*A + 5*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*(24*A - 49*C)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(24*A + 31*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (5*a*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 7, (a^(5/2)*(304*A + 163*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*d) + (a^3*(432*A + 299*C)*Sin[c + d*x])/(192*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(16*A + 17*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (5*a*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 8, (a^(5/2)*(400*A + 283*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(128*d) + (a^3*(1040*A + 787*C)*Sin[c + d*x])/(960*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(400*A + 283*C)*Sin[c + d*x])/(128*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(80*A + 79*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (a*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 9, (a^(5/2)*(1304*A + 1015*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(512*d) + (a^3*(136*A + 109*C)*Sin[c + d*x])/(192*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(1304*A + 1015*C)*Sin[c + d*x])/(768*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(1304*A + 1015*C)*Sin[c + d*x])/(512*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(24*A + 23*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(96*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (a*C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (2*(43*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(31*A + 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, -((Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (2*(13*A + 15*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 5, (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (2*A*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, (2*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 7, -((C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (C*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 8, ((8*A + 7*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (C*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (C*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 9, -(((8*A + 9*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (C*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (C*Sin[c + d*x])/(12*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((8*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, -(((15*A + 7*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((49*A + 25*C)*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((13*A + 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((9*A + 5*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, ((11*A + 3*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((19*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((7*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, -(((7*A - C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((5*A + C)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 7, (2*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) + ((3*A - 5*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 8, -((3*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(3/2)*d)) + ((A + 9*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 9, ((8*A + 19*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^(3/2)*d) - ((5*A + 13*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((A + 2*C)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((2*A + 7*C)*Sin[c + d*x])/(4*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, -(((283*A + 75*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((21*A + 5*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((2671*A + 735*C)*Sin[c + d*x])/(240*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((787*A + 195*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((157*A + 45*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(80*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, ((163*A + 19*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((17*A + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((299*A + 27*C)*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (5*(19*A + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, -((5*(15*A - C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((13*A - 3*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((49*A + C)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 5, ((19*A + 3*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((9*A - 7*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 8, (2*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + ((5*A - 43*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((5*A - 11*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 9, -((5*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(5/2)*d)) + ((3*A + 115*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((A - 15*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((3*A + 35*C)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m (B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^m (B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>=0*)
+
+
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(9/2), x, 7, (6*C*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (10*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (10*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*C*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*B*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(7/2), x, 6, (6*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*C*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(5/2), x, 5, (2*C*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(3/2), x, 4, (2*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*C*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d}
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*Cos[c + d*x]^(1/2), x, 5, -((2*C*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*C*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 6, -((2*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*C*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 7, -((6*C*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*B*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (6*C*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^n (a+a Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>=0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (6*B*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(5*A + 7*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(5*A + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*B*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (2*(3*A + 5*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*B*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*B*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (2*B*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*(A + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (2*(A - C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*B*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*C*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 6, (-2*B*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (2*(3*A + C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 7, (-2*(5*A + 3*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*B*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*A + 3*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 8, (-6*B*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (2*(7*A + 5*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(7*A + 5*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (6*B*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (2*a*(7*A + 9*(B + C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*a*(5*(A + B) + 7*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*(5*(A + B) + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(7*A + 9*(B + C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*a*(A + B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*a*(3*(A + B) + 5*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*a*(5*A + 7*(B + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*(5*A + 7*(B + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(A + B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (2*a*(3*A + 5*(B + C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*a*(A + B + 3*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (2*a*(A + B - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*a*(A + 3*(B + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (2*a*(A - B - C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*a*(3*A + 3*B + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(B + C)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 7, -((2*a*(5*A + 5*B + 3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*a*(3*A + B + C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(5*A + 5*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(a + a*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 8, -((2*a*(5*A + 3*(B + C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*a*(7*A + 7*B + 5*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*C*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*a*(B + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*a*(7*A + 7*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(5*A + 3*(B + C))*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 10, (4*a^2*(7*A + 8*B + 9*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^2*(50*A + 55*B + 66*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (4*a^2*(50*A + 55*B + 66*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (4*a^2*(7*A + 8*B + 9*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*a^2*(89*A + 121*B + 99*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(11*d) + (2*(4*A + 11*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(99*d)}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (4*a^2*(8*A + 9*B + 12*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^2*(5*A + 6*B + 7*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^2*(5*A + 6*B + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a^2*(19*A + 27*B + 21*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*(4*A + 9*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (4*a^2*(3*A + 4*B + 5*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^2*(6*A + 7*B + 14*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a^2*(33*A + 49*B + 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*(4*A + 7*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (4*a^2*(4*A + 5*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^2*(A + 2*B + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a^2*(7*A + 5*B - 15*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(A - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (4*a^2*(A - C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/d + (4*a^2*(2*A + 3*B + 2*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a^2*(A - 3*B - 5*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(3*B + 4*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (-4*a^2*(5*B + 4*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^2*(3*A + 2*B + C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (2*a^2*(15*A + 25*B + 17*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(5*B + 4*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 9, (-4*a^2*(5*A + 4*B + 3*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^2*(14*A + 7*B + 6*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a^2*(35*A + 49*B + 33*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(5*A + 4*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(7*B + 4*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 10, (-4*a^2*(12*A + 9*B + 8*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^2*(7*A + 6*B + 5*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (2*a^2*(21*A + 27*B + 19*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (4*a^2*(7*A + 6*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^2*(12*A + 9*B + 8*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*(9*B + 4*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 10, (4*a^3*(15*A + 17*B + 21*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^3*(105*A + 121*B + 143*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (4*a^3*(105*A + 121*B + 143*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (4*a^3*(210*A + 253*B + 264*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(1155*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d) + (2*(6*A + 11*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(99*a*d) + (2*(105*A + 143*B + 99*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(693*d)}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (4*a^3*(17*A + 21*B + 27*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^3*(11*A + 13*B + 21*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^3*(32*A + 41*B + 42*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*(2*A + 3*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*a*d) + (2*(73*A + 99*B + 63*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(315*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (4*a^3*(7*A + 9*B + 5*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^3*(13*A + 21*B + 35*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^3*(41*A + 42*B - 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(A - 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*a*d) + (2*(11*A + 7*B - 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(35*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (4*a^3*(9*A + 5*B - 5*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^3*(3*A + 5*(B + C))*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (4*a^3*(6*A - 5*B - 20*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(B + 2*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(3*A - 15*B - 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (4*a^3*(5*A - 5*B - 9*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^3*(5*A + 5*B + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) - (4*a^3*(5*A + 20*B + 21*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(5*B + 6*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(15*A + 35*B + 33*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (-4*a^3*(5*A + 9*B + 7*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (4*a^3*(35*A + 21*B + 13*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^3*(140*A + 147*B + 106*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(7*B + 6*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(35*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(5*A + 9*B + 7*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 10, (-4*a^3*(27*A + 21*B + 17*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (4*a^3*(21*A + 13*B + 11*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^3*(42*A + 41*B + 32*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*a^3*(27*A + 21*B + 17*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*(3*B + 2*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*a*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(63*A + 99*B + 73*C)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(13/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 11, (8*a^4*(185*A + 208*B + 247*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(195*d) + (8*a^4*(100*A + 113*B + 132*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (8*a^4*(100*A + 113*B + 132*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (4*a^4*(5255*A + 6019*B + 6721*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15015*d) + (2*a*(8*A + 13*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(143*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(13*d) + (2*(13*A + 17*B + 11*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(99*d) + (4*(1355*A + 1612*B + 1573*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(9009*d)}
+{Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 10, (8*a^4*(16*A + 19*B + 24*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (8*a^4*(113*A + 132*B + 187*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (4*a^4*(667*A + 803*B + 913*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1155*d) + (2*a*(8*A + 11*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(11*d) + (2*(43*A + 55*B + 33*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(231*d) + (4*(769*A + 946*B + 891*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3465*d)}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 10, (8*a^4*(19*A + 24*B + 21*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (8*a^4*(12*A + 17*B + 28*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^4*(73*A + 83*B + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*a*(A - 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(5*A + 3*B - 21*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*d) + (4*(86*A + 81*B - 126*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(315*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 10, (8*a^4*(8*A + 7*B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (8*a^4*(17*A + 28*B + 35*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^4*(83*A + 7*B - 175*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*a*(3*B + 8*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(A - 7*B - 21*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d) + (4*(27*A - 42*B - 175*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(105*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 10, (56*a^4*(A - C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (8*a^4*(4*A + 5*B + 4*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*d) + (4*a^4*(A - 25*B - 41*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*a*(5*B + 8*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(5*A + 15*B + 19*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (4*(6*A + 25*B + 34*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(15*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 10, (-8*a^4*(7*B + 8*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*d) + (8*a^4*(35*A + 28*B + 17*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) - (4*a^4*(175*A + 287*B + 253*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*a*(7*B + 8*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(35*A + 77*B + 73*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (4*(175*A + 238*B + 197*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 10, (-8*a^4*(21*A + 24*B + 19*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (8*a^4*(28*A + 17*B + 12*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*d) + (4*a^4*(287*A + 253*B + 193*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*(9*B + 8*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*(63*A + 117*B + 97*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (4*(21*A + 24*B + 19*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(45*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(a + a*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 11, (-8*a^4*(24*A + 19*B + 16*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(15*d) + (8*a^4*(187*A + 132*B + 113*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(231*d) + (4*a^4*(913*A + 803*B + 667*C)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (8*a^4*(24*A + 19*B + 16*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*(11*B + 8*C)*(a + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(99*d*Cos[c + d*x]^(9/2)) + (2*C*(a + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(11*d*Cos[c + d*x]^(11/2)) + (2*(33*A + 55*B + 43*C)*(a^2 + a^2*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(231*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (4*(891*A + 946*B + 769*C)*(a^4 + a^4*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/(3465*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 8, (-3*(7*A - 7*B + 5*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a*d) + (5*(9*A - 7*B + 7*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*a*d) + (5*(9*A - 7*B + 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*a*d) - ((7*A - 7*B + 5*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) + ((9*A - 7*B + 7*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*a*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 7, (3*(7*A - 5*B + 5*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a*d) - ((5*A - 5*B + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a*d) - ((5*A - 5*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d) + ((7*A - 5*B + 5*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 6, -(((3*A - 3*B + C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d)) + ((5*A - 3*B + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a*d) + ((5*A - 3*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x]), x, 5, ((3*A - B + C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) - ((A - B - C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) - ((A - B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 6, -(((A - B + 3*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d)) + ((A + B - C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) + ((A - B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 7, ((A - 3*B + 3*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a*d) + ((3*A - 3*B + 5*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a*d) + ((3*A - 3*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - ((A - 3*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])), x, 8, (-3*(5*A - 5*B + 7*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a*d) - ((3*A - 5*B + 5*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a*d) + ((5*A - 5*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - ((3*A - 5*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (3*(5*A - 5*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(5*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 9, (-7*(11*A - 8*B + 5*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a^2*d) + (5*(30*A - 21*B + 14*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(21*a^2*d) + (5*(30*A - 21*B + 14*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*a^2*d) - (7*(11*A - 8*B + 5*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) + ((30*A - 21*B + 14*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*a^2*d) - ((11*A - 8*B + 5*C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 8, ((56*A - 35*B + 20*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a^2*d) - (5*(3*A - 2*B + C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) - (5*(3*A - 2*B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + ((56*A - 35*B + 20*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) - ((3*A - 2*B + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -(((7*A - 4*B + C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d)) + ((10*A - 5*B + 2*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) + ((10*A - 5*B + 2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) - ((7*A - 4*B + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^2, x, 6, ((4*A - B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d) - ((5*A - 2*B - C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) - ((5*A - 2*B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 6, -(((A - C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d)) + ((2*A + B + 2*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) + ((A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 7, ((B - 4*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d) + ((A + 2*B - 5*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) - ((B - 4*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((A + 2*B - 5*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 8, ((A - 4*B + 7*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(a^2*d) + ((2*A - 5*B + 10*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) + ((2*A - 5*B + 10*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - ((A - 4*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A - 4*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^2), x, 9, -((20*A - 35*B + 56*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(5*a^2*d) - (5*(A - 2*B + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(3*a^2*d) + ((20*A - 35*B + 56*C)*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) - (5*(A - 2*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((20*A - 35*B + 56*C)*Sin[c + d*x])/(5*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A - 2*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(a^2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2)}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 9, (7*(33*A - 17*B + 7*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) - ((63*A - 33*B + 13*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) - ((63*A - 33*B + 13*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d) + (7*(33*A - 17*B + 7*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(30*a^3*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((12*A - 7*B + 2*C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((63*A - 33*B + 13*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 8, -((119*A - 49*B + 9*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((33*A - 13*B + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) + ((33*A - 13*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((2*A - B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((119*A - 49*B + 9*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(30*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^3, x, 7, ((49*A - 9*B - C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) - ((13*A - 3*B - C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((8*A - 3*B - 2*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((13*A - 3*B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 7, -((9*A + B - C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((3*A + B + C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) - ((6*A - B - 4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((9*A + B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 7, -((A - B - 9*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((A + B + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) - ((A - B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((4*A + B - 6*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((A - B - 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*d*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 8, ((A + 9*B - 49*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((A + 3*B - 13*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) - ((A + 9*B - 49*C)*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((2*A + 3*B - 8*C)*Sin[c + d*x])/(15*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^2) + ((A + 3*B - 13*C)*Sin[c + d*x])/(6*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^3), x, 9, ((9*A - 49*B + 119*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^3*d) + ((3*A - 13*B + 33*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(6*a^3*d) + ((3*A - 13*B + 33*C)*Sin[c + d*x])/(6*a^3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) - ((9*A - 49*B + 119*C)*Sin[c + d*x])/(10*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^3) + ((B - 2*C)*Sin[c + d*x])/(3*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Cos[c + d*x])^2) - ((9*A - 49*B + 119*C)*Sin[c + d*x])/(30*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a^3 + a^3*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 9, -((176*A - 57*B + 8*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^4*d) + ((339*A - 108*B + 17*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(42*a^4*d) + ((339*A - 108*B + 17*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(42*a^4*d) - ((43*A - 15*B + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(42*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - ((176*A - 57*B + 8*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(30*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - ((13*A - 6*B - C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{(Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^4, x, 8, ((57*A - 8*B - C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^4*d) - ((108*A - 17*B - 4*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(42*a^4*d) - ((141*A - 29*B - 13*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(210*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - ((108*A - 17*B - 4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(42*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - ((11*A - 4*B - 3*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4), x, 8, -((8*A + B)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^4*d) + ((17*A + 4*B + 3*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(42*a^4*d) - ((83*A + B - 15*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(210*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + ((8*A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - ((9*A - 2*B - 5*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4), x, 8, -((A - C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^4*d) + ((4*A + 3*B + 4*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(42*a^4*d) + ((41*A + 15*B - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(210*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) + ((A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) - ((A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4), x, 8, ((B + 8*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^4*d) + ((3*A + 4*B + 17*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(42*a^4*d) + ((15*A - B - 83*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(210*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])^2) - ((B + 8*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(10*a^4*d*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + ((5*A + 2*B - 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*a*d*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^4), x, 9, ((A + 8*B - 57*C)*EllipticE[(c + d*x)/2, 2])/(10*a^4*d) + ((4*A + 17*B - 108*C)*EllipticF[(c + d*x)/2, 2])/(42*a^4*d) - ((A + 8*B - 57*C)*Sin[c + d*x])/(10*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((13*A + 29*B - 141*C)*Sin[c + d*x])/(210*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(1 + Cos[c + d*x])^2) + ((4*A + 17*B - 108*C)*Sin[c + d*x])/(42*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(1 + Cos[c + d*x])) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^4) + ((3*A + 4*B - 11*C)*Sin[c + d*x])/(35*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Cos[c + d*x])^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(n/2) (a+a Sec[e+f x])^(m/2) (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (16*a*(16*A + 18*B + 21*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a*(16*A + 18*B + 21*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(16*A + 18*B + 21*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(A + 9*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (4*a*(24*A + 28*B + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(24*A + 28*B + 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(A + 7*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 4, (2*a*(7*A + 5*B + 15*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (2*Sqrt[a]*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a*(A + 3*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (Sqrt[a]*(2*B + C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (a*(2*A - C)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 5, (Sqrt[a]*(8*A + 4*B + 3*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (a*(4*B + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 6, (Sqrt[a]*(8*A + 6*B + 5*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a*(6*B + C)*Sin[c + d*x])/(12*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(8*A + 6*B + 5*C)*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{(Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 7, (Sqrt[a]*(48*A + 40*B + 35*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*d) + (a*(8*B + C)*Sin[c + d*x])/(24*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(48*A + 40*B + 35*C)*Sin[c + d*x])/(96*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(48*A + 40*B + 35*C)*Sin[c + d*x])/(64*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (C*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (16*a^2*(336*A + 374*B + 429*C)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a^2*(336*A + 374*B + 429*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(336*A + 374*B + 429*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(1155*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(84*A + 110*B + 99*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(3*A + 11*B)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (4*a^2*(136*A + 156*B + 189*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(136*A + 156*B + 189*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(52*A + 72*B + 63*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(A + 3*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 5, (8*a^2*(19*A + 21*B + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(19*A + 21*B + 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(3*A + 7*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (2*a^(3/2)*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^2*(12*A + 20*B + 15*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a*(3*A + 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(3/2)*(2*B + 3*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (a^2*(8*A + 6*B - 3*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a*(2*A - 3*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (a^(3/2)*(8*A + 12*B + 7*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (a^2*(8*A - 4*B - 5*C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(4*B + 3*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 6, (a^(3/2)*(24*A + 14*B + 11*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*(24*A + 30*B + 19*C)*Sin[c + d*x])/(24*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(2*B + C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 7, (a^(3/2)*(112*A + 88*B + 75*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*d) + (a^2*(48*A + 56*B + 39*C)*Sin[c + d*x])/(96*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(112*A + 88*B + 75*C)*Sin[c + d*x])/(64*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(8*B + 3*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 8, (a^(3/2)*(176*A + 150*B + 133*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(128*d) + (a^2*(80*A + 90*B + 67*C)*Sin[c + d*x])/(240*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(176*A + 150*B + 133*C)*Sin[c + d*x])/(192*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(176*A + 150*B + 133*C)*Sin[c + d*x])/(128*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a*(10*B + 3*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(40*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(13/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (16*a^3*(8368*A + 9230*B + 10439*C)*Sin[c + d*x])/(45045*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (8*a^3*(8368*A + 9230*B + 10439*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(45045*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(8368*A + 9230*B + 10439*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15015*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(2224*A + 2522*B + 2717*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9009*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(136*A + 182*B + 143*C)*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1287*d) + (2*a*(5*A + 13*B)*Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(143*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(13*d)}
+{Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (4*a^3*(2840*A + 3212*B + 3795*C)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(2840*A + 3212*B + 3795*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^3*(1160*A + 1364*B + 1485*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3465*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(32*A + 44*B + 33*C)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*a*(5*A + 11*B)*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (64*a^3*(13*A + 15*B + 21*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (16*a^2*(13*A + 15*B + 21*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*a*(13*A + 15*B + 21*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(5*A + 9*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*a^(5/2)*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (2*a^3*(160*A + 224*B + 245*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*a^2*(40*A + 56*B + 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*a*(5*A + 7*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a^(5/2)*(2*B + 5*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/d + (a^3*(64*A + 70*B + 15*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a^2*(16*A + 10*B - 15*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*(A + B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a^(5/2)*(8*A + 20*B + 19*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*d) + (a^3*(56*A + 12*B - 27*C)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (a^2*(8*A - 12*B - 21*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (a*(4*A - 3*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (a^(5/2)*(40*A + 38*B + 25*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*(24*A - 54*B - 49*C)*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(24*A + 42*B + 31*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (a*(6*B + 5*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 7, (a^(5/2)*(304*A + 200*B + 163*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(64*d) + (a^3*(432*A + 392*B + 299*C)*Sin[c + d*x])/(192*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(16*A + 24*B + 17*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (a*(8*B + 5*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 8, (a^(5/2)*(400*A + 326*B + 283*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(128*d) + (a^3*(1040*A + 950*B + 787*C)*Sin[c + d*x])/(960*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(400*A + 326*B + 283*C)*Sin[c + d*x])/(128*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(80*A + 110*B + 79*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (a*(2*B + C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(5/2), x, 9, (a^(5/2)*(1304*A + 1132*B + 1015*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(512*d) + (a^3*(680*A + 628*B + 545*C)*Sin[c + d*x])/(960*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(1304*A + 1132*B + 1015*C)*Sin[c + d*x])/(768*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^3*(1304*A + 1132*B + 1015*C)*Sin[c + d*x])/(512*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (a^2*(120*A + 156*B + 115*C)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(480*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (a*(12*B + 5*C)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(60*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (C*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (2*(43*A - 91*B + 35*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*(31*A - 7*B + 35*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*(A - 7*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 6, -((Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d)) + (2*(13*A - 5*B + 15*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - (2*(A - 5*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 5, (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (2*(A - 3*B)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, (2*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (2*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(1/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 7, ((2*B - C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (C*Sin[c + d*x])/(d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 8, ((8*A - 4*B + 7*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (C*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((4*B - C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]), x, 9, -(((8*A - 14*B + 9*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(8*Sqrt[a]*d)) + (Sqrt[2]*(A - B + C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (C*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((6*B - C)*Sin[c + d*x])/(12*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((8*A - 2*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a*A + (A*b + a*B)*Sec[c + d*x] + b*B*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]], x, 7, (2*b*B*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*(a - b)*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d) + (2*a*A*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 7, -(((15*A - 11*B + 7*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((147*A - 95*B + 75*C)*Sin[c + d*x])/(30*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((39*A - 35*B + 15*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(30*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((9*A - 5*B + 5*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(10*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 6, ((11*A - 7*B + 3*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((19*A - 15*B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((7*A - 3*B + 3*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(6*a*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 5, -(((7*A - 3*B - C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((5*A - B + C)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 7, (2*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) + ((3*A + B - 5*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 8, ((2*B - 3*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(3/2)*d) + ((A - 5*B + 9*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((A - B + 3*C)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 9, ((8*A - 12*B + 19*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(4*a^(3/2)*d) - ((5*A - 9*B + 13*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((A - B + 2*C)*Sin[c + d*x])/(2*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((2*A - 6*B + 7*C)*Sin[c + d*x])/(4*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 8, -(((283*A - 163*B + 75*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A - B + C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((21*A - 13*B + 5*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((2671*A - 1495*B + 735*C)*Sin[c + d*x])/(240*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) - ((787*A - 475*B + 195*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((157*A - 85*B + 45*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(80*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 7, ((163*A - 75*B + 19*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((17*A - 9*B + C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) - ((299*A - 147*B + 27*C)*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]) + ((95*A - 39*B + 15*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(48*a^2*d*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(Cos[c + d*x]^(1/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 6, -(((75*A - 19*B - 5*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((13*A - 5*B - 3*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((49*A - 9*B + C)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 5, ((19*A + 5*B + 3*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) - ((9*A - B - 7*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 8, (2*C*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + ((5*A + 3*B - 43*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((5*A + 3*B - 11*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 9, ((2*B - 5*C)*ArcSinh[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]]]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(a^(5/2)*d) + ((3*A - 43*B + 115*C)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])]*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) - ((A - B + C)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(5/2)) + ((A + 7*B - 15*C)*Sin[c + d*x])/(16*a*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + a*Sec[c + d*x])^(3/2)) + ((3*A - 11*B + 35*C)*Sin[c + d*x])/(16*a^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + a*Sec[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Sec[e+f x])^m (d Cos[e+f x])^n (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
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+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m (A+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m (B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^n (a+b Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(n/2) (a+b Sec[e+f x])^m (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (2*(7*a*A + 9*b*B + 9*a*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*(5*A*b + 5*a*B + 7*b*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(5*A*b + 5*a*B + 7*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(7*a*A + 9*b*B + 9*a*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*(A*b + a*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*(3*A*b + 3*a*B + 5*b*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(5*a*A + 7*b*B + 7*a*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(5*a*A + 7*b*B + 7*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(A*b + a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (2*(3*a*A + 5*b*B + 5*a*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(A*b + a*B + 3*b*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*(A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, (2*(A*b + a*B - b*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*(3*b*B + a*(A + 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*b*C*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^(1/2)*(a + b*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 6, -((2*(b*B - a*(A - C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d) + (2*(3*A*b + 3*a*B + b*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*b*C*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(b*B + a*C)*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(1/2), x, 7, -((2*(5*A*b + 5*a*B + 3*b*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(b*B + a*(3*A + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*b*C*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(b*B + a*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*A*b + 5*a*B + 3*b*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Sec[c + d*x])*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 8, -((2*(5*a*A + 3*b*B + 3*a*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(7*A*b + 7*a*B + 5*b*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*b*C*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*(b*B + a*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(7*A*b + 7*a*B + 5*b*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*a*A + 3*b*B + 3*a*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (2*(18*a*b*B + 3*b^2*(3*A + 5*C) + a^2*(7*A + 9*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*(10*a*A*b + 5*a^2*B + 7*b^2*B + 14*a*b*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(10*a*A*b + 5*a^2*B + 7*b^2*B + 14*a*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*(4*A*b^2 + 18*a*b*B + a^2*(7*A + 9*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(45*d) + (2*a*(4*A*b + 9*a*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*(6*a*A*b + 3*a^2*B + 5*b^2*B + 10*a*b*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(14*a*b*B + 7*b^2*(A + 3*C) + a^2*(5*A + 7*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(4*A*b^2 + 14*a*b*B + a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(4*A*b + 7*a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*(10*a*b*B + 5*b^2*(A - C) + a^2*(3*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(a^2*B + 3*b^2*B + 2*a*b*(A + 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*(2*A*b + a*B - 6*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a^2*(A - 5*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d) + (2*C*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, (2*(a^2*B - b^2*B + 2*a*b*(A - C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/d + (2*(6*a*b*B + b^2*(3*A + C) + a^2*(A + 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*b*(3*b*B + 4*a*C)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*C*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 7, -((2*(10*a*b*B - 5*a^2*(A - C) + b^2*(5*A + 3*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(3*a^2*B + b^2*B + 2*a*b*(3*A + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*b*(5*b*B + 4*a*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*A*b^2 + 10*a*b*B + 4*a^2*C + 3*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^2*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 8, -((2*(10*a*A*b + 5*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(14*a*b*B + 7*a^2*(3*A + C) + b^2*(7*A + 5*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*b*(7*b*B + 4*a*C)*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(7*A*b^2 + 14*a*b*B + 4*a^2*C + 5*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(10*a*A*b + 5*a^2*B + 3*b^2*B + 6*a*b*C)*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (2*(7*a^3*B + 27*a*b^2*B + 3*b^3*(3*A + 5*C) + 3*a^2*b*(7*A + 9*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*(165*a^2*b*B + 77*b^3*B + 33*a*b^2*(5*A + 7*C) + 5*a^3*(9*A + 11*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (2*(165*a^2*b*B + 77*b^3*B + 33*a*b^2*(5*A + 7*C) + 5*a^3*(9*A + 11*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*(24*A*b^3 + 77*a^3*B + 242*a*b^2*B + 33*a^2*b*(7*A + 9*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(495*d) + (2*a*(24*A*b^2 + 143*a*b*B + 9*a^2*(9*A + 11*C))*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*(6*A*b + 11*a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (2*(27*a^2*b*B + 15*b^3*B + 9*a*b^2*(3*A + 5*C) + a^3*(7*A + 9*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*(5*a^3*B + 21*a*b^2*B + 7*b^3*(A + 3*C) + 3*a^2*b*(5*A + 7*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*(8*A*b^3 + 15*a^3*B + 54*a*b^2*B + 9*a^2*b*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*a*(24*A*b^2 + 99*a*b*B + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*(2*A*b + 3*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (2*(3*a^3*B + 15*a*b^2*B + 5*b^3*(A - C) + 3*a^2*b*(3*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(21*a^2*b*B + 21*b^3*B + 21*a*b^2*(A + 3*C) + a^3*(5*A + 7*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*(21*a*b*B + 6*b^2*(3*A - 7*C) + a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a^2*(11*A*b + 7*a*B - 35*b*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*a*(A - 7*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*C*(b + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (2*(15*a^2*b*B - 5*b^3*B + 15*a*b^2*(A - C) + a^3*(3*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(a^3*B + 9*a*b^2*B + b^3*(3*A + C) + 3*a^2*b*(A + 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*(a^2*B - 6*b^2*B + 3*a*b*(A - 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*a^2*(3*a*A - 15*b*B - 35*a*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(b*B + 2*a*C)*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(b + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, (2*(5*a^3*B - 15*a*b^2*B + 15*a^2*b*(A - C) - b^3*(5*A + 3*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(9*a^2*b*B + b^3*B + 3*a*b^2*(3*A + C) + a^3*(A + 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*b*(15*A*b^2 + 35*a*b*B + 24*a^2*C + 9*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*a^2*(5*a*A - 5*b*B - 9*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(5*b*B + 6*a*C)*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*C*(b + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 8, -((2*(15*a^2*b*B + 3*b^3*B - 5*a^3*(A - C) + 3*a*b^2*(5*A + 3*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d)) + (2*(21*a^3*B + 21*a*b^2*B + 21*a^2*b*(3*A + C) + b^3*(7*A + 5*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*b*(35*A*b^2 + 63*a*b*B + 24*a^2*C + 25*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(98*a^2*b*B + 21*b^3*B + 24*a^3*C + 21*a*b^2*(5*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(35*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(7*b*B + 6*a*C)*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*C*(b + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 9, -((2*(15*a^3*B + 27*a*b^2*B + 9*a^2*b*(5*A + 3*C) + b^3*(9*A + 7*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d)) + (2*(21*a^2*b*B + 5*b^3*B + 7*a^3*(3*A + C) + 3*a*b^2*(7*A + 5*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*b*(63*A*b^2 + 99*a*b*B + 24*a^2*C + 49*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(54*a^2*b*B + 15*b^3*B + 8*a^3*C + 9*a*b^2*(7*A + 5*C))*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(15*a^3*B + 27*a*b^2*B + 9*a^2*b*(5*A + 3*C) + b^3*(9*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(3*b*B + 2*a*C)*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*C*(b + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (2*(7*a^4*B + 54*a^2*b^2*B + 15*b^4*B + 12*a*b^3*(3*A + 5*C) + 4*a^3*b*(7*A + 9*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*(220*a^3*b*B + 308*a*b^3*B + 77*b^4*(A + 3*C) + 66*a^2*b^2*(5*A + 7*C) + 5*a^4*(9*A + 11*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(231*d) + (2*(64*A*b^4 + 660*a^3*b*B + 682*a*b^3*B + 15*a^4*(9*A + 11*C) + 9*a^2*b^2*(101*A + 143*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*a*(192*A*b^3 + 539*a^3*B + 1353*a*b^2*B + 2*a^2*b*(673*A + 891*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3465*d) + (2*(16*A*b^2 + 55*a*b*B + 3*a^2*(9*A + 11*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*(8*A*b + 11*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (2*(36*a^3*b*B + 60*a*b^3*B + 15*b^4*(A - C) + 18*a^2*b^2*(3*A + 5*C) + a^4*(7*A + 9*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d) + (2*(5*a^4*B + 42*a^2*b^2*B + 21*b^4*B + 28*a*b^3*(A + 3*C) + 4*a^3*b*(5*A + 7*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*(15*a^3*B + 117*a*b^2*B + 2*b^3*(31*A - 63*C) + 12*a^2*b*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*a^2*(162*a*b*B + 3*b^2*(41*A - 105*C) + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*a*(5*A*b + 3*a*B - 21*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a*(A - 9*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(9*d) + (2*C*(b + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (2*(3*a^4*B + 30*a^2*b^2*B - 5*b^4*B + 20*a*b^3*(A - C) + 4*a^3*b*(3*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(28*a^3*b*B + 84*a*b^3*B + 7*b^4*(3*A + C) + 42*a^2*b^2*(A + 3*C) + a^4*(5*A + 7*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*a*(28*a^2*b*B - 42*b^3*B + 3*a*b^2*(13*A - 49*C) + a^3*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*a^2*(54*a*A*b + 21*a^2*B - 105*b^2*B - 350*a*b*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*a*(a*A - 7*b*B - 21*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(7*d) + (2*(3*b*B + 8*a*C)*(b + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*C*(b + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (2*(20*a^3*b*B - 20*a*b^3*B + 30*a^2*b^2*(A - C) - b^4*(5*A + 3*C) + a^4*(3*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(a^4*B + 18*a^2*b^2*B + b^4*B + 4*a*b^3*(3*A + C) + 4*a^3*b*(A + 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*d) + (2*a*(5*a^3*B - 105*a*b^2*B + 4*a^2*b*(5*A - 33*C) - 6*b^3*(5*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) - (2*a^2*(50*a*b*B - a^2*(3*A - 59*C) + 3*b^2*(5*A + 3*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*(5*A*b^2 + 15*a*b*B + 16*a^2*C + 3*b^2*C)*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(5*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(5*b*B + 8*a*C)*(b + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(15*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*C*(b + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, (2*(5*a^4*B - 30*a^2*b^2*B - 3*b^4*B + 20*a^3*b*(A - C) - 4*a*b^3*(5*A + 3*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*d) + (2*(84*a^3*b*B + 28*a*b^3*B + 42*a^2*b^2*(3*A + C) + 7*a^4*(A + 3*C) + b^4*(7*A + 5*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*b*(413*a^2*b*B + 63*b^3*B + 192*a^3*C + 2*a*b^2*(175*A + 101*C))*Sin[c + d*x])/(105*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (2*a^2*(98*a*b*B - a^2*(35*A - 87*C) + 5*b^2*(7*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(35*A*b^2 + 77*a*b*B + 48*a^2*C + 25*b^2*C)*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(105*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(7*b*B + 8*a*C)*(b + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(35*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*C*(b + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(7*d*Cos[c + d*x]^(7/2))}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 9, -((2*(60*a^3*b*B + 36*a*b^3*B - 15*a^4*(A - C) + 18*a^2*b^2*(5*A + 3*C) + b^4*(9*A + 7*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(15*d)) + (2*(21*a^4*B + 42*a^2*b^2*B + 5*b^4*B + 28*a^3*b*(3*A + C) + 4*a*b^3*(7*A + 5*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(21*d) + (2*b*(261*a^2*b*B + 75*b^3*B + 64*a^3*C + 2*a*b^2*(147*A + 101*C))*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(1098*a^3*b*B + 756*a*b^3*B + 192*a^4*C + 21*b^4*(9*A + 7*C) + 7*a^2*b^2*(261*A + 155*C))*Sin[c + d*x])/(315*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(63*A*b^2 + 117*a*b*B + 48*a^2*C + 49*b^2*C)*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(315*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(9*b*B + 8*a*C)*(b + a*Cos[c + d*x])^3*Sin[c + d*x])/(63*d*Cos[c + d*x]^(7/2)) + (2*C*(b + a*Cos[c + d*x])^4*Sin[c + d*x])/(9*d*Cos[c + d*x]^(9/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 8, (2*(5*A*b^2 - 5*a*b*B + a^2*(3*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*a^3*d) - (2*(3*A*b^3 - a^3*B - 3*a*b^2*B + a^2*b*(A + 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^4*d) + (2*b^2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^4*(a + b)*d) - (2*(A*b - a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*a*d)}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 7, -((2*(A*b - a*B)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d)) + (2*(3*A*b^2 - 3*a*b*B + a^2*(A + 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^3*d) - (2*b*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a + b)*d) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x]), x, 6, (2*A*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d) - (2*(A*b - a*B)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*d) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a + b)*d)}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])), x, 7, -((2*C*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b*d)) + (2*A*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*d) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a*b*(a + b)*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])), x, 8, -((2*(b*B - a*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*d)) + (2*C*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b*d) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*(a + b)*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(3*b*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])), x, 9, -((2*(5*A*b^2 - 5*a*b*B + 5*a^2*C + 3*b^2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(5*b^3*d)) + (2*(b*B - a*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^2*d) - (2*a*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*(a + b)*d) + (2*C*Sin[c + d*x])/(5*b*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (2*(b*B - a*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (2*(5*A*b^2 - 5*a*b*B + 5*a^2*C + 3*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(5*b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 8, ((5*A*b^3 + 2*a^3*B - 3*a*b^2*B - a^2*b*(4*A - C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) - ((15*A*b^4 + 12*a^3*b*B - 9*a*b^3*B - a^2*b^2*(16*A - 3*C) - 2*a^4*(A + 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d) + (b*(5*A*b^4 + 5*a^3*b*B - 3*a*b^3*B - a^2*b^2*(7*A - C) - 3*a^4*C)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^4*(a - b)*(a + b)^2*d) - ((5*A*b^2 - 3*a*b*B - a^2*(2*A - 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^2, x, 7, -(((3*A*b^2 - a*b*B - a^2*(2*A - C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a^2 - b^2)*d)) + ((3*A*b^3 + 2*a^3*B - a*b^2*B - a^2*b*(4*A + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a^2 - b^2)*d) - ((3*A*b^4 + 3*a^3*b*B - a*b^3*B - a^4*C - a^2*b^2*(5*A + C))*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^3*(a - b)*(a + b)^2*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^2), x, 7, ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*b*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 + a*b*B - a^2*(2*A + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^4 + a^3*b*B + a*b^3*B + a^4*C - 3*a^2*b^2*(A + C))*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a^2*(a - b)*b*(a + b)^2*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2), x, 8, -(((A*b^2 - a*b*B + 3*a^2*C - 2*b^2*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^2*(a^2 - b^2)*d)) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(a*b*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^4 + a^3*b*B - 3*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(A + 5*C))*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(a*b^2*(a + b)*(a^2 - b^2)*d) + ((A*b^2 - a*b*B + 3*a^2*C - 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^2), x, 9, -(((3*a^2*b*B - 2*b^3*B - a*b^2*(A - 4*C) - 5*a^3*C)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(b^3*(a^2 - b^2)*d)) + ((3*A*b^2 - 3*a*b*B + 5*a^2*C - 2*b^2*C)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((3*A*b^4 + 3*a^3*b*B - 5*a*b^3*B - a^2*b^2*(A - 7*C) - 5*a^4*C)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/((a - b)*b^3*(a + b)^2*d) + ((3*A*b^2 - 3*a*b*B + 5*a^2*C - 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((3*a^2*b*B - 2*b^3*B - a*b^2*(A - 4*C) - 5*a^3*C)*Sin[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 9, -(((35*A*b^5 - 8*a^5*B + 29*a^3*b^2*B - 15*a*b^4*B - a^2*b^3*(65*A - 3*C) + a^4*(24*A*b - 9*b*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((105*A*b^6 - 72*a^5*b*B + 99*a^3*b^3*B - 45*a*b^5*B + a^4*b^2*(128*A - 15*C) - a^2*b^4*(223*A - 9*C) + 8*a^6*(A + 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(12*a^5*(a^2 - b^2)^2*d) - (b*(35*A*b^6 - 35*a^5*b*B + 38*a^3*b^3*B - 15*a*b^5*B - a^2*b^4*(86*A - 3*C) + 3*a^4*b^2*(21*A - 2*C) + 15*a^6*C)*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^5*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + ((35*A*b^4 + 33*a^3*b*B - 15*a*b^3*B + a^4*(8*A - 21*C) - a^2*b^2*(61*A - 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) - ((7*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 3*a*b^3*B - 5*a^4*C - a^2*b^2*(13*A + C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^3, x, 8, ((15*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 3*a*b^3*B + a^4*(8*A - 5*C) - a^2*b^2*(29*A + C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((15*A*b^5 - 8*a^5*B + 5*a^3*b^2*B - 3*a*b^4*B - a^2*b^3*(33*A + C) + a^4*b*(24*A + 7*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((15*A*b^6 - 15*a^5*b*B + 6*a^3*b^3*B - 3*a*b^5*B + 3*a^6*C - a^2*b^4*(38*A + C) + 5*a^4*b^2*(7*A + 2*C))*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^4*(a - b)^2*(a + b)^3*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) - ((5*A*b^4 + 7*a^3*b*B - a*b^3*B - 3*a^4*C - a^2*b^2*(11*A + 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^3), x, 8, -(((3*A*b^4 + 5*a^3*b*B + a*b^3*B - a^4*C - a^2*b^2*(9*A + 5*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*b*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((3*A*b^4 - 7*a^3*b*B + a*b^3*B - a^2*b^2*(5*A - 3*C) + a^4*(8*A + 3*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((3*A*b^6 - 3*a^5*b*B - 10*a^3*b^3*B + a*b^5*B - 3*a^2*b^4*(2*A - C) - a^6*C + 5*a^4*b^2*(3*A + 2*C))*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^3*(a - b)^2*b*(a + b)^3*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + ((3*A*b^4 + 5*a^3*b*B + a*b^3*B - a^4*C - a^2*b^2*(9*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*a*b*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3), x, 8, -(((A*b^4 - a^3*b*B - 5*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(5*A + 9*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*b^2*(a^2 - b^2)^2*d)) + ((A*b^4 + 3*a^3*b*B + 3*a*b^3*B + a^4*C - 7*a^2*b^2*(A + C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*b*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^6 - a^5*b*B + 10*a^3*b^3*B + 3*a*b^5*B - 3*a^4*b^2*(A - 2*C) - 3*a^6*C - 5*a^2*b^4*(2*A + 3*C))*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a^2*(a - b)^2*b^2*(a + b)^3*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + ((A*b^4 - a^3*b*B - 5*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(5*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^3), x, 9, ((3*a^3*b*B - 9*a*b^3*B + b^4*(5*A - 8*C) - 15*a^4*C + a^2*b^2*(A + 29*C))*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((3*A*b^4 + a^3*b*B - 7*a*b^3*B - 5*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 11*C))*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*b^2*(a^2 - b^2)^2*d) - ((3*A*b^6 - 3*a^5*b*B + 6*a^3*b^3*B - 15*a*b^5*B + 15*a^6*C + 5*a^2*b^4*(2*A + 7*C) - a^4*b^2*(A + 38*C))*EllipticPi[(2*a)/(a + b), (1/2)*(c + d*x), 2])/(4*a*(a - b)^2*b^3*(a + b)^3*d) - ((3*a^3*b*B - 9*a*b^3*B + b^4*(5*A - 8*C) - 15*a^4*C + a^2*b^2*(A + 29*C))*Sin[c + d*x])/(4*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + ((3*A*b^4 + a^3*b*B - 7*a*b^3*B - 5*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 11*C))*Sin[c + d*x])/(4*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cos[e+f x])^(n/2) (a+b Sec[e+f x])^(m/2) (A+B Sec[e+f x]+C Sec[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 12, (-2*(a^2 - b^2)*(16*A*b^3 - 75*a^3*B - 24*a*b^2*B + 6*a^2*b*(6*A + 7*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(315*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(16*A*b^4 - 57*a^3*b*B - 24*a*b^3*B + 6*a^2*b^2*(4*A + 7*C) - 21*a^4*(7*A + 9*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(315*a^4*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(8*A*b^3 + 75*a^3*B - 12*a*b^2*B + a^2*b*(13*A + 21*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a^3*d) - (2*(6*A*b^2 - 9*a*b*B - 7*a^2*(7*A + 9*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a^2*d) + (2*(A*b + 9*a*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(63*a*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 11, (2*(a^2 - b^2)*(25*a^2*A + 8*A*b^2 - 14*a*b*B + 35*a^2*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(105*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^3 + 63*a^3*B - 14*a*b^2*B + a^2*b*(19*A + 35*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(105*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(4*A*b^2 - 7*a*b*B - 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a^2*d) + (2*(A*b + 7*a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*a*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 10, (-2*(a^2 - b^2)*(2*A*b - 5*a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(15*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(2*A*b^2 - 5*a*b*B - 3*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(A*b + 5*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 13, (-2*(A*b^2 - a^2*(A + 3*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b*C*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b + 3*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 13, ((2*a*B + b*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*b*B + a*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*A - C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 14, ((8*a*A + 4*b*B + 3*a*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((8*A*b^2 + 4*a*b*B - a^2*C + 4*b^2*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(4*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((4*b*B + a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*b*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((4*b*B + a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 15, ((24*A*b^2 + 18*a*b*B - a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(24*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((2*a^2*b*B - 8*b^3*B - a^3*C - 4*a*b^2*(2*A + C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(8*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((24*A*b^2 + 6*a*b*B - 3*a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(24*b^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + ((6*b*B + a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*b*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((24*A*b^2 + 6*a*b*B - 3*a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 12, (2*(a^2 - b^2)*(8*A*b^3 + 75*a^3*B - 18*a*b^2*B + a^2*(39*A*b + 63*b*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(315*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^4 + 246*a^3*b*B - 18*a*b^3*B + 21*a^4*(7*A + 9*C) + 3*a^2*b^2*(11*A + 21*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(315*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(4*A*b^3 - 75*a^3*B - 9*a*b^2*B - 2*a^2*b*(44*A + 63*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a^2*d) + (2*(3*A*b^2 + 72*a*b*B + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d) + (2*(A*b + 3*a*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(21*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 11, (2*(a^2 - b^2)*(25*a^2*A - 6*A*b^2 + 21*a*b*B + 35*a^2*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(105*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(6*A*b^3 - 63*a^3*B - 21*a*b^2*B - 2*a^2*b*(41*A + 70*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(105*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(3*A*b^2 + 42*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a*d) + (2*(3*A*b + 7*a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 14, (-2*(3*A*b^3 - 5*a^3*B + 5*a*b^2*B - 3*a^2*b*(A + 5*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(15*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^2*C*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(3*A*b^2 + 20*a*b*B + 3*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(3*A*b + 5*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 14, ((6*a*b*B - b^2*(2*A - 3*C) + 2*a^2*(A + 3*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b*(2*b*B + 3*a*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((8*A*b + 6*a*B - 3*b*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (b*(2*A - 3*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 14, ((8*a^2*B + 4*b^2*B + a*b*(8*A + 7*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((8*A*b^2 + 12*a*b*B + 3*a^2*C + 4*b^2*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((8*a*A - 4*b*B - 5*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + ((4*b*B + 3*a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 15, ((42*a*b*B + 8*b^2*(3*A + 2*C) + a^2*(48*A + 17*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((6*a^2*b*B + 8*b^3*B - a^3*C + 12*a*b^2*(2*A + C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(8*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((24*A*b^2 + 30*a*b*B + 3*a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(24*b*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + ((2*b*B + a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((24*A*b^2 + 30*a*b*B + 3*a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 16, ((136*a^2*b*B + 128*b^3*B - 3*a^3*C + 12*a*b^2*(28*A + 19*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(192*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((8*a^3*b*B - 96*a*b^3*B - 3*a^4*C - 24*a^2*b^2*(2*A + C) - 16*b^4*(4*A + 3*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(64*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((24*a^2*b*B + 128*b^3*B - 9*a^3*C + 12*a*b^2*(20*A + 13*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(192*b^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + ((8*b*B + 3*a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + ((48*A*b^2 + 56*a*b*B + 3*a^2*C + 36*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(96*b*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((24*a^2*b*B + 128*b^3*B - 9*a^3*C + 12*a*b^2*(20*A + 13*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^(11/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 13, (2*(a^2 - b^2)*(40*A*b^4 + 1254*a^3*b*B - 110*a*b^3*B + 75*a^4*(9*A + 11*C) + 15*a^2*b^2*(19*A + 33*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3465*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B + 15*a^2*b^3*(17*A + 33*C) + 15*a^4*b*(247*A + 319*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3465*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(20*A*b^4 - 1793*a^3*b*B - 55*a*b^3*B - 75*a^4*(9*A + 11*C) - 5*a^2*b^2*(205*A + 297*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*a^2*d) + (2*(15*A*b^3 + 539*a^3*B + 825*a*b^2*B + 5*a^2*b*(229*A + 297*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3465*a*d) + (2*(5*A*b^2 + 44*a*b*B + 3*a^2*(9*A + 11*C))*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(231*d) + (2*(5*A*b + 11*a*B)*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)}
+{Cos[c + d*x]^(9/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 12, (-2*(a^2 - b^2)*(10*A*b^3 - 75*a^3*B - 45*a*b^2*B - 6*a^2*b*(19*A + 28*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(315*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(10*A*b^4 - 435*a^3*b*B - 45*a*b^3*B - 21*a^4*(7*A + 9*C) - 3*a^2*b^2*(93*A + 161*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(315*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(5*A*b^3 + 75*a^3*B + 135*a*b^2*B + a^2*b*(163*A + 231*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*a*d) + (2*(15*A*b^2 + 90*a*b*B + 7*a^2*(7*A + 9*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(315*d) + (2*(5*A*b + 9*a*B)*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(63*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^(7/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 15, (-2*(15*A*b^4 - 56*a^3*b*B + 56*a*b^3*B + 10*a^2*b^2*(A - 7*C) - 5*a^4*(5*A + 7*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(105*a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b^3*C*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(15*A*b^3 + 63*a^3*B + 161*a*b^2*B + 5*a^2*b*(29*A + 49*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(105*a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(15*A*b^2 + 56*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*d) + (2*(5*A*b + 7*a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(35*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 15, ((10*a^3*B + 20*a*b^2*B - b^3*(16*A - 15*C) + 4*a^2*b*(4*A + 15*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b^2*(2*b*B + 5*a*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((70*a*b*B + b^2*(46*A - 15*C) + 6*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (b*(16*A*b + 10*a*B - 15*b*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*(A*b + a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 15, ((48*a^2*b*B + 12*b^3*B + 8*a^3*(A + 3*C) + a*b^2*(16*A + 33*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(12*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (b*(8*A*b^2 + 20*a*b*B + 15*a^2*C + 4*b^2*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((24*a^2*B - 12*b^2*B + a*b*(56*A - 27*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(12*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (b*(8*a*A - 12*b*B - 21*a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) - (b*(4*A - 3*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(6*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2), x, 15, ((48*a^3*B + 66*a*b^2*B + 8*b^3*(3*A + 2*C) + a^2*b*(96*A + 59*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(24*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((30*a^2*b*B + 8*b^3*B + 5*a^3*C + 20*a*b^2*(2*A + C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(8*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((54*a*b*B - a^2*(48*A - 33*C) + 8*b^2*(3*A + 2*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(24*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + ((24*A*b^2 + 42*a*b*B + 15*a^2*C + 16*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(24*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((6*b*B + 5*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(12*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[Cos[c + d*x]], x, 16, ((472*a^2*b*B + 128*b^3*B + 4*a*b^2*(132*A + 89*C) + a^3*(384*A + 133*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(192*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((40*a^3*b*B + 160*a*b^3*B - 5*a^4*C + 120*a^2*b^2*(2*A + C) + 16*b^4*(4*A + 3*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(64*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((264*a^2*b*B + 128*b^3*B + 15*a^3*C + 4*a*b^2*(108*A + 71*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(192*b*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + ((16*A*b^2 + 24*a*b*B + 5*a^2*C + 12*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(32*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((264*a^2*b*B + 128*b^3*B + 15*a^3*C + 4*a*b^2*(108*A + 71*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(192*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((8*b*B + 5*a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(24*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(4*d*Cos[c + d*x]^(3/2))}
+{((a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Cos[c + d*x]^(3/2), x, 17, ((1330*a^3*b*B + 3560*a*b^3*B - 15*a^4*C + 256*b^4*(5*A + 4*C) + 4*a^2*b^2*(1180*A + 809*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(1920*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((10*a^4*b*B - 240*a^2*b^3*B - 96*b^5*B - 3*a^5*C - 40*a^3*b^2*(2*A + C) - 80*a*b^4*(4*A + 3*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(128*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((150*a^3*b*B + 2840*a*b^3*B - 45*a^4*C + 256*b^4*(5*A + 4*C) + 12*a^2*b^2*(220*A + 141*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(1920*b^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + ((80*A*b^2 + 110*a*b*B + 15*a^2*C + 64*b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(240*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + ((590*a^2*b*B + 360*b^3*B + 15*a^3*C + 4*a*b^2*(260*A + 193*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(960*b*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((150*a^3*b*B + 2840*a*b^3*B - 45*a^4*C + 256*b^4*(5*A + 4*C) + 12*a^2*b^2*(220*A + 141*C))*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(1920*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]) + ((2*b*B + a*C)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Sin[c + d*x])/(8*d*Cos[c + d*x]^(5/2)) + (C*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*Sin[c + d*x])/(5*d*Cos[c + d*x]^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(7/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 11, (2*(48*A*b^4 - 49*a^3*b*B - 56*a*b^3*B + 5*a^4*(5*A + 7*C) + 2*a^2*b^2*(16*A + 35*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(105*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(48*A*b^3 - 63*a^3*B - 56*a*b^2*B + a^2*(44*A*b + 70*b*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(105*a^4*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(24*A*b^2 - 28*a*b*B + 5*a^2*(5*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(105*a^3*d) - (2*(6*A*b - 7*a*B)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(35*a^2*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(5/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(7*a*d)}
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 10, (-2*(8*A*b^3 - 5*a^3*B - 10*a*b^2*B + a^2*b*(7*A + 15*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(15*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^2 - 10*a*b*B + 3*a^2*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^3*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(4*A*b - 5*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^2*d) + (2*A*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a*d)}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 9, (2*(2*A*b^2 - 3*a*b*B + a^2*(A + 3*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(3*a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(2*A*b - 3*a*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*d)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 12, (-2*(A*b - a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x, 13, ((2*A + C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*b*B - a*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (C*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]), x, 14, ((4*b*B - a*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(4*b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((8*A*b^2 - 4*a*b*B + 3*a^2*C + 4*b^2*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(4*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((4*b*B - 3*a*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(4*b^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (C*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(2*b*d*Cos[c + d*x]^(3/2)) + ((4*b*B - 3*a*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(4*b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a*A + (A*b + a*B)*Sec[c + d*x] + b*B*Sec[c + d*x]^2))/Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]], x, 13, (2*a*B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*b*B*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)])/(d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*A*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(c + d*x)/2, (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 11, -((2*(48*A*b^3 - 5*a^3*B - 40*a*b^2*B + 6*a^2*b*(2*A + 5*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(15*a^4*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) - (2*(48*A*b^4 + 25*a^3*b*B - 40*a*b^3*B - 6*a^2*b^2*(4*A - 5*C) - 3*a^4*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(24*A*b^3 + 5*a^3*B - 20*a*b^2*B - a^2*(9*A*b - 15*b*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^3*(a^2 - b^2)*d) - (2*(6*A*b^2 - 5*a*b*B - a^2*(A - 5*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(5*a^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 10, (2*(8*A*b^2 - 6*a*b*B + a^2*(A + 3*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(3*a^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^3 + 3*a^3*B - 6*a*b^2*B - a^2*(5*A*b - 3*b*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(4*A*b^2 - 3*a*b*B - a^2*(A - 3*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2), x, 9, -((2*(2*A*b - a*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(a^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) - (2*(2*A*b^2 - a*b*B - a^2*(A - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 13, (2*A*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(a*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*C*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(a*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)), x, 14, (C*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(b*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*b*B - 3*a*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((2*A*b^2 - 2*a*b*B + 3*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*A*b^2 - 2*a*b*B + 3*a^2*C - b^2*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
+
+
+{(Cos[c + d*x]^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 12, (2*(128*A*b^5 + 5*a^5*B + 80*a^3*b^2*B - 80*a*b^4*B - 4*a^2*b^3*(29*A - 10*C) - a^4*b*(17*A + 45*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(15*a^5*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(128*A*b^6 - 40*a^5*b*B + 140*a^3*b^3*B - 80*a*b^5*B + 5*a^4*b^2*(11*A - 15*C) - 4*a^2*b^4*(53*A - 10*C) + 3*a^6*(3*A + 5*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(15*a^5*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*(8*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 5*a*b^3*B - 2*a^2*b^2*(6*A - C) - 6*a^4*C)*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(64*A*b^5 - 5*a^5*B + 65*a^3*b^2*B - 40*a*b^4*B + 2*a^4*b*(7*A - 20*C) - 2*a^2*b^3*(49*A - 10*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + (2*(48*A*b^4 + 50*a^3*b*B - 30*a*b^3*B + a^4*(3*A - 35*C) - a^2*b^2*(71*A - 15*C))*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(15*a^3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{(Cos[c + d*x]^(3/2)*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 11, -((2*(16*A*b^4 + 9*a^3*b*B - 8*a*b^3*B - 2*a^2*b^2*(8*A - C) - a^4*(A + 3*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(3*a^4*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) - (2*(16*A*b^5 - 3*a^5*B + 15*a^3*b^2*B - 8*a*b^4*B - 2*a^2*b^3*(14*A - C) + a^4*(8*A*b - 6*b*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^4*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*(10*a^2*A*b^2 - 6*A*b^4 - 7*a^3*b*B + 3*a*b^3*B + 4*a^4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^4 + 8*a^3*b*B - 4*a*b^3*B + a^4*(A - 5*C) - a^2*b^2*(13*A - C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d)}
+{(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2), x, 10, (2*(8*A*b^3 + 3*a^3*B - 2*a*b^2*B - a^2*b*(9*A + C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(3*a^3*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + (2*(8*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 2*a*b^3*B + 3*a^4*(A - C) - a^2*b^2*(15*A + C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) + (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) - (2*(4*A*b^4 + 5*a^3*b*B - a*b^3*B - 2*a^4*C - 2*a^2*b^2*(4*A + C))*Sin[c + d*x])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 10, -((2*(2*A*b^2 + a*b*B - a^2*(3*A + C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(3*a^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) - (2*(2*A*b^3 + 3*a^3*B + a*b^2*B - 2*a^2*b*(3*A + 2*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*(A*b^4 + 2*a^3*b*B + 2*a*b^3*B + a^4*C - 5*a^2*b^2*(A + C))*Sin[c + d*x])/(3*a*b*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 14, -((2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(3*a*b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])) + (2*C*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(b^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - (2*(A*b^4 - 4*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 7*C))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*a*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*(A*b^4 - 4*a*b^3*B - 3*a^4*C + a^2*b^2*(3*A + 7*C))*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])}
+{(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)/(Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)), x, 15, ((2*A*b^2 - 2*a*b*B + 5*a^2*C - 3*b^2*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticF[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((2*b*B - 5*a*C)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]*EllipticPi[2, (1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)])/(b^3*d*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) + ((8*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 14*a*b^3*B - 15*a^4*C + 26*a^2*b^2*C - 3*b^4*C)*Sqrt[Cos[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*(c + d*x), (2*a)/(a + b)]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(a + b)]) - (2*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*Cos[c + d*x]^(5/2)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)) + (2*(3*A*b^4 + 2*a^3*b*B - 6*a*b^3*B - 5*a^4*C + a^2*b^2*(A + 9*C))*Sin[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*Cos[c + d*x]^(3/2)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]) - ((8*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 14*a*b^3*B - 15*a^4*C + 26*a^2*b^2*C - 3*b^4*C)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x])/(3*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[Cos[c + d*x]])}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.7 (d trig)^m (a+b (c sec)^n)^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.7 (d trig)^m (a+b (c sec)^n)^p.m
new file mode 100644
index 00000000..3d4432e4
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.5 Secant/4.5.7 (d trig)^m (a+b (c sec)^n)^p.m	
@@ -0,0 +1,760 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^n)^p*)
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^2)^p*)
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+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^2)^p*)
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+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)*Sin[e + f*x]^7, x, 3, -(((a - 3*b)*Cos[e + f*x])/f) + ((a - b)*Cos[e + f*x]^3)/f - ((3*a - b)*Cos[e + f*x]^5)/(5*f) + (a*Cos[e + f*x]^7)/(7*f) + (b*Sec[e + f*x])/f}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)*Sin[e + f*x]^5, x, 3, -(((a - 2*b)*Cos[e + f*x])/f) + ((2*a - b)*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) - (a*Cos[e + f*x]^5)/(5*f) + (b*Sec[e + f*x])/f}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)*Sin[e + f*x]^3, x, 3, -(((a - b)*Cos[e + f*x])/f) + (a*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) + (b*Sec[e + f*x])/f}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)*Sin[e + f*x]^1, x, 3, -((a*Cos[e + f*x])/f) + (b*Sec[e + f*x])/f}
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+{Csc[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, -((a + 3*b)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(2*f) - ((a + b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*f) + (b*Sec[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^5*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 5, (-3*(a + 5*b)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(8*f) - ((3*a + 7*b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*f) - ((a + b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^3)/(4*f) + (b*Sec[e + f*x])/f}
+
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)*Sin[e + f*x]^6, x, 6, (5*(a - 6*b)*x)/16 - ((11*a - 18*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) + ((13*a - 6*b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*f) - (a*Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(6*f) + (b*Tan[e + f*x])/f}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)*Sin[e + f*x]^4, x, 5, (3*(a - 4*b)*x)/8 - ((5*a - 4*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) + (a*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*f) + (b*Tan[e + f*x])/f}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)*Sin[e + f*x]^2, x, 4, ((a - 2*b)*x)/2 - (a*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f) + (b*Tan[e + f*x])/f}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)*Sin[e + f*x]^0, x, 3, a*x + (b*Tan[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 3, -(((a + b)*Cot[e + f*x])/f) + (b*Tan[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^4*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 3, -(((a + 2*b)*Cot[e + f*x])/f) - ((a + b)*Cot[e + f*x]^3)/(3*f) + (b*Tan[e + f*x])/f}
+{Csc[e + f*x]^6*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 3, -(((a + 3*b)*Cot[e + f*x])/f) - ((2*a + 3*b)*Cot[e + f*x]^3)/(3*f) - ((a + b)*Cot[e + f*x]^5)/(5*f) + (b*Tan[e + f*x])/f}
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2*Sin[e + f*x]^5, x, 3, -(((a^2 - 4*a*b + b^2)*Cos[e + f*x])/f) + (2*a*(a - b)*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) - (a^2*Cos[e + f*x]^5)/(5*f) + (2*(a - b)*b*Sec[e + f*x])/f + (b^2*Sec[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2*Sin[e + f*x]^3, x, 3, -((a*(a - 2*b)*Cos[e + f*x])/f) + (a^2*Cos[e + f*x]^3)/(3*f) + ((2*a - b)*b*Sec[e + f*x])/f + (b^2*Sec[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2*Sin[e + f*x]^1, x, 3, -((a^2*Cos[e + f*x])/f) + (2*a*b*Sec[e + f*x])/f + (b^2*Sec[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, -(((a + b)^2*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/f) + (b*(2*a + b)*Sec[e + f*x])/f + (b^2*Sec[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 5, -((a + b)*(a + 5*b)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(2*f) - ((3*a^2 + 6*a*b + 5*b^2)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(6*f) + (b*(6*a + 5*b)*Sec[e + f*x])/(3*f) + (b^2*Csc[e + f*x]^2*Sec[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^5*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 6, -((3*a^2 + 30*a*b + 35*b^2)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(8*f) - ((3*a + 7*b)^2*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(24*f) - ((3*a^2 + 6*a*b + 7*b^2)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^3)/(12*f) + (b*(6*a + 7*b)*Sec[e + f*x])/(3*f) + (b^2*Csc[e + f*x]^4*Sec[e + f*x]^3)/(3*f)}
+
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2*Sin[e + f*x]^6, x, 7, (5*(a^2 - 12*a*b + 8*b^2)*x)/16 - ((3*a^2 - 36*a*b + 8*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) + (a*(a - 12*b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*f) - ((a^2 - 12*a*b + 12*b^2)*Tan[e + f*x])/(6*f) + (a^2*Sin[e + f*x]^6*Tan[e + f*x])/(6*f) + (b^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2*Sin[e + f*x]^4, x, 6, ((3*a^2 - 24*a*b + 8*b^2)*x)/8 - (a*(a - 8*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) - ((a^2 - 8*a*b + 4*b^2)*Tan[e + f*x])/(4*f) + (a^2*Sin[e + f*x]^4*Tan[e + f*x])/(4*f) + (b^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2*Sin[e + f*x]^2, x, 5, (a*(a - 4*b)*x)/2 - (a*(a - 4*b)*Tan[e + f*x])/(2*f) + (a^2*Sin[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(2*f) + (b^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2*Sin[e + f*x]^0, x, 4, a^2*x + (b*(2*a + b)*Tan[e + f*x])/f + (b^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 3, -(((a + b)^2*Cot[e + f*x])/f) + (2*b*(a + b)*Tan[e + f*x])/f + (b^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^4*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 3, -(((a + b)*(a + 3*b)*Cot[e + f*x])/f) - ((a + b)^2*Cot[e + f*x]^3)/(3*f) + (b*(2*a + 3*b)*Tan[e + f*x])/f + (b^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Csc[e + f*x]^6*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 3, -(((a^2 + 6*a*b + 6*b^2)*Cot[e + f*x])/f) - (2*(a + b)*(a + 2*b)*Cot[e + f*x]^3)/(3*f) - ((a + b)^2*Cot[e + f*x]^5)/(5*f) + (2*b*(a + 2*b)*Tan[e + f*x])/f + (b^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, (Sqrt[b]*(a + b)^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[b]])/(a^(7/2)*f) - ((a + b)^2*Cos[e + f*x])/(a^3*f) + ((2*a + b)*Cos[e + f*x]^3)/(3*a^2*f) - Cos[e + f*x]^5/(5*a*f)}
+{Sin[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, (Sqrt[b]*(a + b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[b]])/(a^(5/2)*f) - ((a + b)*Cos[e + f*x])/(a^2*f) + Cos[e + f*x]^3/(3*a*f)}
+{Sin[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 3, (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[b]])/(a^(3/2)*f) - Cos[e + f*x]/(a*f)}
+{Csc[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[b]])/(Sqrt[a]*(a + b)*f) - ArcTanh[Cos[e + f*x]]/((a + b)*f)}
+{Csc[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 5, (Sqrt[a]*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[b]])/((a + b)^2*f) - ((a - b)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(2*(a + b)^2*f) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*(a + b)*f)}
+{Csc[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 6, (a^(3/2)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[b]])/((a + b)^3*f) - ((3*a^2 - 6*a*b - b^2)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(8*(a + b)^3*f) - ((3*a - b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*(a + b)^2*f) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^3)/(4*(a + b)*f)}
+
+{Sin[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 7, ((5*a^3 + 30*a^2*b + 40*a*b^2 + 16*b^3)*x)/(16*a^4) - (Sqrt[b]*(a + b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(a^4*f) - ((11*a^2 + 18*a*b + 8*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*a^3*f) + ((3*a + 2*b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(8*a^2*f) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]^3)/(6*a*f)}
+{Sin[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 6, ((3*a^2 + 12*a*b + 8*b^2)*x)/(8*a^3) - (Sqrt[b]*(a + b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(a^3*f) - ((5*a + 4*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*a^2*f) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*a*f)}
+{Sin[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 5, ((a + 2*b)*x)/(2*a^2) - (Sqrt[b]*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(a^2*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*a*f)}
+{Sin[e + f*x]^0/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 3, x/a + (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x])/Sqrt[b]])/(a*Sqrt[a + b]*f)}
+{Csc[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 3, -((Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/((a + b)^(3/2)*f)) - Cot[e + f*x]/((a + b)*f)}
+{Csc[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, -((a*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/((a + b)^(5/2)*f)) - (a*Cot[e + f*x])/((a + b)^2*f) - Cot[e + f*x]^3/(3*(a + b)*f)}
+{Csc[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, -((a^2*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/((a + b)^(7/2)*f)) - (a^2*Cot[e + f*x])/((a + b)^3*f) - ((2*a + b)*Cot[e + f*x]^3)/(3*(a + b)^2*f) - Cot[e + f*x]^5/(5*(a + b)*f)}
+
+
+{Sin[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 6, (Sqrt[b]*(a + b)*(3*a + 7*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[b]])/(2*a^(9/2)*f) - ((a + b)*(3*a + 7*b)*Cos[e + f*x])/(2*a^4*f) + ((a + b)*(3*a + 7*b)*Cos[e + f*x]^3)/(6*a^3*b*f) - Cos[e + f*x]^5/(5*a^2*f) - ((a + b)^2*Cos[e + f*x]^5)/(2*a^2*b*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2))}
+{Sin[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 5, (Sqrt[b]*(3*a + 5*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[b]])/(2*a^(7/2)*f) - ((a + 2*b)*Cos[e + f*x])/(a^3*f) + Cos[e + f*x]^3/(3*a^2*f) - (b*(a + b)*Cos[e + f*x])/(2*a^3*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2))}
+{Sin[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, (3*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[b]])/(2*a^(5/2)*f) - (3*Cos[e + f*x])/(2*a^2*f) + Cos[e + f*x]^3/(2*a*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 5, (Sqrt[b]*(3*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[b]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^2*f) - ArcTanh[Cos[e + f*x]]/((a + b)^2*f) - (b*Cos[e + f*x])/(2*a*(a + b)*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 6, ((3*a - b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[a]*(a + b)^3*f) - ((a - 3*b)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(2*(a + b)^3*f) + ((a - b)*Cos[e + f*x])/(2*(a + b)^2*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*(a + b)*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 7, (3*Sqrt[a]*(a - b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[b]])/(2*(a + b)^4*f) - (3*(a^2 - 6*a*b + b^2)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(8*(a + b)^4*f) + (3*a*(a - 3*b)*Cos[e + f*x])/(8*(a + b)^3*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)) - ((a - 5*b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*(a + b)^2*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^3)/(4*(a + b)*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2))}
+
+{Sin[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 8, ((5*a^3 + 60*a^2*b + 120*a*b^2 + 64*b^3)*x)/(16*a^5) - (Sqrt[b]*(a + b)^(3/2)*(3*a + 8*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^5*f) - ((33*a^2 + 82*a*b + 48*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(48*a^3*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)) + ((9*a + 8*b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*a^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]^3)/(6*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)) - (b*(19*a^2 + 52*a*b + 32*b^2)*Tan[e + f*x])/(16*a^4*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Sin[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 7, (3*(a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*x)/(8*a^4) - (3*Sqrt[b]*Sqrt[a + b]*(a + 2*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^4*f) - ((5*a + 6*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*a^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)) - (3*b*(3*a + 4*b)*Tan[e + f*x])/(8*a^3*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Sin[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 6, ((a + 4*b)*x)/(2*a^3) - (Sqrt[b]*(3*a + 4*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^3*Sqrt[a + b]*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)) - (b*Tan[e + f*x])/(a^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Sin[e + f*x]^0/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 5, x/a^2 - (Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^2*(a + b)^(3/2)*f) - (b*Tan[e + f*x])/(2*a*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, (-3*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*(a + b)^(5/2)*f) - (3*Cot[e + f*x])/(2*(a + b)^2*f) + Cot[e + f*x]/(2*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 5, -((3*a - 2*b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*(a + b)^(7/2)*f) - ((a - b)*Cot[e + f*x])/((a + b)^3*f) - Cot[e + f*x]^3/(3*(a + b)^2*f) - (a*b*Tan[e + f*x])/(2*(a + b)^3*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 6, -(a*(3*a - 4*b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*(a + b)^(9/2)*f) - ((5*a^2 - 10*a*b - b^2)*Cot[e + f*x])/(5*(a + b)^4*f) - ((10*a + 3*b)*Cot[e + f*x]^3)/(15*(a + b)^3*f) - Cot[e + f*x]^5/(5*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)) - (b*(5*a^2 + 2*b^2)*Tan[e + f*x])/(10*(a + b)^4*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+
+
+{Sin[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 6, (Sqrt[b]*(15*a^2 + 70*a*b + 63*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[b]])/(8*a^(11/2)*f) - ((3*a^2 + 14*a*b + 13*b^2)*Cos[e + f*x])/(2*a^5*f) + ((a + 3*b)*(3*a + 5*b)*Cos[e + f*x]^3)/(12*a^4*b*f) - Cos[e + f*x]^5/(5*a^3*f) - ((a + b)^2*Cos[e + f*x]^7)/(4*a^2*b*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)^2) - (b*(a + b)*(3*a + 11*b)*Cos[e + f*x])/(8*a^5*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2))}
+{Sin[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 6, (5*Sqrt[b]*(3*a + 7*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[b]])/(8*a^(9/2)*f) - ((a + 3*b)*Cos[e + f*x])/(a^4*f) + Cos[e + f*x]^3/(3*a^3*f) + (b^2*(a + b)*Cos[e + f*x])/(4*a^4*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)^2) - (b*(9*a + 13*b)*Cos[e + f*x])/(8*a^4*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2))}
+{Sin[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 5, (15*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[b]])/(8*a^(7/2)*f) - (15*Cos[e + f*x])/(8*a^3*f) + Cos[e + f*x]^5/(4*a*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)^2) + (5*Cos[e + f*x]^3)/(8*a^2*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 6, (Sqrt[b]*(15*a^2 + 10*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[b]])/(8*a^(5/2)*(a + b)^3*f) - ArcTanh[Cos[e + f*x]]/((a + b)^3*f) - (b*Cos[e + f*x]^3)/(4*a*(a + b)*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)^2) - (b*(7*a + 3*b)*Cos[e + f*x])/(8*a^2*(a + b)^2*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 7, (Sqrt[b]*(15*a^2 - 10*a*b - b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[b]])/(8*a^(3/2)*(a + b)^4*f) - ((a - 5*b)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(2*(a + b)^4*f) - ((2*a - b)*b*Cos[e + f*x])/(4*a*(a + b)^2*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)^2) + ((4*a^2 - 9*a*b - b^2)*Cos[e + f*x])/(8*a*(a + b)^3*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)) - (Cos[e + f*x]*Cot[e + f*x]^2)/(2*(a + b)*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)^2)}
+{Csc[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 8, (3*Sqrt[b]*(5*a^2 - 10*a*b + b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cos[e + f*x])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[a]*(a + b)^5*f) - (3*(a^2 - 10*a*b + 5*b^2)*ArcTanh[Cos[e + f*x]])/(8*(a + b)^5*f) + ((a^2 - 9*a*b + 2*b^2)*Cos[e + f*x])/(8*(a + b)^3*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)^2) + (3*(a^2 - 6*a*b + b^2)*Cos[e + f*x])/(8*(a + b)^4*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)) - ((a - 7*b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*(a + b)^2*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)^2) - (Cot[e + f*x]^3*Csc[e + f*x])/(4*(a + b)*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)^2)}
+
+{Sin[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 9, (5*(a + 2*b)*(a^2 + 16*a*b + 16*b^2)*x)/(16*a^6) - (5*Sqrt[b]*Sqrt[a + b]*(a + 4*b)*(3*a + 4*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^6*f) - ((33*a^2 + 110*a*b + 80*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(48*a^3*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + ((9*a + 10*b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*a^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]^3)/(6*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (5*b*(9*a^2 + 32*a*b + 24*b^2)*Tan[e + f*x])/(48*a^4*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (5*b*(5*a^2 + 20*a*b + 16*b^2)*Tan[e + f*x])/(16*a^5*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Sin[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 8, (3*(a^2 + 12*a*b + 16*b^2)*x)/(8*a^5) - (3*Sqrt[b]*(5*a^2 + 20*a*b + 16*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^5*Sqrt[a + b]*f) - ((5*a + 8*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*a^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (b*(7*a + 12*b)*Tan[e + f*x])/(8*a^3*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (3*b*(a + 2*b)*Tan[e + f*x])/(2*a^4*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Sin[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 7, ((a + 6*b)*x)/(2*a^4) - (Sqrt[b]*(15*a^2 + 40*a*b + 24*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^4*(a + b)^(3/2)*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (3*b*Tan[e + f*x])/(4*a^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (b*(11*a + 12*b)*Tan[e + f*x])/(8*a^3*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Sin[e + f*x]^0/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 6, x/a^3 - (Sqrt[b]*(15*a^2 + 20*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^3*(a + b)^(5/2)*f) - (b*Tan[e + f*x])/(4*a*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (b*(7*a + 4*b)*Tan[e + f*x])/(8*a^2*(a + b)^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 5, (-15*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*(a + b)^(7/2)*f) - (15*Cot[e + f*x])/(8*(a + b)^3*f) + Cot[e + f*x]/(4*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + (5*Cot[e + f*x])/(8*(a + b)^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 6, (-5*(3*a - 4*b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*(a + b)^(9/2)*f) - ((a - 2*b)*Cot[e + f*x])/((a + b)^4*f) - Cot[e + f*x]^3/(3*(a + b)^3*f) - (a*b*Tan[e + f*x])/(4*(a + b)^3*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - ((7*a - 4*b)*b*Tan[e + f*x])/(8*(a + b)^4*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Csc[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 7, -(Sqrt[b]*(15*a^2 - 40*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*(a + b)^(11/2)*f) - ((5*a^2 - 20*a*b + 2*b^2)*Cot[e + f*x])/(5*(a + b)^5*f) - ((10*a + b)*Cot[e + f*x]^3)/(15*(a + b)^4*f) - Cot[e + f*x]^5/(5*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (b*(5*a^2 + 4*b^2)*Tan[e + f*x])/(20*(a + b)^4*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (b*(35*a^2 - 40*a*b + 24*b^2)*Tan[e + f*x])/(40*(a + b)^5*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^5, x, 6, (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/f - (Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/f + (2*(5*a + b)*Cos[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))/(15*a^2*f) - (Cos[e + f*x]^5*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))/(5*a*f)}
+{Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^3, x, 5, (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/f - (Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/f + (Cos[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))/(3*a*f)}
+{Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^1, x, 4, (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/f - (Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/f}
+{Csc[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 6, (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/f - (Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/f}
+{Csc[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 7, (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/f - ((a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*Sqrt[a + b]*f) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 8, (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/f - ((3*a^2 + 12*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/(8*(a + b)^(3/2)*f) - ((3*a + 4*b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(8*(a + b)*f) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(4*f)}
+
+{Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^6, x, 9, ((5*a^3 - 15*a^2*b - 5*a*b^2 - b^3)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(16*a^(5/2)*f) + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f - ((a - b)*(5*a + b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(16*a^2*f) - ((5*a - b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(24*a*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^5*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(6*f)}
+{Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^4, x, 8, ((3*a^2 - 6*a*b - b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*a^(3/2)*f) + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f - ((3*a - b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*a*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(4*f)}
+{Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^2, x, 7, ((a - b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*Sqrt[a]*f) + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]*Sin[e + f*x]^0, x, 6, (Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f}
+{Csc[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 4, (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f - (Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/f}
+{Csc[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 5, (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f - (Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/f - (Cot[e + f*x]^3*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(3*(a + b)*f)}
+{Csc[e + f*x]^6*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 6, (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f - (Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/f - (2*(5*a + 4*b)*Cot[e + f*x]^3*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(15*(a + b)^2*f) - (Cot[e + f*x]^5*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(5*(a + b)*f)}
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)*Sin[e + f*x]^5, x, 7, ((3*a - 4*b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*f) + ((3*a - 4*b)*b*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(2*a*f) - ((3*a - 4*b)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))/(3*a*f) + (2*Cos[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2))/(3*a*f) - (Cos[e + f*x]^5*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2))/(5*a*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)*Sin[e + f*x]^3, x, 6, ((3*a - 2*b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*f) + ((3*a - 2*b)*b*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(2*a*f) - ((3*a - 2*b)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))/(3*a*f) + (Cos[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2))/(3*a*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)*Sin[e + f*x]^1, x, 5, (3*a*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*f) + (3*b*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(2*f) - (Cos[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))/f}
+{Csc[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, (Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*f) - ((a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/f + (b*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, (Sqrt[b]*(3*a + 4*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*f) - (Sqrt[a + b]*(a + 4*b)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/f - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^5*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, (3*Sqrt[b]*(a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*f) - (3*(a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/(8*Sqrt[a + b]*f) + (3*(a + 4*b)*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(8*f) - (3*(a + 2*b)*Csc[e + f*x]^2*Sec[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(8*f) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*f)}
+
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)*Sin[e + f*x]^6, x, 10, ((5*a^3 - 45*a^2*b + 15*a*b^2 + b^3)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(16*a^(3/2)*f) + ((3*a - 5*b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) - ((5*a^2 - 26*a*b + b^2)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(16*a*f) + ((5*a^2 - 40*a*b + 3*b^2)*Sin[e + f*x]^2*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(48*a*f) + ((5*a - 3*b)*Sin[e + f*x]^4*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(24*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^5*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(6*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)*Sin[e + f*x]^4, x, 9, (3*(a^2 - 6*a*b + b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*Sqrt[a]*f) + (3*(a - b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) - (3*(a - 3*b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*f) + (3*(a - b)*Sin[e + f*x]^2*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]^3*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)*Sin[e + f*x]^2, x, 8, (Sqrt[a]*(a - 3*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) + ((3*a - b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/f - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(2*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)*Sin[e + f*x]^0, x, 7, (a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f + (Sqrt[b]*(3*a + b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Csc[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (3*Sqrt[b]*(a + b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) + (3*b*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*f) - (Cot[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/f}
+{Csc[e + f*x]^4*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, (Sqrt[b]*(3*a + 5*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b*(3*a + 5*b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*(a + b)*f) - ((3*a + 5*b)*Cot[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(3*(a + b)*f) - (Cot[e + f*x]^3*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2))/(3*(a + b)*f)}
+{Csc[e + f*x]^6*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, (Sqrt[b]*(3*a + 7*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b*(3*a + 7*b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*(a + b)*f) - ((3*a + 7*b)*Cot[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(3*(a + b)*f) - (2*Cot[e + f*x]^3*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2))/(3*(a + b)*f) - (Cot[e + f*x]^5*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2))/(5*(a + b)*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sin[e + f*x]^5/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 4, -((15*a^2 + 20*a*b + 8*b^2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(15*a^3*f) + (2*(5*a + 2*b)*Cos[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(15*a^2*f) - (Cos[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(5*a*f)}
+{Sin[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 3, -((3*a + 2*b)*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(3*a^2*f) + (Cos[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(3*a*f)}
+{Sin[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 2, -((Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(a*f))}
+{Csc[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 3, -(ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a + b]*f))}
+{Csc[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 5, -((a*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*(a + b)^(3/2)*f)) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(2*(a + b)*f)}
+{Csc[e + f*x]^5/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 6, -((3*a^2*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/(8*(a + b)^(5/2)*f)) - ((5*a + 2*b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(8*(a + b)^2*f) - (Cot[e + f*x]^3*Csc[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(4*(a + b)*f)}
+
+{Sin[e + f*x]^6/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 7, (5*(a + b)^3*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(16*a^(7/2)*f) - ((33*a^2 + 40*a*b + 15*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(48*a^3*f) + ((9*a + 5*b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(24*a^2*f) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(6*a*f)}
+{Sin[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 6, (3*(a + b)^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*a^(5/2)*f) - ((5*a + 3*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*a^2*f) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(4*a*f)}
+{Sin[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 5, ((a + b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*a^(3/2)*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*a*f)}
+{Sin[e + f*x]^0/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 3, ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a]*f)}
+{Csc[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 2, -((Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/((a + b)*f))}
+{Csc[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 3, -((3*a + b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*(a + b)^2*f) - (Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*(a + b)*f)}
+{Csc[e + f*x]^6/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 4, -((15*a^2 + 10*a*b + 3*b^2)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*(a + b)^3*f) - (2*(5*a + 3*b)*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*(a + b)^2*f) - (Cot[e + f*x]^5*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(5*(a + b)*f)}
+
+
+{Sin[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -((15*a^2 + 40*a*b + 24*b^2)*Cos[e + f*x])/(15*a^3*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]) + (2*(5*a + 3*b)*Cos[e + f*x]^3)/(15*a^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]) - Cos[e + f*x]^5/(5*a*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]) - (2*b*(15*a^2 + 40*a*b + 24*b^2)*Sec[e + f*x])/(15*a^4*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -(((3*a + 4*b)*Cos[e + f*x])/(3*a^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])) + Cos[e + f*x]^3/(3*a*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]) - (2*b*(3*a + 4*b)*Sec[e + f*x])/(3*a^3*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 3, -(Cos[e + f*x]/(a*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])) - (2*b*Sec[e + f*x])/(a^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -(ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]]/((a + b)^(3/2)*f)) - (b*Sec[e + f*x])/(a*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -(((a - 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*(a + b)^(5/2)*f)) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]) - (3*b*Sec[e + f*x])/(2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, -((3*a*(a - 4*b)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/(8*(a + b)^(7/2)*f)) - (5*a*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]) - (Cot[e + f*x]^3*Csc[e + f*x])/(4*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]) - ((13*a - 2*b)*b*Sec[e + f*x])/(8*(a + b)^3*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+
+{Sin[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, (5*(a + b)^2*(a + 7*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(16*a^(9/2)*f) - ((a + b)*(33*a + 35*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(48*a^3*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) + ((9*a + 7*b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*a^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]^3)/(6*a*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) - (b*(81*a^2 + 190*a*b + 105*b^2)*Tan[e + f*x])/(48*a^4*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, (3*(a + b)*(a + 5*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*a^(7/2)*f) - (5*(a + b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*a^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*a*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) - (b*(13*a + 15*b)*Tan[e + f*x])/(8*a^3*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, ((a + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*a^(5/2)*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*a*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) - (3*b*Tan[e + f*x])/(2*a^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^0/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(a^(3/2)*f) - (b*Tan[e + f*x])/(a*(a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 3, -(Cot[e + f*x]/((a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])) - (2*b*Tan[e + f*x])/((a + b)^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -((3*a - b)*Cot[e + f*x])/(3*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) - Cot[e + f*x]^3/(3*(a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) - (2*(3*a - b)*b*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)^3*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -((15*a^2 - 10*a*b - b^2)*Cot[e + f*x])/(15*(a + b)^3*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) - (2*(5*a + 2*b)*Cot[e + f*x]^3)/(15*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) - Cot[e + f*x]^5/(5*(a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) - (2*b*(15*a^2 - 10*a*b - b^2)*Tan[e + f*x])/(15*(a + b)^4*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+
+
+{Sin[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, -((5*a^2 + 20*a*b + 16*b^2)*Cos[e + f*x])/(5*a^3*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*(5*a + 4*b)*Cos[e + f*x]^3)/(15*a^2*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - Cos[e + f*x]^5/(5*a*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (4*b*(5*a^2 + 20*a*b + 16*b^2)*Sec[e + f*x])/(15*a^4*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (8*b*(5*a^2 + 20*a*b + 16*b^2)*Sec[e + f*x])/(15*a^5*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 5, -(((a + 2*b)*Cos[e + f*x])/(a^2*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))) + Cos[e + f*x]^3/(3*a*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (4*b*(a + 2*b)*Sec[e + f*x])/(3*a^3*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (8*b*(a + 2*b)*Sec[e + f*x])/(3*a^4*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 4, -(Cos[e + f*x]/(a*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))) - (4*b*Sec[e + f*x])/(3*a^2*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (8*b*Sec[e + f*x])/(3*a^3*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, -(ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]]/((a + b)^(5/2)*f)) - (b*Sec[e + f*x])/(3*a*(a + b)*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (b*(5*a + 2*b)*Sec[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, -(((a - 4*b)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/(2*(a + b)^(7/2)*f)) - (Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(2*(a + b)*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (5*b*Sec[e + f*x])/(6*(a + b)^2*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - ((13*a - 2*b)*b*Sec[e + f*x])/(6*a*(a + b)^3*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 8, -(((3*a^2 - 24*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Sec[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]])/(8*(a + b)^(9/2)*f)) - ((5*a - 2*b)*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x])/(8*(a + b)^2*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (Cot[e + f*x]^3*Csc[e + f*x])/(4*(a + b)*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - ((23*a - 12*b)*b*Sec[e + f*x])/(24*(a + b)^3*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (5*(11*a - 10*b)*b*Sec[e + f*x])/(24*(a + b)^4*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+
+{Sin[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 9, (5*(a + b)*(a^2 + 14*a*b + 21*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(16*a^(11/2)*f) - ((a + b)*(11*a + 21*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*a^3*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (3*(a + b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(8*a^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]^3)/(6*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (7*b*(a + b)*(7*a + 15*b)*Tan[e + f*x])/(48*a^4*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (b*(113*a^2 + 420*a*b + 315*b^2)*Tan[e + f*x])/(48*a^5*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 8, ((3*a^2 + 30*a*b + 35*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*a^(9/2)*f) - ((5*a + 7*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*a^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (b*(23*a + 35*b)*Tan[e + f*x])/(24*a^3*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (5*b*(11*a + 21*b)*Tan[e + f*x])/(24*a^4*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, ((a + 5*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*a^(7/2)*f) - (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (5*b*Tan[e + f*x])/(6*a^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (b*(13*a + 15*b)*Tan[e + f*x])/(6*a^3*(a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Sin[e + f*x]^0/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(a^(5/2)*f) - (b*Tan[e + f*x])/(3*a*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (b*(5*a + 3*b)*Tan[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 4, -(Cot[e + f*x]/((a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))) - (4*b*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (8*b*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)^3*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 5, -(((a - b)*Cot[e + f*x])/((a + b)^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))) - Cot[e + f*x]^3/(3*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (4*(a - b)*b*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)^3*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (8*(a - b)*b*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)^4*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Csc[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, -((5*a^2 - 10*a*b + b^2)*Cot[e + f*x])/(5*(a + b)^3*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (2*(5*a + b)*Cot[e + f*x]^3)/(15*(a + b)^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - Cot[e + f*x]^5/(5*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (4*b*(5*a^2 - 10*a*b + b^2)*Tan[e + f*x])/(15*(a + b)^4*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (8*b*(5*a^2 - 10*a*b + b^2)*Tan[e + f*x])/(15*(a + b)^5*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^2)^p when p symbolic*)
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p*(d*Sin[e + f*x])^m, x, -1, (AppellF1[(1 + m)/2, 1/2 + p, -p, (3 + m)/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*(Cos[e + f*x]^2)^(1/2 + p)*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p*(d*Sin[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(((a + b - a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b))^p*(f*(1 + m)))}
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p*Sin[e + f*x]^5, x, 5, ((10*a + b*(3 - 2*p))*Cos[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(1 + p))/(15*a^2*f) - (Cos[e + f*x]^5*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(1 + p))/(5*a*f) - ((15*a^2 + 10*a*b*(1 - 2*p) + b^2*(3 - 8*p + 4*p^2))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-1/2, -p, 1/2, -((b*Sec[e + f*x]^2)/a)]*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p)/(15*a^2*f*(1 + (b*Sec[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p*Sin[e + f*x]^3, x, 4, (Cos[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(1 + p))/(3*a*f) - ((3*a + b - 2*b*p)*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-1/2, -p, 1/2, -((b*Sec[e + f*x]^2)/a)]*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p)/(3*a*f*(1 + (b*Sec[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p*Sin[e + f*x]^1, x, 3, -((Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-1/2, -p, 1/2, -((b*Sec[e + f*x]^2)/a)]*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Sec[e + f*x]^2)/a)^p))}
+{Csc[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 3, -((AppellF1[1/2, 1, -p, 3/2, Sec[e + f*x]^2, -((b*Sec[e + f*x]^2)/a)]*Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Sec[e + f*x]^2)/a)^p))}
+{Csc[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[3/2, 2, -p, 5/2, Sec[e + f*x]^2, -((b*Sec[e + f*x]^2)/a)]*Sec[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p)/(3*f*(1 + (b*Sec[e + f*x]^2)/a)^p)}
+
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p*Sin[e + f*x]^4, x, 3, (AppellF1[5/2, 3, -p, 7/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*Tan[e + f*x]^5*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(5*f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p*Sin[e + f*x]^2, x, 3, (AppellF1[3/2, 2, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*Tan[e + f*x]^3*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(3*f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p*Sin[e + f*x]^0, x, 3, (AppellF1[1/2, 1, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p)}
+{Csc[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 3, -((Cot[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-1/2, -p, 1/2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p))}
+{Csc[e + f*x]^4*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 4, -(Cot[e + f*x]^3*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(3*(a + b)*f) - ((3*a + 2*b*(1 + p))*Cot[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-1/2, -p, 1/2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(3*(a + b)*f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p)}
+{Csc[e + f*x]^6*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 5, -((10*a + b*(7 + 2*p))*Cot[e + f*x]^3*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(15*(a + b)^2*f) - (Cot[e + f*x]^5*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(5*(a + b)*f) - ((15*a^2 + 20*a*b*(1 + p) + 4*b^2*(2 + 3*p + p^2))*Cot[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-1/2, -p, 1/2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(15*(a + b)^2*f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p)}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Sin[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^2)^p when a+b=0*)
+
+
+{(a - a*Sec[c + d*x]^2)^4, x, 6, a^4*x - (a^4*Tan[c + d*x])/d + (a^4*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^4*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^4*Tan[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{(a - a*Sec[c + d*x]^2)^3, x, 5, a^3*x - (a^3*Tan[c + d*x])/d + (a^3*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{(a - a*Sec[c + d*x]^2)^2, x, 4, a^2*x - (a^2*Tan[c + d*x])/d + (a^2*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{(a - a*Sec[c + d*x]^2)^1, x, 3, a*x - (a*Tan[c + d*x])/d}
+{1/(a - a*Sec[c + d*x]^2)^1, x, 3, x/a + Cot[c + d*x]/(a*d)}
+{1/(a - a*Sec[c + d*x]^2)^2, x, 4, x/a^2 + Cot[c + d*x]/(a^2*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^2*d)}
+{1/(a - a*Sec[c + d*x]^2)^3, x, 5, x/a^3 + Cot[c + d*x]/(a^3*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^3*d) + Cot[c + d*x]^5/(5*a^3*d)}
+{1/(a - a*Sec[c + d*x]^2)^4, x, 6, x/a^4 + Cot[c + d*x]/(a^4*d) - Cot[c + d*x]^3/(3*a^4*d) + Cot[c + d*x]^5/(5*a^4*d) - Cot[c + d*x]^7/(7*a^4*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^5*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, ((6*a + 5*b)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(16*f) + ((6*a + 5*b)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(16*f) + ((6*a + 5*b)*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x])/(24*f) + (b*Sec[e + f*x]^5*Tan[e + f*x])/(6*f)}
+{Sec[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 3, ((4*a + 3*b)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) + ((4*a + 3*b)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(8*f) + (b*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x])/(4*f)}
+{Sec[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 2, ((2*a + b)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*f) + (b*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*f)}
+{Cos[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 2, (b*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/f + (a*Sin[e + f*x])/f}
+{Cos[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 3, ((a + b)*Sin[e + f*x])/f - (a*Sin[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Cos[e + f*x]^5*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, ((a + b)*Sin[e + f*x])/f - ((2*a + b)*Sin[e + f*x]^3)/(3*f) + (a*Sin[e + f*x]^5)/(5*f)}
+
+{Sec[e + f*x]^6*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 3, ((7*a + 6*b)*Tan[e + f*x])/(7*f) + (b*Sec[e + f*x]^6*Tan[e + f*x])/(7*f) + (2*(7*a + 6*b)*Tan[e + f*x]^3)/(21*f) + ((7*a + 6*b)*Tan[e + f*x]^5)/(35*f)}
+{Sec[e + f*x]^4*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 3, ((5*a + 4*b)*Tan[e + f*x])/(5*f) + (b*Sec[e + f*x]^4*Tan[e + f*x])/(5*f) + ((5*a + 4*b)*Tan[e + f*x]^3)/(15*f)}
+{Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 3, ((3*a + 2*b)*Tan[e + f*x])/(3*f) + (b*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3*f)}
+{Sec[e + f*x]^0*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 3, a*x + (b*Tan[e + f*x])/f}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 2, ((a + 2*b)*x)/2 + (a*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f)}
+{Cos[e + f*x]^4*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 3, ((3*a + 4*b)*x)/8 + ((3*a + 4*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) + (a*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*f)}
+{Cos[e + f*x]^6*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, ((5*a + 6*b)*x)/16 + ((5*a + 6*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) + ((5*a + 6*b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*f) + (a*Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(6*f)}
+
+
+{Sec[e + f*x]^5*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 6, ((48*a^2 + 80*a*b + 35*b^2)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(128*f) + ((48*a^2 + 80*a*b + 35*b^2)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(128*f) + ((48*a^2 + 80*a*b + 35*b^2)*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x])/(192*f) + (b*(10*a + 7*b)*Sec[e + f*x]^5*Tan[e + f*x])/(48*f) + (b*Sec[e + f*x]^7*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*Tan[e + f*x])/(8*f)}
+{Sec[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 5, ((8*a^2 + 12*a*b + 5*b^2)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(16*f) + ((8*a^2 + 12*a*b + 5*b^2)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(16*f) + (b*(8*a + 5*b)*Sec[e + f*x]^3*Tan[e + f*x])/(24*f) + (b*Sec[e + f*x]^5*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*Tan[e + f*x])/(6*f)}
+{Sec[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, ((8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(8*f) + (3*b*(2*a + b)*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(8*f) + (b*Sec[e + f*x]^3*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*Tan[e + f*x])/(4*f)}
+{Cos[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 5, (b*(4*a + b)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*f) + (a^2*Sin[e + f*x])/f + (b^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*f)}
+{Cos[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, (b^2*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/f + (a*(a + 2*b)*Sin[e + f*x])/f - (a^2*Sin[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Cos[e + f*x]^5*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 3, ((a + b)^2*Sin[e + f*x])/f - (2*a*(a + b)*Sin[e + f*x]^3)/(3*f) + (a^2*Sin[e + f*x]^5)/(5*f)}
+
+{Sec[e + f*x]^6*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 3, ((a + b)^2*Tan[e + f*x])/f + (2*(a + b)*(a + 2*b)*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + ((a^2 + 6*a*b + 6*b^2)*Tan[e + f*x]^5)/(5*f) + (2*b*(a + 2*b)*Tan[e + f*x]^7)/(7*f) + (b^2*Tan[e + f*x]^9)/(9*f)}
+{Sec[e + f*x]^4*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 3, ((a + b)^2*Tan[e + f*x])/f + ((a + b)*(a + 3*b)*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + (b*(2*a + 3*b)*Tan[e + f*x]^5)/(5*f) + (b^2*Tan[e + f*x]^7)/(7*f)}
+{Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 3, ((a + b)^2*Tan[e + f*x])/f + (2*b*(a + b)*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + (b^2*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{Sec[e + f*x]^0*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, a^2*x + (b*(2*a + b)*Tan[e + f*x])/f + (b^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 5, (a*(a + 4*b)*x)/2 + (a^2*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*f) + (b^2*Tan[e + f*x])/f}
+{Cos[e + f*x]^4*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, ((3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*x)/8 + (3*a*(a + 2*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*f) + (a*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))/(4*f)}
+{Cos[e + f*x]^6*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 5, ((5*a^2 + 12*a*b + 8*b^2)*x)/16 + ((5*a^2 + 12*a*b + 8*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*f) + (a*(5*a + 8*b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*f) + (a*Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))/(6*f)}
+
+
+{(a + b*Sec[c + d*x]^2)^3, x, 4, a^3*x + (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Tan[c + d*x])/d + (b^2*(3*a + 2*b)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^3*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{(a + b*Sec[c + d*x]^2)^4, x, 4, a^4*x + (b*(2*a + b)*(2*a^2 + 2*a*b + b^2)*Tan[c + d*x])/d + (b^2*(6*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^3*(4*a + 3*b)*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^4*Tan[c + d*x]^7)/(7*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 5, -((2*a - b)*ArcTanh[Sin[e + f*x]])/(2*b^2*f) + (a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(b^2*Sqrt[a + b]*f) + (Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(2*b*f)}
+{Sec[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, ArcTanh[Sin[e + f*x]]/(b*f) - (Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(b*Sqrt[a + b]*f)}
+{Sec[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 2, ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b]*f)}
+{Cos[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 3, -((b*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(a^(3/2)*Sqrt[a + b]*f)) + Sin[e + f*x]/(a*f)}
+{Cos[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, (b^2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(a^(5/2)*Sqrt[a + b]*f) + ((a - b)*Sin[e + f*x])/(a^2*f) - Sin[e + f*x]^3/(3*a*f)}
+{Cos[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, -((b^3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(a^(7/2)*Sqrt[a + b]*f)) + ((a^2 - a*b + b^2)*Sin[e + f*x])/(a^3*f) - ((2*a - b)*Sin[e + f*x]^3)/(3*a^2*f) + Sin[e + f*x]^5/(5*a*f)}
+
+{Sec[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, (a^2*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(b^(5/2)*Sqrt[a + b]*f) - ((a - b)*Tan[e + f*x])/(b^2*f) + Tan[e + f*x]^3/(3*b*f)}
+{Sec[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 3, -((a*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(b^(3/2)*Sqrt[a + b]*f)) + Tan[e + f*x]/(b*f)}
+{Sec[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[b]*Sqrt[a + b]*f)}
+{Sec[e + f*x]^0/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 3, x/a + (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x])/Sqrt[b]])/(a*Sqrt[a + b]*f)}
+{Cos[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 5, ((a - 2*b)*x)/(2*a^2) + (b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a + b]*f) + (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*a*f)}
+{Cos[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 6, ((3*a^2 - 4*a*b + 8*b^2)*x)/(8*a^3) - (b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a + b]*f) + ((3*a - 4*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*a^2*f) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*a*f)}
+{Cos[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 7, ((5*a^3 - 6*a^2*b + 8*a*b^2 - 16*b^3)*x)/(16*a^4) + (b^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(a^4*Sqrt[a + b]*f) + ((5*a^2 - 6*a*b + 8*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*a^3*f) + ((5*a - 6*b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*a^2*f) + (Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(6*a*f)}
+
+
+{Sec[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 5, ArcTanh[Sin[e + f*x]]/(b^2*f) - (Sqrt[a]*(2*a + 3*b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*b^2*(a + b)^(3/2)*f) - (a*Sin[e + f*x])/(2*b*(a + b)*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))}
+{Sec[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 3, ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]]/(2*Sqrt[a]*(a + b)^(3/2)*f) + Sin[e + f*x]/(2*(a + b)*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))}
+{Sec[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 3, ((2*a + b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^(3/2)*f) - (b*Sin[e + f*x])/(2*a*(a + b)*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))}
+{Cos[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 5, -(b*(4*a + 3*b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^(5/2)*(a + b)^(3/2)*f) + Sin[e + f*x]/(a^2*f) + (b^2*Sin[e + f*x])/(2*a^2*(a + b)*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))}
+{Cos[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 5, (b^2*(6*a + 5*b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^(7/2)*(a + b)^(3/2)*f) + ((a - 2*b)*Sin[e + f*x])/(a^3*f) - Sin[e + f*x]^3/(3*a^2*f) - (b^3*Sin[e + f*x])/(2*a^3*(a + b)*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))}
+{Cos[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 5, -(b^3*(8*a + 7*b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^(9/2)*(a + b)^(3/2)*f) + ((a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*Sin[e + f*x])/(a^4*f) - (2*(a - b)*Sin[e + f*x]^3)/(3*a^3*f) + Sin[e + f*x]^5/(5*a^2*f) + (b^4*Sin[e + f*x])/(2*a^4*(a + b)*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))}
+
+{Sec[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 5, -(a*(3*a + 4*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*b^(5/2)*(a + b)^(3/2)*f) + Tan[e + f*x]/(b^2*f) + (a^2*Tan[e + f*x])/(2*b^2*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Sec[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 3, ((a + 2*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*b^(3/2)*(a + b)^(3/2)*f) - (a*Tan[e + f*x])/(2*b*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Sec[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 3, ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]]/(2*Sqrt[b]*(a + b)^(3/2)*f) + Tan[e + f*x]/(2*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Sec[e + f*x]^0/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 5, x/a^2 - (Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^2*(a + b)^(3/2)*f) - (b*Tan[e + f*x])/(2*a*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cos[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 6, ((a - 4*b)*x)/(2*a^3) + (b^(3/2)*(5*a + 4*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^3*(a + b)^(3/2)*f) + (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)) + (b*(a + 2*b)*Tan[e + f*x])/(2*a^2*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cos[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 7, ((3*a^2 - 8*a*b + 24*b^2)*x)/(8*a^4) - (b^(5/2)*(7*a + 6*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^4*(a + b)^(3/2)*f) + (3*(a - 2*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*a^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)) + ((a - 3*b)*b*(3*a + 4*b)*Tan[e + f*x])/(8*a^3*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cos[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 8, ((5*a^3 - 12*a^2*b + 24*a*b^2 - 64*b^3)*x)/(16*a^5) + (b^(7/2)*(9*a + 8*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^5*(a + b)^(3/2)*f) + ((15*a^2 - 26*a*b + 48*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(48*a^3*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)) + ((5*a - 8*b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*a^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)) + (Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(6*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)) + (b*(5*a^3 - 7*a^2*b + 12*a*b^2 + 32*b^3)*Tan[e + f*x])/(16*a^4*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+
+
+{Sec[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 4, (3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*Sqrt[a]*(a + b)^(5/2)*f) + Sin[e + f*x]/(4*(a + b)*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)^2) + (3*Sin[e + f*x])/(8*(a + b)^2*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))}
+{Sec[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 4, ((4*a + b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^(3/2)*(a + b)^(5/2)*f) - (b*Sin[e + f*x])/(4*a*(a + b)*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)^2) + ((4*a + b)*Sin[e + f*x])/(8*a*(a + b)^2*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))}
+{Sec[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 4, ((8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^(5/2)*(a + b)^(5/2)*f) - (b*Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x])/(4*a*(a + b)*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)^2) - (3*b*(2*a + b)*Sin[e + f*x])/(8*a^2*(a + b)^2*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))}
+{Cos[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 6, -((3*b*(4*(a + b)^2 + (2*a + b)^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^(7/2)*(a + b)^(5/2)*f)) + Sin[e + f*x]/(a^3*f) - (b^3*Sin[e + f*x])/(4*a^3*(a + b)*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)^2) + (3*b^2*(4*a + 3*b)*Sin[e + f*x])/(8*a^3*(a + b)^2*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))}
+{Cos[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 6, (b^2*(48*a^2 + 80*a*b + 35*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^(9/2)*(a + b)^(5/2)*f) + ((a - 3*b)*Sin[e + f*x])/(a^4*f) - Sin[e + f*x]^3/(3*a^3*f) + (b^4*Sin[e + f*x])/(4*a^4*(a + b)*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)^2) - (b^3*(16*a + 13*b)*Sin[e + f*x])/(8*a^4*(a + b)^2*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))}
+{Cos[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 6, -(b^3*(80*a^2 + 140*a*b + 63*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^(11/2)*(a + b)^(5/2)*f) + ((a^2 - 3*a*b + 6*b^2)*Sin[e + f*x])/(a^5*f) - ((2*a - 3*b)*Sin[e + f*x]^3)/(3*a^4*f) + Sin[e + f*x]^5/(5*a^3*f) - (b^5*Sin[e + f*x])/(4*a^5*(a + b)*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)^2) + (b^4*(20*a + 17*b)*Sin[e + f*x])/(8*a^5*(a + b)^2*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))}
+
+{Sec[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 4, ((3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*b^(5/2)*(a + b)^(5/2)*f) - (a*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(4*b*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (3*a*(a + 2*b)*Tan[e + f*x])/(8*b^2*(a + b)^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Sec[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 4, ((a + 4*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*b^(3/2)*(a + b)^(5/2)*f) - (a*Tan[e + f*x])/(4*b*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + ((a + 4*b)*Tan[e + f*x])/(8*b*(a + b)^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Sec[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 4, (3*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*Sqrt[b]*(a + b)^(5/2)*f) + Tan[e + f*x]/(4*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + (3*Tan[e + f*x])/(8*(a + b)^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Sec[e + f*x]^0/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 6, x/a^3 - (Sqrt[b]*(15*a^2 + 20*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^3*(a + b)^(5/2)*f) - (b*Tan[e + f*x])/(4*a*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (b*(7*a + 4*b)*Tan[e + f*x])/(8*a^2*(a + b)^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cos[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 7, ((a - 6*b)*x)/(2*a^4) + (b^(3/2)*(35*a^2 + 56*a*b + 24*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^4*(a + b)^(5/2)*f) + (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + (b*(2*a + 3*b)*Tan[e + f*x])/(4*a^2*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + (b*(4*a + 3*b)*(a + 4*b)*Tan[e + f*x])/(8*a^3*(a + b)^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cos[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 8, (3*(a^2 - 4*a*b + 16*b^2)*x)/(8*a^5) - (3*b^(5/2)*(21*a^2 + 36*a*b + 16*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^5*(a + b)^(5/2)*f) + ((3*a - 8*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*a^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + (b*(3*a^2 - 7*a*b - 12*b^2)*Tan[e + f*x])/(8*a^3*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + (3*b*(a + 2*b)*(a^2 - 4*a*b - 4*b^2)*Tan[e + f*x])/(8*a^4*(a + b)^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cos[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 9, ((5*a^3 - 18*a^2*b + 48*a*b^2 - 160*b^3)*x)/(16*a^6) + (b^(7/2)*(99*a^2 + 176*a*b + 80*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^6*(a + b)^(5/2)*f) + ((15*a^2 - 34*a*b + 80*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(48*a^3*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + (5*(a - 2*b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*a^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + (Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(6*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + (b*(15*a^3 - 29*a^2*b + 64*a*b^2 + 120*b^3)*Tan[e + f*x])/(48*a^4*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + (b*(5*a^4 - 8*a^3*b + 17*a^2*b^2 + 116*a*b^3 + 80*b^4)*Tan[e + f*x])/(16*a^5*(a + b)^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+
+
+{1/(a + b*Sec[c + d*x]^2)^4, x, 7, x/a^4 - (Sqrt[b]*(35*a^3 + 70*a^2*b + 56*a*b^2 + 16*b^3)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(16*a^4*(a + b)^(7/2)*d) - (b*Tan[c + d*x])/(6*a*(a + b)*d*(a + b + b*Tan[c + d*x]^2)^3) - (b*(11*a + 6*b)*Tan[c + d*x])/(24*a^2*(a + b)^2*d*(a + b + b*Tan[c + d*x]^2)^2) - (b*(19*a^2 + 22*a*b + 8*b^2)*Tan[c + d*x])/(16*a^3*(a + b)^3*d*(a + b + b*Tan[c + d*x]^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^2)^(p/2) when a+b=0*)
+
+
+{(a - a*Sec[c + d*x]^2)^(7/2), x, 6, -((a^3*Cot[c + d*x]*Log[Cos[c + d*x]]*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2])/d) - (a^3*Tan[c + d*x]*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2])/(2*d) + (a^3*Tan[c + d*x]^3*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2])/(4*d) - (a^3*Tan[c + d*x]^5*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2])/(6*d)}
+{(a - a*Sec[c + d*x]^2)^(5/2), x, 5, -((a^2*Cot[c + d*x]*Log[Cos[c + d*x]]*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2])/d) - (a^2*Tan[c + d*x]*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2])/(2*d) + (a^2*Tan[c + d*x]^3*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2])/(4*d)}
+{(a - a*Sec[c + d*x]^2)^(3/2), x, 4, -((a*Cot[c + d*x]*Log[Cos[c + d*x]]*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2])/d) - (a*Tan[c + d*x]*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2])/(2*d)}
+{(a - a*Sec[c + d*x]^2)^(1/2), x, 3, -((Cot[c + d*x]*Log[Cos[c + d*x]]*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2])/d)}
+{1/(a - a*Sec[c + d*x]^2)^(1/2), x, 3, (Log[Sin[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(d*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2])}
+{1/(a - a*Sec[c + d*x]^2)^(3/2), x, 4, Cot[c + d*x]/(2*a*d*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2]) + (Log[Sin[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(a*d*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2])}
+{1/(a - a*Sec[c + d*x]^2)^(5/2), x, 5, Cot[c + d*x]/(2*a^2*d*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2]) - Cot[c + d*x]^3/(4*a^2*d*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2]) + (Log[Sin[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(a^2*d*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2])}
+{1/(a - a*Sec[c + d*x]^2)^(7/2), x, 6, Cot[c + d*x]/(2*a^3*d*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2]) - Cot[c + d*x]^3/(4*a^3*d*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2]) + Cot[c + d*x]^5/(6*a^3*d*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2]) + (Log[Sin[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(a^3*d*Sqrt[(-a)*Tan[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 11, -(((2*a^2 - 3*a*b - 8*b^2)*Sin[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(15*b^2*f)) + ((2*a^2 - 3*a*b - 8*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(15*b^2*f*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) - ((a - 8*b)*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(15*b*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)) + ((a + 4*b)*Sec[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Tan[e + f*x])/(15*b*f) + (Sec[e + f*x]^3*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Tan[e + f*x])/(5*f)}
+{Sec[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 10, ((a + 2*b)*Sin[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(3*b*f) - ((a + 2*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(3*b*f*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) + (2*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(3*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)) + (Sec[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Tan[e + f*x])/(3*f)}
+{Sec[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 10, (Sin[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/f - (Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(f*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) + ((a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))}
+{Cos[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 5, (Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(f*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])}
+{Cos[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 9, (Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(3*f) + ((2*a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(3*a*f*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) - (b*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(3*a*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))}
+{Cos[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 10, (2*(2*a - b)*Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(15*a*f) + (Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(5*a*f) + ((8*a^2 + 3*a*b - 2*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(15*a^2*f*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) - (2*(2*a - b)*b*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(15*a^2*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))}
+
+{Sec[e + f*x]^6*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 6, ((a + b)*(a^2 - 2*a*b + 5*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(16*b^(5/2)*f) + ((a^2 - 2*a*b + 5*b^2)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(16*b^2*f) - ((3*a - 5*b)*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(24*b^2*f) + (Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(6*b*f)}
+{Sec[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 5, -((a - 3*b)*(a + b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*b^(3/2)*f) - ((a - 3*b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*b*f) + (Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*b*f)}
+{Sec[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 4, ((a + b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*Sqrt[b]*f) + (Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Sec[e + f*x]^0*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 6, (Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f}
+{Cos[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 4, ((a + b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*Sqrt[a]*f) + (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Cos[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 5, ((3*a - b)*(a + b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*a^(3/2)*f) + ((3*a - b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*a*f) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*a*f)}
+{Cos[e + f*x]^6*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 7, ((a + b)*(5*a^2 - 2*a*b + b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(16*a^(5/2)*f) + ((3*a - b)*(5*a + 3*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(48*a^2*f) + ((5*a + b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(24*a*f) + (Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(6*f)}
+
+
+{Sec[e + f*x]^5*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 12, -((2*(a + 2*b)*(a^2 - 4*a*b - 4*b^2)*Sin[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(35*b^2*f)) + (2*(a + 2*b)*(a^2 - 4*a*b - 4*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(35*b^2*f*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) - ((a + b)*(a^2 - 16*a*b - 16*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(35*b*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)) + ((a^2 + 11*a*b + 8*b^2)*Sec[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Tan[e + f*x])/(35*b*f) + (2*(4*a + 3*b)*Sec[e + f*x]^3*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Tan[e + f*x])/(35*f) + (b*Sec[e + f*x]^5*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Tan[e + f*x])/(7*f)}
+{Sec[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 11, ((3*a^2 + 13*a*b + 8*b^2)*Sin[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(15*b*f) - ((3*a^2 + 13*a*b + 8*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(15*b*f*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) + ((a + b)*(9*a + 8*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(15*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)) + (2*(3*a + 2*b)*Sec[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Tan[e + f*x])/(15*f) + (b*Sec[e + f*x]^3*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Tan[e + f*x])/(5*f)}
+{Sec[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 10, (2*(2*a + b)*Sin[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(3*f) - (2*(2*a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(3*f*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) + ((a + b)*(3*a + 2*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(3*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)) + (b*Sec[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Tan[e + f*x])/(3*f)}
+{Cos[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, (b*Sin[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/f + ((a - b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(f*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) + (b*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))}
+{Cos[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, (a*Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(3*f) + (2*(a + 2*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(3*f*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) - (b*(a + b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(3*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))}
+{Cos[e + f*x]^5*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 10, -((2*(a - 3*(a + b))*Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(15*f)) + (a*Cos[e + f*x]^4*Sin[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(5*f) + ((8*a^2 + 13*a*b + 3*b^2)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])/(15*a*f*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) - (b*(a + b)*(4*a + 3*b)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(15*a*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))}
+
+{Sec[e + f*x]^6*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, ((a + b)^2*(3*a^2 - 10*a*b + 35*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(128*b^(5/2)*f) + ((a + b)*(3*a^2 - 10*a*b + 35*b^2)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(128*b^2*f) + ((3*a^2 - 10*a*b + 35*b^2)*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(192*b^2*f) - ((3*a - 7*b)*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2))/(48*b^2*f) + (Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2))/(8*b*f)}
+{Sec[e + f*x]^4*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -((a - 5*b)*(a + b)^2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(16*b^(3/2)*f) - ((a - 5*b)*(a + b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(16*b*f) - ((a - 5*b)*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(24*b*f) + (Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2))/(6*b*f)}
+{Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (3*(a + b)^2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*Sqrt[b]*f) + (3*(a + b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*f) + (Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*f)}
+{Sec[e + f*x]^0*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, (a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f + (Sqrt[b]*(3*a + b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, (Sqrt[a]*(a + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f + (a*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Cos[e + f*x]^4*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (3*(a + b)^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*Sqrt[a]*f) + (3*(a + b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*f) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*f)}
+{Cos[e + f*x]^6*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, ((5*a - b)*(a + b)^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(16*a^(3/2)*f) + ((5*a - b)*(a + b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(16*a*f) + ((5*a - b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2))/(24*a*f) + (Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(5/2))/(6*a*f)}
+
+
+{(a + b*Sec[c + d*x]^2)^(5/2), x, 8, (a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[c + d*x]^2]])/d + (Sqrt[b]*(15*a^2 + 10*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[c + d*x]^2]])/(8*d) + (b*(7*a + 3*b)*Tan[c + d*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[c + d*x]^2])/(8*d) + (b*Tan[c + d*x]*(a + b + b*Tan[c + d*x]^2)^(3/2))/(4*d)}
+
+
+{(1 + Sec[x]^2)^(3/2), x, 6, 2*ArcSinh[Tan[x]/Sqrt[2]] + ArcTan[Tan[x]/Sqrt[2 + Tan[x]^2]] + (1/2)*Tan[x]*Sqrt[2 + Tan[x]^2]}
+{Sqrt[1 + Sec[x]^2], x, 5, ArcSinh[Tan[x]/Sqrt[2]] + ArcTan[Tan[x]/Sqrt[2 + Tan[x]^2]]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sec[e + f*x]^5/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 10, (2*(a - b)*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(3*b^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) - ((a - 2*b)*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(3*b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) - (2*(a - b)*Sec[e + f*x]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*Tan[e + f*x])/(3*b^2*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) + (Sec[e + f*x]^3*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*Tan[e + f*x])/(3*b*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])}
+{Sec[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 7, -((Sqrt[a]*Sqrt[a + b]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]], (a + b)/a]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])) + (Sec[e + f*x]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*Tan[e + f*x])/(b*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])}
+{Sec[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 5, (EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])}
+{Cos[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 5, (Sqrt[a + b]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a]*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b]], (a + b)/a]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(Sqrt[a]*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])}
+{Cos[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 9, (Sin[e + f*x]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(3*a*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) + (2*(a - b)*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(3*a^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) - ((a - 2*b)*b*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(3*a^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])}
+{Cos[e + f*x]^5/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 10, (4*(a - b)*Sin[e + f*x]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(15*a^2*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) + (Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(5*a*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) + ((8*a^2 - 7*a*b + 8*b^2)*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(15*a^3*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) - (b*(4*a^2 - 3*a*b + 8*b^2)*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(15*a^3*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])}
+
+{Sec[e + f*x]^6/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 5, ((3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*b^(5/2)*f) - (3*(a - b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*b^2*f) + (Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(4*b*f)}
+{Sec[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 4, -((a - b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*b^(3/2)*f) + (Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*b*f)}
+{Sec[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 3, ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[b]*f)}
+{Sec[e + f*x]^0/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 3, ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a]*f)}
+{Cos[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 4, ((a - b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*a^(3/2)*f) + (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*a*f)}
+{Cos[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 6, ((3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*a^(5/2)*f) + (3*(a - b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*a^2*f) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(4*a*f)}
+{Cos[e + f*x]^6/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 7, ((a - b)*(5*a^2 + 2*a*b + 5*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(16*a^(7/2)*f) + ((15*a^2 - 14*a*b + 15*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(48*a^3*f) + (5*(a - b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(24*a^2*f) + (Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(6*a*f)}
+
+
+{Sec[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 10, (a*(2*a + b)*Sin[e + f*x])/(b^2*(a + b)*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) - ((2*a + b)*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(b^2*(a + b)*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) + (EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(b*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) + (Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])/(b*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])}
+{Sec[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, -((a*Sin[e + f*x])/(b*(a + b)*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])) + (EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(b*(a + b)*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])}
+{Sec[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, Sin[e + f*x]/((a + b)*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) - (EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(a*(a + b)*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) + (EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(a*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])}
+{Cos[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, -((b*Sin[e + f*x])/(a*(a + b)*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])) + ((a + 2*b)*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(a^2*(a + b)*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) - (2*b*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(a^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])}
+{Cos[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 10, -((b*Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x])/(a*(a + b)*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])) + ((a + 4*b)*Sin[e + f*x]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(3*a^2*(a + b)*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) + ((2*a^2 - 3*a*b - 8*b^2)*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(3*a^3*(a + b)*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) - ((a - 8*b)*b*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(3*a^3*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])}
+{Cos[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 11, -((b*Cos[e + f*x]^4*Sin[e + f*x])/(a*(a + b)*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])) + ((4*a^2 - 5*a*b - 24*b^2)*Sin[e + f*x]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(15*a^3*(a + b)*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) + ((a + 6*b)*Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(5*a^2*(a + b)*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) + ((8*a^3 - 9*a^2*b + 16*a*b^2 + 48*b^3)*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(15*a^4*(a + b)*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) - (4*b*(a^2 - 2*a*b + 12*b^2)*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(15*a^4*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])}
+
+{Sec[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -((3*a - b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*b^(5/2)*f) - (a*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(b*(a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) + ((3*a + b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*b^2*(a + b)*f)}
+{Sec[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(b^(3/2)*f) - (a*Tan[e + f*x])/(b*(a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 2, Tan[e + f*x]/((a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^0/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(a^(3/2)*f) - (b*Tan[e + f*x])/(a*(a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, ((a - 3*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*a^(5/2)*f) + (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*a*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) + (b*(a + 3*b)*Tan[e + f*x])/(2*a^2*(a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, (3*(a^2 - 2*a*b + 5*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*a^(7/2)*f) + ((3*a - 5*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*a^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*a*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) + ((a - 3*b)*b*(3*a + 5*b)*Tan[e + f*x])/(8*a^3*(a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, ((5*a^3 - 9*a^2*b + 15*a*b^2 - 35*b^3)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(16*a^(9/2)*f) + ((15*a^2 - 22*a*b + 35*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(48*a^3*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) + ((5*a - 7*b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*a^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) + (Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(6*a*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) + (b*(15*a^3 - 17*a^2*b + 25*a*b^2 + 105*b^3)*Tan[e + f*x])/(48*a^4*(a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+
+
+{Sec[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 10, -((2*a*(a + 2*b)*Sin[e + f*x])/(3*b^2*(a + b)^2*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])) - (a*Sin[e + f*x])/(3*b*(a + b)*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) + (2*(a + 2*b)*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(3*b^2*(a + b)^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) - (EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(3*b*(a + b)*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])}
+{Sec[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 10, -(((a - b)*Sin[e + f*x])/(3*b*(a + b)^2*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])) + Sin[e + f*x]/(3*(a + b)*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) + ((a - b)*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(3*a*b*(a + b)^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) + (EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(3*a*(a + b)*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])}
+{Sec[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 10, (2*(2*a + b)*Sin[e + f*x])/(3*a*(a + b)^2*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) - (b*Sin[e + f*x])/(3*a*(a + b)*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) - (2*(2*a + b)*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) + ((3*a + 2*b)*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(3*a^2*(a + b)*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])}
+{Cos[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 10, -((2*b*(3*a + 2*b)*Sin[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])) - (b*Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x])/(3*a*(a + b)*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) + ((3*a^2 + 13*a*b + 8*b^2)*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(3*a^3*(a + b)^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) - (b*(9*a + 8*b)*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(3*a^3*(a + b)*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])}
+{Cos[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 11, -((2*b*(4*a + 3*b)*Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])) - (b*Cos[e + f*x]^4*Sin[e + f*x])/(3*a*(a + b)*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) + ((a^2 + 11*a*b + 8*b^2)*Sin[e + f*x]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(3*a^3*(a + b)^2*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) + (2*(a + 2*b)*(a^2 - 4*a*b - 4*b^2)*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(3*a^4*(a + b)^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) - (b*(a^2 - 16*a*b - 16*b^2)*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(3*a^4*(a + b)*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])}
+{Cos[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 12, -((2*b*(5*a + 4*b)*Cos[e + f*x]^4*Sin[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])) - (b*Cos[e + f*x]^6*Sin[e + f*x])/(3*a*(a + b)*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) + (2*(2*a^3 - 3*a^2*b - 42*a*b^2 - 32*b^3)*Sin[e + f*x]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(15*a^4*(a + b)^2*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) + ((3*a^2 + 61*a*b + 48*b^2)*Cos[e + f*x]^2*Sin[e + f*x]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(15*a^3*(a + b)^2*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]) + ((8*a^4 - 11*a^3*b + 27*a^2*b^2 + 184*a*b^3 + 128*b^4)*EllipticE[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))/(15*a^5*(a + b)^2*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]) - (b*(4*a^3 - 9*a^2*b + 120*a*b^2 + 128*b^3)*EllipticF[ArcSin[Sin[e + f*x]], a/(a + b)]*Sqrt[1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])/(15*a^5*(a + b)*f*Sqrt[Cos[e + f*x]^2]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)])}
+
+{Sec[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 5, ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(b^(5/2)*f) - (a*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3*b*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (a*(3*a + 5*b)*Tan[e + f*x])/(3*b^2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 3, (Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 3, Tan[e + f*x]/(3*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*Tan[e + f*x])/(3*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Sec[e + f*x]^0/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(a^(5/2)*f) - (b*Tan[e + f*x])/(3*a*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (b*(5*a + 3*b)*Tan[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, ((a - 5*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*a^(7/2)*f) + (Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(2*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (b*(3*a + 5*b)*Tan[e + f*x])/(6*a^2*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (b*(3*a^2 + 22*a*b + 15*b^2)*Tan[e + f*x])/(6*a^3*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 8, ((3*a^2 - 10*a*b + 35*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*a^(9/2)*f) + ((3*a - 7*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*a^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(4*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (b*(9*a^2 - 18*a*b - 35*b^2)*Tan[e + f*x])/(24*a^3*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (b*(9*a^3 - 15*a^2*b - 145*a*b^2 - 105*b^3)*Tan[e + f*x])/(24*a^4*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Cos[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 9, (5*(a - 3*b)*(a^2 + 7*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(16*a^(11/2)*f) + ((5*a^2 - 10*a*b + 21*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(16*a^3*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + ((5*a - 9*b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*a^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x])/(6*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (b*(15*a^3 - 25*a^2*b + 49*a*b^2 + 105*b^3)*Tan[e + f*x])/(48*a^4*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (b*(15*a^4 - 20*a^3*b + 38*a^2*b^2 + 420*a*b^3 + 315*b^4)*Tan[e + f*x])/(48*a^5*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+
+
+{1/(a + b*Sec[c + d*x]^2)^(7/2), x, 7, ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[c + d*x]^2]]/(a^(7/2)*d) - (b*Tan[c + d*x])/(5*a*(a + b)*d*(a + b + b*Tan[c + d*x]^2)^(5/2)) - (b*(9*a + 5*b)*Tan[c + d*x])/(15*a^2*(a + b)^2*d*(a + b + b*Tan[c + d*x]^2)^(3/2)) - (b*(33*a^2 + 40*a*b + 15*b^2)*Tan[c + d*x])/(15*a^3*(a + b)^3*d*Sqrt[a + b + b*Tan[c + d*x]^2])}
+
+
+{1/Sqrt[1 + Sec[x]^2], x, 3, ArcTan[Tan[x]/Sqrt[2 + Tan[x]^2]]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^2)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, -1, (AppellF1[m/2, 1/2, -p, (2 + m)/2, Sec[e + f*x]^2, -((b*Sec[e + f*x]^2)/a)]*Cos[e + f*x]*(d*Sec[e + f*x])^m*Sqrt[-Tan[e + f*x]^2]*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p)/((1 + (b*Sec[e + f*x]^2)/a)^p*(f*m*Sin[e + f*x]))}
+
+
+{Sec[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 5, (AppellF1[1/2, 2 + p, -p, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*(Cos[e + f*x]^2)^p*Sin[e + f*x]*(Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))^p)/((1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b))^p*f)}
+{Sec[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 5, (AppellF1[1/2, 1 + p, -p, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*(Cos[e + f*x]^2)^p*Sin[e + f*x]*(Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))^p)/((1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b))^p*f)}
+{Cos[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 5, (AppellF1[1/2, p, -p, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*(Cos[e + f*x]^2)^p*Sin[e + f*x]*(Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))^p)/((1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b))^p*f)}
+{Cos[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 5, (AppellF1[1/2, -1 + p, -p, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*(Cos[e + f*x]^2)^p*Sin[e + f*x]*(Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))^p)/((1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b))^p*f)}
+{Cos[e + f*x]^5*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 5, (AppellF1[1/2, -2 + p, -p, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*(Cos[e + f*x]^2)^p*Sin[e + f*x]*(Sec[e + f*x]^2*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2))^p)/((1 - (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b))^p*f)}
+
+{Sec[e + f*x]^6*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 5, If[$VersionNumber>=8, -(((3*a - 2*b*(2 + p))*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b^2*f*(3 + 2*p)*(5 + 2*p))) + (Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b*f*(5 + 2*p)) + ((3*a^2 - 4*a*b*(1 + p) + 4*b^2*(2 + 3*p + p^2))*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(b^2*f*(3 + 2*p)*(5 + 2*p)*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p), -(((3*a - 2*b*(2 + p))*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b^2*f*(15 + 16*p + 4*p^2))) + (Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b*f*(5 + 2*p)) + ((3*a^2 - 4*a*b*(1 + p) + 4*b^2*(2 + 3*p + p^2))*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/((1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p*(b^2*f*(15 + 16*p + 4*p^2)))]}
+{Sec[e + f*x]^4*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 4, (Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b*f*(3 + 2*p)) - ((a - 2*b*(1 + p))*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(b*f*(3 + 2*p)*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p)}
+{Sec[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 3, (Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p)}
+{Sec[e + f*x]^0*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, 1, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p)}
+{Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, 2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p)}
+{Cos[e + f*x]^4*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, 3, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p)}
+{Cos[e + f*x]^6*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, 4, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p)}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Sec[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)*Tan[e + f*x]^5, x, 4, -((a*Log[Cos[e + f*x]])/f) - ((2*a - b)*Sec[e + f*x]^2)/(2*f) + ((a - 2*b)*Sec[e + f*x]^4)/(4*f) + (b*Sec[e + f*x]^6)/(6*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)*Tan[e + f*x]^3, x, 4, (a*Log[Cos[e + f*x]])/f + ((a - b)*Sec[e + f*x]^2)/(2*f) + (b*Sec[e + f*x]^4)/(4*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)*Tan[e + f*x]^1, x, 3, -((a*Log[Cos[e + f*x]])/f) + (b*Sec[e + f*x]^2)/(2*f)}
+{Cot[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, -((b*Log[Cos[e + f*x]])/f) + ((a + b)*Log[Sin[e + f*x]])/f}
+{Cot[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, -((a + b)*Csc[e + f*x]^2)/(2*f) - (a*Log[Sin[e + f*x]])/f}
+{Cot[e + f*x]^5*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, ((2*a + b)*Csc[e + f*x]^2)/(2*f) - ((a + b)*Csc[e + f*x]^4)/(4*f) + (a*Log[Sin[e + f*x]])/f}
+
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)*Tan[e + f*x]^6, x, 4, -(a*x) + (a*Tan[e + f*x])/f - (a*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + (a*Tan[e + f*x]^5)/(5*f) + (b*Tan[e + f*x]^7)/(7*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)*Tan[e + f*x]^4, x, 4, a*x - (a*Tan[e + f*x])/f + (a*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + (b*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)*Tan[e + f*x]^2, x, 4, -(a*x) + (a*Tan[e + f*x])/f + (b*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)*Tan[e + f*x]^0, x, 3, a*x + (b*Tan[e + f*x])/f}
+{Cot[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, -(a*x) - ((a + b)*Cot[e + f*x])/f}
+{Cot[e + f*x]^4*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, a*x + (a*Cot[e + f*x])/f - ((a + b)*Cot[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Cot[e + f*x]^6*(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, -(a*x) - (a*Cot[e + f*x])/f + (a*Cot[e + f*x]^3)/(3*f) - ((a + b)*Cot[e + f*x]^5)/(5*f)}
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2*Tan[e + f*x]^5, x, 4, -((a^2*Log[Cos[e + f*x]])/f) - (a*(a - b)*Sec[e + f*x]^2)/f + ((a^2 - 4*a*b + b^2)*Sec[e + f*x]^4)/(4*f) + ((a - b)*b*Sec[e + f*x]^6)/(3*f) + (b^2*Sec[e + f*x]^8)/(8*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2*Tan[e + f*x]^3, x, 4, (a^2*Log[Cos[e + f*x]])/f + (a*(a - 2*b)*Sec[e + f*x]^2)/(2*f) + ((2*a - b)*b*Sec[e + f*x]^4)/(4*f) + (b^2*Sec[e + f*x]^6)/(6*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2*Tan[e + f*x]^1, x, 4, -((a^2*Log[Cos[e + f*x]])/f) + (a*b*Sec[e + f*x]^2)/f + (b^2*Sec[e + f*x]^4)/(4*f)}
+{Cot[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, -((b*(2*a + b)*Log[Cos[e + f*x]])/f) + ((a + b)^2*Log[Sin[e + f*x]])/f + (b^2*Sec[e + f*x]^2)/(2*f)}
+{Cot[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, -((a + b)^2*Csc[e + f*x]^2)/(2*f) - (b^2*Log[Cos[e + f*x]])/f - ((a^2 - b^2)*Log[Sin[e + f*x]])/f}
+{Cot[e + f*x]^5*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, (a*(a + b)*Csc[e + f*x]^2)/f - ((a + b)^2*Csc[e + f*x]^4)/(4*f) + (a^2*Log[Sin[e + f*x]])/f}
+
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2*Tan[e + f*x]^6, x, 4, -(a^2*x) + (a^2*Tan[e + f*x])/f - (a^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + (a^2*Tan[e + f*x]^5)/(5*f) + (b*(2*a + b)*Tan[e + f*x]^7)/(7*f) + (b^2*Tan[e + f*x]^9)/(9*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2*Tan[e + f*x]^4, x, 4, a^2*x - (a^2*Tan[e + f*x])/f + (a^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + (b*(2*a + b)*Tan[e + f*x]^5)/(5*f) + (b^2*Tan[e + f*x]^7)/(7*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2*Tan[e + f*x]^2, x, 4, -(a^2*x) + (a^2*Tan[e + f*x])/f + (b*(2*a + b)*Tan[e + f*x]^3)/(3*f) + (b^2*Tan[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2*Tan[e + f*x]^0, x, 4, a^2*x + (b*(2*a + b)*Tan[e + f*x])/f + (b^2*Tan[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Cot[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, -(a^2*x) - ((a + b)^2*Cot[e + f*x])/f + (b^2*Tan[e + f*x])/f}
+{Cot[e + f*x]^4*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, a^2*x + ((a^2 - b^2)*Cot[e + f*x])/f - ((a + b)^2*Cot[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Cot[e + f*x]^6*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, -(a^2*x) - (a^2*Cot[e + f*x])/f + ((a^2 - b^2)*Cot[e + f*x]^3)/(3*f) - ((a + b)^2*Cot[e + f*x]^5)/(5*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, ((a + 2*b)*Log[Cos[e + f*x]])/(b^2*f) - ((a + b)^2*Log[b + a*Cos[e + f*x]^2])/(2*a*b^2*f) + Sec[e + f*x]^2/(2*b*f)}
+{Tan[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, -(Log[Cos[e + f*x]]/(b*f)) + ((a + b)*Log[b + a*Cos[e + f*x]^2])/(2*a*b*f)}
+{Tan[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 2, -Log[b + a*Cos[e + f*x]^2]/(2*a*f)}
+{Cot[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, (b*Log[b + a*Cos[e + f*x]^2])/(2*a*(a + b)*f) + Log[Sin[e + f*x]]/((a + b)*f)}
+{Cot[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, -Csc[e + f*x]^2/(2*(a + b)*f) - (b^2*Log[b + a*Cos[e + f*x]^2])/(2*a*(a + b)^2*f) - ((a + 2*b)*Log[Sin[e + f*x]])/((a + b)^2*f)}
+{Cot[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 4, ((2*a + 3*b)*Csc[e + f*x]^2)/(2*(a + b)^2*f) - Csc[e + f*x]^4/(4*(a + b)*f) + (b^3*Log[b + a*Cos[e + f*x]^2])/(2*a*(a + b)^3*f) + ((a^2 + 3*a*b + 3*b^2)*Log[Sin[e + f*x]])/((a + b)^3*f)}
+
+{Tan[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 7, -(x/a) + ((a + b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(a*b^(5/2)*f) - ((a + 2*b)*Tan[e + f*x])/(b^2*f) + Tan[e + f*x]^3/(3*b*f)}
+{Tan[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 6, x/a - ((a + b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(a*b^(3/2)*f) + Tan[e + f*x]/(b*f)}
+{Tan[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 5, -(x/a) + (Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[b]*f)}
+{Tan[e + f*x]^0/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 3, x/a + (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Cot[e + f*x])/Sqrt[b]])/(a*Sqrt[a + b]*f)}
+{Cot[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 6, -(x/a) + (b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(a*(a + b)^(3/2)*f) - Cot[e + f*x]/((a + b)*f)}
+{Cot[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 7, x/a - (b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(a*(a + b)^(5/2)*f) + ((a + 2*b)*Cot[e + f*x])/((a + b)^2*f) - Cot[e + f*x]^3/(3*(a + b)*f)}
+{Cot[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2), x, 8, -(x/a) + (b^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(a*(a + b)^(7/2)*f) - ((a^2 + 3*a*b + 3*b^2)*Cot[e + f*x])/((a + b)^3*f) + ((a + 2*b)*Cot[e + f*x]^3)/(3*(a + b)^2*f) - Cot[e + f*x]^5/(5*(a + b)*f)}
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, -(a + b)^2/(2*a^2*b*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)) - Log[Cos[e + f*x]]/(b^2*f) - ((a^(-2) - b^(-2))*Log[b + a*Cos[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Tan[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, (a + b)/(2*a^2*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)) + Log[b + a*Cos[e + f*x]^2]/(2*a^2*f)}
+{Tan[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, -b/(2*a^2*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)) - Log[b + a*Cos[e + f*x]^2]/(2*a^2*f)}
+{Cot[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, b^2/(2*a^2*(a + b)*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)) + (b*(2*a + b)*Log[b + a*Cos[e + f*x]^2])/(2*a^2*(a + b)^2*f) + Log[Sin[e + f*x]]/((a + b)^2*f)}
+{Cot[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, -b^3/(2*a^2*(a + b)^2*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)) - Csc[e + f*x]^2/(2*(a + b)^2*f) - (b^2*(3*a + b)*Log[b + a*Cos[e + f*x]^2])/(2*a^2*(a + b)^3*f) - ((a + 3*b)*Log[Sin[e + f*x]])/((a + b)^3*f)}
+{Cot[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 4, b^4/(2*a^2*(a + b)^3*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)) + ((a + 2*b)*Csc[e + f*x]^2)/((a + b)^3*f) - Csc[e + f*x]^4/(4*(a + b)^2*f) + (b^3*(4*a + b)*Log[b + a*Cos[e + f*x]^2])/(2*a^2*(a + b)^4*f) + ((a^2 + 4*a*b + 6*b^2)*Log[Sin[e + f*x]])/((a + b)^4*f)}
+
+{Tan[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 7, -(x/a^2) - ((3*a - 2*b)*(a + b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^2*b^(5/2)*f) + ((3*a + b)*Tan[e + f*x])/(2*a*b^2*f) - ((a + b)*Tan[e + f*x]^3)/(2*a*b*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Tan[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 6, x/a^2 + ((a - 2*b)*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^2*b^(3/2)*f) - ((a + b)*Tan[e + f*x])/(2*a*b*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Tan[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 6, -(x/a^2) + ((a + 2*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^2*Sqrt[b]*Sqrt[a + b]*f) + Tan[e + f*x]/(2*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Tan[e + f*x]^0/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 5, x/a^2 - (Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^2*(a + b)^(3/2)*f) - (b*Tan[e + f*x])/(2*a*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cot[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 7, -(x/a^2) + (b^(3/2)*(5*a + 2*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^2*(a + b)^(5/2)*f) - ((2*a - b)*Cot[e + f*x])/(2*a*(a + b)^2*f) - (b*Cot[e + f*x])/(2*a*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cot[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 8, x/a^2 - (b^(5/2)*(7*a + 2*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^2*(a + b)^(7/2)*f) + ((2*a^2 + 6*a*b - b^2)*Cot[e + f*x])/(2*a*(a + b)^3*f) - ((2*a - 3*b)*Cot[e + f*x]^3)/(6*a*(a + b)^2*f) - (b*Cot[e + f*x]^3)/(2*a*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cot[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^2, x, 9, -(x/a^2) + (b^(7/2)*(9*a + 2*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^2*(a + b)^(9/2)*f) - ((2*a^3 + 8*a^2*b + 12*a*b^2 - b^3)*Cot[e + f*x])/(2*a*(a + b)^4*f) + ((2*a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*Cot[e + f*x]^3)/(6*a*(a + b)^3*f) - ((2*a - 5*b)*Cot[e + f*x]^5)/(10*a*(a + b)^2*f) - (b*Cot[e + f*x]^5)/(2*a*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 4, (a + b)^2/(4*a^3*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)^2) - (a + b)/(a^3*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)) - Log[b + a*Cos[e + f*x]^2]/(2*a^3*f)}
+{Tan[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 4, -(b*(a + b))/(4*a^3*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)^2) + (a + 2*b)/(2*a^3*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)) + Log[b + a*Cos[e + f*x]^2]/(2*a^3*f)}
+{Tan[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 4, b^2/(4*a^3*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)^2) - b/(a^3*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)) - Log[b + a*Cos[e + f*x]^2]/(2*a^3*f)}
+{Cot[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 4, -b^3/(4*a^3*(a + b)*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)^2) + (b^2*(3*a + 2*b))/(2*a^3*(a + b)^2*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)) + (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Log[b + a*Cos[e + f*x]^2])/(2*a^3*(a + b)^3*f) + Log[Sin[e + f*x]]/((a + b)^3*f)}
+{Cot[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 4, b^4/(4*a^3*(a + b)^2*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)^2) - (b^3*(2*a + b))/(a^3*(a + b)^3*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)) - Csc[e + f*x]^2/(2*(a + b)^3*f) - (b^2*(6*a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[b + a*Cos[e + f*x]^2])/(2*a^3*(a + b)^4*f) - ((a + 4*b)*Log[Sin[e + f*x]])/((a + b)^4*f)}
+{Cot[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 4, -b^5/(4*a^3*(a + b)^3*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)^2) + (b^4*(5*a + 2*b))/(2*a^3*(a + b)^4*f*(b + a*Cos[e + f*x]^2)) + ((2*a + 5*b)*Csc[e + f*x]^2)/(2*(a + b)^4*f) - Csc[e + f*x]^4/(4*(a + b)^3*f) + (b^3*(10*a^2 + 5*a*b + b^2)*Log[b + a*Cos[e + f*x]^2])/(2*a^3*(a + b)^5*f) + ((a^2 + 5*a*b + 10*b^2)*Log[Sin[e + f*x]])/((a + b)^5*f)}
+
+{Tan[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 7, -(x/a^3) + (Sqrt[a + b]*(3*a^2 - 4*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^3*b^(5/2)*f) - ((a + b)*Tan[e + f*x]^3)/(4*a*b*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - ((3*a - 4*b)*(a + b)*Tan[e + f*x])/(8*a^2*b^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Tan[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 7, x/a^3 + ((a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^3*b^(3/2)*Sqrt[a + b]*f) - ((a + b)*Tan[e + f*x])/(4*a*b*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + ((a - 4*b)*Tan[e + f*x])/(8*a^2*b*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Tan[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 7, -(x/a^3) + ((3*a^2 + 12*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^3*Sqrt[b]*(a + b)^(3/2)*f) + Tan[e + f*x]/(4*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + ((3*a + 4*b)*Tan[e + f*x])/(8*a^2*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Tan[e + f*x]^0/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 6, x/a^3 - (Sqrt[b]*(15*a^2 + 20*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^3*(a + b)^(5/2)*f) - (b*Tan[e + f*x])/(4*a*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (b*(7*a + 4*b)*Tan[e + f*x])/(8*a^2*(a + b)^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cot[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 8, -(x/a^3) + (b^(3/2)*(35*a^2 + 28*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^3*(a + b)^(7/2)*f) - ((8*a^2 - 11*a*b - 4*b^2)*Cot[e + f*x])/(8*a^2*(a + b)^3*f) - (b*Cot[e + f*x])/(4*a*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (b*(9*a + 4*b)*Cot[e + f*x])/(8*a^2*(a + b)^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cot[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 9, x/a^3 - (b^(5/2)*(63*a^2 + 36*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^3*(a + b)^(9/2)*f) + ((8*a^3 + 32*a^2*b - 15*a*b^2 - 4*b^3)*Cot[e + f*x])/(8*a^2*(a + b)^4*f) - ((8*a^2 - 39*a*b - 12*b^2)*Cot[e + f*x]^3)/(24*a^2*(a + b)^3*f) - (b*Cot[e + f*x]^3)/(4*a*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (b*(11*a + 4*b)*Cot[e + f*x]^3)/(8*a^2*(a + b)^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+{Cot[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^3, x, 10, -(x/a^3) + (b^(7/2)*(99*a^2 + 44*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^3*(a + b)^(11/2)*f) - ((8*a^4 + 40*a^3*b + 80*a^2*b^2 - 19*a*b^3 - 4*b^4)*Cot[e + f*x])/(8*a^2*(a + b)^5*f) + ((8*a^3 + 32*a^2*b - 51*a*b^2 - 12*b^3)*Cot[e + f*x]^3)/(24*a^2*(a + b)^4*f) - ((8*a^2 - 75*a*b - 20*b^2)*Cot[e + f*x]^5)/(40*a^2*(a + b)^3*f) - (b*Cot[e + f*x]^5)/(4*a*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^2) - (b*(13*a + 4*b)*Cot[e + f*x]^5)/(8*a^2*(a + b)^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^5, x, 7, -((Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f) + Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/f - ((a + 2*b)*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))/(3*b^2*f) + (a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2)/(5*b^2*f)}
+{Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^3, x, 6, (Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f - Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/f + (a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)/(3*b*f)}
+{Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^1, x, 5, -((Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f) + Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/f}
+{Cot[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 7, (Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f - (Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/f}
+{Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 8, -((Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f) + ((2*a + b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(2*Sqrt[a + b]*f) - (Cot[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Cot[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 9, (Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f - ((8*a^2 + 12*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(8*(a + b)^(3/2)*f) + ((4*a + 3*b)*Cot[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(8*(a + b)*f) - (Cot[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(4*f)}
+
+{Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^6, x, 10, -((Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f) + ((a^3 + 5*a^2*b + 15*a*b^2 - 5*b^3)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(16*b^(5/2)*f) - ((a - b)*(a + 5*b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(16*b^2*f) + ((a - 5*b)*Tan[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(24*b*f) + (Tan[e + f*x]^5*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(6*f)}
+{Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^4, x, 9, (Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f - ((a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*b^(3/2)*f) + ((a - 3*b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*b*f) + (Tan[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(4*f)}
+{Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^2, x, 8, -((Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f) + ((a - b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*Sqrt[b]*f) + (Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x]^0, x, 6, (Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f}
+{Cot[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 6, -((Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f) - (Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/f}
+{Cot[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 7, (Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f + ((3*a + 2*b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*(a + b)*f) - (Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*f)}
+{Cot[e + f*x]^6*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 8, -((Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f) - ((15*a^2 + 25*a*b + 8*b^2)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*(a + b)^2*f) - ((b - 5*(a + b))*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*(a + b)*f) - (Cot[e + f*x]^5*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(5*f)}
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)*Tan[e + f*x]^5, x, 8, -((a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f) + (a*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/f + (a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)/(3*f) - ((a + 2*b)*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2))/(5*b^2*f) + (a + b*Sec[e + f*x]^2)^(7/2)/(7*b^2*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)*Tan[e + f*x]^3, x, 7, (a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f - (a*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/f - (a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)/(3*f) + (a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2)/(5*b*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)*Tan[e + f*x]^1, x, 6, -((a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f) + (a*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/f + (a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)/(3*f)}
+{Cot[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, (a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f - ((a + b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/f + (b*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/f}
+{Cot[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, -((a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f) + ((2*a - b)*Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(2*f) - ((a + b)*Cot[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Cot[e + f*x]^5*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, (a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f - ((8*a^2 + 4*a*b - b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(8*Sqrt[a + b]*f) + ((4*a - b)*Cot[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(8*f) - ((a + b)*Cot[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(4*f)}
+
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)*Tan[e + f*x]^6, x, 11, -((a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f) + ((3*a^4 + 20*a^3*b + 90*a^2*b^2 - 60*a*b^3 - 5*b^4)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(128*b^(5/2)*f) - ((3*a^3 + 17*a^2*b - 55*a*b^2 - 5*b^3)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(128*b^2*f) + ((3*a^2 - 50*a*b - 5*b^2)*Tan[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(192*b*f) + ((9*a + b)*Tan[e + f*x]^5*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(48*f) + (b*Tan[e + f*x]^7*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)*Tan[e + f*x]^4, x, 10, (a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f - ((a - b)*(a^2 + 10*a*b + b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(16*b^(3/2)*f) + ((a^2 - 8*a*b - b^2)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(16*b*f) + ((7*a + b)*Tan[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(24*f) + (b*Tan[e + f*x]^5*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(6*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)*Tan[e + f*x]^2, x, 9, -((a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f) + ((3*a^2 - 6*a*b - b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*Sqrt[b]*f) + ((5*a + b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*f) + (b*Tan[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(4*f)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)*Tan[e + f*x]^0, x, 7, (a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f + (Sqrt[b]*(3*a + b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Cot[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, -((a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f) + (b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f - ((a + b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/f}
+{Cot[e + f*x]^4*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, (a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f + ((3*a - b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*f) - ((a + b)*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*f)}
+{Cot[e + f*x]^6*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, -((a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/f) - ((15*a^2 + 10*a*b - 2*b^2)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*(a + b)*f) + ((5*a - b)*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*f) - ((a + b)*Cot[e + f*x]^5*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(5*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 6, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*f)) - ((a + 2*b)*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(b^2*f) + (a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)/(3*b^2*f)}
+{Tan[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*f) + Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/(b*f)}
+{Tan[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 4, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*f))}
+{Cot[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 7, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*f) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[a + b]*f)}
+{Cot[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 8, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*f)) + ((2*a + 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(2*(a + b)^(3/2)*f) - (Cot[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(2*(a + b)*f)}
+{Cot[e + f*x]^5/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 9, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*f) - ((8*a^2 + 20*a*b + 15*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(8*(a + b)^(5/2)*f) + ((4*a + 7*b)*Cot[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(8*(a + b)^2*f) - (Cot[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])/(4*(a + b)*f)}
+
+{Tan[e + f*x]^6/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 9, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a]*f)) + ((3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*b^(5/2)*f) - ((3*a + 7*b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(8*b^2*f) + (Tan[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(4*b*f)}
+{Tan[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 8, ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a]*f) - ((a + 3*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*b^(3/2)*f) + (Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*b*f)}
+{Tan[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 7, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a]*f)) + ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[b]*f)}
+{Tan[e + f*x]^0/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 3, ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a]*f)}
+{Cot[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 6, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a]*f)) - (Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/((a + b)*f)}
+{Cot[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 7, ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a]*f) + ((3*a + 5*b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*(a + b)^2*f) - (Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*(a + b)*f)}
+{Cot[e + f*x]^6/Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2], x, 8, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a]*f)) - ((15*a^2 + 40*a*b + 33*b^2)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*(a + b)^3*f) + ((5*a + 9*b)*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*(a + b)^2*f) - (Cot[e + f*x]^5*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(5*(a + b)*f)}
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(3/2)*f)) + (a + b)^2/(a*b^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]) + Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/(b^2*f)}
+{Tan[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(3/2)*f) - (a + b)/(a*b*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(3/2)*f)) + 1/(a*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(3/2)*f) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]]/((a + b)^(3/2)*f) - b/(a*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(3/2)*f)) + ((2*a + 5*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(2*(a + b)^(5/2)*f) - ((a - 2*b)*b)/(2*a*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]) - Cot[e + f*x]^2/(2*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 10, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(3/2)*f) - ((8*a^2 + 28*a*b + 35*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(8*(a + b)^(7/2)*f) + (b*(4*a^2 + 11*a*b - 8*b^2))/(8*a*(a + b)^3*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]) + ((4*a + 9*b)*Cot[e + f*x]^2)/(8*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]) - Cot[e + f*x]^4/(4*(a + b)*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+
+{Tan[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(a^(3/2)*f)) - ((3*a + 5*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*b^(5/2)*f) - ((a + b)*Tan[e + f*x]^3)/(a*b*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) + ((3*a + 2*b)*Tan[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(2*a*b^2*f)}
+{Tan[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(a^(3/2)*f) + ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(b^(3/2)*f) - ((a + b)*Tan[e + f*x])/(a*b*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(a^(3/2)*f)) + Tan[e + f*x]/(a*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^0/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(a^(3/2)*f) - (b*Tan[e + f*x])/(a*(a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(a^(3/2)*f)) - (b*Cot[e + f*x])/(a*(a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) - ((a - b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(a*(a + b)^2*f)}
+{Cot[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(a^(3/2)*f) - (b*Cot[e + f*x]^3)/(a*(a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) + ((3*a - b)*(a + 3*b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*a*(a + b)^3*f) - ((a - 3*b)*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*a*(a + b)^2*f)}
+{Cot[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2), x, 9, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(a^(3/2)*f)) - (b*Cot[e + f*x]^5)/(a*(a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) - ((15*a^3 + 55*a^2*b + 73*a*b^2 - 15*b^3)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*a*(a + b)^4*f) + ((5*a^2 + 14*a*b - 15*b^2)*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*a*(a + b)^3*f) - ((a - 5*b)*Cot[e + f*x]^5*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(5*a*(a + b)^2*f)}
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(5/2)*f)) + (a + b)^2/(3*a*b^2*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) + (a^(-2) - b^(-2))/(f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(5/2)*f) - (a + b)/(3*a*b*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - 1/(a^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(5/2)*f)) + 1/(3*a*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) + 1/(a^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 9, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(5/2)*f) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]]/((a + b)^(5/2)*f) - b/(3*a*(a + b)*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (b*(2*a + b))/(a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 10, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(5/2)*f)) + ((2*a + 7*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(2*(a + b)^(7/2)*f) - ((3*a - 2*b)*b)/(6*a*(a + b)^2*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - Cot[e + f*x]^2/(2*(a + b)*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - (b*(a^2 - 6*a*b - 2*b^2))/(2*a^2*(a + b)^3*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 11, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(5/2)*f) - ((8*a^2 + 36*a*b + 63*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2]/Sqrt[a + b]])/(8*(a + b)^(9/2)*f) + (b*(12*a^2 + 39*a*b - 8*b^2))/(24*a*(a + b)^3*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) + ((4*a + 11*b)*Cot[e + f*x]^2)/(8*(a + b)^2*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) - Cot[e + f*x]^4/(4*(a + b)*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)) + (b*(4*a^3 + 15*a^2*b - 32*a*b^2 - 8*b^3))/(8*a^2*(a + b)^4*f*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]^2])}
+
+{Tan[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 9, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(a^(5/2)*f)) + ArcTanh[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(b^(5/2)*f) - ((a + b)*Tan[e + f*x]^3)/(3*a*b*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + ((a^(-2) - b^(-2))*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(a^(5/2)*f) - ((a + b)*Tan[e + f*x])/(3*a*b*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + ((a - 3*b)*Tan[e + f*x])/(3*a^2*b*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(a^(5/2)*f)) + Tan[e + f*x]/(3*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + ((2*a + 3*b)*Tan[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Tan[e + f*x]^0/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(a^(5/2)*f) - (b*Tan[e + f*x])/(3*a*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (b*(5*a + 3*b)*Tan[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])}
+{Cot[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 8, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(a^(5/2)*f)) - (b*Cot[e + f*x])/(3*a*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (b*(7*a + 3*b)*Cot[e + f*x])/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) - ((a - 3*b)*(3*a + b)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*a^2*(a + b)^3*f)}
+{Cot[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 9, ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(a^(5/2)*f) - (b*Cot[e + f*x]^3)/(3*a*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (b*(3*a + b)*Cot[e + f*x]^3)/(a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) + ((a - b)*(3*a^2 + 14*a*b + 3*b^2)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*a^2*(a + b)^4*f) - ((a^2 - 10*a*b - 3*b^2)*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(3*a^2*(a + b)^3*f)}
+{Cot[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2), x, 10, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]]/(a^(5/2)*f)) - (b*Cot[e + f*x]^5)/(3*a*(a + b)*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) - (b*(11*a + 3*b)*Cot[e + f*x]^5)/(3*a^2*(a + b)^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) - ((15*a^4 + 70*a^3*b + 128*a^2*b^2 - 70*a*b^3 - 15*b^4)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*a^2*(a + b)^5*f) + ((5*a^3 + 19*a^2*b - 65*a*b^2 - 15*b^3)*Cot[e + f*x]^3*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(15*a^2*(a + b)^4*f) - ((a^2 - 20*a*b - 5*b^2)*Cot[e + f*x]^5*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])/(5*a^2*(a + b)^3*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^2)^p when p symbolic*)
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p*(d*Tan[e + f*x])^m, x, 4, (AppellF1[(1 + m)/2, 1, -p, (3 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*(d*Tan[e + f*x])^(1 + m)*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(d*f*(1 + m)*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p)}
+
+
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p*Tan[e + f*x]^5, x, 5, -((a + 2*b)*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*b^2*f*(1 + p)) - (Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*Sec[e + f*x]^2)/a]*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*a*f*(1 + p)) + (a + b*Sec[e + f*x]^2)^(2 + p)/(2*b^2*f*(2 + p))}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p*Tan[e + f*x]^3, x, 4, (a + b*Sec[e + f*x]^2)^(1 + p)/(2*b*f*(1 + p)) + (Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*Sec[e + f*x]^2)/a]*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*a*f*(1 + p))}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p*Tan[e + f*x]^1, x, 3, -(Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*Sec[e + f*x]^2)/a]*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*a*f*(1 + p))}
+{Cot[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 5, -(Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, (a + b*Sec[e + f*x]^2)/(a + b)]*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*(a + b)*f*(1 + p)) + (Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*Sec[e + f*x]^2)/a]*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*a*f*(1 + p))}
+{Cot[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 6, -((Cot[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*(a + b)*f)) + ((a + b - b*p)*Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, (a + b*Sec[e + f*x]^2)/(a + b)]*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*(a + b)^2*f*(1 + p)) - (Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*Sec[e + f*x]^2)/a]*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(1 + p))/(2*a*f*(1 + p))}
+
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p*Tan[e + f*x]^4, x, 4, (AppellF1[5/2, 1, -p, 7/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*Tan[e + f*x]^5*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(5*f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p*Tan[e + f*x]^2, x, 4, (AppellF1[3/2, 1, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*Tan[e + f*x]^3*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(3*f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p)}
+{(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p*Tan[e + f*x]^0, x, 3, (AppellF1[1/2, 1, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*Tan[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p)}
+{Cot[e + f*x]^2*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 4, -((AppellF1[-1/2, 1, -p, 1/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*Cot[e + f*x]*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p))}
+{Cot[e + f*x]^4*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^p, x, 4, -(AppellF1[-3/2, 1, -p, -1/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))]*Cot[e + f*x]^3*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(3*f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/(a + b))^p)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^5*(a + b*Sec[e + f*x]^3), x, 3, -((a*Log[Cos[e + f*x]])/f) - (a*Sec[e + f*x]^2)/f + (b*Sec[e + f*x]^3)/(3*f) + (a*Sec[e + f*x]^4)/(4*f) - (2*b*Sec[e + f*x]^5)/(5*f) + (b*Sec[e + f*x]^7)/(7*f)}
+{Tan[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^3), x, 3, (a*Log[Cos[e + f*x]])/f + (a*Sec[e + f*x]^2)/(2*f) - (b*Sec[e + f*x]^3)/(3*f) + (b*Sec[e + f*x]^5)/(5*f)}
+{Tan[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x]^3), x, 3, -((a*Log[Cos[e + f*x]])/f) + (b*Sec[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Cot[e + f*x]^1*(a + b*Sec[e + f*x]^3), x, 3, ((a + b)*Log[1 - Cos[e + f*x]])/(2*f) + ((a - b)*Log[1 + Cos[e + f*x]])/(2*f) + (b*Sec[e + f*x])/f}
+{Cot[e + f*x]^3*(a + b*Sec[e + f*x]^3), x, 5, -(((a + b*Cos[e + f*x])*Csc[e + f*x]^2)/(2*f)) - ((2*a - b)*Log[1 - Cos[e + f*x]])/(4*f) - ((2*a + b)*Log[1 + Cos[e + f*x]])/(4*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tan[e + f*x]^5/(a + b*Sec[e + f*x]^3), x, 11, -(((a^(2/3) + 2*b^(2/3))*ArcTan[(b^(1/3) - 2*a^(1/3)*Cos[e + f*x])/(Sqrt[3]*b^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(1/3)*b^(4/3)*f)) - ((a^(2/3) - 2*b^(2/3))*Log[b^(1/3) + a^(1/3)*Cos[e + f*x]])/(3*a^(1/3)*b^(4/3)*f) + ((a^(2/3) - 2*b^(2/3))*Log[b^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Cos[e + f*x] + a^(2/3)*Cos[e + f*x]^2])/(6*a^(1/3)*b^(4/3)*f) - Log[b + a*Cos[e + f*x]^3]/(3*a*f) + Sec[e + f*x]/(b*f)}
+{Tan[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^3), x, 9, ArcTan[(b^(1/3) - 2*a^(1/3)*Cos[e + f*x])/(Sqrt[3]*b^(1/3))]/(Sqrt[3]*a^(1/3)*b^(2/3)*f) - Log[b^(1/3) + a^(1/3)*Cos[e + f*x]]/(3*a^(1/3)*b^(2/3)*f) + Log[b^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Cos[e + f*x] + a^(2/3)*Cos[e + f*x]^2]/(6*a^(1/3)*b^(2/3)*f) + Log[b + a*Cos[e + f*x]^3]/(3*a*f)}
+{Tan[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^3), x, 2, -(Log[b + a*Cos[e + f*x]^3]/(3*a*f))}
+{Cot[e + f*x]^1/(a + b*Sec[e + f*x]^3), x, 11, -((b^(2/3)*ArcTan[(b^(1/3) - 2*a^(1/3)*Cos[e + f*x])/(Sqrt[3]*b^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(1/3)*(a^(4/3) + a^(2/3)*b^(2/3) + b^(4/3))*f)) + Log[1 - Cos[e + f*x]]/(2*(a + b)*f) + Log[1 + Cos[e + f*x]]/(2*(a - b)*f) - ((a^(2/3) + b^(2/3))*b^(2/3)*Log[b^(1/3) + a^(1/3)*Cos[e + f*x]])/(3*a^(1/3)*(a^2 - b^2)*f) + ((a^(2/3) + b^(2/3))*b^(2/3)*Log[b^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Cos[e + f*x] + a^(2/3)*Cos[e + f*x]^2])/(6*a^(1/3)*(a^2 - b^2)*f) - (b^2*Log[b + a*Cos[e + f*x]^3])/(3*a*(a^2 - b^2)*f)}
+{Cot[e + f*x]^3/(a + b*Sec[e + f*x]^3), x, 11, (b^(4/3)*(a^2 - 3*a^(2/3)*b^(4/3) + 2*b^2)*ArcTan[(b^(1/3) - 2*a^(1/3)*Cos[e + f*x])/(Sqrt[3]*b^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(1/3)*(a^2 - b^2)^2*f) - 1/(4*(a + b)*f*(1 - Cos[e + f*x])) - 1/(4*(a - b)*f*(1 + Cos[e + f*x])) - ((2*a + 5*b)*Log[1 - Cos[e + f*x]])/(4*(a + b)^2*f) - ((2*a - 5*b)*Log[1 + Cos[e + f*x]])/(4*(a - b)^2*f) - (b^(4/3)*(a^2 + 3*a^(2/3)*b^(4/3) + 2*b^2)*Log[b^(1/3) + a^(1/3)*Cos[e + f*x]])/(3*a^(1/3)*(a^2 - b^2)^2*f) + (b^(4/3)*(a^2 + 3*a^(2/3)*b^(4/3) + 2*b^2)*Log[b^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Cos[e + f*x] + a^(2/3)*Cos[e + f*x]^2])/(6*a^(1/3)*(a^2 - b^2)^2*f) - (b^2*(2*a^2 + b^2)*Log[b + a*Cos[e + f*x]^3])/(3*a*(a^2 - b^2)^2*f)}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[e+f x]^m (a+b Sec[e+f x]^n)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Tan[e + f*x])^m*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p, x, 0, Unintegrable[(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p*(d*Tan[e + f*x])^m, x]}
+
+
+{Tan[e + f*x]^5*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p, x, 15, -((Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*(c*Sec[e + f*x])^n)/a]*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^(1 + p))/(a*f*n*(1 + p))) - (Hypergeometric2F1[2/n, -p, (2 + n)/n, -((b*(c*Sec[e + f*x])^n)/a)]*Sec[e + f*x]^2*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p)/((1 + (b*(c*Sec[e + f*x])^n)/a)^p*f) + (Hypergeometric2F1[4/n, -p, (4 + n)/n, -((b*(c*Sec[e + f*x])^n)/a)]*Sec[e + f*x]^4*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p)/((1 + (b*(c*Sec[e + f*x])^n)/a)^p*(4*f))}
+{Tan[e + f*x]^3*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p, x, 11, (Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*(c*Sec[e + f*x])^n)/a]*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^(1 + p))/(a*f*n*(1 + p)) + (Hypergeometric2F1[2/n, -p, (2 + n)/n, -((b*(c*Sec[e + f*x])^n)/a)]*Sec[e + f*x]^2*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p)/((1 + (b*(c*Sec[e + f*x])^n)/a)^p*(2*f))}
+{Tan[e + f*x]^1*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p, x, 5, -((Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*(c*Sec[e + f*x])^n)/a]*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^(1 + p))/(a*f*n*(1 + p)))}
+{Cot[e + f*x]^1*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p, x, 0, Unintegrable[Cot[e + f*x]*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p, x]}
+{Cot[e + f*x]^3*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p, x, 0, Unintegrable[Cot[e + f*x]^3*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p, x]}
+
+{Tan[e + f*x]^2*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p, x, 0, Unintegrable[(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p*Tan[e + f*x]^2, x]}
+{Tan[e + f*x]^0*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p, x, 0, Unintegrable[(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p, x]}
+{Cot[e + f*x]^2*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p, x, 0, Unintegrable[Cot[e + f*x]^2*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p, x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.0 (a csc)^m (b trg)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.0 (a csc)^m (b trg)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..39f25718
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.0 (a csc)^m (b trg)^n.m	
@@ -0,0 +1,150 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (b Csc[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Csc[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Csc[c+d x]^n*)
+
+
+{Csc[a + b*x]^1, x, 1, -(ArcTanh[Cos[a + b*x]]/b)}
+{Csc[a + b*x]^2, x, 2, -(Cot[a + b*x]/b)}
+{Csc[a + b*x]^3, x, 2, -(ArcTanh[Cos[a + b*x]]/(2*b)) - (Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(2*b)}
+{Csc[a + b*x]^4, x, 2, -(Cot[a + b*x]/b) - Cot[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Csc[a + b*x]^5, x, 3, -((3*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(8*b)) - (3*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(8*b) - (Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x]^3)/(4*b)}
+{Csc[a + b*x]^6, x, 2, -(Cot[a + b*x]/b) - (2*Cot[a + b*x]^3)/(3*b) - Cot[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Csc[a + b*x]^7, x, 4, -((5*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(16*b)) - (5*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(16*b) - (5*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x]^3)/(24*b) - (Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x]^5)/(6*b)}
+{Csc[a + b*x]^8, x, 2, -(Cot[a + b*x]/b) - Cot[a + b*x]^3/b - (3*Cot[a + b*x]^5)/(5*b) - Cot[a + b*x]^7/(7*b)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Csc[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+{Csc[a + b*x]^(7/2), x, 4, -((6*Cos[a + b*x]*Sqrt[Csc[a + b*x]])/(5*b)) - (2*Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^(5/2))/(5*b) - (6*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(5*b)}
+{Csc[a + b*x]^(5/2), x, 3, -((2*Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^(3/2))/(3*b)) + (2*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(3*b)}
+{Csc[a + b*x]^(3/2), x, 3, -((2*Cos[a + b*x]*Sqrt[Csc[a + b*x]])/b) - (2*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/b}
+{Csc[a + b*x]^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/b}
+{1/Csc[a + b*x]^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/b}
+{1/Csc[a + b*x]^(3/2), x, 3, -((2*Cos[a + b*x])/(3*b*Sqrt[Csc[a + b*x]])) + (2*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(3*b)}
+{1/Csc[a + b*x]^(5/2), x, 3, -((2*Cos[a + b*x])/(5*b*Csc[a + b*x]^(3/2))) + (6*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(5*b)}
+{1/Csc[a + b*x]^(7/2), x, 4, -((2*Cos[a + b*x])/(7*b*Csc[a + b*x]^(5/2))) - (10*Cos[a + b*x])/(21*b*Sqrt[Csc[a + b*x]]) + (10*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(21*b)}
+
+
+{(c*Csc[a + b*x])^(7/2), x, 4, -((6*c^3*Cos[a + b*x]*Sqrt[c*Csc[a + b*x]])/(5*b)) - (2*c*Cos[a + b*x]*(c*Csc[a + b*x])^(5/2))/(5*b) - (6*c^4*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/(5*b*Sqrt[c*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Sin[a + b*x]])}
+{(c*Csc[a + b*x])^(5/2), x, 3, -((2*c*Cos[a + b*x]*(c*Csc[a + b*x])^(3/2))/(3*b)) + (2*c^2*Sqrt[c*Csc[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(3*b)}
+{(c*Csc[a + b*x])^(3/2), x, 3, -((2*c*Cos[a + b*x]*Sqrt[c*Csc[a + b*x]])/b) - (2*c^2*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/(b*Sqrt[c*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Sin[a + b*x]])}
+{(c*Csc[a + b*x])^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[c*Csc[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/b}
+{1/(c*Csc[a + b*x])^(1/2), x, 2, (2*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/(b*Sqrt[c*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Sin[a + b*x]])}
+{1/(c*Csc[a + b*x])^(3/2), x, 3, -((2*Cos[a + b*x])/(3*b*c*Sqrt[c*Csc[a + b*x]])) + (2*Sqrt[c*Csc[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(3*b*c^2)}
+{1/(c*Csc[a + b*x])^(5/2), x, 3, -((2*Cos[a + b*x])/(5*b*c*(c*Csc[a + b*x])^(3/2))) + (6*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/(5*b*c^2*Sqrt[c*Csc[a + b*x]]*Sqrt[Sin[a + b*x]])}
+{1/(c*Csc[a + b*x])^(7/2), x, 4, -((2*Cos[a + b*x])/(7*b*c*(c*Csc[a + b*x])^(5/2))) - (10*Cos[a + b*x])/(21*b*c^3*Sqrt[c*Csc[a + b*x]]) + (10*Sqrt[c*Csc[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(21*b*c^4)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Csc[c+d x])^(n/3)*)
+
+
+{Csc[a + b*x]^(4/3), x, 2, -((3*Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^(1/3)*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Sin[a + b*x]^2])/(b*Sqrt[Cos[a + b*x]^2]))}
+{Csc[a + b*x]^(2/3), x, 2, (3*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Sin[a + b*x]^2])/(b*Sqrt[Cos[a + b*x]^2]*Csc[a + b*x]^(1/3))}
+{Csc[a + b*x]^(1/3), x, 2, (3*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Sin[a + b*x]^2])/(2*b*Sqrt[Cos[a + b*x]^2]*Csc[a + b*x]^(2/3))}
+{1/Csc[a + b*x]^(1/3), x, 2, (3*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Sin[a + b*x]^2])/(4*b*Sqrt[Cos[a + b*x]^2]*Csc[a + b*x]^(4/3))}
+{1/Csc[a + b*x]^(2/3), x, 2, (3*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Sin[a + b*x]^2])/(5*b*Sqrt[Cos[a + b*x]^2]*Csc[a + b*x]^(5/3))}
+{1/Csc[a + b*x]^(4/3), x, 2, (3*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Sin[a + b*x]^2])/(7*b*Sqrt[Cos[a + b*x]^2]*Csc[a + b*x]^(7/3))}
+
+
+{(c*Csc[a + b*x])^(4/3), x, 2, -((3*c*Cos[a + b*x]*(c*Csc[a + b*x])^(1/3)*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, Sin[a + b*x]^2])/(b*Sqrt[Cos[a + b*x]^2]))}
+{(c*Csc[a + b*x])^(2/3), x, 2, (3*c*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, Sin[a + b*x]^2])/(b*Sqrt[Cos[a + b*x]^2]*(c*Csc[a + b*x])^(1/3))}
+{(c*Csc[a + b*x])^(1/3), x, 2, (3*c*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, Sin[a + b*x]^2])/(2*b*Sqrt[Cos[a + b*x]^2]*(c*Csc[a + b*x])^(2/3))}
+{1/(c*Csc[a + b*x])^(1/3), x, 2, (3*c*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, Sin[a + b*x]^2])/(4*b*Sqrt[Cos[a + b*x]^2]*(c*Csc[a + b*x])^(4/3))}
+{1/(c*Csc[a + b*x])^(2/3), x, 2, (3*c*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, Sin[a + b*x]^2])/(5*b*Sqrt[Cos[a + b*x]^2]*(c*Csc[a + b*x])^(5/3))}
+{1/(c*Csc[a + b*x])^(4/3), x, 2, (3*c*Cos[a + b*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, Sin[a + b*x]^2])/(7*b*Sqrt[Cos[a + b*x]^2]*(c*Csc[a + b*x])^(7/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Csc[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Csc[a + b*x]^n, x, 2, (Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[a + b*x]^2])/(b*(1 - n)*Sqrt[Cos[a + b*x]^2])}
+
+
+{(c*Csc[a + b*x])^n, x, 2, (c*Cos[a + b*x]*(c*Csc[a + b*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Sin[a + b*x]^2])/(b*(1 - n)*Sqrt[Cos[a + b*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Csc[c+d x]^p)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Csc[c+d x]^p)^(n/2) with p positive integer*)
+
+
+{(Csc[x]^2)^(7/2), x, 5, (-(5/16))*ArcSinh[Cot[x]] - (5/16)*Cot[x]*Sqrt[Csc[x]^2] - (5/24)*Cot[x]*(Csc[x]^2)^(3/2) - (1/6)*Cot[x]*(Csc[x]^2)^(5/2)}
+{(Csc[x]^2)^(5/2), x, 4, (-(3/8))*ArcSinh[Cot[x]] - (3/8)*Cot[x]*Sqrt[Csc[x]^2] - (1/4)*Cot[x]*(Csc[x]^2)^(3/2)}
+{(Csc[x]^2)^(3/2), x, 3, (-(1/2))*ArcSinh[Cot[x]] - (1/2)*Cot[x]*Sqrt[Csc[x]^2]}
+{(Csc[x]^2)^(1/2), x, 2, -ArcSinh[Cot[x]]}
+{1/(Csc[x]^2)^(1/2), x, 2, -(Cot[x]/Sqrt[Csc[x]^2])}
+{1/(Csc[x]^2)^(3/2), x, 3, -(Cot[x]/(3*(Csc[x]^2)^(3/2))) - (2*Cot[x])/(3*Sqrt[Csc[x]^2])}
+{1/(Csc[x]^2)^(5/2), x, 4, -(Cot[x]/(5*(Csc[x]^2)^(5/2))) - (4*Cot[x])/(15*(Csc[x]^2)^(3/2)) - (8*Cot[x])/(15*Sqrt[Csc[x]^2])}
+{1/(Csc[x]^2)^(7/2), x, 5, -(Cot[x]/(7*(Csc[x]^2)^(7/2))) - (6*Cot[x])/(35*(Csc[x]^2)^(5/2)) - (8*Cot[x])/(35*(Csc[x]^2)^(3/2)) - (16*Cot[x])/(35*Sqrt[Csc[x]^2])}
+
+
+{(a*Csc[x]^2)^(7/2), x, 6, (-(5/16))*a^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cot[x])/Sqrt[a*Csc[x]^2]] - (5/16)*a^3*Cot[x]*Sqrt[a*Csc[x]^2] - (5/24)*a^2*Cot[x]*(a*Csc[x]^2)^(3/2) - (1/6)*a*Cot[x]*(a*Csc[x]^2)^(5/2)}
+{(a*Csc[x]^2)^(5/2), x, 5, (-(3/8))*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cot[x])/Sqrt[a*Csc[x]^2]] - (3/8)*a^2*Cot[x]*Sqrt[a*Csc[x]^2] - (1/4)*a*Cot[x]*(a*Csc[x]^2)^(3/2)}
+{(a*Csc[x]^2)^(3/2), x, 4, (-(1/2))*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cot[x])/Sqrt[a*Csc[x]^2]] - (1/2)*a*Cot[x]*Sqrt[a*Csc[x]^2]}
+{(a*Csc[x]^2)^(1/2), x, 3, (-Sqrt[a])*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cot[x])/Sqrt[a*Csc[x]^2]]}
+{1/(a*Csc[x]^2)^(1/2), x, 2, -(Cot[x]/Sqrt[a*Csc[x]^2])}
+{1/(a*Csc[x]^2)^(3/2), x, 3, -(Cot[x]/(3*(a*Csc[x]^2)^(3/2))) - (2*Cot[x])/(3*a*Sqrt[a*Csc[x]^2])}
+{1/(a*Csc[x]^2)^(5/2), x, 4, -(Cot[x]/(5*(a*Csc[x]^2)^(5/2))) - (4*Cot[x])/(15*a*(a*Csc[x]^2)^(3/2)) - (8*Cot[x])/(15*a^2*Sqrt[a*Csc[x]^2])}
+{1/(a*Csc[x]^2)^(7/2), x, 5, -(Cot[x]/(7*(a*Csc[x]^2)^(7/2))) - (6*Cot[x])/(35*a*(a*Csc[x]^2)^(5/2)) - (8*Cot[x])/(35*a^2*(a*Csc[x]^2)^(3/2)) - (16*Cot[x])/(35*a^3*Sqrt[a*Csc[x]^2])}
+
+
+{(a*Csc[x]^3)^(5/2), x, 7, (-(154/585))*a^2*Cot[x]*Sqrt[a*Csc[x]^3] - (22/117)*a^2*Cot[x]*Csc[x]^2*Sqrt[a*Csc[x]^3] - (2/13)*a^2*Cot[x]*Csc[x]^4*Sqrt[a*Csc[x]^3] - (154/195)*a^2*Cos[x]*Sqrt[a*Csc[x]^3]*Sin[x] + (154/195)*a^2*Sqrt[a*Csc[x]^3]*EllipticE[Pi/4 - x/2, 2]*Sin[x]^(3/2)}
+{(a*Csc[x]^3)^(3/2), x, 5, (-(10/21))*a*Cos[x]*Sqrt[a*Csc[x]^3] - (2/7)*a*Cot[x]*Csc[x]*Sqrt[a*Csc[x]^3] - (10/21)*a*Sqrt[a*Csc[x]^3]*EllipticF[Pi/4 - x/2, 2]*Sin[x]^(3/2)}
+{(a*Csc[x]^3)^(1/2), x, 4, -2*Cos[x]*Sqrt[a*Csc[x]^3]*Sin[x] + 2*Sqrt[a*Csc[x]^3]*EllipticE[Pi/4 - x/2, 2]*Sin[x]^(3/2)}
+{1/(a*Csc[x]^3)^(1/2), x, 4, -((2*Cot[x])/(3*Sqrt[a*Csc[x]^3])) - (2*EllipticF[Pi/4 - x/2, 2])/(3*Sqrt[a*Csc[x]^3]*Sin[x]^(3/2))}
+{1/(a*Csc[x]^3)^(3/2), x, 5, -((14*Cos[x])/(45*a*Sqrt[a*Csc[x]^3])) - (14*EllipticE[Pi/4 - x/2, 2])/(15*a*Sqrt[a*Csc[x]^3]*Sin[x]^(3/2)) - (2*Cos[x]*Sin[x]^2)/(9*a*Sqrt[a*Csc[x]^3])}
+{1/(a*Csc[x]^3)^(5/2), x, 7, -((26*Cot[x])/(77*a^2*Sqrt[a*Csc[x]^3])) - (26*EllipticF[Pi/4 - x/2, 2])/(77*a^2*Sqrt[a*Csc[x]^3]*Sin[x]^(3/2)) - (78*Cos[x]*Sin[x])/(385*a^2*Sqrt[a*Csc[x]^3]) - (26*Cos[x]*Sin[x]^3)/(165*a^2*Sqrt[a*Csc[x]^3]) - (2*Cos[x]*Sin[x]^5)/(15*a^2*Sqrt[a*Csc[x]^3])}
+
+
+{(a*Csc[x]^4)^(7/2), x, 3, -2*a^3*Cos[x]^2*Cot[x]*Sqrt[a*Csc[x]^4] - 3*a^3*Cos[x]^2*Cot[x]^3*Sqrt[a*Csc[x]^4] - (20/7)*a^3*Cos[x]^2*Cot[x]^5*Sqrt[a*Csc[x]^4] - (5/3)*a^3*Cos[x]^2*Cot[x]^7*Sqrt[a*Csc[x]^4] - (6/11)*a^3*Cos[x]^2*Cot[x]^9*Sqrt[a*Csc[x]^4] - (1/13)*a^3*Cos[x]^2*Cot[x]^11*Sqrt[a*Csc[x]^4] - a^3*Cos[x]*Sqrt[a*Csc[x]^4]*Sin[x]}
+{(a*Csc[x]^4)^(5/2), x, 3, (-(4/3))*a^2*Cos[x]^2*Cot[x]*Sqrt[a*Csc[x]^4] - (6/5)*a^2*Cos[x]^2*Cot[x]^3*Sqrt[a*Csc[x]^4] - (4/7)*a^2*Cos[x]^2*Cot[x]^5*Sqrt[a*Csc[x]^4] - (1/9)*a^2*Cos[x]^2*Cot[x]^7*Sqrt[a*Csc[x]^4] - a^2*Cos[x]*Sqrt[a*Csc[x]^4]*Sin[x]}
+{(a*Csc[x]^4)^(3/2), x, 3, (-(2/3))*a*Cos[x]^2*Cot[x]*Sqrt[a*Csc[x]^4] - (1/5)*a*Cos[x]^2*Cot[x]^3*Sqrt[a*Csc[x]^4] - a*Cos[x]*Sqrt[a*Csc[x]^4]*Sin[x]}
+{(a*Csc[x]^4)^(1/2), x, 3, (-Cos[x])*Sqrt[a*Csc[x]^4]*Sin[x]}
+{1/(a*Csc[x]^4)^(1/2), x, 3, -(Cot[x]/(2*Sqrt[a*Csc[x]^4])) + (x*Csc[x]^2)/(2*Sqrt[a*Csc[x]^4])}
+{1/(a*Csc[x]^4)^(3/2), x, 5, -((5*Cot[x])/(16*a*Sqrt[a*Csc[x]^4])) + (5*x*Csc[x]^2)/(16*a*Sqrt[a*Csc[x]^4]) - (5*Cos[x]*Sin[x])/(24*a*Sqrt[a*Csc[x]^4]) - (Cos[x]*Sin[x]^3)/(6*a*Sqrt[a*Csc[x]^4])}
+{1/(a*Csc[x]^4)^(5/2), x, 7, -((63*Cot[x])/(256*a^2*Sqrt[a*Csc[x]^4])) + (63*x*Csc[x]^2)/(256*a^2*Sqrt[a*Csc[x]^4]) - (21*Cos[x]*Sin[x])/(128*a^2*Sqrt[a*Csc[x]^4]) - (21*Cos[x]*Sin[x]^3)/(160*a^2*Sqrt[a*Csc[x]^4]) - (9*Cos[x]*Sin[x]^5)/(80*a^2*Sqrt[a*Csc[x]^4]) - (Cos[x]*Sin[x]^7)/(10*a^2*Sqrt[a*Csc[x]^4])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form ((b Csc[c+d x])^p)^n with n symbolic*)
+
+
+{((b*Csc[c + d*x])^p)^n, x, 3, (Cos[c + d*x]*((b*Csc[c + d*x])^p)^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - n*p), (1/2)*(3 - n*p), Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n*p)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a (b Csc[c+d x])^p)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a (b Csc[c+d x])^p)^n with n symbolic*)
+
+
+{(a*(b*Csc[c + d*x])^p)^n, x, 3, (Cos[c + d*x]*(a*(b*Csc[c + d*x])^p)^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - n*p), (1/2)*(3 - n*p), Sin[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - n*p)*Sqrt[Cos[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a Csc[e+f x])^m (b Trg[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Csc[e+f x])^m (b Csc[e+f x])^n*)
+
+
+{(a*Csc[e + f*x])^m*(b*Csc[e + f*x])^n, x, 3, (a*Cos[e + f*x]*(a*Csc[e + f*x])^(-1 + m)*(b*Csc[e + f*x])^n*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - m - n), (1/2)*(3 - m - n), Sin[e + f*x]^2])/(f*(1 - m - n)*Sqrt[Cos[e + f*x]^2])}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.1.2 (d csc)^n (a+b csc)^m.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.1.2 (d csc)^n (a+b csc)^m.m
new file mode 100644
index 00000000..872ee145
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.1.2 (d csc)^n (a+b csc)^m.m	
@@ -0,0 +1,170 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Csc[e+f x])^m (d Csc[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Csc[e+f x])^m (d Csc[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Csc[e+f x]^n (a+a Csc[e+f x])^m*)
+
+
+{Csc[x]^5/(a + a*Csc[x]), x, 6, (3*ArcTanh[Cos[x]])/(2*a) - (4*Cot[x])/a - (4*Cot[x]^3)/(3*a) + (3*Cot[x]*Csc[x])/(2*a) + (Cot[x]*Csc[x]^3)/(a + a*Csc[x])}
+{Csc[x]^4/(a + a*Csc[x]), x, 6, -((3*ArcTanh[Cos[x]])/(2*a)) + (2*Cot[x])/a - (3*Cot[x]*Csc[x])/(2*a) + (Cot[x]*Csc[x]^2)/(a + a*Csc[x])}
+{Csc[x]^3/(a + a*Csc[x]), x, 4, ArcTanh[Cos[x]]/a - Cot[x]/a - Cot[x]/(a + a*Csc[x])}
+{Csc[x]^2/(a + a*Csc[x]), x, 3, -(ArcTanh[Cos[x]]/a) + Cot[x]/(a + a*Csc[x])}
+{Csc[x]^1/(a + a*Csc[x]), x, 1, -(Cot[x]/(a + a*Csc[x]))}
+{Csc[c + d*x]^0/(a + a*Csc[c + d*x]), x, 2, x/a + Cot[c + d*x]/(d*(a + a*Csc[c + d*x]))}
+{Sin[x]^1/(a + a*Csc[x]), x, 4, -(x/a) - (2*Cos[x])/a + Cos[x]/(a + a*Csc[x])}
+{Sin[x]^2/(a + a*Csc[x]), x, 5, (3*x)/(2*a) + (2*Cos[x])/a - (3*Cos[x]*Sin[x])/(2*a) + (Cos[x]*Sin[x])/(a + a*Csc[x])}
+{Sin[x]^3/(a + a*Csc[x]), x, 6, -((3*x)/(2*a)) - (4*Cos[x])/a + (4*Cos[x]^3)/(3*a) + (3*Cos[x]*Sin[x])/(2*a) + (Cos[x]*Sin[x]^2)/(a + a*Csc[x])}
+{Sin[x]^4/(a + a*Csc[x]), x, 7, (15*x)/(8*a) + (4*Cos[x])/a - (4*Cos[x]^3)/(3*a) - (15*Cos[x]*Sin[x])/(8*a) - (5*Cos[x]*Sin[x]^3)/(4*a) + (Cos[x]*Sin[x]^3)/(a + a*Csc[x])}
+
+
+{Csc[c + d*x]^0/(a + a*Csc[c + d*x])^2, x, 3, x/a^2 + (4*Cot[c + d*x])/(3*a^2*d*(1 + Csc[c + d*x])) + Cot[c + d*x]/(3*d*(a + a*Csc[c + d*x])^2)}
+
+
+{Csc[c + d*x]^0/(a + a*Csc[c + d*x])^3, x, 4, x/a^3 + Cot[c + d*x]/(5*d*(a + a*Csc[c + d*x])^3) + (7*Cot[c + d*x])/(15*a*d*(a + a*Csc[c + d*x])^2) + (22*Cot[c + d*x])/(15*d*(a^3 + a^3*Csc[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Csc[e+f x]^n (a+a Csc[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+{(a + a*Csc[x])^(5/2), x, 5, -2*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cot[x])/Sqrt[a + a*Csc[x]]] - (14*a^3*Cot[x])/(3*Sqrt[a + a*Csc[x]]) - (2/3)*a^2*Cot[x]*Sqrt[a + a*Csc[x]]}
+{(a + a*Csc[x])^(3/2), x, 4, -2*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cot[x])/Sqrt[a + a*Csc[x]]] - (2*a^2*Cot[x])/Sqrt[a + a*Csc[x]]}
+{(a + a*Csc[x])^(1/2), x, 2, -2*Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Cot[x])/Sqrt[a + a*Csc[x]]]}
+{1/(a + a*Csc[x])^(1/2), x, 5, -((2*ArcTan[(Sqrt[a]*Cot[x])/Sqrt[a + a*Csc[x]]])/Sqrt[a]) + (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Cot[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Csc[x]])])/Sqrt[a]}
+{1/(a + a*Csc[x])^(3/2), x, 6, -((2*ArcTan[(Sqrt[a]*Cot[x])/Sqrt[a + a*Csc[x]]])/a^(3/2)) + (5*ArcTan[(Sqrt[a]*Cot[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Csc[x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)) + Cot[x]/(2*(a + a*Csc[x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Csc[x])^(5/2), x, 7, -((2*ArcTan[(Sqrt[a]*Cot[x])/Sqrt[a + a*Csc[x]]])/a^(5/2)) + (43*ArcTan[(Sqrt[a]*Cot[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Csc[x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)) + Cot[x]/(4*(a + a*Csc[x])^(5/2)) + (11*Cot[x])/(16*a*(a + a*Csc[x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^(n/2) (a+a Csc[e+f x])^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^(n/2) (a+a Csc[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[Csc[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Csc[e + f*x]], x, 2, -((2*Sqrt[a]*ArcSinh[(Sqrt[a]*Cot[e + f*x])/Sqrt[a + a*Csc[e + f*x]]])/f)}
+{Sqrt[-Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - a*Csc[e + f*x]], x, 2, -((2*Sqrt[a]*ArcSinh[(Sqrt[a]*Cot[e + f*x])/Sqrt[a - a*Csc[e + f*x]]])/f)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^(n/3) (a+a Csc[e+f x])^(m/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]*Csc[c + d*x]^(4/3), x, 4, -((6*a*Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^(4/3))/(5*d*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]])) - (4*3^(3/4)*Sqrt[2 + Sqrt[3]]*a^2*Cot[c + d*x]*(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))*Sqrt[(1 + Csc[c + d*x]^(1/3) + Csc[c + d*x]^(2/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*EllipticF[ArcSin[(1 - Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]])/(5*d*Sqrt[(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*(a - a*Csc[c + d*x])*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]*Csc[c + d*x]^(1/3), x, 3, -((2*3^(3/4)*Sqrt[2 + Sqrt[3]]*a^2*Cot[c + d*x]*(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))*Sqrt[(1 + Csc[c + d*x]^(1/3) + Csc[c + d*x]^(2/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*EllipticF[ArcSin[(1 - Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]])/(d*Sqrt[(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*(a - a*Csc[c + d*x])*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]))}
+{Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]/Csc[c + d*x]^(2/3), x, 4, -((3*a*Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^(1/3))/(2*d*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]])) - (3^(3/4)*Sqrt[2 + Sqrt[3]]*a^2*Cot[c + d*x]*(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))*Sqrt[(1 + Csc[c + d*x]^(1/3) + Csc[c + d*x]^(2/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*EllipticF[ArcSin[(1 - Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]])/(2*d*Sqrt[(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*(a - a*Csc[c + d*x])*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]])}
+
+{Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]*Csc[c + d*x]^(5/3), x, 6, (24*a*Cot[c + d*x])/(7*d*(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]) - (6*a*Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^(5/3))/(7*d*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]) - (12*3^(1/4)*Sqrt[2 - Sqrt[3]]*a^2*Cot[c + d*x]*(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))*Sqrt[(1 + Csc[c + d*x]^(1/3) + Csc[c + d*x]^(2/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*EllipticE[ArcSin[(1 - Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]])/(7*d*Sqrt[(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*(a - a*Csc[c + d*x])*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]) + (8*Sqrt[2]*3^(3/4)*a^2*Cot[c + d*x]*(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))*Sqrt[(1 + Csc[c + d*x]^(1/3) + Csc[c + d*x]^(2/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*EllipticF[ArcSin[(1 - Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]])/(7*d*Sqrt[(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*(a - a*Csc[c + d*x])*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]*Csc[c + d*x]^(2/3), x, 5, (6*a*Cot[c + d*x])/(d*(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]) - (3*3^(1/4)*Sqrt[2 - Sqrt[3]]*a^2*Cot[c + d*x]*(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))*Sqrt[(1 + Csc[c + d*x]^(1/3) + Csc[c + d*x]^(2/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*EllipticE[ArcSin[(1 - Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]])/(d*Sqrt[(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*(a - a*Csc[c + d*x])*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]) + (2*Sqrt[2]*3^(3/4)*a^2*Cot[c + d*x]*(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))*Sqrt[(1 + Csc[c + d*x]^(1/3) + Csc[c + d*x]^(2/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*EllipticF[ArcSin[(1 - Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]])/(d*Sqrt[(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*(a - a*Csc[c + d*x])*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]/Csc[c + d*x]^(1/3), x, 6, -((3*a*Cot[c + d*x])/(d*(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]])) - (3*a*Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^(2/3))/(d*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]) + (3*3^(1/4)*Sqrt[2 - Sqrt[3]]*a^2*Cot[c + d*x]*(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))*Sqrt[(1 + Csc[c + d*x]^(1/3) + Csc[c + d*x]^(2/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*EllipticE[ArcSin[(1 - Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]])/(2*d*Sqrt[(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*(a - a*Csc[c + d*x])*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]) - (Sqrt[2]*3^(3/4)*a^2*Cot[c + d*x]*(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))*Sqrt[(1 + Csc[c + d*x]^(1/3) + Csc[c + d*x]^(2/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*EllipticF[ArcSin[(1 - Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]])/(d*Sqrt[(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*(a - a*Csc[c + d*x])*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]])}
+{Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]/Csc[c + d*x]^(4/3), x, 7, -((15*a*Cot[c + d*x])/(8*d*(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]])) - (3*a*Cos[c + d*x])/(4*d*Csc[c + d*x]^(1/3)*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]) - (15*a*Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^(2/3))/(8*d*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]) + (15*3^(1/4)*Sqrt[2 - Sqrt[3]]*a^2*Cot[c + d*x]*(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))*Sqrt[(1 + Csc[c + d*x]^(1/3) + Csc[c + d*x]^(2/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*EllipticE[ArcSin[(1 - Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]])/(16*d*Sqrt[(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*(a - a*Csc[c + d*x])*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]) - (5*3^(3/4)*a^2*Cot[c + d*x]*(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))*Sqrt[(1 + Csc[c + d*x]^(1/3) + Csc[c + d*x]^(2/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*EllipticF[ArcSin[(1 - Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))], -7 - 4*Sqrt[3]])/(4*Sqrt[2]*d*Sqrt[(1 - Csc[c + d*x]^(1/3))/(1 + Sqrt[3] - Csc[c + d*x]^(1/3))^2]*(a - a*Csc[c + d*x])*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^n (a+a Csc[e+f x])^m with n symbolic*)
+
+
+{Csc[c + d*x]^n*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]], x, 2, -((2*a*Cot[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 - Csc[c + d*x]])/(d*Sqrt[a + a*Csc[c + d*x]]))}
+{Csc[c + d*x]^n*Sqrt[a - a*Csc[c + d*x]], x, 3, -((2*a*Cos[c + d*x]*Csc[c + d*x]^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, 1 - n, 3/2, 1 + Csc[c + d*x]])/((-Csc[c + d*x])^n*(d*Sqrt[a - a*Csc[c + d*x]])))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^n (a+a Csc[e+f x])^m with m symbolic*)
+
+
+{Csc[e + f*x]^3*(a + a*Csc[e + f*x])^m, x, 5, If[$VersionNumber>=8, (Cot[e + f*x]*(a + a*Csc[e + f*x])^m)/(f*(2 + 3*m + m^2)) - (Cot[e + f*x]*(a + a*Csc[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(2 + m)) - (2^(1/2 + m)*(1 + m + m^2)*Cot[e + f*x]*(1 + Csc[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Csc[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Csc[e + f*x])])/(f*(1 + m)*(2 + m)), (Cot[e + f*x]*(a + a*Csc[e + f*x])^m)/(f*(2 + 3*m + m^2)) - (Cot[e + f*x]*(a + a*Csc[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(2 + m)) - (2^(1/2 + m)*(1 + m + m^2)*Cot[e + f*x]*(1 + Csc[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Csc[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Csc[e + f*x])])/(f*(2 + 3*m + m^2))]}
+{Csc[e + f*x]^2*(a + a*Csc[e + f*x])^m, x, 4, -((Cot[e + f*x]*(a + a*Csc[e + f*x])^m)/(f*(1 + m))) - (2^(1/2 + m)*m*Cot[e + f*x]*(1 + Csc[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Csc[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Csc[e + f*x])])/(f*(1 + m))}
+{Csc[e + f*x]^1*(a + a*Csc[e + f*x])^m, x, 3, -((2^(1/2 + m)*Cot[e + f*x]*(1 + Csc[e + f*x])^(-(1/2) - m)*(a + a*Csc[e + f*x])^m*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Csc[e + f*x])])/f)}
+{Csc[e + f*x]^0*(a + a*Csc[e + f*x])^m, x, 3, -((Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 1, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Csc[e + f*x]), 1 + Csc[e + f*x]]*Cot[e + f*x]*(a + a*Csc[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Csc[e + f*x]]))}
+{Sin[e + f*x]^1*(a + a*Csc[e + f*x])^m, x, 3, (Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 2, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Csc[e + f*x]), 1 + Csc[e + f*x]]*Cot[e + f*x]*(a + a*Csc[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Csc[e + f*x]])}
+{Sin[e + f*x]^2*(a + a*Csc[e + f*x])^m, x, 3, -((Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1/2, 3, 3/2 + m, (1/2)*(1 + Csc[e + f*x]), 1 + Csc[e + f*x]]*Cot[e + f*x]*(a + a*Csc[e + f*x])^m)/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Csc[e + f*x]]))}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Csc[e+f x])^m (d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Csc[e+f x])^m (d Csc[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Csc[e+f x]^m (a+b Csc[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + b*Csc[c + d*x])^4, x, 6, a^4*x - (2*a*b*(2*a^2 + b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (b^2*(17*a^2 + 2*b^2)*Cot[c + d*x])/(3*d) - (4*a*b^3*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(3*d) - (b^2*Cot[c + d*x]*(a + b*Csc[c + d*x])^2)/(3*d)}
+{(a + b*Csc[c + d*x])^3, x, 5, a^3*x - (b*(6*a^2 + b^2)*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d) - (5*a*b^2*Cot[c + d*x])/(2*d) - (b^2*Cot[c + d*x]*(a + b*Csc[c + d*x]))/(2*d)}
+{(a + b*Csc[c + d*x])^2, x, 4, a^2*x - (2*a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (b^2*Cot[c + d*x])/d}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Csc[x]^5/(a + b*Csc[x]), x, 9, (a*(2*a^2 + b^2)*ArcTanh[Cos[x]])/(2*b^4) - (2*a^4*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^4*Sqrt[a^2 - b^2]) - ((3*a^2 + 2*b^2)*Cot[x])/(3*b^3) + (a*Cot[x]*Csc[x])/(2*b^2) - (Cot[x]*Csc[x]^2)/(3*b)}
+{Csc[x]^4/(a + b*Csc[x]), x, 8, -(((2*a^2 + b^2)*ArcTanh[Cos[x]])/(2*b^3)) + (2*a^3*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^3*Sqrt[a^2 - b^2]) + (a*Cot[x])/b^2 - (Cot[x]*Csc[x])/(2*b)}
+{Csc[x]^3/(a + b*Csc[x]), x, 7, (a*ArcTanh[Cos[x]])/b^2 - (2*a^2*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]) - Cot[x]/b}
+{Csc[x]^2/(a + b*Csc[x]), x, 6, -(ArcTanh[Cos[x]]/b) + (2*a*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b*Sqrt[a^2 - b^2])}
+{Csc[x]^1/(a + b*Csc[x]), x, 4, -((2*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/Sqrt[a^2 - b^2])}
+{Csc[c + d*x]^0/(a + b*Csc[c + d*x]), x, 4, x/a + (2*b*ArcTanh[(a + b*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d)}
+{Sin[x]^1/(a + b*Csc[x]), x, 6, -((b*x)/a^2) - (2*b^2*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*Sqrt[a^2 - b^2]) - Cos[x]/a}
+{Sin[x]^2/(a + b*Csc[x]), x, 7, ((a^2 + 2*b^2)*x)/(2*a^3) + (2*b^3*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*Sqrt[a^2 - b^2]) + (b*Cos[x])/a^2 - (Cos[x]*Sin[x])/(2*a)}
+{Sin[x]^3/(a + b*Csc[x]), x, 8, -((b*(a^2 + 2*b^2)*x)/(2*a^4)) - (2*b^4*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*Sqrt[a^2 - b^2]) - ((2*a^2 + 3*b^2)*Cos[x])/(3*a^3) + (b*Cos[x]*Sin[x])/(2*a^2) - (Cos[x]*Sin[x]^2)/(3*a)}
+{Sin[x]^4/(a + b*Csc[x]), x, 9, ((3*a^4 + 4*a^2*b^2 + 8*b^4)*x)/(8*a^5) + (2*b^5*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^5*Sqrt[a^2 - b^2]) + (b*(2*a^2 + 3*b^2)*Cos[x])/(3*a^4) - ((3*a^2 + 4*b^2)*Cos[x]*Sin[x])/(8*a^3) + (b*Cos[x]*Sin[x]^2)/(3*a^2) - (Cos[x]*Sin[x]^3)/(4*a)}
+
+
+{1/(a + b*Csc[c + d*x])^2, x, 6, x/a^2 + (2*b*(2*a^2 - b^2)*ArcTanh[(a + b*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (b^2*Cot[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Csc[c + d*x]))}
+{1/(a + b*Csc[c + d*x])^3, x, 7, x/a^3 + (b*(6*a^4 - 5*a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTanh[(a + b*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^3*(a^2 - b^2)^(5/2)*d) - (b^2*Cot[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Csc[c + d*x])^2) - (b^2*(5*a^2 - 2*b^2)*Cot[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Csc[c + d*x]))}
+{1/(a + b*Csc[c + d*x])^4, x, 8, x/a^4 + (b*(8*a^6 - 8*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 - 2*b^6)*ArcTanh[(a + b*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*(a^2 - b^2)^(7/2)*d) - (b^2*Cot[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Csc[c + d*x])^3) - (b^2*(8*a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Csc[c + d*x])^2) - (b^2*(26*a^4 - 17*a^2*b^2 + 6*b^4)*Cot[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Csc[c + d*x]))}
+
+
+{1/(3 + 5*Csc[c + d*x]), x, 2, -(x/12) - (5*ArcTan[Cos[c + d*x]/(3 + Sin[c + d*x])])/(6*d)}
+{1/(5 + 3*Csc[c + d*x]), x, 5, x/5 + (3*Log[3*Cos[(1/2)*(c + d*x)] + Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(20*d) - (3*Log[Cos[(1/2)*(c + d*x)] + 3*Sin[(1/2)*(c + d*x)]])/(20*d)}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Csc[e+f x]^m (a+b Csc[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Csc[e+f x])^m (d Csc[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{Csc[e + f*x]^3*(a + b*Csc[e + f*x])^m, x, 8, -((Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(1 + m))/(b*f*(2 + m))) + (Sqrt[2]*a*(a + b)*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Csc[e + f*x]), (b*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m)/(((a + b*Csc[e + f*x])/(a + b))^m*(b^2*f*(2 + m)*Sqrt[1 + Csc[e + f*x]])) - (Sqrt[2]*(a^2 + b^2*(1 + m))*AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1/2)*(1 - Csc[e + f*x]), (b*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m)/(((a + b*Csc[e + f*x])/(a + b))^m*(b^2*f*(2 + m)*Sqrt[1 + Csc[e + f*x]]))}
+{Csc[e + f*x]^2*(a + b*Csc[e + f*x])^m, x, 7, -((Sqrt[2]*(a + b)*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - m, 3/2, (1/2)*(1 - Csc[e + f*x]), (b*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m)/(((a + b*Csc[e + f*x])/(a + b))^m*(b*f*Sqrt[1 + Csc[e + f*x]]))) + (Sqrt[2]*a*AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1/2)*(1 - Csc[e + f*x]), (b*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m)/(((a + b*Csc[e + f*x])/(a + b))^m*(b*f*Sqrt[1 + Csc[e + f*x]]))}
+{Csc[e + f*x]^1*(a + b*Csc[e + f*x])^m, x, 3, -((Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1/2)*(1 - Csc[e + f*x]), (b*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m)/(((a + b*Csc[e + f*x])/(a + b))^m*(f*Sqrt[1 + Csc[e + f*x]])))}
+{Csc[e + f*x]^0*(a + b*Csc[e + f*x])^m, x, 0, Unintegrable[(a + b*Csc[e + f*x])^m, x]}
+{Sin[e + f*x]^1*(a + b*Csc[e + f*x])^m, x, 0, Unintegrable[(a + b*Csc[e + f*x])^m*Sin[e + f*x], x]}
+{Sin[e + f*x]^2*(a + b*Csc[e + f*x])^m, x, 0, Unintegrable[(a + b*Csc[e + f*x])^m*Sin[e + f*x]^2, x]}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Csc[e+f x])^m (d Sin[e+f x])^n*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.1.3 (d cos)^n (a+b csc)^m.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.1.3 (d cos)^n (a+b csc)^m.m
new file mode 100644
index 00000000..6cf7d007
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.1.3 (d cos)^n (a+b csc)^m.m	
@@ -0,0 +1,52 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e Cos[c+d x])^m (a+a Csc[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e Cos[c+d x])^m (a+a Csc[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[c+d x]^m (a+a Csc[c+d x])^n*)
+
+
+{Cos[x]^4/(a + a*Csc[x]), x, 7, -(x/(8*a)) - Cos[x]^3/(3*a) - (Cos[x]*Sin[x])/(8*a) + (Cos[x]^3*Sin[x])/(4*a)}
+{Cos[x]^3/(a + a*Csc[x]), x, 6, Sin[x]^2/(2*a) - Sin[x]^3/(3*a)}
+{Cos[x]^2/(a + a*Csc[x]), x, 5, -(x/(2*a)) - Cos[x]/a + (Cos[x]*Sin[x])/(2*a)}
+{Cos[x]^1/(a + a*Csc[x]), x, 5, -(Log[1 + Sin[x]]/a) + Sin[x]/a}
+{Sec[x]^1/(a + a*Csc[x]), x, 6, ArcTanh[Sin[x]]/(2*a) + Sec[x]^2/(2*a) - (Sec[x]*Tan[x])/(2*a)}
+{Sec[x]^2/(a + a*Csc[x]), x, 6, Sec[x]^3/(3*a) - Tan[x]^3/(3*a)}
+{Sec[x]^3/(a + a*Csc[x]), x, 7, ArcTanh[Sin[x]]/(8*a) + Sec[x]^4/(4*a) + (Sec[x]*Tan[x])/(8*a) - (Sec[x]^3*Tan[x])/(4*a)}
+{Sec[x]^4/(a + a*Csc[x]), x, 7, Sec[x]^5/(5*a) - Tan[x]^3/(3*a) - Tan[x]^5/(5*a)}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cos[c+d x]^m (a+a Csc[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e Cos[c+d x])^m (a+b Csc[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e Cos[c+d x])^m (a+b Csc[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[c+d x]^m (a+b Csc[c+d x])^n*)
+
+
+{Cos[x]^4/(a + b*Csc[x]), x, 7, ((3*a^4 - 12*a^2*b^2 + 8*b^4)*x)/(8*a^5) + (2*b*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/a^5 - (Cos[x]^3*(4*b - 3*a*Sin[x]))/(12*a^2) - (Cos[x]*(8*b*(a^2 - b^2) - a*(3*a^2 - 4*b^2)*Sin[x]))/(8*a^4)}
+{Cos[x]^3/(a + b*Csc[x]), x, 5, -((b*(a^2 - b^2)*Log[b + a*Sin[x]])/a^4) + ((a^2 - b^2)*Sin[x])/a^3 + (b*Sin[x]^2)/(2*a^2) - Sin[x]^3/(3*a)}
+{Cos[x]^2/(a + b*Csc[x]), x, 6, ((a^2 - 2*b^2)*x)/(2*a^3) + (2*b*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/a^3 - (Cos[x]*(2*b - a*Sin[x]))/(2*a^2)}
+{Cos[x]^1/(a + b*Csc[x]), x, 5, -((b*Log[b + a*Sin[x]])/a^2) + Sin[x]/a}
+{Sec[x]^1/(a + b*Csc[x]), x, 4, -(Log[1 - Sin[x]]/(2*(a + b))) + Log[1 + Sin[x]]/(2*(a - b)) - (b*Log[b + a*Sin[x]])/(a^2 - b^2)}
+{Sec[x]^2/(a + b*Csc[x]), x, 6, (2*a*b*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(3/2) - (Sec[x]*(b - a*Sin[x]))/(a^2 - b^2)}
+{Sec[x]^3/(a + b*Csc[x]), x, 6, -((a*Log[1 - Sin[x]])/(4*(a + b)^2)) + (a*Log[1 + Sin[x]])/(4*(a - b)^2) - (a^2*b*Log[b + a*Sin[x]])/(a^2 - b^2)^2 - (Sec[x]^2*(b - a*Sin[x]))/(2*(a^2 - b^2))}
+{Sec[x]^4/(a + b*Csc[x]), x, 7, (2*a^3*b*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2) - (Sec[x]^3*(b - a*Sin[x]))/(3*(a^2 - b^2)) - (Sec[x]*(3*a^2*b - a*(2*a^2 + b^2)*Sin[x]))/(3*(a^2 - b^2)^2)}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cos[c+d x]^m (a+b Csc[c+d x])^(n/2)*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.1.4 (d cot)^n (a+b csc)^m.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.1.4 (d cot)^n (a+b csc)^m.m
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+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.1.4 (d cot)^n (a+b csc)^m.m	
@@ -0,0 +1,60 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (e Tan[c+d x])^m (a+a Csc[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e Tan[c+d x])^m (a+a Csc[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^m (a+a Csc[c+d x])^n*)
+
+
+{Tan[x]^4/(a + a*Csc[x]), x, 5, x/a - ((15 - 8*Csc[x])*Tan[x])/(15*a) + ((5 - 4*Csc[x])*Tan[x]^3)/(15*a) - ((1 - Csc[x])*Tan[x]^5)/(5*a)}
+{Tan[x]^3/(a + a*Csc[x]), x, 3, (5*Log[1 - Sin[x]])/(16*a) + (11*Log[1 + Sin[x]])/(16*a) + 1/(8*a*(1 - Sin[x])) - 1/(8*a*(1 + Sin[x])^2) + 3/(4*a*(1 + Sin[x]))}
+{Tan[x]^2/(a + a*Csc[x]), x, 4, -(x/a) + ((3 - 2*Csc[x])*Tan[x])/(3*a) - ((1 - Csc[x])*Tan[x]^3)/(3*a)}
+{Tan[x]^1/(a + a*Csc[x]), x, 3, -(Log[1 - Sin[x]]/(4*a)) - (3*Log[1 + Sin[x]])/(4*a) - 1/(2*a*(1 + Sin[x]))}
+{Cot[x]^1/(a + a*Csc[x]), x, 2, Log[1 + Sin[x]]/a}
+{Cot[x]^2/(a + a*Csc[x]), x, 3, -(x/a) - ArcTanh[Cos[x]]/a}
+{Cot[x]^3/(a + a*Csc[x]), x, 3, -(Csc[x]/a) - Log[Sin[x]]/a}
+{Cot[x]^4/(a + a*Csc[x]), x, 4, x/a + ArcTanh[Cos[x]]/(2*a) + (Cot[x]*(2 - Csc[x]))/(2*a)}
+{Cot[x]^5/(a + a*Csc[x]), x, 3, Csc[x]/a + Csc[x]^2/(2*a) - Csc[x]^3/(3*a) + Log[Sin[x]]/a}
+{Cot[x]^6/(a + a*Csc[x]), x, 5, -(x/a) - (3*ArcTanh[Cos[x]])/(8*a) + (Cot[x]^3*(4 - 3*Csc[x]))/(12*a) - (Cot[x]*(8 - 3*Csc[x]))/(8*a)}
+{Cot[x]^7/(a + a*Csc[x]), x, 3, -(Csc[x]/a) - Csc[x]^2/a + (2*Csc[x]^3)/(3*a) + Csc[x]^4/(4*a) - Csc[x]^5/(5*a) - Log[Sin[x]]/a}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^m (a+a Csc[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (e Tan[c+d x])^m (a+b Csc[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e Tan[c+d x])^m (a+b Csc[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^m (a+b Csc[c+d x])^n*)
+
+
+{Tan[x]^5/(a + b*Csc[x]), x, 3, 1/(16*(a + b)*(1 - Csc[x])^2) + (5*a + 7*b)/(16*(a + b)^2*(1 - Csc[x])) + 1/(16*(a - b)*(1 + Csc[x])^2) + (5*a - 7*b)/(16*(a - b)^2*(1 + Csc[x])) - ((8*a^2 + 21*a*b + 15*b^2)*Log[1 - Csc[x]])/(16*(a + b)^3) - ((8*a^2 - 21*a*b + 15*b^2)*Log[1 + Csc[x]])/(16*(a - b)^3) + (b^6*Log[a + b*Csc[x]])/(a*(a^2 - b^2)^3) - Log[Sin[x]]/a}
+{Tan[x]^3/(a + b*Csc[x]), x, 3, -(1/(4*(a + b)*(1 - Csc[x]))) - 1/(4*(a - b)*(1 + Csc[x])) + ((2*a + 3*b)*Log[1 - Csc[x]])/(4*(a + b)^2) + ((2*a - 3*b)*Log[1 + Csc[x]])/(4*(a - b)^2) + (b^4*Log[a + b*Csc[x]])/(a*(a^2 - b^2)^2) + Log[Sin[x]]/a}
+{Tan[x]^1/(a + b*Csc[x]), x, 3, -(Log[1 - Csc[x]]/(2*(a + b))) - Log[1 + Csc[x]]/(2*(a - b)) + (b^2*Log[a + b*Csc[x]])/(a*(a^2 - b^2)) - Log[Sin[x]]/a}
+{Cot[x]^1/(a + b*Csc[x]), x, 4, Log[a + b*Csc[x]]/a + Log[Sin[x]]/a}
+{Cot[x]^3/(a + b*Csc[x]), x, 3, -(Csc[x]/b) - ((1 - a^2/b^2)*Log[a + b*Csc[x]])/a - Log[Sin[x]]/a}
+{Cot[x]^5/(a + b*Csc[x]), x, 3, -(((a^2 - 2*b^2)*Csc[x])/b^3) + (a*Csc[x]^2)/(2*b^2) - Csc[x]^3/(3*b) + ((a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Csc[x]])/(a*b^4) + Log[Sin[x]]/a}
+{Cot[x]^7/(a + b*Csc[x]), x, 3, -(((a^4 - 3*a^2*b^2 + 3*b^4)*Csc[x])/b^5) + (a*(a^2 - 3*b^2)*Csc[x]^2)/(2*b^4) - ((a^2 - 3*b^2)*Csc[x]^3)/(3*b^3) + (a*Csc[x]^4)/(4*b^2) - Csc[x]^5/(5*b) + ((a^2 - b^2)^3*Log[a + b*Csc[x]])/(a*b^6) - Log[Sin[x]]/a}
+
+{Tan[x]^4/(a + b*Csc[x]), x, 16, x/a + (2*b^5*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*(a^2 - b^2)^(5/2)) - (b^3*Sec[x])/(a^2 - b^2)^2 + (b*Sec[x])/(a^2 - b^2) - (b*Sec[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)) + (a*b^2*Tan[x])/(a^2 - b^2)^2 - (a*Tan[x])/(a^2 - b^2) + (a*Tan[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)), -((a*b^2*x)/(a^2 - b^2)^2) + (b^4*x)/(a*(a^2 - b^2)^2) + (a*x)/(a^2 - b^2) + (2*b^5*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*(a^2 - b^2)^(5/2)) - (b^3*Sec[x])/(a^2 - b^2)^2 + (b*Sec[x])/(a^2 - b^2) - (b*Sec[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)) + (a*b^2*Tan[x])/(a^2 - b^2)^2 - (a*Tan[x])/(a^2 - b^2) + (a*Tan[x]^3)/(3*(a^2 - b^2))}
+{Tan[x]^2/(a + b*Csc[x]), x, 10, -(x/a) + (2*b^3*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*(a^2 - b^2)^(3/2)) - (b*Sec[x])/(a^2 - b^2) + (a*Tan[x])/(a^2 - b^2), -((a*x)/(a^2 - b^2)) + (b^2*x)/(a*(a^2 - b^2)) + (2*b^3*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*(a^2 - b^2)^(3/2)) - (b*Sec[x])/(a^2 - b^2) + (a*Tan[x])/(a^2 - b^2)}
+{Cot[x]^2/(a + b*Csc[x]), x, 8, -(x/a) - ArcTanh[Cos[x]]/b + (2*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*b)}
+{Cot[x]^4/(a + b*Csc[x]), x, 7, x/a - ((2*a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[Cos[x]])/(2*b^3) + (2*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*b^3) + (a*Cot[x])/b^2 - (Cot[x]*Csc[x])/(2*b)}
+{Cot[x]^6/(a + b*Csc[x]), x, 16, -(x/a) - (3*ArcTanh[Cos[x]])/(8*b) - ((a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[Cos[x]])/(2*b^3) - ((a^4 - 3*a^2*b^2 + 3*b^4)*ArcTanh[Cos[x]])/b^5 + (2*(a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTanh[(a + b*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*b^5) + (a*Cot[x])/b^2 + (a*(a^2 - 3*b^2)*Cot[x])/b^4 + (a*Cot[x]^3)/(3*b^2) - (3*Cot[x]*Csc[x])/(8*b) - ((a^2 - 3*b^2)*Cot[x]*Csc[x])/(2*b^3) - (Cot[x]*Csc[x]^3)/(4*b)}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Tan[c+d x]^m (a+b Csc[c+d x])^(n/2)*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.11 (e x)^m (a+b csc(c+d x^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.11 (e x)^m (a+b csc(c+d x^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..59c657c8
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+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.11 (e x)^m (a+b csc(c+d x^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,182 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Csc[c+d x^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Csc[c+d x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Csc[c+d x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^5*(a + b*Csc[c + d*x^2]), x, 10, (a*x^6)/6 - (b*x^4*ArcTanh[E^(I*(c + d*x^2))])/d + (I*b*x^2*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x^2))])/d^2 - (I*b*x^2*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x^2))])/d^2 - (b*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x^2))])/d^3 + (b*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x^2))])/d^3}
+{x^4*(a + b*Csc[c + d*x^2]), x, 2, (a*x^5)/5 + b*Unintegrable[x^4*Csc[c + d*x^2], x]}
+{x^3*(a + b*Csc[c + d*x^2]), x, 8, (a*x^4)/4 - (b*x^2*ArcTanh[E^(I*(c + d*x^2))])/d + ((I/2)*b*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x^2))])/d^2 - ((I/2)*b*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x^2))])/d^2}
+{x^2*(a + b*Csc[c + d*x^2]), x, 2, (a*x^3)/3 + b*Unintegrable[x^2*Csc[c + d*x^2], x]}
+{x*(a + b*Csc[c + d*x^2]), x, 4, (a*x^2)/2 - (b*ArcTanh[Cos[c + d*x^2]])/(2*d)}
+{(a + b*Csc[c + d*x^2])/x, x, 2, a*Log[x] + b*Unintegrable[Csc[c + d*x^2]/x, x]}
+{(a + b*Csc[c + d*x^2])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Csc[c + d*x^2]/x^2, x]}
+
+
+{x^5*(a + b*Csc[c + d*x^2])^2, x, 15, ((-I/2)*b^2*x^4)/d + (a^2*x^6)/6 - (2*a*b*x^4*ArcTanh[E^(I*(c + d*x^2))])/d - (b^2*x^4*Cot[c + d*x^2])/(2*d) + (b^2*x^2*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x^2))])/d^2 + ((2*I)*a*b*x^2*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x^2))])/d^2 - ((2*I)*a*b*x^2*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x^2))])/d^2 - ((I/2)*b^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x^2))])/d^3 - (2*a*b*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x^2))])/d^3 + (2*a*b*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x^2))])/d^3}
+{x^4*(a + b*Csc[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[x^4*(a + b*Csc[c + d*x^2])^2, x]}
+{x^3*(a + b*Csc[c + d*x^2])^2, x, 10, (a^2*x^4)/4 - (2*a*b*x^2*ArcTanh[E^(I*(c + d*x^2))])/d - (b^2*x^2*Cot[c + d*x^2])/(2*d) + (b^2*Log[Sin[c + d*x^2]])/(2*d^2) + (I*a*b*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x^2))])/d^2 - (I*a*b*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x^2))])/d^2}
+{x^2*(a + b*Csc[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[x^2*(a + b*Csc[c + d*x^2])^2, x]}
+{x*(a + b*Csc[c + d*x^2])^2, x, 5, (a^2*x^2)/2 - (a*b*ArcTanh[Cos[c + d*x^2]])/d - (b^2*Cot[c + d*x^2])/(2*d)}
+{(a + b*Csc[c + d*x^2])^2/x, x, 0, Unintegrable[(a + b*Csc[c + d*x^2])^2/x, x]}
+{(a + b*Csc[c + d*x^2])^2/x^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Csc[c + d*x^2])^2/x^2, x]}
+
+
+{x*Csc[a + b*x^2]^7, x, 5, (-5*ArcTanh[Cos[a + b*x^2]])/(32*b) - (5*Cot[a + b*x^2]*Csc[a + b*x^2])/(32*b) - (5*Cot[a + b*x^2]*Csc[a + b*x^2]^3)/(48*b) - (Cot[a + b*x^2]*Csc[a + b*x^2]^5)/(12*b)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^5/(a + b*Csc[c + d*x^2]), x, 13, x^6/(6*a) + ((I/2)*b*x^4*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((I/2)*b*x^4*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (b*x^2*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (b*x^2*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (I*b*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (I*b*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3)}
+{x^4/(a + b*Csc[c + d*x^2]), x, 0, Unintegrable[x^4/(a + b*Csc[c + d*x^2]), x]}
+{x^3/(a + b*Csc[c + d*x^2]), x, 11, x^4/(4*a) + ((I/2)*b*x^2*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((I/2)*b*x^2*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (b*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(2*a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (b*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(2*a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2)}
+{x^2/(a + b*Csc[c + d*x^2]), x, 0, Unintegrable[x^2/(a + b*Csc[c + d*x^2]), x]}
+{x/(a + b*Csc[c + d*x^2]), x, 5, x^2/(2*a) + (b*ArcTanh[(a + b*Tan[(c + d*x^2)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d)}
+{1/(x*(a + b*Csc[c + d*x^2])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Csc[c + d*x^2])), x]}
+{(a + b*Csc[c + d*x^2])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Csc[c + d*x^2]/x^2, x]}
+
+
+{x^5/(a + b*Csc[c + d*x^2])^2, x, 31, ((-I/2)*b^2*x^4)/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + x^6/(6*a^2) + (b^2*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^2)))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) + (b^2*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^2)))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - ((I/2)*b^3*x^4*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (I*b*x^4*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + ((I/2)*b^3*x^4*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (I*b*x^4*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (I*b^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (I*b^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^2)))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (b^3*x^2*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (2*b*x^2*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (b^3*x^2*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (2*b*x^2*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (I*b^3*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + ((2*I)*b*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + (I*b^3*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - ((2*I)*b*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (b^2*x^4*Cos[c + d*x^2])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sin[c + d*x^2]))}
+{x^4/(a + b*Csc[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[x^4/(a + b*Csc[c + d*x^2])^2, x]}
+{x^3/(a + b*Csc[c + d*x^2])^2, x, 22, x^4/(4*a^2) - ((I/2)*b^3*x^2*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (I*b*x^2*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + ((I/2)*b^3*x^2*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (I*b*x^2*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (b^2*Log[b + a*Sin[c + d*x^2]])/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - (b^3*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(2*a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (b*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (b^3*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(2*a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (b*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^2)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (b^2*x^2*Cos[c + d*x^2])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sin[c + d*x^2]))}
+{x^2/(a + b*Csc[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[x^2/(a + b*Csc[c + d*x^2])^2, x]}
+{x/(a + b*Csc[c + d*x^2])^2, x, 7, x^2/(2*a^2) + (b*(2*a^2 - b^2)*ArcTanh[(a + b*Tan[(c + d*x^2)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (b^2*Cot[c + d*x^2])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Csc[c + d*x^2]))}
+{1/(x*(a + b*Csc[c + d*x^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Csc[c + d*x^2])^2), x]}
+{1/(x^2*(a + b*Csc[c + d*x^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Csc[c + d*x^2])^2), x]}
+{1/(x^3*(a + b*Csc[c + d*x^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^3*(a + b*Csc[c + d*x^2])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Csc[c+d x^(1/2)])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Csc[c+d x^(1/2)])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]]), x, 20, (a*x^4)/4 - (4*b*x^(7/2)*ArcTanh[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d + ((14*I)*b*x^3*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((14*I)*b*x^3*PolyLog[2, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (84*b*x^(5/2)*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (84*b*x^(5/2)*PolyLog[3, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - ((420*I)*b*x^2*PolyLog[4, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((420*I)*b*x^2*PolyLog[4, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + (1680*b*x^(3/2)*PolyLog[5, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 - (1680*b*x^(3/2)*PolyLog[5, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + ((5040*I)*b*x*PolyLog[6, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 - ((5040*I)*b*x*PolyLog[6, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 - (10080*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^7 + (10080*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^7 - ((10080*I)*b*PolyLog[8, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^8 + ((10080*I)*b*PolyLog[8, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^8}
+{x^2*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]]), x, 16, (a*x^3)/3 - (4*b*x^(5/2)*ArcTanh[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d + ((10*I)*b*x^2*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((10*I)*b*x^2*PolyLog[2, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (40*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (40*b*x^(3/2)*PolyLog[3, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - ((120*I)*b*x*PolyLog[4, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((120*I)*b*x*PolyLog[4, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + (240*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 - (240*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + ((240*I)*b*PolyLog[6, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 - ((240*I)*b*PolyLog[6, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6}
+{x*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]]), x, 12, (a*x^2)/2 - (4*b*x^(3/2)*ArcTanh[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d + ((6*I)*b*x*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((6*I)*b*x*PolyLog[2, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (12*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (12*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - ((12*I)*b*PolyLog[4, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((12*I)*b*PolyLog[4, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4}
+{(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])/x, x, 2, a*Log[x] + b*Unintegrable[Csc[c + d*Sqrt[x]]/x, x]}
+{(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Csc[c + d*Sqrt[x]]/x^2, x]}
+
+
+{x^3*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 30, ((-2*I)*b^2*x^(7/2))/d + (a^2*x^4)/4 - (8*a*b*x^(7/2)*ArcTanh[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d - (2*b^2*x^(7/2)*Cot[c + d*Sqrt[x]])/d + (14*b^2*x^3*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 + ((28*I)*a*b*x^3*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((28*I)*a*b*x^3*PolyLog[2, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((42*I)*b^2*x^(5/2)*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - (168*a*b*x^(5/2)*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (168*a*b*x^(5/2)*PolyLog[3, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (105*b^2*x^2*PolyLog[3, E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - ((840*I)*a*b*x^2*PolyLog[4, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((840*I)*a*b*x^2*PolyLog[4, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((210*I)*b^2*x^(3/2)*PolyLog[4, E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + (3360*a*b*x^(3/2)*PolyLog[5, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 - (3360*a*b*x^(3/2)*PolyLog[5, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 - (315*b^2*x*PolyLog[5, E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 + ((10080*I)*a*b*x*PolyLog[6, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 - ((10080*I)*a*b*x*PolyLog[6, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 - ((315*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[6, E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^7 - (20160*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^7 + (20160*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^7 + (315*b^2*PolyLog[7, E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/(2*d^8) - ((20160*I)*a*b*PolyLog[8, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^8 + ((20160*I)*a*b*PolyLog[8, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^8}
+{x^2*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 24, ((-2*I)*b^2*x^(5/2))/d + (a^2*x^3)/3 - (8*a*b*x^(5/2)*ArcTanh[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d - (2*b^2*x^(5/2)*Cot[c + d*Sqrt[x]])/d + (10*b^2*x^2*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 + ((20*I)*a*b*x^2*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((20*I)*a*b*x^2*PolyLog[2, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((20*I)*b^2*x^(3/2)*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - (80*a*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (80*a*b*x^(3/2)*PolyLog[3, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (30*b^2*x*PolyLog[3, E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - ((240*I)*a*b*x*PolyLog[4, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((240*I)*a*b*x*PolyLog[4, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((30*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[4, E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + (480*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 - (480*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 - (15*b^2*PolyLog[5, E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 + ((480*I)*a*b*PolyLog[6, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 - ((480*I)*a*b*PolyLog[6, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6}
+{x*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 18, ((-2*I)*b^2*x^(3/2))/d + (a^2*x^2)/2 - (8*a*b*x^(3/2)*ArcTanh[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d - (2*b^2*x^(3/2)*Cot[c + d*Sqrt[x]])/d + (6*b^2*x*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 + ((12*I)*a*b*x*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((12*I)*a*b*x*PolyLog[2, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((6*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - (24*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (24*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (3*b^2*PolyLog[3, E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - ((24*I)*a*b*PolyLog[4, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((24*I)*a*b*PolyLog[4, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4}
+{(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2/x, x, 0, Unintegrable[(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2/x, x]}
+{(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2/x^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3/(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]]), x, 23, x^4/(4*a) + ((2*I)*b*x^(7/2)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((2*I)*b*x^(7/2)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (14*b*x^3*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (14*b*x^3*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + ((84*I)*b*x^(5/2)*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - ((84*I)*b*x^(5/2)*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (420*b*x^2*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (420*b*x^2*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - ((1680*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[5, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) + ((1680*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[5, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) + (5040*b*x*PolyLog[6, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) - (5040*b*x*PolyLog[6, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) + ((10080*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^7) - ((10080*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^7) - (10080*b*PolyLog[8, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^8) + (10080*b*PolyLog[8, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^8)}
+{x^2/(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]]), x, 19, x^3/(3*a) + ((2*I)*b*x^(5/2)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((2*I)*b*x^(5/2)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (10*b*x^2*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (10*b*x^2*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + ((40*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - ((40*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (120*b*x*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (120*b*x*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - ((240*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) + ((240*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) + (240*b*PolyLog[6, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) - (240*b*PolyLog[6, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6)}
+{x/(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]]), x, 15, x^2/(2*a) + ((2*I)*b*x^(3/2)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((2*I)*b*x^(3/2)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (6*b*x*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (6*b*x*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + ((12*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - ((12*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (12*b*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (12*b*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4)}
+{1/(x*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])), x]}
+{(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Csc[c + d*Sqrt[x]]/x^2, x]}
+
+
+{x^3/(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 61, ((-2*I)*b^2*x^(7/2))/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + x^4/(4*a^2) + (14*b^2*x^3*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) + (14*b^2*x^3*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - ((2*I)*b^3*x^(7/2)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + ((4*I)*b*x^(7/2)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + ((2*I)*b^3*x^(7/2)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - ((4*I)*b*x^(7/2)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((84*I)*b^2*x^(5/2)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - ((84*I)*b^2*x^(5/2)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (14*b^3*x^3*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (28*b*x^3*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (14*b^3*x^3*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (28*b*x^3*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (420*b^2*x^2*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) + (420*b^2*x^2*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) - ((84*I)*b^3*x^(5/2)*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + ((168*I)*b*x^(5/2)*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + ((84*I)*b^3*x^(5/2)*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - ((168*I)*b*x^(5/2)*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + ((1680*I)*b^2*x^(3/2)*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^5) + ((1680*I)*b^2*x^(3/2)*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^5) + (420*b^3*x^2*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (840*b*x^2*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - (420*b^3*x^2*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (840*b*x^2*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - (5040*b^2*x*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^6) - (5040*b^2*x*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^6) + ((1680*I)*b^3*x^(3/2)*PolyLog[5, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) - ((3360*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[5, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) - ((1680*I)*b^3*x^(3/2)*PolyLog[5, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) + ((3360*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[5, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) - ((10080*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[6, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^7) - ((10080*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[6, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^7) - (5040*b^3*x*PolyLog[6, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^6) + (10080*b*x*PolyLog[6, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) + (5040*b^3*x*PolyLog[6, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^6) - (10080*b*x*PolyLog[6, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) + (10080*b^2*PolyLog[7, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^8) + (10080*b^2*PolyLog[7, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^8) - ((10080*I)*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[7, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^7) + ((20160*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^7) + ((10080*I)*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[7, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^7) - ((20160*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^7) + (10080*b^3*PolyLog[8, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^8) - (20160*b*PolyLog[8, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^8) - (10080*b^3*PolyLog[8, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^8) + (20160*b*PolyLog[8, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^8) - (2*b^2*x^(7/2)*Cos[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sin[c + d*Sqrt[x]]))}
+{x^2/(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 49, ((-2*I)*b^2*x^(5/2))/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + x^3/(3*a^2) + (10*b^2*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) + (10*b^2*x^2*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - ((2*I)*b^3*x^(5/2)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + ((4*I)*b*x^(5/2)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + ((2*I)*b^3*x^(5/2)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - ((4*I)*b*x^(5/2)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((40*I)*b^2*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - ((40*I)*b^2*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (10*b^3*x^2*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (20*b*x^2*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (10*b^3*x^2*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (20*b*x^2*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (120*b^2*x*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) + (120*b^2*x*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) - ((40*I)*b^3*x^(3/2)*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + ((80*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + ((40*I)*b^3*x^(3/2)*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - ((80*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + ((240*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^5) + ((240*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^5) + (120*b^3*x*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (240*b*x*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - (120*b^3*x*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (240*b*x*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - (240*b^2*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^6) - (240*b^2*PolyLog[5, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^6) + ((240*I)*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[5, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) - ((480*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) - ((240*I)*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[5, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) + ((480*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) - (240*b^3*PolyLog[6, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^6) + (480*b*PolyLog[6, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) + (240*b^3*PolyLog[6, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^6) - (480*b*PolyLog[6, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) - (2*b^2*x^(5/2)*Cos[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sin[c + d*Sqrt[x]]))}
+{x/(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 37, ((-2*I)*b^2*x^(3/2))/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + x^2/(2*a^2) + (6*b^2*x*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) + (6*b^2*x*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - ((2*I)*b^3*x^(3/2)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + ((4*I)*b*x^(3/2)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + ((2*I)*b^3*x^(3/2)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - ((4*I)*b*x^(3/2)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((12*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - ((12*I)*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (6*b^3*x*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (12*b*x*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (6*b^3*x*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (12*b*x*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (12*b^2*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) + (12*b^2*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) - ((12*I)*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + ((24*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + ((12*I)*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - ((24*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + (12*b^3*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (24*b*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - (12*b^3*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (24*b*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - (2*b^2*x^(3/2)*Cos[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sin[c + d*Sqrt[x]]))}
+{1/(x*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2), x]}
+{1/(x^2*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b Csc[c+d x^(1/2)])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^(3/2)*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]]), x, 14, (2*a*x^(5/2))/5 - (4*b*x^2*ArcTanh[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d + ((8*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((8*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[2, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (24*b*x*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (24*b*x*PolyLog[3, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - ((48*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((48*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + (48*b*PolyLog[5, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 - (48*b*PolyLog[5, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5}
+{Sqrt[x]*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]]), x, 10, (2*a*x^(3/2))/3 - (4*b*x*ArcTanh[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d + ((4*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((4*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (4*b*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (4*b*PolyLog[3, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3}
+{(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])/Sqrt[x], x, 4, 2*a*Sqrt[x] - (2*b*ArcTanh[Cos[c + d*Sqrt[x]]])/d}
+{(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])/x^(3/2), x, 2, (-2*a)/Sqrt[x] + b*Unintegrable[Csc[c + d*Sqrt[x]]/x^(3/2), x]}
+{(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])/x^(5/2), x, 2, (-2*a)/(3*x^(3/2)) + b*Unintegrable[Csc[c + d*Sqrt[x]]/x^(5/2), x]}
+
+
+{x^(3/2)*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 21, ((-2*I)*b^2*x^2)/d + (2*a^2*x^(5/2))/5 - (8*a*b*x^2*ArcTanh[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d - (2*b^2*x^2*Cot[c + d*Sqrt[x]])/d + (8*b^2*x^(3/2)*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 + ((16*I)*a*b*x^(3/2)*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((16*I)*a*b*x^(3/2)*PolyLog[2, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((12*I)*b^2*x*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - (48*a*b*x*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (48*a*b*x*PolyLog[3, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (12*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[3, E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - ((96*I)*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((96*I)*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 + ((6*I)*b^2*PolyLog[4, E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + (96*a*b*PolyLog[5, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 - (96*a*b*PolyLog[5, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5}
+{Sqrt[x]*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 15, ((-2*I)*b^2*x)/d + (2*a^2*x^(3/2))/3 - (8*a*b*x*ArcTanh[E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d - (2*b^2*x*Cot[c + d*Sqrt[x]])/d + (4*b^2*Sqrt[x]*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 + ((8*I)*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((8*I)*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - ((2*I)*b^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 - (8*a*b*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (8*a*b*PolyLog[3, E^(I*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3}
+{(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2/Sqrt[x], x, 5, 2*a^2*Sqrt[x] - (4*a*b*ArcTanh[Cos[c + d*Sqrt[x]]])/d - (2*b^2*Cot[c + d*Sqrt[x]])/d}
+{(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2/x^(3/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2/x^(3/2), x]}
+{(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2/x^(5/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2/x^(5/2), x]}
+
+
+{Csc[Sqrt[x]]^3/Sqrt[x], x, 3, -ArcTanh[Cos[Sqrt[x]]] - Cot[Sqrt[x]]*Csc[Sqrt[x]]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^(3/2)/(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]]), x, 17, (2*x^(5/2))/(5*a) + ((2*I)*b*x^2*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((2*I)*b*x^2*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (8*b*x^(3/2)*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (8*b*x^(3/2)*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + ((24*I)*b*x*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - ((24*I)*b*x*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (48*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (48*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - ((48*I)*b*PolyLog[5, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) + ((48*I)*b*PolyLog[5, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5)}
+{Sqrt[x]/(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]]), x, 13, (2*x^(3/2))/(3*a) + ((2*I)*b*x*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((2*I)*b*x*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (4*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (4*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + ((4*I)*b*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - ((4*I)*b*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3)}
+{1/(Sqrt[x]*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])), x, 5, (2*Sqrt[x])/a + (4*b*ArcTanh[(a + b*Tan[(c + d*Sqrt[x])/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d)}
+{1/(x^(3/2)*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])), x, 0, Unintegrable[1/(x^(3/2)*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])), x]}
+{1/(x^(5/2)*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])), x, 0, Unintegrable[1/(x^(5/2)*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])), x]}
+
+
+{x^(3/2)/(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 43, ((-2*I)*b^2*x^2)/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + (2*x^(5/2))/(5*a^2) + (8*b^2*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) + (8*b^2*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - ((2*I)*b^3*x^2*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + ((4*I)*b*x^2*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + ((2*I)*b^3*x^2*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - ((4*I)*b*x^2*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((24*I)*b^2*x*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - ((24*I)*b^2*x*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (8*b^3*x^(3/2)*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (16*b*x^(3/2)*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (8*b^3*x^(3/2)*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (16*b*x^(3/2)*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (48*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) + (48*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) - ((24*I)*b^3*x*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + ((48*I)*b*x*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + ((24*I)*b^3*x*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - ((48*I)*b*x*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + ((48*I)*b^2*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^5) + ((48*I)*b^2*PolyLog[4, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^5) + (48*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (96*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - (48*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (96*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + ((48*I)*b^3*PolyLog[5, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) - ((96*I)*b*PolyLog[5, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) - ((48*I)*b^3*PolyLog[5, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) + ((96*I)*b*PolyLog[5, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) - (2*b^2*x^2*Cos[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sin[c + d*Sqrt[x]]))}
+{Sqrt[x]/(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 31, ((-2*I)*b^2*x)/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + (2*x^(3/2))/(3*a^2) + (4*b^2*Sqrt[x]*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) + (4*b^2*Sqrt[x]*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - ((2*I)*b^3*x*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + ((4*I)*b*x*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + ((2*I)*b^3*x*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - ((4*I)*b*x*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - ((4*I)*b^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - ((4*I)*b^2*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (4*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (8*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (4*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (8*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - ((4*I)*b^3*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + ((8*I)*b*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + ((4*I)*b^3*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - ((8*I)*b*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*Sqrt[x])))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (2*b^2*x*Cos[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Sin[c + d*Sqrt[x]]))}
+{1/(Sqrt[x]*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 7, (2*Sqrt[x])/a^2 + (4*b*(2*a^2 - b^2)*ArcTanh[(a + b*Tan[(c + d*Sqrt[x])/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*(a^2 - b^2)^(3/2)*d) - (2*b^2*Cot[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]]))}
+{1/(x^(3/2)*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^(3/2)*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2), x]}
+{1/(x^(5/2)*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^(5/2)*(a + b*Csc[c + d*Sqrt[x]])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Csc[c+d x^n])^p*)
+
+
+{(e*x)^m*(a + b*Csc[c + d*x^n])^p, x, 1, ((e*x)^m*Unintegrable[x^m*(a + b*Csc[c + d*x^n])^p, x])/x^m}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(e*x)^(-1 + n)*(a + b*Csc[c + d*x^n]), x, 5, (a*(e*x)^n)/(e*n) - (b*(e*x)^n*ArcTanh[Cos[c + d*x^n]])/(d*e*n*x^n)}
+{(e*x)^(-1 + 2*n)*(a + b*Csc[c + d*x^n]), x, 9, (a*(e*x)^(2*n))/(2*e*n) - (2*b*(e*x)^(2*n)*ArcTanh[E^(I*(c + d*x^n))])/(d*e*n*x^n) + (I*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x^n))])/(d^2*e*n*x^(2*n)) - (I*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x^n))])/(d^2*e*n*x^(2*n))}
+{(e*x)^(-1 + 3*n)*(a + b*Csc[c + d*x^n]), x, 11, (a*(e*x)^(3*n))/(3*e*n) - (2*b*(e*x)^(3*n)*ArcTanh[E^(I*(c + d*x^n))])/(d*e*n*x^n) + ((2*I)*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x^n))])/(d^2*e*n*x^(2*n)) - ((2*I)*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x^n))])/(d^2*e*n*x^(2*n)) - (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x^n))])/(d^3*e*n*x^(3*n)) + (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x^n))])/(d^3*e*n*x^(3*n))}
+
+
+{(e*x)^(-1 + n)*(a + b*Csc[c + d*x^n])^2, x, 6, (a^2*(e*x)^n)/(e*n) - (2*a*b*(e*x)^n*ArcTanh[Cos[c + d*x^n]])/(d*e*n*x^n) - (b^2*(e*x)^n*Cot[c + d*x^n])/(d*e*n*x^n)}
+{(e*x)^(-1 + 2*n)*(a + b*Csc[c + d*x^n])^2, x, 11, (a^2*(e*x)^(2*n))/(2*e*n) - (4*a*b*(e*x)^(2*n)*ArcTanh[E^(I*(c + d*x^n))])/(d*e*n*x^n) - (b^2*(e*x)^(2*n)*Cot[c + d*x^n])/(d*e*n*x^n) + (b^2*(e*x)^(2*n)*Log[Sin[c + d*x^n]])/(d^2*e*n*x^(2*n)) + ((2*I)*a*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x^n))])/(d^2*e*n*x^(2*n)) - ((2*I)*a*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x^n))])/(d^2*e*n*x^(2*n))}
+{(e*x)^(-1 + 3*n)*(a + b*Csc[c + d*x^n])^2, x, 16, (a^2*(e*x)^(3*n))/(3*e*n) - (I*b^2*(e*x)^(3*n))/(d*e*n*x^n) - (4*a*b*(e*x)^(3*n)*ArcTanh[E^(I*(c + d*x^n))])/(d*e*n*x^n) - (b^2*(e*x)^(3*n)*Cot[c + d*x^n])/(d*e*n*x^n) + (2*b^2*(e*x)^(3*n)*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x^n))])/(d^2*e*n*x^(2*n)) + ((4*I)*a*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x^n))])/(d^2*e*n*x^(2*n)) - ((4*I)*a*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, E^(I*(c + d*x^n))])/(d^2*e*n*x^(2*n)) - (I*b^2*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x^n))])/(d^3*e*n*x^(3*n)) - (4*a*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -E^(I*(c + d*x^n))])/(d^3*e*n*x^(3*n)) + (4*a*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, E^(I*(c + d*x^n))])/(d^3*e*n*x^(3*n))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(e*x)^(-1 + n)/(a + b*Csc[c + d*x^n]), x, 6, (e*x)^n/(a*e*n) + (2*b*(e*x)^n*ArcTanh[(a + b*Tan[(c + d*x^n)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*Sqrt[a^2 - b^2]*d*e*n*x^n)}
+{(e*x)^(-1 + 2*n)/(a + b*Csc[c + d*x^n]), x, 12, (e*x)^(2*n)/(2*a*e*n) + (I*b*(e*x)^(2*n)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) - (I*b*(e*x)^(2*n)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) + (b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) - (b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n))}
+{(e*x)^(-1 + 3*n)/(a + b*Csc[c + d*x^n]), x, 14, (e*x)^(3*n)/(3*a*e*n) + (I*b*(e*x)^(3*n)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) - (I*b*(e*x)^(3*n)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) + (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) - (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) + ((2*I)*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3*e*n*x^(3*n)) - ((2*I)*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3*e*n*x^(3*n))}
+
+
+{(e*x)^(-1 + n)/(a + b*Csc[c + d*x^n])^2, x, 8, (e*x)^n/(a^2*e*n) + (2*b*(2*a^2 - b^2)*(e*x)^n*ArcTanh[(a + b*Tan[(c + d*x^n)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2*(a^2 - b^2)^(3/2)*d*e*n*x^n) - (b^2*(e*x)^n*Cot[c + d*x^n])/(a*(a^2 - b^2)*d*e*n*x^n*(a + b*Csc[c + d*x^n]))}
+{(e*x)^(-1 + 2*n)/(a + b*Csc[c + d*x^n])^2, x, 23, (e*x)^(2*n)/(2*a^2*e*n) - (I*b^3*(e*x)^(2*n)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d*e*n*x^n) + ((2*I)*b*(e*x)^(2*n)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) + (I*b^3*(e*x)^(2*n)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d*e*n*x^n) - ((2*I)*b*(e*x)^(2*n)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) + (b^2*(e*x)^(2*n)*Log[b + a*Sin[c + d*x^n]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2*e*n*x^(2*n)) - (b^3*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2*e*n*x^(2*n)) + (2*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) + (b^3*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2*e*n*x^(2*n)) - (2*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) - (b^2*(e*x)^(2*n)*Cos[c + d*x^n])/(a*(a^2 - b^2)*d*e*n*x^n*(b + a*Sin[c + d*x^n]))}
+{(e*x)^(-1 + 3*n)/(a + b*Csc[c + d*x^n])^2, x, 32, (e*x)^(3*n)/(3*a^2*e*n) - (I*b^2*(e*x)^(3*n))/(x^n*(a^2*(a^2 - b^2)*d*e*n)) + (2*b^2*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^n)))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2])])/(x^(2*n)*(a^2*(a^2 - b^2)*d^2*e*n)) + (2*b^2*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(I*(c + d*x^n)))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2])])/(x^(2*n)*(a^2*(a^2 - b^2)*d^2*e*n)) - (I*b^3*(e*x)^(3*n)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(x^n*(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d*e*n)) + (2*I*b*(e*x)^(3*n)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(x^n*(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n)) + (I*b^3*(e*x)^(3*n)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(x^n*(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d*e*n)) - (2*I*b*(e*x)^(3*n)*Log[1 - (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(x^n*(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n)) - (2*I*b^2*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(I*b - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(x^(3*n)*(a^2*(a^2 - b^2)*d^3*e*n)) - (2*I*b^2*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(I*(c + d*x^n)))/(I*b + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(x^(3*n)*(a^2*(a^2 - b^2)*d^3*e*n)) - (2*b^3*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(x^(2*n)*(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2*e*n)) + (4*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(x^(2*n)*(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n)) + (2*b^3*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(x^(2*n)*(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2*e*n)) - (4*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(x^(2*n)*(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n)) - (2*I*b^3*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(x^(3*n)*(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3*e*n)) + (4*I*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(x^(3*n)*(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3*e*n)) + (2*I*b^3*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(x^(3*n)*(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3*e*n)) - (4*I*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, (I*a*E^(I*(c + d*x^n)))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(x^(3*n)*(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3*e*n)) - (b^2*(e*x)^(3*n)*Cos[c + d*x^n])/(x^n*(a*(a^2 - b^2)*d*e*n*(b + a*Sin[c + d*x^n])))}
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@@ -0,0 +1,76 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Csc[e+f x])^m (d Csc[e+f x])^n (A+B Csc[e+f x])*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Csc[e+f x])^m (d Csc[e+f x])^n (A+B Csc[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Csc[c+d x]^m (A+B Csc[c+d x]) (a+a Csc[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Csc[c+d x]^m (A+B Csc[c+d x]) (a+a Csc[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Csc[c+d x]^m (A+A Csc[c+d x]) (a+a Csc[c+d x])^n*)
+
+
+{(A + A*Csc[c + d*x])*(a + a*Csc[c + d*x])^1*Csc[c + d*x]^3, x, 7, -((7*a*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d)) - (2*a*A*Cot[c + d*x])/d - (2*a*A*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (7*a*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{(A + A*Csc[c + d*x])*(a + a*Csc[c + d*x])^1*Csc[c + d*x]^2, x, 7, -((a*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d) - (5*a*A*Cot[c + d*x])/(3*d) - (a*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/d - (a*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*d)}
+{(A + A*Csc[c + d*x])*(a + a*Csc[c + d*x])^1*Csc[c + d*x]^1, x, 6, -((3*a*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) - (2*a*A*Cot[c + d*x])/d - (a*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d)}
+{(A + A*Csc[c + d*x])*(a + a*Csc[c + d*x])^1*Sin[c + d*x]^1, x, 5, 2*a*A*x - (a*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (a*A*Cos[c + d*x])/d}
+{(A + A*Csc[c + d*x])*(a + a*Csc[c + d*x])^1*Sin[c + d*x]^2, x, 5, (3*a*A*x)/2 - (2*a*A*Cos[c + d*x])/d - (a*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(A + A*Csc[c + d*x])*(a + a*Csc[c + d*x])^1*Sin[c + d*x]^3, x, 7, a*A*x - (2*a*A*Cos[c + d*x])/d + (a*A*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/d}
+
+
+{(A + A*Csc[c + d*x])*(a - a*Csc[c + d*x])^1*Csc[c + d*x]^3, x, 4, -((a*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d)) - (a*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) + (a*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{(A + A*Csc[c + d*x])*(a - a*Csc[c + d*x])^1*Csc[c + d*x]^2, x, 3, (a*A*Cot[c + d*x]^3)/(3*d)}
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+{(A + A*Csc[c + d*x])*(a - a*Csc[c + d*x])^1*Sin[c + d*x]^1, x, 4, (a*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (a*A*Cos[c + d*x])/d}
+{(A + A*Csc[c + d*x])*(a - a*Csc[c + d*x])^1*Sin[c + d*x]^2, x, 3, (-(1/2))*a*A*x - (a*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(A + A*Csc[c + d*x])*(a - a*Csc[c + d*x])^1*Sin[c + d*x]^3, x, 3, (a*A*Cos[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Csc[c+d x]^m (A-A Csc[c+d x]) (a+a Csc[c+d x])^n*)
+
+
+{(A - A*Csc[c + d*x])*(a + a*Csc[c + d*x])^1*Csc[c + d*x]^3, x, 4, -((a*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d)) - (a*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) + (a*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{(A - A*Csc[c + d*x])*(a + a*Csc[c + d*x])^1*Csc[c + d*x]^2, x, 3, (a*A*Cot[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{(A - A*Csc[c + d*x])*(a + a*Csc[c + d*x])^1*Csc[c + d*x]^1, x, 3, -((a*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) + (a*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d)}
+{(A - A*Csc[c + d*x])*(a + a*Csc[c + d*x])^1/Csc[c + d*x]^1, x, 4, (a*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (a*A*Cos[c + d*x])/d}
+{(A - A*Csc[c + d*x])*(a + a*Csc[c + d*x])^1/Csc[c + d*x]^2, x, 3, (-(1/2))*a*A*x - (a*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(A - A*Csc[c + d*x])*(a + a*Csc[c + d*x])^1/Csc[c + d*x]^3, x, 3, (a*A*Cos[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+{(A - A*Csc[c + d*x])*(a - a*Csc[c + d*x])^1*Csc[c + d*x]^3, x, 7, -((7*a*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(8*d)) + (2*a*A*Cot[c + d*x])/d + (2*a*A*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (7*a*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(8*d) - (a*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{(A - A*Csc[c + d*x])*(a - a*Csc[c + d*x])^1*Csc[c + d*x]^2, x, 7, (a*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (5*a*A*Cot[c + d*x])/(3*d) + (a*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/d - (a*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x]^2)/(3*d)}
+{(A - A*Csc[c + d*x])*(a - a*Csc[c + d*x])^1*Csc[c + d*x]^1, x, 6, -((3*a*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/(2*d)) + (2*a*A*Cot[c + d*x])/d - (a*A*Cot[c + d*x]*Csc[c + d*x])/(2*d)}
+{(A - A*Csc[c + d*x])*(a - a*Csc[c + d*x])^1/Csc[c + d*x]^1, x, 5, -2*a*A*x - (a*A*ArcTanh[Cos[c + d*x]])/d - (a*A*Cos[c + d*x])/d}
+{(A - A*Csc[c + d*x])*(a - a*Csc[c + d*x])^1/Csc[c + d*x]^2, x, 5, (3*a*A*x)/2 + (2*a*A*Cos[c + d*x])/d - (a*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{(A - A*Csc[c + d*x])*(a - a*Csc[c + d*x])^1/Csc[c + d*x]^3, x, 7, (-a)*A*x - (2*a*A*Cos[c + d*x])/d + (a*A*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*A*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/d}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (a+a Csc[e+f x])^m (d Sin[e+f x])^n (A+B Csc[e+f x])*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Csc[e+f x])^m (d Csc[e+f x])^n (A+B Csc[e+f x])*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Csc[c+d x]^m (A+B Csc[c+d x]) (a+b Csc[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Csc[c+d x]^m (A+B Csc[c+d x]) (a+b Csc[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Csc[e+f x])^m (d Sin[e+f x])^n (A+B Csc[e+f x])*)
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+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.4.2 (a+b csc)^m (d csc)^n (A+B csc+C csc^2).m	
@@ -0,0 +1,23 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Csc[e+f x])^m (d Csc[e+f x])^n (A+B Csc[e+f x]+C Csc[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^n (a+b Csc[e+f x])^m (A+C Csc[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^n (a+b Csc[e+f x])^m (B Csc[e+f x]+C Csc[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^n (a+b Csc[e+f x])^m (A+B Csc[e+f x]+C Csc[e+f x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Csc[e+f x])^(n/2) (a+b Csc[e+f x])^m (A+B Csc[e+f x]+C Csc[e+f x]^2)*)
+
+
+{((a + b*Csc[x])*(A + B*Csc[x] + C*Csc[x]^2))/Csc[x]^(1/2), x, 7, -2*(b*B + a*C)*Cos[x]*Sqrt[Csc[x]] - (2/3)*b*C*Cos[x]*Csc[x]^(3/2) + 2*(b*B - a*(A - C))*Sqrt[Csc[x]]*EllipticE[Pi/4 - x/2, 2]*Sqrt[Sin[x]] - (2/3)*(3*A*b + 3*a*B + b*C)*Sqrt[Csc[x]]*EllipticF[Pi/4 - x/2, 2]*Sqrt[Sin[x]]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.7 (d trig)^m (a+b (c csc)^n)^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.7 (d trig)^m (a+b (c csc)^n)^p.m
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+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.6 Cosecant/4.6.7 (d trig)^m (a+b (c csc)^n)^p.m	
@@ -0,0 +1,67 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Csc[c+d x]^m)^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Csc[c+d x]^m)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Csc[c+d x]^2)^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n*)
+
+
+{(a + b*Csc[c + d*x]^2)^4, x, 4, a^4*x - (b*(2*a + b)*(2*a^2 + 2*a*b + b^2)*Cot[c + d*x])/d - (b^2*(6*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^3*(4*a + 3*b)*Cot[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^4*Cot[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{(a + b*Csc[c + d*x]^2)^3, x, 4, a^3*x - (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Cot[c + d*x])/d - (b^2*(3*a + 2*b)*Cot[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^3*Cot[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{(a + b*Csc[c + d*x]^2)^2, x, 4, a^2*x - (b*(2*a + b)*Cot[c + d*x])/d - (b^2*Cot[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{(a + b*Csc[c + d*x]^2)^1, x, 3, a*x - (b*Cot[c + d*x])/d}
+{1/(a + b*Csc[c + d*x]^2)^1, x, 3, x/a - (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[b]])/(a*Sqrt[a + b]*d)}
+{1/(a + b*Csc[c + d*x]^2)^2, x, 5, x/a^2 + (Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^2*(a + b)^(3/2)*d) + (b*Cot[c + d*x])/(2*a*(a + b)*d*(a + b + b*Cot[c + d*x]^2))}
+{1/(a + b*Csc[c + d*x]^2)^3, x, 6, x/a^3 + (Sqrt[b]*(15*a^2 + 20*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^3*(a + b)^(5/2)*d) + (b*Cot[c + d*x])/(4*a*(a + b)*d*(a + b + b*Cot[c + d*x]^2)^2) + (b*(7*a + 4*b)*Cot[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)^2*d*(a + b + b*Cot[c + d*x]^2))}
+{1/(a + b*Csc[c + d*x]^2)^4, x, 7, x/a^4 + (Sqrt[b]*(35*a^3 + 70*a^2*b + 56*a*b^2 + 16*b^3)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(16*a^4*(a + b)^(7/2)*d) + (b*Cot[c + d*x])/(6*a*(a + b)*d*(a + b + b*Cot[c + d*x]^2)^3) + (b*(11*a + 6*b)*Cot[c + d*x])/(24*a^2*(a + b)^2*d*(a + b + b*Cot[c + d*x]^2)^2) + (b*(19*a^2 + 22*a*b + 8*b^2)*Cot[c + d*x])/(16*a^3*(a + b)^3*d*(a + b + b*Cot[c + d*x]^2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n/2*)
+
+
+{(a + b*Csc[c + d*x]^2)^(5/2), x, 8, -((a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b + b*Cot[c + d*x]^2]])/d) - (Sqrt[b]*(15*a^2 + 10*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b + b*Cot[c + d*x]^2]])/(8*d) - (b*(7*a + 3*b)*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b + b*Cot[c + d*x]^2])/(8*d) - (b*Cot[c + d*x]*(a + b + b*Cot[c + d*x]^2)^(3/2))/(4*d)}
+{(a + b*Csc[c + d*x]^2)^(3/2), x, 7, -((a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b + b*Cot[c + d*x]^2]])/d) - (Sqrt[b]*(3*a + b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b + b*Cot[c + d*x]^2]])/(2*d) - (b*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b + b*Cot[c + d*x]^2])/(2*d)}
+{(a + b*Csc[c + d*x]^2)^(1/2), x, 6, -((Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b + b*Cot[c + d*x]^2]])/d) - (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b + b*Cot[c + d*x]^2]])/d}
+{1/(a + b*Csc[c + d*x]^2)^(1/2), x, 3, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b*Csc[c + d*x]^2]]/(Sqrt[a]*d)), -(ArcTan[(Sqrt[a]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b + b*Cot[c + d*x]^2]]/(Sqrt[a]*d))}
+{1/(a + b*Csc[c + d*x]^2)^(3/2), x, 4, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b + b*Cot[c + d*x]^2]]/(a^(3/2)*d)) + (b*Cot[c + d*x])/(a*(a + b)*d*Sqrt[a + b + b*Cot[c + d*x]^2])}
+{1/(a + b*Csc[c + d*x]^2)^(5/2), x, 6, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b + b*Cot[c + d*x]^2]]/(a^(5/2)*d)) + (b*Cot[c + d*x])/(3*a*(a + b)*d*(a + b + b*Cot[c + d*x]^2)^(3/2)) + (b*(5*a + 3*b)*Cot[c + d*x])/(3*a^2*(a + b)^2*d*Sqrt[a + b + b*Cot[c + d*x]^2])}
+{1/(a + b*Csc[c + d*x]^2)^(7/2), x, 7, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b + b*Cot[c + d*x]^2]]/(a^(7/2)*d)) + (b*Cot[c + d*x])/(5*a*(a + b)*d*(a + b + b*Cot[c + d*x]^2)^(5/2)) + (b*(9*a + 5*b)*Cot[c + d*x])/(15*a^2*(a + b)^2*d*(a + b + b*Cot[c + d*x]^2)^(3/2)) + (b*(33*a^2 + 40*a*b + 15*b^2)*Cot[c + d*x])/(15*a^3*(a + b)^3*d*Sqrt[a + b + b*Cot[c + d*x]^2])}
+
+
+{(1 + Csc[x]^2)^(3/2), x, 6, -2*ArcSinh[Cot[x]/Sqrt[2]] - ArcTan[Cot[x]/Sqrt[2 + Cot[x]^2]] - (1/2)*Cot[x]*Sqrt[2 + Cot[x]^2]}
+{Sqrt[1 + Csc[x]^2], x, 5, -ArcSinh[Cot[x]/Sqrt[2]] - ArcTan[Cot[x]/Sqrt[2 + Cot[x]^2]]}
+{1/Sqrt[1 + Csc[x]^2], x, 3, -ArcTan[Cot[x]/Sqrt[2 + Cot[x]^2]]}
+
+
+{(1 - Csc[x]^2)^(3/2), x, 4, (1/2)*Cot[x]*Sqrt[-Cot[x]^2] + Sqrt[-Cot[x]^2]*Log[Sin[x]]*Tan[x]}
+{Sqrt[1 - Csc[x]^2], x, 3, Sqrt[-Cot[x]^2]*Log[Sin[x]]*Tan[x]}
+{1/Sqrt[1 - Csc[x]^2], x, 3, -((Cot[x]*Log[Cos[x]])/Sqrt[-Cot[x]^2])}
+
+
+{(-1 + Csc[x]^2)^(3/2), x, 4, (-(1/2))*(Cot[x]^2)^(3/2)*Tan[x] - Sqrt[Cot[x]^2]*Log[Sin[x]]*Tan[x]}
+{Sqrt[-1 + Csc[x]^2], x, 3, Sqrt[Cot[x]^2]*Log[Sin[x]]*Tan[x]}
+{1/Sqrt[-1 + Csc[x]^2], x, 3, -((Cot[x]*Log[Cos[x]])/Sqrt[Cot[x]^2])}
+
+
+{(-1 - Csc[x]^2)^(3/2), x, 7, -2*ArcTan[Cot[x]/Sqrt[-2 - Cot[x]^2]] - ArcTanh[Cot[x]/Sqrt[-2 - Cot[x]^2]] + (1/2)*Cot[x]*Sqrt[-2 - Cot[x]^2]}
+{Sqrt[-1 - Csc[x]^2], x, 6, ArcTan[Cot[x]/Sqrt[-2 - Cot[x]^2]] + ArcTanh[Cot[x]/Sqrt[-2 - Cot[x]^2]]}
+{1/Sqrt[-1 - Csc[x]^2], x, 3, -ArcTanh[Cot[x]/Sqrt[-2 - Cot[x]^2]]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Csc[c+d x]^3)^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Csc[c+d x]^4)^n*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.1 (c trig)^m (d trig)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.1 (c trig)^m (d trig)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..5923a026
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.1 (c trig)^m (d trig)^n.m	
@@ -0,0 +1,489 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form Trig[a+b x]^m Trig[2 a+2 b x]^n*)
+
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[a+b x]^m Sin[2 a+2 b x]^n*)
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+(*Integrands of the form Sin[a+b x]^m Sin[2 a+2 b x]^n*)
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
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+{Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^7, x, 4, (128*Sin[a + b*x]^9)/(9*b) - (384*Sin[a + b*x]^11)/(11*b) + (384*Sin[a + b*x]^13)/(13*b) - (128*Sin[a + b*x]^15)/(15*b)}
+{Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^6, x, 4, -((64*Cos[a + b*x]^7)/(7*b)) + (64*Cos[a + b*x]^9)/(3*b) - (192*Cos[a + b*x]^11)/(11*b) + (64*Cos[a + b*x]^13)/(13*b)}
+{Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^5, x, 4, (32*Sin[a + b*x]^7)/(7*b) - (64*Sin[a + b*x]^9)/(9*b) + (32*Sin[a + b*x]^11)/(11*b)}
+{Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^4, x, 4, -((16*Cos[a + b*x]^5)/(5*b)) + (32*Cos[a + b*x]^7)/(7*b) - (16*Cos[a + b*x]^9)/(9*b)}
+{Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^3, x, 4, (8*Sin[a + b*x]^5)/(5*b) - (8*Sin[a + b*x]^7)/(7*b)}
+{Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^2, x, 4, -((4*Cos[a + b*x]^3)/(3*b)) + (4*Cos[a + b*x]^5)/(5*b)}
+{Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^1, x, 1, Sin[a + b*x]/(2*b) - Sin[3*a + 3*b*x]/(6*b)}
+{Sin[a + b*x]*Csc[2*a + 2*b*x]^1, x, 2, ArcTanh[Sin[a + b*x]]/(2*b)}
+{Sin[a + b*x]*Csc[2*a + 2*b*x]^2, x, 4, -(ArcTanh[Cos[a + b*x]]/(4*b)) + Sec[a + b*x]/(4*b)}
+{Sin[a + b*x]*Csc[2*a + 2*b*x]^3, x, 5, (3*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(16*b) - (3*Csc[a + b*x])/(16*b) + (Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2)/(16*b)}
+{Sin[a + b*x]*Csc[2*a + 2*b*x]^4, x, 6, -((5*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(32*b)) + (5*Sec[a + b*x])/(32*b) + (5*Sec[a + b*x]^3)/(96*b) - (Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^3)/(32*b)}
+{Sin[a + b*x]*Csc[2*a + 2*b*x]^5, x, 7, (35*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(256*b) - (35*Csc[a + b*x])/(256*b) - (35*Csc[a + b*x]^3)/(768*b) + (7*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2)/(256*b) + (Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^4)/(128*b)}
+
+
+{Sin[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^5, x, 5, (4*Sin[a + b*x]^8)/b - (32*Sin[a + b*x]^10)/(5*b) + (8*Sin[a + b*x]^12)/(3*b)}
+{Sin[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^4, x, 6, (3*x)/16 - (3*Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(32*b) - (Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^3)/(16*b) - Sin[2*a + 2*b*x]^5/(20*b)}
+{Sin[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^3, x, 4, (4*Sin[a + b*x]^6)/(3*b) - Sin[a + b*x]^8/b}
+{Sin[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^2, x, 5, x/4 - (Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(8*b) - Sin[2*a + 2*b*x]^3/(12*b)}
+{Sin[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^1, x, 3, Sin[a + b*x]^4/(2*b)}
+{Sin[a + b*x]^2*Csc[2*a + 2*b*x]^1, x, 2, -(Log[Cos[a + b*x]]/(2*b))}
+{Sin[a + b*x]^2*Csc[2*a + 2*b*x]^2, x, 3, Tan[a + b*x]/(4*b)}
+{Sin[a + b*x]^2*Csc[2*a + 2*b*x]^3, x, 4, Log[Tan[a + b*x]]/(8*b) + Tan[a + b*x]^2/(16*b)}
+{Sin[a + b*x]^2*Csc[2*a + 2*b*x]^4, x, 4, -(Cot[a + b*x]/(16*b)) + Tan[a + b*x]/(8*b) + Tan[a + b*x]^3/(48*b)}
+{Sin[a + b*x]^2*Csc[2*a + 2*b*x]^5, x, 5, -(Cot[a + b*x]^2/(64*b)) + (3*Log[Tan[a + b*x]])/(32*b) + (3*Tan[a + b*x]^2)/(64*b) + Tan[a + b*x]^4/(128*b)}
+
+
+{Sin[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^5, x, 4, (32*Sin[a + b*x]^9)/(9*b) - (64*Sin[a + b*x]^11)/(11*b) + (32*Sin[a + b*x]^13)/(13*b)}
+{Sin[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^4, x, 4, -((16*Cos[a + b*x]^5)/(5*b)) + (48*Cos[a + b*x]^7)/(7*b) - (16*Cos[a + b*x]^9)/(3*b) + (16*Cos[a + b*x]^11)/(11*b)}
+{Sin[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^3, x, 4, (8*Sin[a + b*x]^7)/(7*b) - (8*Sin[a + b*x]^9)/(9*b)}
+{Sin[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^2, x, 4, -((4*Cos[a + b*x]^3)/(3*b)) + (8*Cos[a + b*x]^5)/(5*b) - (4*Cos[a + b*x]^7)/(7*b)}
+{Sin[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^1, x, 3, (2*Sin[a + b*x]^5)/(5*b)}
+{Sin[a + b*x]^3*Csc[2*a + 2*b*x]^1, x, 4, ArcTanh[Sin[a + b*x]]/(2*b) - Sin[a + b*x]/(2*b)}
+{Sin[a + b*x]^3*Csc[2*a + 2*b*x]^2, x, 3, Sec[a + b*x]/(4*b)}
+{Sin[a + b*x]^3*Csc[2*a + 2*b*x]^3, x, 3, ArcTanh[Sin[a + b*x]]/(16*b) + (Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(16*b)}
+{Sin[a + b*x]^3*Csc[2*a + 2*b*x]^4, x, 5, -(ArcTanh[Cos[a + b*x]]/(16*b)) + Sec[a + b*x]/(16*b) + Sec[a + b*x]^3/(48*b)}
+{Sin[a + b*x]^3*Csc[2*a + 2*b*x]^5, x, 6, (15*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(256*b) - (15*Csc[a + b*x])/(256*b) + (5*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2)/(256*b) + (Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^4)/(128*b)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Csc[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^8, x, 4, -((256*Cos[a + b*x]^9)/(9*b)) + (768*Cos[a + b*x]^11)/(11*b) - (768*Cos[a + b*x]^13)/(13*b) + (256*Cos[a + b*x]^15)/(15*b)}
+{Csc[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^7, x, 4, (128*Sin[a + b*x]^7)/(7*b) - (128*Sin[a + b*x]^9)/(3*b) + (384*Sin[a + b*x]^11)/(11*b) - (128*Sin[a + b*x]^13)/(13*b)}
+{Csc[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^6, x, 4, -((64*Cos[a + b*x]^7)/(7*b)) + (128*Cos[a + b*x]^9)/(9*b) - (64*Cos[a + b*x]^11)/(11*b)}
+{Csc[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^5, x, 4, (32*Sin[a + b*x]^5)/(5*b) - (64*Sin[a + b*x]^7)/(7*b) + (32*Sin[a + b*x]^9)/(9*b)}
+{Csc[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^4, x, 4, -((16*Cos[a + b*x]^5)/(5*b)) + (16*Cos[a + b*x]^7)/(7*b)}
+{Csc[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^3, x, 4, (8*Sin[a + b*x]^3)/(3*b) - (8*Sin[a + b*x]^5)/(5*b)}
+{Csc[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^2, x, 3, -((4*Cos[a + b*x]^3)/(3*b))}
+{Csc[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^1, x, 2, (2*Sin[a + b*x])/b}
+{Csc[a + b*x]*Csc[2*a + 2*b*x]^1, x, 4, ArcTanh[Sin[a + b*x]]/(2*b) - Csc[a + b*x]/(2*b)}
+{Csc[a + b*x]*Csc[2*a + 2*b*x]^2, x, 5, -((3*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(8*b)) + (3*Sec[a + b*x])/(8*b) - (Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(8*b)}
+{Csc[a + b*x]*Csc[2*a + 2*b*x]^3, x, 6, (5*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(16*b) - (5*Csc[a + b*x])/(16*b) - (5*Csc[a + b*x]^3)/(48*b) + (Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2)/(16*b)}
+{Csc[a + b*x]*Csc[2*a + 2*b*x]^4, x, 7, -((35*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(128*b)) + (35*Sec[a + b*x])/(128*b) + (35*Sec[a + b*x]^3)/(384*b) - (7*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^3)/(128*b) - (Csc[a + b*x]^4*Sec[a + b*x]^3)/(64*b)}
+
+
+{Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^8, x, 9, (5*x)/8 + (5*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(8*b) + (5*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(12*b) + (Cos[a + b*x]^5*Sin[a + b*x])/(3*b) + (2*Cos[a + b*x]^7*Sin[a + b*x])/(7*b) - (16*Cos[a + b*x]^9*Sin[a + b*x])/(7*b) - (160*Cos[a + b*x]^9*Sin[a + b*x]^3)/(21*b) - (128*Cos[a + b*x]^9*Sin[a + b*x]^5)/(7*b)}
+{Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^7, x, 5, -((16*Cos[a + b*x]^8)/b) + (128*Cos[a + b*x]^10)/(5*b) - (32*Cos[a + b*x]^12)/(3*b)}
+{Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^6, x, 7, (3*x)/4 + (3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(4*b) + (Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(2*b) + (2*Cos[a + b*x]^5*Sin[a + b*x])/(5*b) - (12*Cos[a + b*x]^7*Sin[a + b*x])/(5*b) - (32*Cos[a + b*x]^7*Sin[a + b*x]^3)/(5*b)}
+{Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^5, x, 4, -((16*Cos[a + b*x]^6)/(3*b)) + (4*Cos[a + b*x]^8)/b}
+{Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^4, x, 5, x + (Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b + (2*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(3*b) - (8*Cos[a + b*x]^5*Sin[a + b*x])/(3*b)}
+{Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^3, x, 3, -((2*Cos[a + b*x]^4)/b)}
+{Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^2, x, 3, 2*x + (2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b}
+{Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^1, x, 2, (2*Log[Sin[a + b*x]])/b}
+{Csc[a + b*x]^2*Csc[2*a + 2*b*x]^1, x, 4, -(Cot[a + b*x]^2/(4*b)) + Log[Tan[a + b*x]]/(2*b)}
+{Csc[a + b*x]^2*Csc[2*a + 2*b*x]^2, x, 4, -(Cot[a + b*x]/(2*b)) - Cot[a + b*x]^3/(12*b) + Tan[a + b*x]/(4*b)}
+{Csc[a + b*x]^2*Csc[2*a + 2*b*x]^3, x, 5, -((3*Cot[a + b*x]^2)/(16*b)) - Cot[a + b*x]^4/(32*b) + (3*Log[Tan[a + b*x]])/(8*b) + Tan[a + b*x]^2/(16*b)}
+{Csc[a + b*x]^2*Csc[2*a + 2*b*x]^4, x, 4, -((3*Cot[a + b*x])/(8*b)) - Cot[a + b*x]^3/(12*b) - Cot[a + b*x]^5/(80*b) + Tan[a + b*x]/(4*b) + Tan[a + b*x]^3/(48*b)}
+{Csc[a + b*x]^2*Csc[2*a + 2*b*x]^5, x, 5, -((5*Cot[a + b*x]^2)/(32*b)) - (5*Cot[a + b*x]^4)/(128*b) - Cot[a + b*x]^6/(192*b) + (5*Log[Tan[a + b*x]])/(16*b) + (5*Tan[a + b*x]^2)/(64*b) + Tan[a + b*x]^4/(128*b)}
+{Csc[a + b*x]^2*Csc[2*a + 2*b*x]^6, x, 4, -((5*Cot[a + b*x])/(16*b)) - (5*Cot[a + b*x]^3)/(64*b) - (3*Cot[a + b*x]^5)/(160*b) - Cot[a + b*x]^7/(448*b) + (15*Tan[a + b*x])/(64*b) + Tan[a + b*x]^3/(32*b) + Tan[a + b*x]^5/(320*b)}
+
+
+{Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^10, x, 4, -((1024*Cos[a + b*x]^11)/(11*b)) + (3072*Cos[a + b*x]^13)/(13*b) - (1024*Cos[a + b*x]^15)/(5*b) + (1024*Cos[a + b*x]^17)/(17*b)}
+{Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^9, x, 4, (512*Sin[a + b*x]^7)/(7*b) - (2048*Sin[a + b*x]^9)/(9*b) + (3072*Sin[a + b*x]^11)/(11*b) - (2048*Sin[a + b*x]^13)/(13*b) + (512*Sin[a + b*x]^15)/(15*b)}
+{Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^8, x, 4, -((256*Cos[a + b*x]^9)/(9*b)) + (512*Cos[a + b*x]^11)/(11*b) - (256*Cos[a + b*x]^13)/(13*b)}
+{Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^7, x, 4, (128*Sin[a + b*x]^5)/(5*b) - (384*Sin[a + b*x]^7)/(7*b) + (128*Sin[a + b*x]^9)/(3*b) - (128*Sin[a + b*x]^11)/(11*b)}
+{Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^6, x, 4, -((64*Cos[a + b*x]^7)/(7*b)) + (64*Cos[a + b*x]^9)/(9*b)}
+{Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^5, x, 4, (32*Sin[a + b*x]^3)/(3*b) - (64*Sin[a + b*x]^5)/(5*b) + (32*Sin[a + b*x]^7)/(7*b)}
+{Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^4, x, 3, -((16*Cos[a + b*x]^5)/(5*b))}
+{Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^3, x, 3, (8*Sin[a + b*x])/b - (8*Sin[a + b*x]^3)/(3*b)}
+{Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^2, x, 4, -((4*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/b) + (4*Cos[a + b*x])/b}
+{Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^1, x, 3, -((2*Csc[a + b*x])/b)}
+{Csc[a + b*x]^3*Csc[2*a + 2*b*x]^1, x, 5, ArcTanh[Sin[a + b*x]]/(2*b) - Csc[a + b*x]/(2*b) - Csc[a + b*x]^3/(6*b)}
+{Csc[a + b*x]^3*Csc[2*a + 2*b*x]^2, x, 6, -((15*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(32*b)) + (15*Sec[a + b*x])/(32*b) - (5*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(32*b) - (Csc[a + b*x]^4*Sec[a + b*x])/(16*b)}
+{Csc[a + b*x]^3*Csc[2*a + 2*b*x]^3, x, 6, (7*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(16*b) - (7*Csc[a + b*x])/(16*b) - (7*Csc[a + b*x]^3)/(48*b) - (7*Csc[a + b*x]^5)/(80*b) + (Csc[a + b*x]^5*Sec[a + b*x]^2)/(16*b)}
+{Csc[a + b*x]^3*Csc[2*a + 2*b*x]^4, x, 8, -((105*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(256*b)) + (105*Sec[a + b*x])/(256*b) + (35*Sec[a + b*x]^3)/(256*b) - (21*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^3)/(256*b) - (3*Csc[a + b*x]^4*Sec[a + b*x]^3)/(128*b) - (Csc[a + b*x]^6*Sec[a + b*x]^3)/(96*b)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[a+b x]^m Sin[2 a+2 b x]^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2), x, 4, -((5*ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]])/(32*b)) + (5*Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]])/(32*b) - (5*Cos[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(16*b) + (5*Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/(24*b) - (Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2))/(6*b)}
+{Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2), x, 3, -((3*ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]])/(16*b)) - (3*Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]])/(16*b) + (3*Sin[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(8*b) - (Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/(4*b)}
+{Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(1/2), x, 2, -(ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]]/(4*b)) + Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]]/(4*b) - (Cos[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(2*b)}
+{Sin[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^(1/2), x, 1, -(ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]]/(2*b)) - Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]]/(2*b)}
+{Sin[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2), x, 1, Sin[a + b*x]/(b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Sin[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2), x, 2, Sin[a + b*x]/(3*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2)) - (2*Cos[a + b*x])/(3*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Sin[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2), x, 3, Sin[a + b*x]/(5*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2)) - (4*Cos[a + b*x])/(15*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2)) + (8*Sin[a + b*x])/(15*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Sin[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^(9/2), x, 4, Sin[a + b*x]/(7*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2)) - (6*Cos[a + b*x])/(35*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2)) + (8*Sin[a + b*x])/(35*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2)) - (16*Cos[a + b*x])/(35*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+
+
+{Sin[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2), x, 4, (5*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2])/(42*b) - (5*Cos[2*a + 2*b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(42*b) - (Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2))/(14*b) - Sin[2*a + 2*b*x]^(9/2)/(18*b)}
+{Sin[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2), x, 3, (3*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2])/(10*b) - (Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/(10*b) - Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2)/(14*b)}
+{Sin[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2), x, 3, EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]/(6*b) - (Cos[2*a + 2*b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(6*b) - Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2)/(10*b)}
+{Sin[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^(1/2), x, 2, EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]/(2*b) - Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2)/(6*b)}
+{Sin[a + b*x]^2/Sin[2*a + 2*b*x]^(1/2), x, 2, EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]/(2*b) - Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]/(2*b)}
+{Sin[a + b*x]^2/Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2), x, 2, -(EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]/(2*b)) + Sin[a + b*x]^2/(b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Sin[a + b*x]^2/Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2), x, 2, EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]/(6*b) + Sin[a + b*x]^2/(3*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))}
+{Sin[a + b*x]^2/Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2), x, 3, -((3*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2])/(10*b)) + Sin[a + b*x]^2/(5*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2)) - (3*Cos[2*a + 2*b*x])/(10*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+
+
+{Sin[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2), x, 4, -((7*ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]])/(64*b)) - (7*Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]])/(64*b) + (7*Sin[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(32*b) - (7*Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/(48*b) - (Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2))/(12*b)}
+{Sin[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^(1/2), x, 3, -((5*ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]])/(32*b)) + (5*Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]])/(32*b) - (5*Cos[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(16*b) - (Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/(8*b)}
+{Sin[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^(1/2), x, 2, -((3*ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]])/(8*b)) - (3*Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]])/(8*b) - (Sin[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(4*b)}
+{Sin[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2), x, 3, ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]]/(4*b) - Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]]/(4*b) + Sin[a + b*x]/(b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Sin[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2), x, 1, Sin[a + b*x]^3/(3*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))}
+{Sin[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2), x, 2, Sin[a + b*x]^3/(5*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2)) + Sin[a + b*x]/(5*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Sin[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^(9/2), x, 3, Sin[a + b*x]^3/(7*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2)) + (2*Sin[a + b*x])/(21*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2)) - (4*Cos[a + b*x])/(21*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Sin[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^(11/2), x, 4, Sin[a + b*x]^3/(9*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(9/2)) + Sin[a + b*x]/(15*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2)) - (4*Cos[a + b*x])/(45*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2)) + (8*Sin[a + b*x])/(45*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{Csc[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2), x, 5, -((5*ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]])/(16*b)) - (5*Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]])/(16*b) + (5*Sin[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(8*b) - (5*Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/(12*b) + (Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2))/(3*b)}
+{Csc[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2), x, 4, -((3*ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]])/(8*b)) + (3*Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]])/(8*b) - (3*Cos[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(4*b) + (Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/(2*b)}
+{Csc[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2), x, 3, -(ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]]/(2*b)) - Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]]/(2*b) + (Sin[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/b}
+{Csc[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(1/2), x, 2, -(ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]]/b) + Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]]/b}
+{Csc[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^(1/2), x, 1, -((Csc[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/b)}
+{Csc[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2), x, 3, -((2*Cos[a + b*x])/(3*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))) + (4*Sin[a + b*x])/(3*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Csc[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2), x, 4, -((2*Cos[a + b*x])/(5*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2))) + (8*Sin[a + b*x])/(15*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2)) - (16*Cos[a + b*x])/(15*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Csc[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2), x, 5, -((2*Cos[a + b*x])/(7*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2))) + (12*Sin[a + b*x])/(35*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2)) - (16*Cos[a + b*x])/(35*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2)) + (32*Sin[a + b*x])/(35*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+
+
+{Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^(9/2), x, 4, (6*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2])/(5*b) - (2*Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/(5*b) - (2*Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2))/(7*b) + (Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^(11/2))/(7*b)}
+{Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2), x, 4, (2*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2])/(3*b) - (2*Cos[2*a + 2*b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(3*b) - (2*Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2))/(5*b) + (Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^(9/2))/(5*b)}
+{Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2), x, 3, (2*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2])/b - (2*Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/(3*b) + (Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2))/(3*b)}
+{Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2), x, 3, (2*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2])/b - (2*Cos[2*a + 2*b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/b + (Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2))/b}
+{Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^(1/2), x, 2, -((2*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2])/b) - (Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/b}
+{Csc[a + b*x]^2/Sin[2*a + 2*b*x]^(1/2), x, 2, (2*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2])/(3*b) - (Csc[a + b*x]^2*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(3*b)}
+{Csc[a + b*x]^2/Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2), x, 3, -((6*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2])/(5*b)) - (6*Cos[2*a + 2*b*x])/(5*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]) - Csc[a + b*x]^2/(5*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Csc[a + b*x]^2/Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2), x, 3, (10*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2])/(21*b) - (10*Cos[2*a + 2*b*x])/(21*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2)) - Csc[a + b*x]^2/(7*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))}
+{Csc[a + b*x]^2/Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2), x, 4, -((14*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2])/(15*b)) - (14*Cos[2*a + 2*b*x])/(45*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2)) - Csc[a + b*x]^2/(9*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2)) - (14*Cos[2*a + 2*b*x])/(15*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Csc[a + b*x]^2/Sin[2*a + 2*b*x]^(9/2), x, 4, (30*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2])/(77*b) - (18*Cos[2*a + 2*b*x])/(77*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2)) - Csc[a + b*x]^2/(11*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2)) - (30*Cos[2*a + 2*b*x])/(77*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))}
+
+
+{Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^(9/2), x, 7, -((7*ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]])/(8*b)) + (7*Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]])/(8*b) - (7*Cos[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(4*b) + (7*Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/(6*b) - (14*Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2))/(15*b) + (4*Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2))/(5*b) + (Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^(11/2))/(5*b)}
+{Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2), x, 6, -((5*ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]])/(4*b)) - (5*Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]])/(4*b) + (5*Sin[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(2*b) - (5*Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/(3*b) + (4*Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2))/(3*b) + (Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^(9/2))/(3*b)}
+{Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2), x, 5, -((3*ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]])/b) + (3*Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]])/b - (6*Cos[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/b + (4*Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/b + (Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2))/b}
+{Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2), x, 4, (2*ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]])/b + (2*Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]])/b - (4*Sin[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/b - (Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2))/b}
+{Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^(1/2), x, 1, -((Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/(3*b))}
+{Csc[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^(1/2), x, 2, -((4*Csc[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(5*b)) - (Csc[a + b*x]^3*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(5*b)}
+{Csc[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2), x, 4, -((16*Cos[a + b*x])/(21*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))) - Csc[a + b*x]^3/(7*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]) + (32*Sin[a + b*x])/(21*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Csc[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2), x, 5, -((8*Cos[a + b*x])/(15*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2))) - Csc[a + b*x]^3/(9*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2)) + (32*Sin[a + b*x])/(45*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2)) - (64*Cos[a + b*x])/(45*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[a+b x]^m Sin[2 a+2 b x]^n with m symbolic*)
+
+
+{Sin[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^m, x, 2, ((Cos[a + b*x]^2)^((1 - m)/2)*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (4 + m)/2, (6 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^m*Tan[a + b*x])/(b*(4 + m))}
+{Sin[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^m, x, 2, ((Cos[a + b*x]^2)^((1 - m)/2)*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^m*Tan[a + b*x])/(b*(3 + m))}
+{Sin[a + b*x]^1*Sin[2*a + 2*b*x]^m, x, 2, ((Cos[a + b*x]^2)^((1 - m)/2)*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^m*Tan[a + b*x])/(b*(2 + m))}
+{Csc[a + b*x]^1*Sin[2*a + 2*b*x]^m, x, 2, ((Cos[a + b*x]^2)^((1 - m)/2)*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, m/2, (2 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*Sec[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^m)/(b*m)}
+{Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^m, x, 2, -(((Cos[a + b*x]^2)^((1 - m)/2)*Csc[a + b*x]*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (1/2)*(-1 + m), (1 + m)/2, Sin[a + b*x]^2]*Sec[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^m)/(b*(1 - m)))}
+{Csc[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^m, x, 2, -(((Cos[a + b*x]^2)^((1 - m)/2)*Csc[a + b*x]^2*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (1/2)*(-2 + m), m/2, Sin[a + b*x]^2]*Sec[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^m)/(b*(2 - m)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[a+b x]^m Sin[2 a+2 b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[a+b x]^m Sin[2 a+2 b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^7, x, 4, -((128*Cos[a + b*x]^9)/(9*b)) + (384*Cos[a + b*x]^11)/(11*b) - (384*Cos[a + b*x]^13)/(13*b) + (128*Cos[a + b*x]^15)/(15*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^6, x, 4, (64*Sin[a + b*x]^7)/(7*b) - (64*Sin[a + b*x]^9)/(3*b) + (192*Sin[a + b*x]^11)/(11*b) - (64*Sin[a + b*x]^13)/(13*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^5, x, 4, -((32*Cos[a + b*x]^7)/(7*b)) + (64*Cos[a + b*x]^9)/(9*b) - (32*Cos[a + b*x]^11)/(11*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^4, x, 4, (16*Sin[a + b*x]^5)/(5*b) - (32*Sin[a + b*x]^7)/(7*b) + (16*Sin[a + b*x]^9)/(9*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^3, x, 4, -((8*Cos[a + b*x]^5)/(5*b)) + (8*Cos[a + b*x]^7)/(7*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^2, x, 4, (4*Sin[a + b*x]^3)/(3*b) - (4*Sin[a + b*x]^5)/(5*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^1, x, 1, -(Cos[a + b*x]/(2*b)) - Cos[3*a + 3*b*x]/(6*b)}
+{Cos[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^1, x, 2, -(ArcTanh[Cos[a + b*x]]/(2*b))}
+{Cos[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^2, x, 4, ArcTanh[Sin[a + b*x]]/(4*b) - Csc[a + b*x]/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^3, x, 5, -((3*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(16*b)) + (3*Sec[a + b*x])/(16*b) - (Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(16*b)}
+{Cos[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^4, x, 6, (5*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(32*b) - (5*Csc[a + b*x])/(32*b) - (5*Csc[a + b*x]^3)/(96*b) + (Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2)/(32*b)}
+{Cos[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^5, x, 7, -((35*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(256*b)) + (35*Sec[a + b*x])/(256*b) + (35*Sec[a + b*x]^3)/(768*b) - (7*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^3)/(256*b) - (Csc[a + b*x]^4*Sec[a + b*x]^3)/(128*b)}
+
+
+{Cos[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^5, x, 5, -((4*Cos[a + b*x]^8)/b) + (32*Cos[a + b*x]^10)/(5*b) - (8*Cos[a + b*x]^12)/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^4, x, 6, (3*x)/16 - (3*Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(32*b) - (Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^3)/(16*b) + Sin[2*a + 2*b*x]^5/(20*b)}
+{Cos[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^3, x, 4, -((4*Cos[a + b*x]^6)/(3*b)) + Cos[a + b*x]^8/b}
+{Cos[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^2, x, 5, x/4 - (Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(8*b) + Sin[2*a + 2*b*x]^3/(12*b)}
+{Cos[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^1, x, 3, -(Cos[a + b*x]^4/(2*b))}
+{Cos[a + b*x]^2/Sin[2*a + 2*b*x]^1, x, 2, Log[Sin[a + b*x]]/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]^2/Sin[2*a + 2*b*x]^2, x, 3, -(Cot[a + b*x]/(4*b))}
+{Cos[a + b*x]^2/Sin[2*a + 2*b*x]^3, x, 4, -(Cot[a + b*x]^2/(16*b)) + Log[Tan[a + b*x]]/(8*b)}
+{Cos[a + b*x]^2/Sin[2*a + 2*b*x]^4, x, 4, -(Cot[a + b*x]/(8*b)) - Cot[a + b*x]^3/(48*b) + Tan[a + b*x]/(16*b)}
+{Cos[a + b*x]^2/Sin[2*a + 2*b*x]^5, x, 5, -((3*Cot[a + b*x]^2)/(64*b)) - Cot[a + b*x]^4/(128*b) + (3*Log[Tan[a + b*x]])/(32*b) + Tan[a + b*x]^2/(64*b)}
+
+
+{Cos[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^5, x, 4, -((32*Cos[a + b*x]^9)/(9*b)) + (64*Cos[a + b*x]^11)/(11*b) - (32*Cos[a + b*x]^13)/(13*b)}
+{Cos[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^4, x, 4, (16*Sin[a + b*x]^5)/(5*b) - (48*Sin[a + b*x]^7)/(7*b) + (16*Sin[a + b*x]^9)/(3*b) - (16*Sin[a + b*x]^11)/(11*b)}
+{Cos[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^3, x, 4, -((8*Cos[a + b*x]^7)/(7*b)) + (8*Cos[a + b*x]^9)/(9*b)}
+{Cos[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^2, x, 4, (4*Sin[a + b*x]^3)/(3*b) - (8*Sin[a + b*x]^5)/(5*b) + (4*Sin[a + b*x]^7)/(7*b)}
+{Cos[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^1, x, 3, -((2*Cos[a + b*x]^5)/(5*b))}
+{Cos[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^1, x, 4, -(ArcTanh[Cos[a + b*x]]/(2*b)) + Cos[a + b*x]/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^2, x, 3, -(Csc[a + b*x]/(4*b))}
+{Cos[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^3, x, 3, -(ArcTanh[Cos[a + b*x]]/(16*b)) - (Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(16*b)}
+{Cos[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^4, x, 5, ArcTanh[Sin[a + b*x]]/(16*b) - Csc[a + b*x]/(16*b) - Csc[a + b*x]^3/(48*b)}
+{Cos[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^5, x, 6, -((15*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(256*b)) + (15*Sec[a + b*x])/(256*b) - (5*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(256*b) - (Csc[a + b*x]^4*Sec[a + b*x])/(128*b)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[a+b x]^m Sin[2 a+2 b x]^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2), x, 4, -((5*ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]])/(32*b)) - (5*Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]])/(32*b) + (5*Sin[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(16*b) - (5*Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/(24*b) + (Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2))/(6*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2), x, 3, -((3*ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]])/(16*b)) + (3*Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]])/(16*b) - (3*Cos[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(8*b) + (Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(1/2), x, 2, -(ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]]/(4*b)) - Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]]/(4*b) + (Sin[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^(1/2), x, 1, -(ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]]/(2*b)) + Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]]/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2), x, 1, -(Cos[a + b*x]/(b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]))}
+{Cos[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2), x, 2, -(Cos[a + b*x]/(3*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))) + (2*Sin[a + b*x])/(3*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Cos[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2), x, 3, -(Cos[a + b*x]/(5*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2))) + (4*Sin[a + b*x])/(15*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2)) - (8*Cos[a + b*x])/(15*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Cos[a + b*x]/Sin[2*a + 2*b*x]^(9/2), x, 4, -(Cos[a + b*x]/(7*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2))) + (6*Sin[a + b*x])/(35*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2)) - (8*Cos[a + b*x])/(35*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2)) + (16*Sin[a + b*x])/(35*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+
+
+{Cos[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2), x, 4, (5*EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2])/(42*b) - (5*Cos[2*a + 2*b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(42*b) - (Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2))/(14*b) + Sin[2*a + 2*b*x]^(9/2)/(18*b)}
+{Cos[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2), x, 3, (3*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2])/(10*b) - (Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/(10*b) + Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2)/(14*b)}
+{Cos[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2), x, 3, EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]/(6*b) - (Cos[2*a + 2*b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(6*b) + Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2)/(10*b)}
+{Cos[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^(1/2), x, 2, EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]/(2*b) + Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2)/(6*b)}
+{Cos[a + b*x]^2/Sin[2*a + 2*b*x]^(1/2), x, 2, EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]/(2*b) + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]^2/Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2), x, 2, -(EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2]/(2*b)) - Cos[a + b*x]^2/(b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Cos[a + b*x]^2/Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2), x, 2, EllipticF[a - Pi/4 + b*x, 2]/(6*b) - Cos[a + b*x]^2/(3*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))}
+{Cos[a + b*x]^2/Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2), x, 3, -((3*EllipticE[a - Pi/4 + b*x, 2])/(10*b)) - Cos[a + b*x]^2/(5*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2)) - (3*Cos[2*a + 2*b*x])/(10*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+
+
+{Cos[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2), x, 4, -((7*ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]])/(64*b)) + (7*Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]])/(64*b) - (7*Cos[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(32*b) + (7*Sin[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/(48*b) + (Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2))/(12*b)}
+{Cos[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^(1/2), x, 3, -((5*ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]])/(32*b)) - (5*Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]])/(32*b) + (5*Sin[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(16*b) + (Cos[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2))/(8*b)}
+{Cos[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^(1/2), x, 2, -((3*ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]])/(8*b)) + (3*Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]])/(8*b) + (Cos[a + b*x]*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2), x, 3, ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*x]]/(4*b) + Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]]]/(4*b) - Cos[a + b*x]/(b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Cos[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2), x, 1, -(Cos[a + b*x]^3/(3*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2)))}
+{Cos[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2), x, 2, -(Cos[a + b*x]^3/(5*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2))) - Cos[a + b*x]/(5*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Cos[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^(9/2), x, 3, -(Cos[a + b*x]^3/(7*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(7/2))) - (2*Cos[a + b*x])/(21*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2)) + (4*Sin[a + b*x])/(21*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+{Cos[a + b*x]^3/Sin[2*a + 2*b*x]^(11/2), x, 4, -(Cos[a + b*x]^3/(9*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(9/2))) - Cos[a + b*x]/(15*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(5/2)) + (4*Sin[a + b*x])/(45*b*Sin[2*a + 2*b*x]^(3/2)) - (8*Cos[a + b*x])/(45*b*Sqrt[Sin[2*a + 2*b*x]])}
+
+
+(* 2*Cos[x]/Sqrt[Sin[2*x]] == Csc[x]*Sqrt[Sin[2*x]] *) 
+{Cos[x]/Sqrt[Sin[2*x]], x, 1, (-(1/2))*ArcSin[Cos[x] - Sin[x]] + (1/2)*Log[Cos[x] + Sin[x] + Sqrt[Sin[2*x]]]}
+{Csc[x]*Sqrt[Sin[2*x]], x, 2, -ArcSin[Cos[x] - Sin[x]] + Log[Cos[x] + Sin[x] + Sqrt[Sin[2*x]]]}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[a+b x]^m Sin[2 a+2 b x]^n with m symbolic*)
+
+
+{Cos[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^m, x, 2, -((1/(b*(4 + m)))*(Cos[a + b*x]^3*Cot[a + b*x]*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (4 + m)/2, (6 + m)/2, Cos[a + b*x]^2]*(Sin[a + b*x]^2)^((1 - m)/2)*Sin[2*a + 2*b*x]^m))}
+{Cos[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^m, x, 2, -((1/(b*(3 + m)))*(Cos[a + b*x]^2*Cot[a + b*x]*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, Cos[a + b*x]^2]*(Sin[a + b*x]^2)^((1 - m)/2)*Sin[2*a + 2*b*x]^m))}
+{Cos[a + b*x]^1*Sin[2*a + 2*b*x]^m, x, 2, -((1/(b*(2 + m)))*(Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x]*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, Cos[a + b*x]^2]*(Sin[a + b*x]^2)^((1 - m)/2)*Sin[2*a + 2*b*x]^m))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[a+b x]^m Sin[a+b x]^n Sin[2 a+2 b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[a+b x]^m Sin[a+b x]^n Sin[2 a+2 b x]^p*)
+
+
+{Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^2, x, 4, -((4*Cos[a + b*x]^5)/(5*b)) + (8*Cos[a + b*x]^7)/(7*b) - (4*Cos[a + b*x]^9)/(9*b)}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cos[a+b x]^m Sin[a+b x]^n Sin[2 a+2 b x]^(p/2)*)
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form Trig[a+b x]^m Trig[c+d x]^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[a+b x]^m Trig[c+d x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[a+b x]^m Sin[c+d x]^n*)
+
+
+{Sin[a + b*x]*Sin[c + d*x]^n, x, 10, -((2^(-1 - n)*E^(I*(a - c*n) + I*(b - d*n)*x + I*n*(c + d*x))*(I/E^(I*(c + d*x)) - I*E^(I*(c + d*x)))^n*Hypergeometric2F1[-n, (b - d*n)/(2*d), (1/2)*(2 + b/d - n), E^(2*I*(c + d*x))])/((1 - E^(2*I*c + 2*I*d*x))^n*(b - d*n))) - (2^(-1 - n)*E^((-I)*(a + c*n) - I*(b + d*n)*x + I*n*(c + d*x))*(I/E^(I*(c + d*x)) - I*E^(I*(c + d*x)))^n*Hypergeometric2F1[-n, -((b + d*n)/(2*d)), 1 - (b + d*n)/(2*d), E^(2*I*(c + d*x))])/((1 - E^(2*I*c + 2*I*d*x))^n*(b + d*n))}
+
+{Sin[a + b*x]*Sin[c + d*x]^3, x, 6, -(Sin[a - 3*c + (b - 3*d)*x]/(8*(b - 3*d))) + (3*Sin[a - c + (b - d)*x])/(8*(b - d)) - (3*Sin[a + c + (b + d)*x])/(8*(b + d)) + Sin[a + 3*c + (b + 3*d)*x]/(8*(b + 3*d))}
+{Sin[a + b*x]*Sin[c + d*x]^2, x, 5, -(Cos[a + b*x]/(2*b)) + Cos[a - 2*c + (b - 2*d)*x]/(4*(b - 2*d)) + Cos[a + 2*c + (b + 2*d)*x]/(4*(b + 2*d))}
+{Sin[a + b*x]*Sin[c + d*x]^1, x, 4, Sin[a - c + (b - d)*x]/(2*(b - d)) - Sin[a + c + (b + d)*x]/(2*(b + d))}
+{Sin[a + b*x]*Csc[c + b*x]^1, x, 3, x*Cos[a - c] + (Log[Sin[c + b*x]]*Sin[a - c])/b}
+{Sin[a + b*x]*Csc[c + b*x]^2, x, 4, -((ArcTanh[Cos[c + b*x]]*Cos[a - c])/b) - (Csc[c + b*x]*Sin[a - c])/b}
+{Sin[a + b*x]*Csc[c + b*x]^3, x, 5, -((Cos[a - c]*Cot[c + b*x])/b) - (Csc[c + b*x]^2*Sin[a - c])/(2*b)}
+{Sin[a + b*x]*Csc[c + b*x]^4, x, 5, -((ArcTanh[Cos[c + b*x]]*Cos[a - c])/(2*b)) - (Cos[a - c]*Cot[c + b*x]*Csc[c + b*x])/(2*b) - (Csc[c + b*x]^3*Sin[a - c])/(3*b)}
+{Sin[a + b*x]*Csc[c + b*x]^5, x, 5, -((Cos[a - c]*Cot[c + b*x])/b) - (Cos[a - c]*Cot[c + b*x]^3)/(3*b) - (Csc[c + b*x]^4*Sin[a - c])/(4*b)}
+{Sin[a + b*x]*Csc[c + b*x]^6, x, 6, -((3*ArcTanh[Cos[c + b*x]]*Cos[a - c])/(8*b)) - (3*Cos[a - c]*Cot[c + b*x]*Csc[c + b*x])/(8*b) - (Cos[a - c]*Cot[c + b*x]*Csc[c + b*x]^3)/(4*b) - (Csc[c + b*x]^5*Sin[a - c])/(5*b)}
+
+
+{Sin[a + b*x]^2*Sin[c + d*x]^n, x, 15, -((I*2^(-2 - n)*E^((-I)*(2*a + c*n) - I*(2*b + d*n)*x + I*n*(c + d*x))*(I/E^(I*(c + d*x)) - I*E^(I*(c + d*x)))^n*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-((2*b)/d) - n), -n, (1/2)*(2 - (2*b)/d - n), E^(2*I*(c + d*x))])/((1 - E^(2*I*c + 2*I*d*x))^n*(2*b + d*n))) + (I*2^(-2 - n)*E^(I*(2*a - c*n) + I*(2*b - d*n)*x + I*n*(c + d*x))*(I/E^(I*(c + d*x)) - I*E^(I*(c + d*x)))^n*Hypergeometric2F1[(1/2)*((2*b)/d - n), -n, (1/2)*(2 + (2*b)/d - n), E^(2*I*(c + d*x))])/((1 - E^(2*I*c + 2*I*d*x))^n*(2*b - d*n)) + (I*2^(-1 - n)*(I/E^(I*(c + d*x)) - I*E^(I*(c + d*x)))^n*Hypergeometric2F1[-n, -(n/2), 1 - n/2, E^(2*I*(c + d*x))])/((1 - E^(2*I*(c + d*x)))^n*(d*n))}
+
+{Sin[a + b*x]^2*Sin[c + d*x]^1, x, 5, -(Cos[2*a - c + (2*b - d)*x]/(4*(2*b - d))) - Cos[c + d*x]/(2*d) + Cos[2*a + c + (2*b + d)*x]/(4*(2*b + d))}
+{Sin[a + b*x]^2*Sin[c + d*x]^2, x, 6, x/4 - Sin[2*a + 2*b*x]/(8*b) + Sin[2*(a - c) + 2*(b - d)*x]/(16*(b - d)) - Sin[2*c + 2*d*x]/(8*d) + Sin[2*(a + c) + 2*(b + d)*x]/(16*(b + d))}
+{Sin[a + b*x]^2*Sin[c + d*x]^3, x, 8, Cos[2*a - 3*c + (2*b - 3*d)*x]/(16*(2*b - 3*d)) - (3*Cos[2*a - c + (2*b - d)*x])/(16*(2*b - d)) - (3*Cos[c + d*x])/(8*d) + Cos[3*c + 3*d*x]/(24*d) + (3*Cos[2*a + c + (2*b + d)*x])/(16*(2*b + d)) - Cos[2*a + 3*c + (2*b + 3*d)*x]/(16*(2*b + 3*d))}
+
+
+{Sin[a + b*x]^3*Sin[c + d*x]^n, x, 18, (2^(-3 - n)*E^(I*(3*a - c*n) + I*(3*b - d*n)*x + I*n*(c + d*x))*(I/E^(I*(c + d*x)) - I*E^(I*(c + d*x)))^n*Hypergeometric2F1[(1/2)*((3*b)/d - n), -n, (1/2)*(2 + (3*b)/d - n), E^(2*I*(c + d*x))])/((1 - E^(2*I*c + 2*I*d*x))^n*(3*b - d*n)) - (3*2^(-3 - n)*E^(I*(a - c*n) + I*(b - d*n)*x + I*n*(c + d*x))*(I/E^(I*(c + d*x)) - I*E^(I*(c + d*x)))^n*Hypergeometric2F1[-n, (b - d*n)/(2*d), (1/2)*(2 + b/d - n), E^(2*I*(c + d*x))])/((1 - E^(2*I*c + 2*I*d*x))^n*(b - d*n)) - (3*2^(-3 - n)*E^((-I)*(a + c*n) - I*(b + d*n)*x + I*n*(c + d*x))*(I/E^(I*(c + d*x)) - I*E^(I*(c + d*x)))^n*Hypergeometric2F1[-n, -((b + d*n)/(2*d)), 1 - (b + d*n)/(2*d), E^(2*I*(c + d*x))])/((1 - E^(2*I*c + 2*I*d*x))^n*(b + d*n)) + (2^(-3 - n)*E^((-I)*(3*a + c*n) - I*(3*b + d*n)*x + I*n*(c + d*x))*(I/E^(I*(c + d*x)) - I*E^(I*(c + d*x)))^n*Hypergeometric2F1[-n, -((3*b + d*n)/(2*d)), (1/2)*(2 - (3*b)/d - n), E^(2*I*(c + d*x))])/((1 - E^(2*I*c + 2*I*d*x))^n*(3*b + d*n))}
+
+{Sin[a + b*x]^3*Sin[c + d*x]^1, x, 6, (3*Sin[a - c + (b - d)*x])/(8*(b - d)) - Sin[3*a - c + (3*b - d)*x]/(8*(3*b - d)) - (3*Sin[a + c + (b + d)*x])/(8*(b + d)) + Sin[3*a + c + (3*b + d)*x]/(8*(3*b + d))}
+{Sin[a + b*x]^3*Sin[c + d*x]^2, x, 8, -((3*Cos[a + b*x])/(8*b)) + Cos[3*a + 3*b*x]/(24*b) + (3*Cos[a - 2*c + (b - 2*d)*x])/(16*(b - 2*d)) - Cos[3*a - 2*c + (3*b - 2*d)*x]/(16*(3*b - 2*d)) + (3*Cos[a + 2*c + (b + 2*d)*x])/(16*(b + 2*d)) - Cos[3*a + 2*c + (3*b + 2*d)*x]/(16*(3*b + 2*d))}
+{Sin[a + b*x]^3*Sin[c + d*x]^3, x, 10, -((3*Sin[a - 3*c + (b - 3*d)*x])/(32*(b - 3*d))) + (9*Sin[a - c + (b - d)*x])/(32*(b - d)) + Sin[3*(a - c) + 3*(b - d)*x]/(96*(b - d)) - (3*Sin[3*a - c + (3*b - d)*x])/(32*(3*b - d)) - (9*Sin[a + c + (b + d)*x])/(32*(b + d)) - Sin[3*(a + c) + 3*(b + d)*x]/(96*(b + d)) + (3*Sin[3*a + c + (3*b + d)*x])/(32*(3*b + d)) + (3*Sin[a + 3*c + (b + 3*d)*x])/(32*(b + 3*d))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[a+b x]^m Cos[c+d x]^n*)
+
+
+{Sin[a + b*x]*Cos[c + d*x]^n, x, 8, -((2^(-1 - n)*E^(I*(a - c*n) + I*(b - d*n)*x + I*n*(c + d*x))*(E^((-I)*(c + d*x)) + E^(I*(c + d*x)))^n*Hypergeometric2F1[-n, (b - d*n)/(2*d), (1/2)*(2 + b/d - n), -E^(2*I*(c + d*x))])/((1 + E^(2*I*c + 2*I*d*x))^n*(b - d*n))) - (2^(-1 - n)*E^((-I)*(a + c*n) - I*(b + d*n)*x + I*n*(c + d*x))*(E^((-I)*(c + d*x)) + E^(I*(c + d*x)))^n*Hypergeometric2F1[-n, -((b + d*n)/(2*d)), 1 - (b + d*n)/(2*d), -E^(2*I*(c + d*x))])/((1 + E^(2*I*c + 2*I*d*x))^n*(b + d*n))}
+
+{Sin[a + b*x]*Cos[c + d*x]^3, x, 6, -(Cos[a - 3*c + (b - 3*d)*x]/(8*(b - 3*d))) - (3*Cos[a - c + (b - d)*x])/(8*(b - d)) - (3*Cos[a + c + (b + d)*x])/(8*(b + d)) - Cos[a + 3*c + (b + 3*d)*x]/(8*(b + 3*d))}
+{Sin[a + b*x]*Cos[c + d*x]^2, x, 5, -(Cos[a + b*x]/(2*b)) - Cos[a - 2*c + (b - 2*d)*x]/(4*(b - 2*d)) - Cos[a + 2*c + (b + 2*d)*x]/(4*(b + 2*d))}
+{Sin[a + b*x]*Cos[c + d*x]^1, x, 4, -(Cos[a - c + (b - d)*x]/(2*(b - d))) - Cos[a + c + (b + d)*x]/(2*(b + d))}
+{Sin[a + b*x]*Sec[c + b*x]^1, x, 3, -((Cos[a - c]*Log[Cos[c + b*x]])/b) + x*Sin[a - c]}
+{Sin[a + b*x]*Sec[c + b*x]^2, x, 4, (Cos[a - c]*Sec[c + b*x])/b + (ArcTanh[Sin[c + b*x]]*Sin[a - c])/b}
+{Sin[a + b*x]*Sec[c + b*x]^3, x, 5, (Cos[a - c]*Sec[c + b*x]^2)/(2*b) + (Sin[a - c]*Tan[c + b*x])/b}
+{Sin[a + b*x]*Sec[c + b*x]^4, x, 5, (Cos[a - c]*Sec[c + b*x]^3)/(3*b) + (ArcTanh[Sin[c + b*x]]*Sin[a - c])/(2*b) + (Sec[c + b*x]*Sin[a - c]*Tan[c + b*x])/(2*b)}
+{Sin[a + b*x]*Sec[c + b*x]^5, x, 5, (Cos[a - c]*Sec[c + b*x]^4)/(4*b) + (Sin[a - c]*Tan[c + b*x])/b + (Sin[a - c]*Tan[c + b*x]^3)/(3*b)}
+{Sin[a + b*x]*Sec[c + b*x]^6, x, 6, (Cos[a - c]*Sec[c + b*x]^5)/(5*b) + (3*ArcTanh[Sin[c + b*x]]*Sin[a - c])/(8*b) + (3*Sec[c + b*x]*Sin[a - c]*Tan[c + b*x])/(8*b) + (Sec[c + b*x]^3*Sin[a - c]*Tan[c + b*x])/(4*b)}
+
+
+{Sin[a + b*x]^2*Cos[c + d*x]^n, x, 11, -((I*2^(-2 - n)*E^((-I)*(2*a + c*n) - I*(2*b + d*n)*x + I*n*(c + d*x))*(E^((-I)*(c + d*x)) + E^(I*(c + d*x)))^n*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-((2*b)/d) - n), -n, (1/2)*(2 - (2*b)/d - n), -E^(2*I*(c + d*x))])/((1 + E^(2*I*c + 2*I*d*x))^n*(2*b + d*n))) + (I*2^(-2 - n)*E^(I*(2*a - c*n) + I*(2*b - d*n)*x + I*n*(c + d*x))*(E^((-I)*(c + d*x)) + E^(I*(c + d*x)))^n*Hypergeometric2F1[(1/2)*((2*b)/d - n), -n, (1/2)*(2 + (2*b)/d - n), -E^(2*I*(c + d*x))])/((1 + E^(2*I*c + 2*I*d*x))^n*(2*b - d*n)) + (I*2^(-1 - n)*(E^((-I)*(c + d*x)) + E^(I*(c + d*x)))^n*Hypergeometric2F1[-n, -(n/2), 1 - n/2, -E^(2*I*(c + d*x))])/((1 + E^(2*I*(c + d*x)))^n*(d*n))}
+
+{Sin[a + b*x]^2*Cos[c + d*x]^1, x, 5, -(Sin[2*a - c + (2*b - d)*x]/(4*(2*b - d))) + Sin[c + d*x]/(2*d) - Sin[2*a + c + (2*b + d)*x]/(4*(2*b + d))}
+{Sin[a + b*x]^2*Cos[c + d*x]^2, x, 6, x/4 - Sin[2*a + 2*b*x]/(8*b) - Sin[2*(a - c) + 2*(b - d)*x]/(16*(b - d)) + Sin[2*c + 2*d*x]/(8*d) - Sin[2*(a + c) + 2*(b + d)*x]/(16*(b + d))}
+{Sin[a + b*x]^2*Cos[c + d*x]^3, x, 8, -(Sin[2*a - 3*c + (2*b - 3*d)*x]/(16*(2*b - 3*d))) - (3*Sin[2*a - c + (2*b - d)*x])/(16*(2*b - d)) + (3*Sin[c + d*x])/(8*d) + Sin[3*c + 3*d*x]/(24*d) - (3*Sin[2*a + c + (2*b + d)*x])/(16*(2*b + d)) - Sin[2*a + 3*c + (2*b + 3*d)*x]/(16*(2*b + 3*d))}
+
+
+{Sin[a + b*x]^3*Cos[c + d*x]^n, x, 14, (2^(-3 - n)*E^(I*(3*a - c*n) + I*(3*b - d*n)*x + I*n*(c + d*x))*(E^((-I)*(c + d*x)) + E^(I*(c + d*x)))^n*Hypergeometric2F1[(1/2)*((3*b)/d - n), -n, (1/2)*(2 + (3*b)/d - n), -E^(2*I*(c + d*x))])/((1 + E^(2*I*c + 2*I*d*x))^n*(3*b - d*n)) - (3*2^(-3 - n)*E^(I*(a - c*n) + I*(b - d*n)*x + I*n*(c + d*x))*(E^((-I)*(c + d*x)) + E^(I*(c + d*x)))^n*Hypergeometric2F1[-n, (b - d*n)/(2*d), (1/2)*(2 + b/d - n), -E^(2*I*(c + d*x))])/((1 + E^(2*I*c + 2*I*d*x))^n*(b - d*n)) - (3*2^(-3 - n)*E^((-I)*(a + c*n) - I*(b + d*n)*x + I*n*(c + d*x))*(E^((-I)*(c + d*x)) + E^(I*(c + d*x)))^n*Hypergeometric2F1[-n, -((b + d*n)/(2*d)), 1 - (b + d*n)/(2*d), -E^(2*I*(c + d*x))])/((1 + E^(2*I*c + 2*I*d*x))^n*(b + d*n)) + (2^(-3 - n)*E^((-I)*(3*a + c*n) - I*(3*b + d*n)*x + I*n*(c + d*x))*(E^((-I)*(c + d*x)) + E^(I*(c + d*x)))^n*Hypergeometric2F1[-n, -((3*b + d*n)/(2*d)), (1/2)*(2 - (3*b)/d - n), -E^(2*I*(c + d*x))])/((1 + E^(2*I*c + 2*I*d*x))^n*(3*b + d*n))}
+
+{Sin[a + b*x]^3*Cos[c + d*x]^1, x, 6, -((3*Cos[a - c + (b - d)*x])/(8*(b - d))) + Cos[3*a - c + (3*b - d)*x]/(8*(3*b - d)) - (3*Cos[a + c + (b + d)*x])/(8*(b + d)) + Cos[3*a + c + (3*b + d)*x]/(8*(3*b + d))}
+{Sin[a + b*x]^3*Cos[c + d*x]^2, x, 8, -((3*Cos[a + b*x])/(8*b)) + Cos[3*a + 3*b*x]/(24*b) - (3*Cos[a - 2*c + (b - 2*d)*x])/(16*(b - 2*d)) + Cos[3*a - 2*c + (3*b - 2*d)*x]/(16*(3*b - 2*d)) - (3*Cos[a + 2*c + (b + 2*d)*x])/(16*(b + 2*d)) + Cos[3*a + 2*c + (3*b + 2*d)*x]/(16*(3*b + 2*d))}
+{Sin[a + b*x]^3*Cos[c + d*x]^3, x, 10, -((3*Cos[a - 3*c + (b - 3*d)*x])/(32*(b - 3*d))) - (9*Cos[a - c + (b - d)*x])/(32*(b - d)) + Cos[3*(a - c) + 3*(b - d)*x]/(96*(b - d)) + (3*Cos[3*a - c + (3*b - d)*x])/(32*(3*b - d)) - (9*Cos[a + c + (b + d)*x])/(32*(b + d)) + Cos[3*(a + c) + 3*(b + d)*x]/(96*(b + d)) + (3*Cos[3*a + c + (3*b + d)*x])/(32*(3*b + d)) - (3*Cos[a + 3*c + (b + 3*d)*x])/(32*(b + 3*d))}
+
+
+{Cos[a + b*x]/Sin[c + b*x]^1, x, 3, (Cos[a - c]*Log[Sin[c + b*x]])/b - x*Sin[a - c]}
+{Cos[a + b*x]/Sin[c + b*x]^2, x, 4, -((Cos[a - c]*Csc[c + b*x])/b) + (ArcTanh[Cos[c + b*x]]*Sin[a - c])/b}
+{Cos[a + b*x]/Sin[c + b*x]^3, x, 5, -((Cos[a - c]*Csc[c + b*x]^2)/(2*b)) + (Cot[c + b*x]*Sin[a - c])/b}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[a+b x]^m Tan[c+d x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sin[a + b*x]*Tan[c + b*x]^3, x, 9, -((3*ArcTanh[Sin[c + b*x]]*Cos[a - c])/(2*b)) + (Sec[c + b*x]*Sin[a - c])/b + Sin[a + b*x]/b + (Cos[a - c]*Sec[c + b*x]*Tan[c + b*x])/(2*b)}
+{Sin[a + b*x]*Tan[c + b*x]^2, x, 6, Cos[a + b*x]/b + (Cos[a - c]*Sec[c + b*x])/b + (ArcTanh[Sin[c + b*x]]*Sin[a - c])/b}
+{Sin[a + b*x]*Tan[c + b*x]^1, x, 3, (ArcTanh[Sin[c + b*x]]*Cos[a - c])/b - Sin[a + b*x]/b}
+{Sin[a + b*x]*Cot[c + b*x]^1, x, 3, -((ArcTanh[Cos[c + b*x]]*Sin[a - c])/b) + Sin[a + b*x]/b}
+{Sin[a + b*x]*Cot[c + b*x]^2, x, 6, -((ArcTanh[Cos[c + b*x]]*Cos[a - c])/b) + Cos[a + b*x]/b - (Csc[c + b*x]*Sin[a - c])/b}
+{Sin[a + b*x]*Cot[c + b*x]^3, x, 9, -((Cos[a - c]*Csc[c + b*x])/b) + (3*ArcTanh[Cos[c + b*x]]*Sin[a - c])/(2*b) - (Cot[c + b*x]*Csc[c + b*x]*Sin[a - c])/(2*b) - Sin[a + b*x]/b}
+
+
+{Sin[a + b*x]*Tan[c + d*x], x, 6, I/(E^(I*(a + b*x))*(2*b)) + (I*E^(I*(a + b*x)))/(2*b) - (I*Hypergeometric2F1[1, -(b/(2*d)), 1 - b/(2*d), -E^(2*I*(c + d*x))])/(E^(I*(a + b*x))*b) - (I*E^(I*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, b/(2*d), 1 + b/(2*d), -E^(2*I*(c + d*x))])/b}
+{Sin[a + b*x]*Cot[c + d*x], x, 6, -(I/(E^(I*(a + b*x))*(2*b))) - (I*E^(I*(a + b*x)))/(2*b) + (I*Hypergeometric2F1[1, -(b/(2*d)), 1 - b/(2*d), E^(2*I*(c + d*x))])/(E^(I*(a + b*x))*b) + (I*E^(I*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, b/(2*d), 1 + b/(2*d), E^(2*I*(c + d*x))])/b}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m<0*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[a+b x]^m Trig[c+d x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[a+b x]^m Cos[c+d x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[a + b*x]*Cos[c + d*x]^3, x, 6, Sin[a - 3*c + (b - 3*d)*x]/(8*(b - 3*d)) + (3*Sin[a - c + (b - d)*x])/(8*(b - d)) + (3*Sin[a + c + (b + d)*x])/(8*(b + d)) + Sin[a + 3*c + (b + 3*d)*x]/(8*(b + 3*d))}
+{Cos[a + b*x]*Cos[c + d*x]^2, x, 5, Sin[a + b*x]/(2*b) + Sin[a - 2*c + (b - 2*d)*x]/(4*(b - 2*d)) + Sin[a + 2*c + (b + 2*d)*x]/(4*(b + 2*d))}
+{Cos[a + b*x]*Cos[c + d*x]^1, x, 4, Sin[a - c + (b - d)*x]/(2*(b - d)) + Sin[a + c + (b + d)*x]/(2*(b + d))}
+{Cos[a + b*x]*Sec[c + b*x]^1, x, 3, x*Cos[a - c] + (Log[Cos[c + b*x]]*Sin[a - c])/b}
+{Cos[a + b*x]*Sec[c + b*x]^2, x, 4, (ArcTanh[Sin[c + b*x]]*Cos[a - c])/b - (Sec[c + b*x]*Sin[a - c])/b}
+{Cos[a + b*x]*Sec[c + b*x]^3, x, 5, -((Sec[c + b*x]^2*Sin[a - c])/(2*b)) + (Cos[a - c]*Tan[c + b*x])/b}
+
+
+{Cos[a + b*x]^2*Cos[c + d*x]^3, x, 8, Sin[2*a - 3*c + (2*b - 3*d)*x]/(16*(2*b - 3*d)) + (3*Sin[2*a - c + (2*b - d)*x])/(16*(2*b - d)) + (3*Sin[c + d*x])/(8*d) + Sin[3*c + 3*d*x]/(24*d) + (3*Sin[2*a + c + (2*b + d)*x])/(16*(2*b + d)) + Sin[2*a + 3*c + (2*b + 3*d)*x]/(16*(2*b + 3*d))}
+{Cos[a + b*x]^2*Cos[c + d*x]^2, x, 6, x/4 + Sin[2*a + 2*b*x]/(8*b) + Sin[2*(a - c) + 2*(b - d)*x]/(16*(b - d)) + Sin[2*c + 2*d*x]/(8*d) + Sin[2*(a + c) + 2*(b + d)*x]/(16*(b + d))}
+
+
+{Cos[a + b*x]^3*Cos[c + d*x]^3, x, 10, (3*Sin[a - 3*c + (b - 3*d)*x])/(32*(b - 3*d)) + (9*Sin[a - c + (b - d)*x])/(32*(b - d)) + Sin[3*(a - c) + 3*(b - d)*x]/(96*(b - d)) + (3*Sin[3*a - c + (3*b - d)*x])/(32*(3*b - d)) + (9*Sin[a + c + (b + d)*x])/(32*(b + d)) + Sin[3*(a + c) + 3*(b + d)*x]/(96*(b + d)) + (3*Sin[3*a + c + (3*b + d)*x])/(32*(3*b + d)) + (3*Sin[a + 3*c + (b + 3*d)*x])/(32*(b + 3*d))}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[a+b x]^m Tan[c+d x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Cos[a + b*x]*Tan[c + b*x]^3, x, 9, Cos[a + b*x]/b + (Cos[a - c]*Sec[c + b*x])/b + (3*ArcTanh[Sin[c + b*x]]*Sin[a - c])/(2*b) - (Sec[c + b*x]*Sin[a - c]*Tan[c + b*x])/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]*Tan[c + b*x]^2, x, 6, (ArcTanh[Sin[c + b*x]]*Cos[a - c])/b - (Sec[c + b*x]*Sin[a - c])/b - Sin[a + b*x]/b}
+{Cos[a + b*x]*Tan[c + b*x]^1, x, 3, -(Cos[a + b*x]/b) - (ArcTanh[Sin[c + b*x]]*Sin[a - c])/b}
+{Cos[a + b*x]*Cot[c + b*x]^1, x, 3, -((ArcTanh[Cos[c + b*x]]*Cos[a - c])/b) + Cos[a + b*x]/b}
+{Cos[a + b*x]*Cot[c + b*x]^2, x, 6, -((Cos[a - c]*Csc[c + b*x])/b) + (ArcTanh[Cos[c + b*x]]*Sin[a - c])/b - Sin[a + b*x]/b}
+{Cos[a + b*x]*Cot[c + b*x]^3, x, 9, (3*ArcTanh[Cos[c + b*x]]*Cos[a - c])/(2*b) - Cos[a + b*x]/b - (Cos[a - c]*Cot[c + b*x]*Csc[c + b*x])/(2*b) + (Csc[c + b*x]*Sin[a - c])/b}
+
+
+{Cos[a + b*x]*Tan[c + d*x], x, 6, 1/(E^(I*(a + b*x))*(2*b)) - E^(I*(a + b*x))/(2*b) - Hypergeometric2F1[1, -(b/(2*d)), 1 - b/(2*d), -E^(2*I*(c + d*x))]/(E^(I*(a + b*x))*b) + (E^(I*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, b/(2*d), 1 + b/(2*d), -E^(2*I*(c + d*x))])/b}
+{Cos[a + b*x]*Cot[c + d*x], x, 6, -(1/(E^(I*(a + b*x))*(2*b))) + E^(I*(a + b*x))/(2*b) + Hypergeometric2F1[1, -(b/(2*d)), 1 - b/(2*d), E^(2*I*(c + d*x))]/(E^(I*(a + b*x))*b) - (E^(I*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, b/(2*d), 1 + b/(2*d), E^(2*I*(c + d*x))])/b}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m<0*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cos[a+b x]^m Cot[c+d x]^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[a+b x]^m Trig[c+d x]^n*)
+
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tan[a+b x]^m Tan[c+d x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m<0*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.2 trig^m (a trig+b trig)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.2 trig^m (a trig+b trig)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..be61c356
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.2 trig^m (a trig+b trig)^n.m	
@@ -0,0 +1,490 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form Trig[c+d x]^m (a Trig[c+d x]+b Trig[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[c+d x]^m (a Cos[c+d x]+b Sin[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[c+d x]^m (a Cos[c+d x]+b Sin[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sin[x]^3*(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 7, (3*b*x)/8 - (3/8)*b*Cos[x]*Sin[x] - (1/4)*b*Cos[x]*Sin[x]^3 + (1/4)*a*Sin[x]^4}
+{Sin[x]^2*(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 6, (-b)*Cos[x] + (1/3)*b*Cos[x]^3 + (1/3)*a*Sin[x]^3}
+{Sin[x]^1*(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 6, (b*x)/2 - (1/2)*b*Cos[x]*Sin[x] + (1/2)*a*Sin[x]^2}
+{Sin[x]^0*(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 3, (-b)*Cos[x] + a*Sin[x]}
+{Csc[x]^1*(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 3, b*x + a*Log[Sin[x]]}
+{Csc[x]^2*(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 5, (-b)*ArcTanh[Cos[x]] - a*Csc[x]}
+{Csc[x]^3*(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 6, (-b)*Cot[x] - (1/2)*a*Csc[x]^2}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sin[x]^3/(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 5, (a^2*b*x)/(a^2 + b^2)^2 + (b*x)/(2*(a^2 + b^2)) - (a^3*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^2 - (b*Cos[x]*Sin[x])/(2*(a^2 + b^2)) - (a*Sin[x]^2)/(2*(a^2 + b^2))}
+{Sin[x]^2/(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 4, -((a^2*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(3/2)) - (b*Cos[x])/(a^2 + b^2) - (a*Sin[x])/(a^2 + b^2)}
+{Sin[x]^1/(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 2, (b*x)/(a^2 + b^2) - (a*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)}
+{Sin[x]^0/(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 2, -(ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]]/Sqrt[a^2 + b^2])}
+{Csc[x]^1/(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 3, Log[Sin[x]]/a - Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]]/a}
+{Csc[x]^2/(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 4, (b*ArcTanh[Cos[x]])/a^2 - (Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/a^2 - Csc[x]/a}
+{Csc[x]^3/(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 6, (b*Cot[x])/a^2 - Csc[x]^2/(2*a) + ((a^2 + b^2)*Log[Sin[x]])/a^3 - ((a^2 + b^2)*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/a^3}
+
+
+{Sin[x]^3/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2, x, -19, (6*a^2*b*ArcTanh[(-b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2) + (3*a*(a^2 - b^2) + a*(a^2 + b^2)*Cos[2*x] - b*(a^2 + b^2)*Sin[2*x])/(2*(a^2 + b^2)^2*(a*Cos[x] + b*Sin[x]))}
+{Sin[x]^2/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2, x, 4, -(((a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^2) + a/((a^2 + b^2)*(b + a*Cot[x])) - (2*a*b*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^2}
+{Sin[x]^1/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2, x, 3, -((b*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(3/2)) + a/((a^2 + b^2)*(a*Cos[x] + b*Sin[x]))}
+{Sin[x]^0/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2, x, 1, Sin[x]/(a*(a*Cos[x] + b*Sin[x]))}
+{Csc[x]^1/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2, x, 4, -(ArcTanh[Cos[x]]/a^2) + (b*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]) + 1/(a*(a*Cos[x] + b*Sin[x]))}
+{Csc[x]^2/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2, x, 3, -(Cot[x]/a^2) - (2*b*Log[Tan[x]])/a^3 + (2*b*Log[a + b*Tan[x]])/a^3 - (1/b + b/a^2)/(a + b*Tan[x])}
+{Csc[x]^3/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2, x, 11, -(ArcTanh[Cos[x]]/(2*a^2)) - (2*b^2*ArcTanh[Cos[x]])/a^4 - ((a^2 + b^2)*ArcTanh[Cos[x]])/a^4 + (3*b*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/a^4 + (2*b*Csc[x])/a^3 - (Cot[x]*Csc[x])/(2*a^2) + (a^2 + b^2)/(a^3*(a*Cos[x] + b*Sin[x]))}
+
+
+{Sin[x]^3/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^3, x, 5, -((b*(3*a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^3) + a/(2*(a^2 + b^2)*(b + a*Cot[x])^2) + (2*a*b)/((a^2 + b^2)^2*(b + a*Cot[x])) + (a*(a^2 - 3*b^2)*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^3}
+{Sin[x]^2/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^3, x, -13, -(((a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[(-b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2)) + (a*(3*a*b*Cos[x] + (a^2 + 4*b^2)*Sin[x]))/(2*(a^2 + b^2)^2*(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2)}
+{Sin[x]^1/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^3, x, 2, 1/(2*a*(b + a*Cot[x])^2), Tan[x]^2/(2*a*(a + b*Tan[x])^2)}
+{Sin[x]^0/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^3, x, 3, -(ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]]/(2*(a^2 + b^2)^(3/2))) - (b*Cos[x] - a*Sin[x])/(2*(a^2 + b^2)*(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2)}
+{Csc[x]^1/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^3, x, 3, Log[Tan[x]]/a^3 - Log[a + b*Tan[x]]/a^3 + (1/a + a/b^2)/(2*(a + b*Tan[x])^2) + (1/a^2 - 1/b^2)/(a + b*Tan[x])}
+{Csc[x]^2/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^3, x, 12, (3*b*ArcTanh[Cos[x]])/a^4 - ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]]/(2*a^2*Sqrt[a^2 + b^2]) - (2*b^2*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^4*Sqrt[a^2 + b^2]) - (Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/a^4 - Csc[x]/a^3 - (b*Cos[x] - a*Sin[x])/(2*a^2*(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2) - (2*b)/(a^3*(a*Cos[x] + b*Sin[x]))}
+{Csc[x]^3/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^3, x, 3, (3*b*Cot[x])/a^4 - Cot[x]^2/(2*a^3) + (2*(a^2 + 3*b^2)*Log[Tan[x]])/a^5 - (2*(a^2 + 3*b^2)*Log[a + b*Tan[x]])/a^5 + (a^2 + b^2)^2/(2*a^3*b^2*(a + b*Tan[x])^2) - ((a^2 - 3*b^2)*(a^2 + b^2))/(a^4*b^2*(a + b*Tan[x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[c+d x]^m (a Cos[c+d x]+b Sin[c+d x])^n when a^2+b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n symbolic*)
+
+
+{(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^n/Sin[c + d*x]^n, x, 1, -((I*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, (-(1/2))*I*(I + Cot[c + d*x])]*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^n)/(Sin[c + d*x]^n*(2*d*n)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[c+d x]^m (a Cos[c+d x]+b Sin[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[c+d x]^m (a Cos[c+d x]+b Sin[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 8, (5*a*x)/16 - (b*Cos[c + d*x]^6)/(6*d) + (5*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (5*a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -((b*Cos[c + d*x]^5)/(5*d)) + (a*Sin[c + d*x])/d - (2*a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 7, (3*a*x)/8 - (b*Cos[c + d*x]^4)/(4*d) + (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -((b*Cos[c + d*x]^3)/(3*d)) + (a*Sin[c + d*x])/d - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 6, (a*x)/2 + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 3, -((b*Cos[c + d*x])/d) + (a*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^1*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 3, a*x - (b*Log[Cos[c + d*x]])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 5, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (b*Sec[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 6, (b*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^4*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 6, (a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (b*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 6, (b*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 7, (3*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (b*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 6, (b*Sec[c + d*x]^6)/(6*d) + (a*Tan[c + d*x])/d + (2*a*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, -((2*a*b*Cos[c + d*x]^7)/(7*d)) + (a^2*Sin[c + d*x])/d - (a^2*Sin[c + d*x]^3)/d + (b^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*b^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^2*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^2*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 12, (5*a^2*x)/16 + (b^2*x)/16 - (a*b*Cos[c + d*x]^6)/(3*d) + (5*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (5*a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (b^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d) - (b^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, -((2*a*b*Cos[c + d*x]^5)/(5*d)) + (a^2*Sin[c + d*x])/d - (2*a^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 10, (3*a^2*x)/8 + (b^2*x)/8 - (a*b*Cos[c + d*x]^4)/(2*d) + (3*a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (b^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 8, -((2*a*b*Cos[c + d*x]^3)/(3*d)) + (a^2*Sin[c + d*x])/d - (a^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 2, (1/2)*(a^2 + b^2)*x - ((b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 7, (b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (2*a*b*Cos[c + d*x])/d + (a^2*Sin[c + d*x])/d - (b^2*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (a^2 - b^2)*x - (2*a*b*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 7, (a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (2*a*b*Sec[c + d*x])/d + (b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 2, ((b + a*Cot[c + d*x])^3*Tan[c + d*x]^3)/(3*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 9, (a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (2*a*b*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) - (b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (a^2*Tan[c + d*x])/d + (a*b*Tan[c + d*x]^2)/d + ((a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*b*Tan[c + d*x]^4)/(2*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 11, (3*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - (b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (2*a*b*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) - (b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (a^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) - (b^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(24*d) + (b^2*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d)}
+{Sec[c + d*x]^8*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (a^2*Tan[c + d*x])/d + (a*b*Tan[c + d*x]^2)/d + ((2*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*b*Tan[c + d*x]^4)/d + ((a^2 + 2*b^2)*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*b*Tan[c + d*x]^6)/(3*d) + (b^2*Tan[c + d*x]^7)/(7*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 17, (35*a^3*x)/128 + (15/128)*a*b^2*x - (b^3*Cos[c + d*x]^6)/(6*d) - (3*a^2*b*Cos[c + d*x]^8)/(8*d) + (b^3*Cos[c + d*x]^8)/(8*d) + (35*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (15*a*b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (35*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*d) + (5*a*b^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*d) + (7*a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*d) + (a*b^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(8*d) - (3*a*b^2*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 12, -((b^3*Cos[c + d*x]^5)/(5*d)) - (3*a^2*b*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^3*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (a^3*Sin[c + d*x])/d - (a^3*Sin[c + d*x]^3)/d + (a*b^2*Sin[c + d*x]^3)/d + (3*a^3*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (6*a*b^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^3*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (3*a*b^2*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 15, (5*a^3*x)/16 + (3/16)*a*b^2*x - (a^2*b*Cos[c + d*x]^6)/(2*d) + (5*a^3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (3*a*b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (5*a^3*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a*b^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d) - (a*b^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b^3*Sin[c + d*x]^4)/(4*d) - (b^3*Sin[c + d*x]^6)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 12, -((b^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d)) - (3*a^2*b*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^3*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^3*Sin[c + d*x])/d - (2*a^3*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*b^2*Sin[c + d*x]^3)/d + (a^3*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (3*a*b^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (3/8)*a*(a^2 + b^2)*x + (3*a*(b + a*Cot[c + d*x])*(a - b*Cot[c + d*x])*Sin[c + d*x]^2)/(8*d) + ((b + a*Cot[c + d*x])^3*Sin[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 2, -(((a^2 + b^2)*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]))/d) + (b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])^3/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (1/2)*a*(a^2 + 3*b^2)*x - (b^3*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b^3*Log[Tan[c + d*x]])/d + ((b*(3*a^2 - b^2) + a*(a^2 - 3*b^2)*Cot[c + d*x])*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 10, (3*a*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (3*a^2*b*Cos[c + d*x])/d + (b^3*Cos[c + d*x])/d + (b^3*Sec[c + d*x])/d + (a^3*Sin[c + d*x])/d - (3*a*b^2*Sin[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 4, a*(a^2 - 3*b^2)*x - (b*(3*a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (2*a*b^2*Tan[c + d*x])/d + (b*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 9, (a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (3*a*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) + (3*a^2*b*Sec[c + d*x])/d - (b^3*Sec[c + d*x])/d + (b^3*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a*b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 2, ((b + a*Cot[c + d*x])^4*Tan[c + d*x]^4)/(4*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 12, (a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (3*a*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (a^2*b*Sec[c + d*x]^3)/d - (b^3*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^3*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) - (3*a*b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (3*a*b^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (a^3*Tan[c + d*x])/d + (3*a^2*b*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*(a^2 + 3*b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*(3*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^4)/(4*d) + (3*a*b^2*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^3*Tan[c + d*x]^6)/(6*d)}
+{Sec[c + d*x]^8*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 14, (3*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - (3*a*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (3*a^2*b*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^3*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^3*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) + (3*a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) - (3*a*b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (a^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) - (a*b^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*b^2*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^9*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (a^3*Tan[c + d*x])/d + (3*a^2*b*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*(2*a^2 + 3*b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*(6*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^4)/(4*d) + (a*(a^2 + 6*b^2)*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (b*(3*a^2 + 2*b^2)*Tan[c + d*x]^6)/(6*d) + (3*a*b^2*Tan[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^3*Tan[c + d*x]^8)/(8*d)}
+{Sec[c + d*x]^10*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 16, (5*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) - (15*a*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*d) + (3*a^2*b*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) - (b^3*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^3*Sec[c + d*x]^9)/(9*d) + (5*a^3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) - (15*a*b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(128*d) + (5*a^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(24*d) - (5*a*b^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(64*d) + (a^3*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d) - (a*b^2*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(16*d) + (3*a*b^2*Sec[c + d*x]^7*Tan[c + d*x])/(8*d)}
+{Sec[c + d*x]^11*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (a^3*Tan[c + d*x])/d + (3*a^2*b*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*(a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^3)/d + (b*(9*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^4)/(4*d) + (3*a*(a^2 + 3*b^2)*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (b*(3*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^6)/(2*d) + (a*(a^2 + 9*b^2)*Tan[c + d*x]^7)/(7*d) + (3*b*(a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^8)/(8*d) + (a*b^2*Tan[c + d*x]^9)/(3*d) + (b^3*Tan[c + d*x]^10)/(10*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 15, -((4*a*b^3*Cos[c + d*x]^7)/(7*d)) - (4*a^3*b*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) + (4*a*b^3*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) + (a^4*Sin[c + d*x])/d - (4*a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a^2*b^2*Sin[c + d*x]^3)/d + (6*a^4*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (18*a^2*b^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^4*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (4*a^4*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (18*a^2*b^2*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) - (2*b^4*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (a^4*Sin[c + d*x]^9)/(9*d) - (2*a^2*b^2*Sin[c + d*x]^9)/(3*d) + (b^4*Sin[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 22, (35*a^4*x)/128 + (15/64)*a^2*b^2*x + (3*b^4*x)/128 - (2*a*b^3*Cos[c + d*x]^6)/(3*d) - (a^3*b*Cos[c + d*x]^8)/(2*d) + (a*b^3*Cos[c + d*x]^8)/(2*d) + (35*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (15*a^2*b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(64*d) + (3*b^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (35*a^4*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*d) + (5*a^2*b^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(32*d) + (b^4*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*d) + (7*a^4*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*d) + (a^2*b^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(8*d) - (b^4*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^4*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(8*d) - (3*a^2*b^2*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(4*d) - (b^4*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 15, -((4*a*b^3*Cos[c + d*x]^5)/(5*d)) - (4*a^3*b*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (4*a*b^3*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (a^4*Sin[c + d*x])/d - (a^4*Sin[c + d*x]^3)/d + (2*a^2*b^2*Sin[c + d*x]^3)/d + (3*a^4*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (12*a^2*b^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^4*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^4*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (6*a^2*b^2*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) - (b^4*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 19, (5*a^4*x)/16 + (3/8)*a^2*b^2*x + (b^4*x)/16 - (2*a^3*b*Cos[c + d*x]^6)/(3*d) + (5*a^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (3*a^2*b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (b^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*d) + (5*a^4*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*d) + (a^2*b^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*d) - (b^4*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(8*d) + (a^4*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*d) - (a^2*b^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/d - (b^4*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^3)/(6*d) + (a*b^3*Sin[c + d*x]^4)/d - (2*a*b^3*Sin[c + d*x]^6)/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 14, -((4*a*b^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d)) - (4*a^3*b*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (4*a*b^3*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^4*Sin[c + d*x])/d - (2*a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a^2*b^2*Sin[c + d*x]^3)/d + (a^4*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (6*a^2*b^2*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^4*Sin[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 3, (3/8)*(a^2 + b^2)^2*x - (3*(a^2 + b^2)*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))/(8*d) - ((b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3)/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 14, (b^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (4*a*b^3*Cos[c + d*x])/d - (4*a^3*b*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (4*a*b^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^4*Sin[c + d*x])/d - (b^4*Sin[c + d*x])/d - (a^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a^2*b^2*Sin[c + d*x]^3)/d - (b^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 7, (1/2)*(a^4 + 6*a^2*b^2 - 3*b^4)*x - (4*a*b^3*Log[Sin[c + d*x]])/d + (4*a*b^3*Log[Tan[c + d*x]])/d + ((4*a*b*(a^2 - b^2) + (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Cot[c + d*x])*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (b^4*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^3*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 14, (6*a^2*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (3*b^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (4*a^3*b*Cos[c + d*x])/d + (4*a*b^3*Cos[c + d*x])/d + (4*a*b^3*Sec[c + d*x])/d + (a^4*Sin[c + d*x])/d - (6*a^2*b^2*Sin[c + d*x])/d + (3*b^4*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b^4*Sin[c + d*x]*Tan[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 5, (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x - (4*a*b*(a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b^2*(3*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/d + (a*b*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/d + (b*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 12, (a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (3*a^2*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (3*b^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (4*a^3*b*Sec[c + d*x])/d - (4*a*b^3*Sec[c + d*x])/d + (4*a*b^3*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^2*b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/d - (3*b^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 2, ((b + a*Cot[c + d*x])^5*Tan[c + d*x]^5)/(5*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 16, (a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (3*a^2*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) + (b^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (4*a^3*b*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) - (4*a*b^3*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (4*a*b^3*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) - (3*a^2*b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (b^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (3*a^2*b^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(2*d) - (b^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^3)/(6*d)}
+{Sec[c + d*x]^8*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 3, (a^4*Tan[c + d*x])/d + (2*a^3*b*Tan[c + d*x]^2)/d + (a^2*(a^2 + 6*b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*b*(a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^4)/d + (b^2*(6*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (2*a*b^3*Tan[c + d*x]^6)/(3*d) + (b^4*Tan[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Sec[c + d*x]^9*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 19, (3*a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - (3*a^2*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (3*b^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*d) + (4*a^3*b*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) - (4*a*b^3*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (4*a*b^3*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) + (3*a^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) - (3*a^2*b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (3*b^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(128*d) + (a^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) - (a^2*b^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) + (b^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(64*d) + (a^2*b^2*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/d - (b^4*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(16*d) + (b^4*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x]^3)/(8*d)}
+{Sec[c + d*x]^10*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 3, (a^4*Tan[c + d*x])/d + (2*a^3*b*Tan[c + d*x]^2)/d + (2*a^2*(a^2 + 3*b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*b*(2*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^4)/d + ((a^4 + 12*a^2*b^2 + b^4)*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (2*a*b*(a^2 + 2*b^2)*Tan[c + d*x]^6)/(3*d) + (2*b^2*(3*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*b^3*Tan[c + d*x]^8)/(2*d) + (b^4*Tan[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Sec[c + d*x]^11*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 22, (5*a^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) - (15*a^2*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(64*d) + (3*b^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(256*d) + (4*a^3*b*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) - (4*a*b^3*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) + (4*a*b^3*Sec[c + d*x]^9)/(9*d) + (5*a^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) - (15*a^2*b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(64*d) + (3*b^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(256*d) + (5*a^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(24*d) - (5*a^2*b^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(32*d) + (b^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(128*d) + (a^4*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d) - (a^2*b^2*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(8*d) + (b^4*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(160*d) + (3*a^2*b^2*Sec[c + d*x]^7*Tan[c + d*x])/(4*d) - (3*b^4*Sec[c + d*x]^7*Tan[c + d*x])/(80*d) + (b^4*Sec[c + d*x]^7*Tan[c + d*x]^3)/(10*d)}
+{Sec[c + d*x]^12*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 3, (a^4*Tan[c + d*x])/d + (2*a^3*b*Tan[c + d*x]^2)/d + (a^2*(a^2 + 2*b^2)*Tan[c + d*x]^3)/d + (a*b*(3*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^4)/d + ((3*a^4 + 18*a^2*b^2 + b^4)*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (2*a*b*(a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^6)/d + ((a^4 + 18*a^2*b^2 + 3*b^4)*Tan[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*b*(a^2 + 3*b^2)*Tan[c + d*x]^8)/(2*d) + (b^2*(2*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^9)/(3*d) + (2*a*b^3*Tan[c + d*x]^10)/(5*d) + (b^4*Tan[c + d*x]^11)/(11*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5, x, 29, (63*a^5*x)/256 + (35/128)*a^3*b^2*x + (15/256)*a*b^4*x - (5*a^2*b^3*Cos[c + d*x]^8)/(4*d) - (a^4*b*Cos[c + d*x]^10)/(2*d) + (a^2*b^3*Cos[c + d*x]^10)/d + (63*a^5*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(256*d) + (35*a^3*b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (15*a*b^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(256*d) + (21*a^5*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(128*d) + (35*a^3*b^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*d) + (5*a*b^4*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(128*d) + (21*a^5*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(160*d) + (7*a^3*b^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*d) + (a*b^4*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(32*d) + (9*a^5*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(80*d) + (a^3*b^2*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(8*d) - (3*a*b^4*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^5*Cos[c + d*x]^9*Sin[c + d*x])/(10*d) - (a^3*b^2*Cos[c + d*x]^9*Sin[c + d*x])/d - (a*b^4*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x]^3)/(2*d) + (b^5*Sin[c + d*x]^6)/(6*d) - (b^5*Sin[c + d*x]^8)/(4*d) + (b^5*Sin[c + d*x]^10)/(10*d)}
+{Cos[c + d*x]^4*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5, x, 18, -((b^5*Cos[c + d*x]^5)/(5*d)) - (10*a^2*b^3*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (2*b^5*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) - (5*a^4*b*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) + (10*a^2*b^3*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) - (b^5*Cos[c + d*x]^9)/(9*d) + (a^5*Sin[c + d*x])/d - (4*a^5*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (10*a^3*b^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (6*a^5*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (6*a^3*b^2*Sin[c + d*x]^5)/d + (a*b^4*Sin[c + d*x]^5)/d - (4*a^5*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (30*a^3*b^2*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) - (10*a*b^4*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (a^5*Sin[c + d*x]^9)/(9*d) - (10*a^3*b^2*Sin[c + d*x]^9)/(9*d) + (5*a*b^4*Sin[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Cos[c + d*x]^3*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5, x, 25, (35*a^5*x)/128 + (25/64)*a^3*b^2*x + (15/128)*a*b^4*x - (5*a^2*b^3*Cos[c + d*x]^6)/(3*d) - (5*a^4*b*Cos[c + d*x]^8)/(8*d) + (5*a^2*b^3*Cos[c + d*x]^8)/(4*d) + (35*a^5*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (25*a^3*b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(64*d) + (15*a*b^4*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(128*d) + (35*a^5*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(192*d) + (25*a^3*b^2*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(96*d) + (5*a*b^4*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(64*d) + (7*a^5*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(48*d) + (5*a^3*b^2*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(24*d) - (5*a*b^4*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(16*d) + (a^5*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(8*d) - (5*a^3*b^2*Cos[c + d*x]^7*Sin[c + d*x])/(4*d) - (5*a*b^4*Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^3)/(8*d) + (b^5*Sin[c + d*x]^6)/(6*d) - (b^5*Sin[c + d*x]^8)/(8*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5, x, 18, -((b^5*Cos[c + d*x]^3)/(3*d)) - (2*a^2*b^3*Cos[c + d*x]^5)/d + (2*b^5*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (5*a^4*b*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (10*a^2*b^3*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) - (b^5*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) + (a^5*Sin[c + d*x])/d - (a^5*Sin[c + d*x]^3)/d + (10*a^3*b^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^5*Sin[c + d*x]^5)/(5*d) - (4*a^3*b^2*Sin[c + d*x]^5)/d + (a*b^4*Sin[c + d*x]^5)/d - (a^5*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) + (10*a^3*b^2*Sin[c + d*x]^7)/(7*d) - (5*a*b^4*Sin[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5, x, 5, (5/16)*a*(a^2 + b^2)^2*x + (5*a*(a^2 + b^2)*(b + a*Cot[c + d*x])*(a - b*Cot[c + d*x])*Sin[c + d*x]^2)/(16*d) + (5*a*(b + a*Cot[c + d*x])^3*(a - b*Cot[c + d*x])*Sin[c + d*x]^4)/(24*d) + ((b + a*Cot[c + d*x])^5*Sin[c + d*x]^6)/(6*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5, x, 3, -(((a^2 + b^2)^2*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]))/d) + (2*(a^2 + b^2)*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])^3)/(3*d) - (b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])^5/(5*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5, x, 8, (1/8)*a*(3*a^4 + 10*a^2*b^2 + 15*b^4)*x - (b^5*Log[Sin[c + d*x]])/d + (b^5*Log[Tan[c + d*x]])/d + ((4*b*(5*a^4 - b^4) + 5*a*(a^2 - 3*b^2)*(a^2 + b^2)*Cot[c + d*x])*Sin[c + d*x]^2)/(8*d) - ((b*(5*a^4 - 10*a^2*b^2 + b^4) + a*(a^4 - 10*a^2*b^2 + 5*b^4)*Cot[c + d*x])*Sin[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5, x, 17, (5*a*b^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (10*a^2*b^3*Cos[c + d*x])/d + (2*b^5*Cos[c + d*x])/d - (5*a^4*b*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (10*a^2*b^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^5*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^5*Sec[c + d*x])/d + (a^5*Sin[c + d*x])/d - (5*a*b^4*Sin[c + d*x])/d - (a^5*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) + (10*a^3*b^2*Sin[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*a*b^4*Sin[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5, x, 7, (1/2)*a*(a^4 + 10*a^2*b^2 - 15*b^4)*x - (2*b^3*(5*a^2 - b^2)*Log[Sin[c + d*x]])/d + (2*b^3*(5*a^2 - b^2)*Log[Tan[c + d*x]])/d + ((b*(5*a^4 - 10*a^2*b^2 + b^4) + a*(a^4 - 10*a^2*b^2 + 5*b^4)*Cot[c + d*x])*Sin[c + d*x]^2)/(2*d) + (5*a*b^4*Tan[c + d*x])/d + (b^5*Tan[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5, x, 17, (10*a^3*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (15*a*b^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (5*a^4*b*Cos[c + d*x])/d + (10*a^2*b^3*Cos[c + d*x])/d - (b^5*Cos[c + d*x])/d + (10*a^2*b^3*Sec[c + d*x])/d - (2*b^5*Sec[c + d*x])/d + (b^5*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^5*Sin[c + d*x])/d - (10*a^3*b^2*Sin[c + d*x])/d + (15*a*b^4*Sin[c + d*x])/(2*d) + (5*a*b^4*Sin[c + d*x]*Tan[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5, x, 6, a*(a^4 - 10*a^2*b^2 + 5*b^4)*x - (b*(5*a^4 - 10*a^2*b^2 + b^4)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (4*a*b^2*(a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/d + (b*(3*a^2 - b^2)*(a + b*Tan[c + d*x])^2)/(2*d) + (2*a*b*(a + b*Tan[c + d*x])^3)/(3*d) + (b*(a + b*Tan[c + d*x])^4)/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^6*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5, x, 15, (a^5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (5*a^3*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + (15*a*b^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (5*a^4*b*Sec[c + d*x])/d - (10*a^2*b^3*Sec[c + d*x])/d + (b^5*Sec[c + d*x])/d + (10*a^2*b^3*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*b^5*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^5*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (5*a^3*b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/d - (15*a*b^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (5*a*b^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^7*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5, x, 2, ((b + a*Cot[c + d*x])^6*Tan[c + d*x]^6)/(6*b*d)}
+{Sec[c + d*x]^8*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5, x, 19, (a^5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (5*a^3*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(4*d) + (5*a*b^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) + (5*a^4*b*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) - (10*a^2*b^3*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^5*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a^2*b^3*Sec[c + d*x]^5)/d - (2*b^5*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^5*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) + (a^5*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d) - (5*a^3*b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*d) + (5*a*b^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) + (5*a^3*b^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(2*d) - (5*a*b^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(8*d) + (5*a*b^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x]^3)/(6*d)}
+{Sec[c + d*x]^9*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5, x, 3, (a^5*Tan[c + d*x])/d + (5*a^4*b*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) + (a^3*(a^2 + 10*b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (5*a^2*b*(a^2 + 2*b^2)*Tan[c + d*x]^4)/(4*d) + (a*b^2*(2*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^5)/d + (b^3*(10*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^6)/(6*d) + (5*a*b^4*Tan[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^5*Tan[c + d*x]^8)/(8*d)}
+{Sec[c + d*x]^10*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5, x, 22, (3*a^5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) - (5*a^3*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d) + (15*a*b^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(128*d) + (a^4*b*Sec[c + d*x]^5)/d - (2*a^2*b^3*Sec[c + d*x]^5)/d + (b^5*Sec[c + d*x]^5)/(5*d) + (10*a^2*b^3*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) - (2*b^5*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^5*Sec[c + d*x]^9)/(9*d) + (3*a^5*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) - (5*a^3*b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (15*a*b^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(128*d) + (a^5*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d) - (5*a^3*b^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(12*d) + (5*a*b^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(64*d) + (5*a^3*b^2*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(3*d) - (5*a*b^4*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(16*d) + (5*a*b^4*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x]^3)/(8*d)}
+{Sec[c + d*x]^11*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5, x, 3, (a^5*Tan[c + d*x])/d + (5*a^4*b*Tan[c + d*x]^2)/(2*d) + (2*a^3*(a^2 + 5*b^2)*Tan[c + d*x]^3)/(3*d) + (5*a^2*b*(a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^4)/(2*d) + (a*(a^4 + 20*a^2*b^2 + 5*b^4)*Tan[c + d*x]^5)/(5*d) + (b*(5*a^4 + 20*a^2*b^2 + b^4)*Tan[c + d*x]^6)/(6*d) + (10*a*b^2*(a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^3*(5*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^8)/(4*d) + (5*a*b^4*Tan[c + d*x]^9)/(9*d) + (b^5*Tan[c + d*x]^10)/(10*d)}
+{Sec[c + d*x]^12*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5, x, 25, (5*a^5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(16*d) - (25*a^3*b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(64*d) + (15*a*b^4*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(256*d) + (5*a^4*b*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) - (10*a^2*b^3*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^5*Sec[c + d*x]^7)/(7*d) + (10*a^2*b^3*Sec[c + d*x]^9)/(9*d) - (2*b^5*Sec[c + d*x]^9)/(9*d) + (b^5*Sec[c + d*x]^11)/(11*d) + (5*a^5*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(16*d) - (25*a^3*b^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(64*d) + (15*a*b^4*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(256*d) + (5*a^5*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(24*d) - (25*a^3*b^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(96*d) + (5*a*b^4*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(128*d) + (a^5*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(6*d) - (5*a^3*b^2*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(24*d) + (a*b^4*Sec[c + d*x]^5*Tan[c + d*x])/(32*d) + (5*a^3*b^2*Sec[c + d*x]^7*Tan[c + d*x])/(4*d) - (3*a*b^4*Sec[c + d*x]^7*Tan[c + d*x])/(16*d) + (a*b^4*Sec[c + d*x]^7*Tan[c + d*x]^3)/(2*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^5/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 9, (a*b^4*x)/(a^2 + b^2)^3 + (a*b^2*x)/(2*(a^2 + b^2)^2) + (3*a*x)/(8*(a^2 + b^2)) + (b^3*Cos[c + d*x]^2)/(2*(a^2 + b^2)^2*d) + (b*Cos[c + d*x]^4)/(4*(a^2 + b^2)*d) + (b^5*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) + (a*b^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)^2*d) + (3*a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*(a^2 + b^2)*d) + (a*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*(a^2 + b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 7, -((b^4*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(5/2)*d)) + (b^3*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)^2*d) + (b*Cos[c + d*x]^3)/(3*(a^2 + b^2)*d) + (a*b^2*Sin[c + d*x])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a*Sin[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d) - (a*Sin[c + d*x]^3)/(3*(a^2 + b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 5, (a*b^2*x)/(a^2 + b^2)^2 + (a*x)/(2*(a^2 + b^2)) + (b*Cos[c + d*x]^2)/(2*(a^2 + b^2)*d) + (b^3*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -((b^2*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d)) + (b*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d) + (a*Sin[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 2, (a*x)/(a^2 + b^2) + (b*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^0/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 2, -(ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]]/(Sqrt[a^2 + b^2]*d))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 3, -(Log[Cos[c + d*x]]/(b*d)) + Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]]/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 4, -((a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^2*d)) - (Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^2*d) + Sec[c + d*x]/(b*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 6, -(((a^2 + b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/(b^3*d)) + ((a^2 + b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(b^3*d) + Sec[c + d*x]^2/(2*b*d) - (a*Tan[c + d*x])/(b^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 7, -((a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^2*d)) - (a*(a^2 + b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^4*d) - ((a^2 + b^2)^(3/2)*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^4*d) + ((a^2 + b^2)*Sec[c + d*x])/(b^3*d) + Sec[c + d*x]^3/(3*b*d) - (a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^5/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 9, -(((a^2 + b^2)^2*Log[Cos[c + d*x]])/(b^5*d)) + ((a^2 + b^2)^2*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(b^5*d) + ((a^2 + b^2)*Sec[c + d*x]^2)/(2*b^3*d) + Sec[c + d*x]^4/(4*b*d) - (a*Tan[c + d*x])/(b^2*d) - (a*(a^2 + b^2)*Tan[c + d*x])/(b^4*d) - (a*Tan[c + d*x]^3)/(3*b^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^6/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x, 11, -((3*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*b^2*d)) - (a*(a^2 + b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^4*d) - (a*(a^2 + b^2)^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^6*d) - ((a^2 + b^2)^(5/2)*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^6*d) + ((a^2 + b^2)^2*Sec[c + d*x])/(b^5*d) + ((a^2 + b^2)*Sec[c + d*x]^3)/(3*b^3*d) + Sec[c + d*x]^5/(5*b*d) - (3*a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*b^2*d) - (a*(a^2 + b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^4*d) - (a*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*b^2*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 7, ((a^4 + 6*a^2*b^2 - 3*b^4)*x)/(2*(a^2 + b^2)^3) + b^4/(a*(a^2 + b^2)^2*d*(b + a*Cot[c + d*x])) + (4*a*b^3*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) - ((2*a*b - (a^2 - b^2)*Cot[c + d*x])*Sin[c + d*x]^2)/(2*(a^2 + b^2)^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, -11, -((3*a*b^2*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(5/2)*d)) + (2*a*b*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 - b^2)*Sin[c + d*x])/((a^2 + b^2)^2*d) - b^3/((a^2 + b^2)^2*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, ((a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^2 + (2*a*b*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) - b/((a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -((a*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d)) - b/((a^2 + b^2)*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 1, Sin[c + d*x]/(a*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 4, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(b^2*d) + (a*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - 1/(b*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (1/a + a/b^2)/(d*(b + a*Cot[c + d*x])) - (2*a*Log[b + a*Cot[c + d*x]])/(b^3*d) - (2*a*Log[Tan[c + d*x]])/(b^3*d) + Tan[c + d*x]/(b^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 11, (2*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^4*d) + ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(2*b^2*d) + ((a^2 + b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^4*d) + (3*a*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^4*d) - (2*a*Sec[c + d*x])/(b^3*d) - (a^2 + b^2)/(b^3*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])) + (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2, x, 3, (a^2 + b^2)^2/(a*b^4*d*(b + a*Cot[c + d*x])) - (4*a*(a^2 + b^2)*Log[b + a*Cot[c + d*x]])/(b^5*d) - (4*a*(a^2 + b^2)*Log[Tan[c + d*x]])/(b^5*d) + ((3*a^2 + 2*b^2)*Tan[c + d*x])/(b^4*d) - (a*Tan[c + d*x]^2)/(b^3*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*b^2*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, -15, -((3*b^2*(4*a^2 - b^2)*ArcTanh[(b - a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(7/2)*d)) + (b*(3*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/((a^2 + b^2)^3*d) + (a*(a^2 - 3*b^2)*Sin[c + d*x])/((a^2 + b^2)^3*d) + (b^4*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 + b^2)^2*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2) - (b^3*(8*a^2 + b^2))/(2*a*(a^2 + b^2)^3*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 5, (a*(a^2 - 3*b^2)*x)/(a^2 + b^2)^3 + (b*(3*a^2 - b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) - b/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (2*a*b)/((a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, -6, (2*(2*a^2 - b^2)*ArcTanh[(-b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(2*d*(a^2 + b^2)^(5/2)) - (b*((4*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x] + 3*a*b*Sin[c + d*x]))/(2*d*(a^2 + b^2)^2*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 2, -(1/(2*b*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2)), -(Cot[c + d*x]^2/(2*b*d*(b + a*Cot[c + d*x])^2))}
+{Cos[c + d*x]^0/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, -(ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]]/(2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d)) - (b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, -((1/b + b/a^2)/(2*d*(b + a*Cot[c + d*x])^2)) + (1/a^2 - 1/b^2)/(d*(b + a*Cot[c + d*x])) + Log[b + a*Cot[c + d*x]]/(b^3*d) + Log[Tan[c + d*x]]/(b^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 12, -((3*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^4*d)) - (2*a^2*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^4*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]]/(2*b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^4*d) + Sec[c + d*x]/(b^3*d) - (b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/(2*b^2*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2) + (2*a)/(b^3*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^3/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, -((a^2 + b^2)^2/(2*a^2*b^3*d*(b + a*Cot[c + d*x])^2)) - ((3*a^2 - b^2)*(a^2 + b^2))/(a^2*b^4*d*(b + a*Cot[c + d*x])) + (2*(3*a^2 + b^2)*Log[b + a*Cot[c + d*x]])/(b^5*d) + (2*(3*a^2 + b^2)*Log[Tan[c + d*x]])/(b^5*d) - (3*a*Tan[c + d*x])/(b^4*d) + Tan[c + d*x]^2/(2*b^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 31, -((4*a^3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^6*d)) - (3*a*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^4*d) - (6*a*(a^2 + b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^6*d) - (8*a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^6*d) - (Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(2*b^4*d) - (2*(a^2 + b^2)^(3/2)*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^6*d) + (4*a^2*Sec[c + d*x])/(b^5*d) + (2*(a^2 + b^2)*Sec[c + d*x])/(b^5*d) + Sec[c + d*x]^3/(3*b^3*d) - ((a^2 + b^2)*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]))/(2*b^4*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2) + (4*a*(a^2 + b^2))/(b^5*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])) - (3*a*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^4*d)}
+{Sec[c + d*x]^5/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3, x, 3, -((a^2 + b^2)^3/(2*a^2*b^5*d*(b + a*Cot[c + d*x])^2)) - ((5*a^2 - b^2)*(a^2 + b^2)^2)/(a^2*b^6*d*(b + a*Cot[c + d*x])) + (3*(a^2 + b^2)*(5*a^2 + b^2)*Log[b + a*Cot[c + d*x]])/(b^7*d) + (3*(a^2 + b^2)*(5*a^2 + b^2)*Log[Tan[c + d*x]])/(b^7*d) - (a*(10*a^2 + 9*b^2)*Tan[c + d*x])/(b^6*d) + (3*(2*a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/(2*b^5*d) - (a*Tan[c + d*x]^3)/(b^4*d) + Tan[c + d*x]^4/(4*b^3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^4/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 6, ((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x)/(a^2 + b^2)^4 + (4*a*b*(a^2 - b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^4*d) - b/(3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) - (a*b)/((a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (b*(3*a^2 - b^2))/((a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, -7, (a*(2*a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[(-b + a*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(7/2)*d) + (-3*(3*a^4*b - a^2*b^3 + b^5)*Cos[2*(c + d*x)] + (1/2)*b*(-9*a^2 + b^2)*(2*(a^2 + b^2) + 3*a*b*Sin[2*(c + d*x)]))/(6*(a^2 + b^2)^3*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 2, -(Cot[c + d*x]^3/(3*b*d*(b + a*Cot[c + d*x])^3))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 5, -((a*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(2*(a^2 + b^2)^(5/2)*d)) - b/(3*(a^2 + b^2)*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3) - (a*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]))/(2*(a^2 + b^2)^2*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^0/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 2, -((b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 + b^2)*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3)) + (2*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 + b^2)*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 8, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(b^4*d) + (a*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(2*b^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (a*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^4*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - 1/(3*b*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3) + (a*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]))/(2*b^2*(a^2 + b^2)*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2) - 1/(b^3*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^2/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 3, (a^2 + b^2)^2/(3*a^3*b^2*d*(b + a*Cot[c + d*x])^3) + (a/b^3 - b/a^3)/(d*(b + a*Cot[c + d*x])^2) + (1/a^3 + (3*a)/b^4)/(d*(b + a*Cot[c + d*x])) - (4*a*Log[b + a*Cot[c + d*x]])/(b^5*d) - (4*a*Log[Tan[c + d*x]])/(b^5*d) + Tan[c + d*x]/(b^4*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 32, (8*a^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^6*d) + ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(2*b^4*d) + (2*(a^2 + b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(b^6*d) + (4*a^3*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^6*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (3*a*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(2*b^4*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (6*a*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^6*d) - (4*a*Sec[c + d*x])/(b^5*d) - (a^2 + b^2)/(3*b^3*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3) + (3*a*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]))/(2*b^4*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2) - (4*a^2)/(b^5*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])) - (2*(a^2 + b^2))/(b^5*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])) + (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^4*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4, x, 3, (a^2 + b^2)^3/(3*a^3*b^4*d*(b + a*Cot[c + d*x])^3) + (2*a^6 + 3*a^4*b^2 - b^6)/(a^3*b^5*d*(b + a*Cot[c + d*x])^2) + (10*a^6 + 9*a^4*b^2 + b^6)/(a^3*b^6*d*(b + a*Cot[c + d*x])) - (4*a*(5*a^2 + 3*b^2)*Log[b + a*Cot[c + d*x]])/(b^7*d) - (4*a*(5*a^2 + 3*b^2)*Log[Tan[c + d*x]])/(b^7*d) + ((10*a^2 + 3*b^2)*Tan[c + d*x])/(b^6*d) - (2*a*Tan[c + d*x]^2)/(b^5*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*b^4*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[c+d x]^m (a Cos[c+d x]+b Sin[c+d x])^n when a^2+b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^5/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x]), x, 9, (5*x)/(16*a) + (I*Cos[c + d*x]^6)/(6*a*d) + (5*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(16*a*d) + (5*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(24*a*d) + (Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x])/(6*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x]), x, 7, (I*Cos[c + d*x]^5)/(5*a*d) + Sin[c + d*x]/(a*d) - (2*Sin[c + d*x]^3)/(3*a*d) + Sin[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x]), x, 8, (3*x)/(8*a) + (I*Cos[c + d*x]^4)/(4*a*d) + (3*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*a*d) + (Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x]), x, 7, (I*Cos[c + d*x]^3)/(3*a*d) + Sin[c + d*x]/(a*d) - Sin[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x]), x, 2, x/(2*a) + (I*Cos[c + d*x])/(2*d*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x]), x, 1, I/(d*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x]), x, 4, x/a + (I*Log[Cos[c + d*x]])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x]), x, 6, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a*d) - (I*Sec[c + d*x])/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x]), x, 7, -((I*Sec[c + d*x]^2)/(2*a*d)) + Tan[c + d*x]/(a*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x]), x, 7, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(2*a*d) - (I*Sec[c + d*x]^3)/(3*a*d) + (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^5/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x]), x, 7, -((I*Sec[c + d*x]^4)/(4*a*d)) + Tan[c + d*x]/(a*d) + Tan[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^6/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x]), x, 8, (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*a*d) - (I*Sec[c + d*x]^5)/(5*a*d) + (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*a*d) + (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Sec[c + d*x]^7/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x]), x, 7, -((I*Sec[c + d*x]^6)/(6*a*d)) + Tan[c + d*x]/(a*d) + (2*Tan[c + d*x]^3)/(3*a*d) + Tan[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2, x, 10, (2*I*Cos[c + d*x]^7)/(7*a^2*d) + Sin[c + d*x]/(a^2*d) - (4*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + Sin[c + d*x]^5/(a^2*d) - (2*Sin[c + d*x]^7)/(7*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^4/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2, x, 5, x/(4*a^2) - 1/(16*a^2*d*(I - Cot[c + d*x])) - 1/(12*a^2*d*(I + Cot[c + d*x])^3) - (3*I)/(8*a^2*d*(I + Cot[c + d*x])^2) + 11/(16*a^2*d*(I + Cot[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^3/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2, x, 10, (2*I*Cos[c + d*x]^5)/(5*a^2*d) + Sin[c + d*x]/(a^2*d) - Sin[c + d*x]^3/(a^2*d) + (2*Sin[c + d*x]^5)/(5*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, x/(4*a^2) + (I*Cos[c + d*x]^2)/(4*d*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2) + (I*Cos[c + d*x])/(4*d*(a^2*Cos[c + d*x] + I*a^2*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2, x, 9, (2*I*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + Sin[c + d*x]/(a^2*d) - (2*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+{Cos[c + d*x]^0/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2, x, 1, I/(2*d*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2, x, 8, -(ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(a^2*d)) + (2*I*Cos[c + d*x])/(a^2*d) + (2*Sin[c + d*x])/(a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, (2*x)/a^2 + (2*I*Log[Sin[c + d*x]])/(a^2*d) - (2*I*Log[Tan[c + d*x]])/(a^2*d) - Tan[c + d*x]/(a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2, x, 8, (3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^2*d) - (2*I*Sec[c + d*x])/(a^2*d) - (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2, x, 3, -((I*(I - Cot[c + d*x])^3*Tan[c + d*x]^3)/(3*a^2*d))}
+{Sec[c + d*x]^5/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2, x, 10, (5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*a^2*d) - (2*I*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + (5*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*a^2*d) - (Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*a^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^6/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2, x, 4, Tan[c + d*x]/(a^2*d) - (I*Tan[c + d*x]^2)/(a^2*d) - (I*Tan[c + d*x]^4)/(2*a^2*d) - Tan[c + d*x]^5/(5*a^2*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^5/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^3, x, 5, (5*x)/(32*a^3) - 1/(32*a^3*d*(I - Cot[c + d*x])) + I/(16*a^3*d*(I + Cot[c + d*x])^4) - 1/(3*a^3*d*(I + Cot[c + d*x])^3) - (23*I)/(32*a^3*d*(I + Cot[c + d*x])^2) + 13/(16*a^3*d*(I + Cot[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^4/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^3, x, 13, -((I*Cos[c + d*x]^5)/(5*a^3*d)) + (4*I*Cos[c + d*x]^7)/(7*a^3*d) + Sin[c + d*x]/(a^3*d) - (2*Sin[c + d*x]^3)/(a^3*d) + (9*Sin[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) - (4*Sin[c + d*x]^7)/(7*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^3/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, x/(8*a^3) + (I*Cos[c + d*x]^3)/(6*d*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^3) + (I*Cos[c + d*x]^2)/(8*a*d*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2) + (I*Cos[c + d*x])/(8*d*(a^3*Cos[c + d*x] + I*a^3*Sin[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^3, x, 13, -((I*Cos[c + d*x]^3)/(3*a^3*d)) + (4*I*Cos[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + Sin[c + d*x]/(a^3*d) - (5*Sin[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (4*Sin[c + d*x]^5)/(5*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^3, x, 2, (I*Cot[c + d*x]^2)/(2*a^3*d*(I + Cot[c + d*x])^2)}
+{Cos[c + d*x]^0/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^3, x, 1, I/(3*d*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^3)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, -(x/a^3) + 2/(a^3*d*(I + Cot[c + d*x])) - (I*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) + (I*Log[Tan[c + d*x]])/(a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^3, x, 11, -((3*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^3*d)) + (4*I*Cos[c + d*x])/(a^3*d) + (I*Sec[c + d*x])/(a^3*d) + (4*Sin[c + d*x])/(a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^3, x, 4, (4*x)/a^3 + (4*I*Log[Sin[c + d*x]])/(a^3*d) - (4*I*Log[Tan[c + d*x]])/(a^3*d) - (3*Tan[c + d*x])/(a^3*d) + (I*Tan[c + d*x]^2)/(2*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^4/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^3, x, 10, (5*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (4*I*Sec[c + d*x])/(a^3*d) + (I*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) - (3*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^5/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (I*(I - Cot[c + d*x])^4*Tan[c + d*x]^4)/(4*a^3*d)}
+{Sec[c + d*x]^6/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^3, x, 13, (7*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*a^3*d) - (4*I*Sec[c + d*x]^3)/(3*a^3*d) + (I*Sec[c + d*x]^5)/(5*a^3*d) + (7*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*a^3*d) - (3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*a^3*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n symbolic*)
+
+
+{(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^n/Cos[c + d*x]^n, x, 1, -((I*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, (1/2)*(1 + I*Tan[c + d*x])]*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^n)/(Cos[c + d*x]^n*(2*d*n)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Trig[c+d x]^m (a Sec[c+d x]+b Tan[c+d x])^n*)
+
+
+{1/(Sec[x] + Tan[x]), x, 3, Log[1 + Sin[x]]}
+{Sin[x]/(Sec[x] + Tan[x]), x, 4, -Log[1 + Sin[x]] + Sin[x]}
+{Cos[x]/(Sec[x] + Tan[x]), x, 3, x + Cos[x]}
+{Tan[x]/(Sec[x] + Tan[x]), x, 3, x + Cos[x]/(1 + Sin[x])}
+{Cot[x]/(Sec[x] + Tan[x]), x, 4, -x - ArcTanh[Cos[x]]}
+{Sec[x]/(Sec[x] + Tan[x]), x, 2, -(Cos[x]/(1 + Sin[x]))}
+{Csc[x]/(Sec[x] + Tan[x]), x, 5, Log[Sin[x]] - Log[1 + Sin[x]]}
+
+
+{1/(Sec[x] - Tan[x]), x, 3, -Log[1 - Sin[x]]}
+{Sin[x]/(Sec[x] - Tan[x]), x, 4, -Log[1 - Sin[x]] - Sin[x]}
+{Cos[x]/(Sec[x] - Tan[x]), x, 3, x - Cos[x]}
+{Tan[x]/(Sec[x] - Tan[x]), x, 3, -x + Cos[x]/(1 - Sin[x])}
+{Cot[x]/(Sec[x] - Tan[x]), x, 4, x - ArcTanh[Cos[x]]}
+{Sec[x]/(Sec[x] - Tan[x]), x, 2, Cos[x]/(1 - Sin[x])}
+{Csc[x]/(Sec[x] - Tan[x]), x, 5, -Log[1 - Sin[x]] + Log[Sin[x]]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Trig[c+d x]^m (a Csc[c+d x]+b Cot[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Csc[c + d*x]*(Cot[c + d*x] + Csc[c + d*x]), x, 4, -(Cot[c + d*x]/d) - Csc[c + d*x]/d}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sin[x]/(Csc[x] + Cot[x]), x, 3, x - Sin[x]}
+{Cos[x]/(Csc[x] + Cot[x]), x, 4, -Cos[x] + Log[1 + Cos[x]]}
+{Tan[x]/(Csc[x] + Cot[x]), x, 4, -x+ArcTanh[Sin[x]]}
+{Cot[x]/(Csc[x] + Cot[x]), x, 3, x - Sin[x]/(1 + Cos[x])}
+{Sec[x]/(Csc[x] + Cot[x]), x, 5, -Log[Cos[x]] + Log[1 + Cos[x]]}
+{Csc[x]/(Csc[x] + Cot[x]), x, 2, Sin[x]/(1 + Cos[x])}
+
+
+{Sin[x]/(Csc[x] - Cot[x]), x, 3, x + Sin[x]}
+{Cos[x]/(Csc[x] - Cot[x]), x, 4, Cos[x] + Log[1 - Cos[x]]}
+{Tan[x]/(Csc[x] - Cot[x]), x, 4, x + ArcTanh[Sin[x]]}
+{Cot[x]/(Csc[x] - Cot[x]), x, 3, -x - Sin[x]/(1 - Cos[x])}
+{Sec[x]/(Csc[x] - Cot[x]), x, 5, Log[1 - Cos[x]] - Log[Cos[x]]}
+{Csc[x]/(Csc[x] - Cot[x]), x, 2, -(Sin[x]/(1 - Cos[x]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Trig[c+d x]^m (a Csc[c+d x]+b Sin[c+d x])^n*)
+
+
+{1/(Csc[c + d*x] + Sin[c + d*x]), x, 3, -(ArcTanh[Cos[c + d*x]/Sqrt[2]]/(Sqrt[2]*d))}
+{Sin[c + d*x]/(Csc[c + d*x] + Sin[c + d*x]), x, 4, x - x/Sqrt[2] - ArcTan[(Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(1 + Sqrt[2] + Sin[c + d*x]^2)]/(Sqrt[2]*d)}
+{Cos[c + d*x]/(Csc[c + d*x] + Sin[c + d*x]), x, 2, Log[1 + Sin[c + d*x]^2]/(2*d)}
+{Tan[c + d*x]/(Csc[c + d*x] + Sin[c + d*x]), x, 4, -(ArcTan[Sin[c + d*x]]/(2*d)) + ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]/(Csc[c + d*x] + Sin[c + d*x]), x, 2, ArcTan[Sin[c + d*x]]/d}
+{Sec[c + d*x]/(Csc[c + d*x] + Sin[c + d*x]), x, 3, ArcTanh[Sin[c + d*x]^2]/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]/(Csc[c + d*x] + Sin[c + d*x]), x, 2, x/Sqrt[2] + ArcTan[(Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(1 + Sqrt[2] + Sin[c + d*x]^2)]/(Sqrt[2]*d)}
+
+
+{1/(Csc[c + d*x] - Sin[c + d*x]), x, 3, Sec[c + d*x]/d}
+{Sin[c + d*x]/(Csc[c + d*x] - Sin[c + d*x]), x, 3, -x + Tan[c + d*x]/d}
+{Cos[c + d*x]/(Csc[c + d*x] - Sin[c + d*x]), x, 2, -(Log[Cos[c + d*x]]/d)}
+{Tan[c + d*x]/(Csc[c + d*x] - Sin[c + d*x]), x, 3, -(ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(2*d)) + (Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Cot[c + d*x]/(Csc[c + d*x] - Sin[c + d*x]), x, 2, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/d}
+{Sec[c + d*x]/(Csc[c + d*x] - Sin[c + d*x]), x, 2, Sec[c + d*x]^2/(2*d)}
+{Csc[c + d*x]/(Csc[c + d*x] - Sin[c + d*x]), x, 2, Tan[c + d*x]/d}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Trig[c+d x]^m (a Sin[c+d x]+b Tan[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[c+d x]^m (a Sin[c+d x]+b Tan[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x]), x, 6, -((b*Cos[c + d*x]^3)/(3*d)) - (a*Cos[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x]), x, 6, -((a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d)) + (b*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x]), x, 5, -((b + a*Cos[c + d*x])^2/(2*a*d)), -((b*Cos[c + d*x])/d) + (a*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x]), x, 3, -((a*Cos[c + d*x])/d) - (b*Log[Cos[c + d*x]])/d}
+{Sec[c + d*x]^1*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x]), x, 5, -((a*Log[Cos[c + d*x]])/d) + (b*Sec[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^2*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x]), x, 6, (a*Sec[c + d*x])/d + (b*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x]), x, 6, (a*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (b*Sec[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, (a*b*x)/4 - (a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) + ((4*a^2 + b^2)*Sin[c + d*x]^3)/(30*d) + (b*(b + a*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x]^3)/(10*d) + ((b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x]^3)/(5*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^2, x, 5, (1/8)*(a^2 + 4*b^2)*x - ((a^2 + 4*b^2)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) + (5*a*b*Sin[c + d*x]^3)/(12*d) + (a*(b + a*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Cos[c + d*x]^1*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^2, x, 7, a*b*x + (b^2*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x])/(3*d) - (a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*d) - ((b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(3*d)}
+{Cos[c + d*x]^0*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^2, x, 10, (a^2*x)/2 - b^2*x + (2*a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d - (2*a*b*Sin[c + d*x])/d - (a^2*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d) + (b^2*Tan[c + d*x])/d}
+{Sec[c + d*x]^1*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^2, x, 7, -2*a*b*x + ((2*a^2 - b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*d) - (3*a^2*Sin[c + d*x])/(2*d) + (a*b*Tan[c + d*x])/d + ((b + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^2, x, 7, (-a^2)*x - (a*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/d + ((2*a^2 - b^2)*Tan[c + d*x])/(3*d) + (a*b*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((b + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^2, x, 9, -(((4*a^2 + b^2)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(8*d)) - (2*a*b*Tan[c + d*x])/(3*d) + ((2*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(8*d) + (a*b*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(6*d) + ((b + a*Cos[c + d*x])^2*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(4*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, -(((a^2 - b^2)*(b + a*Cos[c + d*x])^4)/(4*a^3*d)) - (2*b*(b + a*Cos[c + d*x])^5)/(5*a^3*d) + (b + a*Cos[c + d*x])^6/(6*a^3*d)}
+{Cos[c + d*x]^2*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^3, x, 5, -((3*a*b^2*Cos[c + d*x])/d) - (b*(3*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*(a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^2*b*Cos[c + d*x]^4)/(4*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^3*Log[Cos[c + d*x]])/d}
+{Cos[c + d*x]^1*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^3, x, 5, -((b*(3*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x])/d) - (a*(a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]^2)/(2*d) + (a^2*b*Cos[c + d*x]^3)/d + (a^3*Cos[c + d*x]^4)/(4*d) - (3*a*b^2*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b^3*Sec[c + d*x])/d}
+{Cos[c + d*x]^0*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, -((a*(a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x])/d) + (3*a^2*b*Cos[c + d*x]^2)/(2*d) + (a^3*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*(3*a^2 - b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (3*a*b^2*Sec[c + d*x])/d + (b^3*Sec[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Sec[c + d*x]^1*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^3, x, 5, (3*a^2*b*Cos[c + d*x])/d + (a^3*Cos[c + d*x]^2)/(2*d) - (a*(a^2 - 3*b^2)*Log[Cos[c + d*x]])/d + (b*(3*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x])/d + (3*a*b^2*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (b^3*Sec[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sec[c + d*x]^2*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^3, x, 5, (a^3*Cos[c + d*x])/d + (3*a^2*b*Log[Cos[c + d*x]])/d + (a*(a^2 - 3*b^2)*Sec[c + d*x])/d + (b*(3*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*b^2*Sec[c + d*x]^3)/d + (b^3*Sec[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Sec[c + d*x]^3*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^3, x, 5, (a^3*Log[Cos[c + d*x]])/d - (3*a^2*b*Sec[c + d*x])/d + (a*(a^2 - 3*b^2)*Sec[c + d*x]^2)/(2*d) + (b*(3*a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a*b^2*Sec[c + d*x]^4)/(4*d) + (b^3*Sec[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^3/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x]), x, 5, -((b*Cos[c + d*x])/(a^2*d)) + Cos[c + d*x]^2/(2*a*d) + Log[1 - Cos[c + d*x]]/(2*(a + b)*d) + Log[1 + Cos[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) - (b^4*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/(a^3*(a^2 - b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x]), x, 5, Cos[c + d*x]/(a*d) + Log[1 - Cos[c + d*x]]/(2*(a + b)*d) - Log[1 + Cos[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) + (b^3*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x]), x, 5, Log[1 - Cos[c + d*x]]/(2*(a + b)*d) + Log[1 + Cos[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) - (b^2*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/(a*(a^2 - b^2)*d)}
+{Cos[c + d*x]^0/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x]), x, 4, Log[1 - Cos[c + d*x]]/(2*(a + b)*d) - Log[1 + Cos[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) + (b*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x]), x, 7, Log[1 - Cos[c + d*x]]/(2*(a + b)*d) + Log[1 + Cos[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) - (a*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x]), x, 5, Log[1 - Cos[c + d*x]]/(2*(a + b)*d) - Log[Cos[c + d*x]]/(b*d) - Log[1 + Cos[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) + (a^2*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/(b*(a^2 - b^2)*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x]), x, 5, Log[1 - Cos[c + d*x]]/(2*(a + b)*d) + (a*Log[Cos[c + d*x]])/(b^2*d) + Log[1 + Cos[c + d*x]]/(2*(a - b)*d) - (a^3*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/(b^2*(a^2 - b^2)*d) + Sec[c + d*x]/(b*d)}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^2, x, 12, (2*b*x)/a^3 + (2*b^6*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) + (2*b^4*(5*a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(a^2*d) - Sin[c + d*x]/(2*(a + b)^2*d*(1 - Cos[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(2*(a - b)^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (b^5*Sin[c + d*x])/(a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^2/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^2, x, 11, -(x/a^2) - (2*b^5*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (4*b^3*(2*a^2 - b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(2*(a + b)^2*d*(1 - Cos[c + d*x])) + Sin[c + d*x]/(2*(a - b)^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + (b^4*Sin[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^1/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^2, x, 11, (2*b^4*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) + (2*b^2*(3*a^2 - b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(2*(a + b)^2*d*(1 - Cos[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(2*(a - b)^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (b^3*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{Cos[c + d*x]^0/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^2, x, 11, -((4*a^2*b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) - (2*b^3*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(2*(a + b)^2*d*(1 - Cos[c + d*x])) + Sin[c + d*x]/(2*(a - b)^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) + (a*b^2*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+{Sec[c + d*x]^1/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, (2*a*(a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (b*Csc[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x])) - ((a^2 + 2*b^2 - 3*a*b*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^2, x, 6, -((6*a^2*b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) + (a*Csc[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + ((3*a*b - (2*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^2, x, 12, ArcTanh[Sin[c + d*x]]/(b^2*d) + (2*a^3*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (2*a^3*(a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^2*(a + b)^(5/2)*d) - Sin[c + d*x]/(2*(a + b)^2*d*(1 - Cos[c + d*x])) - Sin[c + d*x]/(2*(a - b)^2*d*(1 + Cos[c + d*x])) - (a^4*Sin[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x]))}
+
+
+{Cos[c + d*x]^3/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^3, x, 6, b^6/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) - (2*b^5*(3*a^2 - b^2))/(a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(b + a*Cos[c + d*x])) - ((a*(a^2 + 3*b^2) - b*(3*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^2)/(2*(a^2 - b^2)^3*d) - ((2*a + 5*b)*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(4*(a + b)^4*d) - ((2*a - 5*b)*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(4*(a - b)^4*d) - (b^4*(15*a^4 - 4*a^2*b^2 + b^4)*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/(a^3*(a^2 - b^2)^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^2/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^3, x, 6, -(b^5/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2)) + (b^4*(5*a^2 - b^2))/(a^2*(a^2 - b^2)^3*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + ((b*(3*a^2 + b^2) - a*(a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^2)/(2*(a^2 - b^2)^3*d) - ((a + 4*b)*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(4*(a + b)^4*d) + ((a - 4*b)*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(4*(a - b)^4*d) + (2*b^3*(5*a^2 + b^2)*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^1/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^3, x, 6, b^4/(2*a*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) - (4*a*b^3)/((a^2 - b^2)^3*d*(b + a*Cos[c + d*x])) - ((a*(a^2 + 3*b^2) - b*(3*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^2)/(2*(a^2 - b^2)^3*d) - (3*b*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(4*(a + b)^4*d) + (3*b*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(4*(a - b)^4*d) - (6*a*b^2*(a^2 + b^2)*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^4*d)}
+{Cos[c + d*x]^0/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^3, x, 5, -(b^3/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2)) + (b^2*(3*a^2 + b^2))/((a^2 - b^2)^3*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + ((b*(3*a^2 + b^2) - a*(a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^2)/(2*(a^2 - b^2)^3*d) + ((a - 2*b)*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(4*(a + b)^4*d) - ((a + 2*b)*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(4*(a - b)^4*d) + (b*(3*a^4 + 8*a^2*b^2 + b^4)*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^4*d)}
+{Sec[c + d*x]^1/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^3, x, 6, (a*b^2)/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) - (2*a*b*(a^2 + b^2))/((a^2 - b^2)^3*d*(b + a*Cos[c + d*x])) - ((a*(a^2 + 3*b^2) - b*(3*a^2 + b^2)*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^2)/(2*(a^2 - b^2)^3*d) + ((2*a - b)*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(4*(a + b)^4*d) + ((2*a + b)*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(4*(a - b)^4*d) - (a*(a^4 + 8*a^2*b^2 + 3*b^4)*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^4*d)}
+{Sec[c + d*x]^2/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^3, x, 6, -((3*a^2*b)/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2)) + (3*a^2*(a^2 + 3*b^2))/(2*(a^2 - b^2)^3*d*(b + a*Cos[c + d*x])) + ((b - a*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^2)/(2*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + (3*a*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(4*(a + b)^4*d) - (3*a*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(4*(a - b)^4*d) + (6*a^2*b*(a^2 + b^2)*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^4*d)}
+{Sec[c + d*x]^3/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^3, x, 5, (a*(2*a^2 + b^2))/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) - (a*b*(11*a^2 + b^2))/(2*(a^2 - b^2)^3*d*(b + a*Cos[c + d*x])) - ((a - b*Cos[c + d*x])*Csc[c + d*x]^2)/(2*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + ((4*a + b)*Log[1 - Cos[c + d*x]])/(4*(a + b)^4*d) + ((4*a - b)*Log[1 + Cos[c + d*x]])/(4*(a - b)^4*d) - (2*a^3*(a^2 + 5*b^2)*Log[b + a*Cos[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^4*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[c+d x]^m (a Sin[c+d x]+b Tan[c+d x])^n with m symbolic*)
+
+
+{Cos[c + d*x]^m*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^3, x, 4, (b^3*Cos[c + d*x]^(-2 + m))/(d*(2 - m)) + (3*a*b^2*Cos[c + d*x]^(-1 + m))/(d*(1 - m)) - (b*(3*a^2 - b^2)*Cos[c + d*x]^m)/(d*m) - (a*(a^2 - 3*b^2)*Cos[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (3*a^2*b*Cos[c + d*x]^(2 + m))/(d*(2 + m)) + (a^3*Cos[c + d*x]^(3 + m))/(d*(3 + m))}
+{Cos[c + d*x]^m*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^2, x, 8, ((a^2 - 2*b^2)*Cos[c + d*x]^(-1 + m)*Sin[c + d*x])/(d*m*(2 + m)) - (2*a*b*Cos[c + d*x]^m*Sin[c + d*x])/(d*(2 + 3*m + m^2)) - (Cos[c + d*x]^(-1 + m)*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Sin[c + d*x])/(d*(2 + m)) - ((a^2*(1 - m) - b^2*(2 + m))*Cos[c + d*x]^(-1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 + m), (1 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*(1 - m)*m*(2 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2]) - (2*a*b*Cos[c + d*x]^m*Hypergeometric2F1[1/2, m/2, (2 + m)/2, Cos[c + d*x]^2]*Sin[c + d*x])/(d*m*(1 + m)*Sqrt[Sin[c + d*x]^2])}
+{Cos[c + d*x]^m*(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^1, x, 6, -((b*Cos[c + d*x]^m)/(d*m)) - (a*Cos[c + d*x]^(1 + m))/(d*(1 + m))}
+{Cos[c + d*x]^m/(a*Sin[c + d*x] + b*Tan[c + d*x])^1, x, 7, (Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, -Cos[c + d*x]])/(2*(a - b)*d*(2 + m)) - (Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, Cos[c + d*x]])/(2*(a + b)*d*(2 + m)) - (a^2*Cos[c + d*x]^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, -((a*Cos[c + d*x])/b)])/(b*(a^2 - b^2)*d*(2 + m))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[c+d x]^m Sin[c+d x]^n (a Cos[c+d x]+b Sin[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cos[x]*Sin[x]^1/(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 5, (a*b*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(3/2) - (a*Cos[x])/(a^2 + b^2) + (b*Sin[x])/(a^2 + b^2)}
+{Cos[x]*Sin[x]^2/(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 7, -((a*b^2*x)/(a^2 + b^2)^2) + (a*x)/(2*(a^2 + b^2)) + (a^2*b*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^2 - (a*Cos[x]*Sin[x])/(2*(a^2 + b^2)) + (b*Sin[x]^2)/(2*(a^2 + b^2))}
+{Cos[x]*Sin[x]^3/(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 9, (a^3*b*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2) + (a*b^2*Cos[x])/(a^2 + b^2)^2 - (a*Cos[x])/(a^2 + b^2) + (a*Cos[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)) + (a^2*b*Sin[x])/(a^2 + b^2)^2 + (b*Sin[x]^3)/(3*(a^2 + b^2))}
+
+{Cos[x]^2*Sin[x]^1/(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 7, -((a^2*b*x)/(a^2 + b^2)^2) + (b*x)/(2*(a^2 + b^2)) - (a*b^2*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^2 + (b*Cos[x]*Sin[x])/(2*(a^2 + b^2)) + (a*Sin[x]^2)/(2*(a^2 + b^2))}
+{Cos[x]^2*Sin[x]^2/(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 10, -((a^2*b^2*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2)) + (a^2*b*Cos[x])/(a^2 + b^2)^2 - (b*Cos[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)) - (a*b^2*Sin[x])/(a^2 + b^2)^2 + (a*Sin[x]^3)/(3*(a^2 + b^2))}
+{Cos[x]^2*Sin[x]^3/(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 13, (a^2*b^3*x)/(a^2 + b^2)^3 - (a^2*b*x)/(2*(a^2 + b^2)^2) + (b*x)/(8*(a^2 + b^2)) - (a^3*b^2*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^3 + (a^2*b*Cos[x]*Sin[x])/(2*(a^2 + b^2)^2) + (b*Cos[x]*Sin[x])/(8*(a^2 + b^2)) - (b*Cos[x]^3*Sin[x])/(4*(a^2 + b^2)) - (a*b^2*Sin[x]^2)/(2*(a^2 + b^2)^2) + (a*Sin[x]^4)/(4*(a^2 + b^2))}
+
+{Cos[x]^3*Sin[x]^1/(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 9, (a*b^3*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2) - (a*b^2*Cos[x])/(a^2 + b^2)^2 - (a*Cos[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)) - (a^2*b*Sin[x])/(a^2 + b^2)^2 + (b*Sin[x])/(a^2 + b^2) - (b*Sin[x]^3)/(3*(a^2 + b^2))}
+{Cos[x]^3*Sin[x]^2/(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 13, (a^3*b^2*x)/(a^2 + b^2)^3 - (a*b^2*x)/(2*(a^2 + b^2)^2) + (a*x)/(8*(a^2 + b^2)) - (b*Cos[x]^4)/(4*(a^2 + b^2)) + (a^2*b^3*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^3 - (a*b^2*Cos[x]*Sin[x])/(2*(a^2 + b^2)^2) + (a*Cos[x]*Sin[x])/(8*(a^2 + b^2)) - (a*Cos[x]^3*Sin[x])/(4*(a^2 + b^2)) - (a^2*b*Sin[x]^2)/(2*(a^2 + b^2)^2)}
+{Cos[x]^3*Sin[x]^3/(a*Cos[x] + b*Sin[x]), x, 17, (a^3*b^3*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(7/2) - (a^3*b^2*Cos[x])/(a^2 + b^2)^3 + (a*b^2*Cos[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2) - (a*Cos[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)) + (a*Cos[x]^5)/(5*(a^2 + b^2)) + (a^2*b^3*Sin[x])/(a^2 + b^2)^3 - (a^2*b*Sin[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2) + (b*Sin[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)) - (b*Sin[x]^5)/(5*(a^2 + b^2))}
+
+
+{Cos[x]*Sin[x]^1/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2, x, 6, (2*a*b*x)/(a^2 + b^2)^2 - ((a^2 - b^2)*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^2 - (b*Sin[x])/((a^2 + b^2)*(a*Cos[x] + b*Sin[x])), (2*a*b*x)/(a^2 + b^2)^2 - (a^2*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^2 + (b^2*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^2 - (b*Sin[x])/((a^2 + b^2)*(a*Cos[x] + b*Sin[x]))}
+{Cos[x]*Sin[x]^2/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2, x, 13, -((a*(a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2)) - (2*a*b*Cos[x])/(a^2 + b^2)^2 - ((a^2 - b^2)*Sin[x])/(a^2 + b^2)^2 - (a^2*b)/((a^2 + b^2)^2*(a*Cos[x] + b*Sin[x])), -((a^3*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2)) + (2*a*b^2*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2) - (2*a*b*Cos[x])/(a^2 + b^2)^2 - (a^2*Sin[x])/(a^2 + b^2)^2 + (b^2*Sin[x])/(a^2 + b^2)^2 - (a^2*b)/((a^2 + b^2)^2*(a*Cos[x] + b*Sin[x]))}
+{Cos[x]*Sin[x]^3/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2, x, 17, (b*(3*a^3 - a*b^2)*x)/(a^2 + b^2)^3 - (a^2*(a^2 - 3*b^2)*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^3 - (a*b*Cos[x]*Sin[x])/(a^2 + b^2)^2 - ((a^2 - b^2)*Sin[x]^2)/(2*(a^2 + b^2)^2) - (a^2*b*Sin[x])/((a^2 + b^2)^2*(a*Cos[x] + b*Sin[x])), (a^3*b*x)/(a^2 + b^2)^3 - (a*b^3*x)/(a^2 + b^2)^3 + (a*b*(a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^3 + (a*b*x)/(a^2 + b^2)^2 - (a^2*b)/((a^2 + b^2)^2*(b + a*Cot[x])) - (a^4*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^3 + (3*a^2*b^2*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^3 - (a*b*Cos[x]*Sin[x])/(a^2 + b^2)^2 - (a^2*Sin[x]^2)/(2*(a^2 + b^2)^2) + (b^2*Sin[x]^2)/(2*(a^2 + b^2)^2)}
+
+{Cos[x]^2*Sin[x]^1/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2, x, 13, -((b*(-2*a^2 + b^2)*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2)) - ((a^2 - b^2)*Cos[x])/(a^2 + b^2)^2 + (2*a*b*Sin[x])/(a^2 + b^2)^2 + (a*b^2)/((a^2 + b^2)^2*(a*Cos[x] + b*Sin[x])), (2*a^2*b*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2) - (b^3*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2) - (a^2*Cos[x])/(a^2 + b^2)^2 + (b^2*Cos[x])/(a^2 + b^2)^2 + (2*a*b*Sin[x])/(a^2 + b^2)^2 + (a*b^2)/((a^2 + b^2)^2*(a*Cos[x] + b*Sin[x]))}
+{Cos[x]^2*Sin[x]^2/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2, x, 21, ((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x)/(2*(a^2 + b^2)^3) + (2*a*b*(a^2 - b^2)*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^3 + ((-a^2 + b^2)*Cos[x]*Sin[x])/(2*(a^2 + b^2)^2) + (a*b*Sin[x]^2)/(a^2 + b^2)^2 + (a*b^2*Sin[x])/((a^2 + b^2)^2*(a*Cos[x] + b*Sin[x])), -((4*a^2*b^2*x)/(a^2 + b^2)^3) + (a^2*x)/(2*(a^2 + b^2)^2) + (b^2*x)/(2*(a^2 + b^2)^2) + (2*a^3*b*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^3 - (2*a*b^3*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^3 - (a^2*Cos[x]*Sin[x])/(2*(a^2 + b^2)^2) + (b^2*Cos[x]*Sin[x])/(2*(a^2 + b^2)^2) + (a*b*Sin[x]^2)/(a^2 + b^2)^2 + (a*b^2*Sin[x])/((a^2 + b^2)^2*(a*Cos[x] + b*Sin[x]))}
+{Cos[x]^2*Sin[x]^3/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2, x, 33, (a^2*b*(2*a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(7/2) - (a^2*(a^2 - 3*b^2)*Cos[x])/(a^2 + b^2)^3 + ((a^2 - b^2)*Cos[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2) + (2*a*b*(a^2 - b^2)*Sin[x])/(a^2 + b^2)^3 + (2*a*b*Sin[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2) + (a^3*b^2)/((a^2 + b^2)^3*(a*Cos[x] + b*Sin[x])), (2*a^4*b*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(7/2) - (3*a^2*b^3*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(7/2) + (4*a^2*b^2*Cos[x])/(a^2 + b^2)^3 - (a^2*Cos[x])/(a^2 + b^2)^2 + (a^2*Cos[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2) - (b^2*Cos[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2) + (2*a^3*b*Sin[x])/(a^2 + b^2)^3 - (2*a*b^3*Sin[x])/(a^2 + b^2)^3 + (2*a*b*Sin[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2) + (a^3*b^2)/((a^2 + b^2)^3*(a*Cos[x] + b*Sin[x]))}
+
+{Cos[x]^3*Sin[x]^1/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2, x, 17, -((a*b*(a^2 - 3*b^2)*x)/(a^2 + b^2)^3) - (b^2*(3*a^2 - b^2)*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^3 + (a*b*Cos[x]*Sin[x])/(a^2 + b^2)^2 + ((a^2 - b^2)*Sin[x]^2)/(2*(a^2 + b^2)^2) + (a*b^2*Cos[x])/((a^2 + b^2)^2*(a*Cos[x] + b*Sin[x])), -((a^3*b*x)/(a^2 + b^2)^3) + (a*b^3*x)/(a^2 + b^2)^3 - (a*b*(a^2 - b^2)*x)/(a^2 + b^2)^3 + (a*b*x)/(a^2 + b^2)^2 + (b^2*Cos[x]^2)/(2*(a^2 + b^2)^2) - (3*a^2*b^2*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^3 + (b^4*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^3 + (a*b*Cos[x]*Sin[x])/(a^2 + b^2)^2 + (a^2*Sin[x]^2)/(2*(a^2 + b^2)^2) + (a*b^2)/((a^2 + b^2)^2*(a + b*Tan[x]))}
+{Cos[x]^3*Sin[x]^2/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2, x, 33, -((a*b^2*(3*a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(7/2)) + (2*a*b*(a^2 - b^2)*Cos[x])/(a^2 + b^2)^3 - (2*a*b*Cos[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2) - (b^2*(3*a^2 - b^2)*Sin[x])/(a^2 + b^2)^3 + ((a^2 - b^2)*Sin[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2) - (a^2*b^3)/((a^2 + b^2)^3*(a*Cos[x] + b*Sin[x])), -((3*a^3*b^2*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(7/2)) + (2*a*b^4*ArcTanh[(b*Cos[x] - a*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(7/2) + (2*a^3*b*Cos[x])/(a^2 + b^2)^3 - (2*a*b^3*Cos[x])/(a^2 + b^2)^3 - (2*a*b*Cos[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2) - (4*a^2*b^2*Sin[x])/(a^2 + b^2)^3 + (b^2*Sin[x])/(a^2 + b^2)^2 + (a^2*Sin[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2) - (b^2*Sin[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2) - (a^2*b^3)/((a^2 + b^2)^3*(a*Cos[x] + b*Sin[x]))}
+{Cos[x]^3*Sin[x]^3/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2, x, 48, -((3*a*b*(a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x)/(4*(a^2 + b^2)^4)) - (b^2*Cos[x]^4)/(4*(a^2 + b^2)^2) - (3*a^2*b^2*(a^2 - b^2)*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^4 + (a*b*(5*a^2 - 3*b^2)*Cos[x]*Sin[x])/(4*(a^2 + b^2)^3) - (a*b*Cos[x]^3*Sin[x])/(2*(a^2 + b^2)^2) - (2*a^2*b^2*Sin[x]^2)/(a^2 + b^2)^3 + (a^2*Sin[x]^4)/(4*(a^2 + b^2)^2) - (a^2*b^3*Sin[x])/((a^2 + b^2)^3*(a*Cos[x] + b*Sin[x])), (6*a^3*b^3*x)/(a^2 + b^2)^4 - (a^3*b*x)/(a^2 + b^2)^3 - (a*b^3*x)/(a^2 + b^2)^3 + (a*b*x)/(4*(a^2 + b^2)^2) - (b^2*Cos[x]^4)/(4*(a^2 + b^2)^2) - (3*a^4*b^2*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^4 + (3*a^2*b^4*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^4 + (a^3*b*Cos[x]*Sin[x])/(a^2 + b^2)^3 - (a*b^3*Cos[x]*Sin[x])/(a^2 + b^2)^3 + (a*b*Cos[x]*Sin[x])/(4*(a^2 + b^2)^2) - (a*b*Cos[x]^3*Sin[x])/(2*(a^2 + b^2)^2) - (2*a^2*b^2*Sin[x]^2)/(a^2 + b^2)^3 + (a^2*Sin[x]^4)/(4*(a^2 + b^2)^2) - (a^2*b^3*Sin[x])/((a^2 + b^2)^3*(a*Cos[x] + b*Sin[x]))}
+
+
+{Tan[x]/(a*Sin[x] + b*Cos[x]), x, 5, ArcTanh[Sin[x]]/a + (b*ArcTanh[(a*Cos[x] - b*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a*Sqrt[a^2 + b^2])}
+
+
+{Cot[x]/(a*Sin[x] + b*Cos[x]), x, 5, -(ArcTanh[Cos[x]]/b) + (a*ArcTanh[(a*Cos[x] - b*Sin[x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b*Sqrt[a^2 + b^2])}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.3 (c+d x)^m trig^n trig^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.3 (c+d x)^m trig^n trig^p.m
new file mode 100644
index 00000000..54b6ff13
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.3 (c+d x)^m trig^n trig^p.m	
@@ -0,0 +1,753 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Cos[a+b x]^n Sin[a+b x]^p*)
+
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Cos[a+b x]^1 Sin[a+b x]^p*)
+
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Cos[a+b x] Sin[a+b x]^p*)
+
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]*(c + d*x)^m, x, 5, -((2^(-3 - m)*E^(2*I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((2*I*b*(c + d*x))/d)])/((-((I*b*(c + d*x))/d))^m*b)) - (2^(-3 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*I*b*(c + d*x))/d])/(E^(2*I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*b)}
+
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]*(c + d*x)^4, x, 5, (3*c*d^3*x)/(2*b^3) + (3*d^4*x^2)/(4*b^3) - (c + d*x)^4/(4*b) - (3*d^3*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^4) + (d*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^2 + (3*d^4*Sin[a + b*x]^2)/(4*b^5) - (3*d^2*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x]^2)/(2*b^3) + ((c + d*x)^4*Sin[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]*(c + d*x)^3, x, 5, (3*d^3*x)/(8*b^3) - (c + d*x)^3/(4*b) - (3*d^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(8*b^4) + (3*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(4*b^2) - (3*d^2*(c + d*x)*Sin[a + b*x]^2)/(4*b^3) + ((c + d*x)^3*Sin[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]*(c + d*x)^2, x, 3, -((c*d*x)/(2*b)) - (d^2*x^2)/(4*b) + (d*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^2) - (d^2*Sin[a + b*x]^2)/(4*b^3) + ((c + d*x)^2*Sin[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]*(c + d*x)^1, x, 3, -((d*x)/(4*b)) + (d*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(4*b^2) + ((c + d*x)*Sin[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 5, (CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(2*d) + (Cos[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(2*d)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 6, (b*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^2 - Sin[2*a + 2*b*x]/(2*d*(c + d*x)) - (b*Sin[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^2}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]/(c + d*x)^3, x, 7, -((b*Cos[2*a + 2*b*x])/(2*d^2*(c + d*x))) - (b^2*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/d^3 - Sin[2*a + 2*b*x]/(4*d*(c + d*x)^2) - (b^2*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^3}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]/(c + d*x)^4, x, 8, -((b*Cos[2*a + 2*b*x])/(6*d^2*(c + d*x)^2)) - (2*b^3*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(3*d^4) - Sin[2*a + 2*b*x]/(6*d*(c + d*x)^3) + (b^2*Sin[2*a + 2*b*x])/(3*d^3*(c + d*x)) + (2*b^3*Sin[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(3*d^4)}
+
+{Sin[x]*Cos[x]/x^1, x, 3, (1/2)*SinIntegral[2*x]}
+{Sin[x]*Cos[x]/x^2, x, 4, CosIntegral[2*x] - Sin[2*x]/(2*x)}
+{Sin[x]*Cos[x]/x^3, x, 5, -(Cos[2*x]/(2*x)) - Sin[2*x]/(4*x^2) - SinIntegral[2*x]}
+
+
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^m, x, 8, -((I*E^(I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*b*(c + d*x))/d)])/((-((I*b*(c + d*x))/d))^m*(8*b))) + (I*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*b*(c + d*x))/d])/(E^(I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*(8*b)) + (I*3^(-1 - m)*E^(3*I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((3*I*b*(c + d*x))/d)])/((-((I*b*(c + d*x))/d))^m*(8*b)) - (I*3^(-1 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (3*I*b*(c + d*x))/d])/(E^(3*I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*(8*b))}
+
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^4, x, 9, -((160*d^3*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/(27*b^4)) + (8*d*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x])/(9*b^2) + (160*d^4*Sin[a + b*x])/(27*b^5) - (8*d^2*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/(3*b^3) - (8*d^3*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2)/(27*b^4) + (4*d*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2)/(9*b^2) + (8*d^4*Sin[a + b*x]^3)/(81*b^5) - (4*d^2*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x]^3)/(9*b^3) + ((c + d*x)^4*Sin[a + b*x]^3)/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^3, x, 7, -((14*d^3*Cos[a + b*x])/(9*b^4)) + (2*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/(3*b^2) + (2*d^3*Cos[a + b*x]^3)/(27*b^4) - (4*d^2*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/(3*b^3) + (d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2)/(3*b^2) - (2*d^2*(c + d*x)*Sin[a + b*x]^3)/(9*b^3) + ((c + d*x)^3*Sin[a + b*x]^3)/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^2, x, 4, (4*d*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/(9*b^2) - (4*d^2*Sin[a + b*x])/(9*b^3) + (2*d*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2)/(9*b^2) - (2*d^2*Sin[a + b*x]^3)/(27*b^3) + ((c + d*x)^2*Sin[a + b*x]^3)/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^1, x, 3, (d*Cos[a + b*x])/(3*b^2) - (d*Cos[a + b*x]^3)/(9*b^2) + ((c + d*x)*Sin[a + b*x]^3)/(3*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2/(c + d*x)^1, x, 8, (Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/(4*d) - (Cos[3*a - (3*b*c)/d]*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(4*d) - (Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(4*d) + (Sin[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(4*d)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x, 10, -(Cos[a + b*x]/(4*d*(c + d*x))) + Cos[3*a + 3*b*x]/(4*d*(c + d*x)) + (3*b*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(4*d^2) - (b*CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(4*d^2) - (b*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(4*d^2) + (3*b*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(4*d^2)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2/(c + d*x)^3, x, 12, -(Cos[a + b*x]/(8*d*(c + d*x)^2)) + Cos[3*a + 3*b*x]/(8*d*(c + d*x)^2) - (b^2*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/(8*d^3) + (9*b^2*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(8*d^3) + (b*Sin[a + b*x])/(8*d^2*(c + d*x)) - (3*b*Sin[3*a + 3*b*x])/(8*d^2*(c + d*x)) + (b^2*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(8*d^3) - (9*b^2*Sin[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(8*d^3)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2/(c + d*x)^4, x, 14, -(Cos[a + b*x]/(12*d*(c + d*x)^3)) + (b^2*Cos[a + b*x])/(24*d^3*(c + d*x)) + Cos[3*a + 3*b*x]/(12*d*(c + d*x)^3) - (3*b^2*Cos[3*a + 3*b*x])/(8*d^3*(c + d*x)) - (9*b^3*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(8*d^4) + (b^3*CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(24*d^4) + (b*Sin[a + b*x])/(24*d^2*(c + d*x)^2) - (b*Sin[3*a + 3*b*x])/(8*d^2*(c + d*x)^2) + (b^3*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(24*d^4) - (9*b^3*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(8*d^4)}
+
+
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^m, x, 8, -((2^(-4 - m)*E^(2*I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((2*I*b*(c + d*x))/d)])/((-((I*b*(c + d*x))/d))^m*b)) - (2^(-4 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*I*b*(c + d*x))/d])/(E^(2*I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*b) + (E^(4*I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((4*I*b*(c + d*x))/d)])/(2^(2*(3 + m))*(-((I*b*(c + d*x))/d))^m*b) + ((c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (4*I*b*(c + d*x))/d])/(2^(2*(3 + m))*E^(4*I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*b)}
+
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^4, x, 9, (45*c*d^3*x)/(64*b^3) + (45*d^4*x^2)/(128*b^3) - (3*(c + d*x)^4)/(32*b) - (45*d^3*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(64*b^4) + (3*d*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(8*b^2) + (45*d^4*Sin[a + b*x]^2)/(128*b^5) - (9*d^2*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x]^2)/(16*b^3) - (3*d^3*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3)/(32*b^4) + (d*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3)/(4*b^2) + (3*d^4*Sin[a + b*x]^4)/(128*b^5) - (3*d^2*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x]^4)/(16*b^3) + ((c + d*x)^4*Sin[a + b*x]^4)/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^3, x, 9, (45*d^3*x)/(256*b^3) - (3*(c + d*x)^3)/(32*b) - (45*d^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(256*b^4) + (9*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(32*b^2) - (9*d^2*(c + d*x)*Sin[a + b*x]^2)/(32*b^3) - (3*d^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3)/(128*b^4) + (3*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3)/(16*b^2) - (3*d^2*(c + d*x)*Sin[a + b*x]^4)/(32*b^3) + ((c + d*x)^3*Sin[a + b*x]^4)/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^2, x, 4, -((3*c*d*x)/(16*b)) - (3*d^2*x^2)/(32*b) + (3*d*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(16*b^2) - (3*d^2*Sin[a + b*x]^2)/(32*b^3) + (d*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3)/(8*b^2) - (d^2*Sin[a + b*x]^4)/(32*b^3) + ((c + d*x)^2*Sin[a + b*x]^4)/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^1, x, 4, -((3*d*x)/(32*b)) + (3*d*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(32*b^2) + (d*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3)/(16*b^2) + ((c + d*x)*Sin[a + b*x]^4)/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3/(c + d*x)^1, x, 8, -((CosIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(8*d)) + (CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(4*d) + (Cos[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(4*d) - (Cos[4*a - (4*b*c)/d]*SinIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x])/(8*d)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x, 10, (b*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(2*d^2) - (b*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*CosIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x])/(2*d^2) - Sin[2*a + 2*b*x]/(4*d*(c + d*x)) + Sin[4*a + 4*b*x]/(8*d*(c + d*x)) - (b*Sin[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(2*d^2) + (b*Sin[4*a - (4*b*c)/d]*SinIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x])/(2*d^2)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3/(c + d*x)^3, x, 12, -((b*Cos[2*a + 2*b*x])/(4*d^2*(c + d*x))) + (b*Cos[4*a + 4*b*x])/(4*d^2*(c + d*x)) + (b^2*CosIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/d^3 - (b^2*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(2*d^3) - Sin[2*a + 2*b*x]/(8*d*(c + d*x)^2) + Sin[4*a + 4*b*x]/(16*d*(c + d*x)^2) - (b^2*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(2*d^3) + (b^2*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*SinIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x])/d^3}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3/(c + d*x)^4, x, 14, -((b*Cos[2*a + 2*b*x])/(12*d^2*(c + d*x)^2)) + (b*Cos[4*a + 4*b*x])/(12*d^2*(c + d*x)^2) - (b^3*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(3*d^4) + (4*b^3*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*CosIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x])/(3*d^4) - Sin[2*a + 2*b*x]/(12*d*(c + d*x)^3) + (b^2*Sin[2*a + 2*b*x])/(6*d^3*(c + d*x)) + Sin[4*a + 4*b*x]/(24*d*(c + d*x)^3) - (b^2*Sin[4*a + 4*b*x])/(3*d^3*(c + d*x)) + (b^3*Sin[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(3*d^4) - (4*b^3*Sin[4*a - (4*b*c)/d]*SinIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x])/(3*d^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]*(c + d*x)^m, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Cot[a + b*x], x]}
+
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]*(c + d*x)^4, x, 7, -((I*(c + d*x)^5)/(5*d)) + ((c + d*x)^4*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b - (2*I*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 + (3*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (3*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, E^(2*I*(a + b*x))])/b^4 - (3*d^4*PolyLog[5, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^5)}
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]*(c + d*x)^3, x, 6, -((I*(c + d*x)^4)/(4*d)) + ((c + d*x)^3*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) + (3*I*d^3*PolyLog[4, E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^4)}
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]*(c + d*x)^2, x, 5, -((I*(c + d*x)^3)/(3*d)) + ((c + d*x)^2*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b - (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 + (d^2*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3)}
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]*(c + d*x)^1, x, 4, -((I*(c + d*x)^2)/(2*d)) + ((c + d*x)*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b - (I*d*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2)}
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Cot[a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Cot[a + b*x]/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2*(c + d*x)^m, x, 0, CannotIntegrate[(c + d*x)^m*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x], x]}
+
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2*(c + d*x)^4, x, 10, -((8*d*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2) - ((c + d*x)^4*Csc[a + b*x])/b + (12*I*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (12*I*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (24*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (24*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (24*I*d^4*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))])/b^5 + (24*I*d^4*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^5}
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2*(c + d*x)^3, x, 8, -((6*d*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2) - ((c + d*x)^3*Csc[a + b*x])/b + (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*d^3*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (6*d^3*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^4}
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2*(c + d*x)^2, x, 6, -((4*d*(c + d*x)*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2) - ((c + d*x)^2*Csc[a + b*x])/b + (2*I*d^2*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (2*I*d^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^3}
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2*(c + d*x)^1, x, 2, -((d*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/b^2) - ((c + d*x)*Csc[a + b*x])/b}
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2/(c + d*x)^1, x, 0, CannotIntegrate[(Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(c + d*x), x]}
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x, 0, CannotIntegrate[(Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^3*(c + d*x)^m, x, 0, CannotIntegrate[(c + d*x)^m*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2, x]}
+
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^3*(c + d*x)^4, x, 7, -((2*I*d*(c + d*x)^3)/b^2) - (2*d*(c + d*x)^3*Cot[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)^4*Csc[a + b*x]^2)/(2*b) + (6*d^2*(c + d*x)^2*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 - (6*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^4 + (3*d^4*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/b^5}
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^3*(c + d*x)^3, x, 6, -((3*I*d*(c + d*x)^2)/(2*b^2)) - (3*d*(c + d*x)^2*Cot[a + b*x])/(2*b^2) - ((c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^2)/(2*b) + (3*d^2*(c + d*x)*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 - (3*I*d^3*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^4)}
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^3*(c + d*x)^2, x, 3, -((d*(c + d*x)*Cot[a + b*x])/b^2) - ((c + d*x)^2*Csc[a + b*x]^2)/(2*b) + (d^2*Log[Sin[a + b*x]])/b^3}
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^3*(c + d*x)^1, x, 3, -((d*Cot[a + b*x])/(2*b^2)) - ((c + d*x)*Csc[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^3/(c + d*x)^1, x, 0, CannotIntegrate[(Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2)/(c + d*x), x]}
+{Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x, 0, CannotIntegrate[(Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2)/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^(m/2) Cos[a+b x] Sin[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]*(c + d*x)^(5/2), x, 10, (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[2*a + 2*b*x])/(64*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[2*a + 2*b*x])/(4*b) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(128*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(128*b^(7/2)) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[2*a + 2*b*x])/(16*b^2)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]*(c + d*x)^(3/2), x, 9, -(((c + d*x)^(3/2)*Cos[2*a + 2*b*x])/(4*b)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(32*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(32*b^(5/2)) + (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(16*b^2)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]*(c + d*x)^(1/2), x, 8, -((Sqrt[c + d*x]*Cos[2*a + 2*b*x])/(4*b)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(8*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(8*b^(3/2))}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]*(c + d*x)^(1/2), x, 8, -((Sqrt[c + d*x]*Cos[2*a + 2*b*x])/(4*b)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(8*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(8*b^(3/2))}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]*(c + d*x)^(3/2), x, 9, -(((c + d*x)^(3/2)*Cos[2*a + 2*b*x])/(4*b)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(32*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(32*b^(5/2)) + (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(16*b^2)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]*(c + d*x)^(5/2), x, 10, (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[2*a + 2*b*x])/(64*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[2*a + 2*b*x])/(4*b) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(128*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(128*b^(7/2)) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[2*a + 2*b*x])/(16*b^2)}
+
+
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^(5/2), x, 18, (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x])/(8*b^2) - (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Cos[3*a + 3*b*x])/(72*b^2) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(7/2)) - (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(144*b^(7/2)) - (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(144*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(16*b^(7/2)) - (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x])/(16*b^3) + ((c + d*x)^(5/2)*Sin[a + b*x])/(4*b) + (5*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sin[3*a + 3*b*x])/(144*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Sin[3*a + 3*b*x])/(12*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^(3/2), x, 16, (3*d*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x])/(8*b^2) - (d*Sqrt[c + d*x]*Cos[3*a + 3*b*x])/(24*b^2) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*b^(5/2)) + (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(24*b^(5/2)) - (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(24*b^(5/2)) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(8*b^(5/2)) + ((c + d*x)^(3/2)*Sin[a + b*x])/(4*b) - ((c + d*x)^(3/2)*Sin[3*a + 3*b*x])/(12*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^(1/2), x, 14, -((Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*b^(3/2))) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(12*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(12*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(4*b^(3/2)) + (Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x])/(4*b) - (Sqrt[c + d*x]*Sin[3*a + 3*b*x])/(12*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^(1/2), x, 14, -((Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*b^(3/2))) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(12*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(12*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(4*b^(3/2)) + (Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x])/(4*b) - (Sqrt[c + d*x]*Sin[3*a + 3*b*x])/(12*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^(3/2), x, 16, (3*d*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x])/(8*b^2) - (d*Sqrt[c + d*x]*Cos[3*a + 3*b*x])/(24*b^2) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*b^(5/2)) + (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(24*b^(5/2)) - (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(24*b^(5/2)) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(8*b^(5/2)) + ((c + d*x)^(3/2)*Sin[a + b*x])/(4*b) - ((c + d*x)^(3/2)*Sin[3*a + 3*b*x])/(12*b)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^(5/2), x, 18, (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x])/(8*b^2) - (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Cos[3*a + 3*b*x])/(72*b^2) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(7/2)) - (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(144*b^(7/2)) - (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(144*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(16*b^(7/2)) - (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x])/(16*b^3) + ((c + d*x)^(5/2)*Sin[a + b*x])/(4*b) + (5*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sin[3*a + 3*b*x])/(144*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Sin[3*a + 3*b*x])/(12*b)}
+
+
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^(5/2), x, 18, (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[2*a + 2*b*x])/(128*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[2*a + 2*b*x])/(8*b) - (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[4*a + 4*b*x])/(2048*b^3) + ((c + d*x)^(5/2)*Cos[4*a + 4*b*x])/(32*b) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4096*b^(7/2)) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(256*b^(7/2)) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(4096*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(256*b^(7/2)) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[2*a + 2*b*x])/(32*b^2) - (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[4*a + 4*b*x])/(256*b^2)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^(3/2), x, 16, -(((c + d*x)^(3/2)*Cos[2*a + 2*b*x])/(8*b)) + ((c + d*x)^(3/2)*Cos[4*a + 4*b*x])/(32*b) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(512*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(64*b^(5/2)) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(512*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(64*b^(5/2)) + (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(32*b^2) - (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[4*a + 4*b*x])/(256*b^2)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^(1/2), x, 14, -((Sqrt[c + d*x]*Cos[2*a + 2*b*x])/(8*b)) + (Sqrt[c + d*x]*Cos[4*a + 4*b*x])/(32*b) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(64*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(16*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(64*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(16*b^(3/2))}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^(1/2), x, 14, -((Sqrt[c + d*x]*Cos[2*a + 2*b*x])/(8*b)) + (Sqrt[c + d*x]*Cos[4*a + 4*b*x])/(32*b) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(64*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(16*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(64*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(16*b^(3/2))}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^(3/2), x, 16, -(((c + d*x)^(3/2)*Cos[2*a + 2*b*x])/(8*b)) + ((c + d*x)^(3/2)*Cos[4*a + 4*b*x])/(32*b) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(512*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(64*b^(5/2)) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(512*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(64*b^(5/2)) + (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(32*b^2) - (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[4*a + 4*b*x])/(256*b^2)}
+{Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^(5/2), x, 18, (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[2*a + 2*b*x])/(128*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[2*a + 2*b*x])/(8*b) - (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[4*a + 4*b*x])/(2048*b^3) + ((c + d*x)^(5/2)*Cos[4*a + 4*b*x])/(32*b) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4096*b^(7/2)) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(256*b^(7/2)) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(4096*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(256*b^(7/2)) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[2*a + 2*b*x])/(32*b^2) - (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[4*a + 4*b*x])/(256*b^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Cos[a+b x]^2 Sin[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Cos[a+b x]^2 Sin[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x], x, 8, -(E^(I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-I)*b*(c + d*x))/d])/(8*b*(((-I)*b*(c + d*x))/d)^m) - ((c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*b*(c + d*x))/d])/(8*b*E^(I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m) - (3^(-1 - m)*E^((3*I)*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-3*I)*b*(c + d*x))/d])/(8*b*(((-I)*b*(c + d*x))/d)^m) - (3^(-1 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((3*I)*b*(c + d*x))/d])/(8*b*E^((3*I)*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m)}
+
+{(c + d*x)^4*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x], x, 9, (-160*d^4*Cos[a + b*x])/(27*b^5) + (8*d^2*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/(3*b^3) - (8*d^4*Cos[a + b*x]^3)/(81*b^5) + (4*d^2*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^3)/(9*b^3) - ((c + d*x)^4*Cos[a + b*x]^3)/(3*b) - (160*d^3*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/(27*b^4) + (8*d*(c + d*x)^3*Sin[a + b*x])/(9*b^2) - (8*d^3*(c + d*x)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(27*b^4) + (4*d*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(9*b^2)}
+{(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x], x, 7, (4*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/(3*b^3) + (2*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x]^3)/(9*b^3) - ((c + d*x)^3*Cos[a + b*x]^3)/(3*b) - (14*d^3*Sin[a + b*x])/(9*b^4) + (2*d*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/(3*b^2) + (d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(3*b^2) + (2*d^3*Sin[a + b*x]^3)/(27*b^4)}
+{(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x], x, 4, (4*d^2*Cos[a + b*x])/(9*b^3) + (2*d^2*Cos[a + b*x]^3)/(27*b^3) - ((c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^3)/(3*b) + (4*d*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/(9*b^2) + (2*d*(c + d*x)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(9*b^2)}
+{(c + d*x)^1*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x], x, 3, -((c + d*x)*Cos[a + b*x]^3)/(3*b) + (d*Sin[a + b*x])/(3*b^2) - (d*Sin[a + b*x]^3)/(9*b^2)}
+{(Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(c + d*x)^1, x, 8, (CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(4*d) + (CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(4*d) + (Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(4*d) + (Cos[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(4*d)}
+{(Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(c + d*x)^2, x, 10, (b*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/(4*d^2) + (3*b*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(4*d^2) - Sin[a + b*x]/(4*d*(c + d*x)) - Sin[3*a + 3*b*x]/(4*d*(c + d*x)) - (b*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(4*d^2) - (3*b*Sin[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(4*d^2)}
+{(Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(c + d*x)^3, x, 12, -(b*Cos[a + b*x])/(8*d^2*(c + d*x)) - (3*b*Cos[3*a + 3*b*x])/(8*d^2*(c + d*x)) - (9*b^2*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(8*d^3) - (b^2*CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(8*d^3) - Sin[a + b*x]/(8*d*(c + d*x)^2) - Sin[3*a + 3*b*x]/(8*d*(c + d*x)^2) - (b^2*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(8*d^3) - (9*b^2*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(8*d^3)}
+{(Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x])/(c + d*x)^4, x, 14, -(b*Cos[a + b*x])/(24*d^2*(c + d*x)^2) - (b*Cos[3*a + 3*b*x])/(8*d^2*(c + d*x)^2) - (b^3*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/(24*d^4) - (9*b^3*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(8*d^4) - Sin[a + b*x]/(12*d*(c + d*x)^3) + (b^2*Sin[a + b*x])/(24*d^3*(c + d*x)) - Sin[3*a + 3*b*x]/(12*d*(c + d*x)^3) + (3*b^2*Sin[3*a + 3*b*x])/(8*d^3*(c + d*x)) + (b^3*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(24*d^4) + (9*b^3*Sin[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(8*d^4)}
+
+
+{(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^2, x, 5, (c + d*x)^(1 + m)/(8*d*(1 + m)) + (I*E^((4*I)*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-4*I)*b*(c + d*x))/d])/(2^(2*(3 + m))*b*(((-I)*b*(c + d*x))/d)^m) - (I*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((4*I)*b*(c + d*x))/d])/(2^(2*(3 + m))*b*E^((4*I)*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m)}
+
+{(c + d*x)^4*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^2, x, 7, (c + d*x)^5/(40*d) + (3*d^3*(c + d*x)*Cos[4*a + 4*b*x])/(256*b^4) - (d*(c + d*x)^3*Cos[4*a + 4*b*x])/(32*b^2) - (3*d^4*Sin[4*a + 4*b*x])/(1024*b^5) + (3*d^2*(c + d*x)^2*Sin[4*a + 4*b*x])/(128*b^3) - ((c + d*x)^4*Sin[4*a + 4*b*x])/(32*b)}
+{(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^2, x, 6, (c + d*x)^4/(32*d) + (3*d^3*Cos[4*a + 4*b*x])/(1024*b^4) - (3*d*(c + d*x)^2*Cos[4*a + 4*b*x])/(128*b^2) + (3*d^2*(c + d*x)*Sin[4*a + 4*b*x])/(256*b^3) - ((c + d*x)^3*Sin[4*a + 4*b*x])/(32*b)}
+{(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^2, x, 5, (c + d*x)^3/(24*d) - (d*(c + d*x)*Cos[4*a + 4*b*x])/(64*b^2) + (d^2*Sin[4*a + 4*b*x])/(256*b^3) - ((c + d*x)^2*Sin[4*a + 4*b*x])/(32*b)}
+{(c + d*x)^1*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^2, x, 4, (c + d*x)^2/(16*d) - (d*Cos[4*a + 4*b*x])/(128*b^2) - ((c + d*x)*Sin[4*a + 4*b*x])/(32*b)}
+{(Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^2)/(c + d*x)^1, x, 5, -(Cos[4*a - (4*b*c)/d]*CosIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x])/(8*d) + Log[c + d*x]/(8*d) + (Sin[4*a - (4*b*c)/d]*SinIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x])/(8*d)}
+{(Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^2)/(c + d*x)^2, x, 6, -1/(8*d*(c + d*x)) + Cos[4*a + 4*b*x]/(8*d*(c + d*x)) + (b*CosIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(2*d^2) + (b*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*SinIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x])/(2*d^2)}
+{(Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^2)/(c + d*x)^3, x, 7, -1/(16*d*(c + d*x)^2) + Cos[4*a + 4*b*x]/(16*d*(c + d*x)^2) + (b^2*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*CosIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x])/d^3 - (b*Sin[4*a + 4*b*x])/(4*d^2*(c + d*x)) - (b^2*Sin[4*a - (4*b*c)/d]*SinIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x])/d^3}
+{(Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^2)/(c + d*x)^4, x, 8, -1/(24*d*(c + d*x)^3) + Cos[4*a + 4*b*x]/(24*d*(c + d*x)^3) - (b^2*Cos[4*a + 4*b*x])/(3*d^3*(c + d*x)) - (4*b^3*CosIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(3*d^4) - (b*Sin[4*a + 4*b*x])/(12*d^2*(c + d*x)^2) - (4*b^3*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*SinIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x])/(3*d^4)}
+
+
+{(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^3, x, 11, -(E^(I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-I)*b*(c + d*x))/d])/(16*b*(((-I)*b*(c + d*x))/d)^m) - ((c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*b*(c + d*x))/d])/(16*b*E^(I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m) - (3^(-1 - m)*E^((3*I)*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-3*I)*b*(c + d*x))/d])/(32*b*(((-I)*b*(c + d*x))/d)^m) - (3^(-1 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((3*I)*b*(c + d*x))/d])/(32*b*E^((3*I)*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m) + (5^(-1 - m)*E^((5*I)*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-5*I)*b*(c + d*x))/d])/(32*b*(((-I)*b*(c + d*x))/d)^m) + (5^(-1 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((5*I)*b*(c + d*x))/d])/(32*b*E^((5*I)*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m)}
+
+{(c + d*x)^4*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^3, x, 17, (-3*d^4*Cos[a + b*x])/b^5 + (3*d^2*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/(2*b^3) - ((c + d*x)^4*Cos[a + b*x])/(8*b) - (d^4*Cos[3*a + 3*b*x])/(162*b^5) + (d^2*(c + d*x)^2*Cos[3*a + 3*b*x])/(36*b^3) - ((c + d*x)^4*Cos[3*a + 3*b*x])/(48*b) + (3*d^4*Cos[5*a + 5*b*x])/(6250*b^5) - (3*d^2*(c + d*x)^2*Cos[5*a + 5*b*x])/(500*b^3) + ((c + d*x)^4*Cos[5*a + 5*b*x])/(80*b) - (3*d^3*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/b^4 + (d*(c + d*x)^3*Sin[a + b*x])/(2*b^2) - (d^3*(c + d*x)*Sin[3*a + 3*b*x])/(54*b^4) + (d*(c + d*x)^3*Sin[3*a + 3*b*x])/(36*b^2) + (3*d^3*(c + d*x)*Sin[5*a + 5*b*x])/(1250*b^4) - (d*(c + d*x)^3*Sin[5*a + 5*b*x])/(100*b^2)}
+{(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^3, x, 14, (3*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/(4*b^3) - ((c + d*x)^3*Cos[a + b*x])/(8*b) + (d^2*(c + d*x)*Cos[3*a + 3*b*x])/(72*b^3) - ((c + d*x)^3*Cos[3*a + 3*b*x])/(48*b) - (3*d^2*(c + d*x)*Cos[5*a + 5*b*x])/(1000*b^3) + ((c + d*x)^3*Cos[5*a + 5*b*x])/(80*b) - (3*d^3*Sin[a + b*x])/(4*b^4) + (3*d*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/(8*b^2) - (d^3*Sin[3*a + 3*b*x])/(216*b^4) + (d*(c + d*x)^2*Sin[3*a + 3*b*x])/(48*b^2) + (3*d^3*Sin[5*a + 5*b*x])/(5000*b^4) - (3*d*(c + d*x)^2*Sin[5*a + 5*b*x])/(400*b^2)}
+{(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^3, x, 11, (d^2*Cos[a + b*x])/(4*b^3) - ((c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/(8*b) + (d^2*Cos[3*a + 3*b*x])/(216*b^3) - ((c + d*x)^2*Cos[3*a + 3*b*x])/(48*b) - (d^2*Cos[5*a + 5*b*x])/(1000*b^3) + ((c + d*x)^2*Cos[5*a + 5*b*x])/(80*b) + (d*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/(4*b^2) + (d*(c + d*x)*Sin[3*a + 3*b*x])/(72*b^2) - (d*(c + d*x)*Sin[5*a + 5*b*x])/(200*b^2)}
+{(c + d*x)^1*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^3, x, 8, -((c + d*x)*Cos[a + b*x])/(8*b) - ((c + d*x)*Cos[3*a + 3*b*x])/(48*b) + ((c + d*x)*Cos[5*a + 5*b*x])/(80*b) + (d*Sin[a + b*x])/(8*b^2) + (d*Sin[3*a + 3*b*x])/(144*b^2) - (d*Sin[5*a + 5*b*x])/(400*b^2)}
+{(Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^3)/(c + d*x)^1, x, 11, -(CosIntegral[(5*b*c)/d + 5*b*x]*Sin[5*a - (5*b*c)/d])/(16*d) + (CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(16*d) + (CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(8*d) + (Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(8*d) + (Cos[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(16*d) - (Cos[5*a - (5*b*c)/d]*SinIntegral[(5*b*c)/d + 5*b*x])/(16*d)}
+{(Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^3)/(c + d*x)^2, x, 14, (b*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/(8*d^2) + (3*b*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(16*d^2) - (5*b*Cos[5*a - (5*b*c)/d]*CosIntegral[(5*b*c)/d + 5*b*x])/(16*d^2) - Sin[a + b*x]/(8*d*(c + d*x)) - Sin[3*a + 3*b*x]/(16*d*(c + d*x)) + Sin[5*a + 5*b*x]/(16*d*(c + d*x)) - (b*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(8*d^2) - (3*b*Sin[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(16*d^2) + (5*b*Sin[5*a - (5*b*c)/d]*SinIntegral[(5*b*c)/d + 5*b*x])/(16*d^2)}
+{(Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^3)/(c + d*x)^3, x, 17, -(b*Cos[a + b*x])/(16*d^2*(c + d*x)) - (3*b*Cos[3*a + 3*b*x])/(32*d^2*(c + d*x)) + (5*b*Cos[5*a + 5*b*x])/(32*d^2*(c + d*x)) + (25*b^2*CosIntegral[(5*b*c)/d + 5*b*x]*Sin[5*a - (5*b*c)/d])/(32*d^3) - (9*b^2*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(32*d^3) - (b^2*CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(16*d^3) - Sin[a + b*x]/(16*d*(c + d*x)^2) - Sin[3*a + 3*b*x]/(32*d*(c + d*x)^2) + Sin[5*a + 5*b*x]/(32*d*(c + d*x)^2) - (b^2*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(16*d^3) - (9*b^2*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(32*d^3) + (25*b^2*Cos[5*a - (5*b*c)/d]*SinIntegral[(5*b*c)/d + 5*b*x])/(32*d^3)}
+{(Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^3)/(c + d*x)^4, x, 20, -(b*Cos[a + b*x])/(48*d^2*(c + d*x)^2) - (b*Cos[3*a + 3*b*x])/(32*d^2*(c + d*x)^2) + (5*b*Cos[5*a + 5*b*x])/(96*d^2*(c + d*x)^2) - (b^3*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/(48*d^4) - (9*b^3*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(32*d^4) + (125*b^3*Cos[5*a - (5*b*c)/d]*CosIntegral[(5*b*c)/d + 5*b*x])/(96*d^4) - Sin[a + b*x]/(24*d*(c + d*x)^3) + (b^2*Sin[a + b*x])/(48*d^3*(c + d*x)) - Sin[3*a + 3*b*x]/(48*d*(c + d*x)^3) + (3*b^2*Sin[3*a + 3*b*x])/(32*d^3*(c + d*x)) + Sin[5*a + 5*b*x]/(48*d*(c + d*x)^3) - (25*b^2*Sin[5*a + 5*b*x])/(96*d^3*(c + d*x)) + (b^3*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(48*d^4) + (9*b^3*Sin[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(32*d^4) - (125*b^3*Sin[5*a - (5*b*c)/d]*SinIntegral[(5*b*c)/d + 5*b*x])/(96*d^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x], x, 4, (E^(I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*b*(c + d*x))/d)])/((-((I*b*(c + d*x))/d))^m*(2*b)) + ((c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*b*(c + d*x))/d])/(E^(I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*(2*b)) + Unintegrable[(c + d*x)^m*Csc[a + b*x], x]}
+
+{(c + d*x)^4*Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x], x, 17, -((2*(c + d*x)^4*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b) + (24*d^4*Cos[a + b*x])/b^5 - (12*d^2*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/b^3 + ((c + d*x)^4*Cos[a + b*x])/b + (4*I*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (4*I*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (12*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (12*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (24*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (24*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (24*d^4*PolyLog[5, -E^(I*(a + b*x))])/b^5 - (24*d^4*PolyLog[5, E^(I*(a + b*x))])/b^5 + (24*d^3*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/b^4 - (4*d*(c + d*x)^3*Sin[a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x], x, 14, -((2*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b) - (6*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/b^3 + ((c + d*x)^3*Cos[a + b*x])/b + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*I*d^3*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (6*I*d^3*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (6*d^3*Sin[a + b*x])/b^4 - (3*d*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x], x, 11, -((2*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b) - (2*d^2*Cos[a + b*x])/b^3 + ((c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/b + (2*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*d^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (2*d^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (2*d*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^1*Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x], x, 8, -((2*(c + d*x)*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b) + ((c + d*x)*Cos[a + b*x])/b + (I*d*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (I*d*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (d*Sin[a + b*x])/b^2}
+{(Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x])/(c + d*x)^1, x, 4, Unintegrable[Csc[a + b*x]/(c + d*x), x] - (CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/d - (Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/d}
+{(Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x])/(c + d*x)^2, x, 5, -((b*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/d^2) + Unintegrable[Csc[a + b*x]/(c + d*x)^2, x] + Sin[a + b*x]/(d*(c + d*x)) + (b*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/d^2}
+
+
+{(c + d*x)^m*Cot[a + b*x]^2, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Cot[a + b*x]^2, x]}
+
+{(c + d*x)^4*Cot[a + b*x]^2, x, 8, -((I*(c + d*x)^4)/b) - (c + d*x)^5/(5*d) - ((c + d*x)^4*Cot[a + b*x])/b + (4*d*(c + d*x)^3*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (6*I*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/b^4 + (3*I*d^4*PolyLog[4, E^(2*I*(a + b*x))])/b^5}
+{(c + d*x)^3*Cot[a + b*x]^2, x, 7, -((I*(c + d*x)^3)/b) - (c + d*x)^4/(4*d) - ((c + d*x)^3*Cot[a + b*x])/b + (3*d*(c + d*x)^2*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (3*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^3*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^4)}
+{(c + d*x)^2*Cot[a + b*x]^2, x, 6, -((I*(c + d*x)^2)/b) - (c + d*x)^3/(3*d) - ((c + d*x)^2*Cot[a + b*x])/b + (2*d*(c + d*x)*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (I*d^2*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^3}
+{(c + d*x)^1*Cot[a + b*x]^2, x, 3, -(c*x) - (d*x^2)/2 - ((c + d*x)*Cot[a + b*x])/b + (d*Log[Sin[a + b*x]])/b^2}
+{Cot[a + b*x]^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Cot[a + b*x]^2/(c + d*x), x]}
+{Cot[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Cot[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^m*Cot[a + b*x]^2*Csc[a + b*x], x, 1, -Unintegrable[(c + d*x)^m*Csc[a + b*x], x] + Unintegrable[(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^3, x]}
+
+{(c + d*x)^4*Cot[a + b*x]^2*Csc[a + b*x], x, 31, -((12*d^2*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^3) + ((c + d*x)^4*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b - (2*d*(c + d*x)^3*Csc[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)^4*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(2*b) + (12*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (2*I*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (12*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (2*I*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (12*d^4*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^5 + (6*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (12*d^4*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^5 - (6*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (12*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (12*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (12*d^4*PolyLog[5, -E^(I*(a + b*x))])/b^5 + (12*d^4*PolyLog[5, E^(I*(a + b*x))])/b^5}
+{(c + d*x)^3*Cot[a + b*x]^2*Csc[a + b*x], x, 25, -((6*d^2*(c + d*x)*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^3) + ((c + d*x)^3*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b - (3*d*(c + d*x)^2*Csc[a + b*x])/(2*b^2) - ((c + d*x)^3*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(2*b) + (3*I*d^3*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*I*d^3*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*I*d^3*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (3*I*d^3*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^4}
+{(c + d*x)^2*Cot[a + b*x]^2*Csc[a + b*x], x, 17, ((c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b - (d^2*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/b^3 - (d*(c + d*x)*Csc[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)^2*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(2*b) - (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 + (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 + (d^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (d^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3}
+{(c + d*x)^1*Cot[a + b*x]^2*Csc[a + b*x], x, 12, ((c + d*x)*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b - (d*Csc[a + b*x])/(2*b^2) - ((c + d*x)*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(2*b) - (I*d*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) + (I*d*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2)}
+{(Cot[a + b*x]^2*Csc[a + b*x])/(c + d*x)^1, x, 1, -Unintegrable[Csc[a + b*x]/(c + d*x), x] + Unintegrable[Csc[a + b*x]^3/(c + d*x), x]}
+{(Cot[a + b*x]^2*Csc[a + b*x])/(c + d*x)^2, x, 1, -Unintegrable[Csc[a + b*x]/(c + d*x)^2, x] + Unintegrable[Csc[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^(m/2) Cos[a+b x]^2 Sin[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x], x, 18, (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x])/(16*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x])/(4*b) + (5*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[3*a + 3*b*x])/(144*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[3*a + 3*b*x])/(12*b) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(7/2)) - (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(144*b^(7/2)) + (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(144*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(16*b^(7/2)) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[a + b*x])/(8*b^2) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[3*a + 3*b*x])/(72*b^2)}
+{(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x], x, 16, -((c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x])/(4*b) - ((c + d*x)^(3/2)*Cos[3*a + 3*b*x])/(12*b) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*b^(5/2)) - (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(24*b^(5/2)) - (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(24*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(8*b^(5/2)) + (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x])/(8*b^2) + (d*Sqrt[c + d*x]*Sin[3*a + 3*b*x])/(24*b^2)}
+{(c + d*x)^(1/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x], x, 14, -(Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x])/(4*b) - (Sqrt[c + d*x]*Cos[3*a + 3*b*x])/(12*b) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(12*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(12*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(4*b^(3/2))}
+{(c + d*x)^(1/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x], x, 14, -(Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x])/(4*b) - (Sqrt[c + d*x]*Cos[3*a + 3*b*x])/(12*b) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(12*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(12*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(4*b^(3/2))}
+{(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x], x, 16, -((c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x])/(4*b) - ((c + d*x)^(3/2)*Cos[3*a + 3*b*x])/(12*b) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*b^(5/2)) - (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(24*b^(5/2)) - (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(24*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(8*b^(5/2)) + (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x])/(8*b^2) + (d*Sqrt[c + d*x]*Sin[3*a + 3*b*x])/(24*b^2)}
+{(c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x], x, 18, (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x])/(16*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x])/(4*b) + (5*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[3*a + 3*b*x])/(144*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[3*a + 3*b*x])/(12*b) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(7/2)) - (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(144*b^(7/2)) + (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(144*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(16*b^(7/2)) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[a + b*x])/(8*b^2) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[3*a + 3*b*x])/(72*b^2)}
+
+
+{(c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^2, x, 10, (c + d*x)^(7/2)/(28*d) - (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Cos[4*a + 4*b*x])/(256*b^2) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4096*b^(7/2)) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(4096*b^(7/2)) + (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sin[4*a + 4*b*x])/(2048*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Sin[4*a + 4*b*x])/(32*b)}
+{(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^2, x, 9, (c + d*x)^(5/2)/(20*d) - (3*d*Sqrt[c + d*x]*Cos[4*a + 4*b*x])/(256*b^2) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(512*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(512*b^(5/2)) - ((c + d*x)^(3/2)*Sin[4*a + 4*b*x])/(32*b)}
+{(c + d*x)^(1/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^2, x, 8, (c + d*x)^(3/2)/(12*d) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(64*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(64*b^(3/2)) - (Sqrt[c + d*x]*Sin[4*a + 4*b*x])/(32*b)}
+{(c + d*x)^(1/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^2, x, 8, (c + d*x)^(3/2)/(12*d) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(64*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(64*b^(3/2)) - (Sqrt[c + d*x]*Sin[4*a + 4*b*x])/(32*b)}
+{(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^2, x, 9, (c + d*x)^(5/2)/(20*d) - (3*d*Sqrt[c + d*x]*Cos[4*a + 4*b*x])/(256*b^2) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(512*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(512*b^(5/2)) - ((c + d*x)^(3/2)*Sin[4*a + 4*b*x])/(32*b)}
+{(c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^2, x, 10, (c + d*x)^(7/2)/(28*d) - (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Cos[4*a + 4*b*x])/(256*b^2) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4096*b^(7/2)) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(4096*b^(7/2)) + (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sin[4*a + 4*b*x])/(2048*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Sin[4*a + 4*b*x])/(32*b)}
+
+
+{(c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^3, x, 26, (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x])/(32*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x])/(8*b) + (5*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[3*a + 3*b*x])/(576*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[3*a + 3*b*x])/(48*b) - (3*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[5*a + 5*b*x])/(1600*b^3) + ((c + d*x)^(5/2)*Cos[5*a + 5*b*x])/(80*b) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(32*b^(7/2)) - (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(576*b^(7/2)) + (3*d^(5/2)*Sqrt[Pi/10]*Cos[5*a - (5*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(1600*b^(7/2)) - (3*d^(5/2)*Sqrt[Pi/10]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[5*a - (5*b*c)/d])/(1600*b^(7/2)) + (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(576*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(32*b^(7/2)) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[a + b*x])/(16*b^2) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[3*a + 3*b*x])/(288*b^2) - (d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[5*a + 5*b*x])/(160*b^2)}
+{(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^3, x, 23, -((c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x])/(8*b) - ((c + d*x)^(3/2)*Cos[3*a + 3*b*x])/(48*b) + ((c + d*x)^(3/2)*Cos[5*a + 5*b*x])/(80*b) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(5/2)) - (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(96*b^(5/2)) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/10]*Cos[5*a - (5*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(800*b^(5/2)) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/10]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[5*a - (5*b*c)/d])/(800*b^(5/2)) - (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(96*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(16*b^(5/2)) + (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x])/(16*b^2) + (d*Sqrt[c + d*x]*Sin[3*a + 3*b*x])/(96*b^2) - (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[5*a + 5*b*x])/(800*b^2)}
+{(c + d*x)^(1/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^3, x, 20, -(Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x])/(8*b) - (Sqrt[c + d*x]*Cos[3*a + 3*b*x])/(48*b) + (Sqrt[c + d*x]*Cos[5*a + 5*b*x])/(80*b) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(48*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/10]*Cos[5*a - (5*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(80*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/10]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[5*a - (5*b*c)/d])/(80*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(48*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(8*b^(3/2))}
+{(c + d*x)^(1/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^3, x, 20, -(Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x])/(8*b) - (Sqrt[c + d*x]*Cos[3*a + 3*b*x])/(48*b) + (Sqrt[c + d*x]*Cos[5*a + 5*b*x])/(80*b) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(48*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/10]*Cos[5*a - (5*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(80*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/10]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[5*a - (5*b*c)/d])/(80*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(48*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(8*b^(3/2))}
+{(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^3, x, 23, -((c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x])/(8*b) - ((c + d*x)^(3/2)*Cos[3*a + 3*b*x])/(48*b) + ((c + d*x)^(3/2)*Cos[5*a + 5*b*x])/(80*b) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(5/2)) - (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(96*b^(5/2)) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/10]*Cos[5*a - (5*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(800*b^(5/2)) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/10]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[5*a - (5*b*c)/d])/(800*b^(5/2)) - (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(96*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(16*b^(5/2)) + (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x])/(16*b^2) + (d*Sqrt[c + d*x]*Sin[3*a + 3*b*x])/(96*b^2) - (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[5*a + 5*b*x])/(800*b^2)}
+{(c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x]^2*Sin[a + b*x]^3, x, 26, (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x])/(32*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x])/(8*b) + (5*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[3*a + 3*b*x])/(576*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[3*a + 3*b*x])/(48*b) - (3*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[5*a + 5*b*x])/(1600*b^3) + ((c + d*x)^(5/2)*Cos[5*a + 5*b*x])/(80*b) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(32*b^(7/2)) - (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(576*b^(7/2)) + (3*d^(5/2)*Sqrt[Pi/10]*Cos[5*a - (5*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(1600*b^(7/2)) - (3*d^(5/2)*Sqrt[Pi/10]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[5*a - (5*b*c)/d])/(1600*b^(7/2)) + (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(576*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(32*b^(7/2)) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[a + b*x])/(16*b^2) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[3*a + 3*b*x])/(288*b^2) - (d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[5*a + 5*b*x])/(160*b^2)}
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+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Cos[a+b x]^3 Sin[a+b x]^p*)
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Cos[a+b x]^3 Sin[a+b x]^p*)
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x], x, 8, -((2^(-4 - m)*E^((2*I)*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-2*I)*b*(c + d*x))/d])/(b*(((-I)*b*(c + d*x))/d)^m)) - (2^(-4 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((2*I)*b*(c + d*x))/d])/(b*E^((2*I)*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m) - (E^((4*I)*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-4*I)*b*(c + d*x))/d])/(2^(2*(3 + m))*b*(((-I)*b*(c + d*x))/d)^m) - ((c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((4*I)*b*(c + d*x))/d])/(2^(2*(3 + m))*b*E^((4*I)*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m)}
+
+{(c + d*x)^4*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x], x, 9, (-45*c*d^3*x)/(64*b^3) - (45*d^4*x^2)/(128*b^3) + (3*(c + d*x)^4)/(32*b) - (45*d^4*Cos[a + b*x]^2)/(128*b^5) + (9*d^2*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^2)/(16*b^3) - (3*d^4*Cos[a + b*x]^4)/(128*b^5) + (3*d^2*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^4)/(16*b^3) - ((c + d*x)^4*Cos[a + b*x]^4)/(4*b) - (45*d^3*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(64*b^4) + (3*d*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(8*b^2) - (3*d^3*(c + d*x)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(32*b^4) + (d*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(4*b^2)}
+{(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x], x, 9, (-45*d^3*x)/(256*b^3) + (3*(c + d*x)^3)/(32*b) + (9*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x]^2)/(32*b^3) + (3*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x]^4)/(32*b^3) - ((c + d*x)^3*Cos[a + b*x]^4)/(4*b) - (45*d^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(256*b^4) + (9*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(32*b^2) - (3*d^3*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(128*b^4) + (3*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(16*b^2)}
+{(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x], x, 4, (3*c*d*x)/(16*b) + (3*d^2*x^2)/(32*b) + (3*d^2*Cos[a + b*x]^2)/(32*b^3) + (d^2*Cos[a + b*x]^4)/(32*b^3) - ((c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^4)/(4*b) + (3*d*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(16*b^2) + (d*(c + d*x)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(8*b^2)}
+{(c + d*x)^1*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x], x, 4, (3*d*x)/(32*b) - ((c + d*x)*Cos[a + b*x]^4)/(4*b) + (3*d*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(32*b^2) + (d*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(16*b^2)}
+{(Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(c + d*x)^1, x, 8, (CosIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(8*d) + (CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(4*d) + (Cos[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(4*d) + (Cos[4*a - (4*b*c)/d]*SinIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x])/(8*d)}
+{(Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(c + d*x)^2, x, 10, (b*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(2*d^2) + (b*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*CosIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x])/(2*d^2) - Sin[2*a + 2*b*x]/(4*d*(c + d*x)) - Sin[4*a + 4*b*x]/(8*d*(c + d*x)) - (b*Sin[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(2*d^2) - (b*Sin[4*a - (4*b*c)/d]*SinIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x])/(2*d^2)}
+{(Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(c + d*x)^3, x, 12, -(b*Cos[2*a + 2*b*x])/(4*d^2*(c + d*x)) - (b*Cos[4*a + 4*b*x])/(4*d^2*(c + d*x)) - (b^2*CosIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/d^3 - (b^2*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(2*d^3) - Sin[2*a + 2*b*x]/(8*d*(c + d*x)^2) - Sin[4*a + 4*b*x]/(16*d*(c + d*x)^2) - (b^2*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(2*d^3) - (b^2*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*SinIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x])/d^3}
+{(Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x])/(c + d*x)^4, x, 14, -(b*Cos[2*a + 2*b*x])/(12*d^2*(c + d*x)^2) - (b*Cos[4*a + 4*b*x])/(12*d^2*(c + d*x)^2) - (b^3*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(3*d^4) - (4*b^3*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*CosIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x])/(3*d^4) - Sin[2*a + 2*b*x]/(12*d*(c + d*x)^3) + (b^2*Sin[2*a + 2*b*x])/(6*d^3*(c + d*x)) - Sin[4*a + 4*b*x]/(24*d*(c + d*x)^3) + (b^2*Sin[4*a + 4*b*x])/(3*d^3*(c + d*x)) + (b^3*Sin[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(3*d^4) + (4*b^3*Sin[4*a - (4*b*c)/d]*SinIntegral[(4*b*c)/d + 4*b*x])/(3*d^4)}
+
+
+{(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^2, x, 11, ((-I/16)*E^(I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-I)*b*(c + d*x))/d])/(b*(((-I)*b*(c + d*x))/d)^m) + ((I/16)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*b*(c + d*x))/d])/(b*E^(I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m) + ((I/32)*3^(-1 - m)*E^((3*I)*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-3*I)*b*(c + d*x))/d])/(b*(((-I)*b*(c + d*x))/d)^m) - ((I/32)*3^(-1 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((3*I)*b*(c + d*x))/d])/(b*E^((3*I)*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m) + ((I/32)*5^(-1 - m)*E^((5*I)*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-5*I)*b*(c + d*x))/d])/(b*(((-I)*b*(c + d*x))/d)^m) - ((I/32)*5^(-1 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((5*I)*b*(c + d*x))/d])/(b*E^((5*I)*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m)}
+
+{(c + d*x)^4*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^2, x, 17, (-3*d^3*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/b^4 + (d*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x])/(2*b^2) + (d^3*(c + d*x)*Cos[3*a + 3*b*x])/(54*b^4) - (d*(c + d*x)^3*Cos[3*a + 3*b*x])/(36*b^2) + (3*d^3*(c + d*x)*Cos[5*a + 5*b*x])/(1250*b^4) - (d*(c + d*x)^3*Cos[5*a + 5*b*x])/(100*b^2) + (3*d^4*Sin[a + b*x])/b^5 - (3*d^2*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/(2*b^3) + ((c + d*x)^4*Sin[a + b*x])/(8*b) - (d^4*Sin[3*a + 3*b*x])/(162*b^5) + (d^2*(c + d*x)^2*Sin[3*a + 3*b*x])/(36*b^3) - ((c + d*x)^4*Sin[3*a + 3*b*x])/(48*b) - (3*d^4*Sin[5*a + 5*b*x])/(6250*b^5) + (3*d^2*(c + d*x)^2*Sin[5*a + 5*b*x])/(500*b^3) - ((c + d*x)^4*Sin[5*a + 5*b*x])/(80*b)}
+{(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^2, x, 14, (-3*d^3*Cos[a + b*x])/(4*b^4) + (3*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/(8*b^2) + (d^3*Cos[3*a + 3*b*x])/(216*b^4) - (d*(c + d*x)^2*Cos[3*a + 3*b*x])/(48*b^2) + (3*d^3*Cos[5*a + 5*b*x])/(5000*b^4) - (3*d*(c + d*x)^2*Cos[5*a + 5*b*x])/(400*b^2) - (3*d^2*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/(4*b^3) + ((c + d*x)^3*Sin[a + b*x])/(8*b) + (d^2*(c + d*x)*Sin[3*a + 3*b*x])/(72*b^3) - ((c + d*x)^3*Sin[3*a + 3*b*x])/(48*b) + (3*d^2*(c + d*x)*Sin[5*a + 5*b*x])/(1000*b^3) - ((c + d*x)^3*Sin[5*a + 5*b*x])/(80*b)}
+{(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^2, x, 11, (d*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/(4*b^2) - (d*(c + d*x)*Cos[3*a + 3*b*x])/(72*b^2) - (d*(c + d*x)*Cos[5*a + 5*b*x])/(200*b^2) - (d^2*Sin[a + b*x])/(4*b^3) + ((c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/(8*b) + (d^2*Sin[3*a + 3*b*x])/(216*b^3) - ((c + d*x)^2*Sin[3*a + 3*b*x])/(48*b) + (d^2*Sin[5*a + 5*b*x])/(1000*b^3) - ((c + d*x)^2*Sin[5*a + 5*b*x])/(80*b)}
+{(c + d*x)^1*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^2, x, 8, (d*Cos[a + b*x])/(8*b^2) - (d*Cos[3*a + 3*b*x])/(144*b^2) - (d*Cos[5*a + 5*b*x])/(400*b^2) + ((c + d*x)*Sin[a + b*x])/(8*b) - ((c + d*x)*Sin[3*a + 3*b*x])/(48*b) - ((c + d*x)*Sin[5*a + 5*b*x])/(80*b)}
+{(Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^2)/(c + d*x)^1, x, 11, (Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/(8*d) - (Cos[3*a - (3*b*c)/d]*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(16*d) - (Cos[5*a - (5*b*c)/d]*CosIntegral[(5*b*c)/d + 5*b*x])/(16*d) - (Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(8*d) + (Sin[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(16*d) + (Sin[5*a - (5*b*c)/d]*SinIntegral[(5*b*c)/d + 5*b*x])/(16*d)}
+{(Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^2)/(c + d*x)^2, x, 14, -Cos[a + b*x]/(8*d*(c + d*x)) + Cos[3*a + 3*b*x]/(16*d*(c + d*x)) + Cos[5*a + 5*b*x]/(16*d*(c + d*x)) + (5*b*CosIntegral[(5*b*c)/d + 5*b*x]*Sin[5*a - (5*b*c)/d])/(16*d^2) + (3*b*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(16*d^2) - (b*CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(8*d^2) - (b*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(8*d^2) + (3*b*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(16*d^2) + (5*b*Cos[5*a - (5*b*c)/d]*SinIntegral[(5*b*c)/d + 5*b*x])/(16*d^2)}
+{(Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^2)/(c + d*x)^3, x, 17, -Cos[a + b*x]/(16*d*(c + d*x)^2) + Cos[3*a + 3*b*x]/(32*d*(c + d*x)^2) + Cos[5*a + 5*b*x]/(32*d*(c + d*x)^2) - (b^2*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/(16*d^3) + (9*b^2*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(32*d^3) + (25*b^2*Cos[5*a - (5*b*c)/d]*CosIntegral[(5*b*c)/d + 5*b*x])/(32*d^3) + (b*Sin[a + b*x])/(16*d^2*(c + d*x)) - (3*b*Sin[3*a + 3*b*x])/(32*d^2*(c + d*x)) - (5*b*Sin[5*a + 5*b*x])/(32*d^2*(c + d*x)) + (b^2*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(16*d^3) - (9*b^2*Sin[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(32*d^3) - (25*b^2*Sin[5*a - (5*b*c)/d]*SinIntegral[(5*b*c)/d + 5*b*x])/(32*d^3)}
+{(Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^2)/(c + d*x)^4, x, 20, -Cos[a + b*x]/(24*d*(c + d*x)^3) + (b^2*Cos[a + b*x])/(48*d^3*(c + d*x)) + Cos[3*a + 3*b*x]/(48*d*(c + d*x)^3) - (3*b^2*Cos[3*a + 3*b*x])/(32*d^3*(c + d*x)) + Cos[5*a + 5*b*x]/(48*d*(c + d*x)^3) - (25*b^2*Cos[5*a + 5*b*x])/(96*d^3*(c + d*x)) - (125*b^3*CosIntegral[(5*b*c)/d + 5*b*x]*Sin[5*a - (5*b*c)/d])/(96*d^4) - (9*b^3*CosIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(32*d^4) + (b^3*CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(48*d^4) + (b*Sin[a + b*x])/(48*d^2*(c + d*x)^2) - (b*Sin[3*a + 3*b*x])/(32*d^2*(c + d*x)^2) - (5*b*Sin[5*a + 5*b*x])/(96*d^2*(c + d*x)^2) + (b^3*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/(48*d^4) - (9*b^3*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*SinIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(32*d^4) - (125*b^3*Cos[5*a - (5*b*c)/d]*SinIntegral[(5*b*c)/d + 5*b*x])/(96*d^4)}
+
+
+{(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^3, x, 8, (-3*2^(-7 - m)*E^((2*I)*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-2*I)*b*(c + d*x))/d])/(b*(((-I)*b*(c + d*x))/d)^m) - (3*2^(-7 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((2*I)*b*(c + d*x))/d])/(b*E^((2*I)*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m) + (2^(-7 - m)*3^(-1 - m)*E^((6*I)*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((-6*I)*b*(c + d*x))/d])/(b*(((-I)*b*(c + d*x))/d)^m) + (2^(-7 - m)*3^(-1 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, ((6*I)*b*(c + d*x))/d])/(b*E^((6*I)*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m)}
+
+{(c + d*x)^4*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^3, x, 12, (-9*d^4*Cos[2*a + 2*b*x])/(128*b^5) + (9*d^2*(c + d*x)^2*Cos[2*a + 2*b*x])/(64*b^3) - (3*(c + d*x)^4*Cos[2*a + 2*b*x])/(64*b) + (d^4*Cos[6*a + 6*b*x])/(10368*b^5) - (d^2*(c + d*x)^2*Cos[6*a + 6*b*x])/(576*b^3) + ((c + d*x)^4*Cos[6*a + 6*b*x])/(192*b) - (9*d^3*(c + d*x)*Sin[2*a + 2*b*x])/(64*b^4) + (3*d*(c + d*x)^3*Sin[2*a + 2*b*x])/(32*b^2) + (d^3*(c + d*x)*Sin[6*a + 6*b*x])/(1728*b^4) - (d*(c + d*x)^3*Sin[6*a + 6*b*x])/(288*b^2)}
+{(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^3, x, 10, (9*d^2*(c + d*x)*Cos[2*a + 2*b*x])/(128*b^3) - (3*(c + d*x)^3*Cos[2*a + 2*b*x])/(64*b) - (d^2*(c + d*x)*Cos[6*a + 6*b*x])/(1152*b^3) + ((c + d*x)^3*Cos[6*a + 6*b*x])/(192*b) - (9*d^3*Sin[2*a + 2*b*x])/(256*b^4) + (9*d*(c + d*x)^2*Sin[2*a + 2*b*x])/(128*b^2) + (d^3*Sin[6*a + 6*b*x])/(6912*b^4) - (d*(c + d*x)^2*Sin[6*a + 6*b*x])/(384*b^2)}
+{(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^3, x, 8, (3*d^2*Cos[2*a + 2*b*x])/(128*b^3) - (3*(c + d*x)^2*Cos[2*a + 2*b*x])/(64*b) - (d^2*Cos[6*a + 6*b*x])/(3456*b^3) + ((c + d*x)^2*Cos[6*a + 6*b*x])/(192*b) + (3*d*(c + d*x)*Sin[2*a + 2*b*x])/(64*b^2) - (d*(c + d*x)*Sin[6*a + 6*b*x])/(576*b^2)}
+{(c + d*x)^1*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^3, x, 6, (-3*(c + d*x)*Cos[2*a + 2*b*x])/(64*b) + ((c + d*x)*Cos[6*a + 6*b*x])/(192*b) + (3*d*Sin[2*a + 2*b*x])/(128*b^2) - (d*Sin[6*a + 6*b*x])/(1152*b^2)}
+{(Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^3)/(c + d*x)^1, x, 8, -(CosIntegral[(6*b*c)/d + 6*b*x]*Sin[6*a - (6*b*c)/d])/(32*d) + (3*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(32*d) + (3*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(32*d) - (Cos[6*a - (6*b*c)/d]*SinIntegral[(6*b*c)/d + 6*b*x])/(32*d)}
+{(Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^3)/(c + d*x)^2, x, 10, (3*b*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(16*d^2) - (3*b*Cos[6*a - (6*b*c)/d]*CosIntegral[(6*b*c)/d + 6*b*x])/(16*d^2) - (3*Sin[2*a + 2*b*x])/(32*d*(c + d*x)) + Sin[6*a + 6*b*x]/(32*d*(c + d*x)) - (3*b*Sin[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(16*d^2) + (3*b*Sin[6*a - (6*b*c)/d]*SinIntegral[(6*b*c)/d + 6*b*x])/(16*d^2)}
+{(Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^3)/(c + d*x)^3, x, 12, (-3*b*Cos[2*a + 2*b*x])/(32*d^2*(c + d*x)) + (3*b*Cos[6*a + 6*b*x])/(32*d^2*(c + d*x)) + (9*b^2*CosIntegral[(6*b*c)/d + 6*b*x]*Sin[6*a - (6*b*c)/d])/(16*d^3) - (3*b^2*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(16*d^3) - (3*Sin[2*a + 2*b*x])/(64*d*(c + d*x)^2) + Sin[6*a + 6*b*x]/(64*d*(c + d*x)^2) - (3*b^2*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(16*d^3) + (9*b^2*Cos[6*a - (6*b*c)/d]*SinIntegral[(6*b*c)/d + 6*b*x])/(16*d^3)}
+{(Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^3)/(c + d*x)^4, x, 14, -(b*Cos[2*a + 2*b*x])/(32*d^2*(c + d*x)^2) + (b*Cos[6*a + 6*b*x])/(32*d^2*(c + d*x)^2) - (b^3*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(8*d^4) + (9*b^3*Cos[6*a - (6*b*c)/d]*CosIntegral[(6*b*c)/d + 6*b*x])/(8*d^4) - Sin[2*a + 2*b*x]/(32*d*(c + d*x)^3) + (b^2*Sin[2*a + 2*b*x])/(16*d^3*(c + d*x)) + Sin[6*a + 6*b*x]/(96*d*(c + d*x)^3) - (3*b^2*Sin[6*a + 6*b*x])/(16*d^3*(c + d*x)) + (b^3*Sin[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(8*d^4) - (9*b^3*Sin[6*a - (6*b*c)/d]*SinIntegral[(6*b*c)/d + 6*b*x])/(8*d^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^2*Cot[a + b*x], x, 6, (2^(-3 - m)*E^(2*I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((2*I*b*(c + d*x))/d)])/((-((I*b*(c + d*x))/d))^m*b) + (2^(-3 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*I*b*(c + d*x))/d])/(E^(2*I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*b) + Unintegrable[(c + d*x)^m*Cot[a + b*x], x]}
+
+{(c + d*x)^4*Cos[a + b*x]^2*Cot[a + b*x], x, 13, -((3*c*d^3*x)/(2*b^3)) - (3*d^4*x^2)/(4*b^3) + (c + d*x)^4/(4*b) - (I*(c + d*x)^5)/(5*d) + ((c + d*x)^4*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b - (2*I*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 + (3*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (3*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, E^(2*I*(a + b*x))])/b^4 - (3*d^4*PolyLog[5, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^5) + (3*d^3*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^4) - (d*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^2 - (3*d^4*Sin[a + b*x]^2)/(4*b^5) + (3*d^2*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x]^2)/(2*b^3) - ((c + d*x)^4*Sin[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]^2*Cot[a + b*x], x, 12, -((3*d^3*x)/(8*b^3)) + (c + d*x)^3/(4*b) - (I*(c + d*x)^4)/(4*d) + ((c + d*x)^3*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) + (3*I*d^3*PolyLog[4, E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^4) + (3*d^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(8*b^4) - (3*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(4*b^2) + (3*d^2*(c + d*x)*Sin[a + b*x]^2)/(4*b^3) - ((c + d*x)^3*Sin[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^2*Cot[a + b*x], x, 9, (c*d*x)/(2*b) + (d^2*x^2)/(4*b) - (I*(c + d*x)^3)/(3*d) + ((c + d*x)^2*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b - (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 + (d^2*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) - (d*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^2) + (d^2*Sin[a + b*x]^2)/(4*b^3) - ((c + d*x)^2*Sin[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{(c + d*x)^1*Cos[a + b*x]^2*Cot[a + b*x], x, 8, (d*x)/(4*b) - (I*(c + d*x)^2)/(2*d) + ((c + d*x)*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b - (I*d*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (d*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(4*b^2) - ((c + d*x)*Sin[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{(Cos[a + b*x]^2*Cot[a + b*x])/(c + d*x)^1, x, 6, Unintegrable[Cot[a + b*x]/(c + d*x), x] - (CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(2*d) - (Cos[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(2*d)}
+{(Cos[a + b*x]^2*Cot[a + b*x])/(c + d*x)^2, x, 7, -((b*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^2) + Unintegrable[Cot[a + b*x]/(c + d*x)^2, x] + Sin[2*a + 2*b*x]/(2*d*(c + d*x)) + (b*Sin[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^2}
+
+
+{(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x]^2, x, 4, CannotIntegrate[(c + d*x)^m*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x], x] + (I*E^(I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*b*(c + d*x))/d)])/((-((I*b*(c + d*x))/d))^m*(2*b)) - (I*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*b*(c + d*x))/d])/(E^(I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*(2*b))}
+
+{(c + d*x)^4*Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x]^2, x, 16, -((8*d*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2) + (24*d^3*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/b^4 - (4*d*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)^4*Csc[a + b*x])/b + (12*I*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (12*I*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (24*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (24*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (24*I*d^4*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))])/b^5 + (24*I*d^4*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^5 - (24*d^4*Sin[a + b*x])/b^5 + (12*d^2*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/b^3 - ((c + d*x)^4*Sin[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x]^2, x, 13, -((6*d*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2) + (6*d^3*Cos[a + b*x])/b^4 - (3*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)^3*Csc[a + b*x])/b + (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*d^3*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (6*d^3*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (6*d^2*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/b^3 - ((c + d*x)^3*Sin[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x]^2, x, 10, -((4*d*(c + d*x)*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2) - (2*d*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)^2*Csc[a + b*x])/b + (2*I*d^2*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (2*I*d^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (2*d^2*Sin[a + b*x])/b^3 - ((c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^1*Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x]^2, x, 5, -((d*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/b^2) - (d*Cos[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)*Csc[a + b*x])/b - ((c + d*x)*Sin[a + b*x])/b}
+{(Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x]^2)/(c + d*x)^1, x, 4, -((Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/d) + CannotIntegrate[(Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(c + d*x), x] + (Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/d}
+{(Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x]^2)/(c + d*x)^2, x, 5, Cos[a + b*x]/(d*(c + d*x)) + CannotIntegrate[(Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(c + d*x)^2, x] + (b*CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/d^2 + (b*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/d^2}
+
+
+{(c + d*x)^m*Cot[a + b*x]^3, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Cot[a + b*x]^3, x]}
+
+{(c + d*x)^4*Cot[a + b*x]^3, x, 15, -((2*I*d*(c + d*x)^3)/b^2) - (c + d*x)^4/(2*b) + (I*(c + d*x)^5)/(5*d) - (2*d*(c + d*x)^3*Cot[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)^4*Cot[a + b*x]^2)/(2*b) + (6*d^2*(c + d*x)^2*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 - ((c + d*x)^4*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b - (6*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^4 + (2*I*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 + (3*d^4*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/b^5 - (3*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 - (3*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, E^(2*I*(a + b*x))])/b^4 + (3*d^4*PolyLog[5, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^5)}
+{(c + d*x)^3*Cot[a + b*x]^3, x, 13, -((3*I*d*(c + d*x)^2)/(2*b^2)) - (c + d*x)^3/(2*b) + (I*(c + d*x)^4)/(4*d) - (3*d*(c + d*x)^2*Cot[a + b*x])/(2*b^2) - ((c + d*x)^3*Cot[a + b*x]^2)/(2*b) + (3*d^2*(c + d*x)*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 - ((c + d*x)^3*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b - (3*I*d^3*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^4) + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) - (3*I*d^3*PolyLog[4, E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^4)}
+{(c + d*x)^2*Cot[a + b*x]^3, x, 9, -((c*d*x)/b) - (d^2*x^2)/(2*b) + (I*(c + d*x)^3)/(3*d) - (d*(c + d*x)*Cot[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)^2*Cot[a + b*x]^2)/(2*b) - ((c + d*x)^2*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b + (d^2*Log[Sin[a + b*x]])/b^3 + (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (d^2*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3)}
+{(c + d*x)^1*Cot[a + b*x]^3, x, 7, -((d*x)/(2*b)) + (I*(c + d*x)^2)/(2*d) - (d*Cot[a + b*x])/(2*b^2) - ((c + d*x)*Cot[a + b*x]^2)/(2*b) - ((c + d*x)*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b + (I*d*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2)}
+{Cot[a + b*x]^3/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Cot[a + b*x]^3/(c + d*x), x]}
+{Cot[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Cot[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^(m/2) Cos[a+b x]^3 Sin[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x], x, 18, (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[2*a + 2*b*x])/(128*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[2*a + 2*b*x])/(8*b) + (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[4*a + 4*b*x])/(2048*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[4*a + 4*b*x])/(32*b) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4096*b^(7/2)) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(256*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(4096*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(256*b^(7/2)) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[2*a + 2*b*x])/(32*b^2) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[4*a + 4*b*x])/(256*b^2)}
+{(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x], x, 16, -((c + d*x)^(3/2)*Cos[2*a + 2*b*x])/(8*b) - ((c + d*x)^(3/2)*Cos[4*a + 4*b*x])/(32*b) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(512*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(64*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(512*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(64*b^(5/2)) + (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(32*b^2) + (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[4*a + 4*b*x])/(256*b^2)}
+{(c + d*x)^(1/2)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x], x, 14, -(Sqrt[c + d*x]*Cos[2*a + 2*b*x])/(8*b) - (Sqrt[c + d*x]*Cos[4*a + 4*b*x])/(32*b) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(64*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(16*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(64*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(16*b^(3/2))}
+{(c + d*x)^(1/2)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x], x, 14, -(Sqrt[c + d*x]*Cos[2*a + 2*b*x])/(8*b) - (Sqrt[c + d*x]*Cos[4*a + 4*b*x])/(32*b) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(64*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(16*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(64*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(16*b^(3/2))}
+{(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x], x, 16, -((c + d*x)^(3/2)*Cos[2*a + 2*b*x])/(8*b) - ((c + d*x)^(3/2)*Cos[4*a + 4*b*x])/(32*b) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(512*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(64*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(512*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(64*b^(5/2)) + (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(32*b^2) + (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[4*a + 4*b*x])/(256*b^2)}
+{(c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x], x, 18, (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[2*a + 2*b*x])/(128*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[2*a + 2*b*x])/(8*b) + (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[4*a + 4*b*x])/(2048*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Cos[4*a + 4*b*x])/(32*b) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[4*a - (4*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4096*b^(7/2)) - (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(256*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[4*a - (4*b*c)/d])/(4096*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(256*b^(7/2)) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[2*a + 2*b*x])/(32*b^2) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[4*a + 4*b*x])/(256*b^2)}
+
+
+{(c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^2, x, 26, (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x])/(16*b^2) - (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Cos[3*a + 3*b*x])/(288*b^2) - (d*(c + d*x)^(3/2)*Cos[5*a + 5*b*x])/(160*b^2) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(32*b^(7/2)) - (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(576*b^(7/2)) - (3*d^(5/2)*Sqrt[Pi/10]*Cos[5*a - (5*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(1600*b^(7/2)) - (3*d^(5/2)*Sqrt[Pi/10]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[5*a - (5*b*c)/d])/(1600*b^(7/2)) - (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(576*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(32*b^(7/2)) - (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x])/(32*b^3) + ((c + d*x)^(5/2)*Sin[a + b*x])/(8*b) + (5*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sin[3*a + 3*b*x])/(576*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Sin[3*a + 3*b*x])/(48*b) + (3*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sin[5*a + 5*b*x])/(1600*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Sin[5*a + 5*b*x])/(80*b)}
+{(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^2, x, 23, (3*d*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x])/(16*b^2) - (d*Sqrt[c + d*x]*Cos[3*a + 3*b*x])/(96*b^2) - (3*d*Sqrt[c + d*x]*Cos[5*a + 5*b*x])/(800*b^2) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(5/2)) + (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(96*b^(5/2)) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/10]*Cos[5*a - (5*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(800*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/10]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[5*a - (5*b*c)/d])/(800*b^(5/2)) - (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(96*b^(5/2)) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(16*b^(5/2)) + ((c + d*x)^(3/2)*Sin[a + b*x])/(8*b) - ((c + d*x)^(3/2)*Sin[3*a + 3*b*x])/(48*b) - ((c + d*x)^(3/2)*Sin[5*a + 5*b*x])/(80*b)}
+{(c + d*x)^(1/2)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^2, x, 20, -(Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(48*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/10]*Cos[5*a - (5*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(80*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/10]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[5*a - (5*b*c)/d])/(80*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(48*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(8*b^(3/2)) + (Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x])/(8*b) - (Sqrt[c + d*x]*Sin[3*a + 3*b*x])/(48*b) - (Sqrt[c + d*x]*Sin[5*a + 5*b*x])/(80*b)}
+{(c + d*x)^(1/2)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^2, x, 20, -(Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(48*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/10]*Cos[5*a - (5*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(80*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/10]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[5*a - (5*b*c)/d])/(80*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(48*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(8*b^(3/2)) + (Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x])/(8*b) - (Sqrt[c + d*x]*Sin[3*a + 3*b*x])/(48*b) - (Sqrt[c + d*x]*Sin[5*a + 5*b*x])/(80*b)}
+{(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^2, x, 23, (3*d*Sqrt[c + d*x]*Cos[a + b*x])/(16*b^2) - (d*Sqrt[c + d*x]*Cos[3*a + 3*b*x])/(96*b^2) - (3*d*Sqrt[c + d*x]*Cos[5*a + 5*b*x])/(800*b^2) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(5/2)) + (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(96*b^(5/2)) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/10]*Cos[5*a - (5*b*c)/d]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(800*b^(5/2)) - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/10]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[5*a - (5*b*c)/d])/(800*b^(5/2)) - (d^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(96*b^(5/2)) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(16*b^(5/2)) + ((c + d*x)^(3/2)*Sin[a + b*x])/(8*b) - ((c + d*x)^(3/2)*Sin[3*a + 3*b*x])/(48*b) - ((c + d*x)^(3/2)*Sin[5*a + 5*b*x])/(80*b)}
+{(c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^2, x, 26, (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x])/(16*b^2) - (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Cos[3*a + 3*b*x])/(288*b^2) - (d*(c + d*x)^(3/2)*Cos[5*a + 5*b*x])/(160*b^2) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a - (b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(32*b^(7/2)) - (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[3*a - (3*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(576*b^(7/2)) - (3*d^(5/2)*Sqrt[Pi/10]*Cos[5*a - (5*b*c)/d]*FresnelS[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(1600*b^(7/2)) - (3*d^(5/2)*Sqrt[Pi/10]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[10/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[5*a - (5*b*c)/d])/(1600*b^(7/2)) - (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[6/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[3*a - (3*b*c)/d])/(576*b^(7/2)) + (15*d^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[b]*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[a - (b*c)/d])/(32*b^(7/2)) - (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sin[a + b*x])/(32*b^3) + ((c + d*x)^(5/2)*Sin[a + b*x])/(8*b) + (5*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sin[3*a + 3*b*x])/(576*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Sin[3*a + 3*b*x])/(48*b) + (3*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sin[5*a + 5*b*x])/(1600*b^3) - ((c + d*x)^(5/2)*Sin[5*a + 5*b*x])/(80*b)}
+
+
+{(c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^3, x, 18, (45*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[2*a + 2*b*x])/(1024*b^3) - (3*(c + d*x)^(5/2)*Cos[2*a + 2*b*x])/(64*b) - (5*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[6*a + 6*b*x])/(9216*b^3) + ((c + d*x)^(5/2)*Cos[6*a + 6*b*x])/(192*b) + (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/3]*Cos[6*a - (6*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(18432*b^(7/2)) - (45*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(2048*b^(7/2)) - (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/3]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[6*a - (6*b*c)/d])/(18432*b^(7/2)) + (45*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(2048*b^(7/2)) + (15*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[2*a + 2*b*x])/(256*b^2) - (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[6*a + 6*b*x])/(2304*b^2)}
+{(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^3, x, 16, (-3*(c + d*x)^(3/2)*Cos[2*a + 2*b*x])/(64*b) + ((c + d*x)^(3/2)*Cos[6*a + 6*b*x])/(192*b) + (d^(3/2)*Sqrt[Pi/3]*Cos[6*a - (6*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(1536*b^(5/2)) - (9*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(512*b^(5/2)) + (d^(3/2)*Sqrt[Pi/3]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[6*a - (6*b*c)/d])/(1536*b^(5/2)) - (9*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(512*b^(5/2)) + (9*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(256*b^2) - (d*Sqrt[c + d*x]*Sin[6*a + 6*b*x])/(768*b^2)}
+{(c + d*x)^(1/2)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^3, x, 14, (-3*Sqrt[c + d*x]*Cos[2*a + 2*b*x])/(64*b) + (Sqrt[c + d*x]*Cos[6*a + 6*b*x])/(192*b) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/3]*Cos[6*a - (6*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(384*b^(3/2)) + (3*Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(128*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/3]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[6*a - (6*b*c)/d])/(384*b^(3/2)) - (3*Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(128*b^(3/2))}
+{(c + d*x)^(1/2)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^3, x, 14, (-3*Sqrt[c + d*x]*Cos[2*a + 2*b*x])/(64*b) + (Sqrt[c + d*x]*Cos[6*a + 6*b*x])/(192*b) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/3]*Cos[6*a - (6*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(384*b^(3/2)) + (3*Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(128*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*Sqrt[Pi/3]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[6*a - (6*b*c)/d])/(384*b^(3/2)) - (3*Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(128*b^(3/2))}
+{(c + d*x)^(3/2)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^3, x, 16, (-3*(c + d*x)^(3/2)*Cos[2*a + 2*b*x])/(64*b) + ((c + d*x)^(3/2)*Cos[6*a + 6*b*x])/(192*b) + (d^(3/2)*Sqrt[Pi/3]*Cos[6*a - (6*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(1536*b^(5/2)) - (9*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(512*b^(5/2)) + (d^(3/2)*Sqrt[Pi/3]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[6*a - (6*b*c)/d])/(1536*b^(5/2)) - (9*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(512*b^(5/2)) + (9*d*Sqrt[c + d*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(256*b^2) - (d*Sqrt[c + d*x]*Sin[6*a + 6*b*x])/(768*b^2)}
+{(c + d*x)^(5/2)*Cos[a + b*x]^3*Sin[a + b*x]^3, x, 18, (45*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[2*a + 2*b*x])/(1024*b^3) - (3*(c + d*x)^(5/2)*Cos[2*a + 2*b*x])/(64*b) - (5*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cos[6*a + 6*b*x])/(9216*b^3) + ((c + d*x)^(5/2)*Cos[6*a + 6*b*x])/(192*b) + (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/3]*Cos[6*a - (6*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(18432*b^(7/2)) - (45*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*FresnelC[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])])/(2048*b^(7/2)) - (5*d^(5/2)*Sqrt[Pi/3]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]]*Sin[6*a - (6*b*c)/d])/(18432*b^(7/2)) + (45*d^(5/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/(Sqrt[d]*Sqrt[Pi])]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(2048*b^(7/2)) + (15*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[2*a + 2*b*x])/(256*b^2) - (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sin[6*a + 6*b*x])/(2304*b^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Cos[a+b x]^4 Sin[a+b x]^p*)
+
+
+{x^3*Cos[x]^2*Cot[x]^2, x, 12, (3*x^2)/8 - I*x^3 - (3*x^4)/8 + (3*Cos[x]^2)/8 - (3*x^2*Cos[x]^2)/4 - x^3*Cot[x] + 3*x^2*Log[1 - E^((2*I)*x)] - (3*I)*x*PolyLog[2, E^((2*I)*x)] + (3*PolyLog[3, E^((2*I)*x)])/2 + (3*x*Cos[x]*Sin[x])/4 - (x^3*Cos[x]*Sin[x])/2}
+{x^2*Cos[x]^2*Cot[x]^2, x, 11, x/4 - I*x^2 - x^3/2 - (x*Cos[x]^2)/2 - x^2*Cot[x] + 2*x*Log[1 - E^((2*I)*x)] - I*PolyLog[2, E^((2*I)*x)] + (Cos[x]*Sin[x])/4 - (x^2*Cos[x]*Sin[x])/2}
+{x^1*Cos[x]^2*Cot[x]^2, x, 6, (-3*x^2)/4 - Cos[x]^2/4 - x*Cot[x] + Log[Sin[x]] - (x*Cos[x]*Sin[x])/2}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Cos[a+b x]^5 Sin[a+b x]^p*)
+
+
+{x^3*Cos[x]^2*Cot[x]^3, x, 26, (3*x)/8 - ((3*I)/2)*x^2 - (3*x^3)/4 + (I/2)*x^4 - (3*x^2*Cot[x])/2 - (x^3*Cot[x]^2)/2 + 3*x*Log[1 - E^((2*I)*x)] - 2*x^3*Log[1 - E^((2*I)*x)] - ((3*I)/2)*PolyLog[2, E^((2*I)*x)] + (3*I)*x^2*PolyLog[2, E^((2*I)*x)] - 3*x*PolyLog[3, E^((2*I)*x)] - ((3*I)/2)*PolyLog[4, E^((2*I)*x)] - (3*Cos[x]*Sin[x])/8 + (3*x^2*Cos[x]*Sin[x])/4 - (3*x*Sin[x]^2)/4 + (x^3*Sin[x]^2)/2}
+{x^2*Cos[x]^2*Cot[x]^3, x, 19, (-3*x^2)/4 + ((2*I)/3)*x^3 - x*Cot[x] - (x^2*Cot[x]^2)/2 - 2*x^2*Log[1 - E^((2*I)*x)] + Log[Sin[x]] + (2*I)*x*PolyLog[2, E^((2*I)*x)] - PolyLog[3, E^((2*I)*x)] + (x*Cos[x]*Sin[x])/2 - Sin[x]^2/4 + (x^2*Sin[x]^2)/2}
+{x^1*Cos[x]^2*Cot[x]^3, x, 16, (-3*x)/4 + I*x^2 - Cot[x]/2 - (x*Cot[x]^2)/2 - 2*x*Log[1 - E^((2*I)*x)] + I*PolyLog[2, E^((2*I)*x)] + (Cos[x]*Sin[x])/4 + (x*Sin[x]^2)/2}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Sec[a+b x]^1 Sin[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Sec[a+b x] Sin[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]*(c + d*x)^m, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Tan[a + b*x], x]}
+
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]*(c + d*x)^4, x, 7, (I*(c + d*x)^5)/(5*d) - ((c + d*x)^4*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b + (2*I*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (3*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 - (3*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^4 + (3*d^4*PolyLog[5, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^5)}
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]*(c + d*x)^3, x, 6, (I*(c + d*x)^4)/(4*d) - ((c + d*x)^3*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) - (3*I*d^3*PolyLog[4, -E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^4)}
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]*(c + d*x)^2, x, 5, (I*(c + d*x)^3)/(3*d) - ((c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b + (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (d^2*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3)}
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]*(c + d*x)^1, x, 4, (I*(c + d*x)^2)/(2*d) - ((c + d*x)*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b + (I*d*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2)}
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Tan[a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Tan[a + b*x]/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^m, x, 4, (I*E^(I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*b*(c + d*x))/d)])/((-((I*b*(c + d*x))/d))^m*(2*b)) - (I*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*b*(c + d*x))/d])/(E^(I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*(2*b)) + Unintegrable[(c + d*x)^m*Sec[a + b*x], x]}
+
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^3, x, 14, -((2*I*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b) + (6*d^3*Cos[a + b*x])/b^4 - (3*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/b^2 + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*I*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (6*I*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (6*d^2*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/b^3 - ((c + d*x)^3*Sin[a + b*x])/b}
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^2, x, 11, -((2*I*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b) - (2*d*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/b^2 + (2*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (2*d^2*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (2*d^2*Sin[a + b*x])/b^3 - ((c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/b}
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2*(c + d*x)^1, x, 8, -((2*I*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b) - (d*Cos[a + b*x])/b^2 + (I*d*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (I*d*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((c + d*x)*Sin[a + b*x])/b}
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2/(c + d*x)^1, x, 4, -((Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/d) + Unintegrable[Sec[a + b*x]/(c + d*x), x] + (Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/d}
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x, 5, Cos[a + b*x]/(d*(c + d*x)) + Unintegrable[Sec[a + b*x]/(c + d*x)^2, x] + (b*CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/d^2 + (b*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/d^2}
+
+
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^m, x, 6, (2^(-3 - m)*E^(2*I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((2*I*b*(c + d*x))/d)])/((-((I*b*(c + d*x))/d))^m*b) + (2^(-3 - m)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*I*b*(c + d*x))/d])/(E^(2*I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*b) + Unintegrable[(c + d*x)^m*Tan[a + b*x], x]}
+
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^3, x, 12, -((3*d^3*x)/(8*b^3)) + (c + d*x)^3/(4*b) + (I*(c + d*x)^4)/(4*d) - ((c + d*x)^3*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) - (3*I*d^3*PolyLog[4, -E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^4) + (3*d^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(8*b^4) - (3*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(4*b^2) + (3*d^2*(c + d*x)*Sin[a + b*x]^2)/(4*b^3) - ((c + d*x)^3*Sin[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^2, x, 9, (c*d*x)/(2*b) + (d^2*x^2)/(4*b) + (I*(c + d*x)^3)/(3*d) - ((c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b + (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (d^2*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) - (d*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^2) + (d^2*Sin[a + b*x]^2)/(4*b^3) - ((c + d*x)^2*Sin[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3*(c + d*x)^1, x, 8, (d*x)/(4*b) + (I*(c + d*x)^2)/(2*d) - ((c + d*x)*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b + (I*d*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (d*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(4*b^2) - ((c + d*x)*Sin[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3/(c + d*x)^1, x, 6, Unintegrable[Tan[a + b*x]/(c + d*x), x] - (CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(2*d) - (Cos[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(2*d)}
+{Sec[a + b*x]*Sin[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x, 7, -((b*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^2) + Unintegrable[Tan[a + b*x]/(c + d*x)^2, x] + Sin[2*a + 2*b*x]/(2*d*(c + d*x)) + (b*Sin[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^2}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]*(c + d*x)^m, x, 0, CannotIntegrate[(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x], x]}
+
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]*(c + d*x)^4, x, 12, -((2*(c + d*x)^4*ArcTanh[E^(2*I*(a + b*x))])/b) + (2*I*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (2*I*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (3*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 - (3*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^4 + (3*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, E^(2*I*(a + b*x))])/b^4 + (3*d^4*PolyLog[5, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^5) - (3*d^4*PolyLog[5, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^5)}
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]*(c + d*x)^3, x, 10, -((2*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^(2*I*(a + b*x))])/b) + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) - (3*I*d^3*PolyLog[4, -E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^4) + (3*I*d^3*PolyLog[4, E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^4)}
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]*(c + d*x)^2, x, 8, -((2*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(2*I*(a + b*x))])/b) + (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (d^2*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) + (d^2*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3)}
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]*(c + d*x)^1, x, 6, -((2*(c + d*x)*ArcTanh[E^(2*I*(a + b*x))])/b) + (I*d*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (I*d*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2)}
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 1, 2*Unintegrable[Csc[2*a + 2*b*x]/(c + d*x), x]}
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 1, 2*Unintegrable[Csc[2*a + 2*b*x]/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2*(c + d*x)^m, x, 0, CannotIntegrate[(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x], x]}
+
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2*(c + d*x)^3, x, 23, -((2*I*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b) - (6*d*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((c + d*x)^3*Csc[a + b*x])/b + (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*d^3*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (6*I*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (6*I*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4}
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2*(c + d*x)^2, x, 19, -((2*I*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b) - (4*d*(c + d*x)*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((c + d*x)^2*Csc[a + b*x])/b + (2*I*d^2*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (2*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*I*d^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (2*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (2*d^2*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3}
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2*(c + d*x)^1, x, 10, -((2*I*d*x*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b) - (d*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/b^2 - (d*x*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b + ((c + d*x)*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b - ((c + d*x)*Csc[a + b*x])/b + (I*d*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (I*d*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2}
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2/(c + d*x)^1, x, 0, CannotIntegrate[(Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(c + d*x), x]}
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x, 0, CannotIntegrate[(Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]^3*(c + d*x)^m, x, 0, CannotIntegrate[(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x], x]}
+
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]^3*(c + d*x)^3, x, 22, -((3*I*d*(c + d*x)^2)/(2*b^2)) - (c + d*x)^3/(2*b) - (2*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^(2*I*(a + b*x))])/b - (3*d*(c + d*x)^2*Cot[a + b*x])/(2*b^2) - ((c + d*x)^3*Cot[a + b*x]^2)/(2*b) + (3*d^2*(c + d*x)*Log[1 - E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*I*d^3*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^4) - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) - (3*I*d^3*PolyLog[4, -E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^4) + (3*I*d^3*PolyLog[4, E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^4)}
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]^3*(c + d*x)^2, x, 17, -((c*d*x)/b) - (d^2*x^2)/(2*b) - (2*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(2*I*(a + b*x))])/b - (d*(c + d*x)*Cot[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)^2*Cot[a + b*x]^2)/(2*b) + (d^2*Log[Sin[a + b*x]])/b^3 + (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (d^2*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) + (d^2*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3)}
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]^3*(c + d*x)^1, x, 11, -((d*x)/(2*b)) - (2*d*x*ArcTanh[E^(2*I*(a + b*x))])/b - (d*Cot[a + b*x])/(2*b^2) - ((c + d*x)*Cot[a + b*x]^2)/(2*b) - (d*x*Log[Tan[a + b*x]])/b + ((c + d*x)*Log[Tan[a + b*x]])/b + (I*d*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (I*d*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2)}
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]^3/(c + d*x)^1, x, 0, CannotIntegrate[(Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x])/(c + d*x), x]}
+{Sec[a + b*x]*Csc[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x, 0, CannotIntegrate[(Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x])/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^(m/2) Sec[a+b x] Sin[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Sec[a+b x]^2 Sin[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Sec[a+b x]^2 Sin[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(c + d*x)^m*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x], x, 0, CannotIntegrate[(c + d*x)^m*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x], x]}
+
+{(c + d*x)^4*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x], x, 10, ((8*I)*d*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((12*I)*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((12*I)*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (24*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (24*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((24*I)*d^4*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^5 - ((24*I)*d^4*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^5 + ((c + d*x)^4*Sec[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^3*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x], x, 8, ((6*I)*d*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (6*d^3*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((c + d*x)^3*Sec[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^2*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x], x, 6, ((4*I)*d*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((2*I)*d^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((2*I)*d^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((c + d*x)^2*Sec[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^1*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x], x, 2, -((d*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b^2) + ((c + d*x)*Sec[a + b*x])/b}
+{(Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(c + d*x)^1, x, 0, CannotIntegrate[(Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(c + d*x), x]}
+{(Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(c + d*x)^2, x, 0, CannotIntegrate[(Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^m*Tan[a + b*x]^2, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Tan[a + b*x]^2, x]}
+
+{(c + d*x)^3*Tan[a + b*x]^2, x, 7, -((I*(c + d*x)^3)/b) - (c + d*x)^4/(4*d) + (3*d*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (3*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^3*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^4) + ((c + d*x)^3*Tan[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^2*Tan[a + b*x]^2, x, 6, -((I*(c + d*x)^2)/b) - (c + d*x)^3/(3*d) + (2*d*(c + d*x)*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (I*d^2*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + ((c + d*x)^2*Tan[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^1*Tan[a + b*x]^2, x, 3, -(c*x) - (d*x^2)/2 + (d*Log[Cos[a + b*x]])/b^2 + ((c + d*x)*Tan[a + b*x])/b}
+{Tan[a + b*x]^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Tan[a + b*x]^2/(c + d*x), x]}
+{Tan[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Tan[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^m*Sin[a + b*x]*Tan[a + b*x]^2, x, 4, (E^(I*(a - (b*c)/d))*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((I*b*(c + d*x))/d)])/((-((I*b*(c + d*x))/d))^m*(2*b)) + ((c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (I*b*(c + d*x))/d])/(E^(I*(a - (b*c)/d))*((I*b*(c + d*x))/d)^m*(2*b)) + CannotIntegrate[(c + d*x)^m*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x], x]}
+
+{(c + d*x)^3*Sin[a + b*x]*Tan[a + b*x]^2, x, 13, (6*I*d*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (6*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/b^3 + ((c + d*x)^3*Cos[a + b*x])/b - (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (6*d^3*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((c + d*x)^3*Sec[a + b*x])/b + (6*d^3*Sin[a + b*x])/b^4 - (3*d*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^2*Sin[a + b*x]*Tan[a + b*x]^2, x, 10, (4*I*d*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*d^2*Cos[a + b*x])/b^3 + ((c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/b - (2*I*d^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (2*I*d^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((c + d*x)^2*Sec[a + b*x])/b - (2*d*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^1*Sin[a + b*x]*Tan[a + b*x]^2, x, 5, -((d*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b^2) + ((c + d*x)*Cos[a + b*x])/b + ((c + d*x)*Sec[a + b*x])/b - (d*Sin[a + b*x])/b^2}
+{(Sin[a + b*x]*Tan[a + b*x]^2)/(c + d*x)^1, x, 4, CannotIntegrate[(Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(c + d*x), x] - (CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/d - (Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/d}
+{(Sin[a + b*x]*Tan[a + b*x]^2)/(c + d*x)^2, x, 5, -((b*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/d^2) + CannotIntegrate[(Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(c + d*x)^2, x] + Sin[a + b*x]/(d*(c + d*x)) + (b*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/d^2}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2, x]}
+
+{(c + d*x)^4*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2, x, 27, (8*I*d*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*(c + d*x)^4*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b + (4*I*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (12*I*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (12*I*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (4*I*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (12*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (24*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (24*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (12*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (24*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (24*I*d^4*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^5 - (24*I*d^4*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^5 + (24*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (24*d^4*PolyLog[5, -E^(I*(a + b*x))])/b^5 - (24*d^4*PolyLog[5, E^(I*(a + b*x))])/b^5 + ((c + d*x)^4*Sec[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2, x, 23, (6*I*d*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (6*d^3*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*I*d^3*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (6*I*d^3*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((c + d*x)^3*Sec[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^2*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2, x, 19, (4*I*d*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b + (2*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*I*d^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (2*I*d^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (2*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*d^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (2*d^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((c + d*x)^2*Sec[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^1*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2, x, 10, (-2*d*x*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b - (c*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/b - (d*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b^2 + (I*d*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (I*d*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 + (c*Sec[a + b*x])/b + (d*x*Sec[a + b*x])/b, -((2*d*x*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b) + (d*x*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/b - ((c + d*x)*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/b - (d*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b^2 + (I*d*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (I*d*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 + ((c + d*x)*Sec[a + b*x])/b}
+{(Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2)/(c + d*x)^1, x, 0, CannotIntegrate[(Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2)/(c + d*x), x]}
+{(Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2)/(c + d*x)^2, x, 0, CannotIntegrate[(Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2)/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^2, x]}
+
+{(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^2, x, 7, -((2*I*(c + d*x)^3)/b) - (2*(c + d*x)^3*Cot[2*a + 2*b*x])/b + (3*d*(c + d*x)^2*Log[1 - E^(4*I*(a + b*x))])/b^2 - (3*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(4*I*(a + b*x))])/(2*b^3) + (3*d^3*PolyLog[3, E^(4*I*(a + b*x))])/(8*b^4)}
+{(c + d*x)^2*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^2, x, 6, -((2*I*(c + d*x)^2)/b) - (2*(c + d*x)^2*Cot[2*a + 2*b*x])/b + (2*d*(c + d*x)*Log[1 - E^(4*I*(a + b*x))])/b^2 - (I*d^2*PolyLog[2, E^(4*I*(a + b*x))])/(2*b^3)}
+{(c + d*x)^1*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^2, x, 3, -((2*(c + d*x)*Cot[2*a + 2*b*x])/b) + (d*Log[Sin[2*a + 2*b*x]])/b^2}
+{(Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^2)/(c + d*x)^1, x, 1, 4*Unintegrable[Csc[2*a + 2*b*x]^2/(c + d*x), x]}
+{(Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^2)/(c + d*x)^2, x, 1, 4*Unintegrable[Csc[2*a + 2*b*x]^2/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2, x]}
+
+{(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2, x, 64, (12*I*c*d^2*x*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 + (6*I*d^3*x^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (6*d^3*x*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (3*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b - (3*c*d^2*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/b^3 - (3*c^2*d*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b^2 - (3*c^2*d*Csc[a + b*x])/(2*b^2) - (3*c*d^2*x*Csc[a + b*x])/b^2 - (3*d^3*x^2*Csc[a + b*x])/(2*b^2) + (3*I*d^3*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (9*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (6*I*c*d^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*I*d^3*x*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*I*c*d^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*I*d^3*x*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (3*I*d^3*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (9*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (9*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (6*d^3*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (9*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (9*I*d^3*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (9*I*d^3*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (3*(c + d*x)^3*Sec[a + b*x])/(2*b) - ((c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(2*b)}
+{(c + d*x)^2*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2, x, 36, (4*I*d^2*x*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b - (d^2*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/b^3 - (2*c*d*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b^2 - (c*d*Csc[a + b*x])/b^2 - (d^2*x*Csc[a + b*x])/b^2 + (3*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*I*d^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (2*I*d^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (3*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*d^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*(c + d*x)^2*Sec[a + b*x])/(2*b) - ((c + d*x)^2*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(2*b)}
+{(c + d*x)^1*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2, x, 13, -((3*d*x*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b) - (3*c*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(2*b) - (d*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b^2 - (d*Csc[a + b*x])/(2*b^2) + (3*I*d*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*I*d*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) + (3*(c + d*x)*Sec[a + b*x])/(2*b) - ((c + d*x)*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(2*b), -((3*d*x*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b) + (3*d*x*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(2*b) - (3*(c + d*x)*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(2*b) - (d*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b^2 - (d*Csc[a + b*x])/(2*b^2) + (3*I*d*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*I*d*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) + (3*(c + d*x)*Sec[a + b*x])/(2*b) - ((c + d*x)*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(2*b)}
+{(Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2)/(c + d*x)^1, x, 0, CannotIntegrate[(Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2)/(c + d*x), x]}
+{(Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2)/(c + d*x)^2, x, 0, CannotIntegrate[(Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2)/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{x^m*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[x^m*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2, x]}
+
+{x^3*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2, x, 40, ((6*I)*x^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (6*x*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (3*x^3*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b - (3*x^2*Csc[a + b*x])/(2*b^2) + ((3*I)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (((9*I)/2)*x^2*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((6*I)*x*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((6*I)*x*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((3*I)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (((9*I)/2)*x^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (9*x*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (6*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (9*x*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((9*I)*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((9*I)*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (3*x^3*Sec[a + b*x])/(2*b) - (x^3*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(2*b)}
+{x^2*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2, x, 29, ((4*I)*x*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*x^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b - ArcTanh[Cos[a + b*x]]/b^3 - (x*Csc[a + b*x])/b^2 + ((3*I)*x*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((2*I)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((2*I)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((3*I)*x*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*x^2*Sec[a + b*x])/(2*b) - (x^2*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(2*b)}
+{x*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2, x, 13, (-3*x*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b - ArcTanh[Sin[a + b*x]]/b^2 - Csc[a + b*x]/(2*b^2) + (((3*I)/2)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (((3*I)/2)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 + (3*x*Sec[a + b*x])/(2*b) - (x*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(2*b)}
+{(Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2)/x, x, 0, CannotIntegrate[(Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2)/x, x]}
+{(Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2)/x^2, x, 0, CannotIntegrate[(Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2)/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^(m/2) Sec[a+b x]^2 Sin[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Sec[a+b x]^3 Sin[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Sec[a+b x]^3 Sin[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(c + d*x)^m*Sec[a + b*x]^2*Tan[a + b*x], x, 0, CannotIntegrate[(c + d*x)^m*Sec[a + b*x]^2*Tan[a + b*x], x]}
+
+{(c + d*x)^4*Sec[a + b*x]^2*Tan[a + b*x], x, 7, (2*I*d*(c + d*x)^3)/b^2 - (6*d^2*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (6*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^4 - (3*d^4*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^5 + ((c + d*x)^4*Sec[a + b*x]^2)/(2*b) - (2*d*(c + d*x)^3*Tan[a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^3*Sec[a + b*x]^2*Tan[a + b*x], x, 6, (3*I*d*(c + d*x)^2)/(2*b^2) - (3*d^2*(c + d*x)*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (3*I*d^3*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^4) + ((c + d*x)^3*Sec[a + b*x]^2)/(2*b) - (3*d*(c + d*x)^2*Tan[a + b*x])/(2*b^2)}
+{(c + d*x)^2*Sec[a + b*x]^2*Tan[a + b*x], x, 3, -((d^2*Log[Cos[a + b*x]])/b^3) + ((c + d*x)^2*Sec[a + b*x]^2)/(2*b) - (d*(c + d*x)*Tan[a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^1*Sec[a + b*x]^2*Tan[a + b*x], x, 3, ((c + d*x)*Sec[a + b*x]^2)/(2*b) - (d*Tan[a + b*x])/(2*b^2)}
+{(Sec[a + b*x]^2*Tan[a + b*x])/(c + d*x)^1, x, 0, CannotIntegrate[(Sec[a + b*x]^2*Tan[a + b*x])/(c + d*x), x]}
+{(Sec[a + b*x]^2*Tan[a + b*x])/(c + d*x)^2, x, 0, CannotIntegrate[(Sec[a + b*x]^2*Tan[a + b*x])/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^m*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x]^2, x, 1, -Unintegrable[(c + d*x)^m*Sec[a + b*x], x] + Unintegrable[(c + d*x)^m*Sec[a + b*x]^3, x]}
+
+{(c + d*x)^3*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x]^2, x, 25, -((6*I*d^2*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^3) + (I*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b + (3*I*d^3*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*I*d^3*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*I*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (3*I*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (3*d*(c + d*x)^2*Sec[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)^3*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(2*b)}
+{(c + d*x)^2*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x]^2, x, 17, (I*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b + (d^2*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b^3 - (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^2 + (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2 + (d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (d^2*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (d*(c + d*x)*Sec[a + b*x])/b^2 + ((c + d*x)^2*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(2*b)}
+{(c + d*x)^1*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x]^2, x, 12, (I*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b - (I*d*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) + (I*d*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (d*Sec[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(2*b)}
+{(Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x]^2)/(c + d*x)^1, x, 1, -Unintegrable[Sec[a + b*x]/(c + d*x), x] + Unintegrable[Sec[a + b*x]^3/(c + d*x), x]}
+{(Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x]^2)/(c + d*x)^2, x, 1, -Unintegrable[Sec[a + b*x]/(c + d*x)^2, x] + Unintegrable[Sec[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^m*Tan[a + b*x]^3, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Tan[a + b*x]^3, x]}
+
+{(c + d*x)^3*Tan[a + b*x]^3, x, 13, (3*I*d*(c + d*x)^2)/(2*b^2) + (c + d*x)^3/(2*b) - (I*(c + d*x)^4)/(4*d) - (3*d^2*(c + d*x)*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + ((c + d*x)^3*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b + (3*I*d^3*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^4) - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) + (3*I*d^3*PolyLog[4, -E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^4) - (3*d*(c + d*x)^2*Tan[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)^3*Tan[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{(c + d*x)^2*Tan[a + b*x]^3, x, 9, (c*d*x)/b + (d^2*x^2)/(2*b) - (I*(c + d*x)^3)/(3*d) + ((c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b - (d^2*Log[Cos[a + b*x]])/b^3 - (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 + (d^2*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) - (d*(c + d*x)*Tan[a + b*x])/b^2 + ((c + d*x)^2*Tan[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{(c + d*x)^1*Tan[a + b*x]^3, x, 7, (d*x)/(2*b) - (I*(c + d*x)^2)/(2*d) + ((c + d*x)*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b - (I*d*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (d*Tan[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)*Tan[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Tan[a + b*x]^3/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Tan[a + b*x]^3/(c + d*x), x]}
+{Tan[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Tan[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^3, x, 0, CannotIntegrate[(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^3, x]}
+
+{(c + d*x)^4*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^3, x, 25, (2*I*d*(c + d*x)^3)/b^2 + (c + d*x)^4/(2*b) - (2*(c + d*x)^4*ArcTanh[E^(2*I*(a + b*x))])/b - (6*d^2*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (6*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^4 + (2*I*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (2*I*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (3*d^4*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^5 - (3*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 - (3*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^4 + (3*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, E^(2*I*(a + b*x))])/b^4 + (3*d^4*PolyLog[5, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^5) - (3*d^4*PolyLog[5, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^5) - (2*d*(c + d*x)^3*Tan[a + b*x])/b^2 + ((c + d*x)^4*Tan[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^3, x, 22, (3*I*d*(c + d*x)^2)/(2*b^2) + (c + d*x)^3/(2*b) - (2*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^(2*I*(a + b*x))])/b - (3*d^2*(c + d*x)*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (3*I*d^3*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^4) + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) - (3*I*d^3*PolyLog[4, -E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^4) + (3*I*d^3*PolyLog[4, E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^4) - (3*d*(c + d*x)^2*Tan[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)^3*Tan[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{(c + d*x)^2*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^3, x, 17, (c*d*x)/b + (d^2*x^2)/(2*b) - (2*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(2*I*(a + b*x))])/b - (d^2*Log[Cos[a + b*x]])/b^3 + (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (d^2*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) + (d^2*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) - (d*(c + d*x)*Tan[a + b*x])/b^2 + ((c + d*x)^2*Tan[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{(c + d*x)^1*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^3, x, 11, (d*x)/(2*b) - (2*d*x*ArcTanh[E^((2*I)*a + (2*I)*b*x)])/b + (c*Log[Tan[a + b*x]])/b + ((I/2)*d*PolyLog[2, -E^((2*I)*(a + b*x))])/b^2 - ((I/2)*d*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^2 - (d*Tan[a + b*x])/(2*b^2) + (c*Tan[a + b*x]^2)/(2*b) + (d*x*Tan[a + b*x]^2)/(2*b), (d*x)/(2*b) - (2*d*x*ArcTanh[E^(2*I*(a + b*x))])/b - (d*x*Log[Tan[a + b*x]])/b + ((c + d*x)*Log[Tan[a + b*x]])/b + (I*d*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (I*d*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (d*Tan[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)*Tan[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{(Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^3)/(c + d*x)^1, x, 0, CannotIntegrate[(Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^3)/(c + d*x), x]}
+{(Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^3)/(c + d*x)^2, x, 0, CannotIntegrate[(Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^3)/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^3, x, 0, CannotIntegrate[(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^3, x]}
+
+{(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^3, x, 44, -((6*I*d^2*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^3) - (3*I*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b - (6*d*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*(c + d*x)^3*Csc[a + b*x])/(2*b) + (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*I*d^3*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (9*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*I*d^3*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (9*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*d^3*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (9*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (9*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (9*I*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (9*I*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (3*d*(c + d*x)^2*Sec[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)^3*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{(c + d*x)^2*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^3, x, 31, -((3*I*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b) + (2*d^2*x*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (6*d*(c + d*x)*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (d^2*x*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/b^2 + (d*(c + d*x)*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/b^2 + (d^2*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b^3 - (3*(c + d*x)^2*Csc[a + b*x])/(2*b) + (2*I*d^2*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*I*d^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (3*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^2*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (d*(c + d*x)*Sec[a + b*x])/b^2 + ((c + d*x)^2*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{(c + d*x)^1*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^3, x, 13, -((3*I*d*x*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b) - (d*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/b^2 + (3*c*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(2*b) - (3*(c + d*x)*Csc[a + b*x])/(2*b) + (3*I*d*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*I*d*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (d*Sec[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2)/(2*b), -((3*I*d*x*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b) - (d*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/b^2 - (3*d*x*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(2*b) + (3*(c + d*x)*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/(2*b) - (3*(c + d*x)*Csc[a + b*x])/(2*b) + (3*I*d*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*I*d*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/(2*b^2) - (d*Sec[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{(Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^3)/(c + d*x)^1, x, 0, CannotIntegrate[(Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^3)/(c + d*x), x]}
+{(Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^3)/(c + d*x)^2, x, 0, CannotIntegrate[(Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^3)/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^3, x, 0, CannotIntegrate[(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^3, x]}
+
+{(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^3, x, 16, -((6*d^2*(c + d*x)*ArcTanh[E^(2*I*(a + b*x))])/b^3) - (4*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^(2*I*(a + b*x))])/b - (3*d*(c + d*x)^2*Csc[2*a + 2*b*x])/b^2 - (2*(c + d*x)^3*Cot[2*a + 2*b*x]*Csc[2*a + 2*b*x])/b + (3*I*d^3*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^4) + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (3*I*d^3*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^4) - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 - (3*I*d^3*PolyLog[4, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^4) + (3*I*d^3*PolyLog[4, E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^4)}
+{(c + d*x)^2*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^3, x, 10, -((4*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(2*I*(a + b*x))])/b) - (d^2*ArcTanh[Cos[2*a + 2*b*x]])/b^3 - (2*d*(c + d*x)*Csc[2*a + 2*b*x])/b^2 - (2*(c + d*x)^2*Cot[2*a + 2*b*x]*Csc[2*a + 2*b*x])/b + (2*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (2*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (d^2*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (d^2*PolyLog[3, E^(2*I*(a + b*x))])/b^3}
+{(c + d*x)^1*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^3, x, 7, -((4*(c + d*x)*ArcTanh[E^(2*I*(a + b*x))])/b) - (d*Csc[2*a + 2*b*x])/b^2 - (2*(c + d*x)*Cot[2*a + 2*b*x]*Csc[2*a + 2*b*x])/b + (I*d*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 - (I*d*PolyLog[2, E^(2*I*(a + b*x))])/b^2}
+{(Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^3)/(c + d*x)^1, x, 1, 8*Unintegrable[Csc[2*a + 2*b*x]^3/(c + d*x), x]}
+{(Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^3)/(c + d*x)^2, x, 1, 8*Unintegrable[Csc[2*a + 2*b*x]^3/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^(m/2) Sec[a+b x]^3 Sin[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Cos[a+b x]^(n/2) Sin[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Cos[a+b x]^(n/2) Sin[a+b x]^1*)
+
+
+{x*Cos[a + b*x]^(5/2)*Sin[a + b*x], x, 4, (-2*x*Cos[a + b*x]^(7/2))/(7*b) + (20*EllipticF[(a + b*x)/2, 2])/(147*b^2) + (20*Sqrt[Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(147*b^2) + (4*Cos[a + b*x]^(5/2)*Sin[a + b*x])/(49*b^2)}
+{x*Cos[a + b*x]^(3/2)*Sin[a + b*x], x, 3, (-2*x*Cos[a + b*x]^(5/2))/(5*b) + (12*EllipticE[(a + b*x)/2, 2])/(25*b^2) + (4*Cos[a + b*x]^(3/2)*Sin[a + b*x])/(25*b^2)}
+{x*Sqrt[Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x], x, 3, (-2*x*Cos[a + b*x]^(3/2))/(3*b) + (4*EllipticF[(a + b*x)/2, 2])/(9*b^2) + (4*Sqrt[Cos[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(9*b^2)}
+{(x*Sin[a + b*x])/Sqrt[Cos[a + b*x]], x, 2, (-2*x*Sqrt[Cos[a + b*x]])/b + (4*EllipticE[(a + b*x)/2, 2])/b^2}
+{(x*Sin[a + b*x])/Cos[a + b*x]^(3/2), x, 2, (2*x)/(b*Sqrt[Cos[a + b*x]]) - (4*EllipticF[(a + b*x)/2, 2])/b^2}
+{(x*Sin[a + b*x])/Cos[a + b*x]^(5/2), x, 3, (2*x)/(3*b*Cos[a + b*x]^(3/2)) + (4*EllipticE[(a + b*x)/2, 2])/(3*b^2) - (4*Sin[a + b*x])/(3*b^2*Sqrt[Cos[a + b*x]])}
+{(x*Sin[a + b*x])/Cos[a + b*x]^(7/2), x, 3, (2*x)/(5*b*Cos[a + b*x]^(5/2)) - (4*EllipticF[(a + b*x)/2, 2])/(15*b^2) - (4*Sin[a + b*x])/(15*b^2*Cos[a + b*x]^(3/2))}
+{(x*Sin[a + b*x])/Cos[a + b*x]^(9/2), x, 4, (2*x)/(7*b*Cos[a + b*x]^(7/2)) + (12*EllipticE[(a + b*x)/2, 2])/(35*b^2) - (4*Sin[a + b*x])/(35*b^2*Cos[a + b*x]^(5/2)) - (12*Sin[a + b*x])/(35*b^2*Sqrt[Cos[a + b*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Sec[a+b x]^(n/2) Sin[a+b x]^1*)
+
+
+{x*Sec[a + b*x]^(9/2)*Sin[a + b*x], x, 5, (12*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticE[(a + b*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[a + b*x]])/(35*b^2) + (2*x*Sec[a + b*x]^(7/2))/(7*b) - (12*Sqrt[Sec[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(35*b^2) - (4*Sec[a + b*x]^(5/2)*Sin[a + b*x])/(35*b^2)}
+{x*Sec[a + b*x]^(7/2)*Sin[a + b*x], x, 4, (-4*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(a + b*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[a + b*x]])/(15*b^2) + (2*x*Sec[a + b*x]^(5/2))/(5*b) - (4*Sec[a + b*x]^(3/2)*Sin[a + b*x])/(15*b^2)}
+{x*Sec[a + b*x]^(5/2)*Sin[a + b*x], x, 4, (4*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticE[(a + b*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[a + b*x]])/(3*b^2) + (2*x*Sec[a + b*x]^(3/2))/(3*b) - (4*Sqrt[Sec[a + b*x]]*Sin[a + b*x])/(3*b^2)}
+{x*Sec[a + b*x]^(3/2)*Sin[a + b*x], x, 3, (2*x*Sqrt[Sec[a + b*x]])/b - (4*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(a + b*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[a + b*x]])/b^2}
+{x*Sqrt[Sec[a + b*x]]*Sin[a + b*x], x, 3, (-2*x)/(b*Sqrt[Sec[a + b*x]]) + (4*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticE[(a + b*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[a + b*x]])/b^2}
+{(x*Sin[a + b*x])/Sqrt[Sec[a + b*x]], x, 4, (-2*x)/(3*b*Sec[a + b*x]^(3/2)) + (4*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(a + b*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[a + b*x]])/(9*b^2) + (4*Sin[a + b*x])/(9*b^2*Sqrt[Sec[a + b*x]])}
+{(x*Sin[a + b*x])/Sec[a + b*x]^(3/2), x, 4, (-2*x)/(5*b*Sec[a + b*x]^(5/2)) + (12*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticE[(a + b*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[a + b*x]])/(25*b^2) + (4*Sin[a + b*x])/(25*b^2*Sec[a + b*x]^(3/2))}
+{(x*Sin[a + b*x])/Sec[a + b*x]^(5/2), x, 5, (-2*x)/(7*b*Sec[a + b*x]^(7/2)) + (20*Sqrt[Cos[a + b*x]]*EllipticF[(a + b*x)/2, 2]*Sqrt[Sec[a + b*x]])/(147*b^2) + (4*Sin[a + b*x])/(49*b^2*Sec[a + b*x]^(5/2)) + (20*Sin[a + b*x])/(147*b^2*Sqrt[Sec[a + b*x]])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Cos[a+b x]^n Sin[a+b x]^(p/2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Cos[a+b x]^1 Sin[a+b x]^(p/2)*)
+
+
+{x*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^(5/2), x, 4, -((20*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/(147*b^2)) + (20*Cos[a + b*x]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(147*b^2) + (4*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^(5/2))/(49*b^2) + (2*x*Sin[a + b*x]^(7/2))/(7*b)}
+{x*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^(3/2), x, 3, -((12*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/(25*b^2)) + (4*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x]^(3/2))/(25*b^2) + (2*x*Sin[a + b*x]^(5/2))/(5*b)}
+{x*Cos[a + b*x]*Sqrt[Sin[a + b*x]], x, 3, -((4*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/(9*b^2)) + (4*Cos[a + b*x]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(9*b^2) + (2*x*Sin[a + b*x]^(3/2))/(3*b)}
+{(x*Cos[a + b*x])/Sqrt[Sin[a + b*x]], x, 2, -((4*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/b^2) + (2*x*Sqrt[Sin[a + b*x]])/b}
+{(x*Cos[a + b*x])/Sin[a + b*x]^(3/2), x, 2, (4*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/b^2 - (2*x)/(b*Sqrt[Sin[a + b*x]])}
+{(x*Cos[a + b*x])/Sin[a + b*x]^(5/2), x, 3, -((4*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/(3*b^2)) - (2*x)/(3*b*Sin[a + b*x]^(3/2)) - (4*Cos[a + b*x])/(3*b^2*Sqrt[Sin[a + b*x]])}
+{(x*Cos[a + b*x])/Sin[a + b*x]^(7/2), x, 3, (4*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/(15*b^2) - (2*x)/(5*b*Sin[a + b*x]^(5/2)) - (4*Cos[a + b*x])/(15*b^2*Sin[a + b*x]^(3/2))}
+{(x*Cos[a + b*x])/Sin[a + b*x]^(9/2), x, 4, -((12*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2])/(35*b^2)) - (2*x)/(7*b*Sin[a + b*x]^(7/2)) - (4*Cos[a + b*x])/(35*b^2*Sin[a + b*x]^(5/2)) - (12*Cos[a + b*x])/(35*b^2*Sqrt[Sin[a + b*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Cos[a+b x]^1 Csc[a+b x]^(p/2)*)
+
+
+{x*Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^(9/2), x, 5, -((12*Cos[a + b*x]*Sqrt[Csc[a + b*x]])/(35*b^2)) - (4*Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^(5/2))/(35*b^2) - (2*x*Csc[a + b*x]^(7/2))/(7*b) - (12*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(35*b^2)}
+{x*Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^(7/2), x, 4, -((4*Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^(3/2))/(15*b^2)) - (2*x*Csc[a + b*x]^(5/2))/(5*b) + (4*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(15*b^2)}
+{x*Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^(5/2), x, 4, -((4*Cos[a + b*x]*Sqrt[Csc[a + b*x]])/(3*b^2)) - (2*x*Csc[a + b*x]^(3/2))/(3*b) - (4*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(3*b^2)}
+{x*Cos[a + b*x]*Csc[a + b*x]^(3/2), x, 3, -((2*x*Sqrt[Csc[a + b*x]])/b) + (4*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/b^2}
+{x*Cos[a + b*x]*Sqrt[Csc[a + b*x]], x, 3, (2*x)/(b*Sqrt[Csc[a + b*x]]) - (4*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/b^2}
+{(x*Cos[a + b*x])/Sqrt[Csc[a + b*x]], x, 4, (2*x)/(3*b*Csc[a + b*x]^(3/2)) + (4*Cos[a + b*x])/(9*b^2*Sqrt[Csc[a + b*x]]) - (4*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(9*b^2)}
+{(x*Cos[a + b*x])/Csc[a + b*x]^(3/2), x, 4, (2*x)/(5*b*Csc[a + b*x]^(5/2)) + (4*Cos[a + b*x])/(25*b^2*Csc[a + b*x]^(3/2)) - (12*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(25*b^2)}
+{(x*Cos[a + b*x])/Csc[a + b*x]^(5/2), x, 5, (2*x)/(7*b*Csc[a + b*x]^(7/2)) + (4*Cos[a + b*x])/(49*b^2*Csc[a + b*x]^(5/2)) + (20*Cos[a + b*x])/(147*b^2*Sqrt[Csc[a + b*x]]) - (20*Sqrt[Csc[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*x), 2]*Sqrt[Sin[a + b*x]])/(147*b^2)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Trig[a+b x]^n Trig[n (a+b x)]^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Csc[a+b x]^n Sin[n (a+b x)]^p*)
+
+
+{x*Csc[x]*Sin[3*x], x, 6, x^2/2 + (3*Cos[x]^2)/4 + 2*x*Cos[x]*Sin[x] - Sin[x]^2/4}
+
+
+{(c + d*x)^4*Csc[x]*Sin[3*x], x, 14, (3*d^4*x)/2 - d*(c + d*x)^3 + (c + d*x)^5/(5*d) - (9/2)*d^3*(c + d*x)*Cos[x]^2 + 3*d*(c + d*x)^3*Cos[x]^2 + 3*d^4*Cos[x]*Sin[x] - 6*d^2*(c + d*x)^2*Cos[x]*Sin[x] + 2*(c + d*x)^4*Cos[x]*Sin[x] + (3/2)*d^3*(c + d*x)*Sin[x]^2 - d*(c + d*x)^3*Sin[x]^2}
+{(c + d*x)^3*Csc[x]*Sin[3*x], x, 10, (-(3/2))*c*d^2*x - (3*d^3*x^2)/4 + (c + d*x)^4/(4*d) - (9/8)*d^3*Cos[x]^2 + (9/4)*d*(c + d*x)^2*Cos[x]^2 - 3*d^2*(c + d*x)*Cos[x]*Sin[x] + 2*(c + d*x)^3*Cos[x]*Sin[x] + (3/8)*d^3*Sin[x]^2 - (3/4)*d*(c + d*x)^2*Sin[x]^2}
+{(c + d*x)^2*Csc[x]*Sin[3*x], x, 10, -((d^2*x)/2) + (c + d*x)^3/(3*d) + (3/2)*d*(c + d*x)*Cos[x]^2 - d^2*Cos[x]*Sin[x] + 2*(c + d*x)^2*Cos[x]*Sin[x] - (1/2)*d*(c + d*x)*Sin[x]^2}
+{(c + d*x)^1*Csc[x]*Sin[3*x], x, 6, c*x + (d*x^2)/2 + (3/4)*d*Cos[x]^2 + 2*(c + d*x)*Cos[x]*Sin[x] - (1/4)*d*Sin[x]^2}
+{Csc[x]*Sin[3*x]/(c + d*x)^1, x, 12, (2*Cos[(2*c)/d]*CosIntegral[(2*c)/d + 2*x])/d + Log[c + d*x]/d + (2*Sin[(2*c)/d]*SinIntegral[(2*c)/d + 2*x])/d}
+{Csc[x]*Sin[3*x]/(c + d*x)^2, x, 12, -((3*Cos[x]^2)/(d*(c + d*x))) + (4*CosIntegral[(2*c)/d + 2*x]*Sin[(2*c)/d])/d^2 + Sin[x]^2/(d*(c + d*x)) - (4*Cos[(2*c)/d]*SinIntegral[(2*c)/d + 2*x])/d^2}
+{Csc[x]*Sin[3*x]/(c + d*x)^3, x, 16, -((3*Cos[x]^2)/(2*d*(c + d*x)^2)) - (4*Cos[(2*c)/d]*CosIntegral[(2*c)/d + 2*x])/d^3 + (4*Cos[x]*Sin[x])/(d^2*(c + d*x)) + Sin[x]^2/(2*d*(c + d*x)^2) - (4*Sin[(2*c)/d]*SinIntegral[(2*c)/d + 2*x])/d^3}
+
+
+{(c + d*x)^4*Csc[a + b*x]*Sin[3*a + 3*b*x], x, 14, (3*d^4*x)/(2*b^4) - (d*(c + d*x)^3)/b^2 + (c + d*x)^5/(5*d) - (9*d^3*(c + d*x)*Cos[a + b*x]^2)/(2*b^4) + (3*d*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]^2)/b^2 + (3*d^4*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^5 - (6*d^2*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^3 + (2*(c + d*x)^4*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b + (3*d^3*(c + d*x)*Sin[a + b*x]^2)/(2*b^4) - (d*(c + d*x)^3*Sin[a + b*x]^2)/b^2}
+{(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]*Sin[3*a + 3*b*x], x, 10, -((3*c*d^2*x)/(2*b^2)) - (3*d^3*x^2)/(4*b^2) + (c + d*x)^4/(4*d) - (9*d^3*Cos[a + b*x]^2)/(8*b^4) + (9*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]^2)/(4*b^2) - (3*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^3 + (2*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b + (3*d^3*Sin[a + b*x]^2)/(8*b^4) - (3*d*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x]^2)/(4*b^2)}
+{(c + d*x)^2*Csc[a + b*x]*Sin[3*a + 3*b*x], x, 10, -((d^2*x)/(2*b^2)) + (c + d*x)^3/(3*d) + (3*d*(c + d*x)*Cos[a + b*x]^2)/(2*b^2) - (d^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^3 + (2*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b - (d*(c + d*x)*Sin[a + b*x]^2)/(2*b^2)}
+{(c + d*x)^1*Csc[a + b*x]*Sin[3*a + 3*b*x], x, 6, c*x + (d*x^2)/2 + (3*d*Cos[a + b*x]^2)/(4*b^2) + (2*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b - (d*Sin[a + b*x]^2)/(4*b^2)}
+{Csc[a + b*x]*Sin[3*a + 3*b*x]/(c + d*x)^1, x, 12, (2*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d + Log[c + d*x]/d - (2*Sin[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d}
+{Csc[a + b*x]*Sin[3*a + 3*b*x]/(c + d*x)^2, x, 12, -((3*Cos[a + b*x]^2)/(d*(c + d*x))) - (4*b*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/d^2 + Sin[a + b*x]^2/(d*(c + d*x)) - (4*b*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^2}
+{Csc[a + b*x]*Sin[3*a + 3*b*x]/(c + d*x)^3, x, 16, -((3*Cos[a + b*x]^2)/(2*d*(c + d*x)^2)) - (4*b^2*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^3 + (4*b*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(d^2*(c + d*x)) + Sin[a + b*x]^2/(2*d*(c + d*x)^2) + (4*b^2*Sin[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^3}
+{Csc[a + b*x]*Sin[3*a + 3*b*x]/(c + d*x)^4, x, 16, -((2*b^2)/(3*d^3*(c + d*x))) - Cos[a + b*x]^2/(d*(c + d*x)^3) + (2*b^2*Cos[a + b*x]^2)/(d^3*(c + d*x)) + (8*b^3*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/(3*d^4) + (4*b*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(3*d^2*(c + d*x)^2) + Sin[a + b*x]^2/(3*d*(c + d*x)^3) - (2*b^2*Sin[a + b*x]^2)/(3*d^3*(c + d*x)) + (8*b^3*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(3*d^4)}
+
+
+{(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^2*Sin[3*a + 3*b*x], x, 20, -((6*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b) - (24*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/b^3 + (4*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x])/b + (9*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (9*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (18*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (18*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (18*I*d^3*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (18*I*d^3*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (24*d^3*Sin[a + b*x])/b^4 - (12*d*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^2*Csc[a + b*x]^2*Sin[3*a + 3*b*x], x, 16, -((6*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b) - (8*d^2*Cos[a + b*x])/b^3 + (4*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/b + (6*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (6*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (6*d^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (8*d*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^1*Csc[a + b*x]^2*Sin[3*a + 3*b*x], x, 12, -((6*(c + d*x)*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b) + (4*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/b + (3*I*d*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*I*d*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (4*d*Sin[a + b*x])/b^2}
+{Csc[a + b*x]^2*Sin[3*a + 3*b*x]/(c + d*x)^1, x, 9, 3*Unintegrable[Csc[a + b*x]/(c + d*x), x] - (4*CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/d - (4*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/d}
+{Csc[a + b*x]^2*Sin[3*a + 3*b*x]/(c + d*x)^2, x, 11, -((4*b*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/d^2) + 3*Unintegrable[Csc[a + b*x]/(c + d*x)^2, x] + (4*Sin[a + b*x])/(d*(c + d*x)) + (4*b*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/d^2}
+{Csc[a + b*x]^2*Sin[3*a + 3*b*x]/(c + d*x)^3, x, 13, (2*b*Cos[a + b*x])/(d^2*(c + d*x)) + 3*Unintegrable[Csc[a + b*x]/(c + d*x)^3, x] + (2*b^2*CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/d^3 + (2*Sin[a + b*x])/(d*(c + d*x)^2) + (2*b^2*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/d^3}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Sec[a+b x]^n Sin[n (a+b x)]^p*)
+
+
+{(c + d*x)^4*Sec[a + b*x]*Sin[3*a + 3*b*x], x, 20, (6*c*d^3*x)/b^3 + (3*d^4*x^2)/b^3 - (c + d*x)^4/b - (I*(c + d*x)^5)/(5*d) + ((c + d*x)^4*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b - (2*I*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 + (3*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^3 + (3*I*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^4 - (3*d^4*PolyLog[5, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^5) - (6*d^3*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^4 + (4*d*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^2 + (3*d^4*Sin[a + b*x]^2)/b^5 - (6*d^2*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x]^2)/b^3 + (2*(c + d*x)^4*Sin[a + b*x]^2)/b}
+{(c + d*x)^3*Sec[a + b*x]*Sin[3*a + 3*b*x], x, 19, (3*d^3*x)/(2*b^3) - (c + d*x)^3/b - (I*(c + d*x)^4)/(4*d) + ((c + d*x)^3*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) + (3*I*d^3*PolyLog[4, -E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^4) - (3*d^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^4) + (3*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^2 - (3*d^2*(c + d*x)*Sin[a + b*x]^2)/b^3 + (2*(c + d*x)^3*Sin[a + b*x]^2)/b}
+{(c + d*x)^2*Sec[a + b*x]*Sin[3*a + 3*b*x], x, 14, -((2*c*d*x)/b) - (d^2*x^2)/b - (I*(c + d*x)^3)/(3*d) + ((c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b - (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/b^2 + (d^2*PolyLog[3, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^3) + (2*d*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^2 - (d^2*Sin[a + b*x]^2)/b^3 + (2*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x]^2)/b}
+{(c + d*x)^1*Sec[a + b*x]*Sin[3*a + 3*b*x], x, 13, -((d*x)/b) - (I*(c + d*x)^2)/(2*d) + ((c + d*x)*Log[1 + E^(2*I*(a + b*x))])/b - (I*d*PolyLog[2, -E^(2*I*(a + b*x))])/(2*b^2) + (d*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^2 + (2*(c + d*x)*Sin[a + b*x]^2)/b}
+{Sec[a + b*x]*Sin[3*a + 3*b*x]/(c + d*x)^1, x, 13, -Unintegrable[Tan[a + b*x]/(c + d*x), x] + (2*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/d + (2*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d}
+{Sec[a + b*x]*Sin[3*a + 3*b*x]/(c + d*x)^2, x, 15, (4*b*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^2 - Unintegrable[Tan[a + b*x]/(c + d*x)^2, x] - (2*Sin[2*a + 2*b*x])/(d*(c + d*x)) - (4*b*Sin[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^2}
+{Sec[a + b*x]*Sin[3*a + 3*b*x]/(c + d*x)^3, x, 17, -((2*b*Cos[2*a + 2*b*x])/(d^2*(c + d*x))) - Unintegrable[Tan[a + b*x]/(c + d*x)^3, x] - (4*b^2*CosIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sin[2*a - (2*b*c)/d])/d^3 - Sin[2*a + 2*b*x]/(d*(c + d*x)^2) - (4*b^2*Cos[2*a - (2*b*c)/d]*SinIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^3}
+
+
+{(c + d*x)^3*Sec[a + b*x]^2*Sin[3*a + 3*b*x], x, 19, -((6*I*d*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2) + (24*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/b^3 - (4*(c + d*x)^3*Cos[a + b*x])/b + (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*d^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (6*d^3*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - ((c + d*x)^3*Sec[a + b*x])/b - (24*d^3*Sin[a + b*x])/b^4 + (12*d*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^2*Sec[a + b*x]^2*Sin[3*a + 3*b*x], x, 15, -((4*I*d*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2) + (8*d^2*Cos[a + b*x])/b^3 - (4*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/b + (2*I*d^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (2*I*d^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((c + d*x)^2*Sec[a + b*x])/b + (8*d*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^1*Sec[a + b*x]^2*Sin[3*a + 3*b*x], x, 9, (d*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b^2 - (4*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/b - ((c + d*x)*Sec[a + b*x])/b + (4*d*Sin[a + b*x])/b^2}
+{Sec[a + b*x]^2*Sin[3*a + 3*b*x]/(c + d*x)^1, x, 9, -CannotIntegrate[(Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(c + d*x), x] + (4*CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/d + (4*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/d}
+{Sec[a + b*x]^2*Sin[3*a + 3*b*x]/(c + d*x)^2, x, 11, (4*b*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(b*c)/d + b*x])/d^2 - CannotIntegrate[(Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(c + d*x)^2, x] - (4*Sin[a + b*x])/(d*(c + d*x)) - (4*b*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/d^2}
+{Sec[a + b*x]^2*Sin[3*a + 3*b*x]/(c + d*x)^3, x, 13, -((2*b*Cos[a + b*x])/(d^2*(c + d*x))) - CannotIntegrate[(Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(c + d*x)^3, x] - (2*b^2*CosIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sin[a - (b*c)/d])/d^3 - (2*Sin[a + b*x])/(d*(c + d*x)^2) - (2*b^2*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(b*c)/d + b*x])/d^3}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Sec[a+b x]^n Cos[n (a+b x)]^p*)
+
+
+{x*Cos[2*x]*Sec[x], x, 12, 2*I*x*ArcTan[E^(I*x)] + 2*Cos[x] - I*PolyLog[2, (-I)*E^(I*x)] + I*PolyLog[2, I*E^(I*x)] + 2*x*Sin[x]}
+{x*Cos[2*x]*Sec[x]^2, x, 5, x^2 - Log[Cos[x]] - x*Tan[x]}
+{x*Cos[2*x]*Sec[x]^3, x, 19, -3*I*x*ArcTan[E^(I*x)] + (3/2)*I*PolyLog[2, (-I)*E^(I*x)] - (3/2)*I*PolyLog[2, I*E^(I*x)] + Sec[x]/2 - (1/2)*x*Sec[x]*Tan[x]}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Csc[a+b x]^n Cos[n (a+b x)]^p*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.4 x^m (a+b trig^n)^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.4 x^m (a+b trig^n)^p.m
new file mode 100644
index 00000000..377cf05f
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.4 x^m (a+b trig^n)^p.m	
@@ -0,0 +1,39 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b trig(c+d x)^n)^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Sin[c+d x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Sin[c+d x]^2)^p*)
+
+
+{x/(a + b*Sin[x]^2), x, 9, -((I*x*Log[1 - (b*E^(2*I*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])) + (I*x*Log[1 - (b*E^(2*I*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - PolyLog[2, (b*E^(2*I*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])]/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + PolyLog[2, (b*E^(2*I*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])]/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])}
+{x^2/(a + b*Sin[x]^2), x, 11, -((I*x^2*Log[1 - (b*E^(2*I*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])) + (I*x^2*Log[1 - (b*E^(2*I*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (x*PolyLog[2, (b*E^(2*I*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (x*PolyLog[2, (b*E^(2*I*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (I*PolyLog[3, (b*E^(2*I*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (I*PolyLog[3, (b*E^(2*I*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])}
+{x^3/(a + b*Sin[x]^2), x, 13, -((I*x^3*Log[1 - (b*E^(2*I*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])) + (I*x^3*Log[1 - (b*E^(2*I*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (3*x^2*PolyLog[2, (b*E^(2*I*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (3*x^2*PolyLog[2, (b*E^(2*I*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (3*I*x*PolyLog[3, (b*E^(2*I*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (3*I*x*PolyLog[3, (b*E^(2*I*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (3*PolyLog[4, (b*E^(2*I*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(8*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (3*PolyLog[4, (b*E^(2*I*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(8*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])}
+
+
+{x/(a + b*Sin[c + d*x]^2)^2, x, 12, -((I*(2*a + b)*x*Log[1 - (b*E^(2*I*(c + d*x)))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(4*a^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + (I*(2*a + b)*x*Log[1 - (b*E^(2*I*(c + d*x)))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(4*a^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - Log[2*a + b - b*Cos[2*c + 2*d*x]]/(4*a*(a + b)*d^2) - ((2*a + b)*PolyLog[2, (b*E^(2*I*(c + d*x)))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(8*a^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d^2) + ((2*a + b)*PolyLog[2, (b*E^(2*I*(c + d*x)))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(8*a^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d^2) + (b*x*Sin[2*c + 2*d*x])/(2*a*(a + b)*d*(2*a + b - b*Cos[2*c + 2*d*x]))}
+
+
+{x*Sqrt[Sin[x]^2], x, 3, Sqrt[Sin[x]^2] - x*Cot[x]*Sqrt[Sin[x]^2]}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Cos[c+d x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Cos[c+d x]^2)^p*)
+
+
+{x/(a + b*Cos[x]^2), x, 9, -((I*x*Log[1 + (b*E^(2*I*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])) + (I*x*Log[1 + (b*E^(2*I*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - PolyLog[2, -((b*E^(2*I*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))]/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + PolyLog[2, -((b*E^(2*I*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))]/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])}
+{x^2/(a + b*Cos[x]^2), x, 11, -((I*x^2*Log[1 + (b*E^(2*I*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])) + (I*x^2*Log[1 + (b*E^(2*I*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (x*PolyLog[2, -((b*E^(2*I*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (x*PolyLog[2, -((b*E^(2*I*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (I*PolyLog[3, -((b*E^(2*I*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (I*PolyLog[3, -((b*E^(2*I*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])}
+{x^3/(a + b*Cos[x]^2), x, 13, -((I*x^3*Log[1 + (b*E^(2*I*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])) + (I*x^3*Log[1 + (b*E^(2*I*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(2*I*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(2*I*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (3*I*x*PolyLog[3, -((b*E^(2*I*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (3*I*x*PolyLog[3, -((b*E^(2*I*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (3*PolyLog[4, -((b*E^(2*I*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(8*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (3*PolyLog[4, -((b*E^(2*I*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(8*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])}
+
+
+{x/(a + b*Cos[c + d*x]^2)^2, x, 12, -((I*(2*a + b)*x*Log[1 + (b*E^(2*I*(c + d*x)))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(4*a^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + (I*(2*a + b)*x*Log[1 + (b*E^(2*I*(c + d*x)))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(4*a^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - Log[2*a + b + b*Cos[2*c + 2*d*x]]/(4*a*(a + b)*d^2) - ((2*a + b)*PolyLog[2, -((b*E^(2*I*(c + d*x)))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(8*a^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d^2) + ((2*a + b)*PolyLog[2, -((b*E^(2*I*(c + d*x)))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(8*a^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d^2) - (b*x*Sin[2*c + 2*d*x])/(2*a*(a + b)*d*(2*a + b + b*Cos[2*c + 2*d*x]))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.5 x^m trig(a+b log(c x^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.5 x^m trig(a+b log(c x^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..cb180a00
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.5 x^m trig(a+b log(c x^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,741 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Problems for integrands of the form (e x)^m Trig[d (a+b Log[c x^n])]^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Sin[d (a+b Log[c x^n])]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Sin[d (a+b Log[c x^n])]^p*)
+
+
+{x^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]], x, 1, -((b*n*x^3*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/(9 + b^2*n^2)) + (3*x^3*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(9 + b^2*n^2)}
+{x^1*Sin[a + b*Log[c*x^n]], x, 1, -((b*n*x^2*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/(4 + b^2*n^2)) + (2*x^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(4 + b^2*n^2)}
+{x^0*Sin[a + b*Log[c*x^n]], x, 1, -((b*n*x*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/(1 + b^2*n^2)) + (x*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(1 + b^2*n^2)}
+{Sin[a + b*Log[c*x^n]]/x^1, x, 2, -(Cos[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n))}
+{Sin[a + b*Log[c*x^n]]/x^2, x, 1, -((b*n*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + b^2*n^2)*x)) - Sin[a + b*Log[c*x^n]]/((1 + b^2*n^2)*x)}
+{Sin[a + b*Log[c*x^n]]/x^3, x, 1, -((b*n*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/((4 + b^2*n^2)*x^2)) - (2*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/((4 + b^2*n^2)*x^2)}
+
+
+{x^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2, x, 2, (2*b^2*n^2*x^3)/(3*(9 + 4*b^2*n^2)) - (2*b*n*x^3*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(9 + 4*b^2*n^2) + (3*x^3*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(9 + 4*b^2*n^2)}
+{x^1*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2, x, 2, (b^2*n^2*x^2)/(4*(1 + b^2*n^2)) - (b*n*x^2*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(2*(1 + b^2*n^2)) + (x^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(2*(1 + b^2*n^2))}
+{x^0*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2, x, 2, (2*b^2*n^2*x)/(1 + 4*b^2*n^2) - (2*b*n*x*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(1 + 4*b^2*n^2) + (x*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(1 + 4*b^2*n^2)}
+{Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2/x^1, x, 3, Log[x]/2 - (Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(2*b*n)}
+{Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2/x^2, x, 2, -((2*b^2*n^2)/((1 + 4*b^2*n^2)*x)) - (2*b*n*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + 4*b^2*n^2)*x) - Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2/((1 + 4*b^2*n^2)*x)}
+{Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2/x^3, x, 2, -((b^2*n^2)/(4*(1 + b^2*n^2)*x^2)) - (b*n*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(2*(1 + b^2*n^2)*x^2) - Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2/(2*(1 + b^2*n^2)*x^2)}
+
+
+{x^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^3, x, 2, -((2*b^3*n^3*x^3*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/(3*(9 + 10*b^2*n^2 + b^4*n^4))) + (2*b^2*n^2*x^3*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(9 + 10*b^2*n^2 + b^4*n^4) - (b*n*x^3*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(3*(1 + b^2*n^2)) + (x^3*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^3)/(3*(1 + b^2*n^2))}
+{x^1*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^3, x, 2, -((6*b^3*n^3*x^2*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/(16 + 40*b^2*n^2 + 9*b^4*n^4)) + (12*b^2*n^2*x^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(16 + 40*b^2*n^2 + 9*b^4*n^4) - (3*b*n*x^2*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(4 + 9*b^2*n^2) + (2*x^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^3)/(4 + 9*b^2*n^2)}
+{x^0*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^3, x, 2, -((6*b^3*n^3*x*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/(1 + 10*b^2*n^2 + 9*b^4*n^4)) + (6*b^2*n^2*x*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(1 + 10*b^2*n^2 + 9*b^4*n^4) - (3*b*n*x*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(1 + 9*b^2*n^2) + (x*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^3)/(1 + 9*b^2*n^2)}
+{Sin[a + b*Log[c*x^n]]^3/x^1, x, 3, -(Cos[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n)) + Cos[a + b*Log[c*x^n]]^3/(3*b*n)}
+{Sin[a + b*Log[c*x^n]]^3/x^2, x, 2, -((6*b^3*n^3*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + 10*b^2*n^2 + 9*b^4*n^4)*x)) - (6*b^2*n^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + 10*b^2*n^2 + 9*b^4*n^4)*x) - (3*b*n*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2)/((1 + 9*b^2*n^2)*x) - Sin[a + b*Log[c*x^n]]^3/((1 + 9*b^2*n^2)*x)}
+{Sin[a + b*Log[c*x^n]]^3/x^3, x, 2, -((6*b^3*n^3*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/((16 + 40*b^2*n^2 + 9*b^4*n^4)*x^2)) - (12*b^2*n^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/((16 + 40*b^2*n^2 + 9*b^4*n^4)*x^2) - (3*b*n*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2)/((4 + 9*b^2*n^2)*x^2) - (2*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^3)/((4 + 9*b^2*n^2)*x^2)}
+
+
+{x^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^4, x, 3, (8*b^4*n^4*x^3)/(81 + 180*b^2*n^2 + 64*b^4*n^4) - (24*b^3*n^3*x^3*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(81 + 180*b^2*n^2 + 64*b^4*n^4) + (36*b^2*n^2*x^3*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(81 + 180*b^2*n^2 + 64*b^4*n^4) - (4*b*n*x^3*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^3)/(9 + 16*b^2*n^2) + (3*x^3*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^4)/(9 + 16*b^2*n^2)}
+{x^1*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^4, x, 3, (3*b^4*n^4*x^2)/(4*(1 + 5*b^2*n^2 + 4*b^4*n^4)) - (3*b^3*n^3*x^2*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(2*(1 + 5*b^2*n^2 + 4*b^4*n^4)) + (3*b^2*n^2*x^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(2*(1 + 5*b^2*n^2 + 4*b^4*n^4)) - (b*n*x^2*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^3)/(1 + 4*b^2*n^2) + (x^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^4)/(2*(1 + 4*b^2*n^2))}
+{x^0*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^4, x, 3, (24*b^4*n^4*x)/(1 + 20*b^2*n^2 + 64*b^4*n^4) - (24*b^3*n^3*x*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(1 + 20*b^2*n^2 + 64*b^4*n^4) + (12*b^2*n^2*x*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(1 + 20*b^2*n^2 + 64*b^4*n^4) - (4*b*n*x*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^3)/(1 + 16*b^2*n^2) + (x*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^4)/(1 + 16*b^2*n^2)}
+{Sin[a + b*Log[c*x^n]]^4/x^1, x, 4, 3*Log[x]/8 - (3*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(8*b*n) - (Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^3)/(4*b*n)}
+{Sin[a + b*Log[c*x^n]]^4/x^2, x, 3, -((24*b^4*n^4)/((1 + 20*b^2*n^2 + 64*b^4*n^4)*x)) - (24*b^3*n^3*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + 20*b^2*n^2 + 64*b^4*n^4)*x) - (12*b^2*n^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2)/((1 + 20*b^2*n^2 + 64*b^4*n^4)*x) - (4*b*n*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^3)/((1 + 16*b^2*n^2)*x) - Sin[a + b*Log[c*x^n]]^4/((1 + 16*b^2*n^2)*x)}
+{Sin[a + b*Log[c*x^n]]^4/x^3, x, 3, -((3*b^4*n^4)/(4*(1 + 5*b^2*n^2 + 4*b^4*n^4)*x^2)) - (3*b^3*n^3*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(2*(1 + 5*b^2*n^2 + 4*b^4*n^4)*x^2) - (3*b^2*n^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(2*(1 + 5*b^2*n^2 + 4*b^4*n^4)*x^2) - (b*n*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^3)/((1 + 4*b^2*n^2)*x^2) - Sin[a + b*Log[c*x^n]]^4/(2*(1 + 4*b^2*n^2)*x^2)}
+
+
+{Sin[Log[a + b*x]], x, 2, -(((a + b*x)*Cos[Log[a + b*x]])/(2*b)) + ((a + b*x)*Sin[Log[a + b*x]])/(2*b)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Sin[d (a+b Log[c x^n])]^p when b^2 n^2 p^2+(m+1)^2=0*)
+
+
+{x^m*Sin[a + Sqrt[-(m+1)^2/(1^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^1, x, 3, -((E^((a*(1 + m))/(Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*n))*x^(1 + m)*(c*x^n)^((1 + m)/n))/(4*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*n)) + (E^((a*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*n)/(1 + m))*(1 + m)*x^(1 + m)*Log[x])/((c*x^n)^((1 + m)/n)*(2*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*n))}
+
+{x^2*Sin[a + Sqrt[-(2+1)^2/(1^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^1, x, 3, ((1/12)*Sqrt[-(1/n^2)]*n*x^3*(c*x^n)^(3/n))/E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n) - ((1/2)*E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*Sqrt[-(1/n^2)]*n*x^3*Log[x])/(c*x^n)^(3/n)}
+{x^1*Sin[a + Sqrt[-(1+1)^2/(1^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^1, x, 3, ((1/8)*Sqrt[-(1/n^2)]*n*x^2*(c*x^n)^(2/n))/E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n) - ((1/2)*E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*Sqrt[-(1/n^2)]*n*x^2*Log[x])/(c*x^n)^(2/n)}
+{x^0*Sin[a + Sqrt[-(0+1)^2/(1^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^1, x, 3, ((1/4)*Sqrt[-(1/n^2)]*n*x*(c*x^n)^(1/n))/E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n) - ((1/2)*E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*Sqrt[-(1/n^2)]*n*x*Log[x])/(c*x^n)^n^(-1)}
+{Sin[a + Sqrt[-(-1+1)^2/(1^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^1/x^1, x, 2, Log[x]*Sin[a]}
+{Sin[a + Sqrt[-(-2+1)^2/(1^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^1/x^2, x, 3, (E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*Sqrt[-(1/n^2)]*n)/((c*x^n)^n^(-1)*(4*x)) + (Sqrt[-(1/n^2)]*n*(c*x^n)^(1/n)*Log[x])/(E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*(2*x))}
+{Sin[a + Sqrt[-(-3+1)^2/(1^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^1/x^3, x, 3, (E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*Sqrt[-(1/n^2)]*n)/((c*x^n)^(2/n)*(8*x^2)) + (Sqrt[-(1/n^2)]*n*(c*x^n)^(2/n)*Log[x])/(E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*(2*x^2))}
+
+
+{x^m*Sin[a + Sqrt[-(m+1)^2/(2^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^2, x, 3, x^(1 + m)/(2*(1 + m)) - (x^(1 + m)*(c*x^n)^((1 + m)/n))/(E^((2*a*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*n)/(1 + m))*(8*(1 + m))) - ((1/4)*E^((2*a*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*n)/(1 + m))*x^(1 + m)*Log[x])/(c*x^n)^((1 + m)/n)}
+
+{x^2*Sin[a + Sqrt[-(2+1)^2/(2^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^2, x, 3, x^3/6 - ((1/24)*x^3*(c*x^n)^(3/n))/E^(2*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n) - ((1/4)*E^(2*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*x^3*Log[x])/(c*x^n)^(3/n)}
+{x^1*Sin[a + Sqrt[-(1+1)^2/(2^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^2, x, 3, x^2/4 - ((1/16)*x^2*(c*x^n)^(2/n))/E^(2*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n) - ((1/4)*E^(2*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*x^2*Log[x])/(c*x^n)^(2/n)}
+{x^0*Sin[a + Sqrt[-(0+1)^2/(2^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^2, x, 3, x/2 - ((1/8)*x*(c*x^n)^(1/n))/E^(2*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n) - ((1/4)*E^(2*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*x*Log[x])/(c*x^n)^n^(-1)}
+{Sin[a + Sqrt[-(-1+1)^2/(2^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^2/x^1, x, 2, Log[x]*Sin[a]^2}
+{Sin[a + Sqrt[-(-2+1)^2/(2^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^2/x^2, x, 3, -(1/(2*x)) + E^(2*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)/((c*x^n)^n^(-1)*(8*x)) - ((c*x^n)^(1/n)*Log[x])/(E^(2*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*(4*x))}
+{Sin[a + Sqrt[-(-3+1)^2/(2^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^2/x^3, x, 3, -(1/(4*x^2)) + E^(2*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)/((c*x^n)^(2/n)*(16*x^2)) - ((c*x^n)^(2/n)*Log[x])/(E^(2*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*(4*x^2))}
+
+
+{x^m*Sin[a + Sqrt[-(m+1)^2/(2^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^3, x, 2, -((4*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*n*x^(1 + m)*Cos[a + (1/2)*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*Log[c*x^n]])/(5*(1 + m)^2)) + (8*x^(1 + m)*Sin[a + (1/2)*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*Log[c*x^n]])/(5*(1 + m)) + (6*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*n*x^(1 + m)*Cos[a + (1/2)*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*Log[c*x^n]]*Sin[a + (1/2)*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*Log[c*x^n]]^2)/(5*(1 + m)^2) - (4*x^(1 + m)*Sin[a + (1/2)*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*Log[c*x^n]]^3)/(5*(1 + m))}
+
+{x^2*Sin[a + Sqrt[-(2+1)^2/(3^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^3, x, 3, ((-(3/16))*E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*Sqrt[-(1/n^2)]*n*x^3)/(c*x^n)^n^(-1) + ((3/32)*Sqrt[-(1/n^2)]*n*x^3*(c*x^n)^(1/n))/E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n) - ((1/48)*Sqrt[-(1/n^2)]*n*x^3*(c*x^n)^(3/n))/E^(3*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n) + ((1/8)*E^(3*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*Sqrt[-(1/n^2)]*n*x^3*Log[x])/(c*x^n)^(3/n)}
+{x^1*Sin[a + Sqrt[-(1+1)^2/(3^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^3, x, 3, ((-(9/32))*E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*Sqrt[-(1/n^2)]*n*x^2)/(c*x^n)^(2/(3*n)) + ((9/64)*Sqrt[-(1/n^2)]*n*x^2*(c*x^n)^(2/(3*n)))/E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n) - ((1/32)*Sqrt[-(1/n^2)]*n*x^2*(c*x^n)^(2/n))/E^(3*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n) + ((1/8)*E^(3*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*Sqrt[-(1/n^2)]*n*x^2*Log[x])/(c*x^n)^(2/n)}
+{x^0*Sin[a + Sqrt[-(0+1)^2/(3^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^3, x, 3, ((-(9/16))*E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*Sqrt[-(1/n^2)]*n*x)/(c*x^n)^(1/(3*n)) + ((9/32)*Sqrt[-(1/n^2)]*n*x*(c*x^n)^(1/(3*n)))/E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n) - ((1/16)*Sqrt[-(1/n^2)]*n*x*(c*x^n)^(1/n))/E^(3*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n) + ((1/8)*E^(3*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*Sqrt[-(1/n^2)]*n*x*Log[x])/(c*x^n)^n^(-1)}
+{Sin[a + Sqrt[-(-1+1)^2/(3^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^3/x^1, x, 2, Log[x]*Sin[a]^3}
+{Sin[a + Sqrt[-(-2+1)^2/(3^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^3/x^2, x, 3, -((E^(3*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*Sqrt[-(1/n^2)]*n)/((c*x^n)^n^(-1)*(16*x))) + (9*E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*Sqrt[-(1/n^2)]*n)/((c*x^n)^(1/(3*n))*(32*x)) - (9*Sqrt[-(1/n^2)]*n*(c*x^n)^(1/(3*n)))/(E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*(16*x)) - (Sqrt[-(1/n^2)]*n*(c*x^n)^(1/n)*Log[x])/(E^(3*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*(8*x))}
+{Sin[a + Sqrt[-(-3+1)^2/(3^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^3/x^3, x, 3, -((E^(3*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*Sqrt[-(1/n^2)]*n)/((c*x^n)^(2/n)*(32*x^2))) + (9*E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*Sqrt[-(1/n^2)]*n)/((c*x^n)^(2/(3*n))*(64*x^2)) - (9*Sqrt[-(1/n^2)]*n*(c*x^n)^(2/(3*n)))/(E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*(32*x^2)) - (Sqrt[-(1/n^2)]*n*(c*x^n)^(2/n)*Log[x])/(E^(3*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*(8*x^2))}
+
+
+{x^m*Sin[a + Sqrt[-(m+1)^2/(1^2*2^2)]*Log[c*x^2]]^1, x, 3, -((E^((a*(1 + m))/Sqrt[-(1 + m)^2])*x^(1 + m)*(c*x^2)^((1 + m)/2))/(4*Sqrt[-(1 + m)^2])) + (E^((a*Sqrt[-(1 + m)^2])/(1 + m))*(1 + m)*x^(1 + m)*(c*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Log[x])/(2*Sqrt[-(1 + m)^2])}
+
+{x^0*Sin[a + Sqrt[-(0+1)^2/(1^2*2^2)]*Log[c*x^2]]^1, x, 3, (I*c*x^3)/(E^(I*a)*(4*Sqrt[c*x^2])) - (I*E^(I*a)*x*Log[x])/(2*Sqrt[c*x^2])}
+
+
+{x^m*Sin[a + Sqrt[-(m+1)^2/(2^2*2^2)]*Log[c*x^2]]^2, x, 3, x^(1 + m)/(2*(1 + m)) - (E^((2*a*(1 + m))/Sqrt[-(1 + m)^2])*x^(1 + m)*(c*x^2)^((1 + m)/2))/(8*(1 + m)) - ((1/4)*x^(1 + m)*(c*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Log[x])/E^((2*a*(1 + m))/Sqrt[-(1 + m)^2])}
+
+{x^0*Sin[a + Sqrt[-(0+1)^2/(2^2*2^2)]*Log[c*x^2]]^2, x, 3, x/2 - (c*x^3)/(E^(2*I*a)*(8*Sqrt[c*x^2])) - (E^(2*I*a)*x*Log[x])/(4*Sqrt[c*x^2])}
+
+
+{x^m*Sin[a + Sqrt[-(m+1)^2/(3^2*2^2)]*Log[c*x^2]]^3, x, 3, (9*E^((a*Sqrt[-(1 + m)^2])/(1 + m))*x^(1 + m)*(c*x^2)^((1/6)*(-1 - m)))/(16*Sqrt[-(1 + m)^2]) - (9*E^((a*(1 + m))/Sqrt[-(1 + m)^2])*x^(1 + m)*(c*x^2)^((1 + m)/6))/(32*Sqrt[-(1 + m)^2]) + (E^((3*a*(1 + m))/Sqrt[-(1 + m)^2])*x^(1 + m)*(c*x^2)^((1 + m)/2))/(16*Sqrt[-(1 + m)^2]) - ((1 + m)*x^(1 + m)*(c*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Log[x])/(E^((3*a*(1 + m))/Sqrt[-(1 + m)^2])*(8*Sqrt[-(1 + m)^2]))}
+
+{x^0*Sin[a + Sqrt[-(0+1)^2/(3^2*2^2)]*Log[c*x^2]]^3, x, 3, -((I*c*x^3)/(E^(3*I*a)*(16*Sqrt[c*x^2]))) - (9*I*E^(I*a)*x)/(16*(c*x^2)^(1/6)) + ((9/32)*I*x*(c*x^2)^(1/6))/E^(I*a) + (I*E^(3*I*a)*x*Log[x])/(8*Sqrt[c*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Sin[d (a+b Log[c x^n])]^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^1*Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]], x, 3, (2*x^2*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1/4)*(-1 - (4*I)/(b*n)), (1/4)*(3 - (4*I)/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]])/((4 - I*b*n)*Sqrt[1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])}
+{x^0*Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]], x, 3, (2*x*Hypergeometric2F1[-(1/2), -((2*I + b*n)/(4*b*n)), (1/4)*(3 - (2*I)/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]])/((2 - I*b*n)*Sqrt[1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])}
+{Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]]/x^1, x, 2, (2*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*Log[c*x^n]), 2])/(b*n)}
+{Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]]/x^2, x, 3, -((2*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1/4)*(-1 + (2*I)/(b*n)), (1/4)*(3 + (2*I)/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]])/((2 + I*b*n)*x*Sqrt[1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]))}
+{Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]]/x^3, x, 3, -((2*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1/4)*(-1 + (4*I)/(b*n)), (1/4)*(3 + (4*I)/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]])/((4 + I*b*n)*x^2*Sqrt[1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]))}
+
+
+{x^1*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2), x, 3, (2*x^2*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1/4)*(-3 - (4*I)/(b*n)), (1/4)*(1 - (4*I)/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))/((4 - 3*I*b*n)*(1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(3/2))}
+{x^0*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2), x, 3, (2*x*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1/4)*(-3 - (2*I)/(b*n)), (1/4)*(1 - (2*I)/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))/((2 - 3*I*b*n)*(1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(3/2))}
+{Sin[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)/x^1, x, 3, (2*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*Log[c*x^n]), 2])/(3*b*n) - (2*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]])/(3*b*n)}
+{Sin[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)/x^2, x, 3, -((2*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1/4)*(-3 + (2*I)/(b*n)), (1/4)*(1 + (2*I)/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))/((2 + 3*I*b*n)*x*(1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(3/2)))}
+{Sin[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)/x^3, x, 3, -((2*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1/4)*(-3 + (4*I)/(b*n)), (1/4)*(1 + (4*I)/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))/((4 + 3*I*b*n)*x^2*(1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(3/2)))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^0/Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]], x, 3, (2*x*Sqrt[1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 - (2*I)/(b*n)), (1/4)*(5 - (2*I)/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 + I*b*n)*Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]])}
+{1/(x^1*Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]]), x, 2, (2*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*Log[c*x^n]), 2])/(b*n)}
+
+
+{x^0/Sin[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2), x, 3, (2*x*(1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(3/2)*Hypergeometric2F1[3/2, (1/4)*(3 - (2*I)/(b*n)), (1/4)*(7 - (2*I)/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 + 3*I*b*n)*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))}
+{1/(x^1*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)), x, 3, -((2*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*Log[c*x^n]), 2])/(b*n)) - (2*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/(b*n*Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]])}
+
+
+{x^0/Sin[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2), x, 3, (2*x*(1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(5/2)*Hypergeometric2F1[5/2, (1/4)*(5 - (2*I)/(b*n)), (1/4)*(9 - (2*I)/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 + 5*I*b*n)*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2))}
+{1/(x^1*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)), x, 3, (2*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*Log[c*x^n]), 2])/(3*b*n) - (2*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/(3*b*n*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))}
+
+
+{1/Sin[a - 2*I*Log[c*x]]^(3/2), x, 3, (1 - c^4*E^(2*I*a)*x^4)/(E^(2*I*a)*(2*c^4*x^3*Sin[a - 2*I*Log[c*x]]^(3/2)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Sin[d (a+b Log[c x^n])]^p when m symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^4, x, 3, (24*b^4*d^4*n^4*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)*((1 + m)^2 + 4*b^2*d^2*n^2)*((1 + m)^2 + 16*b^2*d^2*n^2)) - (24*b^3*d^3*n^3*(e*x)^(1 + m)*Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])]*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])])/(e*((1 + m)^2 + 4*b^2*d^2*n^2)*((1 + m)^2 + 16*b^2*d^2*n^2)) + (12*b^2*d^2*(1 + m)*n^2*(e*x)^(1 + m)*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2)/(e*((1 + m)^2 + 4*b^2*d^2*n^2)*((1 + m)^2 + 16*b^2*d^2*n^2)) - (4*b*d*n*(e*x)^(1 + m)*Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])]*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^3)/(e*((1 + m)^2 + 16*b^2*d^2*n^2)) + ((1 + m)*(e*x)^(1 + m)*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^4)/(e*((1 + m)^2 + 16*b^2*d^2*n^2))}
+{(e*x)^m*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^3, x, 2, -((6*b^3*d^3*n^3*(e*x)^(1 + m)*Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])])/(e*((1 + m)^2 + b^2*d^2*n^2)*((1 + m)^2 + 9*b^2*d^2*n^2))) + (6*b^2*d^2*(1 + m)*n^2*(e*x)^(1 + m)*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])])/(e*((1 + m)^2 + b^2*d^2*n^2)*((1 + m)^2 + 9*b^2*d^2*n^2)) - (3*b*d*n*(e*x)^(1 + m)*Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])]*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2)/(e*((1 + m)^2 + 9*b^2*d^2*n^2)) + ((1 + m)*(e*x)^(1 + m)*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^3)/(e*((1 + m)^2 + 9*b^2*d^2*n^2))}
+{(e*x)^m*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 2, (2*b^2*d^2*n^2*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)*((1 + m)^2 + 4*b^2*d^2*n^2)) - (2*b*d*n*(e*x)^(1 + m)*Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])]*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])])/(e*((1 + m)^2 + 4*b^2*d^2*n^2)) + ((1 + m)*(e*x)^(1 + m)*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2)/(e*((1 + m)^2 + 4*b^2*d^2*n^2))}
+{(e*x)^m*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^1, x, 1, -((b*d*n*(e*x)^(1 + m)*Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])])/(e*((1 + m)^2 + b^2*d^2*n^2))) + ((1 + m)*(e*x)^(1 + m)*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])])/(e*((1 + m)^2 + b^2*d^2*n^2))}
+
+
+{(e*x)^m*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(3/2), x, 3, (2*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[-(3/2), -((2*I + 2*I*m + 3*b*d*n)/(4*b*d*n)), -((2*I + 2*I*m - b*d*n)/(4*b*d*n)), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)]*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(3/2))/(e*(2 + 2*m - 3*I*b*d*n)*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^(3/2))}
+{(e*x)^m*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(1/2), x, 3, (2*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[-(1/2), -((2*I + 2*I*m + b*d*n)/(4*b*d*n)), -((2*I + 2*I*m - 3*b*d*n)/(4*b*d*n)), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)]*Sqrt[Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]])/(e*(2 + 2*m - I*b*d*n)*Sqrt[1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)])}
+{(e*x)^m/Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(1/2), x, 3, (2*(e*x)^(1 + m)*Sqrt[1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)]*Hypergeometric2F1[1/2, -((2*I + 2*I*m - b*d*n)/(4*b*d*n)), -((2*I + 2*I*m - 5*b*d*n)/(4*b*d*n)), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(e*(2 + 2*m + I*b*d*n)*Sqrt[Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]])}
+{(e*x)^m/Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(3/2), x, 3, (2*(e*x)^(1 + m)*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^(3/2)*Hypergeometric2F1[3/2, -((2*I + 2*I*m - 3*b*d*n)/(4*b*d*n)), -((2*I + 2*I*m - 7*b*d*n)/(4*b*d*n)), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(e*(2 + 2*m + 3*I*b*d*n)*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(3/2))}
+{(e*x)^m/Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(5/2), x, 3, (2*(e*x)^(1 + m)*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^(5/2)*Hypergeometric2F1[5/2, -((2*I + 2*I*m - 5*b*d*n)/(4*b*d*n)), -((2*I + 2*I*m - 9*b*d*n)/(4*b*d*n)), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(e*(2 + 2*m + 5*I*b*d*n)*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Sin[d (a+b Log[c x^n])]^p when p symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p, x, 3, ((e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[-p, -((I + I*m + b*d*n*p)/(2*b*d*n)), (1/2)*(2 - (I*(1 + m))/(b*d*n) - p), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)]*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p)/((1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^p*(e*(1 + m - I*b*d*n*p)))}
+
+
+{x^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^p, x, 3, (x^3*Hypergeometric2F1[-p, -((3*I + b*n*p)/(2*b*n)), (1/2)*(2 - (3*I)/(b*n) - p), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^p)/((1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^p*(3 - I*b*n*p))}
+{x^1*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^p, x, 3, (x^2*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-((2*I)/(b*n)) - p), -p, (1/2)*(2 - (2*I)/(b*n) - p), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^p)/((1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^p*(2 - I*b*n*p))}
+{x^0*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^p, x, 3, (x*Hypergeometric2F1[-p, -((I + b*n*p)/(2*b*n)), (1/2)*(2 - I/(b*n) - p), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^p)/((1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^p*(1 - I*b*n*p))}
+{Sin[a + b*Log[c*x^n]]^p/x^1, x, 2, (Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, Sin[a + b*Log[c*x^n]]^2]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^(1 + p))/(b*n*(1 + p)*Sqrt[Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2])}
+{Sin[a + b*Log[c*x^n]]^p/x^2, x, 3, -((Hypergeometric2F1[(1/2)*(I/(b*n) - p), -p, (1/2)*(2 + I/(b*n) - p), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^p)/((1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^p*((1 + I*b*n*p)*x)))}
+{Sin[a + b*Log[c*x^n]]^p/x^3, x, 3, -((Hypergeometric2F1[(1/2)*((2*I)/(b*n) - p), -p, (1/2)*(2 + (2*I)/(b*n) - p), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sin[a + b*Log[c*x^n]]^p)/((1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^p*((2 + I*b*n*p)*x^2)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cos[d (a+b Log[c x^n])]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cos[d (a+b Log[c x^n])]^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^2*Cos[a + b*Log[c*x^n]], x, 1, (3*x^3*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/(9 + b^2*n^2) + (b*n*x^3*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(9 + b^2*n^2)}
+{x^1*Cos[a + b*Log[c*x^n]], x, 1, (2*x^2*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/(4 + b^2*n^2) + (b*n*x^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(4 + b^2*n^2)}
+{x^0*Cos[a + b*Log[c*x^n]], x, 1, (x*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/(1 + b^2*n^2) + (b*n*x*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(1 + b^2*n^2)}
+{Cos[a + b*Log[c*x^n]]/x^1, x, 2, Sin[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n)}
+{Cos[a + b*Log[c*x^n]]/x^2, x, 1, -(Cos[a + b*Log[c*x^n]]/((1 + b^2*n^2)*x)) + (b*n*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + b^2*n^2)*x)}
+
+
+{x^2*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2, x, 2, (2*b^2*n^2*x^3)/(3*(9 + 4*b^2*n^2)) + (3*x^3*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(9 + 4*b^2*n^2) + (2*b*n*x^3*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(9 + 4*b^2*n^2)}
+{x^1*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2, x, 2, (b^2*n^2*x^2)/(4*(1 + b^2*n^2)) + (x^2*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(2*(1 + b^2*n^2)) + (b*n*x^2*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(2*(1 + b^2*n^2))}
+{x^0*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2, x, 2, (2*b^2*n^2*x)/(1 + 4*b^2*n^2) + (x*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(1 + 4*b^2*n^2) + (2*b*n*x*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(1 + 4*b^2*n^2)}
+{Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2/x^1, x, 3, Log[x]/2 + (Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(2*b*n)}
+{Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2/x^2, x, 2, -((2*b^2*n^2)/((1 + 4*b^2*n^2)*x)) - Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2/((1 + 4*b^2*n^2)*x) + (2*b*n*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + 4*b^2*n^2)*x)}
+
+
+{x^2*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^3, x, 2, (2*b^2*n^2*x^3*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/(9 + 10*b^2*n^2 + b^4*n^4) + (x^3*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^3)/(3*(1 + b^2*n^2)) + (2*b^3*n^3*x^3*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(3*(9 + 10*b^2*n^2 + b^4*n^4)) + (b*n*x^3*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(3*(1 + b^2*n^2))}
+{x^1*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^3, x, 2, (12*b^2*n^2*x^2*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/(16 + 40*b^2*n^2 + 9*b^4*n^4) + (2*x^2*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^3)/(4 + 9*b^2*n^2) + (6*b^3*n^3*x^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(16 + 40*b^2*n^2 + 9*b^4*n^4) + (3*b*n*x^2*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(4 + 9*b^2*n^2)}
+{x^0*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^3, x, 2, (6*b^2*n^2*x*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/(1 + 10*b^2*n^2 + 9*b^4*n^4) + (x*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^3)/(1 + 9*b^2*n^2) + (6*b^3*n^3*x*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(1 + 10*b^2*n^2 + 9*b^4*n^4) + (3*b*n*x*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(1 + 9*b^2*n^2)}
+{Cos[a + b*Log[c*x^n]]^3/x^1, x, 3, Sin[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n) - Sin[a + b*Log[c*x^n]]^3/(3*b*n)}
+{Cos[a + b*Log[c*x^n]]^3/x^2, x, 2, -((6*b^2*n^2*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + 10*b^2*n^2 + 9*b^4*n^4)*x)) - Cos[a + b*Log[c*x^n]]^3/((1 + 9*b^2*n^2)*x) + (6*b^3*n^3*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + 10*b^2*n^2 + 9*b^4*n^4)*x) + (3*b*n*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + 9*b^2*n^2)*x)}
+
+
+{x^0*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^4, x, 3, (24*b^4*n^4*x)/(1 + 20*b^2*n^2 + 64*b^4*n^4) + (12*b^2*n^2*x*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(1 + 20*b^2*n^2 + 64*b^4*n^4) + (x*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^4)/(1 + 16*b^2*n^2) + (24*b^3*n^3*x*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(1 + 20*b^2*n^2 + 64*b^4*n^4) + (4*b*n*x*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^3*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(1 + 16*b^2*n^2)}
+{Cos[a + b*Log[c*x^n]]^4/x^1, x, 4, 3*Log[x]/8 + (3*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(8*b*n) + (Cos[a + b*Log[c*x^n]]^3*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(4*b*n)}
+
+
+{Cos[Log[6 + 3*x]], x, 2, (1/2)*(2 + x)*Cos[Log[3*(2 + x)]] + (1/2)*(2 + x)*Sin[Log[3*(2 + x)]]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cos[d (a+b Log[c x^n])]^p when b^2 n^2 p^2+(m+1)^2=0*)
+
+
+{x^m*Cos[a + Sqrt[-(m+1)^2/(1^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^1, x, 3, (E^((a*(1 + m))/(Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*n))*x^(1 + m)*(c*x^n)^((1 + m)/n))/(4*(1 + m)) + ((1/2)*E^((a*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*n)/(1 + m))*x^(1 + m)*Log[x])/(c*x^n)^((1 + m)/n)}
+
+{x^0*Cos[a + Sqrt[-(0+1)^2/(1^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^1, x, 3, ((1/4)*x*(c*x^n)^(1/n))/E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n) + ((1/2)*E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*x*Log[x])/(c*x^n)^n^(-1)}
+
+
+{x^m*Cos[a + Sqrt[-(m+1)^2/(2^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^2, x, 3, x^(1 + m)/(2*(1 + m)) + (x^(1 + m)*(c*x^n)^((1 + m)/n))/(E^((2*a*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*n)/(1 + m))*(8*(1 + m))) + ((1/4)*E^((2*a*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*n)/(1 + m))*x^(1 + m)*Log[x])/(c*x^n)^((1 + m)/n)}
+
+{x^0*Cos[a + Sqrt[-(0+1)^2/(2^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^2, x, 3, x/2 + ((1/8)*x*(c*x^n)^(1/n))/E^(2*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n) + ((1/4)*E^(2*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*x*Log[x])/(c*x^n)^n^(-1)}
+
+
+{x^m*Cos[a + Sqrt[-(m+1)^2/(2^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^3, x, 2, (8*x^(1 + m)*Cos[a + (1/2)*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*Log[c*x^n]])/(5*(1 + m)) - (4*x^(1 + m)*Cos[a + (1/2)*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*Log[c*x^n]]^3)/(5*(1 + m)) + (4*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*n*x^(1 + m)*Sin[a + (1/2)*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*Log[c*x^n]])/(5*(1 + m)^2) - (6*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*n*x^(1 + m)*Cos[a + (1/2)*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*Log[c*x^n]]^2*Sin[a + (1/2)*Sqrt[-((1 + m)^2/n^2)]*Log[c*x^n]])/(5*(1 + m)^2)}
+
+{x^0*Cos[a + Sqrt[-(0+1)^2/(3^2*n^2)]*Log[c*x^n]]^3, x, 3, ((9/16)*E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*x)/(c*x^n)^(1/(3*n)) + ((9/32)*x*(c*x^n)^(1/(3*n)))/E^(a*Sqrt[-(1/n^2)]*n) + ((1/16)*x*(c*x^n)^(1/n))/E^(3*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n) + ((1/8)*E^(3*a*Sqrt[-(1/n^2)]*n)*x*Log[x])/(c*x^n)^n^(-1)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cos[d (a+b Log[c x^n])]^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^0*Sqrt[Cos[a + b*Log[c*x^n]]], x, 3, (2*x*Sqrt[Cos[a + b*Log[c*x^n]]]*Hypergeometric2F1[-(1/2), -((2*I + b*n)/(4*b*n)), (1/4)*(3 - (2*I)/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 - I*b*n)*Sqrt[1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])}
+{Sqrt[Cos[a + b*Log[c*x^n]]]/x^1, x, 2, (2*EllipticE[(a + b*Log[c*x^n])/2, 2])/(b*n)}
+
+
+{x^0*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2), x, 3, (2*x*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1/4)*(-3 - (2*I)/(b*n)), (1/4)*(1 - (2*I)/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 - 3*I*b*n)*(1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(3/2))}
+{Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)/x^1, x, 3, (2*EllipticF[(1/2)*(a + b*Log[c*x^n]), 2])/(3*b*n) + (2*Sqrt[Cos[a + b*Log[c*x^n]]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(3*b*n)}
+
+
+{x^0*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2), x, 3, (2*x*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)*Hypergeometric2F1[-(5/2), (1/4)*(-5 - (2*I)/(b*n)), -((2*I + b*n)/(4*b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 - 5*I*b*n)*(1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(5/2))}
+{Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)/x^1, x, 3, (6*EllipticE[(1/2)*(a + b*Log[c*x^n]), 2])/(5*b*n) + (2*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(5*b*n)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^0/Sqrt[Cos[a + b*Log[c*x^n]]], x, 3, (2*x*Sqrt[1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 - (2*I)/(b*n)), (1/4)*(5 - (2*I)/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 + I*b*n)*Sqrt[Cos[a + b*Log[c*x^n]]])}
+{1/(x^1*Sqrt[Cos[a + b*Log[c*x^n]]]), x, 2, (2*EllipticF[(a + b*Log[c*x^n])/2, 2])/(b*n)}
+
+
+{x^0/Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2), x, 3, (2*x*(1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(3/2)*Hypergeometric2F1[3/2, (1/4)*(3 - (2*I)/(b*n)), (1/4)*(7 - (2*I)/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 + 3*I*b*n)*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))}
+{1/(x*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)), x, 3, -((2*EllipticE[(1/2)*(a + b*Log[c*x^n]), 2])/(b*n)) + (2*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(b*n*Sqrt[Cos[a + b*Log[c*x^n]]])}
+
+
+{x^0/Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2), x, 3, (2*x*(1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(5/2)*Hypergeometric2F1[5/2, (1/4)*(5 - (2*I)/(b*n)), (1/4)*(9 - (2*I)/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 + 5*I*b*n)*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2))}
+{1/(x*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)), x, 3, (2*EllipticF[(1/2)*(a + b*Log[c*x^n]), 2])/(3*b*n) + (2*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(3*b*n*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))}
+
+
+{1/Cos[a - 2*I*Log[c*x]]^(3/2), x, 3, -((1 + c^4*E^(2*I*a)*x^4)/(E^(2*I*a)*(2*c^4*x^3*Cos[a - 2*I*Log[c*x]]^(3/2))))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cos[d (a+b Log[c x^n])]^p when m symbolic*)
+
+
+{x^m*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^4, x, 3, (24*b^4*n^4*x^(1 + m))/((1 + m)*((1 + m)^2 + 4*b^2*n^2)*((1 + m)^2 + 16*b^2*n^2)) + (12*b^2*(1 + m)*n^2*x^(1 + m)*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(((1 + m)^2 + 4*b^2*n^2)*((1 + m)^2 + 16*b^2*n^2)) + ((1 + m)*x^(1 + m)*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^4)/((1 + m)^2 + 16*b^2*n^2) + (24*b^3*n^3*x^(1 + m)*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(((1 + m)^2 + 4*b^2*n^2)*((1 + m)^2 + 16*b^2*n^2)) + (4*b*n*x^(1 + m)*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^3*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + m)^2 + 16*b^2*n^2)}
+{x^m*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^3, x, 2, (6*b^2*(1 + m)*n^2*x^(1 + m)*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/(((1 + m)^2 + b^2*n^2)*((1 + m)^2 + 9*b^2*n^2)) + ((1 + m)*x^(1 + m)*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^3)/((1 + m)^2 + 9*b^2*n^2) + (6*b^3*n^3*x^(1 + m)*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(((1 + m)^2 + b^2*n^2)*((1 + m)^2 + 9*b^2*n^2)) + (3*b*n*x^(1 + m)*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + m)^2 + 9*b^2*n^2)}
+{x^m*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2, x, 2, (2*b^2*n^2*x^(1 + m))/((1 + m)*((1 + m)^2 + 4*b^2*n^2)) + ((1 + m)*x^(1 + m)*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^2)/((1 + m)^2 + 4*b^2*n^2) + (2*b*n*x^(1 + m)*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + m)^2 + 4*b^2*n^2)}
+{x^m*Cos[a + b*Log[c*x^n]], x, 1, ((1 + m)*x^(1 + m)*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + m)^2 + b^2*n^2) + (b*n*x^(1 + m)*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + m)^2 + b^2*n^2)}
+
+
+{x^m*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2), x, 3, (2*x^(1 + m)*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)*Hypergeometric2F1[-(3/2), -((2*I + 2*I*m + 3*b*n)/(4*b*n)), -((2*I + 2*I*m - b*n)/(4*b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 + 2*m - 3*I*b*n)*(1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(3/2))}
+{x^m*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(1/2), x, 3, (2*x^(1 + m)*Sqrt[Cos[a + b*Log[c*x^n]]]*Hypergeometric2F1[-(1/2), -((2*I + 2*I*m + b*n)/(4*b*n)), -((2*I + 2*I*m - 3*b*n)/(4*b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 + 2*m - I*b*n)*Sqrt[1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])}
+{x^m/Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(1/2), x, 3, (2*x^(1 + m)*Sqrt[1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Hypergeometric2F1[1/2, -((2*I + 2*I*m - b*n)/(4*b*n)), -((2*I + 2*I*m - 5*b*n)/(4*b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 + 2*m + I*b*n)*Sqrt[Cos[a + b*Log[c*x^n]]])}
+{x^m/Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2), x, 3, (2*x^(1 + m)*(1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(3/2)*Hypergeometric2F1[3/2, -((2*I + 2*I*m - 3*b*n)/(4*b*n)), -((2*I + 2*I*m - 7*b*n)/(4*b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 + 2*m + 3*I*b*n)*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))}
+{x^m/Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2), x, 3, (2*x^(1 + m)*(1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(5/2)*Hypergeometric2F1[5/2, -((2*I + 2*I*m - 5*b*n)/(4*b*n)), -((2*I + 2*I*m - 9*b*n)/(4*b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 + 2*m + 5*I*b*n)*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cos[d (a+b Log[c x^n])]^p when p symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p, x, 3, ((e*x)^(1 + m)*Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p*Hypergeometric2F1[-p, -((I + I*m + b*d*n*p)/(2*b*d*n)), (1/2)*(2 - (I*(1 + m))/(b*d*n) - p), (-E^(2*I*a*d))*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/((1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^p*(e*(1 + m - I*b*d*n*p)))}
+
+
+{x^1*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^p, x, 3, (x^2*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^p*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-((2*I)/(b*n)) - p), -p, (1/2)*(2 - (2*I)/(b*n) - p), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^p*(2 - I*b*n*p))}
+{x^0*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^p, x, 3, (x*Cos[a + b*Log[c*x^n]]^p*Hypergeometric2F1[-p, -((I + b*n*p)/(2*b*n)), (1/2)*(2 - I/(b*n) - p), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^p*(1 - I*b*n*p))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Tan[d (a+b Log[c x^n])]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Tan[a+b Log[x]]^p*)
+
+
+{x^3*Tan[a + I*Log[x]], x, 5, (-I)*E^((2*I)*a)*x^2 + (I/4)*x^4 + I*E^((4*I)*a)*Log[E^((2*I)*a) + x^2]}
+{x^2*Tan[a + I*Log[x]], x, 5, (-2*I)*E^((2*I)*a)*x + (I/3)*x^3 + (2*I)*E^((3*I)*a)*ArcTan[x/E^(I*a)]}
+{x^1*Tan[a + I*Log[x]], x, 5, (I/2)*x^2 - I*E^((2*I)*a)*Log[E^((2*I)*a) + x^2]}
+{x^0*Tan[a + I*Log[x]], x, 4, I*x - (2*I)*E^(I*a)*ArcTan[x/E^(I*a)]}
+{Tan[a + I*Log[x]]/x^1, x, 2, I*Log[Cos[a + I*Log[x]]]}
+{Tan[a + I*Log[x]]/x^2, x, 4, I/x + ((2*I)*ArcTan[x/E^(I*a)])/E^(I*a)}
+{Tan[a + I*Log[x]]/x^3, x, 4, I/(2*x^2) - (I*Log[1 + E^(2*I*a)/x^2])/E^(2*I*a)}
+{Tan[a + I*Log[x]]/x^4, x, 5, I/(3*x^3) - (2*I)/(E^(2*I*a)*x) - (2*I*ArcTan[x/E^(I*a)])/E^(3*I*a)}
+
+
+{x^3*Tan[a + I*Log[x]]^2, x, 5, 2*E^((2*I)*a)*x^2 - x^4/4 - (2*E^((6*I)*a))/(E^((2*I)*a) + x^2) - 4*E^((4*I)*a)*Log[E^((2*I)*a) + x^2]}
+{x^2*Tan[a + I*Log[x]]^2, x, 6, 6*E^(2*I*a)*x - x^3/3 - (2*E^(2*I*a)*x^3)/(E^(2*I*a) + x^2) - 6*E^(3*I*a)*ArcTan[x/E^(I*a)]}
+{x^1*Tan[a + I*Log[x]]^2, x, 5, -x^2/2 + (2*E^((4*I)*a))/(E^((2*I)*a) + x^2) + 2*E^((2*I)*a)*Log[E^((2*I)*a) + x^2]}
+{x^0*Tan[a + I*Log[x]]^2, x, 6, -x - (2*E^(2*I*a)*x)/(E^(2*I*a) + x^2) + 2*E^(I*a)*ArcTan[x/E^(I*a)]}
+{Tan[a + I*Log[x]]^2/x^1, x, 3, -Log[x] - I*Tan[a + I*Log[x]]}
+{Tan[a + I*Log[x]]^2/x^2, x, 5, E^(2*I*a)/(x*(E^(2*I*a) + x^2)) + (3*x)/(E^(2*I*a) + x^2) + (2*ArcTan[x/E^(I*a)])/E^(I*a)}
+{Tan[a + I*Log[x]]^2/x^3, x, 4, -2/(E^((2*I)*a)*(1 + E^((2*I)*a)/x^2)) + 1/(2*x^2) - (2*Log[1 + E^((2*I)*a)/x^2])/E^((2*I)*a)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Tan[a+b Log[x]]^p with m symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*Tan[a + I*Log[x]]^1, x, 4, -((I*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m))) + (2*I*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 - m), (1 - m)/2, -(E^(2*I*a)/x^2)])/(e*(1 + m))}
+{(e*x)^m*Tan[a + I*Log[x]]^2, x, 5, -((x*(e*x)^m)/(1 + m)) + (2*x*(e*x)^m)/(1 + E^(2*I*a)/x^2) - 2*x*(e*x)^m*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 - m), (1 - m)/2, -(E^(2*I*a)/x^2)]}
+{(e*x)^m*Tan[a + I*Log[x]]^3, x, 6, -((I*(1 - m)*m*x*(e*x)^m)/(2*(1 + m))) + (I*(1 - E^(2*I*a)/x^2)^2*x*(e*x)^m)/(2*(1 + E^(2*I*a)/x^2)^2) + (I*(E^(2*I*a)*(3 + m) + (E^(4*I*a)*(1 - m))/x^2)*x*(e*x)^m)/(E^(2*I*a)*(2*(1 + E^(2*I*a)/x^2))) - (I*(3 + 2*m + m^2)*x*(e*x)^m*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 - m), (1 - m)/2, -(E^(2*I*a)/x^2)])/(1 + m)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Tan[a+b Log[x]]^p with p symbolic*)
+(**)
+
+
+{Tan[a + b*Log[x]]^p, x, 4, (x*((I*(1 - E^(2*I*a)*x^(2*I*b)))/(1 + E^(2*I*a)*x^(2*I*b)))^p*(1 + E^(2*I*a)*x^(2*I*b))^p*AppellF1[-(I/(2*b)), -p, p, 1 - I/(2*b), E^(2*I*a)*x^(2*I*b), (-E^(2*I*a))*x^(2*I*b)])/(1 - E^(2*I*a)*x^(2*I*b))^p}
+{(e*x)^m*Tan[a + b*Log[x]]^p, x, 4, ((e*x)^(1 + m)*((I*(1 - E^(2*I*a)*x^(2*I*b)))/(1 + E^(2*I*a)*x^(2*I*b)))^p*(1 + E^(2*I*a)*x^(2*I*b))^p*AppellF1[-((I*(1 + m))/(2*b)), -p, p, 1 - (I*(1 + m))/(2*b), E^(2*I*a)*x^(2*I*b), (-E^(2*I*a))*x^(2*I*b)])/((1 - E^(2*I*a)*x^(2*I*b))^p*(e*(1 + m)))}
+
+
+{Tan[a + 1*Log[x]]^p, x, 4, (((I*(1 - E^(2*I*a)*x^(2*I)))/(1 + E^(2*I*a)*x^(2*I)))^p*(1 + E^(2*I*a)*x^(2*I))^p*x*AppellF1[-(I/2), -p, p, 1 - I/2, E^(2*I*a)*x^(2*I), (-E^(2*I*a))*x^(2*I)])/(1 - E^(2*I*a)*x^(2*I))^p}
+{Tan[a + 2*Log[x]]^p, x, 4, (((I*(1 - E^(2*I*a)*x^(4*I)))/(1 + E^(2*I*a)*x^(4*I)))^p*(1 + E^(2*I*a)*x^(4*I))^p*x*AppellF1[-(I/4), -p, p, 1 - I/4, E^(2*I*a)*x^(4*I), (-E^(2*I*a))*x^(4*I)])/(1 - E^(2*I*a)*x^(4*I))^p}
+{Tan[a + 3*Log[x]]^p, x, 4, (((I*(1 - E^(2*I*a)*x^(6*I)))/(1 + E^(2*I*a)*x^(6*I)))^p*(1 + E^(2*I*a)*x^(6*I))^p*x*AppellF1[-(I/6), -p, p, 1 - I/6, E^(2*I*a)*x^(6*I), (-E^(2*I*a))*x^(6*I)])/(1 - E^(2*I*a)*x^(6*I))^p}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Tan[a+b Log[c x^n]]^p*)
+
+
+{x^3*Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, (-I/4)*x^4 + (I/2)*x^4*Hypergeometric2F1[1, (-2*I)/(b*d*n), 1 - (2*I)/(b*d*n), -(E^((2*I)*a*d)*(c*x^n)^((2*I)*b*d))]}
+{x^2*Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, (-I/3)*x^3 + ((2*I)/3)*x^3*Hypergeometric2F1[1, ((-3*I)/2)/(b*d*n), 1 - ((3*I)/2)/(b*d*n), -(E^((2*I)*a*d)*(c*x^n)^((2*I)*b*d))]}
+{x^1*Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, (-I/2)*x^2 + I*x^2*Hypergeometric2F1[1, (-I)/(b*d*n), 1 - I/(b*d*n), -(E^((2*I)*a*d)*(c*x^n)^((2*I)*b*d))]}
+{x^0*Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, (-I)*x + (2*I)*x*Hypergeometric2F1[1, (-I/2)/(b*d*n), 1 - (I/2)/(b*d*n), -(E^((2*I)*a*d)*(c*x^n)^((2*I)*b*d))]}
+{Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^1, x, 2, -(Log[Cos[a*d + b*d*Log[c*x^n]]]/(b*d*n))}
+{Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^2, x, 4, I/x - (2*I*Hypergeometric2F1[1, I/(2*b*d*n), 1 + I/(2*b*d*n), (-E^(2*I*a*d))*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/x}
+{Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^3, x, 4, (I/2)/x^2 - (I*Hypergeometric2F1[1, I/(b*d*n), 1 + I/(b*d*n), -(E^((2*I)*a*d)*(c*x^n)^((2*I)*b*d))])/x^2}
+
+
+{x^3*Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, ((4*I - b*d*n)*x^4)/(4*b*d*n) + (I*x^4*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))/(b*d*n*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))) - (2*I*x^4*Hypergeometric2F1[1, -((2*I)/(b*d*n)), 1 - (2*I)/(b*d*n), (-E^(2*I*a*d))*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(b*d*n)}
+{x^2*Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, ((3*I - b*d*n)*x^3)/(3*b*d*n) + (I*x^3*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))/(b*d*n*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))) - (2*I*x^3*Hypergeometric2F1[1, -((3*I)/(2*b*d*n)), 1 - (3*I)/(2*b*d*n), (-E^(2*I*a*d))*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(b*d*n)}
+{x^1*Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, ((2*I - b*d*n)*x^2)/(2*b*d*n) + (I*x^2*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))/(b*d*n*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))) - (2*I*x^2*Hypergeometric2F1[1, -(I/(b*d*n)), 1 - I/(b*d*n), (-E^(2*I*a*d))*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(b*d*n)}
+{x^0*Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, ((I - b*d*n)*x)/(b*d*n) + (I*x*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))/(b*d*n*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))) - (2*I*x*Hypergeometric2F1[1, -(I/(2*b*d*n)), 1 - I/(2*b*d*n), (-E^(2*I*a*d))*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(b*d*n)}
+{Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2/x^1, x, 3, -Log[x] + Tan[a*d + b*d*Log[c*x^n]]/(b*d*n)}
+{Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2/x^2, x, 5, (1 + I/(b*d*n))/x + (I*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))/(b*d*n*x*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))) - (2*I*Hypergeometric2F1[1, I/(2*b*d*n), 1 + I/(2*b*d*n), (-E^(2*I*a*d))*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(b*d*n*x)}
+{Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2/x^3, x, 5, (1 + (2*I)/(b*d*n))/(2*x^2) + (I*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))/(b*d*n*x^2*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))) - (2*I*Hypergeometric2F1[1, I/(b*d*n), 1 + I/(b*d*n), (-E^(2*I*a*d))*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(b*d*n*x^2)}
+
+
+{Tan[a + b*Log[c*x^n]]^3/x, x, 3, Log[Cos[a + b*Log[c*x^n]]]/(b*n) + Tan[a + b*Log[c*x^n]]^2/(2*b*n)}
+{Tan[a + b*Log[c*x^n]]^4/x, x, 4, Log[x] - Tan[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n) + Tan[a + b*Log[c*x^n]]^3/(3*b*n)}
+{Tan[a + b*Log[c*x^n]]^5/x, x, 4, -(Log[Cos[a + b*Log[c*x^n]]]/(b*n)) - Tan[a + b*Log[c*x^n]]^2/(2*b*n) + Tan[a + b*Log[c*x^n]]^4/(4*b*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Tan[a+b Log[c x^n]]^p with m symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])]^1, x, 4, -((I*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m))) + (2*I*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, -((I*(1 + m))/(2*b*d*n)), 1 - (I*(1 + m))/(2*b*d*n), (-E^(2*I*a*d))*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(e*(1 + m))}
+{(e*x)^m*Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, ((I*(1 + m) - b*d*n)*(e*x)^(1 + m))/(b*d*e*(1 + m)*n) + (I*(e*x)^(1 + m)*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))/(b*d*e*n*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))) - (2*I*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, -((I*(1 + m))/(2*b*d*n)), 1 - (I*(1 + m))/(2*b*d*n), (-E^(2*I*a*d))*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(b*d*e*n)}
+{(e*x)^m*Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])]^3, x, 6, -(((I*(1 + m) - b*d*n)*(1 + m + 2*I*b*d*n)*(e*x)^(1 + m))/(2*b^2*d^2*e*(1 + m)*n^2)) - ((e*x)^(1 + m)*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^2)/(2*b*d*e*n*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^2) - (I*(e*x)^(1 + m)*((E^(2*I*a*d)*(1 + m - 2*I*b*d*n))/n - (E^(4*I*a*d)*(1 + m + 2*I*b*d*n)*(c*x^n)^(2*I*b*d))/n))/(E^(2*I*a*d)*(2*b^2*d^2*e*n*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))) + (I*(1 + 2*m + m^2 - 2*b^2*d^2*n^2)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, -((I*(1 + m))/(2*b*d*n)), 1 - (I*(1 + m))/(2*b*d*n), (-E^(2*I*a*d))*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(b^2*d^2*e*(1 + m)*n^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Tan[a+b Log[c x^n]]^p with p symbolic*)
+
+
+{Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p, x, 5, (x*((I*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))/(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))^p*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^p*AppellF1[-(I/(2*b*d*n)), -p, p, 1 - I/(2*b*d*n), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d), (-E^(2*I*a*d))*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^p}
+{(e*x)^m*Tan[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p, x, 5, ((e*x)^(1 + m)*((I*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))/(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))^p*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^p*AppellF1[-((I*(1 + m))/(2*b*d*n)), -p, p, 1 - (I*(1 + m))/(2*b*d*n), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d), (-E^(2*I*a*d))*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/((1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^p*(e*(1 + m)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Tan[a+b Log[c x^n]]^(p/2)*)
+
+
+{Tan[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)/x, x, 13, ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n) - Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]] + Tan[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n) + Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]] + Tan[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n) + (2*Tan[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))/(3*b*n)}
+{Tan[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)/x, x, 13, ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n) + Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]] + Tan[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n) - Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]] + Tan[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n) + (2*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n)}
+{Tan[a + b*Log[c*x^n]]^(1/2)/x, x, 12, -(ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n)) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n) + Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]] + Tan[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n) - Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]] + Tan[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n)}
+{1/(x*Tan[a + b*Log[c*x^n]]^(1/2)), x, 12, -(ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n)) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n) - Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]] + Tan[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n) + Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]] + Tan[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n)}
+{1/(x*Tan[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)), x, 13, ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n) - Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]] + Tan[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n) + Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]] + Tan[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n) - 2/(b*n*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]])}
+{1/(x*Tan[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)), x, 13, ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n) + Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]] + Tan[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n) - Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[a + b*Log[c*x^n]]] + Tan[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n) - 2/(3*b*n*Tan[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cot[d (a+b Log[c x^n])]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cot[a+b Log[x]]^p*)
+
+
+{x^3*Cot[a + I*Log[x]], x, 5, (-I)*E^((2*I)*a)*x^2 - (I/4)*x^4 - I*E^((4*I)*a)*Log[E^((2*I)*a) - x^2]}
+{x^2*Cot[a + I*Log[x]], x, 5, (-2*I)*E^((2*I)*a)*x - (I/3)*x^3 + (2*I)*E^((3*I)*a)*ArcTanh[x/E^(I*a)]}
+{x^1*Cot[a + I*Log[x]], x, 5, (-I/2)*x^2 - I*E^((2*I)*a)*Log[E^((2*I)*a) - x^2]}
+{x^0*Cot[a + I*Log[x]], x, 4, (-I)*x + (2*I)*E^(I*a)*ArcTanh[x/E^(I*a)]}
+{Cot[a + I*Log[x]]/x^1, x, 2, (-I)*Log[Sin[a + I*Log[x]]]}
+{Cot[a + I*Log[x]]/x^2, x, 4, (-I)/x + ((2*I)*ArcTanh[x/E^(I*a)])/E^(I*a)}
+{Cot[a + I*Log[x]]/x^3, x, 4, -(I/(2*x^2)) - (I*Log[1 - E^(2*I*a)/x^2])/E^(2*I*a)}
+{Cot[a + I*Log[x]]/x^4, x, 5, -(I/(3*x^3)) - (2*I)/(E^(2*I*a)*x) + (2*I*ArcTanh[x/E^(I*a)])/E^(3*I*a)}
+
+
+{x^3*Cot[a + I*Log[x]]^2, x, 5, -2*E^((2*I)*a)*x^2 - x^4/4 - (2*E^((6*I)*a))/(E^((2*I)*a) - x^2) - 4*E^((4*I)*a)*Log[E^((2*I)*a) - x^2]}
+{x^2*Cot[a + I*Log[x]]^2, x, 6, -6*E^(2*I*a)*x - x^3/3 - (2*E^(2*I*a)*x^3)/(E^(2*I*a) - x^2) + 6*E^(3*I*a)*ArcTanh[x/E^(I*a)]}
+{x^1*Cot[a + I*Log[x]]^2, x, 5, -x^2/2 - (2*E^((4*I)*a))/(E^((2*I)*a) - x^2) - 2*E^((2*I)*a)*Log[E^((2*I)*a) - x^2]}
+{x^0*Cot[a + I*Log[x]]^2, x, 6, -x - (2*E^(2*I*a)*x)/(E^(2*I*a) - x^2) + 2*E^(I*a)*ArcTanh[x/E^(I*a)]}
+{Cot[a + I*Log[x]]^2/x^1, x, 3, I*Cot[a + I*Log[x]] - Log[x]}
+{Cot[a + I*Log[x]]^2/x^2, x, 5, E^(2*I*a)/(x*(E^(2*I*a) - x^2)) - (3*x)/(E^(2*I*a) - x^2) - (2*ArcTanh[x/E^(I*a)])/E^(I*a)}
+{Cot[a + I*Log[x]]^2/x^3, x, 4, 2/(E^((2*I)*a)*(1 - E^((2*I)*a)/x^2)) + 1/(2*x^2) + (2*Log[1 - E^((2*I)*a)/x^2])/E^((2*I)*a)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cot[a+b Log[x]]^p with m symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*Cot[a + I*Log[x]]^1, x, 4, (I*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) - (2*I*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 - m), (1 - m)/2, E^(2*I*a)/x^2])/(e*(1 + m))}
+{(e*x)^m*Cot[a + I*Log[x]]^2, x, 5, -((x*(e*x)^m)/(1 + m)) + (2*x*(e*x)^m)/(1 - E^(2*I*a)/x^2) - 2*x*(e*x)^m*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 - m), (1 - m)/2, E^(2*I*a)/x^2]}
+{(e*x)^m*Cot[a + I*Log[x]]^3, x, 6, (I*(1 - m)*m*x*(e*x)^m)/(2*(1 + m)) - (I*(1 + E^(2*I*a)/x^2)^2*x*(e*x)^m)/(2*(1 - E^(2*I*a)/x^2)^2) - (I*(3 + m - (E^(2*I*a)*(1 - m))/x^2)*x*(e*x)^m)/(2*(1 - E^(2*I*a)/x^2)) + (I*(3 + 2*m + m^2)*x*(e*x)^m*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 - m), (1 - m)/2, E^(2*I*a)/x^2])/(1 + m)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cot[a+b Log[x]]^p with p symbolic*)
+(**)
+
+
+{Cot[a + b*Log[x]]^p, x, 4, (x*(1 - E^(2*I*a)*x^(2*I*b))^p*(-((I*(1 + E^(2*I*a)*x^(2*I*b)))/(1 - E^(2*I*a)*x^(2*I*b))))^p*AppellF1[-(I/(2*b)), p, -p, 1 - I/(2*b), E^(2*I*a)*x^(2*I*b), (-E^(2*I*a))*x^(2*I*b)])/(1 + E^(2*I*a)*x^(2*I*b))^p}
+{(e*x)^m*Cot[a + b*Log[x]]^p, x, 4, ((e*x)^(1 + m)*(1 - E^(2*I*a)*x^(2*I*b))^p*(-((I*(1 + E^(2*I*a)*x^(2*I*b)))/(1 - E^(2*I*a)*x^(2*I*b))))^p*AppellF1[-((I*(1 + m))/(2*b)), p, -p, 1 - (I*(1 + m))/(2*b), E^(2*I*a)*x^(2*I*b), (-E^(2*I*a))*x^(2*I*b)])/((1 + E^(2*I*a)*x^(2*I*b))^p*(e*(1 + m)))}
+
+
+{Cot[a + 1*Log[x]]^p, x, 4, ((1 - E^(2*I*a)*x^(2*I))^p*(-((I*(1 + E^(2*I*a)*x^(2*I)))/(1 - E^(2*I*a)*x^(2*I))))^p*x*AppellF1[-(I/2), p, -p, 1 - I/2, E^(2*I*a)*x^(2*I), (-E^(2*I*a))*x^(2*I)])/(1 + E^(2*I*a)*x^(2*I))^p}
+{Cot[a + 2*Log[x]]^p, x, 4, ((1 - E^(2*I*a)*x^(4*I))^p*(-((I*(1 + E^(2*I*a)*x^(4*I)))/(1 - E^(2*I*a)*x^(4*I))))^p*x*AppellF1[-(I/4), p, -p, 1 - I/4, E^(2*I*a)*x^(4*I), (-E^(2*I*a))*x^(4*I)])/(1 + E^(2*I*a)*x^(4*I))^p}
+{Cot[a + 3*Log[x]]^p, x, 4, ((1 - E^(2*I*a)*x^(6*I))^p*(-((I*(1 + E^(2*I*a)*x^(6*I)))/(1 - E^(2*I*a)*x^(6*I))))^p*x*AppellF1[-(I/6), p, -p, 1 - I/6, E^(2*I*a)*x^(6*I), (-E^(2*I*a))*x^(6*I)])/(1 + E^(2*I*a)*x^(6*I))^p}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cot[a+b Log[c x^n]]^p*)
+
+
+{x^3*Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, (I/4)*x^4 - (I/2)*x^4*Hypergeometric2F1[1, (-2*I)/(b*d*n), 1 - (2*I)/(b*d*n), E^((2*I)*a*d)*(c*x^n)^((2*I)*b*d)]}
+{x^2*Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, (I/3)*x^3 - ((2*I)/3)*x^3*Hypergeometric2F1[1, ((-3*I)/2)/(b*d*n), 1 - ((3*I)/2)/(b*d*n), E^((2*I)*a*d)*(c*x^n)^((2*I)*b*d)]}
+{x^1*Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, (I/2)*x^2 - I*x^2*Hypergeometric2F1[1, (-I)/(b*d*n), 1 - I/(b*d*n), E^((2*I)*a*d)*(c*x^n)^((2*I)*b*d)]}
+{x^0*Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, I*x - (2*I)*x*Hypergeometric2F1[1, (-I/2)/(b*d*n), 1 - (I/2)/(b*d*n), E^((2*I)*a*d)*(c*x^n)^((2*I)*b*d)]}
+{Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^1, x, 2, Log[Sin[a*d + b*d*Log[c*x^n]]]/(b*d*n)}
+{Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^2, x, 4, -(I/x) + (2*I*Hypergeometric2F1[1, I/(2*b*d*n), 1 + I/(2*b*d*n), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/x}
+{Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^3, x, 4, (-I/2)/x^2 + (I*Hypergeometric2F1[1, I/(b*d*n), 1 + I/(b*d*n), E^((2*I)*a*d)*(c*x^n)^((2*I)*b*d)])/x^2}
+
+
+{x^3*Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, ((4*I - b*d*n)*x^4)/(4*b*d*n) + (I*x^4*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))/(b*d*n*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))) - (2*I*x^4*Hypergeometric2F1[1, -((2*I)/(b*d*n)), 1 - (2*I)/(b*d*n), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(b*d*n)}
+{x^2*Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, ((3*I - b*d*n)*x^3)/(3*b*d*n) + (I*x^3*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))/(b*d*n*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))) - (2*I*x^3*Hypergeometric2F1[1, -((3*I)/(2*b*d*n)), 1 - (3*I)/(2*b*d*n), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(b*d*n)}
+{x^1*Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, ((2*I - b*d*n)*x^2)/(2*b*d*n) + (I*x^2*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))/(b*d*n*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))) - (2*I*x^2*Hypergeometric2F1[1, -(I/(b*d*n)), 1 - I/(b*d*n), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(b*d*n)}
+{x^0*Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, ((I - b*d*n)*x)/(b*d*n) + (I*x*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))/(b*d*n*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))) - (2*I*x*Hypergeometric2F1[1, -(I/(2*b*d*n)), 1 - I/(2*b*d*n), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(b*d*n)}
+{Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2/x^1, x, 3, -(Cot[a*d + b*d*Log[c*x^n]]/(b*d*n)) - Log[x]}
+{Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2/x^2, x, 5, (1 + I/(b*d*n))/x + (I*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))/(b*d*n*x*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))) - (2*I*Hypergeometric2F1[1, I/(2*b*d*n), 1 + I/(2*b*d*n), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(b*d*n*x)}
+{Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2/x^3, x, 5, (1 + (2*I)/(b*d*n))/(2*x^2) + (I*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))/(b*d*n*x^2*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))) - (2*I*Hypergeometric2F1[1, I/(b*d*n), 1 + I/(b*d*n), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(b*d*n*x^2)}
+
+
+{Cot[a + b*Log[c*x^n]]^3/x, x, 3, -(Cot[a + b*Log[c*x^n]]^2/(2*b*n)) - Log[Sin[a + b*Log[c*x^n]]]/(b*n)}
+{Cot[a + b*Log[c*x^n]]^4/x, x, 4, Cot[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n) - Cot[a + b*Log[c*x^n]]^3/(3*b*n) + Log[x]}
+{Cot[a + b*Log[c*x^n]]^5/x, x, 4, Cot[a + b*Log[c*x^n]]^2/(2*b*n) - Cot[a + b*Log[c*x^n]]^4/(4*b*n) + Log[Sin[a + b*Log[c*x^n]]]/(b*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cot[a+b Log[c x^n]]^p with m symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])]^1, x, 4, (I*(e*x)^(1 + m))/(e*(1 + m)) - ((2*I)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, ((-I/2)*(1 + m))/(b*d*n), 1 - ((I/2)*(1 + m))/(b*d*n), E^((2*I)*a*d)*(c*x^n)^((2*I)*b*d)])/(e*(1 + m))}
+{(e*x)^m*Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, ((I*(1 + m) - b*d*n)*(e*x)^(1 + m))/(b*d*e*(1 + m)*n) + (I*(e*x)^(1 + m)*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))/(b*d*e*n*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))) - (2*I*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, -((I*(1 + m))/(2*b*d*n)), 1 - (I*(1 + m))/(2*b*d*n), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(b*d*e*n)}
+{(e*x)^m*Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])]^3, x, 6, ((I*(1 + m) - b*d*n)*(1 + m + 2*I*b*d*n)*(e*x)^(1 + m))/(2*b^2*d^2*e*(1 + m)*n^2) + ((e*x)^(1 + m)*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^2)/(2*b*d*e*n*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^2) + (I*(e*x)^(1 + m)*((E^(2*I*a*d)*(1 + m - 2*I*b*d*n))/n + (E^(4*I*a*d)*(1 + m + 2*I*b*d*n)*(c*x^n)^(2*I*b*d))/n))/(E^(2*I*a*d)*(2*b^2*d^2*e*n*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))) - (I*(1 + 2*m + m^2 - 2*b^2*d^2*n^2)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, -((I*(1 + m))/(2*b*d*n)), 1 - (I*(1 + m))/(2*b*d*n), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(b^2*d^2*e*(1 + m)*n^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cot[a+b Log[c x^n]]^p with p symbolic*)
+
+
+{Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p, x, 5, (x*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^p*(-((I*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))/(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))))^p*AppellF1[-(I/(2*b*d*n)), p, -p, 1 - I/(2*b*d*n), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d), (-E^(2*I*a*d))*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^p}
+{(e*x)^m*Cot[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p, x, 5, ((e*x)^(1 + m)*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^p*(-((I*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)))/(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))))^p*AppellF1[-((I*(1 + m))/(2*b*d*n)), p, -p, 1 - (I*(1 + m))/(2*b*d*n), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d), (-E^(2*I*a*d))*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/((1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^p*(e*(1 + m)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cot[a+b Log[c x^n]]^(p/2)*)
+
+
+{Cot[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)/x, x, 13, -(ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n)) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n) - (2*Cot[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))/(3*b*n) + Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]] + Cot[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n) - Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]] + Cot[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n)}
+{Cot[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)/x, x, 13, -(ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n)) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n) - (2*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n) - Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]] + Cot[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n) + Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]] + Cot[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n)}
+{Cot[a + b*Log[c*x^n]]^(1/2)/x, x, 12, ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n) - Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]] + Cot[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n) + Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]] + Cot[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n)}
+{1/(x*Cot[a + b*Log[c*x^n]]^(1/2)), x, 12, ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n) + Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]] + Cot[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n) - Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]] + Cot[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n)}
+{1/(x*Cot[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)), x, 13, -(ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n)) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n) + 2/(b*n*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]]) + Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]] + Cot[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n) - Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]] + Cot[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n)}
+{1/(x*Cot[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)), x, 13, -(ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n)) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]]]/(Sqrt[2]*b*n) + 2/(3*b*n*Cot[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)) - Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]] + Cot[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n) + Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Cot[a + b*Log[c*x^n]]] + Cot[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*Sqrt[2]*b*n)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Sec[d (a+b Log[c x^n])]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Sec[d (a+b Log[c x^n])]^p*)
+
+
+{x^2*Sec[a + b*Log[c*x^n]], x, 3, (2*E^(I*a)*x^3*(c*x^n)^(I*b)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 - (3*I)/(b*n)), (3/2)*(1 - I/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/(3 + I*b*n)}
+{x^1*Sec[a + b*Log[c*x^n]], x, 3, (2*E^(I*a)*x^2*(c*x^n)^(I*b)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 - (2*I)/(b*n)), (1/2)*(3 - (2*I)/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/(2 + I*b*n)}
+{x^0*Sec[a + b*Log[c*x^n]], x, 3, (2*E^(I*a)*x*(c*x^n)^(I*b)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 - I/(b*n)), (1/2)*(3 - I/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/(1 + I*b*n)}
+{Sec[a + b*Log[c*x^n]]/x^1, x, 2, ArcTanh[Sin[a + b*Log[c*x^n]]]/(b*n)}
+{Sec[a + b*Log[c*x^n]]/x^2, x, 3, -((2*E^(I*a)*(c*x^n)^(I*b)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + I/(b*n)), (1/2)*(3 + I/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((1 - I*b*n)*x))}
+{Sec[a + b*Log[c*x^n]]/x^3, x, 3, -((2*E^(I*a)*(c*x^n)^(I*b)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + (2*I)/(b*n)), (1/2)*(3 + (2*I)/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 - I*b*n)*x^2))}
+
+
+{x^2*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^2, x, 3, (4*E^(2*I*a)*x^3*(c*x^n)^(2*I*b)*Hypergeometric2F1[2, (1/2)*(2 - (3*I)/(b*n)), (1/2)*(4 - (3*I)/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/(3 + 2*I*b*n)}
+{x^1*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^2, x, 3, (2*E^(2*I*a)*x^2*(c*x^n)^(2*I*b)*Hypergeometric2F1[2, 1 - I/(b*n), 2 - I/(b*n), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/(1 + I*b*n)}
+{x^0*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^2, x, 3, (4*E^(2*I*a)*x*(c*x^n)^(2*I*b)*Hypergeometric2F1[2, (1/2)*(2 - I/(b*n)), (1/2)*(4 - I/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/(1 + 2*I*b*n)}
+{Sec[a + b*Log[c*x^n]]^2/x^1, x, 3, Tan[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n)}
+{Sec[a + b*Log[c*x^n]]^2/x^2, x, 3, -((4*E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)*Hypergeometric2F1[2, (1/2)*(2 + I/(b*n)), (1/2)*(4 + I/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((1 - 2*I*b*n)*x))}
+{Sec[a + b*Log[c*x^n]]^2/x^3, x, 3, -((2*E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)*Hypergeometric2F1[2, 1 + I/(b*n), 2 + I/(b*n), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((1 - I*b*n)*x^2))}
+
+
+{x^1*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^3, x, 3, (8*E^(3*I*a)*x^2*(c*x^n)^(3*I*b)*Hypergeometric2F1[3, (1/2)*(3 - (2*I)/(b*n)), (1/2)*(5 - (2*I)/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/(2 + 3*I*b*n)}
+{x^0*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^3, x, 3, (8*E^(3*I*a)*x*(c*x^n)^(3*I*b)*Hypergeometric2F1[3, (1/2)*(3 - I/(b*n)), (1/2)*(5 - I/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/(1 + 3*I*b*n)}
+{Sec[a + b*Log[c*x^n]]^3/x^1, x, 3, ArcTanh[Sin[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*b*n) + (Sec[a + b*Log[c*x^n]]*Tan[a + b*Log[c*x^n]])/(2*b*n)}
+{Sec[a + b*Log[c*x^n]]^3/x^2, x, 3, -((8*E^(3*I*a)*(c*x^n)^(3*I*b)*Hypergeometric2F1[3, (1/2)*(3 + I/(b*n)), (1/2)*(5 + I/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((1 - 3*I*b*n)*x))}
+{Sec[a + b*Log[c*x^n]]^3/x^3, x, 3, -((8*E^(3*I*a)*(c*x^n)^(3*I*b)*Hypergeometric2F1[3, (1/2)*(3 + (2*I)/(b*n)), (1/2)*(5 + (2*I)/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 - 3*I*b*n)*x^2))}
+
+
+{x^1*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^4, x, 3, (8*E^(4*I*a)*x^2*(c*x^n)^(4*I*b)*Hypergeometric2F1[4, 2 - I/(b*n), 3 - I/(b*n), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/(1 + 2*I*b*n)}
+{x^0*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^4, x, 3, (16*E^(4*I*a)*x*(c*x^n)^(4*I*b)*Hypergeometric2F1[4, (1/2)*(4 - I/(b*n)), (1/2)*(6 - I/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/(1 + 4*I*b*n)}
+{Sec[a + b*Log[c*x^n]]^4/x^1, x, 3, Tan[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n) + Tan[a + b*Log[c*x^n]]^3/(3*b*n)}
+{Sec[a + b*Log[c*x^n]]^4/x^2, x, 3, -((16*E^(4*I*a)*(c*x^n)^(4*I*b)*Hypergeometric2F1[4, (1/2)*(4 + I/(b*n)), (1/2)*(6 + I/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((1 - 4*I*b*n)*x))}
+{Sec[a + b*Log[c*x^n]]^4/x^3, x, 3, -((8*E^(4*I*a)*(c*x^n)^(4*I*b)*Hypergeometric2F1[4, 2 + I/(b*n), 3 + I/(b*n), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((1 - 2*I*b*n)*x^2))}
+
+
+{2*b^2*n^2*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^3 - (1 + b^2*n^2)*Sec[a + b*Log[c*x^n]], x, -7, (-x)*Sec[a + b*Log[c*x^n]] + b*n*x*Sec[a + b*Log[c*x^n]]*Tan[a + b*Log[c*x^n]]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Sec[d (a+b Log[c x^n])]^p when b^2 n^2 (p-2)^2+(m+1)^2=0*)
+
+
+{x^m*Sec[a + 2*Log[c*x^(Sqrt[-(1 + m)^2]/2)]]^3, x, -3, (x^(1 + m)*Sec[a + 2*Log[c*x^((1/2)*Sqrt[-(1 + m)^2])]])/(2*(1 + m)) + (x^(1 + m)*Sec[a + 2*Log[c*x^((1/2)*Sqrt[-(1 + m)^2])]]*Tan[a + 2*Log[c*x^((1/2)*Sqrt[-(1 + m)^2])]])/(2*Sqrt[-(1 + m)^2])}
+
+
+{x^1*Sec[a + 2*Log[c*x^I]]^3, x, 3, (E^(I*a)*(c*x^I)^(2*I)*x^2)/(1 + E^(2*I*a)*(c*x^I)^(4*I))^2}
+{x^0*Sec[a + 2*Log[c*x^(I/2)]]^3, x, 3, (1/2)*x*Sec[a + 2*Log[c*x^(I/2)]] - (1/2)*I*x*Sec[a + 2*Log[c*x^(I/2)]]*Tan[a + 2*Log[c*x^(I/2)]], (2*E^(I*a)*(c*x^(I/2))^(2*I)*x)/(1 + E^(2*I*a)*(c*x^(I/2))^(4*I))^2}
+
+
+{Sec[a + 2*Log[c/x^(I/2)]]^3, x, 3, (2*E^(3*I*a)*(c/x^(I/2))^(6*I)*x)/(1 + E^(2*I*a)*(c/x^(I/2))^(4*I))^2}
+
+
+{Sec[a + I/(n*(-2 + p))*Log[c*x^n]]^p, x, 3, ((2 - p)*x*(1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2/(n*(2 - p))))*Sec[a - (I*Log[c*x^n])/(n*(2 - p))]^p)/(E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2/(n*(2 - p)))*(2*(1 - p)))}
+{Sec[a - I/(n*(-2 + p))*Log[c*x^n]]^p, x, 3, ((2 - p)*x*(1 + E^(2*I*a)/(c*x^n)^(2/(n*(2 - p))))*Sec[a + (I*Log[c*x^n])/(n*(2 - p))]^p)/(2*(1 - p))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Sec[d (a+b Log[c x^n])]^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^0*Sqrt[Sec[a + b*Log[c*x^n]]], x, 3, (2*x*Sqrt[1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 - (2*I)/(b*n)), (1/4)*(5 - (2*I)/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sqrt[Sec[a + b*Log[c*x^n]]])/(2 + I*b*n)}
+{Sqrt[Sec[a + b*Log[c*x^n]]]/x^1, x, 3, (2*Sqrt[Cos[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticF[(a + b*Log[c*x^n])/2, 2]*Sqrt[Sec[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n)}
+
+
+{x^0*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2), x, 3, (2*x*(1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(3/2)*Hypergeometric2F1[3/2, (1/4)*(3 - (2*I)/(b*n)), (1/4)*(7 - (2*I)/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))/(2 + 3*I*b*n)}
+{Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)/x^1, x, 4, -((2*Sqrt[Cos[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sec[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n)) + (2*Sqrt[Sec[a + b*Log[c*x^n]]]*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(b*n)}
+
+
+{x^0*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2), x, 3, (2*x*(1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(5/2)*Hypergeometric2F1[5/2, (1/4)*(5 - (2*I)/(b*n)), (1/4)*(9 - (2*I)/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2))/(2 + 5*I*b*n)}
+{Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)/x^1, x, 4, (2*Sqrt[Cos[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sec[a + b*Log[c*x^n]]])/(3*b*n) + (2*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(3*b*n)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^0/Sqrt[Sec[a + b*Log[c*x^n]]], x, 3, (2*x*Hypergeometric2F1[-(1/2), -((2*I + b*n)/(4*b*n)), (1/4)*(3 - (2*I)/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 - I*b*n)*Sqrt[1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sqrt[Sec[a + b*Log[c*x^n]]])}
+{1/(x*Sqrt[Sec[a + b*Log[c*x^n]]]), x, 3, (2*Sqrt[Cos[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticE[(a + b*Log[c*x^n])/2, 2]*Sqrt[Sec[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n)}
+
+
+{x^0/Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2), x, 3, (2*x*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1/4)*(-3 - (2*I)/(b*n)), (1/4)*(1 - (2*I)/(b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 - 3*I*b*n)*(1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(3/2)*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))}
+{1/(x*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)), x, 4, (2*Sqrt[Cos[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticF[(1/2)*(a + b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sec[a + b*Log[c*x^n]]])/(3*b*n) + (2*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(3*b*n*Sqrt[Sec[a + b*Log[c*x^n]]])}
+
+
+{x^0/Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2), x, 3, (2*x*Hypergeometric2F1[-(5/2), (1/4)*(-5 - (2*I)/(b*n)), -((2*I + b*n)/(4*b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 - 5*I*b*n)*(1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(5/2)*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2))}
+{1/(x*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)), x, 4, (6*Sqrt[Cos[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticE[(1/2)*(a + b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sec[a + b*Log[c*x^n]]])/(5*b*n) + (2*Sin[a + b*Log[c*x^n]])/(5*b*n*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Sec[d (a+b Log[c x^n])]^p when m symbolic*)
+
+
+{x^m*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^3, x, 3, (8*E^(3*I*a)*x^(1 + m)*(c*x^n)^(3*I*b)*Hypergeometric2F1[3, -((I*(1 + m) - 3*b*n)/(2*b*n)), -((I*(1 + m) - 5*b*n)/(2*b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/(1 + m + 3*I*b*n)}
+{x^m*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^2, x, 3, (4*E^(2*I*a)*x^(1 + m)*(c*x^n)^(2*I*b)*Hypergeometric2F1[2, -((I*(1 + m) - 2*b*n)/(2*b*n)), -((I*(1 + m) - 4*b*n)/(2*b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/(1 + m + 2*I*b*n)}
+{x^m*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^1, x, 3, (2*E^(I*a)*x^(1 + m)*(c*x^n)^(I*b)*Hypergeometric2F1[1, -((I + I*m - b*n)/(2*b*n)), -((I*(1 + m) - 3*b*n)/(2*b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/(1 + m + I*b*n)}
+
+
+{x^m*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2), x, 3, (2*x^(1 + m)*(1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(5/2)*Hypergeometric2F1[5/2, -((2*I + 2*I*m - 5*b*n)/(4*b*n)), -((2*I + 2*I*m - 9*b*n)/(4*b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2))/(2 + 2*m + 5*I*b*n)}
+{x^m*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2), x, 3, (2*x^(1 + m)*(1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(3/2)*Hypergeometric2F1[3/2, -((2*I + 2*I*m - 3*b*n)/(4*b*n)), -((2*I + 2*I*m - 7*b*n)/(4*b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))/(2 + 2*m + 3*I*b*n)}
+{x^m*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(1/2), x, 3, (2*x^(1 + m)*Sqrt[1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Hypergeometric2F1[1/2, -((2*I + 2*I*m - b*n)/(4*b*n)), -((2*I + 2*I*m - 5*b*n)/(4*b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sqrt[Sec[a + b*Log[c*x^n]]])/(2 + 2*m + I*b*n)}
+{x^m/Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(1/2), x, 3, (2*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[-(1/2), -((2*I + 2*I*m + b*n)/(4*b*n)), -((2*I + 2*I*m - 3*b*n)/(4*b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 + 2*m - I*b*n)*Sqrt[1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sqrt[Sec[a + b*Log[c*x^n]]])}
+{x^m/Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2), x, 3, (2*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[-(3/2), -((2*I + 2*I*m + 3*b*n)/(4*b*n)), -((2*I + 2*I*m - b*n)/(4*b*n)), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 + 2*m - 3*I*b*n)*(1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(3/2)*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Sec[d (a+b Log[c x^n])]^p when p symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*Sec[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p, x, 3, ((e*x)^(1 + m)*(1 + E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^p*Hypergeometric2F1[p, -((I + I*m - b*d*n*p)/(2*b*d*n)), (1/2)*(2 - (I*(1 + m))/(b*d*n) + p), (-E^(2*I*a*d))*(c*x^n)^(2*I*b*d)]*Sec[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p)/(e*(1 + m + I*b*d*n*p))}
+
+
+{x^1*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^p, x, 3, (x^2*(1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^p*Hypergeometric2F1[p, (1/2)*(-((2*I)/(b*n)) + p), (1/2)*(2 - (2*I)/(b*n) + p), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^p)/(2 + I*b*n*p)}
+{x^0*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^p, x, 3, (x*(1 + E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^p*Hypergeometric2F1[p, -((I - b*n*p)/(2*b*n)), (1/2)*(2 - I/(b*n) + p), (-E^(2*I*a))*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sec[a + b*Log[c*x^n]]^p)/(1 + I*b*n*p)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Csc[d (a+b Log[c x^n])]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Csc[d (a+b Log[c x^n])]^p*)
+
+
+{x^2*Csc[a + b*Log[c*x^n]], x, 3, (2*E^(I*a)*x^3*(c*x^n)^(I*b)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 - (3*I)/(b*n)), (3/2)*(1 - I/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/(3*I - b*n)}
+{x^1*Csc[a + b*Log[c*x^n]], x, 3, (2*E^(I*a)*x^2*(c*x^n)^(I*b)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 - (2*I)/(b*n)), (1/2)*(3 - (2*I)/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/(2*I - b*n)}
+{x^0*Csc[a + b*Log[c*x^n]], x, 3, (2*E^(I*a)*x*(c*x^n)^(I*b)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 - I/(b*n)), (1/2)*(3 - I/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/(I - b*n)}
+{Csc[a + b*Log[c*x^n]]/x^1, x, 2, -(ArcTanh[Cos[a + b*Log[c*x^n]]]/(b*n))}
+{Csc[a + b*Log[c*x^n]]/x^2, x, 3, -((2*E^(I*a)*(c*x^n)^(I*b)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + I/(b*n)), (1/2)*(3 + I/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/((I + b*n)*x))}
+{Csc[a + b*Log[c*x^n]]/x^3, x, 3, -((2*E^(I*a)*(c*x^n)^(I*b)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + (2*I)/(b*n)), (1/2)*(3 + (2*I)/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2*I + b*n)*x^2))}
+
+
+{x^0*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^2, x, 3, -((4*E^(2*I*a)*x*(c*x^n)^(2*I*b)*Hypergeometric2F1[2, (1/2)*(2 - I/(b*n)), (1/2)*(4 - I/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/(1 + 2*I*b*n))}
+{Csc[a + b*Log[c*x^n]]^2/x^1, x, 3, -(Cot[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n))}
+
+
+{x^0*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^3, x, 3, -((8*E^(3*I*a)*x*(c*x^n)^(3*I*b)*Hypergeometric2F1[3, (1/2)*(3 - I/(b*n)), (1/2)*(5 - I/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/(I - 3*b*n))}
+{Csc[a + b*Log[c*x^n]]^3/x^1, x, 3, -(ArcTanh[Cos[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*b*n)) - (Cot[a + b*Log[c*x^n]]*Csc[a + b*Log[c*x^n]])/(2*b*n)}
+
+
+{x^0*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^4, x, 3, (16*E^(4*I*a)*x*(c*x^n)^(4*I*b)*Hypergeometric2F1[4, (1/2)*(4 - I/(b*n)), (1/2)*(6 - I/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/(1 + 4*I*b*n)}
+{Csc[a + b*Log[c*x^n]]^4/x^1, x, 3, -(Cot[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n)) - Cot[a + b*Log[c*x^n]]^3/(3*b*n)}
+
+
+{2*b^2*n^2*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^3 - (1 + b^2*n^2)*Csc[a + b*Log[c*x^n]], x, -7, (-x)*Csc[a + b*Log[c*x^n]] - b*n*x*Cot[a + b*Log[c*x^n]]*Csc[a + b*Log[c*x^n]]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Csc[d (a+b Log[c x^n])]^p when b^2 n^2 (p-2)^2+(m+1)^2=0*)
+
+
+{x^m*Csc[a + 2*Log[c*x^(Sqrt[-(1 + m)^2]/2)]]^3, x, -3, (x^(1 + m)*Csc[a + 2*Log[c*x^((1/2)*Sqrt[-(1 + m)^2])]])/(2*(1 + m)) - (x^(1 + m)*Cot[a + 2*Log[c*x^((1/2)*Sqrt[-(1 + m)^2])]]*Csc[a + 2*Log[c*x^((1/2)*Sqrt[-(1 + m)^2])]])/(2*Sqrt[-(1 + m)^2])}
+
+
+{x^1*Csc[a + 2*Log[c*x^I]]^3, x, 3, -((I*E^(I*a)*(c*x^I)^(2*I)*x^2)/(1 - E^(2*I*a)*(c*x^I)^(4*I))^2)}
+{Csc[a + 2*Log[c*x^(I/2)]]^3, x, 3, (1/2)*x*Csc[a + 2*Log[c*x^(I/2)]] + (1/2)*I*x*Cot[a + 2*Log[c*x^(I/2)]]*Csc[a + 2*Log[c*x^(I/2)]], -((2*I*E^(I*a)*(c*x^(I/2))^(2*I)*x)/(1 - E^(2*I*a)*(c*x^(I/2))^(4*I))^2)}
+
+
+{Csc[a + 2*Log[c/x^(I/2)]]^3, x, 3, (2*I*E^(3*I*a)*(c/x^(I/2))^(6*I)*x)/(1 - E^(2*I*a)*(c/x^(I/2))^(4*I))^2}
+
+
+{Csc[a + I/(n*(-2 + p))*Log[c*x^n]]^p, x, 3, -(((2 - p)*x*(1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2/(n*(2 - p))))*Csc[a - (I*Log[c*x^n])/(n*(2 - p))]^p)/(E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2/(n*(2 - p)))*(2*(1 - p))))}
+{Csc[a - I/(n*(-2 + p))*Log[c*x^n]]^p, x, 3, ((2 - p)*x*(1 - E^(2*I*a)/(c*x^n)^(2/(n*(2 - p))))*Csc[a + (I*Log[c*x^n])/(n*(2 - p))]^p)/(2*(1 - p))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Csc[d (a+b Log[c x^n])]^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^0*Sqrt[Csc[a + b*Log[c*x^n]]], x, 3, (2*x*Sqrt[1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sqrt[Csc[a + b*Log[c*x^n]]]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(1 - (2*I)/(b*n)), (1/4)*(5 - (2*I)/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/(2 + I*b*n)}
+{Sqrt[Csc[a + b*Log[c*x^n]]]/x, x, 3, (2*Sqrt[Csc[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n)}
+
+
+{x^0*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2), x, 3, (2*x*(1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(3/2)*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)*Hypergeometric2F1[3/2, (1/4)*(3 - (2*I)/(b*n)), (1/4)*(7 - (2*I)/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/(2 + 3*I*b*n)}
+{Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)/x, x, 4, -((2*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Sqrt[Csc[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n)) - (2*Sqrt[Csc[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n)}
+
+
+{x^0*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2), x, 3, (2*x*(1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(5/2)*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)*Hypergeometric2F1[5/2, (1/4)*(5 - (2*I)/(b*n)), (1/4)*(9 - (2*I)/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/(2 + 5*I*b*n)}
+{Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)/x, x, 4, -((2*Cos[a + b*Log[c*x^n]]*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))/(3*b*n)) + (2*Sqrt[Csc[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]])/(3*b*n)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^0/Sqrt[Csc[a + b*Log[c*x^n]]], x, 3, (2*x*Hypergeometric2F1[-(1/2), -((2*I + b*n)/(4*b*n)), (1/4)*(3 - (2*I)/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 - I*b*n)*Sqrt[1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sqrt[Csc[a + b*Log[c*x^n]]])}
+{1/(x*Sqrt[Csc[a + b*Log[c*x^n]]]), x, 3, (2*Sqrt[Csc[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n)}
+
+
+{x^0/Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2), x, 3, (2*x*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1/4)*(-3 - (2*I)/(b*n)), (1/4)*(1 - (2*I)/(b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 - 3*I*b*n)*(1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(3/2)*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))}
+{1/(x*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)), x, 4, -((2*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/(3*b*n*Sqrt[Csc[a + b*Log[c*x^n]]])) + (2*Sqrt[Csc[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticF[(1/2)*(a - Pi/2 + b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]])/(3*b*n)}
+
+
+{x^0/Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2), x, 3, (2*x*Hypergeometric2F1[-(5/2), (1/4)*(-5 - (2*I)/(b*n)), -((2*I + b*n)/(4*b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 - 5*I*b*n)*(1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(5/2)*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2))}
+{1/(x*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)), x, 4, -((2*Cos[a + b*Log[c*x^n]])/(5*b*n*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))) + (6*Sqrt[Csc[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticE[(1/2)*(a - Pi/2 + b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sin[a + b*Log[c*x^n]]])/(5*b*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Csc[d (a+b Log[c x^n])]^p when m symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*Csc[d*(a + b*Log[c*x^n])]^3, x, 3, -((8*E^(3*I*a*d)*(e*x)^(1 + m)*(c*x^n)^(3*I*b*d)*Hypergeometric2F1[3, -((I*(1 + m) - 3*b*d*n)/(2*b*d*n)), -((I*(1 + m) - 5*b*d*n)/(2*b*d*n)), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(e*(I*(1 + m) - 3*b*d*n)))}
+{(e*x)^m*Csc[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 3, -((4*E^(2*I*a*d)*(e*x)^(1 + m)*(c*x^n)^(2*I*b*d)*Hypergeometric2F1[2, -((I*(1 + m) - 2*b*d*n)/(2*b*d*n)), -((I*(1 + m) - 4*b*d*n)/(2*b*d*n)), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(e*(1 + m + 2*I*b*d*n)))}
+{(e*x)^m*Csc[d*(a + b*Log[c*x^n])]^1, x, 3, (2*E^(I*a*d)*(e*x)^(1 + m)*(c*x^n)^(I*b*d)*Hypergeometric2F1[1, -((I + I*m - b*d*n)/(2*b*d*n)), -((I*(1 + m) - 3*b*d*n)/(2*b*d*n)), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(e*(I*(1 + m) - b*d*n))}
+
+
+{x^m*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2), x, 3, (2*x^(1 + m)*(1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(5/2)*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)*Hypergeometric2F1[5/2, -((2*I + 2*I*m - 5*b*n)/(4*b*n)), -((2*I + 2*I*m - 9*b*n)/(4*b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/(2 + 2*m + 5*I*b*n)}
+{x^m*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2), x, 3, (2*x^(1 + m)*(1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(3/2)*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)*Hypergeometric2F1[3/2, -((2*I + 2*I*m - 3*b*n)/(4*b*n)), -((2*I + 2*I*m - 7*b*n)/(4*b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/(2 + 2*m + 3*I*b*n)}
+{x^m*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(1/2), x, 3, (2*x^(1 + m)*Sqrt[1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sqrt[Csc[a + b*Log[c*x^n]]]*Hypergeometric2F1[1/2, -((2*I + 2*I*m - b*n)/(4*b*n)), -((2*I + 2*I*m - 5*b*n)/(4*b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/(2 + 2*m + I*b*n)}
+{x^m/Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(1/2), x, 3, (2*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[-(1/2), -((2*I + 2*I*m + b*n)/(4*b*n)), -((2*I + 2*I*m - 3*b*n)/(4*b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 + 2*m - I*b*n)*Sqrt[1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)]*Sqrt[Csc[a + b*Log[c*x^n]]])}
+{x^m/Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2), x, 3, (2*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[-(3/2), -((2*I + 2*I*m + 3*b*n)/(4*b*n)), -((2*I + 2*I*m - b*n)/(4*b*n)), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/((2 + 2*m - 3*I*b*n)*(1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^(3/2)*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Csc[d (a+b Log[c x^n])]^p when p symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*Csc[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p, x, 3, ((e*x)^(1 + m)*(1 - E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d))^p*Csc[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p*Hypergeometric2F1[p, -((I + I*m - b*d*n*p)/(2*b*d*n)), (1/2)*(2 - (I*(1 + m))/(b*d*n) + p), E^(2*I*a*d)*(c*x^n)^(2*I*b*d)])/(e*(1 + m + I*b*d*n*p))}
+
+
+{x^1*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^p, x, 3, (x^2*(1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^p*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^p*Hypergeometric2F1[p, (1/2)*(-((2*I)/(b*n)) + p), (1/2)*(2 - (2*I)/(b*n) + p), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/(2 + I*b*n*p)}
+{x^0*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^p, x, 3, (x*(1 - E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b))^p*Csc[a + b*Log[c*x^n]]^p*Hypergeometric2F1[p, -((I - b*n*p)/(2*b*n)), (1/2)*(2 - I/(b*n) + p), E^(2*I*a)*(c*x^n)^(2*I*b)])/(1 + I*b*n*p)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.6 f^(a+b x+c x^2) trig(d+e x+f x^2)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.6 f^(a+b x+c x^2) trig(d+e x+f x^2)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..9a326b63
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.6 f^(a+b x+c x^2) trig(d+e x+f x^2)^n.m	
@@ -0,0 +1,282 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands involving products of exponentials and trig functions*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F^(c (a+b x)) Trig[d+e x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F^(c (a+b x)) Sin[d+e x]^n*)
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*Sin[d + e*x]^n, x, 2, -((F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[-n, -((e*n + I*b*c*Log[F])/(2*e)), (1/2)*(2 - n - (I*b*c*Log[F])/e), E^(2*I*(d + e*x))]*Sin[d + e*x]^n)/((1 - E^(2*I*(d + e*x)))^n*(I*e*n - b*c*Log[F])))}
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*Sin[d + e*x]^3, x, 2, -((6*e^3*F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x])/(9*e^4 + 10*b^2*c^2*e^2*Log[F]^2 + b^4*c^4*Log[F]^4)) + (6*b*c*e^2*F^(c*(a + b*x))*Log[F]*Sin[d + e*x])/(9*e^4 + 10*b^2*c^2*e^2*Log[F]^2 + b^4*c^4*Log[F]^4) - (3*e*F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x]*Sin[d + e*x]^2)/(9*e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2) + (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F]*Sin[d + e*x]^3)/(9*e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))*Sin[d + e*x]^2, x, 2, (2*e^2*F^(c*(a + b*x)))/(b*c*Log[F]*(4*e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)) - (2*e*F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x]*Sin[d + e*x])/(4*e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2) + (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F]*Sin[d + e*x]^2)/(4*e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))*Sin[d + e*x]^1, x, 1, -((e*F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)) + (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F]*Sin[d + e*x])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))*Csc[d + e*x]^1, x, 1, -((2*E^(I*(d + e*x))*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, (e - I*b*c*Log[F])/(2*e), (1/2)*(3 - (I*b*c*Log[F])/e), E^(2*I*(d + e*x))])/(e - I*b*c*Log[F]))}
+{F^(c*(a + b*x))*Csc[d + e*x]^2, x, 1, -((4*E^(2*I*(d + e*x))*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, 1 - (I*b*c*Log[F])/(2*e), 2 - (I*b*c*Log[F])/(2*e), E^(2*I*(d + e*x))])/(2*I*e + b*c*Log[F]))}
+{F^(c*(a + b*x))*Csc[d + e*x]^3, x, 2, -((F^(c*(a + b*x))*Cot[d + e*x]*Csc[d + e*x])/(2*e)) - (b*c*F^(c*(a + b*x))*Csc[d + e*x]*Log[F])/(2*e^2) - (E^(I*(d + e*x))*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, (e - I*b*c*Log[F])/(2*e), (1/2)*(3 - (I*b*c*Log[F])/e), E^(2*I*(d + e*x))]*(e + I*b*c*Log[F]))/e^2}
+{F^(c*(a + b*x))*Csc[d + e*x]^4, x, 2, -((F^(c*(a + b*x))*Cot[d + e*x]*Csc[d + e*x]^2)/(3*e)) - (b*c*F^(c*(a + b*x))*Csc[d + e*x]^2*Log[F])/(6*e^2) + (2*E^(2*I*(d + e*x))*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, 1 - (I*b*c*Log[F])/(2*e), 2 - (I*b*c*Log[F])/(2*e), E^(2*I*(d + e*x))]*(2*I*e - b*c*Log[F]))/(3*e^2)}
+
+
+{E^x*Sin[x]^4, x, 3, (24*E^x)/85 - (24/85)*E^x*Cos[x]*Sin[x] + (12/85)*E^x*Sin[x]^2 - (4/17)*E^x*Cos[x]*Sin[x]^3 + (1/17)*E^x*Sin[x]^4}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F^(c (a+b x)) Cos[d+e x]^n*)
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x]^n, x, 2, -((F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x]^n*Hypergeometric2F1[-n, -((e*n + I*b*c*Log[F])/(2*e)), (1/2)*(2 - n - (I*b*c*Log[F])/e), -E^(2*I*(d + e*x))])/((1 + E^(2*I*(d + e*x)))^n*(I*e*n - b*c*Log[F])))}
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x]^3, x, 2, (b*c*F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x]^3*Log[F])/(9*e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2) + (6*b*c*e^2*F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x]*Log[F])/(9*e^4 + 10*b^2*c^2*e^2*Log[F]^2 + b^4*c^4*Log[F]^4) + (3*e*F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x]^2*Sin[d + e*x])/(9*e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2) + (6*e^3*F^(c*(a + b*x))*Sin[d + e*x])/(9*e^4 + 10*b^2*c^2*e^2*Log[F]^2 + b^4*c^4*Log[F]^4)}
+{F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x]^2, x, 2, (2*e^2*F^(c*(a + b*x)))/(b*c*Log[F]*(4*e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)) + (b*c*F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x]^2*Log[F])/(4*e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2) + (2*e*F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x]*Sin[d + e*x])/(4*e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x]^1, x, 1, (b*c*F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x]*Log[F])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2) + (e*F^(c*(a + b*x))*Sin[d + e*x])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))*Sec[d + e*x]^1, x, 1, (2*E^(I*(d + e*x))*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, (e - I*b*c*Log[F])/(2*e), (1/2)*(3 - (I*b*c*Log[F])/e), -E^(2*I*(d + e*x))])/(I*e + b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))*Sec[d + e*x]^2, x, 1, (4*E^(2*I*(d + e*x))*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, 1 - (I*b*c*Log[F])/(2*e), 2 - (I*b*c*Log[F])/(2*e), -E^(2*I*(d + e*x))])/(2*I*e + b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))*Sec[d + e*x]^3, x, 2, -((E^(I*(d + e*x))*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, (e - I*b*c*Log[F])/(2*e), (1/2)*(3 - (I*b*c*Log[F])/e), -E^(2*I*(d + e*x))]*(I*e - b*c*Log[F]))/e^2) - (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F]*Sec[d + e*x])/(2*e^2) + (F^(c*(a + b*x))*Sec[d + e*x]*Tan[d + e*x])/(2*e)}
+{F^(c*(a + b*x))*Sec[d + e*x]^4, x, 2, -((2*E^(2*I*(d + e*x))*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, 1 - (I*b*c*Log[F])/(2*e), 2 - (I*b*c*Log[F])/(2*e), -E^(2*I*(d + e*x))]*(2*I*e - b*c*Log[F]))/(3*e^2)) - (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F]*Sec[d + e*x]^2)/(6*e^2) + (F^(c*(a + b*x))*Sec[d + e*x]^2*Tan[d + e*x])/(3*e)}
+
+
+{E^x*Cos[x]^4, x, 3, (24*E^x)/85 + (12/85)*E^x*Cos[x]^2 + (1/17)*E^x*Cos[x]^4 + (24/85)*E^x*Cos[x]*Sin[x] + (4/17)*E^x*Cos[x]^3*Sin[x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F^(c (a+b x)) Tan[d+e x]^n*)
+
+
+{E^(c*(a + b*x))*Tan[d + e*x]^3, x, 6, (I*E^(c*(a + b*x)))/(b*c) - (6*I*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, -((I*b*c)/(2*e)), 1 - (I*b*c)/(2*e), -E^(2*I*(d + e*x))])/(b*c) + (12*I*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, -((I*b*c)/(2*e)), 1 - (I*b*c)/(2*e), -E^(2*I*(d + e*x))])/(b*c) - (8*I*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[3, -((I*b*c)/(2*e)), 1 - (I*b*c)/(2*e), -E^(2*I*(d + e*x))])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*Tan[d + e*x]^2, x, 5, -(E^(c*(a + b*x))/(b*c)) + (4*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, -((I*b*c)/(2*e)), 1 - (I*b*c)/(2*e), -E^(2*I*(d + e*x))])/(b*c) - (4*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, -((I*b*c)/(2*e)), 1 - (I*b*c)/(2*e), -E^(2*I*(d + e*x))])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*Tan[d + e*x]^1, x, 4, -((I*E^(c*(a + b*x)))/(b*c)) + (2*I*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, -((I*b*c)/(2*e)), 1 - (I*b*c)/(2*e), -E^(2*I*(d + e*x))])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*Cot[d + e*x]^1, x, 4, (I*E^(c*(a + b*x)))/(b*c) - (2*I*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, -((I*b*c)/(2*e)), 1 - (I*b*c)/(2*e), E^(2*I*(d + e*x))])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*Cot[d + e*x]^2, x, 5, -(E^(c*(a + b*x))/(b*c)) + (4*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, -((I*b*c)/(2*e)), 1 - (I*b*c)/(2*e), E^(2*I*(d + e*x))])/(b*c) - (4*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, -((I*b*c)/(2*e)), 1 - (I*b*c)/(2*e), E^(2*I*(d + e*x))])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*Cot[d + e*x]^3, x, 6, -((I*E^(c*(a + b*x)))/(b*c)) + (6*I*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, -((I*b*c)/(2*e)), 1 - (I*b*c)/(2*e), E^(2*I*(d + e*x))])/(b*c) - (12*I*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, -((I*b*c)/(2*e)), 1 - (I*b*c)/(2*e), E^(2*I*(d + e*x))])/(b*c) + (8*I*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[3, -((I*b*c)/(2*e)), 1 - (I*b*c)/(2*e), E^(2*I*(d + e*x))])/(b*c)}
+
+
+{F^(a + b*x)*Tan[Pi/4 - (c + d*x)/2], x, 5, (I*F^(a + b*x))/(b*Log[F]) - (2*I*F^(a + b*x)*Hypergeometric2F1[1, -((I*b*Log[F])/d), 1 - (I*b*Log[F])/d, I*E^(I*(c + d*x))])/(b*Log[F])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F^(c (a+b x)) Sec[d+e x]^n*)
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*Sec[d + e*x]^n, x, 2, ((1 + E^(2*I*(d + e*x)))^n*F^(a*c + b*c*x)*Hypergeometric2F1[n, (e*n - I*b*c*Log[F])/(2*e), (1/2)*(2 + n - (I*b*c*Log[F])/e), -E^(2*I*(d + e*x))]*Sec[d + e*x]^n)/(I*e*n + b*c*Log[F])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F^(c (a+b x)) Csc[d+e x]^n*)
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*Csc[d + e*x]^n, x, 2, -(((1 - E^(-2*I*(d + e*x)))^n*F^(a*c + b*c*x)*Csc[d + e*x]^n*Hypergeometric2F1[n, (e*n + I*b*c*Log[F])/(2*e), (1/2)*(2 + n + (I*b*c*Log[F])/e), E^(-2*I*(d + e*x))])/(I*e*n - b*c*Log[F]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m F^(c (a+b x)) Trig[d+e x]^n*)
+
+
+(* {(f*x)^m*F^(c*(a + b*x))*Sin[d + e*x]^3, x, 10, -((3*F^(a*c)*(f*x)^m*Gamma[1 + m, x*(I*e - b*c*Log[F])])/(E^(I*d)*(x*(I*e - b*c*Log[F]))^m*(8*(e + I*b*c*Log[F])))) + (F^(a*c)*(f*x)^m*Gamma[1 + m, x*(3*I*e - b*c*Log[F])])/(E^(3*I*d)*(x*(3*I*e - b*c*Log[F]))^m*(8*(3*e + I*b*c*Log[F]))) - (3*E^(I*d)*F^(a*c)*(f*x)^m*Gamma[1 + m, (-x)*(I*e + b*c*Log[F])])/(((-x)*(I*e + b*c*Log[F]))^m*(8*(e - I*b*c*Log[F]))) + (E^(3*I*d)*F^(a*c)*(f*x)^m*Gamma[1 + m, (-x)*(3*I*e + b*c*Log[F])])/(((-x)*(3*I*e + b*c*Log[F]))^m*(8*(3*e - I*b*c*Log[F])))}
+{(f*x)^m*F^(c*(a + b*x))*Sin[d + e*x]^2, x, 7, (F^(a*c)*(f*x)^m*Gamma[1 + m, (-b)*c*x*Log[F]])/(((-b)*c*x*Log[F])^m*(2*b*c*Log[F])) + (F^(a*c)*(f*x)^m*Gamma[1 + m, x*(2*I*e - b*c*Log[F])])/(E^(2*I*d)*(x*(2*I*e - b*c*Log[F]))^m*(4*(2*I*e - b*c*Log[F]))) - (E^(2*I*d)*F^(a*c)*(f*x)^m*Gamma[1 + m, (-x)*(2*I*e + b*c*Log[F])])/(((-x)*(2*I*e + b*c*Log[F]))^m*(4*(2*I*e + b*c*Log[F])))} *)
+{(f*x)^m*F^(c*(a + b*x))*Sin[d + e*x]^1, x, -1, -((F^(a*c)*(f*x)^m*Gamma[1 + m, x*(I*e - b*c*Log[F])])/(E^(I*d)*(x*(I*e - b*c*Log[F]))^m*(2*(e + I*b*c*Log[F])))) - (E^(I*d)*F^(a*c)*(f*x)^m*Gamma[1 + m, (-x)*(I*e + b*c*Log[F])])/(((-x)*(I*e + b*c*Log[F]))^m*(2*(e - I*b*c*Log[F])))}
+{(f*x)^m*F^(c*(a + b*x))/Sin[d + e*x]^1, x, 1, CannotIntegrate[F^(a*c + b*c*x)*(f*x)^m*Csc[d + e*x], x]}
+{(f*x)^m*F^(c*(a + b*x))/Sin[d + e*x]^2, x, 1, CannotIntegrate[F^(a*c + b*c*x)*(f*x)^m*Csc[d + e*x]^2, x]}
+
+
+{f*F^(c*(a + b*x))*(f*x)^(-2 + m)*(e*x*Cos[d + e*x] + (-1 + m + b*c*x*Log[F])*Sin[d + e*x]), x, 11, F^(a*c + b*c*x)*(f*x)^(-1 + m)*Sin[d + e*x]}
+{f*F^(c*(a + b*x))*(f*x)^m*(e*x*Cos[d + e*x] + (1 + m + b*c*x*Log[F])*Sin[d + e*x]), x, -6, f*F^(c*(a + b*x))*x*(f*x)^m*Sin[d + e*x]}
+{(F^(c*(a + b*x))*(f*x)^m*(e*x*Cos[d + e*x] + (m + b*c*x*Log[F])*Sin[d + e*x]))/x, x, 7, F^(a*c + b*c*x)*(f*x)^m*Sin[d + e*x]}
+
+
+(* {F^(c*(a + b*x))*x*(e*x*Cos[d + e*x] + (2 + b*c*x*Log[F])*Sin[d + e*x]), x, 0, F^(c*(a + b*x))*x^2*Sin[d + e*x]} *)
+{F^(c*(a + b*x))*(e*x*Cos[d + e*x] + (1 + b*c*x*Log[F])*Sin[d + e*x]), x, 14, F^(c*(a + b*x))*x*Sin[d + e*x], (e^3*F^(a*c + b*c*x)*Cos[d + e*x])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)^2 + (b^2*c^2*e*F^(a*c + b*c*x)*Cos[d + e*x]*Log[F]^2)/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)^2 - (e*F^(a*c + b*c*x)*Cos[d + e*x])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2) - (b*c*e^2*F^(a*c + b*c*x)*Log[F]*Sin[d + e*x])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)^2 - (b^3*c^3*F^(a*c + b*c*x)*Log[F]^3*Sin[d + e*x])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)^2 + (e^2*F^(a*c + b*c*x)*x*Sin[d + e*x])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2) + (b*c*F^(a*c + b*c*x)*Log[F]*Sin[d + e*x])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2) + (b^2*c^2*F^(a*c + b*c*x)*x*Log[F]^2*Sin[d + e*x])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))*(e*Cos[d + e*x] + b*c*Log[F]*Sin[d + e*x]), x, 1, F^(c*(a + b*x))*Sin[d + e*x]}
+{(F^(c*(a + b*x))*(e*x*Cos[d + e*x] + (-1 + b*c*x*Log[F])*Sin[d + e*x]))/x^2, x, 6, (F^(a*c + b*c*x)*Sin[d + e*x])/x}
+{(F^(c*(a + b*x))*(e*x*Cos[d + e*x] + (-2 + b*c*x*Log[F])*Sin[d + e*x]))/x^3, x, 10, (F^(a*c + b*c*x)*Sin[d + e*x])/x^2}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m F^(a+b x) Trig[c+d x]^n Trig[c+d x]^p*)
+
+
+{E^(a + b*x)*Cos[c + d*x]^1*Sin[c + d*x]^1, x, 3, -((d*E^(a + b*x)*Cos[2*c + 2*d*x])/(b^2 + 4*d^2)) + (b*E^(a + b*x)*Sin[2*c + 2*d*x])/(2*(b^2 + 4*d^2))}
+{E^(a + b*x)*Cos[c + d*x]^1*Sin[c + d*x]^2, x, 4, (b*E^(a + b*x)*Cos[c + d*x])/(4*(b^2 + d^2)) - (b*E^(a + b*x)*Cos[3*c + 3*d*x])/(4*(b^2 + 9*d^2)) + (d*E^(a + b*x)*Sin[c + d*x])/(4*(b^2 + d^2)) - (3*d*E^(a + b*x)*Sin[3*c + 3*d*x])/(4*(b^2 + 9*d^2))}
+{E^(a + b*x)*Cos[c + d*x]^1*Sin[c + d*x]^3, x, 4, -((d*E^(a + b*x)*Cos[2*c + 2*d*x])/(2*(b^2 + 4*d^2))) + (d*E^(a + b*x)*Cos[4*c + 4*d*x])/(2*(b^2 + 16*d^2)) + (b*E^(a + b*x)*Sin[2*c + 2*d*x])/(4*(b^2 + 4*d^2)) - (b*E^(a + b*x)*Sin[4*c + 4*d*x])/(8*(b^2 + 16*d^2))}
+
+{E^(a + b*x)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^1, x, 4, -((d*E^(a + b*x)*Cos[c + d*x])/(4*(b^2 + d^2))) - (3*d*E^(a + b*x)*Cos[3*c + 3*d*x])/(4*(b^2 + 9*d^2)) + (b*E^(a + b*x)*Sin[c + d*x])/(4*(b^2 + d^2)) + (b*E^(a + b*x)*Sin[3*c + 3*d*x])/(4*(b^2 + 9*d^2))}
+{E^(a + b*x)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^2, x, 4, E^(a + b*x)/(8*b) - (b*E^(a + b*x)*Cos[4*c + 4*d*x])/(8*(b^2 + 16*d^2)) - (d*E^(a + b*x)*Sin[4*c + 4*d*x])/(2*(b^2 + 16*d^2))}
+{E^(a + b*x)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x]^3, x, 5, -((d*E^(a + b*x)*Cos[c + d*x])/(8*(b^2 + d^2))) - (3*d*E^(a + b*x)*Cos[3*c + 3*d*x])/(16*(b^2 + 9*d^2)) + (5*d*E^(a + b*x)*Cos[5*c + 5*d*x])/(16*(b^2 + 25*d^2)) + (b*E^(a + b*x)*Sin[c + d*x])/(8*(b^2 + d^2)) + (b*E^(a + b*x)*Sin[3*c + 3*d*x])/(16*(b^2 + 9*d^2)) - (b*E^(a + b*x)*Sin[5*c + 5*d*x])/(16*(b^2 + 25*d^2))}
+
+{E^(a + b*x)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^1, x, 4, -((d*E^(a + b*x)*Cos[2*c + 2*d*x])/(2*(b^2 + 4*d^2))) - (d*E^(a + b*x)*Cos[4*c + 4*d*x])/(2*(b^2 + 16*d^2)) + (b*E^(a + b*x)*Sin[2*c + 2*d*x])/(4*(b^2 + 4*d^2)) + (b*E^(a + b*x)*Sin[4*c + 4*d*x])/(8*(b^2 + 16*d^2))}
+{E^(a + b*x)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^2, x, 5, (b*E^(a + b*x)*Cos[c + d*x])/(8*(b^2 + d^2)) - (b*E^(a + b*x)*Cos[3*c + 3*d*x])/(16*(b^2 + 9*d^2)) - (b*E^(a + b*x)*Cos[5*c + 5*d*x])/(16*(b^2 + 25*d^2)) + (d*E^(a + b*x)*Sin[c + d*x])/(8*(b^2 + d^2)) - (3*d*E^(a + b*x)*Sin[3*c + 3*d*x])/(16*(b^2 + 9*d^2)) - (5*d*E^(a + b*x)*Sin[5*c + 5*d*x])/(16*(b^2 + 25*d^2))}
+{E^(a + b*x)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x]^3, x, 4, -((3*d*E^(a + b*x)*Cos[2*c + 2*d*x])/(16*(b^2 + 4*d^2))) + (3*d*E^(a + b*x)*Cos[6*c + 6*d*x])/(16*(b^2 + 36*d^2)) + (3*b*E^(a + b*x)*Sin[2*c + 2*d*x])/(32*(b^2 + 4*d^2)) - (b*E^(a + b*x)*Sin[6*c + 6*d*x])/(32*(b^2 + 36*d^2))}
+
+
+{E^x*x*Sin[x], x, 4, (1/2)*E^x*Cos[x] - (1/2)*E^x*x*Cos[x] + (1/2)*E^x*x*Sin[x]}
+{E^x*x^2*Sin[x], x, 11, (-(1/2))*E^x*Cos[x] + E^x*x*Cos[x] - (1/2)*E^x*x^2*Cos[x] - (1/2)*E^x*Sin[x] + (1/2)*E^x*x^2*Sin[x]}
+
+{E^x*x*Cos[x], x, 4, (1/2)*E^x*x*Cos[x] - (1/2)*E^x*Sin[x] + (1/2)*E^x*x*Sin[x]}
+{E^x*x^2*Cos[x], x, 11, (-(1/2))*E^x*Cos[x] + (1/2)*E^x*x^2*Cos[x] + (1/2)*E^x*Sin[x] - E^x*x*Sin[x] + (1/2)*E^x*x^2*Sin[x]}
+
+
+{E^(3*x)*(-5*Cos[4*x] + 2*Sin[4*x]), x, 4, (-(23/25))*E^(3*x)*Cos[4*x] - (14/25)*E^(3*x)*Sin[4*x]}
+
+{Sin[x]/E^x + E^x*Sin[x], x, 3, ((-(1/2))*Cos[x])/E^x - (1/2)*E^x*Cos[x] - ((1/2)*Sin[x])/E^x + (1/2)*E^x*Sin[x]}
+
+
+{F^(a + b*x)*(Cos[c + d*x]/(e + e*Sin[c + d*x])), x, 5, (I*F^(a + b*x))/(b*e*Log[F]) - (2*I*F^(a + b*x)*Hypergeometric2F1[1, -((I*b*Log[F])/d), 1 - (I*b*Log[F])/d, I*E^(I*(c + d*x))])/(b*e*Log[F])}
+{F^(a + b*x)*(Cos[c + d*x]/(e - e*Sin[c + d*x])), x, 5, -((I*F^(a + b*x))/(b*e*Log[F])) + (2*I*F^(a + b*x)*Hypergeometric2F1[1, -((I*b*Log[F])/d), 1 - (I*b*Log[F])/d, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(b*e*Log[F])}
+{F^(a + b*x)*(Sin[c + d*x]/(e + e*Cos[c + d*x])), x, 5, -((I*F^(a + b*x))/(b*e*Log[F])) + (2*I*F^(a + b*x)*Hypergeometric2F1[1, -((I*b*Log[F])/d), 1 - (I*b*Log[F])/d, -E^(I*(c + d*x))])/(b*e*Log[F])}
+{F^(a + b*x)*(Sin[c + d*x]/(e - e*Cos[c + d*x])), x, 5, (I*F^(a + b*x))/(b*e*Log[F]) - (2*I*F^(a + b*x)*Hypergeometric2F1[1, -((I*b*Log[F])/d), 1 - (I*b*Log[F])/d, E^(I*(c + d*x))])/(b*e*Log[F])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m F^(a+b x+c x^2) Trig[d+e x+f x^2]^m*)
+
+
+{E^(x^2)*Sin[b*x], x, 6, (1/4)*I*E^(b^2/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*((-I)*b + 2*x)] - (1/4)*I*E^(b^2/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(I*b + 2*x)]}
+{E^(x^2)*Cos[b*x], x, 6, (1/4)*E^(b^2/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*((-I)*b + 2*x)] + (1/4)*E^(b^2/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(I*b + 2*x)]}
+{E^(x^2)*Sin[a + b*x], x, 6, (1/4)*I*E^((-I)*a + b^2/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*((-I)*b + 2*x)] - (1/4)*I*E^(I*a + b^2/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(I*b + 2*x)]}
+{E^(x^2)*Cos[a + b*x], x, 6, (1/4)*E^((-I)*a + b^2/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*((-I)*b + 2*x)] + (1/4)*E^(I*a + b^2/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(I*b + 2*x)]}
+
+{E^(2*x^2)*x*Cos[2*x^2], x, 2, (1/8)*E^(2*x^2)*Cos[2*x^2] + (1/8)*E^(2*x^2)*Sin[2*x^2]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F^(a+b x) Trig[F^(a+b x)]*)
+
+
+{E^x*Sin[E^x], x, 2, -Cos[E^x]}
+
+{E^x*Csc[E^x]*Sec[E^x], x, 3, Log[Tan[E^x]]}
+{E^x*Cos[E^x], x, 2, Sin[E^x]}
+{E^(2*x)*Cos[E^(2*x)], x, 2, Sin[E^(2*x)]/2}
+{Cos[E^(-2*x)]/E^(2*x), x, 2, -Sin[E^(-2*x)]/2}
+{E^(2*x)*Cos[E^x], x, 3, Cos[E^x] + E^x*Sin[E^x]}
+{E^(-1 + 3*x)*Cos[E^(-1 + 3*x)]*Sin[1 + E^(-1 + 3*x)], x, 4, -Cos[1 + 2*E^(-1 + 3*x)]/12 + (E^(-1 + 3*x)*Sin[1])/6}
+
+{E^x*Tan[E^x], x, 2, -Log[Cos[E^x]]}
+
+{E^x*Sec[E^x], x, 2, ArcTanh[Sin[E^x]]}
+{E^x*Sec[E^x]*Tan[E^x], x, 3, Sec[E^x]}
+
+{E^x*Csc[E^x]^2, x, 3, -Cot[E^x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(a+b x+c x^2) Sin[d+e x+f x^2]^m*)
+
+
+{E^x*Sin[a + b*x], x, 1, -((b*E^x*Cos[a + b*x])/(1 + b^2)) + (E^x*Sin[a + b*x])/(1 + b^2)}
+{E^x*Sin[a + c*x^2], x, 6, ((-1)^(3/4)*E^((I/4)*(4*a + c^(-1)))*Sqrt[Pi]*Erf[((-1)^(1/4)*(1 + (2*I)*c*x))/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]) + ((-1)^(3/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[((-1)^(1/4)*(1 - (2*I)*c*x))/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]*E^((I/4)*(4*a + c^(-1))))}
+{E^x*Sin[a + b*x + c*x^2], x, 6, ((-1)^(3/4)*E^((1/4)*I*(4*a + (1 + I*b)^2/c))*Sqrt[Pi]*Erf[((-1)^(1/4)*(1 + I*b + 2*I*c*x))/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]) + ((-1)^(3/4)*E^((-I)*a + (I*(I + b)^2)/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((-1)^(1/4)*(1 - I*b - 2*I*c*x))/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c])}
+
+{E^x^2*Sin[a + b*x], x, 6, (I/4)*E^((-I)*a + b^2/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[((-I)*b + 2*x)/2] - (I/4)*E^(I*a + b^2/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*b + 2*x)/2]}
+{E^x^2*Sin[a + c*x^2], x, 4, ((I/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[1 - I*c]*x])/(Sqrt[1 - I*c]*E^(I*a)) - ((I/4)*E^(I*a)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[1 + I*c]*x])/Sqrt[1 + I*c]}
+{E^x^2*Sin[a + b*x + c*x^2], x, 6, -((I*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*b - 2*(1 - I*c)*x)/(2*Sqrt[1 - I*c])])/(E^(I*(a - b^2/(4*I + 4*c)))*(4*Sqrt[1 - I*c]))) - (I*E^(I*a + b^2/(4*(1 + I*c)))*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*b + 2*(1 + I*c)*x)/(2*Sqrt[1 + I*c])])/(4*Sqrt[1 + I*c])}
+
+
+{f^(a + b*x)*Sin[d + f*x^2], x, 8, ((-1)^(3/4)*E^((I/4)*(4*d + (b^2*Log[f]^2)/f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[((-1)^(1/4)*((2*I)*f*x + b*Log[f]))/(2*Sqrt[f])])/4 - ((-1)^(3/4)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[((-1)^(1/4)*((2*I)*f*x - b*Log[f]))/(2*Sqrt[f])])/(4*E^((I/4)*(4*d + (b^2*Log[f]^2)/f)))}
+{f^(a + b*x)*Sin[d + f*x^2]^2, x, 9, (1/16 + I/16)*E^((2*I)*d + ((I/8)*b^2*Log[f]^2)/f)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[((1/4 + I/4)*((4*I)*f*x + b*Log[f]))/Sqrt[f]] + ((1/16 + I/16)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[((1/4 + I/4)*((4*I)*f*x - b*Log[f]))/Sqrt[f]])/E^((I/8)*(16*d + (b^2*Log[f]^2)/f)) + f^(a + b*x)/(2*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x)*Sin[d + f*x^2]^3, x, 14, (3*(-1)^(3/4)*E^((I/4)*(4*d + (b^2*Log[f]^2)/f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[((-1)^(1/4)*((2*I)*f*x + b*Log[f]))/(2*Sqrt[f])])/16 + (1/16 - I/16)*E^((3*I)*d + ((I/12)*b^2*Log[f]^2)/f)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/6]*Erf[((1/2 + I/2)*((6*I)*f*x + b*Log[f]))/(Sqrt[6]*Sqrt[f])] - (3*(-1)^(3/4)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[((-1)^(1/4)*((2*I)*f*x - b*Log[f]))/(2*Sqrt[f])])/(16*E^((I/4)*(4*d + (b^2*Log[f]^2)/f))) - ((1/16 - I/16)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/6]*Erfi[((1/2 + I/2)*((6*I)*f*x - b*Log[f]))/(Sqrt[6]*Sqrt[f])])/E^((I/12)*(36*d + (b^2*Log[f]^2)/f))}
+
+{f^(a + b*x)*Sin[d + e*x + f*x^2], x, 8, ((-1)^(3/4)*E^((I/4)*(4*d + (I*e + b*Log[f])^2/f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[((-1)^(1/4)*(I*e + (2*I)*f*x + b*Log[f]))/(2*Sqrt[f])])/4 - ((-1)^(3/4)*E^((-I)*d + ((I/4)*(e + I*b*Log[f])^2)/f)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[((-1)^(1/4)*(I*e + (2*I)*f*x - b*Log[f]))/(2*Sqrt[f])])/4}
+{f^(a + b*x)*Sin[d + e*x + f*x^2]^2, x, 9, (1/16 + I/16)*E^((2*I)*d + ((I/8)*((2*I)*e + b*Log[f])^2)/f)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[((1/4 + I/4)*((2*I)*e + (4*I)*f*x + b*Log[f]))/Sqrt[f]] + (1/16 + I/16)*E^((-2*I)*d + ((I/8)*(2*e + I*b*Log[f])^2)/f)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[((1/4 + I/4)*((2*I)*e + (4*I)*f*x - b*Log[f]))/Sqrt[f]] + f^(a + b*x)/(2*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x)*Sin[d + e*x + f*x^2]^3, x, 14, (3*(-1)^(3/4)*E^((I/4)*(4*d + (I*e + b*Log[f])^2/f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[((-1)^(1/4)*(I*e + (2*I)*f*x + b*Log[f]))/(2*Sqrt[f])])/16 + (1/16 - I/16)*E^((3*I)*d + ((I/12)*((3*I)*e + b*Log[f])^2)/f)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/6]*Erf[((1/2 + I/2)*((3*I)*e + (6*I)*f*x + b*Log[f]))/(Sqrt[6]*Sqrt[f])] - (3*(-1)^(3/4)*E^((-I)*d + ((I/4)*(e + I*b*Log[f])^2)/f)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[((-1)^(1/4)*(I*e + (2*I)*f*x - b*Log[f]))/(2*Sqrt[f])])/16 - (1/16 - I/16)*E^((-3*I)*d + ((I/12)*(3*e + I*b*Log[f])^2)/f)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/6]*Erfi[((1/2 + I/2)*((3*I)*e + (6*I)*f*x - b*Log[f]))/(Sqrt[6]*Sqrt[f])]}
+
+
+{f^(a + c*x^2)*Sin[d + e*x], x, 8, If[$VersionNumber>=8, ((-I/4)*E^((-I)*d + e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - ((I/4)*E^(I*d + e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (I*E^((-I)*d + e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((I*e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (I*E^(I*d + e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+{f^(a + c*x^2)*Sin[d + e*x]^2, x, 9, If[$VersionNumber>=8, (f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*x*Sqrt[Log[f]]])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^((-2*I)*d + e^2/(c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e - c*x*Log[f])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^((2*I)*d + e^2/(c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + c*x*Log[f])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*x*Sqrt[Log[f]]])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^(-2*I*d + e^2/(c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((I*e - c*x*Log[f])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^(2*I*d + e^2/(c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + c*x*Log[f])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+{f^(a + c*x^2)*Sin[d + e*x]^3, x, 14, If[$VersionNumber>=8, (((-3*I)/16)*E^((-I)*d + e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + ((I/16)*E^((-3*I)*d + (9*e^2)/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[((3*I)*e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (((3*I)/16)*E^(I*d + e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + ((I/16)*E^((3*I)*d + (9*e^2)/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[((3*I)*e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (3*I*E^((-I)*d + e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((I*e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (I*E^(-3*I*d + (9*e^2)/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((3*I*e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (3*I*E^(I*d + e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (I*E^(3*I*d + (9*e^2)/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*I*e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+
+{f^(a + c*x^2)*Sin[d + f*x^2], x, 6, ((I/4)*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[x*Sqrt[I*f - c*Log[f]]])/(E^(I*d)*Sqrt[I*f - c*Log[f]]) - ((I/4)*E^(I*d)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[x*Sqrt[I*f + c*Log[f]]])/Sqrt[I*f + c*Log[f]]}
+{f^(a + c*x^2)*Sin[d + f*x^2]^2, x, 7, (f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*x*Sqrt[Log[f]]])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (f^a*Sqrt[Pi]*Erf[x*Sqrt[(2*I)*f - c*Log[f]]])/(8*E^((2*I)*d)*Sqrt[(2*I)*f - c*Log[f]]) - (E^((2*I)*d)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[x*Sqrt[(2*I)*f + c*Log[f]]])/(8*Sqrt[(2*I)*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + c*x^2)*Sin[d + f*x^2]^3, x, 10, (((3*I)/16)*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[x*Sqrt[I*f - c*Log[f]]])/(E^(I*d)*Sqrt[I*f - c*Log[f]]) - ((I/16)*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[x*Sqrt[(3*I)*f - c*Log[f]]])/(E^((3*I)*d)*Sqrt[(3*I)*f - c*Log[f]]) - (((3*I)/16)*E^(I*d)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[x*Sqrt[I*f + c*Log[f]]])/Sqrt[I*f + c*Log[f]] + ((I/16)*E^((3*I)*d)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[x*Sqrt[(3*I)*f + c*Log[f]]])/Sqrt[(3*I)*f + c*Log[f]]}
+
+{f^(a + c*x^2)*Sin[d + e*x + f*x^2], x, 8, (I*E^((-I)*d - e^2/(4*I*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(I*e + 2*x*(I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f - c*Log[f]])])/(4*Sqrt[I*f - c*Log[f]]) - (I*E^(I*d + e^2/(4*I*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + 2*x*(I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f + c*Log[f]])])/(4*Sqrt[I*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + c*x^2)*Sin[d + e*x + f*x^2]^2, x, 9, (f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*x*Sqrt[Log[f]]])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^(-2*I*d - e^2/(2*I*f - c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(I*e + x*(2*I*f - c*Log[f]))/Sqrt[2*I*f - c*Log[f]]])/(8*Sqrt[2*I*f - c*Log[f]]) - (E^(2*I*d + e^2/(2*I*f + c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + x*(2*I*f + c*Log[f]))/Sqrt[2*I*f + c*Log[f]]])/(8*Sqrt[2*I*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + c*x^2)*Sin[d + e*x + f*x^2]^3, x, 14, (3*I*E^((-I)*d - e^2/(4*I*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(I*e + 2*x*(I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[I*f - c*Log[f]]) - (I*E^(-3*I*d - (9*e^2)/(4*(3*I*f - c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(3*I*e + 2*x*(3*I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*I*f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*I*f - c*Log[f]]) - (3*I*E^(I*d + e^2/(4*I*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + 2*x*(I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[I*f + c*Log[f]]) + (I*E^(3*I*d + (9*e^2)/(4*(3*I*f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*I*e + 2*x*(3*I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*I*f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*I*f + c*Log[f]])}
+
+
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sin[d + e*x], x, 8, If[$VersionNumber>=8, ((-I/4)*E^((-I)*d + (e + I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - ((I/4)*E^(I*d + (e - I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (I*E^((-I)*d + (e + I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((I*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (I*E^(I*d + (e - I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sin[d + e*x]^2, x, 10, If[$VersionNumber>=8, (f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^((-2*I)*d + (2*e + I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[((2*I)*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^((2*I)*d - ((2*I)*e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[((2*I)*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^(-2*I*d + (2*e + I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((2*I*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^(2*I*d - (2*I*e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*I*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sin[d + e*x]^3, x, 14, If[$VersionNumber>=8, (((-3*I)/16)*E^((-I)*d + (e + I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + ((I/16)*E^((-3*I)*d + (3*e + I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[((3*I)*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (((3*I)/16)*E^(I*d + (e - I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + ((I/16)*E^((3*I)*d - ((3*I)*e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[((3*I)*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (3*I*E^((-I)*d + (e + I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((I*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (I*E^(-3*I*d + (3*e + I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((3*I*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (3*I*E^(I*d + (e - I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (I*E^(3*I*d - (3*I*e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*I*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sin[d + f*x^2], x, 8, -((I*E^((-I)*d + (b^2*Log[f]^2)/(4*I*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(b*Log[f] - 2*x*(I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f - c*Log[f]])])/(4*Sqrt[I*f - c*Log[f]])) - (I*E^(I*d - (b^2*Log[f]^2)/(4*I*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*Log[f] + 2*x*(I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f + c*Log[f]])])/(4*Sqrt[I*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sin[d + f*x^2]^2, x, 10, (f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(-2*I*d + (b^2*Log[f]^2)/(8*I*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(b*Log[f] - 2*x*(2*I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[2*I*f - c*Log[f]])])/(8*Sqrt[2*I*f - c*Log[f]]) - (E^(2*I*d - (b^2*Log[f]^2)/(8*I*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*Log[f] + 2*x*(2*I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[2*I*f + c*Log[f]])])/(8*Sqrt[2*I*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sin[d + f*x^2]^3, x, 14, -((3*I*E^((-I)*d + (b^2*Log[f]^2)/(4*I*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(b*Log[f] - 2*x*(I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[I*f - c*Log[f]])) + (I*E^(-3*I*d + (b^2*Log[f]^2)/(12*I*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(b*Log[f] - 2*x*(3*I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*I*f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*I*f - c*Log[f]]) - (3*I*E^(I*d - (b^2*Log[f]^2)/(4*I*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*Log[f] + 2*x*(I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[I*f + c*Log[f]]) + (I*E^(3*I*d - (b^2*Log[f]^2)/(4*(3*I*f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*Log[f] + 2*x*(3*I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*I*f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*I*f + c*Log[f]])}
+
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sin[d + e*x + f*x^2], x, 8, (I*E^((-I)*d - (e + I*b*Log[f])^2/(4*I*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(I*e - b*Log[f] + 2*x*(I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f - c*Log[f]])])/(4*Sqrt[I*f - c*Log[f]]) - (I*E^(I*d + (e - I*b*Log[f])^2/(4*I*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + b*Log[f] + 2*x*(I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f + c*Log[f]])])/(4*Sqrt[I*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sin[d + e*x + f*x^2]^2, x, 10, (f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^(-2*I*d - (2*e + I*b*Log[f])^2/(8*I*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(2*I*e - b*Log[f] + 2*x*(2*I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[2*I*f - c*Log[f]])])/(8*Sqrt[2*I*f - c*Log[f]]) - (E^(2*I*d + (2*e - I*b*Log[f])^2/(8*I*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*I*e + b*Log[f] + 2*x*(2*I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[2*I*f + c*Log[f]])])/(8*Sqrt[2*I*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sin[d + e*x + f*x^2]^3, x, 14, (3*I*E^((-I)*d - (e + I*b*Log[f])^2/(4*I*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(I*e - b*Log[f] + 2*x*(I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[I*f - c*Log[f]]) - (I*E^(-3*I*d - (3*e + I*b*Log[f])^2/(4*(3*I*f - c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(3*I*e - b*Log[f] + 2*x*(3*I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*I*f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*I*f - c*Log[f]]) - (3*I*E^(I*d + (e - I*b*Log[f])^2/(4*I*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + b*Log[f] + 2*x*(I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[I*f + c*Log[f]]) + (I*E^(3*I*d - (3*I*e + b*Log[f])^2/(4*(3*I*f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*I*e + b*Log[f] + 2*x*(3*I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*I*f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*I*f + c*Log[f]])}
+
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sin[a + b*x + e*x^2], x, 8, If[$VersionNumber>=8, (I*Sqrt[Pi]*Erf[(b*(I - Log[f]) + 2*x*(I*e - c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*e - c*Log[f]])])/(E^((I - Log[f])*(a - (b^2*(I - Log[f]))/(4*I*e - 4*c*Log[f])))*(4*Sqrt[I*e - c*Log[f]])) - (I*E^((I + Log[f])*(a - (b^2*(I + Log[f]))/(4*I*e + 4*c*Log[f])))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*(I + Log[f]) + 2*x*(I*e + c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*e + c*Log[f]])])/(4*Sqrt[I*e + c*Log[f]]), -((I*Sqrt[Pi]*Erf[-((b*(I - Log[f]) + 2*x*(I*e - c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*e - c*Log[f]]))])/(E^((I - Log[f])*(a - (b^2*(I - Log[f]))/(4*I*e - 4*c*Log[f])))*(4*Sqrt[I*e - c*Log[f]]))) - (I*E^((I + Log[f])*(a - (b^2*(I + Log[f]))/(4*I*e + 4*c*Log[f])))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*(I + Log[f]) + 2*x*(I*e + c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*e + c*Log[f]])])/(4*Sqrt[I*e + c*Log[f]])]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(a+b x+c x^2) Cos[d+e x+f x^2]^m*)
+
+
+{E^x*Cos[a + b*x], x, 1, (E^x*Cos[a + b*x])/(1 + b^2) + (b*E^x*Sin[a + b*x])/(1 + b^2)}
+{E^x*Cos[a + c*x^2], x, 6, -((-1)^(1/4)*E^((I/4)*(4*a + c^(-1)))*Sqrt[Pi]*Erf[((-1)^(1/4)*(1 + (2*I)*c*x))/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]) + ((-1)^(1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[((-1)^(1/4)*(1 - (2*I)*c*x))/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]*E^((I/4)*(4*a + c^(-1))))}
+{E^x*Cos[a + b*x + c*x^2], x, 6, -(((-1)^(1/4)*E^((1/4)*I*(4*a + (1 + I*b)^2/c))*Sqrt[Pi]*Erf[((-1)^(1/4)*(1 + I*b + 2*I*c*x))/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c])) + ((-1)^(1/4)*E^((-I)*a + (I*(I + b)^2)/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((-1)^(1/4)*(1 - I*b - 2*I*c*x))/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c])}
+
+{E^x^2*Cos[a + b*x], x, 6, (E^((-I)*a + b^2/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[((-I)*b + 2*x)/2])/4 + (E^(I*a + b^2/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*b + 2*x)/2])/4}
+{E^x^2*Cos[a + c*x^2], x, 4, (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[1 - I*c]*x])/(4*Sqrt[1 - I*c]*E^(I*a)) + (E^(I*a)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[1 + I*c]*x])/(4*Sqrt[1 + I*c])}
+{E^x^2*Cos[a + b*x + c*x^2], x, 6, -((Sqrt[Pi]*Erfi[(I*b - 2*(1 - I*c)*x)/(2*Sqrt[1 - I*c])])/(E^(I*(a - b^2/(4*I + 4*c)))*(4*Sqrt[1 - I*c]))) + (E^(I*a + b^2/(4*(1 + I*c)))*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*b + 2*(1 + I*c)*x)/(2*Sqrt[1 + I*c])])/(4*Sqrt[1 + I*c])}
+
+
+{f^(a + b*x)*Cos[d + f*x^2], x, 8, -((-1)^(1/4)*E^((I/4)*(4*d + (b^2*Log[f]^2)/f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[((-1)^(1/4)*((2*I)*f*x + b*Log[f]))/(2*Sqrt[f])])/4 - ((-1)^(1/4)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[((-1)^(1/4)*((2*I)*f*x - b*Log[f]))/(2*Sqrt[f])])/(4*E^((I/4)*(4*d + (b^2*Log[f]^2)/f)))}
+{f^(a + b*x)*Cos[d + f*x^2]^2, x, 9, (-1/16 - I/16)*E^((2*I)*d + ((I/8)*b^2*Log[f]^2)/f)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[((1/4 + I/4)*((4*I)*f*x + b*Log[f]))/Sqrt[f]] - ((1/16 + I/16)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[((1/4 + I/4)*((4*I)*f*x - b*Log[f]))/Sqrt[f]])/E^((I/8)*(16*d + (b^2*Log[f]^2)/f)) + f^(a + b*x)/(2*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x)*Cos[d + f*x^2]^3, x, 14, (-3*(-1)^(1/4)*E^((I/4)*(4*d + (b^2*Log[f]^2)/f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[((-1)^(1/4)*((2*I)*f*x + b*Log[f]))/(2*Sqrt[f])])/16 - (1/16 + I/16)*E^((3*I)*d + ((I/12)*b^2*Log[f]^2)/f)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/6]*Erf[((1/2 + I/2)*((6*I)*f*x + b*Log[f]))/(Sqrt[6]*Sqrt[f])] - (3*(-1)^(1/4)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[((-1)^(1/4)*((2*I)*f*x - b*Log[f]))/(2*Sqrt[f])])/(16*E^((I/4)*(4*d + (b^2*Log[f]^2)/f))) - ((1/16 + I/16)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/6]*Erfi[((1/2 + I/2)*((6*I)*f*x - b*Log[f]))/(Sqrt[6]*Sqrt[f])])/E^((I/12)*(36*d + (b^2*Log[f]^2)/f))}
+
+{f^(a + b*x)*Cos[d + e*x + f*x^2], x, 8, -((-1)^(1/4)*E^((I/4)*(4*d + (I*e + b*Log[f])^2/f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[((-1)^(1/4)*(I*e + (2*I)*f*x + b*Log[f]))/(2*Sqrt[f])])/4 - ((-1)^(1/4)*E^((-I)*d + ((I/4)*(e + I*b*Log[f])^2)/f)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[((-1)^(1/4)*(I*e + (2*I)*f*x - b*Log[f]))/(2*Sqrt[f])])/4}
+{f^(a + b*x)*Cos[d + e*x + f*x^2]^2, x, 9, (-1/16 - I/16)*E^((2*I)*d + ((I/8)*((2*I)*e + b*Log[f])^2)/f)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[((1/4 + I/4)*((2*I)*e + (4*I)*f*x + b*Log[f]))/Sqrt[f]] - (1/16 + I/16)*E^((-2*I)*d + ((I/8)*(2*e + I*b*Log[f])^2)/f)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[((1/4 + I/4)*((2*I)*e + (4*I)*f*x - b*Log[f]))/Sqrt[f]] + f^(a + b*x)/(2*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x)*Cos[d + e*x + f*x^2]^3, x, 14, (-3*(-1)^(1/4)*E^((I/4)*(4*d + (I*e + b*Log[f])^2/f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[((-1)^(1/4)*(I*e + (2*I)*f*x + b*Log[f]))/(2*Sqrt[f])])/16 - (1/16 + I/16)*E^((3*I)*d + ((I/12)*((3*I)*e + b*Log[f])^2)/f)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/6]*Erf[((1/2 + I/2)*((3*I)*e + (6*I)*f*x + b*Log[f]))/(Sqrt[6]*Sqrt[f])] - (3*(-1)^(1/4)*E^((-I)*d + ((I/4)*(e + I*b*Log[f])^2)/f)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[((-1)^(1/4)*(I*e + (2*I)*f*x - b*Log[f]))/(2*Sqrt[f])])/16 - (1/16 + I/16)*E^((-3*I)*d + ((I/12)*(3*e + I*b*Log[f])^2)/f)*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/6]*Erfi[((1/2 + I/2)*((3*I)*e + (6*I)*f*x - b*Log[f]))/(Sqrt[6]*Sqrt[f])]}
+
+
+{f^(a + c*x^2)*Cos[d + e*x], x, 8, If[$VersionNumber>=8, -(E^((-I)*d + e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(I*d + e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (E^((-I)*d + e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((I*e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(I*d + e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+{f^(a + c*x^2)*Cos[d + e*x]^2, x, 9, If[$VersionNumber>=8, (f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*x*Sqrt[Log[f]]])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^((-2*I)*d + e^2/(c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e - c*x*Log[f])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^((2*I)*d + e^2/(c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + c*x*Log[f])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*x*Sqrt[Log[f]]])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(-2*I*d + e^2/(c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((I*e - c*x*Log[f])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(2*I*d + e^2/(c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + c*x*Log[f])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+{f^(a + c*x^2)*Cos[d + e*x]^3, x, 14, If[$VersionNumber>=8, (-3*E^((-I)*d + e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^((-3*I)*d + (9*e^2)/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[((3*I)*e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (3*E^(I*d + e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^((3*I)*d + (9*e^2)/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[((3*I)*e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (3*E^((-I)*d + e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((I*e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(-3*I*d + (9*e^2)/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((3*I*e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (3*E^(I*d + e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(3*I*d + (9*e^2)/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*I*e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+
+{f^(a + c*x^2)*Cos[d + f*x^2], x, 6, (f^a*Sqrt[Pi]*Erf[x*Sqrt[I*f - c*Log[f]]])/(4*E^(I*d)*Sqrt[I*f - c*Log[f]]) + (E^(I*d)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[x*Sqrt[I*f + c*Log[f]]])/(4*Sqrt[I*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + c*x^2)*Cos[d + f*x^2]^2, x, 7, (f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*x*Sqrt[Log[f]]])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (f^a*Sqrt[Pi]*Erf[x*Sqrt[(2*I)*f - c*Log[f]]])/(8*E^((2*I)*d)*Sqrt[(2*I)*f - c*Log[f]]) + (E^((2*I)*d)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[x*Sqrt[(2*I)*f + c*Log[f]]])/(8*Sqrt[(2*I)*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + c*x^2)*Cos[d + f*x^2]^3, x, 10, (3*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[x*Sqrt[I*f - c*Log[f]]])/(16*E^(I*d)*Sqrt[I*f - c*Log[f]]) + (f^a*Sqrt[Pi]*Erf[x*Sqrt[(3*I)*f - c*Log[f]]])/(16*E^((3*I)*d)*Sqrt[(3*I)*f - c*Log[f]]) + (3*E^(I*d)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[x*Sqrt[I*f + c*Log[f]]])/(16*Sqrt[I*f + c*Log[f]]) + (E^((3*I)*d)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[x*Sqrt[(3*I)*f + c*Log[f]]])/(16*Sqrt[(3*I)*f + c*Log[f]])}
+
+{f^(a + c*x^2)*Cos[d + e*x + f*x^2], x, 8, (E^((-I)*d - e^2/(4*I*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(I*e + 2*x*(I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f - c*Log[f]])])/(4*Sqrt[I*f - c*Log[f]]) + (E^(I*d + e^2/(4*I*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + 2*x*(I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f + c*Log[f]])])/(4*Sqrt[I*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + c*x^2)*Cos[d + e*x + f*x^2]^2, x, 9, (f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*x*Sqrt[Log[f]]])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(-2*I*d - e^2/(2*I*f - c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(I*e + x*(2*I*f - c*Log[f]))/Sqrt[2*I*f - c*Log[f]]])/(8*Sqrt[2*I*f - c*Log[f]]) + (E^(2*I*d + e^2/(2*I*f + c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + x*(2*I*f + c*Log[f]))/Sqrt[2*I*f + c*Log[f]]])/(8*Sqrt[2*I*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + c*x^2)*Cos[d + e*x + f*x^2]^3, x, 14, (3*E^((-I)*d - e^2/(4*I*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(I*e + 2*x*(I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[I*f - c*Log[f]]) + (E^(-3*I*d - (9*e^2)/(4*(3*I*f - c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(3*I*e + 2*x*(3*I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*I*f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*I*f - c*Log[f]]) + (3*E^(I*d + e^2/(4*I*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + 2*x*(I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[I*f + c*Log[f]]) + (E^(3*I*d + (9*e^2)/(4*(3*I*f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*I*e + 2*x*(3*I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*I*f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*I*f + c*Log[f]])}
+
+
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cos[d + e*x], x, 8, If[$VersionNumber>=8, -(E^((-I)*d + (e + I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(I*d + (e - I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (E^((-I)*d + (e + I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((I*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(I*d + (e - I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cos[d + e*x]^2, x, 10, If[$VersionNumber>=8, (f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^((-2*I)*d + (2*e + I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[((2*I)*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^((2*I)*d - ((2*I)*e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[((2*I)*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(-2*I*d + (2*e + I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((2*I*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(2*I*d - (2*I*e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*I*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cos[d + e*x]^3, x, 14, If[$VersionNumber>=8, (-3*E^((-I)*d + (e + I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^((-3*I)*d + (3*e + I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[((3*I)*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (3*E^(I*d + (e - I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^((3*I)*d - ((3*I)*e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[((3*I)*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (3*E^((-I)*d + (e + I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((I*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(-3*I*d + (3*e + I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((3*I*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (3*E^(I*d + (e - I*b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(3*I*d - (3*I*e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*I*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cos[d + f*x^2], x, 8, -((E^((-I)*d + (b^2*Log[f]^2)/(4*I*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(b*Log[f] - 2*x*(I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f - c*Log[f]])])/(4*Sqrt[I*f - c*Log[f]])) + (E^(I*d - (b^2*Log[f]^2)/(4*I*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*Log[f] + 2*x*(I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f + c*Log[f]])])/(4*Sqrt[I*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cos[d + f*x^2]^2, x, 10, (f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^(-2*I*d + (b^2*Log[f]^2)/(8*I*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(b*Log[f] - 2*x*(2*I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[2*I*f - c*Log[f]])])/(8*Sqrt[2*I*f - c*Log[f]]) + (E^(2*I*d - (b^2*Log[f]^2)/(8*I*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*Log[f] + 2*x*(2*I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[2*I*f + c*Log[f]])])/(8*Sqrt[2*I*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cos[d + f*x^2]^3, x, 14, -((3*E^((-I)*d + (b^2*Log[f]^2)/(4*I*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(b*Log[f] - 2*x*(I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[I*f - c*Log[f]])) - (E^(-3*I*d + (b^2*Log[f]^2)/(12*I*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(b*Log[f] - 2*x*(3*I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*I*f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*I*f - c*Log[f]]) + (3*E^(I*d - (b^2*Log[f]^2)/(4*I*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*Log[f] + 2*x*(I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[I*f + c*Log[f]]) + (E^(3*I*d - (b^2*Log[f]^2)/(4*(3*I*f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*Log[f] + 2*x*(3*I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*I*f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*I*f + c*Log[f]])}
+
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cos[d + e*x + f*x^2], x, 8, (E^((-I)*d - (e + I*b*Log[f])^2/(4*I*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(I*e - b*Log[f] + 2*x*(I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f - c*Log[f]])])/(4*Sqrt[I*f - c*Log[f]]) + (E^(I*d + (e - I*b*Log[f])^2/(4*I*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + b*Log[f] + 2*x*(I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f + c*Log[f]])])/(4*Sqrt[I*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cos[d + e*x + f*x^2]^2, x, 10, (f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(-2*I*d - (2*e + I*b*Log[f])^2/(8*I*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(2*I*e - b*Log[f] + 2*x*(2*I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[2*I*f - c*Log[f]])])/(8*Sqrt[2*I*f - c*Log[f]]) + (E^(2*I*d + (2*e - I*b*Log[f])^2/(8*I*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*I*e + b*Log[f] + 2*x*(2*I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[2*I*f + c*Log[f]])])/(8*Sqrt[2*I*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cos[d + e*x + f*x^2]^3, x, 14, (3*E^((-I)*d - (e + I*b*Log[f])^2/(4*I*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(I*e - b*Log[f] + 2*x*(I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[I*f - c*Log[f]]) + (E^(-3*I*d - (3*e + I*b*Log[f])^2/(4*(3*I*f - c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(3*I*e - b*Log[f] + 2*x*(3*I*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*I*f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*I*f - c*Log[f]]) + (3*E^(I*d + (e - I*b*Log[f])^2/(4*I*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(I*e + b*Log[f] + 2*x*(I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[I*f + c*Log[f]]) + (E^(3*I*d - (3*I*e + b*Log[f])^2/(4*(3*I*f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*I*e + b*Log[f] + 2*x*(3*I*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*I*f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*I*f + c*Log[f]])}
+
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cos[a + b*x + e*x^2], x, 8, If[$VersionNumber>=8, (Sqrt[Pi]*Erf[(b*(I - Log[f]) + 2*x*(I*e - c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*e - c*Log[f]])])/(E^((I - Log[f])*(a - (b^2*(I - Log[f]))/(4*I*e - 4*c*Log[f])))*(4*Sqrt[I*e - c*Log[f]])) + (E^((I + Log[f])*(a - (b^2*(I + Log[f]))/(4*I*e + 4*c*Log[f])))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*(I + Log[f]) + 2*x*(I*e + c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*e + c*Log[f]])])/(4*Sqrt[I*e + c*Log[f]]), -((Sqrt[Pi]*Erf[-((b*(I - Log[f]) + 2*x*(I*e - c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*e - c*Log[f]]))])/(E^((I - Log[f])*(a - (b^2*(I - Log[f]))/(4*I*e - 4*c*Log[f])))*(4*Sqrt[I*e - c*Log[f]]))) + (E^((I + Log[f])*(a - (b^2*(I + Log[f]))/(4*I*e + 4*c*Log[f])))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*(I + Log[f]) + 2*x*(I*e + c*Log[f]))/(2*Sqrt[I*e + c*Log[f]])])/(4*Sqrt[I*e + c*Log[f]])]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F^(c (a+b x)) (f + g Trig[d+e x])^n*)
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*(f + f*Sin[d + e*x])^2, x, 8, (f^2*F^(a*c + b*c*x))/(b*c*Log[F]) - (2*e*f^2*F^(a*c + b*c*x)*Cos[d + e*x])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2) + (2*e^2*f^2*F^(a*c + b*c*x))/(b*c*Log[F]*(4*e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)) + (2*b*c*f^2*F^(a*c + b*c*x)*Log[F]*Sin[d + e*x])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2) - (2*e*f^2*F^(a*c + b*c*x)*Cos[d + e*x]*Sin[d + e*x])/(4*e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2) + (b*c*f^2*F^(a*c + b*c*x)*Log[F]*Sin[d + e*x]^2)/(4*e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))*(f + f*Sin[d + e*x])^1, x, 6, (f*F^(a*c + b*c*x))/(b*c*Log[F]) - (e*f*F^(a*c + b*c*x)*Cos[d + e*x])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2) + (b*c*f*F^(a*c + b*c*x)*Log[F]*Sin[d + e*x])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))/(f + f*Sin[d + e*x])^1, x, 2, -((2*E^(I*(d + e*x))*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, 1 - (I*b*c*Log[F])/e, 2 - (I*b*c*Log[F])/e, I*E^(I*(d + e*x))])/(f*(e - I*b*c*Log[F])))}
+{F^(c*(a + b*x))/(f + f*Sin[d + e*x])^2, x, 3, -((F^(c*(a + b*x))*Cot[d/2 + Pi/4 + (e*x)/2]*Csc[d/2 + Pi/4 + (e*x)/2]^2)/(6*e*f^2)) - (b*c*F^(c*(a + b*x))*Csc[d/2 + Pi/4 + (e*x)/2]^2*Log[F])/(6*e^2*f^2) - (2*E^(I*(d + e*x))*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, 1 - (I*b*c*Log[F])/e, 2 - (I*b*c*Log[F])/e, I*E^(I*(d + e*x))]*(e + I*b*c*Log[F]))/(3*e^2*f^2)}
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*(f + f*Cos[d + e*x])^2, x, 8, (f^2*F^(a*c + b*c*x))/(b*c*Log[F]) + (2*b*c*f^2*F^(a*c + b*c*x)*Cos[d + e*x]*Log[F])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2) + (2*e^2*f^2*F^(a*c + b*c*x))/(b*c*Log[F]*(4*e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)) + (b*c*f^2*F^(a*c + b*c*x)*Cos[d + e*x]^2*Log[F])/(4*e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2) + (2*e*f^2*F^(a*c + b*c*x)*Sin[d + e*x])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2) + (2*e*f^2*F^(a*c + b*c*x)*Cos[d + e*x]*Sin[d + e*x])/(4*e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))*(f + f*Cos[d + e*x])^1, x, 6, (f*F^(a*c + b*c*x))/(b*c*Log[F]) + (b*c*f*F^(a*c + b*c*x)*Cos[d + e*x]*Log[F])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2) + (e*f*F^(a*c + b*c*x)*Sin[d + e*x])/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))/(f + f*Cos[d + e*x])^1, x, 2, (2*E^(I*(d + e*x))*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, 1 - (I*b*c*Log[F])/e, 2 - (I*b*c*Log[F])/e, -E^(I*(d + e*x))])/(f*(I*e + b*c*Log[F]))}
+{F^(c*(a + b*x))/(f + f*Cos[d + e*x])^2, x, 3, -((2*E^(I*(d + e*x))*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, 1 - (I*b*c*Log[F])/e, 2 - (I*b*c*Log[F])/e, -E^(I*(d + e*x))]*(I*e - b*c*Log[F]))/(3*e^2*f^2)) - (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F]*Sec[d/2 + (e*x)/2]^2)/(6*e^2*f^2) + (F^(c*(a + b*x))*Sec[d/2 + (e*x)/2]^2*Tan[d/2 + (e*x)/2])/(6*e*f^2)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.7 Trig functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.7 Trig functions.m
new file mode 100644
index 00000000..795fec12
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/4 Trig functions/4.7 Miscellaneous/4.7.7 Trig functions.m	
@@ -0,0 +1,1822 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Miscellaneous Integration Problems Involving Trig Functions*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Rectification problems*)
+
+
+(* Following integrands are equal. *)
+{2/(3 - Cos[4 + 6*x]), x, 2, x/Sqrt[2] + ArcTan[Sin[4 + 6*x]/(3 + 2*Sqrt[2] - Cos[4 + 6*x])]/(3*Sqrt[2])}
+{2*Csc[4 + 6*x]/(3*Csc[4 + 6*x] - Cot[4 + 6*x]), x, 3, x/Sqrt[2] + ArcTan[Sin[4 + 6*x]/(3 + 2*Sqrt[2] - Cos[4 + 6*x])]/(3*Sqrt[2])}
+{1/(1 + Sin[2 + 3*x]^2), x, 2, x/Sqrt[2] + ArcTan[(Cos[2 + 3*x]*Sin[2 + 3*x])/(1 + Sqrt[2] + Sin[2 + 3*x]^2)]/(3*Sqrt[2])}
+{1/(2 - Cos[2 + 3*x]^2), x, 2, x/Sqrt[2] + ArcTan[(Cos[2 + 3*x]*Sin[2 + 3*x])/(1 + Sqrt[2] + Sin[2 + 3*x]^2)]/(3*Sqrt[2])}
+{1/(2*Sin[2 + 3*x]^2 + Cos[2 + 3*x]^2), x, 2, x/Sqrt[2] + ArcTan[(Cos[2 + 3*x]*Sin[2 + 3*x])/(1 + Sqrt[2] + Sin[2 + 3*x]^2)]/(3*Sqrt[2])}
+{Sec[2 + 3*x]^2/(1 + 2*Tan[2 + 3*x]^2), x, 2, x/Sqrt[2] + ArcTan[(Cos[2 + 3*x]*Sin[2 + 3*x])/(1 + Sqrt[2] + Sin[2 + 3*x]^2)]/(3*Sqrt[2])}
+{Csc[2 + 3*x]^2/(2 + Cot[2 + 3*x]^2), x, 2, x/Sqrt[2] + ArcTan[(Cos[2 + 3*x]*Sin[2 + 3*x])/(1 + Sqrt[2] + Sin[2 + 3*x]^2)]/(3*Sqrt[2])}
+
+
+(* Following integrands are equal. *)
+{2/(1 - 3*Cos[4 + 6*x]), x, 3, Log[Cos[2 + 3*x] - Sqrt[2]*Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2]) - Log[Cos[2 + 3*x] + Sqrt[2]*Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2])}
+{2*Csc[4 + 6*x]/(Csc[4 + 6*x] - 3*Cot[4 + 6*x]), x, 4, Log[Cos[2 + 3*x] - Sqrt[2]*Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2]) - Log[Cos[2 + 3*x] + Sqrt[2]*Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2])}
+{1/(-1 + 3*Sin[2 + 3*x]^2), x, 2, Log[Cos[2 + 3*x] - Sqrt[2]*Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2]) - Log[Cos[2 + 3*x] + Sqrt[2]*Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2])}
+{1/(2 - 3*Cos[2 + 3*x]^2), x, 2, Log[Cos[2 + 3*x] - Sqrt[2]*Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2]) - Log[Cos[2 + 3*x] + Sqrt[2]*Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2])}
+{1/(2*Sin[2 + 3*x]^2 - Cos[2 + 3*x]^2), x, 2, Log[Cos[2 + 3*x] - Sqrt[2]*Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2]) - Log[Cos[2 + 3*x] + Sqrt[2]*Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2])}
+{Sec[2 + 3*x]^2/(-1 + 2*Tan[2 + 3*x]^2), x, 2, Log[Cos[2 + 3*x] - Sqrt[2]*Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2]) - Log[Cos[2 + 3*x] + Sqrt[2]*Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2])}
+{Csc[2 + 3*x]^2/(2 - Cot[2 + 3*x]^2), x, 2, Log[Cos[2 + 3*x] - Sqrt[2]*Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2]) - Log[Cos[2 + 3*x] + Sqrt[2]*Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2])}
+
+
+(* Following integrands are equal. *)
+{2/(3 + Cos[4 + 6*x]), x, 2, x/Sqrt[2] - ArcTan[Sin[4 + 6*x]/(3 + 2*Sqrt[2] + Cos[4 + 6*x])]/(3*Sqrt[2])}
+{2*Csc[4 + 6*x]/(3*Csc[4 + 6*x] + Cot[4 + 6*x]), x, 3, x/Sqrt[2] - ArcTan[Sin[4 + 6*x]/(3 + 2*Sqrt[2] + Cos[4 + 6*x])]/(3*Sqrt[2])}
+{1/(2 - Sin[2 + 3*x]^2), x, 2, x/Sqrt[2] - ArcTan[(Cos[2 + 3*x]*Sin[2 + 3*x])/(1 + Sqrt[2] + Cos[2 + 3*x]^2)]/(3*Sqrt[2])}
+{1/(1 + Cos[2 + 3*x]^2), x, 2, x/Sqrt[2] - ArcTan[(Cos[2 + 3*x]*Sin[2 + 3*x])/(1 + Sqrt[2] + Cos[2 + 3*x]^2)]/(3*Sqrt[2])}
+{1/(2*Cos[2 + 3*x]^2 + Sin[2 + 3*x]^2), x, 2, x/Sqrt[2] - ArcTan[(Cos[2 + 3*x]*Sin[2 + 3*x])/(1 + Sqrt[2] + Cos[2 + 3*x]^2)]/(3*Sqrt[2])}
+{Sec[2 + 3*x]^2/(2 + Tan[2 + 3*x]^2), x, 2, x/Sqrt[2] - ArcTan[(Cos[2 + 3*x]*Sin[2 + 3*x])/(1 + Sqrt[2] + Cos[2 + 3*x]^2)]/(3*Sqrt[2])}
+{Csc[2 + 3*x]^2/(1 + 2*Cot[2 + 3*x]^2), x, 2, x/Sqrt[2] - ArcTan[(Cos[2 + 3*x]*Sin[2 + 3*x])/(1 + Sqrt[2] + Cos[2 + 3*x]^2)]/(3*Sqrt[2])}
+
+
+(* Following integrands are equal. *)
+{-2/(1 + 3*Cos[4 + 6*x]), x, 3, Log[Sqrt[2]*Cos[2 + 3*x] - Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2]) - Log[Sqrt[2]*Cos[2 + 3*x] + Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2])}
+{-2*Csc[4 + 6*x]/(Csc[4 + 6*x] + 3*Cot[4 + 6*x]), x, 4, Log[Sqrt[2]*Cos[2 + 3*x] - Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2]) - Log[Sqrt[2]*Cos[2 + 3*x] + Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2])}
+{1/(-2 + 3*Sin[2 + 3*x]^2), x, 2, Log[Sqrt[2]*Cos[2 + 3*x] - Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2]) - Log[Sqrt[2]*Cos[2 + 3*x] + Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2])}
+{1/(1 - 3*Cos[2 + 3*x]^2), x, 2, Log[Sqrt[2]*Cos[2 + 3*x] - Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2]) - Log[Sqrt[2]*Cos[2 + 3*x] + Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2])}
+{1/(-2*Cos[2 + 3*x]^2 + Sin[2 + 3*x]^2), x, 2, Log[Sqrt[2]*Cos[2 + 3*x] - Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2]) - Log[Sqrt[2]*Cos[2 + 3*x] + Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2])}
+{Sec[2 + 3*x]^2/(-2 + Tan[2 + 3*x]^2), x, 2, Log[Sqrt[2]*Cos[2 + 3*x] - Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2]) - Log[Sqrt[2]*Cos[2 + 3*x] + Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2])}
+{Csc[2 + 3*x]^2/(1 - 2*Cot[2 + 3*x]^2), x, 2, Log[Sqrt[2]*Cos[2 + 3*x] - Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2]) - Log[Sqrt[2]*Cos[2 + 3*x] + Sin[2 + 3*x]]/(6*Sqrt[2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving sines*)
+
+
+{(x + Sin[x])^2, x, 6, x/2 + x^3/3 - 2*x*Cos[x] + 2*Sin[x] - (1/2)*Cos[x]*Sin[x]}
+{(x + Sin[x])^3, x, 9, (3*x^2)/4 + x^4/4 + 5*Cos[x] - 3*x^2*Cos[x] + Cos[x]^3/3 + 6*x*Sin[x] - (3/2)*x*Cos[x]*Sin[x] + (3*Sin[x]^2)/4}
+
+
+{Sin[a + b*x]/(c + d*x^2), x, 8, -((CosIntegral[(b*Sqrt[-c])/Sqrt[d] + b*x]*Sin[a - (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d])) + (CosIntegral[(b*Sqrt[-c])/Sqrt[d] - b*x]*Sin[a + (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (Cos[a + (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d]]*SinIntegral[(b*Sqrt[-c])/Sqrt[d] - b*x])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (Cos[a - (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d]]*SinIntegral[(b*Sqrt[-c])/Sqrt[d] + b*x])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d])}
+{Sin[a + b*x]/(c + d*x + e*x^2), x, 8, (CosIntegral[(b*(d - Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e) + b*x]*Sin[a - (b*(d - Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e)])/Sqrt[d^2 - 4*c*e] - (CosIntegral[(b*(d + Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e) + b*x]*Sin[a - (b*(d + Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e)])/Sqrt[d^2 - 4*c*e] + (Cos[a - (b*(d - Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e)]*SinIntegral[(b*(d - Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e) + b*x])/Sqrt[d^2 - 4*c*e] - (Cos[a - (b*(d + Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e)]*SinIntegral[(b*(d + Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e) + b*x])/Sqrt[d^2 - 4*c*e]}
+
+
+{Sin[Sqrt[-7 + x]]/Sqrt[-7 + x], x, 3, -2*Cos[Sqrt[-7 + x]]}
+
+
+{Sin[x]*Sqrt[b - a/x^2]/Sqrt[a - b*x^2], x, 3, (Sqrt[b - a/x^2]*x*SinIntegral[x])/Sqrt[a - b*x^2]}
+
+
+{1/(x*(1 + Sin[Log[x]])), x, 2, -(Cos[Log[x]]/(1 + Sin[Log[x]]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Sin[(a+b x)/(c+d x)]^n*)
+
+
+{Sin[(a + b*x)/(c + d*x)]^1, x, 5, ((b*c - a*d)*Cos[b/d]*CosIntegral[(b*c - a*d)/(d*(c + d*x))])/d^2 + ((c + d*x)*Sin[(a + b*x)/(c + d*x)])/d + ((b*c - a*d)*Sin[b/d]*SinIntegral[(b*c - a*d)/(d*(c + d*x))])/d^2}
+{Sin[(a + b*x)/(c + d*x)]^2, x, 6, ((b*c - a*d)*CosIntegral[(2*(b*c - a*d))/(d*(c + d*x))]*Sin[(2*b)/d])/d^2 + ((c + d*x)*Sin[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/d - ((b*c - a*d)*Cos[(2*b)/d]*SinIntegral[(2*(b*c - a*d))/(d*(c + d*x))])/d^2}
+{Sin[(a + b*x)/(c + d*x)]^3, x, 9, (3*(b*c - a*d)*Cos[b/d]*CosIntegral[(b*c - a*d)/(d*(c + d*x))])/(4*d^2) - (3*(b*c - a*d)*Cos[(3*b)/d]*CosIntegral[(3*(b*c - a*d))/(d*(c + d*x))])/(4*d^2) + ((c + d*x)*Sin[(a + b*x)/(c + d*x)]^3)/d + (3*(b*c - a*d)*Sin[b/d]*SinIntegral[(b*c - a*d)/(d*(c + d*x))])/(4*d^2) - (3*(b*c - a*d)*Sin[(3*b)/d]*SinIntegral[(3*(b*c - a*d))/(d*(c + d*x))])/(4*d^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (1-a^2 x^2)^m Sin[Sqrt[1-a x]/Sqrt[1+a x]]^n*)
+
+
+{Sin[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^3/(1 - a^2*x^2), x, 5, -((3*SinIntegral[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]])/(4*a)) + SinIntegral[(3*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]]/(4*a)}
+{Sin[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^2/(1 - a^2*x^2), x, 4, CosIntegral[(2*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]]/(2*a) - Log[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]/(2*a)}
+{Sin[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^1/(1 - a^2*x^2), x, 2, -(SinIntegral[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]/a)}
+{1/(Sin[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^1*(1 - a^2*x^2)), x, 1, Unintegrable[Csc[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]/((1 - a*x)*(1 + a*x)), x]}
+{1/(Sin[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^2*(1 - a^2*x^2)), x, 1, Unintegrable[Csc[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^2/((1 - a*x)*(1 + a*x)), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving cosines*)
+
+
+{(x + Cos[x])^2, x, 6, x/2 + x^3/3 + 2*Cos[x] + 2*x*Sin[x] + (1/2)*Cos[x]*Sin[x]}
+{(x + Cos[x])^3, x, 9, (3*x^2)/4 + x^4/4 + 6*x*Cos[x] + (3*Cos[x]^2)/4 - 5*Sin[x] + 3*x^2*Sin[x] + (3/2)*x*Cos[x]*Sin[x] - Sin[x]^3/3}
+
+
+{Cos[a + b*x]/(c + d*x^2), x, 8, (Cos[a + (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d]]*CosIntegral[(b*Sqrt[-c])/Sqrt[d] - b*x])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (Cos[a - (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d]]*CosIntegral[(b*Sqrt[-c])/Sqrt[d] + b*x])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + (Sin[a + (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d]]*SinIntegral[(b*Sqrt[-c])/Sqrt[d] - b*x])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + (Sin[a - (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d]]*SinIntegral[(b*Sqrt[-c])/Sqrt[d] + b*x])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d])}
+{Cos[a + b*x]/(c + d*x + e*x^2), x, 8, (Cos[a - (b*(d - Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e)]*CosIntegral[(b*(d - Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e) + b*x])/Sqrt[d^2 - 4*c*e] - (Cos[a - (b*(d + Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e)]*CosIntegral[(b*(d + Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e) + b*x])/Sqrt[d^2 - 4*c*e] - (Sin[a - (b*(d - Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e)]*SinIntegral[(b*(d - Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e) + b*x])/Sqrt[d^2 - 4*c*e] + (Sin[a - (b*(d + Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e)]*SinIntegral[(b*(d + Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e) + b*x])/Sqrt[d^2 - 4*c*e]}
+
+
+{(x*Cos[Sqrt[1 + x^2]])/Sqrt[1 + x^2], x, 4, Sin[Sqrt[1 + x^2]]}
+{(x*Cos[Sqrt[3]*Sqrt[2 + x^2]])/Sqrt[2 + x^2], x, 4, Sin[Sqrt[3]*Sqrt[2 + x^2]]/Sqrt[3]}
+{((-1 + 2*x)*Cos[Sqrt[6 + 3*(-1 + 2*x)^2]])/Sqrt[6 + 3*(-1 + 2*x)^2], x, 5, (1/6)*Sin[Sqrt[3]*Sqrt[2 + (-1 + 2*x)^2]]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Cos[(a+b x)/(c+d x)]^n*)
+
+
+{Cos[(a + b*x)/(c + d*x)], x, 5, ((c + d*x)*Cos[(a + b*x)/(c + d*x)])/d - ((b*c - a*d)*CosIntegral[(b*c - a*d)/(d*(c + d*x))]*Sin[b/d])/d^2 + ((b*c - a*d)*Cos[b/d]*SinIntegral[(b*c - a*d)/(d*(c + d*x))])/d^2}
+{Cos[(a + b*x)/(c + d*x)]^2, x, 6, ((c + d*x)*Cos[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/d - ((b*c - a*d)*CosIntegral[(2*(b*c - a*d))/(d*(c + d*x))]*Sin[(2*b)/d])/d^2 + ((b*c - a*d)*Cos[(2*b)/d]*SinIntegral[(2*(b*c - a*d))/(d*(c + d*x))])/d^2}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (1-a^2 x^2)^m Cos[Sqrt[1-a x]/Sqrt[1+a x]]^n*)
+
+
+{Cos[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^3/(1 - a^2*x^2), x, 5, -((3*CosIntegral[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]])/(4*a)) - CosIntegral[(3*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]]/(4*a)}
+{Cos[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^2/(1 - a^2*x^2), x, 4, -(CosIntegral[(2*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]]/(2*a)) - Log[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]/(2*a)}
+{Cos[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^1/(1 - a^2*x^2), x, 2, -(CosIntegral[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]/a)}
+{1/(Cos[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^1*(1 - a^2*x^2)), x, 1, Unintegrable[Sec[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]/((1 - a*x)*(1 + a*x)), x]}
+{1/(Cos[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^2*(1 - a^2*x^2)), x, 1, Unintegrable[Sec[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^2/((1 - a*x)*(1 + a*x)), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving tangents*)
+
+
+{Tan[Sqrt[x]]/Sqrt[x], x, 2, -2*Log[Cos[Sqrt[x]]]}
+{Tan[Sqrt[x]]^2/Sqrt[x], x, 3, -2*Sqrt[x] + 2*Tan[Sqrt[x]]}
+
+
+{Sqrt[x]*Tan[Sqrt[x]], x, 6, (2/3)*I*x^(3/2) - 2*x*Log[1 + E^(2*I*Sqrt[x])] + 2*I*Sqrt[x]*PolyLog[2, -E^(2*I*Sqrt[x])] - PolyLog[3, -E^(2*I*Sqrt[x])]}
+
+
+{x*Tan[a + b*x + c*x^2] + (b*Tan[a + b*x + c*x^2])/(2*c), x, 2, -(Log[Cos[a + b*x + c*x^2]]/(2*c))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving cotangents*)
+
+
+{Cot[Sqrt[x]]^2/Sqrt[x], x, 3, -2*Sqrt[x] - 2*Cot[Sqrt[x]]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving secants*)
+
+
+{Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/(1 + Cos[c + d*x]), x, 2, (EllipticE[ArcSin[Tan[c + d*x]/(1 + Sec[c + d*x])], (a - b)/(a + b)]*Sqrt[1/(1 + Sec[c + d*x])]*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]])/(d*Sqrt[(a + b*Sec[c + d*x])/((a + b)*(1 + Sec[c + d*x]))])}
+
+
+{Sec[a + b*x]*Sec[2*a + 2*b*x], x, 4, -(ArcTanh[Sin[a + b*x]]/b) + (Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[2]*Sin[a + b*x]])/b}
+{Sec[a + b*x]*Sec[2*(a + b*x)], x, 4, -(ArcTanh[Sin[a + b*x]]/b) + (Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[2]*Sin[a + b*x]])/b}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Trig[a+b x]^n Trig[c+d x]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Trig[m x]^p Trig[n x]^q*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Trig[m x] Sin[n x]*)
+
+
+{Sin[2*x]*Sin[x],x, 1, Sin[x]/2 - (1/6)*Sin[3*x]}
+{Sin[3*x]*Sin[x],x, 1, (1/4)*Sin[2*x] - (1/8)*Sin[4*x]}
+{Sin[4*x]*Sin[x],x, 1, (1/6)*Sin[3*x] - (1/10)*Sin[5*x]}
+{Sin[m*x]*Sin[x],x, 4, Sin[(1 - m)*x]/(2*(1 - m)) - Sin[(1 + m)*x]/(2*(1 + m))}
+
+
+{Cos[2*x]*Sin[x],x, 1, Cos[x]/2 - (1/6)*Cos[3*x]}
+{Cos[3*x]*Sin[x],x, 1, (1/4)*Cos[2*x] - (1/8)*Cos[4*x]}
+{Cos[4*x]*Sin[x],x, 1, (1/6)*Cos[3*x] - (1/10)*Cos[5*x]}
+{Cos[m*x]*Sin[x],x, 4, -(Cos[(1 - m)*x]/(2*(1 - m))) - Cos[(1 + m)*x]/(2*(1 + m))}
+
+
+{Tan[2*x]*Sin[x], x, 4, ArcTanh[Sqrt[2]*Sin[x]]/Sqrt[2] - Sin[x]}
+{Tan[3*x]*Sin[x], x, 9, (-(1/6))*Log[1 - 2*Sin[x]] - (1/6)*Log[1 - Sin[x]] + (1/6)*Log[1 + Sin[x]] + (1/6)*Log[1 + 2*Sin[x]] - Sin[x]}
+{Tan[4*x]*Sin[x], x, 5, (1/4)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTanh[(2*Sin[x])/Sqrt[2 - Sqrt[2]]] + (1/4)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTanh[(2*Sin[x])/Sqrt[2 + Sqrt[2]]] - Sin[x]}
+{Tan[5*x]*Sin[x], x, 10, (1/5)*ArcTanh[Sin[x]] - (1/20)*(1 - Sqrt[5])*Log[1 - Sqrt[5] - 4*Sin[x]] - (1/20)*(1 + Sqrt[5])*Log[1 + Sqrt[5] - 4*Sin[x]] + (1/20)*(1 - Sqrt[5])*Log[1 - Sqrt[5] + 4*Sin[x]] + (1/20)*(1 + Sqrt[5])*Log[1 + Sqrt[5] + 4*Sin[x]] - Sin[x]}
+{Tan[6*x]*Sin[x], x, 10, ArcTanh[Sqrt[2]*Sin[x]]/(3*Sqrt[2]) + (1/6)*Sqrt[2 - Sqrt[3]]*ArcTanh[(2*Sin[x])/Sqrt[2 - Sqrt[3]]] + (1/6)*Sqrt[2 + Sqrt[3]]*ArcTanh[(2*Sin[x])/Sqrt[2 + Sqrt[3]]] - Sin[x]}
+{Tan[n*x]*Sin[x], x, 6, ((1/2)*I)/E^(I*x) + (1/2)*I*E^(I*x) - (I*Hypergeometric2F1[1, -(1/(2*n)), 1 - 1/(2*n), -E^(2*I*n*x)])/E^(I*x) - I*E^(I*x)*Hypergeometric2F1[1, 1/(2*n), (1/2)*(2 + 1/n), -E^(2*I*n*x)]}
+
+
+{Cot[2*x]*Sin[x], x, 3, (-(1/2))*ArcTanh[Sin[x]] + Sin[x]}
+{Cot[3*x]*Sin[x], x, 3, -(ArcTanh[(2*Sin[x])/Sqrt[3]]/Sqrt[3]) + Sin[x]}
+{Cot[4*x]*Sin[x], x, 6, (-(1/4))*ArcTanh[Sin[x]] - ArcTanh[Sqrt[2]*Sin[x]]/(2*Sqrt[2]) + Sin[x]}
+{Cot[5*x]*Sin[x], x, 6, (-(1/5))*Sqrt[(1/2)*(5 + Sqrt[5])]*ArcTanh[2*Sqrt[2/(5 + Sqrt[5])]*Sin[x]] - (1/5)*Sqrt[(1/2)*(5 - Sqrt[5])]*ArcTanh[Sqrt[(2/5)*(5 + Sqrt[5])]*Sin[x]] + Sin[x]}
+{Cot[6*x]*Sin[x], x, 7, (-(1/6))*ArcTanh[Sin[x]] - (1/6)*ArcTanh[2*Sin[x]] - ArcTanh[(2*Sin[x])/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3]) + Sin[x]}
+
+
+{Sec[2*x]*Sin[x], x, 2, ArcTanh[Sqrt[2]*Cos[x]]/Sqrt[2]}
+{Sec[3*x]*Sin[x], x, 5, (1/3)*Log[Cos[x]] - (1/6)*Log[3 - 4*Cos[x]^2]}
+{Sec[4*x]*Sin[x], x, 4, -(ArcTanh[(2*Cos[x])/Sqrt[2 - Sqrt[2]]]/(2*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])])) + ArcTanh[(2*Cos[x])/Sqrt[2 + Sqrt[2]]]/(2*Sqrt[2*(2 + Sqrt[2])])}
+{Sec[5*x]*Sin[x], x, 7, (-(1/5))*Log[Cos[x]] + (1/20)*(1 + Sqrt[5])*Log[5 - Sqrt[5] - 8*Cos[x]^2] + (1/20)*(1 - Sqrt[5])*Log[5 + Sqrt[5] - 8*Cos[x]^2]}
+{Sec[6*x]*Sin[x], x, 7, -(ArcTanh[Sqrt[2]*Cos[x]]/(3*Sqrt[2])) + ArcTanh[(2*Cos[x])/Sqrt[2 - Sqrt[3]]]/(6*Sqrt[2 - Sqrt[3]]) + ArcTanh[(2*Cos[x])/Sqrt[2 + Sqrt[3]]]/(6*Sqrt[2 + Sqrt[3]])}
+
+
+{Csc[2*x]*Sin[x], x, 2, (1/2)*ArcTanh[Sin[x]]}
+{Csc[3*x]*Sin[x], x, 2, -(Log[Sqrt[3]*Cos[x] - Sin[x]]/(2*Sqrt[3])) + Log[Sqrt[3]*Cos[x] + Sin[x]]/(2*Sqrt[3])}
+{Csc[4*x]*Sin[x], x, 4, (-(1/4))*ArcTanh[Sin[x]] + ArcTanh[Sqrt[2]*Sin[x]]/(2*Sqrt[2])}
+{Csc[5*x]*Sin[x], x, 4, (-(1/10))*Sqrt[(1/2)*(5 - Sqrt[5])]*Log[Sqrt[5 - 2*Sqrt[5]]*Cos[x] - Sin[x]] + (1/10)*Sqrt[(1/2)*(5 + Sqrt[5])]*Log[Sqrt[5 + 2*Sqrt[5]]*Cos[x] - Sin[x]] + (1/10)*Sqrt[(1/2)*(5 - Sqrt[5])]*Log[Sqrt[5 - 2*Sqrt[5]]*Cos[x] + Sin[x]] - (1/10)*Sqrt[(1/2)*(5 + Sqrt[5])]*Log[Sqrt[5 + 2*Sqrt[5]]*Cos[x] + Sin[x]]}
+{Csc[6*x]*Sin[x], x, 7, (1/6)*ArcTanh[Sin[x]] + (1/6)*ArcTanh[2*Sin[x]] - ArcTanh[(2*Sin[x])/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3])}
+
+{Csc[x]*Sin[3*x], x, 3, x + 2*Cos[x]*Sin[x]}
+{Csc[3*x]*Sin[6*x], x, 2, (2*Sin[3*x])/3}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Trig[m x] Cos[n x]*)
+
+
+{Sin[2*x]*Cos[x], x, 1, -(Cos[x]/2) - (1/6)*Cos[3*x]}
+{Sin[3*x]*Cos[x], x, 1, (-(1/4))*Cos[2*x] - (1/8)*Cos[4*x]}
+{Sin[4*x]*Cos[x], x, 1, (-(1/6))*Cos[3*x] - (1/10)*Cos[5*x]}
+{Sin[m*x]*Cos[x], x, 4, Cos[(1 - m)*x]/(2*(1 - m)) - Cos[(1 + m)*x]/(2*(1 + m))}
+
+
+{Cos[2*x]*Cos[x], x, 1, Sin[x]/2 + (1/6)*Sin[3*x]}
+{Cos[3*x]*Cos[x], x, 1, (1/4)*Sin[2*x] + (1/8)*Sin[4*x]}
+{Cos[4*x]*Cos[x], x, 1, (1/6)*Sin[3*x] + (1/10)*Sin[5*x]}
+{Cos[m*x]*Cos[x], x, 4, Sin[(1 - m)*x]/(2*(1 - m)) + Sin[(1 + m)*x]/(2*(1 + m))}
+
+
+{Tan[2*x]*Cos[x], x, 4, ArcTanh[Sqrt[2]*Cos[x]]/Sqrt[2] - Cos[x]}
+{Tan[3*x]*Cos[x], x, 3, ArcTanh[(2*Cos[x])/Sqrt[3]]/Sqrt[3] - Cos[x]}
+{Tan[4*x]*Cos[x], x, 6, (1/4)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTanh[(2*Cos[x])/Sqrt[2 - Sqrt[2]]] + (1/4)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTanh[(2*Cos[x])/Sqrt[2 + Sqrt[2]]] - Cos[x]}
+{Tan[5*x]*Cos[x], x, 6, (1/5)*Sqrt[(1/2)*(5 + Sqrt[5])]*ArcTanh[2*Sqrt[2/(5 + Sqrt[5])]*Cos[x]] + (1/5)*Sqrt[(1/2)*(5 - Sqrt[5])]*ArcTanh[Sqrt[(2/5)*(5 + Sqrt[5])]*Cos[x]] - Cos[x]}
+{Tan[6*x]*Cos[x], x, 10, ArcTanh[Sqrt[2]*Cos[x]]/(3*Sqrt[2]) + (1/6)*Sqrt[2 - Sqrt[3]]*ArcTanh[(2*Cos[x])/Sqrt[2 - Sqrt[3]]] + (1/6)*Sqrt[2 + Sqrt[3]]*ArcTanh[(2*Cos[x])/Sqrt[2 + Sqrt[3]]] - Cos[x]}
+
+
+{Cot[2*x]*Cos[x], x, 4, (-(1/2))*ArcTanh[Cos[x]] + Cos[x]}
+{Cot[3*x]*Cos[x], x, 9, Cos[x] + (1/6)*Log[1 - 2*Cos[x]] + (1/6)*Log[1 - Cos[x]] - (1/6)*Log[1 + Cos[x]] - (1/6)*Log[1 + 2*Cos[x]]}
+{Cot[4*x]*Cos[x], x, 6, (-(1/4))*ArcTanh[Cos[x]] - ArcTanh[Sqrt[2]*Cos[x]]/(2*Sqrt[2]) + Cos[x]}
+{Cot[5*x]*Cos[x], x, 10, (-(1/5))*ArcTanh[Cos[x]] + Cos[x] + (1/20)*(1 - Sqrt[5])*Log[1 - Sqrt[5] - 4*Cos[x]] + (1/20)*(1 + Sqrt[5])*Log[1 + Sqrt[5] - 4*Cos[x]] - (1/20)*(1 - Sqrt[5])*Log[1 - Sqrt[5] + 4*Cos[x]] - (1/20)*(1 + Sqrt[5])*Log[1 + Sqrt[5] + 4*Cos[x]]}
+{Cot[6*x]*Cos[x], x, 7, (-(1/6))*ArcTanh[Cos[x]] - (1/6)*ArcTanh[2*Cos[x]] - ArcTanh[(2*Cos[x])/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3]) + Cos[x]}
+{Cot[n*x]*Cos[x], x, 6, -(1/2)/E^(I*x) + E^(I*x)/2 + Hypergeometric2F1[1, -(1/(2*n)), 1 - 1/(2*n), E^(2*I*n*x)]/E^(I*x) - E^(I*x)*Hypergeometric2F1[1, 1/(2*n), (1/2)*(2 + 1/n), E^(2*I*n*x)]}
+
+
+{Sec[2*x]*Cos[x], x, 2, ArcTanh[Sqrt[2]*Sin[x]]/Sqrt[2]}
+{Sec[3*x]*Cos[x], x, 2, -(Log[Cos[x] - Sqrt[3]*Sin[x]]/(2*Sqrt[3])) + Log[Cos[x] + Sqrt[3]*Sin[x]]/(2*Sqrt[3])}
+{Sec[4*x]*Cos[x], x, 4, ArcTanh[(2*Sin[x])/Sqrt[2 - Sqrt[2]]]/(2*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]) - ArcTanh[(2*Sin[x])/Sqrt[2 + Sqrt[2]]]/(2*Sqrt[2*(2 + Sqrt[2])])}
+{Sec[5*x]*Cos[x], x, 4, (1/10)*Sqrt[(1/2)*(5 - Sqrt[5])]*Log[Cos[x] - Sqrt[5 - 2*Sqrt[5]]*Sin[x]] - (1/10)*Sqrt[(1/2)*(5 - Sqrt[5])]*Log[Cos[x] + Sqrt[5 - 2*Sqrt[5]]*Sin[x]] - (1/10)*Sqrt[(1/2)*(5 + Sqrt[5])]*Log[Cos[x] - Sqrt[5 + 2*Sqrt[5]]*Sin[x]] + (1/10)*Sqrt[(1/2)*(5 + Sqrt[5])]*Log[Cos[x] + Sqrt[5 + 2*Sqrt[5]]*Sin[x]]}
+{Sec[6*x]*Cos[x], x, 7, -(ArcTanh[Sqrt[2]*Sin[x]]/(3*Sqrt[2])) + ArcTanh[(2*Sin[x])/Sqrt[2 - Sqrt[3]]]/(6*Sqrt[2 - Sqrt[3]]) + ArcTanh[(2*Sin[x])/Sqrt[2 + Sqrt[3]]]/(6*Sqrt[2 + Sqrt[3]])}
+
+{Sec[x]*Cos[2*x], x, 3, -ArcTanh[Sin[x]] + 2*Sin[x]}
+{Sec[2*x]*Cos[4*x], x, 3, -ArcTanh[Sin[2*x]]/2 + Sin[2*x]}
+
+
+{Csc[2*x]*Cos[x], x, 2, (-(1/2))*ArcTanh[Cos[x]]}
+{Csc[3*x]*Cos[x], x, 5, (1/3)*Log[Sin[x]] - (1/6)*Log[3 - 4*Sin[x]^2]}
+{Csc[4*x]*Cos[x], x, 4, (-(1/4))*ArcTanh[Cos[x]] + ArcTanh[Sqrt[2]*Cos[x]]/(2*Sqrt[2])}
+{Csc[5*x]*Cos[x], x, 7, (1/5)*Log[Sin[x]] - (1/20)*(1 + Sqrt[5])*Log[5 - Sqrt[5] - 8*Sin[x]^2] - (1/20)*(1 - Sqrt[5])*Log[5 + Sqrt[5] - 8*Sin[x]^2]}
+{Csc[6*x]*Cos[x], x, 7, (-(1/6))*ArcTanh[Cos[x]] - (1/6)*ArcTanh[2*Cos[x]] + ArcTanh[(2*Cos[x])/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Trig[m x]^p Trig[n x]^q*)
+
+
+{Cos[6*x]^3*Sin[x], x, 6, (3*Cos[5*x])/40 - (3*Cos[7*x])/56 + Cos[17*x]/136 - Cos[19*x]/152}
+{Cos[6*x]^3*Sin[9*x], x, 6, (-(1/8))*Cos[3*x] + (1/72)*Cos[9*x] - (1/40)*Cos[15*x] - (1/216)*Cos[27*x]}
+
+{Cos[2*x]*Sin[6*x]^2, x, 5, (1/4)*Sin[2*x] - (1/40)*Sin[10*x] - (1/56)*Sin[14*x]}
+
+{Cos[x]*Sin[6*x]^2, x, 5, Sin[x]/2 - (1/44)*Sin[11*x] - (1/52)*Sin[13*x]}
+{Cos[x]*Sin[6*x]^3, x, 6, (-3*Cos[5*x])/40 - (3*Cos[7*x])/56 + Cos[17*x]/136 + Cos[19*x]/152}
+{Cos[7*x]*Sin[6*x]^3, x, 6, (3*Cos[x])/8 + Cos[11*x]/88 - (3*Cos[13*x])/104 + Cos[25*x]/200}
+{Cos[3*x]^2*Sin[2*x]^3, x, 7, (-(3/16))*Cos[2*x] + (3/64)*Cos[4*x] + (1/48)*Cos[6*x] - (3/128)*Cos[8*x] + (1/192)*Cos[12*x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Trig[a+b x] Trig[c+d x] when b^2-d^2=0*)
+
+
+{Sin[a + b*x]*Sin[c + b*x], x, 3, (1/2)*x*Cos[a - c] - Sin[a + c + 2*b*x]/(4*b)}
+{Sin[a + b*x]*Sin[c - b*x], x, 3, (-(1/2))*x*Cos[a + c] + Sin[a - c + 2*b*x]/(4*b)}
+
+
+{Cos[a + b*x]*Cos[c + b*x], x, 3, (1/2)*x*Cos[a - c] + Sin[a + c + 2*b*x]/(4*b)}
+{Cos[a + b*x]*Cos[c - b*x], x, 3, (1/2)*x*Cos[a + c] + Sin[a - c + 2*b*x]/(4*b)}
+
+
+{Tan[a + b*x]*Tan[c + b*x], x, 4, -x - (Cot[a - c]*Log[Cos[a + b*x]])/b + (Cot[a - c]*Log[Cos[c + b*x]])/b}
+{Tan[a + b*x]*Tan[c - b*x], x, 4, x - (Cot[a + c]*Log[Cos[c - b*x]])/b + (Cot[a + c]*Log[Cos[a + b*x]])/b}
+
+
+{Cot[a + b*x]*Cot[c + b*x], x, 4, -x - (Cot[a - c]*Log[Sin[a + b*x]])/b + (Cot[a - c]*Log[Sin[c + b*x]])/b}
+{Cot[a + b*x]*Cot[c - b*x], x, 4, x - (Cot[a + c]*Log[Sin[c - b*x]])/b + (Cot[a + c]*Log[Sin[a + b*x]])/b}
+
+
+{Sec[a + b*x]*Sec[c + b*x], x, 3, -((Csc[a - c]*Log[Cos[a + b*x]])/b) + (Csc[a - c]*Log[Cos[c + b*x]])/b}
+{Sec[a + b*x]*Sec[c - b*x], x, 3, (Csc[a + c]*Log[Cos[c - b*x]])/b - (Csc[a + c]*Log[Cos[a + b*x]])/b}
+
+
+{Csc[a + b*x]*Csc[c + b*x], x, 3, -((Csc[a - c]*Log[Sin[a + b*x]])/b) + (Csc[a - c]*Log[Sin[c + b*x]])/b}
+{Csc[a + b*x]*Csc[c - b*x], x, 3, -((Csc[a + c]*Log[Sin[c - b*x]])/b) + (Csc[a + c]*Log[Sin[a + b*x]])/b}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (Trig[a+b x] Trig[a+b x])^m*)
+
+
+{(Sin[x]*Tan[x])^(1/2), x, 2, -2*Cot[x]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]]}
+{(Sin[x]*Tan[x])^(3/2), x, 3, (8/3)*Csc[x]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]] - (2/3)*Sin[x]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]]}
+{(Sin[x]*Tan[x])^(5/2), x, 4, (64/15)*Cot[x]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]] + (16/15)*Tan[x]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]] - (2/5)*Sin[x]^2*Tan[x]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]]}
+
+
+{(Cos[x]*Cot[x])^(1/2), x, 2, 2*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]*Tan[x]}
+{(Cos[x]*Cot[x])^(3/2), x, 3, (2/3)*Cos[x]*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]] - (8/3)*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]*Sec[x]}
+{(Cos[x]*Cot[x])^(5/2), x, 4, (-(16/15))*Cot[x]*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]] + (2/5)*Cos[x]^2*Cot[x]*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]] - (64/15)*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]*Tan[x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q Trig[x]^m (a+b Trig[x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q Trig[x]^m (a+b Trig[x]^n)^p*)
+
+
+{x*Cos[x]/(a + b*Sin[x])^2, x, 4, (2*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b*Sqrt[a^2 - b^2]) - x/(b*(a + b*Sin[x]))}
+{x*Cos[x]/(a + b*Sin[x])^3, x, 6, (a*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2)) - x/(2*b*(a + b*Sin[x])^2) + Cos[x]/(2*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x]))}
+
+
+{x*Sin[x]/(a + b*Cos[x])^2, x, 3, -((2*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b])) + x/(b*(a + b*Cos[x]))}
+{x*Sin[x]/(a + b*Cos[x])^3, x, 5, -((a*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[x/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b*(a + b)^(3/2))) + x/(2*b*(a + b*Cos[x])^2) + Sin[x]/(2*(a^2 - b^2)*(a + b*Cos[x]))}
+
+
+{x*Sec[x]^2/(a + b*Tan[x])^2, x, 3, (a*x)/(b*(a^2 + b^2)) + Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]]/(a^2 + b^2) - x/(b*(a + b*Tan[x]))}
+{x*Csc[x]^2/(a + b*Cot[x])^2, x, 3, -((a*x)/(b*(a^2 + b^2))) + x/(b*(a + b*Cot[x])) + Log[b*Cos[x] + a*Sin[x]]/(a^2 + b^2)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*d)}
+{x*Sec[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 9, -((I*x*Log[1 + ((a - b)*E^(2*I*(c + d*x)))/(Sqrt[a] - Sqrt[b])^2])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*d)) + (I*x*Log[1 + ((a - b)*E^(2*I*(c + d*x)))/(Sqrt[a] + Sqrt[b])^2])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*d) - PolyLog[2, -(((a - b)*E^(2*I*(c + d*x)))/(Sqrt[a] - Sqrt[b])^2)]/(4*Sqrt[a]*Sqrt[b]*d^2) + PolyLog[2, -(((a - b)*E^(2*I*(c + d*x)))/(Sqrt[a] + Sqrt[b])^2)]/(4*Sqrt[a]*Sqrt[b]*d^2)}
+{x^2*Sec[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x]^2), x, 11, -((I*x^2*Log[1 + ((a - b)*E^(2*I*(c + d*x)))/(Sqrt[a] - Sqrt[b])^2])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*d)) + (I*x^2*Log[1 + ((a - b)*E^(2*I*(c + d*x)))/(Sqrt[a] + Sqrt[b])^2])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*d) - (x*PolyLog[2, -(((a - b)*E^(2*I*(c + d*x)))/(Sqrt[a] - Sqrt[b])^2)])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*d^2) + (x*PolyLog[2, -(((a - b)*E^(2*I*(c + d*x)))/(Sqrt[a] + Sqrt[b])^2)])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*d^2) + (I*PolyLog[3, -(((Sqrt[a] - Sqrt[b])*E^(2*I*(c + d*x)))/(Sqrt[a] + Sqrt[b]))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[b]*d^3) - (I*PolyLog[3, -(((Sqrt[a] + Sqrt[b])*E^(2*I*(c + d*x)))/(Sqrt[a] - Sqrt[b]))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[b]*d^3)}
+
+
+{Sec[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x]^2 + c*Sec[c + d*x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b + c]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a + c]]/(Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c]*d)}
+{x*Sec[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x]^2 + c*Sec[c + d*x]^2), x, 9, -((I*x*Log[1 + ((a - b)*E^(2*I*(c + d*x)))/(a + b + 2*c - 2*Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c])])/(2*Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c]*d)) + (I*x*Log[1 + ((a - b)*E^(2*I*(c + d*x)))/(a + b + 2*(c + Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c]))])/(2*Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c]*d) - PolyLog[2, -(((a - b)*E^(2*I*(c + d*x)))/(a + b + 2*c - 2*Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c]))]/(4*Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c]*d^2) + PolyLog[2, -(((a - b)*E^(2*I*(c + d*x)))/(a + b + 2*(c + Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c])))]/(4*Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c]*d^2)}
+{x^2*Sec[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x]^2 + c*Sec[c + d*x]^2), x, 11, -((I*x^2*Log[1 + ((a - b)*E^(2*I*(c + d*x)))/(a + b + 2*c - 2*Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c])])/(2*Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c]*d)) + (I*x^2*Log[1 + ((a - b)*E^(2*I*(c + d*x)))/(a + b + 2*(c + Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c]))])/(2*Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c]*d) - (x*PolyLog[2, -(((a - b)*E^(2*I*(c + d*x)))/(a + b + 2*c - 2*Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c]))])/(2*Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c]*d^2) + (x*PolyLog[2, -(((a - b)*E^(2*I*(c + d*x)))/(a + b + 2*(c + Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c])))])/(2*Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c]*d^2) - (I*PolyLog[3, -(((a - b)*E^(2*I*(c + d*x)))/(a + b + 2*c - 2*Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c]))])/(4*Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c]*d^3) + (I*PolyLog[3, -(((a - b)*E^(2*I*(c + d*x)))/(a + b + 2*(c + Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c])))])/(4*Sqrt[a + c]*Sqrt[b + c]*d^3)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^p (a+b Sin[e+f x])^m (c+d Sin[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^p (a+b Sin[e+f x])^(m/2) (c+d Sin[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^3*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]], x, 5, -((6*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/f^4) + (3*x^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/f^2 - (6*x*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/f^3 + (x^3*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/f}
+{x^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]], x, 4, (2*x*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/f^2 - (2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/f^3 + (x^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/f}
+{x^1*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]], x, 3, (Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/f^2 + (x*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/f}
+{Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]/x^1, x, 4, Cos[e]*CosIntegral[f*x]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]] - Sec[e + f*x]*Sin[e]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*SinIntegral[f*x]}
+{Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]/x^2, x, 5, -((Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/x) - f*CosIntegral[f*x]*Sec[e + f*x]*Sin[e]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]] - f*Cos[e]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*SinIntegral[f*x]}
+{Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]/x^3, x, 6, -((Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/(2*x^2)) - (1/2)*f^2*Cos[e]*CosIntegral[f*x]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]] + (1/2)*f^2*Sec[e + f*x]*Sin[e]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*SinIntegral[f*x] + (f*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(2*x)}
+
+
+{x^3*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*(c + c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 11, -((6*c*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/f^4) + (3*c*x^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/f^2 + (3*c*x*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/(8*f^3) - (3*c*x^3*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/(4*f) - (3*c*Sin[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/(8*f^4) + (3*c*x^2*Sin[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/(4*f^2) + (x^3*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*(c + c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(2*c*f) - (6*c*x*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/f^3 - (3*c*x*Sin[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(4*f^3)}
+{x^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*(c + c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 8, (2*c*x*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/f^2 - (3*c*x^2*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/(4*f) + (c*x*Sin[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/(2*f^2) + (x^2*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*(c + c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(2*c*f) - (2*c*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/f^3 - (c*Sin[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(4*f^3)}
+{x^1*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*(c + c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 3, (c*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/f^2 - (3*c*x*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/(4*f) + (c*Sin[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/(4*f^2) + (x*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*(c + c*Sin[e + f*x])^(5/2))/(2*c*f)}
+{Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*(c + c*Sin[e + f*x])^(3/2)/x^1, x, 11, c*Cos[e]*CosIntegral[f*x]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]] + (1/2)*c*CosIntegral[2*f*x]*Sec[e + f*x]*Sin[2*e]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]] - c*Sec[e + f*x]*Sin[e]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*SinIntegral[f*x] + (1/2)*c*Cos[2*e]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*SinIntegral[2*f*x]}
+{Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*(c + c*Sin[e + f*x])^(3/2)/x^2, x, 13, -((c*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/x) + c*f*Cos[2*e]*CosIntegral[2*f*x]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]] - c*f*CosIntegral[f*x]*Sec[e + f*x]*Sin[e]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]] - (c*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*Sin[2*e + 2*f*x])/(2*x) - c*f*Cos[e]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*SinIntegral[f*x] - c*f*Sec[e + f*x]*Sin[2*e]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*SinIntegral[2*f*x]}
+{Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*(c + c*Sin[e + f*x])^(3/2)/x^3, x, 15, -((c*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/(2*x^2)) - (c*f*Cos[2*e + 2*f*x]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])/(2*x) - (1/2)*c*f^2*Cos[e]*CosIntegral[f*x]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]] - c*f^2*CosIntegral[2*f*x]*Sec[e + f*x]*Sin[2*e]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]] - (c*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*Sin[2*e + 2*f*x])/(4*x^2) + (1/2)*c*f^2*Sec[e + f*x]*Sin[e]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*SinIntegral[f*x] - c*f^2*Cos[2*e]*Sec[e + f*x]*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*SinIntegral[2*f*x] + (c*f*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]*Tan[e + f*x])/(2*x)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(g + h*x)^3*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]], x, 20, -((I*a*(g + h*x)^4*Cos[e + f*x])/(4*h*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])) - (2*I*a*(g + h*x)^3*ArcTan[E^(I*(e + f*x))]*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (a*(g + h*x)^3*Cos[e + f*x]*Log[1 + E^(2*I*(e + f*x))])/(f*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (3*I*a*h*(g + h*x)^2*Cos[e + f*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/(f^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) - (3*I*a*h*(g + h*x)^2*Cos[e + f*x]*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/(f^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) - (3*I*a*h*(g + h*x)^2*Cos[e + f*x]*PolyLog[2, -E^(2*I*(e + f*x))])/(2*f^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) - (6*a*h^2*(g + h*x)*Cos[e + f*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/(f^3*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (6*a*h^2*(g + h*x)*Cos[e + f*x]*PolyLog[3, I*E^(I*(e + f*x))])/(f^3*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (3*a*h^2*(g + h*x)*Cos[e + f*x]*PolyLog[3, -E^(2*I*(e + f*x))])/(2*f^3*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) - (6*I*a*h^3*Cos[e + f*x]*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/(f^4*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (6*I*a*h^3*Cos[e + f*x]*PolyLog[4, I*E^(I*(e + f*x))])/(f^4*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (3*I*a*h^3*Cos[e + f*x]*PolyLog[4, -E^(2*I*(e + f*x))])/(4*f^4*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])}
+{(g + h*x)^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]], x, 17, -((I*a*(g + h*x)^3*Cos[e + f*x])/(3*h*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])) - (2*I*a*(g + h*x)^2*ArcTan[E^(I*(e + f*x))]*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (a*(g + h*x)^2*Cos[e + f*x]*Log[1 + E^(2*I*(e + f*x))])/(f*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (2*I*a*h*(g + h*x)*Cos[e + f*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/(f^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) - (2*I*a*h*(g + h*x)*Cos[e + f*x]*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/(f^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) - (I*a*h*(g + h*x)*Cos[e + f*x]*PolyLog[2, -E^(2*I*(e + f*x))])/(f^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) - (2*a*h^2*Cos[e + f*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/(f^3*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (2*a*h^2*Cos[e + f*x]*PolyLog[3, I*E^(I*(e + f*x))])/(f^3*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (a*h^2*Cos[e + f*x]*PolyLog[3, -E^(2*I*(e + f*x))])/(2*f^3*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])}
+{(g + h*x)^1*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]], x, 14, -((I*a*(g + h*x)^2*Cos[e + f*x])/(2*h*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])) - (2*I*a*(g + h*x)*ArcTan[E^(I*(e + f*x))]*Cos[e + f*x])/(f*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (a*(g + h*x)*Cos[e + f*x]*Log[1 + E^(2*I*(e + f*x))])/(f*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (I*a*h*Cos[e + f*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/(f^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) - (I*a*h*Cos[e + f*x]*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/(f^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) - (I*a*h*Cos[e + f*x]*PolyLog[2, -E^(2*I*(e + f*x))])/(2*f^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])}
+{Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]/((g + h*x)^1*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]), x, 5, (a*Cos[e + f*x]*Unintegrable[Sec[e + f*x]/(g + h*x), x])/(Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) - (a*Cos[e + f*x]*Unintegrable[Tan[e + f*x]/(g + h*x), x])/(Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{x^3*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]/(c + c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 51, -((3*a*x^2)/(c*f^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])) - (3*I*a*x^2*Cos[e + f*x])/(c*f^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) - (12*I*a*x*ArcTan[E^(I*(e + f*x))]*Cos[e + f*x])/(c*f^3*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (6*a*x*Cos[e + f*x]*Log[1 + E^(2*I*(e + f*x))])/(c*f^3*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (6*I*a*Cos[e + f*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(e + f*x))])/(c*f^4*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) - (6*I*a*Cos[e + f*x]*PolyLog[2, I*E^(I*(e + f*x))])/(c*f^4*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) - (3*I*a*Cos[e + f*x]*PolyLog[2, -E^(2*I*(e + f*x))])/(c*f^4*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) - (a*x^3*Sec[e + f*x])/(c*f*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (3*a*x^2*Sin[e + f*x])/(c*f^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (a*x^3*Tan[e + f*x])/(c*f*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])}
+{x^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]/(c + c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 34, -((2*a*x)/(c*f^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])) + (2*a*ArcTanh[Sin[e + f*x]]*Cos[e + f*x])/(c*f^3*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (2*a*Cos[e + f*x]*Log[Cos[e + f*x]])/(c*f^3*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) - (a*x^2*Sec[e + f*x])/(c*f*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (2*a*x*Sin[e + f*x])/(c*f^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (a*x^2*Tan[e + f*x])/(c*f*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])}
+{x^1*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]/(c + c*Sin[e + f*x])^(3/2), x, 26, -(a/(c*f^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])) - (a*x*Sec[e + f*x])/(c*f*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (a*Sin[e + f*x])/(c*f^2*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]]) + (a*x*Tan[e + f*x])/(c*f*Sqrt[a - a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + c*Sin[e + f*x]])}
+
+
+{(z^2*Sqrt[1 + Cos[z]])/Sqrt[1 - Cos[z]], z, 15, -((I*z^3*Sin[z])/(3*Sqrt[1 - Cos[z]]*Sqrt[1 + Cos[z]])) - (2*z^2*ArcTanh[E^(I*z)]*Sin[z])/(Sqrt[1 - Cos[z]]*Sqrt[1 + Cos[z]]) + (z^2*Log[1 - E^(2*I*z)]*Sin[z])/(Sqrt[1 - Cos[z]]*Sqrt[1 + Cos[z]]) + (2*I*z*PolyLog[2, -E^(I*z)]*Sin[z])/(Sqrt[1 - Cos[z]]*Sqrt[1 + Cos[z]]) - (2*I*z*PolyLog[2, E^(I*z)]*Sin[z])/(Sqrt[1 - Cos[z]]*Sqrt[1 + Cos[z]]) - (I*z*PolyLog[2, E^(2*I*z)]*Sin[z])/(Sqrt[1 - Cos[z]]*Sqrt[1 + Cos[z]]) - (2*PolyLog[3, -E^(I*z)]*Sin[z])/(Sqrt[1 - Cos[z]]*Sqrt[1 + Cos[z]]) + (2*PolyLog[3, E^(I*z)]*Sin[z])/(Sqrt[1 - Cos[z]]*Sqrt[1 + Cos[z]]) + (PolyLog[3, E^(2*I*z)]*Sin[z])/(2*Sqrt[1 - Cos[z]]*Sqrt[1 + Cos[z]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Trig[x]^m)^p / (a+b Trig[x]^n)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Trig[x]) (a+b Trig[x])^n*)
+
+
+{(A + B*Sec[x])*(a + a*Cos[x])^1, x, 5, a*(A + B)*x + a*B*ArcTanh[Sin[x]] + a*A*Sin[x]}
+{(A + B*Sec[x])*(a + a*Cos[x])^2, x, 6, (1/2)*a^2*(3*A + 4*B)*x + a^2*B*ArcTanh[Sin[x]] + (1/2)*a^2*(3*A + 2*B)*Sin[x] + (1/2)*A*(a^2 + a^2*Cos[x])*Sin[x]}
+{(A + B*Sec[x])*(a + a*Cos[x])^3, x, 7, (1/2)*a^3*(5*A + 7*B)*x + a^3*B*ArcTanh[Sin[x]] + (5/2)*a^3*(A + B)*Sin[x] + (1/3)*a*A*(a + a*Cos[x])^2*Sin[x] + (1/6)*(5*A + 3*B)*(a^3 + a^3*Cos[x])*Sin[x]}
+{(A + B*Sec[x])*(a + a*Cos[x])^4, x, 8, (1/8)*a^4*(35*A + 48*B)*x + a^4*B*ArcTanh[Sin[x]] + (5/8)*a^4*(7*A + 8*B)*Sin[x] + (1/4)*a*A*(a + a*Cos[x])^3*Sin[x] + (1/12)*(7*A + 4*B)*(a^2 + a^2*Cos[x])^2*Sin[x] + (1/24)*(35*A + 32*B)*(a^4 + a^4*Cos[x])*Sin[x]}
+
+
+{(A + B*Sec[x])/(a + a*Cos[x])^1, x, 4, (B*ArcTanh[Sin[x]])/a + ((A - B)*Sin[x])/(a + a*Cos[x])}
+{(A + B*Sec[x])/(a + a*Cos[x])^2, x, 5, (B*ArcTanh[Sin[x]])/a^2 + ((A - 4*B)*Sin[x])/(3*a^2*(1 + Cos[x])) + ((A - B)*Sin[x])/(3*(a + a*Cos[x])^2)}
+{(A + B*Sec[x])/(a + a*Cos[x])^3, x, 6, (B*ArcTanh[Sin[x]])/a^3 + ((A - B)*Sin[x])/(5*(a + a*Cos[x])^3) + ((2*A - 7*B)*Sin[x])/(15*a*(a + a*Cos[x])^2) + (2*(A - 11*B)*Sin[x])/(15*(a^3 + a^3*Cos[x]))}
+{(A + B*Sec[x])/(a + a*Cos[x])^4, x, 7, (B*ArcTanh[Sin[x]])/a^4 + ((6*A - 55*B)*Sin[x])/(105*a^4*(1 + Cos[x])^2) + (2*(3*A - 80*B)*Sin[x])/(105*a^4*(1 + Cos[x])) + ((A - B)*Sin[x])/(7*(a + a*Cos[x])^4) + ((3*A - 10*B)*Sin[x])/(35*a*(a + a*Cos[x])^3)}
+
+
+{(A + B*Sec[x])*(a + a*Cos[x])^(5/2), x, 6, 2*a^(5/2)*B*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[x])/Sqrt[a + a*Cos[x]]] + (2*a^3*(32*A + 35*B)*Sin[x])/(15*Sqrt[a + a*Cos[x]]) + (2/15)*a^2*(8*A + 5*B)*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Sin[x] + (2/5)*a*A*(a + a*Cos[x])^(3/2)*Sin[x]}
+{(A + B*Sec[x])*(a + a*Cos[x])^(3/2), x, 5, 2*a^(3/2)*B*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[x])/Sqrt[a + a*Cos[x]]] + (2*a^2*(4*A + 3*B)*Sin[x])/(3*Sqrt[a + a*Cos[x]]) + (2/3)*a*A*Sqrt[a + a*Cos[x]]*Sin[x]}
+{(A + B*Sec[x])*(a + a*Cos[x])^(1/2), x, 4, 2*Sqrt[a]*B*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[x])/Sqrt[a + a*Cos[x]]] + (2*a*A*Sin[x])/Sqrt[a + a*Cos[x]]}
+{(A + B*Sec[x])/(a + a*Cos[x])^(1/2), x, 6, (2*B*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[x])/Sqrt[a + a*Cos[x]]])/Sqrt[a] + (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[x]])])/Sqrt[a]}
+{(A + B*Sec[x])/(a + a*Cos[x])^(3/2), x, 7, (2*B*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[x])/Sqrt[a + a*Cos[x]]])/a^(3/2) + ((A - 5*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)) + ((A - B)*Sin[x])/(2*(a + a*Cos[x])^(3/2))}
+{(A + B*Sec[x])/(a + a*Cos[x])^(5/2), x, 8, (2*B*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[x])/Sqrt[a + a*Cos[x]]])/a^(5/2) + ((3*A - 43*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sin[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cos[x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)) + ((A - B)*Sin[x])/(4*(a + a*Cos[x])^(5/2)) + ((3*A - 11*B)*Sin[x])/(16*a*(a + a*Cos[x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (A+B Trig[x]) (a+b Trig[x])^n*)
+
+
+{x*((b + a*Sin[x])/(a + b*Sin[x])^2), x, 3, Log[a + b*Sin[x]]/b - (x*Cos[x])/(a + b*Sin[x])}
+{x*((b + a*Cos[x])/(a + b*Cos[x])^2), x, 3, Log[a + b*Cos[x]]/b + (x*Sin[x])/(a + b*Cos[x])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Trig[x]^m)^p / (a+b Trig[x]^n)*)
+(**)
+
+
+{(1 + Sin[x]^2)/(1 - Sin[x]^2), x, 4, -x + 2*Tan[x]}
+{(1 - Sin[x]^2)/(1 + Sin[x]^2), x, 3, -x + Sqrt[2]*x + Sqrt[2]*ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Sin[x]^2)]}
+
+
+{(1 + Cos[x]^2)/(1 - Cos[x]^2), x, 4, -x - 2*Cot[x]}
+{(1 - Cos[x]^2)/(1 + Cos[x]^2), x, 3, -x + Sqrt[2]*x - Sqrt[2]*ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Cos[x]^2)]}
+
+
+{(-1 + c^2/d^2 + Sin[x]^2)/(c + d*Cos[x]), x, 4, (c*x)/d^2 - Sin[x]/d}
+{(a + b*Sin[x]^2)/(c + d*Cos[x]), x, 8, (b*c*x)/d^2 + (2*a*ArcTan[(Sqrt[c - d]*Tan[x/2])/Sqrt[c + d]])/(Sqrt[c - d]*Sqrt[c + d]) - (2*b*Sqrt[c - d]*Sqrt[c + d]*ArcTan[(Sqrt[c - d]*Tan[x/2])/Sqrt[c + d]])/d^2 - (b*Sin[x])/d}
+
+{(a + b*Sin[x]^2)/(c + c*Cos[x]^2), x, 5, -((b*x)/c) + ((a + 2*b)*x)/(Sqrt[2]*c) - ((a + 2*b)*ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Cos[x]^2)])/(Sqrt[2]*c)}
+{(a + b*Sin[x]^2)/(c - c*Cos[x]^2), x, 3, (b*x)/c - (a*Cot[x])/c}
+{(a + b*Sin[x]^2)/(c + d*Cos[x]^2), x, 4, -((b*x)/d) + ((a*d + b*(c + d))*ArcTan[(Sqrt[c]*Tan[x])/Sqrt[c + d]])/(Sqrt[c]*d*Sqrt[c + d])}
+
+
+{(-1 + c^2/d^2 + Cos[x]^2)/(c + d*Sin[x]), x, 4, (c*x)/d^2 + Cos[x]/d}
+{(a + b*Cos[x]^2)/(c + d*Sin[x]), x, 10, (b*c*x)/d^2 + (2*a*ArcTan[(d + c*Tan[x/2])/Sqrt[c^2 - d^2]])/Sqrt[c^2 - d^2] - (2*b*Sqrt[c^2 - d^2]*ArcTan[(d + c*Tan[x/2])/Sqrt[c^2 - d^2]])/d^2 + (b*Cos[x])/d}
+
+{(a + b*Cos[x]^2)/(c + c*Sin[x]^2), x, 4, -((b*x)/c) + ((a + 2*b)*x)/(Sqrt[2]*c) + ((a + 2*b)*ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Sin[x]^2)])/(Sqrt[2]*c)}
+{(a + b*Cos[x]^2)/(c - c*Sin[x]^2), x, 3, (b*x)/c + (a*Tan[x])/c}
+{(a + b*Cos[x]^2)/(c + d*Sin[x]^2), x, 4, -((b*x)/d) + ((a*d + b*(c + d))*ArcTan[(Sqrt[c + d]*Tan[x])/Sqrt[c]])/(Sqrt[c]*d*Sqrt[c + d])}
+
+
+{(a + b*Sec[x]^2)/(c + d*Cos[x]), x, 6, (2*(a*c^2 + b*d^2)*ArcTan[(Sqrt[c - d]*Tan[x/2])/Sqrt[c + d]])/(c^2*Sqrt[c - d]*Sqrt[c + d]) - (b*d*ArcTanh[Sin[x]])/c^2 + (b*Tan[x])/c}
+{(a + b*Csc[x]^2)/(c + d*Sin[x]), x, 7, (2*(a*c^2 + b*d^2)*ArcTan[(d + c*Tan[x/2])/Sqrt[c^2 - d^2]])/(c^2*Sqrt[c^2 - d^2]) + (b*d*ArcTanh[Cos[x]])/c^2 - (b*Cot[x])/c}
+
+
+(* {Sqrt[1 + Sin[x]]/(1 - Tan[x]^2), x, 0, 0} *)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a Trig[c+d x] + b Trig[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[c+d x] + b Sin[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[c+d x] + b Sin[c+d x])^n*)
+
+
+{(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^n, x, 2, -((Cos[c + d*x - ArcTan[a, b]]^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[c + d*x - ArcTan[a, b]]^2]*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^n*Sin[c + d*x - ArcTan[a, b]])/(((a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2])^n*(d*(1 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x - ArcTan[a, b]]^2])))}
+{(2*Cos[c+d*x] + 3*Sin[c+d*x])^n, x, 2, -((13^(n/2)*Cos[c + d*x - ArcTan[3/2]]^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cos[c + d*x - ArcTan[3/2]]^2]*Sin[c + d*x - ArcTan[3/2]])/(d*(1 + n)*Sqrt[Sin[c + d*x - ArcTan[3/2]]^2]))}
+
+
+{(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^7, x, 3, -(((a^2 + b^2)^3*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]))/d) + ((a^2 + b^2)^2*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])^3)/d - (3*(a^2 + b^2)*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])^5)/(5*d) + (b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])^7/(7*d)}
+{(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^6, x, 4, (5/16)*(a^2 + b^2)^3*x - (5*(a^2 + b^2)^2*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))/(16*d) - (5*(a^2 + b^2)*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3)/(24*d) - ((b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5)/(6*d)}
+{(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^5, x, 3, -(((a^2 + b^2)^2*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]))/d) + (2*(a^2 + b^2)*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])^3)/(3*d) - (b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])^5/(5*d)}
+{(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^4, x, 3, (3/8)*(a^2 + b^2)^2*x - (3*(a^2 + b^2)*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))/(8*d) - ((b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3)/(4*d)}
+{(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^3, x, 2, -(((a^2 + b^2)*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]))/d) + (b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])^3/(3*d)}
+{(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^2, x, 2, (1/2)*(a^2 + b^2)*x - ((b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))/(2*d)}
+{(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^1, x, 3, -((b*Cos[c + d*x])/d) + (a*Sin[c + d*x])/d}
+{1/(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^1, x, 2, -(ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]]/(Sqrt[a^2 + b^2]*d))}
+{1/(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^2, x, 1, Sin[c + d*x]/(a*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))}
+{1/(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^3, x, 3, -(ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]]/(2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d)) - (b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2)}
+{1/(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^4, x, 2, -((b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/(3*(a^2 + b^2)*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3)) + (2*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 + b^2)*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))}
+{1/(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^5, x, 4, -((3*ArcTanh[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(8*(a^2 + b^2)^(5/2)*d)) - (b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/(4*(a^2 + b^2)*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4) - (3*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]))/(8*(a^2 + b^2)^2*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2)}
+{1/(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^6, x, 3, -((b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/(5*(a^2 + b^2)*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^5)) - (4*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]))/(15*(a^2 + b^2)^2*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^3) + (8*Sin[c + d*x])/(15*a*(a^2 + b^2)^2*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[c+d x] + b Sin[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+{(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^(7/2), x, 4, -((10*(a^2 + b^2)*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])*Sqrt[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(21*d)) - (2*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(5/2))/(7*d) + (10*(a^2 + b^2)^2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x - ArcTan[a, b]), 2]*Sqrt[(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(21*d*Sqrt[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])}
+{(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^(5/2), x, 3, -((2*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*d)) + (6*(a^2 + b^2)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x - ArcTan[a, b]), 2]*Sqrt[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(5*d*Sqrt[(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])}
+{(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^(3/2), x, 3, -((2*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])*Sqrt[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(3*d)) + (2*(a^2 + b^2)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x - ArcTan[a, b]), 2]*Sqrt[(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(3*d*Sqrt[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])}
+{(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^(1/2), x, 2, (2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x - ArcTan[a, b]), 2]*Sqrt[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(d*Sqrt[(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])}
+{1/(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^(1/2), x, 2, (2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x - ArcTan[a, b]), 2]*Sqrt[(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(d*Sqrt[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])}
+{1/(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^(3/2), x, 3, -((2*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]))/((a^2 + b^2)*d*Sqrt[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])) - (2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x - ArcTan[a, b]), 2]*Sqrt[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d*Sqrt[(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])}
+{1/(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^(5/2), x, 3, -((2*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]))/(3*(a^2 + b^2)*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(3/2))) + (2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x - ArcTan[a, b]), 2]*Sqrt[(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(3*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])}
+{1/(a*Cos[c+d*x] + b*Sin[c+d*x])^(7/2), x, 4, -((2*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]))/(5*(a^2 + b^2)*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(5/2))) - (6*(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]))/(5*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]]) - (6*EllipticE[(1/2)*(c + d*x - ArcTan[a, b]), 2]*Sqrt[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/(5*(a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2]])}
+
+
+{(2*Cos[c+d*x] + 3*Sin[c+d*x])^(7/2), x, 4, (130*13^(3/4)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x - ArcTan[3/2]), 2])/(21*d) - (130*(3*Cos[c + d*x] - 2*Sin[c + d*x])*Sqrt[2*Cos[c + d*x] + 3*Sin[c + d*x]])/(21*d) - (2*(3*Cos[c + d*x] - 2*Sin[c + d*x])*(2*Cos[c + d*x] + 3*Sin[c + d*x])^(5/2))/(7*d)}
+{(2*Cos[c+d*x] + 3*Sin[c+d*x])^(5/2), x, 3, (78*13^(1/4)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x - ArcTan[3/2]), 2])/(5*d) - (2*(3*Cos[c + d*x] - 2*Sin[c + d*x])*(2*Cos[c + d*x] + 3*Sin[c + d*x])^(3/2))/(5*d)}
+{(2*Cos[c+d*x] + 3*Sin[c+d*x])^(3/2), x, 3, (2*13^(3/4)*EllipticF[(1/2)*(c + d*x - ArcTan[3/2]), 2])/(3*d) - (2*(3*Cos[c + d*x] - 2*Sin[c + d*x])*Sqrt[2*Cos[c + d*x] + 3*Sin[c + d*x]])/(3*d)}
+{(2*Cos[c+d*x] + 3*Sin[c+d*x])^(1/2), x, 2, (2*13^(1/4)*EllipticE[(1/2)*(c + d*x - ArcTan[3/2]), 2])/d}
+{1/(2*Cos[c+d*x] + 3*Sin[c+d*x])^(1/2), x, 2, (2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x - ArcTan[3/2]), 2])/(13^(1/4)*d)}
+{1/(2*Cos[c+d*x] + 3*Sin[c+d*x])^(3/2), x, 3, -((2*EllipticE[(1/2)*(c + d*x - ArcTan[3/2]), 2])/(13^(3/4)*d)) - (2*(3*Cos[c + d*x] - 2*Sin[c + d*x]))/(13*d*Sqrt[2*Cos[c + d*x] + 3*Sin[c + d*x]])}
+{1/(2*Cos[c+d*x] + 3*Sin[c+d*x])^(5/2), x, 3, (2*EllipticF[(1/2)*(c + d*x - ArcTan[3/2]), 2])/(39*13^(1/4)*d) - (2*(3*Cos[c + d*x] - 2*Sin[c + d*x]))/(39*d*(2*Cos[c + d*x] + 3*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(2*Cos[c+d*x] + 3*Sin[c+d*x])^(7/2), x, 4, -((6*EllipticE[(1/2)*(c + d*x - ArcTan[3/2]), 2])/(65*13^(3/4)*d)) - (2*(3*Cos[c + d*x] - 2*Sin[c + d*x]))/(65*d*(2*Cos[c + d*x] + 3*Sin[c + d*x])^(5/2)) - (6*(3*Cos[c + d*x] - 2*Sin[c + d*x]))/(845*d*Sqrt[2*Cos[c + d*x] + 3*Sin[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[c+d x] + i a Sin[c+d x])^n*)
+
+
+{(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^n, x, 1, -((I*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^n)/(d*n))}
+
+{(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^4, x, 1, -((I*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^4)/(4*d))}
+{(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^3, x, 1, -((I*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^3)/(3*d))}
+{(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2, x, 1, -((I*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2)/(2*d))}
+{(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^1, x, 3, -((I*a*Cos[c + d*x])/d) + (a*Sin[c + d*x])/d}
+{1/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^1, x, 1, I/(d*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x]))}
+{1/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2, x, 1, I/(2*d*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^2)}
+{1/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^3, x, 1, I/(3*d*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^3)}
+{1/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^4, x, 1, I/(4*d*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[c+d x] + i a Sin[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+{(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 1, -((2*I*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^(5/2))/(5*d))}
+{(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 1, -((2*I*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^(3/2))/(3*d))}
+{(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^(1/2), x, 1, -((2*I*Sqrt[a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x]])/d)}
+{1/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^(1/2), x, 1, (2*I)/(d*Sqrt[a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x]])}
+{1/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 1, (2*I)/(3*d*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 1, (2*I)/(5*d*(a*Cos[c + d*x] + I*a*Sin[c + d*x])^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[c+d x] + b Tan[c+d x])^n*)
+
+
+{(a*Sec[x] + b*Tan[x])^5, x, 8, (-(1/16))*(a + b)^3*(3*a^2 - 9*a*b + 8*b^2)*Log[1 - Sin[x]] + (1/16)*(a - b)^3*(3*a^2 + 9*a*b + 8*b^2)*Log[1 + Sin[x]] - (1/8)*a*(7 - (3*a^2)/b^2)*b^4*Sin[x] + (1/4)*Sec[x]^4*(b + a*Sin[x])*(a + b*Sin[x])^4 + (1/8)*Sec[x]^2*(a + b*Sin[x])^2*(2*b*(a^2 - 2*b^2) + a*(3*a^2 - 5*b^2)*Sin[x])}
+{(a*Sec[x] + b*Tan[x])^4, x, 4, b^4*x + (4/3)*a*b*(a^2 - 2*b^2)*Cos[x] + (1/3)*b^2*(2*a^2 - 3*b^2)*Cos[x]*Sin[x] + (1/3)*Sec[x]^3*(b + a*Sin[x])*(a + b*Sin[x])^3 - (1/3)*Sec[x]*(a + b*Sin[x])^2*(a*b - (2*a^2 - 3*b^2)*Sin[x])}
+{(a*Sec[x] + b*Tan[x])^3, x, 7, (-(1/4))*(a - 2*b)*(a + b)^2*Log[1 - Sin[x]] + (1/4)*(a - b)^2*(a + 2*b)*Log[1 + Sin[x]] + (1/2)*a*b^2*Sin[x] + (1/2)*Sec[x]^2*(b + a*Sin[x])*(a + b*Sin[x])^2}
+{(a*Sec[x] + b*Tan[x])^2, x, 4, (-b^2)*x + a*b*Cos[x] + Sec[x]*(b + a*Sin[x])*(a + b*Sin[x])}
+{(a*Sec[x] + b*Tan[x])^1, x, 3, a*ArcTanh[Sin[x]] - b*Log[Cos[x]]}
+{1/(a*Sec[x] + b*Tan[x])^1, x, 3, Log[a + b*Sin[x]]/b}
+{1/(a*Sec[x] + b*Tan[x])^2, x, 6, -(x/b^2) + (2*a*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^2*Sqrt[a^2 - b^2]) - Cos[x]/(b*(a + b*Sin[x]))}
+{1/(a*Sec[x] + b*Tan[x])^3, x, 4, -(Log[a + b*Sin[x]]/b^3) + (a^2 - b^2)/(2*b^3*(a + b*Sin[x])^2) - (2*a)/(b^3*(a + b*Sin[x]))}
+{1/(a*Sec[x] + b*Tan[x])^4, x, 8, x/b^4 - (a*(2*a^2 - 3*b^2)*ArcTan[(b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b^4*(a^2 - b^2)^(3/2)) - Cos[x]^3/(3*b*(a + b*Sin[x])^3) + (a*Cos[x]^3)/(2*b*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x])^2) + (Cos[x]*(2*(a^2 - b^2) + a*b*Sin[x]))/(2*b^3*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[x]))}
+{1/(a*Sec[x] + b*Tan[x])^5, x, 4, Log[a + b*Sin[x]]/b^5 - (a^2 - b^2)^2/(4*b^5*(a + b*Sin[x])^4) + (4*a*(a^2 - b^2))/(3*b^5*(a + b*Sin[x])^3) - (3*a^2 - b^2)/(b^5*(a + b*Sin[x])^2) + (4*a)/(b^5*(a + b*Sin[x]))}
+
+
+{(Sec[x] + Tan[x])^5, x, 4, -Log[1 - Sin[x]] + 2/(1 - Sin[x])^2 - 4/(1 - Sin[x])}
+{(Sec[x] + Tan[x])^4, x, 5, x + (2*Cos[x]^3)/(3*(1 - Sin[x])^3) - (2*Cos[x])/(1 - Sin[x])}
+{(Sec[x] + Tan[x])^3, x, 4, Log[1 - Sin[x]] + 2/(1 - Sin[x])}
+{(Sec[x] + Tan[x])^2, x, 4, -x + (2*Cos[x])/(1 - Sin[x])}
+{(Sec[x] + Tan[x])^1, x, 3, -2*Log[Cos[(1/4)*(Pi + 2*x)]], ArcTanh[Sin[x]] - Log[Cos[x]]}
+{1/(Sec[x] + Tan[x])^1, x, 3, Log[1 + Sin[x]]}
+{1/(Sec[x] + Tan[x])^2, x, 3, -x - (2*Cos[x])/(1 + Sin[x])}
+{1/(Sec[x] + Tan[x])^3, x, 4, -Log[1 + Sin[x]] - 2/(1 + Sin[x])}
+{1/(Sec[x] + Tan[x])^4, x, 4, x - (2*Cos[x]^3)/(3*(1 + Sin[x])^3) + (2*Cos[x])/(1 + Sin[x])}
+{1/(Sec[x] + Tan[x])^5, x, 4, Log[1 + Sin[x]] - 2/(1 + Sin[x])^2 + 4/(1 + Sin[x])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cot[c+d x] + b Csc[c+d x])^n*)
+
+
+{(a*Cot[x] + b*Csc[x])^5, x, 8, (1/8)*a^2*b*(7*a^2 - 3*b^2)*Cos[x] + (1/8)*(b + a*Cos[x])^2*(2*a*(2*a^2 - b^2) + b*(5*a^2 - 3*b^2)*Cos[x])*Csc[x]^2 - (1/4)*(b + a*Cos[x])^4*(a + b*Cos[x])*Csc[x]^4 + (1/16)*(a + b)^3*(8*a^2 - 9*a*b + 3*b^2)*Log[1 - Cos[x]] + (1/16)*(a - b)^3*(8*a^2 + 9*a*b + 3*b^2)*Log[1 + Cos[x]]}
+{(a*Cot[x] + b*Csc[x])^4, x, 4, a^4*x + (1/3)*(b + a*Cos[x])^2*(a*b + (3*a^2 - 2*b^2)*Cos[x])*Csc[x] - (1/3)*(b + a*Cos[x])^3*(a + b*Cos[x])*Csc[x]^3 + (4/3)*a*b*(2*a^2 - b^2)*Sin[x] + (1/3)*a^2*(3*a^2 - 2*b^2)*Cos[x]*Sin[x]}
+{(a*Cot[x] + b*Csc[x])^3, x, 7, (-(1/2))*a^2*b*Cos[x] - (1/2)*(b + a*Cos[x])^2*(a + b*Cos[x])*Csc[x]^2 - (1/4)*(2*a - b)*(a + b)^2*Log[1 - Cos[x]] - (1/4)*(a - b)^2*(2*a + b)*Log[1 + Cos[x]]}
+{(a*Cot[x] + b*Csc[x])^2, x, 4, (-a^2)*x - (b + a*Cos[x])*(a + b*Cos[x])*Csc[x] - a*b*Sin[x]}
+{(a*Cot[x] + b*Csc[x])^1, x, 3, (-b)*ArcTanh[Cos[x]] + a*Log[Sin[x]]}
+{1/(a*Cot[x] + b*Csc[x])^1, x, 3, -(Log[b + a*Cos[x]]/a)}
+{1/(a*Cot[x] + b*Csc[x])^2, x, 5, -(x/a^2) + (2*b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) + Sin[x]/(a*(b + a*Cos[x]))}
+{1/(a*Cot[x] + b*Csc[x])^3, x, 4, (a^2 - b^2)/(2*a^3*(b + a*Cos[x])^2) + (2*b)/(a^3*(b + a*Cos[x])) + Log[b + a*Cos[x]]/a^3}
+{1/(a*Cot[x] + b*Csc[x])^4, x, 7, x/a^4 - (b*(3*a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)) - ((2*(a^2 - b^2) - a*b*Cos[x])*Sin[x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)*(b + a*Cos[x])) + Sin[x]^3/(3*a*(b + a*Cos[x])^3) + (b*Sin[x]^3)/(2*a*(a^2 - b^2)*(b + a*Cos[x])^2)}
+{1/(a*Cot[x] + b*Csc[x])^5, x, 4, (a^2 - b^2)^2/(4*a^5*(b + a*Cos[x])^4) + (4*b*(a^2 - b^2))/(3*a^5*(b + a*Cos[x])^3) - (a^2 - 3*b^2)/(a^5*(b + a*Cos[x])^2) - (4*b)/(a^5*(b + a*Cos[x])) - Log[b + a*Cos[x]]/a^5}
+
+
+{(Csc[x] + Cot[x])^5, x, 4, -(2/(1 - Cos[x])^2) + 4/(1 - Cos[x]) + Log[1 - Cos[x]]}
+{(Csc[x] + Cot[x])^4, x, 5, x + (2*Sin[x])/(1 - Cos[x]) - (2*Sin[x]^3)/(3*(1 - Cos[x])^3)}
+{(Csc[x] + Cot[x])^3, x, 4, -(2/(1 - Cos[x])) - Log[1 - Cos[x]]}
+{(Csc[x] + Cot[x])^2, x, 4, -x - (2*Sin[x])/(1 - Cos[x])}
+{(Csc[x] + Cot[x])^1, x, 3, -ArcTanh[Cos[x]] + Log[Sin[x]]}
+{1/(Csc[x] + Cot[x])^1, x, 3, -Log[1 + Cos[x]]}
+{1/(Csc[x] + Cot[x])^2, x, 3, -x + (2*Sin[x])/(1 + Cos[x])}
+{1/(Csc[x] + Cot[x])^3, x, 4, 2/(1 + Cos[x]) + Log[1 + Cos[x]]}
+{1/(Csc[x] + Cot[x])^4, x, 4, x - (2*Sin[x])/(1 + Cos[x]) + (2*Sin[x]^3)/(3*(1 + Cos[x])^3)}
+{1/(Csc[x] + Cot[x])^5, x, 4, 2/(1 + Cos[x])^2 - 4/(1 + Cos[x]) - Log[1 + Cos[x]]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Csc[c+d x] + b Sin[c+d x])^n*)
+
+
+(* Note that Csc[x]-Sin[x] == Cos[x]*Cot[x] *)
+{(Csc[x] - Sin[x])^4, x, 6, (35*x)/8 + (35*Cot[x])/8 - (35*Cot[x]^3)/24 + (7/8)*Cos[x]^2*Cot[x]^3 + (1/4)*Cos[x]^4*Cot[x]^3}
+{(Csc[x] - Sin[x])^3, x, 6, (5/2)*ArcTanh[Cos[x]] - (5*Cos[x])/2 - (5*Cos[x]^3)/6 - (1/2)*Cos[x]^3*Cot[x]^2}
+{(Csc[x] - Sin[x])^2, x, 4, -((3*x)/2) - (3*Cot[x])/2 + (1/2)*Cos[x]^2*Cot[x]}
+{(Csc[x] - Sin[x]), x, 3, -ArcTanh[Cos[x]] + Cos[x]}
+{1/(Csc[x] - Sin[x])^1, x, 3, Sec[x]}
+{1/(Csc[x] - Sin[x])^2, x, 2, Tan[x]^3/3}
+{1/(Csc[x] - Sin[x])^3, x, 4, (-(1/3))*Sec[x]^3 + Sec[x]^5/5}
+{1/(Csc[x] - Sin[x])^4, x, 2, Tan[x]^5/5 + Tan[x]^7/7}
+{1/(Csc[x] - Sin[x])^5, x, 4, Sec[x]^5/5 - (2*Sec[x]^7)/7 + Sec[x]^9/9}
+{1/(Csc[x] - Sin[x])^6, x, 3, Tan[x]^7/7 + (2*Tan[x]^9)/9 + Tan[x]^11/11}
+{1/(Csc[x] - Sin[x])^7, x, 4, (-(1/7))*Sec[x]^7 + Sec[x]^9/3 - (3*Sec[x]^11)/11 + Sec[x]^13/13}
+
+
+{(Csc[x] - Sin[x])^(7/2), x, 6, (8/7)*Cos[x]*Cot[x]^2*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]] + (2/7)*Cos[x]^3*Cot[x]^2*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]] - (64/35)*Cot[x]*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]*Csc[x] + (256/35)*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]*Sec[x]}
+{(Csc[x] - Sin[x])^(5/2), x, 5, (-(16/15))*Cot[x]*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]] + (2/5)*Cos[x]^2*Cot[x]*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]] - (64/15)*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]*Tan[x]}
+{(Csc[x] - Sin[x])^(3/2), x, 4, (2/3)*Cos[x]*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]] - (8/3)*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]*Sec[x]}
+{(Csc[x] - Sin[x])^(1/2), x, 3, 2*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]*Tan[x]}
+{1/(Csc[x] - Sin[x])^(1/2), x, 8, (ArcTan[Sqrt[-Sin[x]]]*Cos[x])/(Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]*Sqrt[-Sin[x]]) - (ArcTanh[Sqrt[-Sin[x]]]*Cos[x])/(Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]*Sqrt[-Sin[x]])}
+{1/(Csc[x] - Sin[x])^(3/2), x, 9, Sec[x]/(2*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]) + (ArcTan[Sqrt[-Sin[x]]]*Cot[x]*Sqrt[-Sin[x]])/(4*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]) + (ArcTanh[Sqrt[-Sin[x]]]*Cot[x]*Sqrt[-Sin[x]])/(4*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]])}
+{1/(Csc[x] - Sin[x])^(5/2), x, 10, -((3*ArcTan[Sqrt[-Sin[x]]]*Cos[x])/(32*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]*Sqrt[-Sin[x]])) + (3*ArcTanh[Sqrt[-Sin[x]]]*Cos[x])/(32*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]*Sqrt[-Sin[x]]) - (3*Tan[x])/(16*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]) + (Sec[x]^2*Tan[x])/(4*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]])}
+{1/(Csc[x] - Sin[x])^(7/2), x, 11, (5*Sec[x])/(192*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]) - (5*Sec[x]^3)/(48*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]) - (5*ArcTan[Sqrt[-Sin[x]]]*Cot[x]*Sqrt[-Sin[x]])/(128*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]) - (5*ArcTanh[Sqrt[-Sin[x]]]*Cot[x]*Sqrt[-Sin[x]])/(128*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]]) + (Sec[x]^3*Tan[x]^2)/(6*Sqrt[Cos[x]*Cot[x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[c+d x] + b Cos[c+d x])^n*)
+
+
+(* Note that Sec[x]-Cos[x] == Sin[x]*Tan[x] *)
+{(Sec[x] - Cos[x])^4, x, 6, (35*x)/8 - (35*Tan[x])/8 + (35*Tan[x]^3)/24 - (7/8)*Sin[x]^2*Tan[x]^3 - (1/4)*Sin[x]^4*Tan[x]^3}
+{(Sec[x] - Cos[x])^3, x, 6, (-(5/2))*ArcTanh[Sin[x]] + (5*Sin[x])/2 + (5*Sin[x]^3)/6 + (1/2)*Sin[x]^3*Tan[x]^2}
+{(Sec[x] - Cos[x])^2, x, 4, -((3*x)/2) + (3*Tan[x])/2 - (1/2)*Sin[x]^2*Tan[x]}
+{(Sec[x] - Cos[x])^1, x, 3, ArcTanh[Sin[x]] - Sin[x]}
+{1/(Sec[x] - Cos[x])^1, x, 3, -Csc[x]}
+{1/(Sec[x] - Cos[x])^2, x, 2, (-(1/3))*Cot[x]^3}
+{1/(Sec[x] - Cos[x])^3, x, 4, Csc[x]^3/3 - Csc[x]^5/5}
+{1/(Sec[x] - Cos[x])^4, x, 2, (-(1/5))*Cot[x]^5 - Cot[x]^7/7}
+{1/(Sec[x] - Cos[x])^5, x, 4, (-(1/5))*Csc[x]^5 + (2*Csc[x]^7)/7 - Csc[x]^9/9}
+{1/(Sec[x] - Cos[x])^6, x, 3, (-(1/7))*Cot[x]^7 - (2*Cot[x]^9)/9 - Cot[x]^11/11}
+{1/(Sec[x] - Cos[x])^7, x, 4, Csc[x]^7/7 - Csc[x]^9/3 + (3*Csc[x]^11)/11 - Csc[x]^13/13}
+
+
+{(Sec[x] - Cos[x])^(7/2), x, 6, (-(256/35))*Csc[x]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]] + (64/35)*Sec[x]*Tan[x]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]] - (8/7)*Sin[x]*Tan[x]^2*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]] - (2/7)*Sin[x]^3*Tan[x]^2*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]]}
+{(Sec[x] - Cos[x])^(5/2), x, 5, (64/15)*Cot[x]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]] + (16/15)*Tan[x]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]] - (2/5)*Sin[x]^2*Tan[x]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]]}
+{(Sec[x] - Cos[x])^(3/2), x, 4, (8/3)*Csc[x]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]] - (2/3)*Sin[x]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]]}
+{(Sec[x] - Cos[x])^(1/2), x, 3, -2*Cot[x]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]]}
+{1/(Sec[x] - Cos[x])^(1/2), x, 8, (ArcTan[Sqrt[Cos[x]]]*Sin[x])/(Sqrt[Cos[x]]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]]) - (ArcTanh[Sqrt[Cos[x]]]*Sin[x])/(Sqrt[Cos[x]]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]])}
+{1/(Sec[x] - Cos[x])^(3/2), x, 9, -(Csc[x]/(2*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]])) + (ArcTan[Sqrt[Cos[x]]]*Sin[x])/(4*Sqrt[Cos[x]]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]]) + (ArcTanh[Sqrt[Cos[x]]]*Sin[x])/(4*Sqrt[Cos[x]]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]])}
+{1/(Sec[x] - Cos[x])^(5/2), x, 10, (3*Cot[x])/(16*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]]) - (Cot[x]*Csc[x]^2)/(4*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]]) - (3*ArcTan[Sqrt[Cos[x]]]*Sin[x])/(32*Sqrt[Cos[x]]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]]) + (3*ArcTanh[Sqrt[Cos[x]]]*Sin[x])/(32*Sqrt[Cos[x]]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]])}
+{1/(Sec[x] - Cos[x])^(7/2), x, 11, -((5*Csc[x])/(192*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]])) + (5*Csc[x]^3)/(48*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]]) - (Cot[x]^2*Csc[x]^3)/(6*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]]) - (5*ArcTan[Sqrt[Cos[x]]]*Sin[x])/(128*Sqrt[Cos[x]]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]]) - (5*ArcTanh[Sqrt[Cos[x]]]*Sin[x])/(128*Sqrt[Cos[x]]*Sqrt[Sin[x]*Tan[x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sin[c+d x] + b Tan[c+d x])^n*)
+
+
+{(Sin[x] + Tan[x])^4, x, 18, -((61*x)/8) - 2*ArcTanh[Sin[x]] + (19/8)*Cos[x]*Sin[x] + (1/4)*Cos[x]^3*Sin[x] - (4*Sin[x]^3)/3 + 5*Tan[x] + 2*Sec[x]*Tan[x] + Tan[x]^3/3}
+{(Sin[x] + Tan[x])^3, x, 4, 2*Cos[x] + (3*Cos[x]^2)/2 + Cos[x]^3/3 - 2*Log[Cos[x]] + 3*Sec[x] + Sec[x]^2/2}
+{(Sin[x] + Tan[x])^2, x, 9, -(x/2) + 2*ArcTanh[Sin[x]] - 2*Sin[x] - (1/2)*Cos[x]*Sin[x] + Tan[x]}
+{(Sin[x] + Tan[x])^1, x, 3, -Cos[x] - Log[Cos[x]]}
+{1/(Sin[x] + Tan[x])^1, x, 6, (-(1/2))*ArcTanh[Cos[x]] + (1/2)*Cot[x]*Csc[x] - Csc[x]^2/2}
+{1/(Sin[x] + Tan[x])^2, x, 11, (-(1/3))*Cot[x]^3 - (2*Cot[x]^5)/5 - (2*Csc[x]^3)/3 + (2*Csc[x]^5)/5}
+{1/(Sin[x] + Tan[x])^3, x, 5, (1/32)*ArcTanh[Cos[x]] - 1/(32*(1 - Cos[x])) - 1/(16*(1 + Cos[x])^4) + 1/(6*(1 + Cos[x])^3) - 3/(32*(1 + Cos[x])^2) - 1/(16*(1 + Cos[x]))}
+{1/(Sin[x] + Tan[x])^4, x, 18, (-(1/5))*Cot[x]^5 - (9*Cot[x]^7)/7 - (16*Cot[x]^9)/9 - (8*Cot[x]^11)/11 - (4*Csc[x]^5)/5 + (16*Csc[x]^7)/7 - (20*Csc[x]^9)/9 + (8*Csc[x]^11)/11}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A + B Trig[x]) (a Cos[x] + b Sin[x])^n*)
+
+
+{(A + C*Sin[x])/(b*Cos[x] + c*Sin[x]), x, 3, (c*C*x)/(b^2 + c^2) - (A*ArcTanh[(c*Cos[x] - b*Sin[x])/Sqrt[b^2 + c^2]])/Sqrt[b^2 + c^2] - (b*C*Log[b*Cos[x] + c*Sin[x]])/(b^2 + c^2)}
+{(A + C*Sin[x])/(b*Cos[x] + c*Sin[x])^2, x, 3, -((c*C*ArcTanh[(c*Cos[x] - b*Sin[x])/Sqrt[b^2 + c^2]])/(b^2 + c^2)^(3/2)) + (b*C - A*c*Cos[x] + A*b*Sin[x])/((b^2 + c^2)*(b*Cos[x] + c*Sin[x]))}
+{(A + C*Sin[x])/(b*Cos[x] + c*Sin[x])^3, x, 4, -((A*ArcTanh[(c*Cos[x] - b*Sin[x])/Sqrt[b^2 + c^2]])/(2*(b^2 + c^2)^(3/2))) + (b*C - A*c*Cos[x] + A*b*Sin[x])/(2*(b^2 + c^2)*(b*Cos[x] + c*Sin[x])^2) - (c^2*C*Cos[x] - b*c*C*Sin[x])/((b^2 + c^2)^2*(b*Cos[x] + c*Sin[x]))}
+
+
+{(A + B*Cos[x])/(b*Cos[x] + c*Sin[x]), x, 3, (b*B*x)/(b^2 + c^2) - (A*ArcTanh[(c*Cos[x] - b*Sin[x])/Sqrt[b^2 + c^2]])/Sqrt[b^2 + c^2] + (B*c*Log[b*Cos[x] + c*Sin[x]])/(b^2 + c^2)}
+{(A + B*Cos[x])/(b*Cos[x] + c*Sin[x])^2, x, 3, -((b*B*ArcTanh[(c*Cos[x] - b*Sin[x])/Sqrt[b^2 + c^2]])/(b^2 + c^2)^(3/2)) - (B*c + A*c*Cos[x] - A*b*Sin[x])/((b^2 + c^2)*(b*Cos[x] + c*Sin[x]))}
+{(A + B*Cos[x])/(b*Cos[x] + c*Sin[x])^3, x, 4, -((A*ArcTanh[(c*Cos[x] - b*Sin[x])/Sqrt[b^2 + c^2]])/(2*(b^2 + c^2)^(3/2))) - (B*c + A*c*Cos[x] - A*b*Sin[x])/(2*(b^2 + c^2)*(b*Cos[x] + c*Sin[x])^2) - (b*B*c*Cos[x] - b^2*B*Sin[x])/((b^2 + c^2)^2*(b*Cos[x] + c*Sin[x]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Trig[d+e x]^m (a + b Trig[d+e x] + c Trig[d+e x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a + b Cos[d+e x] + c Sin[d+e x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2-c^2=0*)
+
+
+{(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^4, x, 6, (35*(b^2 + c^2)^2*x)/8 - (35*c*(b^2 + c^2)^(3/2)*Cos[d + e*x])/(8*e) + (35*b*(b^2 + c^2)^(3/2)*Sin[d + e*x])/(8*e) - (35*(b^2 + c^2)*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))/(24*e) - (7*Sqrt[b^2 + c^2]*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2)/(12*e) - ((c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3)/(4*e)}
+{(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3, x, 5, (5*(b^2 + c^2)^(3/2)*x)/2 - (5*c*(b^2 + c^2)*Cos[d + e*x])/(2*e) + (5*b*(b^2 + c^2)*Sin[d + e*x])/(2*e) - (5*Sqrt[b^2 + c^2]*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))/(6*e) - ((c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2)/(3*e)}
+{(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2, x, 4, (3*(b^2 + c^2)*x)/2 - (3*c*Sqrt[b^2 + c^2]*Cos[d + e*x])/(2*e) + (3*b*Sqrt[b^2 + c^2]*Sin[d + e*x])/(2*e) - ((c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))/(2*e)}
+{Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x], x, 3, Sqrt[b^2 + c^2]*x - (c*Cos[d + e*x])/e + (b*Sin[d + e*x])/e}
+{(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(-1), x, 1, -((c - Sqrt[b^2 + c^2]*Sin[d + e*x])/(c*e*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])))}
+{(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(-2), x, 2, -(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/(3*Sqrt[b^2 + c^2]*e*(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2) - (c - Sqrt[b^2 + c^2]*Sin[d + e*x])/(3*c*Sqrt[b^2 + c^2]*e*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))}
+{(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(-3), x, 3, -(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/(5*Sqrt[b^2 + c^2]*e*(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3) - (2*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))/(15*(b^2 + c^2)*e*(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2) - (2*(c - Sqrt[b^2 + c^2]*Sin[d + e*x]))/(15*c*(b^2 + c^2)*e*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))}
+{(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(-4), x, 4, -(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/(7*Sqrt[b^2 + c^2]*e*(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^4) - (3*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))/(35*(b^2 + c^2)*e*(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3) - (2*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))/(35*(b^2 + c^2)^(3/2)*e*(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2) - (2*(c - Sqrt[b^2 + c^2]*Sin[d + e*x]))/(35*c*(b^2 + c^2)^(3/2)*e*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a-b=0*)
+
+
+{(2*a + 2*a*Cos[d + e*x] + 2*c*Sin[d + e*x])^3, x, 5, 4*a*(5*a^2 + 3*c^2)*x - (4*c*(15*a^2 + 4*c^2)*Cos[d + e*x])/(3*e) + (4*a*(15*a^2 + 4*c^2)*Sin[d + e*x])/(3*e) - (20*(a*c*Cos[d + e*x] - a^2*Sin[d + e*x])*(a + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))/(3*e) - (8*(c*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])*(a + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2)/(3*e)}
+{(2*a + 2*a*Cos[d + e*x] + 2*c*Sin[d + e*x])^2, x, 4, 2*(3*a^2 + c^2)*x - (6*a*c*Cos[d + e*x])/e + (6*a^2*Sin[d + e*x])/e - (2*(c*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])*(a + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))/e}
+{(2*a + 2*a*Cos[d + e*x] + 2*c*Sin[d + e*x])^1, x, 3, 2*a*x - (2*c*Cos[d + e*x])/e + (2*a*Sin[d + e*x])/e}
+{1/(2*a + 2*a*Cos[d + e*x] + 2*c*Sin[d + e*x])^1, x, 2, Log[a + c*Tan[(1/2)*(d + e*x)]]/(2*c*e)}
+{1/(2*a + 2*a*Cos[d + e*x] + 2*c*Sin[d + e*x])^2, x, 4, -((a*Log[a + c*Tan[(1/2)*(d + e*x)]])/(4*c^3*e)) - (c*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])/(4*c^2*e*(a + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))}
+{1/(2*a + 2*a*Cos[d + e*x] + 2*c*Sin[d + e*x])^3, x, 4, ((3*a^2 + c^2)*Log[a + c*Tan[(1/2)*(d + e*x)]])/(16*c^5*e) - (c*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])/(16*c^2*e*(a + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2) + (3*(a*c*Cos[d + e*x] - a^2*Sin[d + e*x]))/(16*c^4*e*(a + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))}
+{1/(2*a + 2*a*Cos[d + e*x] + 2*c*Sin[d + e*x])^4, x, 5, -((a*(5*a^2 + 3*c^2)*Log[a + c*Tan[(1/2)*(d + e*x)]])/(32*c^7*e)) - (c*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])/(48*c^2*e*(a + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3) + (5*(a*c*Cos[d + e*x] - a^2*Sin[d + e*x]))/(96*c^4*e*(a + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2) - (c*(15*a^2 + 4*c^2)*Cos[d + e*x] - a*(15*a^2 + 4*c^2)*Sin[d + e*x])/(96*c^6*e*(a + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))}
+
+
+{1/(2*a + 2*a*Cos[d + e*x] + 2*a*Sin[d + e*x])^1, x, 2, Log[1 + Tan[(1/2)*(d + e*x)]]/(2*a*e)}
+{1/(2*a + 2*a*Cos[d + e*x] + 2*a*Sin[d + e*x])^2, x, 4, -(Log[1 + Tan[(1/2)*(d + e*x)]]/(4*a^2*e)) - (a*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])/(4*e*(a^3 + a^3*Cos[d + e*x] + a^3*Sin[d + e*x]))}
+{1/(2*a + 2*a*Cos[d + e*x] + 2*a*Sin[d + e*x])^3, x, 4, Log[1 + Tan[(1/2)*(d + e*x)]]/(4*a^3*e) - (a*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])/(16*e*(a^2 + a^2*Cos[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x])^2) + (3*(Cos[d + e*x] - Sin[d + e*x]))/(16*e*(a^3 + a^3*Cos[d + e*x] + a^3*Sin[d + e*x]))}
+{1/(2*a + 2*a*Cos[d + e*x] + 2*a*Sin[d + e*x])^4, x, 5, -(Log[1 + Tan[(1/2)*(d + e*x)]]/(4*a^4*e)) - (Cos[d + e*x] - Sin[d + e*x])/(48*a*e*(a + a*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^3) + (5*(Cos[d + e*x] - Sin[d + e*x]))/(96*e*(a^2 + a^2*Cos[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x])^2) - (19*(a*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x]))/(96*e*(a^5 + a^5*Cos[d + e*x] + a^5*Sin[d + e*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a+b=0*)
+
+
+{(2*a - 2*a*Cos[d + e*x] + 2*c*Sin[d + e*x])^3, x, 5, 4*a*(5*a^2 + 3*c^2)*x - (4*c*(15*a^2 + 4*c^2)*Cos[d + e*x])/(3*e) - (4*a*(15*a^2 + 4*c^2)*Sin[d + e*x])/(3*e) - (20*(a*c*Cos[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x])*(a - a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))/(3*e) - (8*(c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])*(a - a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2)/(3*e)}
+{(2*a - 2*a*Cos[d + e*x] + 2*c*Sin[d + e*x])^2, x, 4, 2*(3*a^2 + c^2)*x - (6*a*c*Cos[d + e*x])/e - (6*a^2*Sin[d + e*x])/e - (2*(c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])*(a - a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))/e}
+{(2*a - 2*a*Cos[d + e*x] + 2*c*Sin[d + e*x])^1, x, 3, 2*a*x - (2*c*Cos[d + e*x])/e - (2*a*Sin[d + e*x])/e}
+{1/(2*a - 2*a*Cos[d + e*x] + 2*c*Sin[d + e*x])^1, x, 2, -(Log[a + c*Cot[(1/2)*(d + e*x)]]/(2*c*e))}
+{1/(2*a - 2*a*Cos[d + e*x] + 2*c*Sin[d + e*x])^2, x, 4, (a*Log[a + c*Cot[(1/2)*(d + e*x)]])/(4*c^3*e) - (c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(4*c^2*e*(a - a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))}
+{1/(2*a - 2*a*Cos[d + e*x] + 2*c*Sin[d + e*x])^3, x, 4, -(((3*a^2 + c^2)*Log[a + c*Cot[(1/2)*(d + e*x)]])/(16*c^5*e)) - (c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(16*c^2*e*(a - a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2) + (3*(a*c*Cos[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]))/(16*c^4*e*(a - a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))}
+{1/(2*a - 2*a*Cos[d + e*x] + 2*c*Sin[d + e*x])^4, x, 5, (a*(5*a^2 + 3*c^2)*Log[a + c*Cot[(1/2)*(d + e*x)]])/(32*c^7*e) - (c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(48*c^2*e*(a - a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3) + (5*(a*c*Cos[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]))/(96*c^4*e*(a - a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2) - (c*(15*a^2 + 4*c^2)*Cos[d + e*x] + a*(15*a^2 + 4*c^2)*Sin[d + e*x])/(96*c^6*e*(a - a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a-c=0*)
+
+
+{(2*a + 2*b*Cos[d + e*x] + 2*a*Sin[d + e*x])^3, x, 5, 4*a*(5*a^2 + 3*b^2)*x - (4*a*(15*a^2 + 4*b^2)*Cos[d + e*x])/(3*e) + (4*b*(15*a^2 + 4*b^2)*Sin[d + e*x])/(3*e) - (8*(a + b*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^2*(a*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))/(3*e) - (20*(a + b*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])*(a^2*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d + e*x]))/(3*e)}
+{(2*a + 2*b*Cos[d + e*x] + 2*a*Sin[d + e*x])^2, x, 4, 2*(3*a^2 + b^2)*x - (6*a^2*Cos[d + e*x])/e + (6*a*b*Sin[d + e*x])/e - (2*(a + b*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])*(a*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))/e}
+{(2*a + 2*b*Cos[d + e*x] + 2*a*Sin[d + e*x])^1, x, 3, 2*a*x - (2*a*Cos[d + e*x])/e + (2*b*Sin[d + e*x])/e}
+{1/(2*a + 2*b*Cos[d + e*x] + 2*a*Sin[d + e*x])^1, x, 2, -(Log[a + b*Cot[d/2 + Pi/4 + (e*x)/2]]/(2*b*e))}
+{1/(2*a + 2*b*Cos[d + e*x] + 2*a*Sin[d + e*x])^2, x, 4, (a*Log[a + b*Cot[d/2 + Pi/4 + (e*x)/2]])/(4*b^3*e) - (a*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/(4*b^2*e*(a + b*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x]))}
+{1/(2*a + 2*b*Cos[d + e*x] + 2*a*Sin[d + e*x])^3, x, 4, -(((3*a^2 + b^2)*Log[a + b*Cot[d/2 + Pi/4 + (e*x)/2]])/(16*b^5*e)) - (a*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/(16*b^2*e*(a + b*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^2) + (3*(a^2*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d + e*x]))/(16*b^4*e*(a + b*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x]))}
+{1/(2*a + 2*b*Cos[d + e*x] + 2*a*Sin[d + e*x])^4, x, 5, (a*(5*a^2 + 3*b^2)*Log[a + b*Cot[d/2 + Pi/4 + (e*x)/2]])/(32*b^7*e) - (a*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/(48*b^2*e*(a + b*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^3) + (5*(a^2*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d + e*x]))/(96*b^4*e*(a + b*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^2) - (a*(15*a^2 + 4*b^2)*Cos[d + e*x] - b*(15*a^2 + 4*b^2)*Sin[d + e*x])/(96*b^6*e*(a + b*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a+c=0*)
+
+
+{(2*a + 2*b*Cos[d + e*x] - 2*a*Sin[d + e*x])^3, x, 5, 4*a*(5*a^2 + 3*b^2)*x + (4*a*(15*a^2 + 4*b^2)*Cos[d + e*x])/(3*e) + (4*b*(15*a^2 + 4*b^2)*Sin[d + e*x])/(3*e) + (8*(a + b*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])^2*(a*Cos[d + e*x] + b*Sin[d + e*x]))/(3*e) + (20*(a + b*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])*(a^2*Cos[d + e*x] + a*b*Sin[d + e*x]))/(3*e)}
+{(2*a + 2*b*Cos[d + e*x] - 2*a*Sin[d + e*x])^2, x, 4, 2*(3*a^2 + b^2)*x + (6*a^2*Cos[d + e*x])/e + (6*a*b*Sin[d + e*x])/e + (2*(a + b*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])*(a*Cos[d + e*x] + b*Sin[d + e*x]))/e}
+{(2*a + 2*b*Cos[d + e*x] - 2*a*Sin[d + e*x])^1, x, 3, 2*a*x + (2*a*Cos[d + e*x])/e + (2*b*Sin[d + e*x])/e}
+{1/(2*a + 2*b*Cos[d + e*x] - 2*a*Sin[d + e*x])^1, x, 2, Log[a + b*Tan[d/2 + Pi/4 + (e*x)/2]]/(2*b*e)}
+{1/(2*a + 2*b*Cos[d + e*x] - 2*a*Sin[d + e*x])^2, x, 4, -((a*Log[a + b*Tan[d/2 + Pi/4 + (e*x)/2]])/(4*b^3*e)) + (a*Cos[d + e*x] + b*Sin[d + e*x])/(4*b^2*e*(a + b*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x]))}
+{1/(2*a + 2*b*Cos[d + e*x] - 2*a*Sin[d + e*x])^3, x, 4, ((3*a^2 + b^2)*Log[a + b*Tan[d/2 + Pi/4 + (e*x)/2]])/(16*b^5*e) + (a*Cos[d + e*x] + b*Sin[d + e*x])/(16*b^2*e*(a + b*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])^2) - (3*(a^2*Cos[d + e*x] + a*b*Sin[d + e*x]))/(16*b^4*e*(a + b*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x]))}
+{1/(2*a + 2*b*Cos[d + e*x] - 2*a*Sin[d + e*x])^4, x, 5, -((a*(5*a^2 + 3*b^2)*Log[a + b*Tan[d/2 + Pi/4 + (e*x)/2]])/(32*b^7*e)) + (a*Cos[d + e*x] + b*Sin[d + e*x])/(48*b^2*e*(a + b*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])^3) - (5*(a^2*Cos[d + e*x] + a*b*Sin[d + e*x]))/(96*b^4*e*(a + b*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])^2) + (a*(15*a^2 + 4*b^2)*Cos[d + e*x] + b*(15*a^2 + 4*b^2)*Sin[d + e*x])/(96*b^6*e*(a + b*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a,b,c*)
+
+
+{(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^4, x, 6, ((8*a^4 + 24*a^2*(b^2 + c^2) + 3*(b^2 + c^2)^2)*x)/8 - (5*a*c*(10*a^2 + 11*(b^2 + c^2))*Cos[d + e*x])/(24*e) + (5*a*b*(10*a^2 + 11*(b^2 + c^2))*Sin[d + e*x])/(24*e) - (7*(a*c*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d + e*x])*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2)/(12*e) - ((c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3)/(4*e) - ((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])*(c*(26*a^2 + 9*(b^2 + c^2))*Cos[d + e*x] - b*(26*a^2 + 9*(b^2 + c^2))*Sin[d + e*x]))/(24*e)}
+{(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3, x, 5, (a*(2*a^2 + 3*(b^2 + c^2))*x)/2 - (c*(11*a^2 + 4*(b^2 + c^2))*Cos[d + e*x])/(6*e) + (b*(11*a^2 + 4*(b^2 + c^2))*Sin[d + e*x])/(6*e) - (5*(a*c*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d + e*x])*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))/(6*e) - ((c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2)/(3*e)}
+{(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2, x, 4, ((2*a^2 + b^2 + c^2)*x)/2 - (3*a*c*Cos[d + e*x])/(2*e) + (3*a*b*Sin[d + e*x])/(2*e) - ((c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))/(2*e)}
+{a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x], x, 3, a*x - (c*Cos[d + e*x])/e + (b*Sin[d + e*x])/e}
+{1/(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^1, x, 3, (2*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/(Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]*e)}
+{1/(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2, x, 5, (2*a*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/((a^2 - b^2 - c^2)^(3/2)*e) + (c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/((a^2 - b^2 - c^2)*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))}
+{1/(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3, x, 5, ((2*a^2 + b^2 + c^2)*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/((a^2 - b^2 - c^2)^(5/2)*e) + (c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/(2*(a^2 - b^2 - c^2)*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2) + (3*(a*c*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d + e*x]))/(2*(a^2 - b^2 - c^2)^2*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))}
+{1/(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^4, x, 6, (a*(2*a^2 + 3*(b^2 + c^2))*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/((a^2 - b^2 - c^2)^(7/2)*e) + (c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/(3*(a^2 - b^2 - c^2)*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3) + (5*(a*c*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d + e*x]))/(6*(a^2 - b^2 - c^2)^2*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2) + (c*(11*a^2 + 4*(b^2 + c^2))*Cos[d + e*x] - b*(11*a^2 + 4*(b^2 + c^2))*Sin[d + e*x])/(6*(a^2 - b^2 - c^2)^3*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))}
+
+
+(* {1/(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^1, x, 1, (2*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[(d + e*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/(Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]*e)}
+{1/(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2, x, 3, (2*a*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[(d + e*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/((a^2 - b^2 - c^2)^(3/2)*e) + (c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/((a^2 - b^2 - c^2)*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))}
+{1/(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3, x, 3, ((2*a^2 + b^2 + c^2)*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[(d + e*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/((a^2 - b^2 - c^2)^(5/2)*e) + (c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/(2*(a^2 - b^2 - c^2)*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2) + (3*(a*c*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d + e*x]))/(2*(a^2 - b^2 - c^2)^2*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))}
+{1/(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^4, x, 4, (a*(2*a^2 + 3*(b^2 + c^2))*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[(d + e*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/((a^2 - b^2 - c^2)^(7/2)*e) + (c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/(3*(a^2 - b^2 - c^2)*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3) + (5*(a*c*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d + e*x]))/(6*(a^2 - b^2 - c^2)^2*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2) + (c*(11*a^2 + 4*(b^2 + c^2))*Cos[d + e*x] - b*(11*a^2 + 4*(b^2 + c^2))*Sin[d + e*x])/(6*(a^2 - b^2 - c^2)^3*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a + b Cos[d+e x] + c Sin[d+e x])^(n/2)*)
+
+
+{(2 + 3*Cos[d + e*x] + 5*Sin[d + e*x])^(5/2), x, 7, (796*Sqrt[2 + Sqrt[34]]*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[5/3])/2, (2*(17 - Sqrt[34]))/15])/(15*e) + (64*EllipticF[(d + e*x - ArcTan[5/3])/2, (2*(17 - Sqrt[34]))/15])/(Sqrt[2 + Sqrt[34]]*e) - (32*(5*Cos[d + e*x] - 3*Sin[d + e*x])*Sqrt[2 + 3*Cos[d + e*x] + 5*Sin[d + e*x]])/(15*e) - (2*(5*Cos[d + e*x] - 3*Sin[d + e*x])*(2 + 3*Cos[d + e*x] + 5*Sin[d + e*x])^(3/2))/(5*e)}
+{(2 + 3*Cos[d + e*x] + 5*Sin[d + e*x])^(3/2), x, 6, (16*Sqrt[2 + Sqrt[34]]*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[5/3])/2, (2*(17 - Sqrt[34]))/15])/(3*e) + (20*EllipticF[(d + e*x - ArcTan[5/3])/2, (2*(17 - Sqrt[34]))/15])/(Sqrt[2 + Sqrt[34]]*e) - (2*(5*Cos[d + e*x] - 3*Sin[d + e*x])*Sqrt[2 + 3*Cos[d + e*x] + 5*Sin[d + e*x]])/(3*e)}
+{Sqrt[2 + 3*Cos[d + e*x] + 5*Sin[d + e*x]], x, 2, (2*Sqrt[2 + Sqrt[34]]*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[5/3])/2, (2*(17 - Sqrt[34]))/15])/e}
+{1/Sqrt[2 + 3*Cos[d + e*x] + 5*Sin[d + e*x]], x, 2, (2*EllipticF[(d + e*x - ArcTan[5/3])/2, (2*(17 - Sqrt[34]))/15])/(Sqrt[2 + Sqrt[34]]*e)}
+{(2 + 3*Cos[d + e*x] + 5*Sin[d + e*x])^(-3/2), x, 3, -(Sqrt[2 + Sqrt[34]]*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[5/3])/2, (2*(17 - Sqrt[34]))/15])/(15*e) - (5*Cos[d + e*x] - 3*Sin[d + e*x])/(15*e*Sqrt[2 + 3*Cos[d + e*x] + 5*Sin[d + e*x]])}
+{(2 + 3*Cos[d + e*x] + 5*Sin[d + e*x])^(-5/2), x, 7, (4*Sqrt[2 + Sqrt[34]]*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[5/3])/2, (2*(17 - Sqrt[34]))/15])/(675*e) + EllipticF[(d + e*x - ArcTan[5/3])/2, (2*(17 - Sqrt[34]))/15]/(45*Sqrt[2 + Sqrt[34]]*e) - (5*Cos[d + e*x] - 3*Sin[d + e*x])/(45*e*(2 + 3*Cos[d + e*x] + 5*Sin[d + e*x])^(3/2)) + (4*(5*Cos[d + e*x] - 3*Sin[d + e*x]))/(675*e*Sqrt[2 + 3*Cos[d + e*x] + 5*Sin[d + e*x]])}
+{(2 + 3*Cos[d + e*x] + 5*Sin[d + e*x])^(-7/2), x, 8, (-199*Sqrt[2 + Sqrt[34]]*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[5/3])/2, (2*(17 - Sqrt[34]))/15])/(101250*e) - (8*EllipticF[(d + e*x - ArcTan[5/3])/2, (2*(17 - Sqrt[34]))/15])/(3375*Sqrt[2 + Sqrt[34]]*e) - (5*Cos[d + e*x] - 3*Sin[d + e*x])/(75*e*(2 + 3*Cos[d + e*x] + 5*Sin[d + e*x])^(5/2)) + (8*(5*Cos[d + e*x] - 3*Sin[d + e*x]))/(3375*e*(2 + 3*Cos[d + e*x] + 5*Sin[d + e*x])^(3/2)) - (199*(5*Cos[d + e*x] - 3*Sin[d + e*x]))/(101250*e*Sqrt[2 + 3*Cos[d + e*x] + 5*Sin[d + e*x]])}
+
+
+{(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(5/2), x, 7, (-16*(a*c*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d + e*x])*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])/(15*e) - (2*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2))/(5*e) + (2*(23*a^2 + 9*(b^2 + c^2))*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[b, c])/2, (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])/(15*e*Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]) - (16*a*(a^2 - b^2 - c^2)*EllipticF[(d + e*x - ArcTan[b, c])/2, (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])])/(15*e*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])}
+{(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2), x, 6, (-2*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])/(3*e) + (8*a*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[b, c])/2, (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])/(3*e*Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]) - (2*(a^2 - b^2 - c^2)*EllipticF[(d + e*x - ArcTan[b, c])/2, (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])])/(3*e*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])}
+{Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], x, 2, (2*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[b, c])/2, (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])/(e*Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])])}
+{1/Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], x, 2, (2*EllipticF[(d + e*x - ArcTan[b, c])/2, (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])])/(e*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])}
+{(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(-3/2), x, 3, (2*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))/((a^2 - b^2 - c^2)*e*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]) + (2*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[b, c])/2, (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])/((a^2 - b^2 - c^2)*e*Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])])}
+{(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(-5/2), x, 7, (2*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))/(3*(a^2 - b^2 - c^2)*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2)) + (8*(a*c*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d + e*x]))/(3*(a^2 - b^2 - c^2)^2*e*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]) + (8*a*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[b, c])/2, (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])/(3*(a^2 - b^2 - c^2)^2*e*Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]) - (2*EllipticF[(d + e*x - ArcTan[b, c])/2, (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])])/(3*(a^2 - b^2 - c^2)*e*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])}
+{(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(-7/2), x, 8, (2*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))/(5*(a^2 - b^2 - c^2)*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(5/2)) + (16*(a*c*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d + e*x]))/(15*(a^2 - b^2 - c^2)^2*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2)) + (2*(23*a^2 + 9*(b^2 + c^2))*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[b, c])/2, (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])/(15*(a^2 - b^2 - c^2)^3*e*Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]) - (16*a*EllipticF[(d + e*x - ArcTan[b, c])/2, (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])])/(15*(a^2 - b^2 - c^2)^2*e*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]) + (2*(c*(23*a^2 + 9*(b^2 + c^2))*Cos[d + e*x] - b*(23*a^2 + 9*(b^2 + c^2))*Sin[d + e*x]))/(15*(a^2 - b^2 - c^2)^3*e*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])}
+
+
+{(5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(5/2), x, 3, (-320*(3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x]))/(3*e*Sqrt[5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x]]) - (16*(3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x])*Sqrt[5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x]])/(3*e) - (2*(3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x])*(5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(3/2))/(5*e)}
+{(5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(3/2), x, 2, (-40*(3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x]))/(3*e*Sqrt[5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x]]) - (2*(3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x])*Sqrt[5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x]])/(3*e)}
+{Sqrt[5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x]], x, 1, (-2*(3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x]))/(e*Sqrt[5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x]])}
+{1/Sqrt[5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x]], x, 3, (Sqrt[2/5]*ArcTanh[Sin[d + e*x - ArcTan[3/4]]/(Sqrt[2]*Sqrt[1 + Cos[d + e*x - ArcTan[3/4]]])])/e}
+{(5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(-3/2), x, 4, ArcTanh[Sin[d + e*x - ArcTan[3/4]]/(Sqrt[2]*Sqrt[1 + Cos[d + e*x - ArcTan[3/4]]])]/(10*Sqrt[10]*e) - (3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x])/(10*e*(5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(3/2))}
+{(5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(-5/2), x, 5, (3*ArcTanh[Sin[d + e*x - ArcTan[3/4]]/(Sqrt[2]*Sqrt[1 + Cos[d + e*x - ArcTan[3/4]]])])/(400*Sqrt[10]*e) - (3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x])/(20*e*(5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(5/2)) - (3*(3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x]))/(400*e*(5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(3/2))}
+
+
+{(-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(7/2), x, 4, (6400*(3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x]))/(7*e*Sqrt[-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x]]) - (320*(3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x])*Sqrt[-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x]])/(7*e) + (24*(3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x])*(-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(3/2))/(7*e) - (2*(3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x])*(-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(5/2))/(7*e)}
+{(-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(5/2), x, 3, (-320*(3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x]))/(3*e*Sqrt[-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x]]) + (16*(3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x])*Sqrt[-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x]])/(3*e) - (2*(3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x])*(-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(3/2))/(5*e)}
+{(-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(3/2), x, 2, (40*(3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x]))/(3*e*Sqrt[-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x]]) - (2*(3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x])*Sqrt[-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x]])/(3*e)}
+{Sqrt[-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x]], x, 1, (-2*(3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x]))/(e*Sqrt[-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x]])}
+{1/Sqrt[-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x]], x, 3, -((Sqrt[2/5]*ArcTan[Sin[d + e*x - ArcTan[3/4]]/(Sqrt[2]*Sqrt[-1 + Cos[d + e*x - ArcTan[3/4]]])])/e)}
+{(-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(-3/2), x, 4, ArcTan[Sin[d + e*x - ArcTan[3/4]]/(Sqrt[2]*Sqrt[-1 + Cos[d + e*x - ArcTan[3/4]]])]/(10*Sqrt[10]*e) + (3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x])/(10*e*(-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(3/2))}
+{(-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(-5/2), x, 5, -((3*ArcTan[Sin[d + e*x - ArcTan[3/4]]/(Sqrt[2]*Sqrt[-1 + Cos[d + e*x - ArcTan[3/4]]])])/(400*Sqrt[10]*e)) + (3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x])/(20*e*(-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(5/2)) - (3*(3*Cos[d + e*x] - 4*Sin[d + e*x]))/(400*e*(-5 + 4*Cos[d + e*x] + 3*Sin[d + e*x])^(3/2))}
+
+
+{(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(7/2), x, 4, (-256*(b^2 + c^2)^(3/2)*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))/(35*e*Sqrt[Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]) - (64*(b^2 + c^2)*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*Sqrt[Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])/(35*e) - (24*Sqrt[b^2 + c^2]*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2))/(35*e) - (2*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(5/2))/(7*e)}
+{(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(5/2), x, 3, (-64*(b^2 + c^2)*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))/(15*e*Sqrt[Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]) - (16*Sqrt[b^2 + c^2]*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*Sqrt[Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])/(15*e) - (2*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2))/(5*e)}
+{(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2), x, 2, (-8*Sqrt[b^2 + c^2]*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))/(3*e*Sqrt[Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]) - (2*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*Sqrt[Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])/(3*e)}
+{Sqrt[Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], x, 1, (-2*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))/(e*Sqrt[Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])}
+{1/Sqrt[Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], x, 3, (Sqrt[2]*ArcTanh[((b^2 + c^2)^(1/4)*Sin[d + e*x - ArcTan[b, c]])/(Sqrt[2]*Sqrt[Sqrt[b^2 + c^2] + Sqrt[b^2 + c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]]])])/((b^2 + c^2)^(1/4)*e)}
+{(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(-3/2), x, 4, ArcTanh[((b^2 + c^2)^(1/4)*Sin[d + e*x - ArcTan[b, c]])/(Sqrt[2]*Sqrt[Sqrt[b^2 + c^2] + Sqrt[b^2 + c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]]])]/(2*Sqrt[2]*(b^2 + c^2)^(3/4)*e) - (c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/(2*Sqrt[b^2 + c^2]*e*(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2))}
+{(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(-5/2), x, 5, (3*ArcTanh[((b^2 + c^2)^(1/4)*Sin[d + e*x - ArcTan[b, c]])/(Sqrt[2]*Sqrt[Sqrt[b^2 + c^2] + Sqrt[b^2 + c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]]])])/(16*Sqrt[2]*(b^2 + c^2)^(5/4)*e) - (c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/(4*Sqrt[b^2 + c^2]*e*(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(5/2)) - (3*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))/(16*(b^2 + c^2)*e*(Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2))}
+
+
+{(-Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(5/2), x, 3, (-64*(b^2 + c^2)*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))/(15*e*Sqrt[-Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]) + (16*Sqrt[b^2 + c^2]*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*Sqrt[-Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])/(15*e) - (2*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*(-Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2))/(5*e)}
+{(-Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2), x, 2, (8*Sqrt[b^2 + c^2]*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))/(3*e*Sqrt[-Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]) - (2*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])*Sqrt[-Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])/(3*e)}
+{Sqrt[-Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], x, 1, (-2*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))/(e*Sqrt[-Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])}
+{1/Sqrt[-Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], x, 3, -((Sqrt[2]*ArcTan[((b^2 + c^2)^(1/4)*Sin[d + e*x - ArcTan[b, c]])/(Sqrt[2]*Sqrt[-Sqrt[b^2 + c^2] + Sqrt[b^2 + c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]]])])/((b^2 + c^2)^(1/4)*e))}
+{(-Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(-3/2), x, 4, ArcTan[((b^2 + c^2)^(1/4)*Sin[d + e*x - ArcTan[b, c]])/(Sqrt[2]*Sqrt[-Sqrt[b^2 + c^2] + Sqrt[b^2 + c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]]])]/(2*Sqrt[2]*(b^2 + c^2)^(3/4)*e) + (c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/(2*Sqrt[b^2 + c^2]*e*(-Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2))}
+{(-Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(-5/2), x, 5, -((3*ArcTan[((b^2 + c^2)^(1/4)*Sin[d + e*x - ArcTan[b, c]])/(Sqrt[2]*Sqrt[-Sqrt[b^2 + c^2] + Sqrt[b^2 + c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]]])])/(16*Sqrt[2]*(b^2 + c^2)^(5/4)*e)) + (c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/(4*Sqrt[b^2 + c^2]*e*(-Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(5/2)) - (3*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))/(16*(b^2 + c^2)*e*(-Sqrt[b^2 + c^2] + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[d+e x]^m (a + b Cos[d+e x] + c Sin[d+e x])^n*)
+
+
+{Sin[x]/(a + b*Cos[x] + c*Sin[x]), x, 4, (c*x)/(b^2 + c^2) - (2*a*c*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/(Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]*(b^2 + c^2)) - (b*Log[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]])/(b^2 + c^2)}
+{Sin[x]/(1 + Cos[x] + Sin[x]), x, 3, x/2 - Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]], x/2 - (1/2)*Log[1 + Cos[x] + Sin[x]] - (1/2)*Log[1 + Tan[x/2]]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[d+e x]^m (a + b Tan[d+e x] + c Sec[d+e x])^n*)
+
+
+{Sec[x]^0/(a + b*Tan[x] + c*Sec[x]), x, 5, (a*x)/(a^2 + b^2) + (2*a*c*ArcTanh[(b - (a - c)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2 - c^2]])/((a^2 + b^2)*Sqrt[a^2 + b^2 - c^2]) + (b*Log[c + a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)}
+{Sec[x]^1/(a + b*Tan[x] + c*Sec[x]), x, 4, -((2*ArcTanh[(b - (a - c)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2 - c^2]])/Sqrt[a^2 + b^2 - c^2])}
+{Sec[x]^2/(a + b*Tan[x] + c*Sec[x]), x, 10, -((2*a*c*ArcTanh[(b - (a - c)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2 - c^2]])/((b^2 - c^2)*Sqrt[a^2 + b^2 - c^2])) - Log[1 - Tan[x/2]]/(b + c) - Log[1 + Tan[x/2]]/(b - c) + (b*Log[a + c + 2*b*Tan[x/2] - (a - c)*Tan[x/2]^2])/(b^2 - c^2)}
+
+
+{(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2)/Sec[d + e*x]^(3/2), x, 7, -((2*(c*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*e*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))) + (8*b*EllipticE[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[a, c]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*e*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]) + (2*(a^2 - b^2 + c^2)*EllipticF[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[a, c]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*e*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2)}
+{(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(1/2)/Sec[d + e*x]^(1/2), x, 3, (2*EllipticE[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[a, c]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sqrt[a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]])/(e*Sqrt[Sec[d + e*x]]*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])}
+{Sec[d + e*x]^(1/2)/(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(1/2), x, 3, (2*EllipticF[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[a, c]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sqrt[Sec[d + e*x]]*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(e*Sqrt[a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]])}
+{Sec[d + e*x]^(3/2)/(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2), x, 4, -((2*Sec[d + e*x]^(3/2)*(c*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))/((a^2 - b^2 + c^2)*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))) - (2*EllipticE[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[a, c]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2)/((a^2 - b^2 + c^2)*e*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))}
+{Sec[d + e*x]^(5/2)/(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2), x, 8, -((2*Sec[d + e*x]^(5/2)*(c*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))/(3*(a^2 - b^2 + c^2)*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2))) + (8*Sec[d + e*x]^(5/2)*(b*c*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d + e*x])*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2)/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2)) + (8*b*EllipticE[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[a, c]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sec[d + e*x]^(5/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3)/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2)) + (2*EllipticF[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[a, c]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sec[d + e*x]^(5/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(3*(a^2 - b^2 + c^2)*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2))}
+
+
+{Cos[d + e*x]^(3/2)*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2), x, 7, -((2*Cos[d + e*x]^(3/2)*(c*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*e*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))) + (8*b*Cos[d + e*x]^(3/2)*EllipticE[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[a, c]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*e*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]) + (2*(a^2 - b^2 + c^2)*Cos[d + e*x]^(3/2)*EllipticF[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[a, c]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*e*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2)}
+{Cos[d + e*x]^(1/2)*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(1/2), x, 3, (2*Sqrt[Cos[d + e*x]]*EllipticE[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[a, c]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sqrt[a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]])/(e*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])}
+{1/(Cos[d + e*x]^(1/2)*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(1/2)), x, 3, (2*EllipticF[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[a, c]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(e*Sqrt[Cos[d + e*x]]*Sqrt[a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]])}
+{1/(Cos[d + e*x]^(3/2)*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2)), x, 4, -((2*(c*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))/((a^2 - b^2 + c^2)*e*Cos[d + e*x]^(3/2)*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))) - (2*EllipticE[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[a, c]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2)/((a^2 - b^2 + c^2)*e*Cos[d + e*x]^(3/2)*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))}
+{1/(Cos[d + e*x]^(5/2)*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2)), x, 8, -((2*(c*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))/(3*(a^2 - b^2 + c^2)*e*Cos[d + e*x]^(5/2)*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2))) + (8*(b*c*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d + e*x])*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2)/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*Cos[d + e*x]^(5/2)*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2)) + (8*b*EllipticE[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[a, c]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3)/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*Cos[d + e*x]^(5/2)*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2)) + (2*EllipticF[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[a, c]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(3*(a^2 - b^2 + c^2)*e*Cos[d + e*x]^(5/2)*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Csc[d+e x]^m (a + b Cot[d+e x] + c Csc[d+e x])^n*)
+
+
+{Csc[x]^0/(a + b*Cot[x] + c*Csc[x]), x, 5, (a*x)/(a^2 + b^2) + (2*a*c*ArcTanh[(a - (b - c)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2 - c^2]])/((a^2 + b^2)*Sqrt[a^2 + b^2 - c^2]) - (b*Log[c + b*Cos[x] + a*Sin[x]])/(a^2 + b^2)}
+{Csc[x]^1/(a + b*Cot[x] + c*Csc[x]), x, 4, -((2*ArcTanh[(a - (b - c)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2 - c^2]])/Sqrt[a^2 + b^2 - c^2])}
+{Csc[x]^2/(a + b*Cot[x] + c*Csc[x]), x, 9, -((2*a*c*ArcTanh[(a - (b - c)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2 - c^2]])/((b^2 - c^2)*Sqrt[a^2 + b^2 - c^2])) + Log[Tan[x/2]]/(b + c) - (b*Log[b + c + 2*a*Tan[x/2] - (b - c)*Tan[x/2]^2])/(b^2 - c^2)}
+
+{Csc[x]^1/(2 + 2*Cot[x] + 3*Csc[x]), x, 4, x + 2*ArcTan[(Cos[x] - Sin[x])/(2 + Cos[x] + Sin[x])]}
+
+
+{(a + b*Csc[d + e*x] + c*Cot[d + e*x])^(3/2)/Csc[d + e*x]^(3/2), x, 7, (8*b*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2)*EllipticE[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[c, a]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(3*e*Csc[d + e*x]^(3/2)*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])*Sqrt[(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]) + (2*(a^2 - b^2 + c^2)*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2)*EllipticF[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[c, a]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sqrt[(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(3*e*Csc[d + e*x]^(3/2)*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^2) - (2*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2)*(a*Cos[d + e*x] - c*Sin[d + e*x]))/(3*e*Csc[d + e*x]^(3/2)*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x]))}
+{(a + b*Csc[d + e*x] + c*Cot[d + e*x])^(1/2)/Csc[d + e*x]^(1/2), x, 3, (2*Sqrt[a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x]]*EllipticE[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[c, a]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(e*Sqrt[Csc[d + e*x]]*Sqrt[(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])}
+{Csc[d + e*x]^(1/2)/(a + b*Csc[d + e*x] + c*Cot[d + e*x])^(1/2), x, 3, (2*Sqrt[Csc[d + e*x]]*EllipticF[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[c, a]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sqrt[(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(e*Sqrt[a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x]])}
+{Csc[d + e*x]^(3/2)/(a + b*Csc[d + e*x] + c*Cot[d + e*x])^(3/2), x, 4, -((2*Csc[d + e*x]^(3/2)*EllipticE[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[c, a]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^2)/((a^2 - b^2 + c^2)*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2)*Sqrt[(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])) - (2*Csc[d + e*x]^(3/2)*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])*(a*Cos[d + e*x] - c*Sin[d + e*x]))/((a^2 - b^2 + c^2)*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2))}
+{Csc[d + e*x]^(5/2)/(a + b*Csc[d + e*x] + c*Cot[d + e*x])^(5/2), x, 8, (8*b*Csc[d + e*x]^(5/2)*EllipticE[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[c, a]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^3)/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2)*Sqrt[(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]) + (2*Csc[d + e*x]^(5/2)*EllipticF[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[c, a]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^2*Sqrt[(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(3*(a^2 - b^2 + c^2)*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2)) - (2*Csc[d + e*x]^(5/2)*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])*(a*Cos[d + e*x] - c*Sin[d + e*x]))/(3*(a^2 - b^2 + c^2)*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2)) + (8*Csc[d + e*x]^(5/2)*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^2*(a*b*Cos[d + e*x] - b*c*Sin[d + e*x]))/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2))}
+
+
+{Sin[d + e*x]^(3/2)*(a + b*Csc[d + e*x] + c*Cot[d + e*x])^(3/2), x, 7, (8*b*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2)*EllipticE[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[c, a]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sin[d + e*x]^(3/2))/(3*e*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])*Sqrt[(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]) + (2*(a^2 - b^2 + c^2)*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2)*EllipticF[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[c, a]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sin[d + e*x]^(3/2)*Sqrt[(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(3*e*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^2) - (2*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2)*Sin[d + e*x]^(3/2)*(a*Cos[d + e*x] - c*Sin[d + e*x]))/(3*e*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x]))}
+{Sin[d + e*x]^(1/2)*(a + b*Csc[d + e*x] + c*Cot[d + e*x])^(1/2), x, 3, (2*Sqrt[a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x]]*EllipticE[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[c, a]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sqrt[Sin[d + e*x]])/(e*Sqrt[(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])}
+{1/(Sin[d + e*x]^(1/2)*(a + b*Csc[d + e*x] + c*Cot[d + e*x])^(1/2)), x, 3, (2*EllipticF[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[c, a]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sqrt[(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(e*Sqrt[a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x]]*Sqrt[Sin[d + e*x]])}
+{1/(Sin[d + e*x]^(3/2)*(a + b*Csc[d + e*x] + c*Cot[d + e*x])^(3/2)), x, 4, -((2*EllipticE[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[c, a]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^2)/((a^2 - b^2 + c^2)*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2)*Sin[d + e*x]^(3/2)*Sqrt[(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])) - (2*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])*(a*Cos[d + e*x] - c*Sin[d + e*x]))/((a^2 - b^2 + c^2)*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2)*Sin[d + e*x]^(3/2))}
+{1/(Sin[d + e*x]^(5/2)*(a + b*Csc[d + e*x] + c*Cot[d + e*x])^(5/2)), x, 8, (8*b*EllipticE[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[c, a]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^3)/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2)*Sin[d + e*x]^(5/2)*Sqrt[(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]) + (2*EllipticF[(1/2)*(d + e*x - ArcTan[c, a]), (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^2*Sqrt[(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(3*(a^2 - b^2 + c^2)*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2)*Sin[d + e*x]^(5/2)) - (2*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])*(a*Cos[d + e*x] - c*Sin[d + e*x]))/(3*(a^2 - b^2 + c^2)*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2)*Sin[d + e*x]^(5/2)) + (8*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^2*(a*b*Cos[d + e*x] - b*c*Sin[d + e*x]))/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2)*Sin[d + e*x]^(5/2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Trig[c+d x]^2 + b Trig[c+d x]^2)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cos[c+d x]^2 + b Sin[c+d x]^2)^n*)
+
+
+{1/(Cos[x]^2 + Sin[x]^2), x, 2, x}
+{1/(Cos[x]^2 + Sin[x]^2)^2, x, 2, x}
+{1/(Cos[x]^2 + Sin[x]^2)^3, x, 2, x}
+
+{1/(Cos[x]^2 - Sin[x]^2), x, 2, (1/2)*ArcTanh[2*Cos[x]*Sin[x]]}
+{1/(Cos[x]^2 - Sin[x]^2)^2, x, 2, Tan[x]/(1 - Tan[x]^2)}
+{1/(Cos[x]^2 - Sin[x]^2)^3, x, 4, (1/4)*ArcTanh[2*Cos[x]*Sin[x]] + (Sec[x]^2*Tan[x])/(2*(1 - Tan[x]^2)^2)}
+
+
+{1/(Cos[x]^2 + a^2*Sin[x]^2), x, 2, ArcTan[a*Tan[x]]/a}
+{1/(b^2*Cos[x]^2 + Sin[x]^2), x, 2, ArcTan[Tan[x]/b]/b}
+{1/(b^2*Cos[x]^2 + a^2*Sin[x]^2), x, 2, ArcTan[(a*Tan[x])/b]/(a*b)}
+{1/(4*Cos[1 + 2*x]^2 + 3*Sin[1 + 2*x]^2), x, 2, x/(2*Sqrt[3]) - ArcTan[(Cos[1 + 2*x]*Sin[1 + 2*x])/(3 + 2*Sqrt[3] + Cos[1 + 2*x]^2)]/(4*Sqrt[3])}
+
+
+{Sin[x]^2/(a*Cos[x]^2 + b*Sin[x]^2), x, 4, -(x/(a - b)) + (Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[x])/Sqrt[a]])/((a - b)*Sqrt[b])}
+{Cos[x]^2/(a*Cos[x]^2 + b*Sin[x]^2), x, 4, x/(a - b) - (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a - b))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sec[c+d x]^2 + b Tan[c+d x]^2)^n*)
+
+
+{1/(Sec[x]^2 + Tan[x]^2)^1, x, 4, -x + Sqrt[2]*x + Sqrt[2]*ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Sin[x]^2)]}
+{1/(Sec[x]^2 + Tan[x]^2)^2, x, 6, x - x/Sqrt[2] - ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Sin[x]^2)]/Sqrt[2] + Tan[x]/(1 + 2*Tan[x]^2)}
+{1/(Sec[x]^2 + Tan[x]^2)^3, x, 6, -x + (7*x)/(4*Sqrt[2]) + (7*ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Sin[x]^2)])/(4*Sqrt[2]) + Tan[x]/(2*(1 + 2*Tan[x]^2)^2) - Tan[x]/(4*(1 + 2*Tan[x]^2))}
+
+{1/(Sec[x]^2 - Tan[x]^2)^1, x, 2, x}
+{1/(Sec[x]^2 - Tan[x]^2)^2, x, 2, x}
+{1/(Sec[x]^2 - Tan[x]^2)^3, x, 2, x}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cot[c+d x]^2 + b Csc[c+d x]^2)^n*)
+
+
+{1/(Cot[x]^2 + Csc[x]^2)^1, x, 4, -x + Sqrt[2]*x - Sqrt[2]*ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Cos[x]^2)]}
+{1/(Cot[x]^2 + Csc[x]^2)^2, x, 6, x - x/Sqrt[2] + ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Cos[x]^2)]/Sqrt[2] - Tan[x]/(2 + Tan[x]^2)}
+{1/(Cot[x]^2 + Csc[x]^2)^3, x, 6, -x + (7*x)/(4*Sqrt[2]) - (7*ArcTan[(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Sqrt[2] + Cos[x]^2)])/(4*Sqrt[2]) - Tan[x]^3/(2*(2 + Tan[x]^2)^2) + Tan[x]/(4*(2 + Tan[x]^2))}
+
+{1/(Cot[x]^2 - Csc[x]^2)^1, x, 2, -x}
+{1/(Cot[x]^2 - Csc[x]^2)^2, x, 2, x}
+{1/(Cot[x]^2 - Csc[x]^2)^3, x, 2, -x}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a + b Trig[d+e x]^2 + c Trig[d+e x]^2)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a + b Cos[d+e x]^2 + c Sin[d+e x]^2)^n*)
+
+
+{1/(a + b*Cos[x]^2 + c*Sin[x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[a + c]*Tan[x])/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c])}
+{x/(a + b*Cos[x]^2 + c*Sin[x]^2), x, 9, -((I*x*Log[1 + ((b - c)*E^(2*I*x))/(2*a + b + c - 2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c])])/(2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c])) + (I*x*Log[1 + ((b - c)*E^(2*I*x))/(2*a + b + c + 2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c])])/(2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]) - PolyLog[2, -(((b - c)*E^(2*I*x))/(2*a + b + c - 2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]))]/(4*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]) + PolyLog[2, -(((b - c)*E^(2*I*x))/(2*a + b + c + 2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]))]/(4*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c])}
+{x^2/(a + b*Cos[x]^2 + c*Sin[x]^2), x, 11, -((I*x^2*Log[1 + ((b - c)*E^(2*I*x))/(2*a + b + c - 2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c])])/(2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c])) + (I*x^2*Log[1 + ((b - c)*E^(2*I*x))/(2*a + b + c + 2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c])])/(2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]) - (x*PolyLog[2, -(((b - c)*E^(2*I*x))/(2*a + b + c - 2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]))])/(2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]) + (x*PolyLog[2, -(((b - c)*E^(2*I*x))/(2*a + b + c + 2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]))])/(2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]) - (I*PolyLog[3, -(((b - c)*E^(2*I*x))/(2*a + b + c - 2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]))])/(4*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]) + (I*PolyLog[3, -(((b - c)*E^(2*I*x))/(2*a + b + c + 2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]))])/(4*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c])}
+(* {x^3/(a + b*Cos[x]^2 + c*Sin[x]^2), x, 13, -((I*x^3*Log[1 + ((b - c)*E^(2*I*x))/(2*a + b + c - 2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c])])/(2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c])) + (I*x^3*Log[1 + ((b - c)*E^(2*I*x))/(2*a + b + c + 2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c])])/(2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]) - (3*x^2*PolyLog[2, -(((b - c)*E^(2*I*x))/(2*a + b + c - 2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]))])/(4*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]) + (3*x^2*PolyLog[2, -(((b - c)*E^(2*I*x))/(2*a + b + c + 2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]))])/(4*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]) - (3*I*x*PolyLog[3, -(((b - c)*E^(2*I*x))/(2*a + b + c - 2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]))])/(4*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]) + (3*I*x*PolyLog[3, -(((b - c)*E^(2*I*x))/(2*a + b + c + 2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]))])/(4*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]) + (3*PolyLog[4, -(((b - c)*E^(2*I*x))/(2*a + b + c - 2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]))])/(8*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]) - (3*PolyLog[4, -(((b - c)*E^(2*I*x))/(2*a + b + c + 2*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c]))])/(8*Sqrt[a + b]*Sqrt[a + c])} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e Sin[d+e x])^m (a + b Sin[d+e x] + c Sin[d+e x]^2)^n*)
+
+
+(* {(a + b*Sin[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^3, x, 8, (a*(5*a^6 + 120*a^4*b^2 + 240*a^2*b^4 + 64*b^6)*x)/16 - (b*(512*a^6 + 2789*a^4*b^2 + 1664*a^2*b^4 + 40*b^6)*Cos[d + e*x])/(140*e) - (a*(175*a^6 + 2502*a^4*b^2 + 2248*a^2*b^4 + 80*b^6)*Cos[d + e*x]*Sin[d + e*x])/(560*e) - (b*(337*a^4 + 624*a^2*b^2 + 40*b^4)*Cos[d + e*x]*(b + a*Sin[d + e*x])^2)/(280*e) - ((175*a^4 + 992*a^2*b^2 + 120*b^4)*Cos[d + e*x]*(b + a*Sin[d + e*x])^3)/(840*e) - (b*(113*a^2 + 30*b^2)*Cos[d + e*x]*(b + a*Sin[d + e*x])^4)/(210*e) - ((7*a^2 + 6*b^2)*Cos[d + e*x]*(b + a*Sin[d + e*x])^5)/(42*e) - (b*Cos[d + e*x]*(b + a*Sin[d + e*x])^6)/(7*e)} *)
+{(a + b*Sin[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^2, x, 5, (3*a*(a^4 + 12*a^2*b^2 + 8*b^4)*x)/8 - (b*(32*a^4 + 69*a^2*b^2 + 4*b^4)*Cos[d + e*x])/(10*e) - (a*(15*a^4 + 82*a^2*b^2 + 8*b^4)*Cos[d + e*x]*Sin[d + e*x])/(40*e) - (b*(17*a^2 + 4*b^2)*Cos[d + e*x]*(b + a*Sin[d + e*x])^2)/(20*e) - ((5*a^2 + 4*b^2)*Cos[d + e*x]*(b + a*Sin[d + e*x])^3)/(20*e) - (b*Cos[d + e*x]*(b + a*Sin[d + e*x])^4)/(5*e)}
+{(a + b*Sin[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2), x, 2, (1/2)*a*(a^2 + 4*b^2)*x + ((a^4 - 8*a^2*b^2 - 3*b^4)*Cos[d + e*x])/(3*b*e) + (a*(a^2 - 6*b^2)*Cos[d + e*x]*Sin[d + e*x])/(6*e) - (a^2*Cos[d + e*x]*(a + b*Sin[d + e*x])^2)/(3*b*e)}
+{(a + b*Sin[d + e*x])/(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2), x, 3, -(Cos[d + e*x]/(e*(b + a*Sin[d + e*x])))}
+{(a + b*Sin[d + e*x])/(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^2, x, 9, (2*a*b*ArcTanh[(a + b*Tan[(d + e*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(5/2)*e) - Cos[d + e*x]/(3*e*(b + a*Sin[d + e*x])^3) + (b*Cos[d + e*x])/(3*(a^2 - b^2)*e*(b + a*Sin[d + e*x])^2) - ((2*a^2 + b^2)*Cos[d + e*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*e*(b + a*Sin[d + e*x]))}
+(* {(a + b*Sin[d + e*x])/(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^3, x, 9, (a*b*(3*a^2 + 4*b^2)*ArcTanh[(a + b*Tan[(d + e*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/((a^2 - b^2)^(9/2)*e) - Cos[d + e*x]/(5*e*(b + a*Sin[d + e*x])^5) + (b*Cos[d + e*x])/(5*(a^2 - b^2)*e*(b + a*Sin[d + e*x])^4) - ((4*a^2 + 3*b^2)*Cos[d + e*x])/(15*(a^2 - b^2)^2*e*(b + a*Sin[d + e*x])^3) + (b*(29*a^2 + 6*b^2)*Cos[d + e*x])/(30*(a^2 - b^2)^3*e*(b + a*Sin[d + e*x])^2) - ((16*a^4 + 83*a^2*b^2 + 6*b^4)*Cos[d + e*x])/(30*(a^2 - b^2)^4*e*(b + a*Sin[d + e*x]))} *)
+
+
+{(d + e*Sin[x])/(a + b*Sin[x] + c*Sin[x]^2), x, 7, (Sqrt[2]*(e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(2*c + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]] + (Sqrt[2]*(e - (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(2*c + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]])])/Sqrt[b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]}
+
+
+(* {(a + b*Sin[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(5/2), x, 7, -(b*Cos[d + e*x]*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(5/2))/(6*e) - ((32*a^6 + 544*a^4*b^2 + 559*a^2*b^4 + 20*b^6)*Cos[d + e*x]*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(5/2))/(60*e*(b + a*Sin[d + e*x])^5) - ((32*a^4 + 179*a^2*b^2 + 20*b^4)*Cos[d + e*x]*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(5/2))/(120*e*(b + a*Sin[d + e*x])^3) - (b*(79*a^2 + 20*b^2)*Cos[d + e*x]*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(5/2))/(120*e*(b + a*Sin[d + e*x])^2) - ((6*a^2 + 5*b^2)*Cos[d + e*x]*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(5/2))/(30*e*(b + a*Sin[d + e*x])) + (7*a^6*b*(5*a^4 + 20*a^2*b^2 + 8*b^4)*x*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(5/2))/(16*(a*b + a^2*Sin[d + e*x])^5) - (a^6*b*(397*a^4 + 718*a^2*b^2 + 40*b^4)*Cos[d + e*x]*Sin[d + e*x]*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(5/2))/(240*e*(a*b + a^2*Sin[d + e*x])^5)} *)
+{(a + b*Sin[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(3/2), x, 4, -(b*Cos[d + e*x]*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(3/2))/(4*e) - ((4*a^4 + 28*a^2*b^2 + 3*b^4)*Cos[d + e*x]*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(3/2))/(6*e*(b + a*Sin[d + e*x])^3) - ((4*a^2 + 3*b^2)*Cos[d + e*x]*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(3/2))/(12*e*(b + a*Sin[d + e*x])) + (5*a^4*b*(3*a^2 + 4*b^2)*x*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(3/2))/(8*(a*b + a^2*Sin[d + e*x])^3) - (a^4*b*(29*a^2 + 6*b^2)*Cos[d + e*x]*Sin[d + e*x]*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(3/2))/(24*e*(a*b + a^2*Sin[d + e*x])^3)}
+{(a + b*Sin[d + e*x])*Sqrt[b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2], x, 2, -(((a^2 + b^2)*Cos[d + e*x]*Sqrt[b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2])/(e*(b + a*Sin[d + e*x]))) + (3*a^2*b*x*Sqrt[b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2])/(2*(a*b + a^2*Sin[d + e*x])) - (a^2*b*Cos[d + e*x]*Sin[d + e*x]*Sqrt[b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2])/(2*e*(a*b + a^2*Sin[d + e*x]))}
+{(a + b*Sin[d + e*x])/Sqrt[b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2], x, 5, (b*x*(b + a*Sin[d + e*x]))/(a*Sqrt[b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2]) - (2*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTanh[(a + b*Tan[(d + e*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]]*(b + a*Sin[d + e*x]))/(a*e*Sqrt[b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2])}
+{(a + b*Sin[d + e*x])/(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(3/2), x, 8, -(Cos[d + e*x]*(b + a*Sin[d + e*x]))/(2*e*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(3/2)) - (ArcTanh[(a + b*Tan[(d + e*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]]*(a*b + a^2*Sin[d + e*x])^3)/(a^2*(a^2 - b^2)^(3/2)*e*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(3/2)) + (b*Cos[d + e*x]*(a*b + a^2*Sin[d + e*x])^3)/(2*(a^2 - b^2)*e*(a^3*b + a^4*Sin[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(3/2))}
+(* {(a + b*Sin[d + e*x])/(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(5/2), x, 8, -(Cos[d + e*x]*(b + a*Sin[d + e*x]))/(4*e*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(5/2)) + (b*Cos[d + e*x]*(b + a*Sin[d + e*x])^2)/(4*(a^2 - b^2)*e*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(5/2)) + (b*(13*a^2 + 2*b^2)*Cos[d + e*x]*(b + a*Sin[d + e*x])^4)/(8*(a^2 - b^2)^3*e*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(5/2)) - (3*(a^2 + 4*b^2)*ArcTanh[(a + b*Tan[(d + e*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]]*(a*b + a^2*Sin[d + e*x])^5)/(4*a^4*(a^2 - b^2)^(7/2)*e*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(5/2)) - ((3*a^2 + 2*b^2)*Cos[d + e*x]*(a*b + a^2*Sin[d + e*x])^5)/(8*a*(a^2 - b^2)^2*e*(a^2*b + a^3*Sin[d + e*x])^2*(b^2 + 2*a*b*Sin[d + e*x] + a^2*Sin[d + e*x]^2)^(5/2))} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e Cos[d+e x])^m (a + b Cos[d+e x] + c Cos[d+e x]^2)^n*)
+
+
+{(a + b*Cos[x])/(b^2 + 2*a*b*Cos[x] + a^2*Cos[x]^2), x, 3, Sin[x]/(b + a*Cos[x])}
+{(d + e*Cos[x])/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2), x, 5, (2*(e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + (2*(e - (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e Tan[d+e x])^m (a + b Tan[d+e x] + c Tan[d+e x]^2)^n*)
+
+
+(* {(a + b*Tan[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^3, x, 10, -(a*(a^2 + b^2)*(a^4 - 10*a^2*b^2 + 5*b^4)*x) - (b*(a^2 + b^2)*(5*a^4 - 10*a^2*b^2 + b^4)*Log[Cos[d + e*x]])/e + ((a^2 + b^2)*(a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*(b + a*Tan[d + e*x]))/e - (b*(3*a^2 - b^2)*(a^2 + b^2)*(b + a*Tan[d + e*x])^2)/(2*e) - ((a^4 - b^4)*(b + a*Tan[d + e*x])^3)/(3*e) + (b*(a^2 + b^2)*(b + a*Tan[d + e*x])^4)/(4*e) + ((a^2 + b^2)*(b + a*Tan[d + e*x])^5)/(5*e) + (b*(b + a*Tan[d + e*x])^6)/(6*e)} *)
+{(a + b*Tan[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^2, x, 7, a*(a^2 - 3*b^2)*(a^2 + b^2)*x + (b*(3*a^2 - b^2)*(a^2 + b^2)*Log[Cos[d + e*x]])/e - (a*(a^4 - b^4)*Tan[d + e*x])/e + (b*(a^2 + b^2)*(b + a*Tan[d + e*x])^2)/(2*e) + ((a^2 + b^2)*(b + a*Tan[d + e*x])^3)/(3*e) + (b*(b + a*Tan[d + e*x])^4)/(4*e)}
+{(a + b*Tan[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2), x, 3, (-a)*(a^2 + b^2)*x - (b*(a^2 + b^2)*Log[Cos[d + e*x]])/e + (2*a*b^2*Tan[d + e*x])/e + (a^2*(a + b*Tan[d + e*x])^2)/(2*b*e)}
+{(a + b*Tan[d + e*x])/(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2), x, 4, -((a*(a^2 - 3*b^2)*x)/(a^2 + b^2)^2) + (b*(3*a^2 - b^2)*Log[b*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x]])/((a^2 + b^2)^2*e) - (a^2 - b^2)/((a^2 + b^2)*e*(b + a*Tan[d + e*x]))}
+{(a + b*Tan[d + e*x])/(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^2, x, 6, (a*(a^4 - 10*a^2*b^2 + 5*b^4)*x)/(a^2 + b^2)^4 - (b*(5*a^4 - 10*a^2*b^2 + b^4)*Log[b*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x]])/((a^2 + b^2)^4*e) - (a^2 - b^2)/(3*(a^2 + b^2)*e*(b + a*Tan[d + e*x])^3) - (b*(3*a^2 - b^2))/(2*(a^2 + b^2)^2*e*(b + a*Tan[d + e*x])^2) + (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)/((a^2 + b^2)^3*e*(b + a*Tan[d + e*x]))}
+(* {(a + b*Tan[d + e*x])/(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^3, x, 10, -((a*(a^6 - 21*a^4*b^2 + 35*a^2*b^4 - 7*b^6)*x)/(a^2 + b^2)^6) + (b*(7*a^6 - 35*a^4*b^2 + 21*a^2*b^4 - b^6)*Log[Cos[d + e*x]])/((a^2 + b^2)^6*e) + (b*(7*a^6 - 35*a^4*b^2 + 21*a^2*b^4 - b^6)*Log[b + a*Tan[d + e*x]])/((a^2 + b^2)^6*e) - (a^2 - b^2)/(5*(a^2 + b^2)*e*(b + a*Tan[d + e*x])^5) - (b*(3*a^2 - b^2))/(4*(a^2 + b^2)^2*e*(b + a*Tan[d + e*x])^4) + (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)/(3*(a^2 + b^2)^3*e*(b + a*Tan[d + e*x])^3) + (b*(5*a^4 - 10*a^2*b^2 + b^4))/(2*(a^2 + b^2)^4*e*(b + a*Tan[d + e*x])^2) - (a^6 - 15*a^4*b^2 + 15*a^2*b^4 - b^6)/((a^2 + b^2)^5*e*(b + a*Tan[d + e*x]))} *)
+
+
+(* {(a + b*Tan[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(5/2), x, 9, (b*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(5/2))/(5*e) - ((a^2 + b^2)*(a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Log[Cos[d + e*x]]*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(5/2))/(e*(b + a*Tan[d + e*x])^5) + (b*(a^2 + b^2)*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(5/2))/(3*e*(b + a*Tan[d + e*x])^2) + ((a^2 + b^2)*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(5/2))/(4*e*(b + a*Tan[d + e*x])) + (4*a^6*b*(a^4 - b^4)*x*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(5/2))/(a*b + a^2*Tan[d + e*x])^5 - (a*(a^4 - b^4)*(a^2*b + a^3*Tan[d + e*x])^2*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(5/2))/(2*e*(a*b + a^2*Tan[d + e*x])^5) - (b*(3*a^2 - b^2)*(a^2 + b^2)*(a^5*b + a^6*Tan[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(5/2))/(e*(a*b + a^2*Tan[d + e*x])^5)} *)
+{(a + b*Tan[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(3/2), x, 6, (b*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(3/2))/(3*e) + ((a^4 - b^4)*Log[Cos[d + e*x]]*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(3/2))/(e*(b + a*Tan[d + e*x])^3) + ((a^2 + b^2)*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(3/2))/(2*e*(b + a*Tan[d + e*x])) - (2*a^4*b*(a^2 + b^2)*x*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(3/2))/(a*b + a^2*Tan[d + e*x])^3 + (a^4*b*(a^2 + b^2)*Tan[d + e*x]*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(3/2))/(e*(a*b + a^2*Tan[d + e*x])^3)}
+{(a + b*Tan[d + e*x])*Sqrt[b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2], x, 3, -(((a^2 + b^2)*Log[Cos[d + e*x]]*Sqrt[b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2])/(e*(b + a*Tan[d + e*x]))) + (a^2*b*Tan[d + e*x]*Sqrt[b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2])/(e*(a*b + a^2*Tan[d + e*x]))}
+{(a + b*Tan[d + e*x])/Sqrt[b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2], x, 3, ((a^2 - b^2)*Log[b*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x]]*(b + a*Tan[d + e*x]))/((a^2 + b^2)*e*Sqrt[b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2]) + (2*b*x*(a*b + a^2*Tan[d + e*x]))/((a^2 + b^2)*Sqrt[b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2])}
+{(a + b*Tan[d + e*x])/(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(3/2), x, 5, -(((a^2 - b^2)*(b + a*Tan[d + e*x]))/(2*(a^2 + b^2)*e*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(3/2))) - ((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Log[b*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x]]*(b + a*Tan[d + e*x])^3)/((a^2 + b^2)^3*e*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(3/2)) - (4*b*(a^2 - b^2)*x*(a*b + a^2*Tan[d + e*x])^3)/(a^2*(a^2 + b^2)^3*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(3/2)) - (b*(3*a^2 - b^2)*(a*b + a^2*Tan[d + e*x])^3)/((a^2 + b^2)^2*e*(a^3*b + a^4*Tan[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(3/2))}
+(* {(a + b*Tan[d + e*x])/(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(5/2), x, 9, -((a^2 - b^2)*(b + a*Tan[d + e*x]))/(4*(a^2 + b^2)*e*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(5/2)) - (b*(3*a^2 - b^2)*(b + a*Tan[d + e*x])^2)/(3*(a^2 + b^2)^2*e*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(5/2)) + ((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*(b + a*Tan[d + e*x])^3)/(2*(a^2 + b^2)^3*e*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(5/2)) + ((a^6 - 15*a^4*b^2 + 15*a^2*b^4 - b^6)*Log[Cos[d + e*x]]*(b + a*Tan[d + e*x])^5)/((a^2 + b^2)^5*e*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(5/2)) + ((a^6 - 15*a^4*b^2 + 15*a^2*b^4 - b^6)*Log[b + a*Tan[d + e*x]]*(b + a*Tan[d + e*x])^5)/((a^2 + b^2)^5*e*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(5/2)) + (2*b*(3*a^4 - 10*a^2*b^2 + 3*b^4)*x*(a*b + a^2*Tan[d + e*x])^5)/(a^4*(a^2 + b^2)^5*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(5/2)) + (b*(5*a^4 - 10*a^2*b^2 + b^4)*(a*b + a^2*Tan[d + e*x])^5)/((a^2 + b^2)^4*e*(a^5*b + a^6*Tan[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Tan[d + e*x] + a^2*Tan[d + e*x]^2)^(5/2))} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e Sec[d+e x])^m (a + b Sec[d+e x] + c Sec[d+e x]^2)^n*)
+
+
+(* {(a + b*Sec[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^3, x, 11, a*b^6*x + (a^2*b*(487*a^4 + 1620*a^2*b^2 + 348*b^4)*ArcTanh[Sin[d + e*x]])/(240*e) + (b*(64*a^6 + 1065*a^4*b^2 + 1446*a^2*b^4 + 120*b^6)*ArcTanh[Sin[d + e*x]])/(120*e) + (a*(32*a^6 + 776*a^4*b^2 + 1473*a^2*b^4 + 234*b^6)*Tan[d + e*x])/(60*e) + (a^2*b*(487*a^4 + 1620*a^2*b^2 + 348*b^4)*Sec[d + e*x]*Tan[d + e*x])/(240*e) + ((32*a^4 + 321*a^2*b^2 + 114*b^4)*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^2*Tan[d + e*x])/(120*a*e) + (b*(109*a^2 + 74*b^2)*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^3*Tan[d + e*x])/(120*a^2*e) + ((6*a^2 + 11*b^2)*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^4*Tan[d + e*x])/(30*a^3*e) + (b*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^5*Tan[d + e*x])/(6*a^4*e)} *)
+{(a + b*Sec[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^2, x, 8, a*b^4*x + (b*(19*a^4 + 56*a^2*b^2 + 8*b^4)*ArcTanh[Sin[d + e*x]])/(8*e) + (a*(4*a^4 + 50*a^2*b^2 + 19*b^4)*Tan[d + e*x])/(6*e) + (a^2*b*(41*a^2 + 26*b^2)*Sec[d + e*x]*Tan[d + e*x])/(24*e) + ((4*a^2 + 7*b^2)*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^2*Tan[d + e*x])/(12*a*e) + (b*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^3*Tan[d + e*x])/(4*a^2*e)}
+{(a + b*Sec[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^1, x, 5, a*b^2*x + (b*(5*a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[Sin[d + e*x]])/(2*e) + (a*(a^2 + 2*b^2)*Tan[d + e*x])/e + (a^2*b*Sec[d + e*x]*Tan[d + e*x])/(2*e)}
+{(a + b*Sec[d + e*x])/(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^1, x, 6, (a*x)/b^2 - (2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a + b]])/(b^2*e) - (a^2*Tan[d + e*x])/(b*e*(a*b + a^2*Sec[d + e*x]))}
+{(a + b*Sec[d + e*x])/(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^2, x, 8, (a*x)/b^4 - ((a^2 - 2*b^2)*(2*a^4 - a^2*b^2 + b^4)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^4*(a + b)^(5/2)*e) - (a*(3*a^2 - 5*b^2)*Tan[d + e*x])/(6*b^2*(a^2 - b^2)*e*(b + a*Sec[d + e*x])^2) - (a*(6*a^4 - 11*a^2*b^2 + 11*b^4)*Tan[d + e*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^2*e*(b + a*Sec[d + e*x])) - (a^4*Tan[d + e*x])/(3*b*e*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^3)}
+(* {(a + b*Sec[d + e*x])/(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^3, x, 8, (a*x)/b^6 - ((8*a^10 - 36*a^8*b^2 + 63*a^6*b^4 - 55*a^4*b^6 - 8*b^10)*ArcTan[(Sqrt[a^2 - b^2]*Tan[(1/2)*(d + e*x)])/(a + b)])/(4*b^6*(a^2 - b^2)^(9/2)*e) - (a^6*Tan[d + e*x])/(5*b*e*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^5) - (a^5*(5*a^2 - 9*b^2)*Tan[d + e*x])/(20*b^2*(a^2 - b^2)*e*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^4) - (a^4*(20*a^4 - 39*a^2*b^2 + 47*b^4)*Tan[d + e*x])/(60*b^3*(a^2 - b^2)^2*e*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^3) - (a^3*(60*a^6 - 175*a^4*b^2 + 129*a^2*b^4 - 154*b^6)*Tan[d + e*x])/(120*b^4*(a^2 - b^2)^3*e*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^2) - (a^6*(120*a^8 - 460*a^6*b^2 + 649*a^4*b^4 - 163*a^2*b^6 + 274*b^8)*Tan[d + e*x])/(120*b^5*(a^2 - b^2)^4*e*(a^5*b + a^6*Sec[d + e*x]))} *)
+
+
+(* {(a + b*Sec[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(5/2), x, 10, (b^2*(187*a^4 + 523*a^2*b^2 + 60*b^4)*ArcTanh[Sin[d + e*x]]*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(5/2))/(60*e*(b + a*Sec[d + e*x])^5) + (a^6*b^5*x*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(5/2))/(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^5 + (a^7*(45*a^4 + 451*a^2*b^2 + 154*b^4)*ArcTanh[Sin[d + e*x]]*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(5/2))/(120*e*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^5) + (a^6*b*(116*a^4 + 457*a^2*b^2 + 107*b^4)*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(5/2)*Tan[d + e*x])/(30*e*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^5) + (a^7*(45*a^4 + 451*a^2*b^2 + 154*b^4)*Sec[d + e*x]*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(5/2)*Tan[d + e*x])/(120*e*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^5) + (a^2*b*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(5/2)*Tan[d + e*x])/(5*e*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])) + ((5*a^2 + 9*b^2)*(a^2*b + a^3*Sec[d + e*x])^3*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(5/2)*Tan[d + e*x])/(20*e*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^5) + (b*(71*a^2 + 47*b^2)*(a^3*b + a^4*Sec[d + e*x])^2*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(5/2)*Tan[d + e*x])/(60*e*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^5)} *)
+{(a + b*Sec[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(3/2), x, 7, ((a^4 + 9*a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTanh[Sin[d + e*x]]*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(3/2))/(2*e*(b + a*Sec[d + e*x])^3) + (a^4*b^3*x*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(3/2))/(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^3 + (a^4*b*(11*a^2 + 8*b^2)*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(3/2)*Tan[d + e*x])/(3*e*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^3) + (a^5*(3*a^2 + 5*b^2)*Sec[d + e*x]*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(3/2)*Tan[d + e*x])/(6*e*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^3) + (b*(a^2*b + a^3*Sec[d + e*x])^2*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(3/2)*Tan[d + e*x])/(3*e*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^3)}
+{(a + b*Sec[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(1/2), x, 5, ((a^2 + b^2)*ArcTanh[Sin[d + e*x]]*Sqrt[b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2])/(e*(b + a*Sec[d + e*x])) + (a^2*b*x*Sqrt[b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2])/(a*b + a^2*Sec[d + e*x]) + (a^2*b*Sqrt[b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2]*Tan[d + e*x])/(e*(a*b + a^2*Sec[d + e*x]))}
+{(a + b*Sec[d + e*x])/(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(1/2), x, 5, -((2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a + b]]*(b + a*Sec[d + e*x]))/(b*e*Sqrt[b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2])) + (x*(a*b + a^2*Sec[d + e*x]))/(b*Sqrt[b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2])}
+{(a + b*Sec[d + e*x])/(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(3/2), x, 7, -(((2*a^4 - 3*a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a + b]]*(b + a*Sec[d + e*x])^3)/((a - b)^(3/2)*b^3*(a + b)^(3/2)*e*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(3/2))) + (x*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^3)/(a^2*b^3*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(3/2)) - ((a*b + a^2*Sec[d + e*x])*Tan[d + e*x])/(2*b*e*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(3/2)) - ((2*a^2 - 3*b^2)*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^3*Tan[d + e*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*e*(a^2*b + a^3*Sec[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(3/2))}
+(* {(a + b*Sec[d + e*x])/(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(5/2), x, 7, -(((8*a^8 - 28*a^6*b^2 + 35*a^4*b^4 - 8*a^2*b^6 + 8*b^8)*ArcTan[(Sqrt[a^2 - b^2]*Tan[(1/2)*(d + e*x)])/(a + b)]*(b + a*Sec[d + e*x])^5)/(4*b^5*(a^2 - b^2)^(7/2)*e*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(5/2))) + (x*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^5)/(a^4*b^5*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(5/2)) - ((a*b + a^2*Sec[d + e*x])*Tan[d + e*x])/(4*b*e*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(5/2)) - ((4*a^2 - 7*b^2)*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^2*Tan[d + e*x])/(12*a*b^2*(a^2 - b^2)*e*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(5/2)) - ((12*a^4 - 23*a^2*b^2 + 26*b^4)*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^5*Tan[d + e*x])/(24*b^3*(a^2 - b^2)^2*e*(a^2*b + a^3*Sec[d + e*x])^2*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(5/2)) - ((24*a^6 - 68*a^4*b^2 + 49*a^2*b^4 - 50*b^6)*(a*b + a^2*Sec[d + e*x])^5*Tan[d + e*x])/(24*b^4*(a^2 - b^2)^3*e*(a^4*b + a^5*Sec[d + e*x])*(b^2 + 2*a*b*Sec[d + e*x] + a^2*Sec[d + e*x]^2)^(5/2))} *)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A + B Trig[x] + C Trig[x]) (b Trig[x] + c Trig[x])^n*)
+
+
+{(Cos[x] - I*Sin[x])/(Cos[x] + I*Sin[x]), x, 1, (1/2)*I*(Cos[x] - I*Sin[x])^2}
+{(Cos[x] + I*Sin[x])/(Cos[x] - I*Sin[x]), x, 1, -(I/(2*(Cos[x] - I*Sin[x])^2))}
+{(Cos[x] - Sin[x])/(Cos[x] + Sin[x]), x, 1, Log[Cos[x] + Sin[x]]}
+
+
+{(B*Cos[x] + C*Sin[x])/(b*Cos[x] + c*Sin[x]), x, 1, ((b*B + c*C)*x)/(b^2 + c^2) + ((B*c - b*C)*Log[b*Cos[x] + c*Sin[x]])/(b^2 + c^2)}
+{(B*Cos[x] + C*Sin[x])/(b*Cos[x] + c*Sin[x])^2, x, 3, -(((b*B + c*C)*ArcTanh[(c*Cos[x] - b*Sin[x])/Sqrt[b^2 + c^2]])/(b^2 + c^2)^(3/2)) - (B*c - b*C)/((b^2 + c^2)*(b*Cos[x] + c*Sin[x]))}
+{(B*Cos[x] + C*Sin[x])/(b*Cos[x] + c*Sin[x])^3, x, 3, -((B*c - b*C)/(2*(b^2 + c^2)*(b*Cos[x] + c*Sin[x])^2)) + ((b*B + c*C)*Sin[x])/(b*(b^2 + c^2)*(b*Cos[x] + c*Sin[x]))}
+
+
+{(A + B*Cos[x] + C*Sin[x])/(b*Cos[x] + c*Sin[x]), x, 3, ((b*B + c*C)*x)/(b^2 + c^2) - (A*ArcTanh[(c*Cos[x] - b*Sin[x])/Sqrt[b^2 + c^2]])/Sqrt[b^2 + c^2] + ((B*c - b*C)*Log[b*Cos[x] + c*Sin[x]])/(b^2 + c^2)}
+{(A + B*Cos[x] + C*Sin[x])/(b*Cos[x] + c*Sin[x])^2, x, 3, -(((b*B + c*C)*ArcTanh[(c*Cos[x] - b*Sin[x])/Sqrt[b^2 + c^2]])/(b^2 + c^2)^(3/2)) - (B*c - b*C + A*c*Cos[x] - A*b*Sin[x])/((b^2 + c^2)*(b*Cos[x] + c*Sin[x]))}
+{(A + B*Cos[x] + C*Sin[x])/(b*Cos[x] + c*Sin[x])^3, x, 4, -((A*ArcTanh[(c*Cos[x] - b*Sin[x])/Sqrt[b^2 + c^2]])/(2*(b^2 + c^2)^(3/2))) - (B*c - b*C + A*c*Cos[x] - A*b*Sin[x])/(2*(b^2 + c^2)*(b*Cos[x] + c*Sin[x])^2) - (c*(b*B + c*C)*Cos[x] - b*(b*B + c*C)*Sin[x])/((b^2 + c^2)^2*(b*Cos[x] + c*Sin[x]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A + B Cos[d+e x] + C Sin[d+e x]) (a + b Cos[d+e x] + c Sin[d+e x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A + B Cos[d+e x]) (a + b Cos[d+e x] + c Sin[d+e x])^n*)
+
+
+{(A + B*Cos[x])/(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^1, x, 4, (b*B*x)/(b^2 + c^2) - (2*(a*b*B - A*(b^2 + c^2))*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/(Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]*(b^2 + c^2)) + (B*c*Log[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]])/(b^2 + c^2)}
+{(A + B*Cos[x])/(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^2, x, 4, (2*(a*A - b*B)*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/(a^2 - b^2 - c^2)^(3/2) + (B*c + A*c*Cos[x] - (A*b - a*B)*Sin[x])/((a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x]))}
+{(A + B*Cos[x])/(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^3, x, 5, ((2*a^2*A - 3*a*b*B + A*(b^2 + c^2))*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/(a^2 - b^2 - c^2)^(5/2) + (B*c + A*c*Cos[x] - (A*b - a*B)*Sin[x])/(2*(a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^2) + (a*B*c + (3*a*A - 2*b*B)*c*Cos[x] - (3*a*A*b - a^2*B - 2*b^2*B)*Sin[x])/(2*(a^2 - b^2 - c^2)^2*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x]))}
+
+
+{(A + B*Cos[x])/(a + b*Cos[x] + I*b*Sin[x]), x, 1, ((2*a*A - b*B)*x)/(2*a^2) + (I*B*Cos[x])/(2*a) + (I*(2*a*A*b - a^2*B - b^2*B)*Log[a + b*Cos[x] + I*b*Sin[x]])/(2*a^2*b) + (B*Sin[x])/(2*a)}
+{(A + B*Cos[x])/(a + b*Cos[x] - I*b*Sin[x]), x, 1, ((2*a*A - b*B)*x)/(2*a^2) - (I*B*Cos[x])/(2*a) - (I*(2*a*A*b - a^2*B - b^2*B)*Log[a + b*Cos[x] - I*b*Sin[x]])/(2*a^2*b) + (B*Sin[x])/(2*a)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A + C Sin[d+e x]) (a + b Cos[d+e x] + c Sin[d+e x])^n*)
+
+
+{(A + C*Sin[x])/(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^1, x, 4, (c*C*x)/(b^2 + c^2) + (2*(A*(b^2 + c^2) - a*c*C)*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/(Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]*(b^2 + c^2)) - (b*C*Log[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]])/(b^2 + c^2)}
+{(A + C*Sin[x])/(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^2, x, 4, (2*(a*A - c*C)*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/(a^2 - b^2 - c^2)^(3/2) - (b*C - (A*c - a*C)*Cos[x] + A*b*Sin[x])/((a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x]))}
+{(A + C*Sin[x])/(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^3, x, 5, ((2*a^2*A + A*(b^2 + c^2) - 3*a*c*C)*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/(a^2 - b^2 - c^2)^(5/2) - (b*C - (A*c - a*C)*Cos[x] + A*b*Sin[x])/(2*(a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^2) - (a*b*C - (3*a*A*c - a^2*C - 2*c^2*C)*Cos[x] + b*(3*a*A - 2*c*C)*Sin[x])/(2*(a^2 - b^2 - c^2)^2*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x]))}
+
+
+{(A + C*Sin[x])/(a + b*Cos[x] + I*b*Sin[x]), x, 1, ((2*a*A - I*b*C)*x)/(2*a^2) - (C*Cos[x])/(2*a) + ((2*I*a*A*b - a^2*C + b^2*C)*Log[a + b*Cos[x] + I*b*Sin[x]])/(2*a^2*b) + (I*C*Sin[x])/(2*a)}
+{(A + C*Sin[x])/(a + b*Cos[x] - I*b*Sin[x]), x, 1, ((2*a*A + I*b*C)*x)/(2*a^2) - (C*Cos[x])/(2*a) - ((2*I*a*A*b + a^2*C - b^2*C)*Log[a + b*Cos[x] - I*b*Sin[x]])/(2*a^2*b) - (I*C*Sin[x])/(2*a)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (B Cos[d+e x] + C Sin[d+e x]) (a + b Cos[d+e x] + c Sin[d+e x])^n*)
+
+
+{(B*Cos[x] + C*Sin[x])/(a + b*Cos[x] + c*Sin[x]), x, 4, ((b*B + c*C)*x)/(b^2 + c^2) - (2*a*(b*B + c*C)*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/(Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]*(b^2 + c^2)) + ((B*c - b*C)*Log[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]])/(b^2 + c^2)}
+{(B*Cos[x] + C*Sin[x])/(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^2, x, 4, -((2*(b*B + c*C)*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/(a^2 - b^2 - c^2)^(3/2)) + (B*c - b*C - a*C*Cos[x] + a*B*Sin[x])/((a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x]))}
+{(B*Cos[x] + C*Sin[x])/(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^3, x, 5, -((3*a*(b*B + c*C)*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/(a^2 - b^2 - c^2)^(5/2)) + (B*c - b*C - a*C*Cos[x] + a*B*Sin[x])/(2*(a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^2) + (a*(B*c - b*C) - (2*b*B*c + (a^2 + 2*c^2)*C)*Cos[x] + (a^2*B + 2*b*(b*B + c*C))*Sin[x])/(2*(a^2 - b^2 - c^2)^2*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x]))}
+
+
+{(B*Cos[x] + C*Sin[x])/(a + b*Cos[x] + I*b*Sin[x]), x, 1, -((b*(B + I*C)*x)/(2*a^2)) - ((I*b^2*(B + I*C) + a^2*(I*B + C))*Log[a + b*Cos[x] + I*b*Sin[x]])/(2*a^2*b) + ((I*B - C)*(Cos[x] - I*Sin[x]))/(2*a)}
+{(B*Cos[x] + C*Sin[x])/(a + b*Cos[x] - I*b*Sin[x]), x, 1, -((b*(B - I*C)*x)/(2*a^2)) + ((I*a^2*(B + I*C) + b^2*(I*B + C))*Log[a + b*Cos[x] - I*b*Sin[x]])/(2*a^2*b) - ((I*B + C)*(Cos[x] + I*Sin[x]))/(2*a)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A + B Cos[d+e x] + C Sin[d+e x]) (a + b Cos[d+e x] + c Sin[d+e x])^n*)
+
+
+{(A + B*Cos[x] + C*Sin[x])/(a + b*Cos[x] + c*Sin[x]), x, 4, ((b*B + c*C)*x)/(b^2 + c^2) + (2*(A*(b^2 + c^2) - a*(b*B + c*C))*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/(Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]*(b^2 + c^2)) + ((B*c - b*C)*Log[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]])/(b^2 + c^2)}
+{(A + B*Cos[x] + C*Sin[x])/(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^2, x, 4, (2*(a*A - b*B - c*C)*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/(a^2 - b^2 - c^2)^(3/2) + (B*c - b*C + (A*c - a*C)*Cos[x] - (A*b - a*B)*Sin[x])/((a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x]))}
+{(A + B*Cos[x] + C*Sin[x])/(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^3, x, 5, ((2*a^2*A + A*(b^2 + c^2) - 3*a*(b*B + c*C))*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/(a^2 - b^2 - c^2)^(5/2) + (B*c - b*C + (A*c - a*C)*Cos[x] - (A*b - a*B)*Sin[x])/(2*(a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^2) + (a*(B*c - b*C) + (3*a*A*c - a^2*C - 2*c*(b*B + c*C))*Cos[x] - (3*a*A*b - a^2*B - 2*b*(b*B + c*C))*Sin[x])/(2*(a^2 - b^2 - c^2)^2*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x]))}
+
+
+{(A + B*Cos[x] + C*Sin[x])/(a + b*Cos[x] + I*b*Sin[x]), x, 1, ((2*a*A - b*(B + I*C))*x)/(2*a^2) + (I*(2*a*A*b - a^2*(B - I*C) - b^2*(B + I*C))*Log[a + b*Cos[x] + I*b*Sin[x]])/(2*a^2*b) + ((I*B - C)*(Cos[x] - I*Sin[x]))/(2*a)}
+{(A + B*Cos[x] + C*Sin[x])/(a + b*Cos[x] - I*b*Sin[x]), x, 1, ((2*a*A - b*B + I*b*C)*x)/(2*a^2) - (I*(2*a*A*b - b^2*(B - I*C) - a^2*(B + I*C))*Log[a + b*Cos[x] - I*b*Sin[x]])/(2*a^2*b) - ((I*B + C)*(Cos[x] + I*Sin[x]))/(2*a)}
+
+
+{(b^2 + c^2 + a*b*Cos[x] + a*c*Sin[x])/(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^2, x, 1, -((c*Cos[x] - b*Sin[x])/(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])), -((c*(a^2 - b^2 - c^2)*Cos[x] - b*(a^2 - b^2 - c^2)*Sin[x])/((a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A + B Cos[d+e x] + C Sin[d+e x]) (a + b Cos[d+e x] + c Sin[d+e x])^(n/2)*)
+
+
+{(d + b*e*Cos[x] + c*e*Sin[x])*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^(5/2), x, 8, (2*(161*a^2*d + 63*(b^2 + c^2)*d + 15*a^3*e + 145*a*(b^2 + c^2)*e)*EllipticE[(1/2)*(x - ArcTan[b, c]), (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]])/(105*Sqrt[(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]) - (2*(a^2 - b^2 - c^2)*(56*a*d + 15*a^2*e + 25*(b^2 + c^2)*e)*EllipticF[(1/2)*(x - ArcTan[b, c]), (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])])/(105*Sqrt[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]]) - (2/7)*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^(5/2)*(c*e*Cos[x] - b*e*Sin[x]) - (2/35)*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^(3/2)*(c*(7*d + 5*a*e)*Cos[x] - b*(7*d + 5*a*e)*Sin[x]) - (2/105)*Sqrt[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]]*(c*(56*a*d + 15*a^2*e + 25*(b^2 + c^2)*e)*Cos[x] - b*(56*a*d + 15*a^2*e + 25*(b^2 + c^2)*e)*Sin[x])}
+{(d + b*e*Cos[x] + c*e*Sin[x])*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^(3/2), x, 7, (2*(20*a*d + 3*a^2*e + 9*(b^2 + c^2)*e)*EllipticE[(1/2)*(x - ArcTan[b, c]), (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]])/(15*Sqrt[(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]) - (2*(a^2 - b^2 - c^2)*(5*d + 3*a*e)*EllipticF[(1/2)*(x - ArcTan[b, c]), (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])])/(15*Sqrt[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]]) - (2/5)*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^(3/2)*(c*e*Cos[x] - b*e*Sin[x]) - (2/15)*Sqrt[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]]*(c*(5*d + 3*a*e)*Cos[x] - b*(5*d + 3*a*e)*Sin[x])}
+{(d + b*e*Cos[x] + c*e*Sin[x])*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^(1/2), x, 6, (2*(3*d + a*e)*EllipticE[(1/2)*(x - ArcTan[b, c]), (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]])/(3*Sqrt[(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]) - (2*(a^2 - b^2 - c^2)*e*EllipticF[(1/2)*(x - ArcTan[b, c]), (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])])/(3*Sqrt[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]]) - (2/3)*Sqrt[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]]*(c*e*Cos[x] - b*e*Sin[x])}
+{(d + b*e*Cos[x] + c*e*Sin[x])/(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^(1/2), x, 5, (2*e*EllipticE[(1/2)*(x - ArcTan[b, c]), (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]])/Sqrt[(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])] + (2*(d - a*e)*EllipticF[(1/2)*(x - ArcTan[b, c]), (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])])/Sqrt[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]]}
+{(d + b*e*Cos[x] + c*e*Sin[x])/(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^(3/2), x, 6, (2*(d - a*e)*EllipticE[(1/2)*(x - ArcTan[b, c]), (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]])/((a^2 - b^2 - c^2)*Sqrt[(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]) + (2*e*EllipticF[(1/2)*(x - ArcTan[b, c]), (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])])/Sqrt[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]] + (2*(c*(d - a*e)*Cos[x] - b*(d - a*e)*Sin[x]))/((a^2 - b^2 - c^2)*Sqrt[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]])}
+{(d + b*e*Cos[x] + c*e*Sin[x])/(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^(5/2), x, 7, (2*(4*a*d - a^2*e - 3*(b^2 + c^2)*e)*EllipticE[(1/2)*(x - ArcTan[b, c]), (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]])/(3*(a^2 - b^2 - c^2)^2*Sqrt[(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]) - (2*(d - a*e)*EllipticF[(1/2)*(x - ArcTan[b, c]), (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]*Sqrt[(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])])/(3*(a^2 - b^2 - c^2)*Sqrt[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]]) + (2*(c*(d - a*e)*Cos[x] - b*(d - a*e)*Sin[x]))/(3*(a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Cos[x] + c*Sin[x])^(3/2)) + (2*(c*(4*a*d - a^2*e - 3*(b^2 + c^2)*e)*Cos[x] - b*(4*a*d - a^2*e - 3*(b^2 + c^2)*e)*Sin[x]))/(3*(a^2 - b^2 - c^2)^2*Sqrt[a + b*Cos[x] + c*Sin[x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A + B Cos[d+e x] + C Sin[d+e x]) (a + c Sin[d+e x])^n*)
+
+
+{(A + B*Cos[d + e*x] + C*Sin[d + e*x])/(a + c*Sin[d + e*x]), x, 7, (C*x)/c + (2*(A*c - a*C)*ArcTan[(c + a*Tan[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a^2 - c^2]])/(c*Sqrt[a^2 - c^2]*e) + (B*Log[a + c*Sin[d + e*x]])/(c*e)}
+{(A + B*Cos[d + e*x] + C*Sin[d + e*x])/(a + c*Sin[d + e*x])^2, x, 8, (2*(a*A - c*C)*ArcTan[(c + a*Tan[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a^2 - c^2]])/((a^2 - c^2)^(3/2)*e) - B/(c*e*(a + c*Sin[d + e*x])) + ((A*c - a*C)*Cos[d + e*x])/((a^2 - c^2)*e*(a + c*Sin[d + e*x]))}
+{(A + B*Cos[d + e*x] + C*Sin[d + e*x])/(a + c*Sin[d + e*x])^3, x, 9, ((2*a^2*A + A*c^2 - 3*a*c*C)*ArcTan[(c + a*Tan[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a^2 - c^2]])/((a^2 - c^2)^(5/2)*e) - B/(2*c*e*(a + c*Sin[d + e*x])^2) + ((A*c - a*C)*Cos[d + e*x])/(2*(a^2 - c^2)*e*(a + c*Sin[d + e*x])^2) + ((3*a*A*c - a^2*C - 2*c^2*C)*Cos[d + e*x])/(2*(a^2 - c^2)^2*e*(a + c*Sin[d + e*x]))}
+{(A + B*Cos[d + e*x] + C*Sin[d + e*x])/(a + c*Sin[d + e*x])^4, x, 10, ((2*a^3*A + 3*a*A*c^2 - 4*a^2*c*C - c^3*C)*ArcTan[(c + a*Tan[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a^2 - c^2]])/((a^2 - c^2)^(7/2)*e) - B/(3*c*e*(a + c*Sin[d + e*x])^3) + ((A*c - a*C)*Cos[d + e*x])/(3*(a^2 - c^2)*e*(a + c*Sin[d + e*x])^3) + ((5*a*A*c - 2*a^2*C - 3*c^2*C)*Cos[d + e*x])/(6*(a^2 - c^2)^2*e*(a + c*Sin[d + e*x])^2) + ((11*a^2*A*c + 4*A*c^3 - 2*a^3*C - 13*a*c^2*C)*Cos[d + e*x])/(6*(a^2 - c^2)^3*e*(a + c*Sin[d + e*x]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a + b Trig[c+d x] Trig[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a + b Trig[c+d x] Trig[c+d x])^n*)
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])^m, x, 4, -((AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1/2)*(1 - Sin[2*c + 2*d*x]), (b*(1 - Sin[2*c + 2*d*x]))/(2*a + b)]*Cos[2*c + 2*d*x]*(a + (1/2)*b*Sin[2*c + 2*d*x])^m)/(((2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x])/(2*a + b))^m*(Sqrt[2]*d*Sqrt[1 + Sin[2*c + 2*d*x]])))}
+
+{(a + b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])^3, x, 3, (1/8)*a*(8*a^2 + 3*b^2)*x - (b*(16*a^2 + b^2)*Cos[2*c + 2*d*x])/(24*d) - (5*a*b^2*Cos[2*c + 2*d*x]*Sin[2*c + 2*d*x])/(48*d) - (b*Cos[2*c + 2*d*x]*(2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x])^2)/(48*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])^2, x, 2, (1/8)*(8*a^2 + b^2)*x - (a*b*Cos[2*c + 2*d*x])/(2*d) - (b^2*Cos[2*c + 2*d*x]*Sin[2*c + 2*d*x])/(16*d)}
+{(a + b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])^1, x, 3, a*x + (b*Sin[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{1/(a + b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])^1, x, 4, (2*ArcTan[(b + 2*a*Tan[c + d*x])/Sqrt[4*a^2 - b^2]])/(Sqrt[4*a^2 - b^2]*d)}
+{1/(a + b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])^2, x, 6, (8*a*ArcTan[(b + 2*a*Tan[c + d*x])/Sqrt[4*a^2 - b^2]])/((4*a^2 - b^2)^(3/2)*d) + (2*b*Cos[2*c + 2*d*x])/((4*a^2 - b^2)*d*(2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x]))}
+{1/(a + b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])^3, x, 7, (4*(8*a^2 + b^2)*ArcTan[(b + 2*a*Tan[c + d*x])/Sqrt[4*a^2 - b^2]])/((4*a^2 - b^2)^(5/2)*d) + (2*b*Cos[2*c + 2*d*x])/((4*a^2 - b^2)*d*(2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x])^2) + (12*a*b*Cos[2*c + 2*d*x])/((4*a^2 - b^2)^2*d*(2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x]))}
+
+
+{(a + b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((2*Sqrt[2]*a*b*Cos[2*c + 2*d*x]*Sqrt[2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x]])/(15*d)) - (b*Cos[2*c + 2*d*x]*(2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x])^(3/2))/(20*Sqrt[2]*d) + ((92*a^2 + 9*b^2)*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, (2*b)/(2*a + b)]*Sqrt[2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x]])/(60*Sqrt[2]*d*Sqrt[(2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x])/(2*a + b)]) - (2*Sqrt[2]*a*(4*a^2 - b^2)*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, (2*b)/(2*a + b)]*Sqrt[(2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x])/(2*a + b)])/(15*d*Sqrt[2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x]])}
+{(a + b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 7, -((b*Cos[2*c + 2*d*x]*Sqrt[2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x]])/(6*Sqrt[2]*d)) + (2*Sqrt[2]*a*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, (2*b)/(2*a + b)]*Sqrt[2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x]])/(3*d*Sqrt[(2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x])/(2*a + b)]) - ((4*a^2 - b^2)*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, (2*b)/(2*a + b)]*Sqrt[(2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x])/(2*a + b)])/(6*Sqrt[2]*d*Sqrt[2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x]])}
+{(a + b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])^(1/2), x, 3, (EllipticE[c - Pi/4 + d*x, (2*b)/(2*a + b)]*Sqrt[2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[(2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x])/(2*a + b)])}
+{1/(a + b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[2]*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, (2*b)/(2*a + b)]*Sqrt[(2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x])/(2*a + b)])/(d*Sqrt[2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x]])}
+{1/(a + b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*Sqrt[2]*b*Cos[2*c + 2*d*x])/((4*a^2 - b^2)*d*Sqrt[2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x]]) + (2*Sqrt[2]*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, (2*b)/(2*a + b)]*Sqrt[2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x]])/((4*a^2 - b^2)*d*Sqrt[(2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x])/(2*a + b)])}
+{1/(a + b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])^(5/2), x, 8, (4*Sqrt[2]*b*Cos[2*c + 2*d*x])/(3*(4*a^2 - b^2)*d*(2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x])^(3/2)) + (32*Sqrt[2]*a*b*Cos[2*c + 2*d*x])/(3*(4*a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x]]) + (32*Sqrt[2]*a*EllipticE[c - Pi/4 + d*x, (2*b)/(2*a + b)]*Sqrt[2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x]])/(3*(4*a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[(2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x])/(2*a + b)]) - (4*Sqrt[2]*EllipticF[c - Pi/4 + d*x, (2*b)/(2*a + b)]*Sqrt[(2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x])/(2*a + b)])/(3*(4*a^2 - b^2)*d*Sqrt[2*a + b*Sin[2*c + 2*d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a + b Trig[c+d x] Trig[c+d x])^n*)
+
+
+{x^3/(a + b*Sin[x]*Cos[x]), x, 13, -((I*x^3*Log[1 - (I*b*E^(2*I*x))/(2*a - Sqrt[4*a^2 - b^2])])/Sqrt[4*a^2 - b^2]) + (I*x^3*Log[1 - (I*b*E^(2*I*x))/(2*a + Sqrt[4*a^2 - b^2])])/Sqrt[4*a^2 - b^2] - (3*x^2*PolyLog[2, (I*b*E^(2*I*x))/(2*a - Sqrt[4*a^2 - b^2])])/(2*Sqrt[4*a^2 - b^2]) + (3*x^2*PolyLog[2, (I*b*E^(2*I*x))/(2*a + Sqrt[4*a^2 - b^2])])/(2*Sqrt[4*a^2 - b^2]) - (3*I*x*PolyLog[3, (I*b*E^(2*I*x))/(2*a - Sqrt[4*a^2 - b^2])])/(2*Sqrt[4*a^2 - b^2]) + (3*I*x*PolyLog[3, (I*b*E^(2*I*x))/(2*a + Sqrt[4*a^2 - b^2])])/(2*Sqrt[4*a^2 - b^2]) + (3*PolyLog[4, (I*b*E^(2*I*x))/(2*a - Sqrt[4*a^2 - b^2])])/(4*Sqrt[4*a^2 - b^2]) - (3*PolyLog[4, (I*b*E^(2*I*x))/(2*a + Sqrt[4*a^2 - b^2])])/(4*Sqrt[4*a^2 - b^2])}
+{x^2/(a + b*Sin[x]*Cos[x]), x, 11, -((I*x^2*Log[1 - (I*b*E^(2*I*x))/(2*a - Sqrt[4*a^2 - b^2])])/Sqrt[4*a^2 - b^2]) + (I*x^2*Log[1 - (I*b*E^(2*I*x))/(2*a + Sqrt[4*a^2 - b^2])])/Sqrt[4*a^2 - b^2] - (x*PolyLog[2, (I*b*E^(2*I*x))/(2*a - Sqrt[4*a^2 - b^2])])/Sqrt[4*a^2 - b^2] + (x*PolyLog[2, (I*b*E^(2*I*x))/(2*a + Sqrt[4*a^2 - b^2])])/Sqrt[4*a^2 - b^2] - (I*PolyLog[3, (I*b*E^(2*I*x))/(2*a - Sqrt[4*a^2 - b^2])])/(2*Sqrt[4*a^2 - b^2]) + (I*PolyLog[3, (I*b*E^(2*I*x))/(2*a + Sqrt[4*a^2 - b^2])])/(2*Sqrt[4*a^2 - b^2])}
+{x^1/(a + b*Sin[x]*Cos[x]), x, 9, -((I*x*Log[1 - (I*b*E^(2*I*x))/(2*a - Sqrt[4*a^2 - b^2])])/Sqrt[4*a^2 - b^2]) + (I*x*Log[1 - (I*b*E^(2*I*x))/(2*a + Sqrt[4*a^2 - b^2])])/Sqrt[4*a^2 - b^2] - PolyLog[2, (I*b*E^(2*I*x))/(2*a - Sqrt[4*a^2 - b^2])]/(2*Sqrt[4*a^2 - b^2]) + PolyLog[2, (I*b*E^(2*I*x))/(2*a + Sqrt[4*a^2 - b^2])]/(2*Sqrt[4*a^2 - b^2])}
+{1/(x^1*(a + b*Sin[x]*Cos[x])), x, 1, Unintegrable[1/(x*(a + (1/2)*b*Sin[2*x])), x]}
+
+
+{((b*x)^(2 - n)*Sin[a*x]^n)/(a*c*x*Cos[a*x] - c*Sin[a*x])^2, x, 1, (b*(b*x)^(1 - n)*Sin[a*x]^(-1 + n))/(a^2*(a*c^2*x*Cos[a*x] - c^2*Sin[a*x])) + (b^2*(1 - n)*Unintegrable[Sin[a*x]^(-2 + n)/(b*x)^n, x])/(a^2*c^2)}
+{((b*x)^(2 - n)*Cos[a*x]^n)/(c*Cos[a*x] + a*c*x*Sin[a*x])^2, x, 1, -((b*(b*x)^(1 - n)*Cos[a*x]^(-1 + n))/(a^2*(c^2*Cos[a*x] + a*c^2*x*Sin[a*x]))) + (b^2*(1 - n)*Unintegrable[Cos[a*x]^(-2 + n)/(b*x)^n, x])/(a^2*c^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b x)^m Trig[a x]^n (c Trig[a x]+d x Trig[a x])^p*)
+
+
+{Sin[a*x]^6/(x^4*(a*x*Cos[a*x] - Sin[a*x])^2), x, 15, a^2/x + (a*Cos[a*x]*Sin[a*x])/x^2 + Sin[a*x]^2/x^3 - (10*a^2*Sin[a*x]^2)/x + (Cos[a*x]*Sin[a*x]^3)/(a*x^4) - (8*a*Cos[a*x]*Sin[a*x]^3)/(3*x^2) + Sin[a*x]^4/(a^2*x^5) - (4*Sin[a*x]^4)/(3*x^3) + (32*a^2*Sin[a*x]^4)/(3*x) + Sin[a*x]^5/(a^2*x^5*(a*x*Cos[a*x] - Sin[a*x])) - (2/3)*a^3*SinIntegral[2*a*x] + (16/3)*a^3*SinIntegral[4*a*x]}
+{Sin[a*x]^5/(x^3*(a*x*Cos[a*x] - Sin[a*x])^2), x, 11, (a*Cos[a*x])/x + Sin[a*x]/x^2 + (Cos[a*x]*Sin[a*x]^2)/(a*x^3) - (9*a*Cos[a*x]*Sin[a*x]^2)/(2*x) + Sin[a*x]^3/(a^2*x^4) - (3*Sin[a*x]^3)/(2*x^2) + Sin[a*x]^4/(a^2*x^4*(a*x*Cos[a*x] - Sin[a*x])) - (1/8)*a^2*SinIntegral[a*x] + (27/8)*a^2*SinIntegral[3*a*x]}
+{Sin[a*x]^4/(x^2*(a*x*Cos[a*x] - Sin[a*x])^2), x, 6, 1/x + (Cos[a*x]*Sin[a*x])/(a*x^2) + Sin[a*x]^2/(a^2*x^3) - (2*Sin[a*x]^2)/x + Sin[a*x]^3/(a^2*x^3*(a*x*Cos[a*x] - Sin[a*x])) + 2*a*SinIntegral[2*a*x]}
+{Sin[a*x]^3/(x^1*(a*x*Cos[a*x] - Sin[a*x])^2), x, 4, Cos[a*x]/(a*x) + Sin[a*x]/(a^2*x^2) + Sin[a*x]^2/(a^2*x^2*(a*x*Cos[a*x] - Sin[a*x])) + SinIntegral[a*x]}
+{Sin[a*x]^2/(x^0*(a*x*Cos[a*x] - Sin[a*x])^2), x, 1, 1/(a^2*x) + Sin[a*x]/(a^2*x*(a*x*Cos[a*x] - Sin[a*x]))}
+{x^1*Sin[a*x]^1/(a*x*Cos[a*x] - Sin[a*x])^2, x, 1, 1/(a^2*(a*x*Cos[a*x] - Sin[a*x]))}
+{x^2*Sin[a*x]^0/(a*x*Cos[a*x] - Sin[a*x])^2, x, 3, -(Cot[a*x]/a^3) + (x*Csc[a*x])/(a^2*(a*x*Cos[a*x] - Sin[a*x]))}
+{x^3*Csc[a*x]^1/(a*x*Cos[a*x] - Sin[a*x])^2, x, 7, -((2*x*ArcTanh[E^(I*a*x)])/a^3) - Csc[a*x]/a^4 - (x*Cot[a*x]*Csc[a*x])/a^3 + (I*PolyLog[2, -E^(I*a*x)])/a^4 - (I*PolyLog[2, E^(I*a*x)])/a^4 + (x^2*Csc[a*x]^2)/(a^2*(a*x*Cos[a*x] - Sin[a*x]))}
+{x^4*Csc[a*x]^2/(a*x*Cos[a*x] - Sin[a*x])^2, x, 9, -((2*I*x^2)/a^3) - Cot[a*x]/a^5 - (2*x^2*Cot[a*x])/a^3 - (x*Csc[a*x]^2)/a^4 - (x^2*Cot[a*x]*Csc[a*x]^2)/a^3 + (4*x*Log[1 - E^(2*I*a*x)])/a^4 - (2*I*PolyLog[2, E^(2*I*a*x)])/a^5 + (x^3*Csc[a*x]^3)/(a^2*(a*x*Cos[a*x] - Sin[a*x]))}
+
+
+{Cos[a*x]^6/(x^4*(Cos[a*x] + a*x*Sin[a*x])^2), x, 15, a^2/x + Cos[a*x]^2/x^3 - (10*a^2*Cos[a*x]^2)/x + Cos[a*x]^4/(a^2*x^5) - (4*Cos[a*x]^4)/(3*x^3) + (32*a^2*Cos[a*x]^4)/(3*x) - (a*Cos[a*x]*Sin[a*x])/x^2 - (Cos[a*x]^3*Sin[a*x])/(a*x^4) + (8*a*Cos[a*x]^3*Sin[a*x])/(3*x^2) - Cos[a*x]^5/(a^2*x^5*(Cos[a*x] + a*x*Sin[a*x])) + (2/3)*a^3*SinIntegral[2*a*x] + (16/3)*a^3*SinIntegral[4*a*x]}
+{Cos[a*x]^5/(x^3*(Cos[a*x] + a*x*Sin[a*x])^2), x, 11, Cos[a*x]/x^2 + Cos[a*x]^3/(a^2*x^4) - (3*Cos[a*x]^3)/(2*x^2) - (1/8)*a^2*CosIntegral[a*x] - (27/8)*a^2*CosIntegral[3*a*x] - (a*Sin[a*x])/x - (Cos[a*x]^2*Sin[a*x])/(a*x^3) + (9*a*Cos[a*x]^2*Sin[a*x])/(2*x) - Cos[a*x]^4/(a^2*x^4*(Cos[a*x] + a*x*Sin[a*x]))}
+{Cos[a*x]^4/(x^2*(Cos[a*x] + a*x*Sin[a*x])^2), x, 6, 1/x + Cos[a*x]^2/(a^2*x^3) - (2*Cos[a*x]^2)/x - (Cos[a*x]*Sin[a*x])/(a*x^2) - Cos[a*x]^3/(a^2*x^3*(Cos[a*x] + a*x*Sin[a*x])) - 2*a*SinIntegral[2*a*x]}
+{Cos[a*x]^3/(x^1*(Cos[a*x] + a*x*Sin[a*x])^2), x, 4, Cos[a*x]/(a^2*x^2) + CosIntegral[a*x] - Sin[a*x]/(a*x) - Cos[a*x]^2/(a^2*x^2*(Cos[a*x] + a*x*Sin[a*x]))}
+{Cos[a*x]^2/(x^0*(Cos[a*x] + a*x*Sin[a*x])^2), x, 1, 1/(a^2*x) - Cos[a*x]/(a^2*x*(Cos[a*x] + a*x*Sin[a*x]))}
+{x^1*Cos[a*x]^1/(Cos[a*x] + a*x*Sin[a*x])^2, x, 1, -(1/(a^2*(Cos[a*x] + a*x*Sin[a*x])))}
+{x^2*Cos[a*x]^0/(Cos[a*x] + a*x*Sin[a*x])^2, x, 3, -((x*Sec[a*x])/(a^2*(Cos[a*x] + a*x*Sin[a*x]))) + Tan[a*x]/a^3}
+{x^3*Sec[a*x]^1/(Cos[a*x] + a*x*Sin[a*x])^2, x, 7, -((2*I*x*ArcTan[E^(I*a*x)])/a^3) + (I*PolyLog[2, (-I)*E^(I*a*x)])/a^4 - (I*PolyLog[2, I*E^(I*a*x)])/a^4 - Sec[a*x]/a^4 - (x^2*Sec[a*x]^2)/(a^2*(Cos[a*x] + a*x*Sin[a*x])) + (x*Sec[a*x]*Tan[a*x])/a^3}
+{x^4*Sec[a*x]^2/(Cos[a*x] + a*x*Sin[a*x])^2, x, 9, -((2*I*x^2)/a^3) + (4*x*Log[1 + E^(2*I*a*x)])/a^4 - (2*I*PolyLog[2, -E^(2*I*a*x)])/a^5 - (x*Sec[a*x]^2)/a^4 - (x^3*Sec[a*x]^3)/(a^2*(Cos[a*x] + a*x*Sin[a*x])) + Tan[a*x]/a^5 + (2*x^2*Tan[a*x])/a^3 + (x^2*Sec[a*x]^2*Tan[a*x])/a^3}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (c Tan[a+b x] Tan[2 (a+b x)])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sec[2 (a+b x)]^m (c Tan[a+b x] Tan[2 (a+b x)])^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sec[2*(a + b*x)]^4*Sqrt[c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)]], x, 5, (-2*c*Tan[2*a + 2*b*x])/(5*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) + (c*Sec[2*a + 2*b*x]^3*Tan[2*a + 2*b*x])/(7*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) - (4*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]*Tan[2*a + 2*b*x])/(35*b) - (6*(-c + c*Sec[2*a + 2*b*x])^(3/2)*Tan[2*a + 2*b*x])/(35*b*c)}
+{Sec[2*(a + b*x)]^3*Sqrt[c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)]], x, 4, (7*c*Tan[2*a + 2*b*x])/(15*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) + (2*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]*Tan[2*a + 2*b*x])/(15*b) + ((-c + c*Sec[2*a + 2*b*x])^(3/2)*Tan[2*a + 2*b*x])/(5*b*c)}
+{Sec[2*(a + b*x)]^2*Sqrt[c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)]], x, 3, -(c*Tan[2*a + 2*b*x])/(3*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) + (Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]*Tan[2*a + 2*b*x])/(3*b)}
+{Sec[2*(a + b*x)]^1*Sqrt[c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)]], x, 2, (c*Tan[2*a + 2*b*x])/(b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])}
+{Sec[2*(a + b*x)]^0*Sqrt[c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)]], x, 3, -((Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]])/b)}
+{Cos[2*(a + b*x)]^1*Sqrt[c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)]], x, 4, (Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]])/(2*b) - (c*Sin[2*a + 2*b*x])/(2*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])}
+{Cos[2*(a + b*x)]^2*Sqrt[c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)]], x, 5, (-3*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]])/(8*b) + (3*c*Sin[2*a + 2*b*x])/(8*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) - (c*Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(4*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])}
+{Cos[2*(a + b*x)]^3*Sqrt[c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)]], x, 6, (5*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]])/(16*b) - (5*c*Sin[2*a + 2*b*x])/(16*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) + (5*c*Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(24*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) - (c*Cos[2*a + 2*b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x])/(6*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])}
+
+
+{Sec[2*(a + b*x)]^4*(c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)])^(3/2), x, 7, (34*c^2*Tan[2*a + 2*b*x])/(45*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) - (17*c^2*Sec[2*a + 2*b*x]^3*Tan[2*a + 2*b*x])/(63*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) + (c^2*Sec[2*a + 2*b*x]^4*Tan[2*a + 2*b*x])/(9*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) + (68*c*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]*Tan[2*a + 2*b*x])/(315*b) + (34*(-c + c*Sec[2*a + 2*b*x])^(3/2)*Tan[2*a + 2*b*x])/(105*b)}
+{Sec[2*(a + b*x)]^3*(c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)])^(3/2), x, 5, (-76*c^2*Tan[2*a + 2*b*x])/(105*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) + (19*c*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]*Tan[2*a + 2*b*x])/(105*b) + (2*(-c + c*Sec[2*a + 2*b*x])^(3/2)*Tan[2*a + 2*b*x])/(35*b) + ((-c + c*Sec[2*a + 2*b*x])^(5/2)*Tan[2*a + 2*b*x])/(7*b*c)}
+{Sec[2*(a + b*x)]^2*(c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)])^(3/2), x, 4, (4*c^2*Tan[2*a + 2*b*x])/(5*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) - (c*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]*Tan[2*a + 2*b*x])/(5*b) + ((-c + c*Sec[2*a + 2*b*x])^(3/2)*Tan[2*a + 2*b*x])/(5*b)}
+{Sec[2*(a + b*x)]^1*(c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)])^(3/2), x, 3, (-4*c^2*Tan[2*a + 2*b*x])/(3*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) + (c*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]*Tan[2*a + 2*b*x])/(3*b)}
+{Sec[2*(a + b*x)]^0*(c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)])^(3/2), x, 5, (c^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]])/b + (c^2*Tan[2*a + 2*b*x])/(b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])}
+{Cos[2*(a + b*x)]^1*(c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)])^(3/2), x, 6, (-3*c^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]])/(2*b) + (c^2*Sin[2*a + 2*b*x])/(2*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])}
+{Cos[2*(a + b*x)]^2*(c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)])^(3/2), x, 6, (7*c^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]])/(8*b) - (7*c^2*Sin[2*a + 2*b*x])/(8*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) + (c^2*Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(4*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])}
+{Cos[2*(a + b*x)]^3*(c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)])^(3/2), x, 7, (-11*c^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]])/(16*b) + (11*c^2*Sin[2*a + 2*b*x])/(16*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) - (11*c^2*Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(24*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) + (c^2*Cos[2*a + 2*b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x])/(6*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sec[2*(a + b*x)]^4/Sqrt[c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)]], x, 6, -(ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])]/(Sqrt[2]*b*Sqrt[c])) + (14*Tan[2*a + 2*b*x])/(15*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) + (Sec[2*a + 2*b*x]^2*Tan[2*a + 2*b*x])/(5*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) + (Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]*Tan[2*a + 2*b*x])/(15*b*c)}
+{Sec[2*(a + b*x)]^3/Sqrt[c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)]], x, 5, -(ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])]/(Sqrt[2]*b*Sqrt[c])) + (2*Tan[2*a + 2*b*x])/(3*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) + (Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]*Tan[2*a + 2*b*x])/(3*b*c)}
+{Sec[2*(a + b*x)]^2/Sqrt[c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)]], x, 4, -(ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])]/(Sqrt[2]*b*Sqrt[c])) + Tan[2*a + 2*b*x]/(b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])}
+{Sec[2*(a + b*x)]^1/Sqrt[c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)]], x, 3, -(ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])]/(Sqrt[2]*b*Sqrt[c]))}
+{Sec[2*(a + b*x)]^0/Sqrt[c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)]], x, 6, ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]]/(b*Sqrt[c]) - ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])]/(Sqrt[2]*b*Sqrt[c])}
+{Cos[2*(a + b*x)]^1/Sqrt[c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)]], x, 7, ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]]/(2*b*Sqrt[c]) - ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])]/(Sqrt[2]*b*Sqrt[c]) + Sin[2*a + 2*b*x]/(2*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])}
+{Cos[2*(a + b*x)]^2/Sqrt[c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)]], x, 8, (7*ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]])/(8*b*Sqrt[c]) - ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])]/(Sqrt[2]*b*Sqrt[c]) + Sin[2*a + 2*b*x]/(8*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) + (Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(4*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])}
+
+
+{Sec[2*(a + b*x)]^4/(c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)])^(3/2), x, 6, (-11*ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])])/(4*Sqrt[2]*b*c^(3/2)) - (Sec[2*a + 2*b*x]^2*Tan[2*a + 2*b*x])/(4*b*(-c + c*Sec[2*a + 2*b*x])^(3/2)) + (13*Tan[2*a + 2*b*x])/(6*b*c*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) + (7*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]*Tan[2*a + 2*b*x])/(12*b*c^2)}
+{Sec[2*(a + b*x)]^3/(c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)])^(3/2), x, 5, (-7*ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])])/(4*Sqrt[2]*b*c^(3/2)) - Tan[2*a + 2*b*x]/(4*b*(-c + c*Sec[2*a + 2*b*x])^(3/2)) + Tan[2*a + 2*b*x]/(b*c*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])}
+{Sec[2*(a + b*x)]^2/(c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)])^(3/2), x, 4, (-3*ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])])/(4*Sqrt[2]*b*c^(3/2)) - Tan[2*a + 2*b*x]/(4*b*(-c + c*Sec[2*a + 2*b*x])^(3/2))}
+{Sec[2*(a + b*x)]^1/(c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)])^(3/2), x, 4, ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])]/(4*Sqrt[2]*b*c^(3/2)) - Tan[2*a + 2*b*x]/(4*b*(-c + c*Sec[2*a + 2*b*x])^(3/2))}
+{Sec[2*(a + b*x)]^0/(c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)])^(3/2), x, 7, -(ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]]/(b*c^(3/2))) + (5*ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])])/(4*Sqrt[2]*b*c^(3/2)) - Tan[2*a + 2*b*x]/(4*b*(-c + c*Sec[2*a + 2*b*x])^(3/2))}
+{Cos[2*(a + b*x)]^1/(c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)])^(3/2), x, 8, (-3*ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]])/(2*b*c^(3/2)) + (9*ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])])/(4*Sqrt[2]*b*c^(3/2)) - Sin[2*a + 2*b*x]/(4*b*(-c + c*Sec[2*a + 2*b*x])^(3/2)) - (3*Sin[2*a + 2*b*x])/(4*b*c*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])}
+{Cos[2*(a + b*x)]^2/(c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)])^(3/2), x, 9, (-19*ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]])/(8*b*c^(3/2)) + (13*ArcTanh[(Sqrt[c]*Tan[2*a + 2*b*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])])/(4*Sqrt[2]*b*c^(3/2)) - (Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(4*b*(-c + c*Sec[2*a + 2*b*x])^(3/2)) - (7*Sin[2*a + 2*b*x])/(8*b*c*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) - (Cos[2*a + 2*b*x]*Sin[2*a + 2*b*x])/(2*b*c*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u Sin[2 x]^(p/2)*)
+
+
+{Cot[x]*Csc[x]/Sqrt[Sin[2*x]], x, 3, -((2*Cos[x]*Cot[x])/(3*Sqrt[Sin[2*x]]))}
+
+
+{(Csc[x]^2*Sec[x])/(Sqrt[Sin[2*x]]*(-2 + Tan[x])), x, 6, Cos[x]/(2*Sqrt[Sin[2*x]]) + (Cos[x]*Cot[x])/(3*Sqrt[Sin[2*x]]) - (5*ArcTanh[Sqrt[Tan[x]]/Sqrt[2]]*Sin[x])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[Sin[2*x]]*Sqrt[Tan[x]])}
+
+
+{(Cos[x]^2*Sin[x])/((Sin[x]^2 - Sin[2*x])*Sin[2*x]^(5/2)), x, 6, (Cos[x]^4*Sin[x])/(3*Sin[2*x]^(5/2)) + (Cos[x]^3*Sin[x]^2)/(2*Sin[2*x]^(5/2)) - (5*ArcTanh[Sqrt[Tan[x]]/Sqrt[2]]*Sin[x]^5)/(2*Sqrt[2]*Sin[2*x]^(5/2)*Tan[x]^(5/2))}
+
+
+{(Cos[x]^3*Cos[2*x])/((Sin[x]^2 - Sin[2*x])*Sin[2*x]^(5/2)), x, 6, Cos[x]^5/(5*Sin[2*x]^(5/2)) + (Cos[x]^4*Sin[x])/(6*Sin[2*x]^(5/2)) - (3*Cos[x]^3*Sin[x]^2)/(4*Sin[2*x]^(5/2)) + (3*ArcTanh[Sqrt[Tan[x]]/Sqrt[2]]*Sin[x]^5)/(4*Sqrt[2]*Sin[2*x]^(5/2)*Tan[x]^(5/2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Products of functions of a trig function and its derivative*)
+
+
+{(a Cos[c+d x]+b Sec[c+d x] Tan[c+d x])*(a*Sin[c + d*x] + b*Sec[c + d*x])^n, x, 1, (b*Sec[c + d*x] + a*Sin[c + d*x])^(1 + n)/(d*(1 + n))}
+
+{(a Cos[c+d x]+b Sec[c+d x] Tan[c+d x])*(a*Sin[c + d*x] + b*Sec[c + d*x])^3, x, 1, (b*Sec[c + d*x] + a*Sin[c + d*x])^4/(4*d)}
+{(a Cos[c+d x]+b Sec[c+d x] Tan[c+d x])*(a*Sin[c + d*x] + b*Sec[c + d*x])^2, x, 1, (b*Sec[c + d*x] + a*Sin[c + d*x])^3/(3*d)}
+{(a Cos[c+d x]+b Sec[c+d x] Tan[c+d x])*(a*Sin[c + d*x] + b*Sec[c + d*x])^1, x, 1, (b*Sec[c + d*x] + a*Sin[c + d*x])^2/(2*d)}
+{(a Cos[c+d x]+b Sec[c+d x] Tan[c+d x])/(a*Sin[c + d*x] + b*Sec[c + d*x])^1, x, 1, Log[b*Sec[c + d*x] + a*Sin[c + d*x]]/d}
+{(a Cos[c+d x]+b Sec[c+d x] Tan[c+d x])/(a*Sin[c + d*x] + b*Sec[c + d*x])^2, x, 1, -(1/(d*(b*Sec[c + d*x] + a*Sin[c + d*x])))}
+{(a Cos[c+d x]+b Sec[c+d x] Tan[c+d x])/(a*Sin[c + d*x] + b*Sec[c + d*x])^3, x, 1, -(1/(2*d*(b*Sec[c + d*x] + a*Sin[c + d*x])^2))}
+
+
+{Sin[a + b*x]*F[c, d, Cos[a + b*x], r, s], x, 1, CannotIntegrate[F[c, d, Cos[a + b*x], r, s]*Sin[a + b*x], x]}
+{Cos[a + b*x]*F[c, d, Sin[a + b*x], r, s], x, 1, CannotIntegrate[Cos[a + b*x]*F[c, d, Sin[a + b*x], r, s], x]}
+{Sec[a + b*x]^2*F[c, d, Tan[a + b*x], r, s], x, 1, CannotIntegrate[F[c, d, Tan[a + b*x], r, s]*Sec[a + b*x]^2, x]}
+{Csc[a + b*x]^2*F[c, d, Cot[a + b*x], r, s], x, 1, CannotIntegrate[Csc[a + b*x]^2*F[c, d, Cot[a + b*x], r, s], x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F[Cos[a+b x]] Sin[a+b x]^n when n odd*)
+
+
+{Sin[x]/(a + b*Cos[x]), x, 2, -(Log[a + b*Cos[x]]/b)}
+{Sin[x]*(a + b*Cos[x])^n, x, 2, -((a + b*Cos[x])^(1 + n)/(b*(1 + n)))}
+{Sin[x]/Sqrt[1 + Cos[x]^2], x, 2, -ArcSinh[Cos[x]]}
+{Sin[x]*Cos[Cos[x]], x, 2, -Sin[Cos[x]]}
+{Sin[x]*Cos[x]*Cos[Cos[x]]*Sin[Cos[x]], x, 4, Cos[x]/4 - (1/4)*Cos[Cos[x]]*Sin[Cos[x]] - (1/2)*Cos[x]*Sin[Cos[x]]^2}
+{Sin[x]*Cos[Cos[x]]*Sin[6*Cos[x]]^2, x, 6, (-(1/2))*Sin[Cos[x]] + (1/44)*Sin[11*Cos[x]] + (1/52)*Sin[13*Cos[x]]}
+{Sin[x]*Cos[x]^3*(a + b*Cos[x]^2)^3, x, 4, (a*(a + b*Cos[x]^2)^4)/(8*b^2) - (a + b*Cos[x]^2)^5/(10*b^2)}
+{Sin[3*x]*Sin[Cos[3*x]], x, 2, Cos[Cos[3*x]]/3}
+{Sin[1 + 3*x]*Cos[1 + 3*x]*E^Cos[1 + 3*x], x, 3, (1/3)*E^Cos[1 + 3*x] - (1/3)*E^Cos[1 + 3*x]*Cos[1 + 3*x]}
+{Sin[x]*Cos[x]^2/Sqrt[1 - Cos[x]^6], x, 3, (-(1/3))*ArcSin[Cos[x]^3]}
+
+
+{Sin[x]^5/Sqrt[1 - 5*Cos[x]], x, 3, (1152*Sqrt[1 - 5*Cos[x]])/3125 + (64*(1 - 5*Cos[x])^(3/2))/3125 - (88*(1 - 5*Cos[x])^(5/2))/15625 - (8*(1 - 5*Cos[x])^(7/2))/21875 + (2*(1 - 5*Cos[x])^(9/2))/28125}
+
+
+{E^(n*Cos[a+b*x])*Sin[a+b*x], x, 2, -(E^(n*Cos[a + b*x])/(b*n))}
+{E^(n*Cos[a*c+b*c*x])*Sin[c*(a+b*x)], x, 2, -(E^(n*Cos[c*(a + b*x)])/(b*c*n))}
+{E^(n*Cos[c*(a+b*x)])*Sin[a*c+b*c*x], x, 2, -(E^(n*Cos[a*c + b*c*x])/(b*c*n))}
+
+
+{E^(n*Cos[a+b*x])*Tan[a+b*x], x, 2, -(ExpIntegralEi[n*Cos[a + b*x]]/b)}
+{E^(n*Cos[a*c+b*c*x])*Tan[c*(a+b*x)], x, 2, -(ExpIntegralEi[n*Cos[c*(a + b*x)]]/(b*c))}
+{E^(n*Cos[c*(a+b*x)])*Tan[a*c+b*c*x], x, 2, -(ExpIntegralEi[n*Cos[a*c + b*c*x]]/(b*c))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F[Sin[a+b x]] Cos[a+b x]^n when n odd*)
+
+
+{Cos[x]/(a + b*Sin[x]), x, 2, Log[a + b*Sin[x]]/b}
+{Cos[x]*(a + b*Sin[x])^n, x, 2, (a + b*Sin[x])^(1 + n)/(b*(1 + n))}
+{Cos[x]/Sqrt[1 + Sin[x]^2], x, 2, ArcSinh[Sin[x]]}
+{Cos[x]/Sqrt[4 - Sin[x]^2], x, 2, ArcSin[Sin[x]/2]}
+{Cos[3*x]/Sqrt[4 - Sin[3*x]^2], x, 2, ArcSin[Sin[3*x]/2]/3}
+{Cos[x]*Sqrt[1 + Csc[x]], x, 4, ArcTanh[Sqrt[1 + Csc[x]]] + Sqrt[1 + Csc[x]]*Sin[x]}
+{Cos[x]*Sqrt[4 - Sin[x]^2], x, 3, 2*ArcSin[Sin[x]/2] + (Sin[x]*Sqrt[4 - Sin[x]^2])/2}
+{Cos[x]*Sin[x]*Sqrt[1 + Sin[x]^2], x, 2, (1/3)*(1 + Sin[x]^2)^(3/2)}
+{Cos[x]/Sqrt[2*Sin[x] + Sin[x]^2], x, 3, 2*ArcTanh[Sin[x]/Sqrt[2*Sin[x] + Sin[x]^2]]}
+{Cos[x]*Cos[Sin[x]], x, 2, Sin[Sin[x]]}
+{Cos[x]*Cos[Sin[x]]*Cos[Sin[Sin[x]]], x, 3, Sin[Sin[Sin[x]]]}
+{Cos[x]*Sec[Sin[x]], x, 2, ArcTanh[Sin[Sin[x]]]}
+{Cos[x]*Sin[x]^3*(a + b*Sin[x]^2)^3, x, 4, -((a*(a + b*Sin[x]^2)^4)/(8*b^2)) + (a + b*Sin[x]^2)^5/(10*b^2)}
+{Cos[x]*Sin[x]*E^Sin[x], x, 3, -E^Sin[x] + E^Sin[x]*Sin[x]}
+{Cos[x]^3/Sqrt[Sin[x]^3], x, 4, -((2*Sin[x])/Sqrt[Sin[x]^3]) - (2/3)*Sqrt[Sin[x]^3]}
+
+
+{E^Sqrt[Sin[x]]*Cos[x]/Sqrt[Sin[x]], x, 2, 2*E^Sqrt[Sin[x]]}
+{E^(4 + Sin[x])*Cos[x], x, 2, E^(4 + Sin[x])}
+
+
+{E^(Cos[x]*Sin[x])*Cos[2*x], x, 2, E^((1/2)*Sin[2*x])}
+{E^(Cos[x/2]*Sin[x/2])*Cos[x], x, 2, 2*E^(Sin[x]/2)}
+
+
+{E^(n*Sin[a+b*x])*Cos[a+b*x], x, 2, E^(n*Sin[a + b*x])/(b*n)}
+{E^(n*Sin[a*c+b*c*x])*Cos[c*(a+b*x)], x, 2, E^(n*Sin[c*(a + b*x)])/(b*c*n)}
+{E^(n*Sin[c*(a+b*x)])*Cos[a*c+b*c*x], x, 2, E^(n*Sin[a*c + b*c*x])/(b*c*n)}
+
+
+{E^(n*Sin[a+b*x])*Cot[a+b*x], x, 2, ExpIntegralEi[n*Sin[a + b*x]]/b}
+{E^(n*Sin[a*c+b*c*x])*Cot[c*(a+b*x)], x, 2, ExpIntegralEi[n*Sin[c*(a + b*x)]]/(b*c)}
+{E^(n*Sin[c*(a+b*x)])*Cot[a*c+b*c*x], x, 2, ExpIntegralEi[n*Sin[a*c + b*c*x]]/(b*c)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F[Tan[a+b x]] Sec[a+b x]^n when n even*)
+
+
+{Sec[x]^2/(a + b*Tan[x]), x, 2, Log[a + b*Tan[x]]/b}
+{Sec[x]^2/(1 - Tan[x]^2), x, 2, (1/2)*ArcTanh[2*Cos[x]*Sin[x]]}
+{Sec[x]^2/(9 + Tan[x]^2), x, 2, x/3 - (1/3)*ArcTan[(2*Cos[x]*Sin[x])/(1 + 2*Cos[x]^2)]}
+{Sec[x]^2*(a + b*Tan[x])^n, x, 2, (a + b*Tan[x])^(1 + n)/(b*(1 + n))}
+{Sec[x]^2*(1 + 1/(1 + Tan[x]^2)), x, 3, x + Tan[x]}
+{Sec[x]^2*(2 + Tan[x]^2)/(1 + Tan[x]^2), x, 4, x + Tan[x]}
+{Sec[x]^2/(2 + 2*Tan[x] + Tan[x]^2), x, 3, x - ArcTan[(1 - 2*Cos[x]^2 + Cos[x]*Sin[x])/(2 + Cos[x]^2 + 2*Cos[x]*Sin[x])]}
+{Sec[x]^2/(Tan[x]^2 + Tan[x]^3), x, 3, -Cot[x] + Log[1 + Cot[x]], -Cot[x] - Log[Tan[x]] + Log[1 + Tan[x]]}
+{Sec[x]^2/(-Tan[x]^2 + Tan[x]^3), x, 3, Cot[x] + Log[1 - Cot[x]], Cot[x] + Log[1 - Tan[x]] - Log[Tan[x]]}
+{Sec[x]^2/(3 - 4*Tan[x]^3), x, 7, x/(3*2^(2/3)*3^(1/6)) - ArcTan[(6^(2/3) - 2*6^(2/3)*Cos[x]^2 + 2*(3 - 2*6^(1/3))*Cos[x]*Sin[x])/(3*2^(2/3)*3^(1/6) + 4*6^(1/3) + (6 - 4*6^(1/3))*Cos[x]^2 + 2*6^(2/3)*Cos[x]*Sin[x])]/(3*2^(2/3)*3^(1/6)) - Log[3^(1/3) - 2^(2/3)*Tan[x]]/(3*6^(2/3)) + Log[3^(2/3) + 2^(2/3)*3^(1/3)*Tan[x] + 2*2^(1/3)*Tan[x]^2]/(6*6^(2/3))}
+{Sec[x]^2/(11 - 5*Tan[x] + 5*Tan[x]^2), x, 3, (2*x)/Sqrt[195] - (2*ArcTan[(-5 + 10*Cos[x]^2 + 12*Cos[x]*Sin[x])/(10 + Sqrt[195] + 12*Cos[x]^2 - 10*Cos[x]*Sin[x])])/Sqrt[195]}
+{Sec[x]^2*(a + b*Tan[x])/(c + d*Tan[x]), x, 3, -(((b*c - a*d)*Log[c + d*Tan[x]])/d^2) + (b*Tan[x])/d}
+{Sec[x]^2*(a + b*Tan[x])^2/(c + d*Tan[x]), x, 3, ((b*c - a*d)^2*Log[c + d*Tan[x]])/d^3 - (b*(b*c - a*d)*Tan[x])/d^2 + (a + b*Tan[x])^2/(2*d)}
+{Sec[x]^2*(a + b*Tan[x])^3/(c + d*Tan[x]), x, 3, -(((b*c - a*d)^3*Log[c + d*Tan[x]])/d^4) + (b*(b*c - a*d)^2*Tan[x])/d^3 - ((b*c - a*d)*(a + b*Tan[x])^2)/(2*d^2) + (a + b*Tan[x])^3/(3*d)}
+{Sec[x]^2*Tan[x]^2/(2 + Tan[x]^3)^2, x, 2, -1/(3*(2 + Tan[x]^3))}
+{Sec[x]^2*Tan[x]^6*(1 + Tan[x]^2)^3, x, 4, Tan[x]^7/7 + Tan[x]^9/3 + (3*Tan[x]^11)/11 + Tan[x]^13/13}
+{Sec[x]^2*(2 + Tan[x]^2)/(1 + Tan[x]^3), x, 5, (2*x)/Sqrt[3] + (2*ArcTan[(1 - 2*Cos[x]^2)/(2 + Sqrt[3] - 2*Cos[x]*Sin[x])])/Sqrt[3] + Log[1 + Tan[x]]}
+{Sec[x]^2*(1 + Cos[x]^2), x, 2, x + Tan[x]}
+{Sec[x]^2/(1 + Sec[x]^2 - 3*Tan[x]), x, 4, -Log[Cos[x] - Sin[x]] + Log[2*Cos[x] - Sin[x]]}
+{Sec[x]^2/Sqrt[4 - Sec[x]^2], x, 2, ArcSin[Tan[x]/Sqrt[3]]}
+{Sec[x]^2/Sqrt[1 - 4*Tan[x]^2], x, 2, ArcSin[2*Tan[x]]/2}
+{Sec[x]^2/Sqrt[-4 + Tan[x]^2], x, 3, ArcTanh[Tan[x]/Sqrt[-4 + Tan[x]^2]]}
+{Sec[x]^2*Sqrt[1 - Cot[x]^2], x, 3, ArcSin[Cot[x]] + Sqrt[1 - Cot[x]^2]*Tan[x]}
+{Sec[x]^2*Sqrt[1 - Tan[x]^2], x, 3, (1/2)*ArcSin[Tan[x]] + (1/2)*Tan[x]*Sqrt[1 - Tan[x]^2]}
+{Sec[x]^2*E^Tan[x], x, 2, E^Tan[x]}
+
+
+{Sec[x]^4*(-1 + Sec[x]^2)^2*Tan[x], x, 4, Tan[x]^6/6 + Tan[x]^8/8}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F[Cot[a+b x]] Csc[a+b x]^n when n even*)
+
+
+{Csc[x]^2/(a + b*Cot[x]), x, 2, -(Log[a + b*Cot[x]]/b)}
+{Csc[x]^2*(a + b*Cot[x])^n, x, 2, -((a + b*Cot[x])^(1 + n)/(b*(1 + n)))}
+{Csc[x]^2*(1 + Sin[x]^2), x, 2, x - Cot[x]}
+{Csc[x]^2*(1 + 1/(1 + Cot[x]^2)), x, 4, x - Cot[x]}
+{Csc[x]^2*(a + b*Cot[x])/(c + d*Cot[x]), x, 3, -((b*Cot[x])/d) + ((b*c - a*d)*Log[c + d*Cot[x]])/d^2}
+{Csc[x]^2*(a + b*Cot[x])^2/(c + d*Cot[x]), x, 3, (b*(b*c - a*d)*Cot[x])/d^2 - (a + b*Cot[x])^2/(2*d) - ((b*c - a*d)^2*Log[c + d*Cot[x]])/d^3}
+{Csc[x]^2*(a + b*Cot[x])^3/(c + d*Cot[x]), x, 3, -((b*(b*c - a*d)^2*Cot[x])/d^3) + ((b*c - a*d)*(a + b*Cot[x])^2)/(2*d^2) - (a + b*Cot[x])^3/(3*d) + ((b*c - a*d)^3*Log[c + d*Cot[x]])/d^4}
+{Csc[x]^2/E^Cot[x], x, 2, E^(-Cot[x])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F[Sec[a+b x]] Sec[a+b x] Tan[a+b x]*)
+
+
+{Sec[x]*Tan[x]/(a + b*Sec[x]), x, 4, Log[a + b*Sec[x]]/b, -(Log[Cos[x]]/b) + Log[b + a*Cos[x]]/b}
+{Sec[x]*Tan[x]/(1 + Sec[x]^2), x, 2, -ArcTan[Cos[x]]}
+{Sec[x]*Tan[x]/(9 + 4*Sec[x]^2), x, 2, (-(1/6))*ArcTan[(3*Cos[x])/2]}
+{Sec[x]*Tan[x]/(Sec[x] + Sec[x]^2), x, 2, -Log[1 + Cos[x]]}
+{Sec[x]*Tan[x]/Sqrt[4 + Sec[x]^2], x, 3, ArcCsch[2*Cos[x]]}
+{Sec[x]*Tan[x]/Sqrt[1 + Cos[x]^2], x, 2, Sqrt[1 + Cos[x]^2]*Sec[x]}
+{Sec[x]*Tan[x]*E^Sec[x], x, 2, E^Sec[x]}
+{Sec[x]*Tan[x]*2^Sec[x], x, 2, 2^Sec[x]/Log[2]}
+
+{Sec[2*x]*Tan[2*x]/(1 + Sec[2*x])^(3/2), x, 2, -(1/Sqrt[1 + Sec[2*x]])}
+{Sec[3*x]*Tan[3*x]*Sqrt[1 + 5*Cos[3*x]^2], x, 3, (-(1/3))*Sqrt[5]*ArcSinh[Sqrt[5]*Cos[3*x]] + (1/3)*Sqrt[1 + 5*Cos[3*x]^2]*Sec[3*x]}
+{Sec[3*x]*Tan[3*x]/Sqrt[1 + 5*Cos[3*x]^2], x, 2, (Sqrt[1 + 5*Cos[3*x]^2]*Sec[3*x])/3}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F[Csc[a+b x]] Csc[a+b x] Cot[a+b x]*)
+
+
+{(Csc[x]*Cot[x])/(a + b*Csc[x]), x, 4, -(Log[a + b*Csc[x]]/b), Log[Sin[x]]/b - Log[b + a*Sin[x]]/b}
+{5^Csc[3*x]*Cot[3*x]*Csc[3*x], x, 2, -5^Csc[3*x]/(3*Log[5])}
+{(Cot[x]*Csc[x])/(1 + Csc[x]^2), x, 2, ArcTan[Sin[x]]}
+{(Cot[6*x]*Csc[6*x])/(5 - 11*Csc[6*x]^2)^2, x, 3, -(ArcTanh[Sqrt[5/11]*Sin[6*x]]/(60*Sqrt[55])) + Sin[6*x]/(60*(11 - 5*Sin[6*x]^2))}
+{(Cot[x]*Csc[x])/Sqrt[1 + Sin[x]^2], x, 2, -(Csc[x]*Sqrt[1 + Sin[x]^2])}
+{(Cot[5*x]*Csc[5*x]^3)/Sqrt[1 + Sin[5*x]^2], x, 3, (2/15)*Csc[5*x]*Sqrt[1 + Sin[5*x]^2] - (1/15)*Csc[5*x]^3*Sqrt[1 + Sin[5*x]^2]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F[Sin[(a+b x)/2]] Sin[a+b x]*)
+
+
+{E^(n*Sin[a+b*x])*Sin[2*a+2*b*x], x, 4, -((2*E^(n*Sin[a + b*x]))/(b*n^2)) + (2*E^(n*Sin[a + b*x])*Sin[a + b*x])/(b*n)}
+{E^(n*Sin[a+b*x])*Sin[2*(a+b*x)], x, 4, -((2*E^(n*Sin[a + b*x]))/(b*n^2)) + (2*E^(n*Sin[a + b*x])*Sin[a + b*x])/(b*n)}
+{E^(n*Sin[a/2+b/2*x])*Sin[a+b*x], x, 4, -((4*E^(n*Sin[a/2 + (b*x)/2]))/(b*n^2)) + (4*E^(n*Sin[a/2 + (b*x)/2])*Sin[a/2 + (b*x)/2])/(b*n)}
+{E^(n*Sin[(a+b*x)/2])*Sin[a+b*x], x, 4, -((4*E^(n*Sin[a/2 + (b*x)/2]))/(b*n^2)) + (4*E^(n*Sin[a/2 + (b*x)/2])*Sin[a/2 + (b*x)/2])/(b*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F[Cos[(a+b x)/2]] Sin[a+b x]*)
+
+
+{E^(n*Cos[a+b*x])*Sin[2*a+2*b*x], x, 4, (2*E^(n*Cos[a + b*x]))/(b*n^2) - (2*E^(n*Cos[a + b*x])*Cos[a + b*x])/(b*n)}
+{E^(n*Cos[a+b*x])*Sin[2*(a+b*x)], x, 4, (2*E^(n*Cos[a + b*x]))/(b*n^2) - (2*E^(n*Cos[a + b*x])*Cos[a + b*x])/(b*n)}
+{E^(n*Cos[a/2+b/2*x])*Sin[a+b*x], x, 4, (4*E^(n*Cos[a/2 + (b*x)/2]))/(b*n^2) - (4*E^(n*Cos[a/2 + (b*x)/2])*Cos[a/2 + (b*x)/2])/(b*n)}
+{E^(n*Cos[(a+b*x)/2])*Sin[a+b*x], x, 4, (4*E^(n*Cos[a/2 + (b*x)/2]))/(b*n^2) - (4*E^(n*Cos[a/2 + (b*x)/2])*Cos[a/2 + (b*x)/2])/(b*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F[Tan[a+b x]] when n even*)
+
+
+{Csc[x]*Log[Tan[x]]*Sec[x], x, 1, Log[Tan[x]]^2/2}
+{Csc[2*x]*Log[Tan[x]], x, 1, Log[Tan[x]]^2/4}
+
+
+{E^(Cos[x]^2 + Sin[x]^2), x, 3, E*x}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Problems from Calculus textbooks*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Anton Calculus, 4th Edition*)
+
+
+{x*Sec[x]^2, x, 2, Log[Cos[x]] + x*Tan[x]}
+{x*Cos[x^2]^4, x, 4, (3*x^2)/16 + (3/16)*Cos[x^2]*Sin[x^2] + (1/8)*Cos[x^2]^3*Sin[x^2]}
+
+{Sqrt[Cos[x]]*Sin[x], x, 2, (-2*Cos[x]^(3/2))/3}
+{Tan[E^(-2*x)]/E^(2*x), x, 2, Log[Cos[E^(-2*x)]]/2}
+{(Sec[x]*Sin[2*x])/(1 + Cos[x]), x, 3, -2*Log[1 + Cos[x]]}
+{x*Sec[3*x]^2, x, 2, (1/9)*Log[Cos[3*x]] + (1/3)*x*Tan[3*x]}
+{Cos[2*Pi*x]/E^(2*Pi*x), x, 1, -(Cos[2*Pi*x]/(E^(2*Pi*x)*(4*Pi))) + Sin[2*Pi*x]/(E^(2*Pi*x)*(4*Pi))}
+{Cos[x]^12*Sin[x]^10 - Cos[x]^10*Sin[x]^12, x, -25, (Cos[x]^11*Sin[x]^11)/11}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Ayres Calculus, 1964 edition*)
+
+
+{x*Cot[x^2], x, 2, Log[Sin[x^2]]/2}
+{x*Sec[x^2]^2, x, 3, Tan[x^2]/2}
+{Sin[8*x]/(9 + Sin[4*x]^4), x, 4, ArcTan[Sin[4*x]^2/3]/12}
+{Cos[2*x]/(8 + Sin[2*x]^2), x, 2, ArcTan[Sin[2*x]/(2*Sqrt[2])]/(4*Sqrt[2])}
+{x*(Cos[x^2]^3 - Sin[x^2]^3), x, 8, Cos[x^2]/2 - (1/6)*Cos[x^2]^3 + Sin[x^2]/2 - (1/6)*Sin[x^2]^3}
+{Cos[x]*Sin[x]/(1 - Cos[x]), x, 3, Cos[x] + Log[1 - Cos[x]]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Edwards and Penney Calculus*)
+
+
+{x*Cos[x^2], x, 2, Sin[x^2]/2}
+{x^2*Cos[4*x^3], x, 2, Sin[4*x^3]/12}
+{x^3*Cos[x^4], x, 2, Sin[x^4]/4}
+{x*Sin[x^2/2], x, 2, -Cos[x^2/2]}
+{x*Sec[x^2]*Tan[x^2], x, 3, Sec[x^2]/2}
+{Tan[1/x]^2/x^2, x, 3, x^(-1) - Tan[x^(-1)]}
+{x*Tan[1 + x^2], x, 2, -Log[Cos[1 + x^2]]/2}
+{Sin[Pi*(1 + 2*x)], x, 1, Cos[2*Pi*x]/(2*Pi)}
+
+{(Cot[x] + Csc[x]^2)/(1 - Cos[x]^2), x, 3, -Cot[x] - Cot[x]^2/2 - Cot[x]^3/3}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Grossman Calculus*)
+
+
+{x^2*Cos[4*x^3]*Cos[5*x^3], x, 6, Sin[x^3]/6 + (1/54)*Sin[9*x^3]}
+{x^14*Sin[x^3], x, 6, -8*Cos[x^3] + 4*x^6*Cos[x^3] - (1/3)*x^12*Cos[x^3] - 8*x^3*Sin[x^3] + (4/3)*x^9*Sin[x^3]}
+{(x^2*Sin[2*x^3])/E^(3*x^3), x, 2, ((-(2/39))*Cos[2*x^3])/E^(3*x^3) - ((1/13)*Sin[2*x^3])/E^(3*x^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Hughes, Hallet, Gleason, et al Calculus, 2nd Edition*)
+
+
+{2*x*Cos[x^2], x, 3, Sin[x^2]}
+{3*x^2*Cos[7 + x^3], x, 3, Sin[7 + x^3]}
+{(1 + x^2)^(-1) + Sin[x], x, 3, ArcTan[x] - Cos[x]}
+{x*Sin[1 + x^2], x, 2, -Cos[1 + x^2]/2}
+{x*Cos[1 + x^2], x, 2, Sin[1 + x^2]/2}
+{1 + x^2*Cos[x^3], x, 3, x + Sin[x^3]/3}
+{x^2*Sin[1 + x^3], x, 2, -Cos[1 + x^3]/3}
+{12*x^2*Cos[x^3], x, 3, 4*Sin[x^3]}
+{(1 + x)*Sin[1 + x], x, 2, -((1 + x)*Cos[1 + x]) + Sin[1 + x]}
+{x^5*Cos[x^3], x, 3, Cos[x^3]/3 + (1/3)*x^3*Sin[x^3]}
+{Cos[x]/E^(3*x), x, 1, ((-(3/10))*Cos[x])/E^(3*x) + ((1/10)*Sin[x])/E^(3*x)}
+{x^3*Sin[x^2], x, 3, (-(1/2))*x^2*Cos[x^2] + Sin[x^2]/2}
+{x^3*Cos[x^2], x, 3, Cos[x^2]/2 + (1/2)*x^2*Sin[x^2]}
+{Cos[x]*Cos[2*Sin[x]], x, 2, (1/2)*Sin[2*Sin[x]]}
+{(Cos[x]*Sin[x])/(1 + Cos[x]^2), x, 2, (-(1/2))*Log[1 + Cos[x]^2]}
+{(1 + Cos[x])*(x + Sin[x])^3, x, 1, (x + Sin[x])^4/4}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Spivak Calculus*)
+
+
+{(1 + Cos[x])*Csc[x]^2, x, 3, -Cot[x] - Csc[x]}
+{Sin[x]*Tan[x]^2, x, 3, Cos[x] + Sec[x]}
+{E^Sin[x]*Sec[x]^2*(x*Cos[x]^3 - Sin[x]), x, If[$VersionNumber<9, -3, -2], E^Sin[x]*(-1 + x*Cos[x])*Sec[x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Stewart Calculus*)
+
+
+{x*Csc[x]^2, x, 2, -(x*Cot[x]) + Log[Sin[x]]}
+{Cos[x]*Sin[Pi/6 + x], x, 3, x/4 - (1/4)*Cos[Pi/6 + 2*x]}
+{x*Sin[x^2]^3, x, 3, (-(1/2))*Cos[x^2] + (1/6)*Cos[x^2]^3}
+{Sin[x]^2*Tan[x], x, 3, Cos[x]^2/2 - Log[Cos[x]]}
+{Cos[x]^2*Cot[x]^3, x, 4, (-(1/2))*Csc[x]^2 - 2*Log[Sin[x]] + Sin[x]^2/2}
+{Sec[x]*(1 - Sin[x]), x, 2, Log[1 + Sin[x]]}
+{(1 + Cos[x])*Csc[x], x, 2, Log[1 - Cos[x]]}
+{Cos[x]^2*(1 - Tan[x]^2), x, 2, Cos[x]*Sin[x]}
+{Csc[2*x]*(Cos[x] + Sin[x]), x, 6, (-(1/2))*ArcTanh[Cos[x]] + (1/2)*ArcTanh[Sin[x]]}
+{(Cos[x]*(-3 + 2*Sin[x]))/(2 - 3*Sin[x] + Sin[x]^2), x, 2, Log[2 - 3*Sin[x] + Sin[x]^2]}
+{(Cos[x]^2*Sin[x])/(5 + Cos[x]^2), x, 3, Sqrt[5]*ArcTan[Cos[x]/Sqrt[5]] - Cos[x]}
+{Cos[x]/(Sin[x] + Sin[x]^2), x, 2, Log[Sin[x]] - Log[1 + Sin[x]]}
+{Cos[x]/(Sin[x] + Sin[x]^Sqrt[2]), x, 5, Log[Sin[x]] - (1 + Sqrt[2])*Log[1 + Sin[x]^(-1 + Sqrt[2])]}
+{1/(2*Sin[x] + Sin[2*x]), x, 4, (1/4)*Log[Tan[x/2]] + (1/8)*Tan[x/2]^2}
+{(-3 + 4*x + x^2)*Sin[2*x], x, 8, (7/4)*Cos[2*x] - 2*x*Cos[2*x] - (1/2)*x^2*Cos[2*x] + Sin[2*x] + (1/2)*x*Sin[2*x]}
+{Cos[4*x]/E^(3*x), x, 1, ((-(3/25))*Cos[4*x])/E^(3*x) + ((4/25)*Sin[4*x])/E^(3*x)}
+{(Cos[x]*Sin[x])/Sqrt[1 + Sin[x]], x, 3, -2*Sqrt[1 + Sin[x]] + (2/3)*(1 + Sin[x])^(3/2)}
+{x + 60*Cos[x]^5*Sin[x]^4, x, 4, x^2/2 + 12*Sin[x]^5 - (120*Sin[x]^7)/7 + (20*Sin[x]^9)/3}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Thomas Calculus, 8th Edition*)
+
+
+{Cos[x]*(Sec[x] + Tan[x]), x, 3, x - Cos[x]}
+{Cos[x]*(Sec[x]^3 + Tan[x]), x, 5, -Cos[x] + Tan[x]}
+{(-(Cot[x]*Csc[x]) + Csc[x]^2)/2, x, 6, -(Cot[x]/2) + Csc[x]/2}
+{-Csc[x]^2 + Sin[2*x], x, 4, -Cos[2*x]/2 + Cot[x]}
+{2*Cot[2*x] - 3*Sin[3*x], x, 3, Cos[3*x] + Log[Sin[2*x]]}
+{x*Sin[2*x^2], x, 2, -Cos[2*x^2]/4}
+{-(Cos[1 - x]*Sin[1 - x]*Sqrt[1 + Sin[1 - x]^2]), x, 2, (1/3)*(1 + Sin[1 - x]^2)^(3/2)}
+{(Cos[1/x]*Sin[1/x])/x^2, x, 1, (-(1/2))*Sin[1/x]^2}
+{Cos[(1 + 3*x)/2]*Sin[(1 + 3*x)/2]^3, x, 2, (1/6)*Sin[1/2 + (3*x)/2]^4}
+{4*x*Tan[x^2], x, 3, -2*Log[Cos[x^2]]}
+{x*Sec[5 - x^2], x, 2, -ArcTanh[Sin[5 - x^2]]/2}
+{Csc[x^(-1)]/x^2, x, 2, ArcTanh[Cos[1/x]]}
+{(Csc[x] - Sec[x])*(Cos[x] + Sin[x]), x, 4, Log[Cos[x]] + Log[Sin[x]], 2*Log[Cos[x]] + Log[Tan[x]]}
+{-Cos[3*x]*Sin[2*x] + Cos[2*x]*Sin[3*x], x, 3, -Cos[x]}
+{4*x*Sec[2*x]^2, x, 3, Log[Cos[2*x]] + 2*x*Tan[2*x]}
+{4*Sin[x]^2*Tan[x]^2, x, 5, -6*x + 6*Tan[x] - 2*Sin[x]^2*Tan[x]}
+{Cos[x]^4*Cot[x]^2, x, 5, -((15*x)/8) - (15*Cot[x])/8 + (5/8)*Cos[x]^2*Cot[x] + (1/4)*Cos[x]^4*Cot[x]}
+{16*Cos[x]^2*Sin[x]^2, x, 4, 2*x + 2*Cos[x]*Sin[x] - 4*Cos[x]^3*Sin[x]}
+{8*Cos[x]^2*Sin[x]^4, x, 5, x/2 + (1/2)*Cos[x]*Sin[x] - Cos[x]^3*Sin[x] - (4/3)*Cos[x]^3*Sin[x]^3}
+{35*Cos[x]^3*Sin[x]^4, x, 4, 7*Sin[x]^5 - 5*Sin[x]^7}
+{4*Cos[x]^4*Sin[x]^4, x, 6, (3*x)/32 + (3/32)*Cos[x]*Sin[x] + (1/16)*Cos[x]^3*Sin[x] - (1/4)*Cos[x]^5*Sin[x] - (1/2)*Cos[x]^5*Sin[x]^3}
+{Cos[x]/(-Sin[x] + Sin[x]^3), x, 5, Log[Cos[x]] - Log[Sin[x]]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Problems from integration competitions*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*MIT Integration Competition*)
+
+
+{-1 + 2*Cos[x]^2 + Cos[x]*Sin[x], x, 5, Cos[x]*Sin[x] + Sin[x]^2/2}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*North Texas University Integration Competition*)
+
+
+{Cos[x]^2 + Sin[x]^2, x, 5, x}
+{-Cos[x]^2 + Sin[x]^2, x, 5, -(Cos[x]*Sin[x])}
+{2^Sin[x]*Cos[x], x, 2, 2^Sin[x]/Log[2]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*University of Wisconsin Integration Competition*)
+
+
+{Tan[x]^3 + Tan[x]^5, x, 6, Tan[x]^4/4}
+{x*Sec[x]*(2 + x*Tan[x]), x, 13, x^2*Sec[x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Miscellaneous integrands involving trig functions*)
+
+
+{(Cot[Sqrt[x]]*Csc[Sqrt[x]])/Sqrt[x], x, 3, -2*Csc[Sqrt[x]]}
+{(Cos[Sqrt[x]]*Sin[Sqrt[x]])/Sqrt[x], x, 1, Sin[Sqrt[x]]^2}
+{(Sec[Sqrt[x]]*Tan[Sqrt[x]])/Sqrt[x], x, 3, 2*Sec[Sqrt[x]]}
+
+
+{Sin[x]^2/(a + b*Sin[2*x]), x, 9, ArcTan[(b + a*Tan[x])/Sqrt[a^2 - b^2]]/(2*Sqrt[a^2 - b^2]) - Log[a + b*Sin[2*x]]/(4*b), ArcTan[(b + a*Tan[x])/Sqrt[a^2 - b^2]]/(2*Sqrt[a^2 - b^2]) - Log[Cos[x]]/(2*b) - Log[a + 2*b*Tan[x] + a*Tan[x]^2]/(4*b)}
+{Cos[x]^2/(a + b*Sin[2*x]), x, 8, ArcTan[(b + a*Tan[x])/Sqrt[a^2 - b^2]]/(2*Sqrt[a^2 - b^2]) + Log[a + b*Sin[2*x]]/(4*b), ArcTan[(b + a*Tan[x])/Sqrt[a^2 - b^2]]/(2*Sqrt[a^2 - b^2]) + Log[Cos[x]]/(2*b) + Log[a + 2*b*Tan[x] + a*Tan[x]^2]/(4*b)}
+
+{Sin[x]^2/(a + b*Cos[2*x]), x, 4, -(x/(2*b)) + (Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[x])/Sqrt[a + b]])/(2*Sqrt[a - b]*b)}
+{Cos[x]^2/(a + b*Cos[2*x]), x, 4, x/(2*b) - (Sqrt[a - b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[x])/Sqrt[a + b]])/(2*b*Sqrt[a + b])}
+
+
+{Tan[c + d*x]/Sqrt[a*Sin[c + d*x]^2], x, 3, ArcTanh[Sqrt[a*Sin[c + d*x]^2]/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*d)}
+{Cot[c + d*x]/Sqrt[a*Cos[c + d*x]^2], x, 3, -(ArcTanh[Sqrt[a*Cos[c + d*x]^2]/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*d))}
+
+
+{(x*Cos[x^2])/Sqrt[Sin[x^2]], x, 1, Sqrt[Sin[x^2]]}
+
+
+{Cos[x]/Sqrt[1 - Cos[2*x]], x, 4, (Log[Sin[x]]*Sin[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[Sin[x]^2])}
+
+
+{Cos[Log[x]]^2*Sin[Log[x]]^2/x, x, 4, Log[x]/8 + (1/8)*Cos[Log[x]]*Sin[Log[x]] - (1/4)*Cos[Log[x]]^3*Sin[Log[x]]}
+
+
+{Sin[x]^3/(Cos[x]^3 + Sin[x]^3), x, 7, x/2 - (1/6)*Log[Cos[x] + Sin[x]] + (1/3)*Log[2 - Sin[2*x]], x/2 + (1/2)*Log[Cos[x]] - (1/6)*Log[1 + Tan[x]] + (1/3)*Log[1 - Tan[x] + Tan[x]^2]}
+{Cos[x]^3/(Cos[x]^3 + Sin[x]^3), x, 7, x/2 + (1/6)*Log[Cos[x] + Sin[x]] - (1/3)*Log[2 - Sin[2*x]], x/2 - (1/2)*Log[Cos[x]] + (1/6)*Log[1 + Tan[x]] - (1/3)*Log[1 - Tan[x] + Tan[x]^2]}
+
+
+{Sec[x]/(-5 + Cos[x]^2 + 4*Sin[x]), x, 4, (-(4/9))*Log[2 - Sin[x]] + (1/2)*Log[1 - Sin[x]] - (1/18)*Log[1 + Sin[x]] + 1/(3*(2 - Sin[x]))}
+
+
+(* Nonidempotent expansion results in infinite recursion: *) 
+(* {(x*Cos[x] - Sin[x])/(x - Sin[x])^2, x, -7, x/(x - Sin[x])} *)
+(* {x/(x - Cos[x])^2, x, 1, Unintegrable[x/(x - Cos[x])^2, x]} *)
+(* {Cos[x]/(x - Cos[x])^2, x, 1, Unintegrable[Cos[x]/(x - Cos[x])^2, x]} *)
+(* {(Cos[x] + x*Sin[x])/(x - Cos[x])^2, x, 0, -x/(x - Cos[x])} *)
+
+
+{1/(Cos[x]^(3/2)*Sqrt[3*Cos[x] + Sin[x]]), x, -5, (2*Sqrt[3*Cos[x] + Sin[x]])/Sqrt[Cos[x]]}
+{(Csc[x]*Sqrt[Cos[x] + Sin[x]])/Cos[x]^(3/2), x, -1, -Log[Sin[x]] + 2*Log[-Sqrt[Cos[x]] + Sqrt[Cos[x] + Sin[x]]] + (2*Sqrt[Cos[x] + Sin[x]])/Sqrt[Cos[x]]}
+{(Cos[x] + Sin[x])/Sqrt[1 + Sin[2*x]], x, -17, (x*Sqrt[1 + Sin[2*x]])/(Cos[x] + Sin[x])}
+{Sec[x]*Sqrt[Sec[x] + Tan[x]], x, 4, 2*Sqrt[Sec[x]*(1 + Sin[x])]}
+
+{Sec[x]*Sqrt[4 + 3*Sec[x]]*Tan[x], x, 2, (2*(4 + 3*Sec[x])^(3/2))/9}
+{Sec[x]*Sqrt[1 + Sec[x]]*Tan[x]^3, x, 6, (-(4/5))*(1 + Sec[x])^(5/2) + (2/7)*(1 + Sec[x])^(7/2)}
+{Csc[x]*Sqrt[1 + Csc[x]]*Cot[x]^3, x, 6, (4/5)*(1 + Csc[x])^(5/2) - (2/7)*(1 + Csc[x])^(7/2)}
+
+{Sqrt[Csc[x]]*(x*Cos[x] - 4*Sec[x]*Tan[x]), x, 8, (2*x)/Sqrt[Csc[x]] - (4*Sec[x])/Csc[x]^(3/2)}
+
+
+{Cot[x]*Sqrt[-1 + Csc[x]^2]*(1 - Sin[x]^2)^3, x, 10, (-(35/16))*Sqrt[Cot[x]^2] + (35/48)*Cos[x]^2*Sqrt[Cot[x]^2] + (7/24)*Cos[x]^4*Sqrt[Cot[x]^2] + (1/6)*Cos[x]^6*Sqrt[Cot[x]^2] - (35/16)*x*Sqrt[Cot[x]^2]*Tan[x], (35/16)*ArcTan[Sqrt[-1 + Csc[x]^2]] - (35/16)*Sqrt[-1 + Csc[x]^2] + (35/48)*(-1 + Csc[x]^2)^(3/2)*Sin[x]^2 + (7/24)*(-1 + Csc[x]^2)^(5/2)*Sin[x]^4 + (1/6)*(-1 + Csc[x]^2)^(7/2)*Sin[x]^6}
+{Cos[x]*Sqrt[-1 + Csc[x]^2]*(1 - Sin[x]^2)^3, x, 7, Sqrt[Cot[x]^2]*Sin[x] + (1/3)*Cos[x]^2*Sqrt[Cot[x]^2]*Sin[x] + (1/5)*Cos[x]^4*Sqrt[Cot[x]^2]*Sin[x] + (1/7)*Cos[x]^6*Sqrt[Cot[x]^2]*Sin[x] - ArcTanh[Cos[x]]*Sqrt[Cot[x]^2]*Tan[x]}
+
+
+{(x^1*Csc[x]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2], x, 6, -((2*x*ArcTanh[E^(I*x)]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2]) + (I*PolyLog[2, -E^(I*x)]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2] - (I*PolyLog[2, E^(I*x)]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2]}
+{(x^2*Csc[x]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2], x, 8, -((2*x^2*ArcTanh[E^(I*x)]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2]) + (2*I*x*PolyLog[2, -E^(I*x)]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2] - (2*I*x*PolyLog[2, E^(I*x)]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2] - (2*PolyLog[3, -E^(I*x)]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2] + (2*PolyLog[3, E^(I*x)]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2]}
+{(x^3*Csc[x]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2], x, 10, -((2*x^3*ArcTanh[E^(I*x)]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2]) + (3*I*x^2*PolyLog[2, -E^(I*x)]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2] - (3*I*x^2*PolyLog[2, E^(I*x)]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2] - (6*x*PolyLog[3, -E^(I*x)]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2] + (6*x*PolyLog[3, E^(I*x)]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2] - (6*I*PolyLog[4, -E^(I*x)]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2] + (6*I*PolyLog[4, E^(I*x)]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^2]}
+
+
+{(x^1*Csc[x]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^4], x, 5, -((I*x^2*Sec[x]^2)/(2*Sqrt[a*Sec[x]^4])) + (x*Log[1 - E^(2*I*x)]*Sec[x]^2)/Sqrt[a*Sec[x]^4] - (I*PolyLog[2, E^(2*I*x)]*Sec[x]^2)/(2*Sqrt[a*Sec[x]^4])}
+{(x^2*Csc[x]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^4], x, 6, -((I*x^3*Sec[x]^2)/(3*Sqrt[a*Sec[x]^4])) + (x^2*Log[1 - E^(2*I*x)]*Sec[x]^2)/Sqrt[a*Sec[x]^4] - (I*x*PolyLog[2, E^(2*I*x)]*Sec[x]^2)/Sqrt[a*Sec[x]^4] + (PolyLog[3, E^(2*I*x)]*Sec[x]^2)/(2*Sqrt[a*Sec[x]^4])}
+{(x^3*Csc[x]*Sec[x])/Sqrt[a*Sec[x]^4], x, 7, -((I*x^4*Sec[x]^2)/(4*Sqrt[a*Sec[x]^4])) + (x^3*Log[1 - E^(2*I*x)]*Sec[x]^2)/Sqrt[a*Sec[x]^4] - (3*I*x^2*PolyLog[2, E^(2*I*x)]*Sec[x]^2)/(2*Sqrt[a*Sec[x]^4]) + (3*x*PolyLog[3, E^(2*I*x)]*Sec[x]^2)/(2*Sqrt[a*Sec[x]^4]) + (3*I*PolyLog[4, E^(2*I*x)]*Sec[x]^2)/(4*Sqrt[a*Sec[x]^4])}
+
+
+{(x^1*Csc[x]*Sec[x])*Sqrt[a*Sec[x]^2], x, 10, x*Sqrt[a*Sec[x]^2] - 2*x*ArcTanh[E^(I*x)]*Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^2] - ArcTanh[Sin[x]]*Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^2] + I*Cos[x]*PolyLog[2, -E^(I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^2] - I*Cos[x]*PolyLog[2, E^(I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^2]}
+{(x^2*Csc[x]*Sec[x])*Sqrt[a*Sec[x]^2], x, 17, x^2*Sqrt[a*Sec[x]^2] + 4*I*x*ArcTan[E^(I*x)]*Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^2] - 2*x^2*ArcTanh[E^(I*x)]*Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^2] + 2*I*x*Cos[x]*PolyLog[2, -E^(I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^2] - 2*I*Cos[x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^2] + 2*I*Cos[x]*PolyLog[2, I*E^(I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^2] - 2*I*x*Cos[x]*PolyLog[2, E^(I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^2] - 2*Cos[x]*PolyLog[3, -E^(I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^2] + 2*Cos[x]*PolyLog[3, E^(I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^2]}
+{(x^3*Csc[x]*Sec[x])*Sqrt[a*Sec[x]^2], x, 21, x^3*Sqrt[a*Sec[x]^2] + 6*I*x^2*ArcTan[E^(I*x)]*Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^2] - 2*x^3*ArcTanh[E^(I*x)]*Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^2] + 3*I*x^2*Cos[x]*PolyLog[2, -E^(I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^2] - 6*I*x*Cos[x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^2] + 6*I*x*Cos[x]*PolyLog[2, I*E^(I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^2] - 3*I*x^2*Cos[x]*PolyLog[2, E^(I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^2] - 6*x*Cos[x]*PolyLog[3, -E^(I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^2] + 6*Cos[x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^2] - 6*Cos[x]*PolyLog[3, I*E^(I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^2] + 6*x*Cos[x]*PolyLog[3, E^(I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^2] - 6*I*Cos[x]*PolyLog[4, -E^(I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^2] + 6*I*Cos[x]*PolyLog[4, E^(I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^2]}
+
+
+{(x^1*Csc[x]*Sec[x])*Sqrt[a*Sec[x]^4], x, 12, (1/2)*x*Cos[x]^2*Sqrt[a*Sec[x]^4] - 2*x*ArcTanh[E^(2*I*x)]*Cos[x]^2*Sqrt[a*Sec[x]^4] + (1/2)*I*Cos[x]^2*PolyLog[2, -E^(2*I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^4] - (1/2)*I*Cos[x]^2*PolyLog[2, E^(2*I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^4] - (1/2)*Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x] + (1/2)*x*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x]^2}
+{(x^2*Csc[x]*Sec[x])*Sqrt[a*Sec[x]^4], x, 16, (1/2)*x^2*Cos[x]^2*Sqrt[a*Sec[x]^4] - 2*x^2*ArcTanh[E^(2*I*x)]*Cos[x]^2*Sqrt[a*Sec[x]^4] - Cos[x]^2*Log[Cos[x]]*Sqrt[a*Sec[x]^4] + I*x*Cos[x]^2*PolyLog[2, -E^(2*I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^4] - I*x*Cos[x]^2*PolyLog[2, E^(2*I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^4] - (1/2)*Cos[x]^2*PolyLog[3, -E^(2*I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^4] + (1/2)*Cos[x]^2*PolyLog[3, E^(2*I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^4] - x*Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x] + (1/2)*x^2*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x]^2}
+{(x^3*Csc[x]*Sec[x])*Sqrt[a*Sec[x]^4], x, 21, (3/2)*I*x^2*Cos[x]^2*Sqrt[a*Sec[x]^4] + (1/2)*x^3*Cos[x]^2*Sqrt[a*Sec[x]^4] - 2*x^3*ArcTanh[E^(2*I*x)]*Cos[x]^2*Sqrt[a*Sec[x]^4] - 3*x*Cos[x]^2*Log[1 + E^(2*I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^4] + (3/2)*I*Cos[x]^2*PolyLog[2, -E^(2*I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^4] + (3/2)*I*x^2*Cos[x]^2*PolyLog[2, -E^(2*I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^4] - (3/2)*I*x^2*Cos[x]^2*PolyLog[2, E^(2*I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^4] - (3/2)*x*Cos[x]^2*PolyLog[3, -E^(2*I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^4] + (3/2)*x*Cos[x]^2*PolyLog[3, E^(2*I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^4] - (3/4)*I*Cos[x]^2*PolyLog[4, -E^(2*I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^4] + (3/4)*I*Cos[x]^2*PolyLog[4, E^(2*I*x)]*Sqrt[a*Sec[x]^4] - (3/2)*x^2*Cos[x]*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x] + (1/2)*x^3*Sqrt[a*Sec[x]^4]*Sin[x]^2}
+
+
+{Sin[x]*Sin[2*x]*Sin[3*x], x, 5, (-(1/8))*Cos[2*x] - (1/16)*Cos[4*x] + (1/24)*Cos[6*x]}
+{Cos[x]*Cos[2*x]*Cos[3*x], x, 5, x/4 + (1/8)*Sin[2*x] + (1/16)*Sin[4*x] + (1/24)*Sin[6*x]}
+{Cos[x]*Sin[2*x]*Sin[3*x], x, 5, x/4 + (1/8)*Sin[2*x] - (1/16)*Sin[4*x] - (1/24)*Sin[6*x]}
+{Cos[2*x]*Cos[3*x]*Sin[x], x, 5, (-(1/8))*Cos[2*x] + (1/16)*Cos[4*x] - (1/24)*Cos[6*x]}
+
+
+{x*Sin[x^2], x, 2, -Cos[x^2]/2}
+{(-Cos[x] + Sin[x])*(Cos[x] + Sin[x])^5, x, 1, -(Cos[x] + Sin[x])^6/6}
+{2*x*Sec[x]^2*Tan[x], x, 4, x*Sec[x]^2 - Tan[x]}
+{(1 + Cos[x]^2)/(1 + Cos[2*x]), x, 3, x/2 + Tan[x]/2}
+
+
+{Sin[x]/(Cos[x]^3 - Cos[x]^5), x, 4, Log[Tan[x]] + Tan[x]^2/2, -Log[Cos[x]] + Log[Sin[x]] + Sec[x]^2/2}
+{Sec[x]*(5 - 11*Sec[x]^5)^2*Tan[x], x, 3, 25*Sec[x] - (55*Sec[x]^6)/3 + 11*Sec[x]^11}
+{Sin[5*x]^3*Tan[5*x]^3, x, 5, (-(1/2))*ArcTanh[Sin[5*x]] + (1/2)*Sin[5*x] + (1/6)*Sin[5*x]^3 + (1/10)*Sin[5*x]^3*Tan[5*x]^2}
+{Sin[5*x]^3*Tan[5*x]^4, x, 3, (-(3/5))*Cos[5*x] + (1/15)*Cos[5*x]^3 - (3/5)*Sec[5*x] + (1/15)*Sec[5*x]^3}
+{Sin[6*x]^5*Tan[6*x]^3, x, 5, (-(7/12))*ArcTanh[Sin[6*x]] + (7/12)*Sin[6*x] + (7/36)*Sin[6*x]^3 + (7/60)*Sin[6*x]^5 + (1/12)*Sin[6*x]^5*Tan[6*x]^2}
+{(-1 + Sec[2*x]^2)^3*Sin[2*x], x, 4, (1/2)*Cos[2*x] + (3/2)*Sec[2*x] - (1/2)*Sec[2*x]^3 + (1/10)*Sec[2*x]^5}
+{Sin[x]*Tan[x]^5, x, 5, (15/8)*ArcTanh[Sin[x]] - (15*Sin[x])/8 - (5/8)*Sin[x]*Tan[x]^2 + (1/4)*Sin[x]*Tan[x]^4}
+{Cos[2*x]^5*Cot[2*x]^4, x, 3, 2*Csc[2*x] - (1/6)*Csc[2*x]^3 + 3*Sin[2*x] - (2/3)*Sin[2*x]^3 + (1/10)*Sin[2*x]^5}
+
+{Cos[3*x]*(-1 + Csc[3*x]^2)^3*(1 - Sin[3*x]^2)^5, x, 5, (-(28/3))*Csc[3*x] + (8/9)*Csc[3*x]^3 - (1/15)*Csc[3*x]^5 - (56/3)*Sin[3*x] + (70/9)*Sin[3*x]^3 - (56/15)*Sin[3*x]^5 + (4/3)*Sin[3*x]^7 - (8/27)*Sin[3*x]^9 + (1/33)*Sin[3*x]^11}
+{Cot[2*x]*(-1 + Csc[2*x]^2)^2*(1 - Sin[2*x]^2)^2, x, 5, Csc[2*x]^2 - (1/8)*Csc[2*x]^4 + 3*Log[Sin[2*x]] - Sin[2*x]^2 + (1/8)*Sin[2*x]^4}
+{Cos[2*x]*(-1 + Csc[2*x]^2)^4*(1 - Sin[2*x]^2)^2, x, 5, 10*Csc[2*x] - (5/2)*Csc[2*x]^3 + (3/5)*Csc[2*x]^5 - (1/14)*Csc[2*x]^7 + (15/2)*Sin[2*x] - Sin[2*x]^3 + (1/10)*Sin[2*x]^5}
+{Cot[3*x]*(-1 + Csc[3*x]^2)^3*(1 - Sin[3*x]^2)^2, x, 5, (-(5/3))*Csc[3*x]^2 + (5/12)*Csc[3*x]^4 - (1/18)*Csc[3*x]^6 - (10/3)*Log[Sin[3*x]] + (5/6)*Sin[3*x]^2 - (1/12)*Sin[3*x]^4}
+{(1 + Cot[9*x]^2)^2*(1 + Tan[9*x]^2)^3, x, 5, (-(4/9))*Cot[9*x] - (1/27)*Cot[9*x]^3 + (2/3)*Tan[9*x] + (4/27)*Tan[9*x]^3 + (1/45)*Tan[9*x]^5}
+{(Cos[x]*(9 - 7*Sin[x]^3)^2)/(1 - Sin[x]^2), x, 7, -2*Log[1 - Sin[x]] + 128*Log[1 + Sin[x]] - 49*Sin[x] + 63*Sin[x]^2 - (49*Sin[x]^3)/3 - (49*Sin[x]^5)/5}
+
+{Cos[2*x]^4*Cot[2*x]^5, x, 4, Csc[2*x]^2 - (1/8)*Csc[2*x]^4 + 3*Log[Sin[2*x]] - Sin[2*x]^2 + (1/8)*Sin[2*x]^4}
+{(Sec[x]*Tan[x]^2)/(4 + 3*Sec[x]), x, 7, (-(4/9))*ArcTanh[Sin[x]] - (1/9)*Sqrt[7]*Log[Sqrt[7]*Cos[x/2] - Sin[x/2]] + (1/9)*Sqrt[7]*Log[Sqrt[7]*Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Tan[x]/3}
+{x*Sec[1 + x]*Tan[1 + x], x, 2, -ArcTanh[Sin[1 + x]] + x*Sec[1 + x]}
+{Sin[2*x]/Sqrt[9 - Sin[x]^2], x, 3, -2*Sqrt[9 - Sin[x]^2]}
+{Sin[2*x]/Sqrt[9 - Cos[x]^4], x, 5, -ArcSin[Cos[x]^2/3]}
+{Cos[x^(-1)]/x^5, x, 5, 6*Cos[1/x] - (3*Cos[1/x])/x^2 - Sin[1/x]/x^3 + (6*Sin[1/x])/x}
+{Cos[1 + x]^3*Sin[1 + x]^3, x, 3, (1/4)*Sin[1 + x]^4 - (1/6)*Sin[1 + x]^6}
+{(1 + 2*x)^3*Sin[1 + 2*x]^2, x, 4, -((3*x)/4) - (3*x^2)/4 + (1/16)*(1 + 2*x)^4 + (3/8)*(1 + 2*x)*Cos[1 + 2*x]*Sin[1 + 2*x] - (1/4)*(1 + 2*x)^3*Cos[1 + 2*x]*Sin[1 + 2*x] - (3/16)*Sin[1 + 2*x]^2 + (3/8)*(1 + 2*x)^2*Sin[1 + 2*x]^2}
+{(-1 + Sec[x])/(1 - Tan[x]), x, 6, -(x/2) + ArcTanh[(Cos[x]*(1 + Tan[x]))/Sqrt[2]]/Sqrt[2] + (1/2)*Log[Cos[x] - Sin[x]]}
+{x^2*Cos[3*x]*Cos[5*x], x, 8, (1/4)*x*Cos[2*x] + (1/64)*x*Cos[8*x] - (1/8)*Sin[2*x] + (1/4)*x^2*Sin[2*x] - (1/512)*Sin[8*x] + (1/16)*x^2*Sin[8*x]}
+
+
+(* Unfortunately the simpler antiderivative Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[Cos[x]]*Sqrt[Sin[x]])/(Cos[x] - Sin[x])] is unnecessarily discontinuous. *)
+{(Cos[x] + Sin[x])/(Sqrt[Cos[x]]*Sqrt[Sin[x]]), x, -22, (-Sqrt[2])*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*Sqrt[Sin[x]])/Sqrt[Cos[x]]] + Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*Sqrt[Sin[x]])/Sqrt[Cos[x]]]}
+
+
+{Sec[x]^2*(1 + Sin[x]), x, 3, Sec[x] + Tan[x]}
+
+{10*x^9*Cos[x^5*Log[x]] - x^10*(x^4 + 5*x^4*Log[x])*Sin[x^5*Log[x]], x, -4, x^10*Cos[x^5*Log[x]]}
+{Cos[x/2]^2*Tan[Pi/4 + x/2], x, -1, x/2 - Cos[x]/2 - Log[Cos[Pi/4 + x/2]]}
+
+{(2 + 3*x)^2*Sin[x]^3, x, 6, 14*Cos[x] - (2/3)*(2 + 3*x)^2*Cos[x] - (2*Cos[x]^3)/3 + 4*(2 + 3*x)*Sin[x] - (1/3)*(2 + 3*x)^2*Cos[x]*Sin[x]^2 + (2/3)*(2 + 3*x)*Sin[x]^3}
+{Sec[x]^(1 + m)*Sin[x], x, 2, Sec[x]^m/m}
+{Cos[a + b*x]^n*Sin[a + b*x]^(-2 - n), x, 1, -((Cos[a + b*x]^(1 + n)*Sin[a + b*x]^(-1 - n))/(b*(1 + n)))}
+{1/(Sec[x] + Sin[x]*Tan[x]), x, 3, ArcTan[Sin[x]]}
+{(a + b*x + c*x^2)*Sin[x], x, 8, (-a)*Cos[x] + 2*c*Cos[x] - b*x*Cos[x] - c*x^2*Cos[x] + b*Sin[x] + 2*c*x*Sin[x]}
+{Sin[x^5]/x, x, 1, SinIntegral[x^5]/5}
+{Sin[2^x]/(1 + 2^x), x, 7, (CosIntegral[1 + 2^x]*Sin[1])/Log[2] + SinIntegral[2^x]/Log[2] - (Cos[1]*SinIntegral[1 + 2^x])/Log[2]}
+
+{x*Cos[2*x^2]*Sin[2*x^2]^(3/4), x, 1, Sin[2*x^2]^(7/4)/7}
+{x*Sec[x^2]^2*Tan[x^2]^2, x, 1, Tan[x^2]^3/6}
+{x^2*Cos[a + b*x^3]^7*Sin[a + b*x^3], x, 1, -Cos[a + b*x^3]^8/(24*b)}
+{x^5*Cos[a + b*x^3]^7*Sin[a + b*x^3], x, 7, (35*x^3)/(3072*b) - (x^3*Cos[a + b*x^3]^8)/(24*b) + (35*Cos[a + b*x^3]*Sin[a + b*x^3])/(3072*b^2) + (35*Cos[a + b*x^3]^3*Sin[a + b*x^3])/(4608*b^2) + (7*Cos[a + b*x^3]^5*Sin[a + b*x^3])/(1152*b^2) + (Cos[a + b*x^3]^7*Sin[a + b*x^3])/(192*b^2)}
+{x^5*Sec[a + b*x^3]^7*Tan[a + b*x^3], x, 6, -((5*ArcTanh[Sin[a + b*x^3]])/(336*b^2)) + (x^3*Sec[a + b*x^3]^7)/(21*b) - (5*Sec[a + b*x^3]*Tan[a + b*x^3])/(336*b^2) - (5*Sec[a + b*x^3]^3*Tan[a + b*x^3])/(504*b^2) - (Sec[a + b*x^3]^5*Tan[a + b*x^3])/(126*b^2)}
+
+{Sec[x^(-1)]^2/x^2, x, 3, -Tan[x^(-1)]}
+{3*x^2*Cos[x^3], x, 3, Sin[x^3]}
+
+{(1 + 2*x)*Sec[1 + 2*x]^2, x, 2, (1/2)*Log[Cos[1 + 2*x]] + (1/2)*(1 + 2*x)*Tan[1 + 2*x]}
+
+
+(* Problems requiring simplification of irreducible integrands *)
+{(x^2*Cos[a + b*x])/Sqrt[3*Sin[a + b*x] + x^3] + x^4/(Sqrt[x^3 + 3*Sin[a + b*x]]*b) + (4*x*Sqrt[x^3 + 3*Sin[a + b*x]])/(3*b), x, -1, (2*x^2*Sqrt[x^3 + 3*Sin[a + b*x]])/(3*b)}
+{x^2*(Cos[a + b*x]/Sqrt[3*Sin[a + b*x] + x^3]), x, 0, CannotIntegrate[(x^2*Cos[a + b*x])/Sqrt[x^3 + 3*Sin[a + b*x]], x]}
+
+
+{(Cos[x] + Sin[x])/(E^(-x) + Sin[x]), x, -5, Log[1 + E^x*Sin[x]]}
+
+
+{Sin[c + d*x]*(a*Sin[c + d*x]^2 + b*Sin[c + d*x]^3)^1, x, 7, (3*b*x)/8 - (a*Cos[c + d*x])/d + (a*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Sin[c + d*x]*(a*Sin[c + d*x]^2 + b*Sin[c + d*x]^3)^2, x, 9, (5*a*b*x)/8 - ((a^2 + b^2)*Cos[c + d*x])/d + ((2*a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - ((a^2 + 3*b^2)*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) - (5*a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (5*a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(12*d) - (a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(3*d)}
+
+
+{Sin[c + d*x]*(a*Sin[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]^2 + c*Sin[c + d*x]^3)^1, x, 7, (1/8)*(4*a + 3*c)*x - (b*Cos[c + d*x])/d + (b*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - ((4*a + 3*c)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (c*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Sin[c + d*x]*(a*Sin[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]^2 + c*Sin[c + d*x]^3)^2, x, 16, (3*a*b*x)/4 + (5*b*c*x)/8 - (a^2*Cos[c + d*x])/d - (c^2*Cos[c + d*x])/d - ((b^2 + 2*a*c)*Cos[c + d*x])/d + (a^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (c^2*Cos[c + d*x]^3)/d + (2*(b^2 + 2*a*c)*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*c^2*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) - ((b^2 + 2*a*c)*Cos[c + d*x]^5)/(5*d) + (c^2*Cos[c + d*x]^7)/(7*d) - (3*a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(4*d) - (5*b*c*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(8*d) - (a*b*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(2*d) - (5*b*c*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^3)/(12*d) - (b*c*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x]^5)/(3*d)}
+
+
+{Sin[c + d*x]*(a + b/Sqrt[Sin[c + d*x]] + c*Sin[c + d*x])^1, x, 7, (c*x)/2 - (a*Cos[c + d*x])/d + (2*b*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2])/d - (c*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*d)}
+{Sin[c + d*x]*(a + b/Sqrt[Sin[c + d*x]] + c*Sin[c + d*x])^2, x, 11, b^2*x + a*c*x - (a^2*Cos[c + d*x])/d - (c^2*Cos[c + d*x])/d + (c^2*Cos[c + d*x]^3)/(3*d) + (4*a*b*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2])/d + (4*b*c*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2])/(3*d) - (4*b*c*Cos[c + d*x]*Sqrt[Sin[c + d*x]])/(3*d) - (a*c*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/d}
+
+
+{f^(a + b*x)*(Cos[c + d*x] + I*Sin[c + d*x])^n, x, 4, ((E^(I*(c + d*x)))^n*f^(a + b*x))/(I*d*n + b*Log[f])}
+{f^(a + b*x)*(Cos[c + d*x] - I*Sin[c + d*x])^n, x, 4, -(((E^((-I)*(c + d*x)))^n*f^(a + b*x))/(I*d*n - b*Log[f]))}
+
+
+{(Cos[a + b*x]^5 - Sin[a + b*x]^5)/(Cos[a + b*x]^5 + Sin[a + b*x]^5), x, 7, Log[Cos[a + b*x]]/b + Log[1 + Tan[a + b*x]]/(5*b) - (4*Log[2 - (1 - Sqrt[5])*Tan[a + b*x] + 2*Tan[a + b*x]^2])/(5*(1 - Sqrt[5])*b) - (4*Log[2 - (1 + Sqrt[5])*Tan[a + b*x] + 2*Tan[a + b*x]^2])/(5*(1 + Sqrt[5])*b)}
+{(Cos[a + b*x]^4 - Sin[a + b*x]^4)/(Cos[a + b*x]^4 + Sin[a + b*x]^4), x, 4, -(Log[1 - Sqrt[2]*Tan[a + b*x] + Tan[a + b*x]^2]/(2*Sqrt[2]*b)) + Log[1 + Sqrt[2]*Tan[a + b*x] + Tan[a + b*x]^2]/(2*Sqrt[2]*b)}
+{(Cos[a + b*x]^3 - Sin[a + b*x]^3)/(Cos[a + b*x]^3 + Sin[a + b*x]^3), x, 5, -(Log[Cos[a + b*x]]/b) + Log[1 + Tan[a + b*x]]/(3*b) - (2*Log[1 - Tan[a + b*x] + Tan[a + b*x]^2])/(3*b)}
+{(Cos[a + b*x]^2 - Sin[a + b*x]^2)/(Cos[a + b*x]^2 + Sin[a + b*x]^2), x, 6, (Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b}
+{(Cos[a + b*x]^1 - Sin[a + b*x]^1)/(Cos[a + b*x]^1 + Sin[a + b*x]^1), x, 1, Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x]]/b}
+{(Sec[a + b*x]^1 - Csc[a + b*x]^1)/(Sec[a + b*x]^1 + Csc[a + b*x]^1), x, 4, -(Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x]]/b)}
+{(Sec[a + b*x]^2 - Csc[a + b*x]^2)/(Sec[a + b*x]^2 + Csc[a + b*x]^2), x, 2, -((Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b)}
+{(Sec[a + b*x]^3 - Csc[a + b*x]^3)/(Sec[a + b*x]^3 + Csc[a + b*x]^3), x, 5, Log[Cos[a + b*x]]/b - Log[1 + Tan[a + b*x]]/(3*b) + (2*Log[1 - Tan[a + b*x] + Tan[a + b*x]^2])/(3*b)}
+{(Sec[a + b*x]^4 - Csc[a + b*x]^4)/(Sec[a + b*x]^4 + Csc[a + b*x]^4), x, 4, Log[1 - Sqrt[2]*Tan[a + b*x] + Tan[a + b*x]^2]/(2*Sqrt[2]*b) - Log[1 + Sqrt[2]*Tan[a + b*x] + Tan[a + b*x]^2]/(2*Sqrt[2]*b)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.1 Inverse sine/5.1.2 (d x)^m (a+b arcsin(c x))^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.1 Inverse sine/5.1.2 (d x)^m (a+b arcsin(c x))^n.m
new file mode 100644
index 00000000..8f2183a4
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.1 Inverse sine/5.1.2 (d x)^m (a+b arcsin(c x))^n.m	
@@ -0,0 +1,401 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcSin[c x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b x)^m ArcSin[a x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcSin[a x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^4*ArcSin[a*x], x, 4, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(5*a^5) - (2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(15*a^5) + (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(25*a^5) + (1/5)*x^5*ArcSin[a*x]}
+{x^3*ArcSin[a*x], x, 4, (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(32*a^3) + (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(16*a) - (3*ArcSin[a*x])/(32*a^4) + (1/4)*x^4*ArcSin[a*x]}
+{x^2*ArcSin[a*x], x, 4, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*a^3) - (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(9*a^3) + (1/3)*x^3*ArcSin[a*x]}
+{x^1*ArcSin[a*x], x, 3, (x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a) - ArcSin[a*x]/(4*a^2) + (1/2)*x^2*ArcSin[a*x]}
+{x^0*ArcSin[a*x], x, 2, Sqrt[1 - a^2*x^2]/a + x*ArcSin[a*x]}
+{ArcSin[a*x]/x^1, x, 5, (-(1/2))*I*ArcSin[a*x]^2 + ArcSin[a*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[a*x])] - (1/2)*I*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[a*x])]}
+{ArcSin[a*x]/x^2, x, 4, -(ArcSin[a*x]/x) - a*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{ArcSin[a*x]/x^3, x, 2, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x)) - ArcSin[a*x]/(2*x^2)}
+{ArcSin[a*x]/x^4, x, 5, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*x^2)) - ArcSin[a*x]/(3*x^3) - (1/6)*a^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{ArcSin[a*x]/x^5, x, 3, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(12*x^3)) - (a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*x) - ArcSin[a*x]/(4*x^4)}
+{ArcSin[a*x]/x^6, x, 6, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(20*x^4)) - (3*a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(40*x^2) - ArcSin[a*x]/(5*x^5) - (3/40)*a^5*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+
+
+{x^4*ArcSin[a*x]^2, x, 7, -((16*x)/(75*a^4)) - (8*x^3)/(225*a^2) - (2*x^5)/125 + (16*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(75*a^5) + (8*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(75*a^3) + (2*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(25*a) + (1/5)*x^5*ArcSin[a*x]^2}
+{x^3*ArcSin[a*x]^2, x, 6, -((3*x^2)/(32*a^2)) - x^4/32 + (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(16*a^3) + (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(8*a) - (3*ArcSin[a*x]^2)/(32*a^4) + (1/4)*x^4*ArcSin[a*x]^2}
+{x^2*ArcSin[a*x]^2, x, 5, -((4*x)/(9*a^2)) - (2*x^3)/27 + (4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(9*a^3) + (2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(9*a) + (1/3)*x^3*ArcSin[a*x]^2}
+{x^1*ArcSin[a*x]^2, x, 4, -(x^2/4) + (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(2*a) - ArcSin[a*x]^2/(4*a^2) + (1/2)*x^2*ArcSin[a*x]^2}
+{x^0*ArcSin[a*x]^2, x, 3, -2*x + (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/a + x*ArcSin[a*x]^2}
+{ArcSin[a*x]^2/x^1, x, 6, (-(1/3))*I*ArcSin[a*x]^3 + ArcSin[a*x]^2*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[a*x])] - I*ArcSin[a*x]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[a*x])] + (1/2)*PolyLog[3, E^(2*I*ArcSin[a*x])]}
+{ArcSin[a*x]^2/x^2, x, 7, -(ArcSin[a*x]^2/x) - 4*a*ArcSin[a*x]*ArcTanh[E^(I*ArcSin[a*x])] + 2*I*a*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[a*x])] - 2*I*a*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a*x])]}
+{ArcSin[a*x]^2/x^3, x, 3, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/x) - ArcSin[a*x]^2/(2*x^2) + a^2*Log[x]}
+{ArcSin[a*x]^2/x^4, x, 9, -(a^2/(3*x)) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(3*x^2) - ArcSin[a*x]^2/(3*x^3) - (2/3)*a^3*ArcSin[a*x]*ArcTanh[E^(I*ArcSin[a*x])] + (1/3)*I*a^3*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[a*x])] - (1/3)*I*a^3*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a*x])]}
+{ArcSin[a*x]^2/x^5, x, 5, -(a^2/(12*x^2)) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(6*x^3) - (a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(3*x) - ArcSin[a*x]^2/(4*x^4) + (1/3)*a^4*Log[x]}
+
+
+{x^4*ArcSin[a*x]^3, x, 14, -((298*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(375*a^5)) + (76*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(1125*a^5) - (6*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(625*a^5) - (16*x*ArcSin[a*x])/(25*a^4) - (8*x^3*ArcSin[a*x])/(75*a^2) - (6/125)*x^5*ArcSin[a*x] + (8*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(25*a^5) + (4*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(25*a^3) + (3*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(25*a) + (1/5)*x^5*ArcSin[a*x]^3}
+{x^3*ArcSin[a*x]^3, x, 11, -((45*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(256*a^3)) - (3*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(128*a) + (45*ArcSin[a*x])/(256*a^4) - (9*x^2*ArcSin[a*x])/(32*a^2) - (3/32)*x^4*ArcSin[a*x] + (9*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(32*a^3) + (3*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(16*a) - (3*ArcSin[a*x]^3)/(32*a^4) + (1/4)*x^4*ArcSin[a*x]^3}
+{x^2*ArcSin[a*x]^3, x, 9, -((14*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(9*a^3)) + (2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(27*a^3) - (4*x*ArcSin[a*x])/(3*a^2) - (2/9)*x^3*ArcSin[a*x] + (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(3*a^3) + (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(3*a) + (1/3)*x^3*ArcSin[a*x]^3}
+{x^1*ArcSin[a*x]^3, x, 6, -((3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a)) + (3*ArcSin[a*x])/(8*a^2) - (3/4)*x^2*ArcSin[a*x] + (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(4*a) - ArcSin[a*x]^3/(4*a^2) + (1/2)*x^2*ArcSin[a*x]^3}
+{x^0*ArcSin[a*x]^3, x, 4, -((6*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a) - 6*x*ArcSin[a*x] + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/a + x*ArcSin[a*x]^3}
+{ArcSin[a*x]^3/x^1, x, 7, (-(1/4))*I*ArcSin[a*x]^4 + ArcSin[a*x]^3*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[a*x])] - (3/2)*I*ArcSin[a*x]^2*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[a*x])] + (3/2)*ArcSin[a*x]*PolyLog[3, E^(2*I*ArcSin[a*x])] + (3/4)*I*PolyLog[4, E^(2*I*ArcSin[a*x])]}
+{ArcSin[a*x]^3/x^2, x, 9, -(ArcSin[a*x]^3/x) - 6*a*ArcSin[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[a*x])] + 6*I*a*ArcSin[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[a*x])] - 6*I*a*ArcSin[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a*x])] - 6*a*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[a*x])] + 6*a*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[a*x])]}
+{ArcSin[a*x]^3/x^3, x, 7, (-(3/2))*I*a^2*ArcSin[a*x]^2 - (3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(2*x) - ArcSin[a*x]^3/(2*x^2) + 3*a^2*ArcSin[a*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[a*x])] - (3/2)*I*a^2*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[a*x])]}
+{ArcSin[a*x]^3/x^4, x, 14, -((a^2*ArcSin[a*x])/x) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(2*x^2) - ArcSin[a*x]^3/(3*x^3) - a^3*ArcSin[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[a*x])] - a^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]] + I*a^3*ArcSin[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[a*x])] - I*a^3*ArcSin[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a*x])] - a^3*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[a*x])] + a^3*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[a*x])]}
+{ArcSin[a*x]^3/x^5, x, 10, -((a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*x)) - (a^2*ArcSin[a*x])/(4*x^2) - (1/2)*I*a^4*ArcSin[a*x]^2 - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(4*x^3) - (a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(2*x) - ArcSin[a*x]^3/(4*x^4) + a^4*ArcSin[a*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[a*x])] - (1/2)*I*a^4*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[a*x])]}
+
+
+{x^5*ArcSin[a*x]^4, x, 23, (245*x^2)/(1152*a^4) + (65*x^4)/(3456*a^2) + x^6/324 - (245*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(576*a^5) - (65*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(864*a^3) - (x^5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(54*a) + (245*ArcSin[a*x]^2)/(1152*a^6) - (5*x^2*ArcSin[a*x]^2)/(16*a^4) - (5*x^4*ArcSin[a*x]^2)/(48*a^2) - (1/18)*x^6*ArcSin[a*x]^2 + (5*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(24*a^5) + (5*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(36*a^3) + (x^5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(9*a) - (5*ArcSin[a*x]^4)/(96*a^6) + (1/6)*x^6*ArcSin[a*x]^4}
+{x^4*ArcSin[a*x]^4, x, 19, (16576*x)/(5625*a^4) + (1088*x^3)/(16875*a^2) + (24*x^5)/3125 - (16576*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(5625*a^5) - (1088*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(5625*a^3) - (24*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(625*a) - (32*x*ArcSin[a*x]^2)/(25*a^4) - (16*x^3*ArcSin[a*x]^2)/(75*a^2) - (12/125)*x^5*ArcSin[a*x]^2 + (32*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(75*a^5) + (16*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(75*a^3) + (4*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(25*a) + (1/5)*x^5*ArcSin[a*x]^4}
+{x^3*ArcSin[a*x]^4, x, 14, (45*x^2)/(128*a^2) + (3*x^4)/128 - (45*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(64*a^3) - (3*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(32*a) + (45*ArcSin[a*x]^2)/(128*a^4) - (9*x^2*ArcSin[a*x]^2)/(16*a^2) - (3/16)*x^4*ArcSin[a*x]^2 + (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(8*a^3) + (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(4*a) - (3*ArcSin[a*x]^4)/(32*a^4) + (1/4)*x^4*ArcSin[a*x]^4}
+{x^2*ArcSin[a*x]^4, x, 11, (160*x)/(27*a^2) + (8*x^3)/81 - (160*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(27*a^3) - (8*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(27*a) - (8*x*ArcSin[a*x]^2)/(3*a^2) - (4/9)*x^3*ArcSin[a*x]^2 + (8*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(9*a^3) + (4*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(9*a) + (1/3)*x^3*ArcSin[a*x]^4}
+{x^1*ArcSin[a*x]^4, x, 7, (3*x^2)/4 - (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(2*a) + (3*ArcSin[a*x]^2)/(4*a^2) - (3/2)*x^2*ArcSin[a*x]^2 + (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/a - ArcSin[a*x]^4/(4*a^2) + (1/2)*x^2*ArcSin[a*x]^4}
+{x^0*ArcSin[a*x]^4, x, 5, 24*x - (24*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/a - 12*x*ArcSin[a*x]^2 + (4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/a + x*ArcSin[a*x]^4}
+{ArcSin[a*x]^4/x^1, x, 8, (-(1/5))*I*ArcSin[a*x]^5 + ArcSin[a*x]^4*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[a*x])] - 2*I*ArcSin[a*x]^3*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[a*x])] + 3*ArcSin[a*x]^2*PolyLog[3, E^(2*I*ArcSin[a*x])] + 3*I*ArcSin[a*x]*PolyLog[4, E^(2*I*ArcSin[a*x])] - (3/2)*PolyLog[5, E^(2*I*ArcSin[a*x])]}
+{ArcSin[a*x]^4/x^2, x, 11, -(ArcSin[a*x]^4/x) - 8*a*ArcSin[a*x]^3*ArcTanh[E^(I*ArcSin[a*x])] + 12*I*a*ArcSin[a*x]^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[a*x])] - 12*I*a*ArcSin[a*x]^2*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a*x])] - 24*a*ArcSin[a*x]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[a*x])] + 24*a*ArcSin[a*x]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[a*x])] - 24*I*a*PolyLog[4, -E^(I*ArcSin[a*x])] + 24*I*a*PolyLog[4, E^(I*ArcSin[a*x])]}
+{ArcSin[a*x]^4/x^3, x, 8, -2*I*a^2*ArcSin[a*x]^3 - (2*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/x - ArcSin[a*x]^4/(2*x^2) + 6*a^2*ArcSin[a*x]^2*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[a*x])] - 6*I*a^2*ArcSin[a*x]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[a*x])] + 3*a^2*PolyLog[3, E^(2*I*ArcSin[a*x])]}
+{ArcSin[a*x]^4/x^4, x, 19, -((2*a^2*ArcSin[a*x]^2)/x) - (2*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(3*x^2) - ArcSin[a*x]^4/(3*x^3) - 8*a^3*ArcSin[a*x]*ArcTanh[E^(I*ArcSin[a*x])] - (4/3)*a^3*ArcSin[a*x]^3*ArcTanh[E^(I*ArcSin[a*x])] + 4*I*a^3*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[a*x])] + 2*I*a^3*ArcSin[a*x]^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[a*x])] - 4*I*a^3*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a*x])] - 2*I*a^3*ArcSin[a*x]^2*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a*x])] - 4*a^3*ArcSin[a*x]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[a*x])] + 4*a^3*ArcSin[a*x]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[a*x])] - 4*I*a^3*PolyLog[4, -E^(I*ArcSin[a*x])] + 4*I*a^3*PolyLog[4, E^(I*ArcSin[a*x])]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^6/ArcSin[a*x], x, 7, (5*CosIntegral[ArcSin[a*x]])/(64*a^7) - (9*CosIntegral[3*ArcSin[a*x]])/(64*a^7) + (5*CosIntegral[5*ArcSin[a*x]])/(64*a^7) - CosIntegral[7*ArcSin[a*x]]/(64*a^7)}
+{x^5/ArcSin[a*x], x, 6, (5*SinIntegral[2*ArcSin[a*x]])/(32*a^6) - SinIntegral[4*ArcSin[a*x]]/(8*a^6) + SinIntegral[6*ArcSin[a*x]]/(32*a^6)}
+{x^4/ArcSin[a*x], x, 6, CosIntegral[ArcSin[a*x]]/(8*a^5) - (3*CosIntegral[3*ArcSin[a*x]])/(16*a^5) + CosIntegral[5*ArcSin[a*x]]/(16*a^5)}
+{x^3/ArcSin[a*x], x, 5, SinIntegral[2*ArcSin[a*x]]/(4*a^4) - SinIntegral[4*ArcSin[a*x]]/(8*a^4)}
+{x^2/ArcSin[a*x], x, 5, CosIntegral[ArcSin[a*x]]/(4*a^3) - CosIntegral[3*ArcSin[a*x]]/(4*a^3)}
+{x^1/ArcSin[a*x], x, 4, SinIntegral[2*ArcSin[a*x]]/(2*a^2)}
+{x^0/ArcSin[a*x], x, 2, CosIntegral[ArcSin[a*x]]/a}
+{1/(x^1*ArcSin[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcSin[a*x]), x]}
+{1/(x^2*ArcSin[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*ArcSin[a*x]), x]}
+
+
+{x^6/ArcSin[a*x]^2, x, 6, -((x^6*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*ArcSin[a*x])) - (5*SinIntegral[ArcSin[a*x]])/(64*a^7) + (27*SinIntegral[3*ArcSin[a*x]])/(64*a^7) - (25*SinIntegral[5*ArcSin[a*x]])/(64*a^7) + (7*SinIntegral[7*ArcSin[a*x]])/(64*a^7)}
+{x^5/ArcSin[a*x]^2, x, 5, -((x^5*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*ArcSin[a*x])) + (5*CosIntegral[2*ArcSin[a*x]])/(16*a^6) - CosIntegral[4*ArcSin[a*x]]/(2*a^6) + (3*CosIntegral[6*ArcSin[a*x]])/(16*a^6)}
+{x^4/ArcSin[a*x]^2, x, 5, -((x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*ArcSin[a*x])) - SinIntegral[ArcSin[a*x]]/(8*a^5) + (9*SinIntegral[3*ArcSin[a*x]])/(16*a^5) - (5*SinIntegral[5*ArcSin[a*x]])/(16*a^5)}
+{x^3/ArcSin[a*x]^2, x, 4, -((x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*ArcSin[a*x])) + CosIntegral[2*ArcSin[a*x]]/(2*a^4) - CosIntegral[4*ArcSin[a*x]]/(2*a^4)}
+{x^2/ArcSin[a*x]^2, x, 4, -((x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*ArcSin[a*x])) - SinIntegral[ArcSin[a*x]]/(4*a^3) + (3*SinIntegral[3*ArcSin[a*x]])/(4*a^3)}
+{x^1/ArcSin[a*x]^2, x, 2, -((x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*ArcSin[a*x])) + CosIntegral[2*ArcSin[a*x]]/a^2}
+{x^0/ArcSin[a*x]^2, x, 3, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*ArcSin[a*x])) - SinIntegral[ArcSin[a*x]]/a}
+{1/(x^1*ArcSin[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcSin[a*x]^2), x]}
+{1/(x^2*ArcSin[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*ArcSin[a*x]^2), x]}
+
+
+{x^4/ArcSin[a*x]^3, x, 14, -((x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a*ArcSin[a*x]^2)) - (2*x^3)/(a^2*ArcSin[a*x]) + (5*x^5)/(2*ArcSin[a*x]) - CosIntegral[ArcSin[a*x]]/(16*a^5) + (27*CosIntegral[3*ArcSin[a*x]])/(32*a^5) - (25*CosIntegral[5*ArcSin[a*x]])/(32*a^5)}
+{x^3/ArcSin[a*x]^3, x, 12, -((x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a*ArcSin[a*x]^2)) - (3*x^2)/(2*a^2*ArcSin[a*x]) + (2*x^4)/ArcSin[a*x] - SinIntegral[2*ArcSin[a*x]]/(2*a^4) + SinIntegral[4*ArcSin[a*x]]/a^4}
+{x^2/ArcSin[a*x]^3, x, 10, -((x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a*ArcSin[a*x]^2)) - x/(a^2*ArcSin[a*x]) + (3*x^3)/(2*ArcSin[a*x]) - CosIntegral[ArcSin[a*x]]/(8*a^3) + (9*CosIntegral[3*ArcSin[a*x]])/(8*a^3)}
+{x^1/ArcSin[a*x]^3, x, 7, -((x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a*ArcSin[a*x]^2)) - 1/(2*a^2*ArcSin[a*x]) + x^2/ArcSin[a*x] - SinIntegral[2*ArcSin[a*x]]/a^2}
+{x^0/ArcSin[a*x]^3, x, 4, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a*ArcSin[a*x]^2)) + x/(2*ArcSin[a*x]) - CosIntegral[ArcSin[a*x]]/(2*a)}
+{1/(x^1*ArcSin[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcSin[a*x]^3), x]}
+{1/(x^2*ArcSin[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*ArcSin[a*x]^3), x]}
+
+
+{x^4/ArcSin[a*x]^4, x, 12, -((x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcSin[a*x]^3)) - (2*x^3)/(3*a^2*ArcSin[a*x]^2) + (5*x^5)/(6*ArcSin[a*x]^2) - (2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^3*ArcSin[a*x]) + (25*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*a*ArcSin[a*x]) + SinIntegral[ArcSin[a*x]]/(48*a^5) - (27*SinIntegral[3*ArcSin[a*x]])/(32*a^5) + (125*SinIntegral[5*ArcSin[a*x]])/(96*a^5)}
+{x^3/ArcSin[a*x]^4, x, 9, -((x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcSin[a*x]^3)) - x^2/(2*a^2*ArcSin[a*x]^2) + (2*x^4)/(3*ArcSin[a*x]^2) - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^3*ArcSin[a*x]) + (8*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcSin[a*x]) - CosIntegral[2*ArcSin[a*x]]/(3*a^4) + (4*CosIntegral[4*ArcSin[a*x]])/(3*a^4)}
+{x^2/ArcSin[a*x]^4, x, 10, -((x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcSin[a*x]^3)) - x/(3*a^2*ArcSin[a*x]^2) + x^3/(2*ArcSin[a*x]^2) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*a^3*ArcSin[a*x]) + (3*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a*ArcSin[a*x]) + SinIntegral[ArcSin[a*x]]/(24*a^3) - (9*SinIntegral[3*ArcSin[a*x]])/(8*a^3)}
+{x^1/ArcSin[a*x]^4, x, 5, -((x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcSin[a*x]^3)) - 1/(6*a^2*ArcSin[a*x]^2) + x^2/(3*ArcSin[a*x]^2) + (2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcSin[a*x]) - (2*CosIntegral[2*ArcSin[a*x]])/(3*a^2)}
+{x^0/ArcSin[a*x]^4, x, 5, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*a*ArcSin[a*x]^3)) + x/(6*ArcSin[a*x]^2) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(6*a*ArcSin[a*x]) + SinIntegral[ArcSin[a*x]]/(6*a)}
+{1/(x^1*ArcSin[a*x]^4), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcSin[a*x]^4), x]}
+{1/(x^2*ArcSin[a*x]^4), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*ArcSin[a*x]^4), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcSin[a x]^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^4*Sqrt[ArcSin[a*x]], x, 10, (1/5)*x^5*Sqrt[ArcSin[a*x]] - (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(8*a^5) + (Sqrt[Pi/6]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(16*a^5) - (Sqrt[Pi/10]*FresnelS[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(80*a^5)}
+{x^3*Sqrt[ArcSin[a*x]], x, 8, -((3*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(32*a^4)) + (1/4)*x^4*Sqrt[ArcSin[a*x]] - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(64*a^4) + (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(16*a^4)}
+{x^2*Sqrt[ArcSin[a*x]], x, 8, (1/3)*x^3*Sqrt[ArcSin[a*x]] - (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(4*a^3) + (Sqrt[Pi/6]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(12*a^3)}
+{x^1*Sqrt[ArcSin[a*x]], x, 6, -(Sqrt[ArcSin[a*x]]/(4*a^2)) + (1/2)*x^2*Sqrt[ArcSin[a*x]] + (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(8*a^2)}
+{x^0*Sqrt[ArcSin[a*x]], x, 4, x*Sqrt[ArcSin[a*x]] - (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/a}
+{Sqrt[ArcSin[a*x]]/x^1, x, 0, Unintegrable[Sqrt[ArcSin[a*x]]/x, x]}
+
+
+{x^4*ArcSin[a*x]^(3/2), x, 23, (4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(25*a^5) + (2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(25*a^3) + (3*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(50*a) + (1/5)*x^5*ArcSin[a*x]^(3/2) - (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(16*a^5) + (Sqrt[Pi/6]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(32*a^5) - (3*Sqrt[Pi/10]*FresnelC[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(800*a^5), (4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(25*a^5) + (2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(25*a^3) + (3*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(50*a) + (1/5)*x^5*ArcSin[a*x]^(3/2) - (11*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(400*a^5) - (2*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(25*a^5) + (Sqrt[Pi/6]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(50*a^5) + (3*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(800*a^5) - (3*Sqrt[Pi/10]*FresnelC[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(800*a^5)}
+{x^3*ArcSin[a*x]^(3/2), x, 16, (9*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(64*a^3) + (3*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(32*a) - (3*ArcSin[a*x]^(3/2))/(32*a^4) + (1/4)*x^4*ArcSin[a*x]^(3/2) + (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(512*a^4) - (3*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(64*a^4)}
+{x^2*ArcSin[a*x]^(3/2), x, 13, (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(3*a^3) + (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(6*a) + (1/3)*x^3*ArcSin[a*x]^(3/2) - (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(8*a^3) + (Sqrt[Pi/6]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(24*a^3)}
+{x^1*ArcSin[a*x]^(3/2), x, 8, (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(8*a) - ArcSin[a*x]^(3/2)/(4*a^2) + (1/2)*x^2*ArcSin[a*x]^(3/2) - (3*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(32*a^2)}
+{x^0*ArcSin[a*x]^(3/2), x, 5, (3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(2*a) + x*ArcSin[a*x]^(3/2) - (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(2*a)}
+{ArcSin[a*x]^(3/2)/x^1, x, 0, Unintegrable[ArcSin[a*x]^(3/2)/x, x]}
+
+
+{x^4*ArcSin[a*x]^(5/2), x, 26, -((2*x*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(5*a^4)) - (x^3*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(15*a^2) - (3/100)*x^5*Sqrt[ArcSin[a*x]] + (4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(15*a^5) + (2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(15*a^3) + (x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(10*a) + (1/5)*x^5*ArcSin[a*x]^(5/2) + (15*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(32*a^5) - (5*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(192*a^5) + (3*Sqrt[Pi/10]*FresnelS[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(1600*a^5), -((2*x*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(5*a^4)) - (x^3*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(15*a^2) - (3/100)*x^5*Sqrt[ArcSin[a*x]] + (4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(15*a^5) + (2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(15*a^3) + (x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(10*a) + (1/5)*x^5*ArcSin[a*x]^(5/2) + (15*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(32*a^5) - (Sqrt[Pi/6]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(60*a^5) - (Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(320*a^5) + (3*Sqrt[Pi/10]*FresnelS[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(1600*a^5)}
+{x^3*ArcSin[a*x]^(5/2), x, 18, (225*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(2048*a^4) - (45*x^2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(256*a^2) - (15/256)*x^4*Sqrt[ArcSin[a*x]] + (15*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(64*a^3) + (5*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(32*a) - (3*ArcSin[a*x]^(5/2))/(32*a^4) + (1/4)*x^4*ArcSin[a*x]^(5/2) + (15*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(4096*a^4) - (15*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(256*a^4)}
+{x^2*ArcSin[a*x]^(5/2), x, 15, -((5*x*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(6*a^2)) - (5/36)*x^3*Sqrt[ArcSin[a*x]] + (5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(9*a^3) + (5*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(18*a) + (1/3)*x^3*ArcSin[a*x]^(5/2) + (15*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(16*a^3) - (5*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(144*a^3)}
+{x^1*ArcSin[a*x]^(5/2), x, 9, (15*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(64*a^2) - (15/32)*x^2*Sqrt[ArcSin[a*x]] + (5*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(8*a) - ArcSin[a*x]^(5/2)/(4*a^2) + (1/2)*x^2*ArcSin[a*x]^(5/2) - (15*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(128*a^2)}
+{x^0*ArcSin[a*x]^(5/2), x, 6, (-(15/4))*x*Sqrt[ArcSin[a*x]] + (5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(2*a) + x*ArcSin[a*x]^(5/2) + (15*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(4*a)}
+{ArcSin[a*x]^(5/2)/x^1, x, 0, Unintegrable[ArcSin[a*x]^(5/2)/x, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^4/Sqrt[ArcSin[a*x]], x, 9, (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(4*a^5) - (Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(8*a^5) + (Sqrt[Pi/10]*FresnelC[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(8*a^5)}
+{x^3/Sqrt[ArcSin[a*x]], x, 7, -((Sqrt[Pi/2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(8*a^4)) + (Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(4*a^4)}
+{x^2/Sqrt[ArcSin[a*x]], x, 7, (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(2*a^3) - (Sqrt[Pi/6]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(2*a^3)}
+{x^1/Sqrt[ArcSin[a*x]], x, 5, (Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(2*a^2)}
+{x^0/Sqrt[ArcSin[a*x]], x, 3, (Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/a}
+{1/(x^1*Sqrt[ArcSin[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[ArcSin[a*x]]), x]}
+{1/(x^2*Sqrt[ArcSin[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[ArcSin[a*x]]), x]}
+
+
+{x^6/ArcSin[a*x]^(3/2), x, 10, -((2*x^6*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcSin[a*x]])) - (5*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(16*a^7) + (9*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(16*a^7) - (5*Sqrt[(5*Pi)/2]*FresnelS[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(16*a^7) + (Sqrt[(7*Pi)/2]*FresnelS[Sqrt[14/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(16*a^7)}
+{x^5/ArcSin[a*x]^(3/2), x, 8, -((2*x^5*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcSin[a*x]])) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/a^6 + (Sqrt[3*Pi]*FresnelC[2*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(8*a^6) + (5*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(8*a^6)}
+{x^4/ArcSin[a*x]^(3/2), x, 8, -((2*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcSin[a*x]])) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(2*a^5) + (3*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(4*a^5) - (Sqrt[(5*Pi)/2]*FresnelS[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(4*a^5)}
+{x^3/ArcSin[a*x]^(3/2), x, 6, -((2*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcSin[a*x]])) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/a^4 + (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/a^4}
+{x^2/ArcSin[a*x]^(3/2), x, 6, -((2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcSin[a*x]])) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/a^3 + (Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/a^3}
+{x^1/ArcSin[a*x]^(3/2), x, 3, -((2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcSin[a*x]])) + (2*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/a^2}
+{x^0/ArcSin[a*x]^(3/2), x, 4, -((2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcSin[a*x]])) - (2*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/a}
+{1/(x^1*ArcSin[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcSin[a*x]^(3/2)), x]}
+
+
+{x^4/ArcSin[a*x]^(5/2), x, 19, -((2*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcSin[a*x]^(3/2))) - (16*x^3)/(3*a^2*Sqrt[ArcSin[a*x]]) + (20*x^5)/(3*Sqrt[ArcSin[a*x]]) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(3*a^5) + (3*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(2*a^5) - (5*Sqrt[(5*Pi)/2]*FresnelC[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(6*a^5), -((2*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcSin[a*x]^(3/2))) - (16*x^3)/(3*a^2*Sqrt[ArcSin[a*x]]) + (20*x^5)/(3*Sqrt[ArcSin[a*x]]) - (25*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(3*a^5) + (4*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/a^5 + (25*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(2*a^5) - (4*Sqrt[(2*Pi)/3]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/a^5 - (5*Sqrt[(5*Pi)/2]*FresnelC[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(6*a^5)}
+{x^3/ArcSin[a*x]^(5/2), x, 15, -((2*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcSin[a*x]^(3/2))) - (4*x^2)/(a^2*Sqrt[ArcSin[a*x]]) + (16*x^4)/(3*Sqrt[ArcSin[a*x]]) + (4*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(3*a^4) - (4*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(3*a^4)}
+{x^2/ArcSin[a*x]^(5/2), x, 13, -((2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcSin[a*x]^(3/2))) - (8*x)/(3*a^2*Sqrt[ArcSin[a*x]]) + (4*x^3)/Sqrt[ArcSin[a*x]] - (Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(3*a^3) + (Sqrt[6*Pi]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/a^3}
+{x^1/ArcSin[a*x]^(5/2), x, 8, -((2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcSin[a*x]^(3/2))) - 4/(3*a^2*Sqrt[ArcSin[a*x]]) + (8*x^2)/(3*Sqrt[ArcSin[a*x]]) - (8*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(3*a^2)}
+{x^0/ArcSin[a*x]^(5/2), x, 5, -((2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcSin[a*x]^(3/2))) + (4*x)/(3*Sqrt[ArcSin[a*x]]) - (4*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(3*a)}
+{1/(x^1*ArcSin[a*x]^(5/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcSin[a*x]^(5/2)), x]}
+
+
+{x^4/ArcSin[a*x]^(7/2), x, 17, -((2*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a*ArcSin[a*x]^(5/2))) - (16*x^3)/(15*a^2*ArcSin[a*x]^(3/2)) + (4*x^5)/(3*ArcSin[a*x]^(3/2)) - (32*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a^3*Sqrt[ArcSin[a*x]]) + (40*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*Sqrt[ArcSin[a*x]]) + (Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(15*a^5) - (5*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/a^5 + (8*Sqrt[6*Pi]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(5*a^5) + (5*Sqrt[(5*Pi)/2]*FresnelS[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(3*a^5)}
+{x^3/ArcSin[a*x]^(7/2), x, 12, -((2*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a*ArcSin[a*x]^(5/2))) - (4*x^2)/(5*a^2*ArcSin[a*x]^(3/2)) + (16*x^4)/(15*ArcSin[a*x]^(3/2)) - (16*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a^3*Sqrt[ArcSin[a*x]]) + (128*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a*Sqrt[ArcSin[a*x]]) + (32*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(15*a^4) - (16*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(15*a^4)}
+{x^2/ArcSin[a*x]^(7/2), x, 13, -((2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a*ArcSin[a*x]^(5/2))) - (8*x)/(15*a^2*ArcSin[a*x]^(3/2)) + (4*x^3)/(5*ArcSin[a*x]^(3/2)) - (16*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a^3*Sqrt[ArcSin[a*x]]) + (24*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a*Sqrt[ArcSin[a*x]]) + (2*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(15*a^3) - (6*Sqrt[6*Pi]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(5*a^3)}
+{x^1/ArcSin[a*x]^(7/2), x, 6, -((2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a*ArcSin[a*x]^(5/2))) - 4/(15*a^2*ArcSin[a*x]^(3/2)) + (8*x^2)/(15*ArcSin[a*x]^(3/2)) + (32*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a*Sqrt[ArcSin[a*x]]) - (32*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(15*a^2)}
+{x^0/ArcSin[a*x]^(7/2), x, 6, -((2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a*ArcSin[a*x]^(5/2))) + (4*x)/(15*ArcSin[a*x]^(3/2)) + (8*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a*Sqrt[ArcSin[a*x]]) + (8*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(15*a)}
+{1/(x^1*ArcSin[a*x]^(7/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcSin[a*x]^(7/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (b x)^(m/2) ArcSin[a x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (b x)^(m/2) ArcSin[a x]^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b x)^m ArcSin[a x]^n with m symbolic*)
+
+
+{(b*x)^m*ArcSin[a*x]^4, x, 1, ((b*x)^(1 + m)*ArcSin[a*x]^4)/(b*(1 + m)) - (4*a*Unintegrable[((b*x)^(1 + m)*ArcSin[a*x]^3)/Sqrt[1 - a^2*x^2], x])/(b*(1 + m))}
+{(b*x)^m*ArcSin[a*x]^3, x, 1, ((b*x)^(1 + m)*ArcSin[a*x]^3)/(b*(1 + m)) - (3*a*Unintegrable[((b*x)^(1 + m)*ArcSin[a*x]^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2], x])/(b*(1 + m))}
+{(b*x)^m*ArcSin[a*x]^2, x, 2, If[$VersionNumber>=8, ((b*x)^(1 + m)*ArcSin[a*x]^2)/(b*(1 + m)) - (2*a*(b*x)^(2 + m)*ArcSin[a*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(b^2*(1 + m)*(2 + m)) + (2*a^2*(b*x)^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, a^2*x^2])/(b^3*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)), ((b*x)^(1 + m)*ArcSin[a*x]^2)/(b*(1 + m)) - (2*a*(b*x)^(2 + m)*ArcSin[a*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(b^2*(1 + m)*(2 + m)) + (2*a^2*(b*x)^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, a^2*x^2])/(b^3*(3 + m)*(2 + 3*m + m^2))]}
+{(b*x)^m*ArcSin[a*x]^1, x, 2, ((b*x)^(1 + m)*ArcSin[a*x])/(b*(1 + m)) - (a*(b*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(b^2*(1 + m)*(2 + m))}
+{(b*x)^m/ArcSin[a*x]^1, x, 0, Unintegrable[(b*x)^m/ArcSin[a*x], x]}
+{(b*x)^m/ArcSin[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(b*x)^m/ArcSin[a*x]^2, x]}
+
+
+{(b*x)^m*ArcSin[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(b*x)^m*ArcSin[a*x]^(3/2), x]}
+{(b*x)^m*ArcSin[a*x]^(1/2), x, 0, Unintegrable[(b*x)^m*Sqrt[ArcSin[a*x]], x]}
+{(b*x)^m/ArcSin[a*x]^(1/2), x, 0, Unintegrable[(b*x)^m/Sqrt[ArcSin[a*x]], x]}
+{(b*x)^m/ArcSin[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(b*x)^m/ArcSin[a*x]^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b x)^m ArcSin[a x]^n with n symbolic*)
+
+
+{(b*x)^m*ArcSin[a*x]^n, x, 0, Unintegrable[(b*x)^m*ArcSin[a*x]^n, x]}
+
+
+{x^3*ArcSin[a*x]^n, x, 9, -((2^(-4 - n)*ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, -2*I*ArcSin[a*x]])/(((-I)*ArcSin[a*x])^n*a^4)) - (2^(-4 - n)*ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, 2*I*ArcSin[a*x]])/((I*ArcSin[a*x])^n*a^4) + (ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, -4*I*ArcSin[a*x]])/(2^(2*(3 + n))*((-I)*ArcSin[a*x])^n*a^4) + (ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, 4*I*ArcSin[a*x]])/(2^(2*(3 + n))*(I*ArcSin[a*x])^n*a^4)}
+{x^2*ArcSin[a*x]^n, x, 9, -((I*ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, (-I)*ArcSin[a*x]])/(((-I)*ArcSin[a*x])^n*(8*a^3))) + (I*ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, I*ArcSin[a*x]])/((I*ArcSin[a*x])^n*(8*a^3)) + (I*3^(-1 - n)*ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, -3*I*ArcSin[a*x]])/(((-I)*ArcSin[a*x])^n*(8*a^3)) - (I*3^(-1 - n)*ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, 3*I*ArcSin[a*x]])/((I*ArcSin[a*x])^n*(8*a^3))}
+{x^1*ArcSin[a*x]^n, x, 6, -((2^(-3 - n)*ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, -2*I*ArcSin[a*x]])/(((-I)*ArcSin[a*x])^n*a^2)) - (2^(-3 - n)*ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, 2*I*ArcSin[a*x]])/((I*ArcSin[a*x])^n*a^2)}
+{x^0*ArcSin[a*x]^n, x, 4, -((I*ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, (-I)*ArcSin[a*x]])/(((-I)*ArcSin[a*x])^n*(2*a))) + (I*ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, I*ArcSin[a*x]])/((I*ArcSin[a*x])^n*(2*a))}
+{ArcSin[a*x]^n/x^1, x, 0, Unintegrable[ArcSin[a*x]^n/x, x]}
+{ArcSin[a*x]^n/x^2, x, 0, Unintegrable[ArcSin[a*x]^n/x^2, x]}
+
+
+{(b*x)^(3/2)*ArcSin[a*x]^n, x, 0, Unintegrable[(b*x)^(3/2)*ArcSin[a*x]^n, x]}
+{(b*x)^(1/2)*ArcSin[a*x]^n, x, 0, Unintegrable[Sqrt[b*x]*ArcSin[a*x]^n, x]}
+{ArcSin[a*x]^n/(b*x)^(1/2), x, 0, Unintegrable[ArcSin[a*x]^n/Sqrt[b*x], x]}
+{ArcSin[a*x]^n/(b*x)^(3/2), x, 0, Unintegrable[ArcSin[a*x]^n/(b*x)^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcSin[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcSin[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 4, (3*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(32*c^3) + (b*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*c) - (3*b*ArcSin[c*x])/(32*c^4) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 4, (b*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c^3) - (b*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(9*c^3) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 3, (b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c) - (b*ArcSin[c*x])/(4*c^2) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 3, a*x + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2])/c + b*x*ArcSin[c*x]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/x^1, x, 5, -((I*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b)) + (a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])] - (1/2)*I*b*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/x^2, x, 4, -((a + b*ArcSin[c*x])/x) - b*c*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/x^3, x, 2, -((b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*x)) - (a + b*ArcSin[c*x])/(2*x^2)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/x^4, x, 5, -((b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*x^2)) - (a + b*ArcSin[c*x])/(3*x^3) - (1/6)*b*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]]}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 5, -((4*b^2*x)/(9*c^2)) - (2*b^2*x^3)/27 + (4*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c^3) + (2*b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 4, (-(1/4))*b^2*x^2 + (b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c) - (a + b*ArcSin[c*x])^2/(4*c^2) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 3, -2*b^2*x + (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/c + x*(a + b*ArcSin[c*x])^2}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/x^1, x, 6, -((I*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b)) + (a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])] - I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])] + (1/2)*b^2*PolyLog[3, E^(2*I*ArcSin[c*x])]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/x^2, x, 7, -((a + b*ArcSin[c*x])^2/x) - 4*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])] + 2*I*b^2*c*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])] - 2*I*b^2*c*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])]}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^3, x, 10, -((4*a*b^2*x)/(3*c^2)) - (14*b^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*c^3) + (2*b^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(27*c^3) - (4*b^3*x*ArcSin[c*x])/(3*c^2) - (2/9)*b^2*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^3) + (b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^3}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^3, x, 6, -((3*b^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(8*c)) + (3*b^3*ArcSin[c*x])/(8*c^2) - (3/4)*b^2*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]) + (3*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*c) - (a + b*ArcSin[c*x])^3/(4*c^2) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^3}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])^3, x, 5, -6*a*b^2*x - (6*b^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/c - 6*b^3*x*ArcSin[c*x] + (3*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/c + x*(a + b*ArcSin[c*x])^3}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^3/x^1, x, 7, -((I*(a + b*ArcSin[c*x])^4)/(4*b)) + (a + b*ArcSin[c*x])^3*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])] - (3/2)*I*b*(a + b*ArcSin[c*x])^2*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])] + (3/2)*b^2*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[3, E^(2*I*ArcSin[c*x])] + (3/4)*I*b^3*PolyLog[4, E^(2*I*ArcSin[c*x])]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^3/x^2, x, 9, -((a + b*ArcSin[c*x])^3/x) - 6*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])] + 6*I*b^2*c*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])] - 6*I*b^2*c*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])] - 6*b^3*c*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c*x])] + 6*b^3*c*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c*x])]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^2/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 9, (Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(4*b*c^3) - (Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(4*b*c^3) + (Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(4*b*c^3) - (Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(4*b*c^3)}
+{x^1/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 6, -((CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(2*a)/b])/(2*b*c^2)) + (Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2*b*c^2)}
+{x^0/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 4, (Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b*c) + (Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b*c)}
+{1/(x^1*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+
+
+{x^2/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 8, -((x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(4*b^2*c^3) - (3*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(4*b^2*c^3) - (Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(4*b^2*c^3) + (3*Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(4*b^2*c^3)}
+{x^1/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 4, -((x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(b^2*c^2) + (Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(b^2*c^2)}
+{x^0/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 5, -(Sqrt[1 - c^2*x^2]/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(b^2*c) - (Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b^2*c)}
+{1/(x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+
+
+{x^2/(a + b*ArcSin[c*x])^3, x, 16, -((x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])^2)) - x/(b^2*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])) + (3*x^3)/(2*b^2*(a + b*ArcSin[c*x])) - (Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(8*b^3*c^3) + (9*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(8*b^3*c^3) - (Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(8*b^3*c^3) + (9*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(8*b^3*c^3)}
+{x^1/(a + b*ArcSin[c*x])^3, x, 9, -((x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])^2)) - 1/(2*b^2*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])) + x^2/(b^2*(a + b*ArcSin[c*x])) + (CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(2*a)/b])/(b^3*c^2) - (Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(b^3*c^2)}
+{x^0/(a + b*ArcSin[c*x])^3, x, 6, -(Sqrt[1 - c^2*x^2]/(2*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])^2)) + x/(2*b^2*(a + b*ArcSin[c*x])) - (Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(2*b^3*c) - (Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(2*b^3*c)}
+{1/(x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^3), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*ArcSin[c*x])^3), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^3), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^3), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcSin[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2), x, 14, (1/3)*x^3*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]] - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*c^3) + (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(12*c^3) + (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(4*c^3) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(12*c^3)}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2), x, 9, -(Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]]/(4*c^2)) + (1/2)*x^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]] + (Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(8*c^2) + (Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(8*c^2)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2), x, 7, x*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]] - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/c + (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/c}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2)/x^1, x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]]/x, x]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2)/x^2, x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]]/x^2, x]}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2), x, 22, (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(3*c^3) + (b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(6*c) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2) - (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(8*c^3) + (b^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(24*c^3) - (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(8*c^3) + (b^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(24*c^3)}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2), x, 11, (3*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(8*c) - (a + b*ArcSin[c*x])^(3/2)/(4*c^2) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2) - (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(32*c^2) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(32*c^2)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2), x, 8, (3*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(2*c) + x*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2) - (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*c) - (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(2*c)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2)/x^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2)/x, x]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2)/x^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2)/x^2, x]}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^(5/2), x, 24, -((5*b^2*x*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(6*c^2)) - (5/36)*b^2*x^3*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]] + (5*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2))/(9*c^3) + (5*b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2))/(18*c) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^(5/2) + (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*c^3) - (5*b^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(144*c^3) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(16*c^3) + (5*b^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(144*c^3)}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^(5/2), x, 12, (15*b^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(64*c^2) - (15/32)*b^2*x^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]] + (5*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2))/(8*c) - (a + b*ArcSin[c*x])^(5/2)/(4*c^2) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^(5/2) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(128*c^2) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(128*c^2)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])^(5/2), x, 9, (-(15/4))*b^2*x*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]] + (5*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2))/(2*c) + x*(a + b*ArcSin[c*x])^(5/2) + (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*c) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(4*c)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^(5/2)/x^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSin[c*x])^(5/2)/x, x]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^(5/2)/x^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSin[c*x])^(5/2)/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^2/(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2), x, 13, (Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c^3) - (Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c^3) + (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(2*Sqrt[b]*c^3) - (Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(2*Sqrt[b]*c^3)}
+{x^1/(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2), x, 8, (Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(2*Sqrt[b]*c^2) - (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(2*Sqrt[b]*c^2)}
+{x^0/(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2), x, 6, (Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*c) + (Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(Sqrt[b]*c)}
+{1/(x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]]), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]]), x]}
+
+
+{x^2/(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2), x, 12, -((2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])) - (Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c^3) + (Sqrt[(3*Pi)/2]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c^3) + (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(b^(3/2)*c^3) - (Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(b^(3/2)*c^3)}
+{x^1/(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2), x, 6, -((2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])) + (2*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(b^(3/2)*c^2) + (2*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(b^(3/2)*c^2)}
+{x^0/(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2), x, 7, -((2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])) - (2*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c) + (2*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(b^(3/2)*c)}
+{1/(x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2)), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2)), x]}
+
+
+{x^2/(a + b*ArcSin[c*x])^(5/2), x, 22, -((2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2))) - (8*x)/(3*b^2*c^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]]) + (4*x^3)/(b^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]]) - (Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*c^3) + (Sqrt[6*Pi]*Cos[(3*a)/b]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(5/2)*c^3) - (Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(3*b^(5/2)*c^3) + (Sqrt[6*Pi]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(b^(5/2)*c^3)}
+{x^1/(a + b*ArcSin[c*x])^(5/2), x, 11, -((2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2))) - 4/(3*b^2*c^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]]) + (8*x^2)/(3*b^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]]) - (8*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(3*b^(5/2)*c^2) + (8*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(3*b^(5/2)*c^2)}
+{x^0/(a + b*ArcSin[c*x])^(5/2), x, 8, -((2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2))) + (4*x)/(3*b^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]]) - (4*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*c) - (4*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(3*b^(5/2)*c)}
+{1/(x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^(5/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*ArcSin[c*x])^(5/2)), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^(5/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^(5/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^(m/2) (a+b ArcSin[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(d*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (20*b*d^2*Sqrt[d*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(147*c^3) + (4*b*(d*x)^(5/2)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(49*c) + (2*(d*x)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*d) - (20*b*d^(5/2)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]], -1])/(147*c^(7/2))}
+{(d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 7, (4*b*(d*x)^(3/2)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(25*c) + (2*(d*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*d) - (12*b*d^(3/2)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]], -1])/(25*c^(5/2)) + (12*b*d^(3/2)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]], -1])/(25*c^(5/2))}
+{(d*x)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 4, (4*b*Sqrt[d*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*c) + (2*(d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d) - (4*b*Sqrt[d]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]], -1])/(9*c^(3/2))}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(d*x)^(1/2), x, 6, (2*Sqrt[d*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/d - (4*b*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]], -1])/(Sqrt[c]*Sqrt[d]) + (4*b*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]], -1])/(Sqrt[c]*Sqrt[d])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(d*x)^(3/2), x, 3, -((2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d*Sqrt[d*x])) + (4*b*Sqrt[c]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]], -1])/d^(3/2)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(d*x)^(5/2), x, 7, -((4*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*d^2*Sqrt[d*x])) - (2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d*(d*x)^(3/2)) - (4*b*c^(3/2)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]], -1])/(3*d^(5/2)) + (4*b*c^(3/2)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]], -1])/(3*d^(5/2))}
+
+
+{(d*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 2, (2*(d*x)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(7*d) - (8*b*c*(d*x)^(9/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 9/4, 13/4, c^2*x^2])/(63*d^2) + (16*b^2*c^2*(d*x)^(11/2)*HypergeometricPFQ[{1, 11/4, 11/4}, {13/4, 15/4}, c^2*x^2])/(693*d^3)}
+{(d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 2, (2*(d*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(5*d) - (8*b*c*(d*x)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 7/4, 11/4, c^2*x^2])/(35*d^2) + (16*b^2*c^2*(d*x)^(9/2)*HypergeometricPFQ[{1, 9/4, 9/4}, {11/4, 13/4}, c^2*x^2])/(315*d^3)}
+{(d*x)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 2, (2*(d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d) - (8*b*c*(d*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 5/4, 9/4, c^2*x^2])/(15*d^2) + (16*b^2*c^2*(d*x)^(7/2)*HypergeometricPFQ[{1, 7/4, 7/4}, {9/4, 11/4}, c^2*x^2])/(105*d^3)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d*x)^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[d*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/d - (8*b*c*(d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 3/4, 7/4, c^2*x^2])/(3*d^2) + (16*b^2*c^2*(d*x)^(5/2)*HypergeometricPFQ[{1, 5/4, 5/4}, {7/4, 9/4}, c^2*x^2])/(15*d^3)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d*x)^(3/2), x, 2, -((2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d*Sqrt[d*x])) + (8*b*c*Sqrt[d*x]*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/4, 1/2, 5/4, c^2*x^2])/d^2 - (16*b^2*c^2*(d*x)^(3/2)*HypergeometricPFQ[{3/4, 3/4, 1}, {5/4, 7/4}, c^2*x^2])/(3*d^3)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d*x)^(5/2), x, 2, -((2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d*(d*x)^(3/2))) - (8*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[-(1/4), 1/2, 3/4, c^2*x^2])/(3*d^2*Sqrt[d*x]) + (16*b^2*c^2*Sqrt[d*x]*HypergeometricPFQ[{1/4, 1/4, 1}, {3/4, 5/4}, c^2*x^2])/(3*d^3)}
+
+
+{(d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^3, x, 1, (2*(d*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(5*d) - (6*b*c*Unintegrable[((d*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/Sqrt[1 - c^2*x^2], x])/(5*d)}
+{(d*x)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^3, x, 1, (2*(d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*d) - (2*b*c*Unintegrable[((d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/Sqrt[1 - c^2*x^2], x])/d}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^3/(d*x)^(1/2), x, 1, (2*Sqrt[d*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/d - (6*b*c*Unintegrable[(Sqrt[d*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/Sqrt[1 - c^2*x^2], x])/d}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^3/(d*x)^(3/2), x, 1, -((2*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(d*Sqrt[d*x])) + (6*b*c*Unintegrable[(a + b*ArcSin[c*x])^2/(Sqrt[d*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]), x])/d}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^3/(d*x)^(5/2), x, 1, -((2*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*d*(d*x)^(3/2))) + (2*b*c*Unintegrable[(a + b*ArcSin[c*x])^2/((d*x)^(3/2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]), x])/d}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(d*x)^(3/2)/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 0, Unintegrable[(d*x)^(3/2)/(a + b*ArcSin[c*x]), x]}
+{(d*x)^(1/2)/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 0, Unintegrable[Sqrt[d*x]/(a + b*ArcSin[c*x]), x]}
+{1/((d*x)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[d*x]*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{1/((d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+
+
+{(d*x)^(3/2)/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^(3/2)/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x]}
+{(d*x)^(1/2)/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[Sqrt[d*x]/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x]}
+{1/((d*x)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[d*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+{1/((d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^(m/2) (a+b ArcSin[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcSin[c x])^n with m symbolic*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcSin[c x])^n with n symbolic*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.1 Inverse sine/5.1.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arcsin(c x))^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.1 Inverse sine/5.1.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arcsin(c x))^n.m
new file mode 100644
index 00000000..a60ce8ee
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.1 Inverse sine/5.1.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arcsin(c x))^n.m	
@@ -0,0 +1,1290 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcSin[c x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcSin[c x])^1*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcSin[c x)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^4*(d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (2*b*d*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(35*c^5) + (b*d*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(105*c^5) - (8*b*d*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(175*c^5) + (b*d*(1 - c^2*x^2)^(7/2))/(49*c^5) + (1/5)*d*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]) - (1/7)*c^2*d*x^7*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^3*(d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 6, (b*d*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(24*c^3) + (b*d*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(36*c) - (1/36)*b*c*d*x^5*Sqrt[1 - c^2*x^2] - (b*d*ArcSin[c*x])/(24*c^4) + (1/4)*d*x^4*(a + b*ArcSin[c*x]) - (1/6)*c^2*d*x^6*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (2*b*d*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(15*c^3) + (b*d*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(45*c^3) - (b*d*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(25*c^3) + (1/3)*d*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) - (1/5)*c^2*d*x^5*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 4, (3*b*d*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(32*c) + (b*d*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(16*c) + (3*b*d*ArcSin[c*x])/(32*c^2) - (d*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*c^2)}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (2*b*d*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c) + (b*d*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(9*c) + d*x*(a + b*ArcSin[c*x]) - (1/3)*c^2*d*x^3*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/x^1, x, 8, (-(1/4))*b*c*d*x*Sqrt[1 - c^2*x^2] - (1/4)*b*d*ArcSin[c*x] + (1/2)*d*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]) - (I*d*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b) + d*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])] - (1/2)*I*b*d*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])]}
+{((d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/x^2, x, 6, (-b)*c*d*Sqrt[1 - c^2*x^2] - (d*(a + b*ArcSin[c*x]))/x - c^2*d*x*(a + b*ArcSin[c*x]) - b*c*d*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]]}
+{((d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/x^3, x, 8, -((b*c*d*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*x)) - (1/2)*b*c^2*d*ArcSin[c*x] - (d*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*x^2) + (I*c^2*d*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b) - c^2*d*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])] + (1/2)*I*b*c^2*d*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])]}
+{((d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/x^4, x, 6, -((b*c*d*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*x^2)) - (d*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*x^3) + (c^2*d*(a + b*ArcSin[c*x]))/x + (5/6)*b*c^3*d*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]]}
+
+
+{x^4*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 6, (8*b*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(315*c^5) + (4*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(945*c^5) + (b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(525*c^5) - (10*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(7/2))/(441*c^5) + (b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(9/2))/(81*c^5) + (1/5)*d^2*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]) - (2/7)*c^2*d^2*x^7*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/9)*c^4*d^2*x^9*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^3*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 7, (73*b*d^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3072*c^3) + (73*b*d^2*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4608*c) - (43*b*c*d^2*x^5*Sqrt[1 - c^2*x^2])/1152 + (1/64)*b*c^3*d^2*x^7*Sqrt[1 - c^2*x^2] - (73*b*d^2*ArcSin[c*x])/(3072*c^4) + (1/4)*d^2*x^4*(a + b*ArcSin[c*x]) - (1/3)*c^2*d^2*x^6*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/8)*c^4*d^2*x^8*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (8*b*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(105*c^3) + (4*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(315*c^3) + (b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(175*c^3) - (b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(7/2))/(49*c^3) + (1/3)*d^2*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) - (2/5)*c^2*d^2*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/7)*c^4*d^2*x^7*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (5*b*d^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(96*c) + (5*b*d^2*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(144*c) + (b*d^2*x*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(36*c) + (5*b*d^2*ArcSin[c*x])/(96*c^2) - (d^2*(1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(6*c^2)}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (8*b*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(15*c) + (4*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(45*c) + (b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(25*c) + d^2*x*(a + b*ArcSin[c*x]) - (2/3)*c^2*d^2*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/5)*c^4*d^2*x^5*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/x^1, x, 12, (-(11/32))*b*c*d^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2] - (1/16)*b*c*d^2*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2) - (11/32)*b*d^2*ArcSin[c*x] + (1/2)*d^2*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/4)*d^2*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]) - (I*d^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b) + d^2*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])] - (1/2)*I*b*d^2*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])]}
+{((d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/x^2, x, 7, (-(5/3))*b*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2] - (1/9)*b*c*d^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2) - (d^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/x - 2*c^2*d^2*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/3)*c^4*d^2*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) - b*c*d^2*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]]}
+{((d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/x^3, x, 12, (-(1/4))*b*c^3*d^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2] - (b*c*d^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(2*x) - (1/4)*b*c^2*d^2*ArcSin[c*x] - c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]) - (d^2*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*x^2) + (I*c^2*d^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/b - 2*c^2*d^2*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])] + I*b*c^2*d^2*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])]}
+{((d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/x^4, x, 7, b*c^3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2] - (b*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*x^2) - (d^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*x^3) + (2*c^2*d^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/x + c^4*d^2*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + (11/6)*b*c^3*d^2*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]]}
+
+
+{x^4*(d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (16*b*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(1155*c^5) + (8*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(3465*c^5) + (2*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(1925*c^5) + (b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(7/2))/(1617*c^5) - (4*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(9/2))/(297*c^5) + (b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(11/2))/(121*c^5) + (1/5)*d^3*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]) - (3/7)*c^2*d^3*x^7*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/3)*c^4*d^3*x^9*(a + b*ArcSin[c*x]) - (1/11)*c^6*d^3*x^11*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^3*(d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 8, (49*b*d^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(5120*c^3) + (49*b*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(7680*c^3) + (49*b*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(9600*c^3) + (7*b*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(7/2))/(1600*c^3) - (b*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(9/2))/(100*c^3) + (49*b*d^3*ArcSin[c*x])/(5120*c^4) - (d^3*(1 - c^2*x^2)^4*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c^4) + (d^3*(1 - c^2*x^2)^5*(a + b*ArcSin[c*x]))/(10*c^4)}
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (16*b*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(315*c^3) + (8*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(945*c^3) + (2*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(525*c^3) + (b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(7/2))/(441*c^3) - (b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(9/2))/(81*c^3) + (1/3)*d^3*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) - (3/5)*c^2*d^3*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]) + (3/7)*c^4*d^3*x^7*(a + b*ArcSin[c*x]) - (1/9)*c^6*d^3*x^9*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 6, (35*b*d^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(1024*c) + (35*b*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(1536*c) + (7*b*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(384*c) + (b*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(7/2))/(64*c) + (35*b*d^3*ArcSin[c*x])/(1024*c^2) - (d^3*(1 - c^2*x^2)^4*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c^2)}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (16*b*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(35*c) + (8*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(105*c) + (6*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(175*c) + (b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(7/2))/(49*c) + d^3*x*(a + b*ArcSin[c*x]) - c^2*d^3*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (3/5)*c^4*d^3*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]) - (1/7)*c^6*d^3*x^7*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/x^1, x, 17, (-(19/48))*b*c*d^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2] - (7/72)*b*c*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2) - (1/36)*b*c*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(5/2) - (19/48)*b*d^3*ArcSin[c*x] + (1/2)*d^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/4)*d^3*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/6)*d^3*(1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]) - (I*d^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b) + d^3*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])] - (1/2)*I*b*d^3*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])]}
+{((d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/x^2, x, 7, (-(11/5))*b*c*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2] - (1/5)*b*c*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2) - (1/25)*b*c*d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2) - (d^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/x - 3*c^2*d^3*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + c^4*d^3*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) - (1/5)*c^6*d^3*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]) - b*c*d^3*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]]}
+{((d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/x^3, x, 17, (3/32)*b*c^3*d^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2] - (7/16)*b*c^3*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2) - (b*c*d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(2*x) + (3/32)*b*c^2*d^3*ArcSin[c*x] - (3/2)*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]) - (3/4)*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]) - (d^3*(1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*x^2) + (3*I*c^2*d^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b) - 3*c^2*d^3*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])] + (3/2)*I*b*c^2*d^3*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])]}
+{((d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/x^4, x, 8, (8/3)*b*c^3*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2] - (b*c*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*x^2) + (1/9)*b*c^3*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2) - (d^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*x^3) + (3*c^2*d^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/x + 3*c^4*d^3*x*(a + b*ArcSin[c*x]) - (1/3)*c^6*d^3*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (17/6)*b*c^3*d^3*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^4*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2), x, 12, -((4*b*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c^5*d)) + (b*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(9*c^5*d) - (x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^4*d) - (x^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^2*d) - (2*I*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d) + (I*b*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d) - (I*b*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d)}
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2), x, 8, -(b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c^3*d) + (b*ArcSin[c*x])/(4*c^4*d) - (x^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c^2*d) + ((I/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(b*c^4*d) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c^4*d) + ((I/2)*b*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c^4*d)}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2), x, 8, -((b*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^3*d)) - (x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^2*d) - ((2*I)*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d) + (I*b*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d) - (I*b*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d)}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2), x, 5, ((I/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(b*c^2*d) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c^2*d) + ((I/2)*b*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c^2*d)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2), x, 6, ((-2*I)*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d) + (I*b*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d) - (I*b*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^1*(d - c^2*d*x^2)), x, 7, -((2*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(2*I*ArcSin[c*x])])/d) + (I*b*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*d) - (I*b*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*d)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^2*(d - c^2*d*x^2)), x, 10, -((a + b*ArcSin[c*x])/(d*x)) - ((2*I)*c*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/d - (b*c*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/d + (I*b*c*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/d - (I*b*c*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/d}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^3*(d - c^2*d*x^2)), x, 9, -((b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*d*x)) - (a + b*ArcSin[c*x])/(2*d*x^2) - (2*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(2*I*ArcSin[c*x])])/d + (I*b*c^2*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*d) - (I*b*c^2*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*d)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^4*(d - c^2*d*x^2)), x, 15, -(b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*d*x^2) - (a + b*ArcSin[c*x])/(3*d*x^3) - (c^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d*x) - ((2*I)*c^3*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/d - (7*b*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/(6*d) + (I*b*c^3*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/d - (I*b*c^3*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/d}
+
+
+{x^4*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 12, -b/(2*c^5*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^5*d^2) + (3*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c^4*d^2) + (x^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)) + ((3*I)*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d^2) - (((3*I)/2)*b*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d^2) + (((3*I)/2)*b*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d^2)}
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 8, -(b*x)/(2*c^3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*ArcSin[c*x])/(2*c^4*d^2) + (x^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)) - ((I/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(b*c^4*d^2) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c^4*d^2) - ((I/2)*b*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c^4*d^2)}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 8, -b/(2*c^3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)) + (I*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d^2) - ((I/2)*b*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d^2) + ((I/2)*b*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d^2)}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 2, -(b*x)/(2*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (a + b*ArcSin[c*x])/(2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2))}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 8, -b/(2*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)) - (I*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d^2) + ((I/2)*b*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d^2) - ((I/2)*b*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d^2)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^1*(d - c^2*d*x^2)^2), x, 9, -((b*c*x)/(2*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (a + b*ArcSin[c*x])/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)) - (2*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(2*I*ArcSin[c*x])])/d^2 + (I*b*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*d^2) - (I*b*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^2), x, 13, -((b*c)/(2*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (a + b*ArcSin[c*x])/(d^2*x*(1 - c^2*x^2)) + (3*c^2*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)) - (3*I*c*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/d^2 - (b*c*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/d^2 + (3*I*b*c*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(2*d^2) - (3*I*b*c*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^3*(d - c^2*d*x^2)^2), x, 12, -((b*c)/(2*d^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (c^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d^2*(1 - c^2*x^2)) - (a + b*ArcSin[c*x])/(2*d^2*x^2*(1 - c^2*x^2)) - (4*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(2*I*ArcSin[c*x])])/d^2 + (I*b*c^2*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/d^2 - (I*b*c^2*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/d^2}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^4*(d - c^2*d*x^2)^2), x, 19, -((b*c^3)/(3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (b*c)/(6*d^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (a + b*ArcSin[c*x])/(3*d^2*x^3*(1 - c^2*x^2)) - (5*c^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^2*x*(1 - c^2*x^2)) + (5*c^4*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)) - (5*I*c^3*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/d^2 - (13*b*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/(6*d^2) + (5*I*b*c^3*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(2*d^2) - (5*I*b*c^3*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(2*d^2)}
+
+
+{x^4*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^3, x, 12, -b/(12*c^5*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + (5*b)/(8*c^5*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (x^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) - (3*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c^4*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (((3*I)/4)*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d^3) + (((3*I)/8)*b*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d^3) - (((3*I)/8)*b*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d^3)}
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^3, x, 4, -(b*x^3)/(12*c*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + (b*x)/(4*c^3*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*ArcSin[c*x])/(4*c^4*d^3) + (x^4*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*d^3*(1 - c^2*x^2)^2)}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^3, x, 10, -b/(12*c^3*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + b/(8*c^3*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) - (x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)) + ((I/4)*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d^3) - ((I/8)*b*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d^3) + ((I/8)*b*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d^3)}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^3, x, 3, -(b*x)/(12*c*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (b*x)/(6*c*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (a + b*ArcSin[c*x])/(4*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)^2)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^3, x, 10, -b/(12*c*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (3*b)/(8*c*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) + (3*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (((3*I)/4)*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d^3) + (((3*I)/8)*b*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d^3) - (((3*I)/8)*b*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d^3)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^1*(d - c^2*d*x^2)^3), x, 12, -((b*c*x)/(12*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2))) - (2*b*c*x)/(3*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (a + b*ArcSin[c*x])/(4*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) + (a + b*ArcSin[c*x])/(2*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (2*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(2*I*ArcSin[c*x])])/d^3 + (I*b*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*d^3) - (I*b*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*d^3)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^3), x, 16, -((b*c)/(12*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2))) - (7*b*c)/(8*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (a + b*ArcSin[c*x])/(d^3*x*(1 - c^2*x^2)^2) + (5*c^2*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) + (15*c^2*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (15*I*c*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(4*d^3) - (b*c*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/d^3 + (15*I*b*c*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(8*d^3) - (15*I*b*c*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(8*d^3)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^3*(d - c^2*d*x^2)^3), x, 16, -((b*c)/(2*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2))) + (5*b*c^3*x)/(12*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (2*b*c^3*x)/(3*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*c^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) - (a + b*ArcSin[c*x])/(2*d^3*x^2*(1 - c^2*x^2)^2) + (3*c^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (6*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(2*I*ArcSin[c*x])])/d^3 + (3*I*b*c^2*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*d^3) - (3*I*b*c^2*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*d^3)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^4*(d - c^2*d*x^2)^3), x, 23, (b*c^3)/(12*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (b*c)/(6*d^3*x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (29*b*c^3)/(24*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (a + b*ArcSin[c*x])/(3*d^3*x^3*(1 - c^2*x^2)^2) - (7*c^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^2) + (35*c^4*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(12*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) + (35*c^4*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (35*I*c^3*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(4*d^3) - (19*b*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/(6*d^3) + (35*I*b*c^3*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(8*d^3) - (35*I*b*c^3*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(8*d^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcSin[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^4*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 7, (b*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(32*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*c^4) - (x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(24*c^2) + (1/6)*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(32*b*c^5*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 5, (b*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c^2) + (1/4)*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 3, -((b*c*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (1/2)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)/x^2, x, 3, -((Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/x) - (c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)/x^4, x, 3, -((b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d*x^3) - (b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)/x^6, x, 4, -((b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(20*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(30*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*d*x^5) - (2*c^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(15*d*x^3) - (2*b*c^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(15*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)/x^8, x, 4, -((b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(42*x^6*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(140*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(105*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*d*x^7) - (4*c^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(35*d*x^5) - (8*c^4*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(105*d*x^3) - (8*b*c^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(105*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+
+{x^5*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 3, (8*b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(105*c^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (4*b*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(315*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(175*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^6*d) + (2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c^6*d^2) - ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*c^6*d^3)}
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 3, (2*b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(45*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^4*d) + ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c^4*d^2)}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 2, (b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^2*d)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)/x^1, x, 8, -((b*c*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/Sqrt[1 - c^2*x^2]) + Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (I*b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (I*b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)/x^3, x, 8, -((b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*x^2) + (c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (I*b*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (I*b*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/(2*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)/x^5, x, 10, -((b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(12*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(8*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*x^4) + (c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*x^2) + (c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/(4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (I*b*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (I*b*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+
+
+{x^4*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 10, (3*b*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(256*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(256*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*d*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(32*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*x^8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(64*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(128*c^4) - (d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(64*c^2) + (1/16)*d*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/8)*x^5*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]) + (3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(256*b*c^5*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 8, (b*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(32*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (7*b*c*d*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*c^2) + (1/8)*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/6)*x^3*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]) + (d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(32*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 6, -((5*b*c*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (b*c^3*d*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3/8)*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/4)*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]) + (3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)/x^2, x, 6, (b*c^3*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3/2)*c^2*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/x - (3*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)/x^4, x, 6, -((b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/x - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*x^3) + (c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (4*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)/x^6, x, 4, -((b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(20*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(5*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*d*x^5) + (b*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(5*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)/x^8, x, 5, -((b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(42*x^6*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (2*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(70*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*d*x^7) - (2*c^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(35*d*x^5) + (2*b*c^7*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(35*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)/x^10, x, 5, -((b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(72*x^8*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (5*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(189*x^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(420*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c^7*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(315*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*d*x^9) - (4*c^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(63*d*x^7) - (8*c^4*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(315*d*x^5) + (8*b*c^9*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(315*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)/x^12, x, 5, -((b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(110*x^10*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(66*x^8*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1386*x^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^7*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(770*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (4*b*c^9*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1155*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(11*d*x^11) - (2*c^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(33*d*x^9) - (8*c^4*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(231*d*x^7) - (16*c^6*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(1155*d*x^5) + (16*b*c^11*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(1155*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+
+{x^7*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 4, (16*b*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1155*c^7*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (8*b*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3465*c^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*d*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1925*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1617*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (4*b*c*d*x^9*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(297*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*x^11*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(121*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c^8*d) + (3*(d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*c^8*d^2) - ((d - c^2*d*x^2)^(9/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^8*d^3) + ((d - c^2*d*x^2)^(11/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(11*c^8*d^4)}
+{x^5*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 4, (8*b*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(315*c^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (4*b*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(945*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(525*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (10*b*c*d*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(441*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*x^9*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(81*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c^6*d) + (2*(d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*c^6*d^2) - ((d - c^2*d*x^2)^(9/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c^6*d^3)}
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 4, (2*b*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(105*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (8*b*c*d*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(175*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c^4*d) + ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*c^4*d^2)}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 3, (b*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(5*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c^2*d)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)/x^1, x, 10, -((4*b*c*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (b*c^3*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/3)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]) - (2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (I*b*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (I*b*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)/x^3, x, 11, -((b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (b*c^3*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (3/2)*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*x^2) + (3*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (3*I*b*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*I*b*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/(2*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)/x^5, x, 11, -((b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(12*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (5*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(8*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*x^2) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*x^4) - (3*c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/(4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*I*b*c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*I*b*c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+
+
+{x^4*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 14, (3*b*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(512*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(512*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (31*b*c*d^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(960*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (21*b*c^3*d^2*x^8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(640*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^10*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(100*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(256*c^4) - (d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(128*c^2) + (1/32)*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/16)*d*x^5*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/10)*x^5*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]) + (3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(512*b*c^5*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 12, (5*b*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(256*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (59*b*c*d^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(768*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (17*b*c^3*d^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(288*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(64*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(128*c^2) + (5/64)*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (5/48)*d*x^3*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/8)*x^3*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]) + (5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(256*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 8, -((25*b*c*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (5*b*c^3*d^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*c) + (5/16)*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (5/24)*d*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/6)*x*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]) + (5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(32*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)/x^2, x, 10, (9*b*c^3*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (15/8)*c^2*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (5/4)*c^2*d*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/x - (15*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)/x^4, x, 10, -((b*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (b*c^5*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5/2)*c^4*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (5*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*x) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*x^3) + (5*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (7*b*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)/x^6, x, 10, -((b*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(20*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (11*b*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(30*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/x + (c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*x^3) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*x^5) - (c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (23*b*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(15*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)/x^8, x, 4, -((b*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(42*x^6*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (3*b*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(28*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(14*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*d*x^7) - (b*c^7*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(7*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)/x^10, x, 6, -((b*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(189*x^6*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (b*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(42*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^7*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(21*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*d^2*(1 - c^2*x^2)^(7/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(72*x^8) - ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*d*x^9) - (2*c^2*(d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(63*d*x^7) - (2*b*c^9*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(63*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)/x^12, x, 5, -((b*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(110*x^10*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (23*b*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(792*x^8*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (113*b*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4158*x^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^7*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(924*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^9*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(693*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(11*d*x^11) - (4*c^2*(d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(99*d*x^9) - (8*c^4*(d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(693*d*x^7) - (8*b*c^11*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(693*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+
+{x^5*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 4, (8*b*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(693*c^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (4*b*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(2079*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1155*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (113*b*c*d^2*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4851*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (23*b*c^3*d^2*x^9*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(891*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^11*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(121*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*c^6*d) + (2*(d - c^2*d*x^2)^(9/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c^6*d^2) - ((d - c^2*d*x^2)^(11/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(11*c^6*d^3)}
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 4, (2*b*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(63*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(189*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(21*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (19*b*c^3*d^2*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(441*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^9*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(81*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*c^4*d) + ((d - c^2*d*x^2)^(9/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c^4*d^2)}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 3, (b*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*b*c^3*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*c^2*d)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)/x^1, x, 13, -((23*b*c*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (11*b*c^3*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(45*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/3)*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/5)*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]) - (2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (I*b*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (I*b*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)/x^3, x, 13, -((b*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (7*b*c^3*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5/2)*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (5/6)*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*x^2) + (5*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (5*I*b*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*I*b*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/(2*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)/x^5, x, 14, -((b*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(12*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (9*b*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(8*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (15/8)*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (5*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*x^2) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*x^4) - (15*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/(4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (15*I*b*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (15*I*b*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+
+
+{Sqrt[1 - x^2]*ArcSin[x], x, 3, -x^2/4 + (1/2)*x*Sqrt[1 - x^2]*ArcSin[x] + ArcSin[x]^2/4}
+
+
+{Sqrt[Pi - c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 3, (-(1/4))*b*c*Sqrt[Pi]*x^2 + (1/2)*x*Sqrt[Pi - c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (Sqrt[Pi]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*c)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^4*ArcSin[a*x]/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 5, (3*x^2)/(16*a^3) + x^4/(16*a) - (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(8*a^4) - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(4*a^2) + (3*ArcSin[a*x]^2)/(16*a^5)}
+{x^3*ArcSin[a*x]/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 4, (2*x)/(3*a^3) + x^3/(9*a) - (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(3*a^4) - (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(3*a^2)}
+{x^2*ArcSin[a*x]/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 3, x^2/(4*a) - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(2*a^2) + ArcSin[a*x]^2/(4*a^3)}
+{x^1*ArcSin[a*x]/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 2, x/a - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/a^2}
+{x^0*ArcSin[a*x]/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 1, ArcSin[a*x]^2/(2*a)}
+{ArcSin[a*x]/(x^1*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 6, -2*ArcSin[a*x]*ArcTanh[E^(I*ArcSin[a*x])] + I*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[a*x])] - I*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a*x])]}
+{ArcSin[a*x]/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 2, -((Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/x) + a*Log[x]}
+{ArcSin[a*x]/(x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 8, -(a/(2*x)) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(2*x^2) - a^2*ArcSin[a*x]*ArcTanh[E^(I*ArcSin[a*x])] + (1/2)*I*a^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[a*x])] - (1/2)*I*a^2*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a*x])]}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 6, (8*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(15*c^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*b*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(45*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*x^5*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(25*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (8*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(15*c^6*d) - (4*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(15*c^4*d) - (x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c^2*d)}
+{x^4*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 5, (3*b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c^4*d) - (x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*c^2*d) + (3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*b*c^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 4, (2*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^4*d) - (x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^2*d)}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 3, (b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c^2*d) + (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 2, (b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^2*d)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 1, (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^1*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)), x, 6, -((2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[d - c^2*d*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)), x, 2, -((Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d*x)) + (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[x])/Sqrt[d - c^2*d*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^3*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)), x, 8, -((b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*d*x^2) - (c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (I*b*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/(2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^4*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)), x, 4, -((b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d*x^3) - (2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d*x) + (2*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[x])/(3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 5, -((5*b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*c^5*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (b*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*c^3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (a + b*ArcSin[c*x])/(c^6*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^6*d^2) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^6*d^3) - (b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTanh[c*x])/(c^6*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{x^4*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 7, -((b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (x^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c^4*d^2) - (3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 4, -((b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(c^3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (a + b*ArcSin[c*x])/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^4*d^2) - (b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTanh[c*x])/(c^4*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 3, (x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 2, (a + b*ArcSin[c*x])/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[c*x])/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 2, (x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^1*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 8, (a + b*ArcSin[c*x])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[c*x])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 5, -((a + b*ArcSin[c*x])/(d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (2*c^2*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[1 - c^2*x^2])/(2*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^3*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 11, -((b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (3*c^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (a + b*ArcSin[c*x])/(2*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[c*x])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*I*b*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*I*b*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/(2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^4*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 5, -((b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*d^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (a + b*ArcSin[c*x])/(3*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (4*c^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (8*c^4*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[1 - c^2*x^2])/(2*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+
+
+{x^6*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 11, -(b/(6*c^7*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x^5*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (5*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (5*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c^6*d^3) + (5*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*c^7*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (7*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c^2*x^2])/(6*c^7*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^5*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 5, -((b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*c^5*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2))) + (b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(c^5*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (a + b*ArcSin[c*x])/(3*c^6*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^6*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^6*d^3) + (11*b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTanh[c*x])/(6*c^6*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{x^4*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 7, -(b/(6*c^5*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (x^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c^2*x^2])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 4, -((b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*c^3*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2))) + (a + b*ArcSin[c*x])/(3*c^4*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (a + b*ArcSin[c*x])/(c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTanh[c*x])/(6*c^4*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 4, -(b/(6*c^3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (x^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c^2*x^2])/(6*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 3, -((b*x)/(6*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (a + b*ArcSin[c*x])/(3*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[c*x])/(6*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 4, -(b/(6*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c^2*x^2])/(3*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^1*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 11, -((b*c*x)/(6*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (a + b*ArcSin[c*x])/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (a + b*ArcSin[c*x])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (7*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[c*x])/(6*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 5, -((b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2))) - (a + b*ArcSin[c*x])/(d*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (4*c^2*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (8*c^2*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[1 - c^2*x^2])/(6*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^3*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 15, (b*c)/(4*d^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (5*b*c^3*x)/(12*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*c^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(6*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (a + b*ArcSin[c*x])/(2*d*x^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (5*c^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (5*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (13*b*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[c*x])/(6*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*I*b*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (5*I*b*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/(2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^4*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 5, -((b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2))) - (b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*d^3*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (a + b*ArcSin[c*x])/(3*d*x^3*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (2*c^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (8*c^4*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (16*c^4*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (8*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(3*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (4*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[1 - c^2*x^2])/(3*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+
+
+{ArcSin[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 6, -(1/(20*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - 2/(15*a*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (x*ArcSin[a*x])/(5*c*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcSin[a*x])/(15*c^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcSin[a*x])/(15*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a^2*x^2])/(15*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^(m/2) (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcSin[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{((f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 1, (2*(f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 5/4, 9/4, c^2*x^2])/(5*f) - (4*b*c*(f*x)^(7/2)*HypergeometricPFQ[{1, 7/4, 7/4}, {9/4, 11/4}, c^2*x^2])/(35*f^2)}
+
+
+{((f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x, 1, (2*(f*x)^(5/2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 5/4, 9/4, c^2*x^2])/(5*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (4*b*c*(f*x)^(7/2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 7/4, 7/4}, {9/4, 11/4}, c^2*x^2])/(35*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcSin[c x) and m symbolic*)
+
+
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^3, x, 6, If[$VersionNumber>=8, -((b*c*d^3*(2271 + 1329*m + 284*m^2 + 27*m^3 + m^4)*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/((3 + m)^2*(5 + m)^2*(7 + m)^2)) + (b*c^3*d^3*(9 + m)*(13 + 2*m)*x^(4 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/((5 + m)^2*(7 + m)^2) - (b*c^5*d^3*x^(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(7 + m)^2 + (d^3*x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(1 + m) - (3*c^2*d^3*x^(3 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3 + m) + (3*c^4*d^3*x^(5 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5 + m) - (c^6*d^3*x^(7 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7 + m) - (3*b*c*d^3*(2161 + 1813*m + 455*m^2 + 35*m^3)*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/((1 + m)*(2 + m)*(3 + m)^2*(5 + m)^2*(7 + m)^2), -((b*c*d^3*(2271 + 1329*m + 284*m^2 + 27*m^3 + m^4)*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/((7 + m)^2*(15 + 8*m + m^2)^2)) + (b*c^3*d^3*(9 + m)*(13 + 2*m)*x^(4 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/((5 + m)^2*(7 + m)^2) - (b*c^5*d^3*x^(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(7 + m)^2 + (d^3*x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(1 + m) - (3*c^2*d^3*x^(3 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3 + m) + (3*c^4*d^3*x^(5 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5 + m) - (c^6*d^3*x^(7 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7 + m) - (3*b*c*d^3*(2161 + 1813*m + 455*m^2 + 35*m^3)*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/((2 + 3*m + m^2)*(105 + 71*m + 15*m^2 + m^3)^2)]}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^2, x, 5, If[$VersionNumber>=8, -((b*c*d^2*(38 + 13*m + m^2)*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/((3 + m)^2*(5 + m)^2)) + (b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(5 + m)^2 + (d^2*x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(1 + m) - (2*c^2*d^2*x^(3 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3 + m) + (c^4*d^2*x^(5 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5 + m) - (b*c*d^2*(149 + 100*m + 15*m^2)*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/((1 + m)*(2 + m)*(3 + m)^2*(5 + m)^2), -((b*c*d^2*(38 + 13*m + m^2)*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/((3 + m)^2*(5 + m)^2)) + (b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(5 + m)^2 + (d^2*x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(1 + m) - (2*c^2*d^2*x^(3 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3 + m) + (c^4*d^2*x^(5 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5 + m) - (b*c*d^2*(149 + 100*m + 15*m^2)*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/((2 + 3*m + m^2)*(15 + 8*m + m^2)^2)]}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^1, x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3 + m)^2) + (d*x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(1 + m) - (c^2*d*x^(3 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3 + m) - (b*c*d*(7 + 3*m)*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/((1 + m)*(2 + m)*(3 + m)^2), -((b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3 + m)^2) + (d*x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(1 + m) - (c^2*d*x^(3 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3 + m) - (b*c*d*(7 + 3*m)*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/((3 + m)^2*(2 + 3*m + m^2))]}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^1, x, 0, Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d - c^2*d*x^2), x]}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 2, (x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)) - (b*c*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[3/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(2*d^2*(2 + m)) + ((1 - m)*Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d - c^2*d*x^2), x])/(2*d)}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^3, x, 4, (x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) + ((3 - m)*x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (b*c*(3 - m)*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[3/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(8*d^3*(2 + m)) - (b*c*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[5/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(4*d^3*(2 + m)) + ((1 - m)*(3 - m)*Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d - c^2*d*x^2), x])/(8*d^2)}
+
+
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 9, If[$VersionNumber>=8, -((15*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((2 + m)^2*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (5*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((12 + 8*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((4 + m)^2*(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^(6 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((6 + m)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (15*d^2*x^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)) + (5*d*x^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/((4 + m)*(6 + m)) + (x^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(6 + m) + (15*d^2*x^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/((6 + m)*(8 + 14*m + 7*m^2 + m^3)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (15*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/((1 + m)*(2 + m)^2*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]), -((15*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((2 + m)^2*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (5*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((12 + 8*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((4 + m)^2*(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^(6 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((6 + m)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (15*d^2*x^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)) + (5*d*x^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/((4 + m)*(6 + m)) + (x^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(6 + m) + (15*d^2*x^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/((6 + m)*(8 + 14*m + 7*m^2 + m^3)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (15*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/((2 + m)^2*(6 + m)*(4 + 5*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2])]}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 6, If[$VersionNumber>=8, -((3*b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((2 + m)^2*(4 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((8 + 6*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*x^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((4 + m)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*d*x^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8 + 6*m + m^2) + (x^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4 + m) + (3*d*x^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/((8 + 14*m + 7*m^2 + m^3)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/((1 + m)*(2 + m)^2*(4 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]), -((3*b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((2 + m)^2*(4 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((8 + 6*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*x^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((4 + m)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*d*x^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8 + 6*m + m^2) + (x^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4 + m) + (3*d*x^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/((8 + 14*m + 7*m^2 + m^3)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/((2 + m)^2*(4 + 5*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2])]}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])*(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 3, -((b*c*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((2 + m)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (x^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2 + m) + (x^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/((2 + 3*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/((1 + m)*(2 + m)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 1, (x^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/((1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/((2 + 3*m + m^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 3, (x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (m*x^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(d*(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(d*(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*m*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/(d*(2 + 3*m + m^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 5, (x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + ((2 - m)*x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - ((2 - m)*m*x^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(3*d^2*(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c*(2 - m)*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(3*d^2*(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(3*d^2*(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*(2 - m)*m*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/(3*d^2*(2 + 3*m + m^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+
+
+{x^m*ArcSin[a*x]/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 1, (x^(1 + m)*ArcSin[a*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/(1 + m) - (a*x^(2 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, a^2*x^2])/(2 + 3*m + m^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcSin[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcSin[c x)^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^4*(d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 11, (-304*b^2*d*x)/(3675*c^4) - (152*b^2*d*x^3)/(11025*c^2) - (38*b^2*d*x^5)/6125 + (2*b^2*c^2*d*x^7)/343 + (32*b*d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(525*c^5) + (16*b*d*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(525*c^3) + (4*b*d*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(175*c) + (2*b*d*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(21*c^5) - (4*b*d*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(35*c^5) + (2*b*d*(1 - c^2*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(49*c^5) + (2*d*x^5*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/35 + (d*x^5*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/7}
+{x^3*(d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 14, -(b^2*d*x^2)/(24*c^2) - (b^2*d*x^4)/72 + (b^2*c^2*d*x^6)/108 + (b*d*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(12*c^3) + (b*d*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(18*c) - (b*c*d*x^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/18 - (d*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(24*c^4) + (d*x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/12 + (d*x^4*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/6}
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 9, (-52*b^2*d*x)/(225*c^2) - (26*b^2*d*x^3)/675 + (2*b^2*c^2*d*x^5)/125 + (8*b*d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(45*c^3) + (4*b*d*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(45*c) + (2*b*d*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(15*c^3) - (2*b*d*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*c^3) + (2*d*x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/15 + (d*x^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/5}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 7, (-5*b^2*d*x^2)/32 + (b^2*c^2*d*x^4)/32 + (3*b*d*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*c) + (b*d*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c) + (3*d*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(32*c^2) - (d*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*c^2)}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 6, (-14*b^2*d*x)/9 + (2*b^2*c^2*d*x^3)/27 + (4*b*d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c) + (2*b*d*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c) + (2*d*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/3 + (d*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/3}
+{((d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x^1, x, 10, (b^2*c^2*d*x^2)/4 - (b*c*d*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/2 - (d*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/4 + (d*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/2 - ((I/3)*d*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/b + d*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - E^((2*I)*ArcSin[c*x])] - I*b*d*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcSin[c*x])] + (b^2*d*PolyLog[3, E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/2}
+{((d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x^2, x, 12, 2*b^2*c^2*d*x - 2*b*c*d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - 2*c^2*d*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (d*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x - 4*b*c*d*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])] + (2*I)*b^2*c*d*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])] - (2*I)*b^2*c*d*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])]}
+{((d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x^3, x, 10, -((b*c*d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/x) - (c^2*d*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/2 - (d*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*x^2) + ((I/3)*c^2*d*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/b - c^2*d*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - E^((2*I)*ArcSin[c*x])] + b^2*c^2*d*Log[x] + I*b*c^2*d*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcSin[c*x])] - (b^2*c^2*d*PolyLog[3, E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/2}
+{((d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x^4, x, 16, -(b^2*c^2*d)/(3*x) - (b*c*d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*x^2) + (2*c^2*d*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*x) - (d*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*x^3) + (10*b*c^3*d*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/3 - ((5*I)/3)*b^2*c^3*d*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])] + ((5*I)/3)*b^2*c^3*d*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])]}
+
+
+{x^4*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 16, (-4208*b^2*d^2*x)/(99225*c^4) - (2104*b^2*d^2*x^3)/(297675*c^2) - (526*b^2*d^2*x^5)/165375 + (212*b^2*c^2*d^2*x^7)/27783 - (2*b^2*c^4*d^2*x^9)/729 + (128*b*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4725*c^5) + (64*b*d^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4725*c^3) + (16*b*d^2*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(1575*c) + (8*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(189*c^5) - (2*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(315*c^5) - (20*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(441*c^5) + (2*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(9/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(81*c^5) + (8*d^2*x^5*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/315 + (4*d^2*x^5*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/63 + (d^2*x^5*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/9}
+{x^3*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 25, (-73*b^2*d^2*x^2)/(3072*c^2) - (73*b^2*d^2*x^4)/9216 + (43*b^2*c^2*d^2*x^6)/3456 - (b^2*c^4*d^2*x^8)/256 + (73*b*d^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(1536*c^3) + (73*b*d^2*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2304*c) - (25*b*c*d^2*x^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/576 - (b*c*d^2*x^5*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/32 - (73*d^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3072*c^4) + (d^2*x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/24 + (d^2*x^4*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/12 + (d^2*x^4*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/8}
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 14, (-1636*b^2*d^2*x)/(11025*c^2) - (818*b^2*d^2*x^3)/33075 + (136*b^2*c^2*d^2*x^5)/6125 - (2*b^2*c^4*d^2*x^7)/343 + (32*b*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(315*c^3) + (16*b*d^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(315*c) + (8*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(105*c^3) + (2*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(175*c^3) - (2*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(49*c^3) + (8*d^2*x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/105 + (4*d^2*x^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/35 + (d^2*x^3*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/7}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 9, (-25*b^2*d^2*x^2)/288 + (5*b^2*c^2*d^2*x^4)/288 + (b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^3)/(108*c^2) + (5*b*d^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(48*c) + (5*b*d^2*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(72*c) + (b*d^2*x*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(18*c) + (5*d^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(96*c^2) - (d^2*(1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(6*c^2)}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 10, (-298*b^2*d^2*x)/225 + (76*b^2*c^2*d^2*x^3)/675 - (2*b^2*c^4*d^2*x^5)/125 + (16*b*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(15*c) + (8*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(45*c) + (2*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*c) + (8*d^2*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/15 + (4*d^2*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/15 + (d^2*x*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/5}
+{((d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x^1, x, 17, (13*b^2*c^2*d^2*x^2)/32 - (b^2*c^4*d^2*x^4)/32 - (11*b*c*d^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/16 - (b*c*d^2*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/8 - (11*d^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/32 + (d^2*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/2 + (d^2*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/4 - ((I/3)*d^2*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/b + d^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - E^((2*I)*ArcSin[c*x])] - I*b*d^2*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcSin[c*x])] + (b^2*d^2*PolyLog[3, E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/2}
+{((d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x^2, x, 17, (32*b^2*c^2*d^2*x)/9 - (2*b^2*c^4*d^2*x^3)/27 - (10*b*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/3 - (2*b*c*d^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/9 - (8*c^2*d^2*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/3 - (4*c^2*d^2*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/3 - (d^2*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x - 4*b*c*d^2*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])] + (2*I)*b^2*c*d^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])] - (2*I)*b^2*c*d^2*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])]}
+{((d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x^3, x, 17, -(b^2*c^4*d^2*x^2)/4 - (b*c^3*d^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/2 - (b*c*d^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/x - (c^2*d^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/4 - c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (d^2*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*x^2) + (((2*I)/3)*c^2*d^2*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/b - 2*c^2*d^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - E^((2*I)*ArcSin[c*x])] + b^2*c^2*d^2*Log[x] + (2*I)*b*c^2*d^2*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcSin[c*x])] - b^2*c^2*d^2*PolyLog[3, E^((2*I)*ArcSin[c*x])]}
+{((d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x^4, x, 24, -(b^2*c^2*d^2)/(3*x) - 2*b^2*c^4*d^2*x + (5*b*c^3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/3 - (b*c*d^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*x^2) + (8*c^4*d^2*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/3 + (4*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*x) - (d^2*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*x^3) + (22*b*c^3*d^2*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/3 - ((11*I)/3)*b^2*c^3*d^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])] + ((11*I)/3)*b^2*c^3*d^2*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])]}
+
+
+{x^4*(d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 21, (-100976*b^2*d^3*x)/(4002075*c^4) - (50488*b^2*d^3*x^3)/(12006225*c^2) - (12622*b^2*d^3*x^5)/6670125 + (9410*b^2*c^2*d^3*x^7)/1120581 - (182*b^2*c^4*d^3*x^9)/29403 + (2*b^2*c^6*d^3*x^11)/1331 + (256*b*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(17325*c^5) + (128*b*d^3*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(17325*c^3) + (32*b*d^3*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5775*c) + (16*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(693*c^5) - (4*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(1155*c^5) + (2*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(1617*c^5) - (8*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(9/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(297*c^5) + (2*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(11/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(121*c^5) + (16*d^3*x^5*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/1155 + (8*d^3*x^5*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/231 + (2*d^3*x^5*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/33 + (d^3*x^5*(1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/11}
+{x^3*(d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 40, (-79*b^2*d^3*x^2)/(5120*c^2) - (79*b^2*d^3*x^4)/15360 + (401*b^2*c^2*d^3*x^6)/28800 - (57*b^2*c^4*d^3*x^8)/6400 + (b^2*c^6*d^3*x^10)/500 + (79*b*d^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2560*c^3) + (79*b*d^3*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3840*c) - (31*b*c*d^3*x^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/960 - (b*c*d^3*x^5*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/32 - (b*c*d^3*x^5*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/50 - (79*d^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(5120*c^4) + (d^3*x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/40 + (d^3*x^4*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/20 + (3*d^3*x^4*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/40 + (d^3*x^4*(1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/10}
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 19, (-10516*b^2*d^3*x)/(99225*c^2) - (5258*b^2*d^3*x^3)/297675 + (4198*b^2*c^2*d^3*x^5)/165375 - (374*b^2*c^4*d^3*x^7)/27783 + (2*b^2*c^6*d^3*x^9)/729 + (64*b*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(945*c^3) + (32*b*d^3*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(945*c) + (16*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(315*c^3) + (4*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(525*c^3) + (2*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(441*c^3) - (2*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(9/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(81*c^3) + (16*d^3*x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/315 + (8*d^3*x^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/105 + (2*d^3*x^3*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/21 + (d^3*x^3*(1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/9}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 11, (-175*b^2*d^3*x^2)/3072 + (35*b^2*c^2*d^3*x^4)/3072 + (7*b^2*d^3*(1 - c^2*x^2)^3)/(1152*c^2) + (b^2*d^3*(1 - c^2*x^2)^4)/(256*c^2) + (35*b*d^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(512*c) + (35*b*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(768*c) + (7*b*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(192*c) + (b*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(32*c) + (35*d^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(1024*c^2) - (d^3*(1 - c^2*x^2)^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(8*c^2)}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 14, (-4322*b^2*d^3*x)/3675 + (1514*b^2*c^2*d^3*x^3)/11025 - (234*b^2*c^4*d^3*x^5)/6125 + (2*b^2*c^6*d^3*x^7)/343 + (32*b*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(35*c) + (16*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(105*c) + (12*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(175*c) + (2*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(49*c) + (16*d^3*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/35 + (8*d^3*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/35 + (6*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/35 + (d^3*x*(1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/7}
+{((d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x^1, x, 26, (71*b^2*c^2*d^3*x^2)/144 - (7*b^2*c^4*d^3*x^4)/144 - (b^2*d^3*(1 - c^2*x^2)^3)/108 - (19*b*c*d^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/24 - (7*b*c*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/36 - (b*c*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/18 - (19*d^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/48 + (d^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/2 + (d^3*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/4 + (d^3*(1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/6 - ((I/3)*d^3*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/b + d^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - E^((2*I)*ArcSin[c*x])] - I*b*d^3*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcSin[c*x])] + (b^2*d^3*PolyLog[3, E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/2}
+{((d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x^2, x, 24, (122*b^2*c^2*d^3*x)/25 - (14*b^2*c^4*d^3*x^3)/75 + (2*b^2*c^6*d^3*x^5)/125 - (22*b*c*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/5 - (2*b*c*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/5 - (2*b*c*d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/25 - (16*c^2*d^3*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/5 - (8*c^2*d^3*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/5 - (6*c^2*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/5 - (d^3*(1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x - 4*b*c*d^3*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])] + (2*I)*b^2*c*d^3*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])] - (2*I)*b^2*c*d^3*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])]}
+{((d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x^3, x, 28, (-21*b^2*c^4*d^3*x^2)/32 + (b^2*c^6*d^3*x^4)/32 + (3*b*c^3*d^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/16 - (7*b*c^3*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/8 - (b*c*d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/x + (3*c^2*d^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/32 - (3*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/2 - (3*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/4 - (d^3*(1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*x^2) + (I*c^2*d^3*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/b - 3*c^2*d^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - E^((2*I)*ArcSin[c*x])] + b^2*c^2*d^3*Log[x] + (3*I)*b*c^2*d^3*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcSin[c*x])] - (3*b^2*c^2*d^3*PolyLog[3, E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/2}
+{((d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x^4, x, 31, -(b^2*c^2*d^3)/(3*x) - (50*b^2*c^4*d^3*x)/9 + (2*b^2*c^6*d^3*x^3)/27 + 5*b*c^3*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (b*c^3*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/9 - (b*c*d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*x^2) + (16*c^4*d^3*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/3 + (8*c^4*d^3*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/3 + (2*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x - (d^3*(1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*x^3) + (34*b*c^3*d^3*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/3 - ((17*I)/3)*b^2*c^3*d^3*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])] + ((17*I)/3)*b^2*c^3*d^3*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])]}
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+
+
+{x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2), x, 16, (22*b^2*x)/(9*c^4*d) + (2*b^2*x^3)/(27*c^2*d) - (22*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c^5*d) - (2*b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c^3*d) - (x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^4*d) - (x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^2*d) - ((2*I)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d) + ((2*I)*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d) - ((2*I)*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d) - (2*b^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d) + (2*b^2*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d)}
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2), x, 10, (b^2*x^2)/(4*c^2*d) - (b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c^3*d) + (a + b*ArcSin[c*x])^2/(4*c^4*d) - (x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*c^2*d) + ((I/3)*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(b*c^4*d) - ((a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 + E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c^4*d) + (I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c^4*d) - (b^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(2*c^4*d)}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2), x, 11, (2*b^2*x)/(c^2*d) - (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^3*d) - (x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^2*d) - ((2*I)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d) + ((2*I)*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d) - ((2*I)*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d) - (2*b^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d) + (2*b^2*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d)}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2), x, 6, ((I/3)*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(b*c^2*d) - ((a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 + E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c^2*d) + (I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c^2*d) - (b^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(2*c^2*d)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2), x, 8, ((-2*I)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d) + ((2*I)*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d) - ((2*I)*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d) - (2*b^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d) + (2*b^2*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^1*(d - c^2*d*x^2)), x, 9, (-2*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d + (I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d - (I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d - (b^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(2*d) + (b^2*PolyLog[3, E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(2*d)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^2*(d - c^2*d*x^2)), x, 15, -((a + b*ArcSin[c*x])^2/(d*x)) - ((2*I)*c*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/d - (4*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/d + ((2*I)*b^2*c*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/d + ((2*I)*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/d - ((2*I)*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/d - ((2*I)*b^2*c*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/d - (2*b^2*c*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/d + (2*b^2*c*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/d}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^3*(d - c^2*d*x^2)), x, 12, -((b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d*x)) - (a + b*ArcSin[c*x])^2/(2*d*x^2) - (2*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d + (b^2*c^2*Log[x])/d + (I*b*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d - (I*b*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d - (b^2*c^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(2*d) + (b^2*c^2*PolyLog[3, E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(2*d)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^4*(d - c^2*d*x^2)), x, 24, -(b^2*c^2)/(3*d*x) - (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d*x^2) - (a + b*ArcSin[c*x])^2/(3*d*x^3) - (c^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d*x) - ((2*I)*c^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/d - (14*b*c^3*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*d) + (((7*I)/3)*b^2*c^3*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/d + ((2*I)*b*c^3*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/d - ((2*I)*b*c^3*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/d - (((7*I)/3)*b^2*c^3*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/d - (2*b^2*c^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/d + (2*b^2*c^3*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/d}
+
+
+{x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 15, (-2*b^2*x)/(c^4*d^2) - (b*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^5*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^5*d^2) + (3*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*c^4*d^2) + (x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)) + ((3*I)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d^2) + (b^2*ArcTanh[c*x])/(c^5*d^2) - ((3*I)*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d^2) + ((3*I)*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d^2) + (3*b^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d^2) - (3*b^2*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d^2)}
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 10, -((b*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (a + b*ArcSin[c*x])^2/(2*c^4*d^2) + (x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)) - ((I/3)*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(b*c^4*d^2) + ((a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 + E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c^4*d^2) - (b^2*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^4*d^2) - (I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c^4*d^2) + (b^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(2*c^4*d^2)}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 11, -((b*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)) + (I*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d^2) + (b^2*ArcTanh[c*x])/(c^3*d^2) - (I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d^2) + (I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d^2) + (b^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d^2) - (b^2*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d^2)}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 3, -((b*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (a + b*ArcSin[c*x])^2/(2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)) - (b^2*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^2*d^2)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 11, -((b*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)) - (I*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d^2) + (b^2*ArcTanh[c*x])/(c*d^2) + (I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d^2) - (I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d^2) - (b^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d^2) + (b^2*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d^2)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^1*(d - c^2*d*x^2)^2), x, 12, -((b*c*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (a + b*ArcSin[c*x])^2/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)) - (2*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d^2 - (b^2*Log[1 - c^2*x^2])/(2*d^2) + (I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d^2 - (I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d^2 - (b^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(2*d^2) + (b^2*PolyLog[3, E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^2), x, 20, -((b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (a + b*ArcSin[c*x])^2/(d^2*x*(1 - c^2*x^2)) + (3*c^2*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)) - ((3*I)*c*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/d^2 - (4*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/d^2 + (b^2*c*ArcTanh[c*x])/d^2 + ((2*I)*b^2*c*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/d^2 + ((3*I)*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/d^2 - ((3*I)*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/d^2 - ((2*I)*b^2*c*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/d^2 - (3*b^2*c*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/d^2 + (3*b^2*c*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/d^2}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^3*(d - c^2*d*x^2)^2), x, 17, -((b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (c^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d^2*(1 - c^2*x^2)) - (a + b*ArcSin[c*x])^2/(2*d^2*x^2*(1 - c^2*x^2)) - (4*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d^2 + (b^2*c^2*Log[x])/d^2 - (b^2*c^2*Log[1 - c^2*x^2])/(2*d^2) + ((2*I)*b*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d^2 - ((2*I)*b*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d^2 - (b^2*c^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d^2 + (b^2*c^2*PolyLog[3, E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d^2}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^4*(d - c^2*d*x^2)^2), x, 32, -(b^2*c^2)/(3*d^2*x) - (2*b*c^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (a + b*ArcSin[c*x])^2/(3*d^2*x^3*(1 - c^2*x^2)) - (5*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d^2*x*(1 - c^2*x^2)) + (5*c^4*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)) - ((5*I)*c^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/d^2 - (26*b*c^3*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*d^2) + (b^2*c^3*ArcTanh[c*x])/d^2 + (((13*I)/3)*b^2*c^3*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/d^2 + ((5*I)*b*c^3*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/d^2 - ((5*I)*b*c^3*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/d^2 - (((13*I)/3)*b^2*c^3*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/d^2 - (5*b^2*c^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/d^2 + (5*b^2*c^3*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/d^2}
+
+
+{x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^3, x, 16, (b^2*x)/(12*c^4*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (b*(a + b*ArcSin[c*x]))/(6*c^5*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + (5*b*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*c^5*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) - (3*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(8*c^4*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (((3*I)/4)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d^3) - (7*b^2*ArcTanh[c*x])/(6*c^5*d^3) + (((3*I)/4)*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d^3) - (((3*I)/4)*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d^3) - (3*b^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(4*c^5*d^3) + (3*b^2*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(4*c^5*d^3)}
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^3, x, 8, b^2/(12*c^4*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (b*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(6*c*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + (b*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c^3*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (a + b*ArcSin[c*x])^2/(4*c^4*d^3) + (x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) + (b^2*Log[1 - c^2*x^2])/(3*c^4*d^3)}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^3, x, 15, (b^2*x)/(12*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (b*(a + b*ArcSin[c*x]))/(6*c^3*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + (b*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*c^3*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) - (x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(8*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)) + ((I/4)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d^3) - (b^2*ArcTanh[c*x])/(6*c^3*d^3) - ((I/4)*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d^3) + ((I/4)*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d^3) + (b^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(4*c^3*d^3) - (b^2*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(4*c^3*d^3)}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^3, x, 5, b^2/(12*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (b*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(6*c*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (b*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (a + b*ArcSin[c*x])^2/(4*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) - (b^2*Log[1 - c^2*x^2])/(6*c^2*d^3)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^3, x, 15, (b^2*x)/(12*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (b*(a + b*ArcSin[c*x]))/(6*c*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (3*b*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*c*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) + (3*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(8*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (((3*I)/4)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d^3) + (5*b^2*ArcTanh[c*x])/(6*c*d^3) + (((3*I)/4)*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d^3) - (((3*I)/4)*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*d^3) - (3*b^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(4*c*d^3) + (3*b^2*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(4*c*d^3)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^1*(d - c^2*d*x^2)^3), x, 17, b^2/(12*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (b*c*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(6*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (4*b*c*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (a + b*ArcSin[c*x])^2/(4*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) + (a + b*ArcSin[c*x])^2/(2*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (2*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d^3 - (2*b^2*Log[1 - c^2*x^2])/(3*d^3) + (I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d^3 - (I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d^3 - (b^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(2*d^3) + (b^2*PolyLog[3, E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(2*d^3)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^3), x, 27, (b^2*c^2*x)/(12*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))/(6*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (7*b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (a + b*ArcSin[c*x])^2/(d^3*x*(1 - c^2*x^2)^2) + (5*c^2*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) + (15*c^2*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(8*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (((15*I)/4)*c*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/d^3 - (4*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/d^3 + (11*b^2*c*ArcTanh[c*x])/(6*d^3) + ((2*I)*b^2*c*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/d^3 + (((15*I)/4)*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/d^3 - (((15*I)/4)*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/d^3 - ((2*I)*b^2*c*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/d^3 - (15*b^2*c*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(4*d^3) + (15*b^2*c*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(4*d^3)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^3*(d - c^2*d*x^2)^3), x, 23, (b^2*c^2)/(12*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + (5*b*c^3*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(6*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (4*b*c^3*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) - (a + b*ArcSin[c*x])^2/(2*d^3*x^2*(1 - c^2*x^2)^2) + (3*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (6*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d^3 + (b^2*c^2*Log[x])/d^3 - (7*b^2*c^2*Log[1 - c^2*x^2])/(6*d^3) + ((3*I)*b*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d^3 - ((3*I)*b*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/d^3 - (3*b^2*c^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(2*d^3) + (3*b^2*c^2*PolyLog[3, E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(2*d^3)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^4*(d - c^2*d*x^2)^3), x, 43, -(b^2*c^2)/(2*d^3*x) + (b^2*c^2)/(6*d^3*x*(1 - c^2*x^2)) - (b^2*c^4*x)/(12*d^3*(1 - c^2*x^2)) + (b*c^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(6*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^3*x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (29*b*c^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(12*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (a + b*ArcSin[c*x])^2/(3*d^3*x^3*(1 - c^2*x^2)^2) - (7*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^2) + (35*c^4*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(12*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) + (35*c^4*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(8*d^3*(1 - c^2*x^2)) - (((35*I)/4)*c^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/d^3 - (38*b*c^3*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*d^3) + (17*b^2*c^3*ArcTanh[c*x])/(6*d^3) + (((19*I)/3)*b^2*c^3*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/d^3 + (((35*I)/4)*b*c^3*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/d^3 - (((35*I)/4)*b*c^3*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/d^3 - (((19*I)/3)*b^2*c^3*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/d^3 - (35*b^2*c^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(4*d^3) + (35*b^2*c^3*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(4*d^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcSin[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 14, (52*b^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(225*c^4) + (4*a*b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (26*b^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(675*c^4) - (2*b^2*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(125*c^4) + (4*b^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(15*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(45*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(15*c^4) - (x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(15*c^2) + (1/5)*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 10, (b^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(64*c^2) - (1/32)*b^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (b^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(64*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(8*c^2) + (1/4)*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(24*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 5, (4*b^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*c^2) + (2*b^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(27*c^2) + (2*b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^2*d)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 5, (-(1/4))*b^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (b^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(4*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (1/2)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(6*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)/x^1, x, 12, -2*b^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (2*a*b*c*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (2*b^2*c*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (2*I*b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (2*I*b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (2*b^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (2*b^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)/x^2, x, 7, -((Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x) - (I*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (I*b^2*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)/x^3, x, 13, -((b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(x*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*x^2) + (c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (b^2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (I*b*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (I*b*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (b^2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (b^2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)/x^4, x, 9, -((b^2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*x)) - (b^2*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*x^2) + (I*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d*x^3) - (2*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (I*b^2*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 20, (304*b^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3675*c^4) + (4*a*b*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (152*b^2*d*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(11025*c^4) + (38*b^2*d*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6125*c^4) - (2*b^2*d*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(343*c^4) + (4*b^2*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(35*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(105*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (16*b*c*d*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(175*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^3*d*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(49*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(35*c^4) - (d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(35*c^2) + (3/35)*d*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/7)*x^4*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 17, -((7*b^2*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1152*c^2)) - (43*b^2*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/1728 + (1/108)*b^2*c^2*d*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (7*b^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(1152*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (7*b*c*d*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(48*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(18*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*c^2) + (1/8)*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/6)*x^3*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(48*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 6, (16*b^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(75*c^2) + (8*b^2*d*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(225*c^2) + (2*b^2*d*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(125*c^2) + (2*b*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (4*b*c*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(15*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^3*d*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(5*c^2*d)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 10, (-(17/64))*b^2*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (1/32)*b^2*c^2*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (17*b^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(64*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*b*c*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3/8)*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/4)*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(8*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]), (-(15/64))*b^2*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (1/32)*b^2*d*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (9*b^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(64*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c) + (3/8)*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/4)*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(8*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)/x^1, x, 17, (-(22/9))*b^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (2*a*b*c*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (2/27)*b^2*d*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (2*b^2*c*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (2*b*c*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^3*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/3)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (2*I*b*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (2*I*b*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (2*b^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (2*b^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)/x^2, x, 14, (1/4)*b^2*c^2*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (5*b^2*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*b*c^3*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + b*c*d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (3/2)*c^2*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (I*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/Sqrt[1 - c^2*x^2] - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x - (c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (I*b^2*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)/x^3, x, 18, 2*b^2*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (3*a*b*c^3*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (3*b^2*c^3*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(x*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (3/2)*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*x^2) + (3*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (b^2*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (3*I*b*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (3*I*b*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (3*b^2*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (3*b^2*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)/x^4, x, 16, -((b^2*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*x)) - (b^2*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*x^2) + (c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x + (4*I*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*x^3) + (c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (8*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (4*I*b^2*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 27, (160*b^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3969*c^4) + (4*a*b*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(63*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (80*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(11907*c^4) + (4*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1323*c^4) + (50*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(27783*c^4) - (2*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(729*c^4) + (4*b^2*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(63*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(189*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(21*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (38*b*c^3*d^2*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(441*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c^5*d^2*x^9*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(81*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(63*c^4) - (d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(63*c^2) + (1/21)*d^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (5/63)*d*x^4*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/9)*x^4*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 25, -((359*b^2*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36864*c^2)) - (1079*b^2*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/55296 + (209*b^2*c^2*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/13824 - (1/256)*b^2*c^4*d^2*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (359*b^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(36864*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*b*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(128*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (59*b*c*d^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(384*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (17*b*c^3*d^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(144*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^8*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(32*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(128*c^2) + (5/64)*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (5/48)*d*x^3*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/8)*x^3*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(384*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 6, (32*b^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(245*c^2) + (16*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(735*c^2) + (12*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1225*c^2) + (2*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(343*c^2) + (2*b*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (6*b*c^3*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(35*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c^5*d^2*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(49*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(7*c^2*d)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 16, -((245*b^2*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/1152) - (65*b^2*d^2*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/1728 - (1/108)*b^2*d^2*x*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (115*b^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(1152*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*b*c*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(48*c) + (b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(18*c) + (5/16)*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (5/24)*d*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/6)*x*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(48*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)/x^1, x, 23, (-(598/225))*b^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (2*a*b*c*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (74/675)*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (2/125)*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (2*b^2*c*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (16*b*c*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(15*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (22*b*c^3*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(45*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c^5*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/3)*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/5)*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (2*I*b*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (2*I*b*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (2*b^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (2*b^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)/x^2, x, 23, (31/64)*b^2*c^2*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (1/32)*b^2*c^2*d^2*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (89*b^2*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(64*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (15*b*c^3*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + b*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (1/8)*b*c*d^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (15/8)*c^2*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (I*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (5/4)*c^2*d*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x - (5*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(8*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (I*b^2*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)/x^3, x, 25, (40/9)*b^2*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (5*a*b*c^3*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (2/27)*b^2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (5*b^2*c^3*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (b*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(x*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c^5*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5/2)*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (5/6)*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*x^2) + (5*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (b^2*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (5*I*b*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (5*I*b*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (5*b^2*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (5*b^2*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)/x^4, x, 27, (-(7/12))*b^2*c^4*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (b^2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*x) + (23*b^2*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(12*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*b*c^5*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (7/3)*b*c^3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (b*c*d^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*x^2) + (5/2)*c^4*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (7*I*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*x) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*x^3) + (5*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(6*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (14*b*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (7*I*b^2*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^5*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 14, (16*a*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(15*c^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (298*b^2*(1 - c^2*x^2))/(225*c^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (76*b^2*(1 - c^2*x^2)^2)/(675*c^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b^2*(1 - c^2*x^2)^3)/(125*c^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (16*b^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(15*c^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (8*b*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(45*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*x^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (8*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(15*c^6*d) - (4*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(15*c^4*d) - (x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(5*c^2*d)}
+{x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 10, (15*b^2*x*(1 - c^2*x^2))/(64*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b^2*x^3*(1 - c^2*x^2))/(32*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (15*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(64*c^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(8*c^4*d) - (x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*c^2*d) + (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(8*b*c^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 9, (4*a*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (14*b^2*(1 - c^2*x^2))/(9*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b^2*(1 - c^2*x^2)^2)/(27*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*b^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(3*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^4*d) - (x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^2*d)}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 5, (b^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*c^2*d) - (b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(4*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*c^2*d) + (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(6*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), (b^2*x*(1 - c^2*x^2))/(4*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(4*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*c^2*d) + (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(6*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 4, (2*a*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b^2*(1 - c^2*x^2))/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^2*d)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 1, (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^1*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)), x, 8, -((2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (2*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (2*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (2*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[d - c^2*d*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)), x, 6, -((I*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d*x) + (2*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (I*b^2*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[d - c^2*d*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^3*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)), x, 13, -((b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*d*x^2) - (c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (b^2*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (I*b*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (I*b*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (b^2*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (b^2*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[d - c^2*d*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^4*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)), x, 9, -((b^2*c^2*(1 - c^2*x^2))/(3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d*x^3) - (2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d*x) + (4*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*b^2*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 22, -((16*a*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (32*b^2*(1 - c^2*x^2))/(9*c^6*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b^2*(1 - c^2*x^2)^2)/(27*c^6*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (16*b^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(3*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (8*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^6*d^2) + (4*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^4*d^2) + (4*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^6*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^6*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^6*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 14, -((b^2*x*(1 - c^2*x^2))/(4*c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(4*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*c^4*d^2) - (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(2*b*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 13, -((4*a*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (2*b^2*(1 - c^2*x^2))/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (4*b^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^4*d^2) + (4*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 7, (x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 7, (a + b*ArcSin[c*x])^2/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 6, (x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^1*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 15, (a + b*ArcSin[c*x])^2/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 14, -((a + b*ArcSin[c*x])^2/(d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (2*c^2*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (4*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b^2*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b^2*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^3*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 26, -((b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (3*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (a + b*ArcSin[c*x])^2/(2*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*I*b*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*I*b*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*b^2*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b^2*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*I*b*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*b^2*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*b^2*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^4*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 24, -((b^2*c^2*(1 - c^2*x^2))/(3*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (a + b*ArcSin[c*x])^2/(3*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (4*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (8*c^4*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (8*I*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (20*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (16*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b^2*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (5*I*b^2*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 26, b^2/(3*c^6*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (16*a*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b^2*(1 - c^2*x^2))/(c^6*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (16*b^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (11*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (4*x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (8*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^6*d^3) - (22*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*c^6*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (11*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*c^6*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (11*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*c^6*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 16, (b^2*x)/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*I*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (8*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 16, b^2/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (10*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (5*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 9, (b^2*x)/(3*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(3*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (I*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 9, b^2/(3*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (a + b*ArcSin[c*x])^2/(3*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (2*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 9, (b^2*x)/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^1*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 24, b^2/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (a + b*ArcSin[c*x])^2/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (a + b*ArcSin[c*x])^2/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (14*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (7*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (7*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c*x])])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 19, (b^2*c^2*x)/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (a + b*ArcSin[c*x])^2/(d*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (4*c^2*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (8*c^2*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (8*I*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (4*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (16*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (5*I*b^2*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b^2*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^3*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 38, (b^2*c^2)/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*c^3*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(6*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (a + b*ArcSin[c*x])^2/(2*d*x^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (5*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (26*I*b*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (5*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*I*b*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (13*I*b^2*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (13*I*b^2*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (5*I*b*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (5*b^2*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*b^2*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c*x])])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^4*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 32, -((b^2*c^2)/(3*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (2*b^2*c^4*x)/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (a + b*ArcSin[c*x])^2/(3*d*x^3*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (2*c^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (8*c^4*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (16*c^4*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (16*I*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (32*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (32*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (8*I*b^2*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (8*I*b^2*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+
+
+{x^4*ArcSin[a*x]^2/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 10, (15*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(64*a^4) + (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(32*a^2) - (15*ArcSin[a*x])/(64*a^5) + (3*x^2*ArcSin[a*x])/(8*a^3) + (x^4*ArcSin[a*x])/(8*a) - (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(8*a^4) - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(4*a^2) + ArcSin[a*x]^3/(8*a^5)}
+{x^3*ArcSin[a*x]^2/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 8, (14*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(9*a^4) - (2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(27*a^4) + (4*x*ArcSin[a*x])/(3*a^3) + (2*x^3*ArcSin[a*x])/(9*a) - (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(3*a^4) - (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(3*a^2)}
+{x^2*ArcSin[a*x]^2/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 5, (x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a^2) - ArcSin[a*x]/(4*a^3) + (x^2*ArcSin[a*x])/(2*a) - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(2*a^2) + ArcSin[a*x]^3/(6*a^3)}
+{x^1*ArcSin[a*x]^2/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 3, (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a^2 + (2*x*ArcSin[a*x])/a - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/a^2}
+{x^0*ArcSin[a*x]^2/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 1, ArcSin[a*x]^3/(3*a)}
+{ArcSin[a*x]^2/(x^1*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 8, -2*ArcSin[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[a*x])] + 2*I*ArcSin[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[a*x])] - 2*I*ArcSin[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a*x])] - 2*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[a*x])] + 2*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[a*x])]}
+{ArcSin[a*x]^2/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 6, (-I)*a*ArcSin[a*x]^2 - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/x + 2*a*ArcSin[a*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[a*x])] - I*a*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[a*x])]}
+{ArcSin[a*x]^2/(x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 13, -((a*ArcSin[a*x])/x) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(2*x^2) - a^2*ArcSin[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[a*x])] - a^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]] + I*a^2*ArcSin[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[a*x])] - I*a^2*ArcSin[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a*x])] - a^2*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[a*x])] + a^2*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[a*x])]}
+
+
+{ArcSin[a*x]^2/(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 1, (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(3*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{ArcSin[a*x]^2/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 6, (x*ArcSin[a*x]^2)/(c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (I*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(a*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[a*x])])/(a*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (I*Sqrt[1 - a^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[a*x])])/(a*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{ArcSin[a*x]^2/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 9, x/(3*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - ArcSin[a*x]/(3*a*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (x*ArcSin[a*x]^2)/(3*c*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcSin[a*x]^2)/(3*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (2*I*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(3*a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[a*x])])/(3*a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (2*I*Sqrt[1 - a^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[a*x])])/(3*a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{ArcSin[a*x]^2/(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 13, x/(3*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + x/(30*c^3*(1 - a^2*x^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - ArcSin[a*x]/(10*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (4*ArcSin[a*x])/(15*a*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (x*ArcSin[a*x]^2)/(5*c*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcSin[a*x]^2)/(15*c^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcSin[a*x]^2)/(15*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (8*I*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(15*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (16*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[a*x])])/(15*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (8*I*Sqrt[1 - a^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[a*x])])/(15*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcSin[c x)^2 and m symbolic*)
+
+
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^3, x, 23, If[$VersionNumber>=8, (2*b^2*c^2*d^3*x^(3 + m))/((3 + m)*(7 + m)^2) + (30*b^2*c^2*d^3*x^(3 + m))/((3 + m)^2*(5 + m)*(7 + m)^2) + (36*b^2*c^2*d^3*x^(3 + m))/((3 + m)^2*(5 + m)^2*(7 + m)) + (12*b^2*c^2*d^3*x^(3 + m))/((3 + m)*(5 + m)^2*(7 + m)) + (48*b^2*c^2*d^3*x^(3 + m))/((3 + m)^3*(5 + m)*(7 + m)) + (10*b^2*c^2*d^3*x^(3 + m))/((7 + m)^2*(15 + 8*m + m^2)) - (10*b^2*c^4*d^3*x^(5 + m))/((5 + m)^2*(7 + m)^2) - (4*b^2*c^4*d^3*x^(5 + m))/((5 + m)*(7 + m)^2) - (12*b^2*c^4*d^3*x^(5 + m))/((5 + m)^3*(7 + m)) + (2*b^2*c^6*d^3*x^(7 + m))/(7 + m)^3 - (36*b*c*d^3*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((3 + m)*(5 + m)^2*(7 + m)) - (48*b*c*d^3*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((3 + m)^2*(5 + m)*(7 + m)) - (30*b*c*d^3*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((7 + m)^2*(15 + 8*m + m^2)) - (10*b*c*d^3*x^(2 + m)*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/((5 + m)*(7 + m)^2) - (12*b*c*d^3*x^(2 + m)*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/((5 + m)^2*(7 + m)) - (2*b*c*d^3*x^(2 + m)*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7 + m)^2 + (48*d^3*x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/((5 + m)*(7 + m)*(3 + 4*m + m^2)) + (24*d^3*x^(1 + m)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/((7 + m)*(15 + 8*m + m^2)) + (6*d^3*x^(1 + m)*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/((5 + m)*(7 + m)) + (d^3*x^(1 + m)*(1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(7 + m) - (48*b*c*d^3*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/((2 + m)*(3 + m)^2*(5 + m)*(7 + m)) - (30*b*c*d^3*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/((5 + m)*(7 + m)^2*(6 + 5*m + m^2)) - (36*b*c*d^3*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/((5 + m)^2*(7 + m)*(6 + 5*m + m^2)) - (96*b*c*d^3*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/((5 + m)*(7 + m)*(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3)) + (30*b^2*c^2*d^3*x^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, c^2*x^2])/((2 + m)*(3 + m)^2*(5 + m)*(7 + m)^2) + (36*b^2*c^2*d^3*x^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, c^2*x^2])/((2 + m)*(3 + m)^2*(5 + m)^2*(7 + m)) + (48*b^2*c^2*d^3*x^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, c^2*x^2])/((2 + m)*(3 + m)^3*(5 + m)*(7 + m)) + (96*b^2*c^2*d^3*x^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, c^2*x^2])/((3 + m)^2*(5 + m)*(7 + m)*(2 + 3*m + m^2)), (2*b^2*c^2*d^3*x^(3 + m))/((3 + m)*(7 + m)^2) + (30*b^2*c^2*d^3*x^(3 + m))/((3 + m)^2*(5 + m)*(7 + m)^2) + (12*b^2*c^2*d^3*x^(3 + m))/((3 + m)*(5 + m)^2*(7 + m)) + (48*b^2*c^2*d^3*x^(3 + m))/((3 + m)^3*(5 + m)*(7 + m)) + (36*b^2*c^2*d^3*x^(3 + m))/((7 + m)*(15 + 8*m + m^2)^2) + (10*b^2*c^2*d^3*x^(3 + m))/((7 + m)^2*(15 + 8*m + m^2)) - 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+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^2, x, 13, If[$VersionNumber>=8, (6*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m))/((3 + m)^2*(5 + m)^2) + (2*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m))/((3 + m)*(5 + m)^2) + (8*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m))/((3 + m)^3*(5 + m)) - (2*b^2*c^4*d^2*x^(5 + m))/(5 + m)^3 - (6*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((3 + m)*(5 + m)^2) - (8*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((3 + m)^2*(5 + m)) - (2*b*c*d^2*x^(2 + m)*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5 + m)^2 + (8*d^2*x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/((5 + m)*(3 + 4*m + m^2)) + (4*d^2*x^(1 + m)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(15 + 8*m + m^2) + (d^2*x^(1 + m)*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(5 + m) - (8*b*c*d^2*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/((2 + m)*(3 + m)^2*(5 + m)) - (6*b*c*d^2*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/((5 + m)^2*(6 + 5*m + m^2)) - (16*b*c*d^2*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/((5 + m)*(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3)) + (6*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, c^2*x^2])/((2 + m)*(3 + m)^2*(5 + m)^2) + (8*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, c^2*x^2])/((2 + m)*(3 + m)^3*(5 + m)) + (16*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, c^2*x^2])/((3 + m)^2*(5 + m)*(2 + 3*m + m^2)), (6*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m))/((3 + m)^2*(5 + m)^2) + (2*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m))/((3 + m)*(5 + m)^2) + (8*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m))/((3 + m)^3*(5 + m)) - (2*b^2*c^4*d^2*x^(5 + m))/(5 + m)^3 - (6*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((3 + m)*(5 + m)^2) - (8*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((3 + m)^2*(5 + m)) - (2*b*c*d^2*x^(2 + m)*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5 + m)^2 + (8*d^2*x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/((5 + m)*(3 + 4*m + m^2)) + (4*d^2*x^(1 + m)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(15 + 8*m + m^2) + (d^2*x^(1 + m)*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(5 + m) - (6*b*c*d^2*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/((5 + m)^2*(6 + 5*m + m^2)) - (8*b*c*d^2*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/((3 + m)^2*(10 + 7*m + m^2)) - (16*b*c*d^2*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/((5 + m)*(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3)) + (8*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, c^2*x^2])/((2 + m)*(3 + m)^3*(5 + m)) + (16*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, c^2*x^2])/((3 + m)^2*(5 + m)*(2 + 3*m + m^2)) + (6*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, c^2*x^2])/((2 + m)*(15 + 8*m + m^2)^2)]}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^1, x, 6, (2*b^2*c^2*d*x^(3 + m))/(3 + m)^3 - (2*b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3 + m)^2 + (2*d*x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3 + 4*m + m^2) + (d*x^(1 + m)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3 + m) - (2*b*c*d*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/((2 + m)*(3 + m)^2) - (4*b*c*d*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3) + (2*b^2*c^2*d*x^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, c^2*x^2])/((2 + m)*(3 + m)^3) + (4*b^2*c^2*d*x^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, c^2*x^2])/((3 + m)^2*(2 + 3*m + m^2))}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^1, x, 0, Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d - c^2*d*x^2), x]}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 4, -((b*c*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)) + (b*c*(1 + m)*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(d^2*(2 + m)) + (b^2*c^2*x^(3 + m)*Hypergeometric2F1[1, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/(d^2*(3 + m)) - (b^2*c^2*(1 + m)*x^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, c^2*x^2])/(d^2*(6 + 5*m + m^2)) + ((1 - m)*Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d - c^2*d*x^2), x])/(2*d)}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^3, x, 10, -((b*c*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(6*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2))) - (b*c*(1 - m)*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(6*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*(3 - m)*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) + ((3 - m)*x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(8*d^3*(1 - c^2*x^2)) + (b*c*(1 - m)*(1 + m)*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(6*d^3*(2 + m)) + (b*c*(3 - m)*(1 + m)*x^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(4*d^3*(2 + m)) + (b^2*c^2*(1 - m)*x^(3 + m)*Hypergeometric2F1[1, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/(6*d^3*(3 + m)) + (b^2*c^2*(3 - m)*x^(3 + m)*Hypergeometric2F1[1, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/(4*d^3*(3 + m)) + (b^2*c^2*x^(3 + m)*Hypergeometric2F1[2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/(6*d^3*(3 + m)) - (b^2*c^2*(1 - m)*(1 + m)*x^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, c^2*x^2])/(6*d^3*(6 + 5*m + m^2)) - (b^2*c^2*(3 - m)*(1 + m)*x^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, c^2*x^2])/(4*d^3*(6 + 5*m + m^2)) + ((1 - m)*(3 - m)*Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d - c^2*d*x^2), x])/(8*d^2)}
+
+
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 12, If[$VersionNumber>=8, (10*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((4 + m)^3*(6 + m)) + (2*b^2*c^2*d^2*(52 + 15*m + m^2)*x^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((4 + m)^2*(6 + m)^3) - (2*b^2*c^4*d^2*x^(5 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6 + m)^3 - (30*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((2 + m)^2*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (10*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((12 + 8*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (10*b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((4 + m)^2*(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (4*b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c^5*d^2*x^(6 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((6 + m)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (15*d^2*x^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)) + (5*d*x^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/((4 + m)*(6 + m)) + (x^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(6 + m) + (30*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/((2 + m)^2*(3 + m)*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (10*b^2*c^2*d^2*(10 + 3*m)*x^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/((2 + m)*(3 + m)*(4 + m)^3*(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b^2*c^2*d^2*(264 + 130*m + 15*m^2)*x^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/((2 + m)*(3 + m)*(4 + m)^2*(6 + m)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (15*d^3*Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x])/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)), (10*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((4 + m)^3*(6 + m)) + (2*b^2*c^2*d^2*(52 + 15*m + m^2)*x^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/((4 + m)^2*(6 + m)^3) - (2*b^2*c^4*d^2*x^(5 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6 + m)^3 - (30*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((2 + m)^2*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (10*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((12 + 8*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (10*b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((4 + m)^2*(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (4*b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c^5*d^2*x^(6 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((6 + m)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (15*d^2*x^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)) + (5*d*x^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/((4 + m)*(6 + m)) + (x^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(6 + m) + (10*b^2*c^2*d^2*(10 + 3*m)*x^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/((4 + m)^3*(6 + m)*(6 + 5*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (30*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/((2 + m)^2*(6 + m)*(12 + 7*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b^2*c^2*d^2*(264 + 130*m + 15*m^2)*x^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/((4 + m)^2*(6 + m)^3*(6 + 5*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (15*d^3*Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x])/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2))]}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 7, If[$VersionNumber>=8, (2*b^2*c^2*d*x^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4 + m)^3 - (6*b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((2 + m)^2*(4 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((8 + 6*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^3*d*x^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((4 + m)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*d*x^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(8 + 6*m + m^2) + (x^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4 + m) + (6*b^2*c^2*d*x^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/((2 + m)^2*(3 + m)*(4 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b^2*c^2*d*(10 + 3*m)*x^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/((2 + m)*(3 + m)*(4 + m)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*d^2*Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x])/(8 + 6*m + m^2), (2*b^2*c^2*d*x^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4 + m)^3 - (6*b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((2 + m)^2*(4 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((8 + 6*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^3*d*x^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((4 + m)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*d*x^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(8 + 6*m + m^2) + (x^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4 + m) + (2*b^2*c^2*d*(10 + 3*m)*x^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/((4 + m)^3*(6 + 5*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (6*b^2*c^2*d*x^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/((2 + m)^2*(12 + 7*m + m^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*d^2*Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x])/(8 + 6*m + m^2)]}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 3, -((2*b*c*x^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((2 + m)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (x^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2 + m) + (2*b^2*c^2*x^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/((2 + m)^2*(3 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (d*Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x])/(2 + m)}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x]}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x]}
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x]}
+
+
+{x^m*ArcSin[a*x]^2/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcSin[a*x]^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2], x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcSin[c x])^3*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcSin[c x)^3*)
+
+
+{ArcSin[a*x]^3*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 24, -((413312*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(128625*a)) - (30256*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(385875*a) - (2664*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(214375*a) - (6*c^3*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(2401*a) - (4322*c^3*x*ArcSin[a*x])/1225 + (1514*a^2*c^3*x^3*ArcSin[a*x])/3675 - (702*a^4*c^3*x^5*ArcSin[a*x])/6125 + (6/343)*a^6*c^3*x^7*ArcSin[a*x] + (48*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(35*a) + (8*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcSin[a*x]^2)/(35*a) + (18*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)*ArcSin[a*x]^2)/(175*a) + (3*c^3*(1 - a^2*x^2)^(7/2)*ArcSin[a*x]^2)/(49*a) + (16/35)*c^3*x*ArcSin[a*x]^3 + (8/35)*c^3*x*(1 - a^2*x^2)*ArcSin[a*x]^3 + (6/35)*c^3*x*(1 - a^2*x^2)^2*ArcSin[a*x]^3 + (1/7)*c^3*x*(1 - a^2*x^2)^3*ArcSin[a*x]^3}
+{ArcSin[a*x]^3*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 17, -((4144*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(1125*a)) - (272*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3375*a) - (6*c^2*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(625*a) - (298/75)*c^2*x*ArcSin[a*x] + (76/225)*a^2*c^2*x^3*ArcSin[a*x] - (6/125)*a^4*c^2*x^5*ArcSin[a*x] + (8*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(5*a) + (4*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcSin[a*x]^2)/(15*a) + (3*c^2*(1 - a^2*x^2)^(5/2)*ArcSin[a*x]^2)/(25*a) + (8/15)*c^2*x*ArcSin[a*x]^3 + (4/15)*c^2*x*(1 - a^2*x^2)*ArcSin[a*x]^3 + (1/5)*c^2*x*(1 - a^2*x^2)^2*ArcSin[a*x]^3}
+{ArcSin[a*x]^3*(c - a^2*c*x^2)^1, x, 10, -((40*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(9*a)) - (2*c*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(27*a) - (14/3)*c*x*ArcSin[a*x] + (2/9)*a^2*c*x^3*ArcSin[a*x] + (2*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/a + (c*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcSin[a*x]^2)/(3*a) + (2/3)*c*x*ArcSin[a*x]^3 + (1/3)*c*x*(1 - a^2*x^2)*ArcSin[a*x]^3}
+{ArcSin[a*x]^3/(c - a^2*c*x^2)^1, x, 10, -((2*I*ArcSin[a*x]^3*ArcTan[E^(I*ArcSin[a*x])])/(a*c)) + (3*I*ArcSin[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[a*x])])/(a*c) - (3*I*ArcSin[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[a*x])])/(a*c) - (6*ArcSin[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSin[a*x])])/(a*c) + (6*ArcSin[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSin[a*x])])/(a*c) - (6*I*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcSin[a*x])])/(a*c) + (6*I*PolyLog[4, I*E^(I*ArcSin[a*x])])/(a*c)}
+{ArcSin[a*x]^3/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 18, -((3*ArcSin[a*x]^2)/(2*a*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (x*ArcSin[a*x]^3)/(2*c^2*(1 - a^2*x^2)) - (6*I*ArcSin[a*x]*ArcTan[E^(I*ArcSin[a*x])])/(a*c^2) - (I*ArcSin[a*x]^3*ArcTan[E^(I*ArcSin[a*x])])/(a*c^2) + (3*I*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[a*x])])/(a*c^2) + (3*I*ArcSin[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[a*x])])/(2*a*c^2) - (3*I*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[a*x])])/(a*c^2) - (3*I*ArcSin[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[a*x])])/(2*a*c^2) - (3*ArcSin[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSin[a*x])])/(a*c^2) + (3*ArcSin[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSin[a*x])])/(a*c^2) - (3*I*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcSin[a*x])])/(a*c^2) + (3*I*PolyLog[4, I*E^(I*ArcSin[a*x])])/(a*c^2)}
+{ArcSin[a*x]^3/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 28, -(1/(4*a*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (x*ArcSin[a*x])/(4*c^3*(1 - a^2*x^2)) - ArcSin[a*x]^2/(4*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (9*ArcSin[a*x]^2)/(8*a*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (x*ArcSin[a*x]^3)/(4*c^3*(1 - a^2*x^2)^2) + (3*x*ArcSin[a*x]^3)/(8*c^3*(1 - a^2*x^2)) - (5*I*ArcSin[a*x]*ArcTan[E^(I*ArcSin[a*x])])/(a*c^3) - (3*I*ArcSin[a*x]^3*ArcTan[E^(I*ArcSin[a*x])])/(4*a*c^3) + (5*I*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[a*x])])/(2*a*c^3) + (9*I*ArcSin[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[a*x])])/(8*a*c^3) - (5*I*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[a*x])])/(2*a*c^3) - (9*I*ArcSin[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[a*x])])/(8*a*c^3) - (9*ArcSin[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSin[a*x])])/(4*a*c^3) + (9*ArcSin[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSin[a*x])])/(4*a*c^3) - (9*I*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcSin[a*x])])/(4*a*c^3) + (9*I*PolyLog[4, I*E^(I*ArcSin[a*x])])/(4*a*c^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcSin[c x])^3*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{ArcSin[a*x]^3*(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 24, (865*a*c^2*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2304*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (65*a^3*c^2*x^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2304*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (c^2*(1 - a^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(216*a) - (245/384)*c^2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x] - (65/576)*c^2*x*(1 - a^2*x^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x] - (1/36)*c^2*x*(1 - a^2*x^2)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x] + (115*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(768*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (15*a*c^2*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(32*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (5*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(32*a) + (c^2*(1 - a^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(12*a) + (5/16)*c^2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^3 + (5/24)*c*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSin[a*x]^3 + (1/6)*x*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcSin[a*x]^3 + (5*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^4)/(64*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{ArcSin[a*x]^3*(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 14, (51*a*c*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(128*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*a^3*c*x^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(128*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (45/64)*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x] - (3/32)*c*x*(1 - a^2*x^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x] + (27*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(128*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (9*a*c*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(16*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (3*c*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(16*a) + (3/8)*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^3 + (1/4)*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSin[a*x]^3 + (3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^4)/(32*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{ArcSin[a*x]^3*(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 6, (3*a*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(8*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3/4)*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x] + (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(8*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*a*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^2)/(4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (1/2)*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^3 + (Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^4)/(8*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{ArcSin[a*x]^3/(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 1, (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^4)/(4*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{ArcSin[a*x]^3/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 7, (x*ArcSin[a*x]^3)/(c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (I*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(a*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[a*x])])/(a*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (3*I*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[a*x])])/(a*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(2*I*ArcSin[a*x])])/(2*a*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{ArcSin[a*x]^3/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 11, (x*ArcSin[a*x])/(c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - ArcSin[a*x]^2/(2*a*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (x*ArcSin[a*x]^3)/(3*c*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcSin[a*x]^3)/(3*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (2*I*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(3*a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[a*x])])/(a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a^2*x^2])/(2*a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (2*I*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[a*x])])/(a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(2*I*ArcSin[a*x])])/(a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{ArcSin[a*x]^3/(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 17, -(1/(20*a*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) + (x*ArcSin[a*x])/(c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (x*ArcSin[a*x])/(10*c^3*(1 - a^2*x^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (3*ArcSin[a*x]^2)/(20*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (2*ArcSin[a*x]^2)/(5*a*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (x*ArcSin[a*x]^3)/(5*c*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcSin[a*x]^3)/(15*c^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcSin[a*x]^3)/(15*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (8*I*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(15*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (8*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^2*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[a*x])])/(5*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a^2*x^2])/(2*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (8*I*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[a*x])])/(5*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(2*I*ArcSin[a*x])])/(5*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{x^m*ArcSin[a*x]^3/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcSin[a*x]^3)/Sqrt[1 - a^2*x^2], x]}
+
+{x^4*ArcSin[a*x]^3/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 13, -((45*x^2)/(128*a^3)) - (3*x^4)/(128*a) + (45*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(64*a^4) + (3*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(32*a^2) - (45*ArcSin[a*x]^2)/(128*a^5) + (9*x^2*ArcSin[a*x]^2)/(16*a^3) + (3*x^4*ArcSin[a*x]^2)/(16*a) - (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(8*a^4) - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(4*a^2) + (3*ArcSin[a*x]^4)/(32*a^5)}
+{x^3*ArcSin[a*x]^3/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 10, -((40*x)/(9*a^3)) - (2*x^3)/(27*a) + (40*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(9*a^4) + (2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(9*a^2) + (2*x*ArcSin[a*x]^2)/a^3 + (x^3*ArcSin[a*x]^2)/(3*a) - (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(3*a^4) - (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(3*a^2)}
+{x^2*ArcSin[a*x]^3/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 6, -((3*x^2)/(8*a)) + (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/(4*a^2) - (3*ArcSin[a*x]^2)/(8*a^3) + (3*x^2*ArcSin[a*x]^2)/(4*a) - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(2*a^2) + ArcSin[a*x]^4/(8*a^3)}
+{x^1*ArcSin[a*x]^3/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 4, -((6*x)/a) + (6*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])/a^2 + (3*x*ArcSin[a*x]^2)/a - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/a^2}
+{x^0*ArcSin[a*x]^3/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 1, ArcSin[a*x]^4/(4*a)}
+{ArcSin[a*x]^3/(x^1*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 10, -2*ArcSin[a*x]^3*ArcTanh[E^(I*ArcSin[a*x])] + 3*I*ArcSin[a*x]^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[a*x])] - 3*I*ArcSin[a*x]^2*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a*x])] - 6*ArcSin[a*x]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[a*x])] + 6*ArcSin[a*x]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[a*x])] - 6*I*PolyLog[4, -E^(I*ArcSin[a*x])] + 6*I*PolyLog[4, E^(I*ArcSin[a*x])]}
+{ArcSin[a*x]^3/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 7, (-I)*a*ArcSin[a*x]^3 - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/x + 3*a*ArcSin[a*x]^2*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[a*x])] - 3*I*a*ArcSin[a*x]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[a*x])] + (3/2)*a*PolyLog[3, E^(2*I*ArcSin[a*x])]}
+{ArcSin[a*x]^3/(x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 18, -((3*a*ArcSin[a*x]^2)/(2*x)) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^3)/(2*x^2) - 6*a^2*ArcSin[a*x]*ArcTanh[E^(I*ArcSin[a*x])] - a^2*ArcSin[a*x]^3*ArcTanh[E^(I*ArcSin[a*x])] + 3*I*a^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[a*x])] + (3/2)*I*a^2*ArcSin[a*x]^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[a*x])] - 3*I*a^2*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a*x])] - (3/2)*I*a^2*ArcSin[a*x]^2*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a*x])] - 3*a^2*ArcSin[a*x]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[a*x])] + 3*a^2*ArcSin[a*x]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[a*x])] - 3*I*a^2*PolyLog[4, -E^(I*ArcSin[a*x])] + 3*I*a^2*PolyLog[4, E^(I*ArcSin[a*x])]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p / (a+b ArcSin[c x])^1*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d-c^2 d x^2)^p / (a+b ArcSin[c x)*)
+
+
+{1/ArcSin[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 7, (35*c^3*CosIntegral[ArcSin[a*x]])/(64*a) + (21*c^3*CosIntegral[3*ArcSin[a*x]])/(64*a) + (7*c^3*CosIntegral[5*ArcSin[a*x]])/(64*a) + (c^3*CosIntegral[7*ArcSin[a*x]])/(64*a)}
+{1/ArcSin[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 6, (5*c^2*CosIntegral[ArcSin[a*x]])/(8*a) + (5*c^2*CosIntegral[3*ArcSin[a*x]])/(16*a) + (c^2*CosIntegral[5*ArcSin[a*x]])/(16*a)}
+{1/ArcSin[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^1, x, 5, (3*c*CosIntegral[ArcSin[a*x]])/(4*a) + (c*CosIntegral[3*ArcSin[a*x]])/(4*a)}
+{1/ArcSin[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^1, x, 0, Unintegrable[1/((c - a^2*c*x^2)*ArcSin[a*x]), x]}
+{1/ArcSin[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[1/((c - a^2*c*x^2)^2*ArcSin[a*x]), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) / (a+b ArcSin[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 12, -((Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c^5)) - (Cos[(4*a)/b]*CosIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b*c^5) + (Cos[(6*a)/b]*CosIntegral[(6*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c^5) + Log[a + b*ArcSin[c*x]]/(16*b*c^5) - (Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c^5) - (Sin[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b*c^5) + (Sin[(6*a)/b]*SinIntegral[(6*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c^5)}
+{x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 12, -((CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(8*b*c^4)) - (CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(16*b*c^4) + (CosIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(5*a)/b])/(16*b*c^4) + (Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(8*b*c^4) + (Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b*c^4) - (Cos[(5*a)/b]*SinIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b*c^4)}
+{x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 6, -((Cos[(4*a)/b]*CosIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(8*b*c^3)) + Log[a + b*ArcSin[c*x]]/(8*b*c^3) - (Sin[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(8*b*c^3)}
+{x^1*Sqrt[1 - c^2*x^2]/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 9, -((CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(4*b*c^2)) - (CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(4*b*c^2) + (Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(4*b*c^2) + (Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(4*b*c^2)}
+{x^0*Sqrt[1 - c^2*x^2]/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 6, (Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2*b*c) + Log[a + b*ArcSin[c*x]]/(2*b*c) + (Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2*b*c)}
+{Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^1*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 6, (CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/b - (Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/b + Unintegrable[1/(x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 3, -((c*Log[a + b*ArcSin[c*x]])/b) + Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^3*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^3*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^4*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^4*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+
+
+{x^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 15, -((3*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(64*b*c^4)) - (3*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(64*b*c^4) + (CosIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(5*a)/b])/(64*b*c^4) + (CosIntegral[(7*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(7*a)/b])/(64*b*c^4) + (3*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(64*b*c^4) + (3*Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(64*b*c^4) - (Cos[(5*a)/b]*SinIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(64*b*c^4) - (Cos[(7*a)/b]*SinIntegral[(7*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(64*b*c^4)}
+{x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 12, (Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c^3) - (Cos[(4*a)/b]*CosIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b*c^3) - (Cos[(6*a)/b]*CosIntegral[(6*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c^3) + Log[a + b*ArcSin[c*x]]/(16*b*c^3) + (Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c^3) - (Sin[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b*c^3) - (Sin[(6*a)/b]*SinIntegral[(6*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c^3)}
+{x^1*(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 12, -((CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(8*b*c^2)) - (3*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(16*b*c^2) - (CosIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(5*a)/b])/(16*b*c^2) + (Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(8*b*c^2) + (3*Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b*c^2) + (Cos[(5*a)/b]*SinIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b*c^2)}
+{x^0*(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 9, (Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2*b*c) + (Cos[(4*a)/b]*CosIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(8*b*c) + (3*Log[a + b*ArcSin[c*x]])/(8*b*c) + (Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2*b*c) + (Sin[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(8*b*c)}
+{(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^1*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 15, (5*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(4*b) + (CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(4*b) - (5*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(4*b) - (Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(4*b) + Unintegrable[1/(x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 9, -((c*Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2*b)) - (3*c*Log[a + b*ArcSin[c*x]])/(2*b) - (c*Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2*b) + Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^3*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^3*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^4*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^4*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+
+
+{x^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 15, -((3*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(128*b*c^4)) - (CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(32*b*c^4) + (3*CosIntegral[(7*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(7*a)/b])/(256*b*c^4) + (CosIntegral[(9*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(9*a)/b])/(256*b*c^4) + (3*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(128*b*c^4) + (Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c^4) - (3*Cos[(7*a)/b]*SinIntegral[(7*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(256*b*c^4) - (Cos[(9*a)/b]*SinIntegral[(9*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(256*b*c^4)}
+{x^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 15, (Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c^3) - (Cos[(4*a)/b]*CosIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c^3) - (Cos[(6*a)/b]*CosIntegral[(6*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c^3) - (Cos[(8*a)/b]*CosIntegral[(8*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(128*b*c^3) + (5*Log[a + b*ArcSin[c*x]])/(128*b*c^3) + (Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c^3) - (Sin[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c^3) - (Sin[(6*a)/b]*SinIntegral[(6*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c^3) - (Sin[(8*a)/b]*SinIntegral[(8*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(128*b*c^3)}
+{x^1*(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 15, -((5*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(64*b*c^2)) - (9*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(64*b*c^2) - (5*CosIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(5*a)/b])/(64*b*c^2) - (CosIntegral[(7*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(7*a)/b])/(64*b*c^2) + (5*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(64*b*c^2) + (9*Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(64*b*c^2) + (5*Cos[(5*a)/b]*SinIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(64*b*c^2) + (Cos[(7*a)/b]*SinIntegral[(7*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(64*b*c^2)}
+{x^0*(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 12, (15*Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c) + (3*Cos[(4*a)/b]*CosIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b*c) + (Cos[(6*a)/b]*CosIntegral[(6*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c) + (5*Log[a + b*ArcSin[c*x]])/(16*b*c) + (15*Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c) + (3*Sin[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b*c) + (Sin[(6*a)/b]*SinIntegral[(6*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b*c)}
+{(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^1*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 27, (11*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(8*b) + (7*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(16*b) + (CosIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(5*a)/b])/(16*b) - (11*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(8*b) - (7*Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b) - (Cos[(5*a)/b]*SinIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b) + Unintegrable[1/(x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 18, -((c*Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/b) - (c*Cos[(4*a)/b]*CosIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(8*b) - (15*c*Log[a + b*ArcSin[c*x]])/(8*b) - (c*Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/b - (c*Sin[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(8*b) + Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^3*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^3*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^4*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^4*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^4/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]), x, 5, -(CosIntegral[2*ArcSin[a*x]]/(2*a^5)) + CosIntegral[4*ArcSin[a*x]]/(8*a^5) + (3*Log[ArcSin[a*x]])/(8*a^5)}
+{x^3/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]), x, 5, (3*SinIntegral[ArcSin[a*x]])/(4*a^4) - SinIntegral[3*ArcSin[a*x]]/(4*a^4)}
+{x^2/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]), x, 4, -(CosIntegral[2*ArcSin[a*x]]/(2*a^3)) + Log[ArcSin[a*x]]/(2*a^3)}
+{x^2/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]), x, 4, -(CosIntegral[2*ArcSin[a*x]]/(2*a^3)) + Log[ArcSin[a*x]]/(2*a^3)}
+{x^1/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]), x, 2, SinIntegral[ArcSin[a*x]]/a^2}
+{x^0/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]), x, 1, Log[ArcSin[a*x]]/a}
+{1/(x^1*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]), x]}
+{1/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]), x]}
+
+
+{x^5/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 12, -((5*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(8*b*c^6)) + (5*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(16*b*c^6) - (CosIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(5*a)/b])/(16*b*c^6) + (5*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(8*b*c^6) - (5*Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b*c^6) + (Cos[(5*a)/b]*SinIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b*c^6)}
+{x^4/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 9, -((Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2*b*c^5)) + (Cos[(4*a)/b]*CosIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(8*b*c^5) + (3*Log[a + b*ArcSin[c*x]])/(8*b*c^5) - (Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2*b*c^5) + (Sin[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(8*b*c^5)}
+{x^3/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 9, -((3*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(4*b*c^4)) + (CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(4*b*c^4) + (3*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(4*b*c^4) - (Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(4*b*c^4)}
+{x^2/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 6, -((Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2*b*c^3)) + Log[a + b*ArcSin[c*x]]/(2*b*c^3) - (Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2*b*c^3)}
+{x^1/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 4, -((CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(b*c^2)) + (Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b*c^2)}
+{x^0/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 1, Log[a + b*ArcSin[c*x]]/(b*c)}
+{1/(x^1*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{1/(x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+
+
+{x^2/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[x^2/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{x^1/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[x/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{x^0/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{1/(x^1*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{1/(x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+
+
+{x^2/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[x^2/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{x^1/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[x/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{x^0/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{1/(x^1*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{1/(x^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) / (a+b ArcSin[c x]) with m symbolic*)
+
+
+{x^m*(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 0, Unintegrable[(x^m*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(a + b*ArcSin[c*x]), x]}
+{x^m*(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 0, Unintegrable[(x^m*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcSin[c*x]), x]}
+{x^m*(1 - c^2*x^2)^(1/2)/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 0, Unintegrable[(x^m*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(a + b*ArcSin[c*x]), x]}
+{x^m/((1 - c^2*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[x^m/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{x^m/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[x^m/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{x^m/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[x^m/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+
+
+{x^m/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^m/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p / (a+b ArcSin[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p / (a+b ArcSin[c x)^2*)
+
+
+{1/ArcSin[a*x]^2*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 8, -((c^3*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(a*ArcSin[a*x])) - (35*c^3*SinIntegral[ArcSin[a*x]])/(64*a) - (63*c^3*SinIntegral[3*ArcSin[a*x]])/(64*a) - (35*c^3*SinIntegral[5*ArcSin[a*x]])/(64*a) - (7*c^3*SinIntegral[7*ArcSin[a*x]])/(64*a)}
+{1/ArcSin[a*x]^2*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 7, -((c^2*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a*ArcSin[a*x])) - (5*c^2*SinIntegral[ArcSin[a*x]])/(8*a) - (15*c^2*SinIntegral[3*ArcSin[a*x]])/(16*a) - (5*c^2*SinIntegral[5*ArcSin[a*x]])/(16*a)}
+{1/ArcSin[a*x]^2*(c - a^2*c*x^2)^1, x, 6, -((c*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(a*ArcSin[a*x])) - (3*c*SinIntegral[ArcSin[a*x]])/(4*a) - (3*c*SinIntegral[3*ArcSin[a*x]])/(4*a)}
+{1/ArcSin[a*x]^2/(c - a^2*c*x^2)^1, x, 1, -(1/(a*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x])) + (a*Unintegrable[x/((1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcSin[a*x]), x])/c}
+{1/ArcSin[a*x]^2/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 1, -(1/(a*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcSin[a*x])) + (3*a*Unintegrable[x/((1 - a^2*x^2)^(5/2)*ArcSin[a*x]), x])/c^2}
+
+
+{1/((1 - x^2)*ArcSin[x]^2) - x/((1 - x^2)^(3/2)*ArcSin[x]), x, 2, -(1/(Sqrt[1 - x^2]*ArcSin[x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) / (a+b ArcSin[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(x^m*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(x^m*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x]}
+
+{(x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 22, -((x^3*(1 - c^2*x^2))/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(8*b^2*c^4) + (3*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^4) - (5*Cos[(5*a)/b]*CosIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^4) + (Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(8*b^2*c^4) + (3*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^4) - (5*Sin[(5*a)/b]*SinIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^4)}
+{(x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 16, -((x^2*(1 - c^2*x^2))/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) - (CosIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(4*a)/b])/(2*b^2*c^3) + (Cos[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2*b^2*c^3)}
+{(x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 14, -((x*(1 - c^2*x^2))/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(4*b^2*c^2) + (3*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(4*b^2*c^2) + (Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(4*b^2*c^2) + (3*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(4*b^2*c^2)}
+{Sqrt[1 - c^2*x^2]/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 7, -((1 - c^2*x^2)/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(2*a)/b])/(b^2*c) - (Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(b^2*c)}
+{Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 5, -((1 - c^2*x^2)/(b*c*x*(a + b*ArcSin[c*x]))) - (Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/b^2 - (Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/b^2 - Unintegrable[1/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])), x]/(b*c)}
+{Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 1, -((1 - c^2*x^2)/(b*c*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]))) - (2*Unintegrable[1/(x^3*(a + b*ArcSin[c*x])), x])/(b*c)}
+{Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+{Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+
+
+{(x^m*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(x^m*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x]}
+
+{(x^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 28, -((x^3*(1 - c^2*x^2)^2)/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (3*Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(64*b^2*c^4) + (9*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(64*b^2*c^4) - (5*Cos[(5*a)/b]*CosIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(64*b^2*c^4) - (7*Cos[(7*a)/b]*CosIntegral[(7*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(64*b^2*c^4) + (3*Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(64*b^2*c^4) + (9*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(64*b^2*c^4) - (5*Sin[(5*a)/b]*SinIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(64*b^2*c^4) - (7*Sin[(7*a)/b]*SinIntegral[(7*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(64*b^2*c^4)}
+{(x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 19, -((x^2*(1 - c^2*x^2)^2)/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(2*a)/b])/(16*b^2*c^3) - (CosIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(4*a)/b])/(4*b^2*c^3) - (3*CosIntegral[(6*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(6*a)/b])/(16*b^2*c^3) - (Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^3) + (Cos[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(4*b^2*c^3) + (3*Cos[(6*a)/b]*SinIntegral[(6*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^3)}
+{(x*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 22, -((x*(1 - c^2*x^2)^2)/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(8*b^2*c^2) + (9*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^2) + (5*Cos[(5*a)/b]*CosIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^2) + (Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(8*b^2*c^2) + (9*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^2) + (5*Sin[(5*a)/b]*SinIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^2)}
+{(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 10, -((1 - c^2*x^2)^2/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(2*a)/b])/(b^2*c) + (CosIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(4*a)/b])/(2*b^2*c) - (Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(b^2*c) - (Cos[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2*b^2*c)}
+{(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 10, -((1 - c^2*x^2)^2/(b*c*x*(a + b*ArcSin[c*x]))) - (9*Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(4*b^2) - (3*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(4*b^2) - (9*Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(4*b^2) - (3*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(4*b^2) - Unintegrable[(1 - c^2*x^2)/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])), x]/(b*c)}
+{(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 1, -((1 - c^2*x^2)^2/(b*c*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]))) - (2*Unintegrable[(1 - c^2*x^2)/(x^3*(a + b*ArcSin[c*x])), x])/(b*c) - (2*c*Unintegrable[(1 - c^2*x^2)/(x*(a + b*ArcSin[c*x])), x])/b}
+{(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+{(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 1, -((1 - c^2*x^2)^2/(b*c*x^4*(a + b*ArcSin[c*x]))) - (4*Unintegrable[(1 - c^2*x^2)/(x^5*(a + b*ArcSin[c*x])), x])/(b*c)}
+
+
+{(x^m*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(x^m*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x]}
+
+{(x^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 34, -((x^3*(1 - c^2*x^2)^3)/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (3*Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(128*b^2*c^4) + (3*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b^2*c^4) - (21*Cos[(7*a)/b]*CosIntegral[(7*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(256*b^2*c^4) - (9*Cos[(9*a)/b]*CosIntegral[(9*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(256*b^2*c^4) + (3*Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(128*b^2*c^4) + (3*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(32*b^2*c^4) - (21*Sin[(7*a)/b]*SinIntegral[(7*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(256*b^2*c^4) - (9*Sin[(9*a)/b]*SinIntegral[(9*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(256*b^2*c^4)}
+{(x^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 28, -((x^2*(1 - c^2*x^2)^3)/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(2*a)/b])/(16*b^2*c^3) - (CosIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(4*a)/b])/(8*b^2*c^3) - (3*CosIntegral[(6*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(6*a)/b])/(16*b^2*c^3) - (CosIntegral[(8*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(8*a)/b])/(16*b^2*c^3) - (Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^3) + (Cos[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(8*b^2*c^3) + (3*Cos[(6*a)/b]*SinIntegral[(6*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^3) + (Cos[(8*a)/b]*SinIntegral[(8*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^3)}
+{(x*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 28, -((x*(1 - c^2*x^2)^3)/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (5*Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(64*b^2*c^2) + (27*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(64*b^2*c^2) + (25*Cos[(5*a)/b]*CosIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(64*b^2*c^2) + (7*Cos[(7*a)/b]*CosIntegral[(7*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(64*b^2*c^2) + (5*Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(64*b^2*c^2) + (27*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(64*b^2*c^2) + (25*Sin[(5*a)/b]*SinIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(64*b^2*c^2) + (7*Sin[(7*a)/b]*SinIntegral[(7*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(64*b^2*c^2)}
+{(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 13, -((1 - c^2*x^2)^3/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (15*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(2*a)/b])/(16*b^2*c) + (3*CosIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(4*a)/b])/(4*b^2*c) + (3*CosIntegral[(6*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(6*a)/b])/(16*b^2*c) - (15*Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c) - (3*Cos[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(4*b^2*c) - (3*Cos[(6*a)/b]*SinIntegral[(6*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c)}
+{(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 13, -((1 - c^2*x^2)^3/(b*c*x*(a + b*ArcSin[c*x]))) - (25*Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(8*b^2) - (25*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2) - (5*Cos[(5*a)/b]*CosIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2) - (25*Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(8*b^2) - (25*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2) - (5*Sin[(5*a)/b]*SinIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2) - Unintegrable[(1 - c^2*x^2)^2/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])), x]/(b*c)}
+{(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 1, -((1 - c^2*x^2)^3/(b*c*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]))) - (2*Unintegrable[(1 - c^2*x^2)^2/(x^3*(a + b*ArcSin[c*x])), x])/(b*c) - (4*c*Unintegrable[(1 - c^2*x^2)^2/(x*(a + b*ArcSin[c*x])), x])/b}
+{(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+{(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^m/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 1, -(x^m/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (m*Unintegrable[x^(-1 + m)/(a + b*ArcSin[c*x]), x])/(b*c)}
+
+{x^5/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 13, -(x^5/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (5*Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(8*b^2*c^6) - (15*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^6) + (5*Cos[(5*a)/b]*CosIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^6) + (5*Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(8*b^2*c^6) - (15*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^6) + (5*Sin[(5*a)/b]*SinIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^6)}
+{x^4/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 10, -(x^4/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) - (CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(2*a)/b])/(b^2*c^5) + (CosIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(4*a)/b])/(2*b^2*c^5) + (Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(b^2*c^5) - (Cos[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2*b^2*c^5)}
+{x^3/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 10, -(x^3/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (3*Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(4*b^2*c^4) - (3*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(4*b^2*c^4) + (3*Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(4*b^2*c^4) - (3*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(4*b^2*c^4)}
+{x^2/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 7, -(x^2/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) - (CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(2*a)/b])/(b^2*c^3) + (Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(b^2*c^3)}
+{x^1/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 5, -(x/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b^2*c^2) + (Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b^2*c^2)}
+{x^0/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 1, -(1/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x])))}
+{1/(x^1*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 1, -(1/(b*c*x*(a + b*ArcSin[c*x]))) - Unintegrable[1/(x^2*(a + b*ArcSin[c*x])), x]/(b*c)}
+{1/(x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 1, -(1/(b*c*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]))) - (2*Unintegrable[1/(x^3*(a + b*ArcSin[c*x])), x])/(b*c)}
+
+
+{x^m/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x^m/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+
+{x^3/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x^3/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+{x^2/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 1, -(x^2/(b*c*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (2*Unintegrable[x/((1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])), x])/(b*c)}
+{x^1/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+{x^0/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 1, -(1/(b*c*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (2*c*Unintegrable[x/((1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])), x])/b}
+{1/(x^1*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+{1/(x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+
+
+{x^m/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x^m/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+
+{x^3/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x^3/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+{x^2/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x^2/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+{x^1/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+{x^0/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 1, -(1/(b*c*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (4*c*Unintegrable[x/((1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])), x])/b}
+{1/(x^1*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+{1/(x^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p / (a+b ArcSin[c x])^3*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p / (a+b ArcSin[c x])^3*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) / (a+b ArcSin[c x])^3*)
+
+
+{1/(ArcSin[a*x]^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 1, -(1/(2*a*ArcSin[a*x]^2))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcSin[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcSin[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p / (a+b ArcSin[c x)^(3/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(d - c^2*d*x^2)/(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2), x, 27, -((2*d*x^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])) - (d*Sqrt[3*Pi]*Cos[(6*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(8*b^(3/2)*c^4) + (3*d*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(8*b^(3/2)*c^4) + (3*d*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(8*b^(3/2)*c^4) - (d*Sqrt[3*Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(6*a)/b])/(8*b^(3/2)*c^4)}
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)/(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2), x, 32, -((2*d*x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])) - (5*d*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(3/2)*c^3) + (d*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c^3) - (5*d*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c^3) + (d*Sqrt[(2*Pi)/3]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c^3) + (d*Sqrt[(5*Pi)/2]*Cos[(5*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[10/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c^3) + (5*d*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(2*b^(3/2)*c^3) - (d*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(b^(3/2)*c^3) + (5*d*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(4*b^(3/2)*c^3) - (d*Sqrt[(2*Pi)/3]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(b^(3/2)*c^3) - (d*Sqrt[(5*Pi)/2]*FresnelC[(Sqrt[10/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(5*a)/b])/(4*b^(3/2)*c^3)}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)/(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2), x, 17, -((2*d*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])) + (d*Sqrt[Pi/2]*Cos[(4*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c^2) + (d*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(b^(3/2)*c^2) + (d*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(b^(3/2)*c^2) + (d*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(4*a)/b])/(b^(3/2)*c^2)}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)/(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2), x, 14, -((2*d*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])) - (3*d*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c) - (d*Sqrt[(3*Pi)/2]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c) + (3*d*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(b^(3/2)*c) + (d*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(b^(3/2)*c)}
+{(d - c^2*d*x^2)/(x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2)), x, 12, -((2*d*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(b*c*x*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])) - (2*d*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/b^(3/2) - (2*d*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/b^(3/2) - (2*d*Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]]), x])/(b*c)}
+
+
+{x^3*(d - c^2*d*x^2)^2/(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2), x, 32, -((2*d^2*x^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])) + (d^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[(4*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(8*b^(3/2)*c^4) - (d^2*Sqrt[3*Pi]*Cos[(6*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^4) + (3*d^2*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(16*b^(3/2)*c^4) - (d^2*Sqrt[Pi]*Cos[(8*a)/b]*FresnelC[(4*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(16*b^(3/2)*c^4) + (3*d^2*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(16*b^(3/2)*c^4) + (d^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(4*a)/b])/(8*b^(3/2)*c^4) - (d^2*Sqrt[3*Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(6*a)/b])/(16*b^(3/2)*c^4) - (d^2*Sqrt[Pi]*FresnelS[(4*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(8*a)/b])/(16*b^(3/2)*c^4)}
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)^2/(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2), x, 42, -((2*d^2*x^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])) - (5*d^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^3) + (d^2*Sqrt[(3*Pi)/2]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^3) + (3*d^2*Sqrt[(5*Pi)/2]*Cos[(5*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[10/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^3) + (d^2*Sqrt[(7*Pi)/2]*Cos[(7*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[14/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^3) + (5*d^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(16*b^(3/2)*c^3) - (d^2*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(16*b^(3/2)*c^3) - (3*d^2*Sqrt[(5*Pi)/2]*FresnelC[(Sqrt[10/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(5*a)/b])/(16*b^(3/2)*c^3) - (d^2*Sqrt[(7*Pi)/2]*FresnelC[(Sqrt[14/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(7*a)/b])/(16*b^(3/2)*c^3)}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)^2/(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2), x, 32, -((2*d^2*x*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])) + (d^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[(4*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c^2) + (d^2*Sqrt[3*Pi]*Cos[(6*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(8*b^(3/2)*c^2) + (5*d^2*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(8*b^(3/2)*c^2) + (5*d^2*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(8*b^(3/2)*c^2) + (d^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(4*a)/b])/(b^(3/2)*c^2) + (d^2*Sqrt[3*Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(6*a)/b])/(8*b^(3/2)*c^2)}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)^2/(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2), x, 19, -((2*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])) - (5*d^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(3/2)*c) - (5*d^2*Sqrt[(3*Pi)/2]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c) - (d^2*Sqrt[(5*Pi)/2]*Cos[(5*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[10/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c) + (5*d^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(2*b^(3/2)*c) + (5*d^2*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(4*b^(3/2)*c) + (d^2*Sqrt[(5*Pi)/2]*FresnelC[(Sqrt[10/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(5*a)/b])/(4*b^(3/2)*c)}
+{(d - c^2*d*x^2)^2/(x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2)), x, 25, -((2*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(b*c*x*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])) - (d^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[(4*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/b^(3/2) - (3*d^2*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/b^(3/2) - (3*d^2*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/b^(3/2) - (d^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(4*a)/b])/b^(3/2) - (2*d^2*Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]]), x])/(b*c)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* An excellent example of the importance of reducing even unintegrable expressions to simplest form so cancellations can occur. *) 
+{-((3*x)/(8*(1 - x^2)*Sqrt[ArcSin[x]])) + (x*ArcSin[x]^(3/2))/(1 - x^2)^2, x, 3, -((3*x*Sqrt[ArcSin[x]])/(4*Sqrt[1 - x^2])) + ArcSin[x]^(3/2)/(2*(1 - x^2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcSin[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) ArcSin[c x]^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcSin[a*x]], x, 15, (3/8)*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]] + (1/4)*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcSin[a*x]] + (c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(4*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(64*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(8*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*Sqrt[ArcSin[a*x]], x, 7, (1/2)*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]] + (Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(8*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{Sqrt[ArcSin[a*x]]/(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 1, (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(3*a*(c - a^2*c*x^2)^(1/2))}
+{Sqrt[ArcSin[a*x]]/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, (x*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Unintegrable[x/((1 - a^2*x^2)*Sqrt[ArcSin[a*x]]), x])/(2*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{Sqrt[ArcSin[a*x]]/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 2, (x*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(3*c*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(3*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Unintegrable[x/((1 - a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcSin[a*x]]), x])/(6*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Unintegrable[x/((1 - a^2*x^2)*Sqrt[ArcSin[a*x]]), x])/(3*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSin[a*x]^(3/2), x, 17, (27*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(256*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (9*a*c*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(32*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (3*c*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(32*a) + (3/8)*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2) + (1/4)*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSin[a*x]^(3/2) + (3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^(5/2))/(20*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(512*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(32*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*ArcSin[a*x]^(3/2), x, 8, (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(16*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*a*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(8*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (1/2)*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2) + (Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^(5/2))/(5*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(32*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{ArcSin[a*x]^(3/2)/(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 1, (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^(5/2))/(5*a*(c - a^2*c*x^2)^(1/2))}
+{ArcSin[a*x]^(3/2)/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, (x*ArcSin[a*x]^(3/2))/(c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Unintegrable[(x*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(1 - a^2*x^2), x])/(2*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSin[a*x]^(5/2), x, 27, (-(225/512))*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]] - (15/256)*c*x*(1 - a^2*x^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]] + (45*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(256*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (15*a*c*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(32*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (5*c*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(32*a) + (3/8)*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^(5/2) + (1/4)*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSin[a*x]^(5/2) + (3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^(7/2))/(28*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (15*c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(4096*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (15*c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(128*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*ArcSin[a*x]^(5/2), x, 10, (-(15/32))*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]] + (5*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(16*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (5*a*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^(3/2))/(8*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (1/2)*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^(5/2) + (Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcSin[a*x]^(7/2))/(7*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (15*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(128*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{ArcSin[a*x]^(5/2)/(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 1, (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcSin[a*x]^(7/2))/(7*a*(c - a^2*c*x^2)^(1/2))}
+{ArcSin[a*x]^(5/2)/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, (x*ArcSin[a*x]^(5/2))/(c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (5*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Unintegrable[(x*ArcSin[a*x]^(3/2))/(1 - a^2*x^2), x])/(2*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{ArcSin[x/a]^(1/2)*(a^2 - x^2)^(3/2), x, 15, (3/8)*a^2*x*Sqrt[a^2 - x^2]*Sqrt[ArcSin[x/a]] + (1/4)*x*(a^2 - x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcSin[x/a]] + (a^3*Sqrt[a^2 - x^2]*ArcSin[x/a]^(3/2))/(4*Sqrt[1 - x^2/a^2]) - (a^3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a^2 - x^2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[x/a]]])/(64*Sqrt[1 - x^2/a^2]) - (a^3*Sqrt[Pi]*Sqrt[a^2 - x^2]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcSin[x/a]])/Sqrt[Pi]])/(8*Sqrt[1 - x^2/a^2])}
+{ArcSin[x/a]^(1/2)*(a^2 - x^2)^(1/2), x, 7, (1/2)*x*Sqrt[a^2 - x^2]*Sqrt[ArcSin[x/a]] + (a*Sqrt[a^2 - x^2]*ArcSin[x/a]^(3/2))/(3*Sqrt[1 - x^2/a^2]) - (a*Sqrt[Pi]*Sqrt[a^2 - x^2]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcSin[x/a]])/Sqrt[Pi]])/(8*Sqrt[1 - x^2/a^2])}
+{ArcSin[x/a]^(1/2)/(a^2 - x^2)^(1/2), x, 1, (2*a*Sqrt[1 - x^2/a^2]*ArcSin[x/a]^(3/2))/(3*Sqrt[a^2 - x^2])}
+{ArcSin[x/a]^(1/2)/(a^2 - x^2)^(3/2), x, 1, (x*Sqrt[ArcSin[x/a]])/(a^2*Sqrt[a^2 - x^2]) - (Sqrt[1 - x^2/a^2]*Unintegrable[x/((1 - x^2/a^2)*Sqrt[ArcSin[x/a]]), x])/(2*a^3*Sqrt[a^2 - x^2])}
+{ArcSin[x/a]^(1/2)/(a^2 - x^2)^(5/2), x, 2, (x*Sqrt[ArcSin[x/a]])/(3*a^2*(a^2 - x^2)^(3/2)) + (2*x*Sqrt[ArcSin[x/a]])/(3*a^4*Sqrt[a^2 - x^2]) - (Sqrt[1 - x^2/a^2]*Unintegrable[x/((1 - x^2/a^2)^2*Sqrt[ArcSin[x/a]]), x])/(6*a^5*Sqrt[a^2 - x^2]) - (Sqrt[1 - x^2/a^2]*Unintegrable[x/((1 - x^2/a^2)*Sqrt[ArcSin[x/a]]), x])/(3*a^5*Sqrt[a^2 - x^2])}
+
+
+{ArcSin[x/a]^(3/2)*(a^2 - x^2)^(3/2), x, 17, (27*a^3*Sqrt[a^2 - x^2]*Sqrt[ArcSin[x/a]])/(256*Sqrt[1 - x^2/a^2]) - (9*a*x^2*Sqrt[a^2 - x^2]*Sqrt[ArcSin[x/a]])/(32*Sqrt[1 - x^2/a^2]) + (3*(a^2 - x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcSin[x/a]])/(32*a*Sqrt[1 - x^2/a^2]) + (3/8)*a^2*x*Sqrt[a^2 - x^2]*ArcSin[x/a]^(3/2) + (1/4)*x*(a^2 - x^2)^(3/2)*ArcSin[x/a]^(3/2) + (3*a^3*Sqrt[a^2 - x^2]*ArcSin[x/a]^(5/2))/(20*Sqrt[1 - x^2/a^2]) - (3*a^3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a^2 - x^2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[x/a]]])/(512*Sqrt[1 - x^2/a^2]) - (3*a^3*Sqrt[Pi]*Sqrt[a^2 - x^2]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcSin[x/a]])/Sqrt[Pi]])/(32*Sqrt[1 - x^2/a^2])}
+{ArcSin[x/a]^(3/2)*(a^2 - x^2)^(1/2), x, 8, (3*a*Sqrt[a^2 - x^2]*Sqrt[ArcSin[x/a]])/(16*Sqrt[1 - x^2/a^2]) - (3*x^2*Sqrt[a^2 - x^2]*Sqrt[ArcSin[x/a]])/(8*a*Sqrt[1 - x^2/a^2]) + (1/2)*x*Sqrt[a^2 - x^2]*ArcSin[x/a]^(3/2) + (a*Sqrt[a^2 - x^2]*ArcSin[x/a]^(5/2))/(5*Sqrt[1 - x^2/a^2]) - (3*a*Sqrt[Pi]*Sqrt[a^2 - x^2]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcSin[x/a]])/Sqrt[Pi]])/(32*Sqrt[1 - x^2/a^2])}
+{ArcSin[x/a]^(3/2)/(a^2 - x^2)^(1/2), x, 1, (2*a*Sqrt[1 - x^2/a^2]*ArcSin[x/a]^(5/2))/(5*Sqrt[a^2 - x^2])}
+{ArcSin[x/a]^(3/2)/(a^2 - x^2)^(3/2), x, 1, (x*ArcSin[x/a]^(3/2))/(a^2*Sqrt[a^2 - x^2]) - (3*Sqrt[1 - x^2/a^2]*Unintegrable[(x*Sqrt[ArcSin[x/a]])/(1 - x^2/a^2), x])/(2*a^3*Sqrt[a^2 - x^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x/(Sqrt[1 - x^2]*Sqrt[ArcSin[x]]), x, 3, Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[x]]]}
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^(5/2)/Sqrt[ArcSin[a*x]], x, 9, (5*c^2*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(8*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (3*c^2*Sqrt[Pi/2]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(16*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (c^2*Sqrt[Pi/3]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*FresnelC[2*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(32*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (15*c^2*Sqrt[Pi]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*FresnelC[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(32*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/Sqrt[ArcSin[a*x]], x, 7, (3*c*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(4*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (c*Sqrt[Pi/2]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(8*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (c*Sqrt[Pi]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*FresnelC[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(2*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/Sqrt[ArcSin[a*x]], x, 5, ((c - a^2*c*x^2)^(1/2)*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (Sqrt[Pi]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*FresnelC[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(2*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^(1/2)*Sqrt[ArcSin[a*x]]), x, 1, (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcSin[a*x]])/(a*(c - a^2*c*x^2)^(1/2))}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcSin[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/((c - a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcSin[a*x]]), x]}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcSin[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/((c - a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcSin[a*x]]), x]}
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^(5/2)/ArcSin[a*x]^(3/2), x, 10, -((2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(a*Sqrt[ArcSin[a*x]])) - (3*c^2*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(2*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (c^2*Sqrt[3*Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*FresnelS[2*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(8*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (15*c^2*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(8*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/ArcSin[a*x]^(3/2), x, 8, -((2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(a*Sqrt[ArcSin[a*x]])) - (c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/ArcSin[a*x]^(3/2), x, 6, (-2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2))/(a*Sqrt[ArcSin[a*x]]) - (2*Sqrt[Pi]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*FresnelS[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^(1/2)*ArcSin[a*x]^(3/2)), x, 1, (-2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*Sqrt[ArcSin[a*x]])}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSin[a*x]^(3/2)), x, 1, -((2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcSin[a*x]])) + (4*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Unintegrable[x/((1 - a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcSin[a*x]]), x])/(c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcSin[a*x]^(3/2)), x, 1, -((2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcSin[a*x]])) + (8*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Unintegrable[x/((1 - a^2*x^2)^3*Sqrt[ArcSin[a*x]]), x])/(c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/ArcSin[a*x]^(5/2), x, 12, -((2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(3*a*ArcSin[a*x]^(3/2))) + (16*c*x*(1 - a^2*x^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*Sqrt[ArcSin[a*x]]) - (4*c*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcSin[a*x]]])/(3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (8*c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/ArcSin[a*x]^(5/2), x, 4, (-2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2))/(3*a*ArcSin[a*x]^(3/2)) + (8*x*(c - a^2*c*x^2)^(1/2))/(3*Sqrt[ArcSin[a*x]]) - (8*Sqrt[Pi]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*FresnelC[(2*Sqrt[ArcSin[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^(1/2)*ArcSin[a*x]^(5/2)), x, 1, (-2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*ArcSin[a*x]^(3/2))}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSin[a*x]^(5/2)), x, 1, -((2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSin[a*x]^(3/2))) + (4*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Unintegrable[x/((1 - a^2*x^2)^2*ArcSin[a*x]^(3/2)), x])/(3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcSin[a*x]^(5/2)), x, 1, -((2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcSin[a*x]^(3/2))) + (8*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Unintegrable[x/((1 - a^2*x^2)^3*ArcSin[a*x]^(3/2)), x])/(3*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcSin[c x])^n with n symbolic*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcSin[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcSin[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcSin[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x, 6, (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^(1 + n))/(8*b*c^3*(1 + n)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (I*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((4*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(2^(2*(3 + n))*E^((4*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (I*E^((4*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (4*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2^(2*(3 + n))*((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]))}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x, 9, -((Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(8*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]))) - (E^((I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(8*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (3^(-1 - n)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((3*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((3*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(8*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (3^(-1 - n)*E^((3*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(8*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]))}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x, 6, (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^(1 + n))/(2*b*c*(1 + n)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (I*2^(-3 - n)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((2*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((2*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(c*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (I*2^(-3 - n)*E^((2*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(c*Sqrt[1 - c^2*x^2]))}
+{(d - c^2*d*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^n/x^1, x, 6, (d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (d*E^((I*a)/b)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + d*Unintegrable[(a + b*ArcSin[c*x])^n/(x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x]}
+{(d - c^2*d*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^n/x^2, x, 3, -((c*d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^(1 + n))/(b*(1 + n)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + d*Unintegrable[(a + b*ArcSin[c*x])^n/(x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x]}
+
+
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x, 12, (d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^(1 + n))/(16*b*c^3*(1 + n)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (I*2^(-7 - n)*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((2*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((2*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (I*2^(-7 - n)*d*E^((2*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (I*2^(-7 - 2*n)*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((4*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((4*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (I*2^(-7 - 2*n)*d*E^((4*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (4*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (I*2^(-7 - n)*3^(-1 - n)*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((6*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((6*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (I*2^(-7 - n)*3^(-1 - n)*d*E^((6*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (6*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]))}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x, 12, -((d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(16*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]))) - (d*E^((I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(16*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((3*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(3^n*E^((3*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(32*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (d*E^((3*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(3^n*((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(32*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (5^(-1 - n)*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((5*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((5*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(32*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (5^(-1 - n)*d*E^((5*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (5*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(32*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]))}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x, 9, (3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^(1 + n))/(8*b*c*(1 + n)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (I*2^(-3 - n)*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((2*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((2*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(c*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (I*2^(-3 - n)*d*E^((2*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(c*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (I*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((4*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(2^(2*(3 + n))*E^((4*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(c*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (I*d*E^((4*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (4*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2^(2*(3 + n))*((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(c*Sqrt[1 - c^2*x^2]))}
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^n/x^1, x, 15, (1/(8*Sqrt[d - c^2*d*x^2]))*((5*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n)) + (5*d^2*E^((I*a)/b)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (1/(8*Sqrt[d - c^2*d*x^2]))*((3^(-1 - n)*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((3*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((3*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n)) + (1/(8*Sqrt[d - c^2*d*x^2]))*((3^(-1 - n)*d^2*E^((3*I*a)/b)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n) + d^2*Unintegrable[(a + b*ArcSin[c*x])^n/(x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x]}
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^n/x^2, x, 9, -((3*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^(1 + n))/(2*b*(1 + n)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (1/Sqrt[d - c^2*d*x^2])*((I*2^(-3 - n)*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((2*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((2*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n)) - (1/Sqrt[d - c^2*d*x^2])*((I*2^(-3 - n)*c*d^2*E^((2*I*a)/b)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n) + d^2*Unintegrable[(a + b*ArcSin[c*x])^n/(x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x]}
+
+
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x, 15, (5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^(1 + n))/(128*b*c^3*(1 + n)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (I*2^(-7 - n)*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((2*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((2*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (I*2^(-7 - n)*d^2*E^((2*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (I*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((4*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(2^(2*(4 + n))*E^((4*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (I*d^2*E^((4*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (4*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2^(2*(4 + n))*((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (I*2^(-7 - n)*3^(-1 - n)*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((6*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((6*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (I*2^(-7 - n)*3^(-1 - n)*d^2*E^((6*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (6*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (I*2^(-11 - 3*n)*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((8*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((8*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (I*2^(-11 - 3*n)*d^2*E^((8*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (8*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]))}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x, 15, -((5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(128*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]))) - (5*d^2*E^((I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(128*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (3^(1 - n)*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((3*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((3*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(128*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (3^(1 - n)*d^2*E^((3*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(128*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((5*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(5^n*E^((5*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(128*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (d^2*E^((5*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (5*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(5^n*((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(128*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (7^(-1 - n)*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((7*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((7*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(128*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (7^(-1 - n)*d^2*E^((7*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (7*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(128*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]))}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x, 12, (5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^(1 + n))/(16*b*c*(1 + n)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (15*I*2^(-7 - n)*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((2*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((2*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(c*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (15*I*2^(-7 - n)*d^2*E^((2*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(c*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (3*I*2^(-7 - 2*n)*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((4*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((4*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(c*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (3*I*2^(-7 - 2*n)*d^2*E^((4*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (4*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(c*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (I*2^(-7 - n)*3^(-1 - n)*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((6*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((6*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n*(c*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (I*2^(-7 - n)*3^(-1 - n)*d^2*E^((6*I*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (6*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(c*Sqrt[1 - c^2*x^2]))}
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^n/x^1, x, 27, (1/(16*Sqrt[d - c^2*d*x^2]))*((11*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n)) + (11*d^3*E^((I*a)/b)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n*(16*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (1/(32*Sqrt[d - c^2*d*x^2]))*((5*3^(-1 - n)*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((3*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((3*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n)) + (1/(8*Sqrt[d - c^2*d*x^2]))*((d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((3*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(3^n*E^((3*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n)) - (1/(32*Sqrt[d - c^2*d*x^2]))*((5*3^(-1 - n)*d^3*E^((3*I*a)/b)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n) + (1/(8*Sqrt[d - c^2*d*x^2]))*((d^3*E^((3*I*a)/b)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(3^n*((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n)) + (1/(32*Sqrt[d - c^2*d*x^2]))*((5^(-1 - n)*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((5*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((5*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n)) + (1/(32*Sqrt[d - c^2*d*x^2]))*((5^(-1 - n)*d^3*E^((5*I*a)/b)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (5*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n) + d^3*Unintegrable[(a + b*ArcSin[c*x])^n/(x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x]}
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^n/x^2, x, 18, -((15*c*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^(1 + n))/(8*b*(1 + n)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (1/Sqrt[d - c^2*d*x^2])*((I*2^(-2 - n)*c*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((2*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(E^((2*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n)) - (1/Sqrt[d - c^2*d*x^2])*((I*2^(-2 - n)*c*d^3*E^((2*I*a)/b)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n) + (1/Sqrt[d - c^2*d*x^2])*((I*c*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((4*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)])/(2^(2*(3 + n))*E^((4*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b))^n)) - (1/Sqrt[d - c^2*d*x^2])*((I*c*d^3*E^((4*I*a)/b)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n*Gamma[1 + n, (4*I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2^(2*(3 + n))*((I*(a + b*ArcSin[c*x]))/b)^n)) + d^3*Unintegrable[(a + b*ArcSin[c*x])^n/(x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^m*ArcSin[a*x]^n/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcSin[a*x]^n)/Sqrt[1 - a^2*x^2], x]}
+
+{x^3*ArcSin[a*x]^n/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 9, -((3*ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, (-I)*ArcSin[a*x]])/(((-I)*ArcSin[a*x])^n*(8*a^4))) - (3*ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, I*ArcSin[a*x]])/((I*ArcSin[a*x])^n*(8*a^4)) + (3^(-1 - n)*ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, -3*I*ArcSin[a*x]])/(((-I)*ArcSin[a*x])^n*(8*a^4)) + (3^(-1 - n)*ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, 3*I*ArcSin[a*x]])/((I*ArcSin[a*x])^n*(8*a^4))}
+{x^2*ArcSin[a*x]^n/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 6, ArcSin[a*x]^(1 + n)/(2*a^3*(1 + n)) + (I*2^(-3 - n)*ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, -2*I*ArcSin[a*x]])/(((-I)*ArcSin[a*x])^n*a^3) - (I*2^(-3 - n)*ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, 2*I*ArcSin[a*x]])/((I*ArcSin[a*x])^n*a^3)}
+{x^1*ArcSin[a*x]^n/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 4, -((ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, (-I)*ArcSin[a*x]])/(((-I)*ArcSin[a*x])^n*(2*a^2))) - (ArcSin[a*x]^n*Gamma[1 + n, I*ArcSin[a*x]])/((I*ArcSin[a*x])^n*(2*a^2))}
+{x^0*ArcSin[a*x]^n/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 1, ArcSin[a*x]^(1 + n)/(a*(1 + n))}
+{ArcSin[a*x]^n/(x^1*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 0, Unintegrable[ArcSin[a*x]^n/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x]}
+{ArcSin[a*x]^n/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 0, Unintegrable[ArcSin[a*x]^n/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x)^p (f+g x)^q (a+b ArcSin[c x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^(p/2) (f+g x)^(q/2) (a+b ArcSin[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^(p/2) (f+g x)^(q/2) (a+b ArcSin[c x])^1 with e f+d g=0 and c^2 d^2-e^2=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{(d + c*d*x)^(5/2)*Sqrt[f - c*f*x]*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 13, (2*b*d^2*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c*d^2*x^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c^2*d^2*x^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d^2*x^4*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*d^2*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/8 + (c^2*d^2*x^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/4 - (2*d^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c) + (5*d^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d + c*d*x)^(3/2)*Sqrt[f - c*f*x]*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 8, (b*d*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*d*x^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])/(4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^2*d*x^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (d*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/2 - (d*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c) + (d*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d + c*d*x)^(1/2)*Sqrt[f - c*f*x]*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 4, -(b*c*x^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])/(4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/2 + (Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{Sqrt[f - c*f*x]*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + c*d*x)^(1/2), x, 6, -((b*f*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])) + (f*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) + (f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])}
+{Sqrt[f - c*f*x]*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + c*d*x)^(3/2), x, 8, (-2*f^2*(1 - c*x)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) - (f^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) + (2*b*f^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Log[1 + c*x])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))}
+{Sqrt[f - c*f*x]*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + c*d*x)^(5/2), x, 6, (-2*b*f^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(3*c*(1 + c*x)*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) - (f^3*(1 - c*x)^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) - (b*f^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Log[1 + c*x])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2))}
+
+
+{(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 12, (b*d*x*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))/(5*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (5*b*c*d*x^2*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))/(16*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (2*b*c^2*d*x^3*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))/(15*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + (b*c^3*d*x^4*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))/(16*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + (b*c^4*d*x^5*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))/(25*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + (d*x*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/4 + (3*d*x*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*(1 - c^2*x^2)) - (d*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c) + (3*d*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*b*c*(1 - c^2*x^2)^(3/2))}
+{(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 7, (-5*b*c*x^2*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))/(16*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + (b*c^3*x^4*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))/(16*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + (x*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/4 + (3*x*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*(1 - c^2*x^2)) + (3*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*b*c*(1 - c^2*x^2)^(3/2))}
+{(d + c*d*x)^(1/2)*(f - c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 8, -(b*f*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*f*x^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])/(4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^2*f*x^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (f*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/2 + (f*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c) + (f*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(f - c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + c*d*x)^(1/2), x, 9, (-2*b*f^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) + (b*c*f^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) + (2*f^2*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) - (f^2*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) + (3*f^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])}
+{(f - c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + c*d*x)^(3/2), x, 10, (b*f^3*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/((d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) - (4*f^3*(1 - c*x)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) - (f^3*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) - (3*f^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) + (4*b*f^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Log[1 + c*x])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))}
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+
+
+{(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 9, (-25*b*c*x^2*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2))/(96*(1 - c^2*x^2)^(5/2)) + (5*b*c^3*x^4*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2))/(96*(1 - c^2*x^2)^(5/2)) + (b*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(36*c) + (x*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/6 + (5*x*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*(1 - c^2*x^2)^2) + (5*x*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(24*(1 - c^2*x^2)) + (5*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(32*b*c*(1 - c^2*x^2)^(5/2))}
+{(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 12, -(b*f*x*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))/(5*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (5*b*c*f*x^2*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))/(16*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + (2*b*c^2*f*x^3*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))/(15*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + (b*c^3*f*x^4*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))/(16*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (b*c^4*f*x^5*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))/(25*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + (f*x*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/4 + (3*f*x*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*(1 - c^2*x^2)) + (f*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c) + (3*f*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*b*c*(1 - c^2*x^2)^(3/2))}
+{(d + c*d*x)^(1/2)*(f - c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 13, (-2*b*f^2*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c*f^2*x^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^2*f^2*x^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*f^2*x^4*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*f^2*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/8 + (c^2*f^2*x^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/4 + (2*f^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c) + (5*f^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(f - c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + c*d*x)^(1/2), x, 13, (-11*b*f^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) + (3*b*c*f^3*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) - (b*c^2*f^3*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) + (11*f^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) - (3*f^3*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) + (c*f^3*x^2*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) + (5*f^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])}
+{(f - c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + c*d*x)^(3/2), x, 7, (3*b*f^4*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(2*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) + (b*c*f^4*x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/((d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) - (5*b*f^4*(1 - c*x)^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(4*c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) + (15*b*f^4*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*ArcSin[c*x]^2)/(4*c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) - (2*f^4*(1 - c*x)^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) - (15*f^4*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) - (5*f^4*(1 - c*x)*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) - (15*f^4*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*ArcSin[c*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) + (8*b*f^4*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Log[1 + c*x])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))}
+{(f - c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + c*d*x)^(5/2), x, 10, -((b*f^5*x*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/((d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2))) - (8*b*f^5*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(3*c*(1 + c*x)*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) - (5*b*f^5*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*ArcSin[c*x]^2)/(2*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) - (2*f^5*(1 - c*x)^4*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (10*f^5*(1 - c*x)^2*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (5*f^5*(1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (5*f^5*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*ArcSin[c*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) - (28*b*f^5*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Log[1 + c*x])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{((d + c*d*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/Sqrt[f - c*f*x], x, 13, (11*b*d^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) + (3*b*c*d^3*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) + (b*c^2*d^3*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) - (11*d^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) - (3*d^3*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) - (c*d^3*x^2*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) + (5*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])}
+{((d + c*d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/Sqrt[f - c*f*x], x, 9, (2*b*d^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) + (b*c*d^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) - (2*d^2*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) - (d^2*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) + (3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])}
+{((d + c*d*x)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/Sqrt[f - c*f*x], x, 6, (b*d*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) - (d*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x]) + (d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/((d + c*d*x)^(1/2)*Sqrt[f - c*f*x]), x, 2, (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[f - c*f*x])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/((d + c*d*x)^(3/2)*Sqrt[f - c*f*x]), x, 5, -((f*(1 - c*x)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))) + (b*f*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Log[1 + c*x])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/((d + c*d*x)^(5/2)*Sqrt[f - c*f*x]), x, 8, -(b*f^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(3*c*(1 + c*x)*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) - (2*f^2*(1 - c*x)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (f^2*x*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (b*f^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*ArcTanh[c*x])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (b*f^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Log[1 - c^2*x^2])/(6*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2))}
+
+
+{((d + c*d*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f - c*f*x)^(3/2), x, 7, (-3*b*d^4*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(2*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) + (b*c*d^4*x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/((d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) - (5*b*d^4*(1 + c*x)^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(4*c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) + (15*b*d^4*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*ArcSin[c*x]^2)/(4*c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) + (2*d^4*(1 + c*x)^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) + (15*d^4*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) + (5*d^4*(1 + c*x)*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) - (15*d^4*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*ArcSin[c*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) + (8*b*d^4*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Log[1 - c*x])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))}
+{((d + c*d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f - c*f*x)^(3/2), x, 10, -((b*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/((d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))) + (4*d^3*(1 + c*x)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) + (d^3*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) - (3*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) + (4*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Log[1 - c*x])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))}
+{((d + c*d*x)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f - c*f*x)^(3/2), x, 8, (2*d^2*(1 + c*x)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) - (d^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) + (2*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Log[1 - c*x])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/((d + c*d*x)^(1/2)*(f - c*f*x)^(3/2)), x, 5, (d*(1 + c*x)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) + (b*d*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Log[1 - c*x])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/((d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)), x, 3, (x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/((d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2)) + (b*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c*(d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(3/2))}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/((d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(3/2)), x, 8, -(b*f*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(6*c*(1 + c*x)*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) - (f*(1 - c*x)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (2*f*x*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (b*f*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*ArcTanh[c*x])/(6*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (b*f*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Log[1 - c^2*x^2])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2))}
+
+
+{((d + c*d*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f - c*f*x)^(5/2), x, 10, (b*d^5*x*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/((d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) - (8*b*d^5*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(3*c*(1 - c*x)*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) - (5*b*d^5*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*ArcSin[c*x]^2)/(2*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (2*d^5*(1 + c*x)^4*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) - (10*d^5*(1 + c*x)^2*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) - (5*d^5*(1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (5*d^5*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*ArcSin[c*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) - (28*b*d^5*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Log[1 - c*x])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2))}
+{((d + c*d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f - c*f*x)^(5/2), x, 9, (-4*b*d^4*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(3*c*(1 - c*x)*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) - (b*d^4*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*ArcSin[c*x]^2)/(2*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (2*d^4*(1 + c*x)^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) - (2*d^4*(1 + c*x)*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (d^4*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*ArcSin[c*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) - (8*b*d^4*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Log[1 - c*x])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2))}
+{((d + c*d*x)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f - c*f*x)^(5/2), x, 6, (-2*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(3*c*(1 - c*x)*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (d^3*(1 + c*x)^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) - (b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Log[1 - c*x])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2))}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/((d + c*d*x)^(1/2)*(f - c*f*x)^(5/2)), x, 8, -(b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(3*c*(1 - c*x)*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (2*d^2*(1 + c*x)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (d^2*x*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) - (b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*ArcTanh[c*x])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Log[1 - c^2*x^2])/(6*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2))}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/((d + c*d*x)^(3/2)*(f - c*f*x)^(5/2)), x, 8, -(b*d*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(6*c*(1 - c*x)*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (d*(1 + c*x)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (2*d*x*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) - (b*d*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*ArcTanh[c*x])/(6*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (b*d*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Log[1 - c^2*x^2])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2))}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/((d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)), x, 5, -(b*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(6*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (2*x*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2)) + (b*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Log[1 - c^2*x^2])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(f - c*f*x)^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^(p/2) (f+g x)^(q/2) (a+b ArcSin[c x])^2 with e f+d g=0 and c^2 d^2-e^2=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{(d + c*d*x)^(5/2)*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 23, (8*b^2*d^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])/(9*c) - (15*b^2*d^2*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])/64 - (b^2*c^2*d^2*x^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])/32 + (4*b^2*d^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(1 - c^2*x^2))/(27*c) + (15*b^2*d^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*ArcSin[c*x])/(64*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (4*b*d^2*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c*d^2*x^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (4*b*c^2*d^2*x^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d^2*x^4*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*d^2*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/8 + (c^2*d^2*x^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/4 - (2*d^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c) + (5*d^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(24*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d + c*d*x)^(3/2)*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 13, (4*b^2*d*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])/(9*c) - (b^2*d*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])/4 + (2*b^2*d*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(1 - c^2*x^2))/(27*c) + (b^2*d*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*ArcSin[c*x])/(4*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*d*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*d*x^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c^2*d*x^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (d*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/2 - (d*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c) + (d*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(6*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d + c*d*x)^(1/2)*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 6, -(b^2*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])/4 + (b^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*ArcSin[c*x])/(4*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*x^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/2 + (Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(6*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d + c*d*x)^(1/2), x, 8, (-2*a*b*e*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (2*b^2*e*(1 - c^2*x^2))/(c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (2*b^2*e*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (e*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (e*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])}
+{(Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d + c*d*x)^(3/2), x, 19, (-2*e^2*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)) + (2*e^2*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/((d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)) - ((2*I)*e^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)) - (e^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)) - ((8*I)*b*e^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)) + (4*b*e^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)) + ((4*I)*b^2*e^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)) - ((4*I)*b^2*e^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)) - ((2*I)*b^2*e^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2))}
+{(Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d + c*d*x)^(5/2), x, 20, ((I/3)*e^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (4*b^2*e^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Cot[Pi/4 + ArcSin[c*x]/2])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (e^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Cot[Pi/4 + ArcSin[c*x]/2])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (2*b*e^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Csc[Pi/4 + ArcSin[c*x]/2]^2)/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (e^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Cot[Pi/4 + ArcSin[c*x]/2]*Csc[Pi/4 + ArcSin[c*x]/2]^2)/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (4*b*e^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (((4*I)/3)*b^2*e^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2))}
+
+
+{(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 19, (8*b^2*d*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2))/(225*c) - (b^2*d*x*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2))/32 + (16*b^2*d*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2))/(75*c*(1 - c^2*x^2)) - (15*b^2*d*x*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2))/(64*(1 - c^2*x^2)) + (2*b^2*d*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)*(1 - c^2*x^2))/(125*c) + (9*b^2*d*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)*ArcSin[c*x])/(64*c*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + (2*b*d*x*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (3*b*c*d*x^2*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (4*b*c^2*d*x^3*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(15*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + (2*b*c^4*d*x^5*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + (b*d*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c) + (d*x*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/4 + (3*d*x*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(8*(1 - c^2*x^2)) - (d*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(5*c) + (d*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(8*b*c*(1 - c^2*x^2)^(3/2))}
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+
+
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+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
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+
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+{((d + c*d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/Sqrt[e - c*e*x], x, 11, (4*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2))/(c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (b^2*d^2*x*(1 - c^2*x^2))/(4*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (b^2*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(4*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (4*b*d^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (b*c*d^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (2*d^2*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (d^2*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(2*b*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])}
+{((d + c*d*x)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/Sqrt[e - c*e*x], x, 8, (2*a*b*d*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (2*b^2*d*(1 - c^2*x^2))/(c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (2*b^2*d*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (d*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/((d + c*d*x)^(1/2)*Sqrt[e - c*e*x]), x, 2, (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/((d + c*d*x)^(3/2)*Sqrt[e - c*e*x]), x, 16, -((e*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2))) + (e*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/((d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)) - (I*e*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)) - ((4*I)*b*e*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)) + (2*b*e*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)) + ((2*I)*b^2*e*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)) - ((2*I)*b^2*e*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)) - (I*b^2*e*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2))}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/((d + c*d*x)^(5/2)*Sqrt[e - c*e*x]), x, 30, (-2*b^2*e^2*(1 - c^2*x^2)^2)/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (2*b^2*e^2*x*(1 - c^2*x^2)^2)/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (b^2*e^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*ArcSin[c*x])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (b*e^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (2*b*e^2*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (b*c*e^2*x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (2*e^2*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (e^2*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (c^2*e^2*x^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (2*e^2*x*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - ((I/3)*e^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (((4*I)/3)*b*e^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (2*b*e^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (((2*I)/3)*b^2*e^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (((2*I)/3)*b^2*e^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - ((I/3)*b^2*e^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2))}
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+
+
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+{((d + c*d*x)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(e - c*e*x)^(5/2), x, 20, ((-I/3)*d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (4*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - I/E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (((4*I)/3)*b^2*d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, I/E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (2*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Sec[Pi/4 + ArcSin[c*x]/2]^2)/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (4*b^2*d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Tan[Pi/4 + ArcSin[c*x]/2])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Tan[Pi/4 + ArcSin[c*x]/2])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (d^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Sec[Pi/4 + ArcSin[c*x]/2]^2*Tan[Pi/4 + ArcSin[c*x]/2])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2))}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/((d + c*d*x)^(1/2)*(e - c*e*x)^(5/2)), x, 30, (2*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^2)/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (2*b^2*d^2*x*(1 - c^2*x^2)^2)/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*ArcSin[c*x])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (2*b*d^2*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (b*c*d^2*x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (2*d^2*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (d^2*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (c^2*d^2*x^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (2*d^2*x*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - ((I/3)*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (((4*I)/3)*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (2*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (((2*I)/3)*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (((2*I)/3)*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - ((I/3)*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2))}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/((d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(5/2)), x, 21, (b^2*d*(1 - c^2*x^2)^2)/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (b^2*d*x*(1 - c^2*x^2)^2)/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (b*d*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (b*d*x*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (d*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (d*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (2*d*x*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (((2*I)/3)*d*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (((2*I)/3)*b*d*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (4*b*d*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - ((I/3)*b^2*d*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + ((I/3)*b^2*d*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (((2*I)/3)*b^2*d*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2))}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/((d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)), x, 10, (b^2*x*(1 - c^2*x^2)^2)/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (b*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (2*x*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (((2*I)/3)*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) + (4*b*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(3*c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2)) - (((2*I)/3)*b^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(5/2)*(e - c*e*x)^(5/2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^(p/2) (f+g x)^(q/2) (a+b ArcSin[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^(p/2) (f+g x)^(p/2) (a+b ArcSin[c x])^2 where e f+d g=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(e - c*e*x)^(1/2)*(d + c*d*x)^(1/2), x, 11, (b^2*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])/(64*c^2) - (1/32)*b^2*x^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x] - (b^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*ArcSin[c*x])/(64*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*x^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*x^4*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(8*c^2) + (1/4)*x^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(24*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(e - c*e*x)^(1/2)*(d + c*d*x)^(1/2), x, 6, (4*b^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])/(9*c^2) + (2*b^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(1 - c^2*x^2))/(27*c^2) + (2*b*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*x^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^2)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(e - c*e*x)^(1/2)*(d + c*d*x)^(1/2), x, 6, (-(1/4))*b^2*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x] + (b^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*ArcSin[c*x])/(4*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*x^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (1/2)*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(6*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2*(e - c*e*x)^(1/2)*(d + c*d*x)^(1/2)/x^1, x, 13, -2*b^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x] - (2*a*b*c*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (2*b^2*c*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*ArcSin[c*x])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (2*I*b*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (2*I*b*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (2*b^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (2*b^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2*(e - c*e*x)^(1/2)*(d + c*d*x)^(1/2)/x^2, x, 8, -((Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x) - (I*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (I*b^2*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(e - c*e*x)^(3/2)*(d + c*d*x)^(3/2), x, 18, -((7*b^2*d*e*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])/(1152*c^2)) - (43*b^2*d*e*x^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])/1728 + (1/108)*b^2*c^2*d*e*x^5*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x] + (7*b^2*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*ArcSin[c*x])/(1152*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d*e*x^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (7*b*c*d*e*x^4*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(48*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*e*x^6*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(18*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (d*e*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*c^2) + (1/8)*d*e*x^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/6)*d*e*x^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(48*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(e - c*e*x)^(3/2)*(d + c*d*x)^(3/2), x, 7, (16*b^2*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])/(75*c^2) + (8*b^2*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(1 - c^2*x^2))/(225*c^2) + (2*b^2*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(1 - c^2*x^2)^2)/(125*c^2) + (2*b*d*e*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (4*b*c*d*e*x^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(15*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^3*d*e*x^5*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(5*c^2)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(e - c*e*x)^(3/2)*(d + c*d*x)^(3/2), x, 11, (-(1/32))*b^2*x*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2) - (15*b^2*x*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2))/(64*(1 - c^2*x^2)) + (9*b^2*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)*ArcSin[c*x])/(64*c*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) - (3*b*c*x^2*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*(1 - c^2*x^2)^(3/2)) + (b*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c) + (1/4)*x*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (3*x*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(8*(1 - c^2*x^2)) + ((d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(8*b*c*(1 - c^2*x^2)^(3/2))}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2*(e - c*e*x)^(3/2)*(d + c*d*x)^(3/2)/x^1, x, 18, (1/9)*-22*b^2*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x] - (2*a*b*c*d*e*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (2/27)*b^2*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(1 - c^2*x^2) - (2*b^2*c*d*e*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*ArcSin[c*x])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (2*b*c*d*e*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^3*d*e*x^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/3)*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (2*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (2*I*b*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (2*I*b*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (2*b^2*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] + (2*b^2*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2*(e - c*e*x)^(3/2)*(d + c*d*x)^(3/2)/x^2, x, 15, (1/4)*b^2*c^2*d*e*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x] - (5*b^2*c*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*ArcSin[c*x])/(4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*b*c^3*d*e*x^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + b*c*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (3/2)*c^2*d*e*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (I*c*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/x - (c*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2] - (I*b^2*c*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2/((e - c*e*x)^(1/2)*(d + c*d*x)^(1/2)), x, 6, (b^2*x*(1 - c^2*x^2))/(4*c^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(4*c^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*c^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(6*b*c^3*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2/((e - c*e*x)^(1/2)*(d + c*d*x)^(1/2)), x, 5, (2*a*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (2*b^2*(1 - c^2*x^2))/(c^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (2*b^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - ((1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^2*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])^2/((e - c*e*x)^(1/2)*(d + c*d*x)^(1/2)), x, 2, (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^1*(e - c*e*x)^(1/2)*(d + c*d*x)^(1/2)), x, 9, -((2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/(Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])) + (2*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (2*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/(Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (2*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (2*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c*x])])/(Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^2*(e - c*e*x)^(1/2)*(d + c*d*x)^(1/2)), x, 7, -((I*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])) - ((1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (2*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (I*b^2*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2/((e - c*e*x)^(3/2)*(d + c*d*x)^(3/2)), x, 8, (x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^2*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (I*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^3*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c^3*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2/((e - c*e*x)^(3/2)*(d + c*d*x)^(3/2)), x, 8, (a + b*ArcSin[c*x])^2/(c^2*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (4*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^2*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (2*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^2*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (2*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^2*d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x])^2/((e - c*e*x)^(3/2)*(d + c*d*x)^(3/2)), x, 7, (x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/((d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)) - (I*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)) + (2*b*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2)) - (I*b^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(c*(d + c*d*x)^(3/2)*(e - c*e*x)^(3/2))}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^1*(e - c*e*x)^(3/2)*(d + c*d*x)^(3/2)), x, 16, (a + b*ArcSin[c*x])^2/(d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (4*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (2*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (2*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (2*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (2*I*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (2*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (2*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(x^2*(e - c*e*x)^(3/2)*(d + c*d*x)^(3/2)), x, 15, -((a + b*ArcSin[c*x])^2/(d*e*x*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])) + (2*c^2*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (2*I*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (4*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTanh[E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) + (4*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (I*b^2*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x]) - (I*b^2*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(d*e*Sqrt[d + c*d*x]*Sqrt[e - c*e*x])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcSin[c x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcSin[c x])^1*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^p (a+b ArcSin[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^4*(d + e*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (b*(7*c^2*d + 5*e)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(35*c^7) - (b*(14*c^2*d + 15*e)*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(105*c^7) + (b*(7*c^2*d + 15*e)*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(175*c^7) - (b*e*(1 - c^2*x^2)^(7/2))/(49*c^7) + (1/5)*d*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/7)*e*x^7*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^3*(d + e*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 6, (b*(9*c^2*d + 5*e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(96*c^5) + (b*(9*c^2*d + 5*e)*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(144*c^3) + (b*e*x^5*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(36*c) - (b*(9*c^2*d + 5*e)*ArcSin[c*x])/(96*c^6) + (1/4)*d*x^4*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/6)*e*x^6*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^2*(d + e*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (b*(5*c^2*d + 3*e)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(15*c^5) - (b*(5*c^2*d + 6*e)*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(45*c^5) + (b*e*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(25*c^5) + (1/3)*d*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/5)*e*x^5*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^1*(d + e*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 4, (3*b*(2*c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(32*c^3) + (b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2))/(16*c) - (b*(8*c^4*d^2 + 8*c^2*d*e + 3*e^2)*ArcSin[c*x])/(32*c^4*e) + ((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*e)}
+{x^0*(d + e*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 4, (b*(3*c^2*d + e)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c^3) - (b*e*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(9*c^3) + d*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/3)*e*x^3*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])/x^1, x, 12, (b*e*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c) - (b*e*ArcSin[c*x])/(4*c^2) - (1/2)*I*b*d*ArcSin[c*x]^2 + (1/2)*e*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]) + b*d*ArcSin[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])] - b*d*ArcSin[c*x]*Log[x] + d*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[x] - (1/2)*I*b*d*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])]}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])/x^2, x, 5, (b*e*Sqrt[1 - c^2*x^2])/c - (d*(a + b*ArcSin[c*x]))/x + e*x*(a + b*ArcSin[c*x]) - b*c*d*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]]}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])/x^3, x, 10, -((b*c*d*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*x)) - (1/2)*I*b*e*ArcSin[c*x]^2 - (d*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*x^2) + b*e*ArcSin[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])] - b*e*ArcSin[c*x]*Log[x] + e*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[x] - (1/2)*I*b*e*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])]}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])/x^4, x, 6, -((b*c*d*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*x^2)) - (d*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*x^3) - (e*(a + b*ArcSin[c*x]))/x - (1/6)*b*c*(c^2*d + 6*e)*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]]}
+
+
+{x^4*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 6, (b*(63*c^4*d^2 + 90*c^2*d*e + 35*e^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(315*c^9) - (2*b*(63*c^4*d^2 + 135*c^2*d*e + 70*e^2)*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(945*c^9) + (b*(21*c^4*d^2 + 90*c^2*d*e + 70*e^2)*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(525*c^9) - (2*b*e*(9*c^2*d + 14*e)*(1 - c^2*x^2)^(7/2))/(441*c^9) + (b*e^2*(1 - c^2*x^2)^(9/2))/(81*c^9) + (1/5)*d^2*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]) + (2/7)*d*e*x^7*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/9)*e^2*x^9*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^3*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 7, (b*(288*c^4*d^2 + 320*c^2*d*e + 105*e^2)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3072*c^7) + (b*(288*c^4*d^2 + 320*c^2*d*e + 105*e^2)*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4608*c^5) + (b*e*(64*c^2*d + 21*e)*x^5*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(1152*c^3) + (b*e^2*x^7*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(64*c) - (b*(288*c^4*d^2 + 320*c^2*d*e + 105*e^2)*ArcSin[c*x])/(3072*c^8) + (1/4)*d^2*x^4*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/3)*d*e*x^6*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/8)*e^2*x^8*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^2*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (b*(35*c^4*d^2 + 42*c^2*d*e + 15*e^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(105*c^7) - (b*(35*c^4*d^2 + 84*c^2*d*e + 45*e^2)*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(315*c^7) + (b*e*(14*c^2*d + 15*e)*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(175*c^7) - (b*e^2*(1 - c^2*x^2)^(7/2))/(49*c^7) + (1/3)*d^2*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (2/5)*d*e*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/7)*e^2*x^7*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^1*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (b*(44*c^4*d^2 + 44*c^2*d*e + 15*e^2)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(288*c^5) + (5*b*(2*c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2))/(144*c^3) + (b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^2)/(36*c) - (b*(2*c^2*d + e)*(8*c^4*d^2 + 8*c^2*d*e + 5*e^2)*ArcSin[c*x])/(96*c^6*e) + ((d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(6*e)}
+{x^0*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (b*(15*c^4*d^2 + 10*c^2*d*e + 3*e^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(15*c^5) - (2*b*e*(5*c^2*d + 3*e)*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(45*c^5) + (b*e^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(25*c^5) + d^2*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + (2/3)*d*e*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/5)*e^2*x^5*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])/x^1, x, 14, (b*d*e*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*c) + (3*b*e^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(32*c^3) + (b*e^2*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*c) - (b*d*e*ArcSin[c*x])/(2*c^2) - (3*b*e^2*ArcSin[c*x])/(32*c^4) - (1/2)*I*b*d^2*ArcSin[c*x]^2 + d*e*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/4)*e^2*x^4*(a + b*ArcSin[c*x]) + b*d^2*ArcSin[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])] - b*d^2*ArcSin[c*x]*Log[x] + d^2*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[x] - (1/2)*I*b*d^2*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])]}
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])/x^2, x, 6, (b*e*(6*c^2*d + e)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c^3) - (b*e^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(9*c^3) - (d^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/x + 2*d*e*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/3)*e^2*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) - b*c*d^2*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]]}
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])/x^3, x, 13, -((b*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*x)) + (b*e^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c) - (b*e^2*ArcSin[c*x])/(4*c^2) - I*b*d*e*ArcSin[c*x]^2 - (d^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*x^2) + (1/2)*e^2*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]) + 2*b*d*e*ArcSin[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])] - 2*b*d*e*ArcSin[c*x]*Log[x] + 2*d*e*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[x] - I*b*d*e*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])]}
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])/x^4, x, 6, (b*e^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/c - (b*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*x^2) - (d^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*x^3) - (2*d*e*(a + b*ArcSin[c*x]))/x + e^2*x*(a + b*ArcSin[c*x]) - (1/6)*b*c*d*(c^2*d + 12*e)*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]]}
+
+
+{x^4*(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (b*(231*c^6*d^3 + 495*c^4*d^2*e + 385*c^2*d*e^2 + 105*e^3)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(1155*c^11) - (b*(462*c^6*d^3 + 1485*c^4*d^2*e + 1540*c^2*d*e^2 + 525*e^3)*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(3465*c^11) + (b*(77*c^6*d^3 + 495*c^4*d^2*e + 770*c^2*d*e^2 + 350*e^3)*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(1925*c^11) - (b*e*(99*c^4*d^2 + 308*c^2*d*e + 210*e^2)*(1 - c^2*x^2)^(7/2))/(1617*c^11) + (b*e^2*(11*c^2*d + 15*e)*(1 - c^2*x^2)^(9/2))/(297*c^11) - (b*e^3*(1 - c^2*x^2)^(11/2))/(121*c^11) + (1/5)*d^3*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]) + (3/7)*d^2*e*x^7*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/3)*d*e^2*x^9*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/11)*e^3*x^11*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^3*(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 8, -((b*(1232*c^8*d^4 - 2536*c^6*d^3*e - 7758*c^4*d^2*e^2 - 6615*c^2*d*e^3 - 1890*e^4)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(76800*c^9*e)) - (b*(136*c^6*d^3 - 1096*c^4*d^2*e - 1617*c^2*d*e^2 - 630*e^3)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2))/(38400*c^7*e) + (b*(26*c^4*d^2 + 201*c^2*d*e + 126*e^2)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^2)/(9600*c^5*e) + (b*(11*c^2*d + 18*e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^3)/(1600*c^3*e) + (b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^4)/(100*c*e) + (b*(128*c^10*d^5 - 480*c^6*d^3*e^2 - 800*c^4*d^2*e^3 - 525*c^2*d*e^4 - 126*e^5)*ArcSin[c*x])/(5120*c^10*e^2) - (d*(d + e*x^2)^4*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*e^2) + ((d + e*x^2)^5*(a + b*ArcSin[c*x]))/(10*e^2)}
+{x^2*(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (b*(105*c^6*d^3 + 189*c^4*d^2*e + 135*c^2*d*e^2 + 35*e^3)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(315*c^9) - (b*(105*c^6*d^3 + 378*c^4*d^2*e + 405*c^2*d*e^2 + 140*e^3)*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(945*c^9) + (b*e*(63*c^4*d^2 + 135*c^2*d*e + 70*e^2)*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(525*c^9) - (b*e^2*(27*c^2*d + 28*e)*(1 - c^2*x^2)^(7/2))/(441*c^9) + (b*e^3*(1 - c^2*x^2)^(9/2))/(81*c^9) + (1/3)*d^3*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (3/5)*d^2*e*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]) + (3/7)*d*e^2*x^7*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/9)*e^3*x^9*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{x^1*(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 6, (5*b*(2*c^2*d + e)*(40*c^4*d^2 + 40*c^2*d*e + 21*e^2)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3072*c^7) + (b*(104*c^4*d^2 + 104*c^2*d*e + 35*e^2)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2))/(1536*c^5) + (7*b*(2*c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^2)/(384*c^3) + (b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^3)/(64*c) - (b*(128*c^8*d^4 + 256*c^6*d^3*e + 288*c^4*d^2*e^2 + 160*c^2*d*e^3 + 35*e^4)*ArcSin[c*x])/(1024*c^8*e) + ((d + e*x^2)^4*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*e)}
+{x^0*(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (b*(35*c^6*d^3 + 35*c^4*d^2*e + 21*c^2*d*e^2 + 5*e^3)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(35*c^7) - (b*e*(35*c^4*d^2 + 42*c^2*d*e + 15*e^2)*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(105*c^7) + (3*b*e^2*(7*c^2*d + 5*e)*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(175*c^7) - (b*e^3*(1 - c^2*x^2)^(7/2))/(49*c^7) + d^3*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + d^2*e*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (3/5)*d*e^2*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/7)*e^3*x^7*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])/x^1, x, 19, (3*b*d^2*e*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c) + (9*b*d*e^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(32*c^3) + (5*b*e^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(96*c^5) + (3*b*d*e^2*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*c) + (5*b*e^3*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(144*c^3) + (b*e^3*x^5*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(36*c) - (3*b*d^2*e*ArcSin[c*x])/(4*c^2) - (9*b*d*e^2*ArcSin[c*x])/(32*c^4) - (5*b*e^3*ArcSin[c*x])/(96*c^6) - (1/2)*I*b*d^3*ArcSin[c*x]^2 + (3/2)*d^2*e*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]) + (3/4)*d*e^2*x^4*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/6)*e^3*x^6*(a + b*ArcSin[c*x]) + b*d^3*ArcSin[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])] - b*d^3*ArcSin[c*x]*Log[x] + d^3*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[x] - (1/2)*I*b*d^3*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])]}
+{(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])/x^2, x, 6, (b*e*(15*c^4*d^2 + 5*c^2*d*e + e^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(5*c^5) - (b*e^2*(5*c^2*d + 2*e)*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(15*c^5) + (b*e^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(25*c^5) - (d^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/x + 3*d^2*e*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + d*e^2*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/5)*e^3*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]) - b*c*d^3*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]]}
+{(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])/x^3, x, 15, -((b*c*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*x)) + (3*b*e^2*(8*c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(32*c^3) + (b*e^3*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*c) - (3*b*e^2*(8*c^2*d + e)*ArcSin[c*x])/(32*c^4) - (3/2)*I*b*d^2*e*ArcSin[c*x]^2 - (d^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*x^2) + (3/2)*d*e^2*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/4)*e^3*x^4*(a + b*ArcSin[c*x]) + 3*b*d^2*e*ArcSin[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])] - 3*b*d^2*e*ArcSin[c*x]*Log[x] + 3*d^2*e*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[x] - (3/2)*I*b*d^2*e*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])]}
+{(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])/x^4, x, 8, (b*e^2*(9*c^2*d + e)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c^3) - (b*c*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*x^2) - (b*e^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(9*c^3) - (d^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*x^3) - (3*d^2*e*(a + b*ArcSin[c*x]))/x + 3*d*e^2*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/3)*e^3*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) - (1/6)*b*c*d^2*(c^2*d + 18*e)*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]]}
+
+
+{(d + e*x^2)^4*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (b*(315*c^8*d^4 + 420*c^6*d^3*e + 378*c^4*d^2*e^2 + 180*c^2*d*e^3 + 35*e^4)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(315*c^9) - (4*b*e*(105*c^6*d^3 + 189*c^4*d^2*e + 135*c^2*d*e^2 + 35*e^3)*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(945*c^9) + (2*b*e^2*(63*c^4*d^2 + 90*c^2*d*e + 35*e^2)*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(525*c^9) - (4*b*e^3*(9*c^2*d + 7*e)*(1 - c^2*x^2)^(7/2))/(441*c^9) + (b*e^4*(1 - c^2*x^2)^(9/2))/(81*c^9) + d^4*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + (4/3)*d^3*e*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (6/5)*d^2*e^2*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]) + (4/7)*d*e^3*x^7*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/9)*e^4*x^9*(a + b*ArcSin[c*x])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^4*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d + e*x^2), x, 27, -((a*d*x)/e^2) - (b*d*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*e^2) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c^3*e) - (b*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(9*c^3*e) - (b*d*x*ArcSin[c*x])/e^2 + (x^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*e) + ((-d)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(5/2)) - ((-d)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(5/2)) + ((-d)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(5/2)) - ((-d)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(5/2)) + (I*b*(-d)^(3/2)*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^(5/2)) - (I*b*(-d)^(3/2)*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(5/2)) + (I*b*(-d)^(3/2)*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^(5/2)) - (I*b*(-d)^(3/2)*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(5/2))}
+{(x^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d + e*x^2), x, 23, (b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c*e) - (b*ArcSin[c*x])/(4*c^2*e) + (x^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*e) + (I*d*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*e^2) - (d*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) - (d*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) - (d*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) - (d*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + (I*b*d*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^2) + (I*b*d*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + (I*b*d*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^2) + (I*b*d*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2)}
+{(x^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d + e*x^2), x, 23, (a*x)/e + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*e) + (b*x*ArcSin[c*x])/e + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) + (I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^(3/2)) - (I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) + (I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^(3/2)) - (I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2))}
+{(x^1*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d + e*x^2), x, 18, -((I*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*e)) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) - (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e) - (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) - (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e) - (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x^2), x, 18, ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)), x, 25, -(((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d)) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/d + (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d) + (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) + (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d) + (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) - (I*b*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*d)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)), x, 24, -((a + b*ArcSin[c*x])/(d*x)) - (b*c*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/d + (Sqrt[e]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) + (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*(-d)^(3/2)) - (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) + (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*(-d)^(3/2)) - (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2))}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)), x, 27, -((b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*d*x)) - (a + b*ArcSin[c*x])/(2*d*x^2) + (e*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) + (e*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) + (e*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) + (e*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) - (e*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/d^2 - (I*b*e*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d^2) - (I*b*e*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) - (I*b*e*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d^2) - (I*b*e*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) + (I*b*e*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^4*(d + e*x^2)), x, 29, -((b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*d*x^2)) - (a + b*ArcSin[c*x])/(3*d*x^3) + (e*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d^2*x) - (b*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/(6*d) + (b*c*e*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/d^2 + (e^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(5/2)) - (e^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(5/2)) + (e^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(5/2)) - (e^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(5/2)) + (I*b*e^(3/2)*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*(-d)^(5/2)) - (I*b*e^(3/2)*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(5/2)) + (I*b*e^(3/2)*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*(-d)^(5/2)) - (I*b*e^(3/2)*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(5/2))}
+
+
+{(x^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 23, (d*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*e^2*(d + e*x^2)) - (I*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*e^2) - (b*c*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(2*e^2*Sqrt[c^2*d + e]) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) - (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^2) - (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) - (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^2) - (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2)}
+{(x^1*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 3, -(a + b*ArcSin[c*x])/(2*e*(d + e*x^2)) + (b*c*ArcTan[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(2*Sqrt[d]*e*Sqrt[c^2*d + e])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)^2), x, 28, (a + b*ArcSin[c*x])/(2*d*(d + e*x^2)) - (b*c*ArcTan[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(2*d^(3/2)*Sqrt[c^2*d + e]) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/d^2 + (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d^2) + (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) + (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d^2) + (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) - (I*b*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^2), x, 30, -((b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*d^2*x)) - (a + b*ArcSin[c*x])/(2*d^2*x^2) - (e*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*d^2*(d + e*x^2)) + (b*c*e*ArcTan[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(2*d^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]) + (e*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/d^3 + (e*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/d^3 + (e*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/d^3 + (e*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/d^3 - (2*e*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/d^3 - (I*b*e*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/d^3 - (I*b*e*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/d^3 - (I*b*e*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/d^3 - (I*b*e*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/d^3 + (I*b*e*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/d^3}
+
+{(x^4*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 49, (a*x)/e^2 + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*e^2) + (b*x*ArcSin[c*x])/e^2 - (d*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*e^(5/2)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) + (d*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*e^(5/2)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) + (b*c*d*ArcTanh[(Sqrt[e] - c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(4*e^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]) + (b*c*d*ArcTanh[(Sqrt[e] + c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(4*e^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]) + (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) - (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) + (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) - (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) + (3*I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*e^(5/2)) - (3*I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) + (3*I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*e^(5/2)) - (3*I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2))}
+{(x^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 46, (a + b*ArcSin[c*x])/(4*e^(3/2)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) - (a + b*ArcSin[c*x])/(4*e^(3/2)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) - (b*c*ArcTanh[(Sqrt[e] - c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(4*e^(3/2)*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*c*ArcTanh[(Sqrt[e] + c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(4*e^(3/2)*Sqrt[c^2*d + e]) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2))}
+{(x^0*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 26, -((a + b*ArcSin[c*x])/(4*d*Sqrt[e]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))) + (a + b*ArcSin[c*x])/(4*d*Sqrt[e]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) + (b*c*ArcTanh[(Sqrt[e] - c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(4*d*Sqrt[e]*Sqrt[c^2*d + e]) + (b*c*ArcTanh[(Sqrt[e] + c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(4*d*Sqrt[e]*Sqrt[c^2*d + e]) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^2), x, 50, -((a + b*ArcSin[c*x])/(d^2*x)) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*d^2*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*d^2*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) - (b*c*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[e] - c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(4*d^2*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*c*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[e] + c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(4*d^2*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*c*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/d^2 - (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) - (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) - (3*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) - (3*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2))}
+
+
+{(x^5*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 27, (b*c*d*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(8*e^2*(c^2*d + e)*(d + e*x^2)) - (d^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*e^3*(d + e*x^2)^2) + (d*(a + b*ArcSin[c*x]))/(e^3*(d + e*x^2)) - (I*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*e^3) - (b*c*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(e^3*Sqrt[c^2*d + e]) + (b*c*Sqrt[d]*(2*c^2*d + e)*ArcTan[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(8*e^3*(c^2*d + e)^(3/2)) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) - (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^3) - (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) - (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^3) - (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3)}
+{(x^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 7, -(b*c*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(8*e*(c^2*d + e)*(d + e*x^2)) - (b*ArcSin[c*x])/(4*d*e^2) + (x^4*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*d*(d + e*x^2)^2) + (b*c*(2*c^2*d + 3*e)*ArcTan[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(8*Sqrt[d]*e^2*(c^2*d + e)^(3/2))}
+{(x^1*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 4, (b*c*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(8*d*(c^2*d + e)*(d + e*x^2)) - (a + b*ArcSin[c*x])/(4*e*(d + e*x^2)^2) + (b*c*(2*c^2*d + e)*ArcTan[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(8*d^(3/2)*e*(c^2*d + e)^(3/2))}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)^3), x, 32, -((b*c*e*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(8*d^2*(c^2*d + e)*(d + e*x^2))) + (a + b*ArcSin[c*x])/(4*d*(d + e*x^2)^2) + (a + b*ArcSin[c*x])/(2*d^2*(d + e*x^2)) - (b*c*ArcTan[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(2*d^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*c*(2*c^2*d + e)*ArcTan[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(8*d^(5/2)*(c^2*d + e)^(3/2)) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/d^3 + (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d^3) + (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) + (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d^3) + (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) - (I*b*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*d^3)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^3), x, 34, -((b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*d^3*x)) + (b*c*e^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(8*d^3*(c^2*d + e)*(d + e*x^2)) - (a + b*ArcSin[c*x])/(2*d^3*x^2) - (e*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*d^2*(d + e*x^2)^2) - (e*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d^3*(d + e*x^2)) + (b*c*e*ArcTan[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(d^(7/2)*Sqrt[c^2*d + e]) + (b*c*e*(2*c^2*d + e)*ArcTan[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(8*d^(7/2)*(c^2*d + e)^(3/2)) + (3*e*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^4) + (3*e*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^4) + (3*e*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^4) + (3*e*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^4) - (3*e*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/d^4 - (3*I*b*e*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d^4) - (3*I*b*e*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^4) - (3*I*b*e*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d^4) - (3*I*b*e*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^4) + (3*I*b*e*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*d^4)}
+
+{(x^4*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 80, (b*c*Sqrt[-d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*e^2*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) + (b*c*Sqrt[-d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*e^2*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*e^(5/2)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)^2) + (5*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*e^(5/2)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*e^(5/2)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)^2) - (5*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*e^(5/2)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) + (b*c^3*d*ArcTanh[(Sqrt[e] - c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*e^(5/2)*(c^2*d + e)^(3/2)) - (5*b*c*ArcTanh[(Sqrt[e] - c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*e^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]) + (b*c^3*d*ArcTanh[(Sqrt[e] + c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*e^(5/2)*(c^2*d + e)^(3/2)) - (5*b*c*ArcTanh[(Sqrt[e] + c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*e^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]) + (3*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (3*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (3*I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (3*I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2))}
+{(x^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 62, (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*Sqrt[-d]*e*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) + (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*Sqrt[-d]*e*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) - (a + b*ArcSin[c*x])/(16*Sqrt[-d]*e^(3/2)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)^2) - (a + b*ArcSin[c*x])/(16*d*e^(3/2)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) + (a + b*ArcSin[c*x])/(16*Sqrt[-d]*e^(3/2)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)^2) + (a + b*ArcSin[c*x])/(16*d*e^(3/2)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) - (b*c^3*ArcTanh[(Sqrt[e] - c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*e^(3/2)*(c^2*d + e)^(3/2)) + (b*c*ArcTanh[(Sqrt[e] - c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*d*e^(3/2)*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*c^3*ArcTanh[(Sqrt[e] + c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*e^(3/2)*(c^2*d + e)^(3/2)) + (b*c*ArcTanh[(Sqrt[e] + c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*d*e^(3/2)*Sqrt[c^2*d + e]) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) - ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) - (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) - (I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2))}
+{(x^0*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 34, (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*(-d)^(3/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) + (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*(-d)^(3/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) - (a + b*ArcSin[c*x])/(16*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)^2) - (3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*d^2*Sqrt[e]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) + (a + b*ArcSin[c*x])/(16*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)^2) + (3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*d^2*Sqrt[e]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) + (b*c^3*ArcTanh[(Sqrt[e] - c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*d*Sqrt[e]*(c^2*d + e)^(3/2)) + (3*b*c*ArcTanh[(Sqrt[e] - c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*d^2*Sqrt[e]*Sqrt[c^2*d + e]) + (b*c^3*ArcTanh[(Sqrt[e] + c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*d*Sqrt[e]*(c^2*d + e)^(3/2)) + (3*b*c*ArcTanh[(Sqrt[e] + c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*d^2*Sqrt[e]*Sqrt[c^2*d + e]) + (3*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*I*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e])}
+(* {(a + b*ArcSin[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^3), x, 84, (b*c*e*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*(-d)^(5/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) + (b*c*e*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*(-d)^(5/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) - (a + b*ArcSin[c*x])/(d^3*x) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*(-d)^(5/2)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)^2) + (7*Sqrt[e]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*d^3*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*(-d)^(5/2)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)^2) - (7*Sqrt[e]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*d^3*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) - (b*c^3*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[e] - c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*d^2*(c^2*d + e)^(3/2)) - (7*b*c*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[e] - c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*d^3*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*c^3*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[e] + c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*d^2*(c^2*d + e)^(3/2)) - (7*b*c*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[e] + c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*d^3*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*c*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/d^3 + (15*Sqrt[e]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(7/2)) - (15*Sqrt[e]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(7/2)) + (15*Sqrt[e]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(7/2)) - (15*Sqrt[e]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(7/2)) + (15*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*(-d)^(7/2)) - (15*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(7/2)) + (15*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*(-d)^(7/2)) - (15*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(7/2))} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^(p/2) (a+b ArcSin[c x])*)
+
+
+{(d + e*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 0, Unintegrable[Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]), x]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSin[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 6, (x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(d*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 7, (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*d*(c^2*d + e)*Sqrt[d + e*x^2]) + (x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (2*b*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(3*d^2*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x^2)^(7/2), x, 8, (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(15*d*(c^2*d + e)*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*b*c*(3*c^2*d + 2*e)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(15*d^2*(c^2*d + e)^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*d*(d + e*x^2)^(5/2)) + (4*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(15*d^2*(d + e*x^2)^(3/2)) + (8*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(15*d^3*Sqrt[d + e*x^2]) + (8*b*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(15*d^3*Sqrt[e])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcSin[c x]) when m symbolic*)
+
+
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 6, If[$VersionNumber>=8, (b*e*(3*c^2*d*e*(7 + m)^2*(12 + 7*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(35 + 12*m + m^2)^2 + e^2*(360 + 342*m + 119*m^2 + 18*m^3 + m^4))*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^5*f^2*(3 + m)^2*(5 + m)^2*(7 + m)^2) + (b*e^2*(3*c^2*d*(7 + m)^2 + e*(30 + 11*m + m^2))*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^3*f^4*(5 + m)^2*(7 + m)^2) + (b*e^3*(f*x)^(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*f^6*(7 + m)^2) + (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f*(1 + m)) + (3*d^2*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (3*d*e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f^5*(5 + m)) + (e^3*(f*x)^(7 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f^7*(7 + m)) - (b*((c^6*d^3*(3 + m)*(5 + m)*(7 + m))/(1 + m) + (e*(2 + m)*(3*c^2*d*e*(7 + m)^2*(12 + 7*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(35 + 12*m + m^2)^2 + e^2*(360 + 342*m + 119*m^2 + 18*m^3 + m^4)))/((3 + m)*(5 + m)*(7 + m)))*(f*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(c^5*f^2*(2 + m)*(3 + m)*(5 + m)*(7 + m)), (b*e*(3*c^2*d*e*(7 + m)^2*(12 + 7*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(35 + 12*m + m^2)^2 + e^2*(360 + 342*m + 119*m^2 + 18*m^3 + m^4))*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^5*f^2*(3 + m)^2*(5 + m)^2*(7 + m)^2) + (b*e^2*(3*c^2*d*(7 + m)^2 + e*(30 + 11*m + m^2))*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^3*f^4*(5 + m)^2*(7 + m)^2) + (b*e^3*(f*x)^(6 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*f^6*(7 + m)^2) + (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f*(1 + m)) + (3*d^2*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (3*d*e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f^5*(5 + m)) + (e^3*(f*x)^(7 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f^7*(7 + m)) - (b*((c^6*d^3*(3 + m)*(5 + m)*(7 + m))/(1 + m) + (e*(2 + m)*(3*c^2*d*e*(7 + m)^2*(12 + 7*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(35 + 12*m + m^2)^2 + e^2*(360 + 342*m + 119*m^2 + 18*m^3 + m^4)))/(105 + 71*m + 15*m^2 + m^3))*(f*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(c^5*f^2*(2 + m)*(3 + m)*(5 + m)*(7 + m))]}
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 5, (b*e*(2*c^2*d*(5 + m)^2 + e*(12 + 7*m + m^2))*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^3*f^2*(3 + m)^2*(5 + m)^2) + (b*e^2*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*f^4*(5 + m)^2) + (d^2*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f*(1 + m)) + (2*d*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f^5*(5 + m)) - (b*((c^4*d^2*(3 + m)*(5 + m))/(1 + m) + (e*(2 + m)*(2*c^2*d*(5 + m)^2 + e*(12 + 7*m + m^2)))/((3 + m)*(5 + m)))*(f*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(c^3*f^2*(2 + m)*(3 + m)*(5 + m))}
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^1*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 4, (b*e*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*f^2*(3 + m)^2) + (d*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f*(1 + m)) + (e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(f^3*(3 + m)) - (b*(e*(1 + m)*(2 + m) + c^2*d*(3 + m)^2)*(f*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(c*f^2*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)^2)}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x^2)^1, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d + e*x^2), x]}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcSin[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcSin[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcSin[c x])^2*)
+
+
+{(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 26, -2*b^2*d^3*x - (4*b^2*d^2*e*x)/(3*c^2) - (16*b^2*d*e^2*x)/(25*c^4) - (32*b^2*e^3*x)/(245*c^6) - (2/9)*b^2*d^2*e*x^3 - (8*b^2*d*e^2*x^3)/(75*c^2) - (16*b^2*e^3*x^3)/(735*c^4) - (6/125)*b^2*d*e^2*x^5 - (12*b^2*e^3*x^5)/(1225*c^2) - (2/343)*b^2*e^3*x^7 + (2*b*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/c + (4*b*d^2*e*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^3) + (16*b*d*e^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*c^5) + (32*b*e^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(245*c^7) + (2*b*d^2*e*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c) + (8*b*d*e^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*c^3) + (16*b*e^3*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(245*c^5) + (6*b*d*e^2*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*c) + (12*b*e^3*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(245*c^3) + (2*b*e^3*x^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(49*c) + d^3*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + d^2*e*x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (3/5)*d*e^2*x^5*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/7)*e^3*x^7*(a + b*ArcSin[c*x])^2}
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 17, -2*b^2*d^2*x - (8*b^2*d*e*x)/(9*c^2) - (16*b^2*e^2*x)/(75*c^4) - (4/27)*b^2*d*e*x^3 - (8*b^2*e^2*x^3)/(225*c^2) - (2/125)*b^2*e^2*x^5 + (2*b*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/c + (8*b*d*e*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c^3) + (16*b*e^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(75*c^5) + (4*b*d*e*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c) + (8*b*e^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(75*c^3) + (2*b*e^2*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*c) + d^2*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (2/3)*d*e*x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/5)*e^2*x^5*(a + b*ArcSin[c*x])^2}
+{(d + e*x^2)^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 10, -2*b^2*d*x - (4*b^2*e*x)/(9*c^2) - (2/27)*b^2*e*x^3 + (2*b*d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/c + (4*b*e*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c^3) + (2*b*e*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c) + d*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/3)*e*x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2}
+{(d + e*x^2)^0*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 3, -2*b^2*x + (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/c + x*(a + b*ArcSin[c*x])^2}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d + e*x^2)^1, x, 22, ((a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b^2*PolyLog[3, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b^2*PolyLog[3, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b^2*PolyLog[3, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b^2*PolyLog[3, (Sqrt[e]*E^(I*ArcSin[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^(p/2) (a+b ArcSin[c x])^2*)
+
+
+{(d + e*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d + e*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSin[c*x])^2/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d + e*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d + e*x^2)^(3/2), x]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d + e*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d + e*x^2)^(5/2), x]}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcSin[c x])^3*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p / (a+b ArcSin[c x])^1*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p / (a+b ArcSin[c x])*)
+
+
+{(d + e*x^2)^2/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 27, (d^2*Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b*c) + (d*e*Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(2*b*c^3) + (e^2*Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(8*b*c^5) - (d*e*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2*b*c^3) - (3*e^2*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b*c^5) + (e^2*Cos[(5*a)/b]*CosIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b*c^5) + (d^2*Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b*c) + (d*e*Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(2*b*c^3) + (e^2*Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(8*b*c^5) - (d*e*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2*b*c^3) - (3*e^2*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b*c^5) + (e^2*Sin[(5*a)/b]*SinIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b*c^5)}
+{(d + e*x^2)^1/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 15, (d*Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b*c) + (e*Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(4*b*c^3) - (e*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(4*b*c^3) + (d*Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b*c) + (e*Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(4*b*c^3) - (e*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(4*b*c^3)}
+{(d + e*x^2)^0/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 4, (Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b*c) + (Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b*c)}
+{1/((d + e*x^2)^1*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{1/((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^(p/2) / (a+b ArcSin[c x])*)
+
+
+{(d + e*x^2)^(1/2)/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 0, Unintegrable[Sqrt[d + e*x^2]/(a + b*ArcSin[c*x]), x]}
+{1/((d + e*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{1/((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{1/((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p / (a+b ArcSin[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p / (a+b ArcSin[c x])^2*)
+
+
+{(d + e*x^2)^2/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 26, -((d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) - (2*d*e*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x])) - (e^2*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x])) + (d^2*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(b^2*c) + (d*e*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(2*b^2*c^3) + (e^2*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(8*b^2*c^5) - (3*d*e*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(2*b^2*c^3) - (9*e^2*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(16*b^2*c^5) + (5*e^2*CosIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(5*a)/b])/(16*b^2*c^5) - (d^2*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b^2*c) - (d*e*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(2*b^2*c^3) - (e^2*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(8*b^2*c^5) + (3*d*e*Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(2*b^2*c^3) + (9*e^2*Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^5) - (5*e^2*Cos[(5*a)/b]*SinIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(16*b^2*c^5)}
+{(d + e*x^2)^1/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 15, -((d*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) - (e*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x])) + (d*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(b^2*c) + (e*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(4*b^2*c^3) - (3*e*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(4*b^2*c^3) - (d*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b^2*c) - (e*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(4*b^2*c^3) + (3*e*Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(4*b^2*c^3)}
+{(d + e*x^2)^0/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 5, -(Sqrt[1 - c^2*x^2]/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(b^2*c) - (Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b^2*c)}
+{1/((d + e*x^2)^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+{1/((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^(p/2) / (a+b ArcSin[c x])^2*)
+
+
+{(d + e*x^2)^(1/2)/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[Sqrt[d + e*x^2]/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x]}
+{1/((d + e*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+{1/((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+{1/((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcSin[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x^2)^p (a+b ArcSin[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2), x, 42, d^2*x*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]] + (2/3)*d*e*x^3*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]] + (1/5)*e^2*x^5*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]] - (Sqrt[b]*d^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/c - (Sqrt[b]*d*e*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*c^3) - (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(8*c^5) + (Sqrt[b]*d*e*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(6*c^3) + (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*c^5) - (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi/10]*Cos[(5*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[10/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(80*c^5) + (Sqrt[b]*d^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/c + (Sqrt[b]*d*e*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(2*c^3) + (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(8*c^5) - (Sqrt[b]*d*e*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(6*c^3) - (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(16*c^5) + (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi/10]*FresnelC[(Sqrt[10/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(5*a)/b])/(80*c^5)}
+{(d + e*x^2)^1*(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2), x, 23, d*x*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]] + (1/3)*e*x^3*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]] - (Sqrt[b]*d*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/c - (Sqrt[b]*e*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*c^3) + (Sqrt[b]*e*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(12*c^3) + (Sqrt[b]*d*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/c + (Sqrt[b]*e*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(4*c^3) - (Sqrt[b]*e*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(12*c^3)}
+{(d + e*x^2)^0*(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2), x, 7, x*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]] - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/c + (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/c}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2)/(d + e*x^2)^1, x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]]/(d + e*x^2), x]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2)/(d + e*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]]/(d + e*x^2)^2, x]}
+
+
+{(d + e*x^2)^1*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2), x, 32, (3*b*d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(2*c) + (b*e*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(3*c^3) + (b*e*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(6*c) + d*x*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2) + (1/3)*e*x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2) - (3*b^(3/2)*d*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*c) - (3*b^(3/2)*e*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(8*c^3) + (b^(3/2)*e*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(24*c^3) - (3*b^(3/2)*d*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(2*c) - (3*b^(3/2)*e*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(8*c^3) + (b^(3/2)*e*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(24*c^3)}
+{(d + e*x^2)^0*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2), x, 8, (3*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/(2*c) + x*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2) - (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*c) - (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(2*c)}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2)/(d + e*x^2)^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2)/(d + e*x^2), x]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2)/(d + e*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2)/(d + e*x^2)^2, x]}
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+(*n<0*)
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+{(d + e*x^2)^2/(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2), x, 39, (d*e*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*c^3) + (e^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[b]*c^5) + (d^2*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*c) - (d*e*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*c^3) - (e^2*Sqrt[(3*Pi)/2]*Cos[(3*a)/b]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*c^5) + (e^2*Sqrt[Pi/10]*Cos[(5*a)/b]*FresnelC[(Sqrt[10/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*c^5) + (d*e*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(Sqrt[b]*c^3) + (e^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(4*Sqrt[b]*c^5) + (d^2*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(Sqrt[b]*c) - (d*e*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(Sqrt[b]*c^3) - (e^2*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(8*Sqrt[b]*c^5) + (e^2*Sqrt[Pi/10]*FresnelS[(Sqrt[10/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(5*a)/b])/(8*Sqrt[b]*c^5)}
+{(d + e*x^2)^1/(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2), x, 21, (e*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c^3) + (d*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*c) - (e*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c^3) + (e*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(2*Sqrt[b]*c^3) + (d*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(Sqrt[b]*c) - (e*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(2*Sqrt[b]*c^3)}
+{(d + e*x^2)^0/(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2), x, 6, (Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*c) + (Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(Sqrt[b]*c)}
+{1/((d + e*x^2)^1*(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2)), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]]), x]}
+{1/((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^(1/2)), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]]), x]}
+
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+{(d + e*x^2)^0/(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2), x, 7, -((2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])) - (2*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c) + (2*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(b^(3/2)*c)}
+{1/((d + e*x^2)^1*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^(3/2)), x]}
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diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.1 Inverse sine/5.1.5 Inverse sine functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.1 Inverse sine/5.1.5 Inverse sine functions.m
new file mode 100644
index 00000000..90f2bf64
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.1 Inverse sine/5.1.5 Inverse sine functions.m	
@@ -0,0 +1,927 @@
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+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 4, (b*(d + e*x)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*c) + (b*(4*(4*c^2*d^2 + e^2) + 5*c^2*d*e*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(18*c^3) - (b*d*(2*d^2 + (3*e^2)/c^2)*ArcSin[c*x])/(6*e) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*e)}
+{(d + e*x)^1*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 4, (3*b*d*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c) + (b*(d + e*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c) - (b*(2*d^2 + e^2/c^2)*ArcSin[c*x])/(4*e) + ((d + e*x)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*e)}
+{(d + e*x)^0*(a + b*ArcSin[c*x]), x, 3, a*x + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2])/c + b*x*ArcSin[c*x]}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^1, x, 8, -((I*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*e)) + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e + ((a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e - (I*b*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e - (I*b*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^2, x, 3, -((a + b*ArcSin[c*x])/(e*(d + e*x))) + (b*c*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(e*Sqrt[c^2*d^2 - e^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^3, x, 4, (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)) - (a + b*ArcSin[c*x])/(2*e*(d + e*x)^2) + (b*c^3*d*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(2*e*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2))}
+{(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^4, x, 5, (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)^2) + (b*c^3*d*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*(c^2*d^2 - e^2)^2*(d + e*x)) - (a + b*ArcSin[c*x])/(3*e*(d + e*x)^3) + (b*c^3*(2*c^2*d^2 + e^2)*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(6*e*(c^2*d^2 - e^2)^(5/2))}
+
+
+{(d + e*x)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 18, -2*b^2*d^3*x - (4*b^2*d*e^2*x)/(3*c^2) - (3/4)*b^2*d^2*e*x^2 - (3*b^2*e^3*x^2)/(32*c^2) - (2/9)*b^2*d*e^2*x^3 - (1/32)*b^2*e^3*x^4 + (2*b*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/c + (4*b*d*e^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^3) + (3*b*d^2*e*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c) + (3*b*e^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*c^3) + (2*b*d*e^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c) + (b*e^3*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c) - (d^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*e) - (3*d^2*e*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*c^2) - (3*e^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(32*c^4) + ((d + e*x)^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*e)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 13, -2*b^2*d^2*x - (4*b^2*e^2*x)/(9*c^2) - (1/2)*b^2*d*e*x^2 - (2/27)*b^2*e^2*x^3 + (2*b*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/c + (4*b*e^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c^3) + (b*d*e*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/c + (2*b*e^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c) - (d^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*e) - (d*e*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*c^2) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*e)}
+{(d + e*x)^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 9, -2*b^2*d*x - (1/4)*b^2*e*x^2 + (2*b*d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/c + (b*e*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c) - (d^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*e) - (e*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*c^2) + ((d + e*x)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*e)}
+{(d + e*x)^0*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 3, -2*b^2*x + (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/c + x*(a + b*ArcSin[c*x])^2}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d + e*x)^1, x, 10, -((I*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*e)) + ((a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e + ((a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e - (2*I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e - (2*I*b*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e + (2*b^2*PolyLog[3, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e + (2*b^2*PolyLog[3, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d + e*x)^2, x, 10, -((a + b*ArcSin[c*x])^2/(e*(d + e*x))) - (2*I*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) + (2*I*b*c*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) - (2*b^2*c*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) + (2*b^2*c*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e*Sqrt[c^2*d^2 - e^2])}
+{(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d + e*x)^3, x, 13, (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/((c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)) - (a + b*ArcSin[c*x])^2/(2*e*(d + e*x)^2) - (I*b*c^3*d*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) + (I*b*c^3*d*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) - (b^2*c^2*Log[d + e*x])/(e*(c^2*d^2 - e^2)) - (b^2*c^3*d*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) + (b^2*c^3*d*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(d + e*x)^3/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 27, (d^3*Cos[a/b]*CosIntegral[a/b + ArcSin[c*x]])/(b*c) + (3*d*e^2*Cos[a/b]*CosIntegral[a/b + ArcSin[c*x]])/(4*b*c^3) - (3*d*e^2*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSin[c*x]])/(4*b*c^3) - (3*d^2*e*CosIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSin[c*x]]*Sin[(2*a)/b])/(2*b*c^2) - (e^3*CosIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSin[c*x]]*Sin[(2*a)/b])/(4*b*c^4) + (e^3*CosIntegral[(4*a)/b + 4*ArcSin[c*x]]*Sin[(4*a)/b])/(8*b*c^4) + (d^3*Sin[a/b]*SinIntegral[a/b + ArcSin[c*x]])/(b*c) + (3*d*e^2*Sin[a/b]*SinIntegral[a/b + ArcSin[c*x]])/(4*b*c^3) + (3*d^2*e*Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSin[c*x]])/(2*b*c^2) + (e^3*Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSin[c*x]])/(4*b*c^4) - (3*d*e^2*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSin[c*x]])/(4*b*c^3) - (e^3*Cos[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*a)/b + 4*ArcSin[c*x]])/(8*b*c^4)}
+{(d + e*x)^2/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 17, (d^2*Cos[a/b]*CosIntegral[a/b + ArcSin[c*x]])/(b*c) + (e^2*Cos[a/b]*CosIntegral[a/b + ArcSin[c*x]])/(4*b*c^3) - (e^2*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSin[c*x]])/(4*b*c^3) - (d*e*CosIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSin[c*x]]*Sin[(2*a)/b])/(b*c^2) + (d^2*Sin[a/b]*SinIntegral[a/b + ArcSin[c*x]])/(b*c) + (e^2*Sin[a/b]*SinIntegral[a/b + ArcSin[c*x]])/(4*b*c^3) + (d*e*Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSin[c*x]])/(b*c^2) - (e^2*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSin[c*x]])/(4*b*c^3)}
+{(d + e*x)^1/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 11, (d*Cos[a/b]*CosIntegral[a/b + ArcSin[c*x]])/(b*c) - (e*CosIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSin[c*x]]*Sin[(2*a)/b])/(2*b*c^2) + (d*Sin[a/b]*SinIntegral[a/b + ArcSin[c*x]])/(b*c) + (e*Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSin[c*x]])/(2*b*c^2)}
+{(d + e*x)^0/(a + b*ArcSin[c*x]), x, 4, (Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b*c) + (Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b*c)}
+{1/((d + e*x)^1*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x)*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+{1/((d + e*x)^2*(a + b*ArcSin[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x)^2*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+
+
+{(d + e*x)^2/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 19, -((d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) - (2*d*e*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x])) - (e^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x])) + (2*d*e*Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(b^2*c^2) + (d^2*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(b^2*c) + (e^2*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(4*b^2*c^3) - (3*e^2*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(4*b^2*c^3) - (d^2*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b^2*c) - (e^2*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(4*b^2*c^3) + (2*d*e*Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(b^2*c^2) + (3*e^2*Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(4*b^2*c^3)}
+{(d + e*x)^1/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 11, -((d*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) - (e*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x])) + (e*Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(b^2*c^2) + (d*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(b^2*c) - (d*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b^2*c) + (e*Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c*x]))/b])/(b^2*c^2)}
+{(d + e*x)^0/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 5, -(Sqrt[1 - c^2*x^2]/(b*c*(a + b*ArcSin[c*x]))) + (CosIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b]*Sin[a/b])/(b^2*c) - (Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c*x])/b])/(b^2*c)}
+{1/((d + e*x)^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x)*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+{1/((d + e*x)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcSin[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcSin[c x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(d + e*x)^m*(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 1, ((d + e*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(e*(1 + m)) - (2*b*c*Unintegrable[((d + e*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/Sqrt[1 - c^2*x^2], x])/(e*(1 + m))}
+{(d + e*x)^m*(a + b*ArcSin[c*x])^1, x, 3, -((b*c*(d + e*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - (c*(d + e*x))/(c*d - e)]*Sqrt[1 - (c*(d + e*x))/(c*d + e)]*AppellF1[2 + m, 1/2, 1/2, 3 + m, (c*(d + e*x))/(c*d - e), (c*(d + e*x))/(c*d + e)])/(e^2*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + ((d + e*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(e*(1 + m))}
+{(d + e*x)^m/(a + b*ArcSin[c*x])^1, x, 0, Unintegrable[(d + e*x)^m/(a + b*ArcSin[c*x]), x]}
+{(d + e*x)^m/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(d + e*x)^m/(a + b*ArcSin[c*x])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (d+e x^2)^(p/2) (a+b ArcSin[c x])^n where c^2 d+e=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcSin[c x])^1*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^3, x, 16, (b*f^2*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*g^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*f^3*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*b*f*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*f^2*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*g^3*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(45*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c*f*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*g^3*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (1/2)*f^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (3*f*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c^2) + (3/4)*f*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (f^2*g*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/c^2 - (g^3*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^4) + (g^3*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c^4) + (f^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*f*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^2, x, 13, (2*b*f*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*f^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*f*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (1/2)*f^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c^2) + (1/4)*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (2*f*g*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^2) + (f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^1, x, 8, (b*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (1/2)*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (g*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^2) + (f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])/(f + g*x)^1, x, 22, (a*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/g - (b*c*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/g + (c*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((1 - (c^2*f^2)/g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*(f + g*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*(f + g*x)) - (a*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTan[(g + c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (I*b*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (I*b*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])/(f + g*x)^2, x, 35, -((a*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g*(f + g*x))) - (b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(g*(f + g*x)) - (a*c^3*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(g^2*(c^2*f^2 - g^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]^2)/(2*g^2*(c^2*f^2 - g^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + ((g + c^2*f*x)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*(c^2*f^2 - g^2)*(f + g*x)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*(f + g*x)^2) + (a*c^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTan[(g + c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (I*b*c^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (I*b*c^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[f + g*x])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+
+
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^3, x, 24, (3*b*d*f^2*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(5*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*d*g^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*b*c*d*f^3*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*b*d*f*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(32*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*d*f^2*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(5*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d*g^3*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(105*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*f^3*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (7*b*c*d*f*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(32*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*b*c^3*d*f^2*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (8*b*c*d*g^3*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(175*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*f*g^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(12*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*g^3*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3/8)*d*f^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (3*d*f*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*c^2) + (3/8)*d*f*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/4)*d*f^3*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/2)*d*f*g^2*x^3*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (3*d*f^2*g*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c^2) - (d*g^3*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c^4) + (d*g^3*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*c^4) + (3*d*f^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*d*f*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(32*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^2, x, 20, (2*b*d*f*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(5*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*b*c*d*f^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(32*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (4*b*c*d*f*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*f^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (7*b*c*d*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^3*d*f*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*g^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3/8)*d*f^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (d*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*c^2) + (1/8)*d*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/4)*d*f^2*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/6)*d*g^2*x^3*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (2*d*f*g*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c^2) + (3*d*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (d*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(32*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^1, x, 12, (b*d*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(5*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*b*c*d*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*d*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*f*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3/8)*d*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/4)*d*f*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (d*g*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c^2) + (3*d*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(f + g*x)^1, x, 29, -((a*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/g^3) - (b*c*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c*d*(c*f - g)*(c*f + g)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/g^3 + (c^2*d*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*g^2) + (d*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*g) + (c*d*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (c*d*(c*f - g)*(c*f + g)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (d*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*g^4*(f + g*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*g^2*(f + g*x)) + (a*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTan[(g + c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (I*b*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (I*b*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+(* {(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(f + g*x)^2, x, 71, (2*a*c^2*d*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/g^3 + (a*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g^3*(f + g*x)) - (2*b*c^3*d*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^2*d*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/g^3 + (b*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(g^3*(f + g*x)) + (a*c^3*d*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]^2)/(2*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (c^2*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*g^2) - (c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (c^3*d*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(b*g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (d*(g + c^2*f*x)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*g^2*(f + g*x)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (c*d*f*(1 - (c^2*f^2)/g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(b*g^2*(f + g*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*g^2*(f + g*x)^2) + (c*d*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(b*g^2*(f + g*x)) - (3*a*c^2*d*f*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTan[(g + c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*I*b*c^2*d*f*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*I*b*c^2*d*f*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[f + g*x])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*b*c^2*d*f*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c^2*d*f*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2])} *)
+
+
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^3, x, 30, (3*b*d^2*f^2*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*d^2*g^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(63*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (25*b*c*d^2*f^3*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (15*b*d^2*f*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(256*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c*d^2*f^2*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d^2*g^3*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(189*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*b*c^3*d^2*f^3*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (59*b*c*d^2*f*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(256*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (9*b*c^3*d^2*f^2*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*d^2*g^3*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(21*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (17*b*c^3*d^2*f*g^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c^5*d^2*f^2*g*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (19*b*c^3*d^2*g^3*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(441*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c^5*d^2*f*g^2*x^8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(64*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*g^3*x^9*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(81*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d^2*f^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*c) + (5/16)*d^2*f^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (15*d^2*f*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(128*c^2) + (15/64)*d^2*f*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (5/24)*d^2*f^3*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (5/16)*d^2*f*g^2*x^3*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/6)*d^2*f^3*x*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (3/8)*d^2*f*g^2*x^3*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (3*d^2*f^2*g*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*c^2) - (d^2*g^3*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*c^4) + (d^2*g^3*(1 - c^2*x^2)^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c^4) + (5*d^2*f^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(32*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (15*d^2*f*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(256*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^2, x, 26, (2*b*d^2*f*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (25*b*c*d^2*f^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*b*d^2*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(256*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*d^2*f*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*b*c^3*d^2*f^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (59*b*c*d^2*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(768*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (6*b*c^3*d^2*f*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (17*b*c^3*d^2*g^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(288*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c^5*d^2*f*g*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*g^2*x^8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(64*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d^2*f^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*c) + (5/16)*d^2*f^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (5*d^2*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(128*c^2) + (5/64)*d^2*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (5/24)*d^2*f^2*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (5/48)*d^2*g^2*x^3*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/6)*d^2*f^2*x*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/8)*d^2*g^2*x^3*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (2*d^2*f*g*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*c^2) + (5*d^2*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(32*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*d^2*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(256*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^1, x, 14, (b*d^2*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (25*b*c*d^2*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*d^2*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*b*c^3*d^2*f*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*b*c^3*d^2*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*g*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d^2*f*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*c) + (5/16)*d^2*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (5/24)*d^2*f*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/6)*d^2*f*x*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]) - (d^2*g*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*c^2) + (5*d^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(32*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(f + g*x)^1, x, 37, (a*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/g^5 + (2*b*c*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c*d^2*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d^2*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d^2*f*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(45*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d^2*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^5*d^2*f*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/g^5 + (c^2*d^2*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*g^2) - (c^2*d^2*f*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*g^4) - (c^4*d^2*f*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*g^2) - (d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*g) - (d^2*(c^2*f^2 - 2*g^2)*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*g^3) + (d^2*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*g) - (c*d^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*b*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (c*d^2*f*(c^2*f^2 - 2*g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (c*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*g^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (d^2*(c^2*f^2 - g^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*g^6*(f + g*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*g^4*(f + g*x)) - (a*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTan[(g + c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (I*b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (I*b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+(* {(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(f + g*x)^2, x, 78, -((4*a*c^2*d^2*f*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/g^5) - (a*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g^5*(f + g*x)) - (2*b*c^3*d^2*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (4*b*c^3*d^2*f*(c*f - g)*(c*f + g)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d^2*(3*c^2*f^2 - 2*g^2)*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^5*d^2*f*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (4*b*c^2*d^2*f*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/g^5 - (b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(g^5*(f + g*x)) - (a*c^3*d^2*f^2*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d^2*f^2*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]^2)/(2*g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (c^2*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*g^2) + (c^2*d^2*(3*c^2*f^2 - 2*g^2)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*g^4) + (c^4*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*g^2) + (2*c^2*d^2*f*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*g^3) + (c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*b*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (c*d^2*(3*c^2*f^2 - 2*g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*c^3*d^2*f*(c*f - g)*(c*f + g)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(b*g^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (d^2*(c*f - g)*(c*f + g)*(g + c^2*f*x)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*g^4*(f + g*x)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*c*d^2*f*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(b*g^6*(f + g*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*g^4*(f + g*x)^2) - (2*c*d^2*f*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(b*g^4*(f + g*x)) + (5*a*c^2*d^2*f*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTan[(g + c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*I*b*c^2*d^2*f*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*I*b*c^2*d^2*f*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[f + g*x])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*b*c^2*d^2*f*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*b*c^2*d^2*f*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2])} *)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^3, x, 13, (3*b*f^2*g*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*g^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*b*f*g^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*g^3*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*f^2*g*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*g^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*f*g^2*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (g^3*x^2*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (f^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*f*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^2, x, 9, (2*b*f*g*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*g^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*f*g*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (g^2*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (f^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^1, x, 6, (b*g*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (g*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])/(f + g*x)^1, x, 10, -((I*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (I*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])/(f + g*x)^2, x, 13, (g*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/((c^2*f^2 - g^2)*(f + g*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*c^2*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/((c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*c^2*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/((c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[f + g*x])/((c^2*f^2 - g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c^2*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/((c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c^2*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/((c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+
+
+{1/(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^3, x, 11, -((b*g^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + ((g*(3*c^2*f^2 + g^2) + c^2*f*(c^2*f^2 + 3*g^2)*x)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (g^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*f*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f + g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c*x])/(2*c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f - g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 + c*x])/(2*c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^2, x, 8, ((2*f*g + (c^2*f^2 + g^2)*x)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f + g)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c*x])/(2*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f - g)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 + c*x])/(2*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^1, x, 6, ((g + c^2*f*x)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f + g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c*x])/(2*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f - g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 + c*x])/(2*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(f + g*x)^1, x, 20, -((Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Cot[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(2*d*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (I*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Cos[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]])/(d*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Sin[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]])/(d*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(2*d*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+(* {1/(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(f + g*x)^2, x, 47, -((a*g^3*(1 - c^2*x^2))/(d*(c*f - g)^2*(c*f + g)^2*(f + g*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (b*g^3*(1 - c^2*x^2)*ArcSin[c*x])/(d*(c*f - g)^2*(c*f + g)^2*(f + g*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (6*a*c^2*f*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTan[(g + c*f*Tan[(1/2)*ArcSin[c*x]])/Sqrt[c^2*f^2 - g^2]])/(d*(c*f - g)^2*(c*f + g)^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*I*b*c^2*f*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d*(c*f - g)^2*(c*f + g)^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*I*b*c^2*f*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d*(c*f - g)^2*(c*f + g)^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[f + g*x])/(d*(c*f - g)^2*(c*f + g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Cos[Pi/4 - (1/2)*ArcSin[c*x]]])/(d*(c*f - g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Cos[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]])/(d*(c*f + g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*b*c^2*f*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d*(c*f - g)^2*(c*f + g)^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*b*c^2*f*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d*(c*f - g)^2*(c*f + g)^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Tan[Pi/4 - (1/2)*ArcSin[c*x]])/(2*d*(c*f - g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(2*d*(c*f + g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])} *)
+
+
+{1/(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^4, x, 13, -((b*(f + g*x)^2*(c^2*f^2 + g^2 + 2*c^2*f*g*x))/(6*c^3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (b*f*g^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]^2)/(2*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + ((f + g*x)*(g*(c^2*f^2 - 3*g^2) + 2*c^2*f*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + ((g + c^2*f*x)*(f + g*x)^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (f*g*(2*c^2*f^2 - 5*g^2)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f - 2*g)*(c*f + g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c*x])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f - g)^3*(c*f + 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 + c*x])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), -((b*(f + g*x)^2*(c^2*f^2 + g^2 + 2*c^2*f*g*x))/(6*c^3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (2*b*f*g^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*f*g*(2*c^2*f^2 - 5*g^2)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*f*g*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]^2)/(2*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + ((f + g*x)*(g*(c^2*f^2 - 3*g^2) + 2*c^2*f*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + ((g + c^2*f*x)*(f + g*x)^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (f*g*(2*c^2*f^2 - 5*g^2)*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(2*c*f - 3*g)*(c*f + g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c*x])/(6*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*g*(c*f + g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c*x])/(6*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f - g)^3*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 + c*x])/(6*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f - g)^3*(2*c*f + 3*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 + c*x])/(6*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^3, x, 10, -((b*(f + g*x)*(c^2*f^2 + g^2 + 2*c^2*f*g*x))/(6*c^3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (2*(c*f - g)*(c*f + g)*(g + c^2*f*x)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + ((g + c^2*f*x)*(f + g*x)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f - g)*(c*f + g)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c*x])/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*g*(c*f + g)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c*x])/(12*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f - g)^2*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 + c*x])/(12*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f - g)^2*(c*f + g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 + c*x])/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^2, x, 10, -((b*x*(2*f*g + (c^2*f^2 + g^2)*x))/(6*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (2*f*(g + c^2*f*x)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x*(f + g*x)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(2*c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c*x])/(6*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f - g)*(2*c*f + g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 + c*x])/(6*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), -((b*(f + g*x)^2)/(6*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (2*f*(g + c^2*f*x)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x*(f + g*x)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*f*(c*f + g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c*x])/(3*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*g*(c*f + g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c*x])/(6*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*f*(c*f - g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 + c*x])/(3*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f - g)*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 + c*x])/(6*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])*(f + g*x)^1, x, 6, -((b*(f + g*x))/(6*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (2*f*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + ((g + c^2*f*x)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[c*x])/(6*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[1 - c^2*x^2])/(3*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(f + g*x)^1, x, 30, If[$VersionNumber>=8, -(((c*f - 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Cot[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(4*d^2*(c*f - g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Cot[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(12*d^2*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Csc[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]^2)/(24*d^2*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Cot[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]*Csc[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]^2)/(24*d^2*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d^2*(c*f - g)^2*(c*f + g)^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d^2*(c*f - g)^2*(c*f + g)^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Cos[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]])/(6*d^2*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f + 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Cos[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]])/(2*d^2*(c*f + g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f - 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Sin[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]])/(2*d^2*(c*f - g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Sin[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]])/(6*d^2*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d^2*(c*f - g)^2*(c*f + g)^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d^2*(c*f - g)^2*(c*f + g)^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sec[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]^2)/(24*d^2*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(12*d^2*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + ((c*f + 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(4*d^2*(c*f + g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Sec[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]^2*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(24*d^2*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), -(((c*f - 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Cot[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(4*d^2*(c*f - g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Cot[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(12*d^2*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Csc[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]^2)/(24*d^2*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Cot[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]*Csc[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]^2)/(24*d^2*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Cos[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]])/(6*d^2*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f + 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Cos[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]])/(2*d^2*(c*f + g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f - 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Sin[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]])/(2*d^2*(c*f - g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Sin[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]])/(6*d^2*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sec[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]^2)/(24*d^2*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(12*d^2*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + ((c*f + 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(4*d^2*(c*f + g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Sec[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]^2*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(24*d^2*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])]}
+(* {1/(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(f + g*x)^2, x, 57, (a*g^5*(1 - c^2*x^2))/(d^2*(c*f - g)^3*(c*f + g)^3*(f + g*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*g^5*(1 - c^2*x^2)*ArcSin[c*x])/(d^2*(c*f - g)^3*(c*f + g)^3*(f + g*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (10*a*c^2*f*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTan[(g + c*f*Tan[(1/2)*ArcSin[c*x]])/Sqrt[c^2*f^2 - g^2]])/(d^2*(c*f - g)^3*(c*f + g)^3*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (5*I*b*c^2*f*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d^2*(c*f - g)^3*(c*f + g)^3*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*I*b*c^2*f*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d^2*(c*f - g)^3*(c*f + g)^3*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[f + g*x])/(d^2*(c*f - g)^3*(c*f + g)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*(c*f - 3*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Cos[Pi/4 - (1/2)*ArcSin[c*x]]])/(2*d^2*(c*f - g)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Cos[Pi/4 - (1/2)*ArcSin[c*x]]])/(6*d^2*(c*f - g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Cos[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]])/(6*d^2*(c*f + g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*(c*f + 3*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Cos[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]])/(2*d^2*(c*f + g)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (5*b*c^2*f*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d^2*(c*f - g)^3*(c*f + g)^3*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*b*c^2*f*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d^2*(c*f - g)^3*(c*f + g)^3*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sec[Pi/4 - (1/2)*ArcSin[c*x]]^2)/(24*d^2*(c*f - g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sec[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]^2)/(24*d^2*(c*f + g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (c*(c*f - 3*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Tan[Pi/4 - (1/2)*ArcSin[c*x]])/(4*d^2*(c*f - g)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Tan[Pi/4 - (1/2)*ArcSin[c*x]])/(12*d^2*(c*f - g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Sec[Pi/4 - (1/2)*ArcSin[c*x]]^2*Tan[Pi/4 - (1/2)*ArcSin[c*x]])/(24*d^2*(c*f - g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(12*d^2*(c*f + g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (c*(c*f + 3*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(4*d^2*(c*f + g)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Sec[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]^2*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(24*d^2*(c*f + g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcSin[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(f + g*x)^3, x, 37, (4*b^2*f^2*g*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*c^2) + (52*b^2*g^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(225*c^4) - (1/4)*b^2*f^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (3*b^2*f*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(64*c^2) - (3/32)*b^2*f*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (4*a*b*g^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b^2*f^2*g*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*c^2) + (26*b^2*g^3*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(675*c^4) - (2*b^2*g^3*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(125*c^4) + (b^2*f^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(4*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b^2*f*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(64*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (4*b^2*g^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(15*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*f^2*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*f^3*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*b*f*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*f^2*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*g^3*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(45*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c*f*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*g^3*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*g^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(15*c^4) + (1/2)*f^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (3*f*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(8*c^2) - (g^3*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(15*c^2) + (3/4)*f*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/5)*g^3*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (f^2*g*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/c^2 + (f^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(6*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (f*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(8*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(f + g*x)^2, x, 23, (8*b^2*f*g*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*c^2) - (1/4)*b^2*f^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (b^2*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(64*c^2) - (1/32)*b^2*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (4*b^2*f*g*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(27*c^2) + (b^2*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(4*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b^2*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(64*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (4*b*f*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*f^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (4*b*c*f*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (1/2)*f^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(8*c^2) + (1/4)*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (2*f*g*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^2) + (f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(6*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(24*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(f + g*x)^1, x, 13, (4*b^2*g*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*c^2) - (1/4)*b^2*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (2*b^2*g*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(27*c^2) + (b^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(4*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (1/2)*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (g*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^2) + (f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(6*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(f + g*x)^1, x, 38, (a^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/g - (2*b^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/g - (2*a*b*c*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*a*b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/g - (2*b^2*c*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]^2)/g + (c*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((1 - (c^2*f^2)/g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c*(f + g*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c*(f + g*x)) - (a^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTan[(g + c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*I*a*b*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (I*b^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*I*a*b*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (I*b^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*a*b*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*a*b*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*I*b^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*I*b^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+(* {Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(f + g*x)^2, x, 0, 0} *)
+
+
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(f + g*x)^3, x, 56, (16*b^2*d*f^2*g*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*c^2) + (304*b^2*d*g^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3675*c^4) - (15/64)*b^2*d*f^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (7*b^2*d*f*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(384*c^2) - (43/576)*b^2*d*f*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (1/36)*b^2*c^2*d*f*g^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (4*a*b*d*g^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (8*b^2*d*f^2*g*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(75*c^2) + (152*b^2*d*g^3*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(11025*c^4) - (1/32)*b^2*d*f^3*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (6*b^2*d*f^2*g*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(125*c^2) + (38*b^2*d*g^3*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6125*c^4) - (2*b^2*d*g^3*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(343*c^4) + (9*b^2*d*f^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(64*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (7*b^2*d*f*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(384*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (4*b^2*d*g^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(35*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (6*b*d*f^2*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c*d*f^3*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*b*d*f*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (4*b*c*d*f^2*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*d*g^3*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(105*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (7*b*c*d*f*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (6*b*c^3*d*f^2*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (16*b*c*d*g^3*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(175*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*f*g^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^3*d*g^3*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(49*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d*f^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c) - (2*d*g^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(35*c^4) + (3/8)*d*f^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (3*d*f*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*c^2) - (d*g^3*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(35*c^2) + (3/8)*d*f*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (3/35)*d*g^3*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/4)*d*f^3*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/2)*d*f*g^2*x^3*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/7)*d*g^3*x^4*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (3*d*f^2*g*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(5*c^2) + (d*f^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(8*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (d*f*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(16*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(f + g*x)^2, x, 36, (32*b^2*d*f*g*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(75*c^2) - (15/64)*b^2*d*f^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (7*b^2*d*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1152*c^2) - (43*b^2*d*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/1728 + (1/108)*b^2*c^2*d*g^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (16*b^2*d*f*g*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(225*c^2) - (1/32)*b^2*d*f^2*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (4*b^2*d*f*g*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(125*c^2) + (9*b^2*d*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(64*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (7*b^2*d*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(1152*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (4*b*d*f*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c*d*f^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (8*b*c*d*f*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(15*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (7*b*c*d*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(48*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (4*b*c^3*d*f*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*g^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(18*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d*f^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c) + (3/8)*d*f^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (d*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(16*c^2) + (1/8)*d*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/4)*d*f^2*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/6)*d*g^2*x^3*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (2*d*f*g*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(5*c^2) + (d*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(8*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (d*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(48*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(f + g*x)^1, x, 19, (16*b^2*d*g*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(75*c^2) - (15/64)*b^2*d*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (8*b^2*d*g*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(225*c^2) - (1/32)*b^2*d*f*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (2*b^2*d*g*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(125*c^2) + (9*b^2*d*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(64*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*d*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c*d*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (4*b*c*d*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(15*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^3*d*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d*f*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c) + (3/8)*d*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/4)*d*f*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (d*g*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(5*c^2) + (d*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(8*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(f + g*x)^1, x, 50, -((4*b^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*g)) - (a^2*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/g^3 + (2*b^2*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/g^3 - (b^2*c^2*d*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*g^2) + (2*a*b*c*d*(c*f - g)*(c*f + g)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b^2*d*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(27*g) - (2*a*b*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/g^3 + (b^2*c*d*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(4*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b^2*c*d*(c*f - g)*(c*f + g)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b^2*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]^2)/g^3 - (2*b*c*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^3*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (c^2*d*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*g^2) + (d*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*g) + (c*d*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(6*b*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (c*d*(c*f - g)*(c*f + g)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (d*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c*g^4*(f + g*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c*g^2*(f + g*x)) + (a^2*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTan[(g + c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*I*a*b*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (I*b^2*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*I*a*b*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (I*b^2*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*a*b*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b^2*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*a*b*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b^2*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*I*b^2*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*I*b^2*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+(* {(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(f + g*x)^2, x, 0, 0} *)
+
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+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(f + g*x)^3, x, 77, (96*b^2*d^2*f^2*g*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(245*c^2) + (160*b^2*d^2*g^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3969*c^4) - (245*b^2*d^2*f^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/1152 - (359*b^2*d^2*f*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(12288*c^2) - (1079*b^2*d^2*f*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/18432 + (209*b^2*c^2*d^2*f*g^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/4608 - (3/256)*b^2*c^4*d^2*f*g^2*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (4*a*b*d^2*g^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(63*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (16*b^2*d^2*f^2*g*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(245*c^2) + (80*b^2*d^2*g^3*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(11907*c^4) - (65*b^2*d^2*f^3*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/1728 + (36*b^2*d^2*f^2*g*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1225*c^2) + (4*b^2*d^2*g^3*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1323*c^4) - (1/108)*b^2*d^2*f^3*x*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (6*b^2*d^2*f^2*g*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(343*c^2) + (50*b^2*d^2*g^3*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(27783*c^4) - (2*b^2*d^2*g^3*(1 - c^2*x^2)^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(729*c^4) + (115*b^2*d^2*f^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(1152*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (359*b^2*d^2*f*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(12288*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (4*b^2*d^2*g^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(63*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (6*b*d^2*f^2*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*b*c*d^2*f^3*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (15*b*d^2*f*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(128*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (6*b*c*d^2*f^2*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*d^2*g^3*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(189*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (59*b*c*d^2*f*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(128*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (18*b*c^3*d^2*f^2*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(35*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*d^2*g^3*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(21*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (17*b*c^3*d^2*f*g^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(48*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (6*b*c^5*d^2*f^2*g*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(49*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (38*b*c^3*d^2*g^3*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(441*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c^5*d^2*f*g^2*x^8*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(32*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c^5*d^2*g^3*x^9*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(81*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*b*d^2*f^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(48*c) + (b*d^2*f^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(18*c) - (2*d^2*g^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(63*c^4) + (5/16)*d^2*f^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (15*d^2*f*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(128*c^2) - (d^2*g^3*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(63*c^2) + (15/64)*d^2*f*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/21)*d^2*g^3*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (5/24)*d^2*f^3*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (5/16)*d^2*f*g^2*x^3*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (5/63)*d^2*g^3*x^4*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/6)*d^2*f^3*x*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (3/8)*d^2*f*g^2*x^3*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/9)*d^2*g^3*x^4*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (3*d^2*f^2*g*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(7*c^2) + (5*d^2*f^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(48*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*d^2*f*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(128*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(f + g*x)^2, x, 50, (64*b^2*d^2*f*g*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(245*c^2) - (245*b^2*d^2*f^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/1152 - (359*b^2*d^2*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36864*c^2) - (1079*b^2*d^2*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/55296 + (209*b^2*c^2*d^2*g^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/13824 - (1/256)*b^2*c^4*d^2*g^2*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (32*b^2*d^2*f*g*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(735*c^2) - (65*b^2*d^2*f^2*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/1728 + (24*b^2*d^2*f*g*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1225*c^2) - (1/108)*b^2*d^2*f^2*x*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (4*b^2*d^2*f*g*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(343*c^2) + (115*b^2*d^2*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(1152*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (359*b^2*d^2*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(36864*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (4*b*d^2*f*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*b*c*d^2*f^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*b*d^2*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(128*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (4*b*c*d^2*f*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (59*b*c*d^2*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(384*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (12*b*c^3*d^2*f*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(35*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (17*b*c^3*d^2*g^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(144*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (4*b*c^5*d^2*f*g*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(49*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*g^2*x^8*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(32*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*b*d^2*f^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(48*c) + (b*d^2*f^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(18*c) + (5/16)*d^2*f^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (5*d^2*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(128*c^2) + (5/64)*d^2*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (5/24)*d^2*f^2*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (5/48)*d^2*g^2*x^3*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/6)*d^2*f^2*x*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/8)*d^2*g^2*x^3*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (2*d^2*f*g*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(7*c^2) + (5*d^2*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(48*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*d^2*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(384*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(f + g*x)^1, x, 25, (32*b^2*d^2*g*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(245*c^2) - (245*b^2*d^2*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/1152 + (16*b^2*d^2*g*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(735*c^2) - (65*b^2*d^2*f*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/1728 + (12*b^2*d^2*g*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1225*c^2) - (1/108)*b^2*d^2*f*x*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (2*b^2*d^2*g*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(343*c^2) + (115*b^2*d^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(1152*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*d^2*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*b*c*d^2*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c*d^2*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(7*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (6*b*c^3*d^2*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(35*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c^5*d^2*g*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(49*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*b*d^2*f*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(48*c) + (b*d^2*f*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(18*c) + (5/16)*d^2*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (5/24)*d^2*f*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/6)*d^2*f*x*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2 - (d^2*g*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(7*c^2) + (5*d^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(48*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(f + g*x)^1, x, 74, (52*b^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(225*g) + (4*b^2*d^2*(c^2*f^2 - 2*g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*g^3) + (a^2*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/g^5 - (2*b^2*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/g^5 - (b^2*c^2*d^2*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(64*g^2) + (b^2*c^2*d^2*f*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*g^4) + (b^2*c^4*d^2*f*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(32*g^2) + (4*a*b*c*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*a*b*c*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (26*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(675*g) + (2*b^2*d^2*(c^2*f^2 - 2*g^2)*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(27*g^3) - (2*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(125*g) + (2*a*b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/g^5 + (b^2*c*d^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(64*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b^2*c*d^2*f*(c^2*f^2 - 2*g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(4*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (4*b^2*c*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(15*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b^2*c*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(g^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b^2*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]^2)/g^5 + (2*b*c*d^2*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d^2*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d^2*f*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^3*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(45*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c^3*d^2*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^5*d^2*f*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c^5*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(15*g) + (c^2*d^2*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(8*g^2) - (c^2*d^2*f*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*g^4) - (c^2*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(15*g) - (c^4*d^2*f*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*g^2) + (c^4*d^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(5*g) - (d^2*(c^2*f^2 - 2*g^2)*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*g^3) - (c*d^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(24*b*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (c*d^2*f*(c^2*f^2 - 2*g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(6*b*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (c*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*g^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (d^2*(c^2*f^2 - g^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c*g^6*(f + g*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c*g^4*(f + g*x)) - (a^2*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTan[(g + c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*I*a*b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (I*b^2*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*I*a*b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (I*b^2*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*a*b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b^2*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*a*b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b^2*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*I*b^2*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*I*b^2*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+(* {(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(f + g*x)^2, x, 0, 0} *)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(f + g*x)^3, x, 17, (6*b^2*f^2*g*(1 - c^2*x^2))/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (14*b^2*g^3*(1 - c^2*x^2))/(9*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*b^2*f*g^2*x*(1 - c^2*x^2))/(4*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b^2*g^3*(1 - c^2*x^2)^2)/(27*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*b^2*f*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(4*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (6*b*f^2*g*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*b*g^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*b*f*g^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*g^3*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*f^2*g*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*g^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*f*g^2*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (g^3*x^2*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (f^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (f*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(2*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(f + g*x)^2, x, 11, (4*b^2*f*g*(1 - c^2*x^2))/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b^2*g^2*x*(1 - c^2*x^2))/(4*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(4*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*b*f*g*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*g^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*f*g*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (g^2*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (f^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(6*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(f + g*x)^1, x, 8, (2*b^2*g*(1 - c^2*x^2))/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*g*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (g*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), (2*a*b*g*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b^2*g*(1 - c^2*x^2))/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b^2*g*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (g*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(f + g*x)^1, x, 12, -((I*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (I*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(f + g*x)^2, x, 20, (I*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/((c^2*f^2 - g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (g*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/((c^2*f^2 - g^2)*(f + g*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/((c^2*f^2 - g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*c^2*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/((c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/((c^2*f^2 - g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*c^2*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/((c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b^2*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/((c^2*f^2 - g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b*c^2*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/((c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b^2*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/((c^2*f^2 - g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*c^2*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/((c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*b^2*c^2*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/((c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b^2*c^2*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/((c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+
+
+{1/(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(f + g*x)^3, x, 23, -((2*a*b*g^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (2*b^2*g^3*(1 - c^2*x^2))/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b^2*g^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (g*(3*c^2*f^2 + g^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (f*(f^2 + (3*g^2)/c^2)*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*f*(c^2*f^2 + 3*g^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (g^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (f*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*I*b*g*(3*c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*f*(c^2*f^2 + 3*g^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*b^2*g*(3*c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b^2*g*(3*c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b^2*f*(c^2*f^2 + 3*g^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(f + g*x)^2, x, 19, (2*f*g*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + ((c^2*f^2 + g^2)*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*(c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(3*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (8*I*b*f*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*(c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (4*I*b^2*f*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*I*b^2*f*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b^2*(c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(f + g*x)^1, x, 16, (g*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (f*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*I*b*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*b^2*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b^2*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b^2*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(f + g*x)^1, x, 28, -((I*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*d*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (I*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*d*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Cot[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(2*d*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - I/E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I/E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(d*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b^2*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*b^2*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(2*d*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+(* {1/(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(f + g*x)^2, x, 7, 0} *)
+
+
+{1/(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(f + g*x)^3, x, 37, -((I*(c*f - g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(12*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (I*(c*f - 2*g)*(c*f + g)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*(c*f + g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(12*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*(c*f - g)^2*(c*f + 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*(c*f - g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Cot[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(6*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - ((c*f - g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Cot[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(12*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - ((c*f - g)^2*(c*f + 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Cot[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(4*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*(c*f - g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Csc[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]^2)/(12*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - ((c*f - g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Cot[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]*Csc[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]^2)/(24*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f - 2*g)*(c*f + g)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - I/E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f + g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - I/E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f - g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f - g)^2*(c*f + 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 - I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*b^2*(c*f - 2*g)*(c*f + g)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I/E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*b^2*(c*f + g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I/E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b^2*(c*f - g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b^2*(c*f - g)^2*(c*f + 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSin[c*x])])/(c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*(c*f + g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Sec[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]^2)/(12*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b^2*(c*f + g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(6*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + ((c*f - 2*g)*(c*f + g)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(4*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + ((c*f + g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(12*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + ((c*f + g)^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Sec[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]^2*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(24*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
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+(* {1/(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(f + g*x)^1, x, 48, If[$VersionNumber>=8, (I*(c*f - 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*d^2*(c*f - g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(12*d^2*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(12*d^2*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*(c*f + 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*d^2*(c*f + g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f - 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^((I*Pi)/2 - I*ArcSin[c*x])])/(d^2*(c*f - g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^((I*Pi)/2 - I*ArcSin[c*x])])/(3*d^2*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^((I*Pi)/2 + I*ArcSin[c*x])])/(3*d^2*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f + 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^((I*Pi)/2 + I*ArcSin[c*x])])/(d^2*(c*f + g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - 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2*ArcSin[c*x]))])/(d^2*(c*f - g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^((1/2)*I*(Pi - 2*ArcSin[c*x]))])/(3*d^2*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^((1/2)*I*(Pi + 2*ArcSin[c*x]))])/(3*d^2*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f + 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[1 + E^((1/2)*I*(Pi + 2*ArcSin[c*x]))])/(d^2*(c*f + g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*b^2*(c*f - 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^((1/2)*I*(Pi - 2*ArcSin[c*x]))])/(d^2*(c*f - g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^((1/2)*I*(Pi - 2*ArcSin[c*x]))])/(3*d^2*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^((1/2)*I*(Pi + 2*ArcSin[c*x]))])/(3*d^2*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b^2*(c*f + 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^((1/2)*I*(Pi + 2*ArcSin[c*x]))])/(d^2*(c*f + g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*b^2*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b^2*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Sec[Pi/4 - (1/2)*ArcSin[c*x]]^2)/(12*d^2*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])*Sec[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]^2)/(12*d^2*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Tan[Pi/4 - (1/2)*ArcSin[c*x]])/(6*d^2*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - ((c*f - 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Tan[Pi/4 - (1/2)*ArcSin[c*x]])/(4*d^2*(c*f - g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Tan[Pi/4 - (1/2)*ArcSin[c*x]])/(12*d^2*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Sec[Pi/4 - (1/2)*ArcSin[c*x]]^2*Tan[Pi/4 - (1/2)*ArcSin[c*x]])/(24*d^2*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(6*d^2*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(12*d^2*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + ((c*f + 2*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(4*d^2*(c*f + g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Sec[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]]^2*Tan[Pi/4 + (1/2)*ArcSin[c*x]])/(24*d^2*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])]} *)
+(* {1/(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(f + g*x)^2, x, 7, 0} *)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Log[h (f + g x)^m] (d+e x^2)^(p/2) (a+b ArcSin[c x])^n where c^2 d+e=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Log[h (f + g x)^m] (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcSin[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcSin[c*x])^n/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 0, Unintegrable[((a + b*ArcSin[c*x])^n*Log[h*(f + g*x)^m])/Sqrt[1 - c^2*x^2], x]}
+
+
+{Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcSin[c*x])^3/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 15, (I*m*(a + b*ArcSin[c*x])^5)/(20*b^2*c) - (m*(a + b*ArcSin[c*x])^4*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(4*b*c) - (m*(a + b*ArcSin[c*x])^4*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(4*b*c) + ((a + b*ArcSin[c*x])^4*Log[h*(f + g*x)^m])/(4*b*c) + (I*m*(a + b*ArcSin[c*x])^3*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c + (I*m*(a + b*ArcSin[c*x])^3*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c - (3*b*m*(a + b*ArcSin[c*x])^2*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c - (3*b*m*(a + b*ArcSin[c*x])^2*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c - (6*I*b^2*m*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[4, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c - (6*I*b^2*m*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[4, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c + (6*b^3*m*PolyLog[5, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c + (6*b^3*m*PolyLog[5, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c}
+{Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcSin[c*x])^2/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 13, (I*m*(a + b*ArcSin[c*x])^4)/(12*b^2*c) - (m*(a + b*ArcSin[c*x])^3*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(3*b*c) - (m*(a + b*ArcSin[c*x])^3*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(3*b*c) + ((a + b*ArcSin[c*x])^3*Log[h*(f + g*x)^m])/(3*b*c) + (I*m*(a + b*ArcSin[c*x])^2*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c + (I*m*(a + b*ArcSin[c*x])^2*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c - (2*b*m*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c - (2*b*m*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c - (2*I*b^2*m*PolyLog[4, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c - (2*I*b^2*m*PolyLog[4, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c}
+{Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcSin[c*x])^1/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 11, (I*m*(a + b*ArcSin[c*x])^3)/(6*b^2*c) - (m*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(2*b*c) - (m*(a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(2*b*c) + ((a + b*ArcSin[c*x])^2*Log[h*(f + g*x)^m])/(2*b*c) + (I*m*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c + (I*m*(a + b*ArcSin[c*x])*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c - (b*m*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c - (b*m*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c}
+{Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcSin[c*x])^0/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 9, (I*m*ArcSin[c*x]^2)/(2*c) - (m*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c - (m*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c + (ArcSin[c*x]*Log[h*(f + g*x)^m])/c + (I*m*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c + (I*m*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c}
+{Log[h*(f + g*x)^m]/(a + b*ArcSin[c*x])^1/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 0, Unintegrable[Log[h*(f + g*x)^m]/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Px (d+e x)^m (a+b ArcSin[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Px (d+e x)^m (a+b ArcSin[c x])*)
+
+
+{(f + g*x)*(a + b*ArcSin[c*x])*(d + e*x)^3, x, 6, (b*e*(4*e^2*g + 25*c^2*d*(e*f + d*g))*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(75*c^3) + (b*e^2*(e*f + 3*d*g)*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*c) + (b*e^3*g*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(25*c) + (b*(32*(75*c^4*d^3*f + 8*e^3*g + 50*c^2*d*e*(e*f + d*g)) + 75*c^2*(8*c^2*d^2*(3*e*f + d*g) + 3*e^2*(e*f + 3*d*g))*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2400*c^5) - (b*(8*c^2*d^2*(3*e*f + d*g) + 3*e^2*(e*f + 3*d*g))*ArcSin[c*x])/(32*c^4) + d^3*f*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/2)*d^2*(3*e*f + d*g)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]) + d*e*(e*f + d*g)*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/4)*e^2*(e*f + 3*d*g)*x^4*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/5)*e^3*g*x^5*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{(f + g*x)*(a + b*ArcSin[c*x])*(d + e*x)^2, x, 6, (b*e*(e*f + 2*d*g)*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*c) + (b*e^2*g*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*c) + (b*(32*(9*c^2*d^2*f + 2*e*(e*f + 2*d*g)) + 9*(3*e^2*g + 8*c^2*d*(2*e*f + d*g))*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(288*c^3) - (b*(3*e^2*g + 8*c^2*d*(2*e*f + d*g))*ArcSin[c*x])/(32*c^4) + d^2*f*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/2)*d*(2*e*f + d*g)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/3)*e*(e*f + 2*d*g)*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/4)*e^2*g*x^4*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{(f + g*x)*(a + b*ArcSin[c*x])*(d + e*x)^1, x, 5, (b*e*g*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*c) + (b*(4*(9*c^2*d*f + 2*e*g) + 9*c^2*(e*f + d*g)*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(36*c^3) - (b*(e*f + d*g)*ArcSin[c*x])/(4*c^2) + d*f*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/2)*(e*f + d*g)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/3)*e*g*x^3*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{(f + g*x)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^1, x, 14, (b*g*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*e) - (I*b*(e*f - d*g)*ArcSin[c*x]^2)/(2*e^2) + (g*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/e + (b*(e*f - d*g)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^2 + (b*(e*f - d*g)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^2 - (b*(e*f - d*g)*ArcSin[c*x]*Log[d + e*x])/e^2 + ((e*f - d*g)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[d + e*x])/e^2 - (I*b*(e*f - d*g)*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^2 - (I*b*(e*f - d*g)*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^2}
+{(f + g*x)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^2, x, 15, -((I*b*g*ArcSin[c*x]^2)/(2*e^2)) - ((e*f - d*g)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(e^2*(d + e*x)) + (b*c*(e*f - d*g)*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(e^2*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) + (b*g*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^2 + (b*g*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^2 - (b*g*ArcSin[c*x]*Log[d + e*x])/e^2 + (g*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[d + e*x])/e^2 - (I*b*g*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^2 - (I*b*g*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^2}
+{(f + g*x)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^3, x, 7, (b*c*(e*f - d*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*e*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)) + (b*g^2*ArcSin[c*x])/(2*e^2*(e*f - d*g)) - ((f + g*x)^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2) - (b*c*(2*e^2*g - c^2*d*(e*f + d*g))*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(2*e^2*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2))}
+{(f + g*x)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^4, x, 6, (b*c*(e*f - d*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*e*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)^2) + (b*c*(c^2*d*f - e*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*(c^2*d^2 - e^2)^2*(d + e*x)) - ((e*f - d*g)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*e^2*(d + e*x)^3) - (g*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*e^2*(d + e*x)^2) + (b*c^3*(e^2*(e*f - 4*d*g) + c^2*d^2*(2*e*f + d*g))*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(6*e^2*(c^2*d^2 - e^2)^(5/2))}
+{(f + g*x)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^5, x, 7, (b*c*(e*f - d*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(12*e*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)^3) - (b*c*(4*e^2*g - c^2*d*(5*e*f - d*g))*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(24*e*(c^2*d^2 - e^2)^2*(d + e*x)^2) + (b*c^3*(4*e^2*(e*f - 4*d*g) + c^2*d^2*(11*e*f + d*g))*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(24*e*(c^2*d^2 - e^2)^3*(d + e*x)) - ((e*f - d*g)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*e^2*(d + e*x)^4) - (g*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*e^2*(d + e*x)^3) - (b*c^3*(4*e^4*g - c^2*d*e^2*(9*e*f - 13*d*g) - 2*c^4*d^3*(3*e*f + d*g))*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(24*e^2*(c^2*d^2 - e^2)^(7/2))}
+{(f + g*x)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^6, x, 8, (b*c*(e*f - d*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(20*e*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)^4) - (b*c*(5*e^2*g - c^2*d*(7*e*f - 2*d*g))*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(60*e*(c^2*d^2 - e^2)^2*(d + e*x)^3) + (b*c^3*(e^2*(9*e*f - 34*d*g) + c^2*d^2*(26*e*f - d*g))*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(120*e*(c^2*d^2 - e^2)^3*(d + e*x)^2) - (b*c^3*(4*e^4*g - c^2*d*e^2*(11*e*f - 18*d*g) - c^4*d^3*(10*e*f + d*g))*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(24*e*(c^2*d^2 - e^2)^4*(d + e*x)) - ((e*f - d*g)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*e^2*(d + e*x)^5) - (g*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*e^2*(d + e*x)^4) + (b*c^5*(c^2*d^2*e^2*(24*e*f - 19*d*g) + 3*e^4*(e*f - 6*d*g) + 2*c^4*d^4*(4*e*f + d*g))*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(40*e^2*(c^2*d^2 - e^2)^(9/2))}
+
+
+{(f + g*x + h*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])*(d + e*x)^3, x, 8, (b*(12*e^2*(e*g + 3*d*h) + 25*c^2*d*(3*e^2*f + 3*d*e*g + d^2*h))*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(225*c^3) + (b*e*(5*e^2*h + 9*c^2*(e^2*f + 3*d*e*g + 3*d^2*h))*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(144*c^3) + (b*e^2*(e*g + 3*d*h)*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(25*c) + (b*e^3*h*x^5*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(36*c) + (b*(32*(225*c^4*d^3*f + 24*e^2*(e*g + 3*d*h) + 50*c^2*d*(3*e^2*f + 3*d*e*g + d^2*h)) + 75*(24*c^4*d^2*(3*e*f + d*g) + 5*e^3*h + 9*c^2*e*(e^2*f + 3*d*e*g + 3*d^2*h))*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(7200*c^5) - (b*(24*c^4*d^2*(3*e*f + d*g) + 5*e^3*h + 9*c^2*e*(e^2*f + 3*d*e*g + 3*d^2*h))*ArcSin[c*x])/(96*c^6) + d^3*f*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/2)*d^2*(3*e*f + d*g)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/3)*d*(3*e^2*f + 3*d*e*g + d^2*h)*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/4)*e*(e^2*f + 3*d*e*g + 3*d^2*h)*x^4*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/5)*e^2*(e*g + 3*d*h)*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/6)*e^3*h*x^6*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{(f + g*x + h*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])*(d + e*x)^2, x, 7, (b*(12*e^2*h + 25*c^2*(e^2*f + 2*d*e*g + d^2*h))*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(225*c^3) + (b*e*(e*g + 2*d*h)*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*c) + (b*e^2*h*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(25*c) + (b*(32*(225*c^4*d^2*f + 24*e^2*h + 50*c^2*(e^2*f + 2*d*e*g + d^2*h)) + 225*c^2*(8*c^2*d*(2*e*f + d*g) + 3*e*(e*g + 2*d*h))*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(7200*c^5) - (b*(8*c^2*d*(2*e*f + d*g) + 3*e*(e*g + 2*d*h))*ArcSin[c*x])/(32*c^4) + d^2*f*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/2)*d*(2*e*f + d*g)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/3)*(e^2*f + 2*d*e*g + d^2*h)*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/4)*e*(e*g + 2*d*h)*x^4*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/5)*e^2*h*x^5*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{(f + g*x + h*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])*(d + e*x)^1, x, 6, (b*(e*g + d*h)*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*c) + (b*e*h*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*c) + (b*(32*(9*c^2*d*f + 2*e*g + 2*d*h) + 9*(8*c^2*(e*f + d*g) + 3*e*h)*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(288*c^3) - (b*(8*c^2*(e*f + d*g) + 3*e*h)*ArcSin[c*x])/(32*c^4) + d*f*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/2)*(e*f + d*g)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/3)*(e*g + d*h)*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/4)*e*h*x^4*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{(f + g*x + h*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^1, x, 15, (b*(4*(e*g - d*h) + e*h*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c*e^2) - (b*h*ArcSin[c*x])/(4*c^2*e) - (I*b*(e^2*f - d*e*g + d^2*h)*ArcSin[c*x]^2)/(2*e^3) + ((e*g - d*h)*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/e^2 + (h*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*e) + (b*(e^2*f - d*e*g + d^2*h)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3 + (b*(e^2*f - d*e*g + d^2*h)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3 - (b*(e^2*f - d*e*g + d^2*h)*ArcSin[c*x]*Log[d + e*x])/e^3 + ((e^2*f - d*e*g + d^2*h)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[d + e*x])/e^3 - (I*b*(e^2*f - d*e*g + d^2*h)*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3 - (I*b*(e^2*f - d*e*g + d^2*h)*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3}
+{(f + g*x + h*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^2, x, 16, (b*h*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*e^2) - (I*b*(e*g - 2*d*h)*ArcSin[c*x]^2)/(2*e^3) + (h*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/e^2 - ((e^2*f - d*e*g + d^2*h)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(e^3*(d + e*x)) + (b*c*(e^2*f - d*e*g + d^2*h)*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(e^3*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) + (b*(e*g - 2*d*h)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3 + (b*(e*g - 2*d*h)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3 - (b*(e*g - 2*d*h)*ArcSin[c*x]*Log[d + e*x])/e^3 + ((e*g - 2*d*h)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[d + e*x])/e^3 - (I*b*(e*g - 2*d*h)*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3 - (I*b*(e*g - 2*d*h)*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3}
+{(f + g*x + h*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^3, x, 16, (b*c*(e^2*f - d*e*g + d^2*h)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*e^2*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)) - (I*b*h*ArcSin[c*x]^2)/(2*e^3) - ((e^2*f - d*e*g + d^2*h)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*e^3*(d + e*x)^2) - ((e*g - 2*d*h)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(e^3*(d + e*x)) - (b*c*(2*e^2*(e*g - 2*d*h) - c^2*d*(e^2*f + d*e*g - 3*d^2*h))*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(2*e^3*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) + (b*h*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3 + (b*h*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3 - (b*h*ArcSin[c*x]*Log[d + e*x])/e^3 + (h*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[d + e*x])/e^3 - (I*b*h*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3 - (I*b*h*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3}
+{(f + g*x + h*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^4, x, 6, (b*c*(e^2*f - d*e*g + d^2*h)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*e^2*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)^2) - (b*c*(e^2*(e*g - 2*d*h) - c^2*(d*e^2*f - d^3*h))*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*e^2*(c^2*d^2 - e^2)^2*(d + e*x)) - ((e^2*f - d*e*g + d^2*h)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*e^3*(d + e*x)^3) - ((e*g - 2*d*h)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*e^3*(d + e*x)^2) - (h*(a + b*ArcSin[c*x]))/(e^3*(d + e*x)) + (b*c*(6*e^4*h + c^2*e^2*(e^2*f - 4*d*e*g - 5*d^2*h) + c^4*d^2*(2*e^2*f + d*e*g + 2*d^2*h))*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(6*e^3*(c^2*d^2 - e^2)^(5/2))}
+{(f + g*x + h*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^5, x, 7, (b*c*(e^2*f - d*e*g + d^2*h)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(12*e^2*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)^3) - (b*c*(4*e^2*(e*g - 2*d*h) - c^2*d*(5*e^2*f - d*e*g - 3*d^2*h))*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(24*e^2*(c^2*d^2 - e^2)^2*(d + e*x)^2) + (b*c*(12*e^4*h + c^4*d^2*(11*e^2*f + d*e*g - d^2*h) + 4*c^2*e^2*(e^2*f - 4*d*e*g + d^2*h))*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(24*e^2*(c^2*d^2 - e^2)^3*(d + e*x)) - ((e^2*f - d*e*g + d^2*h)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*e^3*(d + e*x)^4) - ((e*g - 2*d*h)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*e^3*(d + e*x)^3) - (h*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*e^3*(d + e*x)^2) - (b*c^3*(4*e^4*(e*g - 5*d*h) - c^2*d*e^2*(9*e^2*f - 13*d*e*g - 7*d^2*h) - 2*c^4*d^3*(3*e^2*f + d*e*g + d^2*h))*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(24*e^3*(c^2*d^2 - e^2)^(7/2))}
+{(f + g*x + h*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^6, x, 8, (b*c*(e^2*f - d*e*g + d^2*h)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(20*e^2*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)^4) - (b*c*(5*e^2*(e*g - 2*d*h) - c^2*d*(7*e^2*f - 2*d*e*g - 3*d^2*h))*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(60*e^2*(c^2*d^2 - e^2)^2*(d + e*x)^3) + (b*c*(20*e^4*h + c^4*d^2*(26*e^2*f - d*e*g - 4*d^2*h) + c^2*e^2*(9*e^2*f - 34*d*e*g + 19*d^2*h))*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(120*e^2*(c^2*d^2 - e^2)^3*(d + e*x)^2) + (b*c^3*(c^4*d^3*(10*e*f + d*g) - 4*e^3*(e*g - 5*d*h) + c^2*d*e*(11*e^2*f - 18*d*e*g + d^2*h))*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(24*e*(c^2*d^2 - e^2)^4*(d + e*x)) - ((e^2*f - d*e*g + d^2*h)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(5*e^3*(d + e*x)^5) - ((e*g - 2*d*h)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(4*e^3*(d + e*x)^4) - (h*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*e^3*(d + e*x)^3) + (b*c^3*(20*e^6*h + 3*c^4*d^2*e^2*(24*e^2*f - 19*d*e*g - 6*d^2*h) + 2*c^6*d^4*(12*e^2*f + 3*d*e*g + 2*d^2*h) + 9*c^2*e^4*(e^2*f - 6*d*e*g + 11*d^2*h))*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(120*e^3*(c^2*d^2 - e^2)^(9/2))}
+
+
+{(f + g*x + h*x^2 + i*x^3)*(a + b*ArcSin[c*x])*(d + e*x)^3, x, 9, (b*(1225*c^4*d*(3*e^2*f + 3*d*e*g + d^2*h) + 360*e^3*i + 588*c^2*e*(e^2*g + 3*d*e*h + 3*d^2*i))*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(11025*c^5) + (b*(5*e^2*(e*h + 3*d*i) + 9*c^2*(e^3*f + 3*d*e^2*g + 3*d^2*e*h + d^3*i))*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(144*c^3) + (b*e*(30*e^2*i + 49*c^2*(e^2*g + 3*d*e*h + 3*d^2*i))*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(1225*c^3) + (b*e^2*(e*h + 3*d*i)*x^5*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(36*c) + (b*e^3*i*x^6*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(49*c) + (b*(32*(11025*c^6*d^3*f + 2450*c^4*d*(3*e^2*f + 3*d*e*g + d^2*h) + 720*e^3*i + 1176*c^2*e*(e^2*g + 3*d*e*h + 3*d^2*i)) + 3675*c^2*(24*c^4*d^2*(3*e*f + d*g) + 5*e^2*(e*h + 3*d*i) + 9*c^2*(e^3*f + 3*d*e^2*g + 3*d^2*e*h + d^3*i))*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(352800*c^7) - (b*(24*c^4*d^2*(3*e*f + d*g) + 5*e^2*(e*h + 3*d*i) + 9*c^2*(e^3*f + 3*d*e^2*g + 3*d^2*e*h + d^3*i))*ArcSin[c*x])/(96*c^6) + d^3*f*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/2)*d^2*(3*e*f + d*g)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/3)*d*(3*e^2*f + 3*d*e*g + d^2*h)*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/4)*(e^3*f + 3*d*e^2*g + 3*d^2*e*h + d^3*i)*x^4*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/5)*e*(e^2*g + 3*d*e*h + 3*d^2*i)*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/6)*e^2*(e*h + 3*d*i)*x^6*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/7)*e^3*i*x^7*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{(f + g*x + h*x^2 + i*x^3)*(a + b*ArcSin[c*x])*(d + e*x)^2, x, 8, (b*(25*c^2*(e^2*f + 2*d*e*g + d^2*h) + 12*e*(e*h + 2*d*i))*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(225*c^3) + (b*(5*e^2*i + 9*c^2*(e^2*g + 2*d*e*h + d^2*i))*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(144*c^3) + (b*e*(e*h + 2*d*i)*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(25*c) + (b*e^2*i*x^5*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(36*c) + (b*(32*(225*c^4*d^2*f + 50*c^2*(e^2*f + 2*d*e*g + d^2*h) + 24*e*(e*h + 2*d*i)) + 75*(24*c^4*d*(2*e*f + d*g) + 5*e^2*i + 9*c^2*(e^2*g + 2*d*e*h + d^2*i))*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(7200*c^5) - (b*(24*c^4*d*(2*e*f + d*g) + 5*e^2*i + 9*c^2*(e^2*g + 2*d*e*h + d^2*i))*ArcSin[c*x])/(96*c^6) + d^2*f*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/2)*d*(2*e*f + d*g)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/3)*(e^2*f + 2*d*e*g + d^2*h)*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/4)*(e^2*g + 2*d*e*h + d^2*i)*x^4*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/5)*e*(e*h + 2*d*i)*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/6)*e^2*i*x^6*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{(f + g*x + h*x^2 + i*x^3)*(a + b*ArcSin[c*x])*(d + e*x)^1, x, 7, (b*(25*c^2*(e*g + d*h) + 12*e*i)*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(225*c^3) + (b*(e*h + d*i)*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*c) + (b*e*i*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(25*c) + (b*(32*(225*c^4*d*f + 50*c^2*(e*g + d*h) + 24*e*i) + 225*c^2*(8*c^2*(e*f + d*g) + 3*(e*h + d*i))*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(7200*c^5) - (b*(8*c^2*(e*f + d*g) + 3*(e*h + d*i))*ArcSin[c*x])/(32*c^4) + d*f*x*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/2)*(e*f + d*g)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/3)*(e*g + d*h)*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/4)*(e*h + d*i)*x^4*(a + b*ArcSin[c*x]) + (1/5)*e*i*x^5*(a + b*ArcSin[c*x])}
+{(f + g*x + h*x^2 + i*x^3)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^1, x, 16, (b*i*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*c*e) + (b*(4*(2*e^2*i + 9*c^2*(e^2*g - d*e*h + d^2*i)) + 9*c^2*e*(e*h - d*i)*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(36*c^3*e^3) - (b*(e*h - d*i)*ArcSin[c*x])/(4*c^2*e^2) - (I*b*(e^3*f - d*e^2*g + d^2*e*h - d^3*i)*ArcSin[c*x]^2)/(2*e^4) + ((e^2*g - d*e*h + d^2*i)*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/e^3 + ((e*h - d*i)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*e^2) + (i*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*e) + (b*(e^3*f - d*e^2*g + d^2*e*h - d^3*i)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^4 + (b*(e^3*f - d*e^2*g + d^2*e*h - d^3*i)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^4 - (b*(e^3*f - d*e^2*g + d^2*e*h - d^3*i)*ArcSin[c*x]*Log[d + e*x])/e^4 + ((e^3*f - d*e^2*g + d^2*e*h - d^3*i)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[d + e*x])/e^4 - (I*b*(e^3*f - d*e^2*g + d^2*e*h - d^3*i)*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^4 - (I*b*(e^3*f - d*e^2*g + d^2*e*h - d^3*i)*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^4}
+{(f + g*x + h*x^2 + i*x^3)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^2, x, 18, (b*(e*h - 2*d*i)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*e^3) + (b*i*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c*e^2) - (b*i*ArcSin[c*x])/(4*c^2*e^2) - (I*b*(e^2*g - 2*d*e*h + 3*d^2*i)*ArcSin[c*x]^2)/(2*e^4) + ((e*h - 2*d*i)*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/e^3 + (i*x^2*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*e^2) - ((e^3*f - d*e^2*g + d^2*e*h - d^3*i)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(e^4*(d + e*x)) + (b*c*(e^3*f - d*e^2*g + d^2*e*h - d^3*i)*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(e^4*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) + (b*(e^2*g - 2*d*e*h + 3*d^2*i)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^4 + (b*(e^2*g - 2*d*e*h + 3*d^2*i)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^4 - (b*(e^2*g - 2*d*e*h + 3*d^2*i)*ArcSin[c*x]*Log[d + e*x])/e^4 + ((e^2*g - 2*d*e*h + 3*d^2*i)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[d + e*x])/e^4 - (I*b*(e^2*g - 2*d*e*h + 3*d^2*i)*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^4 - (I*b*(e^2*g - 2*d*e*h + 3*d^2*i)*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^4}
+{(f + g*x + h*x^2 + i*x^3)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^3, x, 30, (b*i*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*e^3) + (5*b*c*d^3*i*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*e^3*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)) - (b*c*d^2*(3*e*h + 4*d*i)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*e^3*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)) + (b*c*d*(e^2*g + 4*d*e*h - 4*d^2*i)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*e^3*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)) + (b*c*(e^3*f - 2*d*e^2*g + 2*d^3*i)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*e^3*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)) - (I*b*(e*h - 3*d*i)*ArcSin[c*x]^2)/(2*e^4) + (i*x*(a + b*ArcSin[c*x]))/e^3 - ((e^3*f - d*e^2*g + d^2*e*h - d^3*i)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*e^4*(d + e*x)^2) - ((e^2*g - 2*d*e*h + 3*d^2*i)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(e^4*(d + e*x)) + (5*b*c^3*d^4*i*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(2*e^4*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) - (b*c*d^2*(3*c^2*d*h + 4*e*i)*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(2*e^3*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) + (b*c*d*(4*e^2*(e*h - 2*d*i) + c^2*(d*e^2*g + 4*d^3*i))*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(2*e^4*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) - (b*c*(2*e^4*g - 6*d^2*e^2*i - c^2*(d*e^3*f - 4*d^4*i))*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(2*e^4*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) + (b*(e*h - 3*d*i)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^4 + (b*(e*h - 3*d*i)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^4 - (b*(e*h - 3*d*i)*ArcSin[c*x]*Log[d + e*x])/e^4 + ((e*h - 3*d*i)*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[d + e*x])/e^4 - (I*b*(e*h - 3*d*i)*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^4 - (I*b*(e*h - 3*d*i)*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^4}
+{(f + g*x + h*x^2 + i*x^3)*(a + b*ArcSin[c*x])/(d + e*x)^4, x, 29, (b*c*(2*e^2*f - 3*d*e*g + 6*d^2*h)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(12*e^2*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)^2) - (11*b*c*d^3*i*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(12*e^3*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)^2) + (b*c*d^2*(2*e*h + 27*d*i)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(12*e^3*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)^2) + (b*c*d*(e^2*g - 6*d*e*h - 18*d^2*i)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(12*e^3*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)^2) - (b*c*(2*e^2*(e*g - 4*d*h) - c^2*d*(2*e^2*f - d*e*g - 2*d^2*h))*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*e^2*(c^2*d^2 - e^2)^2*(d + e*x)) - (11*b*c^3*d^4*i*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*e^3*(c^2*d^2 - e^2)^2*(d + e*x)) + (b*c*d^2*(18*e^2*i + c^2*d*(2*e*h + 9*d*i))*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*e^3*(c^2*d^2 - e^2)^2*(d + e*x)) - (b*c*d*(4*e^2*(e*h + 6*d*i) - c^2*d*(e^2*g - 2*d*e*h + 6*d^2*i))*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*e^3*(c^2*d^2 - e^2)^2*(d + e*x)) - (I*b*i*ArcSin[c*x]^2)/(2*e^4) - ((e^3*f - d*e^2*g + d^2*e*h - d^3*i)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(3*e^4*(d + e*x)^3) - ((e^2*g - 2*d*e*h + 3*d^2*i)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*e^4*(d + e*x)^2) - ((e*h - 3*d*i)*(a + b*ArcSin[c*x]))/(e^4*(d + e*x)) + (b*c*(4*c^4*d^2*f + 12*e^2*h + c^2*(2*e^2*f - 9*d*e*g + 6*d^2*h))*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(12*e*(c^2*d^2 - e^2)^(5/2)) - (11*b*c^3*d^3*(2*c^2*d^2 + e^2)*i*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(12*e^4*(c^2*d^2 - e^2)^(5/2)) + (b*c^3*d^2*(4*c^2*d^2*h + e*(2*e*h + 81*d*i))*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(12*e^3*(c^2*d^2 - e^2)^(5/2)) + (b*c*d*(2*c^4*d^2*g - 36*e^2*i + c^2*(e^2*g - 18*d*e*h - 18*d^2*i))*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(12*e^2*(c^2*d^2 - e^2)^(5/2)) + (b*i*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^4 + (b*i*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^4 - (b*i*ArcSin[c*x]*Log[d + e*x])/e^4 + (i*(a + b*ArcSin[c*x])*Log[d + e*x])/e^4 - (I*b*i*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^4 - (I*b*i*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^4}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Px (d+e x)^m (a+b ArcSin[c x])^2*)
+
+
+{(f + g*x)^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d + e*x)^3, x, 33, (a*b*c*(e*f - d*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(e*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)) + (a*b*g^2*ArcSin[c*x])/(e^2*(e*f - d*g)) + (b^2*c*(e*f - d*g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(e*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)) + (b^2*g^2*ArcSin[c*x]^2)/(2*e^2*(e*f - d*g)) - ((f + g*x)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(2*(e*f - d*g)*(d + e*x)^2) - (a*b*c*(2*e^2*g - c^2*d*(e*f + d*g))*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(e^2*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) - (2*I*b^2*c*g*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^2*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) - (I*b^2*c^3*d*(e*f - d*g)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^2*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) + (2*I*b^2*c*g*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^2*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) + (I*b^2*c^3*d*(e*f - d*g)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^2*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) - (b^2*c^2*(e*f - d*g)*Log[d + e*x])/(e^2*(c^2*d^2 - e^2)) - (2*b^2*c*g*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^2*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) - (b^2*c^3*d*(e*f - d*g)*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^2*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) + (2*b^2*c*g*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^2*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) + (b^2*c^3*d*(e*f - d*g)*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^2*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2))}
+{(f + g*x)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(d + e*x)^3, x, 55, -((a^2*(e*f - d*g)^2)/(2*e^3*(d + e*x)^2)) - (2*a^2*g*(e*f - d*g))/(e^3*(d + e*x)) + (a*b*c*(e*f - d*g)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(e^2*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)) - (a*b*(e*f - d*g)^2*ArcSin[c*x])/(e^3*(d + e*x)^2) - (4*a*b*g*(e*f - d*g)*ArcSin[c*x])/(e^3*(d + e*x)) + (b^2*c*(e*f - d*g)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(e^2*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)) - (I*a*b*g^2*ArcSin[c*x]^2)/e^3 - (b^2*(e*f - d*g)^2*ArcSin[c*x]^2)/(2*e^3*(d + e*x)^2) - (2*b^2*g*(e*f - d*g)*ArcSin[c*x]^2)/(e^3*(d + e*x)) - (I*b^2*g^2*ArcSin[c*x]^3)/(3*e^3) - (a*b*c*(e*f - d*g)*(4*e^2*g - c^2*d*(e*f + 3*d*g))*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(e^3*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) + (2*a*b*g^2*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3 - (4*I*b^2*c*g*(e*f - d*g)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^3*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) - (I*b^2*c^3*d*(e*f - d*g)^2*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^3*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) + (b^2*g^2*ArcSin[c*x]^2*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3 + (2*a*b*g^2*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3 + (4*I*b^2*c*g*(e*f - d*g)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^3*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) + (I*b^2*c^3*d*(e*f - d*g)^2*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^3*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) + (b^2*g^2*ArcSin[c*x]^2*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3 + (a^2*g^2*Log[d + e*x])/e^3 - (b^2*c^2*(e*f - d*g)^2*Log[d + e*x])/(e^3*(c^2*d^2 - e^2)) - (2*I*a*b*g^2*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3 - (4*b^2*c*g*(e*f - d*g)*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^3*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) - (b^2*c^3*d*(e*f - d*g)^2*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^3*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) - (2*I*b^2*g^2*ArcSin[c*x]*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3 - (2*I*a*b*g^2*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3 + (4*b^2*c*g*(e*f - d*g)*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^3*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) + (b^2*c^3*d*(e*f - d*g)^2*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^3*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) - (2*I*b^2*g^2*ArcSin[c*x]*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3 + (2*b^2*g^2*PolyLog[3, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3 + (2*b^2*g^2*PolyLog[3, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e^3}
+
+
+{(d + e*x + f*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(g + h*x)^3, x, 35, -2*b^2*d*g^3*x - (16*b^2*h^2*(3*f*g + e*h)*x)/(75*c^4) - (4*b^2*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h))*x)/(9*c^2) - (5*b^2*f*h^3*x^2)/(96*c^4) - (1/4)*b^2*g^2*(e*g + 3*d*h)*x^2 - (3*b^2*h*(3*f*g^2 + h*(3*e*g + d*h))*x^2)/(32*c^2) - (8*b^2*h^2*(3*f*g + e*h)*x^3)/(225*c^2) - (2/27)*b^2*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h))*x^3 - (5*b^2*f*h^3*x^4)/(288*c^2) - (1/32)*b^2*h*(3*f*g^2 + h*(3*e*g + d*h))*x^4 - (2/125)*b^2*h^2*(3*f*g + e*h)*x^5 - (1/108)*b^2*f*h^3*x^6 + (2*b*d*g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/c + (16*b*h^2*(3*f*g + e*h)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(75*c^5) + (4*b*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h))*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c^3) + (5*b*f*h^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(48*c^5) + (b*g^2*(e*g + 3*d*h)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c) + (3*b*h*(3*f*g^2 + h*(3*e*g + d*h))*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*c^3) + (8*b*h^2*(3*f*g + e*h)*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(75*c^3) + (2*b*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h))*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c) + (5*b*f*h^3*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(72*c^3) + (b*h*(3*f*g^2 + h*(3*e*g + d*h))*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c) + (2*b*h^2*(3*f*g + e*h)*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*c) + (b*f*h^3*x^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(18*c) - (5*f*h^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(96*c^6) - (g^2*(e*g + 3*d*h)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*c^2) - (3*h*(3*f*g^2 + h*(3*e*g + d*h))*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(32*c^4) + d*g^3*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/2)*g^2*(e*g + 3*d*h)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/3)*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h))*x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/4)*h*(3*f*g^2 + h*(3*e*g + d*h))*x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/5)*h^2*(3*f*g + e*h)*x^5*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/6)*f*h^3*x^6*(a + b*ArcSin[c*x])^2}
+{(d + e*x + f*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(g + h*x)^2, x, 27, -2*b^2*d*g^2*x - (16*b^2*f*h^2*x)/(75*c^4) - (4*b^2*(f*g^2 + h*(2*e*g + d*h))*x)/(9*c^2) - (1/4)*b^2*g*(e*g + 2*d*h)*x^2 - (3*b^2*h*(2*f*g + e*h)*x^2)/(32*c^2) - (8*b^2*f*h^2*x^3)/(225*c^2) - (2/27)*b^2*(f*g^2 + h*(2*e*g + d*h))*x^3 - (1/32)*b^2*h*(2*f*g + e*h)*x^4 - (2/125)*b^2*f*h^2*x^5 + (2*b*d*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/c + (16*b*f*h^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(75*c^5) + (4*b*(f*g^2 + h*(2*e*g + d*h))*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c^3) + (b*g*(e*g + 2*d*h)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c) + (3*b*h*(2*f*g + e*h)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*c^3) + (8*b*f*h^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(75*c^3) + (2*b*(f*g^2 + h*(2*e*g + d*h))*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c) + (b*h*(2*f*g + e*h)*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c) + (2*b*f*h^2*x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(25*c) - (g*(e*g + 2*d*h)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*c^2) - (3*h*(2*f*g + e*h)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(32*c^4) + d*g^2*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/2)*g*(e*g + 2*d*h)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/3)*(f*g^2 + h*(2*e*g + d*h))*x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/4)*h*(2*f*g + e*h)*x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/5)*f*h^2*x^5*(a + b*ArcSin[c*x])^2}
+{(d + e*x + f*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2*(g + h*x)^1, x, 20, -2*b^2*d*g*x - (4*b^2*(f*g + e*h)*x)/(9*c^2) - (3*b^2*f*h*x^2)/(32*c^2) - (1/4)*b^2*(e*g + d*h)*x^2 - (2/27)*b^2*(f*g + e*h)*x^3 - (1/32)*b^2*f*h*x^4 + (2*b*d*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/c + (4*b*(f*g + e*h)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c^3) + (3*b*f*h*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(16*c^3) + (b*(e*g + d*h)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(2*c) + (2*b*(f*g + e*h)*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(9*c) + (b*f*h*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x]))/(8*c) - (3*f*h*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(32*c^4) - ((e*g + d*h)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(4*c^2) + d*g*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/2)*(e*g + d*h)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/3)*(f*g + e*h)*x^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2 + (1/4)*f*h*x^4*(a + b*ArcSin[c*x])^2}
+{(d + e*x + f*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(g + h*x)^1, x, 38, -((a^2*(f*g - e*h)*x)/h^2) + (2*b^2*(f*g - e*h)*x)/h^2 + (a^2*f*x^2)/(2*h) - (b^2*f*x^2)/(4*h) - (a*b*(4*(f*g - e*h) - f*h*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*c*h^2) - (a*b*f*ArcSin[c*x])/(2*c^2*h) - (2*a*b*(f*g - e*h)*x*ArcSin[c*x])/h^2 + (a*b*f*x^2*ArcSin[c*x])/h - (2*b^2*(f*g - e*h)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(c*h^2) + (b^2*f*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(2*c*h) - (b^2*f*ArcSin[c*x]^2)/(4*c^2*h) - (I*a*b*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*ArcSin[c*x]^2)/h^3 - (b^2*(f*g - e*h)*x*ArcSin[c*x]^2)/h^2 + (b^2*f*x^2*ArcSin[c*x]^2)/(2*h) - (I*b^2*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*ArcSin[c*x]^3)/(3*h^3) + (2*a*b*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g - Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3 + (b^2*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*ArcSin[c*x]^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g - Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3 + (2*a*b*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g + Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3 + (b^2*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*ArcSin[c*x]^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g + Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3 + (a^2*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*Log[g + h*x])/h^3 - (2*I*a*b*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g - Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3 - (2*I*b^2*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*ArcSin[c*x]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g - Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3 - (2*I*a*b*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g + Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3 - (2*I*b^2*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*ArcSin[c*x]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g + Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3 + (2*b^2*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g - Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3 + (2*b^2*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g + Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3}
+{(d + e*x + f*x^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2/(g + h*x)^2, x, 45, (a^2*f*x)/h^2 - (2*b^2*f*x)/h^2 - (a^2*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2))/(h^3*(g + h*x)) + (2*a*b*f*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*h^2) + (2*a*b*f*x*ArcSin[c*x])/h^2 - (2*a*b*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*ArcSin[c*x])/(h^3*(g + h*x)) + (2*b^2*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(c*h^2) + (I*a*b*(2*f*g - e*h)*ArcSin[c*x]^2)/h^3 + (b^2*f*x*ArcSin[c*x]^2)/h^2 - (b^2*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*ArcSin[c*x]^2)/(h^3*(g + h*x)) + (I*b^2*(2*f*g - e*h)*ArcSin[c*x]^3)/(3*h^3) + (2*a*b*c*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*ArcTan[(h + c^2*g*x)/(Sqrt[c^2*g^2 - h^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(h^3*Sqrt[c^2*g^2 - h^2]) - (2*a*b*(2*f*g - e*h)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g - Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3 - (2*I*b^2*c*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g - Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/(h^3*Sqrt[c^2*g^2 - h^2]) - (b^2*(2*f*g - e*h)*ArcSin[c*x]^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g - Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3 - (2*a*b*(2*f*g - e*h)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g + Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3 + (2*I*b^2*c*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g + Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/(h^3*Sqrt[c^2*g^2 - h^2]) - (b^2*(2*f*g - e*h)*ArcSin[c*x]^2*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g + Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3 - (a^2*(2*f*g - e*h)*Log[g + h*x])/h^3 + (2*I*a*b*(2*f*g - e*h)*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g - Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3 - (2*b^2*c*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g - Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/(h^3*Sqrt[c^2*g^2 - h^2]) + (2*I*b^2*(2*f*g - e*h)*ArcSin[c*x]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g - Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3 + (2*I*a*b*(2*f*g - e*h)*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g + Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3 + (2*b^2*c*(f*g^2 - e*g*h + d*h^2)*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g + Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/(h^3*Sqrt[c^2*g^2 - h^2]) + (2*I*b^2*(2*f*g - e*h)*ArcSin[c*x]*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g + Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3 - (2*b^2*(2*f*g - e*h)*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g - Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3 - (2*b^2*(2*f*g - e*h)*PolyLog[3, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*h)/(c*g + Sqrt[c^2*g^2 - h^2])])/h^3}
+
+
+{((e*f + 2*d*h*x + e*h*x^2)^1*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d + e*x)^2, x, 20, -((2*b^2*h*x)/e) + (2*a*b*h*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*e) + (2*b^2*h*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(c*e) + (h*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/e - ((f - (d^2*h)/e^2)*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d + e*x) + (2*a*b*c*(e^2*f - d^2*h)*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(e^2*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) - (2*I*b^2*c*(e^2*f - d^2*h)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^2*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) + (2*I*b^2*c*(e^2*f - d^2*h)*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^2*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) - (2*b^2*c*(e^2*f - d^2*h)*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^2*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) + (2*b^2*c*(e^2*f - d^2*h)*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^2*Sqrt[c^2*d^2 - e^2])}
+{((e*f + 2*d*h*x + e*h*x^2)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(d + e*x)^2, x, 32, -((4*b^2*h^2*x)/(9*c^2)) - (2*b^2*h*(2*e^2*f - d^2*h)*x)/e^2 - (b^2*d*h^2*x^2)/(2*e) - (2/27)*b^2*h^2*x^3 + (a*b*h*(4*e^2*h + c^2*(36*e^2*f - 25*d^2*h))*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*c^3*e^2) + (5*a*b*d*h^2*(d + e*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*c*e^2) + (2*a*b*h^2*(d + e*x)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*c*e^2) - (a*b*d*(2*c^2*d^2 + 3*e^2)*h^2*ArcSin[c*x])/(3*c^2*e^3) + (4*b^2*h^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(9*c^3) + (2*b^2*h*(2*e^2*f - d^2*h)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(c*e^2) + (b^2*d*h^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(c*e) + (2*b^2*h^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(9*c) - (b^2*d^3*h^2*ArcSin[c*x]^2)/(3*e^3) - (b^2*d*h^2*ArcSin[c*x]^2)/(2*c^2*e) + (2*h*(e^2*f - d^2*h)*x*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/e^2 - ((e^2*f - d^2*h)^2*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(e^3*(d + e*x)) + (h^2*(d + e*x)^3*(a + b*ArcSin[c*x])^2)/(3*e^3) + (2*a*b*c*(e^2*f - d^2*h)^2*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(e^3*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) - (2*I*b^2*c*(e^2*f - d^2*h)^2*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^3*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) + (2*I*b^2*c*(e^2*f - d^2*h)^2*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^3*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) - (2*b^2*c*(e^2*f - d^2*h)^2*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^3*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) + (2*b^2*c*(e^2*f - d^2*h)^2*PolyLog[2, (I*e*E^(I*ArcSin[c*x]))/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e^3*Sqrt[c^2*d^2 - e^2])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcSin[c+d x])^n*)
+
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcSin[c+d x])^n*)
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcSin[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^3*ArcSin[a + b*x], x, 6, -((7*a*x^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(48*b^2)) + (x^3*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(16*b) - ((4*a*(16 + 19*a^2) - (9 + 26*a^2)*(a + b*x))*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(96*b^4) - ((3 + 24*a^2 + 8*a^4)*ArcSin[a + b*x])/(32*b^4) + (1/4)*x^4*ArcSin[a + b*x]}
+{x^2*ArcSin[a + b*x], x, 5, (x^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(9*b) + ((4 + 11*a^2 - 5*a*b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(18*b^3) + (a*(3 + 2*a^2)*ArcSin[a + b*x])/(6*b^3) + (1/3)*x^3*ArcSin[a + b*x]}
+{x^1*ArcSin[a + b*x], x, 5, -((3*a*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(4*b^2)) + (x*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(4*b) - ((1 + 2*a^2)*ArcSin[a + b*x])/(4*b^2) + (1/2)*x^2*ArcSin[a + b*x]}
+{x^0*ArcSin[a + b*x], x, 3, Sqrt[1 - (a + b*x)^2]/b + ((a + b*x)*ArcSin[a + b*x])/b}
+{ArcSin[a + b*x]/x^1, x, 9, (-(1/2))*I*ArcSin[a + b*x]^2 + ArcSin[a + b*x]*Log[1 - E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a - Sqrt[1 - a^2])] + ArcSin[a + b*x]*Log[1 - E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a + Sqrt[1 - a^2])] - I*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a - Sqrt[1 - a^2])] - I*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a + Sqrt[1 - a^2])]}
+{ArcSin[a + b*x]/x^2, x, 4, -(ArcSin[a + b*x]/x) - (b*ArcTanh[(1 - a*(a + b*x))/(Sqrt[1 - a^2]*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])])/Sqrt[1 - a^2]}
+{ArcSin[a + b*x]/x^3, x, 5, -((b*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(2*(1 - a^2)*x)) - ArcSin[a + b*x]/(2*x^2) - (a*b^2*ArcTanh[(1 - a*(a + b*x))/(Sqrt[1 - a^2]*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])])/(2*(1 - a^2)^(3/2))}
+{ArcSin[a + b*x]/x^4, x, 6, -((b*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(6*(1 - a^2)*x^2)) - (a*b^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(2*(1 - a^2)^2*x) - ArcSin[a + b*x]/(3*x^3) - ((1 + 2*a^2)*b^3*ArcTanh[(1 - a*(a + b*x))/(Sqrt[1 - a^2]*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])])/(6*(1 - a^2)^(5/2))}
+{ArcSin[a + b*x]/x^5, x, 7, -((b*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(12*(1 - a^2)*x^3)) - (5*a*b^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(24*(1 - a^2)^2*x^2) - ((4 + 11*a^2)*b^3*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(24*(1 - a^2)^3*x) - ArcSin[a + b*x]/(4*x^4) - (a*(3 + 2*a^2)*b^4*ArcTanh[(1 - a*(a + b*x))/(Sqrt[1 - a^2]*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])])/(8*(1 - a^2)^(7/2))}
+
+
+{x^3*ArcSin[a + b*x]^2, x, 19, (4*a*x)/(3*b^3) + (2*a^3*x)/b^3 - (3*(a + b*x)^2)/(32*b^4) - (3*a^2*(a + b*x)^2)/(4*b^4) + (2*a*(a + b*x)^3)/(9*b^4) - (a + b*x)^4/(32*b^4) - (4*a*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/(3*b^4) - (2*a^3*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/b^4 + (3*(a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/(16*b^4) + (3*a^2*(a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/(2*b^4) - (2*a*(a + b*x)^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/(3*b^4) + ((a + b*x)^3*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/(8*b^4) - (3*ArcSin[a + b*x]^2)/(32*b^4) - (3*a^2*ArcSin[a + b*x]^2)/(4*b^4) - (a^4*ArcSin[a + b*x]^2)/(4*b^4) + (1/4)*x^4*ArcSin[a + b*x]^2}
+{x^2*ArcSin[a + b*x]^2, x, 14, -((4*x)/(9*b^2)) - (2*a^2*x)/b^2 + (a*(a + b*x)^2)/(2*b^3) - (2*(a + b*x)^3)/(27*b^3) + (4*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/(9*b^3) + (2*a^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/b^3 - (a*(a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/b^3 + (2*(a + b*x)^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/(9*b^3) + (a*ArcSin[a + b*x]^2)/(2*b^3) + (a^3*ArcSin[a + b*x]^2)/(3*b^3) + (1/3)*x^3*ArcSin[a + b*x]^2}
+{x^1*ArcSin[a + b*x]^2, x, 10, (2*a*x)/b - (a + b*x)^2/(4*b^2) - (2*a*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/b^2 + ((a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/(2*b^2) - ArcSin[a + b*x]^2/(4*b^2) - (a^2*ArcSin[a + b*x]^2)/(2*b^2) + (1/2)*x^2*ArcSin[a + b*x]^2}
+{x^0*ArcSin[a + b*x]^2, x, 4, -2*x + (2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/b + ((a + b*x)*ArcSin[a + b*x]^2)/b}
+{ArcSin[a + b*x]^2/x^1, x, 11, (-(1/3))*I*ArcSin[a + b*x]^3 + ArcSin[a + b*x]^2*Log[1 - E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a - Sqrt[1 - a^2])] + ArcSin[a + b*x]^2*Log[1 - E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a + Sqrt[1 - a^2])] - 2*I*ArcSin[a + b*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a - Sqrt[1 - a^2])] - 2*I*ArcSin[a + b*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a + Sqrt[1 - a^2])] + 2*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a - Sqrt[1 - a^2])] + 2*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a + Sqrt[1 - a^2])]}
+{ArcSin[a + b*x]^2/x^2, x, 11, -(ArcSin[a + b*x]^2/x) - (2*b*ArcSin[a + b*x]*Log[1 - E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a - Sqrt[1 - a^2])])/Sqrt[1 - a^2] + (2*b*ArcSin[a + b*x]*Log[1 - E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a + Sqrt[1 - a^2])])/Sqrt[1 - a^2] + (2*I*b*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a - Sqrt[1 - a^2])])/Sqrt[1 - a^2] - (2*I*b*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a + Sqrt[1 - a^2])])/Sqrt[1 - a^2], -(ArcSin[a + b*x]^2/x) + (2*I*b*ArcSin[a + b*x]*Log[1 + (I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a - Sqrt[-1 + a^2])])/Sqrt[-1 + a^2] - (2*I*b*ArcSin[a + b*x]*Log[1 + (I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a + Sqrt[-1 + a^2])])/Sqrt[-1 + a^2] + (2*b*PolyLog[2, -((I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a - Sqrt[-1 + a^2]))])/Sqrt[-1 + a^2] - (2*b*PolyLog[2, -((I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a + Sqrt[-1 + a^2]))])/Sqrt[-1 + a^2]}
+{ArcSin[a + b*x]^2/x^3, x, 14, -((b*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/((1 - a^2)*x)) - ArcSin[a + b*x]^2/(2*x^2) - (I*a*b^2*ArcSin[a + b*x]*Log[1 + (I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a - Sqrt[-1 + a^2])])/(-1 + a^2)^(3/2) + (I*a*b^2*ArcSin[a + b*x]*Log[1 + (I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a + Sqrt[-1 + a^2])])/(-1 + a^2)^(3/2) + (b^2*Log[x])/(1 - a^2) - (a*b^2*PolyLog[2, -((I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a - Sqrt[-1 + a^2]))])/(-1 + a^2)^(3/2) + (a*b^2*PolyLog[2, -((I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a + Sqrt[-1 + a^2]))])/(-1 + a^2)^(3/2)}
+(* {ArcSin[a + b*x]^2/x^4, x, 40, -(b^2/(3*(1 - a^2)*x)) - (b*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/(3*(1 - a^2)*x^2) - (a*b^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/((1 - a^2)^2*x) - ArcSin[a + b*x]^2/(3*x^3) + (I*a^2*b^3*ArcSin[a + b*x]*Log[1 + (I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a - Sqrt[-1 + a^2])])/(-1 + a^2)^(5/2) - (I*b^3*ArcSin[a + b*x]*Log[1 + (I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a - Sqrt[-1 + a^2])])/(3*(-1 + a^2)^(3/2)) - (I*a^2*b^3*ArcSin[a + b*x]*Log[1 + (I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a + Sqrt[-1 + a^2])])/(-1 + a^2)^(5/2) + (I*b^3*ArcSin[a + b*x]*Log[1 + (I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a + Sqrt[-1 + a^2])])/(3*(-1 + a^2)^(3/2)) + (a*b^3*Log[x])/(1 - a^2)^2 + (a^2*b^3*PolyLog[2, -((I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a - Sqrt[-1 + a^2]))])/(-1 + a^2)^(5/2) - (b^3*PolyLog[2, -((I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a - Sqrt[-1 + a^2]))])/(3*(-1 + a^2)^(3/2)) - (a^2*b^3*PolyLog[2, -((I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a + Sqrt[-1 + a^2]))])/(-1 + a^2)^(5/2) + (b^3*PolyLog[2, -((I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a + Sqrt[-1 + a^2]))])/(3*(-1 + a^2)^(3/2))} *)
+
+
+{x^2*ArcSin[a + b*x]^3, x, 18, -((14*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(9*b^3)) - (6*a^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/b^3 + (3*a*(a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(4*b^3) + (2*(1 - (a + b*x)^2)^(3/2))/(27*b^3) - (3*a*ArcSin[a + b*x])/(4*b^3) - (4*(a + b*x)*ArcSin[a + b*x])/(3*b^3) - (6*a^2*(a + b*x)*ArcSin[a + b*x])/b^3 + (3*a*(a + b*x)^2*ArcSin[a + b*x])/(2*b^3) - (2*(a + b*x)^3*ArcSin[a + b*x])/(9*b^3) + (2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x]^2)/(3*b^3) + (3*a^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x]^2)/b^3 - (3*a*(a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x]^2)/(2*b^3) + ((a + b*x)^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x]^2)/(3*b^3) + (a*ArcSin[a + b*x]^3)/(2*b^3) + (a^3*ArcSin[a + b*x]^3)/(3*b^3) + (1/3)*x^3*ArcSin[a + b*x]^3}
+{x^1*ArcSin[a + b*x]^3, x, 12, (6*a*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/b^2 - (3*(a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(8*b^2) + (3*ArcSin[a + b*x])/(8*b^2) + (6*a*(a + b*x)*ArcSin[a + b*x])/b^2 - (3*(a + b*x)^2*ArcSin[a + b*x])/(4*b^2) - (3*a*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x]^2)/b^2 + (3*(a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x]^2)/(4*b^2) - ArcSin[a + b*x]^3/(4*b^2) - (a^2*ArcSin[a + b*x]^3)/(2*b^2) + (1/2)*x^2*ArcSin[a + b*x]^3}
+{x^0*ArcSin[a + b*x]^3, x, 5, -((6*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/b) - (6*(a + b*x)*ArcSin[a + b*x])/b + (3*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x]^2)/b + ((a + b*x)*ArcSin[a + b*x]^3)/b}
+{ArcSin[a + b*x]^3/x^1, x, 13, (-(1/4))*I*ArcSin[a + b*x]^4 + ArcSin[a + b*x]^3*Log[1 - E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a - Sqrt[1 - a^2])] + ArcSin[a + b*x]^3*Log[1 - E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a + Sqrt[1 - a^2])] - 3*I*ArcSin[a + b*x]^2*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a - Sqrt[1 - a^2])] - 3*I*ArcSin[a + b*x]^2*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a + Sqrt[1 - a^2])] + 6*ArcSin[a + b*x]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a - Sqrt[1 - a^2])] + 6*ArcSin[a + b*x]*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a + Sqrt[1 - a^2])] + 6*I*PolyLog[4, E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a - Sqrt[1 - a^2])] + 6*I*PolyLog[4, E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a + Sqrt[1 - a^2])]}
+{ArcSin[a + b*x]^3/x^2, x, 13, -(ArcSin[a + b*x]^3/x) + (3*I*b*ArcSin[a + b*x]^2*Log[1 + (I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a - Sqrt[-1 + a^2])])/Sqrt[-1 + a^2] - (3*I*b*ArcSin[a + b*x]^2*Log[1 + (I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a + Sqrt[-1 + a^2])])/Sqrt[-1 + a^2] + (6*b*ArcSin[a + b*x]*PolyLog[2, -((I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a - Sqrt[-1 + a^2]))])/Sqrt[-1 + a^2] - (6*b*ArcSin[a + b*x]*PolyLog[2, -((I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a + Sqrt[-1 + a^2]))])/Sqrt[-1 + a^2] + (6*I*b*PolyLog[3, -((I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a - Sqrt[-1 + a^2]))])/Sqrt[-1 + a^2] - (6*I*b*PolyLog[3, -((I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a + Sqrt[-1 + a^2]))])/Sqrt[-1 + a^2]}
+(* {ArcSin[a + b*x]^3/x^3, x, 21, -((3*I*b^2*ArcSin[a + b*x]^2)/(2*(1 - a^2))) - (3*b*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x]^2)/(2*(1 - a^2)*x) - ArcSin[a + b*x]^3/(2*x^2) + (3*b^2*ArcSin[a + b*x]*Log[1 - E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a - Sqrt[1 - a^2])])/(1 - a^2) + (3*b^2*ArcSin[a + b*x]*Log[1 - E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a + Sqrt[1 - a^2])])/(1 - a^2) - (3*I*a*b^2*ArcSin[a + b*x]^2*Log[1 + (I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a - Sqrt[-1 + a^2])])/(2*(-1 + a^2)^(3/2)) + (3*I*a*b^2*ArcSin[a + b*x]^2*Log[1 + (I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a + Sqrt[-1 + a^2])])/(2*(-1 + a^2)^(3/2)) - (3*I*b^2*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a - Sqrt[1 - a^2])])/(1 - a^2) - (3*I*b^2*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[a + b*x])/(I*a + Sqrt[1 - a^2])])/(1 - a^2) - (3*a*b^2*ArcSin[a + b*x]*PolyLog[2, -((I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a - Sqrt[-1 + a^2]))])/(-1 + a^2)^(3/2) + (3*a*b^2*ArcSin[a + b*x]*PolyLog[2, -((I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a + Sqrt[-1 + a^2]))])/(-1 + a^2)^(3/2) - (3*I*a*b^2*PolyLog[3, -((I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a - Sqrt[-1 + a^2]))])/(-1 + a^2)^(3/2) + (3*I*a*b^2*PolyLog[3, -((I*E^(I*ArcSin[a + b*x]))/(a + Sqrt[-1 + a^2]))])/(-1 + a^2)^(3/2)} *)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^2/ArcSin[a + b*x], x, 14, CosIntegral[ArcSin[a + b*x]]/(4*b^3) + (a^2*CosIntegral[ArcSin[a + b*x]])/b^3 - CosIntegral[3*ArcSin[a + b*x]]/(4*b^3) - (a*SinIntegral[2*ArcSin[a + b*x]])/b^3}
+{x^1/ArcSin[a + b*x], x, 10, -((a*CosIntegral[ArcSin[a + b*x]])/b^2) + SinIntegral[2*ArcSin[a + b*x]]/(2*b^2)}
+{x^0/ArcSin[a + b*x], x, 3, CosIntegral[ArcSin[a + b*x]]/b}
+{1/(x^1*ArcSin[a + b*x]), x, 1, Unintegrable[1/(x*ArcSin[a + b*x]), x]}
+
+
+{x^2/ArcSin[a + b*x]^2, x, 12, -((x^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(b*ArcSin[a + b*x])) - (2*a*CosIntegral[2*ArcSin[a + b*x]])/b^3 - ((1 + 4*a^2)*SinIntegral[ArcSin[a + b*x]])/(4*b^3) + (3*SinIntegral[3*ArcSin[a + b*x]])/(4*b^3), -((a^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(b^3*ArcSin[a + b*x])) + (2*a*(a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(b^3*ArcSin[a + b*x]) - ((a + b*x)^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(b^3*ArcSin[a + b*x]) - (2*a*CosIntegral[2*ArcSin[a + b*x]])/b^3 - SinIntegral[ArcSin[a + b*x]]/(4*b^3) - (a^2*SinIntegral[ArcSin[a + b*x]])/b^3 + (3*SinIntegral[3*ArcSin[a + b*x]])/(4*b^3)}
+{x^1/ArcSin[a + b*x]^2, x, 8, -((x*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(b*ArcSin[a + b*x])) + CosIntegral[2*ArcSin[a + b*x]]/b^2 + (a*SinIntegral[ArcSin[a + b*x]])/b^2, (a*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(b^2*ArcSin[a + b*x]) - ((a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(b^2*ArcSin[a + b*x]) + CosIntegral[2*ArcSin[a + b*x]]/b^2 + (a*SinIntegral[ArcSin[a + b*x]])/b^2}
+{x^0/ArcSin[a + b*x]^2, x, 4, -(Sqrt[1 - (a + b*x)^2]/(b*ArcSin[a + b*x])) - SinIntegral[ArcSin[a + b*x]]/b}
+{1/(x^1*ArcSin[a + b*x]^2), x, 1, Unintegrable[1/(x*ArcSin[a + b*x]^2), x]}
+
+
+{x^2/ArcSin[a + b*x]^3, x, 24, -((x^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(2*b*ArcSin[a + b*x]^2)) + (a^2*(a + b*x))/(2*b^3*ArcSin[a + b*x]) - (2*a*(a + b*x)^2)/(b^3*ArcSin[a + b*x]) + (9*a + b*x)/(8*b^3*ArcSin[a + b*x]) - ((1 + 4*a^2)*CosIntegral[ArcSin[a + b*x]])/(8*b^3) + (9*CosIntegral[3*ArcSin[a + b*x]])/(8*b^3) - (3*Sin[3*ArcSin[a + b*x]])/(8*b^3*ArcSin[a + b*x]) + (2*a*SinIntegral[2*ArcSin[a + b*x]])/b^3, -((a^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(2*b^3*ArcSin[a + b*x]^2)) + (a*(a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(b^3*ArcSin[a + b*x]^2) - ((a + b*x)^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(2*b^3*ArcSin[a + b*x]^2) + a/(b^3*ArcSin[a + b*x]) - (a + b*x)/(b^3*ArcSin[a + b*x]) + (a^2*(a + b*x))/(2*b^3*ArcSin[a + b*x]) - (2*a*(a + b*x)^2)/(b^3*ArcSin[a + b*x]) + (3*(a + b*x)^3)/(2*b^3*ArcSin[a + b*x]) - CosIntegral[ArcSin[a + b*x]]/(8*b^3) - (a^2*CosIntegral[ArcSin[a + b*x]])/(2*b^3) + (9*CosIntegral[3*ArcSin[a + b*x]])/(8*b^3) + (2*a*SinIntegral[2*ArcSin[a + b*x]])/b^3}
+{x^1/ArcSin[a + b*x]^3, x, 14, -((x*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(2*b*ArcSin[a + b*x]^2)) - (a*(a + b*x))/(2*b^2*ArcSin[a + b*x]) - (1 - 2*(a + b*x)^2)/(2*b^2*ArcSin[a + b*x]) + (a*CosIntegral[ArcSin[a + b*x]])/(2*b^2) - SinIntegral[2*ArcSin[a + b*x]]/b^2, (a*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(2*b^2*ArcSin[a + b*x]^2) - ((a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(2*b^2*ArcSin[a + b*x]^2) - 1/(2*b^2*ArcSin[a + b*x]) - (a*(a + b*x))/(2*b^2*ArcSin[a + b*x]) + (a + b*x)^2/(b^2*ArcSin[a + b*x]) + (a*CosIntegral[ArcSin[a + b*x]])/(2*b^2) - SinIntegral[2*ArcSin[a + b*x]]/b^2}
+{x^0/ArcSin[a + b*x]^3, x, 5, -(Sqrt[1 - (a + b*x)^2]/(2*b*ArcSin[a + b*x]^2)) + (a + b*x)/(2*b*ArcSin[a + b*x]) - CosIntegral[ArcSin[a + b*x]]/(2*b)}
+{1/(x^1*ArcSin[a + b*x]^3), x, 1, Unintegrable[1/(x*ArcSin[a + b*x]^3), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcSin[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(1/2), x, 23, (c^2*(c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/d^3 + ((c + d*x)^3*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(3*d^3) + (c*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]*Cos[2*ArcSin[c + d*x]])/(2*d^3) - (Sqrt[b]*c*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(4*d^3) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*d^3) - (Sqrt[b]*c^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/d^3 + (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(12*d^3) + (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(4*d^3) + (Sqrt[b]*c^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/d^3 - (Sqrt[b]*c*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(4*d^3) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(12*d^3)}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(1/2), x, 14, -((c*(c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/d^2) - (Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]*Cos[2*ArcSin[c + d*x]])/(4*d^2) + (Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(8*d^2) + (Sqrt[b]*c*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/d^2 - (Sqrt[b]*c*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/d^2 + (Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(8*d^2)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(1/2), x, 8, ((c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/d - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/d + (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/d}
+
+
+{x^1*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2), x, 16, -((3*b*c*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(2*d^2)) - (c*(c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/d^2 - ((a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)*Cos[2*ArcSin[c + d*x]])/(4*d^2) + (3*b^(3/2)*c*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2*d^2) - (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(32*d^2) + (3*b^(3/2)*c*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(2*d^2) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(32*d^2) + (3*b*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]*Sin[2*ArcSin[c + d*x]])/(16*d^2)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2), x, 9, (3*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(2*d) + ((c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/d - (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2*d) - (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(2*d)}
+
+
+{x^1*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2), x, 18, (15*b^2*c*(c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(4*d^2) - (5*b*c*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(2*d^2) - (c*(c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2))/d^2 + (15*b^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]*Cos[2*ArcSin[c + d*x]])/(64*d^2) - ((a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2)*Cos[2*ArcSin[c + d*x]])/(4*d^2) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(128*d^2) - (15*b^(5/2)*c*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*d^2) + (15*b^(5/2)*c*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(4*d^2) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(128*d^2) + (5*b*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)*Sin[2*ArcSin[c + d*x]])/(16*d^2)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2), x, 10, -((15*b^2*(c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(4*d)) + (5*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(2*d) + ((c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2))/d + (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*d) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(4*d)}
+
+
+{x^0*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2), x, 11, -((105*b^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(8*d)) - (35*b^2*(c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(4*d) + (7*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2))/(2*d) + ((c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2))/d + (105*b^(7/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*d) + (105*b^(7/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(8*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^2/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(1/2), x, 20, (Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*d^3) + (c^2*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*d^3) - (Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*d^3) - (c*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(Sqrt[b]*d^3) + (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(2*Sqrt[b]*d^3) + (c^2*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(Sqrt[b]*d^3) + (c*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(Sqrt[b]*d^3) - (Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(2*Sqrt[b]*d^3)}
+{x^1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(1/2), x, 12, -((c*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*d^2)) + (Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(2*Sqrt[b]*d^2) - (c*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(Sqrt[b]*d^2) - (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(2*Sqrt[b]*d^2)}
+{x^0/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(1/2), x, 7, (Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*d) + (Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(Sqrt[b]*d)}
+
+
+{x^1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2), x, 16, (2*c*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(b*d^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) - (2*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(b*d^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) + (2*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(b^(3/2)*d^2) + (2*c*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*d^2) - (2*c*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(b^(3/2)*d^2) + (2*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(b^(3/2)*d^2)}
+{x^0/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(b*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])) - (2*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*d) + (2*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(b^(3/2)*d)}
+
+
+{x^1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2), x, 22, (2*c*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(3*b*d^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)) - (2*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(3*b*d^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)) - 4/(3*b^2*d^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) - (4*c*(c + d*x))/(3*b^2*d^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) + (8*(c + d*x)^2)/(3*b^2*d^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) + (4*c*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d^2) - (8*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(3*b^(5/2)*d^2) + (4*c*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(3*b^(5/2)*d^2) + (8*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(3*b^(5/2)*d^2)}
+{x^0/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))) + (4*(c + d*x))/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) - (4*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d) - (4*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(3*b^(5/2)*d)}
+
+
+{x^1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2), x, 21, (2*c*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(5*b*d^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2)) - (2*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(5*b*d^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2)) - 4/(15*b^2*d^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)) - (4*c*(c + d*x))/(15*b^2*d^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)) + (8*(c + d*x)^2)/(15*b^2*d^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)) - (8*c*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(15*b^3*d^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) + (32*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(15*b^3*d^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) - (32*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(15*b^(7/2)*d^2) - (8*c*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d^2) + (8*c*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(15*b^(7/2)*d^2) - (32*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(15*b^(7/2)*d^2)}
+{x^0/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2), x, 10, -((2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(5*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2))) + (4*(c + d*x))/(15*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)) + (8*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) + (8*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d) - (8*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(15*b^(7/2)*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcSin[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{x^m*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n, x, 1, Unintegrable[x^m*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n, x]}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n, x, 22, -((I*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, -((I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b)])/(E^((I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b))^n*(8*d^3))) - (I*c^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, -((I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b)])/(E^((I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b))^n*(2*d^3)) + (I*E^((I*a)/b)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, (I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b)^n*(8*d^3)) + (I*c^2*E^((I*a)/b)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, (I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b)^n*(2*d^3)) + (2^(-2 - n)*c*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, -((2*I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b)])/(E^((2*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b))^n*d^3) + (2^(-2 - n)*c*E^((2*I*a)/b)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, (2*I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b)^n*d^3) + (I*3^(-1 - n)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, -((3*I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b)])/(E^((3*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b))^n*(8*d^3)) - (I*3^(-1 - n)*E^((3*I*a)/b)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, (3*I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b)^n*(8*d^3))}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n, x, 14, (I*c*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, -((I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b)])/(E^((I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b))^n*(2*d^2)) - (I*c*E^((I*a)/b)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, (I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b)^n*(2*d^2)) - (2^(-3 - n)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, -((2*I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b)])/(E^((2*I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b))^n*d^2) - (2^(-3 - n)*E^((2*I*a)/b)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, (2*I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b)^n*d^2)}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n, x, 5, -((I*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, -((I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b)])/(E^((I*a)/b)*(-((I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b))^n*(2*d))) + (I*E^((I*a)/b)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, (I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(((I*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b)^n*(2*d))}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^n/x^1, x, 1, Unintegrable[(a + b*ArcSin[c + d*x])^n/x, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c e+d e x)^m (a+b ArcSin[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c e+d e x)^m (a+b ArcSin[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])*(c*e + e*d*x)^4, x, 6, (b*e^4*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(5*d) - (2*b*e^4*(1 - (c + d*x)^2)^(3/2))/(15*d) + (b*e^4*(1 - (c + d*x)^2)^(5/2))/(25*d) + (e^4*(c + d*x)^5*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(5*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])*(c*e + e*d*x)^3, x, 6, (3*b*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(32*d) + (b*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(16*d) - (3*b*e^3*ArcSin[c + d*x])/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(4*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])*(c*e + e*d*x)^2, x, 6, (b*e^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(3*d) - (b*e^2*(1 - (c + d*x)^2)^(3/2))/(9*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(3*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])*(c*e + e*d*x)^1, x, 5, (b*e*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(4*d) - (b*e*ArcSin[c + d*x])/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(2*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])*(c*e + e*d*x)^0, x, 4, a*x + (b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/d + (b*(c + d*x)*ArcSin[c + d*x])/d}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])/(c*e + e*d*x)^1, x, 7, -((I*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(2*b*d*e)) + ((a + b*ArcSin[c + d*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e) - (I*b*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(2*d*e)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])/(c*e + e*d*x)^2, x, 6, -((a + b*ArcSin[c + d*x])/(d*e^2*(c + d*x))) - (b*ArcTanh[Sqrt[1 - (c + d*x)^2]])/(d*e^2)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])/(c*e + e*d*x)^3, x, 4, -((b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(2*d*e^3*(c + d*x))) - (a + b*ArcSin[c + d*x])/(2*d*e^3*(c + d*x)^2)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])/(c*e + e*d*x)^4, x, 7, -((b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(6*d*e^4*(c + d*x)^2)) - (a + b*ArcSin[c + d*x])/(3*d*e^4*(c + d*x)^3) - (b*ArcTanh[Sqrt[1 - (c + d*x)^2]])/(6*d*e^4)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])/(c*e + e*d*x)^5, x, 5, -((b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(12*d*e^5*(c + d*x)^3)) - (b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(6*d*e^5*(c + d*x)) - (a + b*ArcSin[c + d*x])/(4*d*e^5*(c + d*x)^4)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])/(c*e + e*d*x)^6, x, 8, -((b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(20*d*e^6*(c + d*x)^4)) - (3*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(40*d*e^6*(c + d*x)^2) - (a + b*ArcSin[c + d*x])/(5*d*e^6*(c + d*x)^5) - (3*b*ArcTanh[Sqrt[1 - (c + d*x)^2]])/(40*d*e^6)}
+
+
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*(c*e + e*d*x)^4, x, 9, (-(16/75))*b^2*e^4*x - (8*b^2*e^4*(c + d*x)^3)/(225*d) - (2*b^2*e^4*(c + d*x)^5)/(125*d) + (16*b*e^4*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(75*d) + (8*b*e^4*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(75*d) + (2*b*e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(25*d) + (e^4*(c + d*x)^5*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(5*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*(c*e + e*d*x)^3, x, 8, -((3*b^2*e^3*(c + d*x)^2)/(32*d)) - (b^2*e^3*(c + d*x)^4)/(32*d) + (3*b*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(16*d) + (b*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(8*d) - (3*e^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(4*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*(c*e + e*d*x)^2, x, 7, (-(4/9))*b^2*e^2*x - (2*b^2*e^2*(c + d*x)^3)/(27*d) + (4*b*e^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(9*d) + (2*b*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(9*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(3*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*(c*e + e*d*x)^1, x, 6, -((b^2*e*(c + d*x)^2)/(4*d)) + (b*e*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(2*d) - (e*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*(c*e + e*d*x)^0, x, 4, -2*b^2*x + (2*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/d + ((c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/d}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^2/(c*e + e*d*x)^1, x, 8, -((I*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(3*b*d*e)) + ((a + b*ArcSin[c + d*x])^2*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e) - (I*b*(a + b*ArcSin[c + d*x])*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e) + (b^2*PolyLog[3, E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(2*d*e)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^2/(c*e + e*d*x)^2, x, 9, -((a + b*ArcSin[c + d*x])^2/(d*e^2*(c + d*x))) - (4*b*(a + b*ArcSin[c + d*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^2) + (2*I*b^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^2) - (2*I*b^2*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^2)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^2/(c*e + e*d*x)^3, x, 5, -((b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(d*e^3*(c + d*x))) - (a + b*ArcSin[c + d*x])^2/(2*d*e^3*(c + d*x)^2) + (b^2*Log[c + d*x])/(d*e^3)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^2/(c*e + e*d*x)^4, x, 11, -(b^2/(3*d*e^4*(c + d*x))) - (b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(3*d*e^4*(c + d*x)^2) - (a + b*ArcSin[c + d*x])^2/(3*d*e^4*(c + d*x)^3) - (2*b*(a + b*ArcSin[c + d*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(3*d*e^4) + (I*b^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(3*d*e^4) - (I*b^2*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(3*d*e^4)}
+
+
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^3*(c*e + e*d*x)^4, x, 17, (-(16/25))*a*b^2*e^4*x - (298*b^3*e^4*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(375*d) + (76*b^3*e^4*(1 - (c + d*x)^2)^(3/2))/(1125*d) - (6*b^3*e^4*(1 - (c + d*x)^2)^(5/2))/(625*d) - (16*b^3*e^4*(c + d*x)*ArcSin[c + d*x])/(25*d) - (8*b^2*e^4*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(75*d) - (6*b^2*e^4*(c + d*x)^5*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(125*d) + (8*b*e^4*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(25*d) + (4*b*e^4*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(25*d) + (3*b*e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(25*d) + (e^4*(c + d*x)^5*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(5*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^3*(c*e + e*d*x)^3, x, 13, -((45*b^3*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(256*d)) - (3*b^3*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(128*d) + (45*b^3*e^3*ArcSin[c + d*x])/(256*d) - (9*b^2*e^3*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(32*d) - (3*b^2*e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(32*d) + (9*b*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(32*d) + (3*b*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(16*d) - (3*e^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(4*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^3*(c*e + e*d*x)^2, x, 12, (-(4/3))*a*b^2*e^2*x - (14*b^3*e^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(9*d) + (2*b^3*e^2*(1 - (c + d*x)^2)^(3/2))/(27*d) - (4*b^3*e^2*(c + d*x)*ArcSin[c + d*x])/(3*d) - (2*b^2*e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(9*d) + (2*b*e^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(3*d) + (b*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(3*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(3*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^3*(c*e + e*d*x)^1, x, 8, -((3*b^3*e*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(8*d)) + (3*b^3*e*ArcSin[c + d*x])/(8*d) - (3*b^2*e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(4*d) + (3*b*e*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(4*d) - (e*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(2*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^3*(c*e + e*d*x)^0, x, 6, -6*a*b^2*x - (6*b^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/d - (6*b^3*(c + d*x)*ArcSin[c + d*x])/d + (3*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/d + ((c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/d}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^3/(c*e + e*d*x)^1, x, 9, -((I*(a + b*ArcSin[c + d*x])^4)/(4*b*d*e)) + ((a + b*ArcSin[c + d*x])^3*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e) - (3*I*b*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(2*d*e) + (3*b^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])*PolyLog[3, E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(2*d*e) + (3*I*b^3*PolyLog[4, E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(4*d*e)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^3/(c*e + e*d*x)^2, x, 11, -((a + b*ArcSin[c + d*x])^3/(d*e^2*(c + d*x))) - (6*b*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^2) + (6*I*b^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^2) - (6*I*b^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^2) - (6*b^3*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^2) + (6*b^3*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^2)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^3/(c*e + e*d*x)^3, x, 9, -((3*I*b*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(2*d*e^3)) - (3*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(2*d*e^3*(c + d*x)) - (a + b*ArcSin[c + d*x])^3/(2*d*e^3*(c + d*x)^2) + (3*b^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^3) - (3*I*b^3*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(2*d*e^3)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^3/(c*e + e*d*x)^4, x, 16, -((b^2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(d*e^4*(c + d*x))) - (b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(2*d*e^4*(c + d*x)^2) - (a + b*ArcSin[c + d*x])^3/(3*d*e^4*(c + d*x)^3) - (b*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^4) - (b^3*ArcTanh[Sqrt[1 - (c + d*x)^2]])/(d*e^4) + (I*b^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^4) - (I*b^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^4) - (b^3*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^4) + (b^3*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^4)}
+
+
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^4*(c*e + e*d*x)^3, x, 16, (45*b^4*e^3*(c + d*x)^2)/(128*d) + (3*b^4*e^3*(c + d*x)^4)/(128*d) - (45*b^3*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(64*d) - (3*b^3*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(32*d) + (45*b^2*e^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(128*d) - (9*b^2*e^3*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(16*d) - (3*b^2*e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(16*d) + (3*b*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(8*d) + (b*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(4*d) - (3*e^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])^4)/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcSin[c + d*x])^4)/(4*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^4*(c*e + e*d*x)^2, x, 13, (160/27)*b^4*e^2*x + (8*b^4*e^2*(c + d*x)^3)/(81*d) - (160*b^3*e^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(27*d) - (8*b^3*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(27*d) - (8*b^2*e^2*(c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(3*d) - (4*b^2*e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(9*d) + (8*b*e^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(9*d) + (4*b*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(9*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])^4)/(3*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^4*(c*e + e*d*x)^1, x, 9, (3*b^4*e*(c + d*x)^2)/(4*d) - (3*b^3*e*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(2*d) + (3*b^2*e*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(4*d) - (3*b^2*e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(2*d) + (b*e*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/d - (e*(a + b*ArcSin[c + d*x])^4)/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^4)/(2*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^4*(c*e + e*d*x)^0, x, 6, 24*b^4*x - (24*b^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/d - (12*b^2*(c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/d + (4*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/d + ((c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^4)/d}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^4/(c*e + e*d*x)^1, x, 10, -((I*(a + b*ArcSin[c + d*x])^5)/(5*b*d*e)) + ((a + b*ArcSin[c + d*x])^4*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e) - (2*I*b*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e) + (3*b^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*PolyLog[3, E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e) + (3*I*b^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])*PolyLog[4, E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e) - (3*b^4*PolyLog[5, E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(2*d*e)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^4/(c*e + e*d*x)^2, x, 13, -((a + b*ArcSin[c + d*x])^4/(d*e^2*(c + d*x))) - (8*b*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^2) + (12*I*b^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^2) - (12*I*b^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^2) - (24*b^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^2) + (24*b^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^2) - (24*I*b^4*PolyLog[4, -E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^2) + (24*I*b^4*PolyLog[4, E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^2)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^4/(c*e + e*d*x)^3, x, 10, -((2*I*b*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(d*e^3)) - (2*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(d*e^3*(c + d*x)) - (a + b*ArcSin[c + d*x])^4/(2*d*e^3*(c + d*x)^2) + (6*b^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^3) - (6*I*b^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^3) + (3*b^4*PolyLog[3, E^(2*I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^3)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^4/(c*e + e*d*x)^4, x, 21, -((2*b^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(d*e^4*(c + d*x))) - (2*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(3*d*e^4*(c + d*x)^2) - (a + b*ArcSin[c + d*x])^4/(3*d*e^4*(c + d*x)^3) - (8*b^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^4) - (4*b*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3*ArcTanh[E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(3*d*e^4) + (4*I*b^4*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^4) + (2*I*b^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^4) - (4*I*b^4*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^4) - (2*I*b^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^4) - (4*b^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])*PolyLog[3, -E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^4) + (4*b^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])*PolyLog[3, E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^4) - (4*I*b^4*PolyLog[4, -E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^4) + (4*I*b^4*PolyLog[4, E^(I*ArcSin[c + d*x])])/(d*e^4)}
+
+
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^5, x, 8, 120*a*b^4*x + (120*b^5*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/d + (120*b^5*(c + d*x)*ArcSin[c + d*x])/d - (60*b^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/d - (20*b^2*(c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/d + (5*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^4)/d + ((c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^5)/d}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])*(c*e + e*d*x)^4, x, 14, (e^4*Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(8*b*d) - (3*e^4*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(16*b*d) + (e^4*Cos[(5*a)/b]*CosIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(16*b*d) + (e^4*Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(8*b*d) - (3*e^4*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(16*b*d) + (e^4*Sin[(5*a)/b]*SinIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(16*b*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])*(c*e + e*d*x)^3, x, 11, -((e^3*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b]*Sin[(2*a)/b])/(4*b*d)) + (e^3*CosIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b]*Sin[(4*a)/b])/(8*b*d) + (e^3*Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(4*b*d) - (e^3*Cos[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(8*b*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])*(c*e + e*d*x)^2, x, 11, (e^2*Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(4*b*d) - (e^2*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(4*b*d) + (e^2*Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(4*b*d) - (e^2*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(4*b*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])*(c*e + e*d*x)^1, x, 8, -((e*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b]*Sin[(2*a)/b])/(2*b*d)) + (e*Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(2*b*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])*(c*e + e*d*x)^0, x, 5, (Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(b*d) + (Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(b*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])/(c*e + e*d*x)^1, x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])), x]/e}
+
+
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*(c*e + e*d*x)^4, x, 13, -((e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x]))) + (e^4*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b]*Sin[a/b])/(8*b^2*d) - (9*e^4*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(16*b^2*d) + (5*e^4*CosIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b]*Sin[(5*a)/b])/(16*b^2*d) - (e^4*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(8*b^2*d) + (9*e^4*Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(16*b^2*d) - (5*e^4*Cos[(5*a)/b]*SinIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(16*b^2*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*(c*e + e*d*x)^3, x, 10, -((e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x]))) + (e^3*Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(2*b^2*d) - (e^3*Cos[(4*a)/b]*CosIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(2*b^2*d) + (e^3*Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(2*b^2*d) - (e^3*Sin[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(2*b^2*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*(c*e + e*d*x)^2, x, 10, -((e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x]))) + (e^2*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b]*Sin[a/b])/(4*b^2*d) - (3*e^2*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(4*b^2*d) - (e^2*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(4*b^2*d) + (3*e^2*Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(4*b^2*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*(c*e + e*d*x)^1, x, 6, -((e*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x]))) + (e*Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(b^2*d) + (e*Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(b^2*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*(c*e + e*d*x)^0, x, 6, -(Sqrt[1 - (c + d*x)^2]/(b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x]))) + (CosIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b]*Sin[a/b])/(b^2*d) - (Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(b^2*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^2/(c*e + e*d*x)^1, x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2), x]/e}
+
+
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^3*(c*e + e*d*x)^4, x, 26, -((e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(2*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)) - (2*e^4*(c + d*x)^3)/(b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])) + (5*e^4*(c + d*x)^5)/(2*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])) - (e^4*Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(16*b^3*d) + (27*e^4*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(32*b^3*d) - (25*e^4*Cos[(5*a)/b]*CosIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(32*b^3*d) - (e^4*Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(16*b^3*d) + (27*e^4*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(32*b^3*d) - (25*e^4*Sin[(5*a)/b]*SinIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(32*b^3*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^3*(c*e + e*d*x)^3, x, 20, -((e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(2*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)) - (3*e^3*(c + d*x)^2)/(2*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])) + (2*e^3*(c + d*x)^4)/(b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])) + (e^3*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b]*Sin[(2*a)/b])/(2*b^3*d) - (e^3*CosIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b]*Sin[(4*a)/b])/(b^3*d) - (e^3*Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(2*b^3*d) + (e^3*Cos[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(b^3*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^3*(c*e + e*d*x)^2, x, 18, -((e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(2*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)) - (e^2*(c + d*x))/(b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])) + (3*e^2*(c + d*x)^3)/(2*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])) - (e^2*Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(8*b^3*d) + (9*e^2*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(8*b^3*d) - (e^2*Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(8*b^3*d) + (9*e^2*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(8*b^3*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^3*(c*e + e*d*x)^1, x, 11, -((e*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(2*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)) - e/(2*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])) + (e*(c + d*x)^2)/(b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])) + (e*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b]*Sin[(2*a)/b])/(b^3*d) - (e*Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(b^3*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^3*(c*e + e*d*x)^0, x, 7, -(Sqrt[1 - (c + d*x)^2]/(2*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)) + (c + d*x)/(2*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])) - (Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(2*b^3*d) - (Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(2*b^3*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^3/(c*e + e*d*x)^1, x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3), x]/e}
+
+
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^4*(c*e + e*d*x)^4, x, 24, -((e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)) - (2*e^4*(c + d*x)^3)/(3*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2) + (5*e^4*(c + d*x)^5)/(6*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2) - (2*e^4*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(b^3*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])) + (25*e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(6*b^3*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])) - (e^4*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b]*Sin[a/b])/(48*b^4*d) + (27*e^4*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(32*b^4*d) - (125*e^4*CosIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b]*Sin[(5*a)/b])/(96*b^4*d) + (e^4*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(48*b^4*d) - (27*e^4*Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(32*b^4*d) + (125*e^4*Cos[(5*a)/b]*SinIntegral[(5*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(96*b^4*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^4*(c*e + e*d*x)^3, x, 17, -((e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)) - (e^3*(c + d*x)^2)/(2*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2) + (2*e^3*(c + d*x)^4)/(3*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2) - (e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(b^3*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])) + (8*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(3*b^3*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])) - (e^3*Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(3*b^4*d) + (4*e^3*Cos[(4*a)/b]*CosIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(3*b^4*d) - (e^3*Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(3*b^4*d) + (4*e^3*Sin[(4*a)/b]*SinIntegral[(4*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(3*b^4*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^4*(c*e + e*d*x)^2, x, 18, -((e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)) - (e^2*(c + d*x))/(3*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2) + (e^2*(c + d*x)^3)/(2*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2) - (e^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(3*b^3*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])) + (3*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(2*b^3*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])) - (e^2*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b]*Sin[a/b])/(24*b^4*d) + (9*e^2*CosIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(8*b^4*d) + (e^2*Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(24*b^4*d) - (9*e^2*Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(8*b^4*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^4*(c*e + e*d*x)^1, x, 9, -((e*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)) - e/(6*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2) + (e*(c + d*x)^2)/(3*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2) + (2*e*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(3*b^3*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])) - (2*e*Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(3*b^4*d) - (2*e*Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/b])/(3*b^4*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^4*(c*e + e*d*x)^0, x, 8, -(Sqrt[1 - (c + d*x)^2]/(3*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)) + (c + d*x)/(6*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2) + Sqrt[1 - (c + d*x)^2]/(6*b^3*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])) - (CosIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b]*Sin[a/b])/(6*b^4*d) + (Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(6*b^4*d)}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^4/(c*e + e*d*x)^1, x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^4), x]/e}
+
+
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^5, x, 9, -(Sqrt[1 - (c + d*x)^2]/(4*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^4)) + (c + d*x)/(12*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3) + Sqrt[1 - (c + d*x)^2]/(24*b^3*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2) - (c + d*x)/(24*b^4*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])) + (Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(24*b^5*d) + (Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcSin[c + d*x])/b])/(24*b^5*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c e+d e x)^m (a+b ArcSin[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)^3*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]], x, 16, (-3*e^3*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(4*d) - (Sqrt[b]*e^3*Sqrt[Pi/2]*Cos[(4*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(64*d) + (Sqrt[b]*e^3*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(16*d) + (Sqrt[b]*e^3*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(16*d) - (Sqrt[b]*e^3*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(4*a)/b])/(64*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]], x, 16, (e^2*(c + d*x)^3*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(3*d) - (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*d) + (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(12*d) + (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(4*d) - (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(12*d)}
+{(c*e + d*e*x)^1*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]], x, 11, -(e*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(2*d) + (Sqrt[b]*e*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(8*d) + (Sqrt[b]*e*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(8*d)}
+{(c*e + d*e*x)^0*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]], x, 8, ((c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/d - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/d + (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/d}
+{Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]/(c*e + d*e*x)^1, x, 2, Unintegrable[Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]/(c + d*x), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2), x, 27, (9*b*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(64*d) + (3*b*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(32*d) - (3*e^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(4*d) + (3*b^(3/2)*e^3*Sqrt[Pi/2]*Cos[(4*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(512*d) - (3*b^(3/2)*e^3*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(64*d) + (3*b^(3/2)*e^3*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(64*d) - (3*b^(3/2)*e^3*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(4*a)/b])/(512*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2), x, 24, (b*e^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(3*d) + (b*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(6*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (3*b^(3/2)*e^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*d) + (b^(3/2)*e^2*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(24*d) - (3*b^(3/2)*e^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(8*d) + (b^(3/2)*e^2*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(24*d)}
+{(c*e + d*e*x)^1*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2), x, 13, (3*b*e*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(8*d) - (e*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(2*d) - (3*b^(3/2)*e*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(32*d) + (3*b^(3/2)*e*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(32*d)}
+{(c*e + d*e*x)^0*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2), x, 9, (3*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(2*d) + ((c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/d - (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2*d) - (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(2*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)/(c*e + d*e*x)^1, x, 2, Unintegrable[(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)/(c + d*x), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2), x, 29, (225*b^2*e^3*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(2048*d) - (45*b^2*e^3*(c + d*x)^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(256*d) - (15*b^2*e^3*(c + d*x)^4*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(256*d) + (15*b*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(64*d) + (5*b*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(32*d) - (3*e^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2))/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2))/(4*d) + (15*b^(5/2)*e^3*Sqrt[Pi/2]*Cos[(4*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4096*d) - (15*b^(5/2)*e^3*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(256*d) - (15*b^(5/2)*e^3*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(256*d) + (15*b^(5/2)*e^3*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(4*a)/b])/(4096*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2), x, 26, (-5*b^2*e^2*(c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(6*d) - (5*b^2*e^2*(c + d*x)^3*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(36*d) + (5*b*e^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(9*d) + (5*b*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(18*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2))/(3*d) + (15*b^(5/2)*e^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(16*d) - (5*b^(5/2)*e^2*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(144*d) - (15*b^(5/2)*e^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(16*d) + (5*b^(5/2)*e^2*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(144*d)}
+{(c*e + d*e*x)^1*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2), x, 14, (15*b^2*e*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(64*d) - (15*b^2*e*(c + d*x)^2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(32*d) + (5*b*e*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(8*d) - (e*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2))/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2))/(2*d) - (15*b^(5/2)*e*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(128*d) - (15*b^(5/2)*e*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(128*d)}
+{(c*e + d*e*x)^0*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2), x, 10, (-15*b^2*(c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(4*d) + (5*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(2*d) + ((c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2))/d + (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*d) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(4*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2)/(c*e + d*e*x)^1, x, 2, Unintegrable[(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2)/(c + d*x), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2), x, 35, (-175*b^3*e^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(54*d) - (35*b^3*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(216*d) - (35*b^2*e^2*(c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(18*d) - (35*b^2*e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(108*d) + (7*b*e^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2))/(9*d) + (7*b*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2))/(18*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2))/(3*d) + (105*b^(7/2)*e^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(32*d) - (35*b^(7/2)*e^2*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(864*d) + (105*b^(7/2)*e^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(32*d) - (35*b^(7/2)*e^2*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(864*d)}
+{(c*e + d*e*x)^1*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2), x, 16, (-105*b^3*e*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(128*d) + (35*b^2*e*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(64*d) - (35*b^2*e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(32*d) + (7*b*e*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2))/(8*d) - (e*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2))/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2))/(2*d) + (105*b^(7/2)*e*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(512*d) - (105*b^(7/2)*e*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(512*d)}
+{(c*e + d*e*x)^0*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2), x, 11, (-105*b^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(8*d) - (35*b^2*(c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2))/(4*d) + (7*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2))/(2*d) + ((c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2))/d + (105*b^(7/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*d) + (105*b^(7/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(8*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2)/(c*e + d*e*x)^1, x, 2, Unintegrable[(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2)/(c + d*x), x]/e}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4/Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]], x, 20, (e^4*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[b]*d) - (e^4*Sqrt[(3*Pi)/2]*Cos[(3*a)/b]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*d) + (e^4*Sqrt[Pi/10]*Cos[(5*a)/b]*FresnelC[(Sqrt[10/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*d) + (e^4*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(4*Sqrt[b]*d) - (e^4*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(8*Sqrt[b]*d) + (e^4*Sqrt[Pi/10]*FresnelS[(Sqrt[10/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(5*a)/b])/(8*Sqrt[b]*d)}
+{(c*e + d*e*x)^3/Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]], x, 15, -(e^3*Sqrt[Pi/2]*Cos[(4*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*d) + (e^3*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(4*Sqrt[b]*d) - (e^3*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(4*Sqrt[b]*d) + (e^3*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(4*a)/b])/(8*Sqrt[b]*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2/Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]], x, 15, (e^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*d) - (e^2*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*d) + (e^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(2*Sqrt[b]*d) - (e^2*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(2*Sqrt[b]*d)}
+{(c*e + d*e*x)^1/Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]], x, 10, (e*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(2*Sqrt[b]*d) - (e*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(2*Sqrt[b]*d)}
+{(c*e + d*e*x)^0/Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]], x, 7, (Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*d) + (Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(Sqrt[b]*d)}
+{1/((c*e + d*e*x)^1*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]), x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2), x, 19, (-2*e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(b*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) - (e^4*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(3/2)*d) + (3*e^4*Sqrt[(3*Pi)/2]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*d) - (e^4*Sqrt[(5*Pi)/2]*Cos[(5*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[10/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*d) + (e^4*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(2*b^(3/2)*d) - (3*e^4*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(4*b^(3/2)*d) + (e^4*Sqrt[(5*Pi)/2]*FresnelC[(Sqrt[10/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(5*a)/b])/(4*b^(3/2)*d)}
+{(c*e + d*e*x)^3/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2), x, 14, (-2*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(b*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) - (e^3*Sqrt[Pi/2]*Cos[(4*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*d) + (e^3*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(b^(3/2)*d) + (e^3*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(b^(3/2)*d) - (e^3*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(4*a)/b])/(b^(3/2)*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2), x, 14, (-2*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(b*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) - (e^2*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*d) + (e^2*Sqrt[(3*Pi)/2]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*d) + (e^2*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(b^(3/2)*d) - (e^2*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(b^(3/2)*d)}
+{(c*e + d*e*x)^1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2), x, 8, (-2*e*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(b*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) + (2*e*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(b^(3/2)*d) + (2*e*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(b^(3/2)*d)}
+{(c*e + d*e*x)^0/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2), x, 8, (-2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(b*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) - (2*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*d) + (2*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(b^(3/2)*d)}
+{1/((c*e + d*e*x)^1*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)), x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^3/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2), x, 26, (-2*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)) - (4*e^3*(c + d*x)^2)/(b^2*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) + (16*e^3*(c + d*x)^4)/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) + (4*e^3*Sqrt[2*Pi]*Cos[(4*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d) - (4*e^3*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(3*b^(5/2)*d) + (4*e^3*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(3*b^(5/2)*d) - (4*e^3*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(4*a)/b])/(3*b^(5/2)*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2), x, 24, (-2*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)) - (8*e^2*(c + d*x))/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) + (4*e^2*(c + d*x)^3)/(b^2*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) - (e^2*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d) + (e^2*Sqrt[6*Pi]*Cos[(3*a)/b]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(b^(5/2)*d) - (e^2*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(3*b^(5/2)*d) + (e^2*Sqrt[6*Pi]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(b^(5/2)*d)}
+{(c*e + d*e*x)^1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2), x, 13, (-2*e*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)) - (4*e)/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) + (8*e*(c + d*x)^2)/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) - (8*e*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(3*b^(5/2)*d) + (8*e*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(3*b^(5/2)*d)}
+{(c*e + d*e*x)^0/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2), x, 9, (-2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)) + (4*(c + d*x))/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) - (4*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d) - (4*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(3*b^(5/2)*d)}
+{1/((c*e + d*e*x)^1*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2)), x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2)), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^3/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2), x, 23, (-2*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(5*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2)) - (4*e^3*(c + d*x)^2)/(5*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)) + (16*e^3*(c + d*x)^4)/(15*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)) - (16*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(5*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) + (128*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) + (32*e^3*Sqrt[2*Pi]*Cos[(4*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d) - (16*e^3*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(15*b^(7/2)*d) - (16*e^3*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(15*b^(7/2)*d) + (32*e^3*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(4*a)/b])/(15*b^(7/2)*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2), x, 24, (-2*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(5*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2)) - (8*e^2*(c + d*x))/(15*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)) + (4*e^2*(c + d*x)^3)/(5*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)) - (16*e^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) + (24*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(5*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) + (2*e^2*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d) - (6*e^2*Sqrt[6*Pi]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(5*b^(7/2)*d) - (2*e^2*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(15*b^(7/2)*d) + (6*e^2*Sqrt[6*Pi]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(5*b^(7/2)*d)}
+{(c*e + d*e*x)^1/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2), x, 11, (-2*e*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(5*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2)) - (4*e)/(15*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)) + (8*e*(c + d*x)^2)/(15*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)) + (32*e*(c + d*x)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) - (32*e*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(15*b^(7/2)*d) - (32*e*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(15*b^(7/2)*d)}
+{(c*e + d*e*x)^0/(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2), x, 10, (-2*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(5*b*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(5/2)) + (4*(c + d*x))/(15*b^2*d*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(3/2)) + (8*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]]) + (8*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d) - (8*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(15*b^(7/2)*d)}
+{1/((c*e + d*e*x)^1*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2)), x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^(7/2)), x]/e}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c e+d e x)^(m/2) (a+b ArcSin[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x]), x, 7, (28*b*e^2*(e*(c + d*x))^(3/2)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(405*d) + (4*b*(e*(c + d*x))^(7/2)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(81*d) + (2*(e*(c + d*x))^(9/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(9*d*e) + (28*b*e^3*Sqrt[e*(c + d*x)]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c - d*x]/Sqrt[2]], 2])/(135*d*Sqrt[c + d*x])}
+{(c*e + d*e*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x]), x, 6, (20*b*e^2*Sqrt[e*(c + d*x)]*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(147*d) + (4*b*(e*(c + d*x))^(5/2)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(49*d) + (2*(e*(c + d*x))^(7/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(7*d*e) - (20*b*e^(5/2)*EllipticF[ArcSin[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], -1])/(147*d)}
+{(c*e + d*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x]), x, 6, (4*b*(e*(c + d*x))^(3/2)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(25*d) + (2*(e*(c + d*x))^(5/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(5*d*e) + (12*b*e*Sqrt[e*(c + d*x)]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c - d*x]/Sqrt[2]], 2])/(25*d*Sqrt[c + d*x])}
+{(c*e + d*e*x)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x]), x, 5, (4*b*Sqrt[e*(c + d*x)]*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(9*d) + (2*(e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(3*d*e) - (4*b*Sqrt[e]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], -1])/(9*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^(1/2), x, 5, (2*Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(d*e) + (4*b*Sqrt[e*(c + d*x)]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c - d*x]/Sqrt[2]], 2])/(d*e*Sqrt[c + d*x])}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^(3/2), x, 4, -((2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(d*e*Sqrt[e*(c + d*x)])) + (4*b*EllipticF[ArcSin[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], -1])/(d*e^(3/2))}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^(5/2), x, 6, -((4*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(3*d*e^2*Sqrt[e*(c + d*x)])) - (2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(3*d*e*(e*(c + d*x))^(3/2)) + (4*b*Sqrt[e*(c + d*x)]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c - d*x]/Sqrt[2]], 2])/(3*d*e^3*Sqrt[c + d*x])}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^(7/2), x, 5, -((4*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(15*d*e^2*(e*(c + d*x))^(3/2))) - (2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(5*d*e*(e*(c + d*x))^(5/2)) + (4*b*EllipticF[ArcSin[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], -1])/(15*d*e^(7/2))}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^(9/2), x, 7, -((4*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(35*d*e^2*(e*(c + d*x))^(5/2))) - (12*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(35*d*e^4*Sqrt[e*(c + d*x)]) - (2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(7*d*e*(e*(c + d*x))^(7/2)) + (12*b*Sqrt[e*(c + d*x)]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c - d*x]/Sqrt[2]], 2])/(35*d*e^5*Sqrt[c + d*x])}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^(11/2), x, 6, -((4*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(63*d*e^2*(e*(c + d*x))^(7/2))) - (20*b*Sqrt[1 - (c + d*x)^2])/(189*d*e^4*(e*(c + d*x))^(3/2)) - (2*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(9*d*e*(e*(c + d*x))^(9/2)) + (20*b*EllipticF[ArcSin[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], -1])/(189*d*e^(11/2))}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^(7/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2, x, 3, (2*(e*(c + d*x))^(9/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(9*d*e) - (8*b*(e*(c + d*x))^(11/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 11/4, 15/4, (c + d*x)^2])/(99*d*e^2) + (16*b^2*(e*(c + d*x))^(13/2)*HypergeometricPFQ[{1, 13/4, 13/4}, {15/4, 17/4}, (c + d*x)^2])/(1287*d*e^3)}
+{(c*e + d*e*x)^(5/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2, x, 3, (2*(e*(c + d*x))^(7/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(7*d*e) - (8*b*(e*(c + d*x))^(9/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 9/4, 13/4, (c + d*x)^2])/(63*d*e^2) + (16*b^2*(e*(c + d*x))^(11/2)*HypergeometricPFQ[{1, 11/4, 11/4}, {13/4, 15/4}, (c + d*x)^2])/(693*d*e^3)}
+{(c*e + d*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2, x, 3, (2*(e*(c + d*x))^(5/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(5*d*e) - (8*b*(e*(c + d*x))^(7/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 7/4, 11/4, (c + d*x)^2])/(35*d*e^2) + (16*b^2*(e*(c + d*x))^(9/2)*HypergeometricPFQ[{1, 9/4, 9/4}, {11/4, 13/4}, (c + d*x)^2])/(315*d*e^3)}
+{(c*e + d*e*x)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2, x, 3, (2*(e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(3*d*e) - (8*b*(e*(c + d*x))^(5/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 5/4, 9/4, (c + d*x)^2])/(15*d*e^2) + (16*b^2*(e*(c + d*x))^(7/2)*HypergeometricPFQ[{1, 7/4, 7/4}, {9/4, 11/4}, (c + d*x)^2])/(105*d*e^3)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^(1/2), x, 3, (2*Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(d*e) - (8*b*(e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 3/4, 7/4, (c + d*x)^2])/(3*d*e^2) + (16*b^2*(e*(c + d*x))^(5/2)*HypergeometricPFQ[{1, 5/4, 5/4}, {7/4, 9/4}, (c + d*x)^2])/(15*d*e^3)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^(3/2), x, 3, -((2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(d*e*Sqrt[e*(c + d*x)])) + (8*b*Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcSin[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/4, 1/2, 5/4, (c + d*x)^2])/(d*e^2) - (16*b^2*(e*(c + d*x))^(3/2)*HypergeometricPFQ[{3/4, 3/4, 1}, {5/4, 7/4}, (c + d*x)^2])/(3*d*e^3)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^(5/2), x, 3, -((2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(3*d*e*(e*(c + d*x))^(3/2))) - (8*b*(a + b*ArcSin[c + d*x])*Hypergeometric2F1[-(1/4), 1/2, 3/4, (c + d*x)^2])/(3*d*e^2*Sqrt[e*(c + d*x)]) + (16*b^2*Sqrt[e*(c + d*x)]*HypergeometricPFQ[{1/4, 1/4, 1}, {3/4, 5/4}, (c + d*x)^2])/(3*d*e^3)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^(7/2), x, 3, -((2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(5*d*e*(e*(c + d*x))^(5/2))) - (8*b*(a + b*ArcSin[c + d*x])*Hypergeometric2F1[-(3/4), 1/2, 1/4, (c + d*x)^2])/(15*d*e^2*(e*(c + d*x))^(3/2)) - (16*b^2*HypergeometricPFQ[{-(1/4), -(1/4), 1}, {1/4, 3/4}, (c + d*x)^2])/(15*d*e^3*Sqrt[e*(c + d*x)])}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^(9/2), x, 3, -((2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(7*d*e*(e*(c + d*x))^(7/2))) - (8*b*(a + b*ArcSin[c + d*x])*Hypergeometric2F1[-(5/4), 1/2, -(1/4), (c + d*x)^2])/(35*d*e^2*(e*(c + d*x))^(5/2)) - (16*b^2*HypergeometricPFQ[{-(3/4), -(3/4), 1}, {-(1/4), 1/4}, (c + d*x)^2])/(105*d*e^3*(e*(c + d*x))^(3/2))}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3, x, 2, (2*(e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(3*d*e) - (2*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/Sqrt[1 - (c + d*x)^2], x])/e}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(d*e) - (6*b*Unintegrable[(Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/Sqrt[1 - (c + d*x)^2], x])/e}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^(3/2), x, 2, -((2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(d*e*Sqrt[e*(c + d*x)])) + (6*b*Unintegrable[(a + b*ArcSin[c + d*x])^2/(Sqrt[e*(c + d*x)]*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]), x])/e}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^(5/2), x, 2, -((2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(3*d*e*(e*(c + d*x))^(3/2))) + (2*b*Unintegrable[(a + b*ArcSin[c + d*x])^2/((e*(c + d*x))^(3/2)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]), x])/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^(1/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^4, x, 2, (2*(e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^4)/(3*d*e) - (8*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/Sqrt[1 - (c + d*x)^2], x])/(3*e)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^4/(c*e + d*e*x)^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^4)/(d*e) - (8*b*Unintegrable[(Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/Sqrt[1 - (c + d*x)^2], x])/e}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^4/(c*e + d*e*x)^(3/2), x, 2, -((2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^4)/(d*e*Sqrt[e*(c + d*x)])) + (8*b*Unintegrable[(a + b*ArcSin[c + d*x])^3/(Sqrt[e*(c + d*x)]*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]), x])/e}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^4/(c*e + d*e*x)^(5/2), x, 2, -((2*(a + b*ArcSin[c + d*x])^4)/(3*d*e*(e*(c + d*x))^(3/2))) + (8*b*Unintegrable[(a + b*ArcSin[c + d*x])^3/((e*(c + d*x))^(3/2)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]), x])/(3*e)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c e+d e x)^m (a+b ArcSin[c+d x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^4*(c*e + e*d*x)^m, x, 2, ((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^4)/(d*e*(1 + m)) - (4*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/Sqrt[1 - (c + d*x)^2], x])/(e*(1 + m))}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^3*(c*e + e*d*x)^m, x, 2, ((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^3)/(d*e*(1 + m)) - (3*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/Sqrt[1 - (c + d*x)^2], x])/(e*(1 + m))}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^2*(c*e + e*d*x)^m, x, 3, If[$VersionNumber>=8, ((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(d*e*(1 + m)) - (2*b*(e*(c + d*x))^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (c + d*x)^2])/(d*e^2*(1 + m)*(2 + m)) + (2*b^2*(e*(c + d*x))^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, (c + d*x)^2])/(d*e^3*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)), ((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c + d*x])^2)/(d*e*(1 + m)) - (2*b*(e*(c + d*x))^(2 + m)*(a + b*ArcSin[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (c + d*x)^2])/(d*e^2*(1 + m)*(2 + m)) + (2*b^2*(e*(c + d*x))^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, (c + d*x)^2])/(d*e^3*(3 + m)*(2 + 3*m + m^2))]}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x])^1*(c*e + e*d*x)^m, x, 3, ((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c + d*x]))/(d*e*(1 + m)) - (b*(e*(c + d*x))^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (c + d*x)^2])/(d*e^2*(1 + m)*(2 + m))}
+{1/(a + b*ArcSin[c + d*x])*(c*e + e*d*x)^m, x, 1, Unintegrable[(e*(c + d*x))^m/(a + b*ArcSin[c + d*x]), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (1-(a+b x)^2)^(m/2) ArcSin[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2]*ArcSin[a + b*x]^3, x, 7, (3*(a + b*x)^2)/(8*b) - (3*(a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/(4*b) + (3*ArcSin[a + b*x]^2)/(8*b) - (3*(a + b*x)^2*ArcSin[a + b*x]^2)/(4*b) + ((a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x]^3)/(2*b) + ArcSin[a + b*x]^4/(8*b)}
+{Sqrt[1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2]*ArcSin[a + b*x]^2, x, 6, -(((a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(4*b)) + ArcSin[a + b*x]/(4*b) - ((a + b*x)^2*ArcSin[a + b*x])/(2*b) + ((a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x]^2)/(2*b) + ArcSin[a + b*x]^3/(6*b)}
+{Sqrt[1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2]*ArcSin[a + b*x], x, 4, -(a + b*x)^2/(4*b) + ((a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/(2*b) + ArcSin[a + b*x]^2/(4*b)}
+{Sqrt[1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2]/ArcSin[a + b*x], x, 5, CosIntegral[2*ArcSin[a + b*x]]/(2*b) + Log[ArcSin[a + b*x]]/(2*b)}
+{Sqrt[1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2]/ArcSin[a + b*x]^2, x, 6, -((1 - (a + b*x)^2)/(b*ArcSin[a + b*x])) - SinIntegral[2*ArcSin[a + b*x]]/b}
+{Sqrt[1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2]/ArcSin[a + b*x]^3, x, 4, -(1 - (a + b*x)^2)/(2*b*ArcSin[a + b*x]^2) + ((a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(b*ArcSin[a + b*x]) - CosIntegral[2*ArcSin[a + b*x]]/b}
+{Sqrt[1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2]/ArcSin[a + b*x]^4, x, 9, -((1 - (a + b*x)^2)/(3*b*ArcSin[a + b*x]^3)) + ((a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(3*b*ArcSin[a + b*x]^2) + 1/(3*b*ArcSin[a + b*x]) - (2*(a + b*x)^2)/(3*b*ArcSin[a + b*x]) + (2*SinIntegral[2*ArcSin[a + b*x]])/(3*b)}
+
+
+{(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)^(3/2)*ArcSin[a + b*x]^3, x, 15, (51*(a + b*x)^2)/(128*b) - (3*(a + b*x)^4)/(128*b) - (45*(a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/(64*b) - (3*(a + b*x)*(1 - (a + b*x)^2)^(3/2)*ArcSin[a + b*x])/(32*b) + (27*ArcSin[a + b*x]^2)/(128*b) - (9*(a + b*x)^2*ArcSin[a + b*x]^2)/(16*b) + (3*(1 - (a + b*x)^2)^2*ArcSin[a + b*x]^2)/(16*b) + (3*(a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x]^3)/(8*b) + ((a + b*x)*(1 - (a + b*x)^2)^(3/2)*ArcSin[a + b*x]^3)/(4*b) + (3*ArcSin[a + b*x]^4)/(32*b)}
+{(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)^(3/2)*ArcSin[a + b*x]^2, x, 11, -((15*(a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(64*b)) - ((a + b*x)*(1 - (a + b*x)^2)^(3/2))/(32*b) + (9*ArcSin[a + b*x])/(64*b) - (3*(a + b*x)^2*ArcSin[a + b*x])/(8*b) + ((1 - (a + b*x)^2)^2*ArcSin[a + b*x])/(8*b) + (3*(a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x]^2)/(8*b) + ((a + b*x)*(1 - (a + b*x)^2)^(3/2)*ArcSin[a + b*x]^2)/(4*b) + ArcSin[a + b*x]^3/(8*b)}
+{(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)^(3/2)*ArcSin[a + b*x], x, 7, -((5*(a + b*x)^2)/(16*b)) + (a + b*x)^4/(16*b) + (3*(a + b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x])/(8*b) + ((a + b*x)*(1 - (a + b*x)^2)^(3/2)*ArcSin[a + b*x])/(4*b) + (3*ArcSin[a + b*x]^2)/(16*b)}
+{(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)^(3/2)/ArcSin[a + b*x], x, 6, CosIntegral[2*ArcSin[a + b*x]]/(2*b) + CosIntegral[4*ArcSin[a + b*x]]/(8*b) + (3*Log[ArcSin[a + b*x]])/(8*b)}
+{(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)^(3/2)/ArcSin[a + b*x]^2, x, 7, -((1 - (a + b*x)^2)^2/(b*ArcSin[a + b*x])) - SinIntegral[2*ArcSin[a + b*x]]/b - SinIntegral[4*ArcSin[a + b*x]]/(2*b)}
+{(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)^(3/2)/ArcSin[a + b*x]^3, x, 11, -((1 - (a + b*x)^2)^2/(2*b*ArcSin[a + b*x]^2)) + (2*(a + b*x)*(1 - (a + b*x)^2)^(3/2))/(b*ArcSin[a + b*x]) - CosIntegral[2*ArcSin[a + b*x]]/b - CosIntegral[4*ArcSin[a + b*x]]/b}
+{(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)^(3/2)/ArcSin[a + b*x]^4, x, 18, -((1 - (a + b*x)^2)^2/(3*b*ArcSin[a + b*x]^3)) + (2*(a + b*x)*(1 - (a + b*x)^2)^(3/2))/(3*b*ArcSin[a + b*x]^2) + (2*(1 - (a + b*x)^2))/(3*b*ArcSin[a + b*x]) - (8*(a + b*x)^2*(1 - (a + b*x)^2))/(3*b*ArcSin[a + b*x]) + (2*SinIntegral[2*ArcSin[a + b*x]])/(3*b) + (4*SinIntegral[4*ArcSin[a + b*x]])/(3*b)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{ArcSin[a + b*x]^n/Sqrt[1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2], x, 2, ArcSin[a + b*x]^(n + 1)/(b*(n + 1))}
+
+
+{ArcSin[a + b*x]^2/Sqrt[1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2], x, 2, ArcSin[a + b*x]^3/(3*b)}
+{ArcSin[a + b*x]^1/Sqrt[1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2], x, 2, ArcSin[a + b*x]^2/(2*b)}
+{1/(Sqrt[1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2]*ArcSin[a + b*x]^1), x, 2, Log[ArcSin[a + b*x]]/b}
+{1/(Sqrt[1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2]*ArcSin[a + b*x]^2), x, 2, -(1/(b*ArcSin[a + b*x]))}
+{1/(Sqrt[1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2]*ArcSin[a + b*x]^3), x, 2, -1/(2*b*ArcSin[a + b*x]^2)}
+
+
+{ArcSin[a + b*x]^3/(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)^(3/2), x, 8, ((-I)*ArcSin[a + b*x]^3)/b + ((a + b*x)*ArcSin[a + b*x]^3)/(b*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]) + (3*ArcSin[a + b*x]^2*Log[1 + E^((2*I)*ArcSin[a + b*x])])/b - ((3*I)*ArcSin[a + b*x]*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[a + b*x])])/b + (3*PolyLog[3, -E^((2*I)*ArcSin[a + b*x])])/(2*b)}
+{ArcSin[a + b*x]^2/(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)^(3/2), x, 7, ((-I)*ArcSin[a + b*x]^2)/b + ((a + b*x)*ArcSin[a + b*x]^2)/(b*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]) + (2*ArcSin[a + b*x]*Log[1 + E^((2*I)*ArcSin[a + b*x])])/b - (I*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcSin[a + b*x])])/b}
+{ArcSin[a + b*x]^1/(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)^(3/2), x, 3, ((a + b*x)*ArcSin[a + b*x])/(b*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]) + Log[1 - (a + b*x)^2]/(2*b)}
+{1/((1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)^(3/2)*ArcSin[a + b*x]^1), x, 1, Unintegrable[1/((1 - (a + b*x)^2)^(3/2)*ArcSin[a + b*x]), x]}
+{1/((1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)^(3/2)*ArcSin[a + b*x]^2), x, 2, -(1/(b*(1 - (a + b*x)^2)*ArcSin[a + b*x])) + 2*Unintegrable[(a + b*x)/((1 - (a + b*x)^2)^2*ArcSin[a + b*x]), x]}
+
+
+{ArcSin[a + b*x]/Sqrt[c - c*(a + b*x)^2], x, 2, (Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x]^2)/(2*b*Sqrt[c - c*(a + b*x)^2])}
+{ArcSin[a + b*x]/Sqrt[(1 - a^2)*c - 2*a*b*c*x - b^2*c*x^2], x, 2, (Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcSin[a + b*x]^2)/(2*b*Sqrt[c - c*(a + b*x)^2])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcSin[c+d x^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcSin[c+d x^n])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcSin[c x^n])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^9*(a + b*ArcSin[c*x^2]), x, 5, (b*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(10*c^5) - (b*(1 - c^2*x^4)^(3/2))/(15*c^5) + (b*(1 - c^2*x^4)^(5/2))/(50*c^5) + (1/10)*x^10*(a + b*ArcSin[c*x^2])}
+{x^7*(a + b*ArcSin[c*x^2]), x, 6, (3*b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(64*c^3) + (b*x^6*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(32*c) - (3*b*ArcSin[c*x^2])/(64*c^4) + (1/8)*x^8*(a + b*ArcSin[c*x^2])}
+{x^5*(a + b*ArcSin[c*x^2]), x, 5, (b*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(6*c^3) - (b*(1 - c^2*x^4)^(3/2))/(18*c^3) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcSin[c*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcSin[c*x^2]), x, 5, (b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(8*c) - (b*ArcSin[c*x^2])/(8*c^2) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcSin[c*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x^2]), x, 4, (a*x^2)/2 + (b*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(2*c) + (1/2)*b*x^2*ArcSin[c*x^2]}
+{(a + b*ArcSin[c*x^2])/x^1, x, 7, (-(1/4))*I*b*ArcSin[c*x^2]^2 + (1/2)*b*ArcSin[c*x^2]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x^2])] + a*Log[x] - (1/4)*I*b*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x^2])]}
+{(a + b*ArcSin[c*x^2])/x^3, x, 5, -((a + b*ArcSin[c*x^2])/(2*x^2)) - (1/2)*b*c*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^4]]}
+{(a + b*ArcSin[c*x^2])/x^5, x, 3, -((b*c*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(4*x^2)) - (a + b*ArcSin[c*x^2])/(4*x^4)}
+{(a + b*ArcSin[c*x^2])/x^7, x, 6, -((b*c*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(12*x^4)) - (a + b*ArcSin[c*x^2])/(6*x^6) - (1/12)*b*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^4]]}
+{(a + b*ArcSin[c*x^2])/x^9, x, 4, -((b*c*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(24*x^6)) - (b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(12*x^2) - (a + b*ArcSin[c*x^2])/(8*x^8)}
+{(a + b*ArcSin[c*x^2])/x^11, x, 7, -((b*c*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(40*x^8)) - (3*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(80*x^4) - (a + b*ArcSin[c*x^2])/(10*x^10) - (3/80)*b*c^5*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^4]]}
+{(a + b*ArcSin[c*x^2])/x^13, x, 5, -((b*c*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(60*x^10)) - (b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(45*x^6) - (2*b*c^5*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(45*x^2) - (a + b*ArcSin[c*x^2])/(12*x^12)}
+
+{x^6*(a + b*ArcSin[c*x^2]), x, 5, (10*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(147*c^3) + (2*b*x^5*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(49*c) + (1/7)*x^7*(a + b*ArcSin[c*x^2]) - (10*b*EllipticF[ArcSin[Sqrt[c]*x], -1])/(147*c^(7/2))}
+{x^4*(a + b*ArcSin[c*x^2]), x, 7, (2*b*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(25*c) + (1/5)*x^5*(a + b*ArcSin[c*x^2]) - (6*b*EllipticE[ArcSin[Sqrt[c]*x], -1])/(25*c^(5/2)) + (6*b*EllipticF[ArcSin[Sqrt[c]*x], -1])/(25*c^(5/2))}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x^2]), x, 4, (2*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(9*c) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcSin[c*x^2]) - (2*b*EllipticF[ArcSin[Sqrt[c]*x], -1])/(9*c^(3/2))}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x^2]), x, 7, a*x + b*x*ArcSin[c*x^2] - (2*b*EllipticE[ArcSin[Sqrt[c]*x], -1])/Sqrt[c] + (2*b*EllipticF[ArcSin[Sqrt[c]*x], -1])/Sqrt[c]}
+{(a + b*ArcSin[c*x^2])/x^2, x, 3, -((a + b*ArcSin[c*x^2])/x) + 2*b*Sqrt[c]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[c]*x], -1]}
+{(a + b*ArcSin[c*x^2])/x^4, x, 7, -((2*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(3*x)) - (a + b*ArcSin[c*x^2])/(3*x^3) - (2/3)*b*c^(3/2)*EllipticE[ArcSin[Sqrt[c]*x], -1] + (2/3)*b*c^(3/2)*EllipticF[ArcSin[Sqrt[c]*x], -1]}
+{(a + b*ArcSin[c*x^2])/x^6, x, 4, -((2*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(15*x^3)) - (a + b*ArcSin[c*x^2])/(5*x^5) + (2/15)*b*c^(5/2)*EllipticF[ArcSin[Sqrt[c]*x], -1]}
+{(a + b*ArcSin[c*x^2])/x^8, x, 8, -((2*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(35*x^5)) - (6*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^4])/(35*x) - (a + b*ArcSin[c*x^2])/(7*x^7) - (6/35)*b*c^(7/2)*EllipticE[ArcSin[Sqrt[c]*x], -1] + (6/35)*b*c^(7/2)*EllipticF[ArcSin[Sqrt[c]*x], -1]}
+
+
+{ArcSin[a*x^5]/x, x, 5, (-(1/10))*I*ArcSin[a*x^5]^2 + (1/5)*ArcSin[a*x^5]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[a*x^5])] - (1/10)*I*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[a*x^5])]}
+
+
+{x^2*ArcSin[Sqrt[x]], x, 8, (5/48)*Sqrt[1 - x]*Sqrt[x] + (5/72)*Sqrt[1 - x]*x^(3/2) + (1/18)*Sqrt[1 - x]*x^(5/2) + (5/96)*ArcSin[1 - 2*x] + (1/3)*x^3*ArcSin[Sqrt[x]]}
+{x^1*ArcSin[Sqrt[x]], x, 7, (3/16)*Sqrt[1 - x]*Sqrt[x] + (1/8)*Sqrt[1 - x]*x^(3/2) + (3/32)*ArcSin[1 - 2*x] + (1/2)*x^2*ArcSin[Sqrt[x]]}
+{x^0*ArcSin[Sqrt[x]], x, 6, (1/2)*Sqrt[1 - x]*Sqrt[x] + (1/4)*ArcSin[1 - 2*x] + x*ArcSin[Sqrt[x]]}
+{ArcSin[Sqrt[x]]/x^1, x, 5, (-I)*ArcSin[Sqrt[x]]^2 + 2*ArcSin[Sqrt[x]]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[Sqrt[x]])] - I*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[Sqrt[x]])]}
+{ArcSin[Sqrt[x]]/x^2, x, 3, -(Sqrt[1 - x]/Sqrt[x]) - ArcSin[Sqrt[x]]/x}
+{ArcSin[Sqrt[x]]/x^3, x, 4, -(Sqrt[1 - x]/(6*x^(3/2))) - Sqrt[1 - x]/(3*Sqrt[x]) - ArcSin[Sqrt[x]]/(2*x^2)}
+{ArcSin[Sqrt[x]]/x^4, x, 5, -(Sqrt[1 - x]/(15*x^(5/2))) - (4*Sqrt[1 - x])/(45*x^(3/2)) - (8*Sqrt[1 - x])/(45*Sqrt[x]) - ArcSin[Sqrt[x]]/(3*x^3)}
+{ArcSin[Sqrt[x]]/x^5, x, 6, -(Sqrt[1 - x]/(28*x^(7/2))) - (3*Sqrt[1 - x])/(70*x^(5/2)) - (2*Sqrt[1 - x])/(35*x^(3/2)) - (4*Sqrt[1 - x])/(35*Sqrt[x]) - ArcSin[Sqrt[x]]/(4*x^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^4*(a + b*ArcSin[c/x]), x, 7, (3/40)*b*c^3*Sqrt[1 - c^2/x^2]*x^2 + (1/20)*b*c*Sqrt[1 - c^2/x^2]*x^4 + (1/5)*x^5*(a + b*ArcSin[c/x]) + (3/40)*b*c^5*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2/x^2]]}
+{x^3*(a + b*ArcSin[c/x]), x, 4, (1/6)*b*c^3*Sqrt[1 - c^2/x^2]*x + (1/12)*b*c*Sqrt[1 - c^2/x^2]*x^3 + (1/4)*x^4*(a + b*ArcSin[c/x])}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c/x]), x, 6, (1/6)*b*c*Sqrt[1 - c^2/x^2]*x^2 + (1/3)*x^3*(a + b*ArcSin[c/x]) + (1/6)*b*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2/x^2]]}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c/x]), x, 3, (1/2)*b*c*Sqrt[1 - c^2/x^2]*x + (1/2)*x^2*(a + b*ArcSin[c/x])}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c/x]), x, 6, a*x + b*x*ArcCsc[x/c] + b*c*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2/x^2]]}
+{(a + b*ArcSin[c/x])/x^1, x, 7, (1/2)*I*b*ArcSin[c/x]^2 - b*ArcSin[c/x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c/x])] + a*Log[x] + (1/2)*I*b*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c/x])]}
+{(a + b*ArcSin[c/x])/x^2, x, 4, -((b*Sqrt[1 - c^2/x^2])/c) - a/x - (b*ArcCsc[x/c])/x}
+{(a + b*ArcSin[c/x])/x^3, x, 5, -((b*Sqrt[1 - c^2/x^2])/(4*c*x)) + (b*ArcCsc[x/c])/(4*c^2) - (a + b*ArcSin[c/x])/(2*x^2)}
+{(a + b*ArcSin[c/x])/x^4, x, 5, -((b*Sqrt[1 - c^2/x^2])/(3*c^3)) + (b*(1 - c^2/x^2)^(3/2))/(9*c^3) - (a + b*ArcSin[c/x])/(3*x^3)}
+{(a + b*ArcSin[c/x])/x^5, x, 6, -((b*Sqrt[1 - c^2/x^2])/(16*c*x^3)) - (3*b*Sqrt[1 - c^2/x^2])/(32*c^3*x) + (3*b*ArcCsc[x/c])/(32*c^4) - (a + b*ArcSin[c/x])/(4*x^4)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcSin[c x^n]) with n symbolic*)
+
+
+{x^m*(a + b*ArcSin[c*x^n]), x, 3, (x^(1 + m)*(a + b*ArcSin[c*x^n]))/(1 + m) - (b*c*n*x^(1 + m + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m + n)/(2*n), (1 + m + 3*n)/(2*n), c^2*x^(2*n)])/((1 + m)*(1 + m + n))}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcSin[c*x^n]), x, 3, (1/3)*x^3*(a + b*ArcSin[c*x^n]) - (b*c*n*x^(3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + n)/(2*n), (3*(1 + n))/(2*n), c^2*x^(2*n)])/(3*(3 + n))}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c*x^n]), x, 3, (1/2)*x^2*(a + b*ArcSin[c*x^n]) - (b*c*n*x^(2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/(2*n), (1/2)*(3 + 2/n), c^2*x^(2*n)])/(2*(2 + n))}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c*x^n]), x, 4, a*x + b*x*ArcSin[c*x^n] - (b*c*n*x^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/(2*n), (1/2)*(3 + 1/n), c^2*x^(2*n)])/(1 + n)}
+{(a + b*ArcSin[c*x^n])/x^1, x, 7, -((I*b*ArcSin[c*x^n]^2)/(2*n)) + (b*ArcSin[c*x^n]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x^n])])/n + a*Log[x] - (I*b*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x^n])])/(2*n)}
+{(a + b*ArcSin[c*x^n])/x^2, x, 3, -((a + b*ArcSin[c*x^n])/x) - (b*c*n*x^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, -((1 - n)/(2*n)), (1/2)*(3 - 1/n), c^2*x^(2*n)])/(1 - n)}
+{(a + b*ArcSin[c*x^n])/x^3, x, 3, -((a + b*ArcSin[c*x^n])/(2*x^2)) - (b*c*n*x^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - 2/n), (1/2)*(3 - 2/n), c^2*x^(2*n)])/(2*(2 - n))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcSin[c+d x^n])*)
+
+
+{x^5*(a + b*ArcSin[c + d*x^2]), x, 7, (b*x^4*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])/(18*d) + (b*(4 + 11*c^2 - 5*c*d*x^2)*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])/(36*d^3) + (b*c*(3 + 2*c^2)*ArcSin[c + d*x^2])/(12*d^3) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcSin[c + d*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcSin[c + d*x^2]), x, 7, -((3*b*c*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])/(8*d^2)) + (b*x^2*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])/(8*d) - (b*(1 + 2*c^2)*ArcSin[c + d*x^2])/(8*d^2) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcSin[c + d*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSin[c + d*x^2]), x, 5, (a*x^2)/2 + (b*Sqrt[1 - (c + d*x^2)^2])/(2*d) + (b*(c + d*x^2)*ArcSin[c + d*x^2])/(2*d)}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x^2])/x^1, x, 12, (-(1/4))*I*b*ArcSin[c + d*x^2]^2 + (1/2)*b*ArcSin[c + d*x^2]*Log[1 - E^(I*ArcSin[c + d*x^2])/(I*c - Sqrt[1 - c^2])] + (1/2)*b*ArcSin[c + d*x^2]*Log[1 - E^(I*ArcSin[c + d*x^2])/(I*c + Sqrt[1 - c^2])] + a*Log[x] - (1/2)*I*b*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c + d*x^2])/(I*c - Sqrt[1 - c^2])] - (1/2)*I*b*PolyLog[2, E^(I*ArcSin[c + d*x^2])/(I*c + Sqrt[1 - c^2])]}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x^2])/x^3, x, 5, -((a + b*ArcSin[c + d*x^2])/(2*x^2)) - (b*d*ArcTanh[(1 - c^2 - c*d*x^2)/(Sqrt[1 - c^2]*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])])/(2*Sqrt[1 - c^2])}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x^2])/x^5, x, 6, -((b*d*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])/(4*(1 - c^2)*x^2)) - (a + b*ArcSin[c + d*x^2])/(4*x^4) - (b*c*d^2*ArcTanh[(1 - c^2 - c*d*x^2)/(Sqrt[1 - c^2]*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])])/(4*(1 - c^2)^(3/2))}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x^2])/x^7, x, 7, -((b*d*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])/(12*(1 - c^2)*x^4)) - (b*c*d^2*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])/(4*(1 - c^2)^2*x^2) - (a + b*ArcSin[c + d*x^2])/(6*x^6) - (b*(1 + 2*c^2)*d^3*ArcTanh[(1 - c^2 - c*d*x^2)/(Sqrt[1 - c^2]*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])])/(12*(1 - c^2)^(5/2))}
+
+{x^4*(a + b*ArcSin[c + d*x^2]), x, 8, -((16*b*c*x*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])/(75*d^2)) + (2*b*x^3*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])/(25*d) + (1/5)*x^5*(a + b*ArcSin[c + d*x^2]) - (2*b*Sqrt[1 - c]*(1 + c)*(9 + 23*c^2)*Sqrt[1 - (d*x^2)/(1 - c)]*Sqrt[1 + (d*x^2)/(1 + c)]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[1 - c]], -((1 - c)/(1 + c))])/(75*d^(5/2)*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4]) + (2*b*Sqrt[1 - c]*(1 + c)*(9 + 8*c + 15*c^2)*Sqrt[1 - (d*x^2)/(1 - c)]*Sqrt[1 + (d*x^2)/(1 + c)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[1 - c]], -((1 - c)/(1 + c))])/(75*d^(5/2)*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])}
+{x^2*(a + b*ArcSin[c + d*x^2]), x, 7, (2*b*x*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])/(9*d) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcSin[c + d*x^2]) + (8*b*Sqrt[1 - c]*c*(1 + c)*Sqrt[1 - (d*x^2)/(1 - c)]*Sqrt[1 + (d*x^2)/(1 + c)]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[1 - c]], -((1 - c)/(1 + c))])/(9*d^(3/2)*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4]) - (2*b*Sqrt[1 - c]*(1 + c)*(1 + 3*c)*Sqrt[1 - (d*x^2)/(1 - c)]*Sqrt[1 + (d*x^2)/(1 + c)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[1 - c]], -((1 - c)/(1 + c))])/(9*d^(3/2)*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])}
+{x^0*(a + b*ArcSin[c + d*x^2]), x, 7, a*x + b*x*ArcSin[c + d*x^2] - (2*b*Sqrt[1 - c]*(1 + c)*Sqrt[1 - (d*x^2)/(1 - c)]*Sqrt[1 + (d*x^2)/(1 + c)]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[1 - c]], -((1 - c)/(1 + c))])/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4]) + (2*b*Sqrt[1 - c]*(1 + c)*Sqrt[1 - (d*x^2)/(1 - c)]*Sqrt[1 + (d*x^2)/(1 + c)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[1 - c]], -((1 - c)/(1 + c))])/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x^2])/x^2, x, 4, -((a + b*ArcSin[c + d*x^2])/x) + (2*b*Sqrt[1 - c]*Sqrt[d]*Sqrt[1 - (d*x^2)/(1 - c)]*Sqrt[1 + (d*x^2)/(1 + c)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[1 - c]], -((1 - c)/(1 + c))])/Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4]}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x^2])/x^4, x, 8, -((2*b*d*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])/(3*(1 - c^2)*x)) - (a + b*ArcSin[c + d*x^2])/(3*x^3) - (2*b*d^(3/2)*Sqrt[1 - (d*x^2)/(1 - c)]*Sqrt[1 + (d*x^2)/(1 + c)]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[1 - c]], -((1 - c)/(1 + c))])/(3*Sqrt[1 - c]*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4]) + (2*b*d^(3/2)*Sqrt[1 - (d*x^2)/(1 - c)]*Sqrt[1 + (d*x^2)/(1 + c)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[1 - c]], -((1 - c)/(1 + c))])/(3*Sqrt[1 - c]*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])}
+{(a + b*ArcSin[c + d*x^2])/x^6, x, 8, -((2*b*d*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])/(15*(1 - c^2)*x^3)) - (8*b*c*d^2*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])/(15*(1 - c^2)^2*x) - (a + b*ArcSin[c + d*x^2])/(5*x^5) - (8*b*c*d^(5/2)*Sqrt[1 - (d*x^2)/(1 - c)]*Sqrt[1 + (d*x^2)/(1 + c)]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[1 - c]], -((1 - c)/(1 + c))])/(15*Sqrt[1 - c]*(1 - c^2)*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4]) + (2*b*(1 + 3*c)*d^(5/2)*Sqrt[1 - (d*x^2)/(1 - c)]*Sqrt[1 + (d*x^2)/(1 + c)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[1 - c]], -((1 - c)/(1 + c))])/(15*Sqrt[1 - c]*(1 - c^2)*Sqrt[1 - c^2 - 2*c*d*x^2 - d^2*x^4])}
+
+
+{x^3*ArcSin[a + b*x^4], x, 4, Sqrt[1 - (a + b*x^4)^2]/(4*b) + ((a + b*x^4)*ArcSin[a + b*x^4])/(4*b)}
+
+
+{x^(n-1)*ArcSin[a + b*x^n], x, 4, Sqrt[1 - (a + b*x^n)^2]/(b*n) + ((a + b*x^n)*ArcSin[a + b*x^n])/(b*n)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b ArcSin[c+d x^2])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b ArcSin[c+d x^2])^n when c^2=1*)
+
+
+{(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^4, x, 3, 384*b^4*x - (192*b^3*Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a + b*ArcSin[1 + d*x^2]))/(d*x) - 48*b^2*x*(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^2 + (8*b*Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^3)/(d*x) + x*(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^4}
+{(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^3, x, 5, -24*a*b^2*x - (48*b^3*Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4])/(d*x) - 24*b^3*x*ArcSin[1 + d*x^2] + (6*b*Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^2)/(d*x) + x*(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^3}
+{(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^2, x, 2, -8*b^2*x + (4*b*Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a + b*ArcSin[1 + d*x^2]))/(d*x) + x*(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^2}
+{(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^1, x, 4, a*x + (2*b*Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4])/(d*x) + b*x*ArcSin[1 + d*x^2]}
+{1/(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^1, x, 1, -((x*CosIntegral[(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])/(2*b)]*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)]))/(2*b*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]]))) - (x*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)])*SinIntegral[(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])/(2*b)])/(2*b*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^2, x, 1, -(Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]/(2*b*d*x*(a + b*ArcSin[1 + d*x^2]))) - (x*CosIntegral[(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])/(2*b)]*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)]))/(4*b^2*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]])) + (x*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)])*SinIntegral[(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])/(2*b)])/(4*b^2*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^3, x, 2, -(Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]/(4*b*d*x*(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^2)) + x/(8*b^2*(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])) + (x*CosIntegral[(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])/(2*b)]*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)]))/(16*b^3*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]])) + (x*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)])*SinIntegral[(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])/(2*b)])/(16*b^3*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]]))}
+
+
+{(a + b*ArcSin[-1 + d*x^2])^4, x, 3, 384*b^4*x - (192*b^3*Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a - b*ArcSin[1 - d*x^2]))/(d*x) - 48*b^2*x*(a - b*ArcSin[1 - d*x^2])^2 + (8*b*Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a - b*ArcSin[1 - d*x^2])^3)/(d*x) + x*(a - b*ArcSin[1 - d*x^2])^4}
+{(a + b*ArcSin[-1 + d*x^2])^3, x, 5, -24*a*b^2*x - (48*b^3*Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4])/(d*x) + 24*b^3*x*ArcSin[1 - d*x^2] + (6*b*Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a - b*ArcSin[1 - d*x^2])^2)/(d*x) + x*(a - b*ArcSin[1 - d*x^2])^3}
+{(a + b*ArcSin[-1 + d*x^2])^2, x, 2, -8*b^2*x + (4*b*Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a - b*ArcSin[1 - d*x^2]))/(d*x) + x*(a - b*ArcSin[1 - d*x^2])^2}
+{(a + b*ArcSin[-1 + d*x^2])^1, x, 4, a*x + (2*b*Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4])/(d*x) - b*x*ArcSin[1 - d*x^2]}
+{1/(a + b*ArcSin[-1 + d*x^2])^1, x, 1, (x*CosIntegral[-((a - b*ArcSin[1 - d*x^2])/(2*b))]*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)]))/(2*b*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]])) - (x*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)])*SinIntegral[a/(2*b) - (1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]])/(2*b*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSin[-1 + d*x^2])^2, x, 1, -(Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]/(2*b*d*x*(a - b*ArcSin[1 - d*x^2]))) - (x*CosIntegral[-((a - b*ArcSin[1 - d*x^2])/(2*b))]*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)]))/(4*b^2*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]])) - (x*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)])*SinIntegral[a/(2*b) - (1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]])/(4*b^2*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSin[-1 + d*x^2])^3, x, 2, -(Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]/(4*b*d*x*(a - b*ArcSin[1 - d*x^2])^2)) + x/(8*b^2*(a - b*ArcSin[1 - d*x^2])) - (x*CosIntegral[-((a - b*ArcSin[1 - d*x^2])/(2*b))]*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)]))/(16*b^3*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]])) + (x*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)])*SinIntegral[a/(2*b) - (1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]])/(16*b^3*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]]))}
+
+
+{ArcSin[1 + x^2]^2, x, 2, -8*x + (4*Sqrt[-2*x^2 - x^4]*ArcSin[1 + x^2])/x + x*ArcSin[1 + x^2]^2}
+{ArcSin[1 - x^2]^2, x, 2, -8*x - (4*Sqrt[2*x^2 - x^4]*ArcSin[1 - x^2])/x + x*ArcSin[1 - x^2]^2}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b ArcSin[c+d x^2])^(n/2) when c^2=1*)
+
+
+{(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^(5/2), x, 2, -15*b^2*x*Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]] + (5*b*Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^(3/2))/(d*x) + x*(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^(5/2) - (15*Sqrt[Pi]*x*FresnelS[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)]))/((1/b)^(5/2)*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]])) + (15*Sqrt[Pi]*x*FresnelC[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)]))/((1/b)^(5/2)*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]]))}
+{(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^(3/2), x, 2, (3*b*Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]*Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]])/(d*x) + x*(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^(3/2) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelC[Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]]/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)]))/(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]]) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelS[Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]]/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)]))/(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]])}
+{(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^(1/2), x, 1, x*Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]] + (Sqrt[Pi]*x*FresnelS[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)]))/(Sqrt[1/b]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]])) - (Sqrt[Pi]*x*FresnelC[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)]))/(Sqrt[1/b]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^(1/2), x, 1, -((Sqrt[Pi]*x*FresnelC[Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]]/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)]))/(Sqrt[b]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]]))) - (Sqrt[Pi]*x*FresnelS[Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]]/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)]))/(Sqrt[b]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^(3/2), x, 1, -(Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]/(b*d*x*Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]])) + ((1/b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelS[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)]))/(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]]) - ((1/b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelC[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)]))/(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]])}
+{1/(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^(5/2), x, 2, -(Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]/(3*b*d*x*(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^(3/2))) + x/(3*b^2*Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]]) + (Sqrt[Pi]*x*FresnelC[Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]]/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)]))/(3*b^(5/2)*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]])) + (Sqrt[Pi]*x*FresnelS[Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]]/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)]))/(3*b^(5/2)*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^(7/2), x, 2, -(Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]/(5*b*d*x*(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^(5/2))) + x/(15*b^2*(a + b*ArcSin[1 + d*x^2])^(3/2)) + Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]/(15*b^3*d*x*Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]]) - ((1/b)^(7/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelS[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)]))/(15*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]])) + ((1/b)^(7/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelC[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcSin[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)]))/(15*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + d*x^2]]))}
+
+
+{(a + b*ArcSin[-1 + d*x^2])^(5/2), x, 2, -15*b^2*x*Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]] + (5*b*Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a - b*ArcSin[1 - d*x^2])^(3/2))/(d*x) + x*(a - b*ArcSin[1 - d*x^2])^(5/2) + (15*Sqrt[Pi]*x*FresnelC[(Sqrt[-(1/b)]*Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)]))/((-(1/b))^(5/2)*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]])) - (15*Sqrt[Pi]*x*FresnelS[(Sqrt[-(1/b)]*Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)]))/((-(1/b))^(5/2)*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]]))}
+{(a + b*ArcSin[-1 + d*x^2])^(3/2), x, 2, (3*b*Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]*Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]])/(d*x) + x*(a - b*ArcSin[1 - d*x^2])^(3/2) + (3*(-b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelS[Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]]/(Sqrt[-b]*Sqrt[Pi])]*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)]))/(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]]) + (3*(-b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelC[Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]]/(Sqrt[-b]*Sqrt[Pi])]*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)]))/(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]])}
+{(a + b*ArcSin[-1 + d*x^2])^(1/2), x, 1, x*Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]] - (Sqrt[Pi]*x*FresnelC[(Sqrt[-(1/b)]*Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)]))/(Sqrt[-(1/b)]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]])) + (Sqrt[Pi]*x*FresnelS[(Sqrt[-(1/b)]*Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)]))/(Sqrt[-(1/b)]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSin[-1 + d*x^2])^(1/2), x, 1, -((Sqrt[Pi]*x*FresnelS[Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]]/(Sqrt[-b]*Sqrt[Pi])]*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)]))/(Sqrt[-b]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]]))) - (Sqrt[Pi]*x*FresnelC[Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]]/(Sqrt[-b]*Sqrt[Pi])]*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)]))/(Sqrt[-b]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSin[-1 + d*x^2])^(3/2), x, 1, -(Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]/(b*d*x*Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]])) - ((-(1/b))^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelC[(Sqrt[-(1/b)]*Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)]))/(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]]) + ((-(1/b))^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelS[(Sqrt[-(1/b)]*Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)]))/(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]])}
+{1/(a + b*ArcSin[-1 + d*x^2])^(5/2), x, 2, -(Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]/(3*b*d*x*(a - b*ArcSin[1 - d*x^2])^(3/2))) + x/(3*b^2*Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]]) + (Sqrt[Pi]*x*FresnelS[Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]]/(Sqrt[-b]*Sqrt[Pi])]*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)]))/(3*(-b)^(5/2)*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]])) + (Sqrt[Pi]*x*FresnelC[Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]]/(Sqrt[-b]*Sqrt[Pi])]*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)]))/(3*(-b)^(5/2)*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSin[-1 + d*x^2])^(7/2), x, 2, -(Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]/(5*b*d*x*(a - b*ArcSin[1 - d*x^2])^(5/2))) + x/(15*b^2*(a - b*ArcSin[1 - d*x^2])^(3/2)) + Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]/(15*b^3*d*x*Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]]) + ((-(1/b))^(7/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelC[(Sqrt[-(1/b)]*Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)]))/(15*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]])) - ((-(1/b))^(7/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelS[(Sqrt[-(1/b)]*Sqrt[a - b*ArcSin[1 - d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)]))/(15*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - d*x^2]]))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcSin[Sqrt[1-c x]/Sqrt[1+c x]])^n*)
+
+
+{(a + b*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^n/(1 - c^2*x^2), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^n/(1 - c^2*x^2), x]}
+
+
+{(a + b*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3/(1 - c^2*x^2), x, 8, (I*(a + b*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^4)/(4*b*c) - ((a + b*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/c + (3*I*b*(a + b*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(2*c) - (3*b^2*(a + b*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[3, E^(2*I*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(2*c) - (3*I*b^3*PolyLog[4, E^(2*I*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(4*c)}
+{(a + b*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2/(1 - c^2*x^2), x, 7, (I*(a + b*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3)/(3*b*c) - ((a + b*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/c + (I*b*(a + b*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/c - (b^2*PolyLog[3, E^(2*I*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(2*c)}
+{(a + b*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^1/(1 - c^2*x^2), x, 6, (I*(a + b*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2)/(2*b*c) - ((a + b*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/c + (I*b*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(2*c)}
+{1/((a + b*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^1*(1 - c^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])), x]}
+{1/((a + b*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*(1 - c^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2), x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands involving inverse sines of exponentials*)
+
+
+{E^x*ArcSin[E^x], x, 3, Sqrt[1 - E^(2*x)] + E^x*ArcSin[E^x]}
+
+
+{ArcSin[c*E^(a + b*x)], x, 6, -((I*ArcSin[c*E^(a + b*x)]^2)/(2*b)) + (ArcSin[c*E^(a + b*x)]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*E^(a + b*x)])])/b - (I*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*E^(a + b*x)])])/(2*b)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands involving exponentials of inverse sines*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(ArcSin[a x]^n)*)
+
+
+{E^ArcSin[a*x]*x^3, x, 6, -((E^ArcSin[a*x]*Cos[2*ArcSin[a*x]])/(10*a^4)) + (E^ArcSin[a*x]*Cos[4*ArcSin[a*x]])/(34*a^4) + (E^ArcSin[a*x]*Sin[2*ArcSin[a*x]])/(20*a^4) - (E^ArcSin[a*x]*Sin[4*ArcSin[a*x]])/(136*a^4)}
+{E^ArcSin[a*x]*x^2, x, 6, (E^ArcSin[a*x]*x)/(8*a^2) + (E^ArcSin[a*x]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a^3) - (E^ArcSin[a*x]*Cos[3*ArcSin[a*x]])/(40*a^3) - (3*E^ArcSin[a*x]*Sin[3*ArcSin[a*x]])/(40*a^3)}
+{E^ArcSin[a*x]*x^1, x, 5, -((E^ArcSin[a*x]*Cos[2*ArcSin[a*x]])/(5*a^2)) + (E^ArcSin[a*x]*Sin[2*ArcSin[a*x]])/(10*a^2)}
+{E^ArcSin[a*x]*x^0, x, 2, (1/2)*E^ArcSin[a*x]*x + (E^ArcSin[a*x]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a)}
+{E^ArcSin[a*x]/x^1, x, 6, I*E^ArcSin[a*x] - 2*I*E^ArcSin[a*x]*Hypergeometric2F1[-(I/2), 1, 1 - I/2, E^(2*I*ArcSin[a*x])]}
+{E^ArcSin[a*x]/x^2, x, 6, (1 - I)*a*E^((1 + I)*ArcSin[a*x])*Hypergeometric2F1[1/2 - I/2, 1, 3/2 - I/2, E^(2*I*ArcSin[a*x])] - (2 - 2*I)*a*E^((1 + I)*ArcSin[a*x])*Hypergeometric2F1[1/2 - I/2, 2, 3/2 - I/2, E^(2*I*ArcSin[a*x])]}
+
+
+{E^(ArcSin[a*x]^2)*x^3, x, 12, (I*E*Sqrt[Pi]*Erfi[-I + ArcSin[a*x]])/(16*a^4) - (I*E*Sqrt[Pi]*Erfi[I + ArcSin[a*x]])/(16*a^4) - (I*E^4*Sqrt[Pi]*Erfi[-2*I + ArcSin[a*x]])/(32*a^4) + (I*E^4*Sqrt[Pi]*Erfi[2*I + ArcSin[a*x]])/(32*a^4)}
+{E^(ArcSin[a*x]^2)*x^2, x, 12, (E^(1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-I + 2*ArcSin[a*x])])/(16*a^3) + (E^(1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(I + 2*ArcSin[a*x])])/(16*a^3) - (E^(9/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-3*I + 2*ArcSin[a*x])])/(16*a^3) - (E^(9/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(3*I + 2*ArcSin[a*x])])/(16*a^3)}
+{E^(ArcSin[a*x]^2)*x^1, x, 8, (I*E*Sqrt[Pi]*Erfi[-I + ArcSin[a*x]])/(8*a^2) - (I*E*Sqrt[Pi]*Erfi[I + ArcSin[a*x]])/(8*a^2)}
+{E^(ArcSin[a*x]^2)*x^0, x, 7, (E^(1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-I + 2*ArcSin[a*x])])/(4*a) + (E^(1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(I + 2*ArcSin[a*x])])/(4*a)}
+{E^(ArcSin[a*x]^2)/x^1, x, 2, a*CannotIntegrate[E^ArcSin[a*x]^2/(a*x), x]}
+{E^(ArcSin[a*x]^2)/x^2, x, 2, a^2*CannotIntegrate[E^ArcSin[a*x]^2/(a^2*x^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(ArcSin[a+b x]^n)*)
+
+
+{E^ArcSin[a + b*x]*x^3, x, 17, -((3*a*E^ArcSin[a + b*x]*(a + b*x))/(8*b^4)) - (a^3*E^ArcSin[a + b*x]*(a + b*x))/(2*b^4) - (3*a*E^ArcSin[a + b*x]*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(8*b^4) - (a^3*E^ArcSin[a + b*x]*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(2*b^4) - (E^ArcSin[a + b*x]*Cos[2*ArcSin[a + b*x]])/(10*b^4) - (3*a^2*E^ArcSin[a + b*x]*Cos[2*ArcSin[a + b*x]])/(5*b^4) + (3*a*E^ArcSin[a + b*x]*Cos[3*ArcSin[a + b*x]])/(40*b^4) + (E^ArcSin[a + b*x]*Cos[4*ArcSin[a + b*x]])/(34*b^4) + (E^ArcSin[a + b*x]*Sin[2*ArcSin[a + b*x]])/(20*b^4) + (3*a^2*E^ArcSin[a + b*x]*Sin[2*ArcSin[a + b*x]])/(10*b^4) + (9*a*E^ArcSin[a + b*x]*Sin[3*ArcSin[a + b*x]])/(40*b^4) - (E^ArcSin[a + b*x]*Sin[4*ArcSin[a + b*x]])/(136*b^4)}
+{E^ArcSin[a + b*x]*x^2, x, 13, (E^ArcSin[a + b*x]*(a + b*x))/(8*b^3) + (a^2*E^ArcSin[a + b*x]*(a + b*x))/(2*b^3) + (E^ArcSin[a + b*x]*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(8*b^3) + (a^2*E^ArcSin[a + b*x]*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(2*b^3) + (2*a*E^ArcSin[a + b*x]*Cos[2*ArcSin[a + b*x]])/(5*b^3) - (E^ArcSin[a + b*x]*Cos[3*ArcSin[a + b*x]])/(40*b^3) - (a*E^ArcSin[a + b*x]*Sin[2*ArcSin[a + b*x]])/(5*b^3) - (3*E^ArcSin[a + b*x]*Sin[3*ArcSin[a + b*x]])/(40*b^3)}
+{E^ArcSin[a + b*x]*x^1, x, 9, -((a*E^ArcSin[a + b*x]*(a + b*x))/(2*b^2)) - (a*E^ArcSin[a + b*x]*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(2*b^2) - (E^ArcSin[a + b*x]*Cos[2*ArcSin[a + b*x]])/(5*b^2) + (E^ArcSin[a + b*x]*Sin[2*ArcSin[a + b*x]])/(10*b^2)}
+{E^ArcSin[a + b*x]*x^0, x, 2, (E^ArcSin[a + b*x]*(a + b*x))/(2*b) + (E^ArcSin[a + b*x]*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(2*b)}
+{E^ArcSin[a + b*x]/x^1, x, 3, b*CannotIntegrate[E^ArcSin[a + b*x]/(b*x), x]}
+{E^ArcSin[a + b*x]/x^2, x, 3, b^2*CannotIntegrate[E^ArcSin[a + b*x]/(b^2*x^2), x]}
+
+
+{E^(ArcSin[a + b*x]^2)*x^3, x, 37, (I*E*Sqrt[Pi]*Erfi[-I + ArcSin[a + b*x]])/(16*b^4) + (3*I*a^2*E*Sqrt[Pi]*Erfi[-I + ArcSin[a + b*x]])/(8*b^4) - (I*E*Sqrt[Pi]*Erfi[I + ArcSin[a + b*x]])/(16*b^4) - (3*I*a^2*E*Sqrt[Pi]*Erfi[I + ArcSin[a + b*x]])/(8*b^4) - (I*E^4*Sqrt[Pi]*Erfi[-2*I + ArcSin[a + b*x]])/(32*b^4) + (I*E^4*Sqrt[Pi]*Erfi[2*I + ArcSin[a + b*x]])/(32*b^4) - (3*a*E^(1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-I + 2*ArcSin[a + b*x])])/(16*b^4) - (a^3*E^(1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-I + 2*ArcSin[a + b*x])])/(4*b^4) - (3*a*E^(1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(I + 2*ArcSin[a + b*x])])/(16*b^4) - (a^3*E^(1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(I + 2*ArcSin[a + b*x])])/(4*b^4) + (3*a*E^(9/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-3*I + 2*ArcSin[a + b*x])])/(16*b^4) + (3*a*E^(9/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(3*I + 2*ArcSin[a + b*x])])/(16*b^4)}
+{E^(ArcSin[a + b*x]^2)*x^2, x, 27, -((I*a*E*Sqrt[Pi]*Erfi[-I + ArcSin[a + b*x]])/(4*b^3)) + (I*a*E*Sqrt[Pi]*Erfi[I + ArcSin[a + b*x]])/(4*b^3) + (E^(1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-I + 2*ArcSin[a + b*x])])/(16*b^3) + (a^2*E^(1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-I + 2*ArcSin[a + b*x])])/(4*b^3) + (E^(1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(I + 2*ArcSin[a + b*x])])/(16*b^3) + (a^2*E^(1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(I + 2*ArcSin[a + b*x])])/(4*b^3) - (E^(9/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-3*I + 2*ArcSin[a + b*x])])/(16*b^3) - (E^(9/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(3*I + 2*ArcSin[a + b*x])])/(16*b^3)}
+{E^(ArcSin[a + b*x]^2)*x^1, x, 17, (I*E*Sqrt[Pi]*Erfi[-I + ArcSin[a + b*x]])/(8*b^2) - (I*E*Sqrt[Pi]*Erfi[I + ArcSin[a + b*x]])/(8*b^2) - (a*E^(1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-I + 2*ArcSin[a + b*x])])/(4*b^2) - (a*E^(1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(I + 2*ArcSin[a + b*x])])/(4*b^2)}
+{E^(ArcSin[a + b*x]^2)*x^0, x, 7, (E^(1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-I + 2*ArcSin[a + b*x])])/(4*b) + (E^(1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(I + 2*ArcSin[a + b*x])])/(4*b)}
+{E^(ArcSin[a + b*x]^2)/x^1, x, 3, b*CannotIntegrate[E^ArcSin[a + b*x]^2/(b*x), x]}
+{E^(ArcSin[a + b*x]^2)/x^2, x, 3, b^2*CannotIntegrate[E^ArcSin[a + b*x]^2/(b^2*x^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (1-a^2 x^2)^(m/2) E^(ArcSin[a x]^n)*)
+
+
+{E^ArcSin[a*x]*(1 - a^2*x^2)^(5/2), x, 7, (144*E^ArcSin[a*x])/(629*a) + (144/629)*E^ArcSin[a*x]*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (72*E^ArcSin[a*x]*(1 - a^2*x^2))/(629*a) + (120/629)*E^ArcSin[a*x]*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (30*E^ArcSin[a*x]*(1 - a^2*x^2)^2)/(629*a) + (6/37)*E^ArcSin[a*x]*x*(1 - a^2*x^2)^(5/2) + (E^ArcSin[a*x]*(1 - a^2*x^2)^3)/(37*a)}
+{E^ArcSin[a*x]*(1 - a^2*x^2)^(3/2), x, 6, (24*E^ArcSin[a*x])/(85*a) + (24/85)*E^ArcSin[a*x]*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (12*E^ArcSin[a*x]*(1 - a^2*x^2))/(85*a) + (4/17)*E^ArcSin[a*x]*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (E^ArcSin[a*x]*(1 - a^2*x^2)^2)/(17*a)}
+{E^ArcSin[a*x]*(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 5, (2*E^ArcSin[a*x])/(5*a) + (2/5)*E^ArcSin[a*x]*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (E^ArcSin[a*x]*(1 - a^2*x^2))/(5*a)}
+{E^ArcSin[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 4, E^ArcSin[a*x]/a}
+{E^ArcSin[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(3/2), x, 4, ((4/5 - (8*I)/5)*E^((1 + 2*I)*ArcSin[a*x])*Hypergeometric2F1[1 - I/2, 2, 2 - I/2, -E^(2*I*ArcSin[a*x])])/a}
+{E^ArcSin[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(5/2), x, 5, (E^ArcSin[a*x]*x)/(3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - E^ArcSin[a*x]/(6*a*(1 - a^2*x^2)) + ((2/3 - (4*I)/3)*E^((1 + 2*I)*ArcSin[a*x])*Hypergeometric2F1[1 - I/2, 2, 2 - I/2, -E^(2*I*ArcSin[a*x])])/a}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Miscellaneous integrands involving inverse sines*)
+
+
+{ArcSin[c/(a + b*x)], x, 6, ((a + b*x)*ArcCsc[a/c + (b*x)/c])/b + (c*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2/(a + b*x)^2]])/b}
+
+
+{x/ArcSin[Sin[x]], x, -1, ArcSin[Sin[x]] + Log[ArcSin[Sin[x]]]*(-ArcSin[Sin[x]] + x*Sqrt[Cos[x]^2]*Sec[x])}
+
+
+{ArcSin[Sqrt[1 + b*x^2]]^n/Sqrt[1 + b*x^2], x, 2, (Sqrt[(-b)*x^2]*ArcSin[Sqrt[1 + b*x^2]]^(1 + n))/(b*(1 + n)*x)}
+{1/(ArcSin[Sqrt[1 + b*x^2]]*Sqrt[1 + b*x^2]), x, 2, (Sqrt[(-b)*x^2]*Log[ArcSin[Sqrt[1 + b*x^2]]])/(b*x)}
+
+
+(* Following integrands are equal. *)
+{x/(1 - x^2) + 1/(Sqrt[1 - x^2]*ArcSin[x]), x, 3, (-(1/2))*Log[1 - x^2] + Log[ArcSin[x]]}
+{(Sqrt[1 - x^2] + x*ArcSin[x])/(ArcSin[x] - x^2*ArcSin[x]), x, -1, (-(1/2))*Log[1 - x^2] + Log[ArcSin[x]]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.2 Inverse cosine/5.2.2 (d x)^m (a+b arccos(c x))^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.2 Inverse cosine/5.2.2 (d x)^m (a+b arccos(c x))^n.m
new file mode 100644
index 00000000..f688ccfa
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.2 Inverse cosine/5.2.2 (d x)^m (a+b arccos(c x))^n.m	
@@ -0,0 +1,401 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcCos[c x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b x)^m ArcCos[a x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCos[a x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^4*ArcCos[a*x], x, 4, -Sqrt[1 - a^2*x^2]/(5*a^5) + (2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(15*a^5) - (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(25*a^5) + (x^5*ArcCos[a*x])/5}
+{x^3*ArcCos[a*x], x, 4, (-3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(32*a^3) - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(16*a) + (x^4*ArcCos[a*x])/4 + (3*ArcSin[a*x])/(32*a^4)}
+{x^2*ArcCos[a*x], x, 4, -Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*a^3) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(9*a^3) + (x^3*ArcCos[a*x])/3}
+{x^1*ArcCos[a*x], x, 3, -(x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a) + (x^2*ArcCos[a*x])/2 + ArcSin[a*x]/(4*a^2)}
+{ArcCos[a*x], x, 2, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/a) + x*ArcCos[a*x]}
+{ArcCos[a*x]/x^1, x, 5, (-I/2)*ArcCos[a*x]^2 + ArcCos[a*x]*Log[1 + E^((2*I)*ArcCos[a*x])] - (I/2)*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcCos[a*x])]}
+{ArcCos[a*x]/x^2, x, 4, -(ArcCos[a*x]/x) + a*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{ArcCos[a*x]/x^3, x, 2, (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x) - ArcCos[a*x]/(2*x^2)}
+{ArcCos[a*x]/x^4, x, 5, (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*x^2) - ArcCos[a*x]/(3*x^3) + (a^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/6}
+{ArcCos[a*x]/x^5, x, 3, (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(12*x^3) + (a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*x) - ArcCos[a*x]/(4*x^4)}
+{ArcCos[a*x]/x^6, x, 6, (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(20*x^4) + (3*a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(40*x^2) - ArcCos[a*x]/(5*x^5) + (3*a^5*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/40}
+
+
+{x^4*ArcCos[a*x]^2, x, 7, (-16*x)/(75*a^4) - (8*x^3)/(225*a^2) - (2*x^5)/125 - (16*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(75*a^5) - (8*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(75*a^3) - (2*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(25*a) + (x^5*ArcCos[a*x]^2)/5}
+{x^3*ArcCos[a*x]^2, x, 6, (-3*x^2)/(32*a^2) - x^4/32 - (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(16*a^3) - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(8*a) - (3*ArcCos[a*x]^2)/(32*a^4) + (x^4*ArcCos[a*x]^2)/4}
+{x^2*ArcCos[a*x]^2, x, 5, (-4*x)/(9*a^2) - (2*x^3)/27 - (4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(9*a^3) - (2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(9*a) + (x^3*ArcCos[a*x]^2)/3}
+{x*ArcCos[a*x]^2, x, 4, -x^2/4 - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(2*a) - ArcCos[a*x]^2/(4*a^2) + (x^2*ArcCos[a*x]^2)/2}
+{ArcCos[a*x]^2, x, 3, -2*x - (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/a + x*ArcCos[a*x]^2}
+{ArcCos[a*x]^2/x, x, 6, (-I/3)*ArcCos[a*x]^3 + ArcCos[a*x]^2*Log[1 + E^((2*I)*ArcCos[a*x])] - I*ArcCos[a*x]*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcCos[a*x])] + PolyLog[3, -E^((2*I)*ArcCos[a*x])]/2}
+{ArcCos[a*x]^2/x^2, x, 7, -(ArcCos[a*x]^2/x) - (4*I)*a*ArcCos[a*x]*ArcTan[E^(I*ArcCos[a*x])] + (2*I)*a*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcCos[a*x])] - (2*I)*a*PolyLog[2, I*E^(I*ArcCos[a*x])]}
+{ArcCos[a*x]^2/x^3, x, 3, (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/x - ArcCos[a*x]^2/(2*x^2) + a^2*Log[x]}
+{ArcCos[a*x]^2/x^4, x, 9, -a^2/(3*x) + (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(3*x^2) - ArcCos[a*x]^2/(3*x^3) - ((2*I)/3)*a^3*ArcCos[a*x]*ArcTan[E^(I*ArcCos[a*x])] + (I/3)*a^3*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcCos[a*x])] - (I/3)*a^3*PolyLog[2, I*E^(I*ArcCos[a*x])]}
+{ArcCos[a*x]^2/x^5, x, 5, -a^2/(12*x^2) + (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(6*x^3) + (a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(3*x) - ArcCos[a*x]^2/(4*x^4) + (a^4*Log[x])/3}
+
+
+{x^4*ArcCos[a*x]^3, x, 14, (298*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(375*a^5) - (76*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(1125*a^5) + (6*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(625*a^5) - (16*x*ArcCos[a*x])/(25*a^4) - (8*x^3*ArcCos[a*x])/(75*a^2) - (6*x^5*ArcCos[a*x])/125 - (8*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^2)/(25*a^5) - (4*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^2)/(25*a^3) - (3*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^2)/(25*a) + (x^5*ArcCos[a*x]^3)/5}
+{x^3*ArcCos[a*x]^3, x, 11, (45*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(256*a^3) + (3*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(128*a) - (9*x^2*ArcCos[a*x])/(32*a^2) - (3*x^4*ArcCos[a*x])/32 - (9*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^2)/(32*a^3) - (3*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^2)/(16*a) - (3*ArcCos[a*x]^3)/(32*a^4) + (x^4*ArcCos[a*x]^3)/4 - (45*ArcSin[a*x])/(256*a^4)}
+{x^2*ArcCos[a*x]^3, x, 9, (14*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(9*a^3) - (2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(27*a^3) - (4*x*ArcCos[a*x])/(3*a^2) - (2*x^3*ArcCos[a*x])/9 - (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^2)/(3*a^3) - (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^2)/(3*a) + (x^3*ArcCos[a*x]^3)/3}
+{x*ArcCos[a*x]^3, x, 6, (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a) - (3*x^2*ArcCos[a*x])/4 - (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^2)/(4*a) - ArcCos[a*x]^3/(4*a^2) + (x^2*ArcCos[a*x]^3)/2 - (3*ArcSin[a*x])/(8*a^2)}
+{ArcCos[a*x]^3, x, 4, (6*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a - 6*x*ArcCos[a*x] - (3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^2)/a + x*ArcCos[a*x]^3}
+{ArcCos[a*x]^3/x, x, 7, (-I/4)*ArcCos[a*x]^4 + ArcCos[a*x]^3*Log[1 + E^((2*I)*ArcCos[a*x])] - ((3*I)/2)*ArcCos[a*x]^2*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcCos[a*x])] + (3*ArcCos[a*x]*PolyLog[3, -E^((2*I)*ArcCos[a*x])])/2 + ((3*I)/4)*PolyLog[4, -E^((2*I)*ArcCos[a*x])]}
+{ArcCos[a*x]^3/x^2, x, 9, -(ArcCos[a*x]^3/x) - (6*I)*a*ArcCos[a*x]^2*ArcTan[E^(I*ArcCos[a*x])] + (6*I)*a*ArcCos[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcCos[a*x])] - (6*I)*a*ArcCos[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcCos[a*x])] - 6*a*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcCos[a*x])] + 6*a*PolyLog[3, I*E^(I*ArcCos[a*x])]}
+{ArcCos[a*x]^3/x^3, x, 7, ((-3*I)/2)*a^2*ArcCos[a*x]^2 + (3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^2)/(2*x) - ArcCos[a*x]^3/(2*x^2) + 3*a^2*ArcCos[a*x]*Log[1 + E^((2*I)*ArcCos[a*x])] - ((3*I)/2)*a^2*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcCos[a*x])]}
+{ArcCos[a*x]^3/x^4, x, 14, -((a^2*ArcCos[a*x])/x) + (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^2)/(2*x^2) - ArcCos[a*x]^3/(3*x^3) - I*a^3*ArcCos[a*x]^2*ArcTan[E^(I*ArcCos[a*x])] + a^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]] + I*a^3*ArcCos[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcCos[a*x])] - I*a^3*ArcCos[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcCos[a*x])] - a^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcCos[a*x])] + a^3*PolyLog[3, I*E^(I*ArcCos[a*x])]}
+{ArcCos[a*x]^3/x^5, x, 10, (a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*x) - (a^2*ArcCos[a*x])/(4*x^2) - (I/2)*a^4*ArcCos[a*x]^2 + (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^2)/(4*x^3) + (a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^2)/(2*x) - ArcCos[a*x]^3/(4*x^4) + a^4*ArcCos[a*x]*Log[1 + E^((2*I)*ArcCos[a*x])] - (I/2)*a^4*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcCos[a*x])]}
+
+
+{x^5*ArcCos[a*x]^4, x, 23, (245*x^2)/(1152*a^4) + (65*x^4)/(3456*a^2) + x^6/324 + (245*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(576*a^5) + (65*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(864*a^3) + (x^5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(54*a) + (245*ArcCos[a*x]^2)/(1152*a^6) - (5*x^2*ArcCos[a*x]^2)/(16*a^4) - (5*x^4*ArcCos[a*x]^2)/(48*a^2) - (x^6*ArcCos[a*x]^2)/18 - (5*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^3)/(24*a^5) - (5*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^3)/(36*a^3) - (x^5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^3)/(9*a) - (5*ArcCos[a*x]^4)/(96*a^6) + (x^6*ArcCos[a*x]^4)/6}
+{x^4*ArcCos[a*x]^4, x, 19, (16576*x)/(5625*a^4) + (1088*x^3)/(16875*a^2) + (24*x^5)/3125 + (16576*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(5625*a^5) + (1088*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(5625*a^3) + (24*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(625*a) - (32*x*ArcCos[a*x]^2)/(25*a^4) - (16*x^3*ArcCos[a*x]^2)/(75*a^2) - (12*x^5*ArcCos[a*x]^2)/125 - (32*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^3)/(75*a^5) - (16*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^3)/(75*a^3) - (4*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^3)/(25*a) + (x^5*ArcCos[a*x]^4)/5}
+{x^3*ArcCos[a*x]^4, x, 14, (45*x^2)/(128*a^2) + (3*x^4)/128 + (45*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(64*a^3) + (3*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(32*a) + (45*ArcCos[a*x]^2)/(128*a^4) - (9*x^2*ArcCos[a*x]^2)/(16*a^2) - (3*x^4*ArcCos[a*x]^2)/16 - (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^3)/(8*a^3) - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^3)/(4*a) - (3*ArcCos[a*x]^4)/(32*a^4) + (x^4*ArcCos[a*x]^4)/4}
+{x^2*ArcCos[a*x]^4, x, 11, (160*x)/(27*a^2) + (8*x^3)/81 + (160*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(27*a^3) + (8*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(27*a) - (8*x*ArcCos[a*x]^2)/(3*a^2) - (4*x^3*ArcCos[a*x]^2)/9 - (8*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^3)/(9*a^3) - (4*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^3)/(9*a) + (x^3*ArcCos[a*x]^4)/3}
+{x*ArcCos[a*x]^4, x, 7, (3*x^2)/4 + (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/(2*a) + (3*ArcCos[a*x]^2)/(4*a^2) - (3*x^2*ArcCos[a*x]^2)/2 - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^3)/a - ArcCos[a*x]^4/(4*a^2) + (x^2*ArcCos[a*x]^4)/2}
+{ArcCos[a*x]^4, x, 5, 24*x + (24*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x])/a - 12*x*ArcCos[a*x]^2 - (4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^3)/a + x*ArcCos[a*x]^4}
+{ArcCos[a*x]^4/x, x, 8, (-I/5)*ArcCos[a*x]^5 + ArcCos[a*x]^4*Log[1 + E^((2*I)*ArcCos[a*x])] - (2*I)*ArcCos[a*x]^3*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcCos[a*x])] + 3*ArcCos[a*x]^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*ArcCos[a*x])] + (3*I)*ArcCos[a*x]*PolyLog[4, -E^((2*I)*ArcCos[a*x])] - (3*PolyLog[5, -E^((2*I)*ArcCos[a*x])])/2}
+{ArcCos[a*x]^4/x^2, x, 11, -(ArcCos[a*x]^4/x) - (8*I)*a*ArcCos[a*x]^3*ArcTan[E^(I*ArcCos[a*x])] + (12*I)*a*ArcCos[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcCos[a*x])] - (12*I)*a*ArcCos[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcCos[a*x])] - 24*a*ArcCos[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcCos[a*x])] + 24*a*ArcCos[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcCos[a*x])] - (24*I)*a*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcCos[a*x])] + (24*I)*a*PolyLog[4, I*E^(I*ArcCos[a*x])]}
+{ArcCos[a*x]^4/x^3, x, 8, (-2*I)*a^2*ArcCos[a*x]^3 + (2*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^3)/x - ArcCos[a*x]^4/(2*x^2) + 6*a^2*ArcCos[a*x]^2*Log[1 + E^((2*I)*ArcCos[a*x])] - (6*I)*a^2*ArcCos[a*x]*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcCos[a*x])] + 3*a^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*ArcCos[a*x])]}
+{ArcCos[a*x]^4/x^4, x, 19, (-2*a^2*ArcCos[a*x]^2)/x + (2*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^3)/(3*x^2) - ArcCos[a*x]^4/(3*x^3) - (8*I)*a^3*ArcCos[a*x]*ArcTan[E^(I*ArcCos[a*x])] - ((4*I)/3)*a^3*ArcCos[a*x]^3*ArcTan[E^(I*ArcCos[a*x])] + (4*I)*a^3*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcCos[a*x])] + (2*I)*a^3*ArcCos[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcCos[a*x])] - (4*I)*a^3*PolyLog[2, I*E^(I*ArcCos[a*x])] - (2*I)*a^3*ArcCos[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcCos[a*x])] - 4*a^3*ArcCos[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcCos[a*x])] + 4*a^3*ArcCos[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcCos[a*x])] - (4*I)*a^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcCos[a*x])] + (4*I)*a^3*PolyLog[4, I*E^(I*ArcCos[a*x])]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^6/ArcCos[a*x], x, 7, (-5*SinIntegral[ArcCos[a*x]])/(64*a^7) - (9*SinIntegral[3*ArcCos[a*x]])/(64*a^7) - (5*SinIntegral[5*ArcCos[a*x]])/(64*a^7) - SinIntegral[7*ArcCos[a*x]]/(64*a^7)}
+{x^5/ArcCos[a*x], x, 6, (-5*SinIntegral[2*ArcCos[a*x]])/(32*a^6) - SinIntegral[4*ArcCos[a*x]]/(8*a^6) - SinIntegral[6*ArcCos[a*x]]/(32*a^6)}
+{x^4/ArcCos[a*x], x, 6, -SinIntegral[ArcCos[a*x]]/(8*a^5) - (3*SinIntegral[3*ArcCos[a*x]])/(16*a^5) - SinIntegral[5*ArcCos[a*x]]/(16*a^5)}
+{x^3/ArcCos[a*x], x, 5, -SinIntegral[2*ArcCos[a*x]]/(4*a^4) - SinIntegral[4*ArcCos[a*x]]/(8*a^4)}
+{x^2/ArcCos[a*x], x, 5, -SinIntegral[ArcCos[a*x]]/(4*a^3) - SinIntegral[3*ArcCos[a*x]]/(4*a^3)}
+{x/ArcCos[a*x], x, 4, -SinIntegral[2*ArcCos[a*x]]/(2*a^2)}
+{ArcCos[a*x]^(-1), x, 2, -(SinIntegral[ArcCos[a*x]]/a)}
+{1/(x*ArcCos[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcCos[a*x]), x]}
+{1/(x^2*ArcCos[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*ArcCos[a*x]), x]}
+
+
+{x^6/ArcCos[a*x]^2, x, 6, (x^6*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*ArcCos[a*x]) - (5*CosIntegral[ArcCos[a*x]])/(64*a^7) - (27*CosIntegral[3*ArcCos[a*x]])/(64*a^7) - (25*CosIntegral[5*ArcCos[a*x]])/(64*a^7) - (7*CosIntegral[7*ArcCos[a*x]])/(64*a^7)}
+{x^5/ArcCos[a*x]^2, x, 5, (x^5*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*ArcCos[a*x]) - (5*CosIntegral[2*ArcCos[a*x]])/(16*a^6) - CosIntegral[4*ArcCos[a*x]]/(2*a^6) - (3*CosIntegral[6*ArcCos[a*x]])/(16*a^6)}
+{x^4/ArcCos[a*x]^2, x, 5, (x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*ArcCos[a*x]) - CosIntegral[ArcCos[a*x]]/(8*a^5) - (9*CosIntegral[3*ArcCos[a*x]])/(16*a^5) - (5*CosIntegral[5*ArcCos[a*x]])/(16*a^5)}
+{x^3/ArcCos[a*x]^2, x, 4, (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*ArcCos[a*x]) - CosIntegral[2*ArcCos[a*x]]/(2*a^4) - CosIntegral[4*ArcCos[a*x]]/(2*a^4)}
+{x^2/ArcCos[a*x]^2, x, 4, (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*ArcCos[a*x]) - CosIntegral[ArcCos[a*x]]/(4*a^3) - (3*CosIntegral[3*ArcCos[a*x]])/(4*a^3)}
+{x/ArcCos[a*x]^2, x, 2, (x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*ArcCos[a*x]) - CosIntegral[2*ArcCos[a*x]]/a^2}
+{ArcCos[a*x]^(-2), x, 3, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*ArcCos[a*x]) - CosIntegral[ArcCos[a*x]]/a}
+{1/(x*ArcCos[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcCos[a*x]^2), x]}
+{1/(x^2*ArcCos[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*ArcCos[a*x]^2), x]}
+
+
+{x^4/ArcCos[a*x]^3, x, 14, (x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a*ArcCos[a*x]^2) - (2*x^3)/(a^2*ArcCos[a*x]) + (5*x^5)/(2*ArcCos[a*x]) + SinIntegral[ArcCos[a*x]]/(16*a^5) + (27*SinIntegral[3*ArcCos[a*x]])/(32*a^5) + (25*SinIntegral[5*ArcCos[a*x]])/(32*a^5)}
+{x^3/ArcCos[a*x]^3, x, 12, (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a*ArcCos[a*x]^2) - (3*x^2)/(2*a^2*ArcCos[a*x]) + (2*x^4)/ArcCos[a*x] + SinIntegral[2*ArcCos[a*x]]/(2*a^4) + SinIntegral[4*ArcCos[a*x]]/a^4}
+{x^2/ArcCos[a*x]^3, x, 10, (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a*ArcCos[a*x]^2) - x/(a^2*ArcCos[a*x]) + (3*x^3)/(2*ArcCos[a*x]) + SinIntegral[ArcCos[a*x]]/(8*a^3) + (9*SinIntegral[3*ArcCos[a*x]])/(8*a^3)}
+{x/ArcCos[a*x]^3, x, 7, (x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a*ArcCos[a*x]^2) - 1/(2*a^2*ArcCos[a*x]) + x^2/ArcCos[a*x] + SinIntegral[2*ArcCos[a*x]]/a^2}
+{ArcCos[a*x]^(-3), x, 4, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a*ArcCos[a*x]^2) + x/(2*ArcCos[a*x]) + SinIntegral[ArcCos[a*x]]/(2*a)}
+{1/(x*ArcCos[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcCos[a*x]^3), x]}
+{1/(x^2*ArcCos[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*ArcCos[a*x]^3), x]}
+
+
+{x^4/ArcCos[a*x]^4, x, 12, (x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcCos[a*x]^3) - (2*x^3)/(3*a^2*ArcCos[a*x]^2) + (5*x^5)/(6*ArcCos[a*x]^2) + (2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^3*ArcCos[a*x]) - (25*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*a*ArcCos[a*x]) + CosIntegral[ArcCos[a*x]]/(48*a^5) + (27*CosIntegral[3*ArcCos[a*x]])/(32*a^5) + (125*CosIntegral[5*ArcCos[a*x]])/(96*a^5)}
+{x^3/ArcCos[a*x]^4, x, 9, (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcCos[a*x]^3) - x^2/(2*a^2*ArcCos[a*x]^2) + (2*x^4)/(3*ArcCos[a*x]^2) + (x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^3*ArcCos[a*x]) - (8*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcCos[a*x]) + CosIntegral[2*ArcCos[a*x]]/(3*a^4) + (4*CosIntegral[4*ArcCos[a*x]])/(3*a^4)}
+{x^2/ArcCos[a*x]^4, x, 10, (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcCos[a*x]^3) - x/(3*a^2*ArcCos[a*x]^2) + x^3/(2*ArcCos[a*x]^2) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*a^3*ArcCos[a*x]) - (3*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a*ArcCos[a*x]) + CosIntegral[ArcCos[a*x]]/(24*a^3) + (9*CosIntegral[3*ArcCos[a*x]])/(8*a^3)}
+{x/ArcCos[a*x]^4, x, 5, (x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcCos[a*x]^3) - 1/(6*a^2*ArcCos[a*x]^2) + x^2/(3*ArcCos[a*x]^2) - (2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcCos[a*x]) + (2*CosIntegral[2*ArcCos[a*x]])/(3*a^2)}
+{ArcCos[a*x]^(-4), x, 5, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*a*ArcCos[a*x]^3) + x/(6*ArcCos[a*x]^2) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(6*a*ArcCos[a*x]) + CosIntegral[ArcCos[a*x]]/(6*a)}
+{1/(x*ArcCos[a*x]^4), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcCos[a*x]^4), x]}
+{1/(x^2*ArcCos[a*x]^4), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*ArcCos[a*x]^4), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCos[a x]^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^4*Sqrt[ArcCos[a*x]], x, 10, (x^5*Sqrt[ArcCos[a*x]])/5 - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(8*a^5) - (Sqrt[Pi/6]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(16*a^5) - (Sqrt[Pi/10]*FresnelC[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(80*a^5)}
+{x^3*Sqrt[ArcCos[a*x]], x, 8, (-3*Sqrt[ArcCos[a*x]])/(32*a^4) + (x^4*Sqrt[ArcCos[a*x]])/4 - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(64*a^4) - (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcCos[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(16*a^4)}
+{x^2*Sqrt[ArcCos[a*x]], x, 8, (x^3*Sqrt[ArcCos[a*x]])/3 - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(4*a^3) - (Sqrt[Pi/6]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(12*a^3)}
+{x*Sqrt[ArcCos[a*x]], x, 6, -Sqrt[ArcCos[a*x]]/(4*a^2) + (x^2*Sqrt[ArcCos[a*x]])/2 - (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcCos[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(8*a^2)}
+{Sqrt[ArcCos[a*x]], x, 4, x*Sqrt[ArcCos[a*x]] - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/a}
+{Sqrt[ArcCos[a*x]]/x, x, 0, Unintegrable[Sqrt[ArcCos[a*x]]/x, x]}
+
+
+{x^4*ArcCos[a*x]^(3/2), x, 23, -((4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcCos[a*x]])/(25*a^5)) - (2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcCos[a*x]])/(25*a^3) - (3*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcCos[a*x]])/(50*a) + (1/5)*x^5*ArcCos[a*x]^(3/2) + (11*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(400*a^5) + (2*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(25*a^5) + (Sqrt[Pi/6]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(50*a^5) + (3*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(800*a^5) + (3*Sqrt[Pi/10]*FresnelS[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(800*a^5)}
+{x^3*ArcCos[a*x]^(3/2), x, 16, (-9*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcCos[a*x]])/(64*a^3) - (3*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcCos[a*x]])/(32*a) - (3*ArcCos[a*x]^(3/2))/(32*a^4) + (x^4*ArcCos[a*x]^(3/2))/4 + (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(512*a^4) + (3*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcCos[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(64*a^4)}
+{x^2*ArcCos[a*x]^(3/2), x, 13, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcCos[a*x]])/(3*a^3) - (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcCos[a*x]])/(6*a) + (x^3*ArcCos[a*x]^(3/2))/3 + (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(8*a^3) + (Sqrt[Pi/6]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(24*a^3)}
+{x*ArcCos[a*x]^(3/2), x, 8, (-3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcCos[a*x]])/(8*a) - ArcCos[a*x]^(3/2)/(4*a^2) + (x^2*ArcCos[a*x]^(3/2))/2 + (3*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcCos[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(32*a^2)}
+{ArcCos[a*x]^(3/2), x, 5, (-3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Sqrt[ArcCos[a*x]])/(2*a) + x*ArcCos[a*x]^(3/2) + (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(2*a)}
+{ArcCos[a*x]^(3/2)/x, x, 0, Unintegrable[ArcCos[a*x]^(3/2)/x, x]}
+
+
+{x^4*ArcCos[a*x]^(5/2), x, 26, -((2*x*Sqrt[ArcCos[a*x]])/(5*a^4)) - (x^3*Sqrt[ArcCos[a*x]])/(15*a^2) - (3/100)*x^5*Sqrt[ArcCos[a*x]] - (4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^(3/2))/(15*a^5) - (2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^(3/2))/(15*a^3) - (x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^(3/2))/(10*a) + (1/5)*x^5*ArcCos[a*x]^(5/2) + (15*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(32*a^5) + (Sqrt[Pi/6]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(60*a^5) + (Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(320*a^5) + (3*Sqrt[Pi/10]*FresnelC[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(1600*a^5)}
+{x^3*ArcCos[a*x]^(5/2), x, 18, (225*Sqrt[ArcCos[a*x]])/(2048*a^4) - (45*x^2*Sqrt[ArcCos[a*x]])/(256*a^2) - (15*x^4*Sqrt[ArcCos[a*x]])/256 - (15*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^(3/2))/(64*a^3) - (5*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^(3/2))/(32*a) - (3*ArcCos[a*x]^(5/2))/(32*a^4) + (x^4*ArcCos[a*x]^(5/2))/4 + (15*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(4096*a^4) + (15*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcCos[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(256*a^4)}
+{x^2*ArcCos[a*x]^(5/2), x, 15, (-5*x*Sqrt[ArcCos[a*x]])/(6*a^2) - (5*x^3*Sqrt[ArcCos[a*x]])/36 - (5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^(3/2))/(9*a^3) - (5*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^(3/2))/(18*a) + (x^3*ArcCos[a*x]^(5/2))/3 + (15*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(16*a^3) + (5*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(144*a^3)}
+{x*ArcCos[a*x]^(5/2), x, 9, (15*Sqrt[ArcCos[a*x]])/(64*a^2) - (15*x^2*Sqrt[ArcCos[a*x]])/32 - (5*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^(3/2))/(8*a) - ArcCos[a*x]^(5/2)/(4*a^2) + (x^2*ArcCos[a*x]^(5/2))/2 + (15*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcCos[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(128*a^2)}
+{ArcCos[a*x]^(5/2), x, 6, (-15*x*Sqrt[ArcCos[a*x]])/4 - (5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCos[a*x]^(3/2))/(2*a) + x*ArcCos[a*x]^(5/2) + (15*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(4*a)}
+{ArcCos[a*x]^(5/2)/x, x, 0, Unintegrable[ArcCos[a*x]^(5/2)/x, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^4/Sqrt[ArcCos[a*x]], x, 9, -(Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(4*a^5) - (Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(8*a^5) - (Sqrt[Pi/10]*FresnelS[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(8*a^5)}
+{x^3/Sqrt[ArcCos[a*x]], x, 7, -(Sqrt[Pi/2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(8*a^4) - (Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcCos[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(4*a^4)}
+{x^2/Sqrt[ArcCos[a*x]], x, 7, -(Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(2*a^3) - (Sqrt[Pi/6]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(2*a^3)}
+{x/Sqrt[ArcCos[a*x]], x, 5, -(Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcCos[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(2*a^2)}
+{1/Sqrt[ArcCos[a*x]], x, 3, -((Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/a)}
+{1/(x*Sqrt[ArcCos[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[ArcCos[a*x]]), x]}
+{1/(x^2*Sqrt[ArcCos[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[ArcCos[a*x]]), x]}
+
+
+{x^6/ArcCos[a*x]^(3/2), x, 10, (2*x^6*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcCos[a*x]]) - (5*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(16*a^7) - (9*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(16*a^7) - (5*Sqrt[(5*Pi)/2]*FresnelC[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(16*a^7) - (Sqrt[(7*Pi)/2]*FresnelC[Sqrt[14/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(16*a^7)}
+{x^5/ArcCos[a*x]^(3/2), x, 8, (2*x^5*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcCos[a*x]]) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/a^6 - (Sqrt[3*Pi]*FresnelC[2*Sqrt[3/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(8*a^6) - (5*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcCos[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(8*a^6)}
+{x^4/ArcCos[a*x]^(3/2), x, 8, (2*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcCos[a*x]]) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(2*a^5) - (3*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(4*a^5) - (Sqrt[(5*Pi)/2]*FresnelC[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(4*a^5)}
+{x^3/ArcCos[a*x]^(3/2), x, 6, (2*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcCos[a*x]]) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/a^4 - (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcCos[a*x]])/Sqrt[Pi]])/a^4}
+{x^2/ArcCos[a*x]^(3/2), x, 6, (2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcCos[a*x]]) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/a^3 - (Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/a^3}
+{x/ArcCos[a*x]^(3/2), x, 3, (2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcCos[a*x]]) - (2*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcCos[a*x]])/Sqrt[Pi]])/a^2}
+{ArcCos[a*x]^(-3/2), x, 4, (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcCos[a*x]]) - (2*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/a}
+{1/(x*ArcCos[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcCos[a*x]^(3/2)), x]}
+
+
+{x^4/ArcCos[a*x]^(5/2), x, 19, (2*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcCos[a*x]^(3/2)) - (16*x^3)/(3*a^2*Sqrt[ArcCos[a*x]]) + (20*x^5)/(3*Sqrt[ArcCos[a*x]]) + (25*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(3*a^5) - (4*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/a^5 + (25*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(2*a^5) - (4*Sqrt[(2*Pi)/3]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/a^5 + (5*Sqrt[(5*Pi)/2]*FresnelS[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(6*a^5)}
+{x^3/ArcCos[a*x]^(5/2), x, 15, (2*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcCos[a*x]^(3/2)) - (4*x^2)/(a^2*Sqrt[ArcCos[a*x]]) + (16*x^4)/(3*Sqrt[ArcCos[a*x]]) + (4*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(3*a^4) + (4*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcCos[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(3*a^4)}
+{x^2/ArcCos[a*x]^(5/2), x, 13, (2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcCos[a*x]^(3/2)) - (8*x)/(3*a^2*Sqrt[ArcCos[a*x]]) + (4*x^3)/Sqrt[ArcCos[a*x]] + (Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(3*a^3) + (Sqrt[6*Pi]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/a^3}
+{x/ArcCos[a*x]^(5/2), x, 8, (2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcCos[a*x]^(3/2)) - 4/(3*a^2*Sqrt[ArcCos[a*x]]) + (8*x^2)/(3*Sqrt[ArcCos[a*x]]) + (8*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcCos[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(3*a^2)}
+{ArcCos[a*x]^(-5/2), x, 5, (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*ArcCos[a*x]^(3/2)) + (4*x)/(3*Sqrt[ArcCos[a*x]]) + (4*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(3*a)}
+{1/(x*ArcCos[a*x]^(5/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcCos[a*x]^(5/2)), x]}
+
+
+{x^4/ArcCos[a*x]^(7/2), x, 17, (2*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a*ArcCos[a*x]^(5/2)) - (16*x^3)/(15*a^2*ArcCos[a*x]^(3/2)) + (4*x^5)/(3*ArcCos[a*x]^(3/2)) + (32*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a^3*Sqrt[ArcCos[a*x]]) - (40*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*Sqrt[ArcCos[a*x]]) + (Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(15*a^5) + (5*Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/a^5 - (8*Sqrt[6*Pi]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(5*a^5) + (5*Sqrt[(5*Pi)/2]*FresnelC[Sqrt[10/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(3*a^5)}
+{x^3/ArcCos[a*x]^(7/2), x, 12, (2*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a*ArcCos[a*x]^(5/2)) - (4*x^2)/(5*a^2*ArcCos[a*x]^(3/2)) + (16*x^4)/(15*ArcCos[a*x]^(3/2)) + (16*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a^3*Sqrt[ArcCos[a*x]]) - (128*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a*Sqrt[ArcCos[a*x]]) + (32*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(15*a^4) + (16*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcCos[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(15*a^4)}
+{x^2/ArcCos[a*x]^(7/2), x, 13, (2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a*ArcCos[a*x]^(5/2)) - (8*x)/(15*a^2*ArcCos[a*x]^(3/2)) + (4*x^3)/(5*ArcCos[a*x]^(3/2)) + (16*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a^3*Sqrt[ArcCos[a*x]]) - (24*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a*Sqrt[ArcCos[a*x]]) + (2*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(15*a^3) + (6*Sqrt[6*Pi]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(5*a^3)}
+{x/ArcCos[a*x]^(7/2), x, 6, (2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a*ArcCos[a*x]^(5/2)) - 4/(15*a^2*ArcCos[a*x]^(3/2)) + (8*x^2)/(15*ArcCos[a*x]^(3/2)) - (32*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a*Sqrt[ArcCos[a*x]]) + (32*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcCos[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(15*a^2)}
+{ArcCos[a*x]^(-7/2), x, 6, (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a*ArcCos[a*x]^(5/2)) + (4*x)/(15*ArcCos[a*x]^(3/2)) - (8*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a*Sqrt[ArcCos[a*x]]) + (8*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a*x]]])/(15*a)}
+{1/(x*ArcCos[a*x]^(7/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcCos[a*x]^(7/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (b x)^(m/2) ArcCos[a x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (b x)^(m/2) ArcCos[a x]^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b x)^m ArcCos[a x]^n with m symbolic*)
+
+
+{(b*x)^m*ArcCos[a*x]^4, x, 1, ((b*x)^(1 + m)*ArcCos[a*x]^4)/(b*(1 + m)) + (4*a*Unintegrable[((b*x)^(1 + m)*ArcCos[a*x]^3)/Sqrt[1 - a^2*x^2], x])/(b*(1 + m))}
+{(b*x)^m*ArcCos[a*x]^3, x, 1, ((b*x)^(1 + m)*ArcCos[a*x]^3)/(b*(1 + m)) + (3*a*Unintegrable[((b*x)^(1 + m)*ArcCos[a*x]^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2], x])/(b*(1 + m))}
+{(b*x)^m*ArcCos[a*x]^2, x, 2, If[$VersionNumber>=8, ((b*x)^(1 + m)*ArcCos[a*x]^2)/(b*(1 + m)) + (2*a*(b*x)^(2 + m)*ArcCos[a*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(b^2*(1 + m)*(2 + m)) + (2*a^2*(b*x)^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, a^2*x^2])/(b^3*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)), ((b*x)^(1 + m)*ArcCos[a*x]^2)/(b*(1 + m)) + (2*a*(b*x)^(2 + m)*ArcCos[a*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(b^2*(1 + m)*(2 + m)) + (2*a^2*(b*x)^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, a^2*x^2])/(b^3*(3 + m)*(2 + 3*m + m^2))]}
+{(b*x)^m*ArcCos[a*x], x, 2, ((b*x)^(1 + m)*ArcCos[a*x])/(b*(1 + m)) + (a*(b*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(b^2*(1 + m)*(2 + m))}
+{(b*x)^m/ArcCos[a*x], x, 0, Unintegrable[(b*x)^m/ArcCos[a*x], x]}
+{(b*x)^m/ArcCos[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(b*x)^m/ArcCos[a*x]^2, x]}
+
+
+{(b*x)^m*ArcCos[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(b*x)^m*ArcCos[a*x]^(3/2), x]}
+{(b*x)^m*Sqrt[ArcCos[a*x]], x, 0, Unintegrable[(b*x)^m*Sqrt[ArcCos[a*x]], x]}
+{(b*x)^m/Sqrt[ArcCos[a*x]], x, 0, Unintegrable[(b*x)^m/Sqrt[ArcCos[a*x]], x]}
+{(b*x)^m/ArcCos[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(b*x)^m/ArcCos[a*x]^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b x)^m ArcCos[a x]^n with n symbolic*)
+
+
+{(b*x)^m*ArcCos[a*x]^n, x, 0, Unintegrable[(b*x)^m*ArcCos[a*x]^n, x]}
+
+
+{x^3*ArcCos[a*x]^n, x, 9, (2^(-4 - n)*ArcCos[a*x]^n*Gamma[1 + n, (-2*I)*ArcCos[a*x]])/(a^4*((-I)*ArcCos[a*x])^n) + (2^(-4 - n)*ArcCos[a*x]^n*Gamma[1 + n, (2*I)*ArcCos[a*x]])/(a^4*(I*ArcCos[a*x])^n) + (ArcCos[a*x]^n*Gamma[1 + n, (-4*I)*ArcCos[a*x]])/(2^(2*(3 + n))*a^4*((-I)*ArcCos[a*x])^n) + (ArcCos[a*x]^n*Gamma[1 + n, (4*I)*ArcCos[a*x]])/(2^(2*(3 + n))*a^4*(I*ArcCos[a*x])^n)}
+{x^2*ArcCos[a*x]^n, x, 9, (ArcCos[a*x]^n*Gamma[1 + n, (-I)*ArcCos[a*x]])/(8*a^3*((-I)*ArcCos[a*x])^n) + (ArcCos[a*x]^n*Gamma[1 + n, I*ArcCos[a*x]])/(8*a^3*(I*ArcCos[a*x])^n) + (3^(-1 - n)*ArcCos[a*x]^n*Gamma[1 + n, (-3*I)*ArcCos[a*x]])/(8*a^3*((-I)*ArcCos[a*x])^n) + (3^(-1 - n)*ArcCos[a*x]^n*Gamma[1 + n, (3*I)*ArcCos[a*x]])/(8*a^3*(I*ArcCos[a*x])^n)}
+{x*ArcCos[a*x]^n, x, 6, (2^(-3 - n)*ArcCos[a*x]^n*Gamma[1 + n, (-2*I)*ArcCos[a*x]])/(a^2*((-I)*ArcCos[a*x])^n) + (2^(-3 - n)*ArcCos[a*x]^n*Gamma[1 + n, (2*I)*ArcCos[a*x]])/(a^2*(I*ArcCos[a*x])^n)}
+{ArcCos[a*x]^n, x, 4, (ArcCos[a*x]^n*Gamma[1 + n, (-I)*ArcCos[a*x]])/(2*a*((-I)*ArcCos[a*x])^n) + (ArcCos[a*x]^n*Gamma[1 + n, I*ArcCos[a*x]])/(2*a*(I*ArcCos[a*x])^n)}
+{ArcCos[a*x]^n/x, x, 0, Unintegrable[ArcCos[a*x]^n/x, x]}
+{ArcCos[a*x]^n/x^2, x, 0, Unintegrable[ArcCos[a*x]^n/x^2, x]}
+
+
+{(b*x)^(3/2)*ArcCos[a*x]^n, x, 0, Unintegrable[(b*x)^(3/2)*ArcCos[a*x]^n, x]}
+{Sqrt[b*x]*ArcCos[a*x]^n, x, 0, Unintegrable[Sqrt[b*x]*ArcCos[a*x]^n, x]}
+{ArcCos[a*x]^n/Sqrt[b*x], x, 0, Unintegrable[ArcCos[a*x]^n/Sqrt[b*x], x]}
+{ArcCos[a*x]^n/(b*x)^(3/2), x, 0, Unintegrable[ArcCos[a*x]^n/(b*x)^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcCos[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcCos[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcCos[c*x]), x, 4, (-3*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(32*c^3) - (b*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*c) + (x^4*(a + b*ArcCos[c*x]))/4 + (3*b*ArcSin[c*x])/(32*c^4)}
+{x^2*(a + b*ArcCos[c*x]), x, 4, -(b*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c^3) + (b*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(9*c^3) + (x^3*(a + b*ArcCos[c*x]))/3}
+{x*(a + b*ArcCos[c*x]), x, 3, -(b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c) + (x^2*(a + b*ArcCos[c*x]))/2 + (b*ArcSin[c*x])/(4*c^2)}
+{a + b*ArcCos[c*x], x, 3, a*x - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2])/c + b*x*ArcCos[c*x]}
+{(a + b*ArcCos[c*x])/x, x, 5, ((-I/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/b + (a + b*ArcCos[c*x])*Log[1 + E^((2*I)*ArcCos[c*x])] - (I/2)*b*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcCos[c*x])]}
+{(a + b*ArcCos[c*x])/x^2, x, 4, -((a + b*ArcCos[c*x])/x) + b*c*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]]}
+{(a + b*ArcCos[c*x])/x^3, x, 2, (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*x) - (a + b*ArcCos[c*x])/(2*x^2)}
+{(a + b*ArcCos[c*x])/x^4, x, 5, (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*x^2) - (a + b*ArcCos[c*x])/(3*x^3) + (b*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/6}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcCos[c*x])^2, x, 5, (-4*b^2*x)/(9*c^2) - (2*b^2*x^3)/27 - (4*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(9*c^3) - (2*b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(9*c) + (x^3*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/3}
+{x*(a + b*ArcCos[c*x])^2, x, 4, -(b^2*x^2)/4 - (b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(2*c) - (a + b*ArcCos[c*x])^2/(4*c^2) + (x^2*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/2}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^2, x, 3, -2*b^2*x - (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/c + x*(a + b*ArcCos[c*x])^2}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^2/x, x, 6, ((-I/3)*(a + b*ArcCos[c*x])^3)/b + (a + b*ArcCos[c*x])^2*Log[1 + E^((2*I)*ArcCos[c*x])] - I*b*(a + b*ArcCos[c*x])*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcCos[c*x])] + (b^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*ArcCos[c*x])])/2}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^2/x^2, x, 7, -((a + b*ArcCos[c*x])^2/x) - (4*I)*b*c*(a + b*ArcCos[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcCos[c*x])] + (2*I)*b^2*c*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcCos[c*x])] - (2*I)*b^2*c*PolyLog[2, I*E^(I*ArcCos[c*x])]}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcCos[c*x])^3, x, 10, (-4*a*b^2*x)/(3*c^2) + (14*b^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*c^3) - (2*b^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(27*c^3) - (4*b^3*x*ArcCos[c*x])/(3*c^2) - (2*b^2*x^3*(a + b*ArcCos[c*x]))/9 - (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(3*c^3) - (b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(3*c) + (x^3*(a + b*ArcCos[c*x])^3)/3}
+{x*(a + b*ArcCos[c*x])^3, x, 6, (3*b^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(8*c) - (3*b^2*x^2*(a + b*ArcCos[c*x]))/4 - (3*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(4*c) - (a + b*ArcCos[c*x])^3/(4*c^2) + (x^2*(a + b*ArcCos[c*x])^3)/2 - (3*b^3*ArcSin[c*x])/(8*c^2)}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^3, x, 5, -6*a*b^2*x + (6*b^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/c - 6*b^3*x*ArcCos[c*x] - (3*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/c + x*(a + b*ArcCos[c*x])^3}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^3/x, x, 7, ((-I/4)*(a + b*ArcCos[c*x])^4)/b + (a + b*ArcCos[c*x])^3*Log[1 + E^((2*I)*ArcCos[c*x])] - ((3*I)/2)*b*(a + b*ArcCos[c*x])^2*PolyLog[2, -E^((2*I)*ArcCos[c*x])] + (3*b^2*(a + b*ArcCos[c*x])*PolyLog[3, -E^((2*I)*ArcCos[c*x])])/2 + ((3*I)/4)*b^3*PolyLog[4, -E^((2*I)*ArcCos[c*x])]}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^3/x^2, x, 9, -((a + b*ArcCos[c*x])^3/x) - (6*I)*b*c*(a + b*ArcCos[c*x])^2*ArcTan[E^(I*ArcCos[c*x])] + (6*I)*b^2*c*(a + b*ArcCos[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcCos[c*x])] - (6*I)*b^2*c*(a + b*ArcCos[c*x])*PolyLog[2, I*E^(I*ArcCos[c*x])] - 6*b^3*c*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcCos[c*x])] + 6*b^3*c*PolyLog[3, I*E^(I*ArcCos[c*x])]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^2/(a + b*ArcCos[c*x]), x, 9, (CosIntegral[(a + b*ArcCos[c*x])/b]*Sin[a/b])/(4*b*c^3) + (CosIntegral[(3*(a + b*ArcCos[c*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(4*b*c^3) - (Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcCos[c*x])/b])/(4*b*c^3) - (Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcCos[c*x]))/b])/(4*b*c^3)}
+{x^1/(a + b*ArcCos[c*x]), x, 6, (CosIntegral[(2*(a + b*ArcCos[c*x]))/b]*Sin[(2*a)/b])/(2*b*c^2) - (Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcCos[c*x]))/b])/(2*b*c^2)}
+{x^0/(a + b*ArcCos[c*x]), x, 4, (CosIntegral[(a + b*ArcCos[c*x])/b]*Sin[a/b])/(b*c) - (Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcCos[c*x])/b])/(b*c)}
+{1/(x^1*(a + b*ArcCos[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*ArcCos[c*x])), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcCos[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*ArcCos[c*x])), x]}
+
+
+{x^2/(a + b*ArcCos[c*x])^2, x, 8, (x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcCos[c*x])) - (Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcCos[c*x])/b])/(4*b^2*c^3) - (3*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*(a + b*ArcCos[c*x]))/b])/(4*b^2*c^3) - (Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcCos[c*x])/b])/(4*b^2*c^3) - (3*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcCos[c*x]))/b])/(4*b^2*c^3)}
+{x^1/(a + b*ArcCos[c*x])^2, x, 4, (x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcCos[c*x])) - (Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*(a + b*ArcCos[c*x]))/b])/(b^2*c^2) - (Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcCos[c*x]))/b])/(b^2*c^2)}
+{x^0/(a + b*ArcCos[c*x])^2, x, 5, Sqrt[1 - c^2*x^2]/(b*c*(a + b*ArcCos[c*x])) - (Cos[a/b]*CosIntegral[(a + b*ArcCos[c*x])/b])/(b^2*c) - (Sin[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcCos[c*x])/b])/(b^2*c)}
+{1/(x^1*(a + b*ArcCos[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*ArcCos[c*x])^2), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcCos[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*ArcCos[c*x])^2), x]}
+
+
+{x^2/(a + b*ArcCos[c*x])^3, x, 16, (x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*b*c*(a + b*ArcCos[c*x])^2) - x/(b^2*c^2*(a + b*ArcCos[c*x])) + (3*x^3)/(2*b^2*(a + b*ArcCos[c*x])) - (CosIntegral[(a + b*ArcCos[c*x])/b]*Sin[a/b])/(8*b^3*c^3) - (9*CosIntegral[(3*(a + b*ArcCos[c*x]))/b]*Sin[(3*a)/b])/(8*b^3*c^3) + (Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcCos[c*x])/b])/(8*b^3*c^3) + (9*Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*(a + b*ArcCos[c*x]))/b])/(8*b^3*c^3)}
+{x^1/(a + b*ArcCos[c*x])^3, x, 9, (x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*b*c*(a + b*ArcCos[c*x])^2) - 1/(2*b^2*c^2*(a + b*ArcCos[c*x])) + x^2/(b^2*(a + b*ArcCos[c*x])) - (CosIntegral[(2*(a + b*ArcCos[c*x]))/b]*Sin[(2*a)/b])/(b^3*c^2) + (Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*(a + b*ArcCos[c*x]))/b])/(b^3*c^2)}
+{x^0/(a + b*ArcCos[c*x])^3, x, 6, Sqrt[1 - c^2*x^2]/(2*b*c*(a + b*ArcCos[c*x])^2) + x/(2*b^2*(a + b*ArcCos[c*x])) - (CosIntegral[(a + b*ArcCos[c*x])/b]*Sin[a/b])/(2*b^3*c) + (Cos[a/b]*SinIntegral[(a + b*ArcCos[c*x])/b])/(2*b^3*c)}
+{1/(x^1*(a + b*ArcCos[c*x])^3), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*ArcCos[c*x])^3), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcCos[c*x])^3), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*ArcCos[c*x])^3), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcCos[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]], x, 14, (x^3*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/3 - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*c^3) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]])/(12*c^3) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(4*c^3) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(12*c^3)}
+{x*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]], x, 9, -Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]]/(4*c^2) + (x^2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/2 - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(8*c^2) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(8*c^2)}
+{Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]], x, 7, x*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]] - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]])/c - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/c}
+{Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]]/x, x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]]/x, x]}
+{Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]]/x^2, x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]]/x^2, x]}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2), x, 22, -(b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/(3*c^3) - (b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/(6*c) + (x^3*(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2))/3 + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]])/(8*c^3) + (b^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]])/(24*c^3) - (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(8*c^3) - (b^(3/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(24*c^3)}
+{x*(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2), x, 11, (-3*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/(8*c) - (a + b*ArcCos[c*x])^(3/2)/(4*c^2) + (x^2*(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2))/2 + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(32*c^2) - (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(32*c^2)}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2), x, 8, (-3*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/(2*c) + x*(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*c) - (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(2*c)}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2)/x, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2)/x, x]}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2)/x^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2)/x^2, x]}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcCos[c*x])^(5/2), x, 24, (-5*b^2*x*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/(6*c^2) - (5*b^2*x^3*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/36 - (5*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2))/(9*c^3) - (5*b*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2))/(18*c) + (x^3*(a + b*ArcCos[c*x])^(5/2))/3 + (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*c^3) + (5*b^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]])/(144*c^3) + (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(16*c^3) + (5*b^(5/2)*Sqrt[Pi/6]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(144*c^3)}
+{x*(a + b*ArcCos[c*x])^(5/2), x, 12, (15*b^2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/(64*c^2) - (15*b^2*x^2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/32 - (5*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2))/(8*c) - (a + b*ArcCos[c*x])^(5/2)/(4*c^2) + (x^2*(a + b*ArcCos[c*x])^(5/2))/2 + (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(128*c^2) + (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(128*c^2)}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^(5/2), x, 9, (-15*b^2*x*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/4 - (5*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2))/(2*c) + x*(a + b*ArcCos[c*x])^(5/2) + (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*c) + (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(4*c)}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^(5/2)/x, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCos[c*x])^(5/2)/x, x]}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^(5/2)/x^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCos[c*x])^(5/2)/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^2/Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]], x, 13, -(Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c^3) - (Sqrt[Pi/6]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c^3) + (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(2*Sqrt[b]*c^3) + (Sqrt[Pi/6]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(2*Sqrt[b]*c^3)}
+{x/Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]], x, 8, -(Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(2*Sqrt[b]*c^2) + (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(2*Sqrt[b]*c^2)}
+{1/Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]], x, 6, -((Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*c)) + (Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(Sqrt[b]*c)}
+{1/(x*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]]), x]}
+{1/(x^2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]]), x]}
+
+
+{x^2/(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2), x, 12, (2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]]) - (Sqrt[Pi/2]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c^3) - (Sqrt[(3*Pi)/2]*Cos[(3*a)/b]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c^3) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(b^(3/2)*c^3) - (Sqrt[(3*Pi)/2]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(b^(3/2)*c^3)}
+{x/(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2), x, 6, (2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]]) - (2*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(b^(3/2)*c^2) - (2*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(b^(3/2)*c^2)}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^(-3/2), x, 7, (2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]]) - (2*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c) - (2*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(b^(3/2)*c)}
+{1/(x*(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2)), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2)), x]}
+
+
+{x^2/(a + b*ArcCos[c*x])^(5/2), x, 22, (2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*b*c*(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2)) - (8*x)/(3*b^2*c^2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]]) + (4*x^3)/(b^2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]]) + (Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*c^3) + (Sqrt[6*Pi]*Cos[(3*a)/b]*FresnelS[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(5/2)*c^3) - (Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(3*b^(5/2)*c^3) - (Sqrt[6*Pi]*FresnelC[(Sqrt[6/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[(3*a)/b])/(b^(5/2)*c^3)}
+{x/(a + b*ArcCos[c*x])^(5/2), x, 11, (2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*b*c*(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2)) - 4/(3*b^2*c^2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]]) + (8*x^2)/(3*b^2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]]) + (8*Sqrt[Pi]*Cos[(2*a)/b]*FresnelS[(2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])])/(3*b^(5/2)*c^2) - (8*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/(Sqrt[b]*Sqrt[Pi])]*Sin[(2*a)/b])/(3*b^(5/2)*c^2)}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^(-5/2), x, 8, (2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*b*c*(a + b*ArcCos[c*x])^(3/2)) + (4*x)/(3*b^2*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]]) + (4*Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*c) - (4*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(3*b^(5/2)*c)}
+{1/(x*(a + b*ArcCos[c*x])^(5/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*ArcCos[c*x])^(5/2)), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcCos[c*x])^(5/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*ArcCos[c*x])^(5/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^(m/2) (a+b ArcCos[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(d*x)^(5/2)*(a + b*ArcCos[c*x]), x, 5, (-20*b*d^2*Sqrt[d*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(147*c^3) - (4*b*(d*x)^(5/2)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(49*c) + (2*(d*x)^(7/2)*(a + b*ArcCos[c*x]))/(7*d) + (20*b*d^(5/2)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]], -1])/(147*c^(7/2))}
+{(d*x)^(3/2)*(a + b*ArcCos[c*x]), x, 7, -((4*b*(d*x)^(3/2)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(25*c)) + (2*(d*x)^(5/2)*(a + b*ArcCos[c*x]))/(5*d) + (12*b*d^(3/2)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]], -1])/(25*c^(5/2)) - (12*b*d^(3/2)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]], -1])/(25*c^(5/2))}
+{Sqrt[d*x]*(a + b*ArcCos[c*x]), x, 4, (-4*b*Sqrt[d*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*c) + (2*(d*x)^(3/2)*(a + b*ArcCos[c*x]))/(3*d) + (4*b*Sqrt[d]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]], -1])/(9*c^(3/2))}
+{(a + b*ArcCos[c*x])/Sqrt[d*x], x, 6, (2*Sqrt[d*x]*(a + b*ArcCos[c*x]))/d + (4*b*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]], -1])/(Sqrt[c]*Sqrt[d]) - (4*b*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]], -1])/(Sqrt[c]*Sqrt[d])}
+{(a + b*ArcCos[c*x])/(d*x)^(3/2), x, 3, (-2*(a + b*ArcCos[c*x]))/(d*Sqrt[d*x]) - (4*b*Sqrt[c]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]], -1])/d^(3/2)}
+{(a + b*ArcCos[c*x])/(d*x)^(5/2), x, 7, (4*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*d^2*Sqrt[d*x]) - (2*(a + b*ArcCos[c*x]))/(3*d*(d*x)^(3/2)) + (4*b*c^(3/2)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]], -1])/(3*d^(5/2)) - (4*b*c^(3/2)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]], -1])/(3*d^(5/2))}
+
+
+{(d*x)^(5/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^2, x, 2, (2*(d*x)^(7/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(7*d) + (8*b*c*(d*x)^(9/2)*(a + b*ArcCos[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 9/4, 13/4, c^2*x^2])/(63*d^2) + (16*b^2*c^2*(d*x)^(11/2)*HypergeometricPFQ[{1, 11/4, 11/4}, {13/4, 15/4}, c^2*x^2])/(693*d^3)}
+{(d*x)^(3/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^2, x, 2, (2*(d*x)^(5/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(5*d) + (8*b*c*(d*x)^(7/2)*(a + b*ArcCos[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 7/4, 11/4, c^2*x^2])/(35*d^2) + (16*b^2*c^2*(d*x)^(9/2)*HypergeometricPFQ[{1, 9/4, 9/4}, {11/4, 13/4}, c^2*x^2])/(315*d^3)}
+{Sqrt[d*x]*(a + b*ArcCos[c*x])^2, x, 2, (2*(d*x)^(3/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(3*d) + (8*b*c*(d*x)^(5/2)*(a + b*ArcCos[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 5/4, 9/4, c^2*x^2])/(15*d^2) + (16*b^2*c^2*(d*x)^(7/2)*HypergeometricPFQ[{1, 7/4, 7/4}, {9/4, 11/4}, c^2*x^2])/(105*d^3)}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^2/Sqrt[d*x], x, 2, (2*Sqrt[d*x]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/d + (8*b*c*(d*x)^(3/2)*(a + b*ArcCos[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 3/4, 7/4, c^2*x^2])/(3*d^2) + (16*b^2*c^2*(d*x)^(5/2)*HypergeometricPFQ[{1, 5/4, 5/4}, {7/4, 9/4}, c^2*x^2])/(15*d^3)}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^2/(d*x)^(3/2), x, 2, (-2*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(d*Sqrt[d*x]) - (8*b*c*Sqrt[d*x]*(a + b*ArcCos[c*x])*Hypergeometric2F1[1/4, 1/2, 5/4, c^2*x^2])/d^2 - (16*b^2*c^2*(d*x)^(3/2)*HypergeometricPFQ[{3/4, 3/4, 1}, {5/4, 7/4}, c^2*x^2])/(3*d^3)}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^2/(d*x)^(5/2), x, 2, (-2*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(3*d*(d*x)^(3/2)) + (8*b*c*(a + b*ArcCos[c*x])*Hypergeometric2F1[-1/4, 1/2, 3/4, c^2*x^2])/(3*d^2*Sqrt[d*x]) + (16*b^2*c^2*Sqrt[d*x]*HypergeometricPFQ[{1/4, 1/4, 1}, {3/4, 5/4}, c^2*x^2])/(3*d^3)}
+
+
+{(d*x)^(3/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^3, x, 1, (2*(d*x)^(5/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^3)/(5*d) + (6*b*c*Unintegrable[((d*x)^(5/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/Sqrt[1 - c^2*x^2], x])/(5*d)}
+{Sqrt[d*x]*(a + b*ArcCos[c*x])^3, x, 1, (2*(d*x)^(3/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^3)/(3*d) + (2*b*c*Unintegrable[((d*x)^(3/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/Sqrt[1 - c^2*x^2], x])/d}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^3/Sqrt[d*x], x, 1, (2*Sqrt[d*x]*(a + b*ArcCos[c*x])^3)/d + (6*b*c*Unintegrable[(Sqrt[d*x]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/Sqrt[1 - c^2*x^2], x])/d}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^3/(d*x)^(3/2), x, 1, (-2*(a + b*ArcCos[c*x])^3)/(d*Sqrt[d*x]) - (6*b*c*Unintegrable[(a + b*ArcCos[c*x])^2/(Sqrt[d*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]), x])/d}
+{(a + b*ArcCos[c*x])^3/(d*x)^(5/2), x, 1, (-2*(a + b*ArcCos[c*x])^3)/(3*d*(d*x)^(3/2)) - (2*b*c*Unintegrable[(a + b*ArcCos[c*x])^2/((d*x)^(3/2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]), x])/d}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(d*x)^(3/2)/(a + b*ArcCos[c*x]), x, 0, Unintegrable[(d*x)^(3/2)/(a + b*ArcCos[c*x]), x]}
+{Sqrt[d*x]/(a + b*ArcCos[c*x]), x, 0, Unintegrable[Sqrt[d*x]/(a + b*ArcCos[c*x]), x]}
+{1/(Sqrt[d*x]*(a + b*ArcCos[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[d*x]*(a + b*ArcCos[c*x])), x]}
+{1/((d*x)^(3/2)*(a + b*ArcCos[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d*x)^(3/2)*(a + b*ArcCos[c*x])), x]}
+
+
+{(d*x)^(3/2)/(a + b*ArcCos[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^(3/2)/(a + b*ArcCos[c*x])^2, x]}
+{Sqrt[d*x]/(a + b*ArcCos[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[Sqrt[d*x]/(a + b*ArcCos[c*x])^2, x]}
+{1/(Sqrt[d*x]*(a + b*ArcCos[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[d*x]*(a + b*ArcCos[c*x])^2), x]}
+{1/((d*x)^(3/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d*x)^(3/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^(m/2) (a+b ArcCos[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcCos[c x])^n with m symbolic*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcCos[c x])^n with n symbolic*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.2 Inverse cosine/5.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arccos(c x))^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.2 Inverse cosine/5.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arccos(c x))^n.m
new file mode 100644
index 00000000..1fa25ad0
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.2 Inverse cosine/5.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arccos(c x))^n.m	
@@ -0,0 +1,99 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcCos[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcCos[c x])^1*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcCos[c*x])/(d - c^2*d*x^2), x, 8, (b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c^3*d) - (x^2*(a + b*ArcCos[c*x]))/(2*c^2*d) + (I*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*c^4*d) - (b*ArcSin[c*x])/(4*c^4*d) - ((a + b*ArcCos[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcCos[c*x])])/(c^4*d) + (I*b*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCos[c*x])])/(2*c^4*d)}
+{x^2*(a + b*ArcCos[c*x])/(d - c^2*d*x^2), x, 8, (b*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^3*d) - (x*(a + b*ArcCos[c*x]))/(c^2*d) + (2*(a + b*ArcCos[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcCos[c*x])])/(c^3*d) - (I*b*PolyLog[2, -E^(I*ArcCos[c*x])])/(c^3*d) + (I*b*PolyLog[2, E^(I*ArcCos[c*x])])/(c^3*d)}
+{x^1*(a + b*ArcCos[c*x])/(d - c^2*d*x^2), x, 5, (I*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*c^2*d) - ((a + b*ArcCos[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcCos[c*x])])/(c^2*d) + (I*b*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCos[c*x])])/(2*c^2*d)}
+{x^0*(a + b*ArcCos[c*x])/(d - c^2*d*x^2), x, 6, (2*(a + b*ArcCos[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcCos[c*x])])/(c*d) - (I*b*PolyLog[2, -E^(I*ArcCos[c*x])])/(c*d) + (I*b*PolyLog[2, E^(I*ArcCos[c*x])])/(c*d)}
+{(a + b*ArcCos[c*x])/(x^1*(d - c^2*d*x^2)), x, 7, (2*(a + b*ArcCos[c*x])*ArcTanh[E^(2*I*ArcCos[c*x])])/d - (I*b*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcCos[c*x])])/(2*d) + (I*b*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCos[c*x])])/(2*d)}
+{(a + b*ArcCos[c*x])/(x^2*(d - c^2*d*x^2)), x, 10, -((a + b*ArcCos[c*x])/(d*x)) + (2*c*(a + b*ArcCos[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcCos[c*x])])/d + (b*c*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/d - (I*b*c*PolyLog[2, -E^(I*ArcCos[c*x])])/d + (I*b*c*PolyLog[2, E^(I*ArcCos[c*x])])/d}
+{(a + b*ArcCos[c*x])/(x^3*(d - c^2*d*x^2)), x, 9, (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*d*x) - (a + b*ArcCos[c*x])/(2*d*x^2) + (2*c^2*(a + b*ArcCos[c*x])*ArcTanh[E^(2*I*ArcCos[c*x])])/d - (I*b*c^2*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcCos[c*x])])/(2*d) + (I*b*c^2*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCos[c*x])])/(2*d)}
+
+
+{x^4*(a + b*ArcCos[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 12, b/(2*c^5*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^5*d^2) + (3*x*(a + b*ArcCos[c*x]))/(2*c^4*d^2) + (x^3*(a + b*ArcCos[c*x]))/(2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)) - (3*(a + b*ArcCos[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcCos[c*x])])/(c^5*d^2) + (3*I*b*PolyLog[2, -E^(I*ArcCos[c*x])])/(2*c^5*d^2) - (3*I*b*PolyLog[2, E^(I*ArcCos[c*x])])/(2*c^5*d^2)}
+{x^3*(a + b*ArcCos[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 8, (b*x)/(2*c^3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (x^2*(a + b*ArcCos[c*x]))/(2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)) - (I*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*c^4*d^2) - (b*ArcSin[c*x])/(2*c^4*d^2) + ((a + b*ArcCos[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcCos[c*x])])/(c^4*d^2) - (I*b*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCos[c*x])])/(2*c^4*d^2)}
+{x^2*(a + b*ArcCos[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 8, b/(2*c^3*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (x*(a + b*ArcCos[c*x]))/(2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)) - ((a + b*ArcCos[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcCos[c*x])])/(c^3*d^2) + (I*b*PolyLog[2, -E^(I*ArcCos[c*x])])/(2*c^3*d^2) - (I*b*PolyLog[2, E^(I*ArcCos[c*x])])/(2*c^3*d^2)}
+{x^1*(a + b*ArcCos[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 2, (b*x)/(2*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (a + b*ArcCos[c*x])/(2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2))}
+{x^0*(a + b*ArcCos[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 8, b/(2*c*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (x*(a + b*ArcCos[c*x]))/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)) + ((a + b*ArcCos[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcCos[c*x])])/(c*d^2) - (I*b*PolyLog[2, -E^(I*ArcCos[c*x])])/(2*c*d^2) + (I*b*PolyLog[2, E^(I*ArcCos[c*x])])/(2*c*d^2)}
+{(a + b*ArcCos[c*x])/(x^1*(d - c^2*d*x^2)^2), x, 9, (b*c*x)/(2*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (a + b*ArcCos[c*x])/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)) + (2*(a + b*ArcCos[c*x])*ArcTanh[E^(2*I*ArcCos[c*x])])/d^2 - (I*b*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcCos[c*x])])/(2*d^2) + (I*b*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCos[c*x])])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcCos[c*x])/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^2), x, 13, (b*c)/(2*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (a + b*ArcCos[c*x])/(d^2*x*(1 - c^2*x^2)) + (3*c^2*x*(a + b*ArcCos[c*x]))/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)) + (3*c*(a + b*ArcCos[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcCos[c*x])])/d^2 + (b*c*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/d^2 - (3*I*b*c*PolyLog[2, -E^(I*ArcCos[c*x])])/(2*d^2) + (3*I*b*c*PolyLog[2, E^(I*ArcCos[c*x])])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcCos[c*x])/(x^3*(d - c^2*d*x^2)^2), x, 12, (b*c)/(2*d^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (c^2*(a + b*ArcCos[c*x]))/(d^2*(1 - c^2*x^2)) - (a + b*ArcCos[c*x])/(2*d^2*x^2*(1 - c^2*x^2)) + (4*c^2*(a + b*ArcCos[c*x])*ArcTanh[E^(2*I*ArcCos[c*x])])/d^2 - (I*b*c^2*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcCos[c*x])])/d^2 + (I*b*c^2*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCos[c*x])])/d^2}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^p (a+b ArcCos[c x])^1*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcCos[c*x])*x^3, x, 6, -((b*(9*c^2*d + 5*e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(96*c^5)) - (b*(9*c^2*d + 5*e)*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(144*c^3) - (b*e*x^5*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(36*c) + (1/4)*d*x^4*(a + b*ArcCos[c*x]) + (1/6)*e*x^6*(a + b*ArcCos[c*x]) + (b*(9*c^2*d + 5*e)*ArcSin[c*x])/(96*c^6)}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcCos[c*x])*x^2, x, 5, -((b*(5*c^2*d + 3*e)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(15*c^5)) + (b*(5*c^2*d + 6*e)*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(45*c^5) - (b*e*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(25*c^5) + (1/3)*d*x^3*(a + b*ArcCos[c*x]) + (1/5)*e*x^5*(a + b*ArcCos[c*x])}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcCos[c*x])*x^1, x, 4, -((3*b*(2*c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(32*c^3)) - (b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2))/(16*c) + ((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCos[c*x]))/(4*e) + (b*(8*c^4*d^2 + 8*c^2*d*e + 3*e^2)*ArcSin[c*x])/(32*c^4*e)}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcCos[c*x])*x^0, x, 4, -((b*(3*c^2*d + e)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c^3)) + (b*e*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(9*c^3) + d*x*(a + b*ArcCos[c*x]) + (1/3)*e*x^3*(a + b*ArcCos[c*x])}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcCos[c*x])/x^1, x, 12, -((b*e*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c)) + (1/2)*e*x^2*(a + b*ArcCos[c*x]) + (b*e*ArcSin[c*x])/(4*c^2) + (1/2)*I*b*d*ArcSin[c*x]^2 - b*d*ArcSin[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])] + d*(a + b*ArcCos[c*x])*Log[x] + b*d*ArcSin[c*x]*Log[x] + (1/2)*I*b*d*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])]}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcCos[c*x])/x^2, x, 5, -((b*e*Sqrt[1 - c^2*x^2])/c) - (d*(a + b*ArcCos[c*x]))/x + e*x*(a + b*ArcCos[c*x]) + b*c*d*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]]}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcCos[c*x])/x^3, x, 10, (b*c*d*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*x) - (d*(a + b*ArcCos[c*x]))/(2*x^2) + (1/2)*I*b*e*ArcSin[c*x]^2 - b*e*ArcSin[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])] + e*(a + b*ArcCos[c*x])*Log[x] + b*e*ArcSin[c*x]*Log[x] + (1/2)*I*b*e*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])]}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcCos[c*x])/x^4, x, 6, (b*c*d*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*x^2) - (d*(a + b*ArcCos[c*x]))/(3*x^3) - (e*(a + b*ArcCos[c*x]))/x + (1/6)*b*c*(c^2*d + 6*e)*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]]}
+
+
+{ArcCos[a*x]*(c + d*x^2)^2, x, 5, -(((15*a^4*c^2 + 10*a^2*c*d + 3*d^2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a^5)) + (2*d*(5*a^2*c + 3*d)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(45*a^5) - (d^2*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(25*a^5) + c^2*x*ArcCos[a*x] + (2/3)*c*d*x^3*ArcCos[a*x] + (1/5)*d^2*x^5*ArcCos[a*x]}
+
+
+{ArcCos[a*x]*(c + d*x^2)^3, x, 5, -(((35*a^6*c^3 + 35*a^4*c^2*d + 21*a^2*c*d^2 + 5*d^3)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(35*a^7)) + (d*(35*a^4*c^2 + 42*a^2*c*d + 15*d^2)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(105*a^7) - (3*d^2*(7*a^2*c + 5*d)*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(175*a^7) + (d^3*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(49*a^7) + c^3*x*ArcCos[a*x] + c^2*d*x^3*ArcCos[a*x] + (3/5)*c*d^2*x^5*ArcCos[a*x] + (1/7)*d^3*x^7*ArcCos[a*x]}
+
+
+{ArcCos[a*x]*(c + d*x^2)^4, x, 5, -(((315*a^8*c^4 + 420*a^6*c^3*d + 378*a^4*c^2*d^2 + 180*a^2*c*d^3 + 35*d^4)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(315*a^9)) + (4*d*(105*a^6*c^3 + 189*a^4*c^2*d + 135*a^2*c*d^2 + 35*d^3)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(945*a^9) - (2*d^2*(63*a^4*c^2 + 90*a^2*c*d + 35*d^2)*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(525*a^9) + (4*d^3*(9*a^2*c + 7*d)*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(441*a^9) - (d^4*(1 - a^2*x^2)^(9/2))/(81*a^9) + c^4*x*ArcCos[a*x] + (4/3)*c^3*d*x^3*ArcCos[a*x] + (6/5)*c^2*d^2*x^5*ArcCos[a*x] + (4/7)*c*d^3*x^7*ArcCos[a*x] + (1/9)*d^4*x^9*ArcCos[a*x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{ArcCos[a*x]/(c + d*x^2)^1, x, 18, (ArcCos[a*x]*Log[1 - (Sqrt[d]*E^(I*ArcCos[a*x]))/(a*Sqrt[-c] - I*Sqrt[a^2*c + d])])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (ArcCos[a*x]*Log[1 + (Sqrt[d]*E^(I*ArcCos[a*x]))/(a*Sqrt[-c] - I*Sqrt[a^2*c + d])])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + (ArcCos[a*x]*Log[1 - (Sqrt[d]*E^(I*ArcCos[a*x]))/(a*Sqrt[-c] + I*Sqrt[a^2*c + d])])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (ArcCos[a*x]*Log[1 + (Sqrt[d]*E^(I*ArcCos[a*x]))/(a*Sqrt[-c] + I*Sqrt[a^2*c + d])])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + (I*PolyLog[2, -((Sqrt[d]*E^(I*ArcCos[a*x]))/(a*Sqrt[-c] - I*Sqrt[a^2*c + d]))])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (I*PolyLog[2, (Sqrt[d]*E^(I*ArcCos[a*x]))/(a*Sqrt[-c] - I*Sqrt[a^2*c + d])])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + (I*PolyLog[2, -((Sqrt[d]*E^(I*ArcCos[a*x]))/(a*Sqrt[-c] + I*Sqrt[a^2*c + d]))])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (I*PolyLog[2, (Sqrt[d]*E^(I*ArcCos[a*x]))/(a*Sqrt[-c] + I*Sqrt[a^2*c + d])])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d])}
+
+
+{ArcCos[a*x]/(c + d*x^2)^2, x, 26, -(ArcCos[a*x]/(4*c*Sqrt[d]*(Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x))) + ArcCos[a*x]/(4*c*Sqrt[d]*(Sqrt[-c] + Sqrt[d]*x)) - (a*ArcTanh[(Sqrt[d] - a^2*Sqrt[-c]*x)/(Sqrt[a^2*c + d]*Sqrt[1 - a^2*x^2])])/(4*c*Sqrt[d]*Sqrt[a^2*c + d]) - (a*ArcTanh[(Sqrt[d] + a^2*Sqrt[-c]*x)/(Sqrt[a^2*c + d]*Sqrt[1 - a^2*x^2])])/(4*c*Sqrt[d]*Sqrt[a^2*c + d]) - (ArcCos[a*x]*Log[1 - (Sqrt[d]*E^(I*ArcCos[a*x]))/(a*Sqrt[-c] - I*Sqrt[a^2*c + d])])/(4*(-c)^(3/2)*Sqrt[d]) + (ArcCos[a*x]*Log[1 + (Sqrt[d]*E^(I*ArcCos[a*x]))/(a*Sqrt[-c] - I*Sqrt[a^2*c + d])])/(4*(-c)^(3/2)*Sqrt[d]) - (ArcCos[a*x]*Log[1 - (Sqrt[d]*E^(I*ArcCos[a*x]))/(a*Sqrt[-c] + I*Sqrt[a^2*c + d])])/(4*(-c)^(3/2)*Sqrt[d]) + (ArcCos[a*x]*Log[1 + (Sqrt[d]*E^(I*ArcCos[a*x]))/(a*Sqrt[-c] + I*Sqrt[a^2*c + d])])/(4*(-c)^(3/2)*Sqrt[d]) - (I*PolyLog[2, -((Sqrt[d]*E^(I*ArcCos[a*x]))/(a*Sqrt[-c] - I*Sqrt[a^2*c + d]))])/(4*(-c)^(3/2)*Sqrt[d]) + (I*PolyLog[2, (Sqrt[d]*E^(I*ArcCos[a*x]))/(a*Sqrt[-c] - I*Sqrt[a^2*c + d])])/(4*(-c)^(3/2)*Sqrt[d]) - (I*PolyLog[2, -((Sqrt[d]*E^(I*ArcCos[a*x]))/(a*Sqrt[-c] + I*Sqrt[a^2*c + d]))])/(4*(-c)^(3/2)*Sqrt[d]) + (I*PolyLog[2, (Sqrt[d]*E^(I*ArcCos[a*x]))/(a*Sqrt[-c] + I*Sqrt[a^2*c + d])])/(4*(-c)^(3/2)*Sqrt[d])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x^2)^(p/2) (a+b ArcCos[c x])^1*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{ArcCos[a*x]*(c + d*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + d*x^2]*ArcCos[a*x], x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{ArcCos[a*x]/(c + d*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[ArcCos[a*x]/Sqrt[c + d*x^2], x]}
+
+
+{ArcCos[a*x]/(c + d*x^2)^(3/2), x, 6, (x*ArcCos[a*x])/(c*Sqrt[c + d*x^2]) - ArcTan[(Sqrt[d]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[c + d*x^2])]/(c*Sqrt[d])}
+
+
+{ArcCos[a*x]/(c + d*x^2)^(5/2), x, 7, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*c*(a^2*c + d)*Sqrt[c + d*x^2])) + (x*ArcCos[a*x])/(3*c*(c + d*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcCos[a*x])/(3*c^2*Sqrt[c + d*x^2]) - (2*ArcTan[(Sqrt[d]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[c + d*x^2])])/(3*c^2*Sqrt[d])}
+
+
+{ArcCos[a*x]/(c + d*x^2)^(7/2), x, 8, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*c*(a^2*c + d)*(c + d*x^2)^(3/2))) - (2*a*(3*a^2*c + 2*d)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*c^2*(a^2*c + d)^2*Sqrt[c + d*x^2]) + (x*ArcCos[a*x])/(5*c*(c + d*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcCos[a*x])/(15*c^2*(c + d*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcCos[a*x])/(15*c^3*Sqrt[c + d*x^2]) - (8*ArcTan[(Sqrt[d]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[c + d*x^2])])/(15*c^3*Sqrt[d])}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.2 Inverse cosine/5.2.5 Inverse cosine functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.2 Inverse cosine/5.2.5 Inverse cosine functions.m
new file mode 100644
index 00000000..0ad3a211
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.2 Inverse cosine/5.2.5 Inverse cosine functions.m	
@@ -0,0 +1,308 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcCos[c x])^n*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcCos[c x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcCos[c x])^n where c^2 d+e=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcCos[c x])^1*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])*(f + g*x)^3, x, 16, -((b*f^2*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(c*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (2*b*g^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c*f^3*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*f*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c*f^2*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*g^3*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(45*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*b*c*f*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c*g^3*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (1/2)*f^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) - (3*f*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(8*c^2) + (3/4)*f*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) - (f^2*g*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/c^2 - (g^3*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(3*c^4) + (g^3*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(5*c^4) - (f^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*f*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(16*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])*(f + g*x)^2, x, 13, -((2*b*f*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (b*c*f^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c*f*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (1/2)*f^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) - (g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(8*c^2) + (1/4)*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) - (2*f*g*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(3*c^2) - (f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(16*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])*(f + g*x)^1, x, 8, -((b*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (b*c*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (1/2)*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) - (g*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(3*c^2) - (f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])/(f + g*x)^1, x, 22, (a*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/g + (b*c*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x])/g - (c*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + ((1 - (c^2*f^2)/g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*c*(f + g*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*c*(f + g*x)) - (a*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTan[(g + c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (I*b*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x]*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (I*b*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x]*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])/(f + g*x)^2, x, 35, -((a*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g*(f + g*x))) - (b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x])/(g*(f + g*x)) + (b*c^3*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x]^2)/(2*g^2*(c^2*f^2 - g^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - ((g + c^2*f*x)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*c*(c^2*f^2 - g^2)*(f + g*x)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*c*(f + g*x)^2) - (a*c^3*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(g^2*(c^2*f^2 - g^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (a*c^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTan[(g + c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (I*b*c^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x]*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (I*b*c^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x]*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[f + g*x])/(g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+
+
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCos[c*x])*(f + g*x)^3, x, 24, -((3*b*d*f^2*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(5*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (2*b*d*g^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*b*c*d*f^3*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*d*f*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(32*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c*d*f^2*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(5*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*d*g^3*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(105*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d*f^3*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (7*b*c*d*f*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(32*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c^3*d*f^2*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (8*b*c*d*g^3*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(175*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d*f*g^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(12*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d*g^3*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3/8)*d*f^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) - (3*d*f*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(16*c^2) + (3/8)*d*f*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) + (1/4)*d*f^3*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) + (1/2)*d*f*g^2*x^3*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) - (3*d*f^2*g*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(5*c^2) - (d*g^3*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(5*c^4) + (d*g^3*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(7*c^4) - (3*d*f^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*d*f*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(32*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCos[c*x])*(f + g*x)^2, x, 20, -((2*b*d*f*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(5*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (5*b*c*d*f^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*d*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(32*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (4*b*c*d*f*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d*f^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (7*b*c*d*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c^3*d*f*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d*g^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3/8)*d*f^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) - (d*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(16*c^2) + (1/8)*d*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) + (1/4)*d*f^2*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) + (1/6)*d*g^2*x^3*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) - (2*d*f*g*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(5*c^2) - (3*d*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (d*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(32*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCos[c*x])*(f + g*x)^1, x, 12, -((b*d*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(5*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (5*b*c*d*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c*d*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d*f*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3/8)*d*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) + (1/4)*d*f*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) - (d*g*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(5*c^2) - (3*d*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCos[c*x])/(f + g*x)^1, x, 29, -((a*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/g^3) + (b*c*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*d*(c*f - g)*(c*f + g)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x])/g^3 + (c^2*d*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(2*g^2) + (d*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(3*g) - (c*d*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(4*b*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (c*d*(c*f - g)*(c*f + g)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (d*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*c*g^4*(f + g*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*c*g^2*(f + g*x)) + (a*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTan[(g + c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (I*b*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x]*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (I*b*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x]*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+(* {(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCos[c*x])/(f + g*x)^2, x, 71, (2*a*c^2*d*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/g^3 + (a*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g^3*(f + g*x)) + (2*b*c^3*d*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^2*d*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x])/g^3 + (b*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x])/(g^3*(f + g*x)) - (b*c^3*d*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x]^2)/(2*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (c^2*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(2*g^2) + (c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(4*b*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (c^3*d*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(b*g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (d*(g + c^2*f*x)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*c*g^2*(f + g*x)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (c*d*f*(1 - (c^2*f^2)/g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(b*g^2*(f + g*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*c*g^2*(f + g*x)^2) - (c*d*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(b*g^2*(f + g*x)) + (a*c^3*d*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*a*c^2*d*f*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTan[(g + c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*I*b*c^2*d*f*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x]*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*I*b*c^2*d*f*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x]*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[f + g*x])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c^2*d*f*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*b*c^2*d*f*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2])} *)
+
+
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCos[c*x])*(f + g*x)^3, x, 30, -((3*b*d^2*f^2*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (2*b*d^2*g^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(63*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (25*b*c*d^2*f^3*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (15*b*d^2*f*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(256*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*b*c*d^2*f^2*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*d^2*g^3*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(189*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*b*c^3*d^2*f^3*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (59*b*c*d^2*f*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(256*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (9*b*c^3*d^2*f^2*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c*d^2*g^3*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(21*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (17*b*c^3*d^2*f*g^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*b*c^5*d^2*f^2*g*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (19*b*c^3*d^2*g^3*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(441*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (3*b*c^5*d^2*f*g^2*x^8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(64*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^5*d^2*g^3*x^9*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(81*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*d^2*f^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*c) + (5/16)*d^2*f^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) - (15*d^2*f*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(128*c^2) + (15/64)*d^2*f*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) + (5/24)*d^2*f^3*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) + (5/16)*d^2*f*g^2*x^3*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) + (1/6)*d^2*f^3*x*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) + (3/8)*d^2*f*g^2*x^3*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) - (3*d^2*f^2*g*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(7*c^2) - (d^2*g^3*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(7*c^4) + (d^2*g^3*(1 - c^2*x^2)^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(9*c^4) - (5*d^2*f^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(32*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (15*d^2*f*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(256*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCos[c*x])*(f + g*x)^2, x, 26, -((2*b*d^2*f*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (25*b*c*d^2*f^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*b*d^2*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(256*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c*d^2*f*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*b*c^3*d^2*f^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (59*b*c*d^2*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(768*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (6*b*c^3*d^2*f*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (17*b*c^3*d^2*g^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(288*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*c^5*d^2*f*g*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^5*d^2*g^2*x^8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(64*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*d^2*f^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*c) + (5/16)*d^2*f^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) - (5*d^2*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(128*c^2) + (5/64)*d^2*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) + (5/24)*d^2*f^2*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) + (5/48)*d^2*g^2*x^3*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) + (1/6)*d^2*f^2*x*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) + (1/8)*d^2*g^2*x^3*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) - (2*d^2*f*g*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(7*c^2) - (5*d^2*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(32*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*d^2*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(256*b*c^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCos[c*x])*(f + g*x)^1, x, 14, -((b*d^2*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])) + (25*b*c*d^2*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c*d^2*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*b*c^3*d^2*f*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (3*b*c^3*d^2*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^5*d^2*g*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*d^2*f*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*c) + (5/16)*d^2*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) + (5/24)*d^2*f*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) + (1/6)*d^2*f*x*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]) - (d^2*g*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(7*c^2) - (5*d^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(32*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCos[c*x])/(f + g*x)^1, x, 37, (a*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/g^5 - (2*b*c*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*d^2*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d^2*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d^2*f*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(45*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d^2*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*f*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^5*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*g*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x])/g^5 + (c^2*d^2*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(8*g^2) - (c^2*d^2*f*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(2*g^4) - (c^4*d^2*f*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(4*g^2) - (d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(3*g) - (d^2*(c^2*f^2 - 2*g^2)*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(3*g^3) + (d^2*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(5*g) + (c*d^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(16*b*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (c*d^2*f*(c^2*f^2 - 2*g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(4*b*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (c*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*g^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (d^2*(c^2*f^2 - g^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*c*g^6*(f + g*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*c*g^4*(f + g*x)) - (a*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTan[(g + c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (I*b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x]*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (I*b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x]*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+(* {(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCos[c*x])/(f + g*x)^2, x, 78, -((4*a*c^2*d^2*f*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/g^5) - (a*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g^5*(f + g*x)) + (2*b*c^3*d^2*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (4*b*c^3*d^2*f*(c*f - g)*(c*f + g)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c^3*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*d^2*(3*c^2*f^2 - 2*g^2)*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b*c^5*d^2*f*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*g^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*c^5*d^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (4*b*c^2*d^2*f*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x])/g^5 - (b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x])/(g^5*(f + g*x)) + (b*c^3*d^2*f^2*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x]^2)/(2*g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (c^2*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(8*g^2) + (c^2*d^2*(3*c^2*f^2 - 2*g^2)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(2*g^4) + (c^4*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(4*g^2) + (2*c^2*d^2*f*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x]))/(3*g^3) - (c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(16*b*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (c*d^2*(3*c^2*f^2 - 2*g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(4*b*g^4*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*c^3*d^2*f*(c*f - g)*(c*f + g)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(b*g^5*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (d^2*(c*f - g)*(c*f + g)*(g + c^2*f*x)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*c*g^4*(f + g*x)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*c*d^2*f*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(b*g^6*(f + g*x)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*c*g^4*(f + g*x)^2) + (2*c*d^2*f*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(b*g^4*(f + g*x)) - (a*c^3*d^2*f^2*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcSin[c*x])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*a*c^2*d^2*f*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTan[(g + c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*I*b*c^2*d^2*f*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x]*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*I*b*c^2*d^2*f*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCos[c*x]*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (b*c*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[f + g*x])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (5*b*c^2*d^2*f*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (5*b*c^2*d^2*f*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^6*Sqrt[1 - c^2*x^2])} *)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])*(f + g*x)^3, x, 13, -((3*b*f^2*g*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (2*b*g^3*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*b*f*g^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*g^3*x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*f^2*g*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCos[c*x]))/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*g^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCos[c*x]))/(3*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*f*g^2*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCos[c*x]))/(2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (g^3*x^2*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCos[c*x]))/(3*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (f^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*f*g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(4*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])*(f + g*x)^2, x, 9, -((2*b*f*g*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (b*g^2*x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*f*g*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCos[c*x]))/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (g^2*x*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCos[c*x]))/(2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (f^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (g^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(4*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])*(f + g*x)^1, x, 6, -((b*g*x*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (g*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCos[c*x]))/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])/(f + g*x)^1, x, 10, (I*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])/(f + g*x)^2, x, 13, (g*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCos[c*x]))/((c^2*f^2 - g^2)*(f + g*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*c^2*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/((c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*c^2*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/((c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[f + g*x])/((c^2*f^2 - g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c^2*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/((c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c^2*f*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/((c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcCos[c x])^2*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Log[h (f + g x)^m] (d+e x^2)^p (a+b ArcCos[c x])^n where c^2 d+e=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Log[h (f + g x)^m] (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcCos[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcCos[c*x])^n/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 0, Unintegrable[((a + b*ArcCos[c*x])^n*Log[h*(f + g*x)^m])/Sqrt[1 - c^2*x^2], x]}
+
+(* {Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcCos[c*x])^3/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 18, -((I*m*(a + b*ArcCos[c*x])^5)/(20*b^2*c)) + (m*(a + b*ArcCos[c*x])^4*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(4*b*c) + (m*(a + b*ArcCos[c*x])^4*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(4*b*c) - ((a + b*ArcCos[c*x])^4*Log[h*(f + g*x)^m])/(4*b*c) - (I*m*(a + b*ArcCos[c*x])^3*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/c - (I*m*(a + b*ArcCos[c*x])^3*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/c + (3*b*m*(a + b*ArcCos[c*x])^2*PolyLog[3, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/c + (3*b*m*(a + b*ArcCos[c*x])^2*PolyLog[3, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/c + (6*I*b^2*m*(a + b*ArcCos[c*x])*PolyLog[4, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/c + (6*I*b^2*m*(a + b*ArcCos[c*x])*PolyLog[4, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/c - (6*b^3*m*PolyLog[5, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/c - (6*b^3*m*PolyLog[5, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/c} *)
+{Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcCos[c*x])^2/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 13, -((I*m*(a + b*ArcCos[c*x])^4)/(12*b^2*c)) + (m*(a + b*ArcCos[c*x])^3*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(3*b*c) + (m*(a + b*ArcCos[c*x])^3*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(3*b*c) - ((a + b*ArcCos[c*x])^3*Log[h*(f + g*x)^m])/(3*b*c) - (I*m*(a + b*ArcCos[c*x])^2*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/c - (I*m*(a + b*ArcCos[c*x])^2*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/c + (2*b*m*(a + b*ArcCos[c*x])*PolyLog[3, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/c + (2*b*m*(a + b*ArcCos[c*x])*PolyLog[3, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/c + (2*I*b^2*m*PolyLog[4, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/c + (2*I*b^2*m*PolyLog[4, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/c}
+{Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcCos[c*x])^1/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 11, -((I*m*(a + b*ArcCos[c*x])^3)/(6*b^2*c)) + (m*(a + b*ArcCos[c*x])^2*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(2*b*c) + (m*(a + b*ArcCos[c*x])^2*Log[1 + (E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(2*b*c) - ((a + b*ArcCos[c*x])^2*Log[h*(f + g*x)^m])/(2*b*c) - (I*m*(a + b*ArcCos[c*x])*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/c - (I*m*(a + b*ArcCos[c*x])*PolyLog[2, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/c + (b*m*PolyLog[3, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/c + (b*m*PolyLog[3, -((E^(I*ArcCos[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/c}
+{Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcCos[c*x])^0/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 9, (I*m*ArcSin[c*x]^2)/(2*c) - (m*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c - (m*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c + (ArcSin[c*x]*Log[h*(f + g*x)^m])/c + (I*m*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c + (I*m*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c}
+{Log[h*(f + g*x)^m]/(a + b*ArcCos[c*x])^1/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 0, Unintegrable[Log[h*(f + g*x)^m]/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])), x]}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands Involving Inverse Cosines*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcCos[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCos[a+b x]^n*)
+
+
+{x^3*ArcCos[a + b*x], x, 6, (7*a*x^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(48*b^2) - (x^3*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(16*b) + ((4*a*(16 + 19*a^2) - (9 + 26*a^2)*(a + b*x))*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(96*b^4) + (1/4)*x^4*ArcCos[a + b*x] + ((3 + 24*a^2 + 8*a^4)*ArcSin[a + b*x])/(32*b^4)}
+{x^2*ArcCos[a + b*x], x, 5, -((x^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(9*b)) - ((4 + 11*a^2 - 5*a*b*x)*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(18*b^3) + (1/3)*x^3*ArcCos[a + b*x] - (a*(3 + 2*a^2)*ArcSin[a + b*x])/(6*b^3)}
+{x^1*ArcCos[a + b*x], x, 5, (3*a*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(4*b^2) - (x*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(4*b) + (1/2)*x^2*ArcCos[a + b*x] + ((1 + 2*a^2)*ArcSin[a + b*x])/(4*b^2)}
+{x^0*ArcCos[a + b*x], x, 3, -(Sqrt[1 - (a + b*x)^2]/b) + ((a + b*x)*ArcCos[a + b*x])/b}
+{ArcCos[a + b*x]/x^1, x, 9, (-(1/2))*I*ArcCos[a + b*x]^2 + ArcCos[a + b*x]*Log[1 - E^(I*ArcCos[a + b*x])/(a - I*Sqrt[1 - a^2])] + ArcCos[a + b*x]*Log[1 - E^(I*ArcCos[a + b*x])/(a + I*Sqrt[1 - a^2])] - I*PolyLog[2, E^(I*ArcCos[a + b*x])/(a - I*Sqrt[1 - a^2])] - I*PolyLog[2, E^(I*ArcCos[a + b*x])/(a + I*Sqrt[1 - a^2])]}
+{ArcCos[a + b*x]/x^2, x, 4, -(ArcCos[a + b*x]/x) + (b*ArcTanh[(1 - a*(a + b*x))/(Sqrt[1 - a^2]*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])])/Sqrt[1 - a^2]}
+{ArcCos[a + b*x]/x^3, x, 5, (b*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(2*(1 - a^2)*x) - ArcCos[a + b*x]/(2*x^2) + (a*b^2*ArcTanh[(1 - a*(a + b*x))/(Sqrt[1 - a^2]*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])])/(2*(1 - a^2)^(3/2))}
+{ArcCos[a + b*x]/x^4, x, 6, (b*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(6*(1 - a^2)*x^2) + (a*b^2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(2*(1 - a^2)^2*x) - ArcCos[a + b*x]/(3*x^3) + ((1 + 2*a^2)*b^3*ArcTanh[(1 - a*(a + b*x))/(Sqrt[1 - a^2]*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])])/(6*(1 - a^2)^(5/2))}
+
+
+{ArcCos[a + b*x]^3, x, 5, (6*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/b - (6*(a + b*x)*ArcCos[a + b*x])/b - (3*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcCos[a + b*x]^2)/b + ((a + b*x)*ArcCos[a + b*x]^3)/b}
+{ArcCos[a + b*x]^2, x, 4, -2*x - (2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcCos[a + b*x])/b + ((a + b*x)*ArcCos[a + b*x]^2)/b}
+{1/ArcCos[a + b*x], x, 3, -(SinIntegral[ArcCos[a + b*x]]/b)}
+{1/ArcCos[a + b*x]^2, x, 4, Sqrt[1 - (a + b*x)^2]/(b*ArcCos[a + b*x]) - CosIntegral[ArcCos[a + b*x]]/b}
+{1/ArcCos[a + b*x]^3, x, 5, Sqrt[1 - (a + b*x)^2]/(2*b*ArcCos[a + b*x]^2) + (a + b*x)/(2*b*ArcCos[a + b*x]) + SinIntegral[ArcCos[a + b*x]]/(2*b)}
+
+
+{ArcCos[a + b*x]^(5/2), x, 7, -((15*(a + b*x)*Sqrt[ArcCos[a + b*x]])/(4*b)) - (5*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*ArcCos[a + b*x]^(3/2))/(2*b) + ((a + b*x)*ArcCos[a + b*x]^(5/2))/b + (15*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a + b*x]]])/(4*b)}
+{ArcCos[a + b*x]^(3/2), x, 6, -((3*Sqrt[1 - (a + b*x)^2]*Sqrt[ArcCos[a + b*x]])/(2*b)) + ((a + b*x)*ArcCos[a + b*x]^(3/2))/b + (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a + b*x]]])/(2*b)}
+{ArcCos[a + b*x]^(1/2), x, 5, ((a + b*x)*Sqrt[ArcCos[a + b*x]])/b - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a + b*x]]])/b}
+{1/ArcCos[a + b*x]^(1/2), x, 4, -((Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a + b*x]]])/b)}
+{1/ArcCos[a + b*x]^(3/2), x, 5, (2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(b*Sqrt[ArcCos[a + b*x]]) - (2*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a + b*x]]])/b}
+{1/ArcCos[a + b*x]^(5/2), x, 6, (2*Sqrt[1 - (a + b*x)^2])/(3*b*ArcCos[a + b*x]^(3/2)) + (4*(a + b*x))/(3*b*Sqrt[ArcCos[a + b*x]]) + (4*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[a + b*x]]])/(3*b)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcCos[c+d x])^n*)
+
+
+{1/Sqrt[a + b*ArcCos[c + d*x]], x, 7, -((Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*d)) + (Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a + b*ArcCos[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(Sqrt[b]*d)}
+{1/Sqrt[a - b*ArcCos[c + d*x]], x, 7, -((Sqrt[2*Pi]*Cos[a/b]*FresnelS[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a - b*ArcCos[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*d)) + (Sqrt[2*Pi]*FresnelC[(Sqrt[2/Pi]*Sqrt[a - b*ArcCos[c + d*x]])/Sqrt[b]]*Sin[a/b])/(Sqrt[b]*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m ArcCos[a+b x]^n*)
+
+
+{ArcCos[a + b*x]/((a*d)/b + d*x), x, 7, -((I*ArcCos[a + b*x]^2)/(2*d)) + (ArcCos[a + b*x]*Log[1 + E^(2*I*ArcCos[a + b*x])])/d - (I*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcCos[a + b*x])])/(2*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (1-(a+b x)^2)^(m/2) ArcCos[a+b x]^n*)
+
+
+{Sqrt[1 - x^2]*ArcCos[x], x, 3, x^2/4 + (1/2)*x*Sqrt[1 - x^2]*ArcCos[x] - ArcCos[x]^2/4}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u ArcCos[a+b x^n]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCos[a x^n]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^3*ArcCos[a*x^2], x, 5, -((x^2*Sqrt[1 - a^2*x^4])/(8*a)) + (1/4)*x^4*ArcCos[a*x^2] + ArcSin[a*x^2]/(8*a^2)}
+{x^2*ArcCos[a*x^2], x, 4, -((2*x*Sqrt[1 - a^2*x^4])/(9*a)) + (1/3)*x^3*ArcCos[a*x^2] + (2*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a]*x], -1])/(9*a^(3/2))}
+{x^1*ArcCos[a*x^2], x, 3, -(Sqrt[1 - a^2*x^4]/(2*a)) + (1/2)*x^2*ArcCos[a*x^2]}
+{x^0*ArcCos[a*x^2], x, 6, x*ArcCos[a*x^2] + (2*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a]*x], -1])/Sqrt[a] - (2*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a]*x], -1])/Sqrt[a]}
+{ArcCos[a*x^2]/x^1, x, 5, (-(1/4))*I*ArcCos[a*x^2]^2 + (1/2)*ArcCos[a*x^2]*Log[1 + E^(2*I*ArcCos[a*x^2])] - (1/4)*I*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcCos[a*x^2])]}
+{ArcCos[a*x^2]/x^2, x, 3, -(ArcCos[a*x^2]/x) - 2*Sqrt[a]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a]*x], -1]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^2*ArcCos[a/x], x, 6, (-(1/6))*a*Sqrt[1 - a^2/x^2]*x^2 + (1/3)*x^3*ArcSec[x/a] - (1/6)*a^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2/x^2]]}
+{x^1*ArcCos[a/x], x, 3, (-(1/2))*a*Sqrt[1 - a^2/x^2]*x + (1/2)*x^2*ArcSec[x/a]}
+{x^0*ArcCos[a/x], x, 5, x*ArcSec[x/a] - a*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2/x^2]]}
+{ArcCos[a/x]/x^1, x, 5, (1/2)*I*ArcCos[a/x]^2 - ArcCos[a/x]*Log[1 + E^(2*I*ArcCos[a/x])] + (1/2)*I*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcCos[a/x])]}
+{ArcCos[a/x]/x^2, x, 3, Sqrt[1 - a^2/x^2]/a - ArcSec[x/a]/x}
+{ArcCos[a/x]/x^3, x, 5, Sqrt[1 - a^2/x^2]/(4*a*x) - ArcCsc[x/a]/(4*a^2) - ArcSec[x/a]/(2*x^2)}
+{ArcCos[a/x]/x^4, x, 5, Sqrt[1 - a^2/x^2]/(3*a^3) - (1 - a^2/x^2)^(3/2)/(9*a^3) - ArcSec[x/a]/(3*x^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n/2>0*)
+
+
+{x^2*ArcCos[Sqrt[x]], x, 8, (-(5/48))*Sqrt[1 - x]*Sqrt[x] - (5/72)*Sqrt[1 - x]*x^(3/2) - (1/18)*Sqrt[1 - x]*x^(5/2) + (1/3)*x^3*ArcCos[Sqrt[x]] - (5/96)*ArcSin[1 - 2*x]}
+{x^1*ArcCos[Sqrt[x]], x, 7, (-(3/16))*Sqrt[1 - x]*Sqrt[x] - (1/8)*Sqrt[1 - x]*x^(3/2) + (1/2)*x^2*ArcCos[Sqrt[x]] - (3/32)*ArcSin[1 - 2*x]}
+{x^0*ArcCos[Sqrt[x]], x, 6, (-(1/2))*Sqrt[1 - x]*Sqrt[x] + x*ArcCos[Sqrt[x]] - (1/4)*ArcSin[1 - 2*x]}
+{ArcCos[Sqrt[x]]/x^1, x, 5, (-I)*ArcCos[Sqrt[x]]^2 + 2*ArcCos[Sqrt[x]]*Log[1 + E^(2*I*ArcCos[Sqrt[x]])] - I*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcCos[Sqrt[x]])]}
+{ArcCos[Sqrt[x]]/x^2, x, 3, Sqrt[1 - x]/Sqrt[x] - ArcCos[Sqrt[x]]/x}
+{ArcCos[Sqrt[x]]/x^3, x, 4, Sqrt[1 - x]/(6*x^(3/2)) + Sqrt[1 - x]/(3*Sqrt[x]) - ArcCos[Sqrt[x]]/(2*x^2)}
+{ArcCos[Sqrt[x]]/x^4, x, 5, Sqrt[1 - x]/(15*x^(5/2)) + (4*Sqrt[1 - x])/(45*x^(3/2)) + (8*Sqrt[1 - x])/(45*Sqrt[x]) - ArcCos[Sqrt[x]]/(3*x^3)}
+{ArcCos[Sqrt[x]]/x^5, x, 6, Sqrt[1 - x]/(28*x^(7/2)) + (3*Sqrt[1 - x])/(70*x^(5/2)) + (2*Sqrt[1 - x])/(35*x^(3/2)) + (4*Sqrt[1 - x])/(35*Sqrt[x]) - ArcCos[Sqrt[x]]/(4*x^4)}
+
+
+{ArcCos[Sqrt[x]]/Sqrt[x], x, 3, -2*Sqrt[1 - x] + 2*Sqrt[x]*ArcCos[Sqrt[x]]}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n/2<0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n symbolic*)
+
+
+{ArcCos[a*x^n]/x, x, 5, -((I*ArcCos[a*x^n]^2)/(2*n)) + (ArcCos[a*x^n]*Log[1 + E^(2*I*ArcCos[a*x^n])])/n - (I*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcCos[a*x^n])])/(2*n)}
+{ArcCos[a*x^5]/x, x, 5, (-(1/10))*I*ArcCos[a*x^5]^2 + (1/5)*ArcCos[a*x^5]*Log[1 + E^(2*I*ArcCos[a*x^5])] - (1/10)*I*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcCos[a*x^5])]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u ArcCos[a+b x^n]*)
+
+
+{x^3*ArcCos[a + b*x^4], x, 4, -(Sqrt[1 - (a + b*x^4)^2]/(4*b)) + ((a + b*x^4)*ArcCos[a + b*x^4])/(4*b)}
+
+
+{x^(n-1)*ArcCos[a + b*x^n], x, 4, -(Sqrt[1 - (a + b*x^n)^2]/(b*n)) + ((a + b*x^n)*ArcCos[a + b*x^n])/(b*n)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b ArcCos[c+d x^2])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b ArcCos[c+d x^2])^n when c^2=1*)
+
+
+{(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^4, x, 3, 384*b^4*x + (192*b^3*Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a + b*ArcCos[1 + d*x^2]))/(d*x) - 48*b^2*x*(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^2 - (8*b*Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^3)/(d*x) + x*(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^4}
+{(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^3, x, 5, -24*a*b^2*x + (48*b^3*Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4])/(d*x) - 24*b^3*x*ArcCos[1 + d*x^2] - (6*b*Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^2)/(d*x) + x*(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^3}
+{(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^2, x, 2, -8*b^2*x - (4*b*Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a + b*ArcCos[1 + d*x^2]))/(d*x) + x*(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^2}
+{(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^1, x, 4, a*x - (2*b*Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4])/(d*x) + b*x*ArcCos[1 + d*x^2]}
+{1/(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^1, x, 1, (x*Cos[a/(2*b)]*CosIntegral[(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])/(2*b)])/(Sqrt[2]*b*Sqrt[(-d)*x^2]) + (x*Sin[a/(2*b)]*SinIntegral[(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])/(2*b)])/(Sqrt[2]*b*Sqrt[(-d)*x^2])}
+{1/(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^2, x, 1, Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]/(2*b*d*x*(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])) + (x*CosIntegral[(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])/(2*b)]*Sin[a/(2*b)])/(2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[(-d)*x^2]) - (x*Cos[a/(2*b)]*SinIntegral[(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])/(2*b)])/(2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[(-d)*x^2])}
+{1/(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^3, x, 2, Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]/(4*b*d*x*(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^2) + x/(8*b^2*(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])) - (x*Cos[a/(2*b)]*CosIntegral[(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])/(2*b)])/(8*Sqrt[2]*b^3*Sqrt[(-d)*x^2]) - (x*Sin[a/(2*b)]*SinIntegral[(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])/(2*b)])/(8*Sqrt[2]*b^3*Sqrt[(-d)*x^2])}
+
+
+{(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^4, x, 3, 384*b^4*x + (192*b^3*Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]))/(d*x) - 48*b^2*x*(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^2 - (8*b*Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^3)/(d*x) + x*(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^4}
+{(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^3, x, 5, -24*a*b^2*x + (48*b^3*Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4])/(d*x) - 24*b^3*x*ArcCos[-1 + d*x^2] - (6*b*Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^2)/(d*x) + x*(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^3}
+{(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^2, x, 2, -8*b^2*x - (4*b*Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]))/(d*x) + x*(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^2}
+{(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^1, x, 4, a*x - (2*b*Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4])/(d*x) + b*x*ArcCos[-1 + d*x^2]}
+{1/(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^1, x, 1, (x*CosIntegral[(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])/(2*b)]*Sin[a/(2*b)])/(Sqrt[2]*b*Sqrt[d*x^2]) - (x*Cos[a/(2*b)]*SinIntegral[(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])/(2*b)])/(Sqrt[2]*b*Sqrt[d*x^2])}
+{1/(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^2, x, 1, Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]/(2*b*d*x*(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])) - (x*Cos[a/(2*b)]*CosIntegral[(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])/(2*b)])/(2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[d*x^2]) - (x*Sin[a/(2*b)]*SinIntegral[(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])/(2*b)])/(2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[d*x^2])}
+{1/(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^3, x, 2, Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]/(4*b*d*x*(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^2) + x/(8*b^2*(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])) - (x*CosIntegral[(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])/(2*b)]*Sin[a/(2*b)])/(8*Sqrt[2]*b^3*Sqrt[d*x^2]) + (x*Cos[a/(2*b)]*SinIntegral[(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])/(2*b)])/(8*Sqrt[2]*b^3*Sqrt[d*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b ArcCos[c+d x^2])^(n/2) when c^2=1*)
+
+
+{(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^(5/2), x, 2, -((5*b*Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^(3/2))/(d*x)) + x*(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^(5/2) - (30*Sqrt[Pi]*Cos[a/(2*b)]*FresnelS[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[(1/2)*ArcCos[1 + d*x^2]])/((1/b)^(5/2)*d*x) + (30*Sqrt[Pi]*FresnelC[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[a/(2*b)]*Sin[(1/2)*ArcCos[1 + d*x^2]])/((1/b)^(5/2)*d*x) + (30*b^2*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]]*Sin[(1/2)*ArcCos[1 + d*x^2]]^2)/(d*x)}
+{(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^(3/2), x, 2, -((3*b*Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]])/(d*x)) + x*(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^(3/2) + (6*Sqrt[Pi]*Cos[a/(2*b)]*FresnelC[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[(1/2)*ArcCos[1 + d*x^2]])/((1/b)^(3/2)*d*x) + (6*Sqrt[Pi]*FresnelS[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[a/(2*b)]*Sin[(1/2)*ArcCos[1 + d*x^2]])/((1/b)^(3/2)*d*x)}
+{(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^(1/2), x, 1, (2*Sqrt[Pi]*Cos[a/(2*b)]*FresnelS[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[(1/2)*ArcCos[1 + d*x^2]])/(Sqrt[1/b]*d*x) - (2*Sqrt[Pi]*FresnelC[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[a/(2*b)]*Sin[(1/2)*ArcCos[1 + d*x^2]])/(Sqrt[1/b]*d*x) - (2*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]]*Sin[(1/2)*ArcCos[1 + d*x^2]]^2)/(d*x)}
+{1/(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^(1/2), x, 1, -((2*Sqrt[1/b]*Sqrt[Pi]*Cos[a/(2*b)]*FresnelC[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[(1/2)*ArcCos[1 + d*x^2]])/(d*x)) - (2*Sqrt[1/b]*Sqrt[Pi]*FresnelS[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[a/(2*b)]*Sin[(1/2)*ArcCos[1 + d*x^2]])/(d*x)}
+{1/(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^(3/2), x, 1, Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]/(b*d*x*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]]) + (2*(1/b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[a/(2*b)]*FresnelS[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[(1/2)*ArcCos[1 + d*x^2]])/(d*x) - (2*(1/b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[a/(2*b)]*Sin[(1/2)*ArcCos[1 + d*x^2]])/(d*x)}
+{1/(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^(5/2), x, 2, Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]/(3*b*d*x*(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^(3/2)) + x/(3*b^2*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]]) + (2*(1/b)^(5/2)*Sqrt[Pi]*Cos[a/(2*b)]*FresnelC[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[(1/2)*ArcCos[1 + d*x^2]])/(3*d*x) + (2*(1/b)^(5/2)*Sqrt[Pi]*FresnelS[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[a/(2*b)]*Sin[(1/2)*ArcCos[1 + d*x^2]])/(3*d*x)}
+{1/(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^(7/2), x, 2, Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]/(5*b*d*x*(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^(5/2)) + x/(15*b^2*(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])^(3/2)) - Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]/(15*b^3*d*x*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]]) - (2*(1/b)^(7/2)*Sqrt[Pi]*Cos[a/(2*b)]*FresnelS[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[(1/2)*ArcCos[1 + d*x^2]])/(15*d*x) + (2*(1/b)^(7/2)*Sqrt[Pi]*FresnelC[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[a/(2*b)]*Sin[(1/2)*ArcCos[1 + d*x^2]])/(15*d*x)}
+
+
+{(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^(5/2), x, 2, -((5*b*Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]*(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^(3/2))/(d*x)) + x*(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^(5/2) - (30*b^2*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]]*Cos[(1/2)*ArcCos[-1 + d*x^2]]^2)/(d*x) + (30*Sqrt[Pi]*Cos[a/(2*b)]*Cos[(1/2)*ArcCos[-1 + d*x^2]]*FresnelC[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]])/((1/b)^(5/2)*d*x) + (30*Sqrt[Pi]*Cos[(1/2)*ArcCos[-1 + d*x^2]]*FresnelS[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[a/(2*b)])/((1/b)^(5/2)*d*x)}
+{(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^(3/2), x, 2, -((3*b*Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]])/(d*x)) + x*(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^(3/2) + (6*Sqrt[Pi]*Cos[a/(2*b)]*Cos[(1/2)*ArcCos[-1 + d*x^2]]*FresnelS[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]])/((1/b)^(3/2)*d*x) - (6*Sqrt[Pi]*Cos[(1/2)*ArcCos[-1 + d*x^2]]*FresnelC[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[a/(2*b)])/((1/b)^(3/2)*d*x)}
+{(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^(1/2), x, 1, (2*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]]*Cos[(1/2)*ArcCos[-1 + d*x^2]]^2)/(d*x) - (2*Sqrt[Pi]*Cos[a/(2*b)]*Cos[(1/2)*ArcCos[-1 + d*x^2]]*FresnelC[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]])/(Sqrt[1/b]*d*x) - (2*Sqrt[Pi]*Cos[(1/2)*ArcCos[-1 + d*x^2]]*FresnelS[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[a/(2*b)])/(Sqrt[1/b]*d*x)}
+{1/(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^(1/2), x, 1, -((2*Sqrt[1/b]*Sqrt[Pi]*Cos[a/(2*b)]*Cos[(1/2)*ArcCos[-1 + d*x^2]]*FresnelS[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]])/(d*x)) + (2*Sqrt[1/b]*Sqrt[Pi]*Cos[(1/2)*ArcCos[-1 + d*x^2]]*FresnelC[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[a/(2*b)])/(d*x)}
+{1/(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^(3/2), x, 1, Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]/(b*d*x*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]]) - (2*(1/b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[a/(2*b)]*Cos[(1/2)*ArcCos[-1 + d*x^2]]*FresnelC[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]])/(d*x) - (2*(1/b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[(1/2)*ArcCos[-1 + d*x^2]]*FresnelS[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[a/(2*b)])/(d*x)}
+{1/(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^(5/2), x, 2, Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]/(3*b*d*x*(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^(3/2)) + x/(3*b^2*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]]) + (2*(1/b)^(5/2)*Sqrt[Pi]*Cos[a/(2*b)]*Cos[(1/2)*ArcCos[-1 + d*x^2]]*FresnelS[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]])/(3*d*x) - (2*(1/b)^(5/2)*Sqrt[Pi]*Cos[(1/2)*ArcCos[-1 + d*x^2]]*FresnelC[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[a/(2*b)])/(3*d*x)}
+{1/(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^(7/2), x, 2, Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]/(5*b*d*x*(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^(5/2)) + x/(15*b^2*(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])^(3/2)) - Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]/(15*b^3*d*x*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]]) + (2*(1/b)^(7/2)*Sqrt[Pi]*Cos[a/(2*b)]*Cos[(1/2)*ArcCos[-1 + d*x^2]]*FresnelC[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]])/(15*d*x) + (2*(1/b)^(7/2)*Sqrt[Pi]*Cos[(1/2)*ArcCos[-1 + d*x^2]]*FresnelS[(Sqrt[1/b]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*Sin[a/(2*b)])/(15*d*x)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u^m (a+b ArcCos[Sqrt[1-c x]/Sqrt[1+c x]])^n*)
+
+
+{(a + b*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^n/(1 - c^2*x^2), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^n/(1 - c^2*x^2), x]}
+
+
+{(a + b*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3/(1 - c^2*x^2), x, 8, (I*(a + b*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^4)/(4*b*c) - ((a + b*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3*Log[1 + E^(2*I*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/c + (3*I*b*(a + b*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(2*c) - (3*b^2*(a + b*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[3, -E^(2*I*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(2*c) - (3*I*b^3*PolyLog[4, -E^(2*I*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(4*c)}
+{(a + b*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2/(1 - c^2*x^2), x, 7, (I*(a + b*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3)/(3*b*c) - ((a + b*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*Log[1 + E^(2*I*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/c + (I*b*(a + b*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/c - (b^2*PolyLog[3, -E^(2*I*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(2*c)}
+{(a + b*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^1/(1 - c^2*x^2), x, 6, (I*(a + b*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2)/(2*b*c) - ((a + b*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*Log[1 + E^(2*I*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/c + (I*b*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(2*c)}
+{1/((a + b*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^1*(1 - c^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])), x]}
+{1/((a + b*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*(1 - c^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCos[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving inverse cosines of exponentials*)
+
+
+{ArcCos[c*E^(a + b*x)], x, 6, -((I*ArcCos[c*E^(a + b*x)]^2)/(2*b)) + (ArcCos[c*E^(a + b*x)]*Log[1 + E^(2*I*ArcCos[c*E^(a + b*x)])])/b - (I*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcCos[c*E^(a + b*x)])])/(2*b)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving exponentials of inverse cosines*)
+
+
+{x^3*E^ArcCos[a*x], x, 6, (E^ArcCos[a*x]*Cos[2*ArcCos[a*x]])/(10*a^4) + (E^ArcCos[a*x]*Cos[4*ArcCos[a*x]])/(34*a^4) - (E^ArcCos[a*x]*Sin[2*ArcCos[a*x]])/(20*a^4) - (E^ArcCos[a*x]*Sin[4*ArcCos[a*x]])/(136*a^4)}
+{x^2*E^ArcCos[a*x], x, 6, (E^ArcCos[a*x]*x)/(8*a^2) - (E^ArcCos[a*x]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a^3) + (3*E^ArcCos[a*x]*Cos[3*ArcCos[a*x]])/(40*a^3) - (E^ArcCos[a*x]*Sin[3*ArcCos[a*x]])/(40*a^3)}
+{x^1*E^ArcCos[a*x], x, 5, (E^ArcCos[a*x]*Cos[2*ArcCos[a*x]])/(5*a^2) - (E^ArcCos[a*x]*Sin[2*ArcCos[a*x]])/(10*a^2)}
+{x^0*E^ArcCos[a*x], x, 2, (1/2)*E^ArcCos[a*x]*x - (E^ArcCos[a*x]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a)}
+{E^ArcCos[a*x]/x^1, x, 6, I*E^ArcCos[a*x] - 2*I*E^ArcCos[a*x]*Hypergeometric2F1[-(I/2), 1, 1 - I/2, -E^(2*I*ArcCos[a*x])]}
+{E^ArcCos[a*x]/x^2, x, 6, (1 + I)*a*E^((1 + I)*ArcCos[a*x])*Hypergeometric2F1[1/2 - I/2, 1, 3/2 - I/2, -E^(2*I*ArcCos[a*x])] - (2 + 2*I)*a*E^((1 + I)*ArcCos[a*x])*Hypergeometric2F1[1/2 - I/2, 2, 3/2 - I/2, -E^(2*I*ArcCos[a*x])]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Miscellaneous integrands involving inverse cosines*)
+
+
+{ArcCos[c/(a + b*x)], x, 6, ((a + b*x)*ArcSec[a/c + (b*x)/c])/b - (c*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2/(a + b*x)^2]])/b}
+
+
+{x/(Sqrt[1 - x^2]*Sqrt[ArcCos[x]]), x, 3, -Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcCos[x]]]}
+{x/(Sqrt[1 - x^2]*ArcCos[x]), x, 2, -CosIntegral[ArcCos[x]]}
+
+
+{ArcCos[Sqrt[1 + b*x^2]]^n/Sqrt[1 + b*x^2], x, 2, -((Sqrt[(-b)*x^2]*ArcCos[Sqrt[1 + b*x^2]]^(1 + n))/(b*(1 + n)*x))}
+{1/(ArcCos[Sqrt[1 + b*x^2]]*Sqrt[1 + b*x^2]), x, 2, -((Sqrt[(-b)*x^2]*Log[ArcCos[Sqrt[1 + b*x^2]]])/(b*x))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.2 (d x)^m (a+b arctan(c x^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.2 (d x)^m (a+b arctan(c x^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..5b594e7b
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.2 (d x)^m (a+b arctan(c x^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,346 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTan[c x^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTan[c x^1])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcTan[c x])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^5*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 4, -(b*x)/(6*c^5) + (b*x^3)/(18*c^3) - (b*x^5)/(30*c) + (b*ArcTan[c*x])/(6*c^6) + (x^6*(a + b*ArcTan[c*x]))/6}
+{x^4*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 4, (b*x^2)/(10*c^3) - (b*x^4)/(20*c) + (x^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/5 - (b*Log[1 + c^2*x^2])/(10*c^5)}
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 4, (b*x)/(4*c^3) - (b*x^3)/(12*c) - (b*ArcTan[c*x])/(4*c^4) + (x^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/4}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 4, -(b*x^2)/(6*c) + (x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/3 + (b*Log[1 + c^2*x^2])/(6*c^3)}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 3, -(b*x)/(2*c) + (b*ArcTan[c*x])/(2*c^2) + (x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/2}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 3, a*x + b*x*ArcTan[c*x] - (b*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/x^1, x, 3, a*Log[x] + (I/2)*b*PolyLog[2, (-I)*c*x] - (I/2)*b*PolyLog[2, I*c*x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/x^2, x, 5, -((a + b*ArcTan[c*x])/x) + b*c*Log[x] - (b*c*Log[1 + c^2*x^2])/2}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/x^3, x, 3, -(b*c)/(2*x) - (b*c^2*ArcTan[c*x])/2 - (a + b*ArcTan[c*x])/(2*x^2)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/x^4, x, 4, -(b*c)/(6*x^2) - (a + b*ArcTan[c*x])/(3*x^3) - (b*c^3*Log[x])/3 + (b*c^3*Log[1 + c^2*x^2])/6}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/x^5, x, 4, -(b*c)/(12*x^3) + (b*c^3)/(4*x) + (b*c^4*ArcTan[c*x])/4 - (a + b*ArcTan[c*x])/(4*x^4)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/x^6, x, 4, -(b*c)/(20*x^4) + (b*c^3)/(10*x^2) - (a + b*ArcTan[c*x])/(5*x^5) + (b*c^5*Log[x])/5 - (b*c^5*Log[1 + c^2*x^2])/10}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 16, -(a*b*x)/(3*c^5) - (4*b^2*x^2)/(45*c^4) + (b^2*x^4)/(60*c^2) - (b^2*x*ArcTan[c*x])/(3*c^5) + (b*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(9*c^3) - (b*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/(15*c) + (a + b*ArcTan[c*x])^2/(6*c^6) + (x^6*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/6 + (23*b^2*Log[1 + c^2*x^2])/(90*c^6)}
+{x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 14, (-3*b^2*x)/(10*c^4) + (b^2*x^3)/(30*c^2) + (3*b^2*ArcTan[c*x])/(10*c^5) + (b*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*c^3) - (b*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(10*c) + ((I/5)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c^5 + (x^5*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/5 + (2*b*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(5*c^5) + ((I/5)*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c^5}
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 11, (a*b*x)/(2*c^3) + (b^2*x^2)/(12*c^2) + (b^2*x*ArcTan[c*x])/(2*c^3) - (b*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(6*c) - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(4*c^4) + (x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/4 - (b^2*Log[1 + c^2*x^2])/(3*c^4)}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 9, (b^2*x)/(3*c^2) - (b^2*ArcTan[c*x])/(3*c^3) - (b*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*c) - ((I/3)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c^3 + (x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/3 - (2*b*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(3*c^3) - ((I/3)*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c^3}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 6, -((a*b*x)/c) - (b^2*x*ArcTan[c*x])/c + (a + b*ArcTan[c*x])^2/(2*c^2) + (x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/2 + (b^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^2)}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 5, (I*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c + x*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (2*b*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/x^1, x, 6, 2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)] - I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)] - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/2 + (b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/2}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/x^2, x, 4, (-I)*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (a + b*ArcTan[c*x])^2/x + 2*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)] - I*b^2*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/x^3, x, 8, -((b*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/x) - (c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/2 - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(2*x^2) + b^2*c^2*Log[x] - (b^2*c^2*Log[1 + c^2*x^2])/2}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/x^4, x, 8, -(b^2*c^2)/(3*x) - (b^2*c^3*ArcTan[c*x])/3 - (b*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*x^2) + (I/3)*c^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(3*x^3) - (2*b*c^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)])/3 + (I/3)*b^2*c^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/x^5, x, 13, -(b^2*c^2)/(12*x^2) - (b*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/(6*x^3) + (b*c^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*x) + (c^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/4 - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(4*x^4) - (2*b^2*c^4*Log[x])/3 + (b^2*c^4*Log[1 + c^2*x^2])/3}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcTan[c*x])^3, x, 33, (19*b^3*x)/(60*c^5) - (b^3*x^3)/(60*c^3) - (19*b^3*ArcTan[c*x])/(60*c^6) - (4*b^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(15*c^4) + (b^2*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(20*c^2) - (((23*I)/30)*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c^6 - (b*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c^5) + (b*x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(6*c^3) - (b*x^5*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(10*c) + (a + b*ArcTan[c*x])^3/(6*c^6) + (x^6*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/6 - (23*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(15*c^6) - (((23*I)/30)*b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c^6}
+{x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^3, x, 24, (-9*a*b^2*x)/(10*c^4) - (b^3*x^2)/(20*c^3) - (9*b^3*x*ArcTan[c*x])/(10*c^4) + (b^2*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(10*c^2) + (9*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(20*c^5) + (3*b*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(10*c^3) - (3*b*x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(20*c) + ((I/5)*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/c^5 + (x^5*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/5 + (3*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/(5*c^5) + (b^3*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^5) + (((3*I)/5)*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c^5 + (3*b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(10*c^5)}
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^3, x, 18, -(b^3*x)/(4*c^3) + (b^3*ArcTan[c*x])/(4*c^4) + (b^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*c^2) + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c^4 + (3*b*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*c^3) - (b*x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*c) - (a + b*ArcTan[c*x])^3/(4*c^4) + (x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/4 + (2*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c^4 + (I*b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c^4}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^3, x, 12, (a*b^2*x)/c^2 + (b^3*x*ArcTan[c*x])/c^2 - (b*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c^3) - (b*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c) - ((I/3)*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/c^3 + (x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/3 - (b*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/c^3 - (b^3*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^3) - (I*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c^3 - (b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c^3)}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])^3, x, 8, (((-3*I)/2)*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c^2 - (3*b*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c) + (a + b*ArcTan[c*x])^3/(2*c^2) + (x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/2 - (3*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c^2 - (((3*I)/2)*b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c^2}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])^3, x, 5, (I*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/c + x*(a + b*ArcTan[c*x])^3 + (3*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/c + ((3*I)*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c + (3*b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^3/x^1, x, 8, 2*(a + b*ArcTan[c*x])^3*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)] - ((3*I)/2)*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + ((3*I)/2)*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)] - (3*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/2 + (3*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/2 + ((3*I)/4)*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + I*c*x)] - ((3*I)/4)*b^3*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + I*c*x)]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^3/x^2, x, 5, (-I)*c*(a + b*ArcTan[c*x])^3 - (a + b*ArcTan[c*x])^3/x + 3*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)] - (3*I)*b^2*c*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)] + (3*b^3*c*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*c*x)])/2}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^3/x^3, x, 7, ((-3*I)/2)*b*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (3*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*x) - (c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/2 - (a + b*ArcTan[c*x])^3/(2*x^2) + 3*b^2*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)] - ((3*I)/2)*b^3*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^3/x^4, x, 14, -((b^2*c^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/x) - (b*c^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/2 - (b*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*x^2) + (I/3)*c^3*(a + b*ArcTan[c*x])^3 - (a + b*ArcTan[c*x])^3/(3*x^3) + b^3*c^3*Log[x] - (b^3*c^3*Log[1 + c^2*x^2])/2 - b*c^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)] + I*b^2*c^3*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)] - (b^3*c^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*c*x)])/2}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^3/x^5, x, 16, -(b^3*c^3)/(4*x) - (b^3*c^4*ArcTan[c*x])/4 - (b^2*c^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*x^2) + I*b*c^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (b*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*x^3) + (3*b*c^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*x) + (c^4*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/4 - (a + b*ArcTan[c*x])^3/(4*x^4) - 2*b^2*c^4*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)] + I*b^3*c^4*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^1/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[x/ArcTan[a*x], x]}
+{x^0/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[1/ArcTan[a*x], x]}
+{1/(x^1*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcTan[a*x]), x]}
+
+
+{x^1/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[x/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{x^0/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[1/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{1/(x^1*ArcTan[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcTan[a*x]^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcTan[c x])^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[x*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/x, x, 0, Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/x, x]}
+
+
+{x*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[x*ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/x, x, 0, Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/x, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[x/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{1/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[1/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{1/(x*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+{x/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[x/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{1/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[ArcTan[a*x]^(-3/2), x]}
+{1/(x*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcTan[a*x]^(3/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^(m/2) (a+b ArcTan[c x])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[x]*ArcTan[x], x, 12, -((4*Sqrt[x])/3) - (1/3)*Sqrt[2]*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[x]] + (1/3)*Sqrt[2]*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[x]] + (2/3)*x^(3/2)*ArcTan[x] - Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[x] + x]/(3*Sqrt[2]) + Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[x] + x]/(3*Sqrt[2])}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^(m/2) (a+b ArcTan[c x])^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTan[c x])^p with m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTan[c*x])^3, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcTan[c*x])^3, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTan[c*x])^1, x, 2, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d*(1 + m)) - (b*c*(d*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(d^2*(1 + m)*(2 + m))}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcTan[c*x])^1, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcTan[c*x]), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTan[c x])^p with p symbolic*)
+
+
+{(a + b*ArcTan[c*x])^p, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcTan[c*x])^p, x]}
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b* ArcTan[c*x])^p, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTan[c x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcTan[c x^2])^p*)
+
+
+{x^7*(a + b*ArcTan[c*x^2]), x, 5, (b*x^2)/(8*c^3) - (b*x^6)/(24*c) - (b*ArcTan[c*x^2])/(8*c^4) + (1/8)*x^8*(a + b*ArcTan[c*x^2])}
+{x^5*(a + b*ArcTan[c*x^2]), x, 4, -((b*x^4)/(12*c)) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcTan[c*x^2]) + (b*Log[1 + c^2*x^4])/(12*c^3)}
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x^2]), x, 4, -((b*x^2)/(4*c)) + (b*ArcTan[c*x^2])/(4*c^2) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTan[c*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x^2]), x, 2, (1/2)*x^2*(a + b*ArcTan[c*x^2]) - (b*Log[1 + c^2*x^4])/(4*c)}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])/x^1, x, 4, a*Log[x] + (1/4)*I*b*PolyLog[2, (-I)*c*x^2] - (1/4)*I*b*PolyLog[2, I*c*x^2]}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])/x^3, x, 5, -((a + b*ArcTan[c*x^2])/(2*x^2)) + b*c*Log[x] - (1/4)*b*c*Log[1 + c^2*x^4]}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])/x^5, x, 4, -((b*c)/(4*x^2)) - (1/4)*b*c^2*ArcTan[c*x^2] - (a + b*ArcTan[c*x^2])/(4*x^4)}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])/x^7, x, 4, -((b*c)/(12*x^4)) - (a + b*ArcTan[c*x^2])/(6*x^6) - (1/3)*b*c^3*Log[x] + (1/12)*b*c^3*Log[1 + c^2*x^4]}
+
+{x^4*(a + b*ArcTan[c*x^2]), x, 11, -((2*b*x^3)/(15*c)) + (1/5)*x^5*(a + b*ArcTan[c*x^2]) - (b*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[c]*x])/(5*Sqrt[2]*c^(5/2)) + (b*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[c]*x])/(5*Sqrt[2]*c^(5/2)) + (b*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[c]*x + c*x^2])/(10*Sqrt[2]*c^(5/2)) - (b*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[c]*x + c*x^2])/(10*Sqrt[2]*c^(5/2))}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x^2]), x, 11, -((2*b*x)/(3*c)) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTan[c*x^2]) - (b*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[c]*x])/(3*Sqrt[2]*c^(3/2)) + (b*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[c]*x])/(3*Sqrt[2]*c^(3/2)) - (b*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[c]*x + c*x^2])/(6*Sqrt[2]*c^(3/2)) + (b*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[c]*x + c*x^2])/(6*Sqrt[2]*c^(3/2))}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x^2]), x, 11, a*x + b*x*ArcTan[c*x^2] + (b*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[c]*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c]) - (b*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[c]*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c]) - (b*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[c]*x + c*x^2])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c]) + (b*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[c]*x + c*x^2])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c])}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])/x^2, x, 10, -((a + b*ArcTan[c*x^2])/x) - (b*Sqrt[c]*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[c]*x])/Sqrt[2] + (b*Sqrt[c]*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[c]*x])/Sqrt[2] - (b*Sqrt[c]*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[c]*x + c*x^2])/(2*Sqrt[2]) + (b*Sqrt[c]*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[c]*x + c*x^2])/(2*Sqrt[2])}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])/x^4, x, 11, -((2*b*c)/(3*x)) - (a + b*ArcTan[c*x^2])/(3*x^3) + (b*c^(3/2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[c]*x])/(3*Sqrt[2]) - (b*c^(3/2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[c]*x])/(3*Sqrt[2]) - (b*c^(3/2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[c]*x + c*x^2])/(6*Sqrt[2]) + (b*c^(3/2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[c]*x + c*x^2])/(6*Sqrt[2])}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])/x^6, x, 11, -((2*b*c)/(15*x^3)) - (a + b*ArcTan[c*x^2])/(5*x^5) + (b*c^(5/2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[c]*x])/(5*Sqrt[2]) - (b*c^(5/2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[c]*x])/(5*Sqrt[2]) + (b*c^(5/2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[c]*x + c*x^2])/(10*Sqrt[2]) - (b*c^(5/2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[c]*x + c*x^2])/(10*Sqrt[2])}
+
+
+{x^7*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2, x, 12, (a*b*x^2)/(4*c^3) + (b^2*x^4)/(24*c^2) + (b^2*x^2*ArcTan[c*x^2])/(4*c^3) - (b*x^6*(a + b*ArcTan[c*x^2]))/(12*c) - (a + b*ArcTan[c*x^2])^2/(8*c^4) + (1/8)*x^8*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2 - (b^2*Log[1 + c^2*x^4])/(6*c^4)}
+{x^5*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2, x, 10, (b^2*x^2)/(6*c^2) - (b^2*ArcTan[c*x^2])/(6*c^3) - (b*x^4*(a + b*ArcTan[c*x^2]))/(6*c) - (I*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2)/(6*c^3) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2 - (b*(a + b*ArcTan[c*x^2])*Log[2/(1 + I*c*x^2)])/(3*c^3) - (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x^2)])/(6*c^3)}
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2, x, 7, -((a*b*x^2)/(2*c)) - (b^2*x^2*ArcTan[c*x^2])/(2*c) + (a + b*ArcTan[c*x^2])^2/(4*c^2) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2 + (b^2*Log[1 + c^2*x^4])/(4*c^2)}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2, x, 6, (I*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2)/(2*c) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2 + (b*(a + b*ArcTan[c*x^2])*Log[2/(1 + I*c*x^2)])/c + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x^2)])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])^2/x^1, x, 7, (a + b*ArcTan[c*x^2])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x^2)] - (1/2)*I*b*(a + b*ArcTan[c*x^2])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x^2)] + (1/2)*I*b*(a + b*ArcTan[c*x^2])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x^2)] - (1/4)*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x^2)] + (1/4)*b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x^2)]}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])^2/x^3, x, 5, (-(1/2))*I*c*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2 - (a + b*ArcTan[c*x^2])^2/(2*x^2) + b*c*(a + b*ArcTan[c*x^2])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x^2)] - (1/2)*I*b^2*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x^2)]}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])^2/x^5, x, 9, -((b*c*(a + b*ArcTan[c*x^2]))/(2*x^2)) - (1/4)*c^2*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2 - (a + b*ArcTan[c*x^2])^2/(4*x^4) + b^2*c^2*Log[x] - (1/4)*b^2*c^2*Log[1 + c^2*x^4]}
+
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2, x, 86, -((4*a*b*x)/(3*c)) + (2/9)*I*a*b*x^3 + (4*(-1)^(3/4)*b^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x])/(3*c^(3/2)) + ((-1)^(1/4)*b^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]^2)/(3*c^(3/2)) - (2*(-1)^(1/4)*a*b*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x])/(3*c^(3/2)) - (4*(-1)^(3/4)*b^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x])/(3*c^(3/2)) - ((-1)^(3/4)*b^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]^2)/(3*c^(3/2)) - (2*(-1)^(3/4)*b^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) + (2*(-1)^(3/4)*b^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) - ((-1)^(3/4)*b^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[(Sqrt[2]*((-1)^(1/4) + Sqrt[c]*x))/(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) + (2*(-1)^(3/4)*b^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) - (2*(-1)^(3/4)*b^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) + ((-1)^(3/4)*b^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[-((Sqrt[2]*((-1)^(3/4) + Sqrt[c]*x))/(1 + (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x))])/(3*c^(3/2)) + ((-1)^(3/4)*b^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[((1 + I)*(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x))/(1 + (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) - ((-1)^(3/4)*b^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[((1 - I)*(1 + (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x))/(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) - (2*I*b^2*x*Log[1 - I*c*x^2])/(3*c) - (1/9)*b^2*x^3*Log[1 - I*c*x^2] - ((-1)^(3/4)*b^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[1 - I*c*x^2])/(3*c^(3/2)) - (1/9)*I*b*x^3*(2*a + I*b*Log[1 - I*c*x^2]) - ((-1)^(1/4)*b*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*(2*a + I*b*Log[1 - I*c*x^2]))/(3*c^(3/2)) + (1/12)*x^3*(2*a + I*b*Log[1 - I*c*x^2])^2 + (2*I*b^2*x*Log[1 + I*c*x^2])/(3*c) - (1/3)*I*a*b*x^3*Log[1 + I*c*x^2] + ((-1)^(3/4)*b^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[1 + I*c*x^2])/(3*c^(3/2)) + ((-1)^(3/4)*b^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[1 + I*c*x^2])/(3*c^(3/2)) + (1/6)*b^2*x^3*Log[1 - I*c*x^2]*Log[1 + I*c*x^2] - (1/12)*b^2*x^3*Log[1 + I*c*x^2]^2 + ((-1)^(1/4)*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) + ((-1)^(1/4)*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) - ((-1)^(1/4)*b^2*PolyLog[2, 1 - (Sqrt[2]*((-1)^(1/4) + Sqrt[c]*x))/(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/(6*c^(3/2)) + ((-1)^(3/4)*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) + ((-1)^(3/4)*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) - ((-1)^(3/4)*b^2*PolyLog[2, 1 + (Sqrt[2]*((-1)^(3/4) + Sqrt[c]*x))/(1 + (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x)])/(6*c^(3/2)) - ((-1)^(3/4)*b^2*PolyLog[2, 1 - ((1 + I)*(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x))/(1 + (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x)])/(6*c^(3/2)) - ((-1)^(1/4)*b^2*PolyLog[2, 1 - ((1 - I)*(1 + (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x))/(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/(6*c^(3/2))}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2, x, 69, a^2*x - (2*(-1)^(3/4)*a*b*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x])/Sqrt[c] + ((-1)^(3/4)*b^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]^2)/Sqrt[c] + (2*(-1)^(3/4)*a*b*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x])/Sqrt[c] - ((-1)^(1/4)*b^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]^2)/Sqrt[c] + (2*(-1)^(1/4)*b^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - (2*(-1)^(1/4)*b^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + ((-1)^(1/4)*b^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[(Sqrt[2]*((-1)^(1/4) + Sqrt[c]*x))/(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + (2*(-1)^(1/4)*b^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - (2*(-1)^(1/4)*b^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + ((-1)^(1/4)*b^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[-((Sqrt[2]*((-1)^(3/4) + Sqrt[c]*x))/(1 + (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x))])/Sqrt[c] + ((-1)^(1/4)*b^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[((1 + I)*(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x))/(1 + (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + ((-1)^(1/4)*b^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[((1 - I)*(1 + (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x))/(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + I*a*b*x*Log[1 - I*c*x^2] + ((-1)^(1/4)*b^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[1 - I*c*x^2])/Sqrt[c] - ((-1)^(1/4)*b^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[1 - I*c*x^2])/Sqrt[c] - (1/4)*b^2*x*Log[1 - I*c*x^2]^2 - I*a*b*x*Log[1 + I*c*x^2] - ((-1)^(1/4)*b^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[1 + I*c*x^2])/Sqrt[c] + ((-1)^(1/4)*b^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[1 + I*c*x^2])/Sqrt[c] + (1/2)*b^2*x*Log[1 - I*c*x^2]*Log[1 + I*c*x^2] - (1/4)*b^2*x*Log[1 + I*c*x^2]^2 + ((-1)^(3/4)*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + ((-1)^(3/4)*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - ((-1)^(3/4)*b^2*PolyLog[2, 1 - (Sqrt[2]*((-1)^(1/4) + Sqrt[c]*x))/(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/(2*Sqrt[c]) + ((-1)^(1/4)*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + ((-1)^(1/4)*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - ((-1)^(1/4)*b^2*PolyLog[2, 1 + (Sqrt[2]*((-1)^(3/4) + Sqrt[c]*x))/(1 + (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x)])/(2*Sqrt[c]) - ((-1)^(1/4)*b^2*PolyLog[2, 1 - ((1 + I)*(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x))/(1 + (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x)])/(2*Sqrt[c]) - ((-1)^(3/4)*b^2*PolyLog[2, 1 - ((1 - I)*(1 + (-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x))/(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/(2*Sqrt[c])}
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+
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x^2])^3, x, 9, -((3*I*b*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2)/(4*c^2)) - (3*b*x^2*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2)/(4*c) + (a + b*ArcTan[c*x^2])^3/(4*c^2) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTan[c*x^2])^3 - (3*b^2*(a + b*ArcTan[c*x^2])*Log[2/(1 + I*c*x^2)])/(2*c^2) - (3*I*b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x^2)])/(4*c^2)}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x^2])^3, x, 6, (I*(a + b*ArcTan[c*x^2])^3)/(2*c) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcTan[c*x^2])^3 + (3*b*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2*Log[2/(1 + I*c*x^2)])/(2*c) + (3*I*b^2*(a + b*ArcTan[c*x^2])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x^2)])/(2*c) + (3*b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x^2)])/(4*c)}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])^3/x^1, x, 9, (a + b*ArcTan[c*x^2])^3*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x^2)] - (3/4)*I*b*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x^2)] + (3/4)*I*b*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x^2)] - (3/4)*b^2*(a + b*ArcTan[c*x^2])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x^2)] + (3/4)*b^2*(a + b*ArcTan[c*x^2])*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x^2)] + (3/8)*I*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + I*c*x^2)] - (3/8)*I*b^3*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + I*c*x^2)]}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])^3/x^3, x, 6, (-(1/2))*I*c*(a + b*ArcTan[c*x^2])^3 - (a + b*ArcTan[c*x^2])^3/(2*x^2) + (3/2)*b*c*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2*Log[2 - 2/(1 - I*c*x^2)] - (3/2)*I*b^2*c*(a + b*ArcTan[c*x^2])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x^2)] + (3/4)*b^3*c*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*c*x^2)]}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])^3/x^5, x, 8, (-(3/4))*I*b*c^2*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2 - (3*b*c*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2)/(4*x^2) - (1/4)*c^2*(a + b*ArcTan[c*x^2])^3 - (a + b*ArcTan[c*x^2])^3/(4*x^4) + (3/2)*b^2*c^2*(a + b*ArcTan[c*x^2])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x^2)] - (3/4)*I*b^3*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x^2)]}
+
+(* {x^2*(a + b*ArcTan[c*x^2])^3, x, 86, 0}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x^2])^3, x, 69, 0}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])^3/x^2, x, 47, 0}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])^3/x^4, x, 64, 0}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])^3/x^6, x, 77, 0} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTan[c x^2])^p when m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTan[c*x^2])^3, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcTan[c*x^2])^3, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTan[c*x^2])^1, x, 2, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*ArcTan[c*x^2]))/(d*(1 + m)) - (2*b*c*(d*x)^(3 + m)*Hypergeometric2F1[1, (3 + m)/4, (7 + m)/4, (-c^2)*x^4])/(d^3*(1 + m)*(3 + m))}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcTan[c*x^2])^1, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcTan[c*x^2]), x]}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcTan[c*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcTan[c*x^2])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTan[c x^3])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcTan[c x^3])^p*)
+
+
+{x^11*(a + b*ArcTan[c*x^3]), x, 5, (b*x^3)/(12*c^3) - (b*x^9)/(36*c) - (b*ArcTan[c*x^3])/(12*c^4) + (1/12)*x^12*(a + b*ArcTan[c*x^3])}
+{x^8*(a + b*ArcTan[c*x^3]), x, 4, -((b*x^6)/(18*c)) + (1/9)*x^9*(a + b*ArcTan[c*x^3]) + (b*Log[1 + c^2*x^6])/(18*c^3)}
+{x^5*(a + b*ArcTan[c*x^3]), x, 4, -((b*x^3)/(6*c)) + (b*ArcTan[c*x^3])/(6*c^2) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcTan[c*x^3])}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x^3]), x, 2, (1/3)*x^3*(a + b*ArcTan[c*x^3]) - (b*Log[1 + c^2*x^6])/(6*c)}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])/x^1, x, 4, a*Log[x] + (1/6)*I*b*PolyLog[2, (-I)*c*x^3] - (1/6)*I*b*PolyLog[2, I*c*x^3]}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])/x^4, x, 5, -((a + b*ArcTan[c*x^3])/(3*x^3)) + b*c*Log[x] - (1/6)*b*c*Log[1 + c^2*x^6]}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])/x^7, x, 4, -((b*c)/(6*x^3)) - (1/6)*b*c^2*ArcTan[c*x^3] - (a + b*ArcTan[c*x^3])/(6*x^6)}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])/x^10, x, 4, -((b*c)/(18*x^6)) - (a + b*ArcTan[c*x^3])/(9*x^9) - (1/3)*b*c^3*Log[x] + (1/18)*b*c^3*Log[1 + c^2*x^6]}
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x^3]), x, 12, -((3*b*x)/(4*c)) + (b*ArcTan[c^(1/3)*x])/(4*c^(4/3)) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTan[c*x^3]) - (b*ArcTan[Sqrt[3] - 2*c^(1/3)*x])/(8*c^(4/3)) + (b*ArcTan[Sqrt[3] + 2*c^(1/3)*x])/(8*c^(4/3)) - (Sqrt[3]*b*Log[1 - Sqrt[3]*c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(16*c^(4/3)) + (Sqrt[3]*b*Log[1 + Sqrt[3]*c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(16*c^(4/3))}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x^3]), x, 9, a*x + b*x*ArcTan[c*x^3] + (Sqrt[3]*b*ArcTan[(1 - 2*c^(2/3)*x^2)/Sqrt[3]])/(2*c^(1/3)) + (b*Log[1 + c^(2/3)*x^2])/(2*c^(1/3)) - (b*Log[1 - c^(2/3)*x^2 + c^(4/3)*x^4])/(4*c^(1/3))}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])/x^3, x, 11, (1/2)*b*c^(2/3)*ArcTan[c^(1/3)*x] - (a + b*ArcTan[c*x^3])/(2*x^2) - (1/4)*b*c^(2/3)*ArcTan[Sqrt[3] - 2*c^(1/3)*x] + (1/4)*b*c^(2/3)*ArcTan[Sqrt[3] + 2*c^(1/3)*x] - (1/8)*Sqrt[3]*b*c^(2/3)*Log[1 - Sqrt[3]*c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2] + (1/8)*Sqrt[3]*b*c^(2/3)*Log[1 + Sqrt[3]*c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2]}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])/x^6, x, 9, -((3*b*c)/(10*x^2)) - (a + b*ArcTan[c*x^3])/(5*x^5) + (1/10)*Sqrt[3]*b*c^(5/3)*ArcTan[(1 - 2*c^(2/3)*x^2)/Sqrt[3]] + (1/10)*b*c^(5/3)*Log[1 + c^(2/3)*x^2] - (1/20)*b*c^(5/3)*Log[1 - c^(2/3)*x^2 + c^(4/3)*x^4]}
+
+{x^7*(a + b*ArcTan[c*x^3]), x, 12, -((3*b*x^5)/(40*c)) + (b*ArcTan[c^(1/3)*x])/(8*c^(8/3)) + (1/8)*x^8*(a + b*ArcTan[c*x^3]) - (b*ArcTan[Sqrt[3] - 2*c^(1/3)*x])/(16*c^(8/3)) + (b*ArcTan[Sqrt[3] + 2*c^(1/3)*x])/(16*c^(8/3)) + (Sqrt[3]*b*Log[1 - Sqrt[3]*c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(32*c^(8/3)) - (Sqrt[3]*b*Log[1 + Sqrt[3]*c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(32*c^(8/3))}
+{x^4*(a + b*ArcTan[c*x^3]), x, 9, -((3*b*x^2)/(10*c)) + (1/5)*x^5*(a + b*ArcTan[c*x^3]) - (Sqrt[3]*b*ArcTan[(1 - 2*c^(2/3)*x^2)/Sqrt[3]])/(10*c^(5/3)) + (b*Log[1 + c^(2/3)*x^2])/(10*c^(5/3)) - (b*Log[1 - c^(2/3)*x^2 + c^(4/3)*x^4])/(20*c^(5/3))}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x^3]), x, 11, -((b*ArcTan[c^(1/3)*x])/(2*c^(2/3))) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcTan[c*x^3]) + (b*ArcTan[Sqrt[3] - 2*c^(1/3)*x])/(4*c^(2/3)) - (b*ArcTan[Sqrt[3] + 2*c^(1/3)*x])/(4*c^(2/3)) - (Sqrt[3]*b*Log[1 - Sqrt[3]*c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(8*c^(2/3)) + (Sqrt[3]*b*Log[1 + Sqrt[3]*c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(8*c^(2/3))}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])/x^2, x, 8, -((a + b*ArcTan[c*x^3])/x) - (1/2)*Sqrt[3]*b*c^(1/3)*ArcTan[(1 - 2*c^(2/3)*x^2)/Sqrt[3]] + (1/2)*b*c^(1/3)*Log[1 + c^(2/3)*x^2] - (1/4)*b*c^(1/3)*Log[1 - c^(2/3)*x^2 + c^(4/3)*x^4]}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])/x^5, x, 12, -((3*b*c)/(4*x)) - (1/4)*b*c^(4/3)*ArcTan[c^(1/3)*x] - (a + b*ArcTan[c*x^3])/(4*x^4) + (1/8)*b*c^(4/3)*ArcTan[Sqrt[3] - 2*c^(1/3)*x] - (1/8)*b*c^(4/3)*ArcTan[Sqrt[3] + 2*c^(1/3)*x] - (1/16)*Sqrt[3]*b*c^(4/3)*Log[1 - Sqrt[3]*c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2] + (1/16)*Sqrt[3]*b*c^(4/3)*Log[1 + Sqrt[3]*c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2]}
+
+
+{x^11*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2, x, 12, (a*b*x^3)/(6*c^3) + (b^2*x^6)/(36*c^2) + (b^2*x^3*ArcTan[c*x^3])/(6*c^3) - (b*x^9*(a + b*ArcTan[c*x^3]))/(18*c) - (a + b*ArcTan[c*x^3])^2/(12*c^4) + (1/12)*x^12*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2 - (b^2*Log[1 + c^2*x^6])/(9*c^4)}
+{x^8*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2, x, 10, (b^2*x^3)/(9*c^2) - (b^2*ArcTan[c*x^3])/(9*c^3) - (b*x^6*(a + b*ArcTan[c*x^3]))/(9*c) - (I*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2)/(9*c^3) + (1/9)*x^9*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2 - (2*b*(a + b*ArcTan[c*x^3])*Log[2/(1 + I*c*x^3)])/(9*c^3) - (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x^3)])/(9*c^3)}
+{x^5*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2, x, 7, -((a*b*x^3)/(3*c)) - (b^2*x^3*ArcTan[c*x^3])/(3*c) + (a + b*ArcTan[c*x^3])^2/(6*c^2) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2 + (b^2*Log[1 + c^2*x^6])/(6*c^2)}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2, x, 6, (I*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2)/(3*c) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2 + (2*b*(a + b*ArcTan[c*x^3])*Log[2/(1 + I*c*x^3)])/(3*c) + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x^3)])/(3*c)}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])^2/x^1, x, 7, (2/3)*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x^3)] - (1/3)*I*b*(a + b*ArcTan[c*x^3])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x^3)] + (1/3)*I*b*(a + b*ArcTan[c*x^3])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x^3)] - (1/6)*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x^3)] + (1/6)*b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x^3)]}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])^2/x^4, x, 5, (-(1/3))*I*c*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2 - (a + b*ArcTan[c*x^3])^2/(3*x^3) + (2/3)*b*c*(a + b*ArcTan[c*x^3])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x^3)] - (1/3)*I*b^2*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x^3)]}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])^2/x^7, x, 9, -((b*c*(a + b*ArcTan[c*x^3]))/(3*x^3)) - (1/6)*c^2*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2 - (a + b*ArcTan[c*x^3])^2/(6*x^6) + b^2*c^2*Log[x] - (1/6)*b^2*c^2*Log[1 + c^2*x^6]}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])^2/x^10, x, 9, -((b^2*c^2)/(9*x^3)) - (1/9)*b^2*c^3*ArcTan[c*x^3] - (b*c*(a + b*ArcTan[c*x^3]))/(9*x^6) + (1/9)*I*c^3*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2 - (a + b*ArcTan[c*x^3])^2/(9*x^9) - (2/9)*b*c^3*(a + b*ArcTan[c*x^3])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x^3)] + (1/9)*I*b^2*c^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x^3)]}
+
+(* {x^3*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2, x, 44, 0}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2, x, 69, 0}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])^2/x^3, x, 24, 0}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])^2/x^6, x, 77, 0}
+
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2, x, 28, 0}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])^2/x^2, x, 47, 0}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])^2/x^5, x, 46, 0} *)
+
+
+{x^8*(a + b*ArcTan[c*x^3])^3, x, 13, (a*b^2*x^3)/(3*c^2) + (b^3*x^3*ArcTan[c*x^3])/(3*c^2) - (b*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2)/(6*c^3) - (b*x^6*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2)/(6*c) - (I*(a + b*ArcTan[c*x^3])^3)/(9*c^3) + (1/9)*x^9*(a + b*ArcTan[c*x^3])^3 - (b*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2*Log[2/(1 + I*c*x^3)])/(3*c^3) - (b^3*Log[1 + c^2*x^6])/(6*c^3) - (I*b^2*(a + b*ArcTan[c*x^3])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x^3)])/(3*c^3) - (b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x^3)])/(6*c^3)}
+{x^5*(a + b*ArcTan[c*x^3])^3, x, 9, -((I*b*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2)/(2*c^2)) - (b*x^3*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2)/(2*c) + (a + b*ArcTan[c*x^3])^3/(6*c^2) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcTan[c*x^3])^3 - (b^2*(a + b*ArcTan[c*x^3])*Log[2/(1 + I*c*x^3)])/c^2 - (I*b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x^3)])/(2*c^2)}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x^3])^3, x, 6, (I*(a + b*ArcTan[c*x^3])^3)/(3*c) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTan[c*x^3])^3 + (b*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2*Log[2/(1 + I*c*x^3)])/c + (I*b^2*(a + b*ArcTan[c*x^3])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x^3)])/c + (b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x^3)])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])^3/x^1, x, 9, (2/3)*(a + b*ArcTan[c*x^3])^3*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x^3)] - (1/2)*I*b*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x^3)] + (1/2)*I*b*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x^3)] - (1/2)*b^2*(a + b*ArcTan[c*x^3])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x^3)] + (1/2)*b^2*(a + b*ArcTan[c*x^3])*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x^3)] + (1/4)*I*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + I*c*x^3)] - (1/4)*I*b^3*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + I*c*x^3)]}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])^3/x^4, x, 6, (-(1/3))*I*c*(a + b*ArcTan[c*x^3])^3 - (a + b*ArcTan[c*x^3])^3/(3*x^3) + b*c*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2*Log[2 - 2/(1 - I*c*x^3)] - I*b^2*c*(a + b*ArcTan[c*x^3])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x^3)] + (1/2)*b^3*c*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*c*x^3)]}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])^3/x^7, x, 8, (-(1/2))*I*b*c^2*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2 - (b*c*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2)/(2*x^3) - (1/6)*c^2*(a + b*ArcTan[c*x^3])^3 - (a + b*ArcTan[c*x^3])^3/(6*x^6) + b^2*c^2*(a + b*ArcTan[c*x^3])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x^3)] - (1/2)*I*b^3*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x^3)]}
+
+(* {x^3*(a + b*ArcTan[c*x^3])^3, x, 44, 0}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x^3])^3, x, 69, 0}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])^3/x^3, x, 24, 0}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])^3/x^6, x, 77, 0}
+
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x^3])^3, x, 28, 0}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])^3/x^2, x, 47, 0}
+{(a + b*ArcTan[c*x^3])^3/x^5, x, 46, 0} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTan[c x^3])^p when m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTan[c*x^3])^3, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcTan[c*x^3])^3, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcTan[c*x^3])^2, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTan[c*x^3])^1, x, 2, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*ArcTan[c*x^3]))/(d*(1 + m)) - (3*b*c*(d*x)^(4 + m)*Hypergeometric2F1[1, (4 + m)/6, (10 + m)/6, (-c^2)*x^6])/(d^4*(1 + m)*(4 + m))}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcTan[c*x^3])^1, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcTan[c*x^3]), x]}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcTan[c*x^3])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcTan[c*x^3])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTan[c/x^1])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcTan[c/x])^p*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c/x]), x, 5, (-(1/4))*b*c^3*x + (1/12)*b*c*x^3 + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTan[c/x]) + (1/4)*b*c^4*ArcTan[x/c]}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c/x]), x, 5, (1/6)*b*c*x^2 + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTan[c/x]) - (1/6)*b*c^3*Log[c^2 + x^2]}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c/x]), x, 4, (b*c*x)/2 + (1/2)*x^2*(a + b*ArcTan[c/x]) - (1/2)*b*c^2*ArcTan[x/c]}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c/x]), x, 4, a*x + b*x*ArcTan[c/x] + (1/2)*b*c*Log[c^2 + x^2]}
+{(a + b*ArcTan[c/x])/x^1, x, 4, a*Log[x] - (1/2)*I*b*PolyLog[2, -((I*c)/x)] + (1/2)*I*b*PolyLog[2, (I*c)/x]}
+{(a + b*ArcTan[c/x])/x^2, x, 2, -((a + b*ArcTan[c/x])/x) + (b*Log[1 + c^2/x^2])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTan[c/x])/x^3, x, 4, b/(2*c*x) - (a + b*ArcTan[c/x])/(2*x^2) + (b*ArcTan[x/c])/(2*c^2)}
+{(a + b*ArcTan[c/x])/x^4, x, 5, b/(6*c*x^2) - (a + b*ArcTan[c/x])/(3*x^3) + (b*Log[x])/(3*c^3) - (b*Log[c^2 + x^2])/(6*c^3)}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c/x])^2, x, 14, (1/12)*b^2*c^2*x^2 - (1/2)*b*c^3*x*(a + b*ArcCot[x/c]) + (1/6)*b*c*x^3*(a + b*ArcCot[x/c]) - (1/4)*c^4*(a + b*ArcCot[x/c])^2 + (1/4)*x^4*(a + b*ArcCot[x/c])^2 - (1/3)*b^2*c^4*Log[1 + c^2/x^2] - (2/3)*b^2*c^4*Log[x]}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c/x])^2, x, 9, (1/3)*b^2*c^2*x + (1/3)*b^2*c^3*ArcCot[x/c] + (1/3)*b*c*x^2*(a + b*ArcCot[x/c]) - (1/3)*I*c^3*(a + b*ArcCot[x/c])^2 + (1/3)*x^3*(a + b*ArcCot[x/c])^2 + (2/3)*b*c^3*(a + b*ArcCot[x/c])*Log[2 - 2/(1 - (I*c)/x)] - (1/3)*I*b^2*c^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - (I*c)/x)]}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c/x])^2, x, 9, b*c*x*(a + b*ArcCot[x/c]) + (1/2)*c^2*(a + b*ArcCot[x/c])^2 + (1/2)*x^2*(a + b*ArcCot[x/c])^2 + (1/2)*b^2*c^2*Log[1 + c^2/x^2] + b^2*c^2*Log[x]}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c/x])^2, x, 6, I*c*(a + b*ArcCot[x/c])^2 + x*(a + b*ArcCot[x/c])^2 - 2*b*c*(a + b*ArcCot[x/c])*Log[(2*c)/(c + I*x)] + I*b^2*c*PolyLog[2, 1 - (2*c)/(c + I*x)]}
+{(a + b*ArcTan[c/x])^2/x^1, x, 7, -2*(a + b*ArcCot[x/c])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + (I*c)/x)] + I*b*(a + b*ArcCot[x/c])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + (I*c)/x)] - I*b*(a + b*ArcCot[x/c])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + (I*c)/x)] + (1/2)*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + (I*c)/x)] - (1/2)*b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + (I*c)/x)]}
+{(a + b*ArcTan[c/x])^2/x^2, x, 6, -((I*(a + b*ArcCot[x/c])^2)/c) - (a + b*ArcCot[x/c])^2/x - (2*b*(a + b*ArcCot[x/c])*Log[2/(1 + (I*c)/x)])/c - (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + (I*c)/x)])/c}
+{(a + b*ArcTan[c/x])^2/x^3, x, 7, (a*b)/(c*x) + (b^2*ArcCot[x/c])/(c*x) - (a + b*ArcCot[x/c])^2/(2*c^2) - (a + b*ArcCot[x/c])^2/(2*x^2) - (b^2*Log[1 + c^2/x^2])/(2*c^2)}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c/x])^3, x, 17, (1/4)*b^3*c^3*x + (1/4)*b^3*c^4*ArcCot[x/c] + (1/4)*b^2*c^2*x^2*(a + b*ArcCot[x/c]) - I*b*c^4*(a + b*ArcCot[x/c])^2 - (3/4)*b*c^3*x*(a + b*ArcCot[x/c])^2 + (1/4)*b*c*x^3*(a + b*ArcCot[x/c])^2 - (1/4)*c^4*(a + b*ArcCot[x/c])^3 + (1/4)*x^4*(a + b*ArcCot[x/c])^3 + 2*b^2*c^4*(a + b*ArcCot[x/c])*Log[2 - 2/(1 - (I*c)/x)] - I*b^3*c^4*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - (I*c)/x)]}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c/x])^3, x, 15, b^2*c^2*x*(a + b*ArcCot[x/c]) + (1/2)*b*c^3*(a + b*ArcCot[x/c])^2 + (1/2)*b*c*x^2*(a + b*ArcCot[x/c])^2 - (1/3)*I*c^3*(a + b*ArcCot[x/c])^3 + (1/3)*x^3*(a + b*ArcCot[x/c])^3 + b*c^3*(a + b*ArcCot[x/c])^2*Log[2 - 2/(1 - (I*c)/x)] + (1/2)*b^3*c^3*Log[1 + c^2/x^2] + b^3*c^3*Log[x] - I*b^2*c^3*(a + b*ArcCot[x/c])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - (I*c)/x)] + (1/2)*b^3*c^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - (I*c)/x)]}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c/x])^3, x, 8, (3/2)*I*b*c^2*(a + b*ArcCot[x/c])^2 + (3/2)*b*c*x*(a + b*ArcCot[x/c])^2 + (1/2)*c^2*(a + b*ArcCot[x/c])^3 + (1/2)*x^2*(a + b*ArcCot[x/c])^3 - 3*b^2*c^2*(a + b*ArcCot[x/c])*Log[2 - 2/(1 - (I*c)/x)] + (3/2)*I*b^3*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - (I*c)/x)]}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c/x])^3, x, 6, I*c*(a + b*ArcCot[x/c])^3 + x*(a + b*ArcCot[x/c])^3 - 3*b*c*(a + b*ArcCot[x/c])^2*Log[(2*c)/(c + I*x)] + 3*I*b^2*c*(a + b*ArcCot[x/c])*PolyLog[2, 1 - (2*c)/(c + I*x)] - (3/2)*b^3*c*PolyLog[3, 1 - (2*c)/(c + I*x)]}
+{(a + b*ArcTan[c/x])^3/x^1, x, 9, -2*(a + b*ArcCot[x/c])^3*ArcTanh[1 - 2/(1 + (I*c)/x)] + (3/2)*I*b*(a + b*ArcCot[x/c])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + (I*c)/x)] - (3/2)*I*b*(a + b*ArcCot[x/c])^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + (I*c)/x)] + (3/2)*b^2*(a + b*ArcCot[x/c])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + (I*c)/x)] - (3/2)*b^2*(a + b*ArcCot[x/c])*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + (I*c)/x)] - (3/4)*I*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + (I*c)/x)] + (3/4)*I*b^3*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + (I*c)/x)]}
+{(a + b*ArcTan[c/x])^3/x^2, x, 6, -((I*(a + b*ArcCot[x/c])^3)/c) - (a + b*ArcCot[x/c])^3/x - (3*b*(a + b*ArcCot[x/c])^2*Log[2/(1 + (I*c)/x)])/c - (3*I*b^2*(a + b*ArcCot[x/c])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + (I*c)/x)])/c - (3*b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + (I*c)/x)])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTan[c/x])^3/x^3, x, 9, (3*I*b*(a + b*ArcCot[x/c])^2)/(2*c^2) + (3*b*(a + b*ArcCot[x/c])^2)/(2*c*x) - (a + b*ArcCot[x/c])^3/(2*c^2) - (a + b*ArcCot[x/c])^3/(2*x^2) + (3*b^2*(a + b*ArcCot[x/c])*Log[2/(1 + (I*c)/x)])/c^2 + (3*I*b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + (I*c)/x)])/(2*c^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTan[c x^(n/2)])^p*)
+
+
+{x^2*ArcTan[Sqrt[x]], x, 6, -(Sqrt[x]/3) + x^(3/2)/9 - x^(5/2)/15 + ArcTan[Sqrt[x]]/3 + (1/3)*x^3*ArcTan[Sqrt[x]]}
+{x^1*ArcTan[Sqrt[x]], x, 5, Sqrt[x]/2 - x^(3/2)/6 - ArcTan[Sqrt[x]]/2 + (1/2)*x^2*ArcTan[Sqrt[x]]}
+{x^0*ArcTan[Sqrt[x]], x, 4, -Sqrt[x] + ArcTan[Sqrt[x]] + x*ArcTan[Sqrt[x]]}
+{ArcTan[Sqrt[x]]/x^1, x, 4, I*PolyLog[2, (-I)*Sqrt[x]] - I*PolyLog[2, I*Sqrt[x]]}
+{ArcTan[Sqrt[x]]/x^2, x, 4, -(1/Sqrt[x]) - ArcTan[Sqrt[x]] - ArcTan[Sqrt[x]]/x}
+{ArcTan[Sqrt[x]]/x^3, x, 5, -(1/(6*x^(3/2))) + 1/(2*Sqrt[x]) + ArcTan[Sqrt[x]]/2 - ArcTan[Sqrt[x]]/(2*x^2)}
+
+
+{x^(3/2)*ArcTan[Sqrt[x]], x, 3, x/5 - x^2/10 + (2/5)*x^(5/2)*ArcTan[Sqrt[x]] - (1/5)*Log[1 + x]}
+{x^(1/2)*ArcTan[Sqrt[x]], x, 3, -(x/3) + (2/3)*x^(3/2)*ArcTan[Sqrt[x]] + (1/3)*Log[1 + x]}
+{ArcTan[Sqrt[x]]/x^(1/2), x, 2, 2*Sqrt[x]*ArcTan[Sqrt[x]] - Log[1 + x]}
+{ArcTan[Sqrt[x]]/x^(3/2), x, 4, -((2*ArcTan[Sqrt[x]])/Sqrt[x]) + Log[x] - Log[1 + x]}
+{ArcTan[Sqrt[x]]/x^(5/2), x, 3, -(1/(3*x)) - (2*ArcTan[Sqrt[x]])/(3*x^(3/2)) - Log[x]/3 + (1/3)*Log[1 + x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTan[c x^n])^p*)
+
+
+{ArcTan[a*x^5]/x, x, 4, (1/10)*I*PolyLog[2, (-I)*a*x^5] - (1/10)*I*PolyLog[2, I*a*x^5]}
+
+
+{ArcTan[a*x^n]/x, x, 4, (I*PolyLog[2, (-I)*a*x^n])/(2*n) - (I*PolyLog[2, I*a*x^n])/(2*n)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.3 (d+e x)^m (a+b arctan(c x^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.3 (d+e x)^m (a+b arctan(c x^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..d7e45e13
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.3 (d+e x)^m (a+b arctan(c x^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,68 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcTan[c x^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcTan[c x^1])^p*)
+
+
+{(d + e*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 6, -((b*d*e*(2*c^2*d^2 - e^2)*x)/c^3) - (b*e^2*(10*c^2*d^2 - e^2)*x^2)/(10*c^3) - (b*d*e^3*x^3)/(3*c) - (b*e^4*x^4)/(20*c) - (b*d*(c^4*d^4 - 10*c^2*d^2*e^2 + 5*e^4)*ArcTan[c*x])/(5*c^4*e) + ((d + e*x)^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*e) - (b*(5*c^4*d^4 - 10*c^2*d^2*e^2 + e^4)*Log[1 + c^2*x^2])/(10*c^5)}
+{(d + e*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 6, -(b*e*(6*c^2*d^2 - e^2)*x)/(4*c^3) - (b*d*e^2*x^2)/(2*c) - (b*e^3*x^3)/(12*c) - (b*(c^4*d^4 - 6*c^2*d^2*e^2 + e^4)*ArcTan[c*x])/(4*c^4*e) + ((d + e*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*e) - (b*d*(c*d - e)*(c*d + e)*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^3)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 6, -((b*d*e*x)/c) - (b*e^2*x^2)/(6*c) - (b*d*(d^2 - (3*e^2)/c^2)*ArcTan[c*x])/(3*e) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*e) - (b*(3*c^2*d^2 - e^2)*Log[1 + c^2*x^2])/(6*c^3)}
+{(d + e*x)^1*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 6, -(b*e*x)/(2*c) - (b*(d^2 - e^2/c^2)*ArcTan[c*x])/(2*e) + ((d + e*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*e) - (b*d*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x)^1, x, 4, -(((a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/e) + ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/e + (I*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e) - (I*b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*e)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x)^2, x, 6, (b*c^2*d*ArcTan[c*x])/(e*(c^2*d^2 + e^2)) - (a + b*ArcTan[c*x])/(e*(d + e*x)) + (b*c*Log[d + e*x])/(c^2*d^2 + e^2) - (b*c*Log[1 + c^2*x^2])/(2*(c^2*d^2 + e^2))}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x)^3, x, 7, -(b*c)/(2*(c^2*d^2 + e^2)*(d + e*x)) + (b*c^2*(c*d - e)*(c*d + e)*ArcTan[c*x])/(2*e*(c^2*d^2 + e^2)^2) - (a + b*ArcTan[c*x])/(2*e*(d + e*x)^2) + (b*c^3*d*Log[d + e*x])/(c^2*d^2 + e^2)^2 - (b*c^3*d*Log[1 + c^2*x^2])/(2*(c^2*d^2 + e^2)^2)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x)^4, x, 7, -(b*c)/(6*(c^2*d^2 + e^2)*(d + e*x)^2) - (2*b*c^3*d)/(3*(c^2*d^2 + e^2)^2*(d + e*x)) + (b*c^4*d*(c^2*d^2 - 3*e^2)*ArcTan[c*x])/(3*e*(c^2*d^2 + e^2)^3) - (a + b*ArcTan[c*x])/(3*e*(d + e*x)^3) + (b*c^3*(3*c^2*d^2 - e^2)*Log[d + e*x])/(3*(c^2*d^2 + e^2)^3) - (b*c^3*(3*c^2*d^2 - e^2)*Log[1 + c^2*x^2])/(6*(c^2*d^2 + e^2)^3)}
+
+
+{(d + e*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 19, (b^2*d*e^2*x)/c^2 - (a*b*e*(6*c^2*d^2 - e^2)*x)/(2*c^3) + (b^2*e^3*x^2)/(12*c^2) - (b^2*d*e^2*ArcTan[c*x])/c^3 - (b^2*e*(6*c^2*d^2 - e^2)*x*ArcTan[c*x])/(2*c^3) - (b*d*e^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/c - (b*e^3*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(6*c) + (I*d*(c*d - e)*(c*d + e)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c^3 - ((c^4*d^4 - 6*c^2*d^2*e^2 + e^4)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*c^4*e) + ((d + e*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*e) + (2*b*d*(c*d - e)*(c*d + e)*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c^3 - (b^2*e^3*Log[1 + c^2*x^2])/(12*c^4) + (b^2*e*(6*c^2*d^2 - e^2)*Log[1 + c^2*x^2])/(4*c^4) + (I*b^2*d*(c*d - e)*(c*d + e)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c^3}
+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 15, (-2*a*b*d*e*x)/c + (b^2*e^2*x)/(3*c^2) - (b^2*e^2*ArcTan[c*x])/(3*c^3) - (2*b^2*d*e*x*ArcTan[c*x])/c - (b*e^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*c) + ((I/3)*(3*c^2*d^2 - e^2)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c^3 - (d*(d^2 - (3*e^2)/c^2)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(3*e) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(3*e) + (2*b*(3*c^2*d^2 - e^2)*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(3*c^3) + (b^2*d*e*Log[1 + c^2*x^2])/c^2 + ((I/3)*b^2*(3*c^2*d^2 - e^2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c^3}
+{(d + e*x)^1*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 12, -((a*b*e*x)/c) - (b^2*e*x*ArcTan[c*x])/c + (I*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c - ((d^2 - e^2/c^2)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*e) + ((d + e*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*e) + (2*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c + (b^2*e*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^2) + (I*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(d + e*x)^1, x, 1, -(((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/e) + ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/e + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/e - (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/e - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e) + (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*e)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(d + e*x)^2, x, 13, (I*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^2*d^2 + e^2) + (c^2*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(e*(c^2*d^2 + e^2)) - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(e*(d + e*x)) - (2*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/(c^2*d^2 + e^2) + (2*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d^2 + e^2) + (2*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(c^2*d^2 + e^2) + (I*b^2*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(c^2*d^2 + e^2) + (I*b^2*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d^2 + e^2) - (I*b^2*c*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(c^2*d^2 + e^2)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(d + e*x)^3, x, 19, (b^2*c^3*d*ArcTan[c*x])/(c^2*d^2 + e^2)^2 - (b*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/((c^2*d^2 + e^2)*(d + e*x)) + (I*c^3*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^2*d^2 + e^2)^2 + (c^2*(c*d - e)*(c*d + e)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*e*(c^2*d^2 + e^2)^2) - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(2*e*(d + e*x)^2) - (2*b*c^3*d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/(c^2*d^2 + e^2)^2 + (2*b*c^3*d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d^2 + e^2)^2 + (b^2*c^2*e*Log[d + e*x])/(c^2*d^2 + e^2)^2 + (2*b*c^3*d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(c^2*d^2 + e^2)^2 - (b^2*c^2*e*Log[1 + c^2*x^2])/(2*(c^2*d^2 + e^2)^2) + (I*b^2*c^3*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(c^2*d^2 + e^2)^2 + (I*b^2*c^3*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d^2 + e^2)^2 - (I*b^2*c^3*d*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(c^2*d^2 + e^2)^2}
+
+
+{(d + e*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x])^3, x, 29, (3*a*b^2*d*e^2*x)/c^2 - (b^3*e^3*x)/(4*c^3) + (b^3*e^3*ArcTan[c*x])/(4*c^4) + (3*b^3*d*e^2*x*ArcTan[c*x])/c^2 + (b^2*e^3*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*c^2) - (3*b*d*e^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c^3) + ((I/4)*b*e^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c^4 - (((3*I)/4)*b*e*(6*c^2*d^2 - e^2)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c^4 - (3*b*e*(6*c^2*d^2 - e^2)*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*c^3) - (3*b*d*e^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c) - (b*e^3*x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*c) + (I*d*(c*d - e)*(c*d + e)*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/c^3 - ((c^4*d^4 - 6*c^2*d^2*e^2 + e^4)*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(4*c^4*e) + ((d + e*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(4*e) + (b^2*e^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(2*c^4) - (3*b^2*e*(6*c^2*d^2 - e^2)*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(2*c^4) + (3*b*d*(c*d - e)*(c*d + e)*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/c^3 - (3*b^3*d*e^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^3) + ((I/4)*b^3*e^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c^4 - (((3*I)/4)*b^3*e*(6*c^2*d^2 - e^2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c^4 + ((3*I)*b^2*d*(c*d - e)*(c*d + e)*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c^3 + (3*b^3*d*(c*d - e)*(c*d + e)*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c^3)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^3, x, 20, (a*b^2*e^2*x)/c^2 + (b^3*e^2*x*ArcTan[c*x])/c^2 - ((3*I)*b*d*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c^2 - (b*e^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c^3) - (3*b*d*e*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c - (b*e^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c) + ((I/3)*(3*c^2*d^2 - e^2)*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/c^3 - (d*(d^2 - (3*e^2)/c^2)*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(3*e) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(3*e) - (6*b^2*d*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c^2 + (b*(3*c^2*d^2 - e^2)*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/c^3 - (b^3*e^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^3) - ((3*I)*b^3*d*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c^2 + (I*b^2*(3*c^2*d^2 - e^2)*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c^3 + (b^3*(3*c^2*d^2 - e^2)*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c^3)}
+{(d + e*x)^1*(a + b*ArcTan[c*x])^3, x, 14, (((-3*I)/2)*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c^2 - (3*b*e*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c) + (I*d*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/c - ((d^2 - e^2/c^2)*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(2*e) + ((d + e*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(2*e) - (3*b^2*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c^2 + (3*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/c - (((3*I)/2)*b^3*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c^2 + ((3*I)*b^2*d*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c + (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^3/(d + e*x)^1, x, 1, -(((a + b*ArcTan[c*x])^3*Log[2/(1 - I*c*x)])/e) + ((a + b*ArcTan[c*x])^3*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/e + (3*I*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e) - (3*I*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*e) - (3*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e) + (3*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*e) - (3*I*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(4*e) + (3*I*b^3*PolyLog[4, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(4*e)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^3/(d + e*x)^2, x, 10, (I*c*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(c^2*d^2 + e^2) + (c^2*d*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(e*(c^2*d^2 + e^2)) - (a + b*ArcTan[c*x])^3/(e*(d + e*x)) - (3*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/(c^2*d^2 + e^2) + (3*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d^2 + e^2) + (3*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(c^2*d^2 + e^2) + (3*I*b^2*c*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(c^2*d^2 + e^2) + (3*I*b^2*c*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d^2 + e^2) - (3*I*b^2*c*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(c^2*d^2 + e^2) - (3*b^3*c*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*(c^2*d^2 + e^2)) + (3*b^3*c*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*(c^2*d^2 + e^2)) + (3*b^3*c*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*(c^2*d^2 + e^2))}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^3/(d + e*x)^3, x, 23, (3*b*c^3*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*(c^2*d^2 + e^2)^2) + (3*I*b*c^2*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*(c^2*d^2 + e^2)^2) - (3*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*(c^2*d^2 + e^2)*(d + e*x)) + (I*c^3*d*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(c^2*d^2 + e^2)^2 + (c^2*(c*d - e)*(c*d + e)*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(2*e*(c^2*d^2 + e^2)^2) - (a + b*ArcTan[c*x])^3/(2*e*(d + e*x)^2) - (3*b^2*c^2*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/(c^2*d^2 + e^2)^2 - (3*b*c^3*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/(c^2*d^2 + e^2)^2 + (3*b^2*c^2*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d^2 + e^2)^2 + (3*b*c^3*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d^2 + e^2)^2 + (3*b^2*c^2*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(c^2*d^2 + e^2)^2 + (3*b*c^3*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(c^2*d^2 + e^2)^2 + (3*I*b^3*c^2*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*(c^2*d^2 + e^2)^2) + (3*I*b^2*c^3*d*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(c^2*d^2 + e^2)^2 + (3*I*b^3*c^2*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*(c^2*d^2 + e^2)^2) + (3*I*b^2*c^3*d*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d^2 + e^2)^2 - (3*I*b^3*c^2*e*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*(c^2*d^2 + e^2)^2) - (3*I*b^2*c^3*d*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(c^2*d^2 + e^2)^2 - (3*b^3*c^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*(c^2*d^2 + e^2)^2) + (3*b^3*c^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*(c^2*d^2 + e^2)^2) + (3*b^3*c^3*d*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*(c^2*d^2 + e^2)^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcTan[c x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcTan[c x^2])^p*)
+
+
+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x^2]), x, 17, -((2*b*e^2*x)/(3*c)) - (b*d^3*ArcTan[c*x^2])/(3*e) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x^2]))/(3*e) + (b*(3*c*d^2 - e^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[c]*x])/(3*Sqrt[2]*c^(3/2)) - (b*(3*c*d^2 - e^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[c]*x])/(3*Sqrt[2]*c^(3/2)) - (b*(3*c*d^2 + e^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[c]*x + c*x^2])/(6*Sqrt[2]*c^(3/2)) + (b*(3*c*d^2 + e^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[c]*x + c*x^2])/(6*Sqrt[2]*c^(3/2)) - (b*d*e*Log[1 + c^2*x^4])/(2*c)}
+{(d + e*x)^1*(a + b*ArcTan[c*x^2]), x, 16, -((b*d^2*ArcTan[c*x^2])/(2*e)) + ((d + e*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x^2]))/(2*e) + (b*d*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[c]*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c]) - (b*d*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[c]*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[c]) - (b*d*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[c]*x + c*x^2])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c]) + (b*d*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[c]*x + c*x^2])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[c]) - (b*e*Log[1 + c^2*x^4])/(4*c)}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])/(d + e*x)^1, x, 19, ((a + b*ArcTan[c*x^2])*Log[d + e*x])/e + (b*c*Log[(e*(1 - (-c^2)^(1/4)*x))/((-c^2)^(1/4)*d + e)]*Log[d + e*x])/(2*Sqrt[-c^2]*e) + (b*c*Log[-((e*(1 + (-c^2)^(1/4)*x))/((-c^2)^(1/4)*d - e))]*Log[d + e*x])/(2*Sqrt[-c^2]*e) - (b*c*Log[(e*(1 - Sqrt[-Sqrt[-c^2]]*x))/(Sqrt[-Sqrt[-c^2]]*d + e)]*Log[d + e*x])/(2*Sqrt[-c^2]*e) - (b*c*Log[-((e*(1 + Sqrt[-Sqrt[-c^2]]*x))/(Sqrt[-Sqrt[-c^2]]*d - e))]*Log[d + e*x])/(2*Sqrt[-c^2]*e) + (b*c*PolyLog[2, ((-c^2)^(1/4)*(d + e*x))/((-c^2)^(1/4)*d - e)])/(2*Sqrt[-c^2]*e) - (b*c*PolyLog[2, (Sqrt[-Sqrt[-c^2]]*(d + e*x))/(Sqrt[-Sqrt[-c^2]]*d - e)])/(2*Sqrt[-c^2]*e) + (b*c*PolyLog[2, ((-c^2)^(1/4)*(d + e*x))/((-c^2)^(1/4)*d + e)])/(2*Sqrt[-c^2]*e) - (b*c*PolyLog[2, (Sqrt[-Sqrt[-c^2]]*(d + e*x))/(Sqrt[-Sqrt[-c^2]]*d + e)])/(2*Sqrt[-c^2]*e)}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])/(d + e*x)^2, x, 18, (b*c^2*d^3*ArcTan[c*x^2])/(e*(c^2*d^4 + e^4)) - (a + b*ArcTan[c*x^2])/(e*(d + e*x)) + (b*Sqrt[c]*(c*d^2 - e^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[c]*x])/(Sqrt[2]*(c^2*d^4 + e^4)) - (b*Sqrt[c]*(c*d^2 - e^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[c]*x])/(Sqrt[2]*(c^2*d^4 + e^4)) - (2*b*c*d*e*Log[d + e*x])/(c^2*d^4 + e^4) - (b*Sqrt[c]*(c*d^2 + e^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[c]*x + c*x^2])/(2*Sqrt[2]*(c^2*d^4 + e^4)) + (b*Sqrt[c]*(c*d^2 + e^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[c]*x + c*x^2])/(2*Sqrt[2]*(c^2*d^4 + e^4)) + (b*c*d*e*Log[1 + c^2*x^4])/(2*(c^2*d^4 + e^4))}
+
+
+(* {(d + e*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2, x, 163, a^2*d^2*x - (4*a*b*e^2*x)/(3*c) + (2/9)*I*a*b*e^2*x^3 - (2*(-1)^(3/4)*a*b*d^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x])/Sqrt[c] + (4*(-1)^(3/4)*b^2*e^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x])/(3*c^(3/2)) + ((-1)^(3/4)*b^2*d^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]^2)/Sqrt[c] + ((-1)^(1/4)*b^2*e^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]^2)/(3*c^(3/2)) + (I*d*e*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2)/c + d*e*x^2*(a + b*ArcTan[c*x^2])^2 + (2*(-1)^(3/4)*a*b*d^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x])/Sqrt[c] - (2*(-1)^(1/4)*a*b*e^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x])/(3*c^(3/2)) - (4*(-1)^(3/4)*b^2*e^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x])/(3*c^(3/2)) - ((-1)^(1/4)*b^2*d^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]^2)/Sqrt[c] - ((-1)^(3/4)*b^2*e^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]^2)/(3*c^(3/2)) + (2*(-1)^(1/4)*b^2*d^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - (2*(-1)^(3/4)*b^2*e^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) - (2*(-1)^(1/4)*b^2*d^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + (2*(-1)^(3/4)*b^2*e^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) + ((-1)^(1/4)*b^2*d^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[c]*x]*Log[(Sqrt[2]*((-1)^(1/4) + Sqrt[c]*x))/(1 + (-1)^(1/4)*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - 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+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcTan[c x^3])^p*)
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+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcTan[c x^3])^p*)
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+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x^3]), x, 24, -((b*d*e*ArcTan[c^(1/3)*x])/c^(2/3)) - (b*d^3*ArcTan[c*x^3])/(3*e) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x^3]))/(3*e) + (b*d*e*ArcTan[Sqrt[3] - 2*c^(1/3)*x])/(2*c^(2/3)) - (b*d*e*ArcTan[Sqrt[3] + 2*c^(1/3)*x])/(2*c^(2/3)) + (Sqrt[3]*b*d^2*ArcTan[(1 - 2*c^(2/3)*x^2)/Sqrt[3]])/(2*c^(1/3)) + (b*d^2*Log[1 + c^(2/3)*x^2])/(2*c^(1/3)) - (Sqrt[3]*b*d*e*Log[1 - Sqrt[3]*c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(4*c^(2/3)) + (Sqrt[3]*b*d*e*Log[1 + Sqrt[3]*c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(4*c^(2/3)) - (b*d^2*Log[1 - c^(2/3)*x^2 + c^(4/3)*x^4])/(4*c^(1/3)) - (b*e^2*Log[1 + c^2*x^6])/(6*c)}
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+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b ArcTan[c x])^p with c^2 d^2+e^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b ArcTan[c x])^1 with c^2 d^2+e^2=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{x^3*(d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 7, (b*d*x)/(4*c^3) + ((I/10)*b*d*x^2)/c^2 - (b*d*x^3)/(12*c) - (I/20)*b*d*x^4 - (b*d*ArcTan[c*x])/(4*c^4) + (d*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/4 + (I/5)*c*d*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]) - ((I/10)*b*d*Log[1 + c^2*x^2])/c^4}
+{x^2*(d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 7, ((I/4)*b*d*x)/c^2 - (b*d*x^2)/(6*c) - (I/12)*b*d*x^3 - ((I/4)*b*d*ArcTan[c*x])/c^3 + (d*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/3 + (I/4)*c*d*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]) + (b*d*Log[1 + c^2*x^2])/(6*c^3)}
+{x*(d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 7, -(b*d*x)/(2*c) - (I/6)*b*d*x^2 + (b*d*ArcTan[c*x])/(2*c^2) + (d*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/2 + (I/3)*c*d*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]) + ((I/6)*b*d*Log[1 + c^2*x^2])/c^2}
+{(d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 4, (-I/2)*b*d*x - ((I/2)*d*(1 + I*c*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/c - (b*d*Log[I + c*x])/c}
+{((d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x]))/x, x, 8, I*a*c*d*x + I*b*c*d*x*ArcTan[c*x] + a*d*Log[x] - (I/2)*b*d*Log[1 + c^2*x^2] + (I/2)*b*d*PolyLog[2, (-I)*c*x] - (I/2)*b*d*PolyLog[2, I*c*x]}
+{((d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^2, x, 10, -((d*(a + b*ArcTan[c*x]))/x) + I*a*c*d*Log[x] + b*c*d*Log[x] - (b*c*d*Log[1 + c^2*x^2])/2 - (b*c*d*PolyLog[2, (-I)*c*x])/2 + (b*c*d*PolyLog[2, I*c*x])/2}
+{((d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^3, x, 4, -(b*c*d)/(2*x) - (d*(1 + I*c*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*x^2) + I*b*c^2*d*Log[x] - I*b*c^2*d*Log[I + c*x]}
+{((d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^4, x, 4, -(b*c*d)/(6*x^2) - ((I/2)*b*c^2*d)/x - (d*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*x^3) - ((I/2)*c*d*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^2 - (b*c^3*d*Log[x])/3 - (b*c^3*d*Log[I - c*x])/12 + (5*b*c^3*d*Log[I + c*x])/12}
+{((d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^5, x, 4, -(b*c*d)/(12*x^3) - ((I/6)*b*c^2*d)/x^2 + (b*c^3*d)/(4*x) - (d*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*x^4) - ((I/3)*c*d*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^3 - (I/3)*b*c^4*d*Log[x] + (I/24)*b*c^4*d*Log[I - c*x] + ((7*I)/24)*b*c^4*d*Log[I + c*x]}
+
+
+{x^3*(d + I*c*d*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 7, (5*b*d^2*x)/(12*c^3) + ((I/5)*b*d^2*x^2)/c^2 - (5*b*d^2*x^3)/(36*c) - (I/10)*b*d^2*x^4 + (b*c*d^2*x^5)/30 - (5*b*d^2*ArcTan[c*x])/(12*c^4) + (d^2*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/4 + ((2*I)/5)*c*d^2*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]) - (c^2*d^2*x^6*(a + b*ArcTan[c*x]))/6 - ((I/5)*b*d^2*Log[1 + c^2*x^2])/c^4}
+{x^2*(d + I*c*d*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 7, ((I/2)*b*d^2*x)/c^2 - (4*b*d^2*x^2)/(15*c) - (I/6)*b*d^2*x^3 + (b*c*d^2*x^4)/20 - ((I/2)*b*d^2*ArcTan[c*x])/c^3 + (d^2*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/3 + (I/2)*c*d^2*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]) - (c^2*d^2*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/5 + (4*b*d^2*Log[1 + c^2*x^2])/(15*c^3)}
+{x*(d + I*c*d*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 7, (-3*b*d^2*x)/(4*c) - (I/3)*b*d^2*x^2 + (b*c*d^2*x^3)/12 + (3*b*d^2*ArcTan[c*x])/(4*c^2) + (d^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/2 + ((2*I)/3)*c*d^2*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]) - (c^2*d^2*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/4 + ((I/3)*b*d^2*Log[1 + c^2*x^2])/c^2}
+{(d + I*c*d*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 4, (-(2/3))*I*b*d^2*x - (b*d^2*(1 + I*c*x)^2)/(6*c) - (I*d^2*(1 + I*c*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*c) - (4*b*d^2*Log[1 - I*c*x])/(3*c)}
+{((d + I*c*d*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/x, x, 11, (2*I)*a*c*d^2*x + (b*c*d^2*x)/2 - (b*d^2*ArcTan[c*x])/2 + (2*I)*b*c*d^2*x*ArcTan[c*x] - (c^2*d^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/2 + a*d^2*Log[x] - I*b*d^2*Log[1 + c^2*x^2] + (I/2)*b*d^2*PolyLog[2, (-I)*c*x] - (I/2)*b*d^2*PolyLog[2, I*c*x]}
+{((d + I*c*d*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^2, x, 13, (-a)*c^2*d^2*x - b*c^2*d^2*x*ArcTan[c*x] - (d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/x + 2*I*a*c*d^2*Log[x] + b*c*d^2*Log[x] - b*c*d^2*PolyLog[2, (-I)*c*x] + b*c*d^2*PolyLog[2, I*c*x]}
+{((d + I*c*d*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^3, x, 13, -(b*c*d^2)/(2*x) - (b*c^2*d^2*ArcTan[c*x])/2 - (d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*x^2) - ((2*I)*c*d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/x - a*c^2*d^2*Log[x] + (2*I)*b*c^2*d^2*Log[x] - I*b*c^2*d^2*Log[1 + c^2*x^2] - (I/2)*b*c^2*d^2*PolyLog[2, (-I)*c*x] + (I/2)*b*c^2*d^2*PolyLog[2, I*c*x]}
+{((d + I*c*d*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^4, x, 4, -(b*c*d^2)/(6*x^2) - (I*b*c^2*d^2)/x - (d^2*(1 + I*c*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*x^3) - (4*b*c^3*d^2*Log[x])/3 + (4*b*c^3*d^2*Log[I + c*x])/3}
+{((d + I*c*d*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^5, x, 4, -(b*c*d^2)/(12*x^3) - ((I/3)*b*c^2*d^2)/x^2 + (3*b*c^3*d^2)/(4*x) - (d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*x^4) - (((2*I)/3)*c*d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^3 + (c^2*d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*x^2) - ((2*I)/3)*b*c^4*d^2*Log[x] - (I/24)*b*c^4*d^2*Log[I - c*x] + ((17*I)/24)*b*c^4*d^2*Log[I + c*x]}
+{((d + I*c*d*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^6, x, 4, -(b*c*d^2)/(20*x^4) - ((I/6)*b*c^2*d^2)/x^3 + (4*b*c^3*d^2)/(15*x^2) + ((I/2)*b*c^4*d^2)/x - (d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*x^5) - ((I/2)*c*d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^4 + (c^2*d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*x^3) + (8*b*c^5*d^2*Log[x])/15 - (b*c^5*d^2*Log[I - c*x])/60 - (31*b*c^5*d^2*Log[I + c*x])/60}
+
+
+{x^3*(d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 7, (3*b*d^3*x)/(4*c^3) + (((13*I)/35)*b*d^3*x^2)/c^2 - (b*d^3*x^3)/(4*c) - ((13*I)/70)*b*d^3*x^4 + (b*c*d^3*x^5)/10 + (I/42)*b*c^2*d^3*x^6 - (3*b*d^3*ArcTan[c*x])/(4*c^4) + (d^3*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/4 + ((3*I)/5)*c*d^3*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]) - (c^2*d^3*x^6*(a + b*ArcTan[c*x]))/2 - (I/7)*c^3*d^3*x^7*(a + b*ArcTan[c*x]) - (((13*I)/35)*b*d^3*Log[1 + c^2*x^2])/c^4}
+{x^2*(d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 7, (((11*I)/12)*b*d^3*x)/c^2 - (7*b*d^3*x^2)/(15*c) - ((11*I)/36)*b*d^3*x^3 + (3*b*c*d^3*x^4)/20 + (I/30)*b*c^2*d^3*x^5 - (((11*I)/12)*b*d^3*ArcTan[c*x])/c^3 + (d^3*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/3 + ((3*I)/4)*c*d^3*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]) - (3*c^2*d^3*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/5 - (I/6)*c^3*d^3*x^6*(a + b*ArcTan[c*x]) + (7*b*d^3*Log[1 + c^2*x^2])/(15*c^3)}
+{x*(d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 4, (-3*b*d^3*x)/(5*c) - (((3*I)/20)*b*d^3*(I - c*x)^2)/c^2 - (b*d^3*(I - c*x)^3)/(20*c^2) + ((I/20)*b*d^3*(I - c*x)^4)/c^2 + (d^3*(1 + I*c*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*c^2) - (d^3*(1 + I*c*x)^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*c^2) + (((6*I)/5)*b*d^3*Log[I + c*x])/c^2}
+{(d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 4, (-I)*b*d^3*x - (b*d^3*(1 + I*c*x)^2)/(4*c) - (b*d^3*(1 + I*c*x)^3)/(12*c) - (I*d^3*(1 + I*c*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*c) - (2*b*d^3*Log[1 - I*c*x])/c}
+{((d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x, x, 15, (3*I)*a*c*d^3*x + (3*b*c*d^3*x)/2 + (I/6)*b*c^2*d^3*x^2 - (3*b*d^3*ArcTan[c*x])/2 + (3*I)*b*c*d^3*x*ArcTan[c*x] - (3*c^2*d^3*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/2 - (I/3)*c^3*d^3*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]) + a*d^3*Log[x] - ((5*I)/3)*b*d^3*Log[1 + c^2*x^2] + (I/2)*b*d^3*PolyLog[2, (-I)*c*x] - (I/2)*b*d^3*PolyLog[2, I*c*x]}
+{((d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^2, x, 16, -3*a*c^2*d^3*x + (I/2)*b*c^2*d^3*x - (I/2)*b*c*d^3*ArcTan[c*x] - 3*b*c^2*d^3*x*ArcTan[c*x] - (d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x - (I/2)*c^3*d^3*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) + (3*I)*a*c*d^3*Log[x] + b*c*d^3*Log[x] + b*c*d^3*Log[1 + c^2*x^2] - (3*b*c*d^3*PolyLog[2, (-I)*c*x])/2 + (3*b*c*d^3*PolyLog[2, I*c*x])/2}
+{((d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^3, x, 16, -(b*c*d^3)/(2*x) - I*a*c^3*d^3*x - (b*c^2*d^3*ArcTan[c*x])/2 - I*b*c^3*d^3*x*ArcTan[c*x] - (d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*x^2) - ((3*I)*c*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x - 3*a*c^2*d^3*Log[x] + (3*I)*b*c^2*d^3*Log[x] - I*b*c^2*d^3*Log[1 + c^2*x^2] - ((3*I)/2)*b*c^2*d^3*PolyLog[2, (-I)*c*x] + ((3*I)/2)*b*c^2*d^3*PolyLog[2, I*c*x]}
+{((d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^4, x, 17, -(b*c*d^3)/(6*x^2) - (((3*I)/2)*b*c^2*d^3)/x - ((3*I)/2)*b*c^3*d^3*ArcTan[c*x] - (d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*x^3) - (((3*I)/2)*c*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^2 + (3*c^2*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x - I*a*c^3*d^3*Log[x] - (10*b*c^3*d^3*Log[x])/3 + (5*b*c^3*d^3*Log[1 + c^2*x^2])/3 + (b*c^3*d^3*PolyLog[2, (-I)*c*x])/2 - (b*c^3*d^3*PolyLog[2, I*c*x])/2}
+{((d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^5, x, 4, -(b*c*d^3)/(12*x^3) - ((I/2)*b*c^2*d^3)/x^2 + (7*b*c^3*d^3)/(4*x) - (d^3*(1 + I*c*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*x^4) - (2*I)*b*c^4*d^3*Log[x] + (2*I)*b*c^4*d^3*Log[I + c*x]}
+{((d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^6, x, 4, -(b*c*d^3)/(20*x^4) - ((I/4)*b*c^2*d^3)/x^3 + (3*b*c^3*d^3)/(5*x^2) + (((5*I)/4)*b*c^4*d^3)/x - (d^3*(1 + I*c*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*x^5) + ((I/20)*c*d^3*(1 + I*c*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^4 + (6*b*c^5*d^3*Log[x])/5 - (6*b*c^5*d^3*Log[I + c*x])/5}
+{((d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^7, x, 4, -(b*c*d^3)/(30*x^5) - (((3*I)/20)*b*c^2*d^3)/x^4 + (11*b*c^3*d^3)/(36*x^3) + (((7*I)/15)*b*c^4*d^3)/x^2 - (11*b*c^5*d^3)/(12*x) - (d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(6*x^6) - (((3*I)/5)*c*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^5 + (3*c^2*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*x^4) + ((I/3)*c^3*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^3 + ((14*I)/15)*b*c^6*d^3*Log[x] - (I/120)*b*c^6*d^3*Log[I - c*x] - ((37*I)/40)*b*c^6*d^3*Log[I + c*x]}
+
+
+{x^3*(d + I*c*d*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 7, (11*b*d^4*x)/(8*c^3) + (((24*I)/35)*b*d^4*x^2)/c^2 - (11*b*d^4*x^3)/(24*c) - ((12*I)/35)*b*d^4*x^4 + (9*b*c*d^4*x^5)/40 + ((2*I)/21)*b*c^2*d^4*x^6 - (b*c^3*d^4*x^7)/56 - (11*b*d^4*ArcTan[c*x])/(8*c^4) + (d^4*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/4 + ((4*I)/5)*c*d^4*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]) - c^2*d^4*x^6*(a + b*ArcTan[c*x]) - ((4*I)/7)*c^3*d^4*x^7*(a + b*ArcTan[c*x]) + (c^4*d^4*x^8*(a + b*ArcTan[c*x]))/8 - (((24*I)/35)*b*d^4*Log[1 + c^2*x^2])/c^4}
+{x^2*(d + I*c*d*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 4, (((5*I)/3)*b*d^4*x)/c^2 - (88*b*d^4*x^2)/(105*c) - ((5*I)/9)*b*d^4*x^3 + (47*b*c*d^4*x^4)/140 + ((2*I)/15)*b*c^2*d^4*x^5 - (b*c^3*d^4*x^6)/42 + ((I/5)*d^4*(1 + I*c*x)^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/c^3 - ((I/3)*d^4*(1 + I*c*x)^6*(a + b*ArcTan[c*x]))/c^3 + ((I/7)*d^4*(1 + I*c*x)^7*(a + b*ArcTan[c*x]))/c^3 + (176*b*d^4*Log[I + c*x])/(105*c^3)}
+{x*(d + I*c*d*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 4, (-16*b*d^4*x)/(15*c) - (((4*I)/15)*b*d^4*(I - c*x)^2)/c^2 - (4*b*d^4*(I - c*x)^3)/(45*c^2) + ((I/30)*b*d^4*(I - c*x)^4)/c^2 + (b*d^4*(I - c*x)^5)/(30*c^2) + (d^4*(1 + I*c*x)^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*c^2) - (d^4*(1 + I*c*x)^6*(a + b*ArcTan[c*x]))/(6*c^2) + (((32*I)/15)*b*d^4*Log[I + c*x])/c^2}
+{(d + I*c*d*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]), x, 4, (-(8/5))*I*b*d^4*x - (2*b*d^4*(1 + I*c*x)^2)/(5*c) - (2*b*d^4*(1 + I*c*x)^3)/(15*c) - (b*d^4*(1 + I*c*x)^4)/(20*c) - (I*d^4*(1 + I*c*x)^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*c) - (16*b*d^4*Log[1 - I*c*x])/(5*c)}
+{((d + I*c*d*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/x, x, 19, (4*I)*a*c*d^4*x + (13*b*c*d^4*x)/4 + ((2*I)/3)*b*c^2*d^4*x^2 - (b*c^3*d^4*x^3)/12 - (13*b*d^4*ArcTan[c*x])/4 + (4*I)*b*c*d^4*x*ArcTan[c*x] - 3*c^2*d^4*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) - ((4*I)/3)*c^3*d^4*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]) + (c^4*d^4*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/4 + a*d^4*Log[x] - ((8*I)/3)*b*d^4*Log[1 + c^2*x^2] + (I/2)*b*d^4*PolyLog[2, (-I)*c*x] - (I/2)*b*d^4*PolyLog[2, I*c*x]}
+{((d + I*c*d*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^2, x, 20, -6*a*c^2*d^4*x + (2*I)*b*c^2*d^4*x - (b*c^3*d^4*x^2)/6 - (2*I)*b*c*d^4*ArcTan[c*x] - 6*b*c^2*d^4*x*ArcTan[c*x] - (d^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/x - (2*I)*c^3*d^4*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) + (c^4*d^4*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/3 + (4*I)*a*c*d^4*Log[x] + b*c*d^4*Log[x] + (8*b*c*d^4*Log[1 + c^2*x^2])/3 - 2*b*c*d^4*PolyLog[2, (-I)*c*x] + 2*b*c*d^4*PolyLog[2, I*c*x]}
+{((d + I*c*d*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^3, x, 19, -(b*c*d^4)/(2*x) - (4*I)*a*c^3*d^4*x - (b*c^3*d^4*x)/2 - (4*I)*b*c^3*d^4*x*ArcTan[c*x] - (d^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*x^2) - ((4*I)*c*d^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/x + (c^4*d^4*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/2 - 6*a*c^2*d^4*Log[x] + (4*I)*b*c^2*d^4*Log[x] - (3*I)*b*c^2*d^4*PolyLog[2, (-I)*c*x] + (3*I)*b*c^2*d^4*PolyLog[2, I*c*x]}
+{((d + I*c*d*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^4, x, 20, -(b*c*d^4)/(6*x^2) - ((2*I)*b*c^2*d^4)/x + a*c^4*d^4*x - (2*I)*b*c^3*d^4*ArcTan[c*x] + b*c^4*d^4*x*ArcTan[c*x] - (d^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*x^3) - ((2*I)*c*d^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^2 + (6*c^2*d^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/x - (4*I)*a*c^3*d^4*Log[x] - (19*b*c^3*d^4*Log[x])/3 + (8*b*c^3*d^4*Log[1 + c^2*x^2])/3 + 2*b*c^3*d^4*PolyLog[2, (-I)*c*x] - 2*b*c^3*d^4*PolyLog[2, I*c*x]}
+{((d + I*c*d*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^5, x, 21, -(b*c*d^4)/(12*x^3) - (((2*I)/3)*b*c^2*d^4)/x^2 + (13*b*c^3*d^4)/(4*x) + (13*b*c^4*d^4*ArcTan[c*x])/4 - (d^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*x^4) - (((4*I)/3)*c*d^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^3 + (3*c^2*d^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^2 + ((4*I)*c^3*d^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/x + a*c^4*d^4*Log[x] - ((16*I)/3)*b*c^4*d^4*Log[x] + ((8*I)/3)*b*c^4*d^4*Log[1 + c^2*x^2] + (I/2)*b*c^4*d^4*PolyLog[2, (-I)*c*x] - (I/2)*b*c^4*d^4*PolyLog[2, I*c*x]}
+{((d + I*c*d*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^6, x, 4, -(b*c*d^4)/(20*x^4) - ((I/3)*b*c^2*d^4)/x^3 + (11*b*c^3*d^4)/(10*x^2) + ((3*I)*b*c^4*d^4)/x - (d^4*(1 + I*c*x)^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*x^5) + (16*b*c^5*d^4*Log[x])/5 - (16*b*c^5*d^4*Log[I + c*x])/5}
+{((d + I*c*d*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^7, x, 4, -(b*c*d^4)/(30*x^5) - ((I/5)*b*c^2*d^4)/x^4 + (5*b*c^3*d^4)/(9*x^3) + (((16*I)/15)*b*c^4*d^4)/x^2 - (13*b*c^5*d^4)/(6*x) - (d^4*(1 + I*c*x)^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/(6*x^6) + ((I/30)*c*d^4*(1 + I*c*x)^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^5 + ((32*I)/15)*b*c^6*d^4*Log[x] - ((32*I)/15)*b*c^6*d^4*Log[I + c*x]}
+{((d + I*c*d*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^8, x, 4, -(b*c*d^4)/(42*x^6) - (((2*I)/15)*b*c^2*d^4)/x^5 + (47*b*c^3*d^4)/(140*x^4) + (((5*I)/9)*b*c^4*d^4)/x^3 - (88*b*c^5*d^4)/(105*x^2) - (((5*I)/3)*b*c^6*d^4)/x - (d^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(7*x^7) - (((2*I)/3)*c*d^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^6 + (6*c^2*d^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*x^5) + (I*c^3*d^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^4 - (c^4*d^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*x^3) - (176*b*c^7*d^4*Log[x])/105 + (b*c^7*d^4*Log[I - c*x])/210 + (117*b*c^7*d^4*Log[I + c*x])/70}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{(x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d + I*c*d*x), x, 16, (I*a*x)/(c^3*d) - (b*x)/(2*c^3*d) + ((I/6)*b*x^2)/(c^2*d) + (b*ArcTan[c*x])/(2*c^4*d) + (I*b*x*ArcTan[c*x])/(c^3*d) + (x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*c^2*d) - ((I/3)*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c*d) + ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^4*d) - (((2*I)/3)*b*Log[1 + c^2*x^2])/(c^4*d) + ((I/2)*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^4*d)}
+{(x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d + I*c*d*x), x, 11, (a*x)/(c^2*d) + ((I/2)*b*x)/(c^2*d) - ((I/2)*b*ArcTan[c*x])/(c^3*d) + (b*x*ArcTan[c*x])/(c^2*d) - ((I/2)*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c*d) - (I*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d) - (b*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^3*d) + (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c^3*d)}
+{(x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d + I*c*d*x), x, 7, ((-I)*a*x)/(c*d) - (I*b*x*ArcTan[c*x])/(c*d) - ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d) + ((I/2)*b*Log[1 + c^2*x^2])/(c^2*d) - ((I/2)*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(d + I*c*d*x), x, 3, (I*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c*d) - (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c*d)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x*(d + I*c*d*x)), x, 2, ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 + I*c*x)])/d + ((I/2)*b*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^2*(d + I*c*d*x)), x, 8, -((a + b*ArcTan[c*x])/(d*x)) + (b*c*Log[x])/d - (b*c*Log[1 + c^2*x^2])/(2*d) - (I*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 + I*c*x)])/d + (b*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/(2*d)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^3*(d + I*c*d*x)), x, 12, -(b*c)/(2*d*x) - (b*c^2*ArcTan[c*x])/(2*d) - (a + b*ArcTan[c*x])/(2*d*x^2) + (I*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d*x) - (I*b*c^2*Log[x])/d + ((I/2)*b*c^2*Log[1 + c^2*x^2])/d - (c^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 + I*c*x)])/d - ((I/2)*b*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^4*(d + I*c*d*x)), x, 17, -(b*c)/(6*d*x^2) + ((I/2)*b*c^2)/(d*x) + ((I/2)*b*c^3*ArcTan[c*x])/d - (a + b*ArcTan[c*x])/(3*d*x^3) + ((I/2)*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d*x^2) + (c^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d*x) - (4*b*c^3*Log[x])/(3*d) + (2*b*c^3*Log[1 + c^2*x^2])/(3*d) + (I*c^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 + I*c*x)])/d - (b*c^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/(2*d)}
+
+
+{(x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d + I*c*d*x)^2, x, 16, ((-2*I)*a*x)/(c^3*d^2) + (b*x)/(2*c^3*d^2) + b/(2*c^4*d^2*(I - c*x)) - (b*ArcTan[c*x])/(c^4*d^2) - ((2*I)*b*x*ArcTan[c*x])/(c^3*d^2) - (x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*c^2*d^2) + (I*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c^4*d^2*(I - c*x)) - (3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^4*d^2) + (I*b*Log[1 + c^2*x^2])/(c^4*d^2) - (((3*I)/2)*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^4*d^2)}
+{(x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d + I*c*d*x)^2, x, 13, -((a*x)/(c^2*d^2)) - ((I/2)*b)/(c^3*d^2*(I - c*x)) + ((I/2)*b*ArcTan[c*x])/(c^3*d^2) - (b*x*ArcTan[c*x])/(c^2*d^2) + (a + b*ArcTan[c*x])/(c^3*d^2*(I - c*x)) + ((2*I)*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d^2) + (b*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^3*d^2) - (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d^2)}
+{(x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d + I*c*d*x)^2, x, 10, -b/(2*c^2*d^2*(I - c*x)) + (b*ArcTan[c*x])/(2*c^2*d^2) - (I*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c^2*d^2*(I - c*x)) + ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d^2) + ((I/2)*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d^2)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(d + I*c*d*x)^2, x, 5, ((I/2)*b)/(c*d^2*(I - c*x)) - ((I/2)*b*ArcTan[c*x])/(c*d^2) + (I*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c*d^2*(1 + I*c*x))}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x*(d + I*c*d*x)^2), x, 13, b/(2*d^2*(I - c*x)) - (b*ArcTan[c*x])/(2*d^2) + (I*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^2*(I - c*x)) + (a*Log[x])/d^2 + ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/d^2 + ((I/2)*b*PolyLog[2, (-I)*c*x])/d^2 - ((I/2)*b*PolyLog[2, I*c*x])/d^2 + ((I/2)*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^2}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^2*(d + I*c*d*x)^2), x, 18, ((-I/2)*b*c)/(d^2*(I - c*x)) + ((I/2)*b*c*ArcTan[c*x])/d^2 - (a + b*ArcTan[c*x])/(d^2*x) + (c*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^2*(I - c*x)) - ((2*I)*a*c*Log[x])/d^2 + (b*c*Log[x])/d^2 - ((2*I)*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/d^2 - (b*c*Log[1 + c^2*x^2])/(2*d^2) + (b*c*PolyLog[2, (-I)*c*x])/d^2 - (b*c*PolyLog[2, I*c*x])/d^2 + (b*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^2}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^3*(d + I*c*d*x)^2), x, 21, -(b*c)/(2*d^2*x) - (b*c^2)/(2*d^2*(I - c*x)) - (a + b*ArcTan[c*x])/(2*d^2*x^2) + ((2*I)*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^2*x) - (I*c^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^2*(I - c*x)) - (3*a*c^2*Log[x])/d^2 - ((2*I)*b*c^2*Log[x])/d^2 - (3*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/d^2 + (I*b*c^2*Log[1 + c^2*x^2])/d^2 - (((3*I)/2)*b*c^2*PolyLog[2, (-I)*c*x])/d^2 + (((3*I)/2)*b*c^2*PolyLog[2, I*c*x])/d^2 - (((3*I)/2)*b*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^2}
+
+
+{(x^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d + I*c*d*x)^3, x, 21, (-3*a*x)/(c^4*d^3) - ((I/2)*b*x)/(c^4*d^3) - b/(8*c^5*d^3*(I - c*x)^2) - (((15*I)/8)*b)/(c^5*d^3*(I - c*x)) + (((19*I)/8)*b*ArcTan[c*x])/(c^5*d^3) - (3*b*x*ArcTan[c*x])/(c^4*d^3) + ((I/2)*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c^3*d^3) - ((I/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c^5*d^3*(I - c*x)^2) + (4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c^5*d^3*(I - c*x)) + ((6*I)*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^5*d^3) + (3*b*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^5*d^3) - (3*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^5*d^3)}
+{(x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d + I*c*d*x)^3, x, 18, (I*a*x)/(c^3*d^3) + ((I/8)*b)/(c^4*d^3*(I - c*x)^2) - (11*b)/(8*c^4*d^3*(I - c*x)) + (11*b*ArcTan[c*x])/(8*c^4*d^3) + (I*b*x*ArcTan[c*x])/(c^3*d^3) - (a + b*ArcTan[c*x])/(2*c^4*d^3*(I - c*x)^2) - ((3*I)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c^4*d^3*(I - c*x)) + (3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^4*d^3) - ((I/2)*b*Log[1 + c^2*x^2])/(c^4*d^3) + (((3*I)/2)*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^4*d^3)}
+{(x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d + I*c*d*x)^3, x, 15, b/(8*c^3*d^3*(I - c*x)^2) + (((7*I)/8)*b)/(c^3*d^3*(I - c*x)) - (((7*I)/8)*b*ArcTan[c*x])/(c^3*d^3) + ((I/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c^3*d^3*(I - c*x)^2) - (2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c^3*d^3*(I - c*x)) - (I*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d^3) + (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c^3*d^3)}
+{(x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d + I*c*d*x)^3, x, 5, ((-I/8)*b)/(c^2*d^3*(I - c*x)^2) + (3*b)/(8*c^2*d^3*(I - c*x)) + (b*ArcTan[c*x])/(8*c^2*d^3) + (x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*d^3*(1 + I*c*x)^2)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(d + I*c*d*x)^3, x, 5, -b/(8*c*d^3*(I - c*x)^2) + ((I/8)*b)/(c*d^3*(I - c*x)) - ((I/8)*b*ArcTan[c*x])/(c*d^3) + ((I/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c*d^3*(1 + I*c*x)^2)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x*(d + I*c*d*x)^3), x, 18, ((I/8)*b)/(d^3*(I - c*x)^2) + (5*b)/(8*d^3*(I - c*x)) - (5*b*ArcTan[c*x])/(8*d^3) - (a + b*ArcTan[c*x])/(2*d^3*(I - c*x)^2) + (I*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^3*(I - c*x)) + (a*Log[x])/d^3 + ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/d^3 + ((I/2)*b*PolyLog[2, (-I)*c*x])/d^3 - ((I/2)*b*PolyLog[2, I*c*x])/d^3 + ((I/2)*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^3}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^2*(d + I*c*d*x)^3), x, 23, (b*c)/(8*d^3*(I - c*x)^2) - (((9*I)/8)*b*c)/(d^3*(I - c*x)) + (((9*I)/8)*b*c*ArcTan[c*x])/d^3 - (a + b*ArcTan[c*x])/(d^3*x) + ((I/2)*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^3*(I - c*x)^2) + (2*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^3*(I - c*x)) - ((3*I)*a*c*Log[x])/d^3 + (b*c*Log[x])/d^3 - ((3*I)*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/d^3 - (b*c*Log[1 + c^2*x^2])/(2*d^3) + (3*b*c*PolyLog[2, (-I)*c*x])/(2*d^3) - (3*b*c*PolyLog[2, I*c*x])/(2*d^3) + (3*b*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*d^3)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^3*(d + I*c*d*x)^3), x, 26, -(b*c)/(2*d^3*x) - ((I/8)*b*c^2)/(d^3*(I - c*x)^2) - (13*b*c^2)/(8*d^3*(I - c*x)) + (9*b*c^2*ArcTan[c*x])/(8*d^3) - (a + b*ArcTan[c*x])/(2*d^3*x^2) + ((3*I)*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^3*x) + (c^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*d^3*(I - c*x)^2) - ((3*I)*c^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^3*(I - c*x)) - (6*a*c^2*Log[x])/d^3 - ((3*I)*b*c^2*Log[x])/d^3 - (6*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/d^3 + (((3*I)/2)*b*c^2*Log[1 + c^2*x^2])/d^3 - ((3*I)*b*c^2*PolyLog[2, (-I)*c*x])/d^3 + ((3*I)*b*c^2*PolyLog[2, I*c*x])/d^3 - ((3*I)*b*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^3}
+
+
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(1 + I*c*x)^4, x, 5, ((-I/18)*b)/(c*(I - c*x)^3) - b/(24*c*(I - c*x)^2) + ((I/24)*b)/(c*(I - c*x)) - ((I/24)*b*ArcTan[c*x])/c + ((I/3)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c*(1 + I*c*x)^3)}
+
+
+{ArcTan[a*x]/(c*x + I*a*c*x^2), x, 3, (ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 + I*a*x)])/c + ((I/2)*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*a*x)])/c}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b ArcTan[c x])^2 with c^2 d^2+e^2=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{x^3*(d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 27, (a*b*d*x)/(2*c^3) - (((3*I)/10)*b^2*d*x)/c^3 + (b^2*d*x^2)/(12*c^2) + ((I/30)*b^2*d*x^3)/c + (((3*I)/10)*b^2*d*ArcTan[c*x])/c^4 + (b^2*d*x*ArcTan[c*x])/(2*c^3) + ((I/5)*b*d*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/c^2 - (b*d*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(6*c) - (I/10)*b*d*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]) - (9*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(20*c^4) + (d*x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/4 + (I/5)*c*d*x^5*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (((2*I)/5)*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c^4 - (b^2*d*Log[1 + c^2*x^2])/(3*c^4) - (b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(5*c^4)}
+{x^2*(d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 22, ((I/2)*a*b*d*x)/c^2 + (b^2*d*x)/(3*c^2) + ((I/12)*b^2*d*x^2)/c - (b^2*d*ArcTan[c*x])/(3*c^3) + ((I/2)*b^2*d*x*ArcTan[c*x])/c^2 - (b*d*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*c) - (I/6)*b*d*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]) - (((7*I)/12)*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c^3 + (d*x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/3 + (I/4)*c*d*x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (2*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(3*c^3) - ((I/3)*b^2*d*Log[1 + c^2*x^2])/c^3 - ((I/3)*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c^3}
+{x*(d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 17, -((a*b*d*x)/c) + ((I/3)*b^2*d*x)/c - ((I/3)*b^2*d*ArcTan[c*x])/c^2 - (b^2*d*x*ArcTan[c*x])/c - (I/3)*b*d*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) + (5*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(6*c^2) + (d*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/2 + (I/3)*c*d*x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (((2*I)/3)*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c^2 + (b^2*d*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^2) + (b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(3*c^2)}
+{(d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 9, (-I)*a*b*d*x - I*b^2*d*x*ArcTan[c*x] - ((I/2)*d*(1 + I*c*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c + (2*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/c + ((I/2)*b^2*d*Log[1 + c^2*x^2])/c - (I*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/c}
+{((d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x, x, 13, -(d*(a + b*ArcTan[c*x])^2) + I*c*d*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + 2*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)] + (2*I)*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)] - b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] - I*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + I*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)] - (b^2*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/2 + (b^2*d*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/2}
+{((d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x^2, x, 12, (-I)*c*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x + (2*I)*c*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)] + 2*b*c*d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)] - I*b^2*c*d*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)] + b*c*d*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] - b*c*d*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)] - (I/2)*b^2*c*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + (I/2)*b^2*c*d*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)]}
+{((d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x^3, x, 14, -((b*c*d*(a + b*ArcTan[c*x]))/x) + (c^2*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/2 - (d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*x^2) - (I*c*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x + b^2*c^2*d*Log[x] - (b^2*c^2*d*Log[1 + c^2*x^2])/2 + (2*I)*b*c^2*d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)] + b^2*c^2*d*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)]}
+{((d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x^4, x, 18, -(b^2*c^2*d)/(3*x) - (b^2*c^3*d*ArcTan[c*x])/3 - (b*c*d*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*x^2) - (I*b*c^2*d*(a + b*ArcTan[c*x]))/x - (I/6)*c^3*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(3*x^3) - ((I/2)*c*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x^2 + I*b^2*c^3*d*Log[x] - (I/2)*b^2*c^3*d*Log[1 + c^2*x^2] - (2*b*c^3*d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)])/3 + (I/3)*b^2*c^3*d*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)]}
+
+
+{x^3*(d + I*c*d*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 43, (5*a*b*d^2*x)/(6*c^3) - (((3*I)/5)*b^2*d^2*x)/c^3 + (31*b^2*d^2*x^2)/(180*c^2) + ((I/15)*b^2*d^2*x^3)/c - (b^2*d^2*x^4)/60 + (((3*I)/5)*b^2*d^2*ArcTan[c*x])/c^4 + (5*b^2*d^2*x*ArcTan[c*x])/(6*c^3) + (((2*I)/5)*b*d^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/c^2 - (5*b*d^2*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(18*c) - (I/5)*b*d^2*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]) + (b*c*d^2*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/15 - (49*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(60*c^4) + (d^2*x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/4 + ((2*I)/5)*c*d^2*x^5*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (c^2*d^2*x^6*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/6 + (((4*I)/5)*b*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c^4 - (53*b^2*d^2*Log[1 + c^2*x^2])/(90*c^4) - (2*b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(5*c^4)}
+{x^2*(d + I*c*d*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 36, (I*a*b*d^2*x)/c^2 + (19*b^2*d^2*x)/(30*c^2) + ((I/6)*b^2*d^2*x^2)/c - (b^2*d^2*x^3)/30 - (19*b^2*d^2*ArcTan[c*x])/(30*c^3) + (I*b^2*d^2*x*ArcTan[c*x])/c^2 - (8*b*d^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(15*c) - (I/3)*b*d^2*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]) + (b*c*d^2*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/10 - (((31*I)/30)*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c^3 + (d^2*x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/3 + (I/2)*c*d^2*x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (c^2*d^2*x^5*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/5 - (16*b*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(15*c^3) - (((2*I)/3)*b^2*d^2*Log[1 + c^2*x^2])/c^3 - (((8*I)/15)*b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c^3}
+{x*(d + I*c*d*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 28, (-3*a*b*d^2*x)/(2*c) + (((2*I)/3)*b^2*d^2*x)/c - (b^2*d^2*x^2)/12 - (((2*I)/3)*b^2*d^2*ArcTan[c*x])/c^2 - (3*b^2*d^2*x*ArcTan[c*x])/(2*c) - ((2*I)/3)*b*d^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) + (b*c*d^2*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/6 + (17*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(12*c^2) + (d^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/2 + ((2*I)/3)*c*d^2*x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (c^2*d^2*x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/4 - (((4*I)/3)*b*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c^2 + (5*b^2*d^2*Log[1 + c^2*x^2])/(6*c^2) + (2*b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(3*c^2)}
+{(d + I*c*d*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 12, (-2*I)*a*b*d^2*x - (b^2*d^2*x)/3 + (b^2*d^2*ArcTan[c*x])/(3*c) - (2*I)*b^2*d^2*x*ArcTan[c*x] + (b*c*d^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/3 - ((I/3)*d^2*(1 + I*c*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c + (8*b*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/(3*c) + (I*b^2*d^2*Log[1 + c^2*x^2])/c - (((4*I)/3)*b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/c}
+{((d + I*c*d*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x, x, 19, a*b*c*d^2*x + b^2*c*d^2*x*ArcTan[c*x] - (5*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/2 + (2*I)*c*d^2*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (c^2*d^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/2 + 2*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)] + (4*I)*b*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)] - (b^2*d^2*Log[1 + c^2*x^2])/2 - 2*b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] - I*b*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + I*b*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)] - (b^2*d^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/2 + (b^2*d^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/2}
+{((d + I*c*d*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x^2, x, 17, (-2*I)*c*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x - c^2*d^2*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (4*I)*c*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)] - 2*b*c*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)] + 2*b*c*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)] - I*b^2*c*d^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)] - I*b^2*c*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + 2*b*c*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] - 2*b*c*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)] - I*b^2*c*d^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + I*b^2*c*d^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)]}
+{((d + I*c*d*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x^3, x, 20, -((b*c*d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/x) + (3*c^2*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/2 - (d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*x^2) - ((2*I)*c*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x - 2*c^2*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)] + b^2*c^2*d^2*Log[x] - (b^2*c^2*d^2*Log[1 + c^2*x^2])/2 + (4*I)*b*c^2*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)] + 2*b^2*c^2*d^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)] + I*b*c^2*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] - I*b*c^2*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)] + (b^2*c^2*d^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/2 - (b^2*c^2*d^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/2}
+{((d + I*c*d*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x^4, x, 16, -(b^2*c^2*d^2)/(3*x) - (b^2*c^3*d^2*ArcTan[c*x])/3 - (b*c*d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*x^2) - ((2*I)*b*c^2*d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/x - (d^2*(1 + I*c*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(3*x^3) - (8*a*b*c^3*d^2*Log[x])/3 + (2*I)*b^2*c^3*d^2*Log[x] - (8*b*c^3*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/3 - I*b^2*c^3*d^2*Log[1 + c^2*x^2] - ((4*I)/3)*b^2*c^3*d^2*PolyLog[2, (-I)*c*x] + ((4*I)/3)*b^2*c^3*d^2*PolyLog[2, I*c*x] + ((4*I)/3)*b^2*c^3*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)]}
+
+
+{x^3*(d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 62, (3*a*b*d^3*x)/(2*c^3) - (((122*I)/105)*b^2*d^3*x)/c^3 + (7*b^2*d^3*x^2)/(20*c^2) + (((44*I)/315)*b^2*d^3*x^3)/c - (b^2*d^3*x^4)/20 - (I/105)*b^2*c*d^3*x^5 + (((122*I)/105)*b^2*d^3*ArcTan[c*x])/c^4 + (3*b^2*d^3*x*ArcTan[c*x])/(2*c^3) + (((26*I)/35)*b*d^3*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/c^2 - (b*d^3*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*c) - ((13*I)/35)*b*d^3*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]) + (b*c*d^3*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/5 + (I/21)*b*c^2*d^3*x^6*(a + b*ArcTan[c*x]) - (209*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(140*c^4) + (d^3*x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/4 + ((3*I)/5)*c*d^3*x^5*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (c^2*d^3*x^6*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/2 - (I/7)*c^3*d^3*x^7*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (((52*I)/35)*b*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c^4 - (11*b^2*d^3*Log[1 + c^2*x^2])/(10*c^4) - (26*b^2*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(35*c^4)}
+{x^2*(d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 52, (((11*I)/6)*a*b*d^3*x)/c^2 + (37*b^2*d^3*x)/(30*c^2) + (((61*I)/180)*b^2*d^3*x^2)/c - (b^2*d^3*x^3)/10 - (I/60)*b^2*c*d^3*x^4 - (37*b^2*d^3*ArcTan[c*x])/(30*c^3) + (((11*I)/6)*b^2*d^3*x*ArcTan[c*x])/c^2 - (14*b*d^3*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(15*c) - ((11*I)/18)*b*d^3*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]) + (3*b*c*d^3*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/10 + (I/15)*b*c^2*d^3*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]) - (((37*I)/20)*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c^3 + (d^3*x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/3 + ((3*I)/4)*c*d^3*x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (3*c^2*d^3*x^5*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/5 - (I/6)*c^3*d^3*x^6*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (28*b*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(15*c^3) - (((113*I)/90)*b^2*d^3*Log[1 + c^2*x^2])/c^3 - (((14*I)/15)*b^2*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c^3}
+{x*(d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 38, (-5*a*b*d^3*x)/(2*c) + (((13*I)/10)*b^2*d^3*x)/c - (b^2*d^3*x^2)/4 - (I/30)*b^2*c*d^3*x^3 - (((13*I)/10)*b^2*d^3*ArcTan[c*x])/c^2 - (5*b^2*d^3*x*ArcTan[c*x])/(2*c) - ((6*I)/5)*b*d^3*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) + (b*c*d^3*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/2 + (I/10)*b*c^2*d^3*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]) + (d^3*(1 + I*c*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*c^2) - (d^3*(1 + I*c*x)^5*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(5*c^2) - (((12*I)/5)*b*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/c^2 + (3*b^2*d^3*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^2) - (6*b^2*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(5*c^2)}
+{(d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 16, ((-7*I)/2)*a*b*d^3*x - b^2*d^3*x - (I/12)*b^2*c*d^3*x^2 + (b^2*d^3*ArcTan[c*x])/c - ((7*I)/2)*b^2*d^3*x*ArcTan[c*x] + b*c*d^3*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) + (I/6)*b*c^2*d^3*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]) - ((I/4)*d^3*(1 + I*c*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c + (4*b*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/c + (((11*I)/6)*b^2*d^3*Log[1 + c^2*x^2])/c - ((2*I)*b^2*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/c}
+{((d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x, x, 28, 3*a*b*c*d^3*x - (I/3)*b^2*c*d^3*x + (I/3)*b^2*d^3*ArcTan[c*x] + 3*b^2*c*d^3*x*ArcTan[c*x] + (I/3)*b*c^2*d^3*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) - (29*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/6 + (3*I)*c*d^3*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (3*c^2*d^3*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/2 - (I/3)*c^3*d^3*x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + 2*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)] + ((20*I)/3)*b*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)] - (3*b^2*d^3*Log[1 + c^2*x^2])/2 - (10*b^2*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/3 - I*b*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + I*b*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)] - (b^2*d^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/2 + (b^2*d^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/2}
+{((d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x^2, x, 23, I*a*b*c^2*d^3*x + I*b^2*c^2*d^3*x*ArcTan[c*x] - ((9*I)/2)*c*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x - 3*c^2*d^3*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (I/2)*c^3*d^3*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (6*I)*c*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)] - 6*b*c*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)] - (I/2)*b^2*c*d^3*Log[1 + c^2*x^2] + 2*b*c*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)] - I*b^2*c*d^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)] - (3*I)*b^2*c*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + 3*b*c*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] - 3*b*c*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)] - ((3*I)/2)*b^2*c*d^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + ((3*I)/2)*b^2*c*d^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)]}
+{((d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x^3, x, 25, -((b*c*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x) + (7*c^2*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/2 - (d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*x^2) - ((3*I)*c*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x - I*c^3*d^3*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - 6*c^2*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)] + b^2*c^2*d^3*Log[x] - (2*I)*b*c^2*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)] - (b^2*c^2*d^3*Log[1 + c^2*x^2])/2 + (6*I)*b*c^2*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)] + 3*b^2*c^2*d^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)] + b^2*c^2*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + (3*I)*b*c^2*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] - (3*I)*b*c^2*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)] + (3*b^2*c^2*d^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/2 - (3*b^2*c^2*d^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/2}
+{((d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x^4, x, 28, -(b^2*c^2*d^3)/(3*x) - (b^2*c^3*d^3*ArcTan[c*x])/3 - (b*c*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*x^2) - ((3*I)*b*c^2*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x + ((11*I)/6)*c^3*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(3*x^3) - (((3*I)/2)*c*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x^2 + (3*c^2*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x - (2*I)*c^3*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)] + (3*I)*b^2*c^3*d^3*Log[x] - ((3*I)/2)*b^2*c^3*d^3*Log[1 + c^2*x^2] - (20*b*c^3*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)])/3 + ((10*I)/3)*b^2*c^3*d^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)] - b*c^3*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + b*c^3*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)] + (I/2)*b^2*c^3*d^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)] - (I/2)*b^2*c^3*d^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)]}
+{((d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x^5, x, 20, -(b^2*c^2*d^3)/(12*x^2) - (I*b^2*c^3*d^3)/x - I*b^2*c^4*d^3*ArcTan[c*x] - (b*c*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(6*x^3) - (I*b*c^2*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^2 + (7*b*c^3*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*x) - (d^3*(1 + I*c*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*x^4) - (4*I)*a*b*c^4*d^3*Log[x] - (11*b^2*c^4*d^3*Log[x])/3 - (4*I)*b*c^4*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)] + (11*b^2*c^4*d^3*Log[1 + c^2*x^2])/6 + 2*b^2*c^4*d^3*PolyLog[2, (-I)*c*x] - 2*b^2*c^4*d^3*PolyLog[2, I*c*x] - 2*b^2*c^4*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)]}
+{((d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x^6, x, 24, -(b^2*c^2*d^3)/(30*x^3) - ((I/4)*b^2*c^3*d^3)/x^2 + (13*b^2*c^4*d^3)/(10*x) + (13*b^2*c^5*d^3*ArcTan[c*x])/10 - (b*c*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(10*x^4) - ((I/2)*b*c^2*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^3 + (6*b*c^3*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*x^2) + (((5*I)/2)*b*c^4*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x - (d^3*(1 + I*c*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(5*x^5) + ((I/20)*c*d^3*(1 + I*c*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x^4 + (12*a*b*c^5*d^3*Log[x])/5 - (3*I)*b^2*c^5*d^3*Log[x] + (12*b*c^5*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/5 + ((3*I)/2)*b^2*c^5*d^3*Log[1 + c^2*x^2] + ((6*I)/5)*b^2*c^5*d^3*PolyLog[2, (-I)*c*x] - ((6*I)/5)*b^2*c^5*d^3*PolyLog[2, I*c*x] - ((6*I)/5)*b^2*c^5*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)]}
+{((d + I*c*d*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x^7, x, 31, -(b^2*c^2*d^3)/(60*x^4) - ((I/10)*b^2*c^3*d^3)/x^3 + (61*b^2*c^4*d^3)/(180*x^2) + (((37*I)/30)*b^2*c^5*d^3)/x + ((37*I)/30)*b^2*c^6*d^3*ArcTan[c*x] - (b*c*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(15*x^5) - (((3*I)/10)*b*c^2*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^4 + (11*b*c^3*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(18*x^3) + (((14*I)/15)*b*c^4*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^2 - (11*b*c^5*d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(6*x) - (d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(6*x^6) - (((3*I)/5)*c*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x^5 + (3*c^2*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*x^4) + ((I/3)*c^3*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x^3 + ((28*I)/15)*a*b*c^6*d^3*Log[x] + (113*b^2*c^6*d^3*Log[x])/45 + ((37*I)/20)*b*c^6*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)] + (I/60)*b*c^6*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)] - (113*b^2*c^6*d^3*Log[1 + c^2*x^2])/90 - (14*b^2*c^6*d^3*PolyLog[2, (-I)*c*x])/15 + (14*b^2*c^6*d^3*PolyLog[2, I*c*x])/15 + (37*b^2*c^6*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/40 - (b^2*c^6*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/120}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{(x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d + I*c*d*x), x, 26, -((a*b*x)/(c^3*d)) - ((I/3)*b^2*x)/(c^3*d) + ((I/3)*b^2*ArcTan[c*x])/(c^4*d) - (b^2*x*ArcTan[c*x])/(c^3*d) + ((I/3)*b*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c^2*d) - (5*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(6*c^4*d) + (I*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^3*d) + (x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c^2*d) - ((I/3)*x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c*d) + (((8*I)/3)*b*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^4*d) + ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^4*d) + (b^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^4*d) - (4*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(3*c^4*d) + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^4*d) + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c^4*d)}
+{(x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d + I*c*d*x), x, 16, (I*a*b*x)/(c^2*d) + (I*b^2*x*ArcTan[c*x])/(c^2*d) + ((I/2)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^3*d) + (x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^2*d) - ((I/2)*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c*d) + (2*b*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d) - (I*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d) - ((I/2)*b^2*Log[1 + c^2*x^2])/(c^3*d) + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d) + (b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d) - ((I/2)*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d)}
+{(x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d + I*c*d*x), x, 9, (a + b*ArcTan[c*x])^2/(c^2*d) - (I*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c*d) - ((2*I)*b*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d) - ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d) + (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d) - (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d) - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c^2*d)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(d + I*c*d*x), x, 3, (I*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c*d) - (b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c*d) + ((I/2)*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c*d)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(x*(d + I*c*d*x)), x, 3, ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2 - 2/(1 + I*c*x)])/d + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d + (b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/(2*d)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(x^2*(d + I*c*d*x)), x, 8, ((-I)*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/d - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(d*x) + (2*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)])/d - (I*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2 - 2/(1 + I*c*x)])/d - (I*b^2*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)])/d + (b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d - ((I/2)*b^2*c*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(x^3*(d + I*c*d*x)), x, 17, -((b*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d*x)) - (3*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*d) - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(2*d*x^2) + (I*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d*x) + (b^2*c^2*Log[x])/d - (b^2*c^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*d) - ((2*I)*b*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)])/d - (c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2 - 2/(1 + I*c*x)])/d - (b^2*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)])/d - (I*b*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d - (b^2*c^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/(2*d)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(x^4*(d + I*c*d*x)), x, 26, -(b^2*c^2)/(3*d*x) - (b^2*c^3*ArcTan[c*x])/(3*d) - (b*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*d*x^2) + (I*b*c^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d*x) + (((11*I)/6)*c^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/d - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(3*d*x^3) + ((I/2)*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d*x^2) + (c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d*x) - (I*b^2*c^3*Log[x])/d + ((I/2)*b^2*c^3*Log[1 + c^2*x^2])/d - (8*b*c^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)])/(3*d) + (I*c^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2 - 2/(1 + I*c*x)])/d + (((4*I)/3)*b^2*c^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)])/d - (b*c^3*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d + ((I/2)*b^2*c^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d}
+
+
+{(x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d + I*c*d*x)^2, x, 33, ((2*I)*a*b*x)/(c^4*d^2) - (b^2*x)/(3*c^4*d^2) + b^2/(2*c^5*d^2*(I - c*x)) - (b^2*ArcTan[c*x])/(6*c^5*d^2) + ((2*I)*b^2*x*ArcTan[c*x])/(c^4*d^2) + (b*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*c^3*d^2) + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c^5*d^2*(I - c*x)) + (((11*I)/6)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^5*d^2) + (3*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^4*d^2) - (I*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^3*d^2) - (x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(3*c^2*d^2) - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(c^5*d^2*(I - c*x)) + (20*b*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(3*c^5*d^2) - ((4*I)*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^5*d^2) - (I*b^2*Log[1 + c^2*x^2])/(c^5*d^2) + (((10*I)/3)*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^5*d^2) + (4*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^5*d^2) - ((2*I)*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^5*d^2)}
+{(x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d + I*c*d*x)^2, x, 24, (a*b*x)/(c^3*d^2) - ((I/2)*b^2)/(c^4*d^2*(I - c*x)) + ((I/2)*b^2*ArcTan[c*x])/(c^4*d^2) + (b^2*x*ArcTan[c*x])/(c^3*d^2) + (b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c^4*d^2*(I - c*x)) + (a + b*ArcTan[c*x])^2/(c^4*d^2) - ((2*I)*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^3*d^2) - (x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c^2*d^2) + (I*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^4*d^2*(I - c*x)) - ((4*I)*b*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^4*d^2) - (3*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^4*d^2) - (b^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^4*d^2) + (2*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^4*d^2) - ((3*I)*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^4*d^2) - (3*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c^4*d^2)}
+{(x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d + I*c*d*x)^2, x, 18, -b^2/(2*c^3*d^2*(I - c*x)) + (b^2*ArcTan[c*x])/(2*c^3*d^2) - (I*b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c^3*d^2*(I - c*x)) - ((I/2)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^3*d^2) - (x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^2*d^2) + (a + b*ArcTan[c*x])^2/(c^3*d^2*(I - c*x)) - (2*b*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d^2) + ((2*I)*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d^2) - (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d^2) - (2*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d^2) + (I*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d^2)}
+{(x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d + I*c*d*x)^2, x, 13, ((I/2)*b^2)/(c^2*d^2*(I - c*x)) - ((I/2)*b^2*ArcTan[c*x])/(c^2*d^2) - (b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c^2*d^2*(I - c*x)) + (a + b*ArcTan[c*x])^2/(2*c^2*d^2) - (I*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^2*d^2*(I - c*x)) + ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d^2) + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d^2) + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c^2*d^2)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(d + I*c*d*x)^2, x, 8, b^2/(2*c*d^2*(I - c*x)) - (b^2*ArcTan[c*x])/(2*c*d^2) + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c*d^2*(I - c*x)) - ((I/2)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c*d^2) + (I*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c*d^2*(1 + I*c*x))}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(x*(d + I*c*d*x)^2), x, 19, ((-I/2)*b^2)/(d^2*(I - c*x)) + ((I/2)*b^2*ArcTan[c*x])/d^2 + (b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^2*(I - c*x)) - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(2*d^2) + (I*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d^2*(I - c*x)) + (2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^2 + ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/d^2 + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d^2 + (b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(x^2*(d + I*c*d*x)^2), x, 23, -(b^2*c)/(2*d^2*(I - c*x)) + (b^2*c*ArcTan[c*x])/(2*d^2) - (I*b*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^2*(I - c*x)) - ((I/2)*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/d^2 - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(d^2*x) + (c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d^2*(I - c*x)) - ((4*I)*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^2 - ((2*I)*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/d^2 + (2*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)])/d^2 - (I*b^2*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)])/d^2 + (2*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d^2 - (I*b^2*c*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d^2}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(x^3*(d + I*c*d*x)^2), x, 31, ((I/2)*b^2*c^2)/(d^2*(I - c*x)) - ((I/2)*b^2*c^2*ArcTan[c*x])/d^2 - (b*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^2*x) - (b*c^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^2*(I - c*x)) - (2*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/d^2 - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(2*d^2*x^2) + ((2*I)*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d^2*x) - (I*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d^2*(I - c*x)) - (6*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^2 + (b^2*c^2*Log[x])/d^2 - (3*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/d^2 - (b^2*c^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*d^2) - ((4*I)*b*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)])/d^2 - (2*b^2*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)])/d^2 - ((3*I)*b*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d^2 - (3*b^2*c^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/(2*d^2)}
+
+
+{(x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d + I*c*d*x)^3, x, 37, ((-I)*a*b*x)/(c^4*d^3) + ((I/16)*b^2)/(c^5*d^3*(I - c*x)^2) - (29*b^2)/(16*c^5*d^3*(I - c*x)) + (29*b^2*ArcTan[c*x])/(16*c^5*d^3) - (I*b^2*x*ArcTan[c*x])/(c^4*d^3) - (b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*c^5*d^3*(I - c*x)^2) - (((15*I)/4)*b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c^5*d^3*(I - c*x)) - (((5*I)/8)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^5*d^3) - (3*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^4*d^3) + ((I/2)*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^3*d^3) - ((I/2)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^5*d^3*(I - c*x)^2) + (4*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^5*d^3*(I - c*x)) - (6*b*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^5*d^3) + ((6*I)*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^5*d^3) + ((I/2)*b^2*Log[1 + c^2*x^2])/(c^5*d^3) - ((3*I)*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^5*d^3) - (6*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^5*d^3) + ((3*I)*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^5*d^3)}
+{(x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d + I*c*d*x)^3, x, 31, b^2/(16*c^4*d^3*(I - c*x)^2) + (((21*I)/16)*b^2)/(c^4*d^3*(I - c*x)) - (((21*I)/16)*b^2*ArcTan[c*x])/(c^4*d^3) + ((I/4)*b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c^4*d^3*(I - c*x)^2) - (11*b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*c^4*d^3*(I - c*x)) + (3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(8*c^4*d^3) + (I*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^3*d^3) - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(2*c^4*d^3*(I - c*x)^2) - ((3*I)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^4*d^3*(I - c*x)) + ((2*I)*b*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^4*d^3) + (3*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^4*d^3) - (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^4*d^3) + ((3*I)*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^4*d^3) + (3*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c^4*d^3)}
+{(x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d + I*c*d*x)^3, x, 26, ((-I/16)*b^2)/(c^3*d^3*(I - c*x)^2) + (13*b^2)/(16*c^3*d^3*(I - c*x)) - (13*b^2*ArcTan[c*x])/(16*c^3*d^3) + (b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*c^3*d^3*(I - c*x)^2) + (((7*I)/4)*b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c^3*d^3*(I - c*x)) - (((7*I)/8)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^3*d^3) + ((I/2)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^3*d^3*(I - c*x)^2) - (2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^3*d^3*(I - c*x)) - (I*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d^3) + (b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d^3) - ((I/2)*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d^3)}
+{(x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d + I*c*d*x)^3, x, 13, -b^2/(16*c^2*d^3*(I - c*x)^2) - (((5*I)/16)*b^2)/(c^2*d^3*(I - c*x)) + (((5*I)/16)*b^2*ArcTan[c*x])/(c^2*d^3) - ((I/4)*b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c^2*d^3*(I - c*x)^2) + (3*b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*c^2*d^3*(I - c*x)) + (a + b*ArcTan[c*x])^2/(8*c^2*d^3) + (x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*d^3*(1 + I*c*x)^2)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(d + I*c*d*x)^3, x, 13, ((I/16)*b^2)/(c*d^3*(I - c*x)^2) + (3*b^2)/(16*c*d^3*(I - c*x)) - (3*b^2*ArcTan[c*x])/(16*c*d^3) - (b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*c*d^3*(I - c*x)^2) + ((I/4)*b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c*d^3*(I - c*x)) - ((I/8)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c*d^3) + ((I/2)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c*d^3*(1 + I*c*x)^2)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(x*(d + I*c*d*x)^3), x, 32, b^2/(16*d^3*(I - c*x)^2) - (((11*I)/16)*b^2)/(d^3*(I - c*x)) + (((11*I)/16)*b^2*ArcTan[c*x])/d^3 + ((I/4)*b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^3*(I - c*x)^2) + (5*b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*d^3*(I - c*x)) - (5*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(8*d^3) - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(2*d^3*(I - c*x)^2) + (I*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d^3*(I - c*x)) + (2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^3 + ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/d^3 + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d^3 + (b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/(2*d^3)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(x^2*(d + I*c*d*x)^3), x, 36, ((-I/16)*b^2*c)/(d^3*(I - c*x)^2) - (19*b^2*c)/(16*d^3*(I - c*x)) + (19*b^2*c*ArcTan[c*x])/(16*d^3) + (b*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*d^3*(I - c*x)^2) - (((9*I)/4)*b*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^3*(I - c*x)) + ((I/8)*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/d^3 - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(d^3*x) + ((I/2)*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d^3*(I - c*x)^2) + (2*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d^3*(I - c*x)) - ((6*I)*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^3 - ((3*I)*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/d^3 + (2*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)])/d^3 - (I*b^2*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)])/d^3 + (3*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d^3 - (((3*I)/2)*b^2*c*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d^3}
+
+
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(1 + I*c*x)^4, x, 18, -b^2/(54*c*(I - c*x)^3) + (((5*I)/144)*b^2)/(c*(I - c*x)^2) + (11*b^2)/(144*c*(I - c*x)) - (11*b^2*ArcTan[c*x])/(144*c) - ((I/9)*b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c*(I - c*x)^3) - (b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(12*c*(I - c*x)^2) + ((I/12)*b*(a + b*ArcTan[c*x]))/(c*(I - c*x)) - ((I/24)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c + ((I/3)*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c*(1 + I*c*x)^3)}
+
+
+{ArcTan[a*x]^2/(c*x - I*a*c*x^2), x, 4, (ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c - (I*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c + PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)]/(2*c)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b ArcTan[c x])^3 with c^2 d^2+e^2=0*)
+
+
+{(a + b*ArcTan[c*x])^3*(d + I*c*d*x)^3, x, 26, -3*a*b^2*d^3*x + (1/4)*I*b^3*d^3*x - (I*b^3*d^3*ArcTan[c*x])/(4*c) - 3*b^3*d^3*x*ArcTan[c*x] - (1/4)*I*b^2*c*d^3*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) + (7*b*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c - (21/4)*I*b*d^3*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (3/2)*b*c*d^3*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (1/4)*I*b*c^2*d^3*x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (I*d^3*(1 + I*c*x)^4*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(4*c) + (6*b*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/c - (11*I*b^2*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c + (3*b^3*d^3*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c) - (6*I*b^2*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/c + (11*b^3*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c) + (3*b^3*d^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/c}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^3*(d + I*c*d*x)^2, x, 17, (-a)*b^2*d^2*x - b^3*d^2*x*ArcTan[c*x] + (7*b*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c) - 3*I*b*d^2*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (1/2)*b*c*d^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (I*d^2*(1 + I*c*x)^3*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(3*c) + (4*b*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/c - (6*I*b^2*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c + (b^3*d^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c) - (4*I*b^2*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/c + (3*b^3*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c + (2*b^3*d^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/c}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^3*(d + I*c*d*x)^1, x, 11, (3*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c) - (3/2)*I*b*d*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (I*d*(1 + I*c*x)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(2*c) + (3*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/c - (3*I*b^2*d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c - (3*I*b^2*d*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/c + (3*b^3*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c) + (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^3/(d + I*c*d*x)^1, x, 4, (I*(a + b*ArcTan[c*x])^3*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c*d) - (3*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c*d) + (3*I*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c*d) + (3*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(4*c*d)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^3/(d + I*c*d*x)^2, x, 11, -((3*I*b^3)/(4*c*d^2*(I - c*x))) + (3*I*b^3*ArcTan[c*x])/(4*c*d^2) + (3*b^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*c*d^2*(I - c*x)) - (3*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*c*d^2) + (3*I*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c*d^2*(I - c*x)) - (I*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(2*c*d^2) + (I*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(c*d^2*(1 + I*c*x))}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^3/(d + I*c*d*x)^3, x, 24, (3*b^3)/(64*c*d^3*(I - c*x)^2) - (21*I*b^3)/(64*c*d^3*(I - c*x)) + (21*I*b^3*ArcTan[c*x])/(64*c*d^3) + (3*I*b^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(16*c*d^3*(I - c*x)^2) + (9*b^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(16*c*d^3*(I - c*x)) - (9*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(32*c*d^3) - (3*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(8*c*d^3*(I - c*x)^2) + (3*I*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(8*c*d^3*(I - c*x)) - (I*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(8*c*d^3) + (I*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(2*c*d^3*(1 + I*c*x)^2)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^3/(d + I*c*d*x)^4, x, 42, (I*b^3)/(108*c*d^4*(I - c*x)^3) + (19*b^3)/(576*c*d^4*(I - c*x)^2) - (85*I*b^3)/(576*c*d^4*(I - c*x)) + (85*I*b^3*ArcTan[c*x])/(576*c*d^4) - (b^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(18*c*d^4*(I - c*x)^3) + (5*I*b^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(48*c*d^4*(I - c*x)^2) + (11*b^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(48*c*d^4*(I - c*x)) - (11*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(96*c*d^4) - (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(6*c*d^4*(I - c*x)^3) - (b*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(8*c*d^4*(I - c*x)^2) + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(8*c*d^4*(I - c*x)) - (I*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(24*c*d^4) + (I*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(3*c*d^4*(1 + I*c*x)^3)}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^3/(d + I*c*d*x), x, 19, (-3*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c^3*d) + (((3*I)/2)*b*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c^2*d) + ((I/2)*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(c^3*d) + (x*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(c^2*d) - ((I/2)*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(c*d) + ((3*I)*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d) + (3*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d) - (I*(a + b*ArcTan[c*x])^3*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d) - (3*b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c^3*d) + ((3*I)*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d) + (3*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c^3*d) + (3*b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c^3*d) - (((3*I)/2)*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^3*d) - (3*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(4*c^3*d)}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])^3/(d + I*c*d*x), x, 10, (a + b*ArcTan[c*x])^3/(c^2*d) - (I*x*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(c*d) - ((3*I)*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d) - ((a + b*ArcTan[c*x])^3*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d) + (3*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d) - (((3*I)/2)*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d) - (((3*I)/2)*b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d) - (3*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c^2*d) + (((3*I)/4)*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c^2*d)}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])^3/(d + I*c*d*x), x, 4, (I*(a + b*ArcTan[c*x])^3*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c*d) - (3*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*c*d) + (((3*I)/2)*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c*d) + (3*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(4*c*d)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^3/(x^1*(d + I*c*d*x)), x, 4, ((a + b*ArcTan[c*x])^3*Log[2 - 2/(1 + I*c*x)])/d + (((3*I)/2)*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d + (3*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/(2*d) - (((3*I)/4)*b^3*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^3/(x^2*(d + I*c*d*x)), x, 10, ((-I)*c*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/d - (a + b*ArcTan[c*x])^3/(d*x) + (3*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)])/d - (I*c*(a + b*ArcTan[c*x])^3*Log[2 - 2/(1 + I*c*x)])/d - ((3*I)*b^2*c*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)])/d + (3*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/(2*d) + (3*b^3*c*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*c*x)])/(2*d) - (((3*I)/2)*b^2*c*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d - (3*b^3*c*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/(4*d)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^3/(x^3*(d + I*c*d*x)), x, 18, (((-3*I)/2)*b*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/d - (3*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*d*x) - (3*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(2*d) - (a + b*ArcTan[c*x])^3/(2*d*x^2) + (I*c*(a + b*ArcTan[c*x])^3)/(d*x) + (3*b^2*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)])/d - ((3*I)*b*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)])/d - (c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^3*Log[2 - 2/(1 + I*c*x)])/d - (((3*I)/2)*b^3*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)])/d - (3*b^2*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)])/d - (((3*I)/2)*b*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d - (((3*I)/2)*b^3*c^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*c*x)])/d - (3*b^2*c^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/(2*d) + (((3*I)/4)*b^3*c^2*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b ArcTan[c x])^4 with c^2 d^2+e^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b ArcTan[c x])^-1 with c^2 d^2+e^2=0*)
+
+
+{1/((d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + I*c*d*x)*(a + b*ArcTan[c*x])), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x)^q (a+b ArcTan[c x])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m / (d+e x) (a+b ArcTan[c x])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x), x, 16, (a*d^2*x)/e^3 + (b*d*x)/(2*c*e^2) - (b*x^2)/(6*c*e) - (b*d*ArcTan[c*x])/(2*c^2*e^2) + (b*d^2*x*ArcTan[c*x])/e^3 - (d*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*e^2) + (x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*e) + (d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/e^4 - (d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/e^4 - (b*d^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c*e^3) + (b*Log[1 + c^2*x^2])/(6*c^3*e) - (I*b*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e^4) + (I*b*d^3*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*e^4)}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x), x, 12, -((a*d*x)/e^2) - (b*x)/(2*c*e) + (b*ArcTan[c*x])/(2*c^2*e) - (b*d*x*ArcTan[c*x])/e^2 + (x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*e) - (d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/e^3 + (d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/e^3 + (b*d*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c*e^2) + (I*b*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e^3) - (I*b*d^2*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*e^3)}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x), x, 9, (a*x)/e + (b*x*ArcTan[c*x])/e + (d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/e^2 - (d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/e^2 - (b*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c*e) - (I*b*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e^2) + (I*b*d*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*e^2)}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x), x, 4, -(((a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/e) + ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/e + (I*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e) - (I*b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*e)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^1*(d + e*x)), x, 9, (a*Log[x])/d + ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/d - ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/d + (I*b*PolyLog[2, (-I)*c*x])/(2*d) - (I*b*PolyLog[2, I*c*x])/(2*d) - (I*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*d) + (I*b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*d)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^2*(d + e*x)), x, 14, -((a + b*ArcTan[c*x])/(d*x)) + (b*c*Log[x])/d - (a*e*Log[x])/d^2 - (e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/d^2 + (e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/d^2 - (b*c*Log[1 + c^2*x^2])/(2*d) - (I*b*e*PolyLog[2, (-I)*c*x])/(2*d^2) + (I*b*e*PolyLog[2, I*c*x])/(2*d^2) + (I*b*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*d^2) - (I*b*e*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^3*(d + e*x)), x, 17, -((b*c)/(2*d*x)) - (b*c^2*ArcTan[c*x])/(2*d) - (a + b*ArcTan[c*x])/(2*d*x^2) + (e*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^2*x) - (b*c*e*Log[x])/d^2 + (a*e^2*Log[x])/d^3 + (e^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/d^3 - (e^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/d^3 + (b*c*e*Log[1 + c^2*x^2])/(2*d^2) + (I*b*e^2*PolyLog[2, (-I)*c*x])/(2*d^3) - (I*b*e^2*PolyLog[2, I*c*x])/(2*d^3) - (I*b*e^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*d^3) + (I*b*e^2*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*d^3)}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2/(d + e*x), x, 23, (a*b*d*x)/(c*e^2) + (b^2*x)/(3*c^2*e) - (b^2*ArcTan[c*x])/(3*c^3*e) + (b^2*d*x*ArcTan[c*x])/(c*e^2) - (b*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*c*e) + (I*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c*e^3) - (d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c^2*e^2) - (I*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(3*c^3*e) + (d^2*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/e^3 - (d*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*e^2) + (x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(3*e) + (d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/e^4 + (2*b*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c*e^3) - (2*b*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(3*c^3*e) - (d^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/e^4 - (b^2*d*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^2*e^2) - (I*b*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/e^4 + (I*b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c*e^3) - (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(3*c^3*e) + (I*b*d^3*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/e^4 + (b^2*d^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e^4) - (b^2*d^3*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*e^4)}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2/(d + e*x), x, 14, -((a*b*x)/(c*e)) - (b^2*x*ArcTan[c*x])/(c*e) - (I*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c*e^2) + (a + b*ArcTan[c*x])^2/(2*c^2*e) - (d*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/e^2 + (x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*e) - (d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/e^3 - (2*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c*e^2) + (d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/e^3 + (b^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^2*e) + (I*b*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/e^3 - (I*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c*e^2) - (I*b*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/e^3 - (b^2*d^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e^3) + (b^2*d^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*e^3)}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])^2/(d + e*x), x, 8, (I*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c*e) + (x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/e + (d*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/e^2 + (2*b*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c*e) - (d*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/e^2 - (I*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/e^2 + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c*e) + (I*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/e^2 + (b^2*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e^2) - (b^2*d*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*e^2)}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])^2/(d + e*x), x, 1, -(((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/e) + ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/e + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/e - (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/e - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e) + (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*e)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(x^1*(d + e*x)), x, 9, (2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)])/d + ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/d - ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/d - (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/d - (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/d + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/d + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*d) - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*d) + (b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/(2*d) - (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*d)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(x^2*(d + e*x)), x, 13, -((I*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/d) - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(d*x) - (2*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^2 - (e*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/d^2 + (e*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/d^2 + (2*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)])/d + (I*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/d^2 - (I*b^2*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)])/d + (I*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^2 - (I*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d^2 - (I*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/d^2 - (b^2*e*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*d^2) + (b^2*e*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*d^2) - (b^2*e*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/(2*d^2) + (b^2*e*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(x^3*(d + e*x)), x, 21, -((b*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d*x)) - (c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*d) + (I*c*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/d^2 - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(2*d*x^2) + (e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(d^2*x) + (2*e^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^3 + (b^2*c^2*Log[x])/d + (e^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/d^3 - (e^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/d^3 - (b^2*c^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*d) - (2*b*c*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)])/d^2 - (I*b*e^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/d^3 + (I*b^2*c*e*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)])/d^2 - (I*b*e^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^3 + (I*b*e^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d^3 + (I*b*e^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/d^3 + (b^2*e^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*d^3) - (b^2*e^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*d^3) + (b^2*e^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/(2*d^3) - (b^2*e^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x))])/(2*d^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/((d + e*x)*(a + b*ArcTan[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x)*(a + b*ArcTan[c*x])), x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b ArcTan[c x])^p with e=c^2 d*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^q (a+b ArcTan[c x])^1*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^p ArcTan[a x]^1 with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x], x, 9, (c*x)/(12*a^3) - (c*x^3)/(36*a) - (a*c*x^5)/30 - (c*ArcTan[a*x])/(12*a^4) + (c*x^4*ArcTan[a*x])/4 + (a^2*c*x^6*ArcTan[a*x])/6}
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x], x, 9, -(c*x^2)/(15*a) - (a*c*x^4)/20 + (c*x^3*ArcTan[a*x])/3 + (a^2*c*x^5*ArcTan[a*x])/5 + (c*Log[1 + a^2*x^2])/(15*a^3)}
+{x^1*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x], x, 2, -(c*x)/(4*a) - (a*c*x^3)/12 + (c*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x])/(4*a^2)}
+{x^0*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x], x, 3, (-(1/6))*a*c*x^2 + c*x*ArcTan[a*x] + (1/3)*a^2*c*x^3*ArcTan[a*x] - (c*Log[1 + a^2*x^2])/(3*a), -((c*(1 + a^2*x^2))/(6*a)) + (2/3)*c*x*ArcTan[a*x] + (1/3)*c*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x] - (c*Log[1 + a^2*x^2])/(3*a)}
+{((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x])/x^1, x, 7, -(a*c*x)/2 + (c*ArcTan[a*x])/2 + (a^2*c*x^2*ArcTan[a*x])/2 + (I/2)*c*PolyLog[2, (-I)*a*x] - (I/2)*c*PolyLog[2, I*a*x]}
+{((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x])/x^2, x, 8, -((c*ArcTan[a*x])/x) + a^2*c*x*ArcTan[a*x] + a*c*Log[x] - a*c*Log[1 + a^2*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x])/x^3, x, 7, -(a*c)/(2*x) - (a^2*c*ArcTan[a*x])/2 - (c*ArcTan[a*x])/(2*x^2) + (I/2)*a^2*c*PolyLog[2, (-I)*a*x] - (I/2)*a^2*c*PolyLog[2, I*a*x]}
+{((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x])/x^4, x, 10, -((a*c)/(6*x^2)) - (c*ArcTan[a*x])/(3*x^3) - (a^2*c*ArcTan[a*x])/x + (2/3)*a^3*c*Log[x] - (1/3)*a^3*c*Log[1 + a^2*x^2]}
+
+
+{x^3*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x], x, 14, (c^2*x)/(24*a^3) - (c^2*x^3)/(72*a) - (a*c^2*x^5)/24 - (a^3*c^2*x^7)/56 - (c^2*ArcTan[a*x])/(24*a^4) + (c^2*x^4*ArcTan[a*x])/4 + (a^2*c^2*x^6*ArcTan[a*x])/3 + (a^4*c^2*x^8*ArcTan[a*x])/8}
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x], x, 14, (-4*c^2*x^2)/(105*a) - (9*a*c^2*x^4)/140 - (a^3*c^2*x^6)/42 + (c^2*x^3*ArcTan[a*x])/3 + (2*a^2*c^2*x^5*ArcTan[a*x])/5 + (a^4*c^2*x^7*ArcTan[a*x])/7 + (4*c^2*Log[1 + a^2*x^2])/(105*a^3)}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x], x, 3, -(c^2*x)/(6*a) - (a*c^2*x^3)/9 - (a^3*c^2*x^5)/30 + (c^2*(1 + a^2*x^2)^3*ArcTan[a*x])/(6*a^2)}
+{(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x], x, 4, (-2*c^2*(1 + a^2*x^2))/(15*a) - (c^2*(1 + a^2*x^2)^2)/(20*a) + (8*c^2*x*ArcTan[a*x])/15 + (4*c^2*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x])/15 + (c^2*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x])/5 - (4*c^2*Log[1 + a^2*x^2])/(15*a)}
+{((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x])/x, x, 12, (-3*a*c^2*x)/4 - (a^3*c^2*x^3)/12 + (3*c^2*ArcTan[a*x])/4 + a^2*c^2*x^2*ArcTan[a*x] + (a^4*c^2*x^4*ArcTan[a*x])/4 + (I/2)*c^2*PolyLog[2, (-I)*a*x] - (I/2)*c^2*PolyLog[2, I*a*x]}
+{((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x])/x^2, x, 13, (-(1/6))*a^3*c^2*x^2 - (c^2*ArcTan[a*x])/x + 2*a^2*c^2*x*ArcTan[a*x] + (1/3)*a^4*c^2*x^3*ArcTan[a*x] + a*c^2*Log[x] - (4/3)*a*c^2*Log[1 + a^2*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x])/x^3, x, 11, -(a*c^2)/(2*x) - (a^3*c^2*x)/2 - (c^2*ArcTan[a*x])/(2*x^2) + (a^4*c^2*x^2*ArcTan[a*x])/2 + I*a^2*c^2*PolyLog[2, (-I)*a*x] - I*a^2*c^2*PolyLog[2, I*a*x]}
+{((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x])/x^4, x, 13, -((a*c^2)/(6*x^2)) - (c^2*ArcTan[a*x])/(3*x^3) - (2*a^2*c^2*ArcTan[a*x])/x + a^4*c^2*x*ArcTan[a*x] + (5/3)*a^3*c^2*Log[x] - (4/3)*a^3*c^2*Log[1 + a^2*x^2]}
+
+
+{x^3*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x], x, 18, (c^3*x)/(40*a^3) - (c^3*x^3)/(120*a) - (9*a*c^3*x^5)/200 - (11*a^3*c^3*x^7)/280 - (a^5*c^3*x^9)/90 - (c^3*ArcTan[a*x])/(40*a^4) + (c^3*x^4*ArcTan[a*x])/4 + (a^2*c^3*x^6*ArcTan[a*x])/2 + (3*a^4*c^3*x^8*ArcTan[a*x])/8 + (a^6*c^3*x^10*ArcTan[a*x])/10}
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x], x, 18, (-8*c^3*x^2)/(315*a) - (89*a*c^3*x^4)/1260 - (10*a^3*c^3*x^6)/189 - (a^5*c^3*x^8)/72 + (c^3*x^3*ArcTan[a*x])/3 + (3*a^2*c^3*x^5*ArcTan[a*x])/5 + (3*a^4*c^3*x^7*ArcTan[a*x])/7 + (a^6*c^3*x^9*ArcTan[a*x])/9 + (8*c^3*Log[1 + a^2*x^2])/(315*a^3)}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x], x, 3, -(c^3*x)/(8*a) - (a*c^3*x^3)/8 - (3*a^3*c^3*x^5)/40 - (a^5*c^3*x^7)/56 + (c^3*(1 + a^2*x^2)^4*ArcTan[a*x])/(8*a^2)}
+{(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x], x, 5, (-4*c^3*(1 + a^2*x^2))/(35*a) - (3*c^3*(1 + a^2*x^2)^2)/(70*a) - (c^3*(1 + a^2*x^2)^3)/(42*a) + (16*c^3*x*ArcTan[a*x])/35 + (8*c^3*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x])/35 + (6*c^3*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x])/35 + (c^3*x*(1 + a^2*x^2)^3*ArcTan[a*x])/7 - (8*c^3*Log[1 + a^2*x^2])/(35*a)}
+{((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x])/x, x, 16, (-11*a*c^3*x)/12 - (7*a^3*c^3*x^3)/36 - (a^5*c^3*x^5)/30 + (11*c^3*ArcTan[a*x])/12 + (3*a^2*c^3*x^2*ArcTan[a*x])/2 + (3*a^4*c^3*x^4*ArcTan[a*x])/4 + (a^6*c^3*x^6*ArcTan[a*x])/6 + (I/2)*c^3*PolyLog[2, (-I)*a*x] - (I/2)*c^3*PolyLog[2, I*a*x]}
+{((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x])/x^2, x, 17, (-(2/5))*a^3*c^3*x^2 - (1/20)*a^5*c^3*x^4 - (c^3*ArcTan[a*x])/x + 3*a^2*c^3*x*ArcTan[a*x] + a^4*c^3*x^3*ArcTan[a*x] + (1/5)*a^6*c^3*x^5*ArcTan[a*x] + a*c^3*Log[x] - (8/5)*a*c^3*Log[1 + a^2*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x])/x^3, x, 15, -(a*c^3)/(2*x) - (5*a^3*c^3*x)/4 - (a^5*c^3*x^3)/12 + (3*a^2*c^3*ArcTan[a*x])/4 - (c^3*ArcTan[a*x])/(2*x^2) + (3*a^4*c^3*x^2*ArcTan[a*x])/2 + (a^6*c^3*x^4*ArcTan[a*x])/4 + ((3*I)/2)*a^2*c^3*PolyLog[2, (-I)*a*x] - ((3*I)/2)*a^2*c^3*PolyLog[2, I*a*x]}
+{((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x])/x^4, x, 17, -((a*c^3)/(6*x^2)) - (1/6)*a^5*c^3*x^2 - (c^3*ArcTan[a*x])/(3*x^3) - (3*a^2*c^3*ArcTan[a*x])/x + 3*a^4*c^3*x*ArcTan[a*x] + (1/3)*a^6*c^3*x^3*ArcTan[a*x] + (8/3)*a^3*c^3*Log[x] - (8/3)*a^3*c^3*Log[1 + a^2*x^2]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^4*ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2), x, 9, -(x^2/(6*a^3*c)) - (x*ArcTan[a*x])/(a^4*c) + (x^3*ArcTan[a*x])/(3*a^2*c) + ArcTan[a*x]^2/(2*a^5*c) + (2*Log[1 + a^2*x^2])/(3*a^5*c)}
+{x^3*ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2), x, 8, -x/(2*a^3*c) + ArcTan[a*x]/(2*a^4*c) + (x^2*ArcTan[a*x])/(2*a^2*c) + ((I/2)*ArcTan[a*x]^2)/(a^4*c) + (ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(a^4*c) + ((I/2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(a^4*c)}
+{x^2*ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2), x, 4, (x*ArcTan[a*x])/(a^2*c) - ArcTan[a*x]^2/(2*a^3*c) - Log[1 + a^2*x^2]/(2*a^3*c)}
+{x*ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2), x, 4, ((-I/2)*ArcTan[a*x]^2)/(a^2*c) - (ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(a^2*c) - ((I/2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(a^2*c)}
+{ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2), x, 1, ArcTan[a*x]^2/(2*a*c)}
+{ArcTan[a*x]/(x*(c + a^2*c*x^2)), x, 3, ((-I/2)*ArcTan[a*x]^2)/c + (ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c - ((I/2)*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c}
+{ArcTan[a*x]/(x^2*(c + a^2*c*x^2)), x, 7, -(ArcTan[a*x]/(c*x)) - (a*ArcTan[a*x]^2)/(2*c) + (a*Log[x])/c - (a*Log[1 + a^2*x^2])/(2*c)}
+{ArcTan[a*x]/(x^3*(c + a^2*c*x^2)), x, 7, -a/(2*c*x) - (a^2*ArcTan[a*x])/(2*c) - ArcTan[a*x]/(2*c*x^2) + ((I/2)*a^2*ArcTan[a*x]^2)/c - (a^2*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c + ((I/2)*a^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c}
+{ArcTan[a*x]/(x^4*(c + a^2*c*x^2)), x, 12, -(a/(6*c*x^2)) - ArcTan[a*x]/(3*c*x^3) + (a^2*ArcTan[a*x])/(c*x) + (a^3*ArcTan[a*x]^2)/(2*c) - (4*a^3*Log[x])/(3*c) + (2*a^3*Log[1 + a^2*x^2])/(3*c)}
+
+
+{x^5*ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 17, -(x/(2*a^5*c^2)) + x/(4*a^5*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (3*ArcTan[a*x])/(4*a^6*c^2) + (x^2*ArcTan[a*x])/(2*a^4*c^2) - ArcTan[a*x]/(2*a^6*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (I*ArcTan[a*x]^2)/(a^6*c^2) + (2*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(a^6*c^2) + (I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(a^6*c^2)}
+{x^4*ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 7, 1/(4*a^5*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (x*ArcTan[a*x])/(a^4*c^2) + (x*ArcTan[a*x])/(2*a^4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (3*ArcTan[a*x]^2)/(4*a^5*c^2) - Log[1 + a^2*x^2]/(2*a^5*c^2)}
+{x^3*ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 8, -x/(4*a^3*c^2*(1 + a^2*x^2)) - ArcTan[a*x]/(4*a^4*c^2) + ArcTan[a*x]/(2*a^4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - ((I/2)*ArcTan[a*x]^2)/(a^4*c^2) - (ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(a^4*c^2) - ((I/2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(a^4*c^2)}
+{x^2*ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 2, -(1/(4*a^3*c^2*(1 + a^2*x^2))) - (x*ArcTan[a*x])/(2*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^2/(4*a^3*c^2)}
+{x*ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 3, x/(4*a*c^2*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]/(4*a^2*c^2) - ArcTan[a*x]/(2*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2))}
+{ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 2, 1/(4*a*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (x*ArcTan[a*x])/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^2/(4*a*c^2)}
+{ArcTan[a*x]/(x*(c + a^2*c*x^2)^2), x, 7, -(a*x)/(4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - ArcTan[a*x]/(4*c^2) + ArcTan[a*x]/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) - ((I/2)*ArcTan[a*x]^2)/c^2 + (ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^2 - ((I/2)*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^2}
+{ArcTan[a*x]/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^2), x, 10, -(a/(4*c^2*(1 + a^2*x^2))) - ArcTan[a*x]/(c^2*x) - (a^2*x*ArcTan[a*x])/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (3*a*ArcTan[a*x]^2)/(4*c^2) + (a*Log[x])/c^2 - (a*Log[1 + a^2*x^2])/(2*c^2)}
+{ArcTan[a*x]/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^2), x, 15, -a/(2*c^2*x) + (a^3*x)/(4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (a^2*ArcTan[a*x])/(4*c^2) - ArcTan[a*x]/(2*c^2*x^2) - (a^2*ArcTan[a*x])/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (I*a^2*ArcTan[a*x]^2)/c^2 - (2*a^2*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^2 + (I*a^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^2}
+{ArcTan[a*x]/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^2), x, 23, -(a/(6*c^2*x^2)) + a^3/(4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - ArcTan[a*x]/(3*c^2*x^3) + (2*a^2*ArcTan[a*x])/(c^2*x) + (a^4*x*ArcTan[a*x])/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (5*a^3*ArcTan[a*x]^2)/(4*c^2) - (7*a^3*Log[x])/(3*c^2) + (7*a^3*Log[1 + a^2*x^2])/(6*c^2)}
+
+
+{(x^3*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 4, x^3/(16*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (3*x)/(32*a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (3*ArcTan[a*x])/(32*a^4*c^3) + (x^4*ArcTan[a*x])/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2)}
+{(x^2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 3, -1/(16*a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + 1/(16*a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (x*ArcTan[a*x])/(4*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (x*ArcTan[a*x])/(8*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^2/(16*a^3*c^3)}
+{(x*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 4, x/(16*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (3*x)/(32*a*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (3*ArcTan[a*x])/(32*a^2*c^3) - ArcTan[a*x]/(4*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2)}
+{ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 3, 1/(16*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + 3/(16*a*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (x*ArcTan[a*x])/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (3*x*ArcTan[a*x])/(8*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (3*ArcTan[a*x]^2)/(16*a*c^3)}
+{ArcTan[a*x]/(x*(c + a^2*c*x^2)^3), x, 12, -(a*x)/(16*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (11*a*x)/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (11*ArcTan[a*x])/(32*c^3) + ArcTan[a*x]/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + ArcTan[a*x]/(2*c^3*(1 + a^2*x^2)) - ((I/2)*ArcTan[a*x]^2)/c^3 + (ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^3 - ((I/2)*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^3}
+{ArcTan[a*x]/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^3), x, 14, -(a/(16*c^3*(1 + a^2*x^2)^2)) - (7*a)/(16*c^3*(1 + a^2*x^2)) - ArcTan[a*x]/(c^3*x) - (a^2*x*ArcTan[a*x])/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (7*a^2*x*ArcTan[a*x])/(8*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (15*a*ArcTan[a*x]^2)/(16*c^3) + (a*Log[x])/c^3 - (a*Log[1 + a^2*x^2])/(2*c^3)}
+{ArcTan[a*x]/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^3), x, 28, -a/(2*c^3*x) + (a^3*x)/(16*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (19*a^3*x)/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (3*a^2*ArcTan[a*x])/(32*c^3) - ArcTan[a*x]/(2*c^3*x^2) - (a^2*ArcTan[a*x])/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (a^2*ArcTan[a*x])/(c^3*(1 + a^2*x^2)) + (((3*I)/2)*a^2*ArcTan[a*x]^2)/c^3 - (3*a^2*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^3 + (((3*I)/2)*a^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^3}
+{ArcTan[a*x]/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^3), x, 38, -(a/(6*c^3*x^2)) + a^3/(16*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (11*a^3)/(16*c^3*(1 + a^2*x^2)) - ArcTan[a*x]/(3*c^3*x^3) + (3*a^2*ArcTan[a*x])/(c^3*x) + (a^4*x*ArcTan[a*x])/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (11*a^4*x*ArcTan[a*x])/(8*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (35*a^3*ArcTan[a*x]^2)/(16*c^3) - (10*a^3*Log[x])/(3*c^3) + (5*a^3*Log[1 + a^2*x^2])/(3*c^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^(p/2) ArcTan[a x]^1 with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x], x, 12, (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(24*a^3) - (x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(20*a) - (2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(15*a^4) + (x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(15*a^2) + (x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/5 + (11*Sqrt[c]*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/(120*a^4)}
+{x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x], x, 8, Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(8*a^3) - (c + a^2*c*x^2)^(3/2)/(12*a^3*c) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(8*a^2) + (1/4)*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] + (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(4*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x])])/(8*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(8*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x], x, 4, -(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(6*a) + ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/(3*a^2*c) - (Sqrt[c]*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/(6*a^2)}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x], x, 3, -Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(2*a) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/2 - (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((I/2)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((I/2)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/x, x, 5, Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] - (2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - Sqrt[c]*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]] + (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/x^2, x, 7, -((Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/x) - ((2*I)*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - a*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]] + (I*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (I*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/x^3, x, 6, -(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(2*x) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(2*x^2) - (a^2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((I/2)*a^2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((I/2)*a^2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/x^4, x, 5, -(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(6*x^2) - ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/(3*c*x^3) - (a^3*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]])/6}
+
+
+{x^3*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x], x, 31, (3*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(112*a^3) - (23*c*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(840*a) - (a*c*x^5*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/42 - (2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(35*a^4) + (c*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(35*a^2) + (8*c*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/35 + (a^2*c*x^6*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/7 + (17*c^(3/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/(560*a^4)}
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x], x, 21, (c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(16*a^3) + (c + a^2*c*x^2)^(3/2)/(72*a^3) - (c + a^2*c*x^2)^(5/2)/(30*a^3*c) + (c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(16*a^2) + (7/24)*c*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] + (1/6)*a^2*c*x^5*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] + (I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(8*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x])])/(16*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(16*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x], x, 5, (-3*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(40*a) - (x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/(20*a) + ((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x])/(5*a^2*c) - (3*c^(3/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/(40*a^2)}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x], x, 4, (-3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(8*a) - (c + a^2*c*x^2)^(3/2)/(12*a) + (3*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/8 + (x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/4 - (((3*I)/4)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (((3*I)/8)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (((3*I)/8)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/x, x, 10, -(a*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/6 + c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] + ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/3 - (2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (7*c^(3/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/6 + (I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/x^2, x, 11, -(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/2 - (c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/x + (a^2*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/2 - ((3*I)*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - a*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]] + (((3*I)/2)*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((3*I)/2)*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/x^3, x, 12, -(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(2*x) + a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] - (c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(2*x^2) - (3*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - a^2*c^(3/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]] + (((3*I)/2)*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((3*I)/2)*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/x^4, x, 13, -(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(6*x^2) - (a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/x - ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/(3*x^3) - ((2*I)*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (7*a^3*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]])/6 + (I*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (I*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+
+
+{x^3*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x], x, 76, (47*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(2688*a^3) - (205*c^2*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(12096*a) - (103*a*c^2*x^5*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/3024 - (a^3*c^2*x^7*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/72 - (2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(63*a^4) + (c^2*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(63*a^2) + (5*c^2*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/21 + (19*a^2*c^2*x^6*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/63 + (a^4*c^2*x^8*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/9 + (115*c^(5/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/(8064*a^4)}
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x], x, 51, (5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(128*a^3) + (5*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/(576*a^3) + (c + a^2*c*x^2)^(5/2)/(240*a^3) - (c + a^2*c*x^2)^(7/2)/(56*a^3*c) + (5*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(128*a^2) + (59/192)*c^2*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] + (17/48)*a^2*c^2*x^5*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] + (1/8)*a^4*c^2*x^7*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] + (5*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(64*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (5*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x])])/(128*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (5*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(128*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x], x, 6, (-5*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(112*a) - (5*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/(168*a) - (x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/(42*a) + ((c + a^2*c*x^2)^(7/2)*ArcTan[a*x])/(7*a^2*c) - (5*c^(5/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/(112*a^2)}
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x], x, 5, (-5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(16*a) - (5*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/(72*a) - (c + a^2*c*x^2)^(5/2)/(30*a) + (5*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/16 + (5*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/24 + (x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x])/6 - (((5*I)/8)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (((5*I)/16)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (((5*I)/16)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x])/x, x, 16, (-29*a*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/120 - (a*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/20 + c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] + (c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/3 + ((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x])/5 - (2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (149*c^(5/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/120 + (I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x])/x^2, x, 16, (-7*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/8 - (a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/12 - (c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/x + (7*a^2*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/8 + (a^2*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/4 - (((15*I)/4)*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - a*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]] + (((15*I)/8)*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((15*I)/8)*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x])/x^3, x, 23, -(a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(2*x) - (a^3*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/6 + 2*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] - (c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(2*x^2) + (a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/3 - (5*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (13*a^2*c^(5/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/6 + (((5*I)/2)*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((5*I)/2)*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x])/x^4, x, 25, -(a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/2 - (a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(6*x^2) - (2*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/x + (a^4*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/2 - (c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/(3*x^3) - ((5*I)*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (13*a^3*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]])/6 + (((5*I)/2)*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((5*I)/2)*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^3*ArcTan[a*x])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 7, -(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(6*a^3*c) - (2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(3*a^4*c) + (x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(3*a^2*c) + (5*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/(6*a^4*Sqrt[c])}
+{(x^2*ArcTan[a*x])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 4, -(Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(2*a^3*c)) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(2*a^2*c) + (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x])])/(2*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(2*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x*ArcTan[a*x])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 3, (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(a^2*c) - ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]]/(a^2*Sqrt[c])}
+{ArcTan[a*x]/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 2, ((-2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 2, (-2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{ArcTan[a*x]/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 4, -((Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(c*x)) - (a*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]])/Sqrt[c]}
+{ArcTan[a*x]/(x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 4, -(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(2*c*x) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(2*c*x^2) + (a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((I/2)*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((I/2)*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{ArcTan[a*x]/(x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 9, -(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(6*c*x^2) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(3*c*x^3) + (2*a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(3*c*x) + (5*a^3*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]])/(6*Sqrt[c])}
+
+
+{(x^3*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 6, -(x/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) + ArcTan[a*x]/(a^4*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(a^4*c^2) - ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]]/(a^4*c^(3/2))}
+{(x^2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, -(1/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) - (x*ArcTan[a*x])/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 2, x/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ArcTan[a*x]/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, 1/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x*ArcTan[a*x])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 5, -((a*x)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) + ArcTan[a*x]/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 6, -(a/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) - (a^2*x*ArcTan[a*x])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(c^2*x) - (a*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]])/c^(3/2)}
+{ArcTan[a*x]/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 10, (a^3*x)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(2*c^2*x) - (a^2*ArcTan[a*x])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(2*c^2*x^2) + (3*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (((3*I)/2)*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (((3*I)/2)*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 16, a^3/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(6*c^2*x^2) + (a^4*x*ArcTan[a*x])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(3*c^2*x^3) + (5*a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(3*c^2*x) + (11*a^3*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]])/(6*c^(3/2))}
+
+
+{(x^5*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 10, -(x^3/(9*a^3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))) - (5*x)/(3*a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x^2*ArcTan[a*x])/(3*a^4*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (5*ArcTan[a*x])/(3*a^6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(a^6*c^3) - ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]]/(a^6*c^(5/2))}
+{(x^4*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 8, 1/(9*a^5*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - 4/(3*a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (x^3*ArcTan[a*x])/(3*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (x*ArcTan[a*x])/(a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x])])/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x^3*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 3, x^3/(9*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x)/(3*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (x^2*ArcTan[a*x])/(3*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (2*ArcTan[a*x])/(3*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x^2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 4, -(1/(9*a^3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))) + 1/(3*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x^3*ArcTan[a*x])/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))}
+{(x*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 3, x/(9*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x)/(9*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ArcTan[a*x]/(3*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))}
+{ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 2, 1/(9*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + 2/(3*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x*ArcTan[a*x])/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcTan[a*x])/(3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 9, -(a*x)/(9*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (11*a*x)/(9*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ArcTan[a*x]/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + ArcTan[a*x]/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 9, -a/(9*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (5*a)/(3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (a^2*x*ArcTan[a*x])/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (5*a^2*x*ArcTan[a*x])/(3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(c^3*x) - (a*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]])/c^(5/2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^p ArcTan[a x]^1 with d=a^2 c and m symbolic*)
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x], x, 10, (c^3*x^(1 + m)*ArcTan[a*x])/(1 + m) + (3*a^2*c^3*x^(3 + m)*ArcTan[a*x])/(3 + m) + (3*a^4*c^3*x^(5 + m)*ArcTan[a*x])/(5 + m) + (a^6*c^3*x^(7 + m)*ArcTan[a*x])/(7 + m) - (a*c^3*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(2 + 3*m + m^2) - (3*a^3*c^3*x^(4 + m)*Hypergeometric2F1[1, (4 + m)/2, (6 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(12 + 7*m + m^2) - (3*a^5*c^3*x^(6 + m)*Hypergeometric2F1[1, (6 + m)/2, (8 + m)/2, (-a^2)*x^2])/((5 + m)*(6 + m)) - (a^7*c^3*x^(8 + m)*Hypergeometric2F1[1, (8 + m)/2, (10 + m)/2, (-a^2)*x^2])/((7 + m)*(8 + m))}
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x], x, 8, (c^2*x^(1 + m)*ArcTan[a*x])/(1 + m) + (2*a^2*c^2*x^(3 + m)*ArcTan[a*x])/(3 + m) + (a^4*c^2*x^(5 + m)*ArcTan[a*x])/(5 + m) - (a*c^2*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(2 + 3*m + m^2) - (2*a^3*c^2*x^(4 + m)*Hypergeometric2F1[1, (4 + m)/2, (6 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(12 + 7*m + m^2) - (a^5*c^2*x^(6 + m)*Hypergeometric2F1[1, (6 + m)/2, (8 + m)/2, (-a^2)*x^2])/((5 + m)*(6 + m))}
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x], x, 5, (c*x^(1 + m)*ArcTan[a*x])/(1 + m) + (a^2*c*x^(3 + m)*ArcTan[a*x])/(3 + m) - (a*c*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(2 + 3*m + m^2) - (a^3*c*x^(4 + m)*Hypergeometric2F1[1, (4 + m)/2, (6 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(12 + 7*m + m^2)}
+{(x^m*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2), x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2), x]}
+{(x^m*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^2, x]}
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x], x]}
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x], x]}
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^(1/2)*ArcTan[a*x], x, 3, (x^(1 + m)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(2 + m) - (a*x^(2 + m)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (3 + m)/2, (4 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(2 + m)^2 + (c*Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/(2 + m), (x^(1 + m)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(2 + m) - (a*c*x^(2 + m)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-a^2)*x^2])/((2 + m)^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (c*Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/(2 + m)}
+{(x^m*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x]}
+{(x^m*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^q (a+b ArcTan[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^p ArcTan[a x]^2 with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^2, x, 26, -(c*x^2)/(180*a^2) + (c*x^4)/60 + (c*x*ArcTan[a*x])/(6*a^3) - (c*x^3*ArcTan[a*x])/(18*a) - (a*c*x^5*ArcTan[a*x])/15 - (c*ArcTan[a*x]^2)/(12*a^4) + (c*x^4*ArcTan[a*x]^2)/4 + (a^2*c*x^6*ArcTan[a*x]^2)/6 - (7*c*Log[1 + a^2*x^2])/(90*a^4)}
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^2, x, 24, (c*x)/(30*a^2) + (c*x^3)/30 - (c*ArcTan[a*x])/(30*a^3) - (2*c*x^2*ArcTan[a*x])/(15*a) - (a*c*x^4*ArcTan[a*x])/10 - (((2*I)/15)*c*ArcTan[a*x]^2)/a^3 + (c*x^3*ArcTan[a*x]^2)/3 + (a^2*c*x^5*ArcTan[a*x]^2)/5 - (4*c*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(15*a^3) - (((2*I)/15)*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a^3}
+{x*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^2, x, 4, (c*(1 + a^2*x^2))/(12*a^2) - (c*x*ArcTan[a*x])/(3*a) - (c*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x])/(6*a) + (c*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2)/(4*a^2) + (c*Log[1 + a^2*x^2])/(6*a^2)}
+{(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^2, x, 7, (c*x)/3 - (c*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x])/(3*a) + (((2*I)/3)*c*ArcTan[a*x]^2)/a + (2*c*x*ArcTan[a*x]^2)/3 + (c*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2)/3 + (4*c*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(3*a) + (((2*I)/3)*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a}
+{((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^2)/x, x, 12, -(a*c*x*ArcTan[a*x]) + (c*ArcTan[a*x]^2)/2 + (a^2*c*x^2*ArcTan[a*x]^2)/2 + 2*c*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*a*x)] + (c*Log[1 + a^2*x^2])/2 - I*c*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + I*c*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*a*x)] - (c*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/2 + (c*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*a*x)])/2}
+{((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^2)/x^2, x, 10, -((c*ArcTan[a*x]^2)/x) + a^2*c*x*ArcTan[a*x]^2 + 2*a*c*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)] + 2*a*c*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)] - I*a*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)] + I*a*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)]}
+{((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^2)/x^3, x, 15, -((a*c*ArcTan[a*x])/x) - (1/2)*a^2*c*ArcTan[a*x]^2 - (c*ArcTan[a*x]^2)/(2*x^2) + 2*a^2*c*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*a*x)] + a^2*c*Log[x] - (1/2)*a^2*c*Log[1 + a^2*x^2] - I*a^2*c*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + I*a^2*c*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*a*x)] - (1/2)*a^2*c*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + (1/2)*a^2*c*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*a*x)]}
+{((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^2)/x^4, x, 13, -(a^2*c)/(3*x) - (a^3*c*ArcTan[a*x])/3 - (a*c*ArcTan[a*x])/(3*x^2) - ((2*I)/3)*a^3*c*ArcTan[a*x]^2 - (c*ArcTan[a*x]^2)/(3*x^3) - (a^2*c*ArcTan[a*x]^2)/x + (4*a^3*c*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/3 - ((2*I)/3)*a^3*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)]}
+
+
+{x^3*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2, x, 47, (-5*c^2*x^2)/(504*a^2) + (c^2*x^4)/84 + (a^2*c^2*x^6)/168 + (c^2*x*ArcTan[a*x])/(12*a^3) - (c^2*x^3*ArcTan[a*x])/(36*a) - (a*c^2*x^5*ArcTan[a*x])/12 - (a^3*c^2*x^7*ArcTan[a*x])/28 - (c^2*ArcTan[a*x]^2)/(24*a^4) + (c^2*x^4*ArcTan[a*x]^2)/4 + (a^2*c^2*x^6*ArcTan[a*x]^2)/3 + (a^4*c^2*x^8*ArcTan[a*x]^2)/8 - (2*c^2*Log[1 + a^2*x^2])/(63*a^4)}
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2, x, 44, -(c^2*x)/(210*a^2) + (17*c^2*x^3)/630 + (a^2*c^2*x^5)/105 + (c^2*ArcTan[a*x])/(210*a^3) - (8*c^2*x^2*ArcTan[a*x])/(105*a) - (9*a*c^2*x^4*ArcTan[a*x])/70 - (a^3*c^2*x^6*ArcTan[a*x])/21 - (((8*I)/105)*c^2*ArcTan[a*x]^2)/a^3 + (c^2*x^3*ArcTan[a*x]^2)/3 + (2*a^2*c^2*x^5*ArcTan[a*x]^2)/5 + (a^4*c^2*x^7*ArcTan[a*x]^2)/7 - (16*c^2*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(105*a^3) - (((8*I)/105)*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a^3}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2, x, 5, (2*c^2*(1 + a^2*x^2))/(45*a^2) + (c^2*(1 + a^2*x^2)^2)/(60*a^2) - (8*c^2*x*ArcTan[a*x])/(45*a) - (4*c^2*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x])/(45*a) - (c^2*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x])/(15*a) + (c^2*(1 + a^2*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2)/(6*a^2) + (4*c^2*Log[1 + a^2*x^2])/(45*a^2)}
+{(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2, x, 9, (11*c^2*x)/30 + (a^2*c^2*x^3)/30 - (4*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x])/(15*a) - (c^2*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x])/(10*a) + (((8*I)/15)*c^2*ArcTan[a*x]^2)/a + (8*c^2*x*ArcTan[a*x]^2)/15 + (4*c^2*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2)/15 + (c^2*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2)/5 + (16*c^2*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(15*a) + (((8*I)/15)*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a}
+{((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2)/x, x, 23, (a^2*c^2*x^2)/12 - (3*a*c^2*x*ArcTan[a*x])/2 - (a^3*c^2*x^3*ArcTan[a*x])/6 + (3*c^2*ArcTan[a*x]^2)/4 + a^2*c^2*x^2*ArcTan[a*x]^2 + (a^4*c^2*x^4*ArcTan[a*x]^2)/4 + 2*c^2*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*a*x)] + (2*c^2*Log[1 + a^2*x^2])/3 - I*c^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + I*c^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*a*x)] - (c^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/2 + (c^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*a*x)])/2}
+{((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2)/x^2, x, 20, (a^2*c^2*x)/3 - (a*c^2*ArcTan[a*x])/3 - (a^3*c^2*x^2*ArcTan[a*x])/3 + ((2*I)/3)*a*c^2*ArcTan[a*x]^2 - (c^2*ArcTan[a*x]^2)/x + 2*a^2*c^2*x*ArcTan[a*x]^2 + (a^4*c^2*x^3*ArcTan[a*x]^2)/3 + (10*a*c^2*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/3 + 2*a*c^2*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)] - I*a*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)] + ((5*I)/3)*a*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)]}
+{((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2)/x^3, x, 21, -((a*c^2*ArcTan[a*x])/x) - a^3*c^2*x*ArcTan[a*x] - (c^2*ArcTan[a*x]^2)/(2*x^2) + (1/2)*a^4*c^2*x^2*ArcTan[a*x]^2 + 4*a^2*c^2*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*a*x)] + a^2*c^2*Log[x] - 2*I*a^2*c^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + 2*I*a^2*c^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*a*x)] - a^2*c^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + a^2*c^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*a*x)]}
+{((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2)/x^4, x, 19, -(a^2*c^2)/(3*x) - (a^3*c^2*ArcTan[a*x])/3 - (a*c^2*ArcTan[a*x])/(3*x^2) - ((2*I)/3)*a^3*c^2*ArcTan[a*x]^2 - (c^2*ArcTan[a*x]^2)/(3*x^3) - (2*a^2*c^2*ArcTan[a*x]^2)/x + a^4*c^2*x*ArcTan[a*x]^2 + 2*a^3*c^2*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)] + (10*a^3*c^2*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/3 - ((5*I)/3)*a^3*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)] + I*a^3*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)]}
+
+
+{x^3*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2, x, 72, (-107*c^3*x^2)/(12600*a^2) + (53*c^3*x^4)/6300 + (71*a^2*c^3*x^6)/7560 + (a^4*c^3*x^8)/360 + (c^3*x*ArcTan[a*x])/(20*a^3) - (c^3*x^3*ArcTan[a*x])/(60*a) - (9*a*c^3*x^5*ArcTan[a*x])/100 - (11*a^3*c^3*x^7*ArcTan[a*x])/140 - (a^5*c^3*x^9*ArcTan[a*x])/45 - (c^3*ArcTan[a*x]^2)/(40*a^4) + (c^3*x^4*ArcTan[a*x]^2)/4 + (a^2*c^3*x^6*ArcTan[a*x]^2)/2 + (3*a^4*c^3*x^8*ArcTan[a*x]^2)/8 + (a^6*c^3*x^10*ArcTan[a*x]^2)/10 - (26*c^3*Log[1 + a^2*x^2])/(1575*a^4)}
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2, x, 68, (-47*c^3*x)/(3780*a^2) + (239*c^3*x^3)/11340 + (59*a^2*c^3*x^5)/3780 + (a^4*c^3*x^7)/252 + (47*c^3*ArcTan[a*x])/(3780*a^3) - (16*c^3*x^2*ArcTan[a*x])/(315*a) - (89*a*c^3*x^4*ArcTan[a*x])/630 - (20*a^3*c^3*x^6*ArcTan[a*x])/189 - (a^5*c^3*x^8*ArcTan[a*x])/36 - (((16*I)/315)*c^3*ArcTan[a*x]^2)/a^3 + (c^3*x^3*ArcTan[a*x]^2)/3 + (3*a^2*c^3*x^5*ArcTan[a*x]^2)/5 + (3*a^4*c^3*x^7*ArcTan[a*x]^2)/7 + (a^6*c^3*x^9*ArcTan[a*x]^2)/9 - (32*c^3*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(315*a^3) - (((16*I)/315)*c^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a^3}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2, x, 6, (c^3*(1 + a^2*x^2))/(35*a^2) + (3*c^3*(1 + a^2*x^2)^2)/(280*a^2) + (c^3*(1 + a^2*x^2)^3)/(168*a^2) - (4*c^3*x*ArcTan[a*x])/(35*a) - (2*c^3*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x])/(35*a) - (3*c^3*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x])/(70*a) - (c^3*x*(1 + a^2*x^2)^3*ArcTan[a*x])/(28*a) + (c^3*(1 + a^2*x^2)^4*ArcTan[a*x]^2)/(8*a^2) + (2*c^3*Log[1 + a^2*x^2])/(35*a^2)}
+{(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2, x, 12, (38*c^3*x)/105 + (19*a^2*c^3*x^3)/315 + (a^4*c^3*x^5)/105 - (8*c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x])/(35*a) - (3*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x])/(35*a) - (c^3*(1 + a^2*x^2)^3*ArcTan[a*x])/(21*a) + (((16*I)/35)*c^3*ArcTan[a*x]^2)/a + (16*c^3*x*ArcTan[a*x]^2)/35 + (8*c^3*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2)/35 + (6*c^3*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2)/35 + (c^3*x*(1 + a^2*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2)/7 + (32*c^3*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(35*a) + (((16*I)/35)*c^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a}
+{((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2)/x, x, 38, (29*a^2*c^3*x^2)/180 + (a^4*c^3*x^4)/60 - (11*a*c^3*x*ArcTan[a*x])/6 - (7*a^3*c^3*x^3*ArcTan[a*x])/18 - (a^5*c^3*x^5*ArcTan[a*x])/15 + (11*c^3*ArcTan[a*x]^2)/12 + (3*a^2*c^3*x^2*ArcTan[a*x]^2)/2 + (3*a^4*c^3*x^4*ArcTan[a*x]^2)/4 + (a^6*c^3*x^6*ArcTan[a*x]^2)/6 + 2*c^3*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*a*x)] + (34*c^3*Log[1 + a^2*x^2])/45 - I*c^3*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + I*c^3*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*a*x)] - (c^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/2 + (c^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*a*x)])/2}
+{((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2)/x^2, x, 34, (7*a^2*c^3*x)/10 + (a^4*c^3*x^3)/30 - (7*a*c^3*ArcTan[a*x])/10 - (4*a^3*c^3*x^2*ArcTan[a*x])/5 - (a^5*c^3*x^4*ArcTan[a*x])/10 + ((6*I)/5)*a*c^3*ArcTan[a*x]^2 - (c^3*ArcTan[a*x]^2)/x + 3*a^2*c^3*x*ArcTan[a*x]^2 + a^4*c^3*x^3*ArcTan[a*x]^2 + (a^6*c^3*x^5*ArcTan[a*x]^2)/5 + (22*a*c^3*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/5 + 2*a*c^3*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)] - I*a*c^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)] + ((11*I)/5)*a*c^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)]}
+{((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2)/x^3, x, 31, (1/12)*a^4*c^3*x^2 - (a*c^3*ArcTan[a*x])/x - (5/2)*a^3*c^3*x*ArcTan[a*x] - (1/6)*a^5*c^3*x^3*ArcTan[a*x] + (3/4)*a^2*c^3*ArcTan[a*x]^2 - (c^3*ArcTan[a*x]^2)/(2*x^2) + (3/2)*a^4*c^3*x^2*ArcTan[a*x]^2 + (1/4)*a^6*c^3*x^4*ArcTan[a*x]^2 + 6*a^2*c^3*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*a*x)] + a^2*c^3*Log[x] + (2/3)*a^2*c^3*Log[1 + a^2*x^2] - 3*I*a^2*c^3*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + 3*I*a^2*c^3*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*a*x)] - (3/2)*a^2*c^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + (3/2)*a^2*c^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*a*x)]}
+{((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2)/x^4, x, 28, -(a^2*c^3)/(3*x) + (a^4*c^3*x)/3 - (2*a^3*c^3*ArcTan[a*x])/3 - (a*c^3*ArcTan[a*x])/(3*x^2) - (a^5*c^3*x^2*ArcTan[a*x])/3 - (c^3*ArcTan[a*x]^2)/(3*x^3) - (3*a^2*c^3*ArcTan[a*x]^2)/x + 3*a^4*c^3*x*ArcTan[a*x]^2 + (a^6*c^3*x^3*ArcTan[a*x]^2)/3 + (16*a^3*c^3*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/3 + (16*a^3*c^3*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/3 - ((8*I)/3)*a^3*c^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)] + ((8*I)/3)*a^3*c^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^4*ArcTan[a*x]^2/(c + a^2*c*x^2), x, 17, x/(3*a^4*c) - ArcTan[a*x]/(3*a^5*c) - (x^2*ArcTan[a*x])/(3*a^3*c) - (4*I*ArcTan[a*x]^2)/(3*a^5*c) - (x*ArcTan[a*x]^2)/(a^4*c) + (x^3*ArcTan[a*x]^2)/(3*a^2*c) + ArcTan[a*x]^3/(3*a^5*c) - (8*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(3*a^5*c) - (4*I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(3*a^5*c)}
+{x^3*ArcTan[a*x]^2/(c + a^2*c*x^2), x, 10, -((x*ArcTan[a*x])/(a^3*c)) + ArcTan[a*x]^2/(2*a^4*c) + (x^2*ArcTan[a*x]^2)/(2*a^2*c) + ((I/3)*ArcTan[a*x]^3)/(a^4*c) + (ArcTan[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)])/(a^4*c) + Log[1 + a^2*x^2]/(2*a^4*c) + (I*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(a^4*c) + PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)]/(2*a^4*c)}
+{x^2*ArcTan[a*x]^2/(c + a^2*c*x^2), x, 7, (I*ArcTan[a*x]^2)/(a^3*c) + (x*ArcTan[a*x]^2)/(a^2*c) - ArcTan[a*x]^3/(3*a^3*c) + (2*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(a^3*c) + (I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(a^3*c)}
+{x*ArcTan[a*x]^2/(c + a^2*c*x^2), x, 4, ((-I/3)*ArcTan[a*x]^3)/(a^2*c) - (ArcTan[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)])/(a^2*c) - (I*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(a^2*c) - PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)]/(2*a^2*c)}
+{ArcTan[a*x]^2/(c + a^2*c*x^2), x, 1, ArcTan[a*x]^3/(3*a*c)}
+{ArcTan[a*x]^2/(x*(c + a^2*c*x^2)), x, 4, ((-I/3)*ArcTan[a*x]^3)/c + (ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c - (I*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c + PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)]/(2*c)}
+{ArcTan[a*x]^2/(x^2*(c + a^2*c*x^2)), x, 6, ((-I)*a*ArcTan[a*x]^2)/c - ArcTan[a*x]^2/(c*x) - (a*ArcTan[a*x]^3)/(3*c) + (2*a*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c - (I*a*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c}
+{ArcTan[a*x]^2/(x^3*(c + a^2*c*x^2)), x, 13, -((a*ArcTan[a*x])/(c*x)) - (a^2*ArcTan[a*x]^2)/(2*c) - ArcTan[a*x]^2/(2*c*x^2) + (I*a^2*ArcTan[a*x]^3)/(3*c) + (a^2*Log[x])/c - (a^2*ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c - (a^2*Log[1 + a^2*x^2])/(2*c) + (I*a^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c - (a^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/(2*c)}
+{ArcTan[a*x]^2/(x^4*(c + a^2*c*x^2)), x, 15, -a^2/(3*c*x) - (a^3*ArcTan[a*x])/(3*c) - (a*ArcTan[a*x])/(3*c*x^2) + (((4*I)/3)*a^3*ArcTan[a*x]^2)/c - ArcTan[a*x]^2/(3*c*x^3) + (a^2*ArcTan[a*x]^2)/(c*x) + (a^3*ArcTan[a*x]^3)/(3*c) - (8*a^3*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/(3*c) + (((4*I)/3)*a^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c}
+
+
+{(x^3*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 8, -1/(4*a^4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (x*ArcTan[a*x])/(2*a^3*c^2*(1 + a^2*x^2)) - ArcTan[a*x]^2/(4*a^4*c^2) + ArcTan[a*x]^2/(2*a^4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - ((I/3)*ArcTan[a*x]^3)/(a^4*c^2) - (ArcTan[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)])/(a^4*c^2) - (I*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(a^4*c^2) - PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)]/(2*a^4*c^2)}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 4, x/(4*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]/(4*a^3*c^2) - ArcTan[a*x]/(2*a^3*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (x*ArcTan[a*x]^2)/(2*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^3/(6*a^3*c^2)}
+{(x*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 3, 1/(4*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (x*ArcTan[a*x])/(2*a*c^2*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^2/(4*a^2*c^2) - ArcTan[a*x]^2/(2*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2))}
+{ArcTan[a*x]^2/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 4, -x/(4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - ArcTan[a*x]/(4*a*c^2) + ArcTan[a*x]/(2*a*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (x*ArcTan[a*x]^2)/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^3/(6*a*c^2)}
+{ArcTan[a*x]^2/(x*(c + a^2*c*x^2)^2), x, 8, -1/(4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (a*x*ArcTan[a*x])/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) - ArcTan[a*x]^2/(4*c^2) + ArcTan[a*x]^2/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) - ((I/3)*ArcTan[a*x]^3)/c^2 + (ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^2 - (I*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^2 + PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)]/(2*c^2)}
+{ArcTan[a*x]^2/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^2), x, 11, (a^2*x)/(4*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (a*ArcTan[a*x])/(4*c^2) - (a*ArcTan[a*x])/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (I*a*ArcTan[a*x]^2)/c^2 - ArcTan[a*x]^2/(c^2*x) - (a^2*x*ArcTan[a*x]^2)/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (a*ArcTan[a*x]^3)/(2*c^2) + (2*a*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^2 - (I*a*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^2}
+{ArcTan[a*x]^2/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^2), x, 22, a^2/(4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (a*ArcTan[a*x])/(c^2*x) + (a^3*x*ArcTan[a*x])/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (a^2*ArcTan[a*x]^2)/(4*c^2) - ArcTan[a*x]^2/(2*c^2*x^2) - (a^2*ArcTan[a*x]^2)/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (2*I*a^2*ArcTan[a*x]^3)/(3*c^2) + (a^2*Log[x])/c^2 - (2*a^2*ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^2 - (a^2*Log[1 + a^2*x^2])/(2*c^2) + (2*I*a^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^2 - (a^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^2}
+{ArcTan[a*x]^2/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^2), x, 27, -a^2/(3*c^2*x) - (a^4*x)/(4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (7*a^3*ArcTan[a*x])/(12*c^2) - (a*ArcTan[a*x])/(3*c^2*x^2) + (a^3*ArcTan[a*x])/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (((7*I)/3)*a^3*ArcTan[a*x]^2)/c^2 - ArcTan[a*x]^2/(3*c^2*x^3) + (2*a^2*ArcTan[a*x]^2)/(c^2*x) + (a^4*x*ArcTan[a*x]^2)/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (5*a^3*ArcTan[a*x]^3)/(6*c^2) - (14*a^3*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/(3*c^2) + (((7*I)/3)*a^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^2}
+
+
+{(x^3*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 4, -(x^4/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)^2)) + 3/(32*a^4*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (x^3*ArcTan[a*x])/(8*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (3*x*ArcTan[a*x])/(16*a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (3*ArcTan[a*x]^2)/(32*a^4*c^3) + (x^4*ArcTan[a*x]^2)/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2)}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 13, x/(32*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - x/(64*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)) - ArcTan[a*x]/(64*a^3*c^3) - ArcTan[a*x]/(8*a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + ArcTan[a*x]/(8*a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (x*ArcTan[a*x]^2)/(4*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (x*ArcTan[a*x]^2)/(8*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^3/(24*a^3*c^3)}
+{(x*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 4, 1/(32*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + 3/(32*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (x*ArcTan[a*x])/(8*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (3*x*ArcTan[a*x])/(16*a*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (3*ArcTan[a*x]^2)/(32*a^2*c^3) - ArcTan[a*x]^2/(4*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2)}
+{ArcTan[a*x]^2/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 8, -x/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (15*x)/(64*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (15*ArcTan[a*x])/(64*a*c^3) + ArcTan[a*x]/(8*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (3*ArcTan[a*x])/(8*a*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (x*ArcTan[a*x]^2)/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (3*x*ArcTan[a*x]^2)/(8*c^3*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^3/(8*a*c^3)}
+{ArcTan[a*x]^2/(x*(c + a^2*c*x^2)^3), x, 13, -1/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - 11/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (a*x*ArcTan[a*x])/(8*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (11*a*x*ArcTan[a*x])/(16*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (11*ArcTan[a*x]^2)/(32*c^3) + ArcTan[a*x]^2/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + ArcTan[a*x]^2/(2*c^3*(1 + a^2*x^2)) - ((I/3)*ArcTan[a*x]^3)/c^3 + (ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^3 - (I*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^3 + PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)]/(2*c^3)}
+{ArcTan[a*x]^2/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^3), x, 20, (a^2*x)/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (31*a^2*x)/(64*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (31*a*ArcTan[a*x])/(64*c^3) - (a*ArcTan[a*x])/(8*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (7*a*ArcTan[a*x])/(8*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (I*a*ArcTan[a*x]^2)/c^3 - ArcTan[a*x]^2/(c^3*x) - (a^2*x*ArcTan[a*x]^2)/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (7*a^2*x*ArcTan[a*x]^2)/(8*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (5*a*ArcTan[a*x]^3)/(8*c^3) + (2*a*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^3 - (I*a*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^3}
+{ArcTan[a*x]^2/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^3), x, 36, a^2/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (19*a^2)/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (a*ArcTan[a*x])/(c^3*x) + (a^3*x*ArcTan[a*x])/(8*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (19*a^3*x*ArcTan[a*x])/(16*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (3*a^2*ArcTan[a*x]^2)/(32*c^3) - ArcTan[a*x]^2/(2*c^3*x^2) - (a^2*ArcTan[a*x]^2)/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (a^2*ArcTan[a*x]^2)/(c^3*(1 + a^2*x^2)) + (I*a^2*ArcTan[a*x]^3)/c^3 + (a^2*Log[x])/c^3 - (3*a^2*ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^3 - (a^2*Log[1 + a^2*x^2])/(2*c^3) + (3*I*a^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^3 - (3*a^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/(2*c^3)}
+{ArcTan[a*x]^2/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^3), x, 48, -a^2/(3*c^3*x) - (a^4*x)/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (47*a^4*x)/(64*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (205*a^3*ArcTan[a*x])/(192*c^3) - (a*ArcTan[a*x])/(3*c^3*x^2) + (a^3*ArcTan[a*x])/(8*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (11*a^3*ArcTan[a*x])/(8*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (((10*I)/3)*a^3*ArcTan[a*x]^2)/c^3 - ArcTan[a*x]^2/(3*c^3*x^3) + (3*a^2*ArcTan[a*x]^2)/(c^3*x) + (a^4*x*ArcTan[a*x]^2)/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (11*a^4*x*ArcTan[a*x]^2)/(8*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (35*a^3*ArcTan[a*x]^3)/(24*c^3) - (20*a^3*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/(3*c^3) + (((10*I)/3)*a^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^3}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^(p/2) ArcTan[a x]^2 with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2, x, 26, -((11*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(60*a^4)) + (c + a^2*c*x^2)^(3/2)/(30*a^4*c) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(12*a^3) - (x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(10*a) - (2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(15*a^4) + (x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(15*a^2) + (1/5)*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 - (11*I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(30*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (11*I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x])])/(60*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (11*I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(60*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2, x, 35, (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(12*a^2) + (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(12*a^3) - (x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(6*a) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(8*a^2) + (1/4)*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 + (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(4*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[c]*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/(6*a^3) - (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(4*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(4*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(4*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(4*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2, x, 4, Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(3*a^2) - (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(3*a) + ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/(3*a^2*c) + (((2*I)/3)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((I/3)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((I/3)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2, x, 12, -((Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/a) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/2 - (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[c]*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/a + (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/x, x, 13, Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 + ((4*I)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((2*I)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((2*I)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((2*I)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((2*I)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/x^2, x, 13, -((Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/x) - ((2*I)*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (4*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((2*I)*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((2*I)*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((2*I)*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((2*I)*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (2*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (2*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/x^3, x, 24, -((a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/x) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(2*x^2) - (a^2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - a^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]] + (I*a^2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (I*a^2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (a^2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (a^2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/x^4, x, 7, -(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(3*x) - (a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(3*x^2) - ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/(3*c*x^3) - (2*a^3*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((I/3)*a^3*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((I/3)*a^3*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+
+
+{x^3*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2, x, 75, -((17*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(280*a^4)) - (17*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/(1260*a^4) + (c + a^2*c*x^2)^(5/2)/(105*a^4*c) + (3*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(56*a^3) - (23*c*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(420*a) - (1/21)*a*c*x^5*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] - (2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(35*a^4) + (c*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(35*a^2) + (8/35)*c*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 + (1/7)*a^2*c*x^6*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 - (17*I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(140*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (17*I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x])])/(280*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (17*I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(280*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2, x, 92, (c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(36*a^2) + (1/60)*c*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (31*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(360*a^3) - (19*c*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(180*a) - (1/15)*a*c*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] + (c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(16*a^2) + (7/24)*c*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 + (1/6)*a^2*c*x^5*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 + (I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(8*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (41*c^(3/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/(360*a^3) - (I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(8*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(8*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(8*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(8*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2, x, 5, (3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(20*a^2) + (c + a^2*c*x^2)^(3/2)/(30*a^2) - (3*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(20*a) - (x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/(10*a) + ((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2)/(5*a^2*c) + (((3*I)/10)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (((3*I)/20)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (((3*I)/20)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2, x, 16, (c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/12 - (3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(4*a) - ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/(6*a) + (3*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/8 + (x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/4 - (((3*I)/4)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (5*c^(3/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/(6*a) + (((3*I)/4)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (((3*I)/4)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(4*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(4*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/x, x, 18, (c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/3 - (a*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/3 + c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 + ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/3 + (((14*I)/3)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((2*I)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((2*I)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((7*I)/3)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (((7*I)/3)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/x^2, x, 26, -(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) - (c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/x + (a^2*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/2 - ((3*I)*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (4*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + a*c^(3/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]] + ((3*I)*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((3*I)*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((2*I)*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((2*I)*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (3*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (3*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/x^3, x, 38, -((a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/x) + a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 - (c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(2*x^2) + ((4*I)*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (3*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - a^2*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]] + ((3*I)*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((3*I)*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((2*I)*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((2*I)*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (3*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (3*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/x^4, x, 21, -(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(3*x) - (a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(3*x^2) - (a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/x - ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/(3*x^3) - ((2*I)*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (14*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((2*I)*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((2*I)*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (((7*I)/3)*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((7*I)/3)*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (2*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (2*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+
+
+{x^3*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2, x, 203, -((115*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(4032*a^4)) - (115*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/(18144*a^4) - (23*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/(7560*a^4) + (c + a^2*c*x^2)^(7/2)/(252*a^4*c) + (47*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(1344*a^3) - (205*c^2*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(6048*a) - (103*a*c^2*x^5*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/1512 - (1/36)*a^3*c^2*x^7*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] - (2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(63*a^4) + (c^2*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(63*a^2) + (5/21)*c^2*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 + (19/63)*a^2*c^2*x^6*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 + (1/9)*a^4*c^2*x^8*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 - (115*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(2016*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (115*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x])])/(4032*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (115*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(4032*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2, x, 238, (43*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(4032*a^2) + (29*c^2*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/1680 + (1/168)*a^2*c^2*x^5*Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (1373*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(20160*a^3) - (737*c^2*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(10080*a) - (83/840)*a*c^2*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] - (1/28)*a^3*c^2*x^6*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] + (5*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(128*a^2) + (59/192)*c^2*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 + (17/48)*a^2*c^2*x^5*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 + (1/8)*a^4*c^2*x^7*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 + (5*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(64*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (397*c^(5/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/(5040*a^3) - (5*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(64*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (5*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(64*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (5*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(64*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (5*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(64*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2, x, 6, (5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(56*a^2) + (5*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/(252*a^2) + (c + a^2*c*x^2)^(5/2)/(105*a^2) - (5*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(56*a) - (5*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/(84*a) - (x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x])/(21*a) + ((c + a^2*c*x^2)^(7/2)*ArcTan[a*x]^2)/(7*a^2*c) + (((5*I)/28)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (((5*I)/56)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (((5*I)/56)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2, x, 21, (17*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/180 + (c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/60 - (5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(8*a) - (5*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/(36*a) - ((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x])/(15*a) + (5*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/16 + (5*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/24 + (x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2)/6 - (((5*I)/8)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (259*c^(5/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/(360*a) + (((5*I)/8)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (((5*I)/8)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (5*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(8*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (5*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(8*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2)/x, x, 24, (29*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/60 + (c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/30 - (29*a*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/60 - (a*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/10 + c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 + (c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/3 + ((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2)/5 + (((149*I)/30)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((2*I)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((2*I)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((149*I)/60)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (((149*I)/60)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2)/x^2, x, 43, (a^2*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/12 - (7*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/4 - (a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/6 - (c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/x + (7*a^2*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/8 + (a^2*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/4 - (((15*I)/4)*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (4*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (11*a*c^(5/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/6 + (((15*I)/4)*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((15*I)/4)*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((2*I)*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((2*I)*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (15*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (15*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(4*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2)/x^3, x, 57, (a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/3 - (a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/x - (a^3*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/3 + 2*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 - (c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(2*x^2) + (a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/3 + (((26*I)/3)*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (5*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - a^2*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]] + ((5*I)*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((5*I)*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((13*I)/3)*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (((13*I)/3)*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (5*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (5*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2)/x^4, x, 48, -(a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(3*x) - a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] - (a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(3*x^2) - (2*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/x + (a^4*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/2 - (c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/(3*x^3) - ((5*I)*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (26*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + a^3*c^(5/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]] + ((5*I)*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((5*I)*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (((13*I)/3)*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((13*I)/3)*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (5*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (5*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^3*ArcTan[a*x]^2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 8, Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(3*a^4*c) - (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(3*a^3*c) - (2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(3*a^4*c) + (x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(3*a^2*c) - (10*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(3*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (5*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x])])/(3*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (5*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(3*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 13, -((Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(a^3*c)) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(2*a^2*c) + (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]]/(a^3*Sqrt[c]) - (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x*ArcTan[a*x]^2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 3, (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(a^2*c) + ((4*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^2/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 9, ((-2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^2/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 9, (-2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{ArcTan[a*x]^2/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 3, -((Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(c*x)) - (4*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((2*I)*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((2*I)*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{ArcTan[a*x]^2/(x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 14, -((a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(c*x)) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(2*c*x^2) + (a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (a^2*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]])/Sqrt[c] - (I*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (I*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{ArcTan[a*x]^2/(x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 8, -(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(3*c*x) - (a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(3*c*x^2) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(3*c*x^3) + (2*a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(3*c*x) + (10*a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (((5*I)/3)*a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (((5*I)/3)*a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+
+
+{(x^3*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 6, -2/(a^4*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*x*ArcTan[a*x])/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ArcTan[a*x]^2/(a^4*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(a^4*c^2) + ((4*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^4*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^4*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^4*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 12, (2*x)/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*ArcTan[a*x])/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (x*ArcTan[a*x]^2)/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 2, 2/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*x*ArcTan[a*x])/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ArcTan[a*x]^2/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^2/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 2, (-2*x)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*ArcTan[a*x])/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x*ArcTan[a*x]^2)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^2/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 12, -2/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*a*x*ArcTan[a*x])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ArcTan[a*x]^2/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^2/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 6, (2*a^2*x)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*a*ArcTan[a*x])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (a^2*x*ArcTan[a*x]^2)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(c^2*x) - (4*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((2*I)*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((2*I)*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^2/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 27, (2*a^2)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*a^3*x*ArcTan[a*x])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(c^2*x) - (a^2*ArcTan[a*x]^2)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(2*c^2*x^2) + (3*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (a^2*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]])/c^(3/2) - ((3*I)*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((3*I)*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^2/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 15, (-2*a^4*x)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(3*c^2*x) + (2*a^3*ArcTan[a*x])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(3*c^2*x^2) + (a^4*x*ArcTan[a*x]^2)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(3*c^2*x^3) + (5*a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(3*c^2*x) + (22*a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (((11*I)/3)*a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (((11*I)/3)*a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+
+
+{(x^5*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 13, 2/(27*a^6*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - 32/(9*a^6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*x^3*ArcTan[a*x])/(9*a^3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (10*x*ArcTan[a*x])/(3*a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x^2*ArcTan[a*x]^2)/(3*a^4*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (5*ArcTan[a*x]^2)/(3*a^6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(a^6*c^3) + (4*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x])])/(a^6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x^4*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 17, (2*x^3)/(27*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (22*x)/(9*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*x^2*ArcTan[a*x])/(9*a^3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (22*ArcTan[a*x])/(9*a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (x^3*ArcTan[a*x]^2)/(3*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (x*ArcTan[a*x]^2)/(a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x^3*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 6, -(2/(27*a^4*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))) + 14/(9*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*x^3*ArcTan[a*x])/(9*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (4*x*ArcTan[a*x])/(3*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (x^2*ArcTan[a*x]^2)/(3*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (2*ArcTan[a*x]^2)/(3*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 4, -((2*x^3)/(27*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))) - (4*x)/(9*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*x^2*ArcTan[a*x])/(9*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (4*ArcTan[a*x])/(9*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x^3*ArcTan[a*x]^2)/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))}
+{(x*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 3, 2/(27*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + 4/(9*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*x*ArcTan[a*x])/(9*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (4*x*ArcTan[a*x])/(9*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ArcTan[a*x]^2/(3*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))}
+{ArcTan[a*x]^2/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 5, (-2*x)/(27*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (40*x)/(27*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*ArcTan[a*x])/(9*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (4*ArcTan[a*x])/(3*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x*ArcTan[a*x]^2)/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcTan[a*x]^2)/(3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^2/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 16, -2/(27*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - 22/(9*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*a*x*ArcTan[a*x])/(9*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (22*a*x*ArcTan[a*x])/(9*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ArcTan[a*x]^2/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + ArcTan[a*x]^2/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^2/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 12, (2*a^2*x)/(27*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (94*a^2*x)/(27*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*a*ArcTan[a*x])/(9*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (10*a*ArcTan[a*x])/(3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (a^2*x*ArcTan[a*x]^2)/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (5*a^2*x*ArcTan[a*x]^2)/(3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(c^3*x) - (4*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((2*I)*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((2*I)*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^p ArcTan[a x]^2 with d=a^2 c and m symbolic*)
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2, x]}
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^1*ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^2, x]}
+{(x^m*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^1, x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2), x]}
+{(x^m*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^2, x]}
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2, x]}
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^(1/2)*ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2, x]}
+{(x^m*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x]}
+{(x^m*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^2)/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^q (a+b ArcTan[c x])^3*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^p ArcTan[a x]^3 with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^3, x, 52, (c*x)/(15*a^3) - (c*x^3)/(60*a) - (c*ArcTan[a*x])/(15*a^4) - (c*x^2*ArcTan[a*x])/(60*a^2) + (c*x^4*ArcTan[a*x])/20 + (((7*I)/30)*c*ArcTan[a*x]^2)/a^4 + (c*x*ArcTan[a*x]^2)/(4*a^3) - (c*x^3*ArcTan[a*x]^2)/(12*a) - (a*c*x^5*ArcTan[a*x]^2)/10 - (c*ArcTan[a*x]^3)/(12*a^4) + (c*x^4*ArcTan[a*x]^3)/4 + (a^2*c*x^6*ArcTan[a*x]^3)/6 + (7*c*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(15*a^4) + (((7*I)/30)*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a^4}
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^3, x, 34, -(c*x^2)/(20*a) + (c*x*ArcTan[a*x])/(10*a^2) + (c*x^3*ArcTan[a*x])/10 - (c*ArcTan[a*x]^2)/(20*a^3) - (c*x^2*ArcTan[a*x]^2)/(5*a) - (3*a*c*x^4*ArcTan[a*x]^2)/20 - (((2*I)/15)*c*ArcTan[a*x]^3)/a^3 + (c*x^3*ArcTan[a*x]^3)/3 + (a^2*c*x^5*ArcTan[a*x]^3)/5 - (2*c*ArcTan[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)])/(5*a^3) - (((2*I)/5)*c*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a^3 - (c*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(5*a^3)}
+{x*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^3, x, 8, -(c*x)/(4*a) + (c*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x])/(4*a^2) - ((I/2)*c*ArcTan[a*x]^2)/a^2 - (c*x*ArcTan[a*x]^2)/(2*a) - (c*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2)/(4*a) + (c*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3)/(4*a^2) - (c*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/a^2 - ((I/2)*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a^2}
+{(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^3, x, 8, c*x*ArcTan[a*x] - (c*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2)/(2*a) + (((2*I)/3)*c*ArcTan[a*x]^3)/a + (2*c*x*ArcTan[a*x]^3)/3 + (c*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^3)/3 + (2*c*ArcTan[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)])/a - (c*Log[1 + a^2*x^2])/(2*a) + ((2*I)*c*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a + (c*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a}
+{((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^3)/x, x, 17, ((-3*I)/2)*c*ArcTan[a*x]^2 - (3*a*c*x*ArcTan[a*x]^2)/2 + (c*ArcTan[a*x]^3)/2 + (a^2*c*x^2*ArcTan[a*x]^3)/2 + 2*c*ArcTan[a*x]^3*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*a*x)] - 3*c*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)] - ((3*I)/2)*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] - ((3*I)/2)*c*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + ((3*I)/2)*c*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*a*x)] - (3*c*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/2 + (3*c*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*a*x)])/2 + ((3*I)/4)*c*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + I*a*x)] - ((3*I)/4)*c*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + I*a*x)]}
+{((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^3)/x^2, x, 11, -((c*ArcTan[a*x]^3)/x) + a^2*c*x*ArcTan[a*x]^3 + 3*a*c*ArcTan[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)] + 3*a*c*ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)] - (3*I)*a*c*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)] + (3*I)*a*c*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + (3*a*c*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/2 + (3*a*c*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/2}
+{((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^3)/x^3, x, 16, ((-3*I)/2)*a^2*c*ArcTan[a*x]^2 - (3*a*c*ArcTan[a*x]^2)/(2*x) - (a^2*c*ArcTan[a*x]^3)/2 - (c*ArcTan[a*x]^3)/(2*x^2) + 2*a^2*c*ArcTan[a*x]^3*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*a*x)] + 3*a^2*c*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)] - ((3*I)/2)*a^2*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)] - ((3*I)/2)*a^2*c*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + ((3*I)/2)*a^2*c*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*a*x)] - (3*a^2*c*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/2 + (3*a^2*c*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*a*x)])/2 + ((3*I)/4)*a^2*c*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + I*a*x)] - ((3*I)/4)*a^2*c*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + I*a*x)]}
+{((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^3)/x^4, x, 20, -((a^2*c*ArcTan[a*x])/x) - (1/2)*a^3*c*ArcTan[a*x]^2 - (a*c*ArcTan[a*x]^2)/(2*x^2) - (2/3)*I*a^3*c*ArcTan[a*x]^3 - (c*ArcTan[a*x]^3)/(3*x^3) - (a^2*c*ArcTan[a*x]^3)/x + a^3*c*Log[x] + 2*a^3*c*ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)] - (1/2)*a^3*c*Log[1 + a^2*x^2] - 2*I*a^3*c*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)] + a^3*c*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)]}
+
+
+{x^3*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3, x, 106, (c^2*x)/(21*a^3) - (c^2*x^3)/(168*a) - (a*c^2*x^5)/280 - (c^2*ArcTan[a*x])/(21*a^4) - (5*c^2*x^2*ArcTan[a*x])/(168*a^2) + (c^2*x^4*ArcTan[a*x])/28 + (a^2*c^2*x^6*ArcTan[a*x])/56 + (((2*I)/21)*c^2*ArcTan[a*x]^2)/a^4 + (c^2*x*ArcTan[a*x]^2)/(8*a^3) - (c^2*x^3*ArcTan[a*x]^2)/(24*a) - (a*c^2*x^5*ArcTan[a*x]^2)/8 - (3*a^3*c^2*x^7*ArcTan[a*x]^2)/56 - (c^2*ArcTan[a*x]^3)/(24*a^4) + (c^2*x^4*ArcTan[a*x]^3)/4 + (a^2*c^2*x^6*ArcTan[a*x]^3)/3 + (a^4*c^2*x^8*ArcTan[a*x]^3)/8 + (4*c^2*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(21*a^4) + (((2*I)/21)*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a^4}
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3, x, 73, (-11*c^2*x^2)/(420*a) - (a*c^2*x^4)/140 - (c^2*x*ArcTan[a*x])/(70*a^2) + (17*c^2*x^3*ArcTan[a*x])/210 + (a^2*c^2*x^5*ArcTan[a*x])/35 + (c^2*ArcTan[a*x]^2)/(140*a^3) - (4*c^2*x^2*ArcTan[a*x]^2)/(35*a) - (27*a*c^2*x^4*ArcTan[a*x]^2)/140 - (a^3*c^2*x^6*ArcTan[a*x]^2)/14 - (((8*I)/105)*c^2*ArcTan[a*x]^3)/a^3 + (c^2*x^3*ArcTan[a*x]^3)/3 + (2*a^2*c^2*x^5*ArcTan[a*x]^3)/5 + (a^4*c^2*x^7*ArcTan[a*x]^3)/7 - (8*c^2*ArcTan[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)])/(35*a^3) + (c^2*Log[1 + a^2*x^2])/(30*a^3) - (((8*I)/35)*c^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a^3 - (4*c^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(35*a^3)}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3, x, 10, (-11*c^2*x)/(60*a) - (a*c^2*x^3)/60 + (2*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x])/(15*a^2) + (c^2*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x])/(20*a^2) - (((4*I)/15)*c^2*ArcTan[a*x]^2)/a^2 - (4*c^2*x*ArcTan[a*x]^2)/(15*a) - (2*c^2*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2)/(15*a) - (c^2*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2)/(10*a) + (c^2*(1 + a^2*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3)/(6*a^2) - (8*c^2*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(15*a^2) - (((4*I)/15)*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a^2}
+{(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3, x, 12, -(c^2*(1 + a^2*x^2))/(20*a) + c^2*x*ArcTan[a*x] + (c^2*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x])/10 - (2*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2)/(5*a) - (3*c^2*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2)/(20*a) + (((8*I)/15)*c^2*ArcTan[a*x]^3)/a + (8*c^2*x*ArcTan[a*x]^3)/15 + (4*c^2*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^3)/15 + (c^2*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3)/5 + (8*c^2*ArcTan[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)])/(5*a) - (c^2*Log[1 + a^2*x^2])/(2*a) + (((8*I)/5)*c^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a + (4*c^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(5*a)}
+{((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3)/x, x, 36, -(a*c^2*x)/4 + (c^2*ArcTan[a*x])/4 + (a^2*c^2*x^2*ArcTan[a*x])/4 - (2*I)*c^2*ArcTan[a*x]^2 - (9*a*c^2*x*ArcTan[a*x]^2)/4 - (a^3*c^2*x^3*ArcTan[a*x]^2)/4 + (3*c^2*ArcTan[a*x]^3)/4 + a^2*c^2*x^2*ArcTan[a*x]^3 + (a^4*c^2*x^4*ArcTan[a*x]^3)/4 + 2*c^2*ArcTan[a*x]^3*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*a*x)] - 4*c^2*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)] - (2*I)*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] - ((3*I)/2)*c^2*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + ((3*I)/2)*c^2*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*a*x)] - (3*c^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/2 + (3*c^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*a*x)])/2 + ((3*I)/4)*c^2*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + I*a*x)] - ((3*I)/4)*c^2*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + I*a*x)]}
+{((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3)/x^2, x, 23, a^2*c^2*x*ArcTan[a*x] - (a*c^2*ArcTan[a*x]^2)/2 - (a^3*c^2*x^2*ArcTan[a*x]^2)/2 + ((2*I)/3)*a*c^2*ArcTan[a*x]^3 - (c^2*ArcTan[a*x]^3)/x + 2*a^2*c^2*x*ArcTan[a*x]^3 + (a^4*c^2*x^3*ArcTan[a*x]^3)/3 + 5*a*c^2*ArcTan[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)] + 3*a*c^2*ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)] - (a*c^2*Log[1 + a^2*x^2])/2 - (3*I)*a*c^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)] + (5*I)*a*c^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + (3*a*c^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/2 + (5*a*c^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/2}
+{((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3)/x^3, x, 25, (-3*I)*a^2*c^2*ArcTan[a*x]^2 - (3*a*c^2*ArcTan[a*x]^2)/(2*x) - (3*a^3*c^2*x*ArcTan[a*x]^2)/2 - (c^2*ArcTan[a*x]^3)/(2*x^2) + (a^4*c^2*x^2*ArcTan[a*x]^3)/2 + 4*a^2*c^2*ArcTan[a*x]^3*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*a*x)] - 3*a^2*c^2*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)] + 3*a^2*c^2*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)] - ((3*I)/2)*a^2*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)] - ((3*I)/2)*a^2*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] - (3*I)*a^2*c^2*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + (3*I)*a^2*c^2*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*a*x)] - 3*a^2*c^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + 3*a^2*c^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*a*x)] + ((3*I)/2)*a^2*c^2*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + I*a*x)] - ((3*I)/2)*a^2*c^2*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + I*a*x)]}
+{((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3)/x^4, x, 26, -((a^2*c^2*ArcTan[a*x])/x) - (1/2)*a^3*c^2*ArcTan[a*x]^2 - (a*c^2*ArcTan[a*x]^2)/(2*x^2) - (2/3)*I*a^3*c^2*ArcTan[a*x]^3 - (c^2*ArcTan[a*x]^3)/(3*x^3) - (2*a^2*c^2*ArcTan[a*x]^3)/x + a^4*c^2*x*ArcTan[a*x]^3 + a^3*c^2*Log[x] + 3*a^3*c^2*ArcTan[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)] + 5*a^3*c^2*ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)] - (1/2)*a^3*c^2*Log[1 + a^2*x^2] - 5*I*a^3*c^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)] + 3*I*a^3*c^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + (5/2)*a^3*c^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)] + (3/2)*a^3*c^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)]}
+
+
+{x^3*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3, x, 184, (389*c^3*x)/(12600*a^3) - (17*c^3*x^3)/(9450*a) - (a*c^3*x^5)/252 - (a^3*c^3*x^7)/840 - (389*c^3*ArcTan[a*x])/(12600*a^4) - (107*c^3*x^2*ArcTan[a*x])/(4200*a^2) + (53*c^3*x^4*ArcTan[a*x])/2100 + (71*a^2*c^3*x^6*ArcTan[a*x])/2520 + (a^4*c^3*x^8*ArcTan[a*x])/120 + (((26*I)/525)*c^3*ArcTan[a*x]^2)/a^4 + (3*c^3*x*ArcTan[a*x]^2)/(40*a^3) - (c^3*x^3*ArcTan[a*x]^2)/(40*a) - (27*a*c^3*x^5*ArcTan[a*x]^2)/200 - (33*a^3*c^3*x^7*ArcTan[a*x]^2)/280 - (a^5*c^3*x^9*ArcTan[a*x]^2)/30 - (c^3*ArcTan[a*x]^3)/(40*a^4) + (c^3*x^4*ArcTan[a*x]^3)/4 + (a^2*c^3*x^6*ArcTan[a*x]^3)/2 + (3*a^4*c^3*x^8*ArcTan[a*x]^3)/8 + (a^6*c^3*x^10*ArcTan[a*x]^3)/10 + (52*c^3*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(525*a^4) + (((26*I)/525)*c^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a^4}
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3, x, 132, (-107*c^3*x^2)/(7560*a) - (11*a*c^3*x^4)/1260 - (a^3*c^3*x^6)/504 - (47*c^3*x*ArcTan[a*x])/(1260*a^2) + (239*c^3*x^3*ArcTan[a*x])/3780 + (59*a^2*c^3*x^5*ArcTan[a*x])/1260 + (a^4*c^3*x^7*ArcTan[a*x])/84 + (47*c^3*ArcTan[a*x]^2)/(2520*a^3) - (8*c^3*x^2*ArcTan[a*x]^2)/(105*a) - (89*a*c^3*x^4*ArcTan[a*x]^2)/420 - (10*a^3*c^3*x^6*ArcTan[a*x]^2)/63 - (a^5*c^3*x^8*ArcTan[a*x]^2)/24 - (((16*I)/315)*c^3*ArcTan[a*x]^3)/a^3 + (c^3*x^3*ArcTan[a*x]^3)/3 + (3*a^2*c^3*x^5*ArcTan[a*x]^3)/5 + (3*a^4*c^3*x^7*ArcTan[a*x]^3)/7 + (a^6*c^3*x^9*ArcTan[a*x]^3)/9 - (16*c^3*ArcTan[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)])/(105*a^3) + (31*c^3*Log[1 + a^2*x^2])/(945*a^3) - (((16*I)/105)*c^3*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a^3 - (8*c^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(105*a^3)}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3, x, 13, (-19*c^3*x)/(140*a) - (19*a*c^3*x^3)/840 - (a^3*c^3*x^5)/280 + (3*c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x])/(35*a^2) + (9*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x])/(280*a^2) + (c^3*(1 + a^2*x^2)^3*ArcTan[a*x])/(56*a^2) - (((6*I)/35)*c^3*ArcTan[a*x]^2)/a^2 - (6*c^3*x*ArcTan[a*x]^2)/(35*a) - (3*c^3*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2)/(35*a) - (9*c^3*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2)/(140*a) - (3*c^3*x*(1 + a^2*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2)/(56*a) + (c^3*(1 + a^2*x^2)^4*ArcTan[a*x]^3)/(8*a^2) - (12*c^3*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(35*a^2) - (((6*I)/35)*c^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a^2}
+{(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3, x, 17, (-13*c^3*(1 + a^2*x^2))/(210*a) - (c^3*(1 + a^2*x^2)^2)/(140*a) + (14*c^3*x*ArcTan[a*x])/15 + (13*c^3*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x])/105 + (c^3*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x])/35 - (12*c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2)/(35*a) - (9*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2)/(70*a) - (c^3*(1 + a^2*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2)/(14*a) + (((16*I)/35)*c^3*ArcTan[a*x]^3)/a + (16*c^3*x*ArcTan[a*x]^3)/35 + (8*c^3*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^3)/35 + (6*c^3*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3)/35 + (c^3*x*(1 + a^2*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3)/7 + (48*c^3*ArcTan[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)])/(35*a) - (7*c^3*Log[1 + a^2*x^2])/(15*a) + (((48*I)/35)*c^3*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a + (24*c^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(35*a)}
+{((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3)/x, x, 69, (-13*a*c^3*x)/30 - (a^3*c^3*x^3)/60 + (13*c^3*ArcTan[a*x])/30 + (29*a^2*c^3*x^2*ArcTan[a*x])/60 + (a^4*c^3*x^4*ArcTan[a*x])/20 - ((34*I)/15)*c^3*ArcTan[a*x]^2 - (11*a*c^3*x*ArcTan[a*x]^2)/4 - (7*a^3*c^3*x^3*ArcTan[a*x]^2)/12 - (a^5*c^3*x^5*ArcTan[a*x]^2)/10 + (11*c^3*ArcTan[a*x]^3)/12 + (3*a^2*c^3*x^2*ArcTan[a*x]^3)/2 + (3*a^4*c^3*x^4*ArcTan[a*x]^3)/4 + (a^6*c^3*x^6*ArcTan[a*x]^3)/6 + 2*c^3*ArcTan[a*x]^3*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*a*x)] - (68*c^3*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/15 - ((34*I)/15)*c^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] - ((3*I)/2)*c^3*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + ((3*I)/2)*c^3*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*a*x)] - (3*c^3*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/2 + (3*c^3*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*a*x)])/2 + ((3*I)/4)*c^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + I*a*x)] - ((3*I)/4)*c^3*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + I*a*x)]}
+{((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3)/x^2, x, 45, -(a^3*c^3*x^2)/20 + (21*a^2*c^3*x*ArcTan[a*x])/10 + (a^4*c^3*x^3*ArcTan[a*x])/10 - (21*a*c^3*ArcTan[a*x]^2)/20 - (6*a^3*c^3*x^2*ArcTan[a*x]^2)/5 - (3*a^5*c^3*x^4*ArcTan[a*x]^2)/20 + ((6*I)/5)*a*c^3*ArcTan[a*x]^3 - (c^3*ArcTan[a*x]^3)/x + 3*a^2*c^3*x*ArcTan[a*x]^3 + a^4*c^3*x^3*ArcTan[a*x]^3 + (a^6*c^3*x^5*ArcTan[a*x]^3)/5 + (33*a*c^3*ArcTan[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)])/5 + 3*a*c^3*ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)] - a*c^3*Log[1 + a^2*x^2] - (3*I)*a*c^3*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)] + ((33*I)/5)*a*c^3*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + (3*a*c^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/2 + (33*a*c^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/10}
+{((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3)/x^3, x, 43, -(a^3*c^3*x)/4 + (a^2*c^3*ArcTan[a*x])/4 + (a^4*c^3*x^2*ArcTan[a*x])/4 - (5*I)*a^2*c^3*ArcTan[a*x]^2 - (3*a*c^3*ArcTan[a*x]^2)/(2*x) - (15*a^3*c^3*x*ArcTan[a*x]^2)/4 - (a^5*c^3*x^3*ArcTan[a*x]^2)/4 + (3*a^2*c^3*ArcTan[a*x]^3)/4 - (c^3*ArcTan[a*x]^3)/(2*x^2) + (3*a^4*c^3*x^2*ArcTan[a*x]^3)/2 + (a^6*c^3*x^4*ArcTan[a*x]^3)/4 + 6*a^2*c^3*ArcTan[a*x]^3*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*a*x)] - 7*a^2*c^3*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)] + 3*a^2*c^3*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)] - ((3*I)/2)*a^2*c^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)] - ((7*I)/2)*a^2*c^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] - ((9*I)/2)*a^2*c^3*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + ((9*I)/2)*a^2*c^3*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*a*x)] - (9*a^2*c^3*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/2 + (9*a^2*c^3*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*a*x)])/2 + ((9*I)/4)*a^2*c^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + I*a*x)] - ((9*I)/4)*a^2*c^3*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + I*a*x)]}
+{((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3)/x^4, x, 37, -((a^2*c^3*ArcTan[a*x])/x) + a^4*c^3*x*ArcTan[a*x] - a^3*c^3*ArcTan[a*x]^2 - (a*c^3*ArcTan[a*x]^2)/(2*x^2) - (1/2)*a^5*c^3*x^2*ArcTan[a*x]^2 - (c^3*ArcTan[a*x]^3)/(3*x^3) - (3*a^2*c^3*ArcTan[a*x]^3)/x + 3*a^4*c^3*x*ArcTan[a*x]^3 + (1/3)*a^6*c^3*x^3*ArcTan[a*x]^3 + a^3*c^3*Log[x] + 8*a^3*c^3*ArcTan[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)] + 8*a^3*c^3*ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)] - a^3*c^3*Log[1 + a^2*x^2] - 8*I*a^3*c^3*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)] + 8*I*a^3*c^3*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)] + 4*a^3*c^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)] + 4*a^3*c^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)]}
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
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+
+
+{x^4*ArcTan[a*x]^3/(c + a^2*c*x^2), x, 19, (x*ArcTan[a*x])/(a^4*c) - ArcTan[a*x]^2/(2*a^5*c) - (x^2*ArcTan[a*x]^2)/(2*a^3*c) - (4*I*ArcTan[a*x]^3)/(3*a^5*c) - (x*ArcTan[a*x]^3)/(a^4*c) + (x^3*ArcTan[a*x]^3)/(3*a^2*c) + ArcTan[a*x]^4/(4*a^5*c) - (4*ArcTan[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)])/(a^5*c) - Log[1 + a^2*x^2]/(2*a^5*c) - (4*I*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(a^5*c) - (2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(a^5*c)}
+{x^3*ArcTan[a*x]^3/(c + a^2*c*x^2), x, 14, (((-3*I)/2)*ArcTan[a*x]^2)/(a^4*c) - (3*x*ArcTan[a*x]^2)/(2*a^3*c) + ArcTan[a*x]^3/(2*a^4*c) + (x^2*ArcTan[a*x]^3)/(2*a^2*c) + ((I/4)*ArcTan[a*x]^4)/(a^4*c) - (3*ArcTan[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(a^4*c) + (ArcTan[a*x]^3*Log[2/(1 + I*a*x)])/(a^4*c) - (((3*I)/2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(a^4*c) + (((3*I)/2)*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(a^4*c) + (3*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(2*a^4*c) - (((3*I)/4)*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(a^4*c)}
+{x^2*ArcTan[a*x]^3/(c + a^2*c*x^2), x, 7, (I*ArcTan[a*x]^3)/(a^3*c) + (x*ArcTan[a*x]^3)/(a^2*c) - ArcTan[a*x]^4/(4*a^3*c) + (3*ArcTan[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)])/(a^3*c) + ((3*I)*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(a^3*c) + (3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(2*a^3*c)}
+{x*ArcTan[a*x]^3/(c + a^2*c*x^2), x, 5, ((-I/4)*ArcTan[a*x]^4)/(a^2*c) - (ArcTan[a*x]^3*Log[2/(1 + I*a*x)])/(a^2*c) - (((3*I)/2)*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(a^2*c) - (3*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(2*a^2*c) + (((3*I)/4)*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(a^2*c)}
+{ArcTan[a*x]^3/(c + a^2*c*x^2), x, 1, ArcTan[a*x]^4/(4*a*c)}
+{ArcTan[a*x]^3/(x*(c + a^2*c*x^2)), x, 5, ((-I/4)*ArcTan[a*x]^4)/c + (ArcTan[a*x]^3*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c - (((3*I)/2)*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c + (3*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/(2*c) + (((3*I)/4)*PolyLog[4, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c}
+{ArcTan[a*x]^3/(x^2*(c + a^2*c*x^2)), x, 7, ((-I)*a*ArcTan[a*x]^3)/c - ArcTan[a*x]^3/(c*x) - (a*ArcTan[a*x]^4)/(4*c) + (3*a*ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c - ((3*I)*a*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c + (3*a*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/(2*c)}
+{ArcTan[a*x]^3/(x^3*(c + a^2*c*x^2)), x, 13, (((-3*I)/2)*a^2*ArcTan[a*x]^2)/c - (3*a*ArcTan[a*x]^2)/(2*c*x) - (a^2*ArcTan[a*x]^3)/(2*c) - ArcTan[a*x]^3/(2*c*x^2) + ((I/4)*a^2*ArcTan[a*x]^4)/c + (3*a^2*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c - (a^2*ArcTan[a*x]^3*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c - (((3*I)/2)*a^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c + (((3*I)/2)*a^2*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c - (3*a^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/(2*c) - (((3*I)/4)*a^2*PolyLog[4, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c}
+{ArcTan[a*x]^3/(x^4*(c + a^2*c*x^2)), x, 22, -((a^2*ArcTan[a*x])/(c*x)) - (a^3*ArcTan[a*x]^2)/(2*c) - (a*ArcTan[a*x]^2)/(2*c*x^2) + (4*I*a^3*ArcTan[a*x]^3)/(3*c) - ArcTan[a*x]^3/(3*c*x^3) + (a^2*ArcTan[a*x]^3)/(c*x) + (a^3*ArcTan[a*x]^4)/(4*c) + (a^3*Log[x])/c - (4*a^3*ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c - (a^3*Log[1 + a^2*x^2])/(2*c) + (4*I*a^3*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c - (2*a^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c}
+
+
+{(x^3*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 11, (3*x)/(8*a^3*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (3*ArcTan[a*x])/(8*a^4*c^2) - (3*ArcTan[a*x])/(4*a^4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (3*x*ArcTan[a*x]^2)/(4*a^3*c^2*(1 + a^2*x^2)) - ArcTan[a*x]^3/(4*a^4*c^2) + ArcTan[a*x]^3/(2*a^4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - ((I/4)*ArcTan[a*x]^4)/(a^4*c^2) - (ArcTan[a*x]^3*Log[2/(1 + I*a*x)])/(a^4*c^2) - (((3*I)/2)*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(a^4*c^2) - (3*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(2*a^4*c^2) + (((3*I)/4)*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(a^4*c^2)}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 4, 3/(8*a^3*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (3*x*ArcTan[a*x])/(4*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (3*ArcTan[a*x]^2)/(8*a^3*c^2) - (3*ArcTan[a*x]^2)/(4*a^3*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (x*ArcTan[a*x]^3)/(2*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^4/(8*a^3*c^2)}
+{(x*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 5, (-3*x)/(8*a*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (3*ArcTan[a*x])/(8*a^2*c^2) + (3*ArcTan[a*x])/(4*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (3*x*ArcTan[a*x]^2)/(4*a*c^2*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^3/(4*a^2*c^2) - ArcTan[a*x]^3/(2*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2))}
+{ArcTan[a*x]^3/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 4, -3/(8*a*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (3*x*ArcTan[a*x])/(4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (3*ArcTan[a*x]^2)/(8*a*c^2) + (3*ArcTan[a*x]^2)/(4*a*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (x*ArcTan[a*x]^3)/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^4/(8*a*c^2)}
+{ArcTan[a*x]^3/(x*(c + a^2*c*x^2)^2), x, 11, (3*a*x)/(8*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (3*ArcTan[a*x])/(8*c^2) - (3*ArcTan[a*x])/(4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (3*a*x*ArcTan[a*x]^2)/(4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - ArcTan[a*x]^3/(4*c^2) + ArcTan[a*x]^3/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) - ((I/4)*ArcTan[a*x]^4)/c^2 + (ArcTan[a*x]^3*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^2 - (((3*I)/2)*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^2 + (3*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/(2*c^2) + (((3*I)/4)*PolyLog[4, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^2}
+{ArcTan[a*x]^3/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^2), x, 12, (3*a)/(8*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (3*a^2*x*ArcTan[a*x])/(4*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (3*a*ArcTan[a*x]^2)/(8*c^2) - (3*a*ArcTan[a*x]^2)/(4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (I*a*ArcTan[a*x]^3)/c^2 - ArcTan[a*x]^3/(c^2*x) - (a^2*x*ArcTan[a*x]^3)/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (3*a*ArcTan[a*x]^4)/(8*c^2) + (3*a*ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^2 - ((3*I)*a*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^2 + (3*a*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/(2*c^2)}
+{ArcTan[a*x]^3/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^2), x, 25, (-3*a^3*x)/(8*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (3*a^2*ArcTan[a*x])/(8*c^2) + (3*a^2*ArcTan[a*x])/(4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (((3*I)/2)*a^2*ArcTan[a*x]^2)/c^2 - (3*a*ArcTan[a*x]^2)/(2*c^2*x) + (3*a^3*x*ArcTan[a*x]^2)/(4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (a^2*ArcTan[a*x]^3)/(4*c^2) - ArcTan[a*x]^3/(2*c^2*x^2) - (a^2*ArcTan[a*x]^3)/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + ((I/2)*a^2*ArcTan[a*x]^4)/c^2 + (3*a^2*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^2 - (2*a^2*ArcTan[a*x]^3*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^2 - (((3*I)/2)*a^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^2 + ((3*I)*a^2*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^2 - (3*a^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^2 - (((3*I)/2)*a^2*PolyLog[4, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^2}
+{ArcTan[a*x]^3/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^2), x, 35, -((3*a^3)/(8*c^2*(1 + a^2*x^2))) - (a^2*ArcTan[a*x])/(c^2*x) - (3*a^4*x*ArcTan[a*x])/(4*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (7*a^3*ArcTan[a*x]^2)/(8*c^2) - (a*ArcTan[a*x]^2)/(2*c^2*x^2) + (3*a^3*ArcTan[a*x]^2)/(4*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (7*I*a^3*ArcTan[a*x]^3)/(3*c^2) - ArcTan[a*x]^3/(3*c^2*x^3) + (2*a^2*ArcTan[a*x]^3)/(c^2*x) + (a^4*x*ArcTan[a*x]^3)/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (5*a^3*ArcTan[a*x]^4)/(8*c^2) + (a^3*Log[x])/c^2 - (7*a^3*ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^2 - (a^3*Log[1 + a^2*x^2])/(2*c^2) + (7*I*a^3*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^2 - (7*a^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/(2*c^2)}
+
+
+{(x^3*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 9, -((3*x^3)/(128*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2)) - (45*x)/(256*a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (27*ArcTan[a*x])/(256*a^4*c^3) - (3*x^4*ArcTan[a*x])/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (9*ArcTan[a*x])/(32*a^4*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (3*x^3*ArcTan[a*x]^2)/(16*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (9*x*ArcTan[a*x]^2)/(32*a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (3*ArcTan[a*x]^3)/(32*a^4*c^3) + (x^4*ArcTan[a*x]^3)/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2)}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 13, 3/(128*a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - 3/(128*a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (3*x*ArcTan[a*x])/(32*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (3*x*ArcTan[a*x])/(64*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (3*ArcTan[a*x]^2)/(128*a^3*c^3) - (3*ArcTan[a*x]^2)/(16*a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (3*ArcTan[a*x]^2)/(16*a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (x*ArcTan[a*x]^3)/(4*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (x*ArcTan[a*x]^3)/(8*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^4/(32*a^3*c^3)}
+{(x*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 9, (-3*x)/(128*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (45*x)/(256*a*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (45*ArcTan[a*x])/(256*a^2*c^3) + (3*ArcTan[a*x])/(32*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (9*ArcTan[a*x])/(32*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (3*x*ArcTan[a*x]^2)/(16*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (9*x*ArcTan[a*x]^2)/(32*a*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (3*ArcTan[a*x]^3)/(32*a^2*c^3) - ArcTan[a*x]^3/(4*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2)}
+{ArcTan[a*x]^3/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 8, -3/(128*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - 45/(128*a*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (3*x*ArcTan[a*x])/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (45*x*ArcTan[a*x])/(64*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (45*ArcTan[a*x]^2)/(128*a*c^3) + (3*ArcTan[a*x]^2)/(16*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (9*ArcTan[a*x]^2)/(16*a*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (x*ArcTan[a*x]^3)/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (3*x*ArcTan[a*x]^3)/(8*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (3*ArcTan[a*x]^4)/(32*a*c^3)}
+{ArcTan[a*x]^3/(x*(c + a^2*c*x^2)^3), x, 21, (3*a*x)/(128*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (141*a*x)/(256*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (141*ArcTan[a*x])/(256*c^3) - (3*ArcTan[a*x])/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (33*ArcTan[a*x])/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (3*a*x*ArcTan[a*x]^2)/(16*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (33*a*x*ArcTan[a*x]^2)/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (11*ArcTan[a*x]^3)/(32*c^3) + ArcTan[a*x]^3/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + ArcTan[a*x]^3/(2*c^3*(1 + a^2*x^2)) - ((I/4)*ArcTan[a*x]^4)/c^3 + (ArcTan[a*x]^3*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^3 - (((3*I)/2)*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^3 + (3*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/(2*c^3) + (((3*I)/4)*PolyLog[4, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^3}
+{ArcTan[a*x]^3/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^3), x, 21, (3*a)/(128*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (93*a)/(128*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (3*a^2*x*ArcTan[a*x])/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (93*a^2*x*ArcTan[a*x])/(64*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (93*a*ArcTan[a*x]^2)/(128*c^3) - (3*a*ArcTan[a*x]^2)/(16*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (21*a*ArcTan[a*x]^2)/(16*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (I*a*ArcTan[a*x]^3)/c^3 - ArcTan[a*x]^3/(c^3*x) - (a^2*x*ArcTan[a*x]^3)/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (7*a^2*x*ArcTan[a*x]^3)/(8*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (15*a*ArcTan[a*x]^4)/(32*c^3) + (3*a*ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^3 - ((3*I)*a*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^3 + (3*a*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/(2*c^3)}
+{ArcTan[a*x]^3/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^3), x, 47, (-3*a^3*x)/(128*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (237*a^3*x)/(256*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (237*a^2*ArcTan[a*x])/(256*c^3) + (3*a^2*ArcTan[a*x])/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (57*a^2*ArcTan[a*x])/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (((3*I)/2)*a^2*ArcTan[a*x]^2)/c^3 - (3*a*ArcTan[a*x]^2)/(2*c^3*x) + (3*a^3*x*ArcTan[a*x]^2)/(16*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (57*a^3*x*ArcTan[a*x]^2)/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (3*a^2*ArcTan[a*x]^3)/(32*c^3) - ArcTan[a*x]^3/(2*c^3*x^2) - (a^2*ArcTan[a*x]^3)/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (a^2*ArcTan[a*x]^3)/(c^3*(1 + a^2*x^2)) + (((3*I)/4)*a^2*ArcTan[a*x]^4)/c^3 + (3*a^2*ArcTan[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^3 - (3*a^2*ArcTan[a*x]^3*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^3 - (((3*I)/2)*a^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^3 + (((9*I)/2)*a^2*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^3 - (9*a^2*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/(2*c^3) - (((9*I)/4)*a^2*PolyLog[4, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^3}
+{ArcTan[a*x]^3/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^3), x, 57, -((3*a^3)/(128*c^3*(1 + a^2*x^2)^2)) - (141*a^3)/(128*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (a^2*ArcTan[a*x])/(c^3*x) - (3*a^4*x*ArcTan[a*x])/(32*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (141*a^4*x*ArcTan[a*x])/(64*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (205*a^3*ArcTan[a*x]^2)/(128*c^3) - (a*ArcTan[a*x]^2)/(2*c^3*x^2) + (3*a^3*ArcTan[a*x]^2)/(16*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (33*a^3*ArcTan[a*x]^2)/(16*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (10*I*a^3*ArcTan[a*x]^3)/(3*c^3) - ArcTan[a*x]^3/(3*c^3*x^3) + (3*a^2*ArcTan[a*x]^3)/(c^3*x) + (a^4*x*ArcTan[a*x]^3)/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (11*a^4*x*ArcTan[a*x]^3)/(8*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (35*a^3*ArcTan[a*x]^4)/(32*c^3) + (a^3*Log[x])/c^3 - (10*a^3*ArcTan[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)])/c^3 - (a^3*Log[1 + a^2*x^2])/(2*c^3) + (10*I*a^3*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^3 - (5*a^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)])/c^3}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^(p/2) ArcTan[a x]^3 with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3, x, 71, -((x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(20*a^3)) - (9*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(20*a^4) + (x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(10*a^2) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(8*a^3) - (3*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(20*a) - (11*I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(20*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(15*a^4) + (x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(15*a^2) + (1/5)*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3 + (Sqrt[c]*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/(2*a^4) + (11*I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(20*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (11*I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(20*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (11*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(20*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (11*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(20*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3, x, 40, -(Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(4*a^3)) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(4*a^2) + (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(8*a^3) - (x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(4*a) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(8*a^2) + (1/4)*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3 + (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^3)/(4*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(8*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(8*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x])])/(2*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(2*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(4*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(4*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(4*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(4*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3, x, 13, (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/a^2 - (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(2*a) + (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3)/(3*a^2*c) - (Sqrt[c]*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/a^2 - (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3, x, 14, (-3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(2*a) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/2 - (I*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^3)/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((6*I)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (((3*I)/2)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (((3*I)/2)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((3*I)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((3*I)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((3*I)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((3*I)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/x, x, 22, ((6*I)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3 - (2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^3*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((3*I)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((6*I)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((6*I)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((3*I)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (6*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (6*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((6*I)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((6*I)*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/x^2, x, 22, -((Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/x) - ((2*I)*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^3)/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((6*I)*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((3*I)*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((3*I)*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((6*I)*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (6*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (6*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((6*I)*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((6*I)*a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/x^3, x, 27, (-3*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(2*x) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(2*x^2) - (a^2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^3*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*a^2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (((3*I)/2)*a^2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((3*I)/2)*a^2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((3*I)*a^2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((3*I)*a^2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (3*a^2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (3*a^2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((3*I)*a^2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((3*I)*a^2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/x^4, x, 25, -((a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/x) - (a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(2*x^2) - ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3)/(3*c*x^3) - (a^3*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - a^3*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]] + (I*a^3*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (I*a^3*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (a^3*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (a^3*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+
+
+{x^3*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3, x, 200, (c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(420*a^3) - (c*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(140*a) - (163*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(840*a^4) + (c*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(60*a^2) + (1/35)*c*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] + (9*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(112*a^3) - (23*c*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(280*a) - (1/14)*a*c*x^5*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 - (51*I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(280*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(35*a^4) + (c*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(35*a^2) + (8/35)*c*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3 + (1/7)*a^2*c*x^6*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3 + (23*c^(3/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/(120*a^4) + (51*I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(280*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (51*I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(280*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (51*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(280*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (51*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(280*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3, x, 108, -((c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(30*a^3)) - (c + a^2*c*x^2)^(3/2)/(60*a^3) + (c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(12*a^2) + (1/20)*c*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] + (31*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(240*a^3) - (19*c*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(120*a) - (1/10)*a*c*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 + (c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(16*a^2) + (7/24)*c*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3 + (1/6)*a^2*c*x^5*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3 + (I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^3)/(8*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (41*I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(60*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(16*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(16*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (41*I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x])])/(120*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (41*I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(120*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(8*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(8*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(8*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*I*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(8*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3, x, 17, -(c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(20*a) + (9*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(20*a^2) + ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/(10*a^2) - (9*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(40*a) - (3*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/(20*a) + (((9*I)/20)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3)/(5*a^2*c) - (c^(3/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/(2*a^2) - (((9*I)/20)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (((9*I)/20)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (9*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(20*a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (9*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(20*a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3, x, 18, -(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(4*a) + (c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/4 - (9*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(8*a) - ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/(4*a) + (3*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/8 + (x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3)/4 - (((3*I)/4)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^3)/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((5*I)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (((9*I)/8)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (((9*I)/8)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (((5*I)/2)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (((5*I)/2)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (9*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(4*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (9*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(4*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (((9*I)/4)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (((9*I)/4)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3)/x, x, 36, c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] - (a*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/2 + ((7*I)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3 + ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3)/3 - (2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^3*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - c^(3/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]] + ((3*I)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((7*I)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((7*I)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((3*I)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (7*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (7*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (6*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((6*I)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((6*I)*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3)/x^2, x, 37, (-3*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/2 - (c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/x + (a^2*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/2 - ((3*I)*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^3)/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((6*I)*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((6*I)*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (((9*I)/2)*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((9*I)/2)*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((6*I)*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((3*I)*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((3*I)*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (9*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (9*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (6*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((9*I)*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((9*I)*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3)/x^3, x, 50, (-3*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(2*x) + ((6*I)*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3 - (c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(2*x^2) - (3*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^3*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (((9*I)/2)*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((6*I)*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((6*I)*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((9*I)/2)*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((3*I)*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((3*I)*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (9*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (6*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (9*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((9*I)*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((9*I)*a^2*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3)/x^4, x, 48, -((a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/x) - (a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(2*x^2) - (a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/x - ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3)/(3*x^3) - ((2*I)*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^3)/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (7*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - a^3*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]] + ((7*I)*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((3*I)*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((3*I)*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((7*I)*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (7*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (6*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (7*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((6*I)*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((6*I)*a^3*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+
+
+{x^3*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3, x, 547, (85*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(12096*a^3) - (c^2*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(240*a) - (1/504)*a*c^2*x^5*Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6157*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(60480*a^4) - (47*c^2*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(30240*a^2) + (67*c^2*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/2520 + (1/84)*a^2*c^2*x^6*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] + (47*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(896*a^3) - (205*c^2*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(4032*a) - (103*a*c^2*x^5*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/1008 - (1/24)*a^3*c^2*x^7*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 - (115*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(1344*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(63*a^4) + (c^2*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(63*a^2) + (5/21)*c^2*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3 + (19/63)*a^2*c^2*x^6*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3 + (1/9)*a^4*c^2*x^8*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3 + (1433*c^(5/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/(15120*a^4) + (115*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(1344*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (115*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(1344*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (115*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(1344*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (115*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(1344*a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3, x, 293, (13*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(6720*a^3) - (3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/(560*a^3) - (c + a^2*c*x^2)^(5/2)/(280*a^3) + (43*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(1344*a^2) + (29/560)*c^2*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] + (1/56)*a^2*c^2*x^5*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] + (1373*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(13440*a^3) - (737*c^2*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(6720*a) - (83/560)*a*c^2*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 - (3/56)*a^3*c^2*x^6*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2 + (5*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(128*a^2) + (59/192)*c^2*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3 + (17/48)*a^2*c^2*x^5*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3 + (1/8)*a^4*c^2*x^7*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3 + (5*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^3)/(64*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (397*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(840*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (15*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(128*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (15*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(128*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (397*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x])])/(1680*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (397*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(1680*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (15*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(64*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (15*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(64*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (15*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(64*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (15*I*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(64*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3, x, 22, (-17*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(420*a) - (c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/(140*a) + (15*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(56*a^2) + (5*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/(84*a^2) + ((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x])/(35*a^2) - (15*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(112*a) - (5*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/(56*a) - (x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2)/(14*a) + (((15*I)/56)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((c + a^2*c*x^2)^(7/2)*ArcTan[a*x]^3)/(7*a^2*c) - (37*c^(5/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/(120*a^2) - (((15*I)/56)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (((15*I)/56)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (15*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(56*a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (15*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(56*a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3, x, 23, (-17*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(60*a) - (c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/(60*a) + (17*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/60 + (c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/20 - (15*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(16*a) - (5*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/(24*a) - ((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2)/(10*a) + (5*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/16 + (5*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3)/24 + (x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3)/6 - (((5*I)/8)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^3)/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (((259*I)/60)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (((15*I)/16)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (((15*I)/16)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (((259*I)/120)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (((259*I)/120)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (15*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(8*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (15*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(8*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (((15*I)/8)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (((15*I)/8)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3)/x, x, 54, -(a*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/20 + (29*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/20 + (c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])/10 - (29*a*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/40 - (3*a*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/20 + (((149*I)/20)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3 + (c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3)/3 + ((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3)/5 - (2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^3*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (3*c^(5/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]])/2 + ((3*I)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((149*I)/20)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (((149*I)/20)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((3*I)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (149*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(20*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (149*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(20*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((6*I)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((6*I)*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3)/x^2, x, 56, -(a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/4 + (a^2*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/4 - (21*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/8 - (a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)/4 - (c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/x + (7*a^2*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/8 + (a^2*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3)/4 - (((15*I)/4)*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^3)/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((11*I)*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((6*I)*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (((45*I)/8)*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((45*I)/8)*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((6*I)*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (((11*I)/2)*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((11*I)/2)*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (45*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (45*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((45*I)/4)*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (((45*I)/4)*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3)/x^3, x, 87, a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x] - (3*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(2*x) - (a^3*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/2 + ((13*I)*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + 2*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3 - (c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(2*x^2) + (a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3)/3 - (5*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^3*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - a^2*c^(5/2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]] + (((15*I)/2)*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((13*I)*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((13*I)*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((15*I)/2)*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((3*I)*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((3*I)*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (15*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (13*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (13*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (15*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((15*I)*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((15*I)*a^2*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3)/x^4, x, 86, -((a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/x) - (3*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/2 - (a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(2*x^2) - (2*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/x + (a^4*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/2 - (c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3)/(3*x^3) - ((5*I)*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^3)/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((6*I)*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (13*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - a^3*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]] + ((13*I)*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (((15*I)/2)*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((15*I)/2)*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((13*I)*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((3*I)*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, ((-I)*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((3*I)*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (13*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (15*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (15*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (13*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((15*I)*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((15*I)*a^3*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^3*ArcTan[a*x]^3)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 24, (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(a^4*c) - (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(2*a^3*c) - (5*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(3*a^4*c) + (x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(3*a^2*c) - ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]]/(a^4*Sqrt[c]) + (5*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (5*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (5*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (5*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^3)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 15, -((3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(2*a^3*c)) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(2*a^2*c) + (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^3)/(a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (6*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(2*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(2*a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x])])/(a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*a*x])/Sqrt[1 - I*a*x]])/(a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x*ArcTan[a*x]^3)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 10, ((6*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(a^2*c) - ((6*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((6*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^3/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 11, ((-2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^3)/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((3*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((3*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((6*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((6*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^3/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 11, (-2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^3*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((3*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((3*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((6*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((6*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{ArcTan[a*x]^3/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 10, -((Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(c*x)) - (6*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((6*I)*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((6*I)*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (6*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{ArcTan[a*x]^3/(x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 15, (-3*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(2*c*x) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(2*c*x^2) + (a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^3*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (6*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (((3*I)/2)*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (((3*I)/2)*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((3*I)*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((3*I)*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*a*x]/Sqrt[1 - I*a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (3*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (3*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((3*I)*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - ((3*I)*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+{ArcTan[a*x]^3/(x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 25, -((a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])/(c*x)) - (a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)/(2*c*x^2) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(3*c*x^3) + (2*a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(3*c*x) + (5*a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (a^3*ArcTanh[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[c]])/Sqrt[c] - ((5*I)*a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + ((5*I)*a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] + (5*a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2] - (5*a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/Sqrt[c + a^2*c*x^2]}
+
+
+{(x^3*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 14, (6*x)/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (6*ArcTan[a*x])/(a^4*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*x*ArcTan[a*x]^2)/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((6*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(a^4*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ArcTan[a*x]^3/(a^4*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(a^4*c^2) - ((6*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^4*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((6*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^4*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^4*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^4*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 14, 6/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*x*ArcTan[a*x])/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*ArcTan[a*x]^2)/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (x*ArcTan[a*x]^3)/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((2*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^3)/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((3*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((3*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((6*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((6*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, (-6*x)/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*ArcTan[a*x])/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*x*ArcTan[a*x]^2)/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ArcTan[a*x]^3/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^3/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 2, -6/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (6*x*ArcTan[a*x])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*ArcTan[a*x]^2)/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x*ArcTan[a*x]^3)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^3/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 15, (6*a*x)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (6*ArcTan[a*x])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*a*x*ArcTan[a*x]^2)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ArcTan[a*x]^3/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^3*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((3*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((3*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((6*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, -E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((6*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^3/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 13, (6*a)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*a^2*x*ArcTan[a*x])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*a*ArcTan[a*x]^2)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (a^2*x*ArcTan[a*x]^3)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(c^2*x) - (6*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((6*I)*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((6*I)*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (6*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+
+
+{(x^5*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 22, (2*x^3)/(27*a^3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (94*x)/(9*a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*x^2*ArcTan[a*x])/(9*a^4*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (94*ArcTan[a*x])/(9*a^6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (x^3*ArcTan[a*x]^2)/(3*a^3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (5*x*ArcTan[a*x]^2)/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^2)/(a^6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x^2*ArcTan[a*x]^3)/(3*a^4*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (5*ArcTan[a*x]^3)/(3*a^6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(a^6*c^3) - (6*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x^4*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 22, -(2/(27*a^5*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))) + 68/(9*a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*x^3*ArcTan[a*x])/(9*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (22*x*ArcTan[a*x])/(3*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (x^2*ArcTan[a*x]^2)/(3*a^3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (11*ArcTan[a*x]^2)/(3*a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (x^3*ArcTan[a*x]^3)/(3*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (x*ArcTan[a*x]^3)/(a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[E^(I*ArcTan[a*x])]*ArcTan[a*x]^3)/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (6*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, (-I)*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, I*E^(I*ArcTan[a*x])])/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x^3*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 7, -((2*x^3)/(27*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))) - (40*x)/(9*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*x^2*ArcTan[a*x])/(9*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (40*ArcTan[a*x])/(9*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x^3*ArcTan[a*x]^2)/(3*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcTan[a*x]^2)/(a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (x^2*ArcTan[a*x]^3)/(3*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (2*ArcTan[a*x]^3)/(3*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 7, 2/(27*a^3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - 14/(9*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*x^3*ArcTan[a*x])/(9*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (4*x*ArcTan[a*x])/(3*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x^2*ArcTan[a*x]^2)/(3*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*ArcTan[a*x]^2)/(3*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x^3*ArcTan[a*x]^3)/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))}
+{(x*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 6, (-2*x)/(27*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (40*x)/(27*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*ArcTan[a*x])/(9*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (4*ArcTan[a*x])/(3*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x*ArcTan[a*x]^2)/(3*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcTan[a*x]^2)/(3*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ArcTan[a*x]^3/(3*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))}
+{ArcTan[a*x]^3/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 5, -2/(27*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - 40/(9*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*x*ArcTan[a*x])/(9*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (40*x*ArcTan[a*x])/(9*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ArcTan[a*x]^2/(3*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*ArcTan[a*x]^2)/(a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x*ArcTan[a*x]^3)/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcTan[a*x]^3)/(3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^3/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 22, (2*a*x)/(27*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (202*a*x)/(27*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*ArcTan[a*x])/(9*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (22*ArcTan[a*x])/(3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (a*x*ArcTan[a*x]^2)/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (11*a*x*ArcTan[a*x]^2)/(3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ArcTan[a*x]^3/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + ArcTan[a*x]^3/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^3*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((3*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((3*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((6*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, -E^(I*ArcTan[a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((6*I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[4, E^(I*ArcTan[a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^3/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 19, (2*a)/(27*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (94*a)/(9*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*a^2*x*ArcTan[a*x])/(9*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (94*a^2*x*ArcTan[a*x])/(9*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (a*ArcTan[a*x]^2)/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (5*a*ArcTan[a*x]^2)/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (a^2*x*ArcTan[a*x]^3)/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (5*a^2*x*ArcTan[a*x]^3)/(3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3)/(c^3*x) - (6*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcTan[a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((6*I)*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcTan[a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((6*I)*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcTan[a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (6*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(I*ArcTan[a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, E^(I*ArcTan[a*x])])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^p ArcTan[a x]^3 with d=a^2 c and m symbolic*)
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3, x]}
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^1*ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^3, x]}
+{(x^m*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^1, x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2), x]}
+{(x^m*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^2, x]}
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3, x]}
+{x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3, x]}
+{(x^m*ArcTan[a*x]^3)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^3)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x]}
+{(x^m*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^3)/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^q (a+b ArcTan[c x])^-1*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^p / ArcTan[a x]^1 with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)/ArcTan[a*x], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)/(x*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)/(x*ArcTan[a*x]), x]}
+
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^2/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^2/ArcTan[a*x], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^2/(x*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^2/(x*ArcTan[a*x]), x]}
+
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^3/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^3/ArcTan[a*x], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^3/(x*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^3/(x*ArcTan[a*x]), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^2/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]), x]}
+{x/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[x/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]), x]}
+{1/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]), x, 1, Log[ArcTan[a*x]]/(a*c)}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]), x]}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]), x]}
+
+
+{x^4/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^4/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]), x]}
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^3/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]), x]}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]), x, 4, -CosIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(2*a^3*c^2) + Log[ArcTan[a*x]]/(2*a^3*c^2)}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]), x, 4, SinIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(2*a^2*c^2)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]), x, 4, CosIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(2*a*c^2) + Log[ArcTan[a*x]]/(2*a*c^2)}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]), x]}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]), x]}
+
+
+{x^6/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^6/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]), x]}
+{x^5/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^5/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]), x]}
+{x^4/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]), x, 5, -(CosIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(2*a^5*c^3)) + CosIntegral[4*ArcTan[a*x]]/(8*a^5*c^3) + (3*Log[ArcTan[a*x]])/(8*a^5*c^3)}
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]), x, 5, SinIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(4*a^4*c^3) - SinIntegral[4*ArcTan[a*x]]/(8*a^4*c^3)}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]), x, 4, -CosIntegral[4*ArcTan[a*x]]/(8*a^3*c^3) + Log[ArcTan[a*x]]/(8*a^3*c^3)}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]), x, 5, SinIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(4*a^2*c^3) + SinIntegral[4*ArcTan[a*x]]/(8*a^2*c^3)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]), x, 5, CosIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(2*a*c^3) + CosIntegral[4*ArcTan[a*x]]/(8*a*c^3) + (3*Log[ArcTan[a*x]])/(8*a*c^3)}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]), x]}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^(p/2) / ArcTan[a x]^1 with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x], x]}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/ArcTan[a*x], x]}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(x*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(x*ArcTan[a*x]), x]}
+
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/ArcTan[a*x], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/(x*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/(x*ArcTan[a*x]), x]}
+
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/ArcTan[a*x], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/(x*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/(x*ArcTan[a*x]), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[x/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]), x]}
+{1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]), x]}
+{1/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]), x]}
+
+
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^3/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]), x]}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^2/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]), x]}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]), x, 3, (Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]), x, 3, (Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]), x]}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]), x]}
+
+
+{x^5/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^5/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]), x]}
+{x^4/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^4/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]), x]}
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]), x, 6, (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(4*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(4*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]), x, 6, (Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(4*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(4*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]), x, 6, (Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(4*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(4*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]), x, 6, (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(4*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(4*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]), x]}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^p / ArcTan[a x]^1 with d=a^2 c and m symbolic*)
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x], x]}
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x], x]}
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x], x]}
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]), x]}
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]), x]}
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]), x]}
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x], x]}
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x], x]}
+{(x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x], x, 0, Unintegrable[(x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x], x]}
+{x^m/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^m/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]), x]}
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]), x]}
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^q (a+b ArcTan[c x])^-2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+c^2 d x^2)^q / (a+b ArcTan[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)/(x*ArcTan[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)/(x*ArcTan[a*x]^2), x]}
+
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^2/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^2/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^2/(x*ArcTan[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^2/(x*ArcTan[a*x]^2), x]}
+
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^3/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^3/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^3/(x*ArcTan[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^3/(x*ArcTan[a*x]^2), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^2), x, 1, -(x^3/(a*c*ArcTan[a*x])) + (3*Unintegrable[x^2/ArcTan[a*x], x])/(a*c)}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^2), x, 1, -(x^2/(a*c*ArcTan[a*x])) + (2*Unintegrable[x/ArcTan[a*x], x])/(a*c)}
+{x/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^2), x, 1, -(x/(a*c*ArcTan[a*x])) + Unintegrable[ArcTan[a*x]^(-1), x]/(a*c)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^2), x, 1, -(1/(a*c*ArcTan[a*x]))}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^2), x, 1, -(1/(a*c*x*ArcTan[a*x])) - Unintegrable[1/(x^2*ArcTan[a*x]), x]/(a*c)}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^2), x, 1, -(1/(a*c*x^2*ArcTan[a*x])) - (2*Unintegrable[1/(x^3*ArcTan[a*x]), x])/(a*c)}
+{1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^2), x, 1, -(1/(a*c*x^3*ArcTan[a*x])) - (3*Unintegrable[1/(x^4*ArcTan[a*x]), x])/(a*c)}
+{1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^2), x, 1, -(1/(a*c*x^4*ArcTan[a*x])) - (4*Unintegrable[1/(x^5*ArcTan[a*x]), x])/(a*c)}
+
+
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2), x, 11, -(x/(a^3*c^2*ArcTan[a*x])) + x/(a^3*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) - CosIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(a^4*c^2) + Unintegrable[ArcTan[a*x]^(-1), x]/(a^3*c^2)}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2), x, 5, -(x^2/(a*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x])) + SinIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(a^3*c^2)}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2), x, 9, -(x/(a*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x])) + CosIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(a^2*c^2)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2), x, 5, -(1/(a*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x])) - SinIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(a*c^2)}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2), x, 11, -(1/(a*c^2*x*ArcTan[a*x])) + (a*x)/(c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) - CosIntegral[2*ArcTan[a*x]]/c^2 - Unintegrable[1/(x^2*ArcTan[a*x]), x]/(a*c^2)}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2), x, 7, -(1/(a*c^2*x^2*ArcTan[a*x])) + a/(c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) + (a*SinIntegral[2*ArcTan[a*x]])/c^2 - (2*Unintegrable[1/(x^3*ArcTan[a*x]), x])/(a*c^2)}
+{1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2), x, 13, -(1/(a*c^2*x^3*ArcTan[a*x])) + a/(c^2*x*ArcTan[a*x]) - (a^3*x)/(c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) + (a^2*CosIntegral[2*ArcTan[a*x]])/c^2 - (3*Unintegrable[1/(x^4*ArcTan[a*x]), x])/(a*c^2) + (a*Unintegrable[1/(x^2*ArcTan[a*x]), x])/c^2}
+{1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2), x, 9, -(1/(a*c^2*x^4*ArcTan[a*x])) + a/(c^2*x^2*ArcTan[a*x]) - a^3/(c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) - (a^3*SinIntegral[2*ArcTan[a*x]])/c^2 - (4*Unintegrable[1/(x^5*ArcTan[a*x]), x])/(a*c^2) + (2*a*Unintegrable[1/(x^3*ArcTan[a*x]), x])/c^2}
+
+
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2), x, 20, x/(a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]) - x/(a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) + CosIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(2*a^4*c^3) - CosIntegral[4*ArcTan[a*x]]/(2*a^4*c^3)}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2), x, 12, 1/(a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]) - 1/(a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) + SinIntegral[4*ArcTan[a*x]]/(2*a^3*c^3)}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2), x, 10, -(x/(a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x])) + CosIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(2*a^2*c^3) + CosIntegral[4*ArcTan[a*x]]/(2*a^2*c^3)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2), x, 6, -(1/(a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x])) - SinIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(a*c^3) - SinIntegral[4*ArcTan[a*x]]/(2*a*c^3)}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2), x, 22, -(1/(a*c^3*x*ArcTan[a*x])) + (a*x)/(c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]) + (a*x)/(c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) - (3*CosIntegral[2*ArcTan[a*x]])/(2*c^3) - CosIntegral[4*ArcTan[a*x]]/(2*c^3) - Unintegrable[1/(x^2*ArcTan[a*x]), x]/(a*c^3)}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2), x, 14, -(1/(a*c^3*x^2*ArcTan[a*x])) + a/(c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]) + a/(c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) + (2*a*SinIntegral[2*ArcTan[a*x]])/c^3 + (a*SinIntegral[4*ArcTan[a*x]])/(2*c^3) - (2*Unintegrable[1/(x^3*ArcTan[a*x]), x])/(a*c^3)}
+{1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2), x, 36, -(1/(a*c^3*x^3*ArcTan[a*x])) + (2*a)/(c^3*x*ArcTan[a*x]) - (a^3*x)/(c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]) - (2*a^3*x)/(c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) + (5*a^2*CosIntegral[2*ArcTan[a*x]])/(2*c^3) + (a^2*CosIntegral[4*ArcTan[a*x]])/(2*c^3) - (3*Unintegrable[1/(x^4*ArcTan[a*x]), x])/(a*c^3) + (2*a*Unintegrable[1/(x^2*ArcTan[a*x]), x])/c^3}
+{1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2), x, 24, -(1/(a*c^3*x^4*ArcTan[a*x])) + (2*a)/(c^3*x^2*ArcTan[a*x]) - a^3/(c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]) - (2*a^3)/(c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) - (3*a^3*SinIntegral[2*ArcTan[a*x]])/c^3 - (a^3*SinIntegral[4*ArcTan[a*x]])/(2*c^3) - (4*Unintegrable[1/(x^5*ArcTan[a*x]), x])/(a*c^3) + (4*a*Unintegrable[1/(x^3*ArcTan[a*x]), x])/c^3}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+c^2 d x^2)^(q/2) / (a+b ArcTan[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(x*ArcTan[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(x*ArcTan[a*x]^2), x]}
+
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/(x*ArcTan[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/(x*ArcTan[a*x]^2), x]}
+
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/(x*ArcTan[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/(x*ArcTan[a*x]^2), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{x/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[x/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x]}
+{1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x]}
+{1/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x, 1, -(Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(a*c*x*ArcTan[a*x])) - Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]), x]/a}
+
+
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 5, x/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) - (Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(a^4*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + Unintegrable[x/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x]/(a^2*c)}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 5, 1/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x]/(a^2*c)}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 4, -(x/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 4, -(1/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])) - (Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 6, (a*x)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) - Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(a*c^2*x*ArcTan[a*x]) - (Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]), x]/(a*c)}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 5, a/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) + (a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x]/c}
+{1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 7, -((a^3*x)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])) + (a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(c^2*x*ArcTan[a*x]) + (a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + Unintegrable[1/(x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x]/c + (a*Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]), x])/c}
+{1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 6, -(a^3/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x])) - (a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + Unintegrable[1/(x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x]/c - (a^2*Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x])/c}
+
+
+{x^5/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 13, x^3/(a^3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]) + x/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) - (7*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(4*a^6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(4*a^6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + Unintegrable[x/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x]/(a^4*c^2)}
+{x^4/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 18, -(1/(a^5*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])) + 2/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) + (5*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(4*a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(4*a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x]/(a^4*c^2)}
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 7, -(x^3/(a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])) + (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(4*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(4*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 12, 1/(a^3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]) - 1/(a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) - (Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(4*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(4*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 13, -(x/(a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(4*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(4*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 7, -(1/(a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])) - (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(4*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(4*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 20, (a*x)/(c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]) + (a*x)/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) - Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(a*c^3*x*ArcTan[a*x]) - (5*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]), x]/(a*c^2)}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 13, a/(c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]) + a/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) + (7*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x]/c^2}
+{1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 28, -((a^3*x)/(c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])) - (2*a^3*x)/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) + (2*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(c^3*x*ArcTan[a*x]) + (9*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + Unintegrable[1/(x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x]/c^2 + (2*a*Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]), x])/c^2}
+{1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 20, -(a^3/(c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x])) - (2*a^3)/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) - (11*a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + Unintegrable[1/(x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x]/c^2 - (2*a^2*Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x])/c^2}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^(m/2) (d+c^2 d x^2)^q / (a+b ArcTan[c x])^2*)
+
+
+{Sqrt[f*x]/((d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[f*x]/((d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^q / (a+b ArcTan[c x])^2 with m symbolic*)
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^2), x, 1, -(x^m/(a*c*ArcTan[a*x])) + (m*Unintegrable[x^(-1 + m)/ArcTan[a*x], x])/(a*c)}
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2), x]}
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^2), x]}
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{(x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[(x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x]^2, x]}
+{x^m/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[x^m/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x]}
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2), x]}
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^q (a+b ArcTan[c x])^-3*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^p / ArcTan[a x]^3 with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x]^3, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)/ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)/ArcTan[a*x]^3, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)/(x*ArcTan[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)/(x*ArcTan[a*x]^3), x]}
+
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x]^3, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^2/ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^2/ArcTan[a*x]^3, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^2/(x*ArcTan[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^2/(x*ArcTan[a*x]^3), x]}
+
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x]^3, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^3/ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^3/ArcTan[a*x]^3, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^3/(x*ArcTan[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^3/(x*ArcTan[a*x]^3), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^3), x, 1, -x^3/(2*a*c*ArcTan[a*x]^2) + (3*Unintegrable[x^2/ArcTan[a*x]^2, x])/(2*a*c)}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^3), x, 1, -x^2/(2*a*c*ArcTan[a*x]^2) + Unintegrable[x/ArcTan[a*x]^2, x]/(a*c)}
+{x/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^3), x, 1, -x/(2*a*c*ArcTan[a*x]^2) + Unintegrable[ArcTan[a*x]^(-2), x]/(2*a*c)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^3), x, 1, -1/(2*a*c*ArcTan[a*x]^2)}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^3), x, 1, -1/(2*a*c*x*ArcTan[a*x]^2) - Unintegrable[1/(x^2*ArcTan[a*x]^2), x]/(2*a*c)}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^3), x, 1, -1/(2*a*c*x^2*ArcTan[a*x]^2) - Unintegrable[1/(x^3*ArcTan[a*x]^2), x]/(a*c)}
+{1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^3), x, 1, -1/(2*a*c*x^3*ArcTan[a*x]^2) - (3*Unintegrable[1/(x^4*ArcTan[a*x]^2), x])/(2*a*c)}
+{1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^3), x, 1, -1/(2*a*c*x^4*ArcTan[a*x]^2) - (2*Unintegrable[1/(x^5*ArcTan[a*x]^2), x])/(a*c)}
+
+
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3), x, 7, -x/(2*a^3*c^2*ArcTan[a*x]^2) + x/(2*a^3*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2) + (1 - a^2*x^2)/(2*a^4*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) + SinIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(a^4*c^2) + Unintegrable[ArcTan[a*x]^(-2), x]/(2*a^3*c^2)}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3), x, 10, -x^2/(2*a*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2) - x/(a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) + CosIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(a^3*c^2)}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3), x, 5, -x/(2*a*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2) - (1 - a^2*x^2)/(2*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) - SinIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(a^2*c^2)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3), x, 10, -1/(2*a*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2) + x/(c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) - CosIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(a*c^2)}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3), x, 7, -1/(2*a*c^2*x*ArcTan[a*x]^2) + (a*x)/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2) + (1 - a^2*x^2)/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) + SinIntegral[2*ArcTan[a*x]]/c^2 - Unintegrable[1/(x^2*ArcTan[a*x]^2), x]/(2*a*c^2)}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3), x, 12, -1/(2*a*c^2*x^2*ArcTan[a*x]^2) + a/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2) - (a^2*x)/(c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) + (a*CosIntegral[2*ArcTan[a*x]])/c^2 - Unintegrable[1/(x^3*ArcTan[a*x]^2), x]/(a*c^2)}
+{1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3), x, 9, -1/(2*a*c^2*x^3*ArcTan[a*x]^2) + a/(2*c^2*x*ArcTan[a*x]^2) - (a^3*x)/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2) - (a^2*(1 - a^2*x^2))/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) - (a^2*SinIntegral[2*ArcTan[a*x]])/c^2 - (3*Unintegrable[1/(x^4*ArcTan[a*x]^2), x])/(2*a*c^2) + (a*Unintegrable[1/(x^2*ArcTan[a*x]^2), x])/(2*c^2)}
+{1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3), x, 14, -1/(2*a*c^2*x^4*ArcTan[a*x]^2) + a/(2*c^2*x^2*ArcTan[a*x]^2) - a^3/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2) + (a^4*x)/(c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) - (a^3*CosIntegral[2*ArcTan[a*x]])/c^2 - (2*Unintegrable[1/(x^5*ArcTan[a*x]^2), x])/(a*c^2) + (a*Unintegrable[1/(x^3*ArcTan[a*x]^2), x])/c^2}
+
+
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3), x, 25, x/(2*a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2) - x/(2*a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2) + 2/(a^4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]) - 3/(2*a^4*c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) - (1 - a^2*x^2)/(2*a^4*c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) - SinIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(2*a^4*c^3) + SinIntegral[4*ArcTan[a*x]]/(a^4*c^3)}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3), x, 22, 1/(2*a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2) - 1/(2*a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2) - (2*x)/(a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]) + x/(a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) + CosIntegral[4*ArcTan[a*x]]/(a^3*c^3)}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3), x, 19, -x/(2*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2) - 2/(a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]) + 3/(2*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) - SinIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(2*a^2*c^3) - SinIntegral[4*ArcTan[a*x]]/(a^2*c^3)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3), x, 11, -1/(2*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2) + (2*x)/(c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]) - CosIntegral[2*ArcTan[a*x]]/(a*c^3) - CosIntegral[4*ArcTan[a*x]]/(a*c^3)}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3), x, 27, -1/(2*a*c^3*x*ArcTan[a*x]^2) + (a*x)/(2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2) + (a*x)/(2*c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2) + 2/(c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]) - 3/(2*c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) + (1 - a^2*x^2)/(2*c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) + (3*SinIntegral[2*ArcTan[a*x]])/(2*c^3) + SinIntegral[4*ArcTan[a*x]]/c^3 - Unintegrable[1/(x^2*ArcTan[a*x]^2), x]/(2*a*c^3)}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3), x, 24, -1/(2*a*c^3*x^2*ArcTan[a*x]^2) + a/(2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2) + a/(2*c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2) - (2*a^2*x)/(c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]) - (a^2*x)/(c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) + (2*a*CosIntegral[2*ArcTan[a*x]])/c^3 + (a*CosIntegral[4*ArcTan[a*x]])/c^3 - Unintegrable[1/(x^3*ArcTan[a*x]^2), x]/(a*c^3)}
+{1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3), x, 37, -1/(2*a*c^3*x^3*ArcTan[a*x]^2) + a/(c^3*x*ArcTan[a*x]^2) - (a^3*x)/(2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2) - (a^3*x)/(c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2) - (2*a^2)/(c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]) + (3*a^2)/(2*c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) - (a^2*(1 - a^2*x^2))/(c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) - (5*a^2*SinIntegral[2*ArcTan[a*x]])/(2*c^3) - (a^2*SinIntegral[4*ArcTan[a*x]])/c^3 - (3*Unintegrable[1/(x^4*ArcTan[a*x]^2), x])/(2*a*c^3) + (a*Unintegrable[1/(x^2*ArcTan[a*x]^2), x])/c^3}
+{1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3), x, 39, -1/(2*a*c^3*x^4*ArcTan[a*x]^2) + a/(c^3*x^2*ArcTan[a*x]^2) - a^3/(2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^2) - a^3/(c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^2) + (2*a^4*x)/(c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]) + (2*a^4*x)/(c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]) - (3*a^3*CosIntegral[2*ArcTan[a*x]])/c^3 - (a^3*CosIntegral[4*ArcTan[a*x]])/c^3 - (2*Unintegrable[1/(x^5*ArcTan[a*x]^2), x])/(a*c^3) + (2*a*Unintegrable[1/(x^3*ArcTan[a*x]^2), x])/c^3}
+
+
+{x^3/((1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^3) - (3*x^2)/(2*a*ArcTan[a*x]^2), x, 2, -(x^3/(2*a*ArcTan[a*x]^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^(p/2) / ArcTan[a x]^3 with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x]^3, x]}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]/ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/ArcTan[a*x]^3, x]}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(x*ArcTan[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(x*ArcTan[a*x]^3), x]}
+
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x]^3, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/ArcTan[a*x]^3, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/(x*ArcTan[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/(x*ArcTan[a*x]^3), x]}
+
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x]^3, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/ArcTan[a*x]^3, x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/(x*ArcTan[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/(x*ArcTan[a*x]^3), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[x/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x]}
+{1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x]}
+{1/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x, 1, -(Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(2*a*c*x*ArcTan[a*x]^2)) - Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x]/(2*a)}
+{1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x]}
+{1/(x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[1/(x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x]}
+
+
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3), x, 6, x/(2*a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2) + 1/(2*a^4*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(2*a^4*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + Unintegrable[x/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x]/(a^2*c)}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3), x, 6, 1/(2*a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2) - x/(2*a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(2*a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x]/(a^2*c)}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3), x, 5, -(x/(2*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)) - 1/(2*a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) - (Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(2*a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3), x, 5, -(1/(2*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)) + x/(2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) - (Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(2*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3), x, 7, (a*x)/(2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2) - Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(2*a*c^2*x*ArcTan[a*x]^2) + 1/(2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x]/(2*a*c)}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3), x, 6, a/(2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2) - (a^2*x)/(2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) + (a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x]/c}
+{1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3), x, 8, -((a^3*x)/(2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)) + (a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(2*c^2*x*ArcTan[a*x]^2) - a^2/(2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) - (a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + Unintegrable[1/(x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x]/c + (a*Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x])/(2*c)}
+{1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3), x, 7, -(a^3/(2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2)) + (a^4*x)/(2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) - (a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + Unintegrable[1/(x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x]/c - (a^2*Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x])/c}
+
+
+{x^5/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3), x, 20, x^3/(2*a^3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2) + x/(2*a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2) - 3/(2*a^6*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]) + 2/(a^6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) + (7*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(8*a^6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (9*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(8*a^6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + Unintegrable[x/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x]/(a^4*c^2)}
+{x^4/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3), x, 27, -(1/(2*a^5*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)) + 1/(a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2) + (3*x)/(2*a^4*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]) - x/(a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) + (5*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(8*a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (9*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(8*a^5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x]/(a^4*c^2)}
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3), x, 13, -(x^3/(2*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)) + 3/(2*a^4*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]) - 3/(2*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) - (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(8*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (9*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(8*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3), x, 20, 1/(2*a^3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2) - 1/(2*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2) - (3*x)/(2*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]) + x/(2*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) - (Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(8*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (9*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(8*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3), x, 20, -(x/(2*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)) - 3/(2*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]) + 1/(a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) - (Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(8*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (9*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(8*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3), x, 14, -(1/(2*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2)) + (3*x)/(2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]) - (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(8*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (9*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(8*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3), x, 28, (a*x)/(2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2) + (a*x)/(2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2) - Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(2*a*c^3*x*ArcTan[a*x]^2) + 3/(2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]) - 1/(2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) + (5*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[ArcTan[a*x]])/(8*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (9*Sqrt[1 + a^2*x^2]*SinIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(8*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2), x]/(2*a*c^2)}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3), x, 21, a/(2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^2) + a/(2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^2) - (3*a^2*x)/(2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]) - (a^2*x)/(2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]) + (7*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[ArcTan[a*x]])/(8*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (9*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*CosIntegral[3*ArcTan[a*x]])/(8*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x]/c^2}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^p / ArcTan[a x]^3 with d=a^2 c and m symbolic*)
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x]^3, x]}
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x]^3, x]}
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x]^3, x]}
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^3), x, 1, -x^m/(2*a*c*ArcTan[a*x]^2) + (m*Unintegrable[x^(-1 + m)/ArcTan[a*x]^2, x])/(2*a*c)}
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^3), x]}
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^3), x]}
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x]^3, x]}
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x]^3, x]}
+{(x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[(x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x]^3, x]}
+{x^m/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[x^m/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^3), x]}
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^3), x]}
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^3), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^q (a+b ArcTan[c x])^(1/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^p ArcTan[a x]^(1/2) with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+
+{x*(c + a^2*c*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 1, (c*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(4*a^2) - Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]/(8*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{((c + a^2*c*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/x, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/x, x]}
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+
+{x*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 1, (c^2*(1 + a^2*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(6*a^2) - Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^2/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]/(12*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{((c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/x, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/x, x]}
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+
+{x*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 1, (c^3*(1 + a^2*x^2)^4*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(8*a^2) - Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^3/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]/(16*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{((c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/x, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/x, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^m*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2), x, 0, Unintegrable[(x^m*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2), x]}
+
+{(x^3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2), x, 2, -((2*x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*a^3*c)) + Unintegrable[x*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]/(a^2*c) + (2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2), x])/(3*a^3*c)}
+{(x^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2), x, 2, (-2*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*a^3*c) + Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]], x]/(a^2*c)}
+{(x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2), x, 1, (2*x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*a*c) - (2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2), x])/(3*a*c)}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/(c + a^2*c*x^2), x, 1, (2*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*a*c)}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x*(c + a^2*c*x^2)), x, 1, (((-2*I)/3)*ArcTan[a*x]^(3/2))/c + (I*Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x*(I + a*x)), x])/c}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x^2*(c + a^2*c*x^2)), x, 2, (-2*a*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*c) + Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/x^2, x]/c}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x^3*(c + a^2*c*x^2)), x, 2, (((2*I)/3)*a^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/c + Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/x^3, x]/c - (I*a^2*Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x*(I + a*x)), x])/c}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x^4*(c + a^2*c*x^2)), x, 3, (2*a^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*c) + Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/x^4, x]/c - (a^2*Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/x^2, x])/c}
+
+
+{(x^m*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[(x^m*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^2, x]}
+
+{(x^3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[(x^3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^2, x]}
+{(x^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 6, -((x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(2*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2))) + ArcTan[a*x]^(3/2)/(3*a^3*c^2) + (Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(8*a^3*c^2)}
+{(x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 6, Sqrt[ArcTan[a*x]]/(4*a^2*c^2) - Sqrt[ArcTan[a*x]]/(2*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(8*a^2*c^2)}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 6, (x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^(3/2)/(3*a*c^2) - (Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(8*a*c^2)}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x*(c + a^2*c*x^2)^2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x*(c + a^2*c*x^2)^2), x]}
+
+
+{(x^m*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 0, Unintegrable[(x^m*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^3, x]}
+
+{(x^5*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 0, Unintegrable[(x^5*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^3, x]}
+{(x^4*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 9, ArcTan[a*x]^(3/2)/(4*a^5*c^3) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(64*a^5*c^3) + (Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(8*a^5*c^3) - (Sqrt[ArcTan[a*x]]*Sin[2*ArcTan[a*x]])/(4*a^5*c^3) + (Sqrt[ArcTan[a*x]]*Sin[4*ArcTan[a*x]])/(32*a^5*c^3)}
+{(x^3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 8, -((3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(32*a^4*c^3)) + (x^4*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(64*a^4*c^3) + (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(16*a^4*c^3)}
+{(x^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 6, ArcTan[a*x]^(3/2)/(12*a^3*c^3) + (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(64*a^3*c^3) - (Sqrt[ArcTan[a*x]]*Sin[4*ArcTan[a*x]])/(32*a^3*c^3)}
+{(x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 8, (3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(32*a^2*c^3) - Sqrt[ArcTan[a*x]]/(4*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(64*a^2*c^3) + (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(16*a^2*c^3)}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 9, ArcTan[a*x]^(3/2)/(4*a*c^3) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(64*a*c^3) - (Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(8*a*c^3) + (Sqrt[ArcTan[a*x]]*Sin[2*ArcTan[a*x]])/(4*a*c^3) + (Sqrt[ArcTan[a*x]]*Sin[4*ArcTan[a*x]])/(32*a*c^3)}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x*(c + a^2*c*x^2)^3), x, 0, Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x*(c + a^2*c*x^2)^3), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^(p/2) ArcTan[a x]^(1/2) with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+
+{x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 1, ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(3*a^2*c) - Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]/(6*a)}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 1, ((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(5*a^2*c) - Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]/(10*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 1, ((c + a^2*c*x^2)^(7/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(7*a^2*c) - Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]/(14*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^m*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 0, Unintegrable[(x^m*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x]}
+
+{(x^3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 2, -((2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(3*a^4*c)) + (x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(3*a^2*c) + Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]/(3*a^3) - Unintegrable[x^2/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]/(6*a)}
+{(x^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 1, (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(2*a^2*c) - Unintegrable[x/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]/(4*a) - Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x]/(2*a^2)}
+{(x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 1, (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(a^2*c) - Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]/(2*a)}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 0, Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x]}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 0, Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x]}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 1, -((Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c*x)) + (a*Unintegrable[1/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/2}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 1, -(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(2*c*x^2) + (a*Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/4 - (a^2*Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x])/2}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 2, -(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(3*c*x^3) + (2*a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(3*c*x) + (a*Unintegrable[1/(x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/6 - (a^3*Unintegrable[1/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/3}
+
+
+{(x^m*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x]}
+
+{(x^3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x]}
+{(x^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x]}
+{(x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 5, -(Sqrt[ArcTan[a*x]]/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) + (Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 5, (x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x]}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x]}
+
+
+{(x^m*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x]}
+
+{(x^4*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^4*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x]}
+{(x^3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 10, -((3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(4*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]*Cos[3*ArcTan[a*x]])/(12*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(4*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[Pi/6]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(12*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 9, (x^3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(4*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[Pi/6]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(12*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 9, -(Sqrt[ArcTan[a*x]]/(3*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))) + (Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(4*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[Pi/6]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(12*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 10, (3*x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(4*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[Pi/6]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(12*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]*Sin[3*ArcTan[a*x]])/(12*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 0, Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^q (a+b ArcTan[c x])^(3/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^p ArcTan[a x]^(3/2) with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[x^2*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{x*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 1, (c*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/(4*a^2) - (3*Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/(8*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 1, -(c*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(4*a) + (c*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/3 + (c*Unintegrable[1/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/8 + (2*c*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2), x])/3}
+{((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/x, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/x, x]}
+{((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/x^2, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/x^2, x]}
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[x^2*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 1, (c^2*(1 + a^2*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/(6*a^2) - Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]/(4*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 2, -(c^2*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(5*a) - (3*c^2*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(40*a) + (4*c^2*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/15 + (c^2*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/5 + (c^2*Unintegrable[1/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/10 + (3*c*Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/80 + (8*c^2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2), x])/15}
+{((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/x, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/x, x]}
+{((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/x^2, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/x^2, x]}
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[x^2*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 1, (c^3*(1 + a^2*x^2)^4*ArcTan[a*x]^(3/2))/(8*a^2) - (3*Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/(16*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 3, (-6*c^3*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(35*a) - (9*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(140*a) - (c^3*(1 + a^2*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(28*a) + (8*c^3*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/35 + (6*c^3*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/35 + (c^3*x*(1 + a^2*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/7 + (3*c^3*Unintegrable[1/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/35 + (9*c^2*Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/280 + (c*Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^2/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/56 + (16*c^3*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2), x])/35}
+{((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/x, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/x, x]}
+{((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/x^2, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^m*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2), x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2), x]}
+
+{(x^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2), x, 2, -((2*x*ArcTan[a*x]^(5/2))/(5*a^3*c)) + Unintegrable[x*ArcTan[a*x]^(3/2), x]/(a^2*c) + (2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2), x])/(5*a^3*c)}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2), x, 2, (-2*ArcTan[a*x]^(5/2))/(5*a^3*c) + Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2), x]/(a^2*c)}
+{(x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2), x, 1, (2*x*ArcTan[a*x]^(5/2))/(5*a*c) - (2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2), x])/(5*a*c)}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(c + a^2*c*x^2), x, 1, (2*ArcTan[a*x]^(5/2))/(5*a*c)}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(x*(c + a^2*c*x^2)), x, 1, (((-2*I)/5)*ArcTan[a*x]^(5/2))/c + (I*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/(x*(I + a*x)), x])/c}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(x^2*(c + a^2*c*x^2)), x, 2, (-2*a*ArcTan[a*x]^(5/2))/(5*c) + Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/x^2, x]/c}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(x^3*(c + a^2*c*x^2)), x, 2, (((2*I)/5)*a^2*ArcTan[a*x]^(5/2))/c + Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/x^3, x]/c - (I*a^2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/(x*(I + a*x)), x])/c}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(x^4*(c + a^2*c*x^2)), x, 3, (2*a^3*ArcTan[a*x]^(5/2))/(5*c) + Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/x^4, x]/c - (a^2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/x^2, x])/c}
+
+
+{(x^m*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^2, x]}
+
+{(x^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[(x^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^2, x]}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 7, (3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(16*a^3*c^2) - (3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(8*a^3*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(2*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^(5/2)/(5*a^3*c^2) + (3*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(32*a^3*c^2)}
+{(x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 7, (3*x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(8*a*c^2*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^(3/2)/(4*a^2*c^2) - ArcTan[a*x]^(3/2)/(2*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (3*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(32*a^2*c^2)}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 7, -((3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(16*a*c^2)) + (3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(8*a*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^(5/2)/(5*a*c^2) - (3*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(32*a*c^2)}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(x*(c + a^2*c*x^2)^2), x, 0, Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/(x*(c + a^2*c*x^2)^2), x]}
+
+
+{(x^m*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^3, x]}
+
+{(x^5*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 0, Unintegrable[(x^5*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^3, x]}
+{(x^4*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 15, (27*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(256*a^5*c^3) + (3*x^4*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(32*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (9*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(32*a^5*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (x^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/(4*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (3*x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(8*a^4*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (3*ArcTan[a*x]^(5/2))/(20*a^5*c^3) - (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(512*a^5*c^3) + (3*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(32*a^5*c^3)}
+{(x^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 10, -((3*ArcTan[a*x]^(3/2))/(32*a^4*c^3)) + (x^4*ArcTan[a*x]^(3/2))/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(512*a^4*c^3) - (3*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(64*a^4*c^3) + (3*Sqrt[ArcTan[a*x]]*Sin[2*ArcTan[a*x]])/(32*a^4*c^3) - (3*Sqrt[ArcTan[a*x]]*Sin[4*ArcTan[a*x]])/(256*a^4*c^3)}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 7, ArcTan[a*x]^(5/2)/(20*a^3*c^3) - (3*Sqrt[ArcTan[a*x]]*Cos[4*ArcTan[a*x]])/(256*a^3*c^3) + (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(512*a^3*c^3) - (ArcTan[a*x]^(3/2)*Sin[4*ArcTan[a*x]])/(32*a^3*c^3)}
+{(x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 10, (3*ArcTan[a*x]^(3/2))/(32*a^2*c^3) - ArcTan[a*x]^(3/2)/(4*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(512*a^2*c^3) - (3*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(64*a^2*c^3) + (3*Sqrt[ArcTan[a*x]]*Sin[2*ArcTan[a*x]])/(32*a^2*c^3) + (3*Sqrt[ArcTan[a*x]]*Sin[4*ArcTan[a*x]])/(256*a^2*c^3)}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 15, -((45*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(256*a*c^3)) + (3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(32*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (9*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(32*a*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (3*x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(8*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (3*ArcTan[a*x]^(5/2))/(20*a*c^3) - (3*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(512*a*c^3) - (3*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(32*a*c^3)}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(x*(c + a^2*c*x^2)^3), x, 0, Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/(x*(c + a^2*c*x^2)^3), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^(p/2) ArcTan[a x]^(3/2) with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+
+{x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 1, ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*a^2*c) - Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]], x]/(2*a)}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 1, (-3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(4*a) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/2 + (3*c*Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/8 + (c*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/2}
+{(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/x, x, 0, Unintegrable[(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/x, x]}
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 1, ((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/(5*a^2*c) - (3*Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/(10*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 2, (-9*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(16*a) - ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(8*a) + (3*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/8 + (x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/4 + (9*c^2*Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/32 + (c*Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/16 + (3*c^2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/8}
+{((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/x, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/x, x]}
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 1, ((c + a^2*c*x^2)^(7/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/(7*a^2*c) - (3*Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/(14*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2), x, 3, (-15*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(32*a) - (5*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(48*a) - ((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(20*a) + (5*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/16 + (5*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/24 + (x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/6 + (15*c^3*Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/64 + (5*c^2*Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/96 + (c*Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/40 + (5*c^3*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/16}
+{((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/x, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/x, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^m*ArcTan[a*x]^(3/2))/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^(3/2))/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x]}
+
+{(x^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 3, -((x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(4*a^3*c)) - (2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*a^4*c) + (x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*a^2*c) + Unintegrable[x/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]/(8*a^2) + (5*Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/(4*a^3)}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 2, -((3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(4*a^3*c)) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/(2*a^2*c) + (3*Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/(8*a^2) - Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x]/(2*a^2)}
+{(x*ArcTan[a*x]^(3/2))/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 1, (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/(a^2*c) - (3*Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/(2*a)}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 0, Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x]}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 0, Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x]}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 1, -((Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c*x)) + (3*a*Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x])/2}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 2, (-3*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(4*c*x) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/(2*c*x^2) + (3*a^2*Unintegrable[1/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/8 - (a^2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x])/2}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 3, -(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(4*c*x^2) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*c*x^3) + (2*a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*c*x) + (a^2*Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/8 - (5*a^3*Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x])/4}
+
+
+{(x^m*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x]}
+
+{(x^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x]}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x]}
+{(x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 6, (3*x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(2*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ArcTan[a*x]^(3/2)/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(2*a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 5, (3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(2*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(2*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x]}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x]}
+
+
+{(x^m*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x]}
+
+{(x^5*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^5*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x]}
+{(x^4*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^4*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x]}
+{(x^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 15, (x^3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(6*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (x^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (2*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (9*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(8*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[Pi/6]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(24*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 11, (3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(8*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]*Cos[3*ArcTan[a*x]])/(24*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(8*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[Pi/6]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(24*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 11, (3*x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(8*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ArcTan[a*x]^(3/2)/(3*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(8*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[Pi/6]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(24*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]*Sin[3*ArcTan[a*x]])/(24*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 14, Sqrt[ArcTan[a*x]]/(6*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + Sqrt[ArcTan[a*x]]/(a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (9*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(8*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[Pi/6]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(24*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 0, Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)), x]}
+{ArcTan[a*x]^(3/2)/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 0, Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^q (a+b ArcTan[c x])^(5/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^p ArcTan[a x]^(5/2) with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[x^2*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+{x*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 2, (5*c*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(32*a^2) - (5*c*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/(24*a) + (c*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2))/(4*a^2) - (5*c*Unintegrable[1/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/(64*a) - (5*c*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2), x])/(12*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 1, (-5*c*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/(12*a) + (c*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(5/2))/3 + (5*c*Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/8 + (2*c*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2), x])/3}
+{((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(5/2))/x, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(5/2))/x, x]}
+{((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(5/2))/x^2, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(5/2))/x^2, x]}
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[x^2*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 3, (c^2*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(12*a^2) + (c^2*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(32*a^2) - (c^2*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/(9*a) - (c^2*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/(12*a) + (c^2*(1 + a^2*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2))/(6*a^2) - (c^2*Unintegrable[1/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/(24*a) - (c*Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/(64*a) - (2*c^2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2), x])/(9*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 2, -(c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*a) - (c^2*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/(8*a) + (4*c^2*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(5/2))/15 + (c^2*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2))/5 + (c^2*Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/2 + (3*c*Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/16 + (8*c^2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2), x])/15}
+{((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2))/x, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2))/x, x]}
+{((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2))/x^2, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2))/x^2, x]}
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[x^2*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 4, (3*c^3*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(56*a^2) + (9*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(448*a^2) + (5*c^3*(1 + a^2*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(448*a^2) - (c^3*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/(14*a) - (3*c^3*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/(56*a) - (5*c^3*x*(1 + a^2*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/(112*a) + (c^3*(1 + a^2*x^2)^4*ArcTan[a*x]^(5/2))/(8*a^2) - (3*c^3*Unintegrable[1/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/(112*a) - (9*c^2*Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/(896*a) - (5*c*Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^2/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/(896*a) - (c^3*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2), x])/(7*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 3, (-2*c^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/(7*a) - (3*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/(28*a) - (5*c^3*(1 + a^2*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/(84*a) + (8*c^3*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(5/2))/35 + (6*c^3*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2))/35 + (c^3*x*(1 + a^2*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2))/7 + (3*c^3*Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/7 + (9*c^2*Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/56 + (5*c*Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/56 + (16*c^3*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2), x])/35}
+{((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2))/x, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2))/x, x]}
+{((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2))/x^2, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2))/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^m*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2), x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2), x]}
+
+{(x^3*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2), x, 2, -((2*x*ArcTan[a*x]^(7/2))/(7*a^3*c)) + Unintegrable[x*ArcTan[a*x]^(5/2), x]/(a^2*c) + (2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(7/2), x])/(7*a^3*c)}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2), x, 2, (-2*ArcTan[a*x]^(7/2))/(7*a^3*c) + Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2), x]/(a^2*c)}
+{(x*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2), x, 1, (2*x*ArcTan[a*x]^(7/2))/(7*a*c) - (2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(7/2), x])/(7*a*c)}
+{ArcTan[a*x]^(5/2)/(c + a^2*c*x^2), x, 1, (2*ArcTan[a*x]^(7/2))/(7*a*c)}
+{ArcTan[a*x]^(5/2)/(x*(c + a^2*c*x^2)), x, 1, (((-2*I)/7)*ArcTan[a*x]^(7/2))/c + (I*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2)/(x*(I + a*x)), x])/c}
+{ArcTan[a*x]^(5/2)/(x^2*(c + a^2*c*x^2)), x, 2, (-2*a*ArcTan[a*x]^(7/2))/(7*c) + Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2)/x^2, x]/c}
+{ArcTan[a*x]^(5/2)/(x^3*(c + a^2*c*x^2)), x, 2, (((2*I)/7)*a^2*ArcTan[a*x]^(7/2))/c + Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2)/x^3, x]/c - (I*a^2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2)/(x*(I + a*x)), x])/c}
+{ArcTan[a*x]^(5/2)/(x^4*(c + a^2*c*x^2)), x, 3, (2*a^3*ArcTan[a*x]^(7/2))/(7*c) + Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2)/x^4, x]/c - (a^2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2)/x^2, x])/c}
+
+
+{(x^m*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^2, x]}
+
+{(x^3*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[(x^3*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^2, x]}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 8, (15*x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(32*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (5*ArcTan[a*x]^(3/2))/(16*a^3*c^2) - (5*ArcTan[a*x]^(3/2))/(8*a^3*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (x*ArcTan[a*x]^(5/2))/(2*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^(7/2)/(7*a^3*c^2) - (15*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(128*a^3*c^2)}
+{(x*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 8, -((15*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(64*a^2*c^2)) + (15*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(32*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (5*x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(8*a*c^2*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^(5/2)/(4*a^2*c^2) - ArcTan[a*x]^(5/2)/(2*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (15*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(128*a^2*c^2)}
+{ArcTan[a*x]^(5/2)/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 8, -((15*x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(32*c^2*(1 + a^2*x^2))) - (5*ArcTan[a*x]^(3/2))/(16*a*c^2) + (5*ArcTan[a*x]^(3/2))/(8*a*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (x*ArcTan[a*x]^(5/2))/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + ArcTan[a*x]^(7/2)/(7*a*c^2) + (15*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(128*a*c^2)}
+{ArcTan[a*x]^(5/2)/(x*(c + a^2*c*x^2)^2), x, 0, Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2)/(x*(c + a^2*c*x^2)^2), x]}
+
+
+{(x^m*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^3, x]}
+
+{(x^5*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 0, Unintegrable[(x^5*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^3, x]}
+{(x^4*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 18, (45*x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(128*a^4*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (45*ArcTan[a*x]^(3/2))/(256*a^5*c^3) + (5*x^4*ArcTan[a*x]^(3/2))/(32*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (15*ArcTan[a*x]^(3/2))/(32*a^5*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (x^3*ArcTan[a*x]^(5/2))/(4*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (3*x*ArcTan[a*x]^(5/2))/(8*a^4*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (3*ArcTan[a*x]^(7/2))/(28*a^5*c^3) + (15*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(4096*a^5*c^3) - (15*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(128*a^5*c^3) + (15*Sqrt[ArcTan[a*x]]*Sin[2*ArcTan[a*x]])/(256*a^5*c^3) - (15*Sqrt[ArcTan[a*x]]*Sin[4*ArcTan[a*x]])/(2048*a^5*c^3)}
+{(x^3*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 16, -((135*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(2048*a^4*c^3)) - (15*x^4*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(256*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (45*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(256*a^4*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (5*x^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/(32*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (15*x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(64*a^3*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (3*ArcTan[a*x]^(5/2))/(32*a^4*c^3) + (x^4*ArcTan[a*x]^(5/2))/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (15*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(4096*a^4*c^3) - (15*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(256*a^4*c^3)}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 8, ArcTan[a*x]^(7/2)/(28*a^3*c^3) - (5*ArcTan[a*x]^(3/2)*Cos[4*ArcTan[a*x]])/(256*a^3*c^3) - (15*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(4096*a^3*c^3) + (15*Sqrt[ArcTan[a*x]]*Sin[4*ArcTan[a*x]])/(2048*a^3*c^3) - (ArcTan[a*x]^(5/2)*Sin[4*ArcTan[a*x]])/(32*a^3*c^3)}
+{(x*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 16, -((225*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(2048*a^2*c^3)) + (15*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(256*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (45*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(256*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (5*x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(32*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (15*x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(64*a*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (3*ArcTan[a*x]^(5/2))/(32*a^2*c^3) - ArcTan[a*x]^(5/2)/(4*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) - (15*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(4096*a^2*c^3) - (15*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(256*a^2*c^3)}
+{ArcTan[a*x]^(5/2)/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 18, -((45*x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(128*c^3*(1 + a^2*x^2))) - (75*ArcTan[a*x]^(3/2))/(256*a*c^3) + (5*ArcTan[a*x]^(3/2))/(32*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (15*ArcTan[a*x]^(3/2))/(32*a*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (x*ArcTan[a*x]^(5/2))/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (3*x*ArcTan[a*x]^(5/2))/(8*c^3*(1 + a^2*x^2)) + (3*ArcTan[a*x]^(7/2))/(28*a*c^3) + (15*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(4096*a*c^3) + (15*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(128*a*c^3) - (15*Sqrt[ArcTan[a*x]]*Sin[2*ArcTan[a*x]])/(256*a*c^3) - (15*Sqrt[ArcTan[a*x]]*Sin[4*ArcTan[a*x]])/(2048*a*c^3)}
+{ArcTan[a*x]^(5/2)/(x*(c + a^2*c*x^2)^3), x, 0, Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2)/(x*(c + a^2*c*x^2)^3), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^(p/2) ArcTan[a x]^(5/2) with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+
+{x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+{x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 2, (5*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(8*a^2) - (5*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/(12*a) + ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2))/(3*a^2*c) - (5*c*Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/(16*a) - (5*c*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/(12*a)}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 1, (-5*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/(4*a) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2))/2 + (15*c*Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/8 + (c*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/2}
+{(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2))/x, x, 0, Unintegrable[(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2))/x, x]}
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 3, (9*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(32*a^2) + ((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(16*a^2) - (3*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/(16*a) - (x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/(8*a) + ((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2))/(5*a^2*c) - (9*c^2*Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/(64*a) - (c*Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/(32*a) - (3*c^2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/(16*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 2, (-15*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/(16*a) - (5*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/(24*a) + (3*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2))/8 + (x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2))/4 + (45*c^2*Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/32 + (5*c*Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/16 + (3*c^2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/8}
+{((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2))/x, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2))/x, x]}
+
+
+{x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+
+{x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+{x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 4, (75*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(448*a^2) + (25*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(672*a^2) + ((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(56*a^2) - (25*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/(224*a) - (25*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/(336*a) - (5*x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/(84*a) + ((c + a^2*c*x^2)^(7/2)*ArcTan[a*x]^(5/2))/(7*a^2*c) - (75*c^3*Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/(896*a) - (25*c^2*Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/(1344*a) - (c*Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/(112*a) - (25*c^3*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/(224*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2), x, 3, (-25*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/(32*a) - (25*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/(144*a) - ((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))/(12*a) + (5*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2))/16 + (5*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2))/24 + (x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2))/6 + (75*c^3*Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/64 + (25*c^2*Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/96 + (c*Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/8 + (5*c^3*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/16}
+{((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2))/x, x, 0, Unintegrable[((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2))/x, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^m*ArcTan[a*x]^(5/2))/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^(5/2))/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x]}
+
+{(x^3*ArcTan[a*x]^(5/2))/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 4, (5*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(8*a^4*c) - (5*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/(12*a^3*c) - (2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2))/(3*a^4*c) + (x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2))/(3*a^2*c) - (5*Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/(16*a^3) + (25*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/(12*a^3)}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^(5/2))/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 2, -((5*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/(4*a^3*c)) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2))/(2*a^2*c) + (15*Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/(8*a^2) - Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x]/(2*a^2)}
+{(x*ArcTan[a*x]^(5/2))/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 1, (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2))/(a^2*c) - (5*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x])/(2*a)}
+{ArcTan[a*x]^(5/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 0, Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x]}
+{ArcTan[a*x]^(5/2)/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 0, Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2)/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x]}
+{ArcTan[a*x]^(5/2)/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 1, -((Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c*x)) + (5*a*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x])/2}
+{ArcTan[a*x]^(5/2)/(x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 2, (-5*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/(4*c*x) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2))/(2*c*x^2) + (15*a^2*Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]]/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x])/8 - (a^2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2)/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x])/2}
+{ArcTan[a*x]^(5/2)/(x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x, 4, (-5*a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(8*c*x) - (5*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))/(12*c*x^2) - (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2))/(3*c*x^3) + (2*a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2))/(3*c*x) + (5*a^3*Unintegrable[1/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/16 - (25*a^3*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(3/2)/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), x])/12}
+
+
+{(x^m*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x]}
+
+{(x^2*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^2*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x]}
+{(x*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 6, (15*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(4*a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (5*x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(2*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ArcTan[a*x]^(5/2)/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (15*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(4*a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^(5/2)/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 6, -((15*x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(4*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) + (5*ArcTan[a*x]^(3/2))/(2*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (15*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(4*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^(5/2)/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2)/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x]}
+
+
+{(x^m*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x]}
+
+{(x^4*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^4*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x]}
+{(x^3*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 17, (45*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(16*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (5*x^3*ArcTan[a*x]^(3/2))/(18*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (5*x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (x^2*ArcTan[a*x]^(5/2))/(3*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (2*ArcTan[a*x]^(5/2))/(3*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (5*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]*Cos[3*ArcTan[a*x]])/(144*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (45*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(16*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (5*Sqrt[Pi/6]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(144*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x^2*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 16, -((5*x^3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(36*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))) - (5*x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(6*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (5*x^2*ArcTan[a*x]^(3/2))/(18*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (5*ArcTan[a*x]^(3/2))/(9*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x^3*ArcTan[a*x]^(5/2))/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (15*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(16*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (5*Sqrt[Pi/6]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(144*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{(x*ArcTan[a*x]^(5/2))/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 15, (5*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(36*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (5*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(6*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (5*x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(18*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (5*x*ArcTan[a*x]^(3/2))/(9*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ArcTan[a*x]^(5/2)/(3*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (15*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(16*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (5*Sqrt[Pi/6]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(144*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^(5/2)/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 17, -((45*x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(16*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) + (5*ArcTan[a*x]^(3/2))/(18*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (5*ArcTan[a*x]^(3/2))/(3*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x*ArcTan[a*x]^(5/2))/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcTan[a*x]^(5/2))/(3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (45*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(16*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (5*Sqrt[Pi/6]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(144*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (5*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]*Sin[3*ArcTan[a*x]])/(144*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcTan[a*x]^(5/2)/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 0, Unintegrable[ArcTan[a*x]^(5/2)/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^q (a+b ArcTan[c x])^(-1/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^p / ArcTan[a x]^(1/2) with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2))/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2))/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2))/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2))/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)/(x*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)/(x*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^2/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^2/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^2/(x*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^2/(x*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^3)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^3)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^3)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^3)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^3/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^3/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^3/(x*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^3/(x*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+{x/((c + a^2*c*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 1, (2*x*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(a*c) - (2*Unintegrable[Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/(a*c)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 1, (2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(a*c)}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[x^3/((c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 5, Sqrt[ArcTan[a*x]]/(a^3*c^2) - (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(2*a^3*c^2)}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 5, (Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(2*a^2*c^2)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 5, Sqrt[ArcTan[a*x]]/(a*c^2) + (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(2*a*c^2)}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+{x^5/((c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[x^5/((c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{x^4/((c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 7, (3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(4*a^5*c^3) + (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(8*a^5*c^3) - (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(2*a^5*c^3)}
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 7, -((Sqrt[Pi/2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(8*a^4*c^3)) + (Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(4*a^4*c^3)}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 5, Sqrt[ArcTan[a*x]]/(4*a^3*c^3) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(8*a^3*c^3)}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 7, (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(8*a^2*c^3) + (Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(4*a^2*c^3)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 7, (3*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(4*a*c^3) + (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(8*a*c^3) + (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(2*a*c^3)}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^(p/2) / ArcTan[a x]^(1/2) with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+
+{(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(x*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(x*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/(x*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/(x*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/(x*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/(x*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^m/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[x^m/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+{x/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[x/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[x^2/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 4, (Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 4, (Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+{x^4/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[x^4/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 8, (3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(2*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[Pi/6]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(2*a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 8, (Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(2*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[Pi/6]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(2*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 8, (Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(2*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[Pi/6]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(2*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 8, (3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(2*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[Pi/6]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(2*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^q (a+b ArcTan[c x])^(-3/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^p / ArcTan[a x]^(3/2) with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)/(x*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)/(x*ArcTan[a*x]^(3/2)), x]}
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^2/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^2/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^2/(x*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^2/(x*ArcTan[a*x]^(3/2)), x]}
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^3/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^3/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^3/(x*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^3/(x*ArcTan[a*x]^(3/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, (-2*x^m)/(a*c*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (2*m*Unintegrable[x^(-1 + m)/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/(a*c)}
+
+{x/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, (-2*x)/(a*c*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (2*Unintegrable[1/Sqrt[ArcTan[a*x]], x])/(a*c)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, -2/(a*c*Sqrt[ArcTan[a*x]])}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, -2/(a*c*x*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (2*Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/(a*c)}
+
+
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2)), x]}
+
+{x^4/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, -((2*x^4)/(a*c^2*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])) + (8*Unintegrable[x^3/((c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a + 4*a*Unintegrable[x^5/((c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 6, -((2*x^3)/(a*c^2*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])) + (6*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(a^4*c^2) - (3*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(a^4*c^2) + 2*a*Unintegrable[x^4/((c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 6, -((2*x^2)/(a*c^2*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])) + (2*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(a^3*c^2)}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 7, -((2*x)/(a*c^2*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])) + (4*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(a^2*c^2) - (8*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (4*(1 - a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (2*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(a^2*c^2)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 6, -(2/(a*c^2*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])) - (2*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(a*c^2)}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 6, -(2/(a*c^2*x*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])) - (6*Sqrt[ArcTan[a*x]])/c^2 - (3*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/c^2 - (2*Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, -2/(a*c^2*x^2*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (4*Unintegrable[1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a - 8*a*Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, -2/(a*c^2*x^3*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (6*Unintegrable[1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a - 10*a*Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, -2/(a*c^2*x^4*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (8*Unintegrable[1/(x^5*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a - 12*a*Unintegrable[1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2)), x]}
+
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 13, -((2*x^3)/(a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^4*c^3) + (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(a^4*c^3)}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 15, -((2*x^2)/(a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])) + (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^3*c^3)}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 13, -((2*x)/(a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])) + (Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^2*c^3) + (Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(a^2*c^3)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 8, -(2/(a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])) - (Sqrt[Pi/2]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a*c^3) - (2*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(a*c^3)}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 8, -(2/(a*c^3*x*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]])) - (15*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(2*c^3) - (5*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(4*c^3) - (5*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/c^3 - (2*Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, -2/(a*c^3*x^2*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (4*Unintegrable[1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a - 12*a*Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, -2/(a*c^3*x^3*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (6*Unintegrable[1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a - 14*a*Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, -2/(a*c^3*x^4*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (8*Unintegrable[1/(x^5*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a - 16*a*Unintegrable[1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^(p/2) / ArcTan[a x]^(3/2) with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+
+{(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(x*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(x*ArcTan[a*x]^(3/2)), x]}
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/(x*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/(x*ArcTan[a*x]^(3/2)), x]}
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/ArcTan[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/ArcTan[a*x]^(3/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/(x*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/(x*ArcTan[a*x]^(3/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^m/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[x^m/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2)), x]}
+
+{x/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[x/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2)), x]}
+{1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2)), x]}
+{1/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, -((2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(a*c*x*Sqrt[ArcTan[a*x]])) - (2*Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a}
+{1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2)), x]}
+
+
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x]}
+
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, (-2*x^3)/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (6*Unintegrable[x^2/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a + 4*a*Unintegrable[x^4/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 5, -((2*x^2)/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])) + (4*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + 2*a*Unintegrable[x^3/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 5, -((2*x)/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])) + (2*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 5, -(2/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])) - (2*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 5, -(2/(a*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]])) - (4*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, -2/(a*c*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (4*Unintegrable[1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a - 6*a*Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, -2/(a*c*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (6*Unintegrable[1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a - 8*a*Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, -2/(a*c*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (8*Unintegrable[1/(x^5*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a - 10*a*Unintegrable[1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x]}
+
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 9, -((2*x^3)/(a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])) + (3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[(3*Pi)/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 17, -((2*x^2)/(a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])) - (3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[Pi/6]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[(2*Pi)/3]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 17, -((2*x)/(a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])) + (3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[Pi/6]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[(2*Pi)/3]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 9, -(2/(a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])) - (3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[(3*Pi)/2]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 9, -(2/(a*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])) - (6*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*Sqrt[(2*Pi)/3]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, -2/(a*c*x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (4*Unintegrable[1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a - 10*a*Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, -2/(a*c*x^3*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (6*Unintegrable[1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a - 12*a*Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)), x, 1, -2/(a*c*x^4*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (8*Unintegrable[1/(x^5*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a - 14*a*Unintegrable[1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^q (a+b ArcTan[c x])^(-5/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^p / ArcTan[a x]^(5/2) with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2))/ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)/ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)/ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)/(x*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)/(x*ArcTan[a*x]^(5/2)), x]}
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^2)/ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^2/ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^2/ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^2/(x*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^2/(x*ArcTan[a*x]^(5/2)), x]}
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^3)/ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^3/ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^3/ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^3/(x*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^3/(x*ArcTan[a*x]^(5/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 1, (-2*x^m)/(3*a*c*ArcTan[a*x]^(3/2)) + (2*m*Unintegrable[x^(-1 + m)/ArcTan[a*x]^(3/2), x])/(3*a*c)}
+
+{x/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 1, (-2*x)/(3*a*c*ArcTan[a*x]^(3/2)) + (2*Unintegrable[ArcTan[a*x]^(-3/2), x])/(3*a*c)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 1, -2/(3*a*c*ArcTan[a*x]^(3/2))}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 1, -2/(3*a*c*x*ArcTan[a*x]^(3/2)) - (2*Unintegrable[1/(x^2*ArcTan[a*x]^(3/2)), x])/(3*a*c)}
+
+
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2)), x]}
+
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 8, -((2*x^3)/(3*a*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))) - (4*x^2)/(a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (4*x^4)/(3*c^2*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (4*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(a^4*c^2) + (16/3)*Unintegrable[x^3/((c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x] + (8/3)*a^2*Unintegrable[x^5/((c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 8, -((2*x^2)/(3*a*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))) - (8*x)/(3*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (16*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(3*a^3*c^2) - (32*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(3*a^3*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (16*(1 - a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(3*a^3*c^2*(1 + a^2*x^2)) + (8*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(3*a^3*c^2)}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 6, -((2*x)/(3*a*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))) - (4*(1 - a^2*x^2))/(3*a^2*c^2*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (8*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(3*a^2*c^2)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 8, -(2/(3*a*c^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))) + (8*x)/(3*c^2*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (16*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(3*a*c^2) + (32*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(3*a*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (16*(1 - a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]])/(3*a*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (8*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(3*a*c^2)}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 8, -(2/(3*a*c^2*x*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))) + 4/(c^2*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + 4/(3*a^2*c^2*x^2*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (4*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/c^2 + (8*Unintegrable[1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/(3*a^2) + (16/3)*Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 8, -(2/(3*a*c^2*x^2*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2))) + 8/(3*a^2*c^2*x^3*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + 16/(3*c^2*x*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (16*a*Sqrt[ArcTan[a*x]])/c^2 + (8*a*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/c^2 + (8*Unintegrable[1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a^2 + (56/3)*Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 3, -2/(3*a*c^2*x^3*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2)) + 4/(a^2*c^2*x^4*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + 20/(3*c^2*x^2*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (16*Unintegrable[1/(x^5*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a^2 + (112*Unintegrable[1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/3 + (80*a^2*Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/3}
+{1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 3, -2/(3*a*c^2*x^4*(1 + a^2*x^2)*ArcTan[a*x]^(3/2)) + 16/(3*a^2*c^2*x^5*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + 8/(c^2*x^3*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (80*Unintegrable[1/(x^6*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/(3*a^2) + (184*Unintegrable[1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/3 + 40*a^2*Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2)), x]}
+
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 24, -((2*x^3)/(3*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2))) - (4*x^2)/(a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (4*x^4)/(3*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (4*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(3*a^4*c^3) - (4*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(3*a^4*c^3)}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 27, -((2*x^2)/(3*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2))) - (8*x)/(3*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (8*x^3)/(3*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (4*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(3*a^3*c^3)}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 24, -((2*x)/(3*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2))) - 4/(3*a^2*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (4*x^2)/(c^3*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (4*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(3*a^2*c^3) - (4*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(3*a^2*c^3)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 14, -(2/(3*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2))) + (16*x)/(3*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (4*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(3*a*c^3) - (8*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(3*a*c^3)}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 10, -(2/(3*a*c^3*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2))) + 20/(3*c^3*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + 4/(3*a^2*c^3*x^2*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (5*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(3*c^3) + (20*Sqrt[Pi]*FresnelS[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/(3*c^3) + (8*Unintegrable[1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/(3*a^2) + 8*Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 10, -(2/(3*a*c^3*x^2*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2))) + 8/(3*a^2*c^3*x^3*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + 8/(c^3*x*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (30*a*Sqrt[ArcTan[a*x]])/c^3 + (5*a*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[2*Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/c^3 + (20*a*Sqrt[Pi]*FresnelC[(2*Sqrt[ArcTan[a*x]])/Sqrt[Pi]])/c^3 + (8*Unintegrable[1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a^2 + (80/3)*Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 3, -2/(3*a*c^3*x^3*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2)) + 4/(a^2*c^3*x^4*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + 28/(3*c^3*x^2*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (16*Unintegrable[1/(x^5*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a^2 + (152*Unintegrable[1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/3 + 56*a^2*Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^3*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 3, -2/(3*a*c^3*x^4*(1 + a^2*x^2)^2*ArcTan[a*x]^(3/2)) + 16/(3*a^2*c^3*x^5*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + 32/(3*c^3*x^3*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (80*Unintegrable[1/(x^6*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/(3*a^2) + 80*Unintegrable[1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x] + (224*a^2*Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^3*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/3}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+d x^2)^(p/2) / ArcTan[a x]^(5/2) with d=a^2 c*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+
+{(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]/ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(x*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + a^2*c*x^2]/(x*ArcTan[a*x]^(5/2)), x]}
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/(x*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/(x*ArcTan[a*x]^(5/2)), x]}
+
+
+{(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+
+{(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/ArcTan[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/ArcTan[a*x]^(5/2), x]}
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/(x*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 0, Unintegrable[(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/(x*ArcTan[a*x]^(5/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^m/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 0, Unintegrable[x^m/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2)), x]}
+
+{x/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 0, Unintegrable[x/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2)), x]}
+{1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2)), x]}
+{1/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 1, -((2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(3*a*c*x*ArcTan[a*x]^(3/2))) - (2*Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2)), x])/(3*a)}
+{1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(5/2)), x]}
+
+
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x]}
+
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 7, -((2*x^3)/(3*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))) - (4*x^2)/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (8*x^4)/(3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (8*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^4*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (44/3)*Unintegrable[x^3/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x] + 8*a^2*Unintegrable[x^5/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 7, -((2*x^2)/(3*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))) - (8*x)/(3*a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (4*x^3)/(3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (8*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(3*a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + 4*Unintegrable[x^2/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x] + (8/3)*a^2*Unintegrable[x^4/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 6, -((2*x)/(3*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))) - 4/(3*a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (4*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(3*a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 6, -(2/(3*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))) + (4*x)/(3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (4*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(3*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 7, -(2/(3*a*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))) + 8/(3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + 4/(3*a^2*c*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (8*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (8*Unintegrable[1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/(3*a^2) + 4*Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 7, -(2/(3*a*c*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2))) + 8/(3*a^2*c*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + 4/(c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (8*a*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (8*Unintegrable[1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a^2 + (44/3)*Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 3, -2/(3*a*c*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2)) + 4/(a^2*c*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + 16/(3*c*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (16*Unintegrable[1/(x^5*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a^2 + (92*Unintegrable[1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/3 + 16*a^2*Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 3, -2/(3*a*c*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcTan[a*x]^(3/2)) + 16/(3*a^2*c*x^5*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + 20/(3*c*x^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (80*Unintegrable[1/(x^6*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/(3*a^2) + 52*Unintegrable[1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x] + (80*a^2*Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/3}
+
+
+{x^m/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 0, Unintegrable[x^m/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x]}
+
+{x^3/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 18, -((2*x^3)/(3*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))) - (4*x^2)/(a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[6*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^4*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^2/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 27, -((2*x^2)/(3*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))) - (8*x)/(3*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (4*x^3)/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(3*a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[6*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 27, -((2*x)/(3*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))) - 4/(3*a^2*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (8*x^2)/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(3*a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[6*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 18, -(2/(3*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))) + (4*x)/(c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) - (Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (Sqrt[6*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 11, -(2/(3*a*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))) + 16/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + 4/(3*a^2*c*x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (4*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (4*Sqrt[(2*Pi)/3]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelS[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (8*Unintegrable[1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/(3*a^2) + (20/3)*Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 11, -(2/(3*a*c*x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2))) + 8/(3*a^2*c*x^3*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + 20/(3*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (20*a*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (20*a*Sqrt[(2*Pi)/3]*Sqrt[1 + a^2*x^2]*FresnelC[Sqrt[6/Pi]*Sqrt[ArcTan[a*x]]])/(3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (8*Unintegrable[1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a^2 + (68/3)*Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 3, -2/(3*a*c*x^3*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)) + 4/(a^2*c*x^4*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + 8/(c*x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (16*Unintegrable[1/(x^5*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/a^2 + 44*Unintegrable[1/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x] + 40*a^2*Unintegrable[1/(x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+{1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcTan[a*x]^(5/2)), x, 3, -2/(3*a*c*x^4*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTan[a*x]^(3/2)) + 16/(3*a^2*c*x^5*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + 28/(3*c*x^3*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]) + (80*Unintegrable[1/(x^6*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/(3*a^2) + (212*Unintegrable[1/(x^4*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x])/3 + 56*a^2*Unintegrable[1/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcTan[a*x]]), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^q (a+b ArcTan[c x])^p with p symbolic*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^q (a+b ArcTan[c x])^p with p symbolic*)
+
+
+{x^1*ArcTan[a*x]^n/(c + a^2*c*x^2), x, 1, (x*ArcTan[a*x]^(1 + n))/(a*c*(1 + n)) - Unintegrable[ArcTan[a*x]^(1 + n), x]/(a*c*(1 + n))}
+{x^0*ArcTan[a*x]^n/(c + a^2*c*x^2), x, 1, ArcTan[a*x]^(1 + n)/(a*c*(1 + n))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^q (a+b ArcTan[c x])^p with p and q symbolic*)
+
+
+{(f*x)^m*(d + c^2*d*x^2)^q*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x, 0, Unintegrable[(f*x)^m*(d + c^2*d*x^2)^q*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b ArcTan[c x])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcTan[c x])^1*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^p (a+b ArcTan[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2), x, 5, (b*(3*c^2*d - 2*e)*x)/(12*c^5) - (b*(3*c^2*d - 2*e)*x^3)/(36*c^3) - (b*e*x^5)/(30*c) - (b*(3*c^2*d - 2*e)*ArcTan[c*x])/(12*c^6) + (1/4)*d*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]) + (1/6)*e*x^6*(a + b*ArcTan[c*x])}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2), x, 4, -((b*(5*c^2*d - 3*e)*x^2)/(30*c^3)) - (b*e*x^4)/(20*c) + (1/3)*d*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]) + (1/5)*e*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]) + (b*(5*c^2*d - 3*e)*Log[1 + c^2*x^2])/(30*c^5)}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2), x, 4, -((b*(2*c^2*d - e)*x)/(4*c^3)) - (b*e*x^3)/(12*c) - (b*(c^2*d - e)^2*ArcTan[c*x])/(4*c^4*e) + ((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*e)}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2), x, 5, -((b*e*x^2)/(6*c)) + d*x*(a + b*ArcTan[c*x]) + (1/3)*e*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]) - (b*(3*c^2*d - e)*Log[1 + c^2*x^2])/(6*c^3)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)/x^1, x, 8, -((b*e*x)/(2*c)) + (b*e*ArcTan[c*x])/(2*c^2) + (1/2)*e*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) + a*d*Log[x] + (1/2)*I*b*d*PolyLog[2, (-I)*c*x] - (1/2)*I*b*d*PolyLog[2, I*c*x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)/x^2, x, 4, -((d*(a + b*ArcTan[c*x]))/x) + e*x*(a + b*ArcTan[c*x]) + b*c*d*Log[x] - (b*(c^2*d + e)*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)/x^3, x, 8, -((b*c*d)/(2*x)) - (1/2)*b*c^2*d*ArcTan[c*x] - (d*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*x^2) + a*e*Log[x] + (1/2)*I*b*e*PolyLog[2, (-I)*c*x] - (1/2)*I*b*e*PolyLog[2, I*c*x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)/x^4, x, 5, -((b*c*d)/(6*x^2)) - (d*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*x^3) - (e*(a + b*ArcTan[c*x]))/x - (1/3)*b*c*(c^2*d - 3*e)*Log[x] + (1/6)*b*c*(c^2*d - 3*e)*Log[1 + c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)/x^5, x, 5, -((b*c*d)/(12*x^3)) + (b*c*(c^2*d - 2*e))/(4*x) + (1/4)*b*c^2*(c^2*d - 2*e)*ArcTan[c*x] - (d*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*x^4) - (e*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*x^2)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)/x^6, x, 5, -((b*c*d)/(20*x^4)) + (b*c*(3*c^2*d - 5*e))/(30*x^2) - (d*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*x^5) - (e*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*x^3) + (1/15)*b*c^3*(3*c^2*d - 5*e)*Log[x] - (1/30)*b*c^3*(3*c^2*d - 5*e)*Log[1 + c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)/x^7, x, 6, -((b*c*d)/(30*x^5)) + (b*c*(2*c^2*d - 3*e))/(36*x^3) - (b*c^3*(2*c^2*d - 3*e))/(12*x) - (1/12)*b*c^4*(2*c^2*d - 3*e)*ArcTan[c*x] - (d*(a + b*ArcTan[c*x]))/(6*x^6) - (e*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*x^4)}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^2, x, 4, (b*(6*c^4*d^2 - 8*c^2*d*e + 3*e^2)*x)/(24*c^7) - (b*(6*c^4*d^2 - 8*c^2*d*e + 3*e^2)*x^3)/(72*c^5) - (b*(8*c^2*d - 3*e)*e*x^5)/(120*c^3) - (b*e^2*x^7)/(56*c) - (b*(6*c^4*d^2 - 8*c^2*d*e + 3*e^2)*ArcTan[c*x])/(24*c^8) + (1/4)*d^2*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]) + (1/3)*d*e*x^6*(a + b*ArcTan[c*x]) + (1/8)*e^2*x^8*(a + b*ArcTan[c*x])}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^2, x, 5, -((b*(35*c^4*d^2 - 42*c^2*d*e + 15*e^2)*x^2)/(210*c^5)) - (b*(14*c^2*d - 5*e)*e*x^4)/(140*c^3) - (b*e^2*x^6)/(42*c) + (1/3)*d^2*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]) + (2/5)*d*e*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]) + (1/7)*e^2*x^7*(a + b*ArcTan[c*x]) + (b*(35*c^4*d^2 - 42*c^2*d*e + 15*e^2)*Log[1 + c^2*x^2])/(210*c^7)}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^2, x, 4, -((b*(3*c^4*d^2 - 3*c^2*d*e + e^2)*x)/(6*c^5)) - (b*(3*c^2*d - e)*e*x^3)/(18*c^3) - (b*e^2*x^5)/(30*c) - (b*(c^2*d - e)^3*ArcTan[c*x])/(6*c^6*e) + ((d + e*x^2)^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(6*e)}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^2, x, 5, -((b*(10*c^2*d - 3*e)*e*x^2)/(30*c^3)) - (b*e^2*x^4)/(20*c) + d^2*x*(a + b*ArcTan[c*x]) + (2/3)*d*e*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]) + (1/5)*e^2*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]) - (b*(15*c^4*d^2 - 10*c^2*d*e + 3*e^2)*Log[1 + c^2*x^2])/(30*c^5)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^2/x^1, x, 12, -((b*d*e*x)/c) + (b*e^2*x)/(4*c^3) - (b*e^2*x^3)/(12*c) + (b*d*e*ArcTan[c*x])/c^2 - (b*e^2*ArcTan[c*x])/(4*c^4) + d*e*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) + (1/4)*e^2*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]) + a*d^2*Log[x] + (1/2)*I*b*d^2*PolyLog[2, (-I)*c*x] - (1/2)*I*b*d^2*PolyLog[2, I*c*x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^2/x^2, x, 4, -((b*e^2*x^2)/(6*c)) - (d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/x + 2*d*e*x*(a + b*ArcTan[c*x]) + (1/3)*e^2*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]) + b*c*d^2*Log[x] - (b*(3*c^4*d^2 + 6*c^2*d*e - e^2)*Log[1 + c^2*x^2])/(6*c^3)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^2/x^3, x, 11, -((b*c*d^2)/(2*x)) - (b*e^2*x)/(2*c) - (1/2)*b*c^2*d^2*ArcTan[c*x] + (b*e^2*ArcTan[c*x])/(2*c^2) - (d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*x^2) + (1/2)*e^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) + 2*a*d*e*Log[x] + I*b*d*e*PolyLog[2, (-I)*c*x] - I*b*d*e*PolyLog[2, I*c*x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^2/x^4, x, 5, -((b*c*d^2)/(6*x^2)) - (d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*x^3) - (2*d*e*(a + b*ArcTan[c*x]))/x + e^2*x*(a + b*ArcTan[c*x]) - (1/3)*b*c*d*(c^2*d - 6*e)*Log[x] + (b*(c^4*d^2 - 6*c^2*d*e - 3*e^2)*Log[1 + c^2*x^2])/(6*c)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^2/x^5, x, 12, -((b*c*d^2)/(12*x^3)) + (b*c^3*d^2)/(4*x) - (b*c*d*e)/x + (1/4)*b*c^4*d^2*ArcTan[c*x] - b*c^2*d*e*ArcTan[c*x] - (d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*x^4) - (d*e*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^2 + a*e^2*Log[x] + (1/2)*I*b*e^2*PolyLog[2, (-I)*c*x] - (1/2)*I*b*e^2*PolyLog[2, I*c*x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^2/x^6, x, 5, -((b*c*d^2)/(20*x^4)) + (b*c*d*(3*c^2*d - 10*e))/(30*x^2) - (d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*x^5) - (2*d*e*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*x^3) - (e^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/x + (1/15)*b*c*(3*c^4*d^2 - 10*c^2*d*e + 15*e^2)*Log[x] - (1/30)*b*c*(3*c^4*d^2 - 10*c^2*d*e + 15*e^2)*Log[1 + c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^2/x^7, x, 5, -((b*c*d^2)/(30*x^5)) + (b*c*d*(c^2*d - 3*e))/(18*x^3) - (b*c*(c^4*d^2 - 3*c^2*d*e + 3*e^2))/(6*x) - (b*(c^2*d - e)^3*ArcTan[c*x])/(6*d) - ((d + e*x^2)^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(6*d*x^6)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^2/x^8, x, 5, -((b*c*d^2)/(42*x^6)) + (b*c*d*(5*c^2*d - 14*e))/(140*x^4) - (b*c*(15*c^4*d^2 - 42*c^2*d*e + 35*e^2))/(210*x^2) - (d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(7*x^7) - (2*d*e*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*x^5) - (e^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*x^3) - (1/105)*b*c^3*(15*c^4*d^2 - 42*c^2*d*e + 35*e^2)*Log[x] + (1/210)*b*c^3*(15*c^4*d^2 - 42*c^2*d*e + 35*e^2)*Log[1 + c^2*x^2]}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^3, x, -8, (b*(10*c^6*d^3 - 20*c^4*d^2*e + 15*c^2*d*e^2 - 4*e^3)*x)/(40*c^9) - (b*(10*c^6*d^3 - 20*c^4*d^2*e + 15*c^2*d*e^2 - 4*e^3)*x^3)/(120*c^7) - (b*e*(20*c^4*d^2 - 15*c^2*d*e + 4*e^2)*x^5)/(200*c^5) - (b*(15*c^2*d - 4*e)*e^2*x^7)/(280*c^3) - (b*e^3*x^9)/(90*c) + (b*(c^2*d - e)^4*(c^2*d + 4*e)*ArcTan[c*x])/(40*c^10*e^2) - (d*(d + e*x^2)^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(8*e^2) + ((d + e*x^2)^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/(10*e^2)}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^3, x, 5, -((b*(105*c^6*d^3 - 189*c^4*d^2*e + 135*c^2*d*e^2 - 35*e^3)*x^2)/(630*c^7)) - (b*e*(189*c^4*d^2 - 135*c^2*d*e + 35*e^2)*x^4)/(1260*c^5) - (b*(27*c^2*d - 7*e)*e^2*x^6)/(378*c^3) - (b*e^3*x^8)/(72*c) + (1/3)*d^3*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]) + (3/5)*d^2*e*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]) + (3/7)*d*e^2*x^7*(a + b*ArcTan[c*x]) + (1/9)*e^3*x^9*(a + b*ArcTan[c*x]) + (b*(105*c^6*d^3 - 189*c^4*d^2*e + 135*c^2*d*e^2 - 35*e^3)*Log[1 + c^2*x^2])/(630*c^9)}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^3, x, 4, -((b*(2*c^2*d - e)*(2*c^4*d^2 - 2*c^2*d*e + e^2)*x)/(8*c^7)) - (b*e*(6*c^4*d^2 - 4*c^2*d*e + e^2)*x^3)/(24*c^5) - (b*(4*c^2*d - e)*e^2*x^5)/(40*c^3) - (b*e^3*x^7)/(56*c) - (b*(c^2*d - e)^4*ArcTan[c*x])/(8*c^8*e) + ((d + e*x^2)^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(8*e)}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^3, x, 4, -((b*e*(35*c^4*d^2 - 21*c^2*d*e + 5*e^2)*x^2)/(70*c^5)) - (b*(21*c^2*d - 5*e)*e^2*x^4)/(140*c^3) - (b*e^3*x^6)/(42*c) + d^3*x*(a + b*ArcTan[c*x]) + d^2*e*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]) + (3/5)*d*e^2*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]) + (1/7)*e^3*x^7*(a + b*ArcTan[c*x]) - (b*(35*c^6*d^3 - 35*c^4*d^2*e + 21*c^2*d*e^2 - 5*e^3)*Log[1 + c^2*x^2])/(70*c^7)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^3/x^1, x, 16, -((3*b*d^2*e*x)/(2*c)) + (3*b*d*e^2*x)/(4*c^3) - (b*e^3*x)/(6*c^5) - (b*d*e^2*x^3)/(4*c) + (b*e^3*x^3)/(18*c^3) - (b*e^3*x^5)/(30*c) + (3*b*d^2*e*ArcTan[c*x])/(2*c^2) - (3*b*d*e^2*ArcTan[c*x])/(4*c^4) + (b*e^3*ArcTan[c*x])/(6*c^6) + (3/2)*d^2*e*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) + (3/4)*d*e^2*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]) + (1/6)*e^3*x^6*(a + b*ArcTan[c*x]) + a*d^3*Log[x] + (1/2)*I*b*d^3*PolyLog[2, (-I)*c*x] - (1/2)*I*b*d^3*PolyLog[2, I*c*x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^3/x^2, x, 4, -((b*(5*c^2*d - e)*e^2*x^2)/(10*c^3)) - (b*e^3*x^4)/(20*c) - (d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x + 3*d^2*e*x*(a + b*ArcTan[c*x]) + d*e^2*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]) + (1/5)*e^3*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]) + b*c*d^3*Log[x] - (b*(5*c^6*d^3 + 15*c^4*d^2*e - 5*c^2*d*e^2 + e^3)*Log[1 + c^2*x^2])/(10*c^5)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^3/x^3, x, 15, -((b*c*d^3)/(2*x)) - (3*b*d*e^2*x)/(2*c) + (b*e^3*x)/(4*c^3) - (b*e^3*x^3)/(12*c) - (1/2)*b*c^2*d^3*ArcTan[c*x] + (3*b*d*e^2*ArcTan[c*x])/(2*c^2) - (b*e^3*ArcTan[c*x])/(4*c^4) - (d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*x^2) + (3/2)*d*e^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) + (1/4)*e^3*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]) + 3*a*d^2*e*Log[x] + (3/2)*I*b*d^2*e*PolyLog[2, (-I)*c*x] - (3/2)*I*b*d^2*e*PolyLog[2, I*c*x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^3/x^4, x, 5, -((b*c*d^3)/(6*x^2)) - (b*e^3*x^2)/(6*c) - (d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*x^3) - (3*d^2*e*(a + b*ArcTan[c*x]))/x + 3*d*e^2*x*(a + b*ArcTan[c*x]) + (1/3)*e^3*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]) - (1/3)*b*c*d^2*(c^2*d - 9*e)*Log[x] + (b*(c^2*d + e)*(c^4*d^2 - 10*c^2*d*e + e^2)*Log[1 + c^2*x^2])/(6*c^3)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^3/x^5, x, 15, -((b*c*d^3)/(12*x^3)) + (b*c^3*d^3)/(4*x) - (3*b*c*d^2*e)/(2*x) - (b*e^3*x)/(2*c) + (1/4)*b*c^4*d^3*ArcTan[c*x] - (3/2)*b*c^2*d^2*e*ArcTan[c*x] + (b*e^3*ArcTan[c*x])/(2*c^2) - (d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*x^4) - (3*d^2*e*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*x^2) + (1/2)*e^3*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) + 3*a*d*e^2*Log[x] + (3/2)*I*b*d*e^2*PolyLog[2, (-I)*c*x] - (3/2)*I*b*d*e^2*PolyLog[2, I*c*x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^3/x^6, x, 5, -((b*c*d^3)/(20*x^4)) + (b*c*d^2*(c^2*d - 5*e))/(10*x^2) - (d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*x^5) - (d^2*e*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^3 - (3*d*e^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/x + e^3*x*(a + b*ArcTan[c*x]) + (1/5)*b*c*d*(c^4*d^2 - 5*c^2*d*e + 15*e^2)*Log[x] - (b*(c^6*d^3 - 5*c^4*d^2*e + 15*c^2*d*e^2 + 5*e^3)*Log[1 + c^2*x^2])/(10*c)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^3/x^7, x, 17, -((b*c*d^3)/(30*x^5)) + (b*c^3*d^3)/(18*x^3) - (b*c*d^2*e)/(4*x^3) - (b*c^5*d^3)/(6*x) + (3*b*c^3*d^2*e)/(4*x) - (3*b*c*d*e^2)/(2*x) - (1/6)*b*c^6*d^3*ArcTan[c*x] + (3/4)*b*c^4*d^2*e*ArcTan[c*x] - (3/2)*b*c^2*d*e^2*ArcTan[c*x] - (d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(6*x^6) - (3*d^2*e*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*x^4) - (3*d*e^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*x^2) + a*e^3*Log[x] + (1/2)*I*b*e^3*PolyLog[2, (-I)*c*x] - (1/2)*I*b*e^3*PolyLog[2, I*c*x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^3/x^8, x, 5, -((b*c*d^3)/(42*x^6)) + (b*c*d^2*(5*c^2*d - 21*e))/(140*x^4) - (b*c*d*(5*c^4*d^2 - 21*c^2*d*e + 35*e^2))/(70*x^2) - (d^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(7*x^7) - (3*d^2*e*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*x^5) - (d*e^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/x^3 - (e^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/x - (1/35)*b*c*(5*c^6*d^3 - 21*c^4*d^2*e + 35*c^2*d*e^2 - 35*e^3)*Log[x] + (1/70)*b*c*(5*c^6*d^3 - 21*c^4*d^2*e + 35*c^2*d*e^2 - 35*e^3)*Log[1 + c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^3/x^9, x, 5, -((b*c*d^3)/(56*x^7)) + (b*c*d^2*(c^2*d - 4*e))/(40*x^5) - (b*c*d*(c^4*d^2 - 4*c^2*d*e + 6*e^2))/(24*x^3) + (b*c*(c^2*d - 2*e)*(c^4*d^2 - 2*c^2*d*e + 2*e^2))/(8*x) + (b*(c^2*d - e)^4*ArcTan[c*x])/(8*d) - ((d + e*x^2)^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(8*d*x^8)}
+
+
+{ArcTan[a*x]*(c + d*x^2)^4, x, 4, -((d*(420*a^6*c^3 - 378*a^4*c^2*d + 180*a^2*c*d^2 - 35*d^3)*x^2)/(630*a^7)) - (d^2*(378*a^4*c^2 - 180*a^2*c*d + 35*d^2)*x^4)/(1260*a^5) - ((36*a^2*c - 7*d)*d^3*x^6)/(378*a^3) - (d^4*x^8)/(72*a) + c^4*x*ArcTan[a*x] + (4/3)*c^3*d*x^3*ArcTan[a*x] + (6/5)*c^2*d^2*x^5*ArcTan[a*x] + (4/7)*c*d^3*x^7*ArcTan[a*x] + (1/9)*d^4*x^9*ArcTan[a*x] - ((315*a^8*c^4 - 420*a^6*c^3*d + 378*a^4*c^2*d^2 - 180*a^2*c*d^3 + 35*d^4)*Log[1 + a^2*x^2])/(630*a^9)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2), x, 14, -((b*x)/(2*c*e)) + (b*ArcTan[c*x])/(2*c^2*e) + (x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*e) + (d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/e^2 - (d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e^2) - (d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e^2) - (I*b*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e^2) + (I*b*d*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*e^2) + (I*b*d*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*e^2)}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2), x, 10, -(((a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/e) + ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e) + ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e) + (I*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e) - (I*b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*e) - (I*b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*e)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)), x, 15, (a*Log[x])/d + ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/d - ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d) - ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d) + (I*b*PolyLog[2, (-I)*c*x])/(2*d) - (I*b*PolyLog[2, I*c*x])/(2*d) - (I*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*d) + (I*b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d) + (I*b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)), x, 19, -((b*c)/(2*d*x)) - (b*c^2*ArcTan[c*x])/(2*d) - (a + b*ArcTan[c*x])/(2*d*x^2) - (a*e*Log[x])/d^2 - (e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/d^2 + (e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^2) + (e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^2) - (I*b*e*PolyLog[2, (-I)*c*x])/(2*d^2) + (I*b*e*PolyLog[2, I*c*x])/(2*d^2) + (I*b*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*d^2) - (I*b*e*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d^2) - (I*b*e*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d^2)}
+
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2), x, 23, (a*x)/e + (b*x*ArcTan[c*x])/e - (a*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/e^(3/2) - (I*b*Sqrt[-d]*Log[1 + I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])])/(4*e^(3/2)) + (I*b*Sqrt[-d]*Log[1 - I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*e^(3/2)) - (I*b*Sqrt[-d]*Log[1 - I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])])/(4*e^(3/2)) + (I*b*Sqrt[-d]*Log[1 + I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*e^(3/2)) - (b*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c*e) + (I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(I - c*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*e^(3/2)) - (I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(1 - I*c*x))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])])/(4*e^(3/2)) - (I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(1 + I*c*x))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])])/(4*e^(3/2)) + (I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(I + c*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*e^(3/2))}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2), x, 19, (a*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(Sqrt[d]*Sqrt[e]) - (I*b*Log[1 + I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])])/(4*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (I*b*Log[1 - I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (I*b*Log[1 - I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])])/(4*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (I*b*Log[1 + I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(I - c*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(1 - I*c*x))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])])/(4*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(1 + I*c*x))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])])/(4*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(I + c*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*Sqrt[-d]*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)), x, 25, -((a + b*ArcTan[c*x])/(d*x)) - (a*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/d^(3/2) + (b*c*Log[x])/d - (I*b*Sqrt[e]*Log[1 + I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])])/(4*(-d)^(3/2)) + (I*b*Sqrt[e]*Log[1 - I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*(-d)^(3/2)) - (I*b*Sqrt[e]*Log[1 - I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])])/(4*(-d)^(3/2)) + (I*b*Sqrt[e]*Log[1 + I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*(-d)^(3/2)) - (b*c*Log[1 + c^2*x^2])/(2*d) + (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(I - c*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*(-d)^(3/2)) - (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(1 - I*c*x))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])])/(4*(-d)^(3/2)) - (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(1 + I*c*x))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])])/(4*(-d)^(3/2)) + (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(I + c*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*(-d)^(3/2))}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 16, -((b*c^2*d*ArcTan[c*x])/(2*(c^2*d - e)*e^2)) + (d*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*e^2*(d + e*x^2)) + (b*c*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(2*(c^2*d - e)*e^(3/2)) - ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/e^2 + ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e^2) + ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e^2) + (I*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e^2) - (I*b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*e^2) - (I*b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*e^2)}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 4, (b*c^2*ArcTan[c*x])/(2*(c^2*d - e)*e) - (a + b*ArcTan[c*x])/(2*e*(d + e*x^2)) - (b*c*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[d]*(c^2*d - e)*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)^2), x, 19, -((b*c^2*ArcTan[c*x])/(2*d*(c^2*d - e))) + (a + b*ArcTan[c*x])/(2*d*(d + e*x^2)) + (b*c*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(2*d^(3/2)*(c^2*d - e)) + (a*Log[x])/d^2 + ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/d^2 - ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^2) - ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^2) + (I*b*PolyLog[2, (-I)*c*x])/(2*d^2) - (I*b*PolyLog[2, I*c*x])/(2*d^2) - (I*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*d^2) + (I*b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d^2) + (I*b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d^2)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^2), x, 22, -((b*c)/(2*d^2*x)) - (b*c^2*ArcTan[c*x])/(2*d^2) + (b*c^2*e*ArcTan[c*x])/(2*d^2*(c^2*d - e)) - (a + b*ArcTan[c*x])/(2*d^2*x^2) - (e*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*d^2*(d + e*x^2)) - (b*c*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(2*d^(5/2)*(c^2*d - e)) - (2*a*e*Log[x])/d^3 - (2*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/d^3 + (e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/d^3 + (e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/d^3 - (I*b*e*PolyLog[2, (-I)*c*x])/d^3 + (I*b*e*PolyLog[2, I*c*x])/d^3 + (I*b*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/d^3 - (I*b*e*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^3) - (I*b*e*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^3)}
+
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 45, -((x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*e*(d + e*x^2))) + (a*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(Sqrt[d]*e^(3/2)) - ((a + b*ArcTan[c*x])*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[d]*e^(3/2)) - (I*b*Log[1 + I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + (I*b*Log[1 - I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - (I*b*Log[1 - I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + (I*b*Log[1 + I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - (I*b*c*Log[(Sqrt[e]*(1 - Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + Sqrt[e])]*Log[1 - (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d]*e^(3/2)) + (I*b*c*Log[-((Sqrt[e]*(1 + Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - Sqrt[e]))]*Log[1 - (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d]*e^(3/2)) + (I*b*c*Log[-((Sqrt[e]*(1 - Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - Sqrt[e]))]*Log[1 + (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d]*e^(3/2)) - (I*b*c*Log[(Sqrt[e]*(1 + Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + Sqrt[e])]*Log[1 + (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d]*e^(3/2)) + (b*c*Log[1 + c^2*x^2])/(4*(c^2*d - e)*e) - (b*c*Log[d + e*x^2])/(4*(c^2*d - e)*e) + (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(I - c*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(1 - I*c*x))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(1 + I*c*x))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + (I*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(I + c*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - (I*b*c*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] - I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - I*Sqrt[e])])/(8*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d]*e^(3/2)) + (I*b*c*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] - I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + I*Sqrt[e])])/(8*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d]*e^(3/2)) - (I*b*c*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - I*Sqrt[e])])/(8*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d]*e^(3/2)) + (I*b*c*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + I*Sqrt[e])])/(8*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d]*e^(3/2))}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 24, (x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*d*(d + e*x^2)) + ((a + b*ArcTan[c*x])*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(2*d^(3/2)*Sqrt[e]) + (I*b*c*Log[(Sqrt[e]*(1 - Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + Sqrt[e])]*Log[1 - (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[-c^2]*d^(3/2)*Sqrt[e]) - (I*b*c*Log[-((Sqrt[e]*(1 + Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - Sqrt[e]))]*Log[1 - (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[-c^2]*d^(3/2)*Sqrt[e]) - (I*b*c*Log[-((Sqrt[e]*(1 - Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - Sqrt[e]))]*Log[1 + (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[-c^2]*d^(3/2)*Sqrt[e]) + (I*b*c*Log[(Sqrt[e]*(1 + Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + Sqrt[e])]*Log[1 + (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[-c^2]*d^(3/2)*Sqrt[e]) - (b*c*Log[1 + c^2*x^2])/(4*d*(c^2*d - e)) + (b*c*Log[d + e*x^2])/(4*d*(c^2*d - e)) + (I*b*c*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] - I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - I*Sqrt[e])])/(8*Sqrt[-c^2]*d^(3/2)*Sqrt[e]) - (I*b*c*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] - I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + I*Sqrt[e])])/(8*Sqrt[-c^2]*d^(3/2)*Sqrt[e]) + (I*b*c*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - I*Sqrt[e])])/(8*Sqrt[-c^2]*d^(3/2)*Sqrt[e]) - (I*b*c*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + I*Sqrt[e])])/(8*Sqrt[-c^2]*d^(3/2)*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^2), x, 50, -((a + b*ArcTan[c*x])/(d^2*x)) - (e*x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(2*d^2*(d + e*x^2)) - (a*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/d^(5/2) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcTan[c*x])*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(2*d^(5/2)) + (b*c*Log[x])/d^2 + (I*b*Sqrt[e]*Log[1 + I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])])/(4*(-d)^(5/2)) - (I*b*Sqrt[e]*Log[1 - I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (I*b*Sqrt[e]*Log[1 - I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])])/(4*(-d)^(5/2)) - (I*b*Sqrt[e]*Log[1 + I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*(-d)^(5/2)) - (I*b*c*Sqrt[e]*Log[(Sqrt[e]*(1 - Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + Sqrt[e])]*Log[1 - (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[-c^2]*d^(5/2)) + (I*b*c*Sqrt[e]*Log[-((Sqrt[e]*(1 + Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - Sqrt[e]))]*Log[1 - (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[-c^2]*d^(5/2)) + (I*b*c*Sqrt[e]*Log[-((Sqrt[e]*(1 - Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - Sqrt[e]))]*Log[1 + (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[-c^2]*d^(5/2)) - (I*b*c*Sqrt[e]*Log[(Sqrt[e]*(1 + Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + Sqrt[e])]*Log[1 + (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[-c^2]*d^(5/2)) - (b*c*Log[1 + c^2*x^2])/(2*d^2) + (b*c*e*Log[1 + c^2*x^2])/(4*d^2*(c^2*d - e)) - (b*c*e*Log[d + e*x^2])/(4*d^2*(c^2*d - e)) - (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(I - c*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(1 - I*c*x))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(1 + I*c*x))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])])/(4*(-d)^(5/2)) - (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(I + c*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*(-d)^(5/2)) - (I*b*c*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] - I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - I*Sqrt[e])])/(8*Sqrt[-c^2]*d^(5/2)) + (I*b*c*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] - I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + I*Sqrt[e])])/(8*Sqrt[-c^2]*d^(5/2)) - (I*b*c*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - I*Sqrt[e])])/(8*Sqrt[-c^2]*d^(5/2)) + (I*b*c*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + I*Sqrt[e])])/(8*Sqrt[-c^2]*d^(5/2))}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^3, x, 21, -((b*c*d*x)/(8*(c^2*d - e)*e^2*(d + e*x^2))) + (b*c^4*d^2*ArcTan[c*x])/(4*(c^2*d - e)^2*e^3) - (b*c^2*d*ArcTan[c*x])/((c^2*d - e)*e^3) - (d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*e^3*(d + e*x^2)^2) + (d*(a + b*ArcTan[c*x]))/(e^3*(d + e*x^2)) + (b*c*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/((c^2*d - e)*e^(5/2)) - (b*c*Sqrt[d]*(3*c^2*d - e)*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*(c^2*d - e)^2*e^(5/2)) - ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/e^3 + ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e^3) + ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e^3) + (I*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e^3) - (I*b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*e^3) - (I*b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*e^3)}
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^3, x, 6, (b*c*x)/(8*(c^2*d - e)*e*(d + e*x^2)) - (b*ArcTan[c*x])/(4*d*(c^2*d - e)^2) + (x^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*d*(d + e*x^2)^2) - (b*c*(c^2*d - 3*e)*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[d]*(c^2*d - e)^2*e^(3/2))}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^3, x, 5, -((b*c*x)/(8*d*(c^2*d - e)*(d + e*x^2))) + (b*c^4*ArcTan[c*x])/(4*(c^2*d - e)^2*e) - (a + b*ArcTan[c*x])/(4*e*(d + e*x^2)^2) - (b*c*(3*c^2*d - e)*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*d^(3/2)*(c^2*d - e)^2*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)^3), x, 24, (b*c*e*x)/(8*d^2*(c^2*d - e)*(d + e*x^2)) - (b*c^4*ArcTan[c*x])/(4*d*(c^2*d - e)^2) - (b*c^2*ArcTan[c*x])/(2*d^2*(c^2*d - e)) + (a + b*ArcTan[c*x])/(4*d*(d + e*x^2)^2) + (a + b*ArcTan[c*x])/(2*d^2*(d + e*x^2)) + (b*c*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(2*d^(5/2)*(c^2*d - e)) + (b*c*(3*c^2*d - e)*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*d^(5/2)*(c^2*d - e)^2) + (a*Log[x])/d^3 + ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/d^3 - ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^3) - ((a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^3) + (I*b*PolyLog[2, (-I)*c*x])/(2*d^3) - (I*b*PolyLog[2, I*c*x])/(2*d^3) - (I*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*d^3) + (I*b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d^3) + (I*b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d^3)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^3), x, 27, -((b*c)/(2*d^3*x)) - (b*c*e^2*x)/(8*d^3*(c^2*d - e)*(d + e*x^2)) - (b*c^2*ArcTan[c*x])/(2*d^3) + (b*c^4*e*ArcTan[c*x])/(4*d^2*(c^2*d - e)^2) + (b*c^2*e*ArcTan[c*x])/(d^3*(c^2*d - e)) - (a + b*ArcTan[c*x])/(2*d^3*x^2) - (e*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*d^2*(d + e*x^2)^2) - (e*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^3*(d + e*x^2)) - (b*c*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(d^(7/2)*(c^2*d - e)) - (b*c*(3*c^2*d - e)*e^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*d^(7/2)*(c^2*d - e)^2) - (3*a*e*Log[x])/d^4 - (3*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/d^4 + (3*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^4) + (3*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^4) - (3*I*b*e*PolyLog[2, (-I)*c*x])/(2*d^4) + (3*I*b*e*PolyLog[2, I*c*x])/(2*d^4) + (3*I*b*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*d^4) - (3*I*b*e*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d^4) - (3*I*b*e*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d^4)}
+
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^3, x, 49, (b*c)/(8*(c^2*d - e)*e*(d + e*x^2)) - (x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*e*(d + e*x^2)^2) + (x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(8*d*e*(d + e*x^2)) + ((a + b*ArcTan[c*x])*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*d^(3/2)*e^(3/2)) + (I*b*c*Log[(Sqrt[e]*(1 - Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + Sqrt[e])]*Log[1 - (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(3/2)*e^(3/2)) - (I*b*c*Log[-((Sqrt[e]*(1 + Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - Sqrt[e]))]*Log[1 - (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(3/2)*e^(3/2)) - (I*b*c*Log[-((Sqrt[e]*(1 - Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - Sqrt[e]))]*Log[1 + (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(3/2)*e^(3/2)) + (I*b*c*Log[(Sqrt[e]*(1 + Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + Sqrt[e])]*Log[1 + (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(3/2)*e^(3/2)) + (b*c*(5*c^2*d - 3*e)*Log[1 + c^2*x^2])/(16*d*(c^2*d - e)^2*e) - (b*c*Log[1 + c^2*x^2])/(4*d*(c^2*d - e)*e) - (b*c*(5*c^2*d - 3*e)*Log[d + e*x^2])/(16*d*(c^2*d - e)^2*e) + (b*c*Log[d + e*x^2])/(4*d*(c^2*d - e)*e) + (I*b*c*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] - I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - I*Sqrt[e])])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(3/2)*e^(3/2)) - (I*b*c*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] - I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + I*Sqrt[e])])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(3/2)*e^(3/2)) + (I*b*c*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - I*Sqrt[e])])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(3/2)*e^(3/2)) - (I*b*c*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + I*Sqrt[e])])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(3/2)*e^(3/2))}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^3, x, 23, -((b*c)/(8*d*(c^2*d - e)*(d + e*x^2))) + (x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*d*(d + e*x^2)^2) + (3*x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(8*d^2*(d + e*x^2)) + (3*(a + b*ArcTan[c*x])*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*d^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*I*b*c*Log[(Sqrt[e]*(1 - Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + Sqrt[e])]*Log[1 - (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*I*b*c*Log[-((Sqrt[e]*(1 + Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - Sqrt[e]))]*Log[1 - (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*I*b*c*Log[-((Sqrt[e]*(1 - Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - Sqrt[e]))]*Log[1 + (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*I*b*c*Log[(Sqrt[e]*(1 + Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + Sqrt[e])]*Log[1 + (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(5/2)*Sqrt[e]) - (b*c*(5*c^2*d - 3*e)*Log[1 + c^2*x^2])/(16*d^2*(c^2*d - e)^2) + (b*c*(5*c^2*d - 3*e)*Log[d + e*x^2])/(16*d^2*(c^2*d - e)^2) + (3*I*b*c*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] - I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - I*Sqrt[e])])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*I*b*c*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] - I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + I*Sqrt[e])])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*I*b*c*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - I*Sqrt[e])])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*I*b*c*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + I*Sqrt[e])])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(5/2)*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^3), x, 73, (b*c*e)/(8*d^2*(c^2*d - e)*(d + e*x^2)) - (a + b*ArcTan[c*x])/(d^3*x) - (e*x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*d^2*(d + e*x^2)^2) - (7*e*x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(8*d^3*(d + e*x^2)) - (a*Sqrt[e]*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/d^(7/2) - (7*Sqrt[e]*(a + b*ArcTan[c*x])*ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*d^(7/2)) + (b*c*Log[x])/d^3 - (I*b*Sqrt[e]*Log[1 + I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])])/(4*(-d)^(7/2)) + (I*b*Sqrt[e]*Log[1 - I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*(-d)^(7/2)) - (I*b*Sqrt[e]*Log[1 - I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])])/(4*(-d)^(7/2)) + (I*b*Sqrt[e]*Log[1 + I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*(-d)^(7/2)) - (7*I*b*c*Sqrt[e]*Log[(Sqrt[e]*(1 - Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + Sqrt[e])]*Log[1 - (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(7/2)) + (7*I*b*c*Sqrt[e]*Log[-((Sqrt[e]*(1 + Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - Sqrt[e]))]*Log[1 - (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(7/2)) + (7*I*b*c*Sqrt[e]*Log[-((Sqrt[e]*(1 - Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - Sqrt[e]))]*Log[1 + (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(7/2)) - (7*I*b*c*Sqrt[e]*Log[(Sqrt[e]*(1 + Sqrt[-c^2]*x))/(I*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + Sqrt[e])]*Log[1 + (I*Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(7/2)) - (b*c*Log[1 + c^2*x^2])/(2*d^3) + (b*c*(5*c^2*d - 3*e)*e*Log[1 + c^2*x^2])/(16*d^3*(c^2*d - e)^2) + (b*c*e*Log[1 + c^2*x^2])/(4*d^3*(c^2*d - e)) - (b*c*(5*c^2*d - 3*e)*e*Log[d + e*x^2])/(16*d^3*(c^2*d - e)^2) - (b*c*e*Log[d + e*x^2])/(4*d^3*(c^2*d - e)) + (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(I - c*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*(-d)^(7/2)) - (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(1 - I*c*x))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])])/(4*(-d)^(7/2)) - (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(1 + I*c*x))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])])/(4*(-d)^(7/2)) + (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*(I + c*x))/(c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])])/(4*(-d)^(7/2)) - (7*I*b*c*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] - I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - I*Sqrt[e])])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(7/2)) + (7*I*b*c*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] - I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + I*Sqrt[e])])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(7/2)) - (7*I*b*c*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] - I*Sqrt[e])])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(7/2)) + (7*I*b*c*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[-c^2]*(Sqrt[d] + I*Sqrt[e]*x))/(Sqrt[-c^2]*Sqrt[d] + I*Sqrt[e])])/(32*Sqrt[-c^2]*d^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^(p/2) (a+b ArcTan[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(1/2), x, If[$VersionNumber>=8, 9, 10], If[$VersionNumber>=8, -((b*(c^2*d - 12*e)*x*Sqrt[d + e*x^2])/(120*c^3*e)) - (b*x*(d + e*x^2)^(3/2))/(20*c*e) - (d*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*e^2) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*e^2) + (b*(c^2*d - e)^(3/2)*(2*c^2*d + 3*e)*ArcTan[(Sqrt[c^2*d - e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(15*c^5*e^2) + (b*(15*c^4*d^2 + 20*c^2*d*e - 24*e^2)*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(120*c^5*e^(3/2)), -((b*(c^2*d - 12*e)*x*Sqrt[d + e*x^2])/(120*c^3*e)) - (b*x*(d + e*x^2)^(3/2))/(20*c*e) - (d*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*e^2) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*e^2) + (b*(c^2*d - e)^(3/2)*(2*c^2*d + 3*e)*ArcTan[(Sqrt[c^2*d - e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(15*c^5*e^2) + (b*(15*c^4*d^2 + 20*c^2*d*e - 24*e^2)*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(120*c^5*e^(3/2))]}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(1/2), x, 5, (a*d*x*Sqrt[d + e*x^2])/(8*e) + (1/4)*a*x^3*Sqrt[d + e*x^2] - (a*d^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(8*e^(3/2)) + b*Unintegrable[x^2*Sqrt[d + e*x^2]*ArcTan[c*x], x]}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(1/2), x, 7, -((b*x*Sqrt[d + e*x^2])/(6*c)) + ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*e) - (b*(c^2*d - e)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[c^2*d - e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(3*c^3*e) - (b*(3*c^2*d - 2*e)*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(6*c^3*Sqrt[e])}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcTan[c*x]), x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(1/2)/x^1, x, 5, a*Sqrt[d + e*x^2] - a*Sqrt[d]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]] + b*Unintegrable[(Sqrt[d + e*x^2]*ArcTan[c*x])/x, x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(1/2)/x^2, x, 4, -((a*Sqrt[d + e*x^2])/x) + a*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]] + b*Unintegrable[(Sqrt[d + e*x^2]*ArcTan[c*x])/x^2, x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(1/2)/x^3, x, 5, -((a*Sqrt[d + e*x^2])/(2*x^2)) - (a*e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[d]) + b*Unintegrable[(Sqrt[d + e*x^2]*ArcTan[c*x])/x^3, x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(1/2)/x^4, x, 9, -((b*c*Sqrt[d + e*x^2])/(6*x^2)) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*d*x^3) + (b*c*(2*c^2*d - 3*e)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(6*Sqrt[d]) - (b*(c^2*d - e)^(3/2)*ArcTanh[(c*Sqrt[d + e*x^2])/Sqrt[c^2*d - e]])/(3*d)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(1/2)/x^5, x, 6, -((a*Sqrt[d + e*x^2])/(4*x^4)) - (a*e*Sqrt[d + e*x^2])/(8*d*x^2) + (a*e^2*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(8*d^(3/2)) + b*Unintegrable[(Sqrt[d + e*x^2]*ArcTan[c*x])/x^5, x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(1/2)/x^6, x, If[$VersionNumber>=8, 10, 21], If[$VersionNumber>=8, (b*c*(12*c^2*d - e)*Sqrt[d + e*x^2])/(120*d*x^2) - (b*c*(d + e*x^2)^(3/2))/(20*d*x^4) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*d*x^5) + (2*e*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(15*d^2*x^3) - (b*c*(24*c^4*d^2 - 20*c^2*d*e - 15*e^2)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(120*d^(3/2)) + (b*(c^2*d - e)^(3/2)*(3*c^2*d + 2*e)*ArcTanh[(c*Sqrt[d + e*x^2])/Sqrt[c^2*d - e]])/(15*d^2), -((b*c*Sqrt[d + e*x^2])/(20*x^4)) + (b*c*(3*c^2*d - e)*Sqrt[d + e*x^2])/(30*d*x^2) - (b*c*e*Sqrt[d + e*x^2])/(40*d*x^2) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*d*x^5) + (2*e*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(15*d^2*x^3) + (b*c*(3*c^2*d - e)*e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(30*d^(3/2)) + (b*c*e^2*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(40*d^(3/2)) - (b*c*(c^2*d - e)*(3*c^2*d + 2*e)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(15*d^(3/2)) + (b*(c^2*d - e)^(3/2)*(3*c^2*d + 2*e)*ArcTanh[(c*Sqrt[d + e*x^2])/Sqrt[c^2*d - e]])/(15*d^2)]}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(3/2), x, 10, (b*(3*c^4*d^2 + 54*c^2*d*e - 40*e^2)*x*Sqrt[d + e*x^2])/(560*c^5*e) - (b*(13*c^2*d - 30*e)*x*(d + e*x^2)^(3/2))/(840*c^3*e) - (b*x*(d + e*x^2)^(5/2))/(42*c*e) - (d*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*e^2) + ((d + e*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(7*e^2) + (b*(c^2*d - e)^(5/2)*(2*c^2*d + 5*e)*ArcTan[(Sqrt[c^2*d - e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(35*c^7*e^2) + (b*(35*c^6*d^3 + 70*c^4*d^2*e - 168*c^2*d*e^2 + 80*e^3)*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(560*c^7*e^(3/2))}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(3/2), x, 6, (a*d^2*x*Sqrt[d + e*x^2])/(16*e) + (1/8)*a*d*x^3*Sqrt[d + e*x^2] + (1/6)*a*x^3*(d + e*x^2)^(3/2) - (a*d^3*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(16*e^(3/2)) + b*Unintegrable[x^2*(d + e*x^2)^(3/2)*ArcTan[c*x], x]}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(3/2), x, 8, -((b*(7*c^2*d - 4*e)*x*Sqrt[d + e*x^2])/(40*c^3)) - (b*x*(d + e*x^2)^(3/2))/(20*c) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*e) - (b*(c^2*d - e)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c^2*d - e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(5*c^5*e) - (b*(15*c^4*d^2 - 20*c^2*d*e + 8*e^2)*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(40*c^5*Sqrt[e])}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcTan[c*x]), x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(3/2)/x^1, x, 6, a*d*Sqrt[d + e*x^2] + (1/3)*a*(d + e*x^2)^(3/2) - a*d^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]] + b*Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*ArcTan[c*x])/x, x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(3/2)/x^2, x, 5, (3/2)*a*e*x*Sqrt[d + e*x^2] - (a*(d + e*x^2)^(3/2))/x + (3/2)*a*d*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]] + b*Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*ArcTan[c*x])/x^2, x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(3/2)/x^3, x, 6, (3/2)*a*e*Sqrt[d + e*x^2] - (a*(d + e*x^2)^(3/2))/(2*x^2) - (3/2)*a*Sqrt[d]*e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]] + b*Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*ArcTan[c*x])/x^3, x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(3/2)/x^4, x, 5, -((a*e*Sqrt[d + e*x^2])/x) - (a*(d + e*x^2)^(3/2))/(3*x^3) + a*e^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]] + b*Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*ArcTan[c*x])/x^4, x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(3/2)/x^5, x, 6, -((3*a*e*Sqrt[d + e*x^2])/(8*x^2)) - (a*(d + e*x^2)^(3/2))/(4*x^4) - (3*a*e^2*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[d]) + b*Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*ArcTan[c*x])/x^5, x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(3/2)/x^6, x, 10, (b*c*(4*c^2*d - 7*e)*Sqrt[d + e*x^2])/(40*x^2) - (b*c*(d + e*x^2)^(3/2))/(20*x^4) - ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*d*x^5) - (b*c*(8*c^4*d^2 - 20*c^2*d*e + 15*e^2)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(40*Sqrt[d]) + (b*(c^2*d - e)^(5/2)*ArcTanh[(c*Sqrt[d + e*x^2])/Sqrt[c^2*d - e]])/(5*d)}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(5/2), x, 11, (b*(59*c^6*d^3 + 712*c^4*d^2*e - 1104*c^2*d*e^2 + 448*e^3)*x*Sqrt[d + e*x^2])/(8064*c^7*e) - (b*(69*c^4*d^2 - 520*c^2*d*e + 336*e^2)*x*(d + e*x^2)^(3/2))/(12096*c^5*e) - (b*(33*c^2*d - 56*e)*x*(d + e*x^2)^(5/2))/(3024*c^3*e) - (b*x*(d + e*x^2)^(7/2))/(72*c*e) - (d*(d + e*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(7*e^2) + ((d + e*x^2)^(9/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(9*e^2) + (b*(c^2*d - e)^(7/2)*(2*c^2*d + 7*e)*ArcTan[(Sqrt[c^2*d - e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(63*c^9*e^2) + (b*(315*c^8*d^4 + 840*c^6*d^3*e - 3024*c^4*d^2*e^2 + 2880*c^2*d*e^3 - 896*e^4)*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(8064*c^9*e^(3/2))}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(5/2), x, 7, (5*a*d^3*x*Sqrt[d + e*x^2])/(128*e) + (5/64)*a*d^2*x^3*Sqrt[d + e*x^2] + (5/48)*a*d*x^3*(d + e*x^2)^(3/2) + (1/8)*a*x^3*(d + e*x^2)^(5/2) - (5*a*d^4*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(128*e^(3/2)) + b*Unintegrable[x^2*(d + e*x^2)^(5/2)*ArcTan[c*x], x]}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(5/2), x, 9, -((b*(19*c^4*d^2 - 22*c^2*d*e + 8*e^2)*x*Sqrt[d + e*x^2])/(112*c^5)) - (b*(11*c^2*d - 6*e)*x*(d + e*x^2)^(3/2))/(168*c^3) - (b*x*(d + e*x^2)^(5/2))/(42*c) + ((d + e*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(7*e) - (b*(c^2*d - e)^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[c^2*d - e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(7*c^7*e) - (b*(35*c^6*d^3 - 70*c^4*d^2*e + 56*c^2*d*e^2 - 16*e^3)*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(112*c^7*Sqrt[e])}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcTan[c*x]), x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(5/2)/x^1, x, 7, a*d^2*Sqrt[d + e*x^2] + (1/3)*a*d*(d + e*x^2)^(3/2) + (1/5)*a*(d + e*x^2)^(5/2) - a*d^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]] + b*Unintegrable[((d + e*x^2)^(5/2)*ArcTan[c*x])/x, x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(5/2)/x^2, x, 6, (15/8)*a*d*e*x*Sqrt[d + e*x^2] + (5/4)*a*e*x*(d + e*x^2)^(3/2) - (a*(d + e*x^2)^(5/2))/x + (15/8)*a*d^2*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]] + b*Unintegrable[((d + e*x^2)^(5/2)*ArcTan[c*x])/x^2, x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(5/2)/x^3, x, 7, (5/2)*a*d*e*Sqrt[d + e*x^2] + (5/6)*a*e*(d + e*x^2)^(3/2) - (a*(d + e*x^2)^(5/2))/(2*x^2) - (5/2)*a*d^(3/2)*e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]] + b*Unintegrable[((d + e*x^2)^(5/2)*ArcTan[c*x])/x^3, x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(5/2)/x^4, x, 6, (5/2)*a*e^2*x*Sqrt[d + e*x^2] - (5*a*e*(d + e*x^2)^(3/2))/(3*x) - (a*(d + e*x^2)^(5/2))/(3*x^3) + (5/2)*a*d*e^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]] + b*Unintegrable[((d + e*x^2)^(5/2)*ArcTan[c*x])/x^4, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(1/2), x, 8, -((b*x*Sqrt[d + e*x^2])/(6*c*e)) - (d*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcTan[c*x]))/e^2 + ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*e^2) + (b*Sqrt[c^2*d - e]*(2*c^2*d + e)*ArcTan[(Sqrt[c^2*d - e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(3*c^3*e^2) + (b*(3*c^2*d + 2*e)*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(6*c^3*e^(3/2))}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(1/2), x, 4, (a*x*Sqrt[d + e*x^2])/(2*e) - (a*d*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(2*e^(3/2)) + b*Unintegrable[(x^2*ArcTan[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(1/2), x, 6, (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcTan[c*x]))/e - (b*Sqrt[c^2*d - e]*ArcTan[(Sqrt[c^2*d - e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(c*e) - (b*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(c*Sqrt[e])}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcTan[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)^(1/2)), x, 4, -((a*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/Sqrt[d]) + b*Unintegrable[ArcTan[c*x]/(x*Sqrt[d + e*x^2]), x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^(1/2)), x, 7, -((Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d*x)) - (b*c*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/Sqrt[d] + (b*Sqrt[c^2*d - e]*ArcTanh[(c*Sqrt[d + e*x^2])/Sqrt[c^2*d - e]])/d}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(1/2)), x, 5, -((a*Sqrt[d + e*x^2])/(2*d*x^2)) + (a*e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(2*d^(3/2)) + b*Unintegrable[ArcTan[c*x]/(x^3*Sqrt[d + e*x^2]), x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^4*(d + e*x^2)^(1/2)), x, 9, -((b*c*Sqrt[d + e*x^2])/(6*d*x^2)) - (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*d*x^3) + (2*e*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*d^2*x) + (b*c*(2*c^2*d + 3*e)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(6*d^(3/2)) - (b*Sqrt[c^2*d - e]*(c^2*d + 2*e)*ArcTanh[(c*Sqrt[d + e*x^2])/Sqrt[c^2*d - e]])/(3*d^2)}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 7, (d*(a + b*ArcTan[c*x]))/(e^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcTan[c*x]))/e^2 - (b*(2*c^2*d - e)*ArcTan[(Sqrt[c^2*d - e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(c*Sqrt[c^2*d - e]*e^2) - (b*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(c*e^(3/2))}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 4, -((a*x)/(e*Sqrt[d + e*x^2])) + (a*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/e^(3/2) + b*Unintegrable[(x^2*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x]}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 3, -((a + b*ArcTan[c*x])/(e*Sqrt[d + e*x^2])) + (b*c*ArcTan[(Sqrt[c^2*d - e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(Sqrt[c^2*d - e]*e)}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 5, (x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*ArcTanh[(c*Sqrt[d + e*x^2])/Sqrt[c^2*d - e]])/(d*Sqrt[c^2*d - e])}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 5, a/(d*Sqrt[d + e*x^2]) - (a*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/d^(3/2) + b*Unintegrable[ArcTan[c*x]/(x*(d + e*x^2)^(3/2)), x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 8, -((a + b*ArcTan[c*x])/(d*x*Sqrt[d + e*x^2])) - (2*e*x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^2*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*c*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/d^(3/2) + (b*(c^2*d - 2*e)*ArcTanh[(c*Sqrt[d + e*x^2])/Sqrt[c^2*d - e]])/(d^2*Sqrt[c^2*d - e])}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 6, -((3*a*e)/(2*d^2*Sqrt[d + e*x^2])) - a/(2*d*x^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (3*a*e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(2*d^(5/2)) + b*Unintegrable[ArcTan[c*x]/(x^3*(d + e*x^2)^(3/2)), x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^4*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 14, -((b*c*Sqrt[d + e*x^2])/(6*d^2*x^2)) - (a + b*ArcTan[c*x])/(3*d*x^3*Sqrt[d + e*x^2]) + (4*e*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*d^2*x*Sqrt[d + e*x^2]) + (8*e^2*x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*d^3*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*c*e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(6*d^(5/2)) + (b*c*(c^2*d + 4*e)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)) - (b*(c^4*d^2 + 4*c^2*d*e - 8*e^2)*ArcTanh[(c*Sqrt[d + e*x^2])/Sqrt[c^2*d - e]])/(3*d^3*Sqrt[c^2*d - e])}
+
+
+{x^4*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 5, -((a*x^3)/(3*e*(d + e*x^2)^(3/2))) - (a*x)/(e^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (a*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/e^(5/2) + b*Unintegrable[(x^4*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x]}
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 6, (b*c*x)/(3*(c^2*d - e)*e*Sqrt[d + e*x^2]) + (d*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*e^2*(d + e*x^2)^(3/2)) - (a + b*ArcTan[c*x])/(e^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*c*(2*c^2*d - 3*e)*ArcTan[(Sqrt[c^2*d - e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(3*(c^2*d - e)^(3/2)*e^2)}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 5, (b*c)/(3*(c^2*d - e)*e*Sqrt[d + e*x^2]) + (x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*d*(d + e*x^2)^(3/2)) - (b*ArcTanh[(c*Sqrt[d + e*x^2])/Sqrt[c^2*d - e]])/(3*d*(c^2*d - e)^(3/2))}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 4, -((b*c*x)/(3*d*(c^2*d - e)*Sqrt[d + e*x^2])) - (a + b*ArcTan[c*x])/(3*e*(d + e*x^2)^(3/2)) + (b*c^3*ArcTan[(Sqrt[c^2*d - e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(3*(c^2*d - e)^(3/2)*e)}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 7, -((b*c)/(3*d*(c^2*d - e)*Sqrt[d + e*x^2])) + (x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*d*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*(3*c^2*d - 2*e)*ArcTanh[(c*Sqrt[d + e*x^2])/Sqrt[c^2*d - e]])/(3*d^2*(c^2*d - e)^(3/2))}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)^(5/2)), x, 6, a/(3*d*(d + e*x^2)^(3/2)) + a/(d^2*Sqrt[d + e*x^2]) - (a*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/d^(5/2) + b*Unintegrable[ArcTan[c*x]/(x*(d + e*x^2)^(5/2)), x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^(5/2)), x, 13, (b*c)/(d^2*Sqrt[d + e*x^2]) - (8*b*e)/(3*c*d^3*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*(3*c^4*d^2 - 12*c^2*d*e + 8*e^2))/(3*c*d^3*(c^2*d - e)*Sqrt[d + e*x^2]) - (a + b*ArcTan[c*x])/(d*x*(d + e*x^2)^(3/2)) - (4*e*x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*d^2*(d + e*x^2)^(3/2)) - (8*e*x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*d^3*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*c*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/d^(5/2) + (b*(3*c^4*d^2 - 12*c^2*d*e + 8*e^2)*ArcTanh[(c*Sqrt[d + e*x^2])/Sqrt[c^2*d - e]])/(3*d^3*(c^2*d - e)^(3/2))}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(5/2)), x, 7, -((5*a*e)/(6*d^2*(d + e*x^2)^(3/2))) - a/(2*d*x^2*(d + e*x^2)^(3/2)) - (5*a*e)/(2*d^3*Sqrt[d + e*x^2]) + (5*a*e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(2*d^(7/2)) + b*Unintegrable[ArcTan[c*x]/(x^3*(d + e*x^2)^(5/2)), x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])/(x^4*(d + e*x^2)^(5/2)), x, 18, -((b*c*e)/(2*d^3*Sqrt[d + e*x^2])) + (16*b*e^2)/(3*c*d^4*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*c*(c^2*d + 6*e))/(3*d^3*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*(c^2*d - 2*e)*(c^4*d^2 + 8*c^2*d*e - 8*e^2))/(3*c*d^4*(c^2*d - e)*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*c)/(6*d^2*x^2*Sqrt[d + e*x^2]) - (a + b*ArcTan[c*x])/(3*d*x^3*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*e*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^2*x*(d + e*x^2)^(3/2)) + (8*e^2*x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*d^3*(d + e*x^2)^(3/2)) + (16*e^2*x*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*d^4*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*c*e*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(2*d^(7/2)) + (b*c*(c^2*d + 6*e)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(3*d^(7/2)) - (b*(c^2*d - 2*e)*(c^4*d^2 + 8*c^2*d*e - 8*e^2)*ArcTanh[(c*Sqrt[d + e*x^2])/Sqrt[c^2*d - e]])/(3*d^4*(c^2*d - e)^(3/2))}
+
+
+{ArcTan[a*x]/(c + d*x^2)^(7/2), x, 8, -(a/(15*c*(a^2*c - d)*(c + d*x^2)^(3/2))) - (a*(7*a^2*c - 4*d))/(15*c^2*(a^2*c - d)^2*Sqrt[c + d*x^2]) + (x*ArcTan[a*x])/(5*c*(c + d*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcTan[a*x])/(15*c^2*(c + d*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcTan[a*x])/(15*c^3*Sqrt[c + d*x^2]) + ((15*a^4*c^2 - 20*a^2*c*d + 8*d^2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c + d*x^2])/Sqrt[a^2*c - d]])/(15*c^3*(a^2*c - d)^(5/2))}
+
+
+{ArcTan[a*x]/(c + d*x^2)^(9/2), x, 8, -(a/(35*c*(a^2*c - d)*(c + d*x^2)^(5/2))) - (a*(11*a^2*c - 6*d))/(105*c^2*(a^2*c - d)^2*(c + d*x^2)^(3/2)) - (a*(19*a^4*c^2 - 22*a^2*c*d + 8*d^2))/(35*c^3*(a^2*c - d)^3*Sqrt[c + d*x^2]) + (x*ArcTan[a*x])/(7*c*(c + d*x^2)^(7/2)) + (6*x*ArcTan[a*x])/(35*c^2*(c + d*x^2)^(5/2)) + (8*x*ArcTan[a*x])/(35*c^3*(c + d*x^2)^(3/2)) + (16*x*ArcTan[a*x])/(35*c^4*Sqrt[c + d*x^2]) + ((35*a^6*c^3 - 70*a^4*c^2*d + 56*a^2*c*d^2 - 16*d^3)*ArcTanh[(a*Sqrt[c + d*x^2])/Sqrt[a^2*c - d]])/(35*c^4*(a^2*c - d)^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^p (a+b ArcTan[c x]) with m symbolic*)
+
+
+{x^m*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^3, x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((b*e*(e^2*(15 + 8*m + m^2) - 3*c^2*d*e*(21 + 10*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(35 + 12*m + m^2))*x^(2 + m))/(c^5*(2 + m)*(3 + m)*(5 + m)*(7 + m))) + (b*e^2*(e*(5 + m) - 3*c^2*d*(7 + m))*x^(4 + m))/(c^3*(4 + m)*(5 + m)*(7 + m)) - (b*e^3*x^(6 + m))/(c*(6 + m)*(7 + m)) + (d^3*x^(1 + m)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(1 + m) + (3*d^2*e*x^(3 + m)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3 + m) + (3*d*e^2*x^(5 + m)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5 + m) + (e^3*x^(7 + m)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(7 + m) + (b*(e^3*(15 + 23*m + 9*m^2 + m^3) - 3*c^2*d*e^2*(21 + 31*m + 11*m^2 + m^3) + 3*c^4*d^2*e*(35 + 47*m + 13*m^2 + m^3) - c^6*d^3*(105 + 71*m + 15*m^2 + m^3))*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(c^5*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)*(5 + m)*(7 + m)), -((b*e*(e^2*(15 + 8*m + m^2) - 3*c^2*d*e*(21 + 10*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(35 + 12*m + m^2))*x^(2 + m))/(c^5*(2 + m)*(7 + m)*(15 + 8*m + m^2))) + (b*e^2*(e*(5 + m) - 3*c^2*d*(7 + m))*x^(4 + m))/(c^3*(4 + m)*(5 + m)*(7 + m)) - (b*e^3*x^(6 + m))/(c*(6 + m)*(7 + m)) + (d^3*x^(1 + m)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(1 + m) + (3*d^2*e*x^(3 + m)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3 + m) + (3*d*e^2*x^(5 + m)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5 + m) + (e^3*x^(7 + m)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(7 + m) + (b*(e^3*(15 + 23*m + 9*m^2 + m^3) - 3*c^2*d*e^2*(21 + 31*m + 11*m^2 + m^3) + 3*c^4*d^2*e*(35 + 47*m + 13*m^2 + m^3) - c^6*d^3*(105 + 71*m + 15*m^2 + m^3))*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(c^5*(35 + 12*m + m^2)*(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3))]}
+{x^m*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^2, x, 4, If[$VersionNumber>=8, (b*e*(e*(3 + m) - 2*c^2*d*(5 + m))*x^(2 + m))/(c^3*(2 + m)*(3 + m)*(5 + m)) - (b*e^2*x^(4 + m))/(c*(4 + m)*(5 + m)) + (d^2*x^(1 + m)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(1 + m) + (2*d*e*x^(3 + m)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3 + m) + (e^2*x^(5 + m)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5 + m) - (b*(e^2*(3 + 4*m + m^2) - 2*c^2*d*e*(5 + 6*m + m^2) + c^4*d^2*(15 + 8*m + m^2))*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(c^3*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)*(5 + m)), (b*e*(e*(3 + m) - 2*c^2*d*(5 + m))*x^(2 + m))/(c^3*(5 + m)*(6 + 5*m + m^2)) - (b*e^2*x^(4 + m))/(c*(4 + m)*(5 + m)) + (d^2*x^(1 + m)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(1 + m) + (2*d*e*x^(3 + m)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3 + m) + (e^2*x^(5 + m)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5 + m) - (b*(e^2*(3 + 4*m + m^2) - 2*c^2*d*e*(5 + 6*m + m^2) + c^4*d^2*(15 + 8*m + m^2))*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(c^3*(2 + 3*m + m^2)*(15 + 8*m + m^2))]}
+{x^m*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^1, x, 3, -((b*e*x^(2 + m))/(c*(6 + 5*m + m^2))) + (d*x^(1 + m)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(1 + m) + (e*x^(3 + m)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3 + m) - (b*((c^2*d)/(1 + m) - e/(3 + m))*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(c*(2 + m))}
+{x^m*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^1, x, 2, (a*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((e*x^2)/d)])/(d*(1 + m)) + b*Unintegrable[(x^m*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2), x]}
+{x^m*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 2, (a*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((e*x^2)/d)])/(d^2*(1 + m)) + b*Unintegrable[(x^m*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^2, x]}
+
+
+{x^m*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(5/2), x, 3, (a*x^(1 + m)*(d + e*x^2)^(7/2)*Hypergeometric2F1[1, (8 + m)/2, (3 + m)/2, -((e*x^2)/d)])/(d*(1 + m)) + b*Unintegrable[x^m*(d + e*x^2)^(5/2)*ArcTan[c*x], x], (a*d^2*x^(1 + m)*Sqrt[d + e*x^2]*Hypergeometric2F1[-(5/2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((e*x^2)/d)])/((1 + m)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + b*Unintegrable[x^m*(d + e*x^2)^(5/2)*ArcTan[c*x], x]}
+{x^m*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(3/2), x, 3, (a*x^(1 + m)*(d + e*x^2)^(5/2)*Hypergeometric2F1[1, (6 + m)/2, (3 + m)/2, -((e*x^2)/d)])/(d*(1 + m)) + b*Unintegrable[x^m*(d + e*x^2)^(3/2)*ArcTan[c*x], x], (a*d*x^(1 + m)*Sqrt[d + e*x^2]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((e*x^2)/d)])/((1 + m)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + b*Unintegrable[x^m*(d + e*x^2)^(3/2)*ArcTan[c*x], x]}
+{x^m*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^(1/2), x, 3, (a*x^(1 + m)*(d + e*x^2)^(3/2)*Hypergeometric2F1[1, (4 + m)/2, (3 + m)/2, -((e*x^2)/d)])/(d*(1 + m)) + b*Unintegrable[x^m*Sqrt[d + e*x^2]*ArcTan[c*x], x], (a*x^(1 + m)*Sqrt[d + e*x^2]*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((e*x^2)/d)])/((1 + m)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + b*Unintegrable[x^m*Sqrt[d + e*x^2]*ArcTan[c*x], x]}
+{x^m*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(1/2), x, 3, (a*x^(1 + m)*Sqrt[d + e*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (3 + m)/2, -((e*x^2)/d)])/(d*(1 + m)) + b*Unintegrable[(x^m*ArcTan[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x], (a*x^(1 + m)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((e*x^2)/d)])/((1 + m)*Sqrt[d + e*x^2]) + b*Unintegrable[(x^m*ArcTan[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{x^m*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 3, (a*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, m/2, (3 + m)/2, -((e*x^2)/d)])/(d*(1 + m)*Sqrt[d + e*x^2]) + b*Unintegrable[(x^m*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x], (a*x^(1 + m)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*Hypergeometric2F1[3/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((e*x^2)/d)])/(d*(1 + m)*Sqrt[d + e*x^2]) + b*Unintegrable[(x^m*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x]}
+{x^m*(a + b*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 3, (a*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-2 + m), (3 + m)/2, -((e*x^2)/d)])/(d*(1 + m)*(d + e*x^2)^(3/2)) + b*Unintegrable[(x^m*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x], (a*x^(1 + m)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*Hypergeometric2F1[5/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -((e*x^2)/d)])/(d^2*(1 + m)*Sqrt[d + e*x^2]) + b*Unintegrable[(x^m*ArcTan[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^p (a+b ArcTan[c x]) with p symbolic*)
+
+
+{x^m*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^p, x, 3, (a*x^(1 + m)*(d + e*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(3 + m + 2*p), (3 + m)/2, -((e*x^2)/d)])/(d*(1 + m)) + b*Unintegrable[x^m*(d + e*x^2)^p*ArcTan[c*x], x], (a*x^(1 + m)*(d + e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, -((e*x^2)/d)])/((1 + (e*x^2)/d)^p*(1 + m)) + b*Unintegrable[x^m*(d + e*x^2)^p*ArcTan[c*x], x]}
+
+
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^p/x^(2*p + 2), x, 3, -((a*x^(-1 - 2*p)*(d + e*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1/2, 1, (1/2)*(1 - 2*p), -((e*x^2)/d)])/(d*(1 + 2*p))) + b*Unintegrable[x^(-2 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*ArcTan[c*x], x], -((a*x^(-1 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 - 2*p), -p, (1/2)*(1 - 2*p), -((e*x^2)/d)])/((1 + (e*x^2)/d)^p*(1 + 2*p))) + b*Unintegrable[x^(-2 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*ArcTan[c*x], x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^p/x^(2*p + 3), x, 4, -((b*c*x^(-1 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*AppellF1[(1/2)*(-1 - 2*p), 1, -1 - p, (1/2)*(1 - 2*p), (-c^2)*x^2, -((e*x^2)/d)])/((1 + (e*x^2)/d)^p*(2*(1 + 3*p + 2*p^2)))) - ((d + e*x^2)^(1 + p)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(x^(2*(1 + p))*(2*d*(1 + p)))}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^p/x^(2*p + 4), x, 3, -((a*x^(-3 - 2*p)*(d + e*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-(1/2), 1, (1/2)*(-1 - 2*p), -((e*x^2)/d)])/(d*(3 + 2*p))) + b*Unintegrable[x^(-4 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*ArcTan[c*x], x], -((a*x^(-3 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 - 2*p), -p, (1/2)*(-1 - 2*p), -((e*x^2)/d)])/((1 + (e*x^2)/d)^p*(3 + 2*p))) + b*Unintegrable[x^(-4 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*ArcTan[c*x], x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^p/x^(2*p + 5), x, 8, If[$VersionNumber>=8, -((b*(e + c^2*d*(1 + p))*x^(-3 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*AppellF1[(1/2)*(-3 - 2*p), 1, -1 - p, (1/2)*(-1 - 2*p), (-c^2)*x^2, -((e*x^2)/d)])/((1 + (e*x^2)/d)^p*(2*c*d*(1 + p)*(2 + p)*(3 + 2*p)))) + (e*(d + e*x^2)^(1 + p)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(x^(2*(1 + p))*(2*d^2*(1 + p)*(2 + p))) - ((d + e*x^2)^(1 + p)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(x^(2*(2 + p))*(2*d*(2 + p))) + (b*e*x^(-3 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 - 2*p), -1 - p, (1/2)*(-1 - 2*p), -((e*x^2)/d)])/((1 + (e*x^2)/d)^p*(2*c*d*(6 + 13*p + 9*p^2 + 2*p^3))), -((b*(e + c^2*d*(1 + p))*x^(-3 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*AppellF1[(1/2)*(-3 - 2*p), 1, -1 - p, (1/2)*(-1 - 2*p), (-c^2)*x^2, -((e*x^2)/d)])/((1 + (e*x^2)/d)^p*(2*c*d*(3 + 2*p)*(2 + 3*p + p^2)))) + (e*(d + e*x^2)^(1 + p)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(x^(2*(1 + p))*(2*d^2*(1 + p)*(2 + p))) - ((d + e*x^2)^(1 + p)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(x^(2*(2 + p))*(2*d*(2 + p))) + (b*e*x^(-3 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 - 2*p), -1 - p, (1/2)*(-1 - 2*p), -((e*x^2)/d)])/((1 + (e*x^2)/d)^p*(2*c*d*(6 + 13*p + 9*p^2 + 2*p^3)))]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^p/x^(2*p + 6), x, 3, -((a*x^(-5 - 2*p)*(d + e*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-(3/2), 1, (1/2)*(-3 - 2*p), -((e*x^2)/d)])/(d*(5 + 2*p))) + b*Unintegrable[x^(-6 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*ArcTan[c*x], x], -((a*x^(-5 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-5 - 2*p), -p, (1/2)*(-3 - 2*p), -((e*x^2)/d)])/((1 + (e*x^2)/d)^p*(5 + 2*p))) + b*Unintegrable[x^(-6 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*ArcTan[c*x], x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^p/x^(2*p + 7), x, 10, If[$VersionNumber>=8, -((b*(2*e^2 + 2*c^2*d*e*(1 + p) + c^4*d^2*(2 + 3*p + p^2))*x^(-5 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*AppellF1[(1/2)*(-5 - 2*p), 1, -1 - p, (1/2)*(-3 - 2*p), (-c^2)*x^2, -((e*x^2)/d)])/((1 + (e*x^2)/d)^p*(2*c^3*d^2*(1 + p)*(2 + p)*(3 + p)*(5 + 2*p)))) - (e^2*(d + e*x^2)^(1 + p)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(x^(2*(1 + p))*(d^3*(1 + p)*(2 + p)*(3 + p))) + (e*(d + e*x^2)^(1 + p)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(x^(2*(2 + p))*(d^2*(2 + p)*(3 + p))) - ((d + e*x^2)^(1 + p)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(x^(2*(3 + p))*(2*d*(3 + p))) + (b*e*(e + c^2*d*(1 + p))*x^(-5 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-5 - 2*p), -1 - p, (1/2)*(-3 - 2*p), -((e*x^2)/d)])/((1 + (e*x^2)/d)^p*(c^3*d^2*(1 + p)*(2 + p)*(3 + p)*(5 + 2*p))) - (b*e^2*x^(-3 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 - 2*p), -1 - p, (1/2)*(-1 - 2*p), -((e*x^2)/d)])/((1 + (e*x^2)/d)^p*(c*d^2*(1 + p)*(2 + p)*(3 + p)*(3 + 2*p))), -((b*(2*e^2 + 2*c^2*d*e*(1 + p) + c^4*d^2*(2 + 3*p + p^2))*x^(-5 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*AppellF1[(1/2)*(-5 - 2*p), 1, -1 - p, (1/2)*(-3 - 2*p), (-c^2)*x^2, -((e*x^2)/d)])/((1 + (e*x^2)/d)^p*(2*c^3*d^2*(3 + p)*(5 + 2*p)*(2 + 3*p + p^2)))) - (e^2*(d + e*x^2)^(1 + p)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(x^(2*(1 + p))*(d^3*(2 + p)*(3 + 4*p + p^2))) + (e*(d + e*x^2)^(1 + p)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(x^(2*(2 + p))*(d^2*(2 + p)*(3 + p))) - ((d + e*x^2)^(1 + p)*(a + b*ArcTan[c*x]))/(x^(2*(3 + p))*(2*d*(3 + p))) + (b*e*(e + c^2*d*(1 + p))*x^(-5 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-5 - 2*p), -1 - p, (1/2)*(-3 - 2*p), -((e*x^2)/d)])/((1 + (e*x^2)/d)^p*(c^3*d^2*(3 + p)*(5 + 2*p)*(2 + 3*p + p^2))) - (b*e^2*x^(-3 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 - 2*p), -1 - p, (1/2)*(-1 - 2*p), -((e*x^2)/d)])/((1 + (e*x^2)/d)^p*(c*d^2*(2 + 3*p + p^2)*(9 + 9*p + 2*p^2)))]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*x^2)^p/x^(2*p + 8), x, 3, -((a*x^(-7 - 2*p)*(d + e*x^2)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-(5/2), 1, (1/2)*(-5 - 2*p), -((e*x^2)/d)])/(d*(7 + 2*p))) + b*Unintegrable[x^(-8 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*ArcTan[c*x], x], -((a*x^(-7 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-7 - 2*p), -p, (1/2)*(-5 - 2*p), -((e*x^2)/d)])/((1 + (e*x^2)/d)^p*(7 + 2*p))) + b*Unintegrable[x^(-8 - 2*p)*(d + e*x^2)^p*ArcTan[c*x], x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcTan[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^p (a+b ArcTan[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(d + e*x^2)*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 29, (a*b*d*x)/(2*c^3) - (a*b*e*x)/(3*c^5) + (b^2*d*x^2)/(12*c^2) - (4*b^2*e*x^2)/(45*c^4) + (b^2*e*x^4)/(60*c^2) + (b^2*d*x*ArcTan[c*x])/(2*c^3) - (b^2*e*x*ArcTan[c*x])/(3*c^5) - (b*d*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(6*c) + (b*e*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(9*c^3) - (b*e*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/(15*c) - (d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*c^4) + (e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(6*c^6) + (1/4)*d*x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (1/6)*e*x^6*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (b^2*d*Log[1 + c^2*x^2])/(3*c^4) + (23*b^2*e*Log[1 + c^2*x^2])/(90*c^6)}
+{x^2*(d + e*x^2)*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 25, (b^2*d*x)/(3*c^2) - (3*b^2*e*x)/(10*c^4) + (b^2*e*x^3)/(30*c^2) - (b^2*d*ArcTan[c*x])/(3*c^3) + (3*b^2*e*ArcTan[c*x])/(10*c^5) - (b*d*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*c) + (b*e*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*c^3) - (b*e*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(10*c) - (I*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(3*c^3) + (I*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(5*c^5) + (1/3)*d*x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (1/5)*e*x^5*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (2*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(3*c^3) + (2*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(5*c^5) - (I*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(3*c^3) + (I*b^2*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(5*c^5)}
+{x^1*(d + e*x^2)*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 19, -((a*b*d*x)/c) + (a*b*e*x)/(2*c^3) + (b^2*e*x^2)/(12*c^2) - (b^2*d*x*ArcTan[c*x])/c + (b^2*e*x*ArcTan[c*x])/(2*c^3) - (b*e*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(6*c) + (d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c^2) - (e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*c^4) + (1/2)*d*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (1/4)*e*x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (b^2*d*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^2) - (b^2*e*Log[1 + c^2*x^2])/(3*c^4)}
+{x^0*(d + e*x^2)*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 16, (b^2*e*x)/(3*c^2) - (b^2*e*ArcTan[c*x])/(3*c^3) - (b*e*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*c) + (I*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c - (I*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(3*c^3) + d*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (1/3)*e*x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (2*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c - (2*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(3*c^3) + (I*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c - (I*b^2*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(3*c^3)}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcTan[c*x])^2/x^1, x, 14, -((a*b*e*x)/c) - (b^2*e*x*ArcTan[c*x])/c + (e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c^2) + (1/2)*e*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + 2*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)] + (b^2*e*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^2) - I*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + I*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)] - (1/2)*b^2*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + (1/2)*b^2*d*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)]}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcTan[c*x])^2/x^2, x, 11, (-I)*c*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (I*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c - (d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x + e*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (2*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c + 2*b*c*d*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)] - I*b^2*c*d*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)] + (I*b^2*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcTan[c*x])^2/x^3, x, 16, -((b*c*d*(a + b*ArcTan[c*x]))/x) - (1/2)*c^2*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*x^2) + 2*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)] + b^2*c^2*d*Log[x] - (1/2)*b^2*c^2*d*Log[1 + c^2*x^2] - I*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + I*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)] - (1/2)*b^2*e*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + (1/2)*b^2*e*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)]}
+
+
+{x^3*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 50, (a*b*d^2*x)/(2*c^3) - (2*a*b*d*e*x)/(3*c^5) + (a*b*e^2*x)/(4*c^7) + (b^2*d^2*x^2)/(12*c^2) - (8*b^2*d*e*x^2)/(45*c^4) + (71*b^2*e^2*x^2)/(840*c^6) + (b^2*d*e*x^4)/(30*c^2) - (3*b^2*e^2*x^4)/(140*c^4) + (b^2*e^2*x^6)/(168*c^2) + (b^2*d^2*x*ArcTan[c*x])/(2*c^3) - (2*b^2*d*e*x*ArcTan[c*x])/(3*c^5) + (b^2*e^2*x*ArcTan[c*x])/(4*c^7) - (b*d^2*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(6*c) + (2*b*d*e*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(9*c^3) - (b*e^2*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(12*c^5) - (2*b*d*e*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/(15*c) + (b*e^2*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/(20*c^3) - (b*e^2*x^7*(a + b*ArcTan[c*x]))/(28*c) - (d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*c^4) + (d*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(3*c^6) - (e^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(8*c^8) + (1/4)*d^2*x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (1/3)*d*e*x^6*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (1/8)*e^2*x^8*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (b^2*d^2*Log[1 + c^2*x^2])/(3*c^4) + (23*b^2*d*e*Log[1 + c^2*x^2])/(45*c^6) - (22*b^2*e^2*Log[1 + c^2*x^2])/(105*c^8)}
+{x^2*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 44, (b^2*d^2*x)/(3*c^2) - (3*b^2*d*e*x)/(5*c^4) + (11*b^2*e^2*x)/(42*c^6) + (b^2*d*e*x^3)/(15*c^2) - (5*b^2*e^2*x^3)/(126*c^4) + (b^2*e^2*x^5)/(105*c^2) - (b^2*d^2*ArcTan[c*x])/(3*c^3) + (3*b^2*d*e*ArcTan[c*x])/(5*c^5) - (11*b^2*e^2*ArcTan[c*x])/(42*c^7) - (b*d^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*c) + (2*b*d*e*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*c^3) - (b*e^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(7*c^5) - (b*d*e*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*c) + (b*e^2*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(14*c^3) - (b*e^2*x^6*(a + b*ArcTan[c*x]))/(21*c) - (I*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(3*c^3) + (2*I*d*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(5*c^5) - (I*e^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(7*c^7) + (1/3)*d^2*x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (2/5)*d*e*x^5*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (1/7)*e^2*x^7*(a + b*ArcTan[c*x])^2 - (2*b*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(3*c^3) + (4*b*d*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(5*c^5) - (2*b*e^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(7*c^7) - (I*b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(3*c^3) + (2*I*b^2*d*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(5*c^5) - (I*b^2*e^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(7*c^7)}
+{x^1*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 35, -((a*b*d^2*x)/c) + (a*b*d*e*x)/c^3 - (a*b*e^2*x)/(3*c^5) + (b^2*d*e*x^2)/(6*c^2) - (4*b^2*e^2*x^2)/(45*c^4) + (b^2*e^2*x^4)/(60*c^2) - (b^2*d^2*x*ArcTan[c*x])/c + (b^2*d*e*x*ArcTan[c*x])/c^3 - (b^2*e^2*x*ArcTan[c*x])/(3*c^5) - (b*d*e*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*c) + (b*e^2*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(9*c^3) - (b*e^2*x^5*(a + b*ArcTan[c*x]))/(15*c) + (d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c^2) - (d*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c^4) + (e^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(6*c^6) + (1/2)*d^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (1/2)*d*e*x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (1/6)*e^2*x^6*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (b^2*d^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^2) - (2*b^2*d*e*Log[1 + c^2*x^2])/(3*c^4) + (23*b^2*e^2*Log[1 + c^2*x^2])/(90*c^6)}
+{x^0*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2, x, 30, (2*b^2*d*e*x)/(3*c^2) - (3*b^2*e^2*x)/(10*c^4) + (b^2*e^2*x^3)/(30*c^2) - (2*b^2*d*e*ArcTan[c*x])/(3*c^3) + (3*b^2*e^2*ArcTan[c*x])/(10*c^5) - (2*b*d*e*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*c) + (b*e^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*c^3) - (b*e^2*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]))/(10*c) + (I*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c - (2*I*d*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(3*c^3) + (I*e^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(5*c^5) + d^2*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (2/3)*d*e*x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (1/5)*e^2*x^5*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (2*b*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c - (4*b*d*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(3*c^3) + (2*b*e^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(5*c^5) + (I*b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c - (2*I*b^2*d*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(3*c^3) + (I*b^2*e^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(5*c^5)}
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2/x^1, x, 25, -((2*a*b*d*e*x)/c) + (a*b*e^2*x)/(2*c^3) + (b^2*e^2*x^2)/(12*c^2) - (2*b^2*d*e*x*ArcTan[c*x])/c + (b^2*e^2*x*ArcTan[c*x])/(2*c^3) - (b*e^2*x^3*(a + b*ArcTan[c*x]))/(6*c) + (d*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c^2 - (e^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*c^4) + d*e*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (1/4)*e^2*x^4*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + 2*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)] + (b^2*d*e*Log[1 + c^2*x^2])/c^2 - (b^2*e^2*Log[1 + c^2*x^2])/(3*c^4) - I*b*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + I*b*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)] - (1/2)*b^2*d^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + (1/2)*b^2*d^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)]}
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2/x^2, x, 20, (b^2*e^2*x)/(3*c^2) - (b^2*e^2*ArcTan[c*x])/(3*c^3) - (b*e^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*c) - I*c*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (2*I*d*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/c - (I*e^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(3*c^3) - (d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/x + 2*d*e*x*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (1/3)*e^2*x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (4*b*d*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/c - (2*b*e^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(3*c^3) + 2*b*c*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)] - I*b^2*c*d^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)] + (2*I*b^2*d*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/c - (I*b^2*e^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(3*c^3)}
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2/x^3, x, 22, -((a*b*e^2*x)/c) - (b^2*e^2*x*ArcTan[c*x])/c - (b*c*d^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/x - (1/2)*c^2*d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + (e^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*c^2) - (d^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*x^2) + (1/2)*e^2*x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2 + 4*d*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)] + b^2*c^2*d^2*Log[x] - (1/2)*b^2*c^2*d^2*Log[1 + c^2*x^2] + (b^2*e^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^2) - 2*I*b*d*e*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + 2*I*b*d*e*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)] - b^2*d*e*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)] + b^2*d*e*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2/(d + e*x^2), x, 11, -((a*b*x)/(c*e)) - (b^2*x*ArcTan[c*x])/(c*e) + (a + b*ArcTan[c*x])^2/(2*c^2*e) + (x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*e) + (d*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/e^2 - (d*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e^2) - (d*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e^2) + (b^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^2*e) - (I*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/e^2 + (I*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e^2) + (I*b*d*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e^2) + (b^2*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e^2) - (b^2*d*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*e^2) - (b^2*d*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*e^2)}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2/(d + e*x^2), x, 10, (I*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(c*e) + (x*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/e + (2*b*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(c*e) + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e^(3/2)) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e^(3/2)) + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(c*e) - (I*b*Sqrt[-d]*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e^(3/2)) + (I*b*Sqrt[-d]*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e^(3/2)) + (b^2*Sqrt[-d]*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*e^(3/2)) - (b^2*Sqrt[-d]*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*e^(3/2))}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])^2/(d + e*x^2), x, 4, -(((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/e) + ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e) + ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e) + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/e - (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e) - (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e) - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e) + (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*e) + (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*e)}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])^2/(d + e*x^2), x, 4, ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*Sqrt[-d]*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(x^1*(d + e*x^2)), x, 12, (2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)])/d + ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/d - ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d) - ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d) - (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/d - (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/d + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d) + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d) + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*d) - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*d) + (b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/(2*d) - (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d) - (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(x^2*(d + e*x^2)), x, 9, -((I*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/d) - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(d*x) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*(-d)^(3/2)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*(-d)^(3/2)) + (2*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)])/d - (I*b^2*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)])/d - (I*b*Sqrt[e]*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*(-d)^(3/2)) + (I*b*Sqrt[e]*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*(-d)^(3/2)) + (b^2*Sqrt[e]*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*(-d)^(3/2)) - (b^2*Sqrt[e]*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*(-d)^(3/2))}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(x^3*(d + e*x^2)), x, 21, -((b*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d*x)) - (c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*d) - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(2*d*x^2) - (2*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^2 + (b^2*c^2*Log[x])/d - (e*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/d^2 + (e*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^2) + (e*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^2) - (b^2*c^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*d) + (I*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/d^2 + (I*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^2 - (I*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d^2 - (I*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^2) - (I*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^2) - (b^2*e*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*d^2) + (b^2*e*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*d^2) - (b^2*e*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/(2*d^2) + (b^2*e*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d^2) + (b^2*e*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d^2)}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])^2/(d + e*x^2)^2, x, 33, -((c^2*d*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*(c^2*d - e)*e^2)) + (a + b*ArcTan[c*x])^2/(4*e^2*(1 - (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d])) + (a + b*ArcTan[c*x])^2/(4*e^2*(1 + (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d])) - ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/e^2 - (b*c*Sqrt[-d]*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*(c^2*d - e)*e^(3/2)) + ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e^2) + (b*c*Sqrt[-d]*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*(c^2*d - e)*e^(3/2)) + ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e^2) + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/e^2 + (I*b^2*c*Sqrt[-d]*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*(c^2*d - e)*e^(3/2)) - (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e^2) - (I*b^2*c*Sqrt[-d]*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*(c^2*d - e)*e^(3/2)) - (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*e^2) - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*e^2) + (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*e^2) + (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*e^2)}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2/(d + e*x^2)^2, x, 38, -((I*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*(c^2*d - e)*e)) + (a + b*ArcTan[c*x])^2/(4*e^(3/2)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(4*e^(3/2)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) + (b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/((c^2*d - e)*e) - (b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/((c^2*d - e)*e) - (b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*(c^2*d - e)*e) + ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - (b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*(c^2*d - e)*e) - ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - (I*b^2*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*(c^2*d - e)*e) - (I*b^2*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*(c^2*d - e)*e) + (I*b^2*c*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*(c^2*d - e)*e) - (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + (I*b^2*c*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*(c^2*d - e)*e) + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(8*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(8*Sqrt[-d]*e^(3/2))}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])^2/(d + e*x^2)^2, x, 27, (c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*(c^2*d - e)*e) - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(4*d*e*(1 - (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d])) - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(4*d*e*(1 + (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d])) - (b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*Sqrt[-d]*(c^2*d - e)*Sqrt[e]) + (b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*Sqrt[-d]*(c^2*d - e)*Sqrt[e]) + (I*b^2*c*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*Sqrt[-d]*(c^2*d - e)*Sqrt[e]) - (I*b^2*c*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*Sqrt[-d]*(c^2*d - e)*Sqrt[e])}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])^2/(d + e*x^2)^2, x, 32, (I*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*d*(c^2*d - e)) - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(4*d*Sqrt[e]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) + (a + b*ArcTan[c*x])^2/(4*d*Sqrt[e]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) - (b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/(d*(c^2*d - e)) + (b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(d*(c^2*d - e)) + (b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d*(c^2*d - e)) - ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d*(c^2*d - e)) + ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (I*b^2*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*d*(c^2*d - e)) + (I*b^2*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*d*(c^2*d - e)) - (I*b^2*c*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d*(c^2*d - e)) + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (I*b^2*c*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d*(c^2*d - e)) - (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(8*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(8*(-d)^(3/2)*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(x^1*(d + e*x^2)^2), x, 39, -((c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*d*(c^2*d - e))) + (a + b*ArcTan[c*x])^2/(4*d^2*(1 - (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d])) + (a + b*ArcTan[c*x])^2/(4*d^2*(1 + (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d])) + (2*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^2 + ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/d^2 - (b*c*Sqrt[e]*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*(-d)^(3/2)*(c^2*d - e)) - ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^2) + (b*c*Sqrt[e]*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*(-d)^(3/2)*(c^2*d - e)) - ((a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^2) - (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/d^2 - (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^2 + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d^2 + (I*b^2*c*Sqrt[e]*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*(-d)^(3/2)*(c^2*d - e)) + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^2) - (I*b^2*c*Sqrt[e]*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*(-d)^(3/2)*(c^2*d - e)) + (I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^2) + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*d^2) - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*d^2) + (b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/(2*d^2) - (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d^2) - (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d^2)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(x^2*(d + e*x^2)^2), x, 42, -((I*c*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/d^2) - (I*c*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*d^2*(c^2*d - e)) - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(d^2*x) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*d^2*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*d^2*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) + (b*c*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)])/(d^2*(c^2*d - e)) - (b*c*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2/(1 + I*c*x)])/(d^2*(c^2*d - e)) - (b*c*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^2*(c^2*d - e)) - (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*(-d)^(5/2)) - (b*c*e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^2*(c^2*d - e)) + (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*(-d)^(5/2)) + (2*b*c*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[2 - 2/(1 - I*c*x)])/d^2 - (I*b^2*c*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*d^2*(c^2*d - e)) - (I*b^2*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*c*x)])/d^2 - (I*b^2*c*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/(2*d^2*(c^2*d - e)) + (I*b^2*c*e*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d^2*(c^2*d - e)) + (3*I*b*Sqrt[e]*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*(-d)^(5/2)) + (I*b^2*c*e*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*d^2*(c^2*d - e)) - (3*I*b*Sqrt[e]*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*(-d)^(5/2)) - (3*b^2*Sqrt[e]*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(8*(-d)^(5/2)) + (3*b^2*Sqrt[e]*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(8*(-d)^(5/2))}
+{(a + b*ArcTan[c*x])^2/(x^3*(d + e*x^2)^2), x, 47, -((b*c*(a + b*ArcTan[c*x]))/(d^2*x)) - (c^2*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*d^2) + (c^2*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(2*d^2*(c^2*d - e)) - (a + b*ArcTan[c*x])^2/(2*d^2*x^2) - (e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*d^3*(1 - (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d])) - (e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(4*d^3*(1 + (Sqrt[e]*x)/Sqrt[-d])) - (4*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^3 + (b^2*c^2*Log[x])/d^2 - (2*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[2/(1 - I*c*x)])/d^3 - (b*c*e^(3/2)*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*(-d)^(5/2)*(c^2*d - e)) + (e*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/d^3 + (b*c*e^(3/2)*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*(-d)^(5/2)*(c^2*d - e)) + (e*(a + b*ArcTan[c*x])^2*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/d^3 - (b^2*c^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*d^2) + (2*I*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/d^3 + (2*I*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^3 - (2*I*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d^3 + (I*b^2*c*e^(3/2)*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*(-d)^(5/2)*(c^2*d - e)) - (I*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/d^3 - (I*b^2*c*e^(3/2)*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(4*(-d)^(5/2)*(c^2*d - e)) - (I*b*e*(a + b*ArcTan[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/d^3 - (b^2*e*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/d^3 + (b^2*e*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*c*x)])/d^3 - (b^2*e*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*c*x)])/d^3 + (b^2*e*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] - I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^3) + (b^2*e*PolyLog[3, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x))/((c*Sqrt[-d] + I*Sqrt[e])*(1 - I*c*x))])/(2*d^3)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (h x)^m (d+e Log[f+g x^2]) (a+b ArcTan[c x])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e Log[f+g x^2]) (a+b ArcTan[c x])*)
+
+
+{x^4*ArcTan[x]*Log[1 + x^2], x, 24, -((77*x^2)/300) + (9*x^4)/200 - (2/5)*x*ArcTan[x] + (2/15)*x^3*ArcTan[x] - (2/25)*x^5*ArcTan[x] + ArcTan[x]^2/5 + (137/300)*Log[1 + x^2] + (1/10)*x^2*Log[1 + x^2] - (1/20)*x^4*Log[1 + x^2] + (1/5)*x^5*ArcTan[x]*Log[1 + x^2] - (1/20)*Log[1 + x^2]^2}
+{x^3*ArcTan[x]*Log[1 + x^2], x, 14, -((25*x)/24) + (7*x^3)/72 + (25*ArcTan[x])/24 + (1/4)*x^2*ArcTan[x] - (1/8)*x^4*ArcTan[x] + (1/4)*x*Log[1 + x^2] - (1/12)*x^3*Log[1 + x^2] - (1/4)*ArcTan[x]*Log[1 + x^2] + (1/4)*x^4*ArcTan[x]*Log[1 + x^2]}
+{x^2*ArcTan[x]*Log[1 + x^2], x, 19, (5*x^2)/18 + (2/3)*x*ArcTan[x] - (2/9)*x^3*ArcTan[x] - ArcTan[x]^2/3 - (11/18)*Log[1 + x^2] - (1/6)*x^2*Log[1 + x^2] + (1/3)*x^3*ArcTan[x]*Log[1 + x^2] + (1/12)*Log[1 + x^2]^2}
+{x^1*ArcTan[x]*Log[1 + x^2], x, 7, (3*x)/2 - (3*ArcTan[x])/2 - (1/2)*x^2*ArcTan[x] - (1/2)*x*Log[1 + x^2] + (1/2)*(1 + x^2)*ArcTan[x]*Log[1 + x^2]}
+{x^0*ArcTan[x]*Log[1 + x^2], x, 8, -2*x*ArcTan[x] + ArcTan[x]^2 + Log[1 + x^2] + x*ArcTan[x]*Log[1 + x^2] - (1/4)*Log[1 + x^2]^2}
+{ArcTan[x]*Log[1 + x^2]/x^1, x, 12, (-(1/2))*I*Log[1 + I*x]^2*Log[(-I)*x] + (1/2)*I*Log[1 - I*x]^2*Log[I*x] + I*Log[1 - I*x]*PolyLog[2, 1 - I*x] - I*Log[1 + I*x]*PolyLog[2, 1 + I*x] - (1/2)*I*(Log[1 - I*x] + Log[1 + I*x] - Log[1 + x^2])*PolyLog[2, (-I)*x] + (1/2)*I*(Log[1 - I*x] + Log[1 + I*x] - Log[1 + x^2])*PolyLog[2, I*x] - I*PolyLog[3, 1 - I*x] + I*PolyLog[3, 1 + I*x]}
+{ArcTan[x]*Log[1 + x^2]/x^2, x, 8, ArcTan[x]^2 - (ArcTan[x]*Log[1 + x^2])/x - (1/4)*Log[1 + x^2]^2 - (1/2)*PolyLog[2, -x^2]}
+{ArcTan[x]*Log[1 + x^2]/x^3, x, 6, ArcTan[x] - Log[1 + x^2]/(2*x) - (1/2)*ArcTan[x]*Log[1 + x^2] - (ArcTan[x]*Log[1 + x^2])/(2*x^2) + (1/2)*I*PolyLog[2, (-I)*x] - (1/2)*I*PolyLog[2, I*x]}
+{ArcTan[x]*Log[1 + x^2]/x^4, x, 18, -((2*ArcTan[x])/(3*x)) - ArcTan[x]^2/3 + Log[x] - (1/2)*Log[1 + x^2] - Log[1 + x^2]/(6*x^2) - (ArcTan[x]*Log[1 + x^2])/(3*x^3) + (1/12)*Log[1 + x^2]^2 + (1/6)*PolyLog[2, -x^2]}
+{ArcTan[x]*Log[1 + x^2]/x^5, x, 12, -(5/(12*x)) - (11*ArcTan[x])/12 - ArcTan[x]/(4*x^2) - Log[1 + x^2]/(12*x^3) + Log[1 + x^2]/(4*x) + (1/4)*ArcTan[x]*Log[1 + x^2] - (ArcTan[x]*Log[1 + x^2])/(4*x^4) - (1/4)*I*PolyLog[2, (-I)*x] + (1/4)*I*PolyLog[2, I*x]}
+{ArcTan[x]*Log[1 + x^2]/x^6, x, 26, -(7/(60*x^2)) - (2*ArcTan[x])/(15*x^3) + (2*ArcTan[x])/(5*x) + ArcTan[x]^2/5 - (5*Log[x])/6 + (5/12)*Log[1 + x^2] - Log[1 + x^2]/(20*x^4) + Log[1 + x^2]/(10*x^2) - (ArcTan[x]*Log[1 + x^2])/(5*x^5) - (1/20)*Log[1 + x^2]^2 - (1/10)*PolyLog[2, -x^2]}
+
+
+{x^4*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]), x, 26, -((2*a*e*x)/(5*c^4)) - (77*b*e*x^2)/(300*c^3) + (2*a*e*x^3)/(15*c^2) + (9*b*e*x^4)/(200*c) - (2/25)*a*e*x^5 + (2*a*e*ArcTan[c*x])/(5*c^5) - (2*b*e*x*ArcTan[c*x])/(5*c^4) + (2*b*e*x^3*ArcTan[c*x])/(15*c^2) - (2/25)*b*e*x^5*ArcTan[c*x] + (b*e*ArcTan[c*x]^2)/(5*c^5) + (137*b*e*Log[1 + c^2*x^2])/(300*c^5) + (b*e*Log[1 + c^2*x^2]^2)/(20*c^5) + (b*x^2*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]))/(10*c^3) - (b*x^4*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]))/(20*c) + (1/5)*x^5*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]) - (b*Log[1 + c^2*x^2]*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]))/(10*c^5)}
+{x^3*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]), x, 14, (b*(2*d - 3*e)*x)/(8*c^3) - (2*b*e*x)/(3*c^3) - (b*(2*d - e)*x^3)/(24*c) + (b*e*x^3)/(18*c) - (b*(2*d - 3*e)*ArcTan[c*x])/(8*c^4) + (2*b*e*ArcTan[c*x])/(3*c^4) + (e*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]))/(4*c^2) - (1/8)*e*x^4*(a + b*ArcTan[c*x]) + (b*e*x*Log[1 + c^2*x^2])/(4*c^3) - (b*e*x^3*Log[1 + c^2*x^2])/(12*c) - (e*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[1 + c^2*x^2])/(4*c^4) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2])}
+{x^2*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]), x, 21, (2*a*e*x)/(3*c^2) + (5*b*e*x^2)/(18*c) - (2/9)*a*e*x^3 - (2*a*e*ArcTan[c*x])/(3*c^3) + (2*b*e*x*ArcTan[c*x])/(3*c^2) - (2/9)*b*e*x^3*ArcTan[c*x] - (b*e*ArcTan[c*x]^2)/(3*c^3) - (11*b*e*Log[1 + c^2*x^2])/(18*c^3) - (b*e*Log[1 + c^2*x^2]^2)/(12*c^3) - (b*x^2*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]))/(6*c) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]) + (b*Log[1 + c^2*x^2]*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]))/(6*c^3)}
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]), x, 7, -((b*(d - e)*x)/(2*c)) + (b*e*x)/c + (b*(d - e)*ArcTan[c*x])/(2*c^2) - (b*e*ArcTan[c*x])/c^2 + (1/2)*d*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) - (1/2)*e*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) - (b*e*x*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c) + (e*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^2)}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]), x, 9, -2*a*e*x - 2*b*e*x*ArcTan[c*x] + (e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(b*c) + (b*e*Log[1 + c^2*x^2])/c + x*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]) - (b*(d + e*Log[1 + c^2*x^2])^2)/(4*c*e)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2])/x^1, x, 18, a*d*Log[x] + (1/2)*I*b*e*Log[I*c*x]*Log[1 - I*c*x]^2 - (1/2)*I*b*e*Log[(-I)*c*x]*Log[1 + I*c*x]^2 + (1/2)*I*b*d*PolyLog[2, (-I)*c*x] - (1/2)*I*b*e*(Log[1 - I*c*x] + Log[1 + I*c*x] - Log[1 + c^2*x^2])*PolyLog[2, (-I)*c*x] - (1/2)*I*b*d*PolyLog[2, I*c*x] + (1/2)*I*b*e*(Log[1 - I*c*x] + Log[1 + I*c*x] - Log[1 + c^2*x^2])*PolyLog[2, I*c*x] - (1/2)*a*e*PolyLog[2, (-c^2)*x^2] + I*b*e*Log[1 - I*c*x]*PolyLog[2, 1 - I*c*x] - I*b*e*Log[1 + I*c*x]*PolyLog[2, 1 + I*c*x] - I*b*e*PolyLog[3, 1 - I*c*x] + I*b*e*PolyLog[3, 1 + I*c*x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2])/x^2, x, 6, (c*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/b - ((a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]))/x + (1/2)*b*c*(d + e*Log[1 + c^2*x^2])*Log[1 - 1/(1 + c^2*x^2)] - (1/2)*b*c*e*PolyLog[2, 1/(1 + c^2*x^2)]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2])/x^3, x, 10, b*c^2*e*ArcTan[c*x] + a*c^2*e*Log[x] - (1/2)*a*c^2*e*Log[1 + c^2*x^2] - (b*c*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]))/(2*x) - (1/2)*b*c^2*ArcTan[c*x]*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]) - ((a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]))/(2*x^2) + (1/2)*I*b*c^2*e*PolyLog[2, (-I)*c*x] - (1/2)*I*b*c^2*e*PolyLog[2, I*c*x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2])/x^4, x, 15, -((2*c^2*e*(a + b*ArcTan[c*x]))/(3*x)) - (c^3*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(3*b) + b*c^3*e*Log[x] - (1/3)*b*c^3*e*Log[1 + c^2*x^2] - (b*c*(1 + c^2*x^2)*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]))/(6*x^2) - ((a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]))/(3*x^3) - (1/6)*b*c^3*(d + e*Log[1 + c^2*x^2])*Log[1 - 1/(1 + c^2*x^2)] + (1/6)*b*c^3*e*PolyLog[2, 1/(1 + c^2*x^2)]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2])/x^5, x, 15, -((a*c^2*e)/(4*x^2)) - (5*b*c^3*e)/(12*x) - (11/12)*b*c^4*e*ArcTan[c*x] - (b*c^2*e*ArcTan[c*x])/(4*x^2) - (1/2)*a*c^4*e*Log[x] + (1/4)*a*c^4*e*Log[1 + c^2*x^2] - (b*c*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]))/(12*x^3) + (b*c^3*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]))/(4*x) + (1/4)*b*c^4*ArcTan[c*x]*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]) - ((a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]))/(4*x^4) - (1/4)*I*b*c^4*e*PolyLog[2, (-I)*c*x] + (1/4)*I*b*c^4*e*PolyLog[2, I*c*x]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2])/x^6, x, 24, -((7*b*c^3*e)/(60*x^2)) - (2*c^2*e*(a + b*ArcTan[c*x]))/(15*x^3) + (2*c^4*e*(a + b*ArcTan[c*x]))/(5*x) + (c^5*e*(a + b*ArcTan[c*x])^2)/(5*b) - (5/6)*b*c^5*e*Log[x] + (19/60)*b*c^5*e*Log[1 + c^2*x^2] - (b*c*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]))/(20*x^4) + (b*c^3*(1 + c^2*x^2)*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]))/(10*x^2) - ((a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[1 + c^2*x^2]))/(5*x^5) + (1/10)*b*c^5*(d + e*Log[1 + c^2*x^2])*Log[1 - 1/(1 + c^2*x^2)] - (1/10)*b*c^5*e*PolyLog[2, 1/(1 + c^2*x^2)]}
+
+
+{x^1*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2]), x, 21, -((b*(d - e)*x)/(2*c)) + (b*e*x)/c + (b*(d - e)*ArcTan[c*x])/(2*c^2) + (1/2)*d*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) - (1/2)*e*x^2*(a + b*ArcTan[c*x]) - (b*e*Sqrt[f]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/(c*Sqrt[g]) - (b*e*(c^2*f - g)*ArcTan[c*x]*Log[2/(1 - I*c*x)])/(c^2*g) + (b*e*(c^2*f - g)*ArcTan[c*x]*Log[(2*c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] - I*Sqrt[g])*(1 - I*c*x))])/(2*c^2*g) + (b*e*(c^2*f - g)*ArcTan[c*x]*Log[(2*c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] + I*Sqrt[g])*(1 - I*c*x))])/(2*c^2*g) - (b*e*x*Log[f + g*x^2])/(2*c) - (b*e*(c^2*f - g)*ArcTan[c*x]*Log[f + g*x^2])/(2*c^2*g) + (e*(f + g*x^2)*(a + b*ArcTan[c*x])*Log[f + g*x^2])/(2*g) + (I*b*e*(c^2*f - g)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*c^2*g) - (I*b*e*(c^2*f - g)*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] - I*Sqrt[g])*(1 - I*c*x))])/(4*c^2*g) - (I*b*e*(c^2*f - g)*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] + I*Sqrt[g])*(1 - I*c*x))])/(4*c^2*g)}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2]), x, 28, -2*a*e*x - 2*b*e*x*ArcTan[c*x] + (2*a*e*Sqrt[f]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/Sqrt[g] + (I*b*e*Sqrt[-f]*Log[1 + I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(c*Sqrt[-f] - I*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[g]) - (I*b*e*Sqrt[-f]*Log[1 - I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(c*Sqrt[-f] + I*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[g]) + (I*b*e*Sqrt[-f]*Log[1 - I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(c*Sqrt[-f] - I*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[g]) - (I*b*e*Sqrt[-f]*Log[1 + I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(c*Sqrt[-f] + I*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[g]) + (b*e*Log[1 + c^2*x^2])/c + x*(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2]) - (b*Log[-((g*(1 + c^2*x^2))/(c^2*f - g))]*(d + e*Log[f + g*x^2]))/(2*c) - (I*b*e*Sqrt[-f]*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(I - c*x))/(c*Sqrt[-f] + I*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[g]) + (I*b*e*Sqrt[-f]*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(1 - I*c*x))/(I*c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])])/(2*Sqrt[g]) + (I*b*e*Sqrt[-f]*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(1 + I*c*x))/(I*c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])])/(2*Sqrt[g]) - (I*b*e*Sqrt[-f]*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(I + c*x))/(c*Sqrt[-f] + I*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[g]) - (b*e*PolyLog[2, (c^2*(f + g*x^2))/(c^2*f - g)])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2])/x^1, x, 8, b*e*CannotIntegrate[(ArcTan[c*x]*Log[f + g*x^2])/x, x] + a*d*Log[x] + (1/2)*a*e*Log[-((g*x^2)/f)]*Log[f + g*x^2] + (1/2)*I*b*d*PolyLog[2, (-I)*c*x] - (1/2)*I*b*d*PolyLog[2, I*c*x] + (1/2)*a*e*PolyLog[2, 1 + (g*x^2)/f]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2])/x^2, x, 28, (2*a*e*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/Sqrt[f] - (I*b*e*Sqrt[g]*Log[1 + I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(c*Sqrt[-f] - I*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]) + (I*b*e*Sqrt[g]*Log[1 - I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(c*Sqrt[-f] + I*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]) - (I*b*e*Sqrt[g]*Log[1 - I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(c*Sqrt[-f] - I*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]) + (I*b*e*Sqrt[g]*Log[1 + I*c*x]*Log[(c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(c*Sqrt[-f] + I*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]) - ((a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2]))/x + (1/2)*b*c*Log[-((g*x^2)/f)]*(d + e*Log[f + g*x^2]) - (1/2)*b*c*Log[-((g*(1 + c^2*x^2))/(c^2*f - g))]*(d + e*Log[f + g*x^2]) + (I*b*e*Sqrt[g]*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(I - c*x))/(c*Sqrt[-f] + I*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]) - (I*b*e*Sqrt[g]*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(1 - I*c*x))/(I*c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]) - (I*b*e*Sqrt[g]*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(1 + I*c*x))/(I*c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]) + (I*b*e*Sqrt[g]*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(I + c*x))/(c*Sqrt[-f] + I*Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]) - (1/2)*b*c*e*PolyLog[2, (c^2*(f + g*x^2))/(c^2*f - g)] + (1/2)*b*c*e*PolyLog[2, 1 + (g*x^2)/f]}
+{(a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2])/x^3, x, 22, (b*c*e*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/Sqrt[f] + (a*e*g*Log[x])/f - (b*e*(c^2*f - g)*ArcTan[c*x]*Log[2/(1 - I*c*x)])/f + (b*e*(c^2*f - g)*ArcTan[c*x]*Log[(2*c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] - I*Sqrt[g])*(1 - I*c*x))])/(2*f) + (b*e*(c^2*f - g)*ArcTan[c*x]*Log[(2*c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] + I*Sqrt[g])*(1 - I*c*x))])/(2*f) - (a*e*g*Log[f + g*x^2])/(2*f) - (b*c*(d + e*Log[f + g*x^2]))/(2*x) - (1/2)*b*c^2*ArcTan[c*x]*(d + e*Log[f + g*x^2]) - ((a + b*ArcTan[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2]))/(2*x^2) + (I*b*e*g*PolyLog[2, (-I)*c*x])/(2*f) - (I*b*e*g*PolyLog[2, I*c*x])/(2*f) + (I*b*e*(c^2*f - g)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)])/(2*f) - (I*b*e*(c^2*f - g)*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] - I*Sqrt[g])*(1 - I*c*x))])/(4*f) - (I*b*e*(c^2*f - g)*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] + I*Sqrt[g])*(1 - I*c*x))])/(4*f)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.5 u (a+b arctan(c+d x))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.5 u (a+b arctan(c+d x))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..d0ea16d1
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.5 u (a+b arctan(c+d x))^p.m	
@@ -0,0 +1,164 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcTan[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b ArcTan[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b ArcTan[c+d x])^p when d e-c f=0*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcTan[c + d*x]), x, 6, (b*e^3*x)/4 - (b*e^3*(c + d*x)^3)/(12*d) - (b*e^3*ArcTan[c + d*x])/(4*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcTan[c + d*x]))/(4*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcTan[c + d*x]), x, 6, -(b*e^2*(c + d*x)^2)/(6*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcTan[c + d*x]))/(3*d) + (b*e^2*Log[1 + (c + d*x)^2])/(6*d)}
+{(c*e + d*e*x)^1*(a + b*ArcTan[c + d*x]), x, 5, -(b*e*x)/2 + (b*e*ArcTan[c + d*x])/(2*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcTan[c + d*x]))/(2*d)}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^1, x, 5, (a*Log[c + d*x])/(d*e) + ((I/2)*b*PolyLog[2, (-I)*(c + d*x)])/(d*e) - ((I/2)*b*PolyLog[2, I*(c + d*x)])/(d*e)}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^2, x, 7, -((a + b*ArcTan[c + d*x])/(d*e^2*(c + d*x))) + (b*Log[c + d*x])/(d*e^2) - (b*Log[1 + (c + d*x)^2])/(2*d*e^2)}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^3, x, 5, -b/(2*d*e^3*(c + d*x)) - (b*ArcTan[c + d*x])/(2*d*e^3) - (a + b*ArcTan[c + d*x])/(2*d*e^3*(c + d*x)^2)}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2, x, 13, (a*b*e^3*x)/2 + (b^2*e^3*(c + d*x)^2)/(12*d) + (b^2*e^3*(c + d*x)*ArcTan[c + d*x])/(2*d) - (b*e^3*(c + d*x)^3*(a + b*ArcTan[c + d*x]))/(6*d) - (e^3*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(4*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(4*d) - (b^2*e^3*Log[1 + (c + d*x)^2])/(3*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2, x, 11, (b^2*e^2*x)/3 - (b^2*e^2*ArcTan[c + d*x])/(3*d) - (b*e^2*(c + d*x)^2*(a + b*ArcTan[c + d*x]))/(3*d) - ((I/3)*e^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/d + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(3*d) - (2*b*e^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/(3*d) - ((I/3)*b^2*e^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/d}
+{(c*e + d*e*x)^1*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2, x, 8, -(a*b*e*x) - (b^2*e*(c + d*x)*ArcTan[c + d*x])/d + (e*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(2*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(2*d) + (b^2*e*Log[1 + (c + d*x)^2])/(2*d)}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^1, x, 8, (2*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(d*e) - (I*b*(a + b*ArcTan[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(d*e) + (I*b*(a + b*ArcTan[c + d*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*(c + d*x))])/(d*e) - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(2*d*e) + (b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*(c + d*x))])/(2*d*e)}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^2, x, 6, ((-I)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(d*e^2) - (a + b*ArcTan[c + d*x])^2/(d*e^2*(c + d*x)) + (2*b*(a + b*ArcTan[c + d*x])*Log[2 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(d*e^2) - (I*b^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*(c + d*x))])/(d*e^2)}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^3, x, 10, -((b*(a + b*ArcTan[c + d*x]))/(d*e^3*(c + d*x))) - (a + b*ArcTan[c + d*x])^2/(2*d*e^3) - (a + b*ArcTan[c + d*x])^2/(2*d*e^3*(c + d*x)^2) + (b^2*Log[c + d*x])/(d*e^3) - (b^2*Log[1 + (c + d*x)^2])/(2*d*e^3)}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^4, x, 10, -b^2/(3*d*e^4*(c + d*x)) - (b^2*ArcTan[c + d*x])/(3*d*e^4) - (b*(a + b*ArcTan[c + d*x]))/(3*d*e^4*(c + d*x)^2) + ((I/3)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(d*e^4) - (a + b*ArcTan[c + d*x])^2/(3*d*e^4*(c + d*x)^3) - (2*b*(a + b*ArcTan[c + d*x])*Log[2 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(3*d*e^4) + ((I/3)*b^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*(c + d*x))])/(d*e^4)}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^5, x, 15, -b^2/(12*d*e^5*(c + d*x)^2) - (b*(a + b*ArcTan[c + d*x]))/(6*d*e^5*(c + d*x)^3) + (b*(a + b*ArcTan[c + d*x]))/(2*d*e^5*(c + d*x)) + (a + b*ArcTan[c + d*x])^2/(4*d*e^5) - (a + b*ArcTan[c + d*x])^2/(4*d*e^5*(c + d*x)^4) - (2*b^2*Log[c + d*x])/(3*d*e^5) + (b^2*Log[1 + (c + d*x)^2])/(3*d*e^5)}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3, x, 14, a*b^2*e^2*x + (b^3*e^2*(c + d*x)*ArcTan[c + d*x])/d - (b*e^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(2*d) - (b*e^2*(c + d*x)^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(2*d) - ((I/3)*e^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3)/d + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3)/(3*d) - (b*e^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/d - (b^3*e^2*Log[1 + (c + d*x)^2])/(2*d) - (I*b^2*e^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/d - (b^3*e^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(2*d)}
+{(c*e + d*e*x)^1*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3, x, 10, (((-3*I)/2)*b*e*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/d - (3*b*e*(c + d*x)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(2*d) + (e*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3)/(2*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3)/(2*d) - (3*b^2*e*(a + b*ArcTan[c + d*x])*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/d - (((3*I)/2)*b^3*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/d}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^1, x, 10, (2*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3*ArcTanh[1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(d*e) - (((3*I)/2)*b*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(d*e) + (((3*I)/2)*b*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + I*(c + d*x))])/(d*e) - (3*b^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(2*d*e) + (3*b^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + I*(c + d*x))])/(2*d*e) + (((3*I)/4)*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(d*e) - (((3*I)/4)*b^3*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + I*(c + d*x))])/(d*e)}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^2, x, 7, ((-I)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3)/(d*e^2) - (a + b*ArcTan[c + d*x])^3/(d*e^2*(c + d*x)) + (3*b*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2*Log[2 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(d*e^2) - ((3*I)*b^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*(c + d*x))])/(d*e^2) + (3*b^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*(c + d*x))])/(2*d*e^2)}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^3, x, 9, (((-3*I)/2)*b*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(d*e^3) - (3*b*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(2*d*e^3*(c + d*x)) - (a + b*ArcTan[c + d*x])^3/(2*d*e^3) - (a + b*ArcTan[c + d*x])^3/(2*d*e^3*(c + d*x)^2) + (3*b^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])*Log[2 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(d*e^3) - (((3*I)/2)*b^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*(c + d*x))])/(d*e^3)}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^4, x, 16, -((b^2*(a + b*ArcTan[c + d*x]))/(d*e^4*(c + d*x))) - (b*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(2*d*e^4) - (b*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(2*d*e^4*(c + d*x)^2) + ((I/3)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3)/(d*e^4) - (a + b*ArcTan[c + d*x])^3/(3*d*e^4*(c + d*x)^3) + (b^3*Log[c + d*x])/(d*e^4) - (b^3*Log[1 + (c + d*x)^2])/(2*d*e^4) - (b*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2*Log[2 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(d*e^4) + (I*b^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*(c + d*x))])/(d*e^4) - (b^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*(c + d*x))])/(2*d*e^4)}
+
+
+{ArcTan[1 + x]/(2 + 2*x), x, 5, (1/4)*I*PolyLog[2, (-I)*(1 + x)] - (1/4)*I*PolyLog[2, I*(1 + x)]}
+
+
+{ArcTan[a + b*x]/((a*d)/b + d*x), x, 5, (I*PolyLog[2, (-I)*(a + b*x)])/(2*d) - (I*PolyLog[2, I*(a + b*x)])/(2*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b ArcTan[c+d x])^(p/2) when d e-c f=0*)
+
+
+{(a + b*x)^2*ArcTan[a + b*x]^(1/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*x)^2*Sqrt[ArcTan[a + b*x]], x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b ArcTan[c+d x])^p*)
+
+
+{(e + f*x)^3*(a + b*ArcTan[c + d*x]), x, 7, -((b*f*(6*d^2*e^2 - 12*c*d*e*f - (1 - 6*c^2)*f^2)*x)/(4*d^3)) - (b*f^2*(d*e - c*f)*(c + d*x)^2)/(2*d^4) - (b*f^3*(c + d*x)^3)/(12*d^4) - (b*(d^4*e^4 - 4*c*d^3*e^3*f - 6*(1 - c^2)*d^2*e^2*f^2 + 4*c*(3 - c^2)*d*e*f^3 + (1 - 6*c^2 + c^4)*f^4)*ArcTan[c + d*x])/(4*d^4*f) + ((e + f*x)^4*(a + b*ArcTan[c + d*x]))/(4*f) - (b*(d*e - c*f)*(d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)*Log[1 + (c + d*x)^2])/(2*d^4)}
+{(e + f*x)^2*(a + b*ArcTan[c + d*x]), x, 7, -((b*f*(d*e - c*f)*x)/d^2) - (b*f^2*(c + d*x)^2)/(6*d^3) - (b*(d*e - c*f)*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f - (3 - c^2)*f^2)*ArcTan[c + d*x])/(3*d^3*f) + ((e + f*x)^3*(a + b*ArcTan[c + d*x]))/(3*f) - (b*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f - (1 - 3*c^2)*f^2)*Log[1 + (c + d*x)^2])/(6*d^3)}
+{(e + f*x)^1*(a + b*ArcTan[c + d*x]), x, 7, -((b*f*x)/(2*d)) - (b*(d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)*ArcTan[c + d*x])/(2*d^2*f) + ((e + f*x)^2*(a + b*ArcTan[c + d*x]))/(2*f) - (b*(d*e - c*f)*Log[1 + (c + d*x)^2])/(2*d^2)}
+{(e + f*x)^0*(a + b*ArcTan[c + d*x]), x, 4, a*x + (b*(c + d*x)*ArcTan[c + d*x])/d - (b*Log[1 + (c + d*x)^2])/(2*d)}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])/(e + f*x)^1, x, 5, -(((a + b*ArcTan[c + d*x])*Log[2/(1 - I*(c + d*x))])/f) + ((a + b*ArcTan[c + d*x])*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/f + (I*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(2*f) - (I*b*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(2*f)}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])/(e + f*x)^2, x, 8, (b*d*(d*e - c*f)*ArcTan[c + d*x])/(f*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)) - (a + b*ArcTan[c + d*x])/(f*(e + f*x)) + (b*d*Log[e + f*x])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) - (b*d*Log[1 + c^2 + 2*c*d*x + d^2*x^2])/(2*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2))}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])/(e + f*x)^3, x, 9, -((b*d)/(2*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)*(e + f*x))) + (b*d^2*(d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)*ArcTan[c + d*x])/(2*f*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)^2) - (a + b*ArcTan[c + d*x])/(2*f*(e + f*x)^2) + (b*d^2*(d*e - c*f)*Log[e + f*x])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)^2 - (b*d^2*(d*e - c*f)*Log[1 + c^2 + 2*c*d*x + d^2*x^2])/(2*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)^2)}
+
+
+{(e + f*x)^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2, x, 16, (b^2*f^2*x)/(3*d^2) - (2*a*b*f*(d*e - c*f)*x)/d^2 - (b^2*f^2*ArcTan[c + d*x])/(3*d^3) - (2*b^2*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)*ArcTan[c + d*x])/d^3 - (b*f^2*(c + d*x)^2*(a + b*ArcTan[c + d*x]))/(3*d^3) + (I*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f - (1 - 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(3*d^3) - ((d*e - c*f)*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f - (3 - c^2)*f^2)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(3*d^3*f) + ((e + f*x)^3*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(3*f) + (2*b*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f - (1 - 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcTan[c + d*x])*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/(3*d^3) + (b^2*f*(d*e - c*f)*Log[1 + (c + d*x)^2])/d^3 + (I*b^2*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f - (1 - 3*c^2)*f^2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(3*d^3)}
+{(e + f*x)^1*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2, x, 13, -((a*b*f*x)/d) - (b^2*f*(c + d*x)*ArcTan[c + d*x])/d^2 + (I*(d*e - c*f)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/d^2 - ((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(2*d^2*f) + ((e + f*x)^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(2*f) + (2*b*(d*e - c*f)*(a + b*ArcTan[c + d*x])*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/d^2 + (b^2*f*Log[1 + (c + d*x)^2])/(2*d^2) + (I*b^2*(d*e - c*f)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/d^2}
+{(e + f*x)^0*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2, x, 6, (I*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/d + ((c + d*x)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/d + (2*b*(a + b*ArcTan[c + d*x])*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/d + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/d}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])^2/(e + f*x)^1, x, 2, -(((a + b*ArcTan[c + d*x])^2*Log[2/(1 - I*(c + d*x))])/f) + ((a + b*ArcTan[c + d*x])^2*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/f + (I*b*(a + b*ArcTan[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/f - (I*b*(a + b*ArcTan[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/f - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(2*f) + (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(2*f)}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])^2/(e + f*x)^2, x, 25, (2*a*b*d*(d*e - c*f)*ArcTan[c + d*x])/(f*(f^2 + (d*e - c*f)^2)) + (I*b^2*d*ArcTan[c + d*x]^2)/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (b^2*d*(d*e - c*f)*ArcTan[c + d*x]^2)/(f*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)) - (a + b*ArcTan[c + d*x])^2/(f*(e + f*x)) + (2*a*b*d*Log[e + f*x])/(f^2 + (d*e - c*f)^2) - (2*b^2*d*ArcTan[c + d*x]*Log[2/(1 - I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (2*b^2*d*ArcTan[c + d*x]*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (2*b^2*d*ArcTan[c + d*x]*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) - (a*b*d*Log[1 + (c + d*x)^2])/(f^2 + (d*e - c*f)^2) + (I*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) - (I*b^2*d*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (I*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)}
+
+
+{(e + f*x)^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3, x, 21, (a*b^2*f^2*x)/d^2 + (b^3*f^2*(c + d*x)*ArcTan[c + d*x])/d^3 - (b*f^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(2*d^3) - (3*I*b*f*(d*e - c*f)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/d^3 - (3*b*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/d^3 - (b*f^2*(c + d*x)^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(2*d^3) + (I*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f - (1 - 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3)/(3*d^3) - ((d*e - c*f)*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f - (3 - c^2)*f^2)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3)/(3*d^3*f) + ((e + f*x)^3*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3)/(3*f) - (6*b^2*f*(d*e - c*f)*(a + b*ArcTan[c + d*x])*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/d^3 + (b*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f - (1 - 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/d^3 - (b^3*f^2*Log[1 + (c + d*x)^2])/(2*d^3) - (3*I*b^3*f*(d*e - c*f)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/d^3 + (I*b^2*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f - (1 - 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcTan[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/d^3 + (b^3*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f - (1 - 3*c^2)*f^2)*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(2*d^3)}
+{(e + f*x)^1*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3, x, 15, -((3*I*b*f*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(2*d^2)) - (3*b*f*(c + d*x)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2)/(2*d^2) + (I*(d*e - c*f)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3)/d^2 - ((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3)/(2*d^2*f) + ((e + f*x)^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3)/(2*f) - (3*b^2*f*(a + b*ArcTan[c + d*x])*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/d^2 + (3*b*(d*e - c*f)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/d^2 - (3*I*b^3*f*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(2*d^2) + (3*I*b^2*(d*e - c*f)*(a + b*ArcTan[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/d^2 + (3*b^3*(d*e - c*f)*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(2*d^2)}
+{(e + f*x)^0*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3, x, 6, (I*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3)/d + ((c + d*x)*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3)/d + (3*b*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/d + (3*I*b^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/d + (3*b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(2*d)}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])^3/(e + f*x)^1, x, 2, -(((a + b*ArcTan[c + d*x])^3*Log[2/(1 - I*(c + d*x))])/f) + ((a + b*ArcTan[c + d*x])^3*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/f + (3*I*b*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(2*f) - (3*I*b*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(2*f) - (3*b^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(2*f) + (3*b^2*(a + b*ArcTan[c + d*x])*PolyLog[3, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(2*f) - (3*I*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(4*f) + (3*I*b^3*PolyLog[4, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(4*f)}
+{(a + b*ArcTan[c + d*x])^3/(e + f*x)^2, x, 35, (3*a^2*b*d*(d*e - c*f)*ArcTan[c + d*x])/(f*(f^2 + (d*e - c*f)^2)) + (3*I*a*b^2*d*ArcTan[c + d*x]^2)/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (3*a*b^2*d*(d*e - c*f)*ArcTan[c + d*x]^2)/(f*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)) + (I*b^3*d*ArcTan[c + d*x]^3)/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (b^3*d*(d*e - c*f)*ArcTan[c + d*x]^3)/(f*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)) - (a + b*ArcTan[c + d*x])^3/(f*(e + f*x)) + (3*a^2*b*d*Log[e + f*x])/(f^2 + (d*e - c*f)^2) - (6*a*b^2*d*ArcTan[c + d*x]*Log[2/(1 - I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) - (3*b^3*d*ArcTan[c + d*x]^2*Log[2/(1 - I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (6*a*b^2*d*ArcTan[c + d*x]*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (3*b^3*d*ArcTan[c + d*x]^2*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (6*a*b^2*d*ArcTan[c + d*x]*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (3*b^3*d*ArcTan[c + d*x]^2*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) - (3*a^2*b*d*Log[1 + (c + d*x)^2])/(2*(f^2 + (d*e - c*f)^2)) + (3*I*a*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (3*I*b^3*d*ArcTan[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) - (3*I*a*b^2*d*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) - (3*I*b^3*d*ArcTan[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (3*I*a*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (3*I*b^3*d*ArcTan[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) - (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(2*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)) + (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(2*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)) + (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(2*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b ArcTan[c+d x])^p with m symbolic*)
+
+
+{(e + f*x)^m*(a + b*ArcTan[c + d*x])^1, x, 6, ((e + f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcTan[c + d*x]))/(f*(1 + m)) - (I*b*d*(e + f*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (d*(e + f*x))/(d*e + I*f - c*f)])/(2*f*(d*e + (I - c)*f)*(1 + m)*(2 + m)) + (I*b*d*(e + f*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (d*(e + f*x))/(d*e - (I + c)*f)])/(2*f*(d*e - (I + c)*f)*(1 + m)*(2 + m))}
+{(e + f*x)^m*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2, x, 1, Unintegrable[(e + f*x)^m*(a + b*ArcTan[c + d*x])^2, x]}
+{(e + f*x)^m*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3, x, 1, Unintegrable[(e + f*x)^m*(a + b*ArcTan[c + d*x])^3, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form AF[x] (a+b ArcTan[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTan[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^3*ArcTan[a + b*x], x, 7, ((1 - 6*a^2)*x)/(4*b^3) + (a*(a + b*x)^2)/(2*b^4) - (a + b*x)^3/(12*b^4) - ((1 - 6*a^2 + a^4)*ArcTan[a + b*x])/(4*b^4) + (1/4)*x^4*ArcTan[a + b*x] - (a*(1 - a^2)*Log[1 + (a + b*x)^2])/(2*b^4)}
+{x^2*ArcTan[a + b*x], x, 7, (a*x)/b^2 - (a + b*x)^2/(6*b^3) - (a*(3 - a^2)*ArcTan[a + b*x])/(3*b^3) + (1/3)*x^3*ArcTan[a + b*x] + ((1 - 3*a^2)*Log[1 + (a + b*x)^2])/(6*b^3)}
+{x^1*ArcTan[a + b*x], x, 7, -(x/(2*b)) + ((1 - a^2)*ArcTan[a + b*x])/(2*b^2) + (1/2)*x^2*ArcTan[a + b*x] + (a*Log[1 + (a + b*x)^2])/(2*b^2)}
+{x^0*ArcTan[a + b*x], x, 3, ((a + b*x)*ArcTan[a + b*x])/b - Log[1 + (a + b*x)^2]/(2*b)}
+{ArcTan[a + b*x]/x^1, x, 5, (-ArcTan[a + b*x])*Log[2/(1 - I*(a + b*x))] + ArcTan[a + b*x]*Log[(2*b*x)/((I - a)*(1 - I*(a + b*x)))] + (1/2)*I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*(a + b*x))] - (1/2)*I*PolyLog[2, 1 - (2*b*x)/((I - a)*(1 - I*(a + b*x)))]}
+{ArcTan[a + b*x]/x^2, x, 7, -((a*b*ArcTan[a + b*x])/(1 + a^2)) - ArcTan[a + b*x]/x + (b*Log[x])/(1 + a^2) - (b*Log[1 + (a + b*x)^2])/(2*(1 + a^2))}
+{ArcTan[a + b*x]/x^3, x, 8, -(b/(2*(1 + a^2)*x)) - ((1 - a^2)*b^2*ArcTan[a + b*x])/(2*(1 + a^2)^2) - ArcTan[a + b*x]/(2*x^2) - (a*b^2*Log[x])/(1 + a^2)^2 + (a*b^2*Log[1 + (a + b*x)^2])/(2*(1 + a^2)^2)}
+{ArcTan[a + b*x]/x^4, x, 8, -(b/(6*(1 + a^2)*x^2)) + (2*a*b^2)/(3*(1 + a^2)^2*x) + (a*(3 - a^2)*b^3*ArcTan[a + b*x])/(3*(1 + a^2)^3) - ArcTan[a + b*x]/(3*x^3) - ((1 - 3*a^2)*b^3*Log[x])/(3*(1 + a^2)^3) + ((1 - 3*a^2)*b^3*Log[1 + (a + b*x)^2])/(6*(1 + a^2)^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x^n) ArcTan[a+b x]*)
+
+
+{ArcTan[a + b*x]/(c + d*x^3), x, 23, -((I*Log[1 + I*a + I*b*x]*Log[(b*(c^(1/3) + d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) + (I - a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3))) + (I*Log[1 - I*a - I*b*x]*Log[(b*(c^(1/3) + d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) - (I + a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(1/6)*Log[1 + I*a + I*b*x]*Log[(b*(c^(1/3) - (-1)^(1/3)*d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) - (-1)^(1/3)*(I - a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(1/6)*Log[1 - I*a - I*b*x]*Log[(b*(c^(1/3) - (-1)^(1/3)*d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) + (-1)^(1/3)*(I + a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(5/6)*Log[1 + I*a + I*b*x]*Log[(b*(c^(1/3) + (-1)^(2/3)*d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) + (-1)^(2/3)*(I - a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(5/6)*Log[1 - I*a - I*b*x]*Log[(b*(c^(1/3) + (-1)^(2/3)*d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) + (-1)^(1/6)*(1 - I*a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - (I*PolyLog[2, (d^(1/3)*(I - a - b*x))/(b*c^(1/3) + (I - a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(5/6)*PolyLog[2, -(((-1)^(1/6)*d^(1/3)*(I - a - b*x))/(I*b*c^(1/3) - (-1)^(1/6)*(I - a)*d^(1/3)))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(1/6)*PolyLog[2, -(((-1)^(1/3)*d^(1/3)*(I - a - b*x))/(b*c^(1/3) - (-1)^(1/3)*(I - a)*d^(1/3)))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + (I*PolyLog[2, -((d^(1/3)*(I + a + b*x))/(b*c^(1/3) - (I + a)*d^(1/3)))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(1/6)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*d^(1/3)*(I + a + b*x))/(b*c^(1/3) + (-1)^(1/3)*(I + a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(5/6)*PolyLog[2, -(((-1)^(2/3)*d^(1/3)*(I + a + b*x))/(b*c^(1/3) - (-1)^(2/3)*(I + a)*d^(1/3)))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3))}
+{ArcTan[a + b*x]/(c + d*x^2), x, 17, -((I*Log[1 + I*a + I*b*x]*Log[(b*(Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x))/(b*Sqrt[-c] - (I - a)*Sqrt[d])])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d])) + (I*Log[1 - I*a - I*b*x]*Log[(b*(Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x))/(b*Sqrt[-c] + (I + a)*Sqrt[d])])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + (I*Log[1 + I*a + I*b*x]*Log[(b*(Sqrt[-c] + Sqrt[d]*x))/(b*Sqrt[-c] + (I - a)*Sqrt[d])])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (I*Log[1 - I*a - I*b*x]*Log[(b*(Sqrt[-c] + Sqrt[d]*x))/(b*Sqrt[-c] - (I + a)*Sqrt[d])])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (I*PolyLog[2, -((Sqrt[d]*(I - a - b*x))/(b*Sqrt[-c] - (I - a)*Sqrt[d]))])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + (I*PolyLog[2, (Sqrt[d]*(I - a - b*x))/(b*Sqrt[-c] + (I - a)*Sqrt[d])])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (I*PolyLog[2, -((Sqrt[d]*(I + a + b*x))/(b*Sqrt[-c] - (I + a)*Sqrt[d]))])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + (I*PolyLog[2, (Sqrt[d]*(I + a + b*x))/(b*Sqrt[-c] + (I + a)*Sqrt[d])])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d])}
+{ArcTan[a + b*x]/(c + d*x), x, 5, -((ArcTan[a + b*x]*Log[2/(1 - I*(a + b*x))])/d) + (ArcTan[a + b*x]*Log[(2*b*(c + d*x))/((b*c + I*d - a*d)*(1 - I*(a + b*x)))])/d + (I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*(a + b*x))])/(2*d) - (I*PolyLog[2, 1 - (2*b*(c + d*x))/((b*c + I*d - a*d)*(1 - I*(a + b*x)))])/(2*d)}
+{ArcTan[a + b*x]/(c + d/x), x, 15, -(((1 + I*a + I*b*x)*Log[1 + I*a + I*b*x])/(2*b*c)) - ((1 - I*a - I*b*x)*Log[(-I)*(I + a + b*x)])/(2*b*c) - (I*d*Log[1 - I*a - I*b*x]*Log[-((b*(d + c*x))/((I + a)*c - b*d))])/(2*c^2) + (I*d*Log[1 + I*a + I*b*x]*Log[(b*(d + c*x))/((I - a)*c + b*d)])/(2*c^2) + (I*d*PolyLog[2, (c*(I - a - b*x))/(I*c - a*c + b*d)])/(2*c^2) - (I*d*PolyLog[2, (c*(I + a + b*x))/((I + a)*c - b*d)])/(2*c^2)}
+{ArcTan[a + b*x]/(c + d/x^2), x, 25, -(((1 + I*a + I*b*x)*Log[1 + I*a + I*b*x])/(2*b*c)) - ((1 - I*a - I*b*x)*Log[(-I)*(I + a + b*x)])/(2*b*c) + (I*Sqrt[d]*Log[1 + I*a + I*b*x]*Log[-((b*(Sqrt[d] - Sqrt[-c]*x))/(I*Sqrt[-c] - a*Sqrt[-c] - b*Sqrt[d]))])/(4*(-c)^(3/2)) - (I*Sqrt[d]*Log[1 - I*a - I*b*x]*Log[(b*(Sqrt[d] - Sqrt[-c]*x))/(I*Sqrt[-c] + a*Sqrt[-c] + b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) + (I*Sqrt[d]*Log[1 - I*a - I*b*x]*Log[-((b*(Sqrt[d] + Sqrt[-c]*x))/((I + a)*Sqrt[-c] - b*Sqrt[d]))])/(4*(-c)^(3/2)) - (I*Sqrt[d]*Log[1 + I*a + I*b*x]*Log[(b*(Sqrt[d] + Sqrt[-c]*x))/(I*Sqrt[-c] - a*Sqrt[-c] + b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) + (I*Sqrt[d]*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(I - a - b*x))/(I*Sqrt[-c] - a*Sqrt[-c] - b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) - (I*Sqrt[d]*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(1 + I*a + I*b*x))/((1 + I*a)*Sqrt[-c] - I*b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) + (I*Sqrt[d]*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(I + a + b*x))/(I*Sqrt[-c] + a*Sqrt[-c] - b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) - (I*Sqrt[d]*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(I + a + b*x))/(I*Sqrt[-c] + a*Sqrt[-c] + b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2))}
+{ArcTan[a + b*x]/(c + d/x^3), x, 31, -(((1 + I*a + I*b*x)*Log[1 + I*a + I*b*x])/(2*b*c)) - ((1 - I*a - I*b*x)*Log[(-I)*(I + a + b*x)])/(2*b*c) - (I*d^(1/3)*Log[1 - I*a - I*b*x]*Log[-((b*(d^(1/3) + c^(1/3)*x))/((I + a)*c^(1/3) - b*d^(1/3)))])/(6*c^(4/3)) + (I*d^(1/3)*Log[1 + I*a + I*b*x]*Log[(b*(d^(1/3) + c^(1/3)*x))/((I - a)*c^(1/3) + b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) - ((-1)^(1/6)*d^(1/3)*Log[1 + I*a + I*b*x]*Log[-((b*(d^(1/3) - (-1)^(1/3)*c^(1/3)*x))/((-1)^(1/3)*(I - a)*c^(1/3) - b*d^(1/3)))])/(6*c^(4/3)) + ((-1)^(1/6)*d^(1/3)*Log[1 - I*a - I*b*x]*Log[(b*(d^(1/3) - (-1)^(1/3)*c^(1/3)*x))/((-1)^(1/3)*(I + a)*c^(1/3) + b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) - ((-1)^(5/6)*d^(1/3)*Log[1 + I*a + I*b*x]*Log[(b*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*c^(1/3)*x))/((-1)^(2/3)*(I - a)*c^(1/3) + b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) + ((-1)^(5/6)*d^(1/3)*Log[1 - I*a - I*b*x]*Log[(b*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*c^(1/3)*x))/((-1)^(1/6)*(1 - I*a)*c^(1/3) + b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) - ((-1)^(1/6)*d^(1/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*c^(1/3)*(I - a - b*x))/((-1)^(1/3)*(I - a)*c^(1/3) - b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) - ((-1)^(5/6)*d^(1/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/6)*c^(1/3)*(I - a - b*x))/((-1)^(1/6)*(I - a)*c^(1/3) - I*b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) + (I*d^(1/3)*PolyLog[2, (c^(1/3)*(I - a - b*x))/((I - a)*c^(1/3) + b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) - (I*d^(1/3)*PolyLog[2, (c^(1/3)*(I + a + b*x))/((I + a)*c^(1/3) - b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) + ((-1)^(5/6)*d^(1/3)*PolyLog[2, ((-1)^(2/3)*c^(1/3)*(I + a + b*x))/((-1)^(2/3)*(I + a)*c^(1/3) - b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) + ((-1)^(1/6)*d^(1/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*c^(1/3)*(I + a + b*x))/((-1)^(1/3)*(I + a)*c^(1/3) + b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3))}
+
+
+(* {ArcTan[a + b*x]/(a + b*x^(3/2)), x, 41, ((I/3)*Log[-a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[-I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[-I - a] + a^(1/3)*b^(1/6))])/(a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/6)*Log[(-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[-I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[-I - a] - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(5/6)*Log[-((-1)^(2/3)*a^(1/3)) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[-I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[-I - a] + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/6)*Log[(-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-(((-1)^(3/4)*((-1)^(1/4)*Sqrt[1 + I*a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 + I*a] - (-1)^(1/12)*a^(1/3)*b^(1/6)))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(5/6)*Log[-((-1)^(2/3)*a^(1/3)) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-(((-1)^(3/4)*((-1)^(1/4)*Sqrt[1 + I*a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 + I*a] + (-1)^(5/12)*a^(1/3)*b^(1/6)))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((I/3)*Log[-a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[-I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[-I - a] - a^(1/3)*b^(1/6))])/(a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/6)*Log[(-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[-I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[-I - a] + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(5/6)*Log[-((-1)^(2/3)*a^(1/3)) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[-I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[-I - a] - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((I/3)*Log[-a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[((-1)^(1/4)*Sqrt[1 + I*a] + Sqrt[b]*Sqrt[x])/((-1)^(1/4)*Sqrt[1 + I*a] - a^(1/3)*b^(1/6))])/(a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/6)*Log[(-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[1 + I*a] - (-1)^(3/4)*Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[1 + I*a] + (-1)^(1/12)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(5/6)*Log[-((-1)^(2/3)*a^(1/3)) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[1 + I*a] - (-1)^(3/4)*Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[1 + I*a] - (-1)^(5/12)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((I/3)*Log[-a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[((-1)^(1/4)*(Sqrt[1 + I*a] + (-1)^(3/4)*Sqrt[b]*Sqrt[x]))/((-1)^(1/4)*Sqrt[1 + I*a] + a^(1/3)*b^(1/6))])/(a^(1/3)*b^(2/3)) + ((I/3)*Log[-a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 + I*a + I*b*x])/(a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/6)*Log[(-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 + I*a + I*b*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(5/6)*Log[-((-1)^(2/3)*a^(1/3)) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 + I*a + I*b*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((I/3)*Log[-a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(-I)*(I + a + b*x)])/(a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/6)*Log[(-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(-I)*(I + a + b*x)])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(5/6)*Log[-((-1)^(2/3)*a^(1/3)) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(-I)*(I + a + b*x)])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/6)*PolyLog[2, -((b^(1/6)*((-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a] - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6)))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((I/3)*PolyLog[2, -((b^(1/6)*(a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a] - a^(1/3)*b^(1/6)))])/(a^(1/3)*b^(2/3)) - ((I/3)*PolyLog[2, -((b^(1/6)*(a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/((-1)^(1/4)*Sqrt[1 + I*a] - a^(1/3)*b^(1/6)))])/(a^(1/3)*b^(2/3)) + ((I/3)*PolyLog[2, (b^(1/6)*(a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a] + a^(1/3)*b^(1/6))])/(a^(1/3)*b^(2/3)) - ((I/3)*PolyLog[2, (b^(1/6)*(a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/((-1)^(1/4)*Sqrt[1 + I*a] + a^(1/3)*b^(1/6))])/(a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(5/6)*PolyLog[2, ((-1)^(3/4)*b^(1/6)*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 + I*a] - (-1)^(5/12)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(5/6)*PolyLog[2, -((b^(1/6)*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a] - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6)))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(5/6)*PolyLog[2, (b^(1/6)*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a] + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(5/6)*PolyLog[2, ((-1)^(5/12)*b^(1/6)*(a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 + I*a] + (-1)^(5/12)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/6)*PolyLog[2, ((-1)^(1/12)*b^(1/6)*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 + I*a] + (-1)^(1/12)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/6)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*b^(1/6)*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a] + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/6)*PolyLog[2, -((b^(1/6)*((-1)^(1/12)*a^(1/3) + (-1)^(3/4)*b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 + I*a] - (-1)^(1/12)*a^(1/3)*b^(1/6)))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3))} *)
+{ArcTan[a + b*x]/(c + d*Sqrt[x]), x, 31, (2*I*Sqrt[I + a]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[I + a]])/(Sqrt[b]*d) - (2*I*Sqrt[I - a]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[I - a]])/(Sqrt[b]*d) + (I*c*Log[(d*(Sqrt[-I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c + Sqrt[-I - a]*d)]*Log[c + d*Sqrt[x]])/d^2 - (I*c*Log[(d*(Sqrt[I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c + Sqrt[I - a]*d)]*Log[c + d*Sqrt[x]])/d^2 + (I*c*Log[-((d*(Sqrt[-I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c - Sqrt[-I - a]*d))]*Log[c + d*Sqrt[x]])/d^2 - (I*c*Log[-((d*(Sqrt[I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c - Sqrt[I - a]*d))]*Log[c + d*Sqrt[x]])/d^2 + (I*Sqrt[x]*Log[1 - I*a - I*b*x])/d - (I*c*Log[c + d*Sqrt[x]]*Log[1 - I*a - I*b*x])/d^2 - (I*Sqrt[x]*Log[1 + I*a + I*b*x])/d + (I*c*Log[c + d*Sqrt[x]]*Log[1 + I*a + I*b*x])/d^2 + (I*c*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(c + d*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c - Sqrt[-I - a]*d)])/d^2 + (I*c*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(c + d*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c + Sqrt[-I - a]*d)])/d^2 - (I*c*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(c + d*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c - Sqrt[I - a]*d)])/d^2 - (I*c*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(c + d*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c + Sqrt[I - a]*d)])/d^2}
+{ArcTan[a + b*x]/(c + d/Sqrt[x]), x, 37, -((2*I*Sqrt[I + a]*d*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[I + a]])/(Sqrt[b]*c^2)) + (2*I*Sqrt[I - a]*d*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[I - a]])/(Sqrt[b]*c^2) - (I*d^2*Log[(c*(Sqrt[-I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*c + Sqrt[b]*d)]*Log[d + c*Sqrt[x]])/c^3 + (I*d^2*Log[(c*(Sqrt[I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*c + Sqrt[b]*d)]*Log[d + c*Sqrt[x]])/c^3 - (I*d^2*Log[(c*(Sqrt[-I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*c - Sqrt[b]*d)]*Log[d + c*Sqrt[x]])/c^3 + (I*d^2*Log[(c*(Sqrt[I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*c - Sqrt[b]*d)]*Log[d + c*Sqrt[x]])/c^3 - (I*d*Sqrt[x]*Log[1 - I*a - I*b*x])/c^2 + (I*d^2*Log[d + c*Sqrt[x]]*Log[1 - I*a - I*b*x])/c^3 + (I*d*Sqrt[x]*Log[1 + I*a + I*b*x])/c^2 - ((1 + I*a + I*b*x)*Log[1 + I*a + I*b*x])/(2*b*c) - (I*d^2*Log[d + c*Sqrt[x]]*Log[1 + I*a + I*b*x])/c^3 - ((1 - I*a - I*b*x)*Log[(-I)*(I + a + b*x)])/(2*b*c) - (I*d^2*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(d + c*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*c - Sqrt[b]*d))])/c^3 + (I*d^2*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(d + c*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*c - Sqrt[b]*d))])/c^3 - (I*d^2*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + c*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*c + Sqrt[b]*d)])/c^3 + (I*d^2*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + c*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*c + Sqrt[b]*d)])/c^3}
+(* {ArcTan[a + b*x]/(a + b/x^(3/2)), x, 49, -((-1)^(5/6)*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-(((-1)^(3/4)*a^(1/3)*((-1)^(1/4)*Sqrt[1 + I*a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 + I*a]*a^(1/3) + (-1)^(5/12)*b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) - ((I/3)*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*((-1)^(3/4)*Sqrt[1 - I*a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/((-1)^(3/4)*Sqrt[1 - I*a]*a^(1/3) - b^(5/6))])/a^(5/3) + ((I/3)*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*((-1)^(1/4)*Sqrt[1 + I*a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/((-1)^(1/4)*Sqrt[1 + I*a]*a^(1/3) - b^(5/6))])/a^(5/3) + ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[((-1)^(1/12)*a^(1/3)*(Sqrt[1 - I*a] - (-1)^(1/4)*Sqrt[b]*Sqrt[x]))/((-1)^(1/12)*Sqrt[1 - I*a]*a^(1/3) - b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[((-1)^(5/12)*a^(1/3)*(Sqrt[1 - I*a] - (-1)^(1/4)*Sqrt[b]*Sqrt[x]))/((-1)^(5/12)*Sqrt[1 - I*a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[((-1)^(5/12)*a^(1/3)*(Sqrt[1 - I*a] + (-1)^(1/4)*Sqrt[b]*Sqrt[x]))/((-1)^(5/12)*Sqrt[1 - I*a]*a^(1/3) - b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[((-1)^(1/12)*a^(1/3)*(Sqrt[1 - I*a] + (-1)^(1/4)*Sqrt[b]*Sqrt[x]))/((-1)^(1/12)*Sqrt[1 - I*a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((I/3)*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[((-1)^(3/4)*a^(1/3)*(Sqrt[1 - I*a] + (-1)^(1/4)*Sqrt[b]*Sqrt[x]))/((-1)^(3/4)*Sqrt[1 - I*a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/a^(5/3) - ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[1 + I*a] - (-1)^(3/4)*Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 + I*a]*a^(1/3) + (-1)^(1/12)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[1 + I*a] - (-1)^(3/4)*Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 + I*a]*a^(1/3) - (-1)^(5/12)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((I/3)*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[((-1)^(1/4)*a^(1/3)*(Sqrt[1 + I*a] + (-1)^(3/4)*Sqrt[b]*Sqrt[x]))/((-1)^(1/4)*Sqrt[1 + I*a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/a^(5/3) - ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[1 + I*a] + (-1)^(3/4)*Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 + I*a]*a^(1/3) - (-1)^(1/12)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((1 - I*a - I*b*x)*Log[1 - I*a - I*b*x])/(2*a*b) + ((I/3)*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 - I*a - I*b*x])/a^(5/3) - ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 - I*a - I*b*x])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 - I*a - I*b*x])/(3*a^(5/3)) - ((1 + I*a + I*b*x)*Log[1 + I*a + I*b*x])/(2*a*b) - ((I/3)*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 + I*a + I*b*x])/a^(5/3) + ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 + I*a + I*b*x])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 + I*a + I*b*x])/(3*a^(5/3)) - ((I/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/((-1)^(3/4)*Sqrt[1 - I*a]*a^(1/3) - b^(5/6)))])/a^(5/3) + ((I/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/((-1)^(1/4)*Sqrt[1 + I*a]*a^(1/3) - b^(5/6)))])/a^(5/3) - ((I/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/((-1)^(3/4)*Sqrt[1 - I*a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/a^(5/3) + ((I/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/((-1)^(1/4)*Sqrt[1 + I*a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/a^(5/3) + ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/((-1)^(1/12)*Sqrt[1 - I*a]*a^(1/3) - b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(3/4)*Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 + I*a]*a^(1/3) - (-1)^(5/12)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(b^(1/3) - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*Sqrt[x]))/((-1)^(1/12)*Sqrt[1 - I*a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(5/12)*Sqrt[b]*(b^(1/3) - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 + I*a]*a^(1/3) + (-1)^(5/12)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Sqrt[x]))/((-1)^(5/12)*Sqrt[1 - I*a]*a^(1/3) - b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Sqrt[x]))/((-1)^(5/12)*Sqrt[1 - I*a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/12)*Sqrt[b]*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 + I*a]*a^(1/3) + (-1)^(1/12)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*((-1)^(1/12)*b^(1/3) + (-1)^(3/4)*a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 + I*a]*a^(1/3) - (-1)^(1/12)*b^(5/6)))])/(3*a^(5/3))} *)
+
+
+{ArcTan[a + b*x]/(1 + x^2), x, 17, (1/4)*Log[(b*(I - x))/(a + I*(1 + b))]*Log[1 - I*a - I*b*x] - (1/4)*Log[-((b*(I + x))/(a + I*(1 - b)))]*Log[1 - I*a - I*b*x] - (1/4)*Log[(b*(I - x))/(a - I*(1 - b))]*Log[1 + I*a + I*b*x] + (1/4)*Log[-((b*(I + x))/(a - I*(1 + b)))]*Log[1 + I*a + I*b*x] - (1/4)*PolyLog[2, -((I - a - b*x)/(a - I*(1 - b)))] + (1/4)*PolyLog[2, -((I - a - b*x)/(a - I*(1 + b)))] - (1/4)*PolyLog[2, (I + a + b*x)/(I + a - I*b)] + (1/4)*PolyLog[2, (I + a + b*x)/(a + I*(1 + b))]}
+
+
+{ArcTan[d + e*x]/(a + b*x^2), x, 17, (I*Log[(e*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*(I + d) + Sqrt[-a]*e)]*Log[1 - I*d - I*e*x])/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) - (I*Log[-((e*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*(I + d) - Sqrt[-a]*e))]*Log[1 - I*d - I*e*x])/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) - (I*Log[-((e*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*(I - d) - Sqrt[-a]*e))]*Log[1 + I*d + I*e*x])/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) + (I*Log[(e*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x))/(Sqrt[b]*(I - d) + Sqrt[-a]*e)]*Log[1 + I*d + I*e*x])/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) - (I*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(I - d - e*x))/(Sqrt[b]*(I - d) - Sqrt[-a]*e)])/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) + (I*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(I - d - e*x))/(Sqrt[b]*(I - d) + Sqrt[-a]*e)])/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) - (I*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(I + d + e*x))/(Sqrt[b]*(I + d) - Sqrt[-a]*e)])/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) + (I*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(I + d + e*x))/(Sqrt[b]*(I + d) + Sqrt[-a]*e)])/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B x+C x^2)^q ArcTan[a+b x]*)
+
+
+{ArcTan[d + e*x]/(a + b*x + c*x^2), x, 12, (ArcTan[d + e*x]*Log[(2*e*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/((2*c*(I - d) + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)*(1 - I*(d + e*x)))])/Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (ArcTan[d + e*x]*Log[(2*e*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/((2*c*(I - d) + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)*(1 - I*(d + e*x)))])/Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (I*PolyLog[2, 1 + (2*(2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e - 2*c*(d + e*x)))/((2*I*c - 2*c*d + b*e - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)*(1 - I*(d + e*x)))])/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) + (I*PolyLog[2, 1 + (2*(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e - 2*c*(d + e*x)))/((2*c*(I - d) + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)*(1 - I*(d + e*x)))])/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])}
+
+
+{ArcTan[a + b*x]/Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2], x, 2, -((2*I*ArcTan[a + b*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*(a + b*x)]/Sqrt[1 - I*(a + b*x)]])/b) + (I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*(a + b*x)])/Sqrt[1 - I*(a + b*x)])])/b - (I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*(a + b*x)])/Sqrt[1 - I*(a + b*x)]])/b}
+{ArcTan[a + b*x]/Sqrt[(1 + a^2)*c + 2*a*b*c*x + b^2*c*x^2], x, 3, -((2*I*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcTan[a + b*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*(a + b*x)]/Sqrt[1 - I*(a + b*x)]])/(b*Sqrt[c + c*(a + b*x)^2])) + (I*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*(a + b*x)])/Sqrt[1 - I*(a + b*x)])])/(b*Sqrt[c + c*(a + b*x)^2]) - (I*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*(a + b*x)])/Sqrt[1 - I*(a + b*x)]])/(b*Sqrt[c + c*(a + b*x)^2])}
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+{(a + b*x)^2*ArcTan[a + b*x]/Sqrt[(1 + a^2)*c + 2*a*b*c*x + b^2*c*x^2], x, 5, -(Sqrt[c + c*(a + b*x)^2]/(2*b*c)) + ((a + b*x)*Sqrt[c + c*(a + b*x)^2]*ArcTan[a + b*x])/(2*b*c) + (I*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcTan[a + b*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*(a + b*x)]/Sqrt[1 - I*(a + b*x)]])/(b*Sqrt[c + c*(a + b*x)^2]) - (I*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*(a + b*x)])/Sqrt[1 - I*(a + b*x)])])/(2*b*Sqrt[c + c*(a + b*x)^2]) + (I*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*(a + b*x)])/Sqrt[1 - I*(a + b*x)]])/(2*b*Sqrt[c + c*(a + b*x)^2])}
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diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.6 Exponentials of inverse tangent.m b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.6 Exponentials of inverse tangent.m
new file mode 100644
index 00000000..aec7b7e7
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.6 Exponentials of inverse tangent.m	
@@ -0,0 +1,723 @@
+(* ::Package:: *)
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+(* ::Title::Closed:: *)
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+{E^(I*ArcTan[a*x])*x^2, x, 7, -((I*Sqrt[1 + a^2*x^2])/a^3) + (x*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*a^2) + (I*(1 + a^2*x^2)^(3/2))/(3*a^3) - ArcSinh[a*x]/(2*a^3)}
+{E^(I*ArcTan[a*x])*x^1, x, 3, ((2 + I*a*x)*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*a^2) - (I*ArcSinh[a*x])/(2*a^2)}
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+
+
+{E^((3*I)*ArcTan[a*x])*x^3, x, 14, (1 + I*a*x)^3/(a^4*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (27*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(4*a^4) - (x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/a^2 - (I*x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(4*a) - (9*I*(2*I - 3*a*x)*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(8*a^4) - (51*I*ArcSinh[a*x])/(8*a^4)}
+{E^((3*I)*ArcTan[a*x])*x^2, x, 10, (I*(1 + I*a*x)^3)/(a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + ((28*I - 3*a*x)*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(6*a^3) + (I*(3 + I*a*x)^2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a^3) + (11*ArcSinh[a*x])/(2*a^3)}
+{E^((3*I)*ArcTan[a*x])*x^1, x, 9, -((9*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*a^2)) - (3*(1 + a^2*x^2)^(3/2))/(2*a^2*(1 - I*a*x)) - (1 + a^2*x^2)^(5/2)/(a^2*(1 - I*a*x)^3) + (9*I*ArcSinh[a*x])/(2*a^2)}
+{E^((3*I)*ArcTan[a*x])*x^0, x, 5, -((2*I*(1 + I*a*x)^2)/(a*Sqrt[1 + a^2*x^2])) - (3*I*Sqrt[1 + a^2*x^2])/a - (3*ArcSinh[a*x])/a}
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+{E^((3*I)*ArcTan[a*x])/x^3, x, 12, -(Sqrt[1 + a^2*x^2]/(2*x^2)) - (3*I*a*Sqrt[1 + a^2*x^2])/x - (4*I*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(I + a*x) + (9/2)*a^2*ArcTanh[Sqrt[1 + a^2*x^2]]}
+{E^((3*I)*ArcTan[a*x])/x^4, x, 14, -(Sqrt[1 + a^2*x^2]/(3*x^3)) - (3*I*a*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*x^2) + (14*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*x) + (4*a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(I + a*x) + (11/2)*I*a^3*ArcTanh[Sqrt[1 + a^2*x^2]]}
+
+
+{E^((4*I)*ArcTan[a*x])*x^3, x, 3, ((12*I)*x)/a^3 - (4*x^2)/a^2 - (((4*I)/3)*x^3)/a + x^4/4 + (4*I)/(a^4*(I + a*x)) + (16*Log[I + a*x])/a^4}
+{E^((4*I)*ArcTan[a*x])*x^2, x, 3, (-8*x)/a^2 - ((2*I)*x^2)/a + x^3/3 - 4/(a^3*(I + a*x)) + ((12*I)*Log[I + a*x])/a^3}
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+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^3/E^(I*ArcTan[a*x]), x, 5, (x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a^2) - (I*x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(4*a) - ((16 - 9*I*a*x)*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(24*a^4) - (3*I*ArcSinh[a*x])/(8*a^4)}
+{x^2/E^(I*ArcTan[a*x]), x, 7, (I*Sqrt[1 + a^2*x^2])/a^3 + (x*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*a^2) - (I*(1 + a^2*x^2)^(3/2))/(3*a^3) - ArcSinh[a*x]/(2*a^3)}
+{x^1/E^(I*ArcTan[a*x]), x, 3, ((2 - I*a*x)*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*a^2) + (I*ArcSinh[a*x])/(2*a^2)}
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+
+
+{x^3/E^((2*I)*ArcTan[a*x]), x, 3, ((2*I)*x)/a^3 + x^2/a^2 - (((2*I)/3)*x^3)/a - x^4/4 - (2*Log[I - a*x])/a^4}
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+
+
+{x^3/E^((3*I)*ArcTan[a*x]), x, 14, (1 - I*a*x)^3/(a^4*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (27*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(4*a^4) - (x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/a^2 + (I*x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(4*a) - (9*I*(2*I + 3*a*x)*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(8*a^4) + (51*I*ArcSinh[a*x])/(8*a^4)}
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+{1/(E^((3*I)*ArcTan[a*x])*x^5), x, 19, -(Sqrt[1 + a^2*x^2]/(4*x^4)) + (I*a*Sqrt[1 + a^2*x^2])/x^3 + (19*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(8*x^2) - (6*I*a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/x + (4*I*a^4*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(I - a*x) - (51/8)*a^4*ArcTanh[Sqrt[1 + a^2*x^2]]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n/2 I ArcTan[a x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^((I/2)*ArcTan[a*x])*x^2, x, 15, (((-3*I)/8)*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/a^3 - ((I/12)*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(5/4))/a^3 + (x*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(5/4))/(3*a^2) + (((3*I)/8)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3) - (((3*I)/8)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3) - (((3*I)/16)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3) + (((3*I)/16)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3)}
+{E^((I/2)*ArcTan[a*x])*x^1, x, 14, ((1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(4*a^2) + ((1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(5/4))/(2*a^2) - ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/(4*Sqrt[2]*a^2) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/(4*Sqrt[2]*a^2) + Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/(8*Sqrt[2]*a^2) - Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/(8*Sqrt[2]*a^2)}
+{E^((I/2)*ArcTan[a*x]), x, 13, (I*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/a - (I*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) + (I*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) + ((I/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) - ((I/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a)}
+{E^((I/2)*ArcTan[a*x])/x^1, x, 17, -2*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)] - Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)] - 2*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] - Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/Sqrt[2] + Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{E^((I/2)*ArcTan[a*x])/x^2, x, 6, -(((1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/x) - I*a*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] - I*a*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+{E^((I/2)*ArcTan[a*x])/x^3, x, 7, -((I*a*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(4*x)) - ((1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(5/4))/(2*x^2) + (1/4)*a^2*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] + (1/4)*a^2*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+{E^((I/2)*ArcTan[a*x])/x^4, x, 9, -(((1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(3*x^3)) - (5*I*a*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(12*x^2) + (11*a^2*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(24*x) + (3/8)*I*a^3*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] + (3/8)*I*a^3*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+{E^((I/2)*ArcTan[a*x])/x^5, x, 10, -(((1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(4*x^4)) - (7*I*a*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(24*x^3) + (29*a^2*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(96*x^2) + (83*I*a^3*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(192*x) - (11/64)*a^4*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] - (11/64)*a^4*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+{E^((I/2)*ArcTan[a*x])/x^6, x, 11, -(((1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(5*x^5)) - (9*I*a*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(40*x^4) + (11*a^2*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(48*x^3) + (269*I*a^3*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(960*x^2) - (611*a^4*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(1920*x) - (31/128)*I*a^5*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] - (31/128)*I*a^5*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+
+
+{E^(((3*I)/2)*ArcTan[a*x])*x^3, x, 15, -((41*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(64*a^4)) + (x^2*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(7/4))/(4*a^2) - ((1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(7/4)*(11 + 4*I*a*x))/(32*a^4) + (123*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) - (123*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) + (123*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4) - (123*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4)}
+{E^(((3*I)/2)*ArcTan[a*x])*x^2, x, 15, (((-17*I)/24)*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/a^3 - ((I/4)*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(7/4))/a^3 + (x*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(7/4))/(3*a^2) + (((17*I)/8)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3) - (((17*I)/8)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3) + (((17*I)/16)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3) - (((17*I)/16)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3)}
+{E^(((3*I)/2)*ArcTan[a*x])*x^1, x, 14, (3*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(4*a^2) + ((1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(7/4))/(2*a^2) - (9*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a^2) + (9*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a^2) - (9*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^2) + (9*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^2)}
+{E^(((3*I)/2)*ArcTan[a*x]), x, 13, (I*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/a - ((3*I)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) + ((3*I)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) - (((3*I)/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) + (((3*I)/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a)}
+{E^(((3*I)/2)*ArcTan[a*x])/x^1, x, 17, 2*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)] - Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)] - 2*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] + Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/Sqrt[2] - Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{E^(((3*I)/2)*ArcTan[a*x])/x^2, x, 6, -(((1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/x) + 3*I*a*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] - 3*I*a*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
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+{E^(((3*I)/2)*ArcTan[a*x])/x^4, x, 9, -(((1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(3*x^3)) - (7*I*a*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(12*x^2) + (23*a^2*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(24*x) - (17/8)*I*a^3*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] + (17/8)*I*a^3*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+{E^(((3*I)/2)*ArcTan[a*x])/x^5, x, 10, -(((1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(4*x^4)) - (3*I*a*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(8*x^3) + (15*a^2*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(32*x^2) + (63*I*a^3*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(64*x) + (123/64)*a^4*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] - (123/64)*a^4*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+
+
+{E^(((5*I)/2)*ArcTan[a*x])*x^3, x, 16, (475*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(64*a^4) - (4*I*x^3*(1 + I*a*x)^(5/4))/(a*(1 - I*a*x)^(1/4)) - (17*x^2*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(5/4))/(4*a^2) - (I*(521*I - 452*a*x)*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(5/4))/(96*a^4) - (475*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) + (475*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) + (475*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4) - (475*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4)}
+{E^(((5*I)/2)*ArcTan[a*x])*x^2, x, 16, (((55*I)/8)*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/a^3 + (((11*I)/4)*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(5/4))/a^3 + ((2*I)*(1 + I*a*x)^(9/4))/(a^3*(1 - I*a*x)^(1/4)) + ((I/3)*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(9/4))/a^3 - (((55*I)/8)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3) + (((55*I)/8)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3) + (((55*I)/16)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3) - (((55*I)/16)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3)}
+{E^(((5*I)/2)*ArcTan[a*x])*x^1, x, 15, (-25*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(4*a^2) - (5*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(5/4))/(2*a^2) - (2*(1 + I*a*x)^(9/4))/(a^2*(1 - I*a*x)^(1/4)) + (25*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a^2) - (25*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a^2) - (25*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^2) + (25*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^2)}
+{E^(((5*I)/2)*ArcTan[a*x]), x, 14, ((-5*I)*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/a - ((4*I)*(1 + I*a*x)^(5/4))/(a*(1 - I*a*x)^(1/4)) + ((5*I)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) - ((5*I)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) - (((5*I)/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) + (((5*I)/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a)}
+{E^(((5*I)/2)*ArcTan[a*x])/x^1, x, 19, (8*(1 + I*a*x)^(1/4))/(1 - I*a*x)^(1/4) - 2*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] - Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)] - 2*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] + Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/Sqrt[2] - Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{E^(((5*I)/2)*ArcTan[a*x])/x^2, x, 7, (10*I*a*(1 + I*a*x)^(1/4))/(1 - I*a*x)^(1/4) - (1 + I*a*x)^(5/4)/(x*(1 - I*a*x)^(1/4)) - 5*I*a*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] - 5*I*a*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+{E^(((5*I)/2)*ArcTan[a*x])/x^3, x, 8, -((25*a^2*(1 + I*a*x)^(1/4))/(2*(1 - I*a*x)^(1/4))) - (5*I*a*(1 + I*a*x)^(5/4))/(4*x*(1 - I*a*x)^(1/4)) - (1 + I*a*x)^(9/4)/(2*x^2*(1 - I*a*x)^(1/4)) + (25/4)*a^2*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] + (25/4)*a^2*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+{E^(((5*I)/2)*ArcTan[a*x])/x^4, x, 10, -((287*I*a^3*(1 + I*a*x)^(1/4))/(24*(1 - I*a*x)^(1/4))) - (1 + I*a*x)^(1/4)/(3*x^3*(1 - I*a*x)^(1/4)) - (13*I*a*(1 + I*a*x)^(1/4))/(12*x^2*(1 - I*a*x)^(1/4)) + (61*a^2*(1 + I*a*x)^(1/4))/(24*x*(1 - I*a*x)^(1/4)) + (55/8)*I*a^3*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] + (55/8)*I*a^3*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+{E^(((5*I)/2)*ArcTan[a*x])/x^5, x, 11, (2467*a^4*(1 + I*a*x)^(1/4))/(192*(1 - I*a*x)^(1/4)) - (1 + I*a*x)^(1/4)/(4*x^4*(1 - I*a*x)^(1/4)) - (17*I*a*(1 + I*a*x)^(1/4))/(24*x^3*(1 - I*a*x)^(1/4)) + (113*a^2*(1 + I*a*x)^(1/4))/(96*x^2*(1 - I*a*x)^(1/4)) + (521*I*a^3*(1 + I*a*x)^(1/4))/(192*x*(1 - I*a*x)^(1/4)) - (475/64)*a^4*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] - (475/64)*a^4*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^3/E^((I/2)*ArcTan[a*x]), x, 15, -((11*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(64*a^4)) + (x^2*(1 - I*a*x)^(5/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(4*a^2) - ((1 - I*a*x)^(5/4)*(1 + I*a*x)^(3/4)*(25 - 4*I*a*x))/(96*a^4) - (11*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) + (11*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) - (11*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4) + (11*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4)}
+{x^2/E^((I/2)*ArcTan[a*x]), x, 15, (((3*I)/8)*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/a^3 + ((I/12)*(1 - I*a*x)^(5/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/a^3 + (x*(1 - I*a*x)^(5/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(3*a^2) + (((3*I)/8)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3) - (((3*I)/8)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3) + (((3*I)/16)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3) - (((3*I)/16)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3)}
+{x^1/E^((I/2)*ArcTan[a*x]), x, 14, ((1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(4*a^2) + ((1 - I*a*x)^(5/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(2*a^2) + ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/(4*Sqrt[2]*a^2) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/(4*Sqrt[2]*a^2) + Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/(8*Sqrt[2]*a^2) - Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/(8*Sqrt[2]*a^2)}
+{x^0/E^((I/2)*ArcTan[a*x]), x, 13, ((-I)*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/a - (I*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) + (I*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) - ((I/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) + ((I/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a)}
+{1/(E^((I/2)*ArcTan[a*x])*x^1), x, 17, 2*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] - Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)] - 2*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] - Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/Sqrt[2] + Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{1/(E^((I/2)*ArcTan[a*x])*x^2), x, 6, -(((1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/x) - I*a*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] + I*a*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+{1/(E^((I/2)*ArcTan[a*x])*x^3), x, 7, (I*a*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(4*x) - ((1 - I*a*x)^(5/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(2*x^2) - (1/4)*a^2*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] + (1/4)*a^2*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+{1/(E^((I/2)*ArcTan[a*x])*x^4), x, 9, -(((1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(3*x^3)) + (5*I*a*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(12*x^2) + (11*a^2*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(24*x) + (3/8)*I*a^3*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] - (3/8)*I*a^3*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+{1/(E^((I/2)*ArcTan[a*x])*x^5), x, 10, -(((1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(4*x^4)) + (7*I*a*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(24*x^3) + (29*a^2*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(96*x^2) - (83*I*a^3*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(192*x) + (11/64)*a^4*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] - (11/64)*a^4*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+
+
+{x^3/E^(((3*I)/2)*ArcTan[a*x]), x, 15, -((41*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(64*a^4)) + (x^2*(1 - I*a*x)^(7/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(4*a^2) - ((1 - I*a*x)^(7/4)*(1 + I*a*x)^(1/4)*(11 - 4*I*a*x))/(32*a^4) - (123*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) + (123*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) + (123*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4) - (123*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4)}
+{x^2/E^(((3*I)/2)*ArcTan[a*x]), x, 15, (((17*I)/24)*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/a^3 + ((I/4)*(1 - I*a*x)^(7/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/a^3 + (x*(1 - I*a*x)^(7/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(3*a^2) + (((17*I)/8)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3) - (((17*I)/8)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3) - (((17*I)/16)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3) + (((17*I)/16)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3)}
+{x^1/E^(((3*I)/2)*ArcTan[a*x]), x, 14, (3*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(4*a^2) + ((1 - I*a*x)^(7/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(2*a^2) + (9*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a^2) - (9*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a^2) - (9*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^2) + (9*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^2)}
+{E^(((-3*I)/2)*ArcTan[a*x]), x, 13, ((-I)*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/a - ((3*I)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) + ((3*I)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) + (((3*I)/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) - (((3*I)/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a)}
+{1/(E^(((3*I)/2)*ArcTan[a*x])*x^1), x, 17, -2*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] - Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)] - 2*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] + Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/Sqrt[2] - Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{1/(E^(((3*I)/2)*ArcTan[a*x])*x^2), x, 6, -(((1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/x) + 3*I*a*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] + 3*I*a*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+{1/(E^(((3*I)/2)*ArcTan[a*x])*x^3), x, 7, (3*I*a*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(4*x) - ((1 - I*a*x)^(7/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(2*x^2) + (9/4)*a^2*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] + (9/4)*a^2*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+{1/(E^(((3*I)/2)*ArcTan[a*x])*x^4), x, 9, -(((1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(3*x^3)) + (7*I*a*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(12*x^2) + (23*a^2*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(24*x) - (17/8)*I*a^3*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] - (17/8)*I*a^3*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+{1/(E^(((3*I)/2)*ArcTan[a*x])*x^5), x, 10, -(((1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(4*x^4)) + (3*I*a*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(8*x^3) + (15*a^2*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(32*x^2) - (63*I*a^3*(1 - I*a*x)^(3/4)*(1 + I*a*x)^(1/4))/(64*x) - (123/64)*a^4*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] - (123/64)*a^4*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+
+
+{x^3/E^(((5*I)/2)*ArcTan[a*x]), x, 16, (4*I*x^3*(1 - I*a*x)^(5/4))/(a*(1 + I*a*x)^(1/4)) + (475*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(64*a^4) - (17*x^2*(1 - I*a*x)^(5/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(4*a^2) - (I*(1 - I*a*x)^(5/4)*(1 + I*a*x)^(3/4)*(521*I + 452*a*x))/(96*a^4) + (475*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) - (475*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) + (475*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4) - (475*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4)}
+{x^2/E^(((5*I)/2)*ArcTan[a*x]), x, 16, ((-2*I)*(1 - I*a*x)^(9/4))/(a^3*(1 + I*a*x)^(1/4)) - (((55*I)/8)*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/a^3 - (((11*I)/4)*(1 - I*a*x)^(5/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/a^3 - ((I/3)*(1 - I*a*x)^(9/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/a^3 - (((55*I)/8)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3) + (((55*I)/8)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3) - (((55*I)/16)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3) + (((55*I)/16)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a^3)}
+{x^1/E^(((5*I)/2)*ArcTan[a*x]), x, 15, (-2*(1 - I*a*x)^(9/4))/(a^2*(1 + I*a*x)^(1/4)) - (25*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(4*a^2) - (5*(1 - I*a*x)^(5/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/(2*a^2) - (25*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a^2) + (25*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a^2) - (25*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^2) + (25*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^2)}
+{E^(((-5*I)/2)*ArcTan[a*x]), x, 14, ((4*I)*(1 - I*a*x)^(5/4))/(a*(1 + I*a*x)^(1/4)) + ((5*I)*(1 - I*a*x)^(1/4)*(1 + I*a*x)^(3/4))/a + ((5*I)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) - ((5*I)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) + (((5*I)/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) - (((5*I)/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a)}
+{1/(E^(((5*I)/2)*ArcTan[a*x])*x^1), x, 19, (8*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4) + 2*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)] - Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)] - 2*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] + Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/Sqrt[2] - Log[1 + Sqrt[1 - I*a*x]/Sqrt[1 + I*a*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{1/(E^(((5*I)/2)*ArcTan[a*x])*x^2), x, 7, -((10*I*a*(1 - I*a*x)^(1/4))/(1 + I*a*x)^(1/4)) - (1 - I*a*x)^(5/4)/(x*(1 + I*a*x)^(1/4)) - 5*I*a*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] + 5*I*a*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+{1/(E^(((5*I)/2)*ArcTan[a*x])*x^3), x, 8, -((25*a^2*(1 - I*a*x)^(1/4))/(2*(1 + I*a*x)^(1/4))) + (5*I*a*(1 - I*a*x)^(5/4))/(4*x*(1 + I*a*x)^(1/4)) - (1 - I*a*x)^(9/4)/(2*x^2*(1 + I*a*x)^(1/4)) - (25/4)*a^2*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] + (25/4)*a^2*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+{1/(E^(((5*I)/2)*ArcTan[a*x])*x^4), x, 10, (287*I*a^3*(1 - I*a*x)^(1/4))/(24*(1 + I*a*x)^(1/4)) - (1 - I*a*x)^(1/4)/(3*x^3*(1 + I*a*x)^(1/4)) + (13*I*a*(1 - I*a*x)^(1/4))/(12*x^2*(1 + I*a*x)^(1/4)) + (61*a^2*(1 - I*a*x)^(1/4))/(24*x*(1 + I*a*x)^(1/4)) + (55/8)*I*a^3*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] - (55/8)*I*a^3*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+{1/(E^(((5*I)/2)*ArcTan[a*x])*x^5), x, 11, (2467*a^4*(1 - I*a*x)^(1/4))/(192*(1 + I*a*x)^(1/4)) - (1 - I*a*x)^(1/4)/(4*x^4*(1 + I*a*x)^(1/4)) + (17*I*a*(1 - I*a*x)^(1/4))/(24*x^3*(1 + I*a*x)^(1/4)) + (113*a^2*(1 - I*a*x)^(1/4))/(96*x^2*(1 + I*a*x)^(1/4)) - (521*I*a^3*(1 - I*a*x)^(1/4))/(192*x*(1 + I*a*x)^(1/4)) + (475/64)*a^4*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)] - (475/64)*a^4*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n/3 I ArcTan[a x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^(I*ArcTan[x]/3)*x^2, x, 16, (-(19/54))*I*(1 - I*x)^(5/6)*(1 + I*x)^(1/6) - (1/18)*I*(1 - I*x)^(5/6)*(1 + I*x)^(7/6) + (1/3)*(1 - I*x)^(5/6)*(1 + I*x)^(7/6)*x + (19/162)*I*ArcTan[Sqrt[3] - (2*(1 - I*x)^(1/6))/(1 + I*x)^(1/6)] - (19/162)*I*ArcTan[Sqrt[3] + (2*(1 - I*x)^(1/6))/(1 + I*x)^(1/6)] - (19/81)*I*ArcTan[(1 - I*x)^(1/6)/(1 + I*x)^(1/6)] - (19*I*Log[1 + (1 - I*x)^(1/3)/(1 + I*x)^(1/3) - (Sqrt[3]*(1 - I*x)^(1/6))/(1 + I*x)^(1/6)])/(108*Sqrt[3]) + (19*I*Log[1 + (1 - I*x)^(1/3)/(1 + I*x)^(1/3) + (Sqrt[3]*(1 - I*x)^(1/6))/(1 + I*x)^(1/6)])/(108*Sqrt[3])}
+{E^(I*ArcTan[x]/3)*x^1, x, 15, (1/6)*(1 - I*x)^(5/6)*(1 + I*x)^(1/6) + (1/2)*(1 - I*x)^(5/6)*(1 + I*x)^(7/6) - (1/18)*ArcTan[Sqrt[3] - (2*(1 - I*x)^(1/6))/(1 + I*x)^(1/6)] + (1/18)*ArcTan[Sqrt[3] + (2*(1 - I*x)^(1/6))/(1 + I*x)^(1/6)] + (1/9)*ArcTan[(1 - I*x)^(1/6)/(1 + I*x)^(1/6)] + Log[1 + (1 - I*x)^(1/3)/(1 + I*x)^(1/3) - (Sqrt[3]*(1 - I*x)^(1/6))/(1 + I*x)^(1/6)]/(12*Sqrt[3]) - Log[1 + (1 - I*x)^(1/3)/(1 + I*x)^(1/3) + (Sqrt[3]*(1 - I*x)^(1/6))/(1 + I*x)^(1/6)]/(12*Sqrt[3])}
+{E^(I*ArcTan[x]/3)*x^0, x, 14, I*(1 - I*x)^(5/6)*(1 + I*x)^(1/6) - (1/3)*I*ArcTan[Sqrt[3] - (2*(1 - I*x)^(1/6))/(1 + I*x)^(1/6)] + (1/3)*I*ArcTan[Sqrt[3] + (2*(1 - I*x)^(1/6))/(1 + I*x)^(1/6)] + (2/3)*I*ArcTan[(1 - I*x)^(1/6)/(1 + I*x)^(1/6)] + (I*Log[1 + (1 - I*x)^(1/3)/(1 + I*x)^(1/3) - (Sqrt[3]*(1 - I*x)^(1/6))/(1 + I*x)^(1/6)])/(2*Sqrt[3]) - (I*Log[1 + (1 - I*x)^(1/3)/(1 + I*x)^(1/3) + (Sqrt[3]*(1 - I*x)^(1/6))/(1 + I*x)^(1/6)])/(2*Sqrt[3])}
+{E^(I*ArcTan[x]/3)/x^1, x, 25, ArcTan[Sqrt[3] - (2*(1 - I*x)^(1/6))/(1 + I*x)^(1/6)] - ArcTan[Sqrt[3] + (2*(1 - I*x)^(1/6))/(1 + I*x)^(1/6)] + Sqrt[3]*ArcTan[(1 - (2*(1 + I*x)^(1/6))/(1 - I*x)^(1/6))/Sqrt[3]] - Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*(1 + I*x)^(1/6))/(1 - I*x)^(1/6))/Sqrt[3]] - 2*ArcTan[(1 - I*x)^(1/6)/(1 + I*x)^(1/6)] - 2*ArcTanh[(1 + I*x)^(1/6)/(1 - I*x)^(1/6)] - (1/2)*Sqrt[3]*Log[1 + (1 - I*x)^(1/3)/(1 + I*x)^(1/3) - (Sqrt[3]*(1 - I*x)^(1/6))/(1 + I*x)^(1/6)] + (1/2)*Sqrt[3]*Log[1 + (1 - I*x)^(1/3)/(1 + I*x)^(1/3) + (Sqrt[3]*(1 - I*x)^(1/6))/(1 + I*x)^(1/6)] + (1/2)*Log[1 - (1 + I*x)^(1/6)/(1 - I*x)^(1/6) + (1 + I*x)^(1/3)/(1 - I*x)^(1/3)] - (1/2)*Log[1 + (1 + I*x)^(1/6)/(1 - I*x)^(1/6) + (1 + I*x)^(1/3)/(1 - I*x)^(1/3)]}
+{E^(I*ArcTan[x]/3)/x^2, x, 13, -(((1 - I*x)^(5/6)*(1 + I*x)^(1/6))/x) + (I*ArcTan[(1 - (2*(1 + I*x)^(1/6))/(1 - I*x)^(1/6))/Sqrt[3]])/Sqrt[3] - (I*ArcTan[(1 + (2*(1 + I*x)^(1/6))/(1 - I*x)^(1/6))/Sqrt[3]])/Sqrt[3] - (2/3)*I*ArcTanh[(1 + I*x)^(1/6)/(1 - I*x)^(1/6)] + (1/6)*I*Log[1 - (1 + I*x)^(1/6)/(1 - I*x)^(1/6) + (1 + I*x)^(1/3)/(1 - I*x)^(1/3)] - (1/6)*I*Log[1 + (1 + I*x)^(1/6)/(1 - I*x)^(1/6) + (1 + I*x)^(1/3)/(1 - I*x)^(1/3)]}
+{E^(I*ArcTan[x]/3)/x^3, x, 14, -(((1 - I*x)^(5/6)*(1 + I*x)^(7/6))/(2*x^2)) - (I*(1 - I*x)^(5/6)*(1 + I*x)^(1/6))/(6*x) - ArcTan[(1 - (2*(1 + I*x)^(1/6))/(1 - I*x)^(1/6))/Sqrt[3]]/(6*Sqrt[3]) + ArcTan[(1 + (2*(1 + I*x)^(1/6))/(1 - I*x)^(1/6))/Sqrt[3]]/(6*Sqrt[3]) + (1/9)*ArcTanh[(1 + I*x)^(1/6)/(1 - I*x)^(1/6)] - (1/36)*Log[1 - (1 + I*x)^(1/6)/(1 - I*x)^(1/6) + (1 + I*x)^(1/3)/(1 - I*x)^(1/3)] + (1/36)*Log[1 + (1 + I*x)^(1/6)/(1 - I*x)^(1/6) + (1 + I*x)^(1/3)/(1 - I*x)^(1/3)]}
+{E^(I*ArcTan[x]/3)/x^4, x, 16, -(((1 - I*x)^(5/6)*(1 + I*x)^(1/6))/(3*x^3)) - (7*I*(1 - I*x)^(5/6)*(1 + I*x)^(1/6))/(18*x^2) + (11*(1 - I*x)^(5/6)*(1 + I*x)^(1/6))/(27*x) - (19*I*ArcTan[(1 - (2*(1 + I*x)^(1/6))/(1 - I*x)^(1/6))/Sqrt[3]])/(54*Sqrt[3]) + (19*I*ArcTan[(1 + (2*(1 + I*x)^(1/6))/(1 - I*x)^(1/6))/Sqrt[3]])/(54*Sqrt[3]) + (19/81)*I*ArcTanh[(1 + I*x)^(1/6)/(1 - I*x)^(1/6)] - (19/324)*I*Log[1 - (1 + I*x)^(1/6)/(1 - I*x)^(1/6) + (1 + I*x)^(1/3)/(1 - I*x)^(1/3)] + (19/324)*I*Log[1 + (1 + I*x)^(1/6)/(1 - I*x)^(1/6) + (1 + I*x)^(1/3)/(1 - I*x)^(1/3)]}
+
+
+{E^(2*I*ArcTan[x]/3)*x^2, x, 5, (-(11/27))*I*(1 - I*x)^(2/3)*(1 + I*x)^(1/3) - (1/9)*I*(1 - I*x)^(2/3)*(1 + I*x)^(4/3) + (1/3)*(1 - I*x)^(2/3)*(1 + I*x)^(4/3)*x + (22*I*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*(1 - I*x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + I*x)^(1/3))])/(27*Sqrt[3]) + (11/27)*I*Log[1 + (1 - I*x)^(1/3)/(1 + I*x)^(1/3)] + (11/81)*I*Log[1 + I*x]}
+{E^(2*I*ArcTan[x]/3)*x^1, x, 4, (1/3)*(1 - I*x)^(2/3)*(1 + I*x)^(1/3) + (1/2)*(1 - I*x)^(2/3)*(1 + I*x)^(4/3) - (2*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*(1 - I*x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + I*x)^(1/3))])/(3*Sqrt[3]) - (1/3)*Log[1 + (1 - I*x)^(1/3)/(1 + I*x)^(1/3)] - (1/9)*Log[1 + I*x]}
+{E^(2*I*ArcTan[x]/3)*x^0, x, 3, I*(1 - I*x)^(2/3)*(1 + I*x)^(1/3) - (2*I*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*(1 - I*x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + I*x)^(1/3))])/Sqrt[3] - I*Log[1 + (1 - I*x)^(1/3)/(1 + I*x)^(1/3)] - (1/3)*I*Log[1 + I*x]}
+{E^(2*I*ArcTan[x]/3)/x^1, x, 4, Sqrt[3]*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*(1 - I*x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + I*x)^(1/3))] + Sqrt[3]*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*(1 - I*x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + I*x)^(1/3))] + (3/2)*Log[1 + (1 - I*x)^(1/3)/(1 + I*x)^(1/3)] + (3/2)*Log[(1 - I*x)^(1/3) - (1 + I*x)^(1/3)] + (1/2)*Log[1 + I*x] - Log[x]/2}
+{E^(2*I*ArcTan[x]/3)/x^2, x, 3, -(((1 - I*x)^(2/3)*(1 + I*x)^(1/3))/x) + (2*I*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*(1 - I*x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + I*x)^(1/3))])/Sqrt[3] + I*Log[(1 - I*x)^(1/3) - (1 + I*x)^(1/3)] - (1/3)*I*Log[x]}
+{E^(2*I*ArcTan[x]/3)/x^3, x, 4, -(((1 - I*x)^(2/3)*(1 + I*x)^(4/3))/(2*x^2)) - (I*(1 - I*x)^(2/3)*(1 + I*x)^(1/3))/(3*x) - (2*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*(1 - I*x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + I*x)^(1/3))])/(3*Sqrt[3]) - (1/3)*Log[(1 - I*x)^(1/3) - (1 + I*x)^(1/3)] + Log[x]/9}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n/4 I ArcTan[a x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^((I/4)*ArcTan[a*x])*x^2, x, 27, -((11*I*(1 - I*a*x)^(7/8)*(1 + I*a*x)^(1/8))/(32*a^3)) - (I*(1 - I*a*x)^(7/8)*(1 + I*a*x)^(9/8))/(24*a^3) + (x*(1 - I*a*x)^(7/8)*(1 + I*a*x)^(9/8))/(3*a^2) + (11*I*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] - (2*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]])/(128*a^3) + (11*I*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] - (2*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]])/(128*a^3) - (11*I*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] + (2*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]])/(128*a^3) - (11*I*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] + (2*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]])/(128*a^3) - (11*I*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - I*a*x)^(1/4)/(1 + I*a*x)^(1/4) - (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8)])/(256*a^3) + (11*I*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - I*a*x)^(1/4)/(1 + I*a*x)^(1/4) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8)])/(256*a^3) - (11*I*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - I*a*x)^(1/4)/(1 + I*a*x)^(1/4) - (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8)])/(256*a^3) + (11*I*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - I*a*x)^(1/4)/(1 + I*a*x)^(1/4) + (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8)])/(256*a^3)}
+{E^((I/4)*ArcTan[a*x])*x^1, x, 26, ((1 - I*a*x)^(7/8)*(1 + I*a*x)^(1/8))/(8*a^2) + ((1 - I*a*x)^(7/8)*(1 + I*a*x)^(9/8))/(2*a^2) - (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] - (2*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]])/(32*a^2) - (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] - (2*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]])/(32*a^2) + (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] + (2*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]])/(32*a^2) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] + (2*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]])/(32*a^2) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - I*a*x)^(1/4)/(1 + I*a*x)^(1/4) - (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8)])/(64*a^2) - (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - I*a*x)^(1/4)/(1 + I*a*x)^(1/4) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8)])/(64*a^2) + (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - I*a*x)^(1/4)/(1 + I*a*x)^(1/4) - (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8)])/(64*a^2) - (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - I*a*x)^(1/4)/(1 + I*a*x)^(1/4) + (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8)])/(64*a^2)}
+{E^((I/4)*ArcTan[a*x])*x^0, x, 25, (I*(1 - I*a*x)^(7/8)*(1 + I*a*x)^(1/8))/a - (I*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] - (2*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]])/(4*a) - (I*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] - (2*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]])/(4*a) + (I*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] + (2*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]])/(4*a) + (I*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] + (2*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]])/(4*a) + (I*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - I*a*x)^(1/4)/(1 + I*a*x)^(1/4) - (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8)])/(8*a) - (I*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - I*a*x)^(1/4)/(1 + I*a*x)^(1/4) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8)])/(8*a) + (I*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - I*a*x)^(1/4)/(1 + I*a*x)^(1/4) - (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8)])/(8*a) - (I*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - I*a*x)^(1/4)/(1 + I*a*x)^(1/4) + (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8)])/(8*a)}
+{E^((I/4)*ArcTan[a*x])/x^1, x, 39, -2*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/8)/(1 - I*a*x)^(1/8)] + Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] - (2*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]] + Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] - (2*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]] - Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] + (2*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]] - Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] + (2*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]] + Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 + I*a*x)^(1/8))/(1 - I*a*x)^(1/8)] - Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 + I*a*x)^(1/8))/(1 - I*a*x)^(1/8)] - 2*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/8)/(1 - I*a*x)^(1/8)] - (1/2)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - I*a*x)^(1/4)/(1 + I*a*x)^(1/4) - (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8)] + (1/2)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - I*a*x)^(1/4)/(1 + I*a*x)^(1/4) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8)] - (1/2)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - I*a*x)^(1/4)/(1 + I*a*x)^(1/4) - (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8)] + (1/2)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - I*a*x)^(1/4)/(1 + I*a*x)^(1/4) + (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - I*a*x)^(1/8))/(1 + I*a*x)^(1/8)] + Log[1 - (Sqrt[2]*(1 + I*a*x)^(1/8))/(1 - I*a*x)^(1/8) + (1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]/Sqrt[2] - Log[1 + (Sqrt[2]*(1 + I*a*x)^(1/8))/(1 - I*a*x)^(1/8) + (1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{E^((I/4)*ArcTan[a*x])/x^2, x, 16, -(((1 - I*a*x)^(7/8)*(1 + I*a*x)^(1/8))/x) - (1/2)*I*a*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/8)/(1 - I*a*x)^(1/8)] + (I*a*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 + I*a*x)^(1/8))/(1 - I*a*x)^(1/8)])/(2*Sqrt[2]) - (I*a*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 + I*a*x)^(1/8))/(1 - I*a*x)^(1/8)])/(2*Sqrt[2]) - (1/2)*I*a*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/8)/(1 - I*a*x)^(1/8)] + (I*a*Log[1 - (Sqrt[2]*(1 + I*a*x)^(1/8))/(1 - I*a*x)^(1/8) + (1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]) - (I*a*Log[1 + (Sqrt[2]*(1 + I*a*x)^(1/8))/(1 - I*a*x)^(1/8) + (1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2])}
+{E^((I/4)*ArcTan[a*x])/x^3, x, 17, -((I*a*(1 - I*a*x)^(7/8)*(1 + I*a*x)^(1/8))/(8*x)) - ((1 - I*a*x)^(7/8)*(1 + I*a*x)^(9/8))/(2*x^2) + (1/16)*a^2*ArcTan[(1 + I*a*x)^(1/8)/(1 - I*a*x)^(1/8)] - (a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 + I*a*x)^(1/8))/(1 - I*a*x)^(1/8)])/(16*Sqrt[2]) + (a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 + I*a*x)^(1/8))/(1 - I*a*x)^(1/8)])/(16*Sqrt[2]) + (1/16)*a^2*ArcTanh[(1 + I*a*x)^(1/8)/(1 - I*a*x)^(1/8)] - (a^2*Log[1 - (Sqrt[2]*(1 + I*a*x)^(1/8))/(1 - I*a*x)^(1/8) + (1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)])/(32*Sqrt[2]) + (a^2*Log[1 + (Sqrt[2]*(1 + I*a*x)^(1/8))/(1 - I*a*x)^(1/8) + (1 + I*a*x)^(1/4)/(1 - I*a*x)^(1/4)])/(32*Sqrt[2])}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n I ArcTan[a x]) with m symbolic*)
+
+
+{E^(6*I*ArcTan[a*x])*x^m, x, 4, -((x^(1 + m)*(1 + I*a*x)^2)/((1 + m)*(1 - I*a*x)^2)) + (4*I*x^(1 + m)*(I*(1 + m)^2 + a*(3 + 3*m + m^2)*x))/((1 + m)*(1 - I*a*x)^2) + (2*(3 + 4*m + 2*m^2)*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, I*a*x])/(1 + m)}
+{E^(4*I*ArcTan[a*x])*x^m, x, 4, x^(1 + m)/(1 + m) + (4*x^(1 + m))/(1 - I*a*x) - 4*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, I*a*x]}
+{E^(2*I*ArcTan[a*x])*x^m, x, 3, -(x^(1 + m)/(1 + m)) + (2*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, I*a*x])/(1 + m)}
+{x^m/E^(2*I*ArcTan[a*x]), x, 3, -(x^(1 + m)/(1 + m)) + (2*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (-I)*a*x])/(1 + m)}
+{x^m/E^(4*I*ArcTan[a*x]), x, 4, x^(1 + m)/(1 + m) + (4*x^(1 + m))/(1 + I*a*x) - 4*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (-I)*a*x]}
+{x^m/E^(6*I*ArcTan[a*x]), x, 4, -((x^(1 + m)*(1 - I*a*x)^2)/((1 + m)*(1 + I*a*x)^2)) + (4*I*x^(1 + m)*(I*(1 + m)^2 - a*(3 + 3*m + m^2)*x))/((1 + m)*(1 + I*a*x)^2) + (2*(3 + 4*m + 2*m^2)*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (-I)*a*x])/(1 + m)}
+
+{E^(3*I*ArcTan[a*x])*x^m, x, 9, -((3*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(1 + m)) - (I*a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(2 + m) + (4*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[3/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(1 + m) + (4*I*a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[3/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(2 + m)}
+{E^(1*I*ArcTan[a*x])*x^m, x, 4, (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(1 + m) + (I*a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(2 + m)}
+{x^m/E^(1*I*ArcTan[a*x]), x, 4, (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(1 + m) - (I*a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(2 + m)}
+{x^m/E^(3*I*ArcTan[a*x]), x, 9, -((3*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(1 + m)) + (I*a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(2 + m) + (4*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[3/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(1 + m) - (4*I*a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[3/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(2 + m)}
+
+
+{E^(5*I/2*ArcTan[a*x])*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, 5/4, -5/4, 2 + m, I*a*x, (-I)*a*x])/(1 + m)}
+{E^(3*I/2*ArcTan[a*x])*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, 3/4, -3/4, 2 + m, I*a*x, (-I)*a*x])/(1 + m)}
+{E^(1*I/2*ArcTan[a*x])*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, 1/4, -1/4, 2 + m, I*a*x, (-I)*a*x])/(1 + m)}
+{x^m/E^(1*I/2*ArcTan[a*x]), x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, -1/4, 1/4, 2 + m, I*a*x, (-I)*a*x])/(1 + m)}
+{x^m/E^(3*I/2*ArcTan[a*x]), x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, -3/4, 3/4, 2 + m, I*a*x, (-I)*a*x])/(1 + m)}
+{x^m/E^(5*I/2*ArcTan[a*x]), x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, -5/4, 5/4, 2 + m, I*a*x, (-I)*a*x])/(1 + m)}
+
+
+{E^(2*ArcTan[x]/3)*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, -(I/3), I/3, 2 + m, I*x, (-I)*x])/(1 + m)}
+{E^(1*ArcTan[x]/3)*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, -(I/6), I/6, 2 + m, I*x, (-I)*x])/(1 + m)}
+
+
+{E^(I/4*ArcTan[a*x])*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, 1/8, -1/8, 2 + m, I*a*x, (-I)*a*x])/(1 + m)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n symbolic*)
+
+
+{E^(I*n*ArcTan[a*x])*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, n/2, -n/2, 2 + m, I*a*x, (-I)*a*x])/(1 + m)}
+
+
+{E^(I*n*ArcTan[a*x])*x^3, x, 4, (x^2*(1 - I*a*x)^(1 - n/2)*(1 + I*a*x)^((2 + n)/2))/(4*a^2) - ((1 - I*a*x)^(1 - n/2)*(1 + I*a*x)^((2 + n)/2)*(6 + n^2 + 2*I*a*n*x))/(24*a^4) - (2^(-2 + n/2)*n*(8 + n^2)*(1 - I*a*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(3*a^4*(2 - n))}
+{E^(I*n*ArcTan[a*x])*x^2, x, 4, -((I*n*(1 - I*a*x)^(1 - n/2)*(1 + I*a*x)^((2 + n)/2))/(6*a^3)) + (x*(1 - I*a*x)^(1 - n/2)*(1 + I*a*x)^((2 + n)/2))/(3*a^2) - (I*2^(n/2)*(2 + n^2)*(1 - I*a*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(3*a^3*(2 - n))}
+{E^(I*n*ArcTan[a*x])*x^1, x, 3, ((1 - I*a*x)^(1 - n/2)*(1 + I*a*x)^((2 + n)/2))/(2*a^2) + (2^(n/2)*n*(1 - I*a*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a^2*(2 - n))}
+{E^(I*n*ArcTan[a*x])*x^0, x, 2, (I*2^(1 + n/2)*(1 - I*a*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*(2 - n))}
+{E^(I*n*ArcTan[a*x])/x^1, x, 4, (2*(1 + I*a*x)^(n/2)*Hypergeometric2F1[1, -(n/2), 1 - n/2, (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/((1 - I*a*x)^(n/2)*n) - (2^(1 + n/2)*Hypergeometric2F1[-(n/2), -(n/2), 1 - n/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/((1 - I*a*x)^(n/2)*n)}
+{E^(I*n*ArcTan[a*x])/x^2, x, 2, -((4*I*a*(1 - I*a*x)^(1 - n/2)*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-2 + n))*Hypergeometric2F1[2, 1 - n/2, 2 - n/2, (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/(2 - n))}
+{E^(I*n*ArcTan[a*x])/x^3, x, 3, -(((1 - I*a*x)^(1 - n/2)*(1 + I*a*x)^((2 + n)/2))/(2*x^2)) + (2*a^2*n*(1 - I*a*x)^(1 - n/2)*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-2 + n))*Hypergeometric2F1[2, 1 - n/2, 2 - n/2, (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/(2 - n)}
+{E^(I*n*ArcTan[a*x])/x^4, x, 5, -(((1 - I*a*x)^(1 - n/2)*(1 + I*a*x)^((2 + n)/2))/(3*x^3)) - (I*a*n*(1 - I*a*x)^(1 - n/2)*(1 + I*a*x)^((2 + n)/2))/(6*x^2) + (2*I*a^3*(2 + n^2)*(1 - I*a*x)^(1 - n/2)*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-2 + n))*Hypergeometric2F1[2, 1 - n/2, 2 - n/2, (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/(3*(2 - n))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTan[a+b x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n I ArcTan[a+b x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^(I*ArcTan[a + b*x])*x^4, x, 8, ((3*I + 12*a - 24*I*a^2 - 16*a^3 + 8*I*a^4)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(8*b^5) - ((I + 8*a)*x^2*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2))/(20*b^3) + (x^3*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2))/(5*b^2) + (Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2)*(19*I + 114*a - 86*I*a^2 - 96*a^3 - 2*(13 - 14*I*a - 36*a^2)*b*x))/(120*b^5) + ((3 - 12*I*a - 24*a^2 + 16*I*a^3 + 8*a^4)*ArcSinh[a + b*x])/(8*b^5)}
+{E^(I*ArcTan[a + b*x])*x^3, x, 7, -(((3 - 12*I*a - 12*a^2 + 8*I*a^3)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(8*b^4)) + (x^2*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2))/(4*b^2) - (Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2)*(7 - 10*I*a - 18*a^2 + 2*(I + 6*a)*b*x))/(24*b^4) + ((3*I + 12*a - 12*I*a^2 - 8*a^3)*ArcSinh[a + b*x])/(8*b^4)}
+{E^(I*ArcTan[a + b*x])*x^2, x, 7, -((I + 2*a - (2*I)*a^2)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(2*b^3) - ((I + 4*a)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2))/(6*b^3) + (x*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2))/(3*b^2) - ((1 - (2*I)*a - 2*a^2)*ArcSinh[a + b*x])/(2*b^3)}
+{E^(I*ArcTan[a + b*x])*x^1, x, 6, ((1 - (2*I)*a)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(2*b^2) + (Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2))/(2*b^2) - ((I + 2*a)*ArcSinh[a + b*x])/(2*b^2)}
+{E^(I*ArcTan[a + b*x])*x^0, x, 5, (I*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/b + ArcSinh[a + b*x]/b}
+{E^(I*ArcTan[a + b*x])/x^1, x, 8, I*ArcSinh[a + b*x] - (2*Sqrt[I - a]*ArcTanh[(Sqrt[I + a]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(Sqrt[I - a]*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])])/Sqrt[I + a]}
+{E^(I*ArcTan[a + b*x])/x^2, x, 4, -((Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/((1 - I*a)*x)) + (2*I*b*ArcTanh[(Sqrt[I + a]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(Sqrt[I - a]*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])])/(Sqrt[I - a]*(I + a)^(3/2))}
+{E^(I*ArcTan[a + b*x])/x^3, x, 5, -(((1 + 2*I*a)*b*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(2*(I - a)*(I + a)^2*x)) - (Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2))/(2*(1 + a^2)*x^2) + ((1 + 2*I*a)*b^2*ArcTanh[(Sqrt[I + a]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(Sqrt[I - a]*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])])/((I - a)^(3/2)*(I + a)^(5/2))}
+{E^(I*ArcTan[a + b*x])/x^4, x, 7, -((Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(3*(1 - I*a)*x^3)) - ((3*I - 2*a)*b*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(6*(1 - I*a)*(1 + a^2)*x^2) + ((4 + 9*I*a - 2*a^2)*b^2*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(6*(1 - I*a)*(1 + a^2)^2*x) + ((2*a - I*(1 - 2*a^2))*b^3*ArcTanh[(Sqrt[I + a]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(Sqrt[I - a]*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])])/((I - a)^(5/2)*(I + a)^(7/2))}
+
+
+{E^((2*I)*ArcTan[a + b*x])*x^4, x, 3, -((2*(1 - I*a)^3*x)/b^4) + (I*(I + a)^2*x^2)/b^3 + (2*(1 - I*a)*x^3)/(3*b^2) + (I*x^4)/(2*b) - x^5/5 + (2*I*(I + a)^4*Log[I + a + b*x])/b^5}
+{E^((2*I)*ArcTan[a + b*x])*x^3, x, 3, (2*I*(I + a)^2*x)/b^3 + ((1 - I*a)*x^2)/b^2 + (2*I*x^3)/(3*b) - x^4/4 - (2*(1 - I*a)^3*Log[I + a + b*x])/b^4}
+{E^((2*I)*ArcTan[a + b*x])*x^2, x, 3, (2*(1 - I*a)*x)/b^2 + (I*x^2)/b - x^3/3 + (2*I*(I + a)^2*Log[I + a + b*x])/b^3}
+{E^((2*I)*ArcTan[a + b*x])*x^1, x, 3, ((2*I)*x)/b - x^2/2 + (2*(1 - I*a)*Log[I + a + b*x])/b^2}
+{E^((2*I)*ArcTan[a + b*x])*x^0, x, 3, -x + ((2*I)*Log[I + a + b*x])/b}
+{E^((2*I)*ArcTan[a + b*x])/x^1, x, 3, ((I - a)*Log[x])/(I + a) - (2*Log[I + a + b*x])/(1 - I*a)}
+{E^((2*I)*ArcTan[a + b*x])/x^2, x, 3, -((I - a)/((I + a)*x)) - ((2*I)*b*Log[x])/(I + a)^2 + ((2*I)*b*Log[I + a + b*x])/(I + a)^2}
+{E^((2*I)*ArcTan[a + b*x])/x^3, x, 3, -((I - a)/(2*(I + a)*x^2)) + (2*I*b)/((I + a)^2*x) - (2*b^2*Log[x])/(1 - I*a)^3 + (2*b^2*Log[I + a + b*x])/(1 - I*a)^3}
+{E^((2*I)*ArcTan[a + b*x])/x^4, x, 3, -((I - a)/(3*(I + a)*x^3)) + (I*b)/((I + a)^2*x^2) + (2*b^2)/((1 - I*a)^3*x) - (2*I*b^3*Log[x])/(I + a)^4 + (2*I*b^3*Log[I + a + b*x])/(I + a)^4}
+
+
+{E^((3*I)*ArcTan[a + b*x])*x^4, x, 9, -((3*(19*I + 68*a - 88*I*a^2 - 48*a^3 + 8*I*a^4)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(8*b^5)) - (2*I*x^4*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2))/(b*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]) + (3*(17*I + 16*a)*x^2*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2))/(20*b^3) - (11*x^3*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2))/(5*b^2) - (I*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2)*(163 - 458*I*a - 422*a^2 + 112*I*a^3 + 2*(61*I + 118*a - 52*I*a^2)*b*x))/(40*b^5) - (3*(19 - 68*I*a - 88*a^2 + 48*I*a^3 + 8*a^4)*ArcSinh[a + b*x])/(8*b^5)}
+{E^((3*I)*ArcTan[a + b*x])*x^3, x, 8, (3*(17 - 44*I*a - 36*a^2 + 8*I*a^3)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(8*b^4) - (2*I*x^3*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2))/(b*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]) - (9*x^2*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2))/(4*b^2) - (I*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2)*(29*I + 54*a - 22*I*a^2 - 2*(11 - 10*I*a)*b*x))/(8*b^4) - (3*(17*I + 44*a - 36*I*a^2 - 8*a^3)*ArcSinh[a + b*x])/(8*b^4)}
+{E^((3*I)*ArcTan[a + b*x])*x^2, x, 8, ((11*I + 18*a - 6*I*a^2)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(2*b^3) + ((11*I + 18*a - 6*I*a^2)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2))/(6*b^3) - (I*(I + a)^2*(1 + I*a + I*b*x)^(5/2))/(b^3*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]) + (I*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*(1 + I*a + I*b*x)^(5/2))/(3*b^3) + ((11 - 18*I*a - 6*a^2)*ArcSinh[a + b*x])/(2*b^3)}
+{E^((3*I)*ArcTan[a + b*x])*x^1, x, 7, -((3*(3 - 2*I*a)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(2*b^2)) - ((3 - 2*I*a)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2))/(2*b^2) - ((1 - I*a)*(1 + I*a + I*b*x)^(5/2))/(b^2*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]) + (3*(3*I + 2*a)*ArcSinh[a + b*x])/(2*b^2)}
+{E^((3*I)*ArcTan[a + b*x])*x^0, x, 6, ((-3*I)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/b - ((2*I)*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2))/(b*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]) - (3*ArcSinh[a + b*x])/b}
+{E^((3*I)*ArcTan[a + b*x])/x^1, x, 8, (4*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/((1 - I*a)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]) - I*ArcSinh[a + b*x] - (2*(I - a)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[I + a]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(Sqrt[I - a]*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])])/(I + a)^(3/2)}
+{E^((3*I)*ArcTan[a + b*x])/x^2, x, 5, -((6*I*b*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/((I + a)^2*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])) - (1 + I*a + I*b*x)^(3/2)/((1 - I*a)*x*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]) + (6*I*Sqrt[I - a]*b*ArcTanh[(Sqrt[I + a]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(Sqrt[I - a]*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])])/(I + a)^(5/2)}
+{E^((3*I)*ArcTan[a + b*x])/x^3, x, 6, (3*(3*I - 2*a)*b^2*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/((1 + I*a)*(I + a)^3*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]) + ((3*I - 2*a)*b*(1 + I*a + I*b*x)^(3/2))/(2*(1 + I*a)*(I + a)^2*x*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]) - (1 + I*a + I*b*x)^(5/2)/(2*(1 + a^2)*x^2*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]) + (3*(3 + 2*I*a)*b^2*ArcTanh[(Sqrt[I + a]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(Sqrt[I - a]*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])])/(Sqrt[I - a]*(I + a)^(7/2))}
+{E^((3*I)*ArcTan[a + b*x])/x^4, x, 8, ((52 + 51*I*a - 2*a^2)*b^3*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(6*(I - a)*(I + a)^4*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]) - ((I - a)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(3*(I + a)*x^3*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]) + (7*I*b*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(6*(I + a)^2*x^2*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]) + ((19 + 16*I*a)*b^2*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(6*(I - a)*(I + a)^3*x*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]) - ((11*I - 18*a - 6*I*a^2)*b^3*ArcTanh[(Sqrt[I + a]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(Sqrt[I - a]*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])])/((I - a)^(3/2)*(I + a)^(9/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^4/E^(I*ArcTan[a + b*x]), x, 8, -(((3*I - 12*a - 24*I*a^2 + 16*a^3 + 8*I*a^4)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(8*b^5)) + ((I - 8*a)*x^2*(1 - I*a - I*b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(20*b^3) + (x^3*(1 - I*a - I*b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(5*b^2) - ((1 - I*a - I*b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x]*(19*I - 114*a - 86*I*a^2 + 96*a^3 + 2*(13 + 14*I*a - 36*a^2)*b*x))/(120*b^5) + ((3 + 12*I*a - 24*a^2 - 16*I*a^3 + 8*a^4)*ArcSinh[a + b*x])/(8*b^5)}
+{x^3/E^(I*ArcTan[a + b*x]), x, 7, -(((3 + 12*I*a - 12*a^2 - 8*I*a^3)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(8*b^4)) + (x^2*(1 - I*a - I*b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(4*b^2) - ((1 - I*a - I*b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x]*(7 + 10*I*a - 18*a^2 - 2*(I - 6*a)*b*x))/(24*b^4) - ((3*I - 12*a - 12*I*a^2 + 8*a^3)*ArcSinh[a + b*x])/(8*b^4)}
+{x^2/E^(I*ArcTan[a + b*x]), x, 7, ((I - 2*a - (2*I)*a^2)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(2*b^3) + ((I - 4*a)*(1 - I*a - I*b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(6*b^3) + (x*(1 - I*a - I*b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(3*b^2) - ((1 + (2*I)*a - 2*a^2)*ArcSinh[a + b*x])/(2*b^3)}
+{x^1/E^(I*ArcTan[a + b*x]), x, 6, ((1 + 2*I*a)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(2*b^2) + ((1 - I*a - I*b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(2*b^2) + ((I - 2*a)*ArcSinh[a + b*x])/(2*b^2)}
+{1/E^(I*ArcTan[a + b*x]), x, 5, ((-I)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/b + ArcSinh[a + b*x]/b}
+{1/(E^(I*ArcTan[a + b*x])*x^1), x, 8, (-I)*ArcSinh[a + b*x] - (2*Sqrt[I + a]*ArcTanh[(Sqrt[I + a]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(Sqrt[I - a]*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])])/Sqrt[I - a]}
+{1/(E^(I*ArcTan[a + b*x])*x^2), x, 4, -((Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/((1 + I*a)*x)) - (2*I*b*ArcTanh[(Sqrt[I + a]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(Sqrt[I - a]*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])])/((I - a)^(3/2)*Sqrt[I + a])}
+{1/(E^(I*ArcTan[a + b*x])*x^3), x, 5, ((1 - 2*I*a)*b*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(2*(I - a)^2*(I + a)*x) - ((1 - I*a - I*b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(2*(1 + a^2)*x^2) + ((1 - 2*I*a)*b^2*ArcTanh[(Sqrt[I + a]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(Sqrt[I - a]*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])])/((I - a)^(5/2)*(I + a)^(3/2))}
+{1/(E^(I*ArcTan[a + b*x])*x^4), x, 7, -((Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(3*(1 + I*a)*x^3)) + ((3 - 2*I*a)*b*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(6*(I - a)^2*(I + a)*x^2) + ((4 - 9*I*a - 2*a^2)*b^2*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(6*(1 + I*a)*(1 + a^2)^2*x) + ((2*a + I*(1 - 2*a^2))*b^3*ArcTanh[(Sqrt[I + a]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(Sqrt[I - a]*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])])/((I - a)^(7/2)*(I + a)^(5/2))}
+
+
+{x^4/E^((2*I)*ArcTan[a + b*x]), x, 3, (-2*(1 + I*a)^3*x)/b^4 - (I*(I - a)^2*x^2)/b^3 + (2*(1 + I*a)*x^3)/(3*b^2) - ((I/2)*x^4)/b - x^5/5 - ((2*I)*(I - a)^4*Log[I - a - b*x])/b^5}
+{x^3/E^((2*I)*ArcTan[a + b*x]), x, 3, ((-2*I)*(I - a)^2*x)/b^3 + ((1 + I*a)*x^2)/b^2 - (((2*I)/3)*x^3)/b - x^4/4 - (2*(1 + I*a)^3*Log[I - a - b*x])/b^4}
+{x^2/E^((2*I)*ArcTan[a + b*x]), x, 3, (2*(1 + I*a)*x)/b^2 - (I*x^2)/b - x^3/3 - ((2*I)*(I - a)^2*Log[I - a - b*x])/b^3}
+{x^1/E^((2*I)*ArcTan[a + b*x]), x, 3, ((-2*I)*x)/b - x^2/2 + (2*(1 + I*a)*Log[I - a - b*x])/b^2}
+{1/E^((2*I)*ArcTan[a + b*x]), x, 3, -x - ((2*I)*Log[I - a - b*x])/b}
+{1/(E^((2*I)*ArcTan[a + b*x])*x^1), x, 3, ((I + a)*Log[x])/(I - a) - (2*Log[I - a - b*x])/(1 + I*a)}
+{1/(E^((2*I)*ArcTan[a + b*x])*x^2), x, 3, -((I + a)/((I - a)*x)) + ((2*I)*b*Log[x])/(I - a)^2 - ((2*I)*b*Log[I - a - b*x])/(I - a)^2}
+{1/(E^((2*I)*ArcTan[a + b*x])*x^3), x, 3, -(I + a)/(2*(I - a)*x^2) - ((2*I)*b)/((I - a)^2*x) - (2*b^2*Log[x])/(1 + I*a)^3 + (2*b^2*Log[I - a - b*x])/(1 + I*a)^3}
+{1/(E^((2*I)*ArcTan[a + b*x])*x^4), x, 3, -(I + a)/(3*(I - a)*x^3) - (I*b)/((I - a)^2*x^2) + (2*b^2)/((1 + I*a)^3*x) + ((2*I)*b^3*Log[x])/(I - a)^4 - ((2*I)*b^3*Log[I - a - b*x])/(I - a)^4}
+
+
+{x^4/E^((3*I)*ArcTan[a + b*x]), x, 9, (2*I*x^4*(1 - I*a - I*b*x)^(3/2))/(b*Sqrt[1 + I*a + I*b*x]) + (3*(19*I - 68*a - 88*I*a^2 + 48*a^3 + 8*I*a^4)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(8*b^5) - (3*(17*I - 16*a)*x^2*(1 - I*a - I*b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(20*b^3) - (11*x^3*(1 - I*a - I*b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(5*b^2) + (I*(1 - I*a - I*b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x]*(163 + 458*I*a - 422*a^2 - 112*I*a^3 - 2*(61*I - 118*a - 52*I*a^2)*b*x))/(40*b^5) - (3*(19 + 68*I*a - 88*a^2 - 48*I*a^3 + 8*a^4)*ArcSinh[a + b*x])/(8*b^5)}
+{x^3/E^((3*I)*ArcTan[a + b*x]), x, 8, (2*I*x^3*(1 - I*a - I*b*x)^(3/2))/(b*Sqrt[1 + I*a + I*b*x]) + (3*(17 + 44*I*a - 36*a^2 - 8*I*a^3)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(8*b^4) - (9*x^2*(1 - I*a - I*b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(4*b^2) - (I*(1 - I*a - I*b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x]*(29*I - 54*a - 22*I*a^2 + 2*(11 + 10*I*a)*b*x))/(8*b^4) + (3*(17*I - 44*a - 36*I*a^2 + 8*a^3)*ArcSinh[a + b*x])/(8*b^4)}
+{x^2/E^((3*I)*ArcTan[a + b*x]), x, 8, (I*(I - a)^2*(1 - I*a - I*b*x)^(5/2))/(b^3*Sqrt[1 + I*a + I*b*x]) - ((11*I - 18*a - 6*I*a^2)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(2*b^3) - ((11*I - 18*a - 6*I*a^2)*(1 - I*a - I*b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(6*b^3) - (I*(1 - I*a - I*b*x)^(5/2)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(3*b^3) + ((11 + 18*I*a - 6*a^2)*ArcSinh[a + b*x])/(2*b^3)}
+{x^1/E^((3*I)*ArcTan[a + b*x]), x, 7, -(((1 + I*a)*(1 - I*a - I*b*x)^(5/2))/(b^2*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])) - (3*(3 + 2*I*a)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(2*b^2) - ((3 + 2*I*a)*(1 - I*a - I*b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(2*b^2) - (3*(3*I - 2*a)*ArcSinh[a + b*x])/(2*b^2)}
+{1/E^((3*I)*ArcTan[a + b*x]), x, 6, ((2*I)*(1 - I*a - I*b*x)^(3/2))/(b*Sqrt[1 + I*a + I*b*x]) + ((3*I)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/b - (3*ArcSinh[a + b*x])/b}
+{1/(E^((3*I)*ArcTan[a + b*x])*x^1), x, 8, (4*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])/((1 + I*a)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x]) + I*ArcSinh[a + b*x] - (2*(I + a)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[I + a]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(Sqrt[I - a]*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])])/(I - a)^(3/2)}
+{1/(E^((3*I)*ArcTan[a + b*x])*x^2), x, 5, (6*I*b*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])/((I - a)^2*Sqrt[1 + I*a + I*b*x]) - (1 - I*a - I*b*x)^(3/2)/((1 + I*a)*x*Sqrt[1 + I*a + I*b*x]) - (6*I*Sqrt[I + a]*b*ArcTanh[(Sqrt[I + a]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(Sqrt[I - a]*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])])/(I - a)^(5/2)}
+{1/(E^((3*I)*ArcTan[a + b*x])*x^3), x, 6, -((3*(3*I + 2*a)*b^2*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])/((1 + I*a)^3*(I + a)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])) + ((3 - 2*I*a)*b*(1 - I*a - I*b*x)^(3/2))/(2*(I - a)^2*(I + a)*x*Sqrt[1 + I*a + I*b*x]) - (1 - I*a - I*b*x)^(5/2)/(2*(1 + a^2)*x^2*Sqrt[1 + I*a + I*b*x]) + (3*(3 - 2*I*a)*b^2*ArcTanh[(Sqrt[I + a]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(Sqrt[I - a]*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])])/((I - a)^(7/2)*Sqrt[I + a])}
+{1/(E^((3*I)*ArcTan[a + b*x])*x^4), x, 8, -(((52 - 51*I*a - 2*a^2)*b^3*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])/(6*(I - a)^4*(I + a)*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])) - ((I + a)*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])/(3*(I - a)*x^3*Sqrt[1 + I*a + I*b*x]) - (7*I*b*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])/(6*(I - a)^2*x^2*Sqrt[1 + I*a + I*b*x]) + ((19 - 16*I*a)*b^2*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])/(6*(I - a)^3*(I + a)*x*Sqrt[1 + I*a + I*b*x]) + ((11*I + 18*a - 6*I*a^2)*b^3*ArcTanh[(Sqrt[I + a]*Sqrt[1 + I*a + I*b*x])/(Sqrt[I - a]*Sqrt[1 - I*a - I*b*x])])/((I - a)^(9/2)*(I + a)^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n/2 I ArcTan[a+b x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^((I/2)*ArcTan[a + b*x])*x^2, x, 15, -((3*I + 4*a - (8*I)*a^2)*(1 - I*a - I*b*x)^(3/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(1/4))/(8*b^3) - ((I + 8*a)*(1 - I*a - I*b*x)^(3/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(5/4))/(12*b^3) + (x*(1 - I*a - I*b*x)^(3/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(5/4))/(3*b^2) + ((3*I + 4*a - (8*I)*a^2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*b^3) - ((3*I + 4*a - (8*I)*a^2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*b^3) - ((3*I + 4*a - (8*I)*a^2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*b^3) + ((3*I + 4*a - (8*I)*a^2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*b^3)}
+{E^((I/2)*ArcTan[a + b*x])*x, x, 14, ((1 - (4*I)*a)*(1 - I*a - I*b*x)^(3/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(1/4))/(4*b^2) + ((1 - I*a - I*b*x)^(3/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(5/4))/(2*b^2) - ((1 - (4*I)*a)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*b^2) + ((1 - (4*I)*a)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*b^2) + ((1 - (4*I)*a)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*b^2) - ((1 - (4*I)*a)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*b^2)}
+{E^((I/2)*ArcTan[a + b*x]), x, 13, (I*(1 - I*a - I*b*x)^(3/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(1/4))/b - (I*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*b) + (I*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*b) + ((I/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*b) - ((I/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*b)}
+{E^((I/2)*ArcTan[a + b*x])/x, x, 15, -((2*(I - a)^(1/4)*ArcTan[((I + a)^(1/4)*(1 + I*(a + b*x))^(1/4))/((I - a)^(1/4)*(1 - I*(a + b*x))^(1/4))])/(I + a)^(1/4)) - Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 + I*(a + b*x))^(1/4))/(1 - I*(a + b*x))^(1/4)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 + I*(a + b*x))^(1/4))/(1 - I*(a + b*x))^(1/4)] - (2*(I - a)^(1/4)*ArcTanh[((I + a)^(1/4)*(1 + I*(a + b*x))^(1/4))/((I - a)^(1/4)*(1 - I*(a + b*x))^(1/4))])/(I + a)^(1/4) - Log[1 - (Sqrt[2]*(1 + I*(a + b*x))^(1/4))/(1 - I*(a + b*x))^(1/4) + Sqrt[1 + I*(a + b*x)]/Sqrt[1 - I*(a + b*x)]]/Sqrt[2] + Log[1 + (Sqrt[2]*(1 + I*(a + b*x))^(1/4))/(1 - I*(a + b*x))^(1/4) + Sqrt[1 + I*(a + b*x)]/Sqrt[1 - I*(a + b*x)]]/Sqrt[2]}
+{E^((I/2)*ArcTan[a + b*x])/x^2, x, 6, -(((I + a + b*x)*(1 + I*(a + b*x))^(1/4))/((I + a)*x*(1 - I*(a + b*x))^(1/4))) + (I*b*ArcTan[((I + a)^(1/4)*(1 + I*(a + b*x))^(1/4))/((I - a)^(1/4)*(1 - I*(a + b*x))^(1/4))])/((I - a)^(3/4)*(I + a)^(5/4)) + (I*b*ArcTanh[((I + a)^(1/4)*(1 + I*(a + b*x))^(1/4))/((I - a)^(1/4)*(1 - I*(a + b*x))^(1/4))])/((I - a)^(3/4)*(I + a)^(5/4))}
+
+
+{E^(((3*I)/2)*ArcTan[a + b*x])*x^2, x, 15, -((17*I + 36*a - (24*I)*a^2)*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(3/4))/(24*b^3) - ((3*I + 8*a)*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(7/4))/(12*b^3) + (x*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(7/4))/(3*b^2) + ((17*I + 36*a - (24*I)*a^2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*b^3) - ((17*I + 36*a - (24*I)*a^2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*b^3) + ((17*I + 36*a - (24*I)*a^2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*b^3) - ((17*I + 36*a - (24*I)*a^2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*b^3)}
+{E^(((3*I)/2)*ArcTan[a + b*x])*x, x, 14, ((3 - (4*I)*a)*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(3/4))/(4*b^2) + ((1 - I*a - I*b*x)^(1/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(7/4))/(2*b^2) - (3*(3 - (4*I)*a)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*b^2) + (3*(3 - (4*I)*a)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*b^2) - (3*(3 - (4*I)*a)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*b^2) + (3*(3 - (4*I)*a)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*b^2)}
+{E^(((3*I)/2)*ArcTan[a + b*x]), x, 13, (I*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(3/4))/b - ((3*I)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*b) + ((3*I)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*b) - (((3*I)/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*b) + (((3*I)/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*b)}
+{E^(((3*I)/2)*ArcTan[a + b*x])/x, x, 18, (2*(I - a)^(3/4)*ArcTan[((I + a)^(1/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(1/4))/((I - a)^(1/4)*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))])/(I + a)^(3/4) + Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)] - Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)] - (2*(I - a)^(3/4)*ArcTanh[((I + a)^(1/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(1/4))/((I - a)^(1/4)*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))])/(I + a)^(3/4) + Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)]/Sqrt[2] - Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{E^(((3*I)/2)*ArcTan[a + b*x])/x^2, x, 6, -(((1 - I*a - I*b*x)^(1/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(3/4))/((1 - I*a)*x)) - (3*I*b*ArcTan[((I + a)^(1/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(1/4))/((I - a)^(1/4)*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))])/((I - a)^(1/4)*(I + a)^(7/4)) + (3*I*b*ArcTanh[((I + a)^(1/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(1/4))/((I - a)^(1/4)*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))])/((I - a)^(1/4)*(I + a)^(7/4))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^2/E^((I/2)*ArcTan[a + b*x]), x, 15, ((3*I - 4*a - (8*I)*a^2)*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(3/4))/(8*b^3) + ((I - 8*a)*(1 - I*a - I*b*x)^(5/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(3/4))/(12*b^3) + (x*(1 - I*a - I*b*x)^(5/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(3/4))/(3*b^2) + ((3*I - 4*a - (8*I)*a^2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*b^3) - ((3*I - 4*a - (8*I)*a^2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*b^3) + ((3*I - 4*a - (8*I)*a^2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*b^3) - ((3*I - 4*a - (8*I)*a^2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*b^3)}
+{x/E^((I/2)*ArcTan[a + b*x]), x, 14, ((1 + 4*I*a)*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(3/4))/(4*b^2) + ((1 - I*a - I*b*x)^(5/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(3/4))/(2*b^2) + ((1 + 4*I*a)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*b^2) - ((1 + 4*I*a)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*b^2) + ((1 + 4*I*a)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*b^2) - ((1 + 4*I*a)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*b^2)}
+{E^((-I/2)*ArcTan[a + b*x]), x, 13, ((-I)*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(3/4))/b - (I*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*b) + (I*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*b) - ((I/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*b) + ((I/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*b)}
+{1/(E^((I/2)*ArcTan[a + b*x])*x), x, 14, -((2*(I + a)^(1/4)*ArcTan[((I - a)^(1/4)*(1 - I*(a + b*x))^(1/4))/((I + a)^(1/4)*(1 + I*(a + b*x))^(1/4))])/(I - a)^(1/4)) - Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*(a + b*x))^(1/4))/(1 + I*(a + b*x))^(1/4)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*(a + b*x))^(1/4))/(1 + I*(a + b*x))^(1/4)] - (2*(I + a)^(1/4)*ArcTanh[((I - a)^(1/4)*(1 - I*(a + b*x))^(1/4))/((I + a)^(1/4)*(1 + I*(a + b*x))^(1/4))])/(I - a)^(1/4) - Log[1 + Sqrt[1 - I*(a + b*x)]/Sqrt[1 + I*(a + b*x)] - (Sqrt[2]*(1 - I*(a + b*x))^(1/4))/(1 + I*(a + b*x))^(1/4)]/Sqrt[2] + Log[1 + Sqrt[1 - I*(a + b*x)]/Sqrt[1 + I*(a + b*x)] + (Sqrt[2]*(1 - I*(a + b*x))^(1/4))/(1 + I*(a + b*x))^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{1/(E^((I/2)*ArcTan[a + b*x])*x^2), x, 5, -(((I - a - b*x)*(1 - I*(a + b*x))^(1/4))/((I - a)*x*(1 + I*(a + b*x))^(1/4))) - (I*b*ArcTan[((I - a)^(1/4)*(1 - I*(a + b*x))^(1/4))/((I + a)^(1/4)*(1 + I*(a + b*x))^(1/4))])/((I - a)^(5/4)*(I + a)^(3/4)) - (I*b*ArcTanh[((I - a)^(1/4)*(1 - I*(a + b*x))^(1/4))/((I + a)^(1/4)*(1 + I*(a + b*x))^(1/4))])/((I - a)^(5/4)*(I + a)^(3/4))}
+
+
+{x^2/E^(((3*I)/2)*ArcTan[a + b*x]), x, 15, ((17*I - 36*a - (24*I)*a^2)*(1 - I*a - I*b*x)^(3/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(1/4))/(24*b^3) + ((3*I - 8*a)*(1 - I*a - I*b*x)^(7/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(1/4))/(12*b^3) + (x*(1 - I*a - I*b*x)^(7/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(1/4))/(3*b^2) + ((17*I - 36*a - (24*I)*a^2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*b^3) - ((17*I - 36*a - (24*I)*a^2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*b^3) - ((17*I - 36*a - (24*I)*a^2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*b^3) + ((17*I - 36*a - (24*I)*a^2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*b^3)}
+{x/E^(((3*I)/2)*ArcTan[a + b*x]), x, 14, ((3 + 4*I*a)*(1 - I*a - I*b*x)^(3/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(1/4))/(4*b^2) + ((1 - I*a - I*b*x)^(7/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(1/4))/(2*b^2) + (3*(3 + 4*I*a)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*b^2) - (3*(3 + 4*I*a)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*b^2) - (3*(3 + 4*I*a)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*b^2) + (3*(3 + 4*I*a)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*b^2)}
+{E^(((-3*I)/2)*ArcTan[a + b*x]), x, 13, ((-I)*(1 - I*a - I*b*x)^(3/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(1/4))/b - ((3*I)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*b) + ((3*I)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*b) + (((3*I)/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*b) - (((3*I)/2)*Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*b)}
+{1/(E^(((3*I)/2)*ArcTan[a + b*x])*x), x, 18, -((2*(I + a)^(3/4)*ArcTan[((I + a)^(1/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(1/4))/((I - a)^(1/4)*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))])/(I - a)^(3/4)) - Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)] - (2*(I + a)^(3/4)*ArcTanh[((I + a)^(1/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(1/4))/((I - a)^(1/4)*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))])/(I - a)^(3/4) + Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] - (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)]/Sqrt[2] - Log[1 + Sqrt[1 - I*a - I*b*x]/Sqrt[1 + I*a + I*b*x] + (Sqrt[2]*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))/(1 + I*a + I*b*x)^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{1/(E^(((3*I)/2)*ArcTan[a + b*x])*x^2), x, 6, -(((1 - I*a - I*b*x)^(3/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(1/4))/((1 + I*a)*x)) - (3*I*b*ArcTan[((I + a)^(1/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(1/4))/((I - a)^(1/4)*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))])/((I - a)^(7/4)*(I + a)^(1/4)) - (3*I*b*ArcTanh[((I + a)^(1/4)*(1 + I*a + I*b*x)^(1/4))/((I - a)^(1/4)*(1 - I*a - I*b*x)^(1/4))])/((I - a)^(7/4)*(I + a)^(1/4))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTan[a+b x]) with n symbolic*)
+
+
+{E^(n*ArcTan[a + b*x])*x^m, x, 4, (1/(1 + m))*((x^(1 + m)*(1 - I*a - I*b*x)^((I*n)/2)*(1 - (b*x)/(I - a))^((I*n)/2)*AppellF1[1 + m, -((I*n)/2), (I*n)/2, 2 + m, -((b*x)/(I + a)), (b*x)/(I - a)])/((1 + I*a + I*b*x)^((I*n)/2)*(1 + (b*x)/(I + a))^((I*n)/2)))}
+
+
+{E^(n*ArcTan[a + b*x])*x^3, x, 4, (x^2*(1 - I*a - I*b*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a + I*b*x)^(1 - (I*n)/2))/(4*b^2) - ((1 - I*a - I*b*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a + I*b*x)^(1 - (I*n)/2)*(6 - 18*a^2 - 10*a*n - n^2 + 2*b*(6*a + n)*x))/(24*b^4) + (2^(-2 - (I*n)/2)*(24*a^3 + 36*a^2*n - 12*a*(2 - n^2) - n*(8 - n^2))*(1 - I*a - I*b*x)^(1 + (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1 + (I*n)/2, (I*n)/2, 2 + (I*n)/2, (1/2)*(1 - I*a - I*b*x)])/(3*b^4*(2*I - n))}
+{E^(n*ArcTan[a + b*x])*x^2, x, 4, -(((4*a + n)*(1 - I*a - I*b*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a + I*b*x)^(1 - (I*n)/2))/(6*b^3)) + (x*(1 - I*a - I*b*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a + I*b*x)^(1 - (I*n)/2))/(3*b^2) + ((2 - 6*a^2 - 6*a*n - n^2)*(1 - I*a - I*b*x)^(1 + (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1 + (I*n)/2, (I*n)/2, 2 + (I*n)/2, (1/2)*(1 - I*a - I*b*x)])/(2^((I*n)/2)*(3*b^3*(2*I - n)))}
+{E^(n*ArcTan[a + b*x])*x^1, x, 3, ((1 - I*a - I*b*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a + I*b*x)^(1 - (I*n)/2))/(2*b^2) + ((2*a + n)*(1 - I*a - I*b*x)^(1 + (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1 + (I*n)/2, (I*n)/2, 2 + (I*n)/2, (1/2)*(1 - I*a - I*b*x)])/(2^((I*n)/2)*(b^2*(2*I - n)))}
+{E^(n*ArcTan[a + b*x])*x^0, x, 2, -((2^(1 - (I*n)/2)*(1 - I*a - I*b*x)^(1 + (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1 + (I*n)/2, (I*n)/2, 2 + (I*n)/2, (1/2)*(1 - I*a - I*b*x)])/(b*(2*I - n)))}
+{E^(n*ArcTan[a + b*x])/x^1, x, 5, (2*I*(1 - I*a - I*b*x)^((I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1, (I*n)/2, 1 + (I*n)/2, ((I - a)*(1 - I*a - I*b*x))/((I + a)*(1 + I*a + I*b*x))])/((1 + I*a + I*b*x)^((I*n)/2)*n) - (I*2^(1 - (I*n)/2)*(1 - I*a - I*b*x)^((I*n)/2)*Hypergeometric2F1[(I*n)/2, (I*n)/2, 1 + (I*n)/2, (1/2)*(1 - I*a - I*b*x)])/n}
+{E^(n*ArcTan[a + b*x])/x^2, x, 2, -((4*b*(1 - I*a - I*b*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a + I*b*x)^(-1 - (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[2, 1 + (I*n)/2, 2 + (I*n)/2, ((I - a)*(1 - I*a - I*b*x))/((I + a)*(1 + I*a + I*b*x))])/((I + a)^2*(2*I - n)))}
+{E^(n*ArcTan[a + b*x])/x^3, x, 3, -(((1 - I*a - I*b*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a + I*b*x)^(1 - (I*n)/2))/(2*(1 + a^2)*x^2)) - (2*b^2*(2*a - n)*(1 - I*a - I*b*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a + I*b*x)^(-1 - (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[2, 1 + (I*n)/2, 2 + (I*n)/2, ((I - a)*(1 - I*a - I*b*x))/((I + a)*(1 + I*a + I*b*x))])/((I - a)*(I + a)^3*(2*I - n))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+a^2 c x^2)^p E^(n ArcTan[a x])*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+a^2 c x^2)^p E^(1 ArcTan[a x])*)
+
+
+{E^ArcTan[a*x]*(c + a^2*c*x^2)^p, x, 3, (I*2^((1 - I/2) + p)*(1 - I*a*x)^((1 + I/2) + p)*(c + a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[I/2 - p, (1 + I/2) + p, (2 + I/2) + p, (1/2)*(1 - I*a*x)])/((1 + a^2*x^2)^p*(a*((2 + I) + 2*p)))}
+
+{E^ArcTan[a*x]*(c + a^2*c*x^2)^2, x, 2, ((1/37 + (6*I)/37)*2^(3 - I/2)*c^2*(1 - I*a*x)^(3 + I/2)*Hypergeometric2F1[-2 + I/2, 3 + I/2, 4 + I/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/a}
+{E^ArcTan[a*x]*(c + a^2*c*x^2)^1, x, 2, ((1/17 + (4*I)/17)*2^(2 - I/2)*c*(1 - I*a*x)^(2 + I/2)*Hypergeometric2F1[-1 + I/2, 2 + I/2, 3 + I/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/a}
+{E^ArcTan[a*x]*(c + a^2*c*x^2)^0, x, 2, ((1/5 + (2*I)/5)*2^(1 - I/2)*(1 - I*a*x)^(1 + I/2)*Hypergeometric2F1[I/2, 1 + I/2, 2 + I/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/a}
+{E^ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^1, x, 1, E^ArcTan[a*x]/(a*c)}
+{E^ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 2, (2*E^ArcTan[a*x])/(5*a*c^2) + (E^ArcTan[a*x]*(1 + 2*a*x))/(5*a*c^2*(1 + a^2*x^2))}
+{E^ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 3, (24*E^ArcTan[a*x])/(85*a*c^3) + (E^ArcTan[a*x]*(1 + 4*a*x))/(17*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (12*E^ArcTan[a*x]*(1 + 2*a*x))/(85*a*c^3*(1 + a^2*x^2))}
+{E^ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^4, x, 4, (144*E^ArcTan[a*x])/(629*a*c^4) + (E^ArcTan[a*x]*(1 + 6*a*x))/(37*a*c^4*(1 + a^2*x^2)^3) + (30*E^ArcTan[a*x]*(1 + 4*a*x))/(629*a*c^4*(1 + a^2*x^2)^2) + (72*E^ArcTan[a*x]*(1 + 2*a*x))/(629*a*c^4*(1 + a^2*x^2))}
+{E^ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^5, x, 5, (8064*E^ArcTan[a*x])/(40885*a*c^5) + (E^ArcTan[a*x]*(1 + 8*a*x))/(65*a*c^5*(1 + a^2*x^2)^4) + (56*E^ArcTan[a*x]*(1 + 6*a*x))/(2405*a*c^5*(1 + a^2*x^2)^3) + (336*E^ArcTan[a*x]*(1 + 4*a*x))/(8177*a*c^5*(1 + a^2*x^2)^2) + (4032*E^ArcTan[a*x]*(1 + 2*a*x))/(40885*a*c^5*(1 + a^2*x^2))}
+
+
+{E^ArcTan[a*x]*(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, ((1/13 + (5*I)/13)*2^(3/2 - I/2)*c*(1 - I*a*x)^(5/2 + I/2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(3/2) + I/2, 5/2 + I/2, 7/2 + I/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{E^ArcTan[a*x]*(c + a^2*c*x^2)^(1/2), x, 3, ((1/5 + (3*I)/5)*2^(1/2 - I/2)*(1 - I*a*x)^(3/2 + I/2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(1/2) + I/2, 3/2 + I/2, 5/2 + I/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{E^ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^(1/2), x, 3, ((1 + I)*2^(-(1/2) - I/2)*(1 - I*a*x)^(1/2 + I/2)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2 + I/2, 1/2 + I/2, 3/2 + I/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, (E^ArcTan[a*x]*(1 + a*x))/(2*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 2, (E^ArcTan[a*x]*(1 + 3*a*x))/(10*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (3*E^ArcTan[a*x]*(1 + a*x))/(10*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^(7/2), x, 3, (E^ArcTan[a*x]*(1 + 5*a*x))/(26*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (E^ArcTan[a*x]*(1 + 3*a*x))/(13*a*c^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (3*E^ArcTan[a*x]*(1 + a*x))/(13*a*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+a^2 c x^2)^p E^(2 ArcTan[a x])*)
+
+
+{E^(2*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^p, x, 3, (I*2^(-I + p)*(1 - I*a*x)^((1 + I) + p)*(c + a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[I - p, (1 + I) + p, (2 + I) + p, (1/2)*(1 - I*a*x)])/((1 + a^2*x^2)^p*(a*((1 + I) + p)))}
+
+{E^(2*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^2, x, 2, ((1/5 + (3*I)/5)*2^(1 - I)*c^2*(1 - I*a*x)^(3 + I)*Hypergeometric2F1[-2 + I, 3 + I, 4 + I, (1/2)*(1 - I*a*x)])/a}
+{E^(2*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^1, x, 2, ((1/5 + (2*I)/5)*2^(1 - I)*c*(1 - I*a*x)^(2 + I)*Hypergeometric2F1[-1 + I, 2 + I, 3 + I, (1/2)*(1 - I*a*x)])/a}
+{E^(2*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^0, x, 2, ((1 + I)*2^(-1 - I)*(1 - I*a*x)^(1 + I)*Hypergeometric2F1[I, 1 + I, 2 + I, (1/2)*(1 - I*a*x)])/a}
+{E^(2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^1, x, 1, E^(2*ArcTan[a*x])/(2*a*c)}
+{E^(2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 2, E^(2*ArcTan[a*x])/(8*a*c^2) + (E^(2*ArcTan[a*x])*(1 + a*x))/(4*a*c^2*(1 + a^2*x^2))}
+{E^(2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 3, (3*E^(2*ArcTan[a*x]))/(40*a*c^3) + (E^(2*ArcTan[a*x])*(1 + 2*a*x))/(10*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (3*E^(2*ArcTan[a*x])*(1 + a*x))/(20*a*c^3*(1 + a^2*x^2))}
+{E^(2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^4, x, 4, (9*E^(2*ArcTan[a*x]))/(160*a*c^4) + (E^(2*ArcTan[a*x])*(1 + 3*a*x))/(20*a*c^4*(1 + a^2*x^2)^3) + (3*E^(2*ArcTan[a*x])*(1 + 2*a*x))/(40*a*c^4*(1 + a^2*x^2)^2) + (9*E^(2*ArcTan[a*x])*(1 + a*x))/(80*a*c^4*(1 + a^2*x^2))}
+
+
+{E^(2*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, ((2/29 + (5*I)/29)*2^(5/2 - I)*c*(1 - I*a*x)^(5/2 + I)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(3/2) + I, 5/2 + I, 7/2 + I, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{E^(2*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^(1/2), x, 3, ((2/13 + (3*I)/13)*2^(3/2 - I)*(1 - I*a*x)^(3/2 + I)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(1/2) + I, 3/2 + I, 5/2 + I, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{E^(2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(1/2), x, 3, ((2/5 + I/5)*2^(1/2 - I)*(1 - I*a*x)^(1/2 + I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2 + I, 1/2 + I, 3/2 + I, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^(2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, (E^(2*ArcTan[a*x])*(2 + a*x))/(5*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^(2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 2, (E^(2*ArcTan[a*x])*(2 + 3*a*x))/(13*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (6*E^(2*ArcTan[a*x])*(2 + a*x))/(65*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^(2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(7/2), x, 3, (E^(2*ArcTan[a*x])*(2 + 5*a*x))/(29*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (20*E^(2*ArcTan[a*x])*(2 + 3*a*x))/(377*a*c^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (24*E^(2*ArcTan[a*x])*(2 + a*x))/(377*a*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+a^2 c x^2)^p / E^(1 ArcTan[a x])*)
+
+
+{1/E^ArcTan[a*x]*(c + a^2*c*x^2)^p, x, 3, (2^((1 + I/2) + p)*(1 - I*a*x)^((1 - I/2) + p)*(c + a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-(I/2) - p, (1 - I/2) + p, (2 - I/2) + p, (1/2)*(1 - I*a*x)])/((1 + a^2*x^2)^p*(a*((-1 - 2*I) - 2*I*p)))}
+
+{1/E^ArcTan[a*x]*(c + a^2*c*x^2)^2, x, 2, -(((1/37 - (6*I)/37)*2^(3 + I/2)*c^2*(1 - I*a*x)^(3 - I/2)*Hypergeometric2F1[-2 - I/2, 3 - I/2, 4 - I/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/a)}
+{1/E^ArcTan[a*x]*(c + a^2*c*x^2)^1, x, 2, -(((1/17 - (4*I)/17)*2^(2 + I/2)*c*(1 - I*a*x)^(2 - I/2)*Hypergeometric2F1[-1 - I/2, 2 - I/2, 3 - I/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/a)}
+{1/E^ArcTan[a*x]*(c + a^2*c*x^2)^0, x, 2, -(((1/5 - (2*I)/5)*2^(1 + I/2)*(1 - I*a*x)^(1 - I/2)*Hypergeometric2F1[-(I/2), 1 - I/2, 2 - I/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/a)}
+{1/E^ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^1, x, 1, -(1/(E^ArcTan[a*x]*(a*c)))}
+{1/E^ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 2, -(2/(E^ArcTan[a*x]*(5*a*c^2))) - (1 - 2*a*x)/(E^ArcTan[a*x]*(5*a*c^2*(1 + a^2*x^2)))}
+{1/E^ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 3, -(24/(E^ArcTan[a*x]*(85*a*c^3))) - (1 - 4*a*x)/(E^ArcTan[a*x]*(17*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2)) - (12*(1 - 2*a*x))/(E^ArcTan[a*x]*(85*a*c^3*(1 + a^2*x^2)))}
+{1/E^ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^4, x, 4, -(144/(E^ArcTan[a*x]*(629*a*c^4))) - (1 - 6*a*x)/(E^ArcTan[a*x]*(37*a*c^4*(1 + a^2*x^2)^3)) - (30*(1 - 4*a*x))/(E^ArcTan[a*x]*(629*a*c^4*(1 + a^2*x^2)^2)) - (72*(1 - 2*a*x))/(E^ArcTan[a*x]*(629*a*c^4*(1 + a^2*x^2)))}
+
+
+{1/E^ArcTan[a*x]*(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, -(((1/13 - (5*I)/13)*2^(3/2 + I/2)*c*(1 - I*a*x)^(5/2 - I/2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(3/2) - I/2, 5/2 - I/2, 7/2 - I/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*Sqrt[1 + a^2*x^2]))}
+{1/E^ArcTan[a*x]*(c + a^2*c*x^2)^(1/2), x, 3, -(((1/5 - (3*I)/5)*2^(1/2 + I/2)*(1 - I*a*x)^(3/2 - I/2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(1/2) - I/2, 3/2 - I/2, 5/2 - I/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*Sqrt[1 + a^2*x^2]))}
+{1/E^ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^(1/2), x, 3, -(((1 - I)*2^(-(1/2) + I/2)*(1 - I*a*x)^(1/2 - I/2)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2 - I/2, 1/2 - I/2, 3/2 - I/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]))}
+{1/E^ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, -((1 - a*x)/(E^ArcTan[a*x]*(2*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])))}
+{1/E^ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 2, -((1 - 3*a*x)/(E^ArcTan[a*x]*(10*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)))) - (3*(1 - a*x))/(E^ArcTan[a*x]*(10*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]))}
+{1/E^ArcTan[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^(7/2), x, 3, -((1 - 5*a*x)/(E^ArcTan[a*x]*(26*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)))) - (1 - 3*a*x)/(E^ArcTan[a*x]*(13*a*c^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))) - (3*(1 - a*x))/(E^ArcTan[a*x]*(13*a*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+a^2 c x^2)^p / E^(2 ArcTan[a x])*)
+
+
+{1/E^(2*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^p, x, 3, (I*2^(I + p)*(1 - I*a*x)^((1 - I) + p)*(c + a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-I - p, (1 - I) + p, (2 - I) + p, (1/2)*(1 - I*a*x)])/((1 + a^2*x^2)^p*(a*((1 - I) + p)))}
+
+{1/E^(2*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^2, x, 2, -(((1/5 - (3*I)/5)*2^(1 + I)*c^2*(1 - I*a*x)^(3 - I)*Hypergeometric2F1[-2 - I, 3 - I, 4 - I, (1/2)*(1 - I*a*x)])/a)}
+{1/E^(2*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^1, x, 2, -(((1/5 - (2*I)/5)*2^(1 + I)*c*(1 - I*a*x)^(2 - I)*Hypergeometric2F1[-1 - I, 2 - I, 3 - I, (1/2)*(1 - I*a*x)])/a)}
+{1/E^(2*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^0, x, 2, -(((1 - I)*2^(-1 + I)*(1 - I*a*x)^(1 - I)*Hypergeometric2F1[-I, 1 - I, 2 - I, (1/2)*(1 - I*a*x)])/a)}
+{1/E^(2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^1, x, 1, -(1/(E^(2*ArcTan[a*x])*(2*a*c)))}
+{1/E^(2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 2, -(1/(E^(2*ArcTan[a*x])*(8*a*c^2))) - (1 - a*x)/(E^(2*ArcTan[a*x])*(4*a*c^2*(1 + a^2*x^2)))}
+{1/E^(2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 3, -(3/(E^(2*ArcTan[a*x])*(40*a*c^3))) - (1 - 2*a*x)/(E^(2*ArcTan[a*x])*(10*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^2)) - (3*(1 - a*x))/(E^(2*ArcTan[a*x])*(20*a*c^3*(1 + a^2*x^2)))}
+{1/E^(2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^4, x, 4, -(9/(E^(2*ArcTan[a*x])*(160*a*c^4))) - (1 - 3*a*x)/(E^(2*ArcTan[a*x])*(20*a*c^4*(1 + a^2*x^2)^3)) - (3*(1 - 2*a*x))/(E^(2*ArcTan[a*x])*(40*a*c^4*(1 + a^2*x^2)^2)) - (9*(1 - a*x))/(E^(2*ArcTan[a*x])*(80*a*c^4*(1 + a^2*x^2)))}
+
+
+{1/E^(2*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, -(((2/29 - (5*I)/29)*2^(5/2 + I)*c*(1 - I*a*x)^(5/2 - I)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(3/2) - I, 5/2 - I, 7/2 - I, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*Sqrt[1 + a^2*x^2]))}
+{1/E^(2*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^(1/2), x, 3, -(((2/13 - (3*I)/13)*2^(3/2 + I)*(1 - I*a*x)^(3/2 - I)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(1/2) - I, 3/2 - I, 5/2 - I, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*Sqrt[1 + a^2*x^2]))}
+{1/E^(2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(1/2), x, 3, -(((2/5 - I/5)*2^(1/2 + I)*(1 - I*a*x)^(1/2 - I)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2 - I, 1/2 - I, 3/2 - I, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]))}
+{1/E^(2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, -((2 - a*x)/(E^(2*ArcTan[a*x])*(5*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])))}
+{1/E^(2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 2, -((2 - 3*a*x)/(E^(2*ArcTan[a*x])*(13*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)))) - (6*(2 - a*x))/(E^(2*ArcTan[a*x])*(65*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]))}
+{1/E^(2*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(7/2), x, 3, -((2 - 5*a*x)/(E^(2*ArcTan[a*x])*(29*a*c*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)))) - (20*(2 - 3*a*x))/(E^(2*ArcTan[a*x])*(377*a*c^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))) - (24*(2 - a*x))/(E^(2*ArcTan[a*x])*(377*a*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+a^2 c x^2)^p E^(I n ArcTan[a x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{E^(5*I*ArcTan[a*x])/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 3, -((2*I)/(a*(1 - I*a*x)^2)) + (4*I)/(a*(1 - I*a*x)) + (I*Log[I + a*x])/a}
+{E^(4*I*ArcTan[a*x])/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 5, (2*I*Sqrt[1 + I*a*x])/(a*Sqrt[1 - I*a*x]) - (2*I*(1 + I*a*x)^(3/2))/(3*a*(1 - I*a*x)^(3/2)) + ArcSinh[a*x]/a}
+{E^(3*I*ArcTan[a*x])/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 3, (2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*(I + a*x)*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Log[I + a*x])/(a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{E^(2*I*ArcTan[a*x])/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 4, -((2*I*Sqrt[1 + I*a*x])/(a*Sqrt[1 - I*a*x])) - ArcSinh[a*x]/a}
+{E^(1*I*ArcTan[a*x])/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 2, (I*Log[I + a*x])/a}
+{E^(-1*I*ArcTan[a*x])/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 2, -((I*Log[I - a*x])/a)}
+{E^(-2*I*ArcTan[a*x])/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 4, (2*I*Sqrt[1 - I*a*x])/(a*Sqrt[1 + I*a*x]) - ArcSinh[a*x]/a}
+{E^(-3*I*ArcTan[a*x])/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 3, -((2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*(I - a*x)*Sqrt[1 + a^2*x^2])) + (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Log[I - a*x])/(a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{E^(-4*I*ArcTan[a*x])/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 5, (2*I*(1 - I*a*x)^(3/2))/(3*a*(1 + I*a*x)^(3/2)) - (2*I*Sqrt[1 - I*a*x])/(a*Sqrt[1 + I*a*x]) + ArcSinh[a*x]/a}
+
+
+{E^(5*I*ArcTan[a*x])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 4, -((2*I*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*(1 - I*a*x)^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) + (4*I*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*(1 - I*a*x)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Log[I + a*x])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^(4*I*ArcTan[a*x])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 5, -((2*I*c*(1 + I*a*x)^3)/(3*a*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))) + (2*I*(1 + I*a*x))/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]]/(a*Sqrt[c])}
+{E^(3*I*ArcTan[a*x])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 4, (2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*(I + a*x)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Log[I + a*x])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^(2*I*ArcTan[a*x])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 4, -((2*I*(1 + I*a*x))/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) - ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]]/(a*Sqrt[c])}
+{E^(1*I*ArcTan[a*x])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 3, (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Log[I + a*x])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^(-1*I*ArcTan[a*x])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 3, -((I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Log[I - a*x])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]))}
+{E^(-2*I*ArcTan[a*x])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 4, (2*I*(1 - I*a*x))/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]]/(a*Sqrt[c])}
+{E^(-3*I*ArcTan[a*x])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 4, -((2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*(I - a*x)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) + (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Log[I - a*x])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^(-4*I*ArcTan[a*x])/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 5, (2*I*c*(1 - I*a*x)^3)/(3*a*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) - (2*I*(1 - I*a*x))/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ArcTanh[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c + a^2*c*x^2]]/(a*Sqrt[c])}
+
+
+{E^(5*I*ArcTan[a*x])/(1 + a^2*x^2)^(3/2), x, 3, -(2/(3*a*(I + a*x)^3)) - I/(2*a*(I + a*x)^2)}
+{E^(4*I*ArcTan[a*x])/(1 + a^2*x^2)^(3/2), x, 3, -((I*(1 + I*a*x)^(3/2))/(5*a*(1 - I*a*x)^(5/2))) - (I*(1 + I*a*x)^(3/2))/(15*a*(1 - I*a*x)^(3/2))}
+{E^(3*I*ArcTan[a*x])/(1 + a^2*x^2)^(3/2), x, 2, -(I/(2*a*(1 - I*a*x)^2))}
+{E^(2*I*ArcTan[a*x])/(1 + a^2*x^2)^(3/2), x, 3, -((I*Sqrt[1 + I*a*x])/(3*a*(1 - I*a*x)^(3/2))) - (I*Sqrt[1 + I*a*x])/(3*a*Sqrt[1 - I*a*x])}
+{E^(1*I*ArcTan[a*x])/(1 + a^2*x^2)^(3/2), x, 4, 1/(2*a*(I + a*x)) + ArcTan[a*x]/(2*a)}
+{E^(-1*I*ArcTan[a*x])/(1 + a^2*x^2)^(3/2), x, 4, -(1/(2*a*(I - a*x))) + ArcTan[a*x]/(2*a)}
+{E^(-2*I*ArcTan[a*x])/(1 + a^2*x^2)^(3/2), x, 3, (I*Sqrt[1 - I*a*x])/(3*a*(1 + I*a*x)^(3/2)) + (I*Sqrt[1 - I*a*x])/(3*a*Sqrt[1 + I*a*x])}
+{E^(-3*I*ArcTan[a*x])/(1 + a^2*x^2)^(3/2), x, 2, I/(2*a*(1 + I*a*x)^2)}
+{E^(-4*I*ArcTan[a*x])/(1 + a^2*x^2)^(3/2), x, 3, (I*(1 - I*a*x)^(3/2))/(5*a*(1 + I*a*x)^(5/2)) + (I*(1 - I*a*x)^(3/2))/(15*a*(1 + I*a*x)^(3/2))}
+
+
+{E^(5*I*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 4, -((2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a*c*(I + a*x)^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) - (I*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*a*c*(I + a*x)^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^(4*I*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, -((I*c*(1 + I*a*x)^4)/(3*a*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))) + (I*c*(1 + I*a*x)^5)/(15*a*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))}
+{E^(3*I*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, -((I*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*a*c*(1 - I*a*x)^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]))}
+{E^(2*I*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, -((2*I*(1 + I*a*x))/(3*a*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))) + x/(3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^(1*I*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 5, Sqrt[1 + a^2*x^2]/(2*a*c*(I + a*x)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x])/(2*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^(-1*I*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 5, -(Sqrt[1 + a^2*x^2]/(2*a*c*(I - a*x)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcTan[a*x])/(2*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^(-2*I*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, (2*I*(1 - I*a*x))/(3*a*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + x/(3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^(-3*I*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, (I*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*a*c*(1 + I*a*x)^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^(-4*I*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, (I*c*(1 - I*a*x)^4)/(3*a*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) - (I*c*(1 - I*a*x)^5)/(15*a*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c+a^2 c x^2)^p E^(n ArcTan[a x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTan[a x]) (c+a^2 c x^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{E^(n*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^2, x, 2, -((2^(3 - (I*n)/2)*c^2*(1 - I*a*x)^(3 + (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[-2 + (I*n)/2, 3 + (I*n)/2, 4 + (I*n)/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*(6*I - n)))}
+{E^(n*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^1, x, 2, -((2^(2 - (I*n)/2)*c*(1 - I*a*x)^(2 + (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[-1 + (I*n)/2, 2 + (I*n)/2, 3 + (I*n)/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*(4*I - n)))}
+{E^(n*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^0, x, 2, -((2^(1 - (I*n)/2)*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1 + (I*n)/2, (I*n)/2, 2 + (I*n)/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*(2*I - n)))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2), x, 4, (E^(n*ArcTan[a*x])*(2*I + n - I*n^2))/(2*a^4*c*n) - (E^(n*ArcTan[a*x])*n*x)/(2*a^3*c) + (E^(n*ArcTan[a*x])*x^2)/(2*a^2*c) + (I*E^(n*ArcTan[a*x])*(-2 + n^2)*Hypergeometric2F1[1, -((I*n)/2), 1 - (I*n)/2, -E^(2*I*ArcTan[a*x])])/(a^4*c*n), (x^2*(1 - I*a*x)^((I*n)/2))/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*(2*a^2*c)) + (I*(1 - I*a*x)^((I*n)/2)*(2 - I*n - n^2 + I*a*n^2*x))/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*(2*a^4*c*n)) + (2^(-1 - (I*n)/2)*(2 - n^2)*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1 + (I*n)/2, 1 + (I*n)/2, 2 + (I*n)/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a^4*c*(2 + I*n))}
+{x^2*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2), x, 4, -(((1 + I*n)*(1 - I*a*x)^((I*n)/2))/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*(a^3*c*n))) + (x*(1 - I*a*x)^((I*n)/2))/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*(a^2*c)) + (I*2^(1 - (I*n)/2)*(1 - I*a*x)^((I*n)/2)*Hypergeometric2F1[(I*n)/2, (I*n)/2, 1 + (I*n)/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a^3*c)}
+{x^1*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2), x, 3, (I*(1 - I*a*x)^((I*n)/2))/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*(a^2*c*n)) - (I*2^(1 - (I*n)/2)*(1 - I*a*x)^((I*n)/2)*Hypergeometric2F1[(I*n)/2, (I*n)/2, 1 + (I*n)/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a^2*c*n)}
+{x^0*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2), x, 1, E^(n*ArcTan[a*x])/(a*c*n)}
+{E^(n*ArcTan[a*x])/(x^1*(c + a^2*c*x^2)), x, 3, (I*E^(n*ArcTan[a*x]))/(c*n) - (2*I*E^(n*ArcTan[a*x])*Hypergeometric2F1[1, -((I*n)/2), 1 - (I*n)/2, E^(2*I*ArcTan[a*x])])/(c*n), (I*(1 - I*a*x)^((I*n)/2))/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*(c*n)) - (2*I*(1 - I*a*x)^((I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1, -((I*n)/2), 1 - (I*n)/2, (1 + I*a*x)/(1 - I*a*x)])/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*(c*n))}
+{E^(n*ArcTan[a*x])/(x^2*(c + a^2*c*x^2)), x, 5, (I*a*E^(n*ArcTan[a*x])*(I + n))/(c*n) - E^(n*ArcTan[a*x])/(c*x) - (2*I*a*E^(n*ArcTan[a*x])*Hypergeometric2F1[1, -((I*n)/2), 1 - (I*n)/2, -1 + (2*I)/(I + a*x)])/c, -((a*(1 - I*n)*(1 - I*a*x)^((I*n)/2))/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*(c*n))) - (1 - I*a*x)^((I*n)/2)/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*(c*x)) - (2*I*a*(1 - I*a*x)^((I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1, -((I*n)/2), 1 - (I*n)/2, (1 + I*a*x)/(1 - I*a*x)])/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*c)}
+{E^(n*ArcTan[a*x])/(x^3*(c + a^2*c*x^2)), x, 6, (I*a^2*E^(n*ArcTan[a*x])*(-2 + I*n + n^2))/(2*c*n) - E^(n*ArcTan[a*x])/(2*c*x^2) - (a*E^(n*ArcTan[a*x])*n)/(2*c*x) - (I*a^2*E^(n*ArcTan[a*x])*(-2 + n^2)*Hypergeometric2F1[1, -((I*n)/2), 1 - (I*n)/2, E^(2*I*ArcTan[a*x])])/(c*n), -((a^2*(2*I + n - I*n^2)*(1 - I*a*x)^((I*n)/2))/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*(2*c*n))) - (1 - I*a*x)^((I*n)/2)/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*(2*c*x^2)) - (a*n*(1 - I*a*x)^((I*n)/2))/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*(2*c*x)) + (I*a^2*(2 - n^2)*(1 - I*a*x)^((I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1, -((I*n)/2), 1 - (I*n)/2, (1 + I*a*x)/(1 - I*a*x)])/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*(c*n))}
+
+
+(* {x^4*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 10, ((1 - I*a*x)^(-1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(a^5*c^2*(2*I + n)) - (2*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(a^5*c^2*n*(4 + n^2)) + (2*(1 - I*a*x)^((I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(a^5*c^2*(2 - I*n)*n) - (2*(1 - I*a*x)^((I*n)/2))/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*(a^5*c^2*n)) + (2^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(1 - (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1 - (I*n)/2, -((I*n)/2), 2 - (I*n)/2, (1/2)*(1 + I*a*x)])/(a^5*c^2*(2*I + n)), -(((I - n)*(3*I + n)*(1 - I*a*x)^(-1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(a^5*c^2*(2*I - n))) + ((3 - I*n)*x*(1 - I*a*x)^(-1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(a^4*c^2) + (x^3*(1 - I*a*x)^(-1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(a^2*c^2) + ((1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(a^5*c^2*(2*I - n)) + (I*(1 - I*a*x)^((I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(a^5*c^2) + ((3*I + n)*(2 + n^2)*(1 - I*a*x)^(-1 + (I*n)/2))/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*(a^5*c^2*(4 + n^2))) - ((3 - I*n)*(2 + n^2)*(1 - I*a*x)^((I*n)/2))/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*(a^5*c^2*n*(4 + n^2))) + (n*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1 + (I*n)/2, 1 + (I*n)/2, 2 + (I*n)/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(2^((I*n)/2)*(a^5*c^2*(2 + I*n)))}
+{x^3*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 10, -(((1 - I*a*x)^(-1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(a^4*c^2*(2 - I*n))) + (2*I*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(a^4*c^2*n*(4 + n^2)) + (2*(1 - I*a*x)^((I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(a^4*c^2*n*(2*I + n)) - (3*(1 - I*a*x)^(-1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(1 - (I*n)/2))/(a^4*c^2*(2 - I*n)) + (3*(1 - I*a*x)^(-1 + (I*n)/2))/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*(a^4*c^2*(2 - I*n))) - (3*(1 - I*a*x)^((I*n)/2))/((1 + I*a*x)^((I*n)/2)*(a^4*c^2*n*(2*I + n))) + (2^(2 - (I*n)/2)*(1 - I*a*x)^(-1 + (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[-1 + (I*n)/2, -1 + (I*n)/2, (I*n)/2, (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a^4*c^2*(2 - I*n))}
+{x^2*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 2, (E^(n*ArcTan[a*x])*(2 + n^2))/(a^3*c^2*n*(4 + n^2)) - (E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 2*a*x))/(a^3*c^2*(4 + n^2)*(1 + a^2*x^2))}
+{x^1*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 2, E^(n*ArcTan[a*x])/(a^2*c^2*(4 + n^2)) - (E^(n*ArcTan[a*x])*(2 - a*n*x))/(a^2*c^2*(4 + n^2)*(1 + a^2*x^2))}
+{x^0*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 2, (2*E^(n*ArcTan[a*x]))/(a*c^2*n*(4 + n^2)) + (E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 2*a*x))/(a*c^2*(4 + n^2)*(1 + a^2*x^2))}
+{E^(n*ArcTan[a*x])/(x^1*(c + a^2*c*x^2)^2), x, 6, If[$VersionNumber>=8, ((1 - I*a*x)^(-1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(c^2*(2 - I*n)) + ((n - I*(4 + n^2))*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(c^2*n*(4 + n^2)) - ((4 - I*n)*(1 - I*a*x)^((I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(c^2*n*(2*I + n)) - (2*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1, 1 + (I*n)/2, 2 + (I*n)/2, (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/(c^2*(2 + I*n)), ((1 - I*a*x)^(-1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(c^2*(2 - I*n)) + ((n - I*(4 + n^2))*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(c^2*(4*n + n^3)) - ((4 - I*n)*(1 - I*a*x)^((I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(c^2*n*(2*I + n)) - (2*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1, 1 + (I*n)/2, 2 + (I*n)/2, (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/(c^2*(2 + I*n))]}
+{E^(n*ArcTan[a*x])/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^2), x, 7, (a*(3*I + n)*(1 - I*a*x)^(-1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(c^2*(2 - I*n)) - ((1 - I*a*x)^(-1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(c^2*x) + (a*(6 - 4*I*n + n^2 - I*n^3)*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(c^2*n*(4 + n^2)) - (a*(6 - 4*I*n - n^2)*(1 - I*a*x)^((I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(c^2*(2 - I*n)*n) - (2*a*n*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1, 1 + (I*n)/2, 2 + (I*n)/2, (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/(c^2*(2 + I*n))} *)
+
+
+(* {x^4*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 4, (24*E^(n*ArcTan[a*x]))/(a^5*c^3*n*(64 + 20*n^2 + n^4)) - (4*E^(n*ArcTan[a*x])*x^3)/(a^2*c^3*(16 + n^2)*(1 + a^2*x^2)^2) + (E^(n*ArcTan[a*x])*n*x^4)/(a*c^3*(16 + n^2)*(1 + a^2*x^2)^2) - (24*E^(n*ArcTan[a*x])*x)/(a^4*c^3*(64 + 20*n^2 + n^4)*(1 + a^2*x^2)) + (12*E^(n*ArcTan[a*x])*n*x^2)/(a^3*c^3*(64 + 20*n^2 + n^4)*(1 + a^2*x^2))}
+{x^3*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 5, -((6*E^(n*ArcTan[a*x]))/(a^4*c^3*(4 + n^2)*(16 + n^2)*(1 + a^2*x^2)^2)) + (6*E^(n*ArcTan[a*x])*n*x)/(a^3*c^3*(4 + n^2)*(16 + n^2)*(1 + a^2*x^2)^2) + (E^(n*ArcTan[a*x])*n*(10 + n^2)*x^3)/(a*c^3*(4 + n^2)*(16 + n^2)*(1 + a^2*x^2)^2) + (E^(n*ArcTan[a*x])*(10 + n^2)*x^4)/(c^3*(4 + n^2)*(16 + n^2)*(1 + a^2*x^2)^2) - (3*E^(n*ArcTan[a*x])*x^2)/(c^3*(16 + n^2)*(a + a^3*x^2)^2), -((E^(n*ArcTan[a*x])*Cos[2*ArcTan[a*x]])/(2*a^4*c^3*(4 + n^2))) + (E^(n*ArcTan[a*x])*Cos[4*ArcTan[a*x]])/(2*a^4*c^3*(16 + n^2)) + (E^(n*ArcTan[a*x])*n*Sin[2*ArcTan[a*x]])/(4*a^4*c^3*(4 + n^2)) - (E^(n*ArcTan[a*x])*n*Sin[4*ArcTan[a*x]])/(8*a^4*c^3*(16 + n^2))}
+{x^2*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 3, (2*E^(n*ArcTan[a*x]))/(a^3*c^3*n*(16 + n^2)) - (E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 4*a*x))/(a^3*c^3*(16 + n^2)*(1 + a^2*x^2)^2) + (E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 2*a*x))/(a^3*c^3*(16 + n^2)*(1 + a^2*x^2))}
+{x^1*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 3, (6*E^(n*ArcTan[a*x]))/(a^2*c^3*(4 + n^2)*(16 + n^2)) - (E^(n*ArcTan[a*x])*(4 - a*n*x))/(a^2*c^3*(16 + n^2)*(1 + a^2*x^2)^2) + (3*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + 2*a*x))/(a^2*c^3*(4 + n^2)*(16 + n^2)*(1 + a^2*x^2))}
+{x^0*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 3, If[$VersionNumber>=8, (24*E^(n*ArcTan[a*x]))/(a*c^3*n*(4 + n^2)*(16 + n^2)) + (E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 4*a*x))/(a*c^3*(16 + n^2)*(1 + a^2*x^2)^2) + (12*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 2*a*x))/(a*c^3*(4 + n^2)*(16 + n^2)*(1 + a^2*x^2)), (24*E^(n*ArcTan[a*x]))/(a*c^3*n*(64 + 20*n^2 + n^4)) + (E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 4*a*x))/(a*c^3*(16 + n^2)*(1 + a^2*x^2)^2) + (12*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 2*a*x))/(a*c^3*(4 + n^2)*(16 + n^2)*(1 + a^2*x^2))]}
+{E^(n*ArcTan[a*x])/(x^1*(c + a^2*c*x^2)^3), x, 8, If[$VersionNumber>=8, ((1 - I*a*x)^(-2 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-2 - (I*n)/2))/(c^3*(4 - I*n)) + ((8*I + n)*(1 - I*a*x)^(-1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-2 - (I*n)/2))/(c^3*(2 - I*n)*(4*I + n)) - ((64 - 10*I*n + 4*n^2 - I*n^3)*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-2 - (I*n)/2))/(c^3*(4*I - n)*n*(2*I + n)*(4*I + n)) - ((32 - 9*I*n - n^2)*(1 - I*a*x)^((I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-2 - (I*n)/2))/(c^3*(2 - I*n)*n*(4*I + n)) + ((22*n - I*(64 + 20*n^2 + I*n^3 + n^4))*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(c^3*n*(64 + 20*n^2 + n^4)) - (2*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1, 1 + (I*n)/2, 2 + (I*n)/2, (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/(c^3*(2 + I*n)), ((1 - I*a*x)^(-2 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-2 - (I*n)/2))/(c^3*(4 - I*n)) + ((8 - I*n)*(1 - I*a*x)^(-1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-2 - (I*n)/2))/(c^3*(8 - 6*I*n - n^2)) + ((64 - 10*I*n + 4*n^2 - I*n^3)*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-2 - (I*n)/2))/(c^3*n*(32*I + 16*n + 2*I*n^2 + n^3)) - ((32 - 9*I*n - n^2)*(1 - I*a*x)^((I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-2 - (I*n)/2))/(c^3*n*(6*n + I*(8 - n^2))) + ((22*n - I*(64 + 20*n^2 + I*n^3 + n^4))*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(c^3*(64*n + 20*n^3 + n^5)) - (2*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1, 1 + (I*n)/2, 2 + (I*n)/2, (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/(c^3*(2 + I*n))]}
+{E^(n*ArcTan[a*x])/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^3), x, 9, If[$VersionNumber>=8, (a*(5*I + n)*(1 - I*a*x)^(-2 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-2 - (I*n)/2))/(c^3*(4 - I*n)) - ((1 - I*a*x)^(-2 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-2 - (I*n)/2))/(c^3*x) + (a*((-2 + 4*I) + n)*((2 + 4*I) + n)*(1 - I*a*x)^(-1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-2 - (I*n)/2))/(c^3*(2 - I*n)*(4*I + n)) - (a*(120 - 64*I*n - 10*n^2 - 4*I*n^3 - n^4)*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-2 - (I*n)/2))/(c^3*(4 + I*n)*n*(2*I + n)*(4*I + n)) - (a*(5*I + n)*(12 - 4*I*n - n^2)*(1 - I*a*x)^((I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-2 - (I*n)/2))/(c^3*(4 - I*n)*n*(2*I + n)) + (a*(120 - 64*I*n + 22*n^2 - 20*I*n^3 + n^4 - I*n^5)*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(c^3*n*(64 + 20*n^2 + n^4)) - (2*a*n*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1, 1 + (I*n)/2, 2 + (I*n)/2, (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/(c^3*(2 + I*n)), (a*(5*I + n)*(1 - I*a*x)^(-2 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-2 - (I*n)/2))/(c^3*(4 - I*n)) - ((1 - I*a*x)^(-2 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-2 - (I*n)/2))/(c^3*x) + (a*((-2 + 4*I) + n)*((2 + 4*I) + n)*(1 - I*a*x)^(-1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-2 - (I*n)/2))/(c^3*(6*n + I*(8 - n^2))) + (a*(120*I + 64*n - 10*I*n^2 + 4*n^3 - I*n^4)*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-2 - (I*n)/2))/(c^3*n*(32*I + 16*n + 2*I*n^2 + n^3)) - (a*(5 - I*n)*(12 - 4*I*n - n^2)*(1 - I*a*x)^((I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-2 - (I*n)/2))/(c^3*n*(8 - 6*I*n - n^2)) + (a*(120 - 64*I*n + 22*n^2 - 20*I*n^3 + n^4 - I*n^5)*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2))/(c^3*n*(64 + 20*n^2 + n^4)) - (2*a*n*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2)*(1 + I*a*x)^(-1 - (I*n)/2)*Hypergeometric2F1[1, 1 + (I*n)/2, 2 + (I*n)/2, (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/(c^3*(2 + I*n))]} *)
+
+
+{E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^4, x, 4, If[$VersionNumber>=8, (720*E^(n*ArcTan[a*x]))/(a*c^4*n*(4 + n^2)*(16 + n^2)*(36 + n^2)) + (E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 6*a*x))/(a*c^4*(36 + n^2)*(1 + a^2*x^2)^3) + (30*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 4*a*x))/(a*c^4*(16 + n^2)*(36 + n^2)*(1 + a^2*x^2)^2) + (360*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 2*a*x))/(a*c^4*(4 + n^2)*(16 + n^2)*(36 + n^2)*(1 + a^2*x^2)), (720*E^(n*ArcTan[a*x]))/(a*c^4*n*(36 + n^2)*(64 + 20*n^2 + n^4)) + (E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 6*a*x))/(a*c^4*(36 + n^2)*(1 + a^2*x^2)^3) + (30*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 4*a*x))/(a*c^4*(16 + n^2)*(36 + n^2)*(1 + a^2*x^2)^2) + (360*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 2*a*x))/(a*c^4*(36 + n^2)*(64 + 20*n^2 + n^4)*(1 + a^2*x^2))]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTan[a x]) (c+a^2 c x^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{E^(n*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, -((2^(5/2 - (I*n)/2)*c*(1 - I*a*x)^((1/2)*(5 + I*n))*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 + I*n), (1/2)*(5 + I*n), (1/2)*(7 + I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*(5*I - n)*Sqrt[1 + a^2*x^2]))}
+{E^(n*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^(1/2), x, 3, -((2^(3/2 - (I*n)/2)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(3 + I*n))*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 + I*n), (1/2)*(3 + I*n), (1/2)*(5 + I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*(3*I - n)*Sqrt[1 + a^2*x^2]))}
+{E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(1/2), x, 3, -((2^(1/2 - (I*n)/2)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + I*n), (1/2)*(1 + I*n), (1/2)*(3 + I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*(I - n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]))}
+
+
+{x^2*(E^(n*ArcTan[a*x])*(c + a*a*c*x^2)^(3/2)), x, 5, -((c*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(5 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(5 - I*n))*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(30*a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])) + (c*x*(1 - I*a*x)^((1/2)*(5 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(5 - I*n))*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(6*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (2^(3/2 - (I*n)/2)*c*(5 - n^2)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(5 + I*n))*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 + I*n), (1/2)*(5 + I*n), (1/2)*(7 + I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(15*a^3*(5*I - n)*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{x^2*(E^(n*ArcTan[a*x])*(c + a*a*c*x^2)^(1/2)), x, 5, -((n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(3 - I*n))*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(12*a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])) + (x*(1 - I*a*x)^((1/2)*(3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(3 - I*n))*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(4*a^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (2^(-(1/2) - (I*n)/2)*(3 - n^2)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(3 + I*n))*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 + I*n), (1/2)*(3 + I*n), (1/2)*(5 + I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(3*a^3*(3*I - n)*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(1/2), x, 5, (x^2*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(1 - I*n))*(4 - I*n - n^2 + a*(1 + I*n)*n*x)*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(6*a^4*(1 + I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2^(-(1/2) - (I*n)/2)*n*(5 - n^2)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(3 + I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + I*n), (1/2)*(3 + I*n), (1/2)*(5 + I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(3*a^4*(4*n - I*(3 - n^2))*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^2*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(1/2), x, 5, If[$VersionNumber>=8, -(((1 + I*n)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*a^3*(I + n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) + (x*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (I*2^(1/2 - (I*n)/2)*(1 - n^2)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 + I*n), (1/2)*(1 + I*n), (1/2)*(3 + I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a^3*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), -(((1 + I*n)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*a^3*(I + n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) + (x*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*a^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (I*2^(1/2 - (I*n)/2)*(1 - n^2)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 + I*n), (1/2)*(1 + I*n), (1/2)*(3 + I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a^3*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])]}
+{x^1*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(1/2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, ((1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^2*(1 - I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (I*2^(3/2 - (I*n)/2)*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 + I*n), (1/2)*(1 + I*n), (1/2)*(3 + I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a^2*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), ((1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^2*(1 - I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (I*2^(3/2 - (I*n)/2)*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 + I*n), (1/2)*(1 + I*n), (1/2)*(3 + I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a^2*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])]}
+{x^0*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(1/2), x, 3, -((2^(1/2 - (I*n)/2)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 + I*n), (1/2)*(1 + I*n), (1/2)*(3 + I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*(I - n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]))}
+{E^(n*ArcTan[a*x])/(x^1*(c + a^2*c*x^2)^(1/2)), x, 3, -((2*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + I*n), (1/2)*(3 + I*n), (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/((1 + I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]))}
+{E^(n*ArcTan[a*x])/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(1/2)), x, 4, -(((1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) - (2*a*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + I*n), (1/2)*(3 + I*n), (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/((1 + I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^(n*ArcTan[a*x])/(x^3*(c + a^2*c*x^2)^(1/2)), x, 6, -(((1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) - (a*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (a^2*(1 - n^2)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + I*n), (1/2)*(3 + I*n), (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/((1 + I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+
+
+(* {x^3*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 5, (x^2*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*(2 - 2*I*n - n^2 - a*(3 - 2*I*n)*n*x)*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^4*c*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2^(-(1/2) - (I*n)/2)*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(3 + I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(3 + I*n), (1/2)*(3 + I*n), (1/2)*(5 + I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a^4*c*(3*I - n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^2*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 2, -((E^(n*ArcTan[a*x])*(n + a*x))/(a^3*c*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) + (2*E^(n*ArcTan[a*x])*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 - I*n), (1/2)*(3 - I*n), -E^(2*I*ArcTan[a*x])])/(a^3*c^2*(I + n)*(1 - I*a*x))}
+{x^1*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, -((E^(n*ArcTan[a*x])*(1 - a*n*x))/(a^2*c*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]))}
+{x^0*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, (E^(n*ArcTan[a*x])*(n + a*x))/(a*c*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^(n*ArcTan[a*x])/(x^1*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 6, ((1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(c*(1 - I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((2 - I*n)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(c*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*(1 - I*a*x)^((1/2)*(3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(3 + I*n), (1/2)*(5 + I*n), (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/(c*(3 + I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^(n*ArcTan[a*x])/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 7, (a*(2*I + n)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(c*(1 - I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (a*(2*I + 2*n - I*n^2)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(c*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*a*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(3 + I*n), (1/2)*(5 + I*n), (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/(c*(3 + I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])} *)
+
+
+(* {x^5*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 18, If[$VersionNumber>=8, ((4*I + n)*x^3*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^3*c^2*(3 - I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x^4*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^6*c^2*(I + n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*(2*I - n)*(4*I + n)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^6*c^2*(9 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*(4*I + n)*x*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^5*c^2*(3 - I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*I*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^6*c^2*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^6*c^2*(3*I - n + 3*I*n^2 - n^3)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^6*c^2*(I + n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*(4*I + n)*(1 - 2*I*n + n^2)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^6*c^2*(3*I - n)*(I + n)*(3*I + n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*I*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^6*c^2*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*(4*I + n)*(I + 2*n + I*n^2)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^6*c^2*(9 + 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^6*c^2*(I + n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2^(3/2 - (I*n)/2)*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 + I*n), (1/2)*(-1 + I*n), (1/2)*(1 + I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a^6*c^2*(I + n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), ((4*I + n)*x^3*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^3*c^2*(3 - I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x^4*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^2*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^6*c^2*(I + n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*(2*I - n)*(4*I + n)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^6*c^2*(9 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*(4*I + n)*x*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^5*c^2*(3 - I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*I*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^6*c^2*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^6*c^2*(3*I - n + 3*I*n^2 - n^3)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^6*c^2*(I + n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*(4*I + n)*(1 - 2*I*n + n^2)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^6*c^2*(9*I + 9*n + I*n^2 + n^3)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*I*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^6*c^2*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*(4*I + n)*(I + 2*n + I*n^2)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^6*c^2*(9 + 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^6*c^2*(I + n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2^(3/2 - (I*n)/2)*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 + I*n), (1/2)*(-1 + I*n), (1/2)*(1 + I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a^6*c^2*(I + n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])]}
+{x^4*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 15, ((1 - I*a*x)^((1/2)*(-3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^5*c^2*(3*I + n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^5*c^2*(4*n + I*(3 - n^2))*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (6*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^5*c^2*(3*I + n)*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (6*I*(1 - I*a*x)^((1/2)*(3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^5*c^2*(9 + 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (4*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^5*c^2*(3*I + n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (8*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^5*c^2*(4*n + I*(3 - n^2))*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (8*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^5*c^2*(3*I + n)*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^5*c^2*(3*I + n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (6*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(1 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^5*c^2*(4*n + I*(3 - n^2))*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (4*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^5*c^2*(3*I + n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2^(5/2 - (I*n)/2)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-3 + I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 + I*n), (1/2)*(-3 + I*n), (1/2)*(-1 + I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a^5*c^2*(3*I + n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^3*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 4, -((6*E^(n*ArcTan[a*x]))/(a^4*c^2*(9 + 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) + (6*E^(n*ArcTan[a*x])*n*x)/(a^3*c^2*(9 + 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*E^(n*ArcTan[a*x])*x^2)/(a^2*c^2*(9 + n^2)*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (E^(n*ArcTan[a*x])*n*x^3)/(a*c^2*(9 + n^2)*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^2*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 2, -((E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 3*a*x))/(a^3*c*(9 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))) + (E^(n*ArcTan[a*x])*(3 + n^2)*(n + a*x))/(a^3*c^2*(1 + n^2)*(9 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^1*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 2, -((E^(n*ArcTan[a*x])*(3 - a*n*x))/(a^2*c*(9 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))) + (2*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + a*x))/(a^2*c^2*(1 + n^2)*(9 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^0*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 2, (E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 3*a*x))/(a*c*(9 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (6*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + a*x))/(a*c^2*(1 + n^2)*(9 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{E^(n*ArcTan[a*x])/(x^1*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 8, If[$VersionNumber>=8, ((1 - I*a*x)^((1/2)*(-3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(c^2*(3 - I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((6*I + n)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(c^2*(1 - I*n)*(3*I + n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((15*I + 6*n - I*n^2)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(c^2*(3*I + n)*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((18 - 7*I*n + 2*n^2 - I*n^3)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(c^2*(9 + 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*(1 - I*a*x)^((1/2)*(3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(3 + I*n), (1/2)*(5 + I*n), (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/(c^2*(3 + I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), ((1 - I*a*x)^((1/2)*(-3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(c^2*(3 - I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((6 - I*n)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(c^2*(3 - 4*I*n - n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((15*I + 6*n - I*n^2)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(c^2*(3*I + n)*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ((18 - 7*I*n + 2*n^2 - I*n^3)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(c^2*(9 + 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*(1 - I*a*x)^((1/2)*(3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(3 + I*n), (1/2)*(5 + I*n), (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/(c^2*(3 + I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])]} *)
+(* {E^(n*ArcTan[a*x])/(x^2*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 9, (a*(4*I + n)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(c^2*(3 - I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - ((1 - I*a*x)^((1/2)*(-3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (a*(12 - 6*I*n - n^2)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(-1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(c^2*(1 - I*n)*(3*I + n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (a*(24 - 15*I*n - 6*n^2 + I*n^3)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(1 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(c^2*(3*I + n)*(1 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (a*(24*I + 18*n - 7*I*n^2 + 2*n^3 - I*n^4)*(1 - I*a*x)^((1/2)*(3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(c^2*(9 + 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*a*n*(1 - I*a*x)^((1/2)*(3 + I*n))*(1 + I*a*x)^((1/2)*(-3 - I*n))*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(3 + I*n), (1/2)*(5 + I*n), (1 - I*a*x)/(1 + I*a*x)])/(c^2*(3 + I*n)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])} *)
+
+
+(* {x^2*(E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a*a*c*x^2)^(7/2)), x, 3, If[$VersionNumber>=8, -((E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 5*a*x))/(a^3*c*(25 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))) + (E^(n*ArcTan[a*x])*(5 + n^2)*(n + 3*a*x))/(a^3*c^2*(9 + n^2)*(25 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (6*E^(n*ArcTan[a*x])*(5 + n^2)*(n + a*x))/(a^3*c^3*(1 + n^2)*(9 + n^2)*(25 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), -((E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 5*a*x))/(a^3*c*(25 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))) + (E^(n*ArcTan[a*x])*(5 + n^2)*(n + 3*a*x))/(a^3*c^2*(9 + n^2)*(25 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (6*E^(n*ArcTan[a*x])*(5 + n^2)*(n + a*x))/(a^3*c^3*(25 + n^2)*(9 + 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])]}
+{x^1*(E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a*a*c*x^2)^(7/2)), x, 3, If[$VersionNumber>=8, -((E^(n*ArcTan[a*x])*(5 - a*n*x))/(a^2*c*(25 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))) + (4*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + 3*a*x))/(a^2*c^2*(9 + n^2)*(25 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (24*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + a*x))/(a^2*c^3*(1 + n^2)*(9 + n^2)*(25 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), -((E^(n*ArcTan[a*x])*(5 - a*n*x))/(a^2*c*(25 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))) + (4*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + 3*a*x))/(a^2*c^2*(9 + n^2)*(25 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (24*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + a*x))/(a^2*c^3*(25 + n^2)*(9 + 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])]}
+{x^0*(E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a*a*c*x^2)^(7/2)), x, 3, If[$VersionNumber>=8, (E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 5*a*x))/(a*c*(25 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (20*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 3*a*x))/(a*c^2*(9 + n^2)*(25 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (120*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + a*x))/(a*c^3*(1 + n^2)*(9 + n^2)*(25 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), (E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 5*a*x))/(a*c*(25 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (20*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 3*a*x))/(a*c^2*(9 + n^2)*(25 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (120*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + a*x))/(a*c^3*(25 + n^2)*(9 + 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])]} *)
+
+
+(* {x^2*(E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a*a*c*x^2)^(9/2)), x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 7*a*x))/(a^3*c*(49 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(7/2))) + (E^(n*ArcTan[a*x])*(7 + n^2)*(n + 5*a*x))/(a^3*c^2*(25 + n^2)*(49 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (20*E^(n*ArcTan[a*x])*(7 + n^2)*(n + 3*a*x))/(a^3*c^3*(9 + n^2)*(25 + n^2)*(49 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (120*E^(n*ArcTan[a*x])*(7 + n^2)*(n + a*x))/(a^3*c^4*(1 + n^2)*(9 + n^2)*(25 + n^2)*(49 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), -((E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 7*a*x))/(a^3*c*(49 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(7/2))) + (E^(n*ArcTan[a*x])*(7 + n^2)*(n + 5*a*x))/(a^3*c^2*(25 + n^2)*(49 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (20*E^(n*ArcTan[a*x])*(7 + n^2)*(n + 3*a*x))/(a^3*c^3*(49 + n^2)*(225 + 34*n^2 + n^4)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (120*E^(n*ArcTan[a*x])*(7 + n^2)*(n + a*x))/(a^3*c^4*(9 + 10*n^2 + n^4)*(1225 + 74*n^2 + n^4)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])]}
+{x^1*(E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a*a*c*x^2)^(9/2)), x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((E^(n*ArcTan[a*x])*(7 - a*n*x))/(a^2*c*(49 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(7/2))) + (6*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + 5*a*x))/(a^2*c^2*(25 + n^2)*(49 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (120*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + 3*a*x))/(a^2*c^3*(9 + n^2)*(25 + n^2)*(49 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (720*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + a*x))/(a^2*c^4*(1 + n^2)*(9 + n^2)*(25 + n^2)*(49 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), -((E^(n*ArcTan[a*x])*(7 - a*n*x))/(a^2*c*(49 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(7/2))) + (6*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + 5*a*x))/(a^2*c^2*(25 + n^2)*(49 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (120*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + 3*a*x))/(a^2*c^3*(49 + n^2)*(225 + 34*n^2 + n^4)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (720*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + a*x))/(a^2*c^4*(9 + 10*n^2 + n^4)*(1225 + 74*n^2 + n^4)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])]}
+{x^0*(E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a*a*c*x^2)^(9/2)), x, 4, If[$VersionNumber>=8, (E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 7*a*x))/(a*c*(49 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(7/2)) + (42*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 5*a*x))/(a*c^2*(25 + n^2)*(49 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (840*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 3*a*x))/(a*c^3*(9 + n^2)*(25 + n^2)*(49 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (5040*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + a*x))/(a*c^4*(1 + n^2)*(9 + n^2)*(25 + n^2)*(49 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), (E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 7*a*x))/(a*c*(49 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(7/2)) + (42*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 5*a*x))/(a*c^2*(25 + n^2)*(49 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (840*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 3*a*x))/(a*c^3*(49 + n^2)*(225 + 34*n^2 + n^4)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (5040*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + a*x))/(a*c^4*(9 + 10*n^2 + n^4)*(1225 + 74*n^2 + n^4)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])]} *)
+
+
+(* {x^2*(E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a*a*c*x^2)^(11/2)), x, 5, If[$VersionNumber>=8, -((E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 9*a*x))/(a^3*c*(81 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(9/2))) + (E^(n*ArcTan[a*x])*(9 + n^2)*(n + 7*a*x))/(a^3*c^2*(49 + n^2)*(81 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(7/2)) + (42*E^(n*ArcTan[a*x])*(9 + n^2)*(n + 5*a*x))/(a^3*c^3*(25 + n^2)*(49 + n^2)*(81 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (840*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 3*a*x))/(a^3*c^4*(25 + n^2)*(49 + n^2)*(81 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (5040*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + a*x))/(a^3*c^5*(1 + n^2)*(25 + n^2)*(49 + n^2)*(81 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), -((E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 9*a*x))/(a^3*c*(81 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(9/2))) + (E^(n*ArcTan[a*x])*(9 + n^2)*(n + 7*a*x))/(a^3*c^2*(49 + n^2)*(81 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(7/2)) + (42*E^(n*ArcTan[a*x])*(9 + n^2)*(n + 5*a*x))/(a^3*c^3*(81 + n^2)*(1225 + 74*n^2 + n^4)*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (840*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 3*a*x))/(a^3*c^4*(25 + n^2)*(3969 + 130*n^2 + n^4)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (5040*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + a*x))/(a^3*c^5*(1225 + 74*n^2 + n^4)*(81 + 82*n^2 + n^4)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])]}
+{x^1*(E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a*a*c*x^2)^(11/2)), x, 5, If[$VersionNumber>=8, -((E^(n*ArcTan[a*x])*(9 - a*n*x))/(a^2*c*(81 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(9/2))) + (8*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + 7*a*x))/(a^2*c^2*(49 + n^2)*(81 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(7/2)) + (336*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + 5*a*x))/(a^2*c^3*(25 + n^2)*(49 + n^2)*(81 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (6720*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + 3*a*x))/(a^2*c^4*(9 + n^2)*(25 + n^2)*(49 + n^2)*(81 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (40320*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + a*x))/(a^2*c^5*(1 + n^2)*(9 + n^2)*(25 + n^2)*(49 + n^2)*(81 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), -((E^(n*ArcTan[a*x])*(9 - a*n*x))/(a^2*c*(81 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(9/2))) + (8*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + 7*a*x))/(a^2*c^2*(49 + n^2)*(81 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(7/2)) + (336*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + 5*a*x))/(a^2*c^3*(81 + n^2)*(1225 + 74*n^2 + n^4)*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (6720*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + 3*a*x))/(a^2*c^4*(225 + 34*n^2 + n^4)*(3969 + 130*n^2 + n^4)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (40320*E^(n*ArcTan[a*x])*n*(n + a*x))/(a^2*c^5*(1225 + 74*n^2 + n^4)*(729 + 819*n^2 + 91*n^4 + n^6)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])]}
+{x^0*(E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a*a*c*x^2)^(11/2)), x, 5, If[$VersionNumber>=8, (E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 9*a*x))/(a*c*(81 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(9/2)) + (72*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 7*a*x))/(a*c^2*(49 + n^2)*(81 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(7/2)) + (3024*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 5*a*x))/(a*c^3*(25 + n^2)*(49 + n^2)*(81 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (60480*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 3*a*x))/(a*c^4*(9 + n^2)*(25 + n^2)*(49 + n^2)*(81 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (362880*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + a*x))/(a*c^5*(1 + n^2)*(9 + n^2)*(25 + n^2)*(49 + n^2)*(81 + n^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]), (E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 9*a*x))/(a*c*(81 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(9/2)) + (72*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 7*a*x))/(a*c^2*(49 + n^2)*(81 + n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(7/2)) + (3024*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 5*a*x))/(a*c^3*(81 + n^2)*(1225 + 74*n^2 + n^4)*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (60480*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + 3*a*x))/(a*c^4*(225 + 34*n^2 + n^4)*(3969 + 130*n^2 + n^4)*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (362880*E^(n*ArcTan[a*x])*(n + a*x))/(a*c^5*(1225 + 74*n^2 + n^4)*(729 + 819*n^2 + 91*n^4 + n^6)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])]} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTan[a x]) (c+a^2 c x^2)^(p/3)*)
+
+
+{E^(n*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^(1/3), x, 3, -((3*2^(4/3 - (I*n)/2)*(1 - I*a*x)^((1/6)*(8 + 3*I*n))*(c + a^2*c*x^2)^(1/3)*Hypergeometric2F1[(1/6)*(-2 + 3*I*n), (1/6)*(8 + 3*I*n), (1/6)*(14 + 3*I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*(8*I - 3*n)*(1 + a^2*x^2)^(1/3)))}
+{E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(1/3), x, 3, -((3*2^(2/3 - (I*n)/2)*(1 - I*a*x)^((1/6)*(4 + 3*I*n))*(1 + a^2*x^2)^(1/3)*Hypergeometric2F1[(1/6)*(2 + 3*I*n), (1/6)*(4 + 3*I*n), (1/6)*(10 + 3*I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*(4*I - 3*n)*(c + a^2*c*x^2)^(1/3)))}
+{E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(2/3), x, 3, -((3*2^(1/3 - (I*n)/2)*(1 - I*a*x)^((1/6)*(2 + 3*I*n))*(1 + a^2*x^2)^(2/3)*Hypergeometric2F1[(1/6)*(2 + 3*I*n), (1/6)*(4 + 3*I*n), (1/6)*(8 + 3*I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*(2*I - 3*n)*(c + a^2*c*x^2)^(2/3)))}
+{E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(4/3), x, 3, (3*2^(-(1/3) - (I*n)/2)*(1 - I*a*x)^((1/6)*(-2 + 3*I*n))*(1 + a^2*x^2)^(1/3)*Hypergeometric2F1[(1/6)*(-2 + 3*I*n), (1/6)*(8 + 3*I*n), (1/6)*(4 + 3*I*n), (1/2)*(1 - I*a*x)])/(a*c*(2*I + 3*n)*(c + a^2*c*x^2)^(1/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTan[a x]) (c+a^2 c x^2)^p with m symbolic*)
+
+
+{x^m*E^(n*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^1, x, 2, (c*x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, -1 - (I*n)/2, -1 + (I*n)/2, 2 + m, I*a*x, (-I)*a*x])/(1 + m)}
+{x^m*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^1, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, 1 - (I*n)/2, 1 + (I*n)/2, 2 + m, I*a*x, (-I)*a*x])/(c*(1 + m))}
+{x^m*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, 2 - (I*n)/2, 2 + (I*n)/2, 2 + m, I*a*x, (-I)*a*x])/(c^2*(1 + m))}
+{x^m*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, 3 - (I*n)/2, 3 + (I*n)/2, 2 + m, I*a*x, (-I)*a*x])/(c^3*(1 + m))}
+
+
+{x^m*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(1/2), x, 3, (x^(1 + m)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*AppellF1[1 + m, (1/2)*(1 - I*n), (1/2)*(1 + I*n), 2 + m, I*a*x, (-I)*a*x])/((1 + m)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^m*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, (x^(1 + m)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*AppellF1[1 + m, (1/2)*(3 - I*n), (1/2)*(3 + I*n), 2 + m, I*a*x, (-I)*a*x])/(c*(1 + m)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^m*E^(n*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 3, (x^(1 + m)*Sqrt[1 + a^2*x^2]*AppellF1[1 + m, (1/2)*(5 - I*n), (1/2)*(5 + I*n), 2 + m, I*a*x, (-I)*a*x])/(c^2*(1 + m)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTan[a x]) (c+a^2 c x^2)^p with p symbolic*)
+
+
+{E^(n*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^p, x, 3, (2^(1 - (I*n)/2 + p)*(1 - I*a*x)^(1 + (I*n)/2 + p)*(c + a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(I*n)/2 - p, 1 + (I*n)/2 + p, 2 + (I*n)/2 + p, (1/2)*(1 - I*a*x)])/((1 + a^2*x^2)^p*(a*(n - 2*I*(1 + p))))}
+
+
+{(c + a^2*c*x^2)^p/E^(2*I*p*ArcTan[a*x]), x, 3, (I*(1 - I*a*x)^(1 + 2*p)*(c + a^2*c*x^2)^p)/((1 + a^2*x^2)^p*(a*(1 + 2*p)))}
+{(c + a^2*c*x^2)^p/E^(-2*I*p*ArcTan[a*x]), x, 3, -((I*(1 + I*a*x)^(1 + 2*p)*(c + a^2*c*x^2)^p)/((1 + a^2*x^2)^p*(a*(1 + 2*p))))}
+
+
+{x^2*E^(n*I*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(n^2/2 + 1), x, 1, (I*E^(I*n*ArcTan[a*x])*(1 - I*a*n*x))/((c + a^2*c*x^2)^(n^2/2)*(a^3*c*n*(1 - n^2)))}
+
+{x^2*E^(6*I*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^19, x, 2, -((I + 6*a*x)/(210*a^3*c^19*(1 - I*a*x)^21*(1 + I*a*x)^15))}
+{x^2*E^(4*I*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^9, x, 2, -((I + 4*a*x)/(60*a^3*c^9*(1 - I*a*x)^10*(1 + I*a*x)^6))}
+{x^2*E^(2*I*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 2, -((I + 2*a*x)/(6*a^3*c^3*(1 - I*a*x)^3*(1 + I*a*x)))}
+{x^2/(E^(2*I*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^3), x, 2, (I - 2*a*x)/(6*a^3*c^3*(1 - I*a*x)*(1 + I*a*x)^3)}
+{x^2/(E^(4*I*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^9), x, 2, (I - 4*a*x)/(60*a^3*c^9*(1 - I*a*x)^6*(1 + I*a*x)^10)}
+
+{x^2*E^(5*I*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(27/2), x, 3, -(((I + 5*a*x)*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(120*a^3*c^13*(1 - I*a*x)^15*(1 + I*a*x)^10*Sqrt[c + a^2*c*x^2]))}
+{x^2*E^(3*I*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(11/2), x, 3, -(((I + 3*a*x)*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(24*a^3*c^5*(1 - I*a*x)^6*(1 + I*a*x)^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]))}
+{x^2*E^(1*I*ArcTan[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 4, -(Sqrt[1 + a^2*x^2]/(2*a^3*c*(I + a*x)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) + (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Log[I - a*x])/(4*a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Log[I + a*x])/(4*a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^2/(E^(1*I*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 4, Sqrt[1 + a^2*x^2]/(2*a^3*c*(I - a*x)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Log[I - a*x])/(4*a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (I*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Log[I + a*x])/(4*a^3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^2/(E^(3*I*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^(11/2)), x, 3, ((I - 3*a*x)*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(24*a^3*c^5*(1 - I*a*x)^3*(1 + I*a*x)^6*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{x^2/(E^(5*I*ArcTan[a*x])*(c + a^2*c*x^2)^(27/2)), x, 3, ((I - 5*a*x)*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(120*a^3*c^13*(1 - I*a*x)^10*(1 + I*a*x)^15*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.7 Inverse tangent functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.7 Inverse tangent functions.m
new file mode 100644
index 00000000..6b9585c6
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.3 Inverse tangent/5.3.7 Inverse tangent functions.m	
@@ -0,0 +1,335 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands involving inverse tangents of algebraic functions*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u ArcTan[a+b x^n]*)
+
+
+{x^3*ArcTan[a + b*x^4], x, 4, ((a + b*x^4)*ArcTan[a + b*x^4])/(4*b) - Log[1 + (a + b*x^4)^2]/(8*b)}
+
+
+{x^(n-1)*ArcTan[a + b*x^n], x, 4, ((a + b*x^n)*ArcTan[a + b*x^n])/(b*n) - Log[1 + (a + b*x^n)^2]/(2*b*n)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (a+b ArcTan[c x/Sqrt[d+e x^2]])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcTan[c x/Sqrt[d+e x^2]]) when e=c^2*)
+
+
+{x^5*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]], x, 6, (5*d^2*x*Sqrt[d + e*x^2])/(96*(-e)^(5/2)) + (5*d*x^3*Sqrt[d + e*x^2])/(144*(-e)^(3/2)) + (x^5*Sqrt[d + e*x^2])/(36*Sqrt[-e]) + (x^6*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/6 + (5*d^3*Sqrt[-e]*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(96*e^(7/2))}
+{x^3*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]], x, 5, (3*d*x*Sqrt[d + e*x^2])/(32*(-e)^(3/2)) + (x^3*Sqrt[d + e*x^2])/(16*Sqrt[-e]) + (x^4*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/4 - (3*d^2*Sqrt[-e]*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(32*e^(5/2))}
+{x^1*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]], x, 4, (x*Sqrt[d + e*x^2])/(4*Sqrt[-e]) + (x^2*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/2 + (d*Sqrt[-e]*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(4*e^(3/2))}
+{ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/x^1, x, 8, -((Sqrt[d]*Sqrt[-e]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(2*Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2])) + (Sqrt[d]*Sqrt[-e]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2]) - (Sqrt[d]*Sqrt[-e]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[x])/(Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2]) + ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]*Log[x] + (Sqrt[d]*Sqrt[-e]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(2*Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2])}
+{ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/x^3, x, 2, -(Sqrt[-e]*Sqrt[d + e*x^2])/(2*d*x) - ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/(2*x^2)}
+{ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/x^5, x, 3, -(Sqrt[-e]*Sqrt[d + e*x^2])/(12*d*x^3) - ((-e)^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(6*d^2*x) - ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/(4*x^4)}
+{ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/x^7, x, 4, -(Sqrt[-e]*Sqrt[d + e*x^2])/(30*d*x^5) - (2*(-e)^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(45*d^2*x^3) - (4*(-e)^(5/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(45*d^3*x) - ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/(6*x^6)}
+{ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/x^9, x, 5, -(Sqrt[-e]*Sqrt[d + e*x^2])/(56*d*x^7) - (3*(-e)^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(140*d^2*x^5) - ((-e)^(5/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(35*d^3*x^3) - (2*(-e)^(7/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(35*d^4*x) - ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/(8*x^8)}
+
+{x^6*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]], x, 4, (d^3*Sqrt[d + e*x^2])/(7*(-e)^(7/2)) - (d^2*(d + e*x^2)^(3/2))/(7*(-e)^(7/2)) + (3*d*(d + e*x^2)^(5/2))/(35*(-e)^(7/2)) - (d + e*x^2)^(7/2)/(49*(-e)^(7/2)) + (x^7*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/7}
+{x^4*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]], x, 4, (d^2*Sqrt[d + e*x^2])/(5*(-e)^(5/2)) - (2*d*(d + e*x^2)^(3/2))/(15*(-e)^(5/2)) + (d + e*x^2)^(5/2)/(25*(-e)^(5/2)) + (x^5*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/5}
+{x^2*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]], x, 4, (d*Sqrt[d + e*x^2])/(3*(-e)^(3/2)) - (d + e*x^2)^(3/2)/(9*(-e)^(3/2)) + (x^3*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/3}
+{x^0*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]], x, 2, Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[-e] + x*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]}
+{ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/x^2, x, 4, -(ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/x) - (Sqrt[-e]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/Sqrt[d]}
+{ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/x^4, x, 5, -(Sqrt[-e]*Sqrt[d + e*x^2])/(6*d*x^2) - ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/(3*x^3) - ((-e)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(6*d^(3/2))}
+{ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/x^6, x, 6, -(Sqrt[-e]*Sqrt[d + e*x^2])/(20*d*x^4) - (3*(-e)^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(40*d^2*x^2) - ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/(5*x^5) - (3*(-e)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(40*d^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^(m/2) (a+b ArcTan[c x/Sqrt[d+e x^2]]) when e=c^2*)
+
+
+{x^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]], x, 6, (60*d^2*Sqrt[x]*Sqrt[d + e*x^2])/(847*(-e)^(5/2)) + (36*d*x^(5/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(847*(-e)^(3/2)) + (4*x^(9/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(121*Sqrt[-e]) + (2*x^(11/2)*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/11 + (30*d^(11/4)*Sqrt[-e]*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(847*e^(13/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{x^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]], x, 5, (20*d*Sqrt[x]*Sqrt[d + e*x^2])/(147*(-e)^(3/2)) + (4*x^(5/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(49*Sqrt[-e]) + (2*x^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/7 - (10*d^(7/4)*Sqrt[-e]*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(147*e^(9/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{x^(1/2)*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]], x, 4, (4*Sqrt[x]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*Sqrt[-e]) + (2*x^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/3 + (2*d^(3/4)*Sqrt[-e]*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(9*e^(5/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/x^(3/2), x, 3, (-2*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/Sqrt[x] + (2*Sqrt[-e]*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(d^(1/4)*e^(1/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/x^(7/2), x, 4, (-4*Sqrt[-e]*Sqrt[d + e*x^2])/(15*d*x^(3/2)) - (2*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(5*x^(5/2)) - (2*Sqrt[-e]*e^(3/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(15*d^(5/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/x^(11/2), x, 5, (-4*Sqrt[-e]*Sqrt[d + e*x^2])/(63*d*x^(7/2)) - (20*(-e)^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(189*d^2*x^(3/2)) - (2*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(9*x^(9/2)) + (10*Sqrt[-e]*e^(7/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(189*d^(9/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/x^(15/2), x, 6, (-4*Sqrt[-e]*Sqrt[d + e*x^2])/(143*d*x^(11/2)) - (36*(-e)^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(1001*d^2*x^(7/2)) - (60*(-e)^(5/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(1001*d^3*x^(3/2)) - (2*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(13*x^(13/2)) - (30*Sqrt[-e]*e^(11/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(1001*d^(13/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+
+{x^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]], x, 7, (28*d*x^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(405*(-e)^(3/2)) + (4*x^(7/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(81*Sqrt[-e]) - (28*d^2*Sqrt[-e]*Sqrt[x]*Sqrt[d + e*x^2])/(135*e^(5/2)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)) + (2*x^(9/2)*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/9 + (28*d^(9/4)*Sqrt[-e]*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(135*e^(11/4)*Sqrt[d + e*x^2]) - (14*d^(9/4)*Sqrt[-e]*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(135*e^(11/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{x^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]], x, 6, (4*x^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(25*Sqrt[-e]) + (12*d*Sqrt[-e]*Sqrt[x]*Sqrt[d + e*x^2])/(25*e^(3/2)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)) + (2*x^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/5 - (12*d^(5/4)*Sqrt[-e]*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(25*e^(7/4)*Sqrt[d + e*x^2]) + (6*d^(5/4)*Sqrt[-e]*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(25*e^(7/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/x^(1/2), x, 5, (-4*Sqrt[-e]*Sqrt[x]*Sqrt[d + e*x^2])/(Sqrt[e]*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)) + 2*Sqrt[x]*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]] + (4*d^(1/4)*Sqrt[-e]*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(e^(3/4)*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*d^(1/4)*Sqrt[-e]*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(e^(3/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/x^(5/2), x, 6, (-4*Sqrt[-e]*Sqrt[d + e*x^2])/(3*d*Sqrt[x]) + (4*Sqrt[-e^2]*Sqrt[x]*Sqrt[d + e*x^2])/(3*d*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)) - (2*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(3*x^(3/2)) - (4*Sqrt[-e]*e^(1/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(3*d^(3/4)*Sqrt[d + e*x^2]) + (2*Sqrt[-e]*e^(1/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(3*d^(3/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/x^(9/2), x, 7, (-4*Sqrt[-e]*Sqrt[d + e*x^2])/(35*d*x^(5/2)) - (12*(-e)^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(35*d^2*Sqrt[x]) - (12*Sqrt[-e]*e^(3/2)*Sqrt[x]*Sqrt[d + e*x^2])/(35*d^2*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)) - (2*ArcTan[(Sqrt[-e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(7*x^(7/2)) + (12*Sqrt[-e]*e^(5/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(35*d^(7/4)*Sqrt[d + e*x^2]) - (6*Sqrt[-e]*e^(5/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(35*d^(7/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u ArcTan[a+b x+c x^2]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTan[a+b x+c x^2]*)
+
+
+{ArcTan[1 + x + x^2]/x^2, x, 8, (1/2)*ArcTan[1 + x] - ArcTan[1 + x + x^2]/x + Log[x]/2 - (1/2)*Log[1 + x^2] + (1/4)*Log[2 + 2*x + x^2]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u^m (a+b ArcTan[Sqrt[1-c x]/Sqrt[1+c x]])^n*)
+
+
+{(a + b*ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^n/(1 - c^2*x^2), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^n/(1 - c^2*x^2), x]}
+
+
+{(a + b*ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3/(1 - c^2*x^2), x, 9, -((2*(a + b*ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3*ArcTanh[1 - 2/(1 + (I*Sqrt[1 - c*x])/Sqrt[1 + c*x])])/c) + (3*I*b*(a + b*ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + (I*Sqrt[1 - c*x])/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c) - (3*I*b*(a + b*ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + (I*Sqrt[1 - c*x])/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c) + (3*b^2*(a + b*ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + (I*Sqrt[1 - c*x])/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c) - (3*b^2*(a + b*ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + (I*Sqrt[1 - c*x])/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c) - (3*I*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + (I*Sqrt[1 - c*x])/Sqrt[1 + c*x])])/(4*c) + (3*I*b^3*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + (I*Sqrt[1 - c*x])/Sqrt[1 + c*x])])/(4*c)}
+{(a + b*ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2/(1 - c^2*x^2), x, 7, -((2*(a + b*ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 + (I*Sqrt[1 - c*x])/Sqrt[1 + c*x])])/c) + (I*b*(a + b*ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + (I*Sqrt[1 - c*x])/Sqrt[1 + c*x])])/c - (I*b*(a + b*ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + (I*Sqrt[1 - c*x])/Sqrt[1 + c*x])])/c + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + (I*Sqrt[1 - c*x])/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c) - (b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + (I*Sqrt[1 - c*x])/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^1/(1 - c^2*x^2), x, 4, -((a*Log[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])/c) - (I*b*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - c*x])/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c) + (I*b*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - c*x])/Sqrt[1 + c*x]])/(2*c)}
+{1/((a + b*ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^1*(1 - c^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])), x]}
+{1/((a + b*ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*(1 - c^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2), x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands involving inverse tangents of trig functions*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTan[Trig[a+b x]]*)
+
+
+{x^m*ArcTan[Tan[a + b*x]], x, 2, -((b*x^(2 + m))/(2 + 3*m + m^2)) + (x^(1 + m)*ArcTan[Tan[a + b*x]])/(1 + m)}
+
+{x^2*ArcTan[Tan[a + b*x]], x, 2, -((b*x^4)/12) + (1/3)*x^3*ArcTan[Tan[a + b*x]]}
+{x^1*ArcTan[Tan[a + b*x]], x, 2, -((b*x^3)/6) + (1/2)*x^2*ArcTan[Tan[a + b*x]]}
+{x^0*ArcTan[Tan[a + b*x]], x, 2, ArcTan[Tan[a + b*x]]^2/(2*b)}
+{ArcTan[Tan[a + b*x]]/x^1, x, 2, b*x - (b*x - ArcTan[Tan[a + b*x]])*Log[x]}
+
+
+{x^m*ArcTan[Cot[a + b*x]], x, 2, (b*x^(2 + m))/(2 + 3*m + m^2) + (x^(1 + m)*ArcTan[Cot[a + b*x]])/(1 + m)}
+
+{x^2*ArcTan[Cot[a + b*x]], x, 2, (b*x^4)/12 + (1/3)*x^3*ArcTan[Cot[a + b*x]]}
+{x^1*ArcTan[Cot[a + b*x]], x, 2, (b*x^3)/6 + (1/2)*x^2*ArcTan[Cot[a + b*x]]}
+{x^0*ArcTan[Cot[a + b*x]], x, 2, -(ArcTan[Cot[a + b*x]]^2/(2*b))}
+{ArcTan[Cot[a + b*x]]/x^1, x, 2, (-b)*x + (b*x + ArcTan[Cot[a + b*x]])*Log[x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTan[c+d Trig[a+b x]]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTan[c+d Tan[a+b x]]*)
+
+
+{ArcTan[Tan[a + b*x]], x, 2, ArcTan[Tan[a + b*x]]^2/(2*b)}
+
+
+{x^2*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]], x, 11, (1/3)*x^3*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]] + (1/6)*I*x^3*Log[1 + ((1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d)] - (1/6)*I*x^3*Log[1 + ((c + I*(1 - d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 + d))] + (x^2*PolyLog[2, -(((1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d))])/(4*b) - (x^2*PolyLog[2, -(((c + I*(1 - d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 + d)))])/(4*b) + (I*x*PolyLog[3, -(((1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d))])/(4*b^2) - (I*x*PolyLog[3, -(((c + I*(1 - d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 + d)))])/(4*b^2) - PolyLog[4, -(((1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d))]/(8*b^3) + PolyLog[4, -(((c + I*(1 - d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 + d)))]/(8*b^3)}
+{x^1*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]], x, 9, (1/2)*x^2*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]] + (1/4)*I*x^2*Log[1 + ((1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d)] - (1/4)*I*x^2*Log[1 + ((c + I*(1 - d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 + d))] + (x*PolyLog[2, -(((1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d))])/(4*b) - (x*PolyLog[2, -(((c + I*(1 - d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 + d)))])/(4*b) + (I*PolyLog[3, -(((1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d))])/(8*b^2) - (I*PolyLog[3, -(((c + I*(1 - d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 + d)))])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]], x, 7, x*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]] + (1/2)*I*x*Log[1 + ((1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d)] - (1/2)*I*x*Log[1 + ((c + I*(1 - d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 + d))] + PolyLog[2, -(((1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d))]/(4*b) - PolyLog[2, -(((c + I*(1 - d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 + d)))]/(4*b)}
+{ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcTan[c + (1 + I*c)*Tan[a + b*x]], x, 7, -((b*x^4)/12) + (1/3)*x^3*ArcTan[c + (1 + I*c)*Tan[a + b*x]] - (1/6)*I*x^3*Log[1 - I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] - (x^2*PolyLog[2, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) - (I*x*PolyLog[3, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b^2) + PolyLog[4, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(8*b^3)}
+{x^1*ArcTan[c + (1 + I*c)*Tan[a + b*x]], x, 6, -((b*x^3)/6) + (1/2)*x^2*ArcTan[c + (1 + I*c)*Tan[a + b*x]] - (1/4)*I*x^2*Log[1 - I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] - (x*PolyLog[2, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) - (I*PolyLog[3, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcTan[c + (1 + I*c)*Tan[a + b*x]], x, 5, -((b*x^2)/2) + x*ArcTan[c + (1 + I*c)*Tan[a + b*x]] - (1/2)*I*x*Log[1 - I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] - PolyLog[2, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(4*b)}
+{ArcTan[c + (1 + I*c)*Tan[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTan[c + (1 + I*c)*Tan[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcTan[c + (-1 + I*c)*Tan[a + b*x]], x, 7, (b*x^4)/12 + (1/3)*x^3*ArcTan[c - (1 - I*c)*Tan[a + b*x]] + (1/6)*I*x^3*Log[1 + I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (x^2*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) + (I*x*PolyLog[3, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b^2) - PolyLog[4, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(8*b^3)}
+{x^1*ArcTan[c + (-1 + I*c)*Tan[a + b*x]], x, 6, (b*x^3)/6 + (1/2)*x^2*ArcTan[c - (1 - I*c)*Tan[a + b*x]] + (1/4)*I*x^2*Log[1 + I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (x*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) + (I*PolyLog[3, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcTan[c + (-1 + I*c)*Tan[a + b*x]], x, 5, (b*x^2)/2 + x*ArcTan[c - (1 - I*c)*Tan[a + b*x]] + (1/2)*I*x*Log[1 + I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(4*b)}
+{ArcTan[c + (-1 + I*c)*Tan[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTan[c + (-1 + I*c)*Tan[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTan[c+d Cot[a+b x]]*)
+
+
+{ArcTan[Cot[a + b*x]], x, 2, -(ArcTan[Cot[a + b*x]]^2/(2*b))}
+
+
+{x^2*ArcTan[c + d*Cot[a + b*x]], x, 11, (1/3)*x^3*ArcTan[c + d*Cot[a + b*x]] + (1/6)*I*x^3*Log[1 - ((1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d)] - (1/6)*I*x^3*Log[1 - ((c + I*(1 + d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 - d))] + (x^2*PolyLog[2, ((1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d)])/(4*b) - (x^2*PolyLog[2, ((c + I*(1 + d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 - d))])/(4*b) + (I*x*PolyLog[3, ((1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d)])/(4*b^2) - (I*x*PolyLog[3, ((c + I*(1 + d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 - d))])/(4*b^2) - PolyLog[4, ((1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d)]/(8*b^3) + PolyLog[4, ((c + I*(1 + d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 - d))]/(8*b^3)}
+{x^1*ArcTan[c + d*Cot[a + b*x]], x, 9, (1/2)*x^2*ArcTan[c + d*Cot[a + b*x]] + (1/4)*I*x^2*Log[1 - ((1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d)] - (1/4)*I*x^2*Log[1 - ((c + I*(1 + d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 - d))] + (x*PolyLog[2, ((1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d)])/(4*b) - (x*PolyLog[2, ((c + I*(1 + d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 - d))])/(4*b) + (I*PolyLog[3, ((1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d)])/(8*b^2) - (I*PolyLog[3, ((c + I*(1 + d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 - d))])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcTan[c + d*Cot[a + b*x]], x, 7, x*ArcTan[c + d*Cot[a + b*x]] + (1/2)*I*x*Log[1 - ((1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d)] - (1/2)*I*x*Log[1 - ((c + I*(1 + d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 - d))] + PolyLog[2, ((1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d)]/(4*b) - PolyLog[2, ((c + I*(1 + d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 - d))]/(4*b)}
+{ArcTan[c + d*Cot[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTan[c + d*Cot[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcTan[c + (1 - I*c)*Cot[a + b*x]], x, 7, (b*x^4)/12 + (1/3)*x^3*ArcTan[c + (1 - I*c)*Cot[a + b*x]] + (1/6)*I*x^3*Log[1 - I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (x^2*PolyLog[2, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) + (I*x*PolyLog[3, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b^2) - PolyLog[4, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(8*b^3)}
+{x^1*ArcTan[c + (1 - I*c)*Cot[a + b*x]], x, 6, (b*x^3)/6 + (1/2)*x^2*ArcTan[c + (1 - I*c)*Cot[a + b*x]] + (1/4)*I*x^2*Log[1 - I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (x*PolyLog[2, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) + (I*PolyLog[3, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcTan[c + (1 - I*c)*Cot[a + b*x]], x, 5, (b*x^2)/2 + x*ArcTan[c + (1 - I*c)*Cot[a + b*x]] + (1/2)*I*x*Log[1 - I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + PolyLog[2, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(4*b)}
+{ArcTan[c + (1 - I*c)*Cot[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTan[c + (1 - I*c)*Cot[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcTan[c + (-1 - I*c)*Cot[a + b*x]], x, 7, -((b*x^4)/12) + (1/3)*x^3*ArcTan[c - (1 + I*c)*Cot[a + b*x]] - (1/6)*I*x^3*Log[1 + I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] - (x^2*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) - (I*x*PolyLog[3, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b^2) + PolyLog[4, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(8*b^3)}
+{x^1*ArcTan[c + (-1 - I*c)*Cot[a + b*x]], x, 6, -((b*x^3)/6) + (1/2)*x^2*ArcTan[c - (1 + I*c)*Cot[a + b*x]] - (1/4)*I*x^2*Log[1 + I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] - (x*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) - (I*PolyLog[3, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcTan[c + (-1 - I*c)*Cot[a + b*x]], x, 5, -((b*x^2)/2) + x*ArcTan[c - (1 + I*c)*Cot[a + b*x]] - (1/2)*I*x*Log[1 + I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] - PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(4*b)}
+{ArcTan[c + (-1 - I*c)*Cot[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTan[c + (-1 - I*c)*Cot[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTan[c+d Hyper[a+b x]]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTan[c+d Sinh[a+b x]]*)
+
+
+{ArcTan[Sinh[x]], x, 6, -2*x*ArcTan[E^x] + x*ArcTan[Sinh[x]] + I*PolyLog[2, (-I)*E^x] - I*PolyLog[2, I*E^x]}
+{x*ArcTan[Sinh[x]], x, 8, (-x^2)*ArcTan[E^x] + (1/2)*x^2*ArcTan[Sinh[x]] + I*x*PolyLog[2, (-I)*E^x] - I*x*PolyLog[2, I*E^x] - I*PolyLog[3, (-I)*E^x] + I*PolyLog[3, I*E^x]}
+{x^2*ArcTan[Sinh[x]], x, 10, (-(2/3))*x^3*ArcTan[E^x] + (1/3)*x^3*ArcTan[Sinh[x]] + I*x^2*PolyLog[2, (-I)*E^x] - I*x^2*PolyLog[2, I*E^x] - 2*I*x*PolyLog[3, (-I)*E^x] + 2*I*x*PolyLog[3, I*E^x] + 2*I*PolyLog[4, (-I)*E^x] - 2*I*PolyLog[4, I*E^x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTan[c+d Cosh[a+b x]]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTan[c+d Tanh[a+b x]]*)
+
+
+{(e + f*x)^3*ArcTan[Tanh[a + b*x]], x, 12, -(((e + f*x)^4*ArcTan[E^(2*a + 2*b*x)])/(4*f)) + ((e + f*x)^4*ArcTan[Tanh[a + b*x]])/(4*f) + (I*(e + f*x)^3*PolyLog[2, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*(e + f*x)^3*PolyLog[2, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (3*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[3, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2) + (3*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[3, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2) + (3*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[4, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3) - (3*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[4, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3) - (3*I*f^3*PolyLog[5, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(16*b^4) + (3*I*f^3*PolyLog[5, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(16*b^4)}
+{(e + f*x)^2*ArcTan[Tanh[a + b*x]], x, 10, -(((e + f*x)^3*ArcTan[E^(2*a + 2*b*x)])/(3*f)) + ((e + f*x)^3*ArcTan[Tanh[a + b*x]])/(3*f) + (I*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*f*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) + (I*f*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) + (I*f^2*PolyLog[4, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3) - (I*f^2*PolyLog[4, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3)}
+{(e + f*x)^1*ArcTan[Tanh[a + b*x]], x, 8, -(((e + f*x)^2*ArcTan[E^(2*a + 2*b*x)])/(2*f)) + ((e + f*x)^2*ArcTan[Tanh[a + b*x]])/(2*f) + (I*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*f*PolyLog[3, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2) + (I*f*PolyLog[3, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2)}
+{(e + f*x)^0*ArcTan[Tanh[a + b*x]], x, 6, (-x)*ArcTan[E^(2*a + 2*b*x)] + x*ArcTan[Tanh[a + b*x]] + (I*PolyLog[2, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*PolyLog[2, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b)}
+{ArcTan[Tanh[a + b*x]]/(e + f*x)^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTan[Tanh[a + b*x]]/(e + f*x), x]}
+
+
+{x^2*ArcTan[c + d*Tanh[a + b*x]], x, 11, (1/3)*x^3*ArcTan[c + d*Tanh[a + b*x]] + (1/6)*I*x^3*Log[1 + ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)] - (1/6)*I*x^3*Log[1 + ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)] + (I*x^2*PolyLog[2, -(((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d))])/(4*b) - (I*x^2*PolyLog[2, -(((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d))])/(4*b) - (I*x*PolyLog[3, -(((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d))])/(4*b^2) + (I*x*PolyLog[3, -(((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d))])/(4*b^2) + (I*PolyLog[4, -(((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d))])/(8*b^3) - (I*PolyLog[4, -(((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d))])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcTan[c + d*Tanh[a + b*x]], x, 9, (1/2)*x^2*ArcTan[c + d*Tanh[a + b*x]] + (1/4)*I*x^2*Log[1 + ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)] - (1/4)*I*x^2*Log[1 + ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)] + (I*x*PolyLog[2, -(((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d))])/(4*b) - (I*x*PolyLog[2, -(((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d))])/(4*b) - (I*PolyLog[3, -(((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d))])/(8*b^2) + (I*PolyLog[3, -(((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d))])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcTan[c + d*Tanh[a + b*x]], x, 7, x*ArcTan[c + d*Tanh[a + b*x]] + (1/2)*I*x*Log[1 + ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)] - (1/2)*I*x*Log[1 + ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)] + (I*PolyLog[2, -(((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d))])/(4*b) - (I*PolyLog[2, -(((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d))])/(4*b)}
+{ArcTan[c + d*Tanh[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTan[c + d*Tanh[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcTan[c + (I + c)*Tanh[a + b*x]], x, 7, (-(1/12))*I*b*x^4 + (1/3)*x^3*ArcTan[c + (I + c)*Tanh[a + b*x]] + (1/6)*I*x^3*Log[1 + I*c*E^(2*a + 2*b*x)] + (I*x^2*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*x*PolyLog[3, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) + (I*PolyLog[4, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcTan[c + (I + c)*Tanh[a + b*x]], x, 6, (-(1/6))*I*b*x^3 + (1/2)*x^2*ArcTan[c + (I + c)*Tanh[a + b*x]] + (1/4)*I*x^2*Log[1 + I*c*E^(2*a + 2*b*x)] + (I*x*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*PolyLog[3, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcTan[c + (I + c)*Tanh[a + b*x]], x, 5, (-(1/2))*I*b*x^2 + x*ArcTan[c + (I + c)*Tanh[a + b*x]] + (1/2)*I*x*Log[1 + I*c*E^(2*a + 2*b*x)] + (I*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b)}
+{ArcTan[c + (I + c)*Tanh[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTan[c + (I + c)*Tanh[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcTan[c - (I - c)*Tanh[a + b*x]], x, 7, (1/12)*I*b*x^4 + (1/3)*x^3*ArcTan[c - (I - c)*Tanh[a + b*x]] - (1/6)*I*x^3*Log[1 - I*c*E^(2*a + 2*b*x)] - (I*x^2*PolyLog[2, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*x*PolyLog[3, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) - (I*PolyLog[4, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcTan[c - (I - c)*Tanh[a + b*x]], x, 6, (1/6)*I*b*x^3 + (1/2)*x^2*ArcTan[c - (I - c)*Tanh[a + b*x]] - (1/4)*I*x^2*Log[1 - I*c*E^(2*a + 2*b*x)] - (I*x*PolyLog[2, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*PolyLog[3, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcTan[c - (I - c)*Tanh[a + b*x]], x, 5, (1/2)*I*b*x^2 + x*ArcTan[c - (I - c)*Tanh[a + b*x]] - (1/2)*I*x*Log[1 - I*c*E^(2*a + 2*b*x)] - (I*PolyLog[2, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b)}
+{ArcTan[c - (I - c)*Tanh[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTan[c - (I - c)*Tanh[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTan[c+d Coth[a+b x]]*)
+
+
+{(e + f*x)^3*ArcTan[Coth[a + b*x]], x, 12, ((e + f*x)^4*ArcTan[E^(2*a + 2*b*x)])/(4*f) + ((e + f*x)^4*ArcTan[Coth[a + b*x]])/(4*f) - (I*(e + f*x)^3*PolyLog[2, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*(e + f*x)^3*PolyLog[2, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (3*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[3, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2) - (3*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[3, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2) - (3*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[4, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3) + (3*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[4, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3) + (3*I*f^3*PolyLog[5, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(16*b^4) - (3*I*f^3*PolyLog[5, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(16*b^4)}
+{(e + f*x)^2*ArcTan[Coth[a + b*x]], x, 10, ((e + f*x)^3*ArcTan[E^(2*a + 2*b*x)])/(3*f) + ((e + f*x)^3*ArcTan[Coth[a + b*x]])/(3*f) - (I*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*f*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) - (I*f*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) - (I*f^2*PolyLog[4, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3) + (I*f^2*PolyLog[4, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3)}
+{(e + f*x)^1*ArcTan[Coth[a + b*x]], x, 8, ((e + f*x)^2*ArcTan[E^(2*a + 2*b*x)])/(2*f) + ((e + f*x)^2*ArcTan[Coth[a + b*x]])/(2*f) - (I*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*f*PolyLog[3, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2) - (I*f*PolyLog[3, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2)}
+{(e + f*x)^0*ArcTan[Coth[a + b*x]], x, 6, x*ArcTan[E^(2*a + 2*b*x)] + x*ArcTan[Coth[a + b*x]] - (I*PolyLog[2, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*PolyLog[2, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b)}
+{ArcTan[Coth[a + b*x]]/(e + f*x)^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTan[Coth[a + b*x]]/(e + f*x), x]}
+
+
+{x^2*ArcTan[c + d*Coth[a + b*x]], x, 11, (1/3)*x^3*ArcTan[c + d*Coth[a + b*x]] + (1/6)*I*x^3*Log[1 - ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)] - (1/6)*I*x^3*Log[1 - ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)] + (I*x^2*PolyLog[2, ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)])/(4*b) - (I*x^2*PolyLog[2, ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)])/(4*b) - (I*x*PolyLog[3, ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)])/(4*b^2) + (I*x*PolyLog[3, ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)])/(4*b^2) + (I*PolyLog[4, ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)])/(8*b^3) - (I*PolyLog[4, ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcTan[c + d*Coth[a + b*x]], x, 9, (1/2)*x^2*ArcTan[c + d*Coth[a + b*x]] + (1/4)*I*x^2*Log[1 - ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)] - (1/4)*I*x^2*Log[1 - ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)] + (I*x*PolyLog[2, ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)])/(4*b) - (I*x*PolyLog[2, ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)])/(4*b) - (I*PolyLog[3, ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)])/(8*b^2) + (I*PolyLog[3, ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcTan[c + d*Coth[a + b*x]], x, 7, x*ArcTan[c + d*Coth[a + b*x]] + (1/2)*I*x*Log[1 - ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)] - (1/2)*I*x*Log[1 - ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)] + (I*PolyLog[2, ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)])/(4*b) - (I*PolyLog[2, ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)])/(4*b)}
+{ArcTan[c + d*Coth[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTan[c + d*Coth[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcTan[c + (I + c)*Coth[a + b*x]], x, 7, (-(1/12))*I*b*x^4 + (1/3)*x^3*ArcTan[c + (I + c)*Coth[a + b*x]] + (1/6)*I*x^3*Log[1 - I*c*E^(2*a + 2*b*x)] + (I*x^2*PolyLog[2, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*x*PolyLog[3, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) + (I*PolyLog[4, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcTan[c + (I + c)*Coth[a + b*x]], x, 6, (-(1/6))*I*b*x^3 + (1/2)*x^2*ArcTan[c + (I + c)*Coth[a + b*x]] + (1/4)*I*x^2*Log[1 - I*c*E^(2*a + 2*b*x)] + (I*x*PolyLog[2, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*PolyLog[3, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcTan[c + (I + c)*Coth[a + b*x]], x, 5, (-(1/2))*I*b*x^2 + x*ArcTan[c + (I + c)*Coth[a + b*x]] + (1/2)*I*x*Log[1 - I*c*E^(2*a + 2*b*x)] + (I*PolyLog[2, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b)}
+{ArcTan[c + (I + c)*Coth[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTan[c + (I + c)*Coth[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcTan[c - (I - c)*Coth[a + b*x]], x, 7, (1/12)*I*b*x^4 + (1/3)*x^3*ArcTan[c - (I - c)*Coth[a + b*x]] - (1/6)*I*x^3*Log[1 + I*c*E^(2*a + 2*b*x)] - (I*x^2*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*x*PolyLog[3, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) - (I*PolyLog[4, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcTan[c - (I - c)*Coth[a + b*x]], x, 6, (1/6)*I*b*x^3 + (1/2)*x^2*ArcTan[c - (I - c)*Coth[a + b*x]] - (1/4)*I*x^2*Log[1 + I*c*E^(2*a + 2*b*x)] - (I*x*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*PolyLog[3, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcTan[c - (I - c)*Coth[a + b*x]], x, 5, (1/2)*I*b*x^2 + x*ArcTan[c - (I - c)*Coth[a + b*x]] - (1/2)*I*x*Log[1 + I*c*E^(2*a + 2*b*x)] - (I*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b)}
+{ArcTan[c - (I - c)*Coth[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTan[c - (I - c)*Coth[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands involving inverse tangents of exponentials*)
+
+
+{ArcTan[E^x], x, 4, (1/2)*I*PolyLog[2, (-I)*E^x] - (1/2)*I*PolyLog[2, I*E^x]}
+{x*ArcTan[E^x], x, 7, (1/2)*I*x*PolyLog[2, (-I)*E^x] - (1/2)*I*x*PolyLog[2, I*E^x] - (1/2)*I*PolyLog[3, (-I)*E^x] + (1/2)*I*PolyLog[3, I*E^x]}
+{x^2*ArcTan[E^x], x, 9, (1/2)*I*x^2*PolyLog[2, (-I)*E^x] - (1/2)*I*x^2*PolyLog[2, I*E^x] - I*x*PolyLog[3, (-I)*E^x] + I*x*PolyLog[3, I*E^x] + I*PolyLog[4, (-I)*E^x] - I*PolyLog[4, I*E^x]}
+
+
+{ArcTan[E^(a + b*x)], x, 4, (I*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/(2*b) - (I*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/(2*b)}
+{x*ArcTan[E^(a + b*x)], x, 7, (I*x*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/(2*b) - (I*x*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/(2*b) - (I*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/(2*b^2) + (I*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/(2*b^2)}
+{x^2*ArcTan[E^(a + b*x)], x, 9, (I*x^2*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/(2*b) - (I*x^2*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/(2*b) - (I*x*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 + (I*x*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^2 + (I*PolyLog[4, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 - (I*PolyLog[4, I*E^(a + b*x)])/b^3}
+
+
+{ArcTan[a + b*f^(c + d*x)], x, 6, -((ArcTan[a + b*f^(c + d*x)]*Log[2/(1 - I*(a + b*f^(c + d*x)))])/(d*Log[f])) + (ArcTan[a + b*f^(c + d*x)]*Log[(2*b*f^(c + d*x))/((I - a)*(1 - I*(a + b*f^(c + d*x))))])/(d*Log[f]) + (I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*(a + b*f^(c + d*x)))])/(2*d*Log[f]) - (I*PolyLog[2, 1 - (2*b*f^(c + d*x))/((I - a)*(1 - I*(a + b*f^(c + d*x))))])/(2*d*Log[f])}
+{x*ArcTan[a + b*f^(c + d*x)], x, 9, (1/2)*x^2*ArcTan[a + b*f^(c + d*x)] - (1/4)*I*x^2*Log[1 - (I*b*f^(c + d*x))/(1 - I*a)] + (1/4)*I*x^2*Log[1 + (I*b*f^(c + d*x))/(1 + I*a)] - (I*x*PolyLog[2, (I*b*f^(c + d*x))/(1 - I*a)])/(2*d*Log[f]) + (I*x*PolyLog[2, -((I*b*f^(c + d*x))/(1 + I*a))])/(2*d*Log[f]) + (I*PolyLog[3, (I*b*f^(c + d*x))/(1 - I*a)])/(2*d^2*Log[f]^2) - (I*PolyLog[3, -((I*b*f^(c + d*x))/(1 + I*a))])/(2*d^2*Log[f]^2), (1/4)*I*x^2*Log[1 - I*a - I*b*f^(c + d*x)] - (1/4)*I*x^2*Log[1 + I*a + I*b*f^(c + d*x)] + (1/4)*I*x^2*Log[1 - (b*f^(c + d*x))/(I - a)] - (1/4)*I*x^2*Log[1 + (b*f^(c + d*x))/(I + a)] + (I*x*PolyLog[2, (b*f^(c + d*x))/(I - a)])/(2*d*Log[f]) - (I*x*PolyLog[2, -((b*f^(c + d*x))/(I + a))])/(2*d*Log[f]) - (I*PolyLog[3, (b*f^(c + d*x))/(I - a)])/(2*d^2*Log[f]^2) + (I*PolyLog[3, -((b*f^(c + d*x))/(I + a))])/(2*d^2*Log[f]^2)}
+{x^2*ArcTan[a + b*f^(c + d*x)], x, 11, (1/3)*x^3*ArcTan[a + b*f^(c + d*x)] - (1/6)*I*x^3*Log[1 - (I*b*f^(c + d*x))/(1 - I*a)] + (1/6)*I*x^3*Log[1 + (I*b*f^(c + d*x))/(1 + I*a)] - (I*x^2*PolyLog[2, (I*b*f^(c + d*x))/(1 - I*a)])/(2*d*Log[f]) + (I*x^2*PolyLog[2, -((I*b*f^(c + d*x))/(1 + I*a))])/(2*d*Log[f]) + (I*x*PolyLog[3, (I*b*f^(c + d*x))/(1 - I*a)])/(d^2*Log[f]^2) - (I*x*PolyLog[3, -((I*b*f^(c + d*x))/(1 + I*a))])/(d^2*Log[f]^2) - (I*PolyLog[4, (I*b*f^(c + d*x))/(1 - I*a)])/(d^3*Log[f]^3) + (I*PolyLog[4, -((I*b*f^(c + d*x))/(1 + I*a))])/(d^3*Log[f]^3), (1/6)*I*x^3*Log[1 - I*a - I*b*f^(c + d*x)] - (1/6)*I*x^3*Log[1 + I*a + I*b*f^(c + d*x)] + (1/6)*I*x^3*Log[1 - (b*f^(c + d*x))/(I - a)] - (1/6)*I*x^3*Log[1 + (b*f^(c + d*x))/(I + a)] + (I*x^2*PolyLog[2, (b*f^(c + d*x))/(I - a)])/(2*d*Log[f]) - (I*x^2*PolyLog[2, -((b*f^(c + d*x))/(I + a))])/(2*d*Log[f]) - (I*x*PolyLog[3, (b*f^(c + d*x))/(I - a)])/(d^2*Log[f]^2) + (I*x*PolyLog[3, -((b*f^(c + d*x))/(I + a))])/(d^2*Log[f]^2) + (I*PolyLog[4, (b*f^(c + d*x))/(I - a)])/(d^3*Log[f]^3) - (I*PolyLog[4, -((b*f^(c + d*x))/(I + a))])/(d^3*Log[f]^3)}
+
+
+{ArcTan[E^x]/E^x, x, 5, x - ArcTan[E^x]/E^x - (1/2)*Log[1 + E^(2*x)]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Miscellaneous integrands involving inverse tangents*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Problems from Calculus textbooks*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Edwards and Penney Calculus*)
+
+
+{ArcTan[x]/(-1 + x)^3, x, 5, 1/(4*(1 - x)) - ArcTan[x]/(2*(1 - x)^2) - (1/4)*Log[1 - x] + (1/8)*Log[1 + x^2]}
+{ArcTan[1 + 2*x]/(4 + 3*x)^3, x, 9, -(1/(34*(4 + 3*x))) + (8/867)*ArcTan[1 + 2*x] - ArcTan[1 + 2*x]/(6*(4 + 3*x)^2) + (5/289)*Log[4 + 3*x] - (5/578)*Log[1 + 2*x + 2*x^2]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Thomas Calculus, 8th Edition*)
+
+
+{ArcTan[Sqrt[1 + x]], x, 4, -Sqrt[1 + x] + 2*ArcTan[Sqrt[1 + x]] + x*ArcTan[Sqrt[1 + x]]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Miscellaneous integrands involving inverse tangents*)
+
+
+{1/((1 + x^2)*(2 + ArcTan[x])), x, 1, Log[2 + ArcTan[x]]}
+{1/((a + a*x^2)*(b - 2*b*ArcTan[x])), x, 1, -(Log[1 - 2*ArcTan[x]]/(2*a*b))}
+
+
+{(x + x^3 + (1 + x)^2*ArcTan[x])/((1 + x)^2*(1 + x^2)), x, 5, 1/(1 + x) + ArcTan[x]^2/2 + Log[1 + x]}
+
+
+{x^3*ArcTan[Sqrt[x + 1] - Sqrt[x]], x, 9, -(Sqrt[x]/8) + x^(3/2)/24 - x^(5/2)/40 + x^(7/2)/56 + (Pi*x^4)/16 + ArcTan[Sqrt[x]]/8 - (1/8)*x^4*ArcTan[Sqrt[x]]}
+{x^2*ArcTan[Sqrt[x + 1] - Sqrt[x]], x, 8, Sqrt[x]/6 - x^(3/2)/18 + x^(5/2)/30 + (Pi*x^3)/12 - ArcTan[Sqrt[x]]/6 - (1/6)*x^3*ArcTan[Sqrt[x]]}
+{x^1*ArcTan[Sqrt[x + 1] - Sqrt[x]], x, 7, -(Sqrt[x]/4) + x^(3/2)/12 + (Pi*x^2)/8 + ArcTan[Sqrt[x]]/4 - (1/4)*x^2*ArcTan[Sqrt[x]]}
+{x^0*ArcTan[Sqrt[x + 1] - Sqrt[x]], x, 6, Sqrt[x]/2 + (Pi*x)/4 - ArcTan[Sqrt[x]]/2 - (1/2)*x*ArcTan[Sqrt[x]]}
+{ArcTan[Sqrt[x + 1] - Sqrt[x]]/x^1, x, 6, (1/4)*Pi*Log[x] - (1/2)*I*PolyLog[2, (-I)*Sqrt[x]] + (1/2)*I*PolyLog[2, I*Sqrt[x]]}
+{ArcTan[Sqrt[x + 1] - Sqrt[x]]/x^2, x, 6, -(Pi/(4*x)) + 1/(2*Sqrt[x]) + ArcTan[Sqrt[x]]/2 + ArcTan[Sqrt[x]]/(2*x)}
+{ArcTan[Sqrt[x + 1] - Sqrt[x]]/x^3, x, 7, -(Pi/(8*x^2)) + 1/(12*x^(3/2)) - 1/(4*Sqrt[x]) - ArcTan[Sqrt[x]]/4 + ArcTan[Sqrt[x]]/(4*x^2)}
+{ArcTan[Sqrt[x + 1] - Sqrt[x]]/x^4, x, 8, -(Pi/(12*x^3)) + 1/(30*x^(5/2)) - 1/(18*x^(3/2)) + 1/(6*Sqrt[x]) + ArcTan[Sqrt[x]]/6 + ArcTan[Sqrt[x]]/(6*x^3)}
+
+
+{ArcTan[c*x/Sqrt[a - c^2*x^2]]^m/Sqrt[d - c^2*d/a*x^2], x, 2, (Sqrt[a - c^2*x^2]*ArcTan[(c*x)/Sqrt[a - c^2*x^2]]^(1 + m))/(c*(1 + m)*Sqrt[d - (c^2*d*x^2)/a])}
+
+{ArcTan[c*x/Sqrt[a - c^2*x^2]]^2/Sqrt[d - c^2*d/a*x^2], x, 2, (Sqrt[a - c^2*x^2]*ArcTan[(c*x)/Sqrt[a - c^2*x^2]]^3)/(3*c*Sqrt[d - (c^2*d*x^2)/a])}
+{ArcTan[c*x/Sqrt[a - c^2*x^2]]^1/Sqrt[d - c^2*d/a*x^2], x, 2, (Sqrt[a - c^2*x^2]*ArcTan[(c*x)/Sqrt[a - c^2*x^2]]^2)/(2*c*Sqrt[d - (c^2*d*x^2)/a])}
+{1/ArcTan[c*x/Sqrt[a - c^2*x^2]]^1/Sqrt[d - c^2*d/a*x^2], x, 2, (Sqrt[a - c^2*x^2]*Log[ArcTan[(c*x)/Sqrt[a - c^2*x^2]]])/(c*Sqrt[d - (c^2*d*x^2)/a])}
+{1/ArcTan[c*x/Sqrt[a - c^2*x^2]]^2/Sqrt[d - c^2*d/a*x^2], x, 2, -(Sqrt[a - c^2*x^2]/(c*Sqrt[d - (c^2*d*x^2)/a]*ArcTan[(c*x)/Sqrt[a - c^2*x^2]]))}
+{1/ArcTan[c*x/Sqrt[a - c^2*x^2]]^3/Sqrt[d - c^2*d/a*x^2], x, 2, -(Sqrt[a - c^2*x^2]/(2*c*Sqrt[d - (c^2*d*x^2)/a]*ArcTan[(c*x)/Sqrt[a - c^2*x^2]]^2))}
+
+
+{ArcTan[e*x/Sqrt[-a*e^2/b - e^2*x^2]]^m/Sqrt[a + b*x^2], x, 2, (Sqrt[-((a*e^2)/b) - e^2*x^2]*ArcTan[(e*x)/Sqrt[-((a*e^2)/b) - e^2*x^2]]^(1 + m))/(e*(1 + m)*Sqrt[a + b*x^2])}
+
+{ArcTan[e*x/Sqrt[-a*e^2/b - e^2*x^2]]^2/Sqrt[a + b*x^2], x, 2, (Sqrt[-((a*e^2)/b) - e^2*x^2]*ArcTan[(e*x)/Sqrt[-((a*e^2)/b) - e^2*x^2]]^3)/(3*e*Sqrt[a + b*x^2])}
+{ArcTan[e*x/Sqrt[-a*e^2/b - e^2*x^2]]^1/Sqrt[a + b*x^2], x, 2, (Sqrt[-((a*e^2)/b) - e^2*x^2]*ArcTan[(e*x)/Sqrt[-((a*e^2)/b) - e^2*x^2]]^2)/(2*e*Sqrt[a + b*x^2])}
+{1/ArcTan[e*x/Sqrt[-a*e^2/b - e^2*x^2]]^1/Sqrt[a + b*x^2], x, 2, (Sqrt[-((a*e^2)/b) - e^2*x^2]*Log[ArcTan[(e*x)/Sqrt[-((a*e^2)/b) - e^2*x^2]]])/(e*Sqrt[a + b*x^2])}
+{1/ArcTan[e*x/Sqrt[-a*e^2/b - e^2*x^2]]^2/Sqrt[a + b*x^2], x, 2, -(Sqrt[-((a*e^2)/b) - e^2*x^2]/(e*Sqrt[a + b*x^2]*ArcTan[(e*x)/Sqrt[-((a*e^2)/b) - e^2*x^2]]))}
+{1/ArcTan[e*x/Sqrt[-a*e^2/b - e^2*x^2]]^3/Sqrt[a + b*x^2], x, 2, -(Sqrt[-((a*e^2)/b) - e^2*x^2]/(2*e*Sqrt[a + b*x^2]*ArcTan[(e*x)/Sqrt[-((a*e^2)/b) - e^2*x^2]]^2))}
+
+
+{ArcTan[c*(a + b*x)]*Log[d*(a + b*x)]/(a + b*x), x, 9, (I*Log[d*(a + b*x)]*PolyLog[2, (-I)*c*(a + b*x)])/(2*b) - (I*Log[d*(a + b*x)]*PolyLog[2, I*c*(a + b*x)])/(2*b) - (I*PolyLog[3, (-I)*c*(a + b*x)])/(2*b) + (I*PolyLog[3, I*c*(a + b*x)])/(2*b)}
+
+
+{E^(c*(a + b*x))*ArcTan[Sinh[a*c + b*c*x]], x, 5, (E^(a*c + b*c*x)*ArcTan[Sinh[c*(a + b*x)]])/(b*c) - Log[1 + E^(2*c*(a + b*x))]/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcTan[Cosh[a*c + b*c*x]], x, 8, (E^(a*c + b*c*x)*ArcTan[Cosh[c*(a + b*x)]])/(b*c) - ((1 - Sqrt[2])*Log[3 - 2*Sqrt[2] + E^(2*c*(a + b*x))])/(2*b*c) - ((1 + Sqrt[2])*Log[3 + 2*Sqrt[2] + E^(2*c*(a + b*x))])/(2*b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcTan[Tanh[a*c + b*c*x]], x, 13, ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^(a*c + b*c*x)]/(Sqrt[2]*b*c) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^(a*c + b*c*x)]/(Sqrt[2]*b*c) + (E^(a*c + b*c*x)*ArcTan[Tanh[c*(a + b*x)]])/(b*c) - Log[1 + E^(2*c*(a + b*x)) - Sqrt[2]*E^(a*c + b*c*x)]/(2*Sqrt[2]*b*c) + Log[1 + E^(2*c*(a + b*x)) + Sqrt[2]*E^(a*c + b*c*x)]/(2*Sqrt[2]*b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcTan[Coth[a*c + b*c*x]], x, 13, -(ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^(a*c + b*c*x)]/(Sqrt[2]*b*c)) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^(a*c + b*c*x)]/(Sqrt[2]*b*c) + (E^(a*c + b*c*x)*ArcTan[Coth[c*(a + b*x)]])/(b*c) + Log[1 + E^(2*c*(a + b*x)) - Sqrt[2]*E^(a*c + b*c*x)]/(2*Sqrt[2]*b*c) - Log[1 + E^(2*c*(a + b*x)) + Sqrt[2]*E^(a*c + b*c*x)]/(2*Sqrt[2]*b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcTan[Sech[a*c + b*c*x]], x, 8, (E^(a*c + b*c*x)*ArcTan[Sech[c*(a + b*x)]])/(b*c) + ((1 - Sqrt[2])*Log[3 - 2*Sqrt[2] + E^(2*c*(a + b*x))])/(2*b*c) + ((1 + Sqrt[2])*Log[3 + 2*Sqrt[2] + E^(2*c*(a + b*x))])/(2*b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcTan[Csch[a*c + b*c*x]], x, 5, (E^(a*c + b*c*x)*ArcTan[Csch[c*(a + b*x)]])/(b*c) + Log[1 + E^(2*c*(a + b*x))]/(b*c)}
+
+
+{((a + b*ArcTan[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^m]))/x, x, 13, a*d*Log[x] + (a*e*Log[f*x^m]^2)/(2*m) + (I*b*d*PolyLog[2, (-I)*c*x^n])/(2*n) + (I*b*e*Log[f*x^m]*PolyLog[2, (-I)*c*x^n])/(2*n) - (I*b*d*PolyLog[2, I*c*x^n])/(2*n) - (I*b*e*Log[f*x^m]*PolyLog[2, I*c*x^n])/(2*n) - (I*b*e*m*PolyLog[3, (-I)*c*x^n])/(2*n^2) + (I*b*e*m*PolyLog[3, I*c*x^n])/(2*n^2)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.4 Inverse cotangent/5.4.1 Inverse cotangent functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.4 Inverse cotangent/5.4.1 Inverse cotangent functions.m
new file mode 100644
index 00000000..4af89cdd
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.4 Inverse cotangent/5.4.1 Inverse cotangent functions.m	
@@ -0,0 +1,529 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands involving inverse cotangents*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u ArcCot[a x^n]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCot[a x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^5*ArcCot[a*x], x, 4, x/(6*a^5) - x^3/(18*a^3) + x^5/(30*a) + (1/6)*x^6*ArcCot[a*x] - ArcTan[a*x]/(6*a^6)}
+{x^4*ArcCot[a*x], x, 4, -(x^2/(10*a^3)) + x^4/(20*a) + (1/5)*x^5*ArcCot[a*x] + Log[1 + a^2*x^2]/(10*a^5)}
+{x^3*ArcCot[a*x], x, 4, -(x/(4*a^3)) + x^3/(12*a) + (1/4)*x^4*ArcCot[a*x] + ArcTan[a*x]/(4*a^4)}
+{x^2*ArcCot[a*x], x, 4, x^2/(6*a) + (1/3)*x^3*ArcCot[a*x] - Log[1 + a^2*x^2]/(6*a^3)}
+{x^1*ArcCot[a*x], x, 3, x/(2*a) + (1/2)*x^2*ArcCot[a*x] - ArcTan[a*x]/(2*a^2)}
+{x^0*ArcCot[a*x], x, 2, x*ArcCot[a*x] + Log[1 + a^2*x^2]/(2*a)}
+{ArcCot[a*x]/x^1, x, 3, (-(1/2))*I*PolyLog[2, -(I/(a*x))] + (1/2)*I*PolyLog[2, I/(a*x)]}
+{ArcCot[a*x]/x^2, x, 5, -(ArcCot[a*x]/x) - a*Log[x] + (1/2)*a*Log[1 + a^2*x^2]}
+{ArcCot[a*x]/x^3, x, 3, a/(2*x) - ArcCot[a*x]/(2*x^2) + (1/2)*a^2*ArcTan[a*x]}
+{ArcCot[a*x]/x^4, x, 4, a/(6*x^2) - ArcCot[a*x]/(3*x^3) + (1/3)*a^3*Log[x] - (1/6)*a^3*Log[1 + a^2*x^2]}
+{ArcCot[a*x]/x^5, x, 4, a/(12*x^3) - a^3/(4*x) - ArcCot[a*x]/(4*x^4) - (1/4)*a^4*ArcTan[a*x]}
+
+
+{x^5*ArcCot[a*x]^2, x, 15, -((4*x^2)/(45*a^4)) + x^4/(60*a^2) + (x*ArcCot[a*x])/(3*a^5) - (x^3*ArcCot[a*x])/(9*a^3) + (x^5*ArcCot[a*x])/(15*a) + ArcCot[a*x]^2/(6*a^6) + (1/6)*x^6*ArcCot[a*x]^2 + (23*Log[1 + a^2*x^2])/(90*a^6)}
+{x^4*ArcCot[a*x]^2, x, 14, -((3*x)/(10*a^4)) + x^3/(30*a^2) - (x^2*ArcCot[a*x])/(5*a^3) + (x^4*ArcCot[a*x])/(10*a) + (I*ArcCot[a*x]^2)/(5*a^5) + (1/5)*x^5*ArcCot[a*x]^2 + (3*ArcTan[a*x])/(10*a^5) - (2*ArcCot[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(5*a^5) + (I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(5*a^5)}
+{x^3*ArcCot[a*x]^2, x, 10, x^2/(12*a^2) - (x*ArcCot[a*x])/(2*a^3) + (x^3*ArcCot[a*x])/(6*a) - ArcCot[a*x]^2/(4*a^4) + (1/4)*x^4*ArcCot[a*x]^2 - Log[1 + a^2*x^2]/(3*a^4)}
+{x^2*ArcCot[a*x]^2, x, 9, x/(3*a^2) + (x^2*ArcCot[a*x])/(3*a) - (I*ArcCot[a*x]^2)/(3*a^3) + (1/3)*x^3*ArcCot[a*x]^2 - ArcTan[a*x]/(3*a^3) + (2*ArcCot[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(3*a^3) - (I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(3*a^3)}
+{x^1*ArcCot[a*x]^2, x, 5, (x*ArcCot[a*x])/a + ArcCot[a*x]^2/(2*a^2) + (1/2)*x^2*ArcCot[a*x]^2 + Log[1 + a^2*x^2]/(2*a^2)}
+{x^0*ArcCot[a*x]^2, x, 5, (I*ArcCot[a*x]^2)/a + x*ArcCot[a*x]^2 - (2*ArcCot[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/a + (I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a}
+{ArcCot[a*x]^2/x^1, x, 6, 2*ArcCot[a*x]^2*ArcCoth[1 - 2/(1 + I*a*x)] - I*ArcCot[a*x]*PolyLog[2, 1 - (2*I)/(I + a*x)] + I*ArcCot[a*x]*PolyLog[2, 1 - (2*a*x)/(I + a*x)] - (1/2)*PolyLog[3, 1 - (2*I)/(I + a*x)] + (1/2)*PolyLog[3, 1 - (2*a*x)/(I + a*x)]}
+{ArcCot[a*x]^2/x^2, x, 4, (-I)*a*ArcCot[a*x]^2 - ArcCot[a*x]^2/x - 2*a*ArcCot[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)] - I*a*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)]}
+{ArcCot[a*x]^2/x^3, x, 8, (a*ArcCot[a*x])/x - (1/2)*a^2*ArcCot[a*x]^2 - ArcCot[a*x]^2/(2*x^2) + a^2*Log[x] - (1/2)*a^2*Log[1 + a^2*x^2]}
+{ArcCot[a*x]^2/x^4, x, 8, -(a^2/(3*x)) + (a*ArcCot[a*x])/(3*x^2) + (1/3)*I*a^3*ArcCot[a*x]^2 - ArcCot[a*x]^2/(3*x^3) - (1/3)*a^3*ArcTan[a*x] + (2/3)*a^3*ArcCot[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)] + (1/3)*I*a^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)]}
+{ArcCot[a*x]^2/x^5, x, 13, -(a^2/(12*x^2)) + (a*ArcCot[a*x])/(6*x^3) - (a^3*ArcCot[a*x])/(2*x) + (1/4)*a^4*ArcCot[a*x]^2 - ArcCot[a*x]^2/(4*x^4) - (2/3)*a^4*Log[x] + (1/3)*a^4*Log[1 + a^2*x^2]}
+
+
+{x^5*ArcCot[a*x]^3, x, 33, -((19*x)/(60*a^5)) + x^3/(60*a^3) - (4*x^2*ArcCot[a*x])/(15*a^4) + (x^4*ArcCot[a*x])/(20*a^2) + (23*I*ArcCot[a*x]^2)/(30*a^6) + (x*ArcCot[a*x]^2)/(2*a^5) - (x^3*ArcCot[a*x]^2)/(6*a^3) + (x^5*ArcCot[a*x]^2)/(10*a) + ArcCot[a*x]^3/(6*a^6) + (1/6)*x^6*ArcCot[a*x]^3 + (19*ArcTan[a*x])/(60*a^6) - (23*ArcCot[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/(15*a^6) + (23*I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(30*a^6)}
+{x^4*ArcCot[a*x]^3, x, 22, x^2/(20*a^3) - (9*x*ArcCot[a*x])/(10*a^4) + (x^3*ArcCot[a*x])/(10*a^2) - (9*ArcCot[a*x]^2)/(20*a^5) - (3*x^2*ArcCot[a*x]^2)/(10*a^3) + (3*x^4*ArcCot[a*x]^2)/(20*a) + (I*ArcCot[a*x]^3)/(5*a^5) + (1/5)*x^5*ArcCot[a*x]^3 - (3*ArcCot[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)])/(5*a^5) - Log[1 + a^2*x^2]/(2*a^5) + (3*I*ArcCot[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(5*a^5) - (3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(10*a^5)}
+{x^3*ArcCot[a*x]^3, x, 18, x/(4*a^3) + (x^2*ArcCot[a*x])/(4*a^2) - (I*ArcCot[a*x]^2)/a^4 - (3*x*ArcCot[a*x]^2)/(4*a^3) + (x^3*ArcCot[a*x]^2)/(4*a) - ArcCot[a*x]^3/(4*a^4) + (1/4)*x^4*ArcCot[a*x]^3 - ArcTan[a*x]/(4*a^4) + (2*ArcCot[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/a^4 - (I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a^4}
+{x^2*ArcCot[a*x]^3, x, 11, (x*ArcCot[a*x])/a^2 + ArcCot[a*x]^2/(2*a^3) + (x^2*ArcCot[a*x]^2)/(2*a) - (I*ArcCot[a*x]^3)/(3*a^3) + (1/3)*x^3*ArcCot[a*x]^3 + (ArcCot[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)])/a^3 + Log[1 + a^2*x^2]/(2*a^3) - (I*ArcCot[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a^3 + PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)]/(2*a^3)}
+{x^1*ArcCot[a*x]^3, x, 8, (3*I*ArcCot[a*x]^2)/(2*a^2) + (3*x*ArcCot[a*x]^2)/(2*a) + ArcCot[a*x]^3/(2*a^2) + (1/2)*x^2*ArcCot[a*x]^3 - (3*ArcCot[a*x]*Log[2/(1 + I*a*x)])/a^2 + (3*I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(2*a^2)}
+{x^0*ArcCot[a*x]^3, x, 5, (I*ArcCot[a*x]^3)/a + x*ArcCot[a*x]^3 - (3*ArcCot[a*x]^2*Log[2/(1 + I*a*x)])/a + (3*I*ArcCot[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/a - (3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*a*x)])/(2*a)}
+{ArcCot[a*x]^3/x^1, x, 8, 2*ArcCot[a*x]^3*ArcCoth[1 - 2/(1 + I*a*x)] - (3/2)*I*ArcCot[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - (2*I)/(I + a*x)] + (3/2)*I*ArcCot[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - (2*a*x)/(I + a*x)] - (3/2)*ArcCot[a*x]*PolyLog[3, 1 - (2*I)/(I + a*x)] + (3/2)*ArcCot[a*x]*PolyLog[3, 1 - (2*a*x)/(I + a*x)] + (3/4)*I*PolyLog[4, 1 - (2*I)/(I + a*x)] - (3/4)*I*PolyLog[4, 1 - (2*a*x)/(I + a*x)]}
+{ArcCot[a*x]^3/x^2, x, 5, (-I)*a*ArcCot[a*x]^3 - ArcCot[a*x]^3/x - 3*a*ArcCot[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)] - 3*I*a*ArcCot[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)] - (3/2)*a*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)]}
+{ArcCot[a*x]^3/x^3, x, 7, (3/2)*I*a^2*ArcCot[a*x]^2 + (3*a*ArcCot[a*x]^2)/(2*x) - (1/2)*a^2*ArcCot[a*x]^3 - ArcCot[a*x]^3/(2*x^2) + 3*a^2*ArcCot[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)] + (3/2)*I*a^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)]}
+{ArcCot[a*x]^3/x^4, x, 14, -((a^2*ArcCot[a*x])/x) + (1/2)*a^3*ArcCot[a*x]^2 + (a*ArcCot[a*x]^2)/(2*x^2) + (1/3)*I*a^3*ArcCot[a*x]^3 - ArcCot[a*x]^3/(3*x^3) - a^3*Log[x] + (1/2)*a^3*Log[1 + a^2*x^2] + a^3*ArcCot[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)] + I*a^3*ArcCot[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)] + (1/2)*a^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - I*a*x)]}
+{ArcCot[a*x]^3/x^5, x, 16, a^3/(4*x) - (a^2*ArcCot[a*x])/(4*x^2) - I*a^4*ArcCot[a*x]^2 + (a*ArcCot[a*x]^2)/(4*x^3) - (3*a^3*ArcCot[a*x]^2)/(4*x) + (1/4)*a^4*ArcCot[a*x]^3 - ArcCot[a*x]^3/(4*x^4) + (1/4)*a^4*ArcTan[a*x] - 2*a^4*ArcCot[a*x]*Log[2 - 2/(1 - I*a*x)] - I*a^4*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*a*x)]}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCot[a x]^n with m symbolic*)
+
+
+{x^m*ArcCot[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[x^m*ArcCot[a*x]^3, x]}
+{x^m*ArcCot[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[x^m*ArcCot[a*x]^2, x]}
+{x^m*ArcCot[a*x], x, 2, (x^(1 + m)*ArcCot[a*x])/(1 + m) + (a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(2 + 3*m + m^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCot[a x]^n / (c+d x^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^4*ArcCot[x]/(1 + x^2), x, 9, x^2/6 - x*ArcCot[x] + (1/3)*x^3*ArcCot[x] - ArcCot[x]^2/2 - (2/3)*Log[1 + x^2]}
+{x^3*ArcCot[x]/(1 + x^2), x, 8, x/2 + (1/2)*x^2*ArcCot[x] - (1/2)*I*ArcCot[x]^2 - ArcTan[x]/2 + ArcCot[x]*Log[2/(1 + I*x)] - (1/2)*I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*x)]}
+{x^2*ArcCot[x]/(1 + x^2), x, 4, x*ArcCot[x] + ArcCot[x]^2/2 + (1/2)*Log[1 + x^2]}
+{x^1*ArcCot[x]/(1 + x^2), x, 4, (1/2)*I*ArcCot[x]^2 - ArcCot[x]*Log[2/(1 + I*x)] + (1/2)*I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*x)]}
+{x^0*ArcCot[x]/(1 + x^2), x, 1, (-(1/2))*ArcCot[x]^2}
+{ArcCot[x]/(x^1*(1 + x^2)), x, 3, (1/2)*I*ArcCot[x]^2 + ArcCot[x]*Log[2 - 2/(1 - I*x)] + (1/2)*I*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*x)]}
+{ArcCot[x]/(x^2*(1 + x^2)), x, 7, -(ArcCot[x]/x) + ArcCot[x]^2/2 - Log[x] + (1/2)*Log[1 + x^2]}
+{ArcCot[x]/(x^3*(1 + x^2)), x, 7, 1/(2*x) - ArcCot[x]/(2*x^2) - (1/2)*I*ArcCot[x]^2 + ArcTan[x]/2 - ArcCot[x]*Log[2 - 2/(1 - I*x)] - (1/2)*I*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - I*x)]}
+{ArcCot[x]/(x^4*(1 + x^2)), x, 12, 1/(6*x^2) - ArcCot[x]/(3*x^3) + ArcCot[x]/x - ArcCot[x]^2/2 + (4*Log[x])/3 - (2/3)*Log[1 + x^2]}
+
+
+{x^2*ArcCot[c*x]/(1 + x^2), x, 28, x*ArcCot[c*x] - (1/2)*I*ArcTan[x]*Log[1 - I/(c*x)] + (1/2)*I*ArcTan[x]*Log[1 + I/(c*x)] + (1/2)*I*ArcTan[x]*Log[-((2*I*(I - c*x))/((1 - c)*(1 - I*x)))] - (1/2)*I*ArcTan[x]*Log[-((2*I*(I + c*x))/((1 + c)*(1 - I*x)))] + Log[1 + c^2*x^2]/(2*c) + (1/4)*PolyLog[2, 1 + (2*I*(I - c*x))/((1 - c)*(1 - I*x))] - (1/4)*PolyLog[2, 1 + (2*I*(I + c*x))/((1 + c)*(1 - I*x))]}
+{x^1*ArcCot[c*x]/(1 + x^2), x, 10, (-ArcCot[c*x])*Log[2/(1 - I*c*x)] + (1/2)*ArcCot[c*x]*Log[(2*I*c*(I - x))/((1 - c)*(1 - I*c*x))] + (1/2)*ArcCot[c*x]*Log[-((2*I*c*(I + x))/((1 + c)*(1 - I*c*x)))] - (1/2)*I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)] + (1/4)*I*PolyLog[2, 1 - (2*I*c*(I - x))/((1 - c)*(1 - I*c*x))] + (1/4)*I*PolyLog[2, 1 + (2*I*c*(I + x))/((1 + c)*(1 - I*c*x))]}
+{x^0*ArcCot[c*x]/(1 + x^2), x, 25, (1/2)*I*ArcTan[x]*Log[1 - I/(c*x)] - (1/2)*I*ArcTan[x]*Log[1 + I/(c*x)] - (1/2)*I*ArcTan[x]*Log[-((2*I*(I - c*x))/((1 - c)*(1 - I*x)))] + (1/2)*I*ArcTan[x]*Log[-((2*I*(I + c*x))/((1 + c)*(1 - I*x)))] - (1/4)*PolyLog[2, 1 + (2*I*(I - c*x))/((1 - c)*(1 - I*x))] + (1/4)*PolyLog[2, 1 + (2*I*(I + c*x))/((1 + c)*(1 - I*x))]}
+{ArcCot[c*x]/(x^1*(1 + x^2)), x, 15, ArcCot[c*x]*Log[2/(1 - I*c*x)] - (1/2)*ArcCot[c*x]*Log[(2*I*c*(I - x))/((1 - c)*(1 - I*c*x))] - (1/2)*ArcCot[c*x]*Log[-((2*I*c*(I + x))/((1 + c)*(1 - I*c*x)))] - (1/2)*I*PolyLog[2, -(I/(c*x))] + (1/2)*I*PolyLog[2, I/(c*x)] + (1/2)*I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)] - (1/4)*I*PolyLog[2, 1 - (2*I*c*(I - x))/((1 - c)*(1 - I*c*x))] - (1/4)*I*PolyLog[2, 1 + (2*I*c*(I + x))/((1 + c)*(1 - I*c*x))]}
+{ArcCot[c*x]/(x^2*(1 + x^2)), x, 31, -(ArcCot[c*x]/x) - (1/2)*I*ArcTan[x]*Log[1 - I/(c*x)] + (1/2)*I*ArcTan[x]*Log[1 + I/(c*x)] - c*Log[x] + (1/2)*I*ArcTan[x]*Log[-((2*I*(I - c*x))/((1 - c)*(1 - I*x)))] - (1/2)*I*ArcTan[x]*Log[-((2*I*(I + c*x))/((1 + c)*(1 - I*x)))] + (1/2)*c*Log[1 + c^2*x^2] + (1/4)*PolyLog[2, 1 + (2*I*(I - c*x))/((1 - c)*(1 - I*x))] - (1/4)*PolyLog[2, 1 + (2*I*(I + c*x))/((1 + c)*(1 - I*x))]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{1/((1 + x^2)*ArcCot[x]), x, 1, -Log[ArcCot[x]]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n symbolic*)
+
+
+{ArcCot[x]^n/(1 + x^2), x, 1, -(ArcCot[x]^(1 + n)/(1 + n))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form ArcCot[a x] (c+d x^2)^p*)
+
+
+{ArcCot[a*x]*(c + d*x^2)^4, x, 4, (d*(420*a^6*c^3 - 378*a^4*c^2*d + 180*a^2*c*d^2 - 35*d^3)*x^2)/(630*a^7) + (d^2*(378*a^4*c^2 - 180*a^2*c*d + 35*d^2)*x^4)/(1260*a^5) + ((36*a^2*c - 7*d)*d^3*x^6)/(378*a^3) + (d^4*x^8)/(72*a) + c^4*x*ArcCot[a*x] + (4/3)*c^3*d*x^3*ArcCot[a*x] + (6/5)*c^2*d^2*x^5*ArcCot[a*x] + (4/7)*c*d^3*x^7*ArcCot[a*x] + (1/9)*d^4*x^9*ArcCot[a*x] + ((315*a^8*c^4 - 420*a^6*c^3*d + 378*a^4*c^2*d^2 - 180*a^2*c*d^3 + 35*d^4)*Log[1 + a^2*x^2])/(630*a^9)}
+{ArcCot[a*x]*(c + d*x^2)^3, x, 4, (d*(35*a^4*c^2 - 21*a^2*c*d + 5*d^2)*x^2)/(70*a^5) + ((21*a^2*c - 5*d)*d^2*x^4)/(140*a^3) + (d^3*x^6)/(42*a) + c^3*x*ArcCot[a*x] + c^2*d*x^3*ArcCot[a*x] + (3/5)*c*d^2*x^5*ArcCot[a*x] + (1/7)*d^3*x^7*ArcCot[a*x] + ((35*a^6*c^3 - 35*a^4*c^2*d + 21*a^2*c*d^2 - 5*d^3)*Log[1 + a^2*x^2])/(70*a^7)}
+{ArcCot[a*x]*(c + d*x^2)^2, x, 5, ((10*a^2*c - 3*d)*d*x^2)/(30*a^3) + (d^2*x^4)/(20*a) + c^2*x*ArcCot[a*x] + (2/3)*c*d*x^3*ArcCot[a*x] + (1/5)*d^2*x^5*ArcCot[a*x] + ((15*a^4*c^2 - 10*a^2*c*d + 3*d^2)*Log[1 + a^2*x^2])/(30*a^5)}
+{ArcCot[a*x]*(c + d*x^2)^1, x, 5, (d*x^2)/(6*a) + c*x*ArcCot[a*x] + (1/3)*d*x^3*ArcCot[a*x] + ((3*a^2*c - d)*Log[1 + a^2*x^2])/(6*a^3)}
+{ArcCot[a*x]/(c + d*x^2)^1, x, 27, (I*ArcTan[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]]*Log[1 - I/(a*x)])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[d]) - (I*ArcTan[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]]*Log[1 + I/(a*x)])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[d]) - (I*ArcTan[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]]*Log[(2*I*Sqrt[c]*Sqrt[d]*(I - a*x))/((a*Sqrt[c] - Sqrt[d])*(Sqrt[c] - I*Sqrt[d]*x))])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[d]) + (I*ArcTan[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]]*Log[-((2*I*Sqrt[c]*Sqrt[d]*(I + a*x))/((a*Sqrt[c] + Sqrt[d])*(Sqrt[c] - I*Sqrt[d]*x)))])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[d]) - PolyLog[2, 1 - (2*I*Sqrt[c]*Sqrt[d]*(I - a*x))/((a*Sqrt[c] - Sqrt[d])*(Sqrt[c] - I*Sqrt[d]*x))]/(4*Sqrt[c]*Sqrt[d]) + PolyLog[2, 1 + (2*I*Sqrt[c]*Sqrt[d]*(I + a*x))/((a*Sqrt[c] + Sqrt[d])*(Sqrt[c] - I*Sqrt[d]*x))]/(4*Sqrt[c]*Sqrt[d])}
+{ArcCot[a*x]/(c + d*x^2)^2, x, 24, (x*ArcCot[a*x])/(2*c*(c + d*x^2)) + (ArcCot[a*x]*ArcTan[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(2*c^(3/2)*Sqrt[d]) - (I*a*Log[(Sqrt[d]*(1 - Sqrt[-a^2]*x))/(I*Sqrt[-a^2]*Sqrt[c] + Sqrt[d])]*Log[1 - (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(8*Sqrt[-a^2]*c^(3/2)*Sqrt[d]) + (I*a*Log[-((Sqrt[d]*(1 + Sqrt[-a^2]*x))/(I*Sqrt[-a^2]*Sqrt[c] - Sqrt[d]))]*Log[1 - (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(8*Sqrt[-a^2]*c^(3/2)*Sqrt[d]) + (I*a*Log[-((Sqrt[d]*(1 - Sqrt[-a^2]*x))/(I*Sqrt[-a^2]*Sqrt[c] - Sqrt[d]))]*Log[1 + (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(8*Sqrt[-a^2]*c^(3/2)*Sqrt[d]) - (I*a*Log[(Sqrt[d]*(1 + Sqrt[-a^2]*x))/(I*Sqrt[-a^2]*Sqrt[c] + Sqrt[d])]*Log[1 + (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(8*Sqrt[-a^2]*c^(3/2)*Sqrt[d]) + (a*Log[1 + a^2*x^2])/(4*c*(a^2*c - d)) - (a*Log[c + d*x^2])/(4*c*(a^2*c - d)) - (I*a*PolyLog[2, (Sqrt[-a^2]*(Sqrt[c] - I*Sqrt[d]*x))/(Sqrt[-a^2]*Sqrt[c] - I*Sqrt[d])])/(8*Sqrt[-a^2]*c^(3/2)*Sqrt[d]) + (I*a*PolyLog[2, (Sqrt[-a^2]*(Sqrt[c] - I*Sqrt[d]*x))/(Sqrt[-a^2]*Sqrt[c] + I*Sqrt[d])])/(8*Sqrt[-a^2]*c^(3/2)*Sqrt[d]) - (I*a*PolyLog[2, (Sqrt[-a^2]*(Sqrt[c] + I*Sqrt[d]*x))/(Sqrt[-a^2]*Sqrt[c] - I*Sqrt[d])])/(8*Sqrt[-a^2]*c^(3/2)*Sqrt[d]) + (I*a*PolyLog[2, (Sqrt[-a^2]*(Sqrt[c] + I*Sqrt[d]*x))/(Sqrt[-a^2]*Sqrt[c] + I*Sqrt[d])])/(8*Sqrt[-a^2]*c^(3/2)*Sqrt[d])}
+
+
+{ArcCot[a*x]*(c + d*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + d*x^2]*ArcCot[a*x], x]}
+{ArcCot[a*x]/(c + d*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[ArcCot[a*x]/Sqrt[c + d*x^2], x]}
+{ArcCot[a*x]/(c + d*x^2)^(3/2), x, 5, (x*ArcCot[a*x])/(c*Sqrt[c + d*x^2]) - ArcTanh[(a*Sqrt[c + d*x^2])/Sqrt[a^2*c - d]]/(c*Sqrt[a^2*c - d])}
+{ArcCot[a*x]/(c + d*x^2)^(5/2), x, 7, a/(3*c*(a^2*c - d)*Sqrt[c + d*x^2]) + (x*ArcCot[a*x])/(3*c*(c + d*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcCot[a*x])/(3*c^2*Sqrt[c + d*x^2]) - ((3*a^2*c - 2*d)*ArcTanh[(a*Sqrt[c + d*x^2])/Sqrt[a^2*c - d]])/(3*c^2*(a^2*c - d)^(3/2))}
+{ArcCot[a*x]/(c + d*x^2)^(7/2), x, 8, a/(15*c*(a^2*c - d)*(c + d*x^2)^(3/2)) + (a*(7*a^2*c - 4*d))/(15*c^2*(a^2*c - d)^2*Sqrt[c + d*x^2]) + (x*ArcCot[a*x])/(5*c*(c + d*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcCot[a*x])/(15*c^2*(c + d*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcCot[a*x])/(15*c^3*Sqrt[c + d*x^2]) - ((15*a^4*c^2 - 20*a^2*c*d + 8*d^2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c + d*x^2])/Sqrt[a^2*c - d]])/(15*c^3*(a^2*c - d)^(5/2))}
+{ArcCot[a*x]/(c + d*x^2)^(9/2), x, 8, a/(35*c*(a^2*c - d)*(c + d*x^2)^(5/2)) + (a*(11*a^2*c - 6*d))/(105*c^2*(a^2*c - d)^2*(c + d*x^2)^(3/2)) + (a*(19*a^4*c^2 - 22*a^2*c*d + 8*d^2))/(35*c^3*(a^2*c - d)^3*Sqrt[c + d*x^2]) + (x*ArcCot[a*x])/(7*c*(c + d*x^2)^(7/2)) + (6*x*ArcCot[a*x])/(35*c^2*(c + d*x^2)^(5/2)) + (8*x*ArcCot[a*x])/(35*c^3*(c + d*x^2)^(3/2)) + (16*x*ArcCot[a*x])/(35*c^4*Sqrt[c + d*x^2]) - ((35*a^6*c^3 - 70*a^4*c^2*d + 56*a^2*c*d^2 - 16*d^3)*ArcTanh[(a*Sqrt[c + d*x^2])/Sqrt[a^2*c - d]])/(35*c^4*(a^2*c - d)^(7/2))}
+
+
+{ArcCot[x]*(a + a*x^2)^(1/2), x, 3, (1/2)*Sqrt[a + a*x^2] + (1/2)*x*Sqrt[a + a*x^2]*ArcCot[x] - (I*a*Sqrt[1 + x^2]*ArcCot[x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*x]/Sqrt[1 - I*x]])/Sqrt[a + a*x^2] - (I*a*Sqrt[1 + x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*x])/Sqrt[1 - I*x])])/(2*Sqrt[a + a*x^2]) + (I*a*Sqrt[1 + x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*x])/Sqrt[1 - I*x]])/(2*Sqrt[a + a*x^2])}
+{ArcCot[x]/(a + a*x^2)^(1/2), x, 2, -((2*I*Sqrt[1 + x^2]*ArcCot[x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*x]/Sqrt[1 - I*x]])/Sqrt[a + a*x^2]) - (I*Sqrt[1 + x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*x])/Sqrt[1 - I*x])])/Sqrt[a + a*x^2] + (I*Sqrt[1 + x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*x])/Sqrt[1 - I*x]])/Sqrt[a + a*x^2]}
+{ArcCot[x]/(a + a*x^2)^(3/2), x, 1, -(1/(a*Sqrt[a + a*x^2])) + (x*ArcCot[x])/(a*Sqrt[a + a*x^2])}
+{ArcCot[x]/(a + a*x^2)^(5/2), x, 2, -(1/(9*a*(a + a*x^2)^(3/2))) - 2/(3*a^2*Sqrt[a + a*x^2]) + (x*ArcCot[x])/(3*a*(a + a*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcCot[x])/(3*a^2*Sqrt[a + a*x^2])}
+{ArcCot[x]/(a + a*x^2)^(7/2), x, 3, -(1/(25*a*(a + a*x^2)^(5/2))) - 4/(45*a^2*(a + a*x^2)^(3/2)) - 8/(15*a^3*Sqrt[a + a*x^2]) + (x*ArcCot[x])/(5*a*(a + a*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcCot[x])/(15*a^2*(a + a*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcCot[x])/(15*a^3*Sqrt[a + a*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCot[a x] (c+d x^2)^p*)
+
+
+{x^1*ArcCot[x]/(1 + x^2)^2, x, 3, -(x/(4*(1 + x^2))) - ArcCot[x]/(2*(1 + x^2)) - ArcTan[x]/4}
+
+
+{x^1*ArcCot[x]/(1 + x^2)^3, x, 4, -(x/(16*(1 + x^2)^2)) - (3*x)/(32*(1 + x^2)) - ArcCot[x]/(4*(1 + x^2)^2) - (3*ArcTan[x])/32}
+
+
+{x^0*ArcCot[x]/(1 + x^2)^2, x, 2, -(1/(4*(1 + x^2))) + (x*ArcCot[x])/(2*(1 + x^2)) - ArcCot[x]^2/4}
+
+
+{ArcCot[x]^2/(1 + x^2)^2, x, 4, -(x/(4*(1 + x^2))) - ArcCot[x]/(2*(1 + x^2)) + (x*ArcCot[x]^2)/(2*(1 + x^2)) - ArcCot[x]^3/6 - ArcTan[x]/4}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCot[a x^n]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^5*ArcCot[a*x^2], x, 4, x^4/(12*a) + (1/6)*x^6*ArcCot[a*x^2] - Log[1 + a^2*x^4]/(12*a^3)}
+{x^3*ArcCot[a*x^2], x, 4, x^2/(4*a) + (1/4)*x^4*ArcCot[a*x^2] - ArcTan[a*x^2]/(4*a^2)}
+{x^1*ArcCot[a*x^2], x, 2, (1/2)*x^2*ArcCot[a*x^2] + Log[1 + a^2*x^4]/(4*a)}
+{ArcCot[a*x^2]/x^1, x, 4, (-(1/4))*I*PolyLog[2, -(I/(a*x^2))] + (1/4)*I*PolyLog[2, I/(a*x^2)]}
+{ArcCot[a*x^2]/x^3, x, 5, -(ArcCot[a*x^2]/(2*x^2)) - a*Log[x] + (1/4)*a*Log[1 + a^2*x^4]}
+{ArcCot[a*x^2]/x^5, x, 4, a/(4*x^2) - ArcCot[a*x^2]/(4*x^4) + (1/4)*a^2*ArcTan[a*x^2]}
+
+{x^4*ArcCot[a*x^2], x, 11, (2*x^3)/(15*a) + (1/5)*x^5*ArcCot[a*x^2] + ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[a]*x]/(5*Sqrt[2]*a^(5/2)) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[a]*x]/(5*Sqrt[2]*a^(5/2)) - Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[a]*x + a*x^2]/(10*Sqrt[2]*a^(5/2)) + Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[a]*x + a*x^2]/(10*Sqrt[2]*a^(5/2))}
+{x^2*ArcCot[a*x^2], x, 11, (2*x)/(3*a) + (1/3)*x^3*ArcCot[a*x^2] + ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[a]*x]/(3*Sqrt[2]*a^(3/2)) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[a]*x]/(3*Sqrt[2]*a^(3/2)) + Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[a]*x + a*x^2]/(6*Sqrt[2]*a^(3/2)) - Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[a]*x + a*x^2]/(6*Sqrt[2]*a^(3/2))}
+{x^0*ArcCot[a*x^2], x, 10, x*ArcCot[a*x^2] - ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[a]*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[a]) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[a]*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[a]) + Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[a]*x + a*x^2]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a]) - Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[a]*x + a*x^2]/(2*Sqrt[2]*Sqrt[a])}
+{ArcCot[a*x^2]/x^2, x, 10, -(ArcCot[a*x^2]/x) + (Sqrt[a]*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[a]*x])/Sqrt[2] - (Sqrt[a]*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[a]*x])/Sqrt[2] + (Sqrt[a]*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[a]*x + a*x^2])/(2*Sqrt[2]) - (Sqrt[a]*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[a]*x + a*x^2])/(2*Sqrt[2])}
+{ArcCot[a*x^2]/x^4, x, 11, (2*a)/(3*x) - ArcCot[a*x^2]/(3*x^3) - (a^(3/2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[a]*x])/(3*Sqrt[2]) + (a^(3/2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[a]*x])/(3*Sqrt[2]) + (a^(3/2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[a]*x + a*x^2])/(6*Sqrt[2]) - (a^(3/2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[a]*x + a*x^2])/(6*Sqrt[2])}
+
+
+{x^2*ArcCot[Sqrt[x]], x, 6, Sqrt[x]/3 - x^(3/2)/9 + x^(5/2)/15 + (1/3)*x^3*ArcCot[Sqrt[x]] - ArcTan[Sqrt[x]]/3}
+{x^1*ArcCot[Sqrt[x]], x, 5, -(Sqrt[x]/2) + x^(3/2)/6 + (1/2)*x^2*ArcCot[Sqrt[x]] + ArcTan[Sqrt[x]]/2}
+{x^0*ArcCot[Sqrt[x]], x, 4, Sqrt[x] + x*ArcCot[Sqrt[x]] - ArcTan[Sqrt[x]]}
+{ArcCot[Sqrt[x]]/x^1, x, 4, (-I)*PolyLog[2, -(I/Sqrt[x])] + I*PolyLog[2, I/Sqrt[x]]}
+{ArcCot[Sqrt[x]]/x^2, x, 4, 1/Sqrt[x] - ArcCot[Sqrt[x]]/x + ArcTan[Sqrt[x]]}
+{ArcCot[Sqrt[x]]/x^3, x, 5, 1/(6*x^(3/2)) - 1/(2*Sqrt[x]) - ArcCot[Sqrt[x]]/(2*x^2) - ArcTan[Sqrt[x]]/2}
+
+
+{x^(3/2)*ArcCot[Sqrt[x]], x, 3, -(x/5) + x^2/10 + (2/5)*x^(5/2)*ArcCot[Sqrt[x]] + (1/5)*Log[1 + x]}
+{x^(1/2)*ArcCot[Sqrt[x]], x, 3, x/3 + (2/3)*x^(3/2)*ArcCot[Sqrt[x]] - (1/3)*Log[1 + x]}
+{ArcCot[Sqrt[x]]/x^(1/2), x, 2, 2*Sqrt[x]*ArcCot[Sqrt[x]] + Log[1 + x]}
+{ArcCot[Sqrt[x]]/x^(3/2), x, 4, -((2*ArcCot[Sqrt[x]])/Sqrt[x]) - Log[x] + Log[1 + x]}
+{ArcCot[Sqrt[x]]/x^(5/2), x, 3, 1/(3*x) - (2*ArcCot[Sqrt[x]])/(3*x^(3/2)) + Log[x]/3 - (1/3)*Log[1 + x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{ArcCot[1/x], x, 3, x*ArcCot[1/x] - (1/2)*Log[1 + x^2]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n symbolic*)
+
+
+{ArcCot[a*x^n]/x, x, 4, -((I*PolyLog[2, -(I/(x^n*a))])/(2*n)) + (I*PolyLog[2, I/(x^n*a)])/(2*n)}
+
+{ArcCot[a*x^5]/x, x, 4, (-(1/10))*I*PolyLog[2, -(I/(a*x^5))] + (1/10)*I*PolyLog[2, I/(a*x^5)]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u ArcCot[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCot[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*ArcCot[a + b*x], x, 7, -(((1 - 6*a^2)*x)/(4*b^3)) - (a*(a + b*x)^2)/(2*b^4) + (a + b*x)^3/(12*b^4) + (1/4)*x^4*ArcCot[a + b*x] + ((1 - 6*a^2 + a^4)*ArcTan[a + b*x])/(4*b^4) + (a*(1 - a^2)*Log[1 + (a + b*x)^2])/(2*b^4)}
+{x^2*ArcCot[a + b*x], x, 7, -((a*x)/b^2) + (a + b*x)^2/(6*b^3) + (1/3)*x^3*ArcCot[a + b*x] + (a*(3 - a^2)*ArcTan[a + b*x])/(3*b^3) - ((1 - 3*a^2)*Log[1 + (a + b*x)^2])/(6*b^3)}
+{x^1*ArcCot[a + b*x], x, 7, x/(2*b) + (1/2)*x^2*ArcCot[a + b*x] - ((1 - a^2)*ArcTan[a + b*x])/(2*b^2) - (a*Log[1 + (a + b*x)^2])/(2*b^2)}
+{x^0*ArcCot[a + b*x], x, 3, ((a + b*x)*ArcCot[a + b*x])/b + Log[1 + (a + b*x)^2]/(2*b)}
+{ArcCot[a + b*x]/x^1, x, 5, (-ArcCot[a + b*x])*Log[2/(1 - I*(a + b*x))] + ArcCot[a + b*x]*Log[(2*b*x)/((I - a)*(1 - I*(a + b*x)))] - (1/2)*I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*(a + b*x))] + (1/2)*I*PolyLog[2, 1 - (2*b*x)/((I - a)*(1 - I*(a + b*x)))]}
+{ArcCot[a + b*x]/x^2, x, 7, -(ArcCot[a + b*x]/x) + (a*b*ArcTan[a + b*x])/(1 + a^2) - (b*Log[x])/(1 + a^2) + (b*Log[1 + (a + b*x)^2])/(2*(1 + a^2))}
+{ArcCot[a + b*x]/x^3, x, 8, b/(2*(1 + a^2)*x) - ArcCot[a + b*x]/(2*x^2) + ((1 - a^2)*b^2*ArcTan[a + b*x])/(2*(1 + a^2)^2) + (a*b^2*Log[x])/(1 + a^2)^2 - (a*b^2*Log[1 + (a + b*x)^2])/(2*(1 + a^2)^2)}
+{ArcCot[a + b*x]/x^4, x, 8, b/(6*(1 + a^2)*x^2) - (2*a*b^2)/(3*(1 + a^2)^2*x) - ArcCot[a + b*x]/(3*x^3) - (a*(3 - a^2)*b^3*ArcTan[a + b*x])/(3*(1 + a^2)^3) + ((1 - 3*a^2)*b^3*Log[x])/(3*(1 + a^2)^3) - ((1 - 3*a^2)*b^3*Log[1 + (a + b*x)^2])/(6*(1 + a^2)^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x^n)^m ArcCot[a+b x]*)
+
+
+(* {ArcCot[a + b*x]/(c + d*x^3), x, 35, -((I*Log[(d^(1/3)*(I - a - b*x))/(b*c^(1/3) + (I - a)*d^(1/3))]*Log[-c^(1/3) - d^(1/3)*x])/(6*c^(2/3)*d^(1/3))) + (I*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))]*Log[-c^(1/3) - d^(1/3)*x])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + (I*Log[-((d^(1/3)*(I + a + b*x))/(b*c^(1/3) - (I + a)*d^(1/3)))]*Log[-c^(1/3) - d^(1/3)*x])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - (I*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)]*Log[-c^(1/3) - d^(1/3)*x])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(1/6)*Log[-(((-1)^(1/3)*d^(1/3)*(I - a - b*x))/(b*c^(1/3) - (-1)^(1/3)*(I - a)*d^(1/3)))]*Log[-c^(1/3) + (-1)^(1/3)*d^(1/3)*x])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(1/6)*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))]*Log[-c^(1/3) + (-1)^(1/3)*d^(1/3)*x])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(1/6)*Log[((-1)^(1/3)*d^(1/3)*(I + a + b*x))/(b*c^(1/3) + (-1)^(1/3)*(I + a)*d^(1/3))]*Log[-c^(1/3) + (-1)^(1/3)*d^(1/3)*x])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(1/6)*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)]*Log[-c^(1/3) + (-1)^(1/3)*d^(1/3)*x])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(5/6)*Log[((-1)^(2/3)*d^(1/3)*(I - a - b*x))/(b*c^(1/3) + (-1)^(2/3)*(I - a)*d^(1/3))]*Log[-c^(1/3) - (-1)^(2/3)*d^(1/3)*x])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(5/6)*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))]*Log[-c^(1/3) - (-1)^(2/3)*d^(1/3)*x])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(5/6)*Log[-(((-1)^(2/3)*d^(1/3)*(I + a + b*x))/(b*c^(1/3) - (-1)^(2/3)*(I + a)*d^(1/3)))]*Log[-c^(1/3) - (-1)^(2/3)*d^(1/3)*x])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(5/6)*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)]*Log[-c^(1/3) - (-1)^(2/3)*d^(1/3)*x])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - (I*PolyLog[2, (b*(c^(1/3) + d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) + (I - a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + (I*PolyLog[2, (b*(c^(1/3) + d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) - (I + a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(1/6)*PolyLog[2, (b*(c^(1/3) - (-1)^(1/3)*d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) - (-1)^(1/3)*(I - a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(1/6)*PolyLog[2, (b*(c^(1/3) - (-1)^(1/3)*d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) + (-1)^(1/3)*(I + a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(5/6)*PolyLog[2, (b*(c^(1/3) + (-1)^(2/3)*d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) + (-1)^(2/3)*(I - a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(5/6)*PolyLog[2, (b*(c^(1/3) + (-1)^(2/3)*d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) + (-1)^(1/6)*(1 - I*a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3))} *)
+{ArcCot[a + b*x]/(c + d*x^2), x, 15, -((Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)]*Log[-((b*(I*Sqrt[c] - Sqrt[d]*x))/((b*Sqrt[c] + (1 - I*a)*Sqrt[d])*(a + b*x)))])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[d])) + (Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))]*Log[(I*b*(Sqrt[c] + I*Sqrt[d]*x))/((b*Sqrt[c] - (1 + I*a)*Sqrt[d])*(a + b*x))])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[d]) - (Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))]*Log[(b*(I*Sqrt[c] + Sqrt[d]*x))/((b*Sqrt[c] + (1 + I*a)*Sqrt[d])*(a + b*x))])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[d]) + (Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)]*Log[-((b*(I*Sqrt[c] + Sqrt[d]*x))/((b*Sqrt[c] + I*(I + a)*Sqrt[d])*(a + b*x)))])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[d]) + PolyLog[2, -(((b*Sqrt[c] - I*a*Sqrt[d])*(I - a - b*x))/((b*Sqrt[c] - (1 + I*a)*Sqrt[d])*(a + b*x)))]/(4*Sqrt[c]*Sqrt[d]) - PolyLog[2, -(((b*Sqrt[c] + I*a*Sqrt[d])*(I - a - b*x))/((b*Sqrt[c] + (1 + I*a)*Sqrt[d])*(a + b*x)))]/(4*Sqrt[c]*Sqrt[d]) - PolyLog[2, ((b*Sqrt[c] - I*a*Sqrt[d])*(I + a + b*x))/((b*Sqrt[c] + (1 - I*a)*Sqrt[d])*(a + b*x))]/(4*Sqrt[c]*Sqrt[d]) + PolyLog[2, ((b*Sqrt[c] + I*a*Sqrt[d])*(I + a + b*x))/((b*Sqrt[c] + I*(I + a)*Sqrt[d])*(a + b*x))]/(4*Sqrt[c]*Sqrt[d])}
+{ArcCot[a + b*x]/(c + d*x^1), x, 5, -((ArcCot[a + b*x]*Log[2/(1 - I*(a + b*x))])/d) + (ArcCot[a + b*x]*Log[(2*b*(c + d*x))/((b*c + I*d - a*d)*(1 - I*(a + b*x)))])/d - (I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*(a + b*x))])/(2*d) + (I*PolyLog[2, 1 - (2*b*(c + d*x))/((b*c + I*d - a*d)*(1 - I*(a + b*x)))])/(2*d)}
+{ArcCot[a + b*x]/(c + d/x^1), x, 37, Log[I - a - b*x]/(2*b*c) + (I*(a + b*x)*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))])/(2*b*c) + Log[I + a + b*x]/(2*b*c) - (I*(a + b*x)*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)])/(2*b*c) + (I*d*Log[(c*(I - a - b*x))/(I*c - a*c + b*d)]*Log[d + c*x])/(2*c^2) - (I*d*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))]*Log[d + c*x])/(2*c^2) - (I*d*Log[(c*(I + a + b*x))/((I + a)*c - b*d)]*Log[d + c*x])/(2*c^2) + (I*d*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)]*Log[d + c*x])/(2*c^2) - (I*d*PolyLog[2, -((b*(d + c*x))/((I + a)*c - b*d))])/(2*c^2) + (I*d*PolyLog[2, (b*(d + c*x))/(I*c - a*c + b*d)])/(2*c^2), (I*x*(Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))] + Log[a + b*x] - Log[-I + a + b*x]))/(2*c) - (I*(I - a - b*x)*Log[-I + a + b*x])/(2*b*c) - (I*(I + a + b*x)*Log[I + a + b*x])/(2*b*c) - (I*x*(Log[a + b*x] - Log[I + a + b*x] + Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)]))/(2*c) - (I*d*(Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))] + Log[a + b*x] - Log[-I + a + b*x])*Log[d + c*x])/(2*c^2) + (I*d*(Log[a + b*x] - Log[I + a + b*x] + Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)])*Log[d + c*x])/(2*c^2) + (I*d*Log[I + a + b*x]*Log[-((b*(d + c*x))/((I + a)*c - b*d))])/(2*c^2) - (I*d*Log[-I + a + b*x]*Log[(b*(d + c*x))/((I - a)*c + b*d)])/(2*c^2) - (I*d*PolyLog[2, (c*(I - a - b*x))/((I - a)*c + b*d)])/(2*c^2) + (I*d*PolyLog[2, (c*(I + a + b*x))/((I + a)*c - b*d)])/(2*c^2)}
+{ArcCot[a + b*x]/(c + d/x^2), x, 57, Log[I - a - b*x]/(2*b*c) + (I*(a + b*x)*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))])/(2*b*c) - (I*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[c]*x)/Sqrt[d]]*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))])/(2*c^(3/2)) + Log[I + a + b*x]/(2*b*c) - (I*(a + b*x)*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)])/(2*b*c) + (I*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[c]*x)/Sqrt[d]]*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)])/(2*c^(3/2)) - (Sqrt[d]*Log[(Sqrt[c]*(I - a - b*x))/((I - a)*Sqrt[c] + I*b*Sqrt[d])]*Log[1 - (I*Sqrt[c]*x)/Sqrt[d]])/(4*c^(3/2)) + (Sqrt[d]*Log[(Sqrt[c]*(I + a + b*x))/((I + a)*Sqrt[c] - I*b*Sqrt[d])]*Log[1 - (I*Sqrt[c]*x)/Sqrt[d]])/(4*c^(3/2)) + (Sqrt[d]*Log[(Sqrt[c]*(I - a - b*x))/((I - a)*Sqrt[c] - I*b*Sqrt[d])]*Log[1 + (I*Sqrt[c]*x)/Sqrt[d]])/(4*c^(3/2)) - (Sqrt[d]*Log[(Sqrt[c]*(I + a + b*x))/((I + a)*Sqrt[c] + I*b*Sqrt[d])]*Log[1 + (I*Sqrt[c]*x)/Sqrt[d]])/(4*c^(3/2)) - (Sqrt[d]*PolyLog[2, (b*(Sqrt[d] - I*Sqrt[c]*x))/((1 + I*a)*Sqrt[c] + b*Sqrt[d])])/(4*c^(3/2)) + (Sqrt[d]*PolyLog[2, (b*(Sqrt[d] - I*Sqrt[c]*x))/(I*(I + a)*Sqrt[c] + b*Sqrt[d])])/(4*c^(3/2)) + (Sqrt[d]*PolyLog[2, -((b*(Sqrt[d] + I*Sqrt[c]*x))/((1 + I*a)*Sqrt[c] - b*Sqrt[d]))])/(4*c^(3/2)) - (Sqrt[d]*PolyLog[2, (b*(Sqrt[d] + I*Sqrt[c]*x))/((1 - I*a)*Sqrt[c] + b*Sqrt[d])])/(4*c^(3/2)), (I*x*(Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))] + Log[a + b*x] - Log[-I + a + b*x]))/(2*c) - (I*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[c]*x)/Sqrt[d]]*(Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))] + Log[a + b*x] - Log[-I + a + b*x]))/(2*c^(3/2)) - (I*(I - a - b*x)*Log[-I + a + b*x])/(2*b*c) - (I*(I + a + b*x)*Log[I + a + b*x])/(2*b*c) - (I*x*(Log[a + b*x] - Log[I + a + b*x] + Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)]))/(2*c) + (I*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[c]*x)/Sqrt[d]]*(Log[a + b*x] - Log[I + a + b*x] + Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)]))/(2*c^(3/2)) - (I*Sqrt[d]*Log[-I + a + b*x]*Log[-((b*(Sqrt[d] - Sqrt[-c]*x))/((I - a)*Sqrt[-c] - b*Sqrt[d]))])/(4*(-c)^(3/2)) + (I*Sqrt[d]*Log[I + a + b*x]*Log[(b*(Sqrt[d] - Sqrt[-c]*x))/((I + a)*Sqrt[-c] + b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) - (I*Sqrt[d]*Log[I + a + b*x]*Log[-((b*(Sqrt[d] + Sqrt[-c]*x))/((I + a)*Sqrt[-c] - b*Sqrt[d]))])/(4*(-c)^(3/2)) + (I*Sqrt[d]*Log[-I + a + b*x]*Log[(b*(Sqrt[d] + Sqrt[-c]*x))/((I - a)*Sqrt[-c] + b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) - (I*Sqrt[d]*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(I - a - b*x))/((I - a)*Sqrt[-c] - b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) + (I*Sqrt[d]*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(I - a - b*x))/((I - a)*Sqrt[-c] + b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) - (I*Sqrt[d]*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(I + a + b*x))/((I + a)*Sqrt[-c] - b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) + (I*Sqrt[d]*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(I + a + b*x))/((I + a)*Sqrt[-c] + b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2))}
+
+
+(* {ArcCot[a + b*x]/(a + b*x^(3/2)), x, 101, -((I*Log[-a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[-I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[-I - a] + a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3))) + ((-1)^(1/6)*Log[(-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[-I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[-I - a] - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(5/6)*Log[(-(-1)^(2/3))*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[-I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[-I - a] + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + (I*Log[-a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[I - a] + a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/6)*Log[(-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[I - a] - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(5/6)*Log[(-(-1)^(2/3))*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[I - a] + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - (I*Log[-a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[-I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[-I - a] - a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/6)*Log[(-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[-I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[-I - a] + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(5/6)*Log[(-(-1)^(2/3))*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[-I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[-I - a] - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + (I*Log[-a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[I - a] - a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/6)*Log[(-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[I - a] + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(5/6)*Log[(-(-1)^(2/3))*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[I - a] - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - (I*Log[-a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/6)*Log[(-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(5/6)*Log[(-(-1)^(2/3))*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + (I*Log[-a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/6)*Log[(-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(5/6)*Log[(-(-1)^(2/3))*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/6)*PolyLog[2, -((b^(1/6)*((-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a] - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6)))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/6)*PolyLog[2, -((b^(1/6)*((-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a] - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6)))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - (I*PolyLog[2, -((b^(1/6)*(a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a] - a^(1/3)*b^(1/6)))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + (I*PolyLog[2, -((b^(1/6)*(a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a] - a^(1/3)*b^(1/6)))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - (I*PolyLog[2, (b^(1/6)*(a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a] + a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + (I*PolyLog[2, (b^(1/6)*(a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a] + a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(5/6)*PolyLog[2, -((b^(1/6)*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a] - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6)))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(5/6)*PolyLog[2, -((b^(1/6)*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a] - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6)))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(5/6)*PolyLog[2, (b^(1/6)*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a] + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(5/6)*PolyLog[2, (b^(1/6)*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a] + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/6)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*b^(1/6)*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a] + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/6)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*b^(1/6)*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a] + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3))} *)
+{ArcCot[a + b*x]/(c + d*Sqrt[x]), x, 55, -((2*I*Sqrt[I + a]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[I + a]])/(Sqrt[b]*d)) + (2*I*Sqrt[I - a]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[I - a]])/(Sqrt[b]*d) - (I*c*Log[(d*(Sqrt[-I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c + Sqrt[-I - a]*d)]*Log[c + d*Sqrt[x]])/d^2 + (I*c*Log[(d*(Sqrt[I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c + Sqrt[I - a]*d)]*Log[c + d*Sqrt[x]])/d^2 - (I*c*Log[-((d*(Sqrt[-I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c - Sqrt[-I - a]*d))]*Log[c + d*Sqrt[x]])/d^2 + (I*c*Log[-((d*(Sqrt[I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c - Sqrt[I - a]*d))]*Log[c + d*Sqrt[x]])/d^2 + (I*Sqrt[x]*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))])/d - (I*c*Log[c + d*Sqrt[x]]*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))])/d^2 - (I*Sqrt[x]*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)])/d + (I*c*Log[c + d*Sqrt[x]]*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)])/d^2 - (I*c*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(c + d*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c - Sqrt[-I - a]*d)])/d^2 - (I*c*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(c + d*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c + Sqrt[-I - a]*d)])/d^2 + (I*c*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(c + d*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c - Sqrt[I - a]*d)])/d^2 + (I*c*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(c + d*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c + Sqrt[I - a]*d)])/d^2}
+{ArcCot[a + b*x]/(c + d/Sqrt[x]), x, 65, (2*I*Sqrt[I + a]*d*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[I + a]])/(Sqrt[b]*c^2) - (2*I*Sqrt[I - a]*d*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[I - a]])/(Sqrt[b]*c^2) + (I*d^2*Log[(c*(Sqrt[-I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*c + Sqrt[b]*d)]*Log[d + c*Sqrt[x]])/c^3 - (I*d^2*Log[(c*(Sqrt[I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*c + Sqrt[b]*d)]*Log[d + c*Sqrt[x]])/c^3 + (I*d^2*Log[(c*(Sqrt[-I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*c - Sqrt[b]*d)]*Log[d + c*Sqrt[x]])/c^3 - (I*d^2*Log[(c*(Sqrt[I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*c - Sqrt[b]*d)]*Log[d + c*Sqrt[x]])/c^3 + ((1 + I*a)*Log[I - a - b*x])/(2*b*c) - (I*d*Sqrt[x]*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))])/c^2 + (I*x*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))])/(2*c) + (I*d^2*Log[d + c*Sqrt[x]]*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))])/c^3 + ((1 - I*a)*Log[I + a + b*x])/(2*b*c) + (I*d*Sqrt[x]*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)])/c^2 - (I*x*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)])/(2*c) - (I*d^2*Log[d + c*Sqrt[x]]*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)])/c^3 + (I*d^2*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(d + c*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*c - Sqrt[b]*d))])/c^3 - (I*d^2*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(d + c*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*c - Sqrt[b]*d))])/c^3 + (I*d^2*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + c*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*c + Sqrt[b]*d)])/c^3 - (I*d^2*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + c*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*c + Sqrt[b]*d)])/c^3}
+(* {ArcCot[a + b*x]/(a + b/x^(3/2)), x, 109, (I*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*Log[(-(-1)^(2/3))*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - (I*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*Log[(-(-1)^(2/3))*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[I - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + (I*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*a^(1/3) - b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*Log[(-(-1)^(2/3))*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - (I*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*a^(1/3) - b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*Log[(-(-1)^(2/3))*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[I - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - (I*(I - a - b*x)*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))])/(2*a*b) + (I*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*Log[(-(-1)^(2/3))*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))])/(3*a^(5/3)) + Log[a + b*x]/(a*b) - (I*(I + a + b*x)*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)])/(2*a*b) - (I*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*Log[(-(-1)^(2/3))*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*((-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*((-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) + (I*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*a^(1/3) - b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) - (I*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*a^(1/3) - b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) + (I*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - (I*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(5/6)*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*Sqrt[b]*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-I - a]*a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/6)*b^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*Sqrt[b]*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[I - a]*a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3))} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B x+C x^2)^m ArcCot[a+b x]^n*)
+
+
+{ArcCot[d + e*x]/(a + b*x + c*x^2), x, 12, (ArcCot[d + e*x]*Log[(2*e*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/((2*c*(I - d) + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)*(1 - I*(d + e*x)))])/Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (ArcCot[d + e*x]*Log[(2*e*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/((2*c*(I - d) + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)*(1 - I*(d + e*x)))])/Sqrt[b^2 - 4*a*c] + (I*PolyLog[2, 1 + (2*(2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e - 2*c*(d + e*x)))/((2*I*c - 2*c*d + b*e - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)*(1 - I*(d + e*x)))])/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) - (I*PolyLog[2, 1 + (2*(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e - 2*c*(d + e*x)))/((2*c*(I - d) + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)*(1 - I*(d + e*x)))])/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])}
+
+
+{ArcCot[a + b*x]/Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2], x, 2, -((2*I*ArcCot[a + b*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*(a + b*x)]/Sqrt[1 - I*(a + b*x)]])/b) - (I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*(a + b*x)])/Sqrt[1 - I*(a + b*x)])])/b + (I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*(a + b*x)])/Sqrt[1 - I*(a + b*x)]])/b}
+{ArcCot[a + b*x]/Sqrt[(1 + a^2)*c + 2*a*b*c*x + b^2*c*x^2], x, 3, -((2*I*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcCot[a + b*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*(a + b*x)]/Sqrt[1 - I*(a + b*x)]])/(b*Sqrt[c + c*(a + b*x)^2])) - (I*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*(a + b*x)])/Sqrt[1 - I*(a + b*x)])])/(b*Sqrt[c + c*(a + b*x)^2]) + (I*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*(a + b*x)])/Sqrt[1 - I*(a + b*x)]])/(b*Sqrt[c + c*(a + b*x)^2])}
+
+
+{ArcCot[a + b*x]/(1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(1/3), x, 1, Unintegrable[ArcCot[a + b*x]/(1 + (a + b*x)^2)^(1/3), x]}
+{ArcCot[a + b*x]/((1 + a^2)*c + 2*a*b*c*x + b^2*c*x^2)^(1/3), x, 1, Unintegrable[ArcCot[a + b*x]/(c + c*(a + b*x)^2)^(1/3), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (A+B x+C x^2)^p ArcCot[a+b x]^n*)
+
+
+{(a + b*x)^2*ArcCot[a + b*x]/Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2], x, 4, Sqrt[1 + (a + b*x)^2]/(2*b) + ((a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcCot[a + b*x])/(2*b) + (I*ArcCot[a + b*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*(a + b*x)]/Sqrt[1 - I*(a + b*x)]])/b + (I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*(a + b*x)])/Sqrt[1 - I*(a + b*x)])])/(2*b) - (I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*(a + b*x)])/Sqrt[1 - I*(a + b*x)]])/(2*b)}
+{(a + b*x)^2*ArcCot[a + b*x]/Sqrt[(1 + a^2)*c + 2*a*b*c*x + b^2*c*x^2], x, 5, Sqrt[c + c*(a + b*x)^2]/(2*b*c) + ((a + b*x)*Sqrt[c + c*(a + b*x)^2]*ArcCot[a + b*x])/(2*b*c) + (I*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcCot[a + b*x]*ArcTan[Sqrt[1 + I*(a + b*x)]/Sqrt[1 - I*(a + b*x)]])/(b*Sqrt[c + c*(a + b*x)^2]) + (I*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + I*(a + b*x)])/Sqrt[1 - I*(a + b*x)])])/(2*b*Sqrt[c + c*(a + b*x)^2]) - (I*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + I*(a + b*x)])/Sqrt[1 - I*(a + b*x)]])/(2*b*Sqrt[c + c*(a + b*x)^2])}
+
+
+{(a + b*x)^2*ArcCot[a + b*x]/(1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(1/3), x, 1, Unintegrable[((a + b*x)^2*ArcCot[a + b*x])/(1 + (a + b*x)^2)^(1/3), x]}
+{(a + b*x)^2*ArcCot[a + b*x]/((1 + a^2)*c + 2*a*b*c*x + b^2*c*x^2)^(1/3), x, 1, Unintegrable[((a + b*x)^2*ArcCot[a + b*x])/(c + c*(a + b*x)^2)^(1/3), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b ArcCot[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b ArcCot[c+d x])^p when d e-c f=0*)
+
+
+{(a + b*x)^2*ArcCot[a + b*x], x, 5, (a + b*x)^2/(6*b) + ((a + b*x)^3*ArcCot[a + b*x])/(3*b) - Log[1 + (a + b*x)^2]/(6*b)}
+{(a + b*x)^1*ArcCot[a + b*x], x, 4, x/2 + ((a + b*x)^2*ArcCot[a + b*x])/(2*b) - ArcTan[a + b*x]/(2*b)}
+{ArcCot[a + b*x]/(a + b*x)^1, x, 4, -((I*PolyLog[2, -(I/(a + b*x))])/(2*b)) + (I*PolyLog[2, I/(a + b*x)])/(2*b)}
+{ArcCot[a + b*x]/(a + b*x)^2, x, 6, -(ArcCot[a + b*x]/(b*(a + b*x))) - Log[a + b*x]/b + Log[1 + (a + b*x)^2]/(2*b)}
+
+
+{ArcCot[1 + x]/(2 + 2*x), x, 5, (-(1/4))*I*PolyLog[2, -(I/(1 + x))] + (1/4)*I*PolyLog[2, I/(1 + x)]}
+
+
+{ArcCot[a + b*x]/((a*d)/b + d*x), x, 5, -((I*PolyLog[2, -(I/(a + b*x))])/(2*d)) + (I*PolyLog[2, I/(a + b*x)])/(2*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b ArcCot[c+d x])^(p/2) when d e-c f=0*)
+
+
+{(a + b*x)^2*ArcCot[a + b*x]^(1/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*x)^2*Sqrt[ArcCot[a + b*x]], x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b ArcCot[c+d x])^p*)
+
+
+{(e + f*x)^3*(a + b*ArcCot[c + d*x]), x, 7, (b*f*(6*d^2*e^2 - 12*c*d*e*f - (1 - 6*c^2)*f^2)*x)/(4*d^3) + (b*f^2*(d*e - c*f)*(c + d*x)^2)/(2*d^4) + (b*f^3*(c + d*x)^3)/(12*d^4) + ((e + f*x)^4*(a + b*ArcCot[c + d*x]))/(4*f) + (b*(d^4*e^4 - 4*c*d^3*e^3*f - 6*(1 - c^2)*d^2*e^2*f^2 + 4*c*(3 - c^2)*d*e*f^3 + (1 - 6*c^2 + c^4)*f^4)*ArcTan[c + d*x])/(4*d^4*f) + (b*(d*e - c*f)*(d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)*Log[1 + (c + d*x)^2])/(2*d^4)}
+{(e + f*x)^2*(a + b*ArcCot[c + d*x]), x, 7, (b*f*(d*e - c*f)*x)/d^2 + (b*f^2*(c + d*x)^2)/(6*d^3) + ((e + f*x)^3*(a + b*ArcCot[c + d*x]))/(3*f) + (b*(d*e - c*f)*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f - (3 - c^2)*f^2)*ArcTan[c + d*x])/(3*d^3*f) + (b*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f - (1 - 3*c^2)*f^2)*Log[1 + (c + d*x)^2])/(6*d^3)}
+{(e + f*x)*(a + b*ArcCot[c + d*x]), x, 7, (b*f*x)/(2*d) + ((e + f*x)^2*(a + b*ArcCot[c + d*x]))/(2*f) + (b*(d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)*ArcTan[c + d*x])/(2*d^2*f) + (b*(d*e - c*f)*Log[1 + (c + d*x)^2])/(2*d^2)}
+{a + b*ArcCot[c + d*x], x, 4, a*x + (b*(c + d*x)*ArcCot[c + d*x])/d + (b*Log[1 + (c + d*x)^2])/(2*d)}
+{(a + b*ArcCot[c + d*x])/(e + f*x), x, 5, -(((a + b*ArcCot[c + d*x])*Log[2/(1 - I*(c + d*x))])/f) + ((a + b*ArcCot[c + d*x])*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/f - (I*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(2*f) + (I*b*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(2*f)}
+{(a + b*ArcCot[c + d*x])/(e + f*x)^2, x, 8, -((a + b*ArcCot[c + d*x])/(f*(e + f*x))) - (b*d*(d*e - c*f)*ArcTan[c + d*x])/(f*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)) - (b*d*Log[e + f*x])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (b*d*Log[1 + c^2 + 2*c*d*x + d^2*x^2])/(2*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2))}
+{(a + b*ArcCot[c + d*x])/(e + f*x)^3, x, 9, (b*d)/(2*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)*(e + f*x)) - (a + b*ArcCot[c + d*x])/(2*f*(e + f*x)^2) - (b*d^2*(d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)*ArcTan[c + d*x])/(2*f*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)^2) - (b*d^2*(d*e - c*f)*Log[e + f*x])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)^2 + (b*d^2*(d*e - c*f)*Log[1 + c^2 + 2*c*d*x + d^2*x^2])/(2*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)^2)}
+
+
+{(e + f*x)^2*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2, x, 16, (b^2*f^2*x)/(3*d^2) + (2*a*b*f*(d*e - c*f)*x)/d^2 + (2*b^2*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)*ArcCot[c + d*x])/d^3 + (b*f^2*(c + d*x)^2*(a + b*ArcCot[c + d*x]))/(3*d^3) + (I*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f - (1 - 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2)/(3*d^3) - ((d*e - c*f)*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f - (3 - c^2)*f^2)*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2)/(3*d^3*f) + ((e + f*x)^3*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2)/(3*f) - (b^2*f^2*ArcTan[c + d*x])/(3*d^3) - (2*b*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f - (1 - 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcCot[c + d*x])*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/(3*d^3) + (b^2*f*(d*e - c*f)*Log[1 + (c + d*x)^2])/d^3 + (I*b^2*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f - (1 - 3*c^2)*f^2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(3*d^3)}
+{(e + f*x)*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2, x, 13, (a*b*f*x)/d + (b^2*f*(c + d*x)*ArcCot[c + d*x])/d^2 + (I*(d*e - c*f)*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2)/d^2 - ((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2)/(2*d^2*f) + ((e + f*x)^2*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2)/(2*f) - (2*b*(d*e - c*f)*(a + b*ArcCot[c + d*x])*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/d^2 + (b^2*f*Log[1 + (c + d*x)^2])/(2*d^2) + (I*b^2*(d*e - c*f)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/d^2}
+{(a + b*ArcCot[c + d*x])^2, x, 6, (I*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2)/d + ((c + d*x)*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2)/d - (2*b*(a + b*ArcCot[c + d*x])*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/d + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/d}
+{(a + b*ArcCot[c + d*x])^2/(e + f*x), x, 2, -(((a + b*ArcCot[c + d*x])^2*Log[2/(1 - I*(c + d*x))])/f) + ((a + b*ArcCot[c + d*x])^2*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/f - (I*b*(a + b*ArcCot[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/f + (I*b*(a + b*ArcCot[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/f - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(2*f) + (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(2*f)}
+{(a + b*ArcCot[c + d*x])^2/(e + f*x)^2, x, 25, (I*b^2*d*ArcCot[c + d*x]^2)/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (b^2*d*(d*e - c*f)*ArcCot[c + d*x]^2)/(f*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)) - (a + b*ArcCot[c + d*x])^2/(f*(e + f*x)) - (2*a*b*d*(d*e - c*f)*ArcTan[c + d*x])/(f*(f^2 + (d*e - c*f)^2)) - (2*a*b*d*Log[e + f*x])/(f^2 + (d*e - c*f)^2) + (2*b^2*d*ArcCot[c + d*x]*Log[2/(1 - I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) - (2*b^2*d*ArcCot[c + d*x]*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) - (2*b^2*d*ArcCot[c + d*x]*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (a*b*d*Log[1 + (c + d*x)^2])/(f^2 + (d*e - c*f)^2) + (I*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) - (I*b^2*d*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (I*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)}
+
+
+{(e + f*x)^2*(a + b*ArcCot[c + d*x])^3, x, 21, (a*b^2*f^2*x)/d^2 + (b^3*f^2*(c + d*x)*ArcCot[c + d*x])/d^3 + (b*f^2*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2)/(2*d^3) + (3*I*b*f*(d*e - c*f)*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2)/d^3 + (3*b*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2)/d^3 + (b*f^2*(c + d*x)^2*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2)/(2*d^3) + (I*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f - (1 - 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcCot[c + d*x])^3)/(3*d^3) - ((d*e - c*f)*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f - (3 - c^2)*f^2)*(a + b*ArcCot[c + d*x])^3)/(3*d^3*f) + ((e + f*x)^3*(a + b*ArcCot[c + d*x])^3)/(3*f) - (6*b^2*f*(d*e - c*f)*(a + b*ArcCot[c + d*x])*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/d^3 - (b*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f - (1 - 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/d^3 + (b^3*f^2*Log[1 + (c + d*x)^2])/(2*d^3) + (3*I*b^3*f*(d*e - c*f)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/d^3 + (I*b^2*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f - (1 - 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcCot[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/d^3 - (b^3*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f - (1 - 3*c^2)*f^2)*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(2*d^3)}
+{(e + f*x)*(a + b*ArcCot[c + d*x])^3, x, 15, (3*I*b*f*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2)/(2*d^2) + (3*b*f*(c + d*x)*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2)/(2*d^2) + (I*(d*e - c*f)*(a + b*ArcCot[c + d*x])^3)/d^2 - ((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)*(a + b*ArcCot[c + d*x])^3)/(2*d^2*f) + ((e + f*x)^2*(a + b*ArcCot[c + d*x])^3)/(2*f) - (3*b^2*f*(a + b*ArcCot[c + d*x])*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/d^2 - (3*b*(d*e - c*f)*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/d^2 + (3*I*b^3*f*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(2*d^2) + (3*I*b^2*(d*e - c*f)*(a + b*ArcCot[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/d^2 - (3*b^3*(d*e - c*f)*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcCot[c + d*x])^3, x, 6, (I*(a + b*ArcCot[c + d*x])^3)/d + ((c + d*x)*(a + b*ArcCot[c + d*x])^3)/d - (3*b*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/d + (3*I*b^2*(a + b*ArcCot[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/d - (3*b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(2*d)}
+{(a + b*ArcCot[c + d*x])^3/(e + f*x), x, 2, -(((a + b*ArcCot[c + d*x])^3*Log[2/(1 - I*(c + d*x))])/f) + ((a + b*ArcCot[c + d*x])^3*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/f - (3*I*b*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(2*f) + (3*I*b*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(2*f) - (3*b^2*(a + b*ArcCot[c + d*x])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(2*f) + (3*b^2*(a + b*ArcCot[c + d*x])*PolyLog[3, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(2*f) + (3*I*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(4*f) - (3*I*b^3*PolyLog[4, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(4*f)}
+{(a + b*ArcCot[c + d*x])^3/(e + f*x)^2, x, 35, (3*I*a*b^2*d*ArcCot[c + d*x]^2)/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (3*a*b^2*d*(d*e - c*f)*ArcCot[c + d*x]^2)/(f*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)) + (I*b^3*d*ArcCot[c + d*x]^3)/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (b^3*d*(d*e - c*f)*ArcCot[c + d*x]^3)/(f*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)) - (a + b*ArcCot[c + d*x])^3/(f*(e + f*x)) - (3*a^2*b*d*(d*e - c*f)*ArcTan[c + d*x])/(f*(f^2 + (d*e - c*f)^2)) - (3*a^2*b*d*Log[e + f*x])/(f^2 + (d*e - c*f)^2) + (6*a*b^2*d*ArcCot[c + d*x]*Log[2/(1 - I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (3*b^3*d*ArcCot[c + d*x]^2*Log[2/(1 - I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) - (6*a*b^2*d*ArcCot[c + d*x]*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) - (3*b^3*d*ArcCot[c + d*x]^2*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) - (6*a*b^2*d*ArcCot[c + d*x]*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) - (3*b^3*d*ArcCot[c + d*x]^2*Log[2/(1 + I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (3*a^2*b*d*Log[1 + (c + d*x)^2])/(2*(f^2 + (d*e - c*f)^2)) + (3*I*a*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (3*I*b^3*d*ArcCot[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) - (3*I*a*b^2*d*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) - (3*I*b^3*d*ArcCot[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (3*I*a*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (3*I*b^3*d*ArcCot[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2) + (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*(c + d*x))])/(2*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)) - (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + I*f - c*f)*(1 - I*(c + d*x)))])/(2*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)) - (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + I*(c + d*x))])/(2*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b ArcCot[c+d x])^p with m symbolic*)
+
+
+{(e + f*x)^m*(a + b*ArcCot[c + d*x]), x, 6, ((e + f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCot[c + d*x]))/(f*(1 + m)) + (I*b*d*(e + f*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (d*(e + f*x))/(d*e + I*f - c*f)])/(2*f*(d*e + (I - c)*f)*(1 + m)*(2 + m)) - (I*b*d*(e + f*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (d*(e + f*x))/(d*e - (I + c)*f)])/(2*f*(d*e - (I + c)*f)*(1 + m)*(2 + m))}
+{(e + f*x)^m*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2, x, 1, Unintegrable[(e + f*x)^m*(a + b*ArcCot[c + d*x])^2, x]}
+{(e + f*x)^m*(a + b*ArcCot[c + d*x])^3, x, 1, Unintegrable[(e + f*x)^m*(a + b*ArcCot[c + d*x])^3, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u ArcCot[a+b x^n]*)
+
+
+{x^3*ArcCot[a + b*x^4], x, 4, ((a + b*x^4)*ArcCot[a + b*x^4])/(4*b) + Log[1 + (a + b*x^4)^2]/(8*b)}
+
+
+{x^(n-1)*ArcCot[a + b*x^n], x, 4, ((a + b*x^n)*ArcCot[a + b*x^n])/(b*n) + Log[1 + (a + b*x^n)^2]/(2*b*n)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u^m (a+b ArcCot[Sqrt[1-c x]/Sqrt[1+c x]])^n*)
+
+
+{(a + b*ArcCot[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^n/(1 - c^2*x^2), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCot[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^n/(1 - c^2*x^2), x]}
+
+
+{(a + b*ArcCot[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3/(1 - c^2*x^2), x, 9, -((2*(a + b*ArcCot[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3*ArcCoth[1 - 2/(1 + (I*Sqrt[1 - c*x])/Sqrt[1 + c*x])])/c) + (3*I*b*(a + b*ArcCot[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*PolyLog[2, 1 - (2*I)/(I + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c) - (3*I*b*(a + b*ArcCot[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[1 - c*x])/(Sqrt[1 + c*x]*(I + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]))])/(2*c) + (3*b^2*(a + b*ArcCot[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[3, 1 - (2*I)/(I + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c) - (3*b^2*(a + b*ArcCot[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[3, 1 - (2*Sqrt[1 - c*x])/(Sqrt[1 + c*x]*(I + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]))])/(2*c) - (3*I*b^3*PolyLog[4, 1 - (2*I)/(I + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/(4*c) + (3*I*b^3*PolyLog[4, 1 - (2*Sqrt[1 - c*x])/(Sqrt[1 + c*x]*(I + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]))])/(4*c)}
+{(a + b*ArcCot[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2/(1 - c^2*x^2), x, 7, -((2*(a + b*ArcCot[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*ArcCoth[1 - 2/(1 + (I*Sqrt[1 - c*x])/Sqrt[1 + c*x])])/c) + (I*b*(a + b*ArcCot[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[2, 1 - (2*I)/(I + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/c - (I*b*(a + b*ArcCot[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[1 - c*x])/(Sqrt[1 + c*x]*(I + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]))])/c + (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*I)/(I + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c) - (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*Sqrt[1 - c*x])/(Sqrt[1 + c*x]*(I + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]))])/(2*c)}
+{(a + b*ArcCot[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^1/(1 - c^2*x^2), x, 4, -((a*Log[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])/c) + (I*b*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 + c*x])/Sqrt[1 - c*x])])/(2*c) - (I*b*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 + c*x])/Sqrt[1 - c*x]])/(2*c)}
+{1/((a + b*ArcCot[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^1*(1 - c^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCot[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])), x]}
+{1/((a + b*ArcCot[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*(1 - c^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCot[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCot[c+d Trig[a+b x]]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCot[c+d Tan[a+b x]]*)
+
+
+{ArcCot[Tan[a + b*x]], x, 2, -(ArcCot[Tan[a + b*x]]^2/(2*b))}
+
+
+{x^2*ArcCot[c + d*Tan[a + b*x]], x, 11, (1/3)*x^3*ArcCot[c + d*Tan[a + b*x]] - (1/6)*I*x^3*Log[1 + ((1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d)] + (1/6)*I*x^3*Log[1 + ((c + I*(1 - d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 + d))] - (x^2*PolyLog[2, -(((1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d))])/(4*b) + (x^2*PolyLog[2, -(((c + I*(1 - d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 + d)))])/(4*b) - (I*x*PolyLog[3, -(((1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d))])/(4*b^2) + (I*x*PolyLog[3, -(((c + I*(1 - d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 + d)))])/(4*b^2) + PolyLog[4, -(((1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d))]/(8*b^3) - PolyLog[4, -(((c + I*(1 - d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 + d)))]/(8*b^3)}
+{x^1*ArcCot[c + d*Tan[a + b*x]], x, 9, (1/2)*x^2*ArcCot[c + d*Tan[a + b*x]] - (1/4)*I*x^2*Log[1 + ((1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d)] + (1/4)*I*x^2*Log[1 + ((c + I*(1 - d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 + d))] - (x*PolyLog[2, -(((1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d))])/(4*b) + (x*PolyLog[2, -(((c + I*(1 - d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 + d)))])/(4*b) - (I*PolyLog[3, -(((1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d))])/(8*b^2) + (I*PolyLog[3, -(((c + I*(1 - d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 + d)))])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcCot[c + d*Tan[a + b*x]], x, 7, x*ArcCot[c + d*Tan[a + b*x]] - (1/2)*I*x*Log[1 + ((1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d)] + (1/2)*I*x*Log[1 + ((c + I*(1 - d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 + d))] - PolyLog[2, -(((1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d))]/(4*b) + PolyLog[2, -(((c + I*(1 - d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 + d)))]/(4*b)}
+{ArcCot[c + d*Tan[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCot[c + d*Tan[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcCot[c + (1 + I*c)*Tan[a + b*x]], x, 7, (b*x^4)/12 + (1/3)*x^3*ArcCot[c + (1 + I*c)*Tan[a + b*x]] + (1/6)*I*x^3*Log[1 - I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (x^2*PolyLog[2, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) + (I*x*PolyLog[3, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b^2) - PolyLog[4, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(8*b^3)}
+{x^1*ArcCot[c + (1 + I*c)*Tan[a + b*x]], x, 6, (b*x^3)/6 + (1/2)*x^2*ArcCot[c + (1 + I*c)*Tan[a + b*x]] + (1/4)*I*x^2*Log[1 - I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (x*PolyLog[2, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) + (I*PolyLog[3, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcCot[c + (1 + I*c)*Tan[a + b*x]], x, 5, (b*x^2)/2 + x*ArcCot[c + (1 + I*c)*Tan[a + b*x]] + (1/2)*I*x*Log[1 - I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + PolyLog[2, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(4*b)}
+{ArcCot[c + (1 + I*c)*Tan[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCot[c + (1 + I*c)*Tan[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcCot[c - (1 - I*c)*Tan[a + b*x]], x, 7, -((b*x^4)/12) + (1/3)*x^3*ArcCot[c - (1 - I*c)*Tan[a + b*x]] - (1/6)*I*x^3*Log[1 + I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] - (x^2*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) - (I*x*PolyLog[3, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b^2) + PolyLog[4, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(8*b^3)}
+{x^1*ArcCot[c - (1 - I*c)*Tan[a + b*x]], x, 6, -((b*x^3)/6) + (1/2)*x^2*ArcCot[c - (1 - I*c)*Tan[a + b*x]] - (1/4)*I*x^2*Log[1 + I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] - (x*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) - (I*PolyLog[3, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcCot[c - (1 - I*c)*Tan[a + b*x]], x, 5, -((b*x^2)/2) + x*ArcCot[c - (1 - I*c)*Tan[a + b*x]] - (1/2)*I*x*Log[1 + I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] - PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(4*b)}
+{ArcCot[c - (1 - I*c)*Tan[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCot[c - (1 - I*c)*Tan[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCot[c+d Cot[a+b x]]*)
+
+
+{ArcCot[Cot[a + b*x]], x, 2, ArcCot[Cot[a + b*x]]^2/(2*b)}
+
+
+{x^2*ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]], x, 11, (1/3)*x^3*ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]] - (1/6)*I*x^3*Log[1 - ((1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d)] + (1/6)*I*x^3*Log[1 - ((c + I*(1 + d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 - d))] - (x^2*PolyLog[2, ((1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d)])/(4*b) + (x^2*PolyLog[2, ((c + I*(1 + d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 - d))])/(4*b) - (I*x*PolyLog[3, ((1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d)])/(4*b^2) + (I*x*PolyLog[3, ((c + I*(1 + d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 - d))])/(4*b^2) + PolyLog[4, ((1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d)]/(8*b^3) - PolyLog[4, ((c + I*(1 + d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 - d))]/(8*b^3)}
+{x^1*ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]], x, 9, (1/2)*x^2*ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]] - (1/4)*I*x^2*Log[1 - ((1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d)] + (1/4)*I*x^2*Log[1 - ((c + I*(1 + d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 - d))] - (x*PolyLog[2, ((1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d)])/(4*b) + (x*PolyLog[2, ((c + I*(1 + d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 - d))])/(4*b) - (I*PolyLog[3, ((1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d)])/(8*b^2) + (I*PolyLog[3, ((c + I*(1 + d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 - d))])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]], x, 7, x*ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]] - (1/2)*I*x*Log[1 - ((1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d)] + (1/2)*I*x*Log[1 - ((c + I*(1 + d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 - d))] - PolyLog[2, ((1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d)]/(4*b) + PolyLog[2, ((c + I*(1 + d))*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(c + I*(1 - d))]/(4*b)}
+{ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcCot[c + (1 - I*c)*Cot[a + b*x]], x, 7, -((b*x^4)/12) + (1/3)*x^3*ArcCot[c + (1 - I*c)*Cot[a + b*x]] - (1/6)*I*x^3*Log[1 - I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] - (x^2*PolyLog[2, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) - (I*x*PolyLog[3, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b^2) + PolyLog[4, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(8*b^3)}
+{x^1*ArcCot[c + (1 - I*c)*Cot[a + b*x]], x, 6, -((b*x^3)/6) + (1/2)*x^2*ArcCot[c + (1 - I*c)*Cot[a + b*x]] - (1/4)*I*x^2*Log[1 - I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] - (x*PolyLog[2, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) - (I*PolyLog[3, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcCot[c + (1 - I*c)*Cot[a + b*x]], x, 5, -((b*x^2)/2) + x*ArcCot[c + (1 - I*c)*Cot[a + b*x]] - (1/2)*I*x*Log[1 - I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] - PolyLog[2, I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(4*b)}
+{ArcCot[c + (1 - I*c)*Cot[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCot[c + (1 - I*c)*Cot[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcCot[c - (1 + I*c)*Cot[a + b*x]], x, 7, (b*x^4)/12 + (1/3)*x^3*ArcCot[c - (1 + I*c)*Cot[a + b*x]] + (1/6)*I*x^3*Log[1 + I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (x^2*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) + (I*x*PolyLog[3, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b^2) - PolyLog[4, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(8*b^3)}
+{x^1*ArcCot[c - (1 + I*c)*Cot[a + b*x]], x, 6, (b*x^3)/6 + (1/2)*x^2*ArcCot[c - (1 + I*c)*Cot[a + b*x]] + (1/4)*I*x^2*Log[1 + I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (x*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) + (I*PolyLog[3, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcCot[c - (1 + I*c)*Cot[a + b*x]], x, 5, (b*x^2)/2 + x*ArcCot[c - (1 + I*c)*Cot[a + b*x]] + (1/2)*I*x*Log[1 + I*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(4*b)}
+{ArcCot[c - (1 + I*c)*Cot[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCot[c - (1 + I*c)*Cot[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCot[c+d Hyper[a+b x]]*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCot[c+d Sinh[a+b x]]*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCot[c+d Cosh[a+b x]]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCot[c+d Tanh[a+b x]]*)
+
+
+{(e + f*x)^3*ArcCot[Tanh[a + b*x]], x, 12, ((e + f*x)^4*ArcCot[Tanh[a + b*x]])/(4*f) + ((e + f*x)^4*ArcTan[E^(2*a + 2*b*x)])/(4*f) - (I*(e + f*x)^3*PolyLog[2, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*(e + f*x)^3*PolyLog[2, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (3*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[3, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2) - (3*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[3, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2) - (3*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[4, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3) + (3*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[4, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3) + (3*I*f^3*PolyLog[5, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(16*b^4) - (3*I*f^3*PolyLog[5, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(16*b^4)}
+{(e + f*x)^2*ArcCot[Tanh[a + b*x]], x, 10, ((e + f*x)^3*ArcCot[Tanh[a + b*x]])/(3*f) + ((e + f*x)^3*ArcTan[E^(2*a + 2*b*x)])/(3*f) - (I*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*f*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) - (I*f*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) - (I*f^2*PolyLog[4, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3) + (I*f^2*PolyLog[4, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3)}
+{(e + f*x)^1*ArcCot[Tanh[a + b*x]], x, 8, ((e + f*x)^2*ArcCot[Tanh[a + b*x]])/(2*f) + ((e + f*x)^2*ArcTan[E^(2*a + 2*b*x)])/(2*f) - (I*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*f*PolyLog[3, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2) - (I*f*PolyLog[3, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2)}
+{(e + f*x)^0*ArcCot[Tanh[a + b*x]], x, 6, x*ArcCot[Tanh[a + b*x]] + x*ArcTan[E^(2*a + 2*b*x)] - (I*PolyLog[2, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*PolyLog[2, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b)}
+{ArcCot[Tanh[a + b*x]]/(e + f*x)^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCot[Tanh[a + b*x]]/(e + f*x), x]}
+
+
+{x^2*ArcCot[c + d*Tanh[a + b*x]], x, 11, (1/3)*x^3*ArcCot[c + d*Tanh[a + b*x]] - (1/6)*I*x^3*Log[1 + ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)] + (1/6)*I*x^3*Log[1 + ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)] - (I*x^2*PolyLog[2, -(((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d))])/(4*b) + (I*x^2*PolyLog[2, -(((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d))])/(4*b) + (I*x*PolyLog[3, -(((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d))])/(4*b^2) - (I*x*PolyLog[3, -(((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d))])/(4*b^2) - (I*PolyLog[4, -(((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d))])/(8*b^3) + (I*PolyLog[4, -(((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d))])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcCot[c + d*Tanh[a + b*x]], x, 9, (1/2)*x^2*ArcCot[c + d*Tanh[a + b*x]] - (1/4)*I*x^2*Log[1 + ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)] + (1/4)*I*x^2*Log[1 + ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)] - (I*x*PolyLog[2, -(((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d))])/(4*b) + (I*x*PolyLog[2, -(((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d))])/(4*b) + (I*PolyLog[3, -(((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d))])/(8*b^2) - (I*PolyLog[3, -(((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d))])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcCot[c + d*Tanh[a + b*x]], x, 7, x*ArcCot[c + d*Tanh[a + b*x]] - (1/2)*I*x*Log[1 + ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)] + (1/2)*I*x*Log[1 + ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)] - (I*PolyLog[2, -(((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d))])/(4*b) + (I*PolyLog[2, -(((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d))])/(4*b)}
+{ArcCot[c + d*Tanh[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCot[c + d*Tanh[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcCot[c + (I + c)*Tanh[a + b*x]], x, 7, (1/12)*I*b*x^4 + (1/3)*x^3*ArcCot[c + (I + c)*Tanh[a + b*x]] - (1/6)*I*x^3*Log[1 + I*c*E^(2*a + 2*b*x)] - (I*x^2*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*x*PolyLog[3, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) - (I*PolyLog[4, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcCot[c + (I + c)*Tanh[a + b*x]], x, 6, (1/6)*I*b*x^3 + (1/2)*x^2*ArcCot[c + (I + c)*Tanh[a + b*x]] - (1/4)*I*x^2*Log[1 + I*c*E^(2*a + 2*b*x)] - (I*x*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*PolyLog[3, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcCot[c + (I + c)*Tanh[a + b*x]], x, 5, (1/2)*I*b*x^2 + x*ArcCot[c + (I + c)*Tanh[a + b*x]] - (1/2)*I*x*Log[1 + I*c*E^(2*a + 2*b*x)] - (I*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b)}
+{ArcCot[c + (I + c)*Tanh[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCot[c + (I + c)*Tanh[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcCot[c - (I - c)*Tanh[a + b*x]], x, 7, (-(1/12))*I*b*x^4 + (1/3)*x^3*ArcCot[c - (I - c)*Tanh[a + b*x]] + (1/6)*I*x^3*Log[1 - I*c*E^(2*a + 2*b*x)] + (I*x^2*PolyLog[2, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*x*PolyLog[3, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) + (I*PolyLog[4, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcCot[c - (I - c)*Tanh[a + b*x]], x, 6, (-(1/6))*I*b*x^3 + (1/2)*x^2*ArcCot[c - (I - c)*Tanh[a + b*x]] + (1/4)*I*x^2*Log[1 - I*c*E^(2*a + 2*b*x)] + (I*x*PolyLog[2, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*PolyLog[3, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcCot[c - (I - c)*Tanh[a + b*x]], x, 5, (-(1/2))*I*b*x^2 + x*ArcCot[c - (I - c)*Tanh[a + b*x]] + (1/2)*I*x*Log[1 - I*c*E^(2*a + 2*b*x)] + (I*PolyLog[2, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b)}
+{ArcCot[c - (I - c)*Tanh[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCot[c - (I - c)*Tanh[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCot[c+d Coth[a+b x]]*)
+
+
+{(e + f*x)^3*ArcCot[Coth[a + b*x]], x, 12, ((e + f*x)^4*ArcCot[Coth[a + b*x]])/(4*f) - ((e + f*x)^4*ArcTan[E^(2*a + 2*b*x)])/(4*f) + (I*(e + f*x)^3*PolyLog[2, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*(e + f*x)^3*PolyLog[2, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (3*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[3, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2) + (3*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[3, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2) + (3*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[4, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3) - (3*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[4, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3) - (3*I*f^3*PolyLog[5, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(16*b^4) + (3*I*f^3*PolyLog[5, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(16*b^4)}
+{(e + f*x)^2*ArcCot[Coth[a + b*x]], x, 10, ((e + f*x)^3*ArcCot[Coth[a + b*x]])/(3*f) - ((e + f*x)^3*ArcTan[E^(2*a + 2*b*x)])/(3*f) + (I*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*f*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) + (I*f*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) + (I*f^2*PolyLog[4, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3) - (I*f^2*PolyLog[4, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3)}
+{(e + f*x)^1*ArcCot[Coth[a + b*x]], x, 8, ((e + f*x)^2*ArcCot[Coth[a + b*x]])/(2*f) - ((e + f*x)^2*ArcTan[E^(2*a + 2*b*x)])/(2*f) + (I*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*f*PolyLog[3, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2) + (I*f*PolyLog[3, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2)}
+{(e + f*x)^0*ArcCot[Coth[a + b*x]], x, 6, x*ArcCot[Coth[a + b*x]] - x*ArcTan[E^(2*a + 2*b*x)] + (I*PolyLog[2, (-I)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*PolyLog[2, I*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b)}
+{ArcCot[Coth[a + b*x]]/(e + f*x)^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCot[Coth[a + b*x]]/(e + f*x), x]}
+
+
+{x^2*ArcCot[c + d*Coth[a + b*x]], x, 11, (1/3)*x^3*ArcCot[c + d*Coth[a + b*x]] - (1/6)*I*x^3*Log[1 - ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)] + (1/6)*I*x^3*Log[1 - ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)] - (I*x^2*PolyLog[2, ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)])/(4*b) + (I*x^2*PolyLog[2, ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)])/(4*b) + (I*x*PolyLog[3, ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)])/(4*b^2) - (I*x*PolyLog[3, ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)])/(4*b^2) - (I*PolyLog[4, ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)])/(8*b^3) + (I*PolyLog[4, ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcCot[c + d*Coth[a + b*x]], x, 9, (1/2)*x^2*ArcCot[c + d*Coth[a + b*x]] - (1/4)*I*x^2*Log[1 - ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)] + (1/4)*I*x^2*Log[1 - ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)] - (I*x*PolyLog[2, ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)])/(4*b) + (I*x*PolyLog[2, ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)])/(4*b) + (I*PolyLog[3, ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)])/(8*b^2) - (I*PolyLog[3, ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcCot[c + d*Coth[a + b*x]], x, 7, x*ArcCot[c + d*Coth[a + b*x]] - (1/2)*I*x*Log[1 - ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)] + (1/2)*I*x*Log[1 - ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)] - (I*PolyLog[2, ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)])/(4*b) + (I*PolyLog[2, ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)])/(4*b)}
+{ArcCot[c + d*Coth[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCot[c + d*Coth[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcCot[c + (I + c)*Coth[a + b*x]], x, 7, (1/12)*I*b*x^4 + (1/3)*x^3*ArcCot[c + (I + c)*Coth[a + b*x]] - (1/6)*I*x^3*Log[1 - I*c*E^(2*a + 2*b*x)] - (I*x^2*PolyLog[2, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*x*PolyLog[3, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) - (I*PolyLog[4, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcCot[c + (I + c)*Coth[a + b*x]], x, 6, (1/6)*I*b*x^3 + (1/2)*x^2*ArcCot[c + (I + c)*Coth[a + b*x]] - (1/4)*I*x^2*Log[1 - I*c*E^(2*a + 2*b*x)] - (I*x*PolyLog[2, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (I*PolyLog[3, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcCot[c + (I + c)*Coth[a + b*x]], x, 5, (1/2)*I*b*x^2 + x*ArcCot[c + (I + c)*Coth[a + b*x]] - (1/2)*I*x*Log[1 - I*c*E^(2*a + 2*b*x)] - (I*PolyLog[2, I*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b)}
+{ArcCot[c + (I + c)*Coth[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCot[c + (I + c)*Coth[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcCot[c - (I - c)*Coth[a + b*x]], x, 7, (-(1/12))*I*b*x^4 + (1/3)*x^3*ArcCot[c - (I - c)*Coth[a + b*x]] + (1/6)*I*x^3*Log[1 + I*c*E^(2*a + 2*b*x)] + (I*x^2*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*x*PolyLog[3, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) + (I*PolyLog[4, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcCot[c - (I - c)*Coth[a + b*x]], x, 6, (-(1/6))*I*b*x^3 + (1/2)*x^2*ArcCot[c - (I - c)*Coth[a + b*x]] + (1/4)*I*x^2*Log[1 + I*c*E^(2*a + 2*b*x)] + (I*x*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) - (I*PolyLog[3, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2)}
+{x^0*ArcCot[c - (I - c)*Coth[a + b*x]], x, 5, (-(1/2))*I*b*x^2 + x*ArcCot[c - (I - c)*Coth[a + b*x]] + (1/2)*I*x*Log[1 + I*c*E^(2*a + 2*b*x)] + (I*PolyLog[2, (-I)*c*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b)}
+{ArcCot[c - (I - c)*Coth[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCot[c - (I - c)*Coth[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e Log[f x^m]) (a+b ArcCot[c x^n])*)
+
+
+{((a + b*ArcCot[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^m]))/x, x, 13, a*d*Log[x] + (a*e*Log[f*x^m]^2)/(2*m) - (I*b*d*PolyLog[2, -(I/(x^n*c))])/(2*n) - (I*b*e*Log[f*x^m]*PolyLog[2, -(I/(x^n*c))])/(2*n) + (I*b*d*PolyLog[2, I/(x^n*c)])/(2*n) + (I*b*e*Log[f*x^m]*PolyLog[2, I/(x^n*c)])/(2*n) - (I*b*e*m*PolyLog[3, -(I/(x^n*c))])/(2*n^2) + (I*b*e*m*PolyLog[3, I/(x^n*c)])/(2*n^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving inverse cotangents of exponentials*)
+
+
+{ArcCot[E^x], x, 4, (-(1/2))*I*PolyLog[2, -I/E^x] + (1/2)*I*PolyLog[2, I/E^x]}
+{x*ArcCot[E^x], x, 7, (-(1/2))*I*x*PolyLog[2, -I/E^x] + (1/2)*I*x*PolyLog[2, I/E^x] - (1/2)*I*PolyLog[3, -I/E^x] + (1/2)*I*PolyLog[3, I/E^x]}
+{x^2*ArcCot[E^x], x, 9, (-(1/2))*I*x^2*PolyLog[2, -I/E^x] + (1/2)*I*x^2*PolyLog[2, I/E^x] - I*x*PolyLog[3, -I/E^x] + I*x*PolyLog[3, I/E^x] - I*PolyLog[4, -I/E^x] + I*PolyLog[4, I/E^x]}
+
+
+{ArcCot[E^(a + b*x)], x, 4, -((I*PolyLog[2, (-I)*E^(-a - b*x)])/(2*b)) + (I*PolyLog[2, I*E^(-a - b*x)])/(2*b)}
+{x*ArcCot[E^(a + b*x)], x, 7, -((I*x*PolyLog[2, (-I)*E^(-a - b*x)])/(2*b)) + (I*x*PolyLog[2, I*E^(-a - b*x)])/(2*b) - (I*PolyLog[3, (-I)*E^(-a - b*x)])/(2*b^2) + (I*PolyLog[3, I*E^(-a - b*x)])/(2*b^2)}
+{x^2*ArcCot[E^(a + b*x)], x, 9, -((I*x^2*PolyLog[2, (-I)*E^(-a - b*x)])/(2*b)) + (I*x^2*PolyLog[2, I*E^(-a - b*x)])/(2*b) - (I*x*PolyLog[3, (-I)*E^(-a - b*x)])/b^2 + (I*x*PolyLog[3, I*E^(-a - b*x)])/b^2 - (I*PolyLog[4, (-I)*E^(-a - b*x)])/b^3 + (I*PolyLog[4, I*E^(-a - b*x)])/b^3}
+
+
+{ArcCot[a + b*f^(c + d*x)], x, 6, -((ArcCot[a + b*f^(c + d*x)]*Log[2/(1 - I*(a + b*f^(c + d*x)))])/(d*Log[f])) + (ArcCot[a + b*f^(c + d*x)]*Log[(2*b*f^(c + d*x))/((I - a)*(1 - I*(a + b*f^(c + d*x))))])/(d*Log[f]) - (I*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*(a + b*f^(c + d*x)))])/(2*d*Log[f]) + (I*PolyLog[2, 1 - (2*b*f^(c + d*x))/((I - a)*(1 - I*(a + b*f^(c + d*x))))])/(2*d*Log[f])}
+{x*ArcCot[a + b*f^(c + d*x)], x, 25, (-(1/4))*I*x^2*Log[1 - (b*f^(c + d*x))/(I - a)] + (1/4)*I*x^2*Log[1 + (b*f^(c + d*x))/(I + a)] + (1/4)*I*x^2*Log[1 - I/(a + b*f^(c + d*x))] - (1/4)*I*x^2*Log[1 + I/(a + b*f^(c + d*x))] - (I*x*PolyLog[2, (b*f^(c + d*x))/(I - a)])/(2*d*Log[f]) + (I*x*PolyLog[2, -((b*f^(c + d*x))/(I + a))])/(2*d*Log[f]) + (I*PolyLog[3, (b*f^(c + d*x))/(I - a)])/(2*d^2*Log[f]^2) - (I*PolyLog[3, -((b*f^(c + d*x))/(I + a))])/(2*d^2*Log[f]^2)}
+{x^2*ArcCot[a + b*f^(c + d*x)], x, 29, (-(1/6))*I*x^3*Log[1 - (b*f^(c + d*x))/(I - a)] + (1/6)*I*x^3*Log[1 + (b*f^(c + d*x))/(I + a)] + (1/6)*I*x^3*Log[1 - I/(a + b*f^(c + d*x))] - (1/6)*I*x^3*Log[1 + I/(a + b*f^(c + d*x))] - (I*x^2*PolyLog[2, (b*f^(c + d*x))/(I - a)])/(2*d*Log[f]) + (I*x^2*PolyLog[2, -((b*f^(c + d*x))/(I + a))])/(2*d*Log[f]) + (I*x*PolyLog[3, (b*f^(c + d*x))/(I - a)])/(d^2*Log[f]^2) - (I*x*PolyLog[3, -((b*f^(c + d*x))/(I + a))])/(d^2*Log[f]^2) - (I*PolyLog[4, (b*f^(c + d*x))/(I - a)])/(d^3*Log[f]^3) + (I*PolyLog[4, -((b*f^(c + d*x))/(I + a))])/(d^3*Log[f]^3)}
+
+
+{ArcCot[E^x]/E^x, x, 5, -x - ArcCot[E^x]/E^x + (1/2)*Log[1 + E^(2*x)]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Miscellaneous integrands involving inverse cotangents*)
+
+
+{1/((a + a*x^2)*(b - 2*b*ArcCot[x])), x, 1, Log[1 - 2*ArcCot[x]]/(2*a*b)}
+
+
+{E^(c*(a + b*x))*ArcCot[Sinh[a*c + b*c*x]], x, 5, (E^(a*c + b*c*x)*ArcCot[Sinh[c*(a + b*x)]])/(b*c) + Log[1 + E^(2*c*(a + b*x))]/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcCot[Cosh[a*c + b*c*x]], x, 8, (E^(a*c + b*c*x)*ArcCot[Cosh[c*(a + b*x)]])/(b*c) + ((1 - Sqrt[2])*Log[3 - 2*Sqrt[2] + E^(2*c*(a + b*x))])/(2*b*c) + ((1 + Sqrt[2])*Log[3 + 2*Sqrt[2] + E^(2*c*(a + b*x))])/(2*b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcCot[Tanh[a*c + b*c*x]], x, 13, (E^(a*c + b*c*x)*ArcCot[Tanh[c*(a + b*x)]])/(b*c) - ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^(a*c + b*c*x)]/(Sqrt[2]*b*c) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^(a*c + b*c*x)]/(Sqrt[2]*b*c) + Log[1 + E^(2*c*(a + b*x)) - Sqrt[2]*E^(a*c + b*c*x)]/(2*Sqrt[2]*b*c) - Log[1 + E^(2*c*(a + b*x)) + Sqrt[2]*E^(a*c + b*c*x)]/(2*Sqrt[2]*b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcCot[Coth[a*c + b*c*x]], x, 13, (E^(a*c + b*c*x)*ArcCot[Coth[c*(a + b*x)]])/(b*c) + ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^(a*c + b*c*x)]/(Sqrt[2]*b*c) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^(a*c + b*c*x)]/(Sqrt[2]*b*c) - Log[1 + E^(2*c*(a + b*x)) - Sqrt[2]*E^(a*c + b*c*x)]/(2*Sqrt[2]*b*c) + Log[1 + E^(2*c*(a + b*x)) + Sqrt[2]*E^(a*c + b*c*x)]/(2*Sqrt[2]*b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcCot[Sech[a*c + b*c*x]], x, 8, (E^(a*c + b*c*x)*ArcCot[Sech[c*(a + b*x)]])/(b*c) - ((1 - Sqrt[2])*Log[3 - 2*Sqrt[2] + E^(2*c*(a + b*x))])/(2*b*c) - ((1 + Sqrt[2])*Log[3 + 2*Sqrt[2] + E^(2*c*(a + b*x))])/(2*b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcCot[Csch[a*c + b*c*x]], x, 5, (E^(a*c + b*c*x)*ArcCot[Csch[c*(a + b*x)]])/(b*c) - Log[1 + E^(2*c*(a + b*x))]/(b*c)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.4 Inverse cotangent/5.4.2 Exponentials of inverse cotangent.m b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.4 Inverse cotangent/5.4.2 Exponentials of inverse cotangent.m
new file mode 100644
index 00000000..5848ed60
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.4 Inverse cotangent/5.4.2 Exponentials of inverse cotangent.m	
@@ -0,0 +1,27 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands involving exponentials of inverse cotangent*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving exponentials of inverse cotangents*)
+
+
+{E^ArcCot[x], x, 2, (4/5 + (8*I)/5)*((-I + x)/x)^(1 + I/2)*((I + x)/x)^(-1 - I/2)*Hypergeometric2F1[1 + I/2, 2, 2 + I/2, (1 - I/x)/(1 + I/x)]}
+
+
+{E^ArcCot[x]/(a + a*x^2), x, 1, -(E^ArcCot[x]/a)}
+{E^ArcCot[x]/(a + a*x^2)^2, x, 2, -((2*E^ArcCot[x])/(5*a^2)) - (E^ArcCot[x]*(1 - 2*x))/(5*a^2*(1 + x^2))}
+{E^ArcCot[x]/(a + a*x^2)^3, x, 3, -((24*E^ArcCot[x])/(85*a^3)) - (E^ArcCot[x]*(1 - 4*x))/(17*a^3*(1 + x^2)^2) - (12*E^ArcCot[x]*(1 - 2*x))/(85*a^3*(1 + x^2))}
+
+{E^ArcCot[x]/(a + a*x^2)^(3/2), x, 1, -((E^ArcCot[x]*(1 - x))/(2*a*Sqrt[a + a*x^2]))}
+{E^ArcCot[x]/(a + a*x^2)^(5/2), x, 2, -((E^ArcCot[x]*(1 - 3*x))/(10*a*(a + a*x^2)^(3/2))) - (3*E^ArcCot[x]*(1 - x))/(10*a^2*Sqrt[a + a*x^2])}
+{E^ArcCot[x]/(a + a*x^2)^(7/2), x, 3, -((E^ArcCot[x]*(1 - 5*x))/(26*a*(a + a*x^2)^(5/2))) - (E^ArcCot[x]*(1 - 3*x))/(13*a^2*(a + a*x^2)^(3/2)) - (3*E^ArcCot[x]*(1 - x))/(13*a^3*Sqrt[a + a*x^2])}
+
+
+{E^(n*ArcCot[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(1/3), x, 3, (3*(1 + 1/(a^2*x^2))^(1/3)*((a - I/x)/(a + I/x))^((1/6)*(2 - 3*I*n))*(1 - I/(a*x))^((1/6)*(-2 + 3*I*n))*(1 + I/(a*x))^((1/6)*(4 - 3*I*n))*x*Hypergeometric2F1[-(1/3), (1/6)*(2 - 3*I*n), 2/3, (2*I)/((a + I/x)*x)])/(c + a^2*c*x^2)^(1/3)}
+{E^(n*ArcCot[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(2/3), x, 3, -((3*(1 + 1/(a^2*x^2))^(2/3)*((a - I/x)/(a + I/x))^((1/6)*(4 - 3*I*n))*(1 - I/(a*x))^((1/6)*(-4 + 3*I*n))*(1 + I/(a*x))^((1/6)*(2 - 3*I*n))*x*Hypergeometric2F1[1/3, (1/6)*(4 - 3*I*n), 4/3, (2*I)/((a + I/x)*x)])/(c + a^2*c*x^2)^(2/3))}
+{E^(n*ArcCot[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(4/3), x, 4, -((3*E^(n*ArcCot[a*x])*(3*n - 2*a*x))/(a*c*(4 + 9*n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(1/3))) - (6*(1 + 1/(a^2*x^2))^(1/3)*((a - I/x)/(a + I/x))^((1/6)*(2 - 3*I*n))*(1 - I/(a*x))^((1/6)*(-2 + 3*I*n))*(1 + I/(a*x))^((1/6)*(4 - 3*I*n))*x*Hypergeometric2F1[-(1/3), (1/6)*(2 - 3*I*n), 2/3, (2*I)/((a + I/x)*x)])/(c*(4 + 9*n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(1/3))}
+{E^(n*ArcCot[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(5/3), x, 4, -((3*E^(n*ArcCot[a*x])*(3*n - 4*a*x))/(a*c*(16 + 9*n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(2/3))) - (12*(1 + 1/(a^2*x^2))^(2/3)*((a - I/x)/(a + I/x))^((1/6)*(4 - 3*I*n))*(1 - I/(a*x))^((1/6)*(-4 + 3*I*n))*(1 + I/(a*x))^((1/6)*(2 - 3*I*n))*x*Hypergeometric2F1[1/3, (1/6)*(4 - 3*I*n), 4/3, (2*I)/((a + I/x)*x)])/(c*(16 + 9*n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(2/3))}
+{E^(n*ArcCot[a*x])/(c + a^2*c*x^2)^(7/3), x, 5, If[$VersionNumber>=8, -((3*E^(n*ArcCot[a*x])*(3*n - 8*a*x))/(a*c*(64 + 9*n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(4/3))) - (120*E^(n*ArcCot[a*x])*(3*n - 2*a*x))/(a*c^2*(4 + 9*n^2)*(64 + 9*n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(1/3)) - (240*(1 + 1/(a^2*x^2))^(1/3)*((a - I/x)/(a + I/x))^((1/6)*(2 - 3*I*n))*(1 - I/(a*x))^((1/6)*(-2 + 3*I*n))*(1 + I/(a*x))^((1/6)*(4 - 3*I*n))*x*Hypergeometric2F1[-(1/3), (1/6)*(2 - 3*I*n), 2/3, (2*I)/((a + I/x)*x)])/(c^2*(4 + 9*n^2)*(64 + 9*n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(1/3)), -((3*E^(n*ArcCot[a*x])*(3*n - 8*a*x))/(a*c*(64 + 9*n^2)*(c + a^2*c*x^2)^(4/3))) - (120*E^(n*ArcCot[a*x])*(3*n - 2*a*x))/(a*c^2*(256 + 612*n^2 + 81*n^4)*(c + a^2*c*x^2)^(1/3)) - (240*(1 + 1/(a^2*x^2))^(1/3)*((a - I/x)/(a + I/x))^((1/6)*(2 - 3*I*n))*(1 - I/(a*x))^((1/6)*(-2 + 3*I*n))*(1 + I/(a*x))^((1/6)*(4 - 3*I*n))*x*Hypergeometric2F1[-(1/3), (1/6)*(2 - 3*I*n), 2/3, (2*I)/((a + I/x)*x)])/(c^2*(256 + 612*n^2 + 81*n^4)*(c + a^2*c*x^2)^(1/3))]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.5 Inverse secant/5.5.1 u (a+b arcsec(c x))^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.5 Inverse secant/5.5.1 u (a+b arcsec(c x))^n.m
new file mode 100644
index 00000000..dd17c008
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.5 Inverse secant/5.5.1 u (a+b arcsec(c x))^n.m	
@@ -0,0 +1,333 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcSec[c x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcSec[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcSec[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^6*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 7, -((5*b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^2)/(112*c^5)) - (5*b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^4)/(168*c^3) - (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^6)/(42*c) + (1/7)*x^7*(a + b*ArcSec[c*x]) - (5*b*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/(112*c^7)}
+{x^5*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 4, -((4*b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(45*c^5)) - (2*b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^3)/(45*c^3) - (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^5)/(30*c) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcSec[c*x])}
+{x^4*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 6, -((3*b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^2)/(40*c^3)) - (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^4)/(20*c) + (1/5)*x^5*(a + b*ArcSec[c*x]) - (3*b*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/(40*c^5)}
+{x^3*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 3, -((b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(6*c^3)) - (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^3)/(12*c) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcSec[c*x])}
+{x^2*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 5, -((b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^2)/(6*c)) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcSec[c*x]) - (b*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/(6*c^3)}
+{x^1*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 2, -((b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(2*c)) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcSec[c*x])}
+{x^0*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 5, a*x + b*x*ArcSec[c*x] - (b*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/c}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/x^1, x, 6, (I*(a + b*ArcSec[c*x])^2)/(2*b) - (a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[c*x])] + (1/2)*I*b*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[c*x])]}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/x^2, x, 2, b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)] - (a + b*ArcSec[c*x])/x}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/x^3, x, 4, (b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(4*x) - (a + b*ArcSec[c*x])/(2*x^2) - (1/4)*b*c^2*ArcCsc[c*x]}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/x^4, x, 4, (1/3)*b*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)] - (1/9)*b*c^3*(1 - 1/(c^2*x^2))^(3/2) - (a + b*ArcSec[c*x])/(3*x^3)}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/x^5, x, 5, (b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(16*x^3) + (3*b*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(32*x) - (a + b*ArcSec[c*x])/(4*x^4) - (3/32)*b*c^4*ArcCsc[c*x]}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/x^6, x, 4, (1/5)*b*c^5*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)] - (2/15)*b*c^5*(1 - 1/(c^2*x^2))^(3/2) + (1/25)*b*c^5*(1 - 1/(c^2*x^2))^(5/2) - (a + b*ArcSec[c*x])/(5*x^5)}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/x^7, x, 6, (b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(36*x^5) + (5*b*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(144*x^3) + (5*b*c^5*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(96*x) - (a + b*ArcSec[c*x])/(6*x^6) - (5/96)*b*c^6*ArcCsc[c*x]}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcSec[c*x])^2, x, 5, (b^2*x^2)/(12*c^2) - (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*c^3) - (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^3*(a + b*ArcSec[c*x]))/(6*c) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcSec[c*x])^2 + (b^2*Log[x])/(3*c^4)}
+{x^2*(a + b*ArcSec[c*x])^2, x, 8, (b^2*x)/(3*c^2) - (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*c) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcSec[c*x])^2 + (2*I*b*(a + b*ArcSec[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSec[c*x])])/(3*c^3) - (I*b^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSec[c*x])])/(3*c^3) + (I*b^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSec[c*x])])/(3*c^3)}
+{x^1*(a + b*ArcSec[c*x])^2, x, 4, -((b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*(a + b*ArcSec[c*x]))/c) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcSec[c*x])^2 + (b^2*Log[x])/c^2}
+{x^0*(a + b*ArcSec[c*x])^2, x, 7, x*(a + b*ArcSec[c*x])^2 + (4*I*b*(a + b*ArcSec[c*x])*ArcTan[E^(I*ArcSec[c*x])])/c - (2*I*b^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSec[c*x])])/c + (2*I*b^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSec[c*x])])/c}
+{(a + b*ArcSec[c*x])^2/x^1, x, 6, (I*(a + b*ArcSec[c*x])^3)/(3*b) - (a + b*ArcSec[c*x])^2*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[c*x])] + I*b*(a + b*ArcSec[c*x])*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[c*x])] - (1/2)*b^2*PolyLog[3, -E^(2*I*ArcSec[c*x])]}
+{(a + b*ArcSec[c*x])^2/x^2, x, 4, (2*b^2)/x + 2*b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcSec[c*x]) - (a + b*ArcSec[c*x])^2/x}
+{(a + b*ArcSec[c*x])^2/x^3, x, 4, b^2/(4*x^2) - (1/2)*a*b*c^2*ArcSec[c*x] - (1/4)*b^2*c^2*ArcSec[c*x]^2 + (b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcSec[c*x]))/(2*x) + (1/2)*(c^2 - 1/x^2)*(a + b*ArcSec[c*x])^2}
+{(a + b*ArcSec[c*x])^2/x^4, x, 5, (2*b^2)/(27*x^3) + (4*b^2*c^2)/(9*x) + (4/9)*b*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcSec[c*x]) + (2*b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcSec[c*x]))/(9*x^2) - (a + b*ArcSec[c*x])^2/(3*x^3)}
+{(a + b*ArcSec[c*x])^2/x^5, x, 5, b^2/(32*x^4) + (3*b^2*c^2)/(32*x^2) + (3/16)*a*b*c^4*ArcSec[c*x] + (3/32)*b^2*c^4*ArcSec[c*x]^2 + (b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcSec[c*x]))/(8*x^3) + (3*b*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcSec[c*x]))/(16*x) - (a + b*ArcSec[c*x])^2/(4*x^4)}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcSec[c*x])^3, x, 10, -((b^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(4*c^3)) + (b^2*x^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(4*c^2) + (I*b*(a + b*ArcSec[c*x])^2)/(2*c^4) - (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*(a + b*ArcSec[c*x])^2)/(2*c^3) - (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^3*(a + b*ArcSec[c*x])^2)/(4*c) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcSec[c*x])^3 - (b^2*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[c*x])])/c^4 + (I*b^3*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[c*x])])/(2*c^4)}
+{x^2*(a + b*ArcSec[c*x])^3, x, 11, (b^2*x*(a + b*ArcSec[c*x]))/c^2 - (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^2*(a + b*ArcSec[c*x])^2)/(2*c) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcSec[c*x])^3 + (I*b*(a + b*ArcSec[c*x])^2*ArcTan[E^(I*ArcSec[c*x])])/c^3 - (b^3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/c^3 - (I*b^2*(a + b*ArcSec[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSec[c*x])])/c^3 + (I*b^2*(a + b*ArcSec[c*x])*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSec[c*x])])/c^3 + (b^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSec[c*x])])/c^3 - (b^3*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSec[c*x])])/c^3}
+{x^1*(a + b*ArcSec[c*x])^3, x, 7, (3*I*b*(a + b*ArcSec[c*x])^2)/(2*c^2) - (3*b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*(a + b*ArcSec[c*x])^2)/(2*c) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcSec[c*x])^3 - (3*b^2*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[c*x])])/c^2 + (3*I*b^3*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[c*x])])/(2*c^2)}
+{x^0*(a + b*ArcSec[c*x])^3, x, 9, x*(a + b*ArcSec[c*x])^3 + (6*I*b*(a + b*ArcSec[c*x])^2*ArcTan[E^(I*ArcSec[c*x])])/c - (6*I*b^2*(a + b*ArcSec[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSec[c*x])])/c + (6*I*b^2*(a + b*ArcSec[c*x])*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSec[c*x])])/c + (6*b^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSec[c*x])])/c - (6*b^3*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSec[c*x])])/c}
+{(a + b*ArcSec[c*x])^3/x^1, x, 7, (I*(a + b*ArcSec[c*x])^4)/(4*b) - (a + b*ArcSec[c*x])^3*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[c*x])] + (3/2)*I*b*(a + b*ArcSec[c*x])^2*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[c*x])] - (3/2)*b^2*(a + b*ArcSec[c*x])*PolyLog[3, -E^(2*I*ArcSec[c*x])] - (3/4)*I*b^3*PolyLog[4, -E^(2*I*ArcSec[c*x])]}
+{(a + b*ArcSec[c*x])^3/x^2, x, 5, -6*b^3*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)] + (6*b^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/x + 3*b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcSec[c*x])^2 - (a + b*ArcSec[c*x])^3/x}
+{(a + b*ArcSec[c*x])^3/x^3, x, 6, -((3*b^3*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(8*x)) + (3/8)*b^3*c^2*ArcSec[c*x] - (3/4)*b^2*(c^2 - 1/x^2)*(a + b*ArcSec[c*x]) + (3*b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcSec[c*x])^2)/(4*x) - (1/4)*c^2*(a + b*ArcSec[c*x])^3 + (1/2)*(c^2 - 1/x^2)*(a + b*ArcSec[c*x])^3}
+{(a + b*ArcSec[c*x])^3/x^4, x, 8, (-(14/9))*b^3*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)] + (2/27)*b^3*c^3*(1 - 1/(c^2*x^2))^(3/2) + (2*b^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(9*x^3) + (4*b^2*c^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*x) + (2/3)*b*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcSec[c*x])^2 + (b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcSec[c*x])^2)/(3*x^2) - (a + b*ArcSec[c*x])^3/(3*x^3)}
+{(a + b*ArcSec[c*x])^3/x^5, x, 10, -((3*b^3*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(128*x^3)) - (45*b^3*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(256*x) - (45/256)*b^3*c^4*ArcSec[c*x] + (3*b^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(32*x^4) + (9*b^2*c^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(32*x^2) + (3*b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcSec[c*x])^2)/(16*x^3) + (9*b*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcSec[c*x])^2)/(32*x) + (3/32)*c^4*(a + b*ArcSec[c*x])^3 - (a + b*ArcSec[c*x])^3/(4*x^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^1/(a + b*ArcSec[c*x]), x, 0, Unintegrable[x/(a + b*ArcSec[c*x]), x]}
+{x^0/(a + b*ArcSec[c*x]), x, 0, Unintegrable[1/(a + b*ArcSec[c*x]), x]}
+{1/(x^1*(a + b*ArcSec[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*ArcSec[c*x])), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcSec[c*x])), x, 4, -((c*CosIntegral[a/b + ArcSec[c*x]]*Sin[a/b])/b) + (c*Cos[a/b]*SinIntegral[a/b + ArcSec[c*x]])/b}
+{1/(x^3*(a + b*ArcSec[c*x])), x, 6, -((c^2*CosIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSec[c*x]]*Sin[(2*a)/b])/(2*b)) + (c^2*Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSec[c*x]])/(2*b)}
+{1/(x^4*(a + b*ArcSec[c*x])), x, 9, -((c^3*CosIntegral[a/b + ArcSec[c*x]]*Sin[a/b])/(4*b)) - (c^3*CosIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSec[c*x]]*Sin[(3*a)/b])/(4*b) + (c^3*Cos[a/b]*SinIntegral[a/b + ArcSec[c*x]])/(4*b) + (c^3*Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSec[c*x]])/(4*b)}
+
+
+{x^1/(a + b*ArcSec[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[x/(a + b*ArcSec[c*x])^2, x]}
+{x^0/(a + b*ArcSec[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[1/(a + b*ArcSec[c*x])^2, x]}
+{1/(x^1*(a + b*ArcSec[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*ArcSec[c*x])^2), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcSec[c*x])^2), x, 5, -((c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(b*(a + b*ArcSec[c*x]))) + (c*Cos[a/b]*CosIntegral[a/b + ArcSec[c*x]])/b^2 + (c*Sin[a/b]*SinIntegral[a/b + ArcSec[c*x]])/b^2}
+{1/(x^3*(a + b*ArcSec[c*x])^2), x, 7, (c^2*Cos[(2*a)/b]*CosIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSec[c*x]])/b^2 - (c^2*Sin[2*ArcSec[c*x]])/(2*b*(a + b*ArcSec[c*x])) + (c^2*Sin[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSec[c*x]])/b^2}
+{1/(x^4*(a + b*ArcSec[c*x])^2), x, 11, -((c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(4*b*(a + b*ArcSec[c*x]))) + (c^3*Cos[a/b]*CosIntegral[a/b + ArcSec[c*x]])/(4*b^2) + (3*c^3*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSec[c*x]])/(4*b^2) - (c^3*Sin[3*ArcSec[c*x]])/(4*b*(a + b*ArcSec[c*x])) + (c^3*Sin[a/b]*SinIntegral[a/b + ArcSec[c*x]])/(4*b^2) + (3*c^3*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSec[c*x]])/(4*b^2)}
+
+
+{x^1/(a + b*ArcSec[c*x])^3, x, 0, Unintegrable[x/(a + b*ArcSec[c*x])^3, x]}
+{x^0/(a + b*ArcSec[c*x])^3, x, 0, Unintegrable[1/(a + b*ArcSec[c*x])^3, x]}
+{1/(x^1*(a + b*ArcSec[c*x])^3), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*ArcSec[c*x])^3), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcSec[c*x])^3), x, 6, -((c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(2*b*(a + b*ArcSec[c*x])^2)) - 1/(2*b^2*x*(a + b*ArcSec[c*x])) + (c*CosIntegral[a/b + ArcSec[c*x]]*Sin[a/b])/(2*b^3) - (c*Cos[a/b]*SinIntegral[a/b + ArcSec[c*x]])/(2*b^3)}
+{1/(x^3*(a + b*ArcSec[c*x])^3), x, 8, -((c^2*Cos[2*ArcSec[c*x]])/(2*b^2*(a + b*ArcSec[c*x]))) + (c^2*CosIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSec[c*x]]*Sin[(2*a)/b])/b^3 - (c^2*Sin[2*ArcSec[c*x]])/(4*b*(a + b*ArcSec[c*x])^2) - (c^2*Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSec[c*x]])/b^3}
+{1/(x^4*(a + b*ArcSec[c*x])^3), x, 13, -((c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(8*b*(a + b*ArcSec[c*x])^2)) - c^2/(8*b^2*x*(a + b*ArcSec[c*x])) - (3*c^3*Cos[3*ArcSec[c*x]])/(8*b^2*(a + b*ArcSec[c*x])) + (c^3*CosIntegral[a/b + ArcSec[c*x]]*Sin[a/b])/(8*b^3) + (9*c^3*CosIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSec[c*x]]*Sin[(3*a)/b])/(8*b^3) - (c^3*Sin[3*ArcSec[c*x]])/(8*b*(a + b*ArcSec[c*x])^2) - (c^3*Cos[a/b]*SinIntegral[a/b + ArcSec[c*x]])/(8*b^3) - (9*c^3*Cos[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSec[c*x]])/(8*b^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcSec[c x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*ArcSec[c*x])^3, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcSec[c*x])^3, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcSec[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcSec[c*x])^2, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcSec[c*x])^1, x, 3, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(d*(1 + m)) - (b*(d*x)^m*Hypergeometric2F1[1/2, -(m/2), 1 - m/2, 1/(c^2*x^2)])/(c*m*(1 + m))}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcSec[c*x])^1, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcSec[c*x]), x]}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcSec[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcSec[c*x])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x)^p (a+b ArcSec[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcSec[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(d + e*x)^3*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 11, -((b*e*(9*c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(6*c^3)) - (b*d*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^2)/(2*c) - (b*e^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^3)/(12*c) + (b*d^4*ArcCsc[c*x])/(4*e) + ((d + e*x)^4*(a + b*ArcSec[c*x]))/(4*e) - (b*d*(2*c^2*d^2 + e^2)*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/(2*c^3)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 10, -((b*d*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/c) - (b*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^2)/(6*c) + (b*d^3*ArcCsc[c*x])/(3*e) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*e) - (b*(6*c^2*d^2 + e^2)*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/(6*c^3)}
+{(d + e*x)^1*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 9, -((b*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(2*c)) + (b*d^2*ArcCsc[c*x])/(2*e) + ((d + e*x)^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(2*e) - (b*d*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/c}
+{(d + e*x)^0*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 5, a*x + b*x*ArcSec[c*x] - (b*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/c}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x)^1, x, 4, ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + ((e - Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])*E^(I*ArcSec[c*x]))/(c*d)])/e + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + ((e + Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])*E^(I*ArcSec[c*x]))/(c*d)])/e - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[c*x])])/e - (I*b*PolyLog[2, -(((e - Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])*E^(I*ArcSec[c*x]))/(c*d))])/e - (I*b*PolyLog[2, -(((e + Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])*E^(I*ArcSec[c*x]))/(c*d))])/e + (I*b*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[c*x])])/(2*e)}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x)^2, x, 7, -((b*ArcCsc[c*x])/(d*e)) - (a + b*ArcSec[c*x])/(e*(d + e*x)) - (b*ArcTanh[(c^2*d + e/x)/(c*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(d*Sqrt[c^2*d^2 - e^2])}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x)^3, x, 8, (b*c*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(2*d*(c^2*d^2 - e^2)*(e + d/x)) - (b*ArcCsc[c*x])/(2*d^2*e) - (a + b*ArcSec[c*x])/(2*e*(d + e*x)^2) - (b*(2*c^2*d^2 - e^2)*ArcTanh[(c^2*d + e/x)/(c*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(2*d^2*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (a+b ArcSec[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 22, (4*b*e*Sqrt[d + e*x]*(1 - c^2*x^2))/(15*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) + (2*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(5*e) + (28*b*d*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*c^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) + (4*b*(2*c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*c^4*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (4*b*d^3*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(5*c*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{(d + e*x)^(1/2)*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 15, (2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*e) + (4*b*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) + (4*b*d*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (4*b*d^2*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x)^(1/2), x, 9, (2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcSec[c*x]))/e + (4*b*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(c^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (4*b*d*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(c*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x)^(3/2), x, 6, -((2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(e*Sqrt[d + e*x])) - (4*b*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(c*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x)^(5/2), x, 12, -((4*b*e*(1 - c^2*x^2))/(3*c*d*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])) - (2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*e*(d + e*x)^(3/2)) + (4*b*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*d*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) - (4*b*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c*d*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x)^(7/2), x, 19, -((4*b*e*(1 - c^2*x^2))/(15*c*d*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*(d + e*x)^(3/2))) - (16*b*c*e*(1 - c^2*x^2))/(15*(c^2*d^2 - e^2)^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*e*(1 - c^2*x^2))/(5*c*d^2*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(5*e*(d + e*x)^(5/2)) + (4*b*(7*c^2*d^2 - 3*e^2)*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*(c^2*d^3 - d*e^2)^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) - (4*b*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*d*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(5*c*d^2*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]), -((4*b*e*(1 - c^2*x^2))/(15*c*d*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*(d + e*x)^(3/2))) - (16*b*c*e*(1 - c^2*x^2))/(15*(c^2*d^2 - e^2)^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*e*(1 - c^2*x^2))/(5*c*d^2*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(5*e*(d + e*x)^(5/2)) + (16*b*c^2*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*(c^2*d^2 - e^2)^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) + (4*b*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(5*d^2*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) - (4*b*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*d*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(5*c*d^2*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcSec[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^p (a+b ArcSec[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^4*(d + e*x^2)*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 7, -((b*(42*c^2*d + 25*e)*x^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(560*c^5*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*(42*c^2*d + 25*e)*x^4*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(840*c^3*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*e*x^6*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(42*c*Sqrt[c^2*x^2]) + (1/5)*d*x^5*(a + b*ArcSec[c*x]) + (1/7)*e*x^7*(a + b*ArcSec[c*x]) - (b*(42*c^2*d + 25*e)*x*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(560*c^6*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^2*(d + e*x^2)*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 6, -((b*(20*c^2*d + 9*e)*x^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(120*c^3*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*e*x^4*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(20*c*Sqrt[c^2*x^2]) + (1/3)*d*x^3*(a + b*ArcSec[c*x]) + (1/5)*e*x^5*(a + b*ArcSec[c*x]) - (b*(20*c^2*d + 9*e)*x*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(120*c^4*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^0*(d + e*x^2)*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 5, -((b*e*x^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(6*c*Sqrt[c^2*x^2])) + d*x*(a + b*ArcSec[c*x]) + (1/3)*e*x^3*(a + b*ArcSec[c*x]) - (b*(6*c^2*d + e)*x*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(6*c^2*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcSec[c*x])/x^2, x, 4, (b*c*d*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/Sqrt[c^2*x^2] - (d*(a + b*ArcSec[c*x]))/x + e*x*(a + b*ArcSec[c*x]) - (b*e*x*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/Sqrt[c^2*x^2]}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcSec[c*x])/x^4, x, 4, (b*c*(2*c^2*d + 9*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(9*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*d*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(9*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (d*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*x^3) - (e*(a + b*ArcSec[c*x]))/x}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcSec[c*x])/x^6, x, 5, (2*b*c^3*(12*c^2*d + 25*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(225*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*d*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(25*x^4*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*(12*c^2*d + 25*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(225*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (d*(a + b*ArcSec[c*x]))/(5*x^5) - (e*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*x^3)}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcSec[c*x])/x^8, x, 6, (8*b*c^5*(30*c^2*d + 49*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(3675*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*d*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(49*x^6*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*(30*c^2*d + 49*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(1225*x^4*Sqrt[c^2*x^2]) + (4*b*c^3*(30*c^2*d + 49*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(3675*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (d*(a + b*ArcSec[c*x]))/(7*x^7) - (e*(a + b*ArcSec[c*x]))/(5*x^5)}
+
+{x^5*(d + e*x^2)*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 5, -((b*(4*c^2*d + 3*e)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(24*c^7*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*(8*c^2*d + 9*e)*x*(-1 + c^2*x^2)^(3/2))/(72*c^7*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*(4*c^2*d + 9*e)*x*(-1 + c^2*x^2)^(5/2))/(120*c^7*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*e*x*(-1 + c^2*x^2)^(7/2))/(56*c^7*Sqrt[c^2*x^2]) + (1/6)*d*x^6*(a + b*ArcSec[c*x]) + (1/8)*e*x^8*(a + b*ArcSec[c*x])}
+{x^3*(d + e*x^2)*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 5, -((b*(3*c^2*d + 2*e)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(12*c^5*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*(3*c^2*d + 4*e)*x*(-1 + c^2*x^2)^(3/2))/(36*c^5*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*e*x*(-1 + c^2*x^2)^(5/2))/(30*c^5*Sqrt[c^2*x^2]) + (1/4)*d*x^4*(a + b*ArcSec[c*x]) + (1/6)*e*x^6*(a + b*ArcSec[c*x])}
+{x^1*(d + e*x^2)*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 6, -((b*(2*c^2*d + e)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(4*c^3*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*e*x*(-1 + c^2*x^2)^(3/2))/(12*c^3*Sqrt[c^2*x^2]) + ((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(4*e) - (b*c*d^2*x*ArcTan[Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(4*e*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcSec[c*x])/x^1, x, 11, -((b*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(2*c)) - (1/2)*I*b*d*ArcCsc[c*x]^2 + (1/2)*e*x^2*(a + b*ArcSec[c*x]) + b*d*ArcCsc[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[c*x])] - b*d*ArcCsc[c*x]*Log[1/x] - d*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1/x] - (1/2)*I*b*d*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[c*x])]}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcSec[c*x])/x^3, x, 13, (b*c*d*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(4*x) - (1/4)*b*c^2*d*ArcCsc[c*x] - (1/2)*I*b*e*ArcCsc[c*x]^2 - (d*(a + b*ArcSec[c*x]))/(2*x^2) + b*e*ArcCsc[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[c*x])] - b*e*ArcCsc[c*x]*Log[1/x] - e*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1/x] - (1/2)*I*b*e*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[c*x])]}
+
+
+{x^2*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 7, -((b*(280*c^4*d^2 + 252*c^2*d*e + 75*e^2)*x^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(1680*c^5*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*e*(84*c^2*d + 25*e)*x^4*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(840*c^3*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*e^2*x^6*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(42*c*Sqrt[c^2*x^2]) + (1/3)*d^2*x^3*(a + b*ArcSec[c*x]) + (2/5)*d*e*x^5*(a + b*ArcSec[c*x]) + (1/7)*e^2*x^7*(a + b*ArcSec[c*x]) - (b*(280*c^4*d^2 + 252*c^2*d*e + 75*e^2)*x*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(1680*c^6*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^0*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 6, -((b*e*(40*c^2*d + 9*e)*x^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(120*c^3*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*e^2*x^4*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(20*c*Sqrt[c^2*x^2]) + d^2*x*(a + b*ArcSec[c*x]) + (2/3)*d*e*x^3*(a + b*ArcSec[c*x]) + (1/5)*e^2*x^5*(a + b*ArcSec[c*x]) - (b*(120*c^4*d^2 + 40*c^2*d*e + 9*e^2)*x*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(120*c^4*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSec[c*x])/x^2, x, 6, (b*c*d^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/Sqrt[c^2*x^2] - (b*e^2*x^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(6*c*Sqrt[c^2*x^2]) - (d^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/x + 2*d*e*x*(a + b*ArcSec[c*x]) + (1/3)*e^2*x^3*(a + b*ArcSec[c*x]) - (b*e*(12*c^2*d + e)*x*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(6*c^2*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSec[c*x])/x^4, x, 6, (2*b*c*d*(c^2*d + 9*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(9*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*d^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(9*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (d^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*x^3) - (2*d*e*(a + b*ArcSec[c*x]))/x + e^2*x*(a + b*ArcSec[c*x]) - (b*e^2*x*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/Sqrt[c^2*x^2]}
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSec[c*x])/x^6, x, 5, (b*c*(24*c^4*d^2 + 100*c^2*d*e + 225*e^2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(225*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*d^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(25*x^4*Sqrt[c^2*x^2]) + (2*b*c*d*(6*c^2*d + 25*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(225*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (d^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(5*x^5) - (2*d*e*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*x^3) - (e^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/x}
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSec[c*x])/x^8, x, 6, (2*b*c^3*(360*c^4*d^2 + 1176*c^2*d*e + 1225*e^2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(11025*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*d^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(49*x^6*Sqrt[c^2*x^2]) + (2*b*c*d*(15*c^2*d + 49*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(1225*x^4*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*(360*c^4*d^2 + 1176*c^2*d*e + 1225*e^2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(11025*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (d^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(7*x^7) - (2*d*e*(a + b*ArcSec[c*x]))/(5*x^5) - (e^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*x^3)}
+
+{x^3*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 5, -((b*(6*c^4*d^2 + 8*c^2*d*e + 3*e^2)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(24*c^7*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*(6*c^4*d^2 + 16*c^2*d*e + 9*e^2)*x*(-1 + c^2*x^2)^(3/2))/(72*c^7*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*e*(8*c^2*d + 9*e)*x*(-1 + c^2*x^2)^(5/2))/(120*c^7*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*e^2*x*(-1 + c^2*x^2)^(7/2))/(56*c^7*Sqrt[c^2*x^2]) + (1/4)*d^2*x^4*(a + b*ArcSec[c*x]) + (1/3)*d*e*x^6*(a + b*ArcSec[c*x]) + (1/8)*e^2*x^8*(a + b*ArcSec[c*x])}
+{x^1*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 6, -((b*(3*c^4*d^2 + 3*c^2*d*e + e^2)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(6*c^5*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*e*(3*c^2*d + 2*e)*x*(-1 + c^2*x^2)^(3/2))/(18*c^5*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*e^2*x*(-1 + c^2*x^2)^(5/2))/(30*c^5*Sqrt[c^2*x^2]) + ((d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSec[c*x]))/(6*e) - (b*c*d^3*x*ArcTan[Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(6*e*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSec[c*x])/x^1, x, 12, -((b*e*(6*c^2*d + e)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(6*c^3)) - (b*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^3)/(12*c) - (1/2)*I*b*d^2*ArcCsc[c*x]^2 + d*e*x^2*(a + b*ArcSec[c*x]) + (1/4)*e^2*x^4*(a + b*ArcSec[c*x]) + b*d^2*ArcCsc[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[c*x])] - b*d^2*ArcCsc[c*x]*Log[1/x] - d^2*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1/x] - (1/2)*I*b*d^2*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[c*x])]}
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSec[c*x])/x^3, x, 14, (b*c*d^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(4*x) - (b*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(2*c) - (1/4)*b*c^2*d^2*ArcCsc[c*x] - I*b*d*e*ArcCsc[c*x]^2 - (d^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(2*x^2) + (1/2)*e^2*x^2*(a + b*ArcSec[c*x]) + 2*b*d*e*ArcCsc[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[c*x])] - 2*b*d*e*ArcCsc[c*x]*Log[1/x] - 2*d*e*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1/x] - I*b*d*e*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[c*x])]}
+
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* {x^3*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2), x, 47, -((b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(2*c*e)) + (I*b*d*ArcSec[c*x]^2)/(2*e^2) + (x^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(2*e) - (I*d*(a + b*ArcSec[c*x])^2)/(2*b*e^2) - (b*d*ArcSec[c*x]*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) - (b*d*ArcSec[c*x]*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) - (b*d*ArcSec[c*x]*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) - (b*d*ArcSec[c*x]*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + (d*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[c*x])])/e^2 - (a*d*Log[Sqrt[e] - Sqrt[-d]/x])/(2*e^2) - (a*d*Log[Sqrt[e] + Sqrt[-d]/x])/(2*e^2) + (I*b*d*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^2) + (I*b*d*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + (I*b*d*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^2) + (I*b*d*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) - (I*b*d*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[c*x])])/(2*e^2)} *)
+{x^2*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2), x, 25, (x*(a + b*ArcSec[c*x]))/e - (b*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/(c*e) + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) + (I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^(3/2)) - (I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) + (I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^(3/2)) - (I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2))}
+{x^1*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2), x, 26, ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[c*x])])/e - (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e) - (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) - (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e) - (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) + (I*b*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[c*x])])/(2*e)}
+{x^0*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2), x, 19, ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)), x, 19, (I*(a + b*ArcSec[c*x])^2)/(2*b*d) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) + (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d) + (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) + (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d) + (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d)}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)), x, 24, (b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/d - a/(d*x) - (b*ArcSec[c*x])/(d*x) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) + (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*(-d)^(3/2)) - (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) + (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*(-d)^(3/2)) - (I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2))}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 31, -((b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(2*c*e^2)) + (d*(a + b*ArcSec[c*x]))/(2*e^2*(e + d/x^2)) + (x^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(2*e^2) + (b*d*ArcTan[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)])/(2*e^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]) - (d*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 - (d*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 - (d*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 - (d*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 + (2*d*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[c*x])])/e^3 + (I*b*d*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/e^3 + (I*b*d*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 + (I*b*d*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/e^3 + (I*b*d*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 - (I*b*d*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[c*x])])/e^3}
+{x^3*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 29, -((a + b*ArcSec[c*x])/(2*e*(e + d/x^2))) - (b*ArcTan[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)])/(2*e^(3/2)*Sqrt[c^2*d + e]) + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[c*x])])/e^2 - (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^2) - (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) - (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^2) - (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + (I*b*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[c*x])])/(2*e^2)}
+{x^1*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 7, -((a + b*ArcSec[c*x])/(2*e*(d + e*x^2))) + (b*c*x*ArcTan[Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(2*d*e*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*x*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/Sqrt[c^2*d + e]])/(2*d*Sqrt[e]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)^2), x, 24, -((e*(a + b*ArcSec[c*x]))/(2*d^2*(e + d/x^2))) + (I*(a + b*ArcSec[c*x])^2)/(2*b*d^2) - (b*Sqrt[e]*ArcTan[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)])/(2*d^2*Sqrt[c^2*d + e]) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) + (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d^2) + (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) + (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d^2) + (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2)}
+
+{x^4*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 51, -((d*(a + b*ArcSec[c*x]))/(4*e^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x))) + (d*(a + b*ArcSec[c*x]))/(4*e^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (x*(a + b*ArcSec[c*x]))/e^2 - (b*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/(c*e^2) - (b*Sqrt[d]*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(4*e^2*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*Sqrt[d]*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(4*e^2*Sqrt[c^2*d + e]) + (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) - (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) + (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) - (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) + (3*I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*e^(5/2)) - (3*I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) + (3*I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*e^(5/2)) - (3*I*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2))}
+{x^2*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 27, (a + b*ArcSec[c*x])/(4*e*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (a + b*ArcSec[c*x])/(4*e*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(4*Sqrt[d]*e*Sqrt[c^2*d + e]) + (b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(4*Sqrt[d]*e*Sqrt[c^2*d + e]) + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2))}
+{x^0*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 47, -((a + b*ArcSec[c*x])/(4*d*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x))) + (a + b*ArcSec[c*x])/(4*d*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) - (b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(4*d^(3/2)*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(4*d^(3/2)*Sqrt[c^2*d + e]) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^2), x, 50, (b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/d^2 - a/(d^2*x) - (b*ArcSec[c*x])/(d^2*x) + (e*(a + b*ArcSec[c*x]))/(4*d^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (e*(a + b*ArcSec[c*x]))/(4*d^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (b*e*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(4*d^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]) + (b*e*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(4*d^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]) - (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) - (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) - (3*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) - (3*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2))}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^3, x, 33, -((b*c*d*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(8*e^2*(c^2*d + e)*(e + d/x^2)*x)) - (a + b*ArcSec[c*x])/(4*e*(e + d/x^2)^2) - (a + b*ArcSec[c*x])/(2*e^2*(e + d/x^2)) - (b*ArcTan[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)])/(2*e^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*(c^2*d + 2*e)*ArcTan[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)])/(8*e^(5/2)*(c^2*d + e)^(3/2)) + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[c*x])])/e^3 - (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^3) - (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) - (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^3) - (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) + (I*b*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[c*x])])/(2*e^3)}
+{x^3*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^3, x, 6, (b*c*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(8*e*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*(d + e*x^2)) + (x^4*(a + b*ArcSec[c*x]))/(4*d*(d + e*x^2)^2) - (b*c*(c^2*d + 2*e)*x*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/Sqrt[c^2*d + e]])/(8*d*e^(3/2)*(c^2*d + e)^(3/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^3, x, 8, -((b*c*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(8*d*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*(d + e*x^2))) - (a + b*ArcSec[c*x])/(4*e*(d + e*x^2)^2) + (b*c*x*ArcTan[Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(4*d^2*e*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*(3*c^2*d + 2*e)*x*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/Sqrt[c^2*d + e]])/(8*d^2*Sqrt[e]*(c^2*d + e)^(3/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)^3), x, 28, (b*c*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(8*d^2*(c^2*d + e)*(e + d/x^2)*x) + (e^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(4*d^3*(e + d/x^2)^2) - (e*(a + b*ArcSec[c*x]))/(d^3*(e + d/x^2)) + (I*(a + b*ArcSec[c*x])^2)/(2*b*d^3) - (b*Sqrt[e]*ArcTan[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)])/(d^3*Sqrt[c^2*d + e]) + (b*Sqrt[e]*(c^2*d + 2*e)*ArcTan[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)])/(8*d^3*(c^2*d + e)^(3/2)) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) + (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d^3) + (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) + (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d^3) + (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3)}
+
+{x^4*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^3, x, 35, (b*c*Sqrt[-d]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(16*e^(3/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) + (b*c*Sqrt[-d]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(16*e^(3/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcSec[c*x]))/(16*e^(3/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)^2) + (3*(a + b*ArcSec[c*x]))/(16*e^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcSec[c*x]))/(16*e^(3/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)^2) - (3*(a + b*ArcSec[c*x]))/(16*e^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*Sqrt[d]*e*(c^2*d + e)^(3/2)) + (3*b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*Sqrt[d]*e^2*Sqrt[c^2*d + e]) + (b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*Sqrt[d]*e*(c^2*d + e)^(3/2)) + (3*b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*Sqrt[d]*e^2*Sqrt[c^2*d + e]) + (3*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (3*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (3*I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (3*I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2))}
+{x^2*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^3, x, 63, (b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(16*Sqrt[-d]*Sqrt[e]*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) + (b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(16*Sqrt[-d]*Sqrt[e]*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (a + b*ArcSec[c*x])/(16*Sqrt[-d]*Sqrt[e]*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)^2) + (a + b*ArcSec[c*x])/(16*d*e*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (a + b*ArcSec[c*x])/(16*Sqrt[-d]*Sqrt[e]*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)^2) - (a + b*ArcSec[c*x])/(16*d*e*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) - (b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(3/2)*(c^2*d + e)^(3/2)) + (b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(3/2)*e*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(3/2)*(c^2*d + e)^(3/2)) + (b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(3/2)*e*Sqrt[c^2*d + e]) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) - ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + ((a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) - (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) - (I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + (I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2))}
+{x^0*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^3, x, 81, (b*c*Sqrt[e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(16*(-d)^(3/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) + (b*c*Sqrt[e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(16*(-d)^(3/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcSec[c*x]))/(16*(-d)^(3/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)^2) - (5*(a + b*ArcSec[c*x]))/(16*d^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcSec[c*x]))/(16*(-d)^(3/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)^2) + (5*(a + b*ArcSec[c*x]))/(16*d^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (b*e*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(5/2)*(c^2*d + e)^(3/2)) - (5*b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]) + (b*e*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(5/2)*(c^2*d + e)^(3/2)) - (5*b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]) + (3*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*(a + b*ArcSec[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*I*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*I*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e])}
+(* {(a + b*ArcSec[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^3), x, 96, (b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/d^3 + (b*c*e^(3/2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(16*(-d)^(5/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) + (b*c*e^(3/2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(16*(-d)^(5/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) - a/(d^3*x) + (a*e^2)/(4*d^3*(e + d/x^2)^2*x) - (9*a*e)/(8*d^3*(e + d/x^2)*x) + (15*a*Sqrt[e]*ArcCot[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])/(8*d^(7/2)) + (b*e^(3/2)*ArcSec[c*x])/(16*(-d)^(5/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)^2) + (9*b*e*ArcSec[c*x])/(16*d^3*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (b*e^(3/2)*ArcSec[c*x])/(16*(-d)^(5/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)^2) - (9*b*e*ArcSec[c*x])/(16*d^3*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) - (b*ArcSec[c*x])/(d^3*x) - (b*e^2*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(7/2)*(c^2*d + e)^(3/2)) + (9*b*e*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(7/2)*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*e^2*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(7/2)*(c^2*d + e)^(3/2)) + (9*b*e*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(7/2)*Sqrt[c^2*d + e]) + (15*b*Sqrt[e]*ArcSec[c*x]*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - c*Sqrt[d + e/c^2])])/(16*(-d)^(7/2)) - (15*b*Sqrt[e]*ArcSec[c*x]*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - c*Sqrt[d + e/c^2])])/(16*(-d)^(7/2)) + (15*b*Sqrt[e]*ArcSec[c*x]*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + c*Sqrt[d + e/c^2])])/(16*(-d)^(7/2)) - (15*b*Sqrt[e]*ArcSec[c*x]*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + c*Sqrt[d + e/c^2])])/(16*(-d)^(7/2)) + (15*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - c*Sqrt[d + e/c^2]))])/(16*(-d)^(7/2)) - (15*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] - c*Sqrt[d + e/c^2])])/(16*(-d)^(7/2)) + (15*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + c*Sqrt[d + e/c^2]))])/(16*(-d)^(7/2)) - (15*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcSec[c*x]))/(Sqrt[e] + c*Sqrt[d + e/c^2])])/(16*(-d)^(7/2))} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^(p/2) (a+b ArcSec[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^5*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]), x, If[$VersionNumber>=8, 12, 13], (b*(23*c^4*d^2 + 12*c^2*d*e - 75*e^2)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(1680*c^5*e^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*(29*c^2*d - 25*e)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(840*c^3*e^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(5/2))/(42*c*e^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (d^2*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*e^3) - (2*d*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(5*e^3) + ((d + e*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(7*e^3) + (8*b*c*d^(7/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(105*e^3*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*(105*c^6*d^3 - 35*c^4*d^2*e + 63*c^2*d*e^2 + 75*e^3)*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(1680*c^6*e^(5/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^3*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]), x, If[$VersionNumber>=8, 11, 12], -((b*(c^2*d + 9*e)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(120*c^3*e*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(20*c*e*Sqrt[c^2*x^2]) - (d*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*e^2) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(5*e^2) - (2*b*c*d^(5/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(15*e^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*(15*c^4*d^2 - 10*c^2*d*e - 9*e^2)*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(120*c^4*e^(3/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^1*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 9, -((b*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(6*c*Sqrt[c^2*x^2])) + ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*e) + (b*c*d^(3/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(3*e*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*(3*c^2*d + e)*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(6*c^2*Sqrt[e]*Sqrt[c^2*x^2])}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x])/x^1, x, 0, Unintegrable[(Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]))/x, x]}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x])/x^3, x, 0, Unintegrable[(Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]))/x^3, x]}
+
+{x^2*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 0, Unintegrable[x^2*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]), x]}
+{x^0*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 0, Unintegrable[Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]), x]}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x])/x^2, x, 0, Unintegrable[(Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]))/x^2, x]}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x])/x^4, x, 11, (2*b*c*(c^2*d + 2*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*d*x^3) - (2*b*c^2*(c^2*d + 2*e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(9*d*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*(c^2*d + e)*(2*c^2*d + 3*e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(9*d*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x])/x^6, x, If[$VersionNumber>=8, 12, 32], If[$VersionNumber>=8, (b*c*(24*c^4*d^2 + 19*c^2*d*e - 31*e^2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(225*d^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*(12*c^2*d - e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(225*d*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(25*d*x^4*Sqrt[c^2*x^2]) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(5*d*x^5) + (2*e*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(15*d^2*x^3) - (b*c^2*(24*c^4*d^2 + 19*c^2*d*e - 31*e^2)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(225*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*(c^2*d + e)*(24*c^4*d^2 + 7*c^2*d*e - 30*e^2)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(225*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]), -((2*b*c*e^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(15*d^2*Sqrt[c^2*x^2])) + (b*c*e*(2*c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(45*d^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*(8*c^4*d^2 + 3*c^2*d*e - 2*e^2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(75*d^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(25*x^4*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*e*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(45*d*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*(4*c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(75*d*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(5*d*x^5) + (2*e*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(15*d^2*x^3) + (2*b*c^2*e^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(15*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*c^2*e*(2*c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(45*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*c^2*(8*c^4*d^2 + 3*c^2*d*e - 2*e^2)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(75*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*c^2*(8*c^2*d - e)*(c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(75*d*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]) + (2*b*c^2*e*(c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(45*d*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*b*e^2*(c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(15*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])]}
+
+
+{x^3*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 12, (b*(3*c^4*d^2 - 38*c^2*d*e - 25*e^2)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(560*c^5*e*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*(13*c^2*d + 25*e)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(840*c^3*e*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(5/2))/(42*c*e*Sqrt[c^2*x^2]) - (d*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(5*e^2) + ((d + e*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(7*e^2) - (2*b*c*d^(7/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(35*e^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*(35*c^6*d^3 - 35*c^4*d^2*e - 63*c^2*d*e^2 - 25*e^3)*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(560*c^6*e^(3/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^1*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 10, -((b*(7*c^2*d + 3*e)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(40*c^3*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(20*c*Sqrt[c^2*x^2]) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(5*e) + (b*c*d^(5/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(5*e*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*(15*c^4*d^2 + 10*c^2*d*e + 3*e^2)*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(40*c^4*Sqrt[e]*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x])/x^1, x, 0, Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/x, x]}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x])/x^3, x, 0, Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/x^3, x]}
+
+{x^2*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 0, Unintegrable[x^2*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]), x]}
+{x^0*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 0, Unintegrable[(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]), x]}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x])/x^2, x, 0, Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/x^2, x]}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x])/x^4, x, 0, Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/x^4, x]}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x])/x^6, x, 12, (b*c*(8*c^4*d^2 + 23*c^2*d*e + 23*e^2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(75*d*Sqrt[c^2*x^2]) + (4*b*c*(c^2*d + 2*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(75*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(25*x^4*Sqrt[c^2*x^2]) - ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(5*d*x^5) - (b*c^2*(8*c^4*d^2 + 23*c^2*d*e + 23*e^2)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(75*d*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*(c^2*d + e)*(8*c^4*d^2 + 19*c^2*d*e + 15*e^2)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(75*d*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x])/x^8, x, 13, (b*c*(240*c^6*d^3 + 528*c^4*d^2*e + 193*c^2*d*e^2 - 247*e^3)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(3675*d^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*(120*c^4*d^2 + 159*c^2*d*e - 37*e^2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(3675*d*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*(30*c^2*d + 11*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(1225*d*x^4*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(5/2))/(49*d*x^6*Sqrt[c^2*x^2]) - ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(7*d*x^7) + (2*e*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(35*d^2*x^5) - (b*c^2*(240*c^6*d^3 + 528*c^4*d^2*e + 193*c^2*d*e^2 - 247*e^3)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3675*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (2*b*(c^2*d + e)*(120*c^6*d^3 + 204*c^4*d^2*e + 17*c^2*d*e^2 - 105*e^3)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3675*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^5*(a + b*ArcSec[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 11, (b*(19*c^2*d - 9*e)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(120*c^3*e^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(20*c*e^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (d^2*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]))/e^3 - (2*d*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*e^3) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(5*e^3) + (8*b*c*d^(5/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(15*e^3*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*(45*c^4*d^2 - 10*c^2*d*e + 9*e^2)*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(120*c^4*e^(5/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcSec[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 10, -((b*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(6*c*e*Sqrt[c^2*x^2])) - (d*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]))/e^2 + ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*e^2) - (2*b*c*d^(3/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(3*e^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*(3*c^2*d - e)*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(6*c^2*e^(3/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSec[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 9, (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]))/e + (b*c*Sqrt[d]*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(e*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(Sqrt[e]*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^1*Sqrt[d + e*x^2]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSec[c*x])/(x*Sqrt[d + e*x^2]), x]}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^3*Sqrt[d + e*x^2]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSec[c*x])/(x^3*Sqrt[d + e*x^2]), x]}
+
+{x^2*(a + b*ArcSec[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 0, Unintegrable[(x^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{x^0*(a + b*ArcSec[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSec[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^2*Sqrt[d + e*x^2]), x, 11, (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(d*Sqrt[c^2*x^2]) - (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]))/(d*x) - (b*c^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(d*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*(c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(d*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^4*Sqrt[d + e*x^2]), x, 11, (b*c*(2*c^2*d - 5*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*d*x^3) + (2*e*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*d^2*x) - (b*c^2*(2*c^2*d - 5*e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(9*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (2*b*(c^2*d - 3*e)*(c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(9*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^6*Sqrt[d + e*x^2]), x, 32, (8*b*c*e^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(15*d^3*Sqrt[c^2*x^2]) - (4*b*c*e*(2*c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(45*d^3*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*(8*c^4*d^2 + 3*c^2*d*e - 2*e^2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(75*d^3*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(25*d*x^4*Sqrt[c^2*x^2]) - (4*b*c*e*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(45*d^2*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*(4*c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(75*d^2*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]))/(5*d*x^5) + (4*e*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]))/(15*d^2*x^3) - (8*e^2*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]))/(15*d^3*x) - (8*b*c^2*e^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(15*d^3*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (4*b*c^2*e*(2*c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(45*d^3*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*c^2*(8*c^4*d^2 + 3*c^2*d*e - 2*e^2)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(75*d^3*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*c^2*(8*c^2*d - e)*(c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(75*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]) - (8*b*c^2*e*(c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(45*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]) + (8*b*e^2*(c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(15*d^3*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 10, -((b*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(6*c*e^2*Sqrt[c^2*x^2])) - (d^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(e^3*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*d*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]))/e^3 + ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*e^3) - (8*b*c*d^(3/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(3*e^3*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*(9*c^2*d - e)*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(6*c^2*e^(5/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 9, (d*(a + b*ArcSec[c*x]))/(e^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]))/e^2 + (2*b*c*Sqrt[d]*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(e^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(e^(3/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 4, -((a + b*ArcSec[c*x])/(e*Sqrt[d + e*x^2])) - (b*c*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(Sqrt[d]*e*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSec[c*x])/(x*(d + e*x^2)^(3/2)), x]}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSec[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(3/2)), x]}
+
+{x^4*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^4*(a + b*ArcSec[c*x]))/(d + e*x^2)^(3/2), x]}
+{x^2*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(d + e*x^2)^(3/2), x]}
+{x^0*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 5, (x*(a + b*ArcSec[c*x]))/(d*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(d*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 10, (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(d^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (a + b*ArcSec[c*x])/(d*x*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*e*x*(a + b*ArcSec[c*x]))/(d^2*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*c^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*(c^2*d + 2*e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^4*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 25, (2*b*c*(c^2*d - e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d^3*Sqrt[c^2*x^2]) - (4*b*c*e*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(3*d^3*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d^2*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (a + b*ArcSec[c*x])/(3*d*x^3*Sqrt[d + e*x^2]) + (4*e*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*d^2*x*Sqrt[d + e*x^2]) + (8*e^2*x*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*d^3*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*b*c^2*(c^2*d - e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(9*d^3*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (4*b*c^2*e*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3*d^3*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*c^2*(2*c^2*d - e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(9*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]) - (4*b*c^2*e*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]) - (8*b*e^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3*d^3*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 10, -((b*c*d*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(3*e^2*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])) - (d^2*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*e^3*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*d*(a + b*ArcSec[c*x]))/(e^3*Sqrt[d + e*x^2]) + (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]))/e^3 + (8*b*c*Sqrt[d]*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(3*e^3*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(e^(5/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 7, (b*c*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(3*e*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]) + (d*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*e^2*(d + e*x^2)^(3/2)) - (a + b*ArcSec[c*x])/(e^2*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*b*c*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(3*Sqrt[d]*e^2*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 5, -((b*c*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(3*d*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])) - (a + b*ArcSec[c*x])/(3*e*(d + e*x^2)^(3/2)) - (b*c*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(3*d^(3/2)*e*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)^(5/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSec[c*x])/(x*(d + e*x^2)^(5/2)), x]}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(5/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSec[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(5/2)), x]}
+
+{x^6*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^6*(a + b*ArcSec[c*x]))/(d + e*x^2)^(5/2), x]}
+{x^4*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^4*(a + b*ArcSec[c*x]))/(d + e*x^2)^(5/2), x]}
+{x^2*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 10, -((b*c*x^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(3*d*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])) + (x^3*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*d*(d + e*x^2)^(3/2)) + (b*c^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3*d*e*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3*d*e*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+{x^0*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 10, (b*c*e*x^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(3*d^2*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]) + (x*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*d*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*c^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3*d^2*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (2*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^(5/2)), x, 26, -((b*c*e*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(d^2*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])) - (4*b*c*e^2*x^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(3*d^3*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*c*(c^2*d + 2*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(d^3*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]) - (a + b*ArcSec[c*x])/(d*x*(d + e*x^2)^(3/2)) - (4*e*x*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*d^2*(d + e*x^2)^(3/2)) - (8*e*x*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*d^3*Sqrt[d + e*x^2]) + (4*b*c^2*e*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3*d^3*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*c^2*(c^2*d + 2*e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(d^3*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*c^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]) + (8*b*e*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3*d^3*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcSec[c x]) when m symbolic*)
+
+
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 6, If[$VersionNumber>=8, -((b*e*(e^2*(15 + 8*m + m^2)^2 + 3*c^2*d*e*(3 + m)^2*(42 + 13*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(840 + 638*m + 179*m^2 + 22*m^3 + m^4))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c^5*f*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m)*(6 + m)*(7 + m)*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*e^2*(e*(5 + m)^2 + 3*c^2*d*(42 + 13*m + m^2))*x*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c^3*f^3*(4 + m)*(5 + m)*(6 + m)*(7 + m)*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*e^3*x*(f*x)^(5 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*f^5*(6 + m)*(7 + m)*Sqrt[c^2*x^2]) + (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(f*(1 + m)) + (3*d^2*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (3*d*e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(f^5*(5 + m)) + (e^3*(f*x)^(7 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(f^7*(7 + m)) - (b*((c^6*d^3*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m))/(1 + m) + (e*(1 + m)*(e^2*(15 + 8*m + m^2)^2 + 3*c^2*d*e*(3 + m)^2*(42 + 13*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(840 + 638*m + 179*m^2 + 22*m^3 + m^4)))/((3 + m)*(5 + m)*(7 + m)))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(c^5*f*(1 + m)*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]), -((b*e*(e^2*(15 + 8*m + m^2)^2 + 3*c^2*d*e*(3 + m)^2*(42 + 13*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(840 + 638*m + 179*m^2 + 22*m^3 + m^4))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c^5*f*(6 + m)*(8 + 6*m + m^2)*(105 + 71*m + 15*m^2 + m^3)*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*e^2*(e*(5 + m)^2 + 3*c^2*d*(42 + 13*m + m^2))*x*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c^3*f^3*(4 + m)*(5 + m)*(6 + m)*(7 + m)*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*e^3*x*(f*x)^(5 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*f^5*(6 + m)*(7 + m)*Sqrt[c^2*x^2]) + (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(f*(1 + m)) + (3*d^2*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (3*d*e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(f^5*(5 + m)) + (e^3*(f*x)^(7 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(f^7*(7 + m)) - (b*((c^6*d^3*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m))/(1 + m) + (e*(1 + m)*(e^2*(15 + 8*m + m^2)^2 + 3*c^2*d*e*(3 + m)^2*(42 + 13*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(840 + 638*m + 179*m^2 + 22*m^3 + m^4)))/(105 + 71*m + 15*m^2 + m^3))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(c^5*f*(1 + m)*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])]}
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 6, If[$VersionNumber>=8, -((b*e*(e*(3 + m)^2 + 2*c^2*d*(20 + 9*m + m^2))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c^3*f*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m)*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*e^2*x*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*f^3*(4 + m)*(5 + m)*Sqrt[c^2*x^2]) + (d^2*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(f*(1 + m)) + (2*d*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(f^5*(5 + m)) - (b*(c^4*d^2*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m) + e*(1 + m)^2*(e*(3 + m)^2 + 2*c^2*d*(20 + 9*m + m^2)))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(c^3*f*(1 + m)^2*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]), -((b*e*(e*(3 + m)^2 + 2*c^2*d*(20 + 9*m + m^2))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c^3*f*(4 + m)*(5 + m)*(6 + 5*m + m^2)*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*e^2*x*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*f^3*(4 + m)*(5 + m)*Sqrt[c^2*x^2]) + (d^2*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(f*(1 + m)) + (2*d*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(f^5*(5 + m)) - (b*(c^4*d^2*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m) + e*(1 + m)^2*(e*(3 + m)^2 + 2*c^2*d*(20 + 9*m + m^2)))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(c^3*f*(1 + m)^2*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])]}
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^1*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 5, -((b*e*x^(2 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*(6 + 5*m + m^2)*Sqrt[c^2*x^2])) + (d*x^(1 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(1 + m) + (e*x^(3 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3 + m) + (b*(e*(1 + m)^2 + c^2*d*(2 + m)*(3 + m))*x^(2 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(c*(1 + m)^2*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[c^2*x^2]), -((b*e*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*f*(6 + 5*m + m^2)*Sqrt[c^2*x^2])) + (d*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(f*(1 + m)) + (e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(f^3*(3 + m)) - (b*(e*(1 + m)^2 + c^2*d*(2 + m)*(3 + m))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(c*f*(1 + m)^2*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^1, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcSec[c*x]))/(d + e*x^2), x]}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcSec[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x]}
+
+
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 0, Unintegrable[(f*x)^m*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]), x]}
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcSec[c*x]), x, 0, Unintegrable[(f*x)^m*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSec[c*x]), x]}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcSec[c*x]))/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcSec[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcSec[c*x]))/(d + e*x^2)^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^4)^p (a+b ArcSec[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^4)^(p/2) (a+b ArcSec[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^11*(a + b*ArcSec[c*x])/Sqrt[1 - c^4*x^4], x, 16, (4*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(15*c^13*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) - (7*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(90*c^13*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) + (13*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(150*c^13*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) - (3*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(1 + c^2*x^2)^(7/2))/(70*c^13*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(1 + c^2*x^2)^(9/2))/(90*c^13*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) - (Sqrt[1 - c^4*x^4]*(a + b*ArcSec[c*x]))/(2*c^12) + ((1 - c^4*x^4)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(3*c^12) - ((1 - c^4*x^4)^(5/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(10*c^12) - (4*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/(15*c^13*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)}
+{x^7*(a + b*ArcSec[c*x])/Sqrt[1 - c^4*x^4], x, 13, (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3*c^9*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(18*c^9*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(30*c^9*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) - (Sqrt[1 - c^4*x^4]*(a + b*ArcSec[c*x]))/(2*c^8) + ((1 - c^4*x^4)^(3/2)*(a + b*ArcSec[c*x]))/(6*c^8) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/(3*c^9*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)}
+{x^3*(a + b*ArcSec[c*x])/Sqrt[1 - c^4*x^4], x, 8, (b*x*Sqrt[1 - c^4*x^4])/(2*c^3*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]) - (Sqrt[1 - c^4*x^4]*(a + b*ArcSec[c*x]))/(2*c^4) - (b*x*ArcTan[Sqrt[1 - c^4*x^4]/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(2*c^3*Sqrt[c^2*x^2]), (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(2*c^5*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) - (Sqrt[1 - c^4*x^4]*(a + b*ArcSec[c*x]))/(2*c^4) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/(2*c^5*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^1*Sqrt[1 - c^4*x^4]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSec[c*x])/(x*Sqrt[1 - c^4*x^4]), x]}
+{(a + b*ArcSec[c*x])/(x^5*Sqrt[1 - c^4*x^4]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSec[c*x])/(x^5*Sqrt[1 - c^4*x^4]), x]}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcSec[c x])^n*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.5 Inverse secant/5.5.2 Inverse secant functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.5 Inverse secant/5.5.2 Inverse secant functions.m
new file mode 100644
index 00000000..891fdaf4
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.5 Inverse secant/5.5.2 Inverse secant functions.m	
@@ -0,0 +1,130 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration Problems Involving Inverse Secants*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcSec[a x^n]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcSec[a x^n]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{ArcSec[a*x^5]/x, x, 7, (1/10)*I*ArcSec[a*x^5]^2 - (1/5)*ArcSec[a*x^5]*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[a*x^5])] + (1/10)*I*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[a*x^5])]}
+
+
+{x^3*ArcSec[Sqrt[x]], x, 4, (-(1/4))*Sqrt[-1 + x] - (1/4)*(-1 + x)^(3/2) - (3/20)*(-1 + x)^(5/2) - (1/28)*(-1 + x)^(7/2) + (1/4)*x^4*ArcSec[Sqrt[x]]}
+{x^2*ArcSec[Sqrt[x]], x, 4, (-(1/3))*Sqrt[-1 + x] - (2/9)*(-1 + x)^(3/2) - (1/15)*(-1 + x)^(5/2) + (1/3)*x^3*ArcSec[Sqrt[x]]}
+{x^1*ArcSec[Sqrt[x]], x, 4, (-(1/2))*Sqrt[-1 + x] - (1/6)*(-1 + x)^(3/2) + (1/2)*x^2*ArcSec[Sqrt[x]]}
+{x^0*ArcSec[Sqrt[x]], x, 3, -Sqrt[-1 + x] + x*ArcSec[Sqrt[x]]}
+{ArcSec[Sqrt[x]]/x^1, x, 7, I*ArcSec[Sqrt[x]]^2 - 2*ArcSec[Sqrt[x]]*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[Sqrt[x]])] + I*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[Sqrt[x]])]}
+{ArcSec[Sqrt[x]]/x^2, x, 5, Sqrt[-1 + x]/(2*x) - ArcSec[Sqrt[x]]/x + (1/2)*ArcTan[Sqrt[-1 + x]]}
+{ArcSec[Sqrt[x]]/x^3, x, 6, Sqrt[-1 + x]/(8*x^2) + (3*Sqrt[-1 + x])/(16*x) - ArcSec[Sqrt[x]]/(2*x^2) + (3/16)*ArcTan[Sqrt[-1 + x]]}
+{ArcSec[Sqrt[x]]/x^4, x, 7, Sqrt[-1 + x]/(18*x^3) + (5*Sqrt[-1 + x])/(72*x^2) + (5*Sqrt[-1 + x])/(48*x) - ArcSec[Sqrt[x]]/(3*x^3) + (5/48)*ArcTan[Sqrt[-1 + x]]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^2*ArcSec[a/x], x, 5, (-(1/3))*a^3*Sqrt[1 - x^2/a^2] + (1/9)*a^3*(1 - x^2/a^2)^(3/2) + (1/3)*x^3*ArcCos[x/a]}
+{x^1*ArcSec[a/x], x, 4, (-(1/4))*a*x*Sqrt[1 - x^2/a^2] + (1/2)*x^2*ArcCos[x/a] + (1/4)*a^2*ArcSin[x/a]}
+{x^0*ArcSec[a/x], x, 3, (-a)*Sqrt[1 - x^2/a^2] + x*ArcCos[x/a]}
+{ArcSec[a/x]/x^1, x, 6, (-(1/2))*I*ArcCos[x/a]^2 + ArcCos[x/a]*Log[1 + E^(2*I*ArcCos[x/a])] - (1/2)*I*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcCos[x/a])]}
+{ArcSec[a/x]/x^2, x, 5, -(ArcCos[x/a]/x) + ArcTanh[Sqrt[1 - x^2/a^2]]/a}
+{ArcSec[a/x]/x^3, x, 3, Sqrt[1 - x^2/a^2]/(2*a*x) - ArcCos[x/a]/(2*x^2)}
+{ArcSec[a/x]/x^4, x, 6, Sqrt[1 - x^2/a^2]/(6*a*x^2) - ArcCos[x/a]/(3*x^3) + ArcTanh[Sqrt[1 - x^2/a^2]]/(6*a^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcSec[a x^n] when n symbolic*)
+
+
+{ArcSec[a*x^n]/x, x, 7, (I*ArcSec[a*x^n]^2)/(2*n) - (ArcSec[a*x^n]*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[a*x^n])])/n + (I*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[a*x^n])])/(2*n)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcSec[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^4*ArcSec[a + b*x], x, 9, (a*(20 + 53*a^2)*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(30*b^5) + (11*a*x^2*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(60*b^3) - (x^3*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(20*b^2) - ((9 + 58*a^2)*(a + b*x)^2*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(120*b^5) + (a^5*ArcSec[a + b*x])/(5*b^5) + (1/5)*x^5*ArcSec[a + b*x] - ((3 + 40*a^2 + 40*a^4)*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]])/(40*b^5)}
+{x^3*ArcSec[a + b*x], x, 8, -(((2 + 17*a^2)*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(12*b^4)) - (x^2*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(12*b^2) + (a*(a + b*x)^2*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(3*b^4) - (a^4*ArcSec[a + b*x])/(4*b^4) + (1/4)*x^4*ArcSec[a + b*x] + (a*(1 + 2*a^2)*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]])/(2*b^4)}
+{x^2*ArcSec[a + b*x], x, 7, (5*a*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(6*b^3) - (x*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(6*b^2) + (a^3*ArcSec[a + b*x])/(3*b^3) + (1/3)*x^3*ArcSec[a + b*x] - ((1 + 6*a^2)*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]])/(6*b^3)}
+{x^1*ArcSec[a + b*x], x, 6, -(((a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(2*b^2)) - (a^2*ArcSec[a + b*x])/(2*b^2) + (1/2)*x^2*ArcSec[a + b*x] + (a*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]])/b^2}
+{x^0*ArcSec[a + b*x], x, 5, ((a + b*x)*ArcSec[a + b*x])/b - ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]]/b}
+{ArcSec[a + b*x]/x^1, x, 14, ArcSec[a + b*x]*Log[1 - (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])] + ArcSec[a + b*x]*Log[1 - (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])] - ArcSec[a + b*x]*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[a + b*x])] - I*PolyLog[2, (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])] - I*PolyLog[2, (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])] + (1/2)*I*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[a + b*x])]}
+{ArcSec[a + b*x]/x^2, x, 5, -((b*ArcSec[a + b*x])/a) - ArcSec[a + b*x]/x + (2*b*ArcTan[(Sqrt[1 + a]*Tan[(1/2)*ArcSec[a + b*x]])/Sqrt[1 - a]])/(a*Sqrt[1 - a^2])}
+{ArcSec[a + b*x]/x^3, x, 7, (b*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(2*a*(1 - a^2)*x) + (b^2*ArcSec[a + b*x])/(2*a^2) - ArcSec[a + b*x]/(2*x^2) - ((1 - 2*a^2)*b^2*ArcTan[(Sqrt[1 + a]*Tan[(1/2)*ArcSec[a + b*x]])/Sqrt[1 - a]])/(a^2*(1 - a^2)^(3/2))}
+{ArcSec[a + b*x]/x^4, x, 8, (b*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(6*a*(1 - a^2)*x^2) - ((2 - 5*a^2)*b^2*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(6*a^2*(1 - a^2)^2*x) - (b^3*ArcSec[a + b*x])/(3*a^3) - ArcSec[a + b*x]/(3*x^3) + ((2 - 5*a^2 + 6*a^4)*b^3*ArcTan[(Sqrt[1 + a]*Tan[(1/2)*ArcSec[a + b*x]])/Sqrt[1 - a]])/(3*a^3*(1 - a^2)^(5/2))}
+
+
+{x^3*ArcSec[a + b*x]^2, x, 20, -((a*x)/b^3) + (a + b*x)^2/(12*b^4) - ((a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcSec[a + b*x])/(3*b^4) - (3*a^2*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcSec[a + b*x])/b^4 + (a*(a + b*x)^2*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcSec[a + b*x])/b^4 - ((a + b*x)^3*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcSec[a + b*x])/(6*b^4) - (a^4*ArcSec[a + b*x]^2)/(4*b^4) + (1/4)*x^4*ArcSec[a + b*x]^2 - (2*I*a*ArcSec[a + b*x]*ArcTan[E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^4 - (4*I*a^3*ArcSec[a + b*x]*ArcTan[E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^4 + Log[a + b*x]/(3*b^4) + (3*a^2*Log[a + b*x])/b^4 + (I*a*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^4 + (2*I*a^3*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^4 - (I*a*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^4 - (2*I*a^3*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^4}
+{x^2*ArcSec[a + b*x]^2, x, 17, x/(3*b^2) + (2*a*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcSec[a + b*x])/b^3 - ((a + b*x)^2*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcSec[a + b*x])/(3*b^3) + (a^3*ArcSec[a + b*x]^2)/(3*b^3) + (1/3)*x^3*ArcSec[a + b*x]^2 + (2*I*ArcSec[a + b*x]*ArcTan[E^(I*ArcSec[a + b*x])])/(3*b^3) + (4*I*a^2*ArcSec[a + b*x]*ArcTan[E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^3 - (2*a*Log[a + b*x])/b^3 - (I*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/(3*b^3) - (2*I*a^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^3 + (I*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/(3*b^3) + (2*I*a^2*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^3}
+{x^1*ArcSec[a + b*x]^2, x, 11, -(((a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcSec[a + b*x])/b^2) - (a^2*ArcSec[a + b*x]^2)/(2*b^2) + (1/2)*x^2*ArcSec[a + b*x]^2 - (4*I*a*ArcSec[a + b*x]*ArcTan[E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^2 + Log[a + b*x]/b^2 + (2*I*a*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^2 - (2*I*a*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^2}
+{x^0*ArcSec[a + b*x]^2, x, 8, ((a + b*x)*ArcSec[a + b*x]^2)/b + (4*I*ArcSec[a + b*x]*ArcTan[E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b - (2*I*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b + (2*I*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b}
+{ArcSec[a + b*x]^2/x^1, x, 17, (-ArcSec[a + b*x]^2)*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[a + b*x])] + I*ArcSec[a + b*x]*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[a + b*x])] - (1/2)*PolyLog[3, -E^(2*I*ArcSec[a + b*x])] + ArcSec[a + b*x]^2*Log[1 - (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])] + ArcSec[a + b*x]^2*Log[1 - (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])] - 2*I*ArcSec[a + b*x]*PolyLog[2, (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])] - 2*I*ArcSec[a + b*x]*PolyLog[2, (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])] + 2*PolyLog[3, (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])] + 2*PolyLog[3, (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])]}
+{ArcSec[a + b*x]^2/x^2, x, 12, -((b*ArcSec[a + b*x]^2)/a) - ArcSec[a + b*x]^2/x - (2*I*b*ArcSec[a + b*x]*Log[1 - (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) + (2*I*b*ArcSec[a + b*x]*Log[1 - (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) - (2*b*PolyLog[2, (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) + (2*b*PolyLog[2, (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2])}
+
+
+{x^2*ArcSec[a + b*x]^3, x, 25, ((a + b*x)*ArcSec[a + b*x])/b^3 - (3*I*a*ArcSec[a + b*x]^2)/b^3 + (3*a*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcSec[a + b*x]^2)/b^3 - ((a + b*x)^2*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcSec[a + b*x]^2)/(2*b^3) + (a^3*ArcSec[a + b*x]^3)/(3*b^3) + (1/3)*x^3*ArcSec[a + b*x]^3 + (I*ArcSec[a + b*x]^2*ArcTan[E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^3 + (6*I*a^2*ArcSec[a + b*x]^2*ArcTan[E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^3 - ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]]/b^3 + (6*a*ArcSec[a + b*x]*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[a + b*x])])/b^3 - (I*ArcSec[a + b*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^3 - (6*I*a^2*ArcSec[a + b*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^3 + (I*ArcSec[a + b*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^3 + (6*I*a^2*ArcSec[a + b*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^3 - (3*I*a*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[a + b*x])])/b^3 + PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSec[a + b*x])]/b^3 + (6*a^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^3 - PolyLog[3, I*E^(I*ArcSec[a + b*x])]/b^3 - (6*a^2*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^3}
+{x^1*ArcSec[a + b*x]^3, x, 16, (3*I*ArcSec[a + b*x]^2)/(2*b^2) - (3*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcSec[a + b*x]^2)/(2*b^2) - (a^2*ArcSec[a + b*x]^3)/(2*b^2) + (1/2)*x^2*ArcSec[a + b*x]^3 - (6*I*a*ArcSec[a + b*x]^2*ArcTan[E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^2 - (3*ArcSec[a + b*x]*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[a + b*x])])/b^2 + (6*I*a*ArcSec[a + b*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^2 - (6*I*a*ArcSec[a + b*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^2 + (3*I*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[a + b*x])])/(2*b^2) - (6*a*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^2 + (6*a*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b^2}
+{x^0*ArcSec[a + b*x]^3, x, 10, ((a + b*x)*ArcSec[a + b*x]^3)/b + (6*I*ArcSec[a + b*x]^2*ArcTan[E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b - (6*I*ArcSec[a + b*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b + (6*I*ArcSec[a + b*x]*PolyLog[2, I*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b + (6*PolyLog[3, (-I)*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b - (6*PolyLog[3, I*E^(I*ArcSec[a + b*x])])/b}
+{ArcSec[a + b*x]^3/x^1, x, 20, ArcSec[a + b*x]^3*Log[1 - (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])] + ArcSec[a + b*x]^3*Log[1 - (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])] - ArcSec[a + b*x]^3*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[a + b*x])] - 3*I*ArcSec[a + b*x]^2*PolyLog[2, (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])] - 3*I*ArcSec[a + b*x]^2*PolyLog[2, (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])] + (3/2)*I*ArcSec[a + b*x]^2*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[a + b*x])] + 6*ArcSec[a + b*x]*PolyLog[3, (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])] + 6*ArcSec[a + b*x]*PolyLog[3, (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])] - (3/2)*ArcSec[a + b*x]*PolyLog[3, -E^(2*I*ArcSec[a + b*x])] + 6*I*PolyLog[4, (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])] + 6*I*PolyLog[4, (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])] - (3/4)*I*PolyLog[4, -E^(2*I*ArcSec[a + b*x])]}
+{ArcSec[a + b*x]^3/x^2, x, 14, -((b*ArcSec[a + b*x]^3)/a) - ArcSec[a + b*x]^3/x - (3*I*b*ArcSec[a + b*x]^2*Log[1 - (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) + (3*I*b*ArcSec[a + b*x]^2*Log[1 - (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) - (6*b*ArcSec[a + b*x]*PolyLog[2, (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) + (6*b*ArcSec[a + b*x]*PolyLog[2, (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) - (6*I*b*PolyLog[3, (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) + (6*I*b*PolyLog[3, (a*E^(I*ArcSec[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcSec[c+d x^n])*)
+
+
+{x^1*(a + b*ArcSec[c + d*x^2]), x, 7, (a*x^2)/2 + (b*(c + d*x^2)*ArcSec[c + d*x^2])/(2*d) - (b*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c + d*x^2)^2]])/(2*d)}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcSec[c + d*x^3]), x, 7, (a*x^3)/3 + (b*(c + d*x^3)*ArcSec[c + d*x^3])/(3*d) - (b*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c + d*x^3)^2]])/(3*d)}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcSec[c + d*x^4]), x, 7, (a*x^4)/4 + (b*(c + d*x^4)*ArcSec[c + d*x^4])/(4*d) - (b*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c + d*x^4)^2]])/(4*d)}
+
+
+{x^(n-1)*ArcSec[a + b*x^n], x, 6, ((a + b*x^n)*ArcSec[a + b*x^n])/(b*n) - ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a + b*x^n)^2]]/(b*n)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving inverse secant functions of exponentials*)
+
+
+{ArcSec[c*E^(a + b*x)], x, 7, (I*ArcSec[c*E^(a + b*x)]^2)/(2*b) - (ArcSec[c*E^(a + b*x)]*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[c*E^(a + b*x)])])/b + (I*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[c*E^(a + b*x)])])/(2*b)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving exponentials of inverse secant functions*)
+
+
+{E^ArcSec[a*x]*x^2, x, 6, -(((12/5 + (4*I)/5)*E^((1 + 3*I)*ArcSec[a*x])*Hypergeometric2F1[3/2 - I/2, 3, 5/2 - I/2, -E^(2*I*ArcSec[a*x])])/a^3) + ((24/5 + (8*I)/5)*E^((1 + 3*I)*ArcSec[a*x])*Hypergeometric2F1[3/2 - I/2, 4, 5/2 - I/2, -E^(2*I*ArcSec[a*x])])/a^3}
+{E^ArcSec[a*x]*x^1, x, 6, -(((8/5 + (4*I)/5)*E^((1 + 2*I)*ArcSec[a*x])*Hypergeometric2F1[1 - I/2, 2, 2 - I/2, -E^(2*I*ArcSec[a*x])])/a^2) + ((16/5 + (8*I)/5)*E^((1 + 2*I)*ArcSec[a*x])*Hypergeometric2F1[1 - I/2, 3, 2 - I/2, -E^(2*I*ArcSec[a*x])])/a^2}
+{E^ArcSec[a*x]*x^0, x, 5, -(((1 + I)*E^((1 + I)*ArcSec[a*x])*Hypergeometric2F1[1/2 - I/2, 1, 3/2 - I/2, -E^(2*I*ArcSec[a*x])])/a) + ((2 + 2*I)*E^((1 + I)*ArcSec[a*x])*Hypergeometric2F1[1/2 - I/2, 2, 3/2 - I/2, -E^(2*I*ArcSec[a*x])])/a}
+{E^ArcSec[a*x]/x^1, x, 6, (-I)*E^ArcSec[a*x] + 2*I*E^ArcSec[a*x]*Hypergeometric2F1[-(I/2), 1, 1 - I/2, -E^(2*I*ArcSec[a*x])]}
+{E^ArcSec[a*x]/x^2, x, 3, (1/2)*a*E^ArcSec[a*x]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - E^ArcSec[a*x]/(2*x)}
+{E^ArcSec[a*x]/x^3, x, 5, (-(1/5))*a^2*E^ArcSec[a*x]*Cos[2*ArcSec[a*x]] + (1/10)*a^2*E^ArcSec[a*x]*Sin[2*ArcSec[a*x]]}
+{E^ArcSec[a*x]/x^4, x, 6, (1/8)*a^3*E^ArcSec[a*x]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (a^2*E^ArcSec[a*x])/(8*x) - (3/40)*a^3*E^ArcSec[a*x]*Cos[3*ArcSec[a*x]] + (1/40)*a^3*E^ArcSec[a*x]*Sin[3*ArcSec[a*x]]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Miscellaneous integrands involving inverse secants*)
+
+
+{ArcSec[a + b*x]/((a*d)/b + d*x), x, 8, (I*ArcSec[a + b*x]^2)/(2*d) - (ArcSec[a + b*x]*Log[1 + E^(2*I*ArcSec[a + b*x])])/d + (I*PolyLog[2, -E^(2*I*ArcSec[a + b*x])])/(2*d)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.6 Inverse cosecant/5.6.1 u (a+b arccsc(c x))^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.6 Inverse cosecant/5.6.1 u (a+b arccsc(c x))^n.m
new file mode 100644
index 00000000..04ba47a0
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.6 Inverse cosecant/5.6.1 u (a+b arccsc(c x))^n.m	
@@ -0,0 +1,341 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcCsc[c x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcCsc[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcCsc[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^6*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 7, (5*b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^2)/(112*c^5) + (5*b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^4)/(168*c^3) + (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^6)/(42*c) + (x^7*(a + b*ArcCsc[c*x]))/7 + (5*b*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/(112*c^7)}
+{x^5*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 4, (4*b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(45*c^5) + (2*b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^3)/(45*c^3) + (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^5)/(30*c) + (x^6*(a + b*ArcCsc[c*x]))/6}
+{x^4*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 6, (3*b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^2)/(40*c^3) + (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^4)/(20*c) + (x^5*(a + b*ArcCsc[c*x]))/5 + (3*b*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/(40*c^5)}
+{x^3*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 3, (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(6*c^3) + (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^3)/(12*c) + (x^4*(a + b*ArcCsc[c*x]))/4}
+{x^2*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 5, (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^2)/(6*c) + (x^3*(a + b*ArcCsc[c*x]))/3 + (b*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/(6*c^3)}
+{x*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 2, (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(2*c) + (x^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/2}
+{a + b*ArcCsc[c*x], x, 5, a*x + b*x*ArcCsc[c*x] + (b*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/c}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/x, x, 6, ((I/2)*(a + b*ArcCsc[c*x])^2)/b - (a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - E^((2*I)*ArcCsc[c*x])] + (I/2)*b*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcCsc[c*x])]}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/x^2, x, 2, -(b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]) - (a + b*ArcCsc[c*x])/x}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/x^3, x, 4, -(b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(4*x) + (b*c^2*ArcCsc[c*x])/4 - (a + b*ArcCsc[c*x])/(2*x^2)}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/x^4, x, 4, -(b*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/3 + (b*c^3*(1 - 1/(c^2*x^2))^(3/2))/9 - (a + b*ArcCsc[c*x])/(3*x^3)}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/x^5, x, 5, -(b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(16*x^3) - (3*b*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(32*x) + (3*b*c^4*ArcCsc[c*x])/32 - (a + b*ArcCsc[c*x])/(4*x^4)}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/x^6, x, 4, -(b*c^5*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/5 + (2*b*c^5*(1 - 1/(c^2*x^2))^(3/2))/15 - (b*c^5*(1 - 1/(c^2*x^2))^(5/2))/25 - (a + b*ArcCsc[c*x])/(5*x^5)}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/x^7, x, 6, -(b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(36*x^5) - (5*b*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(144*x^3) - (5*b*c^5*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(96*x) + (5*b*c^6*ArcCsc[c*x])/96 - (a + b*ArcCsc[c*x])/(6*x^6)}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcCsc[c*x])^2, x, 5, (b^2*x^2)/(12*c^2) + (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*c^3) + (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^3*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(6*c) + (x^4*(a + b*ArcCsc[c*x])^2)/4 + (b^2*Log[x])/(3*c^4)}
+{x^2*(a + b*ArcCsc[c*x])^2, x, 8, (b^2*x)/(3*c^2) + (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*c) + (x^3*(a + b*ArcCsc[c*x])^2)/3 + (2*b*(a + b*ArcCsc[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcCsc[c*x])])/(3*c^3) - ((I/3)*b^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcCsc[c*x])])/c^3 + ((I/3)*b^2*PolyLog[2, E^(I*ArcCsc[c*x])])/c^3}
+{x*(a + b*ArcCsc[c*x])^2, x, 4, (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*(a + b*ArcCsc[c*x]))/c + (x^2*(a + b*ArcCsc[c*x])^2)/2 + (b^2*Log[x])/c^2}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])^2, x, 7, x*(a + b*ArcCsc[c*x])^2 + (4*b*(a + b*ArcCsc[c*x])*ArcTanh[E^(I*ArcCsc[c*x])])/c - ((2*I)*b^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcCsc[c*x])])/c + ((2*I)*b^2*PolyLog[2, E^(I*ArcCsc[c*x])])/c}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])^2/x, x, 6, ((I/3)*(a + b*ArcCsc[c*x])^3)/b - (a + b*ArcCsc[c*x])^2*Log[1 - E^((2*I)*ArcCsc[c*x])] + I*b*(a + b*ArcCsc[c*x])*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcCsc[c*x])] - (b^2*PolyLog[3, E^((2*I)*ArcCsc[c*x])])/2}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])^2/x^2, x, 4, (2*b^2)/x - 2*b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsc[c*x]) - (a + b*ArcCsc[c*x])^2/x}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])^2/x^3, x, 4, b^2/(4*x^2) + (a*b*c^2*ArcCsc[c*x])/2 + (b^2*c^2*ArcCsc[c*x]^2)/4 - (b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(2*x) - (a + b*ArcCsc[c*x])^2/(2*x^2)}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])^2/x^4, x, 5, (2*b^2)/(27*x^3) + (4*b^2*c^2)/(9*x) - (4*b*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/9 - (2*b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(9*x^2) - (a + b*ArcCsc[c*x])^2/(3*x^3)}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])^2/x^5, x, 5, b^2/(32*x^4) + (3*b^2*c^2)/(32*x^2) + (3*a*b*c^4*ArcCsc[c*x])/16 + (3*b^2*c^4*ArcCsc[c*x]^2)/32 - (b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(8*x^3) - (3*b*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(16*x) - (a + b*ArcCsc[c*x])^2/(4*x^4)}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcCsc[c*x])^3, x, 10, (b^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(4*c^3) + (b^2*x^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(4*c^2) + ((I/2)*b*(a + b*ArcCsc[c*x])^2)/c^4 + (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*(a + b*ArcCsc[c*x])^2)/(2*c^3) + (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^3*(a + b*ArcCsc[c*x])^2)/(4*c) + (x^4*(a + b*ArcCsc[c*x])^3)/4 - (b^2*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - E^((2*I)*ArcCsc[c*x])])/c^4 + ((I/2)*b^3*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcCsc[c*x])])/c^4}
+{x^2*(a + b*ArcCsc[c*x])^3, x, 11, (b^2*x*(a + b*ArcCsc[c*x]))/c^2 + (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^2*(a + b*ArcCsc[c*x])^2)/(2*c) + (x^3*(a + b*ArcCsc[c*x])^3)/3 + (b*(a + b*ArcCsc[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcCsc[c*x])])/c^3 + (b^3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/c^3 - (I*b^2*(a + b*ArcCsc[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcCsc[c*x])])/c^3 + (I*b^2*(a + b*ArcCsc[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcCsc[c*x])])/c^3 + (b^3*PolyLog[3, -E^(I*ArcCsc[c*x])])/c^3 - (b^3*PolyLog[3, E^(I*ArcCsc[c*x])])/c^3}
+{x*(a + b*ArcCsc[c*x])^3, x, 7, (((3*I)/2)*b*(a + b*ArcCsc[c*x])^2)/c^2 + (3*b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*(a + b*ArcCsc[c*x])^2)/(2*c) + (x^2*(a + b*ArcCsc[c*x])^3)/2 - (3*b^2*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - E^((2*I)*ArcCsc[c*x])])/c^2 + (((3*I)/2)*b^3*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcCsc[c*x])])/c^2}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])^3, x, 9, x*(a + b*ArcCsc[c*x])^3 + (6*b*(a + b*ArcCsc[c*x])^2*ArcTanh[E^(I*ArcCsc[c*x])])/c - ((6*I)*b^2*(a + b*ArcCsc[c*x])*PolyLog[2, -E^(I*ArcCsc[c*x])])/c + ((6*I)*b^2*(a + b*ArcCsc[c*x])*PolyLog[2, E^(I*ArcCsc[c*x])])/c + (6*b^3*PolyLog[3, -E^(I*ArcCsc[c*x])])/c - (6*b^3*PolyLog[3, E^(I*ArcCsc[c*x])])/c}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])^3/x, x, 7, ((I/4)*(a + b*ArcCsc[c*x])^4)/b - (a + b*ArcCsc[c*x])^3*Log[1 - E^((2*I)*ArcCsc[c*x])] + ((3*I)/2)*b*(a + b*ArcCsc[c*x])^2*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcCsc[c*x])] - (3*b^2*(a + b*ArcCsc[c*x])*PolyLog[3, E^((2*I)*ArcCsc[c*x])])/2 - ((3*I)/4)*b^3*PolyLog[4, E^((2*I)*ArcCsc[c*x])]}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])^3/x^2, x, 5, 6*b^3*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)] + (6*b^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x - 3*b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsc[c*x])^2 - (a + b*ArcCsc[c*x])^3/x}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])^3/x^3, x, 6, (3*b^3*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(8*x) - (3*b^3*c^2*ArcCsc[c*x])/8 + (3*b^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(4*x^2) - (3*b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsc[c*x])^2)/(4*x) + (c^2*(a + b*ArcCsc[c*x])^3)/4 - (a + b*ArcCsc[c*x])^3/(2*x^2)}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])^3/x^4, x, 8, (14*b^3*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/9 - (2*b^3*c^3*(1 - 1/(c^2*x^2))^(3/2))/27 + (2*b^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(9*x^3) + (4*b^2*c^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*x) - (2*b*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsc[c*x])^2)/3 - (b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsc[c*x])^2)/(3*x^2) - (a + b*ArcCsc[c*x])^3/(3*x^3)}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])^3/x^5, x, 10, (3*b^3*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(128*x^3) + (45*b^3*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(256*x) - (45*b^3*c^4*ArcCsc[c*x])/256 + (3*b^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(32*x^4) + (9*b^2*c^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(32*x^2) - (3*b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsc[c*x])^2)/(16*x^3) - (9*b*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsc[c*x])^2)/(32*x) + (3*c^4*(a + b*ArcCsc[c*x])^3)/32 - (a + b*ArcCsc[c*x])^3/(4*x^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^1/(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 0, Unintegrable[x/(a + b*ArcCsc[c*x]), x]}
+{x^0/(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsc[c*x])^(-1), x]}
+{1/(x^1*(a + b*ArcCsc[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*ArcCsc[c*x])), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcCsc[c*x])), x, 4, -((c*Cos[a/b]*CosIntegral[a/b + ArcCsc[c*x]])/b) - (c*Sin[a/b]*SinIntegral[a/b + ArcCsc[c*x]])/b}
+{1/(x^3*(a + b*ArcCsc[c*x])), x, 6, (c^2*CosIntegral[(2*a)/b + 2*ArcCsc[c*x]]*Sin[(2*a)/b])/(2*b) - (c^2*Cos[(2*a)/b]*SinIntegral[(2*a)/b + 2*ArcCsc[c*x]])/(2*b)}
+{1/(x^4*(a + b*ArcCsc[c*x])), x, 9, -((c^3*Cos[a/b]*CosIntegral[a/b + ArcCsc[c*x]])/(4*b)) + (c^3*Cos[(3*a)/b]*CosIntegral[(3*a)/b + 3*ArcCsc[c*x]])/(4*b) - (c^3*Sin[a/b]*SinIntegral[a/b + ArcCsc[c*x]])/(4*b) + (c^3*Sin[(3*a)/b]*SinIntegral[(3*a)/b + 3*ArcCsc[c*x]])/(4*b)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcCsc[c x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*ArcCsc[c*x])^3, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcCsc[c*x])^3, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcCsc[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcCsc[c*x])^2, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 3, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d*(1 + m)) + (b*(d*x)^m*Hypergeometric2F1[1/2, -m/2, 1 - m/2, 1/(c^2*x^2)])/(c*m*(1 + m))}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcCsc[c*x]), x]}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcCsc[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcCsc[c*x])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x)^m (a+b ArcCsc[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcCsc[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(d + e*x)^3*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 11, (b*e*(9*c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(6*c^3) + (b*d*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^2)/(2*c) + (b*e^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^3)/(12*c) - (b*d^4*ArcCsc[c*x])/(4*e) + ((d + e*x)^4*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(4*e) + (b*d*(2*c^2*d^2 + e^2)*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/(2*c^3)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 10, (b*d*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/c + (b*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^2)/(6*c) - (b*d^3*ArcCsc[c*x])/(3*e) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e) + (b*(6*c^2*d^2 + e^2)*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/(6*c^3)}
+{(d + e*x)*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 9, (b*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(2*c) - (b*d^2*ArcCsc[c*x])/(2*e) + ((d + e*x)^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(2*e) + (b*d*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/c}
+{a + b*ArcCsc[c*x], x, 5, a*x + b*x*ArcCsc[c*x] + (b*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/c}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x), x, 4, ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*(e - Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(c*d)])/e + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*(e + Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(c*d)])/e - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[c*x])])/e - (I*b*PolyLog[2, (I*(e - Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(c*d)])/e - (I*b*PolyLog[2, (I*(e + Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(c*d)])/e + (I*b*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[c*x])])/(2*e)}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x)^2, x, 7, (b*ArcCsc[c*x])/(d*e) - (a + b*ArcCsc[c*x])/(e*(d + e*x)) + (b*ArcTanh[(c^2*d + e/x)/(c*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(d*Sqrt[c^2*d^2 - e^2])}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x)^3, x, 8, -(b*c*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(2*d*(c^2*d^2 - e^2)*(e + d/x)) + (b*ArcCsc[c*x])/(2*d^2*e) - (a + b*ArcCsc[c*x])/(2*e*(d + e*x)^2) + (b*(2*c^2*d^2 - e^2)*ArcTanh[(c^2*d + e/x)/(c*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(2*d^2*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^(p/2) (a+b ArcCsc[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, If[$VersionNumber>=8, 31, 27], (4*b*d*Sqrt[d + e*x]*(1 - c^2*x^2))/(105*c^3*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) - (4*b*(d + e*x)^(3/2)*(1 - c^2*x^2))/(35*c^3*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) + (2*d^2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^3) - (4*d*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*e^3) + (2*(d + e*x)^(7/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(7*e^3) + (4*b*(5*c^2*d^2 - 9*e^2)*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(105*c^4*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) - (4*b*d*(9*c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(105*c^4*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (32*b*d^4*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(105*c*e^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]), If[$VersionNumber>=8, (4*b*d*Sqrt[d + e*x]*(1 - c^2*x^2))/(105*c^3*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) - (4*b*(d + e*x)^(3/2)*(1 - c^2*x^2))/(35*c^3*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) + (2*d^2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^3) - (4*d*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*e^3) + (2*(d + e*x)^(7/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(7*e^3) + (32*b*d^2*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(105*c^2*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) - (4*b*(c^2*d^2 + 3*e^2)*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(35*c^4*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) - (32*b*d^3*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(105*c^2*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*d*(c*d - e)*(c*d + e)*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(105*c^4*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (32*b*d^4*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(105*c*e^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]), -((4*b*Sqrt[d + e*x]*(1 - c^2*x^2))/(35*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])) - (8*b*d*Sqrt[d + e*x]*(1 - c^2*x^2))/(105*c^3*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) + (2*d^2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^3) - (4*d*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*e^3) + (2*(d + e*x)^(7/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(7*e^3) + (4*b*d^2*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(35*c^2*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) + (4*b*(2*c^2*d^2 - 9*e^2)*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(105*c^4*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) - (32*b*d^3*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(105*c^2*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*d*(c*d - e)*(c*d + e)*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(105*c^4*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (32*b*d^4*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(105*c*e^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])]}
+{x^1*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, If[$VersionNumber>=8, 24, 20], -((4*b*Sqrt[d + e*x]*(1 - c^2*x^2))/(15*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)) - (2*d*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^2) + (2*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*e^2) - (8*b*d*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*c^2*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) + (4*b*(3*c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*c^4*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (8*b*d^3*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*c*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]), -((4*b*Sqrt[d + e*x]*(1 - c^2*x^2))/(15*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)) - (2*d*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^2) + (2*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*e^2) - (8*b*d*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*c^2*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) + (8*b*d^2*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*c^2*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (4*b*(c*d - e)*(c*d + e)*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*c^4*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (8*b*d^3*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*c*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^0*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 15, (2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e) - (4*b*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) - (4*b*d*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*d^2*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsc[c*x])/x^1, x, 0, Unintegrable[(Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x, x]}
+{Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsc[c*x])/x^2, x, 0, Unintegrable[(Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x^2, x]}
+
+
+{(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 22, -((4*b*e*Sqrt[d + e*x]*(1 - c^2*x^2))/(15*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)) + (2*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*e) - (28*b*d*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*c^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) - (4*b*(2*c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*c^4*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*d^3*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(5*c*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcCsc[c*x])/Sqrt[d + e*x], x, 27, -((4*b*Sqrt[d + e*x]*(1 - c^2*x^2))/(35*c^3*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])) + (4*b*d*Sqrt[d + e*x]*(1 - c^2*x^2))/(21*c^3*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) - (2*d^3*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e^4 + (2*d^2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e^4 - (6*d*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*e^4) + (2*(d + e*x)^(7/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(7*e^4) - (24*b*d^2*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(35*c^2*e^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) + (4*b*(2*c^2*d^2 - 9*e^2)*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(105*c^4*e^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) + (64*b*d^3*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(35*c^2*e^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (32*b*d*(c*d - e)*(c*d + e)*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(105*c^4*e^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (64*b*d^4*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(35*c*e^4*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^2*(a + b*ArcCsc[c*x])/Sqrt[d + e*x], x, 20, -((4*b*Sqrt[d + e*x]*(1 - c^2*x^2))/(15*c^3*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)) + (2*d^2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e^3 - (4*d*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^3) + (2*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*e^3) + (4*b*d*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(5*c^2*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) - (32*b*d^2*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*c^2*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (4*b*(c*d - e)*(c*d + e)*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*c^4*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (32*b*d^3*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*c*e^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^1*(a + b*ArcCsc[c*x])/Sqrt[d + e*x], x, 14, -((2*d*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e^2) + (2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^2) - (4*b*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c^2*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) + (8*b*d*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c^2*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (8*b*d^2*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^0*(a + b*ArcCsc[c*x])/Sqrt[d + e*x], x, 9, (2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e - (4*b*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(c^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*d*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(c*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^1*Sqrt[d + e*x]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsc[c*x])/(x*Sqrt[d + e*x]), x]}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^2*Sqrt[d + e*x]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^2*Sqrt[d + e*x]), x]}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x)^(3/2), x, 23, -((4*b*Sqrt[d + e*x]*(1 - c^2*x^2))/(15*c^3*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)) + (2*d^3*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(e^4*Sqrt[d + e*x]) + (6*d^2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e^4 - (2*d*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e^4 + (2*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*e^4) + (32*b*d*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*c^2*e^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) - (8*b*d^2*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(c^2*e^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*(2*c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*c^4*e^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (64*b*d^3*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(5*c*e^4*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^2*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x)^(3/2), x, 16, -((2*d^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(e^3*Sqrt[d + e*x])) - (4*d*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e^3 + (2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^3) - (4*b*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c^2*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) + (20*b*d*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c^2*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (32*b*d^2*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c*e^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^1*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x)^(3/2), x, 11, (2*d*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(e^2*Sqrt[d + e*x]) + (2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e^2 - (4*b*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(c^2*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (8*b*d*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(c*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^0*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x)^(3/2), x, 6, -((2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(e*Sqrt[d + e*x])) + (4*b*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(c*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^1*(d + e*x)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsc[c*x])/(x*(d + e*x)^(3/2)), x]}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^2*(d + e*x)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^2*(d + e*x)^(3/2)), x]}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x)^(5/2), x, 31, -((4*b*d^2*(1 - c^2*x^2))/(3*c*e^2*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])) + (2*d^3*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^4*(d + e*x)^(3/2)) - (6*d^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(e^4*Sqrt[d + e*x]) - (6*d*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e^4 + (2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^4) + (8*b*d^2*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*e^3*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) - (4*b*(2*c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c^2*e^3*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) + (32*b*d*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c^2*e^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (64*b*d^2*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c*e^4*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^2*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x)^(5/2), x, 25, (4*b*d*(1 - c^2*x^2))/(3*c*e*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (2*d^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^3*(d + e*x)^(3/2)) + (4*d*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(e^3*Sqrt[d + e*x]) + (2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e^3 - (4*b*d*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*e^2*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) - (4*b*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(c^2*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (32*b*d*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c*e^3*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^1*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x)^(5/2), x, 19, -((4*b*(1 - c^2*x^2))/(3*c*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])) + (2*d*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^2*(d + e*x)^(3/2)) - (2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(e^2*Sqrt[d + e*x]) + (4*b*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*e*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) + (8*b*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^0*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x)^(5/2), x, 12, (4*b*e*(1 - c^2*x^2))/(3*c*d*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e*(d + e*x)^(3/2)) - (4*b*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*d*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) + (4*b*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c*d*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^1*(d + e*x)^(5/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsc[c*x])/(x*(d + e*x)^(5/2)), x]}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^2*(d + e*x)^(5/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^2*(d + e*x)^(5/2)), x]}
+
+
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x)^(7/2), x, 19, (4*b*e*(1 - c^2*x^2))/(15*c*d*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*(d + e*x)^(3/2)) + (16*b*c*e*(1 - c^2*x^2))/(15*(c^2*d^2 - e^2)^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (4*b*e*(1 - c^2*x^2))/(5*c*d^2*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*e*(d + e*x)^(5/2)) - (4*b*(7*c^2*d^2 - 3*e^2)*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*(c^2*d^3 - d*e^2)^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) + (4*b*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*d*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (4*b*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(5*c*d^2*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]), (4*b*e*(1 - c^2*x^2))/(15*c*d*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*(d + e*x)^(3/2)) + (16*b*c*e*(1 - c^2*x^2))/(15*(c^2*d^2 - e^2)^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (4*b*e*(1 - c^2*x^2))/(5*c*d^2*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*e*(d + e*x)^(5/2)) - (16*b*c^2*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*(c^2*d^2 - e^2)^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) - (4*b*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(5*d^2*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) + (4*b*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*d*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (4*b*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(5*c*d^2*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcCsc[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^p (a+b ArcCsc[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^4*(d + e*x^2)*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 7, (b*(42*c^2*d + 25*e)*x^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(560*c^5*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*(42*c^2*d + 25*e)*x^4*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(840*c^3*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e*x^6*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(42*c*Sqrt[c^2*x^2]) + (d*x^5*(a + b*ArcCsc[c*x]))/5 + (e*x^7*(a + b*ArcCsc[c*x]))/7 + (b*(42*c^2*d + 25*e)*x*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(560*c^6*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^2*(d + e*x^2)*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 6, (b*(20*c^2*d + 9*e)*x^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(120*c^3*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e*x^4*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(20*c*Sqrt[c^2*x^2]) + (d*x^3*(a + b*ArcCsc[c*x]))/3 + (e*x^5*(a + b*ArcCsc[c*x]))/5 + (b*(20*c^2*d + 9*e)*x*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(120*c^4*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 5, (b*e*x^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(6*c*Sqrt[c^2*x^2]) + d*x*(a + b*ArcCsc[c*x]) + (e*x^3*(a + b*ArcCsc[c*x]))/3 + (b*(6*c^2*d + e)*x*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(6*c^2*Sqrt[c^2*x^2])}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x^2, x, 4, -((b*c*d*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/Sqrt[c^2*x^2]) - (d*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x + e*x*(a + b*ArcCsc[c*x]) + (b*e*x*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/Sqrt[c^2*x^2]}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x^4, x, 4, -(b*c*(2*c^2*d + 9*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(9*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*d*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(9*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (d*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*x^3) - (e*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x^6, x, 5, (-2*b*c^3*(12*c^2*d + 25*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(225*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*d*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(25*x^4*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*(12*c^2*d + 25*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(225*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (d*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*x^5) - (e*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*x^3)}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x^8, x, 6, (-8*b*c^5*(30*c^2*d + 49*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(3675*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*d*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(49*x^6*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*(30*c^2*d + 49*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(1225*x^4*Sqrt[c^2*x^2]) - (4*b*c^3*(30*c^2*d + 49*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(3675*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (d*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(7*x^7) - (e*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*x^5)}
+
+{x^5*(d + e*x^2)*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 5, (b*(4*c^2*d + 3*e)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(24*c^7*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*(8*c^2*d + 9*e)*x*(-1 + c^2*x^2)^(3/2))/(72*c^7*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*(4*c^2*d + 9*e)*x*(-1 + c^2*x^2)^(5/2))/(120*c^7*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e*x*(-1 + c^2*x^2)^(7/2))/(56*c^7*Sqrt[c^2*x^2]) + (d*x^6*(a + b*ArcCsc[c*x]))/6 + (e*x^8*(a + b*ArcCsc[c*x]))/8}
+{x^3*(d + e*x^2)*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 5, (b*(3*c^2*d + 2*e)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(12*c^5*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*(3*c^2*d + 4*e)*x*(-1 + c^2*x^2)^(3/2))/(36*c^5*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e*x*(-1 + c^2*x^2)^(5/2))/(30*c^5*Sqrt[c^2*x^2]) + (d*x^4*(a + b*ArcCsc[c*x]))/4 + (e*x^6*(a + b*ArcCsc[c*x]))/6}
+{x*(d + e*x^2)*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 6, (b*(2*c^2*d + e)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(4*c^3*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e*x*(-1 + c^2*x^2)^(3/2))/(12*c^3*Sqrt[c^2*x^2]) + ((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(4*e) + (b*c*d^2*x*ArcTan[Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(4*e*Sqrt[c^2*x^2])}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x, x, 11, (b*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(2*c) + (I/2)*b*d*ArcCsc[c*x]^2 + (e*x^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/2 - b*d*ArcCsc[c*x]*Log[1 - E^((2*I)*ArcCsc[c*x])] + b*d*ArcCsc[c*x]*Log[x^(-1)] - d*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[x^(-1)] + (I/2)*b*d*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcCsc[c*x])]}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x^3, x, 13, -(b*c*d*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(4*x) + (b*c^2*d*ArcCsc[c*x])/4 + (I/2)*b*e*ArcCsc[c*x]^2 - (d*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(2*x^2) - b*e*ArcCsc[c*x]*Log[1 - E^((2*I)*ArcCsc[c*x])] + b*e*ArcCsc[c*x]*Log[x^(-1)] - e*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[x^(-1)] + (I/2)*b*e*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcCsc[c*x])]}
+
+
+{x^2*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 7, (b*(280*c^4*d^2 + 252*c^2*d*e + 75*e^2)*x^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(1680*c^5*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e*(84*c^2*d + 25*e)*x^4*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(840*c^3*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e^2*x^6*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(42*c*Sqrt[c^2*x^2]) + (d^2*x^3*(a + b*ArcCsc[c*x]))/3 + (2*d*e*x^5*(a + b*ArcCsc[c*x]))/5 + (e^2*x^7*(a + b*ArcCsc[c*x]))/7 + (b*(280*c^4*d^2 + 252*c^2*d*e + 75*e^2)*x*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(1680*c^6*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 6, (b*e*(40*c^2*d + 9*e)*x^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(120*c^3*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e^2*x^4*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(20*c*Sqrt[c^2*x^2]) + d^2*x*(a + b*ArcCsc[c*x]) + (2*d*e*x^3*(a + b*ArcCsc[c*x]))/3 + (e^2*x^5*(a + b*ArcCsc[c*x]))/5 + (b*(120*c^4*d^2 + 40*c^2*d*e + 9*e^2)*x*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(120*c^4*Sqrt[c^2*x^2])}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x^2, x, 6, -((b*c*d^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e^2*x^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(6*c*Sqrt[c^2*x^2]) - (d^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x + 2*d*e*x*(a + b*ArcCsc[c*x]) + (e^2*x^3*(a + b*ArcCsc[c*x]))/3 + (b*e*(12*c^2*d + e)*x*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(6*c^2*Sqrt[c^2*x^2])}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x^4, x, 6, (-2*b*c*d*(c^2*d + 9*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(9*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*d^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(9*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (d^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*x^3) - (2*d*e*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x + e^2*x*(a + b*ArcCsc[c*x]) + (b*e^2*x*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/Sqrt[c^2*x^2]}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x^6, x, 5, -(b*c*(24*c^4*d^2 + 100*c^2*d*e + 225*e^2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(225*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*d^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(25*x^4*Sqrt[c^2*x^2]) - (2*b*c*d*(6*c^2*d + 25*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(225*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (d^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*x^5) - (2*d*e*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*x^3) - (e^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x^8, x, 6, (-2*b*c^3*(360*c^4*d^2 + 1176*c^2*d*e + 1225*e^2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(11025*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*d^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(49*x^6*Sqrt[c^2*x^2]) - (2*b*c*d*(15*c^2*d + 49*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(1225*x^4*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*(360*c^4*d^2 + 1176*c^2*d*e + 1225*e^2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(11025*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (d^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(7*x^7) - (2*d*e*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*x^5) - (e^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*x^3)}
+
+{x^3*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 5, (b*(6*c^4*d^2 + 8*c^2*d*e + 3*e^2)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(24*c^7*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*(6*c^4*d^2 + 16*c^2*d*e + 9*e^2)*x*(-1 + c^2*x^2)^(3/2))/(72*c^7*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e*(8*c^2*d + 9*e)*x*(-1 + c^2*x^2)^(5/2))/(120*c^7*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e^2*x*(-1 + c^2*x^2)^(7/2))/(56*c^7*Sqrt[c^2*x^2]) + (d^2*x^4*(a + b*ArcCsc[c*x]))/4 + (d*e*x^6*(a + b*ArcCsc[c*x]))/3 + (e^2*x^8*(a + b*ArcCsc[c*x]))/8}
+{x^1*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 6, (b*(3*c^4*d^2 + 3*c^2*d*e + e^2)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(6*c^5*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e*(3*c^2*d + 2*e)*x*(-1 + c^2*x^2)^(3/2))/(18*c^5*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e^2*x*(-1 + c^2*x^2)^(5/2))/(30*c^5*Sqrt[c^2*x^2]) + ((d + e*x^2)^3*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(6*e) + (b*c*d^3*x*ArcTan[Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(6*e*Sqrt[c^2*x^2])}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x^1, x, 12, (b*e*(6*c^2*d + e)*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(6*c^3) + (b*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x^3)/(12*c) + (I/2)*b*d^2*ArcCsc[c*x]^2 + d*e*x^2*(a + b*ArcCsc[c*x]) + (e^2*x^4*(a + b*ArcCsc[c*x]))/4 - b*d^2*ArcCsc[c*x]*Log[1 - E^((2*I)*ArcCsc[c*x])] + b*d^2*ArcCsc[c*x]*Log[x^(-1)] - d^2*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[x^(-1)] + (I/2)*b*d^2*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcCsc[c*x])]}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x^3, x, 14, -(b*c*d^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(4*x) + (b*e^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(2*c) + (b*c^2*d^2*ArcCsc[c*x])/4 + I*b*d*e*ArcCsc[c*x]^2 - (d^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(2*x^2) + (e^2*x^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/2 - 2*b*d*e*ArcCsc[c*x]*Log[1 - E^((2*I)*ArcCsc[c*x])] + 2*b*d*e*ArcCsc[c*x]*Log[x^(-1)] - 2*d*e*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[x^(-1)] + I*b*d*e*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcCsc[c*x])]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2), x, 25, (x*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e + (b*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/(c*e) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) - ((I/2)*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e^(3/2) + ((I/2)*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e^(3/2) - ((I/2)*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e^(3/2) + ((I/2)*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e^(3/2)}
+{(x*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2), x, 26, ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - E^((2*I)*ArcCsc[c*x])])/e - ((I/2)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e - ((I/2)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e - ((I/2)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e - ((I/2)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e + ((I/2)*b*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcCsc[c*x])])/e}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x^2), x, 19, -((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((I/2)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + ((I/2)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((I/2)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + ((I/2)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x*(d + e*x^2)), x, 19, ((I/2)*(a + b*ArcCsc[c*x])^2)/(b*d) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) + ((I/2)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/d + ((I/2)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/d + ((I/2)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/d + ((I/2)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/d}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)), x, 24, -((b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/d) - a/(d*x) - (b*ArcCsc[c*x])/(d*x) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) - ((I/2)*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(-d)^(3/2) + ((I/2)*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(-d)^(3/2) - ((I/2)*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(-d)^(3/2) + ((I/2)*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(-d)^(3/2)}
+
+
+{(x^5*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 31, (b*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)/(2*c*e^2) + (d*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(2*e^2*(e + d/x^2)) + (x^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(2*e^2) - (b*d*ArcTan[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)])/(2*e^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]) - (d*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 - (d*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 - (d*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 - (d*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 + (2*d*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - E^((2*I)*ArcCsc[c*x])])/e^3 + (I*b*d*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 + (I*b*d*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 + (I*b*d*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 + (I*b*d*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 - (I*b*d*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcCsc[c*x])])/e^3}
+{(x^3*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 29, -(a + b*ArcCsc[c*x])/(2*e*(e + d/x^2)) + (b*ArcTan[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)])/(2*e^(3/2)*Sqrt[c^2*d + e]) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - E^((2*I)*ArcCsc[c*x])])/e^2 - ((I/2)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e^2 - ((I/2)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e^2 - ((I/2)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e^2 - ((I/2)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e^2 + ((I/2)*b*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcCsc[c*x])])/e^2}
+{(x*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 7, -(a + b*ArcCsc[c*x])/(2*e*(d + e*x^2)) - (b*c*x*ArcTan[Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(2*d*e*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*x*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/Sqrt[c^2*d + e]])/(2*d*Sqrt[e]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x*(d + e*x^2)^2), x, 24, -(e*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(2*d^2*(e + d/x^2)) + ((I/2)*(a + b*ArcCsc[c*x])^2)/(b*d^2) + (b*Sqrt[e]*ArcTan[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)])/(2*d^2*Sqrt[c^2*d + e]) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) + ((I/2)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/d^2 + ((I/2)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/d^2 + ((I/2)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/d^2 + ((I/2)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/d^2}
+
+{(x^4*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 51, -(d*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(4*e^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) + (d*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(4*e^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (x*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e^2 + (b*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]])/(c*e^2) + (b*Sqrt[d]*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(4*e^2*Sqrt[c^2*d + e]) + (b*Sqrt[d]*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(4*e^2*Sqrt[c^2*d + e]) - (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) + (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) - (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) + (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) - (((3*I)/4)*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e^(5/2) + (((3*I)/4)*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e^(5/2) - (((3*I)/4)*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e^(5/2) + (((3*I)/4)*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e^(5/2)}
+{(x^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 27, (a + b*ArcCsc[c*x])/(4*e*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (a + b*ArcCsc[c*x])/(4*e*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) - (b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(4*Sqrt[d]*e*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(4*Sqrt[d]*e*Sqrt[c^2*d + e]) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - ((I/4)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(Sqrt[-d]*e^(3/2)) + ((I/4)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(Sqrt[-d]*e^(3/2)) - ((I/4)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(Sqrt[-d]*e^(3/2)) + ((I/4)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(Sqrt[-d]*e^(3/2))}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 47, -(a + b*ArcCsc[c*x])/(4*d*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) + (a + b*ArcCsc[c*x])/(4*d*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(4*d^(3/2)*Sqrt[c^2*d + e]) + (b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(4*d^(3/2)*Sqrt[c^2*d + e]) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + ((I/4)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/((-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - ((I/4)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/((-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + ((I/4)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/((-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - ((I/4)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/((-d)^(3/2)*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^2), x, 50, -((b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/d^2) - a/(d^2*x) - (b*ArcCsc[c*x])/(d^2*x) + (e*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(4*d^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (e*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(4*d^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) - (b*e*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(4*d^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*e*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(4*d^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]) + (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) - (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) - (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (((3*I)/4)*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(-d)^(5/2) - (((3*I)/4)*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(-d)^(5/2) + (((3*I)/4)*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(-d)^(5/2) - (((3*I)/4)*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(-d)^(5/2)}
+
+
+{(x^5*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 33, (b*c*d*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(8*e^2*(c^2*d + e)*(e + d/x^2)*x) - (a + b*ArcCsc[c*x])/(4*e*(e + d/x^2)^2) - (a + b*ArcCsc[c*x])/(2*e^2*(e + d/x^2)) + (b*ArcTan[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)])/(2*e^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]) + (b*(c^2*d + 2*e)*ArcTan[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)])/(8*e^(5/2)*(c^2*d + e)^(3/2)) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - E^((2*I)*ArcCsc[c*x])])/e^3 - ((I/2)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 - ((I/2)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 - ((I/2)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 - ((I/2)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 + ((I/2)*b*PolyLog[2, E^((2*I)*ArcCsc[c*x])])/e^3}
+{(x^3*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 6, -(b*c*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(8*e*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*(d + e*x^2)) + (x^4*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(4*d*(d + e*x^2)^2) + (b*c*(c^2*d + 2*e)*x*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/Sqrt[c^2*d + e]])/(8*d*e^(3/2)*(c^2*d + e)^(3/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(x*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 8, (b*c*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(8*d*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*(d + e*x^2)) - (a + b*ArcCsc[c*x])/(4*e*(d + e*x^2)^2) - (b*c*x*ArcTan[Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(4*d^2*e*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*c*(3*c^2*d + 2*e)*x*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/Sqrt[c^2*d + e]])/(8*d^2*Sqrt[e]*(c^2*d + e)^(3/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x*(d + e*x^2)^3), x, 28, -(b*c*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(8*d^2*(c^2*d + e)*(e + d/x^2)*x) + (e^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(4*d^3*(e + d/x^2)^2) - (e*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d^3*(e + d/x^2)) + ((I/2)*(a + b*ArcCsc[c*x])^2)/(b*d^3) + (b*Sqrt[e]*ArcTan[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)])/(d^3*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*Sqrt[e]*(c^2*d + 2*e)*ArcTan[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)])/(8*d^3*(c^2*d + e)^(3/2)) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) + ((I/2)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/d^3 + ((I/2)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/d^3 + ((I/2)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/d^3 + ((I/2)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/d^3}
+
+{(x^4*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 35, -(b*c*Sqrt[-d]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(16*e^(3/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (b*c*Sqrt[-d]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(16*e^(3/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(16*e^(3/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)^2) + (3*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(16*e^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(16*e^(3/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)^2) - (3*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(16*e^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) - (b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*Sqrt[d]*e*(c^2*d + e)^(3/2)) - (3*b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*Sqrt[d]*e^2*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*Sqrt[d]*e*(c^2*d + e)^(3/2)) - (3*b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*Sqrt[d]*e^2*Sqrt[c^2*d + e]) - (3*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (3*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (3*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (((3*I)/16)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (((3*I)/16)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (((3*I)/16)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (((3*I)/16)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(Sqrt[-d]*e^(5/2))}
+{(x^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 63, -(b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(16*Sqrt[-d]*Sqrt[e]*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (b*c*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(16*Sqrt[-d]*Sqrt[e]*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (a + b*ArcCsc[c*x])/(16*Sqrt[-d]*Sqrt[e]*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)^2) + (a + b*ArcCsc[c*x])/(16*d*e*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (a + b*ArcCsc[c*x])/(16*Sqrt[-d]*Sqrt[e]*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)^2) - (a + b*ArcCsc[c*x])/(16*d*e*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(3/2)*(c^2*d + e)^(3/2)) - (b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(3/2)*e*Sqrt[c^2*d + e]) + (b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(3/2)*(c^2*d + e)^(3/2)) - (b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(3/2)*e*Sqrt[c^2*d + e]) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) - ((a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + ((I/16)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/((-d)^(3/2)*e^(3/2)) - ((I/16)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/((-d)^(3/2)*e^(3/2)) + ((I/16)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/((-d)^(3/2)*e^(3/2)) - ((I/16)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/((-d)^(3/2)*e^(3/2))}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x^2)^3, x, 81, -(b*c*Sqrt[e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(16*(-d)^(3/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (b*c*Sqrt[e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])/(16*(-d)^(3/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(16*(-d)^(3/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)^2) - (5*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(16*d^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(16*(-d)^(3/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)^2) + (5*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(16*d^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) - (b*e*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(5/2)*(c^2*d + e)^(3/2)) + (5*b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*e*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(5/2)*(c^2*d + e)^(3/2)) + (5*b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]) - (3*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 - (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*(a + b*ArcCsc[c*x])*Log[1 + (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (((3*I)/16)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/((-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (((3*I)/16)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/((-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (((3*I)/16)*b*PolyLog[2, ((-I)*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/((-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (((3*I)/16)*b*PolyLog[2, (I*c*Sqrt[-d]*E^(I*ArcCsc[c*x]))/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/((-d)^(5/2)*Sqrt[e])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^(p/2) (a+b ArcCsc[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^5*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, If[$VersionNumber>=8, 12, 13], -((b*(23*c^4*d^2 + 12*c^2*d*e - 75*e^2)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(1680*c^5*e^2*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*(29*c^2*d - 25*e)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(840*c^3*e^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(5/2))/(42*c*e^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (d^2*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^3) - (2*d*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*e^3) + ((d + e*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(7*e^3) - (8*b*c*d^(7/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(105*e^3*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*(105*c^6*d^3 - 35*c^4*d^2*e + 63*c^2*d*e^2 + 75*e^3)*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(1680*c^6*e^(5/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^3*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, If[$VersionNumber>=8, 11, 12], (b*(c^2*d + 9*e)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(120*c^3*e*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(20*c*e*Sqrt[c^2*x^2]) - (d*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^2) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*e^2) + (2*b*c*d^(5/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(15*e^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*(15*c^4*d^2 - 10*c^2*d*e - 9*e^2)*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(120*c^4*e^(3/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 9, (b*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(6*c*Sqrt[c^2*x^2]) + ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e) - (b*c*d^(3/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(3*e*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*(3*c^2*d + e)*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(6*c^2*Sqrt[e]*Sqrt[c^2*x^2])}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x])/x^1, x, 0, Unintegrable[(Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x, x]}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x])/x^3, x, 0, Unintegrable[(Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x^3, x]}
+
+{x^2*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 0, Unintegrable[x^2*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]), x]}
+{x^0*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 0, Unintegrable[Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]), x]}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x])/x^2, x, 0, Unintegrable[(Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x^2, x]}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x])/x^4, x, 11, -((2*b*c*(c^2*d + 2*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*d*x^3) + (2*b*c^2*(c^2*d + 2*e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(9*d*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*(c^2*d + e)*(2*c^2*d + 3*e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(9*d*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x])/x^6, x, If[$VersionNumber>=8, 12, 32], If[$VersionNumber>=8, -((b*c*(24*c^4*d^2 + 19*c^2*d*e - 31*e^2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(225*d^2*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*c*(12*c^2*d - e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(225*d*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(25*d*x^4*Sqrt[c^2*x^2]) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*d*x^5) + (2*e*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(15*d^2*x^3) + (b*c^2*(24*c^4*d^2 + 19*c^2*d*e - 31*e^2)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(225*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*(c^2*d + e)*(24*c^4*d^2 + 7*c^2*d*e - 30*e^2)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(225*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]), (2*b*c*e^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(15*d^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*e*(2*c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(45*d^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*(8*c^4*d^2 + 3*c^2*d*e - 2*e^2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(75*d^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(25*x^4*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*e*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(45*d*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*(4*c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(75*d*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*d*x^5) + (2*e*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(15*d^2*x^3) - (2*b*c^2*e^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(15*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*c^2*e*(2*c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(45*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*c^2*(8*c^4*d^2 + 3*c^2*d*e - 2*e^2)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(75*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*c^2*(8*c^2*d - e)*(c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(75*d*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*b*c^2*e*(c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(45*d*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]) + (2*b*e^2*(c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(15*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])]}
+
+
+{x^3*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 12, -((b*(3*c^4*d^2 - 38*c^2*d*e - 25*e^2)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(560*c^5*e*Sqrt[c^2*x^2])) + (b*(13*c^2*d + 25*e)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(840*c^3*e*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(5/2))/(42*c*e*Sqrt[c^2*x^2]) - (d*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*e^2) + ((d + e*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(7*e^2) + (2*b*c*d^(7/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(35*e^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*(35*c^6*d^3 - 35*c^4*d^2*e - 63*c^2*d*e^2 - 25*e^3)*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(560*c^6*e^(3/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^1*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 10, (b*(7*c^2*d + 3*e)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(40*c^3*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(20*c*Sqrt[c^2*x^2]) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*e) - (b*c*d^(5/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(5*e*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*(15*c^4*d^2 + 10*c^2*d*e + 3*e^2)*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(40*c^4*Sqrt[e]*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x])/x^1, x, 0, Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x, x]}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x])/x^3, x, 0, Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x^3, x]}
+
+{x^2*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 0, Unintegrable[x^2*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]), x]}
+{x^0*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 0, Unintegrable[(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]), x]}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x])/x^2, x, 0, Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x^2, x]}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x])/x^4, x, 0, Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/x^4, x]}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x])/x^6, x, 12, -((b*c*(8*c^4*d^2 + 23*c^2*d*e + 23*e^2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(75*d*Sqrt[c^2*x^2])) - (4*b*c*(c^2*d + 2*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(75*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(25*x^4*Sqrt[c^2*x^2]) - ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*d*x^5) + (b*c^2*(8*c^4*d^2 + 23*c^2*d*e + 23*e^2)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(75*d*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*(c^2*d + e)*(8*c^4*d^2 + 19*c^2*d*e + 15*e^2)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(75*d*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x])/x^8, x, 13, -((b*c*(240*c^6*d^3 + 528*c^4*d^2*e + 193*c^2*d*e^2 - 247*e^3)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(3675*d^2*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*c*(120*c^4*d^2 + 159*c^2*d*e - 37*e^2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(3675*d*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*(30*c^2*d + 11*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(1225*d*x^4*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(5/2))/(49*d*x^6*Sqrt[c^2*x^2]) - ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(7*d*x^7) + (2*e*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(35*d^2*x^5) + (b*c^2*(240*c^6*d^3 + 528*c^4*d^2*e + 193*c^2*d*e^2 - 247*e^3)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3675*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (2*b*(c^2*d + e)*(120*c^6*d^3 + 204*c^4*d^2*e + 17*c^2*d*e^2 - 105*e^3)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3675*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^5*(a + b*ArcCsc[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 11, -((b*(19*c^2*d - 9*e)*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(120*c^3*e^2*Sqrt[c^2*x^2])) + (b*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(20*c*e^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (d^2*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e^3 - (2*d*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^3) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(5*e^3) - (8*b*c*d^(5/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(15*e^3*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*(45*c^4*d^2 - 10*c^2*d*e + 9*e^2)*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(120*c^4*e^(5/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcCsc[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 10, (b*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(6*c*e*Sqrt[c^2*x^2]) - (d*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e^2 + ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^2) + (2*b*c*d^(3/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(3*e^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*(3*c^2*d - e)*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(6*c^2*e^(3/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcCsc[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 9, (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e - (b*c*Sqrt[d]*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(e*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(Sqrt[e]*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^1*Sqrt[d + e*x^2]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsc[c*x])/(x*Sqrt[d + e*x^2]), x]}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^3*Sqrt[d + e*x^2]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^3*Sqrt[d + e*x^2]), x]}
+
+{x^2*(a + b*ArcCsc[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 0, Unintegrable[(x^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{x^0*(a + b*ArcCsc[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsc[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^2*Sqrt[d + e*x^2]), x, 11, -((b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(d*Sqrt[c^2*x^2])) - (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d*x) + (b*c^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(d*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*(c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(d*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^4*Sqrt[d + e*x^2]), x, 11, -((b*c*(2*c^2*d - 5*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d^2*Sqrt[c^2*x^2])) - (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d*x^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*d*x^3) + (2*e*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*d^2*x) + (b*c^2*(2*c^2*d - 5*e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(9*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (2*b*(c^2*d - 3*e)*(c^2*d + e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(9*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 10, (b*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(6*c*e^2*Sqrt[c^2*x^2]) - (d^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(e^3*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*d*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e^3 + ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^3) + (8*b*c*d^(3/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(3*e^3*Sqrt[c^2*x^2]) - (b*(9*c^2*d - e)*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(6*c^2*e^(5/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 9, (d*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(e^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e^2 - (2*b*c*Sqrt[d]*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(e^2*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(e^(3/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 4, -((a + b*ArcCsc[c*x])/(e*Sqrt[d + e*x^2])) + (b*c*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(Sqrt[d]*e*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsc[c*x])/(x*(d + e*x^2)^(3/2)), x]}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(3/2)), x]}
+
+{x^4*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^4*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2)^(3/2), x]}
+{x^2*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2)^(3/2), x]}
+{x^0*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 5, (x*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(d*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 10, -((b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(d^2*Sqrt[c^2*x^2])) - (a + b*ArcCsc[c*x])/(d*x*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*e*x*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*c^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*(c^2*d + 2*e)*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 10, (b*c*d*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(3*e^2*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]) - (d^2*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^3*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*d*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(e^3*Sqrt[d + e*x^2]) + (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/e^3 - (8*b*c*Sqrt[d]*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(3*e^3*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(e^(5/2)*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 7, -((b*c*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(3*e*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])) + (d*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*e^2*(d + e*x^2)^(3/2)) - (a + b*ArcCsc[c*x])/(e^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (2*b*c*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(3*Sqrt[d]*e^2*Sqrt[c^2*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 5, (b*c*x*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(3*d*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]) - (a + b*ArcCsc[c*x])/(3*e*(d + e*x^2)^(3/2)) + (b*c*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(3*d^(3/2)*e*Sqrt[c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)^(5/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsc[c*x])/(x*(d + e*x^2)^(5/2)), x]}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(5/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(5/2)), x]}
+
+{x^6*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^6*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2)^(5/2), x]}
+{x^4*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^4*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2)^(5/2), x]}
+{x^2*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 10, (b*c*x^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(3*d*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]) + (x^3*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*d*(d + e*x^2)^(3/2)) - (b*c^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3*d*e*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3*d*e*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+{x^0*(a + b*ArcCsc[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 10, -((b*c*e*x^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(3*d^2*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])) + (x*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*d*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*c^2*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3*d^2*(c^2*d + e)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (2*b*x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3*d^2*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcCsc[c x]) when m symbolic*)
+
+
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 6, If[$VersionNumber>=8, (b*e*(e^2*(15 + 8*m + m^2)^2 + 3*c^2*d*e*(3 + m)^2*(42 + 13*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(840 + 638*m + 179*m^2 + 22*m^3 + m^4))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c^5*f*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m)*(6 + m)*(7 + m)*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e^2*(e*(5 + m)^2 + 3*c^2*d*(42 + 13*m + m^2))*x*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c^3*f^3*(4 + m)*(5 + m)*(6 + m)*(7 + m)*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e^3*x*(f*x)^(5 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*f^5*(6 + m)*(7 + m)*Sqrt[c^2*x^2]) + (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(f*(1 + m)) + (3*d^2*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (3*d*e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(f^5*(5 + m)) + (e^3*(f*x)^(7 + m)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(f^7*(7 + m)) + (b*((c^6*d^3*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m))/(1 + m) + (e*(1 + m)*(e^2*(15 + 8*m + m^2)^2 + 3*c^2*d*e*(3 + m)^2*(42 + 13*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(840 + 638*m + 179*m^2 + 22*m^3 + m^4)))/((3 + m)*(5 + m)*(7 + m)))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(c^5*f*(1 + m)*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]), (b*e*(e^2*(15 + 8*m + m^2)^2 + 3*c^2*d*e*(3 + m)^2*(42 + 13*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(840 + 638*m + 179*m^2 + 22*m^3 + m^4))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c^5*f*(6 + m)*(8 + 6*m + m^2)*(105 + 71*m + 15*m^2 + m^3)*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e^2*(e*(5 + m)^2 + 3*c^2*d*(42 + 13*m + m^2))*x*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c^3*f^3*(4 + m)*(5 + m)*(6 + m)*(7 + m)*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e^3*x*(f*x)^(5 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*f^5*(6 + m)*(7 + m)*Sqrt[c^2*x^2]) + (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(f*(1 + m)) + (3*d^2*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (3*d*e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(f^5*(5 + m)) + (e^3*(f*x)^(7 + m)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(f^7*(7 + m)) + (b*((c^6*d^3*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m))/(1 + m) + (e*(1 + m)*(e^2*(15 + 8*m + m^2)^2 + 3*c^2*d*e*(3 + m)^2*(42 + 13*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(840 + 638*m + 179*m^2 + 22*m^3 + m^4)))/(105 + 71*m + 15*m^2 + m^3))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(c^5*f*(1 + m)*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])]}
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 6, If[$VersionNumber>=8, (b*e*(e*(3 + m)^2 + 2*c^2*d*(20 + 9*m + m^2))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c^3*f*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m)*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e^2*x*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*f^3*(4 + m)*(5 + m)*Sqrt[c^2*x^2]) + (d^2*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(f*(1 + m)) + (2*d*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(f^5*(5 + m)) + (b*(c^4*d^2*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m) + e*(1 + m)^2*(e*(3 + m)^2 + 2*c^2*d*(20 + 9*m + m^2)))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(c^3*f*(1 + m)^2*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]), (b*e*(e*(3 + m)^2 + 2*c^2*d*(20 + 9*m + m^2))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c^3*f*(4 + m)*(5 + m)*(6 + 5*m + m^2)*Sqrt[c^2*x^2]) + (b*e^2*x*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*f^3*(4 + m)*(5 + m)*Sqrt[c^2*x^2]) + (d^2*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(f*(1 + m)) + (2*d*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(f^5*(5 + m)) + (b*(c^4*d^2*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m) + e*(1 + m)^2*(e*(3 + m)^2 + 2*c^2*d*(20 + 9*m + m^2)))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(c^3*f*(1 + m)^2*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])]}
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 5, (b*e*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*f*(6 + 5*m + m^2)*Sqrt[c^2*x^2]) + (d*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(f*(1 + m)) + (e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (b*(e*(1 + m)^2 + c^2*d*(2 + m)*(3 + m))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(c*f*(1 + m)^2*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])}
+{((f*x)^m*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2), x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2), x]}
+{((f*x)^m*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x]}
+
+
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 0, Unintegrable[(f*x)^m*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]), x]}
+{(f*x)^m*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]), x, 0, Unintegrable[(f*x)^m*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsc[c*x]), x]}
+{((f*x)^m*(a + b*ArcCsc[c*x]))/Sqrt[d + e*x^2], x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCsc[c*x]))/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{((f*x)^m*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(d + e*x^2)^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^4)^p (a+b ArcCsc[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^4)^(p/2) (a+b ArcCsc[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^11*(a + b*ArcCsc[c*x])/Sqrt[1 - c^4*x^4], x, 16, -((4*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(15*c^13*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)) + (7*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(90*c^13*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) - (13*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(150*c^13*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) + (3*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(1 + c^2*x^2)^(7/2))/(70*c^13*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(1 + c^2*x^2)^(9/2))/(90*c^13*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) - (Sqrt[1 - c^4*x^4]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(2*c^12) + ((1 - c^4*x^4)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(3*c^12) - ((1 - c^4*x^4)^(5/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(10*c^12) + (4*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/(15*c^13*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)}
+{x^7*(a + b*ArcCsc[c*x])/Sqrt[1 - c^4*x^4], x, 13, -((b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3*c^9*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(18*c^9*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(30*c^9*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x) - (Sqrt[1 - c^4*x^4]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(2*c^8) + ((1 - c^4*x^4)^(3/2)*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(6*c^8) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/(3*c^9*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)}
+{x^3*(a + b*ArcCsc[c*x])/Sqrt[1 - c^4*x^4], x, 8, -((b*x*Sqrt[1 - c^4*x^4])/(2*c^3*Sqrt[c^2*x^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])) - (Sqrt[1 - c^4*x^4]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(2*c^4) + (b*x*ArcTan[Sqrt[1 - c^4*x^4]/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(2*c^3*Sqrt[c^2*x^2]), -((b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(2*c^5*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)) - (Sqrt[1 - c^4*x^4]*(a + b*ArcCsc[c*x]))/(2*c^4) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/(2*c^5*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*x)}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^1*Sqrt[1 - c^4*x^4]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsc[c*x])/(x*Sqrt[1 - c^4*x^4]), x]}
+{(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^5*Sqrt[1 - c^4*x^4]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsc[c*x])/(x^5*Sqrt[1 - c^4*x^4]), x]}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcCsc[c x])^n*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.6 Inverse cosecant/5.6.2 Inverse cosecant functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.6 Inverse cosecant/5.6.2 Inverse cosecant functions.m
new file mode 100644
index 00000000..2657bb5f
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/5 Inverse trig functions/5.6 Inverse cosecant/5.6.2 Inverse cosecant functions.m	
@@ -0,0 +1,129 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration Problems Involving Inverse Cosecants*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u ArcCsc[a x^n]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCsc[a x^n]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{ArcCsc[a*x^5]/x, x, 7, (1/10)*I*ArcCsc[a*x^5]^2 - (1/5)*ArcCsc[a*x^5]*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[a*x^5])] + (1/10)*I*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[a*x^5])]}
+
+
+{x^3*ArcCsc[Sqrt[x]], x, 4, Sqrt[-1 + x]/4 + (1/4)*(-1 + x)^(3/2) + (3/20)*(-1 + x)^(5/2) + (1/28)*(-1 + x)^(7/2) + (1/4)*x^4*ArcCsc[Sqrt[x]]}
+{x^2*ArcCsc[Sqrt[x]], x, 4, Sqrt[-1 + x]/3 + (2/9)*(-1 + x)^(3/2) + (1/15)*(-1 + x)^(5/2) + (1/3)*x^3*ArcCsc[Sqrt[x]]}
+{x^1*ArcCsc[Sqrt[x]], x, 4, Sqrt[-1 + x]/2 + (1/6)*(-1 + x)^(3/2) + (1/2)*x^2*ArcCsc[Sqrt[x]]}
+{x^0*ArcCsc[Sqrt[x]], x, 3, Sqrt[-1 + x] + x*ArcCsc[Sqrt[x]]}
+{ArcCsc[Sqrt[x]]/x^1, x, 7, I*ArcCsc[Sqrt[x]]^2 - 2*ArcCsc[Sqrt[x]]*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[Sqrt[x]])] + I*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[Sqrt[x]])]}
+{ArcCsc[Sqrt[x]]/x^2, x, 5, -(Sqrt[-1 + x]/(2*x)) - ArcCsc[Sqrt[x]]/x - (1/2)*ArcTan[Sqrt[-1 + x]]}
+{ArcCsc[Sqrt[x]]/x^3, x, 6, -(Sqrt[-1 + x]/(8*x^2)) - (3*Sqrt[-1 + x])/(16*x) - ArcCsc[Sqrt[x]]/(2*x^2) - (3/16)*ArcTan[Sqrt[-1 + x]]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^2*ArcCsc[a/x], x, 5, (1/3)*a^3*Sqrt[1 - x^2/a^2] - (1/9)*a^3*(1 - x^2/a^2)^(3/2) + (1/3)*x^3*ArcSin[x/a]}
+{x^1*ArcCsc[a/x], x, 4, (1/4)*a*x*Sqrt[1 - x^2/a^2] - (1/4)*a^2*ArcSin[x/a] + (1/2)*x^2*ArcSin[x/a]}
+{x^0*ArcCsc[a/x], x, 3, a*Sqrt[1 - x^2/a^2] + x*ArcSin[x/a]}
+{ArcCsc[a/x]/x^1, x, 6, (-(1/2))*I*ArcSin[x/a]^2 + ArcSin[x/a]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[x/a])] - (1/2)*I*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[x/a])]}
+{ArcCsc[a/x]/x^2, x, 5, -(ArcSin[x/a]/x) - ArcTanh[Sqrt[1 - x^2/a^2]]/a}
+{ArcCsc[a/x]/x^3, x, 3, -(Sqrt[1 - x^2/a^2]/(2*a*x)) - ArcSin[x/a]/(2*x^2)}
+{ArcCsc[a/x]/x^4, x, 6, -(Sqrt[1 - x^2/a^2]/(6*a*x^2)) - ArcSin[x/a]/(3*x^3) - ArcTanh[Sqrt[1 - x^2/a^2]]/(6*a^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCsc[a x^n] when n symbolic*)
+
+
+{ArcCsc[a*x^n]/x, x, 7, (I*ArcCsc[a*x^n]^2)/(2*n) - (ArcCsc[a*x^n]*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[a*x^n])])/n + (I*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[a*x^n])])/(2*n)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCsc[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCsc[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^4*ArcCsc[a + b*x], x, 9, -((a*(20 + 53*a^2)*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(30*b^5)) - (11*a*x^2*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(60*b^3) + (x^3*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(20*b^2) + ((9 + 58*a^2)*(a + b*x)^2*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(120*b^5) + (a^5*ArcCsc[a + b*x])/(5*b^5) + (1/5)*x^5*ArcCsc[a + b*x] + ((3 + 40*a^2 + 40*a^4)*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]])/(40*b^5)}
+{x^3*ArcCsc[a + b*x], x, 8, ((2 + 17*a^2)*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(12*b^4) + (x^2*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(12*b^2) - (a*(a + b*x)^2*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(3*b^4) - (a^4*ArcCsc[a + b*x])/(4*b^4) + (1/4)*x^4*ArcCsc[a + b*x] - (a*(1 + 2*a^2)*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]])/(2*b^4)}
+{x^2*ArcCsc[a + b*x], x, 7, -((5*a*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(6*b^3)) + (x*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(6*b^2) + (a^3*ArcCsc[a + b*x])/(3*b^3) + (1/3)*x^3*ArcCsc[a + b*x] + ((1 + 6*a^2)*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]])/(6*b^3)}
+{x^1*ArcCsc[a + b*x], x, 6, ((a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(2*b^2) - (a^2*ArcCsc[a + b*x])/(2*b^2) + (1/2)*x^2*ArcCsc[a + b*x] - (a*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]])/b^2}
+{x^0*ArcCsc[a + b*x], x, 5, ((a + b*x)*ArcCsc[a + b*x])/b + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]]/b}
+{ArcCsc[a + b*x]/x^1, x, 14, ArcCsc[a + b*x]*Log[1 + (I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])] + ArcCsc[a + b*x]*Log[1 + (I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])] - ArcCsc[a + b*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[a + b*x])] - I*PolyLog[2, -((I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2]))] - I*PolyLog[2, -((I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2]))] + (1/2)*I*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[a + b*x])]}
+{ArcCsc[a + b*x]/x^2, x, 6, -((b*ArcCsc[a + b*x])/a) - ArcCsc[a + b*x]/x - (2*b*ArcTan[(a - Tan[(1/2)*ArcCsc[a + b*x]])/Sqrt[1 - a^2]])/(a*Sqrt[1 - a^2])}
+{ArcCsc[a + b*x]/x^3, x, 8, -((b*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(2*a*(1 - a^2)*x)) + (b^2*ArcCsc[a + b*x])/(2*a^2) - ArcCsc[a + b*x]/(2*x^2) + ((1 - 2*a^2)*b^2*ArcTan[(a - Tan[(1/2)*ArcCsc[a + b*x]])/Sqrt[1 - a^2]])/(a^2*(1 - a^2)^(3/2))}
+{ArcCsc[a + b*x]/x^4, x, 9, -((b*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(6*a*(1 - a^2)*x^2)) + ((2 - 5*a^2)*b^2*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(6*a^2*(1 - a^2)^2*x) - (b^3*ArcCsc[a + b*x])/(3*a^3) - ArcCsc[a + b*x]/(3*x^3) - ((2 - 5*a^2 + 6*a^4)*b^3*ArcTan[(a - Tan[(1/2)*ArcCsc[a + b*x]])/Sqrt[1 - a^2]])/(3*a^3*(1 - a^2)^(5/2))}
+{ArcCsc[a + b*x]/x^5, x, 10, -((b*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(12*a*(1 - a^2)*x^3)) + ((3 - 8*a^2)*b^2*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(24*a^2*(1 - a^2)^2*x^2) - ((6 - 17*a^2 + 26*a^4)*b^3*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2])/(24*a^3*(1 - a^2)^3*x) + (b^4*ArcCsc[a + b*x])/(4*a^4) - ArcCsc[a + b*x]/(4*x^4) + ((2 - 7*a^2 + 8*a^4 - 8*a^6)*b^4*ArcTan[(a - Tan[(1/2)*ArcCsc[a + b*x]])/Sqrt[1 - a^2]])/(4*a^4*(1 - a^2)^(7/2))}
+
+
+{x^3*ArcCsc[a + b*x]^2, x, 20, -((a*x)/b^3) + (a + b*x)^2/(12*b^4) + ((a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcCsc[a + b*x])/(3*b^4) + (3*a^2*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcCsc[a + b*x])/b^4 - (a*(a + b*x)^2*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcCsc[a + b*x])/b^4 + ((a + b*x)^3*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcCsc[a + b*x])/(6*b^4) - (a^4*ArcCsc[a + b*x]^2)/(4*b^4) + (1/4)*x^4*ArcCsc[a + b*x]^2 - (2*a*ArcCsc[a + b*x]*ArcTanh[E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^4 - (4*a^3*ArcCsc[a + b*x]*ArcTanh[E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^4 + Log[a + b*x]/(3*b^4) + (3*a^2*Log[a + b*x])/b^4 + (I*a*PolyLog[2, -E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^4 + (2*I*a^3*PolyLog[2, -E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^4 - (I*a*PolyLog[2, E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^4 - (2*I*a^3*PolyLog[2, E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^4}
+{x^2*ArcCsc[a + b*x]^2, x, 17, x/(3*b^2) - (2*a*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcCsc[a + b*x])/b^3 + ((a + b*x)^2*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcCsc[a + b*x])/(3*b^3) + (a^3*ArcCsc[a + b*x]^2)/(3*b^3) + (1/3)*x^3*ArcCsc[a + b*x]^2 + (2*ArcCsc[a + b*x]*ArcTanh[E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/(3*b^3) + (4*a^2*ArcCsc[a + b*x]*ArcTanh[E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^3 - (2*a*Log[a + b*x])/b^3 - (I*PolyLog[2, -E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/(3*b^3) - (2*I*a^2*PolyLog[2, -E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^3 + (I*PolyLog[2, E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/(3*b^3) + (2*I*a^2*PolyLog[2, E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^3}
+{x^1*ArcCsc[a + b*x]^2, x, 11, ((a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcCsc[a + b*x])/b^2 - (a^2*ArcCsc[a + b*x]^2)/(2*b^2) + (1/2)*x^2*ArcCsc[a + b*x]^2 - (4*a*ArcCsc[a + b*x]*ArcTanh[E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^2 + Log[a + b*x]/b^2 + (2*I*a*PolyLog[2, -E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^2 - (2*I*a*PolyLog[2, E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^2}
+{x^0*ArcCsc[a + b*x]^2, x, 8, ((a + b*x)*ArcCsc[a + b*x]^2)/b + (4*ArcCsc[a + b*x]*ArcTanh[E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b - (2*I*PolyLog[2, -E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b + (2*I*PolyLog[2, E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b}
+{ArcCsc[a + b*x]^2/x^1, x, 17, ArcCsc[a + b*x]^2*Log[1 + (I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])] + ArcCsc[a + b*x]^2*Log[1 + (I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])] - ArcCsc[a + b*x]^2*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[a + b*x])] - 2*I*ArcCsc[a + b*x]*PolyLog[2, -((I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2]))] - 2*I*ArcCsc[a + b*x]*PolyLog[2, -((I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2]))] + I*ArcCsc[a + b*x]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[a + b*x])] + 2*PolyLog[3, -((I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2]))] + 2*PolyLog[3, -((I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2]))] - (1/2)*PolyLog[3, E^(2*I*ArcCsc[a + b*x])]}
+{ArcCsc[a + b*x]^2/x^2, x, 12, -((b*ArcCsc[a + b*x]^2)/a) - ArcCsc[a + b*x]^2/x - (2*I*b*ArcCsc[a + b*x]*Log[1 + (I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) + (2*I*b*ArcCsc[a + b*x]*Log[1 + (I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) - (2*b*PolyLog[2, -((I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2]))])/(a*Sqrt[1 - a^2]) + (2*b*PolyLog[2, -((I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2]))])/(a*Sqrt[1 - a^2])}
+
+
+{x^2*ArcCsc[a + b*x]^3, x, 25, ((a + b*x)*ArcCsc[a + b*x])/b^3 - (3*I*a*ArcCsc[a + b*x]^2)/b^3 - (3*a*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcCsc[a + b*x]^2)/b^3 + ((a + b*x)^2*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcCsc[a + b*x]^2)/(2*b^3) + (a^3*ArcCsc[a + b*x]^3)/(3*b^3) + (1/3)*x^3*ArcCsc[a + b*x]^3 + (ArcCsc[a + b*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^3 + (6*a^2*ArcCsc[a + b*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^3 + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]]/b^3 + (6*a*ArcCsc[a + b*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[a + b*x])])/b^3 - (I*ArcCsc[a + b*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^3 - (6*I*a^2*ArcCsc[a + b*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^3 + (I*ArcCsc[a + b*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^3 + (6*I*a^2*ArcCsc[a + b*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^3 - (3*I*a*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[a + b*x])])/b^3 + PolyLog[3, -E^(I*ArcCsc[a + b*x])]/b^3 + (6*a^2*PolyLog[3, -E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^3 - PolyLog[3, E^(I*ArcCsc[a + b*x])]/b^3 - (6*a^2*PolyLog[3, E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^3}
+{x^1*ArcCsc[a + b*x]^3, x, 16, (3*I*ArcCsc[a + b*x]^2)/(2*b^2) + (3*(a + b*x)*Sqrt[1 - 1/(a + b*x)^2]*ArcCsc[a + b*x]^2)/(2*b^2) - (a^2*ArcCsc[a + b*x]^3)/(2*b^2) + (1/2)*x^2*ArcCsc[a + b*x]^3 - (6*a*ArcCsc[a + b*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^2 - (3*ArcCsc[a + b*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[a + b*x])])/b^2 + (6*I*a*ArcCsc[a + b*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^2 - (6*I*a*ArcCsc[a + b*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^2 + (3*I*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[a + b*x])])/(2*b^2) - (6*a*PolyLog[3, -E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^2 + (6*a*PolyLog[3, E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b^2}
+{x^0*ArcCsc[a + b*x]^3, x, 10, ((a + b*x)*ArcCsc[a + b*x]^3)/b + (6*ArcCsc[a + b*x]^2*ArcTanh[E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b - (6*I*ArcCsc[a + b*x]*PolyLog[2, -E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b + (6*I*ArcCsc[a + b*x]*PolyLog[2, E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b + (6*PolyLog[3, -E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b - (6*PolyLog[3, E^(I*ArcCsc[a + b*x])])/b}
+{ArcCsc[a + b*x]^3/x^1, x, 20, ArcCsc[a + b*x]^3*Log[1 + (I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])] + ArcCsc[a + b*x]^3*Log[1 + (I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])] - ArcCsc[a + b*x]^3*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[a + b*x])] - 3*I*ArcCsc[a + b*x]^2*PolyLog[2, -((I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2]))] - 3*I*ArcCsc[a + b*x]^2*PolyLog[2, -((I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2]))] + (3/2)*I*ArcCsc[a + b*x]^2*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[a + b*x])] + 6*ArcCsc[a + b*x]*PolyLog[3, -((I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2]))] + 6*ArcCsc[a + b*x]*PolyLog[3, -((I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2]))] - (3/2)*ArcCsc[a + b*x]*PolyLog[3, E^(2*I*ArcCsc[a + b*x])] + 6*I*PolyLog[4, -((I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2]))] + 6*I*PolyLog[4, -((I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2]))] - (3/4)*I*PolyLog[4, E^(2*I*ArcCsc[a + b*x])]}
+{ArcCsc[a + b*x]^3/x^2, x, 14, -((b*ArcCsc[a + b*x]^3)/a) - ArcCsc[a + b*x]^3/x - (3*I*b*ArcCsc[a + b*x]^2*Log[1 + (I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) + (3*I*b*ArcCsc[a + b*x]^2*Log[1 + (I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) - (6*b*ArcCsc[a + b*x]*PolyLog[2, -((I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2]))])/(a*Sqrt[1 - a^2]) + (6*b*ArcCsc[a + b*x]*PolyLog[2, -((I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2]))])/(a*Sqrt[1 - a^2]) - (6*I*b*PolyLog[3, -((I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 - Sqrt[1 - a^2]))])/(a*Sqrt[1 - a^2]) + (6*I*b*PolyLog[3, -((I*a*E^(I*ArcCsc[a + b*x]))/(1 + Sqrt[1 - a^2]))])/(a*Sqrt[1 - a^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u ArcCsc[a +b x^n]*)
+
+
+{x^3*ArcCsc[a + b*x^4], x, 6, ((a + b*x^4)*ArcCsc[a + b*x^4])/(4*b) + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a + b*x^4)^2]]/(4*b)}
+
+
+{x^(n-1)*ArcCsc[a + b*x^n], x, 6, ((a + b*x^n)*ArcCsc[a + b*x^n])/(b*n) + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a + b*x^n)^2]]/(b*n)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving inverse cosecant functions of exponentials*)
+
+
+{ArcCsc[c*E^(a + b*x)], x, 7, (I*ArcCsc[c*E^(a + b*x)]^2)/(2*b) - (ArcCsc[c*E^(a + b*x)]*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[c*E^(a + b*x)])])/b + (I*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[c*E^(a + b*x)])])/(2*b)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving exponentials of inverse cosecant functions*)
+
+
+{E^ArcCsc[a*x]*x^2, x, 6, ((4/5 - (12*I)/5)*E^((1 + 3*I)*ArcCsc[a*x])*Hypergeometric2F1[3/2 - I/2, 3, 5/2 - I/2, E^(2*I*ArcCsc[a*x])])/a^3 - ((8/5 - (24*I)/5)*E^((1 + 3*I)*ArcCsc[a*x])*Hypergeometric2F1[3/2 - I/2, 4, 5/2 - I/2, E^(2*I*ArcCsc[a*x])])/a^3}
+{E^ArcCsc[a*x]*x^1, x, 6, ((8/5 + (4*I)/5)*E^((1 + 2*I)*ArcCsc[a*x])*Hypergeometric2F1[1 - I/2, 2, 2 - I/2, E^(2*I*ArcCsc[a*x])])/a^2 - ((16/5 + (8*I)/5)*E^((1 + 2*I)*ArcCsc[a*x])*Hypergeometric2F1[1 - I/2, 3, 2 - I/2, E^(2*I*ArcCsc[a*x])])/a^2}
+{E^ArcCsc[a*x]*x^0, x, 5, -(((1 - I)*E^((1 + I)*ArcCsc[a*x])*Hypergeometric2F1[1/2 - I/2, 1, 3/2 - I/2, E^(2*I*ArcCsc[a*x])])/a) + ((2 - 2*I)*E^((1 + I)*ArcCsc[a*x])*Hypergeometric2F1[1/2 - I/2, 2, 3/2 - I/2, E^(2*I*ArcCsc[a*x])])/a}
+{E^ArcCsc[a*x]/x^1, x, 6, (-I)*E^ArcCsc[a*x] + 2*I*E^ArcCsc[a*x]*Hypergeometric2F1[-(I/2), 1, 1 - I/2, E^(2*I*ArcCsc[a*x])]}
+{E^ArcCsc[a*x]/x^2, x, 3, (-(1/2))*a*E^ArcCsc[a*x]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - E^ArcCsc[a*x]/(2*x)}
+{E^ArcCsc[a*x]/x^3, x, 5, (1/5)*a^2*E^ArcCsc[a*x]*Cos[2*ArcCsc[a*x]] - (1/10)*a^2*E^ArcCsc[a*x]*Sin[2*ArcCsc[a*x]]}
+{E^ArcCsc[a*x]/x^4, x, 6, (-(1/8))*a^3*E^ArcCsc[a*x]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (a^2*E^ArcCsc[a*x])/(8*x) + (1/40)*a^3*E^ArcCsc[a*x]*Cos[3*ArcCsc[a*x]] + (3/40)*a^3*E^ArcCsc[a*x]*Sin[3*ArcCsc[a*x]]}
+{E^ArcCsc[a*x]/x^5, x, 6, (1/10)*a^4*E^ArcCsc[a*x]*Cos[2*ArcCsc[a*x]] - (1/34)*a^4*E^ArcCsc[a*x]*Cos[4*ArcCsc[a*x]] - (1/20)*a^4*E^ArcCsc[a*x]*Sin[2*ArcCsc[a*x]] + (1/136)*a^4*E^ArcCsc[a*x]*Sin[4*ArcCsc[a*x]]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Miscellaneous integrands involving inverse cosecants*)
+
+
+{ArcCsc[a + b*x]/((a*d)/b + d*x), x, 8, (I*ArcCsc[a + b*x]^2)/(2*d) - (ArcCsc[a + b*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[a + b*x])])/d + (I*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[a + b*x])])/(2*d)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.1 Hyperbolic sine/6.1.1 (c+d x)^m (a+b sinh)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.1 Hyperbolic sine/6.1.1 (c+d x)^m (a+b sinh)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..ee141b79
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.1 Hyperbolic sine/6.1.1 (c+d x)^m (a+b sinh)^n.m	
@@ -0,0 +1,1030 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (b Sinh[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Sinh[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Sinh[e+f x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c + d*x)^4*Sinh[a + b*x], x, 5, (24*d^4*Cosh[a + b*x])/b^5 + (12*d^2*(c + d*x)^2*Cosh[a + b*x])/b^3 + ((c + d*x)^4*Cosh[a + b*x])/b - (24*d^3*(c + d*x)*Sinh[a + b*x])/b^4 - (4*d*(c + d*x)^3*Sinh[a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^3*Sinh[a + b*x], x, 4, (6*d^2*(c + d*x)*Cosh[a + b*x])/b^3 + ((c + d*x)^3*Cosh[a + b*x])/b - (6*d^3*Sinh[a + b*x])/b^4 - (3*d*(c + d*x)^2*Sinh[a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^2*Sinh[a + b*x], x, 3, (2*d^2*Cosh[a + b*x])/b^3 + ((c + d*x)^2*Cosh[a + b*x])/b - (2*d*(c + d*x)*Sinh[a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)*Sinh[a + b*x], x, 2, ((c + d*x)*Cosh[a + b*x])/b - (d*Sinh[a + b*x])/b^2}
+{Sinh[a + b*x]/(c + d*x), x, 3, (CoshIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sinh[a - (b*c)/d])/d + (Cosh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(b*c)/d + b*x])/d}
+{Sinh[a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 4, (b*Cosh[a - (b*c)/d]*CoshIntegral[(b*c)/d + b*x])/d^2 - Sinh[a + b*x]/(d*(c + d*x)) + (b*Sinh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(b*c)/d + b*x])/d^2}
+{Sinh[a + b*x]/(c + d*x)^3, x, 5, -(b*Cosh[a + b*x])/(2*d^2*(c + d*x)) + (b^2*CoshIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sinh[a - (b*c)/d])/(2*d^3) - Sinh[a + b*x]/(2*d*(c + d*x)^2) + (b^2*Cosh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(b*c)/d + b*x])/(2*d^3)}
+
+
+{(c + d*x)^4*Sinh[a + b*x]^2, x, 6, (-3*d^4*x)/(4*b^4) - (d*(c + d*x)^3)/(2*b^2) - (c + d*x)^5/(10*d) + (3*d^4*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(4*b^5) + (3*d^2*(c + d*x)^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b^3) + ((c + d*x)^4*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b) - (3*d^3*(c + d*x)*Sinh[a + b*x]^2)/(2*b^4) - (d*(c + d*x)^3*Sinh[a + b*x]^2)/b^2}
+{(c + d*x)^3*Sinh[a + b*x]^2, x, 4, (-3*c*d^2*x)/(4*b^2) - (3*d^3*x^2)/(8*b^2) - (c + d*x)^4/(8*d) + (3*d^2*(c + d*x)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(4*b^3) + ((c + d*x)^3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b) - (3*d^3*Sinh[a + b*x]^2)/(8*b^4) - (3*d*(c + d*x)^2*Sinh[a + b*x]^2)/(4*b^2)}
+{(c + d*x)^2*Sinh[a + b*x]^2, x, 4, -(d^2*x)/(4*b^2) - (c + d*x)^3/(6*d) + (d^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(4*b^3) + ((c + d*x)^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b) - (d*(c + d*x)*Sinh[a + b*x]^2)/(2*b^2)}
+{(c + d*x)*Sinh[a + b*x]^2, x, 2, -(c*x)/2 - (d*x^2)/4 + ((c + d*x)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b) - (d*Sinh[a + b*x]^2)/(4*b^2)}
+{Sinh[a + b*x]^2/(c + d*x), x, 5, (Cosh[2*a - (2*b*c)/d]*CoshIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(2*d) - Log[c + d*x]/(2*d) + (Sinh[2*a - (2*b*c)/d]*SinhIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(2*d)}
+{Sinh[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x, 5, (b*CoshIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sinh[2*a - (2*b*c)/d])/d^2 - Sinh[a + b*x]^2/(d*(c + d*x)) + (b*Cosh[2*a - (2*b*c)/d]*SinhIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^2}
+{Sinh[a + b*x]^2/(c + d*x)^3, x, 7, (b^2*Cosh[2*a - (2*b*c)/d]*CoshIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^3 - (b*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(d^2*(c + d*x)) - Sinh[a + b*x]^2/(2*d*(c + d*x)^2) + (b^2*Sinh[2*a - (2*b*c)/d]*SinhIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^3}
+{Sinh[a + b*x]^2/(c + d*x)^4, x, 7, -b^2/(3*d^3*(c + d*x)) + (2*b^3*CoshIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sinh[2*a - (2*b*c)/d])/(3*d^4) - (b*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(3*d^2*(c + d*x)^2) - Sinh[a + b*x]^2/(3*d*(c + d*x)^3) - (2*b^2*Sinh[a + b*x]^2)/(3*d^3*(c + d*x)) + (2*b^3*Cosh[2*a - (2*b*c)/d]*SinhIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(3*d^4)}
+
+
+{(c + d*x)^4*Sinh[a + b*x]^3, x, 12, (-488*d^4*Cosh[a + b*x])/(27*b^5) - (80*d^2*(c + d*x)^2*Cosh[a + b*x])/(9*b^3) - (2*(c + d*x)^4*Cosh[a + b*x])/(3*b) + (8*d^4*Cosh[a + b*x]^3)/(81*b^5) + (160*d^3*(c + d*x)*Sinh[a + b*x])/(9*b^4) + (8*d*(c + d*x)^3*Sinh[a + b*x])/(3*b^2) + (4*d^2*(c + d*x)^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2)/(9*b^3) + ((c + d*x)^4*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2)/(3*b) - (8*d^3*(c + d*x)*Sinh[a + b*x]^3)/(27*b^4) - (4*d*(c + d*x)^3*Sinh[a + b*x]^3)/(9*b^2)}
+{(c + d*x)^3*Sinh[a + b*x]^3, x, 8, (-40*d^2*(c + d*x)*Cosh[a + b*x])/(9*b^3) - (2*(c + d*x)^3*Cosh[a + b*x])/(3*b) + (40*d^3*Sinh[a + b*x])/(9*b^4) + (2*d*(c + d*x)^2*Sinh[a + b*x])/b^2 + (2*d^2*(c + d*x)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2)/(9*b^3) + ((c + d*x)^3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2)/(3*b) - (2*d^3*Sinh[a + b*x]^3)/(27*b^4) - (d*(c + d*x)^2*Sinh[a + b*x]^3)/(3*b^2)}
+{(c + d*x)^2*Sinh[a + b*x]^3, x, 6, (-14*d^2*Cosh[a + b*x])/(9*b^3) - (2*(c + d*x)^2*Cosh[a + b*x])/(3*b) + (2*d^2*Cosh[a + b*x]^3)/(27*b^3) + (4*d*(c + d*x)*Sinh[a + b*x])/(3*b^2) + ((c + d*x)^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2)/(3*b) - (2*d*(c + d*x)*Sinh[a + b*x]^3)/(9*b^2)}
+{(c + d*x)*Sinh[a + b*x]^3, x, 3, (-2*(c + d*x)*Cosh[a + b*x])/(3*b) + (2*d*Sinh[a + b*x])/(3*b^2) + ((c + d*x)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2)/(3*b) - (d*Sinh[a + b*x]^3)/(9*b^2)}
+{Sinh[a + b*x]^3/(c + d*x), x, 8, (CoshIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x]*Sinh[3*a - (3*b*c)/d])/(4*d) - (3*CoshIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sinh[a - (b*c)/d])/(4*d) - (3*Cosh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(b*c)/d + b*x])/(4*d) + (Cosh[3*a - (3*b*c)/d]*SinhIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(4*d)}
+{Sinh[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x, 8, (-3*b*Cosh[a - (b*c)/d]*CoshIntegral[(b*c)/d + b*x])/(4*d^2) + (3*b*Cosh[3*a - (3*b*c)/d]*CoshIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(4*d^2) - Sinh[a + b*x]^3/(d*(c + d*x)) - (3*b*Sinh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(b*c)/d + b*x])/(4*d^2) + (3*b*Sinh[3*a - (3*b*c)/d]*SinhIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(4*d^2)}
+{Sinh[a + b*x]^3/(c + d*x)^3, x, 12, (9*b^2*CoshIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x]*Sinh[3*a - (3*b*c)/d])/(8*d^3) - (3*b^2*CoshIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sinh[a - (b*c)/d])/(8*d^3) - (3*b*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2)/(2*d^2*(c + d*x)) - Sinh[a + b*x]^3/(2*d*(c + d*x)^2) - (3*b^2*Cosh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(b*c)/d + b*x])/(8*d^3) + (9*b^2*Cosh[3*a - (3*b*c)/d]*SinhIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(8*d^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c + d*x)^3*Csch[a + b*x], x, 9, (-2*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^2 + (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^2 + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 - (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^3 - (6*d^3*PolyLog[4, -E^(a + b*x)])/b^4 + (6*d^3*PolyLog[4, E^(a + b*x)])/b^4}
+{(c + d*x)^2*Csch[a + b*x], x, 7, (-2*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - (2*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^2 + (2*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^2 + (2*d^2*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 - (2*d^2*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^3}
+{(c + d*x)*Csch[a + b*x], x, 5, (-2*(c + d*x)*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - (d*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^2 + (d*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^2}
+{Csch[a + b*x]/(c + d*x), x, 0, Unintegrable[Csch[a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{Csch[a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Csch[a + b*x]/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^3*Csch[a + b*x]^2, x, 6, -((c + d*x)^3/b) - ((c + d*x)^3*Coth[a + b*x])/b + (3*d*(c + d*x)^2*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b^2 + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/b^3 - (3*d^3*PolyLog[3, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^4)}
+{(c + d*x)^2*Csch[a + b*x]^2, x, 5, -((c + d*x)^2/b) - ((c + d*x)^2*Coth[a + b*x])/b + (2*d*(c + d*x)*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b^2 + (d^2*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/b^3}
+{(c + d*x)*Csch[a + b*x]^2, x, 2, -(((c + d*x)*Coth[a + b*x])/b) + (d*Log[Sinh[a + b*x]])/b^2}
+{Csch[a + b*x]^2/(c + d*x), x, 0, Unintegrable[Csch[a + b*x]^2/(c + d*x), x]}
+{Csch[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Csch[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^3*Csch[a + b*x]^3, x, 15, (-6*d^2*(c + d*x)*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b^3 + ((c + d*x)^3*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - (3*d*(c + d*x)^2*Csch[a + b*x])/(2*b^2) - ((c + d*x)^3*Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/(2*b) - (3*d^3*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^4 + (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/(2*b^2) + (3*d^3*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^4 - (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/(2*b^2) - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^3 + (3*d^3*PolyLog[4, -E^(a + b*x)])/b^4 - (3*d^3*PolyLog[4, E^(a + b*x)])/b^4}
+{(c + d*x)^2*Csch[a + b*x]^3, x, 9, ((c + d*x)^2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - (d^2*ArcTanh[Cosh[a + b*x]])/b^3 - (d*(c + d*x)*Csch[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)^2*Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/(2*b) + (d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^2 - (d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^2 - (d^2*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 + (d^2*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^3}
+{(c + d*x)*Csch[a + b*x]^3, x, 6, ((c + d*x)*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - (d*Csch[a + b*x])/(2*b^2) - ((c + d*x)*Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/(2*b) + (d*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/(2*b^2) - (d*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/(2*b^2)}
+{Csch[a + b*x]^3/(c + d*x), x, 0, Unintegrable[Csch[a + b*x]^3/(c + d*x), x]}
+{Csch[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Csch[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^(m/2) Sinh[e+f x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c + d*x)^(5/2)*Sinh[a + b*x], x, 8, (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cosh[a + b*x])/(4*b^3) + ((c + d*x)^(5/2)*Cosh[a + b*x])/b - (15*d^(5/2)*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(7/2)) - (15*d^(5/2)*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(7/2)) - (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sinh[a + b*x])/(2*b^2)}
+{(c + d*x)^(3/2)*Sinh[a + b*x], x, 7, ((c + d*x)^(3/2)*Cosh[a + b*x])/b - (3*d^(3/2)*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*b^(5/2)) + (3*d^(3/2)*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*b^(5/2)) - (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b^2)}
+{Sqrt[c + d*x]*Sinh[a + b*x], x, 6, (Sqrt[c + d*x]*Cosh[a + b*x])/b - (Sqrt[d]*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*b^(3/2))}
+{Sinh[a + b*x]/Sqrt[c + d*x], x, 5, -(E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d]) + (E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d])}
+{Sinh[a + b*x]/(c + d*x)^(3/2), x, 6, (Sqrt[b]*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) + (Sqrt[b]*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) - (2*Sinh[a + b*x])/(d*Sqrt[c + d*x])}
+{Sinh[a + b*x]/(c + d*x)^(5/2), x, 7, (-4*b*Cosh[a + b*x])/(3*d^2*Sqrt[c + d*x]) - (2*b^(3/2)*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)) + (2*b^(3/2)*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)) - (2*Sinh[a + b*x])/(3*d*(c + d*x)^(3/2))}
+{Sinh[a + b*x]/(c + d*x)^(7/2), x, 8, (-4*b*Cosh[a + b*x])/(15*d^2*(c + d*x)^(3/2)) + (4*b^(5/2)*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(15*d^(7/2)) + (4*b^(5/2)*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(15*d^(7/2)) - (2*Sinh[a + b*x])/(5*d*(c + d*x)^(5/2)) - (8*b^2*Sinh[a + b*x])/(15*d^3*Sqrt[c + d*x])}
+
+
+{(c + d*x)^(5/2)*Sinh[a + b*x]^2, x, 10, (-5*d*(c + d*x)^(3/2))/(16*b^2) - (c + d*x)^(7/2)/(7*d) + (15*d^(5/2)*E^(-2*a + (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(256*b^(7/2)) - (15*d^(5/2)*E^(2*a - (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(256*b^(7/2)) + ((c + d*x)^(5/2)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b) - (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sinh[a + b*x]^2)/(8*b^2) + (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sinh[2*a + 2*b*x])/(64*b^3)}
+{(c + d*x)^(3/2)*Sinh[a + b*x]^2, x, 9, (-3*d*Sqrt[c + d*x])/(16*b^2) - (c + d*x)^(5/2)/(5*d) + (3*d^(3/2)*E^(-2*a + (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(64*b^(5/2)) + (3*d^(3/2)*E^(2*a - (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(64*b^(5/2)) + ((c + d*x)^(3/2)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b) - (3*d*Sqrt[c + d*x]*Sinh[a + b*x]^2)/(8*b^2)}
+{Sqrt[c + d*x]*Sinh[a + b*x]^2, x, 8, -(c + d*x)^(3/2)/(3*d) + (Sqrt[d]*E^(-2*a + (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*E^(2*a - (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(3/2)) + (Sqrt[c + d*x]*Sinh[2*a + 2*b*x])/(4*b)}
+{Sinh[a + b*x]^2/Sqrt[c + d*x], x, 7, -(Sqrt[c + d*x]/d) + (E^(-2*a + (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[b]*Sqrt[d]) + (E^(2*a - (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[b]*Sqrt[d])}
+{Sinh[a + b*x]^2/(c + d*x)^(3/2), x, 7, -((Sqrt[b]*E^(-2*a + (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2)) + (Sqrt[b]*E^(2*a - (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) - (2*Sinh[a + b*x]^2)/(d*Sqrt[c + d*x])}
+{Sinh[a + b*x]^2/(c + d*x)^(5/2), x, 9, (2*b^(3/2)*E^(-2*a + (2*b*c)/d)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)) + (2*b^(3/2)*E^(2*a - (2*b*c)/d)*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)) - (8*b*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(3*d^2*Sqrt[c + d*x]) - (2*Sinh[a + b*x]^2)/(3*d*(c + d*x)^(3/2))}
+{Sinh[a + b*x]^2/(c + d*x)^(7/2), x, 9, (-16*b^2)/(15*d^3*Sqrt[c + d*x]) - (8*b^(5/2)*E^(-2*a + (2*b*c)/d)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(15*d^(7/2)) + (8*b^(5/2)*E^(2*a - (2*b*c)/d)*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(15*d^(7/2)) - (8*b*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(15*d^2*(c + d*x)^(3/2)) - (2*Sinh[a + b*x]^2)/(5*d*(c + d*x)^(5/2)) - (32*b^2*Sinh[a + b*x]^2)/(15*d^3*Sqrt[c + d*x])}
+{Sinh[a + b*x]^2/(c + d*x)^(9/2), x, 11, (-16*b^2)/(105*d^3*(c + d*x)^(3/2)) + (32*b^(7/2)*E^(-2*a + (2*b*c)/d)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(105*d^(9/2)) + (32*b^(7/2)*E^(2*a - (2*b*c)/d)*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(105*d^(9/2)) - (8*b*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(35*d^2*(c + d*x)^(5/2)) - (128*b^3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(105*d^4*Sqrt[c + d*x]) - (2*Sinh[a + b*x]^2)/(7*d*(c + d*x)^(7/2)) - (32*b^2*Sinh[a + b*x]^2)/(105*d^3*(c + d*x)^(3/2))}
+
+
+{(c + d*x)^(5/2)*Sinh[a + b*x]^3, x, 23, (-45*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cosh[a + b*x])/(16*b^3) - (2*(c + d*x)^(5/2)*Cosh[a + b*x])/(3*b) + (5*d^2*Sqrt[c + d*x]*Cosh[3*a + 3*b*x])/(144*b^3) + (45*d^(5/2)*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(64*b^(7/2)) - (5*d^(5/2)*E^(-3*a + (3*b*c)/d)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(576*b^(7/2)) + (45*d^(5/2)*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(64*b^(7/2)) - (5*d^(5/2)*E^(3*a - (3*b*c)/d)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(576*b^(7/2)) + (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sinh[a + b*x])/(3*b^2) + ((c + d*x)^(5/2)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2)/(3*b) - (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Sinh[a + b*x]^3)/(18*b^2)}
+{(c + d*x)^(3/2)*Sinh[a + b*x]^3, x, 20, (-2*(c + d*x)^(3/2)*Cosh[a + b*x])/(3*b) + (9*d^(3/2)*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(32*b^(5/2)) - (d^(3/2)*E^(-3*a + (3*b*c)/d)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(96*b^(5/2)) - (9*d^(3/2)*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(32*b^(5/2)) + (d^(3/2)*E^(3*a - (3*b*c)/d)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(96*b^(5/2)) + (d*Sqrt[c + d*x]*Sinh[a + b*x])/b^2 + ((c + d*x)^(3/2)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2)/(3*b) - (d*Sqrt[c + d*x]*Sinh[a + b*x]^3)/(6*b^2)}
+{Sqrt[c + d*x]*Sinh[a + b*x]^3, x, 14, (-3*Sqrt[c + d*x]*Cosh[a + b*x])/(4*b) + (Sqrt[c + d*x]*Cosh[3*a + 3*b*x])/(12*b) + (3*Sqrt[d]*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*E^(-3*a + (3*b*c)/d)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(48*b^(3/2)) + (3*Sqrt[d]*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*E^(3*a - (3*b*c)/d)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(48*b^(3/2))}
+{Sinh[a + b*x]^3/Sqrt[c + d*x], x, 12, (3*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[b]*Sqrt[d]) - (E^(-3*a + (3*b*c)/d)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[b]*Sqrt[d]) - (3*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[b]*Sqrt[d]) + (E^(3*a - (3*b*c)/d)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[b]*Sqrt[d])}
+{Sinh[a + b*x]^3/(c + d*x)^(3/2), x, 12, (-3*Sqrt[b]*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*d^(3/2)) + (Sqrt[b]*E^(-3*a + (3*b*c)/d)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*d^(3/2)) - (3*Sqrt[b]*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*d^(3/2)) + (Sqrt[b]*E^(3*a - (3*b*c)/d)*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*d^(3/2)) - (2*Sinh[a + b*x]^3)/(d*Sqrt[c + d*x])}
+{Sinh[a + b*x]^3/(c + d*x)^(5/2), x, 18, (b^(3/2)*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(2*d^(5/2)) - (b^(3/2)*E^(-3*a + (3*b*c)/d)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(2*d^(5/2)) - (b^(3/2)*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(2*d^(5/2)) + (b^(3/2)*E^(3*a - (3*b*c)/d)*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(2*d^(5/2)) - (4*b*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2)/(d^2*Sqrt[c + d*x]) - (2*Sinh[a + b*x]^3)/(3*d*(c + d*x)^(3/2))}
+{Sinh[a + b*x]^3/(c + d*x)^(7/2), x, 19, -(b^(5/2)*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(5*d^(7/2)) + (3*b^(5/2)*E^(-3*a + (3*b*c)/d)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(5*d^(7/2)) - (b^(5/2)*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(5*d^(7/2)) + (3*b^(5/2)*E^(3*a - (3*b*c)/d)*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(5*d^(7/2)) - (16*b^2*Sinh[a + b*x])/(5*d^3*Sqrt[c + d*x]) - (4*b*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2)/(5*d^2*(c + d*x)^(3/2)) - (2*Sinh[a + b*x]^3)/(5*d*(c + d*x)^(5/2)) - (24*b^2*Sinh[a + b*x]^3)/(5*d^3*Sqrt[c + d*x])}
+
+
+{(d*x)^(3/2)*Sinh[f*x], x, 7, ((d*x)^(3/2)*Cosh[f*x])/f - (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(8*f^(5/2)) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(8*f^(5/2)) - (3*d*Sqrt[d*x]*Sinh[f*x])/(2*f^2)}
+{Sqrt[d*x]*Sinh[f*x], x, 6, (Sqrt[d*x]*Cosh[f*x])/f - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(4*f^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(4*f^(3/2))}
+{Sinh[f*x]/Sqrt[d*x], x, 5, -(Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[d]*Sqrt[f]) + (Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[d]*Sqrt[f])}
+{Sinh[f*x]/(d*x)^(3/2), x, 6, (Sqrt[f]*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) + (Sqrt[f]*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) - (2*Sinh[f*x])/(d*Sqrt[d*x])}
+{Sinh[f*x]/(d*x)^(5/2), x, 7, (-4*f*Cosh[f*x])/(3*d^2*Sqrt[d*x]) - (2*f^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)) + (2*f^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)) - (2*Sinh[f*x])/(3*d*(d*x)^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sqrt[c + d*x]*Csch[a + b*x], x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + d*x]*Csch[a + b*x], x]}
+{Csch[a + b*x]/Sqrt[c + d*x], x, 0, Unintegrable[Csch[a + b*x]/Sqrt[c + d*x], x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Sinh[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sinh[x]^(3/2)/x^3, x, 1, (-3*Cosh[x]*Sqrt[Sinh[x]])/(4*x) - Sinh[x]^(3/2)/(2*x^2) + (3*Unintegrable[1/(x*Sqrt[Sinh[x]]), x])/8 + (9*Unintegrable[Sinh[x]^(3/2)/x, x])/8}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x/Sinh[x]^(3/2) - x*Sqrt[Sinh[x]], x, 2, (-2*x*Cosh[x])/Sqrt[Sinh[x]] + 4*Sqrt[Sinh[x]]}
+{x/Sinh[x]^(5/2) + x/(3*Sqrt[Sinh[x]]), x, 2, (-2*x*Cosh[x])/(3*Sinh[x]^(3/2)) - 4/(3*Sqrt[Sinh[x]])}
+{x/Sinh[x]^(7/2) + (3*x*Sqrt[Sinh[x]])/5, x, 3, (-2*x*Cosh[x])/(5*Sinh[x]^(5/2)) - 4/(15*Sinh[x]^(3/2)) + (6*x*Cosh[x])/(5*Sqrt[Sinh[x]]) - (12*Sqrt[Sinh[x]])/5}
+{x^2/Sinh[x]^(3/2) - x^2*Sqrt[Sinh[x]], x, 4, -((2*x^2*Cosh[x])/Sqrt[Sinh[x]]) + 8*x*Sqrt[Sinh[x]] - (16*I*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, 2]*Sqrt[Sinh[x]])/Sqrt[I*Sinh[x]]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Sinh[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*(b*Sinh[e + f*x])^n, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(b*Sinh[e + f*x])^n, x]}
+
+
+{(c + d*x)^m*Sinh[a + b*x]^3, x, 8, (3^(-1 - m)*E^(3*a - (3*b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (-3*b*(c + d*x))/d])/(8*b*(-((b*(c + d*x))/d))^m) - (3*E^(a - (b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((b*(c + d*x))/d)])/(8*b*(-((b*(c + d*x))/d))^m) - (3*E^(-a + (b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (b*(c + d*x))/d])/(8*b*((b*(c + d*x))/d)^m) + (3^(-1 - m)*E^(-3*a + (3*b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (3*b*(c + d*x))/d])/(8*b*((b*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m*Sinh[a + b*x]^2, x, 5, -(c + d*x)^(1 + m)/(2*d*(1 + m)) + (2^(-3 - m)*E^(2*a - (2*b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (-2*b*(c + d*x))/d])/(b*(-((b*(c + d*x))/d))^m) - (2^(-3 - m)*E^(-2*a + (2*b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*b*(c + d*x))/d])/(b*((b*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m*Sinh[a + b*x], x, 3, (E^(a - (b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((b*(c + d*x))/d)])/(2*b*(-((b*(c + d*x))/d))^m) + (E^(-a + (b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (b*(c + d*x))/d])/(2*b*((b*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m*Csch[a + b*x], x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Csch[a + b*x], x]}
+{(c + d*x)^m*Csch[a + b*x]^2, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Csch[a + b*x]^2, x]}
+
+
+{x^(3 + m)*Sinh[a + b*x], x, 3, -(E^a*x^m*Gamma[4 + m, -(b*x)])/(2*b^4*(-(b*x))^m) + (x^m*Gamma[4 + m, b*x])/(2*b^4*E^a*(b*x)^m)}
+{x^(2 + m)*Sinh[a + b*x], x, 3, (E^a*x^m*Gamma[3 + m, -(b*x)])/(2*b^3*(-(b*x))^m) + (x^m*Gamma[3 + m, b*x])/(2*b^3*E^a*(b*x)^m)}
+{x^(1 + m)*Sinh[a + b*x], x, 3, -(E^a*x^m*Gamma[2 + m, -(b*x)])/(2*b^2*(-(b*x))^m) + (x^m*Gamma[2 + m, b*x])/(2*b^2*E^a*(b*x)^m)}
+{x^m*Sinh[a + b*x], x, 3, (E^a*x^m*Gamma[1 + m, -(b*x)])/(2*b*(-(b*x))^m) + (x^m*Gamma[1 + m, b*x])/(2*b*E^a*(b*x)^m)}
+{x^(-1 + m)*Sinh[a + b*x], x, 3, -(E^a*x^m*Gamma[m, -(b*x)])/(2*(-(b*x))^m) + (x^m*Gamma[m, b*x])/(2*E^a*(b*x)^m)}
+{x^(-2 + m)*Sinh[a + b*x], x, 3, (b*E^a*x^m*Gamma[-1 + m, -(b*x)])/(2*(-(b*x))^m) + (b*x^m*Gamma[-1 + m, b*x])/(2*E^a*(b*x)^m)}
+{x^(-3 + m)*Sinh[a + b*x], x, 3, -(b^2*E^a*x^m*Gamma[-2 + m, -(b*x)])/(2*(-(b*x))^m) + (b^2*x^m*Gamma[-2 + m, b*x])/(2*E^a*(b*x)^m)}
+
+
+{x^(3 + m)*Sinh[a + b*x]^2, x, 5, -x^(4 + m)/(2*(4 + m)) - (2^(-6 - m)*E^(2*a)*x^m*Gamma[4 + m, -2*b*x])/(b^4*(-(b*x))^m) - (2^(-6 - m)*x^m*Gamma[4 + m, 2*b*x])/(b^4*E^(2*a)*(b*x)^m)}
+{x^(2 + m)*Sinh[a + b*x]^2, x, 5, -x^(3 + m)/(2*(3 + m)) + (2^(-5 - m)*E^(2*a)*x^m*Gamma[3 + m, -2*b*x])/(b^3*(-(b*x))^m) - (2^(-5 - m)*x^m*Gamma[3 + m, 2*b*x])/(b^3*E^(2*a)*(b*x)^m)}
+{x^(1 + m)*Sinh[a + b*x]^2, x, 5, -x^(2 + m)/(2*(2 + m)) - (2^(-4 - m)*E^(2*a)*x^m*Gamma[2 + m, -2*b*x])/(b^2*(-(b*x))^m) - (2^(-4 - m)*x^m*Gamma[2 + m, 2*b*x])/(b^2*E^(2*a)*(b*x)^m)}
+{x^m*Sinh[a + b*x]^2, x, 5, -x^(1 + m)/(2*(1 + m)) + (2^(-3 - m)*E^(2*a)*x^m*Gamma[1 + m, -2*b*x])/(b*(-(b*x))^m) - (2^(-3 - m)*x^m*Gamma[1 + m, 2*b*x])/(b*E^(2*a)*(b*x)^m)}
+{x^(-1 + m)*Sinh[a + b*x]^2, x, 5, -x^m/(2*m) - (2^(-2 - m)*E^(2*a)*x^m*Gamma[m, -2*b*x])/(-(b*x))^m - (2^(-2 - m)*x^m*Gamma[m, 2*b*x])/(E^(2*a)*(b*x)^m)}
+{x^(-2 + m)*Sinh[a + b*x]^2, x, 5, x^(-1 + m)/(2*(1 - m)) + (2^(-1 - m)*b*E^(2*a)*x^m*Gamma[-1 + m, -2*b*x])/(-(b*x))^m - (2^(-1 - m)*b*x^m*Gamma[-1 + m, 2*b*x])/(E^(2*a)*(b*x)^m)}
+{x^(-3 + m)*Sinh[a + b*x]^2, x, 5, x^(-2 + m)/(2*(2 - m)) - (b^2*E^(2*a)*x^m*Gamma[-2 + m, -2*b*x])/(2^m*(-(b*x))^m) - (b^2*x^m*Gamma[-2 + m, 2*b*x])/(2^m*E^(2*a)*(b*x)^m)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Csch[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Csch[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+{x/Csch[x]^(3/2) + (x*Sqrt[Csch[x]])/3, x, 4, -4/(9*Csch[x]^(3/2)) + (2*x*Cosh[x])/(3*Sqrt[Csch[x]])}
+{x/Csch[x]^(5/2) + (3*x)/(5*Sqrt[Csch[x]]), x, 4, -4/(25*Csch[x]^(5/2)) + (2*x*Cosh[x])/(5*Csch[x]^(3/2))}
+{x/Csch[x]^(7/2) - (5*x*Sqrt[Csch[x]])/21, x, 5, -4/(49*Csch[x]^(7/2)) + (2*x*Cosh[x])/(7*Csch[x]^(5/2)) + 20/(63*Csch[x]^(3/2)) - (10*x*Cosh[x])/(21*Sqrt[Csch[x]])}
+{x^2/Csch[x]^(3/2) + (x^2*Sqrt[Csch[x]])/3, x, 7, -((8*x)/(9*Csch[x]^(3/2))) + (16*Cosh[x])/(27*Sqrt[Csch[x]]) + (2*x^2*Cosh[x])/(3*Sqrt[Csch[x]]) - (16/27)*I*Sqrt[Csch[x]]*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, 2]*Sqrt[I*Sinh[x]]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b Sinh[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Sinh[e+f x])^n with a^2+b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+I a Sinh[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + I*a*Sinh[e + f*x]), x, 6, (a*(c + d*x)^4)/(4*d) + (6*I*a*d^2*(c + d*x)*Cosh[e + f*x])/f^3 + (I*a*(c + d*x)^3*Cosh[e + f*x])/f - (6*I*a*d^3*Sinh[e + f*x])/f^4 - (3*I*a*d*(c + d*x)^2*Sinh[e + f*x])/f^2}
+{(c + d*x)^2*(a + I*a*Sinh[e + f*x]), x, 5, (a*(c + d*x)^3)/(3*d) + (2*I*a*d^2*Cosh[e + f*x])/f^3 + (I*a*(c + d*x)^2*Cosh[e + f*x])/f - (2*I*a*d*(c + d*x)*Sinh[e + f*x])/f^2}
+{(c + d*x)*(a + I*a*Sinh[e + f*x]), x, 4, (a*(c + d*x)^2)/(2*d) + (I*a*(c + d*x)*Cosh[e + f*x])/f - (I*a*d*Sinh[e + f*x])/f^2}
+{(a + I*a*Sinh[e + f*x])/(c + d*x), x, 5, (a*Log[c + d*x])/d + (I*a*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sinh[e - (c*f)/d])/d + (I*a*Cosh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d}
+{(a + I*a*Sinh[e + f*x])/(c + d*x)^2, x, 6, -(a/(d*(c + d*x))) + (I*a*f*Cosh[e - (c*f)/d]*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2 - (I*a*Sinh[e + f*x])/(d*(c + d*x)) + (I*a*f*Sinh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2}
+{(a + I*a*Sinh[e + f*x])/(c + d*x)^3, x, 7, -(a/(2*d*(c + d*x)^2)) - (I*a*f*Cosh[e + f*x])/(2*d^2*(c + d*x)) + (I*a*f^2*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sinh[e - (c*f)/d])/(2*d^3) - (I*a*Sinh[e + f*x])/(2*d*(c + d*x)^2) + (I*a*f^2*Cosh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/(2*d^3)}
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + I*a*Sinh[e + f*x])^2, x, 10, (3*a^2*c*d^2*x)/(4*f^2) + (3*a^2*d^3*x^2)/(8*f^2) + (3*a^2*(c + d*x)^4)/(8*d) + (12*I*a^2*d^2*(c + d*x)*Cosh[e + f*x])/f^3 + (2*I*a^2*(c + d*x)^3*Cosh[e + f*x])/f - (12*I*a^2*d^3*Sinh[e + f*x])/f^4 - (6*I*a^2*d*(c + d*x)^2*Sinh[e + f*x])/f^2 - (3*a^2*d^2*(c + d*x)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(4*f^3) - (a^2*(c + d*x)^3*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(2*f) + (3*a^2*d^3*Sinh[e + f*x]^2)/(8*f^4) + (3*a^2*d*(c + d*x)^2*Sinh[e + f*x]^2)/(4*f^2)}
+{(c + d*x)^2*(a + I*a*Sinh[e + f*x])^2, x, 9, (a^2*d^2*x)/(4*f^2) + (a^2*(c + d*x)^3)/(2*d) + (4*I*a^2*d^2*Cosh[e + f*x])/f^3 + (2*I*a^2*(c + d*x)^2*Cosh[e + f*x])/f - (4*I*a^2*d*(c + d*x)*Sinh[e + f*x])/f^2 - (a^2*d^2*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(4*f^3) - (a^2*(c + d*x)^2*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(2*f) + (a^2*d*(c + d*x)*Sinh[e + f*x]^2)/(2*f^2)}
+{(c + d*x)*(a + I*a*Sinh[e + f*x])^2, x, 6, (1/2)*a^2*c*x + (1/4)*a^2*d*x^2 + (a^2*(c + d*x)^2)/(2*d) + (2*I*a^2*(c + d*x)*Cosh[e + f*x])/f - (2*I*a^2*d*Sinh[e + f*x])/f^2 - (a^2*(c + d*x)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(2*f) + (a^2*d*Sinh[e + f*x]^2)/(4*f^2)}
+{(a + I*a*Sinh[e + f*x])^2/(c + d*x), x, 9, -(a^2*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*d) + (3*a^2*Log[c + d*x])/(2*d) + ((2*I)*a^2*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sinh[e - (c*f)/d])/d + ((2*I)*a^2*Cosh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d - (a^2*Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*d)}
+{(a + I*a*Sinh[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x, 9, -((4*a^2*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]^4)/(d*(c + d*x))) + (2*I*a^2*f*Cosh[e - (c*f)/d]*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2 - (a^2*f*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sinh[2*e - (2*c*f)/d])/d^2 + (2*I*a^2*f*Sinh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2 - (a^2*f*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^2}
+{(a + I*a*Sinh[e + f*x])^2/(c + d*x)^3, x, 15, -((2*a^2*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]^4)/(d*(c + d*x)^2)) - (a^2*f^2*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^3 + (I*a^2*f^2*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sinh[e - (c*f)/d])/d^3 - (4*a^2*f*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]^3*Sinh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(d^2*(c + d*x)) + (I*a^2*f^2*Cosh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^3 - (a^2*f^2*Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^3}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + I*a*Sinh[e + f*x]), x, 7, (c + d*x)^3/(a*f) - (6*d*(c + d*x)^2*Log[1 + I*E^(e + f*x)])/(a*f^2) - (12*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(e + f*x)])/(a*f^3) + (12*d^3*PolyLog[3, (-I)*E^(e + f*x)])/(a*f^4) + ((c + d*x)^3*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(a*f)}
+{(c + d*x)^2/(a + I*a*Sinh[e + f*x]), x, 6, (c + d*x)^2/(a*f) - (4*d*(c + d*x)*Log[1 + I*E^(e + f*x)])/(a*f^2) - (4*d^2*PolyLog[2, (-I)*E^(e + f*x)])/(a*f^3) + ((c + d*x)^2*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(a*f)}
+{(c + d*x)^1/(a + I*a*Sinh[e + f*x]), x, 3, -((2*d*Log[Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]])/(a*f^2)) + ((c + d*x)*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(a*f)}
+{1/((c + d*x)^1*(a + I*a*Sinh[e + f*x])), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + I*a*Sinh[e + f*x])), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + I*a*Sinh[e + f*x])), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + I*a*Sinh[e + f*x])), x]}
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + I*a*Sinh[e + f*x])^2, x, 10, (c + d*x)^3/(3*a^2*f) - (2*d*(c + d*x)^2*Log[1 + I*E^(e + f*x)])/(a^2*f^2) + (4*d^3*Log[Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]])/(a^2*f^4) - (4*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(e + f*x)])/(a^2*f^3) + (4*d^3*PolyLog[3, (-I)*E^(e + f*x)])/(a^2*f^4) + (d*(c + d*x)^2*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]^2)/(2*a^2*f^2) - (2*d^2*(c + d*x)*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(a^2*f^3) + ((c + d*x)^3*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(3*a^2*f) + ((c + d*x)^3*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]^2*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(6*a^2*f)}
+{(c + d*x)^2/(a + I*a*Sinh[e + f*x])^2, x, 9, (c + d*x)^2/(3*a^2*f) - (4*d*(c + d*x)*Log[1 + I*E^(e + f*x)])/(3*a^2*f^2) - (4*d^2*PolyLog[2, (-I)*E^(e + f*x)])/(3*a^2*f^3) + (d*(c + d*x)*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]^2)/(3*a^2*f^2) - (2*d^2*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(3*a^2*f^3) + ((c + d*x)^2*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(3*a^2*f) + ((c + d*x)^2*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]^2*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(6*a^2*f)}
+{(c + d*x)^1/(a + I*a*Sinh[e + f*x])^2, x, 4, -((2*d*Log[Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]])/(3*a^2*f^2)) + (d*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]^2)/(6*a^2*f^2) + ((c + d*x)*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(3*a^2*f) + ((c + d*x)*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]^2*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(6*a^2*f)}
+{1/((c + d*x)^1*(a + I*a*Sinh[e + f*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + I*a*Sinh[e + f*x])^2), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + I*a*Sinh[e + f*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + I*a*Sinh[e + f*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+I a Sinh[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]], x, 6, -((384*x*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/f^4) - (16*x^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/f^2 + (768*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/f^5 + (96*x^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/f^3 + (2*x^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/f}
+{x^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]], x, 5, -((96*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/f^4) - (12*x^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/f^2 + (48*x*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/f^3 + (2*x^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/f}
+{x^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]], x, 4, -((8*x*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/f^2) + (16*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/f^3 + (2*x^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/f}
+{x*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]], x, 3, -((4*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/f^2) + (2*x*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/f}
+{Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]/x, x, 4, I*CoshIntegral[(f*x)/2]*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sinh[(1/4)*(2*e - I*Pi)]*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]] + I*Cosh[(1/4)*(2*e - I*Pi)]*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*SinhIntegral[(f*x)/2]}
+{Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]/x^2, x, 5, -(Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]/x) + (1/2)*f*CoshIntegral[(f*x)/2]*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sinh[(1/4)*(2*e + I*Pi)]*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]] + (1/2)*f*Cosh[(1/4)*(2*e + I*Pi)]*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*SinhIntegral[(f*x)/2]}
+{Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]/x^3, x, 6, -(Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]/(2*x^2)) + (1/8)*I*f^2*CoshIntegral[(f*x)/2]*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sinh[(1/4)*(2*e - I*Pi)]*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]] + (1/8)*I*f^2*Cosh[(1/4)*(2*e - I*Pi)]*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*SinhIntegral[(f*x)/2] - (f*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(4*x)}
+
+
+{x^3*(a + I*a*Sinh[e + f*x])^(3/2), x, 9, -((1280*a*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/(9*f^4)) - (16*a*x^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/f^2 - (64*a*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/(27*f^4) - (8*a*x^2*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/(3*f^2) + (32*a*x*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sinh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/(9*f^3) + (4*a*x^3*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sinh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/(3*f) + (640*a*x*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(9*f^3) + (8*a*x^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(3*f)}
+{x^2*(a + I*a*Sinh[e + f*x])^(3/2), x, 7, -((32*a*x*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/(3*f^2)) - (16*a*x*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/(9*f^2) + (4*a*x^2*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sinh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/(3*f) + (224*a*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(9*f^3) + (8*a*x^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(3*f) + (32*a*Sinh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(27*f^3)}
+{x*(a + I*a*Sinh[e + f*x])^(3/2), x, 4, -((16*a*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/(3*f^2)) - (8*a*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/(9*f^2) + (4*a*x*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sinh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/(3*f) + (8*a*x*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(3*f)}
+{(a + I*a*Sinh[e + f*x])^(3/2)/x, x, 9, (3/2)*I*a*CoshIntegral[(f*x)/2]*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sinh[(1/4)*(2*e - I*Pi)]*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]] + (1/2)*I*a*CoshIntegral[(3*f*x)/2]*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sinh[(1/4)*(6*e + I*Pi)]*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]] + (3/2)*I*a*Cosh[(1/4)*(2*e - I*Pi)]*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*SinhIntegral[(f*x)/2] + (1/2)*I*a*Cosh[(1/4)*(6*e + I*Pi)]*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*SinhIntegral[(3*f*x)/2]}
+{(a + I*a*Sinh[e + f*x])^(3/2)/x^2, x, 9, -((2*a*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])/x) - (3/4)*a*f*CoshIntegral[(3*f*x)/2]*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sinh[(1/4)*(6*e - I*Pi)]*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]] + (3/4)*a*f*CoshIntegral[(f*x)/2]*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sinh[(1/4)*(2*e + I*Pi)]*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]] + (3/4)*a*f*Cosh[(1/4)*(2*e + I*Pi)]*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*SinhIntegral[(f*x)/2] - (3/4)*a*f*Cosh[(1/4)*(6*e - I*Pi)]*Sech[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]*SinhIntegral[(3*f*x)/2]}
+
+
+{x^3*(a + a*I*Sinh[c + d*x])^(5/2), x, 14, -((265216*a^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(1125*d^4)) - (128*a^2*x^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(5*d^2) - (17408*a^2*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(3375*d^4) - (64*a^2*x^2*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(15*d^2) - (384*a^2*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(625*d^4) - (48*a^2*x^2*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(25*d^2) + (8704*a^2*x*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sinh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(1125*d^3) + (32*a^2*x^3*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sinh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(15*d) + (192*a^2*x*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^3*Sinh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(125*d^3) + (8*a^2*x^3*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^3*Sinh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(5*d) + (132608*a^2*x*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]*Tanh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(1125*d^3) + (64*a^2*x^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]*Tanh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(15*d)}
+{x^2*(a + a*I*Sinh[c + d*x])^(5/2), x, 10, -((256*a^2*x*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(15*d^2)) - (128*a^2*x*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(45*d^2) - (32*a^2*x*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(25*d^2) + (32*a^2*x^2*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sinh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(15*d) + (8*a^2*x^2*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^3*Sinh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(5*d) + (9536*a^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]*Tanh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(225*d^3) + (64*a^2*x^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]*Tanh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(15*d) + (2432*a^2*Sinh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]*Tanh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(675*d^3) + (64*a^2*Sinh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]*Tanh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(125*d^3)}
+{x^1*(a + a*I*Sinh[c + d*x])^(5/2), x, 5, -((128*a^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(15*d^2)) - (64*a^2*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(45*d^2) - (16*a^2*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(25*d^2) + (32*a^2*x*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sinh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(15*d) + (8*a^2*x*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^3*Sinh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(5*d) + (64*a^2*x*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]*Tanh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(15*d)}
+{(a + a*I*Sinh[c + d*x])^(5/2)/x^1, x, 12, (-(1/4))*I*a^2*CoshIntegral[(5*d*x)/2]*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sinh[(5*c)/2 - (I*Pi)/4]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]] + (5/2)*I*a^2*CoshIntegral[(d*x)/2]*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sinh[(1/4)*(2*c - I*Pi)]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]] + (5/4)*I*a^2*CoshIntegral[(3*d*x)/2]*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sinh[(1/4)*(6*c + I*Pi)]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]] + (5/2)*I*a^2*Cosh[(1/4)*(2*c - I*Pi)]*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]*SinhIntegral[(d*x)/2] + (5/4)*I*a^2*Cosh[(1/4)*(6*c + I*Pi)]*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]*SinhIntegral[(3*d*x)/2] - (1/4)*I*a^2*Cosh[(5*c)/2 - (I*Pi)/4]*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]*SinhIntegral[(5*d*x)/2]}
+{(a + a*I*Sinh[c + d*x])^(5/2)/x^2, x, 12, -((4*a^2*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/x) - (5/8)*a^2*d*CoshIntegral[(5*d*x)/2]*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sinh[(5*c)/2 + (I*Pi)/4]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]] - (15/8)*a^2*d*CoshIntegral[(3*d*x)/2]*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sinh[(1/4)*(6*c - I*Pi)]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]] + (5/4)*a^2*d*CoshIntegral[(d*x)/2]*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sinh[(1/4)*(2*c + I*Pi)]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]] + (5/4)*a^2*d*Cosh[(1/4)*(2*c + I*Pi)]*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]*SinhIntegral[(d*x)/2] - (15/8)*a^2*d*Cosh[(1/4)*(6*c - I*Pi)]*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]*SinhIntegral[(3*d*x)/2] - (5/8)*a^2*d*Cosh[(5*c)/2 + (I*Pi)/4]*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]*SinhIntegral[(5*d*x)/2]}
+{(a + a*I*Sinh[c + d*x])^(5/2)/x^3, x, 21, -((2*a^2*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/x^2) - (25/32)*I*a^2*d^2*CoshIntegral[(5*d*x)/2]*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sinh[(5*c)/2 - (I*Pi)/4]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]] + (5/16)*I*a^2*d^2*CoshIntegral[(d*x)/2]*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sinh[(1/4)*(2*c - I*Pi)]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]] + (45/32)*I*a^2*d^2*CoshIntegral[(3*d*x)/2]*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sinh[(1/4)*(6*c + I*Pi)]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]] - (5*a^2*d*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^3*Sinh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/x + (5/16)*I*a^2*d^2*Cosh[(1/4)*(2*c - I*Pi)]*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]*SinhIntegral[(d*x)/2] + (45/32)*I*a^2*d^2*Cosh[(1/4)*(6*c + I*Pi)]*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]*SinhIntegral[(3*d*x)/2] - (25/32)*I*a^2*d^2*Cosh[(5*c)/2 - (I*Pi)/4]*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]*SinhIntegral[(5*d*x)/2]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^3/Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]], x, 10, (4*I*x^3*ArcTanh[E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)]*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(f*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (12*I*x^2*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[2, -E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(f^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) - (12*I*x^2*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[2, E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(f^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) - (48*I*x*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[3, -E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(f^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (48*I*x*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[3, E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(f^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (96*I*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[4, -E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(f^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) - (96*I*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[4, E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(f^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])}
+{x^2/Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]], x, 8, (4*I*x^2*ArcTanh[E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)]*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(f*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (8*I*x*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[2, -E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(f^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) - (8*I*x*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[2, E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(f^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) - (16*I*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[3, -E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(f^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (16*I*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[3, E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(f^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])}
+{x/Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]], x, 6, (4*I*x*ArcTanh[E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)]*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(f*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (4*I*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[2, -E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(f^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) - (4*I*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[2, E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(f^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])}
+{1/(x*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]), x]}
+{1/(x^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]), x]}
+
+
+{x^3/(a + I*a*Sinh[e + f*x])^(3/2), x, 16, (3*x^2)/(a*f^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) - (24*I*x*ArcTanh[E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)]*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(a*f^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (I*x^3*ArcTanh[E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)]*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(a*f*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) - (24*I*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[2, -E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(a*f^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (3*I*x^2*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[2, -E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(a*f^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (24*I*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[2, E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(a*f^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) - (3*I*x^2*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[2, E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(a*f^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) - (12*I*x*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[3, -E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(a*f^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (12*I*x*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[3, E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(a*f^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (24*I*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[4, -E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(a*f^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) - (24*I*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[4, E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(a*f^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (x^3*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(2*a*f*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])}
+{x^2/(a + I*a*Sinh[e + f*x])^(3/2), x, 10, (2*x)/(a*f^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) - (4*ArcTan[Sinh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]]*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(a*f^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (I*x^2*ArcTanh[E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)]*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(a*f*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (2*I*x*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[2, -E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(a*f^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) - (2*I*x*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[2, E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(a*f^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) - (4*I*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[3, -E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(a*f^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (4*I*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[3, E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(a*f^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (x^2*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(2*a*f*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])}
+{x/(a + I*a*Sinh[e + f*x])^(3/2), x, 7, 1/(a*f^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (I*x*ArcTanh[E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)]*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(a*f*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (I*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[2, -E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(a*f^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) - (I*Cosh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2]*PolyLog[2, E^((1/4)*(2*e - I*Pi) + (f*x)/2)])/(a*f^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]]) + (x*Tanh[e/2 + (I*Pi)/4 + (f*x)/2])/(2*a*f*Sqrt[a + I*a*Sinh[e + f*x]])}
+{1/(x*(a + I*a*Sinh[e + f*x])^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + I*a*Sinh[e + f*x])^(3/2)), x]}
+{1/(x^2*(a + I*a*Sinh[e + f*x])^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + I*a*Sinh[e + f*x])^(3/2)), x]}
+
+
+{x^3/(a + a*I*Sinh[c + d*x])^(5/2), x, 23, -(1/(a^2*d^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])) + (9*x^2)/(8*a^2*d^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) - (10*I*x*ArcTanh[E^((1/4)*(2*c - I*Pi) + (d*x)/2)]*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(a^2*d^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (3*I*x^3*ArcTanh[E^((1/4)*(2*c - I*Pi) + (d*x)/2)]*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(8*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) - (10*I*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*PolyLog[2, -E^((1/4)*(2*c - I*Pi) + (d*x)/2)])/(a^2*d^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (9*I*x^2*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*PolyLog[2, -E^((1/4)*(2*c - I*Pi) + (d*x)/2)])/(8*a^2*d^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (10*I*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*PolyLog[2, E^((1/4)*(2*c - I*Pi) + (d*x)/2)])/(a^2*d^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) - (9*I*x^2*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*PolyLog[2, E^((1/4)*(2*c - I*Pi) + (d*x)/2)])/(8*a^2*d^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) - (9*I*x*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*PolyLog[3, -E^((1/4)*(2*c - I*Pi) + (d*x)/2)])/(2*a^2*d^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (9*I*x*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*PolyLog[3, E^((1/4)*(2*c - I*Pi) + (d*x)/2)])/(2*a^2*d^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (9*I*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*PolyLog[4, -E^((1/4)*(2*c - I*Pi) + (d*x)/2)])/(a^2*d^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) - (9*I*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*PolyLog[4, E^((1/4)*(2*c - I*Pi) + (d*x)/2)])/(a^2*d^4*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (x^2*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^2)/(4*a^2*d^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) - (x*Tanh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(2*a^2*d^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (3*x^3*Tanh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(16*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (x^3*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^2*Tanh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(8*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])}
+{x^2/(a + a*I*Sinh[c + d*x])^(5/2), x, 13, (3*x)/(4*a^2*d^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) - (5*ArcTan[Sinh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]]*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(3*a^2*d^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (3*I*x^2*ArcTanh[E^((1/4)*(2*c - I*Pi) + (d*x)/2)]*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(8*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (3*I*x*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*PolyLog[2, -E^((1/4)*(2*c - I*Pi) + (d*x)/2)])/(4*a^2*d^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) - (3*I*x*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*PolyLog[2, E^((1/4)*(2*c - I*Pi) + (d*x)/2)])/(4*a^2*d^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) - (3*I*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*PolyLog[3, -E^((1/4)*(2*c - I*Pi) + (d*x)/2)])/(2*a^2*d^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (3*I*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*PolyLog[3, E^((1/4)*(2*c - I*Pi) + (d*x)/2)])/(2*a^2*d^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (x*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^2)/(6*a^2*d^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) - Tanh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]/(6*a^2*d^3*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (3*x^2*Tanh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(16*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (x^2*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^2*Tanh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(8*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])}
+{x^1/(a + a*I*Sinh[c + d*x])^(5/2), x, 8, 3/(8*a^2*d^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (3*I*x*ArcTanh[E^((1/4)*(2*c - I*Pi) + (d*x)/2)]*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(8*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (3*I*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*PolyLog[2, -E^((1/4)*(2*c - I*Pi) + (d*x)/2)])/(8*a^2*d^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) - (3*I*Cosh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]*PolyLog[2, E^((1/4)*(2*c - I*Pi) + (d*x)/2)])/(8*a^2*d^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^2/(12*a^2*d^2*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (3*x*Tanh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(16*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (x*Sech[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2]^2*Tanh[c/2 + (I*Pi)/4 + (d*x)/2])/(8*a^2*d*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])}
+{1/(x^1*(a + a*I*Sinh[c + d*x])^(5/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + I*a*Sinh[c + d*x])^(5/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+I a Sinh[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+(* Used to hang Rubi *)
+{(a + I*a*Sinh[e + f*x])^(1/3)/x, x, 0, Unintegrable[(a + I*a*Sinh[e + f*x])^(1/3)/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+I a Sinh[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + I*a*Sinh[e + f*x])^n, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(a + I*a*Sinh[e + f*x])^n, x]}
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + I*a*Sinh[e + f*x])^3, x, 12, (5*a^3*(c + d*x)^(1 + m))/(2*d*(1 + m)) - ((I/8)*3^(-1 - m)*a^3*E^(3*e - (3*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (-3*f*(c + d*x))/d])/(f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) - (3*2^(-3 - m)*a^3*E^(2*e - (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (-2*f*(c + d*x))/d])/(f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) + (((15*I)/8)*a^3*E^(e - (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((f*(c + d*x))/d)])/(f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) + (((15*I)/8)*a^3*E^(-e + (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (f*(c + d*x))/d])/(f*((f*(c + d*x))/d)^m) + (3*2^(-3 - m)*a^3*E^(-2*e + (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*f*(c + d*x))/d])/(f*((f*(c + d*x))/d)^m) - ((I/8)*3^(-1 - m)*a^3*E^(-3*e + (3*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (3*f*(c + d*x))/d])/(f*((f*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m*(a + I*a*Sinh[e + f*x])^2, x, 9, (3*a^2*(c + d*x)^(1 + m))/(2*d*(1 + m)) - (2^(-3 - m)*a^2*E^(2*e - (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (-2*f*(c + d*x))/d])/(f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) + (I*a^2*E^(e - (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((f*(c + d*x))/d)])/(f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) + (I*a^2*E^(-e + (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (f*(c + d*x))/d])/(f*((f*(c + d*x))/d)^m) + (2^(-3 - m)*a^2*E^(-2*e + (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*f*(c + d*x))/d])/(f*((f*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m*(a + I*a*Sinh[e + f*x]), x, 5, (a*(c + d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + ((I/2)*a*E^(e - (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((f*(c + d*x))/d)])/(f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) + ((I/2)*a*E^(-e + (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (f*(c + d*x))/d])/(f*((f*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m/(a + I*a*Sinh[e + f*x]), x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m/(a + I*a*Sinh[e + f*x]), x]}
+{(c + d*x)^m/(a + I*a*Sinh[e + f*x])^2, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m/(a + I*a*Sinh[e + f*x])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Sinh[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Sinh[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + b*Sinh[e + f*x]), x, 6, (a*(c + d*x)^4)/(4*d) + (6*b*d^2*(c + d*x)*Cosh[e + f*x])/f^3 + (b*(c + d*x)^3*Cosh[e + f*x])/f - (6*b*d^3*Sinh[e + f*x])/f^4 - (3*b*d*(c + d*x)^2*Sinh[e + f*x])/f^2}
+{(c + d*x)^2*(a + b*Sinh[e + f*x]), x, 5, (a*(c + d*x)^3)/(3*d) + (2*b*d^2*Cosh[e + f*x])/f^3 + (b*(c + d*x)^2*Cosh[e + f*x])/f - (2*b*d*(c + d*x)*Sinh[e + f*x])/f^2}
+{(c + d*x)*(a + b*Sinh[e + f*x]), x, 4, (a*(c + d*x)^2)/(2*d) + (b*(c + d*x)*Cosh[e + f*x])/f - (b*d*Sinh[e + f*x])/f^2}
+{(a + b*Sinh[e + f*x])/(c + d*x), x, 5, (a*Log[c + d*x])/d + (b*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sinh[e - (c*f)/d])/d + (b*Cosh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d}
+{(a + b*Sinh[e + f*x])/(c + d*x)^2, x, 6, -(a/(d*(c + d*x))) + (b*f*Cosh[e - (c*f)/d]*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2 - (b*Sinh[e + f*x])/(d*(c + d*x)) + (b*f*Sinh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2}
+{(a + b*Sinh[e + f*x])/(c + d*x)^3, x, 7, -a/(2*d*(c + d*x)^2) - (b*f*Cosh[e + f*x])/(2*d^2*(c + d*x)) + (b*f^2*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sinh[e - (c*f)/d])/(2*d^3) - (b*Sinh[e + f*x])/(2*d*(c + d*x)^2) + (b*f^2*Cosh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/(2*d^3)}
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + b*Sinh[e + f*x])^2, x, 10, (-3*b^2*c*d^2*x)/(4*f^2) - (3*b^2*d^3*x^2)/(8*f^2) + (a^2*(c + d*x)^4)/(4*d) - (b^2*(c + d*x)^4)/(8*d) + (12*a*b*d^2*(c + d*x)*Cosh[e + f*x])/f^3 + (2*a*b*(c + d*x)^3*Cosh[e + f*x])/f - (12*a*b*d^3*Sinh[e + f*x])/f^4 - (6*a*b*d*(c + d*x)^2*Sinh[e + f*x])/f^2 + (3*b^2*d^2*(c + d*x)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(4*f^3) + (b^2*(c + d*x)^3*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(2*f) - (3*b^2*d^3*Sinh[e + f*x]^2)/(8*f^4) - (3*b^2*d*(c + d*x)^2*Sinh[e + f*x]^2)/(4*f^2)}
+{(c + d*x)^2*(a + b*Sinh[e + f*x])^2, x, 9, -(b^2*d^2*x)/(4*f^2) + (a^2*(c + d*x)^3)/(3*d) - (b^2*(c + d*x)^3)/(6*d) + (4*a*b*d^2*Cosh[e + f*x])/f^3 + (2*a*b*(c + d*x)^2*Cosh[e + f*x])/f - (4*a*b*d*(c + d*x)*Sinh[e + f*x])/f^2 + (b^2*d^2*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(4*f^3) + (b^2*(c + d*x)^2*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(2*f) - (b^2*d*(c + d*x)*Sinh[e + f*x]^2)/(2*f^2)}
+{(c + d*x)*(a + b*Sinh[e + f*x])^2, x, 6, -(b^2*c*x)/2 - (b^2*d*x^2)/4 + (a^2*(c + d*x)^2)/(2*d) + (2*a*b*(c + d*x)*Cosh[e + f*x])/f - (2*a*b*d*Sinh[e + f*x])/f^2 + (b^2*(c + d*x)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(2*f) - (b^2*d*Sinh[e + f*x]^2)/(4*f^2)}
+{(a + b*Sinh[e + f*x])^2/(c + d*x), x, 10, (b^2*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*d) + (a^2*Log[c + d*x])/d - (b^2*Log[c + d*x])/(2*d) + (2*a*b*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sinh[e - (c*f)/d])/d + (2*a*b*Cosh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d + (b^2*Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*d)}
+{(a + b*Sinh[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x, 11, -(a^2/(d*(c + d*x))) + (2*a*b*f*Cosh[e - (c*f)/d]*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2 + (b^2*f*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sinh[2*e - (2*c*f)/d])/d^2 - (2*a*b*Sinh[e + f*x])/(d*(c + d*x)) - (b^2*Sinh[e + f*x]^2)/(d*(c + d*x)) + (2*a*b*f*Sinh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2 + (b^2*f*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^2}
+{(a + b*Sinh[e + f*x])^2/(c + d*x)^3, x, 14, -a^2/(2*d*(c + d*x)^2) - (a*b*f*Cosh[e + f*x])/(d^2*(c + d*x)) + (b^2*f^2*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^3 + (a*b*f^2*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sinh[e - (c*f)/d])/d^3 - (a*b*Sinh[e + f*x])/(d*(c + d*x)^2) - (b^2*f*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(d^2*(c + d*x)) - (b^2*Sinh[e + f*x]^2)/(2*d*(c + d*x)^2) + (a*b*f^2*Cosh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^3 + (b^2*f^2*Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^3}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + b*Sinh[e + f*x]), x, 12, ((c + d*x)^3*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(Sqrt[a^2 + b^2]*f) - ((c + d*x)^3*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(Sqrt[a^2 + b^2]*f) + (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(Sqrt[a^2 + b^2]*f^2) - (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(Sqrt[a^2 + b^2]*f^2) - (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(Sqrt[a^2 + b^2]*f^3) + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(Sqrt[a^2 + b^2]*f^3) + (6*d^3*PolyLog[4, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(Sqrt[a^2 + b^2]*f^4) - (6*d^3*PolyLog[4, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(Sqrt[a^2 + b^2]*f^4)}
+{(c + d*x)^2/(a + b*Sinh[e + f*x]), x, 10, ((c + d*x)^2*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(Sqrt[a^2 + b^2]*f) - ((c + d*x)^2*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(Sqrt[a^2 + b^2]*f) + (2*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(Sqrt[a^2 + b^2]*f^2) - (2*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(Sqrt[a^2 + b^2]*f^2) - (2*d^2*PolyLog[3, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(Sqrt[a^2 + b^2]*f^3) + (2*d^2*PolyLog[3, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(Sqrt[a^2 + b^2]*f^3)}
+{(c + d*x)^1/(a + b*Sinh[e + f*x]), x, 8, ((c + d*x)*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(Sqrt[a^2 + b^2]*f) - ((c + d*x)*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(Sqrt[a^2 + b^2]*f) + (d*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(Sqrt[a^2 + b^2]*f^2) - (d*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(Sqrt[a^2 + b^2]*f^2)}
+{1/((c + d*x)^1*(a + b*Sinh[e + f*x])), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*Sinh[e + f*x])), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + b*Sinh[e + f*x])), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + b*Sinh[e + f*x])), x]}
+
+
+{(c + d*x)^2/(a + b*Sinh[e + f*x])^2, x, 18, -((c + d*x)^2/((a^2 + b^2)*f)) + (2*d*(c + d*x)*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)*f^2) + (a*(c + d*x)^2*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*f) + (2*d*(c + d*x)*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)*f^2) - (a*(c + d*x)^2*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*f) + (2*d^2*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*f^3) + (2*a*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*f^2) + (2*d^2*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*f^3) - (2*a*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*f^2) - (2*a*d^2*PolyLog[3, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*f^3) + (2*a*d^2*PolyLog[3, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*f^3) - (b*(c + d*x)^2*Cosh[e + f*x])/((a^2 + b^2)*f*(a + b*Sinh[e + f*x]))}
+{(c + d*x)^1/(a + b*Sinh[e + f*x])^2, x, 11, (a*(c + d*x)*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*f) - (a*(c + d*x)*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*f) + (d*Log[a + b*Sinh[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*f^2) + (a*d*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*f^2) - (a*d*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*f^2) - (b*(c + d*x)*Cosh[e + f*x])/((a^2 + b^2)*f*(a + b*Sinh[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)^1*(a + b*Sinh[e + f*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*Sinh[e + f*x])^2), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + b*Sinh[e + f*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + b*Sinh[e + f*x])^2), x]}
+
+
+(* {(e + f*x)^2/(a + b*Sinh[c + d*x])^3, x, 53, -((3*a*(e + f*x)^2)/(2*(a^2 + b^2)^2*d)) - (2*f^2*ArcTanh[(b - a*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (3*a*f*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (3*a^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*(a^2 + b^2)^(5/2)*d) - ((e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (3*a*f*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (3*a^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*(a^2 + b^2)^(5/2)*d) + ((e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (3*a*f^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) + (3*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(5/2)*d^2) - (f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (3*a*f^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) - (3*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(5/2)*d^2) + (f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (3*a^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(5/2)*d^3) + (f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (3*a^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(5/2)*d^3) - (f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (b*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Sinh[c + d*x])^2) - (f*(e + f*x))/((a^2 + b^2)*d^2*(a + b*Sinh[c + d*x])) - (3*a*b*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Sinh[c + d*x]))} *)
+{(e + f*x)^1/(a + b*Sinh[c + d*x])^3, x, 35, (3*a^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*(a^2 + b^2)^(5/2)*d) - ((e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (3*a^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*(a^2 + b^2)^(5/2)*d) + ((e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (3*a*f*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(2*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (3*a^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(2*(a^2 + b^2)^(5/2)*d^2) - (f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (3*a^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(2*(a^2 + b^2)^(5/2)*d^2) + (f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (b*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Sinh[c + d*x])^2) - f/(2*(a^2 + b^2)*d^2*(a + b*Sinh[c + d*x])) - (3*a*b*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Sinh[c + d*x]))}
+{1/((e + f*x)^1*(a + b*Sinh[c + d*x])^3), x, 0, Unintegrable[1/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])^3), x]}
+{1/((e + f*x)^2*(a + b*Sinh[c + d*x])^3), x, 0, Unintegrable[1/((e + f*x)^2*(a + b*Sinh[c + d*x])^3), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Sinh[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + b*Sinh[e + f*x])^n, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(a + b*Sinh[e + f*x])^n, x]}
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + b*Sinh[e + f*x])^3, x, 18, (a^3*(c + d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) - (3*a*b^2*(c + d*x)^(1 + m))/(2*d*(1 + m)) + (3^(-1 - m)*b^3*E^(3*e - (3*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (-3*f*(c + d*x))/d])/(8*f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) + (3*2^(-3 - m)*a*b^2*E^(2*e - (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (-2*f*(c + d*x))/d])/(f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) + (3*a^2*b*E^(e - (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((f*(c + d*x))/d)])/(2*f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) - (3*b^3*E^(e - (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((f*(c + d*x))/d)])/(8*f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) + (3*a^2*b*E^(-e + (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (f*(c + d*x))/d])/(2*f*((f*(c + d*x))/d)^m) - (3*b^3*E^(-e + (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (f*(c + d*x))/d])/(8*f*((f*(c + d*x))/d)^m) - (3*2^(-3 - m)*a*b^2*E^(-2*e + (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*f*(c + d*x))/d])/(f*((f*(c + d*x))/d)^m) + (3^(-1 - m)*b^3*E^(-3*e + (3*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (3*f*(c + d*x))/d])/(8*f*((f*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m*(a + b*Sinh[e + f*x])^2, x, 10, (a^2*(c + d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) - (b^2*(c + d*x)^(1 + m))/(2*d*(1 + m)) + (2^(-3 - m)*b^2*E^(2*e - (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (-2*f*(c + d*x))/d])/(f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) + (a*b*E^(e - (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((f*(c + d*x))/d)])/(f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) + (a*b*E^(-e + (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (f*(c + d*x))/d])/(f*((f*(c + d*x))/d)^m) - (2^(-3 - m)*b^2*E^(-2*e + (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*f*(c + d*x))/d])/(f*((f*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m*(a + b*Sinh[e + f*x]), x, 5, (a*(c + d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (b*E^(e - (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((f*(c + d*x))/d)])/(2*f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) + (b*E^(-e + (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (f*(c + d*x))/d])/(2*f*((f*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m/(a + b*Sinh[e + f*x]), x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m/(a + b*Sinh[e + f*x]), x]}
+{(c + d*x)^m/(a + b*Sinh[e + f*x])^2, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m/(a + b*Sinh[e + f*x])^2, x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sinh[c+d x]^n (a+b Sinh[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sinh[c+d x]^n (a+b Sinh[c+d x])^p with a^2+b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sinh[c+d x]^n / (a+a Sinh[c+d x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 9, (I*(e + f*x)^3)/(a*d) - ((I/4)*(e + f*x)^4)/(a*f) - ((6*I)*f*(e + f*x)^2*Log[1 + I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) - ((12*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) + ((12*I)*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (I*(e + f*x)^3*Tanh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2])/(a*d)}
+{((e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 8, (I*(e + f*x)^2)/(a*d) - ((I/3)*(e + f*x)^3)/(a*f) - ((4*I)*f*(e + f*x)*Log[1 + I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) - ((4*I)*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (I*(e + f*x)^2*Tanh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2])/(a*d)}
+{((e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 5, ((-I)*e*x)/a - ((I/2)*f*x^2)/a - ((2*I)*f*Log[Cosh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2]])/(a*d^2) + (I*(e + f*x)*Tanh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2])/(a*d)}
+{Sinh[c + d*x]/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 2, ((-I)*x)/a - Cosh[c + d*x]/(d*(a + I*a*Sinh[c + d*x]))}
+{Sinh[c + d*x]/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sinh[c + d*x]/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+{Sinh[c + d*x]/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sinh[c + d*x]/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Sinh[c + d*x]^2)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 14, -((e + f*x)^3/(a*d)) + (e + f*x)^4/(4*a*f) - ((6*I)*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(a*d^3) - (I*(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x])/(a*d) + (6*f*(e + f*x)^2*Log[1 + I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (12*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (12*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^4) + ((6*I)*f^3*Sinh[c + d*x])/(a*d^4) + ((3*I)*f*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(a*d^2) - ((e + f*x)^3*Tanh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2])/(a*d)}
+{((e + f*x)^2*Sinh[c + d*x]^2)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 12, -((e + f*x)^2/(a*d)) + (e + f*x)^3/(3*a*f) - ((2*I)*f^2*Cosh[c + d*x])/(a*d^3) - (I*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(a*d) + (4*f*(e + f*x)*Log[1 + I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (4*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) + ((2*I)*f*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(a*d^2) - ((e + f*x)^2*Tanh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2])/(a*d)}
+{((e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 8, (e*x)/a + (f*x^2)/(2*a) - (I*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(a*d) + (2*f*Log[Cosh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2]])/(a*d^2) + (I*f*Sinh[c + d*x])/(a*d^2) - ((e + f*x)*Tanh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2])/(a*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 4, x/a - (I*Cosh[c + d*x])/(a*d) - (I*Cosh[c + d*x])/(a*d*(1 + I*Sinh[c + d*x]))}
+{Sinh[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sinh[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+{Sinh[c + d*x]^2/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sinh[c + d*x]^2/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Sinh[c + d*x]^3)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 19, (((3*I)/4)*e*f^2*x)/(a*d^2) + (((3*I)/8)*f^3*x^2)/(a*d^2) - (I*(e + f*x)^3)/(a*d) + (((3*I)/8)*(e + f*x)^4)/(a*f) + (6*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(a*d^3) + ((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x])/(a*d) + ((6*I)*f*(e + f*x)^2*Log[1 + I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + ((12*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - ((12*I)*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (6*f^3*Sinh[c + d*x])/(a*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(a*d^2) - (((3*I)/4)*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(a*d^3) - ((I/2)*(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(a*d) + (((3*I)/8)*f^3*Sinh[c + d*x]^2)/(a*d^4) + (((3*I)/4)*f*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x]^2)/(a*d^2) - (I*(e + f*x)^3*Tanh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2])/(a*d)}
+{((e + f*x)^2*Sinh[c + d*x]^3)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 17, ((I/4)*f^2*x)/(a*d^2) - (I*(e + f*x)^2)/(a*d) + ((I/2)*(e + f*x)^3)/(a*f) + (2*f^2*Cosh[c + d*x])/(a*d^3) + ((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(a*d) + ((4*I)*f*(e + f*x)*Log[1 + I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + ((4*I)*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (2*f*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(a*d^2) - ((I/4)*f^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(a*d^3) - ((I/2)*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(a*d) + ((I/2)*f*(e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(a*d^2) - (I*(e + f*x)^2*Tanh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2])/(a*d)}
+{((e + f*x)*Sinh[c + d*x]^3)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 11, (((3*I)/2)*e*x)/a + (((3*I)/4)*f*x^2)/a + ((e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(a*d) + ((2*I)*f*Log[Cosh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2]])/(a*d^2) - (f*Sinh[c + d*x])/(a*d^2) - ((I/2)*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(a*d) + ((I/4)*f*Sinh[c + d*x]^2)/(a*d^2) - (I*(e + f*x)*Tanh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2])/(a*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 2, (((3*I)/2)*x)/a + (2*Cosh[c + d*x])/(a*d) - (((3*I)/2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(a*d) - (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^2)/(d*(a + I*a*Sinh[c + d*x]))}
+{Sinh[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sinh[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+{Sinh[c + d*x]^3/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sinh[c + d*x]^3/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Csch[c + d*x])/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 17, ((-I)*(e + f*x)^3)/(a*d) - (2*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) + ((6*I)*f*(e + f*x)^2*Log[1 + I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) + ((12*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) - ((12*I)*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (6*f^3*PolyLog[4, -E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (6*f^3*PolyLog[4, E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (I*(e + f*x)^3*Tanh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2])/(a*d)}
+{((e + f*x)^2*Csch[c + d*x])/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 14, ((-I)*(e + f*x)^2)/(a*d) - (2*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) + ((4*I)*f*(e + f*x)*Log[1 + I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) + ((4*I)*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (2*f^2*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (2*f^2*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (I*(e + f*x)^2*Tanh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2])/(a*d)}
+{((e + f*x)*Csch[c + d*x])/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 9, (-2*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) + ((2*I)*f*Log[Cosh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2]])/(a*d^2) - (f*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (f*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (I*(e + f*x)*Tanh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2])/(a*d)}
+{Csch[c + d*x]/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 3, -(ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/(a*d)) + Cosh[c + d*x]/(d*(a + I*a*Sinh[c + d*x]))}
+{Csch[c + d*x]/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Csch[c + d*x]/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+{Csch[c + d*x]/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Csch[c + d*x]/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Csch[c + d*x]^2)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 24, (-2*(e + f*x)^3)/(a*d) + ((2*I)*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - ((e + f*x)^3*Coth[c + d*x])/(a*d) + (6*f*(e + f*x)^2*Log[1 + I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (3*f*(e + f*x)^2*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d^2) + ((3*I)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (12*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - ((3*I)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a*d^3) - ((6*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (12*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^4) + ((6*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (3*f^3*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a*d^4) + ((6*I)*f^3*PolyLog[4, -E^(c + d*x)])/(a*d^4) - ((6*I)*f^3*PolyLog[4, E^(c + d*x)])/(a*d^4) - ((e + f*x)^3*Tanh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2])/(a*d)}
+{((e + f*x)^2*Csch[c + d*x]^2)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 20, (-2*(e + f*x)^2)/(a*d) + ((2*I)*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - ((e + f*x)^2*Coth[c + d*x])/(a*d) + (4*f*(e + f*x)*Log[1 + I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (2*f*(e + f*x)*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d^2) + ((2*I)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (4*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - ((2*I)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (f^2*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a*d^3) - ((2*I)*f^2*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) + ((2*I)*f^2*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^3) - ((e + f*x)^2*Tanh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2])/(a*d)}
+{((e + f*x)*Csch[c + d*x]^2)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 12, ((2*I)*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - ((e + f*x)*Coth[c + d*x])/(a*d) + (2*f*Log[Cosh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2]])/(a*d^2) + (f*Log[Sinh[c + d*x]])/(a*d^2) + (I*f*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (I*f*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) - ((e + f*x)*Tanh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2])/(a*d)}
+{Csch[c + d*x]^2/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 5, (I*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a*d) - (2*Coth[c + d*x])/(a*d) + Coth[c + d*x]/(d*(a + I*a*Sinh[c + d*x]))}
+{Csch[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Csch[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+{Csch[c + d*x]^2/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Csch[c + d*x]^2/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Csch[c + d*x]^3)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 40, ((2*I)*(e + f*x)^3)/(a*d) - (6*f^2*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (3*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) + (I*(e + f*x)^3*Coth[c + d*x])/(a*d) - (3*f*(e + f*x)^2*Csch[c + d*x])/(2*a*d^2) - ((e + f*x)^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d) - ((6*I)*f*(e + f*x)^2*Log[1 + I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) - ((3*I)*f*(e + f*x)^2*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d^2) - (3*f^3*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (9*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(2*a*d^2) - ((12*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (3*f^3*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (9*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(2*a*d^2) - ((3*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a*d^3) - (9*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) + ((12*I)*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (9*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (((3*I)/2)*f^3*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(a*d^4) + (9*f^3*PolyLog[4, -E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (9*f^3*PolyLog[4, E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (I*(e + f*x)^3*Tanh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2])/(a*d)}
+{((e + f*x)^2*Csch[c + d*x]^3)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 30, ((2*I)*(e + f*x)^2)/(a*d) + (3*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - (f^2*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a*d^3) + (I*(e + f*x)^2*Coth[c + d*x])/(a*d) - (f*(e + f*x)*Csch[c + d*x])/(a*d^2) - ((e + f*x)^2*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d) - ((4*I)*f*(e + f*x)*Log[1 + I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) - ((2*I)*f*(e + f*x)*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d^2) + (3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) - ((4*I)*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (I*f^2*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a*d^3) - (3*f^2*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (3*f^2*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (I*(e + f*x)^2*Tanh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2])/(a*d)}
+{((e + f*x)*Csch[c + d*x]^3)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 19, (3*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) + (I*(e + f*x)*Coth[c + d*x])/(a*d) - (f*Csch[c + d*x])/(2*a*d^2) - ((e + f*x)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d) - ((2*I)*f*Log[Cosh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2]])/(a*d^2) - (I*f*Log[Sinh[c + d*x]])/(a*d^2) + (3*f*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(2*a*d^2) - (3*f*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(2*a*d^2) + (I*(e + f*x)*Tanh[c/2 + (I/4)*Pi + (d*x)/2])/(a*d)}
+{Csch[c + d*x]^3/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 6, (3*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*a*d) + ((2*I)*Coth[c + d*x])/(a*d) - (3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d) + (Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(d*(a + I*a*Sinh[c + d*x]))}
+{Csch[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Csch[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+{Csch[c + d*x]^3/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Csch[c + d*x]^3/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sinh[c+d x]^n (a+b Sinh[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sinh[c+d x]^n / (a+b Sinh[c+d x])^1*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 14, (e + f*x)^4/(4*b*f) - (a*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (a*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (3*a*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (3*a*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (6*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (6*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (6*a*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) + (6*a*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 12, (e + f*x)^3/(3*b*f) - (a*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (a*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (2*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (2*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (2*a*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (2*a*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3)}
+{((e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 10, (e*x)/b + (f*x^2)/(2*b) - (a*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (a*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (a*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (a*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2)}
+{Sinh[c + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 4, x/b + (2*a*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d)}
+{Sinh[c + d*x]/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sinh[c + d*x]/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 19, -(a*(e + f*x)^4)/(4*b^2*f) + (6*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b*d^3) + ((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x])/(b*d) + (a^2*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (a^2*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (3*a^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (3*a^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (6*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) + (6*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) + (6*a^2*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) - (6*a^2*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) - (6*f^3*Sinh[c + d*x])/(b*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(b*d^2)}
+{((e + f*x)^2*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 16, -(a*(e + f*x)^3)/(3*b^2*f) + (2*f^2*Cosh[c + d*x])/(b*d^3) + ((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(b*d) + (a^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (a^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (2*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (2*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (2*a^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) + (2*a^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (2*f*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b*d^2)}
+{((e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 13, -((a*e*x)/b^2) - (a*f*x^2)/(2*b^2) + ((e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b*d) + (a^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (a^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (a^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (a^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (f*Sinh[c + d*x])/(b*d^2)}
+{Sinh[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 6, -((a*x)/b^2) - (2*a^2*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + Cosh[c + d*x]/(b*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sinh[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 24, (-3*e*f^2*x)/(4*b*d^2) - (3*f^3*x^2)/(8*b*d^2) + (a^2*(e + f*x)^4)/(4*b^3*f) - (e + f*x)^4/(8*b*f) - (6*a*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x])/(b^2*d) - (a^3*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (a^3*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (3*a^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (3*a^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (6*a^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (6*a^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (6*a^3*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) + (6*a^3*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) + (6*a*f^3*Sinh[c + d*x])/(b^2*d^4) + (3*a*f*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(b^2*d^2) + (3*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b*d^3) + ((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b*d) - (3*f^3*Sinh[c + d*x]^2)/(8*b*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x]^2)/(4*b*d^2)}
+{((e + f*x)^2*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 21, -(f^2*x)/(4*b*d^2) + (a^2*(e + f*x)^3)/(3*b^3*f) - (e + f*x)^3/(6*b*f) - (2*a*f^2*Cosh[c + d*x])/(b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(b^2*d) - (a^3*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (a^3*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (2*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (2*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (2*a^3*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (2*a^3*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) + (2*a*f*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b^2*d^2) + (f^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b*d^3) + ((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b*d) - (f*(e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b*d^2)}
+{((e + f*x)*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 16, (a^2*e*x)/b^3 - (e*x)/(2*b) + (a^2*f*x^2)/(2*b^3) - (f*x^2)/(4*b) - (a*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b^2*d) - (a^3*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (a^3*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (a^3*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (a^3*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (a*f*Sinh[c + d*x])/(b^2*d^2) + ((e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b*d) - (f*Sinh[c + d*x]^2)/(4*b*d^2)}
+{Sinh[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 6, ((2*a^2 - b^2)*x)/(2*b^3) + (2*a^3*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (a*Cosh[c + d*x])/(b^2*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sinh[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Csch[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 22, (-2*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - (b*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (b*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (6*f^3*PolyLog[4, -E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (6*f^3*PolyLog[4, E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (6*b*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) + (6*b*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Csch[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 18, (-2*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - (b*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (b*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (2*f^2*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (2*f^2*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (2*b*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (2*b*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3)}
+{((e + f*x)*Csch[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 14, (-2*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - (b*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (b*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (f*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (f*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (b*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (b*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2)}
+{Csch[c + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 5, -(ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/(a*d)) + (2*b*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d)}
+{Csch[c + d*x]/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Csch[c + d*x]/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Csch[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 29, -((e + f*x)^3/(a*d)) + (2*b*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^2*d) - ((e + f*x)^3*Coth[c + d*x])/(a*d) + (b^2*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (b^2*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (3*f*(e + f*x)^2*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d^2) + (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) - (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) + (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a*d^3) - (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) + (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (6*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) + (6*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (3*f^3*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a*d^4) + (6*b*f^3*PolyLog[4, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^4) - (6*b*f^3*PolyLog[4, E^(c + d*x)])/(a^2*d^4) + (6*b^2*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) - (6*b^2*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Csch[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 24, -((e + f*x)^2/(a*d)) + (2*b*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^2*d) - ((e + f*x)^2*Coth[c + d*x])/(a*d) + (b^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (b^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (2*f*(e + f*x)*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d^2) + (2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) - (2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) + (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (f^2*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a*d^3) - (2*b*f^2*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) + (2*b*f^2*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (2*b^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) + (2*b^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3)}
+{((e + f*x)*Csch[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 17, (2*b*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^2*d) - ((e + f*x)*Coth[c + d*x])/(a*d) + (b^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (b^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (f*Log[Sinh[c + d*x]])/(a*d^2) + (b*f*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) - (b*f*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) + (b^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (b^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2)}
+{Csch[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 7, (b*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a^2*d) - (2*b^2*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - Coth[c + d*x]/(a*d)}
+{Csch[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Csch[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Csch[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 45, (b*(e + f*x)^3)/(a^2*d) - (6*f^2*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d^3) + ((e + f*x)^3*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - (2*b^2*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^3*d) + (b*(e + f*x)^3*Coth[c + d*x])/(a^2*d) - (3*f*(e + f*x)^2*Csch[c + d*x])/(2*a*d^2) - ((e + f*x)^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d) - (b^3*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (b^3*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (3*b*f*(e + f*x)^2*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a^2*d^2) - (3*f^3*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(2*a*d^2) - (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) + (3*f^3*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(2*a*d^2) + (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) - (3*b^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (3*b^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (3*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a^2*d^3) - (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (6*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a^3*d^3) + (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (6*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a^3*d^3) + (6*b^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (6*b^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) + (3*b*f^3*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a^2*d^4) + (3*f^3*PolyLog[4, -E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (6*b^2*f^3*PolyLog[4, -E^(c + d*x)])/(a^3*d^4) - (3*f^3*PolyLog[4, E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (6*b^2*f^3*PolyLog[4, E^(c + d*x)])/(a^3*d^4) - (6*b^3*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) + (6*b^3*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Csch[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 34, (b*(e + f*x)^2)/(a^2*d) + ((e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - (2*b^2*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^3*d) - (f^2*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a*d^3) + (b*(e + f*x)^2*Coth[c + d*x])/(a^2*d) - (f*(e + f*x)*Csch[c + d*x])/(a*d^2) - ((e + f*x)^2*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d) - (b^3*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (b^3*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (2*b*f*(e + f*x)*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a^2*d^2) + (f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) - (f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) - (2*b^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (2*b^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (b*f^2*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a^2*d^3) - (f^2*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (2*b^2*f^2*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a^3*d^3) + (f^2*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (2*b^2*f^2*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a^3*d^3) + (2*b^3*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (2*b^3*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3)}
+{((e + f*x)*Csch[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 24, ((e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - (2*b^2*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^3*d) + (b*(e + f*x)*Coth[c + d*x])/(a^2*d) - (f*Csch[c + d*x])/(2*a*d^2) - ((e + f*x)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d) - (b^3*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (b^3*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (b*f*Log[Sinh[c + d*x]])/(a^2*d^2) + (f*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(2*a*d^2) - (b^2*f*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) - (f*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(2*a*d^2) + (b^2*f*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) - (b^3*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (b^3*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2)}
+{Csch[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 7, ((a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*a^3*d) + (2*b^3*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (b*Coth[c + d*x])/(a^2*d) - (Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Csch[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Csch[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sinh[c+d x]^n / (a+b Sinh[c+d x])^2*)
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n (a+b Sinh[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n (a+b Sinh[c+d x])^p with a^2+b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n / (a+a Sinh[c+d x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x])/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 6, (I*(e + f*x)^4)/(4*a*f) - (2*I*(e + f*x)^3*Log[1 + I*E^(c + d*x)])/(a*d) - (6*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (12*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (12*I*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 5, (I*(e + f*x)^3)/(3*a*f) - (2*I*(e + f*x)^2*Log[1 + I*E^(c + d*x)])/(a*d) - (4*I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (4*I*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3)}
+{((e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 4, (I*(e + f*x)^2)/(2*a*f) - (2*I*(e + f*x)*Log[1 + I*E^(c + d*x)])/(a*d) - (2*I*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^2)}
+{Cosh[c + d*x]/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 2, ((-I)*Log[I - Sinh[c + d*x]])/(a*d)}
+{Cosh[c + d*x]/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Cosh[c + d*x]/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+{Cosh[c + d*x]/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Cosh[c + d*x]/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^2)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 6, (e + f*x)^4/(4*a*f) - ((6*I)*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(a*d^3) - (I*(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x])/(a*d) + ((6*I)*f^3*Sinh[c + d*x])/(a*d^4) + ((3*I)*f*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(a*d^2)}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^2)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 5, (e + f*x)^3/(3*a*f) - ((2*I)*f^2*Cosh[c + d*x])/(a*d^3) - (I*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(a*d) + ((2*I)*f*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(a*d^2)}
+{((e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 4, (e*x)/a + (f*x^2)/(2*a) - (I*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(a*d) + (I*f*Sinh[c + d*x])/(a*d^2)}
+{Cosh[c + d*x]^2/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 2, x/a - (I*Cosh[c + d*x])/(a*d)}
+{Cosh[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 5, Log[e + f*x]/(a*f) - (I*CoshIntegral[(d*e)/f + d*x]*Sinh[c - (d*e)/f])/(a*f) - (I*Cosh[c - (d*e)/f]*SinhIntegral[(d*e)/f + d*x])/(a*f)}
+{Cosh[c + d*x]^2/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 6, -(1/(a*f*(e + f*x))) - (I*d*Cosh[c - (d*e)/f]*CoshIntegral[(d*e)/f + d*x])/(a*f^2) + (I*Sinh[c + d*x])/(a*f*(e + f*x)) - (I*d*Sinh[c - (d*e)/f]*SinhIntegral[(d*e)/f + d*x])/(a*f^2)}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^3)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 10, (((-3*I)/8)*f^3*x)/(a*d^3) - ((I/4)*(e + f*x)^3)/(a*d) - (6*f^3*Cosh[c + d*x])/(a*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(a*d^2) + (6*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(a*d^3) + ((e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(a*d) + (((3*I)/8)*f^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(a*d^4) + (((3*I)/4)*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(a*d^2) - (((3*I)/4)*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(a*d^3) - ((I/2)*(e + f*x)^3*Sinh[c + d*x]^2)/(a*d)}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^3)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 7, ((-I/2)*e*f*x)/(a*d) - ((I/4)*f^2*x^2)/(a*d) - (2*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(a*d^2) + (2*f^2*Sinh[c + d*x])/(a*d^3) + ((e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(a*d) + ((I/2)*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(a*d^2) - ((I/4)*f^2*Sinh[c + d*x]^2)/(a*d^3) - ((I/2)*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x]^2)/(a*d)}
+{((e + f*x)*Cosh[c + d*x]^3)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 6, ((-I/4)*f*x)/(a*d) - (f*Cosh[c + d*x])/(a*d^2) + ((e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(a*d) + ((I/4)*f*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(a*d^2) - ((I/2)*(e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(a*d)}
+{Cosh[c + d*x]^3/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 2, Sinh[c + d*x]/(a*d) - ((I/2)*Sinh[c + d*x]^2)/(a*d)}
+{Cosh[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 9, (Cosh[c - (d*e)/f]*CoshIntegral[(d*e)/f + d*x])/(a*f) - ((I/2)*CoshIntegral[(2*d*e)/f + 2*d*x]*Sinh[2*c - (2*d*e)/f])/(a*f) + (Sinh[c - (d*e)/f]*SinhIntegral[(d*e)/f + d*x])/(a*f) - ((I/2)*Cosh[2*c - (2*d*e)/f]*SinhIntegral[(2*d*e)/f + 2*d*x])/(a*f)}
+{Cosh[c + d*x]^3/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 11, -(Cosh[c + d*x]/(a*f*(e + f*x))) - (I*d*Cosh[2*c - (2*d*e)/f]*CoshIntegral[(2*d*e)/f + 2*d*x])/(a*f^2) + (d*CoshIntegral[(d*e)/f + d*x]*Sinh[c - (d*e)/f])/(a*f^2) + ((I/2)*Sinh[2*c + 2*d*x])/(a*f*(e + f*x)) + (d*Cosh[c - (d*e)/f]*SinhIntegral[(d*e)/f + d*x])/(a*f^2) - (I*d*Sinh[2*c - (2*d*e)/f]*SinhIntegral[(2*d*e)/f + 2*d*x])/(a*f^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Sech[c + d*x])/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 22, (((-3*I)/2)*f*(e + f*x)^2)/(a*d^2) - (6*f^2*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*d^3) + ((e + f*x)^3*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*d) + ((3*I)*f^2*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(a*d^3) + ((3*I)*f^3*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (((3*I)/2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^2) - ((3*I)*f^3*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (((3*I)/2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (((3*I)/2)*f^3*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(a*d^4) + ((3*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - ((3*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - ((3*I)*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^4) + ((3*I)*f^3*PolyLog[4, I*E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (3*f*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x])/(2*a*d^2) + ((I/2)*(e + f*x)^3*Sech[c + d*x]^2)/(a*d) - (((3*I)/2)*f*(e + f*x)^2*Tanh[c + d*x])/(a*d^2) + ((e + f*x)^3*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*a*d)}
+{((e + f*x)^2*Sech[c + d*x])/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 13, ((e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*d) - (f^2*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(a*d^3) + (I*f^2*Log[Cosh[c + d*x]])/(a*d^3) - (I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (I*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (I*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (f*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(a*d^2) + ((I/2)*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^2)/(a*d) - (I*f*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(a*d^2) + ((e + f*x)^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*a*d)}
+{((e + f*x)*Sech[c + d*x])/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 10, ((e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*d) - ((I/2)*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + ((I/2)*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (f*Sech[c + d*x])/(2*a*d^2) + ((I/2)*(e + f*x)*Sech[c + d*x]^2)/(a*d) - ((I/2)*f*Tanh[c + d*x])/(a*d^2) + ((e + f*x)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Sech[c + d*x]/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 4, ArcTan[Sinh[c + d*x]]/(2*a*d) + (I/2)/(d*(a + I*a*Sinh[c + d*x]))}
+{Sech[c + d*x]/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sech[c + d*x]/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+{Sech[c + d*x]/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sech[c + d*x]/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Sech[c + d*x]^2)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 20, (2*(e + f*x)^3)/(3*a*d) - (I*f*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (I*f^3*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(a*d^4) - (2*f*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(a*d^2) + (f^3*Log[Cosh[c + d*x]])/(a*d^4) - (f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(a*d^3) + (f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (f^3*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (f^3*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(a*d^4) - (I*f^2*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(a*d^3) + (f*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^2)/(2*a*d^2) + ((I/3)*(e + f*x)^3*Sech[c + d*x]^3)/(a*d) - (f^2*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(a*d^3) + (2*(e + f*x)^3*Tanh[c + d*x])/(3*a*d) - ((I/2)*f*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(a*d^2) + ((e + f*x)^3*Sech[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/(3*a*d)}
+{((e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^2)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 16, (2*(e + f*x)^2)/(3*a*d) - (((2*I)/3)*f*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (4*f*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(3*a*d^2) - (f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(3*a*d^3) + (f^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(3*a*d^3) - (2*f^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(3*a*d^3) - ((I/3)*f^2*Sech[c + d*x])/(a*d^3) + (f*(e + f*x)*Sech[c + d*x]^2)/(3*a*d^2) + ((I/3)*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^3)/(a*d) - (f^2*Tanh[c + d*x])/(3*a*d^3) + (2*(e + f*x)^2*Tanh[c + d*x])/(3*a*d) - ((I/3)*f*(e + f*x)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(a*d^2) + ((e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/(3*a*d)}
+{((e + f*x)*Sech[c + d*x]^2)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 7, ((-I/6)*f*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(a*d^2) - (2*f*Log[Cosh[c + d*x]])/(3*a*d^2) + (f*Sech[c + d*x]^2)/(6*a*d^2) + ((I/3)*(e + f*x)*Sech[c + d*x]^3)/(a*d) + (2*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(3*a*d) - ((I/6)*f*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(a*d^2) + ((e + f*x)*Sech[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Sech[c + d*x]^2/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 3, ((I/3)*Sech[c + d*x])/(d*(a + I*a*Sinh[c + d*x])) + (2*Tanh[c + d*x])/(3*a*d)}
+{Sech[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sech[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+{Sech[c + d*x]^2/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sech[c + d*x]^2/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Sech[c + d*x]^3)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 32, ((-I/2)*f*(e + f*x)^2)/(a*d^2) - (5*f^2*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (3*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(c + d*x)])/(4*a*d) + (I*f^2*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(a*d^3) + (((5*I)/2)*f^3*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (((9*I)/8)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (((5*I)/2)*f^3*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (((9*I)/8)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + ((I/2)*f^3*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(a*d^4) + (((9*I)/4)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (((9*I)/4)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (((9*I)/4)*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (((9*I)/4)*f^3*PolyLog[4, I*E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (f^3*Sech[c + d*x])/(4*a*d^4) + (9*f*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x])/(8*a*d^2) - ((I/4)*f^2*(e + f*x)*Sech[c + d*x]^2)/(a*d^3) + (f*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^3)/(4*a*d^2) + ((I/4)*(e + f*x)^3*Sech[c + d*x]^4)/(a*d) + ((I/4)*f^3*Tanh[c + d*x])/(a*d^4) - ((I/2)*f*(e + f*x)^2*Tanh[c + d*x])/(a*d^2) - (f^2*(e + f*x)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(4*a*d^3) + (3*(e + f*x)^3*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(8*a*d) - ((I/4)*f*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/(a*d^2) + ((e + f*x)^3*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x])/(4*a*d)}
+{((e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^3)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 17, (3*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(4*a*d) - (5*f^2*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(6*a*d^3) + ((I/3)*f^2*Log[Cosh[c + d*x]])/(a*d^3) - (((3*I)/4)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (((3*I)/4)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (((3*I)/4)*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (((3*I)/4)*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (3*f*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(4*a*d^2) - ((I/12)*f^2*Sech[c + d*x]^2)/(a*d^3) + (f*(e + f*x)*Sech[c + d*x]^3)/(6*a*d^2) + ((I/4)*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^4)/(a*d) - ((I/3)*f*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(a*d^2) - (f^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(12*a*d^3) + (3*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(8*a*d) - ((I/6)*f*(e + f*x)*Sech[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/(a*d^2) + ((e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x])/(4*a*d)}
+{((e + f*x)*Sech[c + d*x]^3)/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 11, (3*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(4*a*d) - (((3*I)/8)*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (((3*I)/8)*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (3*f*Sech[c + d*x])/(8*a*d^2) + (f*Sech[c + d*x]^3)/(12*a*d^2) + ((I/4)*(e + f*x)*Sech[c + d*x]^4)/(a*d) - ((I/4)*f*Tanh[c + d*x])/(a*d^2) + (3*(e + f*x)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(8*a*d) + ((e + f*x)*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x])/(4*a*d) + ((I/12)*f*Tanh[c + d*x]^3)/(a*d^2)}
+{Sech[c + d*x]^3/(a + I*a*Sinh[c + d*x]), x, 4, (3*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(8*a*d) - (I/8)/(d*(a - I*a*Sinh[c + d*x])) + ((I/8)*a)/(d*(a + I*a*Sinh[c + d*x])^2) + (I/4)/(d*(a + I*a*Sinh[c + d*x]))}
+{Sech[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sech[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+{Sech[c + d*x]^3/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sech[c + d*x]^3/((e + f*x)^2*(a + I*a*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n (a+b Sinh[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n / (a+b Sinh[c+d x])^1*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 11, -(e + f*x)^4/(4*b*f) + ((e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*d) + ((e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*d) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*d^2) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*d^2) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*d^3) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*d^3) + (6*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*d^4) + (6*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*d^4)}
+{(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 9, -(e + f*x)^3/(3*b*f) + ((e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*d) + ((e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*d) + (2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*d^2) + (2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*d^2) - (2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*d^3) - (2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*d^3)}
+{(e + f*x)^1*Cosh[c + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 7, -(e + f*x)^2/(2*b*f) + ((e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*d) + ((e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*d) + (f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*d^2) + (f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*d^2)}
+{(e + f*x)^0*Cosh[c + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 2, Log[a + b*Sinh[c + d*x]]/(b*d)}
+{Cosh[c + d*x]/((e + f*x)^1*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Cosh[c + d*x]/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 18, -(a*(e + f*x)^4)/(4*b^2*f) + (6*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b*d^3) + ((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x])/(b*d) + (Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*d) - (Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*d) + (3*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^2) - (3*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^2) - (6*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^3) + (6*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^3) + (6*Sqrt[a^2 + b^2]*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^4) - (6*Sqrt[a^2 + b^2]*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^4) - (6*f^3*Sinh[c + d*x])/(b*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(b*d^2)}
+{(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 15, -(a*(e + f*x)^3)/(3*b^2*f) + (2*f^2*Cosh[c + d*x])/(b*d^3) + ((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(b*d) + (Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*d) - (Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*d) + (2*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^2) - (2*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^2) - (2*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^3) + (2*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^3) - (2*f*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b*d^2)}
+{(e + f*x)^1*Cosh[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 12, -((a*e*x)/b^2) - (a*f*x^2)/(2*b^2) + ((e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b*d) + (Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*d) - (Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*d) + (Sqrt[a^2 + b^2]*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^2) - (Sqrt[a^2 + b^2]*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^2) - (f*Sinh[c + d*x])/(b*d^2)}
+{(e + f*x)^0*Cosh[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 5, -((a*x)/b^2) - (2*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^2*d) + Cosh[c + d*x]/(b*d)}
+{Cosh[c + d*x]^2/((e + f*x)^1*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Cosh[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 21, (3*f^3*x)/(8*b*d^3) + (e + f*x)^3/(4*b*d) - ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^4)/(4*b^3*f) + (6*a*f^3*Cosh[c + d*x])/(b^2*d^4) + (3*a*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(b^2*d^2) + ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*d) + ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*d) + (3*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^2) + (3*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^2) - (6*(a^2 + b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^3) - (6*(a^2 + b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^3) + (6*(a^2 + b^2)*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^4) + (6*(a^2 + b^2)*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^4) - (6*a*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(b^2*d) - (3*f^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*b*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b*d^2) + (3*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(4*b*d^3) + ((e + f*x)^3*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b*d)}
+{(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 16, (e*f*x)/(2*b*d) + (f^2*x^2)/(4*b*d) - ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^3)/(3*b^3*f) + (2*a*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b^2*d^2) + ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*d) + ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*d) + (2*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^2) + (2*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^2) - (2*(a^2 + b^2)*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^3) - (2*(a^2 + b^2)*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^3) - (2*a*f^2*Sinh[c + d*x])/(b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(b^2*d) - (f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b*d^2) + (f^2*Sinh[c + d*x]^2)/(4*b*d^3) + ((e + f*x)^2*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b*d)}
+{(e + f*x)^1*Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 13, (f*x)/(4*b*d) - ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^2)/(2*b^3*f) + (a*f*Cosh[c + d*x])/(b^2*d^2) + ((a^2 + b^2)*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*d) + ((a^2 + b^2)*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*d) + ((a^2 + b^2)*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^2) + ((a^2 + b^2)*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^2) - (a*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b^2*d) - (f*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b*d^2) + ((e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b*d)}
+{(e + f*x)^0*Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 3, ((a^2 + b^2)*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(b^3*d) - (a*Sinh[c + d*x])/(b^2*d) + Sinh[c + d*x]^2/(2*b*d)}
+{Cosh[c + d*x]^3/((e + f*x)^1*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Cosh[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(e + f*x)^3*Sech[c + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 29, (2*a*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d) + (b*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)*d) + (b*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)*d) - (b*(e + f*x)^3*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)*d) - (3*I*a*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) + (3*I*a*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) + (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^2) + (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^2) - (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*(a^2 + b^2)*d^2) + (6*I*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) - (6*I*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) - (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^3) - (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^3) + (3*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*(a^2 + b^2)*d^3) - (6*I*a*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^4) + (6*I*a*f^3*PolyLog[4, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^4) + (6*b*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^4) + (6*b*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^4) - (3*b*f^3*PolyLog[4, -E^(2*(c + d*x))])/(4*(a^2 + b^2)*d^4)}
+{(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 24, (2*a*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d) + (b*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)*d) + (b*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)*d) - (b*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)*d) - (2*I*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) + (2*I*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) + (2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^2) + (2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^2) - (b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)*d^2) + (2*I*a*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) - (2*I*a*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) - (2*b*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^3) - (2*b*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^3) + (b*f^2*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*(a^2 + b^2)*d^3)}
+{(e + f*x)^1*Sech[c + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 19, (2*a*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d) + (b*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)*d) + (b*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)*d) - (b*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)*d) - (I*a*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) + (I*a*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) + (b*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^2) + (b*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^2) - (b*f*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*(a^2 + b^2)*d^2)}
+{(e + f*x)^0*Sech[c + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 6, (a*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) - (b*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) + (b*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d)}
+{Sech[c + d*x]/((e + f*x)^1*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sech[c + d*x]/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{(e + f*x)^3*Sech[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 29, (a*(e + f*x)^3)/((a^2 + b^2)*d) - (6*b*f*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) + (b^2*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (b^2*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (3*a*f*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)*d^2) + (6*I*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) - (6*I*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) + (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (3*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)*d^3) - (6*I*b*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^4) + (6*I*b*f^3*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^4) - (6*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (6*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (3*a*f^3*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*(a^2 + b^2)*d^4) + (6*b^2*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (6*b^2*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (b*(e + f*x)^3*Sech[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d) + (a*(e + f*x)^3*Tanh[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d)}
+{(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 24, (a*(e + f*x)^2)/((a^2 + b^2)*d) - (4*b*f*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) + (b^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (b^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (2*a*f*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)*d^2) + (2*I*b*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) - (2*I*b*f^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) + (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (a*f^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)*d^3) - (2*b^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (2*b^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (b*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d) + (a*(e + f*x)^2*Tanh[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d)}
+{(e + f*x)^1*Sech[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 15, -((b*f*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d^2)) + (b^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (b^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (a*f*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d^2) + (b^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (b^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (b*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d) + (a*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d)}
+{(e + f*x)^0*Sech[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 5, (-2*b^2*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (Sech[c + d*x]*(b + a*Sinh[c + d*x]))/((a^2 + b^2)*d)}
+{Sech[c + d*x]^2/((e + f*x)^1*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sech[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 39, (2*a*b^2*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d) - (a*f^2*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d^3) + (b^3*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^2*d) + (b^3*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^2*d) - (b^3*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)^2*d) + (b*f^2*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d^3) - (2*I*a*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (I*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) + (2*I*a*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (I*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) + (2*b^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (2*b^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (b^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (2*I*a*b^2*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^3) + (I*a*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) - (2*I*a*b^2*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^3) - (I*a*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) - (2*b^3*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) - (2*b^3*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) + (b^3*f^2*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*(a^2 + b^2)^2*d^3) + (a*f*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d^2) + (b*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^2)/(2*(a^2 + b^2)*d) - (b*f*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d^2) + (a*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d)}
+{(e + f*x)^1*Sech[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 31, (2*a*b^2*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d) + (b^3*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^2*d) + (b^3*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^2*d) - (b^3*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)^2*d) - (I*a*b^2*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (I*a*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(2*(a^2 + b^2)*d^2) + (I*a*b^2*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (I*a*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(2*(a^2 + b^2)*d^2) + (b^3*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (b^3*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (b^3*f*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (a*f*Sech[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d^2) + (b*(e + f*x)*Sech[c + d*x]^2)/(2*(a^2 + b^2)*d) - (b*f*Tanh[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d^2) + (a*(e + f*x)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d)}
+{(e + f*x)^0*Sech[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 7, (a*(a^2 + 3*b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*(a^2 + b^2)^2*d) - (b^3*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) + (b^3*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) + (Sech[c + d*x]^2*(b + a*Sinh[c + d*x]))/(2*(a^2 + b^2)*d)}
+{Sech[c + d*x]^3/((e + f*x)^1*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sech[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m symbolic*)
+
+
+{x^m*Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[(x^m*Cosh[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x]}
+{x^m*Cosh[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[(x^m*Cosh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x]}
+{x^m*Cosh[c + d*x]^1/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[(x^m*Cosh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n / (a+b Sinh[c+d x])^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(e + f*x)^1*Cosh[c + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x])^2, x, 4, -((2*f*ArcTanh[(b - a*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2)) - (e + f*x)/(b*d*(a + b*Sinh[c + d*x]))}
+{(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x])^2, x, 9, (2*f*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (2*f*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (2*f^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (2*f^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (e + f*x)^2/(b*d*(a + b*Sinh[c + d*x]))}
+{(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x])^2, x, 11, (3*f*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (3*f*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (6*f^3*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) + (6*f^3*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) - (e + f*x)^3/(b*d*(a + b*Sinh[c + d*x]))}
+
+
+{((e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x])^2, x, 4, (-2*f*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (e + f*x)/(b*d*(a + b*Sinh[c + d*x]))}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x])^2, x, 9, (2*f*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (2*f*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (2*f^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (2*f^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (e + f*x)^2/(b*d*(a + b*Sinh[c + d*x]))}
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x])^2, x, 11, (3*f*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (3*f*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (6*f^3*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) + (6*f^3*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) - (e + f*x)^3/(b*d*(a + b*Sinh[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n / (a+b Sinh[c+d x])^3*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(e + f*x)^1*Cosh[c + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x])^3, x, 6, -((a*f*ArcTanh[(b - a*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2)) - (e + f*x)/(2*b*d*(a + b*Sinh[c + d*x])^2) - (f*Cosh[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d^2*(a + b*Sinh[c + d*x]))}
+{(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x])^3, x, 12, (a*f*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (a*f*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (f^2*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) + (a*f^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (a*f^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (e + f*x)^2/(2*b*d*(a + b*Sinh[c + d*x])^2) - (f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d^2*(a + b*Sinh[c + d*x]))}
+{(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x])^3, x, 19, -((3*f*(e + f*x)^2)/(2*b*(a^2 + b^2)*d^2)) + (3*f^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) + (3*a*f*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (3*f^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) - (3*a*f*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (3*f^3*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)*d^4) + (3*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (3*f^3*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)*d^4) - (3*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (3*a*f^3*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (3*a*f^3*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (e + f*x)^3/(2*b*d*(a + b*Sinh[c + d*x])^2) - (3*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d^2*(a + b*Sinh[c + d*x]))}
+
+
+{((e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x])^3, x, 6, -((a*f*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2)) - (e + f*x)/(2*b*d*(a + b*Sinh[c + d*x])^2) - (f*Cosh[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d^2*(a + b*Sinh[c + d*x]))}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x])^3, x, 12, (a*f*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (a*f*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (f^2*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) + (a*f^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (a*f^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (e + f*x)^2/(2*b*d*(a + b*Sinh[c + d*x])^2) - (f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d^2*(a + b*Sinh[c + d*x]))}
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x])^3, x, 19, (-3*f*(e + f*x)^2)/(2*b*(a^2 + b^2)*d^2) + (3*f^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) + (3*a*f*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (3*f^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) - (3*a*f*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (3*f^3*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)*d^4) + (3*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (3*f^3*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)*d^4) - (3*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (3*a*f^3*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (3*a*f^3*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (e + f*x)^3/(2*b*d*(a + b*Sinh[c + d*x])^2) - (3*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d^2*(a + b*Sinh[c + d*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n Sinh[c+d x]^p (a+b Sinh[c+d x])^q*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n Sinh[c+d x]^p / (a+b Sinh[c+d x])^1*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n Sinh[c+d x]^1 / (a+b Sinh[c+d x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 16, (a*(e + f*x)^4)/(4*b^2*f) - (6*f^3*Cosh[c + d*x])/(b*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(b*d^2) - (a*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*d) - (a*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*d) - (3*a*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^2) - (3*a*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^2) + (6*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^3) + (6*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^3) - (6*a*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^4) - (6*a*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^4) + (6*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b*d^3) + ((e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(b*d)}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 13, (a*(e + f*x)^3)/(3*b^2*f) - (2*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b*d^2) - (a*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*d) - (a*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*d) - (2*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^2) - (2*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^2) + (2*a*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^3) + (2*a*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^3) + (2*f^2*Sinh[c + d*x])/(b*d^3) + ((e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(b*d)}
+{((e + f*x)^1*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 10, (a*(e + f*x)^2)/(2*b^2*f) - (f*Cosh[c + d*x])/(b*d^2) - (a*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*d) - (a*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*d) - (a*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^2) - (a*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*d^2) + ((e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b*d)}
+{(Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 4, -((a*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(b^2*d)) + Sinh[c + d*x]/(b*d)}
+{(Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 23, (3*e*f^2*x)/(4*b*d^2) + (3*f^3*x^2)/(8*b*d^2) + (a^2*(e + f*x)^4)/(4*b^3*f) + (e + f*x)^4/(8*b*f) - (6*a*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x])/(b^2*d) - (3*f^3*Cosh[c + d*x]^2)/(8*b*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^2)/(4*b*d^2) - (a*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*d) + (a*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*d) - (3*a*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^2) + (3*a*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^2) + (6*a*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^3) - (6*a*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^3) - (6*a*Sqrt[a^2 + b^2]*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^4) + (6*a*Sqrt[a^2 + b^2]*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^4) + (6*a*f^3*Sinh[c + d*x])/(b^2*d^4) + (3*a*f*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(b^2*d^2) + (3*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b*d^3) + ((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b*d)}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 20, (f^2*x)/(4*b*d^2) + (a^2*(e + f*x)^3)/(3*b^3*f) + (e + f*x)^3/(6*b*f) - (2*a*f^2*Cosh[c + d*x])/(b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(b^2*d) - (f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2)/(2*b*d^2) - (a*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*d) + (a*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*d) - (2*a*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^2) + (2*a*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^2) + (2*a*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^3) - (2*a*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^3) + (2*a*f*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b^2*d^2) + (f^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b*d^3) + ((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b*d)}
+{((e + f*x)^1*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 15, (a^2*e*x)/b^3 + (e*x)/(2*b) + (a^2*f*x^2)/(2*b^3) + (f*x^2)/(4*b) - (a*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b^2*d) - (f*Cosh[c + d*x]^2)/(4*b*d^2) - (a*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*d) + (a*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*d) - (a*Sqrt[a^2 + b^2]*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^2) + (a*Sqrt[a^2 + b^2]*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^2) + (a*f*Sinh[c + d*x])/(b^2*d^2) + ((e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b*d)}
+{(Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 5, ((2*a^2 + b^2)*x)/(2*b^3) + (2*a*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b - a*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^3*d) - (Cosh[c + d*x]*(2*a - b*Sinh[c + d*x]))/(2*b^2*d)}
+{(Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 30, (-3*a*f^3*x)/(8*b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^3)/(4*b^2*d) + (a*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^4)/(4*b^4*f) - (6*a^2*f^3*Cosh[c + d*x])/(b^3*d^4) - (40*f^3*Cosh[c + d*x])/(9*b*d^4) - (3*a^2*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(b^3*d^2) - (2*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(b*d^2) - (2*f^3*Cosh[c + d*x]^3)/(27*b*d^4) - (f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^3)/(3*b*d^2) - (a*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^4*d) - (a*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^4*d) - (3*a*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^2) - (3*a*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^2) + (6*a*(a^2 + b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^3) + (6*a*(a^2 + b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^3) - (6*a*(a^2 + b^2)*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^4) - (6*a*(a^2 + b^2)*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^4) + (6*a^2*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b^3*d^3) + (40*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(9*b*d^3) + (a^2*(e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(b^3*d) + (2*(e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(3*b*d) + (3*a*f^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*b^2*d^4) + (3*a*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b^2*d^2) + (2*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(9*b*d^3) + ((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(3*b*d) - (3*a*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(4*b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^3*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^2*d)}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 23, -(a*e*f*x)/(2*b^2*d) - (a*f^2*x^2)/(4*b^2*d) + (a*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^3)/(3*b^4*f) - (2*a^2*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b^3*d^2) - (4*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(3*b*d^2) - (2*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^3)/(9*b*d^2) - (a*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^4*d) - (a*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^4*d) - (2*a*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^2) - (2*a*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^2) + (2*a*(a^2 + b^2)*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^3) + (2*a*(a^2 + b^2)*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^3) + (2*a^2*f^2*Sinh[c + d*x])/(b^3*d^3) + (14*f^2*Sinh[c + d*x])/(9*b*d^3) + (a^2*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(b^3*d) + (2*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(3*b*d) + (a*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b^2*d^2) + ((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(3*b*d) - (a*f^2*Sinh[c + d*x]^2)/(4*b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^2*d) + (2*f^2*Sinh[c + d*x]^3)/(27*b*d^3)}
+{((e + f*x)^1*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 17, -(a*f*x)/(4*b^2*d) + (a*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^2)/(2*b^4*f) - (a^2*f*Cosh[c + d*x])/(b^3*d^2) - (2*f*Cosh[c + d*x])/(3*b*d^2) - (f*Cosh[c + d*x]^3)/(9*b*d^2) - (a*(a^2 + b^2)*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^4*d) - (a*(a^2 + b^2)*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^4*d) - (a*(a^2 + b^2)*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^2) - (a*(a^2 + b^2)*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^2) + (a^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b^3*d) + (2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(3*b*d) + (a*f*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b^2*d^2) + ((e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(3*b*d) - (a*(e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^2*d)}
+{(Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 4, -((a*(a^2 + b^2)*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(b^4*d)) + ((a^2 + b^2)*Sinh[c + d*x])/(b^3*d) - (a*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^2*d) + Sinh[c + d*x]^3/(3*b*d)}
+{(Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Tanh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 39, (2*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*d) - (2*a^2*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d) - (a*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)*d) - (a*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)*d) + (a*(e + f*x)^3*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)*d) - (3*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^2) + (3*I*a^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) + (3*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b*d^2) - (3*I*a^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) - (3*a*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^2) - (3*a*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^2) + (3*a*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*(a^2 + b^2)*d^2) + (6*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^3) - (6*I*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) - (6*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b*d^3) + (6*I*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) + (6*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^3) + (6*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^3) - (3*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*(a^2 + b^2)*d^3) - (6*I*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^4) + (6*I*a^2*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^4) + (6*I*f^3*PolyLog[4, I*E^(c + d*x)])/(b*d^4) - (6*I*a^2*f^3*PolyLog[4, I*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^4) - (6*a*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^4) - (6*a*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^4) + (3*a*f^3*PolyLog[4, -E^(2*(c + d*x))])/(4*(a^2 + b^2)*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Tanh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 32, (2*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*d) - (2*a^2*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d) - (a*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)*d) - (a*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)*d) + (a*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)*d) - (2*I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^2) + (2*I*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b*d^2) - (2*I*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^2) - (2*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^2) + (a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)*d^2) + (2*I*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^3) - (2*I*a^2*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) - (2*I*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b*d^3) + (2*I*a^2*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*a*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^3) + (2*a*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^3) - (a*f^2*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*(a^2 + b^2)*d^3)}
+{((e + f*x)^1*Tanh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 25, (2*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*d) - (2*a^2*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d) - (a*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)*d) - (a*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)*d) + (a*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)*d) - (I*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^2) + (I*a^2*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) + (I*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b*d^2) - (I*a^2*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) - (a*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^2) - (a*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)*d^2) + (a*f*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*(a^2 + b^2)*d^2)}
+{Tanh[c + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 6, (b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) + (a*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) - (a*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d)}
+{Tanh[c + d*x]/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Tanh[c + d*x]/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 36, (e + f*x)^3/(b*d) - (a^2*(e + f*x)^3)/(b*(a^2 + b^2)*d) + (6*a*f*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) - (a*b*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (a*b*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (3*f*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b*d^2) + (3*a^2*f*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) - (6*I*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) + (6*I*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) - (3*a*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (3*a*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(b*d^3) + (3*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) + (6*I*a*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^4) - (6*I*a*f^3*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^4) + (6*a*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (6*a*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (3*f^3*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b*d^4) - (3*a^2*f^3*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b*(a^2 + b^2)*d^4) - (6*a*b*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (6*a*b*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (a*(e + f*x)^3*Sech[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d) + ((e + f*x)^3*Tanh[c + d*x])/(b*d) - (a^2*(e + f*x)^3*Tanh[c + d*x])/(b*(a^2 + b^2)*d)}
+{((e + f*x)^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 30, (e + f*x)^2/(b*d) - (a^2*(e + f*x)^2)/(b*(a^2 + b^2)*d) + (4*a*f*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) - (a*b*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (a*b*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (2*f*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b*d^2) + (2*a^2*f*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*I*a*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) + (2*I*a*f^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) - (2*a*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (2*a*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (f^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(b*d^3) + (a^2*f^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*a*b*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (2*a*b*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (a*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d) + ((e + f*x)^2*Tanh[c + d*x])/(b*d) - (a^2*(e + f*x)^2*Tanh[c + d*x])/(b*(a^2 + b^2)*d)}
+{((e + f*x)^1*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 18, (a*f*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d^2) - (a*b*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (a*b*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (f*Log[Cosh[c + d*x]])/(b*d^2) + (a^2*f*Log[Cosh[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) - (a*b*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (a*b*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (a*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d) + ((e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(b*d) - (a^2*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(b*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 5, (2*a*b*ArcTanh[(b - a*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (Sech[c + d*x]*(a - b*Sinh[c + d*x]))/((a^2 + b^2)*d)}
+{(Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 49, ((e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*d) - (2*a^2*b*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d) - (a^2*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d) - (f^2*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(b*d^3) + (a^2*f^2*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) - (a*b^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^2*d) - (a*b^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a*b^2*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)^2*d) - (a*f^2*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d^3) - (I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^2) + (2*I*a^2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (I*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) + (I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b*d^2) - (2*I*a^2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (I*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*a*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (2*a*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (a*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (I*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^3) - (2*I*a^2*b*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^3) - (I*a^2*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) - (I*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b*d^3) + (2*I*a^2*b*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^3) + (I*a^2*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*a*b^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) + (2*a*b^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) - (a*b^2*f^2*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*(a^2 + b^2)^2*d^3) + (f*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(b*d^2) - (a^2*f*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) - (a*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^2)/(2*(a^2 + b^2)*d) + (a*f*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d^2) + ((e + f*x)^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b*d) - (a^2*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b*(a^2 + b^2)*d)}
+{((e + f*x^1)*Sech[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 38, ((e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*d) - (2*a^2*b*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d) - (a^2*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d) - (a*b^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^2*d) - (a*b^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a*b^2*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)^2*d) - (I*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(2*b*d^2) + (I*a^2*b*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (I*a^2*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(2*b*(a^2 + b^2)*d^2) + (I*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(2*b*d^2) - (I*a^2*b*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (I*a^2*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(2*b*(a^2 + b^2)*d^2) - (a*b^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (a*b^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (a*b^2*f*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (f*Sech[c + d*x])/(2*b*d^2) - (a^2*f*Sech[c + d*x])/(2*b*(a^2 + b^2)*d^2) - (a*(e + f*x)*Sech[c + d*x]^2)/(2*(a^2 + b^2)*d) + (a*f*Tanh[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d^2) + ((e + f*x)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b*d) - (a^2*(e + f*x)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Sech[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 8, -(b*(a^2 - b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*(a^2 + b^2)^2*d) + (a*b^2*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) - (a*b^2*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) - (Sech[c + d*x]^2*(a - b*Sinh[c + d*x]))/(2*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Sech[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Sech[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n Sinh[c+d x]^2 / (a+b Sinh[c+d x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 22, (3*f^3*x)/(8*b*d^3) + (e + f*x)^3/(4*b*d) - (a^2*(e + f*x)^4)/(4*b^3*f) + (6*a*f^3*Cosh[c + d*x])/(b^2*d^4) + (3*a*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(b^2*d^2) + (a^2*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*d) + (a^2*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*d) + (3*a^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^2) + (3*a^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^2) - (6*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^3) - (6*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^3) + (6*a^2*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^4) + (6*a^2*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^4) - (6*a*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(b^2*d) - (3*f^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*b*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b*d^2) + (3*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(4*b*d^3) + ((e + f*x)^3*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b*d)}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 17, (e*f*x)/(2*b*d) + (f^2*x^2)/(4*b*d) - (a^2*(e + f*x)^3)/(3*b^3*f) + (2*a*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b^2*d^2) + (a^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*d) + (a^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*d) + (2*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^2) + (2*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^2) - (2*a^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^3) - (2*a^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^3) - (2*a*f^2*Sinh[c + d*x])/(b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(b^2*d) - (f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b*d^2) + (f^2*Sinh[c + d*x]^2)/(4*b*d^3) + ((e + f*x)^2*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b*d)}
+{((e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 14, (f*x)/(4*b*d) - (a^2*(e + f*x)^2)/(2*b^3*f) + (a*f*Cosh[c + d*x])/(b^2*d^2) + (a^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*d) + (a^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^3*d) + (a^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^2) + (a^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^3*d^2) - (a*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b^2*d) - (f*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b*d^2) + ((e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b*d)}
+{(Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 4, (a^2*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(b^3*d) - (a*Sinh[c + d*x])/(b^2*d) + Sinh[c + d*x]^2/(2*b*d)}
+{(Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 31, (-3*a*e*f^2*x)/(4*b^2*d^2) - (3*a*f^3*x^2)/(8*b^2*d^2) - (a^3*(e + f*x)^4)/(4*b^4*f) - (a*(e + f*x)^4)/(8*b^2*f) + (6*a^2*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b^3*d^3) + (4*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(3*b*d^3) + (a^2*(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x])/(b^3*d) + (3*a*f^3*Cosh[c + d*x]^2)/(8*b^2*d^4) + (3*a*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^2)/(4*b^2*d^2) + (2*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^3)/(9*b*d^3) + ((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^3)/(3*b*d) + (a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^4*d) - (a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^4*d) + (3*a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^2) - (3*a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^2) - (6*a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^3) + (6*a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^3) + (6*a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^4) - (6*a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^4) - (6*a^2*f^3*Sinh[c + d*x])/(b^3*d^4) - (14*f^3*Sinh[c + d*x])/(9*b*d^4) - (3*a^2*f*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(b^3*d^2) - (2*f*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(3*b*d^2) - (3*a*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b^2*d) - (f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(3*b*d^2) - (2*f^3*Sinh[c + d*x]^3)/(27*b*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 25, -(a*f^2*x)/(4*b^2*d^2) - (a^3*(e + f*x)^3)/(3*b^4*f) - (a*(e + f*x)^3)/(6*b^2*f) + (2*a^2*f^2*Cosh[c + d*x])/(b^3*d^3) + (4*f^2*Cosh[c + d*x])/(9*b*d^3) + (a^2*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(b^3*d) + (a*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2)/(2*b^2*d^2) + (2*f^2*Cosh[c + d*x]^3)/(27*b*d^3) + ((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^3)/(3*b*d) + (a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^4*d) - (a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^4*d) + (2*a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^2) - (2*a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^2) - (2*a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^3) + (2*a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^3) - (2*a^2*f*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b^3*d^2) - (4*f*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(9*b*d^2) - (a*f^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b^2*d) - (2*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(9*b*d^2)}
+{((e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 19, -((a^3*e*x)/b^4) - (a*e*x)/(2*b^2) - (a^3*f*x^2)/(2*b^4) - (a*f*x^2)/(4*b^2) + (a^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b^3*d) + (a*f*Cosh[c + d*x]^2)/(4*b^2*d^2) + ((e + f*x)*Cosh[c + d*x]^3)/(3*b*d) + (a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^4*d) - (a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^4*d) + (a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^2) - (a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^2) - (a^2*f*Sinh[c + d*x])/(b^3*d^2) - (f*Sinh[c + d*x])/(3*b*d^2) - (a*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b^2*d) - (f*Sinh[c + d*x]^3)/(9*b*d^2)}
+{(Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 8, -(a*(2*a^2 + b^2)*x)/(2*b^4) - (2*a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^4*d) + ((3*a^2 + b^2)*Cosh[c + d*x])/(3*b^3*d) - (a*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b^2*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^2)/(3*b*d)}
+{(Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 40, (3*a^2*f^3*x)/(8*b^3*d^3) - (45*f^3*x)/(256*b*d^3) + (a^2*(e + f*x)^3)/(4*b^3*d) - (3*(e + f*x)^3)/(32*b*d) - (a^2*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^4)/(4*b^5*f) + (6*a^3*f^3*Cosh[c + d*x])/(b^4*d^4) + (40*a*f^3*Cosh[c + d*x])/(9*b^2*d^4) + (3*a^3*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(b^4*d^2) + (2*a*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(b^2*d^2) + (9*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2)/(32*b*d^3) + (2*a*f^3*Cosh[c + d*x]^3)/(27*b^2*d^4) + (a*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^3)/(3*b^2*d^2) + (3*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^4)/(32*b*d^3) + ((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^4)/(4*b*d) + (a^2*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^5*d) + (a^2*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^5*d) + (3*a^2*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^2) + (3*a^2*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^2) - (6*a^2*(a^2 + b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^3) - (6*a^2*(a^2 + b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^3) + (6*a^2*(a^2 + b^2)*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^4) + (6*a^2*(a^2 + b^2)*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^4) - (6*a^3*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b^4*d^3) - (40*a*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(9*b^2*d^3) - (a^3*(e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(b^4*d) - (2*a*(e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(3*b^2*d) - (3*a^2*f^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*b^3*d^4) - (45*f^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(256*b*d^4) - (3*a^2*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b^3*d^2) - (9*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(32*b*d^2) - (2*a*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(9*b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(3*b^2*d) - (3*f^3*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(128*b*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(16*b*d^2) + (3*a^2*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(4*b^3*d^3) + (a^2*(e + f*x)^3*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^3*d)}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 28, (a^2*e*f*x)/(2*b^3*d) - (3*e*f*x)/(16*b*d) + (a^2*f^2*x^2)/(4*b^3*d) - (3*f^2*x^2)/(32*b*d) - (a^2*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^3)/(3*b^5*f) + (2*a^3*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b^4*d^2) + (4*a*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(3*b^2*d^2) + (3*f^2*Cosh[c + d*x]^2)/(32*b*d^3) + (2*a*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^3)/(9*b^2*d^2) + (f^2*Cosh[c + d*x]^4)/(32*b*d^3) + ((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^4)/(4*b*d) + (a^2*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^5*d) + (a^2*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^5*d) + (2*a^2*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^2) + (2*a^2*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^2) - (2*a^2*(a^2 + b^2)*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^3) - (2*a^2*(a^2 + b^2)*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^3) - (2*a^3*f^2*Sinh[c + d*x])/(b^4*d^3) - (14*a*f^2*Sinh[c + d*x])/(9*b^2*d^3) - (a^3*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(b^4*d) - (2*a*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(3*b^2*d) - (a^2*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b^3*d^2) - (3*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(16*b*d^2) - (a*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(3*b^2*d) - (f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(8*b*d^2) + (a^2*f^2*Sinh[c + d*x]^2)/(4*b^3*d^3) + (a^2*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^3*d) - (2*a*f^2*Sinh[c + d*x]^3)/(27*b^2*d^3)}
+{((e + f*x)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 22, (a^2*f*x)/(4*b^3*d) - (3*f*x)/(32*b*d) - (a^2*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^2)/(2*b^5*f) + (a^3*f*Cosh[c + d*x])/(b^4*d^2) + (2*a*f*Cosh[c + d*x])/(3*b^2*d^2) + (a*f*Cosh[c + d*x]^3)/(9*b^2*d^2) + ((e + f*x)*Cosh[c + d*x]^4)/(4*b*d) + (a^2*(a^2 + b^2)*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^5*d) + (a^2*(a^2 + b^2)*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^5*d) + (a^2*(a^2 + b^2)*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^2) + (a^2*(a^2 + b^2)*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^2) - (a^3*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b^4*d) - (2*a*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(3*b^2*d) - (a^2*f*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b^3*d^2) - (3*f*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(32*b*d^2) - (a*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(3*b^2*d) - (f*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(16*b*d^2) + (a^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^3*d)}
+{(Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 4, (a^2*(a^2 + b^2)*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(b^5*d) - (a*(a^2 + b^2)*Sinh[c + d*x])/(b^4*d) + ((a^2 + b^2)*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^3*d) - (a*Sinh[c + d*x]^3)/(3*b^2*d) + Sinh[c + d*x]^4/(4*b*d)}
+{(Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 46, -((e + f*x)^4/(4*b*f)) - (2*a*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^2*d) + (2*a^3*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + (a^2*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)*d) + (a^2*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)*d) + ((e + f*x)^3*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b*d) - (a^2*(e + f*x)^3*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b*(a^2 + b^2)*d) + (3*I*a*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*d^2) - (3*I*a^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (3*I*a*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^2*d^2) + (3*I*a^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (3*a^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) + (3*a^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b*d^2) - (3*a^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b*(a^2 + b^2)*d^2) - (6*I*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*d^3) + (6*I*a^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (6*I*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b^2*d^3) - (6*I*a^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (6*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) - (6*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) - (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b*d^3) + (3*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b*(a^2 + b^2)*d^3) + (6*I*a*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*d^4) - (6*I*a^3*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^4) - (6*I*a*f^3*PolyLog[4, I*E^(c + d*x)])/(b^2*d^4) + (6*I*a^3*f^3*PolyLog[4, I*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^4) + (6*a^2*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)*d^4) + (6*a^2*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)*d^4) + (3*f^3*PolyLog[4, -E^(2*(c + d*x))])/(4*b*d^4) - (3*a^2*f^3*PolyLog[4, -E^(2*(c + d*x))])/(4*b*(a^2 + b^2)*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 38, -((e + f*x)^3/(3*b*f)) - (2*a*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^2*d) + (2*a^3*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + (a^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)*d) + (a^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)*d) + ((e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b*d) - (a^2*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b*(a^2 + b^2)*d) + (2*I*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*d^2) - (2*I*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*I*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^2*d^2) + (2*I*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) + (f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(b*d^2) - (a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*I*a*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*d^3) + (2*I*a^3*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*I*a*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b^2*d^3) - (2*I*a^3*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (2*a^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) - (2*a^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) - (f^2*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b*d^3) + (a^2*f^2*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b*(a^2 + b^2)*d^3)}
+{((e + f*x)*Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 30, -((e + f*x)^2/(2*b*f)) - (2*a*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^2*d) + (2*a^3*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + (a^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)*d) + (a^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)*d) + ((e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b*d) - (a^2*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b*(a^2 + b^2)*d) + (I*a*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*d^2) - (I*a^3*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (I*a*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^2*d^2) + (I*a^3*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (a^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) + (a^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) + (f*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b*d^2) - (a^2*f*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b*(a^2 + b^2)*d^2)}
+{(Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 7, -((a*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d)) + (b*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) + (a^2*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Tanh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 45, -((a*(e + f*x)^3)/(b^2*d)) + (a^3*(e + f*x)^3)/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + (6*f*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*d^2) - (6*a^2*f*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) + (a^2*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (a^2*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (3*a*f*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b^2*d^2) - (3*a^3*f*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (6*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^3) + (6*I*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) + (6*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b*d^3) - (6*I*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) + (3*a^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (3*a^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (3*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(b^2*d^3) - (3*a^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (6*I*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^4) - (6*I*a^2*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^4) - (6*I*f^3*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b*d^4) + (6*I*a^2*f^3*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^4) - (6*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (6*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (3*a*f^3*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b^2*d^4) + (3*a^3*f^3*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b^2*(a^2 + b^2)*d^4) + (6*a^2*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (6*a^2*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - ((e + f*x)^3*Sech[c + d*x])/(b*d) + (a^2*(e + f*x)^3*Sech[c + d*x])/(b*(a^2 + b^2)*d) - (a*(e + f*x)^3*Tanh[c + d*x])/(b^2*d) + (a^3*(e + f*x)^3*Tanh[c + d*x])/(b^2*(a^2 + b^2)*d)}
+{((e + f*x)^2*Tanh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 37, -((a*(e + f*x)^2)/(b^2*d)) + (a^3*(e + f*x)^2)/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + (4*f*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*d^2) - (4*a^2*f*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) + (a^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (a^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (2*a*f*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b^2*d^2) - (2*a^3*f*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*I*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^3) + (2*I*a^2*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*I*f^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b*d^3) - (2*I*a^2*f^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (2*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (a*f^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(b^2*d^3) - (a^3*f^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (2*a^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (2*a^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - ((e + f*x)^2*Sech[c + d*x])/(b*d) + (a^2*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x])/(b*(a^2 + b^2)*d) - (a*(e + f*x)^2*Tanh[c + d*x])/(b^2*d) + (a^3*(e + f*x)^2*Tanh[c + d*x])/(b^2*(a^2 + b^2)*d)}
+{((e + f*x)*Tanh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 21, (f*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(b*d^2) - (a^2*f*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) + (a^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (a^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (a*f*Log[Cosh[c + d*x]])/(b^2*d^2) - (a^3*f*Log[Cosh[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (a^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (a^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - ((e + f*x)*Sech[c + d*x])/(b*d) + (a^2*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(b*(a^2 + b^2)*d) - (a*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(b^2*d) + (a^3*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(b^2*(a^2 + b^2)*d)}
+{Tanh[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 8, (-2*a^2*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (b*Sech[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d) - (a*Tanh[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d)}
+{Tanh[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Tanh[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 53, -((a*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^2*d)) + (2*a^3*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a^3*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + (a*f^2*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(b^2*d^3) - (a^3*f^2*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (a^2*b*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a^2*b*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^2*d) - (a^2*b*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)^2*d) - (f^2*Log[Cosh[c + d*x]])/(b*d^3) + (a^2*f^2*Log[Cosh[c + d*x]])/(b*(a^2 + b^2)*d^3) + (I*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*d^2) - (2*I*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (I*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (I*a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^2*d^2) + (2*I*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (I*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*a^2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (2*a^2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (a^2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (I*a*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*d^3) + (2*I*a^3*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^3) + (I*a^3*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (I*a*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b^2*d^3) - (2*I*a^3*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^3) - (I*a^3*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (2*a^2*b*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) - (2*a^2*b*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) + (a^2*b*f^2*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*(a^2 + b^2)^2*d^3) - (a*f*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(b^2*d^2) + (a^3*f*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) - ((e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^2)/(2*b*d) + (a^2*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^2)/(2*b*(a^2 + b^2)*d) + (f*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(b*d^2) - (a^2*f*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(b*(a^2 + b^2)*d^2) - (a*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b^2*d) + (a^3*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 + b^2)*d)}
+{((e + f*x)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 42, -((a*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^2*d)) + (2*a^3*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a^3*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + (a^2*b*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a^2*b*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^2*d) - (a^2*b*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)^2*d) + (I*a*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(2*b^2*d^2) - (I*a^3*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (I*a^3*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(2*b^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (I*a*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(2*b^2*d^2) + (I*a^3*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (I*a^3*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(2*b^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (a^2*b*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (a^2*b*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (a^2*b*f*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (a*f*Sech[c + d*x])/(2*b^2*d^2) + (a^3*f*Sech[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 + b^2)*d^2) - ((e + f*x)*Sech[c + d*x]^2)/(2*b*d) + (a^2*(e + f*x)*Sech[c + d*x]^2)/(2*b*(a^2 + b^2)*d) + (f*Tanh[c + d*x])/(2*b*d^2) - (a^2*f*Tanh[c + d*x])/(2*b*(a^2 + b^2)*d^2) - (a*(e + f*x)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b^2*d) + (a^3*(e + f*x)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 8, (a*(a^2 - b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*(a^2 + b^2)^2*d) - (a^2*b*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a^2*b*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) - (Sech[c + d*x]^2*(b + a*Sinh[c + d*x]))/(2*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n Sinh[c+d x]^3 / (a+b Sinh[c+d x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 30, (-3*a*f^3*x)/(8*b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^3)/(4*b^2*d) + (a^3*(e + f*x)^4)/(4*b^4*f) - (6*a^2*f^3*Cosh[c + d*x])/(b^3*d^4) + (14*f^3*Cosh[c + d*x])/(9*b*d^4) - (3*a^2*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(b^3*d^2) + (2*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(3*b*d^2) - (2*f^3*Cosh[c + d*x]^3)/(27*b*d^4) - (a^3*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^4*d) - (a^3*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^4*d) - (3*a^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^2) - (3*a^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^2) + (6*a^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^3) + (6*a^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^3) - (6*a^3*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^4) - (6*a^3*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^4) + (6*a^2*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b^3*d^3) - (4*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(3*b*d^3) + (a^2*(e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(b^3*d) + (3*a*f^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*b^2*d^4) + (3*a*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b^2*d^2) - (3*a*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(4*b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^3*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^2*d) - (f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^2)/(3*b*d^2) + (2*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x]^3)/(9*b*d^3) + ((e + f*x)^3*Sinh[c + d*x]^3)/(3*b*d)}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 22, -(a*e*f*x)/(2*b^2*d) - (a*f^2*x^2)/(4*b^2*d) + (a^3*(e + f*x)^3)/(3*b^4*f) - (2*a^2*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b^3*d^2) + (4*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(9*b*d^2) - (a^3*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^4*d) - (a^3*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^4*d) - (2*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^2) - (2*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^2) + (2*a^3*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^3) + (2*a^3*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^3) + (2*a^2*f^2*Sinh[c + d*x])/(b^3*d^3) - (4*f^2*Sinh[c + d*x])/(9*b*d^3) + (a^2*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(b^3*d) + (a*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b^2*d^2) - (a*f^2*Sinh[c + d*x]^2)/(4*b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^2*d) - (2*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^2)/(9*b*d^2) + (2*f^2*Sinh[c + d*x]^3)/(27*b*d^3) + ((e + f*x)^2*Sinh[c + d*x]^3)/(3*b*d)}
+{((e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 18, -(a*f*x)/(4*b^2*d) + (a^3*(e + f*x)^2)/(2*b^4*f) - (a^2*f*Cosh[c + d*x])/(b^3*d^2) + (f*Cosh[c + d*x])/(3*b*d^2) - (f*Cosh[c + d*x]^3)/(9*b*d^2) - (a^3*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^4*d) - (a^3*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^4*d) - (a^3*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^2) - (a^3*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^4*d^2) + (a^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b^3*d) + (a*f*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b^2*d^2) - (a*(e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^2*d) + ((e + f*x)*Sinh[c + d*x]^3)/(3*b*d)}
+{(Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 4, -((a^3*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(b^4*d)) + (a^2*Sinh[c + d*x])/(b^3*d) - (a*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^2*d) + Sinh[c + d*x]^3/(3*b*d)}
+{(Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 38, (3*a^2*e*f^2*x)/(4*b^3*d^2) + (3*a^2*f^3*x^2)/(8*b^3*d^2) + (a^4*(e + f*x)^4)/(4*b^5*f) + (a^2*(e + f*x)^4)/(8*b^3*f) - (e + f*x)^4/(32*b*f) - (6*a^3*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b^4*d^3) - (4*a*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(3*b^2*d^3) - (a^3*(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x])/(b^4*d) - (3*a^2*f^3*Cosh[c + d*x]^2)/(8*b^3*d^4) - (3*a^2*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^2)/(4*b^3*d^2) - (2*a*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^3)/(9*b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^3)/(3*b^2*d) - (3*f^3*Cosh[4*c + 4*d*x])/(1024*b*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Cosh[4*c + 4*d*x])/(128*b*d^2) - (a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^5*d) + (a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^5*d) - (3*a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^2) + (3*a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^2) + (6*a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^3) - (6*a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^3) - (6*a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^4) + (6*a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^4) + (6*a^3*f^3*Sinh[c + d*x])/(b^4*d^4) + (14*a*f^3*Sinh[c + d*x])/(9*b^2*d^4) + (3*a^3*f*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(b^4*d^2) + (2*a*f*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(3*b^2*d^2) + (3*a^2*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b^3*d^3) + (a^2*(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b^3*d) + (a*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(3*b^2*d^2) + (2*a*f^3*Sinh[c + d*x]^3)/(27*b^2*d^4) + (3*f^2*(e + f*x)*Sinh[4*c + 4*d*x])/(256*b*d^3) + ((e + f*x)^3*Sinh[4*c + 4*d*x])/(32*b*d)}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 31, (a^2*f^2*x)/(4*b^3*d^2) + (a^4*(e + f*x)^3)/(3*b^5*f) + (a^2*(e + f*x)^3)/(6*b^3*f) - (e + f*x)^3/(24*b*f) - (2*a^3*f^2*Cosh[c + d*x])/(b^4*d^3) - (4*a*f^2*Cosh[c + d*x])/(9*b^2*d^3) - (a^3*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(b^4*d) - (a^2*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2)/(2*b^3*d^2) - (2*a*f^2*Cosh[c + d*x]^3)/(27*b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^3)/(3*b^2*d) - (f*(e + f*x)*Cosh[4*c + 4*d*x])/(64*b*d^2) - (a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^5*d) + (a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^5*d) - (2*a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^2) + (2*a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^2) + (2*a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^3) - (2*a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^3) + (2*a^3*f*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b^4*d^2) + (4*a*f*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(9*b^2*d^2) + (a^2*f^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b^3*d^3) + (a^2*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b^3*d) + (2*a*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(9*b^2*d^2) + (f^2*Sinh[4*c + 4*d*x])/(256*b*d^3) + ((e + f*x)^2*Sinh[4*c + 4*d*x])/(32*b*d)}
+{((e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 24, (a^4*e*x)/b^5 + (a^2*e*x)/(2*b^3) + (a^4*f*x^2)/(2*b^5) + (a^2*f*x^2)/(4*b^3) - (e + f*x)^2/(16*b*f) - (a^3*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b^4*d) - (a^2*f*Cosh[c + d*x]^2)/(4*b^3*d^2) - (a*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^3)/(3*b^2*d) - (f*Cosh[4*c + 4*d*x])/(128*b*d^2) - (a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^5*d) + (a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^5*d) - (a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^2) + (a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^5*d^2) + (a^3*f*Sinh[c + d*x])/(b^4*d^2) + (a*f*Sinh[c + d*x])/(3*b^2*d^2) + (a^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b^3*d) + (a*f*Sinh[c + d*x]^3)/(9*b^2*d^2) + ((e + f*x)*Sinh[4*c + 4*d*x])/(32*b*d)}
+{(Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 9, ((8*a^4 + 4*a^2*b^2 - b^4)*x)/(8*b^5) + (2*a^3*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^5*d) - (a*(3*a^2 + b^2)*Cosh[c + d*x])/(3*b^4*d) + ((4*a^2 + b^2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*b^3*d) - (a*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^2)/(3*b^2*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(4*b*d)}
+{(Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x]^3)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x]^3)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 55, (-3*a^3*f^3*x)/(8*b^4*d^3) + (45*a*f^3*x)/(256*b^2*d^3) - (a^3*(e + f*x)^3)/(4*b^4*d) + (3*a*(e + f*x)^3)/(32*b^2*d) + (a^3*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^4)/(4*b^6*f) - (6*a^4*f^3*Cosh[c + d*x])/(b^5*d^4) - (40*a^2*f^3*Cosh[c + d*x])/(9*b^3*d^4) + (3*f^3*Cosh[c + d*x])/(4*b*d^4) - (3*a^4*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(b^5*d^2) - (2*a^2*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(b^3*d^2) + (3*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(8*b*d^2) - (9*a*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2)/(32*b^2*d^3) - (2*a^2*f^3*Cosh[c + d*x]^3)/(27*b^3*d^4) - (a^2*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^3)/(3*b^3*d^2) - (3*a*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^4)/(32*b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^4)/(4*b^2*d) - (f^3*Cosh[3*c + 3*d*x])/(216*b*d^4) - (f*(e + f*x)^2*Cosh[3*c + 3*d*x])/(48*b*d^2) - (3*f^3*Cosh[5*c + 5*d*x])/(5000*b*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Cosh[5*c + 5*d*x])/(400*b*d^2) - (a^3*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^6*d) - (a^3*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^6*d) - (3*a^3*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^6*d^2) - (3*a^3*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^6*d^2) + (6*a^3*(a^2 + b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^6*d^3) + (6*a^3*(a^2 + b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^6*d^3) - (6*a^3*(a^2 + b^2)*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^6*d^4) - (6*a^3*(a^2 + b^2)*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^6*d^4) + (6*a^4*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b^5*d^3) + (40*a^2*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(9*b^3*d^3) - (3*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(4*b*d^3) + (a^4*(e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(b^5*d) + (2*a^2*(e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(3*b^3*d) - ((e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(8*b*d) + (3*a^3*f^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*b^4*d^4) + (45*a*f^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(256*b^2*d^4) + (3*a^3*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b^4*d^2) + (9*a*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(32*b^2*d^2) + (2*a^2*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(9*b^3*d^3) + (a^2*(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(3*b^3*d) + (3*a*f^3*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(128*b^2*d^4) + (3*a*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(16*b^2*d^2) - (3*a^3*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(4*b^4*d^3) - (a^3*(e + f*x)^3*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^4*d) + (f^2*(e + f*x)*Sinh[3*c + 3*d*x])/(72*b*d^3) + ((e + f*x)^3*Sinh[3*c + 3*d*x])/(48*b*d) + (3*f^2*(e + f*x)*Sinh[5*c + 5*d*x])/(1000*b*d^3) + ((e + f*x)^3*Sinh[5*c + 5*d*x])/(80*b*d)}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 40, -(a^3*e*f*x)/(2*b^4*d) + (3*a*e*f*x)/(16*b^2*d) - (a^3*f^2*x^2)/(4*b^4*d) + (3*a*f^2*x^2)/(32*b^2*d) + (a^3*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^3)/(3*b^6*f) - (2*a^4*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b^5*d^2) - (4*a^2*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(3*b^3*d^2) + (f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(4*b*d^2) - (3*a*f^2*Cosh[c + d*x]^2)/(32*b^2*d^3) - (2*a^2*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^3)/(9*b^3*d^2) - (a*f^2*Cosh[c + d*x]^4)/(32*b^2*d^3) - (a*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^4)/(4*b^2*d) - (f*(e + f*x)*Cosh[3*c + 3*d*x])/(72*b*d^2) - (f*(e + f*x)*Cosh[5*c + 5*d*x])/(200*b*d^2) - (a^3*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^6*d) - (a^3*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^6*d) - (2*a^3*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^6*d^2) - (2*a^3*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^6*d^2) + (2*a^3*(a^2 + b^2)*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^6*d^3) + (2*a^3*(a^2 + b^2)*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^6*d^3) + (2*a^4*f^2*Sinh[c + d*x])/(b^5*d^3) + (14*a^2*f^2*Sinh[c + d*x])/(9*b^3*d^3) - (f^2*Sinh[c + d*x])/(4*b*d^3) + (a^4*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(b^5*d) + (2*a^2*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(3*b^3*d) - ((e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(8*b*d) + (a^3*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b^4*d^2) + (3*a*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(16*b^2*d^2) + (a^2*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(3*b^3*d) + (a*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(8*b^2*d^2) - (a^3*f^2*Sinh[c + d*x]^2)/(4*b^4*d^3) - (a^3*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^4*d) + (2*a^2*f^2*Sinh[c + d*x]^3)/(27*b^3*d^3) + (f^2*Sinh[3*c + 3*d*x])/(216*b*d^3) + ((e + f*x)^2*Sinh[3*c + 3*d*x])/(48*b*d) + (f^2*Sinh[5*c + 5*d*x])/(1000*b*d^3) + ((e + f*x)^2*Sinh[5*c + 5*d*x])/(80*b*d)}
+{((e + f*x)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 31, -(a^3*f*x)/(4*b^4*d) + (3*a*f*x)/(32*b^2*d) + (a^3*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^2)/(2*b^6*f) - (a^4*f*Cosh[c + d*x])/(b^5*d^2) - (2*a^2*f*Cosh[c + d*x])/(3*b^3*d^2) + (f*Cosh[c + d*x])/(8*b*d^2) - (a^2*f*Cosh[c + d*x]^3)/(9*b^3*d^2) - (a*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^4)/(4*b^2*d) - (f*Cosh[3*c + 3*d*x])/(144*b*d^2) - (f*Cosh[5*c + 5*d*x])/(400*b*d^2) - (a^3*(a^2 + b^2)*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^6*d) - (a^3*(a^2 + b^2)*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^6*d) - (a^3*(a^2 + b^2)*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^6*d^2) - (a^3*(a^2 + b^2)*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^6*d^2) + (a^4*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b^5*d) + (2*a^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(3*b^3*d) - ((e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(8*b*d) + (a^3*f*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b^4*d^2) + (3*a*f*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(32*b^2*d^2) + (a^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(3*b^3*d) + (a*f*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(16*b^2*d^2) - (a^3*(e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^4*d) + ((e + f*x)*Sinh[3*c + 3*d*x])/(48*b*d) + ((e + f*x)*Sinh[5*c + 5*d*x])/(80*b*d)}
+{(Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 4, -((a^3*(a^2 + b^2)*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(b^6*d)) + (a^2*(a^2 + b^2)*Sinh[c + d*x])/(b^5*d) - (a*(a^2 + b^2)*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^4*d) + ((a^2 + b^2)*Sinh[c + d*x]^3)/(3*b^3*d) - (a*Sinh[c + d*x]^4)/(4*b^2*d) + Sinh[c + d*x]^5/(5*b*d)}
+{(Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]^3)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]^3)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Sinh[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 61, (a*(e + f*x)^4)/(4*b^2*f) + (2*a^2*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^3*d) - (2*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*d) - (2*a^4*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d) - (6*f^3*Cosh[c + d*x])/(b*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(b*d^2) - (a^3*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) - (a^3*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) - (a*(e + f*x)^3*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b^2*d) + (a^3*(e + f*x)^3*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) - (3*I*a^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^3*d^2) + (3*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^2) + (3*I*a^4*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (3*I*a^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^3*d^2) - (3*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b*d^2) - (3*I*a^4*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^2) - (3*a^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (3*a^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (3*a*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b^2*d^2) + (3*a^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (6*I*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^3*d^3) - (6*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^3) - (6*I*a^4*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^3) - (6*I*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b^3*d^3) + (6*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b*d^3) + (6*I*a^4*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^3) + (6*a^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (6*a^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (3*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b^2*d^3) - (3*a^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (6*I*a^2*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^3*d^4) + (6*I*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^4) + (6*I*a^4*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^4) + (6*I*a^2*f^3*PolyLog[4, I*E^(c + d*x)])/(b^3*d^4) - (6*I*f^3*PolyLog[4, I*E^(c + d*x)])/(b*d^4) - (6*I*a^4*f^3*PolyLog[4, I*E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^4) - (6*a^3*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^4) - (6*a^3*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^4) - (3*a*f^3*PolyLog[4, -E^(2*(c + d*x))])/(4*b^2*d^4) + (3*a^3*f^3*PolyLog[4, -E^(2*(c + d*x))])/(4*b^2*(a^2 + b^2)*d^4) + (6*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b*d^3) + ((e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(b*d)}
+{((e + f*x)^2*Sinh[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 50, (a*(e + f*x)^3)/(3*b^2*f) + (2*a^2*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^3*d) - (2*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*d) - (2*a^4*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d) - (2*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b*d^2) - (a^3*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) - (a^3*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) - (a*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b^2*d) + (a^3*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) - (2*I*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^3*d^2) + (2*I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^2) + (2*I*a^4*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*I*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^3*d^2) - (2*I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b*d^2) - (2*I*a^4*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (a*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(b^2*d^2) + (a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*I*a^2*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^3*d^3) - (2*I*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^3) - (2*I*a^4*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^3) - (2*I*a^2*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b^3*d^3) + (2*I*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b*d^3) + (2*I*a^4*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*a^3*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*a^3*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (a*f^2*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b^2*d^3) - (a^3*f^2*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*f^2*Sinh[c + d*x])/(b*d^3) + ((e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(b*d)}
+{((e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 39, (a*(e + f*x)^2)/(2*b^2*f) + (2*a^2*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^3*d) - (2*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*d) - (2*a^4*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d) - (f*Cosh[c + d*x])/(b*d^2) - (a^3*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) - (a^3*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) - (a*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b^2*d) + (a^3*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) - (I*a^2*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^3*d^2) + (I*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^2) + (I*a^4*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (I*a^2*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^3*d^2) - (I*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b*d^2) - (I*a^4*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^2) - (a^3*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (a^3*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (a*f*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b^2*d^2) + (a^3*f*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b^2*(a^2 + b^2)*d^2) + ((e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b*d)}
+{(Sinh[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 7, -((b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d)) - (a*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) - (a^3*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + Sinh[c + d*x]/(b*d)}
+{(Sinh[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Sinh[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 53, (a^2*(e + f*x)^3)/(b^3*d) - (e + f*x)^3/(b*d) - (a^4*(e + f*x)^3)/(b^3*(a^2 + b^2)*d) + (e + f*x)^4/(4*b*f) - (6*a*f*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^2*d^2) + (6*a^3*f*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (a^3*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (a^3*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (3*a^2*f*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b^3*d^2) + (3*f*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b*d^2) + (3*a^4*f*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (6*I*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*d^3) - (6*I*a^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (6*I*a*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^2*d^3) + (6*I*a^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (3*a^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (3*a^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (3*a^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(b^3*d^3) + (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(b*d^3) + (3*a^4*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^3) - (6*I*a*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*d^4) + (6*I*a^3*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^4) + (6*I*a*f^3*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b^2*d^4) - (6*I*a^3*f^3*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^4) + (6*a^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (6*a^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (3*a^2*f^3*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b^3*d^4) - (3*f^3*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b*d^4) - (3*a^4*f^3*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*b^3*(a^2 + b^2)*d^4) - (6*a^3*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (6*a^3*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (a*(e + f*x)^3*Sech[c + d*x])/(b^2*d) - (a^3*(e + f*x)^3*Sech[c + d*x])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + (a^2*(e + f*x)^3*Tanh[c + d*x])/(b^3*d) - ((e + f*x)^3*Tanh[c + d*x])/(b*d) - (a^4*(e + f*x)^3*Tanh[c + d*x])/(b^3*(a^2 + b^2)*d)}
+{((e + f*x)^2*Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 44, (a^2*(e + f*x)^2)/(b^3*d) - (e + f*x)^2/(b*d) - (a^4*(e + f*x)^2)/(b^3*(a^2 + b^2)*d) + (e + f*x)^3/(3*b*f) - (4*a*f*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^2*d^2) + (4*a^3*f*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (a^3*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (a^3*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (2*a^2*f*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b^3*d^2) + (2*f*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b*d^2) + (2*a^4*f*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*I*a*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*d^3) - (2*I*a^3*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (2*I*a*f^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^2*d^3) + (2*I*a^3*f^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (2*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (2*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (a^2*f^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(b^3*d^3) + (f^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(b*d^3) + (a^4*f^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*a^3*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (2*a^3*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (a*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x])/(b^2*d) - (a^3*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + (a^2*(e + f*x)^2*Tanh[c + d*x])/(b^3*d) - ((e + f*x)^2*Tanh[c + d*x])/(b*d) - (a^4*(e + f*x)^2*Tanh[c + d*x])/(b^3*(a^2 + b^2)*d)}
+{((e + f*x)*Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 25, (e*x)/b + (f*x^2)/(2*b) - (a*f*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(b^2*d^2) + (a^3*f*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (a^3*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (a^3*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (a^2*f*Log[Cosh[c + d*x]])/(b^3*d^2) + (f*Log[Cosh[c + d*x]])/(b*d^2) + (a^4*f*Log[Cosh[c + d*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^2) - (a^3*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (a^3*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (a*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(b^2*d) - (a^3*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) + (a^2*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(b^3*d) - ((e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(b*d) - (a^4*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(b^3*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 9, (a^2*x)/(b*(a^2 + b^2)) + (b*x)/(a^2 + b^2) + (2*a^3*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (a*Sech[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d) - (b*Tanh[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d)}
+{(Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^2*Tanh[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 71, (a^2*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^3*d) + ((e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*d) - (2*a^4*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)^2*d) - (a^4*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d) - (a^2*f^2*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(b^3*d^3) + (f^2*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(b*d^3) + (a^4*f^2*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^3) - (a^3*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^2*d) - (a^3*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a^3*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a*f^2*Log[Cosh[c + d*x]])/(b^2*d^3) - (a^3*f^2*Log[Cosh[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (I*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^3*d^2) - (I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^2) + (2*I*a^4*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (I*a^4*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (I*a^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^3*d^2) + (I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b*d^2) - (2*I*a^4*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (I*a^4*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (2*a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (a^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (I*a^2*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^3*d^3) + (I*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*d^3) - (2*I*a^4*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)^2*d^3) - (I*a^4*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^3) - (I*a^2*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b^3*d^3) - (I*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b*d^3) + (2*I*a^4*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)^2*d^3) + (I*a^4*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*a^3*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) + (2*a^3*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^3) - (a^3*f^2*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*(a^2 + b^2)^2*d^3) + (a^2*f*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(b^3*d^2) - (f*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(b*d^2) - (a^4*f*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(b^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (a*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^2)/(2*b^2*d) - (a^3*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^2)/(2*b^2*(a^2 + b^2)*d) - (a*f*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(b^2*d^2) + (a^3*f*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(b^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (a^2*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b^3*d) - ((e + f*x)^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b*d) - (a^4*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 + b^2)*d)}
+{((e + f*x)*Tanh[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 55, (a^2*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^3*d) + ((e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*d) - (2*a^4*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)^2*d) - (a^4*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(b^3*(a^2 + b^2)*d) - (a^3*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^2*d) - (a^3*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/((a^2 + b^2)^2*d) + (a^3*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)^2*d) - (I*a^2*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(2*b^3*d^2) - (I*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(2*b*d^2) + (I*a^4*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (I*a^4*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(2*b^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (I*a^2*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(2*b^3*d^2) + (I*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(2*b*d^2) - (I*a^4*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(b*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (I*a^4*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(2*b^3*(a^2 + b^2)*d^2) - (a^3*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (a^3*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (a^3*f*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (a^2*f*Sech[c + d*x])/(2*b^3*d^2) - (f*Sech[c + d*x])/(2*b*d^2) - (a^4*f*Sech[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (a*(e + f*x)*Sech[c + d*x]^2)/(2*b^2*d) - (a^3*(e + f*x)*Sech[c + d*x]^2)/(2*b^2*(a^2 + b^2)*d) - (a*f*Tanh[c + d*x])/(2*b^2*d^2) + (a^3*f*Tanh[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (a^2*(e + f*x)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b^3*d) - ((e + f*x)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b*d) - (a^4*(e + f*x)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 + b^2)*d)}
+{Tanh[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 7, (b*(3*a^2 + b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*(a^2 + b^2)^2*d) + (a^3*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) - (a^3*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) + (Sech[c + d*x]^2*(a - b*Sinh[c + d*x]))/(2*(a^2 + b^2)*d)}
+{Tanh[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Tanh[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n Sinh[c+d x]^p / (a+b Sinh[c+d x])^2*)
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n Csch[c+d x]^p (a+b Sinh[c+d x])^q*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n Csch[c+d x]^p / (a+b Sinh[c+d x])^1*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n Csch[c+d x]^1 / (a+b Sinh[c+d x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Coth[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 18, -(((e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*d)) - ((e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*d) + ((e + f*x)^3*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d) - (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*d^2) - (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*d^2) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(2*a*d^2) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*d^3) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*d^3) - (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a*d^3) - (6*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*d^4) - (6*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*d^4) + (3*f^3*PolyLog[4, E^(2*(c + d*x))])/(4*a*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Coth[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 15, -(((e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*d)) - ((e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*d) + ((e + f*x)^2*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d) - (2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*d^2) - (2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*d^2) + (f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a*d^2) + (2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*d^3) + (2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*d^3) - (f^2*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a*d^3)}
+{((e + f*x)*Coth[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 12, -(((e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*d)) - ((e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*d) + ((e + f*x)*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d) - (f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*d^2) - (f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*d^2) + (f*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(2*a*d^2)}
+{Coth[c + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 4, Log[Sinh[c + d*x]]/(a*d) - Log[a + b*Sinh[c + d*x]]/(a*d)}
+{Coth[c + d*x]/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Coth[c + d*x]/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]*Coth[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 33, (e + f*x)^4/(4*b*f) - (2*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - (Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*b*d) + (Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*b*d) - (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (3*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b*d^2) + (3*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b*d^2) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (6*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b*d^3) - (6*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b*d^3) - (6*f^3*PolyLog[4, -E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (6*f^3*PolyLog[4, E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (6*Sqrt[a^2 + b^2]*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b*d^4) + (6*Sqrt[a^2 + b^2]*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Coth[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 27, (e + f*x)^3/(3*b*f) - (2*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - (Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*b*d) + (Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*b*d) - (2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (2*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b*d^2) + (2*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b*d^2) + (2*f^2*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (2*f^2*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (2*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b*d^3) - (2*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b*d^3)}
+{((e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Coth[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 21, (e*x)/b + (f*x^2)/(2*b) - (2*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - (Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*b*d) + (Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*b*d) - (f*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (f*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (Sqrt[a^2 + b^2]*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b*d^2) + (Sqrt[a^2 + b^2]*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b*d^2)}
+{(Cosh[c + d*x]*Coth[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 6, x/b - ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/(a*d) + (2*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a*b*d)}
+{(Cosh[c + d*x]*Coth[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Cosh[c + d*x]*Coth[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^2*Coth[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 34, -(e + f*x)^4/(4*a*f) + ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^4)/(4*a*b^2*f) - (6*f^3*Cosh[c + d*x])/(b*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(b*d^2) - ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*b^2*d) - ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*b^2*d) + ((e + f*x)^3*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d) - (3*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b^2*d^2) - (3*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b^2*d^2) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(2*a*d^2) + (6*(a^2 + b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b^2*d^3) + (6*(a^2 + b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b^2*d^3) - (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a*d^3) - (6*(a^2 + b^2)*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b^2*d^4) - (6*(a^2 + b^2)*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b^2*d^4) + (3*f^3*PolyLog[4, E^(2*(c + d*x))])/(4*a*d^4) + (6*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b*d^3) + ((e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(b*d)}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^2*Coth[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 26, -(e + f*x)^3/(3*a*f) + ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^3)/(3*a*b^2*f) - (2*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(b*d^2) - ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*b^2*d) - ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*b^2*d) + ((e + f*x)^2*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d) - (2*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b^2*d^2) - (2*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b^2*d^2) + (f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a*d^2) + (2*(a^2 + b^2)*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b^2*d^3) + (2*(a^2 + b^2)*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b^2*d^3) - (f^2*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a*d^3) + (2*f^2*Sinh[c + d*x])/(b*d^3) + ((e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(b*d)}
+{((e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2*Coth[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 22, -(e + f*x)^2/(2*a*f) + ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^2)/(2*a*b^2*f) - (f*Cosh[c + d*x])/(b*d^2) - ((a^2 + b^2)*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*b^2*d) - ((a^2 + b^2)*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*b^2*d) + ((e + f*x)*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d) - ((a^2 + b^2)*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b^2*d^2) - ((a^2 + b^2)*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*b^2*d^2) + (f*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(2*a*d^2) + ((e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(b*d)}
+{(Cosh[c + d*x]^2*Coth[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 4, Log[Sinh[c + d*x]]/(a*d) - ((a^2 + b^2)*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(a*b^2*d) + Sinh[c + d*x]/(b*d)}
+{(Cosh[c + d*x]^2*Coth[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Cosh[c + d*x]^2*Coth[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 40, -((2*b*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d)) - (2*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d) - (b^2*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*(a^2 + b^2)*d) - (b^2*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*(a^2 + b^2)*d) + (b^2*(e + f*x)^3*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(a*(a^2 + b^2)*d) + (3*I*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) - (3*I*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) - (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) - (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) + (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*a*(a^2 + b^2)*d^2) - (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^2) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^2) - (6*I*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) + (6*I*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) + (6*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) + (6*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) - (3*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*a*(a^2 + b^2)*d^3) + (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^3) - (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^3) + (6*I*b*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^4) - (6*I*b*f^3*PolyLog[4, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^4) - (6*b^2*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)*d^4) - (6*b^2*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)*d^4) + (3*b^2*f^3*PolyLog[4, -E^(2*(c + d*x))])/(4*a*(a^2 + b^2)*d^4) - (3*f^3*PolyLog[4, -E^(2*c + 2*d*x)])/(4*a*d^4) + (3*f^3*PolyLog[4, E^(2*c + 2*d*x)])/(4*a*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 33, -((2*b*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d)) - (2*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d) - (b^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*(a^2 + b^2)*d) - (b^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*(a^2 + b^2)*d) + (b^2*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(a*(a^2 + b^2)*d) + (2*I*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) - (2*I*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) - (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) + (b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) - (f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d^2) + (f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d^2) - (2*I*b*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) + (2*I*b*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) + (2*b^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*b^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) - (b^2*f^2*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*a*(a^2 + b^2)*d^3) + (f^2*PolyLog[3, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^3) - (f^2*PolyLog[3, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^3)}
+{((e + f*x)*Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 26, -((2*b*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d)) - (2*(e + f*x)*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d) - (b^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*(a^2 + b^2)*d) - (b^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*(a^2 + b^2)*d) + (b^2*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(a*(a^2 + b^2)*d) + (I*b*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) - (I*b*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) - (b^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) - (b^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) + (b^2*f*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*a*(a^2 + b^2)*d^2) - (f*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^2) + (f*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^2)}
+{(Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 7, -((b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d)) - (a*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) + Log[Sinh[c + d*x]]/(a*d) - (b^2*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(a*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 53, -((b*(e + f*x)^3)/((a^2 + b^2)*d)) - (6*f*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (6*b^2*f*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - (b^3*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (b^3*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (3*b*f*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)*d^2) - (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (6*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (6*I*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) - (6*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (6*I*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (3*b^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (3*b^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (3*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)*d^3) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (6*I*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (6*I*b^2*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^4) + (6*I*f^3*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (6*I*b^2*f^3*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^4) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (6*b^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (6*b^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (3*b*f^3*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*(a^2 + b^2)*d^4) - (6*f^3*PolyLog[4, -E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (6*f^3*PolyLog[4, E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (6*b^3*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (6*b^3*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + ((e + f*x)^3*Sech[c + d*x])/(a*d) - (b^2*(e + f*x)^3*Sech[c + d*x])/(a*(a^2 + b^2)*d) - (b*(e + f*x)^3*Tanh[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d)}
+{((e + f*x)^2*Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 44, -((b*(e + f*x)^2)/((a^2 + b^2)*d)) - (4*f*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (4*b^2*f*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - (b^3*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (b^3*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (2*b*f*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)*d^2) - (2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (2*I*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (2*I*b^2*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) - (2*I*f^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (2*I*b^2*f^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (2*b^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (2*b^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (b*f^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/((a^2 + b^2)*d^3) + (2*f^2*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (2*f^2*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (2*b^3*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (2*b^3*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + ((e + f*x)^2*Sech[c + d*x])/(a*d) - (b^2*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x])/(a*(a^2 + b^2)*d) - (b*(e + f*x)^2*Tanh[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d)}
+{((e + f*x)*Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 26, -((f*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(a*d^2)) + (b^2*f*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*f*x*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) + (f*x*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a*d) - ((e + f*x)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a*d) - (b^3*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (b^3*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (b*f*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d^2) - (f*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (f*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (b^3*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (b^3*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + ((e + f*x)*Sech[c + d*x])/(a*d) - (b^2*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(a*(a^2 + b^2)*d) - (b*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d)}
+{(Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 10, -(ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/(a*d)) + (2*b^3*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + Sech[c + d*x]/(a*d) - (b*Sech[c + d*x]*(b + a*Sinh[c + d*x]))/(a*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^2*Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 57, (e*f*x)/(a*d) + (f^2*x^2)/(2*a*d) - (2*b^3*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d) - (b*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d) + (b*f^2*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d^3) - (2*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d) - (b^4*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*(a^2 + b^2)^2*d) - (b^4*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^4*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(a*(a^2 + b^2)^2*d) + (f^2*Log[Cosh[c + d*x]])/(a*d^3) - (b^2*f^2*Log[Cosh[c + d*x]])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*I*b^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (I*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) - (2*I*b^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (I*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^2) - (2*b^4*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (2*b^4*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (b^4*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(a*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d^2) + (f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d^2) - (2*I*b^3*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^3) - (I*b*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) + (2*I*b^3*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^3) + (I*b*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d^3) + (2*b^4*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)^2*d^3) + (2*b^4*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)^2*d^3) - (b^4*f^2*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*a*(a^2 + b^2)^2*d^3) + (f^2*PolyLog[3, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^3) - (f^2*PolyLog[3, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^3) - (b*f*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d^2) - (b^2*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]^2)/(2*a*(a^2 + b^2)*d) - (f*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(a*d^2) + (b^2*f*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) - (b*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d) - ((e + f*x)^2*Tanh[c + d*x]^2)/(2*a*d)}
+{((e + f*x)*Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 43, (f*x)/(2*a*d) - (2*b^3*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d) - (b*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)*d) - (2*f*x*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d) - (b^4*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*(a^2 + b^2)^2*d) - (b^4*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^4*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(a*(a^2 + b^2)^2*d) - (f*x*Log[Tanh[c + d*x]])/(a*d) + ((e + f*x)*Log[Tanh[c + d*x]])/(a*d) + (I*b^3*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) + (I*b*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(2*(a^2 + b^2)*d^2) - (I*b^3*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/((a^2 + b^2)^2*d^2) - (I*b*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(2*(a^2 + b^2)*d^2) - (b^4*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (b^4*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (b^4*f*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*a*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (f*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^2) + (f*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^2) - (b*f*Sech[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d^2) - (b^2*(e + f*x)*Sech[c + d*x]^2)/(2*a*(a^2 + b^2)*d) - (f*Tanh[c + d*x])/(2*a*d^2) + (b^2*f*Tanh[c + d*x])/(2*a*(a^2 + b^2)*d^2) - (b*(e + f*x)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d) - ((e + f*x)*Tanh[c + d*x]^2)/(2*a*d)}
+{(Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 9, -((b^3*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d)) - (b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*(a^2 + b^2)*d) - (a*(a^2 + 2*b^2)*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) + Log[Sinh[c + d*x]]/(a*d) - (b^4*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(a*(a^2 + b^2)^2*d) + (Sech[c + d*x]^2*(a - b*Sinh[c + d*x]))/(2*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x]^3)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x]^3)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n Csch[c+d x]^2 / (a+b Sinh[c+d x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 27, (-6*f*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d^2) - ((e + f*x)^3*Csch[c + d*x])/(a*d) + (b*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*d) + (b*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*d) - (b*(e + f*x)^3*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a^2*d) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^2) + (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^2) - (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(2*a^2*d^2) + (6*f^3*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (6*f^3*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^3) - (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^3) + (3*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a^2*d^3) + (6*b*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^4) + (6*b*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^4) - (3*b*f^3*PolyLog[4, E^(2*(c + d*x))])/(4*a^2*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 22, (-4*f*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d^2) - ((e + f*x)^2*Csch[c + d*x])/(a*d) + (b*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*d) + (b*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*d) - (b*(e + f*x)^2*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a^2*d) - (2*f^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (2*f^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^2) + (2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^2) - (b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a^2*d^2) - (2*b*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^3) - (2*b*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^3) + (b*f^2*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a^2*d^3)}
+{((e + f*x)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 15, -((f*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a*d^2)) - ((e + f*x)*Csch[c + d*x])/(a*d) + (b*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*d) + (b*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*d) - (b*(e + f*x)*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a^2*d) + (b*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^2) + (b*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^2) - (b*f*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(2*a^2*d^2)}
+{(Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 4, -(Csch[c + d*x]/(a*d)) - (b*Log[Sinh[c + d*x]])/(a^2*d) + (b*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(a^2*d)}
+{(Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Coth[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 41, -((e + f*x)^3/(a*d)) + (2*b*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^2*d) - ((e + f*x)^3*Coth[c + d*x])/(a*d) + (Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*d) - (Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*d) + (3*f*(e + f*x)^2*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d^2) + (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) - (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) + (3*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^2) - (3*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^2) + (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a*d^3) - (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) + (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (6*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^3) + (6*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^3) - (3*f^3*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a*d^4) + (6*b*f^3*PolyLog[4, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^4) - (6*b*f^3*PolyLog[4, E^(c + d*x)])/(a^2*d^4) + (6*Sqrt[a^2 + b^2]*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^4) - (6*Sqrt[a^2 + b^2]*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Coth[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 34, -((e + f*x)^2/(a*d)) + (2*b*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^2*d) - ((e + f*x)^2*Coth[c + d*x])/(a*d) + (Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*d) - (Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*d) + (2*f*(e + f*x)*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d^2) + (2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) - (2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) + (2*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^2) - (2*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^2) + (f^2*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a*d^3) - (2*b*f^2*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) + (2*b*f^2*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (2*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^3) + (2*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^3)}
+{((e + f*x)*Coth[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 25, (2*b*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^2*d) - ((e + f*x)*Coth[c + d*x])/(a*d) + (Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*d) - (Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*d) + (f*Log[Sinh[c + d*x]])/(a*d^2) + (b*f*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) - (b*f*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) + (Sqrt[a^2 + b^2]*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^2) - (Sqrt[a^2 + b^2]*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^2)}
+{Coth[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 7, (b*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a^2*d) - (2*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2*d) - Coth[c + d*x]/(a*d)}
+{Coth[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Coth[c + d*x]^2/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]*Coth[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 48, (b*(e + f*x)^4)/(4*a^2*f) - ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^4)/(4*a^2*b*f) - (6*f*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d^2) - ((e + f*x)^3*Csch[c + d*x])/(a*d) + ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*b*d) + ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*b*d) - (b*(e + f*x)^3*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a^2*d) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (3*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*b*d^2) + (3*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*b*d^2) - (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(2*a^2*d^2) + (6*f^3*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (6*f^3*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (6*(a^2 + b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*b*d^3) - (6*(a^2 + b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*b*d^3) + (3*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a^2*d^3) + (6*(a^2 + b^2)*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*b*d^4) + (6*(a^2 + b^2)*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*b*d^4) - (3*b*f^3*PolyLog[4, E^(2*(c + d*x))])/(4*a^2*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Coth[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 37, (b*(e + f*x)^3)/(3*a^2*f) - ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^3)/(3*a^2*b*f) - (4*f*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d^2) - ((e + f*x)^2*Csch[c + d*x])/(a*d) + ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*b*d) + ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*b*d) - (b*(e + f*x)^2*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a^2*d) - (2*f^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (2*f^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (2*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*b*d^2) + (2*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*b*d^2) - (b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a^2*d^2) - (2*(a^2 + b^2)*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*b*d^3) - (2*(a^2 + b^2)*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*b*d^3) + (b*f^2*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a^2*d^3)}
+{((e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Coth[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 28, (b*(e + f*x)^2)/(2*a^2*f) - ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^2)/(2*a^2*b*f) - (f*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a*d^2) - ((e + f*x)*Csch[c + d*x])/(a*d) + ((a^2 + b^2)*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*b*d) + ((a^2 + b^2)*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*b*d) - (b*(e + f*x)*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a^2*d) + ((a^2 + b^2)*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*b*d^2) + ((a^2 + b^2)*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*b*d^2) - (b*f*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(2*a^2*d^2)}
+{(Cosh[c + d*x]*Coth[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 4, -(Csch[c + d*x]/(a*d)) - (b*Log[Sinh[c + d*x]])/(a^2*d) + ((a^2 + b^2)*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(a^2*b*d)}
+{(Cosh[c + d*x]*Coth[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Cosh[c + d*x]*Coth[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 64, -((2*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*d)) + (2*b^2*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d) - (6*f*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (2*b*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a^2*d) - ((e + f*x)^3*Csch[c + d*x])/(a*d) + (b^3*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (b^3*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) - (b^3*(e + f*x)^3*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (3*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (3*I*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) - (3*I*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (3*I*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (3*b^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (3*b^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (3*b^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^2*d^2) - (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^2*d^2) + (6*f^3*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (6*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (6*I*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) + (6*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (6*I*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) - (6*f^3*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (6*b^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (6*b^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (3*b^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (3*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^2*d^3) + (3*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^2*d^3) + (6*I*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (6*I*b^2*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^4) - (6*I*f^3*PolyLog[4, I*E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (6*I*b^2*f^3*PolyLog[4, I*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^4) + (6*b^3*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^4) + (6*b^3*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^4) - (3*b^3*f^3*PolyLog[4, -E^(2*(c + d*x))])/(4*a^2*(a^2 + b^2)*d^4) + (3*b*f^3*PolyLog[4, -E^(2*c + 2*d*x)])/(4*a^2*d^4) - (3*b*f^3*PolyLog[4, E^(2*c + 2*d*x)])/(4*a^2*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 53, -((2*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*d)) + (2*b^2*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d) - (4*f*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (2*b*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a^2*d) - ((e + f*x)^2*Csch[c + d*x])/(a*d) + (b^3*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (b^3*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) - (b^3*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) - (2*f^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (2*I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (2*I*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*I*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (2*I*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*f^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (2*b^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*b^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (b^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(a^2*d^2) - (b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(a^2*d^2) - (2*I*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (2*I*b^2*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*I*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (2*I*b^2*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) - (2*b^3*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (2*b^3*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (b^3*f^2*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (b*f^2*PolyLog[3, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^2*d^3) + (b*f^2*PolyLog[3, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^2*d^3)}
+{((e + f*x)*Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 37, -((2*f*x*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*d)) + (2*b^2*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d) + (f*x*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(a*d) - ((e + f*x)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(a*d) + (2*b*(e + f*x)*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a^2*d) - (f*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a*d^2) - ((e + f*x)*Csch[c + d*x])/(a*d) + (b^3*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (b^3*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) - (b^3*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (I*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (I*b^2*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) - (I*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (I*b^2*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) + (b^3*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (b^3*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (b^3*f*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (b*f*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^2*d^2) - (b*f*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^2*d^2)}
+{(Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 7, -((a*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d)) - Csch[c + d*x]/(a*d) + (b*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) - (b*Log[Sinh[c + d*x]])/(a^2*d) + (b^3*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(a^2*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* {((e + f*x)^3*Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 186, (-2*b^2*e^3*(a - b*E^(c + d*x)))/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) + (6*b^2*e^2*f*x)/(a*(a^2 + b^2)*d) - (6*b^2*e^2*f*x)/(a*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) + (6*b^3*e^2*E^(c + d*x)*f*x)/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) - (6*b^2*e*f^2*x^2)/(a*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) + (6*b^3*e*E^(c + d*x)*f^2*x^2)/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) - (2*b^2*f^3*x^3)/(a*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) + (2*b^3*E^(c + d*x)*f^3*x^3)/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) - (2*(e + f*x)^3)/(a*d) - (6*b^3*e^2*f*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (12*b^3*e*f^2*x*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (6*b^3*f^3*x^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (6*b*f*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) + (2*b*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^2*d) - (2*(e + f*x)^3*Coth[2*c + 2*d*x])/(a*d) - (6*b^2*e*f^2*x*Log[1 + E^(-2*c - 2*d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) - (3*b^2*f^3*x^2*Log[1 + E^(-2*c - 2*d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) + (b^4*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (b^4*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (3*f*(e + f*x)^2*Log[1 - E^(4*(c + d*x))])/(a*d^2) - (3*b^2*e^2*f*Log[1 + E^(2*c + 2*d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) + (3*b^2*e*f^2*PolyLog[2, -E^(-2*c - 2*d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) + (3*b^2*f^3*x*PolyLog[2, -E^(-2*c - 2*d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) + (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) + ((6*I)*b^3*e*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) + ((6*I)*b^3*f^3*x*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - ((6*I)*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - ((6*I)*b^3*e*f^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - ((6*I)*b^3*f^3*x*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) + ((6*I)*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) + (3*b^4*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (3*b^4*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(4*(c + d*x))])/(2*a*d^3) + (3*b^2*f^3*PolyLog[3, -E^(-2*c - 2*d*x)])/(2*a*(a^2 + b^2)*d^4) - (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) + ((6*I)*b*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*d^4) - ((6*I)*b^3*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^4) - ((6*I)*b*f^3*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a^2*d^4) + ((6*I)*b^3*f^3*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^4) + (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (6*b^4*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (6*b^4*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (3*f^3*PolyLog[3, E^(4*(c + d*x))])/(8*a*d^4) + (6*b*f^3*PolyLog[4, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^4) - (6*b*f^3*PolyLog[4, E^(c + d*x)])/(a^2*d^4) + (6*b^4*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (6*b^4*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (b*(e + f*x)^3*Sech[c + d*x])/(a^2*d)} *)
+{((e + f*x)^2*Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 51, -((2*(e + f*x)^2)/(a*d)) + (b^2*(e + f*x)^2)/(a*(a^2 + b^2)*d) + (4*b*f*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) - (4*b^3*f*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*b*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^2*d) - (2*(e + f*x)^2*Coth[2*c + 2*d*x])/(a*d) + (b^4*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (b^4*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (2*b^2*f*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*f*(e + f*x)*Log[1 - E^(4*(c + d*x))])/(a*d^2) + (2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) - (2*I*b*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) + (2*I*b^3*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*I*b*f^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (2*I*b^3*f^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) + (2*b^4*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (2*b^4*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (b^2*f^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) + (f^2*PolyLog[2, E^(4*(c + d*x))])/(2*a*d^3) - (2*b*f^2*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) + (2*b*f^2*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (2*b^4*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (2*b^4*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (b*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x])/(a^2*d) + (b^3*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (b^2*(e + f*x)^2*Tanh[c + d*x])/(a*(a^2 + b^2)*d)}
+{((e + f*x)*Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 30, (b*f*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(a^2*d^2) - (b^3*f*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*b*f*x*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^2*d) - (b*f*x*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a^2*d) + (b*(e + f*x)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a^2*d) - (2*(e + f*x)*Coth[2*c + 2*d*x])/(a*d) + (b^4*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (b^4*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (b^2*f*Log[Cosh[c + d*x]])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) + (f*Log[Sinh[2*c + 2*d*x]])/(a*d^2) + (b*f*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) - (b*f*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) + (b^4*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (b^4*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (b*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(a^2*d) + (b^3*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (b^2*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(a*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 13, (b*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a^2*d) - (2*b^4*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - Coth[c + d*x]/(a*d) - (b*Sech[c + d*x])/(a^2*d) + (b^2*Sech[c + d*x]*(b + a*Sinh[c + d*x]))/(a^2*(a^2 + b^2)*d) - Tanh[c + d*x]/(a*d)}
+{(Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* {((e + f*x)^2*Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 233, (-2*b^2*e^2*(b + a*E^(c + d*x)))/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))^2) + (2*b^2*e^2*(3*b + 2*a*E^(c + d*x)))/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) - (b^2*e^2*(4*b + 3*a*E^(c + d*x)))/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) + (2*b^3*e*f)/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) + (2*b^2*e*E^(c + d*x)*f)/(a*(a^2 + b^2)*d^2*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) + (4*b^3*e^2*x)/(a^2*(a^2 + b^2)) - (2*b^3*(2*a^2 + b^2)*e^2*x)/(a^2*(a^2 + b^2)^2) - (b*e*f*x)/(a^2*d) - (4*b^3*e*f*x)/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))^2) - (4*b^2*e*E^(c + d*x)*f*x)/(a*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))^2) + (4*b^3*e*f*x)/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) + (2*b^2*e*E^(c + d*x)*f*x)/(a*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) - (2*b^3*f^2*x)/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*b^3*f^2*x)/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) + (2*b^2*E^(c + d*x)*f^2*x)/(a*(a^2 + b^2)*d^2*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) - (b*f^2*x^2)/(2*a^2*d) - (2*b^3*f^2*x^2)/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))^2) - (2*b^2*E^(c + d*x)*f^2*x^2)/(a*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))^2) + (2*b^3*f^2*x^2)/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) + (b^2*E^(c + d*x)*f^2*x^2)/(a*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) + (2*b^4*e^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^2*e^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d) - (2*b^2*f^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) + (4*b^4*e*f*x*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)^2*d) + (2*b^2*e*f*x*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d) + (2*b^4*f^2*x^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^2*f^2*x^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d) - (3*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*d) + (f^2*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(a*d^3) + (2*f^2*x*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (6*f*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (2*b*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a^2*d) - (f^2*x*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a*d^2) + (f*(e + f*x)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a*d^2) - (3*(e + f*x)^2*Csch[c + d*x])/(2*a*d) - (4*b^3*e*f*x*Log[1 + E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (2*b^3*(2*a^2 + b^2)*e*f*x*Log[1 + E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d) - (2*b^3*f^2*x^2*Log[1 + E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (b^3*(2*a^2 + b^2)*f^2*x^2*Log[1 + E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^5*(e + f*x)^2*Log[1 + ((a - Sqrt[a^2 + b^2])*E^(-c - d*x))/b])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^5*(e + f*x)^2*Log[1 + ((a + Sqrt[a^2 + b^2])*E^(-c - d*x))/b])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d) - (2*b^3*e^2*Log[1 + E^(2*c + 2*d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (b^3*(2*a^2 + b^2)*e^2*Log[1 + E^(2*c + 2*d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^3*f^2*Log[1 + E^(2*c + 2*d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (b*f^2*Log[Cosh[c + d*x]])/(a^2*d^3) + (2*b^3*e*f*PolyLog[2, -E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (b^3*(2*a^2 + b^2)*e*f*PolyLog[2, -E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (2*b^3*f^2*x*PolyLog[2, -E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (b^3*(2*a^2 + b^2)*f^2*x*PolyLog[2, -E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (2*b^5*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -(((a - Sqrt[a^2 + b^2])*E^(-c - d*x))/b)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (2*b^5*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -(((a + Sqrt[a^2 + b^2])*E^(-c - d*x))/b)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (2*f^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) - ((2*I)*b^4*e*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (I*b^2*e*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) - ((2*I)*b^4*f^2*x*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (I*b^2*f^2*x*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) + ((3*I)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + ((2*I)*b^4*e*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (I*b^2*e*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) + ((2*I)*b^4*f^2*x*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (I*b^2*f^2*x*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^2) - ((3*I)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (2*f^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(a^2*d^2) - (b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(a^2*d^2) + (b^3*f^2*PolyLog[3, -E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (b^3*(2*a^2 + b^2)*f^2*PolyLog[3, -E^(-2*c - 2*d*x)])/(2*a^2*(a^2 + b^2)^2*d^3) - (2*b^5*f^2*PolyLog[3, -(((a - Sqrt[a^2 + b^2])*E^(-c - d*x))/b)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d^3) - (2*b^5*f^2*PolyLog[3, -(((a + Sqrt[a^2 + b^2])*E^(-c - d*x))/b)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d^3) - ((3*I)*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) + ((2*I)*b^4*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)^2*d^3) + (I*b^2*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) + ((3*I)*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - ((2*I)*b^4*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)^2*d^3) - (I*b^2*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d^3) - (b*f^2*PolyLog[3, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^2*d^3) + (b*f^2*PolyLog[3, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^2*d^3) - (f*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(a*d^2) + ((e + f*x)^2*Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x]^2)/(2*a*d) + (b*f*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(a^2*d^2) + (b*(e + f*x)^2*Tanh[c + d*x]^2)/(2*a^2*d)} *)
+{((e + f*x)*Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 57, -((b*f*x)/(2*a^2*d)) - (3*f*x*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*d) + (2*b^4*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^2*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)*d) + (3*f*x*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*a*d) - (3*(e + f*x)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*a*d) + (2*b*f*x*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a^2*d) - (f*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a*d^2) - (3*(e + f*x)*Csch[c + d*x])/(2*a*d) + (b^5*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^5*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d) - (b^5*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d) + (b*f*x*Log[Tanh[c + d*x]])/(a^2*d) - (b*(e + f*x)*Log[Tanh[c + d*x]])/(a^2*d) + (3*I*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(2*a*d^2) - (I*b^4*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (I*b^2*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(2*a*(a^2 + b^2)*d^2) - (3*I*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(2*a*d^2) + (I*b^4*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (I*b^2*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(2*a*(a^2 + b^2)*d^2) + (b^5*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (b^5*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (b^5*f*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*a^2*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (b*f*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^2*d^2) - (b*f*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^2*d^2) - (f*Sech[c + d*x])/(2*a*d^2) + (b^2*f*Sech[c + d*x])/(2*a*(a^2 + b^2)*d^2) + (b^3*(e + f*x)*Sech[c + d*x]^2)/(2*a^2*(a^2 + b^2)*d) + ((e + f*x)*Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x]^2)/(2*a*d) + (b*f*Tanh[c + d*x])/(2*a^2*d^2) - (b^3*f*Tanh[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (b^2*(e + f*x)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*a*(a^2 + b^2)*d) + (b*(e + f*x)*Tanh[c + d*x]^2)/(2*a^2*d)}
+{(Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 9, -(a*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*(a^2 + b^2)*d) - (a*(a^2 + 2*b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) - Csch[c + d*x]/(a*d) + (b*(a^2 + 2*b^2)*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) - (b*Log[Sinh[c + d*x]])/(a^2*d) + (b^5*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d) - (Sech[c + d*x]^2*(b + a*Sinh[c + d*x]))/(2*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x]^3)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x]^3)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n Csch[c+d x]^3 / (a+b Sinh[c+d x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{((e + f*x)^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 34, (-3*f*(e + f*x)^2)/(2*a*d^2) + (6*b*f*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) - (3*f*(e + f*x)^2*Coth[c + d*x])/(2*a*d^2) + (b*(e + f*x)^3*Csch[c + d*x])/(a^2*d) - ((e + f*x)^3*Csch[c + d*x]^2)/(2*a*d) - (b^2*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) - (b^2*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) + (3*f^2*(e + f*x)*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d^3) + (b^2*(e + f*x)^3*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a^3*d) + (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) - (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) + (3*f^3*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(2*a*d^4) + (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(2*a^3*d^2) - (6*b*f^3*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^4) + (6*b*f^3*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a^2*d^4) + (6*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^3) + (6*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^3) - (3*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a^3*d^3) - (6*b^2*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^4) - (6*b^2*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^4) + (3*b^2*f^3*PolyLog[4, E^(2*(c + d*x))])/(4*a^3*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 26, (4*b*f*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) - (f*(e + f*x)*Coth[c + d*x])/(a*d^2) + (b*(e + f*x)^2*Csch[c + d*x])/(a^2*d) - ((e + f*x)^2*Csch[c + d*x]^2)/(2*a*d) - (b^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) - (b^2*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) + (b^2*(e + f*x)^2*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a^3*d) + (f^2*Log[Sinh[c + d*x]])/(a*d^3) + (2*b*f^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (2*b*f^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) - (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) + (b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a^3*d^2) + (2*b^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^3) + (2*b^2*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^3) - (b^2*f^2*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a^3*d^3)}
+{((e + f*x)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 19, (b*f*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a^2*d^2) - (f*Coth[c + d*x])/(2*a*d^2) + (b*(e + f*x)*Csch[c + d*x])/(a^2*d) - ((e + f*x)*Csch[c + d*x]^2)/(2*a*d) - (b^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) - (b^2*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) + (b^2*(e + f*x)*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a^3*d) - (b^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) - (b^2*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) + (b^2*f*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(2*a^3*d^2)}
+{(Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 4, (b*Csch[c + d*x])/(a^2*d) - Csch[c + d*x]^2/(2*a*d) + (b^2*Log[Sinh[c + d*x]])/(a^3*d) - (b^2*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(a^3*d)}
+{(Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Coth[c + d*x]^2*Csch[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 67, (b*(e + f*x)^3)/(a^2*d) - (6*f^2*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d^3) - ((e + f*x)^3*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - (2*b^2*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^3*d) + (b*(e + f*x)^3*Coth[c + d*x])/(a^2*d) - (3*f*(e + f*x)^2*Csch[c + d*x])/(2*a*d^2) - ((e + f*x)^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d) - (b*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) + (b*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) - (3*b*f*(e + f*x)^2*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a^2*d^2) - (3*f^3*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(2*a*d^2) - (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) + (3*f^3*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(2*a*d^2) + (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) - (3*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) + (3*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) - (3*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a^2*d^3) + (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (6*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a^3*d^3) - (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (6*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a^3*d^3) + (6*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^3) - (6*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^3) + (3*b*f^3*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a^2*d^4) - (3*f^3*PolyLog[4, -E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (6*b^2*f^3*PolyLog[4, -E^(c + d*x)])/(a^3*d^4) + (3*f^3*PolyLog[4, E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (6*b^2*f^3*PolyLog[4, E^(c + d*x)])/(a^3*d^4) - (6*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^4) + (6*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Coth[c + d*x]^2*Csch[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 52, (b*(e + f*x)^2)/(a^2*d) - ((e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - (2*b^2*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^3*d) - (f^2*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a*d^3) + (b*(e + f*x)^2*Coth[c + d*x])/(a^2*d) - (f*(e + f*x)*Csch[c + d*x])/(a*d^2) - ((e + f*x)^2*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d) - (b*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) + (b*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) - (2*b*f*(e + f*x)*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a^2*d^2) - (f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) + (f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) - (2*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) + (2*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) - (b*f^2*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a^2*d^3) + (f^2*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (2*b^2*f^2*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a^3*d^3) - (f^2*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (2*b^2*f^2*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a^3*d^3) + (2*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^3) - (2*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^3)}
+{((e + f*x)*Coth[c + d*x]^2*Csch[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 38, -(((e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d)) - (2*b^2*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^3*d) + (b*(e + f*x)*Coth[c + d*x])/(a^2*d) - (f*Csch[c + d*x])/(2*a*d^2) - ((e + f*x)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d) - (b*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) + (b*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) - (b*f*Log[Sinh[c + d*x]])/(a^2*d^2) - (f*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(2*a*d^2) - (b^2*f*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) + (f*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(2*a*d^2) + (b^2*f*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) - (b*Sqrt[a^2 + b^2]*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) + (b*Sqrt[a^2 + b^2]*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2)}
+{(Coth[c + d*x]^2*Csch[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 8, -((a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*a^3*d) + (2*b*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^3*d) + (b*Coth[c + d*x])/(a^2*d) - (Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d)}
+{(Coth[c + d*x]^2*Csch[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Coth[c + d*x]^2*Csch[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Coth[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 62, (-3*f*(e + f*x)^2)/(2*a*d^2) + (e + f*x)^3/(2*a*d) - (e + f*x)^4/(4*a*f) - (b^2*(e + f*x)^4)/(4*a^3*f) + ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^4)/(4*a^3*f) + (6*b*f*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) - (3*f*(e + f*x)^2*Coth[c + d*x])/(2*a*d^2) - ((e + f*x)^3*Coth[c + d*x]^2)/(2*a*d) + (b*(e + f*x)^3*Csch[c + d*x])/(a^2*d) - ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) - ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) + (3*f^2*(e + f*x)*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d^3) + ((e + f*x)^3*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d) + (b^2*(e + f*x)^3*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a^3*d) + (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (3*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) - (3*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) + (3*f^3*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(2*a*d^4) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(2*a*d^2) + (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(2*a^3*d^2) - (6*b*f^3*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^4) + (6*b*f^3*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a^2*d^4) + (6*(a^2 + b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^3) + (6*(a^2 + b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^3) - (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a*d^3) - (3*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a^3*d^3) - (6*(a^2 + b^2)*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^4) - (6*(a^2 + b^2)*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^4) + (3*f^3*PolyLog[4, E^(2*(c + d*x))])/(4*a*d^4) + (3*b^2*f^3*PolyLog[4, E^(2*(c + d*x))])/(4*a^3*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Coth[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 47, (e*f*x)/(a*d) + (f^2*x^2)/(2*a*d) - (e + f*x)^3/(3*a*f) - (b^2*(e + f*x)^3)/(3*a^3*f) + ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^3)/(3*a^3*f) + (4*b*f*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) - (f*(e + f*x)*Coth[c + d*x])/(a*d^2) - ((e + f*x)^2*Coth[c + d*x]^2)/(2*a*d) + (b*(e + f*x)^2*Csch[c + d*x])/(a^2*d) - ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) - ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) + ((e + f*x)^2*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d) + (b^2*(e + f*x)^2*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a^3*d) + (f^2*Log[Sinh[c + d*x]])/(a*d^3) + (2*b*f^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (2*b*f^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (2*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) - (2*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) + (f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a*d^2) + (b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(a^3*d^2) + (2*(a^2 + b^2)*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^3) + (2*(a^2 + b^2)*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^3) - (f^2*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a*d^3) - (b^2*f^2*PolyLog[3, E^(2*(c + d*x))])/(2*a^3*d^3)}
+{((e + f*x)*Coth[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 36, (f*x)/(2*a*d) - (e + f*x)^2/(2*a*f) - (b^2*(e + f*x)^2)/(2*a^3*f) + ((a^2 + b^2)*(e + f*x)^2)/(2*a^3*f) + (b*f*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a^2*d^2) - (f*Coth[c + d*x])/(2*a*d^2) - ((e + f*x)*Coth[c + d*x]^2)/(2*a*d) + (b*(e + f*x)*Csch[c + d*x])/(a^2*d) - ((a^2 + b^2)*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) - ((a^2 + b^2)*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) + ((e + f*x)*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d) + (b^2*(e + f*x)*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a^3*d) - ((a^2 + b^2)*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) - ((a^2 + b^2)*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) + (f*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(2*a*d^2) + (b^2*f*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(2*a^3*d^2)}
+{Coth[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 3, (b*Csch[c + d*x])/(a^2*d) - Csch[c + d*x]^2/(2*a*d) + ((a^2 + b^2)*Log[Sinh[c + d*x]])/(a^3*d) - ((a^2 + b^2)*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(a^3*d)}
+{Coth[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Coth[c + d*x]^3/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
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+{((e + f*x)^3*Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 87, -((3*f*(e + f*x)^2)/(2*a*d^2)) + (e + f*x)^3/(2*a*d) + (2*b*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*d) - (2*b^3*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (6*b*f*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) + (2*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d) - (2*b^2*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a^3*d) - (3*f*(e + f*x)^2*Coth[c + d*x])/(2*a*d^2) - ((e + f*x)^3*Coth[c + d*x]^2)/(2*a*d) + (b*(e + f*x)^3*Csch[c + d*x])/(a^2*d) - (b^4*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*(a^2 + b^2)*d) - (b^4*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*(a^2 + b^2)*d) + (3*f^2*(e + f*x)*Log[1 - E^(2*(c + d*x))])/(a*d^3) + (b^4*(e + f*x)^3*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(a^3*(a^2 + b^2)*d) + (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (3*I*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) + (3*I*b^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (3*I*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) - (3*I*b^3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (3*b^4*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^2) - (3*b^4*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (3*b^4*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*a^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (3*f^3*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x))])/(2*a*d^4) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^2) - (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^3*d^2) - (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^2) + (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^3*d^2) - (6*b*f^3*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^4) + (6*I*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (6*I*b^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (6*I*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) + (6*I*b^3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (6*b*f^3*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a^2*d^4) + (6*b^4*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^3) + (6*b^4*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^3) - (3*b^4*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*a^3*(a^2 + b^2)*d^3) - (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^3) + (3*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^3*d^3) + (3*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^3) - (3*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^3*d^3) - (6*I*b*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*d^4) + (6*I*b^3*f^3*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^4) + (6*I*b*f^3*PolyLog[4, I*E^(c + d*x)])/(a^2*d^4) - (6*I*b^3*f^3*PolyLog[4, I*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^4) - (6*b^4*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^4) - (6*b^4*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^4) + (3*b^4*f^3*PolyLog[4, -E^(2*(c + d*x))])/(4*a^3*(a^2 + b^2)*d^4) + (3*f^3*PolyLog[4, -E^(2*c + 2*d*x)])/(4*a*d^4) - (3*b^2*f^3*PolyLog[4, -E^(2*c + 2*d*x)])/(4*a^3*d^4) - (3*f^3*PolyLog[4, E^(2*c + 2*d*x)])/(4*a*d^4) + (3*b^2*f^3*PolyLog[4, E^(2*c + 2*d*x)])/(4*a^3*d^4)}
+{((e + f*x)^2*Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 71, (e*f*x)/(a*d) + (f^2*x^2)/(2*a*d) + (2*b*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*d) - (2*b^3*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (4*b*f*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) + (2*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d) - (2*b^2*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a^3*d) - (f*(e + f*x)*Coth[c + d*x])/(a*d^2) - ((e + f*x)^2*Coth[c + d*x]^2)/(2*a*d) + (b*(e + f*x)^2*Csch[c + d*x])/(a^2*d) - (b^4*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*(a^2 + b^2)*d) - (b^4*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*(a^2 + b^2)*d) + (b^4*(e + f*x)^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(a^3*(a^2 + b^2)*d) + (f^2*Log[Sinh[c + d*x]])/(a*d^3) + (2*b*f^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (2*I*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) + (2*I*b^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*I*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) - (2*I*b^3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*b*f^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (2*b^4*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*b^4*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (b^4*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d^2) - (b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(a^3*d^2) - (f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d^2) + (b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(a^3*d^2) + (2*I*b*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - (2*I*b^3*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (2*I*b*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) + (2*I*b^3*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*b^4*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*b^4*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^3) - (b^4*f^2*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*x))])/(2*a^3*(a^2 + b^2)*d^3) - (f^2*PolyLog[3, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^3) + (b^2*f^2*PolyLog[3, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^3*d^3) + (f^2*PolyLog[3, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^3) - (b^2*f^2*PolyLog[3, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^3*d^3)}
+{((e + f*x)*Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 49, (f*x)/(2*a*d) + (2*b*f*x*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*d) - (2*b^3*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) - (b*f*x*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(a^2*d) + (b*(e + f*x)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(a^2*d) + (2*f*x*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d) - (2*b^2*(e + f*x)*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a^3*d) + (b*f*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a^2*d^2) - (f*Coth[c + d*x])/(2*a*d^2) - ((e + f*x)*Coth[c + d*x]^2)/(2*a*d) + (b*(e + f*x)*Csch[c + d*x])/(a^2*d) - (b^4*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*(a^2 + b^2)*d) - (b^4*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*(a^2 + b^2)*d) + (b^4*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(a^3*(a^2 + b^2)*d) + (f*x*Log[Tanh[c + d*x]])/(a*d) - ((e + f*x)*Log[Tanh[c + d*x]])/(a*d) - (I*b*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) + (I*b^3*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (I*b*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) - (I*b^3*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (b^4*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^2) - (b^4*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (b^4*f*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*a^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (f*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^2) - (b^2*f*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^3*d^2) - (f*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a*d^2) + (b^2*f*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^3*d^2)}
+{(Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x])/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 7, (b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) + (b*Csch[c + d*x])/(a^2*d) - Csch[c + d*x]^2/(2*a*d) + (a*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)*d) - ((a^2 - b^2)*Log[Sinh[c + d*x]])/(a^3*d) - (b^4*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(a^3*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x])/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* {((e + f*x)^3*Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 251, (2*b^3*e^3*(a - b*E^(c + d*x)))/(a^3*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) - (6*b^3*e^2*f*x)/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (6*b^3*e^2*f*x)/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) - (6*b^4*e^2*E^(c + d*x)*f*x)/(a^3*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) + (6*b^3*e*f^2*x^2)/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) - (6*b^4*e*E^(c + d*x)*f^2*x^2)/(a^3*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) + (2*b^3*f^3*x^3)/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) - (2*b^4*E^(c + d*x)*f^3*x^3)/(a^3*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) + (2*b*(e + f*x)^3)/(a^2*d) + (6*b^4*e^2*f*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (12*e*f^2*x*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (12*b^4*e*f^2*x*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (6*f^3*x^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (6*b^4*f^3*x^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^2) - (6*b^2*f*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) + (3*e^2*f*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(a*d^2) - (6*f^3*x*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (3*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - (2*b^2*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^3*d) - (3*e*f^2*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a*d^3) + (2*b*(e + f*x)^3*Coth[2*c + 2*d*x])/(a^2*d) - (3*e^2*f*Csch[c + d*x])/(2*a*d^2) - (3*e*f^2*x*Csch[c + d*x])/(a*d^2) - (3*f^3*x^2*Csch[c + d*x])/(2*a*d^2) + (6*b^3*e*f^2*x*Log[1 + E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (3*b^3*f^3*x^2*Log[1 + E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (b^5*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (b^5*(e + f*x)^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (3*b*f*(e + f*x)^2*Log[1 - E^(4*(c + d*x))])/(a^2*d^2) + (3*b^3*e^2*f*Log[1 + E^(2*c + 2*d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (3*b^3*e*f^2*PolyLog[2, -E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (3*b^3*f^3*x*PolyLog[2, -E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (3*f^3*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (9*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(2*a*d^2) - (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) - ((6*I)*e*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - ((6*I)*b^4*e*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^3) - ((6*I)*f^3*x*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - ((6*I)*b^4*f^3*x*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^3) + ((6*I)*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^3*d^3) + ((6*I)*e*f^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*d^3) + ((6*I)*b^4*e*f^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^3) + ((6*I)*f^3*x*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*d^3) + ((6*I)*b^4*f^3*x*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^3) - ((6*I)*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^3*d^3) + (3*f^3*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (9*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(2*a*d^2) + (3*b^2*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) - (3*b^5*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (3*b^5*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (3*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(4*(c + d*x))])/(2*a^2*d^3) - (3*b^3*f^3*PolyLog[3, -E^(-2*c - 2*d*x)])/(2*a^2*(a^2 + b^2)*d^4) - (9*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (6*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a^3*d^3) + ((6*I)*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^4) - ((6*I)*b^2*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^3*d^4) + ((6*I)*b^4*f^3*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^4) - ((6*I)*f^3*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a*d^4) + ((6*I)*b^2*f^3*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a^3*d^4) - ((6*I)*b^4*f^3*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^4) + (9*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (6*b^2*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a^3*d^3) + (6*b^5*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (6*b^5*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (3*b*f^3*PolyLog[3, E^(4*(c + d*x))])/(8*a^2*d^4) + (9*f^3*PolyLog[4, -E^(c + d*x)])/(a*d^4) - (6*b^2*f^3*PolyLog[4, -E^(c + d*x)])/(a^3*d^4) - (9*f^3*PolyLog[4, E^(c + d*x)])/(a*d^4) + (6*b^2*f^3*PolyLog[4, E^(c + d*x)])/(a^3*d^4) - (6*b^5*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (6*b^5*f^3*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (3*(e + f*x)^3*Sech[c + d*x])/(2*a*d) + (b^2*(e + f*x)^3*Sech[c + d*x])/(a^3*d) - ((e + f*x)^3*Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x])/(2*a*d)} *)
+{((e + f*x)^2*Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 88, (2*b*(e + f*x)^2)/(a^2*d) - (b^3*(e + f*x)^2)/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (4*f^2*x*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (4*b^2*f*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) + (4*b^4*f*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*e*f*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(a*d^2) + (3*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - (2*b^2*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^3*d) - (f^2*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a*d^3) + (2*b*(e + f*x)^2*Coth[2*c + 2*d*x])/(a^2*d) - (e*f*Csch[c + d*x])/(a*d^2) - (f^2*x*Csch[c + d*x])/(a*d^2) - (b^5*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (b^5*(e + f*x)^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (2*b^3*f*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*b*f*(e + f*x)*Log[1 - E^(4*(c + d*x))])/(a^2*d^2) + (3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a*d^2) - (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) - (2*I*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (2*I*b^2*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^3*d^3) - (2*I*b^4*f^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^3) + (2*I*f^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (2*I*b^2*f^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^3*d^3) + (2*I*b^4*f^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^3) - (3*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a*d^2) + (2*b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) - (2*b^5*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (2*b^5*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (b^3*f^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (b*f^2*PolyLog[2, E^(4*(c + d*x))])/(2*a^2*d^3) - (3*f^2*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a*d^3) + (2*b^2*f^2*PolyLog[3, -E^(c + d*x)])/(a^3*d^3) + (3*f^2*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a*d^3) - (2*b^2*f^2*PolyLog[3, E^(c + d*x)])/(a^3*d^3) + (2*b^5*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (2*b^5*f^2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (3*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x])/(2*a*d) + (b^2*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x])/(a^3*d) - (b^4*(e + f*x)^2*Sech[c + d*x])/(a^3*(a^2 + b^2)*d) - ((e + f*x)^2*Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x])/(2*a*d) - (b^3*(e + f*x)^2*Tanh[c + d*x])/(a^2*(a^2 + b^2)*d)}
+{((e + f*x)*Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 44, (f*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(a*d^2) - (b^2*f*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(a^3*d^2) + (b^4*f*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (3*f*x*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a*d) - (2*b^2*f*x*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^3*d) - (3*f*x*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*a*d) + (b^2*f*x*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a^3*d) + (3*(e + f*x)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*a*d) - (b^2*(e + f*x)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a^3*d) + (2*b*(e + f*x)*Coth[2*c + 2*d*x])/(a^2*d) - (f*Csch[c + d*x])/(2*a*d^2) - (b^5*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (b^5*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (b^3*f*Log[Cosh[c + d*x]])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (b*f*Log[Sinh[2*c + 2*d*x]])/(a^2*d^2) + (3*f*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(2*a*d^2) - (b^2*f*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) - (3*f*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(2*a*d^2) + (b^2*f*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^3*d^2) - (b^5*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (b^5*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (3*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(2*a*d) + (b^2*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(a^3*d) - (b^4*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(a^3*(a^2 + b^2)*d) - ((e + f*x)*Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x])/(2*a*d) - (b^3*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(a^2*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x]^2)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 17, (3*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*a*d) - (b^2*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a^3*d) + (2*b^5*ArcTanh[(b - a*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (b*Coth[c + d*x])/(a^2*d) - (3*Sech[c + d*x])/(2*a*d) + (b^2*Sech[c + d*x])/(a^3*d) - (Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x])/(2*a*d) - (b^3*Sech[c + d*x]*(b + a*Sinh[c + d*x]))/(a^3*(a^2 + b^2)*d) + (b*Tanh[c + d*x])/(a^2*d)}
+{(Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x]^2)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* {((e + f*x)^2*Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 244, (2*b^3*e^2*(b + a*E^(c + d*x)))/(a^3*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))^2) - (2*b^3*e^2*(3*b + 2*a*E^(c + d*x)))/(a^3*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) + (b^3*e^2*(4*b + 3*a*E^(c + d*x)))/(a^3*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) - (2*b^4*e*f)/(a^3*(a^2 + b^2)*d^2*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) - (2*b^3*e*E^(c + d*x)*f)/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) - (4*b^4*e^2*x)/(a^3*(a^2 + b^2)) + (2*b^4*(2*a^2 + b^2)*e^2*x)/(a^3*(a^2 + b^2)^2) + (b^2*e*f*x)/(a^3*d) + (4*b^4*e*f*x)/(a^3*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))^2) + (4*b^3*e*E^(c + d*x)*f*x)/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))^2) - (4*b^4*e*f*x)/(a^3*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) - (2*b^3*e*E^(c + d*x)*f*x)/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) + (2*b^4*f^2*x)/(a^3*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*b^4*f^2*x)/(a^3*(a^2 + b^2)*d^2*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) - (2*b^3*E^(c + d*x)*f^2*x)/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) + (b^2*f^2*x^2)/(2*a^3*d) + (2*b^4*f^2*x^2)/(a^3*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))^2) + (2*b^3*E^(c + d*x)*f^2*x^2)/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))^2) - (2*b^4*f^2*x^2)/(a^3*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) - (b^3*E^(c + d*x)*f^2*x^2)/(a^2*(a^2 + b^2)*d*(1 + E^(2*c + 2*d*x))) - (2*b^5*e^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d) - (b^3*e^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (2*b^3*f^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (4*b^5*e*f*x*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d) - (2*b^3*e*f*x*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) - (2*b^5*f^2*x^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d) - (b^3*f^2*x^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (3*b*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*d) - (b*f^2*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(a^2*d^3) - (2*b*f^2*x*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) + (6*b*f*(e + f*x)*ArcTanh[E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) + (4*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d) - (2*b^2*(e + f*x)^2*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a^3*d) + (b*f^2*x*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a^2*d^2) - (b*f*(e + f*x)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a^2*d^2) - (f^2*ArcTanh[Cosh[2*c + 2*d*x]])/(a*d^3) + (3*b*(e + f*x)^2*Csch[c + d*x])/(2*a^2*d) - (2*f*(e + f*x)*Csch[2*c + 2*d*x])/(a*d^2) - (2*(e + f*x)^2*Coth[2*c + 2*d*x]*Csch[2*c + 2*d*x])/(a*d) + (4*b^4*e*f*x*Log[1 + E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d) - (2*b^4*(2*a^2 + b^2)*e*f*x*Log[1 + E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d) + (2*b^4*f^2*x^2*Log[1 + E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d) - (b^4*(2*a^2 + b^2)*f^2*x^2*Log[1 + E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d) - (b^6*(e + f*x)^2*Log[1 + ((a - Sqrt[a^2 + b^2])*E^(-c - d*x))/b])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d) - (b^6*(e + f*x)^2*Log[1 + ((a + Sqrt[a^2 + b^2])*E^(-c - d*x))/b])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d) + (2*b^4*e^2*Log[1 + E^(2*c + 2*d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d) - (b^4*(2*a^2 + b^2)*e^2*Log[1 + E^(2*c + 2*d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d) - (b^4*f^2*Log[1 + E^(2*c + 2*d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^3) + (b^2*f^2*Log[Cosh[c + d*x]])/(a^3*d^3) - (2*b^4*e*f*PolyLog[2, -E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (b^4*(2*a^2 + b^2)*e*f*PolyLog[2, -E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (2*b^4*f^2*x*PolyLog[2, -E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^2) + (b^4*(2*a^2 + b^2)*f^2*x*PolyLog[2, -E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (2*b^6*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -(((a - Sqrt[a^2 + b^2])*E^(-c - d*x))/b)])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (2*b^6*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -(((a + Sqrt[a^2 + b^2])*E^(-c - d*x))/b)])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (2*b*f^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) + ((2*I)*b^5*e*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (I*b^3*e*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + ((2*I)*b^5*f^2*x*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (I*b^3*f^2*x*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - ((3*I)*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) - ((2*I)*b^5*e*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (I*b^3*e*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - ((2*I)*b^5*f^2*x*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (I*b^3*f^2*x*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + ((3*I)*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^2*d^2) - (2*b*f^2*PolyLog[2, E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) + (2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d^2) - (b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(a^3*d^2) - (2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d^2) + (b^2*f*(e + f*x)*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(a^3*d^2) - (b^4*f^2*PolyLog[3, -E^(-2*c - 2*d*x)])/(a^3*(a^2 + b^2)*d^3) + (b^4*(2*a^2 + b^2)*f^2*PolyLog[3, -E^(-2*c - 2*d*x)])/(2*a^3*(a^2 + b^2)^2*d^3) + (2*b^6*f^2*PolyLog[3, -(((a - Sqrt[a^2 + b^2])*E^(-c - d*x))/b)])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d^3) + (2*b^6*f^2*PolyLog[3, -(((a + Sqrt[a^2 + b^2])*E^(-c - d*x))/b)])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d^3) + ((3*I)*b*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) - ((2*I)*b^5*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d^3) - (I*b^3*f^2*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - ((3*I)*b*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a^2*d^3) + ((2*I)*b^5*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d^3) + (I*b^3*f^2*PolyLog[3, I*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (f^2*PolyLog[3, -E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d^3) + (b^2*f^2*PolyLog[3, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^3*d^3) + (f^2*PolyLog[3, E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d^3) - (b^2*f^2*PolyLog[3, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^3*d^3) + (b*f*(e + f*x)*Sech[c + d*x])/(a^2*d^2) - (b*(e + f*x)^2*Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x]^2)/(2*a^2*d) - (b^2*f*(e + f*x)*Tanh[c + d*x])/(a^3*d^2) - (b^2*(e + f*x)^2*Tanh[c + d*x]^2)/(2*a^3*d)} *)
+{((e + f*x)*Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 65, (b^2*f*x)/(2*a^3*d) + (3*b*f*x*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*d) - (2*b^5*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d) - (b^3*(e + f*x)*ArcTan[E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)*d) - (3*b*f*x*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*a^2*d) + (3*b*(e + f*x)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*a^2*d) - (2*b^2*f*x*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a^3*d) + (4*(e + f*x)*ArcTanh[E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d) + (b*f*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a^2*d^2) + (3*b*(e + f*x)*Csch[c + d*x])/(2*a^2*d) - (f*Csch[2*c + 2*d*x])/(a*d^2) - (2*(e + f*x)*Coth[2*c + 2*d*x]*Csch[2*c + 2*d*x])/(a*d) - (b^6*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d) - (b^6*(e + f*x)*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d) + (b^6*(e + f*x)*Log[1 + E^(2*(c + d*x))])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d) - (b^2*f*x*Log[Tanh[c + d*x]])/(a^3*d) + (b^2*(e + f*x)*Log[Tanh[c + d*x]])/(a^3*d) - (3*I*b*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(2*a^2*d^2) + (I*b^5*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (I*b^3*f*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x)])/(2*a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (3*I*b*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(2*a^2*d^2) - (I*b^5*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(a^2*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (I*b^3*f*PolyLog[2, I*E^(c + d*x)])/(2*a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (b^6*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d^2) - (b^6*f*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (b^6*f*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x))])/(2*a^3*(a^2 + b^2)^2*d^2) + (f*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d^2) - (b^2*f*PolyLog[2, -E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^3*d^2) - (f*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(a*d^2) + (b^2*f*PolyLog[2, E^(2*c + 2*d*x)])/(2*a^3*d^2) + (b*f*Sech[c + d*x])/(2*a^2*d^2) - (b^3*f*Sech[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (b^4*(e + f*x)*Sech[c + d*x]^2)/(2*a^3*(a^2 + b^2)*d) - (b*(e + f*x)*Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x]^2)/(2*a^2*d) - (b^2*f*Tanh[c + d*x])/(2*a^3*d^2) + (b^4*f*Tanh[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 + b^2)*d^2) - (b^3*(e + f*x)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 + b^2)*d) - (b^2*(e + f*x)*Tanh[c + d*x]^2)/(2*a^3*d)}
+{(Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x]^3)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 9, (b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*(a^2 + b^2)*d) + (b*(a^2 + 2*b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) + (b*Csch[c + d*x])/(a^2*d) - Csch[c + d*x]^2/(2*a*d) + (a*(2*a^2 + 3*b^2)*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^2*d) - ((2*a^2 - b^2)*Log[Sinh[c + d*x]])/(a^3*d) - (b^6*Log[a + b*Sinh[c + d*x]])/(a^3*(a^2 + b^2)^2*d) - (Sech[c + d*x]^2*(a - b*Sinh[c + d*x]))/(2*(a^2 + b^2)*d)}
+{(Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x]^3)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[(Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x]^3)/((e + f*x)*(a + b*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n Csch[c+d x]^p / (a+b Sinh[c+d x])^2*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.1 Hyperbolic sine/6.1.3 (e x)^m (a+b sinh(c+d x^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.1 Hyperbolic sine/6.1.3 (e x)^m (a+b sinh(c+d x^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..d92591ec
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.1 Hyperbolic sine/6.1.3 (e x)^m (a+b sinh(c+d x^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,273 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sinh[c+d x^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sinh[c+d x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Sinh[c+d x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*Sinh[a + b*x^2], x, 3, (x^2*Cosh[a + b*x^2])/(2*b) - Sinh[a + b*x^2]/(2*b^2)}
+{x^2*Sinh[a + b*x^2], x, 4, (x*Cosh[a + b*x^2])/(2*b) - (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]*x])/(E^a*(8*b^(3/2))) - (E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x])/(8*b^(3/2))}
+{x*Sinh[a + b*x^2], x, 2, Cosh[a + b*x^2]/(2*b)}
+{Sinh[a + b*x^2], x, 3, -((Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]*x])/(E^a*(4*Sqrt[b]))) + (E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x])/(4*Sqrt[b])}
+{Sinh[a + b*x^2]/x, x, 3, (1/2)*CoshIntegral[b*x^2]*Sinh[a] + (1/2)*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x^2]}
+{Sinh[a + b*x^2]/x^2, x, 4, ((1/2)*Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]*x])/E^a + (1/2)*Sqrt[b]*E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x] - Sinh[a + b*x^2]/x}
+{Sinh[a + b*x^2]/x^3, x, 5, (1/2)*b*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x^2] - Sinh[a + b*x^2]/(2*x^2) + (1/2)*b*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x^2]}
+
+
+{x^3*Sinh[a + b*x^2]^2, x, 3, -(x^4/8) + (x^2*Cosh[a + b*x^2]*Sinh[a + b*x^2])/(4*b) - Sinh[a + b*x^2]^2/(8*b^2)}
+{x^2*Sinh[a + b*x^2]^2, x, 6, -(x^3/6) + (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[b]*x])/(E^(2*a)*(32*b^(3/2))) - (E^(2*a)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[b]*x])/(32*b^(3/2)) + (x*Sinh[2*a + 2*b*x^2])/(8*b)}
+{x*Sinh[a + b*x^2]^2, x, 3, -(x^2/4) + (Cosh[a + b*x^2]*Sinh[a + b*x^2])/(4*b)}
+{Sinh[a + b*x^2]^2, x, 5, -(x/2) + (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[b]*x])/(E^(2*a)*(8*Sqrt[b])) + (E^(2*a)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[b]*x])/(8*Sqrt[b])}
+{Sinh[a + b*x^2]^2/x, x, 5, (1/4)*Cosh[2*a]*CoshIntegral[2*b*x^2] - Log[x]/2 + (1/4)*Sinh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x^2]}
+{Sinh[a + b*x^2]^2/x^2, x, 6, ((-(1/2))*Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[b]*x])/E^(2*a) + (1/2)*Sqrt[b]*E^(2*a)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[b]*x] - Sinh[a + b*x^2]^2/x}
+{Sinh[a + b*x^2]^2/x^3, x, 7, 1/(4*x^2) - Cosh[2*(a + b*x^2)]/(4*x^2) + (1/2)*b*CoshIntegral[2*b*x^2]*Sinh[2*a] + (1/2)*b*Cosh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x^2]}
+
+
+{x^3*Sinh[a + b*x^2]^3, x, 4, -((x^2*Cosh[a + b*x^2])/(3*b)) + Sinh[a + b*x^2]/(3*b^2) + (x^2*Cosh[a + b*x^2]*Sinh[a + b*x^2]^2)/(6*b) - Sinh[a + b*x^2]^3/(18*b^2)}
+{x^2*Sinh[a + b*x^2]^3, x, 10, -((3*x*Cosh[a + b*x^2])/(8*b)) + (x*Cosh[3*a + 3*b*x^2])/(24*b) + (3*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]*x])/(E^a*(32*b^(3/2))) - (Sqrt[Pi/3]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[b]*x])/(E^(3*a)*(96*b^(3/2))) + (3*E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x])/(32*b^(3/2)) - (E^(3*a)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[b]*x])/(96*b^(3/2))}
+{x*Sinh[a + b*x^2]^3, x, 3, -(Cosh[a + b*x^2]/(2*b)) + Cosh[a + b*x^2]^3/(6*b)}
+{Sinh[a + b*x^2]^3, x, 8, (3*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]*x])/(E^a*(16*Sqrt[b])) - (Sqrt[Pi/3]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[b]*x])/(E^(3*a)*(16*Sqrt[b])) - (3*E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x])/(16*Sqrt[b]) + (E^(3*a)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[b]*x])/(16*Sqrt[b])}
+{Sinh[a + b*x^2]^3/x, x, 8, (-(3/8))*CoshIntegral[b*x^2]*Sinh[a] + (1/8)*CoshIntegral[3*b*x^2]*Sinh[3*a] - (3/8)*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x^2] + (1/8)*Cosh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x^2]}
+{Sinh[a + b*x^2]^3/x^2, x, 9, ((-(3/8))*Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]*x])/E^a + ((1/8)*Sqrt[b]*Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[b]*x])/E^(3*a) - (3/8)*Sqrt[b]*E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x] + (1/8)*Sqrt[b]*E^(3*a)*Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[b]*x] - Sinh[a + b*x^2]^3/x}
+{Sinh[a + b*x^2]^3/x^3, x, 12, (-(3/8))*b*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x^2] + (3/8)*b*Cosh[3*a]*CoshIntegral[3*b*x^2] + (3*Sinh[a + b*x^2])/(8*x^2) - Sinh[3*(a + b*x^2)]/(8*x^2) - (3/8)*b*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x^2] + (3/8)*b*Sinh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x^2]}
+
+
+{x*Sinh[a + b*x^2]^7, x, 3, -(Cosh[a + b*x^2]/(2*b)) + Cosh[a + b*x^2]^3/(2*b) - (3*Cosh[a + b*x^2]^5)/(10*b) + Cosh[a + b*x^2]^7/(14*b)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sinh[c+d x^2])^p with m symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*Sinh[a + b*x^2]^p, x, 0, Unintegrable[(e*x)^m*Sinh[a + b*x^2]^p, x]}
+
+
+{(e*x)^m*Sinh[a + b*x^2]^3, x, 8, -((3^(-(1/2) - m/2)*E^(3*a)*(e*x)^(1 + m)*((-b)*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, -3*b*x^2])/(16*e)) + (3*E^a*(e*x)^(1 + m)*((-b)*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, (-b)*x^2])/(16*e) - (3*(e*x)^(1 + m)*(b*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, b*x^2])/(E^a*(16*e)) + (3^(-(1/2) - m/2)*(e*x)^(1 + m)*(b*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, 3*b*x^2])/(E^(3*a)*(16*e))}
+{(e*x)^m*Sinh[a + b*x^2]^2, x, 5, -((e*x)^(1 + m)/(2*e*(1 + m))) - (2^(-(7/2) - m/2)*E^(2*a)*(e*x)^(1 + m)*((-b)*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, -2*b*x^2])/e - (2^(-(7/2) - m/2)*(e*x)^(1 + m)*(b*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, 2*b*x^2])/(E^(2*a)*e)}
+{(e*x)^m*Sinh[a + b*x^2]^1, x, 3, -((E^a*(e*x)^(1 + m)*((-b)*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, (-b)*x^2])/(4*e)) + ((e*x)^(1 + m)*(b*x^2)^((1/2)*(-1 - m))*Gamma[(1 + m)/2, b*x^2])/(E^a*(4*e))}
+{(e*x)^m/Sinh[a + b*x^2]^1, x, 1, ((e*x)^m*Unintegrable[x^m*Csch[a + b*x^2], x])/x^m}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sinh[c+d x^3])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sinh[c+d x^4])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Sinh[c+d x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*Sinh[a + b*x^4], x, 2, Cosh[a + b*x^4]/(4*b)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sinh[c+d / x^1])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Sinh[c+d / x])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sinh[a + b/x]*x^2, x, 7, (1/6)*b*x^2*Cosh[a + b/x] - (1/6)*b^3*Cosh[a]*CoshIntegral[b/x] + (1/6)*b^2*x*Sinh[a + b/x] + (1/3)*x^3*Sinh[a + b/x] - (1/6)*b^3*Sinh[a]*SinhIntegral[b/x]}
+{Sinh[a + b/x]*x^1, x, 6, (1/2)*b*x*Cosh[a + b/x] - (1/2)*b^2*CoshIntegral[b/x]*Sinh[a] + (1/2)*x^2*Sinh[a + b/x] - (1/2)*b^2*Cosh[a]*SinhIntegral[b/x]}
+{Sinh[a + b/x]*x^0, x, 5, (-b)*Cosh[a]*CoshIntegral[b/x] + x*Sinh[a + b/x] - b*Sinh[a]*SinhIntegral[b/x]}
+{Sinh[a + b/x]/x^1, x, 3, (-CoshIntegral[b/x])*Sinh[a] - Cosh[a]*SinhIntegral[b/x]}
+{Sinh[a + b/x]/x^2, x, 2, -(Cosh[a + b/x]/b)}
+{Sinh[a + b/x]/x^3, x, 3, -(Cosh[a + b/x]/(b*x)) + Sinh[a + b/x]/b^2}
+{Sinh[a + b/x]/x^4, x, 4, -((2*Cosh[a + b/x])/b^3) - Cosh[a + b/x]/(b*x^2) + (2*Sinh[a + b/x])/(b^2*x)}
+{Sinh[a + b/x]/x^5, x, 5, -(Cosh[a + b/x]/(b*x^3)) - (6*Cosh[a + b/x])/(b^3*x) + (6*Sinh[a + b/x])/b^4 + (3*Sinh[a + b/x])/(b^2*x^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sinh[c+d / x])^p with m symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*Sinh[a + b/x]^3, x, 9, (-(1/8))*3^(1 + m)*b*E^(3*a)*(-(b/x))^m*(e*x)^m*Gamma[-1 - m, -((3*b)/x)] + (3/8)*b*E^a*(-(b/x))^m*(e*x)^m*Gamma[-1 - m, -(b/x)] + ((3/8)*b*(b/x)^m*(e*x)^m*Gamma[-1 - m, b/x])/E^a - ((1/8)*3^(1 + m)*b*(b/x)^m*(e*x)^m*Gamma[-1 - m, (3*b)/x])/E^(3*a)}
+{(e*x)^m*Sinh[a + b/x]^2, x, 6, -((x*(e*x)^m)/(2*(1 + m))) - 2^(-1 + m)*b*E^(2*a)*(-(b/x))^m*(e*x)^m*Gamma[-1 - m, -((2*b)/x)] + (2^(-1 + m)*b*(b/x)^m*(e*x)^m*Gamma[-1 - m, (2*b)/x])/E^(2*a)}
+{(e*x)^m*Sinh[a + b/x]^1, x, 4, (-(1/2))*b*E^a*(-(b/x))^m*(e*x)^m*Gamma[-1 - m, -(b/x)] - ((1/2)*b*(b/x)^m*(e*x)^m*Gamma[-1 - m, b/x])/E^a}
+{(e*x)^m/Sinh[a + b/x]^1, x, 1, ((e*x)^m*Unintegrable[x^m*Csch[a + b/x], x])/x^m}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sinh[c+d / x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Sinh[c+d / x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sinh[a + b/x^2]*x^4, x, 7, (2/15)*b*x^3*Cosh[a + b/x^2] - ((2/15)*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]/x])/E^a - (2/15)*b^(5/2)*E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]/x] + (4/15)*b^2*x*Sinh[a + b/x^2] + (1/5)*x^5*Sinh[a + b/x^2]}
+{Sinh[a + b/x^2]*x^3, x, 6, (1/4)*b*x^2*Cosh[a + b/x^2] - (1/4)*b^2*CoshIntegral[b/x^2]*Sinh[a] + (1/4)*x^4*Sinh[a + b/x^2] - (1/4)*b^2*Cosh[a]*SinhIntegral[b/x^2]}
+{Sinh[a + b/x^2]*x^2, x, 6, (2/3)*b*x*Cosh[a + b/x^2] + ((1/3)*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]/x])/E^a - (1/3)*b^(3/2)*E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]/x] + (1/3)*x^3*Sinh[a + b/x^2]}
+{Sinh[a + b/x^2]*x^1, x, 5, (-(1/2))*b*Cosh[a]*CoshIntegral[b/x^2] + (1/2)*x^2*Sinh[a + b/x^2] - (1/2)*b*Sinh[a]*SinhIntegral[b/x^2]}
+{Sinh[a + b/x^2]*x^0, x, 5, ((-(1/2))*Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]/x])/E^a - (1/2)*Sqrt[b]*E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]/x] + x*Sinh[a + b/x^2]}
+{Sinh[a + b/x^2]/x^1, x, 3, (-(1/2))*CoshIntegral[b/x^2]*Sinh[a] - (1/2)*Cosh[a]*SinhIntegral[b/x^2]}
+{Sinh[a + b/x^2]/x^2, x, 4, (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]/x])/(E^a*(4*Sqrt[b])) - (E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]/x])/(4*Sqrt[b])}
+{Sinh[a + b/x^2]/x^3, x, 2, -(Cosh[a + b/x^2]/(2*b))}
+{Sinh[a + b/x^2]/x^4, x, 5, -(Cosh[a + b/x^2]/(2*b*x)) + (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]/x])/(E^a*(8*b^(3/2))) + (E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]/x])/(8*b^(3/2))}
+{Sinh[a + b/x^2]/x^5, x, 3, -(Cosh[a + b/x^2]/(2*b*x^2)) + Sinh[a + b/x^2]/(2*b^2)}
+{Sinh[a + b/x^2]/x^6, x, 6, -(Cosh[a + b/x^2]/(2*b*x^3)) + (3*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]/x])/(E^a*(16*b^(5/2))) - (3*E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]/x])/(16*b^(5/2)) + (3*Sinh[a + b/x^2])/(4*b^2*x)}
+{Sinh[a + b/x^2]/x^7, x, 4, -(Cosh[a + b/x^2]/b^3) - Cosh[a + b/x^2]/(2*b*x^4) + Sinh[a + b/x^2]/(b^2*x^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sinh[c+d / x])^p with m symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*Sinh[a + b/x^2]^3, x, 9, (1/16)*3^((1 + m)/2)*E^(3*a)*(-(b/x^2))^((1 + m)/2)*x*(e*x)^m*Gamma[(1/2)*(-1 - m), -((3*b)/x^2)] - (3/16)*E^a*(-(b/x^2))^((1 + m)/2)*x*(e*x)^m*Gamma[(1/2)*(-1 - m), -(b/x^2)] + ((3/16)*(b/x^2)^((1 + m)/2)*x*(e*x)^m*Gamma[(1/2)*(-1 - m), b/x^2])/E^a - ((1/16)*3^((1 + m)/2)*(b/x^2)^((1 + m)/2)*x*(e*x)^m*Gamma[(1/2)*(-1 - m), (3*b)/x^2])/E^(3*a)}
+{(e*x)^m*Sinh[a + b/x^2]^2, x, 6, -((x*(e*x)^m)/(2*(1 + m))) + 2^((1/2)*(-5 + m))*E^(2*a)*(-(b/x^2))^((1 + m)/2)*x*(e*x)^m*Gamma[(1/2)*(-1 - m), -((2*b)/x^2)] + (2^((1/2)*(-5 + m))*(b/x^2)^((1 + m)/2)*x*(e*x)^m*Gamma[(1/2)*(-1 - m), (2*b)/x^2])/E^(2*a)}
+{(e*x)^m*Sinh[a + b/x^2]^1, x, 4, (1/4)*E^a*(-(b/x^2))^((1 + m)/2)*x*(e*x)^m*Gamma[(1/2)*(-1 - m), -(b/x^2)] - ((1/4)*(b/x^2)^((1 + m)/2)*x*(e*x)^m*Gamma[(1/2)*(-1 - m), b/x^2])/E^a}
+{(e*x)^m/Sinh[a + b/x^2]^1, x, 1, ((e*x)^m*Unintegrable[x^m*Csch[a + b/x^2], x])/x^m}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sinh[c+d x^(1/2)])^p*)
+
+
+{Sinh[Sqrt[x]]/Sqrt[x], x, 2, 2*Cosh[Sqrt[x]]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sinh[c+d x^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sinh[c+d x^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^2*Sinh[a + b*x^n], x, 3, -((E^a*x^3*Gamma[3/n, (-b)*x^n])/(((-b)*x^n)^(3/n)*(2*n))) + (x^3*Gamma[3/n, b*x^n])/(E^a*(b*x^n)^(3/n)*(2*n))}
+{x^1*Sinh[a + b*x^n], x, 3, -((E^a*x^2*Gamma[2/n, (-b)*x^n])/(((-b)*x^n)^(2/n)*(2*n))) + (x^2*Gamma[2/n, b*x^n])/(E^a*(b*x^n)^(2/n)*(2*n))}
+{x^0*Sinh[a + b*x^n], x, 3, -((E^a*x*Gamma[1/n, (-b)*x^n])/(((-b)*x^n)^n^(-1)*(2*n))) + (x*Gamma[1/n, b*x^n])/(E^a*(b*x^n)^n^(-1)*(2*n))}
+{Sinh[a + b*x^n]/x^1, x, 3, (CoshIntegral[b*x^n]*Sinh[a])/n + (Cosh[a]*SinhIntegral[b*x^n])/n}
+{Sinh[a + b*x^n]/x^2, x, 3, -((E^a*((-b)*x^n)^(1/n)*Gamma[-(1/n), (-b)*x^n])/(2*n*x)) + ((b*x^n)^(1/n)*Gamma[-(1/n), b*x^n])/(E^a*(2*n*x))}
+{Sinh[a + b*x^n]/x^3, x, 3, -((E^a*((-b)*x^n)^(2/n)*Gamma[-(2/n), (-b)*x^n])/(2*n*x^2)) + ((b*x^n)^(2/n)*Gamma[-(2/n), b*x^n])/(E^a*(2*n*x^2))}
+
+
+{x^2*Sinh[a + b*x^n]^2, x, 5, -(x^3/6) - (2^(-2 - 3/n)*E^(2*a)*x^3*Gamma[3/n, -2*b*x^n])/(((-b)*x^n)^(3/n)*n) - (2^(-2 - 3/n)*x^3*Gamma[3/n, 2*b*x^n])/(E^(2*a)*(b*x^n)^(3/n)*n)}
+{x^1*Sinh[a + b*x^n]^2, x, 5, -(x^2/4) - (4^(-1 - 1/n)*E^(2*a)*x^2*Gamma[2/n, -2*b*x^n])/(((-b)*x^n)^(2/n)*n) - (4^(-1 - 1/n)*x^2*Gamma[2/n, 2*b*x^n])/(E^(2*a)*(b*x^n)^(2/n)*n)}
+{x^0*Sinh[a + b*x^n]^2, x, 5, -(x/2) - (2^(-2 - 1/n)*E^(2*a)*x*Gamma[1/n, -2*b*x^n])/(((-b)*x^n)^n^(-1)*n) - (2^(-2 - 1/n)*x*Gamma[1/n, 2*b*x^n])/(E^(2*a)*(b*x^n)^n^(-1)*n)}
+{Sinh[a + b*x^n]^2/x^1, x, 5, (Cosh[2*a]*CoshIntegral[2*b*x^n])/(2*n) - Log[x]/2 + (Sinh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x^n])/(2*n)}
+{Sinh[a + b*x^n]^2/x^2, x, 5, 1/(2*x) - (2^(-2 + 1/n)*E^(2*a)*((-b)*x^n)^(1/n)*Gamma[-(1/n), -2*b*x^n])/(n*x) - (2^(-2 + 1/n)*(b*x^n)^(1/n)*Gamma[-(1/n), 2*b*x^n])/(E^(2*a)*(n*x))}
+
+
+{x^2*Sinh[a + b*x^n]^3, x, 8, -((E^(3*a)*x^3*Gamma[3/n, -3*b*x^n])/(3^(3/n)*((-b)*x^n)^(3/n)*(8*n))) + (3*E^a*x^3*Gamma[3/n, (-b)*x^n])/(((-b)*x^n)^(3/n)*(8*n)) - (3*x^3*Gamma[3/n, b*x^n])/(E^a*(b*x^n)^(3/n)*(8*n)) + (x^3*Gamma[3/n, 3*b*x^n])/(3^(3/n)*E^(3*a)*(b*x^n)^(3/n)*(8*n))}
+{x^1*Sinh[a + b*x^n]^3, x, 8, -((E^(3*a)*x^2*Gamma[2/n, -3*b*x^n])/(9^n^(-1)*((-b)*x^n)^(2/n)*(8*n))) + (3*E^a*x^2*Gamma[2/n, (-b)*x^n])/(((-b)*x^n)^(2/n)*(8*n)) - (3*x^2*Gamma[2/n, b*x^n])/(E^a*(b*x^n)^(2/n)*(8*n)) + (x^2*Gamma[2/n, 3*b*x^n])/(9^n^(-1)*E^(3*a)*(b*x^n)^(2/n)*(8*n))}
+{x^0*Sinh[a + b*x^n]^3, x, 8, -((E^(3*a)*x*Gamma[1/n, -3*b*x^n])/(3^n^(-1)*((-b)*x^n)^n^(-1)*(8*n))) + (3*E^a*x*Gamma[1/n, (-b)*x^n])/(((-b)*x^n)^n^(-1)*(8*n)) - (3*x*Gamma[1/n, b*x^n])/(E^a*(b*x^n)^n^(-1)*(8*n)) + (x*Gamma[1/n, 3*b*x^n])/(3^n^(-1)*E^(3*a)*(b*x^n)^n^(-1)*(8*n))}
+{Sinh[a + b*x^n]^3/x^1, x, 8, -((3*CoshIntegral[b*x^n]*Sinh[a])/(4*n)) + (CoshIntegral[3*b*x^n]*Sinh[3*a])/(4*n) - (3*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x^n])/(4*n) + (Cosh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x^n])/(4*n)}
+{Sinh[a + b*x^n]^3/x^2, x, 8, -((3^(1/n)*E^(3*a)*((-b)*x^n)^(1/n)*Gamma[-(1/n), -3*b*x^n])/(8*n*x)) + (3*E^a*((-b)*x^n)^(1/n)*Gamma[-(1/n), (-b)*x^n])/(8*n*x) - (3*(b*x^n)^(1/n)*Gamma[-(1/n), b*x^n])/(E^a*(8*n*x)) + (3^(1/n)*(b*x^n)^(1/n)*Gamma[-(1/n), 3*b*x^n])/(E^(3*a)*(8*n*x))}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sinh[c+d x^n])^p with m symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*(b*Sinh[c + d*x^n])^p, x, 0, Unintegrable[(e*x)^m*(b*Sinh[c + d*x^n])^p, x]}
+{(e*x)^m*(a + b*Sinh[c + d*x^n])^p, x, 0, Unintegrable[(e*x)^m*(a + b*Sinh[c + d*x^n])^p, x]}
+
+
+{(e*x)^(n - 1)*(b*Sinh[c + d*x^n])^p, x, 3, ((e*x)^n*Cosh[c + d*x^n]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, -Sinh[c + d*x^n]^2]*(b*Sinh[c + d*x^n])^(1 + p))/(x^n*(b*d*e*n*(1 + p)*Sqrt[Cosh[c + d*x^n]^2]))}
+{(e*x)^(2*n - 1)*(b*Sinh[c + d*x^n])^p, x, 1, ((e*x)^(2*n)*Unintegrable[x^(-1 + 2*n)*(b*Sinh[c + d*x^n])^p, x])/(x^(2*n)*e)}
+
+{(e*x)^(n - 1)*(a + b*Sinh[c + d*x^n])^p, x, 5, (I*Sqrt[2]*(e*x)^n*AppellF1[1/2, 1/2, -p, 3/2, (1/2)*(1 - I*Sinh[c + d*x^n]), (b*(1 - I*Sinh[c + d*x^n]))/(I*a + b)]*Cosh[c + d*x^n]*(a + b*Sinh[c + d*x^n])^p)/(x^n*((a + b*Sinh[c + d*x^n])/(a - I*b))^p*(d*e*n*Sqrt[1 + I*Sinh[c + d*x^n]]))}
+{(e*x)^(2*n - 1)*(a + b*Sinh[c + d*x^n])^p, x, 1, ((e*x)^(2*n)*Unintegrable[x^(-1 + 2*n)*(a + b*Sinh[c + d*x^n])^p, x])/(x^(2*n)*e)}
+
+
+{(e*x)^m*Sinh[a + b*x^n]^3, x, 8, -((E^(3*a)*(e*x)^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, -3*b*x^n])/(3^((1 + m)/n)*((-b)*x^n)^((1 + m)/n)*(8*e*n))) + (3*E^a*(e*x)^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, (-b)*x^n])/(((-b)*x^n)^((1 + m)/n)*(8*e*n)) - (3*(e*x)^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, b*x^n])/(E^a*(b*x^n)^((1 + m)/n)*(8*e*n)) + ((e*x)^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, 3*b*x^n])/(3^((1 + m)/n)*E^(3*a)*(b*x^n)^((1 + m)/n)*(8*e*n))}
+{(e*x)^m*Sinh[a + b*x^n]^2, x, 5, -((e*x)^(1 + m)/(2*e*(1 + m))) - (E^(2*a)*(e*x)^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, -2*b*x^n])/(2^((1 + m + 2*n)/n)*((-b)*x^n)^((1 + m)/n)*(e*n)) - ((e*x)^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, 2*b*x^n])/(2^((1 + m + 2*n)/n)*E^(2*a)*(b*x^n)^((1 + m)/n)*(e*n))}
+{(e*x)^m*Sinh[a + b*x^n]^1, x, 3, -((E^a*(e*x)^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, (-b)*x^n])/(((-b)*x^n)^((1 + m)/n)*(2*e*n))) + ((e*x)^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, b*x^n])/(E^a*(b*x^n)^((1 + m)/n)*(2*e*n))}
+{(e*x)^m/Sinh[a + b*x^n]^2, x, 1, ((e*x)^m*Unintegrable[x^m*Csch[a + b*x^n]^2, x])/x^m}
+
+
+{Sinh[a + b*x^n]^1/x^(n + 1), x, 5, (b*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x^n])/n - Sinh[a + b*x^n]/(x^n*n) + (b*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x^n])/n}
+{Sinh[a + b*x^n]^2/x^(n + 1), x, 7, 1/(x^n*(2*n)) - Cosh[2*(a + b*x^n)]/(x^n*(2*n)) + (b*CoshIntegral[2*b*x^n]*Sinh[2*a])/n + (b*Cosh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x^n])/n}
+{Sinh[a + b*x^n]^3/x^(n + 1), x, 12, -((3*b*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x^n])/(4*n)) + (3*b*Cosh[3*a]*CoshIntegral[3*b*x^n])/(4*n) + (3*Sinh[a + b*x^n])/(x^n*(4*n)) - Sinh[3*(a + b*x^n)]/(x^n*(4*n)) - (3*b*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x^n])/(4*n) + (3*b*Sinh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x^n])/(4*n)}
+
+
+{x^(n/2 - 1)*Sinh[a + b*x^n], x, 4, -((Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]*x^(n/2)])/(E^a*(2*Sqrt[b]*n))) + (E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x^(n/2)])/(2*Sqrt[b]*n)}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Sinh[a+b (c+d x)^n]*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Sinh[a+b (c+d x)^n]*)
+
+
+{x^2*Sinh[(a + b*x)^2], x, 12, -((a*Cosh[(a + b*x)^2])/b^3) + ((a + b*x)*Cosh[(a + b*x)^2])/(2*b^3) - (Sqrt[Pi]*Erf[a + b*x])/(8*b^3) - (a^2*Sqrt[Pi]*Erf[a + b*x])/(4*b^3) - (Sqrt[Pi]*Erfi[a + b*x])/(8*b^3) + (a^2*Sqrt[Pi]*Erfi[a + b*x])/(4*b^3)}
+{x^1*Sinh[(a + b*x)^2], x, 8, Cosh[(a + b*x)^2]/(2*b^2) + (a*Sqrt[Pi]*Erf[a + b*x])/(4*b^2) - (a*Sqrt[Pi]*Erfi[a + b*x])/(4*b^2)}
+{x^0*Sinh[(a + b*x)^2], x, 4, -((Sqrt[Pi]*Erf[a + b*x])/(4*b)) + (Sqrt[Pi]*Erfi[a + b*x])/(4*b)}
+{Sinh[(a + b*x)^2]/x^1, x, 1, b*CannotIntegrate[Sinh[(a + b*x)^2]/(b*x), x]}
+{Sinh[(a + b*x)^2]/x^2, x, 1, Unintegrable[Sinh[(a + b*x)^2]/x^2, x], b^2*CannotIntegrate[Sinh[(a + b*x)^2]/(b^2*x^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Sinh[a+b (c+d x)^(n/2)]*)
+
+
+{Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]]*x^2, x, 16, (240*Sqrt[c + d*x]*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^5*d^3) - (24*c*Sqrt[c + d*x]*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^3*d^3) + (2*c^2*Sqrt[c + d*x]*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^3) + (40*(c + d*x)^(3/2)*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^3*d^3) - (4*c*(c + d*x)^(3/2)*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^3) + (2*(c + d*x)^(5/2)*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^3) - (240*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^6*d^3) + (24*c*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^4*d^3) - (2*c^2*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^3) - (120*(c + d*x)*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^4*d^3) + (12*c*(c + d*x)*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^3) - (10*(c + d*x)^2*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^3)}
+{Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]]*x^1, x, 10, (12*Sqrt[c + d*x]*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^3*d^2) - (2*c*Sqrt[c + d*x]*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^2) + (2*(c + d*x)^(3/2)*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^2) - (12*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^4*d^2) + (2*c*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^2) - (6*(c + d*x)*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^2)}
+{Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]]*x^0, x, 4, (2*Sqrt[c + d*x]*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d) - (2*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d)}
+{Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]]/x^1, x, 10, CoshIntegral[b*(Sqrt[c] + Sqrt[c + d*x])]*Sinh[a - b*Sqrt[c]] + CoshIntegral[b*(Sqrt[c] - Sqrt[c + d*x])]*Sinh[a + b*Sqrt[c]] - Cosh[a + b*Sqrt[c]]*SinhIntegral[b*(Sqrt[c] - Sqrt[c + d*x])] + Cosh[a - b*Sqrt[c]]*SinhIntegral[b*(Sqrt[c] + Sqrt[c + d*x])]}
+{Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]]/x^2, x, 11, (b*d*Cosh[a + b*Sqrt[c]]*CoshIntegral[b*(Sqrt[c] - Sqrt[c + d*x])])/(2*Sqrt[c]) - (b*d*Cosh[a - b*Sqrt[c]]*CoshIntegral[b*(Sqrt[c] + Sqrt[c + d*x])])/(2*Sqrt[c]) - Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]]/x - (b*d*Sinh[a + b*Sqrt[c]]*SinhIntegral[b*(Sqrt[c] - Sqrt[c + d*x])])/(2*Sqrt[c]) - (b*d*Sinh[a - b*Sqrt[c]]*SinhIntegral[b*(Sqrt[c] + Sqrt[c + d*x])])/(2*Sqrt[c])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Sinh[a+b (c+d x)^(n/3)]*)
+
+
+{Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)]*x^2, x, 23, (120960*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^9*d^3) + (6*c^2*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^3) - (720*c*(c + d*x)^(1/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^5*d^3) + (60480*(c + d*x)^(2/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^7*d^3) + (3*c^2*(c + d*x)^(2/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^3) - (120*c*(c + d*x)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^3) + (5040*(c + d*x)^(4/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^5*d^3) - (6*c*(c + d*x)^(5/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^3) + (168*(c + d*x)^2*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^3) + (3*(c + d*x)^(8/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^3) + (720*c*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^6*d^3) - (120960*(c + d*x)^(1/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^8*d^3) - (6*c^2*(c + d*x)^(1/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^3) + (360*c*(c + d*x)^(2/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^4*d^3) - (20160*(c + d*x)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^6*d^3) + (30*c*(c + d*x)^(4/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^3) - (1008*(c + d*x)^(5/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^4*d^3) - (24*(c + d*x)^(7/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^3)}
+{Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)]*x^1, x, 13, -((6*c*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^2)) + (360*(c + d*x)^(1/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^5*d^2) - (3*c*(c + d*x)^(2/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^2) + (60*(c + d*x)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^2) + (3*(c + d*x)^(5/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^2) - (360*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^6*d^2) + (6*c*(c + d*x)^(1/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^2) - (180*(c + d*x)^(2/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^4*d^2) - (15*(c + d*x)^(4/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^2)}
+{Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)]*x^0, x, 5, (6*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d) + (3*(c + d*x)^(2/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d) - (6*(c + d*x)^(1/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d)}
+{Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)]/x^1, x, 13, CoshIntegral[b*(c^(1/3) - (c + d*x)^(1/3))]*Sinh[a + b*c^(1/3)] + CoshIntegral[b*((-1)^(1/3)*c^(1/3) + (c + d*x)^(1/3))]*Sinh[a - (-1)^(1/3)*b*c^(1/3)] + CoshIntegral[(-b)*((-1)^(2/3)*c^(1/3) - (c + d*x)^(1/3))]*Sinh[a + (-1)^(2/3)*b*c^(1/3)] - Cosh[a + b*c^(1/3)]*SinhIntegral[b*(c^(1/3) - (c + d*x)^(1/3))] - Cosh[a + (-1)^(2/3)*b*c^(1/3)]*SinhIntegral[b*((-1)^(2/3)*c^(1/3) - (c + d*x)^(1/3))] + Cosh[a - (-1)^(1/3)*b*c^(1/3)]*SinhIntegral[b*((-1)^(1/3)*c^(1/3) + (c + d*x)^(1/3))]}
+{Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)]/x^2, x, 14, (b*d*Cosh[a + b*c^(1/3)]*CoshIntegral[b*(c^(1/3) - (c + d*x)^(1/3))])/(3*c^(2/3)) + ((-1)^(2/3)*b*d*Cosh[a + (-1)^(2/3)*b*c^(1/3)]*CoshIntegral[(-b)*((-1)^(2/3)*c^(1/3) - (c + d*x)^(1/3))])/(3*c^(2/3)) - ((-1)^(1/3)*b*d*Cosh[a - (-1)^(1/3)*b*c^(1/3)]*CoshIntegral[b*((-1)^(1/3)*c^(1/3) + (c + d*x)^(1/3))])/(3*c^(2/3)) - Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)]/x - (b*d*Sinh[a + b*c^(1/3)]*SinhIntegral[b*(c^(1/3) - (c + d*x)^(1/3))])/(3*c^(2/3)) - ((-1)^(2/3)*b*d*Sinh[a + (-1)^(2/3)*b*c^(1/3)]*SinhIntegral[b*((-1)^(2/3)*c^(1/3) - (c + d*x)^(1/3))])/(3*c^(2/3)) - ((-1)^(1/3)*b*d*Sinh[a - (-1)^(1/3)*b*c^(1/3)]*SinhIntegral[b*((-1)^(1/3)*c^(1/3) + (c + d*x)^(1/3))])/(3*c^(2/3))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.1 Hyperbolic sine/6.1.4 (d+e x)^m sinh(a+b x+c x^2)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.1 Hyperbolic sine/6.1.4 (d+e x)^m sinh(a+b x+c x^2)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..22949ce2
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.1 Hyperbolic sine/6.1.4 (d+e x)^m sinh(a+b x+c x^2)^n.m	
@@ -0,0 +1,64 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m Sinh[a+b x+c x^2]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m Sinh[a+b x+c x^2]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^2*Sinh[a + b*x + c*x^2], x, 12, -((b*Cosh[a + b*x + c*x^2])/(4*c^2)) + (x*Cosh[a + b*x + c*x^2])/(2*c) - (b^2*E^(-a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(16*c^(5/2)) - (E^(-a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2)) + (b^2*E^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(16*c^(5/2)) - (E^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2))}
+{x*Sinh[a + b*x + c*x^2], x, 6, Cosh[a + b*x + c*x^2]/(2*c) + (b*E^(-a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2)) - (b*E^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2))}
+{Sinh[a + b*x + c*x^2], x, 5, -((E^(-a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c])) + (E^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c])}
+{Sinh[a + b*x + c*x^2]/x, x, 0, Unintegrable[Sinh[a + b*x + c*x^2]/x, x]}
+{Sinh[a + b*x + c*x^2]/x^2 - b*Cosh[a + b*x + c*x^2]/x, x, 7, (1/2)*Sqrt[c]*E^(-a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])] + (1/2)*Sqrt[c]*E^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])] - Sinh[a + b*x + c*x^2]/x}
+
+{x^2*Sinh[a + b*x - c*x^2], x, 12, -((b*Cosh[a + b*x - c*x^2])/(4*c^2)) - (x*Cosh[a + b*x - c*x^2])/(2*c) - (b^2*E^(a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(16*c^(5/2)) - (E^(a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2)) + (b^2*E^(-a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(16*c^(5/2)) - (E^(-a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2))}
+{x*Sinh[a + b*x - c*x^2], x, 6, -(Cosh[a + b*x - c*x^2]/(2*c)) - (b*E^(a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2)) + (b*E^(-a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2))}
+{Sinh[a + b*x - c*x^2], x, 5, -((E^(a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c])) + (E^(-a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c])}
+{Sinh[a + b*x - c*x^2]/x, x, 0, Unintegrable[Sinh[a + b*x - c*x^2]/x, x]}
+{Sinh[a + b*x - c*x^2]/x^2 - b*Cosh[a + b*x - c*x^2]/x, x, 7, (1/2)*Sqrt[c]*E^(a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])] + (1/2)*Sqrt[c]*E^(-a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])] - Sinh[a + b*x - c*x^2]/x}
+
+{x^2*Sinh[1/4 + x + x^2], x, 12, (-(1/4))*Cosh[1/4 + x + x^2] + (1/2)*x*Cosh[1/4 + x + x^2] + (3/16)*Sqrt[Pi]*Erf[(1/2)*(-1 - 2*x)] - (1/16)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*x)]}
+{x*Sinh[1/4 + x + x^2], x, 6, (1/2)*Cosh[1/4 + x + x^2] - (1/8)*Sqrt[Pi]*Erf[(1/2)*(-1 - 2*x)] - (1/8)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*x)]}
+{Sinh[1/4 + x + x^2], x, 5, (1/4)*Sqrt[Pi]*Erf[(1/2)*(-1 - 2*x)] + (1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*x)]}
+{Sinh[1/4 + x + x^2]/x, x, 0, Unintegrable[Sinh[1/4 + x + x^2]/x, x]}
+{Sinh[1/4 + x + x^2]/x^2, x, 6, (-(1/2))*Sqrt[Pi]*Erf[(1/2)*(-1 - 2*x)] + (1/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*x)] + Unintegrable[Cosh[1/4 + x + x^2]/x, x] - Sinh[1/4 + x + x^2]/x}
+
+
+{x^2*Sinh[a + b*x + c*x^2]^2, x, 14, -(x^3/6) + (b^2*E^(-2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(5/2)) + (E^(-2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(3/2)) + (b^2*E^(2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(5/2)) - (E^(2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(3/2)) - (b*Sinh[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(16*c^2) + (x*Sinh[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(8*c)}
+{x*Sinh[a + b*x + c*x^2]^2, x, 8, -(x^2/4) - (b*E^(-2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(16*c^(3/2)) - (b*E^(2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(16*c^(3/2)) + Sinh[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2]/(8*c)}
+{Sinh[a + b*x + c*x^2]^2, x, 7, -(x/2) + (E^(-2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(8*Sqrt[c]) + (E^(2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(8*Sqrt[c])}
+{Sinh[a + b*x + c*x^2]^2/x, x, 2, (1/2)*Unintegrable[Cosh[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2]/x, x] - Log[x]/2}
+
+{x^2*Sinh[a + b*x - c*x^2]^2, x, 14, -(x^3/6) - (b^2*E^(2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b - 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(5/2)) - (E^(2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b - 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(3/2)) - (b^2*E^(-2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b - 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(5/2)) + (E^(-2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b - 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(3/2)) - (b*Sinh[2*a + 2*b*x - 2*c*x^2])/(16*c^2) - (x*Sinh[2*a + 2*b*x - 2*c*x^2])/(8*c)}
+{x*Sinh[a + b*x - c*x^2]^2, x, 8, -(x^2/4) - (b*E^(2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b - 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(16*c^(3/2)) - (b*E^(-2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b - 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(16*c^(3/2)) - Sinh[2*a + 2*b*x - 2*c*x^2]/(8*c)}
+{Sinh[a + b*x - c*x^2]^2, x, 7, -(x/2) - (E^(2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b - 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(8*Sqrt[c]) - (E^(-2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b - 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(8*Sqrt[c])}
+{Sinh[a + b*x - c*x^2]^2/x, x, 2, (1/2)*Unintegrable[Cosh[2*a + 2*b*x - 2*c*x^2]/x, x] - Log[x]/2}
+
+{x^2*Sinh[1/4 + x + x^2]^2, x, 14, -(x^3/6) + (1/16)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(1 + 2*x)/Sqrt[2]] - (1/16)*Sinh[1/2 + 2*x + 2*x^2] + (1/8)*x*Sinh[1/2 + 2*x + 2*x^2]}
+{x*Sinh[1/4 + x + x^2]^2, x, 8, -(x^2/4) - (1/16)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(1 + 2*x)/Sqrt[2]] - (1/16)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(1 + 2*x)/Sqrt[2]] + (1/8)*Sinh[1/2 + 2*x + 2*x^2]}
+{Sinh[1/4 + x + x^2]^2, x, 7, -(x/2) + (1/8)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(1 + 2*x)/Sqrt[2]] + (1/8)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(1 + 2*x)/Sqrt[2]]}
+{Sinh[1/4 + x + x^2]^2/x, x, 2, (1/2)*Unintegrable[Cosh[1/2 + 2*x + 2*x^2]/x, x] - Log[x]/2}
+
+
+{(d + e*x)^2*Sinh[a + b*x + c*x^2], x, 12, (e*(2*c*d - b*e)*Cosh[a + b*x + c*x^2])/(4*c^2) + (e*(d + e*x)*Cosh[a + b*x + c*x^2])/(2*c) - (e^2*E^(-a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2)) - ((2*c*d - b*e)^2*E^(-a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(16*c^(5/2)) - (e^2*E^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2)) + ((2*c*d - b*e)^2*E^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(16*c^(5/2))}
+{(d + e*x)*Sinh[a + b*x + c*x^2], x, 6, (e*Cosh[a + b*x + c*x^2])/(2*c) - ((2*c*d - b*e)*E^(-a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2)) + ((2*c*d - b*e)*E^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2))}
+{Sinh[a + b*x + c*x^2]/(d + e*x), x, 0, Unintegrable[Sinh[a + b*x + c*x^2]/(d + e*x), x]}
+
+{(d + e*x)^2*Sinh[a + b*x + c*x^2]^2, x, 14, -((d + e*x)^3/(6*e)) + (e^2*E^(-2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(3/2)) + ((2*c*d - b*e)^2*E^(-2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(5/2)) - (e^2*E^(2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(3/2)) + ((2*c*d - b*e)^2*E^(2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(5/2)) + (e*(2*c*d - b*e)*Sinh[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(16*c^2) + (e*(d + e*x)*Sinh[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(8*c)}
+{(d + e*x)*Sinh[a + b*x + c*x^2]^2, x, 8, -((d + e*x)^2/(4*e)) + ((2*c*d - b*e)*E^(-2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(16*c^(3/2)) + ((2*c*d - b*e)*E^(2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(16*c^(3/2)) + (e*Sinh[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(8*c)}
+{Sinh[a + b*x + c*x^2]^2/(d + e*x), x, 2, (1/2)*Unintegrable[Cosh[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2]/(d + e*x), x] - Log[d + e*x]/(2*e)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m Sinh[a+b x+c x^2]^(n/2)*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.1 Hyperbolic sine/6.1.5 Hyperbolic sine functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.1 Hyperbolic sine/6.1.5 Hyperbolic sine functions.m
new file mode 100644
index 00000000..6b456785
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.1 Hyperbolic sine/6.1.5 Hyperbolic sine functions.m	
@@ -0,0 +1,734 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration Problems Involving Hyperbolic Sines*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[c+d x]^m (a+b Sinh[c+d x])^n (A+B Sinh[c+d x]+C Sinh[c+d x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[a+b x]^n*)
+
+
+{Sinh[a + b*x], x, 1, Cosh[a + b*x]/b}
+{Sinh[a + b*x]^2, x, 2, -(x/2) + (Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b)}
+{Sinh[a + b*x]^3, x, 2, -(Cosh[a + b*x]/b) + Cosh[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Sinh[a + b*x]^4, x, 3, (3*x)/8 - (3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(8*b) + (Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3)/(4*b)}
+{Sinh[a + b*x]^5, x, 2, Cosh[a + b*x]/b - (2*Cosh[a + b*x]^3)/(3*b) + Cosh[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Sinh[a + b*x]^6, x, 4, -((5*x)/16) + (5*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(16*b) - (5*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3)/(24*b) + (Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^5)/(6*b)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[a+b x]^(n/2)*)
+
+
+{Sinh[a + b*x]^(7/2), x, 4, -((10*I*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])/(21*b*Sqrt[Sinh[a + b*x]])) - (10*Cosh[a + b*x]*Sqrt[Sinh[a + b*x]])/(21*b) + (2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^(5/2))/(7*b)}
+{Sinh[a + b*x]^(5/2), x, 3, (6*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[Sinh[a + b*x]])/(5*b*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]]) + (2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^(3/2))/(5*b)}
+{Sinh[a + b*x]^(3/2), x, 3, (2*I*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])/(3*b*Sqrt[Sinh[a + b*x]]) + (2*Cosh[a + b*x]*Sqrt[Sinh[a + b*x]])/(3*b)}
+{Sinh[a + b*x]^(1/2), x, 2, -((2*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[Sinh[a + b*x]])/(b*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]]))}
+{1/Sinh[a + b*x]^(1/2), x, 2, -((2*I*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])/(b*Sqrt[Sinh[a + b*x]]))}
+{1/Sinh[a + b*x]^(3/2), x, 3, -((2*Cosh[a + b*x])/(b*Sqrt[Sinh[a + b*x]])) - (2*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[Sinh[a + b*x]])/(b*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])}
+{1/Sinh[a + b*x]^(5/2), x, 3, -((2*Cosh[a + b*x])/(3*b*Sinh[a + b*x]^(3/2))) + (2*I*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])/(3*b*Sqrt[Sinh[a + b*x]])}
+{1/Sinh[a + b*x]^(7/2), x, 4, -((2*Cosh[a + b*x])/(5*b*Sinh[a + b*x]^(5/2))) + (6*Cosh[a + b*x])/(5*b*Sqrt[Sinh[a + b*x]]) + (6*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[Sinh[a + b*x]])/(5*b*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Sinh[a+b x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n/2*)
+
+
+{(b*Sinh[c + d*x])^(7/2), x, 4, -((10*I*b^4*EllipticF[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]])/(21*d*Sqrt[b*Sinh[c + d*x]])) - (10*b^3*Cosh[c + d*x]*Sqrt[b*Sinh[c + d*x]])/(21*d) + (2*b*Cosh[c + d*x]*(b*Sinh[c + d*x])^(5/2))/(7*d)}
+{(b*Sinh[c + d*x])^(5/2), x, 3, (6*I*b^2*EllipticE[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2]*Sqrt[b*Sinh[c + d*x]])/(5*d*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]]) + (2*b*Cosh[c + d*x]*(b*Sinh[c + d*x])^(3/2))/(5*d)}
+{(b*Sinh[c + d*x])^(3/2),x, 3, (2*I*b^2*EllipticF[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]])/(3*d*Sqrt[b*Sinh[c + d*x]]) + (2*b*Cosh[c + d*x]*Sqrt[b*Sinh[c + d*x]])/(3*d)}
+{(b*Sinh[c + d*x])^(1/2), x, 2, -((2*I*EllipticE[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2]*Sqrt[b*Sinh[c + d*x]])/(d*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]]))}
+{1/(b*Sinh[c + d*x])^(1/2), x, 2, -((2*I*EllipticF[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]])/(d*Sqrt[b*Sinh[c + d*x]]))}
+{1/(b*Sinh[c + d*x])^(3/2), x, 3, -((2*Cosh[c + d*x])/(b*d*Sqrt[b*Sinh[c + d*x]])) - (2*I*EllipticE[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2]*Sqrt[b*Sinh[c + d*x]])/(b^2*d*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]])}
+{1/(b*Sinh[c + d*x])^(5/2), x, 3, -((2*Cosh[c + d*x])/(3*b*d*(b*Sinh[c + d*x])^(3/2))) + (2*I*EllipticF[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]])/(3*b^2*d*Sqrt[b*Sinh[c + d*x]])}
+{1/(b*Sinh[c + d*x])^(7/2), x, 4, -((2*Cosh[c + d*x])/(5*b*d*(b*Sinh[c + d*x])^(5/2))) + (6*Cosh[c + d*x])/(5*b^3*d*Sqrt[b*Sinh[c + d*x]]) + (6*I*EllipticE[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2]*Sqrt[b*Sinh[c + d*x]])/(5*b^4*d*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]])}
+
+
+{(I*Sinh[c + d*x])^(7/2), x, 3, -((10*I*EllipticF[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2])/(21*d)) + (10*I*Cosh[c + d*x]*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]])/(21*d) + (2*I*Cosh[c + d*x]*(I*Sinh[c + d*x])^(5/2))/(7*d)}
+{(I*Sinh[c + d*x])^(5/2), x, 2, -((6*I*EllipticE[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2])/(5*d)) + (2*I*Cosh[c + d*x]*(I*Sinh[c + d*x])^(3/2))/(5*d)}
+{(I*Sinh[c + d*x])^(3/2),x, 2, -((2*I*EllipticF[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2])/(3*d)) + (2*I*Cosh[c + d*x]*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]])/(3*d)}
+{(I*Sinh[c + d*x])^(1/2), x, 1, -((2*I*EllipticE[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2])/d)}
+{1/(I*Sinh[c + d*x])^(1/2), x, 1, -((2*I*EllipticF[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2])/d)}
+{1/(I*Sinh[c + d*x])^(3/2), x, 2, (2*I*EllipticE[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2])/d + (2*I*Cosh[c + d*x])/(d*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]])}
+{1/(I*Sinh[c + d*x])^(5/2), x, 2, -((2*I*EllipticF[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2])/(3*d)) + (2*I*Cosh[c + d*x])/(3*d*(I*Sinh[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(I*Sinh[c + d*x])^(7/2), x, 3, (6*I*EllipticE[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2])/(5*d) + (2*I*Cosh[c + d*x])/(5*d*(I*Sinh[c + d*x])^(5/2)) + (6*I*Cosh[c + d*x])/(5*d*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n/3*)
+
+
+{(b*Sinh[c + d*x])^(4/3),x, 1, (3*Cosh[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 7/6, 13/6, -Sinh[c + d*x]^2]*(b*Sinh[c + d*x])^(7/3))/(7*b*d*Sqrt[Cosh[c + d*x]^2])}
+{(b*Sinh[c + d*x])^(2/3),x, 1, (3*Cosh[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 5/6, 11/6, -Sinh[c + d*x]^2]*(b*Sinh[c + d*x])^(5/3))/(5*b*d*Sqrt[Cosh[c + d*x]^2])}
+{(b*Sinh[c + d*x])^(1/3),x, 1, (3*Cosh[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 2/3, 5/3, -Sinh[c + d*x]^2]*(b*Sinh[c + d*x])^(4/3))/(4*b*d*Sqrt[Cosh[c + d*x]^2])}
+{1/(b*Sinh[c + d*x])^(1/3),x, 1, (3*Cosh[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/3, 1/2, 4/3, -Sinh[c + d*x]^2]*(b*Sinh[c + d*x])^(2/3))/(2*b*d*Sqrt[Cosh[c + d*x]^2])}
+{1/(b*Sinh[c + d*x])^(2/3),x, 1, (3*Cosh[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/6, 1/2, 7/6, -Sinh[c + d*x]^2]*(b*Sinh[c + d*x])^(1/3))/(b*d*Sqrt[Cosh[c + d*x]^2])}
+{1/(b*Sinh[c + d*x])^(4/3),x, 1, -((3*Cosh[c + d*x]*Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, -Sinh[c + d*x]^2])/(b*d*Sqrt[Cosh[c + d*x]^2]*(b*Sinh[c + d*x])^(1/3)))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n symbolic*)
+
+
+{(b*Sinh[c + d*x])^n, x, 1, (Cosh[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Sinh[c + d*x]^2]*(b*Sinh[c + d*x])^(1 + n))/(b*d*(1 + n)*Sqrt[Cosh[c + d*x]^2])}
+
+
+{(I*Sinh[c + d*x])^n, x, 1, -((I*Cosh[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Sinh[c + d*x]^2]*(I*Sinh[c + d*x])^(1 + n))/(d*(1 + n)*Sqrt[Cosh[c + d*x]^2]))}
+{(-I*Sinh[c + d*x])^n, x, 1, (I*Cosh[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, -Sinh[c + d*x]^2]*((-I)*Sinh[c + d*x])^(1 + n))/(d*(1 + n)*Sqrt[Cosh[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[c+d x]^m (a+b Sinh[c+d x])^n when a^2+b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sinh[x]^4/(I + Sinh[x]), x, 6, (3*I*x)/2 - 4*Cosh[x] + (4*Cosh[x]^3)/3 - (3/2)*I*Cosh[x]*Sinh[x] - (Cosh[x]*Sinh[x]^3)/(I + Sinh[x])}
+{Sinh[x]^3/(I + Sinh[x]), x, 2, -((3*x)/2) - 2*I*Cosh[x] + (3/2)*Cosh[x]*Sinh[x] - (Cosh[x]*Sinh[x]^2)/(I + Sinh[x])}
+{Sinh[x]^2/(I + Sinh[x]), x, 3, (-I)*x + Cosh[x] + (I*Cosh[x])/(I + Sinh[x])}
+{Sinh[x]^1/(I + Sinh[x]), x, 2, x - Cosh[x]/(I + Sinh[x])}
+{Csch[x]^1/(I + Sinh[x]), x, 3, I*ArcTanh[Cosh[x]] + Cosh[x]/(I + Sinh[x])}
+{Csch[x]^2/(I + Sinh[x]), x, 5, -ArcTanh[Cosh[x]] + 2*I*Coth[x] + Coth[x]/(I + Sinh[x])}
+{Csch[x]^3/(I + Sinh[x]), x, 6, (-(3/2))*I*ArcTanh[Cosh[x]] - 2*Coth[x] + (3/2)*I*Coth[x]*Csch[x] + (Coth[x]*Csch[x])/(I + Sinh[x])}
+{Csch[x]^4/(I + Sinh[x]), x, 6, (3/2)*ArcTanh[Cosh[x]] - 4*I*Coth[x] + (4/3)*I*Coth[x]^3 - (3/2)*Coth[x]*Csch[x] + (Coth[x]*Csch[x]^2)/(I + Sinh[x])}
+
+
+{Sinh[x]^4/(I + Sinh[x])^2, x, 3, -((7*x)/2) - (16/3)*I*Cosh[x] + (7/2)*Cosh[x]*Sinh[x] - (Cosh[x]*Sinh[x]^3)/(3*(I + Sinh[x])^2) - (8*Cosh[x]*Sinh[x]^2)/(3*(I + Sinh[x]))}
+{Sinh[x]^3/(I + Sinh[x])^2, x, 6, -2*I*x + (4*Cosh[x])/3 - (Cosh[x]*Sinh[x]^2)/(3*(I + Sinh[x])^2) + (2*I*Cosh[x])/(I + Sinh[x])}
+{Sinh[x]^2/(I + Sinh[x])^2, x, 3, x + (I*Cosh[x])/(3*(I + Sinh[x])^2) - (5*Cosh[x])/(3*(I + Sinh[x]))}
+{Sinh[x]^1/(I + Sinh[x])^2, x, 2, -(Cosh[x]/(3*(I + Sinh[x])^2)) - (2*I*Cosh[x])/(3*(I + Sinh[x]))}
+{Csch[x]^1/(I + Sinh[x])^2, x, 4, ArcTanh[Cosh[x]] + Cosh[x]/(3*(I + Sinh[x])^2) - (4*I*Cosh[x])/(3*(I + Sinh[x]))}
+{Csch[x]^2/(I + Sinh[x])^2, x, 6, 2*I*ArcTanh[Cosh[x]] + (10*Coth[x])/3 + Coth[x]/(3*(I + Sinh[x])^2) - (2*I*Coth[x])/(I + Sinh[x])}
+{Csch[x]^3/(I + Sinh[x])^2, x, 7, (-(7/2))*ArcTanh[Cosh[x]] + (16/3)*I*Coth[x] + (7/2)*Coth[x]*Csch[x] + (Coth[x]*Csch[x])/(3*(I + Sinh[x])^2) - (8*I*Coth[x]*Csch[x])/(3*(I + Sinh[x]))}
+{Csch[x]^4/(I + Sinh[x])^2, x, 7, -5*I*ArcTanh[Cosh[x]] - 12*Coth[x] + 4*Coth[x]^3 + 5*I*Coth[x]*Csch[x] + (Coth[x]*Csch[x]^2)/(3*(I + Sinh[x])^2) - (10*I*Coth[x]*Csch[x]^2)/(3*(I + Sinh[x]))}
+
+
+{1/(1 + I*Sinh[c + d*x]), x, 1, (I*Cosh[c + d*x])/(d*(1 + I*Sinh[c + d*x]))}
+{1/(1 + I*Sinh[c + d*x])^2, x, 2, (I*Cosh[c + d*x])/(3*d*(1 + I*Sinh[c + d*x])^2) + (I*Cosh[c + d*x])/(3*d*(1 + I*Sinh[c + d*x]))}
+{1/(1 + I*Sinh[c + d*x])^3, x, 3, (I*Cosh[c + d*x])/(5*d*(1 + I*Sinh[c + d*x])^3) + (2*I*Cosh[c + d*x])/(15*d*(1 + I*Sinh[c + d*x])^2) + (2*I*Cosh[c + d*x])/(15*d*(1 + I*Sinh[c + d*x]))}
+{1/(1 + I*Sinh[c + d*x])^4, x, 4, (I*Cosh[c + d*x])/(7*d*(1 + I*Sinh[c + d*x])^4) + (3*I*Cosh[c + d*x])/(35*d*(1 + I*Sinh[c + d*x])^3) + (2*I*Cosh[c + d*x])/(35*d*(1 + I*Sinh[c + d*x])^2) + (2*I*Cosh[c + d*x])/(35*d*(1 + I*Sinh[c + d*x]))}
+
+{1/(1 - I*Sinh[c + d*x]), x, 1, -((I*Cosh[c + d*x])/(d*(1 - I*Sinh[c + d*x])))}
+{1/(1 - I*Sinh[c + d*x])^2, x, 2, -((I*Cosh[c + d*x])/(3*d*(1 - I*Sinh[c + d*x])^2)) - (I*Cosh[c + d*x])/(3*d*(1 - I*Sinh[c + d*x]))}
+{1/(1 - I*Sinh[c + d*x])^3, x, 3, -((I*Cosh[c + d*x])/(5*d*(1 - I*Sinh[c + d*x])^3)) - (2*I*Cosh[c + d*x])/(15*d*(1 - I*Sinh[c + d*x])^2) - (2*I*Cosh[c + d*x])/(15*d*(1 - I*Sinh[c + d*x]))}
+{1/(1 - I*Sinh[c + d*x])^4, x, 4, -((I*Cosh[c + d*x])/(7*d*(1 - I*Sinh[c + d*x])^4)) - (3*I*Cosh[c + d*x])/(35*d*(1 - I*Sinh[c + d*x])^3) - (2*I*Cosh[c + d*x])/(35*d*(1 - I*Sinh[c + d*x])^2) - (2*I*Cosh[c + d*x])/(35*d*(1 - I*Sinh[c + d*x]))}
+
+
+{Sinh[x]/Sqrt[a + a*I*Sinh[x]], x, 3, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[x]])])/Sqrt[a]) + (2*Cosh[x])/Sqrt[a + I*a*Sinh[x]]}
+{Sinh[x]/Sqrt[a - a*I*Sinh[x]], x, 3, -((Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - I*a*Sinh[x]])])/Sqrt[a]) + (2*Cosh[x])/Sqrt[a - I*a*Sinh[x]]}
+
+
+{(a + a*I*Sinh[c + d*x])^(5/2), x, 3, (64*I*a^3*Cosh[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (16*I*a^2*Cosh[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(15*d) + (2*I*a*Cosh[c + d*x]*(a + I*a*Sinh[c + d*x])^(3/2))/(5*d)}
+{(a + a*I*Sinh[c + d*x])^(3/2), x, 2, (8*I*a^2*Cosh[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]]) + (2*I*a*Cosh[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])/(3*d)}
+{(a + a*I*Sinh[c + d*x])^(1/2), x, 1, (2*I*a*Cosh[c + d*x])/(d*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])}
+{1/(a + a*I*Sinh[c + d*x])^(1/2), x, 2, (I*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{1/(a + a*I*Sinh[c + d*x])^(3/2), x, 3, (I*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + (I*Cosh[c + d*x])/(2*d*(a + I*a*Sinh[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*I*Sinh[c + d*x])^(5/2), x, 4, (3*I*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + (I*Cosh[c + d*x])/(4*d*(a + I*a*Sinh[c + d*x])^(5/2)) + (3*I*Cosh[c + d*x])/(16*a*d*(a + I*a*Sinh[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[c+d x]^m (a+b Sinh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sinh[x]^4/(a + b*Sinh[x]), x, 7, -((a*(2*a^2 - b^2)*x)/(2*b^4)) - (2*a^4*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^4*Sqrt[a^2 + b^2]) - ((2 - (3*a^2)/b^2)*Cosh[x])/(3*b) - (a*Cosh[x]*Sinh[x])/(2*b^2) + (Cosh[x]*Sinh[x]^2)/(3*b)}
+{Sinh[x]^3/(a + b*Sinh[x]), x, 6, ((2*a^2 - b^2)*x)/(2*b^3) + (2*a^3*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]) - (a*Cosh[x])/b^2 + (Cosh[x]*Sinh[x])/(2*b)}
+{Sinh[x]^2/(a + b*Sinh[x]), x, 6, -((a*x)/b^2) - (2*a^2*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]) + Cosh[x]/b}
+{Sinh[x]^1/(a + b*Sinh[x]), x, 4, x/b + (2*a*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b*Sqrt[a^2 + b^2])}
+{Csch[x]^1/(a + b*Sinh[x]), x, 5, -(ArcTanh[Cosh[x]]/a) + (2*b*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a*Sqrt[a^2 + b^2])}
+{Csch[x]^2/(a + b*Sinh[x]), x, 7, (b*ArcTanh[Cosh[x]])/a^2 - (2*b^2*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]) - Coth[x]/a}
+{Csch[x]^3/(a + b*Sinh[x]), x, 7, ((a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Cosh[x]])/(2*a^3) + (2*b^3*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]) + (b*Coth[x])/a^2 - (Coth[x]*Csch[x])/(2*a)}
+{Csch[x]^4/(a + b*Sinh[x]), x, 8, -((b*(a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[Cosh[x]])/(2*a^4)) - (2*b^4*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^4*Sqrt[a^2 + b^2]) + ((2*a^2 - 3*b^2)*Coth[x])/(3*a^3) + (b*Coth[x]*Csch[x])/(2*a^2) - (Coth[x]*Csch[x]^2)/(3*a)}
+
+
+{Sinh[x]^4/(a + b*Sinh[x])^2, x, 7, ((6*a^2 - b^2)*x)/(2*b^4) + (2*a^3*(3*a^2 + 4*b^2)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^4*(a^2 + b^2)^(3/2)) - (a*(3*a^2 + 2*b^2)*Cosh[x])/(b^3*(a^2 + b^2)) + ((3*a^2 + b^2)*Cosh[x]*Sinh[x])/(2*b^2*(a^2 + b^2)) - (a^2*Cosh[x]*Sinh[x]^2)/(b*(a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x]))}
+{Sinh[x]^3/(a + b*Sinh[x])^2, x, 6, -((2*a*x)/b^3) - (2*a^2*(2*a^2 + 3*b^2)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^3*(a^2 + b^2)^(3/2)) + ((2*a^2 + b^2)*Cosh[x])/(b^2*(a^2 + b^2)) - (a^2*Cosh[x]*Sinh[x])/(b*(a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x]))}
+{Sinh[x]^2/(a + b*Sinh[x])^2, x, 5, x/b^2 + (2*a*(a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^2*(a^2 + b^2)^(3/2)) - (a^2*Cosh[x])/(b*(a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x]))}
+{Sinh[x]^1/(a + b*Sinh[x])^2, x, 5, -((2*b*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(3/2)) + (a*Cosh[x])/((a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x]))}
+{Csch[x]^1/(a + b*Sinh[x])^2, x, 6, -(ArcTanh[Cosh[x]]/a^2) + (2*b*(2*a^2 + b^2)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)) + (b^2*Cosh[x])/(a*(a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x]))}
+{Csch[x]^2/(a + b*Sinh[x])^2, x, 7, (2*b*ArcTanh[Cosh[x]])/a^3 - (2*b^2*(3*a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^3*(a^2 + b^2)^(3/2)) - ((a^2 + 2*b^2)*Coth[x])/(a^2*(a^2 + b^2)) + (b^2*Coth[x])/(a*(a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x]))}
+{Csch[x]^3/(a + b*Sinh[x])^2, x, 8, ((a^2 - 6*b^2)*ArcTanh[Cosh[x]])/(2*a^4) + (2*b^3*(4*a^2 + 3*b^2)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^4*(a^2 + b^2)^(3/2)) + (b*(2*a^2 + 3*b^2)*Coth[x])/(a^3*(a^2 + b^2)) - ((a^2 + 3*b^2)*Coth[x]*Csch[x])/(2*a^2*(a^2 + b^2)) + (b^2*Coth[x]*Csch[x])/(a*(a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x]))}
+{Csch[x]^4/(a + b*Sinh[x])^2, x, 9, -((b*(a^2 - 4*b^2)*ArcTanh[Cosh[x]])/a^5) - (2*b^4*(5*a^2 + 4*b^2)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^5*(a^2 + b^2)^(3/2)) + ((2*a^4 - 7*a^2*b^2 - 12*b^4)*Coth[x])/(3*a^4*(a^2 + b^2)) + (b*(a^2 + 2*b^2)*Coth[x]*Csch[x])/(a^3*(a^2 + b^2)) - ((a^2 + 4*b^2)*Coth[x]*Csch[x]^2)/(3*a^2*(a^2 + b^2)) + (b^2*Coth[x]*Csch[x]^2)/(a*(a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x]))}
+
+
+{1/(3 + 5*I*Sinh[c + d*x]), x, 4, (I*Log[3*Cosh[(1/2)*(c + d*x)] + I*Sinh[(1/2)*(c + d*x)]])/(4*d) - (I*Log[Cosh[(1/2)*(c + d*x)] + 3*I*Sinh[(1/2)*(c + d*x)]])/(4*d)}
+{1/(3 + 5*I*Sinh[c + d*x])^2, x, 6, -((3*I*Log[3*Cosh[(1/2)*(c + d*x)] + I*Sinh[(1/2)*(c + d*x)]])/(64*d)) + (3*I*Log[Cosh[(1/2)*(c + d*x)] + 3*I*Sinh[(1/2)*(c + d*x)]])/(64*d) + (5*I*Cosh[c + d*x])/(16*d*(3 + 5*I*Sinh[c + d*x]))}
+{1/(3 + 5*I*Sinh[c + d*x])^3, x, 7, (43*I*Log[3*Cosh[(1/2)*(c + d*x)] + I*Sinh[(1/2)*(c + d*x)]])/(2048*d) - (43*I*Log[Cosh[(1/2)*(c + d*x)] + 3*I*Sinh[(1/2)*(c + d*x)]])/(2048*d) + (5*I*Cosh[c + d*x])/(32*d*(3 + 5*I*Sinh[c + d*x])^2) - (45*I*Cosh[c + d*x])/(512*d*(3 + 5*I*Sinh[c + d*x]))}
+{1/(3 + 5*I*Sinh[c + d*x])^4, x, 8, -((279*I*Log[3*Cosh[(1/2)*(c + d*x)] + I*Sinh[(1/2)*(c + d*x)]])/(32768*d)) + (279*I*Log[Cosh[(1/2)*(c + d*x)] + 3*I*Sinh[(1/2)*(c + d*x)]])/(32768*d) + (5*I*Cosh[c + d*x])/(48*d*(3 + 5*I*Sinh[c + d*x])^3) - (25*I*Cosh[c + d*x])/(512*d*(3 + 5*I*Sinh[c + d*x])^2) + (995*I*Cosh[c + d*x])/(24576*d*(3 + 5*I*Sinh[c + d*x]))}
+
+{1/(5 + 3*I*Sinh[c + d*x]), x, 1, x/4 - (I*ArcTan[Cosh[c + d*x]/(3 + I*Sinh[c + d*x])])/(2*d)}
+{1/(5 + 3*I*Sinh[c + d*x])^2, x, 3, (5*x)/64 - (5*I*ArcTan[Cosh[c + d*x]/(3 + I*Sinh[c + d*x])])/(32*d) - (3*I*Cosh[c + d*x])/(16*d*(5 + 3*I*Sinh[c + d*x]))}
+{1/(5 + 3*I*Sinh[c + d*x])^3, x, 4, (59*x)/2048 - (59*I*ArcTan[Cosh[c + d*x]/(3 + I*Sinh[c + d*x])])/(1024*d) - (3*I*Cosh[c + d*x])/(32*d*(5 + 3*I*Sinh[c + d*x])^2) - (45*I*Cosh[c + d*x])/(512*d*(5 + 3*I*Sinh[c + d*x]))}
+{1/(5 + 3*I*Sinh[c + d*x])^4, x, 5, (385*x)/32768 - (385*I*ArcTan[Cosh[c + d*x]/(3 + I*Sinh[c + d*x])])/(16384*d) - (I*Cosh[c + d*x])/(16*d*(5 + 3*I*Sinh[c + d*x])^3) - (25*I*Cosh[c + d*x])/(512*d*(5 + 3*I*Sinh[c + d*x])^2) - (311*I*Cosh[c + d*x])/(8192*d*(5 + 3*I*Sinh[c + d*x]))}
+
+
+{(a + b*Sinh[c + d*x])^5, x, 4, (1/8)*a*(8*a^4 - 40*a^2*b^2 + 15*b^4)*x + (b*(107*a^4 - 192*a^2*b^2 + 16*b^4)*Cosh[c + d*x])/(30*d) + (7*a*b^2*(22*a^2 - 23*b^2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(120*d) + (b*(47*a^2 - 16*b^2)*Cosh[c + d*x]*(a + b*Sinh[c + d*x])^2)/(60*d) + (9*a*b*Cosh[c + d*x]*(a + b*Sinh[c + d*x])^3)/(20*d) + (b*Cosh[c + d*x]*(a + b*Sinh[c + d*x])^4)/(5*d)}
+{(a + b*Sinh[c + d*x])^4, x, 3, (1/8)*(8*a^4 - 24*a^2*b^2 + 3*b^4)*x + (a*b*(19*a^2 - 16*b^2)*Cosh[c + d*x])/(6*d) + (b^2*(26*a^2 - 9*b^2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(24*d) + (7*a*b*Cosh[c + d*x]*(a + b*Sinh[c + d*x])^2)/(12*d) + (b*Cosh[c + d*x]*(a + b*Sinh[c + d*x])^3)/(4*d)}
+{(a + b*Sinh[c + d*x])^3, x, 2, (1/2)*a*(2*a^2 - 3*b^2)*x + (2*b*(4*a^2 - b^2)*Cosh[c + d*x])/(3*d) + (5*a*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(6*d) + (b*Cosh[c + d*x]*(a + b*Sinh[c + d*x])^2)/(3*d)}
+{(a + b*Sinh[c + d*x])^2, x, 1, (1/2)*(2*a^2 - b^2)*x + (2*a*b*Cosh[c + d*x])/d + (b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 2, a*x + (b*Cosh[c + d*x])/d}
+{1/(a + b*Sinh[c + d*x]), x, 3, -((2*ArcTanh[(b - a*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(Sqrt[a^2 + b^2]*d))}
+{1/(a + b*Sinh[c + d*x])^2, x, 5, -((2*a*ArcTanh[(b - a*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(3/2)*d)) - (b*Cosh[c + d*x])/((a^2 + b^2)*d*(a + b*Sinh[c + d*x]))}
+{1/(a + b*Sinh[c + d*x])^3, x, 6, -(((2*a^2 - b^2)*ArcTanh[(b - a*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(5/2)*d)) - (b*Cosh[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Sinh[c + d*x])^2) - (3*a*b*Cosh[c + d*x])/(2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Sinh[c + d*x]))}
+{1/(a + b*Sinh[c + d*x])^4, x, 7, -((a*(2*a^2 - 3*b^2)*ArcTanh[(b - a*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/((a^2 + b^2)^(7/2)*d)) - (b*Cosh[c + d*x])/(3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Sinh[c + d*x])^3) - (5*a*b*Cosh[c + d*x])/(6*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Sinh[c + d*x])^2) - (b*(11*a^2 - 4*b^2)*Cosh[c + d*x])/(6*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Sinh[c + d*x]))}
+
+
+{(a + b*Sinh[x])^(5/2), x, 7, (16/15)*a*b*Cosh[x]*Sqrt[a + b*Sinh[x]] + (2/5)*b*Cosh[x]*(a + b*Sinh[x])^(3/2) + (2*I*(23*a^2 - 9*b^2)*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[a + b*Sinh[x]])/(15*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)]) - (16*I*a*(a^2 + b^2)*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)])/(15*Sqrt[a + b*Sinh[x]])}
+{(a + b*Sinh[x])^(3/2), x, 6, (2/3)*b*Cosh[x]*Sqrt[a + b*Sinh[x]] + (8*I*a*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[a + b*Sinh[x]])/(3*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)]) - (2*I*(a^2 + b^2)*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)])/(3*Sqrt[a + b*Sinh[x]])}
+{(a + b*Sinh[x])^(1/2), x, 2, (2*I*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[a + b*Sinh[x]])/Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)]}
+{1/(a + b*Sinh[x])^(1/2), x, 2, (2*I*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)])/Sqrt[a + b*Sinh[x]]}
+{1/(a + b*Sinh[x])^(3/2), x, 4, -((2*b*Cosh[x])/((a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[x]])) + (2*I*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[a + b*Sinh[x]])/((a^2 + b^2)*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)])}
+{1/(a + b*Sinh[x])^(5/2), x, 7, -((2*b*Cosh[x])/(3*(a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x])^(3/2))) - (8*a*b*Cosh[x])/(3*(a^2 + b^2)^2*Sqrt[a + b*Sinh[x]]) + (8*I*a*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[a + b*Sinh[x]])/(3*(a^2 + b^2)^2*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)]) - (2*I*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)])/(3*(a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[x]])}
+
+
+{Sinh[x]/Sqrt[a + b*Sinh[x]], x, 5, (2*I*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[a + b*Sinh[x]])/(b*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)]) - (2*I*a*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)])/(b*Sqrt[a + b*Sinh[x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Sinh[c+d x]) (a+b Sinh[c+d x])^n when a^2+b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(A + B*Sinh[x])*(a + a*I*Sinh[x])^(5/2), x, 4, (64*a^3*(7*I*A + 5*B)*Cosh[x])/(105*Sqrt[a + I*a*Sinh[x]]) + (16/105)*a^2*(7*I*A + 5*B)*Cosh[x]*Sqrt[a + I*a*Sinh[x]] + (2/35)*a*(7*I*A + 5*B)*Cosh[x]*(a + I*a*Sinh[x])^(3/2) + (2/7)*B*Cosh[x]*(a + I*a*Sinh[x])^(5/2)}
+{(A + B*Sinh[x])*(a + a*I*Sinh[x])^(3/2), x, 3, (8*a^2*(5*I*A + 3*B)*Cosh[x])/(15*Sqrt[a + I*a*Sinh[x]]) + (2/15)*a*(5*I*A + 3*B)*Cosh[x]*Sqrt[a + I*a*Sinh[x]] + (2/5)*B*Cosh[x]*(a + I*a*Sinh[x])^(3/2)}
+{(A + B*Sinh[x])*(a + a*I*Sinh[x])^(1/2), x, 2, (2*a*(3*I*A + B)*Cosh[x])/(3*Sqrt[a + I*a*Sinh[x]]) + (2/3)*B*Cosh[x]*Sqrt[a + I*a*Sinh[x]]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(A + B*Sinh[x])/(I + Sinh[x]), x, 2, B*x - ((I*A + B)*Cosh[x])/(I + Sinh[x])}
+{(A + B*Sinh[x])/(I + Sinh[x])^2, x, 2, -(((I*A + B)*Cosh[x])/(3*(I + Sinh[x])^2)) - ((A + 2*I*B)*Cosh[x])/(3*(I + Sinh[x]))}
+{(A + B*Sinh[x])/(I + Sinh[x])^3, x, 3, -(((I*A + B)*Cosh[x])/(5*(I + Sinh[x])^3)) - ((2*A + 3*I*B)*Cosh[x])/(15*(I + Sinh[x])^2) + ((2*I*A - 3*B)*Cosh[x])/(15*(I + Sinh[x]))}
+{(A + B*Sinh[x])/(I + Sinh[x])^4, x, 4, -(((I*A + B)*Cosh[x])/(7*(I + Sinh[x])^4)) - ((3*A + 4*I*B)*Cosh[x])/(35*(I + Sinh[x])^3) + (2*(3*I*A - 4*B)*Cosh[x])/(105*(I + Sinh[x])^2) + (2*(3*A + 4*I*B)*Cosh[x])/(105*(I + Sinh[x]))}
+
+{(A + B*Sinh[x])/(I - Sinh[x]), x, 2, (-B)*x + ((I*A - B)*Cosh[x])/(I - Sinh[x])}
+{(A + B*Sinh[x])/(I - Sinh[x])^2, x, 2, ((I*A - B)*Cosh[x])/(3*(I - Sinh[x])^2) + ((A - 2*I*B)*Cosh[x])/(3*(I - Sinh[x]))}
+{(A + B*Sinh[x])/(I - Sinh[x])^3, x, 3, ((I*A - B)*Cosh[x])/(5*(I - Sinh[x])^3) + ((2*A - 3*I*B)*Cosh[x])/(15*(I - Sinh[x])^2) - ((2*I*A + 3*B)*Cosh[x])/(15*(I - Sinh[x]))}
+{(A + B*Sinh[x])/(I - Sinh[x])^4, x, 4, ((I*A - B)*Cosh[x])/(7*(I - Sinh[x])^4) + ((3*A - 4*I*B)*Cosh[x])/(35*(I - Sinh[x])^3) - (2*(3*I*A + 4*B)*Cosh[x])/(105*(I - Sinh[x])^2) - (2*(3*A - 4*I*B)*Cosh[x])/(105*(I - Sinh[x]))}
+
+
+{(A + B*Sinh[x])/(a + a*I*Sinh[x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[2]*(I*A - B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[x]])])/Sqrt[a] + (2*B*Cosh[x])/Sqrt[a + I*a*Sinh[x]]}
+{(A + B*Sinh[x])/(a + a*I*Sinh[x])^(3/2), x, 3, ((I*A + 3*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)) + ((I*A - B)*Cosh[x])/(2*(a + I*a*Sinh[x])^(3/2))}
+{(A + B*Sinh[x])/(a + a*I*Sinh[x])^(5/2), x, 4, ((3*I*A + 5*B)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Sinh[x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)) + ((I*A - B)*Cosh[x])/(4*(a + I*a*Sinh[x])^(5/2)) + ((3*I*A + 5*B)*Cosh[x])/(16*a*(a + I*a*Sinh[x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Sinh[c+d x]) (a+b Sinh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(A + B*Sinh[x])*(a + b*Sinh[x])^(5/2), x, 8, (2/105)*(56*a*A*b + 15*a^2*B - 25*b^2*B)*Cosh[x]*Sqrt[a + b*Sinh[x]] + (2/35)*(7*A*b + 5*a*B)*Cosh[x]*(a + b*Sinh[x])^(3/2) + (2/7)*B*Cosh[x]*(a + b*Sinh[x])^(5/2) + (2*I*(161*a^2*A*b - 63*A*b^3 + 15*a^3*B - 145*a*b^2*B)*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[a + b*Sinh[x]])/(105*b*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)]) - (2*I*(a^2 + b^2)*(56*a*A*b + 15*a^2*B - 25*b^2*B)*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)])/(105*b*Sqrt[a + b*Sinh[x]])}
+{(A + B*Sinh[x])*(a + b*Sinh[x])^(3/2), x, 7, (2/15)*(5*A*b + 3*a*B)*Cosh[x]*Sqrt[a + b*Sinh[x]] + (2/5)*B*Cosh[x]*(a + b*Sinh[x])^(3/2) + (2*I*(20*a*A*b + 3*a^2*B - 9*b^2*B)*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[a + b*Sinh[x]])/(15*b*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)]) - (2*I*(a^2 + b^2)*(5*A*b + 3*a*B)*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)])/(15*b*Sqrt[a + b*Sinh[x]])}
+{(A + B*Sinh[x])*(a + b*Sinh[x])^(1/2), x, 6, (2/3)*B*Cosh[x]*Sqrt[a + b*Sinh[x]] + (2*I*(3*A*b + a*B)*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[a + b*Sinh[x]])/(3*b*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)]) - (2*I*(a^2 + b^2)*B*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)])/(3*b*Sqrt[a + b*Sinh[x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(A + B*Sinh[x])/(a + b*Sinh[x]), x, 4, (B*x)/b - (2*(A*b - a*B)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b*Sqrt[a^2 + b^2])}
+{(A + B*Sinh[x])/(a + b*Sinh[x])^2, x, 5, -((2*(a*A + b*B)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(3/2)) - ((A*b - a*B)*Cosh[x])/((a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x]))}
+{(A + B*Sinh[x])/(a + b*Sinh[x])^3, x, 6, -(((2*a^2*A - A*b^2 + 3*a*b*B)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2)) - ((A*b - a*B)*Cosh[x])/(2*(a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x])^2) - ((3*a*A*b - a^2*B + 2*b^2*B)*Cosh[x])/(2*(a^2 + b^2)^2*(a + b*Sinh[x]))}
+{(A + B*Sinh[x])/(a + b*Sinh[x])^4, x, 7, -(((2*a^3*A - 3*a*A*b^2 + 4*a^2*b*B - b^3*B)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(7/2)) - ((A*b - a*B)*Cosh[x])/(3*(a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x])^3) - ((5*a*A*b - 2*a^2*B + 3*b^2*B)*Cosh[x])/(6*(a^2 + b^2)^2*(a + b*Sinh[x])^2) - ((11*a^2*A*b - 4*A*b^3 - 2*a^3*B + 13*a*b^2*B)*Cosh[x])/(6*(a^2 + b^2)^3*(a + b*Sinh[x]))}
+
+
+{(b*B/a + B*Sinh[x])/(a + b*Sinh[x]), x, 4, (B*x)/b + (2*(a^2 - b^2)*B*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a*b*Sqrt[a^2 + b^2])}
+{(a*B/b + B*Sinh[x])/(a + b*Sinh[x]), x, 2, (B*x)/b}
+
+{(a - b*Sinh[x])/(b + a*Sinh[x])^2, x, 2, -(Cosh[x]/(b + a*Sinh[x]))}
+{(2 - Sinh[x])/(2 + Sinh[x]), x, 2, -x + (4*x)/Sqrt[5] - (8*ArcTanh[Cosh[x]/(2 + Sqrt[5] + Sinh[x])])/Sqrt[5]}
+
+
+{(A + B*Sinh[x])/(a + b*Sinh[x])^(1/2), x, 5, (2*I*B*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[a + b*Sinh[x]])/(b*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)]) + (2*I*(A*b - a*B)*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)])/(b*Sqrt[a + b*Sinh[x]])}
+{(A + B*Sinh[x])/(a + b*Sinh[x])^(3/2), x, 6, -((2*(A*b - a*B)*Cosh[x])/((a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[x]])) + (2*I*(A*b - a*B)*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[a + b*Sinh[x]])/(b*(a^2 + b^2)*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)]) + (2*I*B*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)])/(b*Sqrt[a + b*Sinh[x]])}
+{(A + B*Sinh[x])/(a + b*Sinh[x])^(5/2), x, 7, -((2*(A*b - a*B)*Cosh[x])/(3*(a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x])^(3/2))) - (2*(4*a*A*b - a^2*B + 3*b^2*B)*Cosh[x])/(3*(a^2 + b^2)^2*Sqrt[a + b*Sinh[x]]) + (2*I*(4*a*A*b - a^2*B + 3*b^2*B)*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[a + b*Sinh[x]])/(3*b*(a^2 + b^2)^2*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)]) - (2*I*(A*b - a*B)*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, (2*b)/(I*a + b)]*Sqrt[(a + b*Sinh[x])/(a - I*b)])/(3*b*(a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Sinh[a+b x]^m)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Sinh[a+b x]^2)^n*)
+
+
+{(a*Sinh[x]^2)^(5/2),x, 4, (8/15)*a^2*Coth[x]*Sqrt[a*Sinh[x]^2] - (4/15)*a*Coth[x]*(a*Sinh[x]^2)^(3/2) + (1/5)*Coth[x]*(a*Sinh[x]^2)^(5/2)}
+{(a*Sinh[x]^2)^(3/2),x, 3, (-(2/3))*a*Coth[x]*Sqrt[a*Sinh[x]^2] + (1/3)*Coth[x]*(a*Sinh[x]^2)^(3/2)}
+{(a*Sinh[x]^2)^(1/2), x, 2, Coth[x]*Sqrt[a*Sinh[x]^2]}
+{1/(a*Sinh[x]^2)^(1/2), x, 2, -((ArcTanh[Cosh[x]]*Sinh[x])/Sqrt[a*Sinh[x]^2])}
+{1/(a*Sinh[x]^2)^(3/2), x, 3, -(Coth[x]/(2*a*Sqrt[a*Sinh[x]^2])) + (ArcTanh[Cosh[x]]*Sinh[x])/(2*a*Sqrt[a*Sinh[x]^2])}
+{1/(a*Sinh[x]^2)^(5/2), x, 4, -(Coth[x]/(4*a*(a*Sinh[x]^2)^(3/2))) + (3*Coth[x])/(8*a^2*Sqrt[a*Sinh[x]^2]) - (3*ArcTanh[Cosh[x]]*Sinh[x])/(8*a^2*Sqrt[a*Sinh[x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Sinh[a+b x]^3)^n*)
+
+
+{(a*Sinh[x]^3)^(5/2),x, 7, (-(26/77))*a^2*Coth[x]*Sqrt[a*Sinh[x]^3] + (26/77)*I*a^2*Csch[x]^2*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, 2]*Sqrt[I*Sinh[x]]*Sqrt[a*Sinh[x]^3] + (78/385)*a^2*Cosh[x]*Sinh[x]*Sqrt[a*Sinh[x]^3] - (26/165)*a^2*Cosh[x]*Sinh[x]^3*Sqrt[a*Sinh[x]^3] + (2/15)*a^2*Cosh[x]*Sinh[x]^5*Sqrt[a*Sinh[x]^3]}
+{(a*Sinh[x]^3)^(3/2),x, 5, (-(14/45))*a*Cosh[x]*Sqrt[a*Sinh[x]^3] + (14*I*a*Csch[x]*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, 2]*Sqrt[a*Sinh[x]^3])/(15*Sqrt[I*Sinh[x]]) + (2/9)*a*Cosh[x]*Sinh[x]^2*Sqrt[a*Sinh[x]^3]}
+{(a*Sinh[x]^3)^(1/2), x, 4, (2/3)*Coth[x]*Sqrt[a*Sinh[x]^3] - (2/3)*I*Csch[x]^2*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, 2]*Sqrt[I*Sinh[x]]*Sqrt[a*Sinh[x]^3]}
+{1/(a*Sinh[x]^3)^(1/2), x, 4, -((2*Cosh[x]*Sinh[x])/Sqrt[a*Sinh[x]^3]) + (2*I*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, 2]*Sinh[x]^2)/(Sqrt[I*Sinh[x]]*Sqrt[a*Sinh[x]^3])}
+{1/(a*Sinh[x]^3)^(3/2),x, 5, (10*Cosh[x])/(21*a*Sqrt[a*Sinh[x]^3]) - (2*Coth[x]*Csch[x])/(7*a*Sqrt[a*Sinh[x]^3]) + (10*I*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, 2]*Sqrt[I*Sinh[x]]*Sinh[x])/(21*a*Sqrt[a*Sinh[x]^3])}
+{1/(a*Sinh[x]^3)^(5/2),x, 7, -((154*Coth[x])/(585*a^2*Sqrt[a*Sinh[x]^3])) + (22*Coth[x]*Csch[x]^2)/(117*a^2*Sqrt[a*Sinh[x]^3]) - (2*Coth[x]*Csch[x]^4)/(13*a^2*Sqrt[a*Sinh[x]^3]) + (154*Cosh[x]*Sinh[x])/(195*a^2*Sqrt[a*Sinh[x]^3]) - (154*I*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, 2]*Sinh[x]^2)/(195*a^2*Sqrt[I*Sinh[x]]*Sqrt[a*Sinh[x]^3])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Sinh[a+b x]^4)^n*)
+
+
+{(a*Sinh[x]^4)^(5/2),x, 7, (63/256)*a^2*Coth[x]*Sqrt[a*Sinh[x]^4] - (63/256)*a^2*x*Csch[x]^2*Sqrt[a*Sinh[x]^4] - (21/128)*a^2*Cosh[x]*Sinh[x]*Sqrt[a*Sinh[x]^4] + (21/160)*a^2*Cosh[x]*Sinh[x]^3*Sqrt[a*Sinh[x]^4] - (9/80)*a^2*Cosh[x]*Sinh[x]^5*Sqrt[a*Sinh[x]^4] + (1/10)*a^2*Cosh[x]*Sinh[x]^7*Sqrt[a*Sinh[x]^4]}
+{(a*Sinh[x]^4)^(3/2),x, 5, (5/16)*a*Coth[x]*Sqrt[a*Sinh[x]^4] - (5/16)*a*x*Csch[x]^2*Sqrt[a*Sinh[x]^4] - (5/24)*a*Cosh[x]*Sinh[x]*Sqrt[a*Sinh[x]^4] + (1/6)*a*Cosh[x]*Sinh[x]^3*Sqrt[a*Sinh[x]^4]}
+{(a*Sinh[x]^4)^(1/2), x, 3, (1/2)*Coth[x]*Sqrt[a*Sinh[x]^4] - (1/2)*x*Csch[x]^2*Sqrt[a*Sinh[x]^4]}
+{1/(a*Sinh[x]^4)^(1/2), x, 3, -((Cosh[x]*Sinh[x])/Sqrt[a*Sinh[x]^4])}
+{1/(a*Sinh[x]^4)^(3/2),x, 3, (2*Cosh[x]^2*Coth[x])/(3*a*Sqrt[a*Sinh[x]^4]) - (Cosh[x]^2*Coth[x]^3)/(5*a*Sqrt[a*Sinh[x]^4]) - (Cosh[x]*Sinh[x])/(a*Sqrt[a*Sinh[x]^4])}
+{1/(a*Sinh[x]^4)^(5/2),x, 3, (4*Cosh[x]^2*Coth[x])/(3*a^2*Sqrt[a*Sinh[x]^4]) - (6*Cosh[x]^2*Coth[x]^3)/(5*a^2*Sqrt[a*Sinh[x]^4]) + (4*Cosh[x]^2*Coth[x]^5)/(7*a^2*Sqrt[a*Sinh[x]^4]) - (Cosh[x]^2*Coth[x]^7)/(9*a^2*Sqrt[a*Sinh[x]^4]) - (Cosh[x]*Sinh[x])/(a^2*Sqrt[a*Sinh[x]^4])}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (c Sinh[a+b x]^m)^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[c+d x]^m (a+b Sinh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[c+d x]^m (a+b Sinh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2+b^2=0*)
+
+
+{Cosh[x]^8/(I + Sinh[x]), x, 5, -((5*I*x)/16) + Cosh[x]^7/7 - (5/16)*I*Cosh[x]*Sinh[x] - (5/24)*I*Cosh[x]^3*Sinh[x] - (1/6)*I*Cosh[x]^5*Sinh[x]}
+{Cosh[x]^7/(I + Sinh[x]), x, 3, -(I - Sinh[x])^4 - (4/5)*I*(I - Sinh[x])^5 + (1/6)*(I - Sinh[x])^6}
+{Cosh[x]^6/(I + Sinh[x]), x, 4, -((3*I*x)/8) + Cosh[x]^5/5 - (3/8)*I*Cosh[x]*Sinh[x] - (1/4)*I*Cosh[x]^3*Sinh[x]}
+{Cosh[x]^5/(I + Sinh[x]), x, 3, (-I)*Sinh[x] + Sinh[x]^2/2 - (1/3)*I*Sinh[x]^3 + Sinh[x]^4/4}
+{Cosh[x]^4/(I + Sinh[x]), x, 3, -((I*x)/2) + Cosh[x]^3/3 - (1/2)*I*Cosh[x]*Sinh[x]}
+{Cosh[x]^3/(I + Sinh[x]), x, 2, (-I)*Sinh[x] + Sinh[x]^2/2}
+{Cosh[x]^2/(I + Sinh[x]), x, 2, (-I)*x + Cosh[x]}
+{Cosh[x]^1/(I + Sinh[x]), x, 2, Log[I + Sinh[x]]}
+{Sech[x]^1/(I + Sinh[x]), x, 4, (-(1/2))*I*ArcTan[Sinh[x]] - I/(2*(I + Sinh[x]))}
+{Sech[x]^2/(I + Sinh[x]), x, 3, -((I*Sech[x])/(3*(I + Sinh[x]))) - (2/3)*I*Tanh[x]}
+{Sech[x]^3/(I + Sinh[x]), x, 4, (-(3/8))*I*ArcTan[Sinh[x]] + I/(8*(I - Sinh[x])) + 1/(8*(I + Sinh[x])^2) - I/(4*(I + Sinh[x]))}
+{Sech[x]^4/(I + Sinh[x]), x, 3, -((I*Sech[x]^3)/(5*(I + Sinh[x]))) - (4/5)*I*Tanh[x] + (4/15)*I*Tanh[x]^3}
+{Sech[x]^5/(I + Sinh[x]), x, 4, (-(5/16))*I*ArcTan[Sinh[x]] - 1/(32*(I - Sinh[x])^2) + I/(8*(I - Sinh[x])) + I/(24*(I + Sinh[x])^3) + 3/(32*(I + Sinh[x])^2) - (3*I)/(16*(I + Sinh[x]))}
+
+
+{Cosh[x]^6/(I + Sinh[x])^2, x, 4, -((5*x)/8) - (5/12)*I*Cosh[x]^3 - (5/8)*Cosh[x]*Sinh[x] + Cosh[x]^5/(4*(I + Sinh[x]))}
+{Cosh[x]^5/(I + Sinh[x])^2, x, 2, (-(1/3))*(I - Sinh[x])^3}
+{Cosh[x]^4/(I + Sinh[x])^2, x, 3, -((3*x)/2) - (3/2)*I*Cosh[x] + Cosh[x]^3/(2*(I + Sinh[x]))}
+{Cosh[x]^3/(I + Sinh[x])^2, x, 3, -2*I*Log[I + Sinh[x]] + Sinh[x]}
+{Cosh[x]^2/(I + Sinh[x])^2, x, 2, x - (2*Cosh[x])/(I + Sinh[x])}
+{Cosh[x]^1/(I + Sinh[x])^2, x, 2, -(1/(I + Sinh[x]))}
+{Sech[x]^1/(I + Sinh[x])^2, x, 4, (-(1/4))*ArcTan[Sinh[x]] - I/(4*(I + Sinh[x])^2) - 1/(4*(I + Sinh[x]))}
+{Sech[x]^2/(I + Sinh[x])^2, x, 4, -((I*Sech[x])/(5*(I + Sinh[x])^2)) - Sech[x]/(5*(I + Sinh[x])) - (2*Tanh[x])/5}
+{Sech[x]^3/(I + Sinh[x])^2, x, 4, (-(1/4))*ArcTan[Sinh[x]] + 1/(16*(I - Sinh[x])) + 1/(12*(I + Sinh[x])^3) - I/(8*(I + Sinh[x])^2) - 3/(16*(I + Sinh[x]))}
+{Sech[x]^4/(I + Sinh[x])^2, x, 4, -((I*Sech[x]^3)/(7*(I + Sinh[x])^2)) - Sech[x]^3/(7*(I + Sinh[x])) - (4*Tanh[x])/7 + (4*Tanh[x]^3)/21}
+
+
+{Cosh[x]^3/(1 + I*Sinh[x])^3, x, 3, I*Log[I - Sinh[x]] + (2*I)/(1 + I*Sinh[x])}
+{Cosh[x]^2/(1 + I*Sinh[x])^3, x, 1, (I*Cosh[x]^3)/(3*(1 + I*Sinh[x])^3)}
+{Cosh[x]^1/(1 + I*Sinh[x])^3, x, 2, I/(2*(1 + I*Sinh[x])^2)}
+
+
+{Cosh[x]^3/(1 - I*Sinh[x])^3, x, 3, (-I)*Log[I + Sinh[x]] - (2*I)/(1 - I*Sinh[x])}
+{Cosh[x]^2/(1 - I*Sinh[x])^3, x, 1, -((I*Cosh[x]^3)/(3*(1 - I*Sinh[x])^3))}
+{Cosh[x]^1/(1 - I*Sinh[x])^3, x, 2, -(I/(2*(1 - I*Sinh[x])^2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2+b^2!=0*)
+
+
+{Cosh[x]^7/(a + b*Sinh[x]), x, 3, ((a^2 + b^2)^3*Log[a + b*Sinh[x]])/b^7 - (a*(a^4 + 3*a^2*b^2 + 3*b^4)*Sinh[x])/b^6 + ((a^4 + 3*a^2*b^2 + 3*b^4)*Sinh[x]^2)/(2*b^5) - (a*(a^2 + 3*b^2)*Sinh[x]^3)/(3*b^4) + ((a^2 + 3*b^2)*Sinh[x]^4)/(4*b^3) - (a*Sinh[x]^5)/(5*b^2) + Sinh[x]^6/(6*b)}
+{Cosh[x]^6/(a + b*Sinh[x]), x, 7, -((a*(8*a^4 + 20*a^2*b^2 + 15*b^4)*x)/(8*b^6)) - (2*(a^2 + b^2)^(5/2)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/b^6 + Cosh[x]^5/(5*b) + (Cosh[x]^3*(4*(a^2 + b^2) - 3*a*b*Sinh[x]))/(12*b^3) + (Cosh[x]*(8*(a^2 + b^2)^2 - a*b*(4*a^2 + 7*b^2)*Sinh[x]))/(8*b^5)}
+{Cosh[x]^5/(a + b*Sinh[x]), x, 3, ((a^2 + b^2)^2*Log[a + b*Sinh[x]])/b^5 - (a*(a^2 + 2*b^2)*Sinh[x])/b^4 + ((a^2 + 2*b^2)*Sinh[x]^2)/(2*b^3) - (a*Sinh[x]^3)/(3*b^2) + Sinh[x]^4/(4*b)}
+{Cosh[x]^4/(a + b*Sinh[x]), x, 6, -((a*(2*a^2 + 3*b^2)*x)/(2*b^4)) - (2*(a^2 + b^2)^(3/2)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/b^4 + Cosh[x]^3/(3*b) + (Cosh[x]*(2*(a^2 + b^2) - a*b*Sinh[x]))/(2*b^3)}
+{Cosh[x]^3/(a + b*Sinh[x]), x, 3, ((a^2 + b^2)*Log[a + b*Sinh[x]])/b^3 - (a*Sinh[x])/b^2 + Sinh[x]^2/(2*b)}
+{Cosh[x]^2/(a + b*Sinh[x]), x, 5, -((a*x)/b^2) - (2*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/b^2 + Cosh[x]/b}
+{Cosh[x]^1/(a + b*Sinh[x]), x, 2, Log[a + b*Sinh[x]]/b}
+{Sech[x]^1/(a + b*Sinh[x]), x, 6, (a*ArcTan[Sinh[x]])/(a^2 + b^2) - (b*Log[Cosh[x]])/(a^2 + b^2) + (b*Log[a + b*Sinh[x]])/(a^2 + b^2)}
+{Sech[x]^2/(a + b*Sinh[x]), x, 5, -((2*b^2*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(3/2)) + (Sech[x]*(b + a*Sinh[x]))/(a^2 + b^2)}
+{Sech[x]^3/(a + b*Sinh[x]), x, 7, (a*(a^2 + 3*b^2)*ArcTan[Sinh[x]])/(2*(a^2 + b^2)^2) - (b^3*Log[Cosh[x]])/(a^2 + b^2)^2 + (b^3*Log[a + b*Sinh[x]])/(a^2 + b^2)^2 + (Sech[x]^2*(b + a*Sinh[x]))/(2*(a^2 + b^2))}
+{Sech[x]^4/(a + b*Sinh[x]), x, 6, -((2*b^4*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2)) + (Sech[x]^3*(b + a*Sinh[x]))/(3*(a^2 + b^2)) + (Sech[x]*(3*b^3 + a*(2*a^2 + 5*b^2)*Sinh[x]))/(3*(a^2 + b^2)^2)}
+{Sech[x]^5/(a + b*Sinh[x]), x, 8, (a*(3*a^4 + 10*a^2*b^2 + 15*b^4)*ArcTan[Sinh[x]])/(8*(a^2 + b^2)^3) - (b^5*Log[Cosh[x]])/(a^2 + b^2)^3 + (b^5*Log[a + b*Sinh[x]])/(a^2 + b^2)^3 + (Sech[x]^4*(b + a*Sinh[x]))/(4*(a^2 + b^2)) + (Sech[x]^2*(4*b^3 + a*(3*a^2 + 7*b^2)*Sinh[x]))/(8*(a^2 + b^2)^2)}
+{Sech[x]^6/(a + b*Sinh[x]), x, 7, -((2*b^6*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(7/2)) + (Sech[x]^5*(b + a*Sinh[x]))/(5*(a^2 + b^2)) + (Sech[x]^3*(5*b^3 + a*(4*a^2 + 9*b^2)*Sinh[x]))/(15*(a^2 + b^2)^2) + (Sech[x]*(15*b^5 + a*(8*a^4 + 26*a^2*b^2 + 33*b^4)*Sinh[x]))/(15*(a^2 + b^2)^3)}
+
+
+{Cosh[x]^4/(a + b*Sinh[x])^2, x, 6, (3*(2*a^2 + b^2)*x)/(2*b^4) + (6*a*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/b^4 - (3*Cosh[x]*(2*a - b*Sinh[x]))/(2*b^3) - Cosh[x]^3/(b*(a + b*Sinh[x]))}
+{Cosh[x]^3/(a + b*Sinh[x])^2, x, 3, -((2*a*Log[a + b*Sinh[x]])/b^3) + Sinh[x]/b^2 - (a^2 + b^2)/(b^3*(a + b*Sinh[x]))}
+{Cosh[x]^2/(a + b*Sinh[x])^2, x, 5, x/b^2 + (2*a*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]) - Cosh[x]/(b*(a + b*Sinh[x]))}
+{Cosh[x]^1/(a + b*Sinh[x])^2, x, 2, -(1/(b*(a + b*Sinh[x])))}
+{Sech[x]^1/(a + b*Sinh[x])^2, x, 7, ((a^2 - b^2)*ArcTan[Sinh[x]])/(a^2 + b^2)^2 - (2*a*b*Log[Cosh[x]])/(a^2 + b^2)^2 + (2*a*b*Log[a + b*Sinh[x]])/(a^2 + b^2)^2 - b/((a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x]))}
+{Sech[x]^2/(a + b*Sinh[x])^2, x, 6, -((6*a*b^2*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2)) - (b*Sech[x])/((a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x])) + (Sech[x]*(3*a*b + (a^2 - 2*b^2)*Sinh[x]))/(a^2 + b^2)^2}
+{Sech[x]^3/(a + b*Sinh[x])^2, x, 7, ((a^4 + 6*a^2*b^2 - 3*b^4)*ArcTan[Sinh[x]])/(2*(a^2 + b^2)^3) - (4*a*b^3*Log[Cosh[x]])/(a^2 + b^2)^3 + (4*a*b^3*Log[a + b*Sinh[x]])/(a^2 + b^2)^3 + (b*(a^2 - 3*b^2))/(2*(a^2 + b^2)^2*(a + b*Sinh[x])) + (Sech[x]^2*(b + a*Sinh[x]))/(2*(a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x]))}
+{Sech[x]^4/(a + b*Sinh[x])^2, x, 7, -((10*a*b^4*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(7/2)) - (b*Sech[x]^3)/((a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x])) + (Sech[x]^3*(5*a*b + (a^2 - 4*b^2)*Sinh[x]))/(3*(a^2 + b^2)^2) + (Sech[x]*(15*a*b^3 + (2*a^4 + 9*a^2*b^2 - 8*b^4)*Sinh[x]))/(3*(a^2 + b^2)^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[c+d x]^m (a+b Sinh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2+b^2=0*)
+
+
+{Tanh[x]^4/(I + Sinh[x]), x, 6, -Sech[x] + (2*Sech[x]^3)/3 - Sech[x]^5/5 - (1/5)*I*Tanh[x]^5}
+{Tanh[x]^3/(I + Sinh[x]), x, 6, (3/8)*ArcTan[Sinh[x]] - (3/8)*Sech[x]*Tanh[x] - (1/4)*Sech[x]*Tanh[x]^3 - (1/4)*I*Tanh[x]^4}
+{Tanh[x]^2/(I + Sinh[x]), x, 5, -Sech[x] + Sech[x]^3/3 - (1/3)*I*Tanh[x]^3}
+{Tanh[x]^1/(I + Sinh[x]), x, 5, (1/2)*ArcTan[Sinh[x]] + (1/2)*I*Sech[x]^2 - (1/2)*Sech[x]*Tanh[x]}
+{Coth[x]^1/(I + Sinh[x]), x, 4, (-I)*Log[Sinh[x]] + I*Log[I + Sinh[x]]}
+{Coth[x]^2/(I + Sinh[x]), x, 4, -ArcTanh[Cosh[x]] + I*Coth[x]}
+{Coth[x]^3/(I + Sinh[x]), x, 5, -Csch[x] + (1/2)*I*Csch[x]^2}
+{Coth[x]^4/(I + Sinh[x]), x, 5, (-(1/2))*ArcTanh[Cosh[x]] + (1/3)*I*Coth[x]^3 - (1/2)*Coth[x]*Csch[x]}
+{Coth[x]^5/(I + Sinh[x]), x, 5, (1/4)*I*Coth[x]^4 - Csch[x] - Csch[x]^3/3}
+{Coth[x]^6/(I + Sinh[x]), x, 6, (-(3/8))*ArcTanh[Cosh[x]] + (1/5)*I*Coth[x]^5 - (3/8)*Coth[x]*Csch[x] - (1/4)*Coth[x]^3*Csch[x]}
+
+
+{Tanh[x]^4/(I + Sinh[x])^2, x, 10, (2/3)*I*Sech[x]^3 - (4/5)*I*Sech[x]^5 + (2/7)*I*Sech[x]^7 - Tanh[x]^5/5 + (2*Tanh[x]^7)/7}
+{Tanh[x]^3/(I + Sinh[x])^2, x, 4, (-(1/8))*I*ArcTan[Sinh[x]] - I/(16*(I - Sinh[x])) + I/(12*(I + Sinh[x])^3) - 1/(4*(I + Sinh[x])^2) - (3*I)/(16*(I + Sinh[x]))}
+{Tanh[x]^2/(I + Sinh[x])^2, x, 10, (2/3)*I*Sech[x]^3 - (2/5)*I*Sech[x]^5 - Tanh[x]^3/3 + (2*Tanh[x]^5)/5}
+{Tanh[x]^1/(I + Sinh[x])^2, x, 4, (-(1/4))*I*ArcTan[Sinh[x]] - 1/(4*(I + Sinh[x])^2) - I/(4*(I + Sinh[x]))}
+{Coth[x]^1/(I + Sinh[x])^2, x, 3, -Log[Sinh[x]] + Log[I + Sinh[x]] - I/(I + Sinh[x])}
+{Coth[x]^2/(I + Sinh[x])^2, x, If[$VersionNumber<9, 9, 7], If[$VersionNumber<9, 2*I*ArcTanh[Cosh[x]] + 3*Coth[x] - (2*I*Coth[x])/(I + Sinh[x]), 2*I*ArcTanh[Cosh[x]] + Coth[x] + (2*I*Coth[x])/(I - Csch[x])]}
+{Coth[x]^3/(I + Sinh[x])^2, x, 3, 2*I*Csch[x] + Csch[x]^2/2 + 2*Log[Sinh[x]] - 2*Log[I + Sinh[x]]}
+{Coth[x]^4/(I + Sinh[x])^2, x, 9, (-I)*ArcTanh[Cosh[x]] - 2*Coth[x] + Coth[x]^3/3 + I*Coth[x]*Csch[x]}
+{Coth[x]^5/(I + Sinh[x])^2, x, 3, (-(1/2))*Csch[x]^2 + (2/3)*I*Csch[x]^3 + Csch[x]^4/4}
+{Coth[x]^6/(I + Sinh[x])^2, x, 11, (-(1/4))*I*ArcTanh[Cosh[x]] - (2*Coth[x]^3)/3 + Coth[x]^5/5 + (1/4)*I*Coth[x]*Csch[x] + (1/2)*I*Coth[x]*Csch[x]^3}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2+b^2!=0*)
+
+
+{Tanh[x]^4/(a + b*Sinh[x]), x, 13, -((2*a^4*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2)) - (a^2*b*Sech[x])/(a^2 + b^2)^2 - (b*Sech[x])/(a^2 + b^2) + (b*Sech[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)) - (a^3*Tanh[x])/(a^2 + b^2)^2 - (a*Tanh[x]^3)/(3*(a^2 + b^2))}
+{Tanh[x]^3/(a + b*Sinh[x]), x, 7, (b*(3*a^2 + b^2)*ArcTan[Sinh[x]])/(2*(a^2 + b^2)^2) + (a^3*Log[Cosh[x]])/(a^2 + b^2)^2 - (a^3*Log[a + b*Sinh[x]])/(a^2 + b^2)^2 + (Sech[x]^2*(a - b*Sinh[x]))/(2*(a^2 + b^2))}
+{Tanh[x]^2/(a + b*Sinh[x]), x, 8, -((2*a^2*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(3/2)) - (b*Sech[x])/(a^2 + b^2) - (a*Tanh[x])/(a^2 + b^2)}
+{Tanh[x]^1/(a + b*Sinh[x]), x, 6, (b*ArcTan[Sinh[x]])/(a^2 + b^2) + (a*Log[Cosh[x]])/(a^2 + b^2) - (a*Log[a + b*Sinh[x]])/(a^2 + b^2)}
+{Coth[x]^1/(a + b*Sinh[x]), x, 4, Log[Sinh[x]]/a - Log[a + b*Sinh[x]]/a}
+{Coth[x]^2/(a + b*Sinh[x]), x, 7, (b*ArcTanh[Cosh[x]])/a^2 - (2*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/a^2 - Coth[x]/a}
+{Coth[x]^3/(a + b*Sinh[x]), x, 3, (b*Csch[x])/a^2 - Csch[x]^2/(2*a) + ((a^2 + b^2)*Log[Sinh[x]])/a^3 - ((a^2 + b^2)*Log[a + b*Sinh[x]])/a^3}
+{Coth[x]^4/(a + b*Sinh[x]), x, 7, (b*(3*a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[Cosh[x]])/(2*a^4) - (2*(a^2 + b^2)^(3/2)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/a^4 - ((4*a^2 + 3*b^2)*Coth[x])/(3*a^3) + (b*Coth[x]*Csch[x])/(2*a^2) - (Coth[x]*Csch[x]^2)/(3*a)}
+
+
+{Tanh[x]^4/(a + b*Sinh[x])^2, x, 16, -((2*a^5*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(7/2)) + (8*a^3*b^2*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(7/2) - (4*a^3*b*Sech[x])/(a^2 + b^2)^3 + (2*a*b*Sech[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2) - (a^4*b*Cosh[x])/((a^2 + b^2)^3*(a + b*Sinh[x])) + ((a^2 - b^2)*Tanh[x])/(a^2 + b^2)^2 - ((2*a^4 - 3*a^2*b^2 - b^4)*Tanh[x])/(a^2 + b^2)^3 - ((a^2 - b^2)*Tanh[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)^2)}
+{Tanh[x]^3/(a + b*Sinh[x])^2, x, 7, (a*b*(3*a^2 - b^2)*ArcTan[Sinh[x]])/(a^2 + b^2)^3 + (a^2*(a^2 - 3*b^2)*Log[Cosh[x]])/(a^2 + b^2)^3 - (a^2*(a^2 - 3*b^2)*Log[a + b*Sinh[x]])/(a^2 + b^2)^3 + a^3/((a^2 + b^2)^2*(a + b*Sinh[x])) + (Sech[x]^2*(a^2 - b^2 - 2*a*b*Sinh[x]))/(2*(a^2 + b^2)^2)}
+{Tanh[x]^2/(a + b*Sinh[x])^2, x, 13, -((2*a^3*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2)) + (4*a*b^2*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2) - (2*a*b*Sech[x])/(a^2 + b^2)^2 - (a^2*b*Cosh[x])/((a^2 + b^2)^2*(a + b*Sinh[x])) - ((a^2 - b^2)*Tanh[x])/(a^2 + b^2)^2}
+{Tanh[x]^1/(a + b*Sinh[x])^2, x, 6, (2*a*b*ArcTan[Sinh[x]])/(a^2 + b^2)^2 + ((a^2 - b^2)*Log[Cosh[x]])/(a^2 + b^2)^2 - ((a^2 - b^2)*Log[a + b*Sinh[x]])/(a^2 + b^2)^2 + a/((a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x]))}
+{Coth[x]^1/(a + b*Sinh[x])^2, x, 3, Log[Sinh[x]]/a^2 - Log[a + b*Sinh[x]]/a^2 + 1/(a*(a + b*Sinh[x]))}
+{Coth[x]^2/(a + b*Sinh[x])^2, x, 8, (2*b*ArcTanh[Cosh[x]])/a^3 - (2*(a^2 + 2*b^2)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]) - (2*Coth[x])/a^2 + Coth[x]/(a*(a + b*Sinh[x]))}
+{Coth[x]^3/(a + b*Sinh[x])^2, x, 3, (2*b*Csch[x])/a^3 - Csch[x]^2/(2*a^2) + ((a^2 + 3*b^2)*Log[Sinh[x]])/a^4 - ((a^2 + 3*b^2)*Log[a + b*Sinh[x]])/a^4 + (a^2 + b^2)/(a^3*(a + b*Sinh[x]))}
+{Coth[x]^4/(a + b*Sinh[x])^2, x, 8, (b*(3*a^2 + 4*b^2)*ArcTanh[Cosh[x]])/a^5 - (2*Sqrt[a^2 + b^2]*(a^2 + 4*b^2)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/a^5 - ((7*a^2 + 12*b^2)*Coth[x])/(3*a^4) + ((a^2 + 2*b^2)*Coth[x]*Csch[x])/(a^3*b) - ((3 + (4*b^2)/a^2)*Coth[x]*Csch[x])/(3*b*(a + b*Sinh[x])) - (Coth[x]*Csch[x]^2)/(3*a*(a + b*Sinh[x]))}
+
+
+{Coth[x]*Sqrt[a + b*Sinh[x]], x, 4, -2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[x]]/Sqrt[a]] + 2*Sqrt[a + b*Sinh[x]]}
+{Coth[x]/Sqrt[a + b*Sinh[x]], x, 3, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[x]]/Sqrt[a]])/Sqrt[a])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Hyper[c+d x]) (a+b Sinh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Cosh[c+d x]) (a+b Sinh[c+d x])^n*)
+
+
+{(A + B*Cosh[x])/(a + b*Sinh[x]), x, 7, -((2*A*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/Sqrt[a^2 + b^2]) + (B*Log[a + b*Sinh[x]])/b}
+
+{(A + B*Cosh[x])/(I + Sinh[x]), x, 5, B*Log[I + Sinh[x]] - (A*Cosh[x])/(1 - I*Sinh[x])}
+{(A + B*Cosh[x])/(I - Sinh[x]), x, 5, (-B)*Log[I - Sinh[x]] + (A*Cosh[x])/(1 + I*Sinh[x])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Tanh[c+d x]) (a+b Sinh[c+d x])^n*)
+
+
+{(A + B*Tanh[x])/(a + b*Sinh[x]), x, 11, (b*B*ArcTan[Sinh[x]])/(a^2 + b^2) - (2*A*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/Sqrt[a^2 + b^2] + (a*B*Log[Cosh[x]])/(a^2 + b^2) - (a*B*Log[a + b*Sinh[x]])/(a^2 + b^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Coth[c+d x]) (a+b Sinh[c+d x])^n*)
+
+
+{(A + B*Coth[x])/(a + b*Sinh[x]), x, 9, -((2*A*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/Sqrt[a^2 + b^2]) + (B*Log[Sinh[x]])/a - (B*Log[a + b*Sinh[x]])/a}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Sech[c+d x]) (a+b Sinh[c+d x])^n*)
+
+
+{(A + B*Sech[x])/(a + b*Sinh[x]), x, 12, (a*B*ArcTan[Sinh[x]])/(a^2 + b^2) - (2*A*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/Sqrt[a^2 + b^2] - (b*B*Log[Cosh[x]])/(a^2 + b^2) + (b*B*Log[a + b*Sinh[x]])/(a^2 + b^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Csch[c+d x]) (a+b Sinh[c+d x])^n*)
+
+
+{(A + B*Csch[x])/(a + b*Sinh[x]), x, 6, -((B*ArcTanh[Cosh[x]])/a) - (2*(a*A - b*B)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a*Sqrt[a^2 + b^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Hyper[c+d x]+C Hyper[c+d x]) (a+b Sinh[c+d x])^n*)
+
+
+{(A + B*Cosh[d + e*x] + C*Sinh[d + e*x])/(a + c*Sinh[d + e*x]), x, 7, (C*x)/c - (2*(A*c - a*C)*ArcTanh[(c - a*Tanh[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a^2 + c^2]])/(c*Sqrt[a^2 + c^2]*e) + (B*Log[a + c*Sinh[d + e*x]])/(c*e)}
+{(A + B*Cosh[d + e*x] + C*Sinh[d + e*x])/(a + c*Sinh[d + e*x])^2, x, 8, -((2*(a*A + c*C)*ArcTanh[(c - a*Tanh[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a^2 + c^2]])/((a^2 + c^2)^(3/2)*e)) - B/(c*e*(a + c*Sinh[d + e*x])) - ((A*c - a*C)*Cosh[d + e*x])/((a^2 + c^2)*e*(a + c*Sinh[d + e*x]))}
+{(A + B*Cosh[d + e*x] + C*Sinh[d + e*x])/(a + c*Sinh[d + e*x])^3, x, 9, -(((2*a^2*A - A*c^2 + 3*a*c*C)*ArcTanh[(c - a*Tanh[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a^2 + c^2]])/((a^2 + c^2)^(5/2)*e)) - B/(2*c*e*(a + c*Sinh[d + e*x])^2) - ((A*c - a*C)*Cosh[d + e*x])/(2*(a^2 + c^2)*e*(a + c*Sinh[d + e*x])^2) - ((3*a*A*c - a^2*C + 2*c^2*C)*Cosh[d + e*x])/(2*(a^2 + c^2)^2*e*(a + c*Sinh[d + e*x]))}
+{(A + B*Cosh[d + e*x] + C*Sinh[d + e*x])/(a + c*Sinh[d + e*x])^4, x, 10, -(((2*a^3*A - 3*a*A*c^2 + 4*a^2*c*C - c^3*C)*ArcTanh[(c - a*Tanh[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a^2 + c^2]])/((a^2 + c^2)^(7/2)*e)) - B/(3*c*e*(a + c*Sinh[d + e*x])^3) - ((A*c - a*C)*Cosh[d + e*x])/(3*(a^2 + c^2)*e*(a + c*Sinh[d + e*x])^3) - ((5*a*A*c - 2*a^2*C + 3*c^2*C)*Cosh[d + e*x])/(6*(a^2 + c^2)^2*e*(a + c*Sinh[d + e*x])^2) - ((11*a^2*A*c - 4*A*c^3 - 2*a^3*C + 13*a*c^2*C)*Cosh[d + e*x])/(6*(a^2 + c^2)^3*e*(a + c*Sinh[d + e*x]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cosh[c+d x]^n (a+b Sinh[c+d x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b Sinh[c+d x]^2)^p*)
+
+
+{x^3/(a + b*Sinh[x]^2), x, 13, (x^3*Log[1 + (b*E^(2*x))/(2*a - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b] - b)])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b]) - (x^3*Log[1 + (b*E^(2*x))/(2*a + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b] - b)])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b]) + (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(2*x))/(2*a - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b] - b))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a - b]) - (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(2*x))/(2*a + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b] - b))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a - b]) - (3*x*PolyLog[3, -((b*E^(2*x))/(2*a - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b] - b))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a - b]) + (3*x*PolyLog[3, -((b*E^(2*x))/(2*a + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b] - b))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a - b]) + (3*PolyLog[4, -((b*E^(2*x))/(2*a - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b] - b))])/(8*Sqrt[a]*Sqrt[a - b]) - (3*PolyLog[4, -((b*E^(2*x))/(2*a + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b] - b))])/(8*Sqrt[a]*Sqrt[a - b])}
+{x^2/(a + b*Sinh[x]^2), x, 11, (x^2*Log[1 + (b*E^(2*x))/(2*a - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b] - b)])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b]) - (x^2*Log[1 + (b*E^(2*x))/(2*a + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b] - b)])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b]) + (x*PolyLog[2, -((b*E^(2*x))/(2*a - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b] - b))])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b]) - (x*PolyLog[2, -((b*E^(2*x))/(2*a + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b] - b))])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b]) - PolyLog[3, -((b*E^(2*x))/(2*a - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b] - b))]/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a - b]) + PolyLog[3, -((b*E^(2*x))/(2*a + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b] - b))]/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a - b])}
+{x^1/(a + b*Sinh[x]^2), x, 9, (x*Log[1 + (b*E^(2*x))/(2*a - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b] - b)])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b]) - (x*Log[1 + (b*E^(2*x))/(2*a + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b] - b)])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b]) + PolyLog[2, -((b*E^(2*x))/(2*a - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b] - b))]/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a - b]) - PolyLog[2, -((b*E^(2*x))/(2*a + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a - b] - b))]/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a - b])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cosh[c+d x]^n (a+b Sinh[c+d x]^2)^p*)
+
+
+ {(Cosh[a + b*x]*(-2 + Sinh[a + b*x]^2))/x, x, 13, (-(9/4))*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x] + (1/4)*Cosh[3*a]*CoshIntegral[3*b*x] - (9/4)*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x] + (1/4)*Sinh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (1-a^2 x^2)^m Sinh[Sqrt[1-a x]/Sqrt[1+a x]]^n*)
+
+
+{Sinh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^3/(1 - a^2*x^2), x, 5, (3*SinhIntegral[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]])/(4*a) - SinhIntegral[(3*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]]/(4*a)}
+{Sinh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^2/(1 - a^2*x^2), x, 4, -(CoshIntegral[(2*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]]/(2*a)) + Log[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]/(2*a)}
+{Sinh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^1/(1 - a^2*x^2), x, 2, -(SinhIntegral[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]/a)}
+{1/(Sinh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^1*(1 - a^2*x^2)), x, 1, Unintegrable[Csch[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]/((1 - a*x)*(1 + a*x)), x]}
+{1/(Sinh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^2*(1 - a^2*x^2)), x, 1, Unintegrable[Csch[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^2/((1 - a*x)*(1 + a*x)), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Sinh[a+b Log[c x^n]]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Sinh[a+b Log[c x^n]]^p*)
+
+
+{Sinh[a + b*Log[c*x^n]], x, 1, -((b*n*x*Cosh[a + b*Log[c*x^n]])/(1 - b^2*n^2)) + (x*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(1 - b^2*n^2)}
+{Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^2, x, 2, (2*b^2*n^2*x)/(1 - 4*b^2*n^2) - (2*b*n*x*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(1 - 4*b^2*n^2) + (x*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(1 - 4*b^2*n^2)}
+{Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^3, x, 2, -((6*b^3*n^3*x*Cosh[a + b*Log[c*x^n]])/(1 - 10*b^2*n^2 + 9*b^4*n^4)) + (6*b^2*n^2*x*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(1 - 10*b^2*n^2 + 9*b^4*n^4) - (3*b*n*x*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(1 - 9*b^2*n^2) + (x*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^3)/(1 - 9*b^2*n^2)}
+{Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^4, x, 3, (24*b^4*n^4*x)/(1 - 20*b^2*n^2 + 64*b^4*n^4) - (24*b^3*n^3*x*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(1 - 20*b^2*n^2 + 64*b^4*n^4) + (12*b^2*n^2*x*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(1 - 20*b^2*n^2 + 64*b^4*n^4) - (4*b*n*x*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^3)/(1 - 16*b^2*n^2) + (x*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^4)/(1 - 16*b^2*n^2)}
+
+
+{x^m*Sinh[a + b*Log[c*x^n]], x, 1, -((b*n*x^(1 + m)*Cosh[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + m)^2 - b^2*n^2)) + ((1 + m)*x^(1 + m)*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + m)^2 - b^2*n^2)}
+{x^m*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^2, x, 2, (2*b^2*n^2*x^(1 + m))/((1 + m)*((1 + m)^2 - 4*b^2*n^2)) - (2*b*n*x^(1 + m)*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + m)^2 - 4*b^2*n^2) + ((1 + m)*x^(1 + m)*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^2)/((1 + m)^2 - 4*b^2*n^2)}
+{x^m*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^3, x, 2, -((6*b^3*n^3*x^(1 + m)*Cosh[a + b*Log[c*x^n]])/(((1 + m)^2 - 9*b^2*n^2)*((1 + m)^2 - b^2*n^2))) + (6*b^2*(1 + m)*n^2*x^(1 + m)*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(((1 + m)^2 - 9*b^2*n^2)*((1 + m)^2 - b^2*n^2)) - (3*b*n*x^(1 + m)*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^2)/((1 + m)^2 - 9*b^2*n^2) + ((1 + m)*x^(1 + m)*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^3)/((1 + m)^2 - 9*b^2*n^2)}
+{x^m*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^4, x, 3, (24*b^4*n^4*x^(1 + m))/((1 + m)*((1 + m)^2 - 16*b^2*n^2)*((1 + m)^2 - 4*b^2*n^2)) - (24*b^3*n^3*x^(1 + m)*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(((1 + m)^2 - 16*b^2*n^2)*((1 + m)^2 - 4*b^2*n^2)) + (12*b^2*(1 + m)*n^2*x^(1 + m)*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(((1 + m)^2 - 16*b^2*n^2)*((1 + m)^2 - 4*b^2*n^2)) - (4*b*n*x^(1 + m)*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^3)/((1 + m)^2 - 16*b^2*n^2) + ((1 + m)*x^(1 + m)*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^4)/((1 + m)^2 - 16*b^2*n^2)}
+
+
+{Sinh[a + b*Log[c*x^n]]/x, x, 2, Cosh[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n)}
+{Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^2/x, x, 3, -Log[x]/2 + (Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(2*b*n)}
+{Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^3/x, x, 3, -(Cosh[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n)) + Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^3/(3*b*n)}
+{Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^4/x, x, 4, 3*Log[x]/8 - (3*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(8*b*n) + (Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^3)/(4*b*n)}
+{Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^5/x, x, 3, Cosh[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n) - (2*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^3)/(3*b*n) + Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^5/(5*b*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Sinh[a+b Log[c x^n]]^(p/2)*)
+
+
+{Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)/x, x, 4, (6*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sinh[a + b*Log[c*x^n]]])/(5*b*n*Sqrt[I*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]]) + (2*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))/(5*b*n)}
+{Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)/x, x, 4, (2*I*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]])/(3*b*n*Sqrt[Sinh[a + b*Log[c*x^n]]]) + (2*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sqrt[Sinh[a + b*Log[c*x^n]]])/(3*b*n)}
+{Sqrt[Sinh[a + b*Log[c*x^n]]]/x, x, 3, -((2*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sinh[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n*Sqrt[I*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]]))}
+{1/(x*Sqrt[Sinh[a + b*Log[c*x^n]]]), x, 3, -((2*I*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n*Sqrt[Sinh[a + b*Log[c*x^n]]]))}
+{1/(x*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)), x, 4, -((2*Cosh[a + b*Log[c*x^n]])/(b*n*Sqrt[Sinh[a + b*Log[c*x^n]]])) - (2*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sinh[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n*Sqrt[I*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]])}
+{1/(x*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)), x, 4, -((2*Cosh[a + b*Log[c*x^n]])/(3*b*n*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))) + (2*I*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]])/(3*b*n*Sqrt[Sinh[a + b*Log[c*x^n]]])}
+
+
+{Sinh[a + 2/n*Log[c*x^n]]^(5/2), x, 8, (-(1/4))*x*Sinh[a + (2*Log[c*x^n])/n]^(5/2) - (5*x*Sinh[a + (2*Log[c*x^n])/n]^(5/2))/(E^(2*a)*(c*x^n)^(4/n)*(4*(1 - 1/(E^(2*a)*(c*x^n)^(4/n)))^2)) + (5*x*Sinh[a + (2*Log[c*x^n])/n]^(5/2))/(12*(1 - 1/(E^(2*a)*(c*x^n)^(4/n)))) - (5*x*ArcCsc[E^a*(c*x^n)^(2/n)]*Sinh[a + (2*Log[c*x^n])/n]^(5/2))/(E^(3*a)*(c*x^n)^(6/n)*(4*(1 - 1/(E^(2*a)*(c*x^n)^(4/n)))^(5/2)))}
+{Sqrt[Sinh[a + 2/n*Log[c*x^n]]], x, 6, (1/2)*x*Sqrt[Sinh[a + (2*Log[c*x^n])/n]] + (x*ArcCsc[E^a*(c*x^n)^(2/n)]*Sqrt[Sinh[a + (2*Log[c*x^n])/n]])/(E^a*(c*x^n)^(2/n)*(2*Sqrt[1 - 1/(E^(2*a)*(c*x^n)^(4/n))]))}
+{1/Sinh[a + 2/n*Log[c*x^n]]^(3/2), x, 3, -((x*(1 - 1/(E^(2*a)*(c*x^n)^(4/n))))/(2*Sinh[a + (2*Log[c*x^n])/n]^(3/2)))}
+{1/Sinh[a + 2/n*Log[c*x^n]]^(7/2), x, 4, -((x*(1 - 1/(E^(2*a)*(c*x^n)^(4/n))))/(6*Sinh[a + (2*Log[c*x^n])/n]^(7/2))) + (x*(1 - 1/(E^(2*a)*(c*x^n)^(4/n))))/(E^(2*a)*(c*x^n)^(4/n)*(15*Sinh[a + (2*Log[c*x^n])/n]^(7/2)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[(a+b x)/(c+d x)]^n*)
+
+
+{Sinh[a/(c + d*x)], x, 4, -((a*CoshIntegral[a/(c + d*x)])/d) + ((c + d*x)*Sinh[a/(c + d*x)])/d}
+{Sinh[a/(c + d*x)]^2, x, 5, ((c + d*x)*Sinh[a/(c + d*x)]^2)/d - (a*SinhIntegral[(2*a)/(c + d*x)])/d}
+{Sinh[a/(c + d*x)]^3, x, 6, (3*a*CoshIntegral[a/(c + d*x)])/(4*d) - (3*a*CoshIntegral[(3*a)/(c + d*x)])/(4*d) + ((c + d*x)*Sinh[a/(c + d*x)]^3)/d}
+
+
+{Sinh[b*x/(c + d*x)], x, 5, (b*c*Cosh[b/d]*CoshIntegral[(b*c)/(d*(c + d*x))])/d^2 + ((c + d*x)*Sinh[(b*x)/(c + d*x)])/d - (b*c*Sinh[b/d]*SinhIntegral[(b*c)/(d*(c + d*x))])/d^2}
+{Sinh[b*x/(c + d*x)]^2, x, 6, (b*c*CoshIntegral[(2*b*c)/(d*(c + d*x))]*Sinh[(2*b)/d])/d^2 + ((c + d*x)*Sinh[(b*x)/(c + d*x)]^2)/d - (b*c*Cosh[(2*b)/d]*SinhIntegral[(2*b*c)/(d*(c + d*x))])/d^2}
+{Sinh[b*x/(c + d*x)]^3, x, 9, -((3*b*c*Cosh[b/d]*CoshIntegral[(b*c)/(d*(c + d*x))])/(4*d^2)) + (3*b*c*Cosh[(3*b)/d]*CoshIntegral[(3*b*c)/(d*(c + d*x))])/(4*d^2) + ((c + d*x)*Sinh[(b*x)/(c + d*x)]^3)/d + (3*b*c*Sinh[b/d]*SinhIntegral[(b*c)/(d*(c + d*x))])/(4*d^2) - (3*b*c*Sinh[(3*b)/d]*SinhIntegral[(3*b*c)/(d*(c + d*x))])/(4*d^2)}
+
+
+{Sinh[(a + b*x)/(c + d*x)], x, 5, ((b*c - a*d)*Cosh[b/d]*CoshIntegral[(b*c - a*d)/(d*(c + d*x))])/d^2 + ((c + d*x)*Sinh[(a + b*x)/(c + d*x)])/d - ((b*c - a*d)*Sinh[b/d]*SinhIntegral[(b*c - a*d)/(d*(c + d*x))])/d^2}
+{Sinh[(a + b*x)/(c + d*x)]^2, x, 6, ((b*c - a*d)*CoshIntegral[(2*(b*c - a*d))/(d*(c + d*x))]*Sinh[(2*b)/d])/d^2 + ((c + d*x)*Sinh[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/d - ((b*c - a*d)*Cosh[(2*b)/d]*SinhIntegral[(2*(b*c - a*d))/(d*(c + d*x))])/d^2}
+{Sinh[(a + b*x)/(c + d*x)]^3, x, 9, -((3*(b*c - a*d)*Cosh[b/d]*CoshIntegral[(b*c - a*d)/(d*(c + d*x))])/(4*d^2)) + (3*(b*c - a*d)*Cosh[(3*b)/d]*CoshIntegral[(3*(b*c - a*d))/(d*(c + d*x))])/(4*d^2) + ((c + d*x)*Sinh[(a + b*x)/(c + d*x)]^3)/d + (3*(b*c - a*d)*Sinh[b/d]*SinhIntegral[(b*c - a*d)/(d*(c + d*x))])/(4*d^2) - (3*(b*c - a*d)*Sinh[(3*b)/d]*SinhIntegral[(3*(b*c - a*d))/(d*(c + d*x))])/(4*d^2)}
+
+
+{Sinh[e + f*(a + b*x)/(c + d*x)], x, 6, ((b*c - a*d)*f*Cosh[e + (b*f)/d]*CoshIntegral[((b*c - a*d)*f)/(d*(c + d*x))])/d^2 + ((c + d*x)*Sinh[(c*e + a*f + d*e*x + b*f*x)/(c + d*x)])/d - ((b*c - a*d)*f*Sinh[e + (b*f)/d]*SinhIntegral[((b*c - a*d)*f)/(d*(c + d*x))])/d^2}
+{Sinh[e + f*(a + b*x)/(c + d*x)]^2, x, 7, ((b*c - a*d)*f*CoshIntegral[(2*(b*c - a*d)*f)/(d*(c + d*x))]*Sinh[2*(e + (b*f)/d)])/d^2 + ((c + d*x)*Sinh[(c*e + a*f + d*e*x + b*f*x)/(c + d*x)]^2)/d - ((b*c - a*d)*f*Cosh[2*(e + (b*f)/d)]*SinhIntegral[(2*(b*c - a*d)*f)/(d*(c + d*x))])/d^2}
+{Sinh[e + f*(a + b*x)/(c + d*x)]^3, x, 10, -((3*(b*c - a*d)*f*Cosh[e + (b*f)/d]*CoshIntegral[((b*c - a*d)*f)/(d*(c + d*x))])/(4*d^2)) + (3*(b*c - a*d)*f*Cosh[3*(e + (b*f)/d)]*CoshIntegral[(3*(b*c - a*d)*f)/(d*(c + d*x))])/(4*d^2) + ((c + d*x)*Sinh[(c*e + a*f + d*e*x + b*f*x)/(c + d*x)]^3)/d + (3*(b*c - a*d)*f*Sinh[e + (b*f)/d]*SinhIntegral[((b*c - a*d)*f)/(d*(c + d*x))])/(4*d^2) - (3*(b*c - a*d)*f*Sinh[3*(e + (b*f)/d)]*SinhIntegral[(3*(b*c - a*d)*f)/(d*(c + d*x))])/(4*d^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(a+b x) Sinh[c+d x]^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(a+b x) Sinh[a+b x]^m*)
+
+
+{E^(a + b*x)*Sinh[a + b*x]^4, x, 4, -(E^(-3*a - 3*b*x)/(48*b)) + E^(-a - b*x)/(4*b) + (3*E^(a + b*x))/(8*b) - E^(3*a + 3*b*x)/(12*b) + E^(5*a + 5*b*x)/(80*b)}
+{E^(a + b*x)*Sinh[a + b*x]^3, x, 5, E^(-2*a - 2*b*x)/(16*b) - (3*E^(2*a + 2*b*x))/(16*b) + E^(4*a + 4*b*x)/(32*b) + (3*x)/8}
+{E^(a + b*x)*Sinh[a + b*x]^2, x, 4, -(E^(-a - b*x)/(4*b)) - E^(a + b*x)/(2*b) + E^(3*a + 3*b*x)/(12*b)}
+{E^(a + b*x)*Sinh[a + b*x]^1, x, 4, E^(2*a + 2*b*x)/(4*b) - x/2}
+{E^(a + b*x)*Csch[a + b*x]^1, x, 3, Log[1 - E^(2*a + 2*b*x)]/b}
+{E^(a + b*x)*Csch[a + b*x]^2, x, 4, (2*E^(a + b*x))/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) - (2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b}
+{E^(a + b*x)*Csch[a + b*x]^3, x, 3, -((2*E^(4*a + 4*b*x))/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))^2))}
+{E^(a + b*x)*Csch[a + b*x]^4, x, 6, (8*E^(3*a + 3*b*x))/(3*b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))^3) - (2*E^(a + b*x))/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))^2) + E^(a + b*x)/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) + ArcTanh[E^(a + b*x)]/b}
+{E^(a + b*x)*Csch[a + b*x]^5, x, 5, -(4/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))^4)) + 32/(3*b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))^3) - 8/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^x Sinh[n x]^m*)
+
+
+{E^x*Sinh[2*x]^2, x, 4, -(1/12)/E^(3*x) - E^x/2 + E^(5*x)/20}
+{E^x*Sinh[2*x], x, 4, 1/(E^x*2) + E^(3*x)/6}
+{E^x*Csch[2*x], x, 5, ArcTan[E^x] - ArcTanh[E^x]}
+{E^x*Csch[2*x]^2, x, 6, E^x/(1 - E^(4*x)) - ArcTan[E^x]/2 - ArcTanh[E^x]/2}
+
+
+{E^x*Sinh[3*x]^2, x, 4, -(1/20)/E^(5*x) - E^x/2 + E^(7*x)/28}
+{E^x*Sinh[3*x], x, 4, 1/(E^(2*x)*4) + E^(4*x)/8}
+{E^x*Csch[3*x], x, 9, ArcTan[(1 + 2*E^(2*x))/Sqrt[3]]/Sqrt[3] + (1/3)*Log[1 - E^(2*x)] - (1/6)*Log[1 + E^(2*x) + E^(4*x)]}
+{E^x*Csch[3*x]^2, x, 13, (2*E^x)/(3*(1 - E^(6*x))) + ArcTan[(1 - 2*E^x)/Sqrt[3]]/(3*Sqrt[3]) - ArcTan[(1 + 2*E^x)/Sqrt[3]]/(3*Sqrt[3]) - (2*ArcTanh[E^x])/9 + (1/18)*Log[1 - E^x + E^(2*x)] - (1/18)*Log[1 + E^x + E^(2*x)]}
+
+
+{E^x*Sinh[4*x]^2, x, 4, -(1/28)/E^(7*x) - E^x/2 + E^(9*x)/36}
+{E^x*Sinh[4*x], x, 4, 1/(E^(3*x)*6) + E^(5*x)/10}
+{E^x*Csch[4*x], x, 15, (-(1/2))*ArcTan[E^x] - ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^x]/(2*Sqrt[2]) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^x]/(2*Sqrt[2]) - ArcTanh[E^x]/2 - Log[1 - Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(4*Sqrt[2]) + Log[1 + Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(4*Sqrt[2])}
+{E^x*Csch[4*x]^2, x, 16, E^x/(2*(1 - E^(8*x))) - ArcTan[E^x]/8 + ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^x]/(8*Sqrt[2]) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^x]/(8*Sqrt[2]) - ArcTanh[E^x]/8 + Log[1 - Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(16*Sqrt[2]) - Log[1 + Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(16*Sqrt[2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F^(c (a+b x)) Sinh[d+e x]^m*)
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*Sinh[d + e*x]^3, x, 2, -((6*e^3*F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x])/(9*e^4 - 10*b^2*c^2*e^2*Log[F]^2 + b^4*c^4*Log[F]^4)) + (6*b*c*e^2*F^(c*(a + b*x))*Log[F]*Sinh[d + e*x])/(9*e^4 - 10*b^2*c^2*e^2*Log[F]^2 + b^4*c^4*Log[F]^4) + (3*e*F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x]*Sinh[d + e*x]^2)/(9*e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2) - (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F]*Sinh[d + e*x]^3)/(9*e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))*Sinh[d + e*x]^2, x, 2, -((2*e^2*F^(c*(a + b*x)))/(b*c*Log[F]*(4*e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2))) + (2*e*F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x]*Sinh[d + e*x])/(4*e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2) - (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F]*Sinh[d + e*x]^2)/(4*e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))*Sinh[d + e*x]^1, x, 1, (e*F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x])/(e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2) - (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F]*Sinh[d + e*x])/(e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))*Csch[d + e*x]^1, x, 1, -((2*E^(d + e*x)*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, (e + b*c*Log[F])/(2*e), (1/2)*(3 + (b*c*Log[F])/e), E^(2*(d + e*x))])/(e + b*c*Log[F]))}
+{F^(c*(a + b*x))*Csch[d + e*x]^2, x, 1, (4*E^(2*(d + e*x))*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, 1 + (b*c*Log[F])/(2*e), 2 + (b*c*Log[F])/(2*e), E^(2*(d + e*x))])/(2*e + b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))*Csch[d + e*x]^3, x, 2, -((F^(c*(a + b*x))*Coth[d + e*x]*Csch[d + e*x])/(2*e)) - (b*c*F^(c*(a + b*x))*Csch[d + e*x]*Log[F])/(2*e^2) + (E^(d + e*x)*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, (e + b*c*Log[F])/(2*e), (1/2)*(3 + (b*c*Log[F])/e), E^(2*(d + e*x))]*(e - b*c*Log[F]))/e^2}
+{F^(c*(a + b*x))*Csch[d + e*x]^4, x, 2, -((F^(c*(a + b*x))*Coth[d + e*x]*Csch[d + e*x]^2)/(3*e)) - (b*c*F^(c*(a + b*x))*Csch[d + e*x]^2*Log[F])/(6*e^2) - (2*E^(2*(d + e*x))*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, 1 + (b*c*Log[F])/(2*e), 2 + (b*c*Log[F])/(2*e), E^(2*(d + e*x))]*(2*e - b*c*Log[F]))/(3*e^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(c (a+b x)) (Sinh[a c+b c x]^2)^(m/2)*)
+
+
+{E^(c*(a + b*x))*(Sinh[a*c + b*c*x]^2)^(5/2), x, 6, (Csch[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2])/(128*b*c*E^(4*c*(a + b*x))) - (5*Csch[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2])/(64*b*c*E^(2*c*(a + b*x))) + (5*E^(2*c*(a + b*x))*Csch[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2])/(32*b*c) - (5*E^(4*c*(a + b*x))*Csch[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2])/(128*b*c) + (E^(6*c*(a + b*x))*Csch[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2])/(192*b*c) - (5*x*Csch[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2])/16}
+{E^(c*(a + b*x))*(Sinh[a*c + b*c*x]^2)^(3/2), x, 6, (Csch[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2])/(16*b*c*E^(2*c*(a + b*x))) - (3*E^(2*c*(a + b*x))*Csch[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2])/(16*b*c) + (E^(4*c*(a + b*x))*Csch[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2])/(32*b*c) + (3*x*Csch[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2])/8}
+{E^(c*(a + b*x))*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2], x, 5, (E^(2*c*(a + b*x))*Csch[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2])/(4*b*c) - (x*Csch[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2])/2}
+{E^(c*(a + b*x))/Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2], x, 4, (Log[1 - E^(2*c*(a + b*x))]*Sinh[a*c + b*c*x])/(b*c*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2])}
+{E^(c*(a + b*x))/(Sinh[a*c + b*c*x]^2)^(3/2), x, 4, (-2*E^(4*c*(a + b*x))*Sinh[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^2*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2])}
+{E^(c*(a + b*x))/(Sinh[a*c + b*c*x]^2)^(5/2), x, 6, (-4*Sinh[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^4*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2]) + (32*Sinh[a*c + b*c*x])/(3*b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^3*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2]) - (8*Sinh[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^2*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2])}
+{E^(c*(a + b*x))/(Sinh[a*c + b*c*x]^2)^(7/2), x, 6, -((32*Sinh[a*c + b*c*x])/(3*b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^6*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2])) + (192*Sinh[a*c + b*c*x])/(5*b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^5*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2]) - (48*Sinh[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^4*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2]) + (64*Sinh[a*c + b*c*x])/(3*b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^3*Sqrt[Sinh[a*c + b*c*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(a+b x+c x^2) Sinh[d+e x+f x^2]^m*)
+
+
+{E^x*Sinh[a + b*x], x, 1, -((b*E^x*Cosh[a + b*x])/(1 - b^2)) + (E^x*Sinh[a + b*x])/(1 - b^2)}
+{E^x*Sinh[a + c*x^2], x, 6, (E^(-a + 1/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(1 - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]) + (E^(a - 1/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(1 + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c])}
+{E^x*Sinh[a + b*x + c*x^2], x, 6, (E^(-a + (1 - b)^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(1 - b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]) + (E^(a - (1 + b)^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(1 + b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c])}
+
+{E^(x^2)*Sinh[a + b*x], x, 6, (-(1/4))*E^(-a - b^2/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-b + 2*x)] + (1/4)*E^(a - b^2/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(b + 2*x)]}
+{E^(x^2)*Sinh[a + c*x^2], x, 4, -((Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[1 - c]*x])/(E^a*(4*Sqrt[1 - c]))) + (E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[1 + c]*x])/(4*Sqrt[1 + c])}
+{E^(x^2)*Sinh[a + b*x + c*x^2], x, 6, (E^(-a - b^2/(4*(1 - c)))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b - 2*(1 - c)*x)/(2*Sqrt[1 - c])])/(4*Sqrt[1 - c]) + (E^(a - b^2/(4*(1 + c)))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b + 2*(1 + c)*x)/(2*Sqrt[1 + c])])/(4*Sqrt[1 + c])}
+
+
+{f^(a + b*x)*Sinh[d + f*x^2], x, 8, -(E^(-d + (b^2*Log[f]^2)/(4*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*f*x - b*Log[f])/(2*Sqrt[f])])/4 + (E^(d - (b^2*Log[f]^2)/(4*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*f*x + b*Log[f])/(2*Sqrt[f])])/4}
+{f^(a + b*x)*Sinh[d + f*x^2]^2, x, 9, (E^(-2*d + (b^2*Log[f]^2)/(8*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(4*f*x - b*Log[f])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[f])])/8 + (E^(2*d - (b^2*Log[f]^2)/(8*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(4*f*x + b*Log[f])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[f])])/8 - f^(a + b*x)/(2*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x)*Sinh[d + f*x^2]^3, x, 14, (3*E^(-d + (b^2*Log[f]^2)/(4*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*f*x - b*Log[f])/(2*Sqrt[f])])/16 - (E^(-3*d + (b^2*Log[f]^2)/(12*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(6*f*x - b*Log[f])/(2*Sqrt[3]*Sqrt[f])])/16 - (3*E^(d - (b^2*Log[f]^2)/(4*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*f*x + b*Log[f])/(2*Sqrt[f])])/16 + (E^(3*d - (b^2*Log[f]^2)/(12*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(6*f*x + b*Log[f])/(2*Sqrt[3]*Sqrt[f])])/16}
+
+{f^(a + b*x)*Sinh[d + e*x + f*x^2], x, 8, -(E^(-d + (e - b*Log[f])^2/(4*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[(e + 2*f*x - b*Log[f])/(2*Sqrt[f])])/4 + (E^(d - (e + b*Log[f])^2/(4*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + 2*f*x + b*Log[f])/(2*Sqrt[f])])/4}
+{f^(a + b*x)*Sinh[d + e*x + f*x^2]^2, x, 9, (E^(-2*d + (2*e - b*Log[f])^2/(8*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(2*e + 4*f*x - b*Log[f])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[f])])/8 + (E^(2*d - (2*e + b*Log[f])^2/(8*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(2*e + 4*f*x + b*Log[f])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[f])])/8 - f^(a + b*x)/(2*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x)*Sinh[d + e*x + f*x^2]^3, x, 14, (3*E^(-d + (e - b*Log[f])^2/(4*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[(e + 2*f*x - b*Log[f])/(2*Sqrt[f])])/16 - (E^(-3*d + (3*e - b*Log[f])^2/(12*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(3*e + 6*f*x - b*Log[f])/(2*Sqrt[3]*Sqrt[f])])/16 - (3*E^(d - (e + b*Log[f])^2/(4*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + 2*f*x + b*Log[f])/(2*Sqrt[f])])/16 + (E^(3*d - (3*e + b*Log[f])^2/(12*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(3*e + 6*f*x + b*Log[f])/(2*Sqrt[3]*Sqrt[f])])/16}
+
+
+{f^(a + c*x^2)*Sinh[d + e*x], x, 8, If[$VersionNumber>=8, (E^(-d - e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(d - e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), -((E^(-d - e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])) + (E^(d - e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+{f^(a + c*x^2)*Sinh[d + e*x]^2, x, 9, If[$VersionNumber>=8, -(f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*x*Sqrt[Log[f]]])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^(-2*d - e^2/(c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e - c*x*Log[f])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(2*d - e^2/(c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + c*x*Log[f])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), -((f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*x*Sqrt[Log[f]]])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])) + (E^(-2*d - e^2/(c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((e - c*x*Log[f])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(2*d - e^2/(c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + c*x*Log[f])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+{f^(a + c*x^2)*Sinh[d + e*x]^3, x, 14, If[$VersionNumber>=8, (-3*E^(-d - e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(-3*d - (9*e^2)/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (3*E^(d - e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(3*d - (9*e^2)/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (3*E^(-d - e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^(-3*d - (9*e^2)/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((3*e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (3*E^(d - e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(3*d - (9*e^2)/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+
+{f^(a + c*x^2)*Sinh[d + f*x^2], x, 6, -(f^a*Sqrt[Pi]*Erf[x*Sqrt[f - c*Log[f]]])/(4*E^d*Sqrt[f - c*Log[f]]) + (E^d*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[x*Sqrt[f + c*Log[f]]])/(4*Sqrt[f + c*Log[f]])}
+{f^(a + c*x^2)*Sinh[d + f*x^2]^2, x, 7, -(f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*x*Sqrt[Log[f]]])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (f^a*Sqrt[Pi]*Erf[x*Sqrt[2*f - c*Log[f]]])/(8*E^(2*d)*Sqrt[2*f - c*Log[f]]) + (E^(2*d)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[x*Sqrt[2*f + c*Log[f]]])/(8*Sqrt[2*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + c*x^2)*Sinh[d + f*x^2]^3, x, 10, (3*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[x*Sqrt[f - c*Log[f]]])/(16*E^d*Sqrt[f - c*Log[f]]) - (f^a*Sqrt[Pi]*Erf[x*Sqrt[3*f - c*Log[f]]])/(16*E^(3*d)*Sqrt[3*f - c*Log[f]]) - (3*E^d*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[x*Sqrt[f + c*Log[f]]])/(16*Sqrt[f + c*Log[f]]) + (E^(3*d)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[x*Sqrt[3*f + c*Log[f]]])/(16*Sqrt[3*f + c*Log[f]])}
+
+{f^(a + c*x^2)*Sinh[d + e*x + f*x^2], x, 8, -(E^(-d + e^2/(4*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(e + 2*x*(f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[f - c*Log[f]])])/(4*Sqrt[f - c*Log[f]]) + (E^(d - e^2/(4*(f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + 2*x*(f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[f + c*Log[f]])])/(4*Sqrt[f + c*Log[f]])}
+{f^(a + c*x^2)*Sinh[d + e*x + f*x^2]^2, x, 9, -(f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*x*Sqrt[Log[f]]])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(-2*d + e^2/(2*f - c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(e + x*(2*f - c*Log[f]))/Sqrt[2*f - c*Log[f]]])/(8*Sqrt[2*f - c*Log[f]]) + (E^(2*d - e^2/(2*f + c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + x*(2*f + c*Log[f]))/Sqrt[2*f + c*Log[f]]])/(8*Sqrt[2*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + c*x^2)*Sinh[d + e*x + f*x^2]^3, x, 14, (3*E^(-d + e^2/(4*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(e + 2*x*(f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[f - c*Log[f]]) - (E^(-3*d + (9*e^2)/(12*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(3*e + 2*x*(3*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*f - c*Log[f]]) - (3*E^(d - e^2/(4*(f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + 2*x*(f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[f + c*Log[f]]) + (E^(3*d - (9*e^2)/(4*(3*f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*e + 2*x*(3*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*f + c*Log[f]])}
+
+
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sinh[d + e*x], x, 8, If[$VersionNumber>=8, (E^(-d - (e - b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(d - (e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), -((E^(-d - (e - b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])) + (E^(d - (e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sinh[d + e*x]^2, x, 10, If[$VersionNumber>=8, -(f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^(-2*d - (2*e - b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(2*d - (2*e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), -((f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])) + (E^(-2*d - (2*e - b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((2*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(2*d - (2*e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sinh[d + e*x]^3, x, 14, If[$VersionNumber>=8, (-3*E^(-d - (e - b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(-3*d - (3*e - b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (3*E^(d - (e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(3*d - (3*e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (3*E^(-d - (e - b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^(-3*d - (3*e - b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((3*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (3*E^(d - (e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(3*d - (3*e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sinh[d + f*x^2], x, 8, (E^(-d + (b^2*Log[f]^2)/(4*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(b*Log[f] - 2*x*(f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[f - c*Log[f]])])/(4*Sqrt[f - c*Log[f]]) + (E^(d - (b^2*Log[f]^2)/(4*(f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*Log[f] + 2*x*(f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[f + c*Log[f]])])/(4*Sqrt[f + c*Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sinh[d + f*x^2]^2, x, 10, -(f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^(-2*d + (b^2*Log[f]^2)/(8*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(b*Log[f] - 2*x*(2*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[2*f - c*Log[f]])])/(8*Sqrt[2*f - c*Log[f]]) + (E^(2*d - (b^2*Log[f]^2)/(8*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*Log[f] + 2*x*(2*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[2*f + c*Log[f]])])/(8*Sqrt[2*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sinh[d + f*x^2]^3, x, 14, (-3*E^(-d + (b^2*Log[f]^2)/(4*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(b*Log[f] - 2*x*(f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[f - c*Log[f]]) + (E^(-3*d + (b^2*Log[f]^2)/(12*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(b*Log[f] - 2*x*(3*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*f - c*Log[f]]) - (3*E^(d - (b^2*Log[f]^2)/(4*(f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*Log[f] + 2*x*(f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[f + c*Log[f]]) + (E^(3*d - (b^2*Log[f]^2)/(4*(3*f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*Log[f] + 2*x*(3*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*f + c*Log[f]])}
+
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sinh[d + e*x + f*x^2], x, 8, -(E^(-d + (e - b*Log[f])^2/(4*(f - c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(e - b*Log[f] + 2*x*(f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[f - c*Log[f]])])/(4*Sqrt[f - c*Log[f]]) + (E^(d - (e + b*Log[f])^2/(4*(f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + b*Log[f] + 2*x*(f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[f + c*Log[f]])])/(4*Sqrt[f + c*Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sinh[d + e*x + f*x^2]^2, x, 10, -(f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(-2*d + (2*e - b*Log[f])^2/(8*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(2*e - b*Log[f] + 2*x*(2*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[2*f - c*Log[f]])])/(8*Sqrt[2*f - c*Log[f]]) + (E^(2*d - (2*e + b*Log[f])^2/(8*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*e + b*Log[f] + 2*x*(2*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[2*f + c*Log[f]])])/(8*Sqrt[2*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Sinh[d + e*x + f*x^2]^3, x, 14, (3*E^(-d + (e - b*Log[f])^2/(4*(f - c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(e - b*Log[f] + 2*x*(f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[f - c*Log[f]]) - (E^(-3*d + (3*e - b*Log[f])^2/(12*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(3*e - b*Log[f] + 2*x*(3*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*f - c*Log[f]]) - (3*E^(d - (e + b*Log[f])^2/(4*(f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + b*Log[f] + 2*x*(f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[f + c*Log[f]]) + (E^(3*d - (3*e + b*Log[f])^2/(4*(3*f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*e + b*Log[f] + 2*x*(3*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*f + c*Log[f]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Miscellaneous integrands involving hyperbolic sines*)
+
+
+{(x + Sinh[x])^2, x, 6, -(x/2) + x^3/3 + 2*x*Cosh[x] - 2*Sinh[x] + (1/2)*Cosh[x]*Sinh[x]}
+{(x + Sinh[x])^3, x, 9, -((3*x^2)/4) + x^4/4 + 5*Cosh[x] + 3*x^2*Cosh[x] + Cosh[x]^3/3 - 6*x*Sinh[x] + (3/2)*x*Cosh[x]*Sinh[x] - (3*Sinh[x]^2)/4}
+
+
+{Sinh[a + b*x]/(c + d*x^2), x, 8, -((CoshIntegral[(b*Sqrt[-c])/Sqrt[d] + b*x]*Sinh[a - (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d])) + (CoshIntegral[(b*Sqrt[-c])/Sqrt[d] - b*x]*Sinh[a + (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (Cosh[a + (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d]]*SinhIntegral[(b*Sqrt[-c])/Sqrt[d] - b*x])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (Cosh[a - (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d]]*SinhIntegral[(b*Sqrt[-c])/Sqrt[d] + b*x])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d])}
+{Sinh[a + b*x]/(c + d*x + e*x^2), x, 8, (CoshIntegral[(b*(d - Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e) + b*x]*Sinh[a - (b*(d - Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e)])/Sqrt[d^2 - 4*c*e] - (CoshIntegral[(b*(d + Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e) + b*x]*Sinh[a - (b*(d + Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e)])/Sqrt[d^2 - 4*c*e] + (Cosh[a - (b*(d - Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e)]*SinhIntegral[(b*(d - Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e) + b*x])/Sqrt[d^2 - 4*c*e] - (Cosh[a - (b*(d + Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e)]*SinhIntegral[(b*(d + Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e) + b*x])/Sqrt[d^2 - 4*c*e]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.1 Hyperbolic sine/6.1.7 hyper^m (a+b sinh^n)^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.1 Hyperbolic sine/6.1.7 hyper^m (a+b sinh^n)^p.m
new file mode 100644
index 00000000..b41d11b5
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.1 Hyperbolic sine/6.1.7 hyper^m (a+b sinh^n)^p.m	
@@ -0,0 +1,882 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sinh[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 4, ((6*a - 5*b)*x)/16 - ((6*a - 5*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(16*d) + ((6*a - 5*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(24*d) + (b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^5)/(6*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 3, -(((a - b)*Cosh[c + d*x])/d) + ((a - 2*b)*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 3, -((4*a - 3*b)*x)/8 + ((4*a - 3*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + (b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Sinh[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 2, ((a - b)*Cosh[c + d*x])/d + (b*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sinh[c + d*x]^0*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 3, a*x - (b*x)/2 + (b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 2, -((a*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d) + (b*Cosh[c + d*x])/d}
+{Csch[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 2, b*x - (a*Coth[c + d*x])/d}
+{Csch[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 2, ((a - 2*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) - (a*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 3, ((2*a - 3*b)*Coth[c + d*x])/(3*d) - (a*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^2)/(3*d)}
+
+
+{Sinh[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 6, (1/128)*(48*a^2 - 80*a*b + 35*b^2)*x - ((80*a^2 - 176*a*b + 93*b^2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(128*d) + ((48*a^2 - 208*a*b + 139*b^2)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(192*d) + ((16*a - 13*b)*b*Cosh[c + d*x]^5*Sinh[c + d*x])/(48*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]^5)/(8*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 3, -(((a - b)^2*Cosh[c + d*x])/d) + ((a - 3*b)*(a - b)*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + ((2*a - 3*b)*b*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 2, (-(1/16))*(8*a^2 - 12*a*b + 5*b^2)*x + ((8*a^2 - 20*a*b + 11*b^2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(16*d) + ((4*a - 3*b)*b*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(8*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]^3)/(6*d), (-(1/16))*(8*a^2 - 12*a*b + 5*b^2)*x + ((16*a^2 - 36*a*b + 15*b^2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(48*d) + ((4*a - 5*b)*b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(24*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2)/(6*d)}
+{Sinh[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 3, ((a - b)^2*Cosh[c + d*x])/d + (2*(a - b)*b*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sinh[c + d*x]^0*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 1, (1/8)*(8*a^2 - 8*a*b + 3*b^2)*x + ((8*a - 3*b)*b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Csch[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 4, -((a^2*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d) + ((2*a - b)*b*Cosh[c + d*x])/d + (b^2*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Csch[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 4, (1/2)*(4*a - b)*b*x - (a^2*Coth[c + d*x])/d + (b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d), (1/2)*(4*a - b)*b*x - (a^2*Cosh[c + d*x]^2*Coth[c + d*x])/d + ((2*a^2 + b^2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 5, (a*(a - 4*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) + (b^2*Cosh[c + d*x])/d - (a^2*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 4, b^2*x + (a*(a - 2*b)*Coth[c + d*x])/d - (a^2*Coth[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+{Sinh[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 7, (3/256)*(4*a - 3*b)*(8*a^2 - 14*a*b + 7*b^2)*x - ((576*a^3 - 1744*a^2*b + 1678*a*b^2 - 525*b^3)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(1280*d) + ((48*a^3 - 272*a^2*b + 314*a*b^2 - 105*b^3)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(640*d) + (3*(2*a - 3*b)*Cosh[c + d*x]^5*Sinh[c + d*x]^3*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2)^2)/(80*d) + (Cosh[c + d*x]^7*Sinh[c + d*x]^3*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2)^3)/(10*d) - (b*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]^3*(a*(14*a - 9*b) - (22*a - 21*b)*(a - b)*Tanh[c + d*x]^2))/(160*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 3, -(((a - b)^3*Cosh[c + d*x])/d) + ((a - 4*b)*(a - b)^2*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*(a - 2*b)*(a - b)*b*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) + ((3*a - 4*b)*b^2*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 3, (-(1/128))*(64*a^3 - 144*a^2*b + 120*a*b^2 - 35*b^3)*x + ((96*a^3 - 376*a^2*b + 360*a*b^2 - 105*b^3)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(384*d) + (b*(24*a^2 - 64*a*b + 35*b^2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(192*d) + ((6*a - 7*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2)/(48*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3)/(8*d)}
+{Sinh[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 3, ((a - b)^3*Cosh[c + d*x])/d + ((a - b)^2*b*Cosh[c + d*x]^3)/d + (3*(a - b)*b^2*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Sinh[c + d*x]^0*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 2, (1/16)*(2*a - b)*(8*a^2 - 8*a*b + 5*b^2)*x + (b*(64*a^2 - 54*a*b + 15*b^2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(48*d) + (5*(2*a - b)*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(24*d) + (b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2)/(6*d)}
+{Csch[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 4, -((a^3*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d) + (b*(3*a^2 - 3*a*b + b^2)*Cosh[c + d*x])/d + ((3*a - 2*b)*b^2*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Csch[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 5, (3/8)*b*(8*a^2 - 4*a*b + b^2)*x - (a*(2*a + b)*(4*a + b)*Coth[c + d*x])/(8*d) + (b*Cosh[c + d*x]^4*Coth[c + d*x]*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2)^2)/(4*d) + (b*Cosh[c + d*x]^2*Coth[c + d*x]*(a*(4*a + b) - (4*a - 3*b)*(a - b)*Tanh[c + d*x]^2))/(8*d)}
+{Csch[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 5, (a^2*(a - 6*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) + ((3*a - b)*b^2*Cosh[c + d*x])/d + (b^3*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 5, (1/2)*(6*a - b)*b^2*x + (a*(2*a^2 - 5*a*b - 2*b^2)*Coth[c + d*x])/(2*d) - (a^2*(2*a + 3*b)*Coth[c + d*x]^3)/(6*d) + (b*Cosh[c + d*x]^2*Coth[c + d*x]^3*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2)^2)/(2*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sinh[c + d*x]^7/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 4, -((a^3*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[a - b]])/(Sqrt[a - b]*b^(7/2)*d)) + ((a^2 + a*b + b^2)*Cosh[c + d*x])/(b^3*d) - ((a + 2*b)*Cosh[c + d*x]^3)/(3*b^2*d) + Cosh[c + d*x]^5/(5*b*d)}
+{Sinh[c + d*x]^6/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 6, ((8*a^2 + 4*a*b + 3*b^2)*x)/(8*b^3) - (a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a - b]*b^3*d) - ((4*a + 3*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*b^2*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(4*b*d)}
+{Sinh[c + d*x]^5/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 4, (a^2*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[a - b]])/(Sqrt[a - b]*b^(5/2)*d) - ((a + b)*Cosh[c + d*x])/(b^2*d) + Cosh[c + d*x]^3/(3*b*d)}
+{Sinh[c + d*x]^4/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 5, -(((2*a + b)*x)/(2*b^2)) + (a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a - b]*b^2*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 3, -((a*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[a - b]])/(Sqrt[a - b]*b^(3/2)*d)) + Cosh[c + d*x]/(b*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 3, x/b - (Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a - b]*b*d)}
+{Sinh[c + d*x]^1/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[a - b]]/(Sqrt[a - b]*Sqrt[b]*d)}
+{Sinh[c + d*x]^0/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 2, ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[a - b]*d)}
+{Csch[c + d*x]^1/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 4, -((Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[a - b]])/(a*Sqrt[a - b]*d)) - ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/(a*d)}
+{Csch[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 3, -((b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*Sqrt[a - b]*d)) - Coth[c + d*x]/(a*d)}
+{Csch[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 5, (b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[a - b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*d) + ((a + 2*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*a^2*d) - (Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Csch[c + d*x]^4/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 4, (b^2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*Sqrt[a - b]*d) + ((a + b)*Coth[c + d*x])/(a^2*d) - Coth[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Csch[c + d*x]^5/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 6, -((b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[a - b]])/(a^3*Sqrt[a - b]*d)) - ((3*a^2 + 4*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(8*a^3*d) + ((3*a + 4*b)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(8*a^2*d) - (Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^3)/(4*a*d)}
+{Csch[c + d*x]^6/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 4, -((b^3*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(a^(7/2)*Sqrt[a - b]*d)) - ((a^2 + a*b + b^2)*Coth[c + d*x])/(a^3*d) + ((2*a + b)*Coth[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) - Coth[c + d*x]^5/(5*a*d)}
+
+
+{Sinh[c + d*x]^4/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 5, x/b^2 - (Sqrt[a]*(2*a - 3*b)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*(a - b)^(3/2)*b^2*d) - (a*Tanh[c + d*x])/(2*(a - b)*b*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 3, ((a - 2*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[a - b]])/(2*(a - b)^(3/2)*b^(3/2)*d) - (a*Cosh[c + d*x])/(2*(a - b)*b*d*(a - b + b*Cosh[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 4, -(ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]]/(2*Sqrt[a]*(a - b)^(3/2)*d)) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*(a - b)*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]^1/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 3, ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[a - b]]/(2*(a - b)^(3/2)*Sqrt[b]*d) + Cosh[c + d*x]/(2*(a - b)*d*(a - b + b*Cosh[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]^0/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 4, ((2*a - b)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a - b)^(3/2)*d) - (b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*a*(a - b)*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^1/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 5, -((3*a - 2*b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[a - b]])/(2*a^2*(a - b)^(3/2)*d) - ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/(a^2*d) - (b*Cosh[c + d*x])/(2*a*(a - b)*d*(a - b + b*Cosh[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 4, -(((4*a - 3*b)*b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(5/2)*(a - b)^(3/2)*d)) - Coth[c + d*x]/(a*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2)) + ((2*a^2 - 4*a*b + 3*b^2)*Tanh[c + d*x])/(2*a^2*(a - b)*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 6, ((5*a - 4*b)*b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[a - b]])/(2*a^3*(a - b)^(3/2)*d) + ((a + 4*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*a^3*d) - ((a - 2*b)*b*Cosh[c + d*x])/(2*a^2*(a - b)*d*(a - b + b*Cosh[c + d*x]^2)) - (Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d*(a - b + b*Cosh[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^4/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 5, ((6*a - 5*b)*b^2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(7/2)*(a - b)^(3/2)*d) + ((2*a^2 + a*b - 5*b^2)*Coth[c + d*x])/(2*a^3*(a - b)*d) - ((2*a - 5*b)*Coth[c + d*x]^3)/(6*a^2*(a - b)*d) - (b*Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x])/(2*a*(a - b)*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2))}
+
+
+{Sinh[c + d*x]^4/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 4, (3*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*Sqrt[a]*(a - b)^(5/2)*d) + Tanh[c + d*x]^3/(4*(a - b)*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2)^2) - (3*Tanh[c + d*x])/(8*(a - b)^2*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 4, ((a - 4*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[a - b]])/(8*(a - b)^(5/2)*b^(3/2)*d) - (a*Cosh[c + d*x])/(4*(a - b)*b*d*(a - b + b*Cosh[c + d*x]^2)^2) + ((a - 4*b)*Cosh[c + d*x])/(8*(a - b)^2*b*d*(a - b + b*Cosh[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 5, -(((4*a - b)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(3/2)*(a - b)^(5/2)*d)) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*(a - b)*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2) + ((2*a + b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*a*(a - b)^2*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]^1/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 4, (3*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[a - b]])/(8*(a - b)^(5/2)*Sqrt[b]*d) + Cosh[c + d*x]/(4*(a - b)*d*(a - b + b*Cosh[c + d*x]^2)^2) + (3*Cosh[c + d*x])/(8*(a - b)^2*d*(a - b + b*Cosh[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]^0/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 5, ((8*a^2 - 8*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a - b)^(5/2)*d) - (b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*a*(a - b)*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2) - (3*(2*a - b)*b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*(a - b)^2*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^1/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 6, -(Sqrt[b]*(15*a^2 - 20*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[a - b]])/(8*a^3*(a - b)^(5/2)*d) - ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/(a^3*d) - (b*Cosh[c + d*x])/(4*a*(a - b)*d*(a - b + b*Cosh[c + d*x]^2)^2) - ((7*a - 4*b)*b*Cosh[c + d*x])/(8*a^2*(a - b)^2*d*(a - b + b*Cosh[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 5, -((3*b*(8*a^2 - 12*a*b + 5*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(7/2)*(a - b)^(5/2)*d)) - ((4*a - 5*b)*(2*a - 3*b)*Coth[c + d*x])/(8*a^3*(a - b)^2*d) - (b*Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x]^3)/(4*a*(a - b)*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2)^2) - (b*Coth[c + d*x]*(4*a - 5*b - (4*a - b)*Tanh[c + d*x]^2))/(8*a^2*(a - b)^2*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 7, (b^(3/2)*(35*a^2 - 56*a*b + 24*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[a - b]])/(8*a^4*(a - b)^(5/2)*d) + ((a + 6*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*a^4*d) - ((2*a - 3*b)*b*Cosh[c + d*x])/(4*a^2*(a - b)*d*(a - b + b*Cosh[c + d*x]^2)^2) - ((a - 4*b)*(4*a - 3*b)*b*Cosh[c + d*x])/(8*a^3*(a - b)^2*d*(a - b + b*Cosh[c + d*x]^2)) - (Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d*(a - b + b*Cosh[c + d*x]^2)^2)}
+{Csch[c + d*x]^4/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 6, (b^2*(48*a^2 - 80*a*b + 35*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(9/2)*(a - b)^(5/2)*d) + ((8*a^3 - 4*a^2*b - 45*a*b^2 + 35*b^3)*Coth[c + d*x])/(8*a^4*(a - b)^2*d) - ((8*a^2 - 52*a*b + 35*b^2)*Coth[c + d*x]^3)/(24*a^3*(a - b)^2*d) - (b*Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x]^3)/(4*a*(a - b)*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2)^2) - ((10*a - 7*b)*b*Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x])/(8*a^2*(a - b)^2*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2))}
+
+
+{1/(1 + Sinh[x]^2), x, 3, Tanh[x]}
+{1/(1 + Sinh[x]^2)^2, x, 3, Tanh[x] - Tanh[x]^3/3}
+{1/(1 + Sinh[x]^2)^3, x, 3, Tanh[x] - (2*Tanh[x]^3)/3 + Tanh[x]^5/5}
+
+
+{1/(1 - Sinh[x]^2), x, 2, ArcTanh[Sqrt[2]*Tanh[x]]/Sqrt[2]}
+{1/(1 - Sinh[x]^2)^2, x, 4, (3*ArcTanh[Sqrt[2]*Tanh[x]])/(4*Sqrt[2]) + (Cosh[x]*Sinh[x])/(4*(1 - Sinh[x]^2))}
+{1/(1 - Sinh[x]^2)^3, x, 5, (19*ArcTanh[Sqrt[2]*Tanh[x]])/(32*Sqrt[2]) + (Cosh[x]*Sinh[x])/(8*(1 - Sinh[x]^2)^2) + (9*Cosh[x]*Sinh[x])/(32*(1 - Sinh[x]^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sinh[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, -((a - b)*(a + 3*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/(8*b^(3/2)*f) - ((a + 3*b)*Cosh[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2])/(8*b*f) + (Cosh[e + f*x]*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*b*f)}
+{Sinh[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 4, ((a - b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/(2*Sqrt[b]*f) + (Cosh[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Csch[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 6, -((Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/f) + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/f}
+{Csch[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 4, ((a - b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/(2*Sqrt[a]*f) - (Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]*Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x])/(2*f)}
+{Csch[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, -((a - b)*(3*a + b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/(8*a^(3/2)*f) + ((3*a + b)*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]*Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x])/(8*a*f) - ((a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2)*Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^3)/(4*a*f)}
+
+{Sinh[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 7, ((a - 4*b)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(15*b*f) + (Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(5*f) + ((2*a^2 + 3*a*b - 8*b^2)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(15*b^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - ((a - 4*b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(15*b*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - ((2*a^2 + 3*a*b - 8*b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(15*b^2*f)}
+{Sinh[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 6, (Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f) - ((I/3)*(a - 2*b)*EllipticE[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(b*f*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a]) + ((I/3)*a*(a - b)*EllipticF[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])/(b*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Sinh[e + f*x]^0*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 2, ((-I)*EllipticE[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])}
+{Csch[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 7, -((Coth[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/f) - (EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (b*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/f}
+{Csch[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 7, ((2*a - b)*Coth[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a*f) - (Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f) + ((2*a - b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - (b*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - ((2*a - b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*a*f)}
+
+
+{Sinh[e + f*x]^3*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -((a - b)^2*(a + 5*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/(16*b^(3/2)*f) - ((a - b)*(a + 5*b)*Cosh[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2])/(16*b*f) - ((a + 5*b)*Cosh[e + f*x]*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2))/(24*b*f) + (Cosh[e + f*x]*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^(5/2))/(6*b*f)}
+{Sinh[e + f*x]^1*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (3*(a - b)^2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/(8*Sqrt[b]*f) + (3*(a - b)*Cosh[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2])/(8*f) + (Cosh[e + f*x]*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*f)}
+{Csch[e + f*x]^1*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, -((a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/f) + ((3*a - b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b*Cosh[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Csch[e + f*x]^3*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, (Sqrt[a]*(a - 3*b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/f - (a*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]*Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x])/(2*f)}
+{Csch[e + f*x]^5*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (-3*(a - b)^2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/(8*Sqrt[a]*f) + (3*(a - b)*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]*Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x])/(8*f) - ((a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2)*Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^3)/(4*f)}
+{Csch[e + f*x]^7*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, ((a - b)^2*(5*a + b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/(16*a^(3/2)*f) - ((a - b)*(5*a + b)*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]*Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x])/(16*a*f) + ((5*a + b)*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2)*Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^3)/(24*a*f) - ((a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^(5/2)*Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^5)/(6*a*f)}
+
+{Sinh[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, ((a^2 - 11*a*b + 8*b^2)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(35*b*f) + (2*(4*a - 3*b)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(35*f) + (b*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(7*f) + (2*(a - 2*b)*(a^2 + 4*a*b - 4*b^2)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(35*b^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - ((a^2 - 11*a*b + 8*b^2)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(35*b*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - (2*(a - 2*b)*(a^2 + 4*a*b - 4*b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(35*b^2*f)}
+{Sinh[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, ((3*a - 4*b)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(15*f) + (Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(5*f) - ((I/15)*(3*a^2 - 13*a*b + 8*b^2)*EllipticE[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(b*f*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a]) + ((I/15)*a*(3*a - 4*b)*(a - b)*EllipticF[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])/(b*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Sinh[e + f*x]^0*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, (b*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f) - (((2*I)/3)*(2*a - b)*EllipticE[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a]) + ((I/3)*a*(a - b)*EllipticF[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Csch[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -((a*Coth[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/f) - ((a + b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (2*b*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((a + b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/f}
+{Csch[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, (2*(a - 2*b)*Coth[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f) - (a*Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f) + (2*(a - 2*b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - ((a - 3*b)*b*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - (2*(a - 2*b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*f)}
+
+
+{(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^(5/2), x, 7, (4*(2*a - b)*b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sinh[c + d*x]^2])/(15*d) + (b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^(3/2))/(5*d) - ((I/15)*(23*a^2 - 23*a*b + 8*b^2)*EllipticE[I*c + I*d*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[c + d*x]^2])/(d*Sqrt[1 + (b*Sinh[c + d*x]^2)/a]) + (((4*I)/15)*a*(a - b)*(2*a - b)*EllipticF[I*c + I*d*x, b/a]*Sqrt[1 + (b*Sinh[c + d*x]^2)/a])/(d*Sqrt[a + b*Sinh[c + d*x]^2])}
+
+
+{Sqrt[1 + Sinh[x]^2], x, 3, Sqrt[Cosh[x]^2]*Tanh[x]}
+{Sqrt[-1 - Sinh[x]^2], x, 3, Sqrt[-Cosh[x]^2]*Tanh[x]}
+{Sqrt[1 - Sinh[x]^2], x, 1, (-I)*EllipticE[I*x, -1]}
+{Sqrt[-1 + Sinh[x]^2], x, 2, -((I*EllipticE[I*x, -1]*Sqrt[-1 + Sinh[x]^2])/Sqrt[1 - Sinh[x]^2])}
+{Sqrt[a + b*Sinh[x]^2], x, 2, -((I*EllipticE[I*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[x]^2])/Sqrt[1 + (b*Sinh[x]^2)/a])}
+
+
+{(1 + Sinh[x]^2)^(3/2), x, 4, (2/3)*Sqrt[Cosh[x]^2]*Tanh[x] + (1/3)*(Cosh[x]^2)^(3/2)*Tanh[x]}
+{(-1 - Sinh[x]^2)^(3/2), x, 4, (-(2/3))*Sqrt[-Cosh[x]^2]*Tanh[x] + (1/3)*(-Cosh[x]^2)^(3/2)*Tanh[x]}
+{(1 - Sinh[x]^2)^(3/2), x, 4, -2*I*EllipticE[I*x, -1] + (2/3)*I*EllipticF[I*x, -1] - (1/3)*Cosh[x]*Sinh[x]*Sqrt[1 - Sinh[x]^2]}
+{(-1 + Sinh[x]^2)^(3/2), x, 6, (2*I*EllipticF[I*x, -1]*Sqrt[1 - Sinh[x]^2])/(3*Sqrt[-1 + Sinh[x]^2]) + (1/3)*Cosh[x]*Sinh[x]*Sqrt[-1 + Sinh[x]^2] + (2*I*EllipticE[I*x, -1]*Sqrt[-1 + Sinh[x]^2])/Sqrt[1 - Sinh[x]^2]}
+{(a + b*Sinh[x]^2)^(3/2), x, 6, (1/3)*b*Cosh[x]*Sinh[x]*Sqrt[a + b*Sinh[x]^2] - (2*I*(2*a - b)*EllipticE[I*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[x]^2])/(3*Sqrt[1 + (b*Sinh[x]^2)/a]) + (I*a*(a - b)*EllipticF[I*x, b/a]*Sqrt[1 + (b*Sinh[x]^2)/a])/(3*Sqrt[a + b*Sinh[x]^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sinh[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 4, -((a + b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/(2*b^(3/2)*f) + (Cosh[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2])/(2*b*f)}
+{Sinh[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 3, ArcTanh[(Sqrt[b]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]]/(Sqrt[b]*f)}
+{Csch[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 3, -(ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a]*f))}
+{Csch[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 4, ((a + b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/(2*a^(3/2)*f) - (Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]*Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x])/(2*a*f)}
+
+{Sinh[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 6, (Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*b*f) + (2*(a + b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*b^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - (EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*b*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - (2*(a + b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*b^2*f)}
+{Sinh[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, ((-I)*EllipticE[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(b*f*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a]) + (I*a*EllipticF[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])/(b*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Sinh[e + f*x]^0/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 2, ((-I)*EllipticF[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Csch[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, -((Coth[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a*f)) - (EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(a*f)}
+{Csch[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 7, (2*(a + b)*Coth[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^2*f) - (Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a*f) + (2*(a + b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - (b*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - (2*(a + b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*a^2*f)}
+
+
+{Sinh[e + f*x]^3/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, ArcTanh[(Sqrt[b]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]]/(b^(3/2)*f) - (a*Cosh[e + f*x])/((a - b)*b*f*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2])}
+{Sinh[e + f*x]^1/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 2, Cosh[e + f*x]/((a - b)*f*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2])}
+{Csch[e + f*x]^1/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -(ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]]/(a^(3/2)*f)) - (b*Cosh[e + f*x])/(a*(a - b)*f*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2])}
+{Csch[e + f*x]^3/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, ((a + 3*b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/(2*a^(5/2)*f) - ((a - 3*b)*b*Cosh[e + f*x])/(2*a^2*(a - b)*f*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]) - (Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x])/(2*a*f*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2])}
+
+{Sinh[e + f*x]^6/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, -((a*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]^3)/((a - b)*b*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])) + ((4*a - b)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*(a - b)*b^2*f) + ((8*a^2 - 3*a*b - 2*b^2)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*(a - b)*b^3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - ((4*a - b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*(a - b)*b^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - ((8*a^2 - 3*a*b - 2*b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*(a - b)*b^3*f)}
+{Sinh[e + f*x]^4/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -((a*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/((a - b)*b*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])) - ((2*a - b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/((a - b)*b^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/((a - b)*b*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((2*a - b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/((a - b)*b^2*f)}
+{Sinh[e + f*x]^2/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, (Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/((a - b)*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) + (I*EllipticE[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/((a - b)*b*f*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a]) - (I*EllipticF[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])/(b*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Sinh[e + f*x]^0/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -((b*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(a*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])) - (I*EllipticE[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a*(a - b)*f*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])}
+{Csch[e + f*x]^2/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, -((b*Coth[e + f*x])/(a*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])) - ((a - 2*b)*Coth[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a^2*(a - b)*f) - ((a - 2*b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a^2*(a - b)*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - (b*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a^2*(a - b)*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((a - 2*b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(a^2*(a - b)*f)}
+
+
+{Sinh[e + f*x]^5/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 5, ArcTanh[(Sqrt[b]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]]/(b^(5/2)*f) - (a*(3*a - 5*b)*Cosh[e + f*x])/(3*(a - b)^2*b^2*f*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]) - (a*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]^2)/(3*(a - b)*b*f*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2))}
+{Sinh[e + f*x]^3/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 3, (-2*Cosh[e + f*x])/(3*(a - b)^2*f*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]) + (Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]^2)/(3*(a - b)*f*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2))}
+{Sinh[e + f*x]^1/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 3, Cosh[e + f*x]/(3*(a - b)*f*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*Cosh[e + f*x])/(3*(a - b)^2*f*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2])}
+{Csch[e + f*x]^1/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, -(ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]]/(a^(5/2)*f)) - (b*Cosh[e + f*x])/(3*a*(a - b)*f*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2)) - ((5*a - 3*b)*b*Cosh[e + f*x])/(3*a^2*(a - b)^2*f*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2])}
+
+{Sinh[e + f*x]^6/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, -(a*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]^3)/(3*(a - b)*b*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) - (2*a*(2*a - 3*b)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(3*(a - b)^2*b^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - ((8*a^2 - 13*a*b + 3*b^2)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*(a - b)^2*b^3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (2*(2*a - 3*b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*(a - b)^2*b^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((8*a^2 - 13*a*b + 3*b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*(a - b)^2*b^3*f)}
+{Sinh[e + f*x]^4/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 5, -(a*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(3*(a - b)*b*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*Sqrt[a]*(a - 2*b)*Cosh[e + f*x]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a]], 1 - a/b])/(3*(a - b)^2*b^(3/2)*f*Sqrt[(a*Cosh[e + f*x]^2)/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - ((a - 3*b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a*(a - b)^2*b*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a])}
+{Sinh[e + f*x]^2/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, (Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(3*(a - b)*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + ((a + b)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(3*a*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) + ((I/3)*(a + b)*EllipticE[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a*(a - b)^2*b*f*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a]) - ((I/3)*EllipticF[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])/((a - b)*b*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Sinh[e + f*x]^0/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, -(b*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(3*a*(a - b)*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) - (2*(2*a - b)*b*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(3*a^2*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - (((2*I)/3)*(2*a - b)*EllipticE[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a^2*(a - b)^2*f*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a]) + ((I/3)*EllipticF[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])/(a*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Csch[e + f*x]^2/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 8, -(b*Coth[e + f*x])/(3*a*(a - b)*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) - (2*(3*a - 2*b)*b*Coth[e + f*x])/(3*a^2*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - ((3*a^2 - 13*a*b + 8*b^2)*Coth[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^3*(a - b)^2*f) - ((3*a^2 - 13*a*b + 8*b^2)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^3*(a - b)^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - (2*(3*a - 2*b)*b*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^3*(a - b)^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((3*a^2 - 13*a*b + 8*b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*a^3*(a - b)^2*f)}
+
+
+{1/Sqrt[1 + Sinh[x]^2], x, 3, (ArcTan[Sinh[x]]*Cosh[x])/Sqrt[Cosh[x]^2]}
+{1/Sqrt[1 - Sinh[x]^2], x, 1, (-I)*EllipticF[I*x, -1]}
+{1/Sqrt[-1 + Sinh[x]^2], x, 2, -((I*EllipticF[I*x, -1]*Sqrt[1 - Sinh[x]^2])/Sqrt[-1 + Sinh[x]^2])}
+{1/Sqrt[-1 - Sinh[x]^2], x, 3, (ArcTan[Sinh[x]]*Cosh[x])/Sqrt[-Cosh[x]^2]}
+{1/Sqrt[a + b*Sinh[x]^2], x, 2, -((I*EllipticF[I*x, b/a]*Sqrt[1 + (b*Sinh[x]^2)/a])/Sqrt[a + b*Sinh[x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Sinh[e+f x]) (a+b Sinh[e+f x]^2)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Sinh[e + f*x])^m*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 3, (d*AppellF1[1/2, (1 - m)/2, -p, 3/2, Cosh[e + f*x]^2, -((b*Cosh[e + f*x]^2)/(a - b))]*Cosh[e + f*x]*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^p*(d*Sinh[e + f*x])^(-1 + m)*(-Sinh[e + f*x]^2)^((1 - m)/2))/(f*(1 + (b*Cosh[e + f*x]^2)/(a - b))^p)}
+
+
+{Sinh[e + f*x]^5*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 5, If[$VersionNumber>=8, -(((3*a + 2*b*(2 + p))*Cosh[e + f*x]*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b^2*f*(3 + 2*p)*(5 + 2*p))) + ((3*a^2 + 4*a*b*(1 + p) + 4*b^2*(2 + 3*p + p^2))*Cosh[e + f*x]*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*Cosh[e + f*x]^2)/(a - b))])/(b^2*f*(3 + 2*p)*(5 + 2*p)*(1 + (b*Cosh[e + f*x]^2)/(a - b))^p) + (Cosh[e + f*x]*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^(1 + p)*Sinh[e + f*x]^2)/(b*f*(5 + 2*p)), -(((3*a + 2*b*(2 + p))*Cosh[e + f*x]*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b^2*f*(15 + 16*p + 4*p^2))) + ((3*a^2 + 4*a*b*(1 + p) + 4*b^2*(2 + 3*p + p^2))*Cosh[e + f*x]*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*Cosh[e + f*x]^2)/(a - b))])/((1 + (b*Cosh[e + f*x]^2)/(a - b))^p*(b^2*f*(15 + 16*p + 4*p^2))) + (Cosh[e + f*x]*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^(1 + p)*Sinh[e + f*x]^2)/(b*f*(5 + 2*p))]}
+{Sinh[e + f*x]^3*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 4, (Cosh[e + f*x]*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b*f*(3 + 2*p)) - ((a + 2*b*(1 + p))*Cosh[e + f*x]*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*Cosh[e + f*x]^2)/(a - b))])/(b*f*(3 + 2*p)*(1 + (b*Cosh[e + f*x]^2)/(a - b))^p)}
+{Sinh[e + f*x]^1*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 3, (Cosh[e + f*x]*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*Cosh[e + f*x]^2)/(a - b))])/(f*(1 + (b*Cosh[e + f*x]^2)/(a - b))^p)}
+{Csch[e + f*x]^1*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 3, -((AppellF1[1/2, 1, -p, 3/2, Cosh[e + f*x]^2, -((b*Cosh[e + f*x]^2)/(a - b))]*Cosh[e + f*x]*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Cosh[e + f*x]^2)/(a - b))^p))}
+{Csch[e + f*x]^3*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, 2, -p, 3/2, Cosh[e + f*x]^2, -((b*Cosh[e + f*x]^2)/(a - b))]*Cosh[e + f*x]*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Cosh[e + f*x]^2)/(a - b))^p)}
+{Csch[e + f*x]^5*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 3, -((AppellF1[1/2, 3, -p, 3/2, Cosh[e + f*x]^2, -((b*Cosh[e + f*x]^2)/(a - b))]*Cosh[e + f*x]*(a - b + b*Cosh[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Cosh[e + f*x]^2)/(a - b))^p))}
+
+{Sinh[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[5/2, 1/2, -p, 7/2, -Sinh[e + f*x]^2, -((b*Sinh[e + f*x]^2)/a)]*Sqrt[Cosh[e + f*x]^2]*Sinh[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p*Tanh[e + f*x])/(5*f*(1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{Sinh[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[3/2, 2 + p, -p, 5/2, Tanh[e + f*x]^2, ((a - b)*Tanh[e + f*x]^2)/a]*(Sech[e + f*x]^2)^p*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p*Tanh[e + f*x]^3)/(3*f*(1 - ((a - b)*Tanh[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{Csch[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 3, -((AppellF1[-1/2, 1/2, -p, 1/2, -Sinh[e + f*x]^2, -((b*Sinh[e + f*x]^2)/a)]*Sqrt[Cosh[e + f*x]^2]*Csch[e + f*x]*Sech[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a)^p))}
+{Csch[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 3, -(AppellF1[-3/2, 1/2, -p, -1/2, -Sinh[e + f*x]^2, -((b*Sinh[e + f*x]^2)/a)]*Sqrt[Cosh[e + f*x]^2]*Csch[e + f*x]^3*Sech[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p)/(3*f*(1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a)^p)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sinh[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 7, (3*a*x)/8 - (b*Cosh[c + d*x])/d + (b*Cosh[c + d*x]^3)/d - (3*b*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d) - (3*a*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + (a*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 8, (-5*b*x)/16 - (a*Cosh[c + d*x])/d + (a*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (5*b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(16*d) - (5*b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(24*d) + (b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^5)/(6*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 6, -(a*x)/2 + (b*Cosh[c + d*x])/d - (2*b*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d)}
+{Sinh[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 6, (3*b*x)/8 + (a*Cosh[c + d*x])/d - (3*b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + (b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Sinh[c + d*x]^0*(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 3, a*x - (b*Cosh[c + d*x])/d + (b*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Csch[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 5, -(b*x)/2 - (a*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d + (b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 5, (b*Cosh[c + d*x])/d - (a*Coth[c + d*x])/d}
+{Csch[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 4, b*x + (a*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) - (a*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 5, -((b*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d) + (a*Coth[c + d*x])/d - (a*Coth[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+{Sinh[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^2, x, 10, (-5*a*b*x)/8 - (a^2*Cosh[c + d*x])/d + (b^2*Cosh[c + d*x])/d + (a^2*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) - (4*b^2*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (6*b^2*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) - (4*b^2*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]^9)/(9*d) + (5*a*b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) - (5*a*b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(12*d) + (a*b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^5)/(3*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^2, x, 11, -(a^2*x)/2 + (35*b^2*x)/128 + (2*a*b*Cosh[c + d*x])/d - (4*a*b*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a*b*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d) - (35*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(128*d) + (35*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(192*d) - (7*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^5)/(48*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^7)/(8*d)}
+{Sinh[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^2, x, 8, (3*a*b*x)/4 + (a^2*Cosh[c + d*x])/d - (b^2*Cosh[c + d*x])/d + (b^2*Cosh[c + d*x]^3)/d - (3*b^2*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d) - (3*a*b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*d) + (a*b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(2*d)}
+{Sinh[c + d*x]^0*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^2, x, 8, a^2*x - (5*b^2*x)/16 - (2*a*b*Cosh[c + d*x])/d + (2*a*b*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (5*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(16*d) - (5*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(24*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^5)/(6*d)}
+{Csch[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^2, x, 7, -(a*b*x) - (a^2*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d + (b^2*Cosh[c + d*x])/d - (2*b^2*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/d}
+{Csch[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^2, x, 8, (3*b^2*x)/8 + (2*a*b*Cosh[c + d*x])/d - (a^2*Coth[c + d*x])/d - (3*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Csch[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^2, x, 6, 2*a*b*x + (a^2*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) - (b^2*Cosh[c + d*x])/d + (b^2*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^2, x, 7, -((b^2*x)/2) - (2*a*b*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d + (a^2*Coth[c + d*x])/d - (a^2*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^5*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^2, x, 8, -((3*a^2*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(8*d)) + (b^2*Cosh[c + d*x])/d - (2*a*b*Coth[c + d*x])/d + (3*a^2*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(8*d) - (a^2*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Csch[c + d*x]^6*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^2, x, 6, b^2*x + (a*b*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d - (a^2*Coth[c + d*x])/d + (2*a^2*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Coth[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*b*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/d}
+{Csch[c + d*x]^7*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^2, x, 9, (5*a^2*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(16*d) - (b^2*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d + (2*a*b*Coth[c + d*x])/d - (2*a*b*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*a^2*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(16*d) + (5*a^2*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^3)/(24*d) - (a^2*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^5)/(6*d)}
+
+
+{Sinh[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^3, x, 13, -(a^3*x)/2 + (105*a*b^2*x)/128 + (3*a^2*b*Cosh[c + d*x])/d - (b^3*Cosh[c + d*x])/d - (2*a^2*b*Cosh[c + d*x]^3)/d + (5*b^3*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^2*b*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) - (2*b^3*Cosh[c + d*x]^5)/d + (10*b^3*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d) - (5*b^3*Cosh[c + d*x]^9)/(9*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^11)/(11*d) + (a^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d) - (105*a*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(128*d) + (35*a*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(64*d) - (7*a*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^5)/(16*d) + (3*a*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^7)/(8*d)}
+{Sinh[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^3, x, 14, (9*a^2*b*x)/8 - (63*b^3*x)/256 + (a^3*Cosh[c + d*x])/d - (3*a*b^2*Cosh[c + d*x])/d + (3*a*b^2*Cosh[c + d*x]^3)/d - (9*a*b^2*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a*b^2*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d) - (9*a^2*b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + (63*b^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(256*d) + (3*a^2*b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(4*d) - (21*b^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(128*d) + (21*b^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^5)/(160*d) - (9*b^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^7)/(80*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^9)/(10*d)}
+{Sinh[c + d*x]^0*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^3, x, 10, a^3*x - (15*a*b^2*x)/16 - (3*a^2*b*Cosh[c + d*x])/d + (b^3*Cosh[c + d*x])/d + (a^2*b*Cosh[c + d*x]^3)/d - (4*b^3*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (6*b^3*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) - (4*b^3*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^9)/(9*d) + (15*a*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(16*d) - (5*a*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(8*d) + (a*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^5)/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^3, x, 12, (-3*a^2*b*x)/2 + (35*b^3*x)/128 - (a^3*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d + (3*a*b^2*Cosh[c + d*x])/d - (2*a*b^2*Cosh[c + d*x]^3)/d + (3*a*b^2*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a^2*b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d) - (35*b^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(128*d) + (35*b^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(192*d) - (7*b^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^5)/(48*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^7)/(8*d)}
+{Csch[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^3, x, 10, (9*a*b^2*x)/8 + (3*a^2*b*Cosh[c + d*x])/d - (b^3*Cosh[c + d*x])/d + (b^3*Cosh[c + d*x]^3)/d - (3*b^3*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d) - (a^3*Coth[c + d*x])/d - (9*a*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + (3*a*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Csch[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^3, x, 10, 3*a^2*b*x - (5*b^3*x)/16 + (a^3*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) - (3*a*b^2*Cosh[c + d*x])/d + (a*b^2*Cosh[c + d*x]^3)/d - (a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*d) + (5*b^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(16*d) - (5*b^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(24*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^5)/(6*d)}
+{Csch[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^3, x, 9, (-(3/2))*a*b^2*x - (3*a^2*b*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d + (b^3*Cosh[c + d*x])/d - (2*b^3*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) + (a^3*Coth[c + d*x])/d - (a^3*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^5*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^3, x, 11, (3*b^3*x)/8 - (3*a^3*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(8*d) + (3*a*b^2*Cosh[c + d*x])/d - (3*a^2*b*Coth[c + d*x])/d + (3*a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(8*d) - (a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^3)/(4*d) - (3*b^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Csch[c + d*x]^6*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^3, x, 8, 3*a*b^2*x + (3*a^2*b*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) - (b^3*Cosh[c + d*x])/d + (b^3*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*Coth[c + d*x])/d + (2*a^3*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*Coth[c + d*x]^5)/(5*d) - (3*a^2*b*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^7*(a + b*Sinh[c + d*x]^3)^3, x, 11, -((b^3*x)/2) + (5*a^3*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(16*d) - (3*a*b^2*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d + (3*a^2*b*Coth[c + d*x])/d - (a^2*b*Coth[c + d*x]^3)/d - (5*a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(16*d) + (5*a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^3)/(24*d) - (a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^5)/(6*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sinh[c + d*x]^6/(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 15, -((a*x)/b^2) - (2*(-1)^(2/3)*a^(4/3)*ArcTan[((-1)^(1/6)*((-1)^(1/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*b^2*d) - (2*(-1)^(2/3)*a^(4/3)*ArcTan[((-1)^(1/6)*((-1)^(5/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]*b^2*d) - (2*a^(4/3)*ArcTanh[(b^(1/3) - a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]*b^2*d) - Cosh[c + d*x]/(b*d) + Cosh[c + d*x]^3/(3*b*d)}
+{Sinh[c + d*x]^5/(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 15, -(x/(2*b)) + (2*a*ArcTan[((-1)^(5/6)*((-1)^(1/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) - b^(2/3)]*b^(5/3)*d) + (2*a*ArcTan[((-1)^(1/6)*((-1)^(5/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]*b^(5/3)*d) + (2*a*ArcTanh[(b^(1/3) - a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]*b^(5/3)*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Sinh[c + d*x]^4/(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 14, -((2*a^(2/3)*ArcTan[((-1)^(1/6)*((-1)^(1/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*b^(4/3)*d)) + (2*(-1)^(1/3)*a^(2/3)*ArcTan[((-1)^(1/6)*((-1)^(5/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]*b^(4/3)*d) - (2*a^(2/3)*ArcTanh[(b^(1/3) - a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]*b^(4/3)*d) + Cosh[c + d*x]/(b*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 13, x/b + (2*(-1)^(2/3)*a^(1/3)*ArcTan[((-1)^(1/6)*((-1)^(1/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*b*d) + (2*(-1)^(2/3)*a^(1/3)*ArcTan[((-1)^(1/6)*((-1)^(5/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]*b*d) + (2*a^(1/3)*ArcTanh[(b^(1/3) - a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]*b*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 11, -((2*ArcTan[((-1)^(5/6)*((-1)^(1/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) - b^(2/3)]*b^(2/3)*d)) - (2*ArcTan[((-1)^(1/6)*((-1)^(5/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]*b^(2/3)*d) - (2*ArcTanh[(b^(1/3) - a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]*b^(2/3)*d)}
+{Sinh[c + d*x]^1/(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 11, (2*ArcTan[((-1)^(1/6)*((-1)^(1/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(1/3)*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*b^(1/3)*d) - (2*(-1)^(1/3)*ArcTan[((-1)^(1/6)*((-1)^(5/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a^(1/3)*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]*b^(1/3)*d) + (2*ArcTanh[(b^(1/3) - a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*a^(1/3)*Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]*b^(1/3)*d)}
+{Sinh[c + d*x]^0/(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 11, -((2*(-1)^(2/3)*ArcTan[((-1)^(1/6)*((-1)^(1/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*d)) - (2*(-1)^(2/3)*ArcTan[((-1)^(1/6)*((-1)^(5/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]*d) - (2*ArcTanh[(b^(1/3) - a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]*d)}
+{Csch[c + d*x]^1/(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 14, (2*b^(1/3)*ArcTan[((-1)^(5/6)*((-1)^(1/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a*Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) - b^(2/3)]*d) + (2*b^(1/3)*ArcTan[((-1)^(1/6)*((-1)^(5/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]*d) - ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/(a*d) + (2*b^(1/3)*ArcTanh[(b^(1/3) - a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*a*Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]*d)}
+{Csch[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 15, -((2*b^(2/3)*ArcTan[((-1)^(1/6)*((-1)^(1/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(4/3)*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*d)) + (2*(-1)^(1/3)*b^(2/3)*ArcTan[((-1)^(1/6)*((-1)^(5/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a^(4/3)*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]*d) - (2*b^(2/3)*ArcTanh[(b^(1/3) - a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*a^(4/3)*Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]*d) - Coth[c + d*x]/(a*d)}
+{Csch[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 15, (2*(-1)^(2/3)*b*ArcTan[((-1)^(1/6)*((-1)^(1/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]])/(3*a^(5/3)*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - (-1)^(2/3)*b^(2/3)]*d) + (2*(-1)^(2/3)*b*ArcTan[((-1)^(1/6)*((-1)^(5/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a^(5/3)*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]*d) + ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/(2*a*d) + (2*b*ArcTanh[(b^(1/3) - a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*a^(5/3)*Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]*d) - (Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Csch[c + d*x]^4/(a + b*Sinh[c + d*x]^3), x, 16, -((2*b^(4/3)*ArcTan[((-1)^(5/6)*((-1)^(1/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a^2*Sqrt[(-(-1)^(2/3))*a^(2/3) - b^(2/3)]*d)) - (2*b^(4/3)*ArcTan[((-1)^(1/6)*((-1)^(5/6)*b^(1/3) + I*a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]))/Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]])/(3*a^2*Sqrt[(-1)^(1/3)*a^(2/3) - b^(2/3)]*d) + (b*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(a^2*d) - (2*b^(4/3)*ArcTanh[(b^(1/3) - a^(1/3)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]])/(3*a^2*Sqrt[a^(2/3) + b^(2/3)]*d) + Coth[c + d*x]/(a*d) - Coth[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+
+
+{1/(1 + Sinh[x]^3), x, 12, -((2*(-1)^(1/6)*ArcTan[(I + (-1)^(1/6)*Tanh[x/2])/Sqrt[1 - (-1)^(1/3)]])/(3*Sqrt[1 - (-1)^(1/3)])) - (1/3)*Sqrt[2]*ArcTanh[(1 - Tanh[x/2])/Sqrt[2]] - (1/3)*(-1)^(1/6)*Log[1 + (-1)^(5/6) - (-1)^(1/6)*Tanh[x/2]] + (1/3)*(-1)^(1/6)*Log[1 + (-1)^(1/6) + (-1)^(1/3)*Tanh[x/2]]}
+{1/(1 - Sinh[x]^3), x, 12, (2*(-1)^(5/6)*ArcTan[(I - (-1)^(5/6)*Tanh[x/2])/Sqrt[1 + (-1)^(2/3)]])/(3*Sqrt[1 + (-1)^(2/3)]) + (1/3)*Sqrt[2]*ArcTanh[(1 + Tanh[x/2])/Sqrt[2]] - (1/3)*(-1)^(5/6)*Log[1 + (-1)^(5/6) + (-1)^(2/3)*Tanh[x/2]] + (1/3)*(-1)^(5/6)*Log[1 + (-1)^(1/6) + (-1)^(5/6)*Tanh[x/2]]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^3)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sinh[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^4), x, 6, (1/128)*(48*a + 35*b)*x - ((80*a + 93*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(128*d) + ((48*a + 163*b)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(192*d) - (25*b*Cosh[c + d*x]^5*Sinh[c + d*x])/(48*d) + (b*Cosh[c + d*x]^7*Sinh[c + d*x])/(8*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^4), x, 3, -(((a + b)*Cosh[c + d*x])/d) + ((a + 3*b)*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*b*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^4), x, 5, (-(1/16))*(8*a + 5*b)*x + ((8*a + 11*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(16*d) - (13*b*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(24*d) + (b*Cosh[c + d*x]^5*Sinh[c + d*x])/(6*d)}
+{Sinh[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^4), x, 2, ((a + b)*Cosh[c + d*x])/d - (2*b*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sinh[c + d*x]^0*(a + b*Sinh[c + d*x]^4), x, 4, a*x + (3*b*x)/8 - (3*b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + (b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Csch[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^4), x, 4, -((a*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d) - (b*Cosh[c + d*x])/d + (b*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Csch[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^4), x, 4, -((b*x)/2) - (a*Coth[c + d*x])/d + (b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^4), x, 4, (a*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) + (b*Cosh[c + d*x])/d - (a*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^4), x, 4, b*x + (a*Coth[c + d*x])/d - (a*Coth[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Csch[c + d*x]^5*(a + b*Sinh[c + d*x]^4), x, 4, -(((3*a + 8*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(8*d)) + (3*a*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(8*d) - (a*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Csch[c + d*x]^6*(a + b*Sinh[c + d*x]^4), x, 3, -(((a + b)*Coth[c + d*x])/d) + (2*a*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*Coth[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Csch[c + d*x]^7*(a + b*Sinh[c + d*x]^4), x, 5, ((5*a + 8*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(16*d) - ((5*a + 8*b)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(16*d) + (5*a*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^3)/(24*d) - (a*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^5)/(6*d)}
+
+
+{Sinh[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 3, -(((a + b)^2*Cosh[c + d*x])/d) + ((a + b)*(a + 5*b)*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) - (2*b*(3*a + 5*b)*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) + (2*b*(a + 5*b)*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d) - (5*b^2*Cosh[c + d*x]^9)/(9*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]^11)/(11*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 7, (-(1/256))*(128*a^2 + 160*a*b + 63*b^2)*x + ((128*a^2 + 352*a*b + 193*b^2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(256*d) - (b*(416*a + 447*b)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(384*d) + (b*(160*a + 513*b)*Cosh[c + d*x]^5*Sinh[c + d*x])/(480*d) - (41*b^2*Cosh[c + d*x]^7*Sinh[c + d*x])/(80*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]^9*Sinh[c + d*x])/(10*d)}
+{Sinh[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 3, ((a + b)^2*Cosh[c + d*x])/d - (4*b*(a + b)*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*b*(a + 3*b)*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) - (4*b^2*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Sinh[c + d*x]^0*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 6, (1/128)*(128*a^2 + 96*a*b + 35*b^2)*x - (b*(160*a + 93*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(128*d) + (b*(96*a + 163*b)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(192*d) - (25*b^2*Cosh[c + d*x]^5*Sinh[c + d*x])/(48*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]^7*Sinh[c + d*x])/(8*d)}
+{Csch[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 4, -((a^2*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d) - (b*(2*a + b)*Cosh[c + d*x])/d + (b*(2*a + 3*b)*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*b^2*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Csch[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 6, (-(1/16))*b*(16*a + 5*b)*x - (a^2*Coth[c + d*x])/d + (b*(16*a + 11*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(16*d) - (13*b^2*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(24*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]^5*Sinh[c + d*x])/(6*d)}
+{Csch[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 5, (a^2*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) + (b*(2*a + b)*Cosh[c + d*x])/d - (2*b^2*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^2*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 6, (1/8)*b*(16*a + 3*b)*x + (a^2*Coth[c + d*x])/d - (a^2*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*d)}
+{Csch[c + d*x]^5*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 6, -((a*(3*a + 16*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(8*d)) - (b^2*Cosh[c + d*x])/d + (b^2*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^2*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(8*d) - (a^2*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Csch[c + d*x]^6*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 5, -((b^2*x)/2) - (a*(a + 2*b)*Coth[c + d*x])/d + (2*a^2*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Coth[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^7*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 6, (a*(5*a + 16*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(16*d) + (b^2*Cosh[c + d*x])/d - (a*(5*a + 16*b)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(16*d) + (5*a^2*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^3)/(24*d) - (a^2*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^5)/(6*d)}
+
+
+{Sinh[c + d*x]^5*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 3, ((a + b)^3*Cosh[c + d*x])/d - (2*(a + b)^2*(a + 4*b)*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + ((a + b)*(a^2 + 17*a*b + 28*b^2)*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) - (4*b*(3*a^2 + 15*a*b + 14*b^2)*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d) + (b*(3*a^2 + 45*a*b + 70*b^2)*Cosh[c + d*x]^9)/(9*d) - (2*b^2*(9*a + 28*b)*Cosh[c + d*x]^11)/(11*d) + (b^2*(3*a + 28*b)*Cosh[c + d*x]^13)/(13*d) - (8*b^3*Cosh[c + d*x]^15)/(15*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^17)/(17*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 3, -(((a + b)^3*Cosh[c + d*x])/d) + ((a + b)^2*(a + 7*b)*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*b*(a + b)*(3*a + 7*b)*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b*(3*a^2 + 30*a*b + 35*b^2)*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d) - (5*b^2*(3*a + 7*b)*Cosh[c + d*x]^9)/(9*d) + (3*b^2*(a + 7*b)*Cosh[c + d*x]^11)/(11*d) - (7*b^3*Cosh[c + d*x]^13)/(13*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^15)/(15*d)}
+{Sinh[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 3, ((a + b)^3*Cosh[c + d*x])/d - (2*b*(a + b)^2*Cosh[c + d*x]^3)/d + (3*b*(a + b)*(a + 5*b)*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) - (4*b^2*(3*a + 5*b)*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^2*(a + 5*b)*Cosh[c + d*x]^9)/(3*d) - (6*b^3*Cosh[c + d*x]^11)/(11*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^13)/(13*d)}
+{Csch[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 4, -((a^3*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d) - (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Cosh[c + d*x])/d + (b*(3*a^2 + 9*a*b + 5*b^2)*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^2*(9*a + 10*b)*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*(3*a + 10*b)*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d) - (5*b^3*Cosh[c + d*x]^9)/(9*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^11)/(11*d)}
+{Csch[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 5, (a^3*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) + (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Cosh[c + d*x])/d - (2*b^2*(3*a + 2*b)*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*b^2*(a + 2*b)*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) - (4*b^3*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^9)/(9*d) - (a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^5*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 6, -((3*a^2*(a + 8*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(8*d)) - (b^2*(3*a + b)*Cosh[c + d*x])/d + (b^2*(a + b)*Cosh[c + d*x]^3)/d - (3*b^3*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^7)/(7*d) + (3*a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(8*d) - (a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^3)/(4*d)}
+{Csch[c + d*x]^7*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 7, (a^2*(5*a + 24*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(16*d) + (b^2*(3*a + b)*Cosh[c + d*x])/d - (2*b^3*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^2*(5*a + 24*b)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(16*d) + (5*a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^3)/(24*d) - (a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^5)/(6*d)}
+{Csch[c + d*x]^9*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 8, -((a*(35*a^2 + 144*a*b + 384*b^2)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(128*d)) - (b^3*Cosh[c + d*x])/d + (b^3*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*(35*a + 144*b)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(128*d) - (a^2*(35*a + 144*b)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^3)/(192*d) + (7*a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^5)/(48*d) - (a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^7)/(8*d)}
+{Csch[c + d*x]^11*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 8, (3*a*(21*a^2 + 80*a*b + 128*b^2)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(256*d) + (b^3*Cosh[c + d*x])/d - (3*a*(21*a^2 + 80*a*b + 128*b^2)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(256*d) + (a^2*(21*a + 80*b)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^3)/(128*d) - (a^2*(21*a + 80*b)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^5)/(160*d) + (9*a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^7)/(80*d) - (a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^9)/(10*d)}
+{Csch[c + d*x]^13*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 8, -(((231*a^3 + 840*a^2*b + 1152*a*b^2 + 1024*b^3)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(1024*d)) + (3*a*(77*a^2 + 280*a*b + 384*b^2)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(1024*d) - (a*(77*a^2 + 280*a*b + 384*b^2)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^3)/(512*d) + (7*a^2*(11*a + 40*b)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^5)/(640*d) - (3*a^2*(11*a + 40*b)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^7)/(320*d) + (11*a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^9)/(120*d) - (a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]^11)/(12*d)}
+
+{Sinh[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 9, -(((1024*a^3 + 1920*a^2*b + 1512*a*b^2 + 429*b^3)*x)/2048) + ((1024*a^3 + 4224*a^2*b + 4632*a*b^2 + 1619*b^3)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2048*d) - (b*(4992*a^2 + 10728*a*b + 5549*b^2)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(3072*d) + (b*(1920*a^2 + 12312*a*b + 10579*b^2)*Cosh[c + d*x]^5*Sinh[c + d*x])/(3840*d) - (b^2*(6888*a + 11821*b)*Cosh[c + d*x]^7*Sinh[c + d*x])/(4480*d) + (b^2*(504*a + 2593*b)*Cosh[c + d*x]^9*Sinh[c + d*x])/(1680*d) - (85*b^3*Cosh[c + d*x]^11*Sinh[c + d*x])/(168*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^13*Sinh[c + d*x])/(14*d)}
+{Sinh[c + d*x]^0*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 8, ((1024*a^3 + 1152*a^2*b + 840*a*b^2 + 231*b^3)*x)/1024 - (b*(1920*a^2 + 2232*a*b + 793*b^2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(1024*d) + (b*(1152*a^2 + 3912*a*b + 2279*b^2)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(1536*d) - (b^2*(3000*a + 3481*b)*Cosh[c + d*x]^5*Sinh[c + d*x])/(1920*d) + (3*b^2*(40*a + 139*b)*Cosh[c + d*x]^7*Sinh[c + d*x])/(320*d) - (61*b^3*Cosh[c + d*x]^9*Sinh[c + d*x])/(120*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^11*Sinh[c + d*x])/(12*d)}
+{Csch[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 8, (-(3/256))*b*(128*a^2 + 80*a*b + 21*b^2)*x - (a^3*Coth[c + d*x])/d + (b*(384*a^2 + 528*a*b + 193*b^2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(256*d) - (b^2*(208*a + 149*b)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(128*d) + (b^2*(80*a + 171*b)*Cosh[c + d*x]^5*Sinh[c + d*x])/(160*d) - (41*b^3*Cosh[c + d*x]^7*Sinh[c + d*x])/(80*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^9*Sinh[c + d*x])/(10*d)}
+{Csch[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 8, (1/128)*b*(384*a^2 + 144*a*b + 35*b^2)*x + (a^3*Coth[c + d*x])/d - (a^3*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*b^2*(80*a + 31*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(128*d) + (b^2*(144*a + 163*b)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(192*d) - (25*b^3*Cosh[c + d*x]^5*Sinh[c + d*x])/(48*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^7*Sinh[c + d*x])/(8*d)}
+{Csch[c + d*x]^6*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 7, (-(1/16))*b^2*(24*a + 5*b)*x - (a^2*(a + 3*b)*Coth[c + d*x])/d + (2*a^3*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*Coth[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*(24*a + 11*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(16*d) - (13*b^3*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(24*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^5*Sinh[c + d*x])/(6*d)}
+{Csch[c + d*x]^8*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 6, (3/8)*b^2*(8*a + b)*x + (a^2*(a + 3*b)*Coth[c + d*x])/d - (a^2*(a + b)*Coth[c + d*x]^3)/d + (3*a^3*Coth[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^3*Coth[c + d*x]^7)/(7*d) - (5*b^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*d)}
+{Csch[c + d*x]^10*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 5, -((b^3*x)/2) - (a*(a^2 + 3*a*b + 3*b^2)*Coth[c + d*x])/d + (2*a^2*(2*a + 3*b)*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a^2*(2*a + b)*Coth[c + d*x]^5)/(5*d) + (4*a^3*Coth[c + d*x]^7)/(7*d) - (a^3*Coth[c + d*x]^9)/(9*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^12*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 4, b^3*x + (a*(a^2 + 3*a*b + 3*b^2)*Coth[c + d*x])/d - (a*(5*a^2 + 9*a*b + 3*b^2)*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) + (a^2*(10*a + 9*b)*Coth[c + d*x]^5)/(5*d) - (a^2*(10*a + 3*b)*Coth[c + d*x]^7)/(7*d) + (5*a^3*Coth[c + d*x]^9)/(9*d) - (a^3*Coth[c + d*x]^11)/(11*d)}
+{Csch[c + d*x]^14*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 3, -(((a + b)^3*Coth[c + d*x])/d) + (2*a*(a + b)^2*Coth[c + d*x]^3)/d - (3*a*(a + b)*(5*a + b)*Coth[c + d*x]^5)/(5*d) + (4*a^2*(5*a + 3*b)*Coth[c + d*x]^7)/(7*d) - (a^2*(5*a + b)*Coth[c + d*x]^9)/(3*d) + (6*a^3*Coth[c + d*x]^11)/(11*d) - (a^3*Coth[c + d*x]^13)/(13*d)}
+{Csch[c + d*x]^16*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 3, ((a + b)^3*Coth[c + d*x])/d - ((a + b)^2*(7*a + b)*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a*(a + b)*(7*a + 3*b)*Coth[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*(35*a^2 + 30*a*b + 3*b^2)*Coth[c + d*x]^7)/(7*d) + (5*a^2*(7*a + 3*b)*Coth[c + d*x]^9)/(9*d) - (3*a^2*(7*a + b)*Coth[c + d*x]^11)/(11*d) + (7*a^3*Coth[c + d*x]^13)/(13*d) - (a^3*Coth[c + d*x]^15)/(15*d)}
+{Csch[c + d*x]^18*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 3, -(((a + b)^3*Coth[c + d*x])/d) + (2*(a + b)^2*(4*a + b)*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - ((a + b)*(28*a^2 + 17*a*b + b^2)*Coth[c + d*x]^5)/(5*d) + (4*a*(14*a^2 + 15*a*b + 3*b^2)*Coth[c + d*x]^7)/(7*d) - (a*(70*a^2 + 45*a*b + 3*b^2)*Coth[c + d*x]^9)/(9*d) + (2*a^2*(28*a + 9*b)*Coth[c + d*x]^11)/(11*d) - (a^2*(28*a + 3*b)*Coth[c + d*x]^13)/(13*d) + (8*a^3*Coth[c + d*x]^15)/(15*d) - (a^3*Coth[c + d*x]^17)/(17*d)}
+{Csch[c + d*x]^20*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 3, ((a + b)^3*Coth[c + d*x])/d - ((a + b)^2*(3*a + b)*Coth[c + d*x]^3)/d + (3*(a + b)*(12*a^2 + 9*a*b + b^2)*Coth[c + d*x]^5)/(5*d) - ((84*a^3 + 105*a^2*b + 30*a*b^2 + b^3)*Coth[c + d*x]^7)/(7*d) + (a*(42*a^2 + 35*a*b + 5*b^2)*Coth[c + d*x]^9)/(3*d) - (3*a*(42*a^2 + 21*a*b + b^2)*Coth[c + d*x]^11)/(11*d) + (21*a^2*(4*a + b)*Coth[c + d*x]^13)/(13*d) - (a^2*(12*a + b)*Coth[c + d*x]^15)/(5*d) + (9*a^3*Coth[c + d*x]^17)/(17*d) - (a^3*Coth[c + d*x]^19)/(19*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sinh[c + d*x]^7/(a - b*Sinh[c + d*x]^4), x, 6, -((a*ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(2*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*b^(7/4)*d)) + (a*ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(2*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*b^(7/4)*d) + Cosh[c + d*x]/(b*d) - Cosh[c + d*x]^3/(3*b*d)}
+{Sinh[c + d*x]^5/(a - b*Sinh[c + d*x]^4), x, 6, (Sqrt[a]*ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(2*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*b^(5/4)*d) + (Sqrt[a]*ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(2*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*b^(5/4)*d) - Cosh[c + d*x]/(b*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3/(a - b*Sinh[c + d*x]^4), x, 4, -ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]]/(2*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*b^(3/4)*d) + ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]]/(2*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*b^(3/4)*d)}
+{Sinh[c + d*x]^1/(a - b*Sinh[c + d*x]^4), x, 4, ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]]/(2*Sqrt[a]*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*b^(1/4)*d) + ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]]/(2*Sqrt[a]*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*b^(1/4)*d)}
+{Csch[c + d*x]^1/(a - b*Sinh[c + d*x]^4), x, 7, -(b^(1/4)*ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(2*a*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*d) - ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/(a*d) + (b^(1/4)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(2*a*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*d)}
+{Csch[c + d*x]^3/(a - b*Sinh[c + d*x]^4), x, 7, (b^(3/4)*ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(2*a^(3/2)*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*d) + ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/(2*a*d) + (b^(3/4)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(2*a^(3/2)*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*d) + 1/(4*a*d*(1 - Cosh[c + d*x])) - 1/(4*a*d*(1 + Cosh[c + d*x]))}
+
+{Sinh[c + d*x]^6/(a - b*Sinh[c + d*x]^4), x, 7, x/(2*b) - (a^(3/4)*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*b^(3/2)*d) + (a^(3/4)*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*b^(3/2)*d) - 1/(4*b*d*(1 - Tanh[c + d*x])) + 1/(4*b*d*(1 + Tanh[c + d*x]))}
+{Sinh[c + d*x]^4/(a - b*Sinh[c + d*x]^4), x, 7, -(x/b) + (a^(1/4)*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*b*d) + (a^(1/4)*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*b*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2/(a - b*Sinh[c + d*x]^4), x, 4, -ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)]/(2*a^(1/4)*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Sqrt[b]*d) + ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)]/(2*a^(1/4)*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Sqrt[b]*d)}
+{Sinh[c + d*x]^0/(a - b*Sinh[c + d*x]^4), x, 4, ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)]/(2*a^(3/4)*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*d) + ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)]/(2*a^(3/4)*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*d)}
+{Csch[c + d*x]^2/(a - b*Sinh[c + d*x]^4), x, 6, -(Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(5/4)*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*d) + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(5/4)*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*d) - Coth[c + d*x]/(a*d)}
+{Csch[c + d*x]^4/(a - b*Sinh[c + d*x]^4), x, 6, (b*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(7/4)*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*d) + (b*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*a^(7/4)*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*d) + Coth[c + d*x]/(a*d) - Coth[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+
+
+{Sinh[c + d*x]^9/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 7, -(Sqrt[a]*(5*Sqrt[a] - 6*Sqrt[b])*ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(8*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*b^(9/4)*d) - (Sqrt[a]*(5*Sqrt[a] + 6*Sqrt[b])*ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(8*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*b^(9/4)*d) + Cosh[c + d*x]/(b^2*d) + (a*Cosh[c + d*x]*(a + b - b*Cosh[c + d*x]^2))/(4*(a - b)*b^2*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4))}
+{Sinh[c + d*x]^7/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 5, ((3*Sqrt[a] - 4*Sqrt[b])*ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(8*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*b^(7/4)*d) - ((3*Sqrt[a] + 4*Sqrt[b])*ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(8*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*b^(7/4)*d) - (a*Cosh[c + d*x]*(2 - Cosh[c + d*x]^2))/(4*(a - b)*b*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4))}
+{Sinh[c + d*x]^5/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 5, -((Sqrt[a] - 2*Sqrt[b])*ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(8*Sqrt[a]*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*b^(5/4)*d) - ((Sqrt[a] + 2*Sqrt[b])*ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(8*Sqrt[a]*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*b^(5/4)*d) + (Cosh[c + d*x]*(a + b - b*Cosh[c + d*x]^2))/(4*(a - b)*b*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4))}
+{Sinh[c + d*x]^3/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 5, -ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]]/(8*Sqrt[a]*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*b^(3/4)*d) + ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]]/(8*Sqrt[a]*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*b^(3/4)*d) - (Cosh[c + d*x]*(2 - Cosh[c + d*x]^2))/(4*(a - b)*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4))}
+{Sinh[c + d*x]^1/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 5, ((3*Sqrt[a] - 2*Sqrt[b])*ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(8*a^(3/2)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*b^(1/4)*d) + ((3*Sqrt[a] + 2*Sqrt[b])*ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(8*a^(3/2)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*b^(1/4)*d) + (Cosh[c + d*x]*(a + b - b*Cosh[c + d*x]^2))/(4*a*(a - b)*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4))}
+{Csch[c + d*x]^1/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 11, -(b^(1/4)*ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(8*a^(3/2)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*d) - (b^(1/4)*ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(2*a^2*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*d) - ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/(a^2*d) + (b^(1/4)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(8*a^(3/2)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*d) + (b^(1/4)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(2*a^2*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*d) - (b*Cosh[c + d*x]*(2 - Cosh[c + d*x]^2))/(4*a*(a - b)*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4))}
+
+{Sinh[c + d*x]^8/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 14, x/b^2 - (a^(1/4)*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*b^2*d) + (a^(1/4)*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*b^(3/2)*d) - (a^(1/4)*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(2*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*b^2*d) - (a^(1/4)*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*b^(3/2)*d) - Tanh[c + d*x]/(4*(a - b)*b*d) + Tanh[c + d*x]^5/(4*b*d*(a - 2*a*Tanh[c + d*x]^2 + (a - b)*Tanh[c + d*x]^4))}
+{Sinh[c + d*x]^6/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 6, ((2*Sqrt[a] - 3*Sqrt[b])*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*a^(1/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*b^(3/2)*d) - ((2*Sqrt[a] + 3*Sqrt[b])*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*a^(1/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*b^(3/2)*d) + Tanh[c + d*x]/(4*(a - b)*b*d) + (Sech[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x]^3)/(4*b*d*(a - 2*a*Tanh[c + d*x]^2 + (a - b)*Tanh[c + d*x]^4))}
+{Sinh[c + d*x]^4/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 7, ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)]/(8*a^(3/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*Sqrt[b]*d) - ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)]/(8*a^(3/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*Sqrt[b]*d) - Tanh[c + d*x]/(4*a*(a - b)*d) + Tanh[c + d*x]^5/(4*a*d*(a - 2*a*Tanh[c + d*x]^2 + (a - b)*Tanh[c + d*x]^4))}
+{Sinh[c + d*x]^2/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 5, -(((2*Sqrt[a] - Sqrt[b])*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*a^(5/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*Sqrt[b]*d)) + ((2*Sqrt[a] + Sqrt[b])*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*a^(5/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*Sqrt[b]*d) + (Tanh[c + d*x]*(a - (a + b)*Tanh[c + d*x]^2))/(4*a*(a - b)*d*(a - 2*a*Tanh[c + d*x]^2 + (a - b)*Tanh[c + d*x]^4))}
+{Sinh[c + d*x]^0/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 5, ((4*Sqrt[a] - 3*Sqrt[b])*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*a^(7/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*d) + ((4*Sqrt[a] + 3*Sqrt[b])*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*a^(7/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*d) - (b*Tanh[c + d*x]*(1 - 2*Tanh[c + d*x]^2))/(4*a*(a - b)*d*(a - 2*a*Tanh[c + d*x]^2 + (a - b)*Tanh[c + d*x]^4))}
+{Csch[c + d*x]^2/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^2, x, 7, -(((6*Sqrt[a] - 5*Sqrt[b])*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*a^(9/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*d)) + ((6*Sqrt[a] + 5*Sqrt[b])*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(8*a^(9/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*d) - Coth[c + d*x]/(a^2*d) + (b*Tanh[c + d*x]*(a - (a + b)*Tanh[c + d*x]^2))/(4*a^2*(a - b)*d*(a - 2*a*Tanh[c + d*x]^2 + (a - b)*Tanh[c + d*x]^4))}
+
+
+{Sinh[c + d*x]^9/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 6, ((5*a - 14*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 12*b)*ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(64*Sqrt[a]*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*b^(9/4)*d) + ((5*a + 14*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 12*b)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(64*Sqrt[a]*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*b^(9/4)*d) + (a*Cosh[c + d*x]*(a + b - b*Cosh[c + d*x]^2))/(8*(a - b)*b^2*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4)^2) - (Cosh[c + d*x]*(9*a^2 - 11*a*b - 10*b^2 - 2*(2*a - 5*b)*b*Cosh[c + d*x]^2))/(32*(a - b)^2*b^2*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4))}
+{Sinh[c + d*x]^7/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 6, (3*(Sqrt[a] - 2*Sqrt[b])*ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(64*Sqrt[a]*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*b^(7/4)*d) - (3*(Sqrt[a] + 2*Sqrt[b])*ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(64*Sqrt[a]*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*b^(7/4)*d) - (a*Cosh[c + d*x]*(2 - Cosh[c + d*x]^2))/(8*(a - b)*b*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4)^2) + (Cosh[c + d*x]*(5*a - 17*b - 3*(a - 3*b)*Cosh[c + d*x]^2))/(32*(a - b)^2*b*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4))}
+{Sinh[c + d*x]^5/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 6, -((3*a - 10*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 4*b)*ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(64*a^(3/2)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*b^(5/4)*d) - ((3*a + 10*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 4*b)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(64*a^(3/2)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*b^(5/4)*d) + (Cosh[c + d*x]*(a + b - b*Cosh[c + d*x]^2))/(8*(a - b)*b*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4)^2) - (Cosh[c + d*x]*(a^2 - 11*a*b - 2*b^2 + 2*b*(2*a + b)*Cosh[c + d*x]^2))/(32*a*(a - b)^2*b*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4))}
+{Sinh[c + d*x]^3/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 6, -((5*Sqrt[a] - 2*Sqrt[b])*ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(64*a^(3/2)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*b^(3/4)*d) + ((5*Sqrt[a] + 2*Sqrt[b])*ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(64*a^(3/2)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*b^(3/4)*d) - (Cosh[c + d*x]*(2 - Cosh[c + d*x]^2))/(8*(a - b)*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4)^2) - (Cosh[c + d*x]*(11*a + b - (5*a + b)*Cosh[c + d*x]^2))/(32*a*(a - b)^2*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4))}
+{Sinh[c + d*x]^1/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 6, (3*(7*a - 10*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 4*b)*ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(64*a^(5/2)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*b^(1/4)*d) + (3*(7*a + 10*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 4*b)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(64*a^(5/2)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*b^(1/4)*d) + (Cosh[c + d*x]*(a + b - b*Cosh[c + d*x]^2))/(8*a*(a - b)*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4)^2) + (Cosh[c + d*x]*((7*a - 3*b)*(a + 2*b) - 6*(2*a - b)*b*Cosh[c + d*x]^2))/(32*a^2*(a - b)^2*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4))}
+{Csch[c + d*x]^1/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 16, -((5*Sqrt[a] - 2*Sqrt[b])*b^(1/4)*ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(64*a^(5/2)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*d) - (b^(1/4)*ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(8*a^(5/2)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(3/2)*d) - (b^(1/4)*ArcTan[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]])/(2*a^3*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*d) - ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/(a^3*d) + (b^(1/4)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(8*a^(5/2)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(3/2)*d) + (b^(1/4)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(2*a^3*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*d) + ((5*Sqrt[a] + 2*Sqrt[b])*b^(1/4)*ArcTanh[(b^(1/4)*Cosh[c + d*x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]])/(64*a^(5/2)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*d) - (b*Cosh[c + d*x]*(2 - Cosh[c + d*x]^2))/(8*a*(a - b)*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4)^2) - (b*Cosh[c + d*x]*(2 - Cosh[c + d*x]^2))/(4*a^2*(a - b)*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4)) - (b*Cosh[c + d*x]*(11*a + b - (5*a + b)*Cosh[c + d*x]^2))/(32*a^2*(a - b)^2*d*(a - b + 2*b*Cosh[c + d*x]^2 - b*Cosh[c + d*x]^4))}
+
+{Sinh[c + d*x]^8/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 9, -(((2*Sqrt[a] - 5*Sqrt[b])*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(3/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*b^(3/2)*d)) + ((2*Sqrt[a] + 5*Sqrt[b])*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(3/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*b^(3/2)*d) - ((a + 5*b)*Tanh[c + d*x])/(32*a*(a - b)^2*b*d) - Tanh[c + d*x]^3/(32*a*(a - b)*b*d) + Tanh[c + d*x]^9/(8*a*d*(a - 2*a*Tanh[c + d*x]^2 + (a - b)*Tanh[c + d*x]^4)^2) - (Sech[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x]^5)/(32*a*b*d*(a - 2*a*Tanh[c + d*x]^2 + (a - b)*Tanh[c + d*x]^4))}
+{Sinh[c + d*x]^6/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 6, ((4*a - 10*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 3*b)*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(5/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*b^(3/2)*d) - ((4*a + 10*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 3*b)*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(5/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*b^(3/2)*d) + (Tanh[c + d*x]*(a*(a + 3*b) - (a^2 + 6*a*b + b^2)*Tanh[c + d*x]^2))/(8*(a - b)^3*d*(a - 2*a*Tanh[c + d*x]^2 + (a - b)*Tanh[c + d*x]^4)^2) + (Tanh[c + d*x]*((2*a*(a^2 - a*b - 8*b^2))/(a - b)^3 - ((2*a^2 + 15*a*b + 3*b^2)*Tanh[c + d*x]^2)/(a - b)^2))/(32*a*b*d*(a - 2*a*Tanh[c + d*x]^2 + (a - b)*Tanh[c + d*x]^4))}
+{Sinh[c + d*x]^4/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 6, (3*(2*Sqrt[a] - Sqrt[b])*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(7/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*Sqrt[b]*d) - (3*(2*Sqrt[a] + Sqrt[b])*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(7/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*Sqrt[b]*d) - (b*Tanh[c + d*x]*(3*a + b - 4*(a + b)*Tanh[c + d*x]^2))/(8*(a - b)^3*d*(a - 2*a*Tanh[c + d*x]^2 + (a - b)*Tanh[c + d*x]^4)^2) - (Tanh[c + d*x]*((9*a^2 - 24*a*b - b^2)/(a - b)^3 - ((17*a + 3*b)*Tanh[c + d*x]^2)/(a - b)^2))/(32*a*d*(a - 2*a*Tanh[c + d*x]^2 + (a - b)*Tanh[c + d*x]^4))}
+{Sinh[c + d*x]^2/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 6, -(((12*a - 14*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 5*b)*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(9/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*Sqrt[b]*d)) + ((12*a + 14*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 5*b)*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(9/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*Sqrt[b]*d) + (b*Tanh[c + d*x]*(a*(a + 3*b) - (a^2 + 6*a*b + b^2)*Tanh[c + d*x]^2))/(8*a*(a - b)^3*d*(a - 2*a*Tanh[c + d*x]^2 + (a - b)*Tanh[c + d*x]^4)^2) + (Tanh[c + d*x]*((2*a*(5*a^2 - 9*a*b - 4*b^2))/(a - b)^3 - (5*(2*a^2 + 3*a*b - b^2)*Tanh[c + d*x]^2)/(a - b)^2))/(32*a^2*d*(a - 2*a*Tanh[c + d*x]^2 + (a - b)*Tanh[c + d*x]^4))}
+{Sinh[c + d*x]^0/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 6, ((32*a - 50*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 21*b)*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(11/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*d) + ((32*a + 50*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 21*b)*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(11/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*d) - (b^2*Tanh[c + d*x]*(3*a + b - 4*(a + b)*Tanh[c + d*x]^2))/(8*a*(a - b)^3*d*(a - 2*a*Tanh[c + d*x]^2 + (a - b)*Tanh[c + d*x]^4)^2) - (b*Tanh[c + d*x]*((17*a^2 - 40*a*b + 7*b^2)/(a - b)^3 - ((33*a - 13*b)*Tanh[c + d*x]^2)/(a - b)^2))/(32*a^2*d*(a - 2*a*Tanh[c + d*x]^2 + (a - b)*Tanh[c + d*x]^4))}
+{Csch[c + d*x]^2/(a - b*Sinh[c + d*x]^4)^3, x, 8, -((3*Sqrt[b]*(20*a - 34*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 15*b)*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(13/4)*(Sqrt[a] - Sqrt[b])^(5/2)*d)) + (3*Sqrt[b]*(20*a + 34*Sqrt[a]*Sqrt[b] + 15*b)*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]*Tanh[c + d*x])/a^(1/4)])/(64*a^(13/4)*(Sqrt[a] + Sqrt[b])^(5/2)*d) - Coth[c + d*x]/(a^3*d) + (b^2*Tanh[c + d*x]*(a*(a + 3*b) - (a^2 + 6*a*b + b^2)*Tanh[c + d*x]^2))/(8*a^2*(a - b)^3*d*(a - 2*a*Tanh[c + d*x]^2 + (a - b)*Tanh[c + d*x]^4)^2) + (b*Tanh[c + d*x]*((2*a^2*(9*a - 17*b))/(a - b)^3 - ((18*a^2 + 15*a*b - 13*b^2)*Tanh[c + d*x]^2)/(a - b)^2))/(32*a^3*d*(a - 2*a*Tanh[c + d*x]^2 + (a - b)*Tanh[c + d*x]^4))}
+
+
+{1/(1 - Sinh[x]^4), x, 3, ArcTanh[Sqrt[2]*Tanh[x]]/(2*Sqrt[2]) + Tanh[x]/2}
+{1/(1 + Sinh[x]^4), x, 10, -(ArcTan[(Sqrt[1 + Sqrt[2]] - 2*Tanh[x])/Sqrt[-1 + Sqrt[2]]]/(4*Sqrt[1 + Sqrt[2]])) + ArcTan[(Sqrt[1 + Sqrt[2]] + 2*Tanh[x])/Sqrt[-1 + Sqrt[2]]]/(4*Sqrt[1 + Sqrt[2]]) - (1/8)*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*Log[Sqrt[2] - 2*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*Tanh[x] + 2*Tanh[x]^2] + (1/8)*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*Log[1 + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Tanh[x] + Sqrt[2]*Tanh[x]^2]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^4)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^n)^p*)
+
+
+{1/(a + b*Sinh[x]^5), x, 17, -((2*ArcTanh[(b^(1/5) - a^(1/5)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^(2/5) + b^(2/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(2/5) + b^(2/5)])) + (2*(-1)^(9/10)*ArcTanh[((-1)^(9/10)*((-1)^(1/5)*b^(1/5) + a^(1/5)*Tanh[x/2]))/Sqrt[(-(-1)^(4/5))*a^(2/5) + (-1)^(1/5)*b^(2/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[(-(-1)^(4/5))*a^(2/5) + (-1)^(1/5)*b^(2/5)]) + (2*(-1)^(1/5)*ArcTanh[(b^(1/5) + (-1)^(1/5)*a^(1/5)*Tanh[x/2])/Sqrt[(-1)^(2/5)*a^(2/5) + b^(2/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[(-1)^(2/5)*a^(2/5) + b^(2/5)]) + (2*(-1)^(9/10)*ArcTanh[((-1)^(3/10)*(b^(1/5) + (-1)^(3/5)*a^(1/5)*Tanh[x/2]))/Sqrt[(-(-1)^(4/5))*a^(2/5) + (-1)^(3/5)*b^(2/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[(-(-1)^(4/5))*a^(2/5) + (-1)^(3/5)*b^(2/5)]) - (2*(-1)^(9/10)*ArcTanh[(I*b^(1/5) - (-1)^(9/10)*a^(1/5)*Tanh[x/2])/Sqrt[(-(-1)^(4/5))*a^(2/5) - b^(2/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[(-(-1)^(4/5))*a^(2/5) - b^(2/5)])}
+{1/(a + b*Sinh[x]^6), x, 7, ArcTanh[(Sqrt[a^(1/3) - b^(1/3)]*Tanh[x])/a^(1/6)]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) - b^(1/3)]) + ArcTanh[(Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(1/3)]*Tanh[x])/a^(1/6)]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(1/3)]) + ArcTanh[(Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(1/3)]*Tanh[x])/a^(1/6)]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(1/3)])}
+{1/(a + b*Sinh[x]^8), x, 9, -(ArcTanh[(Sqrt[(-a)^(1/4) - b^(1/4)]*Tanh[x])/(-a)^(1/8)]/(4*(-a)^(7/8)*Sqrt[(-a)^(1/4) - b^(1/4)])) - ArcTanh[(Sqrt[(-a)^(1/4) - I*b^(1/4)]*Tanh[x])/(-a)^(1/8)]/(4*(-a)^(7/8)*Sqrt[(-a)^(1/4) - I*b^(1/4)]) - ArcTanh[(Sqrt[(-a)^(1/4) + I*b^(1/4)]*Tanh[x])/(-a)^(1/8)]/(4*(-a)^(7/8)*Sqrt[(-a)^(1/4) + I*b^(1/4)]) - ArcTanh[(Sqrt[(-a)^(1/4) + b^(1/4)]*Tanh[x])/(-a)^(1/8)]/(4*(-a)^(7/8)*Sqrt[(-a)^(1/4) + b^(1/4)])}
+
+
+{1/(1 + Sinh[x]^5), x, 17, -((2*(-1)^(3/5)*ArcTan[(1 + (-1)^(3/5)*Tanh[x/2])/Sqrt[-1 + (-1)^(1/5)]])/(5*Sqrt[-1 + (-1)^(1/5)])) + (2*(-1)^(9/10)*ArcTan[(I - (-1)^(9/10)*Tanh[x/2])/Sqrt[1 + (-1)^(4/5)]])/(5*Sqrt[1 + (-1)^(4/5)]) - (1/5)*Sqrt[2]*ArcTanh[(1 - Tanh[x/2])/Sqrt[2]] + (2*(-1)^(9/10)*ArcTanh[((-1)^(7/10)*(1 + (-1)^(1/5)*Tanh[x/2]))/Sqrt[(-(-1)^(2/5))*(1 + (-1)^(2/5))]])/(5*Sqrt[(-(-1)^(2/5))*(1 + (-1)^(2/5))]) - (2*(-1)^(4/5)*ArcTanh[(1 - (-1)^(4/5)*Tanh[x/2])/Sqrt[1 - (-1)^(3/5)]])/(5*Sqrt[1 - (-1)^(3/5)])}
+{1/(1 + Sinh[x]^6), x, 8, ArcTanh[Sqrt[1 + (-1)^(1/3)]*Tanh[x]]/(3*Sqrt[1 + (-1)^(1/3)]) + ArcTanh[Sqrt[1 - (-1)^(2/3)]*Tanh[x]]/(3*Sqrt[1 - (-1)^(2/3)]) + Tanh[x]/3}
+{1/(1 + Sinh[x]^8), x, 9, ArcTanh[Sqrt[1 - (-1)^(1/4)]*Tanh[x]]/(4*Sqrt[1 - (-1)^(1/4)]) + ArcTanh[Sqrt[1 + (-1)^(1/4)]*Tanh[x]]/(4*Sqrt[1 + (-1)^(1/4)]) + ArcTanh[Sqrt[1 - (-1)^(3/4)]*Tanh[x]]/(4*Sqrt[1 - (-1)^(3/4)]) + ArcTanh[Sqrt[1 + (-1)^(3/4)]*Tanh[x]]/(4*Sqrt[1 + (-1)^(3/4)])}
+
+
+{1/(1 - Sinh[x]^5), x, 17, -((2*(-1)^(1/10)*ArcTan[(I + (-1)^(1/10)*Tanh[x/2])/Sqrt[1 - (-1)^(1/5)]])/(5*Sqrt[1 - (-1)^(1/5)])) - (2*ArcTanh[((-1)^(3/5) - Tanh[x/2])/Sqrt[1 - (-1)^(1/5)]])/(5*Sqrt[1 - (-1)^(1/5)]) + (1/5)*Sqrt[2]*ArcTanh[(1 + Tanh[x/2])/Sqrt[2]] + (2*ArcTanh[((-1)^(4/5) + Tanh[x/2])/Sqrt[1 - (-1)^(3/5)]])/(5*Sqrt[1 - (-1)^(3/5)]) - (2*(-1)^(1/10)*ArcTanh[((-1)^(3/10)*(1 + (-1)^(4/5)*Tanh[x/2]))/Sqrt[(-1)^(1/5) + (-1)^(3/5)]])/(5*Sqrt[(-1)^(1/5) + (-1)^(3/5)])}
+{1/(1 - Sinh[x]^6), x, 7, ArcTanh[Sqrt[2]*Tanh[x]]/(3*Sqrt[2]) + ArcTanh[Sqrt[1 - (-1)^(1/3)]*Tanh[x]]/(3*Sqrt[1 - (-1)^(1/3)]) + ArcTanh[Sqrt[1 + (-1)^(2/3)]*Tanh[x]]/(3*Sqrt[1 + (-1)^(2/3)])}
+{1/(1 - Sinh[x]^8), x, 10, ArcTanh[Sqrt[1 - I]*Tanh[x]]/(4*Sqrt[1 - I]) + ArcTanh[Sqrt[1 + I]*Tanh[x]]/(4*Sqrt[1 + I]) + ArcTanh[Sqrt[2]*Tanh[x]]/(4*Sqrt[2]) + Tanh[x]/4}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^2)^p with a-b=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cosh[x]^5/(a + a*Sinh[x]^2), x, 3, Sinh[x]/a + Sinh[x]^3/(3*a)}
+{Cosh[x]^4/(a + a*Sinh[x]^2), x, 3, x/(2*a) + (Cosh[x]*Sinh[x])/(2*a)}
+{Cosh[x]^3/(a + a*Sinh[x]^2), x, 2, Sinh[x]/a}
+{Cosh[x]^2/(a + a*Sinh[x]^2), x, 2, x/a}
+{Cosh[x]^1/(a + a*Sinh[x]^2), x, 2, ArcTan[Sinh[x]]/a}
+{Sech[x]^1/(a + a*Sinh[x]^2), x, 3, ArcTan[Sinh[x]]/(2*a) + (Sech[x]*Tanh[x])/(2*a)}
+{Sech[x]^3/(a + a*Sinh[x]^2), x, 4, (3*ArcTan[Sinh[x]])/(8*a) + (3*Sech[x]*Tanh[x])/(8*a) + (Sech[x]^3*Tanh[x])/(4*a)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Cosh[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 5, (1/16)*(6*a - b)*x + ((6*a - b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(16*d) + ((6*a - b)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(24*d) + (b*Cosh[c + d*x]^5*Sinh[c + d*x])/(6*d)}
+{Cosh[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 3, (a*Sinh[c + d*x])/d + ((a + b)*Sinh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*Sinh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Cosh[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 4, (1/8)*(4*a - b)*x + ((4*a - b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + (b*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*d)}
+{Cosh[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 2, (a*Sinh[c + d*x])/d + (b*Sinh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sech[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 3, ((a - b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/d + (b*Sinh[c + d*x])/d}
+{Sech[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 3, b*x + ((a - b)*Tanh[c + d*x])/d}
+{Sech[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 3, ((a + b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*d) + ((a - b)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*d)}
+{Sech[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 2, (a*Tanh[c + d*x])/d - ((a - b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sech[c + d*x]^5*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 4, ((3*a + b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(8*d) + ((3*a + b)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(8*d) + ((a - b)*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x])/(4*d)}
+{Sech[c + d*x]^6*(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 3, (a*Tanh[c + d*x])/d - ((2*a - b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) + ((a - b)*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+{Cosh[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 6, (1/128)*(48*a^2 - 16*a*b + 3*b^2)*x + ((48*a^2 - 16*a*b + 3*b^2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(128*d) + ((48*a^2 - 16*a*b + 3*b^2)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(192*d) + ((10*a - 3*b)*b*Cosh[c + d*x]^5*Sinh[c + d*x])/(48*d) + (b*Cosh[c + d*x]^7*Sinh[c + d*x]*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2))/(8*d)}
+{Cosh[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 3, (a^2*Sinh[c + d*x])/d + (a*(a + 2*b)*Sinh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*(2*a + b)*Sinh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*Sinh[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Cosh[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 5, (1/16)*(8*a^2 - 4*a*b + b^2)*x + ((8*a^2 - 4*a*b + b^2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(16*d) + ((8*a - 3*b)*b*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(24*d) + (b*Cosh[c + d*x]^5*Sinh[c + d*x]*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2))/(6*d)}
+{Cosh[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 3, (a^2*Sinh[c + d*x])/d + (2*a*b*Sinh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Sinh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sech[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 4, ((a - b)^2*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/d + ((2*a - b)*b*Sinh[c + d*x])/d + (b^2*Sinh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sech[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 5, (1/2)*(4*a - 3*b)*b*x + (b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d) + ((a - b)^2*Tanh[c + d*x])/d}
+{Sech[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 5, ((a - b)*(a + 3*b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*d) + (b^2*Sinh[c + d*x])/d + ((a - b)^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*d)}
+{Sech[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 4, b^2*x + ((a^2 - b^2)*Tanh[c + d*x])/d - ((a - b)^2*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sech[c + d*x]^5*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 4, ((3*a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(8*d) + (3*(a^2 - b^2)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(8*d) + ((a - b)*Sech[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)*Tanh[c + d*x])/(4*d)}
+{Sech[c + d*x]^6*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 3, (a^2*Tanh[c + d*x])/d - (2*a*(a - b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) + ((a - b)^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sech[c + d*x]^7*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 5, ((5*a^2 + 2*a*b + b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(16*d) + ((5*a^2 + 2*a*b + b^2)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(16*d) + ((a - b)*(5*a + 3*b)*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x])/(24*d) + ((a - b)*Sech[c + d*x]^5*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)*Tanh[c + d*x])/(6*d)}
+
+
+{Cosh[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 7, (3/256)*(4*a - b)*(8*a^2 - 2*a*b + b^2)*x + (3*(4*a - b)*(8*a^2 - 2*a*b + b^2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(256*d) + ((4*a - b)*(8*a^2 - 2*a*b + b^2)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(128*d) + (b*(44*a^2 - 28*a*b + 5*b^2)*Cosh[c + d*x]^5*Sinh[c + d*x])/(160*d) + (b*Cosh[c + d*x]^9*Sinh[c + d*x]*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2)^2)/(10*d) + (b*Cosh[c + d*x]^7*Sinh[c + d*x]*(a*(10*a - b) - 5*(a - b)*(2*a - b)*Tanh[c + d*x]^2))/(80*d)}
+{Cosh[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 3, (a^3*Sinh[c + d*x])/d + (a^2*(a + 3*b)*Sinh[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a*b*(a + b)*Sinh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^2*(3*a + b)*Sinh[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^3*Sinh[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Cosh[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 6, (1/128)*(64*a^3 - 48*a^2*b + 24*a*b^2 - 5*b^3)*x + ((64*a^3 - 48*a^2*b + 24*a*b^2 - 5*b^3)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(128*d) + (b*(88*a^2 - 68*a*b + 15*b^2)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(192*d) + (b*Cosh[c + d*x]^7*Sinh[c + d*x]*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2)^2)/(8*d) + (b*Cosh[c + d*x]^5*Sinh[c + d*x]*(a*(8*a - b) - (8*a - 5*b)*(a - b)*Tanh[c + d*x]^2))/(48*d)}
+{Cosh[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 3, (a^3*Sinh[c + d*x])/d + (a^2*b*Sinh[c + d*x]^3)/d + (3*a*b^2*Sinh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^3*Sinh[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Sech[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 4, ((a - b)^3*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/d + (b*(3*a^2 - 3*a*b + b^2)*Sinh[c + d*x])/d + ((3*a - b)*b^2*Sinh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^3*Sinh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sech[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 6, (3/8)*b*(8*a^2 - 12*a*b + 5*b^2)*x + (3*(4*a - 3*b)*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + (b^3*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*d) + ((a - b)^3*Tanh[c + d*x])/d}
+{Sech[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 5, ((a - b)^2*(a + 5*b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*d) + ((3*a - 2*b)*b^2*Sinh[c + d*x])/d + (b^3*Sinh[c + d*x]^3)/(3*d) + ((a - b)^3*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*d)}
+{Sech[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 5, (1/2)*(6*a - 5*b)*b^2*x + (b^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d) + ((a - b)^2*(a + 2*b)*Tanh[c + d*x])/d - ((a - b)^3*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sech[c + d*x]^5*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 6, (3*(a - b)*(4*b^2 + (a + b)^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(8*d) + (b^3*Sinh[c + d*x])/d + (3*(a - b)^2*(a + 3*b)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(8*d) + ((a - b)^3*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x])/(4*d)}
+{Sech[c + d*x]^6*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 4, b^3*x + ((a^3 - b^3)*Tanh[c + d*x])/d - ((a - b)^2*(2*a + b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) + ((a - b)^3*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sech[c + d*x]^7*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 5, ((a + b)*(5*a^2 - 2*a*b + 5*b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(16*d) + ((a - b)*(15*a^2 + 14*a*b + 15*b^2)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(48*d) + (5*(a^2 - b^2)*Sech[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)*Tanh[c + d*x])/(24*d) + ((a - b)*Sech[c + d*x]^5*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2*Tanh[c + d*x])/(6*d)}
+{Sech[c + d*x]^8*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 3, (a^3*Tanh[c + d*x])/d - (a^2*(a - b)*Tanh[c + d*x]^3)/d + (3*a*(a - b)^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - ((a - b)^3*Tanh[c + d*x]^7)/(7*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cosh[c + d*x]^7/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 4, -(((a - b)^3*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^(7/2)*d)) + ((a^2 - 3*a*b + 3*b^2)*Sinh[c + d*x])/(b^3*d) - ((a - 3*b)*Sinh[c + d*x]^3)/(3*b^2*d) + Sinh[c + d*x]^5/(5*b*d)}
+{Cosh[c + d*x]^6/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 6, ((8*a^2 - 20*a*b + 15*b^2)*x)/(8*b^3) - ((a - b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^3*d) - ((4*a - 7*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*b^2*d) + (Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*b*d)}
+{Cosh[c + d*x]^5/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 4, ((a - b)^2*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^(5/2)*d) - ((a - 2*b)*Sinh[c + d*x])/(b^2*d) + Sinh[c + d*x]^3/(3*b*d)}
+{Cosh[c + d*x]^4/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 5, -(((2*a - 3*b)*x)/(2*b^2)) + ((a - b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^2*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 3, -(((a - b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^(3/2)*d)) + Sinh[c + d*x]/(b*d)}
+{Cosh[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 4, x/b - (Sqrt[a - b]*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b*d)}
+{Cosh[c + d*x]^1/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*d)}
+{Sech[c + d*x]^1/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 4, ArcTan[Sinh[c + d*x]]/((a - b)*d) - (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a - b)*d)}
+{Sech[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 3, -((b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a - b)^(3/2)*d)) + Tanh[c + d*x]/((a - b)*d)}
+{Sech[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 5, ((a - 3*b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*(a - b)^2*d) + (b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a - b)^2*d) + (Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*(a - b)*d)}
+{Sech[c + d*x]^4/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 4, (b^2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a - b)^(5/2)*d) + ((a - 2*b)*Tanh[c + d*x])/((a - b)^2*d) - Tanh[c + d*x]^3/(3*(a - b)*d)}
+{Sech[c + d*x]^5/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 6, ((3*a^2 - 10*a*b + 15*b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(8*(a - b)^3*d) - (b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a - b)^3*d) + ((3*a - 7*b)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(8*(a - b)^2*d) + (Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x])/(4*(a - b)*d)}
+{Sech[c + d*x]^6/(a + b*Sinh[c + d*x]^2), x, 4, -((b^3*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a - b)^(7/2)*d)) + ((a^2 - 3*a*b + 3*b^2)*Tanh[c + d*x])/((a - b)^3*d) - ((2*a - 3*b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*(a - b)^2*d) + Tanh[c + d*x]^5/(5*(a - b)*d)}
+
+
+{Cosh[c + d*x]^6/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 6, -(((4*a - 5*b)*x)/(2*b^3)) + ((a - b)^(3/2)*(4*a + b)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*b^3*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2)) + ((a - b)*(2*a - b)*Tanh[c + d*x])/(2*a*b^2*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Cosh[c + d*x]^5/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 5, -(((3*a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*b^(5/2)*d)) + Sinh[c + d*x]/(b^2*d) + ((a - b)^2*Sinh[c + d*x])/(2*a*b^2*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Cosh[c + d*x]^4/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 5, x/b^2 - (Sqrt[a - b]*(2*a + b)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*b^2*d) - ((a - b)*Tanh[c + d*x])/(2*a*b*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 3, ((a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*b^(3/2)*d) - ((a - b)*Sinh[c + d*x])/(2*a*b*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Cosh[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 3, ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]]/(2*a^(3/2)*Sqrt[a - b]*d) + Tanh[c + d*x]/(2*a*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Cosh[c + d*x]^1/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 3, ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]]/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*d) + Sinh[c + d*x]/(2*a*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^1/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 5, ArcTan[Sinh[c + d*x]]/((a - b)^2*d) - ((3*a - b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a - b)^2*d) - (b*Sinh[c + d*x])/(2*a*(a - b)*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 5, -(((4*a - b)*b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a - b)^(5/2)*d)) + Tanh[c + d*x]/((a - b)^2*d) + (b^2*Tanh[c + d*x])/(2*a*(a - b)^2*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 6, ((a - 5*b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*(a - b)^3*d) + ((5*a - b)*b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a - b)^3*d) + (b*(a + b)*Sinh[c + d*x])/(2*a*(a - b)^2*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)) + (Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*(a - b)*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^4/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2, x, 5, ((6*a - b)*b^2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a - b)^(7/2)*d) + ((a - 3*b)*Tanh[c + d*x])/((a - b)^3*d) - Tanh[c + d*x]^3/(3*(a - b)^2*d) - (b^3*Tanh[c + d*x])/(2*a*(a - b)^3*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2))}
+
+
+{Cosh[c + d*x]^6/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 6, x/b^3 - (Sqrt[a - b]*(8*a^2 + 4*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*b^3*d) - ((a - b)*Tanh[c + d*x])/(4*a*b*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2)^2) - ((a - b)*(4*a + 3*b)*Tanh[c + d*x])/(8*a^2*b^2*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Cosh[c + d*x]^5/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 4, ((3*a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*b^(5/2)*d) - ((a - b)*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(4*a*b*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2) + (3*(1/a^2 - 1/b^2)*Sinh[c + d*x])/(8*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Cosh[c + d*x]^4/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 4, (3*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*Sqrt[a - b]*d) + Tanh[c + d*x]/(4*a*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (3*Tanh[c + d*x])/(8*a^2*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 4, ((a + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*b^(3/2)*d) - ((a - b)*Sinh[c + d*x])/(4*a*b*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2) + ((a + 3*b)*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*b*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Cosh[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 4, ((4*a - 3*b)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a - b)^(3/2)*d) - (b*Tanh[c + d*x])/(4*a*(a - b)*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2)^2) + ((4*a - 3*b)*Tanh[c + d*x])/(8*a^2*(a - b)*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Cosh[c + d*x]^1/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 4, (3*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*Sqrt[b]*d) + Sinh[c + d*x]/(4*a*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2) + (3*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^1/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 6, ArcTan[Sinh[c + d*x]]/((a - b)^3*d) - (Sqrt[b]*(15*a^2 - 10*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a - b)^3*d) - (b*Sinh[c + d*x])/(4*a*(a - b)*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2) - ((7*a - 3*b)*b*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*(a - b)^2*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^2/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 6, -((3*b*(8*a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a - b)^(7/2)*d)) + Tanh[c + d*x]/((a - b)^3*d) - (b^3*Tanh[c + d*x])/(4*a*(a - b)^3*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (3*(4*a - b)*b^2*Tanh[c + d*x])/(8*a^2*(a - b)^3*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 7, ((a - 7*b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*(a - b)^4*d) + (b^(3/2)*(35*a^2 - 14*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a - b)^4*d) + (b*(2*a + b)*Sinh[c + d*x])/(4*a*(a - b)^2*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2) + ((4*a - b)*b*(a + 3*b)*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*(a - b)^3*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)) + (Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*(a - b)*d*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^2)}
+{Sech[c + d*x]^4/(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^3, x, 6, (b^2*(48*a^2 - 16*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a - b)^(9/2)*d) + ((a - 4*b)*Tanh[c + d*x])/((a - b)^4*d) - Tanh[c + d*x]^3/(3*(a - b)^3*d) + (b^4*Tanh[c + d*x])/(4*a*(a - b)^4*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2)^2) - ((16*a - 3*b)*b^3*Tanh[c + d*x])/(8*a^2*(a - b)^4*d*(a - (a - b)*Tanh[c + d*x]^2))}
+
+
+{Cosh[x]^2/(1 - Sinh[x]^2), x, 4, -x + Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[2]*Tanh[x]]}
+{Cosh[x]^3/(1 - Sinh[x]^2), x, 3, 2*ArcTanh[Sinh[x]] - Sinh[x]}
+{Cosh[x]^4/(1 - Sinh[x]^2), x, 5, -((5*x)/2) + 2*Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[2]*Tanh[x]] - (1/2)*Cosh[x]*Sinh[x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Cosh[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, -(a*(a - 4*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/(8*b^(3/2)*f) - ((a - 4*b)*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(8*b*f) + (Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*b*f)}
+{Cosh[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 4, (a*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/(2*Sqrt[b]*f) + (Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Sech[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 6, (Sqrt[a - b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/f + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/f}
+{Sech[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 4, (a*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/(2*Sqrt[a - b]*f) + (Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(2*f)}
+{Sech[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, (a*(3*a - 4*b)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/(8*(a - b)^(3/2)*f) + ((3*a - 4*b)*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(8*(a - b)*f) + (Sech[e + f*x]^3*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)*Tanh[e + f*x])/(4*(a - b)*f)}
+
+{Cosh[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 7, -((2*(a - 3*b)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(15*b*f)) + (Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(5*b*f) + ((2*a^2 - 7*a*b - 3*b^2)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(15*b^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - ((a - 9*b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(15*b*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - ((2*a^2 - 7*a*b - 3*b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(15*b^2*f)}
+{Cosh[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 6, (Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f) - ((a + b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*b*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (2*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((a + b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*b*f)}
+{Cosh[e + f*x]^0*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 2, ((-I)*EllipticE[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])}
+{Sech[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 2, (EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a])}
+{Sech[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, ((2*a - b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*(a - b)*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - (b*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*(a - b)*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (Sech[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*f)}
+
+
+{Cosh[e + f*x]^3*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -(a^2*(a - 6*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/(16*b^(3/2)*f) - (a*(a - 6*b)*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(16*b*f) - ((a - 6*b)*Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(24*b*f) + (Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2))/(6*b*f)}
+{Cosh[e + f*x]^1*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (3*a^2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/(8*Sqrt[b]*f) + (3*a*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(8*f) + (Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*f)}
+{Sech[e + f*x]^1*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, ((a - b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/f + ((3*a - 2*b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(2*f)}
+{Sech[e + f*x]^3*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, (Sqrt[a - b]*(a + 2*b)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/f + ((a - b)*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(2*f)}
+{Sech[e + f*x]^5*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (3*a^2*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/(8*Sqrt[a - b]*f) + (3*a*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(8*f) + (Sech[e + f*x]^3*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)*Tanh[e + f*x])/(4*f)}
+{Sech[e + f*x]^7*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, (a^2*(5*a - 6*b)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/(16*(a - b)^(3/2)*f) + (a*(5*a - 6*b)*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(16*(a - b)*f) + ((5*a - 6*b)*Sech[e + f*x]^3*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)*Tanh[e + f*x])/(24*(a - b)*f) + (Sech[e + f*x]^5*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2)*Tanh[e + f*x])/(6*(a - b)*f)}
+
+{Cosh[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, ((a^2 + 9*a*b - 2*b^2)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(35*b*f) + (2*(4*a - b)*Cosh[e + f*x]^3*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(35*f) + (b*Cosh[e + f*x]^5*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(7*f) + (2*(a + b)*(a^2 - 6*a*b + b^2)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(35*b^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - ((a^2 - 18*a*b + b^2)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(35*b*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - (2*(a + b)*(a^2 - 6*a*b + b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(35*b^2*f)}
+{Cosh[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, (2*(3*a - b)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(15*f) + (b*Cosh[e + f*x]^3*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(5*f) - ((3*a^2 + 7*a*b - 2*b^2)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(15*b*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((9*a - b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(15*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((3*a^2 + 7*a*b - 2*b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(15*b*f)}
+{Cosh[e + f*x]^0*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, (b*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f) - (((2*I)/3)*(2*a - b)*EllipticE[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a]) + ((I/3)*a*(a - b)*EllipticF[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, ((a - 2*b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (b*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - ((a - 2*b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/f + ((a - b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/f}
+{Sech[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (2*(a + b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - (b*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((a - b)*Sech[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cosh[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 4, -((a - 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/(2*b^(3/2)*f) + (Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(2*b*f)}
+{Cosh[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 3, ArcTanh[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]]/(Sqrt[b]*f)}
+{Sech[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 3, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]]/(Sqrt[a - b]*f)}
+{Sech[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 4, ((a - 2*b)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/(2*(a - b)^(3/2)*f) + (Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(2*(a - b)*f)}
+
+{Cosh[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 6, (Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*b*f) + (2*(a - 2*b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*b^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - ((a - 3*b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a*b*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - (2*(a - 2*b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*b^2*f)}
+{Cosh[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, -((EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(b*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a])) + (EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(b*f)}
+{Cosh[e + f*x]^0/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 2, ((-I)*EllipticF[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Sech[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 7, (EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/((a - b)*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - (b*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a*(a - b)*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a])}
+{Sech[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, (2*(a - 2*b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*(a - b)^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - ((a - 3*b)*b*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a*(a - b)^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (Sech[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*(a - b)*f)}
+
+
+{Cosh[e + f*x]^3/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, ArcTanh[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]]/(b^(3/2)*f) - ((a - b)*Sinh[e + f*x])/(a*b*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Cosh[e + f*x]^1/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 2, Sinh[e + f*x]/(a*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Sech[e + f*x]^1/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]]/((a - b)^(3/2)*f) - (b*Sinh[e + f*x])/(a*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Sech[e + f*x]^3/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, ((a - 4*b)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/(2*(a - b)^(5/2)*f) + (b*(a + 2*b)*Sinh[e + f*x])/(2*a*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) + (Sech[e + f*x]*Tanh[e + f*x])/(2*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+
+{Cosh[e + f*x]^6/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, -(((a - b)*Cosh[e + f*x]^3*Sinh[e + f*x])/(a*b*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])) + ((4*a - 3*b)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a*b^2*f) + ((8*a^2 - 13*a*b + 3*b^2)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a*b^3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - (2*(2*a - 3*b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a*b^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - ((8*a^2 - 13*a*b + 3*b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*a*b^3*f)}
+{Cosh[e + f*x]^4/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -(((a - b)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(a*b*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])) - ((2*a - b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a*b^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a*b*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((2*a - b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(a*b^2*f)}
+{Cosh[e + f*x]^2/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 2, (Cosh[e + f*x]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a]], 1 - a/b])/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*f*Sqrt[(a*Cosh[e + f*x]^2)/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Cosh[e + f*x]^0/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -((b*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(a*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])) - (I*EllipticE[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a*(a - b)*f*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])}
+{Sech[e + f*x]^2/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (Sqrt[b]*(a + b)*Cosh[e + f*x]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a]], 1 - a/b])/(Sqrt[a]*(a - b)^2*f*Sqrt[(a*Cosh[e + f*x]^2)/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - (2*b*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a*(a - b)^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + Tanh[e + f*x]/((a - b)*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+
+
+{Cosh[e + f*x]^5/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 5, ArcTanh[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]]/(b^(5/2)*f) - ((a - b)*Cosh[e + f*x]^2*Sinh[e + f*x])/(3*a*b*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) - ((a - b)*(3*a + 2*b)*Sinh[e + f*x])/(3*a^2*b^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Cosh[e + f*x]^3/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 3, (Cosh[e + f*x]^2*Sinh[e + f*x])/(3*a*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*Sinh[e + f*x])/(3*a^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Cosh[e + f*x]^1/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 3, Sinh[e + f*x]/(3*a*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*Sinh[e + f*x])/(3*a^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Sech[e + f*x]^1/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTan[(Sqrt[a - b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]]/((a - b)^(5/2)*f) - (b*Sinh[e + f*x])/(3*a*(a - b)*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) - ((5*a - 2*b)*b*Sinh[e + f*x])/(3*a^2*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+
+{Cosh[e + f*x]^6/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, -(((a - b)*Cosh[e + f*x]^3*Sinh[e + f*x])/(3*a*b*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))) - (2*(a - b)*(2*a + b)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(3*a^2*b^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - ((8*a^2 - 3*a*b - 2*b^2)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^2*b^3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((4*a - b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^2*b^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((8*a^2 - 3*a*b - 2*b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*a^2*b^3*f)}
+{Cosh[e + f*x]^4/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 5, -(((a - b)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(3*a*b*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))) + (2*(a + b)*Cosh[e + f*x]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a]], 1 - a/b])/(3*a^(3/2)*b^(3/2)*f*Sqrt[(a*Cosh[e + f*x]^2)/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - (EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^2*b*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a])}
+{Cosh[e + f*x]^2/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 5, (Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(3*a*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + ((a - 2*b)*Cosh[e + f*x]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a]], 1 - a/b])/(3*a^(3/2)*(a - b)*Sqrt[b]*f*Sqrt[(a*Cosh[e + f*x]^2)/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) + (EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^2*(a - b)*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a])}
+{Cosh[e + f*x]^0/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, -(b*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(3*a*(a - b)*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) - (2*(2*a - b)*b*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(3*a^2*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - (((2*I)/3)*(2*a - b)*EllipticE[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a^2*(a - b)^2*f*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a]) + ((I/3)*EllipticF[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])/(a*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Sech[e + f*x]^2/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, (b*(3*a + b)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(3*a*(a - b)^2*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + (Sqrt[b]*(3*a^2 + 7*a*b - 2*b^2)*Cosh[e + f*x]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a]], 1 - a/b])/(3*a^(3/2)*(a - b)^3*f*Sqrt[(a*Cosh[e + f*x]^2)/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - ((9*a - b)*b*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^2*(a - b)^3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + Tanh[e + f*x]/((a - b)*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Cosh[e+f x])^m (a+b Sinh[e+f x]^2)^p when p symbolic*)
+
+
+{(d*Cosh[e + f*x])^m*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 3, (d*AppellF1[1/2, (1 - m)/2, -p, 3/2, -Sinh[e + f*x]^2, -((b*Sinh[e + f*x]^2)/a)]*(d*Cosh[e + f*x])^(-1 + m)*(Cosh[e + f*x]^2)^((1 - m)/2)*Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a)^p)}
+
+
+{Cosh[e + f*x]^5*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 5, If[$VersionNumber>=8, -(((3*a - b*(7 + 2*p))*Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b^2*f*(3 + 2*p)*(5 + 2*p))) + (Cosh[e + f*x]^2*Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b*f*(5 + 2*p)) + ((3*a^2 - 2*a*b*(5 + 2*p) + b^2*(15 + 16*p + 4*p^2))*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*Sinh[e + f*x]^2)/a)]*Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p)/(b^2*f*(3 + 2*p)*(5 + 2*p)*(1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a)^p), -(((3*a - b*(7 + 2*p))*Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b^2*f*(15 + 16*p + 4*p^2))) + (Cosh[e + f*x]^2*Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b*f*(5 + 2*p)) + ((3*a^2 - 2*a*b*(5 + 2*p) + b^2*(15 + 16*p + 4*p^2))*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*Sinh[e + f*x]^2)/a)]*Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p)/((1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a)^p*(b^2*f*(15 + 16*p + 4*p^2)))]}
+{Cosh[e + f*x]^3*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 4, (Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(1 + p))/(b*f*(3 + 2*p)) - ((a - b*(3 + 2*p))*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*Sinh[e + f*x]^2)/a)]*Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p)/(b*f*(3 + 2*p)*(1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{Cosh[e + f*x]^1*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 3, (Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, -((b*Sinh[e + f*x]^2)/a)]*Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{Sech[e + f*x]^1*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, 1, -p, 3/2, -Sinh[e + f*x]^2, -((b*Sinh[e + f*x]^2)/a)]*Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{Sech[e + f*x]^3*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, 2, -p, 3/2, -Sinh[e + f*x]^2, -((b*Sinh[e + f*x]^2)/a)]*Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a)^p)}
+
+{Cosh[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, -3/2, -p, 3/2, -Sinh[e + f*x]^2, -((b*Sinh[e + f*x]^2)/a)]*Sqrt[Cosh[e + f*x]^2]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p*Tanh[e + f*x])/(f*(1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{Cosh[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, -1/2, -p, 3/2, -Sinh[e + f*x]^2, -((b*Sinh[e + f*x]^2)/a)]*Sqrt[Cosh[e + f*x]^2]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p*Tanh[e + f*x])/(f*(1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{Cosh[e + f*x]^0*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, 1/2, -p, 3/2, -Sinh[e + f*x]^2, -((b*Sinh[e + f*x]^2)/a)]*Sqrt[Cosh[e + f*x]^2]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p*Tanh[e + f*x])/(f*(1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, 3/2, -p, 3/2, -Sinh[e + f*x]^2, -((b*Sinh[e + f*x]^2)/a)]*Sqrt[Cosh[e + f*x]^2]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p*Tanh[e + f*x])/(f*(1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a)^p)}
+{Sech[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p, x, 3, (AppellF1[1/2, 5/2, -p, 3/2, -Sinh[e + f*x]^2, -((b*Sinh[e + f*x]^2)/a)]*Sqrt[Cosh[e + f*x]^2]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p*Tanh[e + f*x])/(f*(1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a)^p)}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^n)^p*)
+
+
+{Cosh[c + d*x]^5/(a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]), x, 4, -((2*a*(a^4 + b^4)^2*Log[a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/(b^10*d)) + (2*(a^4 + b^4)^2*Sqrt[Sinh[c + d*x]])/(b^9*d) - (a^3*(a^4 + 2*b^4)*Sinh[c + d*x])/(b^8*d) + (2*a^2*(a^4 + 2*b^4)*Sinh[c + d*x]^(3/2))/(3*b^7*d) - (a*(a^4 + 2*b^4)*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^6*d) + (2*(a^4 + 2*b^4)*Sinh[c + d*x]^(5/2))/(5*b^5*d) - (a^3*Sinh[c + d*x]^3)/(3*b^4*d) + (2*a^2*Sinh[c + d*x]^(7/2))/(7*b^3*d) - (a*Sinh[c + d*x]^4)/(4*b^2*d) + (2*Sinh[c + d*x]^(9/2))/(9*b*d)}
+{Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]), x, 4, -((2*a*(a^4 + b^4)*Log[a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/(b^6*d)) + (2*(a^4 + b^4)*Sqrt[Sinh[c + d*x]])/(b^5*d) - (a^3*Sinh[c + d*x])/(b^4*d) + (2*a^2*Sinh[c + d*x]^(3/2))/(3*b^3*d) - (a*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^2*d) + (2*Sinh[c + d*x]^(5/2))/(5*b*d)}
+{Cosh[c + d*x]^1/(a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]), x, 4, -((2*a*Log[a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/(b^2*d)) + (2*Sqrt[Sinh[c + d*x]])/(b*d)}
+{Sech[c + d*x]^1/(a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]), x, 19, (b*(a^2 - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^4 + b^4)*d) - (b*(a^2 - b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^4 + b^4)*d) + (a^3*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/((a^4 + b^4)*d) + (a*b^2*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^4 + b^4)*d) - (2*a*b^2*Log[a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/((a^4 + b^4)*d) - (b*(a^2 + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]] + Sinh[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^4 + b^4)*d) + (b*(a^2 + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]] + Sinh[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^4 + b^4)*d)}
+(* {Sech[c + d*x]^3/(a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]), x, 00, (a^2*b^3*(a^2 + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^4 + b^4)^2*d) + (b*(a^2 - 3*b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/(4*Sqrt[2]*(a^4 + b^4)*d) - (a^2*b^3*(a^2 + b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^4 + b^4)^2*d) - (b*(a^2 - 3*b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/(4*Sqrt[2]*(a^4 + b^4)*d) + (a^3*b^4*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/((a^4 + b^4)^2*d) + (a^3*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*(a^4 + b^4)*d) - (a^2*b^3*(a^2 - b^2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]])/(1 + Sinh[c + d*x])])/(Sqrt[2]*(a^4 + b^4)^2*d) + (b*(a^2 + 3*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]])/(1 + Sinh[c + d*x])])/(4*Sqrt[2]*(a^4 + b^4)*d) - (2*a*b^6*Log[a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/((a^4 + b^4)^2*d) + (a*b^6*Log[1 + Sinh[c + d*x]^2])/(2*(a^4 + b^4)^2*d) - (a*(b^2 - a^2*Sinh[c + d*x]))/(2*(a^4 + b^4)*d*(1 + Sinh[c + d*x]^2)) + (b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]*(b^2 - a^2*Sinh[c + d*x]))/(2*(a^4 + b^4)*d*(1 + Sinh[c + d*x]^2))} *)
+
+
+{Cosh[c + d*x]^5/(a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]])^2, x, 4, (2*(a^4 + b^4)*(9*a^4 + b^4)*Log[a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/(b^10*d) + (2*a*(a^4 + b^4)^2)/(b^10*d*(a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]])) - (16*a^3*(a^4 + b^4)*Sqrt[Sinh[c + d*x]])/(b^9*d) + (a^2*(7*a^4 + 6*b^4)*Sinh[c + d*x])/(b^8*d) - (4*a*(3*a^4 + 2*b^4)*Sinh[c + d*x]^(3/2))/(3*b^7*d) + ((5*a^4 + 2*b^4)*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b^6*d) - (8*a^3*Sinh[c + d*x]^(5/2))/(5*b^5*d) + (a^2*Sinh[c + d*x]^3)/(b^4*d) - (4*a*Sinh[c + d*x]^(7/2))/(7*b^3*d) + Sinh[c + d*x]^4/(4*b^2*d)}
+{Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]])^2, x, 4, (2*(5*a^4 + b^4)*Log[a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/(b^6*d) + (2*a*(a^4 + b^4))/(b^6*d*(a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]])) - (8*a^3*Sqrt[Sinh[c + d*x]])/(b^5*d) + (3*a^2*Sinh[c + d*x])/(b^4*d) - (4*a*Sinh[c + d*x]^(3/2))/(3*b^3*d) + Sinh[c + d*x]^2/(2*b^2*d)}
+{Cosh[c + d*x]^1/(a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]])^2, x, 4, (2*Log[a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/(b^2*d) + (2*a)/(b^2*d*(a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]))}
+{Sech[c + d*x]^1/(a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]])^2, x, 19, (Sqrt[2]*a*b*(a^4 - 2*a^2*b^2 - b^4)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/((a^4 + b^4)^2*d) - (Sqrt[2]*a*b*(a^4 - 2*a^2*b^2 - b^4)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/((a^4 + b^4)^2*d) + (a^2*(a^4 - 3*b^4)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/((a^4 + b^4)^2*d) + (b^2*(3*a^4 - b^4)*Log[Cosh[c + d*x]])/((a^4 + b^4)^2*d) - (2*b^2*(3*a^4 - b^4)*Log[a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/((a^4 + b^4)^2*d) - (a*b*(a^4 + 2*a^2*b^2 - b^4)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]] + Sinh[c + d*x]])/(Sqrt[2]*(a^4 + b^4)^2*d) + (a*b*(a^4 + 2*a^2*b^2 - b^4)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]] + Sinh[c + d*x]])/(Sqrt[2]*(a^4 + b^4)^2*d) + (2*a*b^2)/((a^4 + b^4)*d*(a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]))}
+(* {Sech[c + d*x]^3/(a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]])^2, x, 00, (a*b*(a^4 - 6*a^2*b^2 - b^4)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^4 + b^4)^2*d) + (Sqrt[2]*a*b^3*(2*a^6 + 3*a^4*b^2 - 2*a^2*b^4 - b^6)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/((a^4 + b^4)^3*d) - (a*b*(a^4 - 6*a^2*b^2 - b^4)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/(2*Sqrt[2]*(a^4 + b^4)^2*d) - (Sqrt[2]*a*b^3*(2*a^6 + 3*a^4*b^2 - 2*a^2*b^4 - b^6)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/((a^4 + b^4)^3*d) + (a^2*b^4*(5*a^4 - 3*b^4)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/((a^4 + b^4)^3*d) + (a^2*(a^4 - 3*b^4)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*(a^4 + b^4)^2*d) + (a*b*(a^4 + 6*a^2*b^2 - b^4)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]])/(1 + Sinh[c + d*x])])/(2*Sqrt[2]*(a^4 + b^4)^2*d) - (Sqrt[2]*a*b^3*(2*a^6 - 3*a^4*b^2 - 2*a^2*b^4 + b^6)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[Sinh[c + d*x]])/(1 + Sinh[c + d*x])])/((a^4 + b^4)^3*d) - (2*b^6*(7*a^4 - b^4)*Log[a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]])/((a^4 + b^4)^3*d) + (b^6*(7*a^4 - b^4)*Log[1 + Sinh[c + d*x]^2])/(2*(a^4 + b^4)^3*d) + (2*a*b^6)/((a^4 + b^4)^2*d*(a + b*Sqrt[Sinh[c + d*x]])) - (b^2*(3*a^4 - b^4) - a^2*(a^4 - 3*b^4)*Sinh[c + d*x])/(2*(a^4 + b^4)^2*d*(1 + Sinh[c + d*x]^2)) + (a*b*Sqrt[Sinh[c + d*x]]*(2*a^2*b^2 - (a^4 - b^4)*Sinh[c + d*x]))/((a^4 + b^4)^2*d*(1 + Sinh[c + d*x]^2))} *)
+
+
+{Cosh[c + d*x]^5/(a + b*Sinh[c + d*x]^n), x, 6, (Hypergeometric2F1[1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*Sinh[c + d*x]^n)/a)]*Sinh[c + d*x])/(a*d) + (2*Hypergeometric2F1[1, 3/n, (3 + n)/n, -((b*Sinh[c + d*x]^n)/a)]*Sinh[c + d*x]^3)/(3*a*d) + (Hypergeometric2F1[1, 5/n, (5 + n)/n, -((b*Sinh[c + d*x]^n)/a)]*Sinh[c + d*x]^5)/(5*a*d)}
+{Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]^n), x, 5, (Hypergeometric2F1[1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*Sinh[c + d*x]^n)/a)]*Sinh[c + d*x])/(a*d) + (Hypergeometric2F1[1, 3/n, (3 + n)/n, -((b*Sinh[c + d*x]^n)/a)]*Sinh[c + d*x]^3)/(3*a*d)}
+{Cosh[c + d*x]^1/(a + b*Sinh[c + d*x]^n), x, 2, (Hypergeometric2F1[1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*Sinh[c + d*x]^n)/a)]*Sinh[c + d*x])/(a*d)}
+
+
+{Cosh[c + d*x]^5/(a + b*Sinh[c + d*x]^n)^2, x, 6, (Hypergeometric2F1[2, 1/n, 1 + 1/n, -((b*Sinh[c + d*x]^n)/a)]*Sinh[c + d*x])/(a^2*d) + (2*Hypergeometric2F1[2, 3/n, (3 + n)/n, -((b*Sinh[c + d*x]^n)/a)]*Sinh[c + d*x]^3)/(3*a^2*d) + (Hypergeometric2F1[2, 5/n, (5 + n)/n, -((b*Sinh[c + d*x]^n)/a)]*Sinh[c + d*x]^5)/(5*a^2*d)}
+{Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Sinh[c + d*x]^n)^2, x, 5, (Hypergeometric2F1[2, 1/n, 1 + 1/n, -((b*Sinh[c + d*x]^n)/a)]*Sinh[c + d*x])/(a^2*d) + (Hypergeometric2F1[2, 3/n, (3 + n)/n, -((b*Sinh[c + d*x]^n)/a)]*Sinh[c + d*x]^3)/(3*a^2*d)}
+{Cosh[c + d*x]^1/(a + b*Sinh[c + d*x]^n)^2, x, 2, (Hypergeometric2F1[2, 1/n, 1 + 1/n, -((b*Sinh[c + d*x]^n)/a)]*Sinh[c + d*x])/(a^2*d)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^2)^p*)
+
+
+{Coth[x]^1/(1 - Sinh[x]^2), x, 4, Log[Sinh[x]] - (1/2)*Log[1 - Sinh[x]^2]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^2)^(p/2) when a-b=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x]^5, x, 5, -a^2/(3*f*(a*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*a)/(f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]) + Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]/f}
+{Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x]^3, x, 5, a/(f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]) + Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]/f}
+{Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x]^1, x, 4, Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]/f}
+{Coth[e + f*x]^1*Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, -((Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f) + Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]/f}
+{Coth[e + f*x]^3*Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2], x, 7, (-3*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*f) + (3*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2])/(2*f) - ((a*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2)*Csch[e + f*x]^2)/(2*a*f)}
+
+{Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x]^6, x, 7, -((15*ArcTan[Sinh[e + f*x]]*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Sech[e + f*x])/(8*f)) + (15*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(8*f) - (5*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x]^3)/(8*f) - (Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x]^5)/(4*f)}
+{Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x]^4, x, 6, (-3*ArcTan[Sinh[e + f*x]]*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Sech[e + f*x])/(2*f) + (3*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(2*f) - (Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x]^3)/(2*f)}
+{Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x]^2, x, 5, -((ArcTan[Sinh[e + f*x]]*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Sech[e + f*x])/f) + (Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/f}
+{Coth[e + f*x]^2*Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, -((Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Csch[e + f*x]*Sech[e + f*x])/f) + (Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/f}
+{Coth[e + f*x]^4*Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, (-2*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Csch[e + f*x]*Sech[e + f*x])/f - (Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Csch[e + f*x]^3*Sech[e + f*x])/(3*f) + (Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/f}
+{Coth[e + f*x]^6*Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, (-3*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Csch[e + f*x]*Sech[e + f*x])/f - (Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Csch[e + f*x]^3*Sech[e + f*x])/f - (Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Csch[e + f*x]^5*Sech[e + f*x])/(5*f) + (Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/f}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tanh[e + f*x]^5/Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, -a^2/(5*f*(a*Cosh[e + f*x]^2)^(5/2)) + (2*a)/(3*f*(a*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2)) - 1/(f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2])}
+{Tanh[e + f*x]^3/Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, a/(3*f*(a*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2)) - 1/(f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2])}
+{Tanh[e + f*x]^1/Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2], x, 4, -(1/(f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]))}
+{Coth[e + f*x]^1/Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2], x, 4, -(ArcTanh[Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*f))}
+{Coth[e + f*x]^3/Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2], x, 6, -ArcTanh[Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(2*Sqrt[a]*f) - (Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Csch[e + f*x]^2)/(2*a*f)}
+
+{Tanh[e + f*x]^4/Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, (3*ArcTan[Sinh[e + f*x]]*Cosh[e + f*x])/(8*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]) - (3*Tanh[e + f*x])/(8*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]) - Tanh[e + f*x]^3/(4*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2])}
+{Tanh[e + f*x]^2/Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2], x, 4, (ArcTan[Sinh[e + f*x]]*Cosh[e + f*x])/(2*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]) - Tanh[e + f*x]/(2*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2])}
+{Coth[e + f*x]^2/Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2], x, 4, -(Coth[e + f*x]/(f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]))}
+{Coth[e + f*x]^4/Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2], x, 4, -(Coth[e + f*x]/(f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2])) - (Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^2)/(3*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2])}
+{Coth[e + f*x]^6/Sqrt[a + a*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, -(Coth[e + f*x]/(f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2])) - (2*Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^2)/(3*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]) - (Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^4)/(5*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2])}
+
+
+{Tanh[e + f*x]^5/(a + a*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -a^2/(7*f*(a*Cosh[e + f*x]^2)^(7/2)) + (2*a)/(5*f*(a*Cosh[e + f*x]^2)^(5/2)) - 1/(3*f*(a*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2))}
+{Tanh[e + f*x]^3/(a + a*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, a/(5*f*(a*Cosh[e + f*x]^2)^(5/2)) - 1/(3*f*(a*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2))}
+{Tanh[e + f*x]^1/(a + a*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -1/(3*f*(a*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2))}
+{Coth[e + f*x]^1/(a + a*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -(ArcTanh[Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(3/2)*f)) + 1/(a*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2])}
+{Coth[e + f*x]^3/(a + a*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, ArcTanh[Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(2*a^(3/2)*f) - (Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]*Csch[e + f*x]^2)/(2*a^2*f)}
+
+{Tanh[e + f*x]^2/(a + a*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (ArcTan[Sinh[e + f*x]]*Cosh[e + f*x])/(8*a*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]) + Tanh[e + f*x]/(8*a*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]) - (Sech[e + f*x]^2*Tanh[e + f*x])/(4*a*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2])}
+{Coth[e + f*x]^2/(a + a*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -((ArcTan[Sinh[e + f*x]]*Cosh[e + f*x])/(a*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2])) - Coth[e + f*x]/(a*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2])}
+{Coth[e + f*x]^4/(a + a*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -(Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^2)/(3*a*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2])}
+{Coth[e + f*x]^6/(a + a*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -(Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^2)/(3*a*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]) - (Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^4)/(5*a*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2])}
+{Coth[e + f*x]^8/(a + a*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -((Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^2)/(3*a*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2])) - (2*Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^4)/(5*a*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2]) - (Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^6)/(7*a*f*Sqrt[a*Cosh[e + f*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x]^5, x, 6, -((8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/(8*(a - b)^(3/2)*f) + ((8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(8*(a - b)^2*f) + ((8*a - 7*b)*Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(8*(a - b)^2*f) - (Sech[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*(a - b)*f)}
+{Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x]^3, x, 5, -((2*a - 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/(2*Sqrt[a - b]*f) + ((2*a - 3*b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(2*(a - b)*f) + (Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(2*(a - b)*f)}
+{Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x]^1, x, 4, -((Sqrt[a - b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/f) + Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/f}
+{Coth[e + f*x]^1*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 4, -((Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f) + Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/f}
+{Coth[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, -((2*a + b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*Sqrt[a]*f) + ((2*a + b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(2*a*f) - (Csch[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(2*a*f)}
+{Coth[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 6, -((8*a^2 + 8*a*b - b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(8*a^(3/2)*f) + ((8*a^2 + 8*a*b - b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(8*a^2*f) - ((8*a - b)*Csch[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(8*a^2*f) - (Csch[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*a*f)}
+
+{Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x]^4, x, 7, -((7*a - 8*b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*(a - b)*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((3*a - 4*b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*(a - b)*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((7*a - 8*b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*(a - b)*f) - ((3*a - 4*b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*(a - b)*f) - (Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x]^2, x, 6, (-2*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/f}
+{Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x]^0, x, 2, ((-I)*EllipticE[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])}
+{Coth[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 6, -((Coth[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/f) - (2*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((a + b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/f}
+{Coth[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 7, -((3*a + b)*Coth[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a*f) - (Coth[e + f*x]^3*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f) - ((7*a + b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((3*a + 5*b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((7*a + b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*a*f)}
+
+
+{(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)*Tanh[e + f*x]^5, x, 7, -((8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/(8*Sqrt[a - b]*f) + ((8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(8*(a - b)*f) + ((8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(24*(a - b)^2*f) + ((8*a - 9*b)*Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2))/(8*(a - b)^2*f) - (Sech[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2))/(4*(a - b)*f)}
+{(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)*Tanh[e + f*x]^3, x, 6, -((2*a - 5*b)*Sqrt[a - b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/(2*f) + ((2*a - 5*b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(2*f) + ((2*a - 5*b)*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(6*(a - b)*f) + (Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2))/(2*(a - b)*f)}
+{(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)*Tanh[e + f*x]^1, x, 5, -(((a - b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/f) + ((a - b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/f + (a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)/(3*f)}
+{Coth[e + f*x]^1*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -((a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/f) + (a*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/f + (a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)/(3*f)}
+{Coth[e + f*x]^3*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -(Sqrt[a]*(2*a + 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*f) + ((2*a + 3*b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(2*f) + ((2*a + 3*b)*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(6*a*f) - (Csch[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2))/(2*a*f)}
+{Coth[e + f*x]^5*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, -((8*a^2 + 3*b*(8*a + b))*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(8*Sqrt[a]*f) + ((8*a^2 + 3*b*(8*a + b))*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(8*a*f) + ((8*a^2 + 3*b*(8*a + b))*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(24*a^2*f) - ((8*a + b)*Csch[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2))/(8*a^2*f) - (Csch[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2))/(4*a*f)}
+
+{(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)*Tanh[e + f*x]^4, x, 8, -((3*a - 8*b)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f) - (8*(a - 2*b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((3*a - 8*b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (8*(a - 2*b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*f) + ((a - 2*b)*Sinh[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/f - ((a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)*Tanh[e + f*x]^3)/(3*f)}
+{(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)*Tanh[e + f*x]^2, x, 7, (4*b*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f) - ((7*a - 8*b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((3*a - 4*b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((7*a - 8*b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*f) - ((a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)*Tanh[e + f*x])/f}
+{(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)*Tanh[e + f*x]^0, x, 6, (b*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f) - (((2*I)/3)*(2*a - b)*EllipticE[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(f*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a]) + ((I/3)*a*(a - b)*EllipticF[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Coth[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, (4*b*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f) - (Coth[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/f - ((7*a + b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((3*a + 5*b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((7*a + b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*f)}
+{Coth[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, -(((a + b)*Cosh[e + f*x]^2*Coth[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/f) + ((3*a + 5*b)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f) - (Coth[e + f*x]^3*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(3*f) - (8*(a + b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((3*a + b)*(a + 3*b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (8*(a + b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*f)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tanh[e + f*x]^5/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, -((8*a^2 - 8*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/(8*(a - b)^(5/2)*f) + ((8*a - 5*b)*Sech[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(8*(a - b)^2*f) - (Sech[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(4*(a - b)*f)}
+{Tanh[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 4, -((2*a - b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/(2*(a - b)^(3/2)*f) + (Sech[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(2*(a - b)*f)}
+{Tanh[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 3, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/(Sqrt[a - b]*f))}
+{Coth[e + f*x]^1/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 3, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*f))}
+{Coth[e + f*x]^3/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 4, -((2*a - b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*f) - (Csch[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(2*a*f)}
+{Coth[e + f*x]^5/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, -((8*a^2 - 8*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*f) - ((8*a - 3*b)*Csch[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(8*a^2*f) - (Csch[e + f*x]^4*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(4*a*f)}
+
+{Tanh[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 5, (-2*(2*a - b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*(a - b)^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((3*a - b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*(a - b)^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (Sech[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*(a - b)*f)}
+{Tanh[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 6, -((EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/((a - b)*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a])) + (EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/((a - b)*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a])}
+{Tanh[e + f*x]^0/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 2, ((-I)*EllipticF[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])/(f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Coth[e + f*x]^2/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 6, -((Coth[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a*f)) - (EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(a*f)}
+{Coth[e + f*x]^4/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2], x, 7, (-2*(2*a - b)*Coth[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^2*f) - (Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a*f) - (2*(2*a - b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((3*a - b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (2*(2*a - b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*a^2*f)}
+
+
+{Tanh[e + f*x]^5/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -((8*a^2 + 8*a*b - b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/(8*(a - b)^(7/2)*f) + (8*a^2 + 8*a*b - b^2)/(8*(a - b)^3*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) + ((8*a - 3*b)*Sech[e + f*x]^2)/(8*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - Sech[e + f*x]^4/(4*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Tanh[e + f*x]^3/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -((2*a + b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/(2*(a - b)^(5/2)*f) + (2*a + b)/(2*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) + Sech[e + f*x]^2/(2*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Tanh[e + f*x]^1/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/((a - b)^(3/2)*f)) + 1/((a - b)*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Coth[e + f*x]^1/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(3/2)*f)) + 1/(a*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Coth[e + f*x]^3/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, -((2*a - 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*a^(5/2)*f) + (2*a - 3*b)/(2*a^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - Csch[e + f*x]^2/(2*a*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Coth[e + f*x]^5/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -((8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(8*a^(7/2)*f) + (8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)/(8*a^3*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - ((8*a - 5*b)*Csch[e + f*x]^2)/(8*a^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - Csch[e + f*x]^4/(4*a*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+
+{Tanh[e + f*x]^4/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 6, -(Sqrt[a]*Sqrt[b]*(7*a + b)*Cosh[e + f*x]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a]], 1 - a/b])/(3*(a - b)^3*f*Sqrt[(a*Cosh[e + f*x]^2)/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) + ((3*a + 5*b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*(a - b)^3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - (4*a*Tanh[e + f*x])/(3*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) + (Sech[e + f*x]^2*Tanh[e + f*x])/(3*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Tanh[e + f*x]^2/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 5, (-2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*Cosh[e + f*x]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a]], 1 - a/b])/((a - b)^2*f*Sqrt[(a*Cosh[e + f*x]^2)/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) + ((a + b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a*(a - b)^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - Tanh[e + f*x]/((a - b)*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Tanh[e + f*x]^0/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 4, -((b*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(a*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])) - (I*EllipticE[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a*(a - b)*f*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])}
+{Coth[e + f*x]^2/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 7, Coth[e + f*x]/(a*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - (2*Coth[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a^2*f) - (2*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a^2*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(a^2*f)}
+{Coth[e + f*x]^4/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2), x, 8, -(((a - b)*Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^2)/(a*b*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])) - ((7*a - 8*b)*Coth[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^3*f) + ((3*a - 4*b)*Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^2*b*f) - ((7*a - 8*b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((3*a - 4*b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((7*a - 8*b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*a^3*f)}
+
+
+{Tanh[e + f*x]^5/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, -((8*a^2 + 24*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/(8*(a - b)^(9/2)*f) + (8*a^2 + 24*a*b + 3*b^2)/(24*(a - b)^3*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + ((8*a - b)*Sech[e + f*x]^2)/(8*(a - b)^2*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) - Sech[e + f*x]^4/(4*(a - b)*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + (8*a^2 + 24*a*b + 3*b^2)/(8*(a - b)^4*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Tanh[e + f*x]^3/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, -((2*a + 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/(2*(a - b)^(7/2)*f) + (2*a + 3*b)/(6*(a - b)^2*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + Sech[e + f*x]^2/(2*(a - b)*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*a + 3*b)/(2*(a - b)^3*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Tanh[e + f*x]^1/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 5, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]]/((a - b)^(5/2)*f)) + 1/(3*(a - b)*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + 1/((a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Coth[e + f*x]^1/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 5, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]]/(a^(5/2)*f)) + 1/(3*a*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + 1/(a^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Coth[e + f*x]^3/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, -((2*a - 5*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(2*a^(7/2)*f) + (2*a - 5*b)/(6*a^2*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) - Csch[e + f*x]^2/(2*a*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + (2*a - 5*b)/(2*a^3*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Coth[e + f*x]^5/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, -((8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a]])/(8*a^(9/2)*f) + (8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)/(24*a^3*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) - ((8*a - 7*b)*Csch[e + f*x]^2)/(8*a^2*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) - Csch[e + f*x]^4/(4*a*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + (8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)/(8*a^4*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+
+{Tanh[e + f*x]^4/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, -(b*(5*a + 3*b)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(3*(a - b)^3*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) - (8*Sqrt[a]*Sqrt[b]*(a + b)*Cosh[e + f*x]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a]], 1 - a/b])/(3*(a - b)^4*f*Sqrt[(a*Cosh[e + f*x]^2)/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) + ((3*a + b)*(a + 3*b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a*(a - b)^4*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - (2*(2*a + b)*Tanh[e + f*x])/(3*(a - b)^2*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + (Sech[e + f*x]^2*Tanh[e + f*x])/(3*(a - b)*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))}
+{Tanh[e + f*x]^2/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 6, (-4*b*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(3*(a - b)^2*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) - (Sqrt[b]*(7*a + b)*Cosh[e + f*x]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a]], 1 - a/b])/(3*Sqrt[a]*(a - b)^3*f*Sqrt[(a*Cosh[e + f*x]^2)/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) + ((3*a + 5*b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a*(a - b)^3*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) - Tanh[e + f*x]/((a - b)*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))}
+{Tanh[e + f*x]^0/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 7, -(b*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(3*a*(a - b)*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) - (2*(2*a - b)*b*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(3*a^2*(a - b)^2*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - (((2*I)/3)*(2*a - b)*EllipticE[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(a^2*(a - b)^2*f*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a]) + ((I/3)*EllipticF[I*e + I*f*x, b/a]*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])/(a*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])}
+{Coth[e + f*x]^2/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 8, Coth[e + f*x]/(3*a*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + ((3*a - 4*b)*Coth[e + f*x])/(3*a^2*(a - b)*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - ((7*a - 8*b)*Coth[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^3*(a - b)*f) - ((7*a - 8*b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^3*(a - b)*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((3*a - 4*b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^3*(a - b)*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((7*a - 8*b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*a^3*(a - b)*f)}
+{Coth[e + f*x]^4/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2), x, 9, -((a - b)*Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^2)/(3*a*b*f*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) - (2*(a - 3*b)*Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^2)/(3*a^2*b*f*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]) - (8*(a - 2*b)*Coth[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^4*f) + ((3*a - 8*b)*Coth[e + f*x]*Csch[e + f*x]^2*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^3*b*f) - (8*(a - 2*b)*EllipticE[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^4*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + ((3*a - 8*b)*EllipticF[ArcTan[Sinh[e + f*x]], 1 - b/a]*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(3*a^4*f*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]) + (8*(a - 2*b)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(3*a^4*f)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d Tanh[e+f x])^m (a+b Sinh[e+f x]^2)^p when p symbolic*)
+
+
+{(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p*(d*Tanh[e + f*x])^m, x, 3, (AppellF1[(1 + m)/2, (1 + m)/2, -p, (3 + m)/2, -Sinh[e + f*x]^2, -((b*Sinh[e + f*x]^2)/a)]*(Cosh[e + f*x]^2)^((1 + m)/2)*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^p*(d*Tanh[e + f*x])^(1 + m))/((1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a)^p*(d*f*(1 + m)))}
+
+
+{(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^p*Tanh[c + d*x]^3, x, 3, -((a - b*(1 + p))*Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, (a + b*Sinh[c + d*x]^2)/(a - b)]*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^(1 + p))/(2*(a - b)^2*d*(1 + p)) + (Sech[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^(1 + p))/(2*(a - b)*d)}
+{(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^p*Tanh[c + d*x]^1, x, 2, -(Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, (a + b*Sinh[c + d*x]^2)/(a - b)]*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^(1 + p))/(2*(a - b)*d*(1 + p))}
+{Coth[c + d*x]^1*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^p, x, 2, -(Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*Sinh[c + d*x]^2)/a]*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^(1 + p))/(2*a*d*(1 + p))}
+{Coth[c + d*x]^3*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^p, x, 3, -(Csch[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^(1 + p))/(2*a*d) - ((a + b*p)*Hypergeometric2F1[1, 1 + p, 2 + p, 1 + (b*Sinh[c + d*x]^2)/a]*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^(1 + p))/(2*a^2*d*(1 + p))}
+
+{(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^p*Tanh[c + d*x]^4, x, 3, (AppellF1[5/2, 5/2, -p, 7/2, -Sinh[c + d*x]^2, -((b*Sinh[c + d*x]^2)/a)]*Sqrt[Cosh[c + d*x]^2]*Sinh[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^p*Tanh[c + d*x])/(5*d*(1 + (b*Sinh[c + d*x]^2)/a)^p)}
+{(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^p*Tanh[c + d*x]^2, x, 3, (AppellF1[3/2, 3/2, -p, 5/2, -Sinh[c + d*x]^2, -((b*Sinh[c + d*x]^2)/a)]*Sqrt[Cosh[c + d*x]^2]*Sinh[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^p*Tanh[c + d*x])/(3*d*(1 + (b*Sinh[c + d*x]^2)/a)^p)}
+{Coth[c + d*x]^2*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^p, x, 3, -((AppellF1[-1/2, -1/2, -p, 1/2, -Sinh[c + d*x]^2, -((b*Sinh[c + d*x]^2)/a)]*Sqrt[Cosh[c + d*x]^2]*Csch[c + d*x]*Sech[c + d*x]*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^p)/(d*(1 + (b*Sinh[c + d*x]^2)/a)^p))}
+{Coth[c + d*x]^4*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^p, x, 3, -(AppellF1[-3/2, -3/2, -p, -1/2, -Sinh[c + d*x]^2, -((b*Sinh[c + d*x]^2)/a)]*Sqrt[Cosh[c + d*x]^2]*Csch[c + d*x]^3*Sech[c + d*x]*(a + b*Sinh[c + d*x]^2)^p)/(3*d*(1 + (b*Sinh[c + d*x]^2)/a)^p)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^3)^p*)
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+
+{Coth[x]^3/(a + b*Sinh[x]^3), x, 12, (b^(2/3)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Sinh[x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(5/3)) - Csch[x]^2/(2*a) + Log[Sinh[x]]/a - (b^(2/3)*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Sinh[x]])/(3*a^(5/3)) + (b^(2/3)*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Sinh[x] + b^(2/3)*Sinh[x]^2])/(6*a^(5/3)) - Log[a + b*Sinh[x]^3]/(3*a)}
+
+
+{Coth[x]/Sqrt[a + b*Sinh[x]^3], x, 4, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[x]^3]/Sqrt[a]])/(3*Sqrt[a]))}
+
+
+{Coth[x]*Sqrt[a + b*Sinh[x]^3], x, 5, (-(2/3))*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[x]^3]/Sqrt[a]] + (2/3)*Sqrt[a + b*Sinh[x]^3]}
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+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^4)^p*)
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Sinh[e+f x]^n)^p*)
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+{Coth[x]/Sqrt[a + b*Sinh[x]^n], x, 4, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[x]^n]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*n))}
+
+
+{Coth[x]*Sqrt[a + b*Sinh[x]^n], x, 5, -((2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[x]^n]/Sqrt[a]])/n) + (2*Sqrt[a + b*Sinh[x]^n])/n}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.2 Hyperbolic cosine/6.2.1 (c+d x)^m (a+b cosh)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.2 Hyperbolic cosine/6.2.1 (c+d x)^m (a+b cosh)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..40cf0f9d
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.2 Hyperbolic cosine/6.2.1 (c+d x)^m (a+b cosh)^n.m	
@@ -0,0 +1,370 @@
+(* ::Package:: *)
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+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Cosh[e+f x])^n*)
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+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Cosh[e+f x])^n*)
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+(*Integrands of the form (c+d x)^m Cosh[e+f x]^n*)
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+{(c + d*x)^4*Cosh[a + b*x], x, 5, (-24*d^3*(c + d*x)*Cosh[a + b*x])/b^4 - (4*d*(c + d*x)^3*Cosh[a + b*x])/b^2 + (24*d^4*Sinh[a + b*x])/b^5 + (12*d^2*(c + d*x)^2*Sinh[a + b*x])/b^3 + ((c + d*x)^4*Sinh[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^3*Cosh[a + b*x], x, 4, (-6*d^3*Cosh[a + b*x])/b^4 - (3*d*(c + d*x)^2*Cosh[a + b*x])/b^2 + (6*d^2*(c + d*x)*Sinh[a + b*x])/b^3 + ((c + d*x)^3*Sinh[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^2*Cosh[a + b*x], x, 3, (-2*d*(c + d*x)*Cosh[a + b*x])/b^2 + (2*d^2*Sinh[a + b*x])/b^3 + ((c + d*x)^2*Sinh[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)*Cosh[a + b*x], x, 2, -((d*Cosh[a + b*x])/b^2) + ((c + d*x)*Sinh[a + b*x])/b}
+{Cosh[a + b*x]/(c + d*x), x, 3, (Cosh[a - (b*c)/d]*CoshIntegral[(b*c)/d + b*x])/d + (Sinh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(b*c)/d + b*x])/d}
+{Cosh[a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 4, -(Cosh[a + b*x]/(d*(c + d*x))) + (b*CoshIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sinh[a - (b*c)/d])/d^2 + (b*Cosh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(b*c)/d + b*x])/d^2}
+{Cosh[a + b*x]/(c + d*x)^3, x, 5, -Cosh[a + b*x]/(2*d*(c + d*x)^2) + (b^2*Cosh[a - (b*c)/d]*CoshIntegral[(b*c)/d + b*x])/(2*d^3) - (b*Sinh[a + b*x])/(2*d^2*(c + d*x)) + (b^2*Sinh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(b*c)/d + b*x])/(2*d^3)}
+
+
+{(c + d*x)^4*Cosh[a + b*x]^2, x, 6, (3*d^4*x)/(4*b^4) + (d*(c + d*x)^3)/(2*b^2) + (c + d*x)^5/(10*d) - (3*d^3*(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^2)/(2*b^4) - (d*(c + d*x)^3*Cosh[a + b*x]^2)/b^2 + (3*d^4*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(4*b^5) + (3*d^2*(c + d*x)^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b^3) + ((c + d*x)^4*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b)}
+{(c + d*x)^3*Cosh[a + b*x]^2, x, 4, (3*c*d^2*x)/(4*b^2) + (3*d^3*x^2)/(8*b^2) + (c + d*x)^4/(8*d) - (3*d^3*Cosh[a + b*x]^2)/(8*b^4) - (3*d*(c + d*x)^2*Cosh[a + b*x]^2)/(4*b^2) + (3*d^2*(c + d*x)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(4*b^3) + ((c + d*x)^3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b)}
+{(c + d*x)^2*Cosh[a + b*x]^2, x, 4, (d^2*x)/(4*b^2) + (c + d*x)^3/(6*d) - (d*(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^2)/(2*b^2) + (d^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(4*b^3) + ((c + d*x)^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b)}
+{(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^2, x, 2, (c*x)/2 + (d*x^2)/4 - (d*Cosh[a + b*x]^2)/(4*b^2) + ((c + d*x)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b)}
+{Cosh[a + b*x]^2/(c + d*x), x, 5, (Cosh[2*a - (2*b*c)/d]*CoshIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(2*d) + Log[c + d*x]/(2*d) + (Sinh[2*a - (2*b*c)/d]*SinhIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(2*d)}
+{Cosh[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x, 5, -(Cosh[a + b*x]^2/(d*(c + d*x))) + (b*CoshIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sinh[2*a - (2*b*c)/d])/d^2 + (b*Cosh[2*a - (2*b*c)/d]*SinhIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^2}
+{Cosh[a + b*x]^2/(c + d*x)^3, x, 7, -Cosh[a + b*x]^2/(2*d*(c + d*x)^2) + (b^2*Cosh[2*a - (2*b*c)/d]*CoshIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^3 - (b*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(d^2*(c + d*x)) + (b^2*Sinh[2*a - (2*b*c)/d]*SinhIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/d^3}
+{Cosh[a + b*x]^2/(c + d*x)^4, x, 7, b^2/(3*d^3*(c + d*x)) - Cosh[a + b*x]^2/(3*d*(c + d*x)^3) - (2*b^2*Cosh[a + b*x]^2)/(3*d^3*(c + d*x)) + (2*b^3*CoshIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x]*Sinh[2*a - (2*b*c)/d])/(3*d^4) - (b*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(3*d^2*(c + d*x)^2) + (2*b^3*Cosh[2*a - (2*b*c)/d]*SinhIntegral[(2*b*c)/d + 2*b*x])/(3*d^4)}
+
+
+{(c + d*x)^4*Cosh[a + b*x]^3, x, 12, (-160*d^3*(c + d*x)*Cosh[a + b*x])/(9*b^4) - (8*d*(c + d*x)^3*Cosh[a + b*x])/(3*b^2) - (8*d^3*(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^3)/(27*b^4) - (4*d*(c + d*x)^3*Cosh[a + b*x]^3)/(9*b^2) + (488*d^4*Sinh[a + b*x])/(27*b^5) + (80*d^2*(c + d*x)^2*Sinh[a + b*x])/(9*b^3) + (2*(c + d*x)^4*Sinh[a + b*x])/(3*b) + (4*d^2*(c + d*x)^2*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x])/(9*b^3) + ((c + d*x)^4*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x])/(3*b) + (8*d^4*Sinh[a + b*x]^3)/(81*b^5)}
+{(c + d*x)^3*Cosh[a + b*x]^3, x, 8, (-40*d^3*Cosh[a + b*x])/(9*b^4) - (2*d*(c + d*x)^2*Cosh[a + b*x])/b^2 - (2*d^3*Cosh[a + b*x]^3)/(27*b^4) - (d*(c + d*x)^2*Cosh[a + b*x]^3)/(3*b^2) + (40*d^2*(c + d*x)*Sinh[a + b*x])/(9*b^3) + (2*(c + d*x)^3*Sinh[a + b*x])/(3*b) + (2*d^2*(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x])/(9*b^3) + ((c + d*x)^3*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x])/(3*b)}
+{(c + d*x)^2*Cosh[a + b*x]^3, x, 6, (-4*d*(c + d*x)*Cosh[a + b*x])/(3*b^2) - (2*d*(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^3)/(9*b^2) + (14*d^2*Sinh[a + b*x])/(9*b^3) + (2*(c + d*x)^2*Sinh[a + b*x])/(3*b) + ((c + d*x)^2*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x])/(3*b) + (2*d^2*Sinh[a + b*x]^3)/(27*b^3)}
+{(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^3, x, 3, (-2*d*Cosh[a + b*x])/(3*b^2) - (d*Cosh[a + b*x]^3)/(9*b^2) + (2*(c + d*x)*Sinh[a + b*x])/(3*b) + ((c + d*x)*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x])/(3*b)}
+{Cosh[a + b*x]^3/(c + d*x), x, 8, (3*Cosh[a - (b*c)/d]*CoshIntegral[(b*c)/d + b*x])/(4*d) + (Cosh[3*a - (3*b*c)/d]*CoshIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(4*d) + (3*Sinh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(b*c)/d + b*x])/(4*d) + (Sinh[3*a - (3*b*c)/d]*SinhIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(4*d)}
+{Cosh[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x, 8, -(Cosh[a + b*x]^3/(d*(c + d*x))) + (3*b*CoshIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x]*Sinh[3*a - (3*b*c)/d])/(4*d^2) + (3*b*CoshIntegral[(b*c)/d + b*x]*Sinh[a - (b*c)/d])/(4*d^2) + (3*b*Cosh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(b*c)/d + b*x])/(4*d^2) + (3*b*Cosh[3*a - (3*b*c)/d]*SinhIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(4*d^2)}
+{Cosh[a + b*x]^3/(c + d*x)^3, x, 12, -Cosh[a + b*x]^3/(2*d*(c + d*x)^2) + (3*b^2*Cosh[a - (b*c)/d]*CoshIntegral[(b*c)/d + b*x])/(8*d^3) + (9*b^2*Cosh[3*a - (3*b*c)/d]*CoshIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(8*d^3) - (3*b*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x])/(2*d^2*(c + d*x)) + (3*b^2*Sinh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(b*c)/d + b*x])/(8*d^3) + (9*b^2*Sinh[3*a - (3*b*c)/d]*SinhIntegral[(3*b*c)/d + 3*b*x])/(8*d^3)}
+
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]^4, x, 8, (45*x^2)/(128*b^2) + (3*x^4)/32 - (45*Cosh[a + b*x]^2)/(128*b^4) - (9*x^2*Cosh[a + b*x]^2)/(16*b^2) - (3*Cosh[a + b*x]^4)/(128*b^4) - (3*x^2*Cosh[a + b*x]^4)/(16*b^2) + (45*x*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(64*b^3) + (3*x^3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(8*b) + (3*x*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(32*b^3) + (x^3*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(4*b)}
+{x^2*Cosh[a + b*x]^4, x, 8, (15*x)/(64*b^2) + x^3/8 - (3*x*Cosh[a + b*x]^2)/(8*b^2) - (x*Cosh[a + b*x]^4)/(8*b^2) + (15*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(64*b^3) + (3*x^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(8*b) + (Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(32*b^3) + (x^2*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(4*b)}
+{x^1*Cosh[a + b*x]^4, x, 3, (3*x^2)/16 - (3*Cosh[a + b*x]^2)/(16*b^2) - Cosh[a + b*x]^4/(16*b^2) + (3*x*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(8*b) + (x*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(4*b)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c + d*x)^3*Sech[a + b*x], x, 9, (2*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(a + b*x)])/b - ((3*I)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 + ((3*I)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2 + ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 - ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3 - ((6*I)*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 + ((6*I)*d^3*PolyLog[4, I*E^(a + b*x)])/b^4}
+{(c + d*x)^2*Sech[a + b*x], x, 7, (2*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(a + b*x)])/b - ((2*I)*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 + ((2*I)*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2 + ((2*I)*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 - ((2*I)*d^2*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3}
+{(c + d*x)*Sech[a + b*x], x, 5, (2*(c + d*x)*ArcTan[E^(a + b*x)])/b - (I*d*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 + (I*d*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2}
+{Sech[a + b*x]/(c + d*x), x, 0, Unintegrable[Sech[a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{Sech[a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Sech[a + b*x]/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^3*Sech[a + b*x]^2, x, 6, (c + d*x)^3/b - (3*d*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*(a + b*x))])/b^2 - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^3*PolyLog[3, -E^(2*(a + b*x))])/(2*b^4) + ((c + d*x)^3*Tanh[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^2*Sech[a + b*x]^2, x, 5, (c + d*x)^2/b - (2*d*(c + d*x)*Log[1 + E^(2*(a + b*x))])/b^2 - (d^2*PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))])/b^3 + ((c + d*x)^2*Tanh[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)*Sech[a + b*x]^2, x, 2, -((d*Log[Cosh[a + b*x]])/b^2) + ((c + d*x)*Tanh[a + b*x])/b}
+{Sech[a + b*x]^2/(c + d*x), x, 0, Unintegrable[Sech[a + b*x]^2/(c + d*x), x]}
+{Sech[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Sech[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^3*Sech[a + b*x]^3, x, 15, (-6*d^2*(c + d*x)*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^3 + ((c + d*x)^3*ArcTan[E^(a + b*x)])/b + ((3*I)*d^3*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 - (((3*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 - ((3*I)*d^3*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^4 + (((3*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2 + ((3*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 - ((3*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3 - ((3*I)*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 + ((3*I)*d^3*PolyLog[4, I*E^(a + b*x)])/b^4 + (3*d*(c + d*x)^2*Sech[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)^3*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(2*b)}
+{(c + d*x)^2*Sech[a + b*x]^3, x, 9, ((c + d*x)^2*ArcTan[E^(a + b*x)])/b - (d^2*ArcTan[Sinh[a + b*x]])/b^3 - (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 + (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2 + (I*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 - (I*d^2*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3 + (d*(c + d*x)*Sech[a + b*x])/b^2 + ((c + d*x)^2*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(2*b)}
+{(c + d*x)*Sech[a + b*x]^3, x, 6, ((c + d*x)*ArcTan[E^(a + b*x)])/b - ((I/2)*d*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 + ((I/2)*d*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2 + (d*Sech[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(2*b)}
+{Sech[a + b*x]^3/(c + d*x), x, 0, Unintegrable[Sech[a + b*x]^3/(c + d*x), x]}
+{Sech[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Sech[a + b*x]^3/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^(m/2) Cosh[e+f x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c + d*x)^(5/2)*Cosh[a + b*x], x, 8, (-5*d*(c + d*x)^(3/2)*Cosh[a + b*x])/(2*b^2) + (15*d^(5/2)*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(7/2)) - (15*d^(5/2)*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(7/2)) + (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sinh[a + b*x])/(4*b^3) + ((c + d*x)^(5/2)*Sinh[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^(3/2)*Cosh[a + b*x], x, 7, (-3*d*Sqrt[c + d*x]*Cosh[a + b*x])/(2*b^2) + (3*d^(3/2)*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*b^(5/2)) + (3*d^(3/2)*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*b^(5/2)) + ((c + d*x)^(3/2)*Sinh[a + b*x])/b}
+{Sqrt[c + d*x]*Cosh[a + b*x], x, 6, (Sqrt[d]*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*b^(3/2)) + (Sqrt[c + d*x]*Sinh[a + b*x])/b}
+{Cosh[a + b*x]/Sqrt[c + d*x], x, 5, (E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d]) + (E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[b]*Sqrt[d])}
+{Cosh[a + b*x]/(c + d*x)^(3/2), x, 6, (-2*Cosh[a + b*x])/(d*Sqrt[c + d*x]) - (Sqrt[b]*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) + (Sqrt[b]*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2)}
+{Cosh[a + b*x]/(c + d*x)^(5/2), x, 7, (-2*Cosh[a + b*x])/(3*d*(c + d*x)^(3/2)) + (2*b^(3/2)*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)) + (2*b^(3/2)*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)) - (4*b*Sinh[a + b*x])/(3*d^2*Sqrt[c + d*x])}
+{Cosh[a + b*x]/(c + d*x)^(7/2), x, 8, (-2*Cosh[a + b*x])/(5*d*(c + d*x)^(5/2)) - (8*b^2*Cosh[a + b*x])/(15*d^3*Sqrt[c + d*x]) - (4*b^(5/2)*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(15*d^(7/2)) + (4*b^(5/2)*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(15*d^(7/2)) - (4*b*Sinh[a + b*x])/(15*d^2*(c + d*x)^(3/2))}
+
+
+{(c + d*x)^(5/2)*Cosh[a + b*x]^2, x, 10, (5*d*(c + d*x)^(3/2))/(16*b^2) + (c + d*x)^(7/2)/(7*d) - (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Cosh[a + b*x]^2)/(8*b^2) + (15*d^(5/2)*E^(-2*a + (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(256*b^(7/2)) - (15*d^(5/2)*E^(2*a - (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(256*b^(7/2)) + ((c + d*x)^(5/2)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b) + (15*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sinh[2*a + 2*b*x])/(64*b^3)}
+{(c + d*x)^(3/2)*Cosh[a + b*x]^2, x, 9, (3*d*Sqrt[c + d*x])/(16*b^2) + (c + d*x)^(5/2)/(5*d) - (3*d*Sqrt[c + d*x]*Cosh[a + b*x]^2)/(8*b^2) + (3*d^(3/2)*E^(-2*a + (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(64*b^(5/2)) + (3*d^(3/2)*E^(2*a - (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(64*b^(5/2)) + ((c + d*x)^(3/2)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b)}
+{Sqrt[c + d*x]*Cosh[a + b*x]^2, x, 8, (c + d*x)^(3/2)/(3*d) + (Sqrt[d]*E^(-2*a + (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*E^(2*a - (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(3/2)) + (Sqrt[c + d*x]*Sinh[2*a + 2*b*x])/(4*b)}
+{Cosh[a + b*x]^2/Sqrt[c + d*x], x, 7, Sqrt[c + d*x]/d + (E^(-2*a + (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[b]*Sqrt[d]) + (E^(2*a - (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*Sqrt[b]*Sqrt[d])}
+{Cosh[a + b*x]^2/(c + d*x)^(3/2), x, 7, (-2*Cosh[a + b*x]^2)/(d*Sqrt[c + d*x]) - (Sqrt[b]*E^(-2*a + (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) + (Sqrt[b]*E^(2*a - (2*b*c)/d)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2)}
+{Cosh[a + b*x]^2/(c + d*x)^(5/2), x, 9, (-2*Cosh[a + b*x]^2)/(3*d*(c + d*x)^(3/2)) + (2*b^(3/2)*E^(-2*a + (2*b*c)/d)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)) + (2*b^(3/2)*E^(2*a - (2*b*c)/d)*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)) - (8*b*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(3*d^2*Sqrt[c + d*x])}
+{Cosh[a + b*x]^2/(c + d*x)^(7/2), x, 9, (16*b^2)/(15*d^3*Sqrt[c + d*x]) - (2*Cosh[a + b*x]^2)/(5*d*(c + d*x)^(5/2)) - (32*b^2*Cosh[a + b*x]^2)/(15*d^3*Sqrt[c + d*x]) - (8*b^(5/2)*E^(-2*a + (2*b*c)/d)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(15*d^(7/2)) + (8*b^(5/2)*E^(2*a - (2*b*c)/d)*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(15*d^(7/2)) - (8*b*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(15*d^2*(c + d*x)^(3/2))}
+{Cosh[a + b*x]^2/(c + d*x)^(9/2), x, 11, (16*b^2)/(105*d^3*(c + d*x)^(3/2)) - (2*Cosh[a + b*x]^2)/(7*d*(c + d*x)^(7/2)) - (32*b^2*Cosh[a + b*x]^2)/(105*d^3*(c + d*x)^(3/2)) + (32*b^(7/2)*E^(-2*a + (2*b*c)/d)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(105*d^(9/2)) + (32*b^(7/2)*E^(2*a - (2*b*c)/d)*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(105*d^(9/2)) - (8*b*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(35*d^2*(c + d*x)^(5/2)) - (128*b^3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(105*d^4*Sqrt[c + d*x])}
+
+
+{(c + d*x)^(5/2)*Cosh[a + b*x]^3, x, 23, (-5*d*(c + d*x)^(3/2)*Cosh[a + b*x])/(3*b^2) - (5*d*(c + d*x)^(3/2)*Cosh[a + b*x]^3)/(18*b^2) + (45*d^(5/2)*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(64*b^(7/2)) + (5*d^(5/2)*E^(-3*a + (3*b*c)/d)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(576*b^(7/2)) - (45*d^(5/2)*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(64*b^(7/2)) - (5*d^(5/2)*E^(3*a - (3*b*c)/d)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(576*b^(7/2)) + (45*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sinh[a + b*x])/(16*b^3) + (2*(c + d*x)^(5/2)*Sinh[a + b*x])/(3*b) + ((c + d*x)^(5/2)*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x])/(3*b) + (5*d^2*Sqrt[c + d*x]*Sinh[3*a + 3*b*x])/(144*b^3)}
+{(c + d*x)^(3/2)*Cosh[a + b*x]^3, x, 20, -((d*Sqrt[c + d*x]*Cosh[a + b*x])/b^2) - (d*Sqrt[c + d*x]*Cosh[a + b*x]^3)/(6*b^2) + (9*d^(3/2)*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(32*b^(5/2)) + (d^(3/2)*E^(-3*a + (3*b*c)/d)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(96*b^(5/2)) + (9*d^(3/2)*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(32*b^(5/2)) + (d^(3/2)*E^(3*a - (3*b*c)/d)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(96*b^(5/2)) + (2*(c + d*x)^(3/2)*Sinh[a + b*x])/(3*b) + ((c + d*x)^(3/2)*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x])/(3*b)}
+{Sqrt[c + d*x]*Cosh[a + b*x]^3, x, 14, (3*Sqrt[d]*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(3/2)) + (Sqrt[d]*E^(-3*a + (3*b*c)/d)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(48*b^(3/2)) - (3*Sqrt[d]*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(16*b^(3/2)) - (Sqrt[d]*E^(3*a - (3*b*c)/d)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(48*b^(3/2)) + (3*Sqrt[c + d*x]*Sinh[a + b*x])/(4*b) + (Sqrt[c + d*x]*Sinh[3*a + 3*b*x])/(12*b)}
+{Cosh[a + b*x]^3/Sqrt[c + d*x], x, 12, (3*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[b]*Sqrt[d]) + (E^(-3*a + (3*b*c)/d)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[b]*Sqrt[d]) + (3*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[b]*Sqrt[d]) + (E^(3*a - (3*b*c)/d)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(8*Sqrt[b]*Sqrt[d])}
+{Cosh[a + b*x]^3/(c + d*x)^(3/2), x, 12, (-2*Cosh[a + b*x]^3)/(d*Sqrt[c + d*x]) - (3*Sqrt[b]*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*d^(3/2)) - (Sqrt[b]*E^(-3*a + (3*b*c)/d)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*d^(3/2)) + (3*Sqrt[b]*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*d^(3/2)) + (Sqrt[b]*E^(3*a - (3*b*c)/d)*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(4*d^(3/2))}
+{Cosh[a + b*x]^3/(c + d*x)^(5/2), x, 18, (-2*Cosh[a + b*x]^3)/(3*d*(c + d*x)^(3/2)) + (b^(3/2)*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(2*d^(5/2)) + (b^(3/2)*E^(-3*a + (3*b*c)/d)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(2*d^(5/2)) + (b^(3/2)*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(2*d^(5/2)) + (b^(3/2)*E^(3*a - (3*b*c)/d)*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(2*d^(5/2)) - (4*b*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x])/(d^2*Sqrt[c + d*x])}
+{Cosh[a + b*x]^3/(c + d*x)^(7/2), x, 19, (16*b^2*Cosh[a + b*x])/(5*d^3*Sqrt[c + d*x]) - (2*Cosh[a + b*x]^3)/(5*d*(c + d*x)^(5/2)) - (24*b^2*Cosh[a + b*x]^3)/(5*d^3*Sqrt[c + d*x]) - (b^(5/2)*E^(-a + (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(5*d^(7/2)) - (3*b^(5/2)*E^(-3*a + (3*b*c)/d)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(5*d^(7/2)) + (b^(5/2)*E^(a - (b*c)/d)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(5*d^(7/2)) + (3*b^(5/2)*E^(3*a - (3*b*c)/d)*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[b]*Sqrt[c + d*x])/Sqrt[d]])/(5*d^(7/2)) - (4*b*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x])/(5*d^2*(c + d*x)^(3/2))}
+
+
+{(d*x)^(3/2)*Cosh[f*x], x, 7, (-3*d*Sqrt[d*x]*Cosh[f*x])/(2*f^2) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(8*f^(5/2)) + (3*d^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(8*f^(5/2)) + ((d*x)^(3/2)*Sinh[f*x])/f}
+{Sqrt[d*x]*Cosh[f*x], x, 6, (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(4*f^(3/2)) - (Sqrt[d]*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(4*f^(3/2)) + (Sqrt[d*x]*Sinh[f*x])/f}
+{Cosh[f*x]/Sqrt[d*x], x, 5, (Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[d]*Sqrt[f]) + (Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(2*Sqrt[d]*Sqrt[f])}
+{Cosh[f*x]/(d*x)^(3/2), x, 6, (-2*Cosh[f*x])/(d*Sqrt[d*x]) - (Sqrt[f]*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) + (Sqrt[f]*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2)}
+{Cosh[f*x]/(d*x)^(5/2), x, 7, (-2*Cosh[f*x])/(3*d*(d*x)^(3/2)) + (2*f^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erf[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)) + (2*f^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[(Sqrt[f]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)) - (4*f*Sinh[f*x])/(3*d^2*Sqrt[d*x])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sqrt[c + d*x]*Sech[a + b*x], x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + d*x]*Sech[a + b*x], x]}
+{Sech[a + b*x]/Sqrt[c + d*x], x, 0, Unintegrable[Sech[a + b*x]/Sqrt[c + d*x], x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Cosh[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cosh[x]^(3/2)/x^3, x, 1, -Cosh[x]^(3/2)/(2*x^2) - (3*Sqrt[Cosh[x]]*Sinh[x])/(4*x) - (3*Unintegrable[1/(x*Sqrt[Cosh[x]]), x])/8 + (9*Unintegrable[Cosh[x]^(3/2)/x, x])/8}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x/Cosh[x]^(3/2) + x*Sqrt[Cosh[x]], x, 2, -4*Sqrt[Cosh[x]] + (2*x*Sinh[x])/Sqrt[Cosh[x]]}
+{x/Cosh[x]^(5/2) - x/(3*Sqrt[Cosh[x]]), x, 2, 4/(3*Sqrt[Cosh[x]]) + (2*x*Sinh[x])/(3*Cosh[x]^(3/2))}
+{x/Cosh[x]^(7/2) + (3*x*Sqrt[Cosh[x]])/5, x, 3, 4/(15*Cosh[x]^(3/2)) - (12*Sqrt[Cosh[x]])/5 + (2*x*Sinh[x])/(5*Cosh[x]^(5/2)) + (6*x*Sinh[x])/(5*Sqrt[Cosh[x]])}
+{x^2/Cosh[x]^(3/2) + x^2*Sqrt[Cosh[x]], x, 3, -8*x*Sqrt[Cosh[x]] - (16*I)*EllipticE[(I/2)*x, 2] + (2*x^2*Sinh[x])/Sqrt[Cosh[x]]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Cosh[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*(b*Cosh[e + f*x])^n, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(b*Cosh[e + f*x])^n, x]}
+
+
+{(c + d*x)^m*Cosh[a + b*x]^3, x, 8, (3^(-1 - m)*E^(3*a - (3*b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (-3*b*(c + d*x))/d])/(8*b*(-((b*(c + d*x))/d))^m) + (3*E^(a - (b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((b*(c + d*x))/d)])/(8*b*(-((b*(c + d*x))/d))^m) - (3*E^(-a + (b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (b*(c + d*x))/d])/(8*b*((b*(c + d*x))/d)^m) - (3^(-1 - m)*E^(-3*a + (3*b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (3*b*(c + d*x))/d])/(8*b*((b*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m*Cosh[a + b*x]^2, x, 5, (c + d*x)^(1 + m)/(2*d*(1 + m)) + (2^(-3 - m)*E^(2*a - (2*b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (-2*b*(c + d*x))/d])/(b*(-((b*(c + d*x))/d))^m) - (2^(-3 - m)*E^(-2*a + (2*b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*b*(c + d*x))/d])/(b*((b*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m*Cosh[a + b*x], x, 3, (E^(a - (b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((b*(c + d*x))/d)])/(2*b*(-((b*(c + d*x))/d))^m) - (E^(-a + (b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (b*(c + d*x))/d])/(2*b*((b*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m*Sech[a + b*x], x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Sech[a + b*x], x]}
+{(c + d*x)^m*Sech[a + b*x]^2, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Sech[a + b*x]^2, x]}
+
+
+{x^(3 + m)*Cosh[a + b*x], x, 3, -(E^a*x^m*Gamma[4 + m, -(b*x)])/(2*b^4*(-(b*x))^m) - (x^m*Gamma[4 + m, b*x])/(2*b^4*E^a*(b*x)^m)}
+{x^(2 + m)*Cosh[a + b*x], x, 3, (E^a*x^m*Gamma[3 + m, -(b*x)])/(2*b^3*(-(b*x))^m) - (x^m*Gamma[3 + m, b*x])/(2*b^3*E^a*(b*x)^m)}
+{x^(1 + m)*Cosh[a + b*x], x, 3, -(E^a*x^m*Gamma[2 + m, -(b*x)])/(2*b^2*(-(b*x))^m) - (x^m*Gamma[2 + m, b*x])/(2*b^2*E^a*(b*x)^m)}
+{x^m*Cosh[a + b*x], x, 3, (E^a*x^m*Gamma[1 + m, -(b*x)])/(2*b*(-(b*x))^m) - (x^m*Gamma[1 + m, b*x])/(2*b*E^a*(b*x)^m)}
+{x^(-1 + m)*Cosh[a + b*x], x, 3, -(E^a*x^m*Gamma[m, -(b*x)])/(2*(-(b*x))^m) - (x^m*Gamma[m, b*x])/(2*E^a*(b*x)^m)}
+{x^(-2 + m)*Cosh[a + b*x], x, 3, (b*E^a*x^m*Gamma[-1 + m, -(b*x)])/(2*(-(b*x))^m) - (b*x^m*Gamma[-1 + m, b*x])/(2*E^a*(b*x)^m)}
+{x^(-3 + m)*Cosh[a + b*x], x, 3, -(b^2*E^a*x^m*Gamma[-2 + m, -(b*x)])/(2*(-(b*x))^m) - (b^2*x^m*Gamma[-2 + m, b*x])/(2*E^a*(b*x)^m)}
+
+
+{x^(3 + m)*Cosh[a + b*x]^2, x, 5, x^(4 + m)/(2*(4 + m)) - (2^(-6 - m)*E^(2*a)*x^m*Gamma[4 + m, -2*b*x])/(b^4*(-(b*x))^m) - (2^(-6 - m)*x^m*Gamma[4 + m, 2*b*x])/(b^4*E^(2*a)*(b*x)^m)}
+{x^(2 + m)*Cosh[a + b*x]^2, x, 5, x^(3 + m)/(2*(3 + m)) + (2^(-5 - m)*E^(2*a)*x^m*Gamma[3 + m, -2*b*x])/(b^3*(-(b*x))^m) - (2^(-5 - m)*x^m*Gamma[3 + m, 2*b*x])/(b^3*E^(2*a)*(b*x)^m)}
+{x^(1 + m)*Cosh[a + b*x]^2, x, 5, x^(2 + m)/(2*(2 + m)) - (2^(-4 - m)*E^(2*a)*x^m*Gamma[2 + m, -2*b*x])/(b^2*(-(b*x))^m) - (2^(-4 - m)*x^m*Gamma[2 + m, 2*b*x])/(b^2*E^(2*a)*(b*x)^m)}
+{x^m*Cosh[a + b*x]^2, x, 5, x^(1 + m)/(2*(1 + m)) + (2^(-3 - m)*E^(2*a)*x^m*Gamma[1 + m, -2*b*x])/(b*(-(b*x))^m) - (2^(-3 - m)*x^m*Gamma[1 + m, 2*b*x])/(b*E^(2*a)*(b*x)^m)}
+{x^(-1 + m)*Cosh[a + b*x]^2, x, 5, x^m/(2*m) - (2^(-2 - m)*E^(2*a)*x^m*Gamma[m, -2*b*x])/(-(b*x))^m - (2^(-2 - m)*x^m*Gamma[m, 2*b*x])/(E^(2*a)*(b*x)^m)}
+{x^(-2 + m)*Cosh[a + b*x]^2, x, 5, -x^(-1 + m)/(2*(1 - m)) + (2^(-1 - m)*b*E^(2*a)*x^m*Gamma[-1 + m, -2*b*x])/(-(b*x))^m - (2^(-1 - m)*b*x^m*Gamma[-1 + m, 2*b*x])/(E^(2*a)*(b*x)^m)}
+{x^(-3 + m)*Cosh[a + b*x]^2, x, 5, -x^(-2 + m)/(2*(2 - m)) - (b^2*E^(2*a)*x^m*Gamma[-2 + m, -2*b*x])/(2^m*(-(b*x))^m) - (b^2*x^m*Gamma[-2 + m, 2*b*x])/(2^m*E^(2*a)*(b*x)^m)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Sech[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Sech[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+{x/Sech[x]^(3/2) - (x*Sqrt[Sech[x]])/3, x, 4, -4/(9*Sech[x]^(3/2)) + (2*x*Sinh[x])/(3*Sqrt[Sech[x]])}
+{x/Sech[x]^(5/2) - (3*x)/(5*Sqrt[Sech[x]]), x, 4, -4/(25*Sech[x]^(5/2)) + (2*x*Sinh[x])/(5*Sech[x]^(3/2))}
+{x/Sech[x]^(7/2) - (5*x*Sqrt[Sech[x]])/21, x, 5, -4/(49*Sech[x]^(7/2)) - 20/(63*Sech[x]^(3/2)) + (2*x*Sinh[x])/(7*Sech[x]^(5/2)) + (10*x*Sinh[x])/(21*Sqrt[Sech[x]])}
+{x^2/Sech[x]^(3/2) - (x^2*Sqrt[Sech[x]])/3, x, 7, (-8*x)/(9*Sech[x]^(3/2)) - ((16*I)/27)*Sqrt[Cosh[x]]*EllipticF[(I/2)*x, 2]*Sqrt[Sech[x]] + (16*Sinh[x])/(27*Sqrt[Sech[x]]) + (2*x^2*Sinh[x])/(3*Sqrt[Sech[x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Cosh[e+f x])^n with a^2-b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Cosh[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + a*Cosh[e + f*x]), x, 6, (a*(c + d*x)^4)/(4*d) - (6*a*d^3*Cosh[e + f*x])/f^4 - (3*a*d*(c + d*x)^2*Cosh[e + f*x])/f^2 + (6*a*d^2*(c + d*x)*Sinh[e + f*x])/f^3 + (a*(c + d*x)^3*Sinh[e + f*x])/f}
+{(c + d*x)^2*(a + a*Cosh[e + f*x]), x, 5, (a*(c + d*x)^3)/(3*d) - (2*a*d*(c + d*x)*Cosh[e + f*x])/f^2 + (2*a*d^2*Sinh[e + f*x])/f^3 + (a*(c + d*x)^2*Sinh[e + f*x])/f}
+{(c + d*x)*(a + a*Cosh[e + f*x]), x, 4, (a*(c + d*x)^2)/(2*d) - (a*d*Cosh[e + f*x])/f^2 + (a*(c + d*x)*Sinh[e + f*x])/f}
+{(a + a*Cosh[e + f*x])/(c + d*x), x, 5, (a*Cosh[e - (c*f)/d]*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x])/d + (a*Log[c + d*x])/d + (a*Sinh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d}
+{(a + a*Cosh[e + f*x])/(c + d*x)^2, x, 6, -(a/(d*(c + d*x))) - (a*Cosh[e + f*x])/(d*(c + d*x)) + (a*f*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sinh[e - (c*f)/d])/d^2 + (a*f*Cosh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2}
+{(a + a*Cosh[e + f*x])/(c + d*x)^3, x, 7, -(a/(2*d*(c + d*x)^2)) - (a*Cosh[e + f*x])/(2*d*(c + d*x)^2) + (a*f^2*Cosh[e - (c*f)/d]*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x])/(2*d^3) - (a*f*Sinh[e + f*x])/(2*d^2*(c + d*x)) + (a*f^2*Sinh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/(2*d^3)}
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + a*Cosh[e + f*x])^2, x, 10, (3*a^2*c*d^2*x)/(4*f^2) + (3*a^2*d^3*x^2)/(8*f^2) + (3*a^2*(c + d*x)^4)/(8*d) - (12*a^2*d^3*Cosh[e + f*x])/f^4 - (6*a^2*d*(c + d*x)^2*Cosh[e + f*x])/f^2 - (3*a^2*d^3*Cosh[e + f*x]^2)/(8*f^4) - (3*a^2*d*(c + d*x)^2*Cosh[e + f*x]^2)/(4*f^2) + (12*a^2*d^2*(c + d*x)*Sinh[e + f*x])/f^3 + (2*a^2*(c + d*x)^3*Sinh[e + f*x])/f + (3*a^2*d^2*(c + d*x)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(4*f^3) + (a^2*(c + d*x)^3*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(2*f)}
+{(c + d*x)^2*(a + a*Cosh[e + f*x])^2, x, 9, (a^2*d^2*x)/(4*f^2) + (a^2*(c + d*x)^3)/(2*d) - (4*a^2*d*(c + d*x)*Cosh[e + f*x])/f^2 - (a^2*d*(c + d*x)*Cosh[e + f*x]^2)/(2*f^2) + (4*a^2*d^2*Sinh[e + f*x])/f^3 + (2*a^2*(c + d*x)^2*Sinh[e + f*x])/f + (a^2*d^2*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(4*f^3) + (a^2*(c + d*x)^2*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(2*f)}
+{(c + d*x)*(a + a*Cosh[e + f*x])^2, x, 6, (1/2)*a^2*c*x + (1/4)*a^2*d*x^2 + (a^2*(c + d*x)^2)/(2*d) - (2*a^2*d*Cosh[e + f*x])/f^2 - (a^2*d*Cosh[e + f*x]^2)/(4*f^2) + (2*a^2*(c + d*x)*Sinh[e + f*x])/f + (a^2*(c + d*x)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(2*f)}
+{(a + a*Cosh[e + f*x])^2/(c + d*x), x, 9, (2*a^2*Cosh[e - (c*f)/d]*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x])/d + (a^2*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*d) + (3*a^2*Log[c + d*x])/(2*d) + (2*a^2*Sinh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d + (a^2*Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*d)}
+{(a + a*Cosh[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x, 9, (-4*a^2*Cosh[e/2 + (f*x)/2]^4)/(d*(c + d*x)) + (a^2*f*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sinh[2*e - (2*c*f)/d])/d^2 + (2*a^2*f*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sinh[e - (c*f)/d])/d^2 + (2*a^2*f*Cosh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2 + (a^2*f*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^2}
+{(a + a*Cosh[e + f*x])^2/(c + d*x)^3, x, 15, (-2*a^2*Cosh[e/2 + (f*x)/2]^4)/(d*(c + d*x)^2) + (a^2*f^2*Cosh[e - (c*f)/d]*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^3 + (a^2*f^2*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^3 - (4*a^2*f*Cosh[e/2 + (f*x)/2]^3*Sinh[e/2 + (f*x)/2])/(d^2*(c + d*x)) + (a^2*f^2*Sinh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^3 + (a^2*f^2*Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^3}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + a*Cosh[e + f*x]), x, 7, (c + d*x)^3/(a*f) - (6*d*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(e + f*x)])/(a*f^2) - (12*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(e + f*x)])/(a*f^3) + (12*d^3*PolyLog[3, -E^(e + f*x)])/(a*f^4) + ((c + d*x)^3*Tanh[e/2 + (f*x)/2])/(a*f)}
+{(c + d*x)^2/(a + a*Cosh[e + f*x]), x, 6, (c + d*x)^2/(a*f) - (4*d*(c + d*x)*Log[1 + E^(e + f*x)])/(a*f^2) - (4*d^2*PolyLog[2, -E^(e + f*x)])/(a*f^3) + ((c + d*x)^2*Tanh[e/2 + (f*x)/2])/(a*f)}
+{(c + d*x)/(a + a*Cosh[e + f*x]), x, 3, (-2*d*Log[Cosh[e/2 + (f*x)/2]])/(a*f^2) + ((c + d*x)*Tanh[e/2 + (f*x)/2])/(a*f)}
+{1/((c + d*x)*(a + a*Cosh[e + f*x])), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + a*Cosh[e + f*x])), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + a*Cosh[e + f*x])), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + a*Cosh[e + f*x])), x]}
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + a*Cosh[e + f*x])^2, x, 10, (c + d*x)^3/(3*a^2*f) - (2*d*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(e + f*x)])/(a^2*f^2) + (4*d^3*Log[Cosh[e/2 + (f*x)/2]])/(a^2*f^4) - (4*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(e + f*x)])/(a^2*f^3) + (4*d^3*PolyLog[3, -E^(e + f*x)])/(a^2*f^4) + (d*(c + d*x)^2*Sech[e/2 + (f*x)/2]^2)/(2*a^2*f^2) - (2*d^2*(c + d*x)*Tanh[e/2 + (f*x)/2])/(a^2*f^3) + ((c + d*x)^3*Tanh[e/2 + (f*x)/2])/(3*a^2*f) + ((c + d*x)^3*Sech[e/2 + (f*x)/2]^2*Tanh[e/2 + (f*x)/2])/(6*a^2*f)}
+{(c + d*x)^2/(a + a*Cosh[e + f*x])^2, x, 9, (c + d*x)^2/(3*a^2*f) - (4*d*(c + d*x)*Log[1 + E^(e + f*x)])/(3*a^2*f^2) - (4*d^2*PolyLog[2, -E^(e + f*x)])/(3*a^2*f^3) + (d*(c + d*x)*Sech[e/2 + (f*x)/2]^2)/(3*a^2*f^2) - (2*d^2*Tanh[e/2 + (f*x)/2])/(3*a^2*f^3) + ((c + d*x)^2*Tanh[e/2 + (f*x)/2])/(3*a^2*f) + ((c + d*x)^2*Sech[e/2 + (f*x)/2]^2*Tanh[e/2 + (f*x)/2])/(6*a^2*f)}
+{(c + d*x)/(a + a*Cosh[e + f*x])^2, x, 4, (-2*d*Log[Cosh[e/2 + (f*x)/2]])/(3*a^2*f^2) + (d*Sech[e/2 + (f*x)/2]^2)/(6*a^2*f^2) + ((c + d*x)*Tanh[e/2 + (f*x)/2])/(3*a^2*f) + ((c + d*x)*Sech[e/2 + (f*x)/2]^2*Tanh[e/2 + (f*x)/2])/(6*a^2*f)}
+{1/((c + d*x)*(a + a*Cosh[e + f*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + a*Cosh[e + f*x])^2), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + a*Cosh[e + f*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + a*Cosh[e + f*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Cosh[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^3*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]], x, 5, (-96*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]])/d^4 - (12*x^2*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]])/d^2 + (48*x*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]*Tanh[c/2 + (d*x)/2])/d^3 + (2*x^3*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]*Tanh[c/2 + (d*x)/2])/d}
+{x^2*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]], x, 4, (-8*x*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]])/d^2 + (16*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]*Tanh[c/2 + (d*x)/2])/d^3 + (2*x^2*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]*Tanh[c/2 + (d*x)/2])/d}
+{x^1*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]], x, 3, (-4*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]])/d^2 + (2*x*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]*Tanh[c/2 + (d*x)/2])/d}
+{Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]/x^1, x, 4, Cosh[c/2]*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]*CoshIntegral[(d*x)/2]*Sech[c/2 + (d*x)/2] + Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]*Sech[c/2 + (d*x)/2]*Sinh[c/2]*SinhIntegral[(d*x)/2]}
+{Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]/x^2, x, 5, -(Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]/x) + (d*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]*CoshIntegral[(d*x)/2]*Sech[c/2 + (d*x)/2]*Sinh[c/2])/2 + (d*Cosh[c/2]*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]*Sech[c/2 + (d*x)/2]*SinhIntegral[(d*x)/2])/2}
+{Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]/x^3, x, 6, -Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]/(2*x^2) + (d^2*Cosh[c/2]*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]*CoshIntegral[(d*x)/2]*Sech[c/2 + (d*x)/2])/8 + (d^2*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]*Sech[c/2 + (d*x)/2]*Sinh[c/2]*SinhIntegral[(d*x)/2])/8 - (d*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]*Tanh[c/2 + (d*x)/2])/(4*x)}
+
+
+{x^3*Sqrt[a + a*Cosh[x]], x, 5, -96*Sqrt[a + a*Cosh[x]] - 12*x^2*Sqrt[a + a*Cosh[x]] + 48*x*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Tanh[x/2] + 2*x^3*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Tanh[x/2]}
+{x^2*Sqrt[a + a*Cosh[x]], x, 4, -8*x*Sqrt[a + a*Cosh[x]] + 16*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Tanh[x/2] + 2*x^2*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Tanh[x/2]}
+{x^1*Sqrt[a + a*Cosh[x]], x, 3, -4*Sqrt[a + a*Cosh[x]] + 2*x*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Tanh[x/2]}
+{Sqrt[a + a*Cosh[x]]/x^1, x, 2, Sqrt[a + a*Cosh[x]]*CoshIntegral[x/2]*Sech[x/2]}
+{Sqrt[a + a*Cosh[x]]/x^2, x, 3, -(Sqrt[a + a*Cosh[x]]/x) + (1/2)*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Sech[x/2]*SinhIntegral[x/2]}
+{Sqrt[a + a*Cosh[x]]/x^3, x, 4, -(Sqrt[a + a*Cosh[x]]/(2*x^2)) + (1/8)*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*CoshIntegral[x/2]*Sech[x/2] - (Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Tanh[x/2])/(4*x)}
+
+
+{x^3*(a + a*Cosh[x])^(3/2), x, 9, (-1280*a*Sqrt[a + a*Cosh[x]])/9 - 16*a*x^2*Sqrt[a + a*Cosh[x]] - (64*a*Cosh[x/2]^2*Sqrt[a + a*Cosh[x]])/27 - (8*a*x^2*Cosh[x/2]^2*Sqrt[a + a*Cosh[x]])/3 + (32*a*x*Cosh[x/2]*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Sinh[x/2])/9 + (4*a*x^3*Cosh[x/2]*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Sinh[x/2])/3 + (640*a*x*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Tanh[x/2])/9 + (8*a*x^3*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Tanh[x/2])/3}
+{x^2*(a + a*Cosh[x])^(3/2), x, 7, (-32*a*x*Sqrt[a + a*Cosh[x]])/3 - (16*a*x*Cosh[x/2]^2*Sqrt[a + a*Cosh[x]])/9 + (4*a*x^2*Cosh[x/2]*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Sinh[x/2])/3 + (224*a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Tanh[x/2])/9 + (8*a*x^2*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Tanh[x/2])/3 + (32*a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Sinh[x/2]^2*Tanh[x/2])/27}
+{x^1*(a + a*Cosh[x])^(3/2), x, 4, (-16*a*Sqrt[a + a*Cosh[x]])/3 - (8*a*Cosh[x/2]^2*Sqrt[a + a*Cosh[x]])/9 + (4*a*x*Cosh[x/2]*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Sinh[x/2])/3 + (8*a*x*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Tanh[x/2])/3}
+{(a + a*Cosh[x])^(3/2)/x^1, x, 5, (3*a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*CoshIntegral[x/2]*Sech[x/2])/2 + (a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*CoshIntegral[(3*x)/2]*Sech[x/2])/2}
+{(a + a*Cosh[x])^(3/2)/x^2, x, 5, (-2*a*Cosh[x/2]^2*Sqrt[a + a*Cosh[x]])/x + (3*a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Sech[x/2]*SinhIntegral[x/2])/4 + (3*a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Sech[x/2]*SinhIntegral[(3*x)/2])/4}
+{(a + a*Cosh[x])^(3/2)/x^3, x, 7, -((a*Cosh[x/2]^2*Sqrt[a + a*Cosh[x]])/x^2) + (3*a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*CoshIntegral[x/2]*Sech[x/2])/16 + (9*a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*CoshIntegral[(3*x)/2]*Sech[x/2])/16 - (3*a*Cosh[x/2]*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Sinh[x/2])/(2*x)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^3/Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]], x, 10, (4*x^3*ArcTan[E^(c/2 + (d*x)/2)]*Cosh[c/2 + (d*x)/2])/(d*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]) - ((12*I)*x^2*Cosh[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[2, (-I)*E^(c/2 + (d*x)/2)])/(d^2*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]) + ((12*I)*x^2*Cosh[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[2, I*E^(c/2 + (d*x)/2)])/(d^2*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]) + ((48*I)*x*Cosh[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[3, (-I)*E^(c/2 + (d*x)/2)])/(d^3*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]) - ((48*I)*x*Cosh[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[3, I*E^(c/2 + (d*x)/2)])/(d^3*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]) - ((96*I)*Cosh[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[4, (-I)*E^(c/2 + (d*x)/2)])/(d^4*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]) + ((96*I)*Cosh[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[4, I*E^(c/2 + (d*x)/2)])/(d^4*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]])}
+{x^2/Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]], x, 8, (4*x^2*ArcTan[E^(c/2 + (d*x)/2)]*Cosh[c/2 + (d*x)/2])/(d*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]) - ((8*I)*x*Cosh[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[2, (-I)*E^(c/2 + (d*x)/2)])/(d^2*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]) + ((8*I)*x*Cosh[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[2, I*E^(c/2 + (d*x)/2)])/(d^2*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]) + ((16*I)*Cosh[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[3, (-I)*E^(c/2 + (d*x)/2)])/(d^3*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]) - ((16*I)*Cosh[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[3, I*E^(c/2 + (d*x)/2)])/(d^3*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]])}
+{x/Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]], x, 6, (4*x*ArcTan[E^(c/2 + (d*x)/2)]*Cosh[c/2 + (d*x)/2])/(d*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]) - ((4*I)*Cosh[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[2, (-I)*E^(c/2 + (d*x)/2)])/(d^2*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]) + ((4*I)*Cosh[c/2 + (d*x)/2]*PolyLog[2, I*E^(c/2 + (d*x)/2)])/(d^2*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]])}
+{1/(x*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]), x]}
+{1/(x^2*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]), x]}
+
+
+{x^3/(a + a*Cosh[x])^(3/2), x, 16, (3*x^2)/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) - (24*x*ArcTan[E^(x/2)]*Cosh[x/2])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) + (x^3*ArcTan[E^(x/2)]*Cosh[x/2])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) + ((24*I)*Cosh[x/2]*PolyLog[2, (-I)*E^(x/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) - ((3*I)*x^2*Cosh[x/2]*PolyLog[2, (-I)*E^(x/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) - ((24*I)*Cosh[x/2]*PolyLog[2, I*E^(x/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) + ((3*I)*x^2*Cosh[x/2]*PolyLog[2, I*E^(x/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) + ((12*I)*x*Cosh[x/2]*PolyLog[3, (-I)*E^(x/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) - ((12*I)*x*Cosh[x/2]*PolyLog[3, I*E^(x/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) - ((24*I)*Cosh[x/2]*PolyLog[4, (-I)*E^(x/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) + ((24*I)*Cosh[x/2]*PolyLog[4, I*E^(x/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) + (x^3*Tanh[x/2])/(2*a*Sqrt[a + a*Cosh[x]])}
+{x^2/(a + a*Cosh[x])^(3/2), x, 10, (2*x)/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) + (x^2*ArcTan[E^(x/2)]*Cosh[x/2])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) - (4*ArcTan[Sinh[x/2]]*Cosh[x/2])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) - ((2*I)*x*Cosh[x/2]*PolyLog[2, (-I)*E^(x/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) + ((2*I)*x*Cosh[x/2]*PolyLog[2, I*E^(x/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) + ((4*I)*Cosh[x/2]*PolyLog[3, (-I)*E^(x/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) - ((4*I)*Cosh[x/2]*PolyLog[3, I*E^(x/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) + (x^2*Tanh[x/2])/(2*a*Sqrt[a + a*Cosh[x]])}
+{x/(a + a*Cosh[x])^(3/2), x, 7, 1/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) + (x*ArcTan[E^(x/2)]*Cosh[x/2])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) - (I*Cosh[x/2]*PolyLog[2, (-I)*E^(x/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) + (I*Cosh[x/2]*PolyLog[2, I*E^(x/2)])/(a*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) + (x*Tanh[x/2])/(2*a*Sqrt[a + a*Cosh[x]])}
+{1/(x*(a + a*Cosh[x])^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + a*Cosh[x])^(3/2)), x]}
+{1/(x^2*(a + a*Cosh[x])^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + a*Cosh[x])^(3/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Cosh[e+f x])^(n/3)*)
+
+
+(* Used to hang Rubi *)
+{(a + a*Cosh[c + d*x])^(1/3)/x, x, 0, Unintegrable[(a + a*Cosh[c + d*x])^(1/3)/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Cosh[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + a*Cosh[e + f*x])^n, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(a + a*Cosh[e + f*x])^n, x]}
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + a*Cosh[e + f*x])^3, x, 12, (5*a^3*(c + d*x)^(1 + m))/(2*d*(1 + m)) + (3^(-1 - m)*a^3*E^(3*e - (3*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (-3*f*(c + d*x))/d])/(8*f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) + (3*2^(-3 - m)*a^3*E^(2*e - (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (-2*f*(c + d*x))/d])/(f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) + (15*a^3*E^(e - (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((f*(c + d*x))/d)])/(8*f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) - (15*a^3*E^(-e + (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (f*(c + d*x))/d])/(8*f*((f*(c + d*x))/d)^m) - (3*2^(-3 - m)*a^3*E^(-2*e + (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*f*(c + d*x))/d])/(f*((f*(c + d*x))/d)^m) - (3^(-1 - m)*a^3*E^(-3*e + (3*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (3*f*(c + d*x))/d])/(8*f*((f*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m*(a + a*Cosh[e + f*x])^2, x, 9, (3*a^2*(c + d*x)^(1 + m))/(2*d*(1 + m)) + (2^(-3 - m)*a^2*E^(2*e - (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (-2*f*(c + d*x))/d])/(f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) + (a^2*E^(e - (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((f*(c + d*x))/d)])/(f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) - (a^2*E^(-e + (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (f*(c + d*x))/d])/(f*((f*(c + d*x))/d)^m) - (2^(-3 - m)*a^2*E^(-2*e + (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*f*(c + d*x))/d])/(f*((f*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m*(a + a*Cosh[e + f*x]), x, 5, (a*(c + d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (a*E^(e - (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((f*(c + d*x))/d)])/(2*f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) - (a*E^(-e + (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (f*(c + d*x))/d])/(2*f*((f*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m/(a + a*Cosh[e + f*x]), x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m/(a + a*Cosh[e + f*x]), x]}
+{(c + d*x)^m/(a + a*Cosh[e + f*x])^2, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m/(a + a*Cosh[e + f*x])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Cosh[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Cosh[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + b*Cosh[e + f*x]), x, 6, (a*(c + d*x)^4)/(4*d) - (6*b*d^3*Cosh[e + f*x])/f^4 - (3*b*d*(c + d*x)^2*Cosh[e + f*x])/f^2 + (6*b*d^2*(c + d*x)*Sinh[e + f*x])/f^3 + (b*(c + d*x)^3*Sinh[e + f*x])/f}
+{(c + d*x)^2*(a + b*Cosh[e + f*x]), x, 5, (a*(c + d*x)^3)/(3*d) - (2*b*d*(c + d*x)*Cosh[e + f*x])/f^2 + (2*b*d^2*Sinh[e + f*x])/f^3 + (b*(c + d*x)^2*Sinh[e + f*x])/f}
+{(c + d*x)*(a + b*Cosh[e + f*x]), x, 4, (a*(c + d*x)^2)/(2*d) - (b*d*Cosh[e + f*x])/f^2 + (b*(c + d*x)*Sinh[e + f*x])/f}
+{(a + b*Cosh[e + f*x])/(c + d*x), x, 5, (b*Cosh[e - (c*f)/d]*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x])/d + (a*Log[c + d*x])/d + (b*Sinh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d}
+{(a + b*Cosh[e + f*x])/(c + d*x)^2, x, 6, -(a/(d*(c + d*x))) - (b*Cosh[e + f*x])/(d*(c + d*x)) + (b*f*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sinh[e - (c*f)/d])/d^2 + (b*f*Cosh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2}
+{(a + b*Cosh[e + f*x])/(c + d*x)^3, x, 7, -a/(2*d*(c + d*x)^2) - (b*Cosh[e + f*x])/(2*d*(c + d*x)^2) + (b*f^2*Cosh[e - (c*f)/d]*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x])/(2*d^3) - (b*f*Sinh[e + f*x])/(2*d^2*(c + d*x)) + (b*f^2*Sinh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/(2*d^3)}
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + b*Cosh[e + f*x])^2, x, 10, (3*b^2*c*d^2*x)/(4*f^2) + (3*b^2*d^3*x^2)/(8*f^2) + (a^2*(c + d*x)^4)/(4*d) + (b^2*(c + d*x)^4)/(8*d) - (12*a*b*d^3*Cosh[e + f*x])/f^4 - (6*a*b*d*(c + d*x)^2*Cosh[e + f*x])/f^2 - (3*b^2*d^3*Cosh[e + f*x]^2)/(8*f^4) - (3*b^2*d*(c + d*x)^2*Cosh[e + f*x]^2)/(4*f^2) + (12*a*b*d^2*(c + d*x)*Sinh[e + f*x])/f^3 + (2*a*b*(c + d*x)^3*Sinh[e + f*x])/f + (3*b^2*d^2*(c + d*x)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(4*f^3) + (b^2*(c + d*x)^3*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(2*f)}
+{(c + d*x)^2*(a + b*Cosh[e + f*x])^2, x, 9, (b^2*d^2*x)/(4*f^2) + (a^2*(c + d*x)^3)/(3*d) + (b^2*(c + d*x)^3)/(6*d) - (4*a*b*d*(c + d*x)*Cosh[e + f*x])/f^2 - (b^2*d*(c + d*x)*Cosh[e + f*x]^2)/(2*f^2) + (4*a*b*d^2*Sinh[e + f*x])/f^3 + (2*a*b*(c + d*x)^2*Sinh[e + f*x])/f + (b^2*d^2*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(4*f^3) + (b^2*(c + d*x)^2*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(2*f)}
+{(c + d*x)*(a + b*Cosh[e + f*x])^2, x, 6, (b^2*c*x)/2 + (b^2*d*x^2)/4 + (a^2*(c + d*x)^2)/(2*d) - (2*a*b*d*Cosh[e + f*x])/f^2 - (b^2*d*Cosh[e + f*x]^2)/(4*f^2) + (2*a*b*(c + d*x)*Sinh[e + f*x])/f + (b^2*(c + d*x)*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(2*f)}
+{(a + b*Cosh[e + f*x])^2/(c + d*x), x, 10, (2*a*b*Cosh[e - (c*f)/d]*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x])/d + (b^2*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*d) + (a^2*Log[c + d*x])/d + (b^2*Log[c + d*x])/(2*d) + (2*a*b*Sinh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d + (b^2*Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*d)}
+{(a + b*Cosh[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x, 11, -(a^2/(d*(c + d*x))) - (2*a*b*Cosh[e + f*x])/(d*(c + d*x)) - (b^2*Cosh[e + f*x]^2)/(d*(c + d*x)) + (b^2*f*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sinh[2*e - (2*c*f)/d])/d^2 + (2*a*b*f*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x]*Sinh[e - (c*f)/d])/d^2 + (2*a*b*f*Cosh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^2 + (b^2*f*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^2}
+{(a + b*Cosh[e + f*x])^2/(c + d*x)^3, x, 14, -a^2/(2*d*(c + d*x)^2) - (a*b*Cosh[e + f*x])/(d*(c + d*x)^2) - (b^2*Cosh[e + f*x]^2)/(2*d*(c + d*x)^2) + (a*b*f^2*Cosh[e - (c*f)/d]*CoshIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^3 + (b^2*f^2*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^3 - (a*b*f*Sinh[e + f*x])/(d^2*(c + d*x)) - (b^2*f*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x])/(d^2*(c + d*x)) + (a*b*f^2*Sinh[e - (c*f)/d]*SinhIntegral[(c*f)/d + f*x])/d^3 + (b^2*f^2*Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/d^3}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + b*Cosh[e + f*x]), x, 12, ((c + d*x)^3*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f) - ((c + d*x)^3*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f) + (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^2) - (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^2) - (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^3) + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^3) + (6*d^3*PolyLog[4, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^4) - (6*d^3*PolyLog[4, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^4)}
+{(c + d*x)^2/(a + b*Cosh[e + f*x]), x, 10, ((c + d*x)^2*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f) - ((c + d*x)^2*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f) + (2*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^2) - (2*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^2) - (2*d^2*PolyLog[3, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^3) + (2*d^2*PolyLog[3, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^3)}
+{(c + d*x)/(a + b*Cosh[e + f*x]), x, 8, ((c + d*x)*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f) - ((c + d*x)*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f) + (d*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^2) - (d*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(Sqrt[a^2 - b^2]*f^2)}
+{1/((c + d*x)*(a + b*Cosh[e + f*x])), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*Cosh[e + f*x])), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + b*Cosh[e + f*x])), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + b*Cosh[e + f*x])), x]}
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + b*Cosh[e + f*x])^2, x, 22, -((c + d*x)^3/((a^2 - b^2)*f)) + (3*d*(c + d*x)^2*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*f^2) + (a*(c + d*x)^3*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f) + (3*d*(c + d*x)^2*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*f^2) - (a*(c + d*x)^3*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f) + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)*f^3) + (3*a*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^2) + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)*f^3) - (3*a*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^2) - (6*d^3*PolyLog[3, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)*f^4) - (6*a*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^3) - (6*d^3*PolyLog[3, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)*f^4) + (6*a*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^3) + (6*a*d^3*PolyLog[4, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^4) - (6*a*d^3*PolyLog[4, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^4) - (b*(c + d*x)^3*Sinh[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f*(a + b*Cosh[e + f*x]))}
+{(c + d*x)^2/(a + b*Cosh[e + f*x])^2, x, 18, -((c + d*x)^2/((a^2 - b^2)*f)) + (2*d*(c + d*x)*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*f^2) + (a*(c + d*x)^2*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f) + (2*d*(c + d*x)*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)*f^2) - (a*(c + d*x)^2*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f) + (2*d^2*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)*f^3) + (2*a*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^2) + (2*d^2*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)*f^3) - (2*a*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^2) - (2*a*d^2*PolyLog[3, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^3) + (2*a*d^2*PolyLog[3, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^3) - (b*(c + d*x)^2*Sinh[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f*(a + b*Cosh[e + f*x]))}
+{(c + d*x)/(a + b*Cosh[e + f*x])^2, x, 11, (a*(c + d*x)*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f) - (a*(c + d*x)*Log[1 + (b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f) + (d*Log[a + b*Cosh[e + f*x]])/((a^2 - b^2)*f^2) + (a*d*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^2) - (a*d*PolyLog[2, -((b*E^(e + f*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/((a^2 - b^2)^(3/2)*f^2) - (b*(c + d*x)*Sinh[e + f*x])/((a^2 - b^2)*f*(a + b*Cosh[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)*(a + b*Cosh[e + f*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*Cosh[e + f*x])^2), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + b*Cosh[e + f*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + b*Cosh[e + f*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Cosh[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + b*Cosh[e + f*x])^n, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(a + b*Cosh[e + f*x])^n, x]}
+
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+{(c + d*x)^m*(a + b*Cosh[e + f*x])^3, x, 18, (a^3*(c + d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (3*a*b^2*(c + d*x)^(1 + m))/(2*d*(1 + m)) + (3^(-1 - m)*b^3*E^(3*e - (3*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (-3*f*(c + d*x))/d])/(8*f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) + (3*2^(-3 - m)*a*b^2*E^(2*e - (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (-2*f*(c + d*x))/d])/(f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) + (3*a^2*b*E^(e - (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((f*(c + d*x))/d)])/(2*f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) + (3*b^3*E^(e - (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((f*(c + d*x))/d)])/(8*f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) - (3*a^2*b*E^(-e + (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (f*(c + d*x))/d])/(2*f*((f*(c + d*x))/d)^m) - (3*b^3*E^(-e + (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (f*(c + d*x))/d])/(8*f*((f*(c + d*x))/d)^m) - (3*2^(-3 - m)*a*b^2*E^(-2*e + (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*f*(c + d*x))/d])/(f*((f*(c + d*x))/d)^m) - (3^(-1 - m)*b^3*E^(-3*e + (3*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (3*f*(c + d*x))/d])/(8*f*((f*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m*(a + b*Cosh[e + f*x])^2, x, 10, (a^2*(c + d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (b^2*(c + d*x)^(1 + m))/(2*d*(1 + m)) + (2^(-3 - m)*b^2*E^(2*e - (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (-2*f*(c + d*x))/d])/(f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) + (a*b*E^(e - (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((f*(c + d*x))/d)])/(f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) - (a*b*E^(-e + (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (f*(c + d*x))/d])/(f*((f*(c + d*x))/d)^m) - (2^(-3 - m)*b^2*E^(-2*e + (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*f*(c + d*x))/d])/(f*((f*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m*(a + b*Cosh[e + f*x]), x, 5, (a*(c + d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m)) + (b*E^(e - (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, -((f*(c + d*x))/d)])/(2*f*(-((f*(c + d*x))/d))^m) - (b*E^(-e + (c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (f*(c + d*x))/d])/(2*f*((f*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m/(a + b*Cosh[e + f*x]), x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m/(a + b*Cosh[e + f*x]), x]}
+{(c + d*x)^m/(a + b*Cosh[e + f*x])^2, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m/(a + b*Cosh[e + f*x])^2, x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.2 Hyperbolic cosine/6.2.2 (e x)^m (a+b x^n)^p cosh.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.2 Hyperbolic cosine/6.2.2 (e x)^m (a+b x^n)^p cosh.m
new file mode 100644
index 00000000..034e34af
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.2 Hyperbolic cosine/6.2.2 (e x)^m (a+b x^n)^p cosh.m	
@@ -0,0 +1,181 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b x^n)^p Cosh[c+d x]*)
+
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b x^1)^p Cosh[c+d x]*)
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+
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+{x^2*(a + b*x)*Cosh[c + d*x], x, 9, (-6*b*Cosh[c + d*x])/d^4 - (2*a*x*Cosh[c + d*x])/d^2 - (3*b*x^2*Cosh[c + d*x])/d^2 + (2*a*Sinh[c + d*x])/d^3 + (6*b*x*Sinh[c + d*x])/d^3 + (a*x^2*Sinh[c + d*x])/d + (b*x^3*Sinh[c + d*x])/d}
+{x*(a + b*x)*Cosh[c + d*x], x, 7, -((a*Cosh[c + d*x])/d^2) - (2*b*x*Cosh[c + d*x])/d^2 + (2*b*Sinh[c + d*x])/d^3 + (a*x*Sinh[c + d*x])/d + (b*x^2*Sinh[c + d*x])/d}
+{(a + b*x)*Cosh[c + d*x], x, 2, -((b*Cosh[c + d*x])/d^2) + ((a + b*x)*Sinh[c + d*x])/d}
+{((a + b*x)*Cosh[c + d*x])/x, x, 6, a*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x] + (b*Sinh[c + d*x])/d + a*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x]}
+{((a + b*x)*Cosh[c + d*x])/x^2, x, 9, -((a*Cosh[c + d*x])/x) + b*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x] + a*d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c] + a*d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x] + b*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x]}
+{((a + b*x)*Cosh[c + d*x])/x^3, x, 11, -(a*Cosh[c + d*x])/(2*x^2) - (b*Cosh[c + d*x])/x + (a*d^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/2 + b*d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c] - (a*d*Sinh[c + d*x])/(2*x) + b*d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x] + (a*d^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/2}
+{((a + b*x)*Cosh[c + d*x])/x^4, x, 13, -(a*Cosh[c + d*x])/(3*x^3) - (b*Cosh[c + d*x])/(2*x^2) - (a*d^2*Cosh[c + d*x])/(6*x) + (b*d^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/2 + (a*d^3*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c])/6 - (a*d*Sinh[c + d*x])/(6*x^2) - (b*d*Sinh[c + d*x])/(2*x) + (a*d^3*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x])/6 + (b*d^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/2}
+{((a + b*x)*Cosh[c + d*x])/x^5, x, 15, -(a*Cosh[c + d*x])/(4*x^4) - (b*Cosh[c + d*x])/(3*x^3) - (a*d^2*Cosh[c + d*x])/(24*x^2) - (b*d^2*Cosh[c + d*x])/(6*x) + (a*d^4*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/24 + (b*d^3*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c])/6 - (a*d*Sinh[c + d*x])/(12*x^3) - (b*d*Sinh[c + d*x])/(6*x^2) - (a*d^3*Sinh[c + d*x])/(24*x) + (b*d^3*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x])/6 + (a*d^4*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/24}
+
+
+{x^2*(a + b*x)^2*Cosh[c + d*x], x, 14, (-12*a*b*Cosh[c + d*x])/d^4 - (24*b^2*x*Cosh[c + d*x])/d^4 - (2*a^2*x*Cosh[c + d*x])/d^2 - (6*a*b*x^2*Cosh[c + d*x])/d^2 - (4*b^2*x^3*Cosh[c + d*x])/d^2 + (24*b^2*Sinh[c + d*x])/d^5 + (2*a^2*Sinh[c + d*x])/d^3 + (12*a*b*x*Sinh[c + d*x])/d^3 + (12*b^2*x^2*Sinh[c + d*x])/d^3 + (a^2*x^2*Sinh[c + d*x])/d + (2*a*b*x^3*Sinh[c + d*x])/d + (b^2*x^4*Sinh[c + d*x])/d}
+{x*(a + b*x)^2*Cosh[c + d*x], x, 11, (-6*b^2*Cosh[c + d*x])/d^4 - (a^2*Cosh[c + d*x])/d^2 - (4*a*b*x*Cosh[c + d*x])/d^2 - (3*b^2*x^2*Cosh[c + d*x])/d^2 + (4*a*b*Sinh[c + d*x])/d^3 + (6*b^2*x*Sinh[c + d*x])/d^3 + (a^2*x*Sinh[c + d*x])/d + (2*a*b*x^2*Sinh[c + d*x])/d + (b^2*x^3*Sinh[c + d*x])/d}
+{(a + b*x)^2*Cosh[c + d*x], x, 3, (-2*b*(a + b*x)*Cosh[c + d*x])/d^2 + (2*b^2*Sinh[c + d*x])/d^3 + ((a + b*x)^2*Sinh[c + d*x])/d}
+{((a + b*x)^2*Cosh[c + d*x])/x, x, 8, -((b^2*Cosh[c + d*x])/d^2) + a^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x] + (2*a*b*Sinh[c + d*x])/d + (b^2*x*Sinh[c + d*x])/d + a^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x]}
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+{((a + b*x)^2*Cosh[c + d*x])/x^3, x, 14, -(a^2*Cosh[c + d*x])/(2*x^2) - (2*a*b*Cosh[c + d*x])/x + b^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x] + (a^2*d^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/2 + 2*a*b*d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c] - (a^2*d*Sinh[c + d*x])/(2*x) + 2*a*b*d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x] + b^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x] + (a^2*d^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/2}
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+{((a + b*x)^2*Cosh[c + d*x])/x^5, x, 20, -(a^2*Cosh[c + d*x])/(4*x^4) - (2*a*b*Cosh[c + d*x])/(3*x^3) - (b^2*Cosh[c + d*x])/(2*x^2) - (a^2*d^2*Cosh[c + d*x])/(24*x^2) - (a*b*d^2*Cosh[c + d*x])/(3*x) + (b^2*d^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/2 + (a^2*d^4*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/24 + (a*b*d^3*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c])/3 - (a^2*d*Sinh[c + d*x])/(12*x^3) - (a*b*d*Sinh[c + d*x])/(3*x^2) - (b^2*d*Sinh[c + d*x])/(2*x) - (a^2*d^3*Sinh[c + d*x])/(24*x) + (a*b*d^3*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x])/3 + (b^2*d^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/2 + (a^2*d^4*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/24}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^4*Cosh[c + d*x])/(a + b*x), x, 15, (-6*Cosh[c + d*x])/(b*d^4) - (a^2*Cosh[c + d*x])/(b^3*d^2) + (2*a*x*Cosh[c + d*x])/(b^2*d^2) - (3*x^2*Cosh[c + d*x])/(b*d^2) + (a^4*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^5 - (2*a*Sinh[c + d*x])/(b^2*d^3) - (a^3*Sinh[c + d*x])/(b^4*d) + (6*x*Sinh[c + d*x])/(b*d^3) + (a^2*x*Sinh[c + d*x])/(b^3*d) - (a*x^2*Sinh[c + d*x])/(b^2*d) + (x^3*Sinh[c + d*x])/(b*d) + (a^4*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^5}
+{(x^3*Cosh[c + d*x])/(a + b*x), x, 11, (a*Cosh[c + d*x])/(b^2*d^2) - (2*x*Cosh[c + d*x])/(b*d^2) - (a^3*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^4 + (2*Sinh[c + d*x])/(b*d^3) + (a^2*Sinh[c + d*x])/(b^3*d) - (a*x*Sinh[c + d*x])/(b^2*d) + (x^2*Sinh[c + d*x])/(b*d) - (a^3*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^4}
+{(x^2*Cosh[c + d*x])/(a + b*x), x, 8, -(Cosh[c + d*x]/(b*d^2)) + (a^2*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^3 - (a*Sinh[c + d*x])/(b^2*d) + (x*Sinh[c + d*x])/(b*d) + (a^2*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^3}
+{(x*Cosh[c + d*x])/(a + b*x), x, 6, -((a*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^2) + Sinh[c + d*x]/(b*d) - (a*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^2}
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+{Cosh[c + d*x]/(x*(a + b*x)), x, 8, (Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/a - (Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/a + (Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/a - (Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/a}
+{Cosh[c + d*x]/(x^2*(a + b*x)), x, 12, -(Cosh[c + d*x]/(a*x)) - (b*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/a^2 + (b*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^2 + (d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c])/a + (d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x])/a - (b*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/a^2 + (b*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^2}
+{Cosh[c + d*x]/(x^3*(a + b*x)), x, 17, -Cosh[c + d*x]/(2*a*x^2) + (b*Cosh[c + d*x])/(a^2*x) + (b^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/a^3 + (d^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/(2*a) - (b^2*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^3 - (b*d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c])/a^2 - (d*Sinh[c + d*x])/(2*a*x) - (b*d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x])/a^2 + (b^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/a^3 + (d^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/(2*a) - (b^2*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^3}
+
+
+{(x^4*Cosh[c + d*x])/(a + b*x)^2, x, 15, (2*a*Cosh[c + d*x])/(b^3*d^2) - (2*x*Cosh[c + d*x])/(b^2*d^2) - (a^4*Cosh[c + d*x])/(b^5*(a + b*x)) - (4*a^3*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^5 + (a^4*d*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sinh[c - (a*d)/b])/b^6 + (2*Sinh[c + d*x])/(b^2*d^3) + (3*a^2*Sinh[c + d*x])/(b^4*d) - (2*a*x*Sinh[c + d*x])/(b^3*d) + (x^2*Sinh[c + d*x])/(b^2*d) + (a^4*d*Cosh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^6 - (4*a^3*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^5}
+{(x^3*Cosh[c + d*x])/(a + b*x)^2, x, 12, -(Cosh[c + d*x]/(b^2*d^2)) + (a^3*Cosh[c + d*x])/(b^4*(a + b*x)) + (3*a^2*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^4 - (a^3*d*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sinh[c - (a*d)/b])/b^5 - (2*a*Sinh[c + d*x])/(b^3*d) + (x*Sinh[c + d*x])/(b^2*d) - (a^3*d*Cosh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^5 + (3*a^2*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^4}
+{(x^2*Cosh[c + d*x])/(a + b*x)^2, x, 10, -((a^2*Cosh[c + d*x])/(b^3*(a + b*x))) - (2*a*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^3 + (a^2*d*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sinh[c - (a*d)/b])/b^4 + Sinh[c + d*x]/(b^2*d) + (a^2*d*Cosh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^4 - (2*a*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^3}
+{(x*Cosh[c + d*x])/(a + b*x)^2, x, 9, (a*Cosh[c + d*x])/(b^2*(a + b*x)) + (Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^2 - (a*d*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sinh[c - (a*d)/b])/b^3 - (a*d*Cosh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^3 + (Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^2}
+{Cosh[c + d*x]/(a + b*x)^2, x, 4, -(Cosh[c + d*x]/(b*(a + b*x))) + (d*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sinh[c - (a*d)/b])/b^2 + (d*Cosh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^2}
+{Cosh[c + d*x]/(x*(a + b*x)^2), x, 12, Cosh[c + d*x]/(a*(a + b*x)) + (Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/a^2 - (Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^2 - (d*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sinh[c - (a*d)/b])/(a*b) + (Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/a^2 - (d*Cosh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/(a*b) - (Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^2}
+{Cosh[c + d*x]/(x^2*(a + b*x)^2), x, 16, -(Cosh[c + d*x]/(a^2*x)) - (b*Cosh[c + d*x])/(a^2*(a + b*x)) - (2*b*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/a^3 + (2*b*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^3 + (d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c])/a^2 + (d*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sinh[c - (a*d)/b])/a^2 + (d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x])/a^2 - (2*b*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/a^3 + (d*Cosh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^2 + (2*b*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^3}
+
+
+{(x^3*Cosh[c + d*x])/(a + b*x)^3, x, 15, (a^3*Cosh[c + d*x])/(2*b^4*(a + b*x)^2) - (3*a^2*Cosh[c + d*x])/(b^4*(a + b*x)) - (3*a*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^4 - (a^3*d^2*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*b^6) + (3*a^2*d*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sinh[c - (a*d)/b])/b^5 + Sinh[c + d*x]/(b^3*d) + (a^3*d*Sinh[c + d*x])/(2*b^5*(a + b*x)) + (3*a^2*d*Cosh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^5 - (3*a*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^4 - (a^3*d^2*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*b^6)}
+{(x^2*Cosh[c + d*x])/(a + b*x)^3, x, 14, -(a^2*Cosh[c + d*x])/(2*b^3*(a + b*x)^2) + (2*a*Cosh[c + d*x])/(b^3*(a + b*x)) + (Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^3 + (a^2*d^2*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*b^5) - (2*a*d*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sinh[c - (a*d)/b])/b^4 - (a^2*d*Sinh[c + d*x])/(2*b^4*(a + b*x)) - (2*a*d*Cosh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^4 + (Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^3 + (a^2*d^2*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*b^5)}
+{(x*Cosh[c + d*x])/(a + b*x)^3, x, 11, (a*Cosh[c + d*x])/(2*b^2*(a + b*x)^2) - Cosh[c + d*x]/(b^2*(a + b*x)) - (a*d^2*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*b^4) + (d*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sinh[c - (a*d)/b])/b^3 + (a*d*Sinh[c + d*x])/(2*b^3*(a + b*x)) + (d*Cosh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/b^3 - (a*d^2*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*b^4)}
+{Cosh[c + d*x]/(a + b*x)^3, x, 5, -Cosh[c + d*x]/(2*b*(a + b*x)^2) + (d^2*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*b^3) - (d*Sinh[c + d*x])/(2*b^2*(a + b*x)) + (d^2*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*b^3)}
+{Cosh[c + d*x]/(x*(a + b*x)^3), x, 17, Cosh[c + d*x]/(2*a*(a + b*x)^2) + Cosh[c + d*x]/(a^2*(a + b*x)) + (Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/a^3 - (Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^3 - (d^2*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*a*b^2) - (d*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sinh[c - (a*d)/b])/(a^2*b) + (d*Sinh[c + d*x])/(2*a*b*(a + b*x)) + (Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/a^3 - (d*Cosh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/(a^2*b) - (Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^3 - (d^2*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*a*b^2)}
+{Cosh[c + d*x]/(x^2*(a + b*x)^3), x, 21, -(Cosh[c + d*x]/(a^3*x)) - (b*Cosh[c + d*x])/(2*a^2*(a + b*x)^2) - (2*b*Cosh[c + d*x])/(a^3*(a + b*x)) - (3*b*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/a^4 + (3*b*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^4 + (d^2*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*a^2*b) + (d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c])/a^3 + (2*d*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sinh[c - (a*d)/b])/a^3 - (d*Sinh[c + d*x])/(2*a^2*(a + b*x)) + (d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x])/a^3 - (3*b*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/a^4 + (2*d*Cosh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^3 + (3*b*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^4 + (d^2*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*a^2*b)}
+{Cosh[c + d*x]/(x^3*(a + b*x)^3), x, 26, -Cosh[c + d*x]/(2*a^3*x^2) + (3*b*Cosh[c + d*x])/(a^4*x) + (b^2*Cosh[c + d*x])/(2*a^3*(a + b*x)^2) + (3*b^2*Cosh[c + d*x])/(a^4*(a + b*x)) + (6*b^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/a^5 + (d^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/(2*a^3) - (6*b^2*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^5 - (d^2*Cosh[c - (a*d)/b]*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*a^3) - (3*b*d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c])/a^4 - (3*b*d*CoshIntegral[(a*d)/b + d*x]*Sinh[c - (a*d)/b])/a^4 - (d*Sinh[c + d*x])/(2*a^3*x) + (b*d*Sinh[c + d*x])/(2*a^3*(a + b*x)) - (3*b*d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x])/a^4 + (6*b^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/a^5 + (d^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/(2*a^3) - (3*b*d*Cosh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^4 - (6*b^2*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/a^5 - (d^2*Sinh[c - (a*d)/b]*SinhIntegral[(a*d)/b + d*x])/(2*a^3)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b x^2)^p Cosh[c+d x]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*x^2)*Cosh[c + d*x], x, 12, (-120*b*Cosh[c + d*x])/d^6 - (6*a*Cosh[c + d*x])/d^4 - (60*b*x^2*Cosh[c + d*x])/d^4 - (3*a*x^2*Cosh[c + d*x])/d^2 - (5*b*x^4*Cosh[c + d*x])/d^2 + (120*b*x*Sinh[c + d*x])/d^5 + (6*a*x*Sinh[c + d*x])/d^3 + (20*b*x^3*Sinh[c + d*x])/d^3 + (a*x^3*Sinh[c + d*x])/d + (b*x^5*Sinh[c + d*x])/d}
+{x^2*(a + b*x^2)*Cosh[c + d*x], x, 10, (-24*b*x*Cosh[c + d*x])/d^4 - (2*a*x*Cosh[c + d*x])/d^2 - (4*b*x^3*Cosh[c + d*x])/d^2 + (24*b*Sinh[c + d*x])/d^5 + (2*a*Sinh[c + d*x])/d^3 + (12*b*x^2*Sinh[c + d*x])/d^3 + (a*x^2*Sinh[c + d*x])/d + (b*x^4*Sinh[c + d*x])/d}
+{x*(a + b*x^2)*Cosh[c + d*x], x, 8, (-6*b*Cosh[c + d*x])/d^4 - (a*Cosh[c + d*x])/d^2 - (3*b*x^2*Cosh[c + d*x])/d^2 + (6*b*x*Sinh[c + d*x])/d^3 + (a*x*Sinh[c + d*x])/d + (b*x^3*Sinh[c + d*x])/d}
+{(a + b*x^2)*Cosh[c + d*x], x, 6, (-2*b*x*Cosh[c + d*x])/d^2 + (2*b*Sinh[c + d*x])/d^3 + (a*Sinh[c + d*x])/d + (b*x^2*Sinh[c + d*x])/d}
+{((a + b*x^2)*Cosh[c + d*x])/x, x, 7, -((b*Cosh[c + d*x])/d^2) + a*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x] + (b*x*Sinh[c + d*x])/d + a*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x]}
+{((a + b*x^2)*Cosh[c + d*x])/x^2, x, 7, -((a*Cosh[c + d*x])/x) + a*d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c] + (b*Sinh[c + d*x])/d + a*d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x]}
+{((a + b*x^2)*Cosh[c + d*x])/x^3, x, 10, -(a*Cosh[c + d*x])/(2*x^2) + b*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x] + (a*d^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/2 - (a*d*Sinh[c + d*x])/(2*x) + b*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x] + (a*d^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/2}
+{((a + b*x^2)*Cosh[c + d*x])/x^4, x, 12, -(a*Cosh[c + d*x])/(3*x^3) - (b*Cosh[c + d*x])/x - (a*d^2*Cosh[c + d*x])/(6*x) + b*d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c] + (a*d^3*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c])/6 - (a*d*Sinh[c + d*x])/(6*x^2) + b*d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x] + (a*d^3*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x])/6}
+{((a + b*x^2)*Cosh[c + d*x])/x^5, x, 14, -(a*Cosh[c + d*x])/(4*x^4) - (b*Cosh[c + d*x])/(2*x^2) - (a*d^2*Cosh[c + d*x])/(24*x^2) + (b*d^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/2 + (a*d^4*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/24 - (a*d*Sinh[c + d*x])/(12*x^3) - (b*d*Sinh[c + d*x])/(2*x) - (a*d^3*Sinh[c + d*x])/(24*x) + (b*d^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/2 + (a*d^4*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/24}
+
+
+{x^2*(a + b*x^2)^2*Cosh[c + d*x], x, 17, (-720*b^2*x*Cosh[c + d*x])/d^6 - (48*a*b*x*Cosh[c + d*x])/d^4 - (2*a^2*x*Cosh[c + d*x])/d^2 - (120*b^2*x^3*Cosh[c + d*x])/d^4 - (8*a*b*x^3*Cosh[c + d*x])/d^2 - (6*b^2*x^5*Cosh[c + d*x])/d^2 + (720*b^2*Sinh[c + d*x])/d^7 + (48*a*b*Sinh[c + d*x])/d^5 + (2*a^2*Sinh[c + d*x])/d^3 + (360*b^2*x^2*Sinh[c + d*x])/d^5 + (24*a*b*x^2*Sinh[c + d*x])/d^3 + (a^2*x^2*Sinh[c + d*x])/d + (30*b^2*x^4*Sinh[c + d*x])/d^3 + (2*a*b*x^4*Sinh[c + d*x])/d + (b^2*x^6*Sinh[c + d*x])/d}
+{x*(a + b*x^2)^2*Cosh[c + d*x], x, 14, (-120*b^2*Cosh[c + d*x])/d^6 - (12*a*b*Cosh[c + d*x])/d^4 - (a^2*Cosh[c + d*x])/d^2 - (60*b^2*x^2*Cosh[c + d*x])/d^4 - (6*a*b*x^2*Cosh[c + d*x])/d^2 - (5*b^2*x^4*Cosh[c + d*x])/d^2 + (120*b^2*x*Sinh[c + d*x])/d^5 + (12*a*b*x*Sinh[c + d*x])/d^3 + (a^2*x*Sinh[c + d*x])/d + (20*b^2*x^3*Sinh[c + d*x])/d^3 + (2*a*b*x^3*Sinh[c + d*x])/d + (b^2*x^5*Sinh[c + d*x])/d}
+{(a + b*x^2)^2*Cosh[c + d*x], x, 11, (-24*b^2*x*Cosh[c + d*x])/d^4 - (4*a*b*x*Cosh[c + d*x])/d^2 - (4*b^2*x^3*Cosh[c + d*x])/d^2 + (24*b^2*Sinh[c + d*x])/d^5 + (4*a*b*Sinh[c + d*x])/d^3 + (a^2*Sinh[c + d*x])/d + (12*b^2*x^2*Sinh[c + d*x])/d^3 + (2*a*b*x^2*Sinh[c + d*x])/d + (b^2*x^4*Sinh[c + d*x])/d}
+{((a + b*x^2)^2*Cosh[c + d*x])/x, x, 11, (-6*b^2*Cosh[c + d*x])/d^4 - (2*a*b*Cosh[c + d*x])/d^2 - (3*b^2*x^2*Cosh[c + d*x])/d^2 + a^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x] + (6*b^2*x*Sinh[c + d*x])/d^3 + (2*a*b*x*Sinh[c + d*x])/d + (b^2*x^3*Sinh[c + d*x])/d + a^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x]}
+{((a + b*x^2)^2*Cosh[c + d*x])/x^2, x, 10, -((a^2*Cosh[c + d*x])/x) - (2*b^2*x*Cosh[c + d*x])/d^2 + a^2*d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c] + (2*b^2*Sinh[c + d*x])/d^3 + (2*a*b*Sinh[c + d*x])/d + (b^2*x^2*Sinh[c + d*x])/d + a^2*d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x]}
+{((a + b*x^2)^2*Cosh[c + d*x])/x^3, x, 12, -((b^2*Cosh[c + d*x])/d^2) - (a^2*Cosh[c + d*x])/(2*x^2) + 2*a*b*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x] + (a^2*d^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/2 - (a^2*d*Sinh[c + d*x])/(2*x) + (b^2*x*Sinh[c + d*x])/d + 2*a*b*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x] + (a^2*d^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/2}
+{((a + b*x^2)^2*Cosh[c + d*x])/x^4, x, 13, -(a^2*Cosh[c + d*x])/(3*x^3) - (2*a*b*Cosh[c + d*x])/x - (a^2*d^2*Cosh[c + d*x])/(6*x) + 2*a*b*d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c] + (a^2*d^3*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c])/6 + (b^2*Sinh[c + d*x])/d - (a^2*d*Sinh[c + d*x])/(6*x^2) + 2*a*b*d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x] + (a^2*d^3*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x])/6}
+{((a + b*x^2)^2*Cosh[c + d*x])/x^5, x, 17, -(a^2*Cosh[c + d*x])/(4*x^4) - (a*b*Cosh[c + d*x])/x^2 - (a^2*d^2*Cosh[c + d*x])/(24*x^2) + b^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x] + a*b*d^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x] + (a^2*d^4*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/24 - (a^2*d*Sinh[c + d*x])/(12*x^3) - (a*b*d*Sinh[c + d*x])/x - (a^2*d^3*Sinh[c + d*x])/(24*x) + b^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x] + a*b*d^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x] + (a^2*d^4*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/24}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^4*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^2), x, 14, (-2*x*Cosh[c + d*x])/(b*d^2) + ((-a)^(3/2)*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*b^(5/2)) - ((-a)^(3/2)*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*b^(5/2)) + (2*Sinh[c + d*x])/(b*d^3) - (a*Sinh[c + d*x])/(b^2*d) + (x^2*Sinh[c + d*x])/(b*d) - ((-a)^(3/2)*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*b^(5/2)) - ((-a)^(3/2)*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*b^(5/2))}
+{(x^3*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^2), x, 12, -(Cosh[c + d*x]/(b*d^2)) - (a*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*b^2) - (a*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*b^2) + (x*Sinh[c + d*x])/(b*d) + (a*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*b^2) - (a*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*b^2)}
+{(x^2*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^2), x, 11, (Sqrt[-a]*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*b^(3/2)) - (Sqrt[-a]*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*b^(3/2)) + Sinh[c + d*x]/(b*d) - (Sqrt[-a]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*b^(3/2)) - (Sqrt[-a]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*b^(3/2))}
+{(x*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^2), x, 8, (Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*b) + (Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*b) - (Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*b) + (Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*b)}
+{Cosh[c + d*x]/(a + b*x^2), x, 8, (Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) - (Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) - (Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) - (Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*Sqrt[-a]*Sqrt[b])}
+{Cosh[c + d*x]/(x*(a + b*x^2)), x, 13, (Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/a - (Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*a) - (Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*a) + (Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/a + (Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*a) - (Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*a)}
+{Cosh[c + d*x]/(x^2*(a + b*x^2)), x, 14, -(Cosh[c + d*x]/(a*x)) + (Sqrt[b]*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*(-a)^(3/2)) - (Sqrt[b]*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*(-a)^(3/2)) + (d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c])/a + (d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x])/a - (Sqrt[b]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*(-a)^(3/2)) - (Sqrt[b]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*(-a)^(3/2))}
+{Cosh[c + d*x]/(x^3*(a + b*x^2)), x, 18, -Cosh[c + d*x]/(2*a*x^2) - (b*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/a^2 + (d^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/(2*a) + (b*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*a^2) + (b*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*a^2) - (d*Sinh[c + d*x])/(2*a*x) - (b*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/a^2 + (d^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/(2*a) - (b*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*a^2) + (b*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*a^2)}
+
+
+{(x^4*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^2)^2, x, 24, (x*Cosh[c + d*x])/(2*b^2) - (x^3*Cosh[c + d*x])/(2*b*(a + b*x^2)) + (3*Sqrt[-a]*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*b^(5/2)) - (3*Sqrt[-a]*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*b^(5/2)) - (a*d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*b^3) - (a*d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*b^3) + Sinh[c + d*x]/(b^2*d) + (a*d*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*b^3) - (3*Sqrt[-a]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*b^(5/2)) - (a*d*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*b^3) - (3*Sqrt[-a]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*b^(5/2))}
+{(x^3*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^2)^2, x, 20, Cosh[c + d*x]/(2*b^2) - (x^2*Cosh[c + d*x])/(2*b*(a + b*x^2)) + (Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*b^2) + (Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*b^2) - (Sqrt[-a]*d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*b^(5/2)) + (Sqrt[-a]*d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*b^(5/2)) - (Sqrt[-a]*d*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*b^(5/2)) - (Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*b^2) - (Sqrt[-a]*d*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*b^(5/2)) + (Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*b^2)}
+{(x^2*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^2)^2, x, 17, -(x*Cosh[c + d*x])/(2*b*(a + b*x^2)) + (Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*Sqrt[-a]*b^(3/2)) - (Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*Sqrt[-a]*b^(3/2)) + (d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*b^2) + (d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*b^2) - (d*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*b^2) - (Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*Sqrt[-a]*b^(3/2)) + (d*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*b^2) - (Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*Sqrt[-a]*b^(3/2))}
+{(x*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^2)^2, x, 9, -Cosh[c + d*x]/(2*b*(a + b*x^2)) - (d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[-a]*b^(3/2)) + (d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[-a]*b^(3/2)) - (d*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*Sqrt[-a]*b^(3/2)) - (d*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*Sqrt[-a]*b^(3/2))}
+{Cosh[c + d*x]/(a + b*x^2)^2, x, 18, -Cosh[c + d*x]/(4*a*Sqrt[b]*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) + Cosh[c + d*x]/(4*a*Sqrt[b]*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) - (Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]) + (Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]) - (d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*a*b) - (d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*a*b) + (d*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*a*b) + (Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]) - (d*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*a*b) + (Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*(-a)^(3/2)*Sqrt[b])}
+{Cosh[c + d*x]/(x*(a + b*x^2)^2), x, 22, Cosh[c + d*x]/(2*a*(a + b*x^2)) + (Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/a^2 - (Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*a^2) - (Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*a^2) - (d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]) + (d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]) + (Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/a^2 - (d*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]) + (Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*a^2) - (d*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]) - (Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*a^2)}
+{Cosh[c + d*x]/(x^2*(a + b*x^2)^2), x, 32, -(Cosh[c + d*x]/(a^2*x)) + (Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/(4*a^2*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) - (Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/(4*a^2*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) - (3*Sqrt[b]*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*(-a)^(5/2)) + (3*Sqrt[b]*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*(-a)^(5/2)) + (d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c])/a^2 + (d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*a^2) + (d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(4*a^2) + (d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x])/a^2 - (d*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*a^2) + (3*Sqrt[b]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(4*(-a)^(5/2)) + (d*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*a^2) + (3*Sqrt[b]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(4*(-a)^(5/2))}
+
+
+{(x^3*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^2)^3, x, 27, -(x^2*Cosh[c + d*x])/(4*b*(a + b*x^2)^2) - Cosh[c + d*x]/(4*b^2*(a + b*x^2)) + (d^2*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*b^3) + (d^2*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*b^3) - (3*d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*Sqrt[-a]*b^(5/2)) + (3*d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*Sqrt[-a]*b^(5/2)) - (d*x*Sinh[c + d*x])/(8*b^2*(a + b*x^2)) - (3*d*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*Sqrt[-a]*b^(5/2)) - (d^2*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*b^3) - (3*d*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*Sqrt[-a]*b^(5/2)) + (d^2*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*b^3)}
+{(x^2*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^2)^3, x, 28, -Cosh[c + d*x]/(16*a*b^(3/2)*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) + Cosh[c + d*x]/(16*a*b^(3/2)*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) - (x*Cosh[c + d*x])/(4*b*(a + b*x^2)^2) - (Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) + (d^2*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*Sqrt[-a]*b^(5/2)) + (Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) - (d^2*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*Sqrt[-a]*b^(5/2)) - (d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*a*b^2) - (d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*a*b^2) - (d*Sinh[c + d*x])/(8*b^2*(a + b*x^2)) + (d*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*a*b^2) + (Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) - (d^2*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*Sqrt[-a]*b^(5/2)) - (d*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*a*b^2) + (Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) - (d^2*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*Sqrt[-a]*b^(5/2))}
+{(x*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^2)^3, x, 19, -Cosh[c + d*x]/(4*b*(a + b*x^2)^2) - (d^2*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*a*b^2) - (d^2*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*a*b^2) + (d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) - (d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) - (d*Sinh[c + d*x])/(16*a*b^(3/2)*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) + (d*Sinh[c + d*x])/(16*a*b^(3/2)*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) + (d*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) + (d^2*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*a*b^2) + (d*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) - (d^2*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*a*b^2)}
+{Cosh[c + d*x]/(a + b*x^2)^3, x, 28, -Cosh[c + d*x]/(16*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)^2) - (3*Cosh[c + d*x])/(16*a^2*Sqrt[b]*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) + Cosh[c + d*x]/(16*(-a)^(3/2)*Sqrt[b]*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)^2) + (3*Cosh[c + d*x])/(16*a^2*Sqrt[b]*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) + (3*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) + (d^2*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) - (3*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) - (d^2*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) - (3*d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*a^2*b) - (3*d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*a^2*b) + (d*Sinh[c + d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) + (d*Sinh[c + d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) + (3*d*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*a^2*b) - (3*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) - (d^2*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2)) - (3*d*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*a^2*b) - (3*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) - (d^2*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(3/2)*b^(3/2))}
+{Cosh[c + d*x]/(x*(a + b*x^2)^3), x, 41, Cosh[c + d*x]/(4*a*(a + b*x^2)^2) + Cosh[c + d*x]/(2*a^2*(a + b*x^2)) + (Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/a^3 - (Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*a^3) + (d^2*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*a^2*b) - (Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*a^3) + (d^2*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*a^2*b) + (5*d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) - (5*d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) + (d*Sinh[c + d*x])/(16*a^2*Sqrt[b]*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) - (d*Sinh[c + d*x])/(16*a^2*Sqrt[b]*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) + (Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/a^3 + (5*d*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) + (Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*a^3) - (d^2*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*a^2*b) + (5*d*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) - (Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*a^3) + (d^2*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*a^2*b)}
+{Cosh[c + d*x]/(x^2*(a + b*x^2)^3), x, 60, -(Cosh[c + d*x]/(a^3*x)) - (Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/(16*(-a)^(5/2)*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)^2) + (7*Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/(16*a^3*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) + (Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/(16*(-a)^(5/2)*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)^2) - (7*Sqrt[b]*Cosh[c + d*x])/(16*a^3*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) + (15*Sqrt[b]*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(7/2)) + (d^2*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) - (15*Sqrt[b]*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(7/2)) - (d^2*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) + (d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c])/a^3 + (7*d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*a^3) + (7*d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*a^3) + (d*Sinh[c + d*x])/(16*(-a)^(5/2)*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) + (d*Sinh[c + d*x])/(16*(-a)^(5/2)*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) + (d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x])/a^3 - (7*d*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*a^3) - (15*Sqrt[b]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(7/2)) - (d^2*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b]) + (7*d*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*a^3) - (15*Sqrt[b]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(7/2)) - (d^2*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(5/2)*Sqrt[b])}
+{Cosh[c + d*x]/(x^3*(a + b*x^2)^3), x, 46, -Cosh[c + d*x]/(2*a^3*x^2) - (b*Cosh[c + d*x])/(4*a^2*(a + b*x^2)^2) - (b*Cosh[c + d*x])/(a^3*(a + b*x^2)) - (3*b*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/a^4 + (d^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/(2*a^3) + (3*b*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*a^4) - (d^2*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*a^3) + (3*b*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*a^4) - (d^2*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*a^3) + (9*Sqrt[b]*d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x]*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*(-a)^(7/2)) - (9*Sqrt[b]*d*CoshIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x]*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]])/(16*(-a)^(7/2)) - (d*Sinh[c + d*x])/(2*a^3*x) - (Sqrt[b]*d*Sinh[c + d*x])/(16*a^3*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)) + (Sqrt[b]*d*Sinh[c + d*x])/(16*a^3*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)) - (3*b*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/a^4 + (d^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/(2*a^3) + (9*Sqrt[b]*d*Cosh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*(-a)^(7/2)) - (3*b*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(2*a^4) + (d^2*Sinh[c + (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] - d*x])/(16*a^3) + (9*Sqrt[b]*d*Cosh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*(-a)^(7/2)) + (3*b*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(2*a^4) - (d^2*Sinh[c - (Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b]]*SinhIntegral[(Sqrt[-a]*d)/Sqrt[b] + d*x])/(16*a^3)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b x^3)^p Cosh[c+d x]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*x^3)*Cosh[c + d*x], x, 13, (-6*a*Cosh[c + d*x])/d^4 - (720*b*x*Cosh[c + d*x])/d^6 - (3*a*x^2*Cosh[c + d*x])/d^2 - (120*b*x^3*Cosh[c + d*x])/d^4 - (6*b*x^5*Cosh[c + d*x])/d^2 + (720*b*Sinh[c + d*x])/d^7 + (6*a*x*Sinh[c + d*x])/d^3 + (360*b*x^2*Sinh[c + d*x])/d^5 + (a*x^3*Sinh[c + d*x])/d + (30*b*x^4*Sinh[c + d*x])/d^3 + (b*x^6*Sinh[c + d*x])/d}
+{x^2*(a + b*x^3)*Cosh[c + d*x], x, 11, (-120*b*Cosh[c + d*x])/d^6 - (2*a*x*Cosh[c + d*x])/d^2 - (60*b*x^2*Cosh[c + d*x])/d^4 - (5*b*x^4*Cosh[c + d*x])/d^2 + (2*a*Sinh[c + d*x])/d^3 + (120*b*x*Sinh[c + d*x])/d^5 + (a*x^2*Sinh[c + d*x])/d + (20*b*x^3*Sinh[c + d*x])/d^3 + (b*x^5*Sinh[c + d*x])/d}
+{x^1*(a + b*x^3)*Cosh[c + d*x], x, 9, -((a*Cosh[c + d*x])/d^2) - (24*b*x*Cosh[c + d*x])/d^4 - (4*b*x^3*Cosh[c + d*x])/d^2 + (24*b*Sinh[c + d*x])/d^5 + (a*x*Sinh[c + d*x])/d + (12*b*x^2*Sinh[c + d*x])/d^3 + (b*x^4*Sinh[c + d*x])/d}
+{(a + b*x^3)*Cosh[c + d*x], x, 7, (-6*b*Cosh[c + d*x])/d^4 - (3*b*x^2*Cosh[c + d*x])/d^2 + (a*Sinh[c + d*x])/d + (6*b*x*Sinh[c + d*x])/d^3 + (b*x^3*Sinh[c + d*x])/d}
+{((a + b*x^3)*Cosh[c + d*x])/x^1, x, 8, (-2*b*x*Cosh[c + d*x])/d^2 + a*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x] + (2*b*Sinh[c + d*x])/d^3 + (b*x^2*Sinh[c + d*x])/d + a*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x]}
+{((a + b*x^3)*Cosh[c + d*x])/x^2, x, 8, -((b*Cosh[c + d*x])/d^2) - (a*Cosh[c + d*x])/x + a*d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c] + (b*x*Sinh[c + d*x])/d + a*d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x]}
+{((a + b*x^3)*Cosh[c + d*x])/x^3, x, 8, -(a*Cosh[c + d*x])/(2*x^2) + (a*d^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/2 + (b*Sinh[c + d*x])/d - (a*d*Sinh[c + d*x])/(2*x) + (a*d^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/2}
+{((a + b*x^3)*Cosh[c + d*x])/x^4, x, 11, -(a*Cosh[c + d*x])/(3*x^3) - (a*d^2*Cosh[c + d*x])/(6*x) + b*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x] + (a*d^3*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c])/6 - (a*d*Sinh[c + d*x])/(6*x^2) + (a*d^3*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x])/6 + b*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x]}
+
+
+{x^1*(a + b*x^3)^2*Cosh[c + d*x], x, 17, (-5040*b^2*Cosh[c + d*x])/d^8 - (a^2*Cosh[c + d*x])/d^2 - (48*a*b*x*Cosh[c + d*x])/d^4 - (2520*b^2*x^2*Cosh[c + d*x])/d^6 - (8*a*b*x^3*Cosh[c + d*x])/d^2 - (210*b^2*x^4*Cosh[c + d*x])/d^4 - (7*b^2*x^6*Cosh[c + d*x])/d^2 + (48*a*b*Sinh[c + d*x])/d^5 + (5040*b^2*x*Sinh[c + d*x])/d^7 + (a^2*x*Sinh[c + d*x])/d + (24*a*b*x^2*Sinh[c + d*x])/d^3 + (840*b^2*x^3*Sinh[c + d*x])/d^5 + (2*a*b*x^4*Sinh[c + d*x])/d + (42*b^2*x^5*Sinh[c + d*x])/d^3 + (b^2*x^7*Sinh[c + d*x])/d}
+{(a + b*x^3)^2*Cosh[c + d*x], x, 14, (-12*a*b*Cosh[c + d*x])/d^4 - (720*b^2*x*Cosh[c + d*x])/d^6 - (6*a*b*x^2*Cosh[c + d*x])/d^2 - (120*b^2*x^3*Cosh[c + d*x])/d^4 - (6*b^2*x^5*Cosh[c + d*x])/d^2 + (720*b^2*Sinh[c + d*x])/d^7 + (a^2*Sinh[c + d*x])/d + (12*a*b*x*Sinh[c + d*x])/d^3 + (360*b^2*x^2*Sinh[c + d*x])/d^5 + (2*a*b*x^3*Sinh[c + d*x])/d + (30*b^2*x^4*Sinh[c + d*x])/d^3 + (b^2*x^6*Sinh[c + d*x])/d}
+{((a + b*x^3)^2*Cosh[c + d*x])/x^1, x, 14, (-120*b^2*Cosh[c + d*x])/d^6 - (4*a*b*x*Cosh[c + d*x])/d^2 - (60*b^2*x^2*Cosh[c + d*x])/d^4 - (5*b^2*x^4*Cosh[c + d*x])/d^2 + a^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x] + (4*a*b*Sinh[c + d*x])/d^3 + (120*b^2*x*Sinh[c + d*x])/d^5 + (2*a*b*x^2*Sinh[c + d*x])/d + (20*b^2*x^3*Sinh[c + d*x])/d^3 + (b^2*x^5*Sinh[c + d*x])/d + a^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x]}
+{((a + b*x^3)^2*Cosh[c + d*x])/x^2, x, 13, (-2*a*b*Cosh[c + d*x])/d^2 - (a^2*Cosh[c + d*x])/x - (24*b^2*x*Cosh[c + d*x])/d^4 - (4*b^2*x^3*Cosh[c + d*x])/d^2 + a^2*d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c] + (24*b^2*Sinh[c + d*x])/d^5 + (2*a*b*x*Sinh[c + d*x])/d + (12*b^2*x^2*Sinh[c + d*x])/d^3 + (b^2*x^4*Sinh[c + d*x])/d + a^2*d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x]}
+{((a + b*x^3)^2*Cosh[c + d*x])/x^3, x, 12, (-6*b^2*Cosh[c + d*x])/d^4 - (a^2*Cosh[c + d*x])/(2*x^2) - (3*b^2*x^2*Cosh[c + d*x])/d^2 + (a^2*d^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/2 + (2*a*b*Sinh[c + d*x])/d - (a^2*d*Sinh[c + d*x])/(2*x) + (6*b^2*x*Sinh[c + d*x])/d^3 + (b^2*x^3*Sinh[c + d*x])/d + (a^2*d^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/2}
+{((a + b*x^3)^2*Cosh[c + d*x])/x^4, x, 14, -(a^2*Cosh[c + d*x])/(3*x^3) - (a^2*d^2*Cosh[c + d*x])/(6*x) - (2*b^2*x*Cosh[c + d*x])/d^2 + 2*a*b*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x] + (a^2*d^3*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c])/6 + (2*b^2*Sinh[c + d*x])/d^3 - (a^2*d*Sinh[c + d*x])/(6*x^2) + (b^2*x^2*Sinh[c + d*x])/d + (a^2*d^3*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x])/6 + 2*a*b*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x]}
+{((a + b*x^3)^2*Cosh[c + d*x])/x^5, x, 15, -((b^2*Cosh[c + d*x])/d^2) - (a^2*Cosh[c + d*x])/(4*x^4) - (a^2*d^2*Cosh[c + d*x])/(24*x^2) - (2*a*b*Cosh[c + d*x])/x + (a^2*d^4*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/24 + 2*a*b*d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c] - (a^2*d*Sinh[c + d*x])/(12*x^3) - (a^2*d^3*Sinh[c + d*x])/(24*x) + (b^2*x*Sinh[c + d*x])/d + 2*a*b*d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x] + (a^2*d^4*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/24}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^4*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^3), x, 15, -(Cosh[c + d*x]/(b*d^2)) + ((-1)^(2/3)*a^(2/3)*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*b^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*a^(2/3)*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(3*b^(5/3)) + (a^(2/3)*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*b^(5/3)) + (x*Sinh[c + d*x])/(b*d) - ((-1)^(2/3)*a^(2/3)*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*b^(5/3)) + (a^(2/3)*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*b^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*a^(2/3)*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*b^(5/3))}
+{(x^3*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^3), x, 14, ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*b^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(3*b^(4/3)) - (a^(1/3)*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*b^(4/3)) + Sinh[c + d*x]/(b*d) - ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*b^(4/3)) - (a^(1/3)*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*b^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*b^(4/3))}
+{(x^2*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^3), x, 11, (Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*b) + (Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(3*b) + (Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*b) - (Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*b) + (Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*b) + (Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*b)}
+{(x^1*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^3), x, 11, -(((-1)^(2/3)*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3))) + ((-1)^(1/3)*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - (Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(2/3)*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - (Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/3)*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3))}
+{Cosh[c + d*x]/(a + b*x^3), x, 11, -(((-1)^(1/3)*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a^(2/3)*b^(1/3))) + ((-1)^(2/3)*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(3*a^(2/3)*b^(1/3)) + (Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(2/3)*b^(1/3)) + ((-1)^(1/3)*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a^(2/3)*b^(1/3)) + (Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(2/3)*b^(1/3)) + ((-1)^(2/3)*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(2/3)*b^(1/3))}
+{Cosh[c + d*x]/(x^1*(a + b*x^3)), x, 16, (Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/a - (Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a) - (Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(3*a) - (Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a) + (Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/a + (Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a) - (Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a) - (Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a)}
+{Cosh[c + d*x]/(x^2*(a + b*x^3)), x, 17, -(Cosh[c + d*x]/(a*x)) + ((-1)^(2/3)*b^(1/3)*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(1/3)*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(3*a^(4/3)) + (b^(1/3)*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(4/3)) + (d*CoshIntegral[d*x]*Sinh[c])/a + (d*Cosh[c]*SinhIntegral[d*x])/a - ((-1)^(2/3)*b^(1/3)*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a^(4/3)) + (b^(1/3)*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(1/3)*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(4/3))}
+{Cosh[c + d*x]/(x^3*(a + b*x^3)), x, 18, -(Cosh[c + d*x]/(2*a*x^2)) + (d^2*Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/(2*a) + ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(3*a^(5/3)) - (b^(2/3)*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(5/3)) - (d*Sinh[c + d*x])/(2*a*x) + (d^2*Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/(2*a) - ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a^(5/3)) - (b^(2/3)*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^(5/3))}
+
+
+{(x^3*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^3)^2, x, 23, -((x*Cosh[c + d*x])/(3*b*(a + b*x^3))) - ((-1)^(1/3)*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) + (Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) - (d*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(1/3)*b^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*d*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(1/3)*b^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*d*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x]*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(1/3)*b^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*d*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(1/3)*b^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) - (d*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(1/3)*b^(5/3)) + (Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*d*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(1/3)*b^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(2/3)*b^(4/3))}
+{(x^2*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^3)^2, x, 12, -(Cosh[c + d*x]/(3*b*(a + b*x^3))) + (d*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*d*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*d*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x]*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*d*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) + (d*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(2/3)*b^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*d*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(2/3)*b^(4/3))}
+{(x^1*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^3)^2, x, 34, Cosh[c + d*x]/(3*a*b*x) - Cosh[c + d*x]/(3*b*x*(a + b*x^3)) - ((-1)^(2/3)*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/3)*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) - (Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) - (d*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a*b) - (d*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a*b) - (d*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x]*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a*b) + (d*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a*b) + ((-1)^(2/3)*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) - (d*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a*b) - (Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) - (d*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a*b) + ((-1)^(1/3)*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(4/3)*b^(2/3))}
+{Cosh[c + d*x]/(a + b*x^3)^2, x, 36, Cosh[c + d*x]/(3*a*b*x^2) - Cosh[c + d*x]/(3*b*x^2*(a + b*x^3)) - (2*(-1)^(1/3)*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) + (2*(-1)^(2/3)*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) + (2*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) + (d*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(2/3)*d*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/3)*d*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x]*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(2/3)*d*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) + (2*(-1)^(1/3)*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) + (d*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) + (2*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) - ((-1)^(1/3)*d*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(4/3)*b^(2/3)) + (2*(-1)^(2/3)*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(5/3)*b^(1/3))}
+{Cosh[c + d*x]/(x^1*(a + b*x^3)^2), x, 41, Cosh[c + d*x]/(3*a*b*x^3) - Cosh[c + d*x]/(3*b*x^3*(a + b*x^3)) + (Cosh[c]*CoshIntegral[d*x])/a^2 - (Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a^2) - (Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(3*a^2) - (Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^2) - (d*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) + ((-1)^(1/3)*d*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) - ((-1)^(2/3)*d*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x]*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) + (Sinh[c]*SinhIntegral[d*x])/a^2 - ((-1)^(1/3)*d*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) + (Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(3*a^2) - (d*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) - (Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^2) - ((-1)^(2/3)*d*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(9*a^(5/3)*b^(1/3)) - (Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(3*a^2)}
+
+
+{(x^5*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^3)^3, x, 36, -((x^3*Cosh[c + d*x])/(6*b*(a + b*x^3)^2)) - Cosh[c + d*x]/(6*b^2*(a + b*x^3)) - ((-1)^(2/3)*d^2*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(54*a^(1/3)*b^(8/3)) + ((-1)^(1/3)*d^2*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(54*a^(1/3)*b^(8/3)) - (d^2*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^(1/3)*b^(8/3)) + (2*d*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a^(2/3)*b^(7/3)) - (2*(-1)^(1/3)*d*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a^(2/3)*b^(7/3)) + (2*(-1)^(2/3)*d*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x]*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a^(2/3)*b^(7/3)) - (d*x*Sinh[c + d*x])/(18*b^2*(a + b*x^3)) + (2*(-1)^(1/3)*d*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a^(2/3)*b^(7/3)) + ((-1)^(2/3)*d^2*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(54*a^(1/3)*b^(8/3)) + (2*d*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(2/3)*b^(7/3)) - (d^2*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^(1/3)*b^(8/3)) + (2*(-1)^(2/3)*d*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(2/3)*b^(7/3)) + ((-1)^(1/3)*d^2*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^(1/3)*b^(8/3))}
+{(x^4*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^3)^3, x, 47, Cosh[c + d*x]/(9*a*b^2*x) - (x^2*Cosh[c + d*x])/(6*b*(a + b*x^3)^2) - Cosh[c + d*x]/(9*b^2*x*(a + b*x^3)) - ((-1)^(2/3)*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a^(4/3)*b^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*d^2*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(54*a^(2/3)*b^(7/3)) + ((-1)^(1/3)*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(27*a^(4/3)*b^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*d^2*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(54*a^(2/3)*b^(7/3)) - (Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(4/3)*b^(5/3)) + (d^2*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^(2/3)*b^(7/3)) - (d*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a*b^2) - (d*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a*b^2) - (d*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x]*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a*b^2) - (d*Sinh[c + d*x])/(18*b^2*(a + b*x^3)) + (d*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a*b^2) + ((-1)^(2/3)*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a^(4/3)*b^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*d^2*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(54*a^(2/3)*b^(7/3)) - (d*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a*b^2) - (Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(4/3)*b^(5/3)) + (d^2*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^(2/3)*b^(7/3)) - (d*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a*b^2) + ((-1)^(1/3)*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(4/3)*b^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*d^2*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^(2/3)*b^(7/3))}
+{(x^3*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^3)^3, x, 71, Cosh[c + d*x]/(18*a*b^2*x^2) - (x*Cosh[c + d*x])/(6*b*(a + b*x^3)^2) - Cosh[c + d*x]/(18*b^2*x^2*(a + b*x^3)) - ((-1)^(1/3)*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) - (d^2*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(54*a*b^2) + ((-1)^(2/3)*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) - (d^2*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(54*a*b^2) + (Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) - (d^2*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a*b^2) + (d*Sinh[c + d*x])/(18*a*b^2*x) - (d*Sinh[c + d*x])/(18*b^2*x*(a + b*x^3)) + ((-1)^(1/3)*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) + (d^2*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(54*a*b^2) + (Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) - (d^2*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a*b^2) + ((-1)^(2/3)*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) - (d^2*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a*b^2)}
+{(x^2*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^3)^3, x, 37, -(Cosh[c + d*x]/(6*b*(a + b*x^3)^2)) + ((-1)^(2/3)*d^2*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(54*a^(4/3)*b^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*d^2*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(54*a^(4/3)*b^(5/3)) + (d^2*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^(4/3)*b^(5/3)) + (d*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*d*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*d*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x]*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) + (d*Sinh[c + d*x])/(18*a*b^2*x^2) - (d*Sinh[c + d*x])/(18*b^2*x^2*(a + b*x^3)) + ((-1)^(1/3)*d*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*d^2*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(54*a^(4/3)*b^(5/3)) + (d*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) + (d^2*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^(4/3)*b^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*d*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(5/3)*b^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*d^2*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^(4/3)*b^(5/3))}
+{(x^1*Cosh[c + d*x])/(a + b*x^3)^3, x, 89, -(Cosh[c + d*x]/(18*a*b^2*x^4)) + (2*Cosh[c + d*x])/(9*a^2*b*x) - Cosh[c + d*x]/(6*b*x*(a + b*x^3)^2) + Cosh[c + d*x]/(18*b^2*x^4*(a + b*x^3)) - (2*(-1)^(2/3)*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a^(7/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/3)*d^2*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(54*a^(5/3)*b^(4/3)) + (2*(-1)^(1/3)*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(27*a^(7/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(2/3)*d^2*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x])/(54*a^(5/3)*b^(4/3)) - (2*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(7/3)*b^(2/3)) - (d^2*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^(5/3)*b^(4/3)) - (2*d*CoshIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x]*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a^2*b) - (2*d*CoshIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x]*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a^2*b) - (2*d*CoshIntegral[-(((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)) - d*x]*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)])/(27*a^2*b) + (d*Sinh[c + d*x])/(18*a*b^2*x^3) - (d*Sinh[c + d*x])/(18*b^2*x^3*(a + b*x^3)) + (2*d*Cosh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a^2*b) + (2*(-1)^(2/3)*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(27*a^(7/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/3)*d^2*Sinh[c + ((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(1/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) - d*x])/(54*a^(5/3)*b^(4/3)) - (2*d*Cosh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^2*b) - (2*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(7/3)*b^(2/3)) - (d^2*Sinh[c - (a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[(a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^(5/3)*b^(4/3)) - (2*d*Cosh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^2*b) + (2*(-1)^(1/3)*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(27*a^(7/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(2/3)*d^2*Sinh[c - ((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3)]*SinhIntegral[((-1)^(2/3)*a^(1/3)*d)/b^(1/3) + d*x])/(54*a^(5/3)*b^(4/3))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.2 Hyperbolic cosine/6.2.3 (e x)^m (a+b cosh(c+d x^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.2 Hyperbolic cosine/6.2.3 (e x)^m (a+b cosh(c+d x^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..8ce5cdbb
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.2 Hyperbolic cosine/6.2.3 (e x)^m (a+b cosh(c+d x^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,165 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Cosh[c+d x^n])^p*)
+
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Cosh[c+d x^2])^p*)
+
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Cosh[c+d x^2])^p*)
+
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
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+{x^3*Cosh[a + b*x^2], x, 3, -(Cosh[a + b*x^2]/(2*b^2)) + (x^2*Sinh[a + b*x^2])/(2*b)}
+{x^2*Cosh[a + b*x^2], x, 4, (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]*x])/(E^a*(8*b^(3/2))) - (E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x])/(8*b^(3/2)) + (x*Sinh[a + b*x^2])/(2*b)}
+{x*Cosh[a + b*x^2], x, 2, Sinh[a + b*x^2]/(2*b)}
+{Cosh[a + b*x^2], x, 3, (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]*x])/(E^a*(4*Sqrt[b])) + (E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x])/(4*Sqrt[b])}
+{Cosh[a + b*x^2]/x, x, 3, (1/2)*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x^2] + (1/2)*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x^2]}
+{Cosh[a + b*x^2]/x^2, x, 4, -(Cosh[a + b*x^2]/x) - ((1/2)*Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]*x])/E^a + (1/2)*Sqrt[b]*E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x]}
+{Cosh[a + b*x^2]/x^3, x, 5, -(Cosh[a + b*x^2]/(2*x^2)) + (1/2)*b*CoshIntegral[b*x^2]*Sinh[a] + (1/2)*b*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x^2]}
+
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+{x^3*Cosh[a + b*x^2]^2, x, 3, x^4/8 - Cosh[a + b*x^2]^2/(8*b^2) + (x^2*Cosh[a + b*x^2]*Sinh[a + b*x^2])/(4*b)}
+{x^2*Cosh[a + b*x^2]^2, x, 6, x^3/6 + (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[b]*x])/(E^(2*a)*(32*b^(3/2))) - (E^(2*a)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[b]*x])/(32*b^(3/2)) + (x*Sinh[2*a + 2*b*x^2])/(8*b)}
+{x*Cosh[a + b*x^2]^2, x, 3, x^2/4 + (Cosh[a + b*x^2]*Sinh[a + b*x^2])/(4*b)}
+{Cosh[a + b*x^2]^2, x, 5, x/2 + (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[b]*x])/(E^(2*a)*(8*Sqrt[b])) + (E^(2*a)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[b]*x])/(8*Sqrt[b])}
+{Cosh[a + b*x^2]^2/x, x, 5, (1/4)*Cosh[2*a]*CoshIntegral[2*b*x^2] + Log[x]/2 + (1/4)*Sinh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x^2]}
+{Cosh[a + b*x^2]^2/x^2, x, 6, -(Cosh[a + b*x^2]^2/x) - ((1/2)*Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[b]*x])/E^(2*a) + (1/2)*Sqrt[b]*E^(2*a)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[b]*x]}
+{Cosh[a + b*x^2]^2/x^3, x, 7, -(1/(4*x^2)) - Cosh[2*(a + b*x^2)]/(4*x^2) + (1/2)*b*CoshIntegral[2*b*x^2]*Sinh[2*a] + (1/2)*b*Cosh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x^2]}
+
+
+{x^3*Cosh[a + b*x^2]^3, x, 4, -(Cosh[a + b*x^2]/(3*b^2)) - Cosh[a + b*x^2]^3/(18*b^2) + (x^2*Sinh[a + b*x^2])/(3*b) + (x^2*Cosh[a + b*x^2]^2*Sinh[a + b*x^2])/(6*b)}
+{x^2*Cosh[a + b*x^2]^3, x, 10, (3*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]*x])/(E^a*(32*b^(3/2))) + (Sqrt[Pi/3]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[b]*x])/(E^(3*a)*(96*b^(3/2))) - (3*E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x])/(32*b^(3/2)) - (E^(3*a)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[b]*x])/(96*b^(3/2)) + (3*x*Sinh[a + b*x^2])/(8*b) + (x*Sinh[3*a + 3*b*x^2])/(24*b)}
+{x*Cosh[a + b*x^2]^3, x, 3, Sinh[a + b*x^2]/(2*b) + Sinh[a + b*x^2]^3/(6*b)}
+{Cosh[a + b*x^2]^3, x, 8, (3*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]*x])/(E^a*(16*Sqrt[b])) + (Sqrt[Pi/3]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[b]*x])/(E^(3*a)*(16*Sqrt[b])) + (3*E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x])/(16*Sqrt[b]) + (E^(3*a)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[b]*x])/(16*Sqrt[b])}
+{Cosh[a + b*x^2]^3/x, x, 8, (3/8)*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x^2] + (1/8)*Cosh[3*a]*CoshIntegral[3*b*x^2] + (3/8)*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x^2] + (1/8)*Sinh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x^2]}
+{Cosh[a + b*x^2]^3/x^2, x, 9, -(Cosh[a + b*x^2]^3/x) - ((3/8)*Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]*x])/E^a - ((1/8)*Sqrt[b]*Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[b]*x])/E^(3*a) + (3/8)*Sqrt[b]*E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x] + (1/8)*Sqrt[b]*E^(3*a)*Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[b]*x]}
+{Cosh[a + b*x^2]^3/x^3, x, 12, -((3*Cosh[a + b*x^2])/(8*x^2)) - Cosh[3*(a + b*x^2)]/(8*x^2) + (3/8)*b*CoshIntegral[b*x^2]*Sinh[a] + (3/8)*b*CoshIntegral[3*b*x^2]*Sinh[3*a] + (3/8)*b*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x^2] + (3/8)*b*Cosh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x^2]}
+
+
+{x*Cosh[a + b*x^2]^7, x, 3, Sinh[a + b*x^2]/(2*b) + Sinh[a + b*x^2]^3/(2*b) + (3*Sinh[a + b*x^2]^5)/(10*b) + Sinh[a + b*x^2]^7/(14*b)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Cosh[c+d x^3])^p*)
+
+
+{x^2*Cosh[x^3], x, 2, Sinh[x^3]/3}
+{Cosh[1/x^5]/x^6, x, 2, -Sinh[x^(-5)]/5}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Cosh[c+d / x^1])^p*)
+
+
+{Cosh[a + b/x], x, 5, x*Cosh[a + b/x] - b*CoshIntegral[b/x]*Sinh[a] - b*Cosh[a]*SinhIntegral[b/x]}
+{Cosh[a + b/x]/x, x, 3, (-Cosh[a])*CoshIntegral[b/x] - Sinh[a]*SinhIntegral[b/x]}
+{Cosh[a + b/x]/x^2, x, 2, -(Sinh[a + b/x]/b)}
+{Cosh[a + b/x]/x^3, x, 3, Cosh[a + b/x]/b^2 - Sinh[a + b/x]/(b*x)}
+{Cosh[a + b/x]/x^4, x, 4, (2*Cosh[a + b/x])/(b^2*x) - (2*Sinh[a + b/x])/b^3 - Sinh[a + b/x]/(b*x^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Cosh[c+d / x^2])^p*)
+
+
+{Cosh[a + b/x^2], x, 5, x*Cosh[a + b/x^2] + ((1/2)*Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]/x])/E^a - (1/2)*Sqrt[b]*E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]/x]}
+{Cosh[a + b/x^2]/x, x, 3, (-(1/2))*Cosh[a]*CoshIntegral[b/x^2] - (1/2)*Sinh[a]*SinhIntegral[b/x^2]}
+{Cosh[a + b/x^2]/x^2, x, 4, -((Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]/x])/(E^a*(4*Sqrt[b]))) - (E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]/x])/(4*Sqrt[b])}
+{Cosh[a + b/x^2]/x^3, x, 2, -(Sinh[a + b/x^2]/(2*b))}
+{Cosh[a + b/x^2]/x^4, x, 5, -((Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]/x])/(E^a*(8*b^(3/2)))) + (E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]/x])/(8*b^(3/2)) - Sinh[a + b/x^2]/(2*b*x)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Cosh[c+d x^n])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Cosh[c+d x^n])^p*)
+
+
+{Cosh[a + b*x^n], x, 3, -((E^a*x*Gamma[1/n, (-b)*x^n])/(((-b)*x^n)^n^(-1)*(2*n))) - (x*Gamma[1/n, b*x^n])/(E^a*(b*x^n)^n^(-1)*(2*n))}
+{Cosh[a + b*x^n]/x, x, 3, (Cosh[a]*CoshIntegral[b*x^n])/n + (Sinh[a]*SinhIntegral[b*x^n])/n}
+
+
+{Cosh[a + b*x^n]^2, x, 5, x/2 - (2^(-2 - 1/n)*E^(2*a)*x*Gamma[1/n, -2*b*x^n])/(((-b)*x^n)^n^(-1)*n) - (2^(-2 - 1/n)*x*Gamma[1/n, 2*b*x^n])/(E^(2*a)*(b*x^n)^n^(-1)*n)}
+{Cosh[a + b*x^n]^2/x, x, 5, (Cosh[2*a]*CoshIntegral[2*b*x^n])/(2*n) + Log[x]/2 + (Sinh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x^n])/(2*n)}
+
+
+{Cosh[a + b*x^n]^3, x, 8, -((E^(3*a)*x*Gamma[1/n, -3*b*x^n])/(3^n^(-1)*((-b)*x^n)^n^(-1)*(8*n))) - (3*E^a*x*Gamma[1/n, (-b)*x^n])/(((-b)*x^n)^n^(-1)*(8*n)) - (3*x*Gamma[1/n, b*x^n])/(E^a*(b*x^n)^n^(-1)*(8*n)) - (x*Gamma[1/n, 3*b*x^n])/(3^n^(-1)*E^(3*a)*(b*x^n)^n^(-1)*(8*n))}
+{Cosh[a + b*x^n]^3/x, x, 8, (3*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x^n])/(4*n) + (Cosh[3*a]*CoshIntegral[3*b*x^n])/(4*n) + (3*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x^n])/(4*n) + (Sinh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x^n])/(4*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Cosh[c+d x^n])^p with m symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*(b*Cosh[c + d*x^n])^p, x, 0, Unintegrable[(e*x)^m*(b*Cosh[c + d*x^n])^p, x]}
+{(e*x)^m*(a + b*Cosh[c + d*x^n])^p, x, 0, Unintegrable[(e*x)^m*(a + b*Cosh[c + d*x^n])^p, x]}
+
+
+{(e*x)^(n - 1)*(b*Cosh[c + d*x^n])^p, x, 3, -(((e*x)^n*(b*Cosh[c + d*x^n])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + p)/2, (3 + p)/2, Cosh[c + d*x^n]^2]*Sinh[c + d*x^n])/(x^n*(b*d*e*n*(1 + p)*Sqrt[-Sinh[c + d*x^n]^2])))}
+{(e*x)^(2*n - 1)*(b*Cosh[c + d*x^n])^p, x, 1, ((e*x)^(2*n)*Unintegrable[x^(-1 + 2*n)*(b*Cosh[c + d*x^n])^p, x])/(x^(2*n)*e)}
+
+{(e*x)^(n - 1)*(a + b*Cosh[c + d*x^n])^p, x, 5, (Sqrt[2]*(e*x)^n*AppellF1[1/2, 1/2, -p, 3/2, (1/2)*(1 - Cosh[c + d*x^n]), (b*(1 - Cosh[c + d*x^n]))/(a + b)]*(a + b*Cosh[c + d*x^n])^p*Sinh[c + d*x^n])/(x^n*((a + b*Cosh[c + d*x^n])/(a + b))^p*(d*e*n*Sqrt[1 + Cosh[c + d*x^n]]))}
+{(e*x)^(2*n - 1)*(a + b*Cosh[c + d*x^n])^p, x, 1, ((e*x)^(2*n)*Unintegrable[x^(-1 + 2*n)*(a + b*Cosh[c + d*x^n])^p, x])/(x^(2*n)*e)}
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x^n], x, 3, -((E^a*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, (-b)*x^n])/(((-b)*x^n)^((1 + m)/n)*(2*n))) - (x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, b*x^n])/(E^a*(b*x^n)^((1 + m)/n)*(2*n))}
+{x^m*Cosh[a + b*x^n]^2, x, 5, x^(1 + m)/(2*(1 + m)) - (E^(2*a)*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, -2*b*x^n])/(2^((1 + m + 2*n)/n)*((-b)*x^n)^((1 + m)/n)*n) - (x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, 2*b*x^n])/(2^((1 + m + 2*n)/n)*E^(2*a)*(b*x^n)^((1 + m)/n)*n)}
+{x^m*Cosh[a + b*x^n]^3, x, 8, -((E^(3*a)*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, -3*b*x^n])/(3^((1 + m)/n)*((-b)*x^n)^((1 + m)/n)*(8*n))) - (3*E^a*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, (-b)*x^n])/(((-b)*x^n)^((1 + m)/n)*(8*n)) - (3*x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, b*x^n])/(E^a*(b*x^n)^((1 + m)/n)*(8*n)) - (x^(1 + m)*Gamma[(1 + m)/n, 3*b*x^n])/(3^((1 + m)/n)*E^(3*a)*(b*x^n)^((1 + m)/n)*(8*n))}
+
+
+{Cosh[a + b*x^n]/x^(n + 1), x, 5, -(Cosh[a + b*x^n]/(x^n*n)) + (b*CoshIntegral[b*x^n]*Sinh[a])/n + (b*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x^n])/n}
+{Cosh[a + b*x^n]^2/x^(n + 1), x, 7, -(1/(x^n*(2*n))) - Cosh[2*(a + b*x^n)]/(x^n*(2*n)) + (b*CoshIntegral[2*b*x^n]*Sinh[2*a])/n + (b*Cosh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x^n])/n}
+{Cosh[a + b*x^n]^3/x^(n + 1), x, 12, -((3*Cosh[a + b*x^n])/(x^n*(4*n))) - Cosh[3*(a + b*x^n)]/(x^n*(4*n)) + (3*b*CoshIntegral[b*x^n]*Sinh[a])/(4*n) + (3*b*CoshIntegral[3*b*x^n]*Sinh[3*a])/(4*n) + (3*b*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x^n])/(4*n) + (3*b*Cosh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x^n])/(4*n)}
+
+
+{x^(n/2 - 1)*Cosh[a + b*x^n], x, 4, (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[b]*x^(n/2)])/(E^a*(2*Sqrt[b]*n)) + (E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[b]*x^(n/2)])/(2*Sqrt[b]*n)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cosh[a+b (c+d x)^n]*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cosh[a+b (c+d x)^n]*)
+
+
+{x^2*Cosh[(a + b*x)^2], x, 12, (Sqrt[Pi]*Erf[a + b*x])/(8*b^3) + (a^2*Sqrt[Pi]*Erf[a + b*x])/(4*b^3) - (Sqrt[Pi]*Erfi[a + b*x])/(8*b^3) + (a^2*Sqrt[Pi]*Erfi[a + b*x])/(4*b^3) - (a*Sinh[(a + b*x)^2])/b^3 + ((a + b*x)*Sinh[(a + b*x)^2])/(2*b^3)}
+{x^1*Cosh[(a + b*x)^2], x, 8, -((a*Sqrt[Pi]*Erf[a + b*x])/(4*b^2)) - (a*Sqrt[Pi]*Erfi[a + b*x])/(4*b^2) + Sinh[(a + b*x)^2]/(2*b^2)}
+{x^0*Cosh[(a + b*x)^2], x, 4, (Sqrt[Pi]*Erf[a + b*x])/(4*b) + (Sqrt[Pi]*Erfi[a + b*x])/(4*b)}
+{Cosh[(a + b*x)^2]/x^1, x, 1, b*CannotIntegrate[Cosh[(a + b*x)^2]/(b*x), x]}
+{Cosh[(a + b*x)^2]/x^2, x, 1, Unintegrable[Cosh[(a + b*x)^2]/x^2, x], b^2*CannotIntegrate[Cosh[(a + b*x)^2]/(b^2*x^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cosh[a+b (c+d x)^(n/2)]*)
+
+
+{Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]]*x^2, x, 16, -((240*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^6*d^3)) + (24*c*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^4*d^3) - (2*c^2*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^3) - (120*(c + d*x)*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^4*d^3) + (12*c*(c + d*x)*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^3) - (10*(c + d*x)^2*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^3) + (240*Sqrt[c + d*x]*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^5*d^3) - (24*c*Sqrt[c + d*x]*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^3*d^3) + (2*c^2*Sqrt[c + d*x]*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^3) + (40*(c + d*x)^(3/2)*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^3*d^3) - (4*c*(c + d*x)^(3/2)*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^3) + (2*(c + d*x)^(5/2)*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^3)}
+{Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]]*x^1, x, 10, -((12*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^4*d^2)) + (2*c*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^2) - (6*(c + d*x)*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d^2) + (12*Sqrt[c + d*x]*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^3*d^2) - (2*c*Sqrt[c + d*x]*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^2) + (2*(c + d*x)^(3/2)*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d^2)}
+{Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]]*x^0, x, 4, -((2*Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b^2*d)) + (2*Sqrt[c + d*x]*Sinh[a + b*Sqrt[c + d*x]])/(b*d)}
+{Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]]/x^1, x, 10, Cosh[a + b*Sqrt[c]]*CoshIntegral[b*(Sqrt[c] - Sqrt[c + d*x])] + Cosh[a - b*Sqrt[c]]*CoshIntegral[b*(Sqrt[c] + Sqrt[c + d*x])] - Sinh[a + b*Sqrt[c]]*SinhIntegral[b*(Sqrt[c] - Sqrt[c + d*x])] + Sinh[a - b*Sqrt[c]]*SinhIntegral[b*(Sqrt[c] + Sqrt[c + d*x])]}
+{Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]]/x^2, x, 11, -(Cosh[a + b*Sqrt[c + d*x]]/x) - (b*d*CoshIntegral[b*(Sqrt[c] + Sqrt[c + d*x])]*Sinh[a - b*Sqrt[c]])/(2*Sqrt[c]) + (b*d*CoshIntegral[b*(Sqrt[c] - Sqrt[c + d*x])]*Sinh[a + b*Sqrt[c]])/(2*Sqrt[c]) - (b*d*Cosh[a + b*Sqrt[c]]*SinhIntegral[b*(Sqrt[c] - Sqrt[c + d*x])])/(2*Sqrt[c]) - (b*d*Cosh[a - b*Sqrt[c]]*SinhIntegral[b*(Sqrt[c] + Sqrt[c + d*x])])/(2*Sqrt[c])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cosh[a+b (c+d x)^(n/3)]*)
+
+
+{Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)]*x^2, x, 23, (720*c*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^6*d^3) - (120960*(c + d*x)^(1/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^8*d^3) - (6*c^2*(c + d*x)^(1/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^3) + (360*c*(c + d*x)^(2/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^4*d^3) - (20160*(c + d*x)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^6*d^3) + (30*c*(c + d*x)^(4/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^3) - (1008*(c + d*x)^(5/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^4*d^3) - (24*(c + d*x)^(7/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^3) + (120960*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^9*d^3) + (6*c^2*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^3) - (720*c*(c + d*x)^(1/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^5*d^3) + (60480*(c + d*x)^(2/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^7*d^3) + (3*c^2*(c + d*x)^(2/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^3) - (120*c*(c + d*x)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^3) + (5040*(c + d*x)^(4/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^5*d^3) - (6*c*(c + d*x)^(5/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^3) + (168*(c + d*x)^2*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^3) + (3*(c + d*x)^(8/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^3)}
+{Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)]*x^1, x, 13, -((360*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^6*d^2)) + (6*c*(c + d*x)^(1/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^2) - (180*(c + d*x)^(2/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^4*d^2) - (15*(c + d*x)^(4/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d^2) - (6*c*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^2) + (360*(c + d*x)^(1/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^5*d^2) - (3*c*(c + d*x)^(2/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^2) + (60*(c + d*x)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d^2) + (3*(c + d*x)^(5/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d^2)}
+{Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)]*x^0, x, 5, -((6*(c + d*x)^(1/3)*Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^2*d)) + (6*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b^3*d) + (3*(c + d*x)^(2/3)*Sinh[a + b*(c + d*x)^(1/3)])/(b*d)}
+{Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)]/x^1, x, 13, Cosh[a + b*c^(1/3)]*CoshIntegral[b*(c^(1/3) - (c + d*x)^(1/3))] + Cosh[a + (-1)^(2/3)*b*c^(1/3)]*CoshIntegral[(-b)*((-1)^(2/3)*c^(1/3) - (c + d*x)^(1/3))] + Cosh[a - (-1)^(1/3)*b*c^(1/3)]*CoshIntegral[b*((-1)^(1/3)*c^(1/3) + (c + d*x)^(1/3))] - Sinh[a + b*c^(1/3)]*SinhIntegral[b*(c^(1/3) - (c + d*x)^(1/3))] - Sinh[a + (-1)^(2/3)*b*c^(1/3)]*SinhIntegral[b*((-1)^(2/3)*c^(1/3) - (c + d*x)^(1/3))] + Sinh[a - (-1)^(1/3)*b*c^(1/3)]*SinhIntegral[b*((-1)^(1/3)*c^(1/3) + (c + d*x)^(1/3))]}
+{Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)]/x^2, x, 14, -(Cosh[a + b*(c + d*x)^(1/3)]/x) + (b*d*CoshIntegral[b*(c^(1/3) - (c + d*x)^(1/3))]*Sinh[a + b*c^(1/3)])/(3*c^(2/3)) - ((-1)^(1/3)*b*d*CoshIntegral[b*((-1)^(1/3)*c^(1/3) + (c + d*x)^(1/3))]*Sinh[a - (-1)^(1/3)*b*c^(1/3)])/(3*c^(2/3)) + ((-1)^(2/3)*b*d*CoshIntegral[(-b)*((-1)^(2/3)*c^(1/3) - (c + d*x)^(1/3))]*Sinh[a + (-1)^(2/3)*b*c^(1/3)])/(3*c^(2/3)) - (b*d*Cosh[a + b*c^(1/3)]*SinhIntegral[b*(c^(1/3) - (c + d*x)^(1/3))])/(3*c^(2/3)) - ((-1)^(2/3)*b*d*Cosh[a + (-1)^(2/3)*b*c^(1/3)]*SinhIntegral[b*((-1)^(2/3)*c^(1/3) - (c + d*x)^(1/3))])/(3*c^(2/3)) - ((-1)^(1/3)*b*d*Cosh[a - (-1)^(1/3)*b*c^(1/3)]*SinhIntegral[b*((-1)^(1/3)*c^(1/3) + (c + d*x)^(1/3))])/(3*c^(2/3))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.2 Hyperbolic cosine/6.2.4 (d+e x)^m cosh(a+b x+c x^2)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.2 Hyperbolic cosine/6.2.4 (d+e x)^m cosh(a+b x+c x^2)^n.m
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+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.2 Hyperbolic cosine/6.2.4 (d+e x)^m cosh(a+b x+c x^2)^n.m	
@@ -0,0 +1,64 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m Cosh[a+b x+c x^2]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m Cosh[a+b x+c x^2]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^2*Cosh[a + b*x + c*x^2], x, 12, (b^2*E^(-a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(16*c^(5/2)) + (E^(-a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2)) + (b^2*E^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(16*c^(5/2)) - (E^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2)) - (b*Sinh[a + b*x + c*x^2])/(4*c^2) + (x*Sinh[a + b*x + c*x^2])/(2*c)}
+{x*Cosh[a + b*x + c*x^2], x, 6, -((b*E^(-a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2))) - (b*E^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2)) + Sinh[a + b*x + c*x^2]/(2*c)}
+{Cosh[a + b*x + c*x^2], x, 5, (E^(-a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]) + (E^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c])}
+{Cosh[a + b*x + c*x^2]/x, x, 0, Unintegrable[Cosh[a + b*x + c*x^2]/x, x]}
+{Cosh[a + b*x + c*x^2]/x^2 - b*Sinh[a + b*x + c*x^2]/x, x, 7, -(Cosh[a + b*x + c*x^2]/x) - (1/2)*Sqrt[c]*E^(-a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])] + (1/2)*Sqrt[c]*E^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])]}
+
+{x^2*Cosh[a + b*x - c*x^2], x, 12, -((b^2*E^(a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(16*c^(5/2))) - (E^(a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2)) - (b^2*E^(-a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(16*c^(5/2)) + (E^(-a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2)) - (b*Sinh[a + b*x - c*x^2])/(4*c^2) - (x*Sinh[a + b*x - c*x^2])/(2*c)}
+{x*Cosh[a + b*x - c*x^2], x, 6, -((b*E^(a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2))) - (b*E^(-a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2)) - Sinh[a + b*x - c*x^2]/(2*c)}
+{Cosh[a + b*x - c*x^2], x, 5, -((E^(a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c])) - (E^(-a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c])}
+{Cosh[a + b*x - c*x^2]/x, x, 0, Unintegrable[Cosh[a + b*x - c*x^2]/x, x]}
+{Cosh[a + b*x - c*x^2]/x^2 - b*Sinh[a + b*x - c*x^2]/x, x, 7, -(Cosh[a + b*x - c*x^2]/x) + (1/2)*Sqrt[c]*E^(a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])] - (1/2)*Sqrt[c]*E^(-a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])]}
+
+{x^2*Cosh[1/4 + x + x^2], x, 12, (-(3/16))*Sqrt[Pi]*Erf[(1/2)*(-1 - 2*x)] - (1/16)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*x)] - (1/4)*Sinh[1/4 + x + x^2] + (1/2)*x*Sinh[1/4 + x + x^2]}
+{x*Cosh[1/4 + x + x^2], x, 6, (1/8)*Sqrt[Pi]*Erf[(1/2)*(-1 - 2*x)] - (1/8)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*x)] + (1/2)*Sinh[1/4 + x + x^2]}
+{Cosh[1/4 + x + x^2], x, 5, (-(1/4))*Sqrt[Pi]*Erf[(1/2)*(-1 - 2*x)] + (1/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*x)]}
+{Cosh[1/4 + x + x^2]/x, x, 0, Unintegrable[Cosh[1/4 + x + x^2]/x, x]}
+{Cosh[1/4 + x + x^2]/x^2, x, 6, -(Cosh[1/4 + x + x^2]/x) + (1/2)*Sqrt[Pi]*Erf[(1/2)*(-1 - 2*x)] + (1/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*x)] + Unintegrable[Sinh[1/4 + x + x^2]/x, x]}
+
+
+{x^2*Cosh[a + b*x + c*x^2]^2, x, 14, x^3/6 + (b^2*E^(-2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(5/2)) + (E^(-2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(3/2)) + (b^2*E^(2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(5/2)) - (E^(2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(3/2)) - (b*Sinh[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(16*c^2) + (x*Sinh[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(8*c)}
+{x*Cosh[a + b*x + c*x^2]^2, x, 8, x^2/4 - (b*E^(-2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(16*c^(3/2)) - (b*E^(2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(16*c^(3/2)) + Sinh[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2]/(8*c)}
+{Cosh[a + b*x + c*x^2]^2, x, 7, x/2 + (E^(-2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(8*Sqrt[c]) + (E^(2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(8*Sqrt[c])}
+{Cosh[a + b*x + c*x^2]^2/x, x, 2, (1/2)*Unintegrable[Cosh[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2]/x, x] + Log[x]/2}
+
+{x^2*Cosh[a + b*x - c*x^2]^2, x, 14, x^3/6 - (b^2*E^(2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b - 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(5/2)) - (E^(2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b - 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(3/2)) - (b^2*E^(-2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b - 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(5/2)) + (E^(-2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b - 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(3/2)) - (b*Sinh[2*a + 2*b*x - 2*c*x^2])/(16*c^2) - (x*Sinh[2*a + 2*b*x - 2*c*x^2])/(8*c)}
+{x*Cosh[a + b*x - c*x^2]^2, x, 8, x^2/4 - (b*E^(2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b - 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(16*c^(3/2)) - (b*E^(-2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b - 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(16*c^(3/2)) - Sinh[2*a + 2*b*x - 2*c*x^2]/(8*c)}
+{Cosh[a + b*x - c*x^2]^2, x, 7, x/2 - (E^(2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b - 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(8*Sqrt[c]) - (E^(-2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b - 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(8*Sqrt[c])}
+{Cosh[a + b*x - c*x^2]^2/x, x, 2, (1/2)*Unintegrable[Cosh[2*a + 2*b*x - 2*c*x^2]/x, x] + Log[x]/2}
+
+{x^2*Cosh[1/4 + x + x^2]^2, x, 14, x^3/6 + (1/16)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(1 + 2*x)/Sqrt[2]] - (1/16)*Sinh[1/2 + 2*x + 2*x^2] + (1/8)*x*Sinh[1/2 + 2*x + 2*x^2]}
+{x*Cosh[1/4 + x + x^2]^2, x, 8, x^2/4 - (1/16)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(1 + 2*x)/Sqrt[2]] - (1/16)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(1 + 2*x)/Sqrt[2]] + (1/8)*Sinh[1/2 + 2*x + 2*x^2]}
+{Cosh[1/4 + x + x^2]^2, x, 7, x/2 + (1/8)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(1 + 2*x)/Sqrt[2]] + (1/8)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(1 + 2*x)/Sqrt[2]]}
+{Cosh[1/4 + x + x^2]^2/x, x, 2, (1/2)*Unintegrable[Cosh[1/2 + 2*x + 2*x^2]/x, x] + Log[x]/2}
+
+
+{(d + e*x)^2*Cosh[a + b*x + c*x^2], x, 12, (e^2*E^(-a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2)) + ((2*c*d - b*e)^2*E^(-a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(16*c^(5/2)) - (e^2*E^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2)) + ((2*c*d - b*e)^2*E^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(16*c^(5/2)) + (e*(2*c*d - b*e)*Sinh[a + b*x + c*x^2])/(4*c^2) + (e*(d + e*x)*Sinh[a + b*x + c*x^2])/(2*c)}
+{(d + e*x)*Cosh[a + b*x + c*x^2], x, 6, ((2*c*d - b*e)*E^(-a + b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2)) + ((2*c*d - b*e)*E^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(8*c^(3/2)) + (e*Sinh[a + b*x + c*x^2])/(2*c)}
+{Cosh[a + b*x + c*x^2]/(d + e*x), x, 0, Unintegrable[Cosh[a + b*x + c*x^2]/(d + e*x), x]}
+
+{(d + e*x)^2*Cosh[a + b*x + c*x^2]^2, x, 14, (d + e*x)^3/(6*e) + (e^2*E^(-2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(3/2)) + ((2*c*d - b*e)^2*E^(-2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(5/2)) - (e^2*E^(2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(3/2)) + ((2*c*d - b*e)^2*E^(2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(32*c^(5/2)) + (e*(2*c*d - b*e)*Sinh[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(16*c^2) + (e*(d + e*x)*Sinh[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(8*c)}
+{(d + e*x)*Cosh[a + b*x + c*x^2]^2, x, 8, (d + e*x)^2/(4*e) + ((2*c*d - b*e)*E^(-2*a + b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erf[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(16*c^(3/2)) + ((2*c*d - b*e)*E^(2*a - b^2/(2*c))*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(b + 2*c*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(16*c^(3/2)) + (e*Sinh[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2])/(8*c)}
+{Cosh[a + b*x + c*x^2]^2/(d + e*x), x, 2, (1/2)*Unintegrable[Cosh[2*a + 2*b*x + 2*c*x^2]/(d + e*x), x] + Log[d + e*x]/(2*e)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m Cosh[a+b x+c x^2]^(n/2)*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.2 Hyperbolic cosine/6.2.5 Hyperbolic cosine functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.2 Hyperbolic cosine/6.2.5 Hyperbolic cosine functions.m
new file mode 100644
index 00000000..1b99611b
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.2 Hyperbolic cosine/6.2.5 Hyperbolic cosine functions.m	
@@ -0,0 +1,667 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration Problems Involving Hyperbolic Cosines*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x])^n (A+B Cosh[c+d x]+C Cosh[c+d x]^2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[a+b x]^n*)
+
+
+{Cosh[a + b*x]^1, x, 1, Sinh[a + b*x]/b}
+{Cosh[a + b*x]^2, x, 2, x/2 + (Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b)}
+{Cosh[a + b*x]^3, x, 2, Sinh[a + b*x]/b + Sinh[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Cosh[a + b*x]^4, x, 3, (3*x)/8 + (3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(8*b) + (Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(4*b)}
+{Cosh[a + b*x]^5, x, 2, Sinh[a + b*x]/b + (2*Sinh[a + b*x]^3)/(3*b) + Sinh[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Cosh[a + b*x]^6, x, 4, (5*x)/16 + (5*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(16*b) + (5*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(24*b) + (Cosh[a + b*x]^5*Sinh[a + b*x])/(6*b)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[a+b x]^(n/2)*)
+
+
+{Cosh[a + b*x]^(7/2), x, 3, -((10*I*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*x), 2])/(21*b)) + (10*Sqrt[Cosh[a + b*x]]*Sinh[a + b*x])/(21*b) + (2*Cosh[a + b*x]^(5/2)*Sinh[a + b*x])/(7*b)}
+{Cosh[a + b*x]^(5/2), x, 2, -((6*I*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*x), 2])/(5*b)) + (2*Cosh[a + b*x]^(3/2)*Sinh[a + b*x])/(5*b)}
+{Cosh[a + b*x]^(3/2), x, 2, -((2*I*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*x), 2])/(3*b)) + (2*Sqrt[Cosh[a + b*x]]*Sinh[a + b*x])/(3*b)}
+{Cosh[a + b*x]^(1/2), x, 1, -((2*I*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*x), 2])/b)}
+{1/Cosh[a + b*x]^(1/2), x, 1, -((2*I*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*x), 2])/b)}
+{1/Cosh[a + b*x]^(3/2), x, 2, (2*I*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*x), 2])/b + (2*Sinh[a + b*x])/(b*Sqrt[Cosh[a + b*x]])}
+{1/Cosh[a + b*x]^(5/2), x, 2, -((2*I*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*x), 2])/(3*b)) + (2*Sinh[a + b*x])/(3*b*Cosh[a + b*x]^(3/2))}
+{1/Cosh[a + b*x]^(7/2), x, 3, (6*I*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*x), 2])/(5*b) + (2*Sinh[a + b*x])/(5*b*Cosh[a + b*x]^(5/2)) + (6*Sinh[a + b*x])/(5*b*Sqrt[Cosh[a + b*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Cosh[a+b x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n/2*)
+
+
+{(a*Cosh[x])^(7/2), x, 4, -((10*I*a^4*Sqrt[Cosh[x]]*EllipticF[(I*x)/2, 2])/(21*Sqrt[a*Cosh[x]])) + (10/21)*a^3*Sqrt[a*Cosh[x]]*Sinh[x] + (2/7)*a*(a*Cosh[x])^(5/2)*Sinh[x]}
+{(a*Cosh[x])^(5/2), x, 3, -((6*I*a^2*Sqrt[a*Cosh[x]]*EllipticE[(I*x)/2, 2])/(5*Sqrt[Cosh[x]])) + (2/5)*a*(a*Cosh[x])^(3/2)*Sinh[x]}
+{(a*Cosh[x])^(3/2),x, 3, -((2*I*a^2*Sqrt[Cosh[x]]*EllipticF[(I*x)/2, 2])/(3*Sqrt[a*Cosh[x]])) + (2/3)*a*Sqrt[a*Cosh[x]]*Sinh[x]}
+{(a*Cosh[x])^(1/2), x, 2, -((2*I*Sqrt[a*Cosh[x]]*EllipticE[(I*x)/2, 2])/Sqrt[Cosh[x]])}
+{1/(a*Cosh[x])^(1/2), x, 2, -((2*I*Sqrt[Cosh[x]]*EllipticF[(I*x)/2, 2])/Sqrt[a*Cosh[x]])}
+{1/(a*Cosh[x])^(3/2), x, 3, (2*I*Sqrt[a*Cosh[x]]*EllipticE[(I*x)/2, 2])/(a^2*Sqrt[Cosh[x]]) + (2*Sinh[x])/(a*Sqrt[a*Cosh[x]])}
+{1/(a*Cosh[x])^(5/2), x, 3, -((2*I*Sqrt[Cosh[x]]*EllipticF[(I*x)/2, 2])/(3*a^2*Sqrt[a*Cosh[x]])) + (2*Sinh[x])/(3*a*(a*Cosh[x])^(3/2))}
+{1/(a*Cosh[x])^(7/2), x, 4, (6*I*Sqrt[a*Cosh[x]]*EllipticE[(I*x)/2, 2])/(5*a^4*Sqrt[Cosh[x]]) + (2*Sinh[x])/(5*a*(a*Cosh[x])^(5/2)) + (6*Sinh[x])/(5*a^3*Sqrt[a*Cosh[x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n symbolic*)
+
+
+{(b*Cosh[c + d*x])^n, x, 1, -(((b*Cosh[c + d*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Cosh[c + d*x]^2]*Sinh[c + d*x])/(b*d*(1 + n)*Sqrt[-Sinh[c + d*x]^2]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x])^n when a^2-b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cosh[x]^4/(a + a*Cosh[x]), x, 6, -((3*x)/(2*a)) + (4*Sinh[x])/a - (3*Cosh[x]*Sinh[x])/(2*a) - (Cosh[x]^3*Sinh[x])/(a + a*Cosh[x]) + (4*Sinh[x]^3)/(3*a)}
+{Cosh[x]^3/(a + a*Cosh[x]), x, 2, (3*x)/(2*a) - (2*Sinh[x])/a + (3*Cosh[x]*Sinh[x])/(2*a) - (Cosh[x]^2*Sinh[x])/(a + a*Cosh[x])}
+{Cosh[x]^2/(a + a*Cosh[x]), x, 4, -(x/a) + Sinh[x]/a + Sinh[x]/(a*(1 + Cosh[x]))}
+{Cosh[x]^1/(a + a*Cosh[x]), x, 2, x/a - Sinh[x]/(a + a*Cosh[x])}
+{Sech[x]^1/(a + a*Cosh[x]), x, 3, ArcTan[Sinh[x]]/a - Sinh[x]/(a + a*Cosh[x])}
+{Sech[x]^2/(a + a*Cosh[x]), x, 5, -(ArcTan[Sinh[x]]/a) + (2*Tanh[x])/a - Tanh[x]/(a + a*Cosh[x])}
+{Sech[x]^3/(a + a*Cosh[x]), x, 6, (3*ArcTan[Sinh[x]])/(2*a) - (2*Tanh[x])/a + (3*Sech[x]*Tanh[x])/(2*a) - (Sech[x]*Tanh[x])/(a + a*Cosh[x])}
+{Sech[x]^4/(a + a*Cosh[x]), x, 6, -((3*ArcTan[Sinh[x]])/(2*a)) + (4*Tanh[x])/a - (3*Sech[x]*Tanh[x])/(2*a) - (Sech[x]^2*Tanh[x])/(a + a*Cosh[x]) - (4*Tanh[x]^3)/(3*a)}
+
+
+{1/(1 + Cosh[c + d*x]), x, 1, Sinh[c + d*x]/(d*(1 + Cosh[c + d*x]))}
+{1/(1 + Cosh[c + d*x])^2, x, 2, Sinh[c + d*x]/(3*d*(1 + Cosh[c + d*x])^2) + Sinh[c + d*x]/(3*d*(1 + Cosh[c + d*x]))}
+{1/(1 + Cosh[c + d*x])^3, x, 3, Sinh[c + d*x]/(5*d*(1 + Cosh[c + d*x])^3) + (2*Sinh[c + d*x])/(15*d*(1 + Cosh[c + d*x])^2) + (2*Sinh[c + d*x])/(15*d*(1 + Cosh[c + d*x]))}
+{1/(1 + Cosh[c + d*x])^4, x, 4, Sinh[c + d*x]/(7*d*(1 + Cosh[c + d*x])^4) + (3*Sinh[c + d*x])/(35*d*(1 + Cosh[c + d*x])^3) + (2*Sinh[c + d*x])/(35*d*(1 + Cosh[c + d*x])^2) + (2*Sinh[c + d*x])/(35*d*(1 + Cosh[c + d*x]))}
+
+{1/(1 - Cosh[c + d*x]), x, 1, -(Sinh[c + d*x]/(d*(1 - Cosh[c + d*x])))}
+{1/(1 - Cosh[c + d*x])^2, x, 2, -(Sinh[c + d*x]/(3*d*(1 - Cosh[c + d*x])^2)) - Sinh[c + d*x]/(3*d*(1 - Cosh[c + d*x]))}
+{1/(1 - Cosh[c + d*x])^3, x, 3, -(Sinh[c + d*x]/(5*d*(1 - Cosh[c + d*x])^3)) - (2*Sinh[c + d*x])/(15*d*(1 - Cosh[c + d*x])^2) - (2*Sinh[c + d*x])/(15*d*(1 - Cosh[c + d*x]))}
+{1/(1 - Cosh[c + d*x])^4, x, 4, -(Sinh[c + d*x]/(7*d*(1 - Cosh[c + d*x])^4)) - (3*Sinh[c + d*x])/(35*d*(1 - Cosh[c + d*x])^3) - (2*Sinh[c + d*x])/(35*d*(1 - Cosh[c + d*x])^2) - (2*Sinh[c + d*x])/(35*d*(1 - Cosh[c + d*x]))}
+
+
+{Cosh[x]/Sqrt[a + a*Cosh[x]], x, 3, -((Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cosh[x]])])/Sqrt[a]) + (2*Sinh[x])/Sqrt[a + a*Cosh[x]]}
+{Cosh[x]/Sqrt[a - a*Cosh[x]], x, 3, -((Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Cosh[x]])])/Sqrt[a]) + (2*Sinh[x])/Sqrt[a - a*Cosh[x]]}
+
+
+{(a + a*Cosh[c + d*x])^(5/2), x, 3, (64*a^3*Sinh[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]) + (16*a^2*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]*Sinh[c + d*x])/(15*d) + (2*a*(a + a*Cosh[c + d*x])^(3/2)*Sinh[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + a*Cosh[c + d*x])^(3/2), x, 2, (8*a^2*Sinh[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]) + (2*a*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]]*Sinh[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Cosh[c + d*x])^(1/2), x, 1, (2*a*Sinh[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]])}
+{1/(a + a*Cosh[c + d*x])^(1/2), x, 2, (Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{1/(a + a*Cosh[c + d*x])^(3/2), x, 3, ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]])]/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) + Sinh[c + d*x]/(2*d*(a + a*Cosh[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(a + a*Cosh[c + d*x])^(5/2), x, 4, (3*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cosh[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d) + Sinh[c + d*x]/(4*d*(a + a*Cosh[c + d*x])^(5/2)) + (3*Sinh[c + d*x])/(16*a*d*(a + a*Cosh[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+{(a - a*Cosh[c + d*x])^(5/2), x, 3, -((64*a^3*Sinh[c + d*x])/(15*d*Sqrt[a - a*Cosh[c + d*x]])) - (16*a^2*Sqrt[a - a*Cosh[c + d*x]]*Sinh[c + d*x])/(15*d) - (2*a*(a - a*Cosh[c + d*x])^(3/2)*Sinh[c + d*x])/(5*d)}
+{(a - a*Cosh[c + d*x])^(3/2), x, 2, -((8*a^2*Sinh[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a - a*Cosh[c + d*x]])) - (2*a*Sqrt[a - a*Cosh[c + d*x]]*Sinh[c + d*x])/(3*d)}
+{(a - a*Cosh[c + d*x])^(1/2), x, 1, -((2*a*Sinh[c + d*x])/(d*Sqrt[a - a*Cosh[c + d*x]]))}
+{1/(a - a*Cosh[c + d*x])^(1/2), x, 2, -((Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Cosh[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d))}
+{1/(a - a*Cosh[c + d*x])^(3/2), x, 3, -(ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Cosh[c + d*x]])]/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d)) - Sinh[c + d*x]/(2*d*(a - a*Cosh[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(a - a*Cosh[c + d*x])^(5/2), x, 4, -((3*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Cosh[c + d*x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)*d)) - Sinh[c + d*x]/(4*d*(a - a*Cosh[c + d*x])^(5/2)) - (3*Sinh[c + d*x])/(16*a*d*(a - a*Cosh[c + d*x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cosh[x]^4/(a + b*Cosh[x]), x, 6, -((a*(2*a^2 + b^2)*x)/(2*b^4)) + (2*a^4*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^4*Sqrt[a + b]) + ((3*a^2 + 2*b^2)*Sinh[x])/(3*b^3) - (a*Cosh[x]*Sinh[x])/(2*b^2) + (Cosh[x]^2*Sinh[x])/(3*b)}
+{Cosh[x]^3/(a + b*Cosh[x]), x, 5, ((2*a^2 + b^2)*x)/(2*b^3) - (2*a^3*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^3*Sqrt[a + b]) - (a*Sinh[x])/b^2 + (Cosh[x]*Sinh[x])/(2*b)}
+{Cosh[x]^2/(a + b*Cosh[x]), x, 5, -((a*x)/b^2) + (2*a^2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^2*Sqrt[a + b]) + Sinh[x]/b}
+{Cosh[x]^1/(a + b*Cosh[x]), x, 3, x/b - (2*a*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b])}
+{Sech[x]^1/(a + b*Cosh[x]), x, 4, ArcTan[Sinh[x]]/a - (2*b*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b])}
+{Sech[x]^2/(a + b*Cosh[x]), x, 6, -((b*ArcTan[Sinh[x]])/a^2) + (2*b^2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) + Tanh[x]/a}
+{Sech[x]^3/(a + b*Cosh[x]), x, 6, ((a^2 + 2*b^2)*ArcTan[Sinh[x]])/(2*a^3) - (2*b^3*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) - (b*Tanh[x])/a^2 + (Sech[x]*Tanh[x])/(2*a)}
+{Sech[x]^4/(a + b*Cosh[x]), x, 7, -((b*(a^2 + 2*b^2)*ArcTan[Sinh[x]])/(2*a^4)) + (2*b^4*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a^4*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) + ((2*a^2 + 3*b^2)*Tanh[x])/(3*a^3) - (b*Sech[x]*Tanh[x])/(2*a^2) + (Sech[x]^2*Tanh[x])/(3*a)}
+
+
+{(a + b*Cosh[c + d*x])^5, x, 4, (1/8)*a*(8*a^4 + 40*a^2*b^2 + 15*b^4)*x + (b*(107*a^4 + 192*a^2*b^2 + 16*b^4)*Sinh[c + d*x])/(30*d) + (7*a*b^2*(22*a^2 + 23*b^2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(120*d) + (b*(47*a^2 + 16*b^2)*(a + b*Cosh[c + d*x])^2*Sinh[c + d*x])/(60*d) + (9*a*b*(a + b*Cosh[c + d*x])^3*Sinh[c + d*x])/(20*d) + (b*(a + b*Cosh[c + d*x])^4*Sinh[c + d*x])/(5*d)}
+{(a + b*Cosh[c + d*x])^4, x, 3, (1/8)*(8*a^4 + 24*a^2*b^2 + 3*b^4)*x + (a*b*(19*a^2 + 16*b^2)*Sinh[c + d*x])/(6*d) + (b^2*(26*a^2 + 9*b^2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(24*d) + (7*a*b*(a + b*Cosh[c + d*x])^2*Sinh[c + d*x])/(12*d) + (b*(a + b*Cosh[c + d*x])^3*Sinh[c + d*x])/(4*d)}
+{(a + b*Cosh[c + d*x])^3, x, 2, (1/2)*a*(2*a^2 + 3*b^2)*x + (2*b*(4*a^2 + b^2)*Sinh[c + d*x])/(3*d) + (5*a*b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(6*d) + (b*(a + b*Cosh[c + d*x])^2*Sinh[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Cosh[c + d*x])^2, x, 1, (1/2)*(2*a^2 + b^2)*x + (2*a*b*Sinh[c + d*x])/d + (b^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + b*Cosh[c + d*x]), x, 2, a*x + (b*Sinh[c + d*x])/d}
+{1/(a + b*Cosh[c + d*x]), x, 2, (2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)}
+{1/(a + b*Cosh[c + d*x])^2, x, 4, (2*a*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - (b*Sinh[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Cosh[c + d*x]))}
+{1/(a + b*Cosh[c + d*x])^3, x, 5, ((2*a^2 + b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (b*Sinh[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cosh[c + d*x])^2) - (3*a*b*Sinh[c + d*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cosh[c + d*x]))}
+{1/(a + b*Cosh[c + d*x])^4, x, 6, (a*(2*a^2 + 3*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - (b*Sinh[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cosh[c + d*x])^3) - (5*a*b*Sinh[c + d*x])/(6*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cosh[c + d*x])^2) - (b*(11*a^2 + 4*b^2)*Sinh[c + d*x])/(6*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cosh[c + d*x]))}
+
+
+{1/(3 + 5*Cosh[c + d*x]), x, 2, ArcTan[(1/2)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]]/(2*d)}
+{1/(3 + 5*Cosh[c + d*x])^2, x, 4, -((3*ArcTan[(1/2)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]])/(32*d)) + (5*Sinh[c + d*x])/(16*d*(3 + 5*Cosh[c + d*x]))}
+{1/(3 + 5*Cosh[c + d*x])^3, x, 5, (43*ArcTan[(1/2)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]])/(1024*d) + (5*Sinh[c + d*x])/(32*d*(3 + 5*Cosh[c + d*x])^2) - (45*Sinh[c + d*x])/(512*d*(3 + 5*Cosh[c + d*x]))}
+{1/(3 + 5*Cosh[c + d*x])^4, x, 6, -((279*ArcTan[(1/2)*Tanh[(1/2)*(c + d*x)]])/(16384*d)) + (5*Sinh[c + d*x])/(48*d*(3 + 5*Cosh[c + d*x])^3) - (25*Sinh[c + d*x])/(512*d*(3 + 5*Cosh[c + d*x])^2) + (995*Sinh[c + d*x])/(24576*d*(3 + 5*Cosh[c + d*x]))}
+
+{1/(5 + 3*Cosh[c + d*x]), x, 1, x/4 - ArcTanh[Sinh[c + d*x]/(3 + Cosh[c + d*x])]/(2*d)}
+{1/(5 + 3*Cosh[c + d*x])^2, x, 3, (5*x)/64 - (5*ArcTanh[Sinh[c + d*x]/(3 + Cosh[c + d*x])])/(32*d) - (3*Sinh[c + d*x])/(16*d*(5 + 3*Cosh[c + d*x]))}
+{1/(5 + 3*Cosh[c + d*x])^3, x, 4, (59*x)/2048 - (59*ArcTanh[Sinh[c + d*x]/(3 + Cosh[c + d*x])])/(1024*d) - (3*Sinh[c + d*x])/(32*d*(5 + 3*Cosh[c + d*x])^2) - (45*Sinh[c + d*x])/(512*d*(5 + 3*Cosh[c + d*x]))}
+{1/(5 + 3*Cosh[c + d*x])^4, x, 5, (385*x)/32768 - (385*ArcTanh[Sinh[c + d*x]/(3 + Cosh[c + d*x])])/(16384*d) - Sinh[c + d*x]/(16*d*(5 + 3*Cosh[c + d*x])^3) - (25*Sinh[c + d*x])/(512*d*(5 + 3*Cosh[c + d*x])^2) - (311*Sinh[c + d*x])/(8192*d*(5 + 3*Cosh[c + d*x]))}
+
+
+{(a + b*Cosh[x])^(5/2), x, 7, -((2*I*(23*a^2 + 9*b^2)*Sqrt[a + b*Cosh[x]]*EllipticE[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(15*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)])) + (16*I*a*(a^2 - b^2)*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)]*EllipticF[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(15*Sqrt[a + b*Cosh[x]]) + (16/15)*a*b*Sqrt[a + b*Cosh[x]]*Sinh[x] + (2/5)*b*(a + b*Cosh[x])^(3/2)*Sinh[x]}
+{(a + b*Cosh[x])^(3/2), x, 6, -((8*I*a*Sqrt[a + b*Cosh[x]]*EllipticE[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)])) + (2*I*(a^2 - b^2)*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)]*EllipticF[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*Sqrt[a + b*Cosh[x]]) + (2/3)*b*Sqrt[a + b*Cosh[x]]*Sinh[x]}
+{(a + b*Cosh[c + d*x])^(1/2), x, 2, -((2*I*Sqrt[a + b*Cosh[c + d*x]]*EllipticE[(1/2)*I*(c + d*x), (2*b)/(a + b)])/(d*Sqrt[(a + b*Cosh[c + d*x])/(a + b)]))}
+{1/(a + b*Cosh[x])^(1/2), x, 2, -((2*I*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)]*EllipticF[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/Sqrt[a + b*Cosh[x]])}
+{1/(a + b*Cosh[x])^(3/2), x, 4, -((2*I*Sqrt[a + b*Cosh[x]]*EllipticE[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/((a^2 - b^2)*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)])) - (2*b*Sinh[x])/((a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Cosh[x]])}
+{1/(a + b*Cosh[x])^(5/2), x, 7, -((8*I*a*Sqrt[a + b*Cosh[x]]*EllipticE[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)])) + (2*I*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)]*EllipticF[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*(a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Cosh[x]]) - (2*b*Sinh[x])/(3*(a^2 - b^2)*(a + b*Cosh[x])^(3/2)) - (8*a*b*Sinh[x])/(3*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Cosh[x]])}
+{1/(a + b*Cosh[x])^(7/2), x, 8, -((2*I*(23*a^2 + 9*b^2)*Sqrt[a + b*Cosh[x]]*EllipticE[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(15*(a^2 - b^2)^3*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)])) + (16*I*a*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)]*EllipticF[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(15*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Cosh[x]]) - (2*b*Sinh[x])/(5*(a^2 - b^2)*(a + b*Cosh[x])^(5/2)) - (16*a*b*Sinh[x])/(15*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Cosh[x])^(3/2)) - (2*b*(23*a^2 + 9*b^2)*Sinh[x])/(15*(a^2 - b^2)^3*Sqrt[a + b*Cosh[x]])}
+
+
+{Cosh[x]/Sqrt[a + b*Cosh[x]], x, 5, -((2*I*Sqrt[a + b*Cosh[x]]*EllipticE[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(b*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)])) + (2*I*a*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)]*EllipticF[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(b*Sqrt[a + b*Cosh[x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Cosh[c+d x]) (a+b Cosh[c+d x])^n when a^2-b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(A + B*Cosh[x])*(a + a*Cosh[x])^(5/2), x, 4, (64*a^3*(7*A + 5*B)*Sinh[x])/(105*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) + (16/105)*a^2*(7*A + 5*B)*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Sinh[x] + (2/35)*a*(7*A + 5*B)*(a + a*Cosh[x])^(3/2)*Sinh[x] + (2/7)*B*(a + a*Cosh[x])^(5/2)*Sinh[x]}
+{(A + B*Cosh[x])*(a + a*Cosh[x])^(3/2), x, 3, (8*a^2*(5*A + 3*B)*Sinh[x])/(15*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) + (2/15)*a*(5*A + 3*B)*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Sinh[x] + (2/5)*B*(a + a*Cosh[x])^(3/2)*Sinh[x]}
+{(A + B*Cosh[x])*(a + a*Cosh[x])^(1/2), x, 2, (2*a*(3*A + B)*Sinh[x])/(3*Sqrt[a + a*Cosh[x]]) + (2/3)*B*Sqrt[a + a*Cosh[x]]*Sinh[x]}
+
+
+{(A + B*Cosh[x])*(a - a*Cosh[x])^(5/2), x, 4, -((64*a^3*(7*A - 5*B)*Sinh[x])/(105*Sqrt[a - a*Cosh[x]])) - (16/105)*a^2*(7*A - 5*B)*Sqrt[a - a*Cosh[x]]*Sinh[x] - (2/35)*a*(7*A - 5*B)*(a - a*Cosh[x])^(3/2)*Sinh[x] + (2/7)*B*(a - a*Cosh[x])^(5/2)*Sinh[x]}
+{(A + B*Cosh[x])*(a - a*Cosh[x])^(3/2), x, 3, -((8*a^2*(5*A - 3*B)*Sinh[x])/(15*Sqrt[a - a*Cosh[x]])) - (2/15)*a*(5*A - 3*B)*Sqrt[a - a*Cosh[x]]*Sinh[x] + (2/5)*B*(a - a*Cosh[x])^(3/2)*Sinh[x]}
+{(A + B*Cosh[x])*(a - a*Cosh[x])^(1/2), x, 2, -((2*a*(3*A - B)*Sinh[x])/(3*Sqrt[a - a*Cosh[x]])) + (2/3)*B*Sqrt[a - a*Cosh[x]]*Sinh[x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(A + B*Cosh[x])/(1 + Cosh[x]), x, 2, B*x + ((A - B)*Sinh[x])/(1 + Cosh[x])}
+{(A + B*Cosh[x])/(1 + Cosh[x])^2, x, 2, ((A - B)*Sinh[x])/(3*(1 + Cosh[x])^2) + ((A + 2*B)*Sinh[x])/(3*(1 + Cosh[x]))}
+{(A + B*Cosh[x])/(1 + Cosh[x])^3, x, 3, ((A - B)*Sinh[x])/(5*(1 + Cosh[x])^3) + ((2*A + 3*B)*Sinh[x])/(15*(1 + Cosh[x])^2) + ((2*A + 3*B)*Sinh[x])/(15*(1 + Cosh[x]))}
+{(A + B*Cosh[x])/(1 + Cosh[x])^4, x, 4, ((A - B)*Sinh[x])/(7*(1 + Cosh[x])^4) + ((3*A + 4*B)*Sinh[x])/(35*(1 + Cosh[x])^3) + (2*(3*A + 4*B)*Sinh[x])/(105*(1 + Cosh[x])^2) + (2*(3*A + 4*B)*Sinh[x])/(105*(1 + Cosh[x]))}
+
+{(A + B*Cosh[x])/(1 - Cosh[x]), x, 2, (-B)*x - ((A + B)*Sinh[x])/(1 - Cosh[x])}
+{(A + B*Cosh[x])/(1 - Cosh[x])^2, x, 2, -(((A + B)*Sinh[x])/(3*(1 - Cosh[x])^2)) - ((A - 2*B)*Sinh[x])/(3*(1 - Cosh[x]))}
+{(A + B*Cosh[x])/(1 - Cosh[x])^3, x, 3, -(((A + B)*Sinh[x])/(5*(1 - Cosh[x])^3)) - ((2*A - 3*B)*Sinh[x])/(15*(1 - Cosh[x])^2) - ((2*A - 3*B)*Sinh[x])/(15*(1 - Cosh[x]))}
+{(A + B*Cosh[x])/(1 - Cosh[x])^4, x, 4, -(((A + B)*Sinh[x])/(7*(1 - Cosh[x])^4)) - ((3*A - 4*B)*Sinh[x])/(35*(1 - Cosh[x])^3) - (2*(3*A - 4*B)*Sinh[x])/(105*(1 - Cosh[x])^2) - (2*(3*A - 4*B)*Sinh[x])/(105*(1 - Cosh[x]))}
+
+
+{(A + B*Cosh[x])/(a + a*Cosh[x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[2]*(A - B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cosh[x]])])/Sqrt[a] + (2*B*Sinh[x])/Sqrt[a + a*Cosh[x]]}
+{(A + B*Cosh[x])/(a + a*Cosh[x])^(3/2), x, 3, ((A + 3*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cosh[x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)) + ((A - B)*Sinh[x])/(2*(a + a*Cosh[x])^(3/2))}
+{(A + B*Cosh[x])/(a + a*Cosh[x])^(5/2), x, 4, ((3*A + 5*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Cosh[x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2)) + ((A - B)*Sinh[x])/(4*(a + a*Cosh[x])^(5/2)) + ((3*A + 5*B)*Sinh[x])/(16*a*(a + a*Cosh[x])^(3/2))}
+
+
+{(A + B*Cosh[x])/(a - a*Cosh[x])^(1/2), x, 3, -((Sqrt[2]*(A + B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Cosh[x]])])/Sqrt[a]) + (2*B*Sinh[x])/Sqrt[a - a*Cosh[x]]}
+{(A + B*Cosh[x])/(a - a*Cosh[x])^(3/2), x, 3, -(((A - 3*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Cosh[x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2))) - ((A + B)*Sinh[x])/(2*(a - a*Cosh[x])^(3/2))}
+{(A + B*Cosh[x])/(a - a*Cosh[x])^(5/2), x, 4, -(((3*A - 5*B)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Cosh[x]])])/(16*Sqrt[2]*a^(5/2))) - ((A + B)*Sinh[x])/(4*(a - a*Cosh[x])^(5/2)) - ((3*A - 5*B)*Sinh[x])/(16*a*(a - a*Cosh[x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Cosh[c+d x]) (a+b Cosh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(A + B*Cosh[x])*(a + b*Cosh[x])^(5/2), x, 8, -((2*I*(161*a^2*A*b + 63*A*b^3 + 15*a^3*B + 145*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cosh[x]]*EllipticE[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(105*b*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)])) + (2*I*(a^2 - b^2)*(56*a*A*b + 15*a^2*B + 25*b^2*B)*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)]*EllipticF[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(105*b*Sqrt[a + b*Cosh[x]]) + (2/105)*(56*a*A*b + 15*a^2*B + 25*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cosh[x]]*Sinh[x] + (2/35)*(7*A*b + 5*a*B)*(a + b*Cosh[x])^(3/2)*Sinh[x] + (2/7)*B*(a + b*Cosh[x])^(5/2)*Sinh[x]}
+{(A + B*Cosh[x])*(a + b*Cosh[x])^(3/2), x, 7, -((2*I*(20*a*A*b + 3*a^2*B + 9*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cosh[x]]*EllipticE[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(15*b*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)])) + (2*I*(a^2 - b^2)*(5*A*b + 3*a*B)*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)]*EllipticF[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(15*b*Sqrt[a + b*Cosh[x]]) + (2/15)*(5*A*b + 3*a*B)*Sqrt[a + b*Cosh[x]]*Sinh[x] + (2/5)*B*(a + b*Cosh[x])^(3/2)*Sinh[x]}
+{(A + B*Cosh[x])*(a + b*Cosh[x])^(1/2), x, 6, -((2*I*(3*A*b + a*B)*Sqrt[a + b*Cosh[x]]*EllipticE[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*b*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)])) + (2*I*(a^2 - b^2)*B*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)]*EllipticF[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*b*Sqrt[a + b*Cosh[x]]) + (2/3)*B*Sqrt[a + b*Cosh[x]]*Sinh[x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(A + B*Cosh[x])/(a + b*Cosh[x]), x, 3, (B*x)/b + (2*(A*b - a*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b])}
+{(A + B*Cosh[x])/(a + b*Cosh[x])^2, x, 4, (2*(a*A - b*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)) - ((A*b - a*B)*Sinh[x])/((a^2 - b^2)*(a + b*Cosh[x]))}
+{(A + B*Cosh[x])/(a + b*Cosh[x])^3, x, 5, ((2*a^2*A + A*b^2 - 3*a*b*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)) - ((A*b - a*B)*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2)*(a + b*Cosh[x])^2) - ((3*a*A*b - a^2*B - 2*b^2*B)*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Cosh[x]))}
+{(A + B*Cosh[x])/(a + b*Cosh[x])^4, x, 6, ((2*a^3*A + 3*a*A*b^2 - 4*a^2*b*B - b^3*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)) - ((A*b - a*B)*Sinh[x])/(3*(a^2 - b^2)*(a + b*Cosh[x])^3) - ((5*a*A*b - 2*a^2*B - 3*b^2*B)*Sinh[x])/(6*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Cosh[x])^2) - ((11*a^2*A*b + 4*A*b^3 - 2*a^3*B - 13*a*b^2*B)*Sinh[x])/(6*(a^2 - b^2)^3*(a + b*Cosh[x]))}
+
+{(b*B/a + B*Cosh[x])/(a + b*Cosh[x]), x, 3, (B*x)/b - (2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*B*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a*b)}
+{(a*B/b + B*Cosh[x])/(a + b*Cosh[x]), x, 2, (B*x)/b}
+
+{(a + b*Cosh[x])/(b + a*Cosh[x])^2, x, 2, Sinh[x]/(b + a*Cosh[x])}
+{(3 + Cosh[x])/(2 - Cosh[x]), x, 2, -x + (5*x)/Sqrt[3] + (10*ArcTanh[Sinh[x]/(2 + Sqrt[3] - Cosh[x])])/Sqrt[3]}
+
+
+{(A + B*Cosh[x])/(a + b*Cosh[x])^(1/2), x, 5, -((2*I*B*Sqrt[a + b*Cosh[x]]*EllipticE[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(b*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)])) - (2*I*(A*b - a*B)*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)]*EllipticF[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(b*Sqrt[a + b*Cosh[x]])}
+{(A + B*Cosh[x])/(a + b*Cosh[x])^(3/2), x, 6, -((2*I*(A*b - a*B)*Sqrt[a + b*Cosh[x]]*EllipticE[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(b*(a^2 - b^2)*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)])) - (2*I*B*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)]*EllipticF[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(b*Sqrt[a + b*Cosh[x]]) - (2*(A*b - a*B)*Sinh[x])/((a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Cosh[x]])}
+{(A + B*Cosh[x])/(a + b*Cosh[x])^(5/2), x, 7, -((2*I*(4*a*A*b - a^2*B - 3*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cosh[x]]*EllipticE[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*b*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)])) + (2*I*(A*b - a*B)*Sqrt[(a + b*Cosh[x])/(a + b)]*EllipticF[(I*x)/2, (2*b)/(a + b)])/(3*b*(a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Cosh[x]]) - (2*(A*b - a*B)*Sinh[x])/(3*(a^2 - b^2)*(a + b*Cosh[x])^(3/2)) - (2*(4*a*A*b - a^2*B - 3*b^2*B)*Sinh[x])/(3*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[a + b*Cosh[x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Cosh[a+b x]^m)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Cosh[a+b x]^2)^n*)
+
+
+{(a*Cosh[x]^2)^(7/2),x, 5, (16/35)*a^3*Sqrt[a*Cosh[x]^2]*Tanh[x] + (8/35)*a^2*(a*Cosh[x]^2)^(3/2)*Tanh[x] + (6/35)*a*(a*Cosh[x]^2)^(5/2)*Tanh[x] + (1/7)*(a*Cosh[x]^2)^(7/2)*Tanh[x]}
+{(a*Cosh[x]^2)^(5/2),x, 4, (8/15)*a^2*Sqrt[a*Cosh[x]^2]*Tanh[x] + (4/15)*a*(a*Cosh[x]^2)^(3/2)*Tanh[x] + (1/5)*(a*Cosh[x]^2)^(5/2)*Tanh[x]}
+{(a*Cosh[x]^2)^(3/2),x, 3, (2/3)*a*Sqrt[a*Cosh[x]^2]*Tanh[x] + (1/3)*(a*Cosh[x]^2)^(3/2)*Tanh[x]}
+{(a*Cosh[x]^2)^(1/2), x, 2, Sqrt[a*Cosh[x]^2]*Tanh[x]}
+{1/(a*Cosh[x]^2)^(1/2), x, 2, (ArcTan[Sinh[x]]*Cosh[x])/Sqrt[a*Cosh[x]^2]}
+{1/(a*Cosh[x]^2)^(3/2), x, 3, (ArcTan[Sinh[x]]*Cosh[x])/(2*a*Sqrt[a*Cosh[x]^2]) + Tanh[x]/(2*a*Sqrt[a*Cosh[x]^2])}
+{1/(a*Cosh[x]^2)^(5/2), x, 4, (3*ArcTan[Sinh[x]]*Cosh[x])/(8*a^2*Sqrt[a*Cosh[x]^2]) + Tanh[x]/(4*a*(a*Cosh[x]^2)^(3/2)) + (3*Tanh[x])/(8*a^2*Sqrt[a*Cosh[x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Cosh[a+b x]^3)^n*)
+
+
+{(a*Cosh[x]^3)^(5/2),x, 6, -((26*I*a^2*Sqrt[a*Cosh[x]^3]*EllipticF[(I*x)/2, 2])/(77*Cosh[x]^(3/2))) + (78/385)*a^2*Cosh[x]*Sqrt[a*Cosh[x]^3]*Sinh[x] + (26/165)*a^2*Cosh[x]^3*Sqrt[a*Cosh[x]^3]*Sinh[x] + (2/15)*a^2*Cosh[x]^5*Sqrt[a*Cosh[x]^3]*Sinh[x] + (26/77)*a^2*Sqrt[a*Cosh[x]^3]*Tanh[x]}
+{(a*Cosh[x]^3)^(3/2),x, 4, -((14*I*a*Sqrt[a*Cosh[x]^3]*EllipticE[(I*x)/2, 2])/(15*Cosh[x]^(3/2))) + (14/45)*a*Sqrt[a*Cosh[x]^3]*Sinh[x] + (2/9)*a*Cosh[x]^2*Sqrt[a*Cosh[x]^3]*Sinh[x]}
+{(a*Cosh[x]^3)^(1/2), x, 3, -((2*I*Sqrt[a*Cosh[x]^3]*EllipticF[(I*x)/2, 2])/(3*Cosh[x]^(3/2))) + (2/3)*Sqrt[a*Cosh[x]^3]*Tanh[x]}
+{1/(a*Cosh[x]^3)^(1/2), x, 3, (2*I*Cosh[x]^(3/2)*EllipticE[(I*x)/2, 2])/Sqrt[a*Cosh[x]^3] + (2*Cosh[x]*Sinh[x])/Sqrt[a*Cosh[x]^3]}
+{1/(a*Cosh[x]^3)^(3/2),x, 4, -((10*I*Cosh[x]^(3/2)*EllipticF[(I*x)/2, 2])/(21*a*Sqrt[a*Cosh[x]^3])) + (10*Sinh[x])/(21*a*Sqrt[a*Cosh[x]^3]) + (2*Sech[x]*Tanh[x])/(7*a*Sqrt[a*Cosh[x]^3])}
+{1/(a*Cosh[x]^3)^(5/2),x, 6, (154*I*Cosh[x]^(3/2)*EllipticE[(I*x)/2, 2])/(195*a^2*Sqrt[a*Cosh[x]^3]) + (154*Cosh[x]*Sinh[x])/(195*a^2*Sqrt[a*Cosh[x]^3]) + (154*Tanh[x])/(585*a^2*Sqrt[a*Cosh[x]^3]) + (22*Sech[x]^2*Tanh[x])/(117*a^2*Sqrt[a*Cosh[x]^3]) + (2*Sech[x]^4*Tanh[x])/(13*a^2*Sqrt[a*Cosh[x]^3])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Cosh[a+b x]^4)^n*)
+
+
+{(a*Cosh[x]^4)^(5/2),x, 7, (63/256)*a^2*x*Sqrt[a*Cosh[x]^4]*Sech[x]^2 + (21/128)*a^2*Cosh[x]*Sqrt[a*Cosh[x]^4]*Sinh[x] + (21/160)*a^2*Cosh[x]^3*Sqrt[a*Cosh[x]^4]*Sinh[x] + (9/80)*a^2*Cosh[x]^5*Sqrt[a*Cosh[x]^4]*Sinh[x] + (1/10)*a^2*Cosh[x]^7*Sqrt[a*Cosh[x]^4]*Sinh[x] + (63/256)*a^2*Sqrt[a*Cosh[x]^4]*Tanh[x]}
+{(a*Cosh[x]^4)^(3/2),x, 5, (5/16)*a*x*Sqrt[a*Cosh[x]^4]*Sech[x]^2 + (5/24)*a*Cosh[x]*Sqrt[a*Cosh[x]^4]*Sinh[x] + (1/6)*a*Cosh[x]^3*Sqrt[a*Cosh[x]^4]*Sinh[x] + (5/16)*a*Sqrt[a*Cosh[x]^4]*Tanh[x]}
+{(a*Cosh[x]^4)^(1/2), x, 3, (1/2)*x*Sqrt[a*Cosh[x]^4]*Sech[x]^2 + (1/2)*Sqrt[a*Cosh[x]^4]*Tanh[x]}
+{1/(a*Cosh[x]^4)^(1/2), x, 3, (Cosh[x]*Sinh[x])/Sqrt[a*Cosh[x]^4]}
+{1/(a*Cosh[x]^4)^(3/2),x, 3, (Cosh[x]*Sinh[x])/(a*Sqrt[a*Cosh[x]^4]) - (2*Sinh[x]^2*Tanh[x])/(3*a*Sqrt[a*Cosh[x]^4]) + (Sinh[x]^2*Tanh[x]^3)/(5*a*Sqrt[a*Cosh[x]^4])}
+{1/(a*Cosh[x]^4)^(5/2),x, 3, (Cosh[x]*Sinh[x])/(a^2*Sqrt[a*Cosh[x]^4]) - (4*Sinh[x]^2*Tanh[x])/(3*a^2*Sqrt[a*Cosh[x]^4]) + (6*Sinh[x]^2*Tanh[x]^3)/(5*a^2*Sqrt[a*Cosh[x]^4]) - (4*Sinh[x]^2*Tanh[x]^5)/(7*a^2*Sqrt[a*Cosh[x]^4]) + (Sinh[x]^2*Tanh[x]^7)/(9*a^2*Sqrt[a*Cosh[x]^4])}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (c Cosh[a+b x]^m)^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2=0*)
+
+
+{Sinh[x]/(1 + Cosh[x])^2, x, 2, -(1/(1 + Cosh[x]))}
+{Sinh[x]/(1 - Cosh[x])^2, x, 2, 1/(1 - Cosh[x])}
+{Sinh[x]^2/(1 + Cosh[x])^2, x, 2, x - (2*Sinh[x])/(1 + Cosh[x])}
+{Sinh[x]^2/(1 - Cosh[x])^2, x, 2, x + (2*Sinh[x])/(1 - Cosh[x])}
+{Sinh[x]^3/(1 + Cosh[x])^2, x, 3, Cosh[x] - 2*Log[1 + Cosh[x]]}
+{Sinh[x]^3/(1 - Cosh[x])^2, x, 3, Cosh[x] + 2*Log[1 - Cosh[x]]}
+
+
+{Sinh[x]/(1 + Cosh[x])^3, x, 2, -(1/(2*(1 + Cosh[x])^2))}
+{Sinh[x]/(1 - Cosh[x])^3, x, 2, 1/(2*(1 - Cosh[x])^2)}
+{Sinh[x]^2/(1 + Cosh[x])^3, x, 1, Sinh[x]^3/(3*(1 + Cosh[x])^3)}
+{Sinh[x]^2/(1 - Cosh[x])^3, x, 1, -(Sinh[x]^3/(3*(1 - Cosh[x])^3))}
+{Sinh[x]^3/(1 + Cosh[x])^3, x, 3, 2/(1 + Cosh[x]) + Log[1 + Cosh[x]]}
+{Sinh[x]^3/(1 - Cosh[x])^3, x, 3, -(2/(1 - Cosh[x])) - Log[1 - Cosh[x]]}
+
+
+{Sinh[x]^8/(a + a*Cosh[x]), x, 5, (5*x)/(16*a) - (5*Cosh[x]*Sinh[x])/(16*a) + (5*Cosh[x]*Sinh[x]^3)/(24*a) - (Cosh[x]*Sinh[x]^5)/(6*a) + Sinh[x]^7/(7*a)}
+{Sinh[x]^7/(a + a*Cosh[x]), x, 3, (a - a*Cosh[x])^4/a^5 - (4*(a - a*Cosh[x])^5)/(5*a^6) + (a - a*Cosh[x])^6/(6*a^7)}
+{Sinh[x]^6/(a + a*Cosh[x]), x, 4, -((3*x)/(8*a)) + (3*Cosh[x]*Sinh[x])/(8*a) - (Cosh[x]*Sinh[x]^3)/(4*a) + Sinh[x]^5/(5*a)}
+{Sinh[x]^5/(a + a*Cosh[x]), x, 3, -((2*(a - a*Cosh[x])^3)/(3*a^4)) + (a - a*Cosh[x])^4/(4*a^5)}
+{Sinh[x]^4/(a + a*Cosh[x]), x, 3, x/(2*a) - (Cosh[x]*Sinh[x])/(2*a) + Sinh[x]^3/(3*a)}
+{Sinh[x]^3/(a + a*Cosh[x]), x, 2, -(Cosh[x]/a) + Cosh[x]^2/(2*a)}
+{Sinh[x]^2/(a + a*Cosh[x]), x, 2, -(x/a) + Sinh[x]/a}
+{Sinh[x]^1/(a + a*Cosh[x]), x, 2, Log[1 + Cosh[x]]/a}
+{Csch[x]^1/(a + a*Cosh[x]), x, 4, -(ArcTanh[Cosh[x]]/(2*a)) + 1/(2*(a + a*Cosh[x]))}
+{Csch[x]^2/(a + a*Cosh[x]), x, 3, -((2*Coth[x])/(3*a)) + Csch[x]/(3*(a + a*Cosh[x]))}
+{Csch[x]^3/(a + a*Cosh[x]), x, 4, (3*ArcTanh[Cosh[x]])/(8*a) + 1/(8*(a - a*Cosh[x])) - a/(8*(a + a*Cosh[x])^2) - 1/(4*(a + a*Cosh[x]))}
+{Csch[x]^4/(a + a*Cosh[x]), x, 3, (4*Coth[x])/(5*a) - (4*Coth[x]^3)/(15*a) + Csch[x]^3/(5*(a + a*Cosh[x]))}
+{Csch[x]^5/(a + a*Cosh[x]), x, 4, -((5*ArcTanh[Cosh[x]])/(16*a)) - a/(32*(a - a*Cosh[x])^2) - 1/(8*(a - a*Cosh[x])) + a^2/(24*(a + a*Cosh[x])^3) + (3*a)/(32*(a + a*Cosh[x])^2) + 3/(16*(a + a*Cosh[x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2!=0*)
+
+
+{Sinh[x]^7/(a + b*Cosh[x]), x, 3, -((a*(a^4 - 3*a^2*b^2 + 3*b^4)*Cosh[x])/b^6) + ((a^4 - 3*a^2*b^2 + 3*b^4)*Cosh[x]^2)/(2*b^5) - (a*(a^2 - 3*b^2)*Cosh[x]^3)/(3*b^4) + ((a^2 - 3*b^2)*Cosh[x]^4)/(4*b^3) - (a*Cosh[x]^5)/(5*b^2) + Cosh[x]^6/(6*b) + ((a^2 - b^2)^3*Log[a + b*Cosh[x]])/b^7}
+{Sinh[x]^6/(a + b*Cosh[x]), x, 6, -((a*(8*a^4 - 20*a^2*b^2 + 15*b^4)*x)/(8*b^6)) + (2*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/b^6 + ((8*(a^2 - b^2)^2 - a*b*(4*a^2 - 7*b^2)*Cosh[x])*Sinh[x])/(8*b^5) + ((4*(a^2 - b^2) - 3*a*b*Cosh[x])*Sinh[x]^3)/(12*b^3) + Sinh[x]^5/(5*b)}
+{Sinh[x]^5/(a + b*Cosh[x]), x, 3, -((a*(a^2 - 2*b^2)*Cosh[x])/b^4) + ((a^2 - 2*b^2)*Cosh[x]^2)/(2*b^3) - (a*Cosh[x]^3)/(3*b^2) + Cosh[x]^4/(4*b) + ((a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Cosh[x]])/b^5}
+{Sinh[x]^4/(a + b*Cosh[x]), x, 5, -((a*(2*a^2 - 3*b^2)*x)/(2*b^4)) + (2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/b^4 + ((2*(a^2 - b^2) - a*b*Cosh[x])*Sinh[x])/(2*b^3) + Sinh[x]^3/(3*b)}
+{Sinh[x]^3/(a + b*Cosh[x]), x, 3, -((a*Cosh[x])/b^2) + Cosh[x]^2/(2*b) + ((a^2 - b^2)*Log[a + b*Cosh[x]])/b^3}
+{Sinh[x]^2/(a + b*Cosh[x]), x, 4, -((a*x)/b^2) + (2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/b^2 + Sinh[x]/b}
+{Sinh[x]^1/(a + b*Cosh[x]), x, 2, Log[a + b*Cosh[x]]/b}
+{Csch[x]^1/(a + b*Cosh[x]), x, 6, Log[1 - Cosh[x]]/(2*(a + b)) - Log[1 + Cosh[x]]/(2*(a - b)) + (b*Log[a + b*Cosh[x]])/(a^2 - b^2)}
+{Csch[x]^2/(a + b*Cosh[x]), x, 4, (2*b^2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)) + ((b - a*Cosh[x])*Csch[x])/(a^2 - b^2)}
+{Csch[x]^3/(a + b*Cosh[x]), x, 4, ((b - a*Cosh[x])*Csch[x]^2)/(2*(a^2 - b^2)) - ((a + 2*b)*Log[1 - Cosh[x]])/(4*(a + b)^2) + ((a - 2*b)*Log[1 + Cosh[x]])/(4*(a - b)^2) + (b^3*Log[a + b*Cosh[x]])/(a^2 - b^2)^2}
+{Csch[x]^4/(a + b*Cosh[x]), x, 5, (2*b^4*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)) + ((3*b^3 + a*(2*a^2 - 5*b^2)*Cosh[x])*Csch[x])/(3*(a^2 - b^2)^2) + ((b - a*Cosh[x])*Csch[x]^3)/(3*(a^2 - b^2))}
+{Csch[x]^5/(a + b*Cosh[x]), x, 5, ((4*b^3 + a*(3*a^2 - 7*b^2)*Cosh[x])*Csch[x]^2)/(8*(a^2 - b^2)^2) + ((b - a*Cosh[x])*Csch[x]^4)/(4*(a^2 - b^2)) + ((3*a^2 + 9*a*b + 8*b^2)*Log[1 - Cosh[x]])/(16*(a + b)^3) - ((3*a^2 - 9*a*b + 8*b^2)*Log[1 + Cosh[x]])/(16*(a - b)^3) + (b^5*Log[a + b*Cosh[x]])/(a^2 - b^2)^3}
+{Csch[x]^6/(a + b*Cosh[x]), x, 6, (2*b^6*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)) + ((15*b^5 - a*(8*a^4 - 26*a^2*b^2 + 33*b^4)*Cosh[x])*Csch[x])/(15*(a^2 - b^2)^3) + ((5*b^3 + a*(4*a^2 - 9*b^2)*Cosh[x])*Csch[x]^3)/(15*(a^2 - b^2)^2) + ((b - a*Cosh[x])*Csch[x]^5)/(5*(a^2 - b^2))}
+
+
+{Sinh[x]^2/(a + b*Cosh[x])^2, x, 4, x/b^2 - (2*a*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^2*Sqrt[a + b]) - Sinh[x]/(b*(a + b*Cosh[x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x])^n*)
+
+
+{Tanh[x]^4/(a + b*Cosh[x]), x, 6, (b*(3*a^2 - 2*b^2)*ArcTan[Sinh[x]])/(2*a^4) + (2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/a^4 - ((4*a^2 - 3*b^2)*Tanh[x])/(3*a^3) - (b*Sech[x]*Tanh[x])/(2*a^2) + (Sech[x]^2*Tanh[x])/(3*a)}
+{Tanh[x]^3/(a + b*Cosh[x]), x, 3, ((a^2 - b^2)*Log[Cosh[x]])/a^3 - ((a^2 - b^2)*Log[a + b*Cosh[x]])/a^3 - (b*Sech[x])/a^2 + Sech[x]^2/(2*a)}
+{Tanh[x]^2/(a + b*Cosh[x]), x, 6, (b*ArcTan[Sinh[x]])/a^2 + (2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/a^2 - Tanh[x]/a}
+{Tanh[x]^1/(a + b*Cosh[x]), x, 4, Log[Cosh[x]]/a - Log[a + b*Cosh[x]]/a}
+{Coth[x]^1/(a + b*Cosh[x]), x, 3, Log[1 - Cosh[x]]/(2*(a + b)) + Log[1 + Cosh[x]]/(2*(a - b)) - (a*Log[a + b*Cosh[x]])/(a^2 - b^2)}
+{Coth[x]^2/(a + b*Cosh[x]), x, 7, (2*a^2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)) - (a*Coth[x])/(a^2 - b^2) + (b*Csch[x])/(a^2 - b^2)}
+{Coth[x]^3/(a + b*Cosh[x]), x, 4, -(((a - b*Cosh[x])*Csch[x]^2)/(2*(a^2 - b^2))) + ((2*a + b)*Log[1 - Cosh[x]])/(4*(a + b)^2) + ((2*a - b)*Log[1 + Cosh[x]])/(4*(a - b)^2) - (a^3*Log[a + b*Cosh[x]])/(a^2 - b^2)^2}
+{Coth[x]^4/(a + b*Cosh[x]), x, 12, (2*a^4*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)) - (a^3*Coth[x])/(a^2 - b^2)^2 - (a*Coth[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)) + (a^2*b*Csch[x])/(a^2 - b^2)^2 + (b*Csch[x])/(a^2 - b^2) + (b*Csch[x]^3)/(3*(a^2 - b^2))}
+
+
+{Tanh[x]^6/(a + a*Cosh[x]), x, 6, (3*ArcTan[Sinh[x]])/(8*a) - (3*Sech[x]*Tanh[x])/(8*a) - (Sech[x]*Tanh[x]^3)/(4*a) - Tanh[x]^5/(5*a)}
+{Tanh[x]^5/(a + a*Cosh[x]), x, 5, -(Sech[x]/a) + Sech[x]^3/(3*a) - Tanh[x]^4/(4*a)}
+{Tanh[x]^4/(a + a*Cosh[x]), x, 5, ArcTan[Sinh[x]]/(2*a) - (Sech[x]*Tanh[x])/(2*a) - Tanh[x]^3/(3*a)}
+{Tanh[x]^3/(a + a*Cosh[x]), x, 5, -(Sech[x]/a) + Sech[x]^2/(2*a)}
+{Tanh[x]^2/(a + a*Cosh[x]), x, 4, ArcTan[Sinh[x]]/a - Tanh[x]/a}
+{Tanh[x]^1/(a + a*Cosh[x]), x, 4, Log[Cosh[x]]/a - Log[1 + Cosh[x]]/a}
+{Coth[x]^1/(a + a*Cosh[x]), x, 5, -(ArcTanh[Cosh[x]]/(2*a)) - (Coth[x]*Csch[x])/(2*a) + Csch[x]^2/(2*a)}
+{Coth[x]^2/(a + a*Cosh[x]), x, 5, Coth[x]^3/(3*a) - Csch[x]/a - Csch[x]^3/(3*a)}
+{Coth[x]^3/(a + a*Cosh[x]), x, 6, -((3*ArcTanh[Cosh[x]])/(8*a)) + Coth[x]^4/(4*a) - (3*Coth[x]*Csch[x])/(8*a) - (Coth[x]^3*Csch[x])/(4*a)}
+{Coth[x]^4/(a + a*Cosh[x]), x, 6, Coth[x]^5/(5*a) - Csch[x]/a - (2*Csch[x]^3)/(3*a) - Csch[x]^5/(5*a)}
+
+
+{Tanh[x]*Sqrt[a + b*Cosh[x]], x, 4, -2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cosh[x]]/Sqrt[a]] + 2*Sqrt[a + b*Cosh[x]]}
+{Tanh[x]/Sqrt[a + b*Cosh[x]], x, 3, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cosh[x]]/Sqrt[a]])/Sqrt[a])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Hyper[c+d x]) (a+b Cosh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Sinh[c+d x]) (a+b Cosh[c+d x])^n*)
+
+
+{(A + B*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x]), x, 6, (2*A*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) + (B*Log[a + b*Cosh[x]])/b}
+
+{(A + B*Sinh[x])/(1 + Cosh[x]), x, 5, B*Log[1 + Cosh[x]] + (A*Sinh[x])/(1 + Cosh[x])}
+{(A + B*Sinh[x])/(1 - Cosh[x]), x, 5, (-B)*Log[1 - Cosh[x]] - (A*Sinh[x])/(1 - Cosh[x])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Hyper[c+d x]) (a+b Cosh[c+d x])^n*)
+
+
+{(A + B*Tanh[x])/(a + b*Cosh[x]), x, 8, (2*A*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) + (B*Log[Cosh[x]])/a - (B*Log[a + b*Cosh[x]])/a}
+{(A + B*Coth[x])/(a + b*Cosh[x]), x, 7, (2*A*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) + (B*Log[1 - Cosh[x]])/(2*(a + b)) + (B*Log[1 + Cosh[x]])/(2*(a - b)) - (a*B*Log[a + b*Cosh[x]])/(a^2 - b^2)}
+{(A + B*Sech[x])/(a + b*Cosh[x]), x, 5, (B*ArcTan[Sinh[x]])/a + (2*(a*A - b*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b])}
+{(A + B*Csch[x])/(a + b*Cosh[x]), x, 11, (2*A*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) + (B*Log[1 - Cosh[x]])/(2*(a + b)) - (B*Log[1 + Cosh[x]])/(2*(a - b)) + (b*B*Log[a + b*Cosh[x]])/(a^2 - b^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A+B Hyper[c+d x]+C Hyper[c+d x]) (a+b Cosh[c+d x])^n*)
+
+
+{(A + B*Cosh[d + e*x] + C*Sinh[d + e*x])/(a + b*Cosh[d + e*x]), x, 6, (B*x)/b + (2*(A*b - a*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*e) + (C*Log[a + b*Cosh[d + e*x]])/(b*e)}
+{(A + B*Cosh[d + e*x] + C*Sinh[d + e*x])/(a + b*Cosh[d + e*x])^2, x, 7, (2*(a*A - b*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*e) - C/(b*e*(a + b*Cosh[d + e*x])) - ((A*b - a*B)*Sinh[d + e*x])/((a^2 - b^2)*e*(a + b*Cosh[d + e*x]))}
+{(A + B*Cosh[d + e*x] + C*Sinh[d + e*x])/(a + b*Cosh[d + e*x])^3, x, 8, ((2*a^2*A + A*b^2 - 3*a*b*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*e) - C/(2*b*e*(a + b*Cosh[d + e*x])^2) - ((A*b - a*B)*Sinh[d + e*x])/(2*(a^2 - b^2)*e*(a + b*Cosh[d + e*x])^2) - ((3*a*A*b - a^2*B - 2*b^2*B)*Sinh[d + e*x])/(2*(a^2 - b^2)^2*e*(a + b*Cosh[d + e*x]))}
+{(A + B*Cosh[d + e*x] + C*Sinh[d + e*x])/(a + b*Cosh[d + e*x])^4, x, 9, ((2*a^3*A + 3*a*A*b^2 - 4*a^2*b*B - b^3*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[(1/2)*(d + e*x)])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*e) - C/(3*b*e*(a + b*Cosh[d + e*x])^3) - ((A*b - a*B)*Sinh[d + e*x])/(3*(a^2 - b^2)*e*(a + b*Cosh[d + e*x])^3) - ((5*a*A*b - 2*a^2*B - 3*b^2*B)*Sinh[d + e*x])/(6*(a^2 - b^2)^2*e*(a + b*Cosh[d + e*x])^2) - ((11*a^2*A*b + 4*A*b^3 - 2*a^3*B - 13*a*b^2*B)*Sinh[d + e*x])/(6*(a^2 - b^2)^3*e*(a + b*Cosh[d + e*x]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Cosh[c+d x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Cosh[c+d x]^2)^p*)
+
+
+{x/(a + b*Cosh[x]^2), x, 9, (x*Log[1 + (b*E^(2*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (x*Log[1 + (b*E^(2*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + PolyLog[2, -((b*E^(2*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))]/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - PolyLog[2, -((b*E^(2*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))]/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])}
+{x^2/(a + b*Cosh[x]^2), x, 11, (x^2*Log[1 + (b*E^(2*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (x^2*Log[1 + (b*E^(2*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (x*PolyLog[2, -((b*E^(2*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (x*PolyLog[2, -((b*E^(2*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - PolyLog[3, -((b*E^(2*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))]/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + PolyLog[3, -((b*E^(2*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))]/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])}
+{x^3/(a + b*Cosh[x]^2), x, 13, (x^3*Log[1 + (b*E^(2*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (x^3*Log[1 + (b*E^(2*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(2*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(2*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (3*x*PolyLog[3, -((b*E^(2*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (3*x*PolyLog[3, -((b*E^(2*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(4*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) + (3*PolyLog[4, -((b*E^(2*x))/(2*a + b - 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(8*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]) - (3*PolyLog[4, -((b*E^(2*x))/(2*a + b + 2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b]))])/(8*Sqrt[a]*Sqrt[a + b])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (1-a^2 x^2)^m Cosh[Sqrt[1-a x]/Sqrt[1+a x]]^n*)
+
+
+{Cosh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^3/(1 - a^2*x^2), x, 5, -((3*CoshIntegral[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]])/(4*a)) - CoshIntegral[(3*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]]/(4*a)}
+{Cosh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^2/(1 - a^2*x^2), x, 4, -(CoshIntegral[(2*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]]/(2*a)) - Log[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]/(2*a)}
+{Cosh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^1/(1 - a^2*x^2), x, 2, -(CoshIntegral[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]/a)}
+{1/(Cosh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^1*(1 - a^2*x^2)), x, 1, Unintegrable[Sech[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]/((1 - a*x)*(1 + a*x)), x]}
+{1/(Cosh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^2*(1 - a^2*x^2)), x, 1, Unintegrable[Sech[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]^2/((1 - a*x)*(1 + a*x)), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sinh[c+d x]^n (a+b Cosh[c+d x])^p*)
+
+
+{x*Sinh[x]/(a + b*Cosh[x])^2, x, 3, (2*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]) - x/(b*(a + b*Cosh[x]))}
+{x*Sinh[x]/(a + b*Cosh[x])^3, x, 5, (a*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b*(a + b)^(3/2)) - x/(2*b*(a + b*Cosh[x])^2) - Sinh[x]/(2*(a^2 - b^2)*(a + b*Cosh[x]))}
+
+
+{Sinh[a + b*x]*(2 + Cosh[a + b*x]^2)/x, x, 13, (9/4)*CoshIntegral[b*x]*Sinh[a] + (1/4)*CoshIntegral[3*b*x]*Sinh[3*a] + (9/4)*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x] + (1/4)*Cosh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x]}
+
+
+{(x^m*Sinh[c + d*x])/(a + b*Cosh[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[(x^m*Sinh[c + d*x])/(a + b*Cosh[c + d*x]), x]}
+
+{(x^3*Sinh[c + d*x])/(a + b*Cosh[c + d*x]), x, 11, -x^4/(4*b) + (x^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d) + (x^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d) + (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b*d^2) + (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b*d^2) - (6*x*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b*d^3) - (6*x*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b*d^3) + (6*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b*d^4) + (6*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b*d^4)}
+{(x^2*Sinh[c + d*x])/(a + b*Cosh[c + d*x]), x, 9, -x^3/(3*b) + (x^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d) + (x^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d) + (2*x*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b*d^2) + (2*x*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b*d^2) - (2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b*d^3) - (2*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b*d^3)}
+{(x*Sinh[c + d*x])/(a + b*Cosh[c + d*x]), x, 7, -x^2/(2*b) + (x*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d) + (x*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b*d) + PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))]/(b*d^2) + PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))]/(b*d^2)}
+{Sinh[c + d*x]/(a + b*Cosh[c + d*x]), x, 2, Log[a + b*Cosh[c + d*x]]/(b*d)}
+{Sinh[c + d*x]/(x*(a + b*Cosh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sinh[c + d*x]/(x*(a + b*Cosh[c + d*x])), x]}
+
+
+{(x^m*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Cosh[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[(x^m*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Cosh[c + d*x]), x]}
+
+{(x^3*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Cosh[c + d*x]), x, 18, -(a*x^4)/(4*b^2) - (6*Cosh[c + d*x])/(b*d^4) - (3*x^2*Cosh[c + d*x])/(b*d^2) + (Sqrt[a^2 - b^2]*x^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d) - (Sqrt[a^2 - b^2]*x^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d) + (3*Sqrt[a^2 - b^2]*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^2*d^2) - (3*Sqrt[a^2 - b^2]*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^2*d^2) - (6*Sqrt[a^2 - b^2]*x*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^2*d^3) + (6*Sqrt[a^2 - b^2]*x*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^2*d^3) + (6*Sqrt[a^2 - b^2]*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^2*d^4) - (6*Sqrt[a^2 - b^2]*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^2*d^4) + (6*x*Sinh[c + d*x])/(b*d^3) + (x^3*Sinh[c + d*x])/(b*d)}
+{(x^2*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Cosh[c + d*x]), x, 15, -(a*x^3)/(3*b^2) - (2*x*Cosh[c + d*x])/(b*d^2) + (Sqrt[a^2 - b^2]*x^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d) - (Sqrt[a^2 - b^2]*x^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d) + (2*Sqrt[a^2 - b^2]*x*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^2*d^2) - (2*Sqrt[a^2 - b^2]*x*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^2*d^2) - (2*Sqrt[a^2 - b^2]*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^2*d^3) + (2*Sqrt[a^2 - b^2]*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^2*d^3) + (2*Sinh[c + d*x])/(b*d^3) + (x^2*Sinh[c + d*x])/(b*d)}
+{(x*Sinh[c + d*x]^2)/(a + b*Cosh[c + d*x]), x, 12, -(a*x^2)/(2*b^2) - Cosh[c + d*x]/(b*d^2) + (Sqrt[a^2 - b^2]*x*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d) - (Sqrt[a^2 - b^2]*x*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^2*d) + (Sqrt[a^2 - b^2]*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^2*d^2) - (Sqrt[a^2 - b^2]*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^2*d^2) + (x*Sinh[c + d*x])/(b*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2/(a + b*Cosh[c + d*x]), x, 4, -((a*x)/b^2) + (2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(b^2*d) + Sinh[c + d*x]/(b*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2/(x*(a + b*Cosh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sinh[c + d*x]^2/(x*(a + b*Cosh[c + d*x])), x]}
+
+
+{(x^m*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Cosh[c + d*x]), x, 0, Unintegrable[(x^m*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Cosh[c + d*x]), x]}
+
+{(x^3*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Cosh[c + d*x]), x, 21, (3*x)/(8*b*d^3) + x^3/(4*b*d) - ((a^2 - b^2)*x^4)/(4*b^3) - (6*a*x*Cosh[c + d*x])/(b^2*d^3) - (a*x^3*Cosh[c + d*x])/(b^2*d) + ((a^2 - b^2)*x^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d) + ((a^2 - b^2)*x^3*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d) + (3*(a^2 - b^2)*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^3*d^2) + (3*(a^2 - b^2)*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^3*d^2) - (6*(a^2 - b^2)*x*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^3*d^3) - (6*(a^2 - b^2)*x*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^3*d^3) + (6*(a^2 - b^2)*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^3*d^4) + (6*(a^2 - b^2)*PolyLog[4, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^3*d^4) + (6*a*Sinh[c + d*x])/(b^2*d^4) + (3*a*x^2*Sinh[c + d*x])/(b^2*d^2) - (3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*b*d^4) - (3*x^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b*d^2) + (3*x*Sinh[c + d*x]^2)/(4*b*d^3) + (x^3*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b*d)}
+{(x^2*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Cosh[c + d*x]), x, 16, x^2/(4*b*d) - ((a^2 - b^2)*x^3)/(3*b^3) - (2*a*Cosh[c + d*x])/(b^2*d^3) - (a*x^2*Cosh[c + d*x])/(b^2*d) + ((a^2 - b^2)*x^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d) + ((a^2 - b^2)*x^2*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d) + (2*(a^2 - b^2)*x*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^3*d^2) + (2*(a^2 - b^2)*x*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^3*d^2) - (2*(a^2 - b^2)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^3*d^3) - (2*(a^2 - b^2)*PolyLog[3, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^3*d^3) + (2*a*x*Sinh[c + d*x])/(b^2*d^2) - (x*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*b*d^2) + Sinh[c + d*x]^2/(4*b*d^3) + (x^2*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b*d)}
+{(x*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Cosh[c + d*x]), x, 13, x/(4*b*d) - ((a^2 - b^2)*x^2)/(2*b^3) - (a*x*Cosh[c + d*x])/(b^2*d) + ((a^2 - b^2)*x*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d) + ((a^2 - b^2)*x*Log[1 + (b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2])])/(b^3*d) + ((a^2 - b^2)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a - Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^3*d^2) + ((a^2 - b^2)*PolyLog[2, -((b*E^(c + d*x))/(a + Sqrt[a^2 - b^2]))])/(b^3*d^2) + (a*Sinh[c + d*x])/(b^2*d^2) - (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*b*d^2) + (x*Sinh[c + d*x]^2)/(2*b*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3/(a + b*Cosh[c + d*x]), x, 3, -((a*Cosh[c + d*x])/(b^2*d)) + Cosh[c + d*x]^2/(2*b*d) + ((a^2 - b^2)*Log[a + b*Cosh[c + d*x]])/(b^3*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3/(x*(a + b*Cosh[c + d*x])), x, 0, Unintegrable[Sinh[c + d*x]^3/(x*(a + b*Cosh[c + d*x])), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cosh[a+b Log[c x^n]]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cosh[a+b Log[c x^n]]^p*)
+
+
+{Cosh[a + b*Log[c*x^n]], x, 1, (x*Cosh[a + b*Log[c*x^n]])/(1 - b^2*n^2) - (b*n*x*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(1 - b^2*n^2)}
+{Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^2, x, 2, -((2*b^2*n^2*x)/(1 - 4*b^2*n^2)) + (x*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(1 - 4*b^2*n^2) - (2*b*n*x*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(1 - 4*b^2*n^2)}
+{Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^3, x, 2, -((6*b^2*n^2*x*Cosh[a + b*Log[c*x^n]])/(1 - 10*b^2*n^2 + 9*b^4*n^4)) + (x*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^3)/(1 - 9*b^2*n^2) + (6*b^3*n^3*x*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(1 - 10*b^2*n^2 + 9*b^4*n^4) - (3*b*n*x*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^2*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(1 - 9*b^2*n^2)}
+{Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^4, x, 3, (24*b^4*n^4*x)/(1 - 20*b^2*n^2 + 64*b^4*n^4) - (12*b^2*n^2*x*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(1 - 20*b^2*n^2 + 64*b^4*n^4) + (x*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^4)/(1 - 16*b^2*n^2) + (24*b^3*n^3*x*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(1 - 20*b^2*n^2 + 64*b^4*n^4) - (4*b*n*x*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^3*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(1 - 16*b^2*n^2)}
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*Log[c*x^n]], x, 1, ((1 + m)*x^(1 + m)*Cosh[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + m)^2 - b^2*n^2) - (b*n*x^(1 + m)*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + m)^2 - b^2*n^2)}
+{x^m*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^2, x, 2, -((2*b^2*n^2*x^(1 + m))/((1 + m)*((1 + m)^2 - 4*b^2*n^2))) + ((1 + m)*x^(1 + m)*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^2)/((1 + m)^2 - 4*b^2*n^2) - (2*b*n*x^(1 + m)*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + m)^2 - 4*b^2*n^2)}
+{x^m*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^3, x, 2, -((6*b^2*(1 + m)*n^2*x^(1 + m)*Cosh[a + b*Log[c*x^n]])/(((1 + m)^2 - 9*b^2*n^2)*((1 + m)^2 - b^2*n^2))) + ((1 + m)*x^(1 + m)*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^3)/((1 + m)^2 - 9*b^2*n^2) + (6*b^3*n^3*x^(1 + m)*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(((1 + m)^2 - 9*b^2*n^2)*((1 + m)^2 - b^2*n^2)) - (3*b*n*x^(1 + m)*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^2*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + m)^2 - 9*b^2*n^2)}
+{x^m*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^4, x, 3, (24*b^4*n^4*x^(1 + m))/((1 + m)*((1 + m)^2 - 16*b^2*n^2)*((1 + m)^2 - 4*b^2*n^2)) - (12*b^2*(1 + m)*n^2*x^(1 + m)*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^2)/(((1 + m)^2 - 16*b^2*n^2)*((1 + m)^2 - 4*b^2*n^2)) + ((1 + m)*x^(1 + m)*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^4)/((1 + m)^2 - 16*b^2*n^2) + (24*b^3*n^3*x^(1 + m)*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(((1 + m)^2 - 16*b^2*n^2)*((1 + m)^2 - 4*b^2*n^2)) - (4*b*n*x^(1 + m)*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^3*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/((1 + m)^2 - 16*b^2*n^2)}
+
+
+{Cosh[a + b*Log[c*x^n]]/x, x, 2, Sinh[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n)}
+{Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^2/x, x, 3, Log[x]/2 + (Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(2*b*n)}
+{Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^3/x, x, 3, Sinh[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n) + Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^3/(3*b*n)}
+{Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^4/x, x, 4, 3*Log[x]/8 + (3*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(8*b*n) + (Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^3*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(4*b*n)}
+{Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^5/x, x, 3, Sinh[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n) + (2*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^3)/(3*b*n) + Sinh[a + b*Log[c*x^n]]^5/(5*b*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cosh[a+b Log[c x^n]]^(p/2)*)
+
+
+{Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)/x, x, 3, -((6*I*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*Log[c*x^n]), 2])/(5*b*n)) + (2*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(5*b*n)}
+{Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)/x, x, 3, -((2*I*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*Log[c*x^n]), 2])/(3*b*n)) + (2*Sqrt[Cosh[a + b*Log[c*x^n]]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(3*b*n)}
+{Sqrt[Cosh[a + b*Log[c*x^n]]]/x, x, 2, -((2*I*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*Log[c*x^n]), 2])/(b*n))}
+{1/(x*Sqrt[Cosh[a + b*Log[c*x^n]]]), x, 2, -((2*I*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*Log[c*x^n]), 2])/(b*n))}
+{1/(x*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)), x, 3, (2*I*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*Log[c*x^n]), 2])/(b*n) + (2*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(b*n*Sqrt[Cosh[a + b*Log[c*x^n]]])}
+{1/(x*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)), x, 3, -((2*I*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*Log[c*x^n]), 2])/(3*b*n)) + (2*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(3*b*n*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))}
+
+
+{Cosh[a + 2/n*Log[c*x^n]]^(5/2), x, 8, (-(1/4))*x*Cosh[a + (2*Log[c*x^n])/n]^(5/2) + (5*x*Cosh[a + (2*Log[c*x^n])/n]^(5/2))/(E^(2*a)*(c*x^n)^(4/n)*(4*(1 + 1/(E^(2*a)*(c*x^n)^(4/n)))^2)) + (5*x*Cosh[a + (2*Log[c*x^n])/n]^(5/2))/(12*(1 + 1/(E^(2*a)*(c*x^n)^(4/n)))) - (5*x*ArcCsch[E^a*(c*x^n)^(2/n)]*Cosh[a + (2*Log[c*x^n])/n]^(5/2))/(E^(3*a)*(c*x^n)^(6/n)*(4*(1 + 1/(E^(2*a)*(c*x^n)^(4/n)))^(5/2)))}
+{Sqrt[Cosh[a + 2/n*Log[c*x^n]]], x, 6, (1/2)*x*Sqrt[Cosh[a + (2*Log[c*x^n])/n]] - (x*ArcCsch[E^a*(c*x^n)^(2/n)]*Sqrt[Cosh[a + (2*Log[c*x^n])/n]])/(E^a*(c*x^n)^(2/n)*(2*Sqrt[1 + 1/(E^(2*a)*(c*x^n)^(4/n))]))}
+{1/Cosh[a + 2/n*Log[c*x^n]]^(3/2), x, 3, -((x*(1 + 1/(E^(2*a)*(c*x^n)^(4/n))))/(2*Cosh[a + (2*Log[c*x^n])/n]^(3/2)))}
+{1/Cosh[a + 2/n*Log[c*x^n]]^(7/2), x, 4, -((x*(1 + 1/(E^(2*a)*(c*x^n)^(4/n))))/(6*Cosh[a + (2*Log[c*x^n])/n]^(7/2))) - (x*(1 + 1/(E^(2*a)*(c*x^n)^(4/n))))/(E^(2*a)*(c*x^n)^(4/n)*(15*Cosh[a + (2*Log[c*x^n])/n]^(7/2)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[(a+b x)/(c+d x)]^n*)
+
+
+{Cosh[(a + b*x)/(c + d*x)], x, 5, ((c + d*x)*Cosh[(a + b*x)/(c + d*x)])/d + ((b*c - a*d)*CoshIntegral[(b*c - a*d)/(d*(c + d*x))]*Sinh[b/d])/d^2 - ((b*c - a*d)*Cosh[b/d]*SinhIntegral[(b*c - a*d)/(d*(c + d*x))])/d^2}
+{Cosh[(a + b*x)/(c + d*x)]^2, x, 6, ((c + d*x)*Cosh[(a + b*x)/(c + d*x)]^2)/d + ((b*c - a*d)*CoshIntegral[(2*(b*c - a*d))/(d*(c + d*x))]*Sinh[(2*b)/d])/d^2 - ((b*c - a*d)*Cosh[(2*b)/d]*SinhIntegral[(2*(b*c - a*d))/(d*(c + d*x))])/d^2}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(a+b x) Cosh[c+d x]^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(a+b x) Cosh[a+b x]^m*)
+
+
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]^4, x, 4, -(E^(-3*a - 3*b*x)/(48*b)) - E^(-a - b*x)/(4*b) + (3*E^(a + b*x))/(8*b) + E^(3*a + 3*b*x)/(12*b) + E^(5*a + 5*b*x)/(80*b)}
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]^3, x, 5, -(E^(-2*a - 2*b*x)/(16*b)) + (3*E^(2*a + 2*b*x))/(16*b) + E^(4*a + 4*b*x)/(32*b) + (3*x)/8}
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]^2, x, 4, -(E^(-a - b*x)/(4*b)) + E^(a + b*x)/(2*b) + E^(3*a + 3*b*x)/(12*b)}
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]^1, x, 4, E^(2*a + 2*b*x)/(4*b) + x/2}
+{E^(a + b*x)*Sech[a + b*x]^1, x, 3, Log[1 + E^(2*a + 2*b*x)]/b}
+{E^(a + b*x)*Sech[a + b*x]^2, x, 4, -((2*E^(a + b*x))/(b*(1 + E^(2*a + 2*b*x)))) + (2*ArcTan[E^(a + b*x)])/b}
+{E^(a + b*x)*Sech[a + b*x]^3, x, 3, (2*E^(4*a + 4*b*x))/(b*(1 + E^(2*a + 2*b*x))^2)}
+{E^(a + b*x)*Sech[a + b*x]^4, x, 6, -((8*E^(3*a + 3*b*x))/(3*b*(1 + E^(2*a + 2*b*x))^3)) - (2*E^(a + b*x))/(b*(1 + E^(2*a + 2*b*x))^2) + E^(a + b*x)/(b*(1 + E^(2*a + 2*b*x))) + ArcTan[E^(a + b*x)]/b}
+{E^(a + b*x)*Sech[a + b*x]^5, x, 5, -(4/(b*(1 + E^(2*a + 2*b*x))^4)) + 32/(3*b*(1 + E^(2*a + 2*b*x))^3) - 8/(b*(1 + E^(2*a + 2*b*x))^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^x Cosh[n x]^m*)
+
+
+{E^x*Cosh[2*x]^2, x, 4, -(1/12)/E^(3*x) + E^x/2 + E^(5*x)/20}
+{E^x*Cosh[2*x], x, 4, -(1/(E^x*2)) + E^(3*x)/6}
+{E^x*Sech[2*x], x, 11, -(ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^x]/Sqrt[2]) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^x]/Sqrt[2] + Log[1 - Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(2*Sqrt[2]) - Log[1 + Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(2*Sqrt[2])}
+{E^x*Sech[2*x]^2, x, 12, -(E^x/(1 + E^(4*x))) - ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^x]/(2*Sqrt[2]) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^x]/(2*Sqrt[2]) - Log[1 - Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(4*Sqrt[2]) + Log[1 + Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(4*Sqrt[2])}
+
+
+{E^x*Cosh[3*x]^2, x, 4, -(1/20)/E^(5*x) + E^x/2 + E^(7*x)/28}
+{E^x*Cosh[3*x], x, 4, -(1/4)/E^(2*x) + E^(4*x)/8}
+{E^x*Sech[3*x], x, 9, -(ArcTan[(1 - 2*E^(2*x))/Sqrt[3]]/Sqrt[3]) - (1/3)*Log[1 + E^(2*x)] + (1/6)*Log[1 - E^(2*x) + E^(4*x)]}
+{E^x*Sech[3*x]^2, x, 13, -((2*E^x)/(3*(1 + E^(6*x)))) + (2*ArcTan[E^x])/9 - (1/9)*ArcTan[Sqrt[3] - 2*E^x] + (1/9)*ArcTan[Sqrt[3] + 2*E^x] - Log[1 - Sqrt[3]*E^x + E^(2*x)]/(6*Sqrt[3]) + Log[1 + Sqrt[3]*E^x + E^(2*x)]/(6*Sqrt[3])}
+
+
+{E^x*Cosh[4*x]^2, x, 4, -(1/28)/E^(7*x) + E^x/2 + E^(9*x)/36}
+{E^x*Cosh[4*x], x, 4, -(1/6)/E^(3*x) + E^(5*x)/10}
+{E^x*Sech[4*x], x, 21, ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] - 2*E^x)/Sqrt[2 + Sqrt[2]]]/(2*Sqrt[2*(2 + Sqrt[2])]) - ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] - 2*E^x)/Sqrt[2 - Sqrt[2]]]/(2*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]) - ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] + 2*E^x)/Sqrt[2 + Sqrt[2]]]/(2*Sqrt[2*(2 + Sqrt[2])]) + ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] + 2*E^x)/Sqrt[2 - Sqrt[2]]]/(2*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]) - Log[1 - Sqrt[2 - Sqrt[2]]*E^x + E^(2*x)]/(4*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]) + Log[1 + Sqrt[2 - Sqrt[2]]*E^x + E^(2*x)]/(4*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]) + Log[1 - Sqrt[2 + Sqrt[2]]*E^x + E^(2*x)]/(4*Sqrt[2*(2 + Sqrt[2])]) - Log[1 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]*E^x + E^(2*x)]/(4*Sqrt[2*(2 + Sqrt[2])])}
+{E^x*Sech[4*x]^2, x, 22, -(E^x/(2*(1 + E^(8*x)))) - ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] - 2*E^x)/Sqrt[2 + Sqrt[2]]]/(8*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]) - ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] - 2*E^x)/Sqrt[2 - Sqrt[2]]]/(8*Sqrt[2*(2 + Sqrt[2])]) + ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] + 2*E^x)/Sqrt[2 + Sqrt[2]]]/(8*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]) + ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] + 2*E^x)/Sqrt[2 - Sqrt[2]]]/(8*Sqrt[2*(2 + Sqrt[2])]) - (1/32)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 - Sqrt[2 - Sqrt[2]]*E^x + E^(2*x)] + (1/32)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + Sqrt[2 - Sqrt[2]]*E^x + E^(2*x)] - (1/32)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 - Sqrt[2 + Sqrt[2]]*E^x + E^(2*x)] + (1/32)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]*E^x + E^(2*x)]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F^(c (a+b x)) Cosh[d+e x]^m*)
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x]^3, x, 2, -((b*c*F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x]^3*Log[F])/(9*e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)) - (6*b*c*e^2*F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x]*Log[F])/(9*e^4 - 10*b^2*c^2*e^2*Log[F]^2 + b^4*c^4*Log[F]^4) + (3*e*F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x]^2*Sinh[d + e*x])/(9*e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2) + (6*e^3*F^(c*(a + b*x))*Sinh[d + e*x])/(9*e^4 - 10*b^2*c^2*e^2*Log[F]^2 + b^4*c^4*Log[F]^4)}
+{F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x]^2, x, 2, (2*e^2*F^(c*(a + b*x)))/(b*c*Log[F]*(4*e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)) - (b*c*F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x]^2*Log[F])/(4*e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2) + (2*e*F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x]*Sinh[d + e*x])/(4*e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x]^1, x, 1, -((b*c*F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x]*Log[F])/(e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)) + (e*F^(c*(a + b*x))*Sinh[d + e*x])/(e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))*Sech[d + e*x]^1, x, 1, (2*E^(d + e*x)*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, (e + b*c*Log[F])/(2*e), (1/2)*(3 + (b*c*Log[F])/e), -E^(2*(d + e*x))])/(e + b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))*Sech[d + e*x]^2, x, 1, (4*E^(2*(d + e*x))*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, 1 + (b*c*Log[F])/(2*e), 2 + (b*c*Log[F])/(2*e), -E^(2*(d + e*x))])/(2*e + b*c*Log[F])}
+{F^(c*(a + b*x))*Sech[d + e*x]^3, x, 2, (E^(d + e*x)*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, (e + b*c*Log[F])/(2*e), (1/2)*(3 + (b*c*Log[F])/e), -E^(2*(d + e*x))]*(e - b*c*Log[F]))/e^2 + (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F]*Sech[d + e*x])/(2*e^2) + (F^(c*(a + b*x))*Sech[d + e*x]*Tanh[d + e*x])/(2*e)}
+{F^(c*(a + b*x))*Sech[d + e*x]^4, x, 2, (2*E^(2*(d + e*x))*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, 1 + (b*c*Log[F])/(2*e), 2 + (b*c*Log[F])/(2*e), -E^(2*(d + e*x))]*(2*e - b*c*Log[F]))/(3*e^2) + (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F]*Sech[d + e*x]^2)/(6*e^2) + (F^(c*(a + b*x))*Sech[d + e*x]^2*Tanh[d + e*x])/(3*e)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(c (a+b x)) (Cosh[a c+b c x]^2)^(m/2)*)
+
+
+{E^(c*(a + b*x))*(Cosh[a*c + b*c*x]^2)^(5/2), x, 6, -(Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2]*Sech[a*c + b*c*x])/(128*b*c*E^(4*c*(a + b*x))) - (5*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2]*Sech[a*c + b*c*x])/(64*b*c*E^(2*c*(a + b*x))) + (5*E^(2*c*(a + b*x))*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2]*Sech[a*c + b*c*x])/(32*b*c) + (5*E^(4*c*(a + b*x))*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2]*Sech[a*c + b*c*x])/(128*b*c) + (E^(6*c*(a + b*x))*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2]*Sech[a*c + b*c*x])/(192*b*c) + (5*x*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2]*Sech[a*c + b*c*x])/16}
+{E^(c*(a + b*x))*(Cosh[a*c + b*c*x]^2)^(3/2), x, 6, -(Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2]*Sech[a*c + b*c*x])/(16*b*c*E^(2*c*(a + b*x))) + (3*E^(2*c*(a + b*x))*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2]*Sech[a*c + b*c*x])/(16*b*c) + (E^(4*c*(a + b*x))*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2]*Sech[a*c + b*c*x])/(32*b*c) + (3*x*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2]*Sech[a*c + b*c*x])/8}
+{E^(c*(a + b*x))*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2], x, 5, (E^(2*c*(a + b*x))*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2]*Sech[a*c + b*c*x])/(4*b*c) + (x*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2]*Sech[a*c + b*c*x])/2}
+{E^(c*(a + b*x))/Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2], x, 4, (Cosh[a*c + b*c*x]*Log[1 + E^(2*c*(a + b*x))])/(b*c*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2])}
+{E^(c*(a + b*x))/(Cosh[a*c + b*c*x]^2)^(3/2), x, 4, (2*E^(4*c*(a + b*x))*Cosh[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^2*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2])}
+{E^(c*(a + b*x))/(Cosh[a*c + b*c*x]^2)^(5/2), x, 6, (-4*Cosh[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^4*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2]) + (32*Cosh[a*c + b*c*x])/(3*b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^3*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2]) - (8*Cosh[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^2*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2])}
+{E^(c*(a + b*x))/(Cosh[a*c + b*c*x]^2)^(7/2), x, 6, (32*Cosh[a*c + b*c*x])/(3*b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^6*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2]) - (192*Cosh[a*c + b*c*x])/(5*b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^5*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2]) + (48*Cosh[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^4*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2]) - (64*Cosh[a*c + b*c*x])/(3*b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^3*Sqrt[Cosh[a*c + b*c*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(a+b x+c x^2) Cosh[d+e x+f x^2]^m*)
+
+
+{E^x*Cosh[a + b*x], x, 1, (E^x*Cosh[a + b*x])/(1 - b^2) - (b*E^x*Sinh[a + b*x])/(1 - b^2)}
+{E^x*Cosh[a + c*x^2], x, 6, -((E^(-a + 1/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(1 - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c])) + (E^(a - 1/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(1 + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c])}
+{E^x*Cosh[a + b*x + c*x^2], x, 6, -((E^(-a + (1 - b)^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erf[(1 - b - 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c])) + (E^(a - (1 + b)^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[(1 + b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c])}
+
+{E^(x^2)*Cosh[a + b*x], x, 6, (1/4)*E^(-a - b^2/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-b + 2*x)] + (1/4)*E^(a - b^2/4)*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(b + 2*x)]}
+{E^(x^2)*Cosh[a + c*x^2], x, 4, (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[1 - c]*x])/(E^a*(4*Sqrt[1 - c])) + (E^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[1 + c]*x])/(4*Sqrt[1 + c])}
+{E^(x^2)*Cosh[a + b*x + c*x^2], x, 6, -((E^(-a - b^2/(4*(1 - c)))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b - 2*(1 - c)*x)/(2*Sqrt[1 - c])])/(4*Sqrt[1 - c])) + (E^(a - b^2/(4*(1 + c)))*Sqrt[Pi]*Erfi[(b + 2*(1 + c)*x)/(2*Sqrt[1 + c])])/(4*Sqrt[1 + c])}
+
+
+{f^(a + b*x)*Cosh[d + f*x^2], x, 8, (E^(-d + (b^2*Log[f]^2)/(4*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*f*x - b*Log[f])/(2*Sqrt[f])])/4 + (E^(d - (b^2*Log[f]^2)/(4*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*f*x + b*Log[f])/(2*Sqrt[f])])/4}
+{f^(a + b*x)*Cosh[d + f*x^2]^2, x, 9, (E^(-2*d + (b^2*Log[f]^2)/(8*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(4*f*x - b*Log[f])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[f])])/8 + (E^(2*d - (b^2*Log[f]^2)/(8*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(4*f*x + b*Log[f])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[f])])/8 + f^(a + b*x)/(2*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x)*Cosh[d + f*x^2]^3, x, 14, (3*E^(-d + (b^2*Log[f]^2)/(4*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*f*x - b*Log[f])/(2*Sqrt[f])])/16 + (E^(-3*d + (b^2*Log[f]^2)/(12*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(6*f*x - b*Log[f])/(2*Sqrt[3]*Sqrt[f])])/16 + (3*E^(d - (b^2*Log[f]^2)/(4*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*f*x + b*Log[f])/(2*Sqrt[f])])/16 + (E^(3*d - (b^2*Log[f]^2)/(12*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(6*f*x + b*Log[f])/(2*Sqrt[3]*Sqrt[f])])/16}
+
+{f^(a + b*x)*Cosh[d + e*x + f*x^2], x, 8, (E^(-d + (e - b*Log[f])^2/(4*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[(e + 2*f*x - b*Log[f])/(2*Sqrt[f])])/4 + (E^(d - (e + b*Log[f])^2/(4*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + 2*f*x + b*Log[f])/(2*Sqrt[f])])/4}
+{f^(a + b*x)*Cosh[d + e*x + f*x^2]^2, x, 9, (E^(-2*d + (2*e - b*Log[f])^2/(8*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(2*e + 4*f*x - b*Log[f])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[f])])/8 + (E^(2*d - (2*e + b*Log[f])^2/(8*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(2*e + 4*f*x + b*Log[f])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[f])])/8 + f^(a + b*x)/(2*b*Log[f])}
+{f^(a + b*x)*Cosh[d + e*x + f*x^2]^3, x, 14, (3*E^(-d + (e - b*Log[f])^2/(4*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erf[(e + 2*f*x - b*Log[f])/(2*Sqrt[f])])/16 + (E^(-3*d + (3*e - b*Log[f])^2/(12*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(3*e + 6*f*x - b*Log[f])/(2*Sqrt[3]*Sqrt[f])])/16 + (3*E^(d - (e + b*Log[f])^2/(4*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + 2*f*x + b*Log[f])/(2*Sqrt[f])])/16 + (E^(3*d - (3*e + b*Log[f])^2/(12*f))*f^(-1/2 + a)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(3*e + 6*f*x + b*Log[f])/(2*Sqrt[3]*Sqrt[f])])/16}
+
+
+{f^(a + c*x^2)*Cosh[d + e*x], x, 8, If[$VersionNumber>=8, -(E^(-d - e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(d - e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (E^(-d - e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(d - e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+{f^(a + c*x^2)*Cosh[d + e*x]^2, x, 9, If[$VersionNumber>=8, (f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*x*Sqrt[Log[f]]])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^(-2*d - e^2/(c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e - c*x*Log[f])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(2*d - e^2/(c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + c*x*Log[f])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*x*Sqrt[Log[f]]])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(-2*d - e^2/(c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((e - c*x*Log[f])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(2*d - e^2/(c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + c*x*Log[f])/(Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+{f^(a + c*x^2)*Cosh[d + e*x]^3, x, 14, If[$VersionNumber>=8, (-3*E^(-d - e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^(-3*d - (9*e^2)/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (3*E^(d - e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(3*d - (9*e^2)/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (3*E^(-d - e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(-3*d - (9*e^2)/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((3*e - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (3*E^(d - e^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(3*d - (9*e^2)/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*e + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+
+{f^(a + c*x^2)*Cosh[d + f*x^2], x, 6, (f^a*Sqrt[Pi]*Erf[x*Sqrt[f - c*Log[f]]])/(4*E^d*Sqrt[f - c*Log[f]]) + (E^d*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[x*Sqrt[f + c*Log[f]]])/(4*Sqrt[f + c*Log[f]])}
+{f^(a + c*x^2)*Cosh[d + f*x^2]^2, x, 7, (f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*x*Sqrt[Log[f]]])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (f^a*Sqrt[Pi]*Erf[x*Sqrt[2*f - c*Log[f]]])/(8*E^(2*d)*Sqrt[2*f - c*Log[f]]) + (E^(2*d)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[x*Sqrt[2*f + c*Log[f]]])/(8*Sqrt[2*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + c*x^2)*Cosh[d + f*x^2]^3, x, 10, (3*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[x*Sqrt[f - c*Log[f]]])/(16*E^d*Sqrt[f - c*Log[f]]) + (f^a*Sqrt[Pi]*Erf[x*Sqrt[3*f - c*Log[f]]])/(16*E^(3*d)*Sqrt[3*f - c*Log[f]]) + (3*E^d*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[x*Sqrt[f + c*Log[f]]])/(16*Sqrt[f + c*Log[f]]) + (E^(3*d)*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[x*Sqrt[3*f + c*Log[f]]])/(16*Sqrt[3*f + c*Log[f]])}
+
+{f^(a + c*x^2)*Cosh[d + e*x + f*x^2], x, 8, (E^(-d + e^2/(4*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(e + 2*x*(f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[f - c*Log[f]])])/(4*Sqrt[f - c*Log[f]]) + (E^(d - e^2/(4*(f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + 2*x*(f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[f + c*Log[f]])])/(4*Sqrt[f + c*Log[f]])}
+{f^(a + c*x^2)*Cosh[d + e*x + f*x^2]^2, x, 9, (f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c]*x*Sqrt[Log[f]]])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(-2*d + e^2/(2*f - c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(e + x*(2*f - c*Log[f]))/Sqrt[2*f - c*Log[f]]])/(8*Sqrt[2*f - c*Log[f]]) + (E^(2*d - e^2/(2*f + c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + x*(2*f + c*Log[f]))/Sqrt[2*f + c*Log[f]]])/(8*Sqrt[2*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + c*x^2)*Cosh[d + e*x + f*x^2]^3, x, 14, (3*E^(-d + e^2/(4*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(e + 2*x*(f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[f - c*Log[f]]) + (E^(-3*d + (9*e^2)/(12*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(3*e + 2*x*(3*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*f - c*Log[f]]) + (3*E^(d - e^2/(4*(f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + 2*x*(f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[f + c*Log[f]]) + (E^(3*d - (9*e^2)/(4*(3*f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*e + 2*x*(3*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*f + c*Log[f]])}
+
+
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cosh[d + e*x], x, 8, If[$VersionNumber>=8, -(E^(-d - (e - b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(d - (e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (E^(-d - (e - b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(d - (e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cosh[d + e*x]^2, x, 10, If[$VersionNumber>=8, (f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^(-2*d - (2*e - b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(2*d - (2*e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(-2*d - (2*e - b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((2*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(2*d - (2*e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(8*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cosh[d + e*x]^3, x, 14, If[$VersionNumber>=8, (-3*E^(-d - (e - b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^(-3*d - (3*e - b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (3*E^(d - (e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(3*d - (3*e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]), (3*E^(-d - (e - b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(-3*d - (3*e - b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[-((3*e - b*Log[f] - 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]))])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (3*E^(d - (e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(3*d - (3*e + b*Log[f])^2/(4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*e + b*Log[f] + 2*c*x*Log[f])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])])/(16*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]])]}
+
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cosh[d + f*x^2], x, 8, -(E^(-d + (b^2*Log[f]^2)/(4*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(b*Log[f] - 2*x*(f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[f - c*Log[f]])])/(4*Sqrt[f - c*Log[f]]) + (E^(d - (b^2*Log[f]^2)/(4*(f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*Log[f] + 2*x*(f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[f + c*Log[f]])])/(4*Sqrt[f + c*Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cosh[d + f*x^2]^2, x, 10, (f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) - (E^(-2*d + (b^2*Log[f]^2)/(8*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(b*Log[f] - 2*x*(2*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[2*f - c*Log[f]])])/(8*Sqrt[2*f - c*Log[f]]) + (E^(2*d - (b^2*Log[f]^2)/(8*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*Log[f] + 2*x*(2*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[2*f + c*Log[f]])])/(8*Sqrt[2*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cosh[d + f*x^2]^3, x, 14, (-3*E^(-d + (b^2*Log[f]^2)/(4*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(b*Log[f] - 2*x*(f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[f - c*Log[f]]) - (E^(-3*d + (b^2*Log[f]^2)/(12*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(b*Log[f] - 2*x*(3*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*f - c*Log[f]]) + (3*E^(d - (b^2*Log[f]^2)/(4*(f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*Log[f] + 2*x*(f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[f + c*Log[f]]) + (E^(3*d - (b^2*Log[f]^2)/(4*(3*f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(b*Log[f] + 2*x*(3*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*f + c*Log[f]])}
+
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cosh[d + e*x + f*x^2], x, 8, (E^(-d + (e - b*Log[f])^2/(4*(f - c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(e - b*Log[f] + 2*x*(f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[f - c*Log[f]])])/(4*Sqrt[f - c*Log[f]]) + (E^(d - (e + b*Log[f])^2/(4*(f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + b*Log[f] + 2*x*(f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[f + c*Log[f]])])/(4*Sqrt[f + c*Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cosh[d + e*x + f*x^2]^2, x, 10, (f^(a - b^2/(4*c))*Sqrt[Pi]*Erfi[((b + 2*c*x)*Sqrt[Log[f]])/(2*Sqrt[c])])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[Log[f]]) + (E^(-2*d + (2*e - b*Log[f])^2/(8*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(2*e - b*Log[f] + 2*x*(2*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[2*f - c*Log[f]])])/(8*Sqrt[2*f - c*Log[f]]) + (E^(2*d - (2*e + b*Log[f])^2/(8*f + 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*e + b*Log[f] + 2*x*(2*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[2*f + c*Log[f]])])/(8*Sqrt[2*f + c*Log[f]])}
+{f^(a + b*x + c*x^2)*Cosh[d + e*x + f*x^2]^3, x, 14, (3*E^(-d + (e - b*Log[f])^2/(4*(f - c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(e - b*Log[f] + 2*x*(f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[f - c*Log[f]]) + (E^(-3*d + (3*e - b*Log[f])^2/(12*f - 4*c*Log[f]))*f^a*Sqrt[Pi]*Erf[(3*e - b*Log[f] + 2*x*(3*f - c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*f - c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*f - c*Log[f]]) + (3*E^(d - (e + b*Log[f])^2/(4*(f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(e + b*Log[f] + 2*x*(f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[f + c*Log[f]]) + (E^(3*d - (3*e + b*Log[f])^2/(4*(3*f + c*Log[f])))*f^a*Sqrt[Pi]*Erfi[(3*e + b*Log[f] + 2*x*(3*f + c*Log[f]))/(2*Sqrt[3*f + c*Log[f]])])/(16*Sqrt[3*f + c*Log[f]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Miscellaneous integrands involving hyperbolic cosines*)
+
+
+{x/Cosh[x]^(3/2) + x*Sqrt[Cosh[x]], x, 2, -4*Sqrt[Cosh[x]] + (2*x*Sinh[x])/Sqrt[Cosh[x]]}
+{x/Cosh[x]^(5/2) - x/(3*Sqrt[Cosh[x]]), x, 2, 4/(3*Sqrt[Cosh[x]]) + (2*x*Sinh[x])/(3*Cosh[x]^(3/2))}
+{x/Cosh[x]^(7/2) + (3/5)*x*Sqrt[Cosh[x]], x, 3, 4/(15*Cosh[x]^(3/2)) - (12*Sqrt[Cosh[x]])/5 + (2*x*Sinh[x])/(5*Cosh[x]^(5/2)) + (6*x*Sinh[x])/(5*Sqrt[Cosh[x]])}
+{x^2/Cosh[x]^(3/2) + x^2*Sqrt[Cosh[x]], x, 3, -8*x*Sqrt[Cosh[x]] - 16*I*EllipticE[(I*x)/2, 2] + (2*x^2*Sinh[x])/Sqrt[Cosh[x]]}
+
+
+{(x + Cosh[x])^2, x, 6, x/2 + x^3/3 - 2*Cosh[x] + 2*x*Sinh[x] + (1/2)*Cosh[x]*Sinh[x]}
+{(x + Cosh[x])^3, x, 9, (3*x^2)/4 + x^4/4 - 6*x*Cosh[x] - (3*Cosh[x]^2)/4 + 7*Sinh[x] + 3*x^2*Sinh[x] + (3/2)*x*Cosh[x]*Sinh[x] + Sinh[x]^3/3}
+
+
+{Cosh[a + b*x]/(c + d*x^2), x, 8, (Cosh[a + (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d]]*CoshIntegral[(b*Sqrt[-c])/Sqrt[d] - b*x])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (Cosh[a - (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d]]*CoshIntegral[(b*Sqrt[-c])/Sqrt[d] + b*x])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (Sinh[a + (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d]]*SinhIntegral[(b*Sqrt[-c])/Sqrt[d] - b*x])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (Sinh[a - (b*Sqrt[-c])/Sqrt[d]]*SinhIntegral[(b*Sqrt[-c])/Sqrt[d] + b*x])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d])}
+{Cosh[a + b*x]/(c + d*x + e*x^2), x, 8, (Cosh[a - (b*(d - Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e)]*CoshIntegral[(b*(d - Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e) + b*x])/Sqrt[d^2 - 4*c*e] - (Cosh[a - (b*(d + Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e)]*CoshIntegral[(b*(d + Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e) + b*x])/Sqrt[d^2 - 4*c*e] + (Sinh[a - (b*(d - Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e)]*SinhIntegral[(b*(d - Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e) + b*x])/Sqrt[d^2 - 4*c*e] - (Sinh[a - (b*(d + Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e)]*SinhIntegral[(b*(d + Sqrt[d^2 - 4*c*e]))/(2*e) + b*x])/Sqrt[d^2 - 4*c*e]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.2 Hyperbolic cosine/6.2.7 hyper^m (a+b cosh^n)^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.2 Hyperbolic cosine/6.2.7 hyper^m (a+b cosh^n)^p.m
new file mode 100644
index 00000000..119e8f3f
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.2 Hyperbolic cosine/6.2.7 hyper^m (a+b cosh^n)^p.m	
@@ -0,0 +1,263 @@
+(* ::Package:: *)
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+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^n)^p*)
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^2)^p*)
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^2)^p when a+b=0*)
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+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
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+{Sinh[x]^4/(a - a*Cosh[x]^2), x, 3, x/(2*a) - (Cosh[x]*Sinh[x])/(2*a)}
+{Sinh[x]^3/(a - a*Cosh[x]^2), x, 2, -(Cosh[x]/a)}
+{Sinh[x]^2/(a - a*Cosh[x]^2), x, 2, -x/a}
+{Csch[x]^2/(a - a*Cosh[x]^2), x, 3, -(Coth[x]/a) + Coth[x]^3/(3*a)}
+{Csch[x]^4/(a - a*Cosh[x]^2), x, 3, Coth[x]/a - (2*Coth[x]^3)/(3*a) + Coth[x]^5/(5*a)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sinh[x]^7/(a + b*Cosh[x]^2), x, 4, -(((a + b)^3*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^(7/2))) + ((a^2 + 3*a*b + 3*b^2)*Cosh[x])/b^3 - ((a + 3*b)*Cosh[x]^3)/(3*b^2) + Cosh[x]^5/(5*b)}
+{Sinh[x]^5/(a + b*Cosh[x]^2), x, 4, ((a + b)^2*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^(5/2)) - ((a + 2*b)*Cosh[x])/b^2 + Cosh[x]^3/(3*b)}
+{Sinh[x]^3/(a + b*Cosh[x]^2), x, 3, -(((a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^(3/2))) + Cosh[x]/b}
+{Sinh[x]^1/(a + b*Cosh[x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b])}
+{Csch[x]^1/(a + b*Cosh[x]^2), x, 4, -((Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b))) - ArcTanh[Cosh[x]]/(a + b)}
+{Csch[x]^3/(a + b*Cosh[x]^2), x, 5, (b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)^2) + ((a + 3*b)*ArcTanh[Cosh[x]])/(2*(a + b)^2) - (Coth[x]*Csch[x])/(2*(a + b))}
+{Csch[x]^5/(a + b*Cosh[x]^2), x, 6, -((b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)^3)) - ((3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*ArcTanh[Cosh[x]])/(8*(a + b)^3) + ((3*a + 7*b)*Coth[x]*Csch[x])/(8*(a + b)^2) - (Coth[x]*Csch[x]^3)/(4*(a + b))}
+
+{Sinh[x]^6/(a + b*Cosh[x]^2), x, 6, ((8*a^2 + 20*a*b + 15*b^2)*x)/(8*b^3) - ((a + b)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a]*b^3) - ((4*a + 7*b)*Cosh[x]*Sinh[x])/(8*b^2) + (Cosh[x]*Sinh[x]^3)/(4*b)}
+{Sinh[x]^4/(a + b*Cosh[x]^2), x, 5, -(((2*a + 3*b)*x)/(2*b^2)) + ((a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a]*b^2) + (Cosh[x]*Sinh[x])/(2*b)}
+{Sinh[x]^2/(a + b*Cosh[x]^2), x, 4, x/b - (Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a]*b)}
+{Sinh[x]^0/(a + b*Cosh[x]^2), x, 2, ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b])}
+{Csch[x]^4/(a + b*Cosh[x]^2), x, 4, (b^2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a]*(a + b)^(5/2)) + ((a + 2*b)*Coth[x])/(a + b)^2 - Coth[x]^3/(3*(a + b))}
+{Csch[x]^6/(a + b*Cosh[x]^2), x, 4, -((b^3*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a]*(a + b)^(7/2))) - ((a^2 + 3*a*b + 3*b^2)*Coth[x])/(a + b)^3 + ((2*a + 3*b)*Coth[x]^3)/(3*(a + b)^2) - Coth[x]^5/(5*(a + b))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^3)^p*)
+
+
+{Sinh[x]/(4 - 3*Cosh[x]^3), x, 7, ArcTan[(1 + 6^(1/3)*Cosh[x])/Sqrt[3]]/(2*2^(1/3)*3^(5/6)) - Log[2^(2/3) - 3^(1/3)*Cosh[x]]/(6*6^(1/3)) + Log[2*2^(1/3) + 2^(2/3)*3^(1/3)*Cosh[x] + 3^(2/3)*Cosh[x]^2]/(12*6^(1/3))}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cosh[x]^7/(a + b*Cosh[x]^2), x, 4, -((a^3*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[x])/Sqrt[a + b]])/(b^(7/2)*Sqrt[a + b])) + ((a^2 - a*b + b^2)*Sinh[x])/b^3 - ((a - 2*b)*Sinh[x]^3)/(3*b^2) + Sinh[x]^5/(5*b)}
+{Cosh[x]^6/(a + b*Cosh[x]^2), x, 6, ((8*a^2 - 4*a*b + 3*b^2)*x)/(8*b^3) - (a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b]])/(b^3*Sqrt[a + b]) - ((4*a - 3*b)*Cosh[x]*Sinh[x])/(8*b^2) + (Cosh[x]^3*Sinh[x])/(4*b)}
+{Cosh[x]^5/(a + b*Cosh[x]^2), x, 4, (a^2*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[x])/Sqrt[a + b]])/(b^(5/2)*Sqrt[a + b]) - ((a - b)*Sinh[x])/b^2 + Sinh[x]^3/(3*b)}
+{Cosh[x]^4/(a + b*Cosh[x]^2), x, 5, -(((2*a - b)*x)/(2*b^2)) + (a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b]])/(b^2*Sqrt[a + b]) + (Cosh[x]*Sinh[x])/(2*b)}
+{Cosh[x]^3/(a + b*Cosh[x]^2), x, 3, -((a*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[x])/Sqrt[a + b]])/(b^(3/2)*Sqrt[a + b])) + Sinh[x]/b}
+{Cosh[x]^2/(a + b*Cosh[x]^2), x, 3, x/b - (Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b]])/(b*Sqrt[a + b])}
+{Cosh[x]^1/(a + b*Cosh[x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[x])/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[b]*Sqrt[a + b])}
+{Cosh[x]^0/(a + b*Cosh[x]^2), x, 2, ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b])}
+{Sech[x]^1/(a + b*Cosh[x]^2), x, 4, ArcTan[Sinh[x]]/a - (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[x])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a + b])}
+{Sech[x]^2/(a + b*Cosh[x]^2), x, 3, -((b*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b]])/(a^(3/2)*Sqrt[a + b])) + Tanh[x]/a}
+{Sech[x]^3/(a + b*Cosh[x]^2), x, 5, ((a - 2*b)*ArcTan[Sinh[x]])/(2*a^2) + (b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[x])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a + b]) + (Sech[x]*Tanh[x])/(2*a)}
+{Sech[x]^4/(a + b*Cosh[x]^2), x, 4, (b^2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b]])/(a^(5/2)*Sqrt[a + b]) + ((a - b)*Tanh[x])/a^2 - Tanh[x]^3/(3*a)}
+{Sech[x]^5/(a + b*Cosh[x]^2), x, 6, ((3*a^2 - 4*a*b + 8*b^2)*ArcTan[Sinh[x]])/(8*a^3) - (b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sinh[x])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a + b]) + ((3*a - 4*b)*Sech[x]*Tanh[x])/(8*a^2) + (Sech[x]^3*Tanh[x])/(4*a)}
+
+
+{1/(a + b*Cosh[x]^2)^2, x, 4, ((2*a + b)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^(3/2)) - (b*Cosh[x]*Sinh[x])/(2*a*(a + b)*(a + b*Cosh[x]^2))}
+
+
+{1/(a + b*Cosh[x]^2)^3, x, 5, ((8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^(5/2)*(a + b)^(5/2)) - (b*Cosh[x]*Sinh[x])/(4*a*(a + b)*(a + b*Cosh[x]^2)^2) - (3*b*(2*a + b)*Cosh[x]*Sinh[x])/(8*a^2*(a + b)^2*(a + b*Cosh[x]^2))}
+
+
+{1/(1 + Cosh[x]^2), x, 2, ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[2]]/Sqrt[2]}
+{1/(1 + Cosh[x]^2)^2, x, 4, (3*ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[2]])/(4*Sqrt[2]) - (Cosh[x]*Sinh[x])/(4*(1 + Cosh[x]^2))}
+{1/(1 + Cosh[x]^2)^3, x, 5, (19*ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[2]])/(32*Sqrt[2]) - (Cosh[x]*Sinh[x])/(8*(1 + Cosh[x]^2)^2) - (9*Cosh[x]*Sinh[x])/(32*(1 + Cosh[x]^2))}
+
+{1/(1 - Cosh[x]^2), x, 3, Coth[x]}
+{1/(1 - Cosh[x]^2)^2, x, 3, Coth[x] - Coth[x]^3/3}
+{1/(1 - Cosh[x]^2)^3, x, 3, Coth[x] - (2*Coth[x]^3)/3 + Coth[x]^5/5}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[a + b*Cosh[x]^2], x, 2, -((I*Sqrt[a + b*Cosh[x]^2]*EllipticE[Pi/2 + I*x, -(b/a)])/Sqrt[1 + (b*Cosh[x]^2)/a])}
+
+{Sqrt[1 + Cosh[x]^2], x, 1, (-I)*EllipticE[Pi/2 + I*x, -1]}
+{Sqrt[1 - Cosh[x]^2], x, 3, Coth[x]*Sqrt[-Sinh[x]^2]}
+{Sqrt[-1 + Cosh[x]^2], x, 3, Coth[x]*Sqrt[Sinh[x]^2]}
+{Sqrt[-1 - Cosh[x]^2], x, 2, -((I*Sqrt[-1 - Cosh[x]^2]*EllipticE[Pi/2 + I*x, -1])/Sqrt[1 + Cosh[x]^2])}
+
+
+{(a + b*Cosh[x]^2)^(3/2), x, 6, -((2*I*(2*a + b)*Sqrt[a + b*Cosh[x]^2]*EllipticE[Pi/2 + I*x, -(b/a)])/(3*Sqrt[1 + (b*Cosh[x]^2)/a])) + (I*a*(a + b)*Sqrt[1 + (b*Cosh[x]^2)/a]*EllipticF[Pi/2 + I*x, -(b/a)])/(3*Sqrt[a + b*Cosh[x]^2]) + (1/3)*b*Cosh[x]*Sqrt[a + b*Cosh[x]^2]*Sinh[x]}
+
+{(1 + Cosh[x]^2)^(3/2), x, 4, -2*I*EllipticE[Pi/2 + I*x, -1] + (2/3)*I*EllipticF[Pi/2 + I*x, -1] + (1/3)*Cosh[x]*Sqrt[1 + Cosh[x]^2]*Sinh[x]}
+{(1 - Cosh[x]^2)^(3/2), x, 4, (2/3)*Coth[x]*Sqrt[-Sinh[x]^2] + (1/3)*Coth[x]*(-Sinh[x]^2)^(3/2)}
+{(-1 + Cosh[x]^2)^(3/2), x, 4, (-(2/3))*Coth[x]*Sqrt[Sinh[x]^2] + (1/3)*Coth[x]*(Sinh[x]^2)^(3/2)}
+{(-1 - Cosh[x]^2)^(3/2), x, 6, (2*I*Sqrt[-1 - Cosh[x]^2]*EllipticE[Pi/2 + I*x, -1])/Sqrt[1 + Cosh[x]^2] + (2*I*Sqrt[1 + Cosh[x]^2]*EllipticF[Pi/2 + I*x, -1])/(3*Sqrt[-1 - Cosh[x]^2]) - (1/3)*Cosh[x]*Sqrt[-1 - Cosh[x]^2]*Sinh[x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/Sqrt[a + b*Cosh[x]^2], x, 2, -((I*Sqrt[1 + (b*Cosh[x]^2)/a]*EllipticF[Pi/2 + I*x, -(b/a)])/Sqrt[a + b*Cosh[x]^2])}
+
+{1/Sqrt[1 + Cosh[x]^2], x, 1, (-I)*EllipticF[Pi/2 + I*x, -1]}
+{1/Sqrt[1 - Cosh[x]^2], x, 3, -((ArcTanh[Cosh[x]]*Sinh[x])/Sqrt[-Sinh[x]^2])}
+{1/Sqrt[-1 + Cosh[x]^2], x, 3, -((ArcTanh[Cosh[x]]*Sinh[x])/Sqrt[Sinh[x]^2])}
+{1/Sqrt[-1 - Cosh[x]^2], x, 2, -((I*Sqrt[1 + Cosh[x]^2]*EllipticF[Pi/2 + I*x, -1])/Sqrt[-1 - Cosh[x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^3)^p*)
+
+
+{1/(a + b*Cosh[x]^3), x, 8, (2*ArcTanh[(Sqrt[a^(1/3) - b^(1/3)]*Tanh[x/2])/Sqrt[a^(1/3) + b^(1/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(1/3) - b^(1/3)]*Sqrt[a^(1/3) + b^(1/3)]) + (2*ArcTanh[(Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(1/3)]*Tanh[x/2])/Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(1/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(1/3)]*Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(1/3)]) + (2*ArcTanh[(Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(1/3)]*Tanh[x/2])/Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(1/3)]*Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)])}
+{1/(a - b*Cosh[x]^3), x, 8, (2*ArcTanh[(Sqrt[a^(1/3) + b^(1/3)]*Tanh[x/2])/Sqrt[a^(1/3) - b^(1/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(1/3) - b^(1/3)]*Sqrt[a^(1/3) + b^(1/3)]) + (2*ArcTanh[(Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(1/3)]*Tanh[x/2])/Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(1/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(1/3)]*Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(1/3)]) + (2*ArcTanh[(Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)]*Tanh[x/2])/Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(1/3)]])/(3*a^(2/3)*Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(1/3)]*Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)])}
+{1/(1 + Cosh[x]^3), x, 7, -((2*(-(1/3))^(1/4)*ArcTan[(-1)^(3/4)*3^(1/4)*Tanh[x/2]])/(3*(1 - (-1)^(1/3)))) - (2*(-(1/3))^(1/4)*ArcTanh[(-1)^(3/4)*3^(1/4)*Tanh[x/2]])/(3*(1 + (-1)^(2/3))) + Sinh[x]/(3*(1 + Cosh[x]))}
+{1/(1 - Cosh[x]^3), x, 7, -((2*(-1)^(1/4)*ArcTan[((-1)^(3/4)*Tanh[x/2])/3^(1/4)])/(3^(3/4)*(1 - (-1)^(2/3)))) - (2*(-1)^(1/4)*ArcTanh[((-1)^(3/4)*Tanh[x/2])/3^(1/4)])/(3^(3/4)*(1 + (-1)^(1/3))) - Sinh[x]/(3*(1 - Cosh[x]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^4)^p*)
+
+
+{1/(a + b*Cosh[x]^4), x, 10, (Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[a + b]]*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[a + b]] - Sqrt[2]*a^(1/4)*Tanh[x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[a + b]]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/4)*Sqrt[a + b]) - (Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[a + b]]*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[a + b]] + Sqrt[2]*a^(1/4)*Tanh[x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[a + b]]])/(2*Sqrt[2]*a^(3/4)*Sqrt[a + b]) - (Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[a + b]]*Log[Sqrt[a + b] - Sqrt[2]*a^(1/4)*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[a + b]]*Tanh[x] + Sqrt[a]*Tanh[x]^2])/(4*Sqrt[2]*a^(3/4)*Sqrt[a + b]) + (Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[a + b]]*Log[Sqrt[a + b] + Sqrt[2]*a^(1/4)*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[a + b]]*Tanh[x] + Sqrt[a]*Tanh[x]^2])/(4*Sqrt[2]*a^(3/4)*Sqrt[a + b]), ((Sqrt[a] - Sqrt[a + b])*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[a + b + Sqrt[a]*Sqrt[a + b]] - Sqrt[2]*(a + b)^(3/4)*Coth[x])/(a^(1/4)*Sqrt[a + b - Sqrt[a]*Sqrt[a + b]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)^(1/4)*Sqrt[a + b - Sqrt[a]*Sqrt[a + b]]) - ((Sqrt[a] - Sqrt[a + b])*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[a + b + Sqrt[a]*Sqrt[a + b]] + Sqrt[2]*(a + b)^(3/4)*Coth[x])/(a^(1/4)*Sqrt[a + b - Sqrt[a]*Sqrt[a + b]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)^(1/4)*Sqrt[a + b - Sqrt[a]*Sqrt[a + b]]) - ((Sqrt[a] + Sqrt[a + b])*Log[Sqrt[a]*(a + b)^(1/4) - Sqrt[2]*a^(1/4)*Sqrt[a + b + Sqrt[a]*Sqrt[a + b]]*Coth[x] + (a + b)^(3/4)*Coth[x]^2])/(4*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)^(1/4)*Sqrt[a + b + Sqrt[a]*Sqrt[a + b]]) + ((Sqrt[a] + Sqrt[a + b])*Log[Sqrt[a]*(a + b)^(1/4) + Sqrt[2]*a^(1/4)*Sqrt[a + b + Sqrt[a]*Sqrt[a + b]]*Coth[x] + (a + b)^(3/4)*Coth[x]^2])/(4*Sqrt[2]*a^(3/4)*(a + b)^(1/4)*Sqrt[a + b + Sqrt[a]*Sqrt[a + b]])}
+
+
+{1/(a - b*Cosh[x]^4), x, 4, ArcTanh[(a^(1/4)*Tanh[x])/Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]]/(2*a^(3/4)*Sqrt[Sqrt[a] - Sqrt[b]]) + ArcTanh[(a^(1/4)*Tanh[x])/Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]]]/(2*a^(3/4)*Sqrt[Sqrt[a] + Sqrt[b]])}
+
+
+{1/(1 + Cosh[x]^4), x, 10, -(ArcTan[(Sqrt[1 + Sqrt[2]] - 2*Coth[x])/Sqrt[-1 + Sqrt[2]]]/(4*Sqrt[1 + Sqrt[2]])) + ArcTan[(Sqrt[1 + Sqrt[2]] + 2*Coth[x])/Sqrt[-1 + Sqrt[2]]]/(4*Sqrt[1 + Sqrt[2]]) - (1/8)*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*Log[Sqrt[2] - 2*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*Coth[x] + 2*Coth[x]^2] + (1/8)*Sqrt[1 + Sqrt[2]]*Log[1 + Sqrt[2*(1 + Sqrt[2])]*Coth[x] + Sqrt[2]*Coth[x]^2]}
+
+
+{1/(1 - Cosh[x]^4), x, 3, ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[2]]/(2*Sqrt[2]) + Coth[x]/2}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^n)^p*)
+
+
+{1/(a + b*Cosh[x]^5), x, 12, (2*ArcTanh[(Sqrt[a^(1/5) - b^(1/5)]*Tanh[x/2])/Sqrt[a^(1/5) + b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + b^(1/5)]) + (2*ArcTanh[(Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(1/5)*b^(1/5)]*Tanh[x/2])/Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(1/5)*b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(1/5)*b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(1/5)*b^(1/5)]) + (2*ArcTanh[(Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(2/5)*b^(1/5)]*Tanh[x/2])/Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(2/5)*b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(2/5)*b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(2/5)*b^(1/5)]) + (2*ArcTanh[(Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(3/5)*b^(1/5)]*Tanh[x/2])/Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(3/5)*b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(3/5)*b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(3/5)*b^(1/5)]) + (2*ArcTanh[(Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(4/5)*b^(1/5)]*Tanh[x/2])/Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(4/5)*b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(4/5)*b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(4/5)*b^(1/5)])}
+{1/(a + b*Cosh[x]^6), x, 7, ArcTanh[(a^(1/6)*Tanh[x])/Sqrt[a^(1/3) + b^(1/3)]]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) + b^(1/3)]) + ArcTanh[(a^(1/6)*Tanh[x])/Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(1/3)]]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(1/3)]) + ArcTanh[(a^(1/6)*Tanh[x])/Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)]]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)])}
+{1/(a + b*Cosh[x]^8), x, 9, -(ArcTanh[((-a)^(1/8)*Tanh[x])/Sqrt[(-a)^(1/4) - b^(1/4)]]/(4*(-a)^(7/8)*Sqrt[(-a)^(1/4) - b^(1/4)])) - ArcTanh[((-a)^(1/8)*Tanh[x])/Sqrt[(-a)^(1/4) - I*b^(1/4)]]/(4*(-a)^(7/8)*Sqrt[(-a)^(1/4) - I*b^(1/4)]) - ArcTanh[((-a)^(1/8)*Tanh[x])/Sqrt[(-a)^(1/4) + I*b^(1/4)]]/(4*(-a)^(7/8)*Sqrt[(-a)^(1/4) + I*b^(1/4)]) - ArcTanh[((-a)^(1/8)*Tanh[x])/Sqrt[(-a)^(1/4) + b^(1/4)]]/(4*(-a)^(7/8)*Sqrt[(-a)^(1/4) + b^(1/4)])}
+
+{1/(a - b*Cosh[x]^5), x, 12, (2*ArcTanh[(Sqrt[a^(1/5) + b^(1/5)]*Tanh[x/2])/Sqrt[a^(1/5) - b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + b^(1/5)]) + (2*ArcTanh[(Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(1/5)*b^(1/5)]*Tanh[x/2])/Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(1/5)*b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(1/5)*b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(1/5)*b^(1/5)]) + (2*ArcTanh[(Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(2/5)*b^(1/5)]*Tanh[x/2])/Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(2/5)*b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(2/5)*b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(2/5)*b^(1/5)]) + (2*ArcTanh[(Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(3/5)*b^(1/5)]*Tanh[x/2])/Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(3/5)*b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(3/5)*b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(3/5)*b^(1/5)]) + (2*ArcTanh[(Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(4/5)*b^(1/5)]*Tanh[x/2])/Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(4/5)*b^(1/5)]])/(5*a^(4/5)*Sqrt[a^(1/5) - (-1)^(4/5)*b^(1/5)]*Sqrt[a^(1/5) + (-1)^(4/5)*b^(1/5)])}
+{1/(a - b*Cosh[x]^6), x, 7, ArcTanh[(a^(1/6)*Tanh[x])/Sqrt[a^(1/3) - b^(1/3)]]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) - b^(1/3)]) + ArcTanh[(a^(1/6)*Tanh[x])/Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(1/3)]]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(1/3)]) + ArcTanh[(a^(1/6)*Tanh[x])/Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(1/3)]]/(3*a^(5/6)*Sqrt[a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(1/3)])}
+{1/(a - b*Cosh[x]^8), x, 9, ArcTanh[(a^(1/8)*Tanh[x])/Sqrt[a^(1/4) - b^(1/4)]]/(4*a^(7/8)*Sqrt[a^(1/4) - b^(1/4)]) + ArcTanh[(a^(1/8)*Tanh[x])/Sqrt[a^(1/4) - I*b^(1/4)]]/(4*a^(7/8)*Sqrt[a^(1/4) - I*b^(1/4)]) + ArcTanh[(a^(1/8)*Tanh[x])/Sqrt[a^(1/4) + I*b^(1/4)]]/(4*a^(7/8)*Sqrt[a^(1/4) + I*b^(1/4)]) + ArcTanh[(a^(1/8)*Tanh[x])/Sqrt[a^(1/4) + b^(1/4)]]/(4*a^(7/8)*Sqrt[a^(1/4) + b^(1/4)])}
+
+{1/(1 + Cosh[x]^5), x, 11, -((2*ArcTan[Tanh[x/2]/Sqrt[-((1 - (-1)^(1/5))/(1 + (-1)^(1/5)))]])/(5*Sqrt[-1 + (-1)^(2/5)])) - (2*Sqrt[-((1 + (-1)^(3/5))/(1 - (-1)^(3/5)))]*ArcTan[Sqrt[-((1 + (-1)^(3/5))/(1 - (-1)^(3/5)))]*Tanh[x/2]])/(5*(1 + (-1)^(3/5))) + (2*ArcTanh[Sqrt[(1 - (-1)^(2/5))/(1 + (-1)^(2/5))]*Tanh[x/2]])/(5*Sqrt[1 - (-1)^(4/5)]) + (2*ArcTanh[Sqrt[(1 - (-1)^(4/5))/(1 + (-1)^(4/5))]*Tanh[x/2]])/(5*Sqrt[1 + (-1)^(3/5)]) + Sinh[x]/(5*(1 + Cosh[x]))}
+{1/(1 + Cosh[x]^6), x, 7, ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[2]]/(3*Sqrt[2]) + ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[1 - (-1)^(1/3)]]/(3*Sqrt[1 - (-1)^(1/3)]) + ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[1 + (-1)^(2/3)]]/(3*Sqrt[1 + (-1)^(2/3)])}
+{1/(1 + Cosh[x]^8), x, 9, ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[1 - (-1)^(1/4)]]/(4*Sqrt[1 - (-1)^(1/4)]) + ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[1 + (-1)^(1/4)]]/(4*Sqrt[1 + (-1)^(1/4)]) + ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[1 - (-1)^(3/4)]]/(4*Sqrt[1 - (-1)^(3/4)]) + ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[1 + (-1)^(3/4)]]/(4*Sqrt[1 + (-1)^(3/4)])}
+
+{1/(1 - Cosh[x]^5), x, 11, -((2*ArcTan[Tanh[x/2]/Sqrt[-((1 - (-1)^(2/5))/(1 + (-1)^(2/5)))]])/(5*Sqrt[-1 + (-1)^(4/5)])) + (2*ArcTan[Sqrt[-((1 + (-1)^(4/5))/(1 - (-1)^(4/5)))]*Tanh[x/2]])/(5*Sqrt[-1 - (-1)^(3/5)]) + (2*ArcTanh[Sqrt[(1 - (-1)^(1/5))/(1 + (-1)^(1/5))]*Tanh[x/2]])/(5*Sqrt[1 - (-1)^(2/5)]) + (2*ArcTanh[Sqrt[(1 - (-1)^(3/5))/(1 + (-1)^(3/5))]*Tanh[x/2]])/(5*Sqrt[1 + (-1)^(1/5)]) - Sinh[x]/(5*(1 - Cosh[x]))}
+{1/(1 - Cosh[x]^6), x, 8, ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[1 + (-1)^(1/3)]]/(3*Sqrt[1 + (-1)^(1/3)]) + ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[1 - (-1)^(2/3)]]/(3*Sqrt[1 - (-1)^(2/3)]) + Coth[x]/3}
+{1/(1 - Cosh[x]^8), x, 10, ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[1 - I]]/(4*Sqrt[1 - I]) + ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[1 + I]]/(4*Sqrt[1 + I]) + ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[2]]/(4*Sqrt[2]) + Coth[x]/4}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^2)^p*)
+
+
+{Tanh[x]/(1 + Cosh[x]^2), x, 4, Log[Cosh[x]] - (1/2)*Log[1 + Cosh[x]^2]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Tanh[x]*Sqrt[a + b*Cosh[x]^2], x, 4, (-Sqrt[a])*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cosh[x]^2]/Sqrt[a]] + Sqrt[a + b*Cosh[x]^2]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tanh[x]/Sqrt[a + b*Cosh[x]^2], x, 3, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Cosh[x]^2]/Sqrt[a]]/Sqrt[a])}
+{Tanh[x]/Sqrt[1 + Cosh[x]^2], x, 3, -ArcTanh[Sqrt[1 + Cosh[x]^2]]}
+{Tanh[x]/Sqrt[1 - Cosh[x]^2], x, 4, -ArcTanh[Sqrt[-Sinh[x]^2]]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^3)^p*)
+
+
+{Tanh[x]^3/(a + b*Cosh[x]^3), x, 11, -((b^(2/3)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Cosh[x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(5/3))) + Log[Cosh[x]]/a + (b^(2/3)*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Cosh[x]])/(3*a^(5/3)) - (b^(2/3)*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Cosh[x] + b^(2/3)*Cosh[x]^2])/(6*a^(5/3)) - Log[a + b*Cosh[x]^3]/(3*a) + Sech[x]^2/(2*a)}
+
+
+{Tanh[x]/Sqrt[a + b*Cosh[x]^3], x, 4, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cosh[x]^3]/Sqrt[a]])/(3*Sqrt[a]))}
+{Tanh[x]*Sqrt[a + b*Cosh[x]^3], x, 5, (-(2/3))*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cosh[x]^3]/Sqrt[a]] + (2/3)*Sqrt[a + b*Cosh[x]^3]}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[c+d x]^m (a+b Cosh[c+d x]^n)^p*)
+
+
+{Tanh[x]/Sqrt[a + b*Cosh[x]^n], x, 4, -((2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cosh[x]^n]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*n))}
+
+
+{Tanh[x]*Sqrt[a + b*Cosh[x]^n], x, 5, -((2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Cosh[x]^n]/Sqrt[a]])/n) + (2*Sqrt[a + b*Cosh[x]^n])/n}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.3 Hyperbolic tangent/6.3.1 (c+d x)^m (a+b tanh)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.3 Hyperbolic tangent/6.3.1 (c+d x)^m (a+b tanh)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..48b59917
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.3 Hyperbolic tangent/6.3.1 (c+d x)^m (a+b tanh)^n.m	
@@ -0,0 +1,173 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Tanh[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Tanh[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Tanh[e+f x]^n*)
+
+
+{(c + d*x)^3*Tanh[e + f*x], x, 6, -((c + d*x)^4/(4*d)) + ((c + d*x)^3*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f + (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^2) - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^3) + (3*d^3*PolyLog[4, -E^(2*(e + f*x))])/(4*f^4)}
+{(c + d*x)^2*Tanh[e + f*x], x, 5, -((c + d*x)^3/(3*d)) + ((c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f + (d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/f^2 - (d^2*PolyLog[3, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^3)}
+{(c + d*x)^1*Tanh[e + f*x], x, 4, -((c + d*x)^2/(2*d)) + ((c + d*x)*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f + (d*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^2)}
+{Tanh[e + f*x]/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Tanh[e + f*x]/(c + d*x), x]}
+{Tanh[e + f*x]/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Tanh[e + f*x]/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^3*Tanh[e + f*x]^2, x, 7, -((c + d*x)^3/f) + (c + d*x)^4/(4*d) + (3*d*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f^2 + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/f^3 - (3*d^3*PolyLog[3, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^4) - ((c + d*x)^3*Tanh[e + f*x])/f}
+{(c + d*x)^2*Tanh[e + f*x]^2, x, 6, -((c + d*x)^2/f) + (c + d*x)^3/(3*d) + (2*d*(c + d*x)*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f^2 + (d^2*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/f^3 - ((c + d*x)^2*Tanh[e + f*x])/f}
+{(c + d*x)^1*Tanh[e + f*x]^2, x, 3, c*x + (d*x^2)/2 + (d*Log[Cosh[e + f*x]])/f^2 - ((c + d*x)*Tanh[e + f*x])/f}
+{Tanh[e + f*x]^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Tanh[e + f*x]^2/(c + d*x), x]}
+{Tanh[e + f*x]^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Tanh[e + f*x]^2/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^3*Tanh[e + f*x]^3, x, 13, -((3*d*(c + d*x)^2)/(2*f^2)) + (c + d*x)^3/(2*f) - (c + d*x)^4/(4*d) + (3*d^2*(c + d*x)*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f^3 + ((c + d*x)^3*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f + (3*d^3*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^4) + (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^2) - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^3) + (3*d^3*PolyLog[4, -E^(2*(e + f*x))])/(4*f^4) - (3*d*(c + d*x)^2*Tanh[e + f*x])/(2*f^2) - ((c + d*x)^3*Tanh[e + f*x]^2)/(2*f)}
+{(c + d*x)^2*Tanh[e + f*x]^3, x, 9, (c*d*x)/f + (d^2*x^2)/(2*f) - (c + d*x)^3/(3*d) + ((c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f + (d^2*Log[Cosh[e + f*x]])/f^3 + (d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/f^2 - (d^2*PolyLog[3, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^3) - (d*(c + d*x)*Tanh[e + f*x])/f^2 - ((c + d*x)^2*Tanh[e + f*x]^2)/(2*f)}
+{(c + d*x)^1*Tanh[e + f*x]^3, x, 7, (d*x)/(2*f) - (c + d*x)^2/(2*d) + ((c + d*x)*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f + (d*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^2) - (d*Tanh[e + f*x])/(2*f^2) - ((c + d*x)*Tanh[e + f*x]^2)/(2*f)}
+{Tanh[e + f*x]^3/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Tanh[e + f*x]^3/(c + d*x), x]}
+{Tanh[e + f*x]^3/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Tanh[e + f*x]^3/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Tanh[e+f x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{(c + d*x)*(b*Tanh[e + f*x])^(5/2), x, 44, (2*b^(5/2)*d*ArcTan[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(3*f^2) - ((-b)^(5/2)*(c + d*x)*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]])/f - ((-b)^(5/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]^2)/(2*f^2) + (2*b^(5/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(3*f^2) + (b^(5/2)*(c + d*x)*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]])/f + (b^(5/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]^2)/(2*f^2) - (b^(5/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/f^2 + (b^(5/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/f^2 - (b^(5/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(2*f^2) - (b^(5/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(2*f^2) + ((-b)^(5/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[2/(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/f^2 - ((-b)^(5/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[(2*(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/(2*f^2) - ((-b)^(5/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[-((2*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])))])/(2*f^2) - ((-b)^(5/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[2/(1 + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/f^2 - (b^(5/2)*d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/(2*f^2) - (b^(5/2)*d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/(2*f^2) + (b^(5/2)*d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(4*f^2) + (b^(5/2)*d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(4*f^2) + ((-b)^(5/2)*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/(2*f^2) - ((-b)^(5/2)*d*PolyLog[2, 1 - (2*(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/(4*f^2) - ((-b)^(5/2)*d*PolyLog[2, 1 + (2*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/(4*f^2) + ((-b)^(5/2)*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/(2*f^2) - (4*b^2*d*Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])/(3*f^2) - (2*b*(c + d*x)*(b*Tanh[e + f*x])^(3/2))/(3*f)}
+{(c + d*x)*(b*Tanh[e + f*x])^(3/2), x, 43, -((2*b^(3/2)*d*ArcTan[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]])/f^2) - ((-b)^(3/2)*(c + d*x)*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]])/f - ((-b)^(3/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]^2)/(2*f^2) + (2*b^(3/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]])/f^2 + (b^(3/2)*(c + d*x)*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]])/f + (b^(3/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]^2)/(2*f^2) - (b^(3/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/f^2 + (b^(3/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/f^2 - (b^(3/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(2*f^2) - (b^(3/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(2*f^2) + ((-b)^(3/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[2/(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/f^2 - ((-b)^(3/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[(2*(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/(2*f^2) - ((-b)^(3/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[-((2*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])))])/(2*f^2) - ((-b)^(3/2)*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[2/(1 + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/f^2 - (b^(3/2)*d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/(2*f^2) - (b^(3/2)*d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/(2*f^2) + (b^(3/2)*d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(4*f^2) + (b^(3/2)*d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(4*f^2) + ((-b)^(3/2)*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/(2*f^2) - ((-b)^(3/2)*d*PolyLog[2, 1 - (2*(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/(4*f^2) - ((-b)^(3/2)*d*PolyLog[2, 1 + (2*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/(4*f^2) + ((-b)^(3/2)*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/(2*f^2) - (2*b*(c + d*x)*Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])/f}
+{(c + d*x)*(b*Tanh[e + f*x])^(1/2), x, 37, -((Sqrt[-b]*(c + d*x)*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]])/f) - (Sqrt[-b]*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]^2)/(2*f^2) + (Sqrt[b]*(c + d*x)*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]])/f + (Sqrt[b]*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]^2)/(2*f^2) - (Sqrt[b]*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/f^2 + (Sqrt[b]*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/f^2 - (Sqrt[b]*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(2*f^2) - (Sqrt[b]*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(2*f^2) + (Sqrt[-b]*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[2/(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/f^2 - (Sqrt[-b]*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[(2*(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/(2*f^2) - (Sqrt[-b]*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[-((2*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])))])/(2*f^2) - (Sqrt[-b]*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[2/(1 + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/f^2 - (Sqrt[b]*d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/(2*f^2) - (Sqrt[b]*d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/(2*f^2) + (Sqrt[b]*d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(4*f^2) + (Sqrt[b]*d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(4*f^2) + (Sqrt[-b]*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/(2*f^2) - (Sqrt[-b]*d*PolyLog[2, 1 - (2*(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/(4*f^2) - (Sqrt[-b]*d*PolyLog[2, 1 + (2*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/(4*f^2) + (Sqrt[-b]*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/(2*f^2)}
+{(c + d*x)/(b*Tanh[e + f*x])^(1/2), x, 37, -(((c + d*x)*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]])/(Sqrt[-b]*f)) - (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]^2)/(2*Sqrt[-b]*f^2) + ((c + d*x)*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(Sqrt[b]*f) + (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]^2)/(2*Sqrt[b]*f^2) - (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/(Sqrt[b]*f^2) + (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/(Sqrt[b]*f^2) - (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(2*Sqrt[b]*f^2) - (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(2*Sqrt[b]*f^2) + (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[2/(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/(Sqrt[-b]*f^2) - (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[(2*(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/(2*Sqrt[-b]*f^2) - (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[-((2*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])))])/(2*Sqrt[-b]*f^2) - (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[2/(1 + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/(Sqrt[-b]*f^2) - (d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/(2*Sqrt[b]*f^2) - (d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/(2*Sqrt[b]*f^2) + (d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(4*Sqrt[b]*f^2) + (d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(4*Sqrt[b]*f^2) + (d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/(2*Sqrt[-b]*f^2) - (d*PolyLog[2, 1 - (2*(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/(4*Sqrt[-b]*f^2) - (d*PolyLog[2, 1 + (2*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/(4*Sqrt[-b]*f^2) + (d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/(2*Sqrt[-b]*f^2)}
+{(c + d*x)/(b*Tanh[e + f*x])^(3/2), x, 43, (2*d*ArcTan[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*f^2) - ((c + d*x)*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]])/((-b)^(3/2)*f) - (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]^2)/(2*(-b)^(3/2)*f^2) + (2*d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*f^2) + ((c + d*x)*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*f) + (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]^2)/(2*b^(3/2)*f^2) - (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/(b^(3/2)*f^2) + (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/(b^(3/2)*f^2) - (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(2*b^(3/2)*f^2) - (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(2*b^(3/2)*f^2) + (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[2/(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/((-b)^(3/2)*f^2) - (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[(2*(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/(2*(-b)^(3/2)*f^2) - (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[-((2*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])))])/(2*(-b)^(3/2)*f^2) - (d*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[2/(1 + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/((-b)^(3/2)*f^2) - (d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/(2*b^(3/2)*f^2) - (d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/(2*b^(3/2)*f^2) + (d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(4*b^(3/2)*f^2) + (d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(4*b^(3/2)*f^2) + (d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/(2*(-b)^(3/2)*f^2) - (d*PolyLog[2, 1 - (2*(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/(4*(-b)^(3/2)*f^2) - (d*PolyLog[2, 1 + (2*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/(4*(-b)^(3/2)*f^2) + (d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/(2*(-b)^(3/2)*f^2) - (2*(c + d*x))/(b*f*Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])}
+
+
+{(c + d*x)^2*(b*Tanh[e + f*x])^(3/2), x, 38, (4*(-b)^(3/2)*d*(c + d*x)*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]])/f^2 + (2*(-b)^(3/2)*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]^2)/f^3 + (4*b^(3/2)*d*(c + d*x)*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]])/f^2 + (2*b^(3/2)*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]^2)/f^3 - (4*b^(3/2)*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/f^3 + (4*b^(3/2)*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/f^3 - (2*b^(3/2)*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/f^3 - (2*b^(3/2)*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/f^3 - (4*(-b)^(3/2)*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[2/(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/f^3 + (2*(-b)^(3/2)*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[(2*(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/f^3 + (2*(-b)^(3/2)*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[-((2*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])))])/f^3 + (4*(-b)^(3/2)*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[2/(1 + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/f^3 - (2*b^(3/2)*d^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/f^3 - (2*b^(3/2)*d^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/f^3 + (b^(3/2)*d^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/f^3 + (b^(3/2)*d^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/f^3 - (2*(-b)^(3/2)*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/f^3 + ((-b)^(3/2)*d^2*PolyLog[2, 1 - (2*(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/f^3 + ((-b)^(3/2)*d^2*PolyLog[2, 1 + (2*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/f^3 - (2*(-b)^(3/2)*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/f^3 - (2*b*(c + d*x)^2*Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])/f + b^2*Unintegrable[(c + d*x)^2/Sqrt[b*Tanh[e + f*x]], x]}
+{(c + d*x)^2*(b*Tanh[e + f*x])^(1/2), x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^2*Sqrt[b*Tanh[e + f*x]], x]}
+{(c + d*x)^2/(b*Tanh[e + f*x])^(1/2), x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^2/Sqrt[b*Tanh[e + f*x]], x]}
+{(c + d*x)^2/(b*Tanh[e + f*x])^(3/2), x, 38, (4*d*(c + d*x)*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]])/((-b)^(3/2)*f^2) + (2*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]^2)/((-b)^(3/2)*f^3) + (4*d*(c + d*x)*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*f^2) + (2*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]^2)/(b^(3/2)*f^3) - (4*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/(b^(3/2)*f^3) + (4*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/(b^(3/2)*f^3) - (2*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(b^(3/2)*f^3) - (2*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[b]]*Log[(2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(b^(3/2)*f^3) - (4*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[2/(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/((-b)^(3/2)*f^3) + (2*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[(2*(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/((-b)^(3/2)*f^3) + (2*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[-((2*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])))])/((-b)^(3/2)*f^3) + (4*d^2*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]]*Log[2/(1 + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/((-b)^(3/2)*f^3) - (2*d^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/(b^(3/2)*f^3) - (2*d^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b])/(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]])])/(b^(3/2)*f^3) + (d^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(b^(3/2)*f^3) + (d^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[b]*(Sqrt[-b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))])/(b^(3/2)*f^3) - (2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/((-b)^(3/2)*f^3) + (d^2*PolyLog[2, 1 - (2*(Sqrt[b] - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] + Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/((-b)^(3/2)*f^3) + (d^2*PolyLog[2, 1 + (2*(Sqrt[b] + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]))/((Sqrt[-b] - Sqrt[b])*(1 - Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b]))])/((-b)^(3/2)*f^3) - (2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/Sqrt[-b])])/((-b)^(3/2)*f^3) - (2*(c + d*x)^2)/(b*f*Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]) + Unintegrable[(c + d*x)^2*Sqrt[b*Tanh[e + f*x]], x]/b^2}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{(b*Tanh[e + f*x])^(3/2)/(c + d*x), x, 0, Unintegrable[(b*Tanh[e + f*x])^(3/2)/(c + d*x), x]}
+{(b*Tanh[e + f*x])^(1/2)/(c + d*x), x, 0, Unintegrable[Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]/(c + d*x), x]}
+{1/((c + d*x)*(b*Tanh[e + f*x])^(1/2)), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*Sqrt[b*Tanh[e + f*x]]), x]}
+{1/((c + d*x)*(b*Tanh[e + f*x])^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(b*Tanh[e + f*x])^(3/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Tanh[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{x^m*Tanh[a + b*x]^3, x, 0, Unintegrable[x^m*Tanh[a + b*x]^3, x]}
+{x^m*Tanh[a + b*x]^2, x, 0, Unintegrable[x^m*Tanh[a + b*x]^2, x]}
+{x^m*Tanh[a + b*x]^1, x, 0, Unintegrable[x^m*Tanh[a + b*x], x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Tanh[e+f x])^n with a^2-b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Tanh[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + a*Tanh[e + f*x]), x, 5, (3*d^3*x)/(8*a*f^3) + (3*d*(c + d*x)^2)/(8*a*f^2) + (c + d*x)^3/(4*a*f) + (c + d*x)^4/(8*a*d) - (3*d^3)/(8*f^4*(a + a*Tanh[e + f*x])) - (3*d^2*(c + d*x))/(4*f^3*(a + a*Tanh[e + f*x])) - (3*d*(c + d*x)^2)/(4*f^2*(a + a*Tanh[e + f*x])) - (c + d*x)^3/(2*f*(a + a*Tanh[e + f*x]))}
+{(c + d*x)^2/(a + a*Tanh[e + f*x]), x, 4, (d^2*x)/(4*a*f^2) + (c + d*x)^2/(4*a*f) + (c + d*x)^3/(6*a*d) - d^2/(4*f^3*(a + a*Tanh[e + f*x])) - (d*(c + d*x))/(2*f^2*(a + a*Tanh[e + f*x])) - (c + d*x)^2/(2*f*(a + a*Tanh[e + f*x]))}
+{(c + d*x)^1/(a + a*Tanh[e + f*x]), x, 3, (d*x)/(4*a*f) + (c + d*x)^2/(4*a*d) - d/(4*f^2*(a + a*Tanh[e + f*x])) - (c + d*x)/(2*f*(a + a*Tanh[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)^1*(a + a*Tanh[e + f*x])), x, 7, (Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a*d) + Log[c + d*x]/(2*a*d) - (CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sinh[2*e - (2*c*f)/d])/(2*a*d) - (Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a*d) + (Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a*d)}
+{1/((c + d*x)^2*(a + a*Tanh[e + f*x])), x, 7, -((f*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^2)) + (f*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sinh[2*e - (2*c*f)/d])/(a*d^2) + (f*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^2) - (f*Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^2) - 1/(d*(c + d*x)*(a + a*Tanh[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)^3*(a + a*Tanh[e + f*x])), x, 8, -(f/(2*a*d^2*(c + d*x))) + (f^2*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^3) - (f^2*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sinh[2*e - (2*c*f)/d])/(a*d^3) - (f^2*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^3) + (f^2*Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^3) - 1/(2*d*(c + d*x)^2*(a + a*Tanh[e + f*x])) + f/(d^2*(c + d*x)*(a + a*Tanh[e + f*x]))}
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + a*Tanh[e + f*x])^2, x, 10, -((3*d^3*E^(-4*e - 4*f*x))/(512*a^2*f^4)) - (3*d^3*E^(-2*e - 2*f*x))/(16*a^2*f^4) - (3*d^2*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x))/(128*a^2*f^3) - (3*d^2*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x))/(8*a^2*f^3) - (3*d*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x)^2)/(64*a^2*f^2) - (3*d*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x)^2)/(8*a^2*f^2) - (E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x)^3)/(16*a^2*f) - (E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x)^3)/(4*a^2*f) + (c + d*x)^4/(16*a^2*d)}
+{(c + d*x)^2/(a + a*Tanh[e + f*x])^2, x, 8, -((d^2*E^(-4*e - 4*f*x))/(128*a^2*f^3)) - (d^2*E^(-2*e - 2*f*x))/(8*a^2*f^3) - (d*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x))/(32*a^2*f^2) - (d*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x))/(4*a^2*f^2) - (E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x)^2)/(16*a^2*f) - (E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x)^2)/(4*a^2*f) + (c + d*x)^3/(12*a^2*d)}
+{(c + d*x)^1/(a + a*Tanh[e + f*x])^2, x, 7, (3*d*x)/(16*a^2*f) - (d*x^2)/(8*a^2) + (x*(c + d*x))/(4*a^2) - d/(16*f^2*(a + a*Tanh[e + f*x])^2) - (c + d*x)/(4*f*(a + a*Tanh[e + f*x])^2) - (3*d)/(16*f^2*(a^2 + a^2*Tanh[e + f*x])) - (c + d*x)/(4*f*(a^2 + a^2*Tanh[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)^1*(a + a*Tanh[e + f*x])^2), x, 21, (Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a^2*d) + (Cosh[4*e - (4*c*f)/d]*CoshIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(4*a^2*d) + Log[c + d*x]/(4*a^2*d) - (CoshIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x]*Sinh[4*e - (4*c*f)/d])/(4*a^2*d) - (CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sinh[2*e - (2*c*f)/d])/(2*a^2*d) - (Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a^2*d) + (Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a^2*d) - (Cosh[4*e - (4*c*f)/d]*SinhIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(4*a^2*d) + (Sinh[4*e - (4*c*f)/d]*SinhIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(4*a^2*d)}
+{1/((c + d*x)^2*(a + a*Tanh[e + f*x])^2), x, 24, -(1/(4*a^2*d*(c + d*x))) - Cosh[2*e + 2*f*x]/(2*a^2*d*(c + d*x)) - Cosh[2*e + 2*f*x]^2/(4*a^2*d*(c + d*x)) - (f*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a^2*d^2) - (f*Cosh[4*e - (4*c*f)/d]*CoshIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(a^2*d^2) + (f*CoshIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x]*Sinh[4*e - (4*c*f)/d])/(a^2*d^2) + (f*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sinh[2*e - (2*c*f)/d])/(a^2*d^2) + Sinh[2*e + 2*f*x]/(2*a^2*d*(c + d*x)) - Sinh[2*e + 2*f*x]^2/(4*a^2*d*(c + d*x)) + Sinh[4*e + 4*f*x]/(4*a^2*d*(c + d*x)) + (f*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a^2*d^2) - (f*Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a^2*d^2) + (f*Cosh[4*e - (4*c*f)/d]*SinhIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(a^2*d^2) - (f*Sinh[4*e - (4*c*f)/d]*SinhIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(a^2*d^2)}
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + a*Tanh[e + f*x])^3, x, 14, -((d^3*E^(-6*e - 6*f*x))/(1728*a^3*f^4)) - (9*d^3*E^(-4*e - 4*f*x))/(1024*a^3*f^4) - (9*d^3*E^(-2*e - 2*f*x))/(64*a^3*f^4) - (d^2*E^(-6*e - 6*f*x)*(c + d*x))/(288*a^3*f^3) - (9*d^2*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x))/(256*a^3*f^3) - (9*d^2*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x))/(32*a^3*f^3) - (d*E^(-6*e - 6*f*x)*(c + d*x)^2)/(96*a^3*f^2) - (9*d*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x)^2)/(128*a^3*f^2) - (9*d*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x)^2)/(32*a^3*f^2) - (E^(-6*e - 6*f*x)*(c + d*x)^3)/(48*a^3*f) - (3*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x)^3)/(32*a^3*f) - (3*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x)^3)/(16*a^3*f) + (c + d*x)^4/(32*a^3*d)}
+{(c + d*x)^2/(a + a*Tanh[e + f*x])^3, x, 11, -((d^2*E^(-6*e - 6*f*x))/(864*a^3*f^3)) - (3*d^2*E^(-4*e - 4*f*x))/(256*a^3*f^3) - (3*d^2*E^(-2*e - 2*f*x))/(32*a^3*f^3) - (d*E^(-6*e - 6*f*x)*(c + d*x))/(144*a^3*f^2) - (3*d*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x))/(64*a^3*f^2) - (3*d*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x))/(16*a^3*f^2) - (E^(-6*e - 6*f*x)*(c + d*x)^2)/(48*a^3*f) - (3*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x)^2)/(32*a^3*f) - (3*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x)^2)/(16*a^3*f) + (c + d*x)^3/(24*a^3*d)}
+{(c + d*x)^1/(a + a*Tanh[e + f*x])^3, x, 11, (11*d*x)/(96*a^3*f) - (d*x^2)/(16*a^3) + (x*(c + d*x))/(8*a^3) - d/(36*f^2*(a + a*Tanh[e + f*x])^3) - (c + d*x)/(6*f*(a + a*Tanh[e + f*x])^3) - (5*d)/(96*a*f^2*(a + a*Tanh[e + f*x])^2) - (c + d*x)/(8*a*f*(a + a*Tanh[e + f*x])^2) - (11*d)/(96*f^2*(a^3 + a^3*Tanh[e + f*x])) - (c + d*x)/(8*f*(a^3 + a^3*Tanh[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)^1*(a + a*Tanh[e + f*x])^3), x, 53, (3*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(8*a^3*d) + (3*Cosh[4*e - (4*c*f)/d]*CoshIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(8*a^3*d) + (Cosh[6*e - (6*c*f)/d]*CoshIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(8*a^3*d) + Log[c + d*x]/(8*a^3*d) - (CoshIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x]*Sinh[6*e - (6*c*f)/d])/(8*a^3*d) - (3*CoshIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x]*Sinh[4*e - (4*c*f)/d])/(8*a^3*d) - (3*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sinh[2*e - (2*c*f)/d])/(8*a^3*d) - (3*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(8*a^3*d) + (3*Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(8*a^3*d) - (3*Cosh[4*e - (4*c*f)/d]*SinhIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(8*a^3*d) + (3*Sinh[4*e - (4*c*f)/d]*SinhIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(8*a^3*d) - (Cosh[6*e - (6*c*f)/d]*SinhIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(8*a^3*d) + (Sinh[6*e - (6*c*f)/d]*SinhIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(8*a^3*d)}
+{1/((c + d*x)^2*(a + a*Tanh[e + f*x])^3), x, 60, -(1/(8*a^3*d*(c + d*x))) - (9*Cosh[2*e + 2*f*x])/(32*a^3*d*(c + d*x)) - (3*Cosh[2*e + 2*f*x]^2)/(8*a^3*d*(c + d*x)) - Cosh[2*e + 2*f*x]^3/(8*a^3*d*(c + d*x)) - (3*Cosh[6*e + 6*f*x])/(32*a^3*d*(c + d*x)) - (3*f*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(4*a^3*d^2) - (3*f*Cosh[4*e - (4*c*f)/d]*CoshIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(2*a^3*d^2) - (3*f*Cosh[6*e - (6*c*f)/d]*CoshIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(4*a^3*d^2) + (3*f*CoshIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x]*Sinh[6*e - (6*c*f)/d])/(4*a^3*d^2) + (3*f*CoshIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x]*Sinh[4*e - (4*c*f)/d])/(2*a^3*d^2) + (3*f*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sinh[2*e - (2*c*f)/d])/(4*a^3*d^2) + (15*Sinh[2*e + 2*f*x])/(32*a^3*d*(c + d*x)) - (3*Sinh[2*e + 2*f*x]^2)/(8*a^3*d*(c + d*x)) + Sinh[2*e + 2*f*x]^3/(8*a^3*d*(c + d*x)) + (3*Sinh[4*e + 4*f*x])/(8*a^3*d*(c + d*x)) + (3*Sinh[6*e + 6*f*x])/(32*a^3*d*(c + d*x)) + (3*f*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(4*a^3*d^2) - (3*f*Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(4*a^3*d^2) + (3*f*Cosh[4*e - (4*c*f)/d]*SinhIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(2*a^3*d^2) - (3*f*Sinh[4*e - (4*c*f)/d]*SinhIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(2*a^3*d^2) + (3*f*Cosh[6*e - (6*c*f)/d]*SinhIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(4*a^3*d^2) - (3*f*Sinh[6*e - (6*c*f)/d]*SinhIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(4*a^3*d^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Tanh[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + a*Tanh[e + f*x])^2, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(a + a*Tanh[e + f*x])^2, x]}
+{(c + d*x)^m*(a + a*Tanh[e + f*x])^1, x, 0, Unintegrable[(c+d x)^m (a+a Tanh[e+f x]),x]}
+{(c + d*x)^m/(a + a*Tanh[e + f*x])^1, x, 2, (c + d*x)^(1 + m)/(2*a*d*(1 + m)) - (2^(-2 - m)*E^(-2*e + (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*f*(c + d*x))/d])/(((f*(c + d*x))/d)^m*(a*f))}
+{(c + d*x)^m/(a + a*Tanh[e + f*x])^2, x, 4, (c + d*x)^(1 + m)/(4*a^2*d*(1 + m)) - (2^(-2 - m)*E^(-2*e + (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*f*(c + d*x))/d])/(((f*(c + d*x))/d)^m*(a^2*f)) - (4^(-2 - m)*E^(-4*e + (4*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (4*f*(c + d*x))/d])/(((f*(c + d*x))/d)^m*(a^2*f))}
+{(c + d*x)^m/(a + a*Tanh[e + f*x])^3, x, 5, (c + d*x)^(1 + m)/(8*a^3*d*(1 + m)) - (3*2^(-4 - m)*E^(-2*e + (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*f*(c + d*x))/d])/(((f*(c + d*x))/d)^m*(a^3*f)) - (3*2^(-5 - 2*m)*E^(-4*e + (4*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (4*f*(c + d*x))/d])/(((f*(c + d*x))/d)^m*(a^3*f)) - (2^(-4 - m)*3^(-1 - m)*E^(-6*e + (6*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (6*f*(c + d*x))/d])/(((f*(c + d*x))/d)^m*(a^3*f))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Tanh[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Tanh[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + b*Tanh[e + f*x]), x, 8, (a*(c + d*x)^4)/(4*d) - (b*(c + d*x)^4)/(4*d) + (b*(c + d*x)^3*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f + (3*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^2) - (3*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^3) + (3*b*d^3*PolyLog[4, -E^(2*(e + f*x))])/(4*f^4)}
+{(c + d*x)^2*(a + b*Tanh[e + f*x]), x, 7, (a*(c + d*x)^3)/(3*d) - (b*(c + d*x)^3)/(3*d) + (b*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f + (b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/f^2 - (b*d^2*PolyLog[3, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^3)}
+{(c + d*x)^1*(a + b*Tanh[e + f*x]), x, 6, (a*(c + d*x)^2)/(2*d) - (b*(c + d*x)^2)/(2*d) + (b*(c + d*x)*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f + (b*d*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^2)}
+{(a + b*Tanh[e + f*x])/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Tanh[e + f*x])/(c + d*x), x]}
+{(a + b*Tanh[e + f*x])/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Tanh[e + f*x])/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + b*Tanh[e + f*x])^2, x, 15, -((b^2*(c + d*x)^3)/f) + (a^2*(c + d*x)^4)/(4*d) - (a*b*(c + d*x)^4)/(2*d) + (b^2*(c + d*x)^4)/(4*d) + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f^2 + (2*a*b*(c + d*x)^3*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f + (3*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/f^3 + (3*a*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/f^2 - (3*b^2*d^3*PolyLog[3, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^4) - (3*a*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(2*(e + f*x))])/f^3 + (3*a*b*d^3*PolyLog[4, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^4) - (b^2*(c + d*x)^3*Tanh[e + f*x])/f}
+{(c + d*x)^2*(a + b*Tanh[e + f*x])^2, x, 13, -((b^2*(c + d*x)^2)/f) + (a^2*(c + d*x)^3)/(3*d) - (2*a*b*(c + d*x)^3)/(3*d) + (b^2*(c + d*x)^3)/(3*d) + (2*b^2*d*(c + d*x)*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f^2 + (2*a*b*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f + (b^2*d^2*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/f^3 + (2*a*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/f^2 - (a*b*d^2*PolyLog[3, -E^(2*(e + f*x))])/f^3 - (b^2*(c + d*x)^2*Tanh[e + f*x])/f}
+{(c + d*x)^1*(a + b*Tanh[e + f*x])^2, x, 9, b^2*c*x + (1/2)*b^2*d*x^2 + (a^2*(c + d*x)^2)/(2*d) - (a*b*(c + d*x)^2)/d + (2*a*b*(c + d*x)*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f + (b^2*d*Log[Cosh[e + f*x]])/f^2 + (a*b*d*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/f^2 - (b^2*(c + d*x)*Tanh[e + f*x])/f}
+{(a + b*Tanh[e + f*x])^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Tanh[e + f*x])^2/(c + d*x), x]}
+{(a + b*Tanh[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Tanh[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + b*Tanh[e + f*x])^3, x, 28, -((3*b^3*d*(c + d*x)^2)/(2*f^2)) - (3*a*b^2*(c + d*x)^3)/f + (b^3*(c + d*x)^3)/(2*f) + (a^3*(c + d*x)^4)/(4*d) - (3*a^2*b*(c + d*x)^4)/(4*d) + (3*a*b^2*(c + d*x)^4)/(4*d) - (b^3*(c + d*x)^4)/(4*d) + (3*b^3*d^2*(c + d*x)*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f^3 + (9*a*b^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f^2 + (3*a^2*b*(c + d*x)^3*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f + (b^3*(c + d*x)^3*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f + (3*b^3*d^3*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^4) + (9*a*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/f^3 + (9*a^2*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^2) + (3*b^3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^2) - (9*a*b^2*d^3*PolyLog[3, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^4) - (9*a^2*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^3) - (3*b^3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^3) + (9*a^2*b*d^3*PolyLog[4, -E^(2*(e + f*x))])/(4*f^4) + (3*b^3*d^3*PolyLog[4, -E^(2*(e + f*x))])/(4*f^4) - (3*b^3*d*(c + d*x)^2*Tanh[e + f*x])/(2*f^2) - (3*a*b^2*(c + d*x)^3*Tanh[e + f*x])/f - (b^3*(c + d*x)^3*Tanh[e + f*x]^2)/(2*f)}
+{(c + d*x)^2*(a + b*Tanh[e + f*x])^3, x, 22, (b^3*c*d*x)/f + (b^3*d^2*x^2)/(2*f) - (3*a*b^2*(c + d*x)^2)/f + (a^3*(c + d*x)^3)/(3*d) - (a^2*b*(c + d*x)^3)/d + (a*b^2*(c + d*x)^3)/d - (b^3*(c + d*x)^3)/(3*d) + (6*a*b^2*d*(c + d*x)*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f^2 + (3*a^2*b*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f + (b^3*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f + (b^3*d^2*Log[Cosh[e + f*x]])/f^3 + (3*a*b^2*d^2*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/f^3 + (3*a^2*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/f^2 + (b^3*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/f^2 - (3*a^2*b*d^2*PolyLog[3, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^3) - (b^3*d^2*PolyLog[3, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^3) - (b^3*d*(c + d*x)*Tanh[e + f*x])/f^2 - (3*a*b^2*(c + d*x)^2*Tanh[e + f*x])/f - (b^3*(c + d*x)^2*Tanh[e + f*x]^2)/(2*f)}
+{(c + d*x)^1*(a + b*Tanh[e + f*x])^3, x, 16, 3*a*b^2*c*x + (b^3*d*x)/(2*f) + (3/2)*a*b^2*d*x^2 + (a^3*(c + d*x)^2)/(2*d) - (3*a^2*b*(c + d*x)^2)/(2*d) - (b^3*(c + d*x)^2)/(2*d) + (3*a^2*b*(c + d*x)*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f + (b^3*(c + d*x)*Log[1 + E^(2*(e + f*x))])/f + (3*a*b^2*d*Log[Cosh[e + f*x]])/f^2 + (3*a^2*b*d*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^2) + (b^3*d*PolyLog[2, -E^(2*(e + f*x))])/(2*f^2) - (b^3*d*Tanh[e + f*x])/(2*f^2) - (3*a*b^2*(c + d*x)*Tanh[e + f*x])/f - (b^3*(c + d*x)*Tanh[e + f*x]^2)/(2*f)}
+{(a + b*Tanh[e + f*x])^3/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Tanh[e + f*x])^3/(c + d*x), x]}
+{(a + b*Tanh[e + f*x])^3/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Tanh[e + f*x])^3/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + b*Tanh[e + f*x]), x, 6, (c + d*x)^4/(4*(a + b)*d) - (b*(c + d*x)^3*Log[1 + (a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b))])/((a^2 - b^2)*f) + (3*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -((a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b)))])/(2*(a^2 - b^2)*f^2) + (3*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -((a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b)))])/(2*(a^2 - b^2)*f^3) + (3*b*d^3*PolyLog[4, -((a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b)))])/(4*(a^2 - b^2)*f^4)}
+{(c + d*x)^2/(a + b*Tanh[e + f*x]), x, 5, (c + d*x)^3/(3*(a + b)*d) - (b*(c + d*x)^2*Log[1 + (a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b))])/((a^2 - b^2)*f) + (b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -((a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b)))])/((a^2 - b^2)*f^2) + (b*d^2*PolyLog[3, -((a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b)))])/(2*(a^2 - b^2)*f^3)}
+{(c + d*x)^1/(a + b*Tanh[e + f*x]), x, 4, (c + d*x)^2/(2*(a + b)*d) - (b*(c + d*x)*Log[1 + (a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b))])/((a^2 - b^2)*f) + (b*d*PolyLog[2, -((a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b)))])/(2*(a^2 - b^2)*f^2)}
+{1/((c + d*x)^1*(a + b*Tanh[e + f*x])), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*Tanh[e + f*x])), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + b*Tanh[e + f*x])), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + b*Tanh[e + f*x])), x]}
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + b*Tanh[e + f*x])^2, x, 28, -((2*b^2*(c + d*x)^3)/((a^2 - b^2)^2*f)) + (2*b^2*(c + d*x)^3)/((a - b)*(a + b)^2*(a - b + (a + b)*E^(2*e + 2*f*x))*f) + (c + d*x)^4/(4*(a - b)^2*d) + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 + ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a^2 - b^2)^2*f^2) - (2*b*(c + d*x)^3*Log[1 + ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a - b)^2*(a + b)*f) + (2*b^2*(c + d*x)^3*Log[1 + ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a^2 - b^2)^2*f) + (3*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -(((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b))])/((a^2 - b^2)^2*f^3) - (3*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -(((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b))])/((a - b)^2*(a + b)*f^2) + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -(((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b))])/((a^2 - b^2)^2*f^2) - (3*b^2*d^3*PolyLog[3, -(((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b))])/(2*(a^2 - b^2)^2*f^4) + (3*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -(((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b))])/((a - b)^2*(a + b)*f^3) - (3*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -(((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b))])/((a^2 - b^2)^2*f^3) - (3*b*d^3*PolyLog[4, -(((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b))])/(2*(a - b)^2*(a + b)*f^4) + (3*b^2*d^3*PolyLog[4, -(((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b))])/(2*(a^2 - b^2)^2*f^4)}
+{(c + d*x)^2/(a + b*Tanh[e + f*x])^2, x, 24, -((2*b^2*(c + d*x)^2)/((a^2 - b^2)^2*f)) + (2*b^2*(c + d*x)^2)/((a - b)*(a + b)^2*(a - b + (a + b)*E^(2*e + 2*f*x))*f) + (c + d*x)^3/(3*(a - b)^2*d) + (2*b^2*d*(c + d*x)*Log[1 + ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a^2 - b^2)^2*f^2) - (2*b*(c + d*x)^2*Log[1 + ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a - b)^2*(a + b)*f) + (2*b^2*(c + d*x)^2*Log[1 + ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a^2 - b^2)^2*f) + (b^2*d^2*PolyLog[2, -(((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b))])/((a^2 - b^2)^2*f^3) - (2*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -(((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b))])/((a - b)^2*(a + b)*f^2) + (2*b^2*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -(((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b))])/((a^2 - b^2)^2*f^2) + (b*d^2*PolyLog[3, -(((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b))])/((a - b)^2*(a + b)*f^3) - (b^2*d^2*PolyLog[3, -(((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b))])/((a^2 - b^2)^2*f^3)}
+{(c + d*x)^1/(a + b*Tanh[e + f*x])^2, x, 5, -((c + d*x)^2/(2*(a^2 - b^2)*d)) + (b*d - 2*a*c*f - 2*a*d*f*x)^2/(4*a*(a - b)*(a + b)^2*d*f^2) + (b*(b*d - 2*a*c*f - 2*a*d*f*x)*Log[1 + (a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b))])/((a^2 - b^2)^2*f^2) + (a*b*d*PolyLog[2, -((a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b)))])/((a^2 - b^2)^2*f^2) + (b*(c + d*x))/((a^2 - b^2)*f*(a + b*Tanh[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)^1*(a + b*Tanh[e + f*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*Tanh[e + f*x])^2), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + b*Tanh[e + f*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + b*Tanh[e + f*x])^2), x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.3 Hyperbolic tangent/6.3.2 Hyperbolic tangent functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.3 Hyperbolic tangent/6.3.2 Hyperbolic tangent functions.m
new file mode 100644
index 00000000..38defc9d
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.3 Hyperbolic tangent/6.3.2 Hyperbolic tangent functions.m	
@@ -0,0 +1,510 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands Involving Hyperbolic Tangents*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tanh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[c+d x]^n*)
+
+
+{Tanh[a + b*x]^6, x, 4, x - Tanh[a + b*x]/b - Tanh[a + b*x]^3/(3*b) - Tanh[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Tanh[a + b*x]^5, x, 3, Log[Cosh[a + b*x]]/b - Tanh[a + b*x]^2/(2*b) - Tanh[a + b*x]^4/(4*b)}
+{Tanh[a + b*x]^4, x, 3, x - Tanh[a + b*x]/b - Tanh[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Tanh[a + b*x]^3, x, 2, Log[Cosh[a + b*x]]/b - Tanh[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Tanh[a + b*x]^2, x, 2, x - Tanh[a + b*x]/b}
+{Tanh[a + b*x]^1, x, 1, Log[Cosh[a + b*x]]/b}
+{Coth[a + b*x]^1, x, 1, Log[Sinh[a + b*x]]/b}
+{Coth[a + b*x]^2, x, 2, x - Coth[a + b*x]/b}
+{Coth[a + b*x]^3, x, 2, -(Coth[a + b*x]^2/(2*b)) + Log[Sinh[a + b*x]]/b}
+{Coth[a + b*x]^4, x, 3, x - Coth[a + b*x]/b - Coth[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Coth[a + b*x]^5, x, 3, -(Coth[a + b*x]^2/(2*b)) - Coth[a + b*x]^4/(4*b) + Log[Sinh[a + b*x]]/b}
+{Coth[a + b*x]^6, x, 4, x - Coth[a + b*x]/b - Coth[a + b*x]^3/(3*b) - Coth[a + b*x]^5/(5*b)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tanh[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+{(b*Tanh[c + d*x])^(7/2),x, 7, (b^(7/2)*ArcTan[Sqrt[b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/d + (b^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/d - (2*b^3*Sqrt[b*Tanh[c + d*x]])/d - (2*b*(b*Tanh[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+{(b*Tanh[c + d*x])^(5/2),x, 6, -((b^(5/2)*ArcTan[Sqrt[b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/d) + (b^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/d - (2*b*(b*Tanh[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{(b*Tanh[c + d*x])^(3/2),x, 6, (b^(3/2)*ArcTan[Sqrt[b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/d + (b^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/d - (2*b*Sqrt[b*Tanh[c + d*x]])/d}
+{(b*Tanh[c + d*x])^(1/2), x, 5, -((Sqrt[b]*ArcTan[Sqrt[b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/d) + (Sqrt[b]*ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/d}
+{1/(b*Tanh[c + d*x])^(1/2), x, 5, ArcTan[Sqrt[b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[b]]/(Sqrt[b]*d) + ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[b]]/(Sqrt[b]*d)}
+{1/(b*Tanh[c + d*x])^(3/2), x, 6, -(ArcTan[Sqrt[b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[b]]/(b^(3/2)*d)) + ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[b]]/(b^(3/2)*d) - 2/(b*d*Sqrt[b*Tanh[c + d*x]])}
+{1/(b*Tanh[c + d*x])^(5/2), x, 6, ArcTan[Sqrt[b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[b]]/(b^(5/2)*d) + ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[b]]/(b^(5/2)*d) - 2/(3*b*d*(b*Tanh[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(b*Tanh[c + d*x])^(7/2), x, 7, -(ArcTan[Sqrt[b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[b]]/(b^(7/2)*d)) + ArcTanh[Sqrt[b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[b]]/(b^(7/2)*d) - 2/(5*b*d*(b*Tanh[c + d*x])^(5/2)) - 2/(b^3*d*Sqrt[b*Tanh[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tanh[c+d x])^(n/3)*)
+
+
+{Tanh[8*x]^(1/3), x, 9, (-(1/16))*Sqrt[3]*ArcTan[(1 + 2*Tanh[8*x]^(2/3))/Sqrt[3]] - (1/16)*Log[1 - Tanh[8*x]^(2/3)] + (1/32)*Log[1 + Tanh[8*x]^(2/3) + Tanh[8*x]^(4/3)]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tanh[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Tanh[a + b*x]^n, x, 2, (Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Tanh[a + b*x]^2]*Tanh[a + b*x]^(1 + n))/(b*(1 + n))}
+{(b*Tanh[c + d*x])^n,x, 2, (Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Tanh[c + d*x]^2]*(b*Tanh[c + d*x])^(1 + n))/(b*d*(1 + n))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tanh[c+d x]^m)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tanh[c+d x]^2)^n*)
+
+
+{(a*Tanh[x]^2)^(3/2),x, 3, a*Coth[x]*Log[Cosh[x]]*Sqrt[a*Tanh[x]^2] - (1/2)*a*Tanh[x]*Sqrt[a*Tanh[x]^2]}
+{Sqrt[a*Tanh[x]^2], x, 2, Coth[x]*Log[Cosh[x]]*Sqrt[a*Tanh[x]^2]}
+{1/Sqrt[a*Tanh[x]^2], x, 2, (Log[Sinh[x]]*Tanh[x])/Sqrt[a*Tanh[x]^2]}
+
+
+{(-Tanh[c + d*x]^2)^(5/2), x, 4, (Coth[c + d*x]*Log[Cosh[c + d*x]]*Sqrt[-Tanh[c + d*x]^2])/d - (Tanh[c + d*x]*Sqrt[-Tanh[c + d*x]^2])/(2*d) - (Tanh[c + d*x]^3*Sqrt[-Tanh[c + d*x]^2])/(4*d)}
+{(-Tanh[c + d*x]^2)^(3/2), x, 3, -((Coth[c + d*x]*Log[Cosh[c + d*x]]*Sqrt[-Tanh[c + d*x]^2])/d) + (Tanh[c + d*x]*Sqrt[-Tanh[c + d*x]^2])/(2*d)}
+{(-Tanh[c + d*x]^2)^(1/2), x, 2, (Coth[c + d*x]*Log[Cosh[c + d*x]]*Sqrt[-Tanh[c + d*x]^2])/d}
+{1/(-Tanh[c + d*x]^2)^(1/2), x, 2, (Log[Sinh[c + d*x]]*Tanh[c + d*x])/(d*Sqrt[-Tanh[c + d*x]^2])}
+{1/(-Tanh[c + d*x]^2)^(3/2), x, 3, Coth[c + d*x]/(2*d*Sqrt[-Tanh[c + d*x]^2]) - (Log[Sinh[c + d*x]]*Tanh[c + d*x])/(d*Sqrt[-Tanh[c + d*x]^2])}
+{1/(-Tanh[c + d*x]^2)^(5/2), x, 4, -(Coth[c + d*x]/(2*d*Sqrt[-Tanh[c + d*x]^2])) - Coth[c + d*x]^3/(4*d*Sqrt[-Tanh[c + d*x]^2]) + (Log[Sinh[c + d*x]]*Tanh[c + d*x])/(d*Sqrt[-Tanh[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tanh[c+d x]^3)^n*)
+
+
+{Sqrt[Tanh[x]^3], x, 7, -2*Coth[x]*Sqrt[Tanh[x]^3] + (ArcTan[Sqrt[Tanh[x]]]*Sqrt[Tanh[x]^3])/Tanh[x]^(3/2) + (ArcTanh[Sqrt[Tanh[x]]]*Sqrt[Tanh[x]^3])/Tanh[x]^(3/2)}
+
+
+{(a*Tanh[x]^3)^(3/2),x, 8, (-(2/3))*a*Sqrt[a*Tanh[x]^3] - (a*ArcTan[Sqrt[Tanh[x]]]*Sqrt[a*Tanh[x]^3])/Tanh[x]^(3/2) + (a*ArcTanh[Sqrt[Tanh[x]]]*Sqrt[a*Tanh[x]^3])/Tanh[x]^(3/2) - (2/7)*a*Tanh[x]^2*Sqrt[a*Tanh[x]^3]}
+{Sqrt[a*Tanh[x]^3], x, 7, -2*Coth[x]*Sqrt[a*Tanh[x]^3] + (ArcTan[Sqrt[Tanh[x]]]*Sqrt[a*Tanh[x]^3])/Tanh[x]^(3/2) + (ArcTanh[Sqrt[Tanh[x]]]*Sqrt[a*Tanh[x]^3])/Tanh[x]^(3/2)}
+{1/Sqrt[a*Tanh[x]^3], x, 7, -((2*Tanh[x])/Sqrt[a*Tanh[x]^3]) - (ArcTan[Sqrt[Tanh[x]]]*Tanh[x]^(3/2))/Sqrt[a*Tanh[x]^3] + (ArcTanh[Sqrt[Tanh[x]]]*Tanh[x]^(3/2))/Sqrt[a*Tanh[x]^3]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tanh[c+d x]^4)^n*)
+
+
+{(a*Tanh[x]^4)^(3/2),x, 5, (-a)*Coth[x]*Sqrt[a*Tanh[x]^4] + a*x*Coth[x]^2*Sqrt[a*Tanh[x]^4] - (1/3)*a*Tanh[x]*Sqrt[a*Tanh[x]^4] - (1/5)*a*Tanh[x]^3*Sqrt[a*Tanh[x]^4]}
+{Sqrt[a*Tanh[x]^4], x, 3, (-Coth[x])*Sqrt[a*Tanh[x]^4] + x*Coth[x]^2*Sqrt[a*Tanh[x]^4]}
+{1/Sqrt[a*Tanh[x]^4], x, 3, -(Tanh[x]/Sqrt[a*Tanh[x]^4]) + (x*Tanh[x]^2)/Sqrt[a*Tanh[x]^4]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Tanh[c+d x]^m)^n*)
+
+
+{(b*Tanh[c + d*x]^m)^n, x, 3, (1/(d*(1 + m*n)))*(Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + m*n), (1/2)*(3 + m*n), Tanh[c + d*x]^2]*Tanh[c + d*x]*(b*Tanh[c + d*x]^m)^n)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[c+d x]^m (a+b Tanh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Tanh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2 = 0*)
+
+
+{(a + a*Tanh[c + d*x])^5, x, 5, 16*a^5*x + (16*a^5*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (8*a^5*Tanh[c + d*x])/d - (2*a^2*(a + a*Tanh[c + d*x])^3)/(3*d) - (a*(a + a*Tanh[c + d*x])^4)/(4*d) - (2*a*(a^2 + a^2*Tanh[c + d*x])^2)/d}
+{(a + a*Tanh[c + d*x])^4, x, 4, 8*a^4*x + (8*a^4*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (4*a^4*Tanh[c + d*x])/d - (a*(a + a*Tanh[c + d*x])^3)/(3*d) - (a^2 + a^2*Tanh[c + d*x])^2/d}
+{(a + a*Tanh[c + d*x])^3, x, 3, 4*a^3*x + (4*a^3*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (2*a^3*Tanh[c + d*x])/d - (a*(a + a*Tanh[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{(a + a*Tanh[c + d*x])^2, x, 2, 2*a^2*x + (2*a^2*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (a^2*Tanh[c + d*x])/d}
+{1/(a + a*Tanh[c + d*x]), x, 2, x/(2*a) - 1/(2*d*(a + a*Tanh[c + d*x]))}
+{1/(a + a*Tanh[c + d*x])^2, x, 3, x/(4*a^2) - 1/(4*d*(a + a*Tanh[c + d*x])^2) - 1/(4*d*(a^2 + a^2*Tanh[c + d*x]))}
+{1/(a + a*Tanh[c + d*x])^3, x, 4, x/(8*a^3) - 1/(6*d*(a + a*Tanh[c + d*x])^3) - 1/(8*a*d*(a + a*Tanh[c + d*x])^2) - 1/(8*d*(a^3 + a^3*Tanh[c + d*x]))}
+{1/(a + a*Tanh[c + d*x])^4, x, 5, x/(16*a^4) - 1/(8*d*(a + a*Tanh[c + d*x])^4) - 1/(12*a*d*(a + a*Tanh[c + d*x])^3) - 1/(16*d*(a^2 + a^2*Tanh[c + d*x])^2) - 1/(16*d*(a^4 + a^4*Tanh[c + d*x]))}
+{1/(a + a*Tanh[c + d*x])^5, x, 6, x/(32*a^5) - 1/(10*d*(a + a*Tanh[c + d*x])^5) - 1/(16*a*d*(a + a*Tanh[c + d*x])^4) - 1/(24*a^2*d*(a + a*Tanh[c + d*x])^3) - 1/(32*a*d*(a^2 + a^2*Tanh[c + d*x])^2) - 1/(32*d*(a^5 + a^5*Tanh[c + d*x]))}
+
+
+{(1 + Tanh[x])^(7/2), x, 5, 8*Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 + Tanh[x]]/Sqrt[2]] - 8*Sqrt[1 + Tanh[x]] - (4/3)*(1 + Tanh[x])^(3/2) - (2/5)*(1 + Tanh[x])^(5/2)}
+{(1 + Tanh[x])^(5/2), x, 4, 4*Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 + Tanh[x]]/Sqrt[2]] - 4*Sqrt[1 + Tanh[x]] - (2/3)*(1 + Tanh[x])^(3/2)}
+{(1 + Tanh[x])^(3/2), x, 3, 2*Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 + Tanh[x]]/Sqrt[2]] - 2*Sqrt[1 + Tanh[x]]}
+{(1 + Tanh[x])^(1/2), x, 2, Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 + Tanh[x]]/Sqrt[2]]}
+{1/(1 + Tanh[x])^(1/2), x, 3, ArcTanh[Sqrt[1 + Tanh[x]]/Sqrt[2]]/Sqrt[2] - 1/Sqrt[1 + Tanh[x]]}
+{1/(1 + Tanh[x])^(3/2), x, 4, ArcTanh[Sqrt[1 + Tanh[x]]/Sqrt[2]]/(2*Sqrt[2]) - 1/(3*(1 + Tanh[x])^(3/2)) - 1/(2*Sqrt[1 + Tanh[x]])}
+{1/(1 + Tanh[x])^(5/2), x, 5, ArcTanh[Sqrt[1 + Tanh[x]]/Sqrt[2]]/(4*Sqrt[2]) - 1/(5*(1 + Tanh[x])^(5/2)) - 1/(6*(1 + Tanh[x])^(3/2)) - 1/(4*Sqrt[1 + Tanh[x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2 /= 0*)
+
+
+{(a + b*Tanh[c + d*x])^5, x, 5, a*(a^4 + 10*a^2*b^2 + 5*b^4)*x + (b*(5*a^4 + 10*a^2*b^2 + b^4)*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (4*a*b^2*(a^2 + b^2)*Tanh[c + d*x])/d - (b*(3*a^2 + b^2)*(a + b*Tanh[c + d*x])^2)/(2*d) - (2*a*b*(a + b*Tanh[c + d*x])^3)/(3*d) - (b*(a + b*Tanh[c + d*x])^4)/(4*d)}
+{(a + b*Tanh[c + d*x])^4, x, 4, (a^4 + 6*a^2*b^2 + b^4)*x + (4*a*b*(a^2 + b^2)*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (b^2*(3*a^2 + b^2)*Tanh[c + d*x])/d - (a*b*(a + b*Tanh[c + d*x])^2)/d - (b*(a + b*Tanh[c + d*x])^3)/(3*d)}
+{(a + b*Tanh[c + d*x])^3, x, 3, a*(a^2 + 3*b^2)*x + (b*(3*a^2 + b^2)*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (2*a*b^2*Tanh[c + d*x])/d - (b*(a + b*Tanh[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{(a + b*Tanh[c + d*x])^2, x, 2, (a^2 + b^2)*x + (2*a*b*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (b^2*Tanh[c + d*x])/d}
+{1/(a + b*Tanh[c + d*x]),x, 2, (a*x)/(a^2 - b^2) - (b*Log[a*Cosh[c + d*x] + b*Sinh[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d)}
+{1/(a + b*Tanh[c + d*x])^2,x, 3, ((a^2 + b^2)*x)/(a^2 - b^2)^2 - (2*a*b*Log[a*Cosh[c + d*x] + b*Sinh[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*d) + b/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]))}
+{1/(a + b*Tanh[c + d*x])^3,x, 4, (a*(a^2 + 3*b^2)*x)/(a^2 - b^2)^3 - (b*(3*a^2 + b^2)*Log[a*Cosh[c + d*x] + b*Sinh[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^3*d) + b/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Tanh[c + d*x])^2) + (2*a*b)/((a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]))}
+{1/(a + b*Tanh[c + d*x])^4,x, 5, ((a^4 + 6*a^2*b^2 + b^4)*x)/(a^2 - b^2)^4 - (4*a*b*(a^2 + b^2)*Log[a*Cosh[c + d*x] + b*Sinh[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^4*d) + b/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Tanh[c + d*x])^3) + (a*b)/((a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x])^2) + (b*(3*a^2 + b^2))/((a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Tanh[c + d*x]))}
+
+{1/(4 + 6*Tanh[c + d*x]), x, 2, -(x/5) + (3*Log[2*Cosh[c + d*x] + 3*Sinh[c + d*x]])/(10*d)}
+{1/(4 - 6*Tanh[c + d*x]), x, 2, -(x/5) - (3*Log[2*Cosh[c + d*x] - 3*Sinh[c + d*x]])/(10*d)}
+
+
+{Sqrt[a + b*Tanh[c + d*x]], x, 5, -((Sqrt[a - b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/d) + (Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/d}
+{1/Sqrt[a + b*Tanh[c + d*x]], x, 5, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[a - b]]/(Sqrt[a - b]*d)) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[c + d*x]]/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[a + b]*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[c+d x]^m (a+b Tanh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2 = 0*)
+
+
+{Sinh[x]^4/(1 + Tanh[x]), x, 5, x/16 + 1/(32*(1 - Tanh[x])^2) - 1/(8*(1 - Tanh[x])) - 1/(24*(1 + Tanh[x])^3) + 5/(32*(1 + Tanh[x])^2) - 3/(16*(1 + Tanh[x]))}
+{Sinh[x]^3/(1 + Tanh[x]), x, 9, (-(1/3))*Cosh[x]^3 + Cosh[x]^5/5 - Sinh[x]^5/5}
+{Sinh[x]^2/(1 + Tanh[x]), x, 5, -(x/8) + 1/(8*(1 - Tanh[x])) - 1/(8*(1 + Tanh[x])^2) + 1/(4*(1 + Tanh[x]))}
+{Sinh[x]^1/(1 + Tanh[x]), x, 8, Cosh[x]^3/3 - Sinh[x]^3/3}
+{Csch[x]^1/(1 + Tanh[x]), x, 8, -ArcTanh[Cosh[x]] + Cosh[x] - Sinh[x]}
+{Csch[x]^2/(1 + Tanh[x]), x, 3, -Coth[x] - Log[Tanh[x]] + Log[1 + Tanh[x]]}
+{Csch[x]^3/(1 + Tanh[x]), x, 8, (-(1/2))*ArcTanh[Cosh[x]] + Csch[x] - (1/2)*Coth[x]*Csch[x]}
+{Csch[x]^4/(1 + Tanh[x]), x, 4, Coth[x]^2/2 - Coth[x]^3/3}
+{Csch[x]^5/(1 + Tanh[x]), x, 9, (1/8)*ArcTanh[Cosh[x]] - (1/8)*Coth[x]*Csch[x] + Csch[x]^3/3 - (1/4)*Coth[x]*Csch[x]^3}
+{Csch[x]^6/(1 + Tanh[x]), x, 4, (-(1/2))*Coth[x]^2 + Coth[x]^3/3 + Coth[x]^4/4 - Coth[x]^5/5}
+{Csch[x]^7/(1 + Tanh[x]), x, 10, (-(1/16))*ArcTanh[Cosh[x]] + (1/16)*Coth[x]*Csch[x] - (1/24)*Coth[x]*Csch[x]^3 + Csch[x]^5/5 - (1/6)*Coth[x]*Csch[x]^5}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2 /= 0*)
+
+
+{Sinh[x]^4/(a + b*Tanh[x]), x, 5, -((a*(3*a + b)*Log[1 - Tanh[x]])/(16*(a + b)^3)) + (a*(3*a - b)*Log[1 + Tanh[x]])/(16*(a - b)^3) - (a^4*b*Log[a + b*Tanh[x]])/(a^2 - b^2)^3 - (Cosh[x]^4*(b - a*Tanh[x]))/(4*(a^2 - b^2)) + (Cosh[x]^2*(4*b*(2*a^2 - b^2) - a*(5*a^2 - b^2)*Tanh[x]))/(8*(a^2 - b^2)^2)}
+{Sinh[x]^3/(a + b*Tanh[x]), x, 10, -((a^3*b*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2)) - (a*b^2*Cosh[x])/(a^2 - b^2)^2 - (a*Cosh[x])/(a^2 - b^2) + (a*Cosh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)) + (a^2*b*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^2 - (b*Sinh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2))}
+{Sinh[x]^2/(a + b*Tanh[x]), x, 4, (a*Log[1 - Tanh[x]])/(4*(a + b)^2) - (a*Log[1 + Tanh[x]])/(4*(a - b)^2) + (a^2*b*Log[a + b*Tanh[x]])/(a^2 - b^2)^2 - (Cosh[x]^2*(b - a*Tanh[x]))/(2*(a^2 - b^2))}
+{Sinh[x]^1/(a + b*Tanh[x]), x, 6, (a*b*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(3/2) + (a*Cosh[x])/(a^2 - b^2) - (b*Sinh[x])/(a^2 - b^2)}
+{Csch[x]^1/(a + b*Tanh[x]), x, 6, -((b*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*Sqrt[a^2 - b^2])) - ArcTanh[Cosh[x]]/a}
+{Csch[x]^2/(a + b*Tanh[x]), x, 3, -(Coth[x]/a) - (b*Log[Tanh[x]])/a^2 + (b*Log[a + b*Tanh[x]])/a^2}
+{Csch[x]^3/(a + b*Tanh[x]), x, 15, (b*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/a^3 + ArcTanh[Cosh[x]]/(2*a) - (b^2*ArcTanh[Cosh[x]])/a^3 + (b*Csch[x])/a^2 - (Coth[x]*Csch[x])/(2*a)}
+{Csch[x]^4/(a + b*Tanh[x]), x, 3, ((a^2 - b^2)*Coth[x])/a^3 + (b*Coth[x]^2)/(2*a^2) - Coth[x]^3/(3*a) + (b*(a^2 - b^2)*Log[Tanh[x]])/a^4 - (b*(a^2 - b^2)*Log[a + b*Tanh[x]])/a^4}
+{Csch[x]^5/(a + b*Tanh[x]), x, 29, -((b*ArcTan[Sinh[x]])/a^2) + (b^3*ArcTan[Sinh[x]])/a^4 + (b*(a^2 - b^2)*ArcTan[Sinh[x]])/a^4 - (b*(a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/a^5 - (3*ArcTanh[Cosh[x]])/(8*a) + (3*b^2*ArcTanh[Cosh[x]])/(2*a^3) - (b^4*ArcTanh[Cosh[x]])/a^5 - (b*Csch[x])/a^2 + (3*b^3*Csch[x])/(2*a^4) + (3*Coth[x]*Csch[x])/(8*a) + (b*Csch[x]^3)/(3*a^2) - (Coth[x]*Csch[x]^3)/(4*a) - (3*b^2*Sech[x])/(2*a^3) + (b^4*Sech[x])/a^5 + (b^2*(a^2 - b^2)*Sech[x])/a^5 - (b^2*Csch[x]^2*Sech[x])/(2*a^3) - (b^3*Csch[x]*Sech[x]^2)/(2*a^4) - (b^3*Sech[x]*Tanh[x])/(2*a^4)}
+{Csch[x]^6/(a + b*Tanh[x]), x, 3, -(((a^2 - b^2)^2*Coth[x])/a^5) - (b*(2*a^2 - b^2)*Coth[x]^2)/(2*a^4) + ((2*a^2 - b^2)*Coth[x]^3)/(3*a^3) + (b*Coth[x]^4)/(4*a^2) - Coth[x]^5/(5*a) - (b*(a^2 - b^2)^2*Log[Tanh[x]])/a^6 + (b*(a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Tanh[x]])/a^6}
+
+
+(* Following hangs Mathematica 6 & 7: *) 
+{Csch[x]/(I + Tanh[x]), x, 6, I*ArcTanh[Cosh[x]] - (I*ArcTanh[(Cosh[x] + I*Sinh[x])/Sqrt[2]])/Sqrt[2]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sech[c+d x]^m (a+b Tanh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2 = 0*)
+
+
+{Cosh[x]^4/(1 + Tanh[x]), x, 4, (5*x)/16 + 1/(32*(1 - Tanh[x])^2) + 1/(8*(1 - Tanh[x])) - 1/(24*(1 + Tanh[x])^3) - 3/(32*(1 + Tanh[x])^2) - 3/(16*(1 + Tanh[x]))}
+{Cosh[x]^3/(1 + Tanh[x]), x, 3, (4*Sinh[x])/5 + (4*Sinh[x]^3)/15 - Cosh[x]^3/(5*(1 + Tanh[x]))}
+{Cosh[x]^2/(1 + Tanh[x]), x, 4, (3*x)/8 + 1/(8*(1 - Tanh[x])) - 1/(8*(1 + Tanh[x])^2) - 1/(4*(1 + Tanh[x]))}
+{Cosh[x]^1/(1 + Tanh[x]), x, 2, (2*Sinh[x])/3 - Cosh[x]/(3*(1 + Tanh[x]))}
+{Sech[x]^1/(1 + Tanh[x]), x, 1, -(Sech[x]/(1 + Tanh[x]))}
+{Sech[x]^2/(1 + Tanh[x]), x, 2, Log[1 + Tanh[x]]}
+{Sech[x]^3/(1 + Tanh[x]), x, 2, ArcTan[Sinh[x]] + Sech[x]}
+{Sech[x]^4/(1 + Tanh[x]), x, 2, Tanh[x] - Tanh[x]^2/2}
+{Sech[x]^5/(1 + Tanh[x]), x, 3, (1/2)*ArcTan[Sinh[x]] + Sech[x]^3/3 + (1/2)*Sech[x]*Tanh[x]}
+{Sech[x]^6/(1 + Tanh[x]), x, 3, (-(2/3))*(1 - Tanh[x])^3 + (1/4)*(1 - Tanh[x])^4}
+{Sech[x]^7/(1 + Tanh[x]), x, 4, (3/8)*ArcTan[Sinh[x]] + Sech[x]^5/5 + (3/8)*Sech[x]*Tanh[x] + (1/4)*Sech[x]^3*Tanh[x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2 /= 0*)
+
+
+{Sech[x]^8/(a + b*Tanh[x]), x, 3, -(((a^2 - b^2)^3*Log[a + b*Tanh[x]])/b^7) + (a*(a^4 - 3*a^2*b^2 + 3*b^4)*Tanh[x])/b^6 - ((a^4 - 3*a^2*b^2 + 3*b^4)*Tanh[x]^2)/(2*b^5) + (a*(a^2 - 3*b^2)*Tanh[x]^3)/(3*b^4) - ((a^2 - 3*b^2)*Tanh[x]^4)/(4*b^3) + (a*Tanh[x]^5)/(5*b^2) - Tanh[x]^6/(6*b)}
+{Sech[x]^6/(a + b*Tanh[x]), x, 3, ((a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Tanh[x]])/b^5 - (a*(a^2 - 2*b^2)*Tanh[x])/b^4 + ((a^2 - 2*b^2)*Tanh[x]^2)/(2*b^3) - (a*Tanh[x]^3)/(3*b^2) + Tanh[x]^4/(4*b)}
+{Sech[x]^4/(a + b*Tanh[x]), x, 3, -(((a^2 - b^2)*Log[a + b*Tanh[x]])/b^3) + (a*Tanh[x])/b^2 - Tanh[x]^2/(2*b)}
+{Sech[x]^2/(a + b*Tanh[x]), x, 2, Log[a + b*Tanh[x]]/b}
+{Sech[x]^0/(a + b*Tanh[x]), x, 2, (a*x)/(a^2 - b^2) - (b*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)}
+{Cosh[x]^2/(a + b*Tanh[x]), x, 4, -(((a + 2*b)*Log[1 - Tanh[x]])/(4*(a + b)^2)) + ((a - 2*b)*Log[1 + Tanh[x]])/(4*(a - b)^2) + (b^3*Log[a + b*Tanh[x]])/(a^2 - b^2)^2 - (Cosh[x]^2*(b - a*Tanh[x]))/(2*(a^2 - b^2))}
+{Cosh[x]^4/(a + b*Tanh[x]), x, 5, -(((3*a^2 + 9*a*b + 8*b^2)*Log[1 - Tanh[x]])/(16*(a + b)^3)) + ((3*a^2 - 9*a*b + 8*b^2)*Log[1 + Tanh[x]])/(16*(a - b)^3) - (b^5*Log[a + b*Tanh[x]])/(a^2 - b^2)^3 - (Cosh[x]^4*(b - a*Tanh[x]))/(4*(a^2 - b^2)) + (Cosh[x]^2*(4*b^3 - a*(7 - (3*a^2)/b^2)*b^2*Tanh[x]))/(8*(a^2 - b^2)^2)}
+
+{Sech[x]^7/(a + b*Tanh[x]), x, 14, (a*(8*a^4 - 20*a^2*b^2 + 15*b^4)*ArcTan[Sinh[x]])/(8*b^6) - ((a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTan[(Cosh[x]*(b + a*Tanh[x]))/Sqrt[a^2 - b^2]])/b^6 + ((a^2 - b^2)^2*Sech[x])/b^5 - ((a^2 - b^2)*Sech[x]^3)/(3*b^3) + Sech[x]^5/(5*b) - (a*(4*a^2 - 7*b^2)*Sech[x]*Tanh[x])/(8*b^4) + (a*Sech[x]^3*Tanh[x])/(4*b^2), (3*a*ArcTan[Sinh[x]])/(8*b^2) - (a*(a^2 - b^2)*ArcTan[Sinh[x]])/(2*b^4) + (a*(a^2 - b^2)^2*ArcTan[Sinh[x]])/b^6 - ((a^2 - b^2)^(5/2)*ArcTan[(Cosh[x]*(b + a*Tanh[x]))/Sqrt[a^2 - b^2]])/b^6 + ((a^2 - b^2)^2*Sech[x])/b^5 - ((a^2 - b^2)*Sech[x]^3)/(3*b^3) + Sech[x]^5/(5*b) + (3*a*Sech[x]*Tanh[x])/(8*b^2) - (a*(a^2 - b^2)*Sech[x]*Tanh[x])/(2*b^4) + (a*Sech[x]^3*Tanh[x])/(4*b^2)}
+{Sech[x]^5/(a + b*Tanh[x]), x, 9, -((a*(2*a^2 - 3*b^2)*ArcTan[Sinh[x]])/(2*b^4)) + ((a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(Cosh[x]*(b + a*Tanh[x]))/Sqrt[a^2 - b^2]])/b^4 - ((a^2 - b^2)*Sech[x])/b^3 + Sech[x]^3/(3*b) + (a*Sech[x]*Tanh[x])/(2*b^2), (a*ArcTan[Sinh[x]])/(2*b^2) - (a*(a^2 - b^2)*ArcTan[Sinh[x]])/b^4 + ((a^2 - b^2)^(3/2)*ArcTan[(Cosh[x]*(b + a*Tanh[x]))/Sqrt[a^2 - b^2]])/b^4 - ((a^2 - b^2)*Sech[x])/b^3 + Sech[x]^3/(3*b) + (a*Sech[x]*Tanh[x])/(2*b^2)}
+{Sech[x]^3/(a + b*Tanh[x]), x, 5, (a*ArcTan[Sinh[x]])/b^2 - (Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTan[(Cosh[x]*(b + a*Tanh[x]))/Sqrt[a^2 - b^2]])/b^2 + Sech[x]/b}
+{Sech[x]^1/(a + b*Tanh[x]), x, 2, ArcTan[(Cosh[x]*(b + a*Tanh[x]))/Sqrt[a^2 - b^2]]/Sqrt[a^2 - b^2]}
+{Cosh[x]^1/(a + b*Tanh[x]), x, 5, -((b^2*ArcTan[(Cosh[x]*(b + a*Tanh[x]))/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(3/2)) - (b*Cosh[x])/(a^2 - b^2) + (a*Sinh[x])/(a^2 - b^2)}
+{Cosh[x]^3/(a + b*Tanh[x]), x, 9, (b^4*ArcTan[(Cosh[x]*(b + a*Tanh[x]))/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2) + (b^3*Cosh[x])/(a^2 - b^2)^2 - (b*Cosh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)) - (a*b^2*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^2 + (a*Sinh[x])/(a^2 - b^2) + (a*Sinh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[c+d x]^m (a+b Tanh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2 = 0*)
+
+
+{Tanh[x]^5/(1 + Tanh[x]), x, 5, (5*x)/2 - 2*Log[Cosh[x]] - (5*Tanh[x])/2 + Tanh[x]^2 - (5*Tanh[x]^3)/6 + Tanh[x]^4/(2*(1 + Tanh[x]))}
+{Tanh[x]^4/(1 + Tanh[x]), x, 4, -((3*x)/2) + 2*Log[Cosh[x]] + (3*Tanh[x])/2 - Tanh[x]^2 + Tanh[x]^3/(2*(1 + Tanh[x]))}
+{Tanh[x]^3/(1 + Tanh[x]), x, 3, (3*x)/2 - Log[Cosh[x]] - (3*Tanh[x])/2 + Tanh[x]^2/(2*(1 + Tanh[x]))}
+{Tanh[x]^2/(1 + Tanh[x]), x, 3, -(x/2) + Log[Cosh[x]] - 1/(2*(1 + Tanh[x]))}
+{Tanh[x]^1/(1 + Tanh[x]), x, 2, x/2 + 1/(2*(1 + Tanh[x]))}
+{Tanh[x]^0/(1 + Tanh[x]), x, 2, x/2 - 1/(2*(1 + Tanh[x]))}
+{Coth[x]^1/(1 + Tanh[x]), x, 4, -(x/2) + Log[Sinh[x]] + 1/(2*(1 + Tanh[x]))}
+{Coth[x]^2/(1 + Tanh[x]), x, 4, (3*x)/2 - (3*Coth[x])/2 - Log[Sinh[x]] + Coth[x]/(2*(1 + Tanh[x]))}
+{Coth[x]^3/(1 + Tanh[x]), x, 5, -((3*x)/2) + (3*Coth[x])/2 - Coth[x]^2 + 2*Log[Sinh[x]] + Coth[x]^2/(2*(1 + Tanh[x]))}
+{Coth[x]^4/(1 + Tanh[x]), x, 6, (5*x)/2 - (5*Coth[x])/2 + Coth[x]^2 - (5*Coth[x]^3)/6 - 2*Log[Sinh[x]] + Coth[x]^3/(2*(1 + Tanh[x]))}
+
+
+{Tanh[x]*(1 + Tanh[x])^(3/2), x, 4, 2*Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 + Tanh[x]]/Sqrt[2]] - 2*Sqrt[1 + Tanh[x]] - (2/3)*(1 + Tanh[x])^(3/2)}
+{Tanh[x]*Sqrt[1 + Tanh[x]], x, 3, Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 + Tanh[x]]/Sqrt[2]] - 2*Sqrt[1 + Tanh[x]]}
+{Tanh[x]/Sqrt[1 + Tanh[x]], x, 3, ArcTanh[Sqrt[1 + Tanh[x]]/Sqrt[2]]/Sqrt[2] + 1/Sqrt[1 + Tanh[x]]}
+{Tanh[x]/(1 + Tanh[x])^(3/2), x, 4, ArcTanh[Sqrt[1 + Tanh[x]]/Sqrt[2]]/(2*Sqrt[2]) + 1/(3*(1 + Tanh[x])^(3/2)) - 1/(2*Sqrt[1 + Tanh[x]])}
+
+{Tanh[x]^2*(1 + Tanh[x])^(3/2), x, 4, 2*Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 + Tanh[x]]/Sqrt[2]] - 2*Sqrt[1 + Tanh[x]] - (2/5)*(1 + Tanh[x])^(5/2)}
+{Tanh[x]^2*Sqrt[1 + Tanh[x]], x, 3, Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 + Tanh[x]]/Sqrt[2]] - (2/3)*(1 + Tanh[x])^(3/2)}
+{Tanh[x]^2/Sqrt[1 + Tanh[x]], x, 4, ArcTanh[Sqrt[1 + Tanh[x]]/Sqrt[2]]/Sqrt[2] - 1/Sqrt[1 + Tanh[x]] - 2*Sqrt[1 + Tanh[x]]}
+{Tanh[x]^2/(1 + Tanh[x])^(3/2), x, 4, ArcTanh[Sqrt[1 + Tanh[x]]/Sqrt[2]]/(2*Sqrt[2]) - 1/(3*(1 + Tanh[x])^(3/2)) + 3/(2*Sqrt[1 + Tanh[x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2 /= 0*)
+
+
+{Tanh[x]^5/(a + b*Tanh[x]), x, 7, -((b*x)/(a^2 - b^2)) + (a*Log[Cosh[x]])/(a^2 - b^2) + (a^5*Log[a + b*Tanh[x]])/(b^4*(a^2 - b^2)) - ((a^2 + b^2)*Tanh[x])/b^3 + (a*Tanh[x]^2)/(2*b^2) - Tanh[x]^3/(3*b)}
+{Tanh[x]^4/(a + b*Tanh[x]), x, 6, (a*x)/(a^2 - b^2) - (b*Log[Cosh[x]])/(a^2 - b^2) - (a^4*Log[a + b*Tanh[x]])/(b^3*(a^2 - b^2)) + (a*Tanh[x])/b^2 - Tanh[x]^2/(2*b)}
+{Tanh[x]^3/(a + b*Tanh[x]), x, 5, -((b*x)/(a^2 - b^2)) + (a*Log[Cosh[x]])/(a^2 - b^2) + (a^3*Log[a + b*Tanh[x]])/(b^2*(a^2 - b^2)) - Tanh[x]/b}
+{Tanh[x]^2/(a + b*Tanh[x]), x, 4, -((a*x)/b^2) + (a^3*x)/(b^2*(a^2 - b^2)) + Log[Cosh[x]]/b - (a^2*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(b*(a^2 - b^2))}
+{Tanh[x]^1/(a + b*Tanh[x]), x, 2, -((b*x)/(a^2 - b^2)) + (a*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)}
+{Tanh[x]^0/(a + b*Tanh[x]), x, 2, (a*x)/(a^2 - b^2) - (b*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)}
+{Coth[x]^1/(a + b*Tanh[x]), x, 3, -((b*x)/(a^2 - b^2)) + Log[Sinh[x]]/a + (b^2*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a*(a^2 - b^2))}
+{Coth[x]^2/(a + b*Tanh[x]), x, 4, (a*x)/(a^2 - b^2) - Coth[x]/a - (b*Log[Sinh[x]])/a^2 - (b^3*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2*(a^2 - b^2))}
+{Coth[x]^3/(a + b*Tanh[x]), x, 5, -((b*x)/(a^2 - b^2)) + (b*Coth[x])/a^2 - Coth[x]^2/(2*a) + ((a^2 + b^2)*Log[Sinh[x]])/a^3 + (b^4*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^3*(a^2 - b^2))}
+{Coth[x]^4/(a + b*Tanh[x]), x, 6, (a*x)/(a^2 - b^2) - ((a^2 + b^2)*Coth[x])/a^3 + (b*Coth[x]^2)/(2*a^2) - Coth[x]^3/(3*a) - (b*(a^2 + b^2)*Log[Sinh[x]])/a^4 - (b^5*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^4*(a^2 - b^2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Sech[c+d x]^2 (a+b Tanh[c+d x]^n)^p*)
+
+
+{x*Sech[x]^2/(a + b*Tanh[x])^2, x, 3, (a*x)/(b*(a^2 - b^2)) - Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]]/(a^2 - b^2) - x/(b*(a + b*Tanh[x]))}
+
+
+{x*Sech[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 9, (x*Log[1 + ((a + b)*E^(2*c + 2*d*x))/(a - 2*Sqrt[-a]*Sqrt[b] - b)])/(2*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*d) - (x*Log[1 + ((a + b)*E^(2*c + 2*d*x))/(a + 2*Sqrt[-a]*Sqrt[b] - b)])/(2*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*d) + PolyLog[2, -(((a + b)*E^(2*c + 2*d*x))/(a - 2*Sqrt[-a]*Sqrt[b] - b))]/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*d^2) - PolyLog[2, -(((a + b)*E^(2*c + 2*d*x))/(a + 2*Sqrt[-a]*Sqrt[b] - b))]/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*d^2)}
+{x^2*Sech[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 11, (x^2*Log[1 + ((a + b)*E^(2*c + 2*d*x))/(a - 2*Sqrt[-a]*Sqrt[b] - b)])/(2*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*d) - (x^2*Log[1 + ((a + b)*E^(2*c + 2*d*x))/(a + 2*Sqrt[-a]*Sqrt[b] - b)])/(2*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*d) + (x*PolyLog[2, -(((a + b)*E^(2*c + 2*d*x))/(a - 2*Sqrt[-a]*Sqrt[b] - b))])/(2*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*d^2) - (x*PolyLog[2, -(((a + b)*E^(2*c + 2*d*x))/(a + 2*Sqrt[-a]*Sqrt[b] - b))])/(2*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*d^2) - PolyLog[3, -(((a + b)*E^(2*c + 2*d*x))/(a - 2*Sqrt[-a]*Sqrt[b] - b))]/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*d^3) + PolyLog[3, -(((a + b)*E^(2*c + 2*d*x))/(a + 2*Sqrt[-a]*Sqrt[b] - b))]/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]*d^3)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Tanh[a+b Log[c x^n]]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Tanh[a+b Log[x]]^p*)
+
+
+{x^3*Tanh[a + 2*Log[x]], x, 4, x^4/4 - Log[1 + E^(2*a)*x^4]/(2*E^(2*a))}
+{x^2*Tanh[a + 2*Log[x]], x, 11, x^3/3 + ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^(a/2)*x]/(Sqrt[2]*E^((3*a)/2)) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^(a/2)*x]/(Sqrt[2]*E^((3*a)/2)) - Log[1 - Sqrt[2]*E^(a/2)*x + E^a*x^2]/(2*Sqrt[2]*E^((3*a)/2)) + Log[1 + Sqrt[2]*E^(a/2)*x + E^a*x^2]/(2*Sqrt[2]*E^((3*a)/2))}
+{x^1*Tanh[a + 2*Log[x]], x, 4, x^2/2 - ArcTan[E^a*x^2]/E^a}
+{x^0*Tanh[a + 2*Log[x]], x, 11, x + ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^(a/2)*x]/(Sqrt[2]*E^(a/2)) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^(a/2)*x]/(Sqrt[2]*E^(a/2)) + Log[1 - Sqrt[2]*E^(a/2)*x + E^a*x^2]/(2*Sqrt[2]*E^(a/2)) - Log[1 + Sqrt[2]*E^(a/2)*x + E^a*x^2]/(2*Sqrt[2]*E^(a/2))}
+{Tanh[a + 2*Log[x]]/x^1, x, 2, Log[Cosh[a + 2*Log[x]]]/2}
+{Tanh[a + 2*Log[x]]/x^2, x, 11, x^(-1) - (E^(a/2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^(a/2)*x])/Sqrt[2] + (E^(a/2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^(a/2)*x])/Sqrt[2] + (E^(a/2)*Log[1 - Sqrt[2]*E^(a/2)*x + E^a*x^2])/(2*Sqrt[2]) - (E^(a/2)*Log[1 + Sqrt[2]*E^(a/2)*x + E^a*x^2])/(2*Sqrt[2])}
+{Tanh[a + 2*Log[x]]/x^3, x, 4, 1/(2*x^2) + E^a*ArcTan[E^a*x^2]}
+
+
+{x^3*Tanh[a + 2*Log[x]]^2, x, 4, x^4/4 - 1/(E^(2*a)*(1 + E^(2*a)*x^4)) - Log[1 + E^(2*a)*x^4]/E^(2*a)}
+{x^2*Tanh[a + 2*Log[x]]^2, x, 12, x^3/3 + x^3/(1 + E^(2*a)*x^4) + (3*ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^(a/2)*x])/(E^((3*a)/2)*(2*Sqrt[2])) - (3*ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^(a/2)*x])/(E^((3*a)/2)*(2*Sqrt[2])) - (3*Log[1 - Sqrt[2]*E^(a/2)*x + E^a*x^2])/(E^((3*a)/2)*(4*Sqrt[2])) + (3*Log[1 + Sqrt[2]*E^(a/2)*x + E^a*x^2])/(E^((3*a)/2)*(4*Sqrt[2]))}
+{x^1*Tanh[a + 2*Log[x]]^2, x, 5, x^2/2 + x^2/(1 + E^(2*a)*x^4) - ArcTan[E^a*x^2]/E^a}
+{x^0*Tanh[a + 2*Log[x]]^2, x, 13, x + x/(1 + E^(2*a)*x^4) + ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^(a/2)*x]/(E^(a/2)*(2*Sqrt[2])) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^(a/2)*x]/(E^(a/2)*(2*Sqrt[2])) + Log[1 - Sqrt[2]*E^(a/2)*x + E^a*x^2]/(E^(a/2)*(4*Sqrt[2])) - Log[1 + Sqrt[2]*E^(a/2)*x + E^a*x^2]/(E^(a/2)*(4*Sqrt[2]))}
+{Tanh[a + 2*Log[x]]^2/x^1, x, 3, Log[x] - Tanh[a + 2*Log[x]]/2}
+{Tanh[a + 2*Log[x]]^2/x^2, x, 12, -(1/(x*(1 + E^(2*a)*x^4))) - (2*E^(2*a)*x^3)/(1 + E^(2*a)*x^4) + (E^(a/2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^(a/2)*x])/(2*Sqrt[2]) - (E^(a/2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^(a/2)*x])/(2*Sqrt[2]) - (E^(a/2)*Log[1 - Sqrt[2]*E^(a/2)*x + E^a*x^2])/(4*Sqrt[2]) + (E^(a/2)*Log[1 + Sqrt[2]*E^(a/2)*x + E^a*x^2])/(4*Sqrt[2])}
+{Tanh[a + 2*Log[x]]^2/x^3, x, 5, -(1/(2*x^2*(1 + E^(2*a)*x^4))) - (3*E^(2*a)*x^2)/(2*(1 + E^(2*a)*x^4)) - E^a*ArcTan[E^a*x^2]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Tanh[a+b Log[x]]^p with m symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*Tanh[a + 2*Log[x]]^1, x, 3, (e*x)^(1 + m)/(e*(1 + m)) - (2*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/4, (5 + m)/4, -(E^(2*a)*x^4)])/(e*(1 + m))}
+{(e*x)^m*Tanh[a + 2*Log[x]]^2, x, 4, (e*x)^(1 + m)/(e*(1 + m)) + (e*x)^(1 + m)/(e*(1 + E^(2*a)*x^4)) - ((e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/4, (5 + m)/4, (-E^(2*a))*x^4])/e}
+{(e*x)^m*Tanh[a + 2*Log[x]]^3, x, 5, ((3 + m)*(5 + m)*(e*x)^(1 + m))/(8*e*(1 + m)) - ((e*x)^(1 + m)*(1 - E^(2*a)*x^4)^2)/(4*e*(1 + E^(2*a)*x^4)^2) - ((e*x)^(1 + m)*(E^(2*a)*(3 - m) + E^(4*a)*(5 + m)*x^4))/(E^(2*a)*(8*e*(1 + E^(2*a)*x^4))) - ((9 + 2*m + m^2)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/4, (5 + m)/4, (-E^(2*a))*x^4])/(4*e*(1 + m))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Tanh[a+b Log[x]]^p with p symbolic*)
+(**)
+
+
+{Tanh[a + b*Log[x]]^p, x, 3, (x*(-1 + E^(2*a)*x^(2*b))^p*AppellF1[1/(2*b), -p, p, (1/2)*(2 + 1/b), E^(2*a)*x^(2*b), (-E^(2*a))*x^(2*b)])/(1 - E^(2*a)*x^(2*b))^p}
+{(e*x)^m*Tanh[a + b*Log[x]]^p, x, 3, ((e*x)^(1 + m)*(-1 + E^(2*a)*x^(2*b))^p*AppellF1[(1 + m)/(2*b), -p, p, 1 + (1 + m)/(2*b), E^(2*a)*x^(2*b), (-E^(2*a))*x^(2*b)])/((1 - E^(2*a)*x^(2*b))^p*(e*(1 + m)))}
+
+
+{Tanh[a + 1/2*Log[x]]^p, x, 2, ((-1 + E^(2*a)*x)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[p, 1 + p, 2 + p, (1/2)*(1 - E^(2*a)*x)])/(2^p*E^(2*a)*(1 + p))}
+{Tanh[a + 1/4*Log[x]]^p, x, 4, ((-1 + E^(2*a)*Sqrt[x])^(1 + p)*(1 + E^(2*a)*Sqrt[x])^(1 - p))/E^(4*a) - (2^(1 - p)*p*(-1 + E^(2*a)*Sqrt[x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[p, 1 + p, 2 + p, (1/2)*(1 - E^(2*a)*Sqrt[x])])/(E^(4*a)*(1 + p))}
+{Tanh[a + 1/6*Log[x]]^p, x, 5, (-E^(-6*a))*p*(-1 + E^(2*a)*x^(1/3))^(1 + p)*(1 + E^(2*a)*x^(1/3))^(1 - p) + ((-1 + E^(2*a)*x^(1/3))^(1 + p)*(1 + E^(2*a)*x^(1/3))^(1 - p)*x^(1/3))/E^(4*a) + ((1 + 2*p^2)*(-1 + E^(2*a)*x^(1/3))^(1 + p)*Hypergeometric2F1[p, 1 + p, 2 + p, (1/2)*(1 - E^(2*a)*x^(1/3))])/(2^p*E^(6*a)*(1 + p))}
+{Tanh[a + 1/8*Log[x]]^p, x, 5, ((1/3)*(-1 + E^(2*a)*x^(1/4))^(1 + p)*(1 + E^(2*a)*x^(1/4))^(1 - p)*(E^(4*a)*(3 + 2*p^2) - 2*E^(6*a)*p*x^(1/4)))/E^(12*a) + ((-1 + E^(2*a)*x^(1/4))^(1 + p)*(1 + E^(2*a)*x^(1/4))^(1 - p)*Sqrt[x])/E^(4*a) - (2^(2 - p)*p*(2 + p^2)*(-1 + E^(2*a)*x^(1/4))^(1 + p)*Hypergeometric2F1[p, 1 + p, 2 + p, (1/2)*(1 - E^(2*a)*x^(1/4))])/(E^(8*a)*(3*(1 + p)))}
+
+
+{Tanh[a + 1*Log[x]]^p, x, 3, (x*(-1 + E^(2*a)*x^2)^p*AppellF1[1/2, -p, p, 3/2, E^(2*a)*x^2, (-E^(2*a))*x^2])/(1 - E^(2*a)*x^2)^p}
+{Tanh[a + 2*Log[x]]^p, x, 3, (x*(-1 + E^(2*a)*x^4)^p*AppellF1[1/4, -p, p, 5/4, E^(2*a)*x^4, (-E^(2*a))*x^4])/(1 - E^(2*a)*x^4)^p}
+{Tanh[a + 3*Log[x]]^p, x, 3, (x*(-1 + E^(2*a)*x^6)^p*AppellF1[1/6, -p, p, 7/6, E^(2*a)*x^6, (-E^(2*a))*x^6])/(1 - E^(2*a)*x^6)^p}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Tanh[a+b Log[c x^n]]^p*)
+
+
+{x^3*Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, x^4/4 - (x^4*Hypergeometric2F1[1, 2/(b*d*n), 1 + 2/(b*d*n), -(E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))])/2}
+{x^2*Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, x^3/3 - (2*x^3*Hypergeometric2F1[1, 3/(2*b*d*n), 1 + 3/(2*b*d*n), -(E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))])/3}
+{x^1*Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, x^2/2 - x^2*Hypergeometric2F1[1, 1/(b*d*n), 1 + 1/(b*d*n), -(E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))]}
+{x^0*Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, x - 2*x*Hypergeometric2F1[1, 1/(2*b*d*n), 1 + 1/(2*b*d*n), -(E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))]}
+{Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^1, x, 2, Log[Cosh[a*d + b*d*Log[c*x^n]]]/(b*d*n)}
+{Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^2, x, 4, -(1/x) + (2*Hypergeometric2F1[1, -(1/(2*b*d*n)), 1 - 1/(2*b*d*n), (-E^(2*a*d))*(c*x^n)^(2*b*d)])/x}
+{Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^3, x, 4, -1/(2*x^2) + Hypergeometric2F1[1, -(1/(b*d*n)), 1 - 1/(b*d*n), -(E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))]/x^2}
+
+
+{x^3*Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, (1/4)*(1 + 4/(b*d*n))*x^4 + (x^4*(1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)))/(b*d*n*(1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))) - (2*x^4*Hypergeometric2F1[1, 2/(b*d*n), 1 + 2/(b*d*n), (-E^(2*a*d))*(c*x^n)^(2*b*d)])/(b*d*n)}
+{x^2*Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, (1/3)*(1 + 3/(b*d*n))*x^3 + (x^3*(1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)))/(b*d*n*(1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))) - (2*x^3*Hypergeometric2F1[1, 3/(2*b*d*n), 1 + 3/(2*b*d*n), (-E^(2*a*d))*(c*x^n)^(2*b*d)])/(b*d*n)}
+{x^1*Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, (1/2)*(1 + 2/(b*d*n))*x^2 + (x^2*(1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)))/(b*d*n*(1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))) - (2*x^2*Hypergeometric2F1[1, 1/(b*d*n), 1 + 1/(b*d*n), (-E^(2*a*d))*(c*x^n)^(2*b*d)])/(b*d*n)}
+{x^0*Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, (1 + 1/(b*d*n))*x + (x*(1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)))/(b*d*n*(1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))) - (2*x*Hypergeometric2F1[1, 1/(2*b*d*n), 1 + 1/(2*b*d*n), (-E^(2*a*d))*(c*x^n)^(2*b*d)])/(b*d*n)}
+{Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2/x^1, x, 3, Log[x] - Tanh[a*d + b*d*Log[c*x^n]]/(b*d*n)}
+{Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2/x^2, x, 5, -((1 - 1/(b*d*n))/x) + (1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))/(b*d*n*x*(1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))) - (2*Hypergeometric2F1[1, -(1/(2*b*d*n)), 1 - 1/(2*b*d*n), (-E^(2*a*d))*(c*x^n)^(2*b*d)])/(b*d*n*x)}
+{Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2/x^3, x, 5, (2 - b*d*n)/(2*b*d*n*x^2) + (1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))/(b*d*n*x^2*(1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))) - (2*Hypergeometric2F1[1, -(1/(b*d*n)), 1 - 1/(b*d*n), (-E^(2*a*d))*(c*x^n)^(2*b*d)])/(b*d*n*x^2)}
+
+
+{Tanh[a + b*Log[c*x^n]]^3/x, x, 3, Log[Cosh[a + b*Log[c*x^n]]]/(b*n) - Tanh[a + b*Log[c*x^n]]^2/(2*b*n)}
+{Tanh[a + b*Log[c*x^n]]^4/x, x, 4, Log[x] - Tanh[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n) - Tanh[a + b*Log[c*x^n]]^3/(3*b*n)}
+{Tanh[a + b*Log[c*x^n]]^5/x, x, 4, Log[Cosh[a + b*Log[c*x^n]]]/(b*n) - Tanh[a + b*Log[c*x^n]]^2/(2*b*n) - Tanh[a + b*Log[c*x^n]]^4/(4*b*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Tanh[a+b Log[c x^n]]^p with m symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^1, x, 4, (e*x)^(1 + m)/(e*(1 + m)) - (2*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/(2*b*d*n), 1 + (1 + m)/(2*b*d*n), -(E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))])/(e*(1 + m))}
+{(e*x)^m*Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, ((1 + m + b*d*n)*(e*x)^(1 + m))/(b*d*e*(1 + m)*n) + ((e*x)^(1 + m)*(1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)))/(b*d*e*n*(1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))) - (2*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/(2*b*d*n), 1 + (1 + m)/(2*b*d*n), (-E^(2*a*d))*(c*x^n)^(2*b*d)])/(b*d*e*n)}
+{(e*x)^m*Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^3, x, 6, ((1 + m + b*d*n)*(1 + m + 2*b*d*n)*(e*x)^(1 + m))/(2*b^2*d^2*e*(1 + m)*n^2) - ((e*x)^(1 + m)*(1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))^2)/(2*b*d*e*n*(1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))^2) + ((e*x)^(1 + m)*((E^(2*a*d)*(1 + m - 2*b*d*n))/n - (E^(4*a*d)*(1 + m + 2*b*d*n)*(c*x^n)^(2*b*d))/n))/(E^(2*a*d)*(2*b^2*d^2*e*n*(1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)))) - ((1 + 2*m + m^2 + 2*b^2*d^2*n^2)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/(2*b*d*n), 1 + (1 + m)/(2*b*d*n), (-E^(2*a*d))*(c*x^n)^(2*b*d)])/(b^2*d^2*e*(1 + m)*n^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Tanh[a+b Log[c x^n]]^p with p symbolic*)
+
+
+{Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p, x, 4, (x*(-1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))^p*AppellF1[1/(2*b*d*n), -p, p, 1 + 1/(2*b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d), (-E^(2*a*d))*(c*x^n)^(2*b*d)])/(1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))^p}
+{(e*x)^m*Tanh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p, x, 4, ((e*x)^(1 + m)*(-1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))^p*AppellF1[(1 + m)/(2*b*d*n), -p, p, 1 + (1 + m)/(2*b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d), (-E^(2*a*d))*(c*x^n)^(2*b*d)])/((1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))^p*(e*(1 + m)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Tanh[a+b Log[c x^n]]^(p/2)*)
+
+
+{Tanh[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)/x, x, 7, -(ArcTan[Sqrt[Tanh[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n)) + ArcTanh[Sqrt[Tanh[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n) - (2*Tanh[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))/(3*b*n)}
+{Tanh[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)/x, x, 7, ArcTan[Sqrt[Tanh[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n) + ArcTanh[Sqrt[Tanh[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n) - (2*Sqrt[Tanh[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n)}
+{Sqrt[Tanh[a + b*Log[c*x^n]]]/x, x, 6, -(ArcTan[Sqrt[Tanh[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n)) + ArcTanh[Sqrt[Tanh[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n)}
+{1/(x*Sqrt[Tanh[a + b*Log[c*x^n]]]), x, 6, ArcTan[Sqrt[Tanh[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n) + ArcTanh[Sqrt[Tanh[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n)}
+{1/(x*Tanh[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)), x, 7, -(ArcTan[Sqrt[Tanh[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n)) + ArcTanh[Sqrt[Tanh[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n) - 2/(b*n*Sqrt[Tanh[a + b*Log[c*x^n]]])}
+{1/(x*Tanh[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)), x, 7, ArcTan[Sqrt[Tanh[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n) + ArcTanh[Sqrt[Tanh[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n) - 2/(3*b*n*Tanh[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[d+e x]^m (a+b Tanh[d+e x]^2+c Tanh[d+e x]^4)^n*)
+
+
+{Tanh[x]^5/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4], x, 8, ((b - 2*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Tanh[x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4])])/(4*c^(3/2)) + ArcTanh[(2*a + b + (b + 2*c)*Tanh[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b + c]) - Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4]/(2*c)}
+{Tanh[x]^3/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4], x, 7, -(ArcTanh[(b + 2*c*Tanh[x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4])]/(2*Sqrt[c])) + ArcTanh[(2*a + b + (b + 2*c)*Tanh[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b + c])}
+{Tanh[x]/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4], x, 4, ArcTanh[(2*a + b + (b + 2*c)*Tanh[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b + c])}
+{Coth[x]/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4], x, 8, -(ArcTanh[(2*a + b*Tanh[x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4])]/(2*Sqrt[a])) + ArcTanh[(2*a + b + (b + 2*c)*Tanh[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b + c])}
+{Coth[x]^3/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4], x, 11, -(ArcTanh[(2*a + b*Tanh[x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4])]/(2*Sqrt[a])) + (b*ArcTanh[(2*a + b*Tanh[x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4])])/(4*a^(3/2)) + ArcTanh[(2*a + b + (b + 2*c)*Tanh[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b + c]) - (Coth[x]^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4])/(2*a)}
+
+
+(* {Tanh[x]^5*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4], x, 0, 0} *)
+(* {Tanh[x]^3*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4], x, 0, 0} *)
+{Tanh[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4], x, 8, -(((b + 2*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Tanh[x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4])])/(4*Sqrt[c])) + (1/2)*Sqrt[a + b + c]*ArcTanh[(2*a + b + (b + 2*c)*Tanh[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4])] - (1/2)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4]}
+(* {Coth[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4], x, 0, 0} *)
+(* {Coth[x]^3*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4], x, 0, 0} *)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(a+b x) Tanh[c+d x]^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(a+b x) Tanh[a+b x]^m*)
+
+
+{E^(a + b*x)*Tanh[a + b*x]^4, x, 7, E^(a + b*x)/b + (8*E^(a + b*x))/(3*b*(1 + E^(2*a + 2*b*x))^3) - (14*E^(a + b*x))/(3*b*(1 + E^(2*a + 2*b*x))^2) + (5*E^(a + b*x))/(b*(1 + E^(2*a + 2*b*x))) - (3*ArcTan[E^(a + b*x)])/b}
+{E^(a + b*x)*Tanh[a + b*x]^3, x, 7, E^(a + b*x)/b - (2*E^(a + b*x))/(b*(1 + E^(2*a + 2*b*x))^2) + (3*E^(a + b*x))/(b*(1 + E^(2*a + 2*b*x))) - (3*ArcTan[E^(a + b*x)])/b}
+{E^(a + b*x)*Tanh[a + b*x]^2, x, 5, E^(a + b*x)/b + (2*E^(a + b*x))/(b*(1 + E^(2*a + 2*b*x))) - (2*ArcTan[E^(a + b*x)])/b}
+{E^(a + b*x)*Tanh[a + b*x]^1, x, 3, E^(a + b*x)/b - (2*ArcTan[E^(a + b*x)])/b}
+{E^(a + b*x)*Coth[a + b*x]^1, x, 3, E^(a + b*x)/b - (2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b}
+{E^(a + b*x)*Coth[a + b*x]^2, x, 5, E^(a + b*x)/b + (2*E^(a + b*x))/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) - (2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b}
+{E^(a + b*x)*Coth[a + b*x]^3, x, 7, E^(a + b*x)/b - (2*E^(a + b*x))/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))^2) + (3*E^(a + b*x))/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) - (3*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b}
+{E^(a + b*x)*Coth[a + b*x]^4, x, 7, E^(a + b*x)/b + (8*E^(a + b*x))/(3*b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))^3) - (14*E^(a + b*x))/(3*b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))^2) + (5*E^(a + b*x))/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) - (3*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^x Tanh[n x]^m*)
+
+
+{E^x*Tanh[2*x]^2, x, 13, E^x + E^x/(1 + E^(4*x)) + ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^x]/(2*Sqrt[2]) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^x]/(2*Sqrt[2]) + Log[1 - Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(4*Sqrt[2]) - Log[1 + Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(4*Sqrt[2])}
+{E^x*Tanh[2*x], x, 11, E^x + ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^x]/Sqrt[2] - ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^x]/Sqrt[2] + Log[1 - Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(2*Sqrt[2]) - Log[1 + Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(2*Sqrt[2])}
+{E^x*Coth[2*x], x, 5, E^x - ArcTan[E^x] - ArcTanh[E^x]}
+{E^x*Coth[2*x]^2, x, 7, E^x + E^x/(1 - E^(4*x)) - ArcTan[E^x]/2 - ArcTanh[E^x]/2}
+
+
+{E^x*Tanh[3*x]^2, x, 14, E^x + (2*E^x)/(3*(1 + E^(6*x))) - (2*ArcTan[E^x])/9 + (1/9)*ArcTan[Sqrt[3] - 2*E^x] - (1/9)*ArcTan[Sqrt[3] + 2*E^x] + Log[1 - Sqrt[3]*E^x + E^(2*x)]/(6*Sqrt[3]) - Log[1 + Sqrt[3]*E^x + E^(2*x)]/(6*Sqrt[3])}
+{E^x*Tanh[3*x], x, 12, E^x - (2*ArcTan[E^x])/3 + (1/3)*ArcTan[Sqrt[3] - 2*E^x] - (1/3)*ArcTan[Sqrt[3] + 2*E^x] + Log[1 - Sqrt[3]*E^x + E^(2*x)]/(2*Sqrt[3]) - Log[1 + Sqrt[3]*E^x + E^(2*x)]/(2*Sqrt[3])}
+{E^x*Coth[3*x], x, 12, E^x + ArcTan[(1 - 2*E^x)/Sqrt[3]]/Sqrt[3] - ArcTan[(1 + 2*E^x)/Sqrt[3]]/Sqrt[3] - (2*ArcTanh[E^x])/3 + (1/6)*Log[1 - E^x + E^(2*x)] - (1/6)*Log[1 + E^x + E^(2*x)]}
+{E^x*Coth[3*x]^2, x, 14, E^x + (2*E^x)/(3*(1 - E^(6*x))) + ArcTan[(1 - 2*E^x)/Sqrt[3]]/(3*Sqrt[3]) - ArcTan[(1 + 2*E^x)/Sqrt[3]]/(3*Sqrt[3]) - (2*ArcTanh[E^x])/9 + (1/18)*Log[1 - E^x + E^(2*x)] - (1/18)*Log[1 + E^x + E^(2*x)]}
+
+
+{E^x*Tanh[4*x]^2, x, 23, E^x + E^x/(2*(1 + E^(8*x))) + ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] - 2*E^x)/Sqrt[2 + Sqrt[2]]]/(8*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]) + ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] - 2*E^x)/Sqrt[2 - Sqrt[2]]]/(8*Sqrt[2*(2 + Sqrt[2])]) - ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] + 2*E^x)/Sqrt[2 + Sqrt[2]]]/(8*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]) - ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] + 2*E^x)/Sqrt[2 - Sqrt[2]]]/(8*Sqrt[2*(2 + Sqrt[2])]) + (1/32)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 - Sqrt[2 - Sqrt[2]]*E^x + E^(2*x)] - (1/32)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + Sqrt[2 - Sqrt[2]]*E^x + E^(2*x)] + (1/32)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 - Sqrt[2 + Sqrt[2]]*E^x + E^(2*x)] - (1/32)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]*E^x + E^(2*x)]}
+{E^x*Tanh[4*x], x, 21, E^x + ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] - 2*E^x)/Sqrt[2 + Sqrt[2]]]/(2*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]) + ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] - 2*E^x)/Sqrt[2 - Sqrt[2]]]/(2*Sqrt[2*(2 + Sqrt[2])]) - ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] + 2*E^x)/Sqrt[2 + Sqrt[2]]]/(2*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]) - ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] + 2*E^x)/Sqrt[2 - Sqrt[2]]]/(2*Sqrt[2*(2 + Sqrt[2])]) + (1/8)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 - Sqrt[2 - Sqrt[2]]*E^x + E^(2*x)] - (1/8)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + Sqrt[2 - Sqrt[2]]*E^x + E^(2*x)] + (1/8)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 - Sqrt[2 + Sqrt[2]]*E^x + E^(2*x)] - (1/8)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]*E^x + E^(2*x)]}
+{E^x*Coth[4*x], x, 15, E^x - ArcTan[E^x]/2 + ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^x]/(2*Sqrt[2]) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^x]/(2*Sqrt[2]) - ArcTanh[E^x]/2 + Log[1 - Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(4*Sqrt[2]) - Log[1 + Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(4*Sqrt[2])}
+{E^x*Coth[4*x]^2, x, 17, E^x + E^x/(2*(1 - E^(8*x))) - ArcTan[E^x]/8 + ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^x]/(8*Sqrt[2]) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^x]/(8*Sqrt[2]) - ArcTanh[E^x]/8 + Log[1 - Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(16*Sqrt[2]) - Log[1 + Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(16*Sqrt[2])}
+
+
+{E^x/(a - Tanh[2*x]), x, 5, -(E^x/(1 - a)) + ArcTan[((1 - a)^(1/4)*E^x)/(1 + a)^(1/4)]/((1 - a)*Sqrt[1 + a]*(1 - a^2)^(1/4)) + ArcTanh[((1 - a)^(1/4)*E^x)/(1 + a)^(1/4)]/((1 - a)*Sqrt[1 + a]*(1 - a^2)^(1/4))}
+{E^x/(a - Tanh[2*x])^2, x, 7, E^x/(1 - a)^2 + E^x/((1 - a)^2*(1 + a)*(1 + a + (-1 + a)*E^(4*x))) - ((1 + 4*a)*ArcTan[((1 - a)^(1/4)*E^x)/(1 + a)^(1/4)])/(2*(1 - a)^2*(1 + a)^(3/2)*(1 - a^2)^(1/4)) - ((1 + 4*a)*ArcTanh[((1 - a)^(1/4)*E^x)/(1 + a)^(1/4)])/(2*(1 - a)^2*(1 + a)^(3/2)*(1 - a^2)^(1/4))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(c (a+b x)) Tanh[d+e x]^n*)
+
+
+{E^(c*(a + b*x))*Tanh[d + e*x]^3, x, 6, E^(c*(a + b*x))/(b*c) - (6*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, (b*c)/(2*e), 1 + (b*c)/(2*e), -E^(2*(d + e*x))])/(b*c) + (12*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, (b*c)/(2*e), 1 + (b*c)/(2*e), -E^(2*(d + e*x))])/(b*c) - (8*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[3, (b*c)/(2*e), 1 + (b*c)/(2*e), -E^(2*(d + e*x))])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*Tanh[d + e*x]^2, x, 5, E^(c*(a + b*x))/(b*c) - (4*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, (b*c)/(2*e), 1 + (b*c)/(2*e), -E^(2*(d + e*x))])/(b*c) + (4*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, (b*c)/(2*e), 1 + (b*c)/(2*e), -E^(2*(d + e*x))])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*Tanh[d + e*x]^1, x, 4, E^(c*(a + b*x))/(b*c) - (2*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, (b*c)/(2*e), 1 + (b*c)/(2*e), -E^(2*(d + e*x))])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*Coth[d + e*x]^1, x, 4, E^(c*(a + b*x))/(b*c) - (2*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, (b*c)/(2*e), 1 + (b*c)/(2*e), E^(2*(d + e*x))])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*Coth[d + e*x]^2, x, 5, E^(c*(a + b*x))/(b*c) - (4*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, (b*c)/(2*e), 1 + (b*c)/(2*e), E^(2*(d + e*x))])/(b*c) + (4*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, (b*c)/(2*e), 1 + (b*c)/(2*e), E^(2*(d + e*x))])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*Coth[d + e*x]^3, x, 6, E^(c*(a + b*x))/(b*c) - (6*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[1, (b*c)/(2*e), 1 + (b*c)/(2*e), E^(2*(d + e*x))])/(b*c) + (12*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, (b*c)/(2*e), 1 + (b*c)/(2*e), E^(2*(d + e*x))])/(b*c) - (8*E^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[3, (b*c)/(2*e), 1 + (b*c)/(2*e), E^(2*(d + e*x))])/(b*c)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(c (a+b x)) (Tanh[a c+b c x]^2)^(m/2)*)
+
+
+{E^(c*(a + b*x))*(Tanh[a*c + b*c*x]^2)^(5/2), x, 9, (E^(c*(a + b*x))*Coth[a*c + b*c*x]*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2])/(b*c) - (4*E^(c*(a + b*x))*Coth[a*c + b*c*x]*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2])/(b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^4) + (26*E^(c*(a + b*x))*Coth[a*c + b*c*x]*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2])/(3*b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^3) - (55*E^(c*(a + b*x))*Coth[a*c + b*c*x]*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2])/(6*b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^2) + (25*E^(c*(a + b*x))*Coth[a*c + b*c*x]*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2])/(4*b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))) - (15*ArcTan[E^(c*(a + b*x))]*Coth[a*c + b*c*x]*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2])/(4*b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*(Tanh[a*c + b*c*x]^2)^(3/2), x, 8, (E^(c*(a + b*x))*Coth[a*c + b*c*x]*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2])/(b*c) - (2*E^(c*(a + b*x))*Coth[a*c + b*c*x]*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2])/(b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^2) + (3*E^(c*(a + b*x))*Coth[a*c + b*c*x]*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2])/(b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))) - (3*ArcTan[E^(c*(a + b*x))]*Coth[a*c + b*c*x]*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2], x, 4, (E^(c*(a + b*x))*Coth[a*c + b*c*x]*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2])/(b*c) - (2*ArcTan[E^(c*(a + b*x))]*Coth[a*c + b*c*x]*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))/Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2], x, 4, (E^(c*(a + b*x))*Tanh[a*c + b*c*x])/(b*c*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2]) - (2*ArcTanh[E^(c*(a + b*x))]*Tanh[a*c + b*c*x])/(b*c*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2])}
+{E^(c*(a + b*x))/(Tanh[a*c + b*c*x]^2)^(3/2), x, 8, (E^(c*(a + b*x))*Tanh[a*c + b*c*x])/(b*c*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2]) - (2*E^(c*(a + b*x))*Tanh[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^2*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2]) + (3*E^(c*(a + b*x))*Tanh[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2]) - (3*ArcTanh[E^(c*(a + b*x))]*Tanh[a*c + b*c*x])/(b*c*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2])}
+{E^(c*(a + b*x))/(Tanh[a*c + b*c*x]^2)^(5/2), x, 9, (E^(c*(a + b*x))*Tanh[a*c + b*c*x])/(b*c*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2]) - (4*E^(c*(a + b*x))*Tanh[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^4*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2]) + (26*E^(c*(a + b*x))*Tanh[a*c + b*c*x])/(3*b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^3*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2]) - (55*E^(c*(a + b*x))*Tanh[a*c + b*c*x])/(6*b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^2*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2]) + (25*E^(c*(a + b*x))*Tanh[a*c + b*c*x])/(4*b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2]) - (15*ArcTanh[E^(c*(a + b*x))]*Tanh[a*c + b*c*x])/(4*b*c*Sqrt[Tanh[a*c + b*c*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands that are functions of Tanh[a+b x]*)
+
+
+{Sin[Tanh[a + b*x]]^3, x, 19, -((3*CosIntegral[1 - Tanh[a + b*x]]*Sin[1])/(8*b)) - (3*CosIntegral[1 + Tanh[a + b*x]]*Sin[1])/(8*b) + (CosIntegral[3 - 3*Tanh[a + b*x]]*Sin[3])/(8*b) + (CosIntegral[3 + 3*Tanh[a + b*x]]*Sin[3])/(8*b) - (Cos[3]*SinIntegral[3 - 3*Tanh[a + b*x]])/(8*b) + (3*Cos[1]*SinIntegral[1 - Tanh[a + b*x]])/(8*b) + (3*Cos[1]*SinIntegral[1 + Tanh[a + b*x]])/(8*b) - (Cos[3]*SinIntegral[3 + 3*Tanh[a + b*x]])/(8*b)}
+{Sin[Tanh[a + b*x]]^2, x, 13, (Cos[2]*CosIntegral[2 - 2*Tanh[a + b*x]])/(4*b) - (Cos[2]*CosIntegral[2 + 2*Tanh[a + b*x]])/(4*b) - Log[1 - Tanh[a + b*x]]/(4*b) + Log[1 + Tanh[a + b*x]]/(4*b) + (Sin[2]*SinIntegral[2 - 2*Tanh[a + b*x]])/(4*b) - (Sin[2]*SinIntegral[2 + 2*Tanh[a + b*x]])/(4*b)}
+{Sin[Tanh[a + b*x]]^1, x, 9, -((CosIntegral[1 - Tanh[a + b*x]]*Sin[1])/(2*b)) - (CosIntegral[1 + Tanh[a + b*x]]*Sin[1])/(2*b) + (Cos[1]*SinIntegral[1 - Tanh[a + b*x]])/(2*b) + (Cos[1]*SinIntegral[1 + Tanh[a + b*x]])/(2*b)}
+{Csc[Tanh[a + b*x]]^1, x, 3, (-(1/2))*Unintegrable[(Csc[Tanh[a + b*x]]*Sech[a + b*x]^2)/(-1 + Tanh[a + b*x]), x] + (1/2)*Unintegrable[(Csc[Tanh[a + b*x]]*Sech[a + b*x]^2)/(1 + Tanh[a + b*x]), x]}
+
+
+{Cos[Tanh[a + b*x]]^3, x, 19, -((Cos[3]*CosIntegral[3 - 3*Tanh[a + b*x]])/(8*b)) - (3*Cos[1]*CosIntegral[1 - Tanh[a + b*x]])/(8*b) + (3*Cos[1]*CosIntegral[1 + Tanh[a + b*x]])/(8*b) + (Cos[3]*CosIntegral[3 + 3*Tanh[a + b*x]])/(8*b) - (Sin[3]*SinIntegral[3 - 3*Tanh[a + b*x]])/(8*b) - (3*Sin[1]*SinIntegral[1 - Tanh[a + b*x]])/(8*b) + (3*Sin[1]*SinIntegral[1 + Tanh[a + b*x]])/(8*b) + (Sin[3]*SinIntegral[3 + 3*Tanh[a + b*x]])/(8*b)}
+{Cos[Tanh[a + b*x]]^2, x, 13, -((Cos[2]*CosIntegral[2 - 2*Tanh[a + b*x]])/(4*b)) + (Cos[2]*CosIntegral[2 + 2*Tanh[a + b*x]])/(4*b) - Log[1 - Tanh[a + b*x]]/(4*b) + Log[1 + Tanh[a + b*x]]/(4*b) - (Sin[2]*SinIntegral[2 - 2*Tanh[a + b*x]])/(4*b) + (Sin[2]*SinIntegral[2 + 2*Tanh[a + b*x]])/(4*b)}
+{Cos[Tanh[a + b*x]]^1, x, 9, -((Cos[1]*CosIntegral[1 - Tanh[a + b*x]])/(2*b)) + (Cos[1]*CosIntegral[1 + Tanh[a + b*x]])/(2*b) - (Sin[1]*SinIntegral[1 - Tanh[a + b*x]])/(2*b) + (Sin[1]*SinIntegral[1 + Tanh[a + b*x]])/(2*b)}
+{Sec[Tanh[a + b*x]]^1, x, 3, (-(1/2))*Unintegrable[(Sec[Tanh[a + b*x]]*Sech[a + b*x]^2)/(-1 + Tanh[a + b*x]), x] + (1/2)*Unintegrable[(Sec[Tanh[a + b*x]]*Sech[a + b*x]^2)/(1 + Tanh[a + b*x]), x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.3 Hyperbolic tangent/6.3.7 (d hyper)^m (a+b (c tanh)^n)^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.3 Hyperbolic tangent/6.3.7 (d hyper)^m (a+b (c tanh)^n)^p.m
new file mode 100644
index 00000000..e18fa6a7
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.3 Hyperbolic tangent/6.3.7 (d hyper)^m (a+b (c tanh)^n)^p.m	
@@ -0,0 +1,461 @@
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+(*Integrands of the form Sinh[e+f x]^m (a+b Tanh[e+f x]^n)^p*)
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+(*Integrands of the form Sinh[e+f x]^m (a+b Tanh[e+f x]^2)^p*)
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+{Sinh[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 6, (1/8)*(3*a^2 + 30*a*b + 35*b^2)*x - ((a + b)*(a + 9*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) - ((a^2 + 10*a*b + 13*b^2)*Tanh[c + d*x])/(4*d) + ((a + b)^2*Sinh[c + d*x]^4*Tanh[c + d*x])/(4*d) - (b^2*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
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+{Sinh[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 5, (-(1/2))*(a + b)*(a + 5*b)*x + ((a + b)*(a + 5*b)*Tanh[c + d*x])/(2*d) + ((a + b)^2*Sinh[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/(2*d) + (b^2*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
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+{Csch[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 3, (a*(a - 2*b)*Coth[c + d*x])/d - (a^2*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - ((2*a - b)*b*Tanh[c + d*x])/d - (b^2*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
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+
+{Sinh[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 6, (3/8)*(a + b)*(a^2 + 14*a*b + 21*b^2)*x - (3*(a + b)*(a^2 + 14*a*b + 21*b^2)*Tanh[c + d*x])/(8*d) - (b*(6*a^2 + 35*a*b + 21*b^2)*Tanh[c + d*x]^3)/(8*d) - (3*b^2*(5*a + 21*b)*Tanh[c + d*x]^5)/(40*d) - (3*(a + 3*b)*Sinh[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x]*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2)/(8*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3)/(4*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 3, -(((a + b)^2*(a + 4*b)*Cosh[c + d*x])/d) + ((a + b)^3*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*b*(a + b)*(a + 2*b)*Sech[c + d*x])/d + (b^2*(3*a + 4*b)*Sech[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^3*Sech[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 6, -((a + b)^2*(a + 7*b)*x)/2 + (a + b)^3/(4*d*(1 - Tanh[c + d*x])) + (3*b*(a + b)^2*Tanh[c + d*x])/d + (b^2*(3*a + 2*b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^3*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - (a + b)^3/(4*d*(1 + Tanh[c + d*x])), (-(1/2))*(a + b)^2*(a + 7*b)*x + (b*(81*a^2 + 190*a*b + 105*b^2)*Tanh[c + d*x])/(30*d) + (b*(33*a + 35*b)*Tanh[c + d*x]*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))/(30*d) + (7*b*Tanh[c + d*x]*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2)/(10*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3)/(2*d)}
+{Sinh[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 3, ((a + b)^3*Cosh[c + d*x])/d + (3*b*(a + b)^2*Sech[c + d*x])/d - (b^2*(a + b)*Sech[c + d*x]^3)/d + (b^3*Sech[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Csch[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, -((a^3*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d) - (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Sech[c + d*x])/d + (b^2*(3*a + 2*b)*Sech[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^3*Sech[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Csch[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 3, -((a^3*Coth[c + d*x])/d) + (3*a^2*b*Tanh[c + d*x])/d + (a*b^2*Tanh[c + d*x]^3)/d + (b^3*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Csch[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 6, (a^2*(a - 6*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) + (b*(81*a^2 - 28*a*b - 4*b^2)*Sech[c + d*x])/(30*d) + ((33*a - 2*b)*b*Sech[c + d*x]*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2))/(30*d) + (7*b*Sech[c + d*x]*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2)^2)/(10*d) - (Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x]*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2)^3)/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 3, (a^2*(a - 3*b)*Coth[c + d*x])/d - (a^3*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a*(a - b)*b*Tanh[c + d*x])/d - ((3*a - b)*b^2*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^3*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sinh[c + d*x]^4/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 6, ((3*a^2 - 6*a*b - b^2)*x)/(8*(a + b)^3) + (a^(3/2)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/((a + b)^3*d) - ((5*a + b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*(a + b)^2*d) + (Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*(a + b)*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 4, (a*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/((a + b)^(5/2)*d) - (a*Cosh[c + d*x])/((a + b)^2*d) + Cosh[c + d*x]^3/(3*(a + b)*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 5, -(((a - b)*x)/(2*(a + b)^2)) - (Sqrt[a]*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/((a + b)^2*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*(a + b)*d)}
+{Sinh[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 3, -((Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/((a + b)^(3/2)*d)) + Cosh[c + d*x]/((a + b)*d)}
+{Csch[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 4, -(ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/(a*d)) + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a + b]*d)}
+{Csch[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 3, -((Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d)) - Coth[c + d*x]/(a*d)}
+{Csch[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 5, ((a + 2*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*a^2*d) - (Sqrt[b]*Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(a^2*d) - (Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Csch[c + d*x]^4/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 4, (Sqrt[b]*(a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*d) + ((a + b)*Coth[c + d*x])/(a^2*d) - Coth[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+
+
+{Sinh[c + d*x]^4/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 7, (3*(a^2 - 6*a*b + b^2)*x)/(8*(a + b)^4) + (3*Sqrt[a]*(a - b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*(a + b)^4*d) - ((5*a - b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*(a + b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)) + (Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)) + (3*(3*a - b)*b*Tanh[c + d*x])/(8*(a + b)^3*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 5, ((3*a - 2*b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*(a + b)^(7/2)*d) - ((a - b)*Cosh[c + d*x])/((a + b)^3*d) + Cosh[c + d*x]^3/(3*(a + b)^2*d) + (a*b*Sech[c + d*x])/(2*(a + b)^3*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 6, -(((a - 3*b)*x)/(2*(a + b)^3)) - ((3*a - b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*Sqrt[a]*(a + b)^3*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)) - (b*Tanh[c + d*x])/((a + b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, -((3*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*(a + b)^(5/2)*d)) + (3*Cosh[c + d*x])/(2*(a + b)^2*d) - Cosh[c + d*x]/(2*(a + b)*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 5, -(ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/(a^2*d)) + (Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^2*(a + b)^(3/2)*d) + (b*Sech[c + d*x])/(2*a*(a + b)*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, (-3*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(5/2)*d) - (3*Coth[c + d*x])/(2*a^2*d) + Coth[c + d*x]/(2*a*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 6, ((a + 4*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*a^3*d) - (Sqrt[b]*(3*a + 4*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^3*Sqrt[a + b]*d) - (Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2)) - (b*Sech[c + d*x])/(a^2*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^4/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 5, (Sqrt[b]*(3*a + 5*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(7/2)*d) + ((a + 2*b)*Coth[c + d*x])/(a^3*d) - Coth[c + d*x]^3/(3*a^2*d) + (b*(a + b)*Tanh[c + d*x])/(2*a^3*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+
+
+{Sinh[c + d*x]^4/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 8, (3*(a^2 - 10*a*b + 5*b^2)*x)/(8*(a + b)^5) + (3*Sqrt[b]*(5*a^2 - 10*a*b + b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*Sqrt[a]*(a + b)^5*d) - ((5*a - 3*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*(a + b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + ((7*a - 5*b)*b*Tanh[c + d*x])/(8*(a + b)^3*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (3*(a - b)*b*Tanh[c + d*x])/(2*(a + b)^4*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 6, (5*(3*a - 4*b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*(a + b)^(9/2)*d) - ((a - 2*b)*Cosh[c + d*x])/((a + b)^4*d) + Cosh[c + d*x]^3/(3*(a + b)^3*d) + (a*b*Sech[c + d*x])/(4*(a + b)^3*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2)^2) + ((7*a - 4*b)*b*Sech[c + d*x])/(8*(a + b)^4*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 7, -(((a - 5*b)*x)/(2*(a + b)^4)) - (Sqrt[b]*(15*a^2 - 10*a*b - b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(3/2)*(a + b)^4*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - (3*b*Tanh[c + d*x])/(4*(a + b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - ((11*a - b)*b*Tanh[c + d*x])/(8*a*(a + b)^3*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 5, -((15*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*(a + b)^(7/2)*d)) + (15*Cosh[c + d*x])/(8*(a + b)^3*d) - Cosh[c + d*x]/(4*(a + b)*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2)^2) - (5*Cosh[c + d*x])/(8*(a + b)^2*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 6, -(ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/(a^3*d)) + (Sqrt[b]*(15*a^2 + 20*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^3*(a + b)^(5/2)*d) + (b*Sech[c + d*x])/(4*a*(a + b)*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2)^2) + (b*(7*a + 4*b)*Sech[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)^2*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 5, (-15*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(7/2)*d) - (15*Coth[c + d*x])/(8*a^3*d) + Coth[c + d*x]/(4*a*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (5*Coth[c + d*x])/(8*a^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 7, ((a + 6*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*a^4*d) - (Sqrt[b]*(15*a^2 + 40*a*b + 24*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^4*(a + b)^(3/2)*d) - (Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*a*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2)^2) - (3*b*Sech[c + d*x])/(4*a^2*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2)^2) - (b*(11*a + 12*b)*Sech[c + d*x])/(8*a^3*(a + b)*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^4/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 6, (5*Sqrt[b]*(3*a + 7*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(9/2)*d) + ((a + 3*b)*Coth[c + d*x])/(a^4*d) - Coth[c + d*x]^3/(3*a^3*d) + (b*(a + b)*Tanh[c + d*x])/(4*a^3*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (b*(7*a + 11*b)*Tanh[c + d*x])/(8*a^4*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[e+f x]^m (a+b Tanh[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sinh[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x, 8, -((3*(a + 8*b)*Log[1 - Tanh[c + d*x]])/(16*d)) + (3*(a - 8*b)*Log[1 + Tanh[c + d*x]])/(16*d) - (3*a*Tanh[c + d*x])/(8*d) - (3*b*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) + (Sinh[c + d*x]^4*(b + a*Tanh[c + d*x]))/(4*d) - (Sinh[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x]*(a + 8*b*Tanh[c + d*x]))/(8*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x, 9, (5*b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*d) - (a*Cosh[c + d*x])/d + (a*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) - (5*b*Sinh[c + d*x])/(2*d) + (5*b*Sinh[c + d*x]^3)/(6*d) - (b*Sinh[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x, 7, ((a + 4*b)*Log[1 - Tanh[c + d*x]])/(4*d) - ((a - 4*b)*Log[1 + Tanh[c + d*x]])/(4*d) + (a*Tanh[c + d*x])/(2*d) + (b*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) + (Sinh[c + d*x]^2*(b + a*Tanh[c + d*x]))/(2*d)}
+{Sinh[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x, 7, (-3*b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*d) + (a*Cosh[c + d*x])/d + (3*b*Sinh[c + d*x])/(2*d) - (b*Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x, 5, (b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*d) - (a*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d - (b*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x, 3, -((a*Coth[c + d*x])/d) + (b*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x, 6, (b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*d) + (a*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) - (a*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*d) + (b*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x, 3, (a*Coth[c + d*x])/d - (a*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*Log[Tanh[c + d*x]])/d - (b*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d)}
+
+
+{Sinh[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^3)^2, x, 8, (3/8)*(a^2 + 21*b^2)*x + (6*a*b*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (6*b^2*Tanh[c + d*x])/d - (a*b*Tanh[c + d*x]^2)/d - (b^2*Tanh[c + d*x]^3)/d - (b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) + (Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]*(a^2 + b^2 + 2*a*b*Tanh[c + d*x]))/(4*d) - (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]*(5*a^2 + 17*b^2 + 20*a*b*Tanh[c + d*x]))/(8*d), -((3*(a^2 + 16*a*b + 21*b^2)*Log[1 - Tanh[c + d*x]])/(16*d)) + (3*(a^2 - 16*a*b + 21*b^2)*Log[1 + Tanh[c + d*x]])/(16*d) - (3*(a^2 + 21*b^2)*Tanh[c + d*x])/(8*d) - (3*a*b*Tanh[c + d*x]^2)/d - (b^2*Tanh[c + d*x]^3)/d - (b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - (Sinh[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x]*(a^2 + 13*b^2 + 16*a*b*Tanh[c + d*x]))/(8*d) + (Sinh[c + d*x]^4*(2*a*b + (a^2 + b^2)*Tanh[c + d*x]))/(4*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^3)^2, x, 12, (5*a*b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/d - (a^2*Cosh[c + d*x])/d - (4*b^2*Cosh[c + d*x])/d + (a^2*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) - (6*b^2*Sech[c + d*x])/d + (4*b^2*Sech[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^2*Sech[c + d*x]^5)/(5*d) - (5*a*b*Sinh[c + d*x])/d + (5*a*b*Sinh[c + d*x]^3)/(3*d) - (a*b*Sinh[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x]^2)/d}
+{Sinh[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^3)^2, x, 7, (-(1/2))*(a^2 + 7*b^2)*x - (4*a*b*Log[Cosh[c + d*x]])/d + (3*b^2*Tanh[c + d*x])/d + (a*b*Tanh[c + d*x]^2)/d + (2*b^2*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]*(a^2 + b^2 + 2*a*b*Tanh[c + d*x]))/(2*d), ((a + b)*(a + 7*b)*Log[1 - Tanh[c + d*x]])/(4*d) - ((a - 7*b)*(a - b)*Log[1 + Tanh[c + d*x]])/(4*d) + ((a^2 + 7*b^2)*Tanh[c + d*x])/(2*d) + (a*b*Tanh[c + d*x]^2)/d + (2*b^2*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) + (Sinh[c + d*x]^2*(2*a*b + (a^2 + b^2)*Tanh[c + d*x]))/(2*d)}
+{Sinh[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^3)^2, x, 10, (-3*a*b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/d + (a^2*Cosh[c + d*x])/d + (b^2*Cosh[c + d*x])/d + (3*b^2*Sech[c + d*x])/d - (b^2*Sech[c + d*x]^3)/d + (b^2*Sech[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a*b*Sinh[c + d*x])/d - (a*b*Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^2)/d}
+{Csch[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^3)^2, x, 8, (a*b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/d - (a^2*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d - (b^2*Sech[c + d*x])/d + (2*b^2*Sech[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^2*Sech[c + d*x]^5)/(5*d) - (a*b*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/d}
+{Csch[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^3)^2, x, 3, -((a^2*Coth[c + d*x])/d) + (a*b*Tanh[c + d*x]^2)/d + (b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Csch[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^3)^2, x, 9, (a*b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/d + (a^2*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) - (a^2*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*d) - (b^2*Sech[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Sech[c + d*x]^5)/(5*d) + (a*b*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/d}
+{Csch[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^3)^2, x, 3, (a^2*Coth[c + d*x])/d - (a^2*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) + (2*a*b*Log[Tanh[c + d*x]])/d - (a*b*Tanh[c + d*x]^2)/d + (b^2*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+{Sinh[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^3)^3, x, 8, (3/8)*a*(a^2 + 63*b^2)*x + (3*b*(3*a^2 + 5*b^2)*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (18*a*b^2*Tanh[c + d*x])/d - (b*(3*a^2 + 10*b^2)*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) - (3*a*b^2*Tanh[c + d*x]^3)/d - (3*b^3*Tanh[c + d*x]^4)/(2*d) - (3*a*b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^3*Tanh[c + d*x]^6)/(2*d) - (b^3*Tanh[c + d*x]^8)/(8*d) + (Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]*(a*(a^2 + 3*b^2) + b*(3*a^2 + b^2)*Tanh[c + d*x]))/(4*d) - (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]*(a*(5*a^2 + 51*b^2) + 2*b*(15*a^2 + 11*b^2)*Tanh[c + d*x]))/(8*d), -((3*(a + b)*(a^2 + 23*a*b + 40*b^2)*Log[1 - Tanh[c + d*x]])/(16*d)) + (3*(a - b)*(a^2 - 23*a*b + 40*b^2)*Log[1 + Tanh[c + d*x]])/(16*d) - (3*a*(a^2 + 63*b^2)*Tanh[c + d*x])/(8*d) - (3*b*(3*a^2 + 5*b^2)*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) - (3*a*b^2*Tanh[c + d*x]^3)/d - (3*b^3*Tanh[c + d*x]^4)/(2*d) - (3*a*b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^3*Tanh[c + d*x]^6)/(2*d) - (b^3*Tanh[c + d*x]^8)/(8*d) + (Sinh[c + d*x]^4*(b*(3*a^2 + b^2) + a*(a^2 + 3*b^2)*Tanh[c + d*x]))/(4*d) - (Sinh[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x]*(a*(a^2 + 39*b^2) + 4*b*(6*a^2 + 5*b^2)*Tanh[c + d*x]))/(8*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^3)^3, x, 20, (15*a^2*b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*d) + (1155*b^3*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(128*d) - (a^3*Cosh[c + d*x])/d - (12*a*b^2*Cosh[c + d*x])/d + (a^3*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (a*b^2*Cosh[c + d*x]^3)/d - (18*a*b^2*Sech[c + d*x])/d + (4*a*b^2*Sech[c + d*x]^3)/d - (3*a*b^2*Sech[c + d*x]^5)/(5*d) - (15*a^2*b*Sinh[c + d*x])/(2*d) - (1155*b^3*Sinh[c + d*x])/(128*d) + (5*a^2*b*Sinh[c + d*x]^3)/(2*d) + (385*b^3*Sinh[c + d*x]^3)/(128*d) - (3*a^2*b*Sinh[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) - (231*b^3*Sinh[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x]^2)/(128*d) - (33*b^3*Sinh[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x]^4)/(64*d) - (11*b^3*Sinh[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x]^6)/(48*d) - (b^3*Sinh[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x]^8)/(8*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^3)^3, x, 7, (-(1/2))*a*(a^2 + 21*b^2)*x - (b*(6*a^2 + 5*b^2)*Log[Cosh[c + d*x]])/d + (9*a*b^2*Tanh[c + d*x])/d + (b*(3*a^2 + 4*b^2)*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) + (2*a*b^2*Tanh[c + d*x]^3)/d + (3*b^3*Tanh[c + d*x]^4)/(4*d) + (3*a*b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^3*Tanh[c + d*x]^6)/(3*d) + (b^3*Tanh[c + d*x]^8)/(8*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]*(a*(a^2 + 3*b^2) + b*(3*a^2 + b^2)*Tanh[c + d*x]))/(2*d), ((a + b)^2*(a + 10*b)*Log[1 - Tanh[c + d*x]])/(4*d) - ((a - 10*b)*(a - b)^2*Log[1 + Tanh[c + d*x]])/(4*d) + (a*(a^2 + 21*b^2)*Tanh[c + d*x])/(2*d) + (b*(3*a^2 + 4*b^2)*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) + (2*a*b^2*Tanh[c + d*x]^3)/d + (3*b^3*Tanh[c + d*x]^4)/(4*d) + (3*a*b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^3*Tanh[c + d*x]^6)/(3*d) + (b^3*Tanh[c + d*x]^8)/(8*d) + (Sinh[c + d*x]^2*(b*(3*a^2 + b^2) + a*(a^2 + 3*b^2)*Tanh[c + d*x]))/(2*d)}
+{Sinh[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^3)^3, x, 17, (-9*a^2*b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*d) - (315*b^3*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(128*d) + (a^3*Cosh[c + d*x])/d + (3*a*b^2*Cosh[c + d*x])/d + (9*a*b^2*Sech[c + d*x])/d - (3*a*b^2*Sech[c + d*x]^3)/d + (3*a*b^2*Sech[c + d*x]^5)/(5*d) + (9*a^2*b*Sinh[c + d*x])/(2*d) + (315*b^3*Sinh[c + d*x])/(128*d) - (3*a^2*b*Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) - (105*b^3*Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^2)/(128*d) - (21*b^3*Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^4)/(64*d) - (3*b^3*Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^6)/(16*d) - (b^3*Sinh[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^8)/(8*d)}
+{Csch[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^3)^3, x, 13, (3*a^2*b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*d) + (35*b^3*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(128*d) - (a^3*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d - (3*a*b^2*Sech[c + d*x])/d + (2*a*b^2*Sech[c + d*x]^3)/d - (3*a*b^2*Sech[c + d*x]^5)/(5*d) - (3*a^2*b*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*d) - (35*b^3*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(128*d) - (35*b^3*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^3)/(192*d) - (7*b^3*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^5)/(48*d) - (b^3*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^7)/(8*d)}
+{Csch[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^3)^3, x, 3, -((a^3*Coth[c + d*x])/d) + (3*a^2*b*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) + (3*a*b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^3*Tanh[c + d*x]^8)/(8*d)}
+{Csch[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^3)^3, x, 14, (3*a^2*b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*d) + (5*b^3*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(128*d) + (a^3*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) - (a^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*d) - (a*b^2*Sech[c + d*x]^3)/d + (3*a*b^2*Sech[c + d*x]^5)/(5*d) + (3*a^2*b*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*d) + (5*b^3*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(128*d) - (5*b^3*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x])/(64*d) - (5*b^3*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x]^3)/(48*d) - (b^3*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x]^5)/(8*d)}
+{Csch[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^3)^3, x, 3, (a^3*Coth[c + d*x])/d - (a^3*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a^2*b*Log[Tanh[c + d*x]])/d - (3*a^2*b*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) + (a*b^2*Tanh[c + d*x]^3)/d - (3*a*b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^3*Tanh[c + d*x]^6)/(6*d) - (b^3*Tanh[c + d*x]^8)/(8*d)}
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Sinh[c + d*x]^4/(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x, 11, -((a^(2/3)*b^(1/3)*(a^2 + 3*a^(4/3)*b^(2/3) - b^2)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Tanh[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*(a^(4/3) + a^(2/3)*b^(2/3) + b^(4/3))^3*d)) - (3*a*(a - 5*b)*Log[1 - Tanh[c + d*x]])/(16*(a + b)^3*d) + (3*a*(a + 5*b)*Log[1 + Tanh[c + d*x]])/(16*(a - b)^3*d) - (a^(2/3)*b^(1/3)*(a^4 + 7*a^2*b^2 + b^4 + 3*a^(2/3)*b^(4/3)*(2*a^2 + b^2))*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Tanh[c + d*x]])/(3*(a^2 - b^2)^3*d) + (a^(2/3)*b^(1/3)*(a^4 + 7*a^2*b^2 + b^4 + 3*a^(2/3)*b^(4/3)*(2*a^2 + b^2))*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Tanh[c + d*x] + b^(2/3)*Tanh[c + d*x]^2])/(6*(a^2 - b^2)^3*d) - (a^2*b*(a^2 + 2*b^2)*Log[a + b*Tanh[c + d*x]^3])/((a^2 - b^2)^3*d) + 1/(16*(a + b)*d*(1 - Tanh[c + d*x])^2) - (5*a - b)/(16*(a + b)^2*d*(1 - Tanh[c + d*x])) - 1/(16*(a - b)*d*(1 + Tanh[c + d*x])^2) + (5*a + b)/(16*(a - b)^2*d*(1 + Tanh[c + d*x]))}
+{Sinh[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x, 0, I*Unintegrable[((-I)*Sinh[c + d*x]^3)/(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x]}
+{Sinh[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x, 11, (a^(2/3)*b^(1/3)*(a^2 - 3*a^(2/3)*b^(4/3) + 2*b^2)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Tanh[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a - 2*b)*Log[1 - Tanh[c + d*x]])/(4*(a + b)^2*d) - ((a + 2*b)*Log[1 + Tanh[c + d*x]])/(4*(a - b)^2*d) + (a^(2/3)*b^(1/3)*(a^2 + 3*a^(2/3)*b^(4/3) + 2*b^2)*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Tanh[c + d*x]])/(3*(a^2 - b^2)^2*d) - (a^(2/3)*b^(1/3)*(a^2 + 3*a^(2/3)*b^(4/3) + 2*b^2)*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Tanh[c + d*x] + b^(2/3)*Tanh[c + d*x]^2])/(6*(a^2 - b^2)^2*d) + (b*(2*a^2 + b^2)*Log[a + b*Tanh[c + d*x]^3])/(3*(a^2 - b^2)^2*d) + 1/(4*(a + b)*d*(1 - Tanh[c + d*x])) - 1/(4*(a - b)*d*(1 + Tanh[c + d*x]))}
+{Sinh[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x, 0, (-I)*Unintegrable[(I*Sinh[c + d*x])/(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x]}
+{Csch[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x, 0, I*Unintegrable[((-I)*Csch[c + d*x])/(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x]}
+{Csch[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x, 8, (b^(1/3)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Tanh[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(4/3)*d) - Coth[c + d*x]/(a*d) + (b^(1/3)*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Tanh[c + d*x]])/(3*a^(4/3)*d) - (b^(1/3)*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Tanh[c + d*x] + b^(2/3)*Tanh[c + d*x]^2])/(6*a^(4/3)*d)}
+{Csch[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x, 0, (-I)*Unintegrable[(I*Csch[c + d*x]^3)/(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x]}
+{Csch[c + d*x]^4/(a + b*Tanh[c + d*x]^3), x, 12, -((b^(1/3)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Tanh[c + d*x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(4/3)*d)) + Coth[c + d*x]/(a*d) - Coth[c + d*x]^3/(3*a*d) - (b*Log[Tanh[c + d*x]])/(a^2*d) - (b^(1/3)*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Tanh[c + d*x]])/(3*a^(4/3)*d) + (b^(1/3)*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*Tanh[c + d*x] + b^(2/3)*Tanh[c + d*x]^2])/(6*a^(4/3)*d) + (b*Log[a + b*Tanh[c + d*x]^3])/(3*a^2*d)}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[e+f x]^m (a+b Tanh[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[e+f x]^m (a+b Tanh[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[e+f x]^m (a+b Tanh[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[e+f x]^m (a+b Tanh[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Cosh[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 4, (1/8)*(3*a - b)*x + ((3*a - b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + ((a + b)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*d)}
+{Cosh[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 2, (a*Sinh[c + d*x])/d + ((a + b)*Sinh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cosh[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 3, (1/2)*(a - b)*x + ((a + b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d)}
+{Cosh[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 3, -((b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/d) + ((a + b)*Sinh[c + d*x])/d}
+{Sech[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 3, ((2*a + b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*d) - (b*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*d)}
+{Sech[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 2, (a*Tanh[c + d*x])/d + (b*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Sech[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 4, ((4*a + b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(8*d) + ((4*a + b)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(8*d) - (b*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x])/(4*d)}
+{Sech[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 3, (a*Tanh[c + d*x])/d - ((a - b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+{Cosh[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, (1/8)*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*x + (3*(a^2 - b^2)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + ((a + b)*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))/(4*d)}
+{Cosh[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, (b^2*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/d + ((a^2 - b^2)*Sinh[c + d*x])/d + ((a + b)^2*Sinh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cosh[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 5, (1/2)*(a - 3*b)*(a + b)*x + ((a + b)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d) + (b^2*Tanh[c + d*x])/d}
+{Cosh[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 5, -((b*(4*a + 3*b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*d)) + ((a + b)^2*Sinh[c + d*x])/d + (b^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*d)}
+{Sech[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, ((8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(8*d) - (3*b*(2*a + b)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(8*d) - (b*Sech[c + d*x]^3*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)*Tanh[c + d*x])/(4*d)}
+{Sech[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 3, (a^2*Tanh[c + d*x])/d + (2*a*b*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sech[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 5, ((8*a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(16*d) + ((8*a^2 + 4*a*b + b^2)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(16*d) - (b*(8*a + 3*b)*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x])/(24*d) - (b*Sech[c + d*x]^5*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)*Tanh[c + d*x])/(6*d)}
+{Sech[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 3, (a^2*Tanh[c + d*x])/d - (a*(a - 2*b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) - ((2*a - b)*b*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^2*Tanh[c + d*x]^7)/(7*d)}
+
+
+{Cosh[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 6, (3/8)*(a + b)*(a^2 - 2*a*b + 5*b^2)*x + (3*(a - 3*b)*(a + b)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + ((a + b)^3*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*d) - (b^3*Tanh[c + d*x])/d}
+{Cosh[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 5, (b^2*(6*a + 5*b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*d) + ((a - 2*b)*(a + b)^2*Sinh[c + d*x])/d + ((a + b)^3*Sinh[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^3*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*d)}
+{Cosh[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 5, (1/2)*(a - 5*b)*(a + b)^2*x + ((a + b)^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d) + (b^2*(3*a + 2*b)*Tanh[c + d*x])/d + (b^3*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cosh[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 6, -((3*b*(4*(a + b)^2 + (2*a + b)^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(8*d)) + ((a + b)^3*Sinh[c + d*x])/d + (3*b^2*(4*a + 3*b)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(8*d) - (b^3*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x])/(4*d)}
+{Sech[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 5, ((2*a + b)*(8*a^2 + 8*a*b + 5*b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(16*d) - (b*(44*a^2 + 44*a*b + 15*b^2)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(48*d) - (5*b*(2*a + b)*Sech[c + d*x]^3*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)*Tanh[c + d*x])/(24*d) - (b*Sech[c + d*x]^5*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)^2*Tanh[c + d*x])/(6*d)}
+{Sech[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 3, (a^3*Tanh[c + d*x])/d + (a^2*b*Tanh[c + d*x]^3)/d + (3*a*b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^3*Tanh[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Sech[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 6, ((64*a^3 + 48*a^2*b + 24*a*b^2 + 5*b^3)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(128*d) + ((64*a^3 + 48*a^2*b + 24*a*b^2 + 5*b^3)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(128*d) - (b*(72*a^2 + 52*a*b + 15*b^2)*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x])/(192*d) - (b*(12*a + 5*b)*Sech[c + d*x]^5*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)*Tanh[c + d*x])/(48*d) - (b*Sech[c + d*x]^7*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)^2*Tanh[c + d*x])/(8*d)}
+{Sech[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 3, (a^3*Tanh[c + d*x])/d - (a^2*(a - 3*b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) - (3*a*(a - b)*b*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - ((3*a - b)*b^2*Tanh[c + d*x]^7)/(7*d) - (b^3*Tanh[c + d*x]^9)/(9*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Cosh[c + d*x]^4/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 6, ((3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*x)/(8*(a + b)^3) + (b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)^3*d) + ((3*a + 7*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*(a + b)^2*d) + (Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*(a + b)*d)}
+{Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 4, (b^2*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)^(5/2)*d) + ((a + 2*b)*Sinh[c + d*x])/((a + b)^2*d) + Sinh[c + d*x]^3/(3*(a + b)*d)}
+{Cosh[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 5, ((a + 3*b)*x)/(2*(a + b)^2) + (b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)^2*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*(a + b)*d)}
+{Cosh[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 3, (b*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)^(3/2)*d) + Sinh[c + d*x]/((a + b)*d)}
+{Sech[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b]*d)}
+{Sech[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b]*d)}
+{Sech[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 4, -(ArcTan[Sinh[c + d*x]]/(b*d)) + (Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b*d)}
+{Sech[c + d*x]^4/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 3, ((a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^(3/2)*d) - Tanh[c + d*x]/(b*d)}
+{Sech[c + d*x]^5/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 5, -(((2*a + 3*b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*b^2*d)) + ((a + b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^2*d) - (Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Sech[c + d*x]^6/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 4, ((a + b)^2*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*b^(5/2)*d) - ((a + 2*b)*Tanh[c + d*x])/(b^2*d) + Tanh[c + d*x]^3/(3*b*d)}
+
+
+{Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 5, (b^2*(6*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^(7/2)*d) + ((a + 3*b)*Sinh[c + d*x])/((a + b)^3*d) + Sinh[c + d*x]^3/(3*(a + b)^2*d) + (b^3*Sinh[c + d*x])/(2*a*(a + b)^3*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Cosh[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 6, ((a + 5*b)*x)/(2*(a + b)^3) + (b^(3/2)*(5*a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^3*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)) - ((a - b)*b*Tanh[c + d*x])/(2*a*(a + b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Cosh[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 5, (b*(4*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^(5/2)*d) + Sinh[c + d*x]/((a + b)^2*d) + (b^2*Sinh[c + d*x])/(2*a*(a + b)^2*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 3, ((2*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (b*Sinh[c + d*x])/(2*a*(a + b)*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 3, ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]]/(2*a^(3/2)*Sqrt[b]*d) + Tanh[c + d*x]/(2*a*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 3, ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]]/(2*a^(3/2)*Sqrt[a + b]*d) + Sinh[c + d*x]/(2*a*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^4/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 3, -((a - b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*b^(3/2)*d) + ((a + b)*Tanh[c + d*x])/(2*a*b*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^5/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 5, ArcTan[Sinh[c + d*x]]/(b^2*d) - ((2*a - b)*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*b^2*d) + ((a + b)*Sinh[c + d*x])/(2*a*b*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^6/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 5, -(((3*a - b)*(a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*b^(5/2)*d)) + Tanh[c + d*x]/(b^2*d) + ((a + b)^2*Tanh[c + d*x])/(2*a*b^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^7/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 6, ((4*a + 5*b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*b^3*d) - ((4*a - b)*(a + b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*b^3*d) + ((a + b)*(2*a + b)*Sinh[c + d*x])/(2*a*b^2*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)) - (Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))}
+
+
+{Cosh[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 7, ((a + 7*b)*x)/(2*(a + b)^4) + (b^(3/2)*(35*a^2 + 14*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a + b)^4*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - ((2*a - b)*b*Tanh[c + d*x])/(4*a*(a + b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - ((a - 3*b)*b*(4*a + b)*Tanh[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)^3*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Cosh[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 6, (3*b*(8*a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a + b)^(7/2)*d) + Sinh[c + d*x]/((a + b)^3*d) + (b^3*Sinh[c + d*x])/(4*a*(a + b)^3*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)^2) + (3*b^2*(4*a + b)*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)^3*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, ((8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) + (b*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(4*a*(a + b)*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)^2) + (3*b*(2*a + b)*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)^2*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, (3*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*Sqrt[b]*d) + Tanh[c + d*x]/(4*a*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (3*Tanh[c + d*x])/(8*a^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, ((4*a + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (b*Sinh[c + d*x])/(4*a*(a + b)*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)^2) + ((4*a + 3*b)*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^4/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, -((a - 3*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*b^(3/2)*d) + ((a + b)*Tanh[c + d*x])/(4*a*b*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - ((a - 3*b)*Tanh[c + d*x])/(8*a^2*b*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^5/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, (3*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*Sqrt[a + b]*d) + Sinh[c + d*x]/(4*a*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)^2) + (3*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^6/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, ((3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*b^(5/2)*d) + ((a + b)*Sech[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/(4*a*b*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (3*(1/a^2 - 1/b^2)*Tanh[c + d*x])/(8*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^7/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 6, -(ArcTan[Sinh[c + d*x]]/(b^3*d)) + (Sqrt[a + b]*(8*a^2 - 4*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a + b]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*b^3*d) + ((a + b)*Sinh[c + d*x])/(4*a*b*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2)^2) - ((4*a - 3*b)*(a + b)*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*b^2*d*(a + (a + b)*Sinh[c + d*x]^2))}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[e+f x]^m (a+b Tanh[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[e+f x]^m (a+b Tanh[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[e+f x]^m (a+b Tanh[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Tanh[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Tanh[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Tanh[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Tanh[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 4, (a + b)*x - ((a + b)*Tanh[c + d*x])/d - ((a + b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Tanh[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 3, ((a + b)*Log[Cosh[c + d*x]])/d - ((a + b)*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) - (b*Tanh[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Tanh[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 3, (a + b)*x - ((a + b)*Tanh[c + d*x])/d - (b*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Tanh[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 2, ((a + b)*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (b*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Tanh[c + d*x]^0*(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 3, a*x + b*x - (b*Tanh[c + d*x])/d}
+{Coth[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 3, (b*Log[Cosh[c + d*x]])/d + (a*Log[Sinh[c + d*x]])/d}
+{Coth[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 2, (a + b)*x - (a*Coth[c + d*x])/d}
+{Coth[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 3, -(a*Coth[c + d*x]^2)/(2*d) + ((a + b)*Log[Sinh[c + d*x]])/d}
+{Coth[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 4, (a + b)*x - ((a + b)*Coth[c + d*x])/d - (a*Coth[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Coth[c + d*x]^5*(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 4, -(((a + b)*Coth[c + d*x]^2)/(2*d)) - (a*Coth[c + d*x]^4)/(4*d) + ((a + b)*Log[Sinh[c + d*x]])/d}
+
+
+{Tanh[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, (a + b)^2*x - ((a + b)^2*Tanh[c + d*x])/d - ((a + b)^2*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*(2*a + b)*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^2*Tanh[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Tanh[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, ((a + b)^2*Log[Cosh[c + d*x]])/d - ((a + b)^2*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) - (b*(2*a + b)*Tanh[c + d*x]^4)/(4*d) - (b^2*Tanh[c + d*x]^6)/(6*d)}
+{Tanh[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, (a + b)^2*x - ((a + b)^2*Tanh[c + d*x])/d - (b*(2*a + b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Tanh[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, ((a + b)^2*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (b*(a + b)*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) - (a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2/(4*d)}
+{Tanh[c + d*x]^0*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, (a + b)^2*x - (b*(2*a + b)*Tanh[c + d*x])/d - (b^2*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Coth[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, ((a + b)^2*Log[Cosh[c + d*x]])/d + (a^2*Log[Tanh[c + d*x]])/d - (b^2*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Coth[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, (a + b)^2*x - (a^2*Coth[c + d*x])/d - (b^2*Tanh[c + d*x])/d}
+{Coth[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, -((a^2*Coth[c + d*x]^2)/(2*d)) + ((a + b)^2*Log[Cosh[c + d*x]])/d + (a*(a + 2*b)*Log[Tanh[c + d*x]])/d}
+{Coth[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, (a + b)^2*x - (a*(a + 2*b)*Coth[c + d*x])/d - (a^2*Coth[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Coth[c + d*x]^5*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, -((a*(a + 2*b)*Coth[c + d*x]^2)/(2*d)) - (a^2*Coth[c + d*x]^4)/(4*d) + ((a + b)^2*Log[Cosh[c + d*x]])/d + ((a + b)^2*Log[Tanh[c + d*x]])/d}
+{Coth[c + d*x]^6*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, (a + b)^2*x - ((a + b)^2*Coth[c + d*x])/d - (a*(a + 2*b)*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^2*Coth[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Coth[c + d*x]^7*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, -(((a + b)^2*Coth[c + d*x]^2)/(2*d)) - (a*(a + 2*b)*Coth[c + d*x]^4)/(4*d) - (a^2*Coth[c + d*x]^6)/(6*d) + ((a + b)^2*Log[Cosh[c + d*x]])/d + ((a + b)^2*Log[Tanh[c + d*x]])/d}
+
+
+{Tanh[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, (a + b)^3*x - ((a + b)^3*Tanh[c + d*x])/d - ((a + b)^3*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) - (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^2*(3*a + b)*Tanh[c + d*x]^7)/(7*d) - (b^3*Tanh[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{Tanh[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, ((a + b)^3*Log[Cosh[c + d*x]])/d - ((a + b)^3*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) - (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Tanh[c + d*x]^4)/(4*d) - (b^2*(3*a + b)*Tanh[c + d*x]^6)/(6*d) - (b^3*Tanh[c + d*x]^8)/(8*d)}
+{Tanh[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, (a + b)^3*x - ((a + b)^3*Tanh[c + d*x])/d - (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^2*(3*a + b)*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^3*Tanh[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Tanh[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, ((a + b)^3*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (b*(a + b)^2*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) - ((a + b)*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2)/(4*d) - (a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3/(6*d)}
+{Tanh[c + d*x]^0*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, (a + b)^3*x - (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Tanh[c + d*x])/d - (b^2*(3*a + b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^3*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Coth[c + d*x]^1*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, ((a + b)^3*Log[Cosh[c + d*x]])/d + (a^3*Log[Tanh[c + d*x]])/d - (b^2*(3*a + b)*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d) - (b^3*Tanh[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Coth[c + d*x]^2*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, (a + b)^3*x - (a^3*Coth[c + d*x])/d - (b^2*(3*a + b)*Tanh[c + d*x])/d - (b^3*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Coth[c + d*x]^3*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, -((a^3*Coth[c + d*x]^2)/(2*d)) + ((a + b)^3*Log[Cosh[c + d*x]])/d + (a^2*(a + 3*b)*Log[Tanh[c + d*x]])/d - (b^3*Tanh[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Coth[c + d*x]^4*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, (a + b)^3*x - (a^2*(a + 3*b)*Coth[c + d*x])/d - (a^3*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^3*Tanh[c + d*x])/d}
+{Coth[c + d*x]^5*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, -((a^2*(a + 3*b)*Coth[c + d*x]^2)/(2*d)) - (a^3*Coth[c + d*x]^4)/(4*d) + ((a + b)^3*Log[Cosh[c + d*x]])/d + (a*(a^2 + 3*a*b + 3*b^2)*Log[Tanh[c + d*x]])/d}
+{Coth[c + d*x]^6*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, (a + b)^3*x - (a*(a^2 + 3*a*b + 3*b^2)*Coth[c + d*x])/d - (a^2*(a + 3*b)*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - (a^3*Coth[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Coth[c + d*x]^7*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, -((a*(a^2 + 3*a*b + 3*b^2)*Coth[c + d*x]^2)/(2*d)) - (a^2*(a + 3*b)*Coth[c + d*x]^4)/(4*d) - (a^3*Coth[c + d*x]^6)/(6*d) + ((a + b)^3*Log[Cosh[c + d*x]])/d + ((a + b)^3*Log[Tanh[c + d*x]])/d}
+
+
+{Tanh[c + d*x]^0*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^4, x, 4, (a + b)^4*x - (b*(2*a + b)*(2*a^2 + 2*a*b + b^2)*Tanh[c + d*x])/d - (b^2*(6*a^2 + 4*a*b + b^2)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^3*(4*a + b)*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^4*Tanh[c + d*x]^7)/(7*d)}
+
+
+{Tanh[c + d*x]^0*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^5, x, 4, (a + b)^5*x - (b*(5*a^4 + 10*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 5*a*b^3 + b^4)*Tanh[c + d*x])/d - (b^2*(10*a^3 + 10*a^2*b + 5*a*b^2 + b^3)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^3*(10*a^2 + 5*a*b + b^2)*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^4*(5*a + b)*Tanh[c + d*x]^7)/(7*d) - (b^5*Tanh[c + d*x]^9)/(9*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tanh[c + d*x]^5/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 4, Log[Cosh[c + d*x]]/((a + b)*d) + (a^2*Log[a + b*Tanh[c + d*x]^2])/(2*b^2*(a + b)*d) - Tanh[c + d*x]^2/(2*b*d)}
+{Tanh[c + d*x]^4/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 5, x/(a + b) + (a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(b^(3/2)*(a + b)*d) - Tanh[c + d*x]/(b*d)}
+{Tanh[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 4, Log[Cosh[c + d*x]]/((a + b)*d) - (a*Log[a + b*Tanh[c + d*x]^2])/(2*b*(a + b)*d)}
+{Tanh[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 4, x/(a + b) - (Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[b]*(a + b)*d)}
+{Tanh[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 5, Log[Cosh[c + d*x]]/((a + b)*d) + Log[a + b*Tanh[c + d*x]^2]/(2*(a + b)*d)}
+{Tanh[c + d*x]^0/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 3, x/(a + b) + (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)*d)}
+{Coth[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 4, Log[Cosh[c + d*x]]/((a + b)*d) + Log[Tanh[c + d*x]]/(a*d) - (b*Log[a + b*Tanh[c + d*x]^2])/(2*a*(a + b)*d)}
+{Coth[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 5, x/(a + b) - (b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*(a + b)*d) - Coth[c + d*x]/(a*d)}
+{Coth[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 4, -(Coth[c + d*x]^2/(2*a*d)) + Log[Cosh[c + d*x]]/((a + b)*d) + ((a - b)*Log[Tanh[c + d*x]])/(a^2*d) + (b^2*Log[a + b*Tanh[c + d*x]^2])/(2*a^2*(a + b)*d)}
+{Coth[c + d*x]^4/(a + b*Tanh[c + d*x]^2), x, 6, x/(a + b) + (b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*(a + b)*d) - ((a - b)*Coth[c + d*x])/(a^2*d) - Coth[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+
+
+{Tanh[c + d*x]^5/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, Log[Cosh[c + d*x]]/((a + b)^2*d) - (a*(a + 2*b)*Log[a + b*Tanh[c + d*x]^2])/(2*b^2*(a + b)^2*d) - a^2/(2*b^2*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Tanh[c + d*x]^4/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 5, x/(a + b)^2 - (Sqrt[a]*(a + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*b^(3/2)*(a + b)^2*d) + (a*Tanh[c + d*x])/(2*b*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Tanh[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, Log[Cosh[c + d*x]]/((a + b)^2*d) + Log[a + b*Tanh[c + d*x]^2]/(2*(a + b)^2*d) + a/(2*b*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Tanh[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 5, x/(a + b)^2 - ((a - b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[b]*(a + b)^2*d) - Tanh[c + d*x]/(2*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Tanh[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, Log[Cosh[c + d*x]]/((a + b)^2*d) + Log[a + b*Tanh[c + d*x]^2]/(2*(a + b)^2*d) - 1/(2*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Tanh[c + d*x]^0/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 5, x/(a + b)^2 + (Sqrt[b]*(3*a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^2*d) + (b*Tanh[c + d*x])/(2*a*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Coth[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, Log[Cosh[c + d*x]]/((a + b)^2*d) + Log[Tanh[c + d*x]]/(a^2*d) - (b*(2*a + b)*Log[a + b*Tanh[c + d*x]^2])/(2*a^2*(a + b)^2*d) + b/(2*a*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Coth[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 6, x/(a + b)^2 - (b^(3/2)*(5*a + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(5/2)*(a + b)^2*d) - ((2*a + 3*b)*Coth[c + d*x])/(2*a^2*(a + b)*d) + (b*Coth[c + d*x])/(2*a*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Coth[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 4, -(Coth[c + d*x]^2/(2*a^2*d)) + Log[Cosh[c + d*x]]/((a + b)^2*d) + ((a - 2*b)*Log[Tanh[c + d*x]])/(a^3*d) + (b^2*(3*a + 2*b)*Log[a + b*Tanh[c + d*x]^2])/(2*a^3*(a + b)^2*d) - b^2/(2*a^2*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Coth[c + d*x]^4/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2, x, 7, x/(a + b)^2 + (b^(5/2)*(7*a + 5*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(2*a^(7/2)*(a + b)^2*d) - ((2*a^2 - 2*a*b - 5*b^2)*Coth[c + d*x])/(2*a^3*(a + b)*d) - ((2*a + 5*b)*Coth[c + d*x]^3)/(6*a^2*(a + b)*d) + (b*Coth[c + d*x]^3)/(2*a*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+
+
+{Tanh[c + d*x]^6/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 6, x/(a + b)^3 - (Sqrt[a]*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*b^(5/2)*(a + b)^3*d) + (a*Tanh[c + d*x]^3)/(4*b*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (a*(3*a + 7*b)*Tanh[c + d*x])/(8*b^2*(a + b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Tanh[c + d*x]^5/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, Log[Cosh[c + d*x]]/((a + b)^3*d) + Log[a + b*Tanh[c + d*x]^2]/(2*(a + b)^3*d) - a^2/(4*b^2*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (a*(a + 2*b))/(2*b^2*(a + b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Tanh[c + d*x]^4/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 6, x/(a + b)^3 - ((a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*Sqrt[a]*b^(3/2)*(a + b)^3*d) + (a*Tanh[c + d*x])/(4*b*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - ((a + 5*b)*Tanh[c + d*x])/(8*b*(a + b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Tanh[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, Log[Cosh[c + d*x]]/((a + b)^3*d) + Log[a + b*Tanh[c + d*x]^2]/(2*(a + b)^3*d) + a/(4*b*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - 1/(2*(a + b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Tanh[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 6, x/(a + b)^3 - ((3*a^2 - 6*a*b - b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(3/2)*Sqrt[b]*(a + b)^3*d) - Tanh[c + d*x]/(4*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - ((3*a - b)*Tanh[c + d*x])/(8*a*(a + b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Tanh[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, Log[Cosh[c + d*x]]/((a + b)^3*d) + Log[a + b*Tanh[c + d*x]^2]/(2*(a + b)^3*d) - 1/(4*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - 1/(2*(a + b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Tanh[c + d*x]^0/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 6, x/(a + b)^3 + (Sqrt[b]*(15*a^2 + 10*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(5/2)*(a + b)^3*d) + (b*Tanh[c + d*x])/(4*a*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (b*(7*a + 3*b)*Tanh[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Coth[c + d*x]^1/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, Log[Cosh[c + d*x]]/((a + b)^3*d) + Log[Tanh[c + d*x]]/(a^3*d) - (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Log[a + b*Tanh[c + d*x]^2])/(2*a^3*(a + b)^3*d) + b/(4*a*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (b*(2*a + b))/(2*a^2*(a + b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Coth[c + d*x]^2/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 7, x/(a + b)^3 - (b^(3/2)*(35*a^2 + 42*a*b + 15*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(7/2)*(a + b)^3*d) - ((8*a^2 + 27*a*b + 15*b^2)*Coth[c + d*x])/(8*a^3*(a + b)^2*d) + (b*Coth[c + d*x])/(4*a*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (b*(9*a + 5*b)*Coth[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Coth[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 4, -(Coth[c + d*x]^2/(2*a^3*d)) + Log[Cosh[c + d*x]]/((a + b)^3*d) + ((a - 3*b)*Log[Tanh[c + d*x]])/(a^4*d) + (b^2*(6*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*Log[a + b*Tanh[c + d*x]^2])/(2*a^4*(a + b)^3*d) - b^2/(4*a^2*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - (b^2*(3*a + 2*b))/(2*a^3*(a + b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Coth[c + d*x]^4/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3, x, 8, x/(a + b)^3 + (b^(5/2)*(63*a^2 + 90*a*b + 35*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(9/2)*(a + b)^3*d) - ((8*a^3 - 8*a^2*b - 55*a*b^2 - 35*b^3)*Coth[c + d*x])/(8*a^4*(a + b)^2*d) - ((8*a^2 + 55*a*b + 35*b^2)*Coth[c + d*x]^3)/(24*a^3*(a + b)^2*d) + (b*Coth[c + d*x]^3)/(4*a*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (b*(11*a + 7*b)*Coth[c + d*x]^3)/(8*a^2*(a + b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+
+
+{Tanh[c + d*x]^0/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^4,x, 7, x/(a + b)^4 + (Sqrt[b]*(35*a^3 + 35*a^2*b + 21*a*b^2 + 5*b^3)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a]])/(16*a^(7/2)*(a + b)^4*d) + (b*Tanh[c + d*x])/(6*a*(a + b)*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3) + (b*(11*a + 5*b)*Tanh[c + d*x])/(24*a^2*(a + b)^2*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (b*(19*a^2 + 16*a*b + 5*b^2)*Tanh[c + d*x])/(16*a^3*(a + b)^3*d*(a + b*Tanh[c + d*x]^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Tanh[e+f x]^2)^(p/2) when a+b=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[1 - Tanh[x]^2], x, 3, ArcSin[Tanh[x]]}
+{Sqrt[-1 + Tanh[x]^2], x, 4, -ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[-Sech[x]^2]]}
+
+
+{(1 - Tanh[x]^2)^(3/2), x, 4, (1/2)*ArcSin[Tanh[x]] + (1/2)*Sqrt[Sech[x]^2]*Tanh[x]}
+{(-1 + Tanh[x]^2)^(3/2), x, 5, (1/2)*ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[-Sech[x]^2]] - (1/2)*Sqrt[-Sech[x]^2]*Tanh[x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/Sqrt[1 - Tanh[x]^2], x, 3, Tanh[x]/Sqrt[Sech[x]^2]}
+{1/Sqrt[-1 + Tanh[x]^2], x, 3, Tanh[x]/Sqrt[-Sech[x]^2]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Tanh[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Tanh[x]^5*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 7, Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]] - Sqrt[a + b*Tanh[x]^2] + ((a - b)*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2))/(3*b^2) - (a + b*Tanh[x]^2)^(5/2)/(5*b^2)}
+{Tanh[x]^4*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 8, ((a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]])/(8*b^(3/2)) + Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] - ((a + 4*b)*Tanh[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/(8*b) - (1/4)*Tanh[x]^3*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]}
+{Tanh[x]^3*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 6, Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]] - Sqrt[a + b*Tanh[x]^2] - (a + b*Tanh[x]^2)^(3/2)/(3*b)}
+{Tanh[x]^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 7, -(((a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]])/(2*Sqrt[b])) + Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] - (1/2)*Tanh[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]}
+{Tanh[x]^1*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 5, Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]] - Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]}
+{Tanh[x]^0*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 6, (-Sqrt[b])*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] + Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]}
+{Coth[x]^1*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 7, (-Sqrt[a])*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a]] + Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]]}
+{Coth[x]^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 5, Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] - Coth[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]}
+{Coth[x]^3*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 8, -(((2*a + b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a]])/(2*Sqrt[a])) + Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]] - (1/2)*Coth[x]^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]}
+{Coth[x]^4*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 6, Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] - ((3*a + b)*Coth[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/(3*a) - (1/3)*Coth[x]^3*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]}
+{Coth[x]^5*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 9, -(((8*a^2 + 4*a*b - b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a]])/(8*a^(3/2))) + Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]] - ((4*a + b)*Coth[x]^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/(8*a) - (1/4)*Coth[x]^4*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]}
+
+
+{Tanh[x]^3*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2), x, 7, (a + b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]] - (a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2] - (1/3)*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2) - (a + b*Tanh[x]^2)^(5/2)/(5*b)}
+{Tanh[x]^2*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2), x, 8, -(((3*a^2 + 12*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]])/(8*Sqrt[b])) + (a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] - (1/8)*(5*a + 4*b)*Tanh[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2] - (1/4)*b*Tanh[x]^3*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]}
+{Tanh[x]^1*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2), x, 6, (a + b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]] - (a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2] - (1/3)*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2)}
+{Tanh[x]^0*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2), x, 7, (-(1/2))*Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] + (a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] - (1/2)*b*Tanh[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]}
+{Coth[x]^1*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2), x, 8, (-a^(3/2))*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a]] + (a + b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]] - b*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]}
+{Coth[x]^2*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2), x, 7, (-b^(3/2))*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] + (a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] - a*Coth[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]}
+
+
+{Sqrt[1 + Tanh[x]^2], x, 5, -ArcSinh[Tanh[x]] + Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Tanh[x])/Sqrt[1 + Tanh[x]^2]]}
+{Sqrt[-1 - Tanh[x]^2], x, 6, ArcTan[Tanh[x]/Sqrt[-1 - Tanh[x]^2]] - Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[2]*Tanh[x])/Sqrt[-1 - Tanh[x]^2]]}
+
+
+{(1 + Tanh[x]^2)^(3/2), x, 6, (-(5/2))*ArcSinh[Tanh[x]] + 2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Tanh[x])/Sqrt[1 + Tanh[x]^2]] - (1/2)*Tanh[x]*Sqrt[1 + Tanh[x]^2]}
+{(-1 - Tanh[x]^2)^(3/2), x, 7, (-(5/2))*ArcTan[Tanh[x]/Sqrt[-1 - Tanh[x]^2]] + 2*Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[2]*Tanh[x])/Sqrt[-1 - Tanh[x]^2]] + (1/2)*Tanh[x]*Sqrt[-1 - Tanh[x]^2]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tanh[x]^5/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 6, ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]]/Sqrt[a + b] + ((a - b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/b^2 - (a + b*Tanh[x]^2)^(3/2)/(3*b^2)}
+{Tanh[x]^4/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 7, ((a - 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]])/(2*b^(3/2)) + ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/Sqrt[a + b] - (Tanh[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/(2*b)}
+{Tanh[x]^3/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]]/Sqrt[a + b] - Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/b}
+{Tanh[x]^2/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 6, -(ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/Sqrt[b]) + ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/Sqrt[a + b]}
+{Tanh[x]^1/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 4, ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]]/Sqrt[a + b]}
+{Tanh[x]^0/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 3, ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/Sqrt[a + b]}
+{Coth[x]^1/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 7, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a]]/Sqrt[a]) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]]/Sqrt[a + b]}
+{Coth[x]^2/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 5, ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/Sqrt[a + b] - (Coth[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/a}
+{Coth[x]^3/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2], x, 8, -(((2*a - b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a]])/(2*a^(3/2))) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]]/Sqrt[a + b] - (Coth[x]^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/(2*a)}
+
+
+{Tanh[x]^5/(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2), x, 6, ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(3/2) - a^2/(b^2*(a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]) - Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/b^2}
+{Tanh[x]^4/(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2), x, 7, -(ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/b^(3/2)) + ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/(a + b)^(3/2) + (a*Tanh[x])/(b*(a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])}
+{Tanh[x]^3/(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2), x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(3/2) + a/(b*(a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])}
+{Tanh[x]^2/(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2), x, 4, ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/(a + b)^(3/2) - Tanh[x]/((a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])}
+{Tanh[x]^1/(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2), x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(3/2) - 1/((a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])}
+{Tanh[x]^0/(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2), x, 4, ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/(a + b)^(3/2) + (b*Tanh[x])/(a*(a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])}
+{Coth[x]^1/(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2), x, 8, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(3/2)) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(3/2) + b/(a*(a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])}
+{Coth[x]^2/(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2), x, 6, ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/(a + b)^(3/2) + (b*Coth[x])/(a*(a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]) - ((a + 2*b)*Coth[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/(a^2*(a + b))}
+
+
+{Tanh[x]^6/(a + b*Tanh[x]^2)^(5/2), x, 8, -(ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/b^(5/2)) + ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/(a + b)^(5/2) + (a*Tanh[x]^3)/(3*b*(a + b)*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2)) + (a*(a + 2*b)*Tanh[x])/(b^2*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])}
+{Tanh[x]^5/(a + b*Tanh[x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(5/2) - a^2/(3*b^2*(a + b)*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2)) + (a*(a + 2*b))/(b^2*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])}
+{Tanh[x]^4/(a + b*Tanh[x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/(a + b)^(5/2) + (a*Tanh[x])/(3*b*(a + b)*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2)) - ((a + 4*b)*Tanh[x])/(3*b*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])}
+{Tanh[x]^3/(a + b*Tanh[x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(5/2) + a/(3*b*(a + b)*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2)) - 1/((a + b)^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])}
+{Tanh[x]^2/(a + b*Tanh[x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/(a + b)^(5/2) - Tanh[x]/(3*(a + b)*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2)) - ((2*a - b)*Tanh[x])/(3*a*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])}
+{Tanh[x]^1/(a + b*Tanh[x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(5/2) - 1/(3*(a + b)*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2)) - 1/((a + b)^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])}
+{Tanh[x]^0/(a + b*Tanh[x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/(a + b)^(5/2) + (b*Tanh[x])/(3*a*(a + b)*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2)) + (b*(5*a + 2*b)*Tanh[x])/(3*a^2*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])}
+{Coth[x]^1/(a + b*Tanh[x]^2)^(5/2), x, 9, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(5/2)) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(5/2) + b/(3*a*(a + b)*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2)) + (b*(2*a + b))/(a^2*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])}
+{Coth[x]^2/(a + b*Tanh[x]^2)^(5/2), x, 7, ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/(a + b)^(5/2) + (b*Coth[x])/(3*a*(a + b)*(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2)) + (b*(7*a + 4*b)*Coth[x])/(3*a^2*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]) - ((3*a + 2*b)*(a + 4*b)*Coth[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/(3*a^3*(a + b)^2)}
+
+
+{1/Sqrt[1 + Tanh[x]^2], x, 3, ArcTanh[(Sqrt[2]*Tanh[x])/Sqrt[1 + Tanh[x]^2]]/Sqrt[2]}
+{1/Sqrt[-1 - Tanh[x]^2], x, 3, ArcTan[(Sqrt[2]*Tanh[x])/Sqrt[-1 - Tanh[x]^2]]/Sqrt[2]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Tanh[e+f x]^3)^p*)
+
+
+{(a + b*Tanh[c + d*x]^3)^2, x, 6, (a^2 + b^2)*x + (2*a*b*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (b^2*Tanh[c + d*x])/d - (a*b*Tanh[c + d*x]^2)/d - (b^2*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d), -(((a + b)^2*Log[1 - Tanh[c + d*x]])/(2*d)) + ((a - b)^2*Log[1 + Tanh[c + d*x]])/(2*d) - (b^2*Tanh[c + d*x])/d - (a*b*Tanh[c + d*x]^2)/d - (b^2*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+{1/(1 + Tanh[x]^3), x, 6, x/2 - (2*ArcTan[(1 - 2*Tanh[x])/Sqrt[3]])/(3*Sqrt[3]) - 1/(6*(1 + Tanh[x]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Tanh[e+f x]^4)^p*)
+
+
+{Tanh[x]*(a + b*Tanh[x]^4)^(3/2), x, 9, (-(1/4))*Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x]^2)/Sqrt[a + b*Tanh[x]^4]] + (1/2)*(a + b)^(3/2)*ArcTanh[(a + b*Tanh[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^4])] - (1/4)*(2*(a + b) + b*Tanh[x]^2)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^4] - (1/6)*(a + b*Tanh[x]^4)^(3/2)}
+{Tanh[x]*(a + b*Tanh[x]^4)^(1/2), x, 8, (-(1/2))*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x]^2)/Sqrt[a + b*Tanh[x]^4]] + (1/2)*Sqrt[a + b]*ArcTanh[(a + b*Tanh[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^4])] - (1/2)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^4]}
+{Tanh[x]/(a + b*Tanh[x]^4)^(1/2), x, 4, ArcTanh[(a + b*Tanh[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b])}
+{Tanh[x]/(a + b*Tanh[x]^4)^(3/2), x, 6, ArcTanh[(a + b*Tanh[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^4])]/(2*(a + b)^(3/2)) - (a - b*Tanh[x]^2)/(2*a*(a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]^4])}
+{Tanh[x]/(a + b*Tanh[x]^4)^(5/2), x, 7, ArcTanh[(a + b*Tanh[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^4])]/(2*(a + b)^(5/2)) - (a - b*Tanh[x]^2)/(6*a*(a + b)*(a + b*Tanh[x]^4)^(3/2)) - (3*a^2 - b*(5*a + 2*b)*Tanh[x]^2)/(6*a^2*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^4])}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Tanh[e+f x]^n)^p*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.4 Hyperbolic cotangent/6.4.1 (c+d x)^m (a+b coth)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.4 Hyperbolic cotangent/6.4.1 (c+d x)^m (a+b coth)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..be1de754
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.4 Hyperbolic cotangent/6.4.1 (c+d x)^m (a+b coth)^n.m	
@@ -0,0 +1,137 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Coth[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (b Coth[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Coth[e+f x]^n*)
+
+
+{x^3*Coth[a + b*x], x, 6, -(x^4/4) + (x^3*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b + (3*x^2*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*x*PolyLog[3, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^3) + (3*PolyLog[4, E^(2*(a + b*x))])/(4*b^4)}
+{x^2*Coth[a + b*x], x, 5, -(x^3/3) + (x^2*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b + (x*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/b^2 - PolyLog[3, E^(2*(a + b*x))]/(2*b^3)}
+{x^1*Coth[a + b*x], x, 4, -(x^2/2) + (x*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b + PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))]/(2*b^2)}
+{Coth[a + b*x]/x^1, x, 0, Unintegrable[Coth[a + b*x]/x, x]}
+{Coth[a + b*x]/x^2, x, 0, Unintegrable[Coth[a + b*x]/x^2, x]}
+
+
+{x^3*Coth[a + b*x]^2, x, 7, -(x^3/b) + x^4/4 - (x^3*Coth[a + b*x])/b + (3*x^2*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b^2 + (3*x*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/b^3 - (3*PolyLog[3, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^4)}
+{x^2*Coth[a + b*x]^2, x, 6, -(x^2/b) + x^3/3 - (x^2*Coth[a + b*x])/b + (2*x*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b^2 + PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))]/b^3}
+{x^1*Coth[a + b*x]^2, x, 3, x^2/2 - (x*Coth[a + b*x])/b + Log[Sinh[a + b*x]]/b^2}
+{Coth[a + b*x]^2/x^1, x, 0, Unintegrable[Coth[a + b*x]^2/x, x]}
+{Coth[a + b*x]^2/x^2, x, 0, Unintegrable[Coth[a + b*x]^2/x^2, x]}
+
+
+{x^3*Coth[a + b*x]^3, x, 13, -((3*x^2)/(2*b^2)) + x^3/(2*b) - x^4/4 - (3*x^2*Coth[a + b*x])/(2*b^2) - (x^3*Coth[a + b*x]^2)/(2*b) + (3*x*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b^3 + (x^3*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b + (3*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^4) + (3*x^2*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*x*PolyLog[3, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^3) + (3*PolyLog[4, E^(2*(a + b*x))])/(4*b^4)}
+{x^2*Coth[a + b*x]^3, x, 9, x^2/(2*b) - x^3/3 - (x*Coth[a + b*x])/b^2 - (x^2*Coth[a + b*x]^2)/(2*b) + (x^2*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b + Log[Sinh[a + b*x]]/b^3 + (x*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/b^2 - PolyLog[3, E^(2*(a + b*x))]/(2*b^3)}
+{x^1*Coth[a + b*x]^3, x, 7, x/(2*b) - x^2/2 - Coth[a + b*x]/(2*b^2) - (x*Coth[a + b*x]^2)/(2*b) + (x*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b + PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))]/(2*b^2)}
+{Coth[a + b*x]^3/x^1, x, 0, Unintegrable[Coth[a + b*x]^3/x, x]}
+{Coth[a + b*x]^3/x^2, x, 0, Unintegrable[Coth[a + b*x]^3/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form x^m Coth[e+f x]^(n/2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Coth[e+f x])^n with a^2-b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Coth[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + a*Coth[e + f*x]), x, 5, (3*d^3*x)/(8*a*f^3) + (3*d*(c + d*x)^2)/(8*a*f^2) + (c + d*x)^3/(4*a*f) + (c + d*x)^4/(8*a*d) - (3*d^3)/(8*f^4*(a + a*Coth[e + f*x])) - (3*d^2*(c + d*x))/(4*f^3*(a + a*Coth[e + f*x])) - (3*d*(c + d*x)^2)/(4*f^2*(a + a*Coth[e + f*x])) - (c + d*x)^3/(2*f*(a + a*Coth[e + f*x]))}
+{(c + d*x)^2/(a + a*Coth[e + f*x]), x, 4, (d^2*x)/(4*a*f^2) + (c + d*x)^2/(4*a*f) + (c + d*x)^3/(6*a*d) - d^2/(4*f^3*(a + a*Coth[e + f*x])) - (d*(c + d*x))/(2*f^2*(a + a*Coth[e + f*x])) - (c + d*x)^2/(2*f*(a + a*Coth[e + f*x]))}
+{(c + d*x)^1/(a + a*Coth[e + f*x]), x, 3, (d*x)/(4*a*f) + (c + d*x)^2/(4*a*d) - d/(4*f^2*(a + a*Coth[e + f*x])) - (c + d*x)/(2*f*(a + a*Coth[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)^1*(a + a*Coth[e + f*x])), x, 7, -(Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a*d) + Log[c + d*x]/(2*a*d) + (CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sinh[2*e - (2*c*f)/d])/(2*a*d) + (Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a*d) - (Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a*d)}
+{1/((c + d*x)^2*(a + a*Coth[e + f*x])), x, 7, (f*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^2) - 1/(d*(c + d*x)*(a + a*Coth[e + f*x])) - (f*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sinh[2*e - (2*c*f)/d])/(a*d^2) - (f*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^2) + (f*Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^2)}
+{1/((c + d*x)^3*(a + a*Coth[e + f*x])), x, 8, -f/(2*a*d^2*(c + d*x)) - (f^2*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^3) - 1/(2*d*(c + d*x)^2*(a + a*Coth[e + f*x])) + f/(d^2*(c + d*x)*(a + a*Coth[e + f*x])) + (f^2*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sinh[2*e - (2*c*f)/d])/(a*d^3) + (f^2*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^3) - (f^2*Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a*d^3)}
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + a*Coth[e + f*x])^2, x, 10, (-3*d^3*E^(-4*e - 4*f*x))/(512*a^2*f^4) + (3*d^3*E^(-2*e - 2*f*x))/(16*a^2*f^4) - (3*d^2*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x))/(128*a^2*f^3) + (3*d^2*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x))/(8*a^2*f^3) - (3*d*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x)^2)/(64*a^2*f^2) + (3*d*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x)^2)/(8*a^2*f^2) - (E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x)^3)/(16*a^2*f) + (E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x)^3)/(4*a^2*f) + (c + d*x)^4/(16*a^2*d)}
+{(c + d*x)^2/(a + a*Coth[e + f*x])^2, x, 8, -(d^2*E^(-4*e - 4*f*x))/(128*a^2*f^3) + (d^2*E^(-2*e - 2*f*x))/(8*a^2*f^3) - (d*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x))/(32*a^2*f^2) + (d*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x))/(4*a^2*f^2) - (E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x)^2)/(16*a^2*f) + (E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x)^2)/(4*a^2*f) + (c + d*x)^3/(12*a^2*d)}
+{(c + d*x)^1/(a + a*Coth[e + f*x])^2, x, 7, (3*d*x)/(16*a^2*f) - (d*x^2)/(8*a^2) + (x*(c + d*x))/(4*a^2) - d/(16*f^2*(a + a*Coth[e + f*x])^2) - (c + d*x)/(4*f*(a + a*Coth[e + f*x])^2) - (3*d)/(16*f^2*(a^2 + a^2*Coth[e + f*x])) - (c + d*x)/(4*f*(a^2 + a^2*Coth[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)^1*(a + a*Coth[e + f*x])^2), x, 21, -(Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a^2*d) + (Cosh[4*e - (4*c*f)/d]*CoshIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(4*a^2*d) + Log[c + d*x]/(4*a^2*d) - (CoshIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x]*Sinh[4*e - (4*c*f)/d])/(4*a^2*d) + (CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sinh[2*e - (2*c*f)/d])/(2*a^2*d) + (Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a^2*d) - (Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(2*a^2*d) - (Cosh[4*e - (4*c*f)/d]*SinhIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(4*a^2*d) + (Sinh[4*e - (4*c*f)/d]*SinhIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(4*a^2*d)}
+{1/((c + d*x)^2*(a + a*Coth[e + f*x])^2), x, 24, -(1/(4*a^2*d*(c + d*x))) + Cosh[2*e + 2*f*x]/(2*a^2*d*(c + d*x)) - Cosh[2*e + 2*f*x]^2/(4*a^2*d*(c + d*x)) + (f*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a^2*d^2) - (f*Cosh[4*e - (4*c*f)/d]*CoshIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(a^2*d^2) + (f*CoshIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x]*Sinh[4*e - (4*c*f)/d])/(a^2*d^2) - (f*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sinh[2*e - (2*c*f)/d])/(a^2*d^2) - Sinh[2*e + 2*f*x]/(2*a^2*d*(c + d*x)) - Sinh[2*e + 2*f*x]^2/(4*a^2*d*(c + d*x)) + Sinh[4*e + 4*f*x]/(4*a^2*d*(c + d*x)) - (f*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a^2*d^2) + (f*Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(a^2*d^2) + (f*Cosh[4*e - (4*c*f)/d]*SinhIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(a^2*d^2) - (f*Sinh[4*e - (4*c*f)/d]*SinhIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(a^2*d^2)}
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + a*Coth[e + f*x])^3, x, 14, (d^3*E^(-6*e - 6*f*x))/(1728*a^3*f^4) - (9*d^3*E^(-4*e - 4*f*x))/(1024*a^3*f^4) + (9*d^3*E^(-2*e - 2*f*x))/(64*a^3*f^4) + (d^2*E^(-6*e - 6*f*x)*(c + d*x))/(288*a^3*f^3) - (9*d^2*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x))/(256*a^3*f^3) + (9*d^2*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x))/(32*a^3*f^3) + (d*E^(-6*e - 6*f*x)*(c + d*x)^2)/(96*a^3*f^2) - (9*d*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x)^2)/(128*a^3*f^2) + (9*d*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x)^2)/(32*a^3*f^2) + (E^(-6*e - 6*f*x)*(c + d*x)^3)/(48*a^3*f) - (3*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x)^3)/(32*a^3*f) + (3*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x)^3)/(16*a^3*f) + (c + d*x)^4/(32*a^3*d)}
+{(c + d*x)^2/(a + a*Coth[e + f*x])^3, x, 11, (d^2*E^(-6*e - 6*f*x))/(864*a^3*f^3) - (3*d^2*E^(-4*e - 4*f*x))/(256*a^3*f^3) + (3*d^2*E^(-2*e - 2*f*x))/(32*a^3*f^3) + (d*E^(-6*e - 6*f*x)*(c + d*x))/(144*a^3*f^2) - (3*d*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x))/(64*a^3*f^2) + (3*d*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x))/(16*a^3*f^2) + (E^(-6*e - 6*f*x)*(c + d*x)^2)/(48*a^3*f) - (3*E^(-4*e - 4*f*x)*(c + d*x)^2)/(32*a^3*f) + (3*E^(-2*e - 2*f*x)*(c + d*x)^2)/(16*a^3*f) + (c + d*x)^3/(24*a^3*d)}
+{(c + d*x)^1/(a + a*Coth[e + f*x])^3, x, 11, (11*d*x)/(96*a^3*f) - (d*x^2)/(16*a^3) + (x*(c + d*x))/(8*a^3) - d/(36*f^2*(a + a*Coth[e + f*x])^3) - (c + d*x)/(6*f*(a + a*Coth[e + f*x])^3) - (5*d)/(96*a*f^2*(a + a*Coth[e + f*x])^2) - (c + d*x)/(8*a*f*(a + a*Coth[e + f*x])^2) - (11*d)/(96*f^2*(a^3 + a^3*Coth[e + f*x])) - (c + d*x)/(8*f*(a^3 + a^3*Coth[e + f*x]))}
+{1/((c + d*x)^1*(a + a*Coth[e + f*x])^3), x, 53, (-3*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(8*a^3*d) + (3*Cosh[4*e - (4*c*f)/d]*CoshIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(8*a^3*d) - (Cosh[6*e - (6*c*f)/d]*CoshIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(8*a^3*d) + Log[c + d*x]/(8*a^3*d) + (CoshIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x]*Sinh[6*e - (6*c*f)/d])/(8*a^3*d) - (3*CoshIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x]*Sinh[4*e - (4*c*f)/d])/(8*a^3*d) + (3*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sinh[2*e - (2*c*f)/d])/(8*a^3*d) + (3*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(8*a^3*d) - (3*Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(8*a^3*d) - (3*Cosh[4*e - (4*c*f)/d]*SinhIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(8*a^3*d) + (3*Sinh[4*e - (4*c*f)/d]*SinhIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(8*a^3*d) + (Cosh[6*e - (6*c*f)/d]*SinhIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(8*a^3*d) - (Sinh[6*e - (6*c*f)/d]*SinhIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(8*a^3*d)}
+{1/((c + d*x)^2*(a + a*Coth[e + f*x])^3), x, 60, -(1/(8*a^3*d*(c + d*x))) + (9*Cosh[2*e + 2*f*x])/(32*a^3*d*(c + d*x)) - (3*Cosh[2*e + 2*f*x]^2)/(8*a^3*d*(c + d*x)) + Cosh[2*e + 2*f*x]^3/(8*a^3*d*(c + d*x)) + (3*Cosh[6*e + 6*f*x])/(32*a^3*d*(c + d*x)) + (3*f*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(4*a^3*d^2) - (3*f*Cosh[4*e - (4*c*f)/d]*CoshIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(2*a^3*d^2) + (3*f*Cosh[6*e - (6*c*f)/d]*CoshIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(4*a^3*d^2) - (3*f*CoshIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x]*Sinh[6*e - (6*c*f)/d])/(4*a^3*d^2) + (3*f*CoshIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x]*Sinh[4*e - (4*c*f)/d])/(2*a^3*d^2) - (3*f*CoshIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x]*Sinh[2*e - (2*c*f)/d])/(4*a^3*d^2) - (15*Sinh[2*e + 2*f*x])/(32*a^3*d*(c + d*x)) - (3*Sinh[2*e + 2*f*x]^2)/(8*a^3*d*(c + d*x)) - Sinh[2*e + 2*f*x]^3/(8*a^3*d*(c + d*x)) + (3*Sinh[4*e + 4*f*x])/(8*a^3*d*(c + d*x)) - (3*Sinh[6*e + 6*f*x])/(32*a^3*d*(c + d*x)) - (3*f*Cosh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(4*a^3*d^2) + (3*f*Sinh[2*e - (2*c*f)/d]*SinhIntegral[(2*c*f)/d + 2*f*x])/(4*a^3*d^2) + (3*f*Cosh[4*e - (4*c*f)/d]*SinhIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(2*a^3*d^2) - (3*f*Sinh[4*e - (4*c*f)/d]*SinhIntegral[(4*c*f)/d + 4*f*x])/(2*a^3*d^2) - (3*f*Cosh[6*e - (6*c*f)/d]*SinhIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(4*a^3*d^2) + (3*f*Sinh[6*e - (6*c*f)/d]*SinhIntegral[(6*c*f)/d + 6*f*x])/(4*a^3*d^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+a Coth[e+f x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*(a + a*Coth[e + f*x])^2, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(a + a*Coth[e + f*x])^2, x]}
+{(c + d*x)^m*(a + a*Coth[e + f*x])^1, x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*(a + a*Coth[e + f*x]), x]}
+{(c + d*x)^m/(a + a*Coth[e + f*x])^1, x, 2, (c + d*x)^(1 + m)/(2*a*d*(1 + m)) + (2^(-2 - m)*E^(-2*e + (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*f*(c + d*x))/d])/(a*f*((f*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m/(a + a*Coth[e + f*x])^2, x, 4, (c + d*x)^(1 + m)/(4*a^2*d*(1 + m)) + (2^(-2 - m)*E^(-2*e + (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*f*(c + d*x))/d])/(a^2*f*((f*(c + d*x))/d)^m) - (4^(-2 - m)*E^(-4*e + (4*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (4*f*(c + d*x))/d])/(a^2*f*((f*(c + d*x))/d)^m)}
+{(c + d*x)^m/(a + a*Coth[e + f*x])^3, x, 5, (c + d*x)^(1 + m)/(8*a^3*d*(1 + m)) + (3*2^(-4 - m)*E^(-2*e + (2*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (2*f*(c + d*x))/d])/(a^3*f*((f*(c + d*x))/d)^m) - (3*2^(-5 - 2*m)*E^(-4*e + (4*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (4*f*(c + d*x))/d])/(a^3*f*((f*(c + d*x))/d)^m) + (2^(-4 - m)*3^(-1 - m)*E^(-6*e + (6*c*f)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (6*f*(c + d*x))/d])/(a^3*f*((f*(c + d*x))/d)^m)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Coth[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m (a+b Coth[e+f x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + b*Coth[e + f*x]), x, 8, (a*(c + d*x)^4)/(4*d) - (b*(c + d*x)^4)/(4*d) + (b*(c + d*x)^3*Log[1 - E^(2*(e + f*x))])/f + (3*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(2*(e + f*x))])/(2*f^2) - (3*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(2*(e + f*x))])/(2*f^3) + (3*b*d^3*PolyLog[4, E^(2*(e + f*x))])/(4*f^4)}
+{(c + d*x)^2*(a + b*Coth[e + f*x]), x, 7, (a*(c + d*x)^3)/(3*d) - (b*(c + d*x)^3)/(3*d) + (b*(c + d*x)^2*Log[1 - E^(2*(e + f*x))])/f + (b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*(e + f*x))])/f^2 - (b*d^2*PolyLog[3, E^(2*(e + f*x))])/(2*f^3)}
+{(c + d*x)^1*(a + b*Coth[e + f*x]), x, 6, (a*(c + d*x)^2)/(2*d) - (b*(c + d*x)^2)/(2*d) + (b*(c + d*x)*Log[1 - E^(2*(e + f*x))])/f + (b*d*PolyLog[2, E^(2*(e + f*x))])/(2*f^2)}
+{(a + b*Coth[e + f*x])/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Coth[e + f*x])/(c + d*x), x]}
+{(a + b*Coth[e + f*x])/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Coth[e + f*x])/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + b*Coth[e + f*x])^2, x, 15, -((b^2*(c + d*x)^3)/f) + (a^2*(c + d*x)^4)/(4*d) - (a*b*(c + d*x)^4)/(2*d) + (b^2*(c + d*x)^4)/(4*d) - (b^2*(c + d*x)^3*Coth[e + f*x])/f + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 - E^(2*(e + f*x))])/f^2 + (2*a*b*(c + d*x)^3*Log[1 - E^(2*(e + f*x))])/f + (3*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*(e + f*x))])/f^3 + (3*a*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(2*(e + f*x))])/f^2 - (3*b^2*d^3*PolyLog[3, E^(2*(e + f*x))])/(2*f^4) - (3*a*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(2*(e + f*x))])/f^3 + (3*a*b*d^3*PolyLog[4, E^(2*(e + f*x))])/(2*f^4)}
+{(c + d*x)^2*(a + b*Coth[e + f*x])^2, x, 13, -((b^2*(c + d*x)^2)/f) + (a^2*(c + d*x)^3)/(3*d) - (2*a*b*(c + d*x)^3)/(3*d) + (b^2*(c + d*x)^3)/(3*d) - (b^2*(c + d*x)^2*Coth[e + f*x])/f + (2*b^2*d*(c + d*x)*Log[1 - E^(2*(e + f*x))])/f^2 + (2*a*b*(c + d*x)^2*Log[1 - E^(2*(e + f*x))])/f + (b^2*d^2*PolyLog[2, E^(2*(e + f*x))])/f^3 + (2*a*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*(e + f*x))])/f^2 - (a*b*d^2*PolyLog[3, E^(2*(e + f*x))])/f^3}
+{(c + d*x)^1*(a + b*Coth[e + f*x])^2, x, 9, b^2*c*x + (b^2*d*x^2)/2 + (a^2*(c + d*x)^2)/(2*d) - (a*b*(c + d*x)^2)/d - (b^2*(c + d*x)*Coth[e + f*x])/f + (2*a*b*(c + d*x)*Log[1 - E^(2*(e + f*x))])/f + (b^2*d*Log[Sinh[e + f*x]])/f^2 + (a*b*d*PolyLog[2, E^(2*(e + f*x))])/f^2}
+{(a + b*Coth[e + f*x])^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Coth[e + f*x])^2/(c + d*x), x]}
+{(a + b*Coth[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Coth[e + f*x])^2/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^3*(a + b*Coth[e + f*x])^3, x, 28, (-3*b^3*d*(c + d*x)^2)/(2*f^2) - (3*a*b^2*(c + d*x)^3)/f + (b^3*(c + d*x)^3)/(2*f) + (a^3*(c + d*x)^4)/(4*d) - (3*a^2*b*(c + d*x)^4)/(4*d) + (3*a*b^2*(c + d*x)^4)/(4*d) - (b^3*(c + d*x)^4)/(4*d) - (3*b^3*d*(c + d*x)^2*Coth[e + f*x])/(2*f^2) - (3*a*b^2*(c + d*x)^3*Coth[e + f*x])/f - (b^3*(c + d*x)^3*Coth[e + f*x]^2)/(2*f) + (3*b^3*d^2*(c + d*x)*Log[1 - E^(2*(e + f*x))])/f^3 + (9*a*b^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 - E^(2*(e + f*x))])/f^2 + (3*a^2*b*(c + d*x)^3*Log[1 - E^(2*(e + f*x))])/f + (b^3*(c + d*x)^3*Log[1 - E^(2*(e + f*x))])/f + (3*b^3*d^3*PolyLog[2, E^(2*(e + f*x))])/(2*f^4) + (9*a*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*(e + f*x))])/f^3 + (9*a^2*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(2*(e + f*x))])/(2*f^2) + (3*b^3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(2*(e + f*x))])/(2*f^2) - (9*a*b^2*d^3*PolyLog[3, E^(2*(e + f*x))])/(2*f^4) - (9*a^2*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(2*(e + f*x))])/(2*f^3) - (3*b^3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(2*(e + f*x))])/(2*f^3) + (9*a^2*b*d^3*PolyLog[4, E^(2*(e + f*x))])/(4*f^4) + (3*b^3*d^3*PolyLog[4, E^(2*(e + f*x))])/(4*f^4)}
+{(c + d*x)^2*(a + b*Coth[e + f*x])^3, x, 22, (b^3*c*d*x)/f + (b^3*d^2*x^2)/(2*f) - (3*a*b^2*(c + d*x)^2)/f + (a^3*(c + d*x)^3)/(3*d) - (a^2*b*(c + d*x)^3)/d + (a*b^2*(c + d*x)^3)/d - (b^3*(c + d*x)^3)/(3*d) - (b^3*d*(c + d*x)*Coth[e + f*x])/f^2 - (3*a*b^2*(c + d*x)^2*Coth[e + f*x])/f - (b^3*(c + d*x)^2*Coth[e + f*x]^2)/(2*f) + (6*a*b^2*d*(c + d*x)*Log[1 - E^(2*(e + f*x))])/f^2 + (3*a^2*b*(c + d*x)^2*Log[1 - E^(2*(e + f*x))])/f + (b^3*(c + d*x)^2*Log[1 - E^(2*(e + f*x))])/f + (b^3*d^2*Log[Sinh[e + f*x]])/f^3 + (3*a*b^2*d^2*PolyLog[2, E^(2*(e + f*x))])/f^3 + (3*a^2*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*(e + f*x))])/f^2 + (b^3*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*(e + f*x))])/f^2 - (3*a^2*b*d^2*PolyLog[3, E^(2*(e + f*x))])/(2*f^3) - (b^3*d^2*PolyLog[3, E^(2*(e + f*x))])/(2*f^3)}
+{(c + d*x)^1*(a + b*Coth[e + f*x])^3, x, 16, 3*a*b^2*c*x + (b^3*d*x)/(2*f) + (3*a*b^2*d*x^2)/2 + (a^3*(c + d*x)^2)/(2*d) - (3*a^2*b*(c + d*x)^2)/(2*d) - (b^3*(c + d*x)^2)/(2*d) - (b^3*d*Coth[e + f*x])/(2*f^2) - (3*a*b^2*(c + d*x)*Coth[e + f*x])/f - (b^3*(c + d*x)*Coth[e + f*x]^2)/(2*f) + (3*a^2*b*(c + d*x)*Log[1 - E^(2*(e + f*x))])/f + (b^3*(c + d*x)*Log[1 - E^(2*(e + f*x))])/f + (3*a*b^2*d*Log[Sinh[e + f*x]])/f^2 + (3*a^2*b*d*PolyLog[2, E^(2*(e + f*x))])/(2*f^2) + (b^3*d*PolyLog[2, E^(2*(e + f*x))])/(2*f^2)}
+{(a + b*Coth[e + f*x])^3/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*Coth[e + f*x])^3/(c + d*x), x]}
+{(a + b*Coth[e + f*x])^3/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Coth[e + f*x])^3/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + b*Coth[e + f*x]), x, 6, (c + d*x)^4/(4*(a + b)*d) - (b*(c + d*x)^3*Log[1 - (a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b))])/((a^2 - b^2)*f) + (3*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b))])/(2*(a^2 - b^2)*f^2) + (3*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b))])/(2*(a^2 - b^2)*f^3) + (3*b*d^3*PolyLog[4, (a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b))])/(4*(a^2 - b^2)*f^4)}
+{(c + d*x)^2/(a + b*Coth[e + f*x]), x, 5, (c + d*x)^3/(3*(a + b)*d) - (b*(c + d*x)^2*Log[1 - (a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b))])/((a^2 - b^2)*f) + (b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b))])/((a^2 - b^2)*f^2) + (b*d^2*PolyLog[3, (a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b))])/(2*(a^2 - b^2)*f^3)}
+{(c + d*x)^1/(a + b*Coth[e + f*x]), x, 4, (c + d*x)^2/(2*(a + b)*d) - (b*(c + d*x)*Log[1 - (a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b))])/((a^2 - b^2)*f) + (b*d*PolyLog[2, (a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b))])/(2*(a^2 - b^2)*f^2)}
+{1/((c + d*x)^1*(a + b*Coth[e + f*x])), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*Coth[e + f*x])), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + b*Coth[e + f*x])), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + b*Coth[e + f*x])), x]}
+
+
+{(c + d*x)^3/(a + b*Coth[e + f*x])^2, x, 28, -((2*b^2*(c + d*x)^3)/((a^2 - b^2)^2*f)) + (2*b^2*(c + d*x)^3)/((a - b)*(a + b)^2*(a - b - (a + b)*E^(2*e + 2*f*x))*f) + (c + d*x)^4/(4*(a - b)^2*d) + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 - ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a^2 - b^2)^2*f^2) - (2*b*(c + d*x)^3*Log[1 - ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a - b)^2*(a + b)*f) + (2*b^2*(c + d*x)^3*Log[1 - ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a^2 - b^2)^2*f) + (3*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a^2 - b^2)^2*f^3) - (3*b*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a - b)^2*(a + b)*f^2) + (3*b^2*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a^2 - b^2)^2*f^2) - (3*b^2*d^3*PolyLog[3, ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/(2*(a^2 - b^2)^2*f^4) + (3*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a - b)^2*(a + b)*f^3) - (3*b^2*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a^2 - b^2)^2*f^3) - (3*b*d^3*PolyLog[4, ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/(2*(a - b)^2*(a + b)*f^4) + (3*b^2*d^3*PolyLog[4, ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/(2*(a^2 - b^2)^2*f^4)}
+{(c + d*x)^2/(a + b*Coth[e + f*x])^2, x, 24, -((2*b^2*(c + d*x)^2)/((a^2 - b^2)^2*f)) + (2*b^2*(c + d*x)^2)/((a - b)*(a + b)^2*(a - b - (a + b)*E^(2*e + 2*f*x))*f) + (c + d*x)^3/(3*(a - b)^2*d) + (2*b^2*d*(c + d*x)*Log[1 - ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a^2 - b^2)^2*f^2) - (2*b*(c + d*x)^2*Log[1 - ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a - b)^2*(a + b)*f) + (2*b^2*(c + d*x)^2*Log[1 - ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a^2 - b^2)^2*f) + (b^2*d^2*PolyLog[2, ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a^2 - b^2)^2*f^3) - (2*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a - b)^2*(a + b)*f^2) + (2*b^2*d*(c + d*x)*PolyLog[2, ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a^2 - b^2)^2*f^2) + (b*d^2*PolyLog[3, ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a - b)^2*(a + b)*f^3) - (b^2*d^2*PolyLog[3, ((a + b)*E^(2*e + 2*f*x))/(a - b)])/((a^2 - b^2)^2*f^3)}
+{(c + d*x)^1/(a + b*Coth[e + f*x])^2, x, 5, -((c + d*x)^2/(2*(a^2 - b^2)*d)) + (b*d - 2*a*c*f - 2*a*d*f*x)^2/(4*a*(a - b)*(a + b)^2*d*f^2) + (b*(c + d*x))/((a^2 - b^2)*f*(a + b*Coth[e + f*x])) + (b*(b*d - 2*a*c*f - 2*a*d*f*x)*Log[1 - (a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b))])/((a^2 - b^2)^2*f^2) + (a*b*d*PolyLog[2, (a - b)/(E^(2*(e + f*x))*(a + b))])/((a^2 - b^2)^2*f^2)}
+{1/((c + d*x)^1*(a + b*Coth[e + f*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*Coth[e + f*x])^2), x]}
+{1/((c + d*x)^2*(a + b*Coth[e + f*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((c + d*x)^2*(a + b*Coth[e + f*x])^2), x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.4 Hyperbolic cotangent/6.4.2 Hyperbolic cotangent functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.4 Hyperbolic cotangent/6.4.2 Hyperbolic cotangent functions.m
new file mode 100644
index 00000000..dafc1e1a
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.4 Hyperbolic cotangent/6.4.2 Hyperbolic cotangent functions.m	
@@ -0,0 +1,465 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands Involving Hyperbolic Cotangents*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Coth[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Coth[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+{(b*Coth[c + d*x])^(7/2),x, 7, (b^(7/2)*ArcTan[Sqrt[b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[b]])/d + (b^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[b]])/d - (2*b^3*Sqrt[b*Coth[c + d*x]])/d - (2*b*(b*Coth[c + d*x])^(5/2))/(5*d)}
+{(b*Coth[c + d*x])^(5/2),x, 6, -((b^(5/2)*ArcTan[Sqrt[b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[b]])/d) + (b^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[b]])/d - (2*b*(b*Coth[c + d*x])^(3/2))/(3*d)}
+{(b*Coth[c + d*x])^(3/2),x, 6, (b^(3/2)*ArcTan[Sqrt[b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[b]])/d + (b^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[b]])/d - (2*b*Sqrt[b*Coth[c + d*x]])/d}
+{(b*Coth[c + d*x])^(1/2), x, 5, -((Sqrt[b]*ArcTan[Sqrt[b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[b]])/d) + (Sqrt[b]*ArcTanh[Sqrt[b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[b]])/d}
+{1/(b*Coth[c + d*x])^(1/2), x, 5, ArcTan[Sqrt[b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[b]]/(Sqrt[b]*d) + ArcTanh[Sqrt[b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[b]]/(Sqrt[b]*d)}
+{1/(b*Coth[c + d*x])^(3/2), x, 6, -(ArcTan[Sqrt[b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[b]]/(b^(3/2)*d)) + ArcTanh[Sqrt[b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[b]]/(b^(3/2)*d) - 2/(b*d*Sqrt[b*Coth[c + d*x]])}
+{1/(b*Coth[c + d*x])^(5/2), x, 6, ArcTan[Sqrt[b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[b]]/(b^(5/2)*d) + ArcTanh[Sqrt[b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[b]]/(b^(5/2)*d) - 2/(3*b*d*(b*Coth[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(b*Coth[c + d*x])^(7/2), x, 7, -(ArcTan[Sqrt[b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[b]]/(b^(7/2)*d)) + ArcTanh[Sqrt[b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[b]]/(b^(7/2)*d) - 2/(5*b*d*(b*Coth[c + d*x])^(5/2)) - 2/(b^3*d*Sqrt[b*Coth[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Coth[c+d x])^(n/3)*)
+
+
+{(b*Coth[c + d*x])^(4/3),x, 13, -((Sqrt[3]*b^(4/3)*ArcTan[(1 - (2*(b*Coth[c + d*x])^(1/3))/b^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*d)) + (Sqrt[3]*b^(4/3)*ArcTan[(1 + (2*(b*Coth[c + d*x])^(1/3))/b^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*d) + (b^(4/3)*ArcTanh[(b*Coth[c + d*x])^(1/3)/b^(1/3)])/d - (3*b*(b*Coth[c + d*x])^(1/3))/d - (b^(4/3)*Log[b^(2/3) - b^(1/3)*(b*Coth[c + d*x])^(1/3) + (b*Coth[c + d*x])^(2/3)])/(4*d) + (b^(4/3)*Log[b^(2/3) + b^(1/3)*(b*Coth[c + d*x])^(1/3) + (b*Coth[c + d*x])^(2/3)])/(4*d)}
+{(b*Coth[c + d*x])^(2/3),x, 12, (Sqrt[3]*b^(2/3)*ArcTan[(1 - (2*(b*Coth[c + d*x])^(1/3))/b^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*d) - (Sqrt[3]*b^(2/3)*ArcTan[(1 + (2*(b*Coth[c + d*x])^(1/3))/b^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*d) + (b^(2/3)*ArcTanh[(b*Coth[c + d*x])^(1/3)/b^(1/3)])/d - (b^(2/3)*Log[b^(2/3) - b^(1/3)*(b*Coth[c + d*x])^(1/3) + (b*Coth[c + d*x])^(2/3)])/(4*d) + (b^(2/3)*Log[b^(2/3) + b^(1/3)*(b*Coth[c + d*x])^(1/3) + (b*Coth[c + d*x])^(2/3)])/(4*d)}
+{(b*Coth[c + d*x])^(1/3), x, 9, -((Sqrt[3]*b^(1/3)*ArcTan[(b^(2/3) + 2*(b*Coth[c + d*x])^(2/3))/(Sqrt[3]*b^(2/3))])/(2*d)) - (b^(1/3)*Log[b^(2/3) - (b*Coth[c + d*x])^(2/3)])/(2*d) + (b^(1/3)*Log[b^(4/3) + b^(2/3)*(b*Coth[c + d*x])^(2/3) + (b*Coth[c + d*x])^(4/3)])/(4*d)}
+{1/(b*Coth[c + d*x])^(1/3), x, 9, (Sqrt[3]*ArcTan[(b^(2/3) + 2*(b*Coth[c + d*x])^(2/3))/(Sqrt[3]*b^(2/3))])/(2*b^(1/3)*d) - Log[b^(2/3) - (b*Coth[c + d*x])^(2/3)]/(2*b^(1/3)*d) + Log[b^(4/3) + b^(2/3)*(b*Coth[c + d*x])^(2/3) + (b*Coth[c + d*x])^(4/3)]/(4*b^(1/3)*d)}
+{1/(b*Coth[c + d*x])^(2/3), x, 12, -((Sqrt[3]*ArcTan[(1 - (2*(b*Coth[c + d*x])^(1/3))/b^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*b^(2/3)*d)) + (Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*(b*Coth[c + d*x])^(1/3))/b^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*b^(2/3)*d) + ArcTanh[(b*Coth[c + d*x])^(1/3)/b^(1/3)]/(b^(2/3)*d) - Log[b^(2/3) - b^(1/3)*(b*Coth[c + d*x])^(1/3) + (b*Coth[c + d*x])^(2/3)]/(4*b^(2/3)*d) + Log[b^(2/3) + b^(1/3)*(b*Coth[c + d*x])^(1/3) + (b*Coth[c + d*x])^(2/3)]/(4*b^(2/3)*d)}
+{1/(b*Coth[c + d*x])^(4/3), x, 13, (Sqrt[3]*ArcTan[(1 - (2*(b*Coth[c + d*x])^(1/3))/b^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*b^(4/3)*d) - (Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*(b*Coth[c + d*x])^(1/3))/b^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*b^(4/3)*d) + ArcTanh[(b*Coth[c + d*x])^(1/3)/b^(1/3)]/(b^(4/3)*d) - 3/(b*d*(b*Coth[c + d*x])^(1/3)) - Log[b^(2/3) - b^(1/3)*(b*Coth[c + d*x])^(1/3) + (b*Coth[c + d*x])^(2/3)]/(4*b^(4/3)*d) + Log[b^(2/3) + b^(1/3)*(b*Coth[c + d*x])^(1/3) + (b*Coth[c + d*x])^(2/3)]/(4*b^(4/3)*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Coth[c+d x])^n with n symbolic*)
+
+
+{Coth[a + b*x]^n, x, 2, (Coth[a + b*x]^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Coth[a + b*x]^2])/(b*(1 + n))}
+{(b*Coth[c + d*x])^n,x, 2, ((b*Coth[c + d*x])^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Coth[c + d*x]^2])/(b*d*(1 + n))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Coth[c+d x]^m)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Coth[c+d x]^2)^n*)
+
+
+{(b*Coth[c + d*x]^2)^n,x, 3, (Coth[c + d*x]*(b*Coth[c + d*x]^2)^n*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + 2*n), (1/2)*(3 + 2*n), Coth[c + d*x]^2])/(d*(1 + 2*n))}
+
+{(b*Coth[c + d*x]^2)^(3/2),x, 3, -((b*Coth[c + d*x]*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^2])/(2*d)) + (b*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^2]*Log[Sinh[c + d*x]]*Tanh[c + d*x])/d}
+{(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/2), x, 2, (Sqrt[b*Coth[c + d*x]^2]*Log[Sinh[c + d*x]]*Tanh[c + d*x])/d}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/2), x, 2, (Coth[c + d*x]*Log[Cosh[c + d*x]])/(d*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^2])}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^2)^(3/2), x, 3, (Coth[c + d*x]*Log[Cosh[c + d*x]])/(b*d*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^2]) - Tanh[c + d*x]/(2*b*d*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^2])}
+
+
+{(b*Coth[c + d*x]^2)^(4/3),x, 14, (Sqrt[3]*b*ArcTan[(1 - 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3))/(2*d*Coth[c + d*x]^(2/3)) - (Sqrt[3]*b*ArcTan[(1 + 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3))/(2*d*Coth[c + d*x]^(2/3)) + (b*ArcTanh[Coth[c + d*x]^(1/3)]*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3))/(d*Coth[c + d*x]^(2/3)) - (3*b*Coth[c + d*x]*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3))/(5*d) - (b*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3)*Log[1 - Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*Coth[c + d*x]^(2/3)) + (b*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3)*Log[1 + Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*Coth[c + d*x]^(2/3))}
+{(b*Coth[c + d*x]^2)^(2/3),x, 14, -((Sqrt[3]*ArcTan[(1 - 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*(b*Coth[c + d*x]^2)^(2/3))/(2*d*Coth[c + d*x]^(4/3))) + (Sqrt[3]*ArcTan[(1 + 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*(b*Coth[c + d*x]^2)^(2/3))/(2*d*Coth[c + d*x]^(4/3)) + (ArcTanh[Coth[c + d*x]^(1/3)]*(b*Coth[c + d*x]^2)^(2/3))/(d*Coth[c + d*x]^(4/3)) - ((b*Coth[c + d*x]^2)^(2/3)*Log[1 - Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*Coth[c + d*x]^(4/3)) + ((b*Coth[c + d*x]^2)^(2/3)*Log[1 + Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*Coth[c + d*x]^(4/3)) - (3*(b*Coth[c + d*x]^2)^(2/3)*Tanh[c + d*x])/d}
+{(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3), x, 13, (Sqrt[3]*ArcTan[(1 - 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3))/(2*d*Coth[c + d*x]^(2/3)) - (Sqrt[3]*ArcTan[(1 + 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3))/(2*d*Coth[c + d*x]^(2/3)) + (ArcTanh[Coth[c + d*x]^(1/3)]*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3))/(d*Coth[c + d*x]^(2/3)) - ((b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3)*Log[1 - Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*Coth[c + d*x]^(2/3)) + ((b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3)*Log[1 + Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*Coth[c + d*x]^(2/3))}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3), x, 13, -((Sqrt[3]*ArcTan[(1 - 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*Coth[c + d*x]^(2/3))/(2*d*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3))) + (Sqrt[3]*ArcTan[(1 + 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*Coth[c + d*x]^(2/3))/(2*d*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3)) + (ArcTanh[Coth[c + d*x]^(1/3)]*Coth[c + d*x]^(2/3))/(d*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3)) - (Coth[c + d*x]^(2/3)*Log[1 - Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3)) + (Coth[c + d*x]^(2/3)*Log[1 + Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3))}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^2)^(2/3), x, 14, -((3*Coth[c + d*x])/(d*(b*Coth[c + d*x]^2)^(2/3))) + (Sqrt[3]*ArcTan[(1 - 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*Coth[c + d*x]^(4/3))/(2*d*(b*Coth[c + d*x]^2)^(2/3)) - (Sqrt[3]*ArcTan[(1 + 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*Coth[c + d*x]^(4/3))/(2*d*(b*Coth[c + d*x]^2)^(2/3)) + (ArcTanh[Coth[c + d*x]^(1/3)]*Coth[c + d*x]^(4/3))/(d*(b*Coth[c + d*x]^2)^(2/3)) - (Coth[c + d*x]^(4/3)*Log[1 - Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*(b*Coth[c + d*x]^2)^(2/3)) + (Coth[c + d*x]^(4/3)*Log[1 + Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*(b*Coth[c + d*x]^2)^(2/3))}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^2)^(4/3), x, 14, -((Sqrt[3]*ArcTan[(1 - 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*Coth[c + d*x]^(2/3))/(2*b*d*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3))) + (Sqrt[3]*ArcTan[(1 + 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*Coth[c + d*x]^(2/3))/(2*b*d*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3)) + (ArcTanh[Coth[c + d*x]^(1/3)]*Coth[c + d*x]^(2/3))/(b*d*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3)) - (Coth[c + d*x]^(2/3)*Log[1 - Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*b*d*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3)) + (Coth[c + d*x]^(2/3)*Log[1 + Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*b*d*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3)) - (3*Tanh[c + d*x])/(5*b*d*(b*Coth[c + d*x]^2)^(1/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Coth[c+d x]^3)^n*)
+
+
+{(b*Coth[c + d*x]^3)^n,x, 3, (Coth[c + d*x]*(b*Coth[c + d*x]^3)^n*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + 3*n), (3*(1 + n))/2, Coth[c + d*x]^2])/(d*(1 + 3*n))}
+
+{(b*Coth[c + d*x]^3)^(3/2),x, 8, -((2*b*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^3])/(3*d)) - (b*ArcTan[Sqrt[Coth[c + d*x]]]*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^3])/(d*Coth[c + d*x]^(3/2)) + (b*ArcTanh[Sqrt[Coth[c + d*x]]]*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^3])/(d*Coth[c + d*x]^(3/2)) - (2*b*Coth[c + d*x]^2*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^3])/(7*d)}
+{(b*Coth[c + d*x]^3)^(1/2), x, 7, (ArcTan[Sqrt[Coth[c + d*x]]]*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^3])/(d*Coth[c + d*x]^(3/2)) + (ArcTanh[Sqrt[Coth[c + d*x]]]*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^3])/(d*Coth[c + d*x]^(3/2)) - (2*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^3]*Tanh[c + d*x])/d}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^3)^(1/2), x, 7, -((2*Coth[c + d*x])/(d*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^3])) - (ArcTan[Sqrt[Coth[c + d*x]]]*Coth[c + d*x]^(3/2))/(d*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^3]) + (ArcTanh[Sqrt[Coth[c + d*x]]]*Coth[c + d*x]^(3/2))/(d*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^3])}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^3)^(3/2), x, 8, -(2/(3*b*d*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^3])) + (ArcTan[Sqrt[Coth[c + d*x]]]*Coth[c + d*x]^(3/2))/(b*d*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^3]) + (ArcTanh[Sqrt[Coth[c + d*x]]]*Coth[c + d*x]^(3/2))/(b*d*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^3]) - (2*Tanh[c + d*x]^2)/(7*b*d*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^3])}
+
+
+{(b*Coth[c + d*x]^3)^(4/3),x, 4, -((b*(b*Coth[c + d*x]^3)^(1/3))/d) - (b*Coth[c + d*x]^2*(b*Coth[c + d*x]^3)^(1/3))/(3*d) + b*x*(b*Coth[c + d*x]^3)^(1/3)*Tanh[c + d*x]}
+{(b*Coth[c + d*x]^3)^(2/3),x, 3, -(((b*Coth[c + d*x]^3)^(2/3)*Tanh[c + d*x])/d) + x*(b*Coth[c + d*x]^3)^(2/3)*Tanh[c + d*x]^2}
+{(b*Coth[c + d*x]^3)^(1/3), x, 2, ((b*Coth[c + d*x]^3)^(1/3)*Log[Sinh[c + d*x]]*Tanh[c + d*x])/d}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^3)^(1/3), x, 2, (Coth[c + d*x]*Log[Cosh[c + d*x]])/(d*(b*Coth[c + d*x]^3)^(1/3))}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^3)^(2/3), x, 3, -(Coth[c + d*x]/(d*(b*Coth[c + d*x]^3)^(2/3))) + (x*Coth[c + d*x]^2)/(b*Coth[c + d*x]^3)^(2/3)}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^3)^(4/3), x, 4, -(1/(b*d*(b*Coth[c + d*x]^3)^(1/3))) + (x*Coth[c + d*x])/(b*(b*Coth[c + d*x]^3)^(1/3)) - Tanh[c + d*x]^2/(3*b*d*(b*Coth[c + d*x]^3)^(1/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Coth[c+d x]^4)^n*)
+
+
+{(b*Coth[c + d*x]^4)^n,x, 3, (Coth[c + d*x]*(b*Coth[c + d*x]^4)^n*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + 4*n), (1/2)*(3 + 4*n), Coth[c + d*x]^2])/(d*(1 + 4*n))}
+
+{(b*Coth[c + d*x]^4)^(3/2),x, 5, -((b*Coth[c + d*x]*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^4])/(3*d)) - (b*Coth[c + d*x]^3*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^4])/(5*d) - (b*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^4]*Tanh[c + d*x])/d + b*x*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^4]*Tanh[c + d*x]^2}
+{(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/2), x, 3, -((Sqrt[b*Coth[c + d*x]^4]*Tanh[c + d*x])/d) + x*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^4]*Tanh[c + d*x]^2}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/2), x, 3, -(Coth[c + d*x]/(d*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^4])) + (x*Coth[c + d*x]^2)/Sqrt[b*Coth[c + d*x]^4]}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^4)^(3/2), x, 5, -(Coth[c + d*x]/(b*d*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^4])) + (x*Coth[c + d*x]^2)/(b*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^4]) - Tanh[c + d*x]/(3*b*d*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^4]) - Tanh[c + d*x]^3/(5*b*d*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^4])}
+
+
+{(b*Coth[c + d*x]^4)^(4/3),x, 16, -((Sqrt[3]*b*ArcTan[(1 - 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3))/(2*d*Coth[c + d*x]^(4/3))) + (Sqrt[3]*b*ArcTan[(1 + 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3))/(2*d*Coth[c + d*x]^(4/3)) + (b*ArcTanh[Coth[c + d*x]^(1/3)]*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3))/(d*Coth[c + d*x]^(4/3)) - (3*b*Coth[c + d*x]*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3))/(7*d) - (3*b*Coth[c + d*x]^3*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3))/(13*d) - (b*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3)*Log[1 - Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*Coth[c + d*x]^(4/3)) + (b*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3)*Log[1 + Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*Coth[c + d*x]^(4/3)) - (3*b*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3)*Tanh[c + d*x])/d}
+{(b*Coth[c + d*x]^4)^(2/3),x, 14, (Sqrt[3]*ArcTan[(1 - 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*(b*Coth[c + d*x]^4)^(2/3))/(2*d*Coth[c + d*x]^(8/3)) - (Sqrt[3]*ArcTan[(1 + 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*(b*Coth[c + d*x]^4)^(2/3))/(2*d*Coth[c + d*x]^(8/3)) + (ArcTanh[Coth[c + d*x]^(1/3)]*(b*Coth[c + d*x]^4)^(2/3))/(d*Coth[c + d*x]^(8/3)) - ((b*Coth[c + d*x]^4)^(2/3)*Log[1 - Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*Coth[c + d*x]^(8/3)) + ((b*Coth[c + d*x]^4)^(2/3)*Log[1 + Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*Coth[c + d*x]^(8/3)) - (3*(b*Coth[c + d*x]^4)^(2/3)*Tanh[c + d*x])/(5*d)}
+{(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3), x, 14, -((Sqrt[3]*ArcTan[(1 - 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3))/(2*d*Coth[c + d*x]^(4/3))) + (Sqrt[3]*ArcTan[(1 + 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3))/(2*d*Coth[c + d*x]^(4/3)) + (ArcTanh[Coth[c + d*x]^(1/3)]*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3))/(d*Coth[c + d*x]^(4/3)) - ((b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3)*Log[1 - Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*Coth[c + d*x]^(4/3)) + ((b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3)*Log[1 + Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*Coth[c + d*x]^(4/3)) - (3*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3)*Tanh[c + d*x])/d}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3), x, 14, -((3*Coth[c + d*x])/(d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3))) + (Sqrt[3]*ArcTan[(1 - 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*Coth[c + d*x]^(4/3))/(2*d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3)) - (Sqrt[3]*ArcTan[(1 + 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*Coth[c + d*x]^(4/3))/(2*d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3)) + (ArcTanh[Coth[c + d*x]^(1/3)]*Coth[c + d*x]^(4/3))/(d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3)) - (Coth[c + d*x]^(4/3)*Log[1 - Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3)) + (Coth[c + d*x]^(4/3)*Log[1 + Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3))}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^4)^(2/3), x, 14, -((3*Coth[c + d*x])/(5*d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(2/3))) - (Sqrt[3]*ArcTan[(1 - 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*Coth[c + d*x]^(8/3))/(2*d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(2/3)) + (Sqrt[3]*ArcTan[(1 + 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*Coth[c + d*x]^(8/3))/(2*d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(2/3)) + (ArcTanh[Coth[c + d*x]^(1/3)]*Coth[c + d*x]^(8/3))/(d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(2/3)) - (Coth[c + d*x]^(8/3)*Log[1 - Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(2/3)) + (Coth[c + d*x]^(8/3)*Log[1 + Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(2/3))}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^4)^(4/3), x, 16, -((3*Coth[c + d*x])/(b*d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3))) + (Sqrt[3]*ArcTan[(1 - 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*Coth[c + d*x]^(4/3))/(2*b*d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3)) - (Sqrt[3]*ArcTan[(1 + 2*Coth[c + d*x]^(1/3))/Sqrt[3]]*Coth[c + d*x]^(4/3))/(2*b*d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3)) + (ArcTanh[Coth[c + d*x]^(1/3)]*Coth[c + d*x]^(4/3))/(b*d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3)) - (Coth[c + d*x]^(4/3)*Log[1 - Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*b*d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3)) + (Coth[c + d*x]^(4/3)*Log[1 + Coth[c + d*x]^(1/3) + Coth[c + d*x]^(2/3)])/(4*b*d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3)) - (3*Tanh[c + d*x])/(7*b*d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3)) - (3*Tanh[c + d*x]^3)/(13*b*d*(b*Coth[c + d*x]^4)^(1/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b Coth[c+d x]^m)^n*)
+
+
+{(b*Coth[c + d*x]^m)^n,x, 3, (Coth[c + d*x]*(b*Coth[c + d*x]^m)^n*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 + m*n), (1/2)*(3 + m*n), Coth[c + d*x]^2])/(d*(1 + m*n))}
+
+{(b*Coth[c + d*x]^m)^(3/2),x, 3, (2*b*Coth[c + d*x]^(1 + m)*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^m]*Hypergeometric2F1[1, (1/4)*(2 + 3*m), (3*(2 + m))/4, Coth[c + d*x]^2])/(d*(2 + 3*m))}
+{(b*Coth[c + d*x]^m)^(1/2), x, 3, (2*Coth[c + d*x]*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^m]*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/4, (6 + m)/4, Coth[c + d*x]^2])/(d*(2 + m))}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^m)^(1/2), x, 3, (2*Coth[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1, (2 - m)/4, (6 - m)/4, Coth[c + d*x]^2])/(d*(2 - m)*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^m])}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^m)^(3/2), x, 3, (2*Coth[c + d*x]^(1 - m)*Hypergeometric2F1[1, (1/4)*(2 - 3*m), (3*(2 - m))/4, Coth[c + d*x]^2])/(b*d*(2 - 3*m)*Sqrt[b*Coth[c + d*x]^m])}
+
+
+{(b*Coth[c + d*x]^m)^(4/3),x, 3, (3*b*Coth[c + d*x]^(1 + m)*(b*Coth[c + d*x]^m)^(1/3)*Hypergeometric2F1[1, (1/6)*(3 + 4*m), (1/6)*(9 + 4*m), Coth[c + d*x]^2])/(d*(3 + 4*m))}
+{(b*Coth[c + d*x]^m)^(2/3),x, 3, (3*Coth[c + d*x]*(b*Coth[c + d*x]^m)^(2/3)*Hypergeometric2F1[1, (1/6)*(3 + 2*m), (1/6)*(9 + 2*m), Coth[c + d*x]^2])/(d*(3 + 2*m))}
+{(b*Coth[c + d*x]^m)^(1/3), x, 3, (3*Coth[c + d*x]*(b*Coth[c + d*x]^m)^(1/3)*Hypergeometric2F1[1, (3 + m)/6, (9 + m)/6, Coth[c + d*x]^2])/(d*(3 + m))}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^m)^(1/3), x, 3, (3*Coth[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1, (3 - m)/6, (9 - m)/6, Coth[c + d*x]^2])/(d*(3 - m)*(b*Coth[c + d*x]^m)^(1/3))}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^m)^(2/3), x, 3, (3*Coth[c + d*x]*Hypergeometric2F1[1, (1/6)*(3 - 2*m), (1/6)*(9 - 2*m), Coth[c + d*x]^2])/(d*(3 - 2*m)*(b*Coth[c + d*x]^m)^(2/3))}
+{1/(b*Coth[c + d*x]^m)^(4/3), x, 3, (3*Coth[c + d*x]^(1 - m)*Hypergeometric2F1[1, (1/6)*(3 - 4*m), (1/6)*(9 - 4*m), Coth[c + d*x]^2])/(b*d*(3 - 4*m)*(b*Coth[c + d*x]^m)^(1/3))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[c+d x]^m (a+b Coth[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b Coth[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2 = 0*)
+
+
+{(1 + Coth[x])^5, x, 5, 16*x - 8*Coth[x] - 2*(1 + Coth[x])^2 - (2/3)*(1 + Coth[x])^3 - (1/4)*(1 + Coth[x])^4 + 16*Log[Sinh[x]]}
+{(1 + Coth[x])^4, x, 4, 8*x - 4*Coth[x] - (1 + Coth[x])^2 - (1/3)*(1 + Coth[x])^3 + 8*Log[Sinh[x]]}
+{(1 + Coth[x])^3, x, 3, 4*x - 2*Coth[x] - (1/2)*(1 + Coth[x])^2 + 4*Log[Sinh[x]]}
+{(1 + Coth[x])^2, x, 2, 2*x - Coth[x] + 2*Log[Sinh[x]]}
+{1/(1 + Coth[x]), x, 2, x/2 - 1/(2*(1 + Coth[x]))}
+{1/(1 + Coth[x])^2, x, 3, x/4 - 1/(4*(1 + Coth[x])^2) - 1/(4*(1 + Coth[x]))}
+{1/(1 + Coth[x])^3, x, 4, x/8 - 1/(6*(1 + Coth[x])^3) - 1/(8*(1 + Coth[x])^2) - 1/(8*(1 + Coth[x]))}
+{1/(1 + Coth[x])^4, x, 5, x/16 - 1/(8*(1 + Coth[x])^4) - 1/(12*(1 + Coth[x])^3) - 1/(16*(1 + Coth[x])^2) - 1/(16*(1 + Coth[x]))}
+{1/(1 + Coth[x])^5, x, 6, x/32 - 1/(10*(1 + Coth[x])^5) - 1/(16*(1 + Coth[x])^4) - 1/(24*(1 + Coth[x])^3) - 1/(32*(1 + Coth[x])^2) - 1/(32*(1 + Coth[x]))}
+
+
+{(1 + Coth[x])^(7/2), x, 5, 8*Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 + Coth[x]]/Sqrt[2]] - 8*Sqrt[1 + Coth[x]] - (4/3)*(1 + Coth[x])^(3/2) - (2/5)*(1 + Coth[x])^(5/2)}
+{(1 + Coth[x])^(5/2), x, 4, 4*Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 + Coth[x]]/Sqrt[2]] - 4*Sqrt[1 + Coth[x]] - (2/3)*(1 + Coth[x])^(3/2)}
+{(1 + Coth[x])^(3/2), x, 3, 2*Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 + Coth[x]]/Sqrt[2]] - 2*Sqrt[1 + Coth[x]]}
+{(1 + Coth[x])^(1/2), x, 2, Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 + Coth[x]]/Sqrt[2]]}
+{1/(1 + Coth[x])^(1/2), x, 3, ArcTanh[Sqrt[1 + Coth[x]]/Sqrt[2]]/Sqrt[2] - 1/Sqrt[1 + Coth[x]]}
+{1/(1 + Coth[x])^(3/2), x, 4, ArcTanh[Sqrt[1 + Coth[x]]/Sqrt[2]]/(2*Sqrt[2]) - 1/(3*(1 + Coth[x])^(3/2)) - 1/(2*Sqrt[1 + Coth[x]])}
+{1/(1 + Coth[x])^(5/2), x, 5, ArcTanh[Sqrt[1 + Coth[x]]/Sqrt[2]]/(4*Sqrt[2]) - 1/(5*(1 + Coth[x])^(5/2)) - 1/(6*(1 + Coth[x])^(3/2)) - 1/(4*Sqrt[1 + Coth[x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2 /= 0*)
+
+
+{(a + b*Coth[c + d*x])^5, x, 5, a*(a^4 + 10*a^2*b^2 + 5*b^4)*x - (4*a*b^2*(a^2 + b^2)*Coth[c + d*x])/d - (b*(3*a^2 + b^2)*(a + b*Coth[c + d*x])^2)/(2*d) - (2*a*b*(a + b*Coth[c + d*x])^3)/(3*d) - (b*(a + b*Coth[c + d*x])^4)/(4*d) + (b*(5*a^4 + 10*a^2*b^2 + b^4)*Log[Sinh[c + d*x]])/d}
+{(a + b*Coth[c + d*x])^4, x, 4, (a^4 + 6*a^2*b^2 + b^4)*x - (b^2*(3*a^2 + b^2)*Coth[c + d*x])/d - (a*b*(a + b*Coth[c + d*x])^2)/d - (b*(a + b*Coth[c + d*x])^3)/(3*d) + (4*a*b*(a^2 + b^2)*Log[Sinh[c + d*x]])/d}
+{(a + b*Coth[c + d*x])^3, x, 3, a*(a^2 + 3*b^2)*x - (2*a*b^2*Coth[c + d*x])/d - (b*(a + b*Coth[c + d*x])^2)/(2*d) + (b*(3*a^2 + b^2)*Log[Sinh[c + d*x]])/d}
+{(a + b*Coth[c + d*x])^2, x, 2, (a^2 + b^2)*x - (b^2*Coth[c + d*x])/d + (2*a*b*Log[Sinh[c + d*x]])/d}
+{1/(a + b*Coth[c + d*x]),x, 2, (a*x)/(a^2 - b^2) - (b*Log[b*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x]])/((a^2 - b^2)*d)}
+{1/(a + b*Coth[c + d*x])^2,x, 3, ((a^2 + b^2)*x)/(a^2 - b^2)^2 + b/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Coth[c + d*x])) - (2*a*b*Log[b*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^2*d)}
+{1/(a + b*Coth[c + d*x])^3,x, 4, (a*(a^2 + 3*b^2)*x)/(a^2 - b^2)^3 + b/(2*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Coth[c + d*x])^2) + (2*a*b)/((a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Coth[c + d*x])) - (b*(3*a^2 + b^2)*Log[b*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^3*d)}
+{1/(a + b*Coth[c + d*x])^4,x, 5, ((a^4 + 6*a^2*b^2 + b^4)*x)/(a^2 - b^2)^4 + b/(3*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Coth[c + d*x])^3) + (a*b)/((a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Coth[c + d*x])^2) + (b*(3*a^2 + b^2))/((a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Coth[c + d*x])) - (4*a*b*(a^2 + b^2)*Log[b*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x]])/((a^2 - b^2)^4*d)}
+
+{1/(4 + 6*Coth[c + d*x]), x, 2, -(x/5) + (3*Log[3*Cosh[c + d*x] + 2*Sinh[c + d*x]])/(10*d)}
+{1/(4 - 6*Coth[c + d*x]), x, 2, -(x/5) - (3*Log[3*Cosh[c + d*x] - 2*Sinh[c + d*x]])/(10*d)}
+
+
+{Sqrt[a + b*Coth[c + d*x]], x, 5, -((Sqrt[a - b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/d) + (Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/d}
+{1/Sqrt[a + b*Coth[c + d*x]], x, 5, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[a - b]]/(Sqrt[a - b]*d)) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[c + d*x]]/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[a + b]*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Csch[c+d x]^m (a+b Coth[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2 = 0*)
+
+
+{Sinh[x]^4/(1 + Coth[x]), x, 4, (5*x)/16 + 1/(32*(1 - Coth[x])^2) + 1/(8*(1 - Coth[x])) - 1/(24*(1 + Coth[x])^3) - 3/(32*(1 + Coth[x])^2) - 3/(16*(1 + Coth[x]))}
+{Sinh[x]^3/(1 + Coth[x]), x, 3, -((4*Cosh[x])/5) + (4*Cosh[x]^3)/15 - Sinh[x]^3/(5*(1 + Coth[x]))}
+{Sinh[x]^2/(1 + Coth[x]), x, 4, -((3*x)/8) - 1/(8*(1 - Coth[x])) + 1/(8*(1 + Coth[x])^2) + 1/(4*(1 + Coth[x]))}
+{Sinh[x]^1/(1 + Coth[x]), x, 2, (2*Cosh[x])/3 - Sinh[x]/(3*(1 + Coth[x]))}
+{Csch[x]^1/(1 + Coth[x]), x, 1, -(Csch[x]/(1 + Coth[x]))}
+{Csch[x]^2/(1 + Coth[x]), x, 2, -Log[1 + Coth[x]]}
+{Csch[x]^3/(1 + Coth[x]), x, 2, ArcTanh[Cosh[x]] - Csch[x]}
+{Csch[x]^4/(1 + Coth[x]), x, 2, Coth[x] - Coth[x]^2/2}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2 /= 0*)
+
+
+{Sinh[x]^4/(a + b*Coth[x]), x, 5, -(((3*a^2 + 9*a*b + 8*b^2)*Log[1 - Coth[x]])/(16*(a + b)^3)) + ((3*a^2 - 9*a*b + 8*b^2)*Log[1 + Coth[x]])/(16*(a - b)^3) - (b^5*Log[a + b*Coth[x]])/(a^2 - b^2)^3 - ((4*b^3 - a*(7 - (3*a^2)/b^2)*b^2*Coth[x])*Sinh[x]^2)/(8*(a^2 - b^2)^2) - ((b - a*Coth[x])*Sinh[x]^4)/(4*(a^2 - b^2))}
+{Sinh[x]^3/(a + b*Coth[x]), x, 9, -((b^4*ArcTanh[((b + a*Coth[x])*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2)) + (a*b^2*Cosh[x])/(a^2 - b^2)^2 - (a*Cosh[x])/(a^2 - b^2) + (a*Cosh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)) - (b^3*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^2 - (b*Sinh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2))}
+{Sinh[x]^2/(a + b*Coth[x]), x, 4, ((a + 2*b)*Log[1 - Coth[x]])/(4*(a + b)^2) - ((a - 2*b)*Log[1 + Coth[x]])/(4*(a - b)^2) - (b^3*Log[a + b*Coth[x]])/(a^2 - b^2)^2 - ((b - a*Coth[x])*Sinh[x]^2)/(2*(a^2 - b^2))}
+{Sinh[x]^1/(a + b*Coth[x]), x, 5, -((b^2*ArcTanh[((b + a*Coth[x])*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(3/2)) + (a*Cosh[x])/(a^2 - b^2) - (b*Sinh[x])/(a^2 - b^2)}
+{Csch[x]^1/(a + b*Coth[x]), x, 2, -(ArcTanh[((b + a*Coth[x])*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]]/Sqrt[a^2 - b^2])}
+{Csch[x]^2/(a + b*Coth[x]), x, 2, -(Log[a + b*Coth[x]]/b)}
+{Csch[x]^3/(a + b*Coth[x]), x, 5, (a*ArcTanh[Cosh[x]])/b^2 - (Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTanh[((b + a*Coth[x])*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/b^2 - Csch[x]/b}
+{Csch[x]^4/(a + b*Coth[x]), x, 3, (a*Coth[x])/b^2 - Coth[x]^2/(2*b) - ((a^2 - b^2)*Log[a + b*Coth[x]])/b^3}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[c+d x]^m (a+b Coth[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2 = 0*)
+
+
+{Cosh[x]^4/(1 + Coth[x]), x, 5, x/16 + 1/(32*(1 - Coth[x])^2) - 1/(8*(1 - Coth[x])) - 1/(24*(1 + Coth[x])^3) + 5/(32*(1 + Coth[x])^2) - 3/(16*(1 + Coth[x]))}
+{Cosh[x]^3/(1 + Coth[x]), x, 9, Cosh[x]^5/5 - Sinh[x]^3/3 - Sinh[x]^5/5}
+{Cosh[x]^2/(1 + Coth[x]), x, 5, x/8 - 1/(8*(1 - Coth[x])) + 1/(8*(1 + Coth[x])^2) - 1/(4*(1 + Coth[x]))}
+{Cosh[x]^1/(1 + Coth[x]), x, 8, Cosh[x]^3/3 - Sinh[x]^3/3}
+{Sech[x]^1/(1 + Coth[x]), x, 8, ArcTan[Sinh[x]] + Cosh[x] - Sinh[x]}
+{Sech[x]^2/(1 + Coth[x]), x, 3, -Log[1 + Coth[x]] - Log[Tanh[x]] + Tanh[x]}
+{Sech[x]^3/(1 + Coth[x]), x, 8, (-(1/2))*ArcTan[Sinh[x]] - Sech[x] + (1/2)*Sech[x]*Tanh[x]}
+{Sech[x]^4/(1 + Coth[x]), x, 4, Tanh[x]^2/2 - Tanh[x]^3/3}
+
+
+{Sech[x]^2*Sqrt[1 + Coth[x]], x, 4, ArcTanh[Sqrt[1 + Coth[x]]] + Sqrt[1 + Coth[x]]*Tanh[x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2 /= 0*)
+
+
+{Cosh[x]^4/(a + b*Coth[x]), x, 5, -((a*(3*a + b)*Log[1 - Coth[x]])/(16*(a + b)^3)) + (a*(3*a - b)*Log[1 + Coth[x]])/(16*(a - b)^3) - (a^4*b*Log[a + b*Coth[x]])/(a^2 - b^2)^3 - ((4*b*(2*a^2 - b^2) - a*(5*a^2 - b^2)*Coth[x])*Sinh[x]^2)/(8*(a^2 - b^2)^2) - ((b - a*Coth[x])*Sinh[x]^4)/(4*(a^2 - b^2))}
+{Cosh[x]^3/(a + b*Coth[x]), x, 10, (a^3*b*ArcTanh[(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2) - (a^2*b*Cosh[x])/(a^2 - b^2)^2 - (b*Cosh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)) + (a*b^2*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^2 + (a*Sinh[x])/(a^2 - b^2) + (a*Sinh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2))}
+{Cosh[x]^2/(a + b*Coth[x]), x, 4, -((a*Log[1 - Coth[x]])/(4*(a + b)^2)) + (a*Log[1 + Coth[x]])/(4*(a - b)^2) - (a^2*b*Log[a + b*Coth[x]])/(a^2 - b^2)^2 - ((b - a*Coth[x])*Sinh[x]^2)/(2*(a^2 - b^2))}
+{Cosh[x]^1/(a + b*Coth[x]), x, 6, (a*b*ArcTanh[(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(3/2) - (b*Cosh[x])/(a^2 - b^2) + (a*Sinh[x])/(a^2 - b^2)}
+{Sech[x]^1/(a + b*Coth[x]), x, 6, ArcTan[Sinh[x]]/a + (b*ArcTanh[(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*Sqrt[a^2 - b^2])}
+{Sech[x]^2/(a + b*Coth[x]), x, 3, -((b*Log[a + b*Coth[x]])/a^2) - (b*Log[Tanh[x]])/a^2 + Tanh[x]/a}
+{Sech[x]^3/(a + b*Coth[x]), x, 9, ArcTan[Sinh[x]]/(2*a) - (b^2*ArcTan[Sinh[x]])/a^3 + (b*Sqrt[a^2 - b^2]*ArcTanh[(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/a^3 - (b*Sech[x])/a^2 + (Sech[x]*Tanh[x])/(2*a)}
+{Sech[x]^4/(a + b*Coth[x]), x, 3, -((b*(a^2 - b^2)*Log[a + b*Coth[x]])/a^4) - (b*(a^2 - b^2)*Log[Tanh[x]])/a^4 + ((a^2 - b^2)*Tanh[x])/a^3 + (b*Tanh[x]^2)/(2*a^2) - Tanh[x]^3/(3*a)}
+
+
+(* Following hangs Mathematica: *) 
+{Sech[x]/(I + 2*Coth[x]), x, 6, (-I)*ArcTan[Sinh[x]] - (2*ArcTanh[(Cosh[x] - 2*I*Sinh[x])/Sqrt[5]])/Sqrt[5]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[c+d x]^m (a+b Coth[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2 = 0*)
+
+
+{Tanh[x]^4/(1 + Coth[x]), x, 6, (5*x)/2 - 2*Log[Cosh[x]] - (5*Tanh[x])/2 + Tanh[x]^2 - (5*Tanh[x]^3)/6 + Tanh[x]^3/(2*(1 + Coth[x]))}
+{Tanh[x]^3/(1 + Coth[x]), x, 5, -((3*x)/2) + 2*Log[Cosh[x]] + (3*Tanh[x])/2 - Tanh[x]^2 + Tanh[x]^2/(2*(1 + Coth[x]))}
+{Tanh[x]^2/(1 + Coth[x]), x, 4, (3*x)/2 - Log[Cosh[x]] - (3*Tanh[x])/2 + Tanh[x]/(2*(1 + Coth[x]))}
+{Tanh[x]^1/(1 + Coth[x]), x, 4, -(x/2) + 1/(2*(1 + Coth[x])) + Log[Cosh[x]]}
+{Tanh[x]^0/(1 + Coth[x]), x, 2, x/2 - 1/(2*(1 + Coth[x]))}
+{Coth[x]^1/(1 + Coth[x]), x, 2, x/2 + 1/(2*(1 + Coth[x]))}
+{Coth[x]^2/(1 + Coth[x]), x, 3, -(x/2) - 1/(2*(1 + Coth[x])) + Log[Sinh[x]]}
+{Coth[x]^3/(1 + Coth[x]), x, 3, (3*x)/2 - (3*Coth[x])/2 + Coth[x]^2/(2*(1 + Coth[x])) - Log[Sinh[x]]}
+{Coth[x]^4/(1 + Coth[x]), x, 4, -((3*x)/2) + (3*Coth[x])/2 - Coth[x]^2 + Coth[x]^3/(2*(1 + Coth[x])) + 2*Log[Sinh[x]]}
+
+
+{Coth[x]*(1 + Coth[x])^(3/2), x, 4, 2*Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 + Coth[x]]/Sqrt[2]] - 2*Sqrt[1 + Coth[x]] - (2/3)*(1 + Coth[x])^(3/2)}
+{Coth[x]*Sqrt[1 + Coth[x]], x, 3, Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 + Coth[x]]/Sqrt[2]] - 2*Sqrt[1 + Coth[x]]}
+{Coth[x]/Sqrt[1 + Coth[x]], x, 3, ArcTanh[Sqrt[1 + Coth[x]]/Sqrt[2]]/Sqrt[2] + 1/Sqrt[1 + Coth[x]]}
+{Coth[x]/(1 + Coth[x])^(3/2), x, 4, ArcTanh[Sqrt[1 + Coth[x]]/Sqrt[2]]/(2*Sqrt[2]) + 1/(3*(1 + Coth[x])^(3/2)) - 1/(2*Sqrt[1 + Coth[x]])}
+
+
+{Coth[x]^2*(1 + Coth[x])^(3/2), x, 4, 2*Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 + Coth[x]]/Sqrt[2]] - 2*Sqrt[1 + Coth[x]] - (2/5)*(1 + Coth[x])^(5/2)}
+{Coth[x]^2*Sqrt[1 + Coth[x]], x, 3, Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 + Coth[x]]/Sqrt[2]] - (2/3)*(1 + Coth[x])^(3/2)}
+{Coth[x]^2/Sqrt[1 + Coth[x]], x, 4, ArcTanh[Sqrt[1 + Coth[x]]/Sqrt[2]]/Sqrt[2] - 1/Sqrt[1 + Coth[x]] - 2*Sqrt[1 + Coth[x]]}
+{Coth[x]^2/(1 + Coth[x])^(3/2), x, 4, ArcTanh[Sqrt[1 + Coth[x]]/Sqrt[2]]/(2*Sqrt[2]) - 1/(3*(1 + Coth[x])^(3/2)) + 3/(2*Sqrt[1 + Coth[x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2 /= 0*)
+
+
+{Tanh[x]^4/(a + b*Coth[x]), x, 6, (a*x)/(a^2 - b^2) - (b*(a^2 + b^2)*Log[Cosh[x]])/a^4 - (b^5*Log[b*Cosh[x] + a*Sinh[x]])/(a^4*(a^2 - b^2)) - ((a^2 + b^2)*Tanh[x])/a^3 + (b*Tanh[x]^2)/(2*a^2) - Tanh[x]^3/(3*a)}
+{Tanh[x]^3/(a + b*Coth[x]), x, 5, -((b*x)/(a^2 - b^2)) + ((a^2 + b^2)*Log[Cosh[x]])/a^3 + (b^4*Log[b*Cosh[x] + a*Sinh[x]])/(a^3*(a^2 - b^2)) + (b*Tanh[x])/a^2 - Tanh[x]^2/(2*a)}
+{Tanh[x]^2/(a + b*Coth[x]), x, 4, (a*x)/(a^2 - b^2) - (b*Log[Cosh[x]])/a^2 - (b^3*Log[b*Cosh[x] + a*Sinh[x]])/(a^2*(a^2 - b^2)) - Tanh[x]/a}
+{Tanh[x]^1/(a + b*Coth[x]), x, 3, -((b*x)/(a^2 - b^2)) + Log[Cosh[x]]/a + (b^2*Log[b*Cosh[x] + a*Sinh[x]])/(a*(a^2 - b^2))}
+{Tanh[x]^0/(a + b*Coth[x]), x, 2, (a*x)/(a^2 - b^2) - (b*Log[b*Cosh[x] + a*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)}
+{Coth[x]^1/(a + b*Coth[x]), x, 2, -((b*x)/(a^2 - b^2)) + (a*Log[b*Cosh[x] + a*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)}
+{Coth[x]^2/(a + b*Coth[x]), x, 4, -((a*x)/b^2) + (a^3*x)/(b^2*(a^2 - b^2)) + Log[Sinh[x]]/b - (a^2*Log[b*Cosh[x] + a*Sinh[x]])/(b*(a^2 - b^2))}
+{Coth[x]^3/(a + b*Coth[x]), x, 5, -((b*x)/(a^2 - b^2)) - Coth[x]/b + (a^3*Log[a + b*Coth[x]])/(b^2*(a^2 - b^2)) + (a*Log[Sinh[x]])/(a^2 - b^2)}
+{Coth[x]^4/(a + b*Coth[x]), x, 6, (a*x)/(a^2 - b^2) + (a*Coth[x])/b^2 - Coth[x]^2/(2*b) - (a^4*Log[a + b*Coth[x]])/(b^3*(a^2 - b^2)) - (b*Log[Sinh[x]])/(a^2 - b^2)}
+{Coth[x]^5/(a + b*Coth[x]), x, 7, -((b*x)/(a^2 - b^2)) - ((a^2 + b^2)*Coth[x])/b^3 + (a*Coth[x]^2)/(2*b^2) - Coth[x]^3/(3*b) + (a^5*Log[a + b*Coth[x]])/(b^4*(a^2 - b^2)) + (a*Log[Sinh[x]])/(a^2 - b^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Csch[c+d x]^2 (a+b Coth[c+d x]^n)^p*)
+
+
+{x*Csch[x]^2/(a + b*Coth[x])^2, x, 3, -((a*x)/(b*(a^2 - b^2))) + x/(b*(a + b*Coth[x])) + Log[b*Cosh[x] + a*Sinh[x]]/(a^2 - b^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Coth[a+b Log[c x^n]]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Coth[a+2 Log[x]]^p*)
+
+
+{x^3*Coth[a + 2*Log[x]], x, 4, x^4/4 + Log[1 - E^(2*a)*x^4]/(2*E^(2*a))}
+{x^2*Coth[a + 2*Log[x]], x, 5, x^3/3 + ArcTan[E^(a/2)*x]/E^((3*a)/2) - ArcTanh[E^(a/2)*x]/E^((3*a)/2)}
+{x^1*Coth[a + 2*Log[x]], x, 4, x^2/2 - ArcTanh[E^a*x^2]/E^a}
+{x^0*Coth[a + 2*Log[x]], x, 5, x - ArcTan[E^(a/2)*x]/E^(a/2) - ArcTanh[E^(a/2)*x]/E^(a/2)}
+{Coth[a + 2*Log[x]]/x^1, x, 2, Log[Sinh[a + 2*Log[x]]]/2}
+{Coth[a + 2*Log[x]]/x^2, x, 5, x^(-1) + E^(a/2)*ArcTan[E^(a/2)*x] - E^(a/2)*ArcTanh[E^(a/2)*x]}
+{Coth[a + 2*Log[x]]/x^3, x, 4, 1/(2*x^2) - E^a*ArcTanh[E^a*x^2]}
+
+
+{x^3*Coth[a + 2*Log[x]]^2, x, 4, x^4/4 + 1/(E^(2*a)*(1 - E^(2*a)*x^4)) + Log[1 - E^(2*a)*x^4]/E^(2*a)}
+{x^2*Coth[a + 2*Log[x]]^2, x, 6, x^3/3 + x^3/(1 - E^(2*a)*x^4) + (3*ArcTan[E^(a/2)*x])/(2*E^((3*a)/2)) - (3*ArcTanh[E^(a/2)*x])/(2*E^((3*a)/2))}
+{x^1*Coth[a + 2*Log[x]]^2, x, 5, x^2/2 + x^2/(1 - E^(2*a)*x^4) - ArcTanh[E^a*x^2]/E^a}
+{x^0*Coth[a + 2*Log[x]]^2, x, 7, x + x/(1 - E^(2*a)*x^4) - ArcTan[E^(a/2)*x]/(2*E^(a/2)) - ArcTanh[E^(a/2)*x]/(2*E^(a/2))}
+{Coth[a + 2*Log[x]]^2/x^1, x, 3, -Coth[a + 2*Log[x]]/2 + Log[x]}
+{Coth[a + 2*Log[x]]^2/x^2, x, 6, -(1/(x*(1 - E^(2*a)*x^4))) + (2*E^(2*a)*x^3)/(1 - E^(2*a)*x^4) - (1/2)*E^(a/2)*ArcTan[E^(a/2)*x] + (1/2)*E^(a/2)*ArcTanh[E^(a/2)*x]}
+{Coth[a + 2*Log[x]]^2/x^3, x, 5, -(1/(2*x^2*(1 - E^(2*a)*x^4))) + (3*E^(2*a)*x^2)/(2*(1 - E^(2*a)*x^4)) + E^a*ArcTanh[E^a*x^2]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Coth[a+b Log[x]]^p with m symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*Coth[a + 2*Log[x]]^1, x, 3, (e*x)^(1 + m)/(e*(1 + m)) - (2*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/4, (5 + m)/4, E^(2*a)*x^4])/(e*(1 + m))}
+{(e*x)^m*Coth[a + 2*Log[x]]^2, x, 4, (e*x)^(1 + m)/(e*(1 + m)) + (e*x)^(1 + m)/(e*(1 - E^(2*a)*x^4)) - ((e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/4, (5 + m)/4, E^(2*a)*x^4])/e}
+{(e*x)^m*Coth[a + 2*Log[x]]^3, x, 5, ((3 + m)*(5 + m)*(e*x)^(1 + m))/(8*e*(1 + m)) - ((e*x)^(1 + m)*(1 + E^(2*a)*x^4)^2)/(4*e*(1 - E^(2*a)*x^4)^2) - ((e*x)^(1 + m)*(E^(2*a)*(3 - m) - E^(4*a)*(5 + m)*x^4))/(E^(2*a)*(8*e*(1 - E^(2*a)*x^4))) - ((9 + 2*m + m^2)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/4, (5 + m)/4, E^(2*a)*x^4])/(4*e*(1 + m))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Coth[a+b Log[x]]^p with p symbolic*)
+(**)
+
+
+{Coth[a + b*Log[x]]^p, x, 3, (x*(-1 - E^(2*a)*x^(2*b))^p*AppellF1[1/(2*b), p, -p, (1/2)*(2 + 1/b), E^(2*a)*x^(2*b), (-E^(2*a))*x^(2*b)])/(1 + E^(2*a)*x^(2*b))^p}
+{(e*x)^m*Coth[a + b*Log[x]]^p, x, 3, ((e*x)^(1 + m)*(-1 - E^(2*a)*x^(2*b))^p*AppellF1[(1 + m)/(2*b), p, -p, 1 + (1 + m)/(2*b), E^(2*a)*x^(2*b), (-E^(2*a))*x^(2*b)])/((1 + E^(2*a)*x^(2*b))^p*(e*(1 + m)))}
+
+
+{Coth[a + 1/2*Log[x]]^p, x, 2, -(((-1 - E^(2*a)*x)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[p, 1 + p, 2 + p, (1/2)*(1 + E^(2*a)*x)])/(2^p*E^(2*a)*(1 + p)))}
+{Coth[a + 1/4*Log[x]]^p, x, 4, ((-1 - E^(2*a)*Sqrt[x])^(1 + p)*(1 - E^(2*a)*Sqrt[x])^(1 - p))/E^(4*a) - (2^(1 - p)*p*(-1 - E^(2*a)*Sqrt[x])^(1 + p)*Hypergeometric2F1[p, 1 + p, 2 + p, (1/2)*(1 + E^(2*a)*Sqrt[x])])/(E^(4*a)*(1 + p))}
+{Coth[a + 1/6*Log[x]]^p, x, 5, (p*(-1 - E^(2*a)*x^(1/3))^(1 + p)*(1 - E^(2*a)*x^(1/3))^(1 - p))/E^(6*a) + ((-1 - E^(2*a)*x^(1/3))^(1 + p)*(1 - E^(2*a)*x^(1/3))^(1 - p)*x^(1/3))/E^(4*a) - ((1 + 2*p^2)*(-1 - E^(2*a)*x^(1/3))^(1 + p)*Hypergeometric2F1[p, 1 + p, 2 + p, (1/2)*(1 + E^(2*a)*x^(1/3))])/(2^p*E^(6*a)*(1 + p))}
+{Coth[a + 1/8*Log[x]]^p, x, 5, ((1/3)*(-1 - E^(2*a)*x^(1/4))^(1 + p)*(1 - E^(2*a)*x^(1/4))^(1 - p)*(E^(4*a)*(3 + 2*p^2) + 2*E^(6*a)*p*x^(1/4)))/E^(12*a) + ((-1 - E^(2*a)*x^(1/4))^(1 + p)*(1 - E^(2*a)*x^(1/4))^(1 - p)*Sqrt[x])/E^(4*a) - (2^(2 - p)*p*(2 + p^2)*(-1 - E^(2*a)*x^(1/4))^(1 + p)*Hypergeometric2F1[p, 1 + p, 2 + p, (1/2)*(1 + E^(2*a)*x^(1/4))])/(E^(8*a)*(3*(1 + p)))}
+
+
+{Coth[a + 1*Log[x]]^p, x, 3, (x*(-1 - E^(2*a)*x^2)^p*AppellF1[1/2, p, -p, 3/2, E^(2*a)*x^2, (-E^(2*a))*x^2])/(1 + E^(2*a)*x^2)^p}
+{Coth[a + 2*Log[x]]^p, x, 3, (x*(-1 - E^(2*a)*x^4)^p*AppellF1[1/4, p, -p, 5/4, E^(2*a)*x^4, (-E^(2*a))*x^4])/(1 + E^(2*a)*x^4)^p}
+{Coth[a + 3*Log[x]]^p, x, 3, (x*(-1 - E^(2*a)*x^6)^p*AppellF1[1/6, p, -p, 7/6, E^(2*a)*x^6, (-E^(2*a))*x^6])/(1 + E^(2*a)*x^6)^p}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Coth[a+b Log[c x^n]]^p*)
+
+
+{x^3*Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, x^4/4 - (x^4*Hypergeometric2F1[1, 2/(b*d*n), 1 + 2/(b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)])/2}
+{x^2*Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, x^3/3 - (2*x^3*Hypergeometric2F1[1, 3/(2*b*d*n), 1 + 3/(2*b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)])/3}
+{x^1*Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, x^2/2 - x^2*Hypergeometric2F1[1, 1/(b*d*n), 1 + 1/(b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)]}
+{x^0*Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, x - 2*x*Hypergeometric2F1[1, 1/(2*b*d*n), 1 + 1/(2*b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)]}
+{Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^1, x, 2, Log[Sinh[a*d + b*d*Log[c*x^n]]]/(b*d*n)}
+{Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^2, x, 4, -(1/x) + (2*Hypergeometric2F1[1, -(1/(2*b*d*n)), 1 - 1/(2*b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)])/x}
+{Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^3, x, 4, -1/(2*x^2) + Hypergeometric2F1[1, -(1/(b*d*n)), 1 - 1/(b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)]/x^2}
+
+
+{x^3*Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, (1/4)*(1 + 4/(b*d*n))*x^4 + (x^4*(1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)))/(b*d*n*(1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))) - (2*x^4*Hypergeometric2F1[1, 2/(b*d*n), 1 + 2/(b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)])/(b*d*n)}
+{x^2*Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, (1/3)*(1 + 3/(b*d*n))*x^3 + (x^3*(1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)))/(b*d*n*(1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))) - (2*x^3*Hypergeometric2F1[1, 3/(2*b*d*n), 1 + 3/(2*b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)])/(b*d*n)}
+{x^1*Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, (1/2)*(1 + 2/(b*d*n))*x^2 + (x^2*(1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)))/(b*d*n*(1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))) - (2*x^2*Hypergeometric2F1[1, 1/(b*d*n), 1 + 1/(b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)])/(b*d*n)}
+{x^0*Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, (1 + 1/(b*d*n))*x + (x*(1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)))/(b*d*n*(1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))) - (2*x*Hypergeometric2F1[1, 1/(2*b*d*n), 1 + 1/(2*b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)])/(b*d*n)}
+{Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2/x^1, x, 3, -(Coth[a*d + b*d*Log[c*x^n]]/(b*d*n)) + Log[x]}
+{Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2/x^2, x, 5, -((1 - 1/(b*d*n))/x) + (1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))/(b*d*n*x*(1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))) - (2*Hypergeometric2F1[1, -(1/(2*b*d*n)), 1 - 1/(2*b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)])/(b*d*n*x)}
+{Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2/x^3, x, 5, (2 - b*d*n)/(2*b*d*n*x^2) + (1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))/(b*d*n*x^2*(1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))) - (2*Hypergeometric2F1[1, -(1/(b*d*n)), 1 - 1/(b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)])/(b*d*n*x^2)}
+
+
+{Coth[a + b*Log[c*x^n]]^3/x, x, 3, -(Coth[a + b*Log[c*x^n]]^2/(2*b*n)) + Log[Sinh[a + b*Log[c*x^n]]]/(b*n)}
+{Coth[a + b*Log[c*x^n]]^4/x, x, 4, -(Coth[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n)) - Coth[a + b*Log[c*x^n]]^3/(3*b*n) + Log[x]}
+{Coth[a + b*Log[c*x^n]]^5/x, x, 4, -(Coth[a + b*Log[c*x^n]]^2/(2*b*n)) - Coth[a + b*Log[c*x^n]]^4/(4*b*n) + Log[Sinh[a + b*Log[c*x^n]]]/(b*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Coth[a+b Log[c x^n]]^p with m symbolic*)
+
+
+{(e*x)^m*Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])]^1, x, 4, (e*x)^(1 + m)/(e*(1 + m)) - (2*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/(2*b*d*n), 1 + (1 + m)/(2*b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)])/(e*(1 + m))}
+{(e*x)^m*Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])]^2, x, 5, ((1 + m + b*d*n)*(e*x)^(1 + m))/(b*d*e*(1 + m)*n) + ((e*x)^(1 + m)*(1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)))/(b*d*e*n*(1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))) - (2*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/(2*b*d*n), 1 + (1 + m)/(2*b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)])/(b*d*e*n)}
+{(e*x)^m*Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])]^3, x, 6, ((1 + m + b*d*n)*(1 + m + 2*b*d*n)*(e*x)^(1 + m))/(2*b^2*d^2*e*(1 + m)*n^2) - ((e*x)^(1 + m)*(1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))^2)/(2*b*d*e*n*(1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))^2) + ((e*x)^(1 + m)*((E^(2*a*d)*(1 + m - 2*b*d*n))/n + (E^(4*a*d)*(1 + m + 2*b*d*n)*(c*x^n)^(2*b*d))/n))/(E^(2*a*d)*(2*b^2*d^2*e*n*(1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)))) - ((1 + 2*m + m^2 + 2*b^2*d^2*n^2)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/(2*b*d*n), 1 + (1 + m)/(2*b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d)])/(b^2*d^2*e*(1 + m)*n^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Coth[a+b Log[c x^n]]^p with p symbolic*)
+
+
+{Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p, x, 4, (x*(-1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))^p*AppellF1[1/(2*b*d*n), p, -p, 1 + 1/(2*b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d), (-E^(2*a*d))*(c*x^n)^(2*b*d)])/(1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))^p}
+{(e*x)^m*Coth[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p, x, 4, ((e*x)^(1 + m)*(-1 - E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))^p*AppellF1[(1 + m)/(2*b*d*n), p, -p, 1 + (1 + m)/(2*b*d*n), E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d), (-E^(2*a*d))*(c*x^n)^(2*b*d)])/((1 + E^(2*a*d)*(c*x^n)^(2*b*d))^p*(e*(1 + m)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Coth[a+b Log[c x^n]]^(p/2)*)
+
+
+{Coth[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)/x, x, 7, -(ArcTan[Sqrt[Coth[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n)) + ArcTanh[Sqrt[Coth[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n) - (2*Coth[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))/(3*b*n)}
+{Coth[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)/x, x, 7, ArcTan[Sqrt[Coth[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n) + ArcTanh[Sqrt[Coth[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n) - (2*Sqrt[Coth[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n)}
+{Sqrt[Coth[a + b*Log[c*x^n]]]/x, x, 6, -(ArcTan[Sqrt[Coth[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n)) + ArcTanh[Sqrt[Coth[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n)}
+{1/(x*Sqrt[Coth[a + b*Log[c*x^n]]]), x, 6, ArcTan[Sqrt[Coth[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n) + ArcTanh[Sqrt[Coth[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n)}
+{1/(x*Coth[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)), x, 7, -(ArcTan[Sqrt[Coth[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n)) + ArcTanh[Sqrt[Coth[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n) - 2/(b*n*Sqrt[Coth[a + b*Log[c*x^n]]])}
+{1/(x*Coth[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)), x, 7, ArcTan[Sqrt[Coth[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n) + ArcTanh[Sqrt[Coth[a + b*Log[c*x^n]]]]/(b*n) - 2/(3*b*n*Coth[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[d+e x]^m (a+b Coth[d+e x]^2+c Coth[d+e x]^4)^n*)
+
+
+{Coth[x]^5/Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4], x, 8, ((b - 2*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])])/(4*c^(3/2)) + ArcTanh[(2*a + b + (b + 2*c)*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b + c]) - Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4]/(2*c)}
+{Coth[x]^3/Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4], x, 7, -(ArcTanh[(b + 2*c*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[c])) + ArcTanh[(2*a + b + (b + 2*c)*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b + c])}
+{Coth[x]/Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4], x, 4, ArcTanh[(2*a + b + (b + 2*c)*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b + c])}
+{Tanh[x]/Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4], x, 8, -(ArcTanh[(2*a + b*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[a])) + ArcTanh[(2*a + b + (b + 2*c)*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b + c])}
+{Tanh[x]^3/Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4], x, 11, -(ArcTanh[(2*a + b*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[a])) + (b*ArcTanh[(2*a + b*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])])/(4*a^(3/2)) + ArcTanh[(2*a + b + (b + 2*c)*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b + c]) - (Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4]*Tanh[x]^2)/(2*a)}
+
+
+(* {Coth[x]^5*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4], x, 0, 0} *)
+(* {Coth[x]^3*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4], x, 0, 0} *)
+{Coth[x]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4], x, 8, -(((b + 2*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])])/(4*Sqrt[c])) + (1/2)*Sqrt[a + b + c]*ArcTanh[(2*a + b + (b + 2*c)*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])] - (1/2)*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4]}
+(* {Tanh[x]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4], x, 0, 0} *)
+(* {Tanh[x]^3*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4], x, 0, 0} *)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(a+b x) Coth[c+d x]^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(c (a+b x)) (Coth[a c+b c x]^2)^(m/2)*)
+
+
+{E^(c*(a + b*x))*(Coth[a*c + b*c*x]^2)^(5/2), x, 9, (E^(c*(a + b*x))*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]*Tanh[a*c + b*c*x])/(b*c) - (4*E^(c*(a + b*x))*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]*Tanh[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^4) + (26*E^(c*(a + b*x))*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]*Tanh[a*c + b*c*x])/(3*b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^3) - (55*E^(c*(a + b*x))*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]*Tanh[a*c + b*c*x])/(6*b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^2) + (25*E^(c*(a + b*x))*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]*Tanh[a*c + b*c*x])/(4*b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))) - (15*ArcTanh[E^(c*(a + b*x))]*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]*Tanh[a*c + b*c*x])/(4*b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*(Coth[a*c + b*c*x]^2)^(3/2), x, 8, (E^(c*(a + b*x))*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]*Tanh[a*c + b*c*x])/(b*c) - (2*E^(c*(a + b*x))*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]*Tanh[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^2) + (3*E^(c*(a + b*x))*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]*Tanh[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))) - (3*ArcTanh[E^(c*(a + b*x))]*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]*Tanh[a*c + b*c*x])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2], x, 4, (E^(c*(a + b*x))*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]*Tanh[a*c + b*c*x])/(b*c) - (2*ArcTanh[E^(c*(a + b*x))]*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]*Tanh[a*c + b*c*x])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))/Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2], x, 4, (E^(c*(a + b*x))*Coth[a*c + b*c*x])/(b*c*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]) - (2*ArcTan[E^(c*(a + b*x))]*Coth[a*c + b*c*x])/(b*c*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2])}
+{E^(c*(a + b*x))/(Coth[a*c + b*c*x]^2)^(3/2), x, 8, (E^(c*(a + b*x))*Coth[a*c + b*c*x])/(b*c*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]) - (2*E^(c*(a + b*x))*Coth[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^2*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]) + (3*E^(c*(a + b*x))*Coth[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]) - (3*ArcTan[E^(c*(a + b*x))]*Coth[a*c + b*c*x])/(b*c*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2])}
+{E^(c*(a + b*x))/(Coth[a*c + b*c*x]^2)^(5/2), x, 9, (E^(c*(a + b*x))*Coth[a*c + b*c*x])/(b*c*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]) - (4*E^(c*(a + b*x))*Coth[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^4*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]) + (26*E^(c*(a + b*x))*Coth[a*c + b*c*x])/(3*b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^3*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]) - (55*E^(c*(a + b*x))*Coth[a*c + b*c*x])/(6*b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^2*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]) + (25*E^(c*(a + b*x))*Coth[a*c + b*c*x])/(4*b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2]) - (15*ArcTan[E^(c*(a + b*x))]*Coth[a*c + b*c*x])/(4*b*c*Sqrt[Coth[a*c + b*c*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands that are function of Coth[c+d x]*)
+
+
+{Sin[Coth[a + b*x]]^3, x, 19, -((3*CosIntegral[1 - Coth[a + b*x]]*Sin[1])/(8*b)) - (3*CosIntegral[1 + Coth[a + b*x]]*Sin[1])/(8*b) + (CosIntegral[3 - 3*Coth[a + b*x]]*Sin[3])/(8*b) + (CosIntegral[3 + 3*Coth[a + b*x]]*Sin[3])/(8*b) - (Cos[3]*SinIntegral[3 - 3*Coth[a + b*x]])/(8*b) + (3*Cos[1]*SinIntegral[1 - Coth[a + b*x]])/(8*b) + (3*Cos[1]*SinIntegral[1 + Coth[a + b*x]])/(8*b) - (Cos[3]*SinIntegral[3 + 3*Coth[a + b*x]])/(8*b)}
+{Sin[Coth[a + b*x]]^2, x, 13, (Cos[2]*CosIntegral[2 - 2*Coth[a + b*x]])/(4*b) - (Cos[2]*CosIntegral[2 + 2*Coth[a + b*x]])/(4*b) - Log[1 - Coth[a + b*x]]/(4*b) + Log[1 + Coth[a + b*x]]/(4*b) + (Sin[2]*SinIntegral[2 - 2*Coth[a + b*x]])/(4*b) - (Sin[2]*SinIntegral[2 + 2*Coth[a + b*x]])/(4*b)}
+{Sin[Coth[a + b*x]]^1, x, 9, -((CosIntegral[1 - Coth[a + b*x]]*Sin[1])/(2*b)) - (CosIntegral[1 + Coth[a + b*x]]*Sin[1])/(2*b) + (Cos[1]*SinIntegral[1 - Coth[a + b*x]])/(2*b) + (Cos[1]*SinIntegral[1 + Coth[a + b*x]])/(2*b)}
+{Csc[Coth[a + b*x]]^1, x, 3, (1/2)*Unintegrable[(Csc[Coth[a + b*x]]*Csch[a + b*x]^2)/(-1 + Coth[a + b*x]), x] - (1/2)*Unintegrable[(Csc[Coth[a + b*x]]*Csch[a + b*x]^2)/(1 + Coth[a + b*x]), x]}
+
+
+{Cos[Coth[a + b*x]]^3, x, 19, -((Cos[3]*CosIntegral[3 - 3*Coth[a + b*x]])/(8*b)) - (3*Cos[1]*CosIntegral[1 - Coth[a + b*x]])/(8*b) + (3*Cos[1]*CosIntegral[1 + Coth[a + b*x]])/(8*b) + (Cos[3]*CosIntegral[3 + 3*Coth[a + b*x]])/(8*b) - (Sin[3]*SinIntegral[3 - 3*Coth[a + b*x]])/(8*b) - (3*Sin[1]*SinIntegral[1 - Coth[a + b*x]])/(8*b) + (3*Sin[1]*SinIntegral[1 + Coth[a + b*x]])/(8*b) + (Sin[3]*SinIntegral[3 + 3*Coth[a + b*x]])/(8*b)}
+{Cos[Coth[a + b*x]]^2, x, 13, -((Cos[2]*CosIntegral[2 - 2*Coth[a + b*x]])/(4*b)) + (Cos[2]*CosIntegral[2 + 2*Coth[a + b*x]])/(4*b) - Log[1 - Coth[a + b*x]]/(4*b) + Log[1 + Coth[a + b*x]]/(4*b) - (Sin[2]*SinIntegral[2 - 2*Coth[a + b*x]])/(4*b) + (Sin[2]*SinIntegral[2 + 2*Coth[a + b*x]])/(4*b)}
+{Cos[Coth[a + b*x]]^1, x, 9, -((Cos[1]*CosIntegral[1 - Coth[a + b*x]])/(2*b)) + (Cos[1]*CosIntegral[1 + Coth[a + b*x]])/(2*b) - (Sin[1]*SinIntegral[1 - Coth[a + b*x]])/(2*b) + (Sin[1]*SinIntegral[1 + Coth[a + b*x]])/(2*b)}
+{Sec[Coth[a + b*x]]^1, x, 3, (1/2)*Unintegrable[(Csch[a + b*x]^2*Sec[Coth[a + b*x]])/(-1 + Coth[a + b*x]), x] - (1/2)*Unintegrable[(Csch[a + b*x]^2*Sec[Coth[a + b*x]])/(1 + Coth[a + b*x]), x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.4 Hyperbolic cotangent/6.4.7 (d hyper)^m (a+b (c coth)^n)^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.4 Hyperbolic cotangent/6.4.7 (d hyper)^m (a+b (c coth)^n)^p.m
new file mode 100644
index 00000000..364a826c
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.4 Hyperbolic cotangent/6.4.7 (d hyper)^m (a+b (c coth)^n)^p.m	
@@ -0,0 +1,148 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[e+f x]^m (a+b Coth[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[e+f x]^m (a+b Coth[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form Coth[e+f x]^m (a+b Coth[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Coth[e+f x]^m (a+b Coth[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Coth[e+f x]^m (a+b Coth[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(a + b*Coth[c + d*x]^2)^5, x, 4, (a + b)^5*x - (b*(5*a^4 + 10*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 5*a*b^3 + b^4)*Coth[c + d*x])/d - (b^2*(10*a^3 + 10*a^2*b + 5*a*b^2 + b^3)*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^3*(10*a^2 + 5*a*b + b^2)*Coth[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^4*(5*a + b)*Coth[c + d*x]^7)/(7*d) - (b^5*Coth[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{(a + b*Coth[c + d*x]^2)^4, x, 4, (a + b)^4*x - (b*(2*a + b)*(2*a^2 + 2*a*b + b^2)*Coth[c + d*x])/d - (b^2*(6*a^2 + 4*a*b + b^2)*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^3*(4*a + b)*Coth[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^4*Coth[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{(a + b*Coth[c + d*x]^2)^3, x, 4, (a + b)^3*x - (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Coth[c + d*x])/d - (b^2*(3*a + b)*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^3*Coth[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{(a + b*Coth[c + d*x]^2)^2, x, 4, (a + b)^2*x - (b*(2*a + b)*Coth[c + d*x])/d - (b^2*Coth[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/(a + b*Coth[c + d*x]^2),x, 3, x/(a + b) - (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(Sqrt[a]*(a + b)*d)}
+{1/(a + b*Coth[c + d*x]^2)^2,x, 5, x/(a + b)^2 - (Sqrt[b]*(3*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^2*d) + (b*Coth[c + d*x])/(2*a*(a + b)*d*(a + b*Coth[c + d*x]^2))}
+{1/(a + b*Coth[c + d*x]^2)^3,x, 6, x/(a + b)^3 - (Sqrt[b]*(15*a^2 + 10*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(8*a^(5/2)*(a + b)^3*d) + (b*Coth[c + d*x])/(4*a*(a + b)*d*(a + b*Coth[c + d*x]^2)^2) + (b*(7*a + 3*b)*Coth[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)^2*d*(a + b*Coth[c + d*x]^2))}
+{1/(a + b*Coth[c + d*x]^2)^4,x, 7, x/(a + b)^4 - (Sqrt[b]*(35*a^3 + 35*a^2*b + 21*a*b^2 + 5*b^3)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(16*a^(7/2)*(a + b)^4*d) + (b*Coth[c + d*x])/(6*a*(a + b)*d*(a + b*Coth[c + d*x]^2)^3) + (b*(11*a + 5*b)*Coth[c + d*x])/(24*a^2*(a + b)^2*d*(a + b*Coth[c + d*x]^2)^2) + (b*(19*a^2 + 16*a*b + 5*b^2)*Coth[c + d*x])/(16*a^3*(a + b)^3*d*(a + b*Coth[c + d*x]^2))}
+
+{1/(1 - 2*Coth[x]^2), x, 3, -x + Sqrt[2]*ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[2]]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Coth[e+f x]^m (a+b Coth[e+f x]^2)^(p/2) when a+b=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[1 - Coth[x]^2], x, 3, ArcSin[Coth[x]]}
+{Sqrt[-1 + Coth[x]^2], x, 4, -ArcTanh[Coth[x]/Sqrt[Csch[x]^2]]}
+
+
+{(1 - Coth[x]^2)^(3/2), x, 4, (1/2)*ArcSin[Coth[x]] + (1/2)*Coth[x]*Sqrt[-Csch[x]^2]}
+{(-1 + Coth[x]^2)^(3/2), x, 5, (1/2)*ArcTanh[Coth[x]/Sqrt[Csch[x]^2]] - (1/2)*Coth[x]*Sqrt[Csch[x]^2]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/Sqrt[1 - Coth[x]^2], x, 3, Coth[x]/Sqrt[-Csch[x]^2]}
+{1/Sqrt[-1 + Coth[x]^2], x, 3, Coth[x]/Sqrt[Csch[x]^2]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Coth[e+f x]^m (a+b Coth[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Coth[x]^3*Sqrt[a + b*Coth[x]^2], x, 6, Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]] - Sqrt[a + b*Coth[x]^2] - (a + b*Coth[x]^2)^(3/2)/(3*b)}
+{Coth[x]^2*Sqrt[a + b*Coth[x]^2], x, 7, -(((a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]])/(2*Sqrt[b])) + Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]] - (1/2)*Coth[x]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2]}
+{Coth[x]^1*Sqrt[a + b*Coth[x]^2], x, 5, Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]] - Sqrt[a + b*Coth[x]^2]}
+{Coth[x]^0*Sqrt[a + b*Coth[x]^2], x, 6, (-Sqrt[b])*ArcTanh[(Sqrt[b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]] + Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]]}
+{Tanh[x]^1*Sqrt[a + b*Coth[x]^2], x, 7, (-Sqrt[a])*ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a]] + Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]]}
+{Tanh[x]^2*Sqrt[a + b*Coth[x]^2], x, 5, Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]] - Sqrt[a + b*Coth[x]^2]*Tanh[x]}
+
+
+{Coth[x]^3*(a + b*Coth[x]^2)^(3/2), x, 7, (a + b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]] - (a + b)*Sqrt[a + b*Coth[x]^2] - (1/3)*(a + b*Coth[x]^2)^(3/2) - (a + b*Coth[x]^2)^(5/2)/(5*b)}
+{Coth[x]^2*(a + b*Coth[x]^2)^(3/2), x, 8, -(((3*a^2 + 12*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]])/(8*Sqrt[b])) + (a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]] - (1/8)*(5*a + 4*b)*Coth[x]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2] - (1/4)*b*Coth[x]^3*Sqrt[a + b*Coth[x]^2]}
+{Coth[x]^1*(a + b*Coth[x]^2)^(3/2), x, 6, (a + b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]] - (a + b)*Sqrt[a + b*Coth[x]^2] - (1/3)*(a + b*Coth[x]^2)^(3/2)}
+{Coth[x]^0*(a + b*Coth[x]^2)^(3/2), x, 7, (-(1/2))*Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]] + (a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]] - (1/2)*b*Coth[x]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2]}
+{Tanh[x]^1*(a + b*Coth[x]^2)^(3/2), x, 8, (-a^(3/2))*ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a]] + (a + b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]] - b*Sqrt[a + b*Coth[x]^2]}
+{Tanh[x]^2*(a + b*Coth[x]^2)^(3/2), x, 7, (-b^(3/2))*ArcTanh[(Sqrt[b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]] + (a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]] - a*Sqrt[a + b*Coth[x]^2]*Tanh[x]}
+
+
+{Sqrt[1 + Coth[x]^2], x, 5, -ArcSinh[Coth[x]] + Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Coth[x])/Sqrt[1 + Coth[x]^2]]}
+{Sqrt[-1 - Coth[x]^2], x, 6, ArcTan[Coth[x]/Sqrt[-1 - Coth[x]^2]] - Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[2]*Coth[x])/Sqrt[-1 - Coth[x]^2]]}
+
+
+{(1 + Coth[x]^2)^(3/2), x, 6, (-(5/2))*ArcSinh[Coth[x]] + 2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Coth[x])/Sqrt[1 + Coth[x]^2]] - (1/2)*Coth[x]*Sqrt[1 + Coth[x]^2]}
+{(-1 - Coth[x]^2)^(3/2), x, 7, (-(5/2))*ArcTan[Coth[x]/Sqrt[-1 - Coth[x]^2]] + 2*Sqrt[2]*ArcTan[(Sqrt[2]*Coth[x])/Sqrt[-1 - Coth[x]^2]] + (1/2)*Coth[x]*Sqrt[-1 - Coth[x]^2]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Coth[x]^3/Sqrt[a + b*Coth[x]^2], x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]]/Sqrt[a + b] - Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/b}
+{Coth[x]^2/Sqrt[a + b*Coth[x]^2], x, 6, -(ArcTanh[(Sqrt[b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]]/Sqrt[b]) + ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]]/Sqrt[a + b]}
+{Coth[x]^1/Sqrt[a + b*Coth[x]^2], x, 4, ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]]/Sqrt[a + b]}
+{Coth[x]^0/Sqrt[a + b*Coth[x]^2], x, 3, ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]]/Sqrt[a + b]}
+{Tanh[x]^1/Sqrt[a + b*Coth[x]^2], x, 7, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a]]/Sqrt[a]) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]]/Sqrt[a + b]}
+{Tanh[x]^2/Sqrt[a + b*Coth[x]^2], x, 5, ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]]/Sqrt[a + b] - (Sqrt[a + b*Coth[x]^2]*Tanh[x])/a}
+
+
+{Coth[x]^3/(a + b*Coth[x]^2)^(3/2), x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(3/2) + a/(b*(a + b)*Sqrt[a + b*Coth[x]^2])}
+{Coth[x]^2/(a + b*Coth[x]^2)^(3/2), x, 4, ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]]/(a + b)^(3/2) - Coth[x]/((a + b)*Sqrt[a + b*Coth[x]^2])}
+{Coth[x]/(a + b*Coth[x]^2)^(3/2), x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(3/2) - 1/((a + b)*Sqrt[a + b*Coth[x]^2])}
+{Tanh[x]/(a + b*Coth[x]^2)^(3/2), x, 8, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(3/2)) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(3/2) + b/(a*(a + b)*Sqrt[a + b*Coth[x]^2])}
+{Tanh[x]^2/(a + b*Coth[x]^2)^(3/2), x, 6, ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]]/(a + b)^(3/2) + (b*Tanh[x])/(a*(a + b)*Sqrt[a + b*Coth[x]^2]) - ((a + 2*b)*Sqrt[a + b*Coth[x]^2]*Tanh[x])/(a^2*(a + b))}
+
+
+{Coth[x]^3/(a + b*Coth[x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(5/2) + a/(3*b*(a + b)*(a + b*Coth[x]^2)^(3/2)) - 1/((a + b)^2*Sqrt[a + b*Coth[x]^2])}
+{Coth[x]^2/(a + b*Coth[x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]]/(a + b)^(5/2) - Coth[x]/(3*(a + b)*(a + b*Coth[x]^2)^(3/2)) - ((2*a - b)*Coth[x])/(3*a*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Coth[x]^2])}
+{Coth[x]/(a + b*Coth[x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(5/2) - 1/(3*(a + b)*(a + b*Coth[x]^2)^(3/2)) - 1/((a + b)^2*Sqrt[a + b*Coth[x]^2])}
+{Tanh[x]/(a + b*Coth[x]^2)^(5/2), x, 9, -(ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(5/2)) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(5/2) + b/(3*a*(a + b)*(a + b*Coth[x]^2)^(3/2)) + (b*(2*a + b))/(a^2*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Coth[x]^2])}
+{Tanh[x]^2/(a + b*Coth[x]^2)^(5/2), x, 7, ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]]/(a + b)^(5/2) + (b*Tanh[x])/(3*a*(a + b)*(a + b*Coth[x]^2)^(3/2)) + (b*(7*a + 4*b)*Tanh[x])/(3*a^2*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Coth[x]^2]) - ((3*a + 2*b)*(a + 4*b)*Sqrt[a + b*Coth[x]^2]*Tanh[x])/(3*a^3*(a + b)^2)}
+
+
+{1/Sqrt[1 + Coth[x]^2], x, 3, ArcTanh[(Sqrt[2]*Coth[x])/Sqrt[1 + Coth[x]^2]]/Sqrt[2]}
+{1/Sqrt[-1 - Coth[x]^2], x, 3, ArcTan[(Sqrt[2]*Coth[x])/Sqrt[-1 - Coth[x]^2]]/Sqrt[2]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Coth[e+f x]^m (a+b Coth[e+f x]^3)^p*)
+
+
+{1/(1 + Coth[x]^3), x, 6, x/2 - (2*ArcTan[(1 - 2*Coth[x])/Sqrt[3]])/(3*Sqrt[3]) - 1/(6*(1 + Coth[x]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Coth[e+f x]^m (a+b Coth[e+f x]^4)^p*)
+
+
+{Coth[x]*(a + b*Coth[x]^4)^(1/2), x, 8, (-(1/2))*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Coth[x]^2)/Sqrt[a + b*Coth[x]^4]] + (1/2)*Sqrt[a + b]*ArcTanh[(a + b*Coth[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Coth[x]^4])] - (1/2)*Sqrt[a + b*Coth[x]^4]}
+{Coth[x]/(a + b*Coth[x]^4)^(1/2), x, 4, ArcTanh[(a + b*Coth[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b])}
+{Coth[x]/(a + b*Coth[x]^4)^(3/2), x, 6, ArcTanh[(a + b*Coth[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Coth[x]^4])]/(2*(a + b)^(3/2)) - (a - b*Coth[x]^2)/(2*a*(a + b)*Sqrt[a + b*Coth[x]^4])}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Coth[e+f x]^m (a+b Coth[e+f x]^n)^p*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.5 Hyperbolic secant/6.5.1 (c+d x)^m (a+b sech)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.5 Hyperbolic secant/6.5.1 (c+d x)^m (a+b sech)^n.m
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--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.5 Hyperbolic secant/6.5.1 (c+d x)^m (a+b sech)^n.m	
@@ -0,0 +1,44 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Sech[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Sech[a+b x]^n*)
+
+
+{(c + d*x)^3*Sech[a + b*x], x, 9, (2*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(a + b*x)])/b - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2 + (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 - (6*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3 - (6*I*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 + (6*I*d^3*PolyLog[4, I*E^(a + b*x)])/b^4}
+{(c + d*x)^2*Sech[a + b*x], x, 7, (2*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(a + b*x)])/b - (2*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 + (2*I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2 + (2*I*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 - (2*I*d^2*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3}
+{(c + d*x)^1*Sech[a + b*x], x, 5, (2*(c + d*x)*ArcTan[E^(a + b*x)])/b - (I*d*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 + (I*d*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2}
+{Sech[a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sech[a + b*x]/(c + d*x), x]}
+
+
+{(c + d*x)^3*Sech[a + b*x]^2, x, 6, (c + d*x)^3/b - (3*d*(c + d*x)^2*Log[1 + E^(2*(a + b*x))])/b^2 - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^3*PolyLog[3, -E^(2*(a + b*x))])/(2*b^4) + ((c + d*x)^3*Tanh[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^2*Sech[a + b*x]^2, x, 5, (c + d*x)^2/b - (2*d*(c + d*x)*Log[1 + E^(2*(a + b*x))])/b^2 - (d^2*PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))])/b^3 + ((c + d*x)^2*Tanh[a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^1*Sech[a + b*x]^2, x, 2, -((d*Log[Cosh[a + b*x]])/b^2) + ((c + d*x)*Tanh[a + b*x])/b}
+{Sech[a + b*x]^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sech[a + b*x]^2/(c + d*x), x]}
+
+
+{(c + d*x)^3*Sech[a + b*x]^3, x, 15, -((6*d^2*(c + d*x)*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^3) + ((c + d*x)^3*ArcTan[E^(a + b*x)])/b + (3*I*d^3*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 - (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/(2*b^2) - (3*I*d^3*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^4 + (3*I*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/(2*b^2) + (3*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 - (3*I*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3 - (3*I*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 + (3*I*d^3*PolyLog[4, I*E^(a + b*x)])/b^4 + (3*d*(c + d*x)^2*Sech[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)^3*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(2*b)}
+{(c + d*x)^2*Sech[a + b*x]^3, x, 9, ((c + d*x)^2*ArcTan[E^(a + b*x)])/b - (d^2*ArcTan[Sinh[a + b*x]])/b^3 - (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 + (I*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2 + (I*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 - (I*d^2*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3 + (d*(c + d*x)*Sech[a + b*x])/b^2 + ((c + d*x)^2*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(2*b)}
+{(c + d*x)^1*Sech[a + b*x]^3, x, 6, ((c + d*x)*ArcTan[E^(a + b*x)])/b - (I*d*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/(2*b^2) + (I*d*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/(2*b^2) + (d*Sech[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(2*b)}
+{Sech[a + b*x]^3/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Sech[a + b*x]^3/(c + d*x), x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^(m/2) Sech[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Sech[a+b x]^(n/2)*)
+
+
+{x/Sech[x]^(3/2) - (1/3)*x*Sqrt[Sech[x]], x, 4, -(4/(9*Sech[x]^(3/2))) + (2*x*Sinh[x])/(3*Sqrt[Sech[x]])}
+{x/Sech[x]^(5/2) - (3/5)*x/Sqrt[Sech[x]], x, 4, -(4/(25*Sech[x]^(5/2))) + (2*x*Sinh[x])/(5*Sech[x]^(3/2))}
+{x/Sech[x]^(7/2) - (5/21)*x*Sqrt[Sech[x]], x, 5, -(4/(49*Sech[x]^(7/2))) - 20/(63*Sech[x]^(3/2)) + (2*x*Sinh[x])/(7*Sech[x]^(5/2)) + (10*x*Sinh[x])/(21*Sqrt[Sech[x]])}
+{x^2/Sech[x]^(3/2) - (1/3)*x^2*Sqrt[Sech[x]], x, 7, -((8*x)/(9*Sech[x]^(3/2))) - (16/27)*I*Sqrt[Cosh[x]]*EllipticF[(I*x)/2, 2]*Sqrt[Sech[x]] + (16*Sinh[x])/(27*Sqrt[Sech[x]]) + (2*x^2*Sinh[x])/(3*Sqrt[Sech[x]])}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^(m/2) Sech[a+b x]^(n/2)*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.5 Hyperbolic secant/6.5.2 (e x)^m (a+b sech(c+d x^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.5 Hyperbolic secant/6.5.2 (e x)^m (a+b sech(c+d x^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..0a5e3f8d
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.5 Hyperbolic secant/6.5.2 (e x)^m (a+b sech(c+d x^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,190 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sech[c+d x^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sech[c+d x^2])^p*)
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Sech[c+d x^2])^p*)
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
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+{x^5*(a + b*Sech[c + d*x^2]), x, 10, (a*x^6)/6 + (b*x^4*ArcTan[E^(c + d*x^2)])/d - (I*b*x^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x^2)])/d^2 + (I*b*x^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x^2)])/d^2 + (I*b*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x^2)])/d^3 - (I*b*PolyLog[3, I*E^(c + d*x^2)])/d^3}
+{x^4*(a + b*Sech[c + d*x^2]), x, 2, (a*x^5)/5 + b*Unintegrable[x^4*Sech[c + d*x^2], x]}
+{x^3*(a + b*Sech[c + d*x^2]), x, 8, (a*x^4)/4 + (b*x^2*ArcTan[E^(c + d*x^2)])/d - ((I/2)*b*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x^2)])/d^2 + ((I/2)*b*PolyLog[2, I*E^(c + d*x^2)])/d^2}
+{x^2*(a + b*Sech[c + d*x^2]), x, 2, (a*x^3)/3 + b*Unintegrable[x^2*Sech[c + d*x^2], x]}
+{x*(a + b*Sech[c + d*x^2]), x, 4, (a*x^2)/2 + (b*ArcTan[Sinh[c + d*x^2]])/(2*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x^2])/x, x, 2, a*Log[x] + b*Unintegrable[Sech[c + d*x^2]/x, x]}
+{(a + b*Sech[c + d*x^2])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Sech[c + d*x^2]/x^2, x]}
+
+
+{x^5*(a + b*Sech[c + d*x^2])^2, x, 15, (b^2*x^4)/(2*d) + (a^2*x^6)/6 + (2*a*b*x^4*ArcTan[E^(c + d*x^2)])/d - (b^2*x^2*Log[1 + E^(2*(c + d*x^2))])/d^2 - (2*I*a*b*x^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x^2)])/d^2 + (2*I*a*b*x^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*x^2)])/d^2 - (b^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x^2))])/(2*d^3) + (2*I*a*b*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x^2)])/d^3 - (2*I*a*b*PolyLog[3, I*E^(c + d*x^2)])/d^3 + (b^2*x^4*Tanh[c + d*x^2])/(2*d)}
+{x^4*(a + b*Sech[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[x^4*(a + b*Sech[c + d*x^2])^2, x]}
+{x^3*(a + b*Sech[c + d*x^2])^2, x, 10, (a^2*x^4)/4 + (2*a*b*x^2*ArcTan[E^(c + d*x^2)])/d - (b^2*Log[Cosh[c + d*x^2]])/(2*d^2) - (I*a*b*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x^2)])/d^2 + (I*a*b*PolyLog[2, I*E^(c + d*x^2)])/d^2 + (b^2*x^2*Tanh[c + d*x^2])/(2*d)}
+{x^2*(a + b*Sech[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[x^2*(a + b*Sech[c + d*x^2])^2, x]}
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+
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+{x*Sech[a + b*x^2]^7, x, 5, (5*ArcTan[Sinh[a + b*x^2]])/(32*b) + (5*Sech[a + b*x^2]*Tanh[a + b*x^2])/(32*b) + (5*Sech[a + b*x^2]^3*Tanh[a + b*x^2])/(48*b) + (Sech[a + b*x^2]^5*Tanh[a + b*x^2])/(12*b)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^5/(a + b*Sech[c + d*x^2]), x, 13, x^6/(6*a) - (b*x^4*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(2*a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (b*x^4*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(2*a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (b*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (b*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3)}
+{x^4/(a + b*Sech[c + d*x^2]), x, 0, Unintegrable[x^4/(a + b*Sech[c + d*x^2]), x]}
+{x^3/(a + b*Sech[c + d*x^2]), x, 11, x^4/(4*a) - (b*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(2*a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (b*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(2*a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (b*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(2*a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (b*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(2*a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2)}
+{x^2/(a + b*Sech[c + d*x^2]), x, 0, Unintegrable[x^2/(a + b*Sech[c + d*x^2]), x]}
+{x/(a + b*Sech[c + d*x^2]), x, 4, x^2/(2*a) - (b*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[(c + d*x^2)/2])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)}
+{1/(x*(a + b*Sech[c + d*x^2])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Sech[c + d*x^2])), x]}
+{(a + b*Sech[c + d*x^2])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Sech[c + d*x^2]/x^2, x]}
+
+
+{x^5/(a + b*Sech[c + d*x^2])^2, x, 31, (b^2*x^4)/(2*a^2*(a^2 - b^2)*d) + x^6/(6*a^2) - (b^2*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) + (b^3*x^4*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(2*a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (b*x^4*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (b^2*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - (b^3*x^4*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(2*a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (b*x^4*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (b^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) + (b^3*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (2*b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (b^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (b^3*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (2*b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (b^3*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (2*b*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + (b^3*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (2*b*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + (b^2*x^4*Sinh[c + d*x^2])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cosh[c + d*x^2]))}
+{x^4/(a + b*Sech[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[x^4/(a + b*Sech[c + d*x^2])^2, x]}
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+{x/(a + b*Sech[c + d*x^2])^2, x, 6, x^2/(2*a^2) - (b*(2*a^2 - b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[(c + d*x^2)/2])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (b^2*Tanh[c + d*x^2])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sech[c + d*x^2]))}
+{1/(x*(a + b*Sech[c + d*x^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Sech[c + d*x^2])^2), x]}
+{1/(x^2*(a + b*Sech[c + d*x^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Sech[c + d*x^2])^2), x]}
+{1/(x^3*(a + b*Sech[c + d*x^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^3*(a + b*Sech[c + d*x^2])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sech[c+d / x^1])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sech[c+d / x])^p*)
+
+
+{Sech[1/x]^2/x^2, x, 3, -Tanh[x^(-1)]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sech[c+d x^(1/2)])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Sech[c+d x^(1/2)])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]]), x, 20, (a*x^4)/4 + (4*b*x^(7/2)*ArcTan[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - ((14*I)*b*x^3*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + ((14*I)*b*x^3*PolyLog[2, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + ((84*I)*b*x^(5/2)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - ((84*I)*b*x^(5/2)*PolyLog[3, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - ((420*I)*b*x^2*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + ((420*I)*b*x^2*PolyLog[4, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + ((1680*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[5, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 - ((1680*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[5, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 - ((5040*I)*b*x*PolyLog[6, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^6 + ((5040*I)*b*x*PolyLog[6, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^6 + ((10080*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^7 - ((10080*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^7 - ((10080*I)*b*PolyLog[8, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^8 + ((10080*I)*b*PolyLog[8, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^8}
+{x^2*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]]), x, 16, (a*x^3)/3 + (4*b*x^(5/2)*ArcTan[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - ((10*I)*b*x^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + ((10*I)*b*x^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + ((40*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - ((40*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[3, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - ((120*I)*b*x*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + ((120*I)*b*x*PolyLog[4, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + ((240*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 - ((240*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 - ((240*I)*b*PolyLog[6, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^6 + ((240*I)*b*PolyLog[6, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^6}
+{x*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]]), x, 12, (a*x^2)/2 + (4*b*x^(3/2)*ArcTan[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - ((6*I)*b*x*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + ((6*I)*b*x*PolyLog[2, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + ((12*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - ((12*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - ((12*I)*b*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + ((12*I)*b*PolyLog[4, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4}
+{(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])/x, x, 2, a*Log[x] + b*Unintegrable[Sech[c + d*Sqrt[x]]/x, x]}
+{(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Sech[c + d*Sqrt[x]]/x^2, x]}
+
+
+{x^3*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 30, (2*b^2*x^(7/2))/d + (a^2*x^4)/4 + (8*a*b*x^(7/2)*ArcTan[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - (14*b^2*x^3*Log[1 + E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (28*I*a*b*x^3*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (28*I*a*b*x^3*PolyLog[2, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 - (42*b^2*x^(5/2)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (168*I*a*b*x^(5/2)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (168*I*a*b*x^(5/2)*PolyLog[3, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 + (105*b^2*x^2*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - (840*I*a*b*x^2*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (840*I*a*b*x^2*PolyLog[4, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 - (210*b^2*x^(3/2)*PolyLog[4, -E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + (3360*I*a*b*x^(3/2)*PolyLog[5, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 - (3360*I*a*b*x^(3/2)*PolyLog[5, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 + (315*b^2*x*PolyLog[5, -E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 - (10080*I*a*b*x*PolyLog[6, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^6 + (10080*I*a*b*x*PolyLog[6, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^6 - (315*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[6, -E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^7 + (20160*I*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^7 - (20160*I*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^7 + (315*b^2*PolyLog[7, -E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/(2*d^8) - (20160*I*a*b*PolyLog[8, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^8 + (20160*I*a*b*PolyLog[8, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^8 + (2*b^2*x^(7/2)*Tanh[c + d*Sqrt[x]])/d}
+{x^2*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 24, (2*b^2*x^(5/2))/d + (a^2*x^3)/3 + (8*a*b*x^(5/2)*ArcTan[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - (10*b^2*x^2*Log[1 + E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (20*I*a*b*x^2*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (20*I*a*b*x^2*PolyLog[2, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 - (20*b^2*x^(3/2)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (80*I*a*b*x^(3/2)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (80*I*a*b*x^(3/2)*PolyLog[3, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 + (30*b^2*x*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - (240*I*a*b*x*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (240*I*a*b*x*PolyLog[4, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 - (30*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[4, -E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + (480*I*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 - (480*I*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 + (15*b^2*PolyLog[5, -E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 - (480*I*a*b*PolyLog[6, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^6 + (480*I*a*b*PolyLog[6, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^6 + (2*b^2*x^(5/2)*Tanh[c + d*Sqrt[x]])/d}
+{x*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 18, (2*b^2*x^(3/2))/d + (a^2*x^2)/2 + (8*a*b*x^(3/2)*ArcTan[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - (6*b^2*x*Log[1 + E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (12*I*a*b*x*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (12*I*a*b*x*PolyLog[2, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 - (6*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (24*I*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (24*I*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 + (3*b^2*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - (24*I*a*b*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (24*I*a*b*PolyLog[4, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (2*b^2*x^(3/2)*Tanh[c + d*Sqrt[x]])/d}
+{(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2/x, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2/x, x]}
+{(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2/x^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3/(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]]), x, 23, x^4/(4*a) - (2*b*x^(7/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (2*b*x^(7/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (14*b*x^3*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (14*b*x^3*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (84*b*x^(5/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (84*b*x^(5/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (420*b*x^2*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (420*b*x^2*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (1680*b*x^(3/2)*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) - (1680*b*x^(3/2)*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) - (5040*b*x*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) + (5040*b*x*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) + (10080*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^7) - (10080*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^7) - (10080*b*PolyLog[8, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^8) + (10080*b*PolyLog[8, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^8)}
+{x^2/(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]]), x, 19, x^3/(3*a) - (2*b*x^(5/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (2*b*x^(5/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (10*b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (10*b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (40*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (40*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (120*b*x*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (120*b*x*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (240*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) - (240*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) - (240*b*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) + (240*b*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6)}
+{x/(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]]), x, 15, x^2/(2*a) - (2*b*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (2*b*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (6*b*x*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (6*b*x*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (12*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (12*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (12*b*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (12*b*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4)}
+{1/(x*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])), x]}
+{(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Sech[c + d*Sqrt[x]]/x^2, x]}
+
+
+{x^3/(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 61, (2*b^2*x^(7/2))/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + x^4/(4*a^2) - (14*b^2*x^3*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) + (2*b^3*x^(7/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (4*b*x^(7/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (14*b^2*x^3*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - (2*b^3*x^(7/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (4*b*x^(7/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (84*b^2*x^(5/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) + (14*b^3*x^3*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (28*b*x^3*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (84*b^2*x^(5/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (14*b^3*x^3*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (28*b*x^3*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (420*b^2*x^2*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) - (84*b^3*x^(5/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (168*b*x^(5/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + (420*b^2*x^2*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) + (84*b^3*x^(5/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (168*b*x^(5/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (1680*b^2*x^(3/2)*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^5) + (420*b^3*x^2*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (840*b*x^2*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - (1680*b^2*x^(3/2)*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^5) - (420*b^3*x^2*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (840*b*x^2*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (5040*b^2*x*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^6) - (1680*b^3*x^(3/2)*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) + (3360*b*x^(3/2)*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) + (5040*b^2*x*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^6) + (1680*b^3*x^(3/2)*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) - (3360*b*x^(3/2)*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) - (10080*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^7) + (5040*b^3*x*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^6) - (10080*b*x*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) - (10080*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^7) - (5040*b^3*x*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^6) + (10080*b*x*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) + (10080*b^2*PolyLog[7, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^8) - (10080*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[7, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^7) + (20160*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^7) + (10080*b^2*PolyLog[7, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^8) + (10080*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[7, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^7) - (20160*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^7) + (10080*b^3*PolyLog[8, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^8) - (20160*b*PolyLog[8, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^8) - (10080*b^3*PolyLog[8, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^8) + (20160*b*PolyLog[8, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^8) + (2*b^2*x^(7/2)*Sinh[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cosh[c + d*Sqrt[x]]))}
+{x^2/(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 49, (2*b^2*x^(5/2))/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + x^3/(3*a^2) - (10*b^2*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) + (2*b^3*x^(5/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (4*b*x^(5/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (10*b^2*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - (2*b^3*x^(5/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (4*b*x^(5/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (40*b^2*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) + (10*b^3*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (20*b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (40*b^2*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (10*b^3*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (20*b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (120*b^2*x*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) - (40*b^3*x^(3/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (80*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + (120*b^2*x*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) + (40*b^3*x^(3/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (80*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (240*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^5) + (120*b^3*x*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (240*b*x*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - (240*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^5) - (120*b^3*x*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (240*b*x*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (240*b^2*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^6) - (240*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) + (480*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) + (240*b^2*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^6) + (240*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) - (480*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) + (240*b^3*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^6) - (480*b*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) - (240*b^3*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^6) + (480*b*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^6) + (2*b^2*x^(5/2)*Sinh[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cosh[c + d*Sqrt[x]]))}
+{x/(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 37, (2*b^2*x^(3/2))/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + x^2/(2*a^2) - (6*b^2*x*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) + (2*b^3*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (4*b*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (6*b^2*x*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - (2*b^3*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (4*b*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (12*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) + (6*b^3*x*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (12*b*x*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (12*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (6*b^3*x*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (12*b*x*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (12*b^2*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) - (12*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (24*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + (12*b^2*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) + (12*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (24*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + (12*b^3*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (24*b*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - (12*b^3*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (24*b*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (2*b^2*x^(3/2)*Sinh[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cosh[c + d*Sqrt[x]]))}
+{1/(x*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2), x]}
+{1/(x^2*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b Sech[c+d x^(1/2)])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^(3/2)*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]]), x, 14, (2*a*x^(5/2))/5 + (4*b*x^2*ArcTan[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - ((8*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + ((8*I)*b*x^(3/2)*PolyLog[2, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + ((24*I)*b*x*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - ((24*I)*b*x*PolyLog[3, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - ((48*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + ((48*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + ((48*I)*b*PolyLog[5, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 - ((48*I)*b*PolyLog[5, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5}
+{Sqrt[x]*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]]), x, 10, (2*a*x^(3/2))/3 + (4*b*x*ArcTan[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - ((4*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + ((4*I)*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + ((4*I)*b*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - ((4*I)*b*PolyLog[3, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3}
+{(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])/Sqrt[x], x, 4, 2*a*Sqrt[x] + (2*b*ArcTan[Sinh[c + d*Sqrt[x]]])/d}
+{(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])/x^(3/2), x, 2, (-2*a)/Sqrt[x] + b*Unintegrable[Sech[c + d*Sqrt[x]]/x^(3/2), x]}
+{(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])/x^(5/2), x, 2, (-2*a)/(3*x^(3/2)) + b*Unintegrable[Sech[c + d*Sqrt[x]]/x^(5/2), x]}
+
+
+{x^(3/2)*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 21, (2*b^2*x^2)/d + (2/5)*a^2*x^(5/2) + (8*a*b*x^2*ArcTan[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - (8*b^2*x^(3/2)*Log[1 + E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (16*I*a*b*x^(3/2)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (16*I*a*b*x^(3/2)*PolyLog[2, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 - (12*b^2*x*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (48*I*a*b*x*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (48*I*a*b*x*PolyLog[3, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 + (12*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[3, -E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - (96*I*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (96*I*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 - (6*b^2*PolyLog[4, -E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + (96*I*a*b*PolyLog[5, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 - (96*I*a*b*PolyLog[5, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 + (2*b^2*x^2*Tanh[c + d*Sqrt[x]])/d}
+{Sqrt[x]*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 15, (2*b^2*x)/d + (2/3)*a^2*x^(3/2) + (8*a*b*x*ArcTan[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - (4*b^2*Sqrt[x]*Log[1 + E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (8*I*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (8*I*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 - (2*b^2*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (8*I*a*b*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (8*I*a*b*PolyLog[3, I*E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 + (2*b^2*x*Tanh[c + d*Sqrt[x]])/d}
+{(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2/Sqrt[x], x, 5, 2*a^2*Sqrt[x] + (4*a*b*ArcTan[Sinh[c + d*Sqrt[x]]])/d + (2*b^2*Tanh[c + d*Sqrt[x]])/d}
+{(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2/x^(3/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2/x^(3/2), x]}
+{(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2/x^(5/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2/x^(5/2), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^(3/2)/(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]]), x, 17, (2*x^(5/2))/(5*a) - (2*b*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (2*b*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (8*b*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (8*b*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (24*b*x*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (24*b*x*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (48*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (48*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) + (48*b*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) - (48*b*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5)}
+{Sqrt[x]/(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]]), x, 13, (2*x^(3/2))/(3*a) - (2*b*x*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) + (2*b*x*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (4*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (4*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (4*b*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (4*b*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3)}
+{1/(Sqrt[x]*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])), x, 4, (2*Sqrt[x])/a - (4*b*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[(c + d*Sqrt[x])/2])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)}
+{1/(x^(3/2)*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])), x, 0, Unintegrable[1/(x^(3/2)*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])), x]}
+{1/(x^(5/2)*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])), x, 0, Unintegrable[1/(x^(5/2)*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])), x]}
+
+
+{x^(3/2)/(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 43, (2*b^2*x^2)/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + (2*x^(5/2))/(5*a^2) - (8*b^2*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) + (2*b^3*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (4*b*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (8*b^2*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - (2*b^3*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (4*b*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (24*b^2*x*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) + (8*b^3*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (16*b*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (24*b^2*x*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (8*b^3*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (16*b*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) + (48*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) - (24*b^3*x*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (48*b*x*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + (48*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^4) + (24*b^3*x*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (48*b*x*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) - (48*b^2*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^5) + (48*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (96*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - (48*b^2*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^5) - (48*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (96*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^4) - (48*b^3*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) + (96*b*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) + (48*b^3*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) - (96*b*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^5) + (2*b^2*x^2*Sinh[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cosh[c + d*Sqrt[x]]))}
+{Sqrt[x]/(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 31, (2*b^2*x)/(a^2*(a^2 - b^2)*d) + (2*x^(3/2))/(3*a^2) - (4*b^2*Sqrt[x]*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) + (2*b^3*x*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (4*b*x*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (4*b^2*Sqrt[x]*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2) - (2*b^3*x*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (4*b*x*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (4*b^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) + (4*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (8*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (4*b^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3) - (4*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (8*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2) - (4*b^3*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (8*b*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + (4*b^3*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (8*b*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3) + (2*b^2*x*Sinh[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*(b + a*Cosh[c + d*Sqrt[x]]))}
+{1/(Sqrt[x]*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 6, (2*Sqrt[x])/a^2 - (4*b*(2*a^2 - b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[(c + d*Sqrt[x])/2])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (2*b^2*Tanh[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]]))}
+{1/(x^(3/2)*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^(3/2)*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2), x]}
+{1/(x^(5/2)*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^(5/2)*(a + b*Sech[c + d*Sqrt[x]])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Sech[c+d x^n])^p*)
+
+
+{(e*x)^m*(a + b*Sech[c + d*x^n])^p, x, 1, ((e*x)^m*Unintegrable[x^m*(a + b*Sech[c + d*x^n])^p, x])/x^m}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(e*x)^(-1 + n)*(a + b*Sech[c + d*x^n]), x, 5, (a*(e*x)^n)/(e*n) + (b*(e*x)^n*ArcTan[Sinh[c + d*x^n]])/(d*e*n*x^n)}
+{(e*x)^(-1 + 2*n)*(a + b*Sech[c + d*x^n]), x, 9, (a*(e*x)^(2*n))/(2*e*n) + (2*b*(e*x)^(2*n)*ArcTan[E^(c + d*x^n)])/(d*e*n*x^n) - (I*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x^n)])/(d^2*e*n*x^(2*n)) + (I*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x^n)])/(d^2*e*n*x^(2*n))}
+{(e*x)^(-1 + 3*n)*(a + b*Sech[c + d*x^n]), x, 11, (a*(e*x)^(3*n))/(3*e*n) + (2*b*(e*x)^(3*n)*ArcTan[E^(c + d*x^n)])/(d*e*n*x^n) - ((2*I)*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x^n)])/(d^2*e*n*x^(2*n)) + ((2*I)*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x^n)])/(d^2*e*n*x^(2*n)) + ((2*I)*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x^n)])/(d^3*e*n*x^(3*n)) - ((2*I)*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, I*E^(c + d*x^n)])/(d^3*e*n*x^(3*n))}
+
+
+{(e*x)^(-1 + n)*(a + b*Sech[c + d*x^n])^2, x, 6, (a^2*(e*x)^n)/(e*n) + (2*a*b*(e*x)^n*ArcTan[Sinh[c + d*x^n]])/(d*e*n*x^n) + (b^2*(e*x)^n*Tanh[c + d*x^n])/(d*e*n*x^n)}
+{(e*x)^(-1 + 2*n)*(a + b*Sech[c + d*x^n])^2, x, 11, (a^2*(e*x)^(2*n))/(2*e*n) + (4*a*b*(e*x)^(2*n)*ArcTan[E^(c + d*x^n)])/(d*e*n*x^n) - (b^2*(e*x)^(2*n)*Log[Cosh[c + d*x^n]])/(d^2*e*n*x^(2*n)) - ((2*I)*a*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x^n)])/(d^2*e*n*x^(2*n)) + ((2*I)*a*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x^n)])/(d^2*e*n*x^(2*n)) + (b^2*(e*x)^(2*n)*Tanh[c + d*x^n])/(d*e*n*x^n)}
+{(e*x)^(-1 + 3*n)*(a + b*Sech[c + d*x^n])^2, x, 16, (a^2*(e*x)^(3*n))/(3*e*n) + (b^2*(e*x)^(3*n))/(x^n*(d*e*n)) + (4*a*b*(e*x)^(3*n)*ArcTan[E^(c + d*x^n)])/(x^n*(d*e*n)) - (2*b^2*(e*x)^(3*n)*Log[1 + E^(2*(c + d*x^n))])/(x^(2*n)*(d^2*e*n)) - (4*I*a*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, (-I)*E^(c + d*x^n)])/(x^(2*n)*(d^2*e*n)) + (4*I*a*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, I*E^(c + d*x^n)])/(x^(2*n)*(d^2*e*n)) - (b^2*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -E^(2*(c + d*x^n))])/(x^(3*n)*(d^3*e*n)) + (4*I*a*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, (-I)*E^(c + d*x^n)])/(x^(3*n)*(d^3*e*n)) - (4*I*a*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, I*E^(c + d*x^n)])/(x^(3*n)*(d^3*e*n)) + (b^2*(e*x)^(3*n)*Tanh[c + d*x^n])/(x^n*(d*e*n))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(e*x)^(-1 + n)/(a + b*Sech[c + d*x^n]), x, 5, (e*x)^n/(a*e*n) - (2*b*(e*x)^n*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[(c + d*x^n)/2])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d*e*n*x^n)}
+{(e*x)^(-1 + 2*n)/(a + b*Sech[c + d*x^n]), x, 12, (e*x)^(2*n)/(2*a*e*n) - (b*(e*x)^(2*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) + (b*(e*x)^(2*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) - (b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) + (b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n))}
+{(e*x)^(-1 + 3*n)/(a + b*Sech[c + d*x^n]), x, 14, (e*x)^(3*n)/(3*a*e*n) - (b*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) + (b*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) - (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) + (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) + (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3*e*n*x^(3*n)) - (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3*e*n*x^(3*n))}
+
+
+{(e*x)^(-1 + n)/(a + b*Sech[c + d*x^n])^2, x, 7, (e*x)^n/(a^2*e*n) - (2*b*(2*a^2 - b^2)*(e*x)^n*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[(c + d*x^n)/2])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d*e*n*x^n) + (b^2*(e*x)^n*Tanh[c + d*x^n])/(a*(a^2 - b^2)*d*e*n*x^n*(a + b*Sech[c + d*x^n]))}
+{(e*x)^(-1 + 2*n)/(a + b*Sech[c + d*x^n])^2, x, 23, (e*x)^(2*n)/(2*a^2*e*n) + (b^3*(e*x)^(2*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d*e*n*x^n) - (2*b*(e*x)^(2*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) - (b^3*(e*x)^(2*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d*e*n*x^n) + (2*b*(e*x)^(2*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) - (b^2*(e*x)^(2*n)*Log[b + a*Cosh[c + d*x^n]])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2*e*n*x^(2*n)) + (b^3*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2*e*n*x^(2*n)) - (2*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) - (b^3*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2*e*n*x^(2*n)) + (2*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) + (b^2*(e*x)^(2*n)*Sinh[c + d*x^n])/(a*(a^2 - b^2)*d*e*n*x^n*(b + a*Cosh[c + d*x^n]))}
+{(e*x)^(-1 + 3*n)/(a + b*Sech[c + d*x^n])^2, x, 32, (e*x)^(3*n)/(3*a^2*e*n) + (b^2*(e*x)^(3*n))/(a^2*(a^2 - b^2)*d*e*n*x^n) - (2*b^2*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2*e*n*x^(2*n)) + (b^3*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d*e*n*x^n) - (2*b*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) - (2*b^2*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^2*e*n*x^(2*n)) - (b^3*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d*e*n*x^n) + (2*b*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) - (2*b^2*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3*e*n*x^(3*n)) + (2*b^3*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2*e*n*x^(2*n)) - (4*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) - (2*b^2*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 - b^2)*d^3*e*n*x^(3*n)) - (2*b^3*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^2*e*n*x^(2*n)) + (4*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) - (2*b^3*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3*e*n*x^(3*n)) + (4*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3*e*n*x^(3*n)) + (2*b^3*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*(-a^2 + b^2)^(3/2)*d^3*e*n*x^(3*n)) - (4*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d^3*e*n*x^(3*n)) + (b^2*(e*x)^(3*n)*Sinh[c + d*x^n])/(a*(a^2 - b^2)*d*e*n*x^n*(b + a*Cosh[c + d*x^n]))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.5 Hyperbolic secant/6.5.3 Hyperbolic secant functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.5 Hyperbolic secant/6.5.3 Hyperbolic secant functions.m
new file mode 100644
index 00000000..9b21a534
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.5 Hyperbolic secant/6.5.3 Hyperbolic secant functions.m	
@@ -0,0 +1,398 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration Problems Involving Hyperbolic Secants*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Sech[a+b x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sech[a+b x]^n*)
+
+
+{Sech[a + b*x], x, 1, ArcTan[Sinh[a + b*x]]/b}
+{Sech[a + b*x]^2, x, 2, Tanh[a + b*x]/b}
+{Sech[a + b*x]^3, x, 2, ArcTan[Sinh[a + b*x]]/(2*b) + (Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(2*b)}
+{Sech[a + b*x]^4, x, 2, Tanh[a + b*x]/b - Tanh[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Sech[a + b*x]^5, x, 3, (3*ArcTan[Sinh[a + b*x]])/(8*b) + (3*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(8*b) + (Sech[a + b*x]^3*Tanh[a + b*x])/(4*b)}
+{Sech[a + b*x]^6, x, 2, Tanh[a + b*x]/b - (2*Tanh[a + b*x]^3)/(3*b) + Tanh[a + b*x]^5/(5*b)}
+
+
+{Sech[7*x]^4, x, 2, (1/7)*Tanh[7*x] - (1/21)*Tanh[7*x]^3}
+
+
+{Sech[Pi*x]^6, x, 2, Tanh[Pi*x]/Pi - (2*Tanh[Pi*x]^3)/(3*Pi) + Tanh[Pi*x]^5/(5*Pi)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Sech[a+b x])^(n/2)*)
+
+
+{Sech[a + b*x]^(5/2), x, 3, -((2*I*Sqrt[Cosh[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sech[a + b*x]])/(3*b)) + (2*Sech[a + b*x]^(3/2)*Sinh[a + b*x])/(3*b)}
+{Sech[a + b*x]^(3/2), x, 3, (2*I*Sqrt[Cosh[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sech[a + b*x]])/b + (2*Sqrt[Sech[a + b*x]]*Sinh[a + b*x])/b}
+{Sech[a + b*x]^(1/2), x, 2, -((2*I*Sqrt[Cosh[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sech[a + b*x]])/b)}
+{1/Sech[a + b*x]^(1/2), x, 2, -((2*I*Sqrt[Cosh[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sech[a + b*x]])/b)}
+{1/Sech[a + b*x]^(3/2), x, 3, -((2*I*Sqrt[Cosh[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sech[a + b*x]])/(3*b)) + (2*Sinh[a + b*x])/(3*b*Sqrt[Sech[a + b*x]])}
+{1/Sech[a + b*x]^(5/2), x, 3, -((6*I*Sqrt[Cosh[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sech[a + b*x]])/(5*b)) + (2*Sinh[a + b*x])/(5*b*Sech[a + b*x]^(3/2))}
+
+
+{(b*Sech[c + d*x])^(7/2), x, 4, (6*I*b^4*EllipticE[(1/2)*I*(c + d*x), 2])/(5*d*Sqrt[Cosh[c + d*x]]*Sqrt[b*Sech[c + d*x]]) + (6*b^3*Sqrt[b*Sech[c + d*x]]*Sinh[c + d*x])/(5*d) + (2*b*(b*Sech[c + d*x])^(5/2)*Sinh[c + d*x])/(5*d)}
+{(b*Sech[c + d*x])^(5/2), x, 3, -((2*I*b^2*Sqrt[Cosh[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*I*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sech[c + d*x]])/(3*d)) + (2*b*(b*Sech[c + d*x])^(3/2)*Sinh[c + d*x])/(3*d)}
+{(b*Sech[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*I*b^2*EllipticE[(1/2)*I*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cosh[c + d*x]]*Sqrt[b*Sech[c + d*x]]) + (2*b*Sqrt[b*Sech[c + d*x]]*Sinh[c + d*x])/d}
+{(b*Sech[c + d*x])^(1/2), x, 2, -((2*I*Sqrt[Cosh[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*I*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sech[c + d*x]])/d)}
+{1/(b*Sech[c + d*x])^(1/2), x, 2, -((2*I*EllipticE[(1/2)*I*(c + d*x), 2])/(d*Sqrt[Cosh[c + d*x]]*Sqrt[b*Sech[c + d*x]]))}
+{1/(b*Sech[c + d*x])^(3/2), x, 3, -((2*I*Sqrt[Cosh[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*I*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sech[c + d*x]])/(3*b^2*d)) + (2*Sinh[c + d*x])/(3*b*d*Sqrt[b*Sech[c + d*x]])}
+{1/(b*Sech[c + d*x])^(5/2), x, 3, -((6*I*EllipticE[(1/2)*I*(c + d*x), 2])/(5*b^2*d*Sqrt[Cosh[c + d*x]]*Sqrt[b*Sech[c + d*x]])) + (2*Sinh[c + d*x])/(5*b*d*(b*Sech[c + d*x])^(3/2))}
+{1/(b*Sech[c + d*x])^(7/2), x, 4, -((10*I*Sqrt[Cosh[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*I*(c + d*x), 2]*Sqrt[b*Sech[c + d*x]])/(21*b^4*d)) + (2*Sinh[c + d*x])/(7*b*d*(b*Sech[c + d*x])^(5/2)) + (10*Sinh[c + d*x])/(21*b^3*d*Sqrt[b*Sech[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Sech[a+b x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(b*Sech[c + d*x])^n, x, 2, -((b*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cosh[c + d*x]^2]*(b*Sech[c + d*x])^(-1 + n)*Sinh[c + d*x])/(d*(1 - n)*Sqrt[-Sinh[c + d*x]^2]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Sech[a+b x]^m)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Sech[a+b x]^2)^n*)
+
+
+{(Sech[a + b*x]^2)^(7/2), x, 5, (5*ArcSin[Tanh[a + b*x]])/(16*b) + (5*Sqrt[Sech[a + b*x]^2]*Tanh[a + b*x])/(16*b) + (5*(Sech[a + b*x]^2)^(3/2)*Tanh[a + b*x])/(24*b) + ((Sech[a + b*x]^2)^(5/2)*Tanh[a + b*x])/(6*b)}
+{(Sech[a + b*x]^2)^(5/2), x, 4, (3*ArcSin[Tanh[a + b*x]])/(8*b) + (3*Sqrt[Sech[a + b*x]^2]*Tanh[a + b*x])/(8*b) + ((Sech[a + b*x]^2)^(3/2)*Tanh[a + b*x])/(4*b)}
+{(Sech[a + b*x]^2)^(3/2), x, 3, ArcSin[Tanh[a + b*x]]/(b*2) + (Sqrt[Sech[a + b*x]^2]*Tanh[a + b*x])/(2*b)}
+{(Sech[a + b*x]^2)^(1/2), x, 2, ArcSin[Tanh[a + b*x]]/b}
+{1/(Sech[a + b*x]^2)^(1/2), x, 2, Tanh[a + b*x]/(b*Sqrt[Sech[a + b*x]^2])}
+{1/(Sech[a + b*x]^2)^(3/2), x, 3, Tanh[a + b*x]/(3*b*(Sech[a + b*x]^2)^(3/2)) + (2*Tanh[a + b*x])/(3*b*Sqrt[Sech[a + b*x]^2])}
+{1/(Sech[a + b*x]^2)^(5/2), x, 4, Tanh[a + b*x]/(5*b*(Sech[a + b*x]^2)^(5/2)) + (4*Tanh[a + b*x])/(15*b*(Sech[a + b*x]^2)^(3/2)) + (8*Tanh[a + b*x])/(15*b*Sqrt[Sech[a + b*x]^2])}
+{1/(Sech[a + b*x]^2)^(7/2), x, 5, Tanh[a + b*x]/(7*b*(Sech[a + b*x]^2)^(7/2)) + (6*Tanh[a + b*x])/(35*b*(Sech[a + b*x]^2)^(5/2)) + (8*Tanh[a + b*x])/(35*b*(Sech[a + b*x]^2)^(3/2)) + (16*Tanh[a + b*x])/(35*b*Sqrt[Sech[a + b*x]^2])}
+
+
+{(a*Sech[x]^2)^(5/2), x, 5, (3/8)*a^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2]] + (3/8)*a^2*Sqrt[a*Sech[x]^2]*Tanh[x] + (1/4)*a*(a*Sech[x]^2)^(3/2)*Tanh[x]}
+{(a*Sech[x]^2)^(3/2), x, 4, (1/2)*a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2]] + (1/2)*a*Sqrt[a*Sech[x]^2]*Tanh[x]}
+{(a*Sech[x]^2)^(1/2), x, 3, Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2]]}
+{1/(a*Sech[x]^2)^(1/2), x, 2, Tanh[x]/Sqrt[a*Sech[x]^2]}
+{1/(a*Sech[x]^2)^(3/2), x, 3, Tanh[x]/(3*(a*Sech[x]^2)^(3/2)) + (2*Tanh[x])/(3*a*Sqrt[a*Sech[x]^2])}
+{1/(a*Sech[x]^2)^(5/2), x, 4, Tanh[x]/(5*(a*Sech[x]^2)^(5/2)) + (4*Tanh[x])/(15*a*(a*Sech[x]^2)^(3/2)) + (8*Tanh[x])/(15*a^2*Sqrt[a*Sech[x]^2])}
+{1/(a*Sech[x]^2)^(7/2), x, 5, Tanh[x]/(7*(a*Sech[x]^2)^(7/2)) + (6*Tanh[x])/(35*a*(a*Sech[x]^2)^(5/2)) + (8*Tanh[x])/(35*a^2*(a*Sech[x]^2)^(3/2)) + (16*Tanh[x])/(35*a^3*Sqrt[a*Sech[x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Sech[a+b x]^3)^n*)
+
+
+{(a*Sech[x]^3)^(5/2), x, 7, (154/195)*I*a^2*Cosh[x]^(3/2)*EllipticE[(I*x)/2, 2]*Sqrt[a*Sech[x]^3] + (154/195)*a^2*Cosh[x]*Sqrt[a*Sech[x]^3]*Sinh[x] + (154/585)*a^2*Sqrt[a*Sech[x]^3]*Tanh[x] + (22/117)*a^2*Sech[x]^2*Sqrt[a*Sech[x]^3]*Tanh[x] + (2/13)*a^2*Sech[x]^4*Sqrt[a*Sech[x]^3]*Tanh[x]}
+{(a*Sech[x]^3)^(3/2), x, 5, (-(10/21))*I*a*Cosh[x]^(3/2)*EllipticF[(I*x)/2, 2]*Sqrt[a*Sech[x]^3] + (10/21)*a*Sqrt[a*Sech[x]^3]*Sinh[x] + (2/7)*a*Sech[x]*Sqrt[a*Sech[x]^3]*Tanh[x]}
+{(a*Sech[x]^3)^(1/2), x, 4, 2*I*Cosh[x]^(3/2)*EllipticE[(I*x)/2, 2]*Sqrt[a*Sech[x]^3] + 2*Cosh[x]*Sqrt[a*Sech[x]^3]*Sinh[x]}
+{1/(a*Sech[x]^3)^(1/2), x, 4, -((2*I*EllipticF[(I*x)/2, 2])/(3*Cosh[x]^(3/2)*Sqrt[a*Sech[x]^3])) + (2*Tanh[x])/(3*Sqrt[a*Sech[x]^3])}
+{1/(a*Sech[x]^3)^(3/2), x, 5, -((14*I*EllipticE[(I*x)/2, 2])/(15*a*Cosh[x]^(3/2)*Sqrt[a*Sech[x]^3])) + (14*Sinh[x])/(45*a*Sqrt[a*Sech[x]^3]) + (2*Cosh[x]^2*Sinh[x])/(9*a*Sqrt[a*Sech[x]^3])}
+{1/(a*Sech[x]^3)^(5/2), x, 7, -((26*I*EllipticF[(I*x)/2, 2])/(77*a^2*Cosh[x]^(3/2)*Sqrt[a*Sech[x]^3])) + (78*Cosh[x]*Sinh[x])/(385*a^2*Sqrt[a*Sech[x]^3]) + (26*Cosh[x]^3*Sinh[x])/(165*a^2*Sqrt[a*Sech[x]^3]) + (2*Cosh[x]^5*Sinh[x])/(15*a^2*Sqrt[a*Sech[x]^3]) + (26*Tanh[x])/(77*a^2*Sqrt[a*Sech[x]^3])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Sech[a+b x]^4)^n*)
+
+
+{(a*Sech[x]^4)^(7/2), x, 3, a^3*Cosh[x]*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x] - 2*a^3*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x]^2*Tanh[x] + 3*a^3*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x]^2*Tanh[x]^3 - (20/7)*a^3*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x]^2*Tanh[x]^5 + (5/3)*a^3*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x]^2*Tanh[x]^7 - (6/11)*a^3*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x]^2*Tanh[x]^9 + (1/13)*a^3*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x]^2*Tanh[x]^11}
+{(a*Sech[x]^4)^(5/2), x, 3, a^2*Cosh[x]*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x] - (4/3)*a^2*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x]^2*Tanh[x] + (6/5)*a^2*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x]^2*Tanh[x]^3 - (4/7)*a^2*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x]^2*Tanh[x]^5 + (1/9)*a^2*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x]^2*Tanh[x]^7}
+{(a*Sech[x]^4)^(3/2), x, 3, a*Cosh[x]*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x] - (2/3)*a*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x]^2*Tanh[x] + (1/5)*a*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x]^2*Tanh[x]^3}
+{(a*Sech[x]^4)^(1/2), x, 3, Cosh[x]*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x]}
+{1/(a*Sech[x]^4)^(1/2), x, 3, (x*Sech[x]^2)/(2*Sqrt[a*Sech[x]^4]) + Tanh[x]/(2*Sqrt[a*Sech[x]^4])}
+{1/(a*Sech[x]^4)^(3/2), x, 5, (5*x*Sech[x]^2)/(16*a*Sqrt[a*Sech[x]^4]) + (5*Cosh[x]*Sinh[x])/(24*a*Sqrt[a*Sech[x]^4]) + (Cosh[x]^3*Sinh[x])/(6*a*Sqrt[a*Sech[x]^4]) + (5*Tanh[x])/(16*a*Sqrt[a*Sech[x]^4])}
+{1/(a*Sech[x]^4)^(5/2), x, 7, (63*x*Sech[x]^2)/(256*a^2*Sqrt[a*Sech[x]^4]) + (21*Cosh[x]*Sinh[x])/(128*a^2*Sqrt[a*Sech[x]^4]) + (21*Cosh[x]^3*Sinh[x])/(160*a^2*Sqrt[a*Sech[x]^4]) + (9*Cosh[x]^5*Sinh[x])/(80*a^2*Sqrt[a*Sech[x]^4]) + (Cosh[x]^7*Sinh[x])/(10*a^2*Sqrt[a*Sech[x]^4]) + (63*Tanh[x])/(256*a^2*Sqrt[a*Sech[x]^4])}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (c Sech[a+b x]^m)^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[c+d x]^m (a+b Sech[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[c+d x]^m (a+b Sech[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2=0*)
+
+
+{Sinh[x]^4/(a + a*Sech[x]), x, 7, -(x/(8*a)) - (Cosh[x]*Sinh[x])/(8*a) + (Cosh[x]^3*Sinh[x])/(4*a) - Sinh[x]^3/(3*a)}
+{Sinh[x]^3/(a + a*Sech[x]), x, 6, Cosh[x]^3/(3*a) - Sinh[x]^2/(2*a)}
+{Sinh[x]^2/(a + a*Sech[x]), x, 5, x/(2*a) - Sinh[x]/a + (Cosh[x]*Sinh[x])/(2*a)}
+{Sinh[x]^1/(a + a*Sech[x]), x, 5, Cosh[x]/a - Log[1 + Cosh[x]]/a}
+{Csch[x]^1/(a + a*Sech[x]), x, 6, -(ArcTanh[Cosh[x]]/(2*a)) - (Coth[x]*Csch[x])/(2*a) + Csch[x]^2/(2*a)}
+{Csch[x]^2/(a + a*Sech[x]), x, 6, -(Coth[x]^3/(3*a)) + Csch[x]^3/(3*a)}
+{Csch[x]^3/(a + a*Sech[x]), x, 7, ArcTanh[Cosh[x]]/(8*a) - (Coth[x]*Csch[x])/(8*a) - (Coth[x]*Csch[x]^3)/(4*a) + Csch[x]^4/(4*a)}
+{Csch[x]^4/(a + a*Sech[x]), x, 7, Coth[x]^3/(3*a) - Coth[x]^5/(5*a) + Csch[x]^5/(5*a)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2!=0*)
+
+
+{Sinh[x]^4/(a + b*Sech[x]), x, 6, ((3*a^4 - 12*a^2*b^2 + 8*b^4)*x)/(8*a^5) - (2*(a - b)^(3/2)*b*(a + b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/a^5 + ((8*b*(a^2 - b^2) - a*(3*a^2 - 4*b^2)*Cosh[x])*Sinh[x])/(8*a^4) - ((4*b - 3*a*Cosh[x])*Sinh[x]^3)/(12*a^2)}
+{Sinh[x]^3/(a + b*Sech[x]), x, 5, -(((a^2 - b^2)*Cosh[x])/a^3) - (b*Cosh[x]^2)/(2*a^2) + Cosh[x]^3/(3*a) + (b*(a^2 - b^2)*Log[b + a*Cosh[x]])/a^4}
+{Sinh[x]^2/(a + b*Sech[x]), x, 5, -(((a^2 - 2*b^2)*x)/(2*a^3)) + (2*Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/a^3 - ((2*b - a*Cosh[x])*Sinh[x])/(2*a^2)}
+{Sinh[x]^1/(a + b*Sech[x]), x, 5, Cosh[x]/a - (b*Log[b + a*Cosh[x]])/a^2}
+{Csch[x]^1/(a + b*Sech[x]), x, 4, Log[1 - Cosh[x]]/(2*(a + b)) - Log[1 + Cosh[x]]/(2*(a - b)) + (b*Log[b + a*Cosh[x]])/(a^2 - b^2)}
+{Csch[x]^2/(a + b*Sech[x]), x, 5, (2*a*b*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)) + ((b - a*Cosh[x])*Csch[x])/(a^2 - b^2)}
+{Csch[x]^3/(a + b*Sech[x]), x, 6, ((b - a*Cosh[x])*Csch[x]^2)/(2*(a^2 - b^2)) - (a*Log[1 - Cosh[x]])/(4*(a + b)^2) + (a*Log[1 + Cosh[x]])/(4*(a - b)^2) - (a^2*b*Log[b + a*Cosh[x]])/(a^2 - b^2)^2}
+{Csch[x]^4/(a + b*Sech[x]), x, 6, -((2*a^3*b*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2))) - ((3*a^2*b - a*(2*a^2 + b^2)*Cosh[x])*Csch[x])/(3*(a^2 - b^2)^2) + ((b - a*Cosh[x])*Csch[x]^3)/(3*(a^2 - b^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[c+d x]^m (a+b Sech[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2=0*)
+
+
+{Cosh[x]^4/(a + a*Sech[x]), x, 7, (15*x)/(8*a) - (4*Sinh[x])/a + (15*Cosh[x]*Sinh[x])/(8*a) + (5*Cosh[x]^3*Sinh[x])/(4*a) - (Cosh[x]^3*Sinh[x])/(a + a*Sech[x]) - (4*Sinh[x]^3)/(3*a)}
+{Cosh[x]^3/(a + a*Sech[x]), x, 6, -((3*x)/(2*a)) + (4*Sinh[x])/a - (3*Cosh[x]*Sinh[x])/(2*a) - (Cosh[x]^2*Sinh[x])/(a + a*Sech[x]) + (4*Sinh[x]^3)/(3*a)}
+{Cosh[x]^2/(a + a*Sech[x]), x, 5, (3*x)/(2*a) - (2*Sinh[x])/a + (3*Cosh[x]*Sinh[x])/(2*a) - (Cosh[x]*Sinh[x])/(a + a*Sech[x])}
+{Cosh[x]^1/(a + a*Sech[x]), x, 4, -(x/a) + (2*Sinh[x])/a - Sinh[x]/(a + a*Sech[x])}
+{Sech[x]^1/(a + a*Sech[x]), x, 1, Tanh[x]/(a + a*Sech[x])}
+{Sech[x]^2/(a + a*Sech[x]), x, 3, ArcTan[Sinh[x]]/a - Tanh[x]/(a + a*Sech[x])}
+{Sech[x]^3/(a + a*Sech[x]), x, 4, -(ArcTan[Sinh[x]]/a) + Tanh[x]/a + Tanh[x]/(a + a*Sech[x])}
+{Sech[x]^4/(a + a*Sech[x]), x, 6, (3*ArcTan[Sinh[x]])/(2*a) - (2*Tanh[x])/a + (3*Sech[x]*Tanh[x])/(2*a) - (Sech[x]^2*Tanh[x])/(a + a*Sech[x])}
+
+
+{1/(a + a*Sech[c + d*x]), x, 2, x/a - Tanh[c + d*x]/(d*(a + a*Sech[c + d*x]))}
+
+
+{1/(a - a*Sech[c + d*x]), x, 2, x/a - Tanh[c + d*x]/(d*(a - a*Sech[c + d*x]))}
+
+
+{(a + a*Sech[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sech[c + d*x]]])/d + (14*a^3*Tanh[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + a*Sech[c + d*x]]) + (2*a^2*Sqrt[a + a*Sech[c + d*x]]*Tanh[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + a*Sech[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sech[c + d*x]]])/d + (2*a^2*Tanh[c + d*x])/(d*Sqrt[a + a*Sech[c + d*x]])}
+{(a + a*Sech[c + d*x])^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sech[c + d*x]]])/d}
+{1/(a + a*Sech[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sech[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sech[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{1/(a + a*Sech[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + a*Sech[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - (5*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sech[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Tanh[c + d*x]/(2*d*(a + a*Sech[c + d*x])^(3/2))}
+
+{Sqrt[a - a*Sech[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sech[c + d*x]]])/d}
+{1/Sqrt[a - a*Sech[c + d*x]], x, 5, (2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a - a*Sech[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - a*Sech[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+
+
+{Sqrt[3 + 3*Sech[x]], x, 2, 2*Sqrt[3]*ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[1 + Sech[x]]]}
+{Sqrt[3 - 3*Sech[x]], x, 2, 2*Sqrt[3]*ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[1 - Sech[x]]]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2-b^2!=0*)
+
+
+{(a + b*Sech[c + d*x])^4, x, 6, a^4*x + (2*a*b*(2*a^2 + b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/d + (b^2*(17*a^2 + 2*b^2)*Tanh[c + d*x])/(3*d) + (4*a*b^3*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(3*d) + (b^2*(a + b*Sech[c + d*x])^2*Tanh[c + d*x])/(3*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x])^3, x, 5, a^3*x + (b*(6*a^2 + b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*d) + (5*a*b^2*Tanh[c + d*x])/(2*d) + (b^2*(a + b*Sech[c + d*x])*Tanh[c + d*x])/(2*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x])^2, x, 4, a^2*x + (2*a*b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/d + (b^2*Tanh[c + d*x])/d}
+{(a + b*Sech[c + d*x])^1, x, 2, a*x + (b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/d}
+{1/(a + b*Sech[c + d*x])^1, x, 3, x/a - (2*b*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*d)}
+{1/(a + b*Sech[c + d*x])^2, x, 5, x/a^2 - (2*b*(2*a^2 - b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) + (b^2*Tanh[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sech[c + d*x]))}
+{1/(a + b*Sech[c + d*x])^3, x, 6, x/a^3 - (b*(6*a^4 - 5*a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a + b]])/(a^3*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) + (b^2*Tanh[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sech[c + d*x])^2) + (b^2*(5*a^2 - 2*b^2)*Tanh[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sech[c + d*x]))}
+
+
+{1/Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]], x, 1, (2*Sqrt[a + b]*Coth[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d)}
+
+
+{Cosh[x]^4/(a + b*Sech[x]), x, 8, ((3*a^4 + 4*a^2*b^2 + 8*b^4)*x)/(8*a^5) - (2*b^5*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a^5*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) - (b*(2*a^2 + 3*b^2)*Sinh[x])/(3*a^4) + ((3*a^2 + 4*b^2)*Cosh[x]*Sinh[x])/(8*a^3) - (b*Cosh[x]^2*Sinh[x])/(3*a^2) + (Cosh[x]^3*Sinh[x])/(4*a)}
+{Cosh[x]^3/(a + b*Sech[x]), x, 7, -((b*(a^2 + 2*b^2)*x)/(2*a^4)) + (2*b^4*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a^4*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) + ((2*a^2 + 3*b^2)*Sinh[x])/(3*a^3) - (b*Cosh[x]*Sinh[x])/(2*a^2) + (Cosh[x]^2*Sinh[x])/(3*a)}
+{Cosh[x]^2/(a + b*Sech[x]), x, 6, ((a^2 + 2*b^2)*x)/(2*a^3) - (2*b^3*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) - (b*Sinh[x])/a^2 + (Cosh[x]*Sinh[x])/(2*a)}
+{Cosh[x]^1/(a + b*Sech[x]), x, 5, -((b*x)/a^2) + (2*b^2*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) + Sinh[x]/a}
+{Sech[x]^1/(a + b*Sech[x]), x, 3, (2*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b])}
+{Sech[x]^2/(a + b*Sech[x]), x, 5, ArcTan[Sinh[x]]/b - (2*a*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b*Sqrt[a + b])}
+{Sech[x]^3/(a + b*Sech[x]), x, 6, -((a*ArcTan[Sinh[x]])/b^2) + (2*a^2*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^2*Sqrt[a + b]) + Tanh[x]/b}
+{Sech[x]^4/(a + b*Sech[x]), x, 7, ((2*a^2 + b^2)*ArcTan[Sinh[x]])/(2*b^3) - (2*a^3*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^3*Sqrt[a + b]) - (a*Tanh[x])/b^2 + (Sech[x]*Tanh[x])/(2*b)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[c+d x]^m (a+b Sech[c+d x])^n when a^2-b^2=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Tanh[x]^6/(a + a*Sech[x]), x, 5, x/a - (3*ArcTan[Sinh[x]])/(8*a) - ((8 - 3*Sech[x])*Tanh[x])/(8*a) - ((4 - 3*Sech[x])*Tanh[x]^3)/(12*a)}
+{Tanh[x]^5/(a + a*Sech[x]), x, 3, Log[Cosh[x]]/a + Sech[x]/a + Sech[x]^2/(2*a) - Sech[x]^3/(3*a)}
+{Tanh[x]^4/(a + a*Sech[x]), x, 4, x/a - ArcTan[Sinh[x]]/(2*a) - ((2 - Sech[x])*Tanh[x])/(2*a)}
+{Tanh[x]^3/(a + a*Sech[x]), x, 3, Log[Cosh[x]]/a + Sech[x]/a}
+{Tanh[x]^2/(a + a*Sech[x]), x, 3, x/a - ArcTan[Sinh[x]]/a}
+{Tanh[x]^1/(a + a*Sech[x]), x, 2, Log[1 + Cosh[x]]/a}
+{Coth[x]^1/(a + a*Sech[x]), x, 3, 1/(2*a*(1 + Cosh[x])) + Log[1 - Cosh[x]]/(4*a) + (3*Log[1 + Cosh[x]])/(4*a)}
+{Coth[x]^2/(a + a*Sech[x]), x, 4, x/a - (Coth[x]*(3 - 2*Sech[x]))/(3*a) - (Coth[x]^3*(1 - Sech[x]))/(3*a)}
+{Coth[x]^3/(a + a*Sech[x]), x, 3, 1/(8*a*(1 - Cosh[x])) - 1/(8*a*(1 + Cosh[x])^2) + 3/(4*a*(1 + Cosh[x])) + (5*Log[1 - Cosh[x]])/(16*a) + (11*Log[1 + Cosh[x]])/(16*a)}
+{Coth[x]^4/(a + a*Sech[x]), x, 5, x/a - (Coth[x]*(15 - 8*Sech[x]))/(15*a) - (Coth[x]^3*(5 - 4*Sech[x]))/(15*a) - (Coth[x]^5*(1 - Sech[x]))/(5*a)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[c+d x]^m (a+b Sech[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Tanh[x]^7/(a + b*Sech[x]), x, 3, Log[Cosh[x]]/a - ((a^2 - b^2)^3*Log[a + b*Sech[x]])/(a*b^6) + ((a^4 - 3*a^2*b^2 + 3*b^4)*Sech[x])/b^5 - (a*(a^2 - 3*b^2)*Sech[x]^2)/(2*b^4) + ((a^2 - 3*b^2)*Sech[x]^3)/(3*b^3) - (a*Sech[x]^4)/(4*b^2) + Sech[x]^5/(5*b)}
+{Tanh[x]^6/(a + b*Sech[x]), x, 15, x/a - (3*ArcTan[Sinh[x]])/(8*b) - ((a^2 - 3*b^2)*ArcTan[Sinh[x]])/(2*b^3) - ((a^4 - 3*a^2*b^2 + 3*b^4)*ArcTan[Sinh[x]])/b^5 + (2*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a*b^5) + (a*Tanh[x])/b^2 + (a*(a^2 - 3*b^2)*Tanh[x])/b^4 - (3*Sech[x]*Tanh[x])/(8*b) - ((a^2 - 3*b^2)*Sech[x]*Tanh[x])/(2*b^3) - (Sech[x]^3*Tanh[x])/(4*b) - (a*Tanh[x]^3)/(3*b^2)}
+{Tanh[x]^5/(a + b*Sech[x]), x, 3, Log[Cosh[x]]/a + ((a^2 - b^2)^2*Log[a + b*Sech[x]])/(a*b^4) - ((a^2 - 2*b^2)*Sech[x])/b^3 + (a*Sech[x]^2)/(2*b^2) - Sech[x]^3/(3*b)}
+{Tanh[x]^4/(a + b*Sech[x]), x, 6, x/a + ((2*a^2 - 3*b^2)*ArcTan[Sinh[x]])/(2*b^3) - (2*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a*b^3) - (a*Tanh[x])/b^2 + (Sech[x]*Tanh[x])/(2*b)}
+{Tanh[x]^3/(a + b*Sech[x]), x, 3, Log[Cosh[x]]/a + ((1 - a^2/b^2)*Log[a + b*Sech[x]])/a + Sech[x]/b}
+{Tanh[x]^2/(a + b*Sech[x]), x, 7, x/a - ArcTan[Sinh[x]]/b + (2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a*b)}
+{Tanh[x]^1/(a + b*Sech[x]), x, 4, Log[Cosh[x]]/a + Log[a + b*Sech[x]]/a}
+{Coth[x]^1/(a + b*Sech[x]), x, 3, Log[Cosh[x]]/a + Log[1 - Sech[x]]/(2*(a + b)) + Log[1 + Sech[x]]/(2*(a - b)) - (b^2*Log[a + b*Sech[x]])/(a*(a^2 - b^2))}
+{Coth[x]^2/(a + b*Sech[x]), x, 9, (a*x)/(a^2 - b^2) - (b^2*x)/(a*(a^2 - b^2)) + (2*b^3*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)) - (a*Coth[x])/(a^2 - b^2) + (b*Csch[x])/(a^2 - b^2)}
+{Coth[x]^3/(a + b*Sech[x]), x, 3, Log[Cosh[x]]/a + ((2*a + 3*b)*Log[1 - Sech[x]])/(4*(a + b)^2) + ((2*a - 3*b)*Log[1 + Sech[x]])/(4*(a - b)^2) + (b^4*Log[a + b*Sech[x]])/(a*(a^2 - b^2)^2) - 1/(4*(a + b)*(1 - Sech[x])) - 1/(4*(a - b)*(1 + Sech[x]))}
+{Coth[x]^4/(a + b*Sech[x]), x, 15, -((a*b^2*x)/(a^2 - b^2)^2) + (b^4*x)/(a*(a^2 - b^2)^2) + (a*x)/(a^2 - b^2) - (2*b^5*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)) + (a*b^2*Coth[x])/(a^2 - b^2)^2 - (a*Coth[x])/(a^2 - b^2) - (a*Coth[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)) - (b^3*Csch[x])/(a^2 - b^2)^2 + (b*Csch[x])/(a^2 - b^2) + (b*Csch[x]^3)/(3*(a^2 - b^2))}
+{Coth[x]^5/(a + b*Sech[x]), x, 3, Log[Cosh[x]]/a + ((8*a^2 + 21*a*b + 15*b^2)*Log[1 - Sech[x]])/(16*(a + b)^3) + ((8*a^2 - 21*a*b + 15*b^2)*Log[1 + Sech[x]])/(16*(a - b)^3) - (b^6*Log[a + b*Sech[x]])/(a*(a^2 - b^2)^3) - 1/(16*(a + b)*(1 - Sech[x])^2) - (5*a + 7*b)/(16*(a + b)^2*(1 - Sech[x])) - 1/(16*(a - b)*(1 + Sech[x])^2) - (5*a - 7*b)/(16*(a - b)^2*(1 + Sech[x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[c+d x]^m (a+b Sech[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Tanh[c + d*x]^5*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]], x, 5, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - (2*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]])/d + (2*a*(a^2 - 2*b^2)*(a + b*Sech[c + d*x])^(3/2))/(3*b^4*d) - (2*(3*a^2 - 2*b^2)*(a + b*Sech[c + d*x])^(5/2))/(5*b^4*d) + (6*a*(a + b*Sech[c + d*x])^(7/2))/(7*b^4*d) - (2*(a + b*Sech[c + d*x])^(9/2))/(9*b^4*d)}
+{Tanh[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]], x, 5, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - (2*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]])/d - (2*a*(a + b*Sech[c + d*x])^(3/2))/(3*b^2*d) + (2*(a + b*Sech[c + d*x])^(5/2))/(5*b^2*d)}
+{Tanh[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]], x, 4, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - (2*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]])/d}
+{Coth[c + d*x]^1*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]], x, 7, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - (Sqrt[a - b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/d - (Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/d}
+{Coth[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]], x, 13, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - (a*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(Sqrt[a - b]*d) + (3*b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(4*Sqrt[a - b]*d) - (a*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a + b]*d) - (3*b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(4*Sqrt[a + b]*d) - (Coth[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]])/(2*d)}
+
+{Tanh[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]], x, 7, -((2*a*(a - b)*Sqrt[a + b]*Coth[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^2*d)) - (2*Sqrt[a + b]*(a + 2*b)*Coth[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b*d) + (2*Sqrt[a + b]*Coth[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/d - (2*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]*Tanh[c + d*x])/(3*d)}
+{Tanh[c + d*x]^0*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]], x, 1, (2*Coth[c + d*x]*EllipticPi[a/(a + b), ArcSin[Sqrt[a + b]/Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]], (a - b)/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b*Sech[c + d*x]))]*Sqrt[(b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a + b*Sech[c + d*x])]*(a + b*Sech[c + d*x]))/(Sqrt[a + b]*d)}
+{Coth[c + d*x]^2*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]], x, 5, (Sqrt[a + b]*Coth[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/d - (Coth[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]])/d + (2*Coth[c + d*x]*EllipticPi[a/(a + b), ArcSin[Sqrt[a + b]/Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]], (a - b)/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b*Sech[c + d*x]))]*Sqrt[(b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a + b*Sech[c + d*x])]*(a + b*Sech[c + d*x]))/(Sqrt[a + b]*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Tanh[c + d*x]^5/Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]], x, 5, (2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d) + (2*a*(a^2 - 2*b^2)*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]])/(b^4*d) - (2*(3*a^2 - 2*b^2)*(a + b*Sech[c + d*x])^(3/2))/(3*b^4*d) + (6*a*(a + b*Sech[c + d*x])^(5/2))/(5*b^4*d) - (2*(a + b*Sech[c + d*x])^(7/2))/(7*b^4*d)}
+{Tanh[c + d*x]^3/Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]], x, 5, (2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d) - (2*a*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]])/(b^2*d) + (2*(a + b*Sech[c + d*x])^(3/2))/(3*b^2*d)}
+{Tanh[c + d*x]^1/Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]], x, 3, (2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d)}
+{Coth[c + d*x]^1/Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]], x, 7, (2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a - b]]/(Sqrt[a - b]*d) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[a + b]*d)}
+{Coth[c + d*x]^3/Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]], x, 11, (2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*d) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a - b]]/(Sqrt[a - b]*d) + (b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(4*(a - b)^(3/2)*d) - (b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(4*(a + b)^(3/2)*d) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[a + b]*d) - Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/(4*(a + b)*d*(1 - Sech[c + d*x])) - Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/(4*(a - b)*d*(1 + Sech[c + d*x]))}
+
+{Tanh[c + d*x]^4/Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]], x, 11, -((4*(a - b)*Sqrt[a + b]*Coth[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*d)) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(8*a^2 + 9*b^2)*Coth[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^4*d) - (4*Sqrt[a + b]*Coth[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) + (2*Sqrt[a + b]*(8*a^2 - 2*a*b + 9*b^2)*Coth[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(15*b^3*d) + (2*Sqrt[a + b]*Coth[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d) - (8*a*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]*Tanh[c + d*x])/(15*b^2*d) + (2*Sech[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]*Tanh[c + d*x])/(5*b*d)}
+{Tanh[c + d*x]^2/Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]], x, 6, -((2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Coth[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*d)) - (2*Sqrt[a + b]*Coth[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(b*d) + (2*Sqrt[a + b]*Coth[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d)}
+{Tanh[c + d*x]^0/Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]], x, 1, (2*Sqrt[a + b]*Coth[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d)}
+{Coth[c + d*x]^2/Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]], x, 9, (Coth[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(Sqrt[a + b]*d) - (Coth[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(Sqrt[a + b]*d) + (2*Sqrt[a + b]*Coth[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(a*d) - Coth[c + d*x]/(d*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]) - (b^2*Tanh[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]])}
+
+
+{Tanh[c + d*x]^5/(a + b*Sech[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) - (2*(a^2 - b^2)^2)/(a*b^4*d*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]) - (2*(3*a^2 - 2*b^2)*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]])/(b^4*d) + (2*a*(a + b*Sech[c + d*x])^(3/2))/(b^4*d) - (2*(a + b*Sech[c + d*x])^(5/2))/(5*b^4*d)}
+{Tanh[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x])^(3/2), x, 5, (2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) + (2*(a^2 - b^2))/(a*b^2*d*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]) + (2*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]])/(b^2*d)}
+{Tanh[c + d*x]^1/(a + b*Sech[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) - 2/(a*d*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]])}
+{Coth[c + d*x]^1/(a + b*Sech[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a - b]]/((a - b)^(3/2)*d) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]]/((a + b)^(3/2)*d) + (2*b^2)/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]])}
+{Coth[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x])^(3/2), x, 11, (2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*d) - ((2*a - 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(2*(a - b)^(5/2)*d) + (b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a - b]])/(4*(a - b)^(5/2)*d) - (b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(4*(a + b)^(5/2)*d) - ((2*a + 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/(2*(a + b)^(5/2)*d) - (2*b^4)/(a*(a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]) - Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/(4*(a + b)^2*d*(1 - Sech[c + d*x])) - Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/(4*(a - b)^2*d*(1 + Sech[c + d*x]))}
+
+{Tanh[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x])^(3/2), x, 17, -((2*Coth[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(a*Sqrt[a + b]*d)) + (4*a*Coth[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(b^2*Sqrt[a + b]*d) - (2*a*(8*a^2 - 5*b^2)*Coth[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^4*Sqrt[a + b]*d) + (2*Coth[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(a*Sqrt[a + b]*d) + (4*Coth[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(b*Sqrt[a + b]*d) - (2*(2*a + b)*(4*a + b)*Coth[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(3*b^3*Sqrt[a + b]*d) + (2*Sqrt[a + b]*Coth[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) - (4*a*Tanh[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]) + (2*b^2*Tanh[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]) - (2*a^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]) + (2*(4*a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]*Tanh[c + d*x])/(3*b^2*(a^2 - b^2)*d)}
+{Tanh[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x])^(3/2), x, 7, (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*Coth[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b^2*d) + (2*Sqrt[a + b]*Coth[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(a*b*d) + (2*Sqrt[a + b]*Coth[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) - (2*Tanh[c + d*x])/(a*d*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]])}
+{Tanh[c + d*x]^0/(a + b*Sech[c + d*x])^(3/2), x, 6, -((2*Coth[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(a*Sqrt[a + b]*d)) + (2*Coth[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(a*Sqrt[a + b]*d) + (2*Sqrt[a + b]*Coth[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) + (2*b^2*Tanh[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]])}
+{Coth[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x])^(3/2), x, 14, (4*a*Coth[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/((a - b)*(a + b)^(3/2)*d) - (2*Coth[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(a*Sqrt[a + b]*d) - ((3*a - b)*Coth[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/((a - b)*(a + b)^(3/2)*d) + (2*Coth[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(a*Sqrt[a + b]*d) + (2*Sqrt[a + b]*Coth[c + d*x]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sech[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sech[c + d*x]))/(a - b))])/(a^2*d) - Coth[c + d*x]/(d*(a + b*Sech[c + d*x])^(3/2)) - (b^2*Tanh[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*(a + b*Sech[c + d*x])^(3/2)) - (4*a*b^2*Tanh[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*d*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]) + (2*b^2*Tanh[c + d*x])/(a*(a^2 - b^2)*d*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(a+b x) Sech[c+d x]^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(c (a+b x)) (Sech[a c+b c x]^2)^(m/2)*)
+
+
+{E^(c*(a + b*x))*(Sech[a*c + b*c*x]^2)^(7/2), x, 6, (32*Cosh[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2])/(3*b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^6) - (192*Cosh[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2])/(5*b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^5) + (48*Cosh[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2])/(b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^4) - (64*Cosh[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2])/(3*b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^3)}
+{E^(c*(a + b*x))*(Sech[a*c + b*c*x]^2)^(5/2), x, 6, (-4*Cosh[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2])/(b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^4) + (32*Cosh[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2])/(3*b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^3) - (8*Cosh[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2])/(b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^2)}
+{E^(c*(a + b*x))*(Sech[a*c + b*c*x]^2)^(3/2), x, 4, (2*E^(4*c*(a + b*x))*Cosh[a*c + b*c*x]*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2])/(b*c*(1 + E^(2*c*(a + b*x)))^2)}
+{E^(c*(a + b*x))*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2], x, 4, (Cosh[a*c + b*c*x]*Log[1 + E^(2*c*(a + b*x))]*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))/Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2], x, 5, (E^(2*c*(a + b*x))*Sech[a*c + b*c*x])/(4*b*c*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2]) + (x*Sech[a*c + b*c*x])/(2*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2])}
+{E^(c*(a + b*x))/(Sech[a*c + b*c*x]^2)^(3/2), x, 6, -Sech[a*c + b*c*x]/(16*b*c*E^(2*c*(a + b*x))*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2]) + (3*E^(2*c*(a + b*x))*Sech[a*c + b*c*x])/(16*b*c*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2]) + (E^(4*c*(a + b*x))*Sech[a*c + b*c*x])/(32*b*c*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2]) + (3*x*Sech[a*c + b*c*x])/(8*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2])}
+{E^(c*(a + b*x))/(Sech[a*c + b*c*x]^2)^(5/2), x, 6, -Sech[a*c + b*c*x]/(128*b*c*E^(4*c*(a + b*x))*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2]) - (5*Sech[a*c + b*c*x])/(64*b*c*E^(2*c*(a + b*x))*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2]) + (5*E^(2*c*(a + b*x))*Sech[a*c + b*c*x])/(32*b*c*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2]) + (5*E^(4*c*(a + b*x))*Sech[a*c + b*c*x])/(128*b*c*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2]) + (E^(6*c*(a + b*x))*Sech[a*c + b*c*x])/(192*b*c*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2]) + (5*x*Sech[a*c + b*c*x])/(16*Sqrt[Sech[a*c + b*c*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Sech[a+b Log[c x^n]]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Sech[b Log[c x^n]]^(p/2)*)
+
+
+{x^5/Sech[2*Log[c*x]]^(1/2), x, 6, (2*x^2)/(21*c^4*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]]) + x^6/(7*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]]) + (Sqrt[(c^4 + 1/x^4)/(c^2 + 1/x^2)^2]*(c^2 + 1/x^2)*EllipticF[2*ArcCot[c*x], 1/2])/(21*c^5*(c^4 + 1/x^4)*x*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]])}
+{x^4/Sech[2*Log[c*x]]^(1/2), x, 3, ((c^4 + 1/x^4)*x^5)/(6*c^4*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]])}
+{x^3/Sech[2*Log[c*x]]^(1/2), x, 8, 2/(5*c^4*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]]) - 2/(5*c^4*(c^2 + 1/x^2)*x^2*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]]) + x^4/(5*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]]) + (2*Sqrt[(c^4 + 1/x^4)/(c^2 + 1/x^2)^2]*(c^2 + 1/x^2)*EllipticE[2*ArcCot[c*x], 1/2])/(5*c^3*(c^4 + 1/x^4)*x*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]]) - (Sqrt[(c^4 + 1/x^4)/(c^2 + 1/x^2)^2]*(c^2 + 1/x^2)*EllipticF[2*ArcCot[c*x], 1/2])/(5*c^3*(c^4 + 1/x^4)*x*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]])}
+{x^2/Sech[2*Log[c*x]]^(1/2), x, 6, x^3/(4*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]]) + ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(c^4*x^4)]]/(4*c^4*Sqrt[1 + 1/(c^4*x^4)]*x*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]])}
+{x^1/Sech[2*Log[c*x]]^(1/2), x, 5, x^2/(3*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]]) - (Sqrt[(c^4 + 1/x^4)/(c^2 + 1/x^2)^2]*(c^2 + 1/x^2)*EllipticF[2*ArcCot[c*x], 1/2])/(3*c*(c^4 + 1/x^4)*x*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]])}
+{x^0/Sech[2*Log[c*x]]^(1/2), x, 6, x/(2*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]]) - ArcCsch[c^2*x^2]/(2*c^2*Sqrt[1 + 1/(c^4*x^4)]*x*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]])}
+{Sech[2*Log[c*x]]^(1/2)/x^1, x, 3, (-I)*Sqrt[Cosh[2*Log[c*x]]]*EllipticF[I*Log[c*x], 2]*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]]}
+{Sech[2*Log[c*x]]^(1/2)/x^2, x, 5, (-(1/2))*c^2*Sqrt[1 + 1/(c^4*x^4)]*x*ArcCsch[c^2*x^2]*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]]}
+{Sech[2*Log[c*x]]^(1/2)/x^3, x, 6, -(((c^4 + 1/x^4)*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]])/(c^2 + 1/x^2)) + c*Sqrt[(c^4 + 1/x^4)/(c^2 + 1/x^2)^2]*(c^2 + 1/x^2)*x*EllipticE[2*ArcCot[c*x], 1/2]*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]] - (1/2)*c*Sqrt[(c^4 + 1/x^4)/(c^2 + 1/x^2)^2]*(c^2 + 1/x^2)*x*EllipticF[2*ArcCot[c*x], 1/2]*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]]}
+{Sech[2*Log[c*x]]^(1/2)/x^4, x, 3, (-(1/2))*(c^4 + 1/x^4)*x*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]]}
+{Sech[2*Log[c*x]]^(1/2)/x^5, x, 5, (-(1/3))*(c^4 + 1/x^4)*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]] + (1/6)*c^3*Sqrt[(c^4 + 1/x^4)/(c^2 + 1/x^2)^2]*(c^2 + 1/x^2)*x*EllipticF[2*ArcCot[c*x], 1/2]*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]]}
+
+
+{x^8/Sech[2*Log[c*x]]^(3/2), x, 8, x/(32*c^4*(c^4 + 1/x^4)*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) + x^5/(16*(c^4 + 1/x^4)*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) + x^9/(12*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) - ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(c^4*x^4)]]/(32*c^12*(1 + 1/(c^4*x^4))^(3/2)*x^3*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2))}
+{x^7/Sech[2*Log[c*x]]^(3/2), x, 7, 4/(77*c^4*(c^4 + 1/x^4)*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) + (6*x^4)/(77*(c^4 + 1/x^4)*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) + x^8/(11*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) + (2*Sqrt[(c^4 + 1/x^4)/(c^2 + 1/x^2)^2]*(c^2 + 1/x^2)*EllipticF[2*ArcCot[c*x], 1/2])/(77*c^5*(c^4 + 1/x^4)^2*x^3*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2))}
+{x^6/Sech[2*Log[c*x]]^(3/2), x, 3, ((c^4 + 1/x^4)*x^7)/(10*c^4*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2))}
+{x^5/Sech[2*Log[c*x]]^(3/2), x, 9, -(4/(15*c^4*(c^4 + 1/x^4)*(c^2 + 1/x^2)*x^4*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2))) + 4/(15*c^4*(c^4 + 1/x^4)*x^2*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) + (2*x^2)/(15*(c^4 + 1/x^4)*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) + x^6/(9*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) + (4*Sqrt[(c^4 + 1/x^4)/(c^2 + 1/x^2)^2]*(c^2 + 1/x^2)*EllipticE[2*ArcCot[c*x], 1/2])/(15*c^3*(c^4 + 1/x^4)^2*x^3*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) - (2*Sqrt[(c^4 + 1/x^4)/(c^2 + 1/x^2)^2]*(c^2 + 1/x^2)*EllipticF[2*ArcCot[c*x], 1/2])/(15*c^3*(c^4 + 1/x^4)^2*x^3*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2))}
+{x^4/Sech[2*Log[c*x]]^(3/2), x, 7, (3*x)/(16*(c^4 + 1/x^4)*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) + x^5/(8*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) + (3*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(c^4*x^4)]])/(16*c^8*(1 + 1/(c^4*x^4))^(3/2)*x^3*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2))}
+{x^3/Sech[2*Log[c*x]]^(3/2), x, 6, 2/(7*(c^4 + 1/x^4)*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) + x^4/(7*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) - (2*Sqrt[(c^4 + 1/x^4)/(c^2 + 1/x^2)^2]*(c^2 + 1/x^2)*EllipticF[2*ArcCot[c*x], 1/2])/(7*c*(c^4 + 1/x^4)^2*x^3*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2))}
+{x^2/Sech[2*Log[c*x]]^(3/2), x, 7, 1/(2*(c^4 + 1/x^4)*x*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) + x^3/(6*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) - ArcCsch[c^2*x^2]/(2*c^6*(1 + 1/(c^4*x^4))^(3/2)*x^3*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2))}
+{x^1/Sech[2*Log[c*x]]^(3/2), x, 8, -(12/(5*(c^4 + 1/x^4)*(c^2 + 1/x^2)*x^4*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2))) + 6/(5*(c^4 + 1/x^4)*x^2*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) + x^2/(5*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) + (12*c*Sqrt[(c^4 + 1/x^4)/(c^2 + 1/x^2)^2]*(c^2 + 1/x^2)*EllipticE[2*ArcCot[c*x], 1/2])/(5*(c^4 + 1/x^4)^2*x^3*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) - (6*c*Sqrt[(c^4 + 1/x^4)/(c^2 + 1/x^2)^2]*(c^2 + 1/x^2)*EllipticF[2*ArcCot[c*x], 1/2])/(5*(c^4 + 1/x^4)^2*x^3*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2))}
+{x^0/Sech[2*Log[c*x]]^(3/2), x, 7, -(3/(4*(c^4 + 1/x^4)*x^3*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2))) + x/(4*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)) + (3*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(c^4*x^4)]])/(4*c^4*(1 + 1/(c^4*x^4))^(3/2)*x^3*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2))}
+{Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)/x^1, x, 4, I*Sqrt[Cosh[2*Log[c*x]]]*EllipticE[I*Log[c*x], 2]*Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]] + Sqrt[Sech[2*Log[c*x]]]*Sinh[2*Log[c*x]]}
+{Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)/x^2, x, 3, (1/2)*(c^4 + 1/x^4)*x^3*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)}
+{Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)/x^3, x, 5, (1/2)*(c^4 + 1/x^4)*x^2*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2) - ((c^4 + 1/x^4)*Sqrt[(c^4 + 1/x^4)/(c^2 + 1/x^2)^2]*(c^2 + 1/x^2)*x^3*EllipticF[2*ArcCot[c*x], 1/2]*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2))/(4*c)}
+{Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)/x^4, x, 6, (1/2)*(c^4 + 1/x^4)*x*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2) - (1/2)*c^6*(1 + 1/(c^4*x^4))^(3/2)*x^3*ArcCsch[c^2*x^2]*Sech[2*Log[c*x]]^(3/2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Sech[a+b Log[c x^n]]^p*)
+
+
+{Sech[a + b*Log[c*x^n]], x, 4, (2*E^a*x*(c*x^n)^b*Hypergeometric2F1[1, (b + 1/n)/(2*b), (1/2)*(3 + 1/(b*n)), (-E^(2*a))*(c*x^n)^(2*b)])/(1 + b*n)}
+{Sech[a + b*Log[c*x^n]]^2, x, 4, (4*E^(2*a)*x*(c*x^n)^(2*b)*Hypergeometric2F1[2, (1/2)*(2 + 1/(b*n)), (1/2)*(4 + 1/(b*n)), (-E^(2*a))*(c*x^n)^(2*b)])/(1 + 2*b*n)}
+{Sech[a + b*Log[c*x^n]]^3, x, 4, (8*E^(3*a)*x*(c*x^n)^(3*b)*Hypergeometric2F1[3, (3*b + 1/n)/(2*b), (1/2)*(5 + 1/(b*n)), (-E^(2*a))*(c*x^n)^(2*b)])/(1 + 3*b*n)}
+{Sech[a + b*Log[c*x^n]]^4, x, 4, (16*E^(4*a)*x*(c*x^n)^(4*b)*Hypergeometric2F1[4, (1/2)*(4 + 1/(b*n)), (1/2)*(6 + 1/(b*n)), (-E^(2*a))*(c*x^n)^(2*b)])/(1 + 4*b*n)}
+
+{2*b^2*n^2*Sech[a + b*Log[c*x^n]]^3 + (1 - b^2*n^2)*Sech[a + b*Log[c*x^n]], x, -9, x*Sech[a + b*Log[c*x^n]] + b*n*x*Sech[a + b*Log[c*x^n]]*Tanh[a + b*Log[c*x^n]]}
+
+
+{Sech[a + 2*Log[c*x^(1/2)]]^3, x, 3, (2*c^6)/(E^a*(c^4 + 1/(E^(2*a)*x^2))^2)}
+{Sech[a + 2*Log[c/x^(1/2)]]^3, x, 4, (2*c^2)/(E^(3*a)*(E^(-2*a) + c^4/x^2)^2)}
+{Sech[a + 1/(n*(-2 + p))*Log[c*x^n]]^p, x, 3, (E^(2*a)*(2 - p)*x*(1 + (c*x^n)^(2/(n*(2 - p)))/E^(2*a))*Sech[a - Log[c*x^n]/(n*(2 - p))]^p)/((c*x^n)^(2/(n*(2 - p)))*(2*(1 - p)))}
+{Sech[a - 1/(n*(-2 + p))*Log[c*x^n]]^p, x, 3, ((2 - p)*x*(1 + 1/(E^(2*a)*(c*x^n)^(2/(n*(2 - p)))))*Sech[a + Log[c*x^n]/(n*(2 - p))]^p)/(2*(1 - p))}
+
+
+{Sech[a + b*Log[c*x^n]]/x, x, 2, ArcTan[Sinh[a + b*Log[c*x^n]]]/(b*n)}
+{Sech[a + b*Log[c*x^n]]^2/x, x, 3, Tanh[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n)}
+{Sech[a + b*Log[c*x^n]]^3/x, x, 3, ArcTan[Sinh[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*b*n) + (Sech[a + b*Log[c*x^n]]*Tanh[a + b*Log[c*x^n]])/(2*b*n)}
+{Sech[a + b*Log[c*x^n]]^4/x, x, 3, Tanh[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n) - Tanh[a + b*Log[c*x^n]]^3/(3*b*n)}
+{Sech[a + b*Log[c*x^n]]^5/x, x, 4, (3*ArcTan[Sinh[a + b*Log[c*x^n]]])/(8*b*n) + (3*Sech[a + b*Log[c*x^n]]*Tanh[a + b*Log[c*x^n]])/(8*b*n) + (Sech[a + b*Log[c*x^n]]^3*Tanh[a + b*Log[c*x^n]])/(4*b*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Sech[a+b Log[c x^n]]^(p/2)*)
+
+
+{Sech[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)/x, x, 4, -((2*I*Sqrt[Cosh[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sech[a + b*Log[c*x^n]]])/(3*b*n)) + (2*Sech[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(3*b*n)}
+{Sech[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)/x, x, 4, (2*I*Sqrt[Cosh[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sech[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n) + (2*Sqrt[Sech[a + b*Log[c*x^n]]]*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(b*n)}
+{Sqrt[Sech[a + b*Log[c*x^n]]]/x, x, 3, -((2*I*Sqrt[Cosh[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sech[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n))}
+{1/(x*Sqrt[Sech[a + b*Log[c*x^n]]]), x, 3, -((2*I*Sqrt[Cosh[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sech[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n))}
+{1/(x*Sech[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)), x, 4, -((2*I*Sqrt[Cosh[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sech[a + b*Log[c*x^n]]])/(3*b*n)) + (2*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(3*b*n*Sqrt[Sech[a + b*Log[c*x^n]]])}
+{1/(x*Sech[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)), x, 4, -((6*I*Sqrt[Cosh[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[Sech[a + b*Log[c*x^n]]])/(5*b*n)) + (2*Sinh[a + b*Log[c*x^n]])/(5*b*n*Sech[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.5 Hyperbolic secant/6.5.7 (d hyper)^m (a+b (c sech)^n)^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.5 Hyperbolic secant/6.5.7 (d hyper)^m (a+b (c sech)^n)^p.m
new file mode 100644
index 00000000..e11d1ffd
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.5 Hyperbolic secant/6.5.7 (d hyper)^m (a+b (c sech)^n)^p.m	
@@ -0,0 +1,356 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[e+f x]^m (a+b Sech[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)*Sinh[c + d*x]^4, x, 5, (3/8)*(a - 4*b)*x - ((5*a - 4*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + (a*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*d) + (b*Tanh[c + d*x])/d}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)*Sinh[c + d*x]^3, x, 3, -(((a - b)*Cosh[c + d*x])/d) + (a*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*Sech[c + d*x])/d}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)*Sinh[c + d*x]^2, x, 4, (-(1/2))*(a - 2*b)*x + (a*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d) - (b*Tanh[c + d*x])/d}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)*Sinh[c + d*x], x, 3, (a*Cosh[c + d*x])/d - (b*Sech[c + d*x])/d}
+{Csch[c + d*x]*(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 3, -(((a + b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d) + (b*Sech[c + d*x])/d}
+{Csch[c + d*x]^2*(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 3, -(((a + b)*Coth[c + d*x])/d) - (b*Tanh[c + d*x])/d}
+{Csch[c + d*x]^3*(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 4, ((a + 3*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) - ((a + b)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*d) - (b*Sech[c + d*x])/d}
+{Csch[c + d*x]^4*(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 3, ((a + 2*b)*Coth[c + d*x])/d - ((a + b)*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*Tanh[c + d*x])/d}
+
+
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2*Sinh[c + d*x]^4, x, 6, (1/8)*(3*a^2 - 24*a*b + 8*b^2)*x - (a*(a - 8*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) - ((a^2 - 8*a*b + 4*b^2)*Tanh[c + d*x])/(4*d) + (a^2*Sinh[c + d*x]^4*Tanh[c + d*x])/(4*d) - (b^2*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2*Sinh[c + d*x]^3, x, 3, -((a*(a - 2*b)*Cosh[c + d*x])/d) + (a^2*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + ((2*a - b)*b*Sech[c + d*x])/d + (b^2*Sech[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2*Sinh[c + d*x]^2, x, 5, (-(1/2))*a*(a - 4*b)*x + (a*(a - 4*b)*Tanh[c + d*x])/(2*d) + (a^2*Sinh[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/(2*d) + (b^2*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2*Sinh[c + d*x], x, 3, (a^2*Cosh[c + d*x])/d - (2*a*b*Sech[c + d*x])/d - (b^2*Sech[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Csch[c + d*x]*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 4, -(((a + b)^2*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d) + (b*(2*a + b)*Sech[c + d*x])/d + (b^2*Sech[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Csch[c + d*x]^2*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 3, -(((a + b)^2*Coth[c + d*x])/d) - (2*b*(a + b)*Tanh[c + d*x])/d + (b^2*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Csch[c + d*x]^3*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 5, ((a + b)*(a + 5*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) - ((3*a^2 + 6*a*b + 5*b^2)*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(6*d) - (b*(6*a + 5*b)*Sech[c + d*x])/(3*d) + (b^2*Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Csch[c + d*x]^4*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 3, ((a + b)*(a + 3*b)*Coth[c + d*x])/d - ((a + b)^2*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*(2*a + 3*b)*Tanh[c + d*x])/d - (b^2*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+
+
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3*Sinh[c + d*x]^4, x, 6, (3/8)*a*(a^2 - 12*a*b + 8*b^2)*x - (3*a*(a^2 - 12*a*b + 8*b^2)*Tanh[c + d*x])/(8*d) + (b*(6*a^2 - 23*a*b - 8*b^2)*Tanh[c + d*x]^3)/(8*d) - (3*(5*a - 16*b)*b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(40*d) - (3*(a - 2*b)*Sinh[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x]*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2)/(8*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^3*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^3)/(4*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3*Sinh[c + d*x]^3, x, 3, -((a^2*(a - 3*b)*Cosh[c + d*x])/d) + (a^3*Cosh[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a*(a - b)*b*Sech[c + d*x])/d + ((3*a - b)*b^2*Sech[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^3*Sech[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3*Sinh[c + d*x]^2, x, 6, -(a^2*(a - 6*b)*x)/2 + a^3/(4*d*(1 - Tanh[c + d*x])) - (3*a^2*b*Tanh[c + d*x])/d + (b^2*(3*a + b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^3*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - a^3/(4*d*(1 + Tanh[c + d*x])), (-(1/2))*a^2*(a - 6*b)*x - (b*(81*a^2 - 28*a*b - 4*b^2)*Tanh[c + d*x])/(30*d) - ((33*a - 2*b)*b*Tanh[c + d*x]*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))/(30*d) - (7*b*Tanh[c + d*x]*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2)/(10*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^3)/(2*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3*Sinh[c + d*x], x, 3, (a^3*Cosh[c + d*x])/d - (3*a^2*b*Sech[c + d*x])/d - (a*b^2*Sech[c + d*x]^3)/d - (b^3*Sech[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Csch[c + d*x]*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, -(((a + b)^3*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d) + (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Sech[c + d*x])/d + (b^2*(3*a + b)*Sech[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^3*Sech[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Csch[c + d*x]^2*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 3, -(((a + b)^3*Coth[c + d*x])/d) - (3*b*(a + b)^2*Tanh[c + d*x])/d + (b^2*(a + b)*Tanh[c + d*x]^3)/d - (b^3*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Csch[c + d*x]^3*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 5, ((a + b)^2*(a + 7*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) - ((a + b)^2*(a + 7*b)*Sech[c + d*x])/(2*d) - (b*(6*a^2 + 15*a*b + 7*b^2)*Sech[c + d*x]^3)/(6*d) - (b^2*(5*a + 7*b)*Sech[c + d*x]^5)/(10*d) - ((a + b)*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)^2*Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x]^5)/(2*d)}
+{Csch[c + d*x]^4*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 3, ((a + b)^2*(a + 4*b)*Coth[c + d*x])/d - ((a + b)^3*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*b*(a + b)*(a + 2*b)*Tanh[c + d*x])/d - (b^2*(3*a + 4*b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^3*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Sinh[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 6, ((3*a^2 + 12*a*b + 8*b^2)*x)/(8*a^3) - (Sqrt[b]*(a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(a^3*d) - ((5*a + 4*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*d) + (Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Sinh[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 4, (Sqrt[b]*(a + b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(a^(5/2)*d) - ((a + b)*Cosh[c + d*x])/(a^2*d) + Cosh[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Sinh[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 5, -(((a + 2*b)*x)/(2*a^2)) + (Sqrt[b]*Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(a^2*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Sinh[c + d*x]/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 3, -((Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(a^(3/2)*d)) + Cosh[c + d*x]/(a*d)}
+{Csch[c + d*x]/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 4, (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(Sqrt[a]*(a + b)*d) - ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/((a + b)*d)}
+{Csch[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 3, (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/((a + b)^(3/2)*d) - Coth[c + d*x]/((a + b)*d)}
+{Csch[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 5, -((Sqrt[a]*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[b]])/((a + b)^2*d)) + ((a - b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*(a + b)^2*d) - (Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*(a + b)*d)}
+{Csch[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 4, -((a*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/((a + b)^(5/2)*d)) + (a*Coth[c + d*x])/((a + b)^2*d) - Coth[c + d*x]^3/(3*(a + b)*d)}
+
+
+{Sinh[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 7, (3*(a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*x)/(8*a^4) - (3*Sqrt[b]*Sqrt[a + b]*(a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^4*d) - ((5*a + 6*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)) + (Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*a*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)) - (3*b*(3*a + 4*b)*Tanh[c + d*x])/(8*a^3*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 5, (Sqrt[b]*(3*a + 5*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(2*a^(7/2)*d) - ((a + 2*b)*Cosh[c + d*x])/(a^3*d) + Cosh[c + d*x]^3/(3*a^2*d) - (b*(a + b)*Cosh[c + d*x])/(2*a^3*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 6, -(((a + 4*b)*x)/(2*a^3)) + (Sqrt[b]*(3*a + 4*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^3*Sqrt[a + b]*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*a*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)) + (b*Tanh[c + d*x])/(a^2*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 4, (-3*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(2*a^(5/2)*d) + (3*Cosh[c + d*x])/(2*a^2*d) - Cosh[c + d*x]^3/(2*a*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 5, (Sqrt[b]*(3*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^2*d) - ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/((a + b)^2*d) - (b*Cosh[c + d*x])/(2*a*(a + b)*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 4, (3*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*(a + b)^(5/2)*d) - (3*Coth[c + d*x])/(2*(a + b)^2*d) + Coth[c + d*x]/(2*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 6, -(((3*a - b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[a]*(a + b)^3*d)) + ((a - 3*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*(a + b)^3*d) - ((a - b)*Cosh[c + d*x])/(2*(a + b)^2*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)) - (Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(2*(a + b)*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 5, -(((3*a - 2*b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*(a + b)^(7/2)*d)) + ((a - b)*Coth[c + d*x])/((a + b)^3*d) - Coth[c + d*x]^3/(3*(a + b)^2*d) - (a*b*Tanh[c + d*x])/(2*(a + b)^3*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+
+
+{Sinh[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 8, (3*(a^2 + 12*a*b + 16*b^2)*x)/(8*a^5) - (3*Sqrt[b]*(5*a^2 + 20*a*b + 16*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^5*Sqrt[a + b]*d) - ((5*a + 8*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*a*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - (b*(7*a + 12*b)*Tanh[c + d*x])/(8*a^3*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - (3*b*(a + 2*b)*Tanh[c + d*x])/(2*a^4*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 6, (5*Sqrt[b]*(3*a + 7*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(8*a^(9/2)*d) - ((a + 3*b)*Cosh[c + d*x])/(a^4*d) + Cosh[c + d*x]^3/(3*a^3*d) + (b^2*(a + b)*Cosh[c + d*x])/(4*a^4*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)^2) - (b*(9*a + 13*b)*Cosh[c + d*x])/(8*a^4*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 7, -(((a + 6*b)*x)/(2*a^4)) + (Sqrt[b]*(15*a^2 + 40*a*b + 24*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^4*(a + b)^(3/2)*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*a*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (3*b*Tanh[c + d*x])/(4*a^2*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (b*(11*a + 12*b)*Tanh[c + d*x])/(8*a^3*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sinh[c + d*x]/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 5, (-15*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(8*a^(7/2)*d) + (15*Cosh[c + d*x])/(8*a^3*d) - Cosh[c + d*x]^5/(4*a*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)^2) - (5*Cosh[c + d*x]^3)/(8*a^2*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 6, (Sqrt[b]*(15*a^2 + 10*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(8*a^(5/2)*(a + b)^3*d) - ArcTanh[Cosh[c + d*x]]/((a + b)^3*d) - (b*Cosh[c + d*x]^3)/(4*a*(a + b)*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)^2) - (b*(7*a + 3*b)*Cosh[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)^2*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 5, (15*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*(a + b)^(7/2)*d) - (15*Coth[c + d*x])/(8*(a + b)^3*d) + Coth[c + d*x]/(4*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (5*Coth[c + d*x])/(8*(a + b)^2*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Csch[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 7, -((Sqrt[b]*(15*a^2 - 10*a*b - b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Cosh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(8*a^(3/2)*(a + b)^4*d)) + ((a - 5*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*(a + b)^4*d) + ((2*a - b)*b*Cosh[c + d*x])/(4*a*(a + b)^2*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)^2) - ((4*a^2 - 9*a*b - b^2)*Cosh[c + d*x])/(8*a*(a + b)^3*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)) - (Cosh[c + d*x]*Coth[c + d*x]^2)/(2*(a + b)*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)^2)}
+{Csch[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 6, -((5*(3*a - 4*b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*(a + b)^(9/2)*d)) + ((a - 2*b)*Coth[c + d*x])/((a + b)^4*d) - Coth[c + d*x]^3/(3*(a + b)^3*d) - (a*b*Tanh[c + d*x])/(4*(a + b)^3*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - ((7*a - 4*b)*b*Tanh[c + d*x])/(8*(a + b)^4*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[e+f x]^m (a+b Sech[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Cosh[c + d*x]^4*(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 3, ((3*a + 4*b)*x)/8 + ((3*a + 4*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + (a*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*d)}
+{Cosh[c + d*x]^3*(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 3, ((a + b)*Sinh[c + d*x])/d + (a*Sinh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cosh[c + d*x]^2*(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 2, ((a + 2*b)*x)/2 + (a*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d)}
+{Cosh[c + d*x]^1*(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 2, (b*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/d + (a*Sinh[c + d*x])/d}
+{Sech[c + d*x]^1*(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 2, ((2*a + b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*d) + (b*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*d)}
+{Sech[c + d*x]^2*(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 3, ((a + b)*Tanh[c + d*x])/d - (b*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d), ((3*a + 2*b)*Tanh[c + d*x])/(3*d) + (b*Sech[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/(3*d)}
+{Sech[c + d*x]^3*(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 3, ((4*a + 3*b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(8*d) + ((4*a + 3*b)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(8*d) + (b*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x])/(4*d)}
+{Sech[c + d*x]^4*(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 3, ((a + b)*Tanh[c + d*x])/d - ((a + 2*b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d), ((5*a + 4*b)*Tanh[c + d*x])/(5*d) + (b*Sech[c + d*x]^4*Tanh[c + d*x])/(5*d) - ((5*a + 4*b)*Tanh[c + d*x]^3)/(15*d)}
+
+
+{Cosh[c + d*x]^4*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 4, (1/8)*(3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*x + (3*a*(a + 2*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + (a*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x]*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))/(4*d)}
+{Cosh[c + d*x]^3*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 4, (b^2*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/d + (a*(a + 2*b)*Sinh[c + d*x])/d + (a^2*Sinh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cosh[c + d*x]^2*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 5, (1/2)*a*(a + 4*b)*x + (a^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d) + (b^2*Tanh[c + d*x])/d}
+{Cosh[c + d*x]^1*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 5, (b*(4*a + b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*d) + (a^2*Sinh[c + d*x])/d + (b^2*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*d)}
+{Sech[c + d*x]^1*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 4, ((8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(8*d) + (3*b*(2*a + b)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(8*d) + (b*Sech[c + d*x]^3*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2)*Tanh[c + d*x])/(4*d)}
+{Sech[c + d*x]^2*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 3, ((a + b)^2*Tanh[c + d*x])/d - (2*b*(a + b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Sech[c + d*x]^3*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 5, ((8*a^2 + 12*a*b + 5*b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(16*d) + ((8*a^2 + 12*a*b + 5*b^2)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(16*d) + (b*(8*a + 5*b)*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x])/(24*d) + (b*Sech[c + d*x]^5*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2)*Tanh[c + d*x])/(6*d)}
+{Sech[c + d*x]^4*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 3, ((a + b)^2*Tanh[c + d*x])/d - ((a + b)*(a + 3*b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*(2*a + 3*b)*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^2*Tanh[c + d*x]^7)/(7*d)}
+
+
+{Cosh[c + d*x]^4*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 6, (3/8)*a*(a^2 + 4*a*b + 8*b^2)*x + (3*a^2*(a + 4*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*d) + (a^3*Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*d) + (b^3*Tanh[c + d*x])/d}
+{Cosh[c + d*x]^3*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 5, (b^2*(6*a + b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*d) + (a^2*(a + 3*b)*Sinh[c + d*x])/d + (a^3*Sinh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^3*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*d)}
+{Cosh[c + d*x]^2*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 5, (1/2)*a^2*(a + 6*b)*x + (a^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*d) + (b^2*(3*a + b)*Tanh[c + d*x])/d - (b^3*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Cosh[c + d*x]^1*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 6, (3*b*(8*a^2 + 4*a*b + b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(8*d) + (a^3*Sinh[c + d*x])/d + (3*b^2*(4*a + b)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(8*d) + (b^3*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x])/(4*d)}
+{Sech[c + d*x]^1*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 5, ((2*a + b)*(8*a^2 + 8*a*b + 5*b^2)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(16*d) + (b*(44*a^2 + 44*a*b + 15*b^2)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(48*d) + (5*b*(2*a + b)*Sech[c + d*x]^3*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2)*Tanh[c + d*x])/(24*d) + (b*Sech[c + d*x]^5*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2)^2*Tanh[c + d*x])/(6*d)}
+{Sech[c + d*x]^2*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 3, ((a + b)^3*Tanh[c + d*x])/d - (b*(a + b)^2*Tanh[c + d*x]^3)/d + (3*b^2*(a + b)*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^3*Tanh[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{Sech[c + d*x]^3*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 6, ((64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(128*d) + ((64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(128*d) + (b*(72*a^2 + 92*a*b + 35*b^2)*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x])/(192*d) + (b*(12*a + 7*b)*Sech[c + d*x]^5*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2)*Tanh[c + d*x])/(48*d) + (b*Sech[c + d*x]^7*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2)^2*Tanh[c + d*x])/(8*d)}
+{Sech[c + d*x]^4*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 3, ((a + b)^3*Tanh[c + d*x])/d - ((a + b)^2*(a + 4*b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*b*(a + b)*(a + 2*b)*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^2*(3*a + 4*b)*Tanh[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^3*Tanh[c + d*x]^9)/(9*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Cosh[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 6, ((3*a^2 - 4*a*b + 8*b^2)*x)/(8*a^3) - (b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(a^3*Sqrt[a + b]*d) + ((3*a - 4*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*d) + (Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*a*d)}
+{Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 4, (b^2*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(a^(5/2)*Sqrt[a + b]*d) + ((a - b)*Sinh[c + d*x])/(a^2*d) + Sinh[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+{Cosh[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 5, ((a - 2*b)*x)/(2*a^2) + (b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a + b]*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cosh[c + d*x]/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 3, -((b*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(a^(3/2)*Sqrt[a + b]*d)) + Sinh[c + d*x]/(a*d)}
+{Sech[c + d*x]/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b]*d)}
+{Sech[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 2, ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]]/(Sqrt[b]*Sqrt[a + b]*d)}
+{Sech[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 4, ArcTan[Sinh[c + d*x]]/(b*d) - (Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(b*Sqrt[a + b]*d)}
+{Sech[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 3, -((a*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(b^(3/2)*Sqrt[a + b]*d)) + Tanh[c + d*x]/(b*d)}
+{Sech[c + d*x]^5/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 5, -(((2*a - b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*b^2*d)) + (a^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(b^2*Sqrt[a + b]*d) + (Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b*d)}
+{Sech[c + d*x]^6/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 4, (a^2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(b^(5/2)*Sqrt[a + b]*d) - ((a - b)*Tanh[c + d*x])/(b^2*d) - Tanh[c + d*x]^3/(3*b*d)}
+
+
+{Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 5, (b^2*(6*a + 5*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^(7/2)*(a + b)^(3/2)*d) + ((a - 2*b)*Sinh[c + d*x])/(a^3*d) + Sinh[c + d*x]^3/(3*a^2*d) - (b^3*Sinh[c + d*x])/(2*a^3*(a + b)*d*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Cosh[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 6, ((a - 4*b)*x)/(2*a^3) + (b^(3/2)*(5*a + 4*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^3*(a + b)^(3/2)*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*a*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)) + (b*(a + 2*b)*Tanh[c + d*x])/(2*a^2*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Cosh[c + d*x]/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 5, -((b*(4*a + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^(5/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + Sinh[c + d*x]/(a^2*d) + (b^2*Sinh[c + d*x])/(2*a^2*(a + b)*d*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 3, ((2*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - (b*Sinh[c + d*x])/(2*a*(a + b)*d*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 3, ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]]/(2*Sqrt[b]*(a + b)^(3/2)*d) + Tanh[c + d*x]/(2*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 3, ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a + b]]/(2*Sqrt[a]*(a + b)^(3/2)*d) + Sinh[c + d*x]/(2*(a + b)*d*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 3, ((a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*b^(3/2)*(a + b)^(3/2)*d) - (a*Tanh[c + d*x])/(2*b*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^5/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 5, ArcTan[Sinh[c + d*x]]/(b^2*d) - (Sqrt[a]*(2*a + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*b^2*(a + b)^(3/2)*d) - (a*Sinh[c + d*x])/(2*b*(a + b)*d*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^6/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 5, -((a*(3*a + 4*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*b^(5/2)*(a + b)^(3/2)*d)) + Tanh[c + d*x]/(b^2*d) + (a^2*Tanh[c + d*x])/(2*b^2*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^7/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 6, -(((4*a - b)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(2*b^3*d)) + (a^(3/2)*(4*a + 5*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*b^3*(a + b)^(3/2)*d) + (a*(2*a + b)*Sinh[c + d*x])/(2*b^2*(a + b)*d*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2)) + (Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*b*d*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2))}
+
+
+{Cosh[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 7, ((a - 6*b)*x)/(2*a^4) + (b^(3/2)*(35*a^2 + 56*a*b + 24*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^4*(a + b)^(5/2)*d) + (Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*a*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (b*(2*a + 3*b)*Tanh[c + d*x])/(4*a^2*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (b*(4*a + 3*b)*(a + 4*b)*Tanh[c + d*x])/(8*a^3*(a + b)^2*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Cosh[c + d*x]^1/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 6, -((3*b*(4*(a + b)^2 + (2*a + b)^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^(7/2)*(a + b)^(5/2)*d)) + Sinh[c + d*x]/(a^3*d) - (b^3*Sinh[c + d*x])/(4*a^3*(a + b)*d*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2)^2) + (3*b^2*(4*a + 3*b)*Sinh[c + d*x])/(8*a^3*(a + b)^2*d*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^1/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, ((8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (b*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(4*a*(a + b)*d*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2)^2) - (3*b*(2*a + b)*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)^2*d*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, (3*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*Sqrt[b]*(a + b)^(5/2)*d) + Tanh[c + d*x]/(4*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + (3*Tanh[c + d*x])/(8*(a + b)^2*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, ((4*a + b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^(3/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (b*Sinh[c + d*x])/(4*a*(a + b)*d*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2)^2) + ((4*a + b)*Sinh[c + d*x])/(8*a*(a + b)^2*d*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, ((a + 4*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*b^(3/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (a*Tanh[c + d*x])/(4*b*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + ((a + 4*b)*Tanh[c + d*x])/(8*b*(a + b)^2*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^5/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, (3*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*Sqrt[a]*(a + b)^(5/2)*d) + Sinh[c + d*x]/(4*(a + b)*d*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2)^2) + (3*Sinh[c + d*x])/(8*(a + b)^2*d*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^6/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, ((3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*b^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (a*Sech[c + d*x]^2*Tanh[c + d*x])/(4*b*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - (3*a*(a + 2*b)*Tanh[c + d*x])/(8*b^2*(a + b)^2*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Sech[c + d*x]^7/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 6, ArcTan[Sinh[c + d*x]]/(b^3*d) - (Sqrt[a]*(8*a^2 + 20*a*b + 15*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sinh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*b^3*(a + b)^(5/2)*d) - (a*Sinh[c + d*x])/(4*b*(a + b)*d*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2)^2) - (a*(4*a + 7*b)*Sinh[c + d*x])/(8*b^2*(a + b)^2*d*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Sech[e+f x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Sech[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Sech[e+f x]^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)*Tanh[c + d*x]^4, x, 4, a*x - (a*Tanh[c + d*x])/d - (a*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)*Tanh[c + d*x]^3, x, 4, (a*Log[Cosh[c + d*x]])/d + ((a - b)*Sech[c + d*x]^2)/(2*d) + (b*Sech[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)*Tanh[c + d*x]^2, x, 4, a*x - (a*Tanh[c + d*x])/d + (b*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)*Tanh[c + d*x]^1, x, 3, (a*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (b*Sech[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)*Tanh[c + d*x]^0, x, 3, a*x + (b*Tanh[c + d*x])/d}
+{Coth[c + d*x]^1*(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 4, -((b*Log[Cosh[c + d*x]])/d) + ((a + b)*Log[Sinh[c + d*x]])/d}
+{Coth[c + d*x]^2*(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 4, a*x - ((a + b)*Coth[c + d*x])/d}
+{Coth[c + d*x]^3*(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 4, -(((a + b)*Csch[c + d*x]^2)/(2*d)) + (a*Log[Sinh[c + d*x]])/d}
+{Coth[c + d*x]^4*(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 4, a*x - (a*Coth[c + d*x])/d - ((a + b)*Coth[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Coth[c + d*x]^5*(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 4, -(((2*a + b)*Csch[c + d*x]^2)/(2*d)) - ((a + b)*Csch[c + d*x]^4)/(4*d) + (a*Log[Sinh[c + d*x]])/d}
+
+
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2*Tanh[c + d*x]^4, x, 4, a^2*x - (a^2*Tanh[c + d*x])/d - (a^2*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*(2*a + b)*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^2*Tanh[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2*Tanh[c + d*x]^3, x, 4, (a^2*Log[Cosh[c + d*x]])/d + (a*(a - 2*b)*Sech[c + d*x]^2)/(2*d) + ((2*a - b)*b*Sech[c + d*x]^4)/(4*d) + (b^2*Sech[c + d*x]^6)/(6*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2*Tanh[c + d*x]^2, x, 4, a^2*x - (a^2*Tanh[c + d*x])/d + (b*(2*a + b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^2*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2*Tanh[c + d*x]^1, x, 4, (a^2*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (a*b*Sech[c + d*x]^2)/d - (b^2*Sech[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2*Tanh[c + d*x]^0, x, 4, a^2*x + (b*(2*a + b)*Tanh[c + d*x])/d - (b^2*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Coth[c + d*x]^1*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 4, -((b*(2*a + b)*Log[Cosh[c + d*x]])/d) + ((a + b)^2*Log[Sinh[c + d*x]])/d + (b^2*Sech[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Coth[c + d*x]^2*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 4, a^2*x - ((a + b)^2*Coth[c + d*x])/d - (b^2*Tanh[c + d*x])/d}
+{Coth[c + d*x]^3*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 4, -(((a + b)^2*Csch[c + d*x]^2)/(2*d)) + (b^2*Log[Cosh[c + d*x]])/d + ((a^2 - b^2)*Log[Sinh[c + d*x]])/d}
+{Coth[c + d*x]^4*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 4, a^2*x - ((a^2 - b^2)*Coth[c + d*x])/d - ((a + b)^2*Coth[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Coth[c + d*x]^5*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 4, -((a*(a + b)*Csch[c + d*x]^2)/d) - ((a + b)^2*Csch[c + d*x]^4)/(4*d) + (a^2*Log[Sinh[c + d*x]])/d}
+{Coth[c + d*x]^6*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 4, a^2*x - (a^2*Coth[c + d*x])/d - ((a^2 - b^2)*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - ((a + b)^2*Coth[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Coth[c + d*x]^7*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 5, -((a*(a + b)*Csch[c + d*x]^2)/d) - ((a + b)^2*Csch[c + d*x]^4)/(4*d) - ((b + a*Cosh[c + d*x]^2)^3*Csch[c + d*x]^6)/(6*(a + b)*d) + (a^2*Log[Sinh[c + d*x]])/d}
+
+
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3*Tanh[c + d*x]^4, x, 4, a^3*x - (a^3*Tanh[c + d*x])/d - (a^3*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^2*(3*a + 2*b)*Tanh[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^3*Tanh[c + d*x]^9)/(9*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3*Tanh[c + d*x]^3, x, 5, (a^3*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (3*a^2*b*Sech[c + d*x]^2)/(2*d) - (3*a*b^2*Sech[c + d*x]^4)/(4*d) - (b^3*Sech[c + d*x]^6)/(6*d) + ((b + a*Cosh[c + d*x]^2)^4*Sech[c + d*x]^8)/(8*b*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3*Tanh[c + d*x]^2, x, 4, a^3*x - (a^3*Tanh[c + d*x])/d + (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^2*(3*a + 2*b)*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) + (b^3*Tanh[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3*Tanh[c + d*x]^1, x, 4, (a^3*Log[Cosh[c + d*x]])/d - (3*a^2*b*Sech[c + d*x]^2)/(2*d) - (3*a*b^2*Sech[c + d*x]^4)/(4*d) - (b^3*Sech[c + d*x]^6)/(6*d)}
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3*Tanh[c + d*x]^0, x, 4, a^3*x + (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Tanh[c + d*x])/d - (b^2*(3*a + 2*b)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^3*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Coth[c + d*x]^1*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, -((b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Log[Cosh[c + d*x]])/d) + ((a + b)^3*Log[Sinh[c + d*x]])/d + (b^2*(3*a + b)*Sech[c + d*x]^2)/(2*d) + (b^3*Sech[c + d*x]^4)/(4*d)}
+{Coth[c + d*x]^2*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, a^3*x - ((a + b)^3*Coth[c + d*x])/d - (b^2*(3*a + 2*b)*Tanh[c + d*x])/d + (b^3*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{Coth[c + d*x]^3*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, -(((a + b)^3*Csch[c + d*x]^2)/(2*d)) + (b^2*(3*a + 2*b)*Log[Cosh[c + d*x]])/d + ((a - 2*b)*(a + b)^2*Log[Sinh[c + d*x]])/d - (b^3*Sech[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{Coth[c + d*x]^4*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, a^3*x - ((a - 2*b)*(a + b)^2*Coth[c + d*x])/d - ((a + b)^3*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^3*Tanh[c + d*x])/d}
+{Coth[c + d*x]^5*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, -(((2*a - b)*(a + b)^2*Csch[c + d*x]^2)/(2*d)) - ((a + b)^3*Csch[c + d*x]^4)/(4*d) - (b^3*Log[Cosh[c + d*x]])/d + ((a^3 + b^3)*Log[Sinh[c + d*x]])/d}
+{Coth[c + d*x]^6*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, a^3*x - ((a^3 + b^3)*Coth[c + d*x])/d - ((a - 2*b)*(a + b)^2*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - ((a + b)^3*Coth[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{Coth[c + d*x]^7*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, -((3*a^2*(a + b)*Csch[c + d*x]^2)/(2*d)) - (3*a*(a + b)^2*Csch[c + d*x]^4)/(4*d) - ((a + b)^3*Csch[c + d*x]^6)/(6*d) + (a^3*Log[Sinh[c + d*x]])/d}
+
+
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^4, x, 4, a^4*x + (b*(2*a + b)*(2*a^2 + 2*a*b + b^2)*Tanh[c + d*x])/d - (b^2*(6*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^3*(4*a + 3*b)*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^4*Tanh[c + d*x]^7)/(7*d)}
+
+
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^5, x, 4, a^5*x + (b*(5*a^4 + 10*a^3*b + 10*a^2*b^2 + 5*a*b^3 + b^4)*Tanh[c + d*x])/d - (b^2*(10*a^3 + 20*a^2*b + 15*a*b^2 + 4*b^3)*Tanh[c + d*x]^3)/(3*d) + (b^3*(10*a^2 + 15*a*b + 6*b^2)*Tanh[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^4*(5*a + 4*b)*Tanh[c + d*x]^7)/(7*d) + (b^5*Tanh[c + d*x]^9)/(9*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tanh[c + d*x]^5/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 4, -(((a + 2*b)*Log[Cosh[c + d*x]])/(b^2*d)) + ((a + b)^2*Log[b + a*Cosh[c + d*x]^2])/(2*a*b^2*d) - Sech[c + d*x]^2/(2*b*d)}
+{Tanh[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 6, x/a - ((a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(a*b^(3/2)*d) + Tanh[c + d*x]/(b*d)}
+{Tanh[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 4, -(Log[Cosh[c + d*x]]/(b*d)) + ((a + b)*Log[b + a*Cosh[c + d*x]^2])/(2*a*b*d)}
+{Tanh[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 5, x/a - (Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[b]*d)}
+{Tanh[c + d*x]^1/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 2, Log[b + a*Cosh[c + d*x]^2]/(2*a*d)}
+{Tanh[c + d*x]^0/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 3, x/a - (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(a*Sqrt[a + b]*d)}
+{Coth[c + d*x]^1/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 4, (b*Log[b + a*Cosh[c + d*x]^2])/(2*a*(a + b)*d) + Log[Sinh[c + d*x]]/((a + b)*d)}
+{Coth[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 6, x/a - (b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(a*(a + b)^(3/2)*d) - Coth[c + d*x]/((a + b)*d)}
+{Coth[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 4, -(Csch[c + d*x]^2/(2*(a + b)*d)) + (b^2*Log[b + a*Cosh[c + d*x]^2])/(2*a*(a + b)^2*d) + ((a + 2*b)*Log[Sinh[c + d*x]])/((a + b)^2*d)}
+{Coth[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x]^2), x, 7, x/a - (b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(a*(a + b)^(5/2)*d) - ((a + 2*b)*Coth[c + d*x])/((a + b)^2*d) - Coth[c + d*x]^3/(3*(a + b)*d)}
+
+
+{Tanh[c + d*x]^5/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 4, (a + b)^2/(2*a^2*b*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)) + Log[Cosh[c + d*x]]/(b^2*d) + ((a^(-2) - b^(-2))*Log[b + a*Cosh[c + d*x]^2])/(2*d)}
+{Tanh[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 6, x/a^2 + ((a - 2*b)*Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^2*b^(3/2)*d) - ((a + b)*Tanh[c + d*x])/(2*a*b*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Tanh[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 4, (a + b)/(2*a^2*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)) + Log[b + a*Cosh[c + d*x]^2]/(2*a^2*d)}
+{Tanh[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 6, x/a^2 - ((a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^2*Sqrt[b]*Sqrt[a + b]*d) - Tanh[c + d*x]/(2*a*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Tanh[c + d*x]^1/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 4, b/(2*a^2*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)) + Log[b + a*Cosh[c + d*x]^2]/(2*a^2*d)}
+{Tanh[c + d*x]^0/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 5, x/a^2 - (Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^2*(a + b)^(3/2)*d) - (b*Tanh[c + d*x])/(2*a*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Coth[c + d*x]^1/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 4, b^2/(2*a^2*(a + b)*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)) + (b*(2*a + b)*Log[b + a*Cosh[c + d*x]^2])/(2*a^2*(a + b)^2*d) + Log[Sinh[c + d*x]]/((a + b)^2*d)}
+{Coth[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 7, x/a^2 - (b^(3/2)*(5*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^2*(a + b)^(5/2)*d) - ((2*a - b)*Coth[c + d*x])/(2*a*(a + b)^2*d) - (b*Coth[c + d*x])/(2*a*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Coth[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 4, b^3/(2*a^2*(a + b)^2*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)) - Csch[c + d*x]^2/(2*(a + b)^2*d) + (b^2*(3*a + b)*Log[b + a*Cosh[c + d*x]^2])/(2*a^2*(a + b)^3*d) + ((a + 3*b)*Log[Sinh[c + d*x]])/((a + b)^3*d)}
+{Coth[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^2, x, 8, x/a^2 - (b^(5/2)*(7*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*a^2*(a + b)^(7/2)*d) - ((2*a^2 + 6*a*b - b^2)*Coth[c + d*x])/(2*a*(a + b)^3*d) - ((2*a - 3*b)*Coth[c + d*x]^3)/(6*a*(a + b)^2*d) - (b*Coth[c + d*x]^3)/(2*a*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+
+
+{Tanh[c + d*x]^6/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 7, x/a^3 - (Sqrt[a + b]*(3*a^2 - 4*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^3*b^(5/2)*d) - ((a + b)*Tanh[c + d*x]^3)/(4*a*b*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + ((3*a - 4*b)*(a + b)*Tanh[c + d*x])/(8*a^2*b^2*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Tanh[c + d*x]^5/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, -(a + b)^2/(4*a^3*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)^2) + (a + b)/(a^3*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)) + Log[b + a*Cosh[c + d*x]^2]/(2*a^3*d)}
+{Tanh[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 7, x/a^3 + ((a^2 - 4*a*b - 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^3*b^(3/2)*Sqrt[a + b]*d) - ((a + b)*Tanh[c + d*x])/(4*a*b*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) + ((a - 4*b)*Tanh[c + d*x])/(8*a^2*b*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Tanh[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, -(b*(a + b))/(4*a^3*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)^2) + (a + 2*b)/(2*a^3*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)) + Log[b + a*Cosh[c + d*x]^2]/(2*a^3*d)}
+{Tanh[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 7, x/a^3 - ((3*a^2 + 12*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^3*Sqrt[b]*(a + b)^(3/2)*d) - Tanh[c + d*x]/(4*a*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - ((3*a + 4*b)*Tanh[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Tanh[c + d*x]^1/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, -b^2/(4*a^3*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)^2) + b/(a^3*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)) + Log[b + a*Cosh[c + d*x]^2]/(2*a^3*d)}
+{Tanh[c + d*x]^0/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 6, x/a^3 - (Sqrt[b]*(15*a^2 + 20*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^3*(a + b)^(5/2)*d) - (b*Tanh[c + d*x])/(4*a*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - (b*(7*a + 4*b)*Tanh[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)^2*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Coth[c + d*x]^1/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, -(b^3/(4*a^3*(a + b)*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)^2)) + (b^2*(3*a + 2*b))/(2*a^3*(a + b)^2*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)) + (b*(3*a^2 + 3*a*b + b^2)*Log[b + a*Cosh[c + d*x]^2])/(2*a^3*(a + b)^3*d) + Log[Sinh[c + d*x]]/((a + b)^3*d)}
+{Coth[c + d*x]^2/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 8, x/a^3 - (b^(3/2)*(35*a^2 + 28*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^3*(a + b)^(7/2)*d) - ((8*a^2 - 11*a*b - 4*b^2)*Coth[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)^3*d) - (b*Coth[c + d*x])/(4*a*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - (b*(9*a + 4*b)*Coth[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)^2*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+{Coth[c + d*x]^3/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 4, -(b^4/(4*a^3*(a + b)^2*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)^2)) + (b^3*(2*a + b))/(a^3*(a + b)^3*d*(b + a*Cosh[c + d*x]^2)) - Csch[c + d*x]^2/(2*(a + b)^3*d) + (b^2*(6*a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[b + a*Cosh[c + d*x]^2])/(2*a^3*(a + b)^4*d) + ((a + 4*b)*Log[Sinh[c + d*x]])/((a + b)^4*d)}
+{Coth[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3, x, 9, x/a^3 - (b^(5/2)*(63*a^2 + 36*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*a^3*(a + b)^(9/2)*d) - ((8*a^3 + 32*a^2*b - 15*a*b^2 - 4*b^3)*Coth[c + d*x])/(8*a^2*(a + b)^4*d) - ((8*a^2 - 39*a*b - 12*b^2)*Coth[c + d*x]^3)/(24*a^2*(a + b)^3*d) - (b*Coth[c + d*x]^3)/(4*a*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - (b*(11*a + 4*b)*Coth[c + d*x]^3)/(8*a^2*(a + b)^2*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+
+
+{1/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^4, x, 7, x/a^4 - (Sqrt[b]*(35*a^3 + 70*a^2*b + 56*a*b^2 + 16*b^3)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(16*a^4*(a + b)^(7/2)*d) - (b*Tanh[c + d*x])/(6*a*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^3) - (b*(11*a + 6*b)*Tanh[c + d*x])/(24*a^2*(a + b)^2*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - (b*(19*a^2 + 22*a*b + 8*b^2)*Tanh[c + d*x])/(16*a^3*(a + b)^3*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Sech[e+f x]^2)^(p/2) when a+b=0*)
+
+
+{(1 - Sech[x]^2)^(3/2), x, 4, Coth[x]*Log[Cosh[x]]*Sqrt[Tanh[x]^2] - (1/2)*Coth[x]*(Tanh[x]^2)^(3/2)}
+{Sqrt[1 - Sech[x]^2], x, 3, Coth[x]*Log[Cosh[x]]*Sqrt[Tanh[x]^2]}
+{1/Sqrt[1 - Sech[x]^2], x, 3, (Log[Sinh[x]]*Tanh[x])/Sqrt[Tanh[x]^2]}
+
+
+{(-1 + Sech[x]^2)^(3/2), x, 4, (-Coth[x])*Log[Cosh[x]]*Sqrt[-Tanh[x]^2] + (1/2)*Tanh[x]*Sqrt[-Tanh[x]^2]}
+{Sqrt[-1 + Sech[x]^2], x, 3, Coth[x]*Log[Cosh[x]]*Sqrt[-Tanh[x]^2]}
+{1/Sqrt[-1 + Sech[x]^2], x, 3, (Log[Sinh[x]]*Tanh[x])/Sqrt[-Tanh[x]^2]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Sech[e+f x]^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[a + b*Sech[x]^2]*Tanh[x]^5, x, 7, Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]] - Sqrt[a + b*Sech[x]^2] + ((a + 2*b)*(a + b*Sech[x]^2)^(3/2))/(3*b^2) - (a + b*Sech[x]^2)^(5/2)/(5*b^2)}
+{Sqrt[a + b*Sech[x]^2]*Tanh[x]^4, x, 9, -((a^2 + 6*a*b - 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]])/(8*b^(3/2)) + Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]] + ((a - 3*b)*Tanh[x]*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])/(8*b) - (Tanh[x]^3*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])/4}
+{Sqrt[a + b*Sech[x]^2]*Tanh[x]^3, x, 6, Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]] - Sqrt[a + b*Sech[x]^2] + (a + b*Sech[x]^2)^(3/2)/(3*b)}
+{Sqrt[a + b*Sech[x]^2]*Tanh[x]^2, x, 8, -((a - b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]])/(2*Sqrt[b]) + Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]] - (Tanh[x]*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])/2}
+{Sqrt[a + b*Sech[x]^2]*Tanh[x]^1, x, 5, Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]] - Sqrt[a + b*Sech[x]^2]}
+{Sqrt[a + b*Sech[x]^2]*Tanh[x]^0, x, 6, Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]] + Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]}
+{Coth[x]^1*Sqrt[a + b*Sech[x]^2], x, 7, Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]] - Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a + b]]}
+{Coth[x]^2*Sqrt[a + b*Sech[x]^2], x, 6, Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]] - Coth[x]*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]}
+{Coth[x]^3*Sqrt[a + b*Sech[x]^2], x, 8, Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]] - ((2*a + b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a + b]])/(2*Sqrt[a + b]) - (1/2)*Coth[x]^2*Sqrt[a + b*Sech[x]^2]}
+{Coth[x]^4*Sqrt[a + b*Sech[x]^2], x, 7, Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]] - ((3*a + 2*b)*Coth[x]*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])/(3*(a + b)) - (Coth[x]^3*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])/3}
+{Coth[x]^5*Sqrt[a + b*Sech[x]^2], x, 9, Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]] - ((8*a^2 + 12*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a + b]])/(8*(a + b)^(3/2)) - ((4*a + 3*b)*Coth[x]^2*Sqrt[a + b*Sech[x]^2])/(8*(a + b)) - (1/4)*Coth[x]^4*Sqrt[a + b*Sech[x]^2]}
+
+
+{(a + b*Sech[x]^2)^(3/2)*Tanh[x]^3, x, 7, a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]] - a*Sqrt[a + b*Sech[x]^2] - (a + b*Sech[x]^2)^(3/2)/3 + (a + b*Sech[x]^2)^(5/2)/(5*b)}
+{(a + b*Sech[x]^2)^(3/2)*Tanh[x]^2, x, 9, -((3*a^2 - 6*a*b - b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]])/(8*Sqrt[b]) + a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]] - ((5*a + b)*Tanh[x]*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])/8 + (b*Tanh[x]^3*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])/4}
+{(a + b*Sech[x]^2)^(3/2)*Tanh[x]^1, x, 6, a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]] - a*Sqrt[a + b*Sech[x]^2] - (a + b*Sech[x]^2)^(3/2)/3}
+{(a + b*Sech[x]^2)^(3/2)*Tanh[x]^0, x, 7, (Sqrt[b]*(3*a + b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]])/2 + a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]] + (b*Tanh[x]*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])/2}
+{Coth[x]^1*(a + b*Sech[x]^2)^(3/2), x, 8, a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]] - (a + b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a + b]] + b*Sqrt[a + b*Sech[x]^2]}
+{Coth[x]^2*(a + b*Sech[x]^2)^(3/2), x, 8, -(b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]) + a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]] - (a + b)*Coth[x]*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]}
+
+
+{(a + b*Sech[c + d*x]^2)^(5/2), x, 8, (Sqrt[b]*(15*a^2 + 10*a*b + 3*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[c + d*x]^2]])/(8*d) + (a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[c + d*x]^2]])/d + (b*(7*a + 3*b)*Tanh[c + d*x]*Sqrt[a + b - b*Tanh[c + d*x]^2])/(8*d) + (b*Tanh[c + d*x]*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^(3/2))/(4*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Tanh[x]^5/Sqrt[a + b*Sech[x]^2], x, 6, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]]/Sqrt[a] + ((a + 2*b)*Sqrt[a + b*Sech[x]^2])/b^2 - (a + b*Sech[x]^2)^(3/2)/(3*b^2)}
+{Tanh[x]^4/Sqrt[a + b*Sech[x]^2], x, 8, -((a + 3*b)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]])/(2*b^(3/2)) + ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]/Sqrt[a] + (Tanh[x]*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])/(2*b)}
+{Tanh[x]^3/Sqrt[a + b*Sech[x]^2], x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]]/Sqrt[a] + Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/b}
+{Tanh[x]^2/Sqrt[a + b*Sech[x]^2], x, 7, -(ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]/Sqrt[b]) + ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]/Sqrt[a]}
+{Tanh[x]^1/Sqrt[a + b*Sech[x]^2], x, 4, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]]/Sqrt[a]}
+{Tanh[x]^0/Sqrt[a + b*Sech[x]^2], x, 3, ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]/Sqrt[a]}
+{Coth[x]^1/Sqrt[a + b*Sech[x]^2], x, 7, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]]/Sqrt[a] - ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a + b]]/Sqrt[a + b]}
+{Coth[x]^2/Sqrt[a + b*Sech[x]^2], x, 6, ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]/Sqrt[a] - (Coth[x]*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])/(a + b)}
+{Coth[x]^3/Sqrt[a + b*Sech[x]^2], x, 8, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]]/Sqrt[a] - ((2*a + 3*b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a + b]])/(2*(a + b)^(3/2)) - (Coth[x]^2*Sqrt[a + b*Sech[x]^2])/(2*(a + b))}
+
+
+{Tanh[x]^5/(a + b*Sech[x]^2)^(3/2), x, 6, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(3/2) - (a + b)^2/(a*b^2*Sqrt[a + b*Sech[x]^2]) - Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/b^2}
+{Tanh[x]^4/(a + b*Sech[x]^2)^(3/2), x, 8, ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]/b^(3/2) + ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]/a^(3/2) - ((a + b)*Tanh[x])/(a*b*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])}
+{Tanh[x]^3/(a + b*Sech[x]^2)^(3/2), x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(3/2) - (a + b)/(a*b*Sqrt[a + b*Sech[x]^2])}
+{Tanh[x]^2/(a + b*Sech[x]^2)^(3/2), x, 5, ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]/a^(3/2) - Tanh[x]/(a*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])}
+{Tanh[x]^1/(a + b*Sech[x]^2)^(3/2), x, 5, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(3/2) - 1/(a*Sqrt[a + b*Sech[x]^2])}
+{Tanh[x]^0/(a + b*Sech[x]^2)^(3/2), x, 4, ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]/a^(3/2) - (b*Tanh[x])/(a*(a + b)*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])}
+{Coth[x]^1/(a + b*Sech[x]^2)^(3/2), x, 8, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(3/2) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(3/2) - b/(a*(a + b)*Sqrt[a + b*Sech[x]^2])}
+{Coth[x]^2/(a + b*Sech[x]^2)^(3/2), x, 7, ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]/a^(3/2) - (b*Coth[x])/(a*(a + b)*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]) - ((a - b)*Coth[x]*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])/(a*(a + b)^2)}
+
+
+{Tanh[x]^6/(a + b*Sech[x]^2)^(5/2), x, 9, -(ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]/b^(5/2)) + ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]/a^(5/2) - ((a + b)*Tanh[x]^3)/(3*a*b*(a + b - b*Tanh[x]^2)^(3/2)) - ((a^(-2) - b^(-2))*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]}
+{Tanh[x]^5/(a + b*Sech[x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(5/2) - (a + b)^2/(3*a*b^2*(a + b*Sech[x]^2)^(3/2)) - (1/a^2 - 1/b^2)/Sqrt[a + b*Sech[x]^2]}
+{Tanh[x]^4/(a + b*Sech[x]^2)^(5/2), x, 7, ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]/a^(5/2) - ((a + b)*Tanh[x])/(3*a*b*(a + b - b*Tanh[x]^2)^(3/2)) + ((a - 3*b)*Tanh[x])/(3*a^2*b*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])}
+{Tanh[x]^3/(a + b*Sech[x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(5/2) - (a + b)/(3*a*b*(a + b*Sech[x]^2)^(3/2)) - 1/(a^2*Sqrt[a + b*Sech[x]^2])}
+{Tanh[x]^2/(a + b*Sech[x]^2)^(5/2), x, 7, ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]/a^(5/2) - Tanh[x]/(3*a*(a + b - b*Tanh[x]^2)^(3/2)) - ((2*a + 3*b)*Tanh[x])/(3*a^2*(a + b)*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])}
+{Tanh[x]^1/(a + b*Sech[x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(5/2) - 1/(3*a*(a + b*Sech[x]^2)^(3/2)) - 1/(a^2*Sqrt[a + b*Sech[x]^2])}
+{Tanh[x]^0/(a + b*Sech[x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]/a^(5/2) - (b*Tanh[x])/(3*a*(a + b)*(a + b - b*Tanh[x]^2)^(3/2)) - (b*(5*a + 3*b)*Tanh[x])/(3*a^2*(a + b)^2*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])}
+{Coth[x]^1/(a + b*Sech[x]^2)^(5/2), x, 9, ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(5/2) - ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(5/2) - b/(3*a*(a + b)*(a + b*Sech[x]^2)^(3/2)) - (b*(2*a + b))/(a^2*(a + b)^2*Sqrt[a + b*Sech[x]^2])}
+{Coth[x]^2/(a + b*Sech[x]^2)^(5/2), x, 8, ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]/a^(5/2) - (b*Coth[x])/(3*a*(a + b)*(a + b - b*Tanh[x]^2)^(3/2)) - (b*(7*a + 3*b)*Coth[x])/(3*a^2*(a + b)^2*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]) - ((a - 3*b)*(3*a + b)*Coth[x]*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])/(3*a^2*(a + b)^3)}
+
+
+{1/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^(7/2), x, 7, ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[c + d*x]^2]]/(a^(7/2)*d) - (b*Tanh[c + d*x])/(5*a*(a + b)*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^(5/2)) - (b*(9*a + 5*b)*Tanh[c + d*x])/(15*a^2*(a + b)^2*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^(3/2)) - (b*(33*a^2 + 40*a*b + 15*b^2)*Tanh[c + d*x])/(15*a^3*(a + b)^3*d*Sqrt[a + b - b*Tanh[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Sech[e+f x]^2)^p when p symbolic*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Sech[e+f x]^3)^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Sech[e+f x]^4)^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[e+f x]^m (a+b Sech[e+f x]^n)^p*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.6 Hyperbolic cosecant/6.6.1 (c+d x)^m (a+b csch)^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.6 Hyperbolic cosecant/6.6.1 (c+d x)^m (a+b csch)^n.m
new file mode 100644
index 00000000..19ccadc5
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.6 Hyperbolic cosecant/6.6.1 (c+d x)^m (a+b csch)^n.m	
@@ -0,0 +1,95 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b Csch[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Csch[a+b x]^p*)
+
+
+{(c + d*x)^3*Csch[a + b*x], x, 9, -((2*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b) - (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^2 + (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^2 + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 - (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^3 - (6*d^3*PolyLog[4, -E^(a + b*x)])/b^4 + (6*d^3*PolyLog[4, E^(a + b*x)])/b^4}
+{(c + d*x)^2*Csch[a + b*x], x, 7, -((2*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b) - (2*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^2 + (2*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^2 + (2*d^2*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 - (2*d^2*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^3}
+{(c + d*x)^1*Csch[a + b*x], x, 5, -((2*(c + d*x)*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b) - (d*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^2 + (d*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^2}
+{1/x^1*Csch[a + b*x], x, 0, Unintegrable[Csch[a + b*x]/x, x]}
+
+
+{(c + d*x)^3*Csch[a + b*x]^2, x, 6, -((c + d*x)^3/b) - ((c + d*x)^3*Coth[a + b*x])/b + (3*d*(c + d*x)^2*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b^2 + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/b^3 - (3*d^3*PolyLog[3, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^4)}
+{(c + d*x)^2*Csch[a + b*x]^2, x, 5, -((c + d*x)^2/b) - ((c + d*x)^2*Coth[a + b*x])/b + (2*d*(c + d*x)*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b^2 + (d^2*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/b^3}
+{(c + d*x)^1*Csch[a + b*x]^2, x, 2, -(((c + d*x)*Coth[a + b*x])/b) + (d*Log[Sinh[a + b*x]])/b^2}
+{1/x^1*Csch[a + b*x]^2, x, 0, Unintegrable[Csch[a + b*x]^2/x, x]}
+
+
+{(c + d*x)^3*Csch[a + b*x]^3, x, 15, -((6*d^2*(c + d*x)*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b^3) + ((c + d*x)^3*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - (3*d*(c + d*x)^2*Csch[a + b*x])/(2*b^2) - ((c + d*x)^3*Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/(2*b) - (3*d^3*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^4 + (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/(2*b^2) + (3*d^3*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^4 - (3*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/(2*b^2) - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^3 + (3*d^3*PolyLog[4, -E^(a + b*x)])/b^4 - (3*d^3*PolyLog[4, E^(a + b*x)])/b^4}
+{(c + d*x)^2*Csch[a + b*x]^3, x, 9, ((c + d*x)^2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - (d^2*ArcTanh[Cosh[a + b*x]])/b^3 - (d*(c + d*x)*Csch[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)^2*Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/(2*b) + (d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^2 - (d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^2 - (d^2*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 + (d^2*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^3}
+{(c + d*x)^1*Csch[a + b*x]^3, x, 6, ((c + d*x)*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - (d*Csch[a + b*x])/(2*b^2) - ((c + d*x)*Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/(2*b) + (d*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/(2*b^2) - (d*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/(2*b^2)}
+{1/x^1*Csch[a + b*x]^3, x, 0, Unintegrable[Csch[a + b*x]^3/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^(m/2) Csch[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Csch[a+b x]^(p/2)*)
+
+
+{x/Csch[x]^(3/2) + x*Sqrt[Csch[x]]/3, x, 4, -(4/(9*Csch[x]^(3/2))) + (2*x*Cosh[x])/(3*Sqrt[Csch[x]])}
+{x/Csch[x]^(5/2) + 3*x/(5*Sqrt[Csch[x]]), x, 4, -(4/(25*Csch[x]^(5/2))) + (2*x*Cosh[x])/(5*Csch[x]^(3/2))}
+{x/Csch[x]^(7/2) - (5/21)*x*Sqrt[Csch[x]], x, 5, -(4/(49*Csch[x]^(7/2))) + (2*x*Cosh[x])/(7*Csch[x]^(5/2)) + 20/(63*Csch[x]^(3/2)) - (10*x*Cosh[x])/(21*Sqrt[Csch[x]])}
+{x^2/Csch[x]^(3/2) + (1/3)*x^2*Sqrt[Csch[x]], x, 7, -((8*x)/(9*Csch[x]^(3/2))) + (16*Cosh[x])/(27*Sqrt[Csch[x]]) + (2*x^2*Cosh[x])/(3*Sqrt[Csch[x]]) - (16/27)*I*Sqrt[Csch[x]]*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, 2]*Sqrt[I*Sinh[x]]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sinh[c+d x]^n (a+b Csch[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sinh[c+d x]^n (a+b Csch[c+d x])^p with a^2+b^2=0*)
+
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+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Sinh[c+d x]^n (a+b Csch[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n (a+b Csch[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n (a+b Csch[c+d x])^p with a^2+b^2=0*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n (a+b Csch[c+d x])^p*)
+
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m Cosh[c+d x]^n / (a+b Csch[c+d x])^1*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
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+
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x])/(a + b*Csch[c + d*x]), x, 17, (b*(e + f*x)^4)/(4*a^2*f) - (6*f^3*Cosh[c + d*x])/(a*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(a*d^2) - (b*(e + f*x)^3*Log[1 + (a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*d) - (b*(e + f*x)^3*Log[1 + (a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*d) - (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^2) - (3*b*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^2) + (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^3) + (6*b*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^3) - (6*b*f^3*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^4) - (6*b*f^3*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^4) + (6*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(a*d^3) + ((e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(a*d)}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(a + b*Csch[c + d*x]), x, 14, (b*(e + f*x)^3)/(3*a^2*f) - (2*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(a*d^2) - (b*(e + f*x)^2*Log[1 + (a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*d) - (b*(e + f*x)^2*Log[1 + (a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*d) - (2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^2) - (2*b*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^2) + (2*b*f^2*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^3) + (2*b*f^2*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^3) + (2*f^2*Sinh[c + d*x])/(a*d^3) + ((e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(a*d)}
+{((e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(a + b*Csch[c + d*x]), x, 11, (b*(e + f*x)^2)/(2*a^2*f) - (f*Cosh[c + d*x])/(a*d^2) - (b*(e + f*x)*Log[1 + (a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*d) - (b*(e + f*x)*Log[1 + (a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*d) - (b*f*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^2) - (b*f*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*d^2) + ((e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(a*d)}
+{Cosh[c + d*x]/(a + b*Csch[c + d*x]), x, 5, -((b*Log[b + a*Sinh[c + d*x]])/(a^2*d)) + Sinh[c + d*x]/(a*d)}
+{Cosh[c + d*x]/((e + f*x)*(a + b*Csch[c + d*x])), x, 1, Unintegrable[(Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/((e + f*x)*(b + a*Sinh[c + d*x])), x]}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^2)/(a + b*Csch[c + d*x]), x, 24, (3*e*f^2*x)/(4*a*d^2) + (3*f^3*x^2)/(8*a*d^2) + (e + f*x)^4/(8*a*f) + (b^2*(e + f*x)^4)/(4*a^3*f) - (6*b*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(a^2*d^3) - (b*(e + f*x)^3*Cosh[c + d*x])/(a^2*d) - (3*f^3*Cosh[c + d*x]^2)/(8*a*d^4) - (3*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^2)/(4*a*d^2) - (b*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 + (a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) + (b*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^3*Log[1 + (a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) - (3*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) + (3*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) + (6*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^3) - (6*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^3) - (6*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f^3*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^4) + (6*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f^3*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^4) + (6*b*f^3*Sinh[c + d*x])/(a^2*d^4) + (3*b*f*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(a^2*d^2) + (3*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*a*d^3) + ((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*a*d)}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^2)/(a + b*Csch[c + d*x]), x, 21, (f^2*x)/(4*a*d^2) + (e + f*x)^3/(6*a*f) + (b^2*(e + f*x)^3)/(3*a^3*f) - (2*b*f^2*Cosh[c + d*x])/(a^2*d^3) - (b*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(a^2*d) - (f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2)/(2*a*d^2) - (b*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 + (a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) + (b*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)^2*Log[1 + (a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) - (2*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) + (2*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) + (2*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^3) - (2*b*Sqrt[a^2 + b^2]*f^2*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^3) + (2*b*f*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(a^2*d^2) + (f^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*a*d^3) + ((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*a*d)}
+{((e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2)/(a + b*Csch[c + d*x]), x, 16, (e*x)/(2*a) + (b^2*e*x)/a^3 + (f*x^2)/(4*a) + (b^2*f*x^2)/(2*a^3) - (b*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(a^2*d) - (f*Cosh[c + d*x]^2)/(4*a*d^2) - (b*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)*Log[1 + (a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) + (b*Sqrt[a^2 + b^2]*(e + f*x)*Log[1 + (a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^3*d) - (b*Sqrt[a^2 + b^2]*f*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) + (b*Sqrt[a^2 + b^2]*f*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^3*d^2) + (b*f*Sinh[c + d*x])/(a^2*d^2) + ((e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*a*d)}
+{Cosh[c + d*x]^2/(a + b*Csch[c + d*x]), x, 6, ((a^2 + 2*b^2)*x)/(2*a^3) + (2*b*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(a - b*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^3*d) - (Cosh[c + d*x]*(2*b - a*Sinh[c + d*x]))/(2*a^2*d)}
+
+
+{((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^3)/(a + b*Csch[c + d*x]), x, 31, (-3*b*f^3*x)/(8*a^2*d^3) - (b*(e + f*x)^3)/(4*a^2*d) + (b*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^4)/(4*a^4*f) - (40*f^3*Cosh[c + d*x])/(9*a*d^4) - (6*b^2*f^3*Cosh[c + d*x])/(a^3*d^4) - (2*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(a*d^2) - (3*b^2*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x])/(a^3*d^2) - (2*f^3*Cosh[c + d*x]^3)/(27*a*d^4) - (f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^3)/(3*a*d^2) - (b*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 + (a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^4*d) - (b*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^3*Log[1 + (a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^4*d) - (3*b*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^4*d^2) - (3*b*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^4*d^2) + (6*b*(a^2 + b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^4*d^3) + (6*b*(a^2 + b^2)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^4*d^3) - (6*b*(a^2 + b^2)*f^3*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^4*d^4) - (6*b*(a^2 + b^2)*f^3*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^4*d^4) + (40*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(9*a*d^3) + (6*b^2*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(a^3*d^3) + (2*(e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(3*a*d) + (b^2*(e + f*x)^3*Sinh[c + d*x])/(a^3*d) + (3*b*f^3*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*d^4) + (3*b*f*(e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*a^2*d^2) + (2*f^2*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(9*a*d^3) + ((e + f*x)^3*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(3*a*d) - (3*b*f^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(4*a^2*d^3) - (b*(e + f*x)^3*Sinh[c + d*x]^2)/(2*a^2*d)}
+{((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^3)/(a + b*Csch[c + d*x]), x, 24, -(b*e*f*x)/(2*a^2*d) - (b*f^2*x^2)/(4*a^2*d) + (b*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^3)/(3*a^4*f) - (4*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(3*a*d^2) - (2*b^2*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x])/(a^3*d^2) - (2*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]^3)/(9*a*d^2) - (b*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 + (a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^4*d) - (b*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^2*Log[1 + (a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^4*d) - (2*b*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^4*d^2) - (2*b*(a^2 + b^2)*f*(e + f*x)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^4*d^2) + (2*b*(a^2 + b^2)*f^2*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^4*d^3) + (2*b*(a^2 + b^2)*f^2*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^4*d^3) + (14*f^2*Sinh[c + d*x])/(9*a*d^3) + (2*b^2*f^2*Sinh[c + d*x])/(a^3*d^3) + (2*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(3*a*d) + (b^2*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x])/(a^3*d) + (b*f*(e + f*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(2*a^2*d^2) + ((e + f*x)^2*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(3*a*d) - (b*f^2*Sinh[c + d*x]^2)/(4*a^2*d^3) - (b*(e + f*x)^2*Sinh[c + d*x]^2)/(2*a^2*d) + (2*f^2*Sinh[c + d*x]^3)/(27*a*d^3)}
+{((e + f*x)*Cosh[c + d*x]^3)/(a + b*Csch[c + d*x]), x, 18, -(b*f*x)/(4*a^2*d) + (b*(a^2 + b^2)*(e + f*x)^2)/(2*a^4*f) - (2*f*Cosh[c + d*x])/(3*a*d^2) - (b^2*f*Cosh[c + d*x])/(a^3*d^2) - (f*Cosh[c + d*x]^3)/(9*a*d^2) - (b*(a^2 + b^2)*(e + f*x)*Log[1 + (a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^4*d) - (b*(a^2 + b^2)*(e + f*x)*Log[1 + (a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^4*d) - (b*(a^2 + b^2)*f*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^4*d^2) - (b*(a^2 + b^2)*f*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^4*d^2) + (2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(3*a*d) + (b^2*(e + f*x)*Sinh[c + d*x])/(a^3*d) + (b*f*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(4*a^2*d^2) + ((e + f*x)*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(3*a*d) - (b*(e + f*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(2*a^2*d)}
+{Cosh[c + d*x]^3/(a + b*Csch[c + d*x]), x, 5, -((b*(a^2 + b^2)*Log[b + a*Sinh[c + d*x]])/(a^4*d)) + ((a^2 + b^2)*Sinh[c + d*x])/(a^3*d) - (b*Sinh[c + d*x]^2)/(2*a^2*d) + Sinh[c + d*x]^3/(3*a*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.6 Hyperbolic cosecant/6.6.2 (e x)^m (a+b csch(c+d x^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.6 Hyperbolic cosecant/6.6.2 (e x)^m (a+b csch(c+d x^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..6dc3e084
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.6 Hyperbolic cosecant/6.6.2 (e x)^m (a+b csch(c+d x^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,179 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Csch[c+d x^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Csch[c+d x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Csch[c+d x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^5*(a + b*Csch[c + d*x^2]), x, 10, (a*x^6)/6 - (b*x^4*ArcTanh[E^(c + d*x^2)])/d - (b*x^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x^2)])/d^2 + (b*x^2*PolyLog[2, E^(c + d*x^2)])/d^2 + (b*PolyLog[3, -E^(c + d*x^2)])/d^3 - (b*PolyLog[3, E^(c + d*x^2)])/d^3}
+{x^4*(a + b*Csch[c + d*x^2]), x, 2, (a*x^5)/5 + b*Unintegrable[x^4*Csch[c + d*x^2], x]}
+{x^3*(a + b*Csch[c + d*x^2]), x, 8, (a*x^4)/4 - (b*x^2*ArcTanh[E^(c + d*x^2)])/d - (b*PolyLog[2, -E^(c + d*x^2)])/(2*d^2) + (b*PolyLog[2, E^(c + d*x^2)])/(2*d^2)}
+{x^2*(a + b*Csch[c + d*x^2]), x, 2, (a*x^3)/3 + b*Unintegrable[x^2*Csch[c + d*x^2], x]}
+{x*(a + b*Csch[c + d*x^2]), x, 4, (a*x^2)/2 - (b*ArcTanh[Cosh[c + d*x^2]])/(2*d)}
+{(a + b*Csch[c + d*x^2])/x, x, 2, a*Log[x] + b*Unintegrable[Csch[c + d*x^2]/x, x]}
+{(a + b*Csch[c + d*x^2])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Csch[c + d*x^2]/x^2, x]}
+
+
+{x^5*(a + b*Csch[c + d*x^2])^2, x, 15, -((b^2*x^4)/(2*d)) + (a^2*x^6)/6 - (2*a*b*x^4*ArcTanh[E^(c + d*x^2)])/d - (b^2*x^4*Coth[c + d*x^2])/(2*d) + (b^2*x^2*Log[1 - E^(2*(c + d*x^2))])/d^2 - (2*a*b*x^2*PolyLog[2, -E^(c + d*x^2)])/d^2 + (2*a*b*x^2*PolyLog[2, E^(c + d*x^2)])/d^2 + (b^2*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x^2))])/(2*d^3) + (2*a*b*PolyLog[3, -E^(c + d*x^2)])/d^3 - (2*a*b*PolyLog[3, E^(c + d*x^2)])/d^3}
+{x^4*(a + b*Csch[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[x^4*(a + b*Csch[c + d*x^2])^2, x]}
+{x^3*(a + b*Csch[c + d*x^2])^2, x, 10, (a^2*x^4)/4 - (2*a*b*x^2*ArcTanh[E^(c + d*x^2)])/d - (b^2*x^2*Coth[c + d*x^2])/(2*d) + (b^2*Log[Sinh[c + d*x^2]])/(2*d^2) - (a*b*PolyLog[2, -E^(c + d*x^2)])/d^2 + (a*b*PolyLog[2, E^(c + d*x^2)])/d^2}
+{x^2*(a + b*Csch[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[x^2*(a + b*Csch[c + d*x^2])^2, x]}
+{x*(a + b*Csch[c + d*x^2])^2, x, 5, (a^2*x^2)/2 - (a*b*ArcTanh[Cosh[c + d*x^2]])/d - (b^2*Coth[c + d*x^2])/(2*d)}
+{(a + b*Csch[c + d*x^2])^2/x, x, 0, Unintegrable[(a + b*Csch[c + d*x^2])^2/x, x]}
+{(a + b*Csch[c + d*x^2])^2/x^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Csch[c + d*x^2])^2/x^2, x]}
+
+
+{x*Csch[a + b*x^2]^7, x, 5, (5*ArcTanh[Cosh[a + b*x^2]])/(32*b) - (5*Coth[a + b*x^2]*Csch[a + b*x^2])/(32*b) + (5*Coth[a + b*x^2]*Csch[a + b*x^2]^3)/(48*b) - (Coth[a + b*x^2]*Csch[a + b*x^2]^5)/(12*b)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^5/(a + b*Csch[c + d*x^2]), x, 13, x^6/(6*a) - (b*x^4*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (b*x^4*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (b*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (b*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3)}
+{x^4/(a + b*Csch[c + d*x^2]), x, 0, Unintegrable[x^4/(a + b*Csch[c + d*x^2]), x]}
+{x^3/(a + b*Csch[c + d*x^2]), x, 11, x^4/(4*a) - (b*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (b*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (b*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(2*a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (b*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(2*a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2)}
+{x^2/(a + b*Csch[c + d*x^2]), x, 0, Unintegrable[x^2/(a + b*Csch[c + d*x^2]), x]}
+{x/(a + b*Csch[c + d*x^2]), x, 5, x^2/(2*a) + (b*ArcTanh[(a - b*Tanh[(c + d*x^2)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d)}
+{1/(x*(a + b*Csch[c + d*x^2])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Csch[c + d*x^2])), x]}
+{(a + b*Csch[c + d*x^2])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Csch[c + d*x^2]/x^2, x]}
+
+
+{x^5/(a + b*Csch[c + d*x^2])^2, x, 31, -(b^2*x^4)/(2*a^2*(a^2 + b^2)*d) + x^6/(6*a^2) + (b^2*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (b^3*x^4*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (b*x^4*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (b^2*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (b^3*x^4*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (b*x^4*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (b^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (b^3*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (2*b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (b^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (b^3*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (2*b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (b^3*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (2*b*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) + (b^3*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (2*b*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (b^2*x^4*Cosh[c + d*x^2])/(2*a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Sinh[c + d*x^2]))}
+{x^4/(a + b*Csch[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[x^4/(a + b*Csch[c + d*x^2])^2, x]}
+{x^3/(a + b*Csch[c + d*x^2])^2, x, 22, x^4/(4*a^2) + (b^3*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (b*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (b^3*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(2*a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (b*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (b^2*Log[b + a*Sinh[c + d*x^2]])/(2*a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (b^3*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(2*a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (b*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (b^3*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(2*a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (b*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^2))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (b^2*x^2*Cosh[c + d*x^2])/(2*a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Sinh[c + d*x^2]))}
+{x^2/(a + b*Csch[c + d*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[x^2/(a + b*Csch[c + d*x^2])^2, x]}
+{x/(a + b*Csch[c + d*x^2])^2, x, 7, x^2/(2*a^2) + (b*(2*a^2 + b^2)*ArcTanh[(a - b*Tanh[(c + d*x^2)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (b^2*Coth[c + d*x^2])/(2*a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Csch[c + d*x^2]))}
+{1/(x*(a + b*Csch[c + d*x^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Csch[c + d*x^2])^2), x]}
+{1/(x^2*(a + b*Csch[c + d*x^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Csch[c + d*x^2])^2), x]}
+{1/(x^3*(a + b*Csch[c + d*x^2])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^3*(a + b*Csch[c + d*x^2])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Csch[c+d x^(1/2)])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Csch[c+d x^(1/2)])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]]), x, 20, (a*x^4)/4 - (4*b*x^(7/2)*ArcTanh[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - (14*b*x^3*PolyLog[2, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (14*b*x^3*PolyLog[2, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (84*b*x^(5/2)*PolyLog[3, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (84*b*x^(5/2)*PolyLog[3, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (420*b*x^2*PolyLog[4, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (420*b*x^2*PolyLog[4, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (1680*b*x^(3/2)*PolyLog[5, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 - (1680*b*x^(3/2)*PolyLog[5, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 - (5040*b*x*PolyLog[6, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^6 + (5040*b*x*PolyLog[6, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^6 + (10080*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^7 - (10080*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^7 - (10080*b*PolyLog[8, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^8 + (10080*b*PolyLog[8, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^8}
+{x^2*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]]), x, 16, (a*x^3)/3 - (4*b*x^(5/2)*ArcTanh[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - (10*b*x^2*PolyLog[2, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (10*b*x^2*PolyLog[2, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (40*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (40*b*x^(3/2)*PolyLog[3, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (120*b*x*PolyLog[4, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (120*b*x*PolyLog[4, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (240*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 - (240*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 - (240*b*PolyLog[6, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^6 + (240*b*PolyLog[6, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^6}
+{x*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]]), x, 12, (a*x^2)/2 - (4*b*x^(3/2)*ArcTanh[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - (6*b*x*PolyLog[2, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (6*b*x*PolyLog[2, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (12*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (12*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (12*b*PolyLog[4, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (12*b*PolyLog[4, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4}
+{(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])/x, x, 2, a*Log[x] + b*Unintegrable[Csch[c + d*Sqrt[x]]/x, x]}
+{(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Csch[c + d*Sqrt[x]]/x^2, x]}
+
+
+{x^3*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 30, -((2*b^2*x^(7/2))/d) + (a^2*x^4)/4 - (8*a*b*x^(7/2)*ArcTanh[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - (2*b^2*x^(7/2)*Coth[c + d*Sqrt[x]])/d + (14*b^2*x^3*Log[1 - E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (28*a*b*x^3*PolyLog[2, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (28*a*b*x^3*PolyLog[2, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (42*b^2*x^(5/2)*PolyLog[2, E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (168*a*b*x^(5/2)*PolyLog[3, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (168*a*b*x^(5/2)*PolyLog[3, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (105*b^2*x^2*PolyLog[3, E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - (840*a*b*x^2*PolyLog[4, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (840*a*b*x^2*PolyLog[4, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (210*b^2*x^(3/2)*PolyLog[4, E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + (3360*a*b*x^(3/2)*PolyLog[5, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 - (3360*a*b*x^(3/2)*PolyLog[5, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 - (315*b^2*x*PolyLog[5, E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 - (10080*a*b*x*PolyLog[6, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^6 + (10080*a*b*x*PolyLog[6, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^6 + (315*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[6, E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^7 + (20160*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^7 - (20160*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^7 - (315*b^2*PolyLog[7, E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/(2*d^8) - (20160*a*b*PolyLog[8, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^8 + (20160*a*b*PolyLog[8, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^8}
+{x^2*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 24, -((2*b^2*x^(5/2))/d) + (a^2*x^3)/3 - (8*a*b*x^(5/2)*ArcTanh[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - (2*b^2*x^(5/2)*Coth[c + d*Sqrt[x]])/d + (10*b^2*x^2*Log[1 - E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (20*a*b*x^2*PolyLog[2, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (20*a*b*x^2*PolyLog[2, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (20*b^2*x^(3/2)*PolyLog[2, E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (80*a*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (80*a*b*x^(3/2)*PolyLog[3, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (30*b^2*x*PolyLog[3, E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - (240*a*b*x*PolyLog[4, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (240*a*b*x*PolyLog[4, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (30*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[4, E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + (480*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 - (480*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 - (15*b^2*PolyLog[5, E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^6 - (480*a*b*PolyLog[6, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^6 + (480*a*b*PolyLog[6, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^6}
+{x*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 18, -((2*b^2*x^(3/2))/d) + (a^2*x^2)/2 - (8*a*b*x^(3/2)*ArcTanh[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - (2*b^2*x^(3/2)*Coth[c + d*Sqrt[x]])/d + (6*b^2*x*Log[1 - E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (12*a*b*x*PolyLog[2, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (12*a*b*x*PolyLog[2, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (6*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[2, E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (24*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (24*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (3*b^2*PolyLog[3, E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - (24*a*b*PolyLog[4, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (24*a*b*PolyLog[4, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4}
+{(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2/x, x, 0, Unintegrable[(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2/x, x]}
+{(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2/x^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3/(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]]), x, 23, x^4/(4*a) - (2*b*x^(7/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (2*b*x^(7/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (14*b*x^3*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (14*b*x^3*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (84*b*x^(5/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (84*b*x^(5/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (420*b*x^2*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) + (420*b*x^2*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) + (1680*b*x^(3/2)*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^5) - (1680*b*x^(3/2)*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^5) - (5040*b*x*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^6) + (5040*b*x*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^6) + (10080*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^7) - (10080*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^7) - (10080*b*PolyLog[8, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^8) + (10080*b*PolyLog[8, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^8)}
+{x^2/(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]]), x, 19, x^3/(3*a) - (2*b*x^(5/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (2*b*x^(5/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (10*b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (10*b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (40*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (40*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (120*b*x*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) + (120*b*x*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) + (240*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^5) - (240*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^5) - (240*b*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^6) + (240*b*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^6)}
+{x/(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]]), x, 15, x^2/(2*a) - (2*b*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (2*b*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (6*b*x*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (6*b*x*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (12*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (12*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (12*b*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) + (12*b*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4)}
+{1/(x*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])), x]}
+{(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])/x^2, x, 2, -(a/x) + b*Unintegrable[Csch[c + d*Sqrt[x]]/x^2, x]}
+
+
+{x^3/(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 61, (-2*b^2*x^(7/2))/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + x^4/(4*a^2) + (14*b^2*x^3*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*b^3*x^(7/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (4*b*x^(7/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (14*b^2*x^3*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*b^3*x^(7/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (4*b*x^(7/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (84*b^2*x^(5/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (14*b^3*x^3*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (28*b*x^3*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (84*b^2*x^(5/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (14*b^3*x^3*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (28*b*x^3*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (420*b^2*x^2*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^4) - (84*b^3*x^(5/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (168*b*x^(5/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (420*b^2*x^2*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^4) + (84*b^3*x^(5/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (168*b*x^(5/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) + (1680*b^2*x^(3/2)*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^5) + (420*b^3*x^2*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (840*b*x^2*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) + (1680*b^2*x^(3/2)*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^5) - (420*b^3*x^2*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (840*b*x^2*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) - (5040*b^2*x*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^6) - (1680*b^3*x^(3/2)*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) + (3360*b*x^(3/2)*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^5) - (5040*b^2*x*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^6) + (1680*b^3*x^(3/2)*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) - (3360*b*x^(3/2)*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^5) + (10080*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^7) + (5040*b^3*x*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^6) - (10080*b*x*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^6) + (10080*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^7) - (5040*b^3*x*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^6) + (10080*b*x*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^6) - (10080*b^2*PolyLog[7, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^8) - (10080*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[7, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^7) + (20160*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^7) - (10080*b^2*PolyLog[7, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^8) + (10080*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[7, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^7) - (20160*b*Sqrt[x]*PolyLog[7, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^7) + (10080*b^3*PolyLog[8, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^8) - (20160*b*PolyLog[8, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^8) - (10080*b^3*PolyLog[8, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^8) + (20160*b*PolyLog[8, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^8) - (2*b^2*x^(7/2)*Cosh[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Sinh[c + d*Sqrt[x]]))}
+{x^2/(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 49, (-2*b^2*x^(5/2))/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + x^3/(3*a^2) + (10*b^2*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*b^3*x^(5/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (4*b*x^(5/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (10*b^2*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*b^3*x^(5/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (4*b*x^(5/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (40*b^2*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (10*b^3*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (20*b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (40*b^2*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (10*b^3*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (20*b*x^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (120*b^2*x*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^4) - (40*b^3*x^(3/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (80*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (120*b^2*x*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^4) + (40*b^3*x^(3/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (80*b*x^(3/2)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) + (240*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^5) + (120*b^3*x*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (240*b*x*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) + (240*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^5) - (120*b^3*x*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (240*b*x*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) - (240*b^2*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^6) - (240*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) + (480*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^5) - (240*b^2*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^6) + (240*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) - (480*b*Sqrt[x]*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^5) + (240*b^3*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^6) - (480*b*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^6) - (240*b^3*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^6) + (480*b*PolyLog[6, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^6) - (2*b^2*x^(5/2)*Cosh[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Sinh[c + d*Sqrt[x]]))}
+{x/(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 37, (-2*b^2*x^(3/2))/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + x^2/(2*a^2) + (6*b^2*x*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*b^3*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (4*b*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (6*b^2*x*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*b^3*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (4*b*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (12*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (6*b^3*x*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (12*b*x*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (12*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (6*b^3*x*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (12*b*x*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (12*b^2*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^4) - (12*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (24*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (12*b^2*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^4) + (12*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (24*b*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) + (12*b^3*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (24*b*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) - (12*b^3*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (24*b*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) - (2*b^2*x^(3/2)*Cosh[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Sinh[c + d*Sqrt[x]]))}
+{1/(x*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2), x]}
+{1/(x^2*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^(m/2) (a+b Csch[c+d x^(1/2)])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^(3/2)*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]]), x, 14, (2*a*x^(5/2))/5 - (4*b*x^2*ArcTanh[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - (8*b*x^(3/2)*PolyLog[2, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (8*b*x^(3/2)*PolyLog[2, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (24*b*x*PolyLog[3, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (24*b*x*PolyLog[3, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (48*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (48*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (48*b*PolyLog[5, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 - (48*b*PolyLog[5, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5}
+{Sqrt[x]*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]]), x, 10, (2*a*x^(3/2))/3 - (4*b*x*ArcTanh[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - (4*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (4*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (4*b*PolyLog[3, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (4*b*PolyLog[3, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3}
+{(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])/Sqrt[x], x, 4, 2*a*Sqrt[x] - (2*b*ArcTanh[Cosh[c + d*Sqrt[x]]])/d}
+{(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])/x^(3/2), x, 2, (-2*a)/Sqrt[x] + b*Unintegrable[Csch[c + d*Sqrt[x]]/x^(3/2), x]}
+{(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])/x^(5/2), x, 2, (-2*a)/(3*x^(3/2)) + b*Unintegrable[Csch[c + d*Sqrt[x]]/x^(5/2), x]}
+
+
+{x^(3/2)*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 21, -((2*b^2*x^2)/d) + (2/5)*a^2*x^(5/2) - (8*a*b*x^2*ArcTanh[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - (2*b^2*x^2*Coth[c + d*Sqrt[x]])/d + (8*b^2*x^(3/2)*Log[1 - E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (16*a*b*x^(3/2)*PolyLog[2, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (16*a*b*x^(3/2)*PolyLog[2, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (12*b^2*x*PolyLog[2, E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (48*a*b*x*PolyLog[3, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (48*a*b*x*PolyLog[3, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (12*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[3, E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^4 - (96*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (96*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^4 + (6*b^2*PolyLog[4, E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^5 + (96*a*b*PolyLog[5, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5 - (96*a*b*PolyLog[5, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^5}
+{Sqrt[x]*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 15, -((2*b^2*x)/d) + (2/3)*a^2*x^(3/2) - (8*a*b*x*ArcTanh[E^(c + d*Sqrt[x])])/d - (2*b^2*x*Coth[c + d*Sqrt[x]])/d + (4*b^2*Sqrt[x]*Log[1 - E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^2 - (8*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (8*a*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^2 + (2*b^2*PolyLog[2, E^(2*(c + d*Sqrt[x]))])/d^3 + (8*a*b*PolyLog[3, -E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3 - (8*a*b*PolyLog[3, E^(c + d*Sqrt[x])])/d^3}
+{(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2/Sqrt[x], x, 5, 2*a^2*Sqrt[x] - (4*a*b*ArcTanh[Cosh[c + d*Sqrt[x]]])/d - (2*b^2*Coth[c + d*Sqrt[x]])/d}
+{(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2/x^(3/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2/x^(3/2), x]}
+{(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2/x^(5/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2/x^(5/2), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^(3/2)/(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]]), x, 17, (2*x^(5/2))/(5*a) - (2*b*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (2*b*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (8*b*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (8*b*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (24*b*x*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (24*b*x*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (48*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) + (48*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) + (48*b*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^5) - (48*b*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^5)}
+{Sqrt[x]/(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]]), x, 13, (2*x^(3/2))/(3*a) - (2*b*x*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (2*b*x*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d) - (4*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (4*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (4*b*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (4*b*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3)}
+{1/(Sqrt[x]*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])), x, 5, (2*Sqrt[x])/a + (4*b*ArcTanh[(a - b*Tanh[(c + d*Sqrt[x])/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d)}
+{1/(x^(3/2)*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])), x, 0, Unintegrable[1/(x^(3/2)*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])), x]}
+{1/(x^(5/2)*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])), x, 0, Unintegrable[1/(x^(5/2)*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])), x]}
+
+
+{x^(3/2)/(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 43, (-2*b^2*x^2)/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (2*x^(5/2))/(5*a^2) + (8*b^2*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*b^3*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (4*b*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (8*b^2*x^(3/2)*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*b^3*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (4*b*x^2*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (24*b^2*x*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (8*b^3*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (16*b*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (24*b^2*x*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (8*b^3*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (16*b*x^(3/2)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (48*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^4) - (24*b^3*x*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (48*b*x*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (48*b^2*Sqrt[x]*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^4) + (24*b^3*x*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (48*b*x*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) + (48*b^2*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^5) + (48*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) - (96*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) + (48*b^2*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^5) - (48*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^4) + (96*b*Sqrt[x]*PolyLog[4, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^4) - (48*b^3*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) + (96*b*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^5) + (48*b^3*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^5) - (96*b*PolyLog[5, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^5) - (2*b^2*x^2*Cosh[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Sinh[c + d*Sqrt[x]]))}
+{Sqrt[x]/(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2, x, 31, (-2*b^2*x)/(a^2*(a^2 + b^2)*d) + (2*x^(3/2))/(3*a^2) + (4*b^2*Sqrt[x]*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) + (2*b^3*x*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (4*b*x*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (4*b^2*Sqrt[x]*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2) - (2*b^3*x*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) + (4*b*x*Log[1 + (a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d) + (4*b^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) + (4*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) - (8*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) + (4*b^2*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3) - (4*b^3*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2) + (8*b*Sqrt[x]*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2) - (4*b^3*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) + (8*b*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) + (4*b^3*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3) - (8*b*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*Sqrt[x]))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3) - (2*b^2*x*Cosh[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 + b^2)*d*(b + a*Sinh[c + d*Sqrt[x]]))}
+{1/(Sqrt[x]*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 7, (2*Sqrt[x])/a^2 + (4*b*(2*a^2 + b^2)*ArcTanh[(a - b*Tanh[(c + d*Sqrt[x])/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (2*b^2*Coth[c + d*Sqrt[x]])/(a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]]))}
+{1/(x^(3/2)*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^(3/2)*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2), x]}
+{1/(x^(5/2)*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^(5/2)*(a + b*Csch[c + d*Sqrt[x]])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b Csch[c+d x^n])^p*)
+
+
+{(e*x)^m*(a + b*Csch[c + d*x^n])^p, x, 1, ((e*x)^m*Unintegrable[x^m*(a + b*Csch[c + d*x^n])^p, x])/x^m}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(e*x)^(-1 + n)*(a + b*Csch[c + d*x^n]), x, 5, (a*(e*x)^n)/(e*n) - (b*(e*x)^n*ArcTanh[Cosh[c + d*x^n]])/(d*e*n*x^n)}
+{(e*x)^(-1 + 2*n)*(a + b*Csch[c + d*x^n]), x, 9, (a*(e*x)^(2*n))/(2*e*n) - (2*b*(e*x)^(2*n)*ArcTanh[E^(c + d*x^n)])/(d*e*n*x^n) - (b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -E^(c + d*x^n)])/(d^2*e*n*x^(2*n)) + (b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, E^(c + d*x^n)])/(d^2*e*n*x^(2*n))}
+{(e*x)^(-1 + 3*n)*(a + b*Csch[c + d*x^n]), x, 11, (a*(e*x)^(3*n))/(3*e*n) - (2*b*(e*x)^(3*n)*ArcTanh[E^(c + d*x^n)])/(d*e*n*x^n) - (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -E^(c + d*x^n)])/(d^2*e*n*x^(2*n)) + (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, E^(c + d*x^n)])/(d^2*e*n*x^(2*n)) + (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -E^(c + d*x^n)])/(d^3*e*n*x^(3*n)) - (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, E^(c + d*x^n)])/(d^3*e*n*x^(3*n))}
+
+
+{(e*x)^(-1 + n)*(a + b*Csch[c + d*x^n])^2, x, 6, (a^2*(e*x)^n)/(e*n) - (2*a*b*(e*x)^n*ArcTanh[Cosh[c + d*x^n]])/(d*e*n*x^n) - (b^2*(e*x)^n*Coth[c + d*x^n])/(d*e*n*x^n)}
+{(e*x)^(-1 + 2*n)*(a + b*Csch[c + d*x^n])^2, x, 11, (a^2*(e*x)^(2*n))/(2*e*n) - (4*a*b*(e*x)^(2*n)*ArcTanh[E^(c + d*x^n)])/(d*e*n*x^n) - (b^2*(e*x)^(2*n)*Coth[c + d*x^n])/(d*e*n*x^n) + (b^2*(e*x)^(2*n)*Log[Sinh[c + d*x^n]])/(d^2*e*n*x^(2*n)) - (2*a*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -E^(c + d*x^n)])/(d^2*e*n*x^(2*n)) + (2*a*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, E^(c + d*x^n)])/(d^2*e*n*x^(2*n))}
+{(e*x)^(-1 + 3*n)*(a + b*Csch[c + d*x^n])^2, x, 16, (a^2*(e*x)^(3*n))/(3*e*n) - (b^2*(e*x)^(3*n))/(x^n*(d*e*n)) - (4*a*b*(e*x)^(3*n)*ArcTanh[E^(c + d*x^n)])/(x^n*(d*e*n)) - (b^2*(e*x)^(3*n)*Coth[c + d*x^n])/(x^n*(d*e*n)) + (2*b^2*(e*x)^(3*n)*Log[1 - E^(2*(c + d*x^n))])/(x^(2*n)*(d^2*e*n)) - (4*a*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -E^(c + d*x^n)])/(x^(2*n)*(d^2*e*n)) + (4*a*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, E^(c + d*x^n)])/(x^(2*n)*(d^2*e*n)) + (b^2*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, E^(2*(c + d*x^n))])/(x^(3*n)*(d^3*e*n)) + (4*a*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -E^(c + d*x^n)])/(x^(3*n)*(d^3*e*n)) - (4*a*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, E^(c + d*x^n)])/(x^(3*n)*(d^3*e*n))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(e*x)^(-1 + n)/(a + b*Csch[c + d*x^n]), x, 6, (e*x)^n/(a*e*n) + (2*b*(e*x)^n*ArcTanh[(a - b*Tanh[(c + d*x^n)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d*e*n*x^n)}
+{(e*x)^(-1 + 2*n)/(a + b*Csch[c + d*x^n]), x, 12, (e*x)^(2*n)/(2*a*e*n) - (b*(e*x)^(2*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) + (b*(e*x)^(2*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) - (b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) + (b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n))}
+{(e*x)^(-1 + 3*n)/(a + b*Csch[c + d*x^n]), x, 14, (e*x)^(3*n)/(3*a*e*n) - (b*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) + (b*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) - (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) + (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) + (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3*e*n*x^(3*n)) - (2*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3*e*n*x^(3*n))}
+
+
+{(e*x)^(-1 + n)/(a + b*Csch[c + d*x^n])^2, x, 8, (e*x)^n/(a^2*e*n) + (2*b*(2*a^2 + b^2)*(e*x)^n*ArcTanh[(a - b*Tanh[(c + d*x^n)/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d*e*n*x^n) - (b^2*(e*x)^n*Coth[c + d*x^n])/(a*(a^2 + b^2)*d*e*n*x^n*(a + b*Csch[c + d*x^n]))}
+{(e*x)^(-1 + 2*n)/(a + b*Csch[c + d*x^n])^2, x, 23, (e*x)^(2*n)/(2*a^2*e*n) + (b^3*(e*x)^(2*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d*e*n*x^n) - (2*b*(e*x)^(2*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) - (b^3*(e*x)^(2*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d*e*n*x^n) + (2*b*(e*x)^(2*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) + (b^2*(e*x)^(2*n)*Log[b + a*Sinh[c + d*x^n]])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2*e*n*x^(2*n)) + (b^3*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2*e*n*x^(2*n)) - (2*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) - (b^3*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2*e*n*x^(2*n)) + (2*b*(e*x)^(2*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) - (b^2*(e*x)^(2*n)*Cosh[c + d*x^n])/(a*(a^2 + b^2)*d*e*n*x^n*(b + a*Sinh[c + d*x^n]))}
+{(e*x)^(-1 + 3*n)/(a + b*Csch[c + d*x^n])^2, x, 32, (e*x)^(3*n)/(3*a^2*e*n) - (b^2*(e*x)^(3*n))/(a^2*(a^2 + b^2)*d*e*n*x^n) + (2*b^2*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2*e*n*x^(2*n)) + (b^3*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d*e*n*x^n) - (2*b*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) + (2*b^2*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^2*e*n*x^(2*n)) - (b^3*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d*e*n*x^n) + (2*b*(e*x)^(3*n)*Log[1 + (a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[a^2 + b^2])])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d*e*n*x^n) + (2*b^2*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3*e*n*x^(3*n)) + (2*b^3*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2*e*n*x^(2*n)) - (4*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) + (2*b^2*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)*d^3*e*n*x^(3*n)) - (2*b^3*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^2*e*n*x^(2*n)) + (4*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[2, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^2*e*n*x^(2*n)) - (2*b^3*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3*e*n*x^(3*n)) + (4*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^n))/(b - Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3*e*n*x^(3*n)) + (2*b^3*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d^3*e*n*x^(3*n)) - (4*b*(e*x)^(3*n)*PolyLog[3, -((a*E^(c + d*x^n))/(b + Sqrt[a^2 + b^2]))])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]*d^3*e*n*x^(3*n)) - (b^2*(e*x)^(3*n)*Cosh[c + d*x^n])/(a*(a^2 + b^2)*d*e*n*x^n*(b + a*Sinh[c + d*x^n]))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.6 Hyperbolic cosecant/6.6.3 Hyperbolic cosecant functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.6 Hyperbolic cosecant/6.6.3 Hyperbolic cosecant functions.m
new file mode 100644
index 00000000..3c9b542a
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.6 Hyperbolic cosecant/6.6.3 Hyperbolic cosecant functions.m	
@@ -0,0 +1,333 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration Problems Involving Hyperbolic Cosecants*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Csch[a+b x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Csch[a+b x]^n*)
+
+
+{Csch[a + b*x], x, 1, -(ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/b)}
+{Csch[a + b*x]^2, x, 2, -Coth[a + b*x]/b}
+{Csch[a + b*x]^3, x, 2, ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/(2*b) - (Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/(2*b)}
+{Csch[a + b*x]^4, x, 2, Coth[a + b*x]/b - Coth[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Csch[a + b*x]^5, x, 3, -((3*ArcTanh[Cosh[a + b*x]])/(8*b)) + (3*Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/(8*b) - (Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3)/(4*b)}
+{Csch[a + b*x]^6, x, 2, -(Coth[a + b*x]/b) + (2*Coth[a + b*x]^3)/(3*b) - Coth[a + b*x]^5/(5*b)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Csch[a+b x])^(n/2)*)
+
+
+{Csch[a + b*x]^(5/2), x, 3, -((2*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^(3/2))/(3*b)) + (2*I*Sqrt[Csch[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])/(3*b)}
+{Csch[a + b*x]^(3/2), x, 3, -((2*Cosh[a + b*x]*Sqrt[Csch[a + b*x]])/b) - (2*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2])/(b*Sqrt[Csch[a + b*x]]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])}
+{Csch[a + b*x]^(1/2), x, 2, -((2*I*Sqrt[Csch[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])/b)}
+{1/Csch[a + b*x]^(1/2), x, 2, -((2*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2])/(b*Sqrt[Csch[a + b*x]]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]]))}
+{1/Csch[a + b*x]^(3/2), x, 3, (2*Cosh[a + b*x])/(3*b*Sqrt[Csch[a + b*x]]) + (2*I*Sqrt[Csch[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])/(3*b)}
+{1/Csch[a + b*x]^(5/2), x, 3, (2*Cosh[a + b*x])/(5*b*Csch[a + b*x]^(3/2)) + (6*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2])/(5*b*Sqrt[Csch[a + b*x]]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])}
+
+
+{(b*Csch[c + d*x])^(7/2), x, 4, (6*b^3*Cosh[c + d*x]*Sqrt[b*Csch[c + d*x]])/(5*d) - (2*b*Cosh[c + d*x]*(b*Csch[c + d*x])^(5/2))/(5*d) + (6*I*b^4*EllipticE[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2])/(5*d*Sqrt[b*Csch[c + d*x]]*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]])}
+{(b*Csch[c + d*x])^(5/2), x, 3, -((2*b*Cosh[c + d*x]*(b*Csch[c + d*x])^(3/2))/(3*d)) + (2*I*b^2*Sqrt[b*Csch[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]])/(3*d)}
+{(b*Csch[c + d*x])^(3/2), x, 3, -((2*b*Cosh[c + d*x]*Sqrt[b*Csch[c + d*x]])/d) - (2*I*b^2*EllipticE[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2])/(d*Sqrt[b*Csch[c + d*x]]*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]])}
+{(b*Csch[c + d*x])^(1/2), x, 2, -((2*I*Sqrt[b*Csch[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]])/d)}
+{1/(b*Csch[c + d*x])^(1/2), x, 2, -((2*I*EllipticE[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2])/(d*Sqrt[b*Csch[c + d*x]]*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]]))}
+{1/(b*Csch[c + d*x])^(3/2), x, 3, (2*Cosh[c + d*x])/(3*b*d*Sqrt[b*Csch[c + d*x]]) + (2*I*Sqrt[b*Csch[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]])/(3*b^2*d)}
+{1/(b*Csch[c + d*x])^(5/2), x, 3, (2*Cosh[c + d*x])/(5*b*d*(b*Csch[c + d*x])^(3/2)) + (6*I*EllipticE[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2])/(5*b^2*d*Sqrt[b*Csch[c + d*x]]*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]])}
+{1/(b*Csch[c + d*x])^(7/2), x, 4, (2*Cosh[c + d*x])/(7*b*d*(b*Csch[c + d*x])^(5/2)) - (10*Cosh[c + d*x])/(21*b^3*d*Sqrt[b*Csch[c + d*x]]) - (10*I*Sqrt[b*Csch[c + d*x]]*EllipticF[(1/2)*(I*c - Pi/2 + I*d*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[c + d*x]])/(21*b^4*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Csch[a+b x])^n with n symbolic*)
+
+
+{(b*Csch[c + d*x])^n, x, 2, (b*Cosh[c + d*x]*(b*Csch[c + d*x])^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, -Sinh[c + d*x]^2])/(d*(1 - n)*Sqrt[Cosh[c + d*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Csch[a+b x]^m)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Csch[a+b x]^2)^n*)
+
+
+{(-Csch[x]^2)^(5/2), x, 4, (3/8)*ArcSin[Coth[x]] + (3/8)*Coth[x]*Sqrt[-Csch[x]^2] + (1/4)*Coth[x]*(-Csch[x]^2)^(3/2)}
+{(-Csch[x]^2)^(3/2), x, 3, (1/2)*ArcSin[Coth[x]] + (1/2)*Coth[x]*Sqrt[-Csch[x]^2]}
+{(-Csch[x]^2)^(1/2), x, 2, ArcSin[Coth[x]]}
+{1/(-Csch[x]^2)^(1/2), x, 2, Coth[x]/Sqrt[-Csch[x]^2]}
+{1/(-Csch[x]^2)^(3/2), x, 3, Coth[x]/(3*(-Csch[x]^2)^(3/2)) + (2*Coth[x])/(3*Sqrt[-Csch[x]^2])}
+{1/(-Csch[x]^2)^(5/2), x, 4, Coth[x]/(5*(-Csch[x]^2)^(5/2)) + (4*Coth[x])/(15*(-Csch[x]^2)^(3/2)) + (8*Coth[x])/(15*Sqrt[-Csch[x]^2])}
+{1/(-Csch[x]^2)^(7/2), x, 5, Coth[x]/(7*(-Csch[x]^2)^(7/2)) + (6*Coth[x])/(35*(-Csch[x]^2)^(5/2)) + (8*Coth[x])/(35*(-Csch[x]^2)^(3/2)) + (16*Coth[x])/(35*Sqrt[-Csch[x]^2])}
+
+
+{(a*Csch[x]^2)^(5/2), x, 5, (-(3/8))*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[x])/Sqrt[a*Csch[x]^2]] + (3/8)*a^2*Coth[x]*Sqrt[a*Csch[x]^2] - (1/4)*a*Coth[x]*(a*Csch[x]^2)^(3/2)}
+{(a*Csch[x]^2)^(3/2), x, 4, (1/2)*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[x])/Sqrt[a*Csch[x]^2]] - (1/2)*a*Coth[x]*Sqrt[a*Csch[x]^2]}
+{(a*Csch[x]^2)^(1/2), x, 3, (-Sqrt[a])*ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[x])/Sqrt[a*Csch[x]^2]]}
+{1/(a*Csch[x]^2)^(1/2), x, 2, Coth[x]/Sqrt[a*Csch[x]^2]}
+{1/(a*Csch[x]^2)^(3/2), x, 3, Coth[x]/(3*(a*Csch[x]^2)^(3/2)) - (2*Coth[x])/(3*a*Sqrt[a*Csch[x]^2])}
+{1/(a*Csch[x]^2)^(5/2), x, 4, Coth[x]/(5*(a*Csch[x]^2)^(5/2)) - (4*Coth[x])/(15*a*(a*Csch[x]^2)^(3/2)) + (8*Coth[x])/(15*a^2*Sqrt[a*Csch[x]^2])}
+{1/(a*Csch[x]^2)^(7/2), x, 5, Coth[x]/(7*(a*Csch[x]^2)^(7/2)) - (6*Coth[x])/(35*a*(a*Csch[x]^2)^(5/2)) + (8*Coth[x])/(35*a^2*(a*Csch[x]^2)^(3/2)) - (16*Coth[x])/(35*a^3*Sqrt[a*Csch[x]^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Csch[a+b x]^3)^n*)
+
+
+{(a*Csch[x]^3)^(5/2), x, 7, (-(154/585))*a^2*Coth[x]*Sqrt[a*Csch[x]^3] + (22/117)*a^2*Coth[x]*Csch[x]^2*Sqrt[a*Csch[x]^3] - (2/13)*a^2*Coth[x]*Csch[x]^4*Sqrt[a*Csch[x]^3] + (154/195)*a^2*Cosh[x]*Sqrt[a*Csch[x]^3]*Sinh[x] - (154*I*a^2*Sqrt[a*Csch[x]^3]*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, 2]*Sinh[x]^2)/(195*Sqrt[I*Sinh[x]])}
+{(a*Csch[x]^3)^(3/2), x, 5, (10/21)*a*Cosh[x]*Sqrt[a*Csch[x]^3] - (2/7)*a*Coth[x]*Csch[x]*Sqrt[a*Csch[x]^3] + (10/21)*I*a*Sqrt[a*Csch[x]^3]*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, 2]*Sqrt[I*Sinh[x]]*Sinh[x]}
+{(a*Csch[x]^3)^(1/2), x, 4, -2*I*Sqrt[a*Csch[x]^3]*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, 2]*(I*Sinh[x])^(3/2) - 2*Cosh[x]*Sqrt[a*Csch[x]^3]*Sinh[x], -2*Cosh[x]*Sqrt[a*Csch[x]^3]*Sinh[x] + (2*I*Sqrt[a*Csch[x]^3]*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, 2]*Sinh[x]^2)/Sqrt[I*Sinh[x]]}
+{1/(a*Csch[x]^3)^(1/2), x, 4, (2*Coth[x])/(3*Sqrt[a*Csch[x]^3]) - (2*I*Csch[x]^2*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, 2]*Sqrt[I*Sinh[x]])/(3*Sqrt[a*Csch[x]^3])}
+{1/(a*Csch[x]^3)^(3/2), x, 5, -((14*Cosh[x])/(45*a*Sqrt[a*Csch[x]^3])) + (14*I*Csch[x]*EllipticE[Pi/4 - (I*x)/2, 2])/(15*a*Sqrt[a*Csch[x]^3]*Sqrt[I*Sinh[x]]) + (2*Cosh[x]*Sinh[x]^2)/(9*a*Sqrt[a*Csch[x]^3])}
+{1/(a*Csch[x]^3)^(5/2), x, 7, -((26*Coth[x])/(77*a^2*Sqrt[a*Csch[x]^3])) + (26*I*Csch[x]^2*EllipticF[Pi/4 - (I*x)/2, 2]*Sqrt[I*Sinh[x]])/(77*a^2*Sqrt[a*Csch[x]^3]) + (78*Cosh[x]*Sinh[x])/(385*a^2*Sqrt[a*Csch[x]^3]) - (26*Cosh[x]*Sinh[x]^3)/(165*a^2*Sqrt[a*Csch[x]^3]) + (2*Cosh[x]*Sinh[x]^5)/(15*a^2*Sqrt[a*Csch[x]^3])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c Csch[a+b x]^4)^n*)
+
+
+{(a*Csch[x]^4)^(7/2), x, 3, 2*a^3*Cosh[x]^2*Coth[x]*Sqrt[a*Csch[x]^4] - 3*a^3*Cosh[x]^2*Coth[x]^3*Sqrt[a*Csch[x]^4] + (20/7)*a^3*Cosh[x]^2*Coth[x]^5*Sqrt[a*Csch[x]^4] - (5/3)*a^3*Cosh[x]^2*Coth[x]^7*Sqrt[a*Csch[x]^4] + (6/11)*a^3*Cosh[x]^2*Coth[x]^9*Sqrt[a*Csch[x]^4] - (1/13)*a^3*Cosh[x]^2*Coth[x]^11*Sqrt[a*Csch[x]^4] - a^3*Cosh[x]*Sqrt[a*Csch[x]^4]*Sinh[x]}
+{(a*Csch[x]^4)^(5/2), x, 3, (4/3)*a^2*Cosh[x]^2*Coth[x]*Sqrt[a*Csch[x]^4] - (6/5)*a^2*Cosh[x]^2*Coth[x]^3*Sqrt[a*Csch[x]^4] + (4/7)*a^2*Cosh[x]^2*Coth[x]^5*Sqrt[a*Csch[x]^4] - (1/9)*a^2*Cosh[x]^2*Coth[x]^7*Sqrt[a*Csch[x]^4] - a^2*Cosh[x]*Sqrt[a*Csch[x]^4]*Sinh[x]}
+{(a*Csch[x]^4)^(3/2), x, 3, (2/3)*a*Cosh[x]^2*Coth[x]*Sqrt[a*Csch[x]^4] - (1/5)*a*Cosh[x]^2*Coth[x]^3*Sqrt[a*Csch[x]^4] - a*Cosh[x]*Sqrt[a*Csch[x]^4]*Sinh[x]}
+{(a*Csch[x]^4)^(1/2), x, 3, (-Cosh[x])*Sqrt[a*Csch[x]^4]*Sinh[x]}
+{1/(a*Csch[x]^4)^(1/2), x, 3, Coth[x]/(2*Sqrt[a*Csch[x]^4]) - (x*Csch[x]^2)/(2*Sqrt[a*Csch[x]^4])}
+{1/(a*Csch[x]^4)^(3/2), x, 5, (5*Coth[x])/(16*a*Sqrt[a*Csch[x]^4]) - (5*x*Csch[x]^2)/(16*a*Sqrt[a*Csch[x]^4]) - (5*Cosh[x]*Sinh[x])/(24*a*Sqrt[a*Csch[x]^4]) + (Cosh[x]*Sinh[x]^3)/(6*a*Sqrt[a*Csch[x]^4])}
+{1/(a*Csch[x]^4)^(5/2), x, 7, (63*Coth[x])/(256*a^2*Sqrt[a*Csch[x]^4]) - (63*x*Csch[x]^2)/(256*a^2*Sqrt[a*Csch[x]^4]) - (21*Cosh[x]*Sinh[x])/(128*a^2*Sqrt[a*Csch[x]^4]) + (21*Cosh[x]*Sinh[x]^3)/(160*a^2*Sqrt[a*Csch[x]^4]) - (9*Cosh[x]*Sinh[x]^5)/(80*a^2*Sqrt[a*Csch[x]^4]) + (Cosh[x]*Sinh[x]^7)/(10*a^2*Sqrt[a*Csch[x]^4])}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (c Csch[a+b x]^m)^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[c+d x]^m (a+b Csch[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[c+d x]^m (a+b Csch[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2+b^2=0*)
+
+
+{1/(a + I*a*Csch[a + b*x]), x, 2, x/a - Coth[a + b*x]/(b*(a + I*a*Csch[a + b*x]))}
+
+
+{1/(a - I*a*Csch[a + b*x]), x, 2, x/a - Coth[a + b*x]/(b*(a - I*a*Csch[a + b*x]))}
+
+
+{(a + a*I*Csch[c + d*x])^(5/2), x, 5, (2*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[c + d*x])/Sqrt[a + I*a*Csch[c + d*x]]])/d + (14*a^3*Coth[c + d*x])/(3*d*Sqrt[a + I*a*Csch[c + d*x]]) + (2*a^2*Coth[c + d*x]*Sqrt[a + I*a*Csch[c + d*x]])/(3*d)}
+{(a + a*I*Csch[c + d*x])^(3/2), x, 4, (2*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[c + d*x])/Sqrt[a + I*a*Csch[c + d*x]]])/d + (2*a^2*Coth[c + d*x])/(d*Sqrt[a + I*a*Csch[c + d*x]])}
+{(a + a*I*Csch[c + d*x])^(1/2), x, 2, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[c + d*x])/Sqrt[a + I*a*Csch[c + d*x]]])/d}
+{1/(a + a*I*Csch[c + d*x])^(1/2), x, 5, (2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[c + d*x])/Sqrt[a + I*a*Csch[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Csch[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+{1/(a + a*I*Csch[c + d*x])^(3/2), x, 6, (2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[c + d*x])/Sqrt[a + I*a*Csch[c + d*x]]])/(a^(3/2)*d) - (5*ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + I*a*Csch[c + d*x]])])/(2*Sqrt[2]*a^(3/2)*d) - Coth[c + d*x]/(2*d*(a + I*a*Csch[c + d*x])^(3/2))}
+
+{Sqrt[a - a*I*Csch[c + d*x]], x, 2, (2*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[c + d*x])/Sqrt[a - I*a*Csch[c + d*x]]])/d}
+{1/Sqrt[a - I*a*Csch[c + d*x]], x, 5, (2*ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[c + d*x])/Sqrt[a - I*a*Csch[c + d*x]]])/(Sqrt[a]*d) - (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[c + d*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a - I*a*Csch[c + d*x]])])/(Sqrt[a]*d)}
+
+
+{Sqrt[3 + 3*I*Csch[x]], x, 2, 2*Sqrt[3]*ArcTanh[Coth[x]/Sqrt[1 + I*Csch[x]]]}
+{Sqrt[3 - 3*I*Csch[x]], x, 2, 2*Sqrt[3]*ArcTanh[Coth[x]/Sqrt[1 - I*Csch[x]]]}
+{Sqrt[-3 + 3*I*Csch[x]], x, 2, -2*Sqrt[3]*ArcTan[Coth[x]/Sqrt[-1 + I*Csch[x]]]}
+{Sqrt[-3 - 3*I*Csch[x]], x, 2, -2*Sqrt[3]*ArcTan[Coth[x]/Sqrt[-1 - I*Csch[x]]]}
+
+
+{Sinh[x]^4/(I + Csch[x]), x, 7, -((15*I*x)/8) - 4*Cosh[x] + (4*Cosh[x]^3)/3 + (15/8)*I*Cosh[x]*Sinh[x] - (5/4)*I*Cosh[x]*Sinh[x]^3 - (Cosh[x]*Sinh[x]^3)/(I + Csch[x])}
+{Sinh[x]^3/(I + Csch[x]), x, 6, -((3*x)/2) + 4*I*Cosh[x] - (4/3)*I*Cosh[x]^3 + (3/2)*Cosh[x]*Sinh[x] - (Cosh[x]*Sinh[x]^2)/(I + Csch[x])}
+{Sinh[x]^2/(I + Csch[x]), x, 5, (3*I*x)/2 + 2*Cosh[x] - (3/2)*I*Cosh[x]*Sinh[x] - (Cosh[x]*Sinh[x])/(I + Csch[x])}
+{Sinh[x]^1/(I + Csch[x]), x, 4, x - 2*I*Cosh[x] - Cosh[x]/(I + Csch[x])}
+{Csch[x]^1/(I + Csch[x]), x, 1, (I*Coth[x])/(I + Csch[x])}
+{Csch[x]^2/(I + Csch[x]), x, 3, -ArcTanh[Cosh[x]] + Coth[x]/(I + Csch[x])}
+{Csch[x]^3/(I + Csch[x]), x, 4, I*ArcTanh[Cosh[x]] - Coth[x] - (I*Coth[x])/(I + Csch[x])}
+{Csch[x]^4/(I + Csch[x]), x, 6, (3/2)*ArcTanh[Cosh[x]] + 2*I*Coth[x] - (3/2)*Coth[x]*Csch[x] + (Coth[x]*Csch[x]^2)/(I + Csch[x])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2+b^2!=0*)
+
+
+{(a + b*Csch[c + d*x])^4, x, 6, a^4*x - (2*a*b*(2*a^2 - b^2)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d - (b^2*(17*a^2 - 2*b^2)*Coth[c + d*x])/(3*d) - (4*a*b^3*Coth[c + d*x]*Csch[c + d*x])/(3*d) - (b^2*Coth[c + d*x]*(a + b*Csch[c + d*x])^2)/(3*d)}
+{(a + b*Csch[c + d*x])^3, x, 5, a^3*x - (b*(6*a^2 - b^2)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) - (5*a*b^2*Coth[c + d*x])/(2*d) - (b^2*Coth[c + d*x]*(a + b*Csch[c + d*x]))/(2*d)}
+{(a + b*Csch[c + d*x])^2, x, 4, a^2*x - (2*a*b*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d - (b^2*Coth[c + d*x])/d}
+{(a + b*Csch[c + d*x])^1, x, 2, a*x - (b*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/d}
+{1/(a + b*Csch[c + d*x])^1, x, 4, x/a + (2*b*ArcTanh[(a - b*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a*Sqrt[a^2 + b^2]*d)}
+{1/(a + b*Csch[c + d*x])^2, x, 6, x/a^2 + (2*b*(2*a^2 + b^2)*ArcTanh[(a - b*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2*(a^2 + b^2)^(3/2)*d) - (b^2*Coth[c + d*x])/(a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Csch[c + d*x]))}
+{1/(a + b*Csch[c + d*x])^3, x, 7, x/a^3 + (b*(6*a^4 + 5*a^2*b^2 + 2*b^4)*ArcTanh[(a - b*Tanh[(1/2)*(c + d*x)])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^3*(a^2 + b^2)^(5/2)*d) - (b^2*Coth[c + d*x])/(2*a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Csch[c + d*x])^2) - (b^2*(5*a^2 + 2*b^2)*Coth[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Csch[c + d*x]))}
+
+
+{Sinh[x]^3/(a + b*Csch[x]), x, 8, (b*(a^2 - 2*b^2)*x)/(2*a^4) - (2*b^4*ArcTanh[(a - b*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^4*Sqrt[a^2 + b^2]) - ((2*a^2 - 3*b^2)*Cosh[x])/(3*a^3) - (b*Cosh[x]*Sinh[x])/(2*a^2) + (Cosh[x]*Sinh[x]^2)/(3*a)}
+{Sinh[x]^2/(a + b*Csch[x]), x, 7, -(((a^2 - 2*b^2)*x)/(2*a^3)) + (2*b^3*ArcTanh[(a - b*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^3*Sqrt[a^2 + b^2]) - (b*Cosh[x])/a^2 + (Cosh[x]*Sinh[x])/(2*a)}
+{Sinh[x]^1/(a + b*Csch[x]), x, 6, -((b*x)/a^2) - (2*b^2*ArcTanh[(a - b*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2*Sqrt[a^2 + b^2]) + Cosh[x]/a}
+{Csch[x]^1/(a + b*Csch[x]), x, 4, -((2*ArcTanh[(a - b*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/Sqrt[a^2 + b^2])}
+{Csch[x]^2/(a + b*Csch[x]), x, 6, -(ArcTanh[Cosh[x]]/b) + (2*a*ArcTanh[(a - b*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b*Sqrt[a^2 + b^2])}
+{Csch[x]^3/(a + b*Csch[x]), x, 7, (a*ArcTanh[Cosh[x]])/b^2 - (2*a^2*ArcTanh[(a - b*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]) - Coth[x]/b}
+{Csch[x]^4/(a + b*Csch[x]), x, 8, -(((2*a^2 - b^2)*ArcTanh[Cosh[x]])/(2*b^3)) + (2*a^3*ArcTanh[(a - b*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^3*Sqrt[a^2 + b^2]) + (a*Coth[x])/b^2 - (Coth[x]*Csch[x])/(2*b)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[c+d x]^m (a+b Csch[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2+b^2=0*)
+
+
+{Cosh[x]^4/(I + Csch[x]), x, 7, (I*x)/8 + Cosh[x]^3/3 + (1/8)*I*Cosh[x]*Sinh[x] - (1/4)*I*Cosh[x]^3*Sinh[x]}
+{Cosh[x]^3/(I + Csch[x]), x, 6, Sinh[x]^2/2 - (1/3)*I*Sinh[x]^3}
+{Cosh[x]^2/(I + Csch[x]), x, 5, (I*x)/2 + Cosh[x] - (1/2)*I*Cosh[x]*Sinh[x]}
+{Cosh[x]^1/(I + Csch[x]), x, 4, Log[I - Sinh[x]] - I*Sinh[x]}
+{Sech[x]^1/(I + Csch[x]), x, 6, (-(1/2))*I*ArcTan[Sinh[x]] - Sech[x]^2/2 + (1/2)*I*Sech[x]*Tanh[x]}
+{Sech[x]^2/(I + Csch[x]), x, 6, (-(1/3))*Sech[x]^3 - (1/3)*I*Tanh[x]^3}
+{Sech[x]^3/(I + Csch[x]), x, 7, (-(1/8))*I*ArcTan[Sinh[x]] - Sech[x]^4/4 - (1/8)*I*Sech[x]*Tanh[x] + (1/4)*I*Sech[x]^3*Tanh[x]}
+{Sech[x]^4/(I + Csch[x]), x, 7, (-(1/5))*Sech[x]^5 - (1/3)*I*Tanh[x]^3 + (1/5)*I*Tanh[x]^5}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2+b^2!=0*)
+
+
+{Cosh[x]^5/(a + b*Csch[x]), x, 5, -((b*(a^2 + b^2)^2*Log[b + a*Sinh[x]])/a^6) + ((a^2 + b^2)^2*Sinh[x])/a^5 - (b*(2*a^2 + b^2)*Sinh[x]^2)/(2*a^4) + ((2*a^2 + b^2)*Sinh[x]^3)/(3*a^3) - (b*Sinh[x]^4)/(4*a^2) + Sinh[x]^5/(5*a)}
+{Cosh[x]^4/(a + b*Csch[x]), x, 7, ((3*a^4 + 12*a^2*b^2 + 8*b^4)*x)/(8*a^5) + (2*b*(a^2 + b^2)^(3/2)*ArcTanh[(a - b*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/a^5 - (Cosh[x]^3*(4*b - 3*a*Sinh[x]))/(12*a^2) - (Cosh[x]*(8*b*(a^2 + b^2) - a*(3*a^2 + 4*b^2)*Sinh[x]))/(8*a^4)}
+{Cosh[x]^3/(a + b*Csch[x]), x, 5, -((b*(a^2 + b^2)*Log[b + a*Sinh[x]])/a^4) + ((a^2 + b^2)*Sinh[x])/a^3 - (b*Sinh[x]^2)/(2*a^2) + Sinh[x]^3/(3*a)}
+{Cosh[x]^2/(a + b*Csch[x]), x, 6, ((a^2 + 2*b^2)*x)/(2*a^3) + (2*b*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(a - b*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/a^3 - (Cosh[x]*(2*b - a*Sinh[x]))/(2*a^2)}
+{Cosh[x]^1/(a + b*Csch[x]), x, 5, -((b*Log[b + a*Sinh[x]])/a^2) + Sinh[x]/a}
+{Sech[x]^1/(a + b*Csch[x]), x, 4, Log[I - Sinh[x]]/(2*(I*a + b)) - Log[I + Sinh[x]]/(2*(I*a - b)) - (b*Log[b + a*Sinh[x]])/(a^2 + b^2)}
+{Sech[x]^2/(a + b*Csch[x]), x, 6, (2*a*b*ArcTanh[(a - b*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(3/2) - (Sech[x]*(b - a*Sinh[x]))/(a^2 + b^2)}
+{Sech[x]^3/(a + b*Csch[x]), x, 6, -((I*a*Log[I - Sinh[x]])/(4*(a - I*b)^2)) + (I*a*Log[I + Sinh[x]])/(4*(a + I*b)^2) - (a^2*b*Log[b + a*Sinh[x]])/(a^2 + b^2)^2 - (Sech[x]^2*(b - a*Sinh[x]))/(2*(a^2 + b^2))}
+{Sech[x]^4/(a + b*Csch[x]), x, 7, (2*a^3*b*ArcTanh[(a - b*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2) - (Sech[x]^3*(b - a*Sinh[x]))/(3*(a^2 + b^2)) - (Sech[x]*(3*a^2*b - a*(2*a^2 - b^2)*Sinh[x]))/(3*(a^2 + b^2)^2)}
+{Sech[x]^5/(a + b*Csch[x]), x, 7, -((a*(3*I*a + b)*Log[I - Sinh[x]])/(16*(a - I*b)^3)) + (a*(3*a + I*b)*Log[I + Sinh[x]])/(16*(I*a - b)^3) - (a^4*b*Log[b + a*Sinh[x]])/(a^2 + b^2)^3 - (Sech[x]^4*(b - a*Sinh[x]))/(4*(a^2 + b^2)) - (Sech[x]^2*(4*a^2*b - a*(3*a^2 - b^2)*Sinh[x]))/(8*(a^2 + b^2)^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[c+d x]^m (a+b Csch[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2+b^2=0*)
+
+
+{Tanh[x]^5/(I + Csch[x]), x, 3, (-(21/32))*I*Log[I - Sinh[x]] - (11/32)*I*Log[I + Sinh[x]] + I/(32*(1 - I*Sinh[x])^2) - I/(4*(1 - I*Sinh[x])) - I/(24*(1 + I*Sinh[x])^3) + (9*I)/(32*(1 + I*Sinh[x])^2) - (15*I)/(16*(1 + I*Sinh[x]))}
+{Tanh[x]^4/(I + Csch[x]), x, 5, (-I)*x + (1/15)*(15*I - 8*Csch[x])*Tanh[x] + (1/15)*(5*I - 4*Csch[x])*Tanh[x]^3 + (1/5)*(I - Csch[x])*Tanh[x]^5}
+{Tanh[x]^3/(I + Csch[x]), x, 3, (-(11/16))*I*Log[I - Sinh[x]] - (5/16)*I*Log[I + Sinh[x]] - I/(8*(1 - I*Sinh[x])) + I/(8*(1 + I*Sinh[x])^2) - (3*I)/(4*(1 + I*Sinh[x]))}
+{Tanh[x]^2/(I + Csch[x]), x, 4, (-I)*x + (1/3)*(3*I - 2*Csch[x])*Tanh[x] + (1/3)*(I - Csch[x])*Tanh[x]^3}
+{Tanh[x]^1/(I + Csch[x]), x, 3, (-(3/4))*I*Log[I - Sinh[x]] - (1/4)*I*Log[I + Sinh[x]] - I/(2*(1 + I*Sinh[x]))}
+{Coth[x]^1/(I + Csch[x]), x, 2, (-I)*Log[I - Sinh[x]]}
+{Coth[x]^2/(I + Csch[x]), x, 3, (-I)*x - ArcTanh[Cosh[x]]}
+{Coth[x]^3/(I + Csch[x]), x, 3, -Csch[x] - I*Log[Sinh[x]]}
+{Coth[x]^4/(I + Csch[x]), x, 4, (-I)*x - (1/2)*ArcTanh[Cosh[x]] + (1/2)*Coth[x]*(2*I - Csch[x])}
+{Coth[x]^5/(I + Csch[x]), x, 3, -Csch[x] + (1/2)*I*Csch[x]^2 - Csch[x]^3/3 - I*Log[Sinh[x]]}
+{Coth[x]^6/(I + Csch[x]), x, 5, (-I)*x - (3/8)*ArcTanh[Cosh[x]] + (1/12)*Coth[x]^3*(4*I - 3*Csch[x]) + (1/8)*Coth[x]*(8*I - 3*Csch[x])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*a^2+b^2!=0*)
+
+
+{Tanh[x]^5/(a + b*Csch[x]), x, 11, -((b^5*ArcTan[Sinh[x]])/(a^2 + b^2)^3) - (b^3*ArcTan[Sinh[x]])/(2*(a^2 + b^2)^2) - (3*b*ArcTan[Sinh[x]])/(8*(a^2 + b^2)) + (b^6*Log[a + b*Csch[x]])/(a*(a^2 + b^2)^3) + Log[Sinh[x]]/a - (a*(a^4 + 3*a^2*b^2 + 3*b^4)*Log[Tanh[x]])/(a^2 + b^2)^3 + (3*b*Sech[x]*Tanh[x])/(8*(a^2 + b^2)) - ((a*(a^2 + 2*b^2) - b^3*Csch[x])*Tanh[x]^2)/(2*(a^2 + b^2)^2) - ((a - b*Csch[x])*Tanh[x]^4)/(4*(a^2 + b^2))}
+{Tanh[x]^4/(a + b*Csch[x]), x, 16, (a*b^2*x)/(a^2 + b^2)^2 + (b^4*x)/(a*(a^2 + b^2)^2) + (a*x)/(a^2 + b^2) + (2*b^5*ArcTanh[(a - b*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a*(a^2 + b^2)^(5/2)) + (b^3*Sech[x])/(a^2 + b^2)^2 + (b*Sech[x])/(a^2 + b^2) - (b*Sech[x]^3)/(3*(a^2 + b^2)) - (a*b^2*Tanh[x])/(a^2 + b^2)^2 - (a*Tanh[x])/(a^2 + b^2) - (a*Tanh[x]^3)/(3*(a^2 + b^2))}
+{Tanh[x]^3/(a + b*Csch[x]), x, 8, -((b^3*ArcTan[Sinh[x]])/(a^2 + b^2)^2) - (b*ArcTan[Sinh[x]])/(2*(a^2 + b^2)) + (b^4*Log[a + b*Csch[x]])/(a*(a^2 + b^2)^2) + Log[Sinh[x]]/a - (a*(a^2 + 2*b^2)*Log[Tanh[x]])/(a^2 + b^2)^2 - ((a - b*Csch[x])*Tanh[x]^2)/(2*(a^2 + b^2))}
+{Tanh[x]^2/(a + b*Csch[x]), x, 10, (a*x)/(a^2 + b^2) + (b^2*x)/(a*(a^2 + b^2)) + (2*b^3*ArcTanh[(a - b*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a*(a^2 + b^2)^(3/2)) + (b*Sech[x])/(a^2 + b^2) - (a*Tanh[x])/(a^2 + b^2)}
+{Tanh[x]^1/(a + b*Csch[x]), x, 6, -((b*ArcTan[Sinh[x]])/(a^2 + b^2)) + (b^2*Log[a + b*Csch[x]])/(a*(a^2 + b^2)) + Log[Sinh[x]]/a - (a*Log[Tanh[x]])/(a^2 + b^2)}
+{Coth[x]^1/(a + b*Csch[x]), x, 4, Log[a + b*Csch[x]]/a + Log[Sinh[x]]/a}
+{Coth[x]^2/(a + b*Csch[x]), x, 8, x/a - ArcTanh[Cosh[x]]/b + (2*Sqrt[a^2 + b^2]*ArcTanh[(a - b*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a*b)}
+{Coth[x]^3/(a + b*Csch[x]), x, 3, -(Csch[x]/b) + (1/a + a/b^2)*Log[a + b*Csch[x]] + Log[Sinh[x]]/a}
+{Coth[x]^4/(a + b*Csch[x]), x, 7, x/a - ((2*a^2 + 3*b^2)*ArcTanh[Cosh[x]])/(2*b^3) + (2*(a^2 + b^2)^(3/2)*ArcTanh[(a - b*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a*b^3) + (a*Coth[x])/b^2 - (Coth[x]*Csch[x])/(2*b)}
+{Coth[x]^5/(a + b*Csch[x]), x, 3, -(((a^2 + 2*b^2)*Csch[x])/b^3) + (a*Csch[x]^2)/(2*b^2) - Csch[x]^3/(3*b) + ((a^2 + b^2)^2*Log[a + b*Csch[x]])/(a*b^4) + Log[Sinh[x]]/a}
+{Coth[x]^6/(a + b*Csch[x]), x, 16, x/a - (3*ArcTanh[Cosh[x]])/(8*b) + ((a^2 + 3*b^2)*ArcTanh[Cosh[x]])/(2*b^3) - ((a^4 + 3*a^2*b^2 + 3*b^4)*ArcTanh[Cosh[x]])/b^5 + (2*(a^2 + b^2)^(5/2)*ArcTanh[(a - b*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a*b^5) - (a*Coth[x])/b^2 + (a*(a^2 + 3*b^2)*Coth[x])/b^4 + (a*Coth[x]^3)/(3*b^2) + (3*Coth[x]*Csch[x])/(8*b) - ((a^2 + 3*b^2)*Coth[x]*Csch[x])/(2*b^3) - (Coth[x]*Csch[x]^3)/(4*b)}
+{Coth[x]^7/(a + b*Csch[x]), x, 3, -(((a^4 + 3*a^2*b^2 + 3*b^4)*Csch[x])/b^5) + (a*(a^2 + 3*b^2)*Csch[x]^2)/(2*b^4) - ((a^2 + 3*b^2)*Csch[x]^3)/(3*b^3) + (a*Csch[x]^4)/(4*b^2) - Csch[x]^5/(5*b) + ((a^2 + b^2)^3*Log[a + b*Csch[x]])/(a*b^6) + Log[Sinh[x]]/a}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(a+b x) Csch[c+d x]^m*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(c (a+b x)) (Csch[a c+b c x]^2)^(m/2)*)
+
+
+{E^(c*(a + b*x))*(Csch[a*c + b*c*x]^2)^(7/2), x, 6, -((32*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2]*Sinh[a*c + b*c*x])/(3*b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^6)) + (192*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2]*Sinh[a*c + b*c*x])/(5*b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^5) - (48*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2]*Sinh[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^4) + (64*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2]*Sinh[a*c + b*c*x])/(3*b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^3)}
+{E^(c*(a + b*x))*(Csch[a*c + b*c*x]^2)^(5/2), x, 6, (-4*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2]*Sinh[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^4) + (32*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2]*Sinh[a*c + b*c*x])/(3*b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^3) - (8*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2]*Sinh[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^2)}
+{E^(c*(a + b*x))*(Csch[a*c + b*c*x]^2)^(3/2), x, 4, (-2*E^(4*c*(a + b*x))*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2]*Sinh[a*c + b*c*x])/(b*c*(1 - E^(2*c*(a + b*x)))^2)}
+{E^(c*(a + b*x))*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2], x, 4, (Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2]*Log[1 - E^(2*c*(a + b*x))]*Sinh[a*c + b*c*x])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))/Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2], x, 5, (E^(2*c*(a + b*x))*Csch[a*c + b*c*x])/(4*b*c*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2]) - (x*Csch[a*c + b*c*x])/(2*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2])}
+{E^(c*(a + b*x))/(Csch[a*c + b*c*x]^2)^(3/2), x, 6, Csch[a*c + b*c*x]/(16*b*c*E^(2*c*(a + b*x))*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2]) - (3*E^(2*c*(a + b*x))*Csch[a*c + b*c*x])/(16*b*c*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2]) + (E^(4*c*(a + b*x))*Csch[a*c + b*c*x])/(32*b*c*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2]) + (3*x*Csch[a*c + b*c*x])/(8*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2])}
+{E^(c*(a + b*x))/(Csch[a*c + b*c*x]^2)^(5/2), x, 6, Csch[a*c + b*c*x]/(128*b*c*E^(4*c*(a + b*x))*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2]) - (5*Csch[a*c + b*c*x])/(64*b*c*E^(2*c*(a + b*x))*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2]) + (5*E^(2*c*(a + b*x))*Csch[a*c + b*c*x])/(32*b*c*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2]) - (5*E^(4*c*(a + b*x))*Csch[a*c + b*c*x])/(128*b*c*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2]) + (E^(6*c*(a + b*x))*Csch[a*c + b*c*x])/(192*b*c*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2]) - (5*x*Csch[a*c + b*c*x])/(16*Sqrt[Csch[a*c + b*c*x]^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Csch[a+b Log[c x^n]]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Csch[b Log[c x^n]]^(p/2)*)
+
+
+{x^5/Csch[2*Log[c*x]]^(1/2), x, 6, -((2*x^2)/(21*c^4*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]])) + x^6/(7*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]]) + (2*EllipticF[ArcCsc[c*x], -1])/(21*c^7*Sqrt[1 - 1/(c^4*x^4)]*x*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]])}
+{x^4/Csch[2*Log[c*x]]^(1/2), x, 3, ((c^4 - 1/x^4)*x^5)/(6*c^4*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]])}
+{x^3/Csch[2*Log[c*x]]^(1/2), x, 9, -(2/(5*c^4*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]])) + x^4/(5*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]]) - (2*EllipticE[ArcCsc[c*x], -1])/(5*c^5*Sqrt[1 - 1/(c^4*x^4)]*x*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]]) + (2*EllipticF[ArcCsc[c*x], -1])/(5*c^5*Sqrt[1 - 1/(c^4*x^4)]*x*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]])}
+{x^2/Csch[2*Log[c*x]]^(1/2), x, 6, x^3/(4*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]]) - ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^4*x^4)]]/(4*c^4*Sqrt[1 - 1/(c^4*x^4)]*x*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]])}
+{x^1/Csch[2*Log[c*x]]^(1/2), x, 5, x^2/(3*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]]) + (2*EllipticF[ArcCsc[c*x], -1])/(3*c^3*Sqrt[1 - 1/(c^4*x^4)]*x*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]])}
+{x^0/Csch[2*Log[c*x]]^(1/2), x, 6, x/(2*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]]) + ArcCsc[c^2*x^2]/(2*c^2*Sqrt[1 - 1/(c^4*x^4)]*x*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]])}
+{Csch[2*Log[c*x]]^(1/2)/x^1, x, 3, I*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]]*EllipticF[Pi/4 - I*Log[c*x], 2]*Sqrt[I*Sinh[2*Log[c*x]]]}
+{Csch[2*Log[c*x]]^(1/2)/x^2, x, 5, (-(1/2))*c^2*Sqrt[1 - 1/(c^4*x^4)]*x*ArcCsc[c^2*x^2]*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]]}
+{Csch[2*Log[c*x]]^(1/2)/x^3, x, 7, (-c^3)*Sqrt[1 - 1/(c^4*x^4)]*x*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]]*EllipticE[ArcCsc[c*x], -1] + c^3*Sqrt[1 - 1/(c^4*x^4)]*x*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]]*EllipticF[ArcCsc[c*x], -1]}
+{Csch[2*Log[c*x]]^(1/2)/x^4, x, 3, (1/2)*(c^4 - 1/x^4)*x*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]]}
+{Csch[2*Log[c*x]]^(1/2)/x^5, x, 5, (1/3)*(c^4 - 1/x^4)*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]] - (1/3)*c^5*Sqrt[1 - 1/(c^4*x^4)]*x*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]]*EllipticF[ArcCsc[c*x], -1]}
+
+
+{x^8/Csch[2*Log[c*x]]^(3/2), x, 8, x/(32*c^4*(c^4 - 1/x^4)*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)) - x^5/(16*(c^4 - 1/x^4)*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)) + x^9/(12*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)) + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^4*x^4)]]/(32*c^12*(1 - 1/(c^4*x^4))^(3/2)*x^3*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2))}
+{x^7/Csch[2*Log[c*x]]^(3/2), x, 7, 4/(77*c^4*(c^4 - 1/x^4)*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)) - (6*x^4)/(77*(c^4 - 1/x^4)*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)) + x^8/(11*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)) - (4*EllipticF[ArcCsc[c*x], -1])/(77*c^11*(1 - 1/(c^4*x^4))^(3/2)*x^3*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2))}
+{x^6/Csch[2*Log[c*x]]^(3/2), x, 3, ((c^4 - 1/x^4)*x^7)/(10*c^4*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2))}
+{x^5/Csch[2*Log[c*x]]^(3/2), x, 10, 4/(15*c^4*(c^4 - 1/x^4)*x^2*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)) - (2*x^2)/(15*(c^4 - 1/x^4)*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)) + x^6/(9*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)) + (4*EllipticE[ArcCsc[c*x], -1])/(15*c^9*(1 - 1/(c^4*x^4))^(3/2)*x^3*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)) - (4*EllipticF[ArcCsc[c*x], -1])/(15*c^9*(1 - 1/(c^4*x^4))^(3/2)*x^3*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2))}
+{x^4/Csch[2*Log[c*x]]^(3/2), x, 7, -((3*x)/(16*(c^4 - 1/x^4)*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2))) + x^5/(8*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)) + (3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^4*x^4)]])/(16*c^8*(1 - 1/(c^4*x^4))^(3/2)*x^3*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2))}
+{x^3/Csch[2*Log[c*x]]^(3/2), x, 6, -(2/(7*(c^4 - 1/x^4)*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2))) + x^4/(7*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)) - (4*EllipticF[ArcCsc[c*x], -1])/(7*c^7*(1 - 1/(c^4*x^4))^(3/2)*x^3*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2))}
+{x^2/Csch[2*Log[c*x]]^(3/2), x, 7, -(1/(2*(c^4 - 1/x^4)*x*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2))) + x^3/(6*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)) - ArcCsc[c^2*x^2]/(2*c^6*(1 - 1/(c^4*x^4))^(3/2)*x^3*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2))}
+{x^1/Csch[2*Log[c*x]]^(3/2), x, 9, -(6/(5*(c^4 - 1/x^4)*x^2*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2))) + x^2/(5*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)) - (12*EllipticE[ArcCsc[c*x], -1])/(5*c^5*(1 - 1/(c^4*x^4))^(3/2)*x^3*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)) + (12*EllipticF[ArcCsc[c*x], -1])/(5*c^5*(1 - 1/(c^4*x^4))^(3/2)*x^3*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2))}
+{x^0/Csch[2*Log[c*x]]^(3/2), x, 7, 3/(4*(c^4 - 1/x^4)*x^3*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)) + x/(4*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)) - (3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(c^4*x^4)]])/(4*c^4*(1 - 1/(c^4*x^4))^(3/2)*x^3*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2))}
+{Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)/x^1, x, 4, (-Cosh[2*Log[c*x]])*Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]] + (I*EllipticE[Pi/4 - I*Log[c*x], 2])/(Sqrt[Csch[2*Log[c*x]]]*Sqrt[I*Sinh[2*Log[c*x]]])}
+{Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)/x^2, x, 3, (-(1/2))*(c^4 - 1/x^4)*x^3*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)}
+{Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)/x^3, x, 5, (-(1/2))*(c^4 - 1/x^4)*x^2*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2) + (1/2)*c^5*(1 - 1/(c^4*x^4))^(3/2)*x^3*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)*EllipticF[ArcCsc[c*x], -1]}
+{Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)/x^4, x, 6, (-(1/2))*(c^4 - 1/x^4)*x*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2) + (1/2)*c^6*(1 - 1/(c^4*x^4))^(3/2)*x^3*ArcCsc[c^2*x^2]*Csch[2*Log[c*x]]^(3/2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Csch[a+b Log[c x^n]]^p*)
+
+
+{Csch[a + b*Log[c*x^n]]^1, x, 4, -((2*E^a*x*(c*x^n)^b*Hypergeometric2F1[1, (b + 1/n)/(2*b), (1/2)*(3 + 1/(b*n)), E^(2*a)*(c*x^n)^(2*b)])/(1 + b*n))}
+{Csch[a + b*Log[c*x^n]]^2, x, 4, (4*E^(2*a)*x*(c*x^n)^(2*b)*Hypergeometric2F1[2, (1/2)*(2 + 1/(b*n)), (1/2)*(4 + 1/(b*n)), E^(2*a)*(c*x^n)^(2*b)])/(1 + 2*b*n)}
+{Csch[a + b*Log[c*x^n]]^3, x, 4, -((8*E^(3*a)*x*(c*x^n)^(3*b)*Hypergeometric2F1[3, (3*b + 1/n)/(2*b), (1/2)*(5 + 1/(b*n)), E^(2*a)*(c*x^n)^(2*b)])/(1 + 3*b*n))}
+{Csch[a + b*Log[c*x^n]]^4, x, 4, (16*E^(4*a)*x*(c*x^n)^(4*b)*Hypergeometric2F1[4, (1/2)*(4 + 1/(b*n)), (1/2)*(6 + 1/(b*n)), E^(2*a)*(c*x^n)^(2*b)])/(1 + 4*b*n)}
+
+{2*b^2*n^2*Csch[a + b*Log[c*x^n]]^3 - (1 - b^2*n^2)*Csch[a + b*Log[c*x^n]], x, -9, (-x)*Csch[a + b*Log[c*x^n]] - b*n*x*Coth[a + b*Log[c*x^n]]*Csch[a + b*Log[c*x^n]]}
+
+
+{Csch[a + 2*Log[c*x^(1/2)]]^3, x, 3, -((2*c^6)/(E^a*(c^4 - 1/(E^(2*a)*x^2))^2))}
+{Csch[a + 2*Log[c/x^(1/2)]]^3, x, 4, (2*c^2)/(E^(3*a)*(E^(-2*a) - c^4/x^2)^2)}
+{Csch[a + 1/(n*(-2 + p))*Log[c*x^n]]^p, x, 3, -((E^(2*a)*(2 - p)*x*(1 - (c*x^n)^(2/(n*(2 - p)))/E^(2*a))*Csch[a - Log[c*x^n]/(n*(2 - p))]^p)/((c*x^n)^(2/(n*(2 - p)))*(2*(1 - p))))}
+{Csch[a - 1/(n*(-2 + p))*Log[c*x^n]]^p, x, 3, ((2 - p)*x*(1 - 1/(E^(2*a)*(c*x^n)^(2/(n*(2 - p)))))*Csch[a + Log[c*x^n]/(n*(2 - p))]^p)/(2*(1 - p))}
+
+
+{Csch[a + b*Log[c*x^n]]/x, x, 2, -(ArcTanh[Cosh[a + b*Log[c*x^n]]]/(b*n))}
+{Csch[a + b*Log[c*x^n]]^2/x, x, 3, -(Coth[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n))}
+{Csch[a + b*Log[c*x^n]]^3/x, x, 3, ArcTanh[Cosh[a + b*Log[c*x^n]]]/(2*b*n) - (Coth[a + b*Log[c*x^n]]*Csch[a + b*Log[c*x^n]])/(2*b*n)}
+{Csch[a + b*Log[c*x^n]]^4/x, x, 3, Coth[a + b*Log[c*x^n]]/(b*n) - Coth[a + b*Log[c*x^n]]^3/(3*b*n)}
+{Csch[a + b*Log[c*x^n]]^5/x, x, 4, -((3*ArcTanh[Cosh[a + b*Log[c*x^n]]])/(8*b*n)) + (3*Coth[a + b*Log[c*x^n]]*Csch[a + b*Log[c*x^n]])/(8*b*n) - (Coth[a + b*Log[c*x^n]]*Csch[a + b*Log[c*x^n]]^3)/(4*b*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Csch[a+b Log[c x^n]]^(p/2)*)
+
+
+{Csch[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)/x, x, 4, -((2*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Csch[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2))/(3*b*n)) + (2*I*Sqrt[Csch[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]])/(3*b*n)}
+{Csch[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)/x, x, 4, -((2*Cosh[a + b*Log[c*x^n]]*Sqrt[Csch[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n)) - (2*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*Log[c*x^n]), 2])/(b*n*Sqrt[Csch[a + b*Log[c*x^n]]]*Sqrt[I*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]])}
+{Sqrt[Csch[a + b*Log[c*x^n]]]/x, x, 3, -((2*I*Sqrt[Csch[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]])/(b*n))}
+{1/(x*Sqrt[Csch[a + b*Log[c*x^n]]]), x, 3, -((2*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*Log[c*x^n]), 2])/(b*n*Sqrt[Csch[a + b*Log[c*x^n]]]*Sqrt[I*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]]))}
+{1/(x*Csch[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)), x, 4, (2*Cosh[a + b*Log[c*x^n]])/(3*b*n*Sqrt[Csch[a + b*Log[c*x^n]]]) + (2*I*Sqrt[Csch[a + b*Log[c*x^n]]]*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*Log[c*x^n]), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]])/(3*b*n)}
+{1/(x*Csch[a + b*Log[c*x^n]]^(5/2)), x, 4, (2*Cosh[a + b*Log[c*x^n]])/(5*b*n*Csch[a + b*Log[c*x^n]]^(3/2)) + (6*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*Log[c*x^n]), 2])/(5*b*n*Sqrt[Csch[a + b*Log[c*x^n]]]*Sqrt[I*Sinh[a + b*Log[c*x^n]]])}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.6 Hyperbolic cosecant/6.6.7 (d hyper)^m (a+b (c csch)^n)^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.6 Hyperbolic cosecant/6.6.7 (d hyper)^m (a+b (c csch)^n)^p.m
new file mode 100644
index 00000000..42415b71
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.6 Hyperbolic cosecant/6.6.7 (d hyper)^m (a+b (c csch)^n)^p.m	
@@ -0,0 +1,63 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[c+d x]^m (a+b Csch[c+d x]^2)^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sinh[c+d x]^m (a+b Csch[c+d x]^2)^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n*)
+
+
+{(a + b*Csch[c + d*x]^2)^4, x, 4, a^4*x - ((2*a - b)*b*(2*a^2 - 2*a*b + b^2)*Coth[c + d*x])/d - (b^2*(6*a^2 - 8*a*b + 3*b^2)*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - ((4*a - 3*b)*b^3*Coth[c + d*x]^5)/(5*d) - (b^4*Coth[c + d*x]^7)/(7*d)}
+{(a + b*Csch[c + d*x]^2)^3, x, 4, a^3*x - (b*(3*a^2 - 3*a*b + b^2)*Coth[c + d*x])/d - ((3*a - 2*b)*b^2*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) - (b^3*Coth[c + d*x]^5)/(5*d)}
+{(a + b*Csch[c + d*x]^2)^2, x, 4, a^2*x - ((2*a - b)*b*Coth[c + d*x])/d - (b^2*Coth[c + d*x]^3)/(3*d)}
+{(a + b*Csch[c + d*x]^2)^1, x, 3, a*x - (b*Coth[c + d*x])/d}
+{1/(a + b*Csch[c + d*x]^2)^1, x, 3, x/a - (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(a*Sqrt[a - b]*d)}
+{1/(a + b*Csch[c + d*x]^2)^2, x, 5, x/a^2 - ((3*a - 2*b)*Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(2*a^2*(a - b)^(3/2)*d) + (b*Coth[c + d*x])/(2*a*(a - b)*d*(a - b + b*Coth[c + d*x]^2))}
+{1/(a + b*Csch[c + d*x]^2)^3, x, 6, x/a^3 - (Sqrt[b]*(15*a^2 - 20*a*b + 8*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(8*a^3*(a - b)^(5/2)*d) + (b*Coth[c + d*x])/(4*a*(a - b)*d*(a - b + b*Coth[c + d*x]^2)^2) + ((7*a - 4*b)*b*Coth[c + d*x])/(8*a^2*(a - b)^2*d*(a - b + b*Coth[c + d*x]^2))}
+{1/(a + b*Csch[c + d*x]^2)^4, x, 7, x/a^4 - (Sqrt[b]*(35*a^3 - 70*a^2*b + 56*a*b^2 - 16*b^3)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[b]])/(16*a^4*(a - b)^(7/2)*d) + (b*Coth[c + d*x])/(6*a*(a - b)*d*(a - b + b*Coth[c + d*x]^2)^3) + ((11*a - 6*b)*b*Coth[c + d*x])/(24*a^2*(a - b)^2*d*(a - b + b*Coth[c + d*x]^2)^2) + (b*(19*a^2 - 22*a*b + 8*b^2)*Coth[c + d*x])/(16*a^3*(a - b)^3*d*(a - b + b*Coth[c + d*x]^2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n/2*)
+
+
+{(a + b*Csch[c + d*x]^2)^(5/2), x, 8, (a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[c + d*x])/Sqrt[a - b + b*Coth[c + d*x]^2]])/d - (Sqrt[b]*(15*a^2 - 10*a*b + 3*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Coth[c + d*x])/Sqrt[a - b + b*Coth[c + d*x]^2]])/(8*d) - ((7*a - 3*b)*b*Coth[c + d*x]*Sqrt[a - b + b*Coth[c + d*x]^2])/(8*d) - (b*Coth[c + d*x]*(a - b + b*Coth[c + d*x]^2)^(3/2))/(4*d)}
+{(a + b*Csch[c + d*x]^2)^(3/2), x, 7, (a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[c + d*x])/Sqrt[a - b + b*Coth[c + d*x]^2]])/d - ((3*a - b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Coth[c + d*x])/Sqrt[a - b + b*Coth[c + d*x]^2]])/(2*d) - (b*Coth[c + d*x]*Sqrt[a - b + b*Coth[c + d*x]^2])/(2*d)}
+{(a + b*Csch[c + d*x]^2)^(1/2), x, 6, (Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[c + d*x])/Sqrt[a - b + b*Coth[c + d*x]^2]])/d - (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Coth[c + d*x])/Sqrt[a - b + b*Coth[c + d*x]^2]])/d}
+{1/(a + b*Csch[c + d*x]^2)^(1/2), x, 3, ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[c + d*x])/Sqrt[a + b*Csch[c + d*x]^2]]/(Sqrt[a]*d), ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[c + d*x])/Sqrt[a - b + b*Coth[c + d*x]^2]]/(Sqrt[a]*d)}
+{1/(a + b*Csch[c + d*x]^2)^(3/2), x, 4, ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[c + d*x])/Sqrt[a - b + b*Coth[c + d*x]^2]]/(a^(3/2)*d) + (b*Coth[c + d*x])/(a*(a - b)*d*Sqrt[a - b + b*Coth[c + d*x]^2])}
+{1/(a + b*Csch[c + d*x]^2)^(5/2), x, 6, ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[c + d*x])/Sqrt[a - b + b*Coth[c + d*x]^2]]/(a^(5/2)*d) + (b*Coth[c + d*x])/(3*a*(a - b)*d*(a - b + b*Coth[c + d*x]^2)^(3/2)) + ((5*a - 3*b)*b*Coth[c + d*x])/(3*a^2*(a - b)^2*d*Sqrt[a - b + b*Coth[c + d*x]^2])}
+{1/(a + b*Csch[c + d*x]^2)^(7/2), x, 7, ArcTanh[(Sqrt[a]*Coth[c + d*x])/Sqrt[a - b + b*Coth[c + d*x]^2]]/(a^(7/2)*d) + (b*Coth[c + d*x])/(5*a*(a - b)*d*(a - b + b*Coth[c + d*x]^2)^(5/2)) + ((9*a - 5*b)*b*Coth[c + d*x])/(15*a^2*(a - b)^2*d*(a - b + b*Coth[c + d*x]^2)^(3/2)) + (b*(33*a^2 - 40*a*b + 15*b^2)*Coth[c + d*x])/(15*a^3*(a - b)^3*d*Sqrt[a - b + b*Coth[c + d*x]^2])}
+
+
+{(1 + Csch[x]^2)^(3/2), x, 4, (-(1/2))*(Coth[x]^2)^(3/2)*Tanh[x] + Sqrt[Coth[x]^2]*Log[Sinh[x]]*Tanh[x]}
+{Sqrt[1 + Csch[x]^2], x, 3, Sqrt[Coth[x]^2]*Log[Sinh[x]]*Tanh[x]}
+{1/Sqrt[1 + Csch[x]^2], x, 3, (Coth[x]*Log[Cosh[x]])/Sqrt[Coth[x]^2]}
+
+
+{(1 - Csch[x]^2)^(3/2), x, 6, 2*ArcSin[Coth[x]/Sqrt[2]] + ArcTanh[Coth[x]/Sqrt[2 - Coth[x]^2]] + (1/2)*Coth[x]*Sqrt[2 - Coth[x]^2]}
+{Sqrt[1 - Csch[x]^2], x, 5, ArcSin[Coth[x]/Sqrt[2]] + ArcTanh[Coth[x]/Sqrt[2 - Coth[x]^2]]}
+{1/Sqrt[1 - Csch[x]^2], x, 3, ArcTanh[Coth[x]/Sqrt[2 - Coth[x]^2]]}
+
+
+{(-1 + Csch[x]^2)^(3/2), x, 7, ArcTan[Coth[x]/Sqrt[-2 + Coth[x]^2]] + 2*ArcTanh[Coth[x]/Sqrt[-2 + Coth[x]^2]] - (1/2)*Coth[x]*Sqrt[-2 + Coth[x]^2]}
+{Sqrt[-1 + Csch[x]^2], x, 6, -ArcTan[Coth[x]/Sqrt[-2 + Coth[x]^2]] - ArcTanh[Coth[x]/Sqrt[-2 + Coth[x]^2]]}
+{1/Sqrt[-1 + Csch[x]^2], x, 3, ArcTan[Coth[x]/Sqrt[-2 + Coth[x]^2]]}
+
+
+{(-1 - Csch[x]^2)^(3/2), x, 4, (1/2)*Coth[x]*Sqrt[-Coth[x]^2] - Sqrt[-Coth[x]^2]*Log[Sinh[x]]*Tanh[x]}
+{Sqrt[-1 - Csch[x]^2], x, 3, Sqrt[-Coth[x]^2]*Log[Sinh[x]]*Tanh[x]}
+{1/Sqrt[-1 - Csch[x]^2], x, 3, (Coth[x]*Log[Cosh[x]])/Sqrt[-Coth[x]^2]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[c+d x]^m (a+b Csch[c+d x]^2)^n*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form Tanh[c+d x]^m (a+b Csch[c+d x]^2)^n*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.7 Miscellaneous/6.7.1 Hyperbolic functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.7 Miscellaneous/6.7.1 Hyperbolic functions.m
new file mode 100644
index 00000000..a863d198
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/6 Hyperbolic functions/6.7 Miscellaneous/6.7.1 Hyperbolic functions.m	
@@ -0,0 +1,1920 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration Problems Involving Hyperbolic Functions*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Rectification problems*)
+
+
+(* Following integrands are equal. *)
+{2/(-1 + 3*Cosh[4 + 6*x]), x, 3, ArcTan[Sqrt[2]*Tanh[2 + 3*x]]/(3*Sqrt[2])}
+{1/(2*Sinh[2 + 3*x]^2 + Cosh[2 + 3*x]^2), x, 2, ArcTan[Sqrt[2]*Tanh[2 + 3*x]]/(3*Sqrt[2])}
+{Sech[2 + 3*x]^2/(1 + 2*Tanh[2 + 3*x]^2), x, 2, ArcTan[Sqrt[2]*Tanh[2 + 3*x]]/(3*Sqrt[2])}
+{Csch[2 + 3*x]^2/(2 + Coth[2 + 3*x]^2), x, 2, ArcTan[Sqrt[2]*Tanh[2 + 3*x]]/(3*Sqrt[2])}
+
+
+{Csch[2 + 3*x]^2/(2 - Coth[2 + 3*x]^2), x, 2, -(ArcTanh[Sqrt[2]*Tanh[2 + 3*x]]/(3*Sqrt[2]))}
+
+{Csch[2 + 3*x]^2/(1 + 2*Coth[2 + 3*x]^2), x, 2, ArcTan[Tanh[2 + 3*x]/Sqrt[2]]/(3*Sqrt[2])}
+
+{Csch[2 + 3*x]^2/(1 - 2*Coth[2 + 3*x]^2), x, 2, -(ArcTanh[Tanh[2 + 3*x]/Sqrt[2]]/(3*Sqrt[2]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[a+b x]^n Hyper[c+d x]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[a+b x]^m Hyper[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cosh[a+b x]^m Sinh[a+b x]^n*)
+
+
+{Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x], x, 2, Sinh[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^n, x, 2, Sinh[a + b*x]^(1 + n)/(b*(1 + n))}
+{Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^n, x, 3, Sinh[a + b*x]^(1 + n)/(b*(1 + n)) + Sinh[a + b*x]^(3 + n)/(b*(3 + n))}
+{Cosh[a + b*x]^5*Sinh[a + b*x]^n, x, 3, Sinh[a + b*x]^(1 + n)/(b*(1 + n)) + (2*Sinh[a + b*x]^(3 + n))/(b*(3 + n)) + Sinh[a + b*x]^(5 + n)/(b*(5 + n))}
+
+{Cosh[a + b*x]^m*Sinh[a + b*x], x, 2, Cosh[a + b*x]^(1 + m)/(b*(1 + m))}
+{Cosh[a + b*x]^m*Sinh[a + b*x]^3, x, 3, -(Cosh[a + b*x]^(1 + m)/(b*(1 + m))) + Cosh[a + b*x]^(3 + m)/(b*(3 + m))}
+{Cosh[a + b*x]^m*Sinh[a + b*x]^5, x, 3, Cosh[a + b*x]^(1 + m)/(b*(1 + m)) - (2*Cosh[a + b*x]^(3 + m))/(b*(3 + m)) + Cosh[a + b*x]^(5 + m)/(b*(5 + m))}
+
+{Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2, x, 3, -(x/8) - (Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(8*b) + (Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(4*b)}
+{Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^4, x, 4, x/16 + (Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(16*b) - (Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(8*b) + (Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3)/(6*b)}
+{Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^6, x, 5, -((5*x)/128) - (5*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(128*b) + (5*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(64*b) - (5*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3)/(48*b) + (Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^5)/(8*b)}
+
+{Cosh[a + b*x]^4*Sinh[a + b*x]^2, x, 4, -(x/16) - (Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(16*b) - (Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(24*b) + (Cosh[a + b*x]^5*Sinh[a + b*x])/(6*b)}
+{Cosh[a + b*x]^4*Sinh[a + b*x]^4, x, 5, (3*x)/128 + (3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(128*b) + (Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(64*b) - (Cosh[a + b*x]^5*Sinh[a + b*x])/(16*b) + (Cosh[a + b*x]^5*Sinh[a + b*x]^3)/(8*b)}
+{Cosh[a + b*x]^4*Sinh[a + b*x]^6, x, 6, -((3*x)/256) - (3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(256*b) - (Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(128*b) + (Cosh[a + b*x]^5*Sinh[a + b*x])/(32*b) - (Cosh[a + b*x]^5*Sinh[a + b*x]^3)/(16*b) + (Cosh[a + b*x]^5*Sinh[a + b*x]^5)/(10*b)}
+
+{Cosh[a + b*x]^6*Sinh[a + b*x]^2, x, 5, -((5*x)/128) - (5*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(128*b) - (5*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(192*b) - (Cosh[a + b*x]^5*Sinh[a + b*x])/(48*b) + (Cosh[a + b*x]^7*Sinh[a + b*x])/(8*b)}
+{Cosh[a + b*x]^6*Sinh[a + b*x]^4, x, 6, (3*x)/256 + (3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(256*b) + (Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(128*b) + (Cosh[a + b*x]^5*Sinh[a + b*x])/(160*b) - (3*Cosh[a + b*x]^7*Sinh[a + b*x])/(80*b) + (Cosh[a + b*x]^7*Sinh[a + b*x]^3)/(10*b)}
+{Cosh[a + b*x]^6*Sinh[a + b*x]^6, x, 7, -((5*x)/1024) - (5*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(1024*b) - (5*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(1536*b) - (Cosh[a + b*x]^5*Sinh[a + b*x])/(384*b) + (Cosh[a + b*x]^7*Sinh[a + b*x])/(64*b) - (Cosh[a + b*x]^7*Sinh[a + b*x]^3)/(24*b) + (Cosh[a + b*x]^7*Sinh[a + b*x]^5)/(12*b)}
+
+
+{Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x], x, 2, Log[Tanh[a + b*x]]/b}
+{Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x]^2, x, 3, -(ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/b) + Sech[a + b*x]/b}
+{Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x]^3, x, 3, Log[Tanh[a + b*x]]/b - Tanh[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x]^4, x, 4, -(ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/b) + Sech[a + b*x]/b + Sech[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x]^5, x, 4, Log[Tanh[a + b*x]]/b - Tanh[a + b*x]^2/b + Tanh[a + b*x]^4/(4*b)}
+
+{Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x], x, 3, -(ArcTan[Sinh[a + b*x]]/b) - Csch[a + b*x]/b}
+{Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x]^2, x, 3, -(Coth[a + b*x]/b) - Tanh[a + b*x]/b}
+{Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x]^3, x, 4, -((3*ArcTan[Sinh[a + b*x]])/(2*b)) - (3*Csch[a + b*x])/(2*b) + (Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x]^4, x, 3, -(Coth[a + b*x]/b) - (2*Tanh[a + b*x])/b + Tanh[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x]^5, x, 5, -((15*ArcTan[Sinh[a + b*x]])/(8*b)) - (15*Csch[a + b*x])/(8*b) + (5*Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x]^2)/(8*b) + (Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x]^4)/(4*b)}
+
+{Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x], x, 3, -(Coth[a + b*x]^2/(2*b)) - Log[Tanh[a + b*x]]/b}
+{Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^2, x, 4, (3*ArcTanh[Cosh[a + b*x]])/(2*b) - (3*Sech[a + b*x])/(2*b) - (Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x])/(2*b)}
+{Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^3, x, 4, -(Coth[a + b*x]^2/(2*b)) - (2*Log[Tanh[a + b*x]])/b + Tanh[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^4, x, 5, (5*ArcTanh[Cosh[a + b*x]])/(2*b) - (5*Sech[a + b*x])/(2*b) - (5*Sech[a + b*x]^3)/(6*b) - (Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x]^3)/(2*b)}
+{Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^5, x, 4, -(Coth[a + b*x]^2/(2*b)) - (3*Log[Tanh[a + b*x]])/b + (3*Tanh[a + b*x]^2)/(2*b) - Tanh[a + b*x]^4/(4*b)}
+
+{Csch[a + b*x]^4*Sech[a + b*x], x, 4, ArcTan[Sinh[a + b*x]]/b + Csch[a + b*x]/b - Csch[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Csch[a + b*x]^4*Sech[a + b*x]^2, x, 3, (2*Coth[a + b*x])/b - Coth[a + b*x]^3/(3*b) + Tanh[a + b*x]/b}
+{Csch[a + b*x]^4*Sech[a + b*x]^3, x, 5, (5*ArcTan[Sinh[a + b*x]])/(2*b) + (5*Csch[a + b*x])/(2*b) - (5*Csch[a + b*x]^3)/(6*b) + (Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Csch[a + b*x]^4*Sech[a + b*x]^4, x, 3, (3*Coth[a + b*x])/b - Coth[a + b*x]^3/(3*b) + (3*Tanh[a + b*x])/b - Tanh[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Csch[a + b*x]^4*Sech[a + b*x]^5, x, 6, (35*ArcTan[Sinh[a + b*x]])/(8*b) + (35*Csch[a + b*x])/(8*b) - (35*Csch[a + b*x]^3)/(24*b) + (7*Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^2)/(8*b) + (Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^4)/(4*b)}
+
+{Csch[a + b*x]^5*Sech[a + b*x], x, 4, Coth[a + b*x]^2/b - Coth[a + b*x]^4/(4*b) + Log[Tanh[a + b*x]]/b}
+{Csch[a + b*x]^5*Sech[a + b*x]^2, x, 5, -((15*ArcTanh[Cosh[a + b*x]])/(8*b)) + (15*Sech[a + b*x])/(8*b) + (5*Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x])/(8*b) - (Csch[a + b*x]^4*Sech[a + b*x])/(4*b)}
+{Csch[a + b*x]^5*Sech[a + b*x]^3, x, 4, (3*Coth[a + b*x]^2)/(2*b) - Coth[a + b*x]^4/(4*b) + (3*Log[Tanh[a + b*x]])/b - Tanh[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Csch[a + b*x]^5*Sech[a + b*x]^4, x, 6, -((35*ArcTanh[Cosh[a + b*x]])/(8*b)) + (35*Sech[a + b*x])/(8*b) + (35*Sech[a + b*x]^3)/(24*b) + (7*Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x]^3)/(8*b) - (Csch[a + b*x]^4*Sech[a + b*x]^3)/(4*b)}
+{Csch[a + b*x]^5*Sech[a + b*x]^5, x, 4, (2*Coth[a + b*x]^2)/b - Coth[a + b*x]^4/(4*b) + (6*Log[Tanh[a + b*x]])/b - (2*Tanh[a + b*x]^2)/b + Tanh[a + b*x]^4/(4*b)}
+
+
+{Sinh[a + b*x]^(7/2)/Cosh[a + b*x]^(7/2), x, 6, -(ArcTan[Sqrt[Cosh[a + b*x]]/Sqrt[Sinh[a + b*x]]]/b) + ArcTanh[Sqrt[Cosh[a + b*x]]/Sqrt[Sinh[a + b*x]]]/b - (2*Sqrt[Sinh[a + b*x]])/(b*Sqrt[Cosh[a + b*x]]) - (2*Sinh[a + b*x]^(5/2))/(5*b*Cosh[a + b*x]^(5/2))}
+{Sinh[a + b*x]^(5/2)/Cosh[a + b*x]^(5/2), x, 5, -(ArcTan[Sqrt[Sinh[a + b*x]]/Sqrt[Cosh[a + b*x]]]/b) + ArcTanh[Sqrt[Sinh[a + b*x]]/Sqrt[Cosh[a + b*x]]]/b - (2*Sinh[a + b*x]^(3/2))/(3*b*Cosh[a + b*x]^(3/2))}
+{Sinh[a + b*x]^(3/2)/Cosh[a + b*x]^(3/2), x, 5, -(ArcTan[Sqrt[Cosh[a + b*x]]/Sqrt[Sinh[a + b*x]]]/b) + ArcTanh[Sqrt[Cosh[a + b*x]]/Sqrt[Sinh[a + b*x]]]/b - (2*Sqrt[Sinh[a + b*x]])/(b*Sqrt[Cosh[a + b*x]])}
+{Sinh[a + b*x]^(1/2)/Cosh[a + b*x]^(1/2), x, 4, -(ArcTan[Sqrt[Sinh[a + b*x]]/Sqrt[Cosh[a + b*x]]]/b) + ArcTanh[Sqrt[Sinh[a + b*x]]/Sqrt[Cosh[a + b*x]]]/b}
+{Cosh[a + b*x]^(1/2)/Sinh[a + b*x]^(1/2), x, 4, -(ArcTan[Sqrt[Cosh[a + b*x]]/Sqrt[Sinh[a + b*x]]]/b) + ArcTanh[Sqrt[Cosh[a + b*x]]/Sqrt[Sinh[a + b*x]]]/b}
+{Cosh[a + b*x]^(3/2)/Sinh[a + b*x]^(3/2), x, 5, -(ArcTan[Sqrt[Sinh[a + b*x]]/Sqrt[Cosh[a + b*x]]]/b) + ArcTanh[Sqrt[Sinh[a + b*x]]/Sqrt[Cosh[a + b*x]]]/b - (2*Sqrt[Cosh[a + b*x]])/(b*Sqrt[Sinh[a + b*x]])}
+{Cosh[a + b*x]^(5/2)/Sinh[a + b*x]^(5/2), x, 5, -(ArcTan[Sqrt[Cosh[a + b*x]]/Sqrt[Sinh[a + b*x]]]/b) + ArcTanh[Sqrt[Cosh[a + b*x]]/Sqrt[Sinh[a + b*x]]]/b - (2*Cosh[a + b*x]^(3/2))/(3*b*Sinh[a + b*x]^(3/2))}
+{Cosh[a + b*x]^(7/2)/Sinh[a + b*x]^(7/2), x, 6, -(ArcTan[Sqrt[Sinh[a + b*x]]/Sqrt[Cosh[a + b*x]]]/b) + ArcTanh[Sqrt[Sinh[a + b*x]]/Sqrt[Cosh[a + b*x]]]/b - (2*Cosh[a + b*x]^(5/2))/(5*b*Sinh[a + b*x]^(5/2)) - (2*Sqrt[Cosh[a + b*x]])/(b*Sqrt[Sinh[a + b*x]])}
+
+
+{Sinh[a + b*x]^(7/3)/Cosh[a + b*x]^(7/3), x, 9, -((Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*Sinh[a + b*x]^(2/3))/Cosh[a + b*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*b)) - Log[1 - Sinh[a + b*x]^(2/3)/Cosh[a + b*x]^(2/3)]/(2*b) + Log[1 + Sinh[a + b*x]^(2/3)/Cosh[a + b*x]^(2/3) + Sinh[a + b*x]^(4/3)/Cosh[a + b*x]^(4/3)]/(4*b) - (3*Sinh[a + b*x]^(4/3))/(4*b*Cosh[a + b*x]^(4/3))}
+{Sinh[a + b*x]^(5/3)/Cosh[a + b*x]^(5/3), x, 9, -((Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*Cosh[a + b*x]^(2/3))/Sinh[a + b*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*b)) - Log[1 - Cosh[a + b*x]^(2/3)/Sinh[a + b*x]^(2/3)]/(2*b) + Log[1 + Cosh[a + b*x]^(4/3)/Sinh[a + b*x]^(4/3) + Cosh[a + b*x]^(2/3)/Sinh[a + b*x]^(2/3)]/(4*b) - (3*Sinh[a + b*x]^(2/3))/(2*b*Cosh[a + b*x]^(2/3))}
+{Sinh[a + b*x]^(4/3)/Cosh[a + b*x]^(4/3), x, 12, (Sqrt[3]*ArcTan[(1 - (2*Cosh[a + b*x]^(1/3))/Sinh[a + b*x]^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*b) - (Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*Cosh[a + b*x]^(1/3))/Sinh[a + b*x]^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*b) + ArcTanh[Cosh[a + b*x]^(1/3)/Sinh[a + b*x]^(1/3)]/b - Log[1 + Cosh[a + b*x]^(2/3)/Sinh[a + b*x]^(2/3) - Cosh[a + b*x]^(1/3)/Sinh[a + b*x]^(1/3)]/(4*b) + Log[1 + Cosh[a + b*x]^(2/3)/Sinh[a + b*x]^(2/3) + Cosh[a + b*x]^(1/3)/Sinh[a + b*x]^(1/3)]/(4*b) - (3*Sinh[a + b*x]^(1/3))/(b*Cosh[a + b*x]^(1/3))}
+{Sinh[a + b*x]^(2/3)/Cosh[a + b*x]^(2/3), x, 11, (Sqrt[3]*ArcTan[(1 - (2*Sinh[a + b*x]^(1/3))/Cosh[a + b*x]^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*b) - (Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*Sinh[a + b*x]^(1/3))/Cosh[a + b*x]^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*b) + ArcTanh[Sinh[a + b*x]^(1/3)/Cosh[a + b*x]^(1/3)]/b - Log[1 - Sinh[a + b*x]^(1/3)/Cosh[a + b*x]^(1/3) + Sinh[a + b*x]^(2/3)/Cosh[a + b*x]^(2/3)]/(4*b) + Log[1 + Sinh[a + b*x]^(1/3)/Cosh[a + b*x]^(1/3) + Sinh[a + b*x]^(2/3)/Cosh[a + b*x]^(2/3)]/(4*b)}
+{Sinh[a + b*x]^(1/3)/Cosh[a + b*x]^(1/3), x, 8, -((Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*Sinh[a + b*x]^(2/3))/Cosh[a + b*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*b)) - Log[1 - Sinh[a + b*x]^(2/3)/Cosh[a + b*x]^(2/3)]/(2*b) + Log[1 + Sinh[a + b*x]^(2/3)/Cosh[a + b*x]^(2/3) + Sinh[a + b*x]^(4/3)/Cosh[a + b*x]^(4/3)]/(4*b)}
+{Cosh[a + b*x]^(1/3)/Sinh[a + b*x]^(1/3), x, 8, -((Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*Cosh[a + b*x]^(2/3))/Sinh[a + b*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*b)) - Log[1 - Cosh[a + b*x]^(2/3)/Sinh[a + b*x]^(2/3)]/(2*b) + Log[1 + Cosh[a + b*x]^(4/3)/Sinh[a + b*x]^(4/3) + Cosh[a + b*x]^(2/3)/Sinh[a + b*x]^(2/3)]/(4*b)}
+{Cosh[a + b*x]^(2/3)/Sinh[a + b*x]^(2/3), x, 11, (Sqrt[3]*ArcTan[(1 - (2*Cosh[a + b*x]^(1/3))/Sinh[a + b*x]^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*b) - (Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*Cosh[a + b*x]^(1/3))/Sinh[a + b*x]^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*b) + ArcTanh[Cosh[a + b*x]^(1/3)/Sinh[a + b*x]^(1/3)]/b - Log[1 + Cosh[a + b*x]^(2/3)/Sinh[a + b*x]^(2/3) - Cosh[a + b*x]^(1/3)/Sinh[a + b*x]^(1/3)]/(4*b) + Log[1 + Cosh[a + b*x]^(2/3)/Sinh[a + b*x]^(2/3) + Cosh[a + b*x]^(1/3)/Sinh[a + b*x]^(1/3)]/(4*b)}
+{Cosh[a + b*x]^(4/3)/Sinh[a + b*x]^(4/3), x, 12, (Sqrt[3]*ArcTan[(1 - (2*Sinh[a + b*x]^(1/3))/Cosh[a + b*x]^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*b) - (Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*Sinh[a + b*x]^(1/3))/Cosh[a + b*x]^(1/3))/Sqrt[3]])/(2*b) + ArcTanh[Sinh[a + b*x]^(1/3)/Cosh[a + b*x]^(1/3)]/b - Log[1 - Sinh[a + b*x]^(1/3)/Cosh[a + b*x]^(1/3) + Sinh[a + b*x]^(2/3)/Cosh[a + b*x]^(2/3)]/(4*b) + Log[1 + Sinh[a + b*x]^(1/3)/Cosh[a + b*x]^(1/3) + Sinh[a + b*x]^(2/3)/Cosh[a + b*x]^(2/3)]/(4*b) - (3*Cosh[a + b*x]^(1/3))/(b*Sinh[a + b*x]^(1/3))}
+{Cosh[a + b*x]^(5/3)/Sinh[a + b*x]^(5/3), x, 9, -((Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*Sinh[a + b*x]^(2/3))/Cosh[a + b*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*b)) - Log[1 - Sinh[a + b*x]^(2/3)/Cosh[a + b*x]^(2/3)]/(2*b) + Log[1 + Sinh[a + b*x]^(2/3)/Cosh[a + b*x]^(2/3) + Sinh[a + b*x]^(4/3)/Cosh[a + b*x]^(4/3)]/(4*b) - (3*Cosh[a + b*x]^(2/3))/(2*b*Sinh[a + b*x]^(2/3))}
+{Cosh[a + b*x]^(7/3)/Sinh[a + b*x]^(7/3), x, 9, -((Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*Cosh[a + b*x]^(2/3))/Sinh[a + b*x]^(2/3))/Sqrt[3]])/(2*b)) - Log[1 - Cosh[a + b*x]^(2/3)/Sinh[a + b*x]^(2/3)]/(2*b) + Log[1 + Cosh[a + b*x]^(4/3)/Sinh[a + b*x]^(4/3) + Cosh[a + b*x]^(2/3)/Sinh[a + b*x]^(2/3)]/(4*b) - (3*Cosh[a + b*x]^(4/3))/(4*b*Sinh[a + b*x]^(4/3))}
+
+
+{Cosh[x]^(2/3)/Sinh[x]^(8/3), x, 1, -((3*Cosh[x]^(5/3))/(5*Sinh[x]^(5/3)))}
+{Sinh[x]^(2/3)/Cosh[x]^(8/3), x, 1, (3*Sinh[x]^(5/3))/(5*Cosh[x]^(5/3))}
+
+{Cosh[x]*Csch[x]^(7/3), x, 2, (-3*Csch[x]^(4/3))/4}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[a+b x]^m Tanh[a+b x]^n*)
+
+
+{Sinh[a + b*x]*Tanh[a + b*x], x, 3, -(ArcTan[Sinh[a + b*x]]/b) + Sinh[a + b*x]/b}
+{Sinh[a + b*x]*Tanh[a + b*x]^2, x, 3, Cosh[a + b*x]/b + Sech[a + b*x]/b}
+{Sinh[a + b*x]*Tanh[a + b*x]^3, x, 4, -((3*ArcTan[Sinh[a + b*x]])/(2*b)) + (3*Sinh[a + b*x])/(2*b) - (Sinh[a + b*x]*Tanh[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Sinh[a + b*x]*Tanh[a + b*x]^4, x, 3, Cosh[a + b*x]/b + (2*Sech[a + b*x])/b - Sech[a + b*x]^3/(3*b)}
+
+{Sinh[a + b*x]^2*Tanh[a + b*x], x, 3, Cosh[a + b*x]^2/(2*b) - Log[Cosh[a + b*x]]/b}
+{Sinh[a + b*x]^2*Tanh[a + b*x]^2, x, 4, -((3*x)/2) + (3*Tanh[a + b*x])/(2*b) + (Sinh[a + b*x]^2*Tanh[a + b*x])/(2*b)}
+{Sinh[a + b*x]^2*Tanh[a + b*x]^3, x, 4, Cosh[a + b*x]^2/(2*b) - (2*Log[Cosh[a + b*x]])/b - Sech[a + b*x]^2/(2*b)}
+
+{Sinh[a + b*x]^3*Tanh[a + b*x], x, 4, ArcTan[Sinh[a + b*x]]/b - Sinh[a + b*x]/b + Sinh[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Sinh[a + b*x]^3*Tanh[a + b*x]^2, x, 3, -((2*Cosh[a + b*x])/b) + Cosh[a + b*x]^3/(3*b) - Sech[a + b*x]/b}
+{Sinh[a + b*x]^3*Tanh[a + b*x]^3, x, 5, (5*ArcTan[Sinh[a + b*x]])/(2*b) - (5*Sinh[a + b*x])/(2*b) + (5*Sinh[a + b*x]^3)/(6*b) - (Sinh[a + b*x]^3*Tanh[a + b*x]^2)/(2*b)}
+
+{Sinh[a + b*x]^4*Tanh[a + b*x], x, 4, -(Cosh[a + b*x]^2/b) + Cosh[a + b*x]^4/(4*b) + Log[Cosh[a + b*x]]/b}
+
+
+{Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x], x, 2, -Sech[a + b*x]/b}
+{Sech[a + b*x]^2*Tanh[a + b*x], x, 2, -(Sech[a + b*x]^2/(2*b))}
+{Sech[a + b*x]^n*Tanh[a + b*x], x, 2, -Sech[a + b*x]^n/(b*n)}
+
+{Sech[a + b*x]^2*Tanh[a + b*x]^2, x, 2, Tanh[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Sech[a + b*x]^2*Tanh[a + b*x]^3, x, 2, Tanh[a + b*x]^4/(4*b)}
+{Sech[a + b*x]^2*Tanh[a + b*x]^n, x, 2, Tanh[a + b*x]^(1 + n)/(b*(1 + n))}
+
+{Sech[a + b*x]^1*Tanh[a + b*x]^3, x, 2, -(Sech[a + b*x]/b) + Sech[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Sech[a + b*x]^3*Tanh[a + b*x]^3, x, 3, -(Sech[a + b*x]^3/(3*b)) + Sech[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Sech[a + b*x]^n*Tanh[a + b*x]^3, x, 3, -(Sech[a + b*x]^n/(b*n)) + Sech[a + b*x]^(2 + n)/(b*(2 + n))}
+
+{Sech[a + b*x]^4*Tanh[a + b*x]^2, x, 3, Tanh[a + b*x]^3/(3*b) - Tanh[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Sech[a + b*x]^4*Sqrt[Tanh[a + b*x]], x, 3, (2*Tanh[a + b*x]^(3/2))/(3*b) - (2*Tanh[a + b*x]^(7/2))/(7*b)}
+{Sech[a + b*x]^4*Tanh[a + b*x]^n, x, 3, Tanh[a + b*x]^(1 + n)/(b*(1 + n)) - Tanh[a + b*x]^(3 + n)/(b*(3 + n))}
+
+{Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x]^2, x, 2, ArcTan[Sinh[a + b*x]]/(2*b) - (Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(2*b)}
+{Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x]^4, x, 3, (3*ArcTan[Sinh[a + b*x]])/(8*b) - (3*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(8*b) - (Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x]^3)/(4*b)}
+
+{Sech[a + b*x]^3*Tanh[a + b*x]^2, x, 3, ArcTan[Sinh[a + b*x]]/(8*b) + (Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(8*b) - (Sech[a + b*x]^3*Tanh[a + b*x])/(4*b)}
+
+{Sech[x]*Tanh[x]^5, x, 3, -Sech[x] + (2*Sech[x]^3)/3 - Sech[x]^5/5}
+{Sech[x]^7*Tanh[x]^5, x, 3, (-(1/7))*Sech[x]^7 + (2*Sech[x]^9)/9 - Sech[x]^11/11}
+{Sech[x]^3*Tanh[x]^4, x, 4, (1/16)*ArcTan[Sinh[x]] + (1/16)*Sech[x]*Tanh[x] - (1/8)*Sech[x]^3*Tanh[x] - (1/6)*Sech[x]^3*Tanh[x]^3}
+{Sech[x]^5*Tanh[x]^2, x, 4, (1/16)*ArcTan[Sinh[x]] + (1/16)*Sech[x]*Tanh[x] + (1/24)*Sech[x]^3*Tanh[x] - (1/6)*Sech[x]^5*Tanh[x]}
+{Sech[x]^8*Tanh[x]^6, x, 3, Tanh[x]^7/7 - Tanh[x]^9/3 + (3*Tanh[x]^11)/11 - Tanh[x]^13/13}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[a+b x]^m Coth[a+b x]^n*)
+
+
+{Cosh[a + b*x]*Coth[a + b*x], x, 3, -(ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/b) + Cosh[a + b*x]/b}
+{Cosh[a + b*x]*Coth[a + b*x]^2, x, 3, -(Csch[a + b*x]/b) + Sinh[a + b*x]/b}
+{Cosh[a + b*x]*Coth[a + b*x]^3, x, 4, -((3*ArcTanh[Cosh[a + b*x]])/(2*b)) + (3*Cosh[a + b*x])/(2*b) - (Cosh[a + b*x]*Coth[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Cosh[a + b*x]*Coth[a + b*x]^4, x, 3, -((2*Csch[a + b*x])/b) - Csch[a + b*x]^3/(3*b) + Sinh[a + b*x]/b}
+
+{Cosh[a + b*x]^2*Coth[a + b*x], x, 3, Log[Sinh[a + b*x]]/b + Sinh[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Cosh[a + b*x]^2*Coth[a + b*x]^2, x, 4, (3*x)/2 - (3*Coth[a + b*x])/(2*b) + (Cosh[a + b*x]^2*Coth[a + b*x])/(2*b)}
+{Cosh[a + b*x]^2*Coth[a + b*x]^3, x, 4, -(Csch[a + b*x]^2/(2*b)) + (2*Log[Sinh[a + b*x]])/b + Sinh[a + b*x]^2/(2*b)}
+
+{Cosh[a + b*x]^3*Coth[a + b*x], x, 4, -(ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/b) + Cosh[a + b*x]/b + Cosh[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Cosh[a + b*x]^3*Coth[a + b*x]^2, x, 3, -(Csch[a + b*x]/b) + (2*Sinh[a + b*x])/b + Sinh[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Cosh[a + b*x]^3*Coth[a + b*x]^3, x, 5, -((5*ArcTanh[Cosh[a + b*x]])/(2*b)) + (5*Cosh[a + b*x])/(2*b) + (5*Cosh[a + b*x]^3)/(6*b) - (Cosh[a + b*x]^3*Coth[a + b*x]^2)/(2*b)}
+
+{Cosh[a + b*x]^4*Coth[a + b*x], x, 4, Log[Sinh[a + b*x]]/b + Sinh[a + b*x]^2/b + Sinh[a + b*x]^4/(4*b)}
+
+
+{Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x], x, 2, -(Csch[a + b*x]/b)}
+{Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2, x, 2, -(Csch[a + b*x]^2/(2*b))}
+{Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x]^n, x, 2, -Csch[a + b*x]^n/(b*n)}
+
+{Coth[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^2, x, 2, -Coth[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Coth[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^2, x, 2, -Coth[a + b*x]^4/(4*b)}
+{Coth[a + b*x]^n*Csch[a + b*x]^2, x, 2, -Coth[a + b*x]^(1 + n)/(b*(1 + n))}
+
+{Coth[a + b*x]^3*Csch[a + b*x], x, 2, -(Csch[a + b*x]/b) - Csch[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Coth[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^3, x, 3, -(Csch[a + b*x]^3/(3*b)) - Csch[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Coth[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^n, x, 3, -(Csch[a + b*x]^n/(b*n)) - Csch[a + b*x]^(2 + n)/(b*(2 + n))}
+
+{Coth[a + b*x]^2*Csch[a + b*x], x, 2, -(ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/(2*b)) - (Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/(2*b)}
+{Coth[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^3, x, 3, ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/(8*b) - (Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/(8*b) - (Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3)/(4*b)}
+
+{Coth[a + b*x]^4*Csch[a + b*x], x, 3, -((3*ArcTanh[Cosh[a + b*x]])/(8*b)) - (3*Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/(8*b) - (Coth[a + b*x]^3*Csch[a + b*x])/(4*b)}
+
+{Coth[x]^2*Csch[x]^4, x, 3, Coth[x]^3/3 - Coth[x]^5/5}
+{Coth[x]^3*Csch[x]^4, x, 3, (-(1/4))*Csch[x]^4 - Csch[x]^6/6}
+{Coth[x]^n*Csch[x]^4, x, 3, Coth[x]^(1 + n)/(1 + n) - Coth[x]^(3 + n)/(3 + n)}
+
+{Coth[x]^4*Csch[x]^3, x, 4, (1/16)*ArcTanh[Cosh[x]] - (1/16)*Coth[x]*Csch[x] - (1/8)*Coth[x]*Csch[x]^3 - (1/6)*Coth[x]^3*Csch[x]^3}
+{Coth[x]^4*Csch[x]^6, x, 3, (-(1/5))*Coth[x]^5 + (2*Coth[x]^7)/7 - Coth[x]^9/9}
+{Coth[6*x]^5*Csch[6*x], x, 3, (-(1/6))*Csch[6*x] - (1/9)*Csch[6*x]^3 - (1/30)*Csch[6*x]^5}
+{Coth[x]^7*Csch[x]^3, x, 3, (-(1/3))*Csch[x]^3 - (3*Csch[x]^5)/5 - (3*Csch[x]^7)/7 - Csch[x]^9/9}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[a+b x] Hyper[c+d x] when b^2-d^2=0*)
+
+
+{Sinh[a + b*x]*Sinh[c + b*x], x, 3, (-(1/2))*x*Cosh[a - c] + Sinh[a + c + 2*b*x]/(4*b)}
+{Sinh[a + b*x]*Sinh[c - b*x], x, 3, (1/2)*x*Cosh[a + c] - Sinh[a - c + 2*b*x]/(4*b)}
+
+
+{Cosh[a + b*x]*Cosh[c + b*x], x, 3, (1/2)*x*Cosh[a - c] + Sinh[a + c + 2*b*x]/(4*b)}
+{Cosh[a + b*x]*Cosh[c - b*x], x, 3, (1/2)*x*Cosh[a + c] + Sinh[a - c + 2*b*x]/(4*b)}
+
+
+{Tanh[a + b*x]*Tanh[c + b*x], x, 4, x - (Coth[a - c]*Log[Cosh[a + b*x]])/b + (Coth[a - c]*Log[Cosh[c + b*x]])/b}
+{Tanh[a + b*x]*Tanh[c - b*x], x, 4, -x - (Coth[a + c]*Log[Cosh[c - b*x]])/b + (Coth[a + c]*Log[Cosh[a + b*x]])/b}
+
+
+{Coth[a + b*x]*Coth[c + b*x], x, 4, x - (Coth[a - c]*Log[Sinh[a + b*x]])/b + (Coth[a - c]*Log[Sinh[c + b*x]])/b}
+{Coth[a + b*x]*Coth[c - b*x], x, 4, -x - (Coth[a + c]*Log[Sinh[c - b*x]])/b + (Coth[a + c]*Log[Sinh[a + b*x]])/b}
+
+
+{Sech[a + b*x]*Sech[c + b*x], x, 3, (Csch[a - c]*Log[Cosh[a + b*x]])/b - (Csch[a - c]*Log[Cosh[c + b*x]])/b}
+{Sech[a + b*x]*Sech[c - b*x], x, 3, -((Csch[a + c]*Log[Cosh[c - b*x]])/b) + (Csch[a + c]*Log[Cosh[a + b*x]])/b}
+
+
+{Csch[a + b*x]*Csch[c + b*x], x, 3, -((Csch[a - c]*Log[Sinh[a + b*x]])/b) + (Csch[a - c]*Log[Sinh[c + b*x]])/b}
+{Csch[a + b*x]*Csch[c - b*x], x, 3, -((Csch[a + c]*Log[Sinh[c - b*x]])/b) + (Csch[a + c]*Log[Sinh[a + b*x]])/b}
+
+
+{Sinh[a + b*x]*Tanh[c + b*x]^1, x, 3, -((ArcTan[Sinh[c + b*x]]*Cosh[a - c])/b) + Sinh[a + b*x]/b}
+{Sinh[a + b*x]*Tanh[c + b*x]^2, x, 6, Cosh[a + b*x]/b + (Cosh[a - c]*Sech[c + b*x])/b - (ArcTan[Sinh[c + b*x]]*Sinh[a - c])/b}
+{Sinh[a + b*x]*Tanh[c + b*x]^3, x, 9, -((3*ArcTan[Sinh[c + b*x]]*Cosh[a - c])/(2*b)) + (Sech[c + b*x]*Sinh[a - c])/b + Sinh[a + b*x]/b + (Cosh[a - c]*Sech[c + b*x]*Tanh[c + b*x])/(2*b)}
+
+{Sinh[a + b*x]*Coth[c + b*x]^1, x, 3, -((ArcTanh[Cosh[c + b*x]]*Sinh[a - c])/b) + Sinh[a + b*x]/b}
+{Sinh[a + b*x]*Coth[c + b*x]^2, x, 6, -((ArcTanh[Cosh[c + b*x]]*Cosh[a - c])/b) + Cosh[a + b*x]/b - (Csch[c + b*x]*Sinh[a - c])/b}
+{Sinh[a + b*x]*Coth[c + b*x]^3, x, 9, -((Cosh[a - c]*Csch[c + b*x])/b) - (3*ArcTanh[Cosh[c + b*x]]*Sinh[a - c])/(2*b) - (Coth[c + b*x]*Csch[c + b*x]*Sinh[a - c])/(2*b) + Sinh[a + b*x]/b}
+
+{Sinh[a + b*x]*Sech[c + b*x]^1, x, 3, (Cosh[a - c]*Log[Cosh[c + b*x]])/b + x*Sinh[a - c]}
+{Sinh[a + b*x]*Sech[c + b*x]^2, x, 4, -((Cosh[a - c]*Sech[c + b*x])/b) + (ArcTan[Sinh[c + b*x]]*Sinh[a - c])/b}
+{Sinh[a + b*x]*Sech[c + b*x]^3, x, 5, -((Cosh[a - c]*Sech[c + b*x]^2)/(2*b)) + (Sinh[a - c]*Tanh[c + b*x])/b}
+
+{Sinh[a + b*x]*Csch[c + b*x]^1, x, 3, x*Cosh[a - c] + (Log[Sinh[c + b*x]]*Sinh[a - c])/b}
+{Sinh[a + b*x]*Csch[c + b*x]^2, x, 4, -((ArcTanh[Cosh[c + b*x]]*Cosh[a - c])/b) - (Csch[c + b*x]*Sinh[a - c])/b}
+{Sinh[a + b*x]*Csch[c + b*x]^3, x, 5, -((Cosh[a - c]*Coth[c + b*x])/b) - (Csch[c + b*x]^2*Sinh[a - c])/(2*b)}
+
+
+{Cosh[a + b*x]*Tanh[c + b*x]^1, x, 3, Cosh[a + b*x]/b - (ArcTan[Sinh[c + b*x]]*Sinh[a - c])/b}
+{Cosh[a + b*x]*Tanh[c + b*x]^2, x, 6, -((ArcTan[Sinh[c + b*x]]*Cosh[a - c])/b) + (Sech[c + b*x]*Sinh[a - c])/b + Sinh[a + b*x]/b}
+{Cosh[a + b*x]*Tanh[c + b*x]^3, x, 9, Cosh[a + b*x]/b + (Cosh[a - c]*Sech[c + b*x])/b - (3*ArcTan[Sinh[c + b*x]]*Sinh[a - c])/(2*b) + (Sech[c + b*x]*Sinh[a - c]*Tanh[c + b*x])/(2*b)}
+
+{Cosh[a + b*x]*Coth[c + b*x]^1, x, 3, -((ArcTanh[Cosh[c + b*x]]*Cosh[a - c])/b) + Cosh[a + b*x]/b}
+{Cosh[a + b*x]*Coth[c + b*x]^2, x, 6, -((Cosh[a - c]*Csch[c + b*x])/b) - (ArcTanh[Cosh[c + b*x]]*Sinh[a - c])/b + Sinh[a + b*x]/b}
+{Cosh[a + b*x]*Coth[c + b*x]^3, x, 9, -((3*ArcTanh[Cosh[c + b*x]]*Cosh[a - c])/(2*b)) + Cosh[a + b*x]/b - (Cosh[a - c]*Coth[c + b*x]*Csch[c + b*x])/(2*b) - (Csch[c + b*x]*Sinh[a - c])/b}
+
+{Cosh[a + b*x]*Sech[c + b*x]^1, x, 3, x*Cosh[a - c] + (Log[Cosh[c + b*x]]*Sinh[a - c])/b}
+{Cosh[a + b*x]*Sech[c + b*x]^2, x, 4, (ArcTan[Sinh[c + b*x]]*Cosh[a - c])/b - (Sech[c + b*x]*Sinh[a - c])/b}
+{Cosh[a + b*x]*Sech[c + b*x]^3, x, 5, -((Sech[c + b*x]^2*Sinh[a - c])/(2*b)) + (Cosh[a - c]*Tanh[c + b*x])/b}
+
+{Cosh[a + b*x]*Csch[c + b*x]^1, x, 3, (Cosh[a - c]*Log[Sinh[c + b*x]])/b + x*Sinh[a - c]}
+{Cosh[a + b*x]*Csch[c + b*x]^2, x, 4, -((Cosh[a - c]*Csch[c + b*x])/b) - (ArcTanh[Cosh[c + b*x]]*Sinh[a - c])/b}
+{Cosh[a + b*x]*Csch[c + b*x]^3, x, 5, -((Cosh[a - c]*Csch[c + b*x]^2)/(2*b)) - (Coth[c + b*x]*Sinh[a - c])/b}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[a+b x]^m Hyper[c+d x]^n*)
+
+
+{Sinh[a + b*x]*Sinh[c + d*x]^1, x, 4, -(Sinh[a - c + (b - d)*x]/(2*(b - d))) + Sinh[a + c + (b + d)*x]/(2*(b + d))}
+{Sinh[a + b*x]*Sinh[c + d*x]^2, x, 5, -(Cosh[a + b*x]/(2*b)) + Cosh[a - 2*c + (b - 2*d)*x]/(4*(b - 2*d)) + Cosh[a + 2*c + (b + 2*d)*x]/(4*(b + 2*d))}
+{Sinh[a + b*x]*Sinh[c + d*x]^3, x, 6, -(Sinh[a - 3*c + (b - 3*d)*x]/(8*(b - 3*d))) + (3*Sinh[a - c + (b - d)*x])/(8*(b - d)) - (3*Sinh[a + c + (b + d)*x])/(8*(b + d)) + Sinh[a + 3*c + (b + 3*d)*x]/(8*(b + 3*d))}
+
+{Sinh[a + b*x]^2*Sinh[c + d*x]^2, x, 6, x/4 - Sinh[2*a + 2*b*x]/(8*b) + Sinh[2*(a - c) + 2*(b - d)*x]/(16*(b - d)) - Sinh[2*c + 2*d*x]/(8*d) + Sinh[2*(a + c) + 2*(b + d)*x]/(16*(b + d))}
+{Sinh[a + b*x]^2*Sinh[c + d*x]^3, x, 8, -(Cosh[2*a - 3*c + (2*b - 3*d)*x]/(16*(2*b - 3*d))) + (3*Cosh[2*a - c + (2*b - d)*x])/(16*(2*b - d)) + (3*Cosh[c + d*x])/(8*d) - Cosh[3*c + 3*d*x]/(24*d) - (3*Cosh[2*a + c + (2*b + d)*x])/(16*(2*b + d)) + Cosh[2*a + 3*c + (2*b + 3*d)*x]/(16*(2*b + 3*d))}
+
+{Sinh[a + b*x]^3*Sinh[c + d*x]^3, x, 10, (3*Sinh[a - 3*c + (b - 3*d)*x])/(32*(b - 3*d)) - (9*Sinh[a - c + (b - d)*x])/(32*(b - d)) - Sinh[3*(a - c) + 3*(b - d)*x]/(96*(b - d)) + (3*Sinh[3*a - c + (3*b - d)*x])/(32*(3*b - d)) + (9*Sinh[a + c + (b + d)*x])/(32*(b + d)) + Sinh[3*(a + c) + 3*(b + d)*x]/(96*(b + d)) - (3*Sinh[3*a + c + (3*b + d)*x])/(32*(3*b + d)) - (3*Sinh[a + 3*c + (b + 3*d)*x])/(32*(b + 3*d))}
+
+
+{Cosh[a + b*x]*Cosh[c + d*x]^1, x, 4, Sinh[a - c + (b - d)*x]/(2*(b - d)) + Sinh[a + c + (b + d)*x]/(2*(b + d))}
+{Cosh[a + b*x]*Cosh[c + d*x]^2, x, 5, Sinh[a + b*x]/(2*b) + Sinh[a - 2*c + (b - 2*d)*x]/(4*(b - 2*d)) + Sinh[a + 2*c + (b + 2*d)*x]/(4*(b + 2*d))}
+{Cosh[a + b*x]*Cosh[c + d*x]^3, x, 6, Sinh[a - 3*c + (b - 3*d)*x]/(8*(b - 3*d)) + (3*Sinh[a - c + (b - d)*x])/(8*(b - d)) + (3*Sinh[a + c + (b + d)*x])/(8*(b + d)) + Sinh[a + 3*c + (b + 3*d)*x]/(8*(b + 3*d))}
+
+{Cosh[a + b*x]^2*Cosh[c + d*x]^2, x, 6, x/4 + Sinh[2*a + 2*b*x]/(8*b) + Sinh[2*(a - c) + 2*(b - d)*x]/(16*(b - d)) + Sinh[2*c + 2*d*x]/(8*d) + Sinh[2*(a + c) + 2*(b + d)*x]/(16*(b + d))}
+{Cosh[a + b*x]^2*Cosh[c + d*x]^3, x, 8, Sinh[2*a - 3*c + (2*b - 3*d)*x]/(16*(2*b - 3*d)) + (3*Sinh[2*a - c + (2*b - d)*x])/(16*(2*b - d)) + (3*Sinh[c + d*x])/(8*d) + Sinh[3*c + 3*d*x]/(24*d) + (3*Sinh[2*a + c + (2*b + d)*x])/(16*(2*b + d)) + Sinh[2*a + 3*c + (2*b + 3*d)*x]/(16*(2*b + 3*d))}
+
+{Cosh[a + b*x]^3*Cosh[c + d*x]^3, x, 10, (3*Sinh[a - 3*c + (b - 3*d)*x])/(32*(b - 3*d)) + (9*Sinh[a - c + (b - d)*x])/(32*(b - d)) + Sinh[3*(a - c) + 3*(b - d)*x]/(96*(b - d)) + (3*Sinh[3*a - c + (3*b - d)*x])/(32*(3*b - d)) + (9*Sinh[a + c + (b + d)*x])/(32*(b + d)) + Sinh[3*(a + c) + 3*(b + d)*x]/(96*(b + d)) + (3*Sinh[3*a + c + (3*b + d)*x])/(32*(3*b + d)) + (3*Sinh[a + 3*c + (b + 3*d)*x])/(32*(b + 3*d))}
+
+
+{Sinh[a + b*x]*Cosh[c + d*x]^1, x, 4, Cosh[a - c + (b - d)*x]/(2*(b - d)) + Cosh[a + c + (b + d)*x]/(2*(b + d))}
+{Sinh[a + b*x]*Cosh[c + d*x]^2, x, 5, Cosh[a + b*x]/(2*b) + Cosh[a - 2*c + (b - 2*d)*x]/(4*(b - 2*d)) + Cosh[a + 2*c + (b + 2*d)*x]/(4*(b + 2*d))}
+{Sinh[a + b*x]*Cosh[c + d*x]^3, x, 6, Cosh[a - 3*c + (b - 3*d)*x]/(8*(b - 3*d)) + (3*Cosh[a - c + (b - d)*x])/(8*(b - d)) + (3*Cosh[a + c + (b + d)*x])/(8*(b + d)) + Cosh[a + 3*c + (b + 3*d)*x]/(8*(b + 3*d))}
+
+{Sinh[a + b*x]^2*Cosh[c + d*x^1], x, 5, Sinh[2*a - c + (2*b - d)*x]/(4*(2*b - d)) - Sinh[c + d*x]/(2*d) + Sinh[2*a + c + (2*b + d)*x]/(4*(2*b + d))}
+{Sinh[a + b*x]^2*Cosh[c + d*x]^2, x, 6, -(x/4) + Sinh[2*a + 2*b*x]/(8*b) + Sinh[2*(a - c) + 2*(b - d)*x]/(16*(b - d)) - Sinh[2*c + 2*d*x]/(8*d) + Sinh[2*(a + c) + 2*(b + d)*x]/(16*(b + d))}
+{Sinh[a + b*x]^2*Cosh[c + d*x]^3, x, 8, Sinh[2*a - 3*c + (2*b - 3*d)*x]/(16*(2*b - 3*d)) + (3*Sinh[2*a - c + (2*b - d)*x])/(16*(2*b - d)) - (3*Sinh[c + d*x])/(8*d) - Sinh[3*c + 3*d*x]/(24*d) + (3*Sinh[2*a + c + (2*b + d)*x])/(16*(2*b + d)) + Sinh[2*a + 3*c + (2*b + 3*d)*x]/(16*(2*b + 3*d))}
+
+{Sinh[a + b*x]^3*Cosh[c + d*x]^1, x, 6, -((3*Cosh[a - c + (b - d)*x])/(8*(b - d))) + Cosh[3*a - c + (3*b - d)*x]/(8*(3*b - d)) - (3*Cosh[a + c + (b + d)*x])/(8*(b + d)) + Cosh[3*a + c + (3*b + d)*x]/(8*(3*b + d))}
+{Sinh[a + b*x]^3*Cosh[c + d*x]^2, x, 8, -((3*Cosh[a + b*x])/(8*b)) + Cosh[3*a + 3*b*x]/(24*b) - (3*Cosh[a - 2*c + (b - 2*d)*x])/(16*(b - 2*d)) + Cosh[3*a - 2*c + (3*b - 2*d)*x]/(16*(3*b - 2*d)) - (3*Cosh[a + 2*c + (b + 2*d)*x])/(16*(b + 2*d)) + Cosh[3*a + 2*c + (3*b + 2*d)*x]/(16*(3*b + 2*d))}
+{Sinh[a + b*x]^3*Cosh[c + d*x]^3, x, 10, -((3*Cosh[a - 3*c + (b - 3*d)*x])/(32*(b - 3*d))) - (9*Cosh[a - c + (b - d)*x])/(32*(b - d)) + Cosh[3*(a - c) + 3*(b - d)*x]/(96*(b - d)) + (3*Cosh[3*a - c + (3*b - d)*x])/(32*(3*b - d)) - (9*Cosh[a + c + (b + d)*x])/(32*(b + d)) + Cosh[3*(a + c) + 3*(b + d)*x]/(96*(b + d)) + (3*Cosh[3*a + c + (3*b + d)*x])/(32*(3*b + d)) - (3*Cosh[a + 3*c + (b + 3*d)*x])/(32*(b + 3*d))}
+
+
+{Sinh[a + b*x]*Tanh[c + d*x], x, 6, E^(-a - b*x)/(2*b) + E^(a + b*x)/(2*b) - (E^(-a - b*x)*Hypergeometric2F1[1, -(b/(2*d)), 1 - b/(2*d), -E^(2*(c + d*x))])/b - (E^(a + b*x)*Hypergeometric2F1[1, b/(2*d), 1 + b/(2*d), -E^(2*(c + d*x))])/b}
+{Sinh[a + b*x]*Coth[c + d*x], x, 6, E^(-a - b*x)/(2*b) + E^(a + b*x)/(2*b) - (E^(-a - b*x)*Hypergeometric2F1[1, -(b/(2*d)), 1 - b/(2*d), E^(2*(c + d*x))])/b - (E^(a + b*x)*Hypergeometric2F1[1, b/(2*d), 1 + b/(2*d), E^(2*(c + d*x))])/b}
+
+
+{Cosh[a + b*x]*Coth[c + d*x], x, 6, -(E^(-a - b*x)/(2*b)) + E^(a + b*x)/(2*b) + (E^(-a - b*x)*Hypergeometric2F1[1, -(b/(2*d)), 1 - b/(2*d), E^(2*(c + d*x))])/b - (E^(a + b*x)*Hypergeometric2F1[1, b/(2*d), 1 + b/(2*d), E^(2*(c + d*x))])/b}
+{Cosh[a + b*x]*Tanh[c + d*x], x, 6, -(E^(-a - b*x)/(2*b)) + E^(a + b*x)/(2*b) + (E^(-a - b*x)*Hypergeometric2F1[1, -(b/(2*d)), 1 - b/(2*d), -E^(2*(c + d*x))])/b - (E^(a + b*x)*Hypergeometric2F1[1, b/(2*d), 1 + b/(2*d), -E^(2*(c + d*x))])/b}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[m x] Hyper[n x]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[m x] Sinh[n x]*)
+
+
+{Sinh[2*x]*Sinh[x], x, 1, (2*Sinh[x]^3)/3, -(Sinh[x]/2) + (1/6)*Sinh[3*x]}
+{Sinh[3*x]*Sinh[x], x, 1, (-(1/4))*Sinh[2*x] + (1/8)*Sinh[4*x]}
+{Sinh[4*x]*Sinh[x], x, 1, (-(1/6))*Sinh[3*x] + (1/10)*Sinh[5*x]}
+{Sinh[m*x]*Sinh[x], x, 4, -(Sinh[(1 - m)*x]/(2*(1 - m))) + Sinh[(1 + m)*x]/(2*(1 + m))}
+
+
+{Cosh[2*x]*Sinh[x], x, 1, -(Cosh[x]/2) + (1/6)*Cosh[3*x]}
+{Cosh[3*x]*Sinh[x], x, 1, (-(1/4))*Cosh[2*x] + (1/8)*Cosh[4*x]}
+{Cosh[4*x]*Sinh[x], x, 1, (-(1/6))*Cosh[3*x] + (1/10)*Cosh[5*x]}
+{Cosh[m*x]*Sinh[x], x, 4, Cosh[(1 - m)*x]/(2*(1 - m)) + Cosh[(1 + m)*x]/(2*(1 + m))}
+
+
+{Tanh[2*x]*Sinh[x], x, 4, -(ArcTan[Sqrt[2]*Sinh[x]]/Sqrt[2]) + Sinh[x]}
+{Tanh[3*x]*Sinh[x], x, 5, (-(1/3))*ArcTan[Sinh[x]] - (1/3)*ArcTan[2*Sinh[x]] + Sinh[x]}
+{Tanh[4*x]*Sinh[x], x, 6, (-(1/4))*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(2*Sinh[x])/Sqrt[2 - Sqrt[2]]] - (1/4)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTan[(2*Sinh[x])/Sqrt[2 + Sqrt[2]]] + Sinh[x]}
+{Tanh[5*x]*Sinh[x], x, 9, (-(1/5))*ArcTan[Sinh[x]] - (1/5)*Sqrt[(1/2)*(3 + Sqrt[5])]*ArcTan[2*Sqrt[2/(3 + Sqrt[5])]*Sinh[x]] - (1/5)*Sqrt[(1/2)*(3 - Sqrt[5])]*ArcTan[Sqrt[2*(3 + Sqrt[5])]*Sinh[x]] + Sinh[x]}
+{Tanh[6*x]*Sinh[x], x, 10, -(ArcTan[Sqrt[2]*Sinh[x]]/(3*Sqrt[2])) - (1/6)*Sqrt[2 - Sqrt[3]]*ArcTan[(2*Sinh[x])/Sqrt[2 - Sqrt[3]]] - (1/6)*Sqrt[2 + Sqrt[3]]*ArcTan[(2*Sinh[x])/Sqrt[2 + Sqrt[3]]] + Sinh[x]}
+{Tanh[n*x]*Sinh[x], x, 6, 1/(E^x*2) + E^x/2 - Hypergeometric2F1[1, -(1/(2*n)), 1 - 1/(2*n), -E^(2*n*x)]/E^x - E^x*Hypergeometric2F1[1, 1/(2*n), (1/2)*(2 + 1/n), -E^(2*n*x)]}
+
+
+{Coth[2*x]*Sinh[x], x, 3, (-(1/2))*ArcTan[Sinh[x]] + Sinh[x]}
+{Coth[3*x]*Sinh[x], x, 3, -(ArcTan[(2*Sinh[x])/Sqrt[3]]/Sqrt[3]) + Sinh[x]}
+{Coth[4*x]*Sinh[x], x, 6, (-(1/4))*ArcTan[Sinh[x]] - ArcTan[Sqrt[2]*Sinh[x]]/(2*Sqrt[2]) + Sinh[x]}
+{Coth[5*x]*Sinh[x], x, 6, (-(1/5))*Sqrt[(1/2)*(5 + Sqrt[5])]*ArcTan[2*Sqrt[2/(5 + Sqrt[5])]*Sinh[x]] - (1/5)*Sqrt[(1/2)*(5 - Sqrt[5])]*ArcTan[Sqrt[(2/5)*(5 + Sqrt[5])]*Sinh[x]] + Sinh[x]}
+{Coth[6*x]*Sinh[x], x, 7, (-(1/6))*ArcTan[Sinh[x]] - (1/6)*ArcTan[2*Sinh[x]] - ArcTan[(2*Sinh[x])/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3]) + Sinh[x]}
+
+
+{Sech[2*x]*Sinh[x], x, 2, -(ArcTanh[Sqrt[2]*Cosh[x]]/Sqrt[2])}
+{Sech[3*x]*Sinh[x], x, 5, (-(1/3))*Log[Cosh[x]] + (1/6)*Log[3 - 4*Cosh[x]^2]}
+{Sech[4*x]*Sinh[x], x, 4, ArcTanh[(2*Cosh[x])/Sqrt[2 - Sqrt[2]]]/(2*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]) - ArcTanh[(2*Cosh[x])/Sqrt[2 + Sqrt[2]]]/(2*Sqrt[2*(2 + Sqrt[2])])}
+{Sech[5*x]*Sinh[x], x, 7, (1/5)*Log[Cosh[x]] - (1/20)*(1 + Sqrt[5])*Log[5 - Sqrt[5] - 8*Cosh[x]^2] - (1/20)*(1 - Sqrt[5])*Log[5 + Sqrt[5] - 8*Cosh[x]^2]}
+{Sech[6*x]*Sinh[x], x, 7, ArcTanh[Sqrt[2]*Cosh[x]]/(3*Sqrt[2]) - ArcTanh[(2*Cosh[x])/Sqrt[2 - Sqrt[3]]]/(6*Sqrt[2 - Sqrt[3]]) - ArcTanh[(2*Cosh[x])/Sqrt[2 + Sqrt[3]]]/(6*Sqrt[2 + Sqrt[3]])}
+
+
+{Csch[2*x]*Sinh[x], x, 2, (1/2)*ArcTan[Sinh[x]]}
+{Csch[3*x]*Sinh[x], x, 2, ArcTan[Tanh[x]/Sqrt[3]]/Sqrt[3]}
+{Csch[4*x]*Sinh[x], x, 4, (-(1/4))*ArcTan[Sinh[x]] + ArcTan[Sqrt[2]*Sinh[x]]/(2*Sqrt[2])}
+{Csch[5*x]*Sinh[x], x, 4, (1/5)*Sqrt[(1/2)*(5 - Sqrt[5])]*ArcTan[Tanh[x]/Sqrt[5 - 2*Sqrt[5]]] - (1/5)*Sqrt[(1/2)*(5 + Sqrt[5])]*ArcTan[Tanh[x]/Sqrt[5 + 2*Sqrt[5]]]}
+{Csch[6*x]*Sinh[x], x, 7, (1/6)*ArcTan[Sinh[x]] + (1/6)*ArcTan[2*Sinh[x]] - ArcTan[(2*Sinh[x])/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[m x] Cosh[n x]*)
+
+
+{Sinh[2*x]*Cosh[x], x, 1, (2*Cosh[x]^3)/3, Cosh[x]/2 + (1/6)*Cosh[3*x]}
+{Sinh[3*x]*Cosh[x], x, 1, (1/4)*Cosh[2*x] + (1/8)*Cosh[4*x]}
+{Sinh[4*x]*Cosh[x], x, 1, (1/6)*Cosh[3*x] + (1/10)*Cosh[5*x]}
+{Sinh[m*x]*Cosh[x], x, 4, -(Cosh[(1 - m)*x]/(2*(1 - m))) + Cosh[(1 + m)*x]/(2*(1 + m))}
+
+
+{Cosh[2*x]*Cosh[x], x, 1, Sinh[x]/2 + (1/6)*Sinh[3*x]}
+{Cosh[3*x]*Cosh[x], x, 1, (1/4)*Sinh[2*x] + (1/8)*Sinh[4*x]}
+{Cosh[4*x]*Cosh[x], x, 1, (1/6)*Sinh[3*x] + (1/10)*Sinh[5*x]}
+{Cosh[m*x]*Cosh[x], x, 4, Sinh[(1 - m)*x]/(2*(1 - m)) + Sinh[(1 + m)*x]/(2*(1 + m))}
+
+
+{Tanh[2*x]*Cosh[x], x, 4, -(ArcTanh[Sqrt[2]*Cosh[x]]/Sqrt[2]) + Cosh[x]}
+{Tanh[3*x]*Cosh[x], x, 3, -(ArcTanh[(2*Cosh[x])/Sqrt[3]]/Sqrt[3]) + Cosh[x]}
+{Tanh[4*x]*Cosh[x], x, 6, (-(1/4))*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTanh[(2*Cosh[x])/Sqrt[2 - Sqrt[2]]] - (1/4)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTanh[(2*Cosh[x])/Sqrt[2 + Sqrt[2]]] + Cosh[x]}
+{Tanh[5*x]*Cosh[x], x, 6, (-(1/5))*Sqrt[(1/2)*(5 + Sqrt[5])]*ArcTanh[2*Sqrt[2/(5 + Sqrt[5])]*Cosh[x]] - (1/5)*Sqrt[(1/2)*(5 - Sqrt[5])]*ArcTanh[Sqrt[(2/5)*(5 + Sqrt[5])]*Cosh[x]] + Cosh[x]}
+{Tanh[6*x]*Cosh[x], x, 10, -(ArcTanh[Sqrt[2]*Cosh[x]]/(3*Sqrt[2])) - (1/6)*Sqrt[2 - Sqrt[3]]*ArcTanh[(2*Cosh[x])/Sqrt[2 - Sqrt[3]]] - (1/6)*Sqrt[2 + Sqrt[3]]*ArcTanh[(2*Cosh[x])/Sqrt[2 + Sqrt[3]]] + Cosh[x]}
+
+
+{Coth[2*x]*Cosh[x], x, 4, (-(1/2))*ArcTanh[Cosh[x]] + Cosh[x]}
+{Coth[3*x]*Cosh[x], x, 9, Cosh[x] + (1/6)*Log[1 - 2*Cosh[x]] + (1/6)*Log[1 - Cosh[x]] - (1/6)*Log[1 + Cosh[x]] - (1/6)*Log[1 + 2*Cosh[x]]}
+{Coth[4*x]*Cosh[x], x, 6, (-(1/4))*ArcTanh[Cosh[x]] - ArcTanh[Sqrt[2]*Cosh[x]]/(2*Sqrt[2]) + Cosh[x]}
+{Coth[5*x]*Cosh[x], x, 10, (-(1/5))*ArcTanh[Cosh[x]] + Cosh[x] + (1/20)*(1 - Sqrt[5])*Log[1 - Sqrt[5] - 4*Cosh[x]] + (1/20)*(1 + Sqrt[5])*Log[1 + Sqrt[5] - 4*Cosh[x]] - (1/20)*(1 - Sqrt[5])*Log[1 - Sqrt[5] + 4*Cosh[x]] - (1/20)*(1 + Sqrt[5])*Log[1 + Sqrt[5] + 4*Cosh[x]]}
+{Coth[6*x]*Cosh[x], x, 7, (-(1/6))*ArcTanh[Cosh[x]] - (1/6)*ArcTanh[2*Cosh[x]] - ArcTanh[(2*Cosh[x])/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3]) + Cosh[x]}
+{Coth[n*x]*Cosh[x], x, 6, -(1/(E^x*2)) + E^x/2 + Hypergeometric2F1[1, -(1/(2*n)), 1 - 1/(2*n), E^(2*n*x)]/E^x - E^x*Hypergeometric2F1[1, 1/(2*n), (1/2)*(2 + 1/n), E^(2*n*x)]}
+
+
+{Sech[2*x]*Cosh[x], x, 2, ArcTan[Sqrt[2]*Sinh[x]]/Sqrt[2]}
+{Sech[3*x]*Cosh[x], x, 2, ArcTan[Sqrt[3]*Tanh[x]]/Sqrt[3]}
+{Sech[4*x]*Cosh[x], x, 4, ArcTan[(2*Sinh[x])/Sqrt[2 - Sqrt[2]]]/(2*Sqrt[2*(2 - Sqrt[2])]) - ArcTan[(2*Sinh[x])/Sqrt[2 + Sqrt[2]]]/(2*Sqrt[2*(2 + Sqrt[2])])}
+{Sech[5*x]*Cosh[x], x, 4, (-(1/5))*Sqrt[(1/2)*(5 - Sqrt[5])]*ArcTan[Sqrt[5 - 2*Sqrt[5]]*Tanh[x]] + (1/5)*Sqrt[(1/2)*(5 + Sqrt[5])]*ArcTan[Sqrt[5 + 2*Sqrt[5]]*Tanh[x]]}
+{Sech[6*x]*Cosh[x], x, 7, -(ArcTan[Sqrt[2]*Sinh[x]]/(3*Sqrt[2])) + ArcTan[(2*Sinh[x])/Sqrt[2 - Sqrt[3]]]/(6*Sqrt[2 - Sqrt[3]]) + ArcTan[(2*Sinh[x])/Sqrt[2 + Sqrt[3]]]/(6*Sqrt[2 + Sqrt[3]])}
+
+
+{Csch[2*x]*Cosh[x], x, 2, (-(1/2))*ArcTanh[Cosh[x]]}
+{Csch[3*x]*Cosh[x], x, 5, (1/3)*Log[Sinh[x]] - (1/6)*Log[3 + 4*Sinh[x]^2]}
+{Csch[4*x]*Cosh[x], x, 4, (-(1/4))*ArcTanh[Cosh[x]] + ArcTanh[Sqrt[2]*Cosh[x]]/(2*Sqrt[2])}
+{Csch[5*x]*Cosh[x], x, 7, (1/5)*Log[Sinh[x]] - (1/20)*(1 + Sqrt[5])*Log[5 - Sqrt[5] + 8*Sinh[x]^2] - (1/20)*(1 - Sqrt[5])*Log[5 + Sqrt[5] + 8*Sinh[x]^2]}
+{Csch[6*x]*Cosh[x], x, 7, (-(1/6))*ArcTanh[Cosh[x]] - (1/6)*ArcTanh[2*Cosh[x]] + ArcTanh[(2*Cosh[x])/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Hyper[a+b x]^n Hyper[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cosh[a+b x]^n Sinh[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p=1*)
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x], x, 5, (2^(-3 - m)*E^(2*a)*x^m*Gamma[1 + m, -2*b*x])/(((-b)*x)^m*b) + (2^(-3 - m)*x^m*Gamma[1 + m, 2*b*x])/(E^(2*a)*(b*x)^m*b)}
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x], x, 5, (3*x)/(8*b^3) + x^3/(4*b) - (3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(8*b^4) - (3*x^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(4*b^2) + (3*x*Sinh[a + b*x]^2)/(4*b^3) + (x^3*Sinh[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x], x, 3, x^2/(4*b) - (x*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b^2) + Sinh[a + b*x]^2/(4*b^3) + (x^2*Sinh[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^1*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x], x, 3, x/(4*b) - (Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(4*b^2) + (x*Sinh[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^0*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x], x, 2, Sinh[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]/x^1, x, 5, (1/2)*CoshIntegral[2*b*x]*Sinh[2*a] + (1/2)*Cosh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]/x^2, x, 6, b*Cosh[2*a]*CoshIntegral[2*b*x] - Sinh[2*a + 2*b*x]/(2*x) + b*Sinh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]/x^3, x, 7, -((b*Cosh[2*a + 2*b*x])/(2*x)) + b^2*CoshIntegral[2*b*x]*Sinh[2*a] - Sinh[2*a + 2*b*x]/(4*x^2) + b^2*Cosh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]/x^4, x, 8, -((b*Cosh[2*a + 2*b*x])/(6*x^2)) + (2/3)*b^3*Cosh[2*a]*CoshIntegral[2*b*x] - Sinh[2*a + 2*b*x]/(6*x^3) - (b^2*Sinh[2*a + 2*b*x])/(3*x) + (2/3)*b^3*Sinh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x]}
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x], x, 8, (3^(-1 - m)*E^(3*a)*x^m*Gamma[1 + m, -3*b*x])/(((-b)*x)^m*(8*b)) + (E^a*x^m*Gamma[1 + m, (-b)*x])/(((-b)*x)^m*(8*b)) + (x^m*Gamma[1 + m, b*x])/(E^a*(b*x)^m*(8*b)) + (3^(-1 - m)*x^m*Gamma[1 + m, 3*b*x])/(E^(3*a)*(b*x)^m*(8*b))}
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x], x, 7, (4*x*Cosh[a + b*x])/(3*b^3) + (2*x*Cosh[a + b*x]^3)/(9*b^3) + (x^3*Cosh[a + b*x]^3)/(3*b) - (14*Sinh[a + b*x])/(9*b^4) - (2*x^2*Sinh[a + b*x])/(3*b^2) - (x^2*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x])/(3*b^2) - (2*Sinh[a + b*x]^3)/(27*b^4)}
+{x^2*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x], x, 4, (4*Cosh[a + b*x])/(9*b^3) + (2*Cosh[a + b*x]^3)/(27*b^3) + (x^2*Cosh[a + b*x]^3)/(3*b) - (4*x*Sinh[a + b*x])/(9*b^2) - (2*x*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x])/(9*b^2)}
+{x^1*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x], x, 3, (x*Cosh[a + b*x]^3)/(3*b) - Sinh[a + b*x]/(3*b^2) - Sinh[a + b*x]^3/(9*b^2)}
+{x^0*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x], x, 2, Cosh[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]/x^1, x, 8, (1/4)*CoshIntegral[b*x]*Sinh[a] + (1/4)*CoshIntegral[3*b*x]*Sinh[3*a] + (1/4)*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x] + (1/4)*Cosh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]/x^2, x, 10, (1/4)*b*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x] + (3/4)*b*Cosh[3*a]*CoshIntegral[3*b*x] - Sinh[a + b*x]/(4*x) - Sinh[3*a + 3*b*x]/(4*x) + (1/4)*b*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x] + (3/4)*b*Sinh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]/x^3, x, 12, -((b*Cosh[a + b*x])/(8*x)) - (3*b*Cosh[3*a + 3*b*x])/(8*x) + (1/8)*b^2*CoshIntegral[b*x]*Sinh[a] + (9/8)*b^2*CoshIntegral[3*b*x]*Sinh[3*a] - Sinh[a + b*x]/(8*x^2) - Sinh[3*a + 3*b*x]/(8*x^2) + (1/8)*b^2*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x] + (9/8)*b^2*Cosh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]/x^4, x, 14, -((b*Cosh[a + b*x])/(24*x^2)) - (b*Cosh[3*a + 3*b*x])/(8*x^2) + (1/24)*b^3*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x] + (9/8)*b^3*Cosh[3*a]*CoshIntegral[3*b*x] - Sinh[a + b*x]/(12*x^3) - (b^2*Sinh[a + b*x])/(24*x) - Sinh[3*a + 3*b*x]/(12*x^3) - (3*b^2*Sinh[3*a + 3*b*x])/(8*x) + (1/24)*b^3*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x] + (9/8)*b^3*Sinh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x]}
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x], x, 8, (E^(4*a)*x^m*Gamma[1 + m, -4*b*x])/(2^(2*(3 + m))*((-b)*x)^m*b) + (2^(-4 - m)*E^(2*a)*x^m*Gamma[1 + m, -2*b*x])/(((-b)*x)^m*b) + (2^(-4 - m)*x^m*Gamma[1 + m, 2*b*x])/(E^(2*a)*(b*x)^m*b) + (x^m*Gamma[1 + m, 4*b*x])/(2^(2*(3 + m))*E^(4*a)*(b*x)^m*b)}
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x], x, 9, -((45*x)/(256*b^3)) - (3*x^3)/(32*b) + (9*x*Cosh[a + b*x]^2)/(32*b^3) + (3*x*Cosh[a + b*x]^4)/(32*b^3) + (x^3*Cosh[a + b*x]^4)/(4*b) - (45*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(256*b^4) - (9*x^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(32*b^2) - (3*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(128*b^4) - (3*x^2*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(16*b^2)}
+{x^2*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x], x, 4, -((3*x^2)/(32*b)) + (3*Cosh[a + b*x]^2)/(32*b^3) + Cosh[a + b*x]^4/(32*b^3) + (x^2*Cosh[a + b*x]^4)/(4*b) - (3*x*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(16*b^2) - (x*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(8*b^2)}
+{x^1*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x], x, 4, -((3*x)/(32*b)) + (x*Cosh[a + b*x]^4)/(4*b) - (3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(32*b^2) - (Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(16*b^2)}
+{x^0*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x], x, 2, Cosh[a + b*x]^4/(4*b)}
+{Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]/x^1, x, 8, (1/4)*CoshIntegral[2*b*x]*Sinh[2*a] + (1/8)*CoshIntegral[4*b*x]*Sinh[4*a] + (1/4)*Cosh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x] + (1/8)*Cosh[4*a]*SinhIntegral[4*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]/x^2, x, 10, (1/2)*b*Cosh[2*a]*CoshIntegral[2*b*x] + (1/2)*b*Cosh[4*a]*CoshIntegral[4*b*x] - Sinh[2*a + 2*b*x]/(4*x) - Sinh[4*a + 4*b*x]/(8*x) + (1/2)*b*Sinh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x] + (1/2)*b*Sinh[4*a]*SinhIntegral[4*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]/x^3, x, 12, -((b*Cosh[2*a + 2*b*x])/(4*x)) - (b*Cosh[4*a + 4*b*x])/(4*x) + (1/2)*b^2*CoshIntegral[2*b*x]*Sinh[2*a] + b^2*CoshIntegral[4*b*x]*Sinh[4*a] - Sinh[2*a + 2*b*x]/(8*x^2) - Sinh[4*a + 4*b*x]/(16*x^2) + (1/2)*b^2*Cosh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x] + b^2*Cosh[4*a]*SinhIntegral[4*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]/x^4, x, 14, -((b*Cosh[2*a + 2*b*x])/(12*x^2)) - (b*Cosh[4*a + 4*b*x])/(12*x^2) + (1/3)*b^3*Cosh[2*a]*CoshIntegral[2*b*x] + (4/3)*b^3*Cosh[4*a]*CoshIntegral[4*b*x] - Sinh[2*a + 2*b*x]/(12*x^3) - (b^2*Sinh[2*a + 2*b*x])/(6*x) - Sinh[4*a + 4*b*x]/(24*x^3) - (b^2*Sinh[4*a + 4*b*x])/(3*x) + (1/3)*b^3*Sinh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x] + (4/3)*b^3*Sinh[4*a]*SinhIntegral[4*b*x]}
+
+
+{Sinh[x]*Cosh[x]/x^1, x, 3, (1/2)*SinhIntegral[2*x]}
+{Sinh[x]*Cosh[x]/x^2, x, 4, CoshIntegral[2*x] - Sinh[2*x]/(2*x)}
+{Sinh[x]*Cosh[x]/x^3, x, 5, -(Cosh[2*x]/(2*x)) - Sinh[2*x]/(4*x^2) + SinhIntegral[2*x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p=2*)
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2, x, 8, (3^(-1 - m)*E^(3*a)*x^m*Gamma[1 + m, -3*b*x])/(((-b)*x)^m*(8*b)) - (E^a*x^m*Gamma[1 + m, (-b)*x])/(((-b)*x)^m*(8*b)) + (x^m*Gamma[1 + m, b*x])/(E^a*(b*x)^m*(8*b)) - (3^(-1 - m)*x^m*Gamma[1 + m, 3*b*x])/(E^(3*a)*(b*x)^m*(8*b))}
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2, x, 7, (14*Cosh[a + b*x])/(9*b^4) + (2*x^2*Cosh[a + b*x])/(3*b^2) - (2*Cosh[a + b*x]^3)/(27*b^4) - (4*x*Sinh[a + b*x])/(3*b^3) - (x^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2)/(3*b^2) + (2*x*Sinh[a + b*x]^3)/(9*b^3) + (x^3*Sinh[a + b*x]^3)/(3*b)}
+{x^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2, x, 4, (4*x*Cosh[a + b*x])/(9*b^2) - (4*Sinh[a + b*x])/(9*b^3) - (2*x*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2)/(9*b^2) + (2*Sinh[a + b*x]^3)/(27*b^3) + (x^2*Sinh[a + b*x]^3)/(3*b)}
+{x^1*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2, x, 3, Cosh[a + b*x]/(3*b^2) - Cosh[a + b*x]^3/(9*b^2) + (x*Sinh[a + b*x]^3)/(3*b)}
+{x^0*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2, x, 2, Sinh[a + b*x]^3/(3*b)}
+{Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2/x^1, x, 8, (-(1/4))*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x] + (1/4)*Cosh[3*a]*CoshIntegral[3*b*x] - (1/4)*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x] + (1/4)*Sinh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2/x^2, x, 10, Cosh[a + b*x]/(4*x) - Cosh[3*a + 3*b*x]/(4*x) - (1/4)*b*CoshIntegral[b*x]*Sinh[a] + (3/4)*b*CoshIntegral[3*b*x]*Sinh[3*a] - (1/4)*b*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x] + (3/4)*b*Cosh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2/x^3, x, 12, Cosh[a + b*x]/(8*x^2) - Cosh[3*a + 3*b*x]/(8*x^2) - (1/8)*b^2*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x] + (9/8)*b^2*Cosh[3*a]*CoshIntegral[3*b*x] + (b*Sinh[a + b*x])/(8*x) - (3*b*Sinh[3*a + 3*b*x])/(8*x) - (1/8)*b^2*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x] + (9/8)*b^2*Sinh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2/x^4, x, 14, Cosh[a + b*x]/(12*x^3) + (b^2*Cosh[a + b*x])/(24*x) - Cosh[3*a + 3*b*x]/(12*x^3) - (3*b^2*Cosh[3*a + 3*b*x])/(8*x) - (1/24)*b^3*CoshIntegral[b*x]*Sinh[a] + (9/8)*b^3*CoshIntegral[3*b*x]*Sinh[3*a] + (b*Sinh[a + b*x])/(24*x^2) - (b*Sinh[3*a + 3*b*x])/(8*x^2) - (1/24)*b^3*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x] + (9/8)*b^3*Cosh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x]}
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2, x, 5, -(x^(1 + m)/(8*(1 + m))) + (E^(4*a)*x^m*Gamma[1 + m, -4*b*x])/(2^(2*(3 + m))*((-b)*x)^m*b) - (x^m*Gamma[1 + m, 4*b*x])/(2^(2*(3 + m))*E^(4*a)*(b*x)^m*b)}
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2, x, 6, -(x^4/32) - (3*Cosh[4*a + 4*b*x])/(1024*b^4) - (3*x^2*Cosh[4*a + 4*b*x])/(128*b^2) + (3*x*Sinh[4*a + 4*b*x])/(256*b^3) + (x^3*Sinh[4*a + 4*b*x])/(32*b)}
+{x^2*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2, x, 5, -(x^3/24) - (x*Cosh[4*a + 4*b*x])/(64*b^2) + Sinh[4*a + 4*b*x]/(256*b^3) + (x^2*Sinh[4*a + 4*b*x])/(32*b)}
+{x^1*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2, x, 4, -(x^2/16) - Cosh[4*a + 4*b*x]/(128*b^2) + (x*Sinh[4*a + 4*b*x])/(32*b)}
+{x^0*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2, x, 3, -(x/8) - (Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(8*b) + (Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x])/(4*b)}
+{Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2/x^1, x, 5, (1/8)*Cosh[4*a]*CoshIntegral[4*b*x] - Log[x]/8 + (1/8)*Sinh[4*a]*SinhIntegral[4*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2/x^2, x, 6, 1/(8*x) - Cosh[4*a + 4*b*x]/(8*x) + (1/2)*b*CoshIntegral[4*b*x]*Sinh[4*a] + (1/2)*b*Cosh[4*a]*SinhIntegral[4*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2/x^3, x, 7, 1/(16*x^2) - Cosh[4*a + 4*b*x]/(16*x^2) + b^2*Cosh[4*a]*CoshIntegral[4*b*x] - (b*Sinh[4*a + 4*b*x])/(4*x) + b^2*Sinh[4*a]*SinhIntegral[4*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2/x^4, x, 8, 1/(24*x^3) - Cosh[4*a + 4*b*x]/(24*x^3) - (b^2*Cosh[4*a + 4*b*x])/(3*x) + (4/3)*b^3*CoshIntegral[4*b*x]*Sinh[4*a] - (b*Sinh[4*a + 4*b*x])/(12*x^2) + (4/3)*b^3*Cosh[4*a]*SinhIntegral[4*b*x]}
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2, x, 11, (5^(-1 - m)*E^(5*a)*x^m*Gamma[1 + m, -5*b*x])/(((-b)*x)^m*(32*b)) + (3^(-1 - m)*E^(3*a)*x^m*Gamma[1 + m, -3*b*x])/(((-b)*x)^m*(32*b)) - (E^a*x^m*Gamma[1 + m, (-b)*x])/(((-b)*x)^m*(16*b)) + (x^m*Gamma[1 + m, b*x])/(E^a*(b*x)^m*(16*b)) - (3^(-1 - m)*x^m*Gamma[1 + m, 3*b*x])/(E^(3*a)*(b*x)^m*(32*b)) - (5^(-1 - m)*x^m*Gamma[1 + m, 5*b*x])/(E^(5*a)*(b*x)^m*(32*b))}
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2, x, 14, (3*Cosh[a + b*x])/(4*b^4) + (3*x^2*Cosh[a + b*x])/(8*b^2) - Cosh[3*a + 3*b*x]/(216*b^4) - (x^2*Cosh[3*a + 3*b*x])/(48*b^2) - (3*Cosh[5*a + 5*b*x])/(5000*b^4) - (3*x^2*Cosh[5*a + 5*b*x])/(400*b^2) - (3*x*Sinh[a + b*x])/(4*b^3) - (x^3*Sinh[a + b*x])/(8*b) + (x*Sinh[3*a + 3*b*x])/(72*b^3) + (x^3*Sinh[3*a + 3*b*x])/(48*b) + (3*x*Sinh[5*a + 5*b*x])/(1000*b^3) + (x^3*Sinh[5*a + 5*b*x])/(80*b)}
+{x^2*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2, x, 11, (x*Cosh[a + b*x])/(4*b^2) - (x*Cosh[3*a + 3*b*x])/(72*b^2) - (x*Cosh[5*a + 5*b*x])/(200*b^2) - Sinh[a + b*x]/(4*b^3) - (x^2*Sinh[a + b*x])/(8*b) + Sinh[3*a + 3*b*x]/(216*b^3) + (x^2*Sinh[3*a + 3*b*x])/(48*b) + Sinh[5*a + 5*b*x]/(1000*b^3) + (x^2*Sinh[5*a + 5*b*x])/(80*b)}
+{x^1*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2, x, 8, Cosh[a + b*x]/(8*b^2) - Cosh[3*a + 3*b*x]/(144*b^2) - Cosh[5*a + 5*b*x]/(400*b^2) - (x*Sinh[a + b*x])/(8*b) + (x*Sinh[3*a + 3*b*x])/(48*b) + (x*Sinh[5*a + 5*b*x])/(80*b)}
+{x^0*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2, x, 3, Sinh[a + b*x]^3/(3*b) + Sinh[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2/x^1, x, 11, (-(1/8))*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x] + (1/16)*Cosh[3*a]*CoshIntegral[3*b*x] + (1/16)*Cosh[5*a]*CoshIntegral[5*b*x] - (1/8)*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x] + (1/16)*Sinh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x] + (1/16)*Sinh[5*a]*SinhIntegral[5*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2/x^2, x, 14, Cosh[a + b*x]/(8*x) - Cosh[3*a + 3*b*x]/(16*x) - Cosh[5*a + 5*b*x]/(16*x) - (1/8)*b*CoshIntegral[b*x]*Sinh[a] + (3/16)*b*CoshIntegral[3*b*x]*Sinh[3*a] + (5/16)*b*CoshIntegral[5*b*x]*Sinh[5*a] - (1/8)*b*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x] + (3/16)*b*Cosh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x] + (5/16)*b*Cosh[5*a]*SinhIntegral[5*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2/x^3, x, 17, Cosh[a + b*x]/(16*x^2) - Cosh[3*a + 3*b*x]/(32*x^2) - Cosh[5*a + 5*b*x]/(32*x^2) - (1/16)*b^2*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x] + (9/32)*b^2*Cosh[3*a]*CoshIntegral[3*b*x] + (25/32)*b^2*Cosh[5*a]*CoshIntegral[5*b*x] + (b*Sinh[a + b*x])/(16*x) - (3*b*Sinh[3*a + 3*b*x])/(32*x) - (5*b*Sinh[5*a + 5*b*x])/(32*x) - (1/16)*b^2*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x] + (9/32)*b^2*Sinh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x] + (25/32)*b^2*Sinh[5*a]*SinhIntegral[5*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2/x^4, x, 20, Cosh[a + b*x]/(24*x^3) + (b^2*Cosh[a + b*x])/(48*x) - Cosh[3*a + 3*b*x]/(48*x^3) - (3*b^2*Cosh[3*a + 3*b*x])/(32*x) - Cosh[5*a + 5*b*x]/(48*x^3) - (25*b^2*Cosh[5*a + 5*b*x])/(96*x) - (1/48)*b^3*CoshIntegral[b*x]*Sinh[a] + (9/32)*b^3*CoshIntegral[3*b*x]*Sinh[3*a] + (125/96)*b^3*CoshIntegral[5*b*x]*Sinh[5*a] + (b*Sinh[a + b*x])/(48*x^2) - (b*Sinh[3*a + 3*b*x])/(32*x^2) - (5*b*Sinh[5*a + 5*b*x])/(96*x^2) - (1/48)*b^3*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x] + (9/32)*b^3*Cosh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x] + (125/96)*b^3*Cosh[5*a]*SinhIntegral[5*b*x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p=3*)
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3, x, 8, (E^(4*a)*x^m*Gamma[1 + m, -4*b*x])/(2^(2*(3 + m))*((-b)*x)^m*b) - (2^(-4 - m)*E^(2*a)*x^m*Gamma[1 + m, -2*b*x])/(((-b)*x)^m*b) - (2^(-4 - m)*x^m*Gamma[1 + m, 2*b*x])/(E^(2*a)*(b*x)^m*b) + (x^m*Gamma[1 + m, 4*b*x])/(2^(2*(3 + m))*E^(4*a)*(b*x)^m*b)}
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3, x, 9, -((45*x)/(256*b^3)) - (3*x^3)/(32*b) + (45*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(256*b^4) + (9*x^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(32*b^2) - (9*x*Sinh[a + b*x]^2)/(32*b^3) - (3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3)/(128*b^4) - (3*x^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3)/(16*b^2) + (3*x*Sinh[a + b*x]^4)/(32*b^3) + (x^3*Sinh[a + b*x]^4)/(4*b)}
+{x^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3, x, 4, -((3*x^2)/(32*b)) + (3*x*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(16*b^2) - (3*Sinh[a + b*x]^2)/(32*b^3) - (x*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3)/(8*b^2) + Sinh[a + b*x]^4/(32*b^3) + (x^2*Sinh[a + b*x]^4)/(4*b)}
+{x^1*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3, x, 4, -((3*x)/(32*b)) + (3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(32*b^2) - (Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3)/(16*b^2) + (x*Sinh[a + b*x]^4)/(4*b)}
+{x^0*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3, x, 2, Sinh[a + b*x]^4/(4*b)}
+{Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3/x^1, x, 8, (-(1/4))*CoshIntegral[2*b*x]*Sinh[2*a] + (1/8)*CoshIntegral[4*b*x]*Sinh[4*a] - (1/4)*Cosh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x] + (1/8)*Cosh[4*a]*SinhIntegral[4*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3/x^2, x, 10, (-(1/2))*b*Cosh[2*a]*CoshIntegral[2*b*x] + (1/2)*b*Cosh[4*a]*CoshIntegral[4*b*x] + Sinh[2*a + 2*b*x]/(4*x) - Sinh[4*a + 4*b*x]/(8*x) - (1/2)*b*Sinh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x] + (1/2)*b*Sinh[4*a]*SinhIntegral[4*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3/x^3, x, 12, (b*Cosh[2*a + 2*b*x])/(4*x) - (b*Cosh[4*a + 4*b*x])/(4*x) - (1/2)*b^2*CoshIntegral[2*b*x]*Sinh[2*a] + b^2*CoshIntegral[4*b*x]*Sinh[4*a] + Sinh[2*a + 2*b*x]/(8*x^2) - Sinh[4*a + 4*b*x]/(16*x^2) - (1/2)*b^2*Cosh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x] + b^2*Cosh[4*a]*SinhIntegral[4*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3/x^4, x, 14, (b*Cosh[2*a + 2*b*x])/(12*x^2) - (b*Cosh[4*a + 4*b*x])/(12*x^2) - (1/3)*b^3*Cosh[2*a]*CoshIntegral[2*b*x] + (4/3)*b^3*Cosh[4*a]*CoshIntegral[4*b*x] + Sinh[2*a + 2*b*x]/(12*x^3) + (b^2*Sinh[2*a + 2*b*x])/(6*x) - Sinh[4*a + 4*b*x]/(24*x^3) - (b^2*Sinh[4*a + 4*b*x])/(3*x) - (1/3)*b^3*Sinh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x] + (4/3)*b^3*Sinh[4*a]*SinhIntegral[4*b*x]}
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3, x, 11, (5^(-1 - m)*E^(5*a)*x^m*Gamma[1 + m, -5*b*x])/(((-b)*x)^m*(32*b)) - (3^(-1 - m)*E^(3*a)*x^m*Gamma[1 + m, -3*b*x])/(((-b)*x)^m*(32*b)) - (E^a*x^m*Gamma[1 + m, (-b)*x])/(((-b)*x)^m*(16*b)) - (x^m*Gamma[1 + m, b*x])/(E^a*(b*x)^m*(16*b)) - (3^(-1 - m)*x^m*Gamma[1 + m, 3*b*x])/(E^(3*a)*(b*x)^m*(32*b)) + (5^(-1 - m)*x^m*Gamma[1 + m, 5*b*x])/(E^(5*a)*(b*x)^m*(32*b))}
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3, x, 14, -((3*x*Cosh[a + b*x])/(4*b^3)) - (x^3*Cosh[a + b*x])/(8*b) - (x*Cosh[3*a + 3*b*x])/(72*b^3) - (x^3*Cosh[3*a + 3*b*x])/(48*b) + (3*x*Cosh[5*a + 5*b*x])/(1000*b^3) + (x^3*Cosh[5*a + 5*b*x])/(80*b) + (3*Sinh[a + b*x])/(4*b^4) + (3*x^2*Sinh[a + b*x])/(8*b^2) + Sinh[3*a + 3*b*x]/(216*b^4) + (x^2*Sinh[3*a + 3*b*x])/(48*b^2) - (3*Sinh[5*a + 5*b*x])/(5000*b^4) - (3*x^2*Sinh[5*a + 5*b*x])/(400*b^2)}
+{x^2*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3, x, 11, -(Cosh[a + b*x]/(4*b^3)) - (x^2*Cosh[a + b*x])/(8*b) - Cosh[3*a + 3*b*x]/(216*b^3) - (x^2*Cosh[3*a + 3*b*x])/(48*b) + Cosh[5*a + 5*b*x]/(1000*b^3) + (x^2*Cosh[5*a + 5*b*x])/(80*b) + (x*Sinh[a + b*x])/(4*b^2) + (x*Sinh[3*a + 3*b*x])/(72*b^2) - (x*Sinh[5*a + 5*b*x])/(200*b^2)}
+{x^1*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3, x, 8, -((x*Cosh[a + b*x])/(8*b)) - (x*Cosh[3*a + 3*b*x])/(48*b) + (x*Cosh[5*a + 5*b*x])/(80*b) + Sinh[a + b*x]/(8*b^2) + Sinh[3*a + 3*b*x]/(144*b^2) - Sinh[5*a + 5*b*x]/(400*b^2)}
+{x^0*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3, x, 3, -(Cosh[a + b*x]^3/(3*b)) + Cosh[a + b*x]^5/(5*b)}
+{Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3/x^1, x, 11, (-(1/8))*CoshIntegral[b*x]*Sinh[a] - (1/16)*CoshIntegral[3*b*x]*Sinh[3*a] + (1/16)*CoshIntegral[5*b*x]*Sinh[5*a] - (1/8)*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x] - (1/16)*Cosh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x] + (1/16)*Cosh[5*a]*SinhIntegral[5*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3/x^2, x, 14, (-(1/8))*b*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x] - (3/16)*b*Cosh[3*a]*CoshIntegral[3*b*x] + (5/16)*b*Cosh[5*a]*CoshIntegral[5*b*x] + Sinh[a + b*x]/(8*x) + Sinh[3*a + 3*b*x]/(16*x) - Sinh[5*a + 5*b*x]/(16*x) - (1/8)*b*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x] - (3/16)*b*Sinh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x] + (5/16)*b*Sinh[5*a]*SinhIntegral[5*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3/x^3, x, 17, (b*Cosh[a + b*x])/(16*x) + (3*b*Cosh[3*a + 3*b*x])/(32*x) - (5*b*Cosh[5*a + 5*b*x])/(32*x) - (1/16)*b^2*CoshIntegral[b*x]*Sinh[a] - (9/32)*b^2*CoshIntegral[3*b*x]*Sinh[3*a] + (25/32)*b^2*CoshIntegral[5*b*x]*Sinh[5*a] + Sinh[a + b*x]/(16*x^2) + Sinh[3*a + 3*b*x]/(32*x^2) - Sinh[5*a + 5*b*x]/(32*x^2) - (1/16)*b^2*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x] - (9/32)*b^2*Cosh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x] + (25/32)*b^2*Cosh[5*a]*SinhIntegral[5*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3/x^4, x, 20, (b*Cosh[a + b*x])/(48*x^2) + (b*Cosh[3*a + 3*b*x])/(32*x^2) - (5*b*Cosh[5*a + 5*b*x])/(96*x^2) - (1/48)*b^3*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x] - (9/32)*b^3*Cosh[3*a]*CoshIntegral[3*b*x] + (125/96)*b^3*Cosh[5*a]*CoshIntegral[5*b*x] + Sinh[a + b*x]/(24*x^3) + (b^2*Sinh[a + b*x])/(48*x) + Sinh[3*a + 3*b*x]/(48*x^3) + (3*b^2*Sinh[3*a + 3*b*x])/(32*x) - Sinh[5*a + 5*b*x]/(48*x^3) - (25*b^2*Sinh[5*a + 5*b*x])/(96*x) - (1/48)*b^3*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x] - (9/32)*b^3*Sinh[3*a]*SinhIntegral[3*b*x] + (125/96)*b^3*Sinh[5*a]*SinhIntegral[5*b*x]}
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3, x, 8, (2^(-7 - m)*3^(-1 - m)*E^(6*a)*x^m*Gamma[1 + m, -6*b*x])/(((-b)*x)^m*b) - (3*2^(-7 - m)*E^(2*a)*x^m*Gamma[1 + m, -2*b*x])/(((-b)*x)^m*b) - (3*2^(-7 - m)*x^m*Gamma[1 + m, 2*b*x])/(E^(2*a)*(b*x)^m*b) + (2^(-7 - m)*3^(-1 - m)*x^m*Gamma[1 + m, 6*b*x])/(E^(6*a)*(b*x)^m*b)}
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3, x, 10, -((9*x*Cosh[2*a + 2*b*x])/(128*b^3)) - (3*x^3*Cosh[2*a + 2*b*x])/(64*b) + (x*Cosh[6*a + 6*b*x])/(1152*b^3) + (x^3*Cosh[6*a + 6*b*x])/(192*b) + (9*Sinh[2*a + 2*b*x])/(256*b^4) + (9*x^2*Sinh[2*a + 2*b*x])/(128*b^2) - Sinh[6*a + 6*b*x]/(6912*b^4) - (x^2*Sinh[6*a + 6*b*x])/(384*b^2)}
+{x^2*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3, x, 8, -((3*Cosh[2*a + 2*b*x])/(128*b^3)) - (3*x^2*Cosh[2*a + 2*b*x])/(64*b) + Cosh[6*a + 6*b*x]/(3456*b^3) + (x^2*Cosh[6*a + 6*b*x])/(192*b) + (3*x*Sinh[2*a + 2*b*x])/(64*b^2) - (x*Sinh[6*a + 6*b*x])/(576*b^2)}
+{x^1*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3, x, 6, -((3*x*Cosh[2*a + 2*b*x])/(64*b)) + (x*Cosh[6*a + 6*b*x])/(192*b) + (3*Sinh[2*a + 2*b*x])/(128*b^2) - Sinh[6*a + 6*b*x]/(1152*b^2)}
+{x^0*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3, x, 3, Sinh[a + b*x]^4/(4*b) + Sinh[a + b*x]^6/(6*b)}
+{Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3/x^1, x, 8, (-(3/32))*CoshIntegral[2*b*x]*Sinh[2*a] + (1/32)*CoshIntegral[6*b*x]*Sinh[6*a] - (3/32)*Cosh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x] + (1/32)*Cosh[6*a]*SinhIntegral[6*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3/x^2, x, 10, (-(3/16))*b*Cosh[2*a]*CoshIntegral[2*b*x] + (3/16)*b*Cosh[6*a]*CoshIntegral[6*b*x] + (3*Sinh[2*a + 2*b*x])/(32*x) - Sinh[6*a + 6*b*x]/(32*x) - (3/16)*b*Sinh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x] + (3/16)*b*Sinh[6*a]*SinhIntegral[6*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3/x^3, x, 12, (3*b*Cosh[2*a + 2*b*x])/(32*x) - (3*b*Cosh[6*a + 6*b*x])/(32*x) - (3/16)*b^2*CoshIntegral[2*b*x]*Sinh[2*a] + (9/16)*b^2*CoshIntegral[6*b*x]*Sinh[6*a] + (3*Sinh[2*a + 2*b*x])/(64*x^2) - Sinh[6*a + 6*b*x]/(64*x^2) - (3/16)*b^2*Cosh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x] + (9/16)*b^2*Cosh[6*a]*SinhIntegral[6*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3/x^4, x, 14, (b*Cosh[2*a + 2*b*x])/(32*x^2) - (b*Cosh[6*a + 6*b*x])/(32*x^2) - (1/8)*b^3*Cosh[2*a]*CoshIntegral[2*b*x] + (9/8)*b^3*Cosh[6*a]*CoshIntegral[6*b*x] + Sinh[2*a + 2*b*x]/(32*x^3) + (b^2*Sinh[2*a + 2*b*x])/(16*x) - Sinh[6*a + 6*b*x]/(96*x^3) - (3*b^2*Sinh[6*a + 6*b*x])/(16*x) - (1/8)*b^3*Sinh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x] + (9/8)*b^3*Sinh[6*a]*SinhIntegral[6*b*x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Sech[a+b x]^n Sinh[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p=1*)
+
+
+{x^m*Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x], x, 0, Unintegrable[x^m*Tanh[a + b*x], x]}
+
+{x^3*Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x], x, 6, -(x^4/4) + (x^3*Log[1 + E^(2*(a + b*x))])/b + (3*x^2*PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*x*PolyLog[3, -E^(2*(a + b*x))])/(2*b^3) + (3*PolyLog[4, -E^(2*(a + b*x))])/(4*b^4)}
+{x^2*Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x], x, 5, -(x^3/3) + (x^2*Log[1 + E^(2*(a + b*x))])/b + (x*PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))])/b^2 - PolyLog[3, -E^(2*(a + b*x))]/(2*b^3)}
+{x^1*Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x], x, 4, -(x^2/2) + (x*Log[1 + E^(2*(a + b*x))])/b + PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))]/(2*b^2)}
+{x^0*Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x], x, 1, Log[Cosh[a + b*x]]/b}
+{Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x]/x^1, x, 0, Unintegrable[Tanh[a + b*x]/x, x]}
+{Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x]/x^2, x, 0, Unintegrable[Tanh[a + b*x]/x^2, x]}
+
+
+{x^m*Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x], x, 0, CannotIntegrate[x^m*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x], x]}
+
+{x^3*Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x], x, 8, (6*x^2*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^2 - (6*I*x*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 + (6*I*x*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^3 + (6*I*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 - (6*I*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^4 - (x^3*Sech[a + b*x])/b}
+{x^2*Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x], x, 6, (4*x*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^2 - (2*I*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 + (2*I*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^3 - (x^2*Sech[a + b*x])/b}
+{x^1*Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x], x, 2, ArcTan[Sinh[a + b*x]]/b^2 - (x*Sech[a + b*x])/b}
+{x^0*Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x], x, 2, -(Sech[a + b*x]/b)}
+{Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/x, x]}
+{Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]/x^2, x, 0, CannotIntegrate[(Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/x^2, x]}
+
+
+{x^m*Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x], x, 0, CannotIntegrate[x^m*Sech[a + b*x]^2*Tanh[a + b*x], x]}
+
+{x^3*Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x], x, 6, (3*x^2)/(2*b^2) - (3*x*Log[1 + E^(2*(a + b*x))])/b^3 - (3*PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))])/(2*b^4) - (x^3*Sech[a + b*x]^2)/(2*b) + (3*x^2*Tanh[a + b*x])/(2*b^2)}
+{x^2*Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x], x, 3, -(Log[Cosh[a + b*x]]/b^3) - (x^2*Sech[a + b*x]^2)/(2*b) + (x*Tanh[a + b*x])/b^2}
+{x^1*Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x], x, 3, -((x*Sech[a + b*x]^2)/(2*b)) + Tanh[a + b*x]/(2*b^2)}
+{x^0*Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x], x, 2, -(Sech[a + b*x]^2/(2*b))}
+{Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Sech[a + b*x]^2*Tanh[a + b*x])/x, x]}
+{Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]/x^2, x, 0, CannotIntegrate[(Sech[a + b*x]^2*Tanh[a + b*x])/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p=2*)
+
+
+{x^m*Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2, x, 4, (E^a*x^m*Gamma[1 + m, (-b)*x])/(((-b)*x)^m*(2*b)) - (x^m*Gamma[1 + m, b*x])/(E^a*(b*x)^m*(2*b)) - Unintegrable[x^m*Sech[a + b*x], x]}
+
+{x^3*Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2, x, 14, -((2*x^3*ArcTan[E^(a + b*x)])/b) - (6*Cosh[a + b*x])/b^4 - (3*x^2*Cosh[a + b*x])/b^2 + (3*I*x^2*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 - (3*I*x^2*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2 - (6*I*x*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 + (6*I*x*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3 + (6*I*PolyLog[4, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 - (6*I*PolyLog[4, I*E^(a + b*x)])/b^4 + (6*x*Sinh[a + b*x])/b^3 + (x^3*Sinh[a + b*x])/b}
+{x^2*Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2, x, 11, -((2*x^2*ArcTan[E^(a + b*x)])/b) - (2*x*Cosh[a + b*x])/b^2 + (2*I*x*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 - (2*I*x*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2 - (2*I*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 + (2*I*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3 + (2*Sinh[a + b*x])/b^3 + (x^2*Sinh[a + b*x])/b}
+{x^1*Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2, x, 8, -((2*x*ArcTan[E^(a + b*x)])/b) - Cosh[a + b*x]/b^2 + (I*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 - (I*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2 + (x*Sinh[a + b*x])/b}
+{x^0*Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2, x, 3, -(ArcTan[Sinh[a + b*x]]/b) + Sinh[a + b*x]/b}
+{Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2/x^1, x, 4, Cosh[a]*CoshIntegral[b*x] - Unintegrable[Sech[a + b*x]/x, x] + Sinh[a]*SinhIntegral[b*x]}
+{Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2/x^2, x, 5, -(Cosh[a + b*x]/x) - Unintegrable[Sech[a + b*x]/x^2, x] + b*CoshIntegral[b*x]*Sinh[a] + b*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x]}
+
+
+{x^m*Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2, x, 0, Unintegrable[x^m*Tanh[a + b*x]^2, x]}
+
+{x^3*Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2, x, 7, -(x^3/b) + x^4/4 + (3*x^2*Log[1 + E^(2*(a + b*x))])/b^2 + (3*x*PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))])/b^3 - (3*PolyLog[3, -E^(2*(a + b*x))])/(2*b^4) - (x^3*Tanh[a + b*x])/b}
+{x^2*Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2, x, 6, -(x^2/b) + x^3/3 + (2*x*Log[1 + E^(2*(a + b*x))])/b^2 + PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))]/b^3 - (x^2*Tanh[a + b*x])/b}
+{x^1*Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2, x, 3, x^2/2 + Log[Cosh[a + b*x]]/b^2 - (x*Tanh[a + b*x])/b}
+{x^0*Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2, x, 2, x - Tanh[a + b*x]/b}
+{Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2/x^1, x, 0, Unintegrable[Tanh[a + b*x]^2/x, x]}
+{Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2/x^2, x, 0, Unintegrable[Tanh[a + b*x]^2/x^2, x]}
+
+
+{x^m*Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2, x, 1, Unintegrable[x^m*Sech[a + b*x], x] - Unintegrable[x^m*Sech[a + b*x]^3, x]}
+
+{x^3*Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2, x, 25, (6*x*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^3 + (x^3*ArcTan[E^(a + b*x)])/b - (3*I*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 - (3*I*x^2*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/(2*b^2) + (3*I*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^4 + (3*I*x^2*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/(2*b^2) + (3*I*x*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 - (3*I*x*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3 - (3*I*PolyLog[4, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 + (3*I*PolyLog[4, I*E^(a + b*x)])/b^4 - (3*x^2*Sech[a + b*x])/(2*b^2) - (x^3*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(2*b)}
+{x^2*Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2, x, 17, (x^2*ArcTan[E^(a + b*x)])/b + ArcTan[Sinh[a + b*x]]/b^3 - (I*x*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 + (I*x*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2 + (I*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 - (I*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3 - (x*Sech[a + b*x])/b^2 - (x^2*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(2*b)}
+{x^1*Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2, x, 12, (x*ArcTan[E^(a + b*x)])/b - (I*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/(2*b^2) + (I*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/(2*b^2) - Sech[a + b*x]/(2*b^2) - (x*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(2*b)}
+{x^0*Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2, x, 2, ArcTan[Sinh[a + b*x]]/(2*b) - (Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(2*b)}
+{Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2/x^1, x, 1, Unintegrable[Sech[a + b*x]/x, x] - Unintegrable[Sech[a + b*x]^3/x, x]}
+{Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2/x^2, x, 1, Unintegrable[Sech[a + b*x]/x^2, x] - Unintegrable[Sech[a + b*x]^3/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p=3*)
+
+
+{x^m*Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3, x, 6, (2^(-3 - m)*E^(2*a)*x^m*Gamma[1 + m, -2*b*x])/(((-b)*x)^m*b) + (2^(-3 - m)*x^m*Gamma[1 + m, 2*b*x])/(E^(2*a)*(b*x)^m*b) - Unintegrable[x^m*Tanh[a + b*x], x]}
+
+{x^3*Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3, x, 12, (3*x)/(8*b^3) + x^3/(4*b) + x^4/4 - (x^3*Log[1 + E^(2*(a + b*x))])/b - (3*x^2*PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))])/(2*b^2) + (3*x*PolyLog[3, -E^(2*(a + b*x))])/(2*b^3) - (3*PolyLog[4, -E^(2*(a + b*x))])/(4*b^4) - (3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(8*b^4) - (3*x^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(4*b^2) + (3*x*Sinh[a + b*x]^2)/(4*b^3) + (x^3*Sinh[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^2*Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3, x, 9, x^2/(4*b) + x^3/3 - (x^2*Log[1 + E^(2*(a + b*x))])/b - (x*PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))])/b^2 + PolyLog[3, -E^(2*(a + b*x))]/(2*b^3) - (x*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b^2) + Sinh[a + b*x]^2/(4*b^3) + (x^2*Sinh[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^1*Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3, x, 8, x/(4*b) + x^2/2 - (x*Log[1 + E^(2*(a + b*x))])/b - PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))]/(2*b^2) - (Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(4*b^2) + (x*Sinh[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^0*Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3, x, 3, Cosh[a + b*x]^2/(2*b) - Log[Cosh[a + b*x]]/b}
+{Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3/x^1, x, 6, -Unintegrable[Tanh[a + b*x]/x, x] + (1/2)*CoshIntegral[2*b*x]*Sinh[2*a] + (1/2)*Cosh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x]}
+{Sech[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3/x^2, x, 7, b*Cosh[2*a]*CoshIntegral[2*b*x] - Unintegrable[Tanh[a + b*x]/x^2, x] - Sinh[2*a + 2*b*x]/(2*x) + b*Sinh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x]}
+
+
+{x^m*Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3, x, 4, (E^a*x^m*Gamma[1 + m, (-b)*x])/(((-b)*x)^m*(2*b)) + (x^m*Gamma[1 + m, b*x])/(E^a*(b*x)^m*(2*b)) - CannotIntegrate[x^m*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x], x]}
+
+{x^3*Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3, x, 13, -((6*x^2*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^2) + (6*x*Cosh[a + b*x])/b^3 + (x^3*Cosh[a + b*x])/b + (6*I*x*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 - (6*I*x*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^3 - (6*I*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 + (6*I*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^4 + (x^3*Sech[a + b*x])/b - (6*Sinh[a + b*x])/b^4 - (3*x^2*Sinh[a + b*x])/b^2}
+{x^2*Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3, x, 10, -((4*x*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^2) + (2*Cosh[a + b*x])/b^3 + (x^2*Cosh[a + b*x])/b + (2*I*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 - (2*I*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^3 + (x^2*Sech[a + b*x])/b - (2*x*Sinh[a + b*x])/b^2}
+{x^1*Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3, x, 5, -(ArcTan[Sinh[a + b*x]]/b^2) + (x*Cosh[a + b*x])/b + (x*Sech[a + b*x])/b - Sinh[a + b*x]/b^2}
+{x^0*Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3, x, 3, Cosh[a + b*x]/b + Sech[a + b*x]/b}
+{Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3/x^1, x, 4, -CannotIntegrate[(Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/x, x] + CoshIntegral[b*x]*Sinh[a] + Cosh[a]*SinhIntegral[b*x]}
+{Sech[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3/x^2, x, 5, b*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x] - CannotIntegrate[(Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/x^2, x] - Sinh[a + b*x]/x + b*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x]}
+
+
+{x^m*Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3, x, 0, Unintegrable[x^m*Tanh[a + b*x]^3, x]}
+
+{x^3*Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3, x, 13, -((3*x^2)/(2*b^2)) + x^3/(2*b) - x^4/4 + (3*x*Log[1 + E^(2*(a + b*x))])/b^3 + (x^3*Log[1 + E^(2*(a + b*x))])/b + (3*PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))])/(2*b^4) + (3*x^2*PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*x*PolyLog[3, -E^(2*(a + b*x))])/(2*b^3) + (3*PolyLog[4, -E^(2*(a + b*x))])/(4*b^4) - (3*x^2*Tanh[a + b*x])/(2*b^2) - (x^3*Tanh[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^2*Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3, x, 9, x^2/(2*b) - x^3/3 + (x^2*Log[1 + E^(2*(a + b*x))])/b + Log[Cosh[a + b*x]]/b^3 + (x*PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))])/b^2 - PolyLog[3, -E^(2*(a + b*x))]/(2*b^3) - (x*Tanh[a + b*x])/b^2 - (x^2*Tanh[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^1*Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3, x, 7, x/(2*b) - x^2/2 + (x*Log[1 + E^(2*(a + b*x))])/b + PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))]/(2*b^2) - Tanh[a + b*x]/(2*b^2) - (x*Tanh[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^0*Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3, x, 2, Log[Cosh[a + b*x]]/b - Tanh[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3/x^1, x, 0, Unintegrable[Tanh[a + b*x]^3/x, x]}
+{Sech[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3/x^2, x, 0, Unintegrable[Tanh[a + b*x]^3/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cosh[a+b x]^n Csch[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p=1*)
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x], x, 0, Unintegrable[x^m*Coth[a + b*x], x]}
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x], x, 6, -(x^4/4) + (x^3*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b + (3*x^2*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*x*PolyLog[3, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^3) + (3*PolyLog[4, E^(2*(a + b*x))])/(4*b^4)}
+{x^2*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x], x, 5, -(x^3/3) + (x^2*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b + (x*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/b^2 - PolyLog[3, E^(2*(a + b*x))]/(2*b^3)}
+{x^1*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x], x, 4, -(x^2/2) + (x*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b + PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))]/(2*b^2)}
+{x^0*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x], x, 1, Log[Sinh[a + b*x]]/b}
+{Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]/x^1, x, 0, Unintegrable[Coth[a + b*x]/x, x]}
+{Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]/x^2, x, 0, Unintegrable[Coth[a + b*x]/x^2, x]}
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x], x, 4, (E^a*x^m*Gamma[1 + m, (-b)*x])/(((-b)*x)^m*(2*b)) + (x^m*Gamma[1 + m, b*x])/(E^a*(b*x)^m*(2*b)) + Unintegrable[x^m*Csch[a + b*x], x]}
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x], x, 14, -((2*x^3*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b) + (6*x*Cosh[a + b*x])/b^3 + (x^3*Cosh[a + b*x])/b - (3*x^2*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^2 + (3*x^2*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^2 + (6*x*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 - (6*x*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^3 - (6*PolyLog[4, -E^(a + b*x)])/b^4 + (6*PolyLog[4, E^(a + b*x)])/b^4 - (6*Sinh[a + b*x])/b^4 - (3*x^2*Sinh[a + b*x])/b^2}
+{x^2*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x], x, 11, -((2*x^2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b) + (2*Cosh[a + b*x])/b^3 + (x^2*Cosh[a + b*x])/b - (2*x*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^2 + (2*x*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^2 + (2*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 - (2*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^3 - (2*x*Sinh[a + b*x])/b^2}
+{x^1*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x], x, 8, -((2*x*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b) + (x*Cosh[a + b*x])/b - PolyLog[2, -E^(a + b*x)]/b^2 + PolyLog[2, E^(a + b*x)]/b^2 - Sinh[a + b*x]/b^2}
+{x^0*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x], x, 3, -(ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/b) + Cosh[a + b*x]/b}
+{Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]/x^1, x, 4, Unintegrable[Csch[a + b*x]/x, x] + CoshIntegral[b*x]*Sinh[a] + Cosh[a]*SinhIntegral[b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]/x^2, x, 5, b*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x] + Unintegrable[Csch[a + b*x]/x^2, x] - Sinh[a + b*x]/x + b*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x]}
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x], x, 6, (2^(-3 - m)*E^(2*a)*x^m*Gamma[1 + m, -2*b*x])/(((-b)*x)^m*b) + (2^(-3 - m)*x^m*Gamma[1 + m, 2*b*x])/(E^(2*a)*(b*x)^m*b) + Unintegrable[x^m*Coth[a + b*x], x]}
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x], x, 12, (3*x)/(8*b^3) + x^3/(4*b) - x^4/4 + (x^3*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b + (3*x^2*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*x*PolyLog[3, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^3) + (3*PolyLog[4, E^(2*(a + b*x))])/(4*b^4) - (3*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(8*b^4) - (3*x^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(4*b^2) + (3*x*Sinh[a + b*x]^2)/(4*b^3) + (x^3*Sinh[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^2*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x], x, 9, x^2/(4*b) - x^3/3 + (x^2*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b + (x*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/b^2 - PolyLog[3, E^(2*(a + b*x))]/(2*b^3) - (x*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b^2) + Sinh[a + b*x]^2/(4*b^3) + (x^2*Sinh[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^1*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x], x, 8, x/(4*b) - x^2/2 + (x*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b + PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))]/(2*b^2) - (Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(4*b^2) + (x*Sinh[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^0*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x], x, 3, Log[Sinh[a + b*x]]/b + Sinh[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]/x^1, x, 6, Unintegrable[Coth[a + b*x]/x, x] + (1/2)*CoshIntegral[2*b*x]*Sinh[2*a] + (1/2)*Cosh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]/x^2, x, 7, b*Cosh[2*a]*CoshIntegral[2*b*x] + Unintegrable[Coth[a + b*x]/x^2, x] - Sinh[2*a + 2*b*x]/(2*x) + b*Sinh[2*a]*SinhIntegral[2*b*x]}
+
+
+{x^1*Cosh[x]^2*Coth[x]^2, x, 6, (3*x^2)/4 - Cosh[x]^2/4 - x*Coth[x] + Log[Sinh[x]] + (1/2)*x*Cosh[x]*Sinh[x]}
+{x^2*Cosh[x]^2*Coth[x]^2, x, 11, x/4 - x^2 + x^3/2 - (1/2)*x*Cosh[x]^2 - x^2*Coth[x] + 2*x*Log[1 - E^(2*x)] + PolyLog[2, E^(2*x)] + (1/4)*Cosh[x]*Sinh[x] + (1/2)*x^2*Cosh[x]*Sinh[x]}
+{x^3*Cosh[x]^2*Coth[x]^2, x, 12, (3*x^2)/8 - x^3 + (3*x^4)/8 - (3*Cosh[x]^2)/8 - (3/4)*x^2*Cosh[x]^2 - x^3*Coth[x] + 3*x^2*Log[1 - E^(2*x)] + 3*x*PolyLog[2, E^(2*x)] - (3/2)*PolyLog[3, E^(2*x)] + (3/4)*x*Cosh[x]*Sinh[x] + (1/2)*x^3*Cosh[x]*Sinh[x]}
+
+
+{x^1*Cosh[x]^2*Coth[x]^3, x, 16, (3*x)/4 - x^2 - Coth[x]/2 - (1/2)*x*Coth[x]^2 + 2*x*Log[1 - E^(2*x)] + PolyLog[2, E^(2*x)] - (1/4)*Cosh[x]*Sinh[x] + (1/2)*x*Sinh[x]^2}
+{x^2*Cosh[x]^2*Coth[x]^3, x, 19, (3*x^2)/4 - (2*x^3)/3 - x*Coth[x] - (1/2)*x^2*Coth[x]^2 + 2*x^2*Log[1 - E^(2*x)] + Log[Sinh[x]] + 2*x*PolyLog[2, E^(2*x)] - PolyLog[3, E^(2*x)] - (1/2)*x*Cosh[x]*Sinh[x] + Sinh[x]^2/4 + (1/2)*x^2*Sinh[x]^2}
+{x^3*Cosh[x]^2*Coth[x]^3, x, 26, (3*x)/8 - (3*x^2)/2 + (3*x^3)/4 - x^4/2 - (3/2)*x^2*Coth[x] - (1/2)*x^3*Coth[x]^2 + 3*x*Log[1 - E^(2*x)] + 2*x^3*Log[1 - E^(2*x)] + (3/2)*PolyLog[2, E^(2*x)] + 3*x^2*PolyLog[2, E^(2*x)] - 3*x*PolyLog[3, E^(2*x)] + (3/2)*PolyLog[4, E^(2*x)] - (3/8)*Cosh[x]*Sinh[x] - (3/4)*x^2*Cosh[x]*Sinh[x] + (3/4)*x*Sinh[x]^2 + (1/2)*x^3*Sinh[x]^2}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p=2*)
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[x^m*Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x], x]}
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2, x, 8, -((6*x^2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b^2) - (x^3*Csch[a + b*x])/b - (6*x*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^3 + (6*x*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^3 + (6*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^4 - (6*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^4}
+{x^2*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2, x, 6, -((4*x*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b^2) - (x^2*Csch[a + b*x])/b - (2*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^3 + (2*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^3}
+{x^1*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2, x, 2, -(ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/b^2) - (x*Csch[a + b*x])/b}
+{x^0*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2, x, 2, -(Csch[a + b*x]/b)}
+{Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/x, x]}
+{Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2/x^2, x, 0, CannotIntegrate[(Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/x^2, x]}
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^2, x, 0, Unintegrable[x^m*Coth[a + b*x]^2, x]}
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^2, x, 7, -(x^3/b) + x^4/4 - (x^3*Coth[a + b*x])/b + (3*x^2*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b^2 + (3*x*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/b^3 - (3*PolyLog[3, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^4)}
+{x^2*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^2, x, 6, -(x^2/b) + x^3/3 - (x^2*Coth[a + b*x])/b + (2*x*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b^2 + PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))]/b^3}
+{x^1*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^2, x, 3, x^2/2 - (x*Coth[a + b*x])/b + Log[Sinh[a + b*x]]/b^2}
+{x^0*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^2, x, 2, x - Coth[a + b*x]/b}
+{Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^2/x^1, x, 0, Unintegrable[Coth[a + b*x]^2/x, x]}
+{Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^2/x^2, x, 0, Unintegrable[Coth[a + b*x]^2/x^2, x]}
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^2, x, 4, (E^a*x^m*Gamma[1 + m, (-b)*x])/(((-b)*x)^m*(2*b)) - (x^m*Gamma[1 + m, b*x])/(E^a*(b*x)^m*(2*b)) + CannotIntegrate[x^m*Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x], x]}
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^2, x, 13, -((6*x^2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b^2) - (6*Cosh[a + b*x])/b^4 - (3*x^2*Cosh[a + b*x])/b^2 - (x^3*Csch[a + b*x])/b - (6*x*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^3 + (6*x*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^3 + (6*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^4 - (6*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^4 + (6*x*Sinh[a + b*x])/b^3 + (x^3*Sinh[a + b*x])/b}
+{x^2*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^2, x, 10, -((4*x*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b^2) - (2*x*Cosh[a + b*x])/b^2 - (x^2*Csch[a + b*x])/b - (2*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^3 + (2*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^3 + (2*Sinh[a + b*x])/b^3 + (x^2*Sinh[a + b*x])/b}
+{x^1*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^2, x, 5, -(ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/b^2) - Cosh[a + b*x]/b^2 - (x*Csch[a + b*x])/b + (x*Sinh[a + b*x])/b}
+{x^0*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^2, x, 3, -(Csch[a + b*x]/b) + Sinh[a + b*x]/b}
+{Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^2/x^1, x, 4, Cosh[a]*CoshIntegral[b*x] + CannotIntegrate[(Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/x, x] + Sinh[a]*SinhIntegral[b*x]}
+{Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^2/x^2, x, 5, -(Cosh[a + b*x]/x) + CannotIntegrate[(Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/x^2, x] + b*CoshIntegral[b*x]*Sinh[a] + b*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p=3*)
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3, x, 0, CannotIntegrate[x^m*Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2, x]}
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3, x, 6, -((3*x^2)/(2*b^2)) - (3*x^2*Coth[a + b*x])/(2*b^2) - (x^3*Csch[a + b*x]^2)/(2*b) + (3*x*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b^3 + (3*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^4)}
+{x^2*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3, x, 3, -((x*Coth[a + b*x])/b^2) - (x^2*Csch[a + b*x]^2)/(2*b) + Log[Sinh[a + b*x]]/b^3}
+{x^1*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3, x, 3, -(Coth[a + b*x]/(2*b^2)) - (x*Csch[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^0*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3, x, 2, -(Csch[a + b*x]^2/(2*b))}
+{Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2)/x, x]}
+{Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3/x^2, x, 0, CannotIntegrate[(Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2)/x^2, x]}
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^3, x, 1, Unintegrable[x^m*Csch[a + b*x], x] + Unintegrable[x^m*Csch[a + b*x]^3, x]}
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^3, x, 25, -((6*x*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b^3) - (x^3*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - (3*x^2*Csch[a + b*x])/(2*b^2) - (x^3*Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/(2*b) - (3*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^4 - (3*x^2*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/(2*b^2) + (3*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^4 + (3*x^2*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/(2*b^2) + (3*x*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 - (3*x*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^3 - (3*PolyLog[4, -E^(a + b*x)])/b^4 + (3*PolyLog[4, E^(a + b*x)])/b^4}
+{x^2*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^3, x, 17, -((x^2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b) - ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/b^3 - (x*Csch[a + b*x])/b^2 - (x^2*Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/(2*b) - (x*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^2 + (x*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^2 + PolyLog[3, -E^(a + b*x)]/b^3 - PolyLog[3, E^(a + b*x)]/b^3}
+{x^1*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^3, x, 12, -((x*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b) - Csch[a + b*x]/(2*b^2) - (x*Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/(2*b) - PolyLog[2, -E^(a + b*x)]/(2*b^2) + PolyLog[2, E^(a + b*x)]/(2*b^2)}
+{x^0*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^3, x, 2, -(ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/(2*b)) - (Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/(2*b)}
+{Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^3/x^1, x, 1, Unintegrable[Csch[a + b*x]/x, x] + Unintegrable[Csch[a + b*x]^3/x, x]}
+{Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^3/x^2, x, 1, Unintegrable[Csch[a + b*x]/x^2, x] + Unintegrable[Csch[a + b*x]^3/x^2, x]}
+
+
+{x^m*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^3, x, 0, Unintegrable[x^m*Coth[a + b*x]^3, x]}
+
+{x^3*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^3, x, 13, -((3*x^2)/(2*b^2)) + x^3/(2*b) - x^4/4 - (3*x^2*Coth[a + b*x])/(2*b^2) - (x^3*Coth[a + b*x]^2)/(2*b) + (3*x*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b^3 + (x^3*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b + (3*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^4) + (3*x^2*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^2) - (3*x*PolyLog[3, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^3) + (3*PolyLog[4, E^(2*(a + b*x))])/(4*b^4)}
+{x^2*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^3, x, 9, x^2/(2*b) - x^3/3 - (x*Coth[a + b*x])/b^2 - (x^2*Coth[a + b*x]^2)/(2*b) + (x^2*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b + Log[Sinh[a + b*x]]/b^3 + (x*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/b^2 - PolyLog[3, E^(2*(a + b*x))]/(2*b^3)}
+{x^1*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^3, x, 7, x/(2*b) - x^2/2 - Coth[a + b*x]/(2*b^2) - (x*Coth[a + b*x]^2)/(2*b) + (x*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b + PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))]/(2*b^2)}
+{x^0*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^3, x, 2, -(Coth[a + b*x]^2/(2*b)) + Log[Sinh[a + b*x]]/b}
+{Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^3/x^1, x, 0, Unintegrable[Coth[a + b*x]^3/x, x]}
+{Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^3/x^2, x, 0, Unintegrable[Coth[a + b*x]^3/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Sech[a+b x]^n Csch[a+b x]^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p=1*)
+
+
+{x^m*Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x], x, 0, CannotIntegrate[x^m*Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x], x]}
+
+{x^3*Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x], x, 10, -((2*x^3*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b) - (3*x^2*PolyLog[2, -E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^2) + (3*x^2*PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^2) + (3*x*PolyLog[3, -E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^3) - (3*x*PolyLog[3, E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^3) - (3*PolyLog[4, -E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^4) + (3*PolyLog[4, E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^4)}
+{x^2*Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x], x, 8, -((2*x^2*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b) - (x*PolyLog[2, -E^(2*a + 2*b*x)])/b^2 + (x*PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)])/b^2 + PolyLog[3, -E^(2*a + 2*b*x)]/(2*b^3) - PolyLog[3, E^(2*a + 2*b*x)]/(2*b^3)}
+{x^1*Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x], x, 6, -((2*x*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b) - PolyLog[2, -E^(2*a + 2*b*x)]/(2*b^2) + PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)]/(2*b^2)}
+{x^0*Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x], x, 2, Log[Tanh[a + b*x]]/b}
+{Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x]/x^1, x, 1, 2*Unintegrable[Csch[2*a + 2*b*x]/x, x]}
+{Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x]/x^2, x, 1, 2*Unintegrable[Csch[2*a + 2*b*x]/x^2, x]}
+
+
+{x^m*Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x], x, 0, CannotIntegrate[x^m*Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x]^2, x]}
+
+{x^3*Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x], x, 21, -((6*x^2*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^2) - (2*x^3*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - (3*x^2*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^2 + (6*I*x*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 - (6*I*x*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^3 + (3*x^2*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^2 + (6*x*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 - (6*I*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 + (6*I*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^4 - (6*x*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^3 - (6*PolyLog[4, -E^(a + b*x)])/b^4 + (6*PolyLog[4, E^(a + b*x)])/b^4 + (x^3*Sech[a + b*x])/b}
+{x^2*Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x], x, 17, -((4*x*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^2) - (2*x^2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - (2*x*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^2 + (2*I*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 - (2*I*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^3 + (2*x*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^2 + (2*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 - (2*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^3 + (x^2*Sech[a + b*x])/b}
+{x^1*Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x], x, 10, -(ArcTan[Sinh[a + b*x]]/b^2) - (2*x*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - PolyLog[2, -E^(a + b*x)]/b^2 + PolyLog[2, E^(a + b*x)]/b^2 + (x*Sech[a + b*x])/b}
+{x^0*Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x], x, 3, -(ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/b) + Sech[a + b*x]/b}
+{Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x]^2)/x, x]}
+{Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]/x^2, x, 0, CannotIntegrate[(Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x]^2)/x^2, x]}
+
+
+{x^m*Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x], x, 0, CannotIntegrate[x^m*Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x]^3, x]}
+
+{x^3*Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x], x, 20, -((3*x^2)/(2*b^2)) + x^3/(2*b) - (2*x^3*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b + (3*x*Log[1 + E^(2*(a + b*x))])/b^3 + (3*PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))])/(2*b^4) - (3*x^2*PolyLog[2, -E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^2) + (3*x^2*PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^2) + (3*x*PolyLog[3, -E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^3) - (3*x*PolyLog[3, E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^3) - (3*PolyLog[4, -E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^4) + (3*PolyLog[4, E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^4) - (3*x^2*Tanh[a + b*x])/(2*b^2) - (x^3*Tanh[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^2*Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x], x, 15, x^2/(2*b) - (2*x^2*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b + Log[Cosh[a + b*x]]/b^3 - (x*PolyLog[2, -E^(2*a + 2*b*x)])/b^2 + (x*PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)])/b^2 + PolyLog[3, -E^(2*a + 2*b*x)]/(2*b^3) - PolyLog[3, E^(2*a + 2*b*x)]/(2*b^3) - (x*Tanh[a + b*x])/b^2 - (x^2*Tanh[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^1*Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x], x, 11, x/(2*b) - (2*x*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b - PolyLog[2, -E^(2*a + 2*b*x)]/(2*b^2) + PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)]/(2*b^2) - Tanh[a + b*x]/(2*b^2) - (x*Tanh[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^0*Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x], x, 3, Log[Tanh[a + b*x]]/b - Tanh[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x]^3)/x, x]}
+{Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]/x^2, x, 0, CannotIntegrate[(Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x]^3)/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p=2*)
+
+
+{x^m*Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[x^m*Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x], x]}
+
+{x^3*Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2, x, 21, -((2*x^3*ArcTan[E^(a + b*x)])/b) - (6*x^2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b^2 - (x^3*Csch[a + b*x])/b - (6*x*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^3 + (3*I*x^2*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 - (3*I*x^2*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2 + (6*x*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^3 + (6*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^4 - (6*I*x*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 + (6*I*x*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3 - (6*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^4 + (6*I*PolyLog[4, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 - (6*I*PolyLog[4, I*E^(a + b*x)])/b^4}
+{x^2*Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2, x, 17, -((2*x^2*ArcTan[E^(a + b*x)])/b) - (4*x*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b^2 - (x^2*Csch[a + b*x])/b - (2*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^3 + (2*I*x*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 - (2*I*x*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2 + (2*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^3 - (2*I*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 + (2*I*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3}
+{x^1*Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2, x, 10, -((2*x*ArcTan[E^(a + b*x)])/b) - ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/b^2 - (x*Csch[a + b*x])/b + (I*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 - (I*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2}
+{x^0*Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2, x, 3, -(ArcTan[Sinh[a + b*x]]/b) - Csch[a + b*x]/b}
+{Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x])/x, x]}
+{Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2/x^2, x, 0, CannotIntegrate[(Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x])/x^2, x]}
+
+
+{x^m*Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[x^m*Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x]^2, x]}
+
+{x^3*Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^2, x, 7, -((2*x^3)/b) - (2*x^3*Coth[2*a + 2*b*x])/b + (3*x^2*Log[1 - E^(4*(a + b*x))])/b^2 + (3*x*PolyLog[2, E^(4*(a + b*x))])/(2*b^3) - (3*PolyLog[3, E^(4*(a + b*x))])/(8*b^4)}
+{x^2*Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^2, x, 6, -((2*x^2)/b) - (2*x^2*Coth[2*a + 2*b*x])/b + (2*x*Log[1 - E^(4*(a + b*x))])/b^2 + PolyLog[2, E^(4*(a + b*x))]/(2*b^3)}
+{x^1*Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^2, x, 3, -((2*x*Coth[2*a + 2*b*x])/b) + Log[Sinh[2*a + 2*b*x]]/b^2}
+{x^0*Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^2, x, 3, -(Coth[a + b*x]/b) - Tanh[a + b*x]/b}
+{Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^2/x^1, x, 1, 4*Unintegrable[Csch[2*a + 2*b*x]^2/x, x]}
+{Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^2/x^2, x, 1, 4*Unintegrable[Csch[2*a + 2*b*x]^2/x^2, x]}
+
+
+{x^m*Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[x^m*Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x]^3, x]}
+
+(* {x^3*Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^2, x, 35, (6*x*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^3 - (3*x^3*ArcTan[E^(a + b*x)])/b - (6*x^2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b^2 - (6*x*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^3 - (3*I*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 + (9*I*x^2*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/(2*b^2) + (3*I*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^4 - (9*I*x^2*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/(2*b^2) + (6*x*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^3 + (6*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^4 - (9*I*x*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 + (9*I*x*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3 - (6*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^4 + (9*I*PolyLog[4, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 - (9*I*PolyLog[4, I*E^(a + b*x)])/b^4 - (3*x^2*Sech[a + b*x])/(2*b^2) - (x^3*Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x]^2)/b - (3*x^3*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(2*b)} *)
+{x^2*Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^2, x, 29, -((3*x^2*ArcTan[E^(a + b*x)])/b) + ArcTan[Sinh[a + b*x]]/b^3 - (4*x*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b^2 - (3*x^2*Csch[a + b*x])/(2*b) - (2*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^3 + (3*I*x*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 - (3*I*x*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^2 + (2*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^3 - (3*I*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 + (3*I*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3 - (x*Sech[a + b*x])/b^2 + (x^2*Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^1*Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^2, x, 13, -((3*x*ArcTan[E^(a + b*x)])/b) - ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/b^2 - (3*x*Csch[a + b*x])/(2*b) + (3*I*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/(2*b^2) - (3*I*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/(2*b^2) - Sech[a + b*x]/(2*b^2) + (x*Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{x^0*Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^2, x, 4, -((3*ArcTan[Sinh[a + b*x]])/(2*b)) - (3*Csch[a + b*x])/(2*b) + (Csch[a + b*x]*Sech[a + b*x]^2)/(2*b)}
+{Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^2/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x]^3)/x, x]}
+{Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^2/x^2, x, 0, CannotIntegrate[(Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x]^3)/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p=3*)
+
+
+{x^m*Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3, x, 0, CannotIntegrate[x^m*Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x], x]}
+
+{x^3*Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3, x, 20, -((3*x^2)/(2*b^2)) + x^3/(2*b) + (2*x^3*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b - (3*x^2*Coth[a + b*x])/(2*b^2) - (x^3*Coth[a + b*x]^2)/(2*b) + (3*x*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b^3 + (3*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^4) + (3*x^2*PolyLog[2, -E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^2) - (3*x^2*PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^2) - (3*x*PolyLog[3, -E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^3) + (3*x*PolyLog[3, E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^3) + (3*PolyLog[4, -E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^4) - (3*PolyLog[4, E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^4)}
+{x^2*Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3, x, 15, x^2/(2*b) + (2*x^2*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b - (x*Coth[a + b*x])/b^2 - (x^2*Coth[a + b*x]^2)/(2*b) + Log[Sinh[a + b*x]]/b^3 + (x*PolyLog[2, -E^(2*a + 2*b*x)])/b^2 - (x*PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)])/b^2 - PolyLog[3, -E^(2*a + 2*b*x)]/(2*b^3) + PolyLog[3, E^(2*a + 2*b*x)]/(2*b^3)}
+{x^1*Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3, x, 11, x/(2*b) + (2*x*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b - Coth[a + b*x]/(2*b^2) - (x*Coth[a + b*x]^2)/(2*b) + PolyLog[2, -E^(2*a + 2*b*x)]/(2*b^2) - PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)]/(2*b^2)}
+{x^0*Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3, x, 3, -(Coth[a + b*x]^2/(2*b)) - Log[Tanh[a + b*x]]/b}
+{Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x])/x, x]}
+{Sech[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3/x^2, x, 0, CannotIntegrate[(Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x])/x^2, x]}
+
+
+{x^m*Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^3, x, 0, CannotIntegrate[x^m*Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^2, x]}
+
+{x^3*Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^3, x, 40, (6*x^2*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^2 - (6*x*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b^3 + (3*x^3*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - (3*x^2*Csch[a + b*x])/(2*b^2) - (3*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^4 + (9*x^2*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/(2*b^2) - (6*I*x*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 + (6*I*x*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^3 + (3*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^4 - (9*x^2*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/(2*b^2) - (9*x*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 + (6*I*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 - (6*I*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^4 + (9*x*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^3 + (9*PolyLog[4, -E^(a + b*x)])/b^4 - (9*PolyLog[4, E^(a + b*x)])/b^4 - (3*x^3*Sech[a + b*x])/(2*b) - (x^3*Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x])/(2*b)}
+{x^2*Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^3, x, 29, (4*x*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^2 + (3*x^2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/b^3 - (x*Csch[a + b*x])/b^2 + (3*x*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^2 - (2*I*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 + (2*I*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^3 - (3*x*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^2 - (3*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 + (3*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^3 - (3*x^2*Sech[a + b*x])/(2*b) - (x^2*Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x])/(2*b)}
+{x^1*Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^3, x, 13, ArcTan[Sinh[a + b*x]]/b^2 + (3*x*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - Csch[a + b*x]/(2*b^2) + (3*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/(2*b^2) - (3*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/(2*b^2) - (3*x*Sech[a + b*x])/(2*b) - (x*Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x])/(2*b)}
+{x^0*Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^3, x, 4, (3*ArcTanh[Cosh[a + b*x]])/(2*b) - (3*Sech[a + b*x])/(2*b) - (Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x])/(2*b)}
+{Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^3/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^2)/x, x]}
+{Sech[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^3/x^2, x, 0, CannotIntegrate[(Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^2)/x^2, x]}
+
+
+{x^m*Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^3, x, 0, CannotIntegrate[x^m*Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^3, x]}
+
+{x^3*Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^3, x, 16, -((6*x*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b^3) + (4*x^3*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b - (3*x^2*Csch[2*a + 2*b*x])/b^2 - (2*x^3*Coth[2*a + 2*b*x]*Csch[2*a + 2*b*x])/b - (3*PolyLog[2, -E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^4) + (3*x^2*PolyLog[2, -E^(2*a + 2*b*x)])/b^2 + (3*PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^4) - (3*x^2*PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)])/b^2 - (3*x*PolyLog[3, -E^(2*a + 2*b*x)])/b^3 + (3*x*PolyLog[3, E^(2*a + 2*b*x)])/b^3 + (3*PolyLog[4, -E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^4) - (3*PolyLog[4, E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^4)}
+{x^2*Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^3, x, 10, (4*x^2*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b - ArcTanh[Cosh[2*a + 2*b*x]]/b^3 - (2*x*Csch[2*a + 2*b*x])/b^2 - (2*x^2*Coth[2*a + 2*b*x]*Csch[2*a + 2*b*x])/b + (2*x*PolyLog[2, -E^(2*a + 2*b*x)])/b^2 - (2*x*PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)])/b^2 - PolyLog[3, -E^(2*a + 2*b*x)]/b^3 + PolyLog[3, E^(2*a + 2*b*x)]/b^3}
+{x^1*Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^3, x, 7, (4*x*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b - Csch[2*a + 2*b*x]/b^2 - (2*x*Coth[2*a + 2*b*x]*Csch[2*a + 2*b*x])/b + PolyLog[2, -E^(2*a + 2*b*x)]/b^2 - PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)]/b^2}
+{x^0*Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^3, x, 4, -(Coth[a + b*x]^2/(2*b)) - (2*Log[Tanh[a + b*x]])/b + Tanh[a + b*x]^2/(2*b)}
+{Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^3/x^1, x, 1, 8*Unintegrable[Csch[2*a + 2*b*x]^3/x, x]}
+{Sech[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^3/x^2, x, 1, 8*Unintegrable[Csch[2*a + 2*b*x]^3/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cosh[a+b x]^(n/2) Sinh[a+b x]^n*)
+
+
+{x*Sinh[a + b*x]*Cosh[a + b*x]^(5/2), x, 4, (2*x*Cosh[a + b*x]^(7/2))/(7*b) + (20*I*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*x), 2])/(147*b^2) - (20*Sqrt[Cosh[a + b*x]]*Sinh[a + b*x])/(147*b^2) - (4*Cosh[a + b*x]^(5/2)*Sinh[a + b*x])/(49*b^2)}
+{x*Sinh[a + b*x]*Cosh[a + b*x]^(3/2), x, 3, (2*x*Cosh[a + b*x]^(5/2))/(5*b) + (12*I*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*x), 2])/(25*b^2) - (4*Cosh[a + b*x]^(3/2)*Sinh[a + b*x])/(25*b^2)}
+{x*Sinh[a + b*x]*Sqrt[Cosh[a + b*x]], x, 3, (2*x*Cosh[a + b*x]^(3/2))/(3*b) + (4*I*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*x), 2])/(9*b^2) - (4*Sqrt[Cosh[a + b*x]]*Sinh[a + b*x])/(9*b^2)}
+{x*Sinh[a + b*x]/Sqrt[Cosh[a + b*x]], x, 2, (2*x*Sqrt[Cosh[a + b*x]])/b + (4*I*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*x), 2])/b^2}
+{x*Sinh[a + b*x]/Cosh[a + b*x]^(3/2), x, 2, -((2*x)/(b*Sqrt[Cosh[a + b*x]])) - (4*I*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*x), 2])/b^2}
+{x*Sinh[a + b*x]/Cosh[a + b*x]^(5/2), x, 3, -((2*x)/(3*b*Cosh[a + b*x]^(3/2))) + (4*I*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*x), 2])/(3*b^2) + (4*Sinh[a + b*x])/(3*b^2*Sqrt[Cosh[a + b*x]])}
+{x*Sinh[a + b*x]/Cosh[a + b*x]^(7/2), x, 3, -((2*x)/(5*b*Cosh[a + b*x]^(5/2))) - (4*I*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*x), 2])/(15*b^2) + (4*Sinh[a + b*x])/(15*b^2*Cosh[a + b*x]^(3/2))}
+{x*Sinh[a + b*x]/Cosh[a + b*x]^(9/2), x, 4, -((2*x)/(7*b*Cosh[a + b*x]^(7/2))) + (12*I*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*x), 2])/(35*b^2) + (4*Sinh[a + b*x])/(35*b^2*Cosh[a + b*x]^(5/2)) + (12*Sinh[a + b*x])/(35*b^2*Sqrt[Cosh[a + b*x]])}
+
+
+{x*Sinh[a + b*x]*Sech[a + b*x]^(9/2), x, 5, (12*I*Sqrt[Cosh[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sech[a + b*x]])/(35*b^2) - (2*x*Sech[a + b*x]^(7/2))/(7*b) + (12*Sqrt[Sech[a + b*x]]*Sinh[a + b*x])/(35*b^2) + (4*Sech[a + b*x]^(5/2)*Sinh[a + b*x])/(35*b^2)}
+{x*Sinh[a + b*x]*Sech[a + b*x]^(7/2), x, 4, -((4*I*Sqrt[Cosh[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sech[a + b*x]])/(15*b^2)) - (2*x*Sech[a + b*x]^(5/2))/(5*b) + (4*Sech[a + b*x]^(3/2)*Sinh[a + b*x])/(15*b^2)}
+{x*Sinh[a + b*x]*Sech[a + b*x]^(5/2), x, 4, (4*I*Sqrt[Cosh[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sech[a + b*x]])/(3*b^2) - (2*x*Sech[a + b*x]^(3/2))/(3*b) + (4*Sqrt[Sech[a + b*x]]*Sinh[a + b*x])/(3*b^2)}
+{x*Sinh[a + b*x]*Sech[a + b*x]^(3/2), x, 3, -((2*x*Sqrt[Sech[a + b*x]])/b) - (4*I*Sqrt[Cosh[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sech[a + b*x]])/b^2}
+{x*Sinh[a + b*x]*Sech[a + b*x]^(1/2), x, 3, (2*x)/(b*Sqrt[Sech[a + b*x]]) + (4*I*Sqrt[Cosh[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sech[a + b*x]])/b^2}
+{x*Sinh[a + b*x]/Sech[a + b*x]^(1/2), x, 4, (2*x)/(3*b*Sech[a + b*x]^(3/2)) + (4*I*Sqrt[Cosh[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sech[a + b*x]])/(9*b^2) - (4*Sinh[a + b*x])/(9*b^2*Sqrt[Sech[a + b*x]])}
+{x*Sinh[a + b*x]/Sech[a + b*x]^(3/2), x, 4, (2*x)/(5*b*Sech[a + b*x]^(5/2)) + (12*I*Sqrt[Cosh[a + b*x]]*EllipticE[(1/2)*I*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sech[a + b*x]])/(25*b^2) - (4*Sinh[a + b*x])/(25*b^2*Sech[a + b*x]^(3/2))}
+{x*Sinh[a + b*x]/Sech[a + b*x]^(5/2), x, 5, (2*x)/(7*b*Sech[a + b*x]^(7/2)) + (20*I*Sqrt[Cosh[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*I*(a + b*x), 2]*Sqrt[Sech[a + b*x]])/(147*b^2) - (4*Sinh[a + b*x])/(49*b^2*Sech[a + b*x]^(5/2)) - (20*Sinh[a + b*x])/(147*b^2*Sqrt[Sech[a + b*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Sinh[a+b x]^(n/2) Cosh[a+b x]^n*)
+
+
+{x*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^(5/2), x, 5, (20*I*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])/(147*b^2*Sqrt[Sinh[a + b*x]]) + (20*Cosh[a + b*x]*Sqrt[Sinh[a + b*x]])/(147*b^2) - (4*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^(5/2))/(49*b^2) + (2*x*Sinh[a + b*x]^(7/2))/(7*b)}
+{x*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^(3/2), x, 4, -((12*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[Sinh[a + b*x]])/(25*b^2*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])) - (4*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^(3/2))/(25*b^2) + (2*x*Sinh[a + b*x]^(5/2))/(5*b)}
+{x*Cosh[a + b*x]*Sqrt[Sinh[a + b*x]], x, 4, -((4*I*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])/(9*b^2*Sqrt[Sinh[a + b*x]])) - (4*Cosh[a + b*x]*Sqrt[Sinh[a + b*x]])/(9*b^2) + (2*x*Sinh[a + b*x]^(3/2))/(3*b)}
+{x*Cosh[a + b*x]/Sqrt[Sinh[a + b*x]], x, 3, (2*x*Sqrt[Sinh[a + b*x]])/b + (4*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[Sinh[a + b*x]])/(b^2*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])}
+{x*Cosh[a + b*x]/Sinh[a + b*x]^(3/2), x, 3, -((2*x)/(b*Sqrt[Sinh[a + b*x]])) - (4*I*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])/(b^2*Sqrt[Sinh[a + b*x]])}
+{x*Cosh[a + b*x]/Sinh[a + b*x]^(5/2), x, 4, -((2*x)/(3*b*Sinh[a + b*x]^(3/2))) - (4*Cosh[a + b*x])/(3*b^2*Sqrt[Sinh[a + b*x]]) - (4*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[Sinh[a + b*x]])/(3*b^2*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])}
+{x*Cosh[a + b*x]/Sinh[a + b*x]^(7/2), x, 4, -((2*x)/(5*b*Sinh[a + b*x]^(5/2))) - (4*Cosh[a + b*x])/(15*b^2*Sinh[a + b*x]^(3/2)) + (4*I*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])/(15*b^2*Sqrt[Sinh[a + b*x]])}
+{x*Cosh[a + b*x]/Sinh[a + b*x]^(9/2), x, 5, -((2*x)/(7*b*Sinh[a + b*x]^(7/2))) - (4*Cosh[a + b*x])/(35*b^2*Sinh[a + b*x]^(5/2)) + (12*Cosh[a + b*x])/(35*b^2*Sqrt[Sinh[a + b*x]]) + (12*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[Sinh[a + b*x]])/(35*b^2*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])}
+
+
+{x*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^(9/2), x, 5, (12*Cosh[a + b*x]*Sqrt[Csch[a + b*x]])/(35*b^2) - (4*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^(5/2))/(35*b^2) - (2*x*Csch[a + b*x]^(7/2))/(7*b) + (12*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2])/(35*b^2*Sqrt[Csch[a + b*x]]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])}
+{x*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^(7/2), x, 4, -((4*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^(3/2))/(15*b^2)) - (2*x*Csch[a + b*x]^(5/2))/(5*b) + (4*I*Sqrt[Csch[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])/(15*b^2)}
+{x*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^(5/2), x, 4, -((4*Cosh[a + b*x]*Sqrt[Csch[a + b*x]])/(3*b^2)) - (2*x*Csch[a + b*x]^(3/2))/(3*b) - (4*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2])/(3*b^2*Sqrt[Csch[a + b*x]]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])}
+{x*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^(3/2), x, 3, -((2*x*Sqrt[Csch[a + b*x]])/b) - (4*I*Sqrt[Csch[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])/b^2}
+{x*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^(1/2), x, 3, (2*x)/(b*Sqrt[Csch[a + b*x]]) + (4*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2])/(b^2*Sqrt[Csch[a + b*x]]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])}
+{x*Cosh[a + b*x]/Csch[a + b*x]^(1/2), x, 4, (2*x)/(3*b*Csch[a + b*x]^(3/2)) - (4*Cosh[a + b*x])/(9*b^2*Sqrt[Csch[a + b*x]]) - (4*I*Sqrt[Csch[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])/(9*b^2)}
+{x*Cosh[a + b*x]/Csch[a + b*x]^(3/2), x, 4, (2*x)/(5*b*Csch[a + b*x]^(5/2)) - (4*Cosh[a + b*x])/(25*b^2*Csch[a + b*x]^(3/2)) - (12*I*EllipticE[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2])/(25*b^2*Sqrt[Csch[a + b*x]]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])}
+{x*Cosh[a + b*x]/Csch[a + b*x]^(5/2), x, 5, (2*x)/(7*b*Csch[a + b*x]^(7/2)) - (4*Cosh[a + b*x])/(49*b^2*Csch[a + b*x]^(5/2)) + (20*Cosh[a + b*x])/(147*b^2*Sqrt[Csch[a + b*x]]) + (20*I*Sqrt[Csch[a + b*x]]*EllipticF[(1/2)*(I*a - Pi/2 + I*b*x), 2]*Sqrt[I*Sinh[a + b*x]])/(147*b^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (Hyper[a+b x] Hyper[a+b x])^m*)
+
+
+{(Sinh[x]*Tanh[x])^(1/2), x, 3, 2*Coth[x]*Sqrt[Sinh[x]*Tanh[x]]}
+{(Sinh[x]*Tanh[x])^(3/2), x, 4, (8/3)*Csch[x]*Sqrt[Sinh[x]*Tanh[x]] + (2/3)*Sinh[x]*Sqrt[Sinh[x]*Tanh[x]]}
+{(Sinh[x]*Tanh[x])^(5/2), x, 5, (-(64/15))*Coth[x]*Sqrt[Sinh[x]*Tanh[x]] + (16/15)*Tanh[x]*Sqrt[Sinh[x]*Tanh[x]] + (2/5)*Sinh[x]^2*Tanh[x]*Sqrt[Sinh[x]*Tanh[x]]}
+
+
+{(Cosh[x]*Coth[x])^(1/2), x, 3, 2*Sqrt[Cosh[x]*Coth[x]]*Tanh[x]}
+{(Cosh[x]*Coth[x])^(3/2), x, 4, (2/3)*Cosh[x]*Sqrt[Cosh[x]*Coth[x]] - (8/3)*Sqrt[Cosh[x]*Coth[x]]*Sech[x]}
+{(Cosh[x]*Coth[x])^(5/2), x, 5, (-(16/15))*Coth[x]*Sqrt[Cosh[x]*Coth[x]] + (2/5)*Cosh[x]^2*Coth[x]*Sqrt[Cosh[x]*Coth[x]] + (64/15)*Sqrt[Cosh[x]*Coth[x]]*Tanh[x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Hyper[x])^n (c+d Hyper[x])^p*)
+
+
+{(b + c + Cosh[x])/(a + b*Sinh[x]), x, 7, -((2*(b + c)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/Sqrt[a^2 + b^2]) + Log[a + b*Sinh[x]]/b}
+{(b + c + Cosh[x])/(a - b*Sinh[x]), x, 7, (2*(b + c)*ArcTanh[(b + a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/Sqrt[a^2 + b^2] - Log[a - b*Sinh[x]]/b}
+
+{(b + c + Sinh[x])/(a + b*Cosh[x]), x, 6, (2*(b + c)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) + Log[a + b*Cosh[x]]/b}
+{(b + c + Sinh[x])/(a - b*Cosh[x]), x, 6, (2*(b + c)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a - b]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) - Log[a - b*Cosh[x]]/b}
+
+
+{x*((b - a*Sinh[x])/(a + b*Sinh[x])^2), x, 3, Log[a + b*Sinh[x]]/b - (x*Cosh[x])/(a + b*Sinh[x])}
+{x*((b + a*Cosh[x])/(a + b*Cosh[x])^2), x, 3, -(Log[a + b*Cosh[x]]/b) + (x*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x])}
+
+
+{(a + b*Sech[x])/(c + d*Cosh[x]), x, 5, (b*ArcTan[Sinh[x]])/c + (2*(a*c - b*d)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tanh[x/2])/Sqrt[c + d]])/(c*Sqrt[c - d]*Sqrt[c + d])}
+{(a + b*Csch[x])/(c + d*Sinh[x]), x, 6, -((b*ArcTanh[Cosh[x]])/c) - (2*(a*c - b*d)*ArcTanh[(d - c*Tanh[x/2])/Sqrt[c^2 + d^2]])/(c*Sqrt[c^2 + d^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b Hyper[x])^n (c+d Hyper[x]^2)^p*)
+
+
+{(1 + Sinh[x]^2)/(1 - Sinh[x]^2), x, 3, -x + Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[2]*Tanh[x]]}
+{(1 - Sinh[x]^2)/(1 + Sinh[x]^2), x, 4, -x + 2*Tanh[x]}
+
+
+{(1 + Cosh[x]^2)/(1 - Cosh[x]^2), x, 4, -x + 2*Coth[x]}
+{(1 - Cosh[x]^2)/(1 + Cosh[x]^2), x, 3, -x + Sqrt[2]*ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[2]]}
+
+
+{(a + b*Sech[x]^2)/(c + d*Cosh[x]), x, 6, -((b*d*ArcTan[Sinh[x]])/c^2) + (2*(a*c^2 + b*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[c - d]*Tanh[x/2])/Sqrt[c + d]])/(c^2*Sqrt[c - d]*Sqrt[c + d]) + (b*Tanh[x])/c}
+{(a + b*Csch[x]^2)/(c + d*Sinh[x]), x, 7, (b*d*ArcTanh[Cosh[x]])/c^2 - (2*(a*c^2 + b*d^2)*ArcTanh[(d - c*Tanh[x/2])/Sqrt[c^2 + d^2]])/(c^2*Sqrt[c^2 + d^2]) - (b*Coth[x])/c}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a Hyper[c+d x] + b Hyper[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Hyper[c+d x] + b Hyper[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Cosh[c+d x] + b Sinh[c+d x])^n*)
+
+
+{(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 3, b*Cosh[x] + a*Sinh[x]}
+{(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2, x, 2, (1/2)*(a^2 - b^2)*x + (1/2)*(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])}
+{(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^3, x, 2, (a^2 - b^2)*(b*Cosh[x] + a*Sinh[x]) + (1/3)*(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])^3}
+{(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^4, x, 3, (3/8)*(a^2 - b^2)^2*x + (3/8)*(a^2 - b^2)*(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]) + (1/4)*(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^3}
+{(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^5, x, 3, (a^2 - b^2)^2*(b*Cosh[x] + a*Sinh[x]) + (2/3)*(a^2 - b^2)*(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])^3 + (1/5)*(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])^5}
+
+{1/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 2, ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]]/Sqrt[a^2 - b^2]}
+{1/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2, x, 1, Sinh[x]/(a*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]))}
+{1/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^3, x, 3, ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]]/(2*(a^2 - b^2)^(3/2)) + (b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2)*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2)}
+{1/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^4, x, 2, (b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/(3*(a^2 - b^2)*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^3) + (2*Sinh[x])/(3*a*(a^2 - b^2)*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]))}
+{1/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^5, x, 4, (3*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(8*(a^2 - b^2)^(5/2)) + (b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/(4*(a^2 - b^2)*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^4) + (3*(b*Cosh[x] + a*Sinh[x]))/(8*(a^2 - b^2)^2*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2)}
+
+{(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^(1/2), x, 2, -((2*I*EllipticE[(1/2)*(I*x - ArcTan[a, (-I)*b]), 2]*Sqrt[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/Sqrt[(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])}
+{(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^(3/2), x, 3, (2/3)*(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])*Sqrt[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]] - (2*I*(a^2 - b^2)*EllipticF[(1/2)*(I*x - ArcTan[a, (-I)*b]), 2]*Sqrt[(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(3*Sqrt[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])}
+{(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^(5/2), x, 3, (2/5)*(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^(3/2) - (6*I*(a^2 - b^2)*EllipticE[(1/2)*(I*x - ArcTan[a, (-I)*b]), 2]*Sqrt[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(5*Sqrt[(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])}
+
+{1/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^(1/2), x, 2, -((2*I*EllipticF[(1/2)*(I*x - ArcTan[a, (-I)*b]), 2]*Sqrt[(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/Sqrt[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])}
+{1/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^(3/2), x, 3, (2*(b*Cosh[x] + a*Sinh[x]))/((a^2 - b^2)*Sqrt[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]]) + (2*I*EllipticE[(1/2)*(I*x - ArcTan[a, (-I)*b]), 2]*Sqrt[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/((a^2 - b^2)*Sqrt[(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])}
+{1/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^(5/2), x, 3, (2*(b*Cosh[x] + a*Sinh[x]))/(3*(a^2 - b^2)*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^(3/2)) - (2*I*EllipticF[(1/2)*(I*x - ArcTan[a, (-I)*b]), 2]*Sqrt[(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(3*(a^2 - b^2)*Sqrt[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])}
+
+
+{(a*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x]), x, 3, (a*Cosh[c + d*x])/d + (a*Sinh[c + d*x])/d}
+{(a*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x])^2, x, 1, (a*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x])^2/(2*d)}
+{(a*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x])^3, x, 1, (a*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x])^3/(3*d)}
+{(a*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x])^n, x, 1, (a*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x])^n/(d*n)}
+
+{1/(a*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x]), x, 1, -(1/(d*(a*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x])))}
+{1/(a*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x])^2, x, 1, -(1/(2*d*(a*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x])^2))}
+{1/(a*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x])^3, x, 1, -(1/(3*d*(a*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x])^3))}
+
+{Sqrt[a*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x]], x, 1, (2*Sqrt[a*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x]])/d}
+{1/Sqrt[a*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x]], x, 1, -(2/(d*Sqrt[a*Cosh[c + d*x] + a*Sinh[c + d*x]]))}
+
+
+{(a*Cosh[c + d*x] - a*Sinh[c + d*x]), x, 3, -((a*Cosh[c + d*x])/d) + (a*Sinh[c + d*x])/d}
+{(a*Cosh[c + d*x] - a*Sinh[c + d*x])^2, x, 1, -((a*Cosh[c + d*x] - a*Sinh[c + d*x])^2/(2*d))}
+{(a*Cosh[c + d*x] - a*Sinh[c + d*x])^3, x, 1, -((a*Cosh[c + d*x] - a*Sinh[c + d*x])^3/(3*d))}
+{(a*Cosh[c + d*x] - a*Sinh[c + d*x])^n, x, 1, -((a*Cosh[c + d*x] - a*Sinh[c + d*x])^n/(d*n))}
+
+{1/(a*Cosh[c + d*x] - a*Sinh[c + d*x]), x, 1, 1/(d*(a*Cosh[c + d*x] - a*Sinh[c + d*x]))}
+{1/(a*Cosh[c + d*x] - a*Sinh[c + d*x])^2, x, 1, 1/(2*d*(a*Cosh[c + d*x] - a*Sinh[c + d*x])^2)}
+{1/(a*Cosh[c + d*x] - a*Sinh[c + d*x])^3, x, 1, 1/(3*d*(a*Cosh[c + d*x] - a*Sinh[c + d*x])^3)}
+
+{Sqrt[a*Cosh[c + d*x] - a*Sinh[c + d*x]], x, 1, -((2*Sqrt[a*Cosh[c + d*x] - a*Sinh[c + d*x]])/d)}
+{1/Sqrt[a*Cosh[c + d*x] - a*Sinh[c + d*x]], x, 1, 2/(d*Sqrt[a*Cosh[c + d*x] - a*Sinh[c + d*x]])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sech[c+d x] + b Tanh[c+d x])^n*)
+
+
+{(a*Sech[x] + b*Tanh[x])^5, x, 8, (1/8)*a*(3*a^4 + 10*a^2*b^2 + 15*b^4)*ArcTan[Sinh[x]] + b^5*Log[Cosh[x]] - (1/8)*a*b^2*(3*a^2 + 7*b^2)*Sinh[x] - (1/4)*Sech[x]^4*(b - a*Sinh[x])*(a + b*Sinh[x])^4 - (1/8)*Sech[x]^2*(a + b*Sinh[x])^2*(2*b*(a^2 + 2*b^2) - a*(3*a^2 + 5*b^2)*Sinh[x])}
+{(a*Sech[x] + b*Tanh[x])^4, x, 4, b^4*x - (4/3)*a*b*(a^2 + 2*b^2)*Cosh[x] - (1/3)*b^2*(2*a^2 + 3*b^2)*Cosh[x]*Sinh[x] - (1/3)*Sech[x]^3*(b - a*Sinh[x])*(a + b*Sinh[x])^3 + (1/3)*Sech[x]*(a + b*Sinh[x])^2*(a*b + (2*a^2 + 3*b^2)*Sinh[x])}
+{(a*Sech[x] + b*Tanh[x])^3, x, 7, (1/2)*a*(a^2 + 3*b^2)*ArcTan[Sinh[x]] + b^3*Log[Cosh[x]] - (1/2)*a*b^2*Sinh[x] - (1/2)*Sech[x]^2*(b - a*Sinh[x])*(a + b*Sinh[x])^2}
+{(a*Sech[x] + b*Tanh[x])^2, x, 4, b^2*x - a*b*Cosh[x] - Sech[x]*(b - a*Sinh[x])*(a + b*Sinh[x])}
+{(a*Sech[x] + b*Tanh[x]), x, 3, a*ArcTan[Sinh[x]] + b*Log[Cosh[x]]}
+{1/(a*Sech[x] + b*Tanh[x]), x, 3, Log[a + b*Sinh[x]]/b}
+{1/(a*Sech[x] + b*Tanh[x])^2, x, 6, x/b^2 + (2*a*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^2*Sqrt[a^2 + b^2]) - Cosh[x]/(b*(a + b*Sinh[x]))}
+{1/(a*Sech[x] + b*Tanh[x])^3, x, 4, Log[a + b*Sinh[x]]/b^3 - (a^2 + b^2)/(2*b^3*(a + b*Sinh[x])^2) + (2*a)/(b^3*(a + b*Sinh[x]))}
+{1/(a*Sech[x] + b*Tanh[x])^4, x, 8, x/b^4 + (a*(2*a^2 + 3*b^2)*ArcTanh[(b - a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(b^4*(a^2 + b^2)^(3/2)) - Cosh[x]^3/(3*b*(a + b*Sinh[x])^3) + (a*Cosh[x]^3)/(2*b*(a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x])^2) - (Cosh[x]*(2*(a^2 + b^2) + a*b*Sinh[x]))/(2*b^3*(a^2 + b^2)*(a + b*Sinh[x]))}
+{1/(a*Sech[x] + b*Tanh[x])^5, x, 4, Log[a + b*Sinh[x]]/b^5 - (a^2 + b^2)^2/(4*b^5*(a + b*Sinh[x])^4) + (4*a*(a^2 + b^2))/(3*b^5*(a + b*Sinh[x])^3) - (3*a^2 + b^2)/(b^5*(a + b*Sinh[x])^2) + (4*a)/(b^5*(a + b*Sinh[x]))}
+
+
+{(Sech[x] + I*Tanh[x])^5, x, 4, I*Log[I + Sinh[x]] - (2*I)/(1 - I*Sinh[x])^2 + (4*I)/(1 - I*Sinh[x])}
+{(Sech[x] + I*Tanh[x])^4, x, 5, x - (2*I*Cosh[x]^3)/(3*(1 - I*Sinh[x])^3) + (2*I*Cosh[x])/(1 - I*Sinh[x])}
+{(Sech[x] + I*Tanh[x])^3, x, 4, (-I)*Log[I + Sinh[x]] - (2*I)/(1 - I*Sinh[x])}
+{(Sech[x] + I*Tanh[x])^2, x, 4, -x - (2*I*Cosh[x])/(1 - I*Sinh[x])}
+{(Sech[x] + I*Tanh[x]), x, 3, ArcTan[Sinh[x]] + I*Log[Cosh[x]]}
+{1/(Sech[x] + I*Tanh[x]), x, 3, (-I)*Log[I - Sinh[x]]}
+{1/(Sech[x] + I*Tanh[x])^2, x, 3, -x + (2*I*Cosh[x])/(1 + I*Sinh[x])}
+{1/(Sech[x] + I*Tanh[x])^3, x, 4, I*Log[I - Sinh[x]] + (2*I)/(1 + I*Sinh[x])}
+{1/(Sech[x] + I*Tanh[x])^4, x, 4, x + (2*I*Cosh[x]^3)/(3*(1 + I*Sinh[x])^3) - (2*I*Cosh[x])/(1 + I*Sinh[x])}
+{1/(Sech[x] + I*Tanh[x])^5, x, 4, (-I)*Log[I - Sinh[x]] + (2*I)/(1 + I*Sinh[x])^2 - (4*I)/(1 + I*Sinh[x])}
+
+
+{(Sech[x] - I*Tanh[x])^5, x, 4, (-I)*Log[I - Sinh[x]] + (2*I)/(1 + I*Sinh[x])^2 - (4*I)/(1 + I*Sinh[x])}
+{(Sech[x] - I*Tanh[x])^4, x, 5, x + (2*I*Cosh[x]^3)/(3*(1 + I*Sinh[x])^3) - (2*I*Cosh[x])/(1 + I*Sinh[x])}
+{(Sech[x] - I*Tanh[x])^3, x, 4, I*Log[I - Sinh[x]] + (2*I)/(1 + I*Sinh[x])}
+{(Sech[x] - I*Tanh[x])^2, x, 4, -x + (2*I*Cosh[x])/(1 + I*Sinh[x])}
+{(Sech[x] - I*Tanh[x]), x, 3, ArcTan[Sinh[x]] - I*Log[Cosh[x]]}
+{1/(Sech[x] - I*Tanh[x]), x, 3, I*Log[I + Sinh[x]]}
+{1/(Sech[x] - I*Tanh[x])^2, x, 3, -x - (2*I*Cosh[x])/(1 - I*Sinh[x])}
+{1/(Sech[x] - I*Tanh[x])^3, x, 4, (-I)*Log[I + Sinh[x]] - (2*I)/(1 - I*Sinh[x])}
+{1/(Sech[x] - I*Tanh[x])^4, x, 4, x - (2*I*Cosh[x]^3)/(3*(1 - I*Sinh[x])^3) + (2*I*Cosh[x])/(1 - I*Sinh[x])}
+{1/(Sech[x] - I*Tanh[x])^5, x, 4, I*Log[I + Sinh[x]] - (2*I)/(1 - I*Sinh[x])^2 + (4*I)/(1 - I*Sinh[x])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Coth[c+d x] + b Csch[c+d x])^n*)
+
+
+{(a*Coth[x] + b*Csch[x])^5, x, 8, (-(1/8))*b*(15*a^4 - 10*a^2*b^2 + 3*b^4)*ArcTanh[Cosh[x]] + (1/8)*a^2*b*(7*a^2 - 3*b^2)*Cosh[x] - (1/8)*(b + a*Cosh[x])^2*(2*a*(2*a^2 - b^2) + b*(5*a^2 - 3*b^2)*Cosh[x])*Csch[x]^2 - (1/4)*(b + a*Cosh[x])^4*(a + b*Cosh[x])*Csch[x]^4 + a^5*Log[Sinh[x]]}
+{(a*Coth[x] + b*Csch[x])^4, x, 4, a^4*x - (1/3)*(b + a*Cosh[x])^2*(a*b + (3*a^2 - 2*b^2)*Cosh[x])*Csch[x] - (1/3)*(b + a*Cosh[x])^3*(a + b*Cosh[x])*Csch[x]^3 + (4/3)*a*b*(2*a^2 - b^2)*Sinh[x] + (1/3)*a^2*(3*a^2 - 2*b^2)*Cosh[x]*Sinh[x]}
+{(a*Coth[x] + b*Csch[x])^3, x, 7, (-(1/2))*b*(3*a^2 - b^2)*ArcTanh[Cosh[x]] + (1/2)*a^2*b*Cosh[x] - (1/2)*(b + a*Cosh[x])^2*(a + b*Cosh[x])*Csch[x]^2 + a^3*Log[Sinh[x]]}
+{(a*Coth[x] + b*Csch[x])^2, x, 4, a^2*x - (b + a*Cosh[x])*(a + b*Cosh[x])*Csch[x] + a*b*Sinh[x]}
+{(a*Coth[x] + b*Csch[x])^1, x, 3, (-b)*ArcTanh[Cosh[x]] + a*Log[Sinh[x]]}
+{1/(a*Coth[x] + b*Csch[x])^1, x, 3, Log[b + a*Cosh[x]]/a}
+{1/(a*Coth[x] + b*Csch[x])^2, x, 5, x/a^2 - (2*b*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a^2*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]) - Sinh[x]/(a*(b + a*Cosh[x]))}
+{1/(a*Coth[x] + b*Csch[x])^3, x, 4, (a^2 - b^2)/(2*a^3*(b + a*Cosh[x])^2) + (2*b)/(a^3*(b + a*Cosh[x])) + Log[b + a*Cosh[x]]/a^3}
+{1/(a*Coth[x] + b*Csch[x])^4, x, 7, x/a^4 - (b*(3*a^2 - 2*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(3/2)*(a + b)^(3/2)) - ((2*(a^2 - b^2) - a*b*Cosh[x])*Sinh[x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)*(b + a*Cosh[x])) - Sinh[x]^3/(3*a*(b + a*Cosh[x])^3) - (b*Sinh[x]^3)/(2*a*(a^2 - b^2)*(b + a*Cosh[x])^2)}
+{1/(a*Coth[x] + b*Csch[x])^5, x, 4, -((a^2 - b^2)^2/(4*a^5*(b + a*Cosh[x])^4)) - (4*b*(a^2 - b^2))/(3*a^5*(b + a*Cosh[x])^3) + (a^2 - 3*b^2)/(a^5*(b + a*Cosh[x])^2) + (4*b)/(a^5*(b + a*Cosh[x])) + Log[b + a*Cosh[x]]/a^5}
+
+
+{(Coth[x] + Csch[x])^5, x, 4, -(2/(1 - Cosh[x])^2) + 4/(1 - Cosh[x]) + Log[1 - Cosh[x]]}
+{(Coth[x] + Csch[x])^4, x, 5, x + (2*Sinh[x])/(1 - Cosh[x]) + (2*Sinh[x]^3)/(3*(1 - Cosh[x])^3)}
+{(Coth[x] + Csch[x])^3, x, 4, 2/(1 - Cosh[x]) + Log[1 - Cosh[x]]}
+{(Coth[x] + Csch[x])^2, x, 4, x + (2*Sinh[x])/(1 - Cosh[x])}
+{(Coth[x] + Csch[x])^1, x, 3, -ArcTanh[Cosh[x]] + Log[Sinh[x]]}
+{1/(Coth[x] + Csch[x])^1, x, 3, Log[1 + Cosh[x]]}
+{1/(Coth[x] + Csch[x])^2, x, 3, x - (2*Sinh[x])/(1 + Cosh[x])}
+{1/(Coth[x] + Csch[x])^3, x, 4, 2/(1 + Cosh[x]) + Log[1 + Cosh[x]]}
+{1/(Coth[x] + Csch[x])^4, x, 4, x - (2*Sinh[x])/(1 + Cosh[x]) - (2*Sinh[x]^3)/(3*(1 + Cosh[x])^3)}
+{1/(Coth[x] + Csch[x])^5, x, 4, -(2/(1 + Cosh[x])^2) + 4/(1 + Cosh[x]) + Log[1 + Cosh[x]]}
+
+
+{(-Coth[x] + Csch[x])^5, x, 4, 2/(1 + Cosh[x])^2 - 4/(1 + Cosh[x]) - Log[1 + Cosh[x]]}
+{(-Coth[x] + Csch[x])^4, x, 5, x - (2*Sinh[x])/(1 + Cosh[x]) - (2*Sinh[x]^3)/(3*(1 + Cosh[x])^3)}
+{(-Coth[x] + Csch[x])^3, x, 4, -(2/(1 + Cosh[x])) - Log[1 + Cosh[x]]}
+{(-Coth[x] + Csch[x])^2, x, 4, x - (2*Sinh[x])/(1 + Cosh[x])}
+{(-Coth[x] + Csch[x])^1, x, 3, -ArcTanh[Cosh[x]] - Log[Sinh[x]]}
+{1/(-Coth[x] + Csch[x])^1, x, 3, -Log[1 - Cosh[x]]}
+{1/(-Coth[x] + Csch[x])^2, x, 3, x + (2*Sinh[x])/(1 - Cosh[x])}
+{1/(-Coth[x] + Csch[x])^3, x, 4, -(2/(1 - Cosh[x])) - Log[1 - Cosh[x]]}
+{1/(-Coth[x] + Csch[x])^4, x, 4, x + (2*Sinh[x])/(1 - Cosh[x]) + (2*Sinh[x]^3)/(3*(1 - Cosh[x])^3)}
+{1/(-Coth[x] + Csch[x])^5, x, 4, 2/(1 - Cosh[x])^2 - 4/(1 - Cosh[x]) - Log[1 - Cosh[x]]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Csch[c+d x] + b Sinh[c+d x])^n*)
+
+
+(* Note that Csch[x]+Sinh[x] == Cosh[x]*Coth[x] *)
+{(Csch[x] + Sinh[x]), x, 3, -ArcTanh[Cosh[x]] + Cosh[x]}
+{(Csch[x] + Sinh[x])^2, x, 4, (3*x)/2 - (3*Coth[x])/2 + (1/2)*Cosh[x]^2*Coth[x]}
+{(Csch[x] + Sinh[x])^3, x, 6, (-(5/2))*ArcTanh[Cosh[x]] + (5*Cosh[x])/2 + (5*Cosh[x]^3)/6 - (1/2)*Cosh[x]^3*Coth[x]^2}
+
+{(Csch[x] + Sinh[x])^(1/2), x, 4, 2*Sqrt[Cosh[x]*Coth[x]]*Tanh[x]}
+{(Csch[x] + Sinh[x])^(3/2), x, 5, (2/3)*Cosh[x]*Sqrt[Cosh[x]*Coth[x]] - (8/3)*Sqrt[Cosh[x]*Coth[x]]*Sech[x]}
+{(Csch[x] + Sinh[x])^(5/2), x, 6, (-(16/15))*Coth[x]*Sqrt[Cosh[x]*Coth[x]] + (2/5)*Cosh[x]^2*Coth[x]*Sqrt[Cosh[x]*Coth[x]] + (64/15)*Sqrt[Cosh[x]*Coth[x]]*Tanh[x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sech[c+d x] + b Cosh[c+d x])^n*)
+
+
+(* Note that Sech[x]-Cosh[x] == -Sinh[x]*Tanh[x] *)
+{(Sech[x] - Cosh[x]), x, 3, ArcTan[Sinh[x]] - Sinh[x]}
+{(Sech[x] - Cosh[x])^2, x, 4, -((3*x)/2) + (3*Tanh[x])/2 + (1/2)*Sinh[x]^2*Tanh[x]}
+{(Sech[x] - Cosh[x])^3, x, 6, (-(5/2))*ArcTan[Sinh[x]] + (5*Sinh[x])/2 - (5*Sinh[x]^3)/6 + (1/2)*Sinh[x]^3*Tanh[x]^2}
+
+{(Sech[x] - Cosh[x])^(1/2), x, 3, 2*Coth[x]*Sqrt[(-Sinh[x])*Tanh[x]]}
+{(Sech[x] - Cosh[x])^(3/2), x, 4, (-(8/3))*Csch[x]*Sqrt[(-Sinh[x])*Tanh[x]] - (2/3)*Sinh[x]*Sqrt[(-Sinh[x])*Tanh[x]]}
+{(Sech[x] - Cosh[x])^(5/2), x, 5, (-(64/15))*Coth[x]*Sqrt[(-Sinh[x])*Tanh[x]] + (16/15)*Tanh[x]*Sqrt[(-Sinh[x])*Tanh[x]] + (2/5)*Sinh[x]^2*Tanh[x]*Sqrt[(-Sinh[x])*Tanh[x]]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a Sinh[c+d x] + b Tanh[c+d x])^n*)
+
+
+{1/(Sinh[x] + Tanh[x]), x, 6, (-(1/2))*ArcTanh[Cosh[x]] - 1/(2*(1 + Cosh[x])), (-(1/2))*ArcTanh[Cosh[x]] - (1/2)*Coth[x]*Csch[x] + Csch[x]^2/2}
+{1/(Sinh[x] - Tanh[x]), x, 6, (-(1/2))*ArcTanh[Cosh[x]] + 1/(2*(1 - Cosh[x])), (-(1/2))*ArcTanh[Cosh[x]] - (1/2)*Coth[x]*Csch[x] - Csch[x]^2/2}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[x]^m / (a Hyper[x] + b Hyper[x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[x]^m / (a Cosh[x] + b Sinh[x])*)
+
+
+{Sinh[x]/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 2, -((b*x)/(a^2 - b^2)) + (a*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)}
+{Sinh[x]^2/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 4, -((a^2*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(3/2)) - (b*Cosh[x])/(a^2 - b^2) + (a*Sinh[x])/(a^2 - b^2)}
+{Sinh[x]^3/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 5, (a^2*b*x)/(a^2 - b^2)^2 + (b*x)/(2*(a^2 - b^2)) - (a^3*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^2 - (b*Cosh[x]*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2)) + (a*Sinh[x]^2)/(2*(a^2 - b^2))}
+
+
+{Cosh[x]/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 2, (a*x)/(a^2 - b^2) - (b*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)}
+{Cosh[x]^2/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 4, -((b^2*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(3/2)) - (b*Cosh[x])/(a^2 - b^2) + (a*Sinh[x])/(a^2 - b^2)}
+{Cosh[x]^3/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 5, -((a*b^2*x)/(a^2 - b^2)^2) + (a*x)/(2*(a^2 - b^2)) - (b*Cosh[x]^2)/(2*(a^2 - b^2)) + (b^3*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^2 + (a*Cosh[x]*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2))}
+
+
+{Tanh[x]/(a*Sinh[x] + b*Cosh[x]), x, 5, ArcTan[Sinh[x]]/a + (b*ArcTanh[(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*Sqrt[a^2 - b^2])}
+
+
+{Coth[x]/(a*Sinh[x] + b*Cosh[x]), x, 5, -(ArcTanh[Cosh[x]]/b) + (a*ArcTanh[(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b*Sqrt[a^2 - b^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[x]^m / (a Sech[x] + b Tanh[x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[x]^m / (a Csch[x] + b Coth[x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[x]^m / (a Hyper[x] + b Hyper[x])^2*)
+
+
+{Sinh[x]/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2, x, 3, -((b*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(3/2)) - a/((a^2 - b^2)*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]))}
+{Sinh[x]^2/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2, x, 4, ((a^2 + b^2)*x)/(a^2 - b^2)^2 - a/((a^2 - b^2)*(b + a*Coth[x])) - (2*a*b*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^2}
+{Sinh[x]^3/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2, x, 16, (3*a^2*b*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2) + ((2*a^2 + b^2)*Cosh[x])/((-a^2)*b^2 + b^4) + (a*(a^2 + 2*b^2)*Sinh[x])/(b^3*(a^2 - b^2)) - a^3/(b^3*(a + b)^2*(1 - Tanh[x/2])) + a^3/((a - b)^2*b^3*(1 + Tanh[x/2])) + (2*a^2*(a + b*Tanh[x/2]))/((a^2 - b^2)^2*(a + 2*b*Tanh[x/2] + a*Tanh[x/2]^2)), -((3*a^2*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b*(a^2 - b^2)^(3/2))) + (2*a^2*b*ArcTan[(b + a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2) + (2*a^2*(3*a^2 - b^2)*ArcTan[(b + a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(b*(a^2 - b^2)^(5/2)) + Cosh[x]/b^2 - (3*a^2*Cosh[x])/(b^2*(a^2 - b^2)) - (2*a*Sinh[x])/b^3 + (3*a^3*Sinh[x])/(b^3*(a^2 - b^2)) - a^3/(b^3*(a + b)^2*(1 - Tanh[x/2])) + a^3/((a - b)^2*b^3*(1 + Tanh[x/2])) + (2*a^2*(a + b*Tanh[x/2]))/((a^2 - b^2)^2*(a + 2*b*Tanh[x/2] + a*Tanh[x/2]^2))}
+
+
+{Cosh[x]/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2, x, 3, (a*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(3/2) + b/((a^2 - b^2)*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]))}
+{Cosh[x]^2/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2, x, 4, ((a^2 + b^2)*x)/(a^2 - b^2)^2 - (2*a*b*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^2 + b/((a^2 - b^2)*(a + b*Tanh[x]))}
+{Cosh[x]^3/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2, x, 8, -((3*a*b^2*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2)) + 1/((a + b)^2*(1 - Tanh[x/2])) - 1/((a - b)^2*(1 + Tanh[x/2])) - (2*b^3*(a + b*Tanh[x/2]))/(a*(a^2 - b^2)^2*(a + 2*b*Tanh[x/2] + a*Tanh[x/2]^2)), -((2*b^4*ArcTan[(b + a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*(a^2 - b^2)^(5/2))) - (2*b^2*(3*a^2 - b^2)*ArcTan[(b + a*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a*(a^2 - b^2)^(5/2)) + 1/((a + b)^2*(1 - Tanh[x/2])) - 1/((a - b)^2*(1 + Tanh[x/2])) - (2*b^3*(a + b*Tanh[x/2]))/(a*(a^2 - b^2)^2*(a + 2*b*Tanh[x/2] + a*Tanh[x/2]^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[x]^m / (a Hyper[x] + b Hyper[x])^3*)
+
+
+{Sinh[x]/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^3, x, 2, Tanh[x]^2/(2*a*(a + b*Tanh[x])^2)}
+(* {Sinh[x]^2/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^3, x, 0, -(((a^2 - 2*b^2)*ArcTanh[(-b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2)) + (a*(3*a*b*Cosh[x] + (a^2 + 4*b^2)*Sinh[x]))/(2*(a^2 + b^2)^2*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2)} *)
+{Sinh[x]^3/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^3, x, 5, -((b*(3*a^2 + b^2)*x)/(a^2 - b^2)^3) - a/(2*(a^2 - b^2)*(b + a*Coth[x])^2) + (2*a*b)/((a^2 - b^2)^2*(b + a*Coth[x])) + (a*(a^2 + 3*b^2)*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^3}
+
+
+{Cosh[x]/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^3, x, 2, -(Coth[x]^2/(2*b*(b + a*Coth[x])^2))}
+(* {Cosh[x]^2/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^3, x, 0, ((2*a^2 - b^2)*ArcTanh[(-b + a*Tan[x/2])/Sqrt[a^2 + b^2]])/(a^2 + b^2)^(5/2) - (b*((4*a^2 + b^2)*Cosh[x] + 3*a*b*Sinh[x]))/(2*(a^2 + b^2)^2*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2)} *)
+{Cosh[x]^3/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^3, x, 5, (a*(a^2 + 3*b^2)*x)/(a^2 - b^2)^3 - (b*(3*a^2 + b^2)*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^3 + b/(2*(a^2 - b^2)*(a + b*Tanh[x])^2) + (2*a*b)/((a^2 - b^2)^2*(a + b*Tanh[x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[x]^m Hyper[x]^n (a Hyper[x] + b Hyper[x])^p*)
+
+
+{Cosh[x]*Sinh[x]/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 5, (a*b*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(3/2) + (a*Cosh[x])/(a^2 - b^2) - (b*Sinh[x])/(a^2 - b^2)}
+{Cosh[x]*Sinh[x]^2/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 7, -((a*b^2*x)/(a^2 - b^2)^2) - (a*x)/(2*(a^2 - b^2)) + (a^2*b*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^2 + (a*Cosh[x]*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2)) - (b*Sinh[x]^2)/(2*(a^2 - b^2))}
+{Cosh[x]*Sinh[x]^3/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 9, -((a^3*b*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2)) - (a*b^2*Cosh[x])/(a^2 - b^2)^2 - (a*Cosh[x])/(a^2 - b^2) + (a*Cosh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)) + (a^2*b*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^2 - (b*Sinh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2))}
+
+{Cosh[x]^2*Sinh[x]/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 7, (a^2*b*x)/(a^2 - b^2)^2 - (b*x)/(2*(a^2 - b^2)) - (a*b^2*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^2 - (b*Cosh[x]*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2)) + (a*Sinh[x]^2)/(2*(a^2 - b^2))}
+{Cosh[x]^2*Sinh[x]^2/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 10, (a^2*b^2*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2) + (a^2*b*Cosh[x])/(a^2 - b^2)^2 - (b*Cosh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)) - (a*b^2*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^2 + (a*Sinh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2))}
+{Cosh[x]^2*Sinh[x]^3/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 13, -((a^2*b^3*x)/(a^2 - b^2)^3) - (a^2*b*x)/(2*(a^2 - b^2)^2) + (b*x)/(8*(a^2 - b^2)) + (a^3*b^2*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^3 + (a^2*b*Cosh[x]*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2)^2) + (b*Cosh[x]*Sinh[x])/(8*(a^2 - b^2)) - (b*Cosh[x]^3*Sinh[x])/(4*(a^2 - b^2)) - (a*b^2*Sinh[x]^2)/(2*(a^2 - b^2)^2) + (a*Sinh[x]^4)/(4*(a^2 - b^2))}
+
+{Cosh[x]^3*Sinh[x]/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 9, -((a*b^3*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2)) - (a*b^2*Cosh[x])/(a^2 - b^2)^2 + (a*Cosh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)) + (a^2*b*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^2 - (b*Sinh[x])/(a^2 - b^2) - (b*Sinh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2))}
+{Cosh[x]^3*Sinh[x]^2/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 13, (a^3*b^2*x)/(a^2 - b^2)^3 - (a*b^2*x)/(2*(a^2 - b^2)^2) - (a*x)/(8*(a^2 - b^2)) - (b*Cosh[x]^4)/(4*(a^2 - b^2)) - (a^2*b^3*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^3 - (a*b^2*Cosh[x]*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2)^2) - (a*Cosh[x]*Sinh[x])/(8*(a^2 - b^2)) + (a*Cosh[x]^3*Sinh[x])/(4*(a^2 - b^2)) + (a^2*b*Sinh[x]^2)/(2*(a^2 - b^2)^2)}
+{Cosh[x]^3*Sinh[x]^3/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 17, (a^3*b^3*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(7/2) + (a^3*b^2*Cosh[x])/(a^2 - b^2)^3 - (a*b^2*Cosh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)^2) - (a*Cosh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)) + (a*Cosh[x]^5)/(5*(a^2 - b^2)) - (a^2*b^3*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^3 + (a^2*b*Sinh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)^2) - (b*Sinh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)) - (b*Sinh[x]^5)/(5*(a^2 - b^2))}
+
+
+{Cosh[x]*Sinh[x]/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2, x, 6, -((2*a*b*x)/(a^2 - b^2)^2) + (a^2*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^2 + (b^2*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^2 + (b*Sinh[x])/((a^2 - b^2)*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]))}
+{Cosh[x]*Sinh[x]^2/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2, x, 13, -((a^3*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2)) - (2*a*b^2*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2) - (2*a*b*Cosh[x])/(a^2 - b^2)^2 + (a^2*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^2 + (b^2*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^2 - (a^2*b)/((a^2 - b^2)^2*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]))}
+{Cosh[x]*Sinh[x]^3/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2, x, 17, (a^3*b*x)/(a^2 - b^2)^3 + (a*b^3*x)/(a^2 - b^2)^3 + (a*b*x)/(a^2 - b^2)^2 + (a*b*(a^2 + b^2)*x)/(a^2 - b^2)^3 - (a^2*b)/((a^2 - b^2)^2*(b + a*Coth[x])) - (a^4*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^3 - (3*a^2*b^2*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^3 - (a*b*Cosh[x]*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^2 + (a^2*Sinh[x]^2)/(2*(a^2 - b^2)^2) + (b^2*Sinh[x]^2)/(2*(a^2 - b^2)^2)}
+
+{Cosh[x]^2*Sinh[x]/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2, x, 13, (2*a^2*b*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2) + (b^3*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2) + (a^2*Cosh[x])/(a^2 - b^2)^2 + (b^2*Cosh[x])/(a^2 - b^2)^2 - (2*a*b*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^2 + (a*b^2)/((a^2 - b^2)^2*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]))}
+{Cosh[x]^2*Sinh[x]^2/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2, x, 21, -((4*a^2*b^2*x)/(a^2 - b^2)^3) - (a^2*x)/(2*(a^2 - b^2)^2) + (b^2*x)/(2*(a^2 - b^2)^2) + (2*a^3*b*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^3 + (2*a*b^3*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^3 + (a^2*Cosh[x]*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2)^2) + (b^2*Cosh[x]*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2)^2) - (a*b*Sinh[x]^2)/(a^2 - b^2)^2 + (a*b^2*Sinh[x])/((a^2 - b^2)^2*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]))}
+{Cosh[x]^2*Sinh[x]^3/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2, x, 33, -((2*a^4*b*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(7/2)) - (3*a^2*b^3*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(7/2) - (4*a^2*b^2*Cosh[x])/(a^2 - b^2)^3 - (a^2*Cosh[x])/(a^2 - b^2)^2 + (a^2*Cosh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)^2) + (b^2*Cosh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)^2) + (2*a^3*b*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^3 + (2*a*b^3*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^3 - (2*a*b*Sinh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)^2) - (a^3*b^2)/((a^2 - b^2)^3*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]))}
+
+{Cosh[x]^3*Sinh[x]/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2, x, 17, (a^3*b*x)/(a^2 - b^2)^3 + (a*b^3*x)/(a^2 - b^2)^3 - (a*b*x)/(a^2 - b^2)^2 + (a*b*(a^2 + b^2)*x)/(a^2 - b^2)^3 + (b^2*Cosh[x]^2)/(2*(a^2 - b^2)^2) - (3*a^2*b^2*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^3 - (b^4*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^3 - (a*b*Cosh[x]*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^2 + (a^2*Sinh[x]^2)/(2*(a^2 - b^2)^2) + (a*b^2)/((a^2 - b^2)^2*(a + b*Tanh[x]))}
+{Cosh[x]^3*Sinh[x]^2/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2, x, 33, (3*a^3*b^2*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(7/2) + (2*a*b^4*ArcTan[(b*Cosh[x] + a*Sinh[x])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(7/2) + (2*a^3*b*Cosh[x])/(a^2 - b^2)^3 + (2*a*b^3*Cosh[x])/(a^2 - b^2)^3 - (2*a*b*Cosh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)^2) - (4*a^2*b^2*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^3 + (b^2*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^2 + (a^2*Sinh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)^2) + (b^2*Sinh[x]^3)/(3*(a^2 - b^2)^2) + (a^2*b^3)/((a^2 - b^2)^3*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]))}
+{Cosh[x]^3*Sinh[x]^3/(a*Cosh[x] + b*Sinh[x])^2, x, 48, -((6*a^3*b^3*x)/(a^2 - b^2)^4) - (a^3*b*x)/(a^2 - b^2)^3 + (a*b^3*x)/(a^2 - b^2)^3 + (a*b*x)/(4*(a^2 - b^2)^2) + (b^2*Cosh[x]^4)/(4*(a^2 - b^2)^2) + (3*a^4*b^2*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^4 + (3*a^2*b^4*Log[a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)^4 + (a^3*b*Cosh[x]*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^3 + (a*b^3*Cosh[x]*Sinh[x])/(a^2 - b^2)^3 + (a*b*Cosh[x]*Sinh[x])/(4*(a^2 - b^2)^2) - (a*b*Cosh[x]^3*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2)^2) - (2*a^2*b^2*Sinh[x]^2)/(a^2 - b^2)^3 + (a^2*Sinh[x]^4)/(4*(a^2 - b^2)^2) + (a^2*b^3*Sinh[x])/((a^2 - b^2)^3*(a*Cosh[x] + b*Sinh[x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A + B Hyper[x]) / (a Hyper[x] + b Hyper[x])*)
+
+
+{(A + C*Sinh[x])/(b*Cosh[x] + c*Sinh[x]), x, 3, -((c*C*x)/(b^2 - c^2)) + (A*ArcTan[(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[b^2 - c^2]])/Sqrt[b^2 - c^2] + (b*C*Log[b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])/(b^2 - c^2)}
+{(A + C*Sinh[x])/(b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2, x, 3, -((c*C*ArcTan[(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[b^2 - c^2]])/(b^2 - c^2)^(3/2)) - (b*C - A*c*Cosh[x] - A*b*Sinh[x])/((b^2 - c^2)*(b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+{(A + C*Sinh[x])/(b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3, x, 4, (A*ArcTan[(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[b^2 - c^2]])/(2*(b^2 - c^2)^(3/2)) - (b*C - A*c*Cosh[x] - A*b*Sinh[x])/(2*(b^2 - c^2)*(b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) - (c^2*C*Cosh[x] + b*c*C*Sinh[x])/((b^2 - c^2)^2*(b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+
+
+{(A + B*Cosh[x])/(b*Cosh[x] + c*Sinh[x]), x, 3, (b*B*x)/(b^2 - c^2) + (A*ArcTan[(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[b^2 - c^2]])/Sqrt[b^2 - c^2] - (B*c*Log[b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])/(b^2 - c^2)}
+{(A + B*Cosh[x])/(b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2, x, 3, (b*B*ArcTan[(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[b^2 - c^2]])/(b^2 - c^2)^(3/2) + (B*c + A*c*Cosh[x] + A*b*Sinh[x])/((b^2 - c^2)*(b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+{(A + B*Cosh[x])/(b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3, x, 4, (A*ArcTan[(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[b^2 - c^2]])/(2*(b^2 - c^2)^(3/2)) + (B*c + A*c*Cosh[x] + A*b*Sinh[x])/(2*(b^2 - c^2)*(b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) + (b*B*c*Cosh[x] + b^2*B*Sinh[x])/((b^2 - c^2)^2*(b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A + B Hyper[x]+C Hyper[x]) / (a Hyper[x]+b Hyper[x])*)
+
+
+{(Cosh[x] + Sinh[x])/(Cosh[x] - Sinh[x]), x, 1, (1/2)*(Cosh[x] + Sinh[x])^2}
+{(Cosh[x] - Sinh[x])/(Cosh[x] + Sinh[x]), x, 1, -(1/(2*(Cosh[x] + Sinh[x])^2))}
+{(Cosh[x] - I*Sinh[x])/(Cosh[x] + I*Sinh[x]), x, 1, (-I)*Log[Cosh[x] + I*Sinh[x]]}
+
+
+{(B*Cosh[x] + C*Sinh[x])/(b*Cosh[x] + c*Sinh[x]), x, 1, ((b*B - c*C)*x)/(b^2 - c^2) - ((B*c - b*C)*Log[b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])/(b^2 - c^2)}
+{(B*Cosh[x] + C*Sinh[x])/(b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2, x, 3, ((b*B - c*C)*ArcTan[(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[b^2 - c^2]])/(b^2 - c^2)^(3/2) + (B*c - b*C)/((b^2 - c^2)*(b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+{(B*Cosh[x] + C*Sinh[x])/(b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3, x, 3, (B*c - b*C)/(2*(b^2 - c^2)*(b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) + ((b*B - c*C)*Sinh[x])/(b*(b^2 - c^2)*(b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+
+
+{(A + B*Cosh[x] + C*Sinh[x])/(b*Cosh[x] + c*Sinh[x]), x, 3, ((b*B - c*C)*x)/(b^2 - c^2) + (A*ArcTan[(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[b^2 - c^2]])/Sqrt[b^2 - c^2] - ((B*c - b*C)*Log[b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])/(b^2 - c^2)}
+{(A + B*Cosh[x] + C*Sinh[x])/(b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2, x, 3, ((b*B - c*C)*ArcTan[(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[b^2 - c^2]])/(b^2 - c^2)^(3/2) + (B*c - b*C + A*c*Cosh[x] + A*b*Sinh[x])/((b^2 - c^2)*(b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+{(A + B*Cosh[x] + C*Sinh[x])/(b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3, x, 4, (A*ArcTan[(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/Sqrt[b^2 - c^2]])/(2*(b^2 - c^2)^(3/2)) + (B*c - b*C + A*c*Cosh[x] + A*b*Sinh[x])/(2*(b^2 - c^2)*(b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) + (c*(b*B - c*C)*Cosh[x] + b*(b*B - c*C)*Sinh[x])/((b^2 - c^2)^2*(b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a + b Hyper[d+e x] + c Hyper[d+e x])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a + b Cosh[d+e x] + c Sinh[d+e x])^n*)
+
+
+{(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3, x, 5, (1/2)*a*(2*a^2 + 3*b^2 - 3*c^2)*x + (1/6)*c*(11*a^2 + 4*b^2 - 4*c^2)*Cosh[x] + (1/6)*b*(11*a^2 + 4*b^2 - 4*c^2)*Sinh[x] + (5/6)*(a*c*Cosh[x] + a*b*Sinh[x])*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]) + (1/3)*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2}
+{(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2, x, 4, (1/2)*(2*a^2 + b^2 - c^2)*x + (3/2)*a*c*Cosh[x] + (3/2)*a*b*Sinh[x] + (1/2)*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])}
+{(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]), x, 3, a*x + c*Cosh[x] + b*Sinh[x]}
+{1/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]), x, 3, -((2*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2])}
+{1/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2, x, 5, -((2*a*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/(a^2 - b^2 + c^2)^(3/2)) - (c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/((a^2 - b^2 + c^2)*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+{1/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3, x, 5, -(((2*a^2 + b^2 - c^2)*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/(a^2 - b^2 + c^2)^(5/2)) - (c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2 + c^2)*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) - (3*(a*c*Cosh[x] + a*b*Sinh[x]))/(2*(a^2 - b^2 + c^2)^2*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+{1/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^4, x, 6, -((a*(2*a^2 + 3*b^2 - 3*c^2)*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/(a^2 - b^2 + c^2)^(7/2)) - (c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/(3*(a^2 - b^2 + c^2)*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3) - (5*(a*c*Cosh[x] + a*b*Sinh[x]))/(6*(a^2 - b^2 + c^2)^2*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) - (c*(11*a^2 + 4*b^2 - 4*c^2)*Cosh[x] + b*(11*a^2 + 4*b^2 - 4*c^2)*Sinh[x])/(6*(a^2 - b^2 + c^2)^3*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+
+{(a + a*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3, x, 5, (1/2)*a*(5*a^2 - 3*c^2)*x + (1/6)*c*(15*a^2 - 4*c^2)*Cosh[x] + (1/6)*a*(15*a^2 - 4*c^2)*Sinh[x] + (5/6)*(a*c*Cosh[x] + a^2*Sinh[x])*(a + a*Cosh[x] + c*Sinh[x]) + (1/3)*(c*Cosh[x] + a*Sinh[x])*(a + a*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2}
+{(a + a*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2, x, 4, (1/2)*(3*a^2 - c^2)*x + (3/2)*a*c*Cosh[x] + (3/2)*a^2*Sinh[x] + (1/2)*(c*Cosh[x] + a*Sinh[x])*(a + a*Cosh[x] + c*Sinh[x])}
+{(a + a*Cosh[x] + c*Sinh[x]), x, 3, a*x + c*Cosh[x] + a*Sinh[x]}
+{1/(a + a*Cosh[x] + c*Sinh[x]), x, 2, Log[a + c*Tanh[x/2]]/c}
+{1/(a + a*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2, x, 4, (a*Log[a + c*Tanh[x/2]])/c^3 - (c*Cosh[x] + a*Sinh[x])/(c^2*(a + a*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+{1/(a + a*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3, x, 4, ((3*a^2 - c^2)*Log[a + c*Tanh[x/2]])/(2*c^5) - (c*Cosh[x] + a*Sinh[x])/(2*c^2*(a + a*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) - (3*(a*c*Cosh[x] + a^2*Sinh[x]))/(2*c^4*(a + a*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+{1/(a + a*Cosh[x] + c*Sinh[x])^4, x, 5, (a*(5*a^2 - 3*c^2)*Log[a + c*Tanh[x/2]])/(2*c^7) - (c*Cosh[x] + a*Sinh[x])/(3*c^2*(a + a*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3) - (5*(a*c*Cosh[x] + a^2*Sinh[x]))/(6*c^4*(a + a*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) - (c*(15*a^2 - 4*c^2)*Cosh[x] + a*(15*a^2 - 4*c^2)*Sinh[x])/(6*c^6*(a + a*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+
+{(Sqrt[b^2 - c^2]+b*Cosh[x]+c*Sinh[x])^4, x, 6, (35/8)*(b^2 - c^2)^2*x + (35/8)*c*(b^2 - c^2)^(3/2)*Cosh[x] + (35/8)*b*(b^2 - c^2)^(3/2)*Sinh[x] + (35/24)*(b^2 - c^2)*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])*(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]) + (7/12)*Sqrt[b^2 - c^2]*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])*(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2 + (1/4)*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])*(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3}
+{(Sqrt[b^2 - c^2]+b*Cosh[x]+c*Sinh[x])^3, x, 5, (5/2)*(b^2 - c^2)^(3/2)*x + (5/2)*c*(b^2 - c^2)*Cosh[x] + (5/2)*b*(b^2 - c^2)*Sinh[x] + (5/6)*Sqrt[b^2 - c^2]*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])*(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]) + (1/3)*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])*(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2}
+{(Sqrt[b^2 - c^2]+b*Cosh[x]+c*Sinh[x])^2, x, 4, (3/2)*(b^2 - c^2)*x + (3/2)*c*Sqrt[b^2 - c^2]*Cosh[x] + (3/2)*b*Sqrt[b^2 - c^2]*Sinh[x] + (1/2)*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])*(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])}
+{(Sqrt[b^2 - c^2]+b*Cosh[x]+c*Sinh[x]), x, 3, Sqrt[b^2 - c^2]*x + c*Cosh[x] + b*Sinh[x]}
+{1/(Sqrt[b^2 - c^2]+b*Cosh[x]+c*Sinh[x]), x, 1, -((c + Sqrt[b^2 - c^2]*Sinh[x])/(c*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])))}
+{1/(Sqrt[b^2 - c^2]+b*Cosh[x]+c*Sinh[x])^2, x, 2, (c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/(3*Sqrt[b^2 - c^2]*(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) - (c + Sqrt[b^2 - c^2]*Sinh[x])/(3*c*Sqrt[b^2 - c^2]*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x]))}
+{1/(Sqrt[b^2 - c^2]+b*Cosh[x]+c*Sinh[x])^3, x, 3, (c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/(5*Sqrt[b^2 - c^2]*(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3) + (2*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x]))/(15*(b^2 - c^2)*(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) - (2*(c + Sqrt[b^2 - c^2]*Sinh[x]))/(15*c*(b^2 - c^2)*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x]))}
+{1/(Sqrt[b^2 - c^2]+b*Cosh[x]+c*Sinh[x])^4, x, 4, (c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/(7*Sqrt[b^2 - c^2]*(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^4) + (3*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x]))/(35*(b^2 - c^2)*(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3) + (2*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x]))/(35*(b^2 - c^2)^(3/2)*(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) - (2*(c + Sqrt[b^2 - c^2]*Sinh[x]))/(35*c*(b^2 - c^2)^(3/2)*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x]))}
+
+
+{(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(5/2), x, 7, (16/15)*(a*c*Cosh[x] + a*b*Sinh[x])*Sqrt[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]] + (2/5)*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(3/2) - (2*I*(23*a^2 + 9*b^2 - 9*c^2)*EllipticE[(1/2)*(I*x - ArcTan[b, (-I)*c]), (2*Sqrt[b^2 - c^2])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])]*Sqrt[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])/(15*Sqrt[(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])]) + (16*I*a*(a^2 - b^2 + c^2)*EllipticF[(1/2)*(I*x - ArcTan[b, (-I)*c]), (2*Sqrt[b^2 - c^2])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])]*Sqrt[(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])])/(15*Sqrt[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])}
+{(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(3/2), x, 6, (2/3)*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])*Sqrt[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]] - (8*I*a*EllipticE[(1/2)*(I*x - ArcTan[b, (-I)*c]), (2*Sqrt[b^2 - c^2])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])]*Sqrt[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])/(3*Sqrt[(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])]) + (2*I*(a^2 - b^2 + c^2)*EllipticF[(1/2)*(I*x - ArcTan[b, (-I)*c]), (2*Sqrt[b^2 - c^2])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])]*Sqrt[(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])])/(3*Sqrt[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])}
+{(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(1/2), x, 2, -((2*I*EllipticE[(1/2)*(I*x - ArcTan[b, (-I)*c]), (2*Sqrt[b^2 - c^2])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])]*Sqrt[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])/Sqrt[(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])])}
+{1/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(1/2), x, 2, -((2*I*EllipticF[(1/2)*(I*x - ArcTan[b, (-I)*c]), (2*Sqrt[b^2 - c^2])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])]*Sqrt[(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])])/Sqrt[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])}
+{1/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(3/2), x, 3, -((2*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x]))/((a^2 - b^2 + c^2)*Sqrt[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])) - (2*I*EllipticE[(1/2)*(I*x - ArcTan[b, (-I)*c]), (2*Sqrt[b^2 - c^2])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])]*Sqrt[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])/((a^2 - b^2 + c^2)*Sqrt[(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])])}
+{1/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(5/2), x, 7, -((2*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x]))/(3*(a^2 - b^2 + c^2)*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(3/2))) - (8*(a*c*Cosh[x] + a*b*Sinh[x]))/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*Sqrt[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]]) - (8*I*a*EllipticE[(1/2)*(I*x - ArcTan[b, (-I)*c]), (2*Sqrt[b^2 - c^2])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])]*Sqrt[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*Sqrt[(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])]) + (2*I*EllipticF[(1/2)*(I*x - ArcTan[b, (-I)*c]), (2*Sqrt[b^2 - c^2])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])]*Sqrt[(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])])/(3*(a^2 - b^2 + c^2)*Sqrt[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])}
+{1/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(7/2), x, 8, -((2*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x]))/(5*(a^2 - b^2 + c^2)*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(5/2))) - (16*(a*c*Cosh[x] + a*b*Sinh[x]))/(15*(a^2 - b^2 + c^2)^2*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(3/2)) - (2*I*(23*a^2 + 9*b^2 - 9*c^2)*EllipticE[(1/2)*(I*x - ArcTan[b, (-I)*c]), (2*Sqrt[b^2 - c^2])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])]*Sqrt[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])/(15*(a^2 - b^2 + c^2)^3*Sqrt[(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])]) + (16*I*a*EllipticF[(1/2)*(I*x - ArcTan[b, (-I)*c]), (2*Sqrt[b^2 - c^2])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])]*Sqrt[(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])/(a + Sqrt[b^2 - c^2])])/(15*(a^2 - b^2 + c^2)^2*Sqrt[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]]) - (2*(c*(23*a^2 + 9*b^2 - 9*c^2)*Cosh[x] + b*(23*a^2 + 9*b^2 - 9*c^2)*Sinh[x]))/(15*(a^2 - b^2 + c^2)^3*Sqrt[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])}
+
+
+{(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(5/2), x, 3, (64*(b^2 - c^2)*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x]))/(15*Sqrt[Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]]) + (16/15)*Sqrt[b^2 - c^2]*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])*Sqrt[Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]] + (2/5)*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])*(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(3/2)}
+{(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(3/2), x, 2, (8*Sqrt[b^2 - c^2]*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x]))/(3*Sqrt[Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]]) + (2/3)*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])*Sqrt[Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]]}
+{(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(1/2), x, 1, (2*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x]))/Sqrt[Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]]}
+{1/(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(1/2), x, 3, (Sqrt[2]*ArcTan[((b^2 - c^2)^(1/4)*Sinh[x + I*ArcTan[b, (-I)*c]])/(Sqrt[2]*Sqrt[Sqrt[b^2 - c^2] + Sqrt[b^2 - c^2]*Cosh[x + I*ArcTan[b, (-I)*c]]])])/(b^2 - c^2)^(1/4)}
+{1/(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(3/2), x, 4, ArcTan[((b^2 - c^2)^(1/4)*Sinh[x + I*ArcTan[b, (-I)*c]])/(Sqrt[2]*Sqrt[Sqrt[b^2 - c^2] + Sqrt[b^2 - c^2]*Cosh[x + I*ArcTan[b, (-I)*c]]])]/(2*Sqrt[2]*(b^2 - c^2)^(3/4)) + (c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/(2*Sqrt[b^2 - c^2]*(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(3/2))}
+{1/(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(5/2), x, 5, (3*ArcTan[((b^2 - c^2)^(1/4)*Sinh[x + I*ArcTan[b, (-I)*c]])/(Sqrt[2]*Sqrt[Sqrt[b^2 - c^2] + Sqrt[b^2 - c^2]*Cosh[x + I*ArcTan[b, (-I)*c]]])])/(16*Sqrt[2]*(b^2 - c^2)^(5/4)) + (c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/(4*Sqrt[b^2 - c^2]*(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(5/2)) + (3*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x]))/(16*(b^2 - c^2)*(Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(3/2))}
+
+{(-Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(5/2), x, 3, (64*(b^2 - c^2)*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x]))/(15*Sqrt[-Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]]) - (16/15)*Sqrt[b^2 - c^2]*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])*Sqrt[-Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]] + (2/5)*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])*(-Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(3/2)}
+{(-Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(3/2), x, 2, -((8*Sqrt[b^2 - c^2]*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x]))/(3*Sqrt[-Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])) + (2/3)*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x])*Sqrt[-Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]]}
+{(-Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(1/2), x, 1, (2*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x]))/Sqrt[-Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]]}
+{1/(-Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(1/2), x, 3, -((Sqrt[2]*ArcTanh[((b^2 - c^2)^(1/4)*Sinh[x + I*ArcTan[b, (-I)*c]])/(Sqrt[2]*Sqrt[-Sqrt[b^2 - c^2] + Sqrt[b^2 - c^2]*Cosh[x + I*ArcTan[b, (-I)*c]]])])/(b^2 - c^2)^(1/4))}
+{1/(-Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(3/2), x, 4, ArcTanh[((b^2 - c^2)^(1/4)*Sinh[x + I*ArcTan[b, (-I)*c]])/(Sqrt[2]*Sqrt[-Sqrt[b^2 - c^2] + Sqrt[b^2 - c^2]*Cosh[x + I*ArcTan[b, (-I)*c]]])]/(2*Sqrt[2]*(b^2 - c^2)^(3/4)) - (c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/(2*Sqrt[b^2 - c^2]*(-Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(3/2))}
+{1/(-Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(5/2), x, 5, -((3*ArcTanh[((b^2 - c^2)^(1/4)*Sinh[x + I*ArcTan[b, (-I)*c]])/(Sqrt[2]*Sqrt[-Sqrt[b^2 - c^2] + Sqrt[b^2 - c^2]*Cosh[x + I*ArcTan[b, (-I)*c]]])])/(16*Sqrt[2]*(b^2 - c^2)^(5/4))) - (c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/(4*Sqrt[b^2 - c^2]*(-Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(5/2)) + (3*(c*Cosh[x] + b*Sinh[x]))/(16*(b^2 - c^2)*(-Sqrt[b^2 - c^2] + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a + b Tanh[d+e x] + c Sech[d+e x])^n*)
+
+
+{1/(a + b*Tanh[x] + c*Sech[x]), x, 5, (a*x)/(a^2 - b^2) - (2*a*c*ArcTan[(b + (a - c)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/((a^2 - b^2)*Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]) - (b*Log[c + a*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)}
+{1/(a + b*Coth[x] + c*Csch[x]), x, 5, (a*x)/(a^2 - b^2) + (2*a*c*ArcTanh[(a + (b - c)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/((a^2 - b^2)*Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]) - (b*Log[I*c + I*b*Cosh[x] + I*a*Sinh[x]])/(a^2 - b^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[x]^m / (a + b Hyper[x] + c Hyper[x])*)
+
+
+{Sinh[x]/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]), x, 4, -((c*x)/(b^2 - c^2)) - (2*a*c*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/((b^2 - c^2)*Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]) + (b*Log[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])/(b^2 - c^2)}
+{Sinh[x]/(1 + Cosh[x] + Sinh[x]), x, 1, x/2 + Cosh[x]/2 - Sinh[x]/2}
+
+{Sech[x]/(a + b*Tanh[x] + c*Sech[x]), x, 4, (2*ArcTan[(b + (a - c)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]}
+{Sech[x]^2/(a + b*Tanh[x] + c*Sech[x]), x, 10, (2*c*ArcTan[Tanh[x/2]])/(b^2 + c^2) - (2*a*c*ArcTan[(b + (a - c)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/(Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]*(b^2 + c^2)) - (b*Log[1 + Tanh[x/2]^2])/(b^2 + c^2) + (b*Log[a + c + 2*b*Tanh[x/2] + (a - c)*Tanh[x/2]^2])/(b^2 + c^2)}
+
+{Csch[x]/(2 + 2*Coth[x] + 3*Csch[x]), x, 4, (-(2/3))*ArcTanh[(1/3)*(2 - Tanh[x/2])]}
+{Csch[x]/(a + b*Coth[x] + c*Csch[x]), x, 4, -((2*ArcTanh[(a + (b - c)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2])}
+{Csch[x]^2/(a + b*Coth[x] + c*Csch[x]), x, 9, -((2*a*c*ArcTanh[(a + (b - c)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/((b^2 - c^2)*Sqrt[a^2 - b^2 + c^2])) + Log[Tanh[x/2]]/(b + c) - (b*Log[b + c + 2*a*Tanh[x/2] + (b - c)*Tanh[x/2]^2])/(b^2 - c^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A + B Hyper[x]) / (a + b Hyper[x] + c Hyper[x])*)
+
+
+{(A + C*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]), x, 4, -((c*C*x)/(b^2 - c^2)) - (2*(A*(b^2 - c^2) + a*c*C)*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/((b^2 - c^2)*Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]) + (b*C*Log[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])/(b^2 - c^2)}
+{(A + C*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2, x, 4, -((2*(a*A + c*C)*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/(a^2 - b^2 + c^2)^(3/2)) + (b*C - (A*c - a*C)*Cosh[x] - A*b*Sinh[x])/((a^2 - b^2 + c^2)*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+{(A + C*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3, x, 5, -(((2*a^2*A + A*(b^2 - c^2) + 3*a*c*C)*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/(a^2 - b^2 + c^2)^(5/2)) + (b*C - (A*c - a*C)*Cosh[x] - A*b*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2 + c^2)*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) + (a*b*C - (3*a*A*c - a^2*C + 2*c^2*C)*Cosh[x] - b*(3*a*A + 2*c*C)*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2 + c^2)^2*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+
+
+{(A + B*Cosh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]), x, 4, (b*B*x)/(b^2 - c^2) + (2*(a*b*B - A*(b^2 - c^2))*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/((b^2 - c^2)*Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]) - (B*c*Log[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])/(b^2 - c^2)}
+{(A + B*Cosh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2, x, 4, -((2*(a*A - b*B)*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/(a^2 - b^2 + c^2)^(3/2)) - (B*c + A*c*Cosh[x] + (A*b - a*B)*Sinh[x])/((a^2 - b^2 + c^2)*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+{(A + B*Cosh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3, x, 5, -(((2*a^2*A - 3*a*b*B + A*(b^2 - c^2))*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/(a^2 - b^2 + c^2)^(5/2)) - (B*c + A*c*Cosh[x] + (A*b - a*B)*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2 + c^2)*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) - (a*B*c + (3*a*A - 2*b*B)*c*Cosh[x] + (3*a*A*b - a^2*B - 2*b^2*B)*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2 + c^2)^2*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (A + B Hyper[x] + C Hyper[x]) / (a + b Hyper[x] + c Hyper[x])*)
+
+
+{(B*Cosh[x] + C*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]), x, 4, ((b*B - c*C)*x)/(b^2 - c^2) + (2*a*(b*B - c*C)*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/((b^2 - c^2)*Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]) - ((B*c - b*C)*Log[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])/(b^2 - c^2)}
+{(B*Cosh[x] + C*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2, x, 4, (2*(b*B - c*C)*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/(a^2 - b^2 + c^2)^(3/2) - (B*c - b*C - a*C*Cosh[x] - a*B*Sinh[x])/((a^2 - b^2 + c^2)*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+{(B*Cosh[x] + C*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3, x, 5, (3*a*(b*B - c*C)*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/(a^2 - b^2 + c^2)^(5/2) - (B*c - b*C - a*C*Cosh[x] - a*B*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2 + c^2)*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) - (a*(B*c - b*C) - (2*b*B*c + (a^2 - 2*c^2)*C)*Cosh[x] - (a^2*B + 2*b*(b*B - c*C))*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2 + c^2)^2*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+
+
+{(A + B*Cosh[x] + C*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]), x, 4, ((b*B - c*C)*x)/(b^2 - c^2) - (2*(A*b^2 - a*b*B - A*c^2 + a*c*C)*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/((b^2 - c^2)*Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]) - ((B*c - b*C)*Log[a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]])/(b^2 - c^2)}
+{(A + B*Cosh[x] + C*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2, x, 4, -((2*(a*A - b*B + c*C)*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/(a^2 - b^2 + c^2)^(3/2)) - (B*c - b*C + (A*c - a*C)*Cosh[x] + (A*b - a*B)*Sinh[x])/((a^2 - b^2 + c^2)*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+{(A + B*Cosh[x] + C*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3, x, 5, -(((2*a^2*A + A*b^2 - 3*a*b*B - A*c^2 + 3*a*c*C)*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/(a^2 - b^2 + c^2)^(5/2)) - (B*c - b*C + (A*c - a*C)*Cosh[x] + (A*b - a*B)*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2 + c^2)*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) - (a*(B*c - b*C) + (3*a*A*c - a^2*C - 2*c*(b*B - c*C))*Cosh[x] + (3*a*A*b - a^2*B - 2*b*(b*B - c*C))*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2 + c^2)^2*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x]))}
+
+{(b^2 - c^2 + a*b*Cosh[x] + a*c*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2, x, 1, (c*Cosh[x] + b*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])}
+
+
+{(A + C*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 1, If[$VersionNumber>=8, ((2*a*A + b*C)*x)/(2*a^2) + (C*Cosh[x])/(2*a) - (1/2)*((2*A)/a - C/b + (b*C)/a^2)*Log[a + b*Cosh[x] + b*Sinh[x]] - (C*Sinh[x])/(2*a), ((2*a*A + b*C)*x)/(2*a^2) + (C*Cosh[x])/(2*a) - ((2*a*A*b - a^2*C + b^2*C)*Log[a + b*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(2*a^2*b) - (C*Sinh[x])/(2*a)]}
+{(A + B*Cosh[x])/(a + b*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 1, ((2*a*A - b*B)*x)/(2*a^2) - (B*Cosh[x])/(2*a) - ((2*a*A*b - a^2*B - b^2*B)*Log[a + b*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(2*a^2*b) + (B*Sinh[x])/(2*a)}
+{(A + B*Cosh[x]+C*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x] + b*Sinh[x]), x, 1, ((2*a*A - b*(B - C))*x)/(2*a^2) - ((2*a*A*b - b^2*(B - C) - a^2*(B + C))*Log[a + b*Cosh[x] + b*Sinh[x]])/(2*a^2*b) - ((B - C)*(Cosh[x] - Sinh[x]))/(2*a)}
+
+{(A + C*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x] - b*Sinh[x]), x, 1, ((2*a*A - b*C)*x)/(2*a^2) + (C*Cosh[x])/(2*a) + ((2*a*A*b + a^2*C - b^2*C)*Log[a + b*Cosh[x] - b*Sinh[x]])/(2*a^2*b) + (C*Sinh[x])/(2*a)}
+{(A + B*Cosh[x])/(a + b*Cosh[x] - b*Sinh[x]), x, 1, ((2*a*A - b*B)*x)/(2*a^2) + (B*Cosh[x])/(2*a) + ((2*a*A*b - a^2*B - b^2*B)*Log[a + b*Cosh[x] - b*Sinh[x]])/(2*a^2*b) + (B*Sinh[x])/(2*a)}
+{(A + B*Cosh[x]+C*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x] - b*Sinh[x]), x, 1, ((2*a*A - b*(B + C))*x)/(2*a^2) + ((2*a*A*b - a^2*(B - C) - b^2*(B + C))*Log[a + b*Cosh[x] - b*Sinh[x]])/(2*a^2*b) + ((B + C)*(Cosh[x] + Sinh[x]))/(2*a)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a Hyper[c+d x]^2 + b Hyper[c+d x]^2)^p*)
+
+
+{1/(Cosh[x]^2 + Sinh[x]^2), x, 2, ArcTan[Tanh[x]]}
+{1/(Cosh[x]^2 + Sinh[x]^2)^2, x, 2, Tanh[x]/(1 + Tanh[x]^2)}
+{1/(Cosh[x]^2 + Sinh[x]^2)^3, x, 4, (1/2)*ArcTan[Tanh[x]] + (Sech[x]^2*Tanh[x])/(2*(1 + Tanh[x]^2)^2)}
+
+{1/(Cosh[x]^2 - Sinh[x]^2), x, 2, x}
+{1/(Cosh[x]^2 - Sinh[x]^2)^2, x, 2, x}
+{1/(Cosh[x]^2 - Sinh[x]^2)^3, x, 2, x}
+
+
+{1/(Sech[x]^2 + Tanh[x]^2), x, 2, x}
+{1/(Sech[x]^2 + Tanh[x]^2)^2, x, 2, x}
+{1/(Sech[x]^2 + Tanh[x]^2)^3, x, 2, x}
+
+{1/(Sech[x]^2 - Tanh[x]^2), x, 4, -x + Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[2]*Tanh[x]]}
+{1/(Sech[x]^2 - Tanh[x]^2)^2, x, 6, x - ArcTanh[Sqrt[2]*Tanh[x]]/Sqrt[2] + Tanh[x]/(1 - 2*Tanh[x]^2)}
+{1/(Sech[x]^2 - Tanh[x]^2)^3, x, 6, -x + (7*ArcTanh[Sqrt[2]*Tanh[x]])/(4*Sqrt[2]) + Tanh[x]/(2*(1 - 2*Tanh[x]^2)^2) - Tanh[x]/(4*(1 - 2*Tanh[x]^2))}
+
+
+{1/(Coth[x]^2 + Csch[x]^2), x, 4, x - Sqrt[2]*ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[2]]}
+{1/(Coth[x]^2 + Csch[x]^2)^2, x, 6, x - ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[2]]/Sqrt[2] - Tanh[x]/(2 - Tanh[x]^2)}
+{1/(Coth[x]^2 + Csch[x]^2)^3, x, 6, x - (7*ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[2]])/(4*Sqrt[2]) - Tanh[x]^3/(2*(2 - Tanh[x]^2)^2) - Tanh[x]/(4*(2 - Tanh[x]^2))}
+
+{1/(Coth[x]^2 - Csch[x]^2), x, 2, x}
+{1/(Coth[x]^2 - Csch[x]^2)^2, x, 2, x}
+{1/(Coth[x]^2 - Csch[x]^2)^3, x, 2, x}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a + b Hyper[c+d x]^m + c Hyper[c+d x]^n)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[x]^m / (a + b Hyper[x] + c Hyper[x]^2)*)
+
+
+{1/(a + b*Sinh[x] + c*Sinh[x]^2), x, 7, -((2*Sqrt[2]*c*ArcTan[(2*I*c - I*b*Tanh[x/2] + Sqrt[-b^2 + 4*a*c]*Tanh[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c + I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]])])/(Sqrt[-b^2 + 4*a*c]*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c + I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]])) + (2*Sqrt[2]*c*ArcTan[(2*I*c - (I*b + Sqrt[-b^2 + 4*a*c])*Tanh[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c - I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]])])/(Sqrt[-b^2 + 4*a*c]*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c - I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]])}
+{Sinh[x]/(a + b*Sinh[x] + c*Sinh[x]^2), x, 8, (Sqrt[2]*(I + b/Sqrt[-b^2 + 4*a*c])*ArcTan[(2*I*c - I*b*Tanh[x/2] + Sqrt[-b^2 + 4*a*c]*Tanh[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c + I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]])])/Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c + I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]] + (Sqrt[2]*(I - b/Sqrt[-b^2 + 4*a*c])*ArcTan[(2*I*c - (I*b + Sqrt[-b^2 + 4*a*c])*Tanh[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c - I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]])])/Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c - I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]]}
+{Sinh[x]^2/(a + b*Sinh[x] + c*Sinh[x]^2), x, 9, x/c - (Sqrt[2]*(I*b + (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[-b^2 + 4*a*c])*ArcTan[(2*I*c - (I*b - Sqrt[-b^2 + 4*a*c])*Tanh[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c + I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]])])/(c*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c + I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]]) - (Sqrt[2]*(I*b - (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[-b^2 + 4*a*c])*ArcTan[(2*I*c - (I*b + Sqrt[-b^2 + 4*a*c])*Tanh[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c - I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]])])/(c*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c - I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]])}
+{Sinh[x]^3/(a + b*Sinh[x] + c*Sinh[x]^2), x, 10, -((b*x)/c^2) + (Sqrt[2]*(b^3/Sqrt[-b^2 + 4*a*c] + I*(b^2 - a*c + (3*I*a*b*c)/Sqrt[-b^2 + 4*a*c]))*ArcTan[(2*I*c - I*b*Tanh[x/2] + Sqrt[-b^2 + 4*a*c]*Tanh[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c + I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]])])/(c^2*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c + I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]]) - (Sqrt[2]*(b^3/Sqrt[-b^2 + 4*a*c] - I*(b^2 - a*c - (3*I*a*b*c)/Sqrt[-b^2 + 4*a*c]))*ArcTan[(2*I*c - (I*b + Sqrt[-b^2 + 4*a*c])*Tanh[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c - I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]])])/(c^2*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c - I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]]) + Cosh[x]/c}
+
+{(a + b*Sinh[x])/(b^2 - 2*a*b*Sinh[x] + a^2*Sinh[x]^2), x, 3, Cosh[x]/(b - a*Sinh[x])}
+{(d + e*Sinh[x])/(a + b*Sinh[x] + c*Sinh[x]^2), x, 7, (Sqrt[2]*(I*e - (2*c*d - b*e)/Sqrt[-b^2 + 4*a*c])*ArcTan[(2*I*c - I*b*Tanh[x/2] + Sqrt[-b^2 + 4*a*c]*Tanh[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c + I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]])])/Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c + I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]] + (Sqrt[2]*(I*e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[-b^2 + 4*a*c])*ArcTan[(2*I*c - (I*b + Sqrt[-b^2 + 4*a*c])*Tanh[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c - I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]])])/Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c - I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]]}
+
+
+{1/(a + b*Cosh[x] + c*Cosh[x]^2), x, 5, (4*c*ArcTanh[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tanh[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - (4*c*ArcTanh[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tanh[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]])}
+{Cosh[x]/(a + b*Cosh[x] + c*Cosh[x]^2), x, 6, (2*(1 - b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTanh[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tanh[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + (2*(1 + b/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTanh[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tanh[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]])}
+{Cosh[x]^2/(a + b*Cosh[x] + c*Cosh[x]^2), x, 7, x/c - (2*(b - (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTanh[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tanh[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c*Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - (2*(b + (b^2 - 2*a*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTanh[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tanh[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c*Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]])}
+{Cosh[x]^3/(a + b*Cosh[x] + c*Cosh[x]^2), x, 8, -((b*x)/c^2) + (2*(b^2 - a*c - b^3/Sqrt[b^2 - 4*a*c] + (3*a*b*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTanh[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tanh[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c^2*Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + (2*(b^2 - a*c + b^3/Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (3*a*b*c)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTanh[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tanh[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c^2*Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + Sinh[x]/c}
+
+{(a + b*Cosh[x])/(b^2 + 2*a*b*Cosh[x] + a^2*Cosh[x]^2), x, 3, Sinh[x]/(b + a*Cosh[x])}
+{(d + e*Cosh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Cosh[x]^2), x, 5, (2*(e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTanh[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tanh[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + (2*(e - (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTanh[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tanh[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Hyper[x]^m (a Hyper[x]^n + b Hyper[x]^n)^p*)
+
+
+{Sinh[x]^2/(a*Cosh[x]^2 + b*Sinh[x]^2), x, 4, x/(a + b) - (Sqrt[a]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[b]*(a + b))}
+{Cosh[x]^2/(a*Cosh[x]^2 + b*Sinh[x]^2), x, 4, x/(a + b) + (Sqrt[b]*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b))}
+
+{Sinh[x]^3/(Cosh[x]^3 + Sinh[x]^3), x, 6, x/2 + (2*ArcTan[(1 - 2*Tanh[x])/Sqrt[3]])/(3*Sqrt[3]) + 1/(6*(1 + Tanh[x]))}
+{Cosh[x]^3/(Cosh[x]^3 + Sinh[x]^3), x, 6, x/2 - (2*ArcTan[(1 - 2*Tanh[x])/Sqrt[3]])/(3*Sqrt[3]) - 1/(6*(1 + Tanh[x]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Csch[x] Sech[x] (a Sech[x]^n)^p*)
+
+
+{(x^1*Csch[x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2], x, 6, -((2*x*ArcTanh[E^x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2]) - (PolyLog[2, -E^x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2] + (PolyLog[2, E^x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2]}
+{(x^2*Csch[x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2], x, 8, -((2*x^2*ArcTanh[E^x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2]) - (2*x*PolyLog[2, -E^x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2] + (2*x*PolyLog[2, E^x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2] + (2*PolyLog[3, -E^x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2] - (2*PolyLog[3, E^x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2]}
+{(x^3*Csch[x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2], x, 10, -((2*x^3*ArcTanh[E^x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2]) - (3*x^2*PolyLog[2, -E^x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2] + (3*x^2*PolyLog[2, E^x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2] + (6*x*PolyLog[3, -E^x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2] - (6*x*PolyLog[3, E^x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2] - (6*PolyLog[4, -E^x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2] + (6*PolyLog[4, E^x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^2]}
+
+
+{(x^1*Csch[x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^4], x, 5, -((x^2*Sech[x]^2)/(2*Sqrt[a*Sech[x]^4])) + (x*Log[1 - E^(2*x)]*Sech[x]^2)/Sqrt[a*Sech[x]^4] + (PolyLog[2, E^(2*x)]*Sech[x]^2)/(2*Sqrt[a*Sech[x]^4])}
+{(x^2*Csch[x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^4], x, 6, -((x^3*Sech[x]^2)/(3*Sqrt[a*Sech[x]^4])) + (x^2*Log[1 - E^(2*x)]*Sech[x]^2)/Sqrt[a*Sech[x]^4] + (x*PolyLog[2, E^(2*x)]*Sech[x]^2)/Sqrt[a*Sech[x]^4] - (PolyLog[3, E^(2*x)]*Sech[x]^2)/(2*Sqrt[a*Sech[x]^4])}
+{(x^3*Csch[x]*Sech[x])/Sqrt[a*Sech[x]^4], x, 7, -((x^4*Sech[x]^2)/(4*Sqrt[a*Sech[x]^4])) + (x^3*Log[1 - E^(2*x)]*Sech[x]^2)/Sqrt[a*Sech[x]^4] + (3*x^2*PolyLog[2, E^(2*x)]*Sech[x]^2)/(2*Sqrt[a*Sech[x]^4]) - (3*x*PolyLog[3, E^(2*x)]*Sech[x]^2)/(2*Sqrt[a*Sech[x]^4]) + (3*PolyLog[4, E^(2*x)]*Sech[x]^2)/(4*Sqrt[a*Sech[x]^4])}
+
+
+{(x^1*Csch[x]*Sech[x])*Sqrt[a*Sech[x]^2], x, 10, x*Sqrt[a*Sech[x]^2] - ArcTan[Sinh[x]]*Cosh[x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] - 2*x*ArcTanh[E^x]*Cosh[x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] - Cosh[x]*PolyLog[2, -E^x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] + Cosh[x]*PolyLog[2, E^x]*Sqrt[a*Sech[x]^2]}
+{(x^2*Csch[x]*Sech[x])*Sqrt[a*Sech[x]^2], x, 17, x^2*Sqrt[a*Sech[x]^2] - 4*x*ArcTan[E^x]*Cosh[x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] - 2*x^2*ArcTanh[E^x]*Cosh[x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] - 2*x*Cosh[x]*PolyLog[2, -E^x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] + 2*I*Cosh[x]*PolyLog[2, (-I)*E^x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] - 2*I*Cosh[x]*PolyLog[2, I*E^x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] + 2*x*Cosh[x]*PolyLog[2, E^x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] + 2*Cosh[x]*PolyLog[3, -E^x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] - 2*Cosh[x]*PolyLog[3, E^x]*Sqrt[a*Sech[x]^2]}
+{(x^3*Csch[x]*Sech[x])*Sqrt[a*Sech[x]^2], x, 21, x^3*Sqrt[a*Sech[x]^2] - 6*x^2*ArcTan[E^x]*Cosh[x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] - 2*x^3*ArcTanh[E^x]*Cosh[x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] - 3*x^2*Cosh[x]*PolyLog[2, -E^x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] + 6*I*x*Cosh[x]*PolyLog[2, (-I)*E^x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] - 6*I*x*Cosh[x]*PolyLog[2, I*E^x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] + 3*x^2*Cosh[x]*PolyLog[2, E^x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] + 6*x*Cosh[x]*PolyLog[3, -E^x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] - 6*I*Cosh[x]*PolyLog[3, (-I)*E^x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] + 6*I*Cosh[x]*PolyLog[3, I*E^x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] - 6*x*Cosh[x]*PolyLog[3, E^x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] - 6*Cosh[x]*PolyLog[4, -E^x]*Sqrt[a*Sech[x]^2] + 6*Cosh[x]*PolyLog[4, E^x]*Sqrt[a*Sech[x]^2]}
+
+
+{(x^1*Csch[x]*Sech[x])*Sqrt[a*Sech[x]^4], x, 12, (1/2)*x*Cosh[x]^2*Sqrt[a*Sech[x]^4] - 2*x*ArcTanh[E^(2*x)]*Cosh[x]^2*Sqrt[a*Sech[x]^4] - (1/2)*Cosh[x]^2*PolyLog[2, -E^(2*x)]*Sqrt[a*Sech[x]^4] + (1/2)*Cosh[x]^2*PolyLog[2, E^(2*x)]*Sqrt[a*Sech[x]^4] - (1/2)*Cosh[x]*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x] - (1/2)*x*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x]^2}
+{(x^2*Csch[x]*Sech[x])*Sqrt[a*Sech[x]^4], x, 16, (1/2)*x^2*Cosh[x]^2*Sqrt[a*Sech[x]^4] - 2*x^2*ArcTanh[E^(2*x)]*Cosh[x]^2*Sqrt[a*Sech[x]^4] + Cosh[x]^2*Log[Cosh[x]]*Sqrt[a*Sech[x]^4] - x*Cosh[x]^2*PolyLog[2, -E^(2*x)]*Sqrt[a*Sech[x]^4] + x*Cosh[x]^2*PolyLog[2, E^(2*x)]*Sqrt[a*Sech[x]^4] + (1/2)*Cosh[x]^2*PolyLog[3, -E^(2*x)]*Sqrt[a*Sech[x]^4] - (1/2)*Cosh[x]^2*PolyLog[3, E^(2*x)]*Sqrt[a*Sech[x]^4] - x*Cosh[x]*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x] - (1/2)*x^2*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x]^2}
+{(x^3*Csch[x]*Sech[x])*Sqrt[a*Sech[x]^4], x, 21, (-(3/2))*x^2*Cosh[x]^2*Sqrt[a*Sech[x]^4] + (1/2)*x^3*Cosh[x]^2*Sqrt[a*Sech[x]^4] - 2*x^3*ArcTanh[E^(2*x)]*Cosh[x]^2*Sqrt[a*Sech[x]^4] + 3*x*Cosh[x]^2*Log[1 + E^(2*x)]*Sqrt[a*Sech[x]^4] + (3/2)*Cosh[x]^2*PolyLog[2, -E^(2*x)]*Sqrt[a*Sech[x]^4] - (3/2)*x^2*Cosh[x]^2*PolyLog[2, -E^(2*x)]*Sqrt[a*Sech[x]^4] + (3/2)*x^2*Cosh[x]^2*PolyLog[2, E^(2*x)]*Sqrt[a*Sech[x]^4] + (3/2)*x*Cosh[x]^2*PolyLog[3, -E^(2*x)]*Sqrt[a*Sech[x]^4] - (3/2)*x*Cosh[x]^2*PolyLog[3, E^(2*x)]*Sqrt[a*Sech[x]^4] - (3/4)*Cosh[x]^2*PolyLog[4, -E^(2*x)]*Sqrt[a*Sech[x]^4] + (3/4)*Cosh[x]^2*PolyLog[4, E^(2*x)]*Sqrt[a*Sech[x]^4] - (3/2)*x^2*Cosh[x]*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x] - (1/2)*x^3*Sqrt[a*Sech[x]^4]*Sinh[x]^2}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a + b Hyper[c+d x] Hyper[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a + b Hyper[c+d x] Hyper[c+d x])^n*)
+
+
+{(a + b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])^m, x, 4, (I*AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1/2)*(1 - I*Sinh[2*c + 2*d*x]), (b*(1 - I*Sinh[2*c + 2*d*x]))/(2*I*a + b)]*Cosh[2*c + 2*d*x]*(a + (1/2)*b*Sinh[2*c + 2*d*x])^m)/(((2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x])/(2*a - I*b))^m*(Sqrt[2]*d*Sqrt[1 + I*Sinh[2*c + 2*d*x]]))}
+
+{(a + b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])^3, x, 3, (1/8)*a*(8*a^2 - 3*b^2)*x + (b*(16*a^2 - b^2)*Cosh[2*c + 2*d*x])/(24*d) + (5*a*b^2*Cosh[2*c + 2*d*x]*Sinh[2*c + 2*d*x])/(48*d) + (b*Cosh[2*c + 2*d*x]*(2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x])^2)/(48*d)}
+{(a + b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])^2, x, 2, (1/8)*(8*a^2 - b^2)*x + (a*b*Cosh[2*c + 2*d*x])/(2*d) + (b^2*Cosh[2*c + 2*d*x]*Sinh[2*c + 2*d*x])/(16*d)}
+{(a + b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])^1, x, 3, a*x + (b*Sinh[c + d*x]^2)/(2*d)}
+{1/(a + b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])^1, x, 4, -((2*ArcTanh[(b - 2*a*Tanh[c + d*x])/Sqrt[4*a^2 + b^2]])/(Sqrt[4*a^2 + b^2]*d))}
+{1/(a + b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])^2, x, 6, -((8*a*ArcTanh[(b - 2*a*Tanh[c + d*x])/Sqrt[4*a^2 + b^2]])/((4*a^2 + b^2)^(3/2)*d)) - (2*b*Cosh[2*c + 2*d*x])/((4*a^2 + b^2)*d*(2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x]))}
+{1/(a + b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])^3, x, 7, -((4*(8*a^2 - b^2)*ArcTanh[(b - 2*a*Tanh[c + d*x])/Sqrt[4*a^2 + b^2]])/((4*a^2 + b^2)^(5/2)*d)) - (2*b*Cosh[2*c + 2*d*x])/((4*a^2 + b^2)*d*(2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x])^2) - (12*a*b*Cosh[2*c + 2*d*x])/((4*a^2 + b^2)^2*d*(2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x]))}
+
+
+{(a + b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])^(5/2), x, 8, (2*Sqrt[2]*a*b*Cosh[2*c + 2*d*x]*Sqrt[2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x]])/(15*d) + (b*Cosh[2*c + 2*d*x]*(2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x])^(3/2))/(20*Sqrt[2]*d) - (I*(92*a^2 - 9*b^2)*EllipticE[(1/2)*(2*I*c - Pi/2 + 2*I*d*x), (2*b)/(2*I*a + b)]*Sqrt[2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x]])/(60*Sqrt[2]*d*Sqrt[(2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x])/(2*a - I*b)]) + (2*I*Sqrt[2]*a*(4*a^2 + b^2)*EllipticF[(1/2)*(2*I*c - Pi/2 + 2*I*d*x), (2*b)/(2*I*a + b)]*Sqrt[(2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x])/(2*a - I*b)])/(15*d*Sqrt[2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x]])}
+{(a + b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])^(3/2), x, 7, (b*Cosh[2*c + 2*d*x]*Sqrt[2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x]])/(6*Sqrt[2]*d) - (2*I*Sqrt[2]*a*EllipticE[(1/2)*(2*I*c - Pi/2 + 2*I*d*x), (2*b)/(2*I*a + b)]*Sqrt[2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x]])/(3*d*Sqrt[(2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x])/(2*a - I*b)]) + (I*(4*a^2 + b^2)*EllipticF[(1/2)*(2*I*c - Pi/2 + 2*I*d*x), (2*b)/(2*I*a + b)]*Sqrt[(2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x])/(2*a - I*b)])/(6*Sqrt[2]*d*Sqrt[2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x]])}
+{(a + b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])^(1/2), x, 3, -((I*EllipticE[(1/2)*(2*I*c - Pi/2 + 2*I*d*x), (2*b)/(2*I*a + b)]*Sqrt[2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x]])/(Sqrt[2]*d*Sqrt[(2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x])/(2*a - I*b)]))}
+{1/(a + b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])^(1/2), x, 3, -((I*Sqrt[2]*EllipticF[(1/2)*(2*I*c - Pi/2 + 2*I*d*x), (2*b)/(2*I*a + b)]*Sqrt[(2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x])/(2*a - I*b)])/(d*Sqrt[2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x]]))}
+{1/(a + b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])^(3/2), x, 5, -((2*Sqrt[2]*b*Cosh[2*c + 2*d*x])/((4*a^2 + b^2)*d*Sqrt[2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x]])) - (2*I*Sqrt[2]*EllipticE[(1/2)*(2*I*c - Pi/2 + 2*I*d*x), (2*b)/(2*I*a + b)]*Sqrt[2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x]])/((4*a^2 + b^2)*d*Sqrt[(2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x])/(2*a - I*b)])}
+{1/(a + b*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])^(5/2), x, 8, -((4*Sqrt[2]*b*Cosh[2*c + 2*d*x])/(3*(4*a^2 + b^2)*d*(2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x])^(3/2))) - (32*Sqrt[2]*a*b*Cosh[2*c + 2*d*x])/(3*(4*a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x]]) - (32*I*Sqrt[2]*a*EllipticE[(1/2)*(2*I*c - Pi/2 + 2*I*d*x), (2*b)/(2*I*a + b)]*Sqrt[2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x]])/(3*(4*a^2 + b^2)^2*d*Sqrt[(2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x])/(2*a - I*b)]) + (4*I*Sqrt[2]*EllipticF[(1/2)*(2*I*c - Pi/2 + 2*I*d*x), (2*b)/(2*I*a + b)]*Sqrt[(2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x])/(2*a - I*b)])/(3*(4*a^2 + b^2)*d*Sqrt[2*a + b*Sinh[2*c + 2*d*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a + b Hyper[c+d x] Hyper[c+d x])^n*)
+
+
+{x^3/(a + b*Sinh[x]*Cosh[x]), x, 13, (x^3*Log[1 + (b*E^(2*x))/(2*a - Sqrt[4*a^2 + b^2])])/Sqrt[4*a^2 + b^2] - (x^3*Log[1 + (b*E^(2*x))/(2*a + Sqrt[4*a^2 + b^2])])/Sqrt[4*a^2 + b^2] + (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(2*x))/(2*a - Sqrt[4*a^2 + b^2]))])/(2*Sqrt[4*a^2 + b^2]) - (3*x^2*PolyLog[2, -((b*E^(2*x))/(2*a + Sqrt[4*a^2 + b^2]))])/(2*Sqrt[4*a^2 + b^2]) - (3*x*PolyLog[3, -((b*E^(2*x))/(2*a - Sqrt[4*a^2 + b^2]))])/(2*Sqrt[4*a^2 + b^2]) + (3*x*PolyLog[3, -((b*E^(2*x))/(2*a + Sqrt[4*a^2 + b^2]))])/(2*Sqrt[4*a^2 + b^2]) + (3*PolyLog[4, -((b*E^(2*x))/(2*a - Sqrt[4*a^2 + b^2]))])/(4*Sqrt[4*a^2 + b^2]) - (3*PolyLog[4, -((b*E^(2*x))/(2*a + Sqrt[4*a^2 + b^2]))])/(4*Sqrt[4*a^2 + b^2])}
+{x^2/(a + b*Sinh[x]*Cosh[x]), x, 11, (x^2*Log[1 + (b*E^(2*x))/(2*a - Sqrt[4*a^2 + b^2])])/Sqrt[4*a^2 + b^2] - (x^2*Log[1 + (b*E^(2*x))/(2*a + Sqrt[4*a^2 + b^2])])/Sqrt[4*a^2 + b^2] + (x*PolyLog[2, -((b*E^(2*x))/(2*a - Sqrt[4*a^2 + b^2]))])/Sqrt[4*a^2 + b^2] - (x*PolyLog[2, -((b*E^(2*x))/(2*a + Sqrt[4*a^2 + b^2]))])/Sqrt[4*a^2 + b^2] - PolyLog[3, -((b*E^(2*x))/(2*a - Sqrt[4*a^2 + b^2]))]/(2*Sqrt[4*a^2 + b^2]) + PolyLog[3, -((b*E^(2*x))/(2*a + Sqrt[4*a^2 + b^2]))]/(2*Sqrt[4*a^2 + b^2])}
+{x^1/(a + b*Sinh[x]*Cosh[x]), x, 9, (x*Log[1 + (b*E^(2*x))/(2*a - Sqrt[4*a^2 + b^2])])/Sqrt[4*a^2 + b^2] - (x*Log[1 + (b*E^(2*x))/(2*a + Sqrt[4*a^2 + b^2])])/Sqrt[4*a^2 + b^2] + PolyLog[2, -((b*E^(2*x))/(2*a - Sqrt[4*a^2 + b^2]))]/(2*Sqrt[4*a^2 + b^2]) - PolyLog[2, -((b*E^(2*x))/(2*a + Sqrt[4*a^2 + b^2]))]/(2*Sqrt[4*a^2 + b^2])}
+{1/(x^1*(a + b*Sinh[x]*Cosh[x])), x, 1, Unintegrable[1/(x*(a + (1/2)*b*Sinh[2*x])), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F^(c (a+b x)) Hyper[d+e x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(c (a+b x)) Sinh[d+e x]^n*)
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*Sinh[d + e*x]^n, x, 2, -((F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[-n, -((e*n - b*c*Log[F])/(2*e)), (1/2)*(2 - n + (b*c*Log[F])/e), E^(2*(d + e*x))]*Sinh[d + e*x]^n)/((1 - E^(2*(d + e*x)))^n*(e*n - b*c*Log[F])))}
+
+
+{E^(2*(a + b*x))*Sinh[a + b*x]^3, x, 4, E^(-a - b*x)/(8*b) + (3*E^(a + b*x))/(8*b) - E^(3*a + 3*b*x)/(8*b) + E^(5*a + 5*b*x)/(40*b)}
+{E^(2*(a + b*x))*Sinh[a + b*x]^2, x, 5, -(E^(2*a + 2*b*x)/(4*b)) + E^(4*a + 4*b*x)/(16*b) + x/4}
+{E^(2*(a + b*x))*Sinh[a + b*x]^1, x, 3, -(E^(a + b*x)/(2*b)) + E^(3*a + 3*b*x)/(6*b)}
+{E^(2*(a + b*x))*Csch[a + b*x]^1, x, 4, (2*E^(a + b*x))/b - (2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b}
+{E^(2*(a + b*x))*Csch[a + b*x]^2, x, 5, 2/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) + (2*Log[1 - E^(2*a + 2*b*x)])/b}
+{E^(2*(a + b*x))*Csch[a + b*x]^3, x, 5, -((2*E^(3*a + 3*b*x))/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))^2)) + (3*E^(a + b*x))/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) - (3*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b}
+
+
+{E^(a + b*x)*Sinh[c + d*x]^3, x, 2, -((6*d^3*E^(a + b*x)*Cosh[c + d*x])/(b^4 - 10*b^2*d^2 + 9*d^4)) + (6*b*d^2*E^(a + b*x)*Sinh[c + d*x])/(b^4 - 10*b^2*d^2 + 9*d^4) - (3*d*E^(a + b*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x]^2)/(b^2 - 9*d^2) + (b*E^(a + b*x)*Sinh[c + d*x]^3)/(b^2 - 9*d^2)}
+{E^(a + b*x)*Sinh[c + d*x]^2, x, 2, (2*d^2*E^(a + b*x))/(b*(b^2 - 4*d^2)) - (2*d*E^(a + b*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(b^2 - 4*d^2) + (b*E^(a + b*x)*Sinh[c + d*x]^2)/(b^2 - 4*d^2)}
+{E^(a + b*x)*Sinh[c + d*x]^1, x, 1, -((d*E^(a + b*x)*Cosh[c + d*x])/(b^2 - d^2)) + (b*E^(a + b*x)*Sinh[c + d*x])/(b^2 - d^2)}
+{E^(a + b*x)*Csch[c + d*x]^1, x, 1, -((2*E^(a + c + b*x + d*x)*Hypergeometric2F1[1, (b + d)/(2*d), (1/2)*(3 + b/d), E^(2*(c + d*x))])/(b + d))}
+{E^(c + d*x)*Csch[a + b*x]^2, x, 1, (4*E^(c + d*x + 2*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, 1 + d/(2*b), 2 + d/(2*b), E^(2*(a + b*x))])/(2*b + d)}
+{E^(c + d*x)*Csch[a + b*x]^3, x, 2, -((d*E^(c + d*x)*Csch[a + b*x])/(2*b^2)) - (E^(c + d*x)*Coth[a + b*x]*Csch[a + b*x])/(2*b) + ((b - d)*E^(a + c + b*x + d*x)*Hypergeometric2F1[1, (b + d)/(2*b), (1/2)*(3 + d/b), E^(2*(a + b*x))])/b^2}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(c (a+b x)) Cosh[d+e x]^n*)
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x]^n, x, 2, -((F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x]^n*Hypergeometric2F1[-n, -((e*n - b*c*Log[F])/(2*e)), (1/2)*(2 - n + (b*c*Log[F])/e), -E^(2*(d + e*x))])/((1 + E^(2*(d + e*x)))^n*(e*n - b*c*Log[F])))}
+
+
+{E^(a + b*x)*Cosh[c + d*x]^3, x, 2, -((6*b*d^2*E^(a + b*x)*Cosh[c + d*x])/(b^4 - 10*b^2*d^2 + 9*d^4)) + (b*E^(a + b*x)*Cosh[c + d*x]^3)/(b^2 - 9*d^2) + (6*d^3*E^(a + b*x)*Sinh[c + d*x])/(b^4 - 10*b^2*d^2 + 9*d^4) - (3*d*E^(a + b*x)*Cosh[c + d*x]^2*Sinh[c + d*x])/(b^2 - 9*d^2)}
+{E^(a + b*x)*Cosh[c + d*x]^2, x, 2, -((2*d^2*E^(a + b*x))/(b*(b^2 - 4*d^2))) + (b*E^(a + b*x)*Cosh[c + d*x]^2)/(b^2 - 4*d^2) - (2*d*E^(a + b*x)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(b^2 - 4*d^2)}
+{E^(a + b*x)*Cosh[c + d*x]^1, x, 1, (b*E^(a + b*x)*Cosh[c + d*x])/(b^2 - d^2) - (d*E^(a + b*x)*Sinh[c + d*x])/(b^2 - d^2)}
+{E^(a + b*x)*Sech[c + d*x]^1, x, 1, (2*E^(a + c + b*x + d*x)*Hypergeometric2F1[1, (b + d)/(2*d), (1/2)*(3 + b/d), -E^(2*(c + d*x))])/(b + d)}
+{E^(a + b*x)*Sech[c + d*x]^2, x, 1, (4*E^(a + b*x + 2*(c + d*x))*Hypergeometric2F1[2, 1 + b/(2*d), 2 + b/(2*d), -E^(2*(c + d*x))])/(b + 2*d)}
+{E^(a + b*x)*Sech[c + d*x]^3, x, 2, -(((b - d)*E^(a + c + b*x + d*x)*Hypergeometric2F1[1, (b + d)/(2*d), (1/2)*(3 + b/d), -E^(2*(c + d*x))])/d^2) + (b*E^(a + b*x)*Sech[c + d*x])/(2*d^2) + (E^(a + b*x)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(2*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(c (a+b x)) Sech[d+e x]^n*)
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*Sech[d + e*x]^n, x, 2, ((1 + E^(2*(d + e*x)))^n*F^(a*c + b*c*x)*Hypergeometric2F1[n, (e*n + b*c*Log[F])/(2*e), 1 + (e*n + b*c*Log[F])/(2*e), -E^(2*(d + e*x))]*Sech[d + e*x]^n)/(e*n + b*c*Log[F])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(c (a+b x)) Csch[d+e x]^n*)
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*Csch[d + e*x]^n, x, 2, -(((1 - E^(-2*(d + e*x)))^n*F^(a*c + b*c*x)*Csch[d + e*x]^n*Hypergeometric2F1[n, (e*n - b*c*Log[F])/(2*e), (1/2)*(2 + n - (b*c*Log[F])/e), E^(-2*(d + e*x))])/(e*n - b*c*Log[F]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F^(c (a+b x)) (f + g Hyper[d+e x])^n*)
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*(f + I*f*Sinh[d + e*x])^2, x, 8, (f^2*F^(a*c + b*c*x))/(b*c*Log[F]) + (2*I*e*f^2*F^(a*c + b*c*x)*Cosh[d + e*x])/(e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2) + (2*e^2*f^2*F^(a*c + b*c*x))/(b*c*Log[F]*(4*e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)) - (2*I*b*c*f^2*F^(a*c + b*c*x)*Log[F]*Sinh[d + e*x])/(e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2) - (2*e*f^2*F^(a*c + b*c*x)*Cosh[d + e*x]*Sinh[d + e*x])/(4*e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2) + (b*c*f^2*F^(a*c + b*c*x)*Log[F]*Sinh[d + e*x]^2)/(4*e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))*(f + I*f*Sinh[d + e*x])^1, x, 6, (f*F^(a*c + b*c*x))/(b*c*Log[F]) + (I*e*f*F^(a*c + b*c*x)*Cosh[d + e*x])/(e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2) - (I*b*c*f*F^(a*c + b*c*x)*Log[F]*Sinh[d + e*x])/(e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))/(f + I*f*Sinh[d + e*x])^1, x, 2, (2*E^((1/2)*(2*d + I*Pi + 2*e*x))*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, 1 + (b*c*Log[F])/e, 2 + (b*c*Log[F])/e, -E^((1/2)*(2*d + I*Pi + 2*e*x))])/(f*(e + b*c*Log[F]))}
+{F^(c*(a + b*x))/(f + I*f*Sinh[d + e*x])^2, x, 3, (2*E^((1/2)*(2*d + I*Pi + 2*e*x))*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, 1 + (b*c*Log[F])/e, 2 + (b*c*Log[F])/e, -E^((1/2)*(2*d + I*Pi + 2*e*x))]*(e - b*c*Log[F]))/(3*e^2*f^2) + (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F]*Sech[d/2 + (I*Pi)/4 + (e*x)/2]^2)/(6*e^2*f^2) + (F^(c*(a + b*x))*Sech[d/2 + (I*Pi)/4 + (e*x)/2]^2*Tanh[d/2 + (I*Pi)/4 + (e*x)/2])/(6*e*f^2)}
+
+
+{F^(c*(a + b*x))*(f + f*Cosh[d + e*x])^2, x, 8, (f^2*F^(a*c + b*c*x))/(b*c*Log[F]) - (2*b*c*f^2*F^(a*c + b*c*x)*Cosh[d + e*x]*Log[F])/(e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2) + (2*e^2*f^2*F^(a*c + b*c*x))/(b*c*Log[F]*(4*e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)) - (b*c*f^2*F^(a*c + b*c*x)*Cosh[d + e*x]^2*Log[F])/(4*e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2) + (2*e*f^2*F^(a*c + b*c*x)*Sinh[d + e*x])/(e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2) + (2*e*f^2*F^(a*c + b*c*x)*Cosh[d + e*x]*Sinh[d + e*x])/(4*e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))*(f + f*Cosh[d + e*x])^1, x, 6, (f*F^(a*c + b*c*x))/(b*c*Log[F]) - (b*c*f*F^(a*c + b*c*x)*Cosh[d + e*x]*Log[F])/(e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2) + (e*f*F^(a*c + b*c*x)*Sinh[d + e*x])/(e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)}
+{F^(c*(a + b*x))/(f + f*Cosh[d + e*x])^1, x, 2, (2*E^(d + e*x)*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, 1 + (b*c*Log[F])/e, 2 + (b*c*Log[F])/e, -E^(d + e*x)])/(f*(e + b*c*Log[F]))}
+{F^(c*(a + b*x))/(f + f*Cosh[d + e*x])^2, x, 3, (2*E^(d + e*x)*F^(c*(a + b*x))*Hypergeometric2F1[2, 1 + (b*c*Log[F])/e, 2 + (b*c*Log[F])/e, -E^(d + e*x)]*(e - b*c*Log[F]))/(3*e^2*f^2) + (b*c*F^(c*(a + b*x))*Log[F]*Sech[d/2 + (e*x)/2]^2)/(6*e^2*f^2) + (F^(c*(a + b*x))*Sech[d/2 + (e*x)/2]^2*Tanh[d/2 + (e*x)/2])/(6*e*f^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(a+b x) Cosh[c+d x]^m Sinh[c+d x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(a+b x) Cosh[a+b x]^m Sinh[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3, x, 4, E^(-3*a - 3*b*x)/(48*b) - E^(-a - b*x)/(8*b) - E^(3*a + 3*b*x)/(24*b) + E^(5*a + 5*b*x)/(80*b)}
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2, x, 5, -(E^(-2*a - 2*b*x)/(16*b)) - E^(2*a + 2*b*x)/(16*b) + E^(4*a + 4*b*x)/(32*b) - x/8}
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^1, x, 4, E^(-a - b*x)/(4*b) + E^(3*a + 3*b*x)/(12*b)}
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^1, x, 3, E^(a + b*x)/b - (2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b}
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2, x, 5, 2/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) + Log[1 - E^(2*a + 2*b*x)]/b}
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3, x, 5, -((2*E^(a + b*x))/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))^2)) + (3*E^(a + b*x))/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) - ArcTanh[E^(a + b*x)]/b}
+
+
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3, x, 5, E^(-4*a - 4*b*x)/(128*b) - E^(-2*a - 2*b*x)/(64*b) - E^(2*a + 2*b*x)/(32*b) - E^(4*a + 4*b*x)/(128*b) + E^(6*a + 6*b*x)/(192*b) + x/16}
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2, x, 4, -(E^(-3*a - 3*b*x)/(48*b)) - E^(a + b*x)/(8*b) + E^(5*a + 5*b*x)/(80*b)}
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^1, x, 5, E^(-2*a - 2*b*x)/(16*b) + E^(2*a + 2*b*x)/(16*b) + E^(4*a + 4*b*x)/(32*b) - x/8}
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^1, x, 5, E^(2*a + 2*b*x)/(4*b) - x/2 + Log[1 - E^(2*a + 2*b*x)]/b}
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^2, x, 5, E^(a + b*x)/b + (2*E^(a + b*x))/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) - (2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b}
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^3, x, 5, -(2/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))^2)) + 4/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) + Log[1 - E^(2*a + 2*b*x)]/b}
+
+
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3, x, 4, E^(-5*a - 5*b*x)/(320*b) - (3*E^(-a - b*x))/(64*b) - E^(3*a + 3*b*x)/(64*b) + E^(7*a + 7*b*x)/(448*b)}
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2, x, 5, -(E^(-4*a - 4*b*x)/(128*b)) - E^(-2*a - 2*b*x)/(64*b) - E^(2*a + 2*b*x)/(32*b) + E^(4*a + 4*b*x)/(128*b) + E^(6*a + 6*b*x)/(192*b) - x/16}
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^1, x, 4, E^(-3*a - 3*b*x)/(48*b) + E^(-a - b*x)/(8*b) + E^(3*a + 3*b*x)/(24*b) + E^(5*a + 5*b*x)/(80*b)}
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^1, x, 5, E^(-a - b*x)/(4*b) + E^(a + b*x)/b + E^(3*a + 3*b*x)/(12*b) - (2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b}
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^2, x, 5, E^(2*a + 2*b*x)/(4*b) + 2/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) + x/2 + Log[1 - E^(2*a + 2*b*x)]/b}
+{E^(a + b*x)*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^3, x, 7, E^(a + b*x)/b - (2*E^(a + b*x))/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))^2) + (3*E^(a + b*x))/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) - (3*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(a+b x) Cosh[n (a+b x)]^m Sinh[n (a+b x)]^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{E^(2*(a + b*x))*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3, x, 5, E^(-2*a - 2*b*x)/(32*b) - E^(4*a + 4*b*x)/(32*b) + E^(6*a + 6*b*x)/(96*b) + x/8}
+{E^(2*(a + b*x))*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2, x, 4, -(E^(-a - b*x)/(8*b)) - E^(a + b*x)/(8*b) - E^(3*a + 3*b*x)/(24*b) + E^(5*a + 5*b*x)/(40*b)}
+{E^(2*(a + b*x))*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^1, x, 4, E^(4*a + 4*b*x)/(16*b) - x/4}
+{E^(2*(a + b*x))*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^1, x, 4, E^(2*a + 2*b*x)/(2*b) + Log[1 - E^(2*a + 2*b*x)]/b}
+{E^(2*(a + b*x))*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2, x, 5, (2*E^(a + b*x))/b + (2*E^(a + b*x))/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) - (4*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b}
+{E^(2*(a + b*x))*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3, x, 5, -(2/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))^2)) + 6/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) + (2*Log[1 - E^(2*a + 2*b*x)])/b}
+
+
+{E^(2*(a + b*x))*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3, x, 4, E^(-3*a - 3*b*x)/(96*b) - E^(-a - b*x)/(32*b) + E^(a + b*x)/(16*b) - E^(3*a + 3*b*x)/(48*b) - E^(5*a + 5*b*x)/(160*b) + E^(7*a + 7*b*x)/(224*b)}
+{E^(2*(a + b*x))*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2, x, 4, -(E^(-2*a - 2*b*x)/(32*b)) - E^(2*a + 2*b*x)/(16*b) + E^(6*a + 6*b*x)/(96*b)}
+{E^(2*(a + b*x))*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^1, x, 4, E^(-a - b*x)/(8*b) - E^(a + b*x)/(8*b) + E^(3*a + 3*b*x)/(24*b) + E^(5*a + 5*b*x)/(40*b)}
+{E^(2*(a + b*x))*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^1, x, 5, (3*E^(a + b*x))/(2*b) + E^(3*a + 3*b*x)/(6*b) - (2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b}
+{E^(2*(a + b*x))*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^2, x, 4, E^(2*a + 2*b*x)/(2*b) + 2/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) + (2*Log[1 - E^(2*a + 2*b*x)])/b}
+{E^(2*(a + b*x))*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^3, x, 6, (2*E^(a + b*x))/b - (2*E^(3*a + 3*b*x))/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))^2) + (3*E^(a + b*x))/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) - (5*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b}
+
+
+{E^(2*(a + b*x))*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3, x, 5, E^(-4*a - 4*b*x)/(256*b) - (3*E^(4*a + 4*b*x))/(256*b) + E^(8*a + 8*b*x)/(512*b) + (3*x)/64}
+{E^(2*(a + b*x))*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2, x, 4, -(E^(-3*a - 3*b*x)/(96*b)) - E^(-a - b*x)/(32*b) - E^(a + b*x)/(16*b) - E^(3*a + 3*b*x)/(48*b) + E^(5*a + 5*b*x)/(160*b) + E^(7*a + 7*b*x)/(224*b)}
+{E^(2*(a + b*x))*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^1, x, 5, E^(-2*a - 2*b*x)/(32*b) + E^(4*a + 4*b*x)/(32*b) + E^(6*a + 6*b*x)/(96*b) - x/8}
+{E^(2*(a + b*x))*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^1, x, 5, E^(2*a + 2*b*x)/(2*b) + E^(4*a + 4*b*x)/(16*b) - x/4 + Log[1 - E^(2*a + 2*b*x)]/b}
+{E^(2*(a + b*x))*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^2, x, 6, (5*E^(a + b*x))/(2*b) + E^(3*a + 3*b*x)/(6*b) + (2*E^(a + b*x))/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) - (4*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b}
+{E^(2*(a + b*x))*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^3, x, 4, E^(2*a + 2*b*x)/(2*b) - 2/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))^2) + 6/(b*(1 - E^(2*a + 2*b*x))) + (3*Log[1 - E^(2*a + 2*b*x)])/b}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{E^x*Sech[2*x]*Tanh[2*x], x, 12, -(E^(3*x)/(1 + E^(4*x))) - ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^x]/(2*Sqrt[2]) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^x]/(2*Sqrt[2]) + Log[1 - Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(4*Sqrt[2]) - Log[1 + Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(4*Sqrt[2])}
+{E^x*Sech[2*x]^2*Tanh[2*x], x, 13, -(E^(5*x)/(1 + E^(4*x))^2) - E^x/(4*(1 + E^(4*x))) - ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^x]/(8*Sqrt[2]) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^x]/(8*Sqrt[2]) - Log[1 - Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(16*Sqrt[2]) + Log[1 + Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)]/(16*Sqrt[2])}
+{E^x*Sech[2*x]*Tanh[2*x]^2, x, 13, E^(3*x)/(1 + E^(4*x))^2 - (3*E^(3*x))/(4*(1 + E^(4*x))) - (5*ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^x])/(8*Sqrt[2]) + (5*ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^x])/(8*Sqrt[2]) + (5*Log[1 - Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)])/(16*Sqrt[2]) - (5*Log[1 + Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)])/(16*Sqrt[2])}
+{E^x*Sech[2*x]^2*Tanh[2*x]^2, x, 14, (4*E^(5*x))/(3*(1 + E^(4*x))^3) - (5*E^(5*x))/(6*(1 + E^(4*x))^2) - (3*E^x)/(8*(1 + E^(4*x))) - (3*ArcTan[1 - Sqrt[2]*E^x])/(16*Sqrt[2]) + (3*ArcTan[1 + Sqrt[2]*E^x])/(16*Sqrt[2]) - (3*Log[1 - Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)])/(32*Sqrt[2]) + (3*Log[1 + Sqrt[2]*E^x + E^(2*x)])/(32*Sqrt[2])}
+
+
+{E^x*Coth[2*x]*Csch[2*x], x, 6, E^(3*x)/(1 - E^(4*x)) + ArcTan[E^x]/2 - ArcTanh[E^x]/2}
+{E^x*Coth[2*x]*Csch[2*x]^2, x, 7, -(E^(5*x)/(1 - E^(4*x))^2) + E^x/(4*(1 - E^(4*x))) - ArcTan[E^x]/8 - ArcTanh[E^x]/8}
+{E^x*Coth[2*x]^2*Csch[2*x], x, 7, -(E^(3*x)/(1 - E^(4*x))^2) + (3*E^(3*x))/(4*(1 - E^(4*x))) + (5*ArcTan[E^x])/8 - (5*ArcTanh[E^x])/8}
+{E^x*Coth[2*x]^2*Csch[2*x]^2, x, 8, (4*E^(5*x))/(3*(1 - E^(4*x))^3) - (5*E^(5*x))/(6*(1 - E^(4*x))^2) + (3*E^x)/(8*(1 - E^(4*x))) - (3*ArcTan[E^x])/16 - (3*ArcTanh[E^x])/16}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(a+b x) Cosh[c+d x]^m Sinh[c+d x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>=0*)
+
+
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^3, x, 4, -((b*E^(c + d*x)*Cosh[2*a + 2*b*x])/(2*(4*b^2 - d^2))) + (b*E^(c + d*x)*Cosh[4*a + 4*b*x])/(2*(16*b^2 - d^2)) + (d*E^(c + d*x)*Sinh[2*a + 2*b*x])/(4*(4*b^2 - d^2)) - (d*E^(c + d*x)*Sinh[4*a + 4*b*x])/(8*(16*b^2 - d^2))}
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^2, x, 4, (d*E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x])/(4*(b^2 - d^2)) - (d*E^(c + d*x)*Cosh[3*a + 3*b*x])/(4*(9*b^2 - d^2)) - (b*E^(c + d*x)*Sinh[a + b*x])/(4*(b^2 - d^2)) + (3*b*E^(c + d*x)*Sinh[3*a + 3*b*x])/(4*(9*b^2 - d^2))}
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^1, x, 3, (b*E^(c + d*x)*Cosh[2*a + 2*b*x])/(4*b^2 - d^2) - (d*E^(c + d*x)*Sinh[2*a + 2*b*x])/(2*(4*b^2 - d^2))}
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x]^0, x, 1, -((d*E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x])/(b^2 - d^2)) + (b*E^(c + d*x)*Sinh[a + b*x])/(b^2 - d^2)}
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^1, x, 4, E^(c + d*x)/d - (2*E^(c + d*x)*Hypergeometric2F1[1, d/(2*b), 1 + d/(2*b), E^(2*(a + b*x))])/d}
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^2, x, 4, -((2*E^(a + c + (b + d)*x)*Hypergeometric2F1[1, (b + d)/(2*b), (3*b + d)/(2*b), E^(2*(a + b*x))])/(b + d)) + (4*E^(a + c + (b + d)*x)*Hypergeometric2F1[2, (b + d)/(2*b), (3*b + d)/(2*b), E^(2*(a + b*x))])/(b + d)}
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]*Csch[a + b*x]^3, x, 4, (4*E^(2*a + c + (2*b + d)*x)*Hypergeometric2F1[2, (1/2)*(2 + d/b), (1/2)*(4 + d/b), E^(2*(a + b*x))])/(2*b + d) - (8*E^(2*a + c + (2*b + d)*x)*Hypergeometric2F1[3, (1/2)*(2 + d/b), (1/2)*(4 + d/b), E^(2*(a + b*x))])/(2*b + d)}
+
+
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^3, x, 5, -((b*E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x])/(8*(b^2 - d^2))) - (3*b*E^(c + d*x)*Cosh[3*a + 3*b*x])/(16*(9*b^2 - d^2)) + (5*b*E^(c + d*x)*Cosh[5*a + 5*b*x])/(16*(25*b^2 - d^2)) + (d*E^(c + d*x)*Sinh[a + b*x])/(8*(b^2 - d^2)) + (d*E^(c + d*x)*Sinh[3*a + 3*b*x])/(16*(9*b^2 - d^2)) - (d*E^(c + d*x)*Sinh[5*a + 5*b*x])/(16*(25*b^2 - d^2))}
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^2, x, 4, -(E^(c + d*x)/(8*d)) - (d*E^(c + d*x)*Cosh[4*a + 4*b*x])/(8*(16*b^2 - d^2)) + (b*E^(c + d*x)*Sinh[4*a + 4*b*x])/(2*(16*b^2 - d^2))}
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^1, x, 4, (b*E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x])/(4*(b^2 - d^2)) + (3*b*E^(c + d*x)*Cosh[3*a + 3*b*x])/(4*(9*b^2 - d^2)) - (d*E^(c + d*x)*Sinh[a + b*x])/(4*(b^2 - d^2)) - (d*E^(c + d*x)*Sinh[3*a + 3*b*x])/(4*(9*b^2 - d^2))}
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x]^0, x, 2, (2*b^2*E^(c + d*x))/(d*(4*b^2 - d^2)) - (d*E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^2)/(4*b^2 - d^2) + (2*b*E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(4*b^2 - d^2)}
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^1, x, 6, -((3*E^(-a + c - (b - d)*x))/(2*(b - d))) + E^(a + c + (b + d)*x)/(2*(b + d)) + (2*E^(-a + c - (b - d)*x)*Hypergeometric2F1[1, -((b - d)/(2*b)), (b + d)/(2*b), E^(2*(a + b*x))])/(b - d)}
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^2, x, 5, E^(c + d*x)/d - (4*E^(c + d*x)*Hypergeometric2F1[1, d/(2*b), 1 + d/(2*b), E^(2*(a + b*x))])/d + (4*E^(c + d*x)*Hypergeometric2F1[2, d/(2*b), 1 + d/(2*b), E^(2*(a + b*x))])/d}
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^2*Csch[a + b*x]^3, x, 5, -((2*E^(a + c + (b + d)*x)*Hypergeometric2F1[1, (b + d)/(2*b), (3*b + d)/(2*b), E^(2*(a + b*x))])/(b + d)) + (8*E^(a + c + (b + d)*x)*Hypergeometric2F1[2, (b + d)/(2*b), (3*b + d)/(2*b), E^(2*(a + b*x))])/(b + d) - (8*E^(a + c + (b + d)*x)*Hypergeometric2F1[3, (b + d)/(2*b), (3*b + d)/(2*b), E^(2*(a + b*x))])/(b + d)}
+
+
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^3, x, 4, -((3*b*E^(c + d*x)*Cosh[2*a + 2*b*x])/(16*(4*b^2 - d^2))) + (3*b*E^(c + d*x)*Cosh[6*a + 6*b*x])/(16*(36*b^2 - d^2)) + (3*d*E^(c + d*x)*Sinh[2*a + 2*b*x])/(32*(4*b^2 - d^2)) - (d*E^(c + d*x)*Sinh[6*a + 6*b*x])/(32*(36*b^2 - d^2))}
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^2, x, 5, (d*E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x])/(8*(b^2 - d^2)) - (d*E^(c + d*x)*Cosh[3*a + 3*b*x])/(16*(9*b^2 - d^2)) - (d*E^(c + d*x)*Cosh[5*a + 5*b*x])/(16*(25*b^2 - d^2)) - (b*E^(c + d*x)*Sinh[a + b*x])/(8*(b^2 - d^2)) + (3*b*E^(c + d*x)*Sinh[3*a + 3*b*x])/(16*(9*b^2 - d^2)) + (5*b*E^(c + d*x)*Sinh[5*a + 5*b*x])/(16*(25*b^2 - d^2))}
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^1, x, 4, (b*E^(c + d*x)*Cosh[2*a + 2*b*x])/(2*(4*b^2 - d^2)) + (b*E^(c + d*x)*Cosh[4*a + 4*b*x])/(2*(16*b^2 - d^2)) - (d*E^(c + d*x)*Sinh[2*a + 2*b*x])/(4*(4*b^2 - d^2)) - (d*E^(c + d*x)*Sinh[4*a + 4*b*x])/(8*(16*b^2 - d^2))}
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^3*Sinh[a + b*x]^0, x, 2, -((6*b^2*d*E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x])/(9*b^4 - 10*b^2*d^2 + d^4)) - (d*E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^3)/(9*b^2 - d^2) + (6*b^3*E^(c + d*x)*Sinh[a + b*x])/(9*b^4 - 10*b^2*d^2 + d^4) + (3*b*E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^2*Sinh[a + b*x])/(9*b^2 - d^2)}
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^1, x, 8, -((7*E^(-2*a + c - (2*b - d)*x))/(4*(2*b - d))) + E^(c + d*x)/d + E^(2*a + c + (2*b + d)*x)/(4*(2*b + d)) + (2*E^(-2*a + c - (2*b - d)*x)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-2 + d/b), d/(2*b), E^(2*(a + b*x))])/(2*b - d)}
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^2, x, 7, -((5*E^(-a + c - (b - d)*x))/(2*(b - d))) + E^(a + c + (b + d)*x)/(2*(b + d)) + (6*E^(-a + c - (b - d)*x)*Hypergeometric2F1[1, -((b - d)/(2*b)), (b + d)/(2*b), E^(2*(a + b*x))])/(b - d) - (4*E^(-a + c - (b - d)*x)*Hypergeometric2F1[2, -((b - d)/(2*b)), (b + d)/(2*b), E^(2*(a + b*x))])/(b - d)}
+{E^(c + d*x)*Cosh[a + b*x]^3*Csch[a + b*x]^3, x, 6, E^(c + d*x)/d - (6*E^(c + d*x)*Hypergeometric2F1[1, d/(2*b), 1 + d/(2*b), E^(2*(a + b*x))])/d + (12*E^(c + d*x)*Hypergeometric2F1[2, d/(2*b), 1 + d/(2*b), E^(2*(a + b*x))])/d - (8*E^(c + d*x)*Hypergeometric2F1[3, d/(2*b), 1 + d/(2*b), E^(2*(a + b*x))])/d}
+
+
+{E^(a + b*x)*Sinh[c + d*x]^(3/2) - ((3*d^2)/(4*(b^2 - (9*d^2)/4)))*(E^(a + b*x)/Sqrt[Sinh[c + d*x]]), x, 10, -((6*d*E^(a + b*x)*Cosh[c + d*x]*Sqrt[Sinh[c + d*x]])/(4*b^2 - 9*d^2)) + (4*b*E^(a + b*x)*Sinh[c + d*x]^(3/2))/(4*b^2 - 9*d^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*m<0*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Products of functions of a hyperbolic function and its derivative*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F[Cosh[a+b x]] Sinh[a+b x]^n when n odd*)
+
+
+{E^(n*Cosh[a+b*x])*Sinh[a+b*x], x, 2, E^(n*Cosh[a + b*x])/(b*n)}
+{E^(n*Cosh[a*c+b*c*x])*Sinh[c*(a+b*x)], x, 2, E^(n*Cosh[c*(a + b*x)])/(b*c*n)}
+{E^(n*Cosh[c*(a+b*x)])*Sinh[a*c+b*c*x], x, 2, E^(n*Cosh[a*c + b*c*x])/(b*c*n)}
+
+
+{E^(n*Cosh[a+b*x])*Tanh[a+b*x], x, 2, ExpIntegralEi[n*Cosh[a + b*x]]/b}
+{E^(n*Cosh[a*c+b*c*x])*Tanh[c*(a+b*x)], x, 2, ExpIntegralEi[n*Cosh[c*(a + b*x)]]/(b*c)}
+{E^(n*Cosh[c*(a+b*x)])*Tanh[a*c+b*c*x], x, 2, ExpIntegralEi[n*Cosh[a*c + b*c*x]]/(b*c)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F[Sinh[a+b x]] Cosh[a+b x]^n when n odd*)
+
+
+{E^(n*Sinh[a+b*x])*Cosh[a+b*x], x, 2, E^(n*Sinh[a + b*x])/(b*n)}
+{E^(n*Sinh[a*c+b*c*x])*Cosh[c*(a+b*x)], x, 2, E^(n*Sinh[c*(a + b*x)])/(b*c*n)}
+{E^(n*Sinh[c*(a+b*x)])*Cosh[a*c+b*c*x], x, 2, E^(n*Sinh[a*c + b*c*x])/(b*c*n)}
+
+
+{E^(n*Sinh[a+b*x])*Coth[a+b*x], x, 2, ExpIntegralEi[n*Sinh[a + b*x]]/b}
+{E^(n*Sinh[a*c+b*c*x])*Coth[c*(a+b*x)], x, 2, ExpIntegralEi[n*Sinh[c*(a + b*x)]]/(b*c)}
+{E^(n*Sinh[c*(a+b*x)])*Coth[a*c+b*c*x], x, 2, ExpIntegralEi[n*Sinh[a*c + b*c*x]]/(b*c)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F[Tanh[a+b x]] Sech[a+b x]^n when n even*)
+
+
+{Sech[x]^2/(a + b*Tanh[x]), x, 2, Log[a + b*Tanh[x]]/b}
+{Sech[x]^2/(1 + Tanh[x]^2), x, 2, ArcTan[Tanh[x]]}
+{Sech[x]^2/(9 + Tanh[x]^2), x, 2, ArcTan[Tanh[x]/3]/3}
+{Sech[x]^2*(a + b*Tanh[x])^n, x, 2, (a + b*Tanh[x])^(1 + n)/(b*(1 + n))}
+{Sech[x]^2*(1 + 1/(1 - Tanh[x]^2)), x, 3, x + Tanh[x]}
+{Sech[x]^2*(2 - Tanh[x]^2)/(1 - Tanh[x]^2), x, 4, x + Tanh[x]}
+{Sech[x]^2/(2 + 2*Tanh[x] + Tanh[x]^2), x, 3, ArcTan[1 + Tanh[x]]}
+{Sech[x]^2/(Tanh[x]^2 + Tanh[x]^3), x, 3, -Coth[x] - Log[Tanh[x]] + Log[1 + Tanh[x]]}
+{Sech[x]^2/(-Tanh[x]^2 + Tanh[x]^3), x, 3, Coth[x] + Log[1 - Tanh[x]] - Log[Tanh[x]]}
+{Sech[x]^2/(3 - 4*Tanh[x]^3), x, 7, ArcTan[(3^(1/3) + 2*2^(2/3)*Tanh[x])/3^(5/6)]/(3*2^(2/3)*3^(1/6)) - Log[3^(1/3) - 2^(2/3)*Tanh[x]]/(3*6^(2/3)) + Log[3^(2/3) + 2^(2/3)*3^(1/3)*Tanh[x] + 2*2^(1/3)*Tanh[x]^2]/(6*6^(2/3))}
+{Sech[x]^2/(11 - 5*Tanh[x] + 5*Tanh[x]^2), x, 3, -((2*ArcTan[Sqrt[5/39]*(1 - 2*Tanh[x])])/Sqrt[195])}
+{Sech[x]^2*(a + b*Tanh[x])/(c + d*Tanh[x]), x, 3, -(((b*c - a*d)*Log[c + d*Tanh[x]])/d^2) + (b*Tanh[x])/d}
+{Sech[x]^2*(a + b*Tanh[x])^2/(c + d*Tanh[x]), x, 3, ((b*c - a*d)^2*Log[c + d*Tanh[x]])/d^3 - (b*(b*c - a*d)*Tanh[x])/d^2 + (a + b*Tanh[x])^2/(2*d)}
+{Sech[x]^2*(a + b*Tanh[x])^3/(c + d*Tanh[x]), x, 3, -(((b*c - a*d)^3*Log[c + d*Tanh[x]])/d^4) + (b*(b*c - a*d)^2*Tanh[x])/d^3 - ((b*c - a*d)*(a + b*Tanh[x])^2)/(2*d^2) + (a + b*Tanh[x])^3/(3*d)}
+{Sech[x]^2*Tanh[x]^2/(2 + Tanh[x]^3)^2, x, 2, -1/(3*(2 + Tanh[x]^3))}
+{Sech[x]^2*Tanh[x]^6*(1 - Tanh[x]^2)^3, x, 4, Tanh[x]^7/7 - Tanh[x]^9/3 + (3*Tanh[x]^11)/11 - Tanh[x]^13/13}
+{Sech[x]^2*(2 + Tanh[x]^2)/(1 + Tanh[x]^3), x, 5, -((2*ArcTan[(1 - 2*Tanh[x])/Sqrt[3]])/Sqrt[3]) + Log[1 + Tanh[x]]}
+{Sech[x]^2*(1 + Cosh[x]^2), x, 2, x + Tanh[x]}
+{Sech[x]^2/(1 + Sech[x]^2 - 3*Tanh[x]), x, 3, (2*ArcTanh[(3 + 2*Tanh[x])/Sqrt[17]])/Sqrt[17]}
+{Sech[x]^2/Sqrt[4 - Sech[x]^2], x, 2, ArcSinh[Tanh[x]/Sqrt[3]]}
+{Sech[x]^2/Sqrt[1 - 4*Tanh[x]^2], x, 2, ArcSin[2*Tanh[x]]/2}
+{Sech[x]^2/Sqrt[-4 + Tanh[x]^2], x, 3, ArcTanh[Tanh[x]/Sqrt[-4 + Tanh[x]^2]]}
+{Sech[x]^2*Sqrt[1 + Coth[x]^2], x, 3, -ArcSinh[Coth[x]] + Sqrt[1 + Coth[x]^2]*Tanh[x]}
+{Sech[x]^2*Sqrt[1 + Tanh[x]^2], x, 3, (1/2)*ArcSinh[Tanh[x]] + (1/2)*Tanh[x]*Sqrt[1 + Tanh[x]^2]}
+
+
+{Sech[x]^4*(-1 + Sech[x]^2)^2*Tanh[x], x, 4, Tanh[x]^6/6 - Tanh[x]^8/8}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form F[Coth[a+b x]] Csch[a+b x]^n when n even*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form F[Sech[a+b x]] Sech[a+b x] Tanh[a+b x]*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form F[Csch[a+b x]] Csch[a+b x] Coth[a+b x]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F[Sinh[(a+b x)/2]] Sinh[a+b x]*)
+
+
+{E^(n*Sinh[a+b*x])*Sinh[2*a+2*b*x], x, 4, -((2*E^(n*Sinh[a + b*x]))/(b*n^2)) + (2*E^(n*Sinh[a + b*x])*Sinh[a + b*x])/(b*n)}
+{E^(n*Sinh[a+b*x])*Sinh[2*(a+b*x)], x, 4, -((2*E^(n*Sinh[a + b*x]))/(b*n^2)) + (2*E^(n*Sinh[a + b*x])*Sinh[a + b*x])/(b*n)}
+{E^(n*Sinh[a/2+b/2*x])*Sinh[a+b*x], x, 4, -((4*E^(n*Sinh[a/2 + (b*x)/2]))/(b*n^2)) + (4*E^(n*Sinh[a/2 + (b*x)/2])*Sinh[a/2 + (b*x)/2])/(b*n)}
+{E^(n*Sinh[(a+b*x)/2])*Sinh[a+b*x], x, 4, -((4*E^(n*Sinh[a/2 + (b*x)/2]))/(b*n^2)) + (4*E^(n*Sinh[a/2 + (b*x)/2])*Sinh[a/2 + (b*x)/2])/(b*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F[Cosh[(a+b x)/2]] Sinh[a+b x]*)
+
+
+{E^(n*Cosh[a+b*x])*Sinh[2*a+2*b*x], x, 4, -((2*E^(n*Cosh[a + b*x]))/(b*n^2)) + (2*E^(n*Cosh[a + b*x])*Cosh[a + b*x])/(b*n)}
+{E^(n*Cosh[a+b*x])*Sinh[2*(a+b*x)], x, 4, -((2*E^(n*Cosh[a + b*x]))/(b*n^2)) + (2*E^(n*Cosh[a + b*x])*Cosh[a + b*x])/(b*n)}
+{E^(n*Cosh[a/2+b/2*x])*Sinh[a+b*x], x, 4, -((4*E^(n*Cosh[a/2 + (b*x)/2]))/(b*n^2)) + (4*E^(n*Cosh[a/2 + (b*x)/2])*Cosh[a/2 + (b*x)/2])/(b*n)}
+{E^(n*Cosh[(a+b*x)/2])*Sinh[a+b*x], x, 4, -((4*E^(n*Cosh[a/2 + (b*x)/2]))/(b*n^2)) + (4*E^(n*Cosh[a/2 + (b*x)/2])*Cosh[a/2 + (b*x)/2])/(b*n)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form F[Tanh[a+b x]] when n even*)
+
+
+{Csch[x]*Log[Tanh[x]]*Sech[x], x, 1, Log[Tanh[x]]^2/2}
+{Csch[2*x]*Log[Tanh[x]], x, 1, Log[Tanh[x]]^2/4}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Products of functions of a hyperbolic function and its derivative*)
+
+
+{Cosh[a + b*x]*F[c, d, Sinh[a + b*x], r, s], x, 1, CannotIntegrate[Cosh[a + b*x]*F[c, d, Sinh[a + b*x], r, s], x]}
+{Sinh[a + b*x]*F[c, d, Cosh[a + b*x], r, s], x, 1, CannotIntegrate[F[c, d, Cosh[a + b*x], r, s]*Sinh[a + b*x], x]}
+{Sech[a + b*x]^2*F[c, d, Tanh[a + b*x], r, s], x, 1, CannotIntegrate[F[c, d, Tanh[a + b*x], r, s]*Sech[a + b*x]^2, x]}
+{Csch[a + b*x]^2*F[c, d, Coth[a + b*x], r, s], x, 1, CannotIntegrate[Csch[a + b*x]^2*F[c, d, Coth[a + b*x], r, s], x]}
+
+
+{Sech[x]*(5 - 11*Sech[x]^2)*Tanh[x], x, 3, -5*Sech[x] + (11*Sech[x]^3)/3}
+
+
+{Csch[x]^2/(a + b*Coth[x]), x, 2, -(Log[a + b*Coth[x]]/b)}
+{Csch[x]^2*(a + b*Coth[x])^n, x, 2, -((a + b*Coth[x])^(1 + n)/(b*(1 + n)))}
+
+{Csch[x]^2*(-1 + Sinh[x]^2), x, 2, x + Coth[x]}
+{Csch[x]^2*(-1 - 1/(1 - Coth[x]^2)), x, 3, x + Coth[x]}
+{Csch[x]^2*(a + b*Coth[x])/(c + d*Coth[x]), x, 3, -((b*Coth[x])/d) + ((b*c - a*d)*Log[c + d*Coth[x]])/d^2}
+{Csch[x]^2*(a + b*Coth[x])^2/(c + d*Coth[x]), x, 3, (b*(b*c - a*d)*Coth[x])/d^2 - (a + b*Coth[x])^2/(2*d) - ((b*c - a*d)^2*Log[c + d*Coth[x]])/d^3}
+{Csch[x]^2*(a + b*Coth[x])^3/(c + d*Coth[x]), x, 3, -((b*(b*c - a*d)^2*Coth[x])/d^3) + ((b*c - a*d)*(a + b*Coth[x])^2)/(2*d^2) - (a + b*Coth[x])^3/(3*d) + ((b*c - a*d)^3*Log[c + d*Coth[x]])/d^4}
+
+
+{Cosh[x]^3*(a + b*Cosh[x]^2)^3*Sinh[x], x, 4, -((a*(a + b*Cosh[x]^2)^4)/(8*b^2)) + (a + b*Cosh[x]^2)^5/(10*b^2)}
+{Sinh[x]^3*(a + b*Sinh[x]^2)^3*Cosh[x], x, 4, -((a*(a + b*Sinh[x]^2)^4)/(8*b^2)) + (a + b*Sinh[x]^2)^5/(10*b^2)}
+
+
+{Cosh[x]*Sinh[x]*Sqrt[a + b*Sinh[x]^2], x, 2, (a + b*Sinh[x]^2)^(3/2)/(3*b)}
+
+
+{Csch[x]*Sqrt[1 + Log[Coth[x]]^2]*Sech[x], x, 3, (-(1/2))*ArcSinh[Log[Coth[x]]] - (1/2)*Log[Coth[x]]*Sqrt[1 + Log[Coth[x]]^2]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Miscellaneous integrands involving hyperbolic functions*)
+
+
+{(Coth[Sqrt[x]]*Csch[Sqrt[x]])/Sqrt[x], x, 3, -2*Csch[Sqrt[x]]}
+{(Cosh[Sqrt[x]]*Sinh[Sqrt[x]])/Sqrt[x], x, 1, Sinh[Sqrt[x]]^2}
+{(Sech[Sqrt[x]]*Tanh[Sqrt[x]])/Sqrt[x], x, 3, -2*Sech[Sqrt[x]]}
+
+
+{Sinh[x]^2/(a + b*Sinh[2*x]), x, 9, ArcTanh[(b - a*Tanh[x])/Sqrt[a^2 + b^2]]/(2*Sqrt[a^2 + b^2]) + Log[a + b*Sinh[2*x]]/(4*b), ArcTanh[(b - a*Tanh[x])/Sqrt[a^2 + b^2]]/(2*Sqrt[a^2 + b^2]) + Log[Cosh[x]]/(2*b) + Log[a + 2*b*Tanh[x] - a*Tanh[x]^2]/(4*b)}
+{Cosh[x]^2/(a + b*Sinh[2*x]), x, 8, -(ArcTanh[(b - a*Tanh[x])/Sqrt[a^2 + b^2]]/(2*Sqrt[a^2 + b^2])) + Log[a + b*Sinh[2*x]]/(4*b), -(ArcTanh[(b - a*Tanh[x])/Sqrt[a^2 + b^2]]/(2*Sqrt[a^2 + b^2])) + Log[Cosh[x]]/(2*b) + Log[a + 2*b*Tanh[x] - a*Tanh[x]^2]/(4*b)}
+
+{Sinh[x]^2/(a + b*Cosh[2*x]), x, 4, x/(2*b) - (Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b]])/(2*Sqrt[a - b]*b)}
+{Cosh[x]^2/(a + b*Cosh[2*x]), x, 4, x/(2*b) - (Sqrt[a - b]*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b]])/(2*b*Sqrt[a + b])}
+
+
+{Tanh[c + d*x]/Sqrt[a*Sinh[c+d*x]^2], x, 3, ArcTan[Sqrt[a*Sinh[c + d*x]^2]/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*d)}
+{Coth[c + d*x]/Sqrt[a*Cosh[c+d*x]^2], x, 3, -(ArcTanh[Sqrt[a*Cosh[c + d*x]^2]/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*d))}
+
+
+{x*Cosh[2*x]*Sech[x], x, 12, -2*x*ArcTan[E^x] - 2*Cosh[x] + I*PolyLog[2, (-I)*E^x] - I*PolyLog[2, I*E^x] + 2*x*Sinh[x]}
+{x*Cosh[2*x]*Sech[x]^2, x, 5, x^2+Log[Cosh[x]]-x*Tanh[x]}
+{x*Cosh[2*x]*Sech[x]^3, x, 19, 3*x*ArcTan[E^x] - (3/2)*I*PolyLog[2, (-I)*E^x] + (3/2)*I*PolyLog[2, I*E^x] - Sech[x]/2 - (1/2)*x*Sech[x]*Tanh[x]}
+
+
+{Sqrt[Csch[x]]*(x*Cosh[x] - 4*Sech[x]*Tanh[x]), x, 8, (2*x)/Sqrt[Csch[x]] - (4*Sech[x])/Csch[x]^(3/2)}
+
+
+{Sinh[x]*(Cosh[x] + Sinh[x]), x, 6, -(x/2) + (1/2)*Cosh[x]*Sinh[x] + Sinh[x]^2/2}
+
+{(1 + Sinh[x]^2)/(1 + Cosh[x] + Sinh[x]), x, 5, (1/4)*Log[1 - Tanh[x/2]] + (3/4)*Log[1 + Tanh[x/2]] + 1/(2*(1 - Tanh[x/2])) - 1/(2*(1 + Tanh[x/2])^2) + 1/(1 + Tanh[x/2])}
+{x^5*Cosh[a + b*x^3]^7*Sinh[a + b*x^3], x, 7, -((35*x^3)/(3072*b)) + (x^3*Cosh[a + b*x^3]^8)/(24*b) - (35*Cosh[a + b*x^3]*Sinh[a + b*x^3])/(3072*b^2) - (35*Cosh[a + b*x^3]^3*Sinh[a + b*x^3])/(4608*b^2) - (7*Cosh[a + b*x^3]^5*Sinh[a + b*x^3])/(1152*b^2) - (Cosh[a + b*x^3]^7*Sinh[a + b*x^3])/(192*b^2)}
+
+(* {Csch[x^5]/x, x, Unintegrable[Csch[x^5]/x, x]} *)
+
+{Cosh[x]^2/(1 + E^x), x, 4, -(1/8)/E^(2*x) + 1/(E^x*4) + E^x/4 + (3*x)/4 - Log[1 + E^x]}
+
+
+{Sqrt[1 + Sech[x]]*Sech[x]*Tanh[x]^3, x, 6, (-(4/5))*(1 + Sech[x])^(5/2) + (2/7)*(1 + Sech[x])^(7/2)}
+{Sqrt[1 + Csch[x]]*Csch[x]*Coth[x]^3, x, 5, (-(4/3))*(1 + Csch[x])^(3/2) + (4/5)*(1 + Csch[x])^(5/2) - (2/7)*(1 + Csch[x])^(7/2)}
+
+
+{Cosh[x]^x*(Log[Cosh[x]] + x*Tanh[x]), x, 3, Cosh[x]^x}
+
+
+(* Nonidempotent expansion results in infinite recursion: *) 
+(* {(x*Cosh[x] - Sinh[x])/(x - Sinh[x])^2, x, -7, x/(x - Sinh[x])} *)
+(* {(-Cosh[x] + x*Sinh[x])/(x - Cosh[x])^2, x, 0, x/(x - Cosh[x])} *)
+
+
+{F^(a + b*x)*(Cosh[c + d*x] + Sinh[c + d*x])^n, x, 4, ((E^(c + d*x))^n*F^(a + b*x))/(d*n + b*Log[F])}
+{F^(a + b*x)*(Cosh[c + d*x] - Sinh[c + d*x])^n, x, 4, -(((E^(-c - d*x))^n*F^(a + b*x))/(d*n - b*Log[F]))}
+
+
+(* {(Cosh[a + b*x]^5 - Sinh[a + b*x]^5)/(Cosh[a + b*x]^5 + Sinh[a + b*x]^5), x, 5, 0} *)
+{(Cosh[a + b*x]^4 - Sinh[a + b*x]^4)/(Cosh[a + b*x]^4 + Sinh[a + b*x]^4), x, 6, -(ArcTan[1 - Sqrt[2]*Tanh[a + b*x]]/(Sqrt[2]*b)) + ArcTan[1 + Sqrt[2]*Tanh[a + b*x]]/(Sqrt[2]*b)}
+{(Cosh[a + b*x]^3 - Sinh[a + b*x]^3)/(Cosh[a + b*x]^3 + Sinh[a + b*x]^3), x, 5, -((4*ArcTan[(1 - 2*Tanh[a + b*x])/Sqrt[3]])/(3*Sqrt[3]*b)) - 1/(3*b*(1 + Tanh[a + b*x]))}
+{(Cosh[a + b*x]^2 - Sinh[a + b*x]^2)/(Cosh[a + b*x]^2 + Sinh[a + b*x]^2), x, 3, ArcTan[Tanh[a + b*x]]/b}
+{(Cosh[a + b*x]^1 - Sinh[a + b*x]^1)/(Cosh[a + b*x]^1 + Sinh[a + b*x]^1), x, 1, -(1/(2*b*(Cosh[a + b*x] + Sinh[a + b*x])^2))}
+{(Sech[a + b*x]^1 - Csch[a + b*x]^1)/(Sech[a + b*x]^1 + Csch[a + b*x]^1), x, 2, 1/(b*(1 + Tanh[a + b*x]))}
+{(Sech[a + b*x]^2 - Csch[a + b*x]^2)/(Sech[a + b*x]^2 + Csch[a + b*x]^2), x, 2, -(ArcTan[Tanh[a + b*x]]/b)}
+{(Sech[a + b*x]^3 - Csch[a + b*x]^3)/(Sech[a + b*x]^3 + Csch[a + b*x]^3), x, 5, (4*ArcTan[(1 - 2*Tanh[a + b*x])/Sqrt[3]])/(3*Sqrt[3]*b) + 1/(3*b*(1 + Tanh[a + b*x]))}
+{(Sech[a + b*x]^4 - Csch[a + b*x]^4)/(Sech[a + b*x]^4 + Csch[a + b*x]^4), x, 6, ArcTan[1 - Sqrt[2]*Tanh[a + b*x]]/(Sqrt[2]*b) - ArcTan[1 + Sqrt[2]*Tanh[a + b*x]]/(Sqrt[2]*b)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.2 (d x)^m (a+b arcsinh(c x))^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.2 (d x)^m (a+b arcsinh(c x))^n.m
new file mode 100644
index 00000000..4f348bcf
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.2 (d x)^m (a+b arcsinh(c x))^n.m	
@@ -0,0 +1,264 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcSinh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b x)^m ArcSinh[a x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcSinh[a x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^4*ArcSinh[a*x], x, 4, -(Sqrt[1 + a^2*x^2]/(5*a^5)) + (2*(1 + a^2*x^2)^(3/2))/(15*a^5) - (1 + a^2*x^2)^(5/2)/(25*a^5) + (1/5)*x^5*ArcSinh[a*x]}
+{x^3*ArcSinh[a*x], x, 4, (3*x*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(32*a^3) - (x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(16*a) - (3*ArcSinh[a*x])/(32*a^4) + (1/4)*x^4*ArcSinh[a*x]}
+{x^2*ArcSinh[a*x], x, 4, Sqrt[1 + a^2*x^2]/(3*a^3) - (1 + a^2*x^2)^(3/2)/(9*a^3) + (1/3)*x^3*ArcSinh[a*x]}
+{x^1*ArcSinh[a*x], x, 3, -((x*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(4*a)) + ArcSinh[a*x]/(4*a^2) + (1/2)*x^2*ArcSinh[a*x]}
+{x^0*ArcSinh[a*x], x, 2, -(Sqrt[1 + a^2*x^2]/a) + x*ArcSinh[a*x]}
+{ArcSinh[a*x]/x^1, x, 5, (-(1/2))*ArcSinh[a*x]^2 + ArcSinh[a*x]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[a*x])] + (1/2)*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[a*x])]}
+{ArcSinh[a*x]/x^2, x, 4, -(ArcSinh[a*x]/x) - a*ArcTanh[Sqrt[1 + a^2*x^2]]}
+{ArcSinh[a*x]/x^3, x, 2, -((a*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*x)) - ArcSinh[a*x]/(2*x^2)}
+{ArcSinh[a*x]/x^4, x, 5, -((a*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(6*x^2)) - ArcSinh[a*x]/(3*x^3) + (1/6)*a^3*ArcTanh[Sqrt[1 + a^2*x^2]]}
+{ArcSinh[a*x]/x^5, x, 3, -((a*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(12*x^3)) + (a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(6*x) - ArcSinh[a*x]/(4*x^4)}
+{ArcSinh[a*x]/x^6, x, 6, -((a*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(20*x^4)) + (3*a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(40*x^2) - ArcSinh[a*x]/(5*x^5) - (3/40)*a^5*ArcTanh[Sqrt[1 + a^2*x^2]]}
+
+
+{x^4*ArcSinh[a*x]^2, x, 7, (16*x)/(75*a^4) - (8*x^3)/(225*a^2) + (2*x^5)/125 - (16*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(75*a^5) + (8*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(75*a^3) - (2*x^4*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(25*a) + (1/5)*x^5*ArcSinh[a*x]^2}
+{x^3*ArcSinh[a*x]^2, x, 6, (-3*x^2)/(32*a^2) + x^4/32 + (3*x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(16*a^3) - (x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(8*a) - (3*ArcSinh[a*x]^2)/(32*a^4) + (x^4*ArcSinh[a*x]^2)/4}
+{x^2*ArcSinh[a*x]^2, x, 5, -((4*x)/(9*a^2)) + (2*x^3)/27 + (4*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(9*a^3) - (2*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(9*a) + (1/3)*x^3*ArcSinh[a*x]^2}
+{x*ArcSinh[a*x]^2, x, 4, x^2/4 - (x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(2*a) + ArcSinh[a*x]^2/(4*a^2) + (x^2*ArcSinh[a*x]^2)/2}
+{ArcSinh[a*x]^2, x, 3, 2*x - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/a + x*ArcSinh[a*x]^2}
+{ArcSinh[a*x]^2/x, x, 6, -ArcSinh[a*x]^3/3 + ArcSinh[a*x]^2*Log[1 - E^(2*ArcSinh[a*x])] + ArcSinh[a*x]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[a*x])] - PolyLog[3, E^(2*ArcSinh[a*x])]/2}
+{ArcSinh[a*x]^2/x^2, x, 7, -(ArcSinh[a*x]^2/x) - 4*a*ArcSinh[a*x]*ArcTanh[E^ArcSinh[a*x]] - 2*a*PolyLog[2, -E^ArcSinh[a*x]] + 2*a*PolyLog[2, E^ArcSinh[a*x]]}
+{ArcSinh[a*x]^2/x^3, x, 3, -((a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/x) - ArcSinh[a*x]^2/(2*x^2) + a^2*Log[x]}
+{ArcSinh[a*x]^2/x^4, x, 9, -(a^2/(3*x)) - (a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(3*x^2) - ArcSinh[a*x]^2/(3*x^3) + (2/3)*a^3*ArcSinh[a*x]*ArcTanh[E^ArcSinh[a*x]] + (1/3)*a^3*PolyLog[2, -E^ArcSinh[a*x]] - (1/3)*a^3*PolyLog[2, E^ArcSinh[a*x]]}
+{ArcSinh[a*x]^2/x^5, x, 5, -a^2/(12*x^2) - (a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(6*x^3) + (a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(3*x) - ArcSinh[a*x]^2/(4*x^4) - (a^4*Log[x])/3}
+
+
+{x^4*ArcSinh[a*x]^3, x, 14, -((298*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(375*a^5)) + (76*(1 + a^2*x^2)^(3/2))/(1125*a^5) - (6*(1 + a^2*x^2)^(5/2))/(625*a^5) + (16*x*ArcSinh[a*x])/(25*a^4) - (8*x^3*ArcSinh[a*x])/(75*a^2) + (6/125)*x^5*ArcSinh[a*x] - (8*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(25*a^5) + (4*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(25*a^3) - (3*x^4*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(25*a) + (1/5)*x^5*ArcSinh[a*x]^3}
+{x^3*ArcSinh[a*x]^3, x, 11, (45*x*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(256*a^3) - (3*x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(128*a) - (45*ArcSinh[a*x])/(256*a^4) - (9*x^2*ArcSinh[a*x])/(32*a^2) + (3*x^4*ArcSinh[a*x])/32 + (9*x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(32*a^3) - (3*x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(16*a) - (3*ArcSinh[a*x]^3)/(32*a^4) + (x^4*ArcSinh[a*x]^3)/4}
+{x^2*ArcSinh[a*x]^3, x, 9, (14*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(9*a^3) - (2*(1 + a^2*x^2)^(3/2))/(27*a^3) - (4*x*ArcSinh[a*x])/(3*a^2) + (2/9)*x^3*ArcSinh[a*x] + (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(3*a^3) - (x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(3*a) + (1/3)*x^3*ArcSinh[a*x]^3}
+{x*ArcSinh[a*x]^3, x, 6, (-3*x*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(8*a) + (3*ArcSinh[a*x])/(8*a^2) + (3*x^2*ArcSinh[a*x])/4 - (3*x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(4*a) + ArcSinh[a*x]^3/(4*a^2) + (x^2*ArcSinh[a*x]^3)/2}
+{ArcSinh[a*x]^3, x, 4, (-6*Sqrt[1 + a^2*x^2])/a + 6*x*ArcSinh[a*x] - (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/a + x*ArcSinh[a*x]^3}
+{ArcSinh[a*x]^3/x, x, 7, -ArcSinh[a*x]^4/4 + ArcSinh[a*x]^3*Log[1 - E^(2*ArcSinh[a*x])] + (3*ArcSinh[a*x]^2*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[a*x])])/2 - (3*ArcSinh[a*x]*PolyLog[3, E^(2*ArcSinh[a*x])])/2 + (3*PolyLog[4, E^(2*ArcSinh[a*x])])/4}
+{ArcSinh[a*x]^3/x^2, x, 9, -(ArcSinh[a*x]^3/x) - 6*a*ArcSinh[a*x]^2*ArcTanh[E^ArcSinh[a*x]] - 6*a*ArcSinh[a*x]*PolyLog[2, -E^ArcSinh[a*x]] + 6*a*ArcSinh[a*x]*PolyLog[2, E^ArcSinh[a*x]] + 6*a*PolyLog[3, -E^ArcSinh[a*x]] - 6*a*PolyLog[3, E^ArcSinh[a*x]]}
+{ArcSinh[a*x]^3/x^3, x, 7, (-3*a^2*ArcSinh[a*x]^2)/2 - (3*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(2*x) - ArcSinh[a*x]^3/(2*x^2) + 3*a^2*ArcSinh[a*x]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[a*x])] + (3*a^2*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[a*x])])/2}
+{ArcSinh[a*x]^3/x^4, x, 14, -((a^2*ArcSinh[a*x])/x) - (a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(2*x^2) - ArcSinh[a*x]^3/(3*x^3) + a^3*ArcSinh[a*x]^2*ArcTanh[E^ArcSinh[a*x]] - a^3*ArcTanh[Sqrt[1 + a^2*x^2]] + a^3*ArcSinh[a*x]*PolyLog[2, -E^ArcSinh[a*x]] - a^3*ArcSinh[a*x]*PolyLog[2, E^ArcSinh[a*x]] - a^3*PolyLog[3, -E^ArcSinh[a*x]] + a^3*PolyLog[3, E^ArcSinh[a*x]]}
+{ArcSinh[a*x]^3/x^5, x, 10, -(a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(4*x) - (a^2*ArcSinh[a*x])/(4*x^2) + (a^4*ArcSinh[a*x]^2)/2 - (a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(4*x^3) + (a^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(2*x) - ArcSinh[a*x]^3/(4*x^4) - a^4*ArcSinh[a*x]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[a*x])] - (a^4*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[a*x])])/2}
+
+
+{x^5*ArcSinh[a*x]^4, x, 23, (245*x^2)/(1152*a^4) - (65*x^4)/(3456*a^2) + x^6/324 - (245*x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(576*a^5) + (65*x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(864*a^3) - (x^5*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(54*a) + (245*ArcSinh[a*x]^2)/(1152*a^6) + (5*x^2*ArcSinh[a*x]^2)/(16*a^4) - (5*x^4*ArcSinh[a*x]^2)/(48*a^2) + (x^6*ArcSinh[a*x]^2)/18 - (5*x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(24*a^5) + (5*x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(36*a^3) - (x^5*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(9*a) + (5*ArcSinh[a*x]^4)/(96*a^6) + (x^6*ArcSinh[a*x]^4)/6}
+{x^4*ArcSinh[a*x]^4, x, 19, (16576*x)/(5625*a^4) - (1088*x^3)/(16875*a^2) + (24*x^5)/3125 - (16576*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(5625*a^5) + (1088*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(5625*a^3) - (24*x^4*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(625*a) + (32*x*ArcSinh[a*x]^2)/(25*a^4) - (16*x^3*ArcSinh[a*x]^2)/(75*a^2) + (12/125)*x^5*ArcSinh[a*x]^2 - (32*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(75*a^5) + (16*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(75*a^3) - (4*x^4*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(25*a) + (1/5)*x^5*ArcSinh[a*x]^4}
+{x^3*ArcSinh[a*x]^4, x, 14, (-45*x^2)/(128*a^2) + (3*x^4)/128 + (45*x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(64*a^3) - (3*x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(32*a) - (45*ArcSinh[a*x]^2)/(128*a^4) - (9*x^2*ArcSinh[a*x]^2)/(16*a^2) + (3*x^4*ArcSinh[a*x]^2)/16 + (3*x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(8*a^3) - (x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(4*a) - (3*ArcSinh[a*x]^4)/(32*a^4) + (x^4*ArcSinh[a*x]^4)/4}
+{x^2*ArcSinh[a*x]^4, x, 11, -((160*x)/(27*a^2)) + (8*x^3)/81 + (160*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(27*a^3) - (8*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(27*a) - (8*x*ArcSinh[a*x]^2)/(3*a^2) + (4/9)*x^3*ArcSinh[a*x]^2 + (8*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(9*a^3) - (4*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(9*a) + (1/3)*x^3*ArcSinh[a*x]^4}
+{x*ArcSinh[a*x]^4, x, 7, (3*x^2)/4 - (3*x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(2*a) + (3*ArcSinh[a*x]^2)/(4*a^2) + (3*x^2*ArcSinh[a*x]^2)/2 - (x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/a + ArcSinh[a*x]^4/(4*a^2) + (x^2*ArcSinh[a*x]^4)/2}
+{ArcSinh[a*x]^4, x, 5, 24*x - (24*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/a + 12*x*ArcSinh[a*x]^2 - (4*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/a + x*ArcSinh[a*x]^4}
+{ArcSinh[a*x]^4/x, x, 8, -ArcSinh[a*x]^5/5 + ArcSinh[a*x]^4*Log[1 - E^(2*ArcSinh[a*x])] + 2*ArcSinh[a*x]^3*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[a*x])] - 3*ArcSinh[a*x]^2*PolyLog[3, E^(2*ArcSinh[a*x])] + 3*ArcSinh[a*x]*PolyLog[4, E^(2*ArcSinh[a*x])] - (3*PolyLog[5, E^(2*ArcSinh[a*x])])/2}
+{ArcSinh[a*x]^4/x^2, x, 11, -(ArcSinh[a*x]^4/x) - 8*a*ArcSinh[a*x]^3*ArcTanh[E^ArcSinh[a*x]] - 12*a*ArcSinh[a*x]^2*PolyLog[2, -E^ArcSinh[a*x]] + 12*a*ArcSinh[a*x]^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[a*x]] + 24*a*ArcSinh[a*x]*PolyLog[3, -E^ArcSinh[a*x]] - 24*a*ArcSinh[a*x]*PolyLog[3, E^ArcSinh[a*x]] - 24*a*PolyLog[4, -E^ArcSinh[a*x]] + 24*a*PolyLog[4, E^ArcSinh[a*x]]}
+{ArcSinh[a*x]^4/x^3, x, 8, -2*a^2*ArcSinh[a*x]^3 - (2*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/x - ArcSinh[a*x]^4/(2*x^2) + 6*a^2*ArcSinh[a*x]^2*Log[1 - E^(2*ArcSinh[a*x])] + 6*a^2*ArcSinh[a*x]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[a*x])] - 3*a^2*PolyLog[3, E^(2*ArcSinh[a*x])]}
+{ArcSinh[a*x]^4/x^4, x, 19, -((2*a^2*ArcSinh[a*x]^2)/x) - (2*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(3*x^2) - ArcSinh[a*x]^4/(3*x^3) - 8*a^3*ArcSinh[a*x]*ArcTanh[E^ArcSinh[a*x]] + (4/3)*a^3*ArcSinh[a*x]^3*ArcTanh[E^ArcSinh[a*x]] - 4*a^3*PolyLog[2, -E^ArcSinh[a*x]] + 2*a^3*ArcSinh[a*x]^2*PolyLog[2, -E^ArcSinh[a*x]] + 4*a^3*PolyLog[2, E^ArcSinh[a*x]] - 2*a^3*ArcSinh[a*x]^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[a*x]] - 4*a^3*ArcSinh[a*x]*PolyLog[3, -E^ArcSinh[a*x]] + 4*a^3*ArcSinh[a*x]*PolyLog[3, E^ArcSinh[a*x]] + 4*a^3*PolyLog[4, -E^ArcSinh[a*x]] - 4*a^3*PolyLog[4, E^ArcSinh[a*x]]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^6/ArcSinh[a*x], x, 7, -((5*CoshIntegral[ArcSinh[a*x]])/(64*a^7)) + (9*CoshIntegral[3*ArcSinh[a*x]])/(64*a^7) - (5*CoshIntegral[5*ArcSinh[a*x]])/(64*a^7) + CoshIntegral[7*ArcSinh[a*x]]/(64*a^7)}
+{x^5/ArcSinh[a*x], x, 6, (5*SinhIntegral[2*ArcSinh[a*x]])/(32*a^6) - SinhIntegral[4*ArcSinh[a*x]]/(8*a^6) + SinhIntegral[6*ArcSinh[a*x]]/(32*a^6)}
+{x^4/ArcSinh[a*x], x, 6, CoshIntegral[ArcSinh[a*x]]/(8*a^5) - (3*CoshIntegral[3*ArcSinh[a*x]])/(16*a^5) + CoshIntegral[5*ArcSinh[a*x]]/(16*a^5)}
+{x^3/ArcSinh[a*x], x, 5, -SinhIntegral[2*ArcSinh[a*x]]/(4*a^4) + SinhIntegral[4*ArcSinh[a*x]]/(8*a^4)}
+{x^2/ArcSinh[a*x], x, 5, -CoshIntegral[ArcSinh[a*x]]/(4*a^3) + CoshIntegral[3*ArcSinh[a*x]]/(4*a^3)}
+{x/ArcSinh[a*x], x, 4, SinhIntegral[2*ArcSinh[a*x]]/(2*a^2)}
+{ArcSinh[a*x]^(-1), x, 2, CoshIntegral[ArcSinh[a*x]]/a}
+{1/(x*ArcSinh[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcSinh[a*x]), x]}
+{1/(x^2*ArcSinh[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*ArcSinh[a*x]), x]}
+
+
+{x^6/ArcSinh[a*x]^2, x, 6, -((x^6*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*ArcSinh[a*x])) - (5*SinhIntegral[ArcSinh[a*x]])/(64*a^7) + (27*SinhIntegral[3*ArcSinh[a*x]])/(64*a^7) - (25*SinhIntegral[5*ArcSinh[a*x]])/(64*a^7) + (7*SinhIntegral[7*ArcSinh[a*x]])/(64*a^7)}
+{x^5/ArcSinh[a*x]^2, x, 5, -((x^5*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*ArcSinh[a*x])) + (5*CoshIntegral[2*ArcSinh[a*x]])/(16*a^6) - CoshIntegral[4*ArcSinh[a*x]]/(2*a^6) + (3*CoshIntegral[6*ArcSinh[a*x]])/(16*a^6)}
+{x^4/ArcSinh[a*x]^2, x, 5, -((x^4*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*ArcSinh[a*x])) + SinhIntegral[ArcSinh[a*x]]/(8*a^5) - (9*SinhIntegral[3*ArcSinh[a*x]])/(16*a^5) + (5*SinhIntegral[5*ArcSinh[a*x]])/(16*a^5)}
+{x^3/ArcSinh[a*x]^2, x, 4, -((x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*ArcSinh[a*x])) - CoshIntegral[2*ArcSinh[a*x]]/(2*a^4) + CoshIntegral[4*ArcSinh[a*x]]/(2*a^4)}
+{x^2/ArcSinh[a*x]^2, x, 4, -((x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*ArcSinh[a*x])) - SinhIntegral[ArcSinh[a*x]]/(4*a^3) + (3*SinhIntegral[3*ArcSinh[a*x]])/(4*a^3)}
+{x/ArcSinh[a*x]^2, x, 2, -((x*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*ArcSinh[a*x])) + CoshIntegral[2*ArcSinh[a*x]]/a^2}
+{ArcSinh[a*x]^(-2), x, 3, -(Sqrt[1 + a^2*x^2]/(a*ArcSinh[a*x])) + SinhIntegral[ArcSinh[a*x]]/a}
+{1/(x*ArcSinh[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcSinh[a*x]^2), x]}
+{1/(x^2*ArcSinh[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*ArcSinh[a*x]^2), x]}
+
+
+{x^4/ArcSinh[a*x]^3, x, 14, -(x^4*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*a*ArcSinh[a*x]^2) - (2*x^3)/(a^2*ArcSinh[a*x]) - (5*x^5)/(2*ArcSinh[a*x]) + CoshIntegral[ArcSinh[a*x]]/(16*a^5) - (27*CoshIntegral[3*ArcSinh[a*x]])/(32*a^5) + (25*CoshIntegral[5*ArcSinh[a*x]])/(32*a^5)}
+{x^3/ArcSinh[a*x]^3, x, 12, -(x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*a*ArcSinh[a*x]^2) - (3*x^2)/(2*a^2*ArcSinh[a*x]) - (2*x^4)/ArcSinh[a*x] - SinhIntegral[2*ArcSinh[a*x]]/(2*a^4) + SinhIntegral[4*ArcSinh[a*x]]/a^4}
+{x^2/ArcSinh[a*x]^3, x, 10, -(x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*a*ArcSinh[a*x]^2) - x/(a^2*ArcSinh[a*x]) - (3*x^3)/(2*ArcSinh[a*x]) - CoshIntegral[ArcSinh[a*x]]/(8*a^3) + (9*CoshIntegral[3*ArcSinh[a*x]])/(8*a^3)}
+{x/ArcSinh[a*x]^3, x, 7, -(x*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*a*ArcSinh[a*x]^2) - 1/(2*a^2*ArcSinh[a*x]) - x^2/ArcSinh[a*x] + SinhIntegral[2*ArcSinh[a*x]]/a^2}
+{ArcSinh[a*x]^(-3), x, 4, -Sqrt[1 + a^2*x^2]/(2*a*ArcSinh[a*x]^2) - x/(2*ArcSinh[a*x]) + CoshIntegral[ArcSinh[a*x]]/(2*a)}
+{1/(x*ArcSinh[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcSinh[a*x]^3), x]}
+{1/(x^2*ArcSinh[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*ArcSinh[a*x]^3), x]}
+
+
+{x^4/ArcSinh[a*x]^4, x, 12, -(x^4*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a*ArcSinh[a*x]^3) - (2*x^3)/(3*a^2*ArcSinh[a*x]^2) - (5*x^5)/(6*ArcSinh[a*x]^2) - (2*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^3*ArcSinh[a*x]) - (25*x^4*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(6*a*ArcSinh[a*x]) + SinhIntegral[ArcSinh[a*x]]/(48*a^5) - (27*SinhIntegral[3*ArcSinh[a*x]])/(32*a^5) + (125*SinhIntegral[5*ArcSinh[a*x]])/(96*a^5)}
+{x^3/ArcSinh[a*x]^4, x, 9, -(x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a*ArcSinh[a*x]^3) - x^2/(2*a^2*ArcSinh[a*x]^2) - (2*x^4)/(3*ArcSinh[a*x]^2) - (x*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a^3*ArcSinh[a*x]) - (8*x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a*ArcSinh[a*x]) - CoshIntegral[2*ArcSinh[a*x]]/(3*a^4) + (4*CoshIntegral[4*ArcSinh[a*x]])/(3*a^4)}
+{x^2/ArcSinh[a*x]^4, x, 10, -(x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a*ArcSinh[a*x]^3) - x/(3*a^2*ArcSinh[a*x]^2) - x^3/(2*ArcSinh[a*x]^2) - Sqrt[1 + a^2*x^2]/(3*a^3*ArcSinh[a*x]) - (3*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(2*a*ArcSinh[a*x]) - SinhIntegral[ArcSinh[a*x]]/(24*a^3) + (9*SinhIntegral[3*ArcSinh[a*x]])/(8*a^3)}
+{x/ArcSinh[a*x]^4, x, 5, -(x*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a*ArcSinh[a*x]^3) - 1/(6*a^2*ArcSinh[a*x]^2) - x^2/(3*ArcSinh[a*x]^2) - (2*x*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a*ArcSinh[a*x]) + (2*CoshIntegral[2*ArcSinh[a*x]])/(3*a^2)}
+{ArcSinh[a*x]^(-4), x, 5, -Sqrt[1 + a^2*x^2]/(3*a*ArcSinh[a*x]^3) - x/(6*ArcSinh[a*x]^2) - Sqrt[1 + a^2*x^2]/(6*a*ArcSinh[a*x]) + SinhIntegral[ArcSinh[a*x]]/(6*a)}
+{1/(x*ArcSinh[a*x]^4), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcSinh[a*x]^4), x]}
+{1/(x^2*ArcSinh[a*x]^4), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*ArcSinh[a*x]^4), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcSinh[a x]^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^4*Sqrt[ArcSinh[a*x]], x, 19, (x^5*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/5 + (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(32*a^5) - (Sqrt[Pi/3]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(64*a^5) + (Sqrt[Pi/5]*Erf[Sqrt[5]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(320*a^5) - (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(32*a^5) + (Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(64*a^5) - (Sqrt[Pi/5]*Erfi[Sqrt[5]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(320*a^5)}
+{x^3*Sqrt[ArcSinh[a*x]], x, 14, (-3*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(32*a^4) + (x^4*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/4 - (Sqrt[Pi]*Erf[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(256*a^4) + (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(32*a^4) - (Sqrt[Pi]*Erfi[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(256*a^4) + (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(32*a^4)}
+{x^2*Sqrt[ArcSinh[a*x]], x, 14, (x^3*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/3 - (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a^3) + (Sqrt[Pi/3]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(48*a^3) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a^3) - (Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(48*a^3)}
+{x*Sqrt[ArcSinh[a*x]], x, 9, Sqrt[ArcSinh[a*x]]/(4*a^2) + (x^2*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/2 - (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a^2) - (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a^2)}
+{Sqrt[ArcSinh[a*x]], x, 7, x*Sqrt[ArcSinh[a*x]] + (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(4*a) - (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(4*a)}
+{Sqrt[ArcSinh[a*x]]/x, x, 0, Unintegrable[Sqrt[ArcSinh[a*x]]/x, x]}
+
+
+{x^4*ArcSinh[a*x]^(3/2), x, 41, -((4*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(25*a^5)) + (2*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(25*a^3) - (3*x^4*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(50*a) + (1/5)*x^5*ArcSinh[a*x]^(3/2) + (3*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(64*a^5) - (Sqrt[Pi/3]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(200*a^5) - (3*Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(3200*a^5) + (3*Sqrt[Pi/5]*Erf[Sqrt[5]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(3200*a^5) + (3*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(64*a^5) - (Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(200*a^5) - (3*Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(3200*a^5) + (3*Sqrt[Pi/5]*Erfi[Sqrt[5]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(3200*a^5)}
+{x^3*ArcSinh[a*x]^(3/2), x, 25, (9*x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(64*a^3) - (3*x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(32*a) - (3*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(32*a^4) + (1/4)*x^4*ArcSinh[a*x]^(3/2) - (3*Sqrt[Pi]*Erf[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(2048*a^4) + (3*Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(128*a^4) + (3*Sqrt[Pi]*Erfi[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(2048*a^4) - (3*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(128*a^4)}
+{x^2*ArcSinh[a*x]^(3/2), x, 22, (Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(3*a^3) - (x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(6*a) + (1/3)*x^3*ArcSinh[a*x]^(3/2) - (3*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(32*a^3) + (Sqrt[Pi/3]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(96*a^3) - (3*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(32*a^3) + (Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(96*a^3)}
+{x^1*ArcSinh[a*x]^(3/2), x, 11, -((3*x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(8*a)) + ArcSinh[a*x]^(3/2)/(4*a^2) + (1/2)*x^2*ArcSinh[a*x]^(3/2) - (3*Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(64*a^2) + (3*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(64*a^2)}
+{ArcSinh[a*x]^(3/2), x, 8, (-3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(2*a) + x*ArcSinh[a*x]^(3/2) + (3*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(8*a) + (3*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(8*a)}
+{ArcSinh[a*x]^(3/2)/x, x, 0, Unintegrable[ArcSinh[a*x]^(3/2)/x, x]}
+
+
+{x^4*ArcSinh[a*x]^(5/2), x, 44, (2*x*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(5*a^4) - (x^3*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(15*a^2) + (3/100)*x^5*Sqrt[ArcSinh[a*x]] - (4*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(15*a^5) + (2*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(15*a^3) - (x^4*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(10*a) + (1/5)*x^5*ArcSinh[a*x]^(5/2) + (15*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(128*a^5) - (Sqrt[Pi/3]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(240*a^5) - (Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(1280*a^5) + (3*Sqrt[Pi/5]*Erf[Sqrt[5]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(6400*a^5) - (15*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(128*a^5) + (Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(240*a^5) + (Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(1280*a^5) - (3*Sqrt[Pi/5]*Erfi[Sqrt[5]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(6400*a^5)}
+{x^3*ArcSinh[a*x]^(5/2), x, 27, (-225*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(2048*a^4) - (45*x^2*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(256*a^2) + (15*x^4*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/256 + (15*x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(64*a^3) - (5*x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(32*a) - (3*ArcSinh[a*x]^(5/2))/(32*a^4) + (x^4*ArcSinh[a*x]^(5/2))/4 - (15*Sqrt[Pi]*Erf[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16384*a^4) + (15*Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(512*a^4) - (15*Sqrt[Pi]*Erfi[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16384*a^4) + (15*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(512*a^4)}
+{x^2*ArcSinh[a*x]^(5/2), x, 24, (-5*x*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(6*a^2) + (5*x^3*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/36 + (5*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(9*a^3) - (5*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(18*a) + (x^3*ArcSinh[a*x]^(5/2))/3 - (15*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(64*a^3) + (5*Sqrt[Pi/3]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(576*a^3) + (15*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(64*a^3) - (5*Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(576*a^3)}
+{x*ArcSinh[a*x]^(5/2), x, 12, (15*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(64*a^2) + (15*x^2*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/32 - (5*x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(8*a) + ArcSinh[a*x]^(5/2)/(4*a^2) + (x^2*ArcSinh[a*x]^(5/2))/2 - (15*Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(256*a^2) - (15*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(256*a^2)}
+{ArcSinh[a*x]^(5/2), x, 9, (15*x*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/4 - (5*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(2*a) + x*ArcSinh[a*x]^(5/2) + (15*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a) - (15*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a)}
+{ArcSinh[a*x]^(5/2)/x, x, 0, Unintegrable[ArcSinh[a*x]^(5/2)/x, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^4/Sqrt[ArcSinh[a*x]], x, 18, (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a^5) - (Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(32*a^5) + (Sqrt[Pi/5]*Erf[Sqrt[5]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(32*a^5) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a^5) - (Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(32*a^5) + (Sqrt[Pi/5]*Erfi[Sqrt[5]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(32*a^5)}
+{x^3/Sqrt[ArcSinh[a*x]], x, 13, -(Sqrt[Pi]*Erf[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(32*a^4) + (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(8*a^4) + (Sqrt[Pi]*Erfi[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(32*a^4) - (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(8*a^4)}
+{x^2/Sqrt[ArcSinh[a*x]], x, 13, -(Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(8*a^3) + (Sqrt[Pi/3]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(8*a^3) - (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(8*a^3) + (Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(8*a^3)}
+{x/Sqrt[ArcSinh[a*x]], x, 8, -(Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(4*a^2) + (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(4*a^2)}
+{1/Sqrt[ArcSinh[a*x]], x, 6, (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(2*a) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(2*a)}
+{1/(x*Sqrt[ArcSinh[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[ArcSinh[a*x]]), x]}
+{1/(x^2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]), x]}
+
+
+{x^4/ArcSinh[a*x]^(3/2), x, 17, -((2*x^4*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcSinh[a*x]])) - (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(8*a^5) + (3*Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a^5) - (Sqrt[5*Pi]*Erf[Sqrt[5]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a^5) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(8*a^5) - (3*Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a^5) + (Sqrt[5*Pi]*Erfi[Sqrt[5]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a^5)}
+{x^3/ArcSinh[a*x]^(3/2), x, 12, -((2*x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcSinh[a*x]])) + (Sqrt[Pi]*Erf[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(4*a^4) - (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(2*a^4) + (Sqrt[Pi]*Erfi[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(4*a^4) - (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(2*a^4)}
+{x^2/ArcSinh[a*x]^(3/2), x, 12, -((2*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcSinh[a*x]])) + (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(4*a^3) - (Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(4*a^3) - (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(4*a^3) + (Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(4*a^3)}
+{x/ArcSinh[a*x]^(3/2), x, 6, (-2*x*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) + (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/a^2 + (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/a^2}
+{ArcSinh[a*x]^(-3/2), x, 7, (-2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) - (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/a + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/a}
+{1/(x*ArcSinh[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcSinh[a*x]^(3/2)), x]}
+
+
+{x^4/ArcSinh[a*x]^(5/2), x, 34, -((2*x^4*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a*ArcSinh[a*x]^(3/2))) - (16*x^3)/(3*a^2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) - (20*x^5)/(3*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) + (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(12*a^5) - (3*Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(8*a^5) + (5*Sqrt[5*Pi]*Erf[Sqrt[5]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(24*a^5) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(12*a^5) - (3*Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(8*a^5) + (5*Sqrt[5*Pi]*Erfi[Sqrt[5]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(24*a^5)}
+{x^3/ArcSinh[a*x]^(5/2), x, 24, (-2*x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a*ArcSinh[a*x]^(3/2)) - (4*x^2)/(a^2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) - (16*x^4)/(3*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) - (2*Sqrt[Pi]*Erf[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(3*a^4) + (Sqrt[2*Pi]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(3*a^4) + (2*Sqrt[Pi]*Erfi[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(3*a^4) - (Sqrt[2*Pi]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(3*a^4)}
+{x^2/ArcSinh[a*x]^(5/2), x, 22, (-2*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a*ArcSinh[a*x]^(3/2)) - (8*x)/(3*a^2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) - (4*x^3)/Sqrt[ArcSinh[a*x]] - (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(6*a^3) + (Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(2*a^3) - (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(6*a^3) + (Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(2*a^3)}
+{x/ArcSinh[a*x]^(5/2), x, 11, (-2*x*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a*ArcSinh[a*x]^(3/2)) - 4/(3*a^2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) - (8*x^2)/(3*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) - (2*Sqrt[2*Pi]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(3*a^2) + (2*Sqrt[2*Pi]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(3*a^2)}
+{1/ArcSinh[a*x]^(5/2), x, 8, (-2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a*ArcSinh[a*x]^(3/2)) - (4*x)/(3*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) + (2*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(3*a) + (2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(3*a)}
+{1/(x*ArcSinh[a*x]^(5/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcSinh[a*x]^(5/2)), x]}
+
+
+{x^4/ArcSinh[a*x]^(7/2), x, 32, -((2*x^4*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(5*a*ArcSinh[a*x]^(5/2))) - (16*x^3)/(15*a^2*ArcSinh[a*x]^(3/2)) - (4*x^5)/(3*ArcSinh[a*x]^(3/2)) - (32*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(5*a^3*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) - (40*x^4*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) - (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(30*a^5) + (9*Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(20*a^5) - (5*Sqrt[5*Pi]*Erf[Sqrt[5]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(12*a^5) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(30*a^5) - (9*Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(20*a^5) + (5*Sqrt[5*Pi]*Erfi[Sqrt[5]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(12*a^5)}
+{x^3/ArcSinh[a*x]^(7/2), x, 21, (-2*x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(5*a*ArcSinh[a*x]^(5/2)) - (4*x^2)/(5*a^2*ArcSinh[a*x]^(3/2)) - (16*x^4)/(15*ArcSinh[a*x]^(3/2)) - (16*x*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(5*a^3*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) - (128*x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(15*a*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) + (16*Sqrt[Pi]*Erf[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(15*a^4) - (4*Sqrt[2*Pi]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(15*a^4) + (16*Sqrt[Pi]*Erfi[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(15*a^4) - (4*Sqrt[2*Pi]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(15*a^4)}
+{x^2/ArcSinh[a*x]^(7/2), x, 22, (-2*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(5*a*ArcSinh[a*x]^(5/2)) - (8*x)/(15*a^2*ArcSinh[a*x]^(3/2)) - (4*x^3)/(5*ArcSinh[a*x]^(3/2)) - (16*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(15*a^3*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) - (24*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(5*a*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) + (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(15*a^3) - (3*Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(5*a^3) - (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(15*a^3) + (3*Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(5*a^3)}
+{x/ArcSinh[a*x]^(7/2), x, 9, (-2*x*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(5*a*ArcSinh[a*x]^(5/2)) - 4/(15*a^2*ArcSinh[a*x]^(3/2)) - (8*x^2)/(15*ArcSinh[a*x]^(3/2)) - (32*x*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(15*a*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) + (8*Sqrt[2*Pi]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(15*a^2) + (8*Sqrt[2*Pi]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(15*a^2)}
+{ArcSinh[a*x]^(-7/2), x, 9, (-2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(5*a*ArcSinh[a*x]^(5/2)) - (4*x)/(15*ArcSinh[a*x]^(3/2)) - (8*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(15*a*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) - (4*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(15*a) + (4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(15*a)}
+{1/(x*ArcSinh[a*x]^(7/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcSinh[a*x]^(7/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b x)^m ArcSin[a x]^n with m symbolic*)
+
+
+{x^m*ArcSinh[a*x]^4, x, 1, (x^(1 + m)*ArcSinh[a*x]^4)/(1 + m) - (4*a*Unintegrable[(x^(1 + m)*ArcSinh[a*x]^3)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x])/(1 + m)}
+{x^m*ArcSinh[a*x]^3, x, 1, (x^(1 + m)*ArcSinh[a*x]^3)/(1 + m) - (3*a*Unintegrable[(x^(1 + m)*ArcSinh[a*x]^2)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x])/(1 + m)}
+{x^m*ArcSinh[a*x]^2, x, 2, (x^(1 + m)*ArcSinh[a*x]^2)/(1 + m) - (2*a*x^(2 + m)*ArcSinh[a*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-a^2)*x^2])/(2 + 3*m + m^2) + (2*a^2*x^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, (-a^2)*x^2])/(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3)}
+{x^m*ArcSinh[a*x]^1, x, 2, (x^(1 + m)*ArcSinh[a*x])/(1 + m) - (a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -(a^2*x^2)])/(2 + 3*m + m^2)}
+{x^m/ArcSinh[a*x]^1, x, 0, Unintegrable[x^m/ArcSinh[a*x], x]}
+{x^m/ArcSinh[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[x^m/ArcSinh[a*x]^2, x]}
+
+
+{x^m*ArcSinh[a*x]^(5/2), x, 0, Unintegrable[x^m*ArcSinh[a*x]^(5/2), x]}
+{x^m*ArcSinh[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[x^m*ArcSinh[a*x]^(3/2), x]}
+{x^m*Sqrt[ArcSinh[a*x]], x, 0, Unintegrable[x^m*Sqrt[ArcSinh[a*x]], x]}
+{x^m/Sqrt[ArcSinh[a*x]], x, 0, Unintegrable[x^m/Sqrt[ArcSinh[a*x]], x]}
+{x^m/ArcSinh[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[x^m/ArcSinh[a*x]^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b x)^m ArcSin[a x]^n with n symbolic*)
+
+
+{(b*x)^m*ArcSinh[a*x]^n, x, 0, Unintegrable[(b*x)^m*ArcSinh[a*x]^n, x]}
+
+
+{x^4*ArcSinh[a*x]^n, x, 12, (5^(-1 - n)*ArcSinh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -5*ArcSinh[a*x]])/((-ArcSinh[a*x])^n*(32*a^5)) - (ArcSinh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -3*ArcSinh[a*x]])/(3^n*(-ArcSinh[a*x])^n*(32*a^5)) + (ArcSinh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -ArcSinh[a*x]])/((-ArcSinh[a*x])^n*(16*a^5)) - Gamma[1 + n, ArcSinh[a*x]]/(16*a^5) + Gamma[1 + n, 3*ArcSinh[a*x]]/(3^n*(32*a^5)) - (5^(-1 - n)*Gamma[1 + n, 5*ArcSinh[a*x]])/(32*a^5)}
+{x^3*ArcSinh[a*x]^n, x, 9, (ArcSinh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -4*ArcSinh[a*x]])/(2^(2*(3 + n))*(-ArcSinh[a*x])^n*a^4) - (2^(-4 - n)*ArcSinh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -2*ArcSinh[a*x]])/((-ArcSinh[a*x])^n*a^4) - (2^(-4 - n)*Gamma[1 + n, 2*ArcSinh[a*x]])/a^4 + Gamma[1 + n, 4*ArcSinh[a*x]]/(2^(2*(3 + n))*a^4)}
+{x^2*ArcSinh[a*x]^n, x, 9, (3^(-1 - n)*ArcSinh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -3*ArcSinh[a*x]])/((-ArcSinh[a*x])^n*(8*a^3)) - (ArcSinh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -ArcSinh[a*x]])/((-ArcSinh[a*x])^n*(8*a^3)) + Gamma[1 + n, ArcSinh[a*x]]/(8*a^3) - (3^(-1 - n)*Gamma[1 + n, 3*ArcSinh[a*x]])/(8*a^3)}
+{x^1*ArcSinh[a*x]^n, x, 6, (2^(-3 - n)*ArcSinh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -2*ArcSinh[a*x]])/((-ArcSinh[a*x])^n*a^2) + (2^(-3 - n)*Gamma[1 + n, 2*ArcSinh[a*x]])/a^2}
+{x^0*ArcSinh[a*x]^n, x, 4, (ArcSinh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -ArcSinh[a*x]])/(2*a*(-ArcSinh[a*x])^n) - Gamma[1 + n, ArcSinh[a*x]]/(2*a)}
+{ArcSinh[a*x]^n/x^1, x, 0, Unintegrable[ArcSinh[a*x]^n/x, x]}
+{ArcSinh[a*x]^n/x^2, x, 0, Unintegrable[ArcSinh[a*x]^n/x^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcSinh[c x]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcSinh[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^(1/2), x, 14, (1/3)*x^3*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]] - (Sqrt[b]*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(16*c^3) + (Sqrt[b]*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(48*c^3) + (Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(16*c^3)) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((3*a)/b)*(48*c^3))}
+{x^1*(a + b*ArcSinh[c*x])^(1/2), x, 9, Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/(4*c^2) + (1/2)*x^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]] - (Sqrt[b]*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*c^2) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(16*c^2))}
+{x^0*(a + b*ArcSinh[c*x])^(1/2), x, 7, x*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]] + (Sqrt[b]*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*c) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(4*c))}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2), x, 22, (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/(3*c^3) - (b*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/(6*c) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2) - (3*b^(3/2)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(32*c^3) + (b^(3/2)*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(96*c^3) - (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(32*c^3)) + (b^(3/2)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((3*a)/b)*(96*c^3))}
+{x^1*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2), x, 11, -((3*b*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/(8*c)) + (a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2)/(4*c^2) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2) - (3*b^(3/2)*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(64*c^2) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(64*c^2))}
+{x^0*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2), x, 8, -((3*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/(2*c)) + x*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2) + (3*b^(3/2)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*c) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(8*c))}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^(5/2), x, 24, -((5*b^2*x*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/(6*c^2)) + (5/36)*b^2*x^3*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]] + (5*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2))/(9*c^3) - (5*b*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2))/(18*c) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^(5/2) - (15*b^(5/2)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(64*c^3) + (5*b^(5/2)*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(576*c^3) + (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(64*c^3)) - (5*b^(5/2)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((3*a)/b)*(576*c^3))}
+{x^1*(a + b*ArcSinh[c*x])^(5/2), x, 12, (15*b^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/(64*c^2) + (15/32)*b^2*x^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]] - (5*b*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2))/(8*c) + (a + b*ArcSinh[c*x])^(5/2)/(4*c^2) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^(5/2) - (15*b^(5/2)*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(256*c^2) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(256*c^2))}
+{x^0*(a + b*ArcSinh[c*x])^(5/2), x, 9, (15/4)*b^2*x*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]] - (5*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2))/(2*c) + x*(a + b*ArcSinh[c*x])^(5/2) + (15*b^(5/2)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(16*c) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(16*c))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^2/(a + b*ArcSinh[c*x])^(1/2), x, 13, -((E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*c^3)) + (E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*c^3) - (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(8*Sqrt[b]*c^3)) + (Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((3*a)/b)*(8*Sqrt[b]*c^3))}
+{x^1/(a + b*ArcSinh[c*x])^(1/2), x, 8, -((E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[b]*c^2)) + (Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(4*Sqrt[b]*c^2))}
+{x^0/(a + b*ArcSinh[c*x])^(1/2), x, 6, (E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(2*Sqrt[b]*c))}
+
+
+{x^2/(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2), x, 12, -((2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])) + (E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c^3) - (E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c^3) - (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(4*b^(3/2)*c^3)) + (Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((3*a)/b)*(4*b^(3/2)*c^3))}
+{x^1/(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2), x, 6, -((2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])) + (E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c^2) + (Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(b^(3/2)*c^2))}
+{x^0/(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2), x, 7, -((2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])) - (E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(b^(3/2)*c))}
+
+
+{x^2/(a + b*ArcSinh[c*x])^(5/2), x, 22, -((2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3*b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2))) - (8*x)/(3*b^2*c^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) - (4*x^3)/(b^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) - (E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(6*b^(5/2)*c^3) + (E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(5/2)*c^3) - (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(6*b^(5/2)*c^3)) + (Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((3*a)/b)*(2*b^(5/2)*c^3))}
+{x^1/(a + b*ArcSinh[c*x])^(5/2), x, 11, -((2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3*b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2))) - 4/(3*b^2*c^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) - (8*x^2)/(3*b^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) - (2*E^((2*a)/b)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*c^2) + (2*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(3*b^(5/2)*c^2))}
+{x^0/(a + b*ArcSinh[c*x])^(5/2), x, 8, -((2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3*b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2))) - (4*x)/(3*b^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) + (2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*c) + (2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(3*b^(5/2)*c))}
+
+
+{x^2/(a + b*ArcSinh[c*x])^(7/2), x, 22, -((2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(5*b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])^(5/2))) - (8*x)/(15*b^2*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2)) - (4*x^3)/(5*b^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2)) - (16*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(15*b^3*c^3*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) - (24*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(5*b^3*c*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) + (E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*c^3) - (3*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(5*b^(7/2)*c^3) - (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(15*b^(7/2)*c^3)) + (3*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((3*a)/b)*(5*b^(7/2)*c^3))}
+{x^1/(a + b*ArcSinh[c*x])^(7/2), x, 9, -((2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(5*b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])^(5/2))) - 4/(15*b^2*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2)) - (8*x^2)/(15*b^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2)) - (32*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(15*b^3*c*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) + (8*E^((2*a)/b)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*c^2) + (8*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(15*b^(7/2)*c^2))}
+{x^0/(a + b*ArcSinh[c*x])^(7/2), x, 9, -((2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(5*b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])^(5/2))) - (4*x)/(15*b^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2)) - (8*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(15*b^3*c*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) - (4*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*c) + (4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(15*b^(7/2)*c))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arcsinh(c x))^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arcsinh(c x))^n.m
new file mode 100644
index 00000000..44e8b1d1
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arcsinh(c x))^n.m	
@@ -0,0 +1,1165 @@
+(* ::Package:: *)
+
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+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^p (a+b ArcSinh[c x])^n*)
+
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+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^p (a+b ArcSinh[c x])^1*)
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+(*Integrands of the form x^m (d+c^2 d x^2)^p (a+b ArcSinh[c x])*)
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+
+{x^4*(d + c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 5, (-2*b*d*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(35*c^5) - (b*d*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(105*c^5) + (8*b*d*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(175*c^5) - (b*d*(1 + c^2*x^2)^(7/2))/(49*c^5) + (d*x^5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/5 + (c^2*d*x^7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/7}
+{x^3*(d + c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 6, (b*d*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(24*c^3) - (b*d*x^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(36*c) - (b*c*d*x^5*Sqrt[1 + c^2*x^2])/36 - (b*d*ArcSinh[c*x])/(24*c^4) + (d*x^4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/4 + (c^2*d*x^6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/6}
+{x^2*(d + c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 5, (2*b*d*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(15*c^3) + (b*d*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(45*c^3) - (b*d*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(25*c^3) + (d*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/3 + (c^2*d*x^5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/5}
+{x^1*(d + c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 4, (-3*b*d*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(32*c) - (b*d*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(16*c) - (3*b*d*ArcSinh[c*x])/(32*c^2) + (d*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4*c^2)}
+{x^0*(d + c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 5, (-2*b*d*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3*c) - (b*d*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(9*c) + d*x*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (c^2*d*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/3}
+{((d + c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^1, x, 8, (-(1/4))*b*c*d*x*Sqrt[1 + c^2*x^2] - (1/4)*b*d*ArcSinh[c*x] + (1/2)*d*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (d*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b) + d*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])] - (1/2)*b*d*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])]}
+{((d + c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^2, x, 6, -(b*c*d*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (d*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x + c^2*d*x*(a + b*ArcSinh[c*x]) - b*c*d*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]]}
+{((d + c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^3, x, 8, -((b*c*d*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(2*x)) + (1/2)*b*c^2*d*ArcSinh[c*x] - (d*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*x^2) + (c^2*d*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b) + c^2*d*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])] - (1/2)*b*c^2*d*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])]}
+{((d + c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^4, x, 6, -(b*c*d*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(6*x^2) - (d*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*x^3) - (c^2*d*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x - (5*b*c^3*d*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/6}
+
+
+{x^4*(d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 6, (-8*b*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(315*c^5) - (4*b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(945*c^5) - (b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(525*c^5) + (10*b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(7/2))/(441*c^5) - (b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(9/2))/(81*c^5) + (d^2*x^5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/5 + (2*c^2*d^2*x^7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/7 + (c^4*d^2*x^9*(a + b*ArcSinh[c*x]))/9}
+{x^3*(d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 7, (73*b*d^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3072*c^3) - (73*b*d^2*x^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(4608*c) - (43*b*c*d^2*x^5*Sqrt[1 + c^2*x^2])/1152 - (b*c^3*d^2*x^7*Sqrt[1 + c^2*x^2])/64 - (73*b*d^2*ArcSinh[c*x])/(3072*c^4) + (d^2*x^4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/4 + (c^2*d^2*x^6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/3 + (c^4*d^2*x^8*(a + b*ArcSinh[c*x]))/8}
+{x^2*(d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 5, (8*b*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(105*c^3) + (4*b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(315*c^3) + (b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(175*c^3) - (b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(7/2))/(49*c^3) + (d^2*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/3 + (2*c^2*d^2*x^5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/5 + (c^4*d^2*x^7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/7}
+{x*(d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 5, (-5*b*d^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(96*c) - (5*b*d^2*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(144*c) - (b*d^2*x*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(36*c) - (5*b*d^2*ArcSinh[c*x])/(96*c^2) + (d^2*(1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(6*c^2)}
+{(d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 5, (-8*b*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(15*c) - (4*b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(45*c) - (b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(25*c) + d^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (2*c^2*d^2*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/3 + (c^4*d^2*x^5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/5}
+{((d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x, x, 12, (-(11/32))*b*c*d^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2] - (1/16)*b*c*d^2*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2) - (11/32)*b*d^2*ArcSinh[c*x] + (1/2)*d^2*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/4)*d^2*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (d^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b) + d^2*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])] - (1/2)*b*d^2*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])]}
+{((d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^2, x, 7, (-5*b*c*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/3 - (b*c*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/9 - (d^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x + 2*c^2*d^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (c^4*d^2*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/3 - b*c*d^2*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]]}
+{((d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^3, x, 12, (1/4)*b*c^3*d^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b*c*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(2*x) + (1/4)*b*c^2*d^2*ArcSinh[c*x] + c^2*d^2*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (d^2*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*x^2) + (c^2*d^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/b + 2*c^2*d^2*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])] - b*c^2*d^2*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])]}
+{((d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^4, x, 7, -(b*c^3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(6*x^2) - (d^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*x^3) - (2*c^2*d^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x + c^4*d^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (11*b*c^3*d^2*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/6}
+
+
+{x^4*(d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 5, (-16*b*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(1155*c^5) - (8*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(3465*c^5) - (2*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(1925*c^5) - (b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(7/2))/(1617*c^5) + (4*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(9/2))/(297*c^5) - (b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(11/2))/(121*c^5) + (d^3*x^5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/5 + (3*c^2*d^3*x^7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/7 + (c^4*d^3*x^9*(a + b*ArcSinh[c*x]))/3 + (c^6*d^3*x^11*(a + b*ArcSinh[c*x]))/11}
+{x^3*(d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 8, (49*b*d^3*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(5120*c^3) + (49*b*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(7680*c^3) + (49*b*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(9600*c^3) + (7*b*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(7/2))/(1600*c^3) - (b*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(9/2))/(100*c^3) + (49*b*d^3*ArcSinh[c*x])/(5120*c^4) - (d^3*(1 + c^2*x^2)^4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c^4) + (d^3*(1 + c^2*x^2)^5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(10*c^4)}
+{x^2*(d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 5, (16*b*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(315*c^3) + (8*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(945*c^3) + (2*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(525*c^3) + (b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(7/2))/(441*c^3) - (b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(9/2))/(81*c^3) + (d^3*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/3 + (3*c^2*d^3*x^5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/5 + (3*c^4*d^3*x^7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/7 + (c^6*d^3*x^9*(a + b*ArcSinh[c*x]))/9}
+{x*(d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 6, (-35*b*d^3*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(1024*c) - (35*b*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(1536*c) - (7*b*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(384*c) - (b*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(7/2))/(64*c) - (35*b*d^3*ArcSinh[c*x])/(1024*c^2) + (d^3*(1 + c^2*x^2)^4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c^2)}
+{(d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 5, (-16*b*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(35*c) - (8*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(105*c) - (6*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(175*c) - (b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(7/2))/(49*c) + d^3*x*(a + b*ArcSinh[c*x]) + c^2*d^3*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (3*c^4*d^3*x^5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/5 + (c^6*d^3*x^7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/7}
+{((d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x, x, 17, (-(19/48))*b*c*d^3*x*Sqrt[1 + c^2*x^2] - (7/72)*b*c*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2) - (1/36)*b*c*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(5/2) - (19/48)*b*d^3*ArcSinh[c*x] + (1/2)*d^3*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/4)*d^3*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/6)*d^3*(1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (d^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b) + d^3*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])] - (1/2)*b*d^3*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])]}
+{((d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^2, x, 7, (-11*b*c*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])/5 - (b*c*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/5 - (b*c*d^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/25 - (d^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x + 3*c^2*d^3*x*(a + b*ArcSinh[c*x]) + c^4*d^3*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (c^6*d^3*x^5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/5 - b*c*d^3*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]]}
+{((d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^3, x, 17, (-(3/32))*b*c^3*d^3*x*Sqrt[1 + c^2*x^2] + (7/16)*b*c^3*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2) - (b*c*d^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(2*x) - (3/32)*b*c^2*d^3*ArcSinh[c*x] + (3/2)*c^2*d^3*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (3/4)*c^2*d^3*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (d^3*(1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*x^2) + (3*c^2*d^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b) + 3*c^2*d^3*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])] - (3/2)*b*c^2*d^3*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])]}
+{((d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^4, x, 8, (-(8/3))*b*c^3*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b*c*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(6*x^2) - (1/9)*b*c^3*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2) - (d^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*x^3) - (3*c^2*d^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x + 3*c^4*d^3*x*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/3)*c^6*d^3*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (17/6)*b*c^3*d^3*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + c^2*d*x^2), x, 12, (4*b*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3*c^5*d) - (b*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(9*c^5*d) - (x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^4*d) + (x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^2*d) + (2*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d) - (I*b*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d) + (I*b*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d)}
+{(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + c^2*d*x^2), x, 8, -(b*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(4*c^3*d) + (b*ArcSinh[c*x])/(4*c^4*d) + (x^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c^2*d) + (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(2*b*c^4*d) - ((a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c^4*d) - (b*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*c^4*d)}
+{(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + c^2*d*x^2), x, 8, -((b*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(c^3*d)) + (x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^2*d) - (2*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d) + (I*b*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d) - (I*b*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d)}
+{(x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + c^2*d*x^2), x, 5, -(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(2*b*c^2*d) + ((a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c^2*d) + (b*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*c^2*d)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2), x, 6, (2*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c*d) - (I*b*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c*d) + (I*b*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c*d)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x*(d + c^2*d*x^2)), x, 7, (-2*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcSinh[c*x])])/d - (b*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d) + (b*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^2*(d + c^2*d*x^2)), x, 10, -((a + b*ArcSinh[c*x])/(d*x)) - (2*c*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/d - (b*c*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/d + (I*b*c*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/d - (I*b*c*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/d}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^3*(d + c^2*d*x^2)), x, 9, -(b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(2*d*x) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(2*d*x^2) + (2*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcSinh[c*x])])/d + (b*c^2*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d) - (b*c^2*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^4*(d + c^2*d*x^2)), x, 15, -(b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(6*d*x^2) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(3*d*x^3) + (c^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d*x) + (2*c^3*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/d + (7*b*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/(6*d) - (I*b*c^3*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/d + (I*b*c^3*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/d}
+
+
+{(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + c^2*d*x^2)^2, x, 12, b/(2*c^5*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(c^5*d^2) + (3*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c^4*d^2) - (x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c^2*d^2*(1 + c^2*x^2)) - (3*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d^2) + (((3*I)/2)*b*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d^2) - (((3*I)/2)*b*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d^2)}
+{(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + c^2*d*x^2)^2, x, 8, -(b*x)/(2*c^3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*ArcSinh[c*x])/(2*c^4*d^2) - (x^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c^2*d^2*(1 + c^2*x^2)) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(2*b*c^4*d^2) + ((a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c^4*d^2) + (b*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*c^4*d^2)}
+{(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + c^2*d*x^2)^2, x, 8, -b/(2*c^3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c^2*d^2*(1 + c^2*x^2)) + ((a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d^2) - ((I/2)*b*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d^2) + ((I/2)*b*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d^2)}
+{(x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + c^2*d*x^2)^2, x, 2, (b*x)/(2*c*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(2*c^2*d^2*(1 + c^2*x^2))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2)^2, x, 8, b/(2*c*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*d^2*(1 + c^2*x^2)) + ((a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c*d^2) - ((I/2)*b*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c*d^2) + ((I/2)*b*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c*d^2)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x*(d + c^2*d*x^2)^2), x, 9, -(b*c*x)/(2*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (a + b*ArcSinh[c*x])/(2*d^2*(1 + c^2*x^2)) - (2*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^2 - (b*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d^2) + (b*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^2*(d + c^2*d*x^2)^2), x, 13, -(b*c)/(2*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(d^2*x*(1 + c^2*x^2)) - (3*c^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*d^2*(1 + c^2*x^2)) - (3*c*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/d^2 - (b*c*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/d^2 + (((3*I)/2)*b*c*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/d^2 - (((3*I)/2)*b*c*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/d^2}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^3*(d + c^2*d*x^2)^2), x, 12, -(b*c)/(2*d^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (c^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d^2*(1 + c^2*x^2)) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(2*d^2*x^2*(1 + c^2*x^2)) + (4*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^2 + (b*c^2*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^2 - (b*c^2*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^2}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^4*(d + c^2*d*x^2)^2), x, 19, (b*c^3)/(3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c)/(6*d^2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(3*d^2*x^3*(1 + c^2*x^2)) + (5*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d^2*x*(1 + c^2*x^2)) + (5*c^4*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*d^2*(1 + c^2*x^2)) + (5*c^3*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/d^2 + (13*b*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/(6*d^2) - (5*I*b*c^3*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(2*d^2) + (5*I*b*c^3*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(2*d^2)}
+
+
+{(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + c^2*d*x^2)^3, x, 12, b/(12*c^5*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) - (5*b)/(8*c^5*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4*c^2*d^3*(1 + c^2*x^2)^2) - (3*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c^4*d^3*(1 + c^2*x^2)) + (3*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(4*c^5*d^3) - (((3*I)/8)*b*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d^3) + (((3*I)/8)*b*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d^3)}
+{(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + c^2*d*x^2)^3, x, 4, (b*x^3)/(12*c*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) + (b*x)/(4*c^3*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*ArcSinh[c*x])/(4*c^4*d^3) + (x^4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4*d^3*(1 + c^2*x^2)^2)}
+{(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + c^2*d*x^2)^3, x, 10, -b/(12*c^3*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) + b/(8*c^3*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4*c^2*d^3*(1 + c^2*x^2)^2) + (x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c^2*d^3*(1 + c^2*x^2)) + ((a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(4*c^3*d^3) - ((I/8)*b*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d^3) + ((I/8)*b*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d^3)}
+{(x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + c^2*d*x^2)^3, x, 3, (b*x)/(12*c*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) + (b*x)/(6*c*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(4*c^2*d^3*(1 + c^2*x^2)^2)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2)^3, x, 10, b/(12*c*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) + (3*b)/(8*c*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4*d^3*(1 + c^2*x^2)^2) + (3*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*d^3*(1 + c^2*x^2)) + (3*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(4*c*d^3) - (((3*I)/8)*b*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c*d^3) + (((3*I)/8)*b*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c*d^3)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x*(d + c^2*d*x^2)^3), x, 12, -(b*c*x)/(12*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) - (2*b*c*x)/(3*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (a + b*ArcSinh[c*x])/(4*d^3*(1 + c^2*x^2)^2) + (a + b*ArcSinh[c*x])/(2*d^3*(1 + c^2*x^2)) - (2*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^3 - (b*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d^3) + (b*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d^3)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^2*(d + c^2*d*x^2)^3), x, 16, -(b*c)/(12*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) - (7*b*c)/(8*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(d^3*x*(1 + c^2*x^2)^2) - (5*c^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4*d^3*(1 + c^2*x^2)^2) - (15*c^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*d^3*(1 + c^2*x^2)) - (15*c*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(4*d^3) - (b*c*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/d^3 + (((15*I)/8)*b*c*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/d^3 - (((15*I)/8)*b*c*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/d^3}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^3*(d + c^2*d*x^2)^3), x, 16, -(b*c)/(2*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) - (5*b*c^3*x)/(12*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) + (2*b*c^3*x)/(3*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4*d^3*(1 + c^2*x^2)^2) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(2*d^3*x^2*(1 + c^2*x^2)^2) - (3*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*d^3*(1 + c^2*x^2)) + (6*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^3 + (3*b*c^2*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d^3) - (3*b*c^2*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d^3)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^4*(d + c^2*d*x^2)^3), x, 23, -((b*c^3)/(12*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2))) - (b*c)/(6*d^3*x^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) + (29*b*c^3)/(24*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(3*d^3*x^3*(1 + c^2*x^2)^2) + (7*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^2) + (35*c^4*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(12*d^3*(1 + c^2*x^2)^2) + (35*c^4*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*d^3*(1 + c^2*x^2)) + (35*c^3*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(4*d^3) + (19*b*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/(6*d^3) - (35*I*b*c^3*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(8*d^3) + (35*I*b*c^3*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(8*d^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (Pi+Pi c^2 x^2)^(p/2) (a+b ArcSinh[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 3, (2*b*Sqrt[Pi]*x)/(15*c^3) - (b*Sqrt[Pi]*x^3)/(45*c) - (1/25)*b*c*Sqrt[Pi]*x^5 - ((Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^4*Pi) + ((Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5*c^4*Pi^2)}
+{x^2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 5, -((b*Sqrt[Pi]*x^2)/(16*c)) - (1/16)*b*c*Sqrt[Pi]*x^4 + (Sqrt[Pi]*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c^2) + (1/4)*x^3*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (Sqrt[Pi]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*c^3)}
+{x^1*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 2, -((b*Sqrt[Pi]*x)/(3*c)) - (1/9)*b*c*Sqrt[Pi]*x^3 + ((Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^2*Pi)}
+{x^0*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 3, (-(1/4))*b*c*Sqrt[Pi]*x^2 + (1/2)*x*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (Sqrt[Pi]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*c)}
+{(Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^1, x, 8, (-b)*c*Sqrt[Pi]*x + Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) - 2*Sqrt[Pi]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]] - b*Sqrt[Pi]*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]] + b*Sqrt[Pi]*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]]}
+{(Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^2, x, 3, -((Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x) + (c*Sqrt[Pi]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b) + b*c*Sqrt[Pi]*Log[x]}
+{(Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^3, x, 8, -((b*c*Sqrt[Pi])/(2*x)) - (Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*x^2) - c^2*Sqrt[Pi]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]] - (1/2)*b*c^2*Sqrt[Pi]*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]] + (1/2)*b*c^2*Sqrt[Pi]*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]]}
+{(Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^4, x, 3, -((b*c*Sqrt[Pi])/(6*x^2)) - ((Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*Pi*x^3) + (1/3)*b*c^3*Sqrt[Pi]*Log[x]}
+
+
+{x^3*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 4, (2*b*Pi^(3/2)*x)/(35*c^3) - (b*Pi^(3/2)*x^3)/(105*c) - (8/175)*b*c*Pi^(3/2)*x^5 - (1/49)*b*c^3*Pi^(3/2)*x^7 - ((Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5*c^4*Pi) + ((Pi + c^2*Pi*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(7*c^4*Pi^2)}
+{x^2*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 8, -((b*Pi^(3/2)*x^2)/(32*c)) - (7/96)*b*c*Pi^(3/2)*x^4 - (1/36)*b*c^3*Pi^(3/2)*x^6 + (Pi^(3/2)*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(16*c^2) + (1/8)*Pi*x^3*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/6)*x^3*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (Pi^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(32*b*c^3)}
+{x^1*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 3, -((b*Pi^(3/2)*x)/(5*c)) - (2/15)*b*c*Pi^(3/2)*x^3 - (1/25)*b*c^3*Pi^(3/2)*x^5 + ((Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5*c^2*Pi)}
+{x^0*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 6, (-(5/16))*b*c*Pi^(3/2)*x^2 - (1/16)*b*c^3*Pi^(3/2)*x^4 + (3/8)*Pi*x*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/4)*x*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (3*Pi^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*c)}
+{((Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^1, x, 10, (-(4/3))*b*c*Pi^(3/2)*x - (1/9)*b*c^3*Pi^(3/2)*x^3 + Pi*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/3)*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) - 2*Pi^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]] - b*Pi^(3/2)*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]] + b*Pi^(3/2)*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]]}
+{((Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^2, x, 6, (-(1/4))*b*c^3*Pi^(3/2)*x^2 + (3/2)*c^2*Pi*x*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) - ((Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x + (3*c*Pi^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b) + b*c*Pi^(3/2)*Log[x]}
+{((Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^3, x, 11, -((b*c*Pi^(3/2))/(2*x)) - b*c^3*Pi^(3/2)*x + (3/2)*c^2*Pi*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) - ((Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*x^2) - 3*c^2*Pi^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]] - (3/2)*b*c^2*Pi^(3/2)*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]] + (3/2)*b*c^2*Pi^(3/2)*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]]}
+{((Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^4, x, 6, -((b*c*Pi^(3/2))/(6*x^2)) - (c^2*Pi*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x - ((Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*x^3) + (c^3*Pi^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b) + (4/3)*b*c^3*Pi^(3/2)*Log[x]}
+
+
+{x^3*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 4, (2*b*Pi^(5/2)*x)/(63*c^3) - (b*Pi^(5/2)*x^3)/(189*c) - (1/21)*b*c*Pi^(5/2)*x^5 - (19/441)*b*c^3*Pi^(5/2)*x^7 - (1/81)*b*c^5*Pi^(5/2)*x^9 - ((Pi + c^2*Pi*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(7*c^4*Pi) + ((Pi + c^2*Pi*x^2)^(9/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(9*c^4*Pi^2)}
+{x^2*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 12, -((5*b*Pi^(5/2)*x^2)/(256*c)) - (59/768)*b*c*Pi^(5/2)*x^4 - (17/288)*b*c^3*Pi^(5/2)*x^6 - (1/64)*b*c^5*Pi^(5/2)*x^8 + (5*Pi^(5/2)*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(128*c^2) + (5/64)*Pi^2*x^3*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (5/48)*Pi*x^3*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/8)*x^3*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (5*Pi^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(256*b*c^3)}
+{x^1*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 3, -((b*Pi^(5/2)*x)/(7*c)) - (1/7)*b*c*Pi^(5/2)*x^3 - (3/35)*b*c^3*Pi^(5/2)*x^5 - (1/49)*b*c^5*Pi^(5/2)*x^7 + ((Pi + c^2*Pi*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(7*c^2*Pi)}
+{x^0*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 8, (-(25/96))*b*c*Pi^(5/2)*x^2 - (5/96)*b*c^3*Pi^(5/2)*x^4 - (b*Pi^(5/2)*(1 + c^2*x^2)^3)/(36*c) + (5/16)*Pi^2*x*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (5/24)*Pi*x*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/6)*x*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (5*Pi^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(32*b*c)}
+{((Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^1, x, 13, (-(23/15))*b*c*Pi^(5/2)*x - (11/45)*b*c^3*Pi^(5/2)*x^3 - (1/25)*b*c^5*Pi^(5/2)*x^5 + Pi^2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/3)*Pi*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/5)*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) - 2*Pi^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]] - b*Pi^(5/2)*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]] + b*Pi^(5/2)*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]]}
+{((Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^2, x, 10, (-(9/16))*b*c^3*Pi^(5/2)*x^2 - (1/16)*b*c^5*Pi^(5/2)*x^4 + (15/8)*c^2*Pi^2*x*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (5/4)*c^2*Pi*x*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) - ((Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x + (15*c*Pi^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b) + b*c*Pi^(5/2)*Log[x]}
+{((Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^3, x, 13, -((b*c*Pi^(5/2))/(2*x)) - (7/3)*b*c^3*Pi^(5/2)*x - (1/9)*b*c^5*Pi^(5/2)*x^3 + (5/2)*c^2*Pi^2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (5/6)*c^2*Pi*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) - ((Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*x^2) - 5*c^2*Pi^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]] - (5/2)*b*c^2*Pi^(5/2)*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]] + (5/2)*b*c^2*Pi^(5/2)*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]]}
+{((Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^4, x, 10, -((b*c*Pi^(5/2))/(6*x^2)) - (1/4)*b*c^5*Pi^(5/2)*x^2 + (5/2)*c^4*Pi^2*x*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (5*c^2*Pi*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*x) - ((Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*x^3) + (5*c^3*Pi^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b) + (7/3)*b*c^3*Pi^(5/2)*Log[x]}
+
+
+{Sqrt[1 + x^2]*ArcSinh[x], x, 3, -x^2/4 + (x*Sqrt[1 + x^2]*ArcSinh[x])/2 + ArcSinh[x]^2/4}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2], x, 6, -((8*b*x)/(15*c^5*Sqrt[Pi])) + (4*b*x^3)/(45*c^3*Sqrt[Pi]) - (b*x^5)/(25*c*Sqrt[Pi]) + (8*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(15*c^6*Pi) - (4*x^2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(15*c^4*Pi) + (x^4*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5*c^2*Pi)}
+{(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2], x, 5, (3*b*x^2)/(16*c^3*Sqrt[Pi]) - (b*x^4)/(16*c*Sqrt[Pi]) - (3*x*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c^4*Pi) + (x^3*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4*c^2*Pi) + (3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*c^5*Sqrt[Pi])}
+{(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2], x, 4, (2*b*x)/(3*c^3*Sqrt[Pi]) - (b*x^3)/(9*c*Sqrt[Pi]) - (2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^4*Pi) + (x^2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^2*Pi)}
+{(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2], x, 3, -((b*x^2)/(4*c*Sqrt[Pi])) + (x*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c^2*Pi) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(4*b*c^3*Sqrt[Pi])}
+{(x^1*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2], x, 2, -((b*x)/(c*Sqrt[Pi])) + (Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^2*Pi)}
+{x^0*(a + b*ArcSinh[c*x])/Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2], x, 1, (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(2*b*c*Sqrt[Pi])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^1*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]), x, 6, -((2*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[Pi]) - (b*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[Pi] + (b*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[Pi]}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]), x, 2, -((Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Pi*x)) + (b*c*Log[x])/Sqrt[Pi]}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^3*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]), x, 8, -((b*c)/(2*Sqrt[Pi]*x)) - (Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*Pi*x^2) + (c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[Pi] + (b*c^2*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/(2*Sqrt[Pi]) - (b*c^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/(2*Sqrt[Pi])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^4*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]), x, 4, -((b*c)/(6*Sqrt[Pi]*x^2)) - (Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*Pi*x^3) + (2*c^2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*Pi*x) - (2*b*c^3*Log[x])/(3*Sqrt[Pi])}
+
+
+{(x^5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2), x, 5, (5*b*x)/(3*c^5*Pi^(3/2)) - (b*x^3)/(9*c^3*Pi^(3/2)) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(c^6*Pi*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) - (2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^6*Pi^2) + ((Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^6*Pi^3) + (b*ArcTan[c*x])/(c^6*Pi^(3/2))}
+{(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2), x, 7, -((b*x^2)/(4*c^3*Pi^(3/2))) - (x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^2*Pi*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) + (3*x*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c^4*Pi^2) - (3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*c^5*Pi^(3/2)) - (b*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^5*Pi^(3/2))}
+{(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2), x, 4, -((b*x)/(c^3*Pi^(3/2))) + (a + b*ArcSinh[c*x])/(c^4*Pi*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) + (Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^4*Pi^2) - (b*ArcTan[c*x])/(c^4*Pi^(3/2))}
+{(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2), x, 3, -((x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^2*Pi*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2])) + (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(2*b*c^3*Pi^(3/2)) + (b*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^3*Pi^(3/2))}
+{(x^1*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2), x, 2, -((a + b*ArcSinh[c*x])/(c^2*Pi*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2])) + (b*ArcTan[c*x])/(c^2*Pi^(3/2))}
+{x^0*(a + b*ArcSinh[c*x])/(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2), x, 2, (x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Pi*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) - (b*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c*Pi^(3/2))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^1*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)), x, 8, (a + b*ArcSinh[c*x])/(Pi*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) - (b*ArcTan[c*x])/Pi^(3/2) - (2*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Pi^(3/2) - (b*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/Pi^(3/2) + (b*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/Pi^(3/2)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^2*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)), x, 5, -((a + b*ArcSinh[c*x])/(Pi*x*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2])) - (2*c^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Pi*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) + (b*c*Log[x])/Pi^(3/2) + (b*c*Log[1 + c^2*x^2])/(2*Pi^(3/2))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^3*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)), x, 11, -((b*c)/(2*Pi^(3/2)*x)) - (3*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*Pi*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(2*Pi*x^2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) + (b*c^2*ArcTan[c*x])/Pi^(3/2) + (3*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Pi^(3/2) + (3*b*c^2*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/(2*Pi^(3/2)) - (3*b*c^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/(2*Pi^(3/2))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^4*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)), x, 5, -((b*c)/(6*Pi^(3/2)*x^2)) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(3*Pi*x^3*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) + (4*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*Pi*x*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) + (8*c^4*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*Pi*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) - (5*b*c^3*Log[x])/(3*Pi^(3/2)) - (b*c^3*Log[1 + c^2*x^2])/(2*Pi^(3/2))}
+
+
+{(x^6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2), x, 11, -((b*x^2)/(4*c^5*Pi^(5/2))) - b/(6*c^7*Pi^(5/2)*(1 + c^2*x^2)) - (x^5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^2*Pi*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)) - (5*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^4*Pi^2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) + (5*x*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c^6*Pi^3) - (5*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*c^7*Pi^(5/2)) - (7*b*Log[1 + c^2*x^2])/(6*c^7*Pi^(5/2))}
+{(x^5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2), x, 5, -((b*x)/(c^5*Pi^(5/2))) + (b*x)/(6*c^5*Pi^(5/2)*(1 + c^2*x^2)) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(3*c^6*Pi*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)) + (2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^6*Pi^2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) + (Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^6*Pi^3) - (11*b*ArcTan[c*x])/(6*c^6*Pi^(5/2))}
+{(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2), x, 7, b/(6*c^5*Pi^(5/2)*(1 + c^2*x^2)) - (x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^2*Pi*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)) - (x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^4*Pi^2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) + (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(2*b*c^5*Pi^(5/2)) + (2*b*Log[1 + c^2*x^2])/(3*c^5*Pi^(5/2))}
+{(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2), x, 4, -((b*x)/(6*c^3*Pi^(5/2)*(1 + c^2*x^2))) + (a + b*ArcSinh[c*x])/(3*c^4*Pi*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(c^4*Pi^2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) + (5*b*ArcTan[c*x])/(6*c^4*Pi^(5/2))}
+{(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2), x, 4, -(b/(6*c^3*Pi^(5/2)*(1 + c^2*x^2))) + (x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*Pi*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)) - (b*Log[1 + c^2*x^2])/(6*c^3*Pi^(5/2))}
+{(x^1*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2), x, 3, (b*x)/(6*c*Pi^(5/2)*(1 + c^2*x^2)) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(3*c^2*Pi*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)) + (b*ArcTan[c*x])/(6*c^2*Pi^(5/2))}
+{x^0*(a + b*ArcSinh[c*x])/(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2), x, 4, b/(6*c*Pi^(5/2)*(1 + c^2*x^2)) + (x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*Pi*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*Pi^2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) - (b*Log[1 + c^2*x^2])/(3*c*Pi^(5/2))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^1*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)), x, 11, -((b*c*x)/(6*Pi^(5/2)*(1 + c^2*x^2))) + (a + b*ArcSinh[c*x])/(3*Pi*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)) + (a + b*ArcSinh[c*x])/(Pi^2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) - (7*b*ArcTan[c*x])/(6*Pi^(5/2)) - (2*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Pi^(5/2) - (b*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/Pi^(5/2) + (b*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/Pi^(5/2)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^2*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)), x, 5, -((b*c)/(6*Pi^(5/2)*(1 + c^2*x^2))) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(Pi*x*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)) - (4*c^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*Pi*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)) - (8*c^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*Pi^2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) + (b*c*Log[x])/Pi^(5/2) + (5*b*c*Log[1 + c^2*x^2])/(6*Pi^(5/2))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^3*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)), x, 15, -((3*b*c)/(4*Pi^(5/2)*x)) + (b*c)/(4*Pi^(5/2)*x*(1 + c^2*x^2)) + (5*b*c^3*x)/(12*Pi^(5/2)*(1 + c^2*x^2)) - (5*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(6*Pi*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(2*Pi*x^2*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)) - (5*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*Pi^2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) + (13*b*c^2*ArcTan[c*x])/(6*Pi^(5/2)) + (5*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Pi^(5/2) + (5*b*c^2*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/(2*Pi^(5/2)) - (5*b*c^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/(2*Pi^(5/2))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^4*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)), x, 5, -((b*c)/(6*Pi^(5/2)*x^2)) + (b*c^3)/(6*Pi^(5/2)*(1 + c^2*x^2)) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(3*Pi*x^3*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)) + (2*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Pi*x*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)) + (8*c^4*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*Pi*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)) + (16*c^4*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*Pi^2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) - (8*b*c^3*Log[x])/(3*Pi^(5/2)) - (4*b*c^3*Log[1 + c^2*x^2])/(3*Pi^(5/2))}
+
+
+{ArcSinh[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^(7/2), x, 6, 1/(20*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + 2/(15*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x*ArcSinh[a*x])/(5*c*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcSinh[a*x])/(15*c^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcSinh[a*x])/(15*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (4*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Log[1 + a^2*x^2])/(15*a*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+
+
+{(x^4*ArcSinh[a*x])/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 5, (3*x^2)/(16*a^3) - x^4/(16*a) - (3*x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(8*a^4) + (x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(4*a^2) + (3*ArcSinh[a*x]^2)/(16*a^5)}
+{(x^3*ArcSinh[a*x])/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 4, (2*x)/(3*a^3) - x^3/(9*a) - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(3*a^4) + (x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(3*a^2)}
+{(x^2*ArcSinh[a*x])/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 3, -x^2/(4*a) + (x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(2*a^2) - ArcSinh[a*x]^2/(4*a^3)}
+{(x^1*ArcSinh[a*x])/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 2, -(x/a) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/a^2}
+{ArcSinh[a*x]/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 1, ArcSinh[a*x]^2/(2*a)}
+{ArcSinh[a*x]/(x^1*Sqrt[1 + a^2*x^2]), x, 6, -2*ArcSinh[a*x]*ArcTanh[E^ArcSinh[a*x]] - PolyLog[2, -E^ArcSinh[a*x]] + PolyLog[2, E^ArcSinh[a*x]]}
+{ArcSinh[a*x]/(x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]), x, 2, -((Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/x) + a*Log[x]}
+{ArcSinh[a*x]/(x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]), x, 8, -a/(2*x) - (Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(2*x^2) + a^2*ArcSinh[a*x]*ArcTanh[E^ArcSinh[a*x]] + (a^2*PolyLog[2, -E^ArcSinh[a*x]])/2 - (a^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[a*x]])/2}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcSinh[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 3, (2*b*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(15*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(45*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - ((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^4*d) + ((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5*c^4*d^2)}
+{x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 5, -(b*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c^2) + (x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/4 - (Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{x^1*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 2, -(b*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(3*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(9*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + ((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^2*d)}
+{x^0*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 3, -(b*c*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/2 + (Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{(Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^1, x, 8, -((b*c*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/Sqrt[1 + c^2*x^2]) + Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (b*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2]}
+{(Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^2, x, 3, -((Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x) + (c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 + c^2*x^2]}
+{(Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^3, x, 8, -((b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - (Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*x^2) - (c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b*c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/(2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/(2*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{(Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^4, x, 3, -((b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(6*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - ((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d*x^3) + (b*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Log[x])/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+
+
+{x^3*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 4, (2*b*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(35*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*d*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(105*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (8*b*c*d*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(175*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d*x^7*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - ((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5*c^4*d) + ((d + c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(7*c^4*d^2)}
+{x^2*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 8, -(b*d*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(32*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (7*b*c*d*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d*x^6*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(36*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(16*c^2) + (d*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/8 + (x^3*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/6 - (d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(32*b*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{x^1*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 3, -(b*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(5*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c*d*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(15*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + ((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5*c^2*d)}
+{x^0*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 6, (-5*b*c*d*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/8 + (x*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/4 + (3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^1, x, 10, -((4*b*c*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - (b*c^3*d*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(9*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/3)*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (b*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2]}
+{((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^2, x, 6, -(b*c^3*d*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3*c^2*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/2 - ((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x + (3*c*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 + c^2*x^2]}
+{((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^3, x, 11, -((b*c*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - (b*c^3*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (3/2)*c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) - ((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*x^2) - (3*c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (3*b*c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/(2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3*b*c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/(2*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^4, x, 6, -(b*c*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(6*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x - ((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*x^3) + (c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (4*b*c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Log[x])/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+
+
+{x^3*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 4, (2*b*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(63*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*d^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(189*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*d^2*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(21*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (19*b*c^3*d^2*x^7*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(441*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^9*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(81*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - ((d + c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(7*c^4*d) + ((d + c^2*d*x^2)^(9/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(9*c^4*d^2)}
+{x^2*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 12, (-5*b*d^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(256*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (59*b*c*d^2*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(768*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (17*b*c^3*d^2*x^6*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(288*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^8*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(64*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (5*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(128*c^2) + (5*d^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/64 + (5*d*x^3*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/48 + (x^3*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/8 - (5*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(256*b*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{x^1*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 3, -(b*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(7*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*d^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(7*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*b*c^3*d^2*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(35*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^7*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + ((d + c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(7*c^2*d)}
+{x^0*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 8, (-25*b*c*d^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (5*b*c^3*d^2*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(36*c) + (5*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/16 + (5*d*x*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/24 + (x*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/6 + (5*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(32*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^1, x, 13, -((23*b*c*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(15*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - (11*b*c^3*d^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(45*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/3)*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/5)*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (b*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2]}
+{((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^2, x, 10, (-9*b*c^3*d^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (15*c^2*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/8 + (5*c^2*d*x*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/4 - ((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x + (15*c*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 + c^2*x^2]}
+{((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^3, x, 13, -((b*c*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - (7*b*c^3*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(9*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (5/2)*c^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (5/6)*c^2*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) - ((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*x^2) - (5*c^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (5*b*c^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/(2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (5*b*c^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/(2*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x^4, x, 10, -(b*c*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(6*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (5*c^4*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/2 - (5*c^2*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*x) - ((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*x^3) + (5*c^3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (7*b*c^3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Log[x])/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+
+
+{Sqrt[1 + x^2]*ArcSinh[x], x, 3, -x^2/4 + (x*Sqrt[1 + x^2]*ArcSinh[x])/2 + ArcSinh[x]^2/4}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^5*(a + b*ArcSinh[c*x])/Sqrt[d + c^2*d*x^2], x, 6, (-8*b*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(15*c^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (4*b*x^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(45*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*x^5*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(25*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (8*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(15*c^6*d) - (4*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(15*c^4*d) + (x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5*c^2*d)}
+{x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])/Sqrt[d + c^2*d*x^2], x, 5, (3*b*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(16*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*x^4*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(16*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (3*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c^4*d) + (x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4*c^2*d) + (3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*c^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])/Sqrt[d + c^2*d*x^2], x, 4, (2*b*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*x^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(9*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^4*d) + (x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^2*d)}
+{x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])/Sqrt[d + c^2*d*x^2], x, 3, -(b*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(4*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c^2*d) - (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSinh[c*x])/Sqrt[d + c^2*d*x^2], x, 2, -((b*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) + (Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^2*d)}
+{x^0*(a + b*ArcSinh[c*x])/Sqrt[d + c^2*d*x^2], x, 1, (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^1*Sqrt[d + c^2*d*x^2]), x, 6, -((2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[d + c^2*d*x^2] + (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[d + c^2*d*x^2]}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]), x, 2, -((Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d*x)) + (b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Log[x])/Sqrt[d + c^2*d*x^2]}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]), x, 8, -((b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) - (Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*d*x^2) + (c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[d + c^2*d*x^2] + (b*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/(2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/(2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2]), x, 4, -(b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(6*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d*x^3) + (2*c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d*x) - (2*b*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Log[x])/(3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2)^(3/2), x, 5, (5*b*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(3*c^5*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(9*c^3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(c^6*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^6*d^2) + ((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^6*d^3) + (b*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcTan[c*x])/(c^6*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2)^(3/2), x, 7, -(b*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(4*c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (3*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c^4*d^2) - (3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*c^5*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^5*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2)^(3/2), x, 4, -((b*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(c^3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])) + (a + b*ArcSinh[c*x])/(c^4*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^4*d^2) - (b*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcTan[c*x])/(c^4*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2)^(3/2), x, 3, -((x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) + (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2)^(3/2), x, 2, -((a + b*ArcSinh[c*x])/(c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) + (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcTan[c*x])/(c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{x^0*(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2)^(3/2), x, 2, (x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^1*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 8, (a + b*ArcSinh[c*x])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcTan[c*x])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^2*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 5, -((a + b*ArcSinh[c*x])/(d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) - (2*c^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Log[x])/(d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Log[1 + c^2*x^2])/(2*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^3*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 11, -((b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(2*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) - (3*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(2*d*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcTan[c*x])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (3*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (3*b*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/(2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (3*b*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/(2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^4*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 5, -((b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(6*d^2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(3*d*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (4*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (8*c^4*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (5*b*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Log[x])/(3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Log[1 + c^2*x^2])/(2*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+
+
+{x^6*(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2)^(5/2), x, 11, -b/(6*c^7*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(4*c^5*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (x^5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^2*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) - (5*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^4*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (5*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c^6*d^3) - (5*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*c^7*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (7*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Log[1 + c^2*x^2])/(6*c^7*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{x^5*(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2)^(5/2), x, 5, (b*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(6*c^5*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) - (b*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(c^5*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(3*c^6*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) + (2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^6*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^6*d^3) - (11*b*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcTan[c*x])/(6*c^6*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2)^(5/2), x, 7, b/(6*c^5*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^2*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) - (x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^4*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c^5*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Log[1 + c^2*x^2])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2)^(5/2), x, 4, -((b*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(6*c^3*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2))) + (a + b*ArcSinh[c*x])/(3*c^4*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(c^4*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (5*b*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcTan[c*x])/(6*c^4*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2)^(5/2), x, 4, -b/(6*c^3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) - (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Log[1 + c^2*x^2])/(6*c^3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2)^(5/2), x, 3, (b*x)/(6*c*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(3*c^2*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) + (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcTan[c*x])/(6*c^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{x^0*(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2)^(5/2), x, 4, b/(6*c*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Log[1 + c^2*x^2])/(3*c*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^1*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 11, -((b*c*x)/(6*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) + (a + b*ArcSinh[c*x])/(3*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) + (a + b*ArcSinh[c*x])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (7*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcTan[c*x])/(6*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^2*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 5, -((b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(6*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2))) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(d*x*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) - (4*c^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) - (8*c^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Log[x])/(d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (5*b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Log[1 + c^2*x^2])/(6*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^3*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 15, (b*c)/(4*d^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (5*b*c^3*x)/(12*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (3*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(4*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (5*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(6*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(2*d*x^2*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) - (5*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (13*b*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcTan[c*x])/(6*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (5*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (5*b*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/(2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (5*b*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/(2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(x^4*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 5, (b*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(6*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) - (b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(6*d^3*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(3*d*x^3*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) + (2*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d*x*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) + (8*c^4*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) + (16*c^4*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (8*b*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Log[x])/(3*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (4*b*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Log[1 + c^2*x^2])/(3*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+
+
+{ArcSinh[a*x]/(c + a^2*c*x^2)^(7/2), x, 6, 1/(20*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + 2/(15*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x*ArcSinh[a*x])/(5*c*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcSinh[a*x])/(15*c^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcSinh[a*x])/(15*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (4*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Log[1 + a^2*x^2])/(15*a*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+
+
+{x^4*ArcSinh[a*x]/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 5, (3*x^2)/(16*a^3) - x^4/(16*a) - (3*x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(8*a^4) + (x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(4*a^2) + (3*ArcSinh[a*x]^2)/(16*a^5)}
+{x^3*ArcSinh[a*x]/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 4, (2*x)/(3*a^3) - x^3/(9*a) - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(3*a^4) + (x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(3*a^2)}
+{x^2*ArcSinh[a*x]/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 3, -x^2/(4*a) + (x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(2*a^2) - ArcSinh[a*x]^2/(4*a^3)}
+{x^1*ArcSinh[a*x]/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 2, -(x/a) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/a^2}
+{x^0*ArcSinh[a*x]/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 1, ArcSinh[a*x]^2/(2*a)}
+{ArcSinh[a*x]/(x^1*Sqrt[1 + a^2*x^2]), x, 6, -2*ArcSinh[a*x]*ArcTanh[E^ArcSinh[a*x]] - PolyLog[2, -E^ArcSinh[a*x]] + PolyLog[2, E^ArcSinh[a*x]]}
+{ArcSinh[a*x]/(x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]), x, 2, -((Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/x) + a*Log[x]}
+{ArcSinh[a*x]/(x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]), x, 8, -a/(2*x) - (Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(2*x^2) + a^2*ArcSinh[a*x]*ArcTanh[E^ArcSinh[a*x]] + (a^2*PolyLog[2, -E^ArcSinh[a*x]])/2 - (a^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[a*x]])/2}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^p (a+b ArcSinh[c x]) and m symbolic*)
+
+
+{x^m*(d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 6, If[$VersionNumber>=8, -((b*c*d^3*(2271 + 1329*m + 284*m^2 + 27*m^3 + m^4)*x^(2 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/((3 + m)^2*(5 + m)^2*(7 + m)^2)) - (b*c^3*d^3*(9 + m)*(13 + 2*m)*x^(4 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/((5 + m)^2*(7 + m)^2) - (b*c^5*d^3*x^(6 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(7 + m)^2 + (d^3*x^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(1 + m) + (3*c^2*d^3*x^(3 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3 + m) + (3*c^4*d^3*x^(5 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5 + m) + (c^6*d^3*x^(7 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(7 + m) - (3*b*c*d^3*(2161 + 1813*m + 455*m^2 + 35*m^3)*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-c^2)*x^2])/((1 + m)*(2 + m)*(3 + m)^2*(5 + m)^2*(7 + m)^2), -((b*c*d^3*(2271 + 1329*m + 284*m^2 + 27*m^3 + m^4)*x^(2 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/((7 + m)^2*(15 + 8*m + m^2)^2)) - (b*c^3*d^3*(9 + m)*(13 + 2*m)*x^(4 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/((5 + m)^2*(7 + m)^2) - (b*c^5*d^3*x^(6 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(7 + m)^2 + (d^3*x^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(1 + m) + (3*c^2*d^3*x^(3 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3 + m) + (3*c^4*d^3*x^(5 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5 + m) + (c^6*d^3*x^(7 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(7 + m) - (3*b*c*d^3*(2161 + 1813*m + 455*m^2 + 35*m^3)*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-c^2)*x^2])/((2 + 3*m + m^2)*(105 + 71*m + 15*m^2 + m^3)^2)]}
+{x^m*(d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 5, If[$VersionNumber>=8, -((b*c*d^2*(38 + 13*m + m^2)*x^(2 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/((3 + m)^2*(5 + m)^2)) - (b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(5 + m)^2 + (d^2*x^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(1 + m) + (2*c^2*d^2*x^(3 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3 + m) + (c^4*d^2*x^(5 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5 + m) - (b*c*d^2*(149 + 100*m + 15*m^2)*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-c^2)*x^2])/((1 + m)*(2 + m)*(3 + m)^2*(5 + m)^2), -((b*c*d^2*(38 + 13*m + m^2)*x^(2 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/((3 + m)^2*(5 + m)^2)) - (b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(5 + m)^2 + (d^2*x^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(1 + m) + (2*c^2*d^2*x^(3 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3 + m) + (c^4*d^2*x^(5 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5 + m) - (b*c*d^2*(149 + 100*m + 15*m^2)*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-c^2)*x^2])/((2 + 3*m + m^2)*(15 + 8*m + m^2)^2)]}
+{x^m*(d + c^2*d*x^2)^1*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3 + m)^2) + (d*x^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(1 + m) + (c^2*d*x^(3 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3 + m) - (b*c*d*(7 + 3*m)*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -(c^2*x^2)])/((1 + m)*(2 + m)*(3 + m)^2), -((b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3 + m)^2) + (d*x^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(1 + m) + (c^2*d*x^(3 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3 + m) - (b*c*d*(7 + 3*m)*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-c^2)*x^2])/((3 + m)^2*(2 + 3*m + m^2))]}
+{x^m*(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2)^1, x, 0, Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + c^2*d*x^2), x]}
+{x^m*(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2)^2, x, 2, (x^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*d^2*(1 + c^2*x^2)) - (b*c*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[3/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(2*d^2*(2 + m)) + ((1 - m)*Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + c^2*d*x^2), x])/(2*d)}
+{x^m*(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + c^2*d*x^2)^3, x, 4, (x^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4*d^3*(1 + c^2*x^2)^2) + ((3 - m)*x^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*d^3*(1 + c^2*x^2)) - (b*c*(3 - m)*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[3/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(8*d^3*(2 + m)) - (b*c*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[5/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(4*d^3*(2 + m)) + ((1 - m)*(3 - m)*Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + c^2*d*x^2), x])/(8*d^2)}
+
+
+{x^m*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 9, If[$VersionNumber>=8, (-15*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((2 + m)^2*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (5*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((12 + 8*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (5*b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((4 + m)^2*(6 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^(6 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((6 + m)^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (15*d^2*x^(1 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)) + (5*d*x^(1 + m)*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((4 + m)*(6 + m)) + (x^(1 + m)*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(6 + m) + (15*d^2*x^(1 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -(c^2*x^2)])/((6 + m)*(8 + 14*m + 7*m^2 + m^3)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (15*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, -(c^2*x^2)])/((1 + m)*(2 + m)^2*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]), -((15*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((2 + m)^2*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - (5*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((12 + 8*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (5*b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((4 + m)^2*(6 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^(6 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((6 + m)^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (15*d^2*x^(1 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)) + (5*d*x^(1 + m)*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((4 + m)*(6 + m)) + (x^(1 + m)*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(6 + m) + (15*d^2*x^(1 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (-c^2)*x^2])/((6 + m)*(8 + 14*m + 7*m^2 + m^3)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (15*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, (-c^2)*x^2])/((2 + m)^2*(6 + m)*(4 + 5*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2])]}
+{x^m*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 6, If[$VersionNumber>=8, (-3*b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((2 + m)^2*(4 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((8 + 6*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d*x^(4 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((4 + m)^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3*d*x^(1 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8 + 6*m + m^2) + (x^(1 + m)*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4 + m) + (3*d*x^(1 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -(c^2*x^2)])/((8 + 14*m + 7*m^2 + m^3)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, -(c^2*x^2)])/((1 + m)*(2 + m)^2*(4 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]), -((3*b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((2 + m)^2*(4 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - (b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((8 + 6*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d*x^(4 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((4 + m)^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3*d*x^(1 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8 + 6*m + m^2) + (x^(1 + m)*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4 + m) + (3*d*x^(1 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (-c^2)*x^2])/((8 + 14*m + 7*m^2 + m^3)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, (-c^2)*x^2])/((2 + m)^2*(4 + 5*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2])]}
+{x^m*(d + c^2*d*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 3, -((b*c*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((2 + m)^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])) + (x^(1 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2 + m) + (x^(1 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -(c^2*x^2)])/((2 + 3*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, -(c^2*x^2)])/((1 + m)*(2 + m)^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{(x^m*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + c^2*d*x^2)^(1/2), x, 1, (x^(1 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -(c^2*x^2)])/((1 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*c*x^(2 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, -(c^2*x^2)])/((2 + 3*m + m^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(x^m*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + c^2*d*x^2)^(3/2), x, 3, (x^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (m*x^(1 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(d*(1 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*c*x^(2 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(d*(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b*c*m*x^(2 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, (-c^2)*x^2])/(d*(2 + 3*m + m^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(x^m*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + c^2*d*x^2)^(5/2), x, 5, (x^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) + ((2 - m)*x^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - ((2 - m)*m*x^(1 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(3*d^2*(1 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*c*(2 - m)*x^(2 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(3*d^2*(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*c*x^(2 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(3*d^2*(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b*c*(2 - m)*m*x^(2 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, (-c^2)*x^2])/(3*d^2*(2 + 3*m + m^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+
+
+{(x^m*ArcSinh[a*x])/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 1, (x^(1 + m)*ArcSinh[a*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -(a^2*x^2)])/(1 + m) - (a*x^(2 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, -(a^2*x^2)])/(2 + 3*m + m^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^p (a+b ArcSinh[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+c^2 d x^2)^p (a+b ArcSinh[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^4*(d + c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 11, (304*b^2*d*x)/(3675*c^4) - (152*b^2*d*x^3)/(11025*c^2) + (38*b^2*d*x^5)/6125 + (2*b^2*c^2*d*x^7)/343 - (32*b*d*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(525*c^5) + (16*b*d*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(525*c^3) - (4*b*d*x^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(175*c) - (2*b*d*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(21*c^5) + (4*b*d*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(35*c^5) - (2*b*d*(1 + c^2*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(49*c^5) + (2*d*x^5*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/35 + (d*x^5*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/7}
+{x^3*(d + c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 14, -(b^2*d*x^2)/(24*c^2) + (b^2*d*x^4)/72 + (b^2*c^2*d*x^6)/108 + (b*d*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(12*c^3) - (b*d*x^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(18*c) - (b*c*d*x^5*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/18 - (d*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(24*c^4) + (d*x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/12 + (d*x^4*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/6}
+{x^2*(d + c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 9, (-52*b^2*d*x)/(225*c^2) + (26*b^2*d*x^3)/675 + (2*b^2*c^2*d*x^5)/125 + (8*b*d*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(45*c^3) - (4*b*d*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(45*c) + (2*b*d*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(15*c^3) - (2*b*d*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(25*c^3) + (2*d*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/15 + (d*x^3*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/5}
+{x^1*(d + c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 7, (5*b^2*d*x^2)/32 + (b^2*c^2*d*x^4)/32 - (3*b*d*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(16*c) - (b*d*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c) - (3*d*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(32*c^2) + (d*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*c^2)}
+{x^0*(d + c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 6, (14*b^2*d*x)/9 + (2*b^2*c^2*d*x^3)/27 - (4*b*d*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c) - (2*b*d*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(9*c) + (2*d*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/3 + (d*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/3}
+{((d + c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^1, x, 10, (1/4)*b^2*c^2*d*x^2 - (1/2)*b*c*d*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (1/4)*d*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (1/2)*d*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (d*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b) + d*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])] - b*d*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])] - (1/2)*b^2*d*PolyLog[3, E^(-2*ArcSinh[c*x])]}
+{((d + c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^2, x, 12, 2*b^2*c^2*d*x - 2*b*c*d*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + 2*c^2*d*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 - (d*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x - 4*b*c*d*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]] - 2*b^2*c*d*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]] + 2*b^2*c*d*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]]}
+{((d + c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^3, x, 10, -((b*c*d*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x) + (1/2)*c^2*d*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 - (d*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*x^2) + (c^2*d*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b) + c^2*d*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])] + b^2*c^2*d*Log[x] - b*c^2*d*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])] - (1/2)*b^2*c^2*d*PolyLog[3, E^(-2*ArcSinh[c*x])]}
+{((d + c^2*d*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^4, x, 16, -(b^2*c^2*d)/(3*x) - (b*c*d*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*x^2) - (2*c^2*d*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*x) - (d*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*x^3) - (10*b*c^3*d*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/3 - (5*b^2*c^3*d*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/3 + (5*b^2*c^3*d*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/3}
+
+
+{x^4*(d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 16, (4208*b^2*d^2*x)/(99225*c^4) - (2104*b^2*d^2*x^3)/(297675*c^2) + (526*b^2*d^2*x^5)/165375 + (212*b^2*c^2*d^2*x^7)/27783 + (2*b^2*c^4*d^2*x^9)/729 - (128*b*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4725*c^5) + (64*b*d^2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4725*c^3) - (16*b*d^2*x^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(1575*c) - (8*b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(189*c^5) + (2*b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(315*c^5) + (20*b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(441*c^5) - (2*b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(9/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(81*c^5) + (8*d^2*x^5*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/315 + (4*d^2*x^5*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/63 + (d^2*x^5*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/9}
+{x^3*(d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 25, (-73*b^2*d^2*x^2)/(3072*c^2) + (73*b^2*d^2*x^4)/9216 + (43*b^2*c^2*d^2*x^6)/3456 + (b^2*c^4*d^2*x^8)/256 + (73*b*d^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(1536*c^3) - (73*b*d^2*x^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2304*c) - (25*b*c*d^2*x^5*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/576 - (b*c*d^2*x^5*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/32 - (73*d^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3072*c^4) + (d^2*x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/24 + (d^2*x^4*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/12 + (d^2*x^4*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/8}
+{x^2*(d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 14, (-1636*b^2*d^2*x)/(11025*c^2) + (818*b^2*d^2*x^3)/33075 + (136*b^2*c^2*d^2*x^5)/6125 + (2*b^2*c^4*d^2*x^7)/343 + (32*b*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(315*c^3) - (16*b*d^2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(315*c) + (8*b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(105*c^3) + (2*b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(175*c^3) - (2*b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(49*c^3) + (8*d^2*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/105 + (4*d^2*x^3*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/35 + (d^2*x^3*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/7}
+{x^1*(d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 9, (25*b^2*d^2*x^2)/288 + (5*b^2*c^2*d^2*x^4)/288 + (b^2*d^2*(1 + c^2*x^2)^3)/(108*c^2) - (5*b*d^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(48*c) - (5*b*d^2*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(72*c) - (b*d^2*x*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(18*c) - (5*d^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(96*c^2) + (d^2*(1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(6*c^2)}
+{x^0*(d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 10, (298*b^2*d^2*x)/225 + (76*b^2*c^2*d^2*x^3)/675 + (2*b^2*c^4*d^2*x^5)/125 - (16*b*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(15*c) - (8*b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(45*c) - (2*b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(25*c) + (8*d^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/15 + (4*d^2*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/15 + (d^2*x*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/5}
+{((d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^1, x, 17, (13/32)*b^2*c^2*d^2*x^2 + (1/32)*b^2*c^4*d^2*x^4 - (11/16)*b*c*d^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (1/8)*b*c*d^2*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (11/32)*d^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (1/2)*d^2*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (1/4)*d^2*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (d^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b) + d^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])] - b*d^2*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])] - (1/2)*b^2*d^2*PolyLog[3, E^(-2*ArcSinh[c*x])]}
+{((d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^2, x, 17, (32*b^2*c^2*d^2*x)/9 + (2*b^2*c^4*d^2*x^3)/27 - (10*b*c*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/3 - (2*b*c*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/9 + (8*c^2*d^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/3 + (4*c^2*d^2*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/3 - (d^2*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x - 4*b*c*d^2*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]] - 2*b^2*c*d^2*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]] + 2*b^2*c*d^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]]}
+{((d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^3, x, 17, (1/4)*b^2*c^4*d^2*x^2 + (1/2)*b*c^3*d^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (b*c*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x + (1/4)*c^2*d^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + c^2*d^2*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 - (d^2*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*x^2) + (2*c^2*d^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b) + 2*c^2*d^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])] + b^2*c^2*d^2*Log[x] - 2*b*c^2*d^2*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])] - b^2*c^2*d^2*PolyLog[3, E^(-2*ArcSinh[c*x])]}
+{((d + c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^4, x, 24, -(b^2*c^2*d^2)/(3*x) + 2*b^2*c^4*d^2*x - (5*b*c^3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/3 - (b*c*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*x^2) + (8*c^4*d^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/3 - (4*c^2*d^2*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*x) - (d^2*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*x^3) - (22*b*c^3*d^2*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/3 - (11*b^2*c^3*d^2*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/3 + (11*b^2*c^3*d^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/3}
+
+
+{x^4*(d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 21, (100976*b^2*d^3*x)/(4002075*c^4) - (50488*b^2*d^3*x^3)/(12006225*c^2) + (12622*b^2*d^3*x^5)/6670125 + (9410*b^2*c^2*d^3*x^7)/1120581 + (182*b^2*c^4*d^3*x^9)/29403 + (2*b^2*c^6*d^3*x^11)/1331 - (256*b*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(17325*c^5) + (128*b*d^3*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(17325*c^3) - (32*b*d^3*x^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5775*c) - (16*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(693*c^5) + (4*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(1155*c^5) - (2*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(1617*c^5) + (8*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(9/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(297*c^5) - (2*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(11/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(121*c^5) + (16*d^3*x^5*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/1155 + (8*d^3*x^5*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/231 + (2*d^3*x^5*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/33 + (d^3*x^5*(1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/11}
+{x^3*(d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 40, (-79*b^2*d^3*x^2)/(5120*c^2) + (79*b^2*d^3*x^4)/15360 + (401*b^2*c^2*d^3*x^6)/28800 + (57*b^2*c^4*d^3*x^8)/6400 + (b^2*c^6*d^3*x^10)/500 + (79*b*d^3*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2560*c^3) - (79*b*d^3*x^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3840*c) - (31*b*c*d^3*x^5*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/960 - (b*c*d^3*x^5*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/32 - (b*c*d^3*x^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/50 - (79*d^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(5120*c^4) + (d^3*x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/40 + (d^3*x^4*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/20 + (3*d^3*x^4*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/40 + (d^3*x^4*(1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/10}
+{x^2*(d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 19, (-10516*b^2*d^3*x)/(99225*c^2) + (5258*b^2*d^3*x^3)/297675 + (4198*b^2*c^2*d^3*x^5)/165375 + (374*b^2*c^4*d^3*x^7)/27783 + (2*b^2*c^6*d^3*x^9)/729 + (64*b*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(945*c^3) - (32*b*d^3*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(945*c) + (16*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(315*c^3) + (4*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(525*c^3) + (2*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(441*c^3) - (2*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(9/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(81*c^3) + (16*d^3*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/315 + (8*d^3*x^3*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/105 + (2*d^3*x^3*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/21 + (d^3*x^3*(1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/9}
+{x^1*(d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 11, (175*b^2*d^3*x^2)/3072 + (35*b^2*c^2*d^3*x^4)/3072 + (7*b^2*d^3*(1 + c^2*x^2)^3)/(1152*c^2) + (b^2*d^3*(1 + c^2*x^2)^4)/(256*c^2) - (35*b*d^3*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(512*c) - (35*b*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(768*c) - (7*b*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(192*c) - (b*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(32*c) - (35*d^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(1024*c^2) + (d^3*(1 + c^2*x^2)^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(8*c^2)}
+{x^0*(d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 14, (4322*b^2*d^3*x)/3675 + (1514*b^2*c^2*d^3*x^3)/11025 + (234*b^2*c^4*d^3*x^5)/6125 + (2*b^2*c^6*d^3*x^7)/343 - (32*b*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(35*c) - (16*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(105*c) - (12*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(175*c) - (2*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(49*c) + (16*d^3*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/35 + (8*d^3*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/35 + (6*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/35 + (d^3*x*(1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/7}
+{((d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^1, x, 26, (71/144)*b^2*c^2*d^3*x^2 + (7/144)*b^2*c^4*d^3*x^4 + (1/108)*b^2*d^3*(1 + c^2*x^2)^3 - (19/24)*b*c*d^3*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (7/36)*b*c*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (1/18)*b*c*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (19/48)*d^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (1/2)*d^3*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (1/4)*d^3*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (1/6)*d^3*(1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (d^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b) + d^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])] - b*d^3*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])] - (1/2)*b^2*d^3*PolyLog[3, E^(-2*ArcSinh[c*x])]}
+{((d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^2, x, 24, (122*b^2*c^2*d^3*x)/25 + (14*b^2*c^4*d^3*x^3)/75 + (2*b^2*c^6*d^3*x^5)/125 - (22*b*c*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/5 - (2*b*c*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/5 - (2*b*c*d^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/25 + (16*c^2*d^3*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/5 + (8*c^2*d^3*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/5 + (6*c^2*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/5 - (d^3*(1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x - 4*b*c*d^3*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]] - 2*b^2*c*d^3*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]] + 2*b^2*c*d^3*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]]}
+{((d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^3, x, 28, (21/32)*b^2*c^4*d^3*x^2 + (1/32)*b^2*c^6*d^3*x^4 - (3/16)*b*c^3*d^3*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (7/8)*b*c^3*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (b*c*d^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/x - (3/32)*c^2*d^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (3/2)*c^2*d^3*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (3/4)*c^2*d^3*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 - (d^3*(1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*x^2) + (c^2*d^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/b + 3*c^2*d^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])] + b^2*c^2*d^3*Log[x] - 3*b*c^2*d^3*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])] - (3/2)*b^2*c^2*d^3*PolyLog[3, E^(-2*ArcSinh[c*x])]}
+{((d + c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^4, x, 31, -(b^2*c^2*d^3)/(3*x) + (50*b^2*c^4*d^3*x)/9 + (2*b^2*c^6*d^3*x^3)/27 - 5*b*c^3*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (b*c^3*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/9 - (b*c*d^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*x^2) + (16*c^4*d^3*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/3 + (8*c^4*d^3*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/3 - (2*c^2*d^3*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x - (d^3*(1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*x^3) - (34*b*c^3*d^3*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/3 - (17*b^2*c^3*d^3*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/3 + (17*b^2*c^3*d^3*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/3}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2), x, 16, (-22*b^2*x)/(9*c^4*d) + (2*b^2*x^3)/(27*c^2*d) + (22*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(9*c^5*d) - (2*b*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(9*c^3*d) - (x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c^4*d) + (x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c^2*d) + (2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d) - ((2*I)*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d) + ((2*I)*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d) + ((2*I)*b^2*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d) - ((2*I)*b^2*PolyLog[3, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d)}
+{x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2), x, 10, (b^2*x^2)/(4*c^2*d) - (b*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c^3*d) + (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(4*c^4*d) + (x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*c^2*d) + (a + b*ArcSinh[c*x])^3/(3*b*c^4*d) - ((a + b*ArcSinh[c*x])^2*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c^4*d) - (b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c^4*d) + (b^2*PolyLog[3, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*c^4*d)}
+{x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2), x, 11, (2*b^2*x)/(c^2*d) - (2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^3*d) + (x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c^2*d) - (2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d) + ((2*I)*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d) - ((2*I)*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d) - ((2*I)*b^2*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d) + ((2*I)*b^2*PolyLog[3, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d)}
+{x^1*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2), x, 6, -(a + b*ArcSinh[c*x])^3/(3*b*c^2*d) + ((a + b*ArcSinh[c*x])^2*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c^2*d) + (b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c^2*d) - (b^2*PolyLog[3, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*c^2*d)}
+{x^0*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2), x, 8, (2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c*d) - ((2*I)*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c*d) + ((2*I)*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c*d) + ((2*I)*b^2*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c*d) - ((2*I)*b^2*PolyLog[3, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c*d)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^1*(d + c^2*d*x^2)), x, 9, (-2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTanh[E^(2*ArcSinh[c*x])])/d - (b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/d + (b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[c*x])])/d + (b^2*PolyLog[3, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d) - (b^2*PolyLog[3, E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^2*(d + c^2*d*x^2)), x, 15, -((a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d*x)) - (2*c*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/d - (4*b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/d - (2*b^2*c*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/d + ((2*I)*b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/d - ((2*I)*b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/d + (2*b^2*c*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/d - ((2*I)*b^2*c*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/d + ((2*I)*b^2*c*PolyLog[3, I*E^ArcSinh[c*x]])/d}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^3*(d + c^2*d*x^2)), x, 12, -((b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d*x)) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(2*d*x^2) + (2*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTanh[E^(2*ArcSinh[c*x])])/d + (b^2*c^2*Log[x])/d + (b*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/d - (b*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[c*x])])/d - (b^2*c^2*PolyLog[3, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d) + (b^2*c^2*PolyLog[3, E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^4*(d + c^2*d*x^2)), x, 24, -(b^2*c^2)/(3*d*x) - (b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d*x^2) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(3*d*x^3) + (c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d*x) + (2*c^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/d + (14*b*c^3*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/(3*d) + (7*b^2*c^3*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/(3*d) - ((2*I)*b*c^3*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/d + ((2*I)*b*c^3*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/d - (7*b^2*c^3*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/(3*d) + ((2*I)*b^2*c^3*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/d - ((2*I)*b^2*c^3*PolyLog[3, I*E^ArcSinh[c*x]])/d}
+
+
+{x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2)^2, x, 15, (2*b^2*x)/(c^4*d^2) + (b*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^5*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^5*d^2) + (3*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*c^4*d^2) - (x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*c^2*d^2*(1 + c^2*x^2)) - (3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d^2) - (b^2*ArcTan[c*x])/(c^5*d^2) + ((3*I)*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d^2) - ((3*I)*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d^2) - ((3*I)*b^2*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d^2) + ((3*I)*b^2*PolyLog[3, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d^2)}
+{x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2)^2, x, 10, -((b*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])) + (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(2*c^4*d^2) - (x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*c^2*d^2*(1 + c^2*x^2)) - (a + b*ArcSinh[c*x])^3/(3*b*c^4*d^2) + ((a + b*ArcSinh[c*x])^2*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c^4*d^2) + (b^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^4*d^2) + (b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c^4*d^2) - (b^2*PolyLog[3, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*c^4*d^2)}
+{x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2)^2, x, 11, -((b*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - (x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*c^2*d^2*(1 + c^2*x^2)) + ((a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d^2) + (b^2*ArcTan[c*x])/(c^3*d^2) - (I*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d^2) + (I*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d^2) + (I*b^2*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d^2) - (I*b^2*PolyLog[3, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d^2)}
+{x^1*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2)^2, x, 3, (b*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(2*c^2*d^2*(1 + c^2*x^2)) - (b^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*c^2*d^2)}
+{x^0*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2)^2, x, 11, (b*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*d^2*(1 + c^2*x^2)) + ((a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c*d^2) - (b^2*ArcTan[c*x])/(c*d^2) - (I*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c*d^2) + (I*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c*d^2) + (I*b^2*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c*d^2) - (I*b^2*PolyLog[3, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c*d^2)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^1*(d + c^2*d*x^2)^2), x, 12, -((b*c*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])) + (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(2*d^2*(1 + c^2*x^2)) - (2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTanh[E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^2 + (b^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*d^2) - (b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^2 + (b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^2 + (b^2*PolyLog[3, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d^2) - (b^2*PolyLog[3, E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^2*(d + c^2*d*x^2)^2), x, 20, -((b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d^2*x*(1 + c^2*x^2)) - (3*c^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*d^2*(1 + c^2*x^2)) - (3*c*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/d^2 + (b^2*c*ArcTan[c*x])/d^2 - (4*b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/d^2 - (2*b^2*c*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/d^2 + ((3*I)*b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/d^2 - ((3*I)*b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/d^2 + (2*b^2*c*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/d^2 - ((3*I)*b^2*c*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/d^2 + ((3*I)*b^2*c*PolyLog[3, I*E^ArcSinh[c*x]])/d^2}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^3*(d + c^2*d*x^2)^2), x, 17, -((b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - (c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d^2*(1 + c^2*x^2)) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(2*d^2*x^2*(1 + c^2*x^2)) + (4*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTanh[E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^2 + (b^2*c^2*Log[x])/d^2 - (b^2*c^2*Log[1 + c^2*x^2])/(2*d^2) + (2*b*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^2 - (2*b*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^2 - (b^2*c^2*PolyLog[3, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^2 + (b^2*c^2*PolyLog[3, E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^2}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^4*(d + c^2*d*x^2)^2), x, 32, -(b^2*c^2)/(3*d^2*x) + (2*b*c^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d^2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(3*d^2*x^3*(1 + c^2*x^2)) + (5*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*d^2*x*(1 + c^2*x^2)) + (5*c^4*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*d^2*(1 + c^2*x^2)) + (5*c^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/d^2 - (b^2*c^3*ArcTan[c*x])/d^2 + (26*b*c^3*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/(3*d^2) + (13*b^2*c^3*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/(3*d^2) - ((5*I)*b*c^3*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/d^2 + ((5*I)*b*c^3*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/d^2 - (13*b^2*c^3*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/(3*d^2) + ((5*I)*b^2*c^3*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/d^2 - ((5*I)*b^2*c^3*PolyLog[3, I*E^ArcSinh[c*x]])/d^2}
+
+
+{x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2)^3, x, 16, -(b^2*x)/(12*c^4*d^3*(1 + c^2*x^2)) + (b*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(6*c^5*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) - (5*b*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4*c^5*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*c^2*d^3*(1 + c^2*x^2)^2) - (3*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(8*c^4*d^3*(1 + c^2*x^2)) + (3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(4*c^5*d^3) + (7*b^2*ArcTan[c*x])/(6*c^5*d^3) - (((3*I)/4)*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d^3) + (((3*I)/4)*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d^3) + (((3*I)/4)*b^2*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d^3) - (((3*I)/4)*b^2*PolyLog[3, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^5*d^3)}
+{x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2)^3, x, 8, -b^2/(12*c^4*d^3*(1 + c^2*x^2)) + (b*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(6*c*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) + (b*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c^3*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(4*c^4*d^3) + (x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*d^3*(1 + c^2*x^2)^2) - (b^2*Log[1 + c^2*x^2])/(3*c^4*d^3)}
+{x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2)^3, x, 15, (b^2*x)/(12*c^2*d^3*(1 + c^2*x^2)) - (b*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(6*c^3*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) + (b*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4*c^3*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*c^2*d^3*(1 + c^2*x^2)^2) + (x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(8*c^2*d^3*(1 + c^2*x^2)) + ((a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(4*c^3*d^3) - (b^2*ArcTan[c*x])/(6*c^3*d^3) - ((I/4)*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d^3) + ((I/4)*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d^3) + ((I/4)*b^2*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d^3) - ((I/4)*b^2*PolyLog[3, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^3*d^3)}
+{x^1*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2)^3, x, 5, b^2/(12*c^2*d^3*(1 + c^2*x^2)) + (b*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(6*c*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) + (b*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(4*c^2*d^3*(1 + c^2*x^2)^2) - (b^2*Log[1 + c^2*x^2])/(6*c^2*d^3)}
+{x^0*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2)^3, x, 15, -(b^2*x)/(12*d^3*(1 + c^2*x^2)) + (b*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(6*c*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) + (3*b*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4*c*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*d^3*(1 + c^2*x^2)^2) + (3*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(8*d^3*(1 + c^2*x^2)) + (3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(4*c*d^3) - (5*b^2*ArcTan[c*x])/(6*c*d^3) - (((3*I)/4)*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c*d^3) + (((3*I)/4)*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c*d^3) + (((3*I)/4)*b^2*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c*d^3) - (((3*I)/4)*b^2*PolyLog[3, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c*d^3)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^1*(d + c^2*d*x^2)^3), x, 17, -b^2/(12*d^3*(1 + c^2*x^2)) - (b*c*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(6*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) - (4*b*c*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(4*d^3*(1 + c^2*x^2)^2) + (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(2*d^3*(1 + c^2*x^2)) - (2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTanh[E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^3 + (2*b^2*Log[1 + c^2*x^2])/(3*d^3) - (b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^3 + (b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^3 + (b^2*PolyLog[3, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d^3) - (b^2*PolyLog[3, E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d^3)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^2*(d + c^2*d*x^2)^3), x, 27, (b^2*c^2*x)/(12*d^3*(1 + c^2*x^2)) - (b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(6*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) - (7*b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d^3*x*(1 + c^2*x^2)^2) - (5*c^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*d^3*(1 + c^2*x^2)^2) - (15*c^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(8*d^3*(1 + c^2*x^2)) - (15*c*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(4*d^3) + (11*b^2*c*ArcTan[c*x])/(6*d^3) - (4*b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/d^3 - (2*b^2*c*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/d^3 + (((15*I)/4)*b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/d^3 - (((15*I)/4)*b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/d^3 + (2*b^2*c*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/d^3 - (((15*I)/4)*b^2*c*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/d^3 + (((15*I)/4)*b^2*c*PolyLog[3, I*E^ArcSinh[c*x]])/d^3}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^3*(d + c^2*d*x^2)^3), x, 23, (b^2*c^2)/(12*d^3*(1 + c^2*x^2)) - (b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) - (5*b*c^3*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(6*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) + (4*b*c^3*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*d^3*(1 + c^2*x^2)^2) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(2*d^3*x^2*(1 + c^2*x^2)^2) - (3*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*d^3*(1 + c^2*x^2)) + (6*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTanh[E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^3 + (b^2*c^2*Log[x])/d^3 - (7*b^2*c^2*Log[1 + c^2*x^2])/(6*d^3) + (3*b*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^3 - (3*b*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[c*x])])/d^3 - (3*b^2*c^2*PolyLog[3, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d^3) + (3*b^2*c^2*PolyLog[3, E^(2*ArcSinh[c*x])])/(2*d^3)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^4*(d + c^2*d*x^2)^3), x, 43, -(b^2*c^2)/(2*d^3*x) + (b^2*c^2)/(6*d^3*x*(1 + c^2*x^2)) + (b^2*c^4*x)/(12*d^3*(1 + c^2*x^2)) - (b*c^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(6*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) - (b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d^3*x^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) + (29*b*c^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(12*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(3*d^3*x^3*(1 + c^2*x^2)^2) + (7*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^2) + (35*c^4*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(12*d^3*(1 + c^2*x^2)^2) + (35*c^4*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(8*d^3*(1 + c^2*x^2)) + (35*c^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(4*d^3) - (17*b^2*c^3*ArcTan[c*x])/(6*d^3) + (38*b*c^3*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/(3*d^3) + (19*b^2*c^3*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/(3*d^3) - (((35*I)/4)*b*c^3*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/d^3 + (((35*I)/4)*b*c^3*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/d^3 - (19*b^2*c^3*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/(3*d^3) + (((35*I)/4)*b^2*c^3*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/d^3 - (((35*I)/4)*b^2*c^3*PolyLog[3, I*E^ArcSinh[c*x]])/d^3}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (Pi+Pi c^2 x^2)^(p/2) (a+b ArcSinh[c x])^2*)
+
+
+{(Pi + Pi*c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 16, (245*b^2*Pi^(5/2)*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/1152 + (65*b^2*Pi^(5/2)*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/1728 + (1/108)*b^2*Pi^(5/2)*x*(1 + c^2*x^2)^(5/2) - (115*b^2*Pi^(5/2)*ArcSinh[c*x])/(1152*c) - (5/16)*b*c*Pi^(5/2)*x^2*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (5*b*Pi^(5/2)*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(48*c) - (b*Pi^(5/2)*(1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(18*c) + (5/16)*Pi^2*x*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (5/24)*Pi*x*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (1/6)*x*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (5*Pi^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(48*b*c)}
+{(Pi + Pi*c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 10, (15/64)*b^2*Pi^(3/2)*x*Sqrt[1 + c^2*x^2] + (1/32)*b^2*Pi^(3/2)*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2) - (9*b^2*Pi^(3/2)*ArcSinh[c*x])/(64*c) - (3/8)*b*c*Pi^(3/2)*x^2*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (b*Pi^(3/2)*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c) + (3/8)*Pi*x*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (1/4)*x*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (Pi^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(8*b*c)}
+{(Pi + Pi*c^2*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 5, (1/4)*b^2*Sqrt[Pi]*x*Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b^2*Sqrt[Pi]*ArcSinh[c*x])/(4*c) - (1/2)*b*c*Sqrt[Pi]*x^2*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/2)*x*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (Sqrt[Pi]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(6*b*c)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(Pi + Pi*c^2*x^2)^(1/2), x, 1, (a + b*ArcSinh[c*x])^3/(3*b*c*Sqrt[Pi])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(Pi + Pi*c^2*x^2)^(3/2), x, 6, (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(c*Pi^(3/2)) + (x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(Pi*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) - (2*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*Pi^(3/2)) - (b^2*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*Pi^(3/2))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(Pi + Pi*c^2*x^2)^(5/2), x, 9, -((b^2*x)/(3*Pi^(5/2)*Sqrt[1 + c^2*x^2])) + (b*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c*Pi^(5/2)*(1 + c^2*x^2)) + (2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c*Pi^(5/2)) + (x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*Pi*(Pi + c^2*Pi*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*Pi^2*Sqrt[Pi + c^2*Pi*x^2]) - (4*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*c*Pi^(5/2)) - (2*b^2*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*c*Pi^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcSinh[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 14, (-52*b^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(225*c^4) + (4*a*b*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(15*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (26*b^2*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(675*c^4) + (2*b^2*(1 + c^2*x^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(125*c^4) + (4*b^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(15*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(45*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(25*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(15*c^4) + (x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(15*c^2) + (x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/5}
+{x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 10, (b^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(64*c^2) + (b^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/32 - (b^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(64*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(8*c^2) + (x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/4 - (Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(24*b*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{x^1*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 5, (4*b^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(9*c^2) + (2*b^2*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(27*c^2) - (2*b*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(9*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + ((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c^2*d)}
+{Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 5, (b^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/4 - (b^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(4*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/2 + (Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(6*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{(Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^1, x, 12, 2*b^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2] - (2*a*b*c*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (2*b^2*c*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 - (2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (2*b*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (2*b*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (2*b^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[3, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (2*b^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[3, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2]}
+{(Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^2, x, 7, -((Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x) + (c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (2*b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b^2*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])])/Sqrt[1 + c^2*x^2]}
+{(Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^3, x, 13, -((b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(x*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - (Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*x^2) - (c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b^2*c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b*c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (b*c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (b^2*c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[3, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b^2*c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[3, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2]}
+{(Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^4, x, 9, -((b^2*c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(3*x)) + (b^2*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*x^2) + (c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - ((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*d*x^3) + (2*b*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])])/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b^2*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])])/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+
+
+{x^3*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 20, (-304*b^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(3675*c^4) + (4*a*b*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(35*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (152*b^2*d*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(11025*c^4) - (38*b^2*d*(1 + c^2*x^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(6125*c^4) + (2*b^2*d*(1 + c^2*x^2)^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(343*c^4) + (4*b^2*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(35*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*d*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(105*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (16*b*c*d*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(175*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c^3*d*x^7*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(49*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(35*c^4) + (d*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(35*c^2) + (3*d*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/35 + (x^4*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/7}
+{x^2*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 17, (-7*b^2*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(1152*c^2) + (43*b^2*d*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/1728 + (b^2*c^2*d*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/108 + (7*b^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(1152*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*d*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(16*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (7*b*c*d*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(48*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d*x^6*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(18*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*c^2) + (d*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/8 + (x^3*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/6 - (d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(48*b*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{x*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 6, (16*b^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(75*c^2) + (8*b^2*d*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(225*c^2) + (2*b^2*d*(1 + c^2*x^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(125*c^2) - (2*b*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (4*b*c*d*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(15*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c^3*d*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(25*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + ((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(5*c^2*d)}
+{(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 10, (15/64)*b^2*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2] + (1/32)*b^2*d*x*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2] - (9*b^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(64*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*b*c*d*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*d*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c) + (3/8)*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (1/4)*x*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(8*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x, x, 17, (22*b^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/9 - (2*a*b*c*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (2*b^2*d*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/27 - (2*b^2*c*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (2*b*c*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c^3*d*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(9*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + ((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/3 - (2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (2*b*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (2*b*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (2*b^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[3, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (2*b^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[3, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2]}
+{((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^2, x, 14, (1/4)*b^2*c^2*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2] - (5*b^2*c*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*b*c^3*d*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + b*c*d*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (3/2)*c^2*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (c*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[1 + c^2*x^2] - ((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x + (c*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (2*b*c*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b^2*c*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])])/Sqrt[1 + c^2*x^2]}
+{((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^3, x, 18, 2*b^2*c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2] - (3*a*b*c^3*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (3*b^2*c^3*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b*c*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(x*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c^3*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (3*c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/2 - ((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*x^2) - (3*c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b^2*c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (3*b*c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (3*b*c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (3*b^2*c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[3, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (3*b^2*c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[3, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2]}
+{((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^4, x, 16, -((b^2*c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(3*x)) + (b^2*c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*d*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*x^2) - (c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x + (4*c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - ((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*x^3) + (c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (8*b*c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])])/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (4*b^2*c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])])/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+
+
+{x^3*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 27, (-160*b^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(3969*c^4) + (4*a*b*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(63*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (80*b^2*d^2*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(11907*c^4) - (4*b^2*d^2*(1 + c^2*x^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(1323*c^4) - (50*b^2*d^2*(1 + c^2*x^2)^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(27783*c^4) + (2*b^2*d^2*(1 + c^2*x^2)^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(729*c^4) + (4*b^2*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(63*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*d^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(189*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c*d^2*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(21*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (38*b*c^3*d^2*x^7*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(441*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c^5*d^2*x^9*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(81*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(63*c^4) + (d^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(63*c^2) + (d^2*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/21 + (5*d*x^4*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/63 + (x^4*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/9}
+{x^2*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 25, (-359*b^2*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(36864*c^2) + (1079*b^2*d^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/55296 + (209*b^2*c^2*d^2*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/13824 + (b^2*c^4*d^2*x^7*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/256 + (359*b^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(36864*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (5*b*d^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(128*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (59*b*c*d^2*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(384*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (17*b*c^3*d^2*x^6*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(144*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^8*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(32*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (5*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(128*c^2) + (5*d^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/64 + (5*d*x^3*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/48 + (x^3*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/8 - (5*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(384*b*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{x*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 6, (32*b^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(245*c^2) + (16*b^2*d^2*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(735*c^2) + (12*b^2*d^2*(1 + c^2*x^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(1225*c^2) + (2*b^2*d^2*(1 + c^2*x^2)^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(343*c^2) - (2*b*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(7*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c*d^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(7*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (6*b*c^3*d^2*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(35*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c^5*d^2*x^7*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(49*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + ((d + c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(7*c^2*d)}
+{(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 16, (245*b^2*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/1152 + (65*b^2*d^2*x*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/1728 + (b^2*d^2*x*(1 + c^2*x^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/108 - (115*b^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(1152*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (5*b*c*d^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(16*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (5*b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(48*c) - (b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(18*c) + (5*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/16 + (5*d*x*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/24 + (x*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/6 + (5*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(48*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x, x, 23, (598*b^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/225 - (2*a*b*c*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (74*b^2*d^2*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/675 + (2*b^2*d^2*(1 + c^2*x^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/125 - (2*b^2*c*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (16*b*c*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(15*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (22*b*c^3*d^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(45*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c^5*d^2*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(25*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/3 + ((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/5 - (2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (2*b*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (2*b*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (2*b^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[3, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (2*b^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[3, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2]}
+{((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^2, x, 23, (31/64)*b^2*c^2*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2] + (1/32)*b^2*c^2*d^2*x*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2] - (89*b^2*c*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(64*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (15*b*c^3*d^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + b*c*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (1/8)*b*c*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (15/8)*c^2*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (c*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (5/4)*c^2*d*x*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 - ((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x + (5*c*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(8*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (2*b*c*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b^2*c*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])])/Sqrt[1 + c^2*x^2]}
+{((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^3, x, 25, (40*b^2*c^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/9 - (5*a*b*c^3*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (2*b^2*c^2*d^2*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/27 - (5*b^2*c^3*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b*c*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(x*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c^3*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c^5*d^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(9*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (5*c^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/2 + (5*c^2*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/6 - ((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*x^2) - (5*c^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b^2*c^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (5*b*c^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (5*b*c^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (5*b^2*c^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[3, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (5*b^2*c^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[3, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[1 + c^2*x^2]}
+{((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/x^4, x, 27, (7/12)*b^2*c^4*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2] - (b^2*c^2*d^2*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(3*x) - (23*b^2*c^3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(12*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (5*b*c^5*d^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (7/3)*b*c^3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) - (b*c*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*x^2) + (5/2)*c^4*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (7*c^3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (5*c^2*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*x) - ((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*x^3) + (5*c^3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(6*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (14*b*c^3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])])/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (7*b^2*c^3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])])/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^4*ArcSinh[a*x]^2)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 10, (-15*x*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(64*a^4) + (x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(32*a^2) + (15*ArcSinh[a*x])/(64*a^5) + (3*x^2*ArcSinh[a*x])/(8*a^3) - (x^4*ArcSinh[a*x])/(8*a) - (3*x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(8*a^4) + (x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(4*a^2) + ArcSinh[a*x]^3/(8*a^5)}
+{(x^3*ArcSinh[a*x]^2)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 8, (-14*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(9*a^4) + (2*(1 + a^2*x^2)^(3/2))/(27*a^4) + (4*x*ArcSinh[a*x])/(3*a^3) - (2*x^3*ArcSinh[a*x])/(9*a) - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(3*a^4) + (x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(3*a^2)}
+{(x^2*ArcSinh[a*x]^2)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 5, (x*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(4*a^2) - ArcSinh[a*x]/(4*a^3) - (x^2*ArcSinh[a*x])/(2*a) + (x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(2*a^2) - ArcSinh[a*x]^3/(6*a^3)}
+{(x*ArcSinh[a*x]^2)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 3, (2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/a^2 - (2*x*ArcSinh[a*x])/a + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/a^2}
+{ArcSinh[a*x]^2/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 1, ArcSinh[a*x]^3/(3*a)}
+{ArcSinh[a*x]^2/(x*Sqrt[1 + a^2*x^2]), x, 8, -2*ArcSinh[a*x]^2*ArcTanh[E^ArcSinh[a*x]] - 2*ArcSinh[a*x]*PolyLog[2, -E^ArcSinh[a*x]] + 2*ArcSinh[a*x]*PolyLog[2, E^ArcSinh[a*x]] + 2*PolyLog[3, -E^ArcSinh[a*x]] - 2*PolyLog[3, E^ArcSinh[a*x]]}
+{ArcSinh[a*x]^2/(x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]), x, 6, -(a*ArcSinh[a*x]^2) - (Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/x + 2*a*ArcSinh[a*x]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[a*x])] + a*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[a*x])]}
+{ArcSinh[a*x]^2/(x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]), x, 13, -((a*ArcSinh[a*x])/x) - (Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(2*x^2) + a^2*ArcSinh[a*x]^2*ArcTanh[E^ArcSinh[a*x]] - a^2*ArcTanh[Sqrt[1 + a^2*x^2]] + a^2*ArcSinh[a*x]*PolyLog[2, -E^ArcSinh[a*x]] - a^2*ArcSinh[a*x]*PolyLog[2, E^ArcSinh[a*x]] - a^2*PolyLog[3, -E^ArcSinh[a*x]] + a^2*PolyLog[3, E^ArcSinh[a*x]]}
+
+
+{(x^5*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[d + c^2*d*x^2], x, 14, -((16*a*b*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(15*c^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) + (298*b^2*(1 + c^2*x^2))/(225*c^6*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (76*b^2*(1 + c^2*x^2)^2)/(675*c^6*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (2*b^2*(1 + c^2*x^2)^3)/(125*c^6*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (16*b^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcSinh[c*x])/(15*c^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (8*b*x^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(45*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*b*x^5*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(25*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (8*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(15*c^6*d) - (4*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(15*c^4*d) + (x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(5*c^2*d)}
+{(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[d + c^2*d*x^2], x, 10, -((15*b^2*x*(1 + c^2*x^2))/(64*c^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) + (b^2*x^3*(1 + c^2*x^2))/(32*c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (15*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcSinh[c*x])/(64*c^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (3*b*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*x^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (3*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(8*c^4*d) + (x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*c^2*d) + (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(8*b*c^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[d + c^2*d*x^2], x, 9, (4*a*b*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (14*b^2*(1 + c^2*x^2))/(9*c^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (2*b^2*(1 + c^2*x^2)^2)/(27*c^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (4*b^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcSinh[c*x])/(3*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*b*x^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(9*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c^4*d) + (x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c^2*d)}
+{(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[d + c^2*d*x^2], x, 5, (b^2*x*(1 + c^2*x^2))/(4*c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcSinh[c*x])/(4*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*c^2*d) - (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(6*b*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[d + c^2*d*x^2], x, 4, (-2*a*b*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (2*b^2*(1 + c^2*x^2))/(c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*b^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c^2*d)}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/Sqrt[d + c^2*d*x^2], x, 1, (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]), x, 8, (-2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[d + c^2*d*x^2] - (2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[d + c^2*d*x^2] + (2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[d + c^2*d*x^2] + (2*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[3, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[d + c^2*d*x^2] - (2*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[3, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[d + c^2*d*x^2]}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]), x, 6, (c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[d + c^2*d*x^2] - (Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d*x) + (2*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])])/Sqrt[d + c^2*d*x^2] - (b^2*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])])/Sqrt[d + c^2*d*x^2]}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]), x, 13, -((b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) - (Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*d*x^2) + (c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[d + c^2*d*x^2] - (b^2*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/Sqrt[d + c^2*d*x^2] + (b*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[d + c^2*d*x^2] - (b*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[d + c^2*d*x^2] - (b^2*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[3, -E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[d + c^2*d*x^2] + (b^2*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[3, E^ArcSinh[c*x]])/Sqrt[d + c^2*d*x^2]}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2]), x, 9, -((b^2*c^2*(1 + c^2*x^2))/(3*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) - (b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*d*x^3) + (2*c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*d*x) - (4*b*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c*x])])/(3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (2*b^2*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c*x])])/(3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+
+
+{(x^5*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d + c^2*d*x^2)^(3/2), x, 22, (16*a*b*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3*c^5*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (32*b^2*(1 + c^2*x^2))/(9*c^6*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (2*b^2*(1 + c^2*x^2)^2)/(27*c^6*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (16*b^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcSinh[c*x])/(3*c^5*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*b*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^5*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*b*x^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(9*c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (8*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c^6*d^2) + (4*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c^4*d^2) + (4*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c^6*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*I*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^6*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (2*I*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^6*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d + c^2*d*x^2)^(3/2), x, 14, (b^2*x*(1 + c^2*x^2))/(4*c^4*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcSinh[c*x])/(4*c^5*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c^5*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (3*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*c^4*d^2) - (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(2*b*c^5*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c^5*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c^5*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d + c^2*d*x^2)^(3/2), x, 13, (-4*a*b*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (2*b^2*(1 + c^2*x^2))/(c^4*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (4*b^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcSinh[c*x])/(c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (2*b*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c^4*d^2) - (4*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c^4*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + ((2*I)*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^4*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - ((2*I)*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^4*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d + c^2*d*x^2)^(3/2), x, 7, -((x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) - (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b*c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c^3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d + c^2*d*x^2)^(3/2), x, 7, -((a + b*ArcSinh[c*x])^2/(c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) + (4*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - ((2*I)*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + ((2*I)*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2)^(3/2), x, 6, (x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 15, (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (4*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + ((2*I)*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - ((2*I)*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (2*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[3, -E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[3, E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^2*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 14, -((a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) - (2*c^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (4*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcSinh[c*x])])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (4*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b^2*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b^2*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[c*x])])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^3*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 26, -((b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) - (3*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(2*d*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (4*b*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (3*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b^2*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (3*b*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - ((2*I)*b^2*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + ((2*I)*b^2*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (3*b*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (3*b^2*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[3, -E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (3*b^2*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[3, E^ArcSinh[c*x]])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^4*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 24, -(b^2*c^2*(1 + c^2*x^2))/(3*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(3*d*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (4*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (8*c^4*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (8*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (20*b*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (16*b*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b^2*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (5*b^2*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+
+
+{(x^5*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d + c^2*d*x^2)^(5/2), x, 26, b^2/(3*c^6*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (16*a*b*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (2*b^2*(1 + c^2*x^2))/(c^6*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (16*b^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcSinh[c*x])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (11*b*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^5*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c^2*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) - (4*x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c^4*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (8*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c^6*d^3) - (22*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(3*c^6*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (((11*I)/3)*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^6*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (((11*I)/3)*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^6*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d + c^2*d*x^2)^(5/2), x, 16, -(b^2*x)/(3*c^4*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcSinh[c*x])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*x^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c^2*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) - (x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c^4*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (4*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c^5*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b*c^5*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (8*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (4*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d + c^2*d*x^2)^(5/2), x, 16, -b^2/(3*c^4*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c^2*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) - (2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c^4*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (10*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(3*c^4*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (((5*I)/3)*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^4*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (((5*I)/3)*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^4*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d + c^2*d*x^2)^(5/2), x, 9, (b^2*x)/(3*c^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcSinh[c*x])/(3*c^3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b*x^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) + (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c^3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*c^3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*c^3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d + c^2*d*x^2)^(5/2), x, 9, b^2/(3*c^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(3*c^2*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) + (2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(3*c^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - ((I/3)*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + ((I/3)*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c^2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2)^(5/2), x, 9, -(b^2*x)/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (4*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*c*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*c*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 24, -b^2/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*c*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(3*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) + (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (14*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (((7*I)/3)*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (((7*I)/3)*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (2*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[3, -E^ArcSinh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*b^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[3, E^ArcSinh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^2*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 19, (b^2*c^2*x)/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d*x*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) - (4*c^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) - (8*c^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (8*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (4*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcSinh[c*x])])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (16*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (5*b^2*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b^2*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[c*x])])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^3*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 38, (b^2*c^2)/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*b*c^3*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (5*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(6*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(2*d*x^2*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) - (5*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (26*b*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (5*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*ArcTanh[E^ArcSinh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b^2*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (5*b*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (((13*I)/3)*b^2*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (((13*I)/3)*b^2*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (5*b*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, E^ArcSinh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (5*b^2*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[3, -E^ArcSinh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (5*b^2*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[3, E^ArcSinh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(x^4*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 32, -(b^2*c^2)/(3*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*b^2*c^4*x)/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d^2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(3*d*x^3*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) + (2*c^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d*x*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) + (8*c^4*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*d*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)) + (16*c^4*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (16*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (32*b*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (32*b*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (8*b^2*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (8*b^2*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+
+
+{ArcSinh[a*x]^2/(c + a^2*c*x^2)^(7/2), x, 13, -x/(3*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - x/(30*c^3*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + ArcSinh[a*x]/(10*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (4*ArcSinh[a*x])/(15*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x*ArcSinh[a*x]^2)/(5*c*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcSinh[a*x]^2)/(15*c^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcSinh[a*x]^2)/(15*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (8*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(15*a*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (16*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]*Log[1 + E^(2*ArcSinh[a*x])])/(15*a*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (8*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[a*x])])/(15*a*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^p (a+b ArcSinh[c x])^2 and m symbolic*)
+
+
+{x^m*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 12, If[$VersionNumber>=8, (10*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((4 + m)^3*(6 + m)) + (2*b^2*c^2*d^2*(52 + 15*m + m^2)*x^(3 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((4 + m)^2*(6 + m)^3) + (2*b^2*c^4*d^2*x^(5 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(6 + m)^3 - (30*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((2 + m)^2*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (10*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((12 + 8*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (10*b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((4 + m)^2*(6 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (4*b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c^5*d^2*x^(6 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((6 + m)^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (15*d^2*x^(1 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)) + (5*d*x^(1 + m)*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/((4 + m)*(6 + m)) + (x^(1 + m)*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(6 + m) + (30*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, (-c^2)*x^2])/((2 + m)^2*(3 + m)*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (10*b^2*c^2*d^2*(10 + 3*m)*x^(3 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, (-c^2)*x^2])/((2 + m)*(3 + m)*(4 + m)^3*(6 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (2*b^2*c^2*d^2*(264 + 130*m + 15*m^2)*x^(3 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, (-c^2)*x^2])/((2 + m)*(3 + m)*(4 + m)^2*(6 + m)^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (15*d^3*Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[d + c^2*d*x^2], x])/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)), (10*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((4 + m)^3*(6 + m)) + (2*b^2*c^2*d^2*(52 + 15*m + m^2)*x^(3 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/((4 + m)^2*(6 + m)^3) + (2*b^2*c^4*d^2*x^(5 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(6 + m)^3 - (30*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((2 + m)^2*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (10*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c*d^2*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((12 + 8*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (10*b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((4 + m)^2*(6 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (4*b*c^3*d^2*x^(4 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((4 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c^5*d^2*x^(6 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((6 + m)^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (15*d^2*x^(1 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)) + (5*d*x^(1 + m)*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/((4 + m)*(6 + m)) + (x^(1 + m)*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(6 + m) + (10*b^2*c^2*d^2*(10 + 3*m)*x^(3 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, (-c^2)*x^2])/((4 + m)^3*(6 + m)*(6 + 5*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (30*b^2*c^2*d^2*x^(3 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, (-c^2)*x^2])/((2 + m)^2*(6 + m)*(12 + 7*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (2*b^2*c^2*d^2*(264 + 130*m + 15*m^2)*x^(3 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, (-c^2)*x^2])/((4 + m)^2*(6 + m)^3*(6 + 5*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (15*d^3*Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[d + c^2*d*x^2], x])/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2))]}
+{x^m*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 7, If[$VersionNumber>=8, (2*b^2*c^2*d*x^(3 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(4 + m)^3 - (6*b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((2 + m)^2*(4 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((8 + 6*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c^3*d*x^(4 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((4 + m)^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3*d*x^(1 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(8 + 6*m + m^2) + (x^(1 + m)*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4 + m) + (6*b^2*c^2*d*x^(3 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, (-c^2)*x^2])/((2 + m)^2*(3 + m)*(4 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (2*b^2*c^2*d*(10 + 3*m)*x^(3 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, (-c^2)*x^2])/((2 + m)*(3 + m)*(4 + m)^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3*d^2*Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[d + c^2*d*x^2], x])/(8 + 6*m + m^2), (2*b^2*c^2*d*x^(3 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(4 + m)^3 - (6*b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((2 + m)^2*(4 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c*d*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((8 + 6*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c^3*d*x^(4 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((4 + m)^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3*d*x^(1 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(8 + 6*m + m^2) + (x^(1 + m)*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4 + m) + (2*b^2*c^2*d*(10 + 3*m)*x^(3 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, (-c^2)*x^2])/((4 + m)^3*(6 + 5*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (6*b^2*c^2*d*x^(3 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, (-c^2)*x^2])/((2 + m)^2*(12 + 7*m + m^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3*d^2*Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[d + c^2*d*x^2], x])/(8 + 6*m + m^2)]}
+{x^m*(d + c^2*d*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 3, -((2*b*c*x^(2 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((2 + m)^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])) + (x^(1 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2 + m) + (2*b^2*c^2*x^(3 + m)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, (-c^2)*x^2])/((2 + m)^2*(3 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (d*Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[d + c^2*d*x^2], x])/(2 + m)}
+{x^m*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[d + c^2*d*x^2], x]}
+{x^m*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d + c^2*d*x^2)^(3/2), x]}
+{x^m*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + c^2*d*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^m*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d + c^2*d*x^2)^(5/2), x]}
+
+
+{(x^m*ArcSinh[a*x]^2)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcSinh[a*x]^2)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^p (a+b ArcSinh[c x])^3*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^p (a+b ArcSinh[c x])^3*)
+
+
+{(c + a^2*c*x^2)^3*ArcSinh[a*x]^3, x, 24, (-413312*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(128625*a) - (30256*c^3*(1 + a^2*x^2)^(3/2))/(385875*a) - (2664*c^3*(1 + a^2*x^2)^(5/2))/(214375*a) - (6*c^3*(1 + a^2*x^2)^(7/2))/(2401*a) + (4322*c^3*x*ArcSinh[a*x])/1225 + (1514*a^2*c^3*x^3*ArcSinh[a*x])/3675 + (702*a^4*c^3*x^5*ArcSinh[a*x])/6125 + (6*a^6*c^3*x^7*ArcSinh[a*x])/343 - (48*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(35*a) - (8*c^3*(1 + a^2*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a*x]^2)/(35*a) - (18*c^3*(1 + a^2*x^2)^(5/2)*ArcSinh[a*x]^2)/(175*a) - (3*c^3*(1 + a^2*x^2)^(7/2)*ArcSinh[a*x]^2)/(49*a) + (16*c^3*x*ArcSinh[a*x]^3)/35 + (8*c^3*x*(1 + a^2*x^2)*ArcSinh[a*x]^3)/35 + (6*c^3*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcSinh[a*x]^3)/35 + (c^3*x*(1 + a^2*x^2)^3*ArcSinh[a*x]^3)/7}
+{(c + a^2*c*x^2)^2*ArcSinh[a*x]^3, x, 17, (-4144*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(1125*a) - (272*c^2*(1 + a^2*x^2)^(3/2))/(3375*a) - (6*c^2*(1 + a^2*x^2)^(5/2))/(625*a) + (298*c^2*x*ArcSinh[a*x])/75 + (76*a^2*c^2*x^3*ArcSinh[a*x])/225 + (6*a^4*c^2*x^5*ArcSinh[a*x])/125 - (8*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(5*a) - (4*c^2*(1 + a^2*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a*x]^2)/(15*a) - (3*c^2*(1 + a^2*x^2)^(5/2)*ArcSinh[a*x]^2)/(25*a) + (8*c^2*x*ArcSinh[a*x]^3)/15 + (4*c^2*x*(1 + a^2*x^2)*ArcSinh[a*x]^3)/15 + (c^2*x*(1 + a^2*x^2)^2*ArcSinh[a*x]^3)/5}
+{(c + a^2*c*x^2)*ArcSinh[a*x]^3, x, 10, (-40*c*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(9*a) - (2*c*(1 + a^2*x^2)^(3/2))/(27*a) + (14*c*x*ArcSinh[a*x])/3 + (2*a^2*c*x^3*ArcSinh[a*x])/9 - (2*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/a - (c*(1 + a^2*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a*x]^2)/(3*a) + (2*c*x*ArcSinh[a*x]^3)/3 + (c*x*(1 + a^2*x^2)*ArcSinh[a*x]^3)/3}
+{ArcSinh[a*x]^3/(c + a^2*c*x^2), x, 10, (2*ArcSinh[a*x]^3*ArcTan[E^ArcSinh[a*x]])/(a*c) - ((3*I)*ArcSinh[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c) + ((3*I)*ArcSinh[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c) + ((6*I)*ArcSinh[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c) - ((6*I)*ArcSinh[a*x]*PolyLog[3, I*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c) - ((6*I)*PolyLog[4, (-I)*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c) + ((6*I)*PolyLog[4, I*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c)}
+{ArcSinh[a*x]^3/(c + a^2*c*x^2)^2, x, 18, (3*ArcSinh[a*x]^2)/(2*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (x*ArcSinh[a*x]^3)/(2*c^2*(1 + a^2*x^2)) - (6*ArcSinh[a*x]*ArcTan[E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^2) + (ArcSinh[a*x]^3*ArcTan[E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^2) + ((3*I)*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^2) - (((3*I)/2)*ArcSinh[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^2) - ((3*I)*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^2) + (((3*I)/2)*ArcSinh[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^2) + ((3*I)*ArcSinh[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^2) - ((3*I)*ArcSinh[a*x]*PolyLog[3, I*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^2) - ((3*I)*PolyLog[4, (-I)*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^2) + ((3*I)*PolyLog[4, I*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^2)}
+{ArcSinh[a*x]^3/(c + a^2*c*x^2)^3, x, 28, -1/(4*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (x*ArcSinh[a*x])/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)) + ArcSinh[a*x]^2/(4*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^(3/2)) + (9*ArcSinh[a*x]^2)/(8*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (x*ArcSinh[a*x]^3)/(4*c^3*(1 + a^2*x^2)^2) + (3*x*ArcSinh[a*x]^3)/(8*c^3*(1 + a^2*x^2)) - (5*ArcSinh[a*x]*ArcTan[E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^3) + (3*ArcSinh[a*x]^3*ArcTan[E^ArcSinh[a*x]])/(4*a*c^3) + (((5*I)/2)*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^3) - (((9*I)/8)*ArcSinh[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^3) - (((5*I)/2)*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^3) + (((9*I)/8)*ArcSinh[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^3) + (((9*I)/4)*ArcSinh[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^3) - (((9*I)/4)*ArcSinh[a*x]*PolyLog[3, I*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^3) - (((9*I)/4)*PolyLog[4, (-I)*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^3) + (((9*I)/4)*PolyLog[4, I*E^ArcSinh[a*x]])/(a*c^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcSinh[c x])^3*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcSinh[a*x]^3, x, 24, (-865*a*c^2*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(2304*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (65*a^3*c^2*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(2304*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (c^2*(1 + a^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(216*a) + (245*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x])/384 + (65*c^2*x*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x])/576 + (c^2*x*(1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x])/36 - (115*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(768*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (15*a*c^2*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(32*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (5*c^2*(1 + a^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(32*a) - (c^2*(1 + a^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(12*a) + (5*c^2*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/16 + (5*c*x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a*x]^3)/24 + (x*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcSinh[a*x]^3)/6 + (5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^4)/(64*a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a*x]^3, x, 14, (-51*a*c*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(128*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (3*a^3*c*x^4*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(128*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (45*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x])/64 + (3*c*x*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x])/32 - (27*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(128*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (9*a*c*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(16*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (3*c*(1 + a^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(16*a) + (3*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/8 + (x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a*x]^3)/4 + (3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^4)/(32*a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^3, x, 6, (-3*a*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(8*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (3*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x])/4 - (3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(8*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (3*a*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^2)/(4*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/2 + (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^4)/(8*a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{ArcSinh[a*x]^3/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 1, (Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^4)/(4*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcSinh[a*x]^3/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 7, (x*ArcSinh[a*x]^3)/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2*Log[1 + E^(2*ArcSinh[a*x])])/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[a*x])])/(a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(2*ArcSinh[a*x])])/(2*a*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcSinh[a*x]^3/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 11, -((x*ArcSinh[a*x])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])) + ArcSinh[a*x]^2/(2*a*c^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x*ArcSinh[a*x]^3)/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcSinh[a*x]^3)/(3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(3*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2*Log[1 + E^(2*ArcSinh[a*x])])/(a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*Log[1 + a^2*x^2])/(2*a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[a*x])])/(a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(2*ArcSinh[a*x])])/(a*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcSinh[a*x]^3/(c + a^2*c*x^2)^(7/2), x, 17, -1/(20*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (x*ArcSinh[a*x])/(c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (x*ArcSinh[a*x])/(10*c^3*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (3*ArcSinh[a*x]^2)/(20*a*c^3*(1 + a^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (2*ArcSinh[a*x]^2)/(5*a*c^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (x*ArcSinh[a*x]^3)/(5*c*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcSinh[a*x]^3)/(15*c^2*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcSinh[a*x]^3)/(15*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (8*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(15*a*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (8*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^2*Log[1 + E^(2*ArcSinh[a*x])])/(5*a*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*Log[1 + a^2*x^2])/(2*a*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (8*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[a*x])])/(5*a*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) + (4*Sqrt[1 + a^2*x^2]*PolyLog[3, -E^(2*ArcSinh[a*x])])/(5*a*c^3*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+
+
+{(x^m*ArcSinh[a*x]^3)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcSinh[a*x]^3)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x]}
+
+{(x^4*ArcSinh[a*x]^3)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 13, (45*x^2)/(128*a^3) - (3*x^4)/(128*a) - (45*x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(64*a^4) + (3*x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(32*a^2) + (45*ArcSinh[a*x]^2)/(128*a^5) + (9*x^2*ArcSinh[a*x]^2)/(16*a^3) - (3*x^4*ArcSinh[a*x]^2)/(16*a) - (3*x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(8*a^4) + (x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(4*a^2) + (3*ArcSinh[a*x]^4)/(32*a^5)}
+{(x^3*ArcSinh[a*x]^3)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 10, (40*x)/(9*a^3) - (2*x^3)/(27*a) - (40*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(9*a^4) + (2*x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(9*a^2) + (2*x*ArcSinh[a*x]^2)/a^3 - (x^3*ArcSinh[a*x]^2)/(3*a) - (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(3*a^4) + (x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(3*a^2)}
+{(x^2*ArcSinh[a*x]^3)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 6, (-3*x^2)/(8*a) + (3*x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/(4*a^2) - (3*ArcSinh[a*x]^2)/(8*a^3) - (3*x^2*ArcSinh[a*x]^2)/(4*a) + (x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(2*a^2) - ArcSinh[a*x]^4/(8*a^3)}
+{(x*ArcSinh[a*x]^3)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 4, (-6*x)/a + (6*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])/a^2 - (3*x*ArcSinh[a*x]^2)/a + (Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/a^2}
+{ArcSinh[a*x]^3/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 1, ArcSinh[a*x]^4/(4*a)}
+{ArcSinh[a*x]^3/(x*Sqrt[1 + a^2*x^2]), x, 10, -2*ArcSinh[a*x]^3*ArcTanh[E^ArcSinh[a*x]] - 3*ArcSinh[a*x]^2*PolyLog[2, -E^ArcSinh[a*x]] + 3*ArcSinh[a*x]^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[a*x]] + 6*ArcSinh[a*x]*PolyLog[3, -E^ArcSinh[a*x]] - 6*ArcSinh[a*x]*PolyLog[3, E^ArcSinh[a*x]] - 6*PolyLog[4, -E^ArcSinh[a*x]] + 6*PolyLog[4, E^ArcSinh[a*x]]}
+{ArcSinh[a*x]^3/(x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]), x, 7, -(a*ArcSinh[a*x]^3) - (Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/x + 3*a*ArcSinh[a*x]^2*Log[1 - E^(2*ArcSinh[a*x])] + 3*a*ArcSinh[a*x]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[a*x])] - (3*a*PolyLog[3, E^(2*ArcSinh[a*x])])/2}
+{ArcSinh[a*x]^3/(x^3*Sqrt[1 + a^2*x^2]), x, 18, (-3*a*ArcSinh[a*x]^2)/(2*x) - (Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3)/(2*x^2) - 6*a^2*ArcSinh[a*x]*ArcTanh[E^ArcSinh[a*x]] + a^2*ArcSinh[a*x]^3*ArcTanh[E^ArcSinh[a*x]] - 3*a^2*PolyLog[2, -E^ArcSinh[a*x]] + (3*a^2*ArcSinh[a*x]^2*PolyLog[2, -E^ArcSinh[a*x]])/2 + 3*a^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[a*x]] - (3*a^2*ArcSinh[a*x]^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[a*x]])/2 - 3*a^2*ArcSinh[a*x]*PolyLog[3, -E^ArcSinh[a*x]] + 3*a^2*ArcSinh[a*x]*PolyLog[3, E^ArcSinh[a*x]] + 3*a^2*PolyLog[4, -E^ArcSinh[a*x]] - 3*a^2*PolyLog[4, E^ArcSinh[a*x]]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^p / (a+b ArcSinh[c x])^1*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^p / (a+b ArcSinh[c x])*)
+
+
+{(c + a^2*c*x^2)^3/ArcSinh[a*x], x, 7, (35*c^3*CoshIntegral[ArcSinh[a*x]])/(64*a) + (21*c^3*CoshIntegral[3*ArcSinh[a*x]])/(64*a) + (7*c^3*CoshIntegral[5*ArcSinh[a*x]])/(64*a) + (c^3*CoshIntegral[7*ArcSinh[a*x]])/(64*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)^2/ArcSinh[a*x], x, 6, (5*c^2*CoshIntegral[ArcSinh[a*x]])/(8*a) + (5*c^2*CoshIntegral[3*ArcSinh[a*x]])/(16*a) + (c^2*CoshIntegral[5*ArcSinh[a*x]])/(16*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)^1/ArcSinh[a*x], x, 5, (3*c*CoshIntegral[ArcSinh[a*x]])/(4*a) + (c*CoshIntegral[3*ArcSinh[a*x]])/(4*a)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^1*ArcSinh[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/((c + a^2*c*x^2)*ArcSinh[a*x]), x]}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcSinh[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcSinh[a*x]), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^(p/2) / (a+b ArcSinh[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(x^4*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 12, -((Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c^5)) - (Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c^5) + (Cosh[(6*a)/b]*CoshIntegral[(6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c^5) + Log[a + b*ArcSinh[c*x]]/(16*b*c^5) + (Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c^5) + (Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c^5) - (Sinh[(6*a)/b]*SinhIntegral[(6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c^5)}
+{(x^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 12, (CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(8*b*c^4) + (CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(16*b*c^4) - (CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(5*a)/b])/(16*b*c^4) - (Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(8*b*c^4) - (Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c^4) + (Cosh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c^4)}
+{(x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 6, (Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(8*b*c^3) - Log[a + b*ArcSinh[c*x]]/(8*b*c^3) - (Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(8*b*c^3)}
+{(x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 9, -((CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(4*b*c^2)) - (CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(4*b*c^2) + (Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(4*b*c^2) + (Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(4*b*c^2)}
+{Sqrt[1 + c^2*x^2]/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 6, (Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2*b*c) + Log[a + b*ArcSinh[c*x]]/(2*b*c) - (Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2*b*c)}
+{Sqrt[1 + c^2*x^2]/(x*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 6, -((CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/b) + (Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/b + Unintegrable[1/(x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+{Sqrt[1 + c^2*x^2]/(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 3, (c*Log[a + b*ArcSinh[c*x]])/b + Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+{Sqrt[1 + c^2*x^2]/(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[Sqrt[1 + c^2*x^2]/(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+{Sqrt[1 + c^2*x^2]/(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[Sqrt[1 + c^2*x^2]/(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+
+
+{(x^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 15, (3*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(64*b*c^4) + (3*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(64*b*c^4) - (CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(5*a)/b])/(64*b*c^4) - (CoshIntegral[(7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(7*a)/b])/(64*b*c^4) - (3*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(64*b*c^4) - (3*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b*c^4) + (Cosh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b*c^4) + (Cosh[(7*a)/b]*SinhIntegral[(7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b*c^4)}
+{(x^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 12, -((Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c^3)) + (Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c^3) + (Cosh[(6*a)/b]*CoshIntegral[(6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c^3) - Log[a + b*ArcSinh[c*x]]/(16*b*c^3) + (Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c^3) - (Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c^3) - (Sinh[(6*a)/b]*SinhIntegral[(6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c^3)}
+{(x*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 12, -((CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(8*b*c^2)) - (3*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(16*b*c^2) - (CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(5*a)/b])/(16*b*c^2) + (Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(8*b*c^2) + (3*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c^2) + (Cosh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c^2)}
+{(1 + c^2*x^2)^(3/2)/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 9, (Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2*b*c) + (Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(8*b*c) + (3*Log[a + b*ArcSinh[c*x]])/(8*b*c) - (Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2*b*c) - (Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(8*b*c)}
+{(1 + c^2*x^2)^(3/2)/(x*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 15, -((5*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(4*b)) - (CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(4*b) + (5*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(4*b) + (Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(4*b) + Unintegrable[1/(x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+{(1 + c^2*x^2)^(3/2)/(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 9, (c*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2*b) + (3*c*Log[a + b*ArcSinh[c*x]])/(2*b) - (c*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2*b) + Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+{(1 + c^2*x^2)^(3/2)/(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[(1 + c^2*x^2)^(3/2)/(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+{(1 + c^2*x^2)^(3/2)/(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[(1 + c^2*x^2)^(3/2)/(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+
+
+{(x^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 15, (3*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(128*b*c^4) + (CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(32*b*c^4) - (3*CoshIntegral[(7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(7*a)/b])/(256*b*c^4) - (CoshIntegral[(9*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(9*a)/b])/(256*b*c^4) - (3*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(128*b*c^4) - (Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c^4) + (3*Cosh[(7*a)/b]*SinhIntegral[(7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(256*b*c^4) + (Cosh[(9*a)/b]*SinhIntegral[(9*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(256*b*c^4)}
+{(x^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 15, -((Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c^3)) + (Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c^3) + (Cosh[(6*a)/b]*CoshIntegral[(6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c^3) + (Cosh[(8*a)/b]*CoshIntegral[(8*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(128*b*c^3) - (5*Log[a + b*ArcSinh[c*x]])/(128*b*c^3) + (Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c^3) - (Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c^3) - (Sinh[(6*a)/b]*SinhIntegral[(6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c^3) - (Sinh[(8*a)/b]*SinhIntegral[(8*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(128*b*c^3)}
+{(x*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 15, -((5*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(64*b*c^2)) - (9*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(64*b*c^2) - (5*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(5*a)/b])/(64*b*c^2) - (CoshIntegral[(7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(7*a)/b])/(64*b*c^2) + (5*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(64*b*c^2) + (9*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b*c^2) + (5*Cosh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b*c^2) + (Cosh[(7*a)/b]*SinhIntegral[(7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b*c^2)}
+{(1 + c^2*x^2)^(5/2)/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 12, (15*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c) + (3*Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c) + (Cosh[(6*a)/b]*CoshIntegral[(6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c) + (5*Log[a + b*ArcSinh[c*x]])/(16*b*c) - (15*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c) - (3*Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c) - (Sinh[(6*a)/b]*SinhIntegral[(6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b*c)}
+{(1 + c^2*x^2)^(5/2)/(x*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 27, -((11*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(8*b)) - (7*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(16*b) - (CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(5*a)/b])/(16*b) + (11*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(8*b) + (7*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b) + (Cosh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b) + Unintegrable[1/(x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+{(1 + c^2*x^2)^(5/2)/(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 18, (c*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/b + (c*Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(8*b) + (15*c*Log[a + b*ArcSinh[c*x]])/(8*b) - (c*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/b - (c*Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(8*b) + Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+{(1 + c^2*x^2)^(5/2)/(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[(1 + c^2*x^2)^(5/2)/(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+{(1 + c^2*x^2)^(5/2)/(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[(1 + c^2*x^2)^(5/2)/(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^4/(Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]), x, 5, -CoshIntegral[2*ArcSinh[a*x]]/(2*a^5) + CoshIntegral[4*ArcSinh[a*x]]/(8*a^5) + (3*Log[ArcSinh[a*x]])/(8*a^5)}
+{x^3/(Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]), x, 5, (-3*SinhIntegral[ArcSinh[a*x]])/(4*a^4) + SinhIntegral[3*ArcSinh[a*x]]/(4*a^4)}
+{x^2/(Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]), x, 4, CoshIntegral[2*ArcSinh[a*x]]/(2*a^3) - Log[ArcSinh[a*x]]/(2*a^3)}
+{x^2/(Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]), x, 4, CoshIntegral[2*ArcSinh[a*x]]/(2*a^3) - Log[ArcSinh[a*x]]/(2*a^3)}
+{x/(Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]), x, 2, SinhIntegral[ArcSinh[a*x]]/a^2}
+{1/(Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]), x, 1, Log[ArcSinh[a*x]]/a}
+{1/(x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]), x]}
+{1/(x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]), x]}
+
+
+{x^5/(Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 12, -((5*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(8*b*c^6)) + (5*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(16*b*c^6) - (CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(5*a)/b])/(16*b*c^6) + (5*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(8*b*c^6) - (5*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c^6) + (Cosh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c^6)}
+{x^4/(Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 9, -((Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2*b*c^5)) + (Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(8*b*c^5) + (3*Log[a + b*ArcSinh[c*x]])/(8*b*c^5) + (Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2*b*c^5) - (Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(8*b*c^5)}
+{x^3/(Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 9, (3*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(4*b*c^4) - (CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(4*b*c^4) - (3*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(4*b*c^4) + (Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(4*b*c^4)}
+{x^2/(Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 6, (Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2*b*c^3) - Log[a + b*ArcSinh[c*x]]/(2*b*c^3) - (Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2*b*c^3)}
+{x/(Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 4, -((CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(b*c^2)) + (Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b*c^2)}
+{1/(Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 1, Log[a + b*ArcSinh[c*x]]/(b*c)}
+{1/(x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+{1/(x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+
+
+{x^2/((1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[x^2/((1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+{x/((1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[x/((1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+{1/((1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+{1/(x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+{1/(x^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^(p/2) / (a+b ArcSinh[c x]) with m symbolic*)
+
+
+{x^m*(1 + c^2*x^2)^(5/2)/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 0, Unintegrable[(x^m*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(a + b*ArcSinh[c*x]), x]}
+{x^m*(1 + c^2*x^2)^(3/2)/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 0, Unintegrable[(x^m*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcSinh[c*x]), x]}
+{x^m*(1 + c^2*x^2)^(1/2)/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 0, Unintegrable[(x^m*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(a + b*ArcSinh[c*x]), x]}
+{x^m/((1 + c^2*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[x^m/(Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+{x^m/((1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[x^m/((1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^p / (a+b ArcSinh[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^p / (a+b ArcSinh[c x])^2*)
+
+
+{(c + a^2*c*x^2)^3/ArcSinh[a*x]^2, x, 8, -((c^3*(1 + a^2*x^2)^(7/2))/(a*ArcSinh[a*x])) + (35*c^3*SinhIntegral[ArcSinh[a*x]])/(64*a) + (63*c^3*SinhIntegral[3*ArcSinh[a*x]])/(64*a) + (35*c^3*SinhIntegral[5*ArcSinh[a*x]])/(64*a) + (7*c^3*SinhIntegral[7*ArcSinh[a*x]])/(64*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)^2/ArcSinh[a*x]^2, x, 7, -((c^2*(1 + a^2*x^2)^(5/2))/(a*ArcSinh[a*x])) + (5*c^2*SinhIntegral[ArcSinh[a*x]])/(8*a) + (15*c^2*SinhIntegral[3*ArcSinh[a*x]])/(16*a) + (5*c^2*SinhIntegral[5*ArcSinh[a*x]])/(16*a)}
+{(c + a^2*c*x^2)/ArcSinh[a*x]^2, x, 6, -((c*(1 + a^2*x^2)^(3/2))/(a*ArcSinh[a*x])) + (3*c*SinhIntegral[ArcSinh[a*x]])/(4*a) + (3*c*SinhIntegral[3*ArcSinh[a*x]])/(4*a)}
+{1/((c + a^2*c*x^2)*ArcSinh[a*x]^2), x, 1, -(1/(a*c*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x])) - (a*Unintegrable[x/((1 + a^2*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a*x]), x])/c}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^2*ArcSinh[a*x]^2), x, 1, -(1/(a*c^2*(1 + a^2*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a*x])) - (3*a*Unintegrable[x/((1 + a^2*x^2)^(5/2)*ArcSinh[a*x]), x])/c^2}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^(p/2) / (a+b ArcSinh[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(x^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 22, -((x^3*(1 + c^2*x^2))/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(8*b^2*c^4) - (3*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^4) + (5*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^4) + (Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(8*b^2*c^4) + (3*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^4) - (5*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^4)}
+{(x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 16, -((x^2*(1 + c^2*x^2))/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (CoshIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(4*a)/b])/(2*b^2*c^3) + (Cosh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2*b^2*c^3)}
+{(x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 14, -((x*(1 + c^2*x^2))/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) + (Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(4*b^2*c^2) + (3*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(4*b^2*c^2) - (Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(4*b^2*c^2) - (3*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(4*b^2*c^2)}
+{Sqrt[1 + c^2*x^2]/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 7, -((1 + c^2*x^2)/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(b^2*c) + (Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(b^2*c)}
+{Sqrt[1 + c^2*x^2]/(x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 5, -((1 + c^2*x^2)/(b*c*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))) + (Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/b^2 - (Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/b^2 - Unintegrable[1/(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]/(b*c)}
+{Sqrt[1 + c^2*x^2]/(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 1, -((1 + c^2*x^2)/(b*c*x^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (2*Unintegrable[1/(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])), x])/(b*c)}
+{Sqrt[1 + c^2*x^2]/(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[1 + c^2*x^2]/(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+{Sqrt[1 + c^2*x^2]/(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[1 + c^2*x^2]/(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+
+
+{(x^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 28, -((x^3*(1 + c^2*x^2)^2)/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (3*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(64*b^2*c^4) - (9*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b^2*c^4) + (5*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b^2*c^4) + (7*Cosh[(7*a)/b]*CoshIntegral[(7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b^2*c^4) + (3*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(64*b^2*c^4) + (9*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b^2*c^4) - (5*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b^2*c^4) - (7*Sinh[(7*a)/b]*SinhIntegral[(7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b^2*c^4)}
+{(x^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 19, -((x^2*(1 + c^2*x^2)^2)/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) + (CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(16*b^2*c^3) - (CoshIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(4*a)/b])/(4*b^2*c^3) - (3*CoshIntegral[(6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(6*a)/b])/(16*b^2*c^3) - (Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^3) + (Cosh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(4*b^2*c^3) + (3*Cosh[(6*a)/b]*SinhIntegral[(6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^3)}
+{(x*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 22, -((x*(1 + c^2*x^2)^2)/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) + (Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(8*b^2*c^2) + (9*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^2) + (5*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^2) - (Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(8*b^2*c^2) - (9*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^2) - (5*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^2)}
+{(1 + c^2*x^2)^(3/2)/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 10, -((1 + c^2*x^2)^2/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(b^2*c) - (CoshIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(4*a)/b])/(2*b^2*c) + (Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(b^2*c) + (Cosh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2*b^2*c)}
+{(1 + c^2*x^2)^(3/2)/(x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 10, -((1 + c^2*x^2)^2/(b*c*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))) + (9*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(4*b^2) + (3*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(4*b^2) - (9*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(4*b^2) - (3*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(4*b^2) - Unintegrable[(1 + c^2*x^2)/(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]/(b*c)}
+{(1 + c^2*x^2)^(3/2)/(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 1, -((1 + c^2*x^2)^2/(b*c*x^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (2*Unintegrable[(1 + c^2*x^2)/(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])), x])/(b*c) + (2*c*Unintegrable[(1 + c^2*x^2)/(x*(a + b*ArcSinh[c*x])), x])/b}
+{(1 + c^2*x^2)^(3/2)/(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[(1 + c^2*x^2)^(3/2)/(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+{(1 + c^2*x^2)^(3/2)/(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 1, -((1 + c^2*x^2)^2/(b*c*x^4*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (4*Unintegrable[(1 + c^2*x^2)/(x^5*(a + b*ArcSinh[c*x])), x])/(b*c)}
+
+
+{(x^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 34, -((x^3*(1 + c^2*x^2)^3)/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (3*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(128*b^2*c^4) - (3*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b^2*c^4) + (21*Cosh[(7*a)/b]*CoshIntegral[(7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(256*b^2*c^4) + (9*Cosh[(9*a)/b]*CoshIntegral[(9*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(256*b^2*c^4) + (3*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(128*b^2*c^4) + (3*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*b^2*c^4) - (21*Sinh[(7*a)/b]*SinhIntegral[(7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(256*b^2*c^4) - (9*Sinh[(9*a)/b]*SinhIntegral[(9*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(256*b^2*c^4)}
+{(x^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 28, -((x^2*(1 + c^2*x^2)^3)/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) + (CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(16*b^2*c^3) - (CoshIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(4*a)/b])/(8*b^2*c^3) - (3*CoshIntegral[(6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(6*a)/b])/(16*b^2*c^3) - (CoshIntegral[(8*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(8*a)/b])/(16*b^2*c^3) - (Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^3) + (Cosh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(8*b^2*c^3) + (3*Cosh[(6*a)/b]*SinhIntegral[(6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^3) + (Cosh[(8*a)/b]*SinhIntegral[(8*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^3)}
+{(x*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 28, -((x*(1 + c^2*x^2)^3)/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) + (5*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(64*b^2*c^2) + (27*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b^2*c^2) + (25*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b^2*c^2) + (7*Cosh[(7*a)/b]*CoshIntegral[(7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b^2*c^2) - (5*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(64*b^2*c^2) - (27*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b^2*c^2) - (25*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b^2*c^2) - (7*Sinh[(7*a)/b]*SinhIntegral[(7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b^2*c^2)}
+{(1 + c^2*x^2)^(5/2)/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 13, -((1 + c^2*x^2)^3/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (15*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(16*b^2*c) - (3*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(4*a)/b])/(4*b^2*c) - (3*CoshIntegral[(6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(6*a)/b])/(16*b^2*c) + (15*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c) + (3*Cosh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(4*b^2*c) + (3*Cosh[(6*a)/b]*SinhIntegral[(6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c)}
+{(1 + c^2*x^2)^(5/2)/(x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 13, -((1 + c^2*x^2)^3/(b*c*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))) + (25*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(8*b^2) + (25*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2) + (5*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2) - (25*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(8*b^2) - (25*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2) - (5*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2) - Unintegrable[(1 + c^2*x^2)^2/(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]/(b*c)}
+{(1 + c^2*x^2)^(5/2)/(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 1, -((1 + c^2*x^2)^3/(b*c*x^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (2*Unintegrable[(1 + c^2*x^2)^2/(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])), x])/(b*c) + (4*c*Unintegrable[(1 + c^2*x^2)^2/(x*(a + b*ArcSinh[c*x])), x])/b}
+{(1 + c^2*x^2)^(5/2)/(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[(1 + c^2*x^2)^(5/2)/(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+{(1 + c^2*x^2)^(5/2)/(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[(1 + c^2*x^2)^(5/2)/(x^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^5/(Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 13, -(x^5/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) + (5*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(8*b^2*c^6) - (15*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^6) + (5*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^6) - (5*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(8*b^2*c^6) + (15*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^6) - (5*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^6)}
+{x^4/(Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 10, -(x^4/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) + (CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(b^2*c^5) - (CoshIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(4*a)/b])/(2*b^2*c^5) - (Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(b^2*c^5) + (Cosh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2*b^2*c^5)}
+{x^3/(Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 10, -(x^3/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (3*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(4*b^2*c^4) + (3*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(4*b^2*c^4) + (3*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(4*b^2*c^4) - (3*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(4*b^2*c^4)}
+{x^2/(Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 7, -(x^2/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(b^2*c^3) + (Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(b^2*c^3)}
+{x/(Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 5, -(x/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) + (Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b^2*c^2) - (Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b^2*c^2)}
+{1/(Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 1, -(1/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])))}
+{1/(x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 1, -(1/(b*c*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - Unintegrable[1/(x^2*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]/(b*c)}
+{1/(x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 1, -(1/(b*c*x^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (2*Unintegrable[1/(x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])), x])/(b*c)}
+
+
+{x^3/((1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x^3/((1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+{x^2/((1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 1, -(x^2/(b*c*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))) + (2*Unintegrable[x/((1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])), x])/(b*c)}
+{x/((1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x/((1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+{1/((1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 1, -(1/(b*c*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (2*c*Unintegrable[x/((1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])), x])/b}
+{1/(x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+{1/(x^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+
+
+{x^3/((1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x^3/((1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+{x^2/((1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x^2/((1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+{x/((1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x/((1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+{1/((1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 1, -(1/(b*c*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (4*c*Unintegrable[x/((1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])), x])/b}
+{1/(x*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+{1/(x^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^(p/2) / (a+b ArcSinh[c x])^2 with m symbolic*)
+
+
+{(x^m*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(x^m*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x]}
+{(x^m*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(x^m*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x]}
+{(x^m*(1 + c^2*x^2)^(1/2))/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(x^m*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x]}
+{x^m/((1 + c^2*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 1, -(x^m/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) + (m*Unintegrable[x^(-1 + m)/(a + b*ArcSinh[c*x]), x])/(b*c)}
+{x^m/((1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x^m/((1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+{x^m/((1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x^m/((1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^p / (a+b ArcSinh[c x])^3*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^(p/2) / (a+b ArcSinh[c x])^3*)
+
+
+{1/(Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^3), x, 1, -1/(2*a*ArcSinh[a*x]^2)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^p (a+b ArcSinh[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^p (a+b ArcSinh[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^p / (a+b ArcSinh[c x])^(3/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(x^3*(d + c^2*d*x^2))/(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2), x, 27, (-2*d*x^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) - (3*d*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^4) + (d*E^((6*a)/b)*Sqrt[(3*Pi)/2]*Erf[(Sqrt[6]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^4) - (3*d*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^4*E^((2*a)/b)) + (d*Sqrt[(3*Pi)/2]*Erfi[(Sqrt[6]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^4*E^((6*a)/b))}
+{(x^2*(d + c^2*d*x^2))/(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2), x, 32, (-2*d*x^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) + (d*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*b^(3/2)*c^3) - (d*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^3) - (d*E^((5*a)/b)*Sqrt[5*Pi]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^3) - (d*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*b^(3/2)*c^3*E^(a/b)) + (d*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^3*E^((3*a)/b)) + (d*Sqrt[5*Pi]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^3*E^((5*a)/b))}
+{(x*(d + c^2*d*x^2))/(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2), x, 17, (-2*d*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) + (d*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c^2) + (d*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(3/2)*c^2) + (d*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c^2*E^((4*a)/b)) + (d*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(3/2)*c^2*E^((2*a)/b))}
+{(d + c^2*d*x^2)/(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2), x, 14, (-2*d*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) - (3*d*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c) - (d*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c) + (3*d*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c*E^(a/b)) + (d*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c*E^((3*a)/b))}
+{(d + c^2*d*x^2)/(x*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2)), x, 12, (-2*d*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(b*c*x*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) + (d*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/b^(3/2) + (d*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*E^((2*a)/b)) - (2*d*Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]), x])/(b*c)}
+
+
+{(x^3*(d + c^2*d*x^2)^2)/(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2), x, 32, (-2*d^2*x^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) - (d^2*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*b^(3/2)*c^4) - (3*d^2*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*b^(3/2)*c^4) + (d^2*E^((8*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*b^(3/2)*c^4) + (d^2*E^((6*a)/b)*Sqrt[(3*Pi)/2]*Erf[(Sqrt[6]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*b^(3/2)*c^4) - (d^2*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*b^(3/2)*c^4*E^((4*a)/b)) - (3*d^2*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*b^(3/2)*c^4*E^((2*a)/b)) + (d^2*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*b^(3/2)*c^4*E^((8*a)/b)) + (d^2*Sqrt[(3*Pi)/2]*Erfi[(Sqrt[6]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*b^(3/2)*c^4*E^((6*a)/b))}
+{(x^2*(d + c^2*d*x^2)^2)/(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2), x, 42, (-2*d^2*x^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) + (5*d^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(64*b^(3/2)*c^3) - (d^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(64*b^(3/2)*c^3) - (3*d^2*E^((5*a)/b)*Sqrt[5*Pi]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(64*b^(3/2)*c^3) - (d^2*E^((7*a)/b)*Sqrt[7*Pi]*Erf[(Sqrt[7]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(64*b^(3/2)*c^3) - (5*d^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(64*b^(3/2)*c^3*E^(a/b)) + (d^2*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(64*b^(3/2)*c^3*E^((3*a)/b)) + (3*d^2*Sqrt[5*Pi]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(64*b^(3/2)*c^3*E^((5*a)/b)) + (d^2*Sqrt[7*Pi]*Erfi[(Sqrt[7]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(64*b^(3/2)*c^3*E^((7*a)/b))}
+{(x*(d + c^2*d*x^2)^2)/(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2), x, 32, (-2*d^2*x*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) + (d^2*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c^2) + (5*d^2*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^2) + (d^2*E^((6*a)/b)*Sqrt[(3*Pi)/2]*Erf[(Sqrt[6]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^2) + (d^2*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c^2*E^((4*a)/b)) + (5*d^2*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^2*E^((2*a)/b)) + (d^2*Sqrt[(3*Pi)/2]*Erfi[(Sqrt[6]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^2*E^((6*a)/b))}
+{(d + c^2*d*x^2)^2/(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2), x, 19, (-2*d^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) - (5*d^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*b^(3/2)*c) - (5*d^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c) - (d^2*E^((5*a)/b)*Sqrt[5*Pi]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c) + (5*d^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*b^(3/2)*c*E^(a/b)) + (5*d^2*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c*E^((3*a)/b)) + (d^2*Sqrt[5*Pi]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c*E^((5*a)/b))}
+{(d + c^2*d*x^2)^2/(x*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2)), x, 25, (-2*d^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(b*c*x*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) + (d^2*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)) - (d^2*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(3/2)) + (d^2*E^((2*a)/b)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/b^(3/2) + (d^2*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*E^((4*a)/b)) - (d^2*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(3/2)*E^((2*a)/b)) + (d^2*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*E^((2*a)/b)) - (2*d^2*Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]), x])/(b*c)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcSinh[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^(p/2) ArcSinh[c x]^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcSinh[a*x]], x, 24, (3*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/8 + (x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/4 + (c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(4*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(256*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(256*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]], x, 10, (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/2 + (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(3*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{Sqrt[ArcSinh[a*x]]/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 1, (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(3*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{Sqrt[ArcSinh[a*x]]/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, (x*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Unintegrable[x/((1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcSinh[a*x]]), x])/(2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{Sqrt[ArcSinh[a*x]]/(c + a^2*c*x^2)^(5/2), x, 2, (x*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(3*c*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Unintegrable[x/((1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]), x])/(6*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Unintegrable[x/((1 + a^2*x^2)*Sqrt[ArcSinh[a*x]]), x])/(3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+
+
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a*x]^(3/2), x, 26, (-27*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(256*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (9*a*c*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(32*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (3*c*(1 + a^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(32*a) + (3*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/8 + (x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a*x]^(3/2))/4 + (3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(5/2))/(20*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (3*c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(2048*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (3*c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (3*c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(2048*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (3*c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2), x, 11, (-3*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(16*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (3*a*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(8*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/2 + (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(5/2))/(5*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{ArcSinh[a*x]^(3/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 1, (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^(5/2))/(5*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcSinh[a*x]^(3/2)/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, (x*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (3*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Unintegrable[(x*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(1 + a^2*x^2), x])/(2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+
+
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a*x]^(5/2), x, 39, (225*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/512 + (15*c*x*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/256 - (45*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(256*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (15*a*c*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(32*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (5*c*(1 + a^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(32*a) + (3*c*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(5/2))/8 + (x*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a*x]^(5/2))/4 + (3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(7/2))/(28*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (15*c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16384*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (15*c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(256*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (15*c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16384*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (15*c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(256*a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(5/2), x, 13, (15*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/32 - (5*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(16*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (5*a*x^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(8*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (x*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(5/2))/2 + (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(7/2))/(7*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (15*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(256*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (15*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(256*a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{ArcSinh[a*x]^(5/2)/Sqrt[c + a^2*c*x^2], x, 1, (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*ArcSinh[a*x]^(7/2))/(7*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{ArcSinh[a*x]^(5/2)/(c + a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, (x*ArcSinh[a*x]^(5/2))/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]) - (5*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Unintegrable[(x*ArcSinh[a*x]^(3/2))/(1 + a^2*x^2), x])/(2*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+
+
+{(a^2 + x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcSinh[x/a]], x, 24, (3*a^2*x*Sqrt[a^2 + x^2]*Sqrt[ArcSinh[x/a]])/8 + (x*(a^2 + x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcSinh[x/a]])/4 + (a^3*Sqrt[a^2 + x^2]*ArcSinh[x/a]^(3/2))/(4*Sqrt[1 + x^2/a^2]) + (a^3*Sqrt[Pi]*Sqrt[a^2 + x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcSinh[x/a]]])/(256*Sqrt[1 + x^2/a^2]) + (a^3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a^2 + x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[x/a]]])/(16*Sqrt[1 + x^2/a^2]) - (a^3*Sqrt[Pi]*Sqrt[a^2 + x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcSinh[x/a]]])/(256*Sqrt[1 + x^2/a^2]) - (a^3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a^2 + x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[x/a]]])/(16*Sqrt[1 + x^2/a^2])}
+{Sqrt[a^2 + x^2]*Sqrt[ArcSinh[x/a]], x, 10, (x*Sqrt[a^2 + x^2]*Sqrt[ArcSinh[x/a]])/2 + (a*Sqrt[a^2 + x^2]*ArcSinh[x/a]^(3/2))/(3*Sqrt[1 + x^2/a^2]) + (a*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a^2 + x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[x/a]]])/(16*Sqrt[1 + x^2/a^2]) - (a*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a^2 + x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[x/a]]])/(16*Sqrt[1 + x^2/a^2])}
+{Sqrt[ArcSinh[x/a]]/Sqrt[a^2 + x^2], x, 1, (2*a*Sqrt[1 + x^2/a^2]*ArcSinh[x/a]^(3/2))/(3*Sqrt[a^2 + x^2])}
+{Sqrt[ArcSinh[x/a]]/(a^2 + x^2)^(3/2), x, 1, (x*Sqrt[ArcSinh[x/a]])/(a^2*Sqrt[a^2 + x^2]) - (Sqrt[1 + x^2/a^2]*Unintegrable[x/((1 + x^2/a^2)*Sqrt[ArcSinh[x/a]]), x])/(2*a^3*Sqrt[a^2 + x^2])}
+{Sqrt[ArcSinh[x/a]]/(a^2 + x^2)^(5/2), x, 2, (x*Sqrt[ArcSinh[x/a]])/(3*a^2*(a^2 + x^2)^(3/2)) + (2*x*Sqrt[ArcSinh[x/a]])/(3*a^4*Sqrt[a^2 + x^2]) - (Sqrt[1 + x^2/a^2]*Unintegrable[x/((1 + x^2/a^2)^2*Sqrt[ArcSinh[x/a]]), x])/(6*a^5*Sqrt[a^2 + x^2]) - (Sqrt[1 + x^2/a^2]*Unintegrable[x/((1 + x^2/a^2)*Sqrt[ArcSinh[x/a]]), x])/(3*a^5*Sqrt[a^2 + x^2])}
+
+
+{(a^2 + x^2)^(3/2)*ArcSinh[x/a]^(3/2), x, 26, (-27*a^3*Sqrt[a^2 + x^2]*Sqrt[ArcSinh[x/a]])/(256*Sqrt[1 + x^2/a^2]) - (9*a*x^2*Sqrt[a^2 + x^2]*Sqrt[ArcSinh[x/a]])/(32*Sqrt[1 + x^2/a^2]) - (3*(a^2 + x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcSinh[x/a]])/(32*a*Sqrt[1 + x^2/a^2]) + (3*a^2*x*Sqrt[a^2 + x^2]*ArcSinh[x/a]^(3/2))/8 + (x*(a^2 + x^2)^(3/2)*ArcSinh[x/a]^(3/2))/4 + (3*a^3*Sqrt[a^2 + x^2]*ArcSinh[x/a]^(5/2))/(20*Sqrt[1 + x^2/a^2]) + (3*a^3*Sqrt[Pi]*Sqrt[a^2 + x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcSinh[x/a]]])/(2048*Sqrt[1 + x^2/a^2]) + (3*a^3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a^2 + x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[x/a]]])/(64*Sqrt[1 + x^2/a^2]) + (3*a^3*Sqrt[Pi]*Sqrt[a^2 + x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcSinh[x/a]]])/(2048*Sqrt[1 + x^2/a^2]) + (3*a^3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a^2 + x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[x/a]]])/(64*Sqrt[1 + x^2/a^2])}
+{Sqrt[a^2 + x^2]*ArcSinh[x/a]^(3/2), x, 11, (-3*a*Sqrt[a^2 + x^2]*Sqrt[ArcSinh[x/a]])/(16*Sqrt[1 + x^2/a^2]) - (3*x^2*Sqrt[a^2 + x^2]*Sqrt[ArcSinh[x/a]])/(8*a*Sqrt[1 + x^2/a^2]) + (x*Sqrt[a^2 + x^2]*ArcSinh[x/a]^(3/2))/2 + (a*Sqrt[a^2 + x^2]*ArcSinh[x/a]^(5/2))/(5*Sqrt[1 + x^2/a^2]) + (3*a*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a^2 + x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[x/a]]])/(64*Sqrt[1 + x^2/a^2]) + (3*a*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a^2 + x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[x/a]]])/(64*Sqrt[1 + x^2/a^2])}
+{ArcSinh[x/a]^(3/2)/Sqrt[a^2 + x^2], x, 1, (2*a*Sqrt[1 + x^2/a^2]*ArcSinh[x/a]^(5/2))/(5*Sqrt[a^2 + x^2])}
+{ArcSinh[x/a]^(3/2)/(a^2 + x^2)^(3/2), x, 1, (x*ArcSinh[x/a]^(3/2))/(a^2*Sqrt[a^2 + x^2]) - (3*Sqrt[1 + x^2/a^2]*Unintegrable[(x*Sqrt[ArcSinh[x/a]])/(1 + x^2/a^2), x])/(2*a^3*Sqrt[a^2 + x^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x/(Sqrt[1 + x^2]*Sqrt[ArcSinh[x]]), x, 6, -(Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcSinh[x]]])/2 + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcSinh[x]]])/2}
+
+
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/Sqrt[ArcSinh[a*x]], x, 18, (5*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(8*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (3*c^2*Sqrt[Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (15*c^2*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (c^2*Sqrt[Pi/6]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[6]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (3*c^2*Sqrt[Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (15*c^2*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (c^2*Sqrt[Pi/6]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[6]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/Sqrt[ArcSinh[a*x]], x, 13, (3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(4*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(32*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(4*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(32*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(4*a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]/Sqrt[ArcSinh[a*x]], x, 8, (Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(4*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(4*a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]), x, 1, (2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcSinh[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcSinh[a*x]]), x]}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcSinh[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcSinh[a*x]]), x]}
+
+
+{(c + a^2*c*x^2)^(5/2)/ArcSinh[a*x]^(3/2), x, 19, -((2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*(c + a^2*c*x^2)^(5/2))/(a*Sqrt[ArcSinh[a*x]])) - (3*c^2*Sqrt[Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(8*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (15*c^2*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (c^2*Sqrt[(3*Pi)/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[6]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (3*c^2*Sqrt[Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(8*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (15*c^2*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (c^2*Sqrt[(3*Pi)/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[6]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(16*a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/ArcSinh[a*x]^(3/2), x, 14, -((2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/(a*Sqrt[ArcSinh[a*x]])) - (c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(4*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) - (c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(4*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]/ArcSinh[a*x]^(3/2), x, 9, (-2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(a*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) - (Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2)), x, 1, (-2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]])}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a*x]^(3/2)), x, 1, -((2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcSinh[a*x]])) - (4*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Unintegrable[x/((1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]), x])/(c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcSinh[a*x]^(3/2)), x, 1, -((2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(a*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcSinh[a*x]])) - (8*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Unintegrable[x/((1 + a^2*x^2)^3*Sqrt[ArcSinh[a*x]]), x])/(c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+
+
+{(c + a^2*c*x^2)^(3/2)/ArcSinh[a*x]^(5/2), x, 18, -((2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*(c + a^2*c*x^2)^(3/2))/(3*a*ArcSinh[a*x]^(3/2))) - (16*c*x*(1 + a^2*x^2)*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(3*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) + (2*c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(3*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (2*c*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(3*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (2*c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(3*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (2*c*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(3*a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{Sqrt[c + a^2*c*x^2]/ArcSinh[a*x]^(5/2), x, 7, (-2*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(3*a*ArcSinh[a*x]^(3/2)) - (8*x*Sqrt[c + a^2*c*x^2])/(3*Sqrt[ArcSinh[a*x]]) + (2*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(3*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]) + (2*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcSinh[a*x]]])/(3*a*Sqrt[1 + a^2*x^2])}
+{1/(Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(5/2)), x, 1, (-2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a*Sqrt[c + a^2*c*x^2]*ArcSinh[a*x]^(3/2))}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a*x]^(5/2)), x, 1, -((2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a*(c + a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a*x]^(3/2))) - (4*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Unintegrable[x/((1 + a^2*x^2)^2*ArcSinh[a*x]^(3/2)), x])/(3*c*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+{1/((c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcSinh[a*x]^(5/2)), x, 1, -((2*Sqrt[1 + a^2*x^2])/(3*a*(c + a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcSinh[a*x]^(3/2))) - (8*a*Sqrt[1 + a^2*x^2]*Unintegrable[x/((1 + a^2*x^2)^3*ArcSinh[a*x]^(3/2)), x])/(3*c^2*Sqrt[c + a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^p (a+b ArcSinh[c x])^n with n symbolic*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^p (a+b ArcSinh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcSinh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x, 6, -(Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^(1 + n))/(8*b*c^3*(1 + n)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2^(2*(3 + n))*c^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) - (E^((4*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2^(2*(3 + n))*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n)}
+{x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x, 9, (3^(-1 - n)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(8*c^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) + (Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcSinh[c*x])/b)])/(8*c^2*E^(a/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) + (E^(a/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(8*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) + (3^(-1 - n)*E^((3*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(8*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n)}
+{Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x, 6, (Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^(1 + n))/(2*b*c*(1 + n)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (2^(-3 - n)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c*E^((2*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) - (2^(-3 - n)*E^((2*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n)}
+{(Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n)/x, x, 6, (d*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcSinh[c*x])/b)])/(E^(a/b)*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n*(2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) + (d*E^(a/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n*(2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) + d*Unintegrable[(a + b*ArcSinh[c*x])^n/(x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]), x]}
+{(Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n)/x^2, x, 3, (c*d*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^(1 + n))/(b*(1 + n)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + d*Unintegrable[(a + b*ArcSinh[c*x])^n/(x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]), x]}
+
+
+{x^2*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x, 12, -(d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^(1 + n))/(16*b*c^3*(1 + n)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (2^(-7 - n)*3^(-1 - n)*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c^3*E^((6*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) + (2^(-7 - 2*n)*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) - (2^(-7 - n)*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) + (2^(-7 - n)*d*E^((2*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) - (2^(-7 - 2*n)*d*E^((4*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) - (2^(-7 - n)*3^(-1 - n)*d*E^((6*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n)}
+{x*(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x, 12, (5^(-1 - n)*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*c^2*E^((5*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) + (d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*3^n*c^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) + (d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcSinh[c*x])/b)])/(16*c^2*E^(a/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) + (d*E^(a/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(16*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) + (d*E^((3*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*3^n*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) + (5^(-1 - n)*d*E^((5*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(32*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n)}
+{(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x, 9, (3*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^(1 + n))/(8*b*c*(1 + n)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2^(2*(3 + n))*c*E^((4*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) + (2^(-3 - n)*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c*E^((2*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) - (2^(-3 - n)*d*E^((2*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) - (d*E^((4*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2^(2*(3 + n))*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n)}
+{((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^n)/x, x, 15, (1/(8*Sqrt[d + c^2*d*x^2]))*((3^(-1 - n)*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b)])/(E^((3*a)/b)*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n)) + (5*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcSinh[c*x])/b)])/(E^(a/b)*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n*(8*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) + (5*d^2*E^(a/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n*(8*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) + (1/(8*Sqrt[d + c^2*d*x^2]))*((3^(-1 - n)*d^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) + d^2*Unintegrable[(a + b*ArcSinh[c*x])^n/(x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]), x]}
+{((d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^n)/x^2, x, 9, (3*c*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^(1 + n))/(2*b*(1 + n)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (1/Sqrt[d + c^2*d*x^2])*((2^(-3 - n)*c*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b)])/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n)) - (1/Sqrt[d + c^2*d*x^2])*((2^(-3 - n)*c*d^2*E^((2*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) + d^2*Unintegrable[(a + b*ArcSinh[c*x])^n/(x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]), x]}
+
+
+{x^2*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x, 15, (-5*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^(1 + n))/(128*b*c^3*(1 + n)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (2^(-11 - 3*n)*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-8*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c^3*E^((8*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) + (2^(-7 - n)*3^(-1 - n)*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c^3*E^((6*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) + (d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2^(2*(4 + n))*c^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) - (2^(-7 - n)*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) + (2^(-7 - n)*d^2*E^((2*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) - (d^2*E^((4*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2^(2*(4 + n))*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) - (2^(-7 - n)*3^(-1 - n)*d^2*E^((6*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) - (2^(-11 - 3*n)*d^2*E^((8*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (8*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n)}
+{x*(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x, 15, (7^(-1 - n)*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(128*c^2*E^((7*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) + (d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(128*5^n*c^2*E^((5*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) + (3^(1 - n)*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(128*c^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) + (5*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcSinh[c*x])/b)])/(128*c^2*E^(a/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) + (5*d^2*E^(a/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(128*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) + (3^(1 - n)*d^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(128*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) + (d^2*E^((5*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(128*5^n*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) + (7^(-1 - n)*d^2*E^((7*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(128*c^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n)}
+{(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x, 12, (5*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^(1 + n))/(16*b*c*(1 + n)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (2^(-7 - n)*3^(-1 - n)*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c*E^((6*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) + (3*2^(-7 - 2*n)*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c*E^((4*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) + (15*2^(-7 - n)*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c*E^((2*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n) - (15*2^(-7 - n)*d^2*E^((2*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) - (3*2^(-7 - 2*n)*d^2*E^((4*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) - (2^(-7 - n)*3^(-1 - n)*d^2*E^((6*a)/b)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (6*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n)}
+{((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^n)/x, x, 27, (1/(32*Sqrt[d + c^2*d*x^2]))*((5^(-1 - n)*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b)])/(E^((5*a)/b)*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n)) - (1/(32*Sqrt[d + c^2*d*x^2]))*((5*3^(-1 - n)*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b)])/(E^((3*a)/b)*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n)) + (1/(8*Sqrt[d + c^2*d*x^2]))*((d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b)])/(3^n*E^((3*a)/b)*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n)) + (11*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcSinh[c*x])/b)])/(E^(a/b)*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n*(16*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) + (11*d^3*E^(a/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n*(16*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) - (1/(32*Sqrt[d + c^2*d*x^2]))*((5*3^(-1 - n)*d^3*E^((3*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) + (d^3*E^((3*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(3^n*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n*(8*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) + (1/(32*Sqrt[d + c^2*d*x^2]))*((5^(-1 - n)*d^3*E^((5*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) + d^3*Unintegrable[(a + b*ArcSinh[c*x])^n/(x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]), x]}
+{((d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^n)/x^2, x, 18, (15*c*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^(1 + n))/(8*b*(1 + n)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (1/Sqrt[d + c^2*d*x^2])*((c*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b)])/(2^(2*(3 + n))*E^((4*a)/b)*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n)) + (1/Sqrt[d + c^2*d*x^2])*((2^(-2 - n)*c*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b)])/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*ArcSinh[c*x])/b))^n)) - (1/Sqrt[d + c^2*d*x^2])*((2^(-2 - n)*c*d^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n) - (1/Sqrt[d + c^2*d*x^2])*((c*d^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (4*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2^(2*(3 + n))*((a + b*ArcSinh[c*x])/b)^n)) + d^3*Unintegrable[(a + b*ArcSinh[c*x])^n/(x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^m*ArcSinh[a*x]^n)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcSinh[a*x]^n)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x]}
+
+{(x^3*ArcSinh[a*x]^n)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 9, (3^(-1 - n)*ArcSinh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -3*ArcSinh[a*x]])/(8*a^4*(-ArcSinh[a*x])^n) - (3*ArcSinh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -ArcSinh[a*x]])/(8*a^4*(-ArcSinh[a*x])^n) - (3*Gamma[1 + n, ArcSinh[a*x]])/(8*a^4) + (3^(-1 - n)*Gamma[1 + n, 3*ArcSinh[a*x]])/(8*a^4)}
+{(x^2*ArcSinh[a*x]^n)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 6, -ArcSinh[a*x]^(1 + n)/(2*a^3*(1 + n)) + (2^(-3 - n)*ArcSinh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -2*ArcSinh[a*x]])/(a^3*(-ArcSinh[a*x])^n) - (2^(-3 - n)*Gamma[1 + n, 2*ArcSinh[a*x]])/a^3}
+{(x*ArcSinh[a*x]^n)/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 4, (ArcSinh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -ArcSinh[a*x]])/(2*a^2*(-ArcSinh[a*x])^n) + Gamma[1 + n, ArcSinh[a*x]]/(2*a^2)}
+{ArcSinh[a*x]^n/Sqrt[1 + a^2*x^2], x, 1, ArcSinh[a*x]^(1 + n)/(a*(1 + n))}
+{ArcSinh[a*x]^n/(x*Sqrt[1 + a^2*x^2]), x, 0, Unintegrable[ArcSinh[a*x]^n/(x*Sqrt[1 + a^2*x^2]), x]}
+{ArcSinh[a*x]^n/(x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]), x, 0, Unintegrable[ArcSinh[a*x]^n/(x^2*Sqrt[1 + a^2*x^2]), x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x)^p (f+g x)^q (a+b ArcSinh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^(p/2) (f+g x)^(q/2) (a+b ArcSinh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^(p/2) (f+g x)^(q/2) (a+b ArcSinh[c x])^1 with e f+d g=0 and c^2 d^2+e^2=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{(d + I*c*d*x)^(5/2)*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 13, (((-2*I)/3)*b*d^2*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (3*b*c*d^2*x^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/(16*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (((2*I)/9)*b*c^2*d^2*x^3*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (b*c^3*d^2*x^4*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/(16*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3*d^2*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/8 - (c^2*d^2*x^3*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/4 + (((2*I)/3)*d^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/c + (5*d^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{(d + I*c*d*x)^(3/2)*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 8, ((-I/3)*b*d*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b*c*d*x^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/(4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - ((I/9)*b*c^2*d*x^3*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (d*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/2 + ((I/3)*d*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/c + (d*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 4, -(b*c*x^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/(4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/2 + (Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{(Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[d + I*c*d*x], x, 6, (I*b*f*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - (I*f*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (f*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])}
+{(Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + I*c*d*x)^(3/2), x, 8, ((2*I)*f^2*(1 - I*c*x)*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (f^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (2*b*f^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*Log[I - c*x])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))}
+{(Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + I*c*d*x)^(5/2), x, 6, (((2*I)/3)*b*f^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(c*(I - c*x)*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + ((I/3)*f^3*(1 - I*c*x)^3*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (b*f^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*Log[I - c*x])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))}
+
+
+{(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 12, ((-I/5)*b*d*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/(1 + c^2*x^2)^(3/2) - (5*b*c*d*x^2*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/(16*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) - (((2*I)/15)*b*c^2*d*x^3*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/(1 + c^2*x^2)^(3/2) - (b*c^3*d*x^4*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/(16*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) - ((I/25)*b*c^4*d*x^5*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/(1 + c^2*x^2)^(3/2) + (d*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/4 + (3*d*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*(1 + c^2*x^2)) + ((I/5)*d*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/c + (3*d*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*c*(1 + c^2*x^2)^(3/2))}
+{(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 7, (-5*b*c*x^2*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/(16*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) - (b*c^3*x^4*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/(16*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) + (x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/4 + (3*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*(1 + c^2*x^2)) + (3*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*c*(1 + c^2*x^2)^(3/2))}
+{Sqrt[d + I*c*d*x]*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 8, ((I/3)*b*f*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b*c*f*x^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/(4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + ((I/9)*b*c^2*f*x^3*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (f*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/2 - ((I/3)*f*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/c + (f*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{((f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[d + I*c*d*x], x, 9, ((2*I)*b*f^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (b*c*f^2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(4*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - ((2*I)*f^2*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - (f^2*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (3*f^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])}
+{((f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + I*c*d*x)^(3/2), x, 10, ((-I)*b*f^3*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + ((4*I)*f^3*(1 - I*c*x)*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (I*f^3*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (3*f^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (4*b*f^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*Log[I - c*x])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))}
+{((f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + I*c*d*x)^(5/2), x, 9, (((4*I)/3)*b*f^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(c*(I - c*x)*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (b*f^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*ArcSinh[c*x]^2)/(2*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (((2*I)/3)*f^4*(1 - I*c*x)^3*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - ((2*I)*f^4*(1 - I*c*x)*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (f^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*ArcSinh[c*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (8*b*f^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*Log[I - c*x])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))}
+
+
+{(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 9, (-25*b*c*x^2*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))/(96*(1 + c^2*x^2)^(5/2)) - (5*b*c^3*x^4*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))/(96*(1 + c^2*x^2)^(5/2)) - (b*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(36*c) + (x*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/6 + (5*x*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(16*(1 + c^2*x^2)^2) + (5*x*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(24*(1 + c^2*x^2)) + (5*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(32*b*c*(1 + c^2*x^2)^(5/2))}
+{(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 12, ((I/5)*b*f*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/(1 + c^2*x^2)^(3/2) - (5*b*c*f*x^2*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/(16*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) + (((2*I)/15)*b*c^2*f*x^3*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/(1 + c^2*x^2)^(3/2) - (b*c^3*f*x^4*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/(16*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) + ((I/25)*b*c^4*f*x^5*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/(1 + c^2*x^2)^(3/2) + (f*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/4 + (3*f*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*(1 + c^2*x^2)) - ((I/5)*f*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/c + (3*f*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*c*(1 + c^2*x^2)^(3/2))}
+{Sqrt[d + I*c*d*x]*(f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 13, (((2*I)/3)*b*f^2*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (3*b*c*f^2*x^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/(16*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (((2*I)/9)*b*c^2*f^2*x^3*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (b*c^3*f^2*x^4*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/(16*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3*f^2*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/8 - (c^2*f^2*x^3*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/4 - (((2*I)/3)*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/c + (5*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{((f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[d + I*c*d*x], x, 13, (((11*I)/3)*b*f^3*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (3*b*c*f^3*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(4*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - ((I/9)*b*c^2*f^3*x^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - (((11*I)/3)*f^3*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - (3*f^3*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + ((I/3)*c*f^3*x^2*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (5*f^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])}
+{((f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + I*c*d*x)^(3/2), x, 7, (((-3*I)/2)*b*f^4*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (b*c*f^4*x^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (5*b*f^4*(1 - I*c*x)^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(4*c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (15*b*f^4*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*ArcSinh[c*x]^2)/(4*c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + ((2*I)*f^4*(1 - I*c*x)^3*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (((15*I)/2)*f^4*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (((5*I)/2)*f^4*(1 - I*c*x)*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (15*f^4*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*ArcSinh[c*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (8*b*f^4*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*Log[I - c*x])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))}
+{((f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(d + I*c*d*x)^(5/2), x, 10, (I*b*f^5*x*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/((d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (((8*I)/3)*b*f^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(c*(I - c*x)*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (5*b*f^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*ArcSinh[c*x]^2)/(2*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (((2*I)/3)*f^5*(1 - I*c*x)^4*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (((10*I)/3)*f^5*(1 - I*c*x)^2*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - ((5*I)*f^5*(1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (5*f^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*ArcSinh[c*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (28*b*f^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*Log[I - c*x])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
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+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]), x, 2, (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/((d + I*c*d*x)^(3/2)*Sqrt[f - I*c*f*x]), x, 5, (f*(I + c*x)*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (b*f*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*Log[I - c*x])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))}
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+
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+
+
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+{((d + I*c*d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(f - I*c*f*x)^(5/2), x, 9, (((4*I)/3)*b*d^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(c*(I + c*x)*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (b*d^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*ArcSinh[c*x]^2)/(2*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (((2*I)/3)*d^4*(1 + I*c*x)^3*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + ((2*I)*d^4*(1 + I*c*x)*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (d^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*ArcSinh[c*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (8*b*d^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*Log[I + c*x])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))}
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+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^(p/2) (f+g x)^(q/2) (a+b ArcSinh[c x])^2 with e f+d g=0 and c^2 d^2+e^2=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{(d + I*c*d*x)^(5/2)*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 23, (((8*I)/9)*b^2*d^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/c + (15*b^2*d^2*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/64 - (b^2*c^2*d^2*x^3*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/32 + (((4*I)/27)*b^2*d^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(1 + c^2*x^2))/c - (15*b^2*d^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*ArcSinh[c*x])/(64*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (((4*I)/3)*b*d^2*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (3*b*c*d^2*x^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (((4*I)/9)*b*c^2*d^2*x^3*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (b*c^3*d^2*x^4*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3*d^2*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/8 - (c^2*d^2*x^3*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/4 + (((2*I)/3)*d^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/c + (5*d^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(24*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{(d + I*c*d*x)^(3/2)*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 13, (((4*I)/9)*b^2*d*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/c + (b^2*d*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/4 + (((2*I)/27)*b^2*d*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(1 + c^2*x^2))/c - (b^2*d*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*ArcSinh[c*x])/(4*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (((2*I)/3)*b*d*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b*c*d*x^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (((2*I)/9)*b*c^2*d*x^3*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (d*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/2 + ((I/3)*d*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/c + (d*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(6*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 6, (b^2*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/4 - (b^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*ArcSinh[c*x])/(4*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*x^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/2 + (Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(6*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{(Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[d + I*c*d*x], x, 8, ((2*I)*a*b*f*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - ((2*I)*b^2*f*(1 + c^2*x^2))/(c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + ((2*I)*b^2*f*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcSinh[c*x])/(Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - (I*f*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (f*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b*c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])}
+{(Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d + I*c*d*x)^(3/2), x, 19, ((2*I)*f^2*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (2*f^2*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (2*f^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (f^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b*c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - ((8*I)*b*f^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (4*b*f^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (4*b^2*f^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (4*b^2*f^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (2*b^2*f^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))}
+{(Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d + I*c*d*x)^(5/2), x, 20, -(f^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (((4*I)/3)*b^2*f^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*Cot[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - ((I/3)*f^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Cot[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (2*b*f^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Csc[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]]^2)/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + ((I/3)*f^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Cot[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]]*Csc[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]]^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (4*b*f^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + I*E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (4*b^2*f^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))}
+
+
+{(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 19, (((8*I)/225)*b^2*d*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/c + (b^2*d*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/32 + (((16*I)/75)*b^2*d*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/(c*(1 + c^2*x^2)) + (15*b^2*d*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/(64*(1 + c^2*x^2)) + (((2*I)/125)*b^2*d*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(1 + c^2*x^2))/c - (9*b^2*d*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*ArcSinh[c*x])/(64*c*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) - (((2*I)/5)*b*d*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(1 + c^2*x^2)^(3/2) - (3*b*c*d*x^2*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) - (((4*I)/15)*b*c^2*d*x^3*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(1 + c^2*x^2)^(3/2) - (((2*I)/25)*b*c^4*d*x^5*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(1 + c^2*x^2)^(3/2) - (b*d*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c) + (d*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/4 + (3*d*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(8*(1 + c^2*x^2)) + ((I/5)*d*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/c + (d*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(8*b*c*(1 + c^2*x^2)^(3/2))}
+{(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 11, (b^2*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/32 + (15*b^2*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/(64*(1 + c^2*x^2)) - (9*b^2*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*ArcSinh[c*x])/(64*c*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) - (3*b*c*x^2*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) - (b*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c) + (x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/4 + (3*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(8*(1 + c^2*x^2)) + ((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(8*b*c*(1 + c^2*x^2)^(3/2))}
+{Sqrt[d + I*c*d*x]*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 13, (((-4*I)/9)*b^2*f*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/c + (b^2*f*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/4 - (((2*I)/27)*b^2*f*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(1 + c^2*x^2))/c - (b^2*f*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*ArcSinh[c*x])/(4*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (((2*I)/3)*b*f*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (b*c*f*x^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (((2*I)/9)*b*c^2*f*x^3*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (f*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/2 - ((I/3)*f*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/c + (f*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(6*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{((f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[d + I*c*d*x], x, 11, ((-4*I)*b^2*f^2*(1 + c^2*x^2))/(c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - (b^2*f^2*x*(1 + c^2*x^2))/(4*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (b^2*f^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcSinh[c*x])/(4*c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + ((4*I)*b*f^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (b*c*f^2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - ((2*I)*f^2*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - (f^2*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (f^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(2*b*c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])}
+{((f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d + I*c*d*x)^(3/2), x, 23, ((-2*I)*a*b*f^3*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + ((2*I)*b^2*f^3*(1 + c^2*x^2)^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - ((2*I)*b^2*f^3*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*ArcSinh[c*x])/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + ((4*I)*f^3*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (4*f^3*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (4*f^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (I*f^3*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (f^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(b*c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - ((16*I)*b*f^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (8*b*f^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (8*b^2*f^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (8*b^2*f^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (4*b^2*f^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))}
+{((f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d + I*c*d*x)^(5/2), x, 21, (-8*f^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (f^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (((8*I)/3)*b^2*f^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*Cot[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (((8*I)/3)*f^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Cot[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (4*b*f^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Csc[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]]^2)/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (((2*I)/3)*f^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Cot[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]]*Csc[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]]^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (32*b*f^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + I*E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (32*b^2*f^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))}
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+{(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 17, (b^2*x*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))/108 + (245*b^2*x*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))/(1152*(1 + c^2*x^2)^2) + (65*b^2*x*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))/(1728*(1 + c^2*x^2)) - (115*b^2*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)*ArcSinh[c*x])/(1152*c*(1 + c^2*x^2)^(5/2)) - (5*b*c*x^2*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(16*(1 + c^2*x^2)^(5/2)) - (5*b*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(48*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(18*c) + (x*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/6 + (5*x*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*(1 + c^2*x^2)^2) + (5*x*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(24*(1 + c^2*x^2)) + (5*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(48*b*c*(1 + c^2*x^2)^(5/2))}
+{(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 19, (((-8*I)/225)*b^2*f*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/c + (b^2*f*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/32 - (((16*I)/75)*b^2*f*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/(c*(1 + c^2*x^2)) + (15*b^2*f*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))/(64*(1 + c^2*x^2)) - (((2*I)/125)*b^2*f*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(1 + c^2*x^2))/c - (9*b^2*f*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*ArcSinh[c*x])/(64*c*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) + (((2*I)/5)*b*f*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(1 + c^2*x^2)^(3/2) - (3*b*c*f*x^2*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*(1 + c^2*x^2)^(3/2)) + (((4*I)/15)*b*c^2*f*x^3*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(1 + c^2*x^2)^(3/2) + (((2*I)/25)*b*c^4*f*x^5*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(1 + c^2*x^2)^(3/2) - (b*f*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c) + (f*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/4 + (3*f*x*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(8*(1 + c^2*x^2)) - ((I/5)*f*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/c + (f*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(8*b*c*(1 + c^2*x^2)^(3/2))}
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+{((f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[d + I*c*d*x], x, 17, (((-68*I)/9)*b^2*f^3*(1 + c^2*x^2))/(c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - (3*b^2*f^3*x*(1 + c^2*x^2))/(4*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (((2*I)/27)*b^2*f^3*(1 + c^2*x^2)^2)/(c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (3*b^2*f^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcSinh[c*x])/(4*c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (((22*I)/3)*b*f^3*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (3*b*c*f^3*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - (((2*I)/9)*b*c^2*f^3*x^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - (((11*I)/3)*f^3*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - (3*f^3*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + ((I/3)*c*f^3*x^2*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (5*f^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(6*b*c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])}
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+{((f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(d + I*c*d*x)^(5/2), x, 25, ((2*I)*a*b*f^5*x*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/((d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - ((2*I)*b^2*f^5*(1 + c^2*x^2)^3)/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + ((2*I)*b^2*f^5*x*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*ArcSinh[c*x])/((d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (28*f^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (I*f^5*(1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (5*f^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (((16*I)/3)*b^2*f^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*Cot[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (((28*I)/3)*f^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Cot[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (8*b*f^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Csc[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]]^2)/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (((4*I)/3)*f^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Cot[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]]*Csc[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]]^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (112*b*f^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + I*E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (112*b^2*f^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
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+
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+{((d + I*c*d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[f - I*c*f*x], x, 11, ((4*I)*b^2*d^2*(1 + c^2*x^2))/(c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - (b^2*d^2*x*(1 + c^2*x^2))/(4*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (b^2*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcSinh[c*x])/(4*c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - ((4*I)*b*d^2*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (b*c*d^2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + ((2*I)*d^2*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - (d^2*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(2*b*c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])}
+{(Sqrt[d + I*c*d*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/Sqrt[f - I*c*f*x], x, 8, ((-2*I)*a*b*d*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + ((2*I)*b^2*d*(1 + c^2*x^2))/(c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) - ((2*I)*b^2*d*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcSinh[c*x])/(Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (I*d*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]) + (d*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b*c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]), x, 2, (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b*c*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/((d + I*c*d*x)^(3/2)*Sqrt[f - I*c*f*x]), x, 16, (I*f*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (f*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (f*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - ((4*I)*b*f*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (2*b*f*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (2*b^2*f*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (2*b^2*f*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (b^2*f*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/((d + I*c*d*x)^(5/2)*Sqrt[f - I*c*f*x]), x, 30, (((-2*I)/3)*b^2*f^2*(1 + c^2*x^2)^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (2*b^2*f^2*x*(1 + c^2*x^2)^2)/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (b^2*f^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*ArcSinh[c*x])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (b*f^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (((2*I)/3)*b*f^2*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (b*c*f^2*x^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (((2*I)/3)*f^2*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (f^2*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (c^2*f^2*x^3*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (2*f^2*x*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (f^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (((4*I)/3)*b*f^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (2*b*f^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (2*b^2*f^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (2*b^2*f^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (b^2*f^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))}
+
+
+{((d + I*c*d*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(f - I*c*f*x)^(3/2), x, 28, ((8*I)*a*b*d^4*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - ((8*I)*b^2*d^4*(1 + c^2*x^2)^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (b^2*d^4*x*(1 + c^2*x^2)^2)/(4*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (b^2*d^4*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*ArcSinh[c*x])/(4*c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + ((8*I)*b^2*d^4*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*ArcSinh[c*x])/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (b*c*d^4*x^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - ((8*I)*d^4*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (8*d^4*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (8*d^4*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - ((4*I)*d^4*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (d^4*x*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (5*d^4*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(2*b*c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + ((32*I)*b*d^4*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (16*b*d^4*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (16*b^2*d^4*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (16*b^2*d^4*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (8*b^2*d^4*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))}
+{((d + I*c*d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(f - I*c*f*x)^(3/2), x, 23, ((2*I)*a*b*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - ((2*I)*b^2*d^3*(1 + c^2*x^2)^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + ((2*I)*b^2*d^3*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*ArcSinh[c*x])/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - ((4*I)*d^3*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (4*d^3*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (4*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (I*d^3*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(b*c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + ((16*I)*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (8*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (8*b^2*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (8*b^2*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (4*b^2*d^3*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))}
+{(Sqrt[d + I*c*d*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(f - I*c*f*x)^(3/2), x, 19, ((-2*I)*d^2*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (2*d^2*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (2*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b*c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + ((8*I)*b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (4*b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (4*b^2*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (4*b^2*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (2*b^2*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(Sqrt[d + I*c*d*x]*(f - I*c*f*x)^(3/2)), x, 16, ((-I)*d*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (d*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (d*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + ((4*I)*b*d*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (2*b*d*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + (2*b^2*d*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (2*b^2*d*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (b^2*d*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)), x, 7, (x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) + ((1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (2*b*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)) - (b^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(c*(d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/((d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(3/2)), x, 21, ((-I/3)*b^2*f*(1 + c^2*x^2)^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (b^2*f*x*(1 + c^2*x^2)^2)/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (b*f*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - ((I/3)*b*f*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + ((I/3)*f*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (f*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (2*f*x*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (2*f*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (((2*I)/3)*b*f*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (4*b*f*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (b^2*f*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (b^2*f*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (2*b^2*f*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))}
+
+
+{((d + I*c*d*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(f - I*c*f*x)^(5/2), x, 25, ((-2*I)*a*b*d^5*x*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/((d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + ((2*I)*b^2*d^5*(1 + c^2*x^2)^3)/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - ((2*I)*b^2*d^5*x*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*ArcSinh[c*x])/((d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (28*d^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (I*d^5*(1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (5*d^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (112*b*d^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + I/E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (112*b^2*d^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, (-I)/E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (8*b*d^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Sec[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]]^2)/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (((16*I)/3)*b^2*d^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*Tan[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (((28*I)/3)*d^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Tan[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (((4*I)/3)*d^5*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Sec[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]]^2*Tan[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))}
+{((d + I*c*d*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(f - I*c*f*x)^(5/2), x, 21, (8*d^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (d^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(3*b*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (32*b*d^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + I/E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (32*b^2*d^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, (-I)/E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (4*b*d^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Sec[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]]^2)/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (((8*I)/3)*b^2*d^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*Tan[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (((8*I)/3)*d^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Tan[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (((2*I)/3)*d^4*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Sec[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]]^2*Tan[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))}
+{(Sqrt[d + I*c*d*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(f - I*c*f*x)^(5/2), x, 20, (d^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (4*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + I/E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (4*b^2*d^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, (-I)/E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (2*b*d^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Sec[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]]^2)/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (((4*I)/3)*b^2*d^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*Tan[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + ((I/3)*d^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Tan[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - ((I/3)*d^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Sec[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]]^2*Tan[Pi/4 + (I/2)*ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(Sqrt[d + I*c*d*x]*(f - I*c*f*x)^(5/2)), x, 30, (((2*I)/3)*b^2*d^2*(1 + c^2*x^2)^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (2*b^2*d^2*x*(1 + c^2*x^2)^2)/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (b^2*d^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*ArcSinh[c*x])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (((2*I)/3)*b*d^2*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (b*c*d^2*x^2*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (((2*I)/3)*d^2*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (d^2*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (c^2*d^2*x^3*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (2*d^2*x*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (d^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (((4*I)/3)*b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (2*b*d^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (2*b^2*d^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (2*b^2*d^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (b^2*d^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/((d + I*c*d*x)^(3/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)), x, 21, ((I/3)*b^2*d*(1 + c^2*x^2)^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (b^2*d*x*(1 + c^2*x^2)^2)/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (b*d*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + ((I/3)*b*d*x*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - ((I/3)*d*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (d*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (2*d*x*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (2*d*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (((2*I)/3)*b*d*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*ArcTan[E^ArcSinh[c*x]])/(c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (4*b*d*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (b^2*d*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (b^2*d*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, I*E^ArcSinh[c*x]])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (2*b^2*d*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/((d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)), x, 10, -(b^2*x*(1 + c^2*x^2)^2)/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (b*(1 + c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (2*x*(1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) + (2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (4*b*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2)) - (2*b^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[c*x])])/(3*c*(d + I*c*d*x)^(5/2)*(f - I*c*f*x)^(5/2))}
+
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+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcSinh[c x])^n*)
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x^2)^p (a+b ArcSinh[c x])^n*)
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x^2)^p (a+b ArcSinh[c x])^n*)
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
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+{(d + e*x^2)^4*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 5, -((b*(315*c^8*d^4 - 420*c^6*d^3*e + 378*c^4*d^2*e^2 - 180*c^2*d*e^3 + 35*e^4)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(315*c^9)) - (4*b*e*(105*c^6*d^3 - 189*c^4*d^2*e + 135*c^2*d*e^2 - 35*e^3)*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(945*c^9) - (2*b*e^2*(63*c^4*d^2 - 90*c^2*d*e + 35*e^2)*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(525*c^9) - (4*b*(9*c^2*d - 7*e)*e^3*(1 + c^2*x^2)^(7/2))/(441*c^9) - (b*e^4*(1 + c^2*x^2)^(9/2))/(81*c^9) + d^4*x*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (4/3)*d^3*e*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (6/5)*d^2*e^2*x^5*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (4/7)*d*e^3*x^7*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/9)*e^4*x^9*(a + b*ArcSinh[c*x])}
+{(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 5, -((b*(35*c^6*d^3 - 35*c^4*d^2*e + 21*c^2*d*e^2 - 5*e^3)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(35*c^7)) - (b*e*(35*c^4*d^2 - 42*c^2*d*e + 15*e^2)*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(105*c^7) - (3*b*(7*c^2*d - 5*e)*e^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(175*c^7) - (b*e^3*(1 + c^2*x^2)^(7/2))/(49*c^7) + d^3*x*(a + b*ArcSinh[c*x]) + d^2*e*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (3/5)*d*e^2*x^5*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/7)*e^3*x^7*(a + b*ArcSinh[c*x])}
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 5, -(b*(15*c^4*d^2 - 10*c^2*d*e + 3*e^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(15*c^5) - (2*b*(5*c^2*d - 3*e)*e*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(45*c^5) - (b*e^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(25*c^5) + d^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (2*d*e*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/3 + (e^2*x^5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/5}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 4, -(b*(3*c^2*d - e)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3*c^3) - (b*e*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(9*c^3) + d*x*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (e*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/3}
+{a + b*ArcSinh[c*x], x, 3, a*x - (b*Sqrt[1 + c^2*x^2])/c + b*x*ArcSinh[c*x]}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + e*x^2), x, 18, ((a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 26, -((a + b*ArcSinh[c*x])/(4*d*Sqrt[e]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))) + (a + b*ArcSinh[c*x])/(4*d*Sqrt[e]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) - (b*c*ArcTan[(Sqrt[e] - c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + c^2*x^2])])/(4*d*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[e]) - (b*c*ArcTan[(Sqrt[e] + c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + c^2*x^2])])/(4*d*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e])}
+
+
+{(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 26, 2*b^2*d^3*x - (4*b^2*d^2*e*x)/(3*c^2) + (16*b^2*d*e^2*x)/(25*c^4) - (32*b^2*e^3*x)/(245*c^6) + (2*b^2*d^2*e*x^3)/9 - (8*b^2*d*e^2*x^3)/(75*c^2) + (16*b^2*e^3*x^3)/(735*c^4) + (6*b^2*d*e^2*x^5)/125 - (12*b^2*e^3*x^5)/(1225*c^2) + (2*b^2*e^3*x^7)/343 - (2*b*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/c + (4*b*d^2*e*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^3) - (16*b*d*e^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(25*c^5) + (32*b*e^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(245*c^7) - (2*b*d^2*e*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c) + (8*b*d*e^2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(25*c^3) - (16*b*e^3*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(245*c^5) - (6*b*d*e^2*x^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(25*c) + (12*b*e^3*x^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(245*c^3) - (2*b*e^3*x^6*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(49*c) + d^3*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + d^2*e*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (3*d*e^2*x^5*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/5 + (e^3*x^7*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/7}
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 17, 2*b^2*d^2*x - (8*b^2*d*e*x)/(9*c^2) + (16*b^2*e^2*x)/(75*c^4) + (4*b^2*d*e*x^3)/27 - (8*b^2*e^2*x^3)/(225*c^2) + (2*b^2*e^2*x^5)/125 - (2*b*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/c + (8*b*d*e*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(9*c^3) - (16*b*e^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(75*c^5) - (4*b*d*e*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(9*c) + (8*b*e^2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(75*c^3) - (2*b*e^2*x^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(25*c) + d^2*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (2*d*e*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/3 + (e^2*x^5*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/5}
+{(d + e*x^2)^1*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 10, 2*b^2*d*x - (4*b^2*e*x)/(9*c^2) + (2*b^2*e*x^3)/27 - (2*b*d*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/c + (4*b*e*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(9*c^3) - (2*b*e*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(9*c) + d*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2 + (e*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/3}
+{(d + e*x^2)^0*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 3, 2*b^2*x - (2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/c + x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + e*x^2), x, 22, ((a + b*ArcSinh[c*x])^2*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcSinh[c*x])^2*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcSinh[c*x])^2*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcSinh[c*x])^2*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b^2*PolyLog[3, -((Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b^2*PolyLog[3, (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b^2*PolyLog[3, -((Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b^2*PolyLog[3, (Sqrt[e]*E^ArcSinh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(d + e*x^2)^3/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 42, (d^3*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b*c) - (3*d^2*e*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(4*b*c^3) + (3*d*e^2*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(8*b*c^5) - (5*e^3*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(64*b*c^7) + (3*d^2*e*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(4*b*c^3) - (9*d*e^2*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c^5) + (9*e^3*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b*c^7) + (3*d*e^2*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c^5) - (5*e^3*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b*c^7) + (e^3*Cosh[(7*a)/b]*CoshIntegral[(7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b*c^7) - (d^3*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b*c) + (3*d^2*e*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(4*b*c^3) - (3*d*e^2*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(8*b*c^5) + (5*e^3*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(64*b*c^7) - (3*d^2*e*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(4*b*c^3) + (9*d*e^2*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c^5) - (9*e^3*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b*c^7) - (3*d*e^2*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c^5) + (5*e^3*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b*c^7) - (e^3*Sinh[(7*a)/b]*SinhIntegral[(7*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(64*b*c^7)}
+{(d + e*x^2)^2/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 27, (d^2*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b*c) - (d*e*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(2*b*c^3) + (e^2*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(8*b*c^5) + (d*e*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2*b*c^3) - (3*e^2*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c^5) + (e^2*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c^5) - (d^2*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b*c) + (d*e*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(2*b*c^3) - (e^2*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(8*b*c^5) - (d*e*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2*b*c^3) + (3*e^2*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c^5) - (e^2*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b*c^5)}
+{(d + e*x^2)^1/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 15, (d*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b*c) - (e*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(4*b*c^3) + (e*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(4*b*c^3) - (d*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b*c) + (e*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(4*b*c^3) - (e*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(4*b*c^3)}
+{(d + e*x^2)^0/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 4, (Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b*c) - (Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b*c)}
+{1/((d + e*x^2)^1*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+{1/((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+
+
+{(d + e*x^2)^2/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 26, -((d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (2*d*e*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])) - (e^2*x^4*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])) - (d^2*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(b^2*c) + (d*e*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(2*b^2*c^3) - (e^2*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(8*b^2*c^5) - (3*d*e*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(2*b^2*c^3) + (9*e^2*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(16*b^2*c^5) - (5*e^2*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(5*a)/b])/(16*b^2*c^5) + (d^2*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b^2*c) - (d*e*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(2*b^2*c^3) + (e^2*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(8*b^2*c^5) + (3*d*e*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(2*b^2*c^3) - (9*e^2*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^5) + (5*e^2*Cosh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^5)}
+{(d + e*x^2)^1/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 15, -((d*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (e*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])) - (d*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(b^2*c) + (e*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(4*b^2*c^3) - (3*e*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(4*b^2*c^3) + (d*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b^2*c) - (e*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(4*b^2*c^3) + (3*e*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(4*b^2*c^3)}
+{(d + e*x^2)^0/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 5, -(Sqrt[1 + c^2*x^2]/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(b^2*c) + (Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b^2*c)}
+{1/((d + e*x^2)^1*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+{1/((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x^2)^p (a+b ArcSinh[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(d + e*x^2)^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]], x, 42, d^2*x*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]] + (2*d*e*x^3*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/3 + (e^2*x^5*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/5 + (Sqrt[b]*d^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*c) - (Sqrt[b]*d*e*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*c^3) + (Sqrt[b]*e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(32*c^5) + (Sqrt[b]*d*e*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(24*c^3) - (Sqrt[b]*e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(64*c^5) + (Sqrt[b]*e^2*E^((5*a)/b)*Sqrt[Pi/5]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(320*c^5) - (Sqrt[b]*d^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*c*E^(a/b)) + (Sqrt[b]*d*e*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*c^3*E^(a/b)) - (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(32*c^5*E^(a/b)) - (Sqrt[b]*d*e*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(24*c^3*E^((3*a)/b)) + (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(64*c^5*E^((3*a)/b)) - (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi/5]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(320*c^5*E^((5*a)/b))}
+{(d + e*x^2)*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]], x, 23, d*x*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]] + (e*x^3*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/3 + (Sqrt[b]*d*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*c) - (Sqrt[b]*e*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(16*c^3) + (Sqrt[b]*e*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(48*c^3) - (Sqrt[b]*d*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*c*E^(a/b)) + (Sqrt[b]*e*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(16*c^3*E^(a/b)) - (Sqrt[b]*e*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(48*c^3*E^((3*a)/b))}
+{Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]], x, 7, x*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]] + (Sqrt[b]*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*c) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*c*E^(a/b))}
+{Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/(d + e*x^2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/(d + e*x^2), x]}
+{Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/(d + e*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/(d + e*x^2)^2, x]}
+
+
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2), x, 32, (-3*b*d*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/(2*c) + (b*e*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/(3*c^3) - (b*e*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/(6*c) + d*x*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2) + (e*x^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2))/3 + (3*b^(3/2)*d*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*c) - (3*b^(3/2)*e*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(32*c^3) + (b^(3/2)*e*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(96*c^3) + (3*b^(3/2)*d*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*c*E^(a/b)) - (3*b^(3/2)*e*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(32*c^3*E^(a/b)) + (b^(3/2)*e*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(96*c^3*E^((3*a)/b))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2), x, 8, (-3*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/(2*c) + x*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2) + (3*b^(3/2)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*c) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*c*E^(a/b))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2)/(d + e*x^2), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2)/(d + e*x^2), x]}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2)/(d + e*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2)/(d + e*x^2)^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(d + e*x^2)^2/Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]], x, 39, (d^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c) - (d*e*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[b]*c^3) + (e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(16*Sqrt[b]*c^5) + (d*e*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[b]*c^3) - (e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*c^5) + (e^2*E^((5*a)/b)*Sqrt[Pi/5]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*c^5) + (d^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c*E^(a/b)) - (d*e*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[b]*c^3*E^(a/b)) + (e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(16*Sqrt[b]*c^5*E^(a/b)) + (d*e*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[b]*c^3*E^((3*a)/b)) - (e^2*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*c^5*E^((3*a)/b)) + (e^2*Sqrt[Pi/5]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*c^5*E^((5*a)/b))}
+{(d + e*x^2)/Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]], x, 21, (d*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c) - (e*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*c^3) + (e*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*c^3) + (d*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c*E^(a/b)) - (e*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*c^3*E^(a/b)) + (e*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*c^3*E^((3*a)/b))}
+{1/Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]], x, 6, (E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c*E^(a/b))}
+{1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]), x]}
+{1/((d + e*x^2)^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]), x]}
+
+
+{(d + e*x^2)/(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2), x, 21, (-2*d*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) - (2*e*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) - (d*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c) + (e*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c^3) - (e*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c^3) + (d*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c*E^(a/b)) - (e*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c^3*E^(a/b)) + (e*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c^3*E^((3*a)/b))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^(-3/2), x, 7, (-2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(b*c*Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]) - (E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c*x]]/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c*E^(a/b))}
+{1/((d + e*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(3/2)), x]}
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+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x^2)^(p/2) (a+b ArcSinh[c x])^n*)
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+(*n>0*)
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+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 7, -(b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3*d*(c^2*d - e)*Sqrt[d + e*x^2]) + (x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*b*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(3*d^2*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + e*x^2)^(7/2), x, 8, -((b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(15*d*(c^2*d - e)*(d + e*x^2)^(3/2))) - (2*b*c*(3*c^2*d - 2*e)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(15*d^2*(c^2*d - e)^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5*d*(d + e*x^2)^(5/2)) + (4*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(15*d^2*(d + e*x^2)^(3/2)) + (8*x*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(15*d^3*Sqrt[d + e*x^2]) - (8*b*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(15*d^3*Sqrt[e])}
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diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.5 Inverse hyperbolic sine functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.5 Inverse hyperbolic sine functions.m
new file mode 100644
index 00000000..f6699acb
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.1 Inverse hyperbolic sine/7.1.5 Inverse hyperbolic sine functions.m	
@@ -0,0 +1,737 @@
+(* ::Package:: *)
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+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcSinh[c x])^n*)
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcSinh[c x])^n*)
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+(*Integrands of the form (d+e x)^m ArcSinh[c x]^n*)
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+{ArcSinh[c*x]^2/(d + e*x), x, 10, -(ArcSinh[c*x]^3/(3*e)) + (ArcSinh[c*x]^2*Log[1 + (e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 + e^2])])/e + (ArcSinh[c*x]^2*Log[1 + (e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 + e^2])])/e + (2*ArcSinh[c*x]*PolyLog[2, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/e + (2*ArcSinh[c*x]*PolyLog[2, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/e - (2*PolyLog[3, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/e - (2*PolyLog[3, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/e}
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+{ArcSinh[c*x]^3/(d + e*x), x, 12, -(ArcSinh[c*x]^4/(4*e)) + (ArcSinh[c*x]^3*Log[1 + (e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 + e^2])])/e + (ArcSinh[c*x]^3*Log[1 + (e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 + e^2])])/e + (3*ArcSinh[c*x]^2*PolyLog[2, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/e + (3*ArcSinh[c*x]^2*PolyLog[2, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/e - (6*ArcSinh[c*x]*PolyLog[3, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/e - (6*ArcSinh[c*x]*PolyLog[3, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/e + (6*PolyLog[4, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/e + (6*PolyLog[4, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/e}
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+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 4, -((b*(d + e*x)^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(9*c)) - (b*(4*(4*c^2*d^2 - e^2) + 5*c^2*d*e*x)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(18*c^3) - (b*d*(2*d^2 - (3*e^2)/c^2)*ArcSinh[c*x])/(6*e) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*e)}
+{(d + e*x)^1*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 4, -((3*b*d*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(4*c)) - (b*(d + e*x)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(4*c) - (b*(2*d^2 - e^2/c^2)*ArcSinh[c*x])/(4*e) + ((d + e*x)^2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*e)}
+{(d + e*x)^0*(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 3, a*x - (b*Sqrt[1 + c^2*x^2])/c + b*x*ArcSinh[c*x]}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + e*x)^1, x, 8, -((a + b*ArcSinh[c*x])^2/(2*b*e)) + ((a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + (e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 + e^2])])/e + ((a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + (e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 + e^2])])/e + (b*PolyLog[2, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/e + (b*PolyLog[2, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/e}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + e*x)^2, x, 3, -((a + b*ArcSinh[c*x])/(e*(d + e*x))) - (b*c*ArcTanh[(e - c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 + e^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])])/(e*Sqrt[c^2*d^2 + e^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + e*x)^3, x, 4, -((b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(2*(c^2*d^2 + e^2)*(d + e*x))) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(2*e*(d + e*x)^2) - (b*c^3*d*ArcTanh[(e - c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 + e^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])])/(2*e*(c^2*d^2 + e^2)^(3/2))}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])/(d + e*x)^4, x, 5, -((b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(6*(c^2*d^2 + e^2)*(d + e*x)^2)) - (b*c^3*d*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(2*(c^2*d^2 + e^2)^2*(d + e*x)) - (a + b*ArcSinh[c*x])/(3*e*(d + e*x)^3) - (b*c^3*(2*c^2*d^2 - e^2)*ArcTanh[(e - c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 + e^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])])/(6*e*(c^2*d^2 + e^2)^(5/2))}
+
+
+{(d + e*x)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 18, 2*b^2*d^3*x - (4*b^2*d*e^2*x)/(3*c^2) + (3/4)*b^2*d^2*e*x^2 - (3*b^2*e^3*x^2)/(32*c^2) + (2/9)*b^2*d*e^2*x^3 + (1/32)*b^2*e^3*x^4 - (2*b*d^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/c + (4*b*d*e^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^3) - (3*b*d^2*e*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c) + (3*b*e^3*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(16*c^3) - (2*b*d*e^2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c) - (b*e^3*x^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c) - (d^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*e) + (3*d^2*e*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*c^2) - (3*e^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(32*c^4) + ((d + e*x)^4*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*e)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 13, 2*b^2*d^2*x - (4*b^2*e^2*x)/(9*c^2) + (1/2)*b^2*d*e*x^2 + (2/27)*b^2*e^2*x^3 - (2*b*d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/c + (4*b*e^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(9*c^3) - (b*d*e*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/c - (2*b*e^2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(9*c) - (d^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*e) + (d*e*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*c^2) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(3*e)}
+{(d + e*x)^1*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 9, 2*b^2*d*x + (1/4)*b^2*e*x^2 - (2*b*d*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/c - (b*e*x*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c) - (d^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*e) + (e*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*c^2) + ((d + e*x)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*e)}
+{(d + e*x)^0*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 3, 2*b^2*x - (2*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/c + x*(a + b*ArcSinh[c*x])^2}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + e*x)^1, x, 10, -((a + b*ArcSinh[c*x])^3/(3*b*e)) + ((a + b*ArcSinh[c*x])^2*Log[1 + (e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 + e^2])])/e + ((a + b*ArcSinh[c*x])^2*Log[1 + (e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 + e^2])])/e + (2*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/e + (2*b*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/e - (2*b^2*PolyLog[3, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/e - (2*b^2*PolyLog[3, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/e}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + e*x)^2, x, 10, -((a + b*ArcSinh[c*x])^2/(e*(d + e*x))) + (2*b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + (e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 + e^2])])/(e*Sqrt[c^2*d^2 + e^2]) - (2*b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + (e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 + e^2])])/(e*Sqrt[c^2*d^2 + e^2]) + (2*b^2*c*PolyLog[2, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/(e*Sqrt[c^2*d^2 + e^2]) - (2*b^2*c*PolyLog[2, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/(e*Sqrt[c^2*d^2 + e^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c*x])^2/(d + e*x)^3, x, 13, -((b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((c^2*d^2 + e^2)*(d + e*x))) - (a + b*ArcSinh[c*x])^2/(2*e*(d + e*x)^2) + (b*c^3*d*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + (e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 + e^2])])/(e*(c^2*d^2 + e^2)^(3/2)) - (b*c^3*d*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + (e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 + e^2])])/(e*(c^2*d^2 + e^2)^(3/2)) + (b^2*c^2*Log[d + e*x])/(e*(c^2*d^2 + e^2)) + (b^2*c^3*d*PolyLog[2, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/(e*(c^2*d^2 + e^2)^(3/2)) - (b^2*c^3*d*PolyLog[2, -((e*E^ArcSinh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 + e^2]))])/(e*(c^2*d^2 + e^2)^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(d + e*x)^3/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 27, (d^3*Cosh[a/b]*CoshIntegral[a/b + ArcSinh[c*x]])/(b*c) - (3*d*e^2*Cosh[a/b]*CoshIntegral[a/b + ArcSinh[c*x]])/(4*b*c^3) + (3*d*e^2*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSinh[c*x]])/(4*b*c^3) - (3*d^2*e*CoshIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSinh[c*x]]*Sinh[(2*a)/b])/(2*b*c^2) + (e^3*CoshIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSinh[c*x]]*Sinh[(2*a)/b])/(4*b*c^4) - (e^3*CoshIntegral[(4*a)/b + 4*ArcSinh[c*x]]*Sinh[(4*a)/b])/(8*b*c^4) - (d^3*Sinh[a/b]*SinhIntegral[a/b + ArcSinh[c*x]])/(b*c) + (3*d*e^2*Sinh[a/b]*SinhIntegral[a/b + ArcSinh[c*x]])/(4*b*c^3) + (3*d^2*e*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSinh[c*x]])/(2*b*c^2) - (e^3*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSinh[c*x]])/(4*b*c^4) - (3*d*e^2*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSinh[c*x]])/(4*b*c^3) + (e^3*Cosh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*a)/b + 4*ArcSinh[c*x]])/(8*b*c^4)}
+{(d + e*x)^2/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 17, (d^2*Cosh[a/b]*CoshIntegral[a/b + ArcSinh[c*x]])/(b*c) - (e^2*Cosh[a/b]*CoshIntegral[a/b + ArcSinh[c*x]])/(4*b*c^3) + (e^2*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSinh[c*x]])/(4*b*c^3) - (d*e*CoshIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSinh[c*x]]*Sinh[(2*a)/b])/(b*c^2) - (d^2*Sinh[a/b]*SinhIntegral[a/b + ArcSinh[c*x]])/(b*c) + (e^2*Sinh[a/b]*SinhIntegral[a/b + ArcSinh[c*x]])/(4*b*c^3) + (d*e*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSinh[c*x]])/(b*c^2) - (e^2*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSinh[c*x]])/(4*b*c^3)}
+{(d + e*x)^1/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 11, (d*Cosh[a/b]*CoshIntegral[a/b + ArcSinh[c*x]])/(b*c) - (e*CoshIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSinh[c*x]]*Sinh[(2*a)/b])/(2*b*c^2) - (d*Sinh[a/b]*SinhIntegral[a/b + ArcSinh[c*x]])/(b*c) + (e*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSinh[c*x]])/(2*b*c^2)}
+{(d + e*x)^0/(a + b*ArcSinh[c*x]), x, 4, (Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b*c) - (Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b*c)}
+{1/((d + e*x)^1*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x)*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+{1/((d + e*x)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+
+
+{(d + e*x)^2/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 19, -((d^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (2*d*e*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])) - (e^2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])) + (2*d*e*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(b^2*c^2) - (d^2*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(b^2*c) + (e^2*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(4*b^2*c^3) - (3*e^2*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(4*b^2*c^3) + (d^2*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b^2*c) - (e^2*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(4*b^2*c^3) - (2*d*e*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(b^2*c^2) + (3*e^2*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(4*b^2*c^3)}
+{(d + e*x)^1/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 11, -((d*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (e*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x])) + (e*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(b^2*c^2) - (d*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(b^2*c) + (d*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b^2*c) - (e*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c*x]))/b])/(b^2*c^2)}
+{(d + e*x)^0/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 5, -(Sqrt[1 + c^2*x^2]/(b*c*(a + b*ArcSinh[c*x]))) - (CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(b^2*c) + (Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c*x])/b])/(b^2*c)}
+{1/((d + e*x)^1*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+{1/((d + e*x)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x)^2*(a + b*ArcSinh[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcSinh[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcSinh[c x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(d + e*x)^m*(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 1, ((d + e*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(e*(1 + m)) - (2*b*c*Unintegrable[((d + e*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[1 + c^2*x^2], x])/(e*(1 + m))}
+{(d + e*x)^m*(a + b*ArcSinh[c*x])^1, x, 3, -((b*c*(d + e*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - (d + e*x)/(d - e/Sqrt[-c^2])]*Sqrt[1 - (d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])]*AppellF1[2 + m, 1/2, 1/2, 3 + m, (d + e*x)/(d - e/Sqrt[-c^2]), (d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])])/(e^2*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2])) + ((d + e*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(e*(1 + m))}
+{(d + e*x)^m/(a + b*ArcSinh[c*x])^1, x, 0, Unintegrable[(d + e*x)^m/(a + b*ArcSinh[c*x]), x]}
+{(d + e*x)^m/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(d + e*x)^m/(a + b*ArcSinh[c*x])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcSinh[c x])^n where e=c^2 d*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (d+c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcSinh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*(f + g*x)^3, x, 16, -((b*f^2*g*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(c*Sqrt[1 + c^2*x^2])) + (2*b*g^3*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(15*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*f^3*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*b*f*g^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*f^2*g*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*g^3*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(45*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*b*c*f*g^2*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*g^3*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (1/2)*f^3*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (3*f*g^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c^2) + (3/4)*f*g^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (f^2*g*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/c^2 - (g^3*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^4) + (g^3*(1 + c^2*x^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5*c^4) + (f^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*f*g^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*(f + g*x)^2, x, 13, -((2*b*f*g*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(3*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - (b*c*f^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*g^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c*f*g*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(9*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*g^2*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (1/2)*f^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (g^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*c^2) + (1/4)*g^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (2*f*g*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^2) + (f^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (g^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*(f + g*x)^1, x, 8, -((b*g*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(3*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - (b*c*f*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*g*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(9*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (1/2)*f*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (g*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^2) + (f*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])/(f + g*x)^1, x, 22, (a*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/g - (b*c*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(g*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/g - (c*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*g*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - ((1 + (c^2*f^2)/g^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*(f + g*x)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*(f + g*x)) - (a*Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcTanh[(g - c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])])/(g^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x]*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(g^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x]*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(g^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/(g^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/(g^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])/(f + g*x)^2, x, 35, -((a*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(g*(f + g*x))) - (b*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(g*(f + g*x)) + (a*c^3*f^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(g^2*(c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c^3*f^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x]^2)/(2*g^2*(c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - ((g - c^2*f*x)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*(c^2*f^2 + g^2)*(f + g*x)^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*(f + g*x)^2) + (a*c^2*f*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcTanh[(g - c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^2*f*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x]*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c^2*f*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x]*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Log[f + g*x])/(g^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^2*f*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c^2*f*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+
+
+{(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*(f + g*x)^3, x, 24, -((3*b*d*f^2*g*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(5*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])) + (2*b*d*g^3*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(35*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (5*b*c*d*f^3*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*b*d*f*g^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(32*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c*d*f^2*g*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(5*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*d*g^3*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(105*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d*f^3*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (7*b*c*d*f*g^2*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(32*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*b*c^3*d*f^2*g*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (8*b*c*d*g^3*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(175*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d*f*g^2*x^6*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(12*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d*g^3*x^7*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3/8)*d*f^3*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (3*d*f*g^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(16*c^2) + (3/8)*d*f*g^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/4)*d*f^3*x*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/2)*d*f*g^2*x^3*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (3*d*f^2*g*(1 + c^2*x^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5*c^2) - (d*g^3*(1 + c^2*x^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5*c^4) + (d*g^3*(1 + c^2*x^2)^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(7*c^4) + (3*d*f^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*d*f*g^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(32*b*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*(f + g*x)^2, x, 20, -((2*b*d*f*g*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(5*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - (5*b*c*d*f^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*d*g^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(32*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (4*b*c*d*f*g*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(15*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d*f^2*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (7*b*c*d*g^2*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c^3*d*f*g*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d*g^2*x^6*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(36*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3/8)*d*f^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (d*g^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(16*c^2) + (1/8)*d*g^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/4)*d*f^2*x*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/6)*d*g^2*x^3*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (2*d*f*g*(1 + c^2*x^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5*c^2) + (3*d*f^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (d*g^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(32*b*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*(f + g*x)^1, x, 12, -((b*d*g*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(5*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - (5*b*c*d*f*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c*d*g*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(15*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d*f*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d*g*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3/8)*d*f*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/4)*d*f*x*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (d*g*(1 + c^2*x^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5*c^2) + (3*d*f*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])/(f + g*x)^1, x, 29, (a*d*(c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/g^3 - (b*c*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(3*g*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*d*(c^2*f^2 + g^2)*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(g^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c^3*d*f*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(4*g^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(9*g*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*d*(c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/g^3 - (c^2*d*f*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*g^2) + (d*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*g) - (c*d*f*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*g^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (c*d*(c^2*f^2 + g^2)*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*g^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (d*(c^2*f^2 + g^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*g^4*(f + g*x)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (d*(c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*g^2*(f + g*x)) - (a*d*(c^2*f^2 + g^2)^(3/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcTanh[(g - c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])])/(g^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*d*(c^2*f^2 + g^2)^(3/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x]*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(g^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*d*(c^2*f^2 + g^2)^(3/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x]*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(g^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*d*(c^2*f^2 + g^2)^(3/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/(g^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*d*(c^2*f^2 + g^2)^(3/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/(g^4*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+(* {(d + c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])/(f + g*x)^2, x, 71, -((2*a*c^2*d*f*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/g^3) - (a*d*(c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(g^3*(f + g*x)) + (2*b*c^3*d*f*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(g^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(4*g^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c^2*d*f*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/g^3 - (b*d*(c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(g^3*(f + g*x)) + (a*c^3*d*f^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(g^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c^3*d*f^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x]^2)/(2*g^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (c^2*d*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*g^2) + (c*d*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*g^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (c^3*d*f*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(b*g^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (d*(g - c^2*f*x)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*g^2*(f + g*x)^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (c*d*f*(c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(b*g^4*(f + g*x)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (d*(c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*g^2*(f + g*x)^2) - (c*d*f*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(b*g^2*(f + g*x)) + (3*a*c^2*d*f*Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcTanh[(g - c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])])/(g^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*b*c^2*d*f*Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x]*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(g^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3*b*c^2*d*f*Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x]*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(g^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c*d*(c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Log[f + g*x])/(g^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*b*c^2*d*f*Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/(g^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3*b*c^2*d*f*Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/(g^4*Sqrt[1 + c^2*x^2])} *)
+
+
+{(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*(f + g*x)^3, x, 30, -((3*b*d^2*f^2*g*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(7*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])) + (2*b*d^2*g^3*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(63*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (25*b*c*d^2*f^3*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (15*b*d^2*f*g^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(256*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*b*c*d^2*f^2*g*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(7*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*d^2*g^3*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(189*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (5*b*c^3*d^2*f^3*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (59*b*c*d^2*f*g^2*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(256*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (9*b*c^3*d^2*f^2*g*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(35*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*d^2*g^3*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(21*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (17*b*c^3*d^2*f*g^2*x^6*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*b*c^5*d^2*f^2*g*x^7*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (19*b*c^3*d^2*g^3*x^7*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(441*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*b*c^5*d^2*f*g^2*x^8*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(64*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*g^3*x^9*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(81*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*d^2*f^3*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(36*c) + (5/16)*d^2*f^3*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (15*d^2*f*g^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(128*c^2) + (15/64)*d^2*f*g^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (5/24)*d^2*f^3*x*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (5/16)*d^2*f*g^2*x^3*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/6)*d^2*f^3*x*(1 + c^2*x^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (3/8)*d^2*f*g^2*x^3*(1 + c^2*x^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (3*d^2*f^2*g*(1 + c^2*x^2)^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(7*c^2) - (d^2*g^3*(1 + c^2*x^2)^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(7*c^4) + (d^2*g^3*(1 + c^2*x^2)^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(9*c^4) + (5*d^2*f^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(32*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (15*d^2*f*g^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(256*b*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*(f + g*x)^2, x, 26, -((2*b*d^2*f*g*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(7*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - (25*b*c*d^2*f^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (5*b*d^2*g^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(256*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c*d^2*f*g*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(7*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (5*b*c^3*d^2*f^2*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (59*b*c*d^2*g^2*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(768*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (6*b*c^3*d^2*f*g*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(35*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (17*b*c^3*d^2*g^2*x^6*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(288*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (2*b*c^5*d^2*f*g*x^7*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*g^2*x^8*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(64*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*d^2*f^2*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(36*c) + (5/16)*d^2*f^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (5*d^2*g^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(128*c^2) + (5/64)*d^2*g^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (5/24)*d^2*f^2*x*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (5/48)*d^2*g^2*x^3*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/6)*d^2*f^2*x*(1 + c^2*x^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/8)*d^2*g^2*x^3*(1 + c^2*x^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (2*d^2*f*g*(1 + c^2*x^2)^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(7*c^2) + (5*d^2*f^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(32*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (5*d^2*g^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(256*b*c^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])*(f + g*x)^1, x, 14, -((b*d^2*g*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(7*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])) - (25*b*c*d^2*f*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*d^2*g*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(7*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (5*b*c^3*d^2*f*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (3*b*c^3*d^2*g*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(35*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*g*x^7*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*d^2*f*(1 + c^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(36*c) + (5/16)*d^2*f*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (5/24)*d^2*f*x*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (1/6)*d^2*f*x*(1 + c^2*x^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]) + (d^2*g*(1 + c^2*x^2)^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(7*c^2) + (5*d^2*f*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(32*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+{(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])/(f + g*x)^1, x, 37, (a*d^2*(c^2*f^2 + g^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/g^5 + (2*b*c*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(15*g*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*d^2*(c^2*f^2 + g^2)^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(g^5*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c*d^2*(c^2*f^2 + 2*g^2)*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(3*g^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c^3*d^2*f*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*g^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c^3*d^2*f*(c^2*f^2 + 2*g^2)*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(4*g^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(45*g*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d^2*(c^2*f^2 + 2*g^2)*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(9*g^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c^5*d^2*f*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*g^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^5*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(25*g*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*d^2*(c^2*f^2 + g^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/g^5 - (c^2*d^2*f*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*g^2) - (c^2*d^2*f*(c^2*f^2 + 2*g^2)*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*g^4) - (c^4*d^2*f*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4*g^2) - (d^2*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*g) + (d^2*(c^2*f^2 + 2*g^2)*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*g^3) + (d^2*(1 + c^2*x^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(5*g) + (c*d^2*f*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*g^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (c*d^2*f*(c^2*f^2 + 2*g^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*g^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (c*d^2*(c^2*f^2 + g^2)^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*g^5*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (d^2*(c^2*f^2 + g^2)^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*g^6*(f + g*x)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (d^2*(c^2*f^2 + g^2)^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*g^4*(f + g*x)) - (a*d^2*(c^2*f^2 + g^2)^(5/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcTanh[(g - c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])])/(g^6*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*d^2*(c^2*f^2 + g^2)^(5/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x]*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(g^6*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*d^2*(c^2*f^2 + g^2)^(5/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x]*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(g^6*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*d^2*(c^2*f^2 + g^2)^(5/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/(g^6*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*d^2*(c^2*f^2 + g^2)^(5/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/(g^6*Sqrt[1 + c^2*x^2])}
+(* {(d + c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])/(f + g*x)^2, x, 78, -((4*a*c^2*d^2*f*(c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/g^5) - (a*d^2*(c^2*f^2 + g^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(g^5*(f + g*x)) + (2*b*c^3*d^2*f*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(3*g^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (4*b*c^3*d^2*f*(c^2*f^2 + g^2)*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(g^5*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d^2*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*g^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^3*d^2*(3*c^2*f^2 + 2*g^2)*x^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(4*g^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (2*b*c^5*d^2*f*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(9*g^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (b*c^5*d^2*x^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2])/(16*g^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (4*b*c^2*d^2*f*(c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/g^5 - (b*d^2*(c^2*f^2 + g^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(g^5*(f + g*x)) + (a*c^3*d^2*f^2*(c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x])/(g^6*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c^3*d^2*f^2*(c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x]^2)/(2*g^6*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (c^2*d^2*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*g^2) + (c^2*d^2*(3*c^2*f^2 + 2*g^2)*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*g^4) + (c^4*d^2*x^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(4*g^2) - (2*c^2*d^2*f*(1 + c^2*x^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*g^3) - (c*d^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(16*b*g^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (c*d^2*(3*c^2*f^2 + 2*g^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*g^4*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (2*c^3*d^2*f*(c^2*f^2 + g^2)*x*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(b*g^5*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (d^2*(c^2*f^2 + g^2)*(g - c^2*f*x)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*g^4*(f + g*x)^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (2*c*d^2*f*(c^2*f^2 + g^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(b*g^6*(f + g*x)*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (d^2*(c^2*f^2 + g^2)^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*g^4*(f + g*x)^2) - (2*c*d^2*f*(c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(b*g^4*(f + g*x)) + (5*a*c^2*d^2*f*(c^2*f^2 + g^2)^(3/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcTanh[(g - c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])])/(g^6*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (5*b*c^2*d^2*f*(c^2*f^2 + g^2)^(3/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x]*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(g^6*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (5*b*c^2*d^2*f*(c^2*f^2 + g^2)^(3/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*ArcSinh[c*x]*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(g^6*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (b*c*d^2*(c^2*f^2 + g^2)^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*Log[f + g*x])/(g^6*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (5*b*c^2*d^2*f*(c^2*f^2 + g^2)^(3/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/(g^6*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (5*b*c^2*d^2*f*(c^2*f^2 + g^2)^(3/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/(g^6*Sqrt[1 + c^2*x^2])} *)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*(f + g*x)^3, x, 13, -((3*b*f^2*g*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) + (2*b*g^3*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (3*b*f*g^2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(4*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*g^3*x^3*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(9*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (3*f^2*g*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (2*g^3*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^4*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (3*f*g^2*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (g^3*x^2*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(3*c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (f^3*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (3*f*g^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*(f + g*x)^2, x, 9, -((2*b*f*g*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) - (b*g^2*x^2*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(4*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (2*f*g*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (g^2*x*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(2*c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (f^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (g^2*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(4*b*c^3*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*(f + g*x)^1, x, 6, -((b*g*x*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) + (g*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(c^2*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (f*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*(f + g*x)^0, x, 1, (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])/(f + g*x)^1, x, 10, (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/(Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/(Sqrt[c^2*f^2 + g^2]*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d + c^2*d*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])/(f + g*x)^2, x, 13, -((g*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x]))/((c^2*f^2 + g^2)*(f + g*x)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])) + (c^2*f*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/((c^2*f^2 + g^2)^(3/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (c^2*f*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/((c^2*f^2 + g^2)^(3/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Log[f + g*x])/((c^2*f^2 + g^2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) + (b*c^2*f*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/((c^2*f^2 + g^2)^(3/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2]) - (b*c^2*f*Sqrt[1 + c^2*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/((c^2*f^2 + g^2)^(3/2)*Sqrt[d + c^2*d*x^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Log[h (f + g x)^m] (d+e x^2)^p (a+b ArcSinh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Log[h (f + g x)^m] (d+c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcSinh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n/Sqrt[1 + c^2*x^2], x, 0, Unintegrable[((a + b*ArcSinh[c*x])^n*Log[h*(f + g*x)^m])/Sqrt[1 + c^2*x^2], x]}
+
+(* {Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3/Sqrt[1 + c^2*x^2], x, 18, (m*(a + b*ArcSinh[c*x])^5)/(20*b^2*c) - (m*(a + b*ArcSinh[c*x])^4*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(4*b*c) - (m*(a + b*ArcSinh[c*x])^4*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(4*b*c) + ((a + b*ArcSinh[c*x])^4*Log[h*(f + g*x)^m])/(4*b*c) - (m*(a + b*ArcSinh[c*x])^3*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c - (m*(a + b*ArcSinh[c*x])^3*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c + (3*b*m*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*PolyLog[3, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c + (3*b*m*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*PolyLog[3, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c - (6*b^2*m*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[4, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c - (6*b^2*m*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[4, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c + (6*b^3*m*PolyLog[5, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c + (6*b^3*m*PolyLog[5, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c} *)
+{Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2/Sqrt[1 + c^2*x^2], x, 13, (m*(a + b*ArcSinh[c*x])^4)/(12*b^2*c) - (m*(a + b*ArcSinh[c*x])^3*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(3*b*c) - (m*(a + b*ArcSinh[c*x])^3*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(3*b*c) + ((a + b*ArcSinh[c*x])^3*Log[h*(f + g*x)^m])/(3*b*c) - (m*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c - (m*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c + (2*b*m*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[3, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c + (2*b*m*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[3, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c - (2*b^2*m*PolyLog[4, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c - (2*b^2*m*PolyLog[4, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c}
+{Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcSinh[c*x])^1/Sqrt[1 + c^2*x^2], x, 11, (m*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(6*b^2*c) - (m*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(2*b*c) - (m*(a + b*ArcSinh[c*x])^2*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/(2*b*c) + ((a + b*ArcSinh[c*x])^2*Log[h*(f + g*x)^m])/(2*b*c) - (m*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c - (m*(a + b*ArcSinh[c*x])*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c + (b*m*PolyLog[3, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c + (b*m*PolyLog[3, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c}
+{Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcSinh[c*x])^0/Sqrt[1 + c^2*x^2], x, 9, (m*ArcSinh[c*x]^2)/(2*c) - (m*ArcSinh[c*x]*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/c - (m*ArcSinh[c*x]*Log[1 + (E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2])])/c + (ArcSinh[c*x]*Log[h*(f + g*x)^m])/c - (m*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c - (m*PolyLog[2, -((E^ArcSinh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 + g^2]))])/c}
+{Log[h*(f + g*x)^m]/(a + b*ArcSinh[c*x])^1/Sqrt[1 + c^2*x^2], x, 0, Unintegrable[Log[h*(f + g*x)^m]/(Sqrt[1 + c^2*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])), x]}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands Involving Inverse Hyperbolic Sines*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcSinh[c +d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcSinh[c+d x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^3*ArcSinh[a + b*x], x, 6, (7*a*x^2*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(48*b^2) - (x^3*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(16*b) - ((4*a*(16 - 19*a^2) - (9 - 26*a^2)*(a + b*x))*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(96*b^4) - ((3 - 24*a^2 + 8*a^4)*ArcSinh[a + b*x])/(32*b^4) + (1/4)*x^4*ArcSinh[a + b*x]}
+{x^2*ArcSinh[a + b*x], x, 5, -((x^2*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(9*b)) + ((4 - 11*a^2 + 5*a*b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(18*b^3) - (a*(3 - 2*a^2)*ArcSinh[a + b*x])/(6*b^3) + (1/3)*x^3*ArcSinh[a + b*x]}
+{x^1*ArcSinh[a + b*x], x, 5, (3*a*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(4*b^2) - (x*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(4*b) + ((1 - 2*a^2)*ArcSinh[a + b*x])/(4*b^2) + (1/2)*x^2*ArcSinh[a + b*x]}
+{x^0*ArcSinh[a + b*x], x, 3, -(Sqrt[1 + (a + b*x)^2]/b) + ((a + b*x)*ArcSinh[a + b*x])/b}
+{ArcSinh[a + b*x]/x^1, x, 9, (-(1/2))*ArcSinh[a + b*x]^2 + ArcSinh[a + b*x]*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])] + ArcSinh[a + b*x]*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])] + PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])] + PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])]}
+{ArcSinh[a + b*x]/x^2, x, 4, -(ArcSinh[a + b*x]/x) - (b*ArcTanh[(1 + a*(a + b*x))/(Sqrt[1 + a^2]*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])])/Sqrt[1 + a^2]}
+{ArcSinh[a + b*x]/x^3, x, 5, -((b*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(2*(1 + a^2)*x)) - ArcSinh[a + b*x]/(2*x^2) + (a*b^2*ArcTanh[(1 + a*(a + b*x))/(Sqrt[1 + a^2]*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])])/(2*(1 + a^2)^(3/2))}
+{ArcSinh[a + b*x]/x^4, x, 6, -((b*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(6*(1 + a^2)*x^2)) + (a*b^2*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(2*(1 + a^2)^2*x) - ArcSinh[a + b*x]/(3*x^3) + ((1 - 2*a^2)*b^3*ArcTanh[(1 + a*(a + b*x))/(Sqrt[1 + a^2]*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])])/(6*(1 + a^2)^(5/2))}
+{ArcSinh[a + b*x]/x^5, x, 7, -((b*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(12*(1 + a^2)*x^3)) + (5*a*b^2*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(24*(1 + a^2)^2*x^2) + ((4 - 11*a^2)*b^3*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(24*(1 + a^2)^3*x) - ArcSinh[a + b*x]/(4*x^4) - (a*(3 - 2*a^2)*b^4*ArcTanh[(1 + a*(a + b*x))/(Sqrt[1 + a^2]*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])])/(8*(1 + a^2)^(7/2))}
+
+
+{x^3*ArcSinh[a + b*x]^2, x, 19, (4*a*x)/(3*b^3) - (2*a^3*x)/b^3 - (3*(a + b*x)^2)/(32*b^4) + (3*a^2*(a + b*x)^2)/(4*b^4) - (2*a*(a + b*x)^3)/(9*b^4) + (a + b*x)^4/(32*b^4) - (4*a*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/(3*b^4) + (2*a^3*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/b^4 + (3*(a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/(16*b^4) - (3*a^2*(a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/(2*b^4) + (2*a*(a + b*x)^2*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/(3*b^4) - ((a + b*x)^3*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/(8*b^4) - (3*ArcSinh[a + b*x]^2)/(32*b^4) + (3*a^2*ArcSinh[a + b*x]^2)/(4*b^4) - (a^4*ArcSinh[a + b*x]^2)/(4*b^4) + (1/4)*x^4*ArcSinh[a + b*x]^2}
+{x^2*ArcSinh[a + b*x]^2, x, 14, -((4*x)/(9*b^2)) + (2*a^2*x)/b^2 - (a*(a + b*x)^2)/(2*b^3) + (2*(a + b*x)^3)/(27*b^3) + (4*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/(9*b^3) - (2*a^2*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/b^3 + (a*(a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/b^3 - (2*(a + b*x)^2*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/(9*b^3) - (a*ArcSinh[a + b*x]^2)/(2*b^3) + (a^3*ArcSinh[a + b*x]^2)/(3*b^3) + (1/3)*x^3*ArcSinh[a + b*x]^2}
+{x^1*ArcSinh[a + b*x]^2, x, 10, -((2*a*x)/b) + (a + b*x)^2/(4*b^2) + (2*a*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/b^2 - ((a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/(2*b^2) + ArcSinh[a + b*x]^2/(4*b^2) - (a^2*ArcSinh[a + b*x]^2)/(2*b^2) + (1/2)*x^2*ArcSinh[a + b*x]^2}
+{x^0*ArcSinh[a + b*x]^2, x, 4, 2*x - (2*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/b + ((a + b*x)*ArcSinh[a + b*x]^2)/b}
+{ArcSinh[a + b*x]^2/x^1, x, 11, (-(1/3))*ArcSinh[a + b*x]^3 + ArcSinh[a + b*x]^2*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])] + ArcSinh[a + b*x]^2*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])] + 2*ArcSinh[a + b*x]*PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])] + 2*ArcSinh[a + b*x]*PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])] - 2*PolyLog[3, E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])] - 2*PolyLog[3, E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])]}
+{ArcSinh[a + b*x]^2/x^2, x, 11, -(ArcSinh[a + b*x]^2/x) - (2*b*ArcSinh[a + b*x]*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])])/Sqrt[1 + a^2] + (2*b*ArcSinh[a + b*x]*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])])/Sqrt[1 + a^2] - (2*b*PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])])/Sqrt[1 + a^2] + (2*b*PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])])/Sqrt[1 + a^2]}
+{ArcSinh[a + b*x]^2/x^3, x, 14, -((b*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/((1 + a^2)*x)) - ArcSinh[a + b*x]^2/(2*x^2) + (a*b^2*ArcSinh[a + b*x]*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])])/(1 + a^2)^(3/2) - (a*b^2*ArcSinh[a + b*x]*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])])/(1 + a^2)^(3/2) + (b^2*Log[x])/(1 + a^2) + (a*b^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])])/(1 + a^2)^(3/2) - (a*b^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])])/(1 + a^2)^(3/2)}
+{ArcSinh[a + b*x]^2/x^4, x, 40, -(b^2/(3*(1 + a^2)*x)) - (b*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/(3*(1 + a^2)*x^2) + (a*b^2*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/((1 + a^2)^2*x) - ArcSinh[a + b*x]^2/(3*x^3) - (a^2*b^3*ArcSinh[a + b*x]*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])])/(1 + a^2)^(5/2) + (b^3*ArcSinh[a + b*x]*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])])/(3*(1 + a^2)^(3/2)) + (a^2*b^3*ArcSinh[a + b*x]*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])])/(1 + a^2)^(5/2) - (b^3*ArcSinh[a + b*x]*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])])/(3*(1 + a^2)^(3/2)) - (a*b^3*Log[x])/(1 + a^2)^2 - (a^2*b^3*PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])])/(1 + a^2)^(5/2) + (b^3*PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])])/(3*(1 + a^2)^(3/2)) + (a^2*b^3*PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])])/(1 + a^2)^(5/2) - (b^3*PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])])/(3*(1 + a^2)^(3/2))}
+
+
+{x^2*ArcSinh[a + b*x]^3, x, 18, (14*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(9*b^3) - (6*a^2*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/b^3 + (3*a*(a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(4*b^3) - (2*(1 + (a + b*x)^2)^(3/2))/(27*b^3) - (3*a*ArcSinh[a + b*x])/(4*b^3) - (4*(a + b*x)*ArcSinh[a + b*x])/(3*b^3) + (6*a^2*(a + b*x)*ArcSinh[a + b*x])/b^3 - (3*a*(a + b*x)^2*ArcSinh[a + b*x])/(2*b^3) + (2*(a + b*x)^3*ArcSinh[a + b*x])/(9*b^3) + (2*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x]^2)/(3*b^3) - (3*a^2*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x]^2)/b^3 + (3*a*(a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x]^2)/(2*b^3) - ((a + b*x)^2*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x]^2)/(3*b^3) - (a*ArcSinh[a + b*x]^3)/(2*b^3) + (a^3*ArcSinh[a + b*x]^3)/(3*b^3) + (1/3)*x^3*ArcSinh[a + b*x]^3}
+{x^1*ArcSinh[a + b*x]^3, x, 12, (6*a*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/b^2 - (3*(a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(8*b^2) + (3*ArcSinh[a + b*x])/(8*b^2) - (6*a*(a + b*x)*ArcSinh[a + b*x])/b^2 + (3*(a + b*x)^2*ArcSinh[a + b*x])/(4*b^2) + (3*a*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x]^2)/b^2 - (3*(a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x]^2)/(4*b^2) + ArcSinh[a + b*x]^3/(4*b^2) - (a^2*ArcSinh[a + b*x]^3)/(2*b^2) + (1/2)*x^2*ArcSinh[a + b*x]^3}
+{x^0*ArcSinh[a + b*x]^3, x, 5, (-6*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/b + (6*(a + b*x)*ArcSinh[a + b*x])/b - (3*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x]^2)/b + ((a + b*x)*ArcSinh[a + b*x]^3)/b}
+{ArcSinh[a + b*x]^3/x^1, x, 13, (-(1/4))*ArcSinh[a + b*x]^4 + ArcSinh[a + b*x]^3*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])] + ArcSinh[a + b*x]^3*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])] + 3*ArcSinh[a + b*x]^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])] + 3*ArcSinh[a + b*x]^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])] - 6*ArcSinh[a + b*x]*PolyLog[3, E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])] - 6*ArcSinh[a + b*x]*PolyLog[3, E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])] + 6*PolyLog[4, E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])] + 6*PolyLog[4, E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])]}
+{ArcSinh[a + b*x]^3/x^2, x, 13, -(ArcSinh[a + b*x]^3/x) - (3*b*ArcSinh[a + b*x]^2*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])])/Sqrt[1 + a^2] + (3*b*ArcSinh[a + b*x]^2*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])])/Sqrt[1 + a^2] - (6*b*ArcSinh[a + b*x]*PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])])/Sqrt[1 + a^2] + (6*b*ArcSinh[a + b*x]*PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])])/Sqrt[1 + a^2] + (6*b*PolyLog[3, E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])])/Sqrt[1 + a^2] - (6*b*PolyLog[3, E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])])/Sqrt[1 + a^2]}
+{ArcSinh[a + b*x]^3/x^3, x, 21, -((3*b^2*ArcSinh[a + b*x]^2)/(2*(1 + a^2))) - (3*b*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x]^2)/(2*(1 + a^2)*x) - ArcSinh[a + b*x]^3/(2*x^2) + (3*b^2*ArcSinh[a + b*x]*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])])/(1 + a^2) + (3*a*b^2*ArcSinh[a + b*x]^2*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])])/(2*(1 + a^2)^(3/2)) + (3*b^2*ArcSinh[a + b*x]*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])])/(1 + a^2) - (3*a*b^2*ArcSinh[a + b*x]^2*Log[1 - E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])])/(2*(1 + a^2)^(3/2)) + (3*b^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])])/(1 + a^2) + (3*a*b^2*ArcSinh[a + b*x]*PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])])/(1 + a^2)^(3/2) + (3*b^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])])/(1 + a^2) - (3*a*b^2*ArcSinh[a + b*x]*PolyLog[2, E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])])/(1 + a^2)^(3/2) - (3*a*b^2*PolyLog[3, E^ArcSinh[a + b*x]/(a - Sqrt[1 + a^2])])/(1 + a^2)^(3/2) + (3*a*b^2*PolyLog[3, E^ArcSinh[a + b*x]/(a + Sqrt[1 + a^2])])/(1 + a^2)^(3/2)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^2/ArcSinh[a + b*x], x, 14, -CoshIntegral[ArcSinh[a + b*x]]/(4*b^3) + (a^2*CoshIntegral[ArcSinh[a + b*x]])/b^3 + CoshIntegral[3*ArcSinh[a + b*x]]/(4*b^3) - (a*SinhIntegral[2*ArcSinh[a + b*x]])/b^3}
+{x^1/ArcSinh[a + b*x], x, 10, -((a*CoshIntegral[ArcSinh[a + b*x]])/b^2) + SinhIntegral[2*ArcSinh[a + b*x]]/(2*b^2)}
+{x^0*ArcSinh[a + b*x]^(-1), x, 3, CoshIntegral[ArcSinh[a + b*x]]/b}
+{1/(x^1*ArcSinh[a + b*x]), x, 1, Unintegrable[1/(x*ArcSinh[a + b*x]), x]}
+
+
+{x^2/ArcSinh[a + b*x]^2, x, 12, -((a^2*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(b^3*ArcSinh[a + b*x])) + (2*a*(a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(b^3*ArcSinh[a + b*x]) - ((a + b*x)^2*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(b^3*ArcSinh[a + b*x]) - (2*a*CoshIntegral[2*ArcSinh[a + b*x]])/b^3 - SinhIntegral[ArcSinh[a + b*x]]/(4*b^3) + (a^2*SinhIntegral[ArcSinh[a + b*x]])/b^3 + (3*SinhIntegral[3*ArcSinh[a + b*x]])/(4*b^3)}
+{x^1/ArcSinh[a + b*x]^2, x, 8, (a*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(b^2*ArcSinh[a + b*x]) - ((a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(b^2*ArcSinh[a + b*x]) + CoshIntegral[2*ArcSinh[a + b*x]]/b^2 - (a*SinhIntegral[ArcSinh[a + b*x]])/b^2}
+{x^0/ArcSinh[a + b*x]^2, x, 4, -(Sqrt[1 + (a + b*x)^2]/(b*ArcSinh[a + b*x])) + SinhIntegral[ArcSinh[a + b*x]]/b}
+{1/(x^1*ArcSinh[a + b*x]^2), x, 1, Unintegrable[1/(x*ArcSinh[a + b*x]^2), x]}
+
+
+{x^2/ArcSinh[a + b*x]^3, x, 24, -((a^2*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(2*b^3*ArcSinh[a + b*x]^2)) + (a*(a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(b^3*ArcSinh[a + b*x]^2) - ((a + b*x)^2*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(2*b^3*ArcSinh[a + b*x]^2) + a/(b^3*ArcSinh[a + b*x]) - (a + b*x)/(b^3*ArcSinh[a + b*x]) - (a^2*(a + b*x))/(2*b^3*ArcSinh[a + b*x]) + (2*a*(a + b*x)^2)/(b^3*ArcSinh[a + b*x]) - (3*(a + b*x)^3)/(2*b^3*ArcSinh[a + b*x]) - CoshIntegral[ArcSinh[a + b*x]]/(8*b^3) + (a^2*CoshIntegral[ArcSinh[a + b*x]])/(2*b^3) + (9*CoshIntegral[3*ArcSinh[a + b*x]])/(8*b^3) - (2*a*SinhIntegral[2*ArcSinh[a + b*x]])/b^3}
+{x^1/ArcSinh[a + b*x]^3, x, 14, (a*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(2*b^2*ArcSinh[a + b*x]^2) - ((a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(2*b^2*ArcSinh[a + b*x]^2) - 1/(2*b^2*ArcSinh[a + b*x]) + (a*(a + b*x))/(2*b^2*ArcSinh[a + b*x]) - (a + b*x)^2/(b^2*ArcSinh[a + b*x]) - (a*CoshIntegral[ArcSinh[a + b*x]])/(2*b^2) + SinhIntegral[2*ArcSinh[a + b*x]]/b^2}
+{x^0/ArcSinh[a + b*x]^3, x, 5, -Sqrt[1 + (a + b*x)^2]/(2*b*ArcSinh[a + b*x]^2) - (a + b*x)/(2*b*ArcSinh[a + b*x]) + CoshIntegral[ArcSinh[a + b*x]]/(2*b)}
+{1/(x*ArcSinh[a + b*x]^3), x, 1, Unintegrable[1/(x*ArcSinh[a + b*x]^3), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n symbolic*)
+
+
+{x^m*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n, x, 1, Unintegrable[x^m*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n, x]}
+
+{x^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n, x, 22, (3^(-1 - n)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, -((3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b)])/(E^((3*a)/b)*(-((a + b*ArcSinh[c + d*x])/b))^n*(8*d^3)) - (2^(-2 - n)*c*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, -((2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b)])/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*ArcSinh[c + d*x])/b))^n*d^3) - ((a + b*ArcSinh[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcSinh[c + d*x])/b)])/(E^(a/b)*(-((a + b*ArcSinh[c + d*x])/b))^n*(8*d^3)) + (c^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcSinh[c + d*x])/b)])/(E^(a/b)*(-((a + b*ArcSinh[c + d*x])/b))^n*(2*d^3)) + (E^(a/b)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(((a + b*ArcSinh[c + d*x])/b)^n*(8*d^3)) - (c^2*E^(a/b)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(((a + b*ArcSinh[c + d*x])/b)^n*(2*d^3)) - (2^(-2 - n)*c*E^((2*a)/b)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, (2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(((a + b*ArcSinh[c + d*x])/b)^n*d^3) - (3^(-1 - n)*E^((3*a)/b)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, (3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(((a + b*ArcSinh[c + d*x])/b)^n*(8*d^3))}
+{x^1*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n, x, 14, (2^(-3 - n)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, -((2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b)])/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*ArcSinh[c + d*x])/b))^n*d^2) - (c*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcSinh[c + d*x])/b)])/(E^(a/b)*(-((a + b*ArcSinh[c + d*x])/b))^n*(2*d^2)) + (c*E^(a/b)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(((a + b*ArcSinh[c + d*x])/b)^n*(2*d^2)) + (2^(-3 - n)*E^((2*a)/b)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, (2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(((a + b*ArcSinh[c + d*x])/b)^n*d^2)}
+{x^0*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n, x, 5, ((a + b*ArcSinh[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcSinh[c + d*x])/b)])/(E^(a/b)*(-((a + b*ArcSinh[c + d*x])/b))^n*(2*d)) - (E^(a/b)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(((a + b*ArcSinh[c + d*x])/b)^n*(2*d))}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n/x^1, x, 1, Unintegrable[(a + b*ArcSinh[c + d*x])^n/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcSinh[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(1/2), x, 23, (c^2*(c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/d^3 + ((c + d*x)^3*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(3*d^3) - (c*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]*Cosh[2*ArcSinh[c + d*x]])/(2*d^3) - (Sqrt[b]*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(16*d^3) + (Sqrt[b]*c^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(4*d^3) + (Sqrt[b]*c*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*d^3) + (Sqrt[b]*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(48*d^3) + (Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(16*d^3)) - (Sqrt[b]*c^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(4*d^3)) + (Sqrt[b]*c*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(8*d^3)) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(E^((3*a)/b)*(48*d^3))}
+{x^1*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(1/2), x, 14, -((c*(c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/d^2) + (Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]*Cosh[2*ArcSinh[c + d*x]])/(4*d^2) - (Sqrt[b]*c*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(4*d^2) - (Sqrt[b]*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(16*d^2) + (Sqrt[b]*c*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(4*d^2)) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(16*d^2))}
+{x^0*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(1/2), x, 8, ((c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/d + (Sqrt[b]*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(4*d) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(4*d))}
+
+
+{x^1*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2), x, 16, (3*b*c*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(2*d^2) - (c*(c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/d^2 + ((a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)*Cosh[2*ArcSinh[c + d*x]])/(4*d^2) - (3*b^(3/2)*c*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(8*d^2) - (3*b^(3/2)*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(64*d^2) - (3*b^(3/2)*c*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(8*d^2)) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(64*d^2)) - (3*b*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]*Sinh[2*ArcSinh[c + d*x]])/(16*d^2)}
+{x^0*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2), x, 9, -((3*b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(2*d)) + ((c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/d + (3*b^(3/2)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(8*d) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(8*d))}
+
+
+{x^1*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2), x, 18, -((15*b^2*c*(c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(4*d^2)) + (5*b*c*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(2*d^2) - (c*(c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))/d^2 + (15*b^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]*Cosh[2*ArcSinh[c + d*x]])/(64*d^2) + ((a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2)*Cosh[2*ArcSinh[c + d*x]])/(4*d^2) - (15*b^(5/2)*c*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(16*d^2) - (15*b^(5/2)*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(256*d^2) + (15*b^(5/2)*c*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(16*d^2)) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(256*d^2)) - (5*b*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)*Sinh[2*ArcSinh[c + d*x]])/(16*d^2)}
+{x^0*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2), x, 10, (15*b^2*(c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(4*d) - (5*b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(2*d) + ((c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))/d + (15*b^(5/2)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(16*d) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(16*d))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^2/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(1/2), x, 20, -((E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*d^3)) + (c^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*d^3) + (c*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*d^3) + (E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*d^3) - (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(8*Sqrt[b]*d^3)) + (c^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(2*Sqrt[b]*d^3)) - (c*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(2*Sqrt[b]*d^3)) + (Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(E^((3*a)/b)*(8*Sqrt[b]*d^3))}
+{x^1/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(1/2), x, 12, -((c*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*d^2)) - (E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[b]*d^2) - (c*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(2*Sqrt[b]*d^2)) + (Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(4*Sqrt[b]*d^2))}
+{x^0/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(1/2), x, 7, (E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*d) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(2*Sqrt[b]*d))}
+
+
+{x^1/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2), x, 16, (2*c*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(b*d^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (2*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(b*d^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) + (c*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*d^2) + (E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*d^2) - (c*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(b^(3/2)*d^2)) + (Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(b^(3/2)*d^2))}
+{x^0/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(b*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])) - (E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*d) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(b^(3/2)*d))}
+
+
+{x^1/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2), x, 22, (2*c*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*b*d^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) - (2*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*b*d^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) - 4/(3*b^2*d^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) + (4*c*(c + d*x))/(3*b^2*d^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (8*(c + d*x)^2)/(3*b^2*d^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (2*c*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d^2) - (2*E^((2*a)/b)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d^2) - (2*c*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(3*b^(5/2)*d^2)) + (2*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(3*b^(5/2)*d^2))}
+{x^0/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2), x, 9, -((2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))) - (4*(c + d*x))/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) + (2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d) + (2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(3*b^(5/2)*d))}
+
+
+{x^1/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2), x, 21, (2*c*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(5*b*d^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2)) - (2*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(5*b*d^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2)) - 4/(15*b^2*d^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) + (4*c*(c + d*x))/(15*b^2*d^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) - (8*(c + d*x)^2)/(15*b^2*d^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) + (8*c*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(15*b^3*d^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (32*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(15*b^3*d^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) + (4*c*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d^2) + (8*E^((2*a)/b)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d^2) - (4*c*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(15*b^(7/2)*d^2)) + (8*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(15*b^(7/2)*d^2))}
+{x^0/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2), x, 10, -((2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(5*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))) - (4*(c + d*x))/(15*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) - (8*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (4*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d) + (4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(15*b^(7/2)*d))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c e+d e x)^m (a+b ArcSinh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)^m*(a + b*ArcSinh[c + d*x]), x, 3, ((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(d*e*(1 + m)) - (b*(e*(c + d*x))^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -(c + d*x)^2])/(d*e^2*(1 + m)*(2 + m))}
+
+{(c*e + d*e*x)^4*(a + b*ArcSinh[c + d*x]), x, 6, -((b*e^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(5*d)) + (2*b*e^4*(1 + (c + d*x)^2)^(3/2))/(15*d) - (b*e^4*(1 + (c + d*x)^2)^(5/2))/(25*d) + (e^4*(c + d*x)^5*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(5*d)}
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]), x, 6, (3*b*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(32*d) - (b*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(16*d) - (3*b*e^3*ArcSinh[c + d*x])/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(4*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]), x, 6, (b*e^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*d) - (b*e^2*(1 + (c + d*x)^2)^(3/2))/(9*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(3*d)}
+{(c*e + d*e*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x]), x, 5, -(b*e*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(4*d) + (b*e*ArcSinh[c + d*x])/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(2*d)}
+{a + b*ArcSinh[c + d*x], x, 4, a*x - (b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/d + (b*(c + d*x)*ArcSinh[c + d*x])/d}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])/(c*e + d*e*x), x, 7, (a + b*ArcSinh[c + d*x])^2/(2*b*d*e) + ((a + b*ArcSinh[c + d*x])*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(d*e) - (b*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(2*d*e)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^2, x, 6, -((a + b*ArcSinh[c + d*x])/(d*e^2*(c + d*x))) - (b*ArcTanh[Sqrt[1 + (c + d*x)^2]])/(d*e^2)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^3, x, 4, -(b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(2*d*e^3*(c + d*x)) - (a + b*ArcSinh[c + d*x])/(2*d*e^3*(c + d*x)^2)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^4, x, 7, -(b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(6*d*e^4*(c + d*x)^2) - (a + b*ArcSinh[c + d*x])/(3*d*e^4*(c + d*x)^3) + (b*ArcTanh[Sqrt[1 + (c + d*x)^2]])/(6*d*e^4)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^5, x, 5, -(b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(12*d*e^5*(c + d*x)^3) + (b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(6*d*e^5*(c + d*x)) - (a + b*ArcSinh[c + d*x])/(4*d*e^5*(c + d*x)^4)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^6, x, 8, -(b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(20*d*e^6*(c + d*x)^4) + (3*b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(40*d*e^6*(c + d*x)^2) - (a + b*ArcSinh[c + d*x])/(5*d*e^6*(c + d*x)^5) - (3*b*ArcTanh[Sqrt[1 + (c + d*x)^2]])/(40*d*e^6)}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^m*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2, x, 3, If[$VersionNumber>=8, ((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(d*e*(1 + m)) - (2*b*(e*(c + d*x))^(2 + m)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -(c + d*x)^2])/(d*e^2*(1 + m)*(2 + m)) + (2*b^2*(e*(c + d*x))^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, -(c + d*x)^2])/(d*e^3*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)), ((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(d*e*(1 + m)) - (2*b*(e*(c + d*x))^(2 + m)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -(c + d*x)^2])/(d*e^2*(1 + m)*(2 + m)) + (2*b^2*(e*(c + d*x))^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, -(c + d*x)^2])/(d*e^3*(3 + m)*(2 + 3*m + m^2))]}
+
+{(c*e + d*e*x)^4*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2, x, 9, (16/75)*b^2*e^4*x - (8*b^2*e^4*(c + d*x)^3)/(225*d) + (2*b^2*e^4*(c + d*x)^5)/(125*d) - (16*b*e^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(75*d) + (8*b*e^4*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(75*d) - (2*b*e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(25*d) + (e^4*(c + d*x)^5*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(5*d)}
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2, x, 8, -((3*b^2*e^3*(c + d*x)^2)/(32*d)) + (b^2*e^3*(c + d*x)^4)/(32*d) + (3*b*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(16*d) - (b*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(8*d) - (3*e^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(4*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2, x, 7, (-(4/9))*b^2*e^2*x + (2*b^2*e^2*(c + d*x)^3)/(27*d) + (4*b*e^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(9*d) - (2*b*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(9*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(3*d)}
+{(c*e + d*e*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2, x, 6, (b^2*e*(c + d*x)^2)/(4*d) - (b*e*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(2*d) + (e*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2, x, 4, 2*b^2*x - (2*b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/d + ((c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/d}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x), x, 8, (a + b*ArcSinh[c + d*x])^3/(3*b*d*e) + ((a + b*ArcSinh[c + d*x])^2*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(d*e) - (b*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(d*e) - (b^2*PolyLog[3, E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(2*d*e)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^2, x, 9, -((a + b*ArcSinh[c + d*x])^2/(d*e^2*(c + d*x))) - (4*b*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^2) - (2*b^2*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^2) + (2*b^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^2)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^3, x, 5, -((b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(d*e^3*(c + d*x))) - (a + b*ArcSinh[c + d*x])^2/(2*d*e^3*(c + d*x)^2) + (b^2*Log[c + d*x])/(d*e^3)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^4, x, 11, -(b^2/(3*d*e^4*(c + d*x))) - (b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(3*d*e^4*(c + d*x)^2) - (a + b*ArcSinh[c + d*x])^2/(3*d*e^4*(c + d*x)^3) + (2*b*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c + d*x]])/(3*d*e^4) + (b^2*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c + d*x]])/(3*d*e^4) - (b^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[c + d*x]])/(3*d*e^4)}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^m*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3, x, 2, ((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(d*e*(1 + m)) - (3*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/Sqrt[1 + (c + d*x)^2], x])/(e*(1 + m))}
+
+{(c*e + d*e*x)^4*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3, x, 17, (16/25)*a*b^2*e^4*x - (298*b^3*e^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(375*d) + (76*b^3*e^4*(1 + (c + d*x)^2)^(3/2))/(1125*d) - (6*b^3*e^4*(1 + (c + d*x)^2)^(5/2))/(625*d) + (16*b^3*e^4*(c + d*x)*ArcSinh[c + d*x])/(25*d) - (8*b^2*e^4*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(75*d) + (6*b^2*e^4*(c + d*x)^5*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(125*d) - (8*b*e^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(25*d) + (4*b*e^4*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(25*d) - (3*b*e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(25*d) + (e^4*(c + d*x)^5*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(5*d)}
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3, x, 13, (45*b^3*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(256*d) - (3*b^3*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(128*d) - (45*b^3*e^3*ArcSinh[c + d*x])/(256*d) - (9*b^2*e^3*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(32*d) + (3*b^2*e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(32*d) + (9*b*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(32*d) - (3*b*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(16*d) - (3*e^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(4*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3, x, 12, (-(4/3))*a*b^2*e^2*x + (14*b^3*e^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(9*d) - (2*b^3*e^2*(1 + (c + d*x)^2)^(3/2))/(27*d) - (4*b^3*e^2*(c + d*x)*ArcSinh[c + d*x])/(3*d) + (2*b^2*e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(9*d) + (2*b*e^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(3*d) - (b*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(3*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(3*d)}
+{(c*e + d*e*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3, x, 8, (-3*b^3*e*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(8*d) + (3*b^3*e*ArcSinh[c + d*x])/(8*d) + (3*b^2*e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(4*d) - (3*b*e*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(4*d) + (e*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(2*d)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3, x, 6, 6*a*b^2*x - (6*b^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/d + (6*b^3*(c + d*x)*ArcSinh[c + d*x])/d - (3*b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/d + ((c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/d}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x), x, 9, (a + b*ArcSinh[c + d*x])^4/(4*b*d*e) + ((a + b*ArcSinh[c + d*x])^3*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(d*e) - (3*b*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(2*d*e) - (3*b^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*PolyLog[3, E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(2*d*e) - (3*b^3*PolyLog[4, E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(4*d*e)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^2, x, 11, -((a + b*ArcSinh[c + d*x])^3/(d*e^2*(c + d*x))) - (6*b*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2*ArcTanh[E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^2) - (6*b^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^2) + (6*b^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*PolyLog[2, E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^2) + (6*b^3*PolyLog[3, -E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^2) - (6*b^3*PolyLog[3, E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^2)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^3, x, 9, (3*b*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(2*d*e^3) - (3*b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(2*d*e^3*(c + d*x)) - (a + b*ArcSinh[c + d*x])^3/(2*d*e^3*(c + d*x)^2) + (3*b^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(d*e^3) - (3*b^3*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(2*d*e^3)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^4, x, 16, -((b^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(d*e^4*(c + d*x))) - (b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(2*d*e^4*(c + d*x)^2) - (a + b*ArcSinh[c + d*x])^3/(3*d*e^4*(c + d*x)^3) + (b*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2*ArcTanh[E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^4) - (b^3*ArcTanh[Sqrt[1 + (c + d*x)^2]])/(d*e^4) + (b^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^4) - (b^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*PolyLog[2, E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^4) - (b^3*PolyLog[3, -E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^4) + (b^3*PolyLog[3, E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^4)}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^m*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4, x, 2, ((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4)/(d*e*(1 + m)) - (4*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/Sqrt[1 + (c + d*x)^2], x])/(e*(1 + m))}
+
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4, x, 16, -((45*b^4*e^3*(c + d*x)^2)/(128*d)) + (3*b^4*e^3*(c + d*x)^4)/(128*d) + (45*b^3*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(64*d) - (3*b^3*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(32*d) - (45*b^2*e^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(128*d) - (9*b^2*e^3*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(16*d) + (3*b^2*e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(16*d) + (3*b*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(8*d) - (b*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(4*d) - (3*e^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4)/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4)/(4*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4, x, 13, (-(160/27))*b^4*e^2*x + (8*b^4*e^2*(c + d*x)^3)/(81*d) + (160*b^3*e^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(27*d) - (8*b^3*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(27*d) - (8*b^2*e^2*(c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(3*d) + (4*b^2*e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(9*d) + (8*b*e^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(9*d) - (4*b*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(9*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4)/(3*d)}
+{(c*e + d*e*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4, x, 9, (3*b^4*e*(c + d*x)^2)/(4*d) - (3*b^3*e*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(2*d) + (3*b^2*e*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(4*d) + (3*b^2*e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(2*d) - (b*e*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/d + (e*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4)/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4)/(2*d)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4, x, 6, 24*b^4*x - (24*b^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/d + (12*b^2*(c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/d - (4*b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/d + ((c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4)/d}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4/(c*e + d*e*x), x, 10, (a + b*ArcSinh[c + d*x])^5/(5*b*d*e) + ((a + b*ArcSinh[c + d*x])^4*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(d*e) - (2*b*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(d*e) - (3*b^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2*PolyLog[3, E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(d*e) - (3*b^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*PolyLog[4, E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(d*e) - (3*b^4*PolyLog[5, E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(2*d*e)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4/(c*e + d*e*x)^2, x, 13, -((a + b*ArcSinh[c + d*x])^4/(d*e^2*(c + d*x))) - (8*b*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3*ArcTanh[E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^2) - (12*b^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^2) + (12*b^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^2) + (24*b^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*PolyLog[3, -E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^2) - (24*b^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*PolyLog[3, E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^2) - (24*b^4*PolyLog[4, -E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^2) + (24*b^4*PolyLog[4, E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^2)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4/(c*e + d*e*x)^3, x, 10, (2*b*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(d*e^3) - (2*b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(d*e^3*(c + d*x)) - (a + b*ArcSinh[c + d*x])^4/(2*d*e^3*(c + d*x)^2) + (6*b^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(d*e^3) - (6*b^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(d*e^3) - (3*b^4*PolyLog[3, E^(-2*ArcSinh[c + d*x])])/(d*e^3)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4/(c*e + d*e*x)^4, x, 21, -((2*b^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(d*e^4*(c + d*x))) - (2*b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(3*d*e^4*(c + d*x)^2) - (a + b*ArcSinh[c + d*x])^4/(3*d*e^4*(c + d*x)^3) - (8*b^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*ArcTanh[E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^4) + (4*b*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3*ArcTanh[E^ArcSinh[c + d*x]])/(3*d*e^4) - (4*b^4*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^4) + (2*b^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2*PolyLog[2, -E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^4) + (4*b^4*PolyLog[2, E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^4) - (2*b^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2*PolyLog[2, E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^4) - (4*b^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*PolyLog[3, -E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^4) + (4*b^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*PolyLog[3, E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^4) + (4*b^4*PolyLog[4, -E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^4) - (4*b^4*PolyLog[4, E^ArcSinh[c + d*x]])/(d*e^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)^m/(a + b*ArcSinh[c + d*x]), x, 1, Unintegrable[(e*(c + d*x))^m/(a + b*ArcSinh[c + d*x]), x]}
+
+{(c*e + d*e*x)^4/(a + b*ArcSinh[c + d*x]), x, 14, (e^4*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(8*b*d) - (3*e^4*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(16*b*d) + (e^4*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(16*b*d) - (e^4*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(8*b*d) + (3*e^4*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(16*b*d) - (e^4*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(16*b*d)}
+{(c*e + d*e*x)^3/(a + b*ArcSinh[c + d*x]), x, 11, (e^3*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(4*b*d) - (e^3*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b]*Sinh[(4*a)/b])/(8*b*d) - (e^3*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(4*b*d) + (e^3*Cosh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(8*b*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2/(a + b*ArcSinh[c + d*x]), x, 11, -((e^2*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(4*b*d)) + (e^2*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(4*b*d) + (e^2*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(4*b*d) - (e^2*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(4*b*d)}
+{(c*e + d*e*x)/(a + b*ArcSinh[c + d*x]), x, 8, -((e*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(2*b*d)) + (e*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(2*b*d)}
+{1/(a + b*ArcSinh[c + d*x]), x, 5, (Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(b*d) - (Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(b*d)}
+{1/((c*e + d*e*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])), x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2, x, 13, -((e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))) - (e^4*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b]*Sinh[a/b])/(8*b^2*d) + (9*e^4*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(16*b^2*d) - (5*e^4*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b]*Sinh[(5*a)/b])/(16*b^2*d) + (e^4*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(8*b^2*d) - (9*e^4*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(16*b^2*d) + (5*e^4*Cosh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(16*b^2*d)}
+{(c*e + d*e*x)^3/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2, x, 10, -((e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))) - (e^3*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(2*b^2*d) + (e^3*Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(2*b^2*d) + (e^3*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(2*b^2*d) - (e^3*Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(2*b^2*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2, x, 10, -((e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))) + (e^2*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b]*Sinh[a/b])/(4*b^2*d) - (3*e^2*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(4*b^2*d) - (e^2*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(4*b^2*d) + (3*e^2*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(4*b^2*d)}
+{(c*e + d*e*x)/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2, x, 6, -((e*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))) + (e*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(b^2*d) - (e*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(b^2*d)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(-2), x, 6, -(Sqrt[1 + (c + d*x)^2]/(b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))) - (CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b]*Sinh[a/b])/(b^2*d) + (Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(b^2*d)}
+{1/((c*e + d*e*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2), x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3, x, 26, -((e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(2*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)) - (2*e^4*(c + d*x)^3)/(b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])) - (5*e^4*(c + d*x)^5)/(2*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])) + (e^4*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(16*b^3*d) - (27*e^4*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(32*b^3*d) + (25*e^4*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(32*b^3*d) - (e^4*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(16*b^3*d) + (27*e^4*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(32*b^3*d) - (25*e^4*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(32*b^3*d)}
+{(c*e + d*e*x)^3/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3, x, 20, -((e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(2*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)) - (3*e^3*(c + d*x)^2)/(2*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])) - (2*e^3*(c + d*x)^4)/(b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])) + (e^3*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(2*b^3*d) - (e^3*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b]*Sinh[(4*a)/b])/(b^3*d) - (e^3*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(2*b^3*d) + (e^3*Cosh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(b^3*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3, x, 18, -((e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(2*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)) - (e^2*(c + d*x))/(b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])) - (3*e^2*(c + d*x)^3)/(2*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])) - (e^2*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(8*b^3*d) + (9*e^2*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(8*b^3*d) + (e^2*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(8*b^3*d) - (9*e^2*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(8*b^3*d)}
+{(c*e + d*e*x)/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3, x, 11, -((e*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(2*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)) - e/(2*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])) - (e*(c + d*x)^2)/(b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])) - (e*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(b^3*d) + (e*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(b^3*d)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(-3), x, 7, -Sqrt[1 + (c + d*x)^2]/(2*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2) - (c + d*x)/(2*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])) + (Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(2*b^3*d) - (Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(2*b^3*d)}
+{1/((c*e + d*e*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3), x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4, x, 24, -((e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)) - (2*e^4*(c + d*x)^3)/(3*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2) - (5*e^4*(c + d*x)^5)/(6*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2) - (2*e^4*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(b^3*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])) - (25*e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(6*b^3*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])) - (e^4*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b]*Sinh[a/b])/(48*b^4*d) + (27*e^4*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(32*b^4*d) - (125*e^4*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b]*Sinh[(5*a)/b])/(96*b^4*d) + (e^4*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(48*b^4*d) - (27*e^4*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(32*b^4*d) + (125*e^4*Cosh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(96*b^4*d)}
+{(c*e + d*e*x)^3/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4, x, 17, -((e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)) - (e^3*(c + d*x)^2)/(2*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2) - (2*e^3*(c + d*x)^4)/(3*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2) - (e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(b^3*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])) - (8*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*b^3*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])) - (e^3*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(3*b^4*d) + (4*e^3*Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(3*b^4*d) + (e^3*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(3*b^4*d) - (4*e^3*Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(3*b^4*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4, x, 18, -((e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)) - (e^2*(c + d*x))/(3*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2) - (e^2*(c + d*x)^3)/(2*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2) - (e^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*b^3*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])) - (3*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(2*b^3*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])) + (e^2*CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b]*Sinh[a/b])/(24*b^4*d) - (9*e^2*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(8*b^4*d) - (e^2*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(24*b^4*d) + (9*e^2*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(8*b^4*d)}
+{(c*e + d*e*x)/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4, x, 9, -((e*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)) - e/(6*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2) - (e*(c + d*x)^2)/(3*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2) - (2*e*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*b^3*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])) + (2*e*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(3*b^4*d) - (2*e*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/b])/(3*b^4*d)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(-4), x, 8, -(Sqrt[1 + (c + d*x)^2]/(3*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)) - (c + d*x)/(6*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2) - Sqrt[1 + (c + d*x)^2]/(6*b^3*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])) - (CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b]*Sinh[a/b])/(6*b^4*d) + (Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(6*b^4*d)}
+{1/((c*e + d*e*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4), x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4), x]/e}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c e+d e x)^m (a+b ArcSinh[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]], x, 21, (e^4*(c + d*x)^5*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(5*d) + (Sqrt[b]*e^4*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(32*d) - (Sqrt[b]*e^4*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(64*d) + (Sqrt[b]*e^4*E^((5*a)/b)*Sqrt[Pi/5]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(320*d) - (Sqrt[b]*e^4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(32*d*E^(a/b)) + (Sqrt[b]*e^4*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(64*d*E^((3*a)/b)) - (Sqrt[b]*e^4*Sqrt[Pi/5]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(320*d*E^((5*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^3*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]], x, 16, (-3*e^3*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(4*d) - (Sqrt[b]*e^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(256*d) + (Sqrt[b]*e^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(32*d) - (Sqrt[b]*e^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(256*d*E^((4*a)/b)) + (Sqrt[b]*e^3*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(32*d*E^((2*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]], x, 16, (e^2*(c + d*x)^3*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(3*d) - (Sqrt[b]*e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(16*d) + (Sqrt[b]*e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(48*d) + (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(16*d*E^(a/b)) - (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(48*d*E^((3*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]], x, 11, (e*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(2*d) - (Sqrt[b]*e*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(16*d) - (Sqrt[b]*e*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(16*d*E^((2*a)/b))}
+{Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]], x, 8, ((c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/d + (Sqrt[b]*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(4*d) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(4*d*E^(a/b))}
+{1/(c*e + d*e*x)*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]], x, 2, Unintegrable[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/(c + d*x), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2), x, 43, (-4*b*e^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(25*d) + (2*b*e^4*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(25*d) - (3*b*e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(50*d) + (e^4*(c + d*x)^5*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(5*d) + (3*b^(3/2)*e^4*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(64*d) - (b^(3/2)*e^4*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(200*d) - (3*b^(3/2)*e^4*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3200*d) + (3*b^(3/2)*e^4*E^((5*a)/b)*Sqrt[Pi/5]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3200*d) + (3*b^(3/2)*e^4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(64*d*E^(a/b)) - (b^(3/2)*e^4*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(200*d*E^((3*a)/b)) - (3*b^(3/2)*e^4*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3200*d*E^((3*a)/b)) + (3*b^(3/2)*e^4*Sqrt[Pi/5]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3200*d*E^((5*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2), x, 27, (9*b*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(64*d) - (3*b*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(32*d) - (3*e^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(4*d) - (3*b^(3/2)*e^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2048*d) + (3*b^(3/2)*e^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(128*d) + (3*b^(3/2)*e^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2048*d*E^((4*a)/b)) - (3*b^(3/2)*e^3*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(128*d*E^((2*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2), x, 24, (b*e^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(3*d) - (b*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(6*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (3*b^(3/2)*e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(32*d) + (b^(3/2)*e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(96*d) - (3*b^(3/2)*e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(32*d*E^(a/b)) + (b^(3/2)*e^2*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(96*d*E^((3*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^1*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2), x, 13, (-3*b*e*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(8*d) + (e*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(2*d) - (3*b^(3/2)*e*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(64*d) + (3*b^(3/2)*e*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(64*d*E^((2*a)/b))}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2), x, 9, (-3*b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(2*d) + ((c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/d + (3*b^(3/2)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(8*d) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(8*d*E^(a/b))}
+{1/(c*e + d*e*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2), x, 2, Unintegrable[(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)/(c + d*x), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2), x, 46, (2*b^2*e^4*(c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(5*d) - (b^2*e^4*(c + d*x)^3*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(15*d) + (3*b^2*e^4*(c + d*x)^5*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(100*d) - (4*b*e^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(15*d) + (2*b*e^4*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(15*d) - (b*e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(10*d) + (e^4*(c + d*x)^5*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))/(5*d) + (15*b^(5/2)*e^4*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(128*d) - (b^(5/2)*e^4*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(240*d) - (b^(5/2)*e^4*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(1280*d) + (3*b^(5/2)*e^4*E^((5*a)/b)*Sqrt[Pi/5]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(6400*d) - (15*b^(5/2)*e^4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(128*d*E^(a/b)) + (b^(5/2)*e^4*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(240*d*E^((3*a)/b)) + (b^(5/2)*e^4*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(1280*d*E^((3*a)/b)) - (3*b^(5/2)*e^4*Sqrt[Pi/5]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(6400*d*E^((5*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2), x, 29, (-225*b^2*e^3*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(2048*d) - (45*b^2*e^3*(c + d*x)^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(256*d) + (15*b^2*e^3*(c + d*x)^4*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(256*d) + (15*b*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(64*d) - (5*b*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(32*d) - (3*e^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))/(4*d) - (15*b^(5/2)*e^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(16384*d) + (15*b^(5/2)*e^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(512*d) - (15*b^(5/2)*e^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(16384*d*E^((4*a)/b)) + (15*b^(5/2)*e^3*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(512*d*E^((2*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2), x, 26, (-5*b^2*e^2*(c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(6*d) + (5*b^2*e^2*(c + d*x)^3*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(36*d) + (5*b*e^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(9*d) - (5*b*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(18*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))/(3*d) - (15*b^(5/2)*e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(64*d) + (5*b^(5/2)*e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(576*d) + (15*b^(5/2)*e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(64*d*E^(a/b)) - (5*b^(5/2)*e^2*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(576*d*E^((3*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2), x, 14, (15*b^2*e*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(64*d) + (15*b^2*e*(c + d*x)^2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(32*d) - (5*b*e*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(8*d) + (e*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))/(2*d) - (15*b^(5/2)*e*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(256*d) - (15*b^(5/2)*e*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(256*d*E^((2*a)/b))}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2), x, 10, (15*b^2*(c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(4*d) - (5*b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(2*d) + ((c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))/d + (15*b^(5/2)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(16*d) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(16*d*E^(a/b))}
+{1/(c*e + d*e*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2), x, 2, Unintegrable[(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2)/(c + d*x), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2), x, 77, (-1813*b^3*e^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(1125*d) + (119*b^3*e^4*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(1125*d) - (21*b^3*e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(1000*d) + (14*b^2*e^4*(c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(15*d) - (7*b^2*e^4*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(45*d) + (7*b^2*e^4*(c + d*x)^5*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(100*d) - (28*b*e^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))/(75*d) + (14*b*e^4*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))/(75*d) - (7*b*e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))/(50*d) + (e^4*(c + d*x)^5*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2))/(5*d) + (105*b^(7/2)*e^4*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(256*d) - (119*b^(7/2)*e^4*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(18000*d) - (21*b^(7/2)*e^4*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(64000*d) + (21*b^(7/2)*e^4*E^((5*a)/b)*Sqrt[Pi/5]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(64000*d) + (105*b^(7/2)*e^4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(256*d*E^(a/b)) - (119*b^(7/2)*e^4*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(18000*d*E^((3*a)/b)) - (21*b^(7/2)*e^4*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(64000*d*E^((3*a)/b)) + (21*b^(7/2)*e^4*Sqrt[Pi/5]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(64000*d*E^((5*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2), x, 42, (1575*b^3*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(4096*d) - (105*b^3*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(2048*d) - (525*b^2*e^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(2048*d) - (105*b^2*e^3*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(256*d) + (35*b^2*e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(256*d) + (21*b*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))/(64*d) - (7*b*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))/(32*d) - (3*e^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2))/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2))/(4*d) - (105*b^(7/2)*e^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(131072*d) + (105*b^(7/2)*e^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2048*d) + (105*b^(7/2)*e^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(131072*d*E^((4*a)/b)) - (105*b^(7/2)*e^3*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2048*d*E^((2*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2), x, 35, (175*b^3*e^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(54*d) - (35*b^3*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(216*d) - (35*b^2*e^2*(c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(18*d) + (35*b^2*e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(108*d) + (7*b*e^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))/(9*d) - (7*b*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))/(18*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2))/(3*d) - (105*b^(7/2)*e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(128*d) + (35*b^(7/2)*e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3456*d) - (105*b^(7/2)*e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(128*d*E^(a/b)) + (35*b^(7/2)*e^2*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3456*d*E^((3*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^1*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2), x, 16, (-105*b^3*e*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(128*d) + (35*b^2*e*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(64*d) + (35*b^2*e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(32*d) - (7*b*e*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))/(8*d) + (e*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2))/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2))/(2*d) - (105*b^(7/2)*e*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(1024*d) + (105*b^(7/2)*e*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(1024*d*E^((2*a)/b))}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2), x, 11, (-105*b^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/(8*d) + (35*b^2*(c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2))/(4*d) - (7*b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2))/(2*d) + ((c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2))/d + (105*b^(7/2)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(32*d) + (105*b^(7/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(32*d*E^(a/b))}
+{1/(c*e + d*e*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2), x, 2, Unintegrable[(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2)/(c + d*x), x]/e}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4/Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]], x, 20, (e^4*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(16*Sqrt[b]*d) - (e^4*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*d) + (e^4*E^((5*a)/b)*Sqrt[Pi/5]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*d) + (e^4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(16*Sqrt[b]*d*E^(a/b)) - (e^4*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*d*E^((3*a)/b)) + (e^4*Sqrt[Pi/5]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*d*E^((5*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^3/Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]], x, 15, -(e^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*d) + (e^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*d) + (e^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*d*E^((4*a)/b)) - (e^3*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*d*E^((2*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^2/Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]], x, 15, -(e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*d) + (e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*d) - (e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*d*E^(a/b)) + (e^2*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*d*E^((3*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^1/Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]], x, 10, -(e*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[b]*d) + (e*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[b]*d*E^((2*a)/b))}
+{1/Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]], x, 7, (E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*d) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*d*E^(a/b))}
+{1/(c*e + d*e*x)/Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]], x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2), x, 19, (-2*e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(b*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (e^4*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(8*b^(3/2)*d) + (3*e^4*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*d) - (e^4*E^((5*a)/b)*Sqrt[5*Pi]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*d) + (e^4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(8*b^(3/2)*d*E^(a/b)) - (3*e^4*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*d*E^((3*a)/b)) + (e^4*Sqrt[5*Pi]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*d*E^((5*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^3/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2), x, 14, (-2*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(b*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) + (e^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*d) - (e^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(3/2)*d) + (e^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*d*E^((4*a)/b)) - (e^3*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(3/2)*d*E^((2*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^2/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2), x, 14, (-2*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(b*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) + (e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*d) - (e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*d) - (e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*d*E^(a/b)) + (e^2*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*d*E^((3*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2), x, 8, (-2*e*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(b*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) + (e*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*d) + (e*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*d*E^((2*a)/b))}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(-3/2), x, 8, (-2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(b*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*d) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*d*E^(a/b))}
+{1/(c*e + d*e*x)/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2), x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2), x, 36, (-2*e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) - (16*e^4*(c + d*x)^3)/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (20*e^4*(c + d*x)^5)/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) + (e^4*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(12*b^(5/2)*d) - (3*e^4*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*b^(5/2)*d) + (5*e^4*E^((5*a)/b)*Sqrt[5*Pi]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(24*b^(5/2)*d) + (e^4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(12*b^(5/2)*d*E^(a/b)) - (3*e^4*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*b^(5/2)*d*E^((3*a)/b)) + (5*e^4*Sqrt[5*Pi]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(24*b^(5/2)*d*E^((5*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^3/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2), x, 26, (-2*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) - (4*e^3*(c + d*x)^2)/(b^2*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (16*e^3*(c + d*x)^4)/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (2*e^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d) + (e^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d) + (2*e^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d*E^((4*a)/b)) - (e^3*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d*E^((2*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^2/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2), x, 24, (-2*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) - (8*e^2*(c + d*x))/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (4*e^2*(c + d*x)^3)/(b^2*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(6*b^(5/2)*d) + (e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(5/2)*d) - (e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(6*b^(5/2)*d*E^(a/b)) + (e^2*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(5/2)*d*E^((3*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^1/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2), x, 13, (-2*e*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) - (4*e)/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (8*e*(c + d*x)^2)/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (2*e*E^((2*a)/b)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d) + (2*e*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d*E^((2*a)/b))}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(-5/2), x, 9, (-2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) - (4*(c + d*x))/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) + (2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d) + (2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d*E^(a/b))}
+{1/(c*e + d*e*x)/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2), x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2)), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2), x, 34, (-2*e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(5*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2)) - (16*e^4*(c + d*x)^3)/(15*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) - (4*e^4*(c + d*x)^5)/(3*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) - (32*e^4*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(5*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (40*e^4*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (e^4*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(30*b^(7/2)*d) + (9*e^4*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(20*b^(7/2)*d) - (5*e^4*E^((5*a)/b)*Sqrt[5*Pi]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(12*b^(7/2)*d) + (e^4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(30*b^(7/2)*d*E^(a/b)) - (9*e^4*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(20*b^(7/2)*d*E^((3*a)/b)) + (5*e^4*Sqrt[5*Pi]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(12*b^(7/2)*d*E^((5*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^3/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2), x, 23, (-2*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(5*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2)) - (4*e^3*(c + d*x)^2)/(5*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) - (16*e^3*(c + d*x)^4)/(15*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) - (16*e^3*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(5*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (128*e^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) + (16*e^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d) - (4*e^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d) + (16*e^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d*E^((4*a)/b)) - (4*e^3*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d*E^((2*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^2/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2), x, 24, (-2*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(5*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2)) - (8*e^2*(c + d*x))/(15*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) - (4*e^2*(c + d*x)^3)/(5*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) - (16*e^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (24*e^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(5*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) + (e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d) - (3*e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(5*b^(7/2)*d) - (e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d*E^(a/b)) + (3*e^2*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(5*b^(7/2)*d*E^((3*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2), x, 11, (-2*e*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(5*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2)) - (4*e)/(15*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) - (8*e*(c + d*x)^2)/(15*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) - (32*e*(c + d*x)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) + (8*e*E^((2*a)/b)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d) + (8*e*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d*E^((2*a)/b))}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(-7/2), x, 10, (-2*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(5*b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(5/2)) - (4*(c + d*x))/(15*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(3/2)) - (8*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]) - (4*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d) + (4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d*E^(a/b))}
+{1/(c*e + d*e*x)/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2), x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(7/2)), x]/e}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c e+d e x)^(m/2) (a+b ArcSinh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x]), x, 8, (28*b*e^2*(e*(c + d*x))^(3/2)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(405*d) - (4*b*(e*(c + d*x))^(7/2)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(81*d) - (28*b*e^3*Sqrt[e*(c + d*x)]*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(135*d*(1 + c + d*x)) + (2*(e*(c + d*x))^(9/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(9*d*e) + (28*b*e^(7/2)*(1 + c + d*x)*Sqrt[(1 + (c + d*x)^2)/(1 + c + d*x)^2]*EllipticE[2*ArcTan[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], 1/2])/(135*d*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]) - (14*b*e^(7/2)*(1 + c + d*x)*Sqrt[(1 + (c + d*x)^2)/(1 + c + d*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], 1/2])/(135*d*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])}
+{(c*e + d*e*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x]), x, 6, (20*b*e^2*Sqrt[e*(c + d*x)]*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(147*d) - (4*b*(e*(c + d*x))^(5/2)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(49*d) + (2*(e*(c + d*x))^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(7*d*e) - (10*b*e^(5/2)*(1 + c + d*x)*Sqrt[(1 + (c + d*x)^2)/(1 + c + d*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], 1/2])/(147*d*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])}
+{(c*e + d*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x]), x, 7, -((4*b*(e*(c + d*x))^(3/2)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(25*d)) + (12*b*e*Sqrt[e*(c + d*x)]*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(25*d*(1 + c + d*x)) + (2*(e*(c + d*x))^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(5*d*e) - (12*b*e^(3/2)*(1 + c + d*x)*Sqrt[(1 + (c + d*x)^2)/(1 + c + d*x)^2]*EllipticE[2*ArcTan[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], 1/2])/(25*d*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]) + (6*b*e^(3/2)*(1 + c + d*x)*Sqrt[(1 + (c + d*x)^2)/(1 + c + d*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], 1/2])/(25*d*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])}
+{Sqrt[c*e + d*e*x]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]), x, 5, -((4*b*Sqrt[e*(c + d*x)]*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(9*d)) + (2*(e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(3*d*e) + (2*b*Sqrt[e]*(1 + c + d*x)*Sqrt[(1 + (c + d*x)^2)/(1 + c + d*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], 1/2])/(9*d*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])/Sqrt[c*e + d*e*x], x, 6, -((4*b*Sqrt[e*(c + d*x)]*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(d*e*(1 + c + d*x))) + (2*Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(d*e) + (4*b*(1 + c + d*x)*Sqrt[(1 + (c + d*x)^2)/(1 + c + d*x)^2]*EllipticE[2*ArcTan[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], 1/2])/(d*Sqrt[e]*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]) - (2*b*(1 + c + d*x)*Sqrt[(1 + (c + d*x)^2)/(1 + c + d*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], 1/2])/(d*Sqrt[e]*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^(3/2), x, 4, -((2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(d*e*Sqrt[e*(c + d*x)])) + (2*b*(1 + c + d*x)*Sqrt[(1 + (c + d*x)^2)/(1 + c + d*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], 1/2])/(d*e^(3/2)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^(5/2), x, 7, -((4*b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*d*e^2*Sqrt[e*(c + d*x)])) + (4*b*Sqrt[e*(c + d*x)]*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(3*d*e^3*(1 + c + d*x)) - (2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(3*d*e*(e*(c + d*x))^(3/2)) - (4*b*(1 + c + d*x)*Sqrt[(1 + (c + d*x)^2)/(1 + c + d*x)^2]*EllipticE[2*ArcTan[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], 1/2])/(3*d*e^(5/2)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]) + (2*b*(1 + c + d*x)*Sqrt[(1 + (c + d*x)^2)/(1 + c + d*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], 1/2])/(3*d*e^(5/2)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^(7/2), x, 5, -((4*b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(15*d*e^2*(e*(c + d*x))^(3/2))) - (2*(a + b*ArcSinh[c + d*x]))/(5*d*e*(e*(c + d*x))^(5/2)) - (2*b*(1 + c + d*x)*Sqrt[(1 + (c + d*x)^2)/(1 + c + d*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], 1/2])/(15*d*e^(7/2)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2, x, 3, (2*(e*(c + d*x))^(9/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(9*d*e) - (8*b*(e*(c + d*x))^(11/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 11/4, 15/4, -(c + d*x)^2])/(99*d*e^2) + (16*b^2*(e*(c + d*x))^(13/2)*HypergeometricPFQ[{1, 13/4, 13/4}, {15/4, 17/4}, -(c + d*x)^2])/(1287*d*e^3)}
+{(c*e + d*e*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2, x, 3, (2*(e*(c + d*x))^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(7*d*e) - (8*b*(e*(c + d*x))^(9/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 9/4, 13/4, -(c + d*x)^2])/(63*d*e^2) + (16*b^2*(e*(c + d*x))^(11/2)*HypergeometricPFQ[{1, 11/4, 11/4}, {13/4, 15/4}, -(c + d*x)^2])/(693*d*e^3)}
+{(c*e + d*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2, x, 3, (2*(e*(c + d*x))^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(5*d*e) - (8*b*(e*(c + d*x))^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 7/4, 11/4, -(c + d*x)^2])/(35*d*e^2) + (16*b^2*(e*(c + d*x))^(9/2)*HypergeometricPFQ[{1, 9/4, 9/4}, {11/4, 13/4}, -(c + d*x)^2])/(315*d*e^3)}
+{Sqrt[c*e + d*e*x]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2, x, 3, (2*(e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(3*d*e) - (8*b*(e*(c + d*x))^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 5/4, 9/4, -(c + d*x)^2])/(15*d*e^2) + (16*b^2*(e*(c + d*x))^(7/2)*HypergeometricPFQ[{1, 7/4, 7/4}, {9/4, 11/4}, -(c + d*x)^2])/(105*d*e^3)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2/Sqrt[c*e + d*e*x], x, 3, (2*Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(d*e) - (8*b*(e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 3/4, 7/4, -(c + d*x)^2])/(3*d*e^2) + (16*b^2*(e*(c + d*x))^(5/2)*HypergeometricPFQ[{1, 5/4, 5/4}, {7/4, 9/4}, -(c + d*x)^2])/(15*d*e^3)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^(3/2), x, 3, -((2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(d*e*Sqrt[e*(c + d*x)])) + (8*b*Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/4, 1/2, 5/4, -(c + d*x)^2])/(d*e^2) - (16*b^2*(e*(c + d*x))^(3/2)*HypergeometricPFQ[{3/4, 3/4, 1}, {5/4, 7/4}, -(c + d*x)^2])/(3*d*e^3)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^(5/2), x, 3, -((2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(3*d*e*(e*(c + d*x))^(3/2))) - (8*b*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[-(1/4), 1/2, 3/4, -(c + d*x)^2])/(3*d*e^2*Sqrt[e*(c + d*x)]) + (16*b^2*Sqrt[e*(c + d*x)]*HypergeometricPFQ[{1/4, 1/4, 1}, {3/4, 5/4}, -(c + d*x)^2])/(3*d*e^3)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^(7/2), x, 3, -((2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/(5*d*e*(e*(c + d*x))^(5/2))) - (8*b*(a + b*ArcSinh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[-(3/4), 1/2, 1/4, -(c + d*x)^2])/(15*d*e^2*(e*(c + d*x))^(3/2)) - (16*b^2*HypergeometricPFQ[{-(1/4), -(1/4), 1}, {1/4, 3/4}, -(c + d*x)^2])/(15*d*e^3*Sqrt[e*(c + d*x)])}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3, x, 2, (2*(e*(c + d*x))^(9/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(9*d*e) - (2*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(9/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/Sqrt[1 + (c + d*x)^2], x])/(3*e)}
+{(c*e + d*e*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3, x, 2, (2*(e*(c + d*x))^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(7*d*e) - (6*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/Sqrt[1 + (c + d*x)^2], x])/(7*e)}
+{(c*e + d*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3, x, 2, (2*(e*(c + d*x))^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(5*d*e) - (6*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/Sqrt[1 + (c + d*x)^2], x])/(5*e)}
+{Sqrt[c*e + d*e*x]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3, x, 2, (2*(e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(3*d*e) - (2*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/Sqrt[1 + (c + d*x)^2], x])/e}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3/Sqrt[c*e + d*e*x], x, 2, (2*Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(d*e) - (6*b*Unintegrable[(Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2)/Sqrt[1 + (c + d*x)^2], x])/e}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^(3/2), x, 2, -((2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(d*e*Sqrt[e*(c + d*x)])) + (6*b*Unintegrable[(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2/(Sqrt[e*(c + d*x)]*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]), x])/e}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^(5/2), x, 2, -((2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(3*d*e*(e*(c + d*x))^(3/2))) + (2*b*Unintegrable[(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2/((e*(c + d*x))^(3/2)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]), x])/e}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^(7/2), x, 2, -((2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/(5*d*e*(e*(c + d*x))^(5/2))) + (6*b*Unintegrable[(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2/((e*(c + d*x))^(5/2)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]), x])/(5*e)}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4, x, 2, (2*(e*(c + d*x))^(9/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4)/(9*d*e) - (8*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(9/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/Sqrt[1 + (c + d*x)^2], x])/(9*e)}
+{(c*e + d*e*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4, x, 2, (2*(e*(c + d*x))^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4)/(7*d*e) - (8*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(7/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/Sqrt[1 + (c + d*x)^2], x])/(7*e)}
+{(c*e + d*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4, x, 2, (2*(e*(c + d*x))^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4)/(5*d*e) - (8*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/Sqrt[1 + (c + d*x)^2], x])/(5*e)}
+{Sqrt[c*e + d*e*x]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4, x, 2, (2*(e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4)/(3*d*e) - (8*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/Sqrt[1 + (c + d*x)^2], x])/(3*e)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4/Sqrt[c*e + d*e*x], x, 2, (2*Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4)/(d*e) - (8*b*Unintegrable[(Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3)/Sqrt[1 + (c + d*x)^2], x])/e}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4/(c*e + d*e*x)^(3/2), x, 2, -((2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4)/(d*e*Sqrt[e*(c + d*x)])) + (8*b*Unintegrable[(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3/(Sqrt[e*(c + d*x)]*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]), x])/e}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4/(c*e + d*e*x)^(5/2), x, 2, -((2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4)/(3*d*e*(e*(c + d*x))^(3/2))) + (8*b*Unintegrable[(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3/((e*(c + d*x))^(3/2)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]), x])/(3*e)}
+{(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4/(c*e + d*e*x)^(7/2), x, 2, -((2*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^4)/(5*d*e*(e*(c + d*x))^(5/2))) + (8*b*Unintegrable[(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3/((e*(c + d*x))^(5/2)*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]), x])/(5*e)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (1+(a+b x)^2)^(m/2) ArcSinh[a +b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m>0*)
+
+
+{Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2]*ArcSinh[a + b*x]^3, x, 7, -((3*(a + b*x)^2)/(8*b)) + (3*(a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/(4*b) - (3*ArcSinh[a + b*x]^2)/(8*b) - (3*(a + b*x)^2*ArcSinh[a + b*x]^2)/(4*b) + ((a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x]^3)/(2*b) + ArcSinh[a + b*x]^4/(8*b)}
+{Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2]*ArcSinh[a + b*x]^2, x, 6, ((a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(4*b) - ArcSinh[a + b*x]/(4*b) - ((a + b*x)^2*ArcSinh[a + b*x])/(2*b) + ((a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x]^2)/(2*b) + ArcSinh[a + b*x]^3/(6*b)}
+{Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2]*ArcSinh[a + b*x], x, 4, -(a + b*x)^2/(4*b) + ((a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/(2*b) + ArcSinh[a + b*x]^2/(4*b)}
+{Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2]/ArcSinh[a + b*x], x, 5, CoshIntegral[2*ArcSinh[a + b*x]]/(2*b) + Log[ArcSinh[a + b*x]]/(2*b)}
+{Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2]/ArcSinh[a + b*x]^2, x, 6, -((1 + (a + b*x)^2)/(b*ArcSinh[a + b*x])) + SinhIntegral[2*ArcSinh[a + b*x]]/b}
+{Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2]/ArcSinh[a + b*x]^3, x, 4, -(1 + (a + b*x)^2)/(2*b*ArcSinh[a + b*x]^2) - ((a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(b*ArcSinh[a + b*x]) + CoshIntegral[2*ArcSinh[a + b*x]]/b}
+
+
+{(1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a + b*x]^3, x, 15, -((51*(a + b*x)^2)/(128*b)) - (3*(a + b*x)^4)/(128*b) + (45*(a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/(64*b) + (3*(a + b*x)*(1 + (a + b*x)^2)^(3/2)*ArcSinh[a + b*x])/(32*b) - (27*ArcSinh[a + b*x]^2)/(128*b) - (9*(a + b*x)^2*ArcSinh[a + b*x]^2)/(16*b) - (3*(1 + (a + b*x)^2)^2*ArcSinh[a + b*x]^2)/(16*b) + (3*(a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x]^3)/(8*b) + ((a + b*x)*(1 + (a + b*x)^2)^(3/2)*ArcSinh[a + b*x]^3)/(4*b) + (3*ArcSinh[a + b*x]^4)/(32*b)}
+{(1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a + b*x]^2, x, 11, (15*(a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2])/(64*b) + ((a + b*x)*(1 + (a + b*x)^2)^(3/2))/(32*b) - (9*ArcSinh[a + b*x])/(64*b) - (3*(a + b*x)^2*ArcSinh[a + b*x])/(8*b) - ((1 + (a + b*x)^2)^2*ArcSinh[a + b*x])/(8*b) + (3*(a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x]^2)/(8*b) + ((a + b*x)*(1 + (a + b*x)^2)^(3/2)*ArcSinh[a + b*x]^2)/(4*b) + ArcSinh[a + b*x]^3/(8*b)}
+{(1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a + b*x], x, 7, -((5*(a + b*x)^2)/(16*b)) - (a + b*x)^4/(16*b) + (3*(a + b*x)*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]*ArcSinh[a + b*x])/(8*b) + ((a + b*x)*(1 + (a + b*x)^2)^(3/2)*ArcSinh[a + b*x])/(4*b) + (3*ArcSinh[a + b*x]^2)/(16*b)}
+{(1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2)/ArcSinh[a + b*x], x, 6, CoshIntegral[2*ArcSinh[a + b*x]]/(2*b) + CoshIntegral[4*ArcSinh[a + b*x]]/(8*b) + (3*Log[ArcSinh[a + b*x]])/(8*b)}
+{(1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2)/ArcSinh[a + b*x]^2, x, 7, -((1 + (a + b*x)^2)^2/(b*ArcSinh[a + b*x])) + SinhIntegral[2*ArcSinh[a + b*x]]/b + SinhIntegral[4*ArcSinh[a + b*x]]/(2*b)}
+{(1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2)/ArcSinh[a + b*x]^3, x, 11, -(1 + (a + b*x)^2)^2/(2*b*ArcSinh[a + b*x]^2) - (2*(a + b*x)*(1 + (a + b*x)^2)^(3/2))/(b*ArcSinh[a + b*x]) + CoshIntegral[2*ArcSinh[a + b*x]]/b + CoshIntegral[4*ArcSinh[a + b*x]]/b}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*m<0*)
+
+
+{ArcSinh[a + b*x]^3/Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2], x, 2, ArcSinh[a + b*x]^4/(4*b)}
+{ArcSinh[a + b*x]^2/Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2], x, 2, ArcSinh[a + b*x]^3/(3*b)}
+{ArcSinh[a + b*x]/Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2], x, 2, ArcSinh[a + b*x]^2/(2*b)}
+{1/(Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2]*ArcSinh[a + b*x]), x, 2, Log[ArcSinh[a + b*x]]/b}
+{1/(Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2]*ArcSinh[a + b*x]^2), x, 2, -(1/(b*ArcSinh[a + b*x]))}
+{1/(Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2]*ArcSinh[a + b*x]^3), x, 2, -1/(2*b*ArcSinh[a + b*x]^2)}
+
+
+{ArcSinh[a + b*x]^3/(1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2), x, 8, ArcSinh[a + b*x]^3/b + ((a + b*x)*ArcSinh[a + b*x]^3)/(b*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]) - (3*ArcSinh[a + b*x]^2*Log[1 + E^(2*ArcSinh[a + b*x])])/b - (3*ArcSinh[a + b*x]*PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[a + b*x])])/b + (3*PolyLog[3, -E^(2*ArcSinh[a + b*x])])/(2*b)}
+{ArcSinh[a + b*x]^2/(1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2), x, 7, ArcSinh[a + b*x]^2/b + ((a + b*x)*ArcSinh[a + b*x]^2)/(b*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]) - (2*ArcSinh[a + b*x]*Log[1 + E^(2*ArcSinh[a + b*x])])/b - PolyLog[2, -E^(2*ArcSinh[a + b*x])]/b}
+{ArcSinh[a + b*x]/(1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2), x, 3, ((a + b*x)*ArcSinh[a + b*x])/(b*Sqrt[1 + (a + b*x)^2]) - Log[1 + (a + b*x)^2]/(2*b)}
+{1/((1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a + b*x]), x, 1, Unintegrable[1/((1 + (a + b*x)^2)^(3/2)*ArcSinh[a + b*x]), x]}
+{1/((1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2)*ArcSinh[a + b*x]^2), x, 2, -(1/(b*(1 + (a + b*x)^2)*ArcSinh[a + b*x])) - 2*Unintegrable[(a + b*x)/((1 + (a + b*x)^2)^2*ArcSinh[a + b*x]), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u ArcSinh[a x^n]^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcSinh[a x^n]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^3*ArcSinh[a*x^2], x, 5, -((x^2*Sqrt[1 + a^2*x^4])/(8*a)) + ArcSinh[a*x^2]/(8*a^2) + (1/4)*x^4*ArcSinh[a*x^2]}
+{x^2*ArcSinh[a*x^2], x, 4, -((2*x*Sqrt[1 + a^2*x^4])/(9*a)) + (1/3)*x^3*ArcSinh[a*x^2] + ((1 + a*x^2)*Sqrt[(1 + a^2*x^4)/(1 + a*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[Sqrt[a]*x], 1/2])/(9*a^(3/2)*Sqrt[1 + a^2*x^4])}
+{x^1*ArcSinh[a*x^2], x, 3, -(Sqrt[1 + a^2*x^4]/(2*a)) + (1/2)*x^2*ArcSinh[a*x^2]}
+{x^0*ArcSinh[a*x^2], x, 5, -((2*x*Sqrt[1 + a^2*x^4])/(1 + a*x^2)) + x*ArcSinh[a*x^2] + (2*(1 + a*x^2)*Sqrt[(1 + a^2*x^4)/(1 + a*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[Sqrt[a]*x], 1/2])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + a^2*x^4]) - ((1 + a*x^2)*Sqrt[(1 + a^2*x^4)/(1 + a*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[Sqrt[a]*x], 1/2])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + a^2*x^4])}
+{ArcSinh[a*x^2]/x^1, x, 5, (-(1/4))*ArcSinh[a*x^2]^2 + (1/2)*ArcSinh[a*x^2]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[a*x^2])] + (1/4)*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[a*x^2])]}
+{ArcSinh[a*x^2]/x^2, x, 3, -(ArcSinh[a*x^2]/x) + (Sqrt[a]*(1 + a*x^2)*Sqrt[(1 + a^2*x^4)/(1 + a*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[Sqrt[a]*x], 1/2])/Sqrt[1 + a^2*x^4]}
+{ArcSinh[a*x^2]/x^3, x, 5, -(ArcSinh[a*x^2]/(2*x^2)) - (1/2)*a*ArcTanh[Sqrt[1 + a^2*x^4]]}
+{ArcSinh[a*x^2]/x^4, x, 6, -((2*a*Sqrt[1 + a^2*x^4])/(3*x)) + (2*a^2*x*Sqrt[1 + a^2*x^4])/(3*(1 + a*x^2)) - ArcSinh[a*x^2]/(3*x^3) - (2*a^(3/2)*(1 + a*x^2)*Sqrt[(1 + a^2*x^4)/(1 + a*x^2)^2]*EllipticE[2*ArcTan[Sqrt[a]*x], 1/2])/(3*Sqrt[1 + a^2*x^4]) + (a^(3/2)*(1 + a*x^2)*Sqrt[(1 + a^2*x^4)/(1 + a*x^2)^2]*EllipticF[2*ArcTan[Sqrt[a]*x], 1/2])/(3*Sqrt[1 + a^2*x^4])}
+
+
+{ArcSinh[a*x^5]/x, x, 5, (-(1/10))*ArcSinh[a*x^5]^2 + (1/5)*ArcSinh[a*x^5]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[a*x^5])] + (1/10)*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[a*x^5])]}
+
+
+{x^2*ArcSinh[Sqrt[x]], x, 7, (-(5/48))*Sqrt[x]*Sqrt[1 + x] + (5/72)*x^(3/2)*Sqrt[1 + x] - (1/18)*x^(5/2)*Sqrt[1 + x] + (5*ArcSinh[Sqrt[x]])/48 + (1/3)*x^3*ArcSinh[Sqrt[x]]}
+{x^1*ArcSinh[Sqrt[x]], x, 6, (3/16)*Sqrt[x]*Sqrt[1 + x] - (1/8)*x^(3/2)*Sqrt[1 + x] - (3*ArcSinh[Sqrt[x]])/16 + (1/2)*x^2*ArcSinh[Sqrt[x]]}
+{x^0*ArcSinh[Sqrt[x]], x, 6, (-(1/2))*Sqrt[x]*Sqrt[1 + x] + ArcSinh[Sqrt[x]]/2 + x*ArcSinh[Sqrt[x]]}
+{ArcSinh[Sqrt[x]]/x^1, x, 5, -ArcSinh[Sqrt[x]]^2 + 2*ArcSinh[Sqrt[x]]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[Sqrt[x]])] + PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[Sqrt[x]])]}
+{ArcSinh[Sqrt[x]]/x^2, x, 3, -(Sqrt[1 + x]/Sqrt[x]) - ArcSinh[Sqrt[x]]/x}
+{ArcSinh[Sqrt[x]]/x^3, x, 4, -(Sqrt[1 + x]/(6*x^(3/2))) + Sqrt[1 + x]/(3*Sqrt[x]) - ArcSinh[Sqrt[x]]/(2*x^2)}
+{ArcSinh[Sqrt[x]]/x^4, x, 5, -(Sqrt[1 + x]/(15*x^(5/2))) + (4*Sqrt[1 + x])/(45*x^(3/2)) - (8*Sqrt[1 + x])/(45*Sqrt[x]) - ArcSinh[Sqrt[x]]/(3*x^3)}
+{ArcSinh[Sqrt[x]]/x^5, x, 6, -(Sqrt[1 + x]/(28*x^(7/2))) + (3*Sqrt[1 + x])/(70*x^(5/2)) - (2*Sqrt[1 + x])/(35*x^(3/2)) + (4*Sqrt[1 + x])/(35*Sqrt[x]) - ArcSinh[Sqrt[x]]/(4*x^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^2*ArcSinh[a/x], x, 6, (1/6)*a*Sqrt[1 + a^2/x^2]*x^2 + (1/3)*x^3*ArcCsch[x/a] - (1/6)*a^3*ArcTanh[Sqrt[1 + a^2/x^2]]}
+{x^1*ArcSinh[a/x], x, 3, (1/2)*a*Sqrt[1 + a^2/x^2]*x + (1/2)*x^2*ArcCsch[x/a]}
+{x^0*ArcSinh[a/x], x, 5, x*ArcCsch[x/a] + a*ArcTanh[Sqrt[1 + a^2/x^2]]}
+{ArcSinh[a/x]/x^1, x, 5, (1/2)*ArcSinh[a/x]^2 - ArcSinh[a/x]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[a/x])] - (1/2)*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[a/x])]}
+{ArcSinh[a/x]/x^2, x, 3, Sqrt[1 + a^2/x^2]/a - ArcCsch[x/a]/x}
+{ArcSinh[a/x]/x^3, x, 5, Sqrt[1 + a^2/x^2]/(4*a*x) - ArcCsch[x/a]/(4*a^2) - ArcCsch[x/a]/(2*x^2)}
+{ArcSinh[a/x]/x^4, x, 5, -(Sqrt[1 + a^2/x^2]/(3*a^3)) + (1 + a^2/x^2)^(3/2)/(9*a^3) - ArcCsch[x/a]/(3*x^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcSinh[a x^n] with n symbolic*)
+
+
+{x^m*ArcSinh[a*x^n], x, 3, (x^(1 + m)*ArcSinh[a*x^n])/(1 + m) - (a*n*x^(1 + m + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m + n)/(2*n), (1 + m + 3*n)/(2*n), (-a^2)*x^(2*n)])/((1 + m)*(1 + m + n))}
+
+{x^2*ArcSinh[a*x^n], x, 3, (1/3)*x^3*ArcSinh[a*x^n] - (a*n*x^(3 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + n)/(2*n), (3*(1 + n))/(2*n), (-a^2)*x^(2*n)])/(3*(3 + n))}
+{x^1*ArcSinh[a*x^n], x, 3, (1/2)*x^2*ArcSinh[a*x^n] - (a*n*x^(2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + n)/(2*n), (1/2)*(3 + 2/n), (-a^2)*x^(2*n)])/(2*(2 + n))}
+{x^0*ArcSinh[a*x^n], x, 3, x*ArcSinh[a*x^n] - (a*n*x^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + n)/(2*n), (1/2)*(3 + 1/n), (-a^2)*x^(2*n)])/(1 + n)}
+{ArcSinh[a*x^n]/x^1, x, 5, -(ArcSinh[a*x^n]^2/(2*n)) + (ArcSinh[a*x^n]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[a*x^n])])/n + PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[a*x^n])]/(2*n)}
+{ArcSinh[a*x^n]/x^2, x, 3, -(ArcSinh[a*x^n]/x) - (a*n*x^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, -((1 - n)/(2*n)), (1/2)*(3 - 1/n), (-a^2)*x^(2*n)])/(1 - n)}
+{ArcSinh[a*x^n]/x^3, x, 3, -(ArcSinh[a*x^n]/(2*x^2)) - (a*n*x^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(1 - 2/n), (1/2)*(3 - 2/n), (-a^2)*x^(2*n)])/(2*(2 - n))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b ArcSinh[c+d x^2])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b ArcSinh[c+d x^2])^n when c^2=-1*)
+
+
+{(a + b*ArcSinh[I + d*x^2])^4, x, 3, 384*b^4*x - (192*b^3*Sqrt[2*I*d*x^2 + d^2*x^4]*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]))/(d*x) + 48*b^2*x*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2])^2 - (8*b*Sqrt[2*I*d*x^2 + d^2*x^4]*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2])^3)/(d*x) + x*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2])^4}
+{(a + b*ArcSinh[I + d*x^2])^3, x, 5, 24*a*b^2*x - (48*b^3*Sqrt[2*I*d*x^2 + d^2*x^4])/(d*x) + 24*I*b^3*x*ArcSin[1 - I*d*x^2] - (6*b*Sqrt[2*I*d*x^2 + d^2*x^4]*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2])^2)/(d*x) + x*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2])^3}
+{(a + b*ArcSinh[I + d*x^2])^2, x, 2, 8*b^2*x - (4*b*Sqrt[2*I*d*x^2 + d^2*x^4]*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]))/(d*x) + x*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2])^2}
+{(a + b*ArcSinh[I + d*x^2])^1, x, 4, a*x - (2*b*Sqrt[2*I*d*x^2 + d^2*x^4])/(d*x) + I*b*x*ArcSin[1 - I*d*x^2]}
+{1/(a + b*ArcSinh[I + d*x^2])^1, x, 1, (x*CosIntegral[-((I*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]))/(2*b))]*(I*Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)]))/(2*b*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]])) - (x*(I*Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)])*SinIntegral[(I*a)/(2*b) - (1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]])/(2*b*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSinh[I + d*x^2])^2, x, 1, -(Sqrt[2*I*d*x^2 + d^2*x^4]/(2*b*d*x*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]))) + (x*CosIntegral[-((I*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]))/(2*b))]*(Cosh[a/(2*b)] - I*Sinh[a/(2*b)]))/(4*b^2*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]])) + (x*(Cosh[a/(2*b)] + I*Sinh[a/(2*b)])*SinIntegral[(I*a)/(2*b) - (1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]])/(4*b^2*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSinh[I + d*x^2])^3, x, 2, -(Sqrt[2*I*d*x^2 + d^2*x^4]/(4*b*d*x*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2])^2)) - x/(8*b^2*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2])) + (x*CosIntegral[-((I*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]))/(2*b))]*(I*Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)]))/(16*b^3*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]])) - (x*(I*Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)])*SinIntegral[(I*a)/(2*b) - (1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]])/(16*b^3*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]]))}
+
+
+{(a + b*ArcSinh[-I + d*x^2])^4, x, 3, 384*b^4*x - (192*b^3*Sqrt[-2*I*d*x^2 + d^2*x^4]*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]))/(d*x) + 48*b^2*x*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2])^2 - (8*b*Sqrt[-2*I*d*x^2 + d^2*x^4]*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2])^3)/(d*x) + x*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2])^4}
+{(a + b*ArcSinh[-I + d*x^2])^3, x, 5, 24*a*b^2*x - (48*b^3*Sqrt[-2*I*d*x^2 + d^2*x^4])/(d*x) - 24*I*b^3*x*ArcSin[1 + I*d*x^2] - (6*b*Sqrt[-2*I*d*x^2 + d^2*x^4]*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2])^2)/(d*x) + x*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2])^3}
+{(a + b*ArcSinh[-I + d*x^2])^2, x, 2, 8*b^2*x - (4*b*Sqrt[-2*I*d*x^2 + d^2*x^4]*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]))/(d*x) + x*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2])^2}
+{(a + b*ArcSinh[-I + d*x^2])^1, x, 4, a*x - (2*b*Sqrt[-2*I*d*x^2 + d^2*x^4])/(d*x) - I*b*x*ArcSin[1 + I*d*x^2]}
+{1/(a + b*ArcSinh[-I + d*x^2])^1, x, 1, -((x*CosIntegral[(I*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]))/(2*b)]*(I*Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)]))/(2*b*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]]))) + (x*(Cosh[a/(2*b)] + I*Sinh[a/(2*b)])*SinhIntegral[(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2])/(2*b)])/(2*b*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSinh[-I + d*x^2])^2, x, 1, -(Sqrt[-2*I*d*x^2 + d^2*x^4]/(2*b*d*x*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]))) + (x*CosIntegral[(I*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]))/(2*b)]*(Cosh[a/(2*b)] + I*Sinh[a/(2*b)]))/(4*b^2*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]])) - (x*(I*Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)])*SinhIntegral[(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2])/(2*b)])/(4*b^2*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSinh[-I + d*x^2])^3, x, 2, -(Sqrt[-2*I*d*x^2 + d^2*x^4]/(4*b*d*x*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2])^2)) - x/(8*b^2*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2])) - (x*CosIntegral[(I*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]))/(2*b)]*(I*Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)]))/(16*b^3*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]])) + (x*(Cosh[a/(2*b)] + I*Sinh[a/(2*b)])*SinhIntegral[(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2])/(2*b)])/(16*b^3*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b ArcSinh[c+d x^2])^(n/2) when c^2=-1*)
+
+
+{(a + b*ArcSinh[I + d*x^2])^(5/2), x, 2, 15*b^2*x*Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - (5*b*Sqrt[2*I*d*x^2 + d^2*x^4]*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2])^(3/2))/(d*x) + x*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2])^(5/2) + (15*b^2*Sqrt[Pi]*x*FresnelS[(Sqrt[-(I/b)]*Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cosh[a/(2*b)] + I*Sinh[a/(2*b)]))/(Sqrt[-(I/b)]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]])) - (15*Sqrt[-(I/b)]*b^3*Sqrt[Pi]*x*FresnelC[(Sqrt[-(I/b)]*Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(I*Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)]))/(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]])}
+{(a + b*ArcSinh[I + d*x^2])^(3/2), x, 2, -((3*b*Sqrt[2*I*d*x^2 + d^2*x^4]*Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]])/(d*x)) + x*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2])^(3/2) + (3*Sqrt[I*b]*b*Sqrt[Pi]*x*FresnelC[Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]]/(Sqrt[I*b]*Sqrt[Pi])]*(I*Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)]))/(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]]) - (3*b^2*Sqrt[Pi]*x*FresnelS[Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]]/(Sqrt[I*b]*Sqrt[Pi])]*(Cosh[a/(2*b)] - I*Sinh[a/(2*b)]))/(Sqrt[I*b]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]]))}
+{(a + b*ArcSinh[I + d*x^2])^(1/2), x, 1, x*Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]] + (Sqrt[Pi]*x*FresnelS[(Sqrt[-(I/b)]*Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cosh[a/(2*b)] + I*Sinh[a/(2*b)]))/(Sqrt[-(I/b)]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]])) - (Sqrt[-(I/b)]*b*Sqrt[Pi]*x*FresnelC[(Sqrt[-(I/b)]*Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(I*Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)]))/(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]])}
+{1/(a + b*ArcSinh[I + d*x^2])^(1/2), x, 1, -((Sqrt[Pi]*x*FresnelS[Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]]/(Sqrt[I*b]*Sqrt[Pi])]*(Cosh[a/(2*b)] - I*Sinh[a/(2*b)]))/(Sqrt[I*b]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]]))) - (Sqrt[Pi]*x*FresnelC[Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]]/(Sqrt[I*b]*Sqrt[Pi])]*(Cosh[a/(2*b)] + I*Sinh[a/(2*b)]))/(Sqrt[I*b]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSinh[I + d*x^2])^(3/2), x, 1, -(Sqrt[2*I*d*x^2 + d^2*x^4]/(b*d*x*Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]])) - ((-(I/b))^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelC[(Sqrt[-(I/b)]*Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cosh[a/(2*b)] - I*Sinh[a/(2*b)]))/(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]]) + ((-(I/b))^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelS[(Sqrt[-(I/b)]*Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cosh[a/(2*b)] + I*Sinh[a/(2*b)]))/(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]])}
+{1/(a + b*ArcSinh[I + d*x^2])^(5/2), x, 2, -(Sqrt[2*I*d*x^2 + d^2*x^4]/(3*b*d*x*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2])^(3/2))) - x/(3*b^2*Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]]) - (Sqrt[Pi]*x*FresnelS[Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]]/(Sqrt[I*b]*Sqrt[Pi])]*(Cosh[a/(2*b)] - I*Sinh[a/(2*b)]))/(3*Sqrt[I*b]*b^2*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]])) - (Sqrt[Pi]*x*FresnelC[Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]]/(Sqrt[I*b]*Sqrt[Pi])]*(Cosh[a/(2*b)] + I*Sinh[a/(2*b)]))/(3*Sqrt[I*b]*b^2*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSinh[I + d*x^2])^(7/2), x, 2, -(Sqrt[2*I*d*x^2 + d^2*x^4]/(5*b*d*x*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2])^(5/2))) - x/(15*b^2*(a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2])^(3/2)) - Sqrt[2*I*d*x^2 + d^2*x^4]/(15*b^3*d*x*Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]]) - ((-(I/b))^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelC[(Sqrt[-(I/b)]*Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cosh[a/(2*b)] - I*Sinh[a/(2*b)]))/(15*b^2*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]])) + ((-(I/b))^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelS[(Sqrt[-(I/b)]*Sqrt[a + I*b*ArcSin[1 - I*d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cosh[a/(2*b)] + I*Sinh[a/(2*b)]))/(15*b^2*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 - I*d*x^2]]))}
+
+
+{(a + b*ArcSinh[-I + d*x^2])^(5/2), x, 2, 15*b^2*x*Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - (5*b*Sqrt[-2*I*d*x^2 + d^2*x^4]*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2])^(3/2))/(d*x) + x*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2])^(5/2) + (15*b^2*Sqrt[Pi]*x*FresnelS[(Sqrt[I/b]*Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cosh[a/(2*b)] - I*Sinh[a/(2*b)]))/(Sqrt[I/b]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]])) - (15*b^2*Sqrt[Pi]*x*FresnelC[(Sqrt[I/b]*Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cosh[a/(2*b)] + I*Sinh[a/(2*b)]))/(Sqrt[I/b]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]]))}
+{(a + b*ArcSinh[-I + d*x^2])^(3/2), x, 2, -((3*b*Sqrt[-2*I*d*x^2 + d^2*x^4]*Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]])/(d*x)) + x*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2])^(3/2) - (3*b^2*Sqrt[Pi]*x*FresnelS[Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]]/(Sqrt[(-I)*b]*Sqrt[Pi])]*(Cosh[a/(2*b)] + I*Sinh[a/(2*b)]))/(Sqrt[(-I)*b]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]])) - (3*Sqrt[(-I)*b]*b*Sqrt[Pi]*x*FresnelC[Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]]/(Sqrt[(-I)*b]*Sqrt[Pi])]*(I*Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)]))/(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]])}
+{(a + b*ArcSinh[-I + d*x^2])^(1/2), x, 1, x*Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]] + (Sqrt[Pi]*x*FresnelS[(Sqrt[I/b]*Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cosh[a/(2*b)] - I*Sinh[a/(2*b)]))/(Sqrt[I/b]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]])) - (Sqrt[Pi]*x*FresnelC[(Sqrt[I/b]*Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cosh[a/(2*b)] + I*Sinh[a/(2*b)]))/(Sqrt[I/b]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSinh[-I + d*x^2])^(1/2), x, 1, -((Sqrt[Pi]*x*FresnelC[Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]]/(Sqrt[(-I)*b]*Sqrt[Pi])]*(Cosh[a/(2*b)] - I*Sinh[a/(2*b)]))/(Sqrt[(-I)*b]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]]))) - (Sqrt[Pi]*x*FresnelS[Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]]/(Sqrt[(-I)*b]*Sqrt[Pi])]*(Cosh[a/(2*b)] + I*Sinh[a/(2*b)]))/(Sqrt[(-I)*b]*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSinh[-I + d*x^2])^(3/2), x, 1, -(Sqrt[-2*I*d*x^2 + d^2*x^4]/(b*d*x*Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]])) + ((I/b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelS[(Sqrt[I/b]*Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cosh[a/(2*b)] - I*Sinh[a/(2*b)]))/(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]]) - ((I/b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelC[(Sqrt[I/b]*Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cosh[a/(2*b)] + I*Sinh[a/(2*b)]))/(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]])}
+{1/(a + b*ArcSinh[-I + d*x^2])^(5/2), x, 2, -(Sqrt[-2*I*d*x^2 + d^2*x^4]/(3*b*d*x*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2])^(3/2))) - x/(3*b^2*Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]]) - (Sqrt[Pi]*x*FresnelS[Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]]/(Sqrt[(-I)*b]*Sqrt[Pi])]*(Cosh[a/(2*b)] + I*Sinh[a/(2*b)]))/(3*Sqrt[(-I)*b]*b^2*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]])) - (Sqrt[(-I)*b]*Sqrt[Pi]*x*FresnelC[Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]]/(Sqrt[(-I)*b]*Sqrt[Pi])]*(I*Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)]))/(3*b^3*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]]))}
+{1/(a + b*ArcSinh[-I + d*x^2])^(7/2), x, 2, -(Sqrt[-2*I*d*x^2 + d^2*x^4]/(5*b*d*x*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2])^(5/2))) - x/(15*b^2*(a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2])^(3/2)) - Sqrt[-2*I*d*x^2 + d^2*x^4]/(15*b^3*d*x*Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]]) - ((I/b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*FresnelC[(Sqrt[I/b]*Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(Cosh[a/(2*b)] + I*Sinh[a/(2*b)]))/(15*b^2*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]])) + (Sqrt[I/b]*Sqrt[Pi]*x*FresnelS[(Sqrt[I/b]*Sqrt[a - I*b*ArcSin[1 + I*d*x^2]])/Sqrt[Pi]]*(I*Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)]))/(15*b^3*(Cos[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]] - Sin[(1/2)*ArcSin[1 + I*d*x^2]]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u^m (a+b ArcSinh[Sqrt[1-c x]/Sqrt[1+c x]])^n*)
+
+
+{(a + b*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^n/(1 - c^2*x^2), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^n/(1 - c^2*x^2), x]}
+
+
+{(a + b*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3/(1 - c^2*x^2), x, 8, -((a + b*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^4/(4*b*c)) - ((a + b*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/c + (3*b*(a + b*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(2*c) + (3*b^2*(a + b*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[3, E^(-2*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(2*c) + (3*b^3*PolyLog[4, E^(-2*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(4*c)}
+{(a + b*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2/(1 - c^2*x^2), x, 7, -((a + b*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3/(3*b*c)) - ((a + b*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/c + (b*(a + b*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/c + (b^2*PolyLog[3, E^(-2*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(2*c)}
+{(a + b*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^1/(1 - c^2*x^2), x, 6, -((a + b*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2/(2*b*c)) - ((a + b*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*Log[1 - E^(-2*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/c + (b*PolyLog[2, E^(-2*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(2*c)}
+{1/((a + b*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^1*(1 - c^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])), x]}
+{1/((a + b*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*(1 - c^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving inverse hyperbolic sines of exponentials*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*x^m ArcSinh[c E^(a+b x)]*)
+
+
+{ArcSinh[c*E^(a + b*x)], x, 6, -(ArcSinh[c*E^(a + b*x)]^2/(2*b)) + (ArcSinh[c*E^(a + b*x)]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[c*E^(a + b*x)])])/b + PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[c*E^(a + b*x)])]/(2*b)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving exponentials of inverse hyperbolic sines*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*x^m E^(ArcSinh[a+b x]^n)*)
+
+
+{x^3*E^ArcSinh[a + b*x], x, 5, 1/(E^(3*ArcSinh[a + b*x])*(48*b^4)) + (3*a)/(E^(2*ArcSinh[a + b*x])*(16*b^4)) - (1 - 6*a^2)/(E^ArcSinh[a + b*x]*(8*b^4)) + (a*(3 - 4*a^2)*E^(2*ArcSinh[a + b*x]))/(16*b^4) - ((1 - 6*a^2)*E^(3*ArcSinh[a + b*x]))/(24*b^4) - (3*a*E^(4*ArcSinh[a + b*x]))/(32*b^4) + E^(5*ArcSinh[a + b*x])/(80*b^4) + (a*(3 - 4*a^2)*ArcSinh[a + b*x])/(8*b^4)}
+{x^2*E^ArcSinh[a + b*x], x, 5, -(1/(E^(2*ArcSinh[a + b*x])*(16*b^3))) - a/(E^ArcSinh[a + b*x]*(2*b^3)) - ((1 - 4*a^2)*E^(2*ArcSinh[a + b*x]))/(16*b^3) - (a*E^(3*ArcSinh[a + b*x]))/(6*b^3) + E^(4*ArcSinh[a + b*x])/(32*b^3) - ((1 - 4*a^2)*ArcSinh[a + b*x])/(8*b^3)}
+{x^1*E^ArcSinh[a + b*x], x, 5, 1/(E^ArcSinh[a + b*x]*(4*b^2)) - (a*E^(2*ArcSinh[a + b*x]))/(4*b^2) + E^(3*ArcSinh[a + b*x])/(12*b^2) - (a*ArcSinh[a + b*x])/(2*b^2)}
+{x^0*E^ArcSinh[a + b*x], x, 5, E^(2*ArcSinh[a + b*x])/(4*b) + ArcSinh[a + b*x]/(2*b)}
+{E^ArcSinh[a + b*x]/x^1, x, 9, b*x + Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2] + a*ArcSinh[a + b*x] - Sqrt[1 + a^2]*ArcTanh[(1 + a^2 + a*b*x)/(Sqrt[1 + a^2]*Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])] + a*Log[x]}
+{E^ArcSinh[a + b*x]/x^2, x, 9, -(a/x) - Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2]/x + b*ArcSinh[a + b*x] - (a*b*ArcTanh[(1 + a^2 + a*b*x)/(Sqrt[1 + a^2]*Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])])/Sqrt[1 + a^2] + b*Log[x]}
+{E^ArcSinh[a + b*x]/x^3, x, 6, -(a/(2*x^2)) - b/x - ((1 + a^2 + a*b*x)*Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/(2*(1 + a^2)*x^2) - (b^2*ArcTanh[(1 + a^2 + a*b*x)/(Sqrt[1 + a^2]*Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])])/(2*(1 + a^2)^(3/2))}
+{E^ArcSinh[a + b*x]/x^4, x, 7, -(a/(3*x^3)) - b/(2*x^2) + (a*b*(1 + a^2 + a*b*x)*Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/(2*(1 + a^2)^2*x^2) - (1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2)/(3*(1 + a^2)*x^3) + (a*b^3*ArcTanh[(1 + a^2 + a*b*x)/(Sqrt[1 + a^2]*Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])])/(2*(1 + a^2)^(5/2))}
+{E^ArcSinh[a + b*x]/x^5, x, 8, -(a/(4*x^4)) - b/(3*x^3) + ((1 - 4*a^2)*b^2*(1 + a^2 + a*b*x)*Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/(8*(1 + a^2)^3*x^2) - (1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2)/(4*(1 + a^2)*x^4) + (5*a*b*(1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(3/2))/(12*(1 + a^2)^2*x^3) + ((1 - 4*a^2)*b^4*ArcTanh[(1 + a^2 + a*b*x)/(Sqrt[1 + a^2]*Sqrt[1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])])/(8*(1 + a^2)^(7/2))}
+
+
+{x^3*E^(ArcSinh[a + b*x]^2), x, 37, -((Sqrt[Pi]*Erfi[-2 + ArcSinh[a + b*x]])/(32*b^4*E^4)) + (Sqrt[Pi]*Erfi[-1 + ArcSinh[a + b*x]])/(16*b^4*E) - (3*a^2*Sqrt[Pi]*Erfi[-1 + ArcSinh[a + b*x]])/(8*b^4*E) - (Sqrt[Pi]*Erfi[1 + ArcSinh[a + b*x]])/(16*b^4*E) + (3*a^2*Sqrt[Pi]*Erfi[1 + ArcSinh[a + b*x]])/(8*b^4*E) + (Sqrt[Pi]*Erfi[2 + ArcSinh[a + b*x]])/(32*b^4*E^4) - (3*a*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-3 + 2*ArcSinh[a + b*x])])/(16*b^4*E^(9/4)) + (3*a*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-1 + 2*ArcSinh[a + b*x])])/(16*b^4*E^(1/4)) - (a^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-1 + 2*ArcSinh[a + b*x])])/(4*b^4*E^(1/4)) + (3*a*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*ArcSinh[a + b*x])])/(16*b^4*E^(1/4)) - (a^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*ArcSinh[a + b*x])])/(4*b^4*E^(1/4)) - (3*a*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(3 + 2*ArcSinh[a + b*x])])/(16*b^4*E^(9/4))}
+{x^2*E^(ArcSinh[a + b*x]^2), x, 27, (a*Sqrt[Pi]*Erfi[-1 + ArcSinh[a + b*x]])/(4*b^3*E) - (a*Sqrt[Pi]*Erfi[1 + ArcSinh[a + b*x]])/(4*b^3*E) + (Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-3 + 2*ArcSinh[a + b*x])])/(16*b^3*E^(9/4)) - (Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-1 + 2*ArcSinh[a + b*x])])/(16*b^3*E^(1/4)) + (a^2*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-1 + 2*ArcSinh[a + b*x])])/(4*b^3*E^(1/4)) - (Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*ArcSinh[a + b*x])])/(16*b^3*E^(1/4)) + (a^2*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*ArcSinh[a + b*x])])/(4*b^3*E^(1/4)) + (Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(3 + 2*ArcSinh[a + b*x])])/(16*b^3*E^(9/4))}
+{x^1*E^(ArcSinh[a + b*x]^2), x, 17, -((Sqrt[Pi]*Erfi[-1 + ArcSinh[a + b*x]])/(8*b^2*E)) + (Sqrt[Pi]*Erfi[1 + ArcSinh[a + b*x]])/(8*b^2*E) - (a*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-1 + 2*ArcSinh[a + b*x])])/(4*b^2*E^(1/4)) - (a*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*ArcSinh[a + b*x])])/(4*b^2*E^(1/4))}
+{x^0*E^(ArcSinh[a + b*x]^2), x, 7, (Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-1 + 2*ArcSinh[a + b*x])])/(4*b*E^(1/4)) + (Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*ArcSinh[a + b*x])])/(4*b*E^(1/4))}
+{E^(ArcSinh[a + b*x]^2)/x^1, x, 0, CannotIntegrate[E^ArcSinh[a + b*x]^2/x, x]}
+{E^(ArcSinh[a + b*x]^2)/x^2, x, 0, CannotIntegrate[E^ArcSinh[a + b*x]^2/x^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Miscellaneous integrands involving inverse hyperbolic sines*)
+
+
+{ArcSinh[a + b*x]/((a*d)/b + d*x), x, 7, -(ArcSinh[a + b*x]^2/(2*d)) + (ArcSinh[a + b*x]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[a + b*x])])/d + PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[a + b*x])]/(2*d)}
+
+
+{x/(Sqrt[1 + x^2]*ArcSinh[x]), x, 2, SinhIntegral[ArcSinh[x]]}
+
+
+{x^3*ArcSinh[a + b*x^4], x, 4, -(Sqrt[1 + (a + b*x^4)^2]/(4*b)) + ((a + b*x^4)*ArcSinh[a + b*x^4])/(4*b)}
+
+{x^(n-1)*ArcSinh[a + b*x^n], x, 4, -(Sqrt[1 + (a + b*x^n)^2]/(b*n)) + ((a + b*x^n)*ArcSinh[a + b*x^n])/(b*n)}
+
+
+{ArcSinh[c/(a + b*x)], x, 6, ((a + b*x)*ArcCsch[a/c + (b*x)/c])/b + (c*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a/c + (b*x)/c)^2]])/b}
+
+
+{x/ArcSinh[Sinh[x]], x, -1, ArcSinh[Sinh[x]] + Log[ArcSinh[Sinh[x]]]*(-ArcSinh[Sinh[x]] + x*Sqrt[Cosh[x]^2]*Sech[x])}
+
+
+{ArcSinh[Sqrt[-1 + b*x^2]]^n/Sqrt[-1 + b*x^2], x, 2, (Sqrt[b*x^2]*ArcSinh[Sqrt[-1 + b*x^2]]^(1 + n))/(b*(1 + n)*x)}
+{1/(ArcSinh[Sqrt[-1 + b*x^2]]*Sqrt[-1 + b*x^2]), x, 2, (Sqrt[b*x^2]*Log[ArcSinh[Sqrt[-1 + b*x^2]]])/(b*x)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/(d+e x)^p (-d+e x)^q (a+b arccosh(c x))^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/(d+e x)^p (-d+e x)^q (a+b arccosh(c x))^n.m
new file mode 100644
index 00000000..5823ef0f
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/(d+e x)^p (-d+e x)^q (a+b arccosh(c x))^n.m	
@@ -0,0 +1,32 @@
+(* ::Package:: *)
+
+{(-1 + c*x)^(5/2)*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 0, 0}
+{(-1 + c*x)^(3/2)*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 0, 0}
+{(-1 + c*x)^(1/2)*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 3, (-(1/4))*b*c*x^2 + (1/2)*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(4*b*c)}
+{Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])/(-1 + c*x)^(1/2), x, 0, 0}
+{Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])/(-1 + c*x)^(3/2), x, 0, 0}
+{Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])/(-1 + c*x)^(5/2), x, 7, (b*Sqrt[(1 - c*x)*(1 + c*x)]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c*Sqrt[-1 + c*x]*(-((1 - c*x)/(1 + c*x)))^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2)) - ((1 + c*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c*(-1 + c*x)^(3/2)) - (2*b*Sqrt[(1 - c*x)*(1 + c*x)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]])/(3*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]*(1 + c*x)^(3/2)) + (b*Sqrt[(1 - c*x)*(1 + c*x)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[2/(1 + c*x)])/(3*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]*(1 + c*x)^(3/2))}
+
+
+{(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 0, 0}
+{(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 6, (5/16)*b*c*x^2 - (1/16)*b*c^3*x^4 - (3/8)*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/4)*x*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(16*b*c)}
+{(-1 + c*x)^(1/2)*(1 + c*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 0, 0}
+{(1 + c*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])/(-1 + c*x)^(1/2), x, 0, 0}
+{(1 + c*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])/(-1 + c*x)^(3/2), x, 0, 0}
+{(1 + c*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])/(-1 + c*x)^(5/2), x, 0, 0}
+
+
+{(-1 + c*x)^(5/2)/Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 0, 0}
+{(-1 + c*x)^(3/2)/Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 0, 0}
+{(-1 + c*x)^(1/2)/Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 0, (-b)*x + (b*ArcCosh[c*x]^2)/(2*c) + (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/c - (ArcCosh[c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/c}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/((-1 + c*x)^(1/2)*Sqrt[1 + c*x]), x, 1, (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(2*b*c)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/((-1 + c*x)^(3/2)*Sqrt[1 + c*x]), x, 8, -((Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c*Sqrt[-1 + c*x])) - (2*b*Sqrt[(1 - c*x)*(1 + c*x)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]])/(c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]*(1 + c*x)^(3/2)) + (b*Sqrt[(1 - c*x)*(1 + c*x)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[2/(1 + c*x)])/(c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]*(1 + c*x)^(3/2))}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/((-1 + c*x)^(5/2)*Sqrt[1 + c*x]), x, 11, -(b/(3*c*(1 - c*x))) + (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*c*(1 - c*x)^(3/2)*Sqrt[1 + c*x]) - (Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c*(-1 + c*x)^(3/2)) + (Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c*Sqrt[-1 + c*x]) - (2*b*Log[Sqrt[-1 + c*x]])/(3*c)}
+
+
+{(-1 + c*x)^(5/2)/(1 + c*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 0, 0}
+{(-1 + c*x)^(3/2)/(1 + c*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 0, 0}
+{(-1 + c*x)^(1/2)/(1 + c*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 0, 0}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/((-1 + c*x)^(1/2)*(1 + c*x)^(3/2)), x, 5, (Sqrt[-1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c*Sqrt[1 + c*x]) - (b*Sqrt[(1 - c*x)*(1 + c*x)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[2/(1 + c*x)])/(c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]*(1 + c*x)^(3/2))}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/((-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2)), x, 2, -((x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (b*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/((-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(3/2)), x, 19, (b*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*c*(1 - c*x)^(3/2)*Sqrt[1 + c*x]) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(3*c*(-1 + c*x)^(3/2)*Sqrt[1 + c*x]) + (2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[c*x])/(6*c*Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*Log[Sqrt[-1 + c*x]])/(3*c) - (b*Log[1 + c*x])/(3*c)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.2 (d x)^m (a+b arccosh(c x))^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.2 (d x)^m (a+b arccosh(c x))^n.m
new file mode 100644
index 00000000..ab4e3486
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.2 (d x)^m (a+b arccosh(c x))^n.m	
@@ -0,0 +1,308 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcCosh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b x)^m ArcCosh[a x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCosh[c x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^4*ArcCosh[a*x], x, 6, -((8*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(75*a^5)) - (4*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(75*a^3) - (x^4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(25*a) + (1/5)*x^5*ArcCosh[a*x]}
+{x^3*ArcCosh[a*x], x, 5, -((3*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(32*a^3)) - (x^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(16*a) - (3*ArcCosh[a*x])/(32*a^4) + (1/4)*x^4*ArcCosh[a*x]}
+{x^2*ArcCosh[a*x], x, 4, -((2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(9*a^3)) - (x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(9*a) + (1/3)*x^3*ArcCosh[a*x]}
+{x^1*ArcCosh[a*x], x, 3, -((x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(4*a)) - ArcCosh[a*x]/(4*a^2) + (1/2)*x^2*ArcCosh[a*x]}
+{x^0*ArcCosh[a*x], x, 2, -((Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/a) + x*ArcCosh[a*x]}
+{ArcCosh[a*x]/x^1, x, 5, (-(1/2))*ArcCosh[a*x]^2 + ArcCosh[a*x]*Log[1 + E^(2*ArcCosh[a*x])] + (1/2)*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[a*x])]}
+{ArcCosh[a*x]/x^2, x, 3, -(ArcCosh[a*x]/x) + a*ArcTan[Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]]}
+{ArcCosh[a*x]/x^3, x, 2, (a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(2*x) - ArcCosh[a*x]/(2*x^2)}
+{ArcCosh[a*x]/x^4, x, 5, (a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(6*x^2) - ArcCosh[a*x]/(3*x^3) + (1/6)*a^3*ArcTan[Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]]}
+{ArcCosh[a*x]/x^5, x, 4, (a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(12*x^3) + (a^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(6*x) - ArcCosh[a*x]/(4*x^4)}
+{ArcCosh[a*x]/x^6, x, 7, (a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(20*x^4) + (3*a^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(40*x^2) - ArcCosh[a*x]/(5*x^5) + (3/40)*a^5*ArcTan[Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]]}
+
+
+{x^4*ArcCosh[a*x]^2, x, 7, (16*x)/(75*a^4) + (8*x^3)/(225*a^2) + (2*x^5)/125 - (16*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(75*a^5) - (8*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(75*a^3) - (2*x^4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(25*a) + (x^5*ArcCosh[a*x]^2)/5}
+{x^3*ArcCosh[a*x]^2, x, 6, (3*x^2)/(32*a^2) + x^4/32 - (3*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(16*a^3) - (x^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(8*a) - (3*ArcCosh[a*x]^2)/(32*a^4) + (x^4*ArcCosh[a*x]^2)/4}
+{x^2*ArcCosh[a*x]^2, x, 5, (4*x)/(9*a^2) + (2*x^3)/27 - (4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(9*a^3) - (2*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(9*a) + (x^3*ArcCosh[a*x]^2)/3}
+{x^1*ArcCosh[a*x]^2, x, 4, x^2/4 - (x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(2*a) - ArcCosh[a*x]^2/(4*a^2) + (x^2*ArcCosh[a*x]^2)/2}
+{x^0*ArcCosh[a*x]^2, x, 3, 2*x - (2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/a + x*ArcCosh[a*x]^2}
+{ArcCosh[a*x]^2/x^1, x, 6, -ArcCosh[a*x]^3/3 + ArcCosh[a*x]^2*Log[1 + E^(2*ArcCosh[a*x])] + ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[a*x])] - PolyLog[3, -E^(2*ArcCosh[a*x])]/2}
+{ArcCosh[a*x]^2/x^2, x, 7, -(ArcCosh[a*x]^2/x) + 4*a*ArcCosh[a*x]*ArcTan[E^ArcCosh[a*x]] - (2*I)*a*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[a*x]] + (2*I)*a*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[a*x]]}
+{ArcCosh[a*x]^2/x^3, x, 3, (a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/x - ArcCosh[a*x]^2/(2*x^2) - a^2*Log[x]}
+{ArcCosh[a*x]^2/x^4, x, 9, a^2/(3*x) + (a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(3*x^2) - ArcCosh[a*x]^2/(3*x^3) + (2*a^3*ArcCosh[a*x]*ArcTan[E^ArcCosh[a*x]])/3 - (I/3)*a^3*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[a*x]] + (I/3)*a^3*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[a*x]]}
+{ArcCosh[a*x]^2/x^5, x, 5, a^2/(12*x^2) + (a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(6*x^3) + (a^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(3*x) - ArcCosh[a*x]^2/(4*x^4) - (a^4*Log[x])/3}
+
+
+{x^4*ArcCosh[a*x]^3, x, 16, -((4144*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(5625*a^5)) - (272*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(5625*a^3) - (6*x^4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(625*a) + (16*x*ArcCosh[a*x])/(25*a^4) + (8*x^3*ArcCosh[a*x])/(75*a^2) + (6/125)*x^5*ArcCosh[a*x] - (8*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(25*a^5) - (4*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(25*a^3) - (3*x^4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(25*a) + (1/5)*x^5*ArcCosh[a*x]^3}
+{x^3*ArcCosh[a*x]^3, x, 12, -((45*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(256*a^3)) - (3*x^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(128*a) - (45*ArcCosh[a*x])/(256*a^4) + (9*x^2*ArcCosh[a*x])/(32*a^2) + (3/32)*x^4*ArcCosh[a*x] - (9*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(32*a^3) - (3*x^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(16*a) - (3*ArcCosh[a*x]^3)/(32*a^4) + (1/4)*x^4*ArcCosh[a*x]^3}
+{x^2*ArcCosh[a*x]^3, x, 9, -((40*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(27*a^3)) - (2*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(27*a) + (4*x*ArcCosh[a*x])/(3*a^2) + (2/9)*x^3*ArcCosh[a*x] - (2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(3*a^3) - (x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(3*a) + (1/3)*x^3*ArcCosh[a*x]^3}
+{x^1*ArcCosh[a*x]^3, x, 6, -((3*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(8*a)) - (3*ArcCosh[a*x])/(8*a^2) + (3/4)*x^2*ArcCosh[a*x] - (3*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(4*a) - ArcCosh[a*x]^3/(4*a^2) + (1/2)*x^2*ArcCosh[a*x]^3}
+{x^0*ArcCosh[a*x]^3, x, 4, -((6*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/a) + 6*x*ArcCosh[a*x] - (3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/a + x*ArcCosh[a*x]^3}
+{ArcCosh[a*x]^3/x^1, x, 7, (-(1/4))*ArcCosh[a*x]^4 + ArcCosh[a*x]^3*Log[1 + E^(2*ArcCosh[a*x])] + (3/2)*ArcCosh[a*x]^2*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[a*x])] - (3/2)*ArcCosh[a*x]*PolyLog[3, -E^(2*ArcCosh[a*x])] + (3/4)*PolyLog[4, -E^(2*ArcCosh[a*x])]}
+{ArcCosh[a*x]^3/x^2, x, 9, -(ArcCosh[a*x]^3/x) + 6*a*ArcCosh[a*x]^2*ArcTan[E^ArcCosh[a*x]] - 6*I*a*ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[a*x]] + 6*I*a*ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[a*x]] + 6*I*a*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[a*x]] - 6*I*a*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[a*x]]}
+{ArcCosh[a*x]^3/x^3, x, 7, (3/2)*a^2*ArcCosh[a*x]^2 + (3*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(2*x) - ArcCosh[a*x]^3/(2*x^2) - 3*a^2*ArcCosh[a*x]*Log[1 + E^(2*ArcCosh[a*x])] - (3/2)*a^2*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[a*x])]}
+{ArcCosh[a*x]^3/x^4, x, 13, (a^2*ArcCosh[a*x])/x + (a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(2*x^2) - ArcCosh[a*x]^3/(3*x^3) + a^3*ArcCosh[a*x]^2*ArcTan[E^ArcCosh[a*x]] - a^3*ArcTan[Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]] - I*a^3*ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[a*x]] + I*a^3*ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[a*x]] + I*a^3*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[a*x]] - I*a^3*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[a*x]]}
+{ArcCosh[a*x]^3/x^5, x, 10, -(a^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(4*x) + (a^2*ArcCosh[a*x])/(4*x^2) + (a^4*ArcCosh[a*x]^2)/2 + (a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(4*x^3) + (a^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(2*x) - ArcCosh[a*x]^3/(4*x^4) - a^4*ArcCosh[a*x]*Log[1 + E^(2*ArcCosh[a*x])] - (a^4*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[a*x])])/2}
+
+
+{x^5*ArcCosh[a*x]^4, x, 23, (245*x^2)/(1152*a^4) + (65*x^4)/(3456*a^2) + x^6/324 - (245*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(576*a^5) - (65*x^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(864*a^3) - (x^5*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(54*a) - (245*ArcCosh[a*x]^2)/(1152*a^6) + (5*x^2*ArcCosh[a*x]^2)/(16*a^4) + (5*x^4*ArcCosh[a*x]^2)/(48*a^2) + (x^6*ArcCosh[a*x]^2)/18 - (5*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/(24*a^5) - (5*x^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/(36*a^3) - (x^5*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/(9*a) - (5*ArcCosh[a*x]^4)/(96*a^6) + (x^6*ArcCosh[a*x]^4)/6}
+{x^4*ArcCosh[a*x]^4, x, 19, (16576*x)/(5625*a^4) + (1088*x^3)/(16875*a^2) + (24*x^5)/3125 - (16576*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(5625*a^5) - (1088*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(5625*a^3) - (24*x^4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(625*a) + (32*x*ArcCosh[a*x]^2)/(25*a^4) + (16*x^3*ArcCosh[a*x]^2)/(75*a^2) + (12/125)*x^5*ArcCosh[a*x]^2 - (32*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/(75*a^5) - (16*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/(75*a^3) - (4*x^4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/(25*a) + (1/5)*x^5*ArcCosh[a*x]^4}
+{x^3*ArcCosh[a*x]^4, x, 14, (45*x^2)/(128*a^2) + (3*x^4)/128 - (45*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(64*a^3) - (3*x^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(32*a) - (45*ArcCosh[a*x]^2)/(128*a^4) + (9*x^2*ArcCosh[a*x]^2)/(16*a^2) + (3/16)*x^4*ArcCosh[a*x]^2 - (3*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/(8*a^3) - (x^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/(4*a) - (3*ArcCosh[a*x]^4)/(32*a^4) + (1/4)*x^4*ArcCosh[a*x]^4}
+{x^2*ArcCosh[a*x]^4, x, 11, (160*x)/(27*a^2) + (8*x^3)/81 - (160*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(27*a^3) - (8*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(27*a) + (8*x*ArcCosh[a*x]^2)/(3*a^2) + (4/9)*x^3*ArcCosh[a*x]^2 - (8*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/(9*a^3) - (4*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/(9*a) + (1/3)*x^3*ArcCosh[a*x]^4}
+{x^1*ArcCosh[a*x]^4, x, 7, (3*x^2)/4 - (3*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(2*a) - (3*ArcCosh[a*x]^2)/(4*a^2) + (3/2)*x^2*ArcCosh[a*x]^2 - (x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/a - ArcCosh[a*x]^4/(4*a^2) + (1/2)*x^2*ArcCosh[a*x]^4}
+{x^0*ArcCosh[a*x]^4, x, 5, 24*x - (24*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/a + 12*x*ArcCosh[a*x]^2 - (4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/a + x*ArcCosh[a*x]^4}
+{ArcCosh[a*x]^4/x^1, x, 8, (-(1/5))*ArcCosh[a*x]^5 + ArcCosh[a*x]^4*Log[1 + E^(2*ArcCosh[a*x])] + 2*ArcCosh[a*x]^3*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[a*x])] - 3*ArcCosh[a*x]^2*PolyLog[3, -E^(2*ArcCosh[a*x])] + 3*ArcCosh[a*x]*PolyLog[4, -E^(2*ArcCosh[a*x])] - (3/2)*PolyLog[5, -E^(2*ArcCosh[a*x])]}
+{ArcCosh[a*x]^4/x^2, x, 11, -(ArcCosh[a*x]^4/x) + 8*a*ArcCosh[a*x]^3*ArcTan[E^ArcCosh[a*x]] - 12*I*a*ArcCosh[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[a*x]] + 12*I*a*ArcCosh[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[a*x]] + 24*I*a*ArcCosh[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[a*x]] - 24*I*a*ArcCosh[a*x]*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[a*x]] - 24*I*a*PolyLog[4, (-I)*E^ArcCosh[a*x]] + 24*I*a*PolyLog[4, I*E^ArcCosh[a*x]]}
+{ArcCosh[a*x]^4/x^3, x, 8, 2*a^2*ArcCosh[a*x]^3 + (2*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/x - ArcCosh[a*x]^4/(2*x^2) - 6*a^2*ArcCosh[a*x]^2*Log[1 + E^(2*ArcCosh[a*x])] - 6*a^2*ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[a*x])] + 3*a^2*PolyLog[3, -E^(2*ArcCosh[a*x])]}
+{ArcCosh[a*x]^4/x^4, x, 19, (2*a^2*ArcCosh[a*x]^2)/x + (2*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/(3*x^2) - ArcCosh[a*x]^4/(3*x^3) - 8*a^3*ArcCosh[a*x]*ArcTan[E^ArcCosh[a*x]] + (4/3)*a^3*ArcCosh[a*x]^3*ArcTan[E^ArcCosh[a*x]] + 4*I*a^3*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[a*x]] - 2*I*a^3*ArcCosh[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[a*x]] - 4*I*a^3*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[a*x]] + 2*I*a^3*ArcCosh[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[a*x]] + 4*I*a^3*ArcCosh[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[a*x]] - 4*I*a^3*ArcCosh[a*x]*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[a*x]] - 4*I*a^3*PolyLog[4, (-I)*E^ArcCosh[a*x]] + 4*I*a^3*PolyLog[4, I*E^ArcCosh[a*x]]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^6/ArcCosh[a*x], x, 7, (5*SinhIntegral[ArcCosh[a*x]])/(64*a^7) + (9*SinhIntegral[3*ArcCosh[a*x]])/(64*a^7) + (5*SinhIntegral[5*ArcCosh[a*x]])/(64*a^7) + SinhIntegral[7*ArcCosh[a*x]]/(64*a^7)}
+{x^5/ArcCosh[a*x], x, 6, (5*SinhIntegral[2*ArcCosh[a*x]])/(32*a^6) + SinhIntegral[4*ArcCosh[a*x]]/(8*a^6) + SinhIntegral[6*ArcCosh[a*x]]/(32*a^6)}
+{x^4/ArcCosh[a*x], x, 6, SinhIntegral[ArcCosh[a*x]]/(8*a^5) + (3*SinhIntegral[3*ArcCosh[a*x]])/(16*a^5) + SinhIntegral[5*ArcCosh[a*x]]/(16*a^5)}
+{x^3/ArcCosh[a*x], x, 5, SinhIntegral[2*ArcCosh[a*x]]/(4*a^4) + SinhIntegral[4*ArcCosh[a*x]]/(8*a^4)}
+{x^2/ArcCosh[a*x], x, 5, SinhIntegral[ArcCosh[a*x]]/(4*a^3) + SinhIntegral[3*ArcCosh[a*x]]/(4*a^3)}
+{x^1/ArcCosh[a*x], x, 4, SinhIntegral[2*ArcCosh[a*x]]/(2*a^2)}
+{x^0/ArcCosh[a*x], x, 2, SinhIntegral[ArcCosh[a*x]]/a}
+{1/(x^1*ArcCosh[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcCosh[a*x]), x]}
+{1/(x^2*ArcCosh[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*ArcCosh[a*x]), x]}
+
+
+{x^4/ArcCosh[a*x]^2, x, 5, -((x^4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a*ArcCosh[a*x])) + CoshIntegral[ArcCosh[a*x]]/(8*a^5) + (9*CoshIntegral[3*ArcCosh[a*x]])/(16*a^5) + (5*CoshIntegral[5*ArcCosh[a*x]])/(16*a^5)}
+{x^3/ArcCosh[a*x]^2, x, 4, -((x^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a*ArcCosh[a*x])) + CoshIntegral[2*ArcCosh[a*x]]/(2*a^4) + CoshIntegral[4*ArcCosh[a*x]]/(2*a^4)}
+{x^2/ArcCosh[a*x]^2, x, 4, -((x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a*ArcCosh[a*x])) + CoshIntegral[ArcCosh[a*x]]/(4*a^3) + (3*CoshIntegral[3*ArcCosh[a*x]])/(4*a^3)}
+{x^1/ArcCosh[a*x]^2, x, 2, -((x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a*ArcCosh[a*x])) + CoshIntegral[2*ArcCosh[a*x]]/a^2}
+{x^0/ArcCosh[a*x]^2, x, 3, -((Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a*ArcCosh[a*x])) + CoshIntegral[ArcCosh[a*x]]/a}
+{1/(x^1*ArcCosh[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcCosh[a*x]^2), x]}
+{1/(x^2*ArcCosh[a*x]^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*ArcCosh[a*x]^2), x]}
+
+
+{x^4/ArcCosh[a*x]^3, x, 14, -((x^4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(2*a*ArcCosh[a*x]^2)) + (2*x^3)/(a^2*ArcCosh[a*x]) - (5*x^5)/(2*ArcCosh[a*x]) + SinhIntegral[ArcCosh[a*x]]/(16*a^5) + (27*SinhIntegral[3*ArcCosh[a*x]])/(32*a^5) + (25*SinhIntegral[5*ArcCosh[a*x]])/(32*a^5)}
+{x^3/ArcCosh[a*x]^3, x, 12, -((x^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(2*a*ArcCosh[a*x]^2)) + (3*x^2)/(2*a^2*ArcCosh[a*x]) - (2*x^4)/ArcCosh[a*x] + SinhIntegral[2*ArcCosh[a*x]]/(2*a^4) + SinhIntegral[4*ArcCosh[a*x]]/a^4}
+{x^2/ArcCosh[a*x]^3, x, 10, -((x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(2*a*ArcCosh[a*x]^2)) + x/(a^2*ArcCosh[a*x]) - (3*x^3)/(2*ArcCosh[a*x]) + SinhIntegral[ArcCosh[a*x]]/(8*a^3) + (9*SinhIntegral[3*ArcCosh[a*x]])/(8*a^3)}
+{x^1/ArcCosh[a*x]^3, x, 7, -((x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(2*a*ArcCosh[a*x]^2)) + 1/(2*a^2*ArcCosh[a*x]) - x^2/ArcCosh[a*x] + SinhIntegral[2*ArcCosh[a*x]]/a^2}
+{x^0/ArcCosh[a*x]^3, x, 4, -((Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(2*a*ArcCosh[a*x]^2)) - x/(2*ArcCosh[a*x]) + SinhIntegral[ArcCosh[a*x]]/(2*a)}
+{1/(x^1*ArcCosh[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcCosh[a*x]^3), x]}
+{1/(x^2*ArcCosh[a*x]^3), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*ArcCosh[a*x]^3), x]}
+
+
+{x^4/ArcCosh[a*x]^4, x, 12, -(x^4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(3*a*ArcCosh[a*x]^3) + (2*x^3)/(3*a^2*ArcCosh[a*x]^2) - (5*x^5)/(6*ArcCosh[a*x]^2) + (2*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a^3*ArcCosh[a*x]) - (25*x^4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(6*a*ArcCosh[a*x]) + CoshIntegral[ArcCosh[a*x]]/(48*a^5) + (27*CoshIntegral[3*ArcCosh[a*x]])/(32*a^5) + (125*CoshIntegral[5*ArcCosh[a*x]])/(96*a^5)}
+{x^3/ArcCosh[a*x]^4, x, 9, -(x^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(3*a*ArcCosh[a*x]^3) + x^2/(2*a^2*ArcCosh[a*x]^2) - (2*x^4)/(3*ArcCosh[a*x]^2) + (x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a^3*ArcCosh[a*x]) - (8*x^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(3*a*ArcCosh[a*x]) + CoshIntegral[2*ArcCosh[a*x]]/(3*a^4) + (4*CoshIntegral[4*ArcCosh[a*x]])/(3*a^4)}
+{x^2/ArcCosh[a*x]^4, x, 10, -(x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(3*a*ArcCosh[a*x]^3) + x/(3*a^2*ArcCosh[a*x]^2) - x^3/(2*ArcCosh[a*x]^2) + (Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(3*a^3*ArcCosh[a*x]) - (3*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(2*a*ArcCosh[a*x]) + CoshIntegral[ArcCosh[a*x]]/(24*a^3) + (9*CoshIntegral[3*ArcCosh[a*x]])/(8*a^3)}
+{x^1/ArcCosh[a*x]^4, x, 5, -(x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(3*a*ArcCosh[a*x]^3) + 1/(6*a^2*ArcCosh[a*x]^2) - x^2/(3*ArcCosh[a*x]^2) - (2*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(3*a*ArcCosh[a*x]) + (2*CoshIntegral[2*ArcCosh[a*x]])/(3*a^2)}
+{x^0/ArcCosh[a*x]^4, x, 5, -(Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(3*a*ArcCosh[a*x]^3) - x/(6*ArcCosh[a*x]^2) - (Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(6*a*ArcCosh[a*x]) + CoshIntegral[ArcCosh[a*x]]/(6*a)}
+{1/(x^1*ArcCosh[a*x]^4), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcCosh[a*x]^4), x]}
+{1/(x^2*ArcCosh[a*x]^4), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*ArcCosh[a*x]^4), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCosh[c x]^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^4*Sqrt[ArcCosh[a*x]], x, 19, (1/5)*x^5*Sqrt[ArcCosh[a*x]] - (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(32*a^5) - (Sqrt[Pi/3]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(64*a^5) - (Sqrt[Pi/5]*Erf[Sqrt[5]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(320*a^5) - (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(32*a^5) - (Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(64*a^5) - (Sqrt[Pi/5]*Erfi[Sqrt[5]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(320*a^5)}
+{x^3*Sqrt[ArcCosh[a*x]], x, 14, -((3*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(32*a^4)) + (1/4)*x^4*Sqrt[ArcCosh[a*x]] - (Sqrt[Pi]*Erf[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(256*a^4) - (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(32*a^4) - (Sqrt[Pi]*Erfi[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(256*a^4) - (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(32*a^4)}
+{x^2*Sqrt[ArcCosh[a*x]], x, 14, (1/3)*x^3*Sqrt[ArcCosh[a*x]] - (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a^3) - (Sqrt[Pi/3]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(48*a^3) - (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a^3) - (Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(48*a^3)}
+{x*Sqrt[ArcCosh[a*x]], x, 9, -(Sqrt[ArcCosh[a*x]]/(4*a^2)) + (1/2)*x^2*Sqrt[ArcCosh[a*x]] - (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a^2) - (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a^2)}
+{Sqrt[ArcCosh[a*x]], x, 7, x*Sqrt[ArcCosh[a*x]] - (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(4*a) - (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(4*a)}
+{Sqrt[ArcCosh[a*x]]/x, x, 0, Unintegrable[Sqrt[ArcCosh[a*x]]/x, x]}
+
+
+{x^4*ArcCosh[a*x]^(3/2), x, 41, -((4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(25*a^5)) - (2*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(25*a^3) - (3*x^4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(50*a) + (1/5)*x^5*ArcCosh[a*x]^(3/2) - (3*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(64*a^5) - (Sqrt[Pi/3]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(200*a^5) - (3*Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(3200*a^5) - (3*Sqrt[Pi/5]*Erf[Sqrt[5]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(3200*a^5) + (3*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(64*a^5) + (Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(200*a^5) + (3*Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(3200*a^5) + (3*Sqrt[Pi/5]*Erfi[Sqrt[5]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(3200*a^5)}
+{x^3*ArcCosh[a*x]^(3/2), x, 25, (-9*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(64*a^3) - (3*x^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(32*a) - (3*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(32*a^4) + (x^4*ArcCosh[a*x]^(3/2))/4 - (3*Sqrt[Pi]*Erf[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(2048*a^4) - (3*Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(128*a^4) + (3*Sqrt[Pi]*Erfi[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(2048*a^4) + (3*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(128*a^4)}
+{x^2*ArcCosh[a*x]^(3/2), x, 22, -(Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(3*a^3) - (x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(6*a) + (x^3*ArcCosh[a*x]^(3/2))/3 - (3*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(32*a^3) - (Sqrt[Pi/3]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(96*a^3) + (3*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(32*a^3) + (Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(96*a^3)}
+{x*ArcCosh[a*x]^(3/2), x, 11, (-3*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(8*a) - ArcCosh[a*x]^(3/2)/(4*a^2) + (x^2*ArcCosh[a*x]^(3/2))/2 - (3*Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(64*a^2) + (3*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(64*a^2)}
+{ArcCosh[a*x]^(3/2), x, 8, (-3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(2*a) + x*ArcCosh[a*x]^(3/2) - (3*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(8*a) + (3*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(8*a)}
+{ArcCosh[a*x]^(3/2)/x, x, 0, Unintegrable[ArcCosh[a*x]^(3/2)/x, x]}
+
+
+{x^4*ArcCosh[a*x]^(5/2), x, 44, (2*x*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(5*a^4) + (x^3*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(15*a^2) + (3/100)*x^5*Sqrt[ArcCosh[a*x]] - (4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(15*a^5) - (2*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(15*a^3) - (x^4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(10*a) + (1/5)*x^5*ArcCosh[a*x]^(5/2) - (15*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(128*a^5) - (Sqrt[Pi/3]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(240*a^5) - (Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(1280*a^5) - (3*Sqrt[Pi/5]*Erf[Sqrt[5]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(6400*a^5) - (15*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(128*a^5) - (Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(240*a^5) - (Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(1280*a^5) - (3*Sqrt[Pi/5]*Erfi[Sqrt[5]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(6400*a^5)}
+{x^3*ArcCosh[a*x]^(5/2), x, 27, -((225*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(2048*a^4)) + (45*x^2*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(256*a^2) + (15/256)*x^4*Sqrt[ArcCosh[a*x]] - (15*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(64*a^3) - (5*x^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(32*a) - (3*ArcCosh[a*x]^(5/2))/(32*a^4) + (1/4)*x^4*ArcCosh[a*x]^(5/2) - (15*Sqrt[Pi]*Erf[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16384*a^4) - (15*Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(512*a^4) - (15*Sqrt[Pi]*Erfi[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16384*a^4) - (15*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(512*a^4)}
+{x^2*ArcCosh[a*x]^(5/2), x, 24, (5*x*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(6*a^2) + (5/36)*x^3*Sqrt[ArcCosh[a*x]] - (5*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(9*a^3) - (5*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(18*a) + (1/3)*x^3*ArcCosh[a*x]^(5/2) - (15*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(64*a^3) - (5*Sqrt[Pi/3]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(576*a^3) - (15*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(64*a^3) - (5*Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(576*a^3)}
+{x*ArcCosh[a*x]^(5/2), x, 12, -((15*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(64*a^2)) + (15/32)*x^2*Sqrt[ArcCosh[a*x]] - (5*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(8*a) - ArcCosh[a*x]^(5/2)/(4*a^2) + (1/2)*x^2*ArcCosh[a*x]^(5/2) - (15*Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(256*a^2) - (15*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(256*a^2)}
+{ArcCosh[a*x]^(5/2), x, 9, (15/4)*x*Sqrt[ArcCosh[a*x]] - (5*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(2*a) + x*ArcCosh[a*x]^(5/2) - (15*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a) - (15*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a)}
+{ArcCosh[a*x]^(5/2)/x, x, 0, Unintegrable[ArcCosh[a*x]^(5/2)/x, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^4/Sqrt[ArcCosh[a*x]], x, 18, -((Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a^5)) - (Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(32*a^5) - (Sqrt[Pi/5]*Erf[Sqrt[5]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(32*a^5) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a^5) + (Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(32*a^5) + (Sqrt[Pi/5]*Erfi[Sqrt[5]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(32*a^5)}
+{x^3/Sqrt[ArcCosh[a*x]], x, 13, -((Sqrt[Pi]*Erf[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(32*a^4)) - (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(8*a^4) + (Sqrt[Pi]*Erfi[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(32*a^4) + (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(8*a^4)}
+{x^2/Sqrt[ArcCosh[a*x]], x, 13, -((Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(8*a^3)) - (Sqrt[Pi/3]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(8*a^3) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(8*a^3) + (Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(8*a^3)}
+{x/Sqrt[ArcCosh[a*x]], x, 8, -(Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(4*a^2) + (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(4*a^2)}
+{1/Sqrt[ArcCosh[a*x]], x, 6, -((Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(2*a)) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(2*a)}
+{1/(x*Sqrt[ArcCosh[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[ArcCosh[a*x]]), x]}
+{1/(x^2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]), x]}
+
+
+{x^4/ArcCosh[a*x]^(3/2), x, 17, -((2*x^4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a*Sqrt[ArcCosh[a*x]])) + (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(8*a^5) + (3*Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a^5) + (Sqrt[5*Pi]*Erf[Sqrt[5]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a^5) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(8*a^5) + (3*Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a^5) + (Sqrt[5*Pi]*Erfi[Sqrt[5]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a^5)}
+{x^3/ArcCosh[a*x]^(3/2), x, 12, -((2*x^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a*Sqrt[ArcCosh[a*x]])) + (Sqrt[Pi]*Erf[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(4*a^4) + (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(2*a^4) + (Sqrt[Pi]*Erfi[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(4*a^4) + (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(2*a^4)}
+{x^2/ArcCosh[a*x]^(3/2), x, 12, -((2*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a*Sqrt[ArcCosh[a*x]])) + (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(4*a^3) + (Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(4*a^3) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(4*a^3) + (Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(4*a^3)}
+{x/ArcCosh[a*x]^(3/2), x, 6, -((2*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a*Sqrt[ArcCosh[a*x]])) + (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/a^2 + (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/a^2}
+{1/ArcCosh[a*x]^(3/2), x, 7, -((2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a*Sqrt[ArcCosh[a*x]])) + (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/a + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/a}
+{1/(x*ArcCosh[a*x]^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcCosh[a*x]^(3/2)), x]}
+
+
+{x^4/ArcCosh[a*x]^(5/2), x, 34, -((2*x^4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(3*a*ArcCosh[a*x]^(3/2))) + (16*x^3)/(3*a^2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]) - (20*x^5)/(3*Sqrt[ArcCosh[a*x]]) - (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(12*a^5) - (3*Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(8*a^5) - (5*Sqrt[5*Pi]*Erf[Sqrt[5]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(24*a^5) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(12*a^5) + (3*Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(8*a^5) + (5*Sqrt[5*Pi]*Erfi[Sqrt[5]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(24*a^5)}
+{x^3/ArcCosh[a*x]^(5/2), x, 24, -((2*x^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(3*a*ArcCosh[a*x]^(3/2))) + (4*x^2)/(a^2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]) - (16*x^4)/(3*Sqrt[ArcCosh[a*x]]) - (2*Sqrt[Pi]*Erf[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(3*a^4) - (Sqrt[2*Pi]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(3*a^4) + (2*Sqrt[Pi]*Erfi[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(3*a^4) + (Sqrt[2*Pi]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(3*a^4)}
+{x^2/ArcCosh[a*x]^(5/2), x, 22, -((2*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(3*a*ArcCosh[a*x]^(3/2))) + (8*x)/(3*a^2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]) - (4*x^3)/Sqrt[ArcCosh[a*x]] - (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(6*a^3) - (Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(2*a^3) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(6*a^3) + (Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(2*a^3)}
+{x/ArcCosh[a*x]^(5/2), x, 11, -((2*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(3*a*ArcCosh[a*x]^(3/2))) + 4/(3*a^2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]) - (8*x^2)/(3*Sqrt[ArcCosh[a*x]]) - (2*Sqrt[2*Pi]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(3*a^2) + (2*Sqrt[2*Pi]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(3*a^2)}
+{1/ArcCosh[a*x]^(5/2), x, 8, -((2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(3*a*ArcCosh[a*x]^(3/2))) - (4*x)/(3*Sqrt[ArcCosh[a*x]]) - (2*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(3*a) + (2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(3*a)}
+{1/(x*ArcCosh[a*x]^(5/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcCosh[a*x]^(5/2)), x]}
+
+
+{x^4/ArcCosh[a*x]^(7/2), x, 32, -((2*x^4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(5*a*ArcCosh[a*x]^(5/2))) + (16*x^3)/(15*a^2*ArcCosh[a*x]^(3/2)) - (4*x^5)/(3*ArcCosh[a*x]^(3/2)) + (32*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(5*a^3*Sqrt[ArcCosh[a*x]]) - (40*x^4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(3*a*Sqrt[ArcCosh[a*x]]) + (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(30*a^5) + (9*Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(20*a^5) + (5*Sqrt[5*Pi]*Erf[Sqrt[5]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(12*a^5) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(30*a^5) + (9*Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(20*a^5) + (5*Sqrt[5*Pi]*Erfi[Sqrt[5]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(12*a^5)}
+{x^3/ArcCosh[a*x]^(7/2), x, 21, -((2*x^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(5*a*ArcCosh[a*x]^(5/2))) + (4*x^2)/(5*a^2*ArcCosh[a*x]^(3/2)) - (16*x^4)/(15*ArcCosh[a*x]^(3/2)) + (16*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(5*a^3*Sqrt[ArcCosh[a*x]]) - (128*x^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(15*a*Sqrt[ArcCosh[a*x]]) + (16*Sqrt[Pi]*Erf[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(15*a^4) + (4*Sqrt[2*Pi]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(15*a^4) + (16*Sqrt[Pi]*Erfi[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(15*a^4) + (4*Sqrt[2*Pi]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(15*a^4)}
+{x^2/ArcCosh[a*x]^(7/2), x, 22, -((2*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(5*a*ArcCosh[a*x]^(5/2))) + (8*x)/(15*a^2*ArcCosh[a*x]^(3/2)) - (4*x^3)/(5*ArcCosh[a*x]^(3/2)) + (16*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(15*a^3*Sqrt[ArcCosh[a*x]]) - (24*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(5*a*Sqrt[ArcCosh[a*x]]) + (Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(15*a^3) + (3*Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(5*a^3) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(15*a^3) + (3*Sqrt[3*Pi]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(5*a^3)}
+{x/ArcCosh[a*x]^(7/2), x, 9, -((2*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(5*a*ArcCosh[a*x]^(5/2))) + 4/(15*a^2*ArcCosh[a*x]^(3/2)) - (8*x^2)/(15*ArcCosh[a*x]^(3/2)) - (32*x*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(15*a*Sqrt[ArcCosh[a*x]]) + (8*Sqrt[2*Pi]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(15*a^2) + (8*Sqrt[2*Pi]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(15*a^2)}
+{1/ArcCosh[a*x]^(7/2), x, 9, -((2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(5*a*ArcCosh[a*x]^(5/2))) - (4*x)/(15*ArcCosh[a*x]^(3/2)) - (8*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(15*a*Sqrt[ArcCosh[a*x]]) + (4*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(15*a) + (4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(15*a)}
+{1/(x*ArcCosh[a*x]^(7/2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*ArcCosh[a*x]^(7/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b x)^m ArcCosh[c x]^n with m symbolic*)
+
+
+{x^m*ArcCosh[a*x]^4, x, 1, (x^(1 + m)*ArcCosh[a*x]^4)/(1 + m) - (4*a*Unintegrable[(x^(1 + m)*ArcCosh[a*x]^3)/(Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]), x])/(1 + m)}
+{x^m*ArcCosh[a*x]^3, x, 1, (x^(1 + m)*ArcCosh[a*x]^3)/(1 + m) - (3*a*Unintegrable[(x^(1 + m)*ArcCosh[a*x]^2)/(Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]), x])/(1 + m)}
+{x^m*ArcCosh[a*x]^2, x, 2, (x^(1 + m)*ArcCosh[a*x]^2)/(1 + m) - (2*a*x^(2 + m)*Sqrt[1 - a*x]*ArcCosh[a*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + 3*m + m^2)*Sqrt[-1 + a*x]) - (2*a^2*x^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, a^2*x^2])/(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3)}
+{x^m*ArcCosh[a*x]^1, x, 4, (x^(1 + m)*ArcCosh[a*x])/(1 + m) - (a*x^(2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + 3*m + m^2)*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{x^m/ArcCosh[a*x]^1, x, 0, Unintegrable[x^m/ArcCosh[a*x], x]}
+{x^m/ArcCosh[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[x^m/ArcCosh[a*x]^2, x]}
+{x^m/ArcCosh[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[x^m/ArcCosh[a*x]^3, x]}
+
+
+{x^m*ArcCosh[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[x^m*ArcCosh[a*x]^(3/2), x]}
+{x^m*Sqrt[ArcCosh[a*x]], x, 0, Unintegrable[x^m*Sqrt[ArcCosh[a*x]], x]}
+{x^m/Sqrt[ArcCosh[a*x]], x, 0, Unintegrable[x^m/Sqrt[ArcCosh[a*x]], x]}
+{x^m/ArcCosh[a*x]^(3/2), x, 0, Unintegrable[x^m/ArcCosh[a*x]^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (b x)^m ArcCosh[c x]^n with n symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*ArcCosh[a*x]^n, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*ArcCosh[a*x]^n, x]}
+
+
+{x^4*ArcCosh[a*x]^n, x, 12, (5^(-1 - n)*ArcCosh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -5*ArcCosh[a*x]])/(32*a^5*(-ArcCosh[a*x])^n) + (ArcCosh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -3*ArcCosh[a*x]])/(32*3^n*a^5*(-ArcCosh[a*x])^n) + (ArcCosh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -ArcCosh[a*x]])/(16*a^5*(-ArcCosh[a*x])^n) + Gamma[1 + n, ArcCosh[a*x]]/(16*a^5) + Gamma[1 + n, 3*ArcCosh[a*x]]/(32*3^n*a^5) + (5^(-1 - n)*Gamma[1 + n, 5*ArcCosh[a*x]])/(32*a^5)}
+{x^3*ArcCosh[a*x]^n, x, 9, (ArcCosh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -4*ArcCosh[a*x]])/(2^(2*(3 + n))*a^4*(-ArcCosh[a*x])^n) + (2^(-4 - n)*ArcCosh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -2*ArcCosh[a*x]])/(a^4*(-ArcCosh[a*x])^n) + (2^(-4 - n)*Gamma[1 + n, 2*ArcCosh[a*x]])/a^4 + Gamma[1 + n, 4*ArcCosh[a*x]]/(2^(2*(3 + n))*a^4)}
+{x^2*ArcCosh[a*x]^n, x, 9, (3^(-1 - n)*ArcCosh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -3*ArcCosh[a*x]])/(8*a^3*(-ArcCosh[a*x])^n) + (ArcCosh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -ArcCosh[a*x]])/(8*a^3*(-ArcCosh[a*x])^n) + Gamma[1 + n, ArcCosh[a*x]]/(8*a^3) + (3^(-1 - n)*Gamma[1 + n, 3*ArcCosh[a*x]])/(8*a^3)}
+{x*ArcCosh[a*x]^n, x, 6, (2^(-3 - n)*ArcCosh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -2*ArcCosh[a*x]])/(a^2*(-ArcCosh[a*x])^n) + (2^(-3 - n)*Gamma[1 + n, 2*ArcCosh[a*x]])/a^2}
+{ArcCosh[a*x]^n, x, 4, (ArcCosh[a*x]^n*Gamma[1 + n, -ArcCosh[a*x]])/(2*a*(-ArcCosh[a*x])^n) + Gamma[1 + n, ArcCosh[a*x]]/(2*a)}
+{ArcCosh[a*x]^n/x, x, 0, Unintegrable[ArcCosh[a*x]^n/x, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcCosh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcCosh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(a + b*ArcCosh[c*x])*x^3, x, 5, -((3*b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(32*c^3)) - (b*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(16*c) - (3*b*ArcCosh[c*x])/(32*c^4) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])*x^2, x, 4, -((2*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(9*c^3)) - (b*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(9*c) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])*x^1, x, 3, -((b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(4*c)) - (b*ArcCosh[c*x])/(4*c^2) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])*x^0, x, 3, a*x - (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/c + b*x*ArcCosh[c*x]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/x^1, x, 5, (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(2*b) + (a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])] - (1/2)*b*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/x^2, x, 3, -((a + b*ArcCosh[c*x])/x) + b*c*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/x^3, x, 2, (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(2*x) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(2*x^2)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/x^4, x, 5, (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*x^2) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(3*x^3) + (1/6)*b*c^3*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/x^5, x, 4, (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(12*x^3) + (b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*x) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(4*x^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcCosh[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]], x, 14, (x^3*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/3 - (Sqrt[b]*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(16*c^3) - (Sqrt[b]*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(48*c^3) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(16*c^3*E^(a/b)) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(48*c^3*E^((3*a)/b))}
+{x*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]], x, 9, -Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/(4*c^2) + (x^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/2 - (Sqrt[b]*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*c^2) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*c^2*E^((2*a)/b))}
+{Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]], x, 7, x*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]] - (Sqrt[b]*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*c) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*c*E^(a/b))}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2), x, 22, -(b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/(3*c^3) - (b*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/(6*c) + (x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2))/3 - (3*b^(3/2)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(32*c^3) - (b^(3/2)*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(96*c^3) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(32*c^3*E^(a/b)) + (b^(3/2)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(96*c^3*E^((3*a)/b))}
+{x*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2), x, 11, (-3*b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/(8*c) - (a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2)/(4*c^2) + (x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2))/2 - (3*b^(3/2)*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(64*c^2) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(64*c^2*E^((2*a)/b))}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2), x, 8, (-3*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/(2*c) + x*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2) - (3*b^(3/2)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*c) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*c*E^(a/b))}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^(5/2), x, 24, (5*b^2*x*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/(6*c^2) + (5*b^2*x^3*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/36 - (5*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2))/(9*c^3) - (5*b*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2))/(18*c) + (x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^(5/2))/3 - (15*b^(5/2)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(64*c^3) - (5*b^(5/2)*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(576*c^3) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(64*c^3*E^(a/b)) - (5*b^(5/2)*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(576*c^3*E^((3*a)/b))}
+{x*(a + b*ArcCosh[c*x])^(5/2), x, 12, (-15*b^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/(64*c^2) + (15*b^2*x^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/32 - (5*b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2))/(8*c) - (a + b*ArcCosh[c*x])^(5/2)/(4*c^2) + (x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^(5/2))/2 - (15*b^(5/2)*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(256*c^2) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(256*c^2*E^((2*a)/b))}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^(5/2), x, 9, (15*b^2*x*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/4 - (5*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2))/(2*c) + x*(a + b*ArcCosh[c*x])^(5/2) - (15*b^(5/2)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(16*c) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(16*c*E^(a/b))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^2/Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]], x, 13, -(E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*c^3) - (E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*c^3) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*c^3*E^(a/b)) + (Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*c^3*E^((3*a)/b))}
+{x/Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]], x, 8, -(E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[b]*c^2) + (Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[b]*c^2*E^((2*a)/b))}
+{1/Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]], x, 6, -(E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c*E^(a/b))}
+
+
+{x^2/(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2), x, 12, (-2*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) + (E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c^3) + (E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c^3) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c^3*E^(a/b)) + (Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c^3*E^((3*a)/b))}
+{x/(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2), x, 6, (-2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) + (E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c^2) + (Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c^2*E^((2*a)/b))}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^(-3/2), x, 7, (-2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) + (E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c*E^(a/b))}
+
+
+{x^2/(a + b*ArcCosh[c*x])^(5/2), x, 22, (-2*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(3*b*c*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2)) + (8*x)/(3*b^2*c^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) - (4*x^3)/(b^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) - (E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(6*b^(5/2)*c^3) - (E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(5/2)*c^3) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(6*b^(5/2)*c^3*E^(a/b)) + (Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(5/2)*c^3*E^((3*a)/b))}
+{x/(a + b*ArcCosh[c*x])^(5/2), x, 11, (-2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(3*b*c*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2)) + 4/(3*b^2*c^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) - (8*x^2)/(3*b^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) - (2*E^((2*a)/b)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*c^2) + (2*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*c^2*E^((2*a)/b))}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^(-5/2), x, 8, (-2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(3*b*c*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2)) - (4*x)/(3*b^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) - (2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*c) + (2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*c*E^(a/b))}
+
+
+{x^2/(a + b*ArcCosh[c*x])^(7/2), x, 22, (-2*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(5*b*c*(a + b*ArcCosh[c*x])^(5/2)) + (8*x)/(15*b^2*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2)) - (4*x^3)/(5*b^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2)) + (16*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(15*b^3*c^3*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) - (24*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(5*b^3*c*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) + (E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*c^3) + (3*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(5*b^(7/2)*c^3) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*c^3*E^(a/b)) + (3*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(5*b^(7/2)*c^3*E^((3*a)/b))}
+{x/(a + b*ArcCosh[c*x])^(7/2), x, 9, (-2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(5*b*c*(a + b*ArcCosh[c*x])^(5/2)) + 4/(15*b^2*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2)) - (8*x^2)/(15*b^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2)) - (32*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(15*b^3*c*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) + (8*E^((2*a)/b)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*c^2) + (8*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*c^2*E^((2*a)/b))}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^(-7/2), x, 9, (-2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(5*b*c*(a + b*ArcCosh[c*x])^(5/2)) - (4*x)/(15*b^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2)) - (8*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(15*b^3*c*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) + (4*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*c) + (4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*c*E^(a/b))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^(m/2) (a+b ArcCosh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[f*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 2, (2*(f*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*f) - (8*b*c*(f*x)^(5/2)*Sqrt[1 - c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 5/4, 9/4, c^2*x^2])/(15*f^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (16*b^2*c^2*(f*x)^(7/2)*HypergeometricPFQ[{1, 7/4, 7/4}, {9/4, 11/4}, c^2*x^2])/(105*f^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcCosh[c x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 2, If[$VersionNumber>=8, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d*(1 + m)) - (2*b*c*(d*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(d^2*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]) - (2*b^2*c^2*(d*x)^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, c^2*x^2])/(d^3*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)), ((d*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d*(1 + m)) - (2*b*c*(d*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(d^2*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]) - (2*b^2*c^2*(d*x)^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, c^2*x^2])/(d^3*(3 + m)*(2 + 3*m + m^2))]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^1, x, 4, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d*(1 + m)) - (b*c*(d*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(d^2*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcCosh[c*x])^1, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcCosh[c*x]), x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arccosh(c x))^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arccosh(c x))^n.m
new file mode 100644
index 00000000..ce6a5030
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.4 (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b arccosh(c x))^n.m	
@@ -0,0 +1,1061 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^1*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^4*(d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 8, -((152*b*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(3675*c^5)) - (76*b*d*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(3675*c^3) - (19*b*d*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(1225*c) + (1/49)*b*c*d*x^6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x] + (1/5)*d*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (1/7)*c^2*d*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x])}
+{x^3*(d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 7, -((b*d*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(24*c^3)) - (b*d*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(36*c) + (1/36)*b*c*d*x^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x] - (b*d*ArcCosh[c*x])/(24*c^4) + (1/4)*d*x^4*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (1/6)*c^2*d*x^6*(a + b*ArcCosh[c*x])}
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 6, -((26*b*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(225*c^3)) - (13*b*d*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(225*c) + (1/25)*b*c*d*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x] + (1/3)*d*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (1/5)*c^2*d*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x])}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 4, -((3*b*d*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(32*c)) + (b*d*x*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2))/(16*c) + (3*b*d*ArcCosh[c*x])/(32*c^2) - (d*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*c^2)}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 4, -((7*b*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(9*c)) + (1/9)*b*c*d*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x] + d*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (1/3)*c^2*d*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^1, x, 8, (1/4)*b*c*d*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x] - (1/4)*b*d*ArcCosh[c*x] + (1/2)*d*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (d*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b) + d*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])] - (1/2)*b*d*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])]}
+{((d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^2, x, 5, b*c*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x] - (d*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x - c^2*d*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) + b*c*d*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]]}
+{((d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^3, x, 9, (b*c*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(2*x) - (1/2)*b*c^2*d*ArcCosh[c*x] - (d*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*x^2) - (c^2*d*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b) - c^2*d*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])] + (1/2)*b*c^2*d*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])]}
+{((d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^4, x, 5, (b*c*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*x^2) - (d*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*x^3) + (c^2*d*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x - (5/6)*b*c^3*d*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]]}
+
+
+{x^4*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 7, -((8*b*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(315*c^5)) + (4*b*d^2*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2))/(945*c^5) - (b*d^2*(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(5/2))/(525*c^5) - (10*b*d^2*(-1 + c*x)^(7/2)*(1 + c*x)^(7/2))/(441*c^5) - (b*d^2*(-1 + c*x)^(9/2)*(1 + c*x)^(9/2))/(81*c^5) + (1/5)*d^2*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (2/7)*c^2*d^2*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/9)*c^4*d^2*x^9*(a + b*ArcCosh[c*x]), (8*b*d^2*(1 - c^2*x^2))/(315*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (4*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^2)/(945*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^2*(1 - c^2*x^2)^3)/(525*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (10*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^4)/(441*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^2*(1 - c^2*x^2)^5)/(81*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (1/5)*d^2*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (2/7)*c^2*d^2*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/9)*c^4*d^2*x^9*(a + b*ArcCosh[c*x])}
+{x^3*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 9, -((73*b*d^2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(3072*c^3)) - (73*b*d^2*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(4608*c) + (43*b*c*d^2*x^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/1152 - (1/64)*b*c^3*d^2*x^7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x] - (73*b*d^2*ArcCosh[c*x])/(3072*c^4) + (1/4)*d^2*x^4*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (1/3)*c^2*d^2*x^6*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/8)*c^4*d^2*x^8*(a + b*ArcCosh[c*x]), (73*b*d^2*x*(1 - c^2*x^2))/(3072*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (73*b*d^2*x^3*(1 - c^2*x^2))/(4608*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (43*b*c*d^2*x^5*(1 - c^2*x^2))/(1152*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d^2*x^7*(1 - c^2*x^2))/(64*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (1/4)*d^2*x^4*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (1/3)*c^2*d^2*x^6*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/8)*c^4*d^2*x^8*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (73*b*d^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(3072*c^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 6, -((8*b*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(105*c^3)) + (4*b*d^2*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2))/(315*c^3) - (b*d^2*(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(5/2))/(175*c^3) - (b*d^2*(-1 + c*x)^(7/2)*(1 + c*x)^(7/2))/(49*c^3) + (1/3)*d^2*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (2/5)*c^2*d^2*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/7)*c^4*d^2*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x]), (8*b*d^2*(1 - c^2*x^2))/(105*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (4*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^2)/(315*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^2*(1 - c^2*x^2)^3)/(175*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*d^2*(1 - c^2*x^2)^4)/(49*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (1/3)*d^2*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (2/5)*c^2*d^2*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/7)*c^4*d^2*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x])}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 5, -((5*b*d^2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(96*c)) + (5*b*d^2*x*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2))/(144*c) - (b*d^2*x*(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(5/2))/(36*c) + (5*b*d^2*ArcCosh[c*x])/(96*c^2) - (d^2*(1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(6*c^2)}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 6, -((8*b*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(15*c)) + (4*b*d^2*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2))/(45*c) - (b*d^2*(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(5/2))/(25*c) + d^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (2/3)*c^2*d^2*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/5)*c^4*d^2*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]), (8*b*d^2*(1 - c^2*x^2))/(15*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (4*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^2)/(45*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^2*(1 - c^2*x^2)^3)/(25*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + d^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (2/3)*c^2*d^2*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/5)*c^4*d^2*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^1, x, 12, (11/32)*b*c*d^2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x] - (1/16)*b*c*d^2*x*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2) - (11/32)*b*d^2*ArcCosh[c*x] + (1/2)*d^2*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/4)*d^2*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (d^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b) + d^2*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])] - (1/2)*b*d^2*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])]}
+{((d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^2, x, 8, (5/3)*b*c*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x] - (1/9)*b*c*d^2*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2) - (d^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x - 2*c^2*d^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/3)*c^4*d^2*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) + b*c*d^2*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]], -((5*b*c*d^2*(1 - c^2*x^2))/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (b*c*d^2*(1 - c^2*x^2)^2)/(9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (d^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x - 2*c^2*d^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/3)*c^4*d^2*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (b*c*d^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^3, x, 13, (1/4)*b*c^3*d^2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x] - (b*c*d^2*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2))/(2*x) - (1/4)*b*c^2*d^2*ArcCosh[c*x] - c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (d^2*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*x^2) - (c^2*d^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/b - 2*c^2*d^2*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])] + b*c^2*d^2*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])]}
+{((d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^4, x, 8, (-b)*c^3*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x] + (b*c*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*x^2) - (d^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*x^3) + (2*c^2*d^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x + c^4*d^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (11/6)*b*c^3*d^2*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]], (b*c^3*d^2*(1 - c^2*x^2))/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*d^2*(1 - c^2*x^2))/(6*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (d^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*x^3) + (2*c^2*d^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x + c^4*d^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (11*b*c^3*d^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+
+
+{x^4*(d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 6, -((16*b*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(1155*c^5)) + (8*b*d^3*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2))/(3465*c^5) - (2*b*d^3*(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(5/2))/(1925*c^5) + (b*d^3*(-1 + c*x)^(7/2)*(1 + c*x)^(7/2))/(1617*c^5) + (4*b*d^3*(-1 + c*x)^(9/2)*(1 + c*x)^(9/2))/(297*c^5) + (b*d^3*(-1 + c*x)^(11/2)*(1 + c*x)^(11/2))/(121*c^5) + (1/5)*d^3*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (3/7)*c^2*d^3*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/3)*c^4*d^3*x^9*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (1/11)*c^6*d^3*x^11*(a + b*ArcCosh[c*x]), (16*b*d^3*(1 - c^2*x^2))/(1155*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (8*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^2)/(3465*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^3)/(1925*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^3*(1 - c^2*x^2)^4)/(1617*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (4*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^5)/(297*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^3*(1 - c^2*x^2)^6)/(121*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (1/5)*d^3*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (3/7)*c^2*d^3*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/3)*c^4*d^3*x^9*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (1/11)*c^6*d^3*x^11*(a + b*ArcCosh[c*x])}
+{x^3*(d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 11, -((49*b*d^3*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(5120*c^3)) + (49*b*d^3*x*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2))/(7680*c^3) - (49*b*d^3*x*(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(5/2))/(9600*c^3) + (7*b*d^3*x*(-1 + c*x)^(7/2)*(1 + c*x)^(7/2))/(1600*c^3) + (b*d^3*x*(-1 + c*x)^(9/2)*(1 + c*x)^(9/2))/(100*c^3) + (49*b*d^3*ArcCosh[c*x])/(5120*c^4) - (d^3*(-1 + c*x)^4*(1 + c*x)^4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*c^4) - (d^3*(-1 + c*x)^5*(1 + c*x)^5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(10*c^4), (49*b*d^3*x*(1 - c^2*x^2))/(5120*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (49*b*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^2)/(7680*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (49*b*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^3)/(9600*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (7*b*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^4)/(1600*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^5)/(100*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (d^3*(1 - c^2*x^2)^4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*c^4) + (d^3*(1 - c^2*x^2)^5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(10*c^4) + (49*b*d^3*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(5120*c^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 6, -((16*b*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(315*c^3)) + (8*b*d^3*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2))/(945*c^3) - (2*b*d^3*(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(5/2))/(525*c^3) + (b*d^3*(-1 + c*x)^(7/2)*(1 + c*x)^(7/2))/(441*c^3) + (b*d^3*(-1 + c*x)^(9/2)*(1 + c*x)^(9/2))/(81*c^3) + (1/3)*d^3*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (3/5)*c^2*d^3*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (3/7)*c^4*d^3*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (1/9)*c^6*d^3*x^9*(a + b*ArcCosh[c*x]), (16*b*d^3*(1 - c^2*x^2))/(315*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (8*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^2)/(945*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^3)/(525*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^3*(1 - c^2*x^2)^4)/(441*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*d^3*(1 - c^2*x^2)^5)/(81*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (d^3*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/3 - (3*c^2*d^3*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/5 + (3*c^4*d^3*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x]))/7 - (c^6*d^3*x^9*(a + b*ArcCosh[c*x]))/9}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 6, -((35*b*d^3*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(1024*c)) + (35*b*d^3*x*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2))/(1536*c) - (7*b*d^3*x*(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(5/2))/(384*c) + (b*d^3*x*(-1 + c*x)^(7/2)*(1 + c*x)^(7/2))/(64*c) + (35*b*d^3*ArcCosh[c*x])/(1024*c^2) - (d^3*(1 - c^2*x^2)^4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*c^2)}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 6, -((16*b*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(35*c)) + (8*b*d^3*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2))/(105*c) - (6*b*d^3*(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(5/2))/(175*c) + (b*d^3*(-1 + c*x)^(7/2)*(1 + c*x)^(7/2))/(49*c) + d^3*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) - c^2*d^3*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (3/5)*c^4*d^3*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (1/7)*c^6*d^3*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x]), (16*b*d^3*(1 - c^2*x^2))/(35*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (8*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^2)/(105*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (6*b*d^3*(1 - c^2*x^2)^3)/(175*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^3*(1 - c^2*x^2)^4)/(49*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + d^3*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) - c^2*d^3*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (3*c^4*d^3*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/5 - (c^6*d^3*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x]))/7}
+{((d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^1, x, 17, (19/48)*b*c*d^3*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x] - (7/72)*b*c*d^3*x*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2) + (1/36)*b*c*d^3*x*(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(5/2) - (19/48)*b*d^3*ArcCosh[c*x] + (1/2)*d^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/4)*d^3*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/6)*d^3*(1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (d^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b) + d^3*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])] - (1/2)*b*d^3*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])]}
+{((d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^2, x, 8, (11/5)*b*c*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x] - (1/5)*b*c*d^3*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2) + (1/25)*b*c*d^3*(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(5/2) - (d^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x - 3*c^2*d^3*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) + c^4*d^3*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (1/5)*c^6*d^3*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]) + b*c*d^3*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]], -((11*b*c*d^3*(1 - c^2*x^2))/(5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (b*c*d^3*(1 - c^2*x^2)^2)/(5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*d^3*(1 - c^2*x^2)^3)/(25*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (d^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x - 3*c^2*d^3*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) + c^4*d^3*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (1/5)*c^6*d^3*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (b*c*d^3*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^3, x, 18, (-(3/32))*b*c^3*d^3*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x] - (7/16)*b*c^3*d^3*x*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2) + (b*c*d^3*(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(5/2))/(2*x) + (3/32)*b*c^2*d^3*ArcCosh[c*x] - (3/2)*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (3/4)*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (d^3*(1 - c^2*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*x^2) - (3*c^2*d^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b) - 3*c^2*d^3*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])] + (3/2)*b*c^2*d^3*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])]}
+{((d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^4, x, 9, (-(8/3))*b*c^3*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x] + (b*c*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*x^2) + (1/9)*b*c^3*d^3*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2) - (d^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*x^3) + (3*c^2*d^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x + 3*c^4*d^3*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (1/3)*c^6*d^3*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (17/6)*b*c^3*d^3*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]], (8*b*c^3*d^3*(1 - c^2*x^2))/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*d^3*(1 - c^2*x^2))/(6*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d^3*(1 - c^2*x^2)^2)/(9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (d^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*x^3) + (3*c^2*d^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x + 3*c^4*d^3*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (1/3)*c^6*d^3*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (17*b*c^3*d^3*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2), x, 12, (11*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(9*c^5*d) + (b*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(9*c^3*d) - (x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^4*d) - (x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^2*d) + (2*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(c^5*d) + (b*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(c^5*d) - (b*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(c^5*d)}
+{x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2), x, 8, (b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(4*c^3*d) + (b*ArcCosh[c*x])/(4*c^4*d) - (x^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*c^2*d) + (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(2*b*c^4*d) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - E^(2*ArcCosh[c*x])])/(c^4*d) - (b*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/(2*c^4*d)}
+{x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2), x, 8, (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(c^3*d) - (x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^2*d) + (2*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(c^3*d) + (b*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(c^3*d) - (b*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(c^3*d)}
+{x^1*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2), x, 5, (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(2*b*c^2*d) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - E^(2*ArcCosh[c*x])])/(c^2*d) - (b*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/(2*c^2*d)}
+{x^0*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2), x, 6, (2*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(c*d) + (b*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(c*d) - (b*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(c*d)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^1*(d - c^2*d*x^2)), x, 7, (2*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcCosh[c*x])])/d + (b*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[c*x])])/(2*d) - (b*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/(2*d)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^2*(d - c^2*d*x^2)), x, 9, -((a + b*ArcCosh[c*x])/(d*x)) + (b*c*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]])/d + (2*c*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/d + (b*c*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/d - (b*c*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/d}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^3*(d - c^2*d*x^2)), x, 9, (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(2*d*x) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(2*d*x^2) + (2*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcCosh[c*x])])/d + (b*c^2*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[c*x])])/(2*d) - (b*c^2*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/(2*d)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^4*(d - c^2*d*x^2)), x, 14, (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*d*x^2) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(3*d*x^3) - (c^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d*x) + (7*b*c^3*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]])/(6*d) + (2*c^3*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/d + (b*c^3*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/d - (b*c^3*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/d}
+
+
+{x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 12, -((b*x^2)/(2*c^3*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(2*c^5*d^2) + (3*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*c^4*d^2) + (x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)) - (3*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(c^5*d^2) - (3*b*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(2*c^5*d^2) + (3*b*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(2*c^5*d^2)}
+{x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 10, -(b/(2*c^4*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (b*Sqrt[-1 + c*x])/(2*c^4*d^2*Sqrt[1 + c*x]) + (b*ArcCosh[c*x])/(2*c^4*d^2) + (x^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)) - (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(2*b*c^4*d^2) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - E^(2*ArcCosh[c*x])])/(c^4*d^2) + (b*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/(2*c^4*d^2)}
+{x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 8, -(b/(2*c^3*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(c^3*d^2) - (b*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(2*c^3*d^2) + (b*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(2*c^3*d^2)}
+{x^1*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 2, -((b*x)/(2*c*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2))}
+{x^0*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 8, -(b/(2*c*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(c*d^2) + (b*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(2*c*d^2) - (b*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(2*c*d^2)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^1*(d - c^2*d*x^2)^2), x, 9, -((b*c*x)/(2*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)) + (2*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcCosh[c*x])])/d^2 + (b*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[c*x])])/(2*d^2) - (b*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^2), x, 13, -((b*c)/(2*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(d^2*x*(1 - c^2*x^2)) + (3*c^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)) + (b*c*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]])/d^2 + (3*c*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/d^2 + (3*b*c*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(2*d^2) - (3*b*c*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^3*(d - c^2*d*x^2)^2), x, 13, -((b*c)/(2*d^2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (c^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d^2*(1 - c^2*x^2)) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(2*d^2*x^2*(1 - c^2*x^2)) + (4*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcCosh[c*x])])/d^2 + (b*c^2*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[c*x])])/d^2 - (b*c^2*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/d^2}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^4*(d - c^2*d*x^2)^2), x, 20, -((b*c^3)/(3*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (b*c)/(6*d^2*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(3*d^2*x^3*(1 - c^2*x^2)) - (5*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d^2*x*(1 - c^2*x^2)) + (5*c^4*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*d^2*(1 - c^2*x^2)) + (13*b*c^3*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]])/(6*d^2) + (5*c^3*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/d^2 + (5*b*c^3*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(2*d^2) - (5*b*c^3*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(2*d^2)}
+
+
+{x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^3, x, 13, (b*x^3)/(12*c^2*d^3*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2)) + b/(4*c^5*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*(1 + c*x)^(3/2)) - (b*(-1 + c*x)^(3/2))/(12*c^5*d^3*(1 + c*x)^(3/2)) + (3*b)/(8*c^5*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) - (3*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*c^4*d^3*(1 - c^2*x^2)) + (3*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(4*c^5*d^3) + (3*b*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(8*c^5*d^3) - (3*b*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(8*c^5*d^3)}
+{x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^3, x, 7, (b*x^3)/(12*c*d^3*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2)) + b/(4*c^4*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*Sqrt[-1 + c*x])/(4*c^4*d^3*Sqrt[1 + c*x]) - (b*ArcCosh[c*x])/(4*c^4*d^3) + (x^4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*d^3*(1 - c^2*x^2)^2)}
+{x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^3, x, 10, b/(12*c^3*d^3*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2)) + b/(8*c^3*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) - (x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(4*c^3*d^3) - (b*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(8*c^3*d^3) + (b*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(8*c^3*d^3)}
+{x^1*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^3, x, 3, (b*x)/(12*c*d^3*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2)) - (b*x)/(6*c*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(4*c^2*d^3*(1 - c^2*x^2)^2)}
+{x^0*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^3, x, 10, b/(12*c*d^3*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2)) - (3*b)/(8*c*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) + (3*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*d^3*(1 - c^2*x^2)) + (3*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(4*c*d^3) + (3*b*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(8*c*d^3) - (3*b*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(8*c*d^3)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^1*(d - c^2*d*x^2)^3), x, 12, (b*c*x)/(12*d^3*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2)) - (2*b*c*x)/(3*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(4*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(2*d^3*(1 - c^2*x^2)) + (2*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcCosh[c*x])])/d^3 + (b*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[c*x])])/(2*d^3) - (b*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/(2*d^3)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^3), x, 17, (b*c)/(12*d^3*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2)) - (7*b*c)/(8*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(d^3*x*(1 - c^2*x^2)^2) + (5*c^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) + (15*c^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*d^3*(1 - c^2*x^2)) + (b*c*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]])/d^3 + (15*c*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(4*d^3) + (15*b*c*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(8*d^3) - (15*b*c*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(8*d^3)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^3*(d - c^2*d*x^2)^3), x, 17, (b*c)/(2*d^3*x*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2)) - (5*b*c^3*x)/(12*d^3*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2)) - (2*b*c^3*x)/(3*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(2*d^3*x^2*(1 - c^2*x^2)^2) + (3*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*d^3*(1 - c^2*x^2)) + (6*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcCosh[c*x])])/d^3 + (3*b*c^2*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[c*x])])/(2*d^3) - (3*b*c^2*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/(2*d^3)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^4*(d - c^2*d*x^2)^3), x, 26, -((b*c^3)/(12*d^3*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2))) + (b*c)/(6*d^3*x^2*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2)) - (29*b*c^3)/(24*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(3*d^3*x^3*(1 - c^2*x^2)^2) - (7*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d^3*x*(1 - c^2*x^2)^2) + (35*c^4*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(12*d^3*(1 - c^2*x^2)^2) + (35*c^4*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*d^3*(1 - c^2*x^2)) + (19*b*c^3*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]])/(6*d^3) + (35*c^3*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(4*d^3) + (35*b*c^3*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(8*d^3) - (35*b*c^3*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(8*d^3)}
+
+
+{ArcCosh[a*x]/(c - a^2*c*x^2), x, 6, (2*ArcCosh[a*x]*ArcTanh[E^ArcCosh[a*x]])/(a*c) + PolyLog[2, -E^ArcCosh[a*x]]/(a*c) - PolyLog[2, E^ArcCosh[a*x]]/(a*c)}
+{ArcCosh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 8, -(1/(2*a*c^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])) + (x*ArcCosh[a*x])/(2*c^2*(1 - a^2*x^2)) + (ArcCosh[a*x]*ArcTanh[E^ArcCosh[a*x]])/(a*c^2) + PolyLog[2, -E^ArcCosh[a*x]]/(2*a*c^2) - PolyLog[2, E^ArcCosh[a*x]]/(2*a*c^2)}
+{ArcCosh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 10, 1/(12*a*c^3*(-1 + a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)) - 3/(8*a*c^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (x*ArcCosh[a*x])/(4*c^3*(1 - a^2*x^2)^2) + (3*x*ArcCosh[a*x])/(8*c^3*(1 - a^2*x^2)) + (3*ArcCosh[a*x]*ArcTanh[E^ArcCosh[a*x]])/(4*a*c^3) + (3*PolyLog[2, -E^ArcCosh[a*x]])/(8*a*c^3) - (3*PolyLog[2, E^ArcCosh[a*x]])/(8*a*c^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcCosh[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 7, (b*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(32*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(16*c^4) - (x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(24*c^2) + (1/6)*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(32*b*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 5, (b*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*c^2) + (1/4)*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(16*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{x^0*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 3, -((b*c*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (1/2)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^2, x, 3, -((Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x) + (c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^4, x, 4, -((b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d*x^3) - (b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^6, x, 4, -((b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(20*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(30*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(5*d*x^5) - (2*c^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(15*d*x^3) - (2*b*c^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(15*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^8, x, 4, -((b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(42*x^6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(140*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*c^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(105*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(7*d*x^7) - (4*c^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(35*d*x^5) - (8*c^4*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(105*d*x^3) - (8*b*c^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(105*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+
+{x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 3, (8*b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(105*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (4*b*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(315*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(175*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^6*d) + (2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(5*c^6*d^2) - ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(7*c^6*d^3)}
+{x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 3, (2*b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(45*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^4*d) + ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(5*c^4*d^2)}
+{x^1*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 3, (b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^2*d)}
+{(Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^1, x, 8, -((b*c*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (I*b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (I*b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^3, x, 8, -((b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*x^2) + (c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (I*b*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (I*b*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^5, x, 10, -((b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(12*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(8*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*x^4) + (c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*x^2) + (c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (I*b*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(8*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (I*b*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(8*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+
+
+{x^4*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 11, (3*b*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(256*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(256*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*d*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(32*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d*x^8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(64*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(128*c^4) - (d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(64*c^2) + (1/16)*d*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/8)*x^5*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(256*b*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 9, (b*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(32*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (7*b*c*d*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(16*c^2) + (1/8)*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/6)*x^3*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(32*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 7, -((5*b*c*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (b*c^3*d*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3/8)*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/4)*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^2, x, 7, (b*c^3*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3/2)*c^2*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x + (3*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(4*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^4, x, 7, -((b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*x^3) - (c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (4*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^6, x, 5, -((b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(20*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(5*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(5*d*x^5) + (b*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^8, x, 5, -((b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(42*x^6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (2*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(70*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(7*d*x^7) - (2*c^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(35*d*x^5) + (2*b*c^7*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(35*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^10, x, 5, -((b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(72*x^8*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (5*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(189*x^6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(420*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c^7*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(315*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(9*d*x^9) - (4*c^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(63*d*x^7) - (8*c^4*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(315*d*x^5) + (8*b*c^9*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(315*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^12, x, 5, -((b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(110*x^10*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(66*x^8*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1386*x^6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^7*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(770*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (4*b*c^9*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1155*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(11*d*x^11) - (2*c^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(33*d*x^9) - (8*c^4*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(231*d*x^7) - (16*c^6*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(1155*d*x^5) + (16*b*c^11*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(1155*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+
+{x^7*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 4, (16*b*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1155*c^7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (8*b*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3465*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*d*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1925*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1617*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (4*b*c*d*x^9*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(297*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d*x^11*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(121*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(5*c^8*d) + (3*(d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(7*c^8*d^2) - ((d - c^2*d*x^2)^(9/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^8*d^3) + ((d - c^2*d*x^2)^(11/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(11*c^8*d^4)}
+{x^5*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 4, (8*b*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(315*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (4*b*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(945*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(525*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (10*b*c*d*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(441*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d*x^9*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(81*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(5*c^6*d) + (2*(d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(7*c^6*d^2) - ((d - c^2*d*x^2)^(9/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(9*c^6*d^3)}
+{x^3*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 4, (2*b*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(105*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (8*b*c*d*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(175*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(5*c^4*d) + ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(7*c^4*d^2)}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 4, (b*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(5*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(5*c^2*d)}
+{((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^1, x, 11, -((4*b*c*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (b*c^3*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/3)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (I*b*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (I*b*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^3, x, 12, -((b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (b*c^3*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3/2)*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*x^2) + (3*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*I*b*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*I*b*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^5, x, 12, -((b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(12*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (5*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(8*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*x^2) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*x^4) - (3*c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*I*b*c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(8*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*I*b*c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(8*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+
+
+{x^4*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 16, (3*b*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(512*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(512*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (31*b*c*d^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(960*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (21*b*c^3*d^2*x^8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(640*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^2*x^10*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(100*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(256*c^4) - (d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(128*c^2) + (1/32)*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/16)*d*x^5*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/10)*x^5*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(512*b*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 14, (5*b*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(256*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (59*b*c*d^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(768*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (17*b*c^3*d^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(288*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^2*x^8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(64*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (5*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(128*c^2) + (5/64)*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (5/48)*d*x^3*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/8)*x^3*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(256*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 10, -((25*b*c*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (5*b*c^3*d^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^2*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5/16)*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (5/24)*d*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/6)*x*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(32*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^2, x, 12, (9*b*c^3*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (15/8)*c^2*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (5/4)*c^2*d*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x + (15*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(16*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^4, x, 12, -((b*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (b*c^5*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5/2)*c^4*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (5*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*x) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*x^3) - (5*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(4*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (7*b*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^6, x, 12, -((b*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(20*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (11*b*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(30*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x + (c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*x^3) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(5*x^5) + (c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (23*b*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(15*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^8, x, 5, -((b*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(42*x^6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (3*b*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(28*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*b*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(14*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(7*d*x^7) - (b*c^7*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^10, x, 6, -((b*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(189*x^6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (b*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(42*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^7*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(21*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*d^2*(1 - c^2*x^2)^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(72*x^8*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(9*d*x^9) - (2*c^2*(d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(63*d*x^7) - (2*b*c^9*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(63*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^12, x, 5, -((b*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(110*x^10*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (23*b*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(792*x^8*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (113*b*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4158*x^6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^7*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(924*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*c^9*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(693*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(11*d*x^11) - (4*c^2*(d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(99*d*x^9) - (8*c^4*(d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(693*d*x^7) - (8*b*c^11*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(693*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+
+{x^7*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 4, (16*b*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3003*c^7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (8*b*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9009*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(5005*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5*b*d^2*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(21021*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (53*b*c*d^2*x^9*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3861*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (27*b*c^3*d^2*x^11*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1573*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^2*x^13*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(169*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(7*c^8*d) + ((d - c^2*d*x^2)^(9/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^8*d^2) - (3*(d - c^2*d*x^2)^(11/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(11*c^8*d^3) + ((d - c^2*d*x^2)^(13/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(13*c^8*d^4)}
+{x^5*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 4, (8*b*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(693*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (4*b*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(2079*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1155*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (113*b*c*d^2*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4851*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (23*b*c^3*d^2*x^9*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(891*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^2*x^11*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(121*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(7*c^6*d) + (2*(d - c^2*d*x^2)^(9/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(9*c^6*d^2) - ((d - c^2*d*x^2)^(11/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(11*c^6*d^3)}
+{x^3*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 4, (2*b*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(63*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(189*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(21*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (19*b*c^3*d^2*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(441*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^2*x^9*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(81*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(7*c^4*d) + ((d - c^2*d*x^2)^(9/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(9*c^4*d^2)}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 4, (b*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*b*c^3*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^2*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(7*c^2*d)}
+{((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^1, x, 15, -((23*b*c*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (11*b*c^3*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(45*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/3)*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/5)*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (I*b*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (I*b*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^3, x, 15, -((b*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (7*b*c^3*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (5/2)*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (5/6)*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*x^2) + (5*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (5*I*b*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5*I*b*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^5, x, 16, -((b*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(12*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (9*b*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(8*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (15/8)*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (5*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*x^2) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*x^4) - (15*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (15*I*b*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(8*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (15*I*b*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(8*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+
+
+{Sqrt[1 - x^2]*ArcCosh[x], x, 3, -((Sqrt[1 - x]*x^2)/(4*Sqrt[-1 + x])) + (1/2)*x*Sqrt[1 - x^2]*ArcCosh[x] - (Sqrt[1 - x]*ArcCosh[x]^2)/(4*Sqrt[-1 + x])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^5*(a + b*ArcCosh[c*x])/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x, 6, -((8*b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(15*c^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (4*b*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(45*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*x^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(25*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (8*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(15*c^6*d) - (4*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(15*c^4*d) - (x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(5*c^2*d)}
+{x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x, 5, -((3*b*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(16*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (b*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(16*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*c^4*d) - (x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*c^2*d) + (3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(16*b*c^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x, 4, -((2*b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(3*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (b*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(9*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^4*d) - (x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^2*d)}
+{x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x, 3, -((b*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(4*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*c^2*d) + (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(4*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcCosh[c*x])/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x, 2, -((b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^2*d)}
+{x^0*(a + b*ArcCosh[c*x])/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x, 1, (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^1*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x, 6, (2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (I*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (I*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/Sqrt[d - c^2*d*x^2]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x, 2, -((Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d*x)) - (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Log[x])/Sqrt[d - c^2*d*x^2]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x, 8, (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*d*x^2) + (c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (I*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x, 4, (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d*x^3) - (2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d*x) - (2*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Log[x])/(3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+
+
+{(x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 5, -((5*b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*c^5*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (b*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*c^3*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(c^6*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^6*d^2) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^6*d^3) - (b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTanh[c*x])/(c^6*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 7, (b*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(4*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*c^4*d^2) - (3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(4*b*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 4, -((b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(c^3*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^4*d^2) - (b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTanh[c*x])/(c^4*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 4, (x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(x^1*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 3, (a + b*ArcCosh[c*x])/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[c*x])/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^0*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 2, (x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^1*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 9, (a + b*ArcCosh[c*x])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[c*x])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 5, -((a + b*ArcCosh[c*x])/(d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (2*c^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[1 - c^2*x^2])/(2*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^3*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 13, (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(2*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(2*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[c*x])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*I*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*I*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^4*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 5, -((b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*d^2*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(3*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (4*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (8*c^4*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(3*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[1 - c^2*x^2])/(2*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+
+
+{(x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 5, (b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(c^5*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*c^5*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(3*c^6*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^6*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^6*d^3) + (11*b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTanh[c*x])/(6*c^6*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 9, (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*c^5*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Log[1 - c^2*x^2])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*c^5*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Log[1 - c^2*x^2])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 4, (b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*c^3*d^3*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2)) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(3*c^4*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTanh[c*x])/(6*c^4*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]), -((b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*c^3*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2))) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(3*c^4*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTanh[c*x])/(6*c^4*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 5, (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*c^3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Log[1 - c^2*x^2])/(6*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*c^3*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Log[1 - c^2*x^2])/(6*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(x^1*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 4, (b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*c*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(3*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[c*x])/(6*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), (b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*c*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(3*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[c*x])/(6*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^0*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 5, (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*c*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Log[1 - c^2*x^2])/(3*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*c*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Log[1 - c^2*x^2])/(3*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^1*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 13, (b*c*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (7*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[c*x])/(6*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (I*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (I*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 5, -((b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2))) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(d*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (4*c^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (8*c^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[1 - c^2*x^2])/(6*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^3*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 18, (3*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(4*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(4*d^2*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*b*c^3*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(12*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(6*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(2*d*x^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (5*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (13*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[c*x])/(6*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (5*I*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*I*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^4*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 5, -((b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*d^3*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(3*d*x^3*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (2*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (8*c^4*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (16*c^4*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (8*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[x])/(3*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (4*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[1 - c^2*x^2])/(3*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+
+
+{ArcCosh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 8, (Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(20*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(15*a*c^3*(1 - a^2*x^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (x*ArcCosh[a*x])/(5*c*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcCosh[a*x])/(15*c^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcCosh[a*x])/(15*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Log[1 - a^2*x^2])/(15*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{(x^4*ArcCosh[a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 5, -((3*x^2*Sqrt[-1 + a*x])/(16*a^3*Sqrt[1 - a*x])) - (x^4*Sqrt[-1 + a*x])/(16*a*Sqrt[1 - a*x]) - (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x])/(8*a^4) - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x])/(4*a^2) + (3*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(16*a^5*Sqrt[1 - a*x])}
+{(x^3*ArcCosh[a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 4, -((2*x*Sqrt[-1 + a*x])/(3*a^3*Sqrt[1 - a*x])) - (x^3*Sqrt[-1 + a*x])/(9*a*Sqrt[1 - a*x]) - (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x])/(3*a^4) - (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x])/(3*a^2)}
+{(x^2*ArcCosh[a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 3, -((x^2*Sqrt[-1 + a*x])/(4*a*Sqrt[1 - a*x])) - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x])/(2*a^2) + (Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(4*a^3*Sqrt[1 - a*x])}
+{(x^1*ArcCosh[a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 2, -((x*Sqrt[-1 + a*x])/(a*Sqrt[1 - a*x])) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x])/a^2}
+{x^0*ArcCosh[a*x]/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 1, (Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(2*a*Sqrt[1 - a*x])}
+{ArcCosh[a*x]/(x^1*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 6, (2*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*ArcTan[E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] - (I*Sqrt[-1 + a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] + (I*Sqrt[-1 + a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x]}
+{ArcCosh[a*x]/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 2, -((Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x])/x) - (a*Sqrt[-1 + a*x]*Log[x])/Sqrt[1 - a*x]}
+{ArcCosh[a*x]/(x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 8, (a*Sqrt[-1 + a*x])/(2*x*Sqrt[1 - a*x]) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x])/(2*x^2) + (a^2*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*ArcTan[E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] - (I*a^2*Sqrt[-1 + a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[a*x]])/(2*Sqrt[1 - a*x]) + (I*a^2*Sqrt[-1 + a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[a*x]])/(2*Sqrt[1 - a*x])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^(m/2) (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcCosh[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{((f*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 1, (2*(f*x)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 5/4, 9/4, c^2*x^2])/(5*f) + (4*b*c*(f*x)^(7/2)*Sqrt[-1 + c*x]*HypergeometricPFQ[{1, 7/4, 7/4}, {9/4, 11/4}, c^2*x^2])/(35*f^2*Sqrt[1 - c*x])}
+
+
+{((f*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x, 1, (2*(f*x)^(5/2)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 5/4, 9/4, c^2*x^2])/(5*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*b*c*(f*x)^(7/2)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*HypergeometricPFQ[{1, 7/4, 7/4}, {9/4, 11/4}, c^2*x^2])/(35*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcCosh[c x]) with m symbolic*)
+
+
+{(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 8, If[$VersionNumber>=8, -((b*c*d^3*(2271 + 1329*m + 284*m^2 + 27*m^3 + m^4)*(f*x)^(2 + m)*(1 - c^2*x^2))/(f^2*(3 + m)^2*(5 + m)^2*(7 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (b*c^3*d^3*(9 + m)*(13 + 2*m)*(f*x)^(4 + m)*(1 - c^2*x^2))/(f^4*(5 + m)^2*(7 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^3*(f*x)^(6 + m)*(1 - c^2*x^2))/(f^6*(7 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(1 + m)) - (3*c^2*d^3*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (3*c^4*d^3*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^5*(5 + m)) - (c^6*d^3*(f*x)^(7 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^7*(7 + m)) - (3*b*c*d^3*(2161 + 1813*m + 455*m^2 + 35*m^3)*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(f^2*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)^2*(5 + m)^2*(7 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]), -((b*c*d^3*(2271 + 1329*m + 284*m^2 + 27*m^3 + m^4)*(f*x)^(2 + m)*(1 - c^2*x^2))/(f^2*(7 + m)^2*(15 + 8*m + m^2)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (b*c^3*d^3*(9 + m)*(13 + 2*m)*(f*x)^(4 + m)*(1 - c^2*x^2))/(f^4*(5 + m)^2*(7 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^3*(f*x)^(6 + m)*(1 - c^2*x^2))/(f^6*(7 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(1 + m)) - (3*c^2*d^3*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (3*c^4*d^3*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^5*(5 + m)) - (c^6*d^3*(f*x)^(7 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^7*(7 + m)) - (3*b*c*d^3*(2161 + 1813*m + 455*m^2 + 35*m^3)*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(f^2*(7 + m)^2*(2 + 3*m + m^2)*(15 + 8*m + m^2)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])]}
+{(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((b*c*d^2*(38 + 13*m + m^2)*(f*x)^(2 + m)*(1 - c^2*x^2))/(f^2*(3 + m)^2*(5 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (b*c^3*d^2*(f*x)^(4 + m)*(1 - c^2*x^2))/(f^4*(5 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (d^2*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(1 + m)) - (2*c^2*d^2*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (c^4*d^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^5*(5 + m)) - (b*c*d^2*(149 + 100*m + 15*m^2)*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(f^2*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)^2*(5 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]), -((b*c*d^2*(38 + 13*m + m^2)*(f*x)^(2 + m)*(1 - c^2*x^2))/(f^2*(3 + m)^2*(5 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (b*c^3*d^2*(f*x)^(4 + m)*(1 - c^2*x^2))/(f^4*(5 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (d^2*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(1 + m)) - (2*c^2*d^2*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (c^4*d^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^5*(5 + m)) - (b*c*d^2*(149 + 100*m + 15*m^2)*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(f^2*(2 + 3*m + m^2)*(15 + 8*m + m^2)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])]}
+{(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)^1*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 6, If[$VersionNumber>=8, (b*c*d*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(f^2*(3 + m)^2) + (d*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(1 + m)) - (c^2*d*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^3*(3 + m)) - (b*c*d*(7 + 3*m)*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(f^2*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]), (b*c*d*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(f^2*(3 + m)^2) + (d*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(1 + m)) - (c^2*d*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^3*(3 + m)) - (b*c*d*(7 + 3*m)*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(f^2*(3 + m)^2*(2 + 3*m + m^2)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])]}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^1, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d - c^2*d*x^2), x]}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 4, ((f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*d^2*f*(1 - c^2*x^2)) - (b*c*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[3/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(2*d^2*f^2*(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + ((1 - m)*Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d - c^2*d*x^2), x])/(2*d)}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^3, x, 8, ((f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*d^3*f*(1 - c^2*x^2)^2) + ((3 - m)*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*d^3*f*(1 - c^2*x^2)) - (b*c*(3 - m)*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[3/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(8*d^3*f^2*(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[5/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(4*d^3*f^2*(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + ((1 - m)*(3 - m)*Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d - c^2*d*x^2), x])/(8*d^2)}
+
+
+{(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 11, If[$VersionNumber>=8, -((b*c*d^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^2*(2 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (15*b*c*d^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^2*(2 + m)^2*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (5*b*c*d^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^2*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5*b*c^3*d^2*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^4*(4 + m)^2*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*c^3*d^2*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^4*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^2*(f*x)^(6 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^6*(6 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (15*d^2*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(6 + m)*(8 + 6*m + m^2)) + (5*d*(f*x)^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(4 + m)*(6 + m)) + ((f*x)^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(6 + m)) + (15*d^2*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(f*(4 + m)*(6 + m)*(2 + 3*m + m^2)*Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (15*b*c*d^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/(f^2*(1 + m)*(2 + m)^2*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]), -((b*c*d^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^2*(2 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (15*b*c*d^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^2*(2 + m)^2*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (5*b*c*d^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^2*(6 + m)*(8 + 6*m + m^2)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5*b*c^3*d^2*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^4*(4 + m)^2*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*c^3*d^2*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^4*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^2*(f*x)^(6 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^6*(6 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (15*d^2*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(6 + m)*(8 + 6*m + m^2)) + (5*d*(f*x)^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(4 + m)*(6 + m)) + ((f*x)^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(6 + m)) + (15*d^2*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(f*(6 + m)*(8 + 14*m + 7*m^2 + m^3)*Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (15*b*c*d^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/(f^2*(2 + m)^2*(6 + m)*(4 + 5*m + m^2)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])]}
+{(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((3*b*c*d*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^2*(2 + m)^2*(4 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (b*c*d*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^2*(2 + m)*(4 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^4*(4 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*d*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(8 + 6*m + m^2)) + ((f*x)^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(4 + m)) + (3*d*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(f*(4 + m)*(2 + 3*m + m^2)*Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*b*c*d*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/(f^2*(1 + m)*(2 + m)^2*(4 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]), -((3*b*c*d*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^2*(2 + m)^2*(4 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (b*c*d*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^2*(2 + m)*(4 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^4*(4 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*d*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(8 + 6*m + m^2)) + ((f*x)^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(4 + m)) + (3*d*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(f*(8 + 14*m + 7*m^2 + m^3)*Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*b*c*d*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/(f^2*(2 + m)^2*(4 + 5*m + m^2)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])]}
+{(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 3, -((b*c*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^2*(2 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + ((f*x)^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(2 + m)) + ((f*x)^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(f*(2 + 3*m + m^2)*Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/(f^2*(1 + m)*(2 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 1, ((f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(f*(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/(f^2*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 4, ((f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (m*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(d*f*(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(d*f^2*(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c*m*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/(d*f^2*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 7, ((f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d*f*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + ((2 - m)*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - ((2 - m)*m*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(3*d^2*f*(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*(2 - m)*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(3*d^2*f^2*(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Hypergeometric2F1[2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(3*d^2*f^2*(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c*(2 - m)*m*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/(3*d^2*f^2*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+
+
+{(f*x)^m*(d1 + c*d1*x)^(5/2)*(d2 - c*d2*x)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 11, If[$VersionNumber>=8, -((b*c*d1^2*d2^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^2*(2 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (15*b*c*d1^2*d2^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^2*(2 + m)^2*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (5*b*c*d1^2*d2^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^2*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5*b*c^3*d1^2*d2^2*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^4*(4 + m)^2*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*c^3*d1^2*d2^2*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^4*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d1^2*d2^2*(f*x)^(6 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^6*(6 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (15*d1^2*d2^2*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(6 + m)*(8 + 6*m + m^2)) + (5*d1*d2*(f*x)^(1 + m)*(d1 + c*d1*x)^(3/2)*(d2 - c*d2*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(4 + m)*(6 + m)) + ((f*x)^(1 + m)*(d1 + c*d1*x)^(5/2)*(d2 - c*d2*x)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(6 + m)) + (15*d1^2*d2^2*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(f*(4 + m)*(6 + m)*(2 + 3*m + m^2)*Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (15*b*c*d1^2*d2^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/(f^2*(1 + m)*(2 + m)^2*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]), -((b*c*d1^2*d2^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^2*(2 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (15*b*c*d1^2*d2^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^2*(2 + m)^2*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (5*b*c*d1^2*d2^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^2*(6 + m)*(8 + 6*m + m^2)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5*b*c^3*d1^2*d2^2*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^4*(4 + m)^2*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*c^3*d1^2*d2^2*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^4*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d1^2*d2^2*(f*x)^(6 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^6*(6 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (15*d1^2*d2^2*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(6 + m)*(8 + 6*m + m^2)) + (5*d1*d2*(f*x)^(1 + m)*(d1 + c*d1*x)^(3/2)*(d2 - c*d2*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(4 + m)*(6 + m)) + ((f*x)^(1 + m)*(d1 + c*d1*x)^(5/2)*(d2 - c*d2*x)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(6 + m)) + (15*d1^2*d2^2*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(f*(6 + m)*(8 + 14*m + 7*m^2 + m^3)*Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (15*b*c*d1^2*d2^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/(f^2*(2 + m)^2*(6 + m)*(4 + 5*m + m^2)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])]}
+{(f*x)^m*(d1 + c*d1*x)^(3/2)*(d2 - c*d2*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((3*b*c*d1*d2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^2*(2 + m)^2*(4 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (b*c*d1*d2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^2*(2 + m)*(4 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d1*d2*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^4*(4 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*d1*d2*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(8 + 6*m + m^2)) + ((f*x)^(1 + m)*(d1 + c*d1*x)^(3/2)*(d2 - c*d2*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(4 + m)) + (3*d1*d2*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(f*(4 + m)*(2 + 3*m + m^2)*Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*b*c*d1*d2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/(f^2*(1 + m)*(2 + m)^2*(4 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]), -((3*b*c*d1*d2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^2*(2 + m)^2*(4 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (b*c*d1*d2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^2*(2 + m)*(4 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d1*d2*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^4*(4 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*d1*d2*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(8 + 6*m + m^2)) + ((f*x)^(1 + m)*(d1 + c*d1*x)^(3/2)*(d2 - c*d2*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(4 + m)) + (3*d1*d2*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(f*(8 + 14*m + 7*m^2 + m^3)*Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*b*c*d1*d2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/(f^2*(2 + m)^2*(4 + 5*m + m^2)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])]}
+{(f*x)^m*(d1 + c*d1*x)^(1/2)*(d2 - c*d2*x)^(1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 3, -((b*c*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])/(f^2*(2 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + ((f*x)^(1 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(2 + m)) + ((f*x)^(1 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(f*(2 + 3*m + m^2)*Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/(f^2*(1 + m)*(2 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])/((d1 + c*d1*x)^(1/2)*(d2 - c*d2*x)^(1/2)), x, 1, ((f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(f*(1 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]) + (b*c*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/(f^2*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])/((d1 + c*d1*x)^(3/2)*(d2 - c*d2*x)^(3/2)), x, 4, ((f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d1*d2*f*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]) - (m*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(d1*d2*f*(1 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]) + (b*c*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(d1*d2*f^2*(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]) - (b*c*m*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/(d1*d2*f^2*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])/((d1 + c*d1*x)^(5/2)*(d2 - c*d2*x)^(5/2)), x, 7, ((f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d1*d2*f*(d1 + c*d1*x)^(3/2)*(d2 - c*d2*x)^(3/2)) + ((2 - m)*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d1^2*d2^2*f*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]) - ((2 - m)*m*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(3*d1^2*d2^2*f*(1 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]) + (b*c*(2 - m)*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(3*d1^2*d2^2*f^2*(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]) + (b*c*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Hypergeometric2F1[2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(3*d1^2*d2^2*f^2*(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]) - (b*c*(2 - m)*m*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2])/(3*d1^2*d2^2*f^2*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])}
+
+
+{(f*x)^m*ArcCosh[a*x]/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 1, ((f*x)^(1 + m)*ArcCosh[a*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/(f*(1 + m)) + (a*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[-1 + a*x]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, a^2*x^2])/(f^2*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[1 - a*x])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^2*)
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^3*ArcCosh[a*x]^2, x, 17, (4322*c^3*x)/3675 - (1514*a^2*c^3*x^3)/11025 + (234*a^4*c^3*x^5)/6125 - (2/343)*a^6*c^3*x^7 - (32*c^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(35*a) + (16*c^3*(-1 + a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)*ArcCosh[a*x])/(105*a) - (12*c^3*(-1 + a*x)^(5/2)*(1 + a*x)^(5/2)*ArcCosh[a*x])/(175*a) + (2*c^3*(-1 + a*x)^(7/2)*(1 + a*x)^(7/2)*ArcCosh[a*x])/(49*a) + (16/35)*c^3*x*ArcCosh[a*x]^2 + (8/35)*c^3*x*(1 - a^2*x^2)*ArcCosh[a*x]^2 + (6/35)*c^3*x*(1 - a^2*x^2)^2*ArcCosh[a*x]^2 + (1/7)*c^3*x*(1 - a^2*x^2)^3*ArcCosh[a*x]^2}
+{(c - a^2*c*x^2)^2*ArcCosh[a*x]^2, x, 12, (298*c^2*x)/225 - (76/675)*a^2*c^2*x^3 + (2/125)*a^4*c^2*x^5 - (16*c^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(15*a) + (8*c^2*(-1 + a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)*ArcCosh[a*x])/(45*a) - (2*c^2*(-1 + a*x)^(5/2)*(1 + a*x)^(5/2)*ArcCosh[a*x])/(25*a) + (8/15)*c^2*x*ArcCosh[a*x]^2 + (4/15)*c^2*x*(1 - a^2*x^2)*ArcCosh[a*x]^2 + (1/5)*c^2*x*(1 - a^2*x^2)^2*ArcCosh[a*x]^2}
+{(c - a^2*c*x^2)^1*ArcCosh[a*x]^2, x, 7, (14*c*x)/9 - (2/27)*a^2*c*x^3 - (4*c*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(3*a) + (2*c*(-1 + a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)*ArcCosh[a*x])/(9*a) + (2/3)*c*x*ArcCosh[a*x]^2 + (1/3)*c*x*(1 - a^2*x^2)*ArcCosh[a*x]^2}
+{ArcCosh[a*x]^2/(c - a^2*c*x^2)^1, x, 8, (2*ArcCosh[a*x]^2*ArcTanh[E^ArcCosh[a*x]])/(a*c) + (2*ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, -E^ArcCosh[a*x]])/(a*c) - (2*ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, E^ArcCosh[a*x]])/(a*c) - (2*PolyLog[3, -E^ArcCosh[a*x]])/(a*c) + (2*PolyLog[3, E^ArcCosh[a*x]])/(a*c)}
+{ArcCosh[a*x]^2/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 12, -(ArcCosh[a*x]/(a*c^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])) + (x*ArcCosh[a*x]^2)/(2*c^2*(1 - a^2*x^2)) + (ArcCosh[a*x]^2*ArcTanh[E^ArcCosh[a*x]])/(a*c^2) - ArcTanh[a*x]/(a*c^2) + (ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, -E^ArcCosh[a*x]])/(a*c^2) - (ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, E^ArcCosh[a*x]])/(a*c^2) - PolyLog[3, -E^ArcCosh[a*x]]/(a*c^2) + PolyLog[3, E^ArcCosh[a*x]]/(a*c^2)}
+{ArcCosh[a*x]^2/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 17, -(x/(12*c^3*(1 - a^2*x^2))) + ArcCosh[a*x]/(6*a*c^3*(-1 + a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)) - (3*ArcCosh[a*x])/(4*a*c^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (x*ArcCosh[a*x]^2)/(4*c^3*(1 - a^2*x^2)^2) + (3*x*ArcCosh[a*x]^2)/(8*c^3*(1 - a^2*x^2)) + (3*ArcCosh[a*x]^2*ArcTanh[E^ArcCosh[a*x]])/(4*a*c^3) - (5*ArcTanh[a*x])/(6*a*c^3) + (3*ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, -E^ArcCosh[a*x]])/(4*a*c^3) - (3*ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, E^ArcCosh[a*x]])/(4*a*c^3) - (3*PolyLog[3, -E^ArcCosh[a*x]])/(4*a*c^3) + (3*PolyLog[3, E^ArcCosh[a*x]])/(4*a*c^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcCosh[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 16, (-856*b^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3375*c^4) + (22*b^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3375*c^2) + (2*b^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/125 + (4*a*b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (4*b^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(15*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(45*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(25*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(15*c^4) - (x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(15*c^2) + (x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/5}
+{x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 11, -(b^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(64*c^2) + (b^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/32 - (b^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(64*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(8*c^2) + (x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/4 - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(24*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{x^1*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 6, -((14*b^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(27*c^2)) + (2/27)*b^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (2*b*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*c^2*d)}
+{x^0*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 5, (b^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/4 + (b^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(4*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/2 - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(6*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/x^1, x, 12, 2*b^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (2*a*b*c*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b^2*c*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 - (2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*I*b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*I*b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*I*b^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*I*b^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/x^2, x, 7, -((Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/x) + (c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(3*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b^2*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/x^3, x, 12, -((b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*x^2) + (c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b^2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (I*b*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (I*b*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (I*b^2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (I*b^2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/x^4, x, 11, (b^2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*x) - (b^2*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*d*x^3) - (2*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b^2*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+
+
+{x^3*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 26, -((37384*b^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(385875*c^4)) + (3358*b^2*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(385875*c^2) + (484*b^2*d*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/42875 - (2/343)*b^2*c^2*d*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (4*a*b*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (4*b^2*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(35*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(105*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (16*b*c*d*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(175*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*c^3*d*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(49*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(35*c^4) - (d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(35*c^2) + (3/35)*d*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 + (1/7)*x^4*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2}
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 20, (7*b^2*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1152*c^2) + (43*b^2*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/1728 - (1/108)*b^2*c^2*d*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (7*b^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(1152*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(16*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (7*b*c*d*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(48*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(18*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(16*c^2) + (1/8)*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 + (1/6)*x^3*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 - (d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(48*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 8, -((16*b^2*d*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(75*c^2*(1 - c*x)*(1 + c*x))) - (8*b^2*d*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(225*c^2*(1 - c*x)*(1 + c*x)) - (2*b^2*d*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(125*c^2*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (2*b*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(5*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (4*b*c*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(15*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*c^3*d*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(25*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(5*c^2*d)}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 11, (15/64)*b^2*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (1/32)*b^2*d*x*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (9*b^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(64*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*b*c*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3/8)*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 + (1/4)*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 - (d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(8*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/x^1, x, 18, (68/27)*b^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (2/27)*b^2*c^2*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (2*a*b*c*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b^2*c*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*c^3*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 + (1/3)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 - (2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*I*b*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*I*b*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*I*b^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*I*b^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/x^2, x, 15, (-(1/4))*b^2*c^2*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (5*b^2*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*b*c^3*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c*d*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3/2)*c^2*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 + (c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/x + (c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(2*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b^2*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/x^3, x, 18, -2*b^2*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (3*a*b*c^3*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*b^2*c^3*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^3*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3/2)*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*x^2) + (3*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b^2*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*I*b*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*I*b*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*I*b^2*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*I*b^2*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/x^4, x, 18, (b^2*c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*x) - (b^2*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*d*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/x - (4*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*x^3) - (c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(3*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (8*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (4*b^2*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+
+
+{x^3*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 35, -((37384*b^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(694575*c^4)) + (3358*b^2*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(694575*c^2) + (484*b^2*d^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/77175 - (10*b^2*c^2*d^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/3087 + (4*a*b*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(63*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (16*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(2835*c^4*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (8*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(8505*c^4*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (2*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4725*c^4*(1 - c*x)*(1 + c*x)) - (20*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3969*c^4*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (2*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(729*c^4*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (4*b^2*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(63*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(189*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(21*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (38*b*c^3*d^2*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(441*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c^5*d^2*x^9*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(81*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(63*c^4) - (d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(63*c^2) + (1/21)*d^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 + (5/63)*d*x^4*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 + (1/9)*x^4*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2}
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 31, (35*b^2*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9216*c^2) + (215*b^2*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/13824 - (5/864)*b^2*c^2*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (73*b^2*d^2*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(12288*c^2*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (73*b^2*d^2*x^3*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(18432*(1 - c*x)*(1 + c*x)) - (43*b^2*c^2*d^2*x^5*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4608*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (b^2*c^4*d^2*x^7*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(256*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (35*b^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(9216*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5*b*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(128*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (59*b*c*d^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(384*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (17*b*c^3*d^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(144*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^2*x^8*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(32*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (5*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(128*c^2) + (5/64)*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 + (5/48)*d*x^3*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 + (1/8)*x^3*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 - (5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(384*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (73*b^2*d^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(12288*c^3*(1 - c*x)*(1 + c*x))}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 8, -((32*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(245*c^2*(1 - c*x)*(1 + c*x))) - (16*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(735*c^2*(1 - c*x)*(1 + c*x)) - (12*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(1225*c^2*(1 - c*x)*(1 + c*x)) - (2*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(343*c^2*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (2*b*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(7*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (6*b*c^3*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(35*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c^5*d^2*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(49*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((d - c^2*d*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(7*c^2*d)}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 18, (245*b^2*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/1152 + (65*b^2*d^2*x*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/1728 + (1/108)*b^2*d^2*x*(1 - c*x)^2*(1 + c*x)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (115*b^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(1152*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (5*b*c*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(16*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5*b*d^2*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(48*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^2*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(18*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5/16)*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 + (5/24)*d*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 + (1/6)*x*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 - (5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(48*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/x^1, x, 26, (68/27)*b^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (2/27)*b^2*c^2*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (2*a*b*c*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (16*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(75*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (8*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(225*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (2*b^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(125*(1 - c*x)*(1 + c*x)) - (2*b^2*c*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (16*b*c*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(15*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (22*b*c^3*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(45*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c^5*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(25*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 + (1/3)*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 + (1/5)*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 - (2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*I*b*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*I*b*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*I*b^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*I*b^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/x^2, x, 25, (-(31/64))*b^2*c^2*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (1/32)*b^2*c^2*d^2*x*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (89*b^2*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(64*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (15*b*c^3*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*d^2*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (15/8)*c^2*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 + (c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (5/4)*c^2*d*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/x + (5*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(8*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b^2*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/x^3, x, 28, (-(170/27))*b^2*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (5/27)*b^2*c^4*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (5*a*b*c^3*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5*b^2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (b^2*c^2*d^2*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (5*b^2*c^3*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^3*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c^5*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (5/2)*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 - (5/6)*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*x^2) + (5*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b^2*c^2*d^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/((1 - c*x)*(1 + c*x)) - (5*I*b*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5*I*b*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5*I*b^2*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (5*I*b^2*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[c*x]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/x^4, x, 30, (7/12)*b^2*c^4*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (b^2*c^2*d^2*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*x) + (23*b^2*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(12*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (5*b*c^5*d^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (7*b*c^3*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*d^2*(1 - c^2*x^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5/2)*c^4*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 - (7*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*x) - ((d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*x^3) - (5*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(6*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (14*b*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (7*b^2*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^5*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x, 16, -((16*a*b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(15*c^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (4144*b^2*(1 - c*x)*(1 + c*x))/(3375*c^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (272*b^2*x^2*(1 - c*x)*(1 + c*x))/(3375*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b^2*x^4*(1 - c*x)*(1 + c*x))/(125*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (16*b^2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(15*c^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (8*b*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(45*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b*x^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(25*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (8*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(15*c^6*d) - (4*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(15*c^4*d) - (x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(5*c^2*d)}
+{(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x, 11, -((15*b^2*x*(1 - c*x)*(1 + c*x))/(64*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (b^2*x^3*(1 - c*x)*(1 + c*x))/(32*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (15*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(64*c^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*b*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(8*c^4*d) - (x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(4*c^2*d) + (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(8*b*c^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x, 9, -((4*a*b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(3*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (40*b^2*(1 - c*x)*(1 + c*x))/(27*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b^2*x^2*(1 - c*x)*(1 + c*x))/(27*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (4*b^2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(3*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(9*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*c^4*d) - (x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*c^2*d)}
+{(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x, 5, -((b^2*x*(1 - c*x)*(1 + c*x))/(4*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(4*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*c^2*d) + (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(6*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(x^1*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x, 4, -((2*a*b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (2*b^2*(1 - c*x)*(1 + c*x))/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b^2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(c^2*d)}
+{x^0*(a + b*ArcCosh[c*x])^2/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x, 1, (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(3*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(x^1*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x, 8, (2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] - ((2*I)*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] + ((2*I)*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] + ((2*I)*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] - ((2*I)*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[c*x]])/Sqrt[d - c^2*d*x^2]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x, 6, -((c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d*x) - (2*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (b^2*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])])/Sqrt[d - c^2*d*x^2]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x, 12, (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*d*x^2) + (c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (I*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (I*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] + (I*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/Sqrt[d - c^2*d*x^2] - (I*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[c*x]])/Sqrt[d - c^2*d*x^2]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x, 9, (b^2*c^2*(1 - c*x)*(1 + c*x))/(3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*d*x^3) - (2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*d*x) - (4*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+
+
+{(x^5*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 23, (16*a*b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(3*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (94*b^2*(1 - c*x)*(1 + c*x))/(27*c^6*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b^2*x^2*(1 - c*x)*(1 + c*x))/(27*c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (16*b^2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(3*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(9*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (8*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*c^6*d^2) + (4*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*c^4*d^2) + (4*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(c^6*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(c^6*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(c^6*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 15, (b^2*x*(1 - c*x)*(1 + c*x))/(4*c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(4*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*c^4*d^2) - (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(2*b*c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - E^(2*ArcCosh[c*x])])/(c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/(c^5*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 14, (4*a*b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b^2*(1 - c*x)*(1 + c*x))/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*b^2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(c^4*d^2) + (4*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 8, (x*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(3*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - E^(2*ArcCosh[c*x])])/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(x^1*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 8, (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^0*(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 6, (x*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - E^(2*ArcCosh[c*x])])/(c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/(c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(x^1*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 16, (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - ((2*I)*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + ((2*I)*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + ((2*I)*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - ((2*I)*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 15, -((a + b*ArcCosh[c*x])^2/(d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (2*c^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (4*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcCosh[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (4*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - E^(2*ArcCosh[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(x^3*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 27, (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(2*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*I*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*I*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*I*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*I*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[c*x]])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(x^4*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 26, (b^2*c^2*(1 - c*x)*(1 + c*x))/(3*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(3*d*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (4*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*d*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (8*c^4*x*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (8*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (20*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcCosh[c*x])])/(3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (16*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - E^(2*ArcCosh[c*x])])/(3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (5*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[c*x])])/(3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+
+
+{(x^5*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 28, -((b^2*x^2)/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (16*a*b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (7*b^2*(1 - c*x)*(1 + c*x))/(3*c^6*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (16*b^2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (11*b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^3*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (4*x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (8*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*c^6*d^3) - (22*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(3*c^6*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (11*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(3*c^6*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (11*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(3*c^6*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 20, -(b^2/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (b^2*(1 - c*x))/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^3*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (x*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(3*b*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (8*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - E^(2*ArcCosh[c*x])])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (4*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/(3*c^5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 18, -(b^2/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^3*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (10*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (5*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(3*c^4*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 12, -(b^2/(3*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (b^2*(1 - c*x))/(3*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(3*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - E^(2*ArcCosh[c*x])])/(3*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/(3*c^3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(x^1*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 10, -(b^2/(3*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(3*c^2*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (2*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(3*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(3*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(3*c^2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{x^0*(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 10, -((b^2*x)/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (x*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (4*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - E^(2*ArcCosh[c*x])])/(3*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/(3*c*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(x^1*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 26, -(b^2/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (b*c*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (14*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (7*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (7*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2*I*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*I*b^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 21, -((b^2*c^2*x)/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(d*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (4*c^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (8*c^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (8*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (4*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcCosh[c*x])])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (16*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - E^(2*ArcCosh[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[c*x])])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (5*b^2*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(x^3*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 41, -((b^2*c^2)/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d^2*x*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b*c^3*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(6*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(2*d*x^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (5*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2*ArcTan[E^ArcCosh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (26*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^ArcCosh[c*x]])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (13*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -E^ArcCosh[c*x]])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (5*I*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*I*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (13*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^ArcCosh[c*x]])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (5*I*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (5*I*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[c*x]])/(d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(x^4*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)), x, 36, (b^2*c^2)/(3*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*b^2*c^4*x)/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d^2*x^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(3*d*x^3*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) - (2*c^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d*x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (8*c^4*x*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*d*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)) + (16*c^4*x*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (16*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (32*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*ArcTanh[E^(2*ArcCosh[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (32*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - E^(2*ArcCosh[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (8*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (8*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[c*x])])/(3*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+
+
+{ArcCosh[a*x]^2/(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 15, -(x/(3*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - x/(30*c^3*(1 - a*x)*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(10*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(15*a*c^3*(1 - a^2*x^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (x*ArcCosh[a*x]^2)/(5*c*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcCosh[a*x]^2)/(15*c^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcCosh[a*x]^2)/(15*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (8*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(15*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (16*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*Log[1 - E^(2*ArcCosh[a*x])])/(15*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (8*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[a*x])])/(15*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{x^4*ArcCosh[a*x]^2/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 11, -((15*x*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(64*a^4)) - (x^3*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(32*a^2) + (15*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(64*a^5*Sqrt[1 - a*x]) - (3*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(8*a^3*Sqrt[1 - a*x]) - (x^4*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(8*a*Sqrt[1 - a*x]) - (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]^2)/(8*a^4) - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]^2)/(4*a^2) + (Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/(8*a^5*Sqrt[1 - a*x])}
+{x^3*ArcCosh[a*x]^2/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 8, -((40*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(27*a^4)) - (2*x^2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(27*a^2) - (4*x*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(3*a^3*Sqrt[1 - a*x]) - (2*x^3*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(9*a*Sqrt[1 - a*x]) - (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]^2)/(3*a^4) - (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]^2)/(3*a^2)}
+{x^2*ArcCosh[a*x]^2/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 5, -((x*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(4*a^2)) + (Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(4*a^3*Sqrt[1 - a*x]) - (x^2*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(2*a*Sqrt[1 - a*x]) - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]^2)/(2*a^2) + (Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/(6*a^3*Sqrt[1 - a*x])}
+{x^1*ArcCosh[a*x]^2/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 3, -((2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])/a^2) - (2*x*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(a*Sqrt[1 - a*x]) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]^2)/a^2}
+{x^0*ArcCosh[a*x]^2/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 1, (Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/(3*a*Sqrt[1 - a*x])}
+{ArcCosh[a*x]^2/(x^1*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 8, (2*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2*ArcTan[E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] - (2*I*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] + (2*I*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] + (2*I*Sqrt[-1 + a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] - (2*I*Sqrt[-1 + a*x]*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x]}
+{ArcCosh[a*x]^2/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 6, (a*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/Sqrt[1 - a*x] - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]^2)/x - (2*a*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*Log[1 + E^(2*ArcCosh[a*x])])/Sqrt[1 - a*x] - (a*Sqrt[-1 + a*x]*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[a*x])])/Sqrt[1 - a*x]}
+{ArcCosh[a*x]^2/(x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 12, (a*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(x*Sqrt[1 - a*x]) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]^2)/(2*x^2) + (a^2*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2*ArcTan[E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] - (a^2*Sqrt[-1 + a*x]*ArcTan[Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/Sqrt[1 - a*x] - (I*a^2*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] + (I*a^2*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] + (I*a^2*Sqrt[-1 + a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] - (I*a^2*Sqrt[-1 + a*x]*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^2 with m symbolic*)
+
+
+(* {(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 1, 0}
+{(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)^1*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 1, 0}
+{(f*x)^m/(d - c^2*d*x^2)^1*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 1, 0}
+{(f*x)^m/(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 1, 0} *)
+
+
+{(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 22, If[$VersionNumber>=8, -((10*b^2*c^2*d^2*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^3*(4 + m)^3*(6 + m))) - (2*b^2*c^2*d^2*(52 + 15*m + m^2)*(f*x)^(3 + m)*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^3*(4 + m)^2*(6 + m)^3*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (2*b^2*c^4*d^2*(f*x)^(5 + m)*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^5*(6 + m)^3*(1 - c*x)*(1 + c*x)) - (2*b*c*d^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^2*(2 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (30*b*c*d^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^2*(2 + m)^2*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (10*b*c*d^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^2*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (10*b*c^3*d^2*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^4*(4 + m)^2*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (4*b*c^3*d^2*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^4*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c^5*d^2*(f*x)^(6 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^6*(6 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (15*d^2*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(f*(6 + m)*(8 + 6*m + m^2)) + (5*d*(f*x)^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(f*(4 + m)*(6 + m)) + ((f*x)^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(f*(6 + m)) - (30*b^2*c^2*d^2*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/(f^3*(2 + m)^2*(3 + m)*(4 + m)*(6 + m)*(1 - c*x)*(1 + c*x)) - (10*b^2*c^2*d^2*(10 + 3*m)*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/(f^3*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)^3*(6 + m)*(1 - c*x)*(1 + c*x)) - (2*b^2*c^2*d^2*(264 + 130*m + 15*m^2)*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/(f^3*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)^2*(6 + m)^3*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (15*d^3*Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x])/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2)), -((10*b^2*c^2*d^2*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^3*(4 + m)^3*(6 + m))) - (2*b^2*c^2*d^2*(52 + 15*m + m^2)*(f*x)^(3 + m)*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^3*(4 + m)^2*(6 + m)^3*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (2*b^2*c^4*d^2*(f*x)^(5 + m)*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^5*(6 + m)^3*(1 - c*x)*(1 + c*x)) - (2*b*c*d^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^2*(2 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (30*b*c*d^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^2*(2 + m)^2*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (10*b*c*d^2*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^2*(6 + m)*(8 + 6*m + m^2)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (10*b*c^3*d^2*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^4*(4 + m)^2*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (4*b*c^3*d^2*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^4*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c^5*d^2*(f*x)^(6 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^6*(6 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (15*d^2*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(f*(6 + m)*(8 + 6*m + m^2)) + (5*d*(f*x)^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(f*(4 + m)*(6 + m)) + ((f*x)^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(f*(6 + m)) - (30*b^2*c^2*d^2*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/(f^3*(2 + m)^2*(3 + m)*(4 + m)*(6 + m)*(1 - c*x)*(1 + c*x)) - (10*b^2*c^2*d^2*(10 + 3*m)*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/(f^3*(4 + m)^3*(6 + m)*(6 + 5*m + m^2)*(1 - c*x)*(1 + c*x)) - (2*b^2*c^2*d^2*(264 + 130*m + 15*m^2)*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/(f^3*(4 + m)^2*(6 + m)^3*(6 + 5*m + m^2)*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (15*d^3*Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x])/((6 + m)*(8 + 6*m + m^2))]}
+{(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 13, If[$VersionNumber>=8, -((2*b^2*c^2*d*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^3*(4 + m)^3)) - (6*b*c*d*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^2*(2 + m)^2*(4 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c*d*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^2*(2 + m)*(4 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*c^3*d*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^4*(4 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*d*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(f*(8 + 6*m + m^2)) + ((f*x)^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(f*(4 + m)) - (6*b^2*c^2*d*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/(f^3*(2 + m)^2*(3 + m)*(4 + m)*(1 - c*x)*(1 + c*x)) - (2*b^2*c^2*d*(10 + 3*m)*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/(f^3*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)^3*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (3*d^2*Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x])/(8 + 6*m + m^2), -((2*b^2*c^2*d*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(f^3*(4 + m)^3)) - (6*b*c*d*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^2*(2 + m)^2*(4 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c*d*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^2*(2 + m)*(4 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*c^3*d*(f*x)^(4 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^4*(4 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*d*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(f*(8 + 6*m + m^2)) + ((f*x)^(1 + m)*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(f*(4 + m)) - (6*b^2*c^2*d*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/(f^3*(2 + m)^2*(3 + m)*(4 + m)*(1 - c*x)*(1 + c*x)) - (2*b^2*c^2*d*(10 + 3*m)*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/(f^3*(4 + m)^3*(6 + 5*m + m^2)*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (3*d^2*Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x])/(8 + 6*m + m^2)]}
+{(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 5, -((2*b*c*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^2*(2 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + ((f*x)^(1 + m)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(f*(2 + m)) - (2*b^2*c^2*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + m)/2, (5 + m)/2, c^2*x^2])/(f^3*(2 + m)^2*(3 + m)*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (d*Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x])/(2 + m)}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x]}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x]}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(d - c^2*d*x^2)^(5/2), x]}
+
+
+{(f*x)^m*ArcCosh[c*x]^2/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*ArcCosh[c*x]^2)/Sqrt[1 - c^2*x^2], x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^3*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^3*)
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^3*ArcCosh[a*x]^3, x, 29, -((976*c^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(315*a)) + (16/315)*a*c^3*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x] + (7104*c^3*(1 - a^2*x^2))/(42875*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (1184*c^3*(1 - a^2*x^2)^2)/(42875*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (2664*c^3*(1 - a^2*x^2)^3)/(214375*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (6*c^3*(1 - a^2*x^2)^4)/(2401*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (4322*c^3*x*ArcCosh[a*x])/1225 - (1514*a^2*c^3*x^3*ArcCosh[a*x])/3675 + (702*a^4*c^3*x^5*ArcCosh[a*x])/6125 - (6/343)*a^6*c^3*x^7*ArcCosh[a*x] - (48*c^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(35*a) + (8*c^3*(-1 + a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)*ArcCosh[a*x]^2)/(35*a) - (18*c^3*(-1 + a*x)^(5/2)*(1 + a*x)^(5/2)*ArcCosh[a*x]^2)/(175*a) + (3*c^3*(-1 + a*x)^(7/2)*(1 + a*x)^(7/2)*ArcCosh[a*x]^2)/(49*a) + (16/35)*c^3*x*ArcCosh[a*x]^3 + (8/35)*c^3*x*(1 - a^2*x^2)*ArcCosh[a*x]^3 + (6/35)*c^3*x*(1 - a^2*x^2)^2*ArcCosh[a*x]^3 + (1/7)*c^3*x*(1 - a^2*x^2)^3*ArcCosh[a*x]^3}
+{(c - a^2*c*x^2)^2*ArcCosh[a*x]^3, x, 20, -((488*c^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(135*a)) + (8/135)*a*c^2*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x] + (16*c^2*(1 - a^2*x^2))/(125*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (8*c^2*(1 - a^2*x^2)^2)/(375*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (6*c^2*(1 - a^2*x^2)^3)/(625*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (298/75)*c^2*x*ArcCosh[a*x] - (76/225)*a^2*c^2*x^3*ArcCosh[a*x] + (6/125)*a^4*c^2*x^5*ArcCosh[a*x] - (8*c^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(5*a) + (4*c^2*(-1 + a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)*ArcCosh[a*x]^2)/(15*a) - (3*c^2*(-1 + a*x)^(5/2)*(1 + a*x)^(5/2)*ArcCosh[a*x]^2)/(25*a) + (8/15)*c^2*x*ArcCosh[a*x]^3 + (4/15)*c^2*x*(1 - a^2*x^2)*ArcCosh[a*x]^3 + (1/5)*c^2*x*(1 - a^2*x^2)^2*ArcCosh[a*x]^3}
+{(c - a^2*c*x^2)*ArcCosh[a*x]^3, x, 11, -((122*c*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(27*a)) + (2/27)*a*c*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x] + (14/3)*c*x*ArcCosh[a*x] - (2/9)*a^2*c*x^3*ArcCosh[a*x] - (2*c*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/a + (c*(-1 + a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)*ArcCosh[a*x]^2)/(3*a) + (2/3)*c*x*ArcCosh[a*x]^3 + (1/3)*c*x*(1 - a^2*x^2)*ArcCosh[a*x]^3}
+{ArcCosh[a*x]^3/(c - a^2*c*x^2), x, 10, (2*ArcCosh[a*x]^3*ArcTanh[E^ArcCosh[a*x]])/(a*c) + (3*ArcCosh[a*x]^2*PolyLog[2, -E^ArcCosh[a*x]])/(a*c) - (3*ArcCosh[a*x]^2*PolyLog[2, E^ArcCosh[a*x]])/(a*c) - (6*ArcCosh[a*x]*PolyLog[3, -E^ArcCosh[a*x]])/(a*c) + (6*ArcCosh[a*x]*PolyLog[3, E^ArcCosh[a*x]])/(a*c) + (6*PolyLog[4, -E^ArcCosh[a*x]])/(a*c) - (6*PolyLog[4, E^ArcCosh[a*x]])/(a*c)}
+{ArcCosh[a*x]^3/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 19, -((3*ArcCosh[a*x]^2)/(2*a*c^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])) + (x*ArcCosh[a*x]^3)/(2*c^2*(1 - a^2*x^2)) - (6*ArcCosh[a*x]*ArcTanh[E^ArcCosh[a*x]])/(a*c^2) + (ArcCosh[a*x]^3*ArcTanh[E^ArcCosh[a*x]])/(a*c^2) - (3*PolyLog[2, -E^ArcCosh[a*x]])/(a*c^2) + (3*ArcCosh[a*x]^2*PolyLog[2, -E^ArcCosh[a*x]])/(2*a*c^2) + (3*PolyLog[2, E^ArcCosh[a*x]])/(a*c^2) - (3*ArcCosh[a*x]^2*PolyLog[2, E^ArcCosh[a*x]])/(2*a*c^2) - (3*ArcCosh[a*x]*PolyLog[3, -E^ArcCosh[a*x]])/(a*c^2) + (3*ArcCosh[a*x]*PolyLog[3, E^ArcCosh[a*x]])/(a*c^2) + (3*PolyLog[4, -E^ArcCosh[a*x]])/(a*c^2) - (3*PolyLog[4, E^ArcCosh[a*x]])/(a*c^2)}
+{ArcCosh[a*x]^3/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 30, 1/(4*a*c^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (x*ArcCosh[a*x])/(4*c^3*(1 - a^2*x^2)) + ArcCosh[a*x]^2/(4*a*c^3*(-1 + a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)) - (9*ArcCosh[a*x]^2)/(8*a*c^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (x*ArcCosh[a*x]^3)/(4*c^3*(1 - a^2*x^2)^2) + (3*x*ArcCosh[a*x]^3)/(8*c^3*(1 - a^2*x^2)) - (5*ArcCosh[a*x]*ArcTanh[E^ArcCosh[a*x]])/(a*c^3) + (3*ArcCosh[a*x]^3*ArcTanh[E^ArcCosh[a*x]])/(4*a*c^3) - (5*PolyLog[2, -E^ArcCosh[a*x]])/(2*a*c^3) + (9*ArcCosh[a*x]^2*PolyLog[2, -E^ArcCosh[a*x]])/(8*a*c^3) + (5*PolyLog[2, E^ArcCosh[a*x]])/(2*a*c^3) - (9*ArcCosh[a*x]^2*PolyLog[2, E^ArcCosh[a*x]])/(8*a*c^3) - (9*ArcCosh[a*x]*PolyLog[3, -E^ArcCosh[a*x]])/(4*a*c^3) + (9*ArcCosh[a*x]*PolyLog[3, E^ArcCosh[a*x]])/(4*a*c^3) + (9*PolyLog[4, -E^ArcCosh[a*x]])/(4*a*c^3) - (9*PolyLog[4, E^ArcCosh[a*x]])/(4*a*c^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcCosh[c x])^3*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcCosh[a*x]^3, x, 29, -((865*a*c^2*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2304*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])) + (65*a^3*c^2*x^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2304*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (c^2*(1 - a^2*x^2)^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(216*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (245/384)*c^2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x] + (65/576)*c^2*x*(1 - a*x)*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x] + (1/36)*c^2*x*(1 - a*x)^2*(1 + a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x] + (115*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^2)/(768*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (15*a*c^2*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^2)/(32*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (5*c^2*(1 - a^2*x^2)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^2)/(32*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (c^2*(1 - a^2*x^2)^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^2)/(12*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (5/16)*c^2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^3 + (5/24)*c*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcCosh[a*x]^3 + (1/6)*x*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcCosh[a*x]^3 - (5*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^4)/(64*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcCosh[a*x]^3, x, 16, -((51*a*c*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(128*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])) + (3*a^3*c*x^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(128*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (45/64)*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x] + (3/32)*c*x*(1 - a*x)*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x] + (27*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^2)/(128*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (9*a*c*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^2)/(16*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (3*c*(1 - a^2*x^2)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^2)/(16*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (3/8)*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^3 + (1/4)*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcCosh[a*x]^3 - (3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^4)/(32*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^3, x, 6, (-3*a*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(8*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (3*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x])/4 + (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^2)/(8*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (3*a*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^2)/(4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^3)/2 - (Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^4)/(8*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{ArcCosh[a*x]^3/(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 1, (Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^4)/(4*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{ArcCosh[a*x]^3/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 7, (x*ArcCosh[a*x]^3)/(c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/(a*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2*Log[1 - E^(2*ArcCosh[a*x])])/(a*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[a*x])])/(a*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*PolyLog[3, E^(2*ArcCosh[a*x])])/(2*a*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{ArcCosh[a*x]^3/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 12, -((x*ArcCosh[a*x])/(c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) + (Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(2*a*c^2*(1 - a^2*x^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (x*ArcCosh[a*x]^3)/(3*c*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcCosh[a*x]^3)/(3*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/(3*a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2*Log[1 - E^(2*ArcCosh[a*x])])/(a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Log[1 - a^2*x^2])/(2*a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[a*x])])/(a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*PolyLog[3, E^(2*ArcCosh[a*x])])/(a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{ArcCosh[a*x]^3/(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 20, -((Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(20*a*c^3*(1 - a^2*x^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - (x*ArcCosh[a*x])/(c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (x*ArcCosh[a*x])/(10*c^3*(1 - a*x)*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(20*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(5*a*c^3*(1 - a^2*x^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (x*ArcCosh[a*x]^3)/(5*c*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcCosh[a*x]^3)/(15*c^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcCosh[a*x]^3)/(15*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (8*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/(15*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (8*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2*Log[1 - E^(2*ArcCosh[a*x])])/(5*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Log[1 - a^2*x^2])/(2*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (8*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, E^(2*ArcCosh[a*x])])/(5*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (4*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*PolyLog[3, E^(2*ArcCosh[a*x])])/(5*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{(x^4*ArcCosh[a*x]^3)/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 13, -((45*x^2*Sqrt[-1 + a*x])/(128*a^3*Sqrt[1 - a*x])) - (3*x^4*Sqrt[-1 + a*x])/(128*a*Sqrt[1 - a*x]) - (45*x*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(64*a^4) - (3*x^3*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(32*a^2) + (45*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(128*a^5*Sqrt[1 - a*x]) - (9*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(16*a^3*Sqrt[1 - a*x]) - (3*x^4*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(16*a*Sqrt[1 - a*x]) - (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]^3)/(8*a^4) - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]^3)/(4*a^2) + (3*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^4)/(32*a^5*Sqrt[1 - a*x])}
+{(x^3*ArcCosh[a*x]^3)/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 10, -((40*x*Sqrt[-1 + a*x])/(9*a^3*Sqrt[1 - a*x])) - (2*x^3*Sqrt[-1 + a*x])/(27*a*Sqrt[1 - a*x]) - (40*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(9*a^4) - (2*x^2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(9*a^2) - (2*x*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(a^3*Sqrt[1 - a*x]) - (x^3*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(3*a*Sqrt[1 - a*x]) - (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]^3)/(3*a^4) - (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]^3)/(3*a^2)}
+{(x^2*ArcCosh[a*x]^3)/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 6, -((3*x^2*Sqrt[-1 + a*x])/(8*a*Sqrt[1 - a*x])) - (3*x*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/(4*a^2) + (3*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(8*a^3*Sqrt[1 - a*x]) - (3*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(4*a*Sqrt[1 - a*x]) - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]^3)/(2*a^2) + (Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^4)/(8*a^3*Sqrt[1 - a*x])}
+{(x^1*ArcCosh[a*x]^3)/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 4, -((6*x*Sqrt[-1 + a*x])/(a*Sqrt[1 - a*x])) - (6*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x])/a^2 - (3*x*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(a*Sqrt[1 - a*x]) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]^3)/a^2}
+{x^0*ArcCosh[a*x]^3/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 1, (Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^4)/(4*a*Sqrt[1 - a*x])}
+{ArcCosh[a*x]^3/(x^1*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 10, (2*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3*ArcTan[E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] - (3*I*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] + (3*I*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] + (6*I*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] - (6*I*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] - (6*I*Sqrt[-1 + a*x]*PolyLog[4, (-I)*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] + (6*I*Sqrt[-1 + a*x]*PolyLog[4, I*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x]}
+{ArcCosh[a*x]^3/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 7, (a*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3)/Sqrt[1 - a*x] - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]^3)/x - (3*a*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2*Log[1 + E^(2*ArcCosh[a*x])])/Sqrt[1 - a*x] - (3*a*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[a*x])])/Sqrt[1 - a*x] + (3*a*Sqrt[-1 + a*x]*PolyLog[3, -E^(2*ArcCosh[a*x])])/(2*Sqrt[1 - a*x])}
+{ArcCosh[a*x]^3/(x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 18, (3*a*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2)/(2*x*Sqrt[1 - a*x]) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]^3)/(2*x^2) - (6*a^2*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*ArcTan[E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] + (a^2*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^3*ArcTan[E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] + (3*I*a^2*Sqrt[-1 + a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] - (3*I*a^2*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[a*x]])/(2*Sqrt[1 - a*x]) - (3*I*a^2*Sqrt[-1 + a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] + (3*I*a^2*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[a*x]])/(2*Sqrt[1 - a*x]) + (3*I*a^2*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] - (3*I*a^2*Sqrt[-1 + a*x]*ArcCosh[a*x]*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] - (3*I*a^2*Sqrt[-1 + a*x]*PolyLog[4, (-I)*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x] + (3*I*a^2*Sqrt[-1 + a*x]*PolyLog[4, I*E^ArcCosh[a*x]])/Sqrt[1 - a*x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^3 with m symbolic*)
+
+
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^3/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/Sqrt[1 - c^2*x^2], x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p / (a+b ArcCosh[c x])^1*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d-c^2 d x^2)^p / (a+b ArcCosh[c x])*)
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^3/ArcCosh[a*x], x, 7, (35*c^3*SinhIntegral[ArcCosh[a*x]])/(64*a) - (21*c^3*SinhIntegral[3*ArcCosh[a*x]])/(64*a) + (7*c^3*SinhIntegral[5*ArcCosh[a*x]])/(64*a) - (c^3*SinhIntegral[7*ArcCosh[a*x]])/(64*a)}
+{(c - a^2*c*x^2)^2/ArcCosh[a*x], x, 6, (5*c^2*SinhIntegral[ArcCosh[a*x]])/(8*a) - (5*c^2*SinhIntegral[3*ArcCosh[a*x]])/(16*a) + (c^2*SinhIntegral[5*ArcCosh[a*x]])/(16*a)}
+{(c - a^2*c*x^2)/ArcCosh[a*x], x, 5, (3*c*SinhIntegral[ArcCosh[a*x]])/(4*a) - (c*SinhIntegral[3*ArcCosh[a*x]])/(4*a)}
+{1/((c - a^2*c*x^2)*ArcCosh[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/((c - a^2*c*x^2)*ArcCosh[a*x]), x]}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^2*ArcCosh[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/((c - a^2*c*x^2)^2*ArcCosh[a*x]), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) / (a+b ArcCosh[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(x^4*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 12, -((Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c^5*Sqrt[-1 + c*x])) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*c^5*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(6*a)/b]*CoshIntegral[(6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c^5*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Log[a + b*ArcCosh[c*x]])/(16*b*c^5*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c^5*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*c^5*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(6*a)/b]*SinhIntegral[(6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c^5*Sqrt[-1 + c*x])}
+{(x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 12, -((Sqrt[1 - c*x]*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(8*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x])) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(8*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x])}
+{(x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 6, (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(8*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Log[a + b*ArcCosh[c*x]])/(8*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(8*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x])}
+{(x^1*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 9, -((Sqrt[1 - c*x]*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(4*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x])) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(4*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(4*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(4*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x])}
+{x^0*Sqrt[1 - c^2*x^2]/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 6, (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2*b*c*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Log[a + b*ArcCosh[c*x]])/(2*b*c*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2*b*c*Sqrt[-1 + c*x])}
+{Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^1*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 6, -((Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b*Sqrt[1 - c*x])) + (Sqrt[-1 + c*x]*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b*Sqrt[1 - c*x]) + Unintegrable[1/(x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 3, -((c*Sqrt[-1 + c*x]*Log[a + b*ArcCosh[c*x]])/(b*Sqrt[1 - c*x])) + Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+
+
+{(x^3*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 15, -((3*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(64*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x])) + (3*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(64*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(64*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(7*a)/b]*CoshIntegral[(7*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(64*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) + (3*Sqrt[1 - c*x]*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(64*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) - (3*Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(64*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(64*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(7*a)/b]*SinhIntegral[(7*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(64*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x])}
+{(x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 12, (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(6*a)/b]*CoshIntegral[(6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Log[a + b*ArcCosh[c*x]])/(16*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(6*a)/b]*SinhIntegral[(6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x])}
+{(x^1*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 12, -((Sqrt[1 - c*x]*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(8*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x])) + (3*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(8*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (3*Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x])}
+{x^0*(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 9, (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2*b*c*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(8*b*c*Sqrt[-1 + c*x]) - (3*Sqrt[1 - c*x]*Log[a + b*ArcCosh[c*x]])/(8*b*c*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2*b*c*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(8*b*c*Sqrt[-1 + c*x])}
+{(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^1*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 15, -((5*Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(4*b*Sqrt[1 - c*x])) + (Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(4*b*Sqrt[1 - c*x]) + (5*Sqrt[-1 + c*x]*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(4*b*Sqrt[1 - c*x]) - (Sqrt[-1 + c*x]*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(4*b*Sqrt[1 - c*x]) + Unintegrable[1/(x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 9, (c*Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2*b*Sqrt[1 - c*x]) - (3*c*Sqrt[-1 + c*x]*Log[a + b*ArcCosh[c*x]])/(2*b*Sqrt[1 - c*x]) - (c*Sqrt[-1 + c*x]*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2*b*Sqrt[1 - c*x]) + Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+
+
+{(x^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 15, -((3*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(128*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x])) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) - (3*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(7*a)/b]*CoshIntegral[(7*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(256*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(9*a)/b]*CoshIntegral[(9*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(256*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) + (3*Sqrt[1 - c*x]*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(128*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) + (3*Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(7*a)/b]*SinhIntegral[(7*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(256*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(9*a)/b]*SinhIntegral[(9*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(256*b*c^4*Sqrt[-1 + c*x])}
+{(x^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 15, (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(6*a)/b]*CoshIntegral[(6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(8*a)/b]*CoshIntegral[(8*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(128*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) - (5*Sqrt[1 - c*x]*Log[a + b*ArcCosh[c*x]])/(128*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(6*a)/b]*SinhIntegral[(6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(8*a)/b]*SinhIntegral[(8*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(128*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x])}
+{(x^1*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 15, -((5*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(64*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x])) + (9*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(64*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (5*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(64*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(7*a)/b]*CoshIntegral[(7*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(64*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (5*Sqrt[1 - c*x]*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(64*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (9*Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(64*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (5*Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(64*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(7*a)/b]*SinhIntegral[(7*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(64*b*c^2*Sqrt[-1 + c*x])}
+{x^0*(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 12, (15*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c*Sqrt[-1 + c*x]) - (3*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*c*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(6*a)/b]*CoshIntegral[(6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c*Sqrt[-1 + c*x]) - (5*Sqrt[1 - c*x]*Log[a + b*ArcCosh[c*x]])/(16*b*c*Sqrt[-1 + c*x]) - (15*Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c*Sqrt[-1 + c*x]) + (3*Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*c*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Sinh[(6*a)/b]*SinhIntegral[(6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*b*c*Sqrt[-1 + c*x])}
+{(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^1*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 27, -((11*Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(8*b*Sqrt[1 - c*x])) + (7*Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*Sqrt[1 - c*x]) - (Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*Sqrt[1 - c*x]) + (11*Sqrt[-1 + c*x]*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(8*b*Sqrt[1 - c*x]) - (7*Sqrt[-1 + c*x]*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*Sqrt[1 - c*x]) + (Sqrt[-1 + c*x]*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*Sqrt[1 - c*x]) + Unintegrable[1/(x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 18, (c*Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(b*Sqrt[1 - c*x]) - (c*Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(8*b*Sqrt[1 - c*x]) - (15*c*Sqrt[-1 + c*x]*Log[a + b*ArcCosh[c*x]])/(8*b*Sqrt[1 - c*x]) - (c*Sqrt[-1 + c*x]*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(b*Sqrt[1 - c*x]) + (c*Sqrt[-1 + c*x]*Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(8*b*Sqrt[1 - c*x]) + Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^4/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]), x, 5, (Sqrt[-1 + a*x]*CoshIntegral[2*ArcCosh[a*x]])/(2*a^5*Sqrt[1 - a*x]) + (Sqrt[-1 + a*x]*CoshIntegral[4*ArcCosh[a*x]])/(8*a^5*Sqrt[1 - a*x]) + (3*Sqrt[-1 + a*x]*Log[ArcCosh[a*x]])/(8*a^5*Sqrt[1 - a*x])}
+{x^3/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]), x, 5, (3*Sqrt[-1 + a*x]*CoshIntegral[ArcCosh[a*x]])/(4*a^4*Sqrt[1 - a*x]) + (Sqrt[-1 + a*x]*CoshIntegral[3*ArcCosh[a*x]])/(4*a^4*Sqrt[1 - a*x])}
+{x^2/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]), x, 4, (Sqrt[-1 + a*x]*CoshIntegral[2*ArcCosh[a*x]])/(2*a^3*Sqrt[1 - a*x]) + (Sqrt[-1 + a*x]*Log[ArcCosh[a*x]])/(2*a^3*Sqrt[1 - a*x])}
+{x^1/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]), x, 2, (Sqrt[-1 + a*x]*CoshIntegral[ArcCosh[a*x]])/(a^2*Sqrt[1 - a*x])}
+{x^0/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]), x, 1, (Sqrt[-1 + a*x]*Log[ArcCosh[a*x]])/(a*Sqrt[1 - a*x])}
+{1/(x^1*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]), x]}
+{1/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]), x]}
+
+
+{x^3/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 9, (3*Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(4*b*c^4*Sqrt[1 - c*x]) + (Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(4*b*c^4*Sqrt[1 - c*x]) - (3*Sqrt[-1 + c*x]*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(4*b*c^4*Sqrt[1 - c*x]) - (Sqrt[-1 + c*x]*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(4*b*c^4*Sqrt[1 - c*x])}
+{x^2/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 6, (Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2*b*c^3*Sqrt[1 - c*x]) + (Sqrt[-1 + c*x]*Log[a + b*ArcCosh[c*x]])/(2*b*c^3*Sqrt[1 - c*x]) - (Sqrt[-1 + c*x]*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2*b*c^3*Sqrt[1 - c*x])}
+{x^1/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 4, (Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b*c^2*Sqrt[1 - c*x]) - (Sqrt[-1 + c*x]*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b*c^2*Sqrt[1 - c*x])}
+{x^0/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 1, (Sqrt[-1 + c*x]*Log[a + b*ArcCosh[c*x]])/(b*c*Sqrt[1 - c*x])}
+{1/(x^1*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{1/(x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+
+
+{x^2/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[x^2/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{x^1/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[x/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{x^0/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{1/(x^1*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{1/(x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p / (a+b ArcCosh[c x]) with m symbolic*)
+
+
+{(x^m*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 0, Unintegrable[(x^m*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcCosh[c*x]), x]}
+{(x^m*(1 - c^2*x^2)^(1/2))/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 0, Unintegrable[(x^m*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(a + b*ArcCosh[c*x]), x]}
+{x^m/((1 - c^2*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[x^m/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{x^m/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[x^m/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{x^m/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[x^m/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p / (a+b ArcCosh[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d-c^2 d x^2)^p / (a+b ArcCosh[c x])^2*)
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^3/ArcCosh[a*x]^2, x, 8, (c^3*(-1 + a*x)^(7/2)*(1 + a*x)^(7/2))/(a*ArcCosh[a*x]) + (35*c^3*CoshIntegral[ArcCosh[a*x]])/(64*a) - (63*c^3*CoshIntegral[3*ArcCosh[a*x]])/(64*a) + (35*c^3*CoshIntegral[5*ArcCosh[a*x]])/(64*a) - (7*c^3*CoshIntegral[7*ArcCosh[a*x]])/(64*a)}
+{(c - a^2*c*x^2)^2/ArcCosh[a*x]^2, x, 7, -((c^2*(-1 + a*x)^(5/2)*(1 + a*x)^(5/2))/(a*ArcCosh[a*x])) + (5*c^2*CoshIntegral[ArcCosh[a*x]])/(8*a) - (15*c^2*CoshIntegral[3*ArcCosh[a*x]])/(16*a) + (5*c^2*CoshIntegral[5*ArcCosh[a*x]])/(16*a)}
+{(c - a^2*c*x^2)/ArcCosh[a*x]^2, x, 6, (c*(-1 + a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2))/(a*ArcCosh[a*x]) + (3*c*CoshIntegral[ArcCosh[a*x]])/(4*a) - (3*c*CoshIntegral[3*ArcCosh[a*x]])/(4*a)}
+{1/((c - a^2*c*x^2)*ArcCosh[a*x]^2), x, 1, 1/(a*c*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]) + (a*Unintegrable[x/((-1 + a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)*ArcCosh[a*x]), x])/c}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^2*ArcCosh[a*x]^2), x, 1, -(1/(a*c^2*(-1 + a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)*ArcCosh[a*x])) - (3*a*Unintegrable[x/((-1 + a*x)^(5/2)*(1 + a*x)^(5/2)*ArcCosh[a*x]), x])/c^2}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) / (a+b ArcCosh[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 22, -((x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x]))) + (Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(8*b^2*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) - (3*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(16*b^2*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) - (5*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(5*a)/b])/(16*b^2*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(8*b^2*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) + (3*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^4*Sqrt[-1 + c*x]) + (5*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^4*Sqrt[-1 + c*x])}
+{x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 16, -((x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(4*a)/b])/(2*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x])}
+{x^1*Sqrt[1 - c^2*x^2]/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 14, -((x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x]))) + (Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(4*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (3*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(4*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(4*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (3*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(4*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x])}
+{x^0*Sqrt[1 - c^2*x^2]/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 7, -((Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(b^2*c*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(b^2*c*Sqrt[-1 + c*x])}
+{Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^1*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 5, -((Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(b^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Unintegrable[1/(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])), x])/(b*c*Sqrt[-1 + c*x])}
+{Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 1, -((Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(b*c*x^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))) + (2*Sqrt[1 - c*x]*Unintegrable[1/(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])), x])/(b*c*Sqrt[-1 + c*x])}
+{Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+{Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[1 - c^2*x^2]/(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+
+
+{x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 21, -((x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(16*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(4*a)/b])/(4*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) + (3*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(6*a)/b])/(16*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(4*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) - (3*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(6*a)/b]*SinhIntegral[(6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x])}
+{x^1*(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 24, -((x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x]))) + (Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(8*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (9*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(16*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (5*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(5*a)/b])/(16*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(8*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (9*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (5*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x])}
+{x^0*(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 11, -((Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(b^2*c*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(4*a)/b])/(2*b^2*c*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(b^2*c*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2*b^2*c*Sqrt[-1 + c*x])}
+{(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^1*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 12, -((Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(b*c*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (9*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(4*b^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (3*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(4*b^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (9*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(4*b^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (3*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(4*b^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*Unintegrable[(-1 + c^2*x^2)/(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])), x])/(b*c*Sqrt[-1 + c*x])}
+{(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 3, -((Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(b*c*x^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (2*Sqrt[1 - c*x]*Unintegrable[(-1 + c^2*x^2)/(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])), x])/(b*c*Sqrt[-1 + c*x]) - (2*c*Sqrt[1 - c*x]*Unintegrable[(-1 + c^2*x^2)/(x*(a + b*ArcCosh[c*x])), x])/(b*Sqrt[-1 + c*x])}
+{(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+{(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 2, -((Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(b*c*x^4*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (4*Sqrt[1 - c*x]*Unintegrable[(-1 + c^2*x^2)/(x^5*(a + b*ArcCosh[c*x])), x])/(b*c*Sqrt[-1 + c*x])}
+
+
+{x^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 30, -((x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(16*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(4*a)/b])/(8*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) + (3*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(6*a)/b])/(16*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) - (Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(8*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(8*a)/b])/(16*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(8*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) - (3*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(6*a)/b]*SinhIntegral[(6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(8*a)/b]*SinhIntegral[(8*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^3*Sqrt[-1 + c*x])}
+{x^1*(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 30, -((x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x]))) + (5*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(64*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (27*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(64*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (25*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(5*a)/b])/(64*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (7*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(7*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(7*a)/b])/(64*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (5*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(64*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (27*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(64*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (25*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(64*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (7*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(7*a)/b]*SinhIntegral[(7*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(64*b^2*c^2*Sqrt[-1 + c*x])}
+{x^0*(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 14, -((Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (15*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(16*b^2*c*Sqrt[-1 + c*x]) + (3*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(4*a)/b])/(4*b^2*c*Sqrt[-1 + c*x]) - (3*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(6*a)/b])/(16*b^2*c*Sqrt[-1 + c*x]) + (15*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*c*Sqrt[-1 + c*x]) - (3*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(4*b^2*c*Sqrt[-1 + c*x]) + (3*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(6*a)/b]*SinhIntegral[(6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*c*Sqrt[-1 + c*x])}
+{(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^1*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 15, -((Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(b*c*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (25*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(8*b^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (25*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(16*b^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (5*Sqrt[1 - c*x]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(5*a)/b])/(16*b^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (25*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(8*b^2*Sqrt[-1 + c*x]) - (25*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (5*Sqrt[1 - c*x]*Cosh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*Sqrt[-1 + c*x]) + (Sqrt[1 - c*x]*Unintegrable[(-1 + c^2*x^2)^2/(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])), x])/(b*c*Sqrt[-1 + c*x])}
+{(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 3, -((Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(b*c*x^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))) + (2*Sqrt[1 - c*x]*Unintegrable[(-1 + c^2*x^2)^2/(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])), x])/(b*c*Sqrt[-1 + c*x]) + (4*c*Sqrt[1 - c*x]*Unintegrable[(-1 + c^2*x^2)^2/(x*(a + b*ArcCosh[c*x])), x])/(b*Sqrt[-1 + c*x])}
+{(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+{(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[(1 - c^2*x^2)^(5/2)/(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^5/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 13, -((x^5*Sqrt[-1 + c*x])/(b*c*Sqrt[1 - c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (5*Sqrt[-1 + c*x]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(8*b^2*c^6*Sqrt[1 - c*x]) - (15*Sqrt[-1 + c*x]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(16*b^2*c^6*Sqrt[1 - c*x]) - (5*Sqrt[-1 + c*x]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(5*a)/b])/(16*b^2*c^6*Sqrt[1 - c*x]) + (5*Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(8*b^2*c^6*Sqrt[1 - c*x]) + (15*Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^6*Sqrt[1 - c*x]) + (5*Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^6*Sqrt[1 - c*x])}
+{x^4/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 10, -((x^4*Sqrt[-1 + c*x])/(b*c*Sqrt[1 - c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (Sqrt[-1 + c*x]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(b^2*c^5*Sqrt[1 - c*x]) - (Sqrt[-1 + c*x]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(4*a)/b])/(2*b^2*c^5*Sqrt[1 - c*x]) + (Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(b^2*c^5*Sqrt[1 - c*x]) + (Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2*b^2*c^5*Sqrt[1 - c*x])}
+{x^3/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 10, -((x^3*Sqrt[-1 + c*x])/(b*c*Sqrt[1 - c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (3*Sqrt[-1 + c*x]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(4*b^2*c^4*Sqrt[1 - c*x]) - (3*Sqrt[-1 + c*x]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(4*b^2*c^4*Sqrt[1 - c*x]) + (3*Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(4*b^2*c^4*Sqrt[1 - c*x]) + (3*Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(4*b^2*c^4*Sqrt[1 - c*x])}
+{x^2/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 7, -((x^2*Sqrt[-1 + c*x])/(b*c*Sqrt[1 - c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (Sqrt[-1 + c*x]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(b^2*c^3*Sqrt[1 - c*x]) + (Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(b^2*c^3*Sqrt[1 - c*x])}
+{x/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 5, -((x*Sqrt[-1 + c*x])/(b*c*Sqrt[1 - c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (Sqrt[-1 + c*x]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(b^2*c^2*Sqrt[1 - c*x]) + (Sqrt[-1 + c*x]*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b^2*c^2*Sqrt[1 - c*x])}
+{1/(Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 1, -(Sqrt[-1 + c*x]/(b*c*Sqrt[1 - c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])))}
+{1/(x*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 1, -(Sqrt[-1 + c*x]/(b*c*x*Sqrt[1 - c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (Sqrt[-1 + c*x]*Unintegrable[1/(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])), x])/(b*c*Sqrt[1 - c*x])}
+{1/(x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 1, -(Sqrt[-1 + c*x]/(b*c*x^2*Sqrt[1 - c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (2*Sqrt[-1 + c*x]*Unintegrable[1/(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])), x])/(b*c*Sqrt[1 - c*x])}
+
+
+{x^3/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x^3/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+{x^2/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 2, -((x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))) + (2*Sqrt[-1 + c*x]*Unintegrable[x/((-1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x])), x])/(b*c*Sqrt[1 - c*x])}
+{x^1/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+{x^0/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 2, -((Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))) + (2*c*Sqrt[-1 + c*x]*Unintegrable[x/((-1 + c^2*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x])), x])/(b*Sqrt[1 - c*x])}
+{1/(x^1*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+{1/(x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+
+
+{x^4/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 2, -((x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (4*Sqrt[-1 + c*x]*Unintegrable[x^3/((-1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x])), x])/(b*c*Sqrt[1 - c*x])}
+{x^3/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x^3/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+{x^2/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x^2/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+{x^1/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[x/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+{x^0/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 2, -((Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (4*c*Sqrt[-1 + c*x]*Unintegrable[x/((-1 + c^2*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x])), x])/(b*Sqrt[1 - c*x])}
+{1/(x^1*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+{1/(x^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p / (a+b ArcCosh[c x])^2 with m symbolic*)
+
+
+{(f*x)^m*(1 - c^2*x^2)^(3/2)/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x]}
+{(f*x)^m*(1 - c^2*x^2)^(1/2)/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x]}
+{(f*x)^m/((1 - c^2*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 1, -(((f*x)^m*Sqrt[-1 + c*x])/(b*c*Sqrt[1 - c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))) + (f*m*Sqrt[-1 + c*x]*Unintegrable[(f*x)^(-1 + m)/(a + b*ArcCosh[c*x]), x])/(b*c*Sqrt[1 - c*x])}
+{(f*x)^m/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[(f*x)^m/((1 - c^2*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+{(f*x)^m/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[(f*x)^m/((1 - c^2*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p / (a+b ArcCosh[c x])^3*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p / (a+b ArcCosh[c x])^3*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) / (a+b ArcCosh[c x])^3*)
+
+
+{1/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcCosh[a*x]^3), x, 1, -(Sqrt[-1 + a*x]/(2*a*Sqrt[1 - a*x]*ArcCosh[a*x]^2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(x^3*(d - c^2*d*x^2))/(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2), x, 27, (2*d*x^3*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) + (3*d*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^4) - (d*E^((6*a)/b)*Sqrt[(3*Pi)/2]*Erf[(Sqrt[6]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^4) + (3*d*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(16*b^(3/2)*c^4)) - (d*Sqrt[(3*Pi)/2]*Erfi[(Sqrt[6]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((6*a)/b)*(16*b^(3/2)*c^4))}
+{(x^2*(d - c^2*d*x^2))/(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2), x, 32, (2*d*x^2*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) + (d*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*b^(3/2)*c^3) + (d*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^3) - (d*E^((5*a)/b)*Sqrt[5*Pi]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^3) + (d*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(8*b^(3/2)*c^3)) + (d*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((3*a)/b)*(16*b^(3/2)*c^3)) - (d*Sqrt[5*Pi]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((5*a)/b)*(16*b^(3/2)*c^3))}
+{(x^1*(d - c^2*d*x^2))/(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2), x, 17, (2*d*x*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) - (d*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c^2) + (d*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(3/2)*c^2) - (d*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((4*a)/b)*(4*b^(3/2)*c^2)) + (d*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(2*b^(3/2)*c^2))}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)/(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2), x, 14, (2*d*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) + (3*d*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c) - (d*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c) + (3*d*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c*E^(a/b)) - (d*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c*E^((3*a)/b))}
+{(d - c^2*d*x^2)/(x^1*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2)), x, 12, (2*d*(-1 + c*x)^(3/2)*(1 + c*x)^(3/2))/(b*c*x*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) - (d*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/b^(3/2) - (d*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*b^(3/2)) + (2*d*Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]), x])/(b*c)}
+
+
+{(x^3*(d - c^2*d*x^2)^2)/(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2), x, 32, -((2*d^2*x^3*(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(5/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])) - (d^2*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*b^(3/2)*c^4) + (3*d^2*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*b^(3/2)*c^4) + (d^2*E^((8*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*b^(3/2)*c^4) - (d^2*E^((6*a)/b)*Sqrt[(3*Pi)/2]*Erf[(Sqrt[6]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*b^(3/2)*c^4) - (d^2*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((4*a)/b)*(32*b^(3/2)*c^4)) + (3*d^2*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(32*b^(3/2)*c^4)) + (d^2*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(2*Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((8*a)/b)*(32*b^(3/2)*c^4)) - (d^2*Sqrt[(3*Pi)/2]*Erfi[(Sqrt[6]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((6*a)/b)*(32*b^(3/2)*c^4))}
+{(x^2*(d - c^2*d*x^2)^2)/(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2), x, 42, -((2*d^2*x^2*(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(5/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])) + (5*d^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(64*b^(3/2)*c^3) + (d^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(64*b^(3/2)*c^3) - (3*d^2*E^((5*a)/b)*Sqrt[5*Pi]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(64*b^(3/2)*c^3) + (d^2*E^((7*a)/b)*Sqrt[7*Pi]*Erf[(Sqrt[7]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(64*b^(3/2)*c^3) + (5*d^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(64*b^(3/2)*c^3)) + (d^2*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((3*a)/b)*(64*b^(3/2)*c^3)) - (3*d^2*Sqrt[5*Pi]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((5*a)/b)*(64*b^(3/2)*c^3)) + (d^2*Sqrt[7*Pi]*Erfi[(Sqrt[7]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((7*a)/b)*(64*b^(3/2)*c^3))}
+{(x*(d - c^2*d*x^2)^2)/(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2), x, 32, -((2*d^2*x*(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(5/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])) - (d^2*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*c^2) + (5*d^2*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^2) + (d^2*E^((6*a)/b)*Sqrt[(3*Pi)/2]*Erf[(Sqrt[6]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c^2) - (d^2*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((4*a)/b)*(4*b^(3/2)*c^2)) + (5*d^2*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(16*b^(3/2)*c^2)) + (d^2*Sqrt[(3*Pi)/2]*Erfi[(Sqrt[6]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((6*a)/b)*(16*b^(3/2)*c^2))}
+{(d - c^2*d*x^2)^2/(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2), x, 19, (-2*d^2*(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(5/2))/(b*c*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) + (5*d^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*b^(3/2)*c) - (5*d^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c) + (d^2*E^((5*a)/b)*Sqrt[5*Pi]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c) + (5*d^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*b^(3/2)*c*E^(a/b)) - (5*d^2*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c*E^((3*a)/b)) + (d^2*Sqrt[5*Pi]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*c*E^((5*a)/b))}
+{(d - c^2*d*x^2)^2/(x*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2)), x, 25, -((2*d^2*(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(5/2))/(b*c*x*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])) + (d^2*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)) - (3*d^2*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(3/2)) + (d^2*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((4*a)/b)*(4*b^(3/2))) - (3*d^2*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(2*b^(3/2))) + (2*d^2*Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]), x])/(b*c), -((2*d^2*(-1 + c*x)^(5/2)*(1 + c*x)^(5/2))/(b*c*x*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])) + (d^2*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)) + (d^2*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(3/2)) - (d^2*E^((2*a)/b)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/b^(3/2) + (d^2*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((4*a)/b)*(4*b^(3/2))) + (d^2*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(2*b^(3/2))) - (d^2*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*b^(3/2)) + (2*d^2*Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]), x])/(b*c)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) ArcCosh[c x]^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcCosh[a*x]], x, 25, (3/8)*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]] + (1/4)*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcCosh[a*x]] - (c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(4*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(256*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(256*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]], x, 10, (x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/2 - (Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(3*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{Sqrt[ArcCosh[a*x]]/Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 1, (2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(3*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{Sqrt[ArcCosh[a*x]]/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, (x*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Unintegrable[x/((1 - a^2*x^2)*Sqrt[ArcCosh[a*x]]), x])/(2*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{Sqrt[ArcCosh[a*x]]/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 3, (x*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(3*c*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(3*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Unintegrable[x/((1 - a^2*x^2)*Sqrt[ArcCosh[a*x]]), x])/(3*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Unintegrable[x/((-1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]), x])/(6*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcCosh[a*x]^(3/2), x, 27, (27*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(256*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (9*a*c*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(32*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (3*c*(1 - a^2*x^2)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(32*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (3/8)*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^(3/2) + (1/4)*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcCosh[a*x]^(3/2) - (3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^(5/2))/(20*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (3*c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(2048*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (3*c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (3*c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(2048*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (3*c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^(3/2), x, 11, (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(16*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (3*a*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(8*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^(3/2))/2 - (Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^(5/2))/(5*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{ArcCosh[a*x]^(3/2)/Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 1, (2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^(5/2))/(5*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{ArcCosh[a*x]^(3/2)/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, (x*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (3*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Unintegrable[(x*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(1 - a^2*x^2), x])/(2*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcCosh[a*x]^(5/2), x, 41, (225/512)*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]] + (15/256)*c*x*(1 - a*x)*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]] + (45*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(256*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (15*a*c*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(32*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (5*c*(1 - a^2*x^2)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(32*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (3/8)*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^(5/2) + (1/4)*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcCosh[a*x]^(5/2) - (3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^(7/2))/(28*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (15*c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16384*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (15*c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(256*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (15*c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16384*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (15*c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(256*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^(5/2), x, 13, (15*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/32 + (5*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(16*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (5*a*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(8*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^(5/2))/2 - (Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^(7/2))/(7*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (15*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(256*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (15*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(256*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{ArcCosh[a*x]^(5/2)/Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 1, (2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcCosh[a*x]^(7/2))/(7*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{ArcCosh[a*x]^(5/2)/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, (x*ArcCosh[a*x]^(5/2))/(c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (5*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Unintegrable[(x*ArcCosh[a*x]^(3/2))/(1 - a^2*x^2), x])/(2*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{(a^2 - x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcCosh[x/a]], x, 25, (3/8)*a^2*x*Sqrt[a^2 - x^2]*Sqrt[ArcCosh[x/a]] + (1/4)*x*(a^2 - x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcCosh[x/a]] - (a^3*Sqrt[a^2 - x^2]*ArcCosh[x/a]^(3/2))/(4*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]) - (a^3*Sqrt[Pi]*Sqrt[a^2 - x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcCosh[x/a]]])/(256*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]) + (a^3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a^2 - x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[x/a]]])/(16*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]) + (a^3*Sqrt[Pi]*Sqrt[a^2 - x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcCosh[x/a]]])/(256*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]) - (a^3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a^2 - x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[x/a]]])/(16*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a])}
+{Sqrt[a^2 - x^2]*Sqrt[ArcCosh[x/a]], x, 10, (x*Sqrt[a^2 - x^2]*Sqrt[ArcCosh[x/a]])/2 - (a*Sqrt[a^2 - x^2]*ArcCosh[x/a]^(3/2))/(3*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]) + (a*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a^2 - x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[x/a]]])/(16*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]) - (a*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a^2 - x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[x/a]]])/(16*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a])}
+{Sqrt[ArcCosh[x/a]]/Sqrt[a^2 - x^2], x, 1, (2*a*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]*ArcCosh[x/a]^(3/2))/(3*Sqrt[a^2 - x^2])}
+{Sqrt[ArcCosh[x/a]]/(a^2 - x^2)^(3/2), x, 1, (x*Sqrt[ArcCosh[x/a]])/(a^2*Sqrt[a^2 - x^2]) + (Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]*Unintegrable[x/((1 - x^2/a^2)*Sqrt[ArcCosh[x/a]]), x])/(2*a^3*Sqrt[a^2 - x^2])}
+{Sqrt[ArcCosh[x/a]]/(a^2 - x^2)^(5/2), x, 3, (x*Sqrt[ArcCosh[x/a]])/(3*a^2*(a^2 - x^2)^(3/2)) + (2*x*Sqrt[ArcCosh[x/a]])/(3*a^4*Sqrt[a^2 - x^2]) + (Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]*Unintegrable[x/((1 - x^2/a^2)*Sqrt[ArcCosh[x/a]]), x])/(3*a^5*Sqrt[a^2 - x^2]) + (Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]*Unintegrable[x/((-1 + x^2/a^2)^2*Sqrt[ArcCosh[x/a]]), x])/(6*a^5*Sqrt[a^2 - x^2])}
+
+
+{(a^2 - x^2)^(3/2)*ArcCosh[x/a]^(3/2), x, 27, (27*a^3*Sqrt[a^2 - x^2]*Sqrt[ArcCosh[x/a]])/(256*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]) - (9*a*x^2*Sqrt[a^2 - x^2]*Sqrt[ArcCosh[x/a]])/(32*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]) + (3*(a^2 - x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcCosh[x/a]])/(32*a*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]) + (3/8)*a^2*x*Sqrt[a^2 - x^2]*ArcCosh[x/a]^(3/2) + (1/4)*x*(a^2 - x^2)^(3/2)*ArcCosh[x/a]^(3/2) - (3*a^3*Sqrt[a^2 - x^2]*ArcCosh[x/a]^(5/2))/(20*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]) - (3*a^3*Sqrt[Pi]*Sqrt[a^2 - x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcCosh[x/a]]])/(2048*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]) + (3*a^3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a^2 - x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[x/a]]])/(64*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]) - (3*a^3*Sqrt[Pi]*Sqrt[a^2 - x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcCosh[x/a]]])/(2048*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]) + (3*a^3*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a^2 - x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[x/a]]])/(64*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a])}
+{Sqrt[a^2 - x^2]*ArcCosh[x/a]^(3/2), x, 11, (3*a*Sqrt[a^2 - x^2]*Sqrt[ArcCosh[x/a]])/(16*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]) - (3*x^2*Sqrt[a^2 - x^2]*Sqrt[ArcCosh[x/a]])/(8*a*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]) + (x*Sqrt[a^2 - x^2]*ArcCosh[x/a]^(3/2))/2 - (a*Sqrt[a^2 - x^2]*ArcCosh[x/a]^(5/2))/(5*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]) + (3*a*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a^2 - x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[x/a]]])/(64*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]) + (3*a*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[a^2 - x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[x/a]]])/(64*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a])}
+{ArcCosh[x/a]^(3/2)/Sqrt[a^2 - x^2], x, 1, (2*a*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]*ArcCosh[x/a]^(5/2))/(5*Sqrt[a^2 - x^2])}
+{ArcCosh[x/a]^(3/2)/(a^2 - x^2)^(3/2), x, 1, (x*ArcCosh[x/a]^(3/2))/(a^2*Sqrt[a^2 - x^2]) + (3*Sqrt[-1 + x/a]*Sqrt[1 + x/a]*Unintegrable[(x*Sqrt[ArcCosh[x/a]])/(1 - x^2/a^2), x])/(2*a^3*Sqrt[a^2 - x^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x/(Sqrt[1 - x^2]*Sqrt[ArcCosh[x]]), x, 6, (Sqrt[Pi]*Sqrt[-1 + x]*Erf[Sqrt[ArcCosh[x]]])/(2*Sqrt[1 - x]) + (Sqrt[Pi]*Sqrt[-1 + x]*Erfi[Sqrt[ArcCosh[x]]])/(2*Sqrt[1 - x])}
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^(5/2)/Sqrt[ArcCosh[a*x]], x, 18, (-5*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(8*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (3*c^2*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (15*c^2*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (c^2*Sqrt[Pi/6]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[6]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (3*c^2*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (15*c^2*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (c^2*Sqrt[Pi/6]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[6]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(64*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/Sqrt[ArcCosh[a*x]], x, 13, (-3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(4*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(32*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(4*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(32*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(4*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/Sqrt[ArcCosh[a*x]], x, 8, -((Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])) + (Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(4*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(4*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^(1/2)*Sqrt[ArcCosh[a*x]]), x, 1, (2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])/(a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcCosh[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/((c - a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcCosh[a*x]]), x]}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcCosh[a*x]]), x, 0, Unintegrable[1/((c - a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcCosh[a*x]]), x]}
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^(5/2)/ArcCosh[a*x]^(3/2), x, 20, -((2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(a*Sqrt[ArcCosh[a*x]])) + (3*c^2*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(8*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (15*c^2*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (c^2*Sqrt[(3*Pi)/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[6]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (3*c^2*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(8*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (15*c^2*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (c^2*Sqrt[(3*Pi)/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[6]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(16*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/ArcCosh[a*x]^(3/2), x, 15, -((2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(a*Sqrt[ArcCosh[a*x]])) + (c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(4*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(4*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (c*Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/ArcCosh[a*x]^(3/2), x, 9, -((2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*Sqrt[ArcCosh[a*x]])) - (Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (Sqrt[Pi/2]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^(1/2)*ArcCosh[a*x]^(3/2)), x, 1, (-2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]])}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcCosh[a*x]^(3/2)), x, 2, -((2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*Sqrt[ArcCosh[a*x]])) + (4*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Unintegrable[x/((-1 + a^2*x^2)^2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]), x])/(c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcCosh[a*x]^(3/2)), x, 2, -((2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*Sqrt[ArcCosh[a*x]])) - (8*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Unintegrable[x/((-1 + a^2*x^2)^3*Sqrt[ArcCosh[a*x]]), x])/(c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/ArcCosh[a*x]^(5/2), x, 19, -((2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(3*a*ArcCosh[a*x]^(3/2))) - (16*c*x*(1 - a*x)*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*Sqrt[ArcCosh[a*x]]) - (2*c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(3*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (2*c*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(3*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (2*c*Sqrt[Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[2*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(3*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (2*c*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(3*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/ArcCosh[a*x]^(5/2), x, 7, -((2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a*ArcCosh[a*x]^(3/2))) - (8*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*Sqrt[ArcCosh[a*x]]) + (2*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(3*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (2*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcCosh[a*x]]])/(3*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^(1/2)*ArcCosh[a*x]^(5/2)), x, 1, (-2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(3*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcCosh[a*x]^(3/2))}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcCosh[a*x]^(5/2)), x, 2, -((2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(3*a*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcCosh[a*x]^(3/2))) + (4*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Unintegrable[x/((-1 + a^2*x^2)^2*ArcCosh[a*x]^(3/2)), x])/(3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{1/((c - a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcCosh[a*x]^(5/2)), x, 2, -((2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(3*a*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*ArcCosh[a*x]^(3/2))) - (8*a*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Unintegrable[x/((-1 + a^2*x^2)^3*ArcCosh[a*x]^(3/2)), x])/(3*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^n when n symbolic*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^n when n symbolic*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcCosh[c x])^n when n symbolic*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x, 6, -(Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(1 + n))/(8*b*c^3*(1 + n)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2^(2*(3 + n))*c^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) - (E^((4*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2^(2*(3 + n))*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n)}
+{x^1*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x, 9, (3^(-1 - n)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(8*c^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) - (Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcCosh[c*x])/b)])/(8*c^2*E^(a/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) + (E^(a/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(8*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n) - (3^(-1 - n)*E^((3*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(8*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n)}
+{x^0*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x, 6, -(Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(1 + n))/(2*b*c*(1 + n)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2^(-3 - n)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c*E^((2*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) - (2^(-3 - n)*E^((2*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n)}
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/x^1, x, 6, -((d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcCosh[c*x])/b)])/(E^(a/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*(2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]))) + (d*E^(a/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*(2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + d*Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x]}
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/x^2, x, 3, -((c*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(1 + n))/(b*(1 + n)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + d*Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x]}
+
+
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x, 12, -(d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(1 + n))/(16*b*c^3*(1 + n)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2^(-7 - n)*3^(-1 - n)*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c^3*E^((6*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) + (2^(-7 - 2*n)*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) + (2^(-7 - n)*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) - (2^(-7 - n)*d*E^((2*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n) - (2^(-7 - 2*n)*d*E^((4*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n) + (2^(-7 - n)*3^(-1 - n)*d*E^((6*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n)}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x, 12, -(5^(-1 - n)*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*c^2*E^((5*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) + (d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*3^n*c^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) - (d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcCosh[c*x])/b)])/(16*c^2*E^(a/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) + (d*E^(a/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(16*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n) - (d*E^((3*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*3^n*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n) + (5^(-1 - n)*d*E^((5*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(32*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n)}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x, 9, (-3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(1 + n))/(8*b*c*(1 + n)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2^(2*(3 + n))*c*E^((4*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) + (2^(-3 - n)*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c*E^((2*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) - (2^(-3 - n)*d*E^((2*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n) + (d*E^((4*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2^(2*(3 + n))*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n)}
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/x^1, x, 15, (3^(-1 - n)*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b)])/(E^((3*a)/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*(8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (5*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcCosh[c*x])/b)])/(E^(a/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*(8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (5*d^2*E^(a/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*(8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (3^(-1 - n)*d^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*(8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + d^2*Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x]}
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/x^2, x, 9, -((3*c*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(1 + n))/(2*b*(1 + n)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (2^(-3 - n)*c*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b)])/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2^(-3 - n)*c*d^2*E^((2*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + d^2*Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x]}
+
+
+{x^2*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x, 15, (-5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(1 + n))/(128*b*c^3*(1 + n)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2^(-11 - 3*n)*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-8*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c^3*E^((8*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) - (2^(-7 - n)*3^(-1 - n)*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c^3*E^((6*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) + (d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2^(2*(4 + n))*c^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) + (2^(-7 - n)*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) - (2^(-7 - n)*d^2*E^((2*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n) - (d^2*E^((4*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2^(2*(4 + n))*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n) + (2^(-7 - n)*3^(-1 - n)*d^2*E^((6*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n) - (2^(-11 - 3*n)*d^2*E^((8*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (8*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n)}
+{x^1*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x, 15, (7^(-1 - n)*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-7*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(128*c^2*E^((7*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) - (d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(128*5^n*c^2*E^((5*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) + (3^(1 - n)*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(128*c^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) - (5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcCosh[c*x])/b)])/(128*c^2*E^(a/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) + (5*d^2*E^(a/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(128*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n) - (3^(1 - n)*d^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(128*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n) + (d^2*E^((5*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(128*5^n*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n) - (7^(-1 - n)*d^2*E^((7*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (7*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(128*c^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n)}
+{x^0*(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x, 12, (-5*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(1 + n))/(16*b*c*(1 + n)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2^(-7 - n)*3^(-1 - n)*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c*E^((6*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) - (3*2^(-7 - 2*n)*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c*E^((4*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) + (15*2^(-7 - n)*d^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (-2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c*E^((2*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n) - (15*2^(-7 - n)*d^2*E^((2*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n) + (3*2^(-7 - 2*n)*d^2*E^((4*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n) - (2^(-7 - n)*3^(-1 - n)*d^2*E^((6*a)/b)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (6*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n)}
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/x^1, x, 27, -((5^(-1 - n)*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b)])/(E^((5*a)/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*(32*Sqrt[d - c^2*d*x^2]))) - (5*3^(-1 - n)*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b)])/(E^((3*a)/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*(32*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b)])/(3^n*E^((3*a)/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*(8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (11*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcCosh[c*x])/b)])/(E^(a/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*(16*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (11*d^3*E^(a/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*(16*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (5*3^(-1 - n)*d^3*E^((3*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*(32*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (d^3*E^((3*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(3^n*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*(8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (5^(-1 - n)*d^3*E^((5*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*(32*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + d^3*Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x]}
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/x^2, x, 18, -((15*c*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(1 + n))/(8*b*(1 + n)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (c*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b)])/(2^(2*(3 + n))*E^((4*a)/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2^(-2 - n)*c*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b)])/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2^(-2 - n)*c*d^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (c*d^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2^(2*(3 + n))*((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + d^3*Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 9, (3^(-1 - n)*Sqrt[-1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b)])/(E^((3*a)/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*(8*c^4*Sqrt[1 - c*x])) + (3*Sqrt[-1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcCosh[c*x])/b)])/(E^(a/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*(8*c^4*Sqrt[1 - c*x])) - (3*E^(a/b)*Sqrt[-1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*(8*c^4*Sqrt[1 - c*x])) - (3^(-1 - n)*E^((3*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*(8*c^4*Sqrt[1 - c*x]))}
+{x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 6, (Sqrt[-1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(1 + n))/(2*b*c^3*(1 + n)*Sqrt[1 - c*x]) + (2^(-3 - n)*Sqrt[-1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b)])/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*(c^3*Sqrt[1 - c*x])) - (2^(-3 - n)*E^((2*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*(c^3*Sqrt[1 - c*x]))}
+{x^1*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 4, (Sqrt[-1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcCosh[c*x])/b)])/(E^(a/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*(2*c^2*Sqrt[1 - c*x])) - (E^(a/b)*Sqrt[-1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*(2*c^2*Sqrt[1 - c*x]))}
+{x^0*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 1, (Sqrt[-1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(1 + n))/(b*c*(1 + n)*Sqrt[1 - c*x])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(x^1*Sqrt[1 - c^2*x^2]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(x*Sqrt[1 - c^2*x^2]), x]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(x^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]), x]}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x, 9, (3^(-1 - n)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b)])/(E^((3*a)/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*(8*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcCosh[c*x])/b)])/(E^(a/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*(8*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (3*E^(a/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*(8*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (3^(-1 - n)*E^((3*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*(8*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]))}
+{x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x, 6, (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(1 + n))/(2*b*c^3*(1 + n)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (2^(-3 - n)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b)])/(E^((2*a)/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*(c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (2^(-3 - n)*E^((2*a)/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*(c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]))}
+{x^1*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x, 4, (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcCosh[c*x])/b)])/(E^(a/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*(2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (E^(a/b)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*(2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]))}
+{x^0*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x, 1, (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(1 + n))/(b*c*(1 + n)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(x^1*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), x]}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^n)/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x]}
+{x^1*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x*(a + b*ArcCosh[c*x])^n)/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x]}
+{x^0*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(x^1*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(x*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(x^2*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d-c^2 d x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^n when m and n symbolic*)
+
+
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 0, Unintegrable[(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/Sqrt[1 - c^2*x^2], x]}
+
+
+{(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x, 0, Unintegrable[(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x]}
+{(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)^1*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x, 0, Unintegrable[(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x]}
+{(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)^0*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x, 0, Unintegrable[(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x]}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(d - c^2*d*x^2)^1, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^n)/(d - c^2*d*x^2), x]}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(d - c^2*d*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^n)/(d - c^2*d*x^2)^2, x]}
+
+
+{(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x, 0, Unintegrable[(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x]}
+{(f*x)^m*(d - c^2*d*x^2)^(1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x, 0, Unintegrable[(f*x)^m*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x]}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(d - c^2*d*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^n)/Sqrt[d - c^2*d*x^2], x]}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^n)/(d - c^2*d*x^2)^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^1*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^4*(d + e*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 7, -((8*b*(49*c^2*d + 30*e)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(3675*c^7)) - (4*b*(49*c^2*d + 30*e)*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(3675*c^5) - (b*(49*c^2*d + 30*e)*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(1225*c^3) - (b*e*x^6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(49*c) + (1/5)*d*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/7)*e*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x])}
+{x^3*(d + e*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 6, -((b*(9*c^2*d + 5*e)*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(96*c^5)) - (b*(9*c^2*d + 5*e)*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(144*c^3) - (b*e*x^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(36*c) - (b*(9*c^2*d + 5*e)*ArcCosh[c*x])/(96*c^6) + (1/4)*d*x^4*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/6)*e*x^6*(a + b*ArcCosh[c*x])}
+{x^2*(d + e*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 5, -((2*b*(25*c^2*d + 12*e)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(225*c^5)) - (b*(25*c^2*d + 12*e)*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(225*c^3) - (b*e*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(25*c) + (1/3)*d*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/5)*e*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x])}
+{x^1*(d + e*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 4, -((b*(8*c^2*d + 3*e)*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(32*c^3)) - (b*e*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(16*c) - (b*(8*c^2*d + 3*e)*ArcCosh[c*x])/(32*c^4) + (1/2)*d*x^2*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/4)*e*x^4*(a + b*ArcCosh[c*x])}
+{x^0*(d + e*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 3, -((b*(9*c^2*d + 2*e)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(9*c^3)) - (b*e*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(9*c) + d*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/3)*e*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^1, x, 13, -((b*e*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(4*c)) - (b*e*ArcCosh[c*x])/(4*c^2) + (1/2)*e*x^2*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (I*b*d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]^2)/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + d*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[x] - (b*d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[x])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (I*b*d*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^2, x, 4, -((b*e*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/c) - (d*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x + e*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) + b*c*d*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]]}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^3, x, 11, (b*c*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(2*x) - (d*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*x^2) - (I*b*e*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]^2)/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*e*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + e*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[x] - (b*e*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[x])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (I*b*e*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^4, x, 4, (b*c*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*x^2) - (d*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*x^3) - (e*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x + (1/6)*b*c*(c^2*d + 6*e)*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]]}
+
+
+{x^4*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 7, (b*(63*c^4*d^2 + 90*c^2*d*e + 35*e^2)*(1 - c^2*x^2))/(315*c^9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*(63*c^4*d^2 + 135*c^2*d*e + 70*e^2)*(1 - c^2*x^2)^2)/(945*c^9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*(21*c^4*d^2 + 90*c^2*d*e + 70*e^2)*(1 - c^2*x^2)^3)/(525*c^9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*e*(9*c^2*d + 14*e)*(1 - c^2*x^2)^4)/(441*c^9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*e^2*(1 - c^2*x^2)^5)/(81*c^9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (d^2*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/5 + (2*d*e*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x]))/7 + (e^2*x^9*(a + b*ArcCosh[c*x]))/9}
+{x^3*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 9, (b*(288*c^4*d^2 + 320*c^2*d*e + 105*e^2)*x*(1 - c^2*x^2))/(3072*c^7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*(288*c^4*d^2 + 320*c^2*d*e + 105*e^2)*x^3*(1 - c^2*x^2))/(4608*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*e*(64*c^2*d + 21*e)*x^5*(1 - c^2*x^2))/(1152*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*e^2*x^7*(1 - c^2*x^2))/(64*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (1/4)*d^2*x^4*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/3)*d*e*x^6*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/8)*e^2*x^8*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (b*(288*c^4*d^2 + 320*c^2*d*e + 105*e^2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(3072*c^8*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{x^2*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 6, (b*(35*c^4*d^2 + 42*c^2*d*e + 15*e^2)*(1 - c^2*x^2))/(105*c^7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*(35*c^4*d^2 + 84*c^2*d*e + 45*e^2)*(1 - c^2*x^2)^2)/(315*c^7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*e*(14*c^2*d + 15*e)*(1 - c^2*x^2)^3)/(175*c^7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*e^2*(1 - c^2*x^2)^4)/(49*c^7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (d^2*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/3 + (2*d*e*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/5 + (e^2*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x]))/7}
+{x^1*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 7, (b*(44*c^4*d^2 + 44*c^2*d*e + 15*e^2)*x*(1 - c^2*x^2))/(288*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5*b*(2*c^2*d + e)*x*(1 - c^2*x^2)*(d + e*x^2))/(144*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*x*(1 - c^2*x^2)*(d + e*x^2)^2)/(36*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + ((d + e*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(6*e) - (b*(2*c^2*d + e)*(8*c^4*d^2 + 8*c^2*d*e + 5*e^2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(96*c^6*e*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{x^0*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 6, (b*(15*c^4*d^2 + 10*c^2*d*e + 3*e^2)*(1 - c^2*x^2))/(15*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*e*(5*c^2*d + 3*e)*(1 - c^2*x^2)^2)/(45*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*e^2*(1 - c^2*x^2)^3)/(25*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + d^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (2*d*e*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/3 + (e^2*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/5}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^1, x, 16, -((b*e*(16*c^2*d + 3*e)*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(32*c^3)) - (b*e^2*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(16*c) - (b*e*(16*c^2*d + 3*e)*ArcCosh[c*x])/(32*c^4) + d*e*x^2*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/4)*e^2*x^4*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (I*b*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]^2)/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + d^2*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[x] - (b*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[x])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (I*b*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]), -((b*d*e*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(2*c)) - (3*b*e^2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(32*c^3) - (b*e^2*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(16*c) - (b*d*e*ArcCosh[c*x])/(2*c^2) - (3*b*e^2*ArcCosh[c*x])/(32*c^4) + d*e*x^2*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/4)*e^2*x^4*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (I*b*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]^2)/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + d^2*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[x] - (b*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[x])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (I*b*d^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^2, x, 7, (b*e*(6*c^2*d + e)*(1 - c^2*x^2))/(3*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*e^2*(1 - c^2*x^2)^2)/(9*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (d^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x + 2*d*e*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/3)*e^2*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) + b*c*d^2*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]], (b*e*(6*c^2*d + e)*(1 - c^2*x^2))/(3*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*e^2*(1 - c^2*x^2)^2)/(9*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (d^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x + 2*d*e*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/3)*e^2*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (b*c*d^2*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^3, x, 14, (b*c*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(2*x) - (b*e^2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(4*c) - (b*e^2*ArcCosh[c*x])/(4*c^2) - (d^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*x^2) + (1/2)*e^2*x^2*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (I*b*d*e*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]^2)/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*d*e*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + 2*d*e*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[x] - (2*b*d*e*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[x])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (I*b*d*e*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^4, x, 7, (b*e^2*(1 - c^2*x^2))/(c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*d^2*(1 - c^2*x^2))/(6*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (d^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*x^3) - (2*d*e*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x + e^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (b*c*d*(c^2*d + 12*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+
+
+{x^4*(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 6, (b*(231*c^6*d^3 + 495*c^4*d^2*e + 385*c^2*d*e^2 + 105*e^3)*(1 - c^2*x^2))/(1155*c^11*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*(462*c^6*d^3 + 1485*c^4*d^2*e + 1540*c^2*d*e^2 + 525*e^3)*(1 - c^2*x^2)^2)/(3465*c^11*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*(77*c^6*d^3 + 495*c^4*d^2*e + 770*c^2*d*e^2 + 350*e^3)*(1 - c^2*x^2)^3)/(1925*c^11*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*e*(99*c^4*d^2 + 308*c^2*d*e + 210*e^2)*(1 - c^2*x^2)^4)/(1617*c^11*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*e^2*(11*c^2*d + 15*e)*(1 - c^2*x^2)^5)/(297*c^11*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*e^3*(1 - c^2*x^2)^6)/(121*c^11*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (d^3*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/5 + (3*d^2*e*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x]))/7 + (d*e^2*x^9*(a + b*ArcCosh[c*x]))/3 + (e^3*x^11*(a + b*ArcCosh[c*x]))/11}
+{x^3*(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 10, -((b*(1232*c^8*d^4 - 2536*c^6*d^3*e - 7758*c^4*d^2*e^2 - 6615*c^2*d*e^3 - 1890*e^4)*x*(1 - c^2*x^2))/(76800*c^9*e*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) - (b*(136*c^6*d^3 - 1096*c^4*d^2*e - 1617*c^2*d*e^2 - 630*e^3)*x*(1 - c^2*x^2)*(d + e*x^2))/(38400*c^7*e*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*(26*c^4*d^2 + 201*c^2*d*e + 126*e^2)*x*(1 - c^2*x^2)*(d + e*x^2)^2)/(9600*c^5*e*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*(11*c^2*d + 18*e)*x*(1 - c^2*x^2)*(d + e*x^2)^3)/(1600*c^3*e*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*x*(1 - c^2*x^2)*(d + e*x^2)^4)/(100*c*e*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (d*(d + e*x^2)^4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*e^2) + ((d + e*x^2)^5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(10*e^2) + (b*(128*c^10*d^5 - 480*c^6*d^3*e^2 - 800*c^4*d^2*e^3 - 525*c^2*d*e^4 - 126*e^5)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(5120*c^10*e^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{x^2*(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 6, (b*(105*c^6*d^3 + 189*c^4*d^2*e + 135*c^2*d*e^2 + 35*e^3)*(1 - c^2*x^2))/(315*c^9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*(105*c^6*d^3 + 378*c^4*d^2*e + 405*c^2*d*e^2 + 140*e^3)*(1 - c^2*x^2)^2)/(945*c^9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*e*(63*c^4*d^2 + 135*c^2*d*e + 70*e^2)*(1 - c^2*x^2)^3)/(525*c^9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*e^2*(27*c^2*d + 28*e)*(1 - c^2*x^2)^4)/(441*c^9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*e^3*(1 - c^2*x^2)^5)/(81*c^9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (1/3)*d^3*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (3/5)*d^2*e*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (3/7)*d*e^2*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/9)*e^3*x^9*(a + b*ArcCosh[c*x])}
+{x^1*(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 8, (5*b*(2*c^2*d + e)*(40*c^4*d^2 + 40*c^2*d*e + 21*e^2)*x*(1 - c^2*x^2))/(3072*c^7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*(104*c^4*d^2 + 104*c^2*d*e + 35*e^2)*x*(1 - c^2*x^2)*(d + e*x^2))/(1536*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (7*b*(2*c^2*d + e)*x*(1 - c^2*x^2)*(d + e*x^2)^2)/(384*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*x*(1 - c^2*x^2)*(d + e*x^2)^3)/(64*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + ((d + e*x^2)^4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*e) - (b*(128*c^8*d^4 + 256*c^6*d^3*e + 288*c^4*d^2*e^2 + 160*c^2*d*e^3 + 35*e^4)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(1024*c^8*e*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{x^0*(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 6, (b*(35*c^6*d^3 + 35*c^4*d^2*e + 21*c^2*d*e^2 + 5*e^3)*(1 - c^2*x^2))/(35*c^7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*e*(35*c^4*d^2 + 42*c^2*d*e + 15*e^2)*(1 - c^2*x^2)^2)/(105*c^7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*b*e^2*(7*c^2*d + 5*e)*(1 - c^2*x^2)^3)/(175*c^7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*e^3*(1 - c^2*x^2)^4)/(49*c^7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + d^3*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) + d^2*e*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (3*d*e^2*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/5 + (e^3*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x]))/7}
+{((d + e*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^1, x, 23, -((3*b*d^2*e*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(4*c)) - (9*b*d*e^2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(32*c^3) - (5*b*e^3*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(96*c^5) - (3*b*d*e^2*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(16*c) - (5*b*e^3*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(144*c^3) - (b*e^3*x^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(36*c) - (3*b*d^2*e*ArcCosh[c*x])/(4*c^2) - (9*b*d*e^2*ArcCosh[c*x])/(32*c^4) - (5*b*e^3*ArcCosh[c*x])/(96*c^6) + (3/2)*d^2*e*x^2*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (3/4)*d*e^2*x^4*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/6)*e^3*x^6*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (I*b*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]^2)/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + d^3*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[x] - (b*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[x])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (I*b*d^3*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d + e*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^2, x, 7, (b*e*(15*c^4*d^2 + 5*c^2*d*e + e^2)*(1 - c^2*x^2))/(5*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*e^2*(5*c^2*d + 2*e)*(1 - c^2*x^2)^2)/(15*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*e^3*(1 - c^2*x^2)^3)/(25*c^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (d^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x + 3*d^2*e*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) + d*e^2*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/5)*e^3*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (b*c*d^3*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d + e*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^3, x, 18, -((b*c*d^3*(1 - c^2*x^2))/(2*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (3*b*e^2*(8*c^2*d + e)*x*(1 - c^2*x^2))/(32*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*e^3*x^3*(1 - c^2*x^2))/(16*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (d^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*x^2) + (3/2)*d*e^2*x^2*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/4)*e^3*x^4*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (3*I*b*d^2*e*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]^2)/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*b*e^2*(8*c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(32*c^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*b*d^2*e*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + 3*d^2*e*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[x] - (3*b*d^2*e*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x]*Log[x])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*I*b*d^2*e*Sqrt[1 - c^2*x^2]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcSin[c*x])])/(2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{((d + e*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x^4, x, 9, (b*e^2*(9*c^2*d + e)*(1 - c^2*x^2))/(3*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*d^3*(1 - c^2*x^2))/(6*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*e^3*(1 - c^2*x^2)^2)/(9*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (d^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*x^3) - (3*d^2*e*(a + b*ArcCosh[c*x]))/x + 3*d*e^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/3)*e^3*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (b*c*d^2*(c^2*d + 18*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+
+
+{(d + e*x^2)^4*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 6, (b*(315*c^8*d^4 + 420*c^6*d^3*e + 378*c^4*d^2*e^2 + 180*c^2*d*e^3 + 35*e^4)*(1 - c^2*x^2))/(315*c^9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (4*b*e*(105*c^6*d^3 + 189*c^4*d^2*e + 135*c^2*d*e^2 + 35*e^3)*(1 - c^2*x^2)^2)/(945*c^9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*e^2*(63*c^4*d^2 + 90*c^2*d*e + 35*e^2)*(1 - c^2*x^2)^3)/(525*c^9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (4*b*e^3*(9*c^2*d + 7*e)*(1 - c^2*x^2)^4)/(441*c^9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*e^4*(1 - c^2*x^2)^5)/(81*c^9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + d^4*x*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (4*d^3*e*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/3 + (6*d^2*e^2*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/5 + (4*d*e^3*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x]))/7 + (e^4*x^9*(a + b*ArcCosh[c*x]))/9}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d + e*x^2), x, 27, -((a*d*x)/e^2) + (b*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(c*e^2) - (2*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(9*c^3*e) - (b*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(9*c*e) - (b*d*x*ArcCosh[c*x])/e^2 + (x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*e) + ((-d)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^(5/2)) - ((-d)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^(5/2)) + ((-d)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^(5/2)) - ((-d)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^(5/2)) - (b*(-d)^(3/2)*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*e^(5/2)) + (b*(-d)^(3/2)*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^(5/2)) - (b*(-d)^(3/2)*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*e^(5/2)) + (b*(-d)^(3/2)*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^(5/2))}
+{(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d + e*x^2), x, 23, -((b*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(4*c*e)) - (b*ArcCosh[c*x])/(4*c^2*e) + (x^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*e) + (d*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*e^2) - (d*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^2) - (d*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^2) - (d*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^2) - (d*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^2) - (b*d*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*e^2) - (b*d*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^2) - (b*d*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*e^2) - (b*d*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^2)}
+{(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d + e*x^2), x, 23, (a*x)/e - (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(c*e) + (b*x*ArcCosh[c*x])/e + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^(3/2)) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^(3/2)) + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^(3/2)) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^(3/2)) - (b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*e^(3/2)) + (b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^(3/2)) - (b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*e^(3/2)) + (b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^(3/2))}
+{(x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d + e*x^2), x, 18, -((a + b*ArcCosh[c*x])^2/(2*b*e)) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e) + (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*e) + (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e) + (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*e) + (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(d + e*x^2), x, 18, ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x*(d + e*x^2)), x, 25, (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(b*d) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])])/d - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d) - (b*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(2*d) - (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*d) - (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d) - (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*d) - (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)), x, 23, -((a + b*ArcCosh[c*x])/(d*x)) + (b*c*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]])/d + (Sqrt[e]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*(-d)^(3/2)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*(-d)^(3/2)) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*(-d)^(3/2)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*(-d)^(3/2)) - (b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*(-d)^(3/2)) + (b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*(-d)^(3/2)) - (b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*(-d)^(3/2)) + (b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*(-d)^(3/2))}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)), x, 27, (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(2*d*x) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(2*d*x^2) - (e*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(b*d^2) - (e*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])])/d^2 + (e*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^2) + (e*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^2) + (e*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^2) + (e*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^2) + (b*e*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(2*d^2) + (b*e*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*d^2) + (b*e*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^2) + (b*e*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*d^2) + (b*e*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^4*(d + e*x^2)), x, 28, (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*d*x^2) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(3*d*x^3) + (e*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d^2*x) + (b*c^3*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]])/(6*d) - (b*c*e*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]])/d^2 + (e^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*(-d)^(5/2)) - (e^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*(-d)^(5/2)) + (e^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*(-d)^(5/2)) - (e^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*(-d)^(5/2)) - (b*e^(3/2)*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*(-d)^(5/2)) + (b*e^(3/2)*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*(-d)^(5/2)) - (b*e^(3/2)*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*(-d)^(5/2)) + (b*e^(3/2)*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*(-d)^(5/2))}
+
+
+{(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 24, (d*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*e^2*(d + e*x^2)) - (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(2*b*e^2) - (b*c*Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(2*e^2*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^2) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^2) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^2) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^2) + (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*e^2) + (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^2) + (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*e^2) + (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^2)}
+{(x^1*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 4, -((a + b*ArcCosh[c*x])/(2*e*(d + e*x^2))) + (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(2*Sqrt[d]*e*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)^2), x, 29, (a + b*ArcCosh[c*x])/(2*d*(d + e*x^2)) + (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(b*d^2) - (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(2*d^(3/2)*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])])/d^2 - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^2) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^2) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^2) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^2) - (b*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(2*d^2) - (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*d^2) - (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^2) - (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*d^2) - (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^2), x, 31, (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(2*d^2*x) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(2*d^2*x^2) - (e*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*d^2*(d + e*x^2)) - (2*e*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(b*d^3) + (b*c*e*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(2*d^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*e*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])])/d^3 + (e*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/d^3 + (e*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/d^3 + (e*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/d^3 + (e*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/d^3 + (b*e*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])])/d^3 + (b*e*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/d^3 + (b*e*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/d^3 + (b*e*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/d^3 + (b*e*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/d^3}
+
+{(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 49, (a*x)/e^2 - (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(c*e^2) + (b*x*ArcCosh[c*x])/e^2 - (d*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*e^(5/2)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) + (d*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*e^(5/2)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) + (b*c*d*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(2*Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*e^(5/2)) - (b*c*d*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(2*Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*e^(5/2)) + (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*e^(5/2)) - (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*e^(5/2)) + (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*e^(5/2)) - (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*e^(5/2)) - (3*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(4*e^(5/2)) + (3*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*e^(5/2)) - (3*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(4*e^(5/2)) + (3*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*e^(5/2))}
+{(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 46, (a + b*ArcCosh[c*x])/(4*e^(3/2)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(4*e^(3/2)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) - (b*c*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(2*Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*e^(3/2)) + (b*c*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(2*Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*e^(3/2)) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2))}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 26, -((a + b*ArcCosh[c*x])/(4*d*Sqrt[e]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(4*d*Sqrt[e]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) + (b*c*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(2*d*Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[e]) - (b*c*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(2*d*Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^2), x, 49, -((a + b*ArcCosh[c*x])/(d^2*x)) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*d^2*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*d^2*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) + (b*c*ArcTan[Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]])/d^2 - (b*c*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(2*d^2*Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]) + (b*c*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(2*d^2*Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]) - (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*(-d)^(5/2)) - (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(4*(-d)^(5/2)) - (3*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(4*(-d)^(5/2)) - (3*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(4*(-d)^(5/2))}
+
+
+{(x^5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 29, (b*c*d*x*(1 - c^2*x^2))/(8*e^2*(c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(d + e*x^2)) - (d^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*e^3*(d + e*x^2)^2) + (d*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(e^3*(d + e*x^2)) - (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(2*b*e^3) - (b*c*Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(e^3*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c*Sqrt[d]*(2*c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(8*e^3*(c^2*d + e)^(3/2)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^3) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^3) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^3) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^3) + (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*e^3) + (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^3) + (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*e^3) + (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*e^3)}
+{(x^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 9, -(b*c*x*(1 - c^2*x^2))/(8*e*(c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(d + e*x^2)) + (x^4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*d*(d + e*x^2)^2) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcSin[c*x])/(4*d*e^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c*(2*c^2*d + 3*e)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTan[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(8*Sqrt[d]*e^2*(c^2*d + e)^(3/2)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]), -((b*c*x*(1 - c^2*x^2))/(8*e*(c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(d + e*x^2))) + (x^4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*d*(d + e*x^2)^2) - (b*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[-1 + c^2*x^2]])/(4*d*e^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c*(2*c^2*d + 3*e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(8*Sqrt[d]*e^2*(c^2*d + e)^(3/2)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 5, (b*c*x*(1 - c^2*x^2))/(8*d*(c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(d + e*x^2)) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(4*e*(d + e*x^2)^2) + (b*c*(2*c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(8*d^(3/2)*e*(c^2*d + e)^(3/2)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x*(d + e*x^2)^3), x, 34, -((b*c*e*x*(1 - c^2*x^2))/(8*d^2*(c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(d + e*x^2))) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(4*d*(d + e*x^2)^2) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(2*d^2*(d + e*x^2)) + (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(b*d^3) - (b*c*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(2*d^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*(2*c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(8*d^(5/2)*(c^2*d + e)^(3/2)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])])/d^3 - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^3) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^3) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^3) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^3) - (b*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(2*d^3) - (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*d^3) - (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^3) - (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*d^3) - (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^3)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^3), x, 36, (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(2*d^3*x) + (b*c*e^2*x*(1 - c^2*x^2))/(8*d^3*(c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(d + e*x^2)) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(2*d^3*x^2) - (e*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*d^2*(d + e*x^2)^2) - (e*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d^3*(d + e*x^2)) - (3*e*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(b*d^4) + (b*c*e*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(d^(7/2)*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c*e*(2*c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[c^2*d + e]*x)/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(8*d^(7/2)*(c^2*d + e)^(3/2)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*e*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c*x])])/d^4 + (3*e*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^4) + (3*e*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^4) + (3*e*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^4) + (3*e*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^4) + (3*b*e*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c*x])])/(2*d^4) + (3*b*e*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*d^4) + (3*b*e*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^4) + (3*b*e*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(2*d^4) + (3*b*e*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*d^4)}
+
+{(x^4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 80, -((b*c*Sqrt[-d]*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(16*e^2*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))) - (b*c*Sqrt[-d]*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(16*e^2*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(16*e^(5/2)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)^2) + (5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(16*e^(5/2)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(16*e^(5/2)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)^2) - (5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(16*e^(5/2)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) - (b*c^3*d*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(8*(c*Sqrt[-d] - Sqrt[e])^(3/2)*(c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])^(3/2)*e^(5/2)) - (5*b*c*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(8*Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*e^(5/2)) + (b*c^3*d*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(8*(c*Sqrt[-d] - Sqrt[e])^(3/2)*(c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])^(3/2)*e^(5/2)) + (5*b*c*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(8*Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*e^(5/2)) + (3*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (3*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (3*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (3*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2))}
+{(x^2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 62, -((b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(16*Sqrt[-d]*e*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))) - (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(16*Sqrt[-d]*e*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(16*Sqrt[-d]*e^(3/2)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)^2) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(16*d*e^(3/2)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(16*Sqrt[-d]*e^(3/2)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)^2) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(16*d*e^(3/2)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) + (b*c^3*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(8*(c*Sqrt[-d] - Sqrt[e])^(3/2)*(c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])^(3/2)*e^(3/2)) + (b*c*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(8*d*Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*e^(3/2)) - (b*c^3*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(8*(c*Sqrt[-d] - Sqrt[e])^(3/2)*(c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])^(3/2)*e^(3/2)) - (b*c*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(8*d*Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*e^(3/2)) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) - ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + ((a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) - (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + (b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) - (b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2))}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(d + e*x^2)^3, x, 34, -((b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(16*(-d)^(3/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x))) - (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(16*(-d)^(3/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(16*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)^2) - (3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(16*d^2*Sqrt[e]*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) + (a + b*ArcCosh[c*x])/(16*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)^2) + (3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(16*d^2*Sqrt[e]*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) - (b*c^3*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(8*d*(c*Sqrt[-d] - Sqrt[e])^(3/2)*(c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])^(3/2)*Sqrt[e]) + (3*b*c*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(8*d^2*Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[e]) + (b*c^3*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(8*d*(c*Sqrt[-d] - Sqrt[e])^(3/2)*(c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])^(3/2)*Sqrt[e]) - (3*b*c*ArcTanh[(Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + c*x])])/(8*d^2*Sqrt[c*Sqrt[-d] - Sqrt[e]]*Sqrt[c*Sqrt[-d] + Sqrt[e]]*Sqrt[e]) + (3*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*b*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*b*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e])}
+(* {(a + b*ArcCosh[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^3), x, 102, (b*c*e*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*(-d)^(5/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) + (b*c*e*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(16*(-d)^(5/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(d^3*x) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(16*(-d)^(5/2)*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)^2) + (7*Sqrt[e]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(16*d^3*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*x)) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(16*(-d)^(5/2)*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)^2) - (7*Sqrt[e]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(16*d^3*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*x)) - (b*c^3*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[e] - c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*d^2*(c^2*d + e)^(3/2)) - (7*b*c*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[e] - c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*d^3*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*c^3*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[e] + c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*d^2*(c^2*d + e)^(3/2)) - (7*b*c*Sqrt[e]*ArcTanh[(Sqrt[e] + c^2*Sqrt[-d]*x)/(Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(16*d^3*Sqrt[c^2*d + e]) - (b*c*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/d^3 + (15*Sqrt[e]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcCosh[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(7/2)) - (15*Sqrt[e]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcCosh[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(7/2)) + (15*Sqrt[e]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 - (Sqrt[e]*E^(I*ArcCosh[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(7/2)) - (15*Sqrt[e]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (Sqrt[e]*E^(I*ArcCosh[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(7/2)) + (15*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcCosh[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*(-d)^(7/2)) - (15*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcCosh[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(7/2)) + (15*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^(I*ArcCosh[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*(-d)^(7/2)) - (15*I*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^(I*ArcCosh[c*x]))/(I*c*Sqrt[-d] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(7/2))} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^(p/2) (a+b ArcCosh[c x])*)
+
+
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 0, Unintegrable[Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]), x]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 7, (x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(d*Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 8, -((b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(3*d*(c^2*d + e)*Sqrt[d + e*x^2])) + (x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (2*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(3*d^2*Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]), (b*c*(1 - c^2*x^2))/(3*d*(c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x^2]) + (x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*b*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(3*d^2*Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(d + e*x^2)^(7/2), x, 9, (b*c*(1 - c^2*x^2))/(15*d*(c^2*d + e)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*b*c*(3*c^2*d + 2*e)*(1 - c^2*x^2))/(15*d^2*(c^2*d + e)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x^2]) + (x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(5*d*(d + e*x^2)^(5/2)) + (4*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(15*d^2*(d + e*x^2)^(3/2)) + (8*x*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(15*d^3*Sqrt[d + e*x^2]) - (8*b*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(15*d^3*Sqrt[e]*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcCosh[c x]) with m symbolic*)
+
+
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 8, If[$VersionNumber>=8, (b*e*(3*c^2*d*e*(7 + m)^2*(12 + 7*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(35 + 12*m + m^2)^2 + e^2*(360 + 342*m + 119*m^2 + 18*m^3 + m^4))*(f*x)^(2 + m)*(1 - c^2*x^2))/(c^5*f^2*(3 + m)^2*(5 + m)^2*(7 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*e^2*(3*c^2*d*(7 + m)^2 + e*(30 + 11*m + m^2))*(f*x)^(4 + m)*(1 - c^2*x^2))/(c^3*f^4*(5 + m)^2*(7 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*e^3*(f*x)^(6 + m)*(1 - c^2*x^2))/(c*f^6*(7 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(1 + m)) + (3*d^2*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (3*d*e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^5*(5 + m)) + (e^3*(f*x)^(7 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^7*(7 + m)) - (b*((c^6*d^3*(3 + m)*(5 + m)*(7 + m))/(1 + m) + (e*(2 + m)*(3*c^2*d*e*(7 + m)^2*(12 + 7*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(35 + 12*m + m^2)^2 + e^2*(360 + 342*m + 119*m^2 + 18*m^3 + m^4)))/((3 + m)*(5 + m)*(7 + m)))*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(c^5*f^2*(2 + m)*(3 + m)*(5 + m)*(7 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]), (b*e*(3*c^2*d*e*(7 + m)^2*(12 + 7*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(35 + 12*m + m^2)^2 + e^2*(360 + 342*m + 119*m^2 + 18*m^3 + m^4))*(f*x)^(2 + m)*(1 - c^2*x^2))/(c^5*f^2*(3 + m)^2*(5 + m)^2*(7 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*e^2*(3*c^2*d*(7 + m)^2 + e*(30 + 11*m + m^2))*(f*x)^(4 + m)*(1 - c^2*x^2))/(c^3*f^4*(5 + m)^2*(7 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*e^3*(f*x)^(6 + m)*(1 - c^2*x^2))/(c*f^6*(7 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(1 + m)) + (3*d^2*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (3*d*e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^5*(5 + m)) + (e^3*(f*x)^(7 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^7*(7 + m)) - (b*((c^6*d^3*(3 + m)*(5 + m)*(7 + m))/(1 + m) + (e*(2 + m)*(3*c^2*d*e*(7 + m)^2*(12 + 7*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(35 + 12*m + m^2)^2 + e^2*(360 + 342*m + 119*m^2 + 18*m^3 + m^4)))/(105 + 71*m + 15*m^2 + m^3))*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(c^5*f^2*(2 + m)*(3 + m)*(5 + m)*(7 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])]}
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 7, (b*e*(2*c^2*d*(5 + m)^2 + e*(12 + 7*m + m^2))*(f*x)^(2 + m)*(1 - c^2*x^2))/(c^3*f^2*(3 + m)^2*(5 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*e^2*(f*x)^(4 + m)*(1 - c^2*x^2))/(c*f^4*(5 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (d^2*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(1 + m)) + (2*d*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^5*(5 + m)) - (b*((c^4*d^2*(3 + m)*(5 + m))/(1 + m) + (e*(2 + m)*(2*c^2*d*(5 + m)^2 + e*(12 + 7*m + m^2)))/((3 + m)*(5 + m)))*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(c^3*f^2*(2 + m)*(3 + m)*(5 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^1*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 5, -((b*e*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(c*f^2*(3 + m)^2)) + (d*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f*(1 + m)) + (e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(f^3*(3 + m)) - (b*(e*(1 + m)*(2 + m) + c^2*d*(3 + m)^2)*(f*x)^(2 + m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(c*f^2*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d + e*x^2)^1, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d + e*x^2), x]}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x]}
+{(f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])/(d + e*x^2)^3, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^2*)
+
+
+{(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 26, 2*b^2*d^3*x + (4*b^2*d^2*e*x)/(3*c^2) + (16*b^2*d*e^2*x)/(25*c^4) + (32*b^2*e^3*x)/(245*c^6) + (2*b^2*d^2*e*x^3)/9 + (8*b^2*d*e^2*x^3)/(75*c^2) + (16*b^2*e^3*x^3)/(735*c^4) + (6*b^2*d*e^2*x^5)/125 + (12*b^2*e^3*x^5)/(1225*c^2) + (2*b^2*e^3*x^7)/343 - (2*b*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/c - (4*b*d^2*e*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^3) - (16*b*d*e^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(25*c^5) - (32*b*e^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(245*c^7) - (2*b*d^2*e*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c) - (8*b*d*e^2*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(25*c^3) - (16*b*e^3*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(245*c^5) - (6*b*d*e^2*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(25*c) - (12*b*e^3*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(245*c^3) - (2*b*e^3*x^6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(49*c) + d^3*x*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 + d^2*e*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 + (3*d*e^2*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/5 + (e^3*x^7*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/7}
+{(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 17, 2*b^2*d^2*x + (8*b^2*d*e*x)/(9*c^2) + (16*b^2*e^2*x)/(75*c^4) + (4*b^2*d*e*x^3)/27 + (8*b^2*e^2*x^3)/(225*c^2) + (2*b^2*e^2*x^5)/125 - (2*b*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/c - (8*b*d*e*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(9*c^3) - (16*b*e^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(75*c^5) - (4*b*d*e*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(9*c) - (8*b*e^2*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(75*c^3) - (2*b*e^2*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(25*c) + d^2*x*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 + (2*d*e*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/3 + (e^2*x^5*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/5}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 10, 2*b^2*d*x + (4*b^2*e*x)/(9*c^2) + (2*b^2*e*x^3)/27 - (2*b*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/c - (4*b*e*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(9*c^3) - (2*b*e*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(9*c) + d*x*(a + b*ArcCosh[c*x])^2 + (e*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/3}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 3, 2*b^2*x - (2*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/c + x*(a + b*ArcCosh[c*x])^2}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(d + e*x^2), x, 22, ((a + b*ArcCosh[c*x])^2*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcCosh[c*x])^2*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcCosh[c*x])^2*Log[1 - (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcCosh[c*x])^2*Log[1 + (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b^2*PolyLog[3, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b^2*PolyLog[3, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] - Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b^2*PolyLog[3, -((Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e]))])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b^2*PolyLog[3, (Sqrt[e]*E^ArcCosh[c*x])/(c*Sqrt[-d] + Sqrt[(-c^2)*d - e])])/(Sqrt[-d]*Sqrt[e])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^(p/2) (a+b ArcCosh[c x])^2*)
+
+
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/Sqrt[d + e*x^2], x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])^2/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(d + e*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(d + e*x^2)^(3/2), x]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(d + e*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(d + e*x^2)^(5/2), x]}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^3*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p / (a+b ArcCosh[c x])^1*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^p / (a+b ArcCosh[c x])*)
+
+
+{(d + e*x^2)^2/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 27, -((d^2*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(b*c)) - (d*e*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(2*b*c^3) - (e^2*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(8*b*c^5) - (d*e*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(2*b*c^3) - (3*e^2*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(16*b*c^5) - (e^2*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(5*a)/b])/(16*b*c^5) + (d^2*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b*c) + (d*e*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(2*b*c^3) + (e^2*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(8*b*c^5) + (d*e*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2*b*c^3) + (3*e^2*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*c^5) + (e^2*Cosh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b*c^5)}
+{(d + e*x^2)^1/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 15, -(((4*c^2*d + e)*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(4*b*c^3)) - (e*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(4*b*c^3) + ((4*c^2*d + e)*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(4*b*c^3) + (e*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(4*b*c^3), -((d*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(b*c)) - (e*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(4*b*c^3) - (e*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(4*b*c^3) + (d*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b*c) + (e*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(4*b*c^3) + (e*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(4*b*c^3)}
+{(d + e*x^2)^0/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 4, -((CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b]*Sinh[a/b])/(b*c)) + (Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b*c)}
+{1/((d + e*x^2)^1*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{1/((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^(p/2) / (a+b ArcCosh[c x])*)
+
+
+{Sqrt[d + e*x^2]/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 0, Unintegrable[Sqrt[d + e*x^2]/(a + b*ArcCosh[c*x]), x]}
+{1/(Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{1/((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{1/((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p / (a+b ArcCosh[c x])^2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^p / (a+b ArcCosh[c x])^2*)
+
+
+{(d + e*x^2)^2/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 26, -((d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (2*d*e*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x])) - (e^2*x^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x])) + (d^2*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b^2*c) + (d*e*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(2*b^2*c^3) + (e^2*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(8*b^2*c^5) + (3*d*e*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2*b^2*c^3) + (9*e^2*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^5) + (5*e^2*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^5) - (d^2*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b^2*c) - (d*e*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(2*b^2*c^3) - (e^2*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(8*b^2*c^5) - (3*d*e*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(2*b^2*c^3) - (9*e^2*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^5) - (5*e^2*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(16*b^2*c^5)}
+{(d + e*x^2)^1/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 15, -((d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (e*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x])) + (d*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b^2*c) + (e*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(4*b^2*c^3) + (3*e*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(4*b^2*c^3) - (d*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b^2*c) - (e*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(4*b^2*c^3) - (3*e*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(4*b^2*c^3)}
+{(d + e*x^2)^0/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 5, -((Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x]))) + (Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b^2*c) - (Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b^2*c)}
+{1/((d + e*x^2)^1*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+{1/((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^(p/2) / (a+b ArcCosh[c x])^2*)
+
+
+{Sqrt[d + e*x^2]/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[Sqrt[d + e*x^2]/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x]}
+{1/(Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+{1/((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+{1/((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(d + e*x^2)^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]], x, 42, d^2*x*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]] + (2*d*e*x^3*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/3 + (e^2*x^5*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/5 - (Sqrt[b]*d^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*c) - (Sqrt[b]*d*e*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*c^3) - (Sqrt[b]*e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(32*c^5) - (Sqrt[b]*d*e*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(24*c^3) - (Sqrt[b]*e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(64*c^5) - (Sqrt[b]*e^2*E^((5*a)/b)*Sqrt[Pi/5]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(320*c^5) - (Sqrt[b]*d^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*c*E^(a/b)) - (Sqrt[b]*d*e*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*c^3*E^(a/b)) - (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(32*c^5*E^(a/b)) - (Sqrt[b]*d*e*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(24*c^3*E^((3*a)/b)) - (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(64*c^5*E^((3*a)/b)) - (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi/5]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(320*c^5*E^((5*a)/b))}
+{(d + e*x^2)*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]], x, 23, d*x*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]] + (e*x^3*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/3 - (Sqrt[b]*d*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*c) - (Sqrt[b]*e*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(16*c^3) - (Sqrt[b]*e*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(48*c^3) - (Sqrt[b]*d*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*c*E^(a/b)) - (Sqrt[b]*e*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(16*c^3*E^(a/b)) - (Sqrt[b]*e*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(48*c^3*E^((3*a)/b))}
+{Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]], x, 7, x*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]] - (Sqrt[b]*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*c) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*c*E^(a/b))}
+{Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/(d + e*x^2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/(d + e*x^2), x]}
+{Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/(d + e*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/(d + e*x^2)^2, x]}
+
+
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2), x, 32, (-3*b*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/(2*c) - (b*e*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/(3*c^3) - (b*e*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/(6*c) + d*x*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2) + (e*x^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2))/3 - (3*b^(3/2)*d*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*c) - (3*b^(3/2)*e*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(32*c^3) - (b^(3/2)*e*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(96*c^3) + (3*b^(3/2)*d*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*c*E^(a/b)) + (3*b^(3/2)*e*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(32*c^3*E^(a/b)) + (b^(3/2)*e*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(96*c^3*E^((3*a)/b))}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2), x, 8, (-3*b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/(2*c) + x*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2) - (3*b^(3/2)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*c) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*c*E^(a/b))}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2)/(d + e*x^2), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2)/(d + e*x^2), x]}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2)/(d + e*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2)/(d + e*x^2)^2, x]}
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+{(d + e*x^2)^2/Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]], x, 39, -(d^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c) - (d*e*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[b]*c^3) - (e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(16*Sqrt[b]*c^5) - (d*e*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[b]*c^3) - (e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*c^5) - (e^2*E^((5*a)/b)*Sqrt[Pi/5]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*c^5) + (d^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c*E^(a/b)) + (d*e*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[b]*c^3*E^(a/b)) + (e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(16*Sqrt[b]*c^5*E^(a/b)) + (d*e*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[b]*c^3*E^((3*a)/b)) + (e^2*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*c^5*E^((3*a)/b)) + (e^2*Sqrt[Pi/5]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*c^5*E^((5*a)/b))}
+{(d + e*x^2)/Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]], x, 21, -(d*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c) - (e*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*c^3) - (e*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*c^3) + (d*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c*E^(a/b)) + (e*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*c^3*E^(a/b)) + (e*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*c^3*E^((3*a)/b))}
+{1/Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]], x, 6, -(E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*c*E^(a/b))}
+{1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]), x]}
+{1/((d + e*x^2)^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]), x]}
+
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+{(a + b*ArcCosh[c*x])^(-3/2), x, 7, (-2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]) + (E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c*x]]/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*c*E^(a/b))}
+{1/((d + e*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2)), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x^2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(3/2)), x]}
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diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.5 Inverse hyperbolic cosine functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.5 Inverse hyperbolic cosine functions.m
new file mode 100644
index 00000000..201b77b0
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.2 Inverse hyperbolic cosine/7.2.5 Inverse hyperbolic cosine functions.m	
@@ -0,0 +1,628 @@
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+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcCosh[c x])^n*)
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+(*Integrands of the form (d+e x)^m ArcCosh[c x]^n*)
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+{(d + e*x)^3*ArcCosh[c*x], x, 5, -((7*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(d + e*x)^2)/(48*c)) - (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(d + e*x)^3)/(16*c) - (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(4*d*(19*c^2*d^2 + 16*e^2) + e*(26*c^2*d^2 + 9*e^2)*x))/(96*c^3) - ((8*c^4*d^4 + 24*c^2*d^2*e^2 + 3*e^4)*ArcCosh[c*x])/(32*c^4*e) + ((d + e*x)^4*ArcCosh[c*x])/(4*e)}
+{(d + e*x)^2*ArcCosh[c*x], x, 4, -((Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(d + e*x)^2)/(9*c)) - (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(4*(4*c^2*d^2 + e^2) + 5*c^2*d*e*x))/(18*c^3) - (1/6)*d*((2*d^2)/e + (3*e)/c^2)*ArcCosh[c*x] + ((d + e*x)^3*ArcCosh[c*x])/(3*e)}
+{(d + e*x)^1*ArcCosh[c*x], x, 4, -((3*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(4*c)) - (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(d + e*x))/(4*c) - (1/4)*((2*d^2)/e + e/c^2)*ArcCosh[c*x] + ((d + e*x)^2*ArcCosh[c*x])/(2*e)}
+{ArcCosh[c*x]/(d + e*x)^1, x, 8, -(ArcCosh[c*x]^2/(2*e)) + (ArcCosh[c*x]*Log[1 + (e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e + (ArcCosh[c*x]*Log[1 + (e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e + PolyLog[2, -((e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2]))]/e + PolyLog[2, -((e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2]))]/e}
+{ArcCosh[c*x]/(d + e*x)^2, x, 3, -(ArcCosh[c*x]/(e*(d + e*x))) + (2*c*ArcTanh[(Sqrt[c*d + e]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*d - e]*Sqrt[-1 + c*x])])/(Sqrt[c*d - e]*e*Sqrt[c*d + e])}
+{ArcCosh[c*x]/(d + e*x)^3, x, 4, -((c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(2*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x))) - ArcCosh[c*x]/(2*e*(d + e*x)^2) + (c^3*d*ArcTanh[(Sqrt[c*d + e]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*d - e]*Sqrt[-1 + c*x])])/((c*d - e)^(3/2)*e*(c*d + e)^(3/2))}
+{ArcCosh[c*x]/(d + e*x)^4, x, 6, If[$VersionNumber>=8, -((c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)^2)) - (c^3*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(2*(c*d - e)^2*(c*d + e)^2*(d + e*x)) - ArcCosh[c*x]/(3*e*(d + e*x)^3) + (c^3*(2*c^2*d^2 + e^2)*ArcTanh[(Sqrt[c*d + e]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*d - e]*Sqrt[-1 + c*x])])/(3*(c*d - e)^(5/2)*e*(c*d + e)^(5/2)), -((c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)^2)) - (c^3*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(2*(c^2*d^2 - e^2)^2*(d + e*x)) - ArcCosh[c*x]/(3*e*(d + e*x)^3) + (c^3*(2*c^2*d^2 + e^2)*ArcTanh[(Sqrt[c*d + e]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*d - e]*Sqrt[-1 + c*x])])/(3*(c*d - e)^(5/2)*e*(c*d + e)^(5/2))]}
+
+
+{(d + e*x)^3*ArcCosh[c*x]^2, x, 18, 2*d^3*x + (4*d*e^2*x)/(3*c^2) + (3/4)*d^2*e*x^2 + (3*e^3*x^2)/(32*c^2) + (2/9)*d*e^2*x^3 + (e^3*x^4)/32 - (2*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/c - (4*d*e^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(3*c^3) - (3*d^2*e*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(2*c) - (3*e^3*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(16*c^3) - (2*d*e^2*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(3*c) - (e^3*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(8*c) - (d^4*ArcCosh[c*x]^2)/(4*e) - (3*d^2*e*ArcCosh[c*x]^2)/(4*c^2) - (3*e^3*ArcCosh[c*x]^2)/(32*c^4) + ((d + e*x)^4*ArcCosh[c*x]^2)/(4*e)}
+{(d + e*x)^2*ArcCosh[c*x]^2, x, 13, 2*d^2*x + (4*e^2*x)/(9*c^2) + (1/2)*d*e*x^2 + (2*e^2*x^3)/27 - (2*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/c - (4*e^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(9*c^3) - (d*e*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/c - (2*e^2*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(9*c) - (d^3*ArcCosh[c*x]^2)/(3*e) - (d*e*ArcCosh[c*x]^2)/(2*c^2) + ((d + e*x)^3*ArcCosh[c*x]^2)/(3*e)}
+{(d + e*x)^1*ArcCosh[c*x]^2, x, 9, 2*d*x + (e*x^2)/4 - (2*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/c - (e*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcCosh[c*x])/(2*c) - (d^2*ArcCosh[c*x]^2)/(2*e) - (e*ArcCosh[c*x]^2)/(4*c^2) + ((d + e*x)^2*ArcCosh[c*x]^2)/(2*e)}
+{ArcCosh[c*x]^2/(d + e*x)^1, x, 10, -(ArcCosh[c*x]^3/(3*e)) + (ArcCosh[c*x]^2*Log[1 + (e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e + (ArcCosh[c*x]^2*Log[1 + (e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e + (2*ArcCosh[c*x]*PolyLog[2, -((e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2]))])/e + (2*ArcCosh[c*x]*PolyLog[2, -((e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2]))])/e - (2*PolyLog[3, -((e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2]))])/e - (2*PolyLog[3, -((e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2]))])/e}
+{ArcCosh[c*x]^2/(d + e*x)^2, x, 10, -(ArcCosh[c*x]^2/(e*(d + e*x))) + (2*c*ArcCosh[c*x]*Log[1 + (e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) - (2*c*ArcCosh[c*x]*Log[1 + (e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) + (2*c*PolyLog[2, -((e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2]))])/(e*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) - (2*c*PolyLog[2, -((e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2]))])/(e*Sqrt[c^2*d^2 - e^2])}
+{ArcCosh[c*x]^2/(d + e*x)^3, x, 13, -((c*Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]*(1 + c*x)*ArcCosh[c*x])/((c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x))) - ArcCosh[c*x]^2/(2*e*(d + e*x)^2) + (c^3*d*ArcCosh[c*x]*Log[1 + (e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) - (c^3*d*ArcCosh[c*x]*Log[1 + (e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) + (c^2*Log[d + e*x])/(e*(c^2*d^2 - e^2)) + (c^3*d*PolyLog[2, -((e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2]))])/(e*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) - (c^3*d*PolyLog[2, -((e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2]))])/(e*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcCosh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(d + e*x)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 5, -((7*b*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(d + e*x)^2)/(48*c)) - (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(d + e*x)^3)/(16*c) - (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(4*d*(19*c^2*d^2 + 16*e^2) + e*(26*c^2*d^2 + 9*e^2)*x))/(96*c^3) - (b*(8*c^4*d^4 + 24*c^2*d^2*e^2 + 3*e^4)*ArcCosh[c*x])/(32*c^4*e) + ((d + e*x)^4*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*e)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 4, -((b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(d + e*x)^2)/(9*c)) - (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(4*(4*c^2*d^2 + e^2) + 5*c^2*d*e*x))/(18*c^3) - (b*d*(2*d^2 + (3*e^2)/c^2)*ArcCosh[c*x])/(6*e) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*e)}
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+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(d + e*x)^2, x, 3, -((a + b*ArcCosh[c*x])/(e*(d + e*x))) + (2*b*c*ArcTanh[(Sqrt[c*d + e]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*d - e]*Sqrt[-1 + c*x])])/(Sqrt[c*d - e]*e*Sqrt[c*d + e])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(d + e*x)^3, x, 4, -((b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(2*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x))) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(2*e*(d + e*x)^2) + (b*c^3*d*ArcTanh[(Sqrt[c*d + e]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*d - e]*Sqrt[-1 + c*x])])/((c*d - e)^(3/2)*e*(c*d + e)^(3/2))}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])/(d + e*x)^4, x, 6, If[$VersionNumber>=8, -((b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)^2)) - (b*c^3*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(2*(c*d - e)^2*(c*d + e)^2*(d + e*x)) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(3*e*(d + e*x)^3) + (b*c^3*(2*c^2*d^2 + e^2)*ArcTanh[(Sqrt[c*d + e]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*d - e]*Sqrt[-1 + c*x])])/(3*(c*d - e)^(5/2)*e*(c*d + e)^(5/2)), -((b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(6*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)^2)) - (b*c^3*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(2*(c^2*d^2 - e^2)^2*(d + e*x)) - (a + b*ArcCosh[c*x])/(3*e*(d + e*x)^3) + (b*c^3*(2*c^2*d^2 + e^2)*ArcTanh[(Sqrt[c*d + e]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*d - e]*Sqrt[-1 + c*x])])/(3*(c*d - e)^(5/2)*e*(c*d + e)^(5/2))]}
+
+
+{(d + e*x)^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 18, 2*b^2*d^3*x + (4*b^2*d*e^2*x)/(3*c^2) + (3/4)*b^2*d^2*e*x^2 + (3*b^2*e^3*x^2)/(32*c^2) + (2/9)*b^2*d*e^2*x^3 + (1/32)*b^2*e^3*x^4 - (2*b*d^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/c - (4*b*d*e^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^3) - (3*b*d^2*e*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*c) - (3*b*e^3*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(16*c^3) - (2*b*d*e^2*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c) - (b*e^3*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*c) - (d^4*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(4*e) - (3*d^2*e*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(4*c^2) - (3*e^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(32*c^4) + ((d + e*x)^4*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(4*e)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 13, 2*b^2*d^2*x + (4*b^2*e^2*x)/(9*c^2) + (1/2)*b^2*d*e*x^2 + (2/27)*b^2*e^2*x^3 - (2*b*d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/c - (4*b*e^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(9*c^3) - (b*d*e*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/c - (2*b*e^2*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(9*c) - (d^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*e) - (d*e*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*c^2) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(3*e)}
+{(d + e*x)^1*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 9, 2*b^2*d*x + (1/4)*b^2*e*x^2 - (2*b*d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/c - (b*e*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*c) - (d^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*e) - (e*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(4*c^2) + ((d + e*x)^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*e)}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(d + e*x)^1, x, 10, -((a + b*ArcCosh[c*x])^3/(3*b*e)) + ((a + b*ArcCosh[c*x])^2*Log[1 + (e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e + ((a + b*ArcCosh[c*x])^2*Log[1 + (e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/e + (2*b*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, -((e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2]))])/e + (2*b*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, -((e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2]))])/e - (2*b^2*PolyLog[3, -((e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2]))])/e - (2*b^2*PolyLog[3, -((e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2]))])/e}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(d + e*x)^2, x, 10, -((a + b*ArcCosh[c*x])^2/(e*(d + e*x))) + (2*b*c*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) - (2*b*c*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) + (2*b^2*c*PolyLog[2, -((e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2]))])/(e*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) - (2*b^2*c*PolyLog[2, -((e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2]))])/(e*Sqrt[c^2*d^2 - e^2])}
+{(a + b*ArcCosh[c*x])^2/(d + e*x)^3, x, 13, -((b*c*Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]*(1 + c*x)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/((c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x))) - (a + b*ArcCosh[c*x])^2/(2*e*(d + e*x)^2) + (b*c^3*d*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) - (b*c^3*d*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2])])/(e*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) + (b^2*c^2*Log[d + e*x])/(e*(c^2*d^2 - e^2)) + (b^2*c^3*d*PolyLog[2, -((e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d - Sqrt[c^2*d^2 - e^2]))])/(e*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) - (b^2*c^3*d*PolyLog[2, -((e*E^ArcCosh[c*x])/(c*d + Sqrt[c^2*d^2 - e^2]))])/(e*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(d + e*x)^3/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 27, -((d^3*CoshIntegral[a/b + ArcCosh[c*x]]*Sinh[a/b])/(b*c)) - (3*d*e^2*CoshIntegral[a/b + ArcCosh[c*x]]*Sinh[a/b])/(4*b*c^3) - (3*d^2*e*CoshIntegral[(2*a)/b + 2*ArcCosh[c*x]]*Sinh[(2*a)/b])/(2*b*c^2) - (e^3*CoshIntegral[(2*a)/b + 2*ArcCosh[c*x]]*Sinh[(2*a)/b])/(4*b*c^4) - (3*d*e^2*CoshIntegral[(3*a)/b + 3*ArcCosh[c*x]]*Sinh[(3*a)/b])/(4*b*c^3) - (e^3*CoshIntegral[(4*a)/b + 4*ArcCosh[c*x]]*Sinh[(4*a)/b])/(8*b*c^4) + (d^3*Cosh[a/b]*SinhIntegral[a/b + ArcCosh[c*x]])/(b*c) + (3*d*e^2*Cosh[a/b]*SinhIntegral[a/b + ArcCosh[c*x]])/(4*b*c^3) + (3*d^2*e*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*a)/b + 2*ArcCosh[c*x]])/(2*b*c^2) + (e^3*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*a)/b + 2*ArcCosh[c*x]])/(4*b*c^4) + (3*d*e^2*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*a)/b + 3*ArcCosh[c*x]])/(4*b*c^3) + (e^3*Cosh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*a)/b + 4*ArcCosh[c*x]])/(8*b*c^4)}
+{(d + e*x)^2/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 17, -((d^2*CoshIntegral[a/b + ArcCosh[c*x]]*Sinh[a/b])/(b*c)) - (e^2*CoshIntegral[a/b + ArcCosh[c*x]]*Sinh[a/b])/(4*b*c^3) - (d*e*CoshIntegral[(2*a)/b + 2*ArcCosh[c*x]]*Sinh[(2*a)/b])/(b*c^2) - (e^2*CoshIntegral[(3*a)/b + 3*ArcCosh[c*x]]*Sinh[(3*a)/b])/(4*b*c^3) + (d^2*Cosh[a/b]*SinhIntegral[a/b + ArcCosh[c*x]])/(b*c) + (e^2*Cosh[a/b]*SinhIntegral[a/b + ArcCosh[c*x]])/(4*b*c^3) + (d*e*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*a)/b + 2*ArcCosh[c*x]])/(b*c^2) + (e^2*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*a)/b + 3*ArcCosh[c*x]])/(4*b*c^3)}
+{(d + e*x)^1/(a + b*ArcCosh[c*x]), x, 11, -((d*CoshIntegral[a/b + ArcCosh[c*x]]*Sinh[a/b])/(b*c)) - (e*CoshIntegral[(2*a)/b + 2*ArcCosh[c*x]]*Sinh[(2*a)/b])/(2*b*c^2) + (d*Cosh[a/b]*SinhIntegral[a/b + ArcCosh[c*x]])/(b*c) + (e*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*a)/b + 2*ArcCosh[c*x]])/(2*b*c^2)}
+{1/((d + e*x)^1*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x)*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+{1/((d + e*x)^2*(a + b*ArcCosh[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x)^2*(a + b*ArcCosh[c*x])), x]}
+
+
+{(d + e*x)^2/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 19, -((d^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (2*d*e*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x])) - (e^2*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x])) + (d^2*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b^2*c) + (e^2*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(4*b^2*c^3) + (2*d*e*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(b^2*c^2) + (3*e^2*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(4*b^2*c^3) - (d^2*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b^2*c) - (e^2*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(4*b^2*c^3) - (2*d*e*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(b^2*c^2) - (3*e^2*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(4*b^2*c^3)}
+{(d + e*x)^1/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 11, -((d*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x]))) - (e*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(b*c*(a + b*ArcCosh[c*x])) + (d*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b^2*c) + (e*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(b^2*c^2) - (d*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(b^2*c) - (e*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c*x]))/b])/(b^2*c^2)}
+{1/((d + e*x)^1*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+{1/((d + e*x)^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x)^2*(a + b*ArcCosh[c*x])^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcCosh[c x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(d + e*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^3, x, 1, ((d + e*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(e*(1 + m)) - (3*b*c*Unintegrable[((d + e*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]), x])/(e*(1 + m))}
+{(d + e*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 1, ((d + e*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(e*(1 + m)) - (2*b*c*Unintegrable[((d + e*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]), x])/(e*(1 + m))}
+{(d + e*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^1, x, 3, -((Sqrt[2]*b*(c*d + e)*Sqrt[-1 + c*x]*(d + e*x)^m*AppellF1[1/2, 1/2, -1 - m, 3/2, (1/2)*(1 - c*x), (e*(1 - c*x))/(c*d + e)])/(((c*(d + e*x))/(c*d + e))^m*(c*e*(1 + m)))) + ((d + e*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(e*(1 + m))}
+{(d + e*x)^m/(a + b*ArcCosh[c*x])^1, x, 0, Unintegrable[(d + e*x)^m/(a + b*ArcCosh[c*x]), x]}
+{(d + e*x)^m/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(d + e*x)^m/(a + b*ArcCosh[c*x])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^n*)
+
+
+{ArcCosh[a*x]*(c + d*x^2)^4, x, 6, ((315*a^8*c^4 + 420*a^6*c^3*d + 378*a^4*c^2*d^2 + 180*a^2*c*d^3 + 35*d^4)*(1 - a^2*x^2))/(315*a^9*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (4*d*(105*a^6*c^3 + 189*a^4*c^2*d + 135*a^2*c*d^2 + 35*d^3)*(1 - a^2*x^2)^2)/(945*a^9*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (2*d^2*(63*a^4*c^2 + 90*a^2*c*d + 35*d^2)*(1 - a^2*x^2)^3)/(525*a^9*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (4*d^3*(9*a^2*c + 7*d)*(1 - a^2*x^2)^4)/(441*a^9*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (d^4*(1 - a^2*x^2)^5)/(81*a^9*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + c^4*x*ArcCosh[a*x] + (4/3)*c^3*d*x^3*ArcCosh[a*x] + (6/5)*c^2*d^2*x^5*ArcCosh[a*x] + (4/7)*c*d^3*x^7*ArcCosh[a*x] + (1/9)*d^4*x^9*ArcCosh[a*x]}
+{ArcCosh[a*x]*(c + d*x^2)^3, x, 6, ((35*a^6*c^3 + 35*a^4*c^2*d + 21*a^2*c*d^2 + 5*d^3)*(1 - a^2*x^2))/(35*a^7*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (d*(35*a^4*c^2 + 42*a^2*c*d + 15*d^2)*(1 - a^2*x^2)^2)/(105*a^7*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (3*d^2*(7*a^2*c + 5*d)*(1 - a^2*x^2)^3)/(175*a^7*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (d^3*(1 - a^2*x^2)^4)/(49*a^7*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + c^3*x*ArcCosh[a*x] + c^2*d*x^3*ArcCosh[a*x] + (3/5)*c*d^2*x^5*ArcCosh[a*x] + (1/7)*d^3*x^7*ArcCosh[a*x]}
+{ArcCosh[a*x]*(c + d*x^2)^2, x, 6, ((15*a^4*c^2 + 10*a^2*c*d + 3*d^2)*(1 - a^2*x^2))/(15*a^5*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (2*d*(5*a^2*c + 3*d)*(1 - a^2*x^2)^2)/(45*a^5*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (d^2*(1 - a^2*x^2)^3)/(25*a^5*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + c^2*x*ArcCosh[a*x] + (2/3)*c*d*x^3*ArcCosh[a*x] + (1/5)*d^2*x^5*ArcCosh[a*x]}
+{ArcCosh[a*x]*(c + d*x^2)^1, x, 3, -(((9*a^2*c + 2*d)*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(9*a^3)) - (d*x^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(9*a) + c*x*ArcCosh[a*x] + (1/3)*d*x^3*ArcCosh[a*x]}
+{ArcCosh[a*x]/(c + d*x^2)^1, x, 18, (ArcCosh[a*x]*Log[1 - (Sqrt[d]*E^ArcCosh[a*x])/(a*Sqrt[-c] - Sqrt[(-a^2)*c - d])])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (ArcCosh[a*x]*Log[1 + (Sqrt[d]*E^ArcCosh[a*x])/(a*Sqrt[-c] - Sqrt[(-a^2)*c - d])])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + (ArcCosh[a*x]*Log[1 - (Sqrt[d]*E^ArcCosh[a*x])/(a*Sqrt[-c] + Sqrt[(-a^2)*c - d])])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (ArcCosh[a*x]*Log[1 + (Sqrt[d]*E^ArcCosh[a*x])/(a*Sqrt[-c] + Sqrt[(-a^2)*c - d])])/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - PolyLog[2, -((Sqrt[d]*E^ArcCosh[a*x])/(a*Sqrt[-c] - Sqrt[(-a^2)*c - d]))]/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + PolyLog[2, (Sqrt[d]*E^ArcCosh[a*x])/(a*Sqrt[-c] - Sqrt[(-a^2)*c - d])]/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - PolyLog[2, -((Sqrt[d]*E^ArcCosh[a*x])/(a*Sqrt[-c] + Sqrt[(-a^2)*c - d]))]/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + PolyLog[2, (Sqrt[d]*E^ArcCosh[a*x])/(a*Sqrt[-c] + Sqrt[(-a^2)*c - d])]/(2*Sqrt[-c]*Sqrt[d])}
+{ArcCosh[a*x]/(c + d*x^2)^2, x, 26, -(ArcCosh[a*x]/(4*c*Sqrt[d]*(Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x))) + ArcCosh[a*x]/(4*c*Sqrt[d]*(Sqrt[-c] + Sqrt[d]*x)) + (a*ArcTanh[(Sqrt[a*Sqrt[-c] - Sqrt[d]]*Sqrt[1 + a*x])/(Sqrt[a*Sqrt[-c] + Sqrt[d]]*Sqrt[-1 + a*x])])/(2*c*Sqrt[a*Sqrt[-c] - Sqrt[d]]*Sqrt[a*Sqrt[-c] + Sqrt[d]]*Sqrt[d]) - (a*ArcTanh[(Sqrt[a*Sqrt[-c] + Sqrt[d]]*Sqrt[1 + a*x])/(Sqrt[a*Sqrt[-c] - Sqrt[d]]*Sqrt[-1 + a*x])])/(2*c*Sqrt[a*Sqrt[-c] - Sqrt[d]]*Sqrt[a*Sqrt[-c] + Sqrt[d]]*Sqrt[d]) - (ArcCosh[a*x]*Log[1 - (Sqrt[d]*E^ArcCosh[a*x])/(a*Sqrt[-c] - Sqrt[(-a^2)*c - d])])/(4*(-c)^(3/2)*Sqrt[d]) + (ArcCosh[a*x]*Log[1 + (Sqrt[d]*E^ArcCosh[a*x])/(a*Sqrt[-c] - Sqrt[(-a^2)*c - d])])/(4*(-c)^(3/2)*Sqrt[d]) - (ArcCosh[a*x]*Log[1 - (Sqrt[d]*E^ArcCosh[a*x])/(a*Sqrt[-c] + Sqrt[(-a^2)*c - d])])/(4*(-c)^(3/2)*Sqrt[d]) + (ArcCosh[a*x]*Log[1 + (Sqrt[d]*E^ArcCosh[a*x])/(a*Sqrt[-c] + Sqrt[(-a^2)*c - d])])/(4*(-c)^(3/2)*Sqrt[d]) + PolyLog[2, -((Sqrt[d]*E^ArcCosh[a*x])/(a*Sqrt[-c] - Sqrt[(-a^2)*c - d]))]/(4*(-c)^(3/2)*Sqrt[d]) - PolyLog[2, (Sqrt[d]*E^ArcCosh[a*x])/(a*Sqrt[-c] - Sqrt[(-a^2)*c - d])]/(4*(-c)^(3/2)*Sqrt[d]) + PolyLog[2, -((Sqrt[d]*E^ArcCosh[a*x])/(a*Sqrt[-c] + Sqrt[(-a^2)*c - d]))]/(4*(-c)^(3/2)*Sqrt[d]) - PolyLog[2, (Sqrt[d]*E^ArcCosh[a*x])/(a*Sqrt[-c] + Sqrt[(-a^2)*c - d])]/(4*(-c)^(3/2)*Sqrt[d])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x^2)^(p/2) (a+b ArcCosh[c x])^n*)
+
+
+{ArcCosh[a*x]*(c + d*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + d*x^2]*ArcCosh[a*x], x]}
+{ArcCosh[a*x]/(c + d*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[ArcCosh[a*x]/Sqrt[c + d*x^2], x]}
+{ArcCosh[a*x]/(c + d*x^2)^(3/2), x, 7, (x*ArcCosh[a*x])/(c*Sqrt[c + d*x^2]) - (Sqrt[-1 + a^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + a^2*x^2])/(a*Sqrt[c + d*x^2])])/(c*Sqrt[d]*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{ArcCosh[a*x]/(c + d*x^2)^(5/2), x, 8, (a*(1 - a^2*x^2))/(3*c*(a^2*c + d)*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Sqrt[c + d*x^2]) + (x*ArcCosh[a*x])/(3*c*(c + d*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcCosh[a*x])/(3*c^2*Sqrt[c + d*x^2]) - (2*Sqrt[-1 + a^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + a^2*x^2])/(a*Sqrt[c + d*x^2])])/(3*c^2*Sqrt[d]*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{ArcCosh[a*x]/(c + d*x^2)^(7/2), x, 9, (a*(1 - a^2*x^2))/(15*c*(a^2*c + d)*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*(c + d*x^2)^(3/2)) + (2*a*(3*a^2*c + 2*d)*(1 - a^2*x^2))/(15*c^2*(a^2*c + d)^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Sqrt[c + d*x^2]) + (x*ArcCosh[a*x])/(5*c*(c + d*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcCosh[a*x])/(15*c^2*(c + d*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcCosh[a*x])/(15*c^3*Sqrt[c + d*x^2]) - (8*Sqrt[-1 + a^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + a^2*x^2])/(a*Sqrt[c + d*x^2])])/(15*c^3*Sqrt[d]*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{ArcCosh[a*x]/(c + d*x^2)^(9/2), x, 10, (a*(1 - a^2*x^2))/(35*c*(a^2*c + d)*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*(c + d*x^2)^(5/2)) + (2*a*(5*a^2*c + 3*d)*(1 - a^2*x^2))/(105*c^2*(a^2*c + d)^2*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*(c + d*x^2)^(3/2)) + (4*a*(11*a^4*c^2 + 15*a^2*c*d + 6*d^2)*(1 - a^2*x^2))/(105*c^3*(a^2*c + d)^3*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x]*Sqrt[c + d*x^2]) + (x*ArcCosh[a*x])/(7*c*(c + d*x^2)^(7/2)) + (6*x*ArcCosh[a*x])/(35*c^2*(c + d*x^2)^(5/2)) + (8*x*ArcCosh[a*x])/(35*c^3*(c + d*x^2)^(3/2)) + (16*x*ArcCosh[a*x])/(35*c^4*Sqrt[c + d*x^2]) - (16*Sqrt[-1 + a^2*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[-1 + a^2*x^2])/(a*Sqrt[c + d*x^2])])/(35*c^4*Sqrt[d]*Sqrt[-1 + a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcCosh[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*(f + g*x)^3, x, 17, (b*f^2*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*g^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*f^3*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*b*f*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*f^2*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*g^3*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(45*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*b*c*f*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*g^3*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (1/2)*f^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (3*f*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*c^2) + (3/4)*f*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (f^2*g*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/c^2 - (2*g^3*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(15*c^4) - (g^3*x^2*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(5*c^2) - (f^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*f*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(16*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*(f + g*x)^2, x, 14, (2*b*f*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*f^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c*f*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (1/2)*f^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*c^2) + (1/4)*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (2*f*g*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^2) - (f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(16*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*(f + g*x)^1, x, 9, (b*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (1/2)*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (g*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^2) - (f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(4*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])/(f + g*x)^1, x, 23, -((b*c*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])) + (a*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (b*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/g - (c*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*g*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + ((1 - (c^2*f^2)/g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(f + g*x)) - ((1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(f + g*x)) - (a*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTanh[(g + c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(g^2*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (b*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x]*Log[1 + (E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x]*Log[1 + (E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])/(f + g*x)^2, x, 38, -((a*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g*(f + g*x))) + (a*c^3*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(g^2*(c^2*f^2 - g^2)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(g*Sqrt[-1 + c*x]*(f + g*x)) + (b*c^3*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x]^2)/(2*g^2*(c^2*f^2 - g^2)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - ((g + c^2*f*x)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*c*(c^2*f^2 - g^2)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(f + g*x)^2) - ((1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(f + g*x)^2) - (2*a*c^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[c*f + g]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*f - g]*Sqrt[-1 + c*x])])/(Sqrt[c*f - g]*g^2*Sqrt[c*f + g]*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x]*Log[1 + (E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x]*Log[1 + (E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*Log[f + g*x])/(g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^2*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+
+
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])*(f + g*x)^3, x, 27, (3*b*d*f^2*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(5*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*d*g^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (5*b*c*d*f^3*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*b*d*f*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(32*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c*d*f^2*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d*g^3*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(105*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d*f^3*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (7*b*c*d*f*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(32*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*b*c^3*d*f^2*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (8*b*c*d*g^3*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(175*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d*f*g^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(12*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d*g^3*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3/8)*d*f^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (3*d*f*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(16*c^2) + (3/8)*d*f*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/4)*d*f^3*x*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/2)*d*f*g^2*x^3*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (3*d*f^2*g*(1 - c*x)^2*(1 + c*x)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(5*c^2) - (2*d*g^3*(1 - c*x)^2*(1 + c*x)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(35*c^4) - (d*g^3*x^2*(1 - c*x)^2*(1 + c*x)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(7*c^2) - (3*d*f^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*d*f*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(32*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])*(f + g*x)^2, x, 23, (2*b*d*f*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(5*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (5*b*c*d*f^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(32*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (4*b*c*d*f*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d*f^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (7*b*c*d*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*c^3*d*f*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d*g^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3/8)*d*f^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (d*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(16*c^2) + (1/8)*d*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/4)*d*f^2*x*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/6)*d*g^2*x^3*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (2*d*f*g*(1 - c*x)^2*(1 + c*x)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(5*c^2) - (3*d*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (d*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(32*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])*(f + g*x)^1, x, 14, (b*d*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(5*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (5*b*c*d*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c*d*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d*f*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3/8)*d*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/4)*d*f*x*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (d*g*(1 - c*x)^2*(1 + c*x)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(5*c^2) - (3*d*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(16*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])/(f + g*x)^1, x, -28, -((a*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/g^3) + (b*c*d*(c*f - g)*(c*f + g)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^2*d*(c*f - g)*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (a*d*(2 + 3*c*x - 2*c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(6*g) + (b*c*d*x*(-12 - 9*c*x + 4*c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*g*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/g^3 - (a*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(2*g*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d*(2 + 3*c*x - 2*c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/(6*g) - (b*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x]^2)/(4*g*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (c*d*(c*f - g)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*g^2) - (d*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(4*b*g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (c*d*(c*f - g)*(c*f + g)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*g^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (d*(c*f - g)^2*(c*f + g)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*c*g^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(f + g*x)) + (d*(c*f - g)*(c*f + g)*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*c*g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(f + g*x)) - (2*a*d*(c*f - g)^(3/2)*(c*f + g)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTanh[(Sqrt[c*f + g]*Sqrt[1 + c*x])/(Sqrt[c*f - g]*Sqrt[-1 + c*x])])/(g^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x]*Log[1 + (E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x]*Log[1 + (E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d*(c*f - g)*(c*f + g)*Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+(* {(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])/(f + g*x)^2, x, 0, 0} *)
+
+
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])*(f + g*x)^3, x, 35, (3*b*d^2*f^2*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (2*b*d^2*g^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(63*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (25*b*c*d^2*f^3*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (15*b*d^2*f*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(256*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*b*c*d^2*f^2*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^2*g^3*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(189*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5*b*c^3*d^2*f^3*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (59*b*c*d^2*f*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(256*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (9*b*c^3*d^2*f^2*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*d^2*g^3*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(21*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (17*b*c^3*d^2*f*g^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*b*c^5*d^2*f^2*g*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (19*b*c^3*d^2*g^3*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(441*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (3*b*c^5*d^2*f*g^2*x^8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(64*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^2*g^3*x^9*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(81*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^2*f^3*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5/16)*d^2*f^3*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (15*d^2*f*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(128*c^2) + (15/64)*d^2*f*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (5/24)*d^2*f^3*x*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (5/16)*d^2*f*g^2*x^3*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/6)*d^2*f^3*x*(1 - c*x)^2*(1 + c*x)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (3/8)*d^2*f*g^2*x^3*(1 - c*x)^2*(1 + c*x)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (3*d^2*f^2*g*(1 - c*x)^3*(1 + c*x)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(7*c^2) - (2*d^2*g^3*(1 - c*x)^3*(1 + c*x)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(63*c^4) - (d^2*g^3*x^2*(1 - c*x)^3*(1 + c*x)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(9*c^2) - (5*d^2*f^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(32*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (15*d^2*f*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(256*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])*(f + g*x)^2, x, 31, (2*b*d^2*f*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (25*b*c*d^2*f^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5*b*d^2*g^2*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(256*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c*d^2*f*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5*b*c^3*d^2*f^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (59*b*c*d^2*g^2*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(768*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (6*b*c^3*d^2*f*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (17*b*c^3*d^2*g^2*x^6*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(288*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (2*b*c^5*d^2*f*g*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^2*g^2*x^8*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(64*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^2*f^2*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5/16)*d^2*f^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (5*d^2*g^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(128*c^2) + (5/64)*d^2*g^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (5/24)*d^2*f^2*x*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (5/48)*d^2*g^2*x^3*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/6)*d^2*f^2*x*(1 - c*x)^2*(1 + c*x)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/8)*d^2*g^2*x^3*(1 - c*x)^2*(1 + c*x)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (2*d^2*f*g*(1 - c*x)^3*(1 + c*x)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(7*c^2) - (5*d^2*f^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(32*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (5*d^2*g^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(256*b*c^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])*(f + g*x)^1, x, 17, (b*d^2*g*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (25*b*c*d^2*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*d^2*g*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(7*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5*b*c^3*d^2*f*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(96*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (3*b*c^3*d^2*g*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(35*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^2*g*x^7*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(49*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^2*f*(1 - c^2*x^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(36*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (5/16)*d^2*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (5/24)*d^2*f*x*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) + (1/6)*d^2*f*x*(1 - c*x)^2*(1 + c*x)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]) - (d^2*g*(1 - c*x)^3*(1 + c*x)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(7*c^2) - (5*d^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(32*b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+{(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])/(f + g*x)^1, x, 39, (2*b*c*d^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(15*g*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c*d^2*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(3*g^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^3*d^2*f*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d^2*f*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(4*g^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^3*d^2*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(45*g*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^3*d^2*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(9*g^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*c^5*d^2*f*x^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(16*g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*c^5*d^2*x^5*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(25*g*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (a*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])/(g^5*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x])/g^5 + (c^2*d^2*f*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(8*g^2) - (c^2*d^2*f*(c^2*f^2 - 2*g^2)*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*g^4) - (c^4*d^2*f*x^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(4*g^2) - (2*d^2*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(15*g) - (d^2*(c^2*f^2 - 2*g^2)*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*g^3) - (c^2*d^2*x^2*(1 - c*x)*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(5*g) + (c*d^2*f*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(16*b*g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (c*d^2*f*(c^2*f^2 - 2*g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(4*b*g^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (c*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*x*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*g^5*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (d^2*(c^2*f^2 - g^2)^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*c*g^6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(f + g*x)) - (d^2*(c^2*f^2 - g^2)^2*(1 - c^2*x^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*c*g^4*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(f + g*x)) - (a*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[-1 + c^2*x^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcTanh[(g + c^2*f*x)/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[-1 + c^2*x^2])])/(g^6*(1 - c*x)*(1 + c*x)) + (b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x]*Log[1 + (E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*ArcCosh[c*x]*Log[1 + (E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(g^6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) + (b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]) - (b*d^2*(c^2*f^2 - g^2)^(5/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]*PolyLog[2, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(g^6*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])}
+(* {(d - c^2*d*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])/(f + g*x)^2, x, 0, 0} *)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*(f + g*x)^3, x, 13, -((3*b*f^2*g*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (2*b*g^3*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(3*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*b*f*g^2*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(4*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*g^3*x^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(9*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*f^2*g*(1 - c*x)*(1 + c*x)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*g^3*(1 - c*x)*(1 + c*x)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^4*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*f*g^2*x*(1 - c*x)*(1 + c*x)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (g^3*x^2*(1 - c*x)*(1 + c*x)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(3*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (f^3*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (3*f*g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(4*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*(f + g*x)^2, x, 9, -((2*b*f*g*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (b*g^2*x^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(4*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (2*f*g*(1 - c*x)*(1 + c*x)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (g^2*x*(1 - c*x)*(1 + c*x)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (f^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(4*b*c^3*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])*(f + g*x)^1, x, 6, -((b*g*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) - (g*(1 - c*x)*(1 + c*x)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^2*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (f*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*c*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])/(f + g*x)^1, x, 10, (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(Sqrt[c^2*f^2 - g^2]*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/Sqrt[d - c^2*d*x^2]*(a + b*ArcCosh[c*x])/(f + g*x)^2, x, 13, -((g*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]*(1 + c*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/((c^2*f^2 - g^2)*(f + g*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (c^2*f*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/((c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (c^2*f*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/((c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Log[f + g*x])/((c^2*f^2 - g^2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*c^2*f*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/((c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*c^2*f*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/((c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+
+
+{1/(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])*(f + g*x)^3, x, 21, (b*g^3*x*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])/(c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - ((c*f - g)^3*(1 - c*x)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + ((c*f + g)^3*(1 + c*x)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (g^3*(1 - c*x)*(1 + c*x)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^4*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (3*f*g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f + g)^3*Sqrt[(1 - c*x)*(1 + c*x)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]])/(c^4*d*Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*(c*f - g)^3*Sqrt[(1 - c*x)*(1 + c*x)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[2/(1 + c*x)])/(2*c^4*d*Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*(c*f + g)^3*Sqrt[(1 - c*x)*(1 + c*x)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[2/(1 + c*x)])/(2*c^4*d*Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])*(f + g*x)^2, x, 19, -(((c*f - g)^2*(1 - c*x)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + ((c*f + g)^2*(1 + c*x)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2)/(2*b*c^3*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*(c*f + g)^2*Sqrt[(1 - c*x)*(1 + c*x)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]])/(c^3*d*Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*(c*f - g)^2*Sqrt[(1 - c*x)*(1 + c*x)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[2/(1 + c*x)])/(2*c^3*d*Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*(c*f + g)^2*Sqrt[(1 - c*x)*(1 + c*x)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[2/(1 + c*x)])/(2*c^3*d*Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])*(f + g*x)^1, x, 5, ((g + c^2*f*x)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*(c*f - g)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[c*x])/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*f*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Log[1 - c*x])/(c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]), -(((c*f - g)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + (f*(1 + c*x)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*(c*f - g)*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[c*x])/(c^2*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*f*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Log[1 - c*x])/(c*d*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+{1/(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])/(f + g*x)^1, x, 27, -(((1 - c*x)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*d*(c*f - g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])) + ((1 + c*x)*(a + b*ArcCosh[c*x]))/(2*d*(c*f + g)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Log[1 + (E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*Sqrt[(1 - c*x)*(1 + c*x)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]])/(d*(c*f + g)*Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[(1 - c*x)*(1 + c*x)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[2/(1 + c*x)])/(2*d*(c*f - g)*Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*Sqrt[(1 - c*x)*(1 + c*x)]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Log[2/(1 + c*x)])/(2*d*(c*f + g)*Sqrt[-((1 - c*x)/(1 + c*x))]*(1 + c*x)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) - (b*g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2]) + (b*g^2*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[2, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(d*(c^2*f^2 - g^2)^(3/2)*Sqrt[d - c^2*d*x^2])}
+(* {1/(d - c^2*d*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])/(f + g*x)^2, x, 0, 0} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (d1+c d1 x)^(p/2) (d2-c d2 x)^(p/2) (a+b ArcCosh[c x])^n*)
+
+
+{((f + g*x)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n)/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 7, (f*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(1 + n))/(b*c*(1 + n)*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (g*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcCosh[c*x])/b)])/(E^(a/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*(2*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2])) - (E^(a/b)*g*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*(2*c^2*Sqrt[1 - c^2*x^2]))}
+{((f + g*x)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n)/(Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]), x, 7, (f*Sqrt[-1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(1 + n))/(b*c*(1 + n)*Sqrt[1 - c*x]) + (g*Sqrt[-1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcCosh[c*x])/b)])/(E^(a/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*(2*c^2*Sqrt[1 - c*x])) - (E^(a/b)*g*Sqrt[-1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*(2*c^2*Sqrt[1 - c*x]))}
+{((f + g*x)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n)/(Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]), x, 7, (f*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(1 + n))/(b*c*(1 + n)*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]) + (g*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, -((a + b*ArcCosh[c*x])/b)])/(E^(a/b)*(-((a + b*ArcCosh[c*x])/b))^n*(2*c^2*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x])) - (E^(a/b)*g*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n*Gamma[1 + n, (a + b*ArcCosh[c*x])/b])/(((a + b*ArcCosh[c*x])/b)^n*(2*c^2*Sqrt[d1 + c*d1*x]*Sqrt[d2 - c*d2*x]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Log[h (f + g x)^m] (d+e x^2)^p (a+b ArcCosh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Log[h (f + g x)^m] (d-c^2 d x^2)^(p/2) (a+b ArcCosh[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 1, (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Unintegrable[((a + b*ArcCosh[c*x])^n*Log[h*(f + g*x)^m])/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]), x])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+
+(* {Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 0, 0} *)
+{Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 14, (m*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^4)/(12*b^2*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (m*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3*Log[1 + (E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(3*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (m*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3*Log[1 + (E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(3*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3*Log[h*(f + g*x)^m])/(3*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (m*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2*PolyLog[2, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (m*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2*PolyLog[2, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*m*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[3, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (2*b*m*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[3, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b^2*m*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[4, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (2*b^2*m*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[4, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcCosh[c*x])^1/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 12, (m*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^3)/(6*b^2*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (m*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2*Log[1 + (E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(2*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (m*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2*Log[1 + (E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/(2*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^2*Log[h*(f + g*x)^m])/(2*b*c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (m*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) - (m*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])*PolyLog[2, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*m*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[3, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(c*Sqrt[1 - c^2*x^2]) + (b*m*Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*PolyLog[3, -((E^ArcCosh[c*x]*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2]))])/(c*Sqrt[1 - c^2*x^2])}
+{Log[h*(f + g*x)^m]*(a + b*ArcCosh[c*x])^0/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 9, (I*m*ArcSin[c*x]^2)/(2*c) - (m*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c - (m*ArcSin[c*x]*Log[1 - (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c + (ArcSin[c*x]*Log[h*(f + g*x)^m])/c + (I*m*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f - Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c + (I*m*PolyLog[2, (I*E^(I*ArcSin[c*x])*g)/(c*f + Sqrt[c^2*f^2 - g^2])])/c}
+{Log[h*(f + g*x)^m]/(a + b*ArcCosh[c*x])^1/Sqrt[1 - c^2*x^2], x, 1, (Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*Unintegrable[Log[h*(f + g*x)^m]/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])), x])/Sqrt[1 - c^2*x^2]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcCosh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcCosh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcCosh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^3*ArcCosh[a + b*x], x, 6, (7*a*x^2*Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(48*b^2) - (x^3*Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(16*b) + (Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x]*(4*a*(16 + 19*a^2) - (9 + 26*a^2)*(a + b*x)))/(96*b^4) - ((3 + 24*a^2 + 8*a^4)*ArcCosh[a + b*x])/(32*b^4) + (1/4)*x^4*ArcCosh[a + b*x]}
+{x^2*ArcCosh[a + b*x], x, 5, -((x^2*Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(9*b)) - (Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x]*(4 + 11*a^2 - 5*a*b*x))/(18*b^3) + (a*(3 + 2*a^2)*ArcCosh[a + b*x])/(6*b^3) + (1/3)*x^3*ArcCosh[a + b*x]}
+{x^1*ArcCosh[a + b*x], x, 5, (3*a*Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(4*b^2) - (x*Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(4*b) - ((1 + 2*a^2)*ArcCosh[a + b*x])/(4*b^2) + (1/2)*x^2*ArcCosh[a + b*x]}
+{x^0*ArcCosh[a + b*x], x, 3, -((Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/b) + ((a + b*x)*ArcCosh[a + b*x])/b}
+{ArcCosh[a + b*x]/x^1, x, 9, (-(1/2))*ArcCosh[a + b*x]^2 + ArcCosh[a + b*x]*Log[1 - E^ArcCosh[a + b*x]/(a - Sqrt[-1 + a^2])] + ArcCosh[a + b*x]*Log[1 - E^ArcCosh[a + b*x]/(a + Sqrt[-1 + a^2])] + PolyLog[2, E^ArcCosh[a + b*x]/(a - Sqrt[-1 + a^2])] + PolyLog[2, E^ArcCosh[a + b*x]/(a + Sqrt[-1 + a^2])]}
+{ArcCosh[a + b*x]/x^2, x, 4, -(ArcCosh[a + b*x]/x) - (2*b*ArcTan[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[-1 + a + b*x])])/Sqrt[1 - a^2]}
+{ArcCosh[a + b*x]/x^3, x, 5, (b*Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(2*(1 - a^2)*x) - ArcCosh[a + b*x]/(2*x^2) - (a*b^2*ArcTan[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[-1 + a + b*x])])/(1 - a^2)^(3/2)}
+{ArcCosh[a + b*x]/x^4, x, 7, (b*Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(6*(1 - a^2)*x^2) + (a*b^2*Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(2*(1 - a^2)^2*x) - ArcCosh[a + b*x]/(3*x^3) - ((1 + 2*a^2)*b^3*ArcTan[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[-1 + a + b*x])])/(3*(1 - a^2)^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcCosh[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+{1/Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]], x, 7, -((E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*d)) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(2*Sqrt[b]*d))}
+{1/Sqrt[a - b*ArcCosh[c + d*x]], x, 7, -((E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a - b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*d)) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a - b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(2*Sqrt[b]*d))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c e+d e x)^m (a+b ArcCosh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e c+e d x)^m (a+b ArcCosh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4*(a + b*ArcCosh[c + d*x]), x, 8, (-8*b*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(75*d) - (4*b*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x])/(75*d) - (b*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + c + d*x])/(25*d) + (e^4*(c + d*x)^5*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(5*d)}
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]), x, 7, -((3*b*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x])/(32*d)) - (b*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + c + d*x])/(16*d) - (3*b*e^3*ArcCosh[c + d*x])/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(4*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]), x, 6, (-2*b*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(9*d) - (b*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x])/(9*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(3*d)}
+{(c*e + d*e*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x]), x, 5, -((b*e*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x])/(4*d)) - (b*e*ArcCosh[c + d*x])/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(2*d)}
+{a + b*ArcCosh[c + d*x], x, 4, a*x - (b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/d + (b*(c + d*x)*ArcCosh[c + d*x])/d}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])/(c*e + d*e*x), x, 7, (a + b*ArcCosh[c + d*x])^2/(2*b*d*e) + ((a + b*ArcCosh[c + d*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(d*e) - (b*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(2*d*e)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^2, x, 5, -((a + b*ArcCosh[c + d*x])/(d*e^2*(c + d*x))) + (b*ArcTan[Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]])/(d*e^2)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^3, x, 4, (b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(2*d*e^3*(c + d*x)) - (a + b*ArcCosh[c + d*x])/(2*d*e^3*(c + d*x)^2)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^4, x, 6, (b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(6*d*e^4*(c + d*x)^2) - (a + b*ArcCosh[c + d*x])/(3*d*e^4*(c + d*x)^3) + (b*ArcTan[Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]])/(6*d*e^4)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^5, x, 6, (b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(12*d*e^5*(c + d*x)^3) + (b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(6*d*e^5*(c + d*x)) - (a + b*ArcCosh[c + d*x])/(4*d*e^5*(c + d*x)^4)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^6, x, 8, (b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(20*d*e^6*(c + d*x)^4) + (3*b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(40*d*e^6*(c + d*x)^2) - (a + b*ArcCosh[c + d*x])/(5*d*e^6*(c + d*x)^5) + (3*b*ArcTan[Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]])/(40*d*e^6)}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2, x, 9, (16*b^2*e^4*x)/75 + (8*b^2*e^4*(c + d*x)^3)/(225*d) + (2*b^2*e^4*(c + d*x)^5)/(125*d) - (16*b*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(75*d) - (8*b*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(75*d) - (2*b*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(25*d) + (e^4*(c + d*x)^5*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(5*d)}
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2, x, 8, (3*b^2*e^3*(c + d*x)^2)/(32*d) + (b^2*e^3*(c + d*x)^4)/(32*d) - (3*b*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(16*d) - (b*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(8*d) - (3*e^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(4*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2, x, 7, (4*b^2*e^2*x)/9 + (2*b^2*e^2*(c + d*x)^3)/(27*d) - (4*b*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(9*d) - (2*b*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(9*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(3*d)}
+{(c*e + d*e*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2, x, 6, (b^2*e*(c + d*x)^2)/(4*d) - (b*e*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(2*d) - (e*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(2*d)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2, x, 4, 2*b^2*x - (2*b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/d + ((c + d*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/d}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x), x, 8, (a + b*ArcCosh[c + d*x])^3/(3*b*d*e) + ((a + b*ArcCosh[c + d*x])^2*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(d*e) - (b*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(d*e) - (b^2*PolyLog[3, -E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(2*d*e)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^2, x, 9, -((a + b*ArcCosh[c + d*x])^2/(d*e^2*(c + d*x))) + (4*b*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*ArcTan[E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^2) - (2*I*b^2*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^2) + (2*I*b^2*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^2)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^3, x, 5, (b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(d*e^3*(c + d*x)) - (a + b*ArcCosh[c + d*x])^2/(2*d*e^3*(c + d*x)^2) - (b^2*Log[c + d*x])/(d*e^3)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^4, x, 11, b^2/(3*d*e^4*(c + d*x)) + (b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(3*d*e^4*(c + d*x)^2) - (a + b*ArcCosh[c + d*x])^2/(3*d*e^4*(c + d*x)^3) + (2*b*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*ArcTan[E^ArcCosh[c + d*x]])/(3*d*e^4) - (I*b^2*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c + d*x]])/(3*d*e^4) + (I*b^2*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c + d*x]])/(3*d*e^4)}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3, x, 19, (16*a*b^2*e^4*x)/25 - (4144*b^3*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(5625*d) - (272*b^3*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x])/(5625*d) - (6*b^3*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + c + d*x])/(625*d) + (16*b^3*e^4*(c + d*x)*ArcCosh[c + d*x])/(25*d) + (8*b^2*e^4*(c + d*x)^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(75*d) + (6*b^2*e^4*(c + d*x)^5*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(125*d) - (8*b*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(25*d) - (4*b*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(25*d) - (3*b*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(25*d) + (e^4*(c + d*x)^5*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(5*d)}
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3, x, 14, -((45*b^3*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x])/(256*d)) - (3*b^3*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + c + d*x])/(128*d) - (45*b^3*e^3*ArcCosh[c + d*x])/(256*d) + (9*b^2*e^3*(c + d*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(32*d) + (3*b^2*e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(32*d) - (9*b*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(32*d) - (3*b*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(16*d) - (3*e^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(4*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3, x, 12, (4*a*b^2*e^2*x)/3 - (40*b^3*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(27*d) - (2*b^3*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x])/(27*d) + (4*b^3*e^2*(c + d*x)*ArcCosh[c + d*x])/(3*d) + (2*b^2*e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(9*d) - (2*b*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(3*d) - (b*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(3*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(3*d)}
+{(c*e + d*e*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3, x, 8, -((3*b^3*e*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x])/(8*d)) - (3*b^3*e*ArcCosh[c + d*x])/(8*d) + (3*b^2*e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(4*d) - (3*b*e*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(4*d) - (e*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(2*d)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3, x, 6, 6*a*b^2*x - (6*b^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/d + (6*b^3*(c + d*x)*ArcCosh[c + d*x])/d - (3*b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/d + ((c + d*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/d}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x), x, 9, (a + b*ArcCosh[c + d*x])^4/(4*b*d*e) + ((a + b*ArcCosh[c + d*x])^3*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(d*e) - (3*b*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(2*d*e) - (3*b^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*PolyLog[3, -E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(2*d*e) - (3*b^3*PolyLog[4, -E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(4*d*e)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^2, x, 11, -((a + b*ArcCosh[c + d*x])^3/(d*e^2*(c + d*x))) + (6*b*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2*ArcTan[E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^2) - (6*I*b^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^2) + (6*I*b^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^2) + (6*I*b^3*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^2) - (6*I*b^3*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^2)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^3, x, 9, -((3*b*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(2*d*e^3)) + (3*b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(2*d*e^3*(c + d*x)) - (a + b*ArcCosh[c + d*x])^3/(2*d*e^3*(c + d*x)^2) - (3*b^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(d*e^3) + (3*b^3*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(2*d*e^3)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^4, x, 15, (b^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(d*e^4*(c + d*x)) + (b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(2*d*e^4*(c + d*x)^2) - (a + b*ArcCosh[c + d*x])^3/(3*d*e^4*(c + d*x)^3) + (b*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2*ArcTan[E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^4) - (b^3*ArcTan[Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]])/(d*e^4) - (I*b^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^4) + (I*b^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^4) + (I*b^3*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^4) - (I*b^3*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^4)}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4, x, 16, (45*b^4*e^3*(c + d*x)^2)/(128*d) + (3*b^4*e^3*(c + d*x)^4)/(128*d) - (45*b^3*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(64*d) - (3*b^3*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(32*d) - (45*b^2*e^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(128*d) + (9*b^2*e^3*(c + d*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(16*d) + (3*b^2*e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(16*d) - (3*b*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(8*d) - (b*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(4*d) - (3*e^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4)/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4)/(4*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4, x, 13, (160*b^4*e^2*x)/27 + (8*b^4*e^2*(c + d*x)^3)/(81*d) - (160*b^3*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(27*d) - (8*b^3*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(27*d) + (8*b^2*e^2*(c + d*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(3*d) + (4*b^2*e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(9*d) - (8*b*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(9*d) - (4*b*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(9*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4)/(3*d)}
+{(c*e + d*e*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4, x, 9, (3*b^4*e*(c + d*x)^2)/(4*d) - (3*b^3*e*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(2*d) - (3*b^2*e*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(4*d) + (3*b^2*e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(2*d) - (b*e*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/d - (e*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4)/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4)/(2*d)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4, x, 6, 24*b^4*x - (24*b^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/d + (12*b^2*(c + d*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/d - (4*b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/d + ((c + d*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4)/d}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4/(c*e + d*e*x), x, 10, (a + b*ArcCosh[c + d*x])^5/(5*b*d*e) + ((a + b*ArcCosh[c + d*x])^4*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(d*e) - (2*b*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(d*e) - (3*b^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2*PolyLog[3, -E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(d*e) - (3*b^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*PolyLog[4, -E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(d*e) - (3*b^4*PolyLog[5, -E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(2*d*e)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4/(c*e + d*e*x)^2, x, 13, -((a + b*ArcCosh[c + d*x])^4/(d*e^2*(c + d*x))) + (8*b*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3*ArcTan[E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^2) - (12*I*b^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^2) + (12*I*b^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^2) + (24*I*b^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^2) - (24*I*b^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^2) - (24*I*b^4*PolyLog[4, (-I)*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^2) + (24*I*b^4*PolyLog[4, I*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^2)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4/(c*e + d*e*x)^3, x, 10, -((2*b*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(d*e^3)) + (2*b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(d*e^3*(c + d*x)) - (a + b*ArcCosh[c + d*x])^4/(2*d*e^3*(c + d*x)^2) - (6*b^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(d*e^3) + (6*b^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(d*e^3) + (3*b^4*PolyLog[3, -E^(-2*ArcCosh[c + d*x])])/(d*e^3)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4/(c*e + d*e*x)^4, x, 21, (2*b^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(d*e^4*(c + d*x)) + (2*b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(3*d*e^4*(c + d*x)^2) - (a + b*ArcCosh[c + d*x])^4/(3*d*e^4*(c + d*x)^3) - (8*b^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*ArcTan[E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^4) + (4*b*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3*ArcTan[E^ArcCosh[c + d*x]])/(3*d*e^4) + (4*I*b^4*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^4) - (2*I*b^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2*PolyLog[2, (-I)*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^4) - (4*I*b^4*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^4) + (2*I*b^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2*PolyLog[2, I*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^4) + (4*I*b^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*PolyLog[3, (-I)*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^4) - (4*I*b^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*PolyLog[3, I*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^4) - (4*I*b^4*PolyLog[4, (-I)*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^4) + (4*I*b^4*PolyLog[4, I*E^ArcCosh[c + d*x]])/(d*e^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4/(a + b*ArcCosh[c + d*x]), x, 14, -((e^4*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b]*Sinh[a/b])/(8*b*d)) - (3*e^4*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(16*b*d) - (e^4*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b]*Sinh[(5*a)/b])/(16*b*d) + (e^4*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b])/(8*b*d) + (3*e^4*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(16*b*d) + (e^4*Cosh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(16*b*d)}
+{(c*e + d*e*x)^3/(a + b*ArcCosh[c + d*x]), x, 11, -((e^3*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(4*b*d)) - (e^3*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b]*Sinh[(4*a)/b])/(8*b*d) + (e^3*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(4*b*d) + (e^3*Cosh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(8*b*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2/(a + b*ArcCosh[c + d*x]), x, 11, -((e^2*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b]*Sinh[a/b])/(4*b*d)) - (e^2*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(4*b*d) + (e^2*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b])/(4*b*d) + (e^2*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(4*b*d)}
+{(c*e + d*e*x)/(a + b*ArcCosh[c + d*x]), x, 8, -((e*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(2*b*d)) + (e*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(2*b*d)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(-1), x, 5, -((CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b]*Sinh[a/b])/(b*d)) + (Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b])/(b*d)}
+{1/((c*e + d*e*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])), x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2, x, 13, -((e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + c + d*x])/(b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))) + (e^4*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b])/(8*b^2*d) + (9*e^4*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(16*b^2*d) + (5*e^4*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(16*b^2*d) - (e^4*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b])/(8*b^2*d) - (9*e^4*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(16*b^2*d) - (5*e^4*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(16*b^2*d)}
+{(c*e + d*e*x)^3/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2, x, 10, -((e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + c + d*x])/(b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))) + (e^3*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(2*b^2*d) + (e^3*Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(2*b^2*d) - (e^3*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(2*b^2*d) - (e^3*Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(2*b^2*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2, x, 10, -((e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x])/(b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))) + (e^2*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b])/(4*b^2*d) + (3*e^2*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(4*b^2*d) - (e^2*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b])/(4*b^2*d) - (3*e^2*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(4*b^2*d)}
+{(c*e + d*e*x)/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2, x, 6, -((e*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x])/(b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))) + (e*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(b^2*d) - (e*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(b^2*d)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(-2), x, 6, -((Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))) + (Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b])/(b^2*d) - (Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b])/(b^2*d)}
+{1/((c*e + d*e*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2), x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3, x, 26, -((e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + c + d*x])/(2*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)) + (2*e^4*(c + d*x)^3)/(b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])) - (5*e^4*(c + d*x)^5)/(2*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])) - (e^4*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b]*Sinh[a/b])/(16*b^3*d) - (27*e^4*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(32*b^3*d) - (25*e^4*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b]*Sinh[(5*a)/b])/(32*b^3*d) + (e^4*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b])/(16*b^3*d) + (27*e^4*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(32*b^3*d) + (25*e^4*Cosh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(32*b^3*d)}
+{(c*e + d*e*x)^3/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3, x, 20, -((e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + c + d*x])/(2*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)) + (3*e^3*(c + d*x)^2)/(2*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])) - (2*e^3*(c + d*x)^4)/(b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])) - (e^3*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(2*b^3*d) - (e^3*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b]*Sinh[(4*a)/b])/(b^3*d) + (e^3*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(2*b^3*d) + (e^3*Cosh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(b^3*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3, x, 18, -((e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x])/(2*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)) + (e^2*(c + d*x))/(b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])) - (3*e^2*(c + d*x)^3)/(2*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])) - (e^2*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b]*Sinh[a/b])/(8*b^3*d) - (9*e^2*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b]*Sinh[(3*a)/b])/(8*b^3*d) + (e^2*Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b])/(8*b^3*d) + (9*e^2*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(8*b^3*d)}
+{(c*e + d*e*x)/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3, x, 11, -((e*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x])/(2*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)) + e/(2*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])) - (e*(c + d*x)^2)/(b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])) - (e*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b]*Sinh[(2*a)/b])/(b^3*d) + (e*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(b^3*d)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(-3), x, 7, -(Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(2*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2) - (c + d*x)/(2*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])) - (CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b]*Sinh[a/b])/(2*b^3*d) + (Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b])/(2*b^3*d)}
+{1/((c*e + d*e*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3), x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4, x, 24, -((e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + c + d*x])/(3*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)) + (2*e^4*(c + d*x)^3)/(3*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2) - (5*e^4*(c + d*x)^5)/(6*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2) + (2*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x])/(b^3*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])) - (25*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + c + d*x])/(6*b^3*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])) + (e^4*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b])/(48*b^4*d) + (27*e^4*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(32*b^4*d) + (125*e^4*Cosh[(5*a)/b]*CoshIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(96*b^4*d) - (e^4*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b])/(48*b^4*d) - (27*e^4*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(32*b^4*d) - (125*e^4*Sinh[(5*a)/b]*SinhIntegral[(5*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(96*b^4*d)}
+{(c*e + d*e*x)^3/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4, x, 17, -((e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + c + d*x])/(3*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)) + (e^3*(c + d*x)^2)/(2*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2) - (2*e^3*(c + d*x)^4)/(3*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2) + (e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x])/(b^3*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])) - (8*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + c + d*x])/(3*b^3*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])) + (e^3*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(3*b^4*d) + (4*e^3*Cosh[(4*a)/b]*CoshIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(3*b^4*d) - (e^3*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(3*b^4*d) - (4*e^3*Sinh[(4*a)/b]*SinhIntegral[(4*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(3*b^4*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4, x, 18, -((e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x])/(3*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)) + (e^2*(c + d*x))/(3*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2) - (e^2*(c + d*x)^3)/(2*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2) + (e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(3*b^3*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])) - (3*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x])/(2*b^3*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])) + (e^2*Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b])/(24*b^4*d) + (9*e^2*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(8*b^4*d) - (e^2*Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b])/(24*b^4*d) - (9*e^2*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(8*b^4*d)}
+{(c*e + d*e*x)/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4, x, 9, -((e*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x])/(3*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)) + e/(6*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2) - (e*(c + d*x)^2)/(3*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2) - (2*e*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x])/(3*b^3*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])) + (2*e*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(3*b^4*d) - (2*e*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/b])/(3*b^4*d)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(-4), x, 8, -((Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(3*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)) - (c + d*x)/(6*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2) - (Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(6*b^3*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])) + (Cosh[a/b]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b])/(6*b^4*d) - (Sinh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[c + d*x])/b])/(6*b^4*d)}
+{1/((c*e + d*e*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4), x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4), x]/e}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e c+e d x)^m (a+b ArcCosh[c+d x])^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]], x, 21, (e^4*(c + d*x)^5*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(5*d) - (Sqrt[b]*e^4*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(32*d) - (Sqrt[b]*e^4*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(64*d) - (Sqrt[b]*e^4*E^((5*a)/b)*Sqrt[Pi/5]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(320*d) - (Sqrt[b]*e^4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(32*d*E^(a/b)) - (Sqrt[b]*e^4*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(64*d*E^((3*a)/b)) - (Sqrt[b]*e^4*Sqrt[Pi/5]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(320*d*E^((5*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^3*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]], x, 16, (-3*e^3*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(4*d) - (Sqrt[b]*e^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(256*d) - (Sqrt[b]*e^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(32*d) - (Sqrt[b]*e^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(256*d*E^((4*a)/b)) - (Sqrt[b]*e^3*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(32*d*E^((2*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]], x, 16, (e^2*(c + d*x)^3*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(3*d) - (Sqrt[b]*e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(16*d) - (Sqrt[b]*e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(48*d) - (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(16*d*E^(a/b)) - (Sqrt[b]*e^2*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(48*d*E^((3*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]], x, 11, -(e*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(2*d) - (Sqrt[b]*e*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(16*d) - (Sqrt[b]*e*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(16*d*E^((2*a)/b))}
+{Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]], x, 8, ((c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/d - (Sqrt[b]*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(4*d) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(4*d*E^(a/b))}
+{1/(c*e + d*e*x)*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]], x, 2, Unintegrable[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/(c + d*x), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2), x, 27, (-9*b*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(64*d) - (3*b*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + c + d*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(32*d) - (3*e^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2))/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2))/(4*d) - (3*b^(3/2)*e^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2048*d) - (3*b^(3/2)*e^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(128*d) + (3*b^(3/2)*e^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2048*d*E^((4*a)/b)) + (3*b^(3/2)*e^3*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(128*d*E^((2*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2), x, 24, -(b*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(3*d) - (b*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(6*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2))/(3*d) - (3*b^(3/2)*e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(32*d) - (b^(3/2)*e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(96*d) + (3*b^(3/2)*e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(32*d*E^(a/b)) + (b^(3/2)*e^2*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(96*d*E^((3*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^1*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2), x, 13, (-3*b*e*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(8*d) - (e*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2))/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2))/(2*d) - (3*b^(3/2)*e*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(64*d) + (3*b^(3/2)*e*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(64*d*E^((2*a)/b))}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2), x, 9, (-3*b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(2*d) + ((c + d*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2))/d - (3*b^(3/2)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(8*d) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(8*d*E^(a/b))}
+{1/(c*e + d*e*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2), x, 2, Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2)/(c + d*x), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2), x, 29, (-225*b^2*e^3*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(2048*d) + (45*b^2*e^3*(c + d*x)^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(256*d) + (15*b^2*e^3*(c + d*x)^4*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(256*d) - (15*b*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2))/(64*d) - (5*b*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2))/(32*d) - (3*e^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2))/(32*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2))/(4*d) - (15*b^(5/2)*e^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(16384*d) - (15*b^(5/2)*e^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(512*d) - (15*b^(5/2)*e^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(16384*d*E^((4*a)/b)) - (15*b^(5/2)*e^3*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(512*d*E^((2*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2), x, 26, (5*b^2*e^2*(c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(6*d) + (5*b^2*e^2*(c + d*x)^3*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(36*d) - (5*b*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2))/(9*d) - (5*b*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2))/(18*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2))/(3*d) - (15*b^(5/2)*e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(64*d) - (5*b^(5/2)*e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(576*d) - (15*b^(5/2)*e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(64*d*E^(a/b)) - (5*b^(5/2)*e^2*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(576*d*E^((3*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2), x, 14, (-15*b^2*e*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(64*d) + (15*b^2*e*(c + d*x)^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(32*d) - (5*b*e*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2))/(8*d) - (e*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2))/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2))/(2*d) - (15*b^(5/2)*e*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(256*d) - (15*b^(5/2)*e*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(256*d*E^((2*a)/b))}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2), x, 10, (15*b^2*(c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(4*d) - (5*b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2))/(2*d) + ((c + d*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2))/d - (15*b^(5/2)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(16*d) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(16*d*E^(a/b))}
+{1/(c*e + d*e*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2), x, 2, Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2)/(c + d*x), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(7/2), x, 35, (-175*b^3*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(54*d) - (35*b^3*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(216*d) + (35*b^2*e^2*(c + d*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2))/(18*d) + (35*b^2*e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2))/(108*d) - (7*b*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2))/(9*d) - (7*b*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2))/(18*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(7/2))/(3*d) - (105*b^(7/2)*e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(128*d) - (35*b^(7/2)*e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3456*d) + (105*b^(7/2)*e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(128*d*E^(a/b)) + (35*b^(7/2)*e^2*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3456*d*E^((3*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^1*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(7/2), x, 16, (-105*b^3*e*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(128*d) - (35*b^2*e*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2))/(64*d) + (35*b^2*e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2))/(32*d) - (7*b*e*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2))/(8*d) - (e*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(7/2))/(4*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(7/2))/(2*d) - (105*b^(7/2)*e*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(1024*d) + (105*b^(7/2)*e*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(1024*d*E^((2*a)/b))}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(7/2), x, 11, (-105*b^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/(8*d) + (35*b^2*(c + d*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2))/(4*d) - (7*b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2))/(2*d) + ((c + d*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(7/2))/d - (105*b^(7/2)*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(32*d) + (105*b^(7/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(32*d*E^(a/b))}
+{1/(c*e + d*e*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(7/2), x, 2, Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(7/2)/(c + d*x), x]/e}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4/Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]], x, 20, -(e^4*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(16*Sqrt[b]*d) - (e^4*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*d) - (e^4*E^((5*a)/b)*Sqrt[Pi/5]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*d) + (e^4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(16*Sqrt[b]*d*E^(a/b)) + (e^4*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*d*E^((3*a)/b)) + (e^4*Sqrt[Pi/5]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*d*E^((5*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^3/Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]], x, 15, -(e^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*d) - (e^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*d) + (e^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(32*Sqrt[b]*d*E^((4*a)/b)) + (e^3*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*d*E^((2*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^2/Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]], x, 15, -(e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*d) - (e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*d) + (e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*d*E^(a/b)) + (e^2*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*Sqrt[b]*d*E^((3*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^1/Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]], x, 10, -(e*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[b]*d) + (e*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*Sqrt[b]*d*E^((2*a)/b))}
+{1/Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]], x, 7, -(E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*d) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(2*Sqrt[b]*d*E^(a/b))}
+{1/(c*e + d*e*x)/Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]], x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2), x, 19, -((2*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + c + d*x])/(b*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])) + (e^4*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(8*b^(3/2)*d) + (3*e^4*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*d) + (e^4*E^((5*a)/b)*Sqrt[5*Pi]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(16*b^(3/2)*d) + (e^4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(8*b^(3/2)*d)) + (3*e^4*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(E^((3*a)/b)*(16*b^(3/2)*d)) + (e^4*Sqrt[5*Pi]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(E^((5*a)/b)*(16*b^(3/2)*d))}
+{(c*e + d*e*x)^3/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2), x, 14, -((2*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + c + d*x])/(b*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])) + (e^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*d) + (e^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(3/2)*d) + (e^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(E^((4*a)/b)*(4*b^(3/2)*d)) + (e^3*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(2*b^(3/2)*d))}
+{(c*e + d*e*x)^2/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2), x, 14, -((2*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x])/(b*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])) + (e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*d) + (e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(4*b^(3/2)*d) + (e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(4*b^(3/2)*d)) + (e^2*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(E^((3*a)/b)*(4*b^(3/2)*d))}
+{(c*e + d*e*x)^1/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2), x, 8, -((2*e*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x])/(b*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])) + (e*E^((2*a)/b)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*d) + (e*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(E^((2*a)/b)*(b^(3/2)*d))}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(-3/2), x, 8, -((2*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(b*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])) + (E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(b^(3/2)*d) + (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(E^(a/b)*(b^(3/2)*d))}
+{1/(c*e + d*e*x)/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2), x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2)), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2), x, 36, (-2*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + c + d*x])/(3*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2)) + (16*e^4*(c + d*x)^3)/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]) - (20*e^4*(c + d*x)^5)/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]) - (e^4*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(12*b^(5/2)*d) - (3*e^4*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*b^(5/2)*d) - (5*e^4*E^((5*a)/b)*Sqrt[5*Pi]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(24*b^(5/2)*d) + (e^4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(12*b^(5/2)*d*E^(a/b)) + (3*e^4*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(8*b^(5/2)*d*E^((3*a)/b)) + (5*e^4*Sqrt[5*Pi]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(24*b^(5/2)*d*E^((5*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^3/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2), x, 26, (-2*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + c + d*x])/(3*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2)) + (4*e^3*(c + d*x)^2)/(b^2*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]) - (16*e^3*(c + d*x)^4)/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]) - (2*e^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d) - (e^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d) + (2*e^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d*E^((4*a)/b)) + (e^3*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d*E^((2*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^2/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2), x, 24, (-2*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x])/(3*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2)) + (8*e^2*(c + d*x))/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]) - (4*e^2*(c + d*x)^3)/(b^2*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]) - (e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(6*b^(5/2)*d) - (e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(5/2)*d) + (e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(6*b^(5/2)*d*E^(a/b)) + (e^2*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(2*b^(5/2)*d*E^((3*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^1/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2), x, 13, (-2*e*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x])/(3*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2)) + (4*e)/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]) - (8*e*(c + d*x)^2)/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]) - (2*e*E^((2*a)/b)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d) + (2*e*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d*E^((2*a)/b))}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(-5/2), x, 9, (-2*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(3*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2)) - (4*(c + d*x))/(3*b^2*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]) - (2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d) + (2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(3*b^(5/2)*d*E^(a/b))}
+{1/(c*e + d*e*x)/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2), x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2)), x]/e}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^4/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(7/2), x, 34, (-2*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + c + d*x])/(5*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2)) + (16*e^4*(c + d*x)^3)/(15*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2)) - (4*e^4*(c + d*x)^5)/(3*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2)) + (32*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x])/(5*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]) - (40*e^4*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^4*Sqrt[1 + c + d*x])/(3*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]) + (e^4*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(30*b^(7/2)*d) + (9*e^4*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(20*b^(7/2)*d) + (5*e^4*E^((5*a)/b)*Sqrt[5*Pi]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(12*b^(7/2)*d) + (e^4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(30*b^(7/2)*d*E^(a/b)) + (9*e^4*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(20*b^(7/2)*d*E^((3*a)/b)) + (5*e^4*Sqrt[5*Pi]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(12*b^(7/2)*d*E^((5*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^3/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(7/2), x, 23, (-2*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + c + d*x])/(5*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2)) + (4*e^3*(c + d*x)^2)/(5*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2)) - (16*e^3*(c + d*x)^4)/(15*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2)) + (16*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x])/(5*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]) - (128*e^3*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + c + d*x])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]) + (16*e^3*E^((4*a)/b)*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d) + (4*e^3*E^((2*a)/b)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d) + (16*e^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d*E^((4*a)/b)) + (4*e^3*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d*E^((2*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)^2/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(7/2), x, 24, (-2*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x])/(5*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2)) + (8*e^2*(c + d*x))/(15*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2)) - (4*e^2*(c + d*x)^3)/(5*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2)) + (16*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]) - (24*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + c + d*x])/(5*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]) + (e^2*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d) + (3*e^2*E^((3*a)/b)*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(5*b^(7/2)*d) + (e^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d*E^(a/b)) + (3*e^2*Sqrt[3*Pi]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(5*b^(7/2)*d*E^((3*a)/b))}
+{(c*e + d*e*x)/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(7/2), x, 11, (-2*e*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x])/(5*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2)) + (4*e)/(15*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2)) - (8*e*(c + d*x)^2)/(15*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2)) - (32*e*Sqrt[-1 + c + d*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + c + d*x])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]) + (8*e*E^((2*a)/b)*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d) + (8*e*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]])/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d*E^((2*a)/b))}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(-7/2), x, 10, (-2*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(5*b*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(5/2)) - (4*(c + d*x))/(15*b^2*d*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(3/2)) - (8*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(15*b^3*d*Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]) + (4*E^(a/b)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d) + (4*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[c + d*x]]/Sqrt[b]])/(15*b^(7/2)*d*E^(a/b))}
+{1/(c*e + d*e*x)/(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(7/2), x, 2, Unintegrable[1/((c + d*x)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^(7/2)), x]/e}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e c+e d x)^(m/2) (a+b ArcCosh[c+d x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x]), x, 8, -((28*b*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(e*(c + d*x))^(3/2)*Sqrt[1 + c + d*x])/(405*d)) - (4*b*Sqrt[-1 + c + d*x]*(e*(c + d*x))^(7/2)*Sqrt[1 + c + d*x])/(81*d) + (2*(e*(c + d*x))^(9/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(9*d*e) - (28*b*e^3*Sqrt[1 - c - d*x]*Sqrt[e*(c + d*x)]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 + c + d*x]/Sqrt[2]], 2])/(135*d*Sqrt[-c - d*x]*Sqrt[-1 + c + d*x])}
+{(c*e + d*e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x]), x, 8, -((20*b*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[e*(c + d*x)]*Sqrt[1 + c + d*x])/(147*d)) - (4*b*Sqrt[-1 + c + d*x]*(e*(c + d*x))^(5/2)*Sqrt[1 + c + d*x])/(49*d) + (2*(e*(c + d*x))^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(7*d*e) - (20*b*e^(5/2)*Sqrt[1 - c - d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], -1])/(147*d*Sqrt[-1 + c + d*x])}
+{(c*e + d*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x]), x, 6, -((4*b*Sqrt[-1 + c + d*x]*(e*(c + d*x))^(3/2)*Sqrt[1 + c + d*x])/(25*d)) + (2*(e*(c + d*x))^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(5*d*e) - (12*b*e*Sqrt[1 - c - d*x]*Sqrt[e*(c + d*x)]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 + c + d*x]/Sqrt[2]], 2])/(25*d*Sqrt[-c - d*x]*Sqrt[-1 + c + d*x])}
+{Sqrt[c*e + d*e*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]), x, 6, -((4*b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[e*(c + d*x)]*Sqrt[1 + c + d*x])/(9*d)) + (2*(e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(3*d*e) - (4*b*Sqrt[e]*Sqrt[1 - c - d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], -1])/(9*d*Sqrt[-1 + c + d*x])}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])/Sqrt[c*e + d*e*x], x, 4, (2*Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(d*e) - (4*b*Sqrt[1 - c - d*x]*Sqrt[e*(c + d*x)]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 + c + d*x]/Sqrt[2]], 2])/(d*e*Sqrt[-c - d*x]*Sqrt[-1 + c + d*x])}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^(3/2), x, 4, -((2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(d*e*Sqrt[e*(c + d*x)])) + (4*b*Sqrt[1 - c - d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], -1])/(d*e^(3/2)*Sqrt[-1 + c + d*x])}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^(5/2), x, 7, (4*b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(3*d*e^2*Sqrt[e*(c + d*x)]) - (2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(3*d*e*(e*(c + d*x))^(3/2)) - (4*b*Sqrt[1 - c - d*x]*Sqrt[e*(c + d*x)]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 + c + d*x]/Sqrt[2]], 2])/(3*d*e^3*Sqrt[-c - d*x]*Sqrt[-1 + c + d*x])}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^(7/2), x, 7, (4*b*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])/(15*d*e^2*(e*(c + d*x))^(3/2)) - (2*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(5*d*e*(e*(c + d*x))^(5/2)) + (4*b*Sqrt[1 - c - d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[e*(c + d*x)]/Sqrt[e]], -1])/(15*d*e^(7/2)*Sqrt[-1 + c + d*x])}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2, x, 3, (2*(e*(c + d*x))^(9/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(9*d*e) - (1/(99*d*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]))*(8*b*Sqrt[1 - c - d*x]*(e*(c + d*x))^(11/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 11/4, 15/4, (c + d*x)^2]) - (16*b^2*(e*(c + d*x))^(13/2)*HypergeometricPFQ[{1, 13/4, 13/4}, {15/4, 17/4}, (c + d*x)^2])/(1287*d*e^3)}
+{(c*e + d*e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2, x, 3, (2*(e*(c + d*x))^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(7*d*e) - (1/(63*d*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]))*(8*b*Sqrt[1 - c - d*x]*(e*(c + d*x))^(9/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 9/4, 13/4, (c + d*x)^2]) - (16*b^2*(e*(c + d*x))^(11/2)*HypergeometricPFQ[{1, 11/4, 11/4}, {13/4, 15/4}, (c + d*x)^2])/(693*d*e^3)}
+{(c*e + d*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2, x, 3, (2*(e*(c + d*x))^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(5*d*e) - (1/(35*d*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]))*(8*b*Sqrt[1 - c - d*x]*(e*(c + d*x))^(7/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 7/4, 11/4, (c + d*x)^2]) - (16*b^2*(e*(c + d*x))^(9/2)*HypergeometricPFQ[{1, 9/4, 9/4}, {11/4, 13/4}, (c + d*x)^2])/(315*d*e^3)}
+{Sqrt[c*e + d*e*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2, x, 3, (2*(e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(3*d*e) - (8*b*Sqrt[1 - c - d*x]*(e*(c + d*x))^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 5/4, 9/4, (c + d*x)^2])/(15*d*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]) - (16*b^2*(e*(c + d*x))^(7/2)*HypergeometricPFQ[{1, 7/4, 7/4}, {9/4, 11/4}, (c + d*x)^2])/(105*d*e^3)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2/Sqrt[c*e + d*e*x], x, 3, (2*Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(d*e) - (8*b*Sqrt[1 - c - d*x]*(e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, 3/4, 7/4, (c + d*x)^2])/(3*d*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]) - (16*b^2*(e*(c + d*x))^(5/2)*HypergeometricPFQ[{1, 5/4, 5/4}, {7/4, 9/4}, (c + d*x)^2])/(15*d*e^3)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^(3/2), x, 3, -((2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(d*e*Sqrt[e*(c + d*x)])) + (8*b*Sqrt[1 - c - d*x]*Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/4, 1/2, 5/4, (c + d*x)^2])/(d*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]) + (16*b^2*(e*(c + d*x))^(3/2)*HypergeometricPFQ[{3/4, 3/4, 1}, {5/4, 7/4}, (c + d*x)^2])/(3*d*e^3)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^(5/2), x, 3, -((2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(3*d*e*(e*(c + d*x))^(3/2))) - (8*b*Sqrt[1 - c - d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[-(1/4), 1/2, 3/4, (c + d*x)^2])/(3*d*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[e*(c + d*x)]) - (16*b^2*Sqrt[e*(c + d*x)]*HypergeometricPFQ[{1/4, 1/4, 1}, {3/4, 5/4}, (c + d*x)^2])/(3*d*e^3)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^(7/2), x, 3, -((2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(5*d*e*(e*(c + d*x))^(5/2))) - (8*b*Sqrt[1 - c - d*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[-(3/4), 1/2, 1/4, (c + d*x)^2])/(15*d*e^2*Sqrt[-1 + c + d*x]*(e*(c + d*x))^(3/2)) + (16*b^2*HypergeometricPFQ[{-(1/4), -(1/4), 1}, {1/4, 3/4}, (c + d*x)^2])/(15*d*e^3*Sqrt[e*(c + d*x)])}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3, x, 2, (2*(e*(c + d*x))^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(5*d*e) - (6*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]), x])/(5*e)}
+{Sqrt[c*e + d*e*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3, x, 2, (2*(e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(3*d*e) - (2*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]), x])/e}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3/Sqrt[c*e + d*e*x], x, 2, (2*Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(d*e) - (6*b*Unintegrable[(Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]), x])/e}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^(3/2), x, 2, -((2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(d*e*Sqrt[e*(c + d*x)])) + (6*b*Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2/(Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[e*(c + d*x)]*Sqrt[1 + c + d*x]), x])/e}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^(5/2), x, 2, -((2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(3*d*e*(e*(c + d*x))^(3/2))) + (2*b*Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2/(Sqrt[-1 + c + d*x]*(e*(c + d*x))^(3/2)*Sqrt[1 + c + d*x]), x])/e}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^(7/2), x, 2, -((2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(5*d*e*(e*(c + d*x))^(5/2))) + (6*b*Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2/(Sqrt[-1 + c + d*x]*(e*(c + d*x))^(5/2)*Sqrt[1 + c + d*x]), x])/(5*e)}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4, x, 2, (2*(e*(c + d*x))^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4)/(5*d*e) - (8*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(5/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]), x])/(5*e)}
+{Sqrt[c*e + d*e*x]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4, x, 2, (2*(e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4)/(3*d*e) - (8*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(3/2)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]), x])/(3*e)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4/Sqrt[c*e + d*e*x], x, 2, (2*Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4)/(d*e) - (8*b*Unintegrable[(Sqrt[e*(c + d*x)]*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]), x])/e}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4/(c*e + d*e*x)^(3/2), x, 2, -((2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4)/(d*e*Sqrt[e*(c + d*x)])) + (8*b*Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3/(Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[e*(c + d*x)]*Sqrt[1 + c + d*x]), x])/e}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4/(c*e + d*e*x)^(5/2), x, 2, -((2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4)/(3*d*e*(e*(c + d*x))^(3/2))) + (8*b*Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3/(Sqrt[-1 + c + d*x]*(e*(c + d*x))^(3/2)*Sqrt[1 + c + d*x]), x])/(3*e)}
+{(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4/(c*e + d*e*x)^(7/2), x, 2, -((2*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4)/(5*d*e*(e*(c + d*x))^(5/2))) + (8*b*Unintegrable[(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3/(Sqrt[-1 + c + d*x]*(e*(c + d*x))^(5/2)*Sqrt[1 + c + d*x]), x])/(5*e)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e c+e d x)^m (a+b ArcCosh[c+d x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)^m*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4, x, 2, ((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^4)/(d*e*(1 + m)) - (4*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]), x])/(e*(1 + m))}
+{(c*e + d*e*x)^m*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3, x, 2, ((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^3)/(d*e*(1 + m)) - (3*b*Unintegrable[((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]), x])/(e*(1 + m))}
+{(c*e + d*e*x)^m*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2, x, 3, If[$VersionNumber>=8, ((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(d*e*(1 + m)) - (2*b*Sqrt[1 - c - d*x]*(e*(c + d*x))^(2 + m)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (c + d*x)^2])/(d*e^2*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[-1 + c + d*x]) - (2*b^2*(e*(c + d*x))^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, (c + d*x)^2])/(d*e^3*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)), ((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])^2)/(d*e*(1 + m)) - (2*b*Sqrt[1 - c - d*x]*(e*(c + d*x))^(2 + m)*(a + b*ArcCosh[c + d*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (c + d*x)^2])/(d*e^2*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[-1 + c + d*x]) - (2*b^2*(e*(c + d*x))^(3 + m)*HypergeometricPFQ[{1, 3/2 + m/2, 3/2 + m/2}, {2 + m/2, 5/2 + m/2}, (c + d*x)^2])/(d*e^3*(3 + m)*(2 + 3*m + m^2))]}
+{(c*e + d*e*x)^m*(a + b*ArcCosh[c + d*x]), x, 5, ((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(d*e*(1 + m)) - (b*(e*(c + d*x))^(2 + m)*(1 - (c + d*x)^2)*Hypergeometric2F1[1, (3 + m)/2, (4 + m)/2, (c + d*x)^2])/(d*e^2*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x]), ((e*(c + d*x))^(1 + m)*(a + b*ArcCosh[c + d*x]))/(d*e*(1 + m)) - (b*(e*(c + d*x))^(2 + m)*Sqrt[1 - (c + d*x)^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (c + d*x)^2])/(d*e^2*(1 + m)*(2 + m)*Sqrt[-1 + c + d*x]*Sqrt[1 + c + d*x])}
+{(c*e + d*e*x)^m/(a + b*ArcCosh[c + d*x]), x, 1, Unintegrable[(e*(c + d*x))^m/(a + b*ArcCosh[c + d*x]), x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcCosh[c+d x^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcCosh[c+d x^n])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCosh[a x^n]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{ArcCosh[a*x^5]/x, x, 5, (-(1/10))*ArcCosh[a*x^5]^2 + (1/5)*ArcCosh[a*x^5]*Log[1 + E^(2*ArcCosh[a*x^5])] + (1/10)*PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[a*x^5])]}
+
+
+{x^2*ArcCosh[Sqrt[x]], x, 7, (-(5/48))*Sqrt[-1 + Sqrt[x]]*Sqrt[1 + Sqrt[x]]*Sqrt[x] - (5/72)*Sqrt[-1 + Sqrt[x]]*Sqrt[1 + Sqrt[x]]*x^(3/2) - (1/18)*Sqrt[-1 + Sqrt[x]]*Sqrt[1 + Sqrt[x]]*x^(5/2) - (5*ArcCosh[Sqrt[x]])/48 + (1/3)*x^3*ArcCosh[Sqrt[x]]}
+{x^1*ArcCosh[Sqrt[x]], x, 6, (-(3/16))*Sqrt[-1 + Sqrt[x]]*Sqrt[1 + Sqrt[x]]*Sqrt[x] - (1/8)*Sqrt[-1 + Sqrt[x]]*Sqrt[1 + Sqrt[x]]*x^(3/2) - (3*ArcCosh[Sqrt[x]])/16 + (1/2)*x^2*ArcCosh[Sqrt[x]]}
+{x^0*ArcCosh[Sqrt[x]], x, 5, (-(1/2))*Sqrt[-1 + Sqrt[x]]*Sqrt[1 + Sqrt[x]]*Sqrt[x] - ArcCosh[Sqrt[x]]/2 + x*ArcCosh[Sqrt[x]]}
+{ArcCosh[Sqrt[x]]/x^1, x, 5, -ArcCosh[Sqrt[x]]^2 + 2*ArcCosh[Sqrt[x]]*Log[1 + E^(2*ArcCosh[Sqrt[x]])] + PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[Sqrt[x]])]}
+{ArcCosh[Sqrt[x]]/x^2, x, 3, (Sqrt[-1 + Sqrt[x]]*Sqrt[1 + Sqrt[x]])/Sqrt[x] - ArcCosh[Sqrt[x]]/x}
+{ArcCosh[Sqrt[x]]/x^3, x, 4, (Sqrt[-1 + Sqrt[x]]*Sqrt[1 + Sqrt[x]])/(6*x^(3/2)) + (Sqrt[-1 + Sqrt[x]]*Sqrt[1 + Sqrt[x]])/(3*Sqrt[x]) - ArcCosh[Sqrt[x]]/(2*x^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{ArcCosh[1/x], x, 3, x*ArcSech[x] + Sqrt[1/(1 + x)]*Sqrt[1 + x]*ArcSin[x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCosh[a x^n] with n symbolic*)
+
+
+{ArcCosh[a*x^n]/x, x, 5, -(ArcCosh[a*x^n]^2/(2*n)) + (ArcCosh[a*x^n]*Log[1 + E^(2*ArcCosh[a*x^n])])/n + PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[a*x^n])]/(2*n)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b ArcCosh[c+d x^2])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b ArcCosh[c+d x^2])^n when c^2=1*)
+
+
+{(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^4, x, 3, 384*b^4*x - (192*b^3*(2*x^2 + d*x^4)*(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]))/(x*Sqrt[d*x^2]*Sqrt[2 + d*x^2]) + 48*b^2*x*(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^2 - (8*b*(2*x^2 + d*x^4)*(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^3)/(x*Sqrt[d*x^2]*Sqrt[2 + d*x^2]) + x*(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^4}
+{(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^3, x, 7, 24*a*b^2*x - (48*b^3*Sqrt[(d*x^2)/(2 + d*x^2)]*(2 + d*x^2))/(d*x) + 24*b^3*x*ArcCosh[1 + d*x^2] - (6*b*(2*x^2 + d*x^4)*(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^2)/(x*Sqrt[d*x^2]*Sqrt[2 + d*x^2]) + x*(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^3}
+{(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^2, x, 2, 8*b^2*x - (4*b*(2*x^2 + d*x^4)*(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]))/(x*Sqrt[d*x^2]*Sqrt[2 + d*x^2]) + x*(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^2}
+{(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^1, x, 6, a*x - (2*b*Sqrt[(d*x^2)/(2 + d*x^2)]*(2 + d*x^2))/(d*x) + b*x*ArcCosh[1 + d*x^2]}
+{1/(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^1, x, 1, (x*Cosh[a/(2*b)]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])/(2*b)])/(Sqrt[2]*b*Sqrt[d*x^2]) - (x*Sinh[a/(2*b)]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])/(2*b)])/(Sqrt[2]*b*Sqrt[d*x^2])}
+{1/(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^2, x, 1, -((Sqrt[d*x^2]*Sqrt[2 + d*x^2])/(2*b*d*x*(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]))) - (x*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])/(2*b)]*Sinh[a/(2*b)])/(2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[d*x^2]) + (x*Cosh[a/(2*b)]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])/(2*b)])/(2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[d*x^2])}
+{1/(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^3, x, 2, -((2*x^2 + d*x^4)/(4*b*x*Sqrt[d*x^2]*Sqrt[2 + d*x^2]*(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^2)) - x/(8*b^2*(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])) + (x*Cosh[a/(2*b)]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])/(2*b)])/(8*Sqrt[2]*b^3*Sqrt[d*x^2]) - (x*Sinh[a/(2*b)]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])/(2*b)])/(8*Sqrt[2]*b^3*Sqrt[d*x^2])}
+
+
+{(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^4, x, 3, 384*b^4*x + (192*b^3*(2*x^2 - d*x^4)*(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]))/(x*Sqrt[d*x^2]*Sqrt[-2 + d*x^2]) + 48*b^2*x*(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^2 + (8*b*(2*x^2 - d*x^4)*(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^3)/(x*Sqrt[d*x^2]*Sqrt[-2 + d*x^2]) + x*(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^4}
+{(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^3, x, 5, 24*a*b^2*x - 48*b^3*Sqrt[1 - 2/(d*x^2)]*x + 24*b^3*x*ArcCosh[-1 + d*x^2] + (6*b*(2*x^2 - d*x^4)*(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^2)/(x*Sqrt[d*x^2]*Sqrt[-2 + d*x^2]) + x*(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^3}
+{(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^2, x, 2, 8*b^2*x + (4*b*(2*x^2 - d*x^4)*(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]))/(x*Sqrt[d*x^2]*Sqrt[-2 + d*x^2]) + x*(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^2}
+{(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^1, x, 4, a*x - 2*b*Sqrt[1 - 2/(d*x^2)]*x + b*x*ArcCosh[-1 + d*x^2]}
+{1/(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^1, x, 1, -((x*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])/(2*b)]*Sinh[a/(2*b)])/(Sqrt[2]*b*Sqrt[d*x^2])) + (x*Cosh[a/(2*b)]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])/(2*b)])/(Sqrt[2]*b*Sqrt[d*x^2])}
+{1/(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^2, x, 1, -((Sqrt[d*x^2]*Sqrt[-2 + d*x^2])/(2*b*d*x*(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]))) + (x*Cosh[a/(2*b)]*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])/(2*b)])/(2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[d*x^2]) - (x*Sinh[a/(2*b)]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])/(2*b)])/(2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[d*x^2])}
+{1/(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^3, x, 2, (2*x^2 - d*x^4)/(4*b*x*Sqrt[d*x^2]*Sqrt[-2 + d*x^2]*(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^2) - x/(8*b^2*(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])) - (x*CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])/(2*b)]*Sinh[a/(2*b)])/(8*Sqrt[2]*b^3*Sqrt[d*x^2]) + (x*Cosh[a/(2*b)]*SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])/(2*b)])/(8*Sqrt[2]*b^3*Sqrt[d*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (a+b ArcCosh[c+d x^2])^(n/2) when c^2=1*)
+
+
+{(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^(5/2), x, 2, -((5*b*(2*x^2 + d*x^4)*(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^(3/2))/(x*Sqrt[d*x^2]*Sqrt[2 + d*x^2])) + x*(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^(5/2) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)])*Sinh[(1/2)*ArcCosh[1 + d*x^2]])/(d*x) + (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)])*Sinh[(1/2)*ArcCosh[1 + d*x^2]])/(d*x) + (30*b^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]*Sinh[(1/2)*ArcCosh[1 + d*x^2]]^2)/(d*x)}
+{(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^(3/2), x, 2, -((3*b*(2*x^2 + d*x^4)*Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]])/(x*Sqrt[d*x^2]*Sqrt[2 + d*x^2])) + x*(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^(3/2) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)])*Sinh[(1/2)*ArcCosh[1 + d*x^2]])/(d*x) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)])*Sinh[(1/2)*ArcCosh[1 + d*x^2]])/(d*x)}
+{(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^(1/2), x, 1, -((Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)])*Sinh[(1/2)*ArcCosh[1 + d*x^2]])/(d*x)) + (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)])*Sinh[(1/2)*ArcCosh[1 + d*x^2]])/(d*x) + (2*Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]*Sinh[(1/2)*ArcCosh[1 + d*x^2]]^2)/(d*x)}
+{1/(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^(1/2), x, 1, (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)])*Sinh[(1/2)*ArcCosh[1 + d*x^2]])/(Sqrt[b]*d*x) + (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)])*Sinh[(1/2)*ArcCosh[1 + d*x^2]])/(Sqrt[b]*d*x)}
+{1/(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^(3/2), x, 1, -((Sqrt[d*x^2]*Sqrt[2 + d*x^2])/(b*d*x*Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]])) + (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)])*Sinh[(1/2)*ArcCosh[1 + d*x^2]])/(b^(3/2)*d*x) - (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)])*Sinh[(1/2)*ArcCosh[1 + d*x^2]])/(b^(3/2)*d*x)}
+{1/(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^(5/2), x, 2, -((2*x^2 + d*x^4)/(3*b*x*Sqrt[d*x^2]*Sqrt[2 + d*x^2]*(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^(3/2))) - x/(3*b^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]) + (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)])*Sinh[(1/2)*ArcCosh[1 + d*x^2]])/(3*b^(5/2)*d*x) + (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)])*Sinh[(1/2)*ArcCosh[1 + d*x^2]])/(3*b^(5/2)*d*x)}
+{1/(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^(7/2), x, 2, -((2*x^2 + d*x^4)/(5*b*x*Sqrt[d*x^2]*Sqrt[2 + d*x^2]*(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^(5/2))) - x/(15*b^2*(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])^(3/2)) - (Sqrt[d*x^2]*Sqrt[2 + d*x^2])/(15*b^3*d*x*Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]) + (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)])*Sinh[(1/2)*ArcCosh[1 + d*x^2]])/(15*b^(7/2)*d*x) - (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)])*Sinh[(1/2)*ArcCosh[1 + d*x^2]])/(15*b^(7/2)*d*x)}
+
+
+{(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^(5/2), x, 2, (5*b*(2*x^2 - d*x^4)*(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^(3/2))/(x*Sqrt[d*x^2]*Sqrt[-2 + d*x^2]) + x*(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^(5/2) + (30*b^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]*Cosh[(1/2)*ArcCosh[-1 + d*x^2]]^2)/(d*x) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cosh[(1/2)*ArcCosh[-1 + d*x^2]]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)]))/(d*x) - (15*b^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Cosh[(1/2)*ArcCosh[-1 + d*x^2]]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)]))/(d*x)}
+{(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^(3/2), x, 2, (3*b*(2*x^2 - d*x^4)*Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]])/(x*Sqrt[d*x^2]*Sqrt[-2 + d*x^2]) + x*(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^(3/2) + (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cosh[(1/2)*ArcCosh[-1 + d*x^2]]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)]))/(d*x) - (3*b^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cosh[(1/2)*ArcCosh[-1 + d*x^2]]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)]))/(d*x)}
+{(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^(1/2), x, 1, (2*Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]*Cosh[(1/2)*ArcCosh[-1 + d*x^2]]^2)/(d*x) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Cosh[(1/2)*ArcCosh[-1 + d*x^2]]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)]))/(d*x) - (Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*Cosh[(1/2)*ArcCosh[-1 + d*x^2]]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)]))/(d*x)}
+{1/(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^(1/2), x, 1, (Sqrt[Pi/2]*Cosh[(1/2)*ArcCosh[-1 + d*x^2]]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)]))/(Sqrt[b]*d*x) - (Sqrt[Pi/2]*Cosh[(1/2)*ArcCosh[-1 + d*x^2]]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)]))/(Sqrt[b]*d*x)}
+{1/(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^(3/2), x, 1, -((Sqrt[d*x^2]*Sqrt[-2 + d*x^2])/(b*d*x*Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]])) + (Sqrt[Pi/2]*Cosh[(1/2)*ArcCosh[-1 + d*x^2]]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)]))/(b^(3/2)*d*x) + (Sqrt[Pi/2]*Cosh[(1/2)*ArcCosh[-1 + d*x^2]]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)]))/(b^(3/2)*d*x)}
+{1/(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^(5/2), x, 2, (2*x^2 - d*x^4)/(3*b*x*Sqrt[d*x^2]*Sqrt[-2 + d*x^2]*(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^(3/2)) - x/(3*b^2*Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]) + (Sqrt[Pi/2]*Cosh[(1/2)*ArcCosh[-1 + d*x^2]]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)]))/(3*b^(5/2)*d*x) - (Sqrt[Pi/2]*Cosh[(1/2)*ArcCosh[-1 + d*x^2]]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)]))/(3*b^(5/2)*d*x)}
+{1/(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^(7/2), x, 2, (2*x^2 - d*x^4)/(5*b*x*Sqrt[d*x^2]*Sqrt[-2 + d*x^2]*(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^(5/2)) - x/(15*b^2*(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])^(3/2)) - (Sqrt[d*x^2]*Sqrt[-2 + d*x^2])/(15*b^3*d*x*Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]) + (Sqrt[Pi/2]*Cosh[(1/2)*ArcCosh[-1 + d*x^2]]*Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)]))/(15*b^(7/2)*d*x) + (Sqrt[Pi/2]*Cosh[(1/2)*ArcCosh[-1 + d*x^2]]*Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]/(Sqrt[2]*Sqrt[b])]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)]))/(15*b^(7/2)*d*x)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcCosh[Sqrt[1-c x]/Sqrt[1+c x]])^n*)
+
+
+{(a + b*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^n/(1 - c^2*x^2), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^n/(1 - c^2*x^2), x]}
+
+
+{(a + b*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3/(1 - c^2*x^2), x, 8, -((a + b*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^4/(4*b*c)) - ((a + b*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/c + (3*b*(a + b*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(2*c) + (3*b^2*(a + b*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[3, -E^(-2*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(2*c) + (3*b^3*PolyLog[4, -E^(-2*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(4*c)}
+{(a + b*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2/(1 - c^2*x^2), x, 7, -((a + b*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3/(3*b*c)) - ((a + b*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/c + (b*(a + b*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/c + (b^2*PolyLog[3, -E^(-2*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(2*c)}
+{(a + b*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^1/(1 - c^2*x^2), x, 6, -((a + b*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2/(2*b*c)) - ((a + b*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*Log[1 + E^(-2*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/c + (b*PolyLog[2, -E^(-2*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])])/(2*c)}
+{1/((a + b*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^1*(1 - c^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])), x]}
+{1/((a + b*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*(1 - c^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCosh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2), x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands involving inverse hyperbolic cosines of exponentials*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*x^m ArcCosh[c E^(a+b x)]*)
+
+
+{ArcCosh[c*E^(a + b*x)], x, 6, -(ArcCosh[c*E^(a + b*x)]^2/(2*b)) + (ArcCosh[c*E^(a + b*x)]*Log[1 + E^(2*ArcCosh[c*E^(a + b*x)])])/b + PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[c*E^(a + b*x)])]/(2*b)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands involving exponentials of inverse hyperbolic cosines*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*x^m E^(ArcCosh[a+b x]^n)*)
+
+
+{x^3*E^ArcCosh[a + b*x], x, 5, 1/(E^(3*ArcCosh[a + b*x])*(48*b^4)) - (3*a)/(E^(2*ArcCosh[a + b*x])*(16*b^4)) + (1 + 6*a^2)/(E^ArcCosh[a + b*x]*(8*b^4)) - (a*(3 + 4*a^2)*E^(2*ArcCosh[a + b*x]))/(16*b^4) + ((1 + 6*a^2)*E^(3*ArcCosh[a + b*x]))/(24*b^4) - (3*a*E^(4*ArcCosh[a + b*x]))/(32*b^4) + E^(5*ArcCosh[a + b*x])/(80*b^4) + (a*(3 + 4*a^2)*ArcCosh[a + b*x])/(8*b^4)}
+{x^2*E^ArcCosh[a + b*x], x, 5, 1/(E^(2*ArcCosh[a + b*x])*(16*b^3)) - a/(E^ArcCosh[a + b*x]*(2*b^3)) + ((1 + 4*a^2)*E^(2*ArcCosh[a + b*x]))/(16*b^3) - (a*E^(3*ArcCosh[a + b*x]))/(6*b^3) + E^(4*ArcCosh[a + b*x])/(32*b^3) - ((1 + 4*a^2)*ArcCosh[a + b*x])/(8*b^3)}
+{x^1*E^ArcCosh[a + b*x], x, 5, 1/(E^ArcCosh[a + b*x]*(4*b^2)) - (a*E^(2*ArcCosh[a + b*x]))/(4*b^2) + E^(3*ArcCosh[a + b*x])/(12*b^2) + (a*ArcCosh[a + b*x])/(2*b^2)}
+{x^0*E^ArcCosh[a + b*x], x, 5, E^(2*ArcCosh[a + b*x])/(4*b) - ArcCosh[a + b*x]/(2*b)}
+{E^ArcCosh[a + b*x]/x^1, x, 9, b*x + Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x] + 2*a*ArcSinh[Sqrt[-1 + a + b*x]/Sqrt[2]] + 2*Sqrt[1 - a^2]*ArcTan[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[-1 + a + b*x])] + a*Log[x]}
+{E^ArcCosh[a + b*x]/x^2, x, 9, -(a/x) - (Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/x + 2*b*ArcSinh[Sqrt[-1 + a + b*x]/Sqrt[2]] - (2*a*b*ArcTan[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[-1 + a + b*x])])/Sqrt[1 - a^2] + b*Log[x]}
+{E^ArcCosh[a + b*x]/x^3, x, 7, -(a/(2*x^2)) - b/x + (b*Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(2*(1 - a^2)*x) - (Sqrt[-1 + a + b*x]*(1 + a + b*x)^(3/2))/(2*(1 + a)*x^2) - (b^2*ArcTan[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[-1 + a + b*x])])/(1 - a^2)^(3/2)}
+{E^ArcCosh[a + b*x]/x^4, x, 8, -(a/(3*x^3)) - b/(2*x^2) + (a*b^2*Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(2*(1 - a^2)^2*x) - (a*b*Sqrt[-1 + a + b*x]*(1 + a + b*x)^(3/2))/(2*(1 - a)*(1 + a)^2*x^2) + ((-1 + a + b*x)^(3/2)*(1 + a + b*x)^(3/2))/(3*(1 - a^2)*x^3) - (a*b^3*ArcTan[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[-1 + a + b*x])])/(1 - a^2)^(5/2)}
+{E^ArcCosh[a + b*x]/x^5, x, 10, -(a/(4*x^4)) - b/(3*x^3) - (Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(4*x^4) + (a*b*Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(12*(1 - a^2)*x^3) + ((3 + 2*a^2)*b^2*Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(24*(1 - a^2)^2*x^2) + (a*(13 + 2*a^2)*b^3*Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(24*(1 - a^2)^3*x) - ((1 + 4*a^2)*b^4*ArcTan[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[-1 + a + b*x])])/(4*(1 - a^2)^(7/2))}
+
+
+{x^3*E^(ArcCosh[a + b*x]^2), x, 37, -((Sqrt[Pi]*Erfi[-2 + ArcCosh[a + b*x]])/(32*b^4*E^4)) - (Sqrt[Pi]*Erfi[-1 + ArcCosh[a + b*x]])/(16*b^4*E) - (3*a^2*Sqrt[Pi]*Erfi[-1 + ArcCosh[a + b*x]])/(8*b^4*E) + (Sqrt[Pi]*Erfi[1 + ArcCosh[a + b*x]])/(16*b^4*E) + (3*a^2*Sqrt[Pi]*Erfi[1 + ArcCosh[a + b*x]])/(8*b^4*E) + (Sqrt[Pi]*Erfi[2 + ArcCosh[a + b*x]])/(32*b^4*E^4) + (3*a*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-3 + 2*ArcCosh[a + b*x])])/(16*b^4*E^(9/4)) + (3*a*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-1 + 2*ArcCosh[a + b*x])])/(16*b^4*E^(1/4)) + (a^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-1 + 2*ArcCosh[a + b*x])])/(4*b^4*E^(1/4)) - (3*a*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*ArcCosh[a + b*x])])/(16*b^4*E^(1/4)) - (a^3*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*ArcCosh[a + b*x])])/(4*b^4*E^(1/4)) - (3*a*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(3 + 2*ArcCosh[a + b*x])])/(16*b^4*E^(9/4))}
+{x^2*E^(ArcCosh[a + b*x]^2), x, 27, (a*Sqrt[Pi]*Erfi[-1 + ArcCosh[a + b*x]])/(4*b^3*E) - (a*Sqrt[Pi]*Erfi[1 + ArcCosh[a + b*x]])/(4*b^3*E) - (Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-3 + 2*ArcCosh[a + b*x])])/(16*b^3*E^(9/4)) - (Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-1 + 2*ArcCosh[a + b*x])])/(16*b^3*E^(1/4)) - (a^2*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-1 + 2*ArcCosh[a + b*x])])/(4*b^3*E^(1/4)) + (Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*ArcCosh[a + b*x])])/(16*b^3*E^(1/4)) + (a^2*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*ArcCosh[a + b*x])])/(4*b^3*E^(1/4)) + (Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(3 + 2*ArcCosh[a + b*x])])/(16*b^3*E^(9/4))}
+{x^1*E^(ArcCosh[a + b*x]^2), x, 17, -((Sqrt[Pi]*Erfi[-1 + ArcCosh[a + b*x]])/(8*b^2*E)) + (Sqrt[Pi]*Erfi[1 + ArcCosh[a + b*x]])/(8*b^2*E) + (a*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-1 + 2*ArcCosh[a + b*x])])/(4*b^2*E^(1/4)) - (a*Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*ArcCosh[a + b*x])])/(4*b^2*E^(1/4))}
+{x^0*E^(ArcCosh[a + b*x]^2), x, 7, -((Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(-1 + 2*ArcCosh[a + b*x])])/(4*b*E^(1/4))) + (Sqrt[Pi]*Erfi[(1/2)*(1 + 2*ArcCosh[a + b*x])])/(4*b*E^(1/4))}
+{E^(ArcCosh[a + b*x]^2)/x^1, x, 0, CannotIntegrate[E^ArcCosh[a + b*x]^2/x, x]}
+{E^(ArcCosh[a + b*x]^2)/x^2, x, 0, CannotIntegrate[E^ArcCosh[a + b*x]^2/x^2, x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Miscellaneous integrands involving inverse hyperbolic cosines*)
+
+
+{ArcCosh[a + b*x]/((a*d)/b + d*x), x, 7, -(ArcCosh[a + b*x]^2/(2*d)) + (ArcCosh[a + b*x]*Log[1 + E^(2*ArcCosh[a + b*x])])/d + PolyLog[2, -E^(2*ArcCosh[a + b*x])]/(2*d)}
+
+
+{x/(Sqrt[-1 + x]*Sqrt[1 + x]*ArcCosh[x]), x, 2, CoshIntegral[ArcCosh[x]]}
+
+
+{x^3*ArcCosh[a + b*x^4], x, 4, -((Sqrt[-1 + a + b*x^4]*Sqrt[1 + a + b*x^4])/(4*b)) + ((a + b*x^4)*ArcCosh[a + b*x^4])/(4*b)}
+
+{x^(n-1)*ArcCosh[a + b*x^n], x, 4, -((Sqrt[-1 + a + b*x^n]*Sqrt[1 + a + b*x^n])/(b*n)) + ((a + b*x^n)*ArcCosh[a + b*x^n])/(b*n)}
+
+
+{ArcCosh[c/(a + b*x)], x, 5, ((a + b*x)*ArcSech[a/c + (b*x)/c])/b - (2*c*ArcTan[Sqrt[((1 - a/c)*c - b*x)/(a + c + b*x)]])/b}
+
+
+{ArcCosh[Sqrt[1 + b*x^2]]^n/Sqrt[1 + b*x^2], x, 2, (Sqrt[-1 + Sqrt[1 + b*x^2]]*Sqrt[1 + Sqrt[1 + b*x^2]]*ArcCosh[Sqrt[1 + b*x^2]]^(1 + n))/(b*(1 + n)*x)}
+{1/(ArcCosh[Sqrt[1 + b*x^2]]*Sqrt[1 + b*x^2]), x, 2, (Sqrt[-1 + Sqrt[1 + b*x^2]]*Sqrt[1 + Sqrt[1 + b*x^2]]*Log[ArcCosh[Sqrt[1 + b*x^2]]])/(b*x)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.2 (d x)^m (a+b arctanh(c x^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.2 (d x)^m (a+b arctanh(c x^n))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..1ef2e697
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.2 (d x)^m (a+b arctanh(c x^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,464 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTanh[c x^n])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTanh[c x^1])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcTanh[c x])^p*)
+
+
+{x^5*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 4, (b*x)/(6*c^5) + (b*x^3)/(18*c^3) + (b*x^5)/(30*c) - (b*ArcTanh[c*x])/(6*c^6) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x])}
+{x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 4, (b*x^2)/(10*c^3) + (b*x^4)/(20*c) + (1/5)*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (b*Log[1 - c^2*x^2])/(10*c^5)}
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 4, (b*x)/(4*c^3) + (b*x^3)/(12*c) - (b*ArcTanh[c*x])/(4*c^4) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x])}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 4, (b*x^2)/(6*c) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (b*Log[1 - c^2*x^2])/(6*c^3)}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 3, (b*x)/(2*c) - (b*ArcTanh[c*x])/(2*c^2) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 3, a*x + b*x*ArcTanh[c*x] + (b*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/x^1, x, 1, a*Log[x] - (1/2)*b*PolyLog[2, (-c)*x] + (1/2)*b*PolyLog[2, c*x]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/x^2, x, 5, -((a + b*ArcTanh[c*x])/x) + b*c*Log[x] - (1/2)*b*c*Log[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/x^3, x, 3, -((b*c)/(2*x)) + (1/2)*b*c^2*ArcTanh[c*x] - (a + b*ArcTanh[c*x])/(2*x^2)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/x^4, x, 4, -((b*c)/(6*x^2)) - (a + b*ArcTanh[c*x])/(3*x^3) + (1/3)*b*c^3*Log[x] - (1/6)*b*c^3*Log[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/x^5, x, 4, -((b*c)/(12*x^3)) - (b*c^3)/(4*x) + (1/4)*b*c^4*ArcTanh[c*x] - (a + b*ArcTanh[c*x])/(4*x^4)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/x^6, x, 4, -((b*c)/(20*x^4)) - (b*c^3)/(10*x^2) - (a + b*ArcTanh[c*x])/(5*x^5) + (1/5)*b*c^5*Log[x] - (1/10)*b*c^5*Log[1 - c^2*x^2]}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 16, (a*b*x)/(3*c^5) + (4*b^2*x^2)/(45*c^4) + (b^2*x^4)/(60*c^2) + (b^2*x*ArcTanh[c*x])/(3*c^5) + (b*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(9*c^3) + (b*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(15*c) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(6*c^6) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (23*b^2*Log[1 - c^2*x^2])/(90*c^6)}
+{x^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 14, (3*b^2*x)/(10*c^4) + (b^2*x^3)/(30*c^2) - (3*b^2*ArcTanh[c*x])/(10*c^5) + (b*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(5*c^3) + (b*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(10*c) + (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(5*c^5) + (1/5)*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (2*b*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(5*c^5) - (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(5*c^5)}
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 11, (a*b*x)/(2*c^3) + (b^2*x^2)/(12*c^2) + (b^2*x*ArcTanh[c*x])/(2*c^3) + (b*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(6*c) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(4*c^4) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (b^2*Log[1 - c^2*x^2])/(3*c^4)}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 9, (b^2*x)/(3*c^2) - (b^2*ArcTanh[c*x])/(3*c^3) + (b*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*c) + (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(3*c^3) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (2*b*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(3*c^3) - (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(3*c^3)}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 6, (a*b*x)/c + (b^2*x*ArcTanh[c*x])/c - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(2*c^2) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (b^2*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^2)}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 5, (a + b*ArcTanh[c*x])^2/c + x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (2*b*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/c - (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/c}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^1, x, 6, 2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)] - b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] + b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)] + (1/2)*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)] - (1/2)*b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^2, x, 4, c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/x + 2*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)] - b^2*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^3, x, 8, -((b*c*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x) + (1/2)*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(2*x^2) + b^2*c^2*Log[x] - (1/2)*b^2*c^2*Log[1 - c^2*x^2]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^4, x, 8, -((b^2*c^2)/(3*x)) + (1/3)*b^2*c^3*ArcTanh[c*x] - (b*c*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*x^2) + (1/3)*c^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(3*x^3) + (2/3)*b*c^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)] - (1/3)*b^2*c^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^5, x, 13, -((b^2*c^2)/(12*x^2)) - (b*c*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(6*x^3) - (b*c^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*x) + (1/4)*c^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(4*x^4) + (2/3)*b^2*c^4*Log[x] - (1/3)*b^2*c^4*Log[1 - c^2*x^2]}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcTanh[c*x])^3, x, 33, (19*b^3*x)/(60*c^5) + (b^3*x^3)/(60*c^3) - (19*b^3*ArcTanh[c*x])/(60*c^6) + (4*b^2*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(15*c^4) + (b^2*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(20*c^2) + (23*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(30*c^6) + (b*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c^5) + (b*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(6*c^3) + (b*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(10*c) - (a + b*ArcTanh[c*x])^3/(6*c^6) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x])^3 - (23*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(15*c^6) - (23*b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(30*c^6)}
+{x^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^3, x, 24, (9*a*b^2*x)/(10*c^4) + (b^3*x^2)/(20*c^3) + (9*b^3*x*ArcTanh[c*x])/(10*c^4) + (b^2*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(10*c^2) - (9*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(20*c^5) + (3*b*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(10*c^3) + (3*b*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(20*c) + (a + b*ArcTanh[c*x])^3/(5*c^5) + (1/5)*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x])^3 - (3*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 - c*x)])/(5*c^5) + (b^3*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^5) - (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(5*c^5) + (3*b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/(10*c^5)}
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^3, x, 18, (b^3*x)/(4*c^3) - (b^3*ArcTanh[c*x])/(4*c^4) + (b^2*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*c^2) + (b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/c^4 + (3*b*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(4*c^3) + (b*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(4*c) - (a + b*ArcTanh[c*x])^3/(4*c^4) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^3 - (2*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/c^4 - (b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/c^4}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^3, x, 12, (a*b^2*x)/c^2 + (b^3*x*ArcTanh[c*x])/c^2 - (b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c^3) + (b*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c) + (a + b*ArcTanh[c*x])^3/(3*c^3) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^3 - (b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 - c*x)])/c^3 + (b^3*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^3) - (b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/c^3 + (b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*c^3)}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*x])^3, x, 8, (3*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c^2) + (3*b*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c) - (a + b*ArcTanh[c*x])^3/(2*c^2) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^3 - (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/c^2 - (3*b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*c^2)}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*x])^3, x, 5, (a + b*ArcTanh[c*x])^3/c + x*(a + b*ArcTanh[c*x])^3 - (3*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 - c*x)])/c - (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/c + (3*b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^3/x^1, x, 8, 2*(a + b*ArcTanh[c*x])^3*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)] - (3/2)*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] + (3/2)*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)] + (3/2)*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)] - (3/2)*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)] - (3/4)*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 - c*x)] + (3/4)*b^3*PolyLog[4, -1 + 2/(1 - c*x)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^3/x^2, x, 5, c*(a + b*ArcTanh[c*x])^3 - (a + b*ArcTanh[c*x])^3/x + 3*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2 - 2/(1 + c*x)] - 3*b^2*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)] - (3/2)*b^3*c*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + c*x)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^3/x^3, x, 7, (3/2)*b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (3*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*x) + (1/2)*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^3 - (a + b*ArcTanh[c*x])^3/(2*x^2) + 3*b^2*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)] - (3/2)*b^3*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^3/x^4, x, 14, -((b^2*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x) + (1/2)*b*c^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*x^2) + (1/3)*c^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^3 - (a + b*ArcTanh[c*x])^3/(3*x^3) + b^3*c^3*Log[x] - (1/2)*b^3*c^3*Log[1 - c^2*x^2] + b*c^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2 - 2/(1 + c*x)] - b^2*c^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)] - (1/2)*b^3*c^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + c*x)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^3/x^5, x, 16, -((b^3*c^3)/(4*x)) + (1/4)*b^3*c^4*ArcTanh[c*x] - (b^2*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*x^2) + b*c^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(4*x^3) - (3*b*c^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(4*x) + (1/4)*c^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^3 - (a + b*ArcTanh[c*x])^3/(4*x^4) + 2*b^2*c^4*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)] - b^3*c^4*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^(m/2) (a+b ArcTanh[c x])^p*)
+
+
+{(d*x)^(5/2)*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 7, (4*b*d^2*Sqrt[d*x])/(7*c^3) + (4*b*(d*x)^(5/2))/(35*c) - (2*b*d^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(7*c^(7/2)) + (2*(d*x)^(7/2)*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(7*d) - (2*b*d^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(7*c^(7/2))}
+{(d*x)^(3/2)*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 6, (4*b*(d*x)^(3/2))/(15*c) + (2*b*d^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(5*c^(5/2)) + (2*(d*x)^(5/2)*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(5*d) - (2*b*d^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(5*c^(5/2))}
+{(d*x)^(1/2)*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 6, (4*b*Sqrt[d*x])/(3*c) - (2*b*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(3*c^(3/2)) + (2*(d*x)^(3/2)*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*d) - (2*b*Sqrt[d]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(3*c^(3/2))}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(d*x)^(1/2), x, 5, (2*b*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(Sqrt[c]*Sqrt[d]) + (2*Sqrt[d*x]*(a + b*ArcTanh[c*x]))/d - (2*b*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(Sqrt[c]*Sqrt[d])}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(d*x)^(3/2), x, 5, (2*b*Sqrt[c]*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) - (2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d*Sqrt[d*x]) + (2*b*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(d*x)^(5/2), x, 6, -((4*b*c)/(3*d^2*Sqrt[d*x])) - (2*b*c^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2)) - (2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*d*(d*x)^(3/2)) + (2*b*c^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(3*d^(5/2))}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(d*x)^(7/2), x, 6, -((4*b*c)/(15*d^2*(d*x)^(3/2))) + (2*b*c^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(5*d^(7/2)) - (2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(5*d*(d*x)^(5/2)) + (2*b*c^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(5*d^(7/2))}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(d*x)^(9/2), x, 7, -((4*b*c)/(35*d^2*(d*x)^(5/2))) - (4*b*c^3)/(7*d^4*Sqrt[d*x]) - (2*b*c^(7/2)*ArcTan[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(7*d^(9/2)) - (2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(7*d*(d*x)^(7/2)) + (2*b*c^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(7*d^(9/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTanh[c x])^p when m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x])^3, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x])^3, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x])^1, x, 2, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d*(1 + m)) - (b*c*(d*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, c^2*x^2])/(d^2*(1 + m)*(2 + m))}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c*x])^1, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c*x]), x]}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a + b ArcTanh[c x])^p with p symbolic*)
+
+
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x]}
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b* ArcTanh[c*x])^p, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTanh[c x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcTanh[c x^2])^p*)
+
+
+{x^7*(a + b*ArcTanh[c*x^2]), x, 5, (b*x^2)/(8*c^3) + (b*x^6)/(24*c) - (b*ArcTanh[c*x^2])/(8*c^4) + (1/8)*x^8*(a + b*ArcTanh[c*x^2])}
+{x^5*(a + b*ArcTanh[c*x^2]), x, 4, (b*x^4)/(12*c) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x^2]) + (b*Log[1 - c^2*x^4])/(12*c^3)}
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c*x^2]), x, 4, (b*x^2)/(4*c) - (b*ArcTanh[c*x^2])/(4*c^2) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*x^2]), x, 2, (1/2)*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2]) + (b*Log[1 - c^2*x^4])/(4*c)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])/x^1, x, 2, a*Log[x] - (1/4)*b*PolyLog[2, (-c)*x^2] + (1/4)*b*PolyLog[2, c*x^2]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])/x^3, x, 5, -((a + b*ArcTanh[c*x^2])/(2*x^2)) + b*c*Log[x] - (1/4)*b*c*Log[1 - c^2*x^4]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])/x^5, x, 4, -((b*c)/(4*x^2)) + (1/4)*b*c^2*ArcTanh[c*x^2] - (a + b*ArcTanh[c*x^2])/(4*x^4)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])/x^7, x, 4, -((b*c)/(12*x^4)) - (a + b*ArcTanh[c*x^2])/(6*x^6) + (1/3)*b*c^3*Log[x] - (1/12)*b*c^3*Log[1 - c^2*x^4]}
+
+{x^4*(a + b*ArcTanh[c*x^2]), x, 5, (2*b*x^3)/(15*c) + (b*ArcTan[Sqrt[c]*x])/(5*c^(5/2)) - (b*ArcTanh[Sqrt[c]*x])/(5*c^(5/2)) + (1/5)*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x^2])}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2]), x, 5, (2*b*x)/(3*c) - (b*ArcTan[Sqrt[c]*x])/(3*c^(3/2)) - (b*ArcTanh[Sqrt[c]*x])/(3*c^(3/2)) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x^2])}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*x^2]), x, 5, a*x + (b*ArcTan[Sqrt[c]*x])/Sqrt[c] - (b*ArcTanh[Sqrt[c]*x])/Sqrt[c] + b*x*ArcTanh[c*x^2]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])/x^2, x, 4, b*Sqrt[c]*ArcTan[Sqrt[c]*x] + b*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c]*x] - (a + b*ArcTanh[c*x^2])/x}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])/x^4, x, 5, -((2*b*c)/(3*x)) - (1/3)*b*c^(3/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x] + (1/3)*b*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x] - (a + b*ArcTanh[c*x^2])/(3*x^3)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])/x^6, x, 5, -((2*b*c)/(15*x^3)) + (1/5)*b*c^(5/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x] + (1/5)*b*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x] - (a + b*ArcTanh[c*x^2])/(5*x^5)}
+
+
+{x^7*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2, x, 12, (a*b*x^2)/(4*c^3) + (b^2*x^4)/(24*c^2) + (b^2*x^2*ArcTanh[c*x^2])/(4*c^3) + (b*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x^2]))/(12*c) - (a + b*ArcTanh[c*x^2])^2/(8*c^4) + (1/8)*x^8*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2 + (b^2*Log[1 - c^2*x^4])/(6*c^4)}
+{x^5*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2, x, 10, (b^2*x^2)/(6*c^2) - (b^2*ArcTanh[c*x^2])/(6*c^3) + (b*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x^2]))/(6*c) + (a + b*ArcTanh[c*x^2])^2/(6*c^3) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2 - (b*(a + b*ArcTanh[c*x^2])*Log[2/(1 - c*x^2)])/(3*c^3) - (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x^2)])/(6*c^3)}
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2, x, 7, (a*b*x^2)/(2*c) + (b^2*x^2*ArcTanh[c*x^2])/(2*c) - (a + b*ArcTanh[c*x^2])^2/(4*c^2) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2 + (b^2*Log[1 - c^2*x^4])/(4*c^2)}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2, x, 6, (a + b*ArcTanh[c*x^2])^2/(2*c) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2 - (b*(a + b*ArcTanh[c*x^2])*Log[2/(1 - c*x^2)])/c - (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x^2)])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2/x^1, x, 7, (a + b*ArcTanh[c*x^2])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x^2)] - (1/2)*b*(a + b*ArcTanh[c*x^2])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x^2)] + (1/2)*b*(a + b*ArcTanh[c*x^2])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x^2)] + (1/4)*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x^2)] - (1/4)*b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x^2)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2/x^3, x, 5, (1/2)*c*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2 - (a + b*ArcTanh[c*x^2])^2/(2*x^2) + b*c*(a + b*ArcTanh[c*x^2])*Log[2 - 2/(1 + c*x^2)] - (1/2)*b^2*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x^2)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2/x^5, x, 9, -((b*c*(a + b*ArcTanh[c*x^2]))/(2*x^2)) + (1/4)*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2 - (a + b*ArcTanh[c*x^2])^2/(4*x^4) + b^2*c^2*Log[x] - (1/4)*b^2*c^2*Log[1 - c^2*x^4]}
+
+{x^4*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2, x, 102, (8*b^2*x)/(15*c^2) + (2*a*b*x^3)/(15*c) - (2/25)*a*b*x^5 + (2*a*b*ArcTan[Sqrt[c]*x])/(5*c^(5/2)) - (4*b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x])/(15*c^(5/2)) + (I*b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]^2)/(5*c^(5/2)) - (4*b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x])/(15*c^(5/2)) - (b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]^2)/(5*c^(5/2)) + (2*b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - Sqrt[c]*x)])/(5*c^(5/2)) - (2*b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(5*c^(5/2)) + (b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[((1 + I)*(1 - Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(5*c^(5/2)) + (2*b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + I*Sqrt[c]*x)])/(5*c^(5/2)) - (2*b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + Sqrt[c]*x)])/(5*c^(5/2)) + (b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[-((2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x)))])/(5*c^(5/2)) + (b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[(2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))])/(5*c^(5/2)) + (b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[((1 - I)*(1 + Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(5*c^(5/2)) - (b^2*x^3*Log[1 - c*x^2])/(15*c) + (1/25)*b^2*x^5*Log[1 - c*x^2] - (b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[1 - c*x^2])/(5*c^(5/2)) + (b*x^3*(2*a - b*Log[1 - c*x^2]))/(15*c) + (1/25)*b*x^5*(2*a - b*Log[1 - c*x^2]) - (b*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*(2*a - b*Log[1 - c*x^2]))/(5*c^(5/2)) + (1/20)*x^5*(2*a - b*Log[1 - c*x^2])^2 + (2*b^2*x^3*Log[1 + c*x^2])/(15*c) + (1/5)*a*b*x^5*Log[1 + c*x^2] + (b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[1 + c*x^2])/(5*c^(5/2)) - (b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[1 + c*x^2])/(5*c^(5/2)) - (1/10)*b^2*x^5*Log[1 - c*x^2]*Log[1 + c*x^2] + (1/20)*b^2*x^5*Log[1 + c*x^2]^2 + (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - Sqrt[c]*x)])/(5*c^(5/2)) + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(5*c^(5/2)) - (I*b^2*PolyLog[2, 1 - ((1 + I)*(1 - Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(10*c^(5/2)) + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*Sqrt[c]*x)])/(5*c^(5/2)) + (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[c]*x)])/(5*c^(5/2)) - (b^2*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))])/(10*c^(5/2)) - (b^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))])/(10*c^(5/2)) - (I*b^2*PolyLog[2, 1 - ((1 - I)*(1 + Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(10*c^(5/2))}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2, x, 86, (4*a*b*x)/(3*c) - (2/9)*a*b*x^3 - (2*a*b*ArcTan[Sqrt[c]*x])/(3*c^(3/2)) + (4*b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x])/(3*c^(3/2)) - (I*b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]^2)/(3*c^(3/2)) - (4*b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x])/(3*c^(3/2)) - (b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]^2)/(3*c^(3/2)) + (2*b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) + (2*b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) - (b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[((1 + I)*(1 - Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) - (2*b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + I*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) - (2*b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) + (b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[-((2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x)))])/(3*c^(3/2)) + (b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[(2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))])/(3*c^(3/2)) - (b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[((1 - I)*(1 + Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) - (2*b^2*x*Log[1 - c*x^2])/(3*c) + (1/9)*b^2*x^3*Log[1 - c*x^2] + (b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[1 - c*x^2])/(3*c^(3/2)) + (1/9)*b*x^3*(2*a - b*Log[1 - c*x^2]) - (b*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*(2*a - b*Log[1 - c*x^2]))/(3*c^(3/2)) + (1/12)*x^3*(2*a - b*Log[1 - c*x^2])^2 + (2*b^2*x*Log[1 + c*x^2])/(3*c) + (1/3)*a*b*x^3*Log[1 + c*x^2] - (b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[1 + c*x^2])/(3*c^(3/2)) - (b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[1 + c*x^2])/(3*c^(3/2)) - (1/6)*b^2*x^3*Log[1 - c*x^2]*Log[1 + c*x^2] + (1/12)*b^2*x^3*Log[1 + c*x^2]^2 + (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) - (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - ((1 + I)*(1 - Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(6*c^(3/2)) - (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) + (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) - (b^2*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))])/(6*c^(3/2)) - (b^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))])/(6*c^(3/2)) + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - ((1 - I)*(1 + Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(6*c^(3/2))}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2, x, 69, a^2*x + (2*a*b*ArcTan[Sqrt[c]*x])/Sqrt[c] + (I*b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]^2)/Sqrt[c] - (2*a*b*ArcTanh[Sqrt[c]*x])/Sqrt[c] - (b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]^2)/Sqrt[c] + (2*b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - (2*b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + (b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[((1 + I)*(1 - Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + (2*b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + I*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - (2*b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + (b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[-((2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x)))])/Sqrt[c] + (b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[(2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))])/Sqrt[c] + (b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[((1 - I)*(1 + Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - a*b*x*Log[1 - c*x^2] - (b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[1 - c*x^2])/Sqrt[c] + (b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[1 - c*x^2])/Sqrt[c] + (1/4)*b^2*x*Log[1 - c*x^2]^2 + a*b*x*Log[1 + c*x^2] + (b^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[1 + c*x^2])/Sqrt[c] - (b^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[1 + c*x^2])/Sqrt[c] - (1/2)*b^2*x*Log[1 - c*x^2]*Log[1 + c*x^2] + (1/4)*b^2*x*Log[1 + c*x^2]^2 + (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - (I*b^2*PolyLog[2, 1 - ((1 + I)*(1 - Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(2*Sqrt[c]) + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - (b^2*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))])/(2*Sqrt[c]) - (b^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))])/(2*Sqrt[c]) - (I*b^2*PolyLog[2, 1 - ((1 - I)*(1 + Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(2*Sqrt[c])}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2/x^2, x, 47, 2*a*b*Sqrt[c]*ArcTan[Sqrt[c]*x] + I*b^2*Sqrt[c]*ArcTan[Sqrt[c]*x]^2 + b^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c]*x]^2 - 2*b^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - Sqrt[c]*x)] - 2*b^2*Sqrt[c]*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - I*Sqrt[c]*x)] + b^2*Sqrt[c]*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[((1 + I)*(1 - Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)] + 2*b^2*Sqrt[c]*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + I*Sqrt[c]*x)] + 2*b^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + Sqrt[c]*x)] - b^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[-((2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x)))] - b^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[(2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))] + b^2*Sqrt[c]*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[((1 - I)*(1 + Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)] - b^2*Sqrt[c]*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[1 - c*x^2] + b*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*(2*a - b*Log[1 - c*x^2]) - (2*a - b*Log[1 - c*x^2])^2/(4*x) - (a*b*Log[1 + c*x^2])/x + b^2*Sqrt[c]*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[1 + c*x^2] + b^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[1 + c*x^2] + (b^2*Log[1 - c*x^2]*Log[1 + c*x^2])/(2*x) - (b^2*Log[1 + c*x^2]^2)/(4*x) - b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - Sqrt[c]*x)] + I*b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*Sqrt[c]*x)] - (1/2)*I*b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, 1 - ((1 + I)*(1 - Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)] + I*b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*Sqrt[c]*x)] - b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[c]*x)] + (1/2)*b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))] + (1/2)*b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))] - (1/2)*I*b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, 1 - ((1 - I)*(1 + Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2/x^4, x, 64, -((2*a*b*c)/(3*x)) - (2/3)*a*b*c^(3/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x] + (4/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x] - (1/3)*I*b^2*c^(3/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x]^2 + (4/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x] + (1/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x]^2 - (2/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - Sqrt[c]*x)] + (2/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - I*Sqrt[c]*x)] - (1/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[((1 + I)*(1 - Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)] - (2/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + I*Sqrt[c]*x)] + (2/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + Sqrt[c]*x)] - (1/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[-((2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x)))] - (1/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[(2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))] - (1/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[((1 - I)*(1 + Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)] + (b^2*c*Log[1 - c*x^2])/(3*x) + (1/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[1 - c*x^2] - (b*c*(2*a - b*Log[1 - c*x^2]))/(3*x) + (1/3)*b*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*(2*a - b*Log[1 - c*x^2]) - (2*a - b*Log[1 - c*x^2])^2/(12*x^3) - (a*b*Log[1 + c*x^2])/(3*x^3) - (2*b^2*c*Log[1 + c*x^2])/(3*x) - (1/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[1 + c*x^2] + (1/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[1 + c*x^2] + (b^2*Log[1 - c*x^2]*Log[1 + c*x^2])/(6*x^3) - (b^2*Log[1 + c*x^2]^2)/(12*x^3) - (1/3)*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - Sqrt[c]*x)] - (1/3)*I*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*Sqrt[c]*x)] + (1/6)*I*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, 1 - ((1 + I)*(1 - Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)] - (1/3)*I*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*Sqrt[c]*x)] - (1/3)*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[c]*x)] + (1/6)*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))] + (1/6)*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))] + (1/6)*I*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, 1 - ((1 - I)*(1 + Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2/x^6, x, 77, -((2*a*b*c)/(15*x^3)) + (2*a*b*c^2)/(5*x) - (8*b^2*c^2)/(15*x) + (2/5)*a*b*c^(5/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x] - (4/15)*b^2*c^(5/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x] + (1/5)*I*b^2*c^(5/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x]^2 + (4/15)*b^2*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x] + (1/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x]^2 - (2/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - Sqrt[c]*x)] - (2/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - I*Sqrt[c]*x)] + (1/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[((1 + I)*(1 - Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)] + (2/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + I*Sqrt[c]*x)] + (2/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + Sqrt[c]*x)] - (1/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[-((2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x)))] - (1/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[(2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))] + (1/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[((1 - I)*(1 + Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)] + (b^2*c*Log[1 - c*x^2])/(15*x^3) - (b^2*c^2*Log[1 - c*x^2])/(5*x) - (1/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[1 - c*x^2] - (b*c*(2*a - b*Log[1 - c*x^2]))/(15*x^3) - (b*c^2*(2*a - b*Log[1 - c*x^2]))/(5*x) + (1/5)*b*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*(2*a - b*Log[1 - c*x^2]) - (2*a - b*Log[1 - c*x^2])^2/(20*x^5) - (a*b*Log[1 + c*x^2])/(5*x^5) - (2*b^2*c*Log[1 + c*x^2])/(15*x^3) + (1/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[1 + c*x^2] + (1/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[1 + c*x^2] + (b^2*Log[1 - c*x^2]*Log[1 + c*x^2])/(10*x^5) - (b^2*Log[1 + c*x^2]^2)/(20*x^5) - (1/5)*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - Sqrt[c]*x)] + (1/5)*I*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*Sqrt[c]*x)] - (1/10)*I*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, 1 - ((1 + I)*(1 - Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)] + (1/5)*I*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*Sqrt[c]*x)] - (1/5)*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[c]*x)] + (1/10)*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))] + (1/10)*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))] - (1/10)*I*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, 1 - ((1 - I)*(1 + Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)]}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^3, x, 9, (3*b*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2)/(4*c^2) + (3*b*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2)/(4*c) - (a + b*ArcTanh[c*x^2])^3/(4*c^2) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^3 - (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2])*Log[2/(1 - c*x^2)])/(2*c^2) - (3*b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x^2)])/(4*c^2)}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^3, x, 6, (a + b*ArcTanh[c*x^2])^3/(2*c) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^3 - (3*b*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2*Log[2/(1 - c*x^2)])/(2*c) - (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x^2)])/(2*c) + (3*b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x^2)])/(4*c)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])^3/x^1, x, 9, (a + b*ArcTanh[c*x^2])^3*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x^2)] - (3/4)*b*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x^2)] + (3/4)*b*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x^2)] + (3/4)*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x^2)] - (3/4)*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2])*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x^2)] - (3/8)*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 - c*x^2)] + (3/8)*b^3*PolyLog[4, -1 + 2/(1 - c*x^2)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])^3/x^3, x, 6, (1/2)*c*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^3 - (a + b*ArcTanh[c*x^2])^3/(2*x^2) + (3/2)*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2*Log[2 - 2/(1 + c*x^2)] - (3/2)*b^2*c*(a + b*ArcTanh[c*x^2])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x^2)] - (3/4)*b^3*c*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + c*x^2)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])^3/x^5, x, 8, (3/4)*b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2 - (3*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2)/(4*x^2) + (1/4)*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^3 - (a + b*ArcTanh[c*x^2])^3/(4*x^4) + (3/2)*b^2*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2])*Log[2 - 2/(1 + c*x^2)] - (3/4)*b^3*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x^2)]}
+
+(* {x^2*(a + b*ArcTan[c*x^2])^3, x, 86, 0}
+{x^0*(a + b*ArcTan[c*x^2])^3, x, 69, 0}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])^3/x^2, x, 47, 0}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])^3/x^4, x, 64, 0}
+{(a + b*ArcTan[c*x^2])^3/x^6, x, 77, 0} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^(m/2) (a+b ArcTanh[c x^2])^p*)
+
+
+{(d*x)^(5/2)*(a + b*ArcTanh[c*x^2]), x, 16, (8*b*d*(d*x)^(3/2))/(21*c) + (2*b*d^(5/2)*ArcTan[(c^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(7*c^(7/4)) + (Sqrt[2]*b*d^(5/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*c^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(7*c^(7/4)) - (Sqrt[2]*b*d^(5/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*c^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(7*c^(7/4)) + (2*(d*x)^(7/2)*(a + b*ArcTanh[c*x^2]))/(7*d) - (2*b*d^(5/2)*ArcTanh[(c^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(7*c^(7/4)) - (b*d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[c]*Sqrt[d]*x - Sqrt[2]*c^(1/4)*Sqrt[d*x]])/(7*Sqrt[2]*c^(7/4)) + (b*d^(5/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[c]*Sqrt[d]*x + Sqrt[2]*c^(1/4)*Sqrt[d*x]])/(7*Sqrt[2]*c^(7/4))}
+{(d*x)^(3/2)*(a + b*ArcTanh[c*x^2]), x, 16, (8*b*d*Sqrt[d*x])/(5*c) - (2*b*d^(3/2)*ArcTan[(c^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(5*c^(5/4)) + (Sqrt[2]*b*d^(3/2)*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*c^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(5*c^(5/4)) - (Sqrt[2]*b*d^(3/2)*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*c^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(5*c^(5/4)) + (2*(d*x)^(5/2)*(a + b*ArcTanh[c*x^2]))/(5*d) - (2*b*d^(3/2)*ArcTanh[(c^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(5*c^(5/4)) + (b*d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[c]*Sqrt[d]*x - Sqrt[2]*c^(1/4)*Sqrt[d*x]])/(5*Sqrt[2]*c^(5/4)) - (b*d^(3/2)*Log[Sqrt[d] + Sqrt[c]*Sqrt[d]*x + Sqrt[2]*c^(1/4)*Sqrt[d*x]])/(5*Sqrt[2]*c^(5/4))}
+{(d*x)^(1/2)*(a + b*ArcTanh[c*x^2]), x, 15, (2*b*Sqrt[d]*ArcTan[(c^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(3*c^(3/4)) - (Sqrt[2]*b*Sqrt[d]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*c^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(3*c^(3/4)) + (Sqrt[2]*b*Sqrt[d]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*c^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(3*c^(3/4)) + (2*(d*x)^(3/2)*(a + b*ArcTanh[c*x^2]))/(3*d) - (2*b*Sqrt[d]*ArcTanh[(c^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(3*c^(3/4)) + (b*Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[c]*Sqrt[d]*x - Sqrt[2]*c^(1/4)*Sqrt[d*x]])/(3*Sqrt[2]*c^(3/4)) - (b*Sqrt[d]*Log[Sqrt[d] + Sqrt[c]*Sqrt[d]*x + Sqrt[2]*c^(1/4)*Sqrt[d*x]])/(3*Sqrt[2]*c^(3/4))}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])/(d*x)^(1/2), x, 15, -((2*b*ArcTan[(c^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(c^(1/4)*Sqrt[d])) - (Sqrt[2]*b*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*c^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(c^(1/4)*Sqrt[d]) + (Sqrt[2]*b*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*c^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(c^(1/4)*Sqrt[d]) + (2*Sqrt[d*x]*(a + b*ArcTanh[c*x^2]))/d - (2*b*ArcTanh[(c^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(c^(1/4)*Sqrt[d]) - (b*Log[Sqrt[d] + Sqrt[c]*Sqrt[d]*x - Sqrt[2]*c^(1/4)*Sqrt[d*x]])/(Sqrt[2]*c^(1/4)*Sqrt[d]) + (b*Log[Sqrt[d] + Sqrt[c]*Sqrt[d]*x + Sqrt[2]*c^(1/4)*Sqrt[d*x]])/(Sqrt[2]*c^(1/4)*Sqrt[d])}
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+
+
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Sqrt[-Sqrt[-c]]*Sqrt[x]))/((Sqrt[-Sqrt[-c]] - c^(1/4))*(1 + c^(1/4)*Sqrt[x]))])/(3*d^2*Sqrt[d*x]) + (b^2*c^(3/4)*Sqrt[x]*PolyLog[2, 1 - (2*c^(1/4)*(1 + Sqrt[-Sqrt[-c]]*Sqrt[x]))/((Sqrt[-Sqrt[-c]] + c^(1/4))*(1 + c^(1/4)*Sqrt[x]))])/(3*d^2*Sqrt[d*x]) - (b^2*c^(3/4)*Sqrt[x]*PolyLog[2, 1 + (2*c^(1/4)*(1 - Sqrt[-Sqrt[c]]*Sqrt[x]))/((Sqrt[-Sqrt[c]] - c^(1/4))*(1 + c^(1/4)*Sqrt[x]))])/(3*d^2*Sqrt[d*x]) - (b^2*c^(3/4)*Sqrt[x]*PolyLog[2, 1 - (2*c^(1/4)*(1 + Sqrt[-Sqrt[c]]*Sqrt[x]))/((Sqrt[-Sqrt[c]] + c^(1/4))*(1 + c^(1/4)*Sqrt[x]))])/(3*d^2*Sqrt[d*x]) + (b^2*c^(3/4)*Sqrt[x]*PolyLog[2, 1 + (2*c^(1/4)*(1 - (-c)^(1/4)*Sqrt[x]))/(((-c)^(1/4) - c^(1/4))*(1 + c^(1/4)*Sqrt[x]))])/(3*d^2*Sqrt[d*x]) + (b^2*c^(3/4)*Sqrt[x]*PolyLog[2, 1 - (2*c^(1/4)*(1 + (-c)^(1/4)*Sqrt[x]))/(((-c)^(1/4) + c^(1/4))*(1 + c^(1/4)*Sqrt[x]))])/(3*d^2*Sqrt[d*x]) + (I*b^2*(-c)^(3/4)*Sqrt[x]*PolyLog[2, 1 - (2*(-c)^(1/4)*(1 + c^(1/4)*Sqrt[x]))/(((-c)^(1/4) + I*c^(1/4))*(1 - I*(-c)^(1/4)*Sqrt[x]))])/(3*d^2*Sqrt[d*x]) + (b^2*(-c)^(3/4)*Sqrt[x]*PolyLog[2, 1 - (2*(-c)^(1/4)*(1 + c^(1/4)*Sqrt[x]))/(((-c)^(1/4) + c^(1/4))*(1 + (-c)^(1/4)*Sqrt[x]))])/(3*d^2*Sqrt[d*x]) - (I*b^2*c^(3/4)*Sqrt[x]*PolyLog[2, 1 - ((1 - I)*(1 + c^(1/4)*Sqrt[x]))/(1 - I*c^(1/4)*Sqrt[x])])/(3*d^2*Sqrt[d*x])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTanh[c x^2])^p when m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^3, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^3, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^1, x, 2, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*ArcTanh[c*x^2]))/(d*(1 + m)) - (2*b*c*(d*x)^(3 + m)*Hypergeometric2F1[1, (3 + m)/4, (7 + m)/4, c^2*x^4])/(d^3*(1 + m)*(3 + m))}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c*x^2])^1, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c*x^2]), x]}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTanh[c x^3])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcTanh[c x^3])^p*)
+
+
+{x^11*(a + b*ArcTanh[c*x^3]), x, 5, (b*x^3)/(12*c^3) + (b*x^9)/(36*c) - (b*ArcTanh[c*x^3])/(12*c^4) + (1/12)*x^12*(a + b*ArcTanh[c*x^3])}
+{x^8*(a + b*ArcTanh[c*x^3]), x, 4, (b*x^6)/(18*c) + (1/9)*x^9*(a + b*ArcTanh[c*x^3]) + (b*Log[1 - c^2*x^6])/(18*c^3)}
+{x^5*(a + b*ArcTanh[c*x^3]), x, 4, (b*x^3)/(6*c) - (b*ArcTanh[c*x^3])/(6*c^2) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x^3])}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c*x^3]), x, 2, (1/3)*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x^3]) + (b*Log[1 - c^2*x^6])/(6*c)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])/x^1, x, 2, a*Log[x] - (1/6)*b*PolyLog[2, (-c)*x^3] + (1/6)*b*PolyLog[2, c*x^3]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])/x^4, x, 5, -((a + b*ArcTanh[c*x^3])/(3*x^3)) + b*c*Log[x] - (1/6)*b*c*Log[1 - c^2*x^6]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])/x^7, x, 4, -((b*c)/(6*x^3)) + (1/6)*b*c^2*ArcTanh[c*x^3] - (a + b*ArcTanh[c*x^3])/(6*x^6)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])/x^10, x, 4, -((b*c)/(18*x^6)) - (a + b*ArcTanh[c*x^3])/(9*x^9) + (1/3)*b*c^3*Log[x] - (1/18)*b*c^3*Log[1 - c^2*x^6]}
+
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c*x^3]), x, 12, (3*b*x)/(4*c) + (Sqrt[3]*b*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*c^(1/3)*x)/Sqrt[3]])/(8*c^(4/3)) - (Sqrt[3]*b*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*c^(1/3)*x)/Sqrt[3]])/(8*c^(4/3)) - (b*ArcTanh[c^(1/3)*x])/(4*c^(4/3)) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x^3]) + (b*Log[1 - c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(16*c^(4/3)) - (b*Log[1 + c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(16*c^(4/3))}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*x^3]), x, 9, a*x + (Sqrt[3]*b*ArcTan[(1 + 2*c^(2/3)*x^2)/Sqrt[3]])/(2*c^(1/3)) + b*x*ArcTanh[c*x^3] + (b*Log[1 - c^(2/3)*x^2])/(2*c^(1/3)) - (b*Log[1 + c^(2/3)*x^2 + c^(4/3)*x^4])/(4*c^(1/3))}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])/x^3, x, 11, (-(1/4))*Sqrt[3]*b*c^(2/3)*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*c^(1/3)*x)/Sqrt[3]] + (1/4)*Sqrt[3]*b*c^(2/3)*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*c^(1/3)*x)/Sqrt[3]] + (1/2)*b*c^(2/3)*ArcTanh[c^(1/3)*x] - (a + b*ArcTanh[c*x^3])/(2*x^2) - (1/8)*b*c^(2/3)*Log[1 - c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2] + (1/8)*b*c^(2/3)*Log[1 + c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])/x^6, x, 9, -((3*b*c)/(10*x^2)) - (1/10)*Sqrt[3]*b*c^(5/3)*ArcTan[(1 + 2*c^(2/3)*x^2)/Sqrt[3]] - (a + b*ArcTanh[c*x^3])/(5*x^5) - (1/10)*b*c^(5/3)*Log[1 - c^(2/3)*x^2] + (1/20)*b*c^(5/3)*Log[1 + c^(2/3)*x^2 + c^(4/3)*x^4]}
+
+{x^7*(a + b*ArcTanh[c*x^3]), x, 12, (3*b*x^5)/(40*c) - (Sqrt[3]*b*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*c^(1/3)*x)/Sqrt[3]])/(16*c^(8/3)) + (Sqrt[3]*b*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*c^(1/3)*x)/Sqrt[3]])/(16*c^(8/3)) - (b*ArcTanh[c^(1/3)*x])/(8*c^(8/3)) + (1/8)*x^8*(a + b*ArcTanh[c*x^3]) + (b*Log[1 - c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(32*c^(8/3)) - (b*Log[1 + c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(32*c^(8/3))}
+{x^4*(a + b*ArcTanh[c*x^3]), x, 9, (3*b*x^2)/(10*c) - (Sqrt[3]*b*ArcTan[(1 + 2*c^(2/3)*x^2)/Sqrt[3]])/(10*c^(5/3)) + (1/5)*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x^3]) + (b*Log[1 - c^(2/3)*x^2])/(10*c^(5/3)) - (b*Log[1 + c^(2/3)*x^2 + c^(4/3)*x^4])/(20*c^(5/3))}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*x^3]), x, 11, -((Sqrt[3]*b*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*c^(1/3)*x)/Sqrt[3]])/(4*c^(2/3))) + (Sqrt[3]*b*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*c^(1/3)*x)/Sqrt[3]])/(4*c^(2/3)) - (b*ArcTanh[c^(1/3)*x])/(2*c^(2/3)) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x^3]) + (b*Log[1 - c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(8*c^(2/3)) - (b*Log[1 + c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(8*c^(2/3))}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])/x^2, x, 8, (1/2)*Sqrt[3]*b*c^(1/3)*ArcTan[(1 + 2*c^(2/3)*x^2)/Sqrt[3]] - (a + b*ArcTanh[c*x^3])/x - (1/2)*b*c^(1/3)*Log[1 - c^(2/3)*x^2] + (1/4)*b*c^(1/3)*Log[1 + c^(2/3)*x^2 + c^(4/3)*x^4]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])/x^5, x, 12, -((3*b*c)/(4*x)) + (1/8)*Sqrt[3]*b*c^(4/3)*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*c^(1/3)*x)/Sqrt[3]] - (1/8)*Sqrt[3]*b*c^(4/3)*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*c^(1/3)*x)/Sqrt[3]] + (1/4)*b*c^(4/3)*ArcTanh[c^(1/3)*x] - (a + b*ArcTanh[c*x^3])/(4*x^4) - (1/16)*b*c^(4/3)*Log[1 - c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2] + (1/16)*b*c^(4/3)*Log[1 + c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2]}
+
+
+{x^11*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2, x, 12, (a*b*x^3)/(6*c^3) + (b^2*x^6)/(36*c^2) + (b^2*x^3*ArcTanh[c*x^3])/(6*c^3) + (b*x^9*(a + b*ArcTanh[c*x^3]))/(18*c) - (a + b*ArcTanh[c*x^3])^2/(12*c^4) + (1/12)*x^12*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2 + (b^2*Log[1 - c^2*x^6])/(9*c^4)}
+{x^8*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2, x, 10, (b^2*x^3)/(9*c^2) - (b^2*ArcTanh[c*x^3])/(9*c^3) + (b*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x^3]))/(9*c) + (a + b*ArcTanh[c*x^3])^2/(9*c^3) + (1/9)*x^9*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2 - (2*b*(a + b*ArcTanh[c*x^3])*Log[2/(1 - c*x^3)])/(9*c^3) - (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x^3)])/(9*c^3)}
+{x^5*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2, x, 7, (a*b*x^3)/(3*c) + (b^2*x^3*ArcTanh[c*x^3])/(3*c) - (a + b*ArcTanh[c*x^3])^2/(6*c^2) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2 + (b^2*Log[1 - c^2*x^6])/(6*c^2)}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2, x, 6, (a + b*ArcTanh[c*x^3])^2/(3*c) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2 - (2*b*(a + b*ArcTanh[c*x^3])*Log[2/(1 - c*x^3)])/(3*c) - (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x^3)])/(3*c)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2/x^1, x, 7, (2/3)*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x^3)] - (1/3)*b*(a + b*ArcTanh[c*x^3])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x^3)] + (1/3)*b*(a + b*ArcTanh[c*x^3])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x^3)] + (1/6)*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x^3)] - (1/6)*b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x^3)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2/x^4, x, 5, (1/3)*c*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2 - (a + b*ArcTanh[c*x^3])^2/(3*x^3) + (2/3)*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x^3])*Log[2 - 2/(1 + c*x^3)] - (1/3)*b^2*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x^3)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2/x^7, x, 9, -((b*c*(a + b*ArcTanh[c*x^3]))/(3*x^3)) + (1/6)*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2 - (a + b*ArcTanh[c*x^3])^2/(6*x^6) + b^2*c^2*Log[x] - (1/6)*b^2*c^2*Log[1 - c^2*x^6]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2/x^10, x, 9, -((b^2*c^2)/(9*x^3)) + (1/9)*b^2*c^3*ArcTanh[c*x^3] - (b*c*(a + b*ArcTanh[c*x^3]))/(9*x^6) + (1/9)*c^3*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2 - (a + b*ArcTanh[c*x^3])^2/(9*x^9) + (2/9)*b*c^3*(a + b*ArcTanh[c*x^3])*Log[2 - 2/(1 + c*x^3)] - (1/9)*b^2*c^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x^3)]}
+
+(* {x^3*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2, x, 44, 0}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2, x, 69, 0}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2/x^3, x, 24, 0}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2/x^6, x, 77, 0}
+
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2, x, 28, 0}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2/x^2, x, 47, 0}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2/x^5, x, 46, 0} *)
+
+
+{x^8*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3, x, 13, (a*b^2*x^3)/(3*c^2) + (b^3*x^3*ArcTanh[c*x^3])/(3*c^2) - (b*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2)/(6*c^3) + (b*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2)/(6*c) + (a + b*ArcTanh[c*x^3])^3/(9*c^3) + (1/9)*x^9*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3 - (b*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2*Log[2/(1 - c*x^3)])/(3*c^3) + (b^3*Log[1 - c^2*x^6])/(6*c^3) - (b^2*(a + b*ArcTanh[c*x^3])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x^3)])/(3*c^3) + (b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x^3)])/(6*c^3)}
+{x^5*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3, x, 9, (b*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2)/(2*c^2) + (b*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2)/(2*c) - (a + b*ArcTanh[c*x^3])^3/(6*c^2) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3 - (b^2*(a + b*ArcTanh[c*x^3])*Log[2/(1 - c*x^3)])/c^2 - (b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x^3)])/(2*c^2)}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3, x, 6, (a + b*ArcTanh[c*x^3])^3/(3*c) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3 - (b*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2*Log[2/(1 - c*x^3)])/c - (b^2*(a + b*ArcTanh[c*x^3])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x^3)])/c + (b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x^3)])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3/x^1, x, 9, (2/3)*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x^3)] - (1/2)*b*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x^3)] + (1/2)*b*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x^3)] + (1/2)*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x^3])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x^3)] - (1/2)*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x^3])*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x^3)] - (1/4)*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 - c*x^3)] + (1/4)*b^3*PolyLog[4, -1 + 2/(1 - c*x^3)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3/x^4, x, 6, (1/3)*c*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3 - (a + b*ArcTanh[c*x^3])^3/(3*x^3) + b*c*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2*Log[2 - 2/(1 + c*x^3)] - b^2*c*(a + b*ArcTanh[c*x^3])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x^3)] - (1/2)*b^3*c*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + c*x^3)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3/x^7, x, 8, (1/2)*b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2 - (b*c*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2)/(2*x^3) + (1/6)*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3 - (a + b*ArcTanh[c*x^3])^3/(6*x^6) + b^2*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x^3])*Log[2 - 2/(1 + c*x^3)] - (1/2)*b^3*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x^3)]}
+
+(* {x^3*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3, x, 44, 0}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3, x, 69, 0}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3/x^3, x, 24, 0}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3/x^6, x, 77, 0}
+
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3, x, 28, 0}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3/x^2, x, 47, 0}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3/x^5, x, 46, 0} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTanh[c x^3])^p when m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^3, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x^3])^1, x, 2, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*ArcTanh[c*x^3]))/(d*(1 + m)) - (3*b*c*(d*x)^(4 + m)*Hypergeometric2F1[1, (4 + m)/6, (10 + m)/6, c^2*x^6])/(d^4*(1 + m)*(4 + m))}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c*x^3])^1, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c*x^3]), x]}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c*x^3])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTanh[c/x^1])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcTanh[c/x])^p*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c/x]), x, 5, (1/4)*b*c^3*x + (1/12)*b*c*x^3 + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTanh[c/x]) - (1/4)*b*c^4*ArcTanh[x/c]}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c/x]), x, 5, (1/6)*b*c*x^2 + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTanh[c/x]) + (1/6)*b*c^3*Log[c^2 - x^2]}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c/x]), x, 4, (b*c*x)/2 + (1/2)*x^2*(a + b*ArcTanh[c/x]) - (1/2)*b*c^2*ArcTanh[x/c]}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c/x]), x, 4, a*x + b*x*ArcTanh[c/x] + (1/2)*b*c*Log[c^2 - x^2]}
+{(a + b*ArcTanh[c/x])/x^1, x, 2, a*Log[x] + (1/2)*b*PolyLog[2, -(c/x)] - (1/2)*b*PolyLog[2, c/x]}
+{(a + b*ArcTanh[c/x])/x^2, x, 2, -((a + b*ArcTanh[c/x])/x) - (b*Log[1 - c^2/x^2])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTanh[c/x])/x^3, x, 4, -(b/(2*c*x)) - (a + b*ArcTanh[c/x])/(2*x^2) + (b*ArcTanh[x/c])/(2*c^2)}
+{(a + b*ArcTanh[c/x])/x^4, x, 5, -(b/(6*c*x^2)) - (a + b*ArcTanh[c/x])/(3*x^3) + (b*Log[x])/(3*c^3) - (b*Log[c^2 - x^2])/(6*c^3)}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c/x])^2, x, 14, (1/12)*b^2*c^2*x^2 + (1/2)*b*c^3*x*(a + b*ArcCoth[x/c]) + (1/6)*b*c*x^3*(a + b*ArcCoth[x/c]) - (1/4)*c^4*(a + b*ArcCoth[x/c])^2 + (1/4)*x^4*(a + b*ArcCoth[x/c])^2 + (1/3)*b^2*c^4*Log[1 - c^2/x^2] + (2/3)*b^2*c^4*Log[x]}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c/x])^2, x, 9, (1/3)*b^2*c^2*x - (1/3)*b^2*c^3*ArcCoth[x/c] + (1/3)*b*c*x^2*(a + b*ArcCoth[x/c]) - (1/3)*c^3*(a + b*ArcCoth[x/c])^2 + (1/3)*x^3*(a + b*ArcCoth[x/c])^2 - (2/3)*b*c^3*(a + b*ArcCoth[x/c])*Log[2 - 2/(1 + c/x)] + (1/3)*b^2*c^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c/x)]}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c/x])^2, x, 9, b*c*x*(a + b*ArcCoth[x/c]) - (1/2)*c^2*(a + b*ArcCoth[x/c])^2 + (1/2)*x^2*(a + b*ArcCoth[x/c])^2 + (1/2)*b^2*c^2*Log[1 - c^2/x^2] + b^2*c^2*Log[x]}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c/x])^2, x, 6, c*(a + b*ArcCoth[x/c])^2 + x*(a + b*ArcCoth[x/c])^2 - 2*b*c*(a + b*ArcCoth[x/c])*Log[(2*c)/(c - x)] - b^2*c*PolyLog[2, -((c + x)/(c - x))]}
+{(a + b*ArcTanh[c/x])^2/x^1, x, 7, -2*(a + b*ArcCoth[x/c])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c/x)] + b*(a + b*ArcCoth[x/c])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c/x)] - b*(a + b*ArcCoth[x/c])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c/x)] - (1/2)*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c/x)] + (1/2)*b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c/x)]}
+{(a + b*ArcTanh[c/x])^2/x^2, x, 6, -((a + b*ArcCoth[x/c])^2/c) - (a + b*ArcCoth[x/c])^2/x + (2*b*(a + b*ArcCoth[x/c])*Log[2/(1 - c/x)])/c + (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c/x)])/c}
+{(a + b*ArcTanh[c/x])^2/x^3, x, 7, -((a*b)/(c*x)) - (b^2*ArcCoth[x/c])/(c*x) + (a + b*ArcCoth[x/c])^2/(2*c^2) - (a + b*ArcCoth[x/c])^2/(2*x^2) - (b^2*Log[1 - c^2/x^2])/(2*c^2)}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c/x])^3, x, 17, (1/4)*b^3*c^3*x - (1/4)*b^3*c^4*ArcCoth[x/c] + (1/4)*b^2*c^2*x^2*(a + b*ArcCoth[x/c]) - b*c^4*(a + b*ArcCoth[x/c])^2 + (3/4)*b*c^3*x*(a + b*ArcCoth[x/c])^2 + (1/4)*b*c*x^3*(a + b*ArcCoth[x/c])^2 - (1/4)*c^4*(a + b*ArcCoth[x/c])^3 + (1/4)*x^4*(a + b*ArcCoth[x/c])^3 - 2*b^2*c^4*(a + b*ArcCoth[x/c])*Log[2 - 2/(1 + c/x)] + b^3*c^4*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c/x)]}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c/x])^3, x, 15, b^2*c^2*x*(a + b*ArcCoth[x/c]) - (1/2)*b*c^3*(a + b*ArcCoth[x/c])^2 + (1/2)*b*c*x^2*(a + b*ArcCoth[x/c])^2 - (1/3)*c^3*(a + b*ArcCoth[x/c])^3 + (1/3)*x^3*(a + b*ArcCoth[x/c])^3 - b*c^3*(a + b*ArcCoth[x/c])^2*Log[2 - 2/(1 + c/x)] + (1/2)*b^3*c^3*Log[1 - c^2/x^2] + b^3*c^3*Log[x] + b^2*c^3*(a + b*ArcCoth[x/c])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c/x)] + (1/2)*b^3*c^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + c/x)]}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c/x])^3, x, 8, (-(3/2))*b*c^2*(a + b*ArcCoth[x/c])^2 + (3/2)*b*c*x*(a + b*ArcCoth[x/c])^2 - (1/2)*c^2*(a + b*ArcCoth[x/c])^3 + (1/2)*x^2*(a + b*ArcCoth[x/c])^3 - 3*b^2*c^2*(a + b*ArcCoth[x/c])*Log[2 - 2/(1 + c/x)] + (3/2)*b^3*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c/x)]}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c/x])^3, x, 6, c*(a + b*ArcCoth[x/c])^3 + x*(a + b*ArcCoth[x/c])^3 - 3*b*c*(a + b*ArcCoth[x/c])^2*Log[(2*c)/(c - x)] - 3*b^2*c*(a + b*ArcCoth[x/c])*PolyLog[2, 1 - (2*c)/(c - x)] + (3/2)*b^3*c*PolyLog[3, 1 - (2*c)/(c - x)]}
+{(a + b*ArcTanh[c/x])^3/x^1, x, 9, -2*(a + b*ArcCoth[x/c])^3*ArcTanh[1 - 2/(1 - c/x)] + (3/2)*b*(a + b*ArcCoth[x/c])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c/x)] - (3/2)*b*(a + b*ArcCoth[x/c])^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c/x)] - (3/2)*b^2*(a + b*ArcCoth[x/c])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c/x)] + (3/2)*b^2*(a + b*ArcCoth[x/c])*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c/x)] + (3/4)*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 - c/x)] - (3/4)*b^3*PolyLog[4, -1 + 2/(1 - c/x)]}
+{(a + b*ArcTanh[c/x])^3/x^2, x, 6, -((a + b*ArcCoth[x/c])^3/c) - (a + b*ArcCoth[x/c])^3/x + (3*b*(a + b*ArcCoth[x/c])^2*Log[2/(1 - c/x)])/c + (3*b^2*(a + b*ArcCoth[x/c])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c/x)])/c - (3*b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c/x)])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTanh[c/x])^3/x^3, x, 9, -((3*b*(a + b*ArcCoth[x/c])^2)/(2*c^2)) - (3*b*(a + b*ArcCoth[x/c])^2)/(2*c*x) + (a + b*ArcCoth[x/c])^3/(2*c^2) - (a + b*ArcCoth[x/c])^3/(2*x^2) + (3*b^2*(a + b*ArcCoth[x/c])*Log[2/(1 - c/x)])/c^2 + (3*b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c/x)])/(2*c^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTanh[c/x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcTanh[c/x^2])^p*)
+
+
+{x^7*(a + b*ArcTanh[c/x^2]), x, 6, (1/8)*b*c^3*x^2 + (1/24)*b*c*x^6 + (1/8)*x^8*(a + b*ArcTanh[c/x^2]) - (1/8)*b*c^4*ArcTanh[x^2/c]}
+{x^5*(a + b*ArcTanh[c/x^2]), x, 5, (1/12)*b*c*x^4 + (1/6)*x^6*(a + b*ArcTanh[c/x^2]) + (1/12)*b*c^3*Log[c^2 - x^4]}
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c/x^2]), x, 5, (1/4)*b*c*x^2 + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTanh[c/x^2]) - (1/4)*b*c^2*ArcTanh[x^2/c]}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c/x^2]), x, 3, (1/2)*x^2*(a + b*ArcTanh[c/x^2]) + (1/4)*b*c*Log[c^2 - x^4]}
+{(a + b*ArcTanh[c/x^2])/x^1, x, 2, a*Log[x] + (1/4)*b*PolyLog[2, -(c/x^2)] - (1/4)*b*PolyLog[2, c/x^2]}
+{(a + b*ArcTanh[c/x^2])/x^3, x, 2, -((a + b*ArcTanh[c/x^2])/(2*x^2)) - (b*Log[1 - c^2/x^4])/(4*c)}
+{(a + b*ArcTanh[c/x^2])/x^5, x, 5, -(b/(4*c*x^2)) - (a + b*ArcTanh[c/x^2])/(4*x^4) + (b*ArcTanh[x^2/c])/(4*c^2)}
+{(a + b*ArcTanh[c/x^2])/x^7, x, 5, -(b/(12*c*x^4)) - (a + b*ArcTanh[c/x^2])/(6*x^6) + (b*Log[x])/(3*c^3) - (b*Log[c^2 - x^4])/(12*c^3)}
+
+{x^4*(a + b*ArcTanh[c/x^2]), x, 6, (2/15)*b*c*x^3 + (1/5)*b*c^(5/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]] + (1/5)*x^5*(a + b*ArcTanh[c/x^2]) - (1/5)*b*c^(5/2)*ArcTanh[x/Sqrt[c]]}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c/x^2]), x, 6, (2*b*c*x)/3 - (1/3)*b*c^(3/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]] + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTanh[c/x^2]) - (1/3)*b*c^(3/2)*ArcTanh[x/Sqrt[c]]}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c/x^2]), x, 6, a*x + b*Sqrt[c]*ArcTan[x/Sqrt[c]] + b*x*ArcTanh[c/x^2] - b*Sqrt[c]*ArcTanh[x/Sqrt[c]]}
+{(a + b*ArcTanh[c/x^2])/x^2, x, 5, (b*ArcTan[x/Sqrt[c]])/Sqrt[c] - (a + b*ArcTanh[c/x^2])/x + (b*ArcTanh[x/Sqrt[c]])/Sqrt[c]}
+{(a + b*ArcTanh[c/x^2])/x^4, x, 6, -((2*b)/(3*c*x)) - (b*ArcTan[x/Sqrt[c]])/(3*c^(3/2)) - (a + b*ArcTanh[c/x^2])/(3*x^3) + (b*ArcTanh[x/Sqrt[c]])/(3*c^(3/2))}
+{(a + b*ArcTanh[c/x^2])/x^6, x, 6, -((2*b)/(15*c*x^3)) + (b*ArcTan[x/Sqrt[c]])/(5*c^(5/2)) - (a + b*ArcTanh[c/x^2])/(5*x^5) + (b*ArcTanh[x/Sqrt[c]])/(5*c^(5/2))}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c/x^2])^2, x, 9, (1/2)*b*c*x^2*(a + b*ArcCoth[x^2/c]) - (1/4)*c^2*(a + b*ArcCoth[x^2/c])^2 + (1/4)*x^4*(a + b*ArcCoth[x^2/c])^2 + (1/4)*b^2*c^2*Log[1 - c^2/x^4] + b^2*c^2*Log[x]}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c/x^2])^2, x, 5, (-(1/2))*c*(a + b*ArcCoth[x^2/c])^2 + (1/2)*x^2*(a + b*ArcCoth[x^2/c])^2 - b*c*(a + b*ArcCoth[x^2/c])*Log[2 - 2/(1 + c/x^2)] + (1/2)*b^2*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c/x^2)]}
+{(a + b*ArcTanh[c/x^2])^2/x^1, x, 7, (-(a + b*ArcCoth[x^2/c])^2)*ArcTanh[1 - 2/(1 - c/x^2)] + (1/2)*b*(a + b*ArcCoth[x^2/c])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c/x^2)] - (1/2)*b*(a + b*ArcCoth[x^2/c])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c/x^2)] - (1/4)*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c/x^2)] + (1/4)*b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c/x^2)]}
+{(a + b*ArcTanh[c/x^2])^2/x^3, x, 6, -((a + b*ArcCoth[x^2/c])^2/(2*c)) - (a + b*ArcCoth[x^2/c])^2/(2*x^2) + (b*(a + b*ArcCoth[x^2/c])*Log[2/(1 - c/x^2)])/c + (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c/x^2)])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTanh[c/x^2])^2/x^5, x, 7, -((a*b)/(2*c*x^2)) - (b^2*ArcCoth[x^2/c])/(2*c*x^2) + (a + b*ArcCoth[x^2/c])^2/(4*c^2) - (a + b*ArcCoth[x^2/c])^2/(4*x^4) - (b^2*Log[1 - c^2/x^4])/(4*c^2)}
+
+{x^4*(a + b*ArcTanh[c/x^2])^2, x, 98, (8/15)*b^2*c^2*x + (2/15)*a*b*c*x^3 + (2/5)*a*b*c^(5/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]] - (4/15)*b^2*c^(5/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]] - (1/5)*I*b^2*c^(5/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]]^2 - (4/15)*b^2*c^(5/2)*ArcTanh[x/Sqrt[c]] + (1/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTanh[x/Sqrt[c]]^2 + (2/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[2 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)] - (1/15)*b^2*c*x^3*Log[1 - c/x^2] - (1/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[1 - c/x^2] + (1/15)*b*c*x^3*(2*a - b*Log[1 - c/x^2]) - (1/5)*b*c^(5/2)*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*(2*a - b*Log[1 - c/x^2]) + (1/20)*x^5*(2*a - b*Log[1 - c/x^2])^2 + (2/15)*b^2*c*x^3*Log[1 + c/x^2] + (1/5)*a*b*x^5*Log[1 + c/x^2] + (1/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[1 + c/x^2] - (1/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[1 + c/x^2] - (1/10)*b^2*x^5*Log[1 - c/x^2]*Log[1 + c/x^2] + (1/20)*b^2*x^5*Log[1 + c/x^2]^2 - (2/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)] + (1/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[((1 + I)*(Sqrt[c] - x))/(Sqrt[c] - I*x)] - (2/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)] + (1/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] - x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))] + (1/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] + x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))] + (1/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[((1 - I)*(Sqrt[c] + x))/(Sqrt[c] - I*x)] + (2/5)*b^2*c^(5/2)*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[2 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)] + (1/5)*I*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)] - (1/5)*I*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, -1 + (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)] - (1/10)*I*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, 1 - ((1 + I)*(Sqrt[c] - x))/(Sqrt[c] - I*x)] + (1/5)*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, -(x/Sqrt[c])] - (1/5)*I*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, -((I*x)/Sqrt[c])] + (1/5)*I*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, (I*x)/Sqrt[c]] - (1/5)*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, x/Sqrt[c]] + (1/5)*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)] - (1/5)*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, -1 + (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)] - (1/10)*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] - x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))] - (1/10)*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] + x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))] - (1/10)*I*b^2*c^(5/2)*PolyLog[2, 1 - ((1 - I)*(Sqrt[c] + x))/(Sqrt[c] - I*x)]}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c/x^2])^2, x, 80, (4/3)*a*b*c*x - (2/3)*a*b*c^(3/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]] + (4/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]] + (1/3)*I*b^2*c^(3/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]]^2 - (4/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTanh[x/Sqrt[c]] + (1/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTanh[x/Sqrt[c]]^2 - (2/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[2 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)] - (2/3)*b^2*c*x*Log[1 - c/x^2] + (1/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[1 - c/x^2] - (1/3)*b*c^(3/2)*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*(2*a - b*Log[1 - c/x^2]) + (1/12)*x^3*(2*a - b*Log[1 - c/x^2])^2 + (2/3)*b^2*c*x*Log[1 + c/x^2] + (1/3)*a*b*x^3*Log[1 + c/x^2] - (1/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[1 + c/x^2] - (1/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[1 + c/x^2] - (1/6)*b^2*x^3*Log[1 - c/x^2]*Log[1 + c/x^2] + (1/12)*b^2*x^3*Log[1 + c/x^2]^2 + (2/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)] - (1/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[((1 + I)*(Sqrt[c] - x))/(Sqrt[c] - I*x)] - (2/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)] + (1/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] - x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))] + (1/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] + x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))] - (1/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[((1 - I)*(Sqrt[c] + x))/(Sqrt[c] - I*x)] + (2/3)*b^2*c^(3/2)*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[2 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)] - (1/3)*I*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)] + (1/3)*I*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, -1 + (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)] + (1/6)*I*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, 1 - ((1 + I)*(Sqrt[c] - x))/(Sqrt[c] - I*x)] + (1/3)*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, -(x/Sqrt[c])] + (1/3)*I*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, -((I*x)/Sqrt[c])] - (1/3)*I*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, (I*x)/Sqrt[c]] - (1/3)*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, x/Sqrt[c]] + (1/3)*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)] - (1/3)*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, -1 + (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)] - (1/6)*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] - x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))] - (1/6)*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] + x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))] + (1/6)*I*b^2*c^(3/2)*PolyLog[2, 1 - ((1 - I)*(Sqrt[c] + x))/(Sqrt[c] - I*x)]}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c/x^2])^2, x, 100, a^2*x + 2*a*b*Sqrt[c]*ArcTan[x/Sqrt[c]] - 2*a*b*Sqrt[c]*ArcTanh[x/Sqrt[c]] - a*b*x*Log[1 - c/x^2] - b^2*Sqrt[c]*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[1 - c/x^2] + (1/4)*b^2*x*Log[1 - c/x^2]^2 + a*b*x*Log[1 + c/x^2] - b^2*Sqrt[c]*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[1 + c/x^2] - (1/2)*b^2*x*Log[1 - c/x^2]*Log[1 + c/x^2] + (1/4)*b^2*x*Log[1 + c/x^2]^2 - (1/2)*b^2*Sqrt[-c]*Log[1 + c/x^2]*Log[Sqrt[-c] - x] + (1/4)*b^2*Sqrt[-c]*Log[Sqrt[-c] - x]^2 - (1/2)*b^2*Sqrt[c]*Log[1 - c/x^2]*Log[Sqrt[c] - x] + (1/4)*b^2*Sqrt[c]*Log[Sqrt[c] - x]^2 - 2*b^2*Sqrt[c]*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)] + b^2*Sqrt[c]*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[((1 + I)*(Sqrt[c] - x))/(Sqrt[c] - I*x)] - b^2*Sqrt[-c]*Log[Sqrt[-c] - x]*Log[x/Sqrt[-c]] - b^2*Sqrt[c]*Log[Sqrt[c] - x]*Log[x/Sqrt[c]] + (1/2)*b^2*Sqrt[-c]*Log[1 + c/x^2]*Log[Sqrt[-c] + x] - (1/2)*b^2*Sqrt[-c]*Log[(Sqrt[-c] - x)/(2*Sqrt[-c])]*Log[Sqrt[-c] + x] + b^2*Sqrt[-c]*Log[-(x/Sqrt[-c])]*Log[Sqrt[-c] + x] - (1/4)*b^2*Sqrt[-c]*Log[Sqrt[-c] + x]^2 + (1/2)*b^2*Sqrt[-c]*Log[Sqrt[-c] - x]*Log[(Sqrt[-c] + x)/(2*Sqrt[-c])] - 2*b^2*Sqrt[c]*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)] + b^2*Sqrt[c]*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] - x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))] + b^2*Sqrt[c]*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] + x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))] + (1/2)*b^2*Sqrt[c]*Log[1 - c/x^2]*Log[Sqrt[c] + x] - (1/2)*b^2*Sqrt[c]*Log[(Sqrt[c] - x)/(2*Sqrt[c])]*Log[Sqrt[c] + x] + b^2*Sqrt[c]*Log[-(x/Sqrt[c])]*Log[Sqrt[c] + x] - (1/4)*b^2*Sqrt[c]*Log[Sqrt[c] + x]^2 + (1/2)*b^2*Sqrt[c]*Log[Sqrt[c] - x]*Log[(Sqrt[c] + x)/(2*Sqrt[c])] + b^2*Sqrt[c]*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[((1 - I)*(Sqrt[c] + x))/(Sqrt[c] - I*x)] + I*b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)] - (1/2)*I*b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, 1 - ((1 + I)*(Sqrt[c] - x))/(Sqrt[c] - I*x)] + b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, -(x/Sqrt[c])] - I*b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, -((I*x)/Sqrt[c])] + I*b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, (I*x)/Sqrt[c]] - b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, x/Sqrt[c]] - (1/2)*b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, (Sqrt[c] + x)/(2*Sqrt[c])] + (1/2)*b^2*Sqrt[-c]*PolyLog[2, (1/2)*(1 - x/Sqrt[-c])] - b^2*Sqrt[-c]*PolyLog[2, 1 - x/Sqrt[-c]] + b^2*Sqrt[-c]*PolyLog[2, 1 + x/Sqrt[-c]] - (1/2)*b^2*Sqrt[-c]*PolyLog[2, (c - Sqrt[-c]*x)/(2*c)] - b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, 1 - x/Sqrt[c]] + (1/2)*b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, 1/2 - x/(2*Sqrt[c])] + b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, 1 + x/Sqrt[c]] + b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)] - (1/2)*b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] - x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))] - (1/2)*b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] + x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))] - (1/2)*I*b^2*Sqrt[c]*PolyLog[2, 1 - ((1 - I)*(Sqrt[c] + x))/(Sqrt[c] - I*x)]}
+{(a + b*ArcTanh[c/x^2])^2/x^2, x, 72, (2*a*b)/x - (2*a*b*ArcCot[x/Sqrt[c]])/Sqrt[c] - (2*b^2*ArcCot[x/Sqrt[c]])/Sqrt[c] - (2*b^2*ArcCoth[x/Sqrt[c]])/Sqrt[c] - (2*b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]])/Sqrt[c] - (I*b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]]^2)/Sqrt[c] + (2*b^2*ArcTanh[x/Sqrt[c]])/Sqrt[c] - (b^2*ArcTanh[x/Sqrt[c]]^2)/Sqrt[c] + (2*b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[2 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)])/Sqrt[c] - (b^2*Log[1 - c/x^2])/x + (b^2*ArcCot[x/Sqrt[c]]*Log[1 - c/x^2])/Sqrt[c] - (b*(2*a - b*Log[1 - c/x^2]))/x + (b*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*(2*a - b*Log[1 - c/x^2]))/Sqrt[c] - (2*a - b*Log[1 - c/x^2])^2/(4*x) - (a*b*Log[1 + c/x^2])/x + (b^2*ArcCoth[x/Sqrt[c]]*Log[1 + c/x^2])/Sqrt[c] + (b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[1 + c/x^2])/Sqrt[c] + (b^2*Log[1 - c/x^2]*Log[1 + c/x^2])/(2*x) - (b^2*Log[1 + c/x^2]^2)/(4*x) + (2*b^2*ArcCot[x/Sqrt[c]]*Log[2/(1 - (I*Sqrt[c])/x)])/Sqrt[c] - (b^2*ArcCot[x/Sqrt[c]]*Log[((1 + I)*(1 - Sqrt[c]/x))/(1 - (I*Sqrt[c])/x)])/Sqrt[c] + (2*b^2*ArcCoth[x/Sqrt[c]]*Log[2/(1 + Sqrt[c]/x)])/Sqrt[c] - (b^2*ArcCoth[x/Sqrt[c]]*Log[-((2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]/x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]/x)))])/Sqrt[c] - (b^2*ArcCoth[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]/x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]/x))])/Sqrt[c] - (b^2*ArcCot[x/Sqrt[c]]*Log[((1 - I)*(1 + Sqrt[c]/x))/(1 - (I*Sqrt[c])/x)])/Sqrt[c] - (2*b^2*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[2 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)])/Sqrt[c] - (I*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - (I*Sqrt[c])/x)])/Sqrt[c] + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - ((1 + I)*(1 - Sqrt[c]/x))/(1 - (I*Sqrt[c])/x)])/(2*Sqrt[c]) - (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[c]/x)])/Sqrt[c] + (b^2*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]/x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]/x))])/(2*Sqrt[c]) + (b^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]/x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]/x))])/(2*Sqrt[c]) + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - ((1 - I)*(1 + Sqrt[c]/x))/(1 - (I*Sqrt[c])/x)])/(2*Sqrt[c]) - (I*b^2*PolyLog[2, -1 + (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)])/Sqrt[c] + (b^2*PolyLog[2, -1 + (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)])/Sqrt[c]}
+{(a + b*ArcTanh[c/x^2])^2/x^4, x, 105, (2*a*b)/(9*x^3) - (2*a*b)/(3*c*x) - (2*a*b*ArcTan[x/Sqrt[c]])/(3*c^(3/2)) + (4*b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]])/(3*c^(3/2)) + (I*b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]]^2)/(3*c^(3/2)) + (4*b^2*ArcTanh[x/Sqrt[c]])/(3*c^(3/2)) - (b^2*ArcTanh[x/Sqrt[c]]^2)/(3*c^(3/2)) - (2*b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[2 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)])/(3*c^(3/2)) - (b^2*Log[1 - c/x^2])/(9*x^3) + (b^2*Log[1 - c/x^2])/(3*c*x) + (b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[1 - c/x^2])/(3*c^(3/2)) - (b*(2*a - b*Log[1 - c/x^2]))/(9*x^3) - (b*(2*a - b*Log[1 - c/x^2]))/(3*c*x) + (b*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*(2*a - b*Log[1 - c/x^2]))/(3*c^(3/2)) - (2*a - b*Log[1 - c/x^2])^2/(12*x^3) - (a*b*Log[1 + c/x^2])/(3*x^3) - (2*b^2*Log[1 + c/x^2])/(3*c*x) - (b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[1 + c/x^2])/(3*c^(3/2)) + (b^2*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[1 + c/x^2])/(3*c^(3/2)) + (b^2*Log[1 - c/x^2]*Log[1 + c/x^2])/(6*x^3) - (b^2*Log[1 + c/x^2]^2)/(12*x^3) + (2*b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)])/(3*c^(3/2)) - (b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[((1 + I)*(Sqrt[c] - x))/(Sqrt[c] - I*x)])/(3*c^(3/2)) + (2*b^2*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)])/(3*c^(3/2)) - (b^2*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] - x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))])/(3*c^(3/2)) - (b^2*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] + x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))])/(3*c^(3/2)) - (b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[((1 - I)*(Sqrt[c] + x))/(Sqrt[c] - I*x)])/(3*c^(3/2)) - (2*b^2*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[2 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)])/(3*c^(3/2)) - (I*b^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)])/(3*c^(3/2)) + (I*b^2*PolyLog[2, -1 + (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)])/(3*c^(3/2)) + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - ((1 + I)*(Sqrt[c] - x))/(Sqrt[c] - I*x)])/(6*c^(3/2)) - (b^2*PolyLog[2, -(x/Sqrt[c])])/(3*c^(3/2)) + (I*b^2*PolyLog[2, -((I*x)/Sqrt[c])])/(3*c^(3/2)) - (I*b^2*PolyLog[2, (I*x)/Sqrt[c]])/(3*c^(3/2)) + (b^2*PolyLog[2, x/Sqrt[c]])/(3*c^(3/2)) - (b^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)])/(3*c^(3/2)) + (b^2*PolyLog[2, -1 + (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)])/(3*c^(3/2)) + (b^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] - x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))])/(6*c^(3/2)) + (b^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] + x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))])/(6*c^(3/2)) + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - ((1 - I)*(Sqrt[c] + x))/(Sqrt[c] - I*x)])/(6*c^(3/2))}
+{(a + b*ArcTanh[c/x^2])^2/x^6, x, 130, (2*a*b)/(25*x^5) - (2*a*b)/(15*c*x^3) + (2*a*b)/(5*c^2*x) - (8*b^2)/(15*c^2*x) + (2*a*b*ArcTan[x/Sqrt[c]])/(5*c^(5/2)) - (4*b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]])/(15*c^(5/2)) - (I*b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]]^2)/(5*c^(5/2)) + (4*b^2*ArcTanh[x/Sqrt[c]])/(15*c^(5/2)) - (b^2*ArcTanh[x/Sqrt[c]]^2)/(5*c^(5/2)) + (2*b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[2 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)])/(5*c^(5/2)) - (b^2*Log[1 - c/x^2])/(25*x^5) + (b^2*Log[1 - c/x^2])/(15*c*x^3) - (b^2*Log[1 - c/x^2])/(5*c^2*x) - (b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[1 - c/x^2])/(5*c^(5/2)) - (b*(2*a - b*Log[1 - c/x^2]))/(25*x^5) - (b*(2*a - b*Log[1 - c/x^2]))/(15*c*x^3) - (b*(2*a - b*Log[1 - c/x^2]))/(5*c^2*x) + (b*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*(2*a - b*Log[1 - c/x^2]))/(5*c^(5/2)) - (2*a - b*Log[1 - c/x^2])^2/(20*x^5) - (a*b*Log[1 + c/x^2])/(5*x^5) - (2*b^2*Log[1 + c/x^2])/(15*c*x^3) + (b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[1 + c/x^2])/(5*c^(5/2)) + (b^2*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[1 + c/x^2])/(5*c^(5/2)) + (b^2*Log[1 - c/x^2]*Log[1 + c/x^2])/(10*x^5) - (b^2*Log[1 + c/x^2]^2)/(20*x^5) - (2*b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)])/(5*c^(5/2)) + (b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[((1 + I)*(Sqrt[c] - x))/(Sqrt[c] - I*x)])/(5*c^(5/2)) + (2*b^2*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)])/(5*c^(5/2)) - (b^2*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] - x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))])/(5*c^(5/2)) - (b^2*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] + x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))])/(5*c^(5/2)) + (b^2*ArcTan[x/Sqrt[c]]*Log[((1 - I)*(Sqrt[c] + x))/(Sqrt[c] - I*x)])/(5*c^(5/2)) - (2*b^2*ArcTanh[x/Sqrt[c]]*Log[2 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)])/(5*c^(5/2)) + (I*b^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)])/(5*c^(5/2)) - (I*b^2*PolyLog[2, -1 + (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] - I*x)])/(5*c^(5/2)) - (I*b^2*PolyLog[2, 1 - ((1 + I)*(Sqrt[c] - x))/(Sqrt[c] - I*x)])/(10*c^(5/2)) - (b^2*PolyLog[2, -(x/Sqrt[c])])/(5*c^(5/2)) - (I*b^2*PolyLog[2, -((I*x)/Sqrt[c])])/(5*c^(5/2)) + (I*b^2*PolyLog[2, (I*x)/Sqrt[c]])/(5*c^(5/2)) + (b^2*PolyLog[2, x/Sqrt[c]])/(5*c^(5/2)) - (b^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)])/(5*c^(5/2)) + (b^2*PolyLog[2, -1 + (2*Sqrt[c])/(Sqrt[c] + x)])/(5*c^(5/2)) + (b^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] - x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))])/(10*c^(5/2)) + (b^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(Sqrt[-c] + x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(Sqrt[c] + x))])/(10*c^(5/2)) - (I*b^2*PolyLog[2, 1 - ((1 - I)*(Sqrt[c] + x))/(Sqrt[c] - I*x)])/(10*c^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^(m/2) (a+b ArcTanh[c x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTanh[c x^2])^p when m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c/x^2])^3, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c/x^2])^3, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c/x^2])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c/x^2])^2, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c/x^2])^1, x, 3, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*ArcTanh[c/x^2]))/(d*(1 + m)) - (2*b*c*d*(d*x)^(-1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 - m)/4, (5 - m)/4, c^2/x^4])/(1 - m^2)}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c/x^2])^1, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c/x^2]), x]}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c/x^2])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c/x^2])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTanh[c x^(1/2)])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcTanh[c Sqrt[x]])^p*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]), x, 7, (b*Sqrt[x])/(4*c^7) + (b*x^(3/2))/(12*c^5) + (b*x^(5/2))/(20*c^3) + (b*x^(7/2))/(28*c) - (b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(4*c^8) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]), x, 6, (b*Sqrt[x])/(3*c^5) + (b*x^(3/2))/(9*c^3) + (b*x^(5/2))/(15*c) - (b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(3*c^6) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]), x, 5, (b*Sqrt[x])/(2*c^3) + (b*x^(3/2))/(6*c) - (b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(2*c^4) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]), x, 5, (b*Sqrt[x])/c + a*x - (b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/c^2 + b*x*ArcTanh[c*Sqrt[x]]}
+{(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/x^1, x, 2, a*Log[x] - b*PolyLog[2, (-c)*Sqrt[x]] + b*PolyLog[2, c*Sqrt[x]]}
+{(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/x^2, x, 4, -((b*c)/Sqrt[x]) + b*c^2*ArcTanh[c*Sqrt[x]] - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/x}
+{(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/x^3, x, 5, -((b*c)/(6*x^(3/2))) - (b*c^3)/(2*Sqrt[x]) + (1/2)*b*c^4*ArcTanh[c*Sqrt[x]] - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(2*x^2)}
+{(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/x^4, x, 6, -((b*c)/(15*x^(5/2))) - (b*c^3)/(9*x^(3/2)) - (b*c^5)/(3*Sqrt[x]) + (1/3)*b*c^6*ArcTanh[c*Sqrt[x]] - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(3*x^3)}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2, x, 22, (a*b*Sqrt[x])/(2*c^7) + (71*b^2*x)/(420*c^6) + (3*b^2*x^2)/(70*c^4) + (b^2*x^3)/(84*c^2) + (b^2*Sqrt[x]*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(2*c^7) + (b*x^(3/2)*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(6*c^5) + (b*x^(5/2)*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(10*c^3) + (b*x^(7/2)*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(14*c) - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2/(4*c^8) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2 + (44*b^2*Log[1 - c^2*x])/(105*c^8)}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2, x, 17, (2*a*b*Sqrt[x])/(3*c^5) + (8*b^2*x)/(45*c^4) + (b^2*x^2)/(30*c^2) + (2*b^2*Sqrt[x]*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(3*c^5) + (2*b*x^(3/2)*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(9*c^3) + (2*b*x^(5/2)*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(15*c) - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2/(3*c^6) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2 + (23*b^2*Log[1 - c^2*x])/(45*c^6)}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2, x, 12, (a*b*Sqrt[x])/c^3 + (b^2*x)/(6*c^2) + (b^2*Sqrt[x]*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/c^3 + (b*x^(3/2)*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(3*c) - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2/(2*c^4) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2 + (2*b^2*Log[1 - c^2*x])/(3*c^4)}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2, x, 7, (2*a*b*Sqrt[x])/c + (2*b^2*Sqrt[x]*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/c - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2/c^2 + x*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2 + (b^2*Log[1 - c^2*x])/c^2}
+{(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2/x^1, x, 7, 4*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*Sqrt[x])]*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2 - 2*b*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*Sqrt[x])] + 2*b*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*Sqrt[x])] + b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*Sqrt[x])] - b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*Sqrt[x])]}
+{(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2/x^2, x, 9, -((2*b*c*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/Sqrt[x]) + c^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2 - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2/x + b^2*c^2*Log[x] - b^2*c^2*Log[1 - c^2*x]}
+{(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2/x^3, x, 14, -((b^2*c^2)/(6*x)) - (b*c*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(3*x^(3/2)) - (b*c^3*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/Sqrt[x] + (1/2)*c^4*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2 - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2/(2*x^2) + (2/3)*b^2*c^4*Log[x] - (2/3)*b^2*c^4*Log[1 - c^2*x]}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3, x, 54, (47*b^3*Sqrt[x])/(70*c^7) + (23*b^3*x^(3/2))/(420*c^5) + (b^3*x^(5/2))/(140*c^3) - (47*b^3*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(70*c^8) + (71*b^2*x*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(140*c^6) + (9*b^2*x^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(70*c^4) + (b^2*x^3*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(28*c^2) + (44*b*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/(35*c^8) + (3*b*Sqrt[x]*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/(4*c^7) + (b*x^(3/2)*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/(4*c^5) + (3*b*x^(5/2)*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/(20*c^3) + (3*b*x^(7/2)*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/(28*c) - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3/(4*c^8) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3 - (88*b^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2/(1 - c*Sqrt[x])])/(35*c^8) - (44*b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*Sqrt[x])])/(35*c^8)}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3, x, 34, (19*b^3*Sqrt[x])/(30*c^5) + (b^3*x^(3/2))/(30*c^3) - (19*b^3*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(30*c^6) + (8*b^2*x*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(15*c^4) + (b^2*x^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(10*c^2) + (23*b*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/(15*c^6) + (b*Sqrt[x]*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/c^5 + (b*x^(3/2)*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/(3*c^3) + (b*x^(5/2)*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/(5*c) - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3/(3*c^6) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3 - (46*b^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2/(1 - c*Sqrt[x])])/(15*c^6) - (23*b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*Sqrt[x])])/(15*c^6)}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3, x, 19, (b^3*Sqrt[x])/(2*c^3) - (b^3*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(2*c^4) + (b^2*x*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(2*c^2) + (2*b*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/c^4 + (3*b*Sqrt[x]*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/(2*c^3) + (b*x^(3/2)*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/(2*c) - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3/(2*c^4) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3 - (4*b^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2/(1 - c*Sqrt[x])])/c^4 - (2*b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*Sqrt[x])])/c^4}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3, x, 9, (3*b*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/c^2 + (3*b*Sqrt[x]*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/c - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3/c^2 + x*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3 - (6*b^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2/(1 - c*Sqrt[x])])/c^2 - (3*b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*Sqrt[x])])/c^2}
+{(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3/x^1, x, 9, 4*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*Sqrt[x])]*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3 - 3*b*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*Sqrt[x])] + 3*b*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*Sqrt[x])] + 3*b^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*Sqrt[x])] - 3*b^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*Sqrt[x])] - (3/2)*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 - c*Sqrt[x])] + (3/2)*b^3*PolyLog[4, -1 + 2/(1 - c*Sqrt[x])]}
+{(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3/x^2, x, 8, 3*b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2 - (3*b*c*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/Sqrt[x] + c^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3 - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3/x + 6*b^2*c^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2 - 2/(1 + c*Sqrt[x])] - 3*b^3*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*Sqrt[x])]}
+{(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3/x^3, x, 17, -((b^3*c^3)/(2*Sqrt[x])) + (1/2)*b^3*c^4*ArcTanh[c*Sqrt[x]] - (b^2*c^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(2*x) + 2*b*c^4*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2 - (b*c*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/(2*x^(3/2)) - (3*b*c^3*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/(2*Sqrt[x]) + (1/2)*c^4*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3 - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^3/(2*x^2) + 4*b^2*c^4*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2 - 2/(1 + c*Sqrt[x])] - 2*b^3*c^4*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*Sqrt[x])]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^(m/2) (a+b ArcTanh[c Sqrt[x]])^p*)
+
+
+{x^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[x]], x, 3, x/5 + x^2/10 + (2/5)*x^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[x]] + (1/5)*Log[1 - x]}
+{Sqrt[x]*ArcTanh[Sqrt[x]], x, 3, x/3 + (2/3)*x^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[x]] + (1/3)*Log[1 - x]}
+{ArcTanh[Sqrt[x]]/Sqrt[x], x, 2, 2*Sqrt[x]*ArcTanh[Sqrt[x]] + Log[1 - x]}
+{ArcTanh[Sqrt[x]]/x^(3/2), x, 4, -((2*ArcTanh[Sqrt[x]])/Sqrt[x]) - Log[1 - x] + Log[x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTanh[c x^(3/2)])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcTanh[c x^(3/2)])^p*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)]), x, 13, (3*b*x^(5/2))/(20*c) - (Sqrt[3]*b*ArcTan[(1 - 2*c^(1/3)*Sqrt[x])/Sqrt[3]])/(8*c^(8/3)) + (Sqrt[3]*b*ArcTan[(1 + 2*c^(1/3)*Sqrt[x])/Sqrt[3]])/(8*c^(8/3)) - (b*ArcTanh[c^(1/3)*Sqrt[x]])/(4*c^(8/3)) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)]) + (b*Log[1 - c^(1/3)*Sqrt[x] + c^(2/3)*x])/(16*c^(8/3)) - (b*Log[1 + c^(1/3)*Sqrt[x] + c^(2/3)*x])/(16*c^(8/3))}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)]), x, 5, (b*x^(3/2))/(3*c) - (b*ArcTanh[c*x^(3/2)])/(3*c^2) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)])}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)]), x, 13, (3*b*Sqrt[x])/(2*c) + (Sqrt[3]*b*ArcTan[(1 - 2*c^(1/3)*Sqrt[x])/Sqrt[3]])/(4*c^(4/3)) - (Sqrt[3]*b*ArcTan[(1 + 2*c^(1/3)*Sqrt[x])/Sqrt[3]])/(4*c^(4/3)) - (b*ArcTanh[c^(1/3)*Sqrt[x]])/(2*c^(4/3)) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)]) + (b*Log[1 - c^(1/3)*Sqrt[x] + c^(2/3)*x])/(8*c^(4/3)) - (b*Log[1 + c^(1/3)*Sqrt[x] + c^(2/3)*x])/(8*c^(4/3))}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)]), x, 13, a*x - (Sqrt[3]*b*ArcTan[(1 - 2*c^(1/3)*Sqrt[x])/Sqrt[3]])/(2*c^(2/3)) + (Sqrt[3]*b*ArcTan[(1 + 2*c^(1/3)*Sqrt[x])/Sqrt[3]])/(2*c^(2/3)) - (b*ArcTanh[c^(1/3)*Sqrt[x]])/c^(2/3) + b*x*ArcTanh[c*x^(3/2)] + (b*Log[1 - c^(1/3)*Sqrt[x] + c^(2/3)*x])/(4*c^(2/3)) - (b*Log[1 + c^(1/3)*Sqrt[x] + c^(2/3)*x])/(4*c^(2/3))}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)])/x^1, x, 2, a*Log[x] - (1/3)*b*PolyLog[2, (-c)*x^(3/2)] + (1/3)*b*PolyLog[2, c*x^(3/2)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)])/x^2, x, 12, (-(1/2))*Sqrt[3]*b*c^(2/3)*ArcTan[(1 - 2*c^(1/3)*Sqrt[x])/Sqrt[3]] + (1/2)*Sqrt[3]*b*c^(2/3)*ArcTan[(1 + 2*c^(1/3)*Sqrt[x])/Sqrt[3]] + b*c^(2/3)*ArcTanh[c^(1/3)*Sqrt[x]] - (a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)])/x - (1/4)*b*c^(2/3)*Log[1 - c^(1/3)*Sqrt[x] + c^(2/3)*x] + (1/4)*b*c^(2/3)*Log[1 + c^(1/3)*Sqrt[x] + c^(2/3)*x]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)])/x^3, x, 13, -((3*b*c)/(2*Sqrt[x])) + (1/4)*Sqrt[3]*b*c^(4/3)*ArcTan[(1 - 2*c^(1/3)*Sqrt[x])/Sqrt[3]] - (1/4)*Sqrt[3]*b*c^(4/3)*ArcTan[(1 + 2*c^(1/3)*Sqrt[x])/Sqrt[3]] + (1/2)*b*c^(4/3)*ArcTanh[c^(1/3)*Sqrt[x]] - (a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)])/(2*x^2) - (1/8)*b*c^(4/3)*Log[1 - c^(1/3)*Sqrt[x] + c^(2/3)*x] + (1/8)*b*c^(4/3)*Log[1 + c^(1/3)*Sqrt[x] + c^(2/3)*x]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)])/x^4, x, 5, -((b*c)/(3*x^(3/2))) + (1/3)*b*c^2*ArcTanh[c*x^(3/2)] - (a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)])/(3*x^3)}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)])^2, x, 7, (2*a*b*x^(3/2))/(3*c) + (2*b^2*x^(3/2)*ArcTanh[c*x^(3/2)])/(3*c) - (a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)])^2/(3*c^2) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)])^2 + (b^2*Log[1 - c^2*x^3])/(3*c^2)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)])^2/x^1, x, 7, (4/3)*(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x^(3/2))] - (2/3)*b*(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x^(3/2))] + (2/3)*b*(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x^(3/2))] + (1/3)*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x^(3/2))] - (1/3)*b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x^(3/2))]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)])^2/x^4, x, 9, -((2*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)]))/(3*x^(3/2))) + (1/3)*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)])^2 - (a + b*ArcTanh[c*x^(3/2)])^2/(3*x^3) + b^2*c^2*Log[x] - (1/3)*b^2*c^2*Log[1 - c^2*x^3]}
+(*
+{x^3*ArcTanh[c*x^(3/2)]^2, x, 272, (9*x)/(20*c^2) + (3*Sqrt[3]*ArcTan[(1 - 2*c^(1/3)*Sqrt[x])/Sqrt[3]])/(20*c^(8/3)) + (3*Sqrt[3]*ArcTan[(1 + 2*c^(1/3)*Sqrt[x])/Sqrt[3]])/(20*c^(8/3)) + (3*Log[1 - c^(1/3)*Sqrt[x]])/(20*c^(8/3)) + Log[1 - c^(1/3)*Sqrt[x]]^2/(16*c^(8/3)) - (Log[1 - c^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-(((-1)^(1/3) - c^(1/3)*Sqrt[x])/(1 - (-1)^(1/3)))])/(8*c^(8/3)) + (Log[1 - c^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-(((-1)^(2/3) - c^(1/3)*Sqrt[x])/(1 - (-1)^(2/3)))])/(8*c^(8/3)) - (Log[1 - c^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(1/2)*(1 + c^(1/3)*Sqrt[x])])/(8*c^(8/3)) + (3*Log[1 + c^(1/3)*Sqrt[x]])/(20*c^(8/3)) - (Log[(1/2)*(1 - c^(1/3)*Sqrt[x])]*Log[1 + c^(1/3)*Sqrt[x]])/(8*c^(8/3)) + (Log[((-1)^(1/3) - c^(1/3)*Sqrt[x])/(1 + (-1)^(1/3))]*Log[1 + c^(1/3)*Sqrt[x]])/(8*c^(8/3)) - (Log[((-1)^(2/3) - c^(1/3)*Sqrt[x])/(1 + (-1)^(2/3))]*Log[1 + c^(1/3)*Sqrt[x]])/(8*c^(8/3)) + Log[1 + c^(1/3)*Sqrt[x]]^2/(16*c^(8/3)) - (Log[1 + c^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-(((-1)^(1/3) + c^(1/3)*Sqrt[x])/(1 - (-1)^(1/3)))])/(8*c^(8/3)) + (Log[1 - c^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[((-1)^(1/3) + c^(1/3)*Sqrt[x])/(1 + (-1)^(1/3))])/(8*c^(8/3)) + (Log[1 + c^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-(((-1)^(2/3) + c^(1/3)*Sqrt[x])/(1 - (-1)^(2/3)))])/(8*c^(8/3)) - (Log[1 - c^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[((-1)^(2/3) + c^(1/3)*Sqrt[x])/(1 + (-1)^(2/3))])/(8*c^(8/3)) + ((-1)^(1/3)*Log[-(((-1)^(1/3)*(1 - c^(1/3)*Sqrt[x]))/(1 - (-1)^(1/3)))]*Log[1 - (-1)^(1/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]])/(8*c^(8/3)) - ((-1)^(1/3)*Log[((-1)^(1/3)*(1 + c^(1/3)*Sqrt[x]))/(1 + (-1)^(1/3))]*Log[1 - (-1)^(1/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]])/(8*c^(8/3)) + ((-1)^(1/3)*Log[(-1)^(1/3) + c^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 - (-1)^(1/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]])/(8*c^(8/3)) - ((-1)^(1/3)*Log[1 - (-1)^(1/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]]^2)/(16*c^(8/3)) + ((-1)^(1/3)*Log[1 - (-1)^(1/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(1/2)*(1 + (-1)^(1/3)*c^(1/3)*Sqrt[x])])/(8*c^(8/3)) - ((-1)^(1/3)*Log[((-1)^(1/3)*(1 - c^(1/3)*Sqrt[x]))/(1 + (-1)^(1/3))]*Log[1 + (-1)^(1/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]])/(8*c^(8/3)) + ((-1)^(1/3)*Log[(-1)^(1/3) - c^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 + (-1)^(1/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]])/(8*c^(8/3)) + ((-1)^(1/3)*Log[-(((-1)^(1/3)*(1 + c^(1/3)*Sqrt[x]))/(1 - (-1)^(1/3)))]*Log[1 + (-1)^(1/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]])/(8*c^(8/3)) - ((-1)^(1/3)*Log[-(((-1)^(1/3)*((-1)^(1/3) + c^(1/3)*Sqrt[x]))/(1 - (-1)^(2/3)))]*Log[1 + (-1)^(1/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]])/(8*c^(8/3)) + ((-1)^(1/3)*Log[(1/2)*(1 - (-1)^(1/3)*c^(1/3)*Sqrt[x])]*Log[1 + (-1)^(1/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]])/(8*c^(8/3)) - ((-1)^(1/3)*Log[1 + (-1)^(1/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]]^2)/(16*c^(8/3)) + ((-1)^(2/3)*Log[-(((-1)^(2/3)*(1 - c^(1/3)*Sqrt[x]))/(1 - (-1)^(2/3)))]*Log[1 - (-1)^(2/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]])/(8*c^(8/3)) - ((-1)^(2/3)*Log[-(-1)^(2/3) - c^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 - (-1)^(2/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]])/(8*c^(8/3)) - ((-1)^(2/3)*Log[((-1)^(2/3)*(1 + c^(1/3)*Sqrt[x]))/(1 + (-1)^(2/3))]*Log[1 - (-1)^(2/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]])/(8*c^(8/3)) + ((-1)^(2/3)*Log[1 - (-1)^(2/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]]^2)/(16*c^(8/3)) - ((-1)^(2/3)*Log[1 - (-1)^(2/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(1/2)*(1 + (-1)^(2/3)*c^(1/3)*Sqrt[x])])/(8*c^(8/3)) - ((-1)^(2/3)*Log[((-1)^(2/3)*(1 - c^(1/3)*Sqrt[x]))/(1 + (-1)^(2/3))]*Log[1 + (-1)^(2/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]])/(8*c^(8/3)) + ((-1)^(2/3)*Log[-(((-1)^(2/3)*(1 + c^(1/3)*Sqrt[x]))/(1 - (-1)^(2/3)))]*Log[1 + (-1)^(2/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]])/(8*c^(8/3)) - ((-1)^(2/3)*Log[-(-1)^(2/3) + c^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 + (-1)^(2/3)*c^(1/3)*Sqrt[x]])/(8*c^(8/3)) - 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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTanh[c x^n])^p*)
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcTanh[c x^n])^p*)
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+{(a + b*ArcTanh[c*x^n])/x^2, x, 2, -((a + b*ArcTanh[c*x^n])/x) - (b*c*n*x^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1, -((1 - n)/(2*n)), (1/2)*(3 - 1/n), c^2*x^(2*n)])/(1 - n)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^n])/x^3, x, 2, -((a + b*ArcTanh[c*x^n])/(2*x^2)) - (b*c*n*x^(-2 + n)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(1 - 2/n), (1/2)*(3 - 2/n), c^2*x^(2*n)])/(2*(2 - n))}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^n])/x^4, x, 2, -((a + b*ArcTanh[c*x^n])/(3*x^3)) - (b*c*n*x^(-3 + n)*Hypergeometric2F1[1, -((3 - n)/(2*n)), -((3*(1 - n))/(2*n)), c^2*x^(2*n)])/(3*(3 - n))}
+
+
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*x^n])^2, x, 0, Unintegrable[x*(a + b*ArcTanh[c*x^n])^2, x]}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*x^n])^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcTanh[c*x^n])^2, x]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^n])^2/x^1, x, 7, (2*(a + b*ArcTanh[c*x^n])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x^n)])/n - (b*(a + b*ArcTanh[c*x^n])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x^n)])/n + (b*(a + b*ArcTanh[c*x^n])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x^n)])/n + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x^n)])/(2*n) - (b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x^n)])/(2*n)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^n])^2/x^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcTanh[c*x^n])^2/x^2, x]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^n])^2/x^3, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcTanh[c*x^n])^2/x^3, x]}
+
+
+{ArcTanh[a*x^n]/x, x, 2, -(PolyLog[2, (-a)*x^n]/(2*n)) + PolyLog[2, a*x^n]/(2*n)}
+
+
+{ArcTanh[a*x^5]/x, x, 2, (-(1/10))*PolyLog[2, (-a)*x^5] + (1/10)*PolyLog[2, a*x^5]}
+
+
+{ArcTanh[1/x], x, 3, x*ArcTanh[1/x] + (1/2)*Log[1 - x^2]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^(m/2) (a+b ArcTanh[c x^n])^p*)
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcTanh[c x^n])^p when m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x^n])^3, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x^n])^3, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x^n])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x^n])^2, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x^n])^1, x, 3, (x*(d*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x^n]))/(1 + m) - (b*c*n*x^(1 + n)*(d*x)^m*Hypergeometric2F1[1, (1 + m + n)/(2*n), (1 + m + 3*n)/(2*n), c^2*x^(2*n)])/((1 + m)*(1 + m + n))}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c*x^n])^1, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c*x^n]), x]}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c*x^n])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcTanh[c*x^n])^2, x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.3 (d+e x)^m (a+b arctanh(c x^n))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.3 (d+e x)^m (a+b arctanh(c x^n))^p.m
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index 00000000..18ba5af6
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+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.3 (d+e x)^m (a+b arctanh(c x^n))^p.m	
@@ -0,0 +1,102 @@
+(* ::Package:: *)
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+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcTanh[c x^n])^p*)
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcTanh[c x^1])^p*)
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+{(d + e*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 6, (b*d*e*(2*c^2*d^2 + e^2)*x)/c^3 + (b*e^2*(10*c^2*d^2 + e^2)*x^2)/(10*c^3) + (b*d*e^3*x^3)/(3*c) + (b*e^4*x^4)/(20*c) + ((d + e*x)^5*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(5*e) + (b*(c*d + e)^5*Log[1 - c*x])/(10*c^5*e) - (b*(c*d - e)^5*Log[1 + c*x])/(10*c^5*e)}
+{(d + e*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 6, (b*e*(6*c^2*d^2 + e^2)*x)/(4*c^3) + (b*d*e^2*x^2)/(2*c) + (b*e^3*x^3)/(12*c) + ((d + e*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*e) + (b*(c*d + e)^4*Log[1 - c*x])/(8*c^4*e) - (b*(c*d - e)^4*Log[1 + c*x])/(8*c^4*e)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 6, (b*d*e*x)/c + (b*e^2*x^2)/(6*c) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*e) + (b*(c*d + e)^3*Log[1 - c*x])/(6*c^3*e) - (b*(c*d - e)^3*Log[1 + c*x])/(6*c^3*e)}
+{(d + e*x)^1*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 6, (b*e*x)/(2*c) + ((d + e*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*e) + (b*(c*d + e)^2*Log[1 - c*x])/(4*c^2*e) - (b*(c*d - e)^2*Log[1 + c*x])/(4*c^2*e)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(d + e*x)^1, x, 4, -(((a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/e) + ((a + b*ArcTanh[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/e + (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*e) - (b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*e)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(d + e*x)^2, x, 6, -((a + b*ArcTanh[c*x])/(e*(d + e*x))) - (b*c*Log[1 - c*x])/(2*e*(c*d + e)) + (b*c*Log[1 + c*x])/(2*(c*d - e)*e) - (b*c*Log[d + e*x])/(c^2*d^2 - e^2)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(d + e*x)^3, x, 4, (b*c)/(2*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)) - (a + b*ArcTanh[c*x])/(2*e*(d + e*x)^2) - (b*c^2*Log[1 - c*x])/(4*e*(c*d + e)^2) + (b*c^2*Log[1 + c*x])/(4*(c*d - e)^2*e) - (b*c^3*d*Log[d + e*x])/(c^2*d^2 - e^2)^2}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(d + e*x)^4, x, 4, If[$VersionNumber>=8, (b*c)/(6*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)^2) + (2*b*c^3*d)/(3*(c^2*d^2 - e^2)^2*(d + e*x)) - (a + b*ArcTanh[c*x])/(3*e*(d + e*x)^3) - (b*c^3*Log[1 - c*x])/(6*e*(c*d + e)^3) + (b*c^3*Log[1 + c*x])/(6*(c*d - e)^3*e) - (b*c^3*(3*c^2*d^2 + e^2)*Log[d + e*x])/(3*(c*d - e)^3*(c*d + e)^3), (b*c)/(6*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)^2) + (2*b*c^3*d)/(3*(c^2*d^2 - e^2)^2*(d + e*x)) - (a + b*ArcTanh[c*x])/(3*e*(d + e*x)^3) - (b*c^3*Log[1 - c*x])/(6*e*(c*d + e)^3) + (b*c^3*Log[1 + c*x])/(6*(c*d - e)^3*e) - (b*c^3*(3*c^2*d^2 + e^2)*Log[d + e*x])/(3*(c^2*d^2 - e^2)^3)]}
+
+
+{(d + e*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 19, (b^2*d*e^2*x)/c^2 + (a*b*e*(6*c^2*d^2 + e^2)*x)/(2*c^3) + (b^2*e^3*x^2)/(12*c^2) - (b^2*d*e^2*ArcTanh[c*x])/c^3 + (b^2*e*(6*c^2*d^2 + e^2)*x*ArcTanh[c*x])/(2*c^3) + (b*d*e^2*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/c + (b*e^3*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(6*c) + (d*(c^2*d^2 + e^2)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/c^3 - ((c^4*d^4 + 6*c^2*d^2*e^2 + e^4)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(4*c^4*e) + ((d + e*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(4*e) - (2*b*d*(c^2*d^2 + e^2)*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/c^3 + (b^2*e^3*Log[1 - c^2*x^2])/(12*c^4) + (b^2*e*(6*c^2*d^2 + e^2)*Log[1 - c^2*x^2])/(4*c^4) - (b^2*d*(c^2*d^2 + e^2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/c^3}
+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 15, (2*a*b*d*e*x)/c + (b^2*e^2*x)/(3*c^2) - (b^2*e^2*ArcTanh[c*x])/(3*c^3) + (2*b^2*d*e*x*ArcTanh[c*x])/c + (b*e^2*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*c) + ((3*c^2*d^2 + e^2)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(3*c^3) - (d*(d^2 + (3*e^2)/c^2)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(3*e) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(3*e) - (2*b*(3*c^2*d^2 + e^2)*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(3*c^3) + (b^2*d*e*Log[1 - c^2*x^2])/c^2 - (b^2*(3*c^2*d^2 + e^2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(3*c^3)}
+{(d + e*x)^1*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 12, (a*b*e*x)/c + (b^2*e*x*ArcTanh[c*x])/c + (d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/c - ((d^2 + e^2/c^2)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*e) + ((d + e*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*e) - (2*b*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/c + (b^2*e*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^2) - (b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/c}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^2/(d + e*x)^1, x, 1, -(((a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/e) + ((a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/e + (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/e - (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/e + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*e) - (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*e)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^2/(d + e*x)^2, x, 12, -((a + b*ArcTanh[c*x])^2/(e*(d + e*x))) + (b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(e*(c*d + e)) - (b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/((c*d - e)*e) + (2*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/(c^2*d^2 - e^2) - (2*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(c^2*d^2 - e^2) + (b^2*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*e*(c*d + e)) + (b^2*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*(c*d - e)*e) - (b^2*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^2*d^2 - e^2) + (b^2*c*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(c^2*d^2 - e^2)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^2/(d + e*x)^3, x, 18, If[$VersionNumber>=8, (b*c*(a + b*ArcTanh[c*x]))/((c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(2*e*(d + e*x)^2) + (b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(2*e*(c*d + e)^2) + (b^2*c^2*Log[1 - c*x])/(2*(c*d - e)*(c*d + e)^2) - (b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/(2*(c*d - e)^2*e) + (2*b*c^3*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/((c*d - e)^2*(c*d + e)^2) - (b^2*c^2*Log[1 + c*x])/(2*(c*d - e)^2*(c*d + e)) + (b^2*c^2*e*Log[d + e*x])/((c*d - e)^2*(c*d + e)^2) - (2*b*c^3*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/((c*d - e)^2*(c*d + e)^2) + (b^2*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(4*e*(c*d + e)^2) + (b^2*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(4*(c*d - e)^2*e) - (b^2*c^3*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/((c*d - e)^2*(c*d + e)^2) + (b^2*c^3*d*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/((c*d - e)^2*(c*d + e)^2), (b*c*(a + b*ArcTanh[c*x]))/((c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(2*e*(d + e*x)^2) + (b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(2*e*(c*d + e)^2) + (b^2*c^2*Log[1 - c*x])/(2*(c*d - e)*(c*d + e)^2) - (b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/(2*(c*d - e)^2*e) + (2*b*c^3*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/(c^2*d^2 - e^2)^2 - (b^2*c^2*Log[1 + c*x])/(2*(c*d - e)^2*(c*d + e)) + (b^2*c^2*e*Log[d + e*x])/(c^2*d^2 - e^2)^2 - (2*b*c^3*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(c^2*d^2 - e^2)^2 + (b^2*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(4*e*(c*d + e)^2) + (b^2*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(4*(c*d - e)^2*e) - (b^2*c^3*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^2*d^2 - e^2)^2 + (b^2*c^3*d*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(c^2*d^2 - e^2)^2]}
+
+
+{(d + e*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^3, x, 29, (3*a*b^2*d*e^2*x)/c^2 + (b^3*e^3*x)/(4*c^3) - (b^3*e^3*ArcTanh[c*x])/(4*c^4) + (3*b^3*d*e^2*x*ArcTanh[c*x])/c^2 + (b^2*e^3*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*c^2) - (3*b*d*e^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c^3) + (b*e^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(4*c^4) + (3*b*e*(6*c^2*d^2 + e^2)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(4*c^4) + (3*b*e*(6*c^2*d^2 + e^2)*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(4*c^3) + (3*b*d*e^2*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c) + (b*e^3*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(4*c) + (d*(c^2*d^2 + e^2)*(a + b*ArcTanh[c*x])^3)/c^3 - ((c^4*d^4 + 6*c^2*d^2*e^2 + e^4)*(a + b*ArcTanh[c*x])^3)/(4*c^4*e) + ((d + e*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^3)/(4*e) - (b^2*e^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(2*c^4) - (3*b^2*e*(6*c^2*d^2 + e^2)*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(2*c^4) - (3*b*d*(c^2*d^2 + e^2)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 - c*x)])/c^3 + (3*b^3*d*e^2*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^3) - (b^3*e^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(4*c^4) - (3*b^3*e*(6*c^2*d^2 + e^2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(4*c^4) - (3*b^2*d*(c^2*d^2 + e^2)*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/c^3 + (3*b^3*d*(c^2*d^2 + e^2)*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*c^3)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^3, x, 20, (a*b^2*e^2*x)/c^2 + (b^3*e^2*x*ArcTanh[c*x])/c^2 + (3*b*d*e*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/c^2 - (b*e^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c^3) + (3*b*d*e*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/c + (b*e^2*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c) + ((3*c^2*d^2 + e^2)*(a + b*ArcTanh[c*x])^3)/(3*c^3) - (d*(d^2 + (3*e^2)/c^2)*(a + b*ArcTanh[c*x])^3)/(3*e) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^3)/(3*e) - (6*b^2*d*e*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/c^2 - (b*(3*c^2*d^2 + e^2)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 - c*x)])/c^3 + (b^3*e^2*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^3) - (3*b^3*d*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/c^2 - (b^2*(3*c^2*d^2 + e^2)*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/c^3 + (b^3*(3*c^2*d^2 + e^2)*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*c^3)}
+{(d + e*x)^1*(a + b*ArcTanh[c*x])^3, x, 14, (3*b*e*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c^2) + (3*b*e*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c) + (d*(a + b*ArcTanh[c*x])^3)/c - ((d^2 + e^2/c^2)*(a + b*ArcTanh[c*x])^3)/(2*e) + ((d + e*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^3)/(2*e) - (3*b^2*e*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/c^2 - (3*b*d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 - c*x)])/c - (3*b^3*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*c^2) - (3*b^2*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/c + (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^3/(d + e*x)^1, x, 1, -(((a + b*ArcTanh[c*x])^3*Log[2/(1 + c*x)])/e) + ((a + b*ArcTanh[c*x])^3*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/e + (3*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*e) - (3*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*e) + (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*e) - (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*e) + (3*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + c*x)])/(4*e) - (3*b^3*PolyLog[4, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(4*e)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^3/(d + e*x)^2, x, 9, -((a + b*ArcTanh[c*x])^3/(e*(d + e*x))) + (3*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 - c*x)])/(2*e*(c*d + e)) - (3*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/(2*(c*d - e)*e) + (3*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/(c^2*d^2 - e^2) - (3*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(c^2*d^2 - e^2) + (3*b^2*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*e*(c*d + e)) + (3*b^2*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*(c*d - e)*e) - (3*b^2*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^2*d^2 - e^2) + (3*b^2*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(c^2*d^2 - e^2) - (3*b^3*c*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/(4*e*(c*d + e)) + (3*b^3*c*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(4*(c*d - e)*e) - (3*b^3*c*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*(c^2*d^2 - e^2)) + (3*b^3*c*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*(c^2*d^2 - e^2))}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^3/(d + e*x)^3, x, 21, If[$VersionNumber>=8, (3*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)) - (a + b*ArcTanh[c*x])^3/(2*e*(d + e*x)^2) - (3*b^2*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(2*(c*d - e)*(c*d + e)^2) + (3*b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 - c*x)])/(4*e*(c*d + e)^2) - (3*b^2*c^2*e*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/((c*d - e)^2*(c*d + e)^2) + (3*b^2*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/(2*(c*d - e)^2*(c*d + e)) - (3*b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/(4*(c*d - e)^2*e) + (3*b*c^3*d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/((c*d - e)^2*(c*d + e)^2) + (3*b^2*c^2*e*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/((c*d - e)^2*(c*d + e)^2) - (3*b*c^3*d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/((c*d - e)^2*(c*d + e)^2) - (3*b^3*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(4*(c*d - e)*(c*d + e)^2) + (3*b^2*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(4*e*(c*d + e)^2) + (3*b^3*c^2*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*(c*d - e)^2*(c*d + e)^2) - (3*b^3*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(4*(c*d - e)^2*(c*d + e)) + (3*b^2*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(4*(c*d - e)^2*e) - (3*b^2*c^3*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/((c*d - e)^2*(c*d + e)^2) - (3*b^3*c^2*e*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*(c*d - e)^2*(c*d + e)^2) + (3*b^2*c^3*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/((c*d - e)^2*(c*d + e)^2) - (3*b^3*c^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/(8*e*(c*d + e)^2) + (3*b^3*c^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(8*(c*d - e)^2*e) - (3*b^3*c^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*(c*d - e)^2*(c*d + e)^2) + (3*b^3*c^3*d*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*(c*d - e)^2*(c*d + e)^2), (3*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)) - (a + b*ArcTanh[c*x])^3/(2*e*(d + e*x)^2) - (3*b^2*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(2*(c*d - e)*(c*d + e)^2) + (3*b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 - c*x)])/(4*e*(c*d + e)^2) + (3*b^2*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/(2*(c*d - e)^2*(c*d + e)) - (3*b^2*c^2*e*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/(c^2*d^2 - e^2)^2 - (3*b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/(4*(c*d - e)^2*e) + (3*b*c^3*d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/(c^2*d^2 - e^2)^2 + (3*b^2*c^2*e*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(c^2*d^2 - e^2)^2 - (3*b*c^3*d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(c^2*d^2 - e^2)^2 - (3*b^3*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(4*(c*d - e)*(c*d + e)^2) + (3*b^2*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(4*e*(c*d + e)^2) - (3*b^3*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(4*(c*d - e)^2*(c*d + e)) + (3*b^3*c^2*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*(c^2*d^2 - e^2)^2) + (3*b^2*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(4*(c*d - e)^2*e) - (3*b^2*c^3*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^2*d^2 - e^2)^2 - (3*b^3*c^2*e*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*(c^2*d^2 - e^2)^2) + (3*b^2*c^3*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(c^2*d^2 - e^2)^2 - (3*b^3*c^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/(8*e*(c*d + e)^2) + (3*b^3*c^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(8*(c*d - e)^2*e) - (3*b^3*c^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*(c^2*d^2 - e^2)^2) + (3*b^3*c^3*d*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*(c^2*d^2 - e^2)^2)]}
+
+
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(1 + 2*c*x), x, 4, ((a - b*ArcTanh[1/2])*Log[-((1 + 2*c*x)/(2*d))])/(2*c) - (b*PolyLog[2, -1 - 2*c*x])/(4*c) + (b*PolyLog[2, (1/3)*(1 + 2*c*x)])/(4*c), -(((a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/(2*c)) + ((a + b*ArcTanh[c*x])*Log[(2*(1 + 2*c*x))/(3*(1 + c*x))])/(2*c) + (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(4*c) - (b*PolyLog[2, 1 - (2*(1 + 2*c*x))/(3*(1 + c*x))])/(4*c)}
+
+
+{ArcTanh[x]/(1 - Sqrt[2]*x), x, 4, -((ArcTanh[1/Sqrt[2]]*Log[1 - Sqrt[2]*x])/Sqrt[2]) - PolyLog[2, -((Sqrt[2] - 2*x)/(2 - Sqrt[2]))]/(2*Sqrt[2]) + PolyLog[2, (Sqrt[2] - 2*x)/(2 + Sqrt[2])]/(2*Sqrt[2]), (ArcTanh[x]*Log[2/(1 + x)])/Sqrt[2] - (ArcTanh[x]*Log[-((2*(1 + Sqrt[2])*(1 - Sqrt[2]*x))/(1 + x))])/Sqrt[2] - PolyLog[2, 1 - 2/(1 + x)]/(2*Sqrt[2]) + PolyLog[2, 1 + (2*(1 + Sqrt[2])*(1 - Sqrt[2]*x))/(1 + x)]/(2*Sqrt[2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcTanh[c x^2])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcTanh[c x^2])^p*)
+
+
+{(d + e*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x^2]), x, 13, (2*b*d*e^2*x)/c + (b*e^3*x^2)/(4*c) + (b*d*(c*d^2 - e^2)*ArcTan[Sqrt[c]*x])/c^(3/2) - (b*d*(c*d^2 + e^2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x])/c^(3/2) + ((d + e*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x^2]))/(4*e) + (b*(c^2*d^4 + 6*c*d^2*e^2 + e^4)*Log[1 - c*x^2])/(8*c^2*e) - (b*(c^2*d^4 - 6*c*d^2*e^2 + e^4)*Log[1 + c*x^2])/(8*c^2*e)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2]), x, 11, (2*b*e^2*x)/(3*c) + (b*(3*c*d^2 - e^2)*ArcTan[Sqrt[c]*x])/(3*c^(3/2)) - (b*(3*c*d^2 + e^2)*ArcTanh[Sqrt[c]*x])/(3*c^(3/2)) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x^2]))/(3*e) + (b*d*(c*d^2 + 3*e^2)*Log[1 - c*x^2])/(6*c*e) - (b*d*(c*d^2 - 3*e^2)*Log[1 + c*x^2])/(6*c*e)}
+{(d + e*x)^1*(a + b*ArcTanh[c*x^2]), x, 10, (b*d*ArcTan[Sqrt[c]*x])/Sqrt[c] - (b*d*ArcTanh[Sqrt[c]*x])/Sqrt[c] + ((d + e*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2]))/(2*e) + (b*(c*d^2 + e^2)*Log[1 - c*x^2])/(4*c*e) - (b*(c*d^2 - e^2)*Log[1 + c*x^2])/(4*c*e)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])/(d + e*x)^1, x, 19, ((a + b*ArcTanh[c*x^2])*Log[d + e*x])/e - (b*Log[(e*(1 - Sqrt[-c]*x))/(Sqrt[-c]*d + e)]*Log[d + e*x])/(2*e) - (b*Log[-((e*(1 + Sqrt[-c]*x))/(Sqrt[-c]*d - e))]*Log[d + e*x])/(2*e) + (b*Log[(e*(1 - Sqrt[c]*x))/(Sqrt[c]*d + e)]*Log[d + e*x])/(2*e) + (b*Log[-((e*(1 + Sqrt[c]*x))/(Sqrt[c]*d - e))]*Log[d + e*x])/(2*e) - (b*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(d + e*x))/(Sqrt[-c]*d - e)])/(2*e) + (b*PolyLog[2, (Sqrt[c]*(d + e*x))/(Sqrt[c]*d - e)])/(2*e) - (b*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(d + e*x))/(Sqrt[-c]*d + e)])/(2*e) + (b*PolyLog[2, (Sqrt[c]*(d + e*x))/(Sqrt[c]*d + e)])/(2*e)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])/(d + e*x)^2, x, 9, (b*Sqrt[c]*ArcTan[Sqrt[c]*x])/(c*d^2 + e^2) - (b*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c]*x])/(c*d^2 - e^2) - (a + b*ArcTanh[c*x^2])/(e*(d + e*x)) + (2*b*c*d*e*Log[d + e*x])/(c^2*d^4 - e^4) - (b*c*d*Log[1 - c*x^2])/(2*e*(c*d^2 - e^2)) + (b*c*d*Log[1 + c*x^2])/(2*e*(c*d^2 + e^2))}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])/(d + e*x)^3, x, 9, -((b*c*d*e)/((c^2*d^4 - e^4)*(d + e*x))) + (b*c^(3/2)*d*ArcTan[Sqrt[c]*x])/(c*d^2 + e^2)^2 - (b*c^(3/2)*d*ArcTanh[Sqrt[c]*x])/(c*d^2 - e^2)^2 - (a + b*ArcTanh[c*x^2])/(2*e*(d + e*x)^2) + (b*c*e*(3*c^2*d^4 + e^4)*Log[d + e*x])/(c^2*d^4 - e^4)^2 - (b*c*(c*d^2 + e^2)*Log[1 - c*x^2])/(4*e*(c*d^2 - e^2)^2) + (b*c*(c*d^2 - e^2)*Log[1 + c*x^2])/(4*e*(c*d^2 + e^2)^2)}
+
+
+(* {(d + e*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2, x, 163, a^2*d^2*x + (4*a*b*e^2*x)/(3*c) - (2/9)*a*b*e^2*x^3 + (2*a*b*d^2*ArcTan[Sqrt[c]*x])/Sqrt[c] - (2*a*b*e^2*ArcTan[Sqrt[c]*x])/(3*c^(3/2)) + (4*b^2*e^2*ArcTan[Sqrt[c]*x])/(3*c^(3/2)) + (I*b^2*d^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]^2)/Sqrt[c] - (I*b^2*e^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]^2)/(3*c^(3/2)) - (2*a*b*d^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x])/Sqrt[c] - (4*b^2*e^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x])/(3*c^(3/2)) - (b^2*d^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]^2)/Sqrt[c] - (b^2*e^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]^2)/(3*c^(3/2)) + (d*e*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2)/c + d*e*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2 + (2*b^2*d^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + (2*b^2*e^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) - (2*b^2*d^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + (2*b^2*e^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) + (b^2*d^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[((1 + I)*(1 - Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - (b^2*e^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[((1 + I)*(1 - Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) + (2*b^2*d^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + I*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - (2*b^2*e^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + I*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) - (2*b^2*d^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - (2*b^2*e^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) + (b^2*d^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[-((2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x)))])/Sqrt[c] + (b^2*e^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[-((2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x)))])/(3*c^(3/2)) + (b^2*d^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[(2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))])/Sqrt[c] + (b^2*e^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[(2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))])/(3*c^(3/2)) + (b^2*d^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[((1 - I)*(1 + Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - (b^2*e^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[((1 - I)*(1 + Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) - (2*b*d*e*(a + b*ArcTanh[c*x^2])*Log[2/(1 - c*x^2)])/c - a*b*d^2*x*Log[1 - c*x^2] - (2*b^2*e^2*x*Log[1 - c*x^2])/(3*c) + (1/9)*b^2*e^2*x^3*Log[1 - c*x^2] - (b^2*d^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[1 - c*x^2])/Sqrt[c] + (b^2*e^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[1 - c*x^2])/(3*c^(3/2)) + (b^2*d^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[1 - c*x^2])/Sqrt[c] + (1/4)*b^2*d^2*x*Log[1 - c*x^2]^2 + (1/9)*b*e^2*x^3*(2*a - b*Log[1 - c*x^2]) - (b*e^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*(2*a - b*Log[1 - c*x^2]))/(3*c^(3/2)) + (1/12)*e^2*x^3*(2*a - b*Log[1 - c*x^2])^2 + a*b*d^2*x*Log[1 + c*x^2] + (2*b^2*e^2*x*Log[1 + c*x^2])/(3*c) + (1/3)*a*b*e^2*x^3*Log[1 + c*x^2] + (b^2*d^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[1 + c*x^2])/Sqrt[c] - (b^2*e^2*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[1 + c*x^2])/(3*c^(3/2)) - (b^2*d^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[1 + c*x^2])/Sqrt[c] - (b^2*e^2*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[1 + c*x^2])/(3*c^(3/2)) - (1/2)*b^2*d^2*x*Log[1 - c*x^2]*Log[1 + c*x^2] - (1/6)*b^2*e^2*x^3*Log[1 - c*x^2]*Log[1 + c*x^2] + (1/4)*b^2*d^2*x*Log[1 + c*x^2]^2 + (1/12)*b^2*e^2*x^3*Log[1 + c*x^2]^2 + (b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + (b^2*e^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) + (I*b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - (I*b^2*e^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) - (I*b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - ((1 + I)*(1 - Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(2*Sqrt[c]) + (I*b^2*e^2*PolyLog[2, 1 - ((1 + I)*(1 - Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(6*c^(3/2)) + (I*b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - (I*b^2*e^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) + (b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + (b^2*e^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[c]*x)])/(3*c^(3/2)) - (b^2*d^2*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))])/(2*Sqrt[c]) - (b^2*e^2*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))])/(6*c^(3/2)) - (b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))])/(2*Sqrt[c]) - (b^2*e^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))])/(6*c^(3/2)) - (I*b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - ((1 - I)*(1 + Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(2*Sqrt[c]) + (I*b^2*e^2*PolyLog[2, 1 - ((1 - I)*(1 + Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(6*c^(3/2)) - (b^2*d*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x^2)])/c} *)
+{(d + e*x)^1*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2, x, 77, a^2*d*x + (2*a*b*d*ArcTan[Sqrt[c]*x])/Sqrt[c] + (I*b^2*d*ArcTan[Sqrt[c]*x]^2)/Sqrt[c] - (2*a*b*d*ArcTanh[Sqrt[c]*x])/Sqrt[c] - (b^2*d*ArcTanh[Sqrt[c]*x]^2)/Sqrt[c] + (e*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2)/(2*c) + (1/2)*e*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2 + (2*b^2*d*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - (2*b^2*d*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + (b^2*d*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[((1 + I)*(1 - Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + (2*b^2*d*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + I*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - (2*b^2*d*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[2/(1 + Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + (b^2*d*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[-((2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x)))])/Sqrt[c] + (b^2*d*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[(2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))])/Sqrt[c] + (b^2*d*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[((1 - I)*(1 + Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - (b*e*(a + b*ArcTanh[c*x^2])*Log[2/(1 - c*x^2)])/c - a*b*d*x*Log[1 - c*x^2] - (b^2*d*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[1 - c*x^2])/Sqrt[c] + (b^2*d*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[1 - c*x^2])/Sqrt[c] + (1/4)*b^2*d*x*Log[1 - c*x^2]^2 + a*b*d*x*Log[1 + c*x^2] + (b^2*d*ArcTan[Sqrt[c]*x]*Log[1 + c*x^2])/Sqrt[c] - (b^2*d*ArcTanh[Sqrt[c]*x]*Log[1 + c*x^2])/Sqrt[c] - (1/2)*b^2*d*x*Log[1 - c*x^2]*Log[1 + c*x^2] + (1/4)*b^2*d*x*Log[1 + c*x^2]^2 + (b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + (I*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - (I*b^2*d*PolyLog[2, 1 - ((1 + I)*(1 - Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(2*Sqrt[c]) + (I*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + I*Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] + (b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[c]*x)])/Sqrt[c] - (b^2*d*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[c]*(1 - Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] - Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))])/(2*Sqrt[c]) - (b^2*d*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*(1 + Sqrt[-c]*x))/((Sqrt[-c] + Sqrt[c])*(1 + Sqrt[c]*x))])/(2*Sqrt[c]) - (I*b^2*d*PolyLog[2, 1 - ((1 - I)*(1 + Sqrt[c]*x))/(1 - I*Sqrt[c]*x)])/(2*Sqrt[c]) - (b^2*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x^2)])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2/(d + e*x)^1, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2/(d + e*x), x]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2/(d + e*x)^2, x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcTanh[c*x^2])^2/(d + e*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcTanh[c x^3])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcTanh[c x^3])^p*)
+
+
+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x^3]), x, 24, -((Sqrt[3]*b*d*e*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*c^(1/3)*x)/Sqrt[3]])/(2*c^(2/3))) + (Sqrt[3]*b*d*e*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*c^(1/3)*x)/Sqrt[3]])/(2*c^(2/3)) + (Sqrt[3]*b*d^2*ArcTan[(1 + 2*c^(2/3)*x^2)/Sqrt[3]])/(2*c^(1/3)) - (b*d*e*ArcTanh[c^(1/3)*x])/c^(2/3) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x^3]))/(3*e) + (b*d^2*Log[1 - c^(2/3)*x^2])/(2*c^(1/3)) + (b*d*e*Log[1 - c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(4*c^(2/3)) - (b*d*e*Log[1 + c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(4*c^(2/3)) + (b*(c*d^3 + e^3)*Log[1 - c*x^3])/(6*c*e) - (b*(c*d^3 - e^3)*Log[1 + c*x^3])/(6*c*e) - (b*d^2*Log[1 + c^(2/3)*x^2 + c^(4/3)*x^4])/(4*c^(1/3))}
+{(d + e*x)^1*(a + b*ArcTanh[c*x^3]), x, 22, -((Sqrt[3]*b*e*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*c^(1/3)*x)/Sqrt[3]])/(4*c^(2/3))) + (Sqrt[3]*b*e*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*c^(1/3)*x)/Sqrt[3]])/(4*c^(2/3)) + (Sqrt[3]*b*d*ArcTan[(1 + 2*c^(2/3)*x^2)/Sqrt[3]])/(2*c^(1/3)) - (b*e*ArcTanh[c^(1/3)*x])/(2*c^(2/3)) - (b*d^2*ArcTanh[c*x^3])/(2*e) + ((d + e*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x^3]))/(2*e) + (b*d*Log[1 - c^(2/3)*x^2])/(2*c^(1/3)) + (b*e*Log[1 - c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(8*c^(2/3)) - (b*e*Log[1 + c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(8*c^(2/3)) - (b*d*Log[1 + c^(2/3)*x^2 + c^(4/3)*x^4])/(4*c^(1/3))}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])/(d + e*x)^1, x, 25, ((a + b*ArcTanh[c*x^3])*Log[d + e*x])/e + (b*Log[(e*(1 - c^(1/3)*x))/(c^(1/3)*d + e)]*Log[d + e*x])/(2*e) - (b*Log[-((e*(1 + c^(1/3)*x))/(c^(1/3)*d - e))]*Log[d + e*x])/(2*e) + (b*Log[-((e*((-1)^(1/3) + c^(1/3)*x))/(c^(1/3)*d - (-1)^(1/3)*e))]*Log[d + e*x])/(2*e) - (b*Log[-((e*((-1)^(2/3) + c^(1/3)*x))/(c^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*e))]*Log[d + e*x])/(2*e) + (b*Log[((-1)^(2/3)*e*(1 + (-1)^(1/3)*c^(1/3)*x))/(c^(1/3)*d + (-1)^(2/3)*e)]*Log[d + e*x])/(2*e) - (b*Log[((-1)^(1/3)*e*(1 + (-1)^(2/3)*c^(1/3)*x))/(c^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*e)]*Log[d + e*x])/(2*e) - (b*PolyLog[2, (c^(1/3)*(d + e*x))/(c^(1/3)*d - e)])/(2*e) + (b*PolyLog[2, (c^(1/3)*(d + e*x))/(c^(1/3)*d + e)])/(2*e) + (b*PolyLog[2, (c^(1/3)*(d + e*x))/(c^(1/3)*d - (-1)^(1/3)*e)])/(2*e) - (b*PolyLog[2, (c^(1/3)*(d + e*x))/(c^(1/3)*d + (-1)^(1/3)*e)])/(2*e) - (b*PolyLog[2, (c^(1/3)*(d + e*x))/(c^(1/3)*d - (-1)^(2/3)*e)])/(2*e) + (b*PolyLog[2, (c^(1/3)*(d + e*x))/(c^(1/3)*d + (-1)^(2/3)*e)])/(2*e)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x^3])/(d + e*x)^2, x, 19, -((Sqrt[3]*b*c^(1/3)*ArcTan[(1 - 2*c^(1/3)*x)/Sqrt[3]])/(2*(c^(2/3)*d^2 + c^(1/3)*d*e + e^2))) - (Sqrt[3]*b*c^(1/3)*(c^(1/3)*d + e)*ArcTan[(1 + 2*c^(1/3)*x)/Sqrt[3]])/(2*(c*d^3 + e^3)) - (a + b*ArcTanh[c*x^3])/(e*(d + e*x)) + (b*c^(1/3)*(c^(1/3)*d - e)*Log[1 - c^(1/3)*x])/(2*(c*d^3 + e^3)) + (b*c^(1/3)*(c^(1/3)*d + e)*Log[1 + c^(1/3)*x])/(2*(c*d^3 - e^3)) - (3*b*c*d^2*e^2*Log[d + e*x])/(c^2*d^6 - e^6) - (b*c^(1/3)*(c^(1/3)*d + e)*Log[1 - c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(4*(c*d^3 - e^3)) - (b*c^(1/3)*(c^(1/3)*d - e)*Log[1 + c^(1/3)*x + c^(2/3)*x^2])/(4*(c*d^3 + e^3)) - (b*c*d^2*Log[1 - c*x^3])/(2*e*(c*d^3 + e^3)) + (b*c*d^2*Log[1 + c*x^3])/(2*e*(c*d^3 - e^3))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q (d+e x)^m (a+b ArcTanh[c x^(1/2)])^p with c^2 d+e=0*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(1 - c^2*x), x, 19, -((11*b*Sqrt[x])/(6*c^7)) - (5*b*x^(3/2))/(18*c^5) - (b*x^(5/2))/(15*c^3) + (11*b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(6*c^8) - (x*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/c^6 - (x^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(2*c^4) - (x^3*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(3*c^2) - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2/(b*c^8) + (2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2/(1 - c*Sqrt[x])])/c^8 + (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*Sqrt[x])])/c^8}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(1 - c^2*x), x, 14, -((3*b*Sqrt[x])/(2*c^5)) - (b*x^(3/2))/(6*c^3) + (3*b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(2*c^6) - (x*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/c^4 - (x^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(2*c^2) - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2/(b*c^6) + (2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2/(1 - c*Sqrt[x])])/c^6 + (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*Sqrt[x])])/c^6}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(1 - c^2*x), x, 9, -((b*Sqrt[x])/c^3) + (b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/c^4 - (x*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/c^2 - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2/(b*c^4) + (2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2/(1 - c*Sqrt[x])])/c^4 + (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*Sqrt[x])])/c^4}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(1 - c^2*x), x, 5, -((a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2/(b*c^2)) + (2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2/(1 - c*Sqrt[x])])/c^2 + (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*Sqrt[x])])/c^2}
+{(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(x^1*(1 - c^2*x)), x, 5, (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2/b + 2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2 - 2/(1 + c*Sqrt[x])] - b*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*Sqrt[x])]}
+{(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(x^2*(1 - c^2*x)), x, 9, -((b*c)/Sqrt[x]) + b*c^2*ArcTanh[c*Sqrt[x]] - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/x + (c^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/b + 2*c^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2 - 2/(1 + c*Sqrt[x])] - b*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*Sqrt[x])]}
+{(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(x^3*(1 - c^2*x)), x, 14, -((b*c)/(6*x^(3/2))) - (3*b*c^3)/(2*Sqrt[x]) + (3/2)*b*c^4*ArcTanh[c*Sqrt[x]] - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(2*x^2) - (c^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/x + (c^4*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/b + 2*c^4*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2 - 2/(1 + c*Sqrt[x])] - b*c^4*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*Sqrt[x])]}
+{(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(x^4*(1 - c^2*x)), x, 20, -((b*c)/(15*x^(5/2))) - (5*b*c^3)/(18*x^(3/2)) - (11*b*c^5)/(6*Sqrt[x]) + (11/6)*b*c^6*ArcTanh[c*Sqrt[x]] - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(3*x^3) - (c^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(2*x^2) - (c^4*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/x + (c^6*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])^2)/b + 2*c^6*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2 - 2/(1 + c*Sqrt[x])] - b*c^6*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*Sqrt[x])]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^q (d+e x)^m (a+b ArcTanh[c x^(1/2)])^p*)
+
+
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(d + e*x), x, 20, -((b*d*Sqrt[x])/(c*e^2)) + (b*Sqrt[x])/(2*c^3*e) + (b*x^(3/2))/(6*c*e) + (b*d*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(c^2*e^2) - (b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(2*c^4*e) - (d*x*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/e^2 + (x^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(2*e) - (2*d^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2/(1 + c*Sqrt[x])])/e^3 + (d^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] - Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/e^3 + (d^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/e^3 + (b*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*Sqrt[x])])/e^3 - (b*d^2*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] - Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/(2*e^3) - (b*d^2*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/(2*e^3)}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(d + e*x), x, 15, (b*Sqrt[x])/(c*e) - (b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(c^2*e) + (x*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/e + (2*d*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2/(1 + c*Sqrt[x])])/e^2 - (d*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] - Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/e^2 - (d*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/e^2 - (b*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*Sqrt[x])])/e^2 + (b*d*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] - Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/(2*e^2) + (b*d*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/(2*e^2)}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(d + e*x), x, 11, -((2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2/(1 + c*Sqrt[x])])/e) + ((a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] - Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/e + ((a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/e + (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*Sqrt[x])])/e - (b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] - Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/(2*e) - (b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/(2*e)}
+{(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(x^1*(d + e*x)), x, 15, (2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2/(1 + c*Sqrt[x])])/d - ((a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] - Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/d - ((a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/d + (a*Log[x])/d - (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*Sqrt[x])])/d + (b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] - Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/(2*d) + (b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/(2*d) - (b*PolyLog[2, (-c)*Sqrt[x]])/d + (b*PolyLog[2, c*Sqrt[x]])/d}
+{(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(x^2*(d + e*x)), x, 19, -((b*c)/(d*Sqrt[x])) + (b*c^2*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/d - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(d*x) - (2*e*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2/(1 + c*Sqrt[x])])/d^2 + (e*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] - Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/d^2 + (e*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/d^2 - (a*e*Log[x])/d^2 + (b*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*Sqrt[x])])/d^2 - (b*e*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] - Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/(2*d^2) - (b*e*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/(2*d^2) + (b*e*PolyLog[2, (-c)*Sqrt[x]])/d^2 - (b*e*PolyLog[2, c*Sqrt[x]])/d^2}
+{(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(x^3*(d + e*x)), x, 24, -((b*c)/(6*d*x^(3/2))) - (b*c^3)/(2*d*Sqrt[x]) + (b*c*e)/(d^2*Sqrt[x]) + (b*c^4*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(2*d) - (b*c^2*e*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/d^2 - (a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])/(2*d*x^2) + (e*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]]))/(d^2*x) + (2*e^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[2/(1 + c*Sqrt[x])])/d^3 - (e^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] - Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/d^3 - (e^2*(a + b*ArcTanh[c*Sqrt[x]])*Log[(2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/d^3 + (a*e^2*Log[x])/d^3 - (b*e^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*Sqrt[x])])/d^3 + (b*e^2*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] - Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] - Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/(2*d^3) + (b*e^2*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-d] + Sqrt[e]*Sqrt[x]))/((c*Sqrt[-d] + Sqrt[e])*(1 + c*Sqrt[x]))])/(2*d^3) - (b*e^2*PolyLog[2, (-c)*Sqrt[x]])/d^3 + (b*e^2*PolyLog[2, c*Sqrt[x]])/d^3}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.4 u (a+b arctanh(c x))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.4 u (a+b arctanh(c x))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..8bec6f97
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.4 u (a+b arctanh(c x))^p.m	
@@ -0,0 +1,997 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x)^q (a+b ArcTanh[c x])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b ArcTanh[c x])^p when c^2 d^2-e^2=0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b ArcTanh[c x])^1 when c^2 d^2 - e^2=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{x^3*(d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 7, (b*d*x)/(4*c^3) + (b*d*x^2)/(10*c^2) + (b*d*x^3)/(12*c) + (b*d*x^4)/20 + (d*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/4 + (c*d*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x]))/5 + (9*b*d*Log[1 - c*x])/(40*c^4) - (b*d*Log[1 + c*x])/(40*c^4)}
+{x^2*(d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 7, (b*d*x)/(4*c^2) + (b*d*x^2)/(6*c) + (b*d*x^3)/12 + (d*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/3 + (c*d*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/4 + (7*b*d*Log[1 - c*x])/(24*c^3) + (b*d*Log[1 + c*x])/(24*c^3)}
+{x^1*(d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 7, (b*d*x)/(2*c) + (b*d*x^2)/6 + (d*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/2 + (c*d*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/3 + (5*b*d*Log[1 - c*x])/(12*c^2) - (b*d*Log[1 + c*x])/(12*c^2)}
+{x^0*(d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 4, (b*d*x)/2 + (d*(1 + c*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*c) + (b*d*Log[1 - c*x])/c}
+{((d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^1, x, 6, a*c*d*x + b*c*d*x*ArcTanh[c*x] + a*d*Log[x] + (1/2)*b*d*Log[1 - c^2*x^2] - (1/2)*b*d*PolyLog[2, (-c)*x] + (1/2)*b*d*PolyLog[2, c*x]}
+{((d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^2, x, 8, -((d*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x) + a*c*d*Log[x] + b*c*d*Log[x] - (1/2)*b*c*d*Log[1 - c^2*x^2] - (1/2)*b*c*d*PolyLog[2, (-c)*x] + (1/2)*b*c*d*PolyLog[2, c*x]}
+{((d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^3, x, 4, -(b*c*d)/(2*x) - (d*(1 + c*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*x^2) + b*c^2*d*Log[x] - b*c^2*d*Log[1 - c*x]}
+{((d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^4, x, 4, -(b*c*d)/(6*x^2) - (b*c^2*d)/(2*x) - (d*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*x^3) - (c*d*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*x^2) + (b*c^3*d*Log[x])/3 - (5*b*c^3*d*Log[1 - c*x])/12 + (b*c^3*d*Log[1 + c*x])/12}
+{((d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^5, x, 4, -((b*c*d)/(12*x^3)) - (b*c^2*d)/(6*x^2) - (b*c^3*d)/(4*x) - (d*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*x^4) - (c*d*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*x^3) + (1/3)*b*c^4*d*Log[x] - (7/24)*b*c^4*d*Log[1 - c*x] - (1/24)*b*c^4*d*Log[1 + c*x]}
+
+
+{x^3*(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 7, (5*b*d^2*x)/(12*c^3) + (b*d^2*x^2)/(5*c^2) + (5*b*d^2*x^3)/(36*c) + (b*d^2*x^4)/10 + (b*c*d^2*x^5)/30 + (d^2*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/4 + (2*c*d^2*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x]))/5 + (c^2*d^2*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x]))/6 + (49*b*d^2*Log[1 - c*x])/(120*c^4) - (b*d^2*Log[1 + c*x])/(120*c^4)}
+{x^2*(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 7, (b*d^2*x)/(2*c^2) + (4*b*d^2*x^2)/(15*c) + (b*d^2*x^3)/6 + (b*c*d^2*x^4)/20 + (d^2*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/3 + (c*d^2*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/2 + (c^2*d^2*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x]))/5 + (31*b*d^2*Log[1 - c*x])/(60*c^3) + (b*d^2*Log[1 + c*x])/(60*c^3)}
+{x^1*(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 7, (3*b*d^2*x)/(4*c) + (b*d^2*x^2)/3 + (b*c*d^2*x^3)/12 + (d^2*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/2 + (2*c*d^2*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/3 + (c^2*d^2*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/4 + (17*b*d^2*Log[1 - c*x])/(24*c^2) - (b*d^2*Log[1 + c*x])/(24*c^2)}
+{x^0*(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 4, (2/3)*b*d^2*x + (b*d^2*(1 + c*x)^2)/(6*c) + (d^2*(1 + c*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*c) + (4*b*d^2*Log[1 - c*x])/(3*c)}
+{((d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^1, x, 9, 2*a*c*d^2*x + (1/2)*b*c*d^2*x - (1/2)*b*d^2*ArcTanh[c*x] + 2*b*c*d^2*x*ArcTanh[c*x] + (1/2)*c^2*d^2*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]) + a*d^2*Log[x] + b*d^2*Log[1 - c^2*x^2] - (1/2)*b*d^2*PolyLog[2, (-c)*x] + (1/2)*b*d^2*PolyLog[2, c*x]}
+{((d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^2, x, 11, (d^2*(-1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x + (2*a + b)*c*d^2*Log[x] - b*c*d^2*PolyLog[2, (-c)*x] + b*c*d^2*PolyLog[2, c*x], a*c^2*d^2*x + b*c^2*d^2*x*ArcTanh[c*x] - (d^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x + 2*a*c*d^2*Log[x] + b*c*d^2*Log[x] - b*c*d^2*PolyLog[2, (-c)*x] + b*c*d^2*PolyLog[2, c*x]}
+{((d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^3, x, 11, -((b*c*d^2)/(2*x)) + (1/2)*b*c^2*d^2*ArcTanh[c*x] - (d^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*x^2) - (2*c*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x + a*c^2*d^2*Log[x] + 2*b*c^2*d^2*Log[x] - b*c^2*d^2*Log[1 - c^2*x^2] - (1/2)*b*c^2*d^2*PolyLog[2, (-c)*x] + (1/2)*b*c^2*d^2*PolyLog[2, c*x]}
+{((d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^4, x, 4, -(b*c*d^2)/(6*x^2) - (b*c^2*d^2)/x - (d^2*(1 + c*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*x^3) + (4*b*c^3*d^2*Log[x])/3 - (4*b*c^3*d^2*Log[1 - c*x])/3}
+{((d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^5, x, 4, -((b*c*d^2)/(12*x^3)) - (b*c^2*d^2)/(3*x^2) - (3*b*c^3*d^2)/(4*x) - (d^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*x^4) - (2*c*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*x^3) - (c^2*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*x^2) + (2/3)*b*c^4*d^2*Log[x] - (17/24)*b*c^4*d^2*Log[1 - c*x] + (1/24)*b*c^4*d^2*Log[1 + c*x]}
+{((d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^6, x, 4, -((b*c*d^2)/(20*x^4)) - (b*c^2*d^2)/(6*x^3) - (4*b*c^3*d^2)/(15*x^2) - (b*c^4*d^2)/(2*x) - (d^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(5*x^5) - (c*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*x^4) - (c^2*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*x^3) + (8/15)*b*c^5*d^2*Log[x] - (31/60)*b*c^5*d^2*Log[1 - c*x] - (1/60)*b*c^5*d^2*Log[1 + c*x]}
+
+
+{x^3*(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 7, (3*b*d^3*x)/(4*c^3) + (13*b*d^3*x^2)/(35*c^2) + (b*d^3*x^3)/(4*c) + (13*b*d^3*x^4)/70 + (b*c*d^3*x^5)/10 + (b*c^2*d^3*x^6)/42 + (d^3*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/4 + (3*c*d^3*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x]))/5 + (c^2*d^3*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x]))/2 + (c^3*d^3*x^7*(a + b*ArcTanh[c*x]))/7 + (209*b*d^3*Log[1 - c*x])/(280*c^4) - (b*d^3*Log[1 + c*x])/(280*c^4)}
+{x^2*(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 7, (11*b*d^3*x)/(12*c^2) + (7*b*d^3*x^2)/(15*c) + (11*b*d^3*x^3)/36 + (3*b*c*d^3*x^4)/20 + (b*c^2*d^3*x^5)/30 + (d^3*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/3 + (3*c*d^3*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/4 + (3*c^2*d^3*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x]))/5 + (c^3*d^3*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x]))/6 + (37*b*d^3*Log[1 - c*x])/(40*c^3) + (b*d^3*Log[1 + c*x])/(120*c^3)}
+{x^1*(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 4, (3*b*d^3*x)/(5*c) + (3*b*d^3*(1 + c*x)^2)/(20*c^2) + (b*d^3*(1 + c*x)^3)/(20*c^2) + (b*d^3*(1 + c*x)^4)/(20*c^2) - (d^3*(1 + c*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*c^2) + (d^3*(1 + c*x)^5*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(5*c^2) + (6*b*d^3*Log[1 - c*x])/(5*c^2)}
+{x^0*(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 4, b*d^3*x + (b*d^3*(1 + c*x)^2)/(4*c) + (b*d^3*(1 + c*x)^3)/(12*c) + (d^3*(1 + c*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*c) + (2*b*d^3*Log[1 - c*x])/c}
+{((d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^1, x, 13, 3*a*c*d^3*x + (3/2)*b*c*d^3*x + (1/6)*b*c^2*d^3*x^2 - (3/2)*b*d^3*ArcTanh[c*x] + 3*b*c*d^3*x*ArcTanh[c*x] + (3/2)*c^2*d^3*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (1/3)*c^3*d^3*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]) + a*d^3*Log[x] + (5/3)*b*d^3*Log[1 - c^2*x^2] - (1/2)*b*d^3*PolyLog[2, (-c)*x] + (1/2)*b*d^3*PolyLog[2, c*x]}
+{((d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^2, x, 14, 3*a*c^2*d^3*x + (1/2)*b*c^2*d^3*x - (1/2)*b*c*d^3*ArcTanh[c*x] + 3*b*c^2*d^3*x*ArcTanh[c*x] - (d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x + (1/2)*c^3*d^3*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]) + 3*a*c*d^3*Log[x] + b*c*d^3*Log[x] + b*c*d^3*Log[1 - c^2*x^2] - (3/2)*b*c*d^3*PolyLog[2, (-c)*x] + (3/2)*b*c*d^3*PolyLog[2, c*x]}
+{((d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^3, x, 14, -((b*c*d^3)/(2*x)) + a*c^3*d^3*x + (1/2)*b*c^2*d^3*ArcTanh[c*x] + b*c^3*d^3*x*ArcTanh[c*x] - (d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*x^2) - (3*c*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x + 3*a*c^2*d^3*Log[x] + 3*b*c^2*d^3*Log[x] - b*c^2*d^3*Log[1 - c^2*x^2] - (3/2)*b*c^2*d^3*PolyLog[2, (-c)*x] + (3/2)*b*c^2*d^3*PolyLog[2, c*x]}
+{((d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^4, x, 15, -((b*c*d^3)/(6*x^2)) - (3*b*c^2*d^3)/(2*x) + (3/2)*b*c^3*d^3*ArcTanh[c*x] - (d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*x^3) - (3*c*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*x^2) - (3*c^2*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x + a*c^3*d^3*Log[x] + (10/3)*b*c^3*d^3*Log[x] - (5/3)*b*c^3*d^3*Log[1 - c^2*x^2] - (1/2)*b*c^3*d^3*PolyLog[2, (-c)*x] + (1/2)*b*c^3*d^3*PolyLog[2, c*x]}
+{((d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^5, x, 4, -((b*c*d^3)/(12*x^3)) - (b*c^2*d^3)/(2*x^2) - (7*b*c^3*d^3)/(4*x) - (d^3*(1 + c*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*x^4) + 2*b*c^4*d^3*Log[x] - 2*b*c^4*d^3*Log[1 - c*x]}
+{((d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^6, x, 4, -((b*c*d^3)/(20*x^4)) - (b*c^2*d^3)/(4*x^3) - (3*b*c^3*d^3)/(5*x^2) - (5*b*c^4*d^3)/(4*x) - (d^3*(1 + c*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(5*x^5) + (c*d^3*(1 + c*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(20*x^4) + (6/5)*b*c^5*d^3*Log[x] - (6/5)*b*c^5*d^3*Log[1 - c*x]}
+{((d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^7, x, 4, -((b*c*d^3)/(30*x^5)) - (3*b*c^2*d^3)/(20*x^4) - (11*b*c^3*d^3)/(36*x^3) - (7*b*c^4*d^3)/(15*x^2) - (11*b*c^5*d^3)/(12*x) - (d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(6*x^6) - (3*c*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(5*x^5) - (3*c^2*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*x^4) - (c^3*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*x^3) + (14/15)*b*c^6*d^3*Log[x] - (37/40)*b*c^6*d^3*Log[1 - c*x] - (1/120)*b*c^6*d^3*Log[1 + c*x]}
+
+
+{x^3*(d + c*d*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 7, (11*b*d^4*x)/(8*c^3) + (24*b*d^4*x^2)/(35*c^2) + (11*b*d^4*x^3)/(24*c) + (12/35)*b*d^4*x^4 + (9/40)*b*c*d^4*x^5 + (2/21)*b*c^2*d^4*x^6 + (1/56)*b*c^3*d^4*x^7 + (1/4)*d^4*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (4/5)*c*d^4*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x]) + c^2*d^4*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (4/7)*c^3*d^4*x^7*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (1/8)*c^4*d^4*x^8*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (769*b*d^4*Log[1 - c*x])/(560*c^4) - (b*d^4*Log[1 + c*x])/(560*c^4)}
+{x^2*(d + c*d*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 4, (5*b*d^4*x)/(3*c^2) + (88*b*d^4*x^2)/(105*c) + (5/9)*b*d^4*x^3 + (47/140)*b*c*d^4*x^4 + (2/15)*b*c^2*d^4*x^5 + (1/42)*b*c^3*d^4*x^6 + (d^4*(1 + c*x)^5*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(5*c^3) - (d^4*(1 + c*x)^6*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*c^3) + (d^4*(1 + c*x)^7*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(7*c^3) + (176*b*d^4*Log[1 - c*x])/(105*c^3)}
+{x^1*(d + c*d*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 4, (16*b*d^4*x)/(15*c) + (4*b*d^4*(1 + c*x)^2)/(15*c^2) + (4*b*d^4*(1 + c*x)^3)/(45*c^2) + (b*d^4*(1 + c*x)^4)/(30*c^2) + (b*d^4*(1 + c*x)^5)/(30*c^2) - (d^4*(1 + c*x)^5*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(5*c^2) + (d^4*(1 + c*x)^6*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(6*c^2) + (32*b*d^4*Log[1 - c*x])/(15*c^2)}
+{x^0*(d + c*d*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]), x, 4, (8/5)*b*d^4*x + (2*b*d^4*(1 + c*x)^2)/(5*c) + (2*b*d^4*(1 + c*x)^3)/(15*c) + (b*d^4*(1 + c*x)^4)/(20*c) + (d^4*(1 + c*x)^5*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(5*c) + (16*b*d^4*Log[1 - c*x])/(5*c)}
+{((d + c*d*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^1, x, 17, 4*a*c*d^4*x + (13/4)*b*c*d^4*x + (2/3)*b*c^2*d^4*x^2 + (1/12)*b*c^3*d^4*x^3 - (13/4)*b*d^4*ArcTanh[c*x] + 4*b*c*d^4*x*ArcTanh[c*x] + 3*c^2*d^4*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (4/3)*c^3*d^4*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (1/4)*c^4*d^4*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]) + a*d^4*Log[x] + (8/3)*b*d^4*Log[1 - c^2*x^2] - (1/2)*b*d^4*PolyLog[2, (-c)*x] + (1/2)*b*d^4*PolyLog[2, c*x]}
+{((d + c*d*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^2, x, 18, 6*a*c^2*d^4*x + 2*b*c^2*d^4*x + (1/6)*b*c^3*d^4*x^2 - 2*b*c*d^4*ArcTanh[c*x] + 6*b*c^2*d^4*x*ArcTanh[c*x] - (d^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x + 2*c^3*d^4*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (1/3)*c^4*d^4*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]) + 4*a*c*d^4*Log[x] + b*c*d^4*Log[x] + (8/3)*b*c*d^4*Log[1 - c^2*x^2] - 2*b*c*d^4*PolyLog[2, (-c)*x] + 2*b*c*d^4*PolyLog[2, c*x]}
+{((d + c*d*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^3, x, 17, -((b*c*d^4)/(2*x)) + 4*a*c^3*d^4*x + (1/2)*b*c^3*d^4*x + 4*b*c^3*d^4*x*ArcTanh[c*x] - (d^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*x^2) - (4*c*d^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x + (1/2)*c^4*d^4*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]) + 6*a*c^2*d^4*Log[x] + 4*b*c^2*d^4*Log[x] - 3*b*c^2*d^4*PolyLog[2, (-c)*x] + 3*b*c^2*d^4*PolyLog[2, c*x]}
+{((d + c*d*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^4, x, 18, -((b*c*d^4)/(6*x^2)) - (2*b*c^2*d^4)/x + a*c^4*d^4*x + 2*b*c^3*d^4*ArcTanh[c*x] + b*c^4*d^4*x*ArcTanh[c*x] - (d^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*x^3) - (2*c*d^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^2 - (6*c^2*d^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x + 4*a*c^3*d^4*Log[x] + (19/3)*b*c^3*d^4*Log[x] - (8/3)*b*c^3*d^4*Log[1 - c^2*x^2] - 2*b*c^3*d^4*PolyLog[2, (-c)*x] + 2*b*c^3*d^4*PolyLog[2, c*x]}
+{((d + c*d*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^5, x, 19, -((b*c*d^4)/(12*x^3)) - (2*b*c^2*d^4)/(3*x^2) - (13*b*c^3*d^4)/(4*x) + (13/4)*b*c^4*d^4*ArcTanh[c*x] - (d^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*x^4) - (4*c*d^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*x^3) - (3*c^2*d^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^2 - (4*c^3*d^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x + a*c^4*d^4*Log[x] + (16/3)*b*c^4*d^4*Log[x] - (8/3)*b*c^4*d^4*Log[1 - c^2*x^2] - (1/2)*b*c^4*d^4*PolyLog[2, (-c)*x] + (1/2)*b*c^4*d^4*PolyLog[2, c*x]}
+{((d + c*d*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^6, x, 4, -((b*c*d^4)/(20*x^4)) - (b*c^2*d^4)/(3*x^3) - (11*b*c^3*d^4)/(10*x^2) - (3*b*c^4*d^4)/x - (d^4*(1 + c*x)^5*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(5*x^5) + (16/5)*b*c^5*d^4*Log[x] - (16/5)*b*c^5*d^4*Log[1 - c*x]}
+{((d + c*d*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^7, x, 4, -((b*c*d^4)/(30*x^5)) - (b*c^2*d^4)/(5*x^4) - (5*b*c^3*d^4)/(9*x^3) - (16*b*c^4*d^4)/(15*x^2) - (13*b*c^5*d^4)/(6*x) - (d^4*(1 + c*x)^5*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(6*x^6) + (c*d^4*(1 + c*x)^5*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(30*x^5) + (32/15)*b*c^6*d^4*Log[x] - (32/15)*b*c^6*d^4*Log[1 - c*x]}
+{((d + c*d*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^8, x, 4, -((b*c*d^4)/(42*x^6)) - (2*b*c^2*d^4)/(15*x^5) - (47*b*c^3*d^4)/(140*x^4) - (5*b*c^4*d^4)/(9*x^3) - (88*b*c^5*d^4)/(105*x^2) - (5*b*c^6*d^4)/(3*x) - (d^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(7*x^7) - (2*c*d^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*x^6) - (6*c^2*d^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(5*x^5) - (c^3*d^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^4 - (c^4*d^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*x^3) + (176/105)*b*c^7*d^4*Log[x] - (117/70)*b*c^7*d^4*Log[1 - c*x] - (1/210)*b*c^7*d^4*Log[1 + c*x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{(x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d + c*d*x), x, 16, (a*x)/(c^3*d) - (b*x)/(2*c^3*d) + (b*x^2)/(6*c^2*d) + (b*ArcTanh[c*x])/(2*c^4*d) + (b*x*ArcTanh[c*x])/(c^3*d) - (x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*c^2*d) + (x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*c*d) + ((a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/(c^4*d) + (2*b*Log[1 - c^2*x^2])/(3*c^4*d) - (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c^4*d)}
+{(x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d + c*d*x), x, 11, -((a*x)/(c^2*d)) + (b*x)/(2*c^2*d) - (b*ArcTanh[c*x])/(2*c^3*d) - (b*x*ArcTanh[c*x])/(c^2*d) + (x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*c*d) - ((a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/(c^3*d) - (b*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^3*d) + (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c^3*d)}
+{(x^1*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d + c*d*x), x, 7, (a*x)/(c*d) + (b*x*ArcTanh[c*x])/(c*d) + ((a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/(c^2*d) + (b*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^2*d) - (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c^2*d)}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*x])/(d + c*d*x), x, 3, -(((a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/(c*d)) + (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c*d)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(x^1*(d + c*d*x)), x, 2, ((a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)])/d - (b*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)])/(2*d)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(x^2*(d + c*d*x)), x, 8, -((a + b*ArcTanh[c*x])/(d*x)) + (b*c*Log[x])/d - (b*c*Log[1 - c^2*x^2])/(2*d) - (c*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)])/d + (b*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)])/(2*d)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(x^3*(d + c*d*x)), x, 12, -(b*c)/(2*d*x) + (b*c^2*ArcTanh[c*x])/(2*d) - (a + b*ArcTanh[c*x])/(2*d*x^2) + (c*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d*x) - (b*c^2*Log[x])/d + (b*c^2*Log[1 - c^2*x^2])/(2*d) + (c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)])/d - (b*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)])/(2*d)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(x^4*(d + c*d*x)), x, 17, -(b*c)/(6*d*x^2) + (b*c^2)/(2*d*x) - (b*c^3*ArcTanh[c*x])/(2*d) - (a + b*ArcTanh[c*x])/(3*d*x^3) + (c*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*d*x^2) - (c^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d*x) + (4*b*c^3*Log[x])/(3*d) - (2*b*c^3*Log[1 - c^2*x^2])/(3*d) - (c^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)])/d + (b*c^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)])/(2*d)}
+
+
+{(x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d + c*d*x)^2, x, 16, -((2*a*x)/(c^3*d^2)) + (b*x)/(2*c^3*d^2) + b/(2*c^4*d^2*(1 + c*x)) - (b*ArcTanh[c*x])/(c^4*d^2) - (2*b*x*ArcTanh[c*x])/(c^3*d^2) + (x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*c^2*d^2) + (a + b*ArcTanh[c*x])/(c^4*d^2*(1 + c*x)) - (3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/(c^4*d^2) - (b*Log[1 - c^2*x^2])/(c^4*d^2) + (3*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c^4*d^2)}
+{(x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d + c*d*x)^2, x, 13, (a*x)/(c^2*d^2) - b/(2*c^3*d^2*(1 + c*x)) + (b*ArcTanh[c*x])/(2*c^3*d^2) + (b*x*ArcTanh[c*x])/(c^2*d^2) - (a + b*ArcTanh[c*x])/(c^3*d^2*(1 + c*x)) + (2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/(c^3*d^2) + (b*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^3*d^2) - (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^3*d^2)}
+{(x^1*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d + c*d*x)^2, x, 10, b/(2*c^2*d^2*(1 + c*x)) - (b*ArcTanh[c*x])/(2*c^2*d^2) + (a + b*ArcTanh[c*x])/(c^2*d^2*(1 + c*x)) - ((a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/(c^2*d^2) + (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c^2*d^2)}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*x])/(d + c*d*x)^2, x, 5, -b/(2*c*d^2*(1 + c*x)) + (b*ArcTanh[c*x])/(2*c*d^2) - (a + b*ArcTanh[c*x])/(c*d^2*(1 + c*x))}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(x^1*(d + c*d*x)^2), x, 11, b/(2*d^2*(1 + c*x)) - (b*ArcTanh[c*x])/(2*d^2) + (a + b*ArcTanh[c*x])/(d^2*(1 + c*x)) + (a*Log[x])/d^2 + ((a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/d^2 - (b*PolyLog[2, (-c)*x])/(2*d^2) + (b*PolyLog[2, c*x])/(2*d^2) - (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(x^2*(d + c*d*x)^2), x, 16, -((b*c)/(2*d^2*(1 + c*x))) + (b*c*ArcTanh[c*x])/(2*d^2) - (a + b*ArcTanh[c*x])/(d^2*x) - (c*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d^2*(1 + c*x)) - (2*a*c*Log[x])/d^2 + (b*c*Log[x])/d^2 - (2*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/d^2 - (b*c*Log[1 - c^2*x^2])/(2*d^2) + (b*c*PolyLog[2, (-c)*x])/d^2 - (b*c*PolyLog[2, c*x])/d^2 + (b*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/d^2}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(x^3*(d + c*d*x)^2), x, 19, -((b*c)/(2*d^2*x)) + (b*c^2)/(2*d^2*(1 + c*x)) - (a + b*ArcTanh[c*x])/(2*d^2*x^2) + (2*c*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d^2*x) + (c^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d^2*(1 + c*x)) + (3*a*c^2*Log[x])/d^2 - (2*b*c^2*Log[x])/d^2 + (3*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/d^2 + (b*c^2*Log[1 - c^2*x^2])/d^2 - (3*b*c^2*PolyLog[2, (-c)*x])/(2*d^2) + (3*b*c^2*PolyLog[2, c*x])/(2*d^2) - (3*b*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*d^2)}
+
+
+{(x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d + c*d*x)^3, x, 21, -((3*a*x)/(c^4*d^3)) + (b*x)/(2*c^4*d^3) - b/(8*c^5*d^3*(1 + c*x)^2) + (15*b)/(8*c^5*d^3*(1 + c*x)) - (19*b*ArcTanh[c*x])/(8*c^5*d^3) - (3*b*x*ArcTanh[c*x])/(c^4*d^3) + (x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*c^3*d^3) - (a + b*ArcTanh[c*x])/(2*c^5*d^3*(1 + c*x)^2) + (4*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(c^5*d^3*(1 + c*x)) - (6*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/(c^5*d^3) - (3*b*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^5*d^3) + (3*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^5*d^3)}
+{(x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d + c*d*x)^3, x, 18, (a*x)/(c^3*d^3) + b/(8*c^4*d^3*(1 + c*x)^2) - (11*b)/(8*c^4*d^3*(1 + c*x)) + (11*b*ArcTanh[c*x])/(8*c^4*d^3) + (b*x*ArcTanh[c*x])/(c^3*d^3) + (a + b*ArcTanh[c*x])/(2*c^4*d^3*(1 + c*x)^2) - (3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(c^4*d^3*(1 + c*x)) + (3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/(c^4*d^3) + (b*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^4*d^3) - (3*b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c^4*d^3)}
+{(x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d + c*d*x)^3, x, 15, -(b/(8*c^3*d^3*(1 + c*x)^2)) + (7*b)/(8*c^3*d^3*(1 + c*x)) - (7*b*ArcTanh[c*x])/(8*c^3*d^3) - (a + b*ArcTanh[c*x])/(2*c^3*d^3*(1 + c*x)^2) + (2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(c^3*d^3*(1 + c*x)) - ((a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/(c^3*d^3) + (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c^3*d^3)}
+{(x^1*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d + c*d*x)^3, x, 5, b/(8*c^2*d^3*(1 + c*x)^2) - (3*b)/(8*c^2*d^3*(1 + c*x)) - (b*ArcTanh[c*x])/(8*c^2*d^3) + (x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*d^3*(1 + c*x)^2)}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*x])/(d + c*d*x)^3, x, 5, -b/(8*c*d^3*(1 + c*x)^2) - b/(8*c*d^3*(1 + c*x)) + (b*ArcTanh[c*x])/(8*c*d^3) - (a + b*ArcTanh[c*x])/(2*c*d^3*(1 + c*x)^2)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(x^1*(d + c*d*x)^3), x, 16, b/(8*d^3*(1 + c*x)^2) + (5*b)/(8*d^3*(1 + c*x)) - (5*b*ArcTanh[c*x])/(8*d^3) + (a + b*ArcTanh[c*x])/(2*d^3*(1 + c*x)^2) + (a + b*ArcTanh[c*x])/(d^3*(1 + c*x)) + (a*Log[x])/d^3 + ((a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/d^3 - (b*PolyLog[2, (-c)*x])/(2*d^3) + (b*PolyLog[2, c*x])/(2*d^3) - (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*d^3)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(x^2*(d + c*d*x)^3), x, 21, -((b*c)/(8*d^3*(1 + c*x)^2)) - (9*b*c)/(8*d^3*(1 + c*x)) + (9*b*c*ArcTanh[c*x])/(8*d^3) - (a + b*ArcTanh[c*x])/(d^3*x) - (c*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*d^3*(1 + c*x)^2) - (2*c*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d^3*(1 + c*x)) - (3*a*c*Log[x])/d^3 + (b*c*Log[x])/d^3 - (3*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/d^3 - (b*c*Log[1 - c^2*x^2])/(2*d^3) + (3*b*c*PolyLog[2, (-c)*x])/(2*d^3) - (3*b*c*PolyLog[2, c*x])/(2*d^3) + (3*b*c*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*d^3)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(x^3*(d + c*d*x)^3), x, 24, -((b*c)/(2*d^3*x)) + (b*c^2)/(8*d^3*(1 + c*x)^2) + (13*b*c^2)/(8*d^3*(1 + c*x)) - (9*b*c^2*ArcTanh[c*x])/(8*d^3) - (a + b*ArcTanh[c*x])/(2*d^3*x^2) + (3*c*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d^3*x) + (c^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*d^3*(1 + c*x)^2) + (3*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d^3*(1 + c*x)) + (6*a*c^2*Log[x])/d^3 - (3*b*c^2*Log[x])/d^3 + (6*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/d^3 + (3*b*c^2*Log[1 - c^2*x^2])/(2*d^3) - (3*b*c^2*PolyLog[2, (-c)*x])/d^3 + (3*b*c^2*PolyLog[2, c*x])/d^3 - (3*b*c^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/d^3}
+
+
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(1 + c*x)^4, x, 5, -(b/(18*c*(1 + c*x)^3)) - b/(24*c*(1 + c*x)^2) - b/(24*c*(1 + c*x)) + (b*ArcTanh[c*x])/(24*c) - (a + b*ArcTanh[c*x])/(3*c*(1 + c*x)^3)}
+
+
+{ArcTanh[a*x]/(c*x + a*c*x^2), x, 3, (ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)])/c - PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]/(2*c)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b ArcTanh[c x])^2 when c^2 d^2 - e^2=0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q>0*)
+
+
+{x^3*(d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 27, (a*b*d*x)/(2*c^3) + (3*b^2*d*x)/(10*c^3) + (b^2*d*x^2)/(12*c^2) + (b^2*d*x^3)/(30*c) - (3*b^2*d*ArcTanh[c*x])/(10*c^4) + (b^2*d*x*ArcTanh[c*x])/(2*c^3) + (b*d*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(5*c^2) + (b*d*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(6*c) + (1/10)*b*d*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]) - (d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(20*c^4) + (1/4)*d*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (1/5)*c*d*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (2*b*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(5*c^4) + (b^2*d*Log[1 - c^2*x^2])/(3*c^4) - (b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(5*c^4)}
+{x^2*(d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 22, (a*b*d*x)/(2*c^2) + (b^2*d*x)/(3*c^2) + (b^2*d*x^2)/(12*c) - (b^2*d*ArcTanh[c*x])/(3*c^3) + (b^2*d*x*ArcTanh[c*x])/(2*c^2) + (b*d*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*c) + (1/6)*b*d*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(12*c^3) + (1/3)*d*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (1/4)*c*d*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (2*b*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(3*c^3) + (b^2*d*Log[1 - c^2*x^2])/(3*c^3) - (b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(3*c^3)}
+{x^1*(d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 17, (a*b*d*x)/c + (b^2*d*x)/(3*c) - (b^2*d*ArcTanh[c*x])/(3*c^2) + (b^2*d*x*ArcTanh[c*x])/c + (1/3)*b*d*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]) - (d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(6*c^2) + (1/2)*d*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (1/3)*c*d*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (2*b*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(3*c^2) + (b^2*d*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^2) - (b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(3*c^2)}
+{x^0*(d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 9, a*b*d*x + b^2*d*x*ArcTanh[c*x] + (d*(1 + c*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c) - (2*b*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/c + (b^2*d*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c) - (b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/c}
+{((d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/x^1, x, 13, d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + c*d*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + 2*d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)] - 2*b*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)] - b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] - b*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] + b*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)] + (1/2)*b^2*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)] - (1/2)*b^2*d*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)]}
+{((d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/x^2, x, 12, c*d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/x + 2*c*d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)] + 2*b*c*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)] - b*c*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] + b*c*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)] - b^2*c*d*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)] + (1/2)*b^2*c*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)] - (1/2)*b^2*c*d*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)]}
+{((d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/x^3, x, 14, -((b*c*d*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x) + (3/2)*c^2*d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*x^2) - (c*d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/x + b^2*c^2*d*Log[x] - (1/2)*b^2*c^2*d*Log[1 - c^2*x^2] + 2*b*c^2*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)] - b^2*c^2*d*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)]}
+{((d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/x^4, x, 18, -((b^2*c^2*d)/(3*x)) + (1/3)*b^2*c^3*d*ArcTanh[c*x] - (b*c*d*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*x^2) - (b*c^2*d*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x + (5/6)*c^3*d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(3*x^3) - (c*d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*x^2) + b^2*c^3*d*Log[x] - (1/2)*b^2*c^3*d*Log[1 - c^2*x^2] + (2/3)*b*c^3*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)] - (1/3)*b^2*c^3*d*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)]}
+
+
+{x^3*(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 43, (5*a*b*d^2*x)/(6*c^3) + (3*b^2*d^2*x)/(5*c^3) + (31*b^2*d^2*x^2)/(180*c^2) + (b^2*d^2*x^3)/(15*c) + (1/60)*b^2*d^2*x^4 - (3*b^2*d^2*ArcTanh[c*x])/(5*c^4) + (5*b^2*d^2*x*ArcTanh[c*x])/(6*c^3) + (2*b*d^2*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(5*c^2) + (5*b*d^2*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(18*c) + (1/5)*b*d^2*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (1/15)*b*c*d^2*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x]) - (d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(60*c^4) + (1/4)*d^2*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (2/5)*c*d^2*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (1/6)*c^2*d^2*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (4*b*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(5*c^4) + (53*b^2*d^2*Log[1 - c^2*x^2])/(90*c^4) - (2*b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(5*c^4)}
+{x^2*(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 36, (a*b*d^2*x)/c^2 + (19*b^2*d^2*x)/(30*c^2) + (b^2*d^2*x^2)/(6*c) + (1/30)*b^2*d^2*x^3 - (19*b^2*d^2*ArcTanh[c*x])/(30*c^3) + (b^2*d^2*x*ArcTanh[c*x])/c^2 + (8*b*d^2*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(15*c) + (1/3)*b*d^2*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (1/10)*b*c*d^2*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(30*c^3) + (1/3)*d^2*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (1/2)*c*d^2*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (1/5)*c^2*d^2*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (16*b*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(15*c^3) + (2*b^2*d^2*Log[1 - c^2*x^2])/(3*c^3) - (8*b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(15*c^3)}
+{x^1*(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 28, (3*a*b*d^2*x)/(2*c) + (2*b^2*d^2*x)/(3*c) + (1/12)*b^2*d^2*x^2 - (2*b^2*d^2*ArcTanh[c*x])/(3*c^2) + (3*b^2*d^2*x*ArcTanh[c*x])/(2*c) + (2/3)*b*d^2*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (1/6)*b*c*d^2*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]) - (d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(12*c^2) + (1/2)*d^2*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (2/3)*c*d^2*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (1/4)*c^2*d^2*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (4*b*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(3*c^2) + (5*b^2*d^2*Log[1 - c^2*x^2])/(6*c^2) - (2*b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(3*c^2)}
+{x^0*(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 12, 2*a*b*d^2*x + (1/3)*b^2*d^2*x - (b^2*d^2*ArcTanh[c*x])/(3*c) + 2*b^2*d^2*x*ArcTanh[c*x] + (1/3)*b*c*d^2*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (d^2*(1 + c*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(3*c) - (8*b*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(3*c) + (b^2*d^2*Log[1 - c^2*x^2])/c - (4*b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(3*c)}
+{(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^1, x, 19, a*b*c*d^2*x + b^2*c*d^2*x*ArcTanh[c*x] + (3/2)*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + 2*c*d^2*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (1/2)*c^2*d^2*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + 2*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)] - 4*b*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)] + (1/2)*b^2*d^2*Log[1 - c^2*x^2] - 2*b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] - b*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] + b*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)] + (1/2)*b^2*d^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)] - (1/2)*b^2*d^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)]}
+{(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^2, x, 17, 2*c*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/x + c^2*d^2*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + 4*c*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)] - 2*b*c*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)] + 2*b*c*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)] - b^2*c*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] - 2*b*c*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] + 2*b*c*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)] - b^2*c*d^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)] + b^2*c*d^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)] - b^2*c*d^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)]}
+{(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^3, x, 20, -((b*c*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x) + (5/2)*c^2*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*x^2) - (2*c*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/x + 2*c^2*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)] + b^2*c^2*d^2*Log[x] - (1/2)*b^2*c^2*d^2*Log[1 - c^2*x^2] + 4*b*c^2*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)] - b*c^2*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] + b*c^2*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)] - 2*b^2*c^2*d^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)] + (1/2)*b^2*c^2*d^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)] - (1/2)*b^2*c^2*d^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)]}
+{(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^4, x, 14, -((b^2*c^2*d^2)/(3*x)) + (1/3)*b^2*c^3*d^2*ArcTanh[c*x] - (b*c*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*x^2) - (2*b*c^2*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x - (d^2*(1 + c*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(3*x^3) + (8/3)*a*b*c^3*d^2*Log[x] + 2*b^2*c^3*d^2*Log[x] + (8/3)*b*c^3*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)] - b^2*c^3*d^2*Log[1 - c^2*x^2] - (4/3)*b^2*c^3*d^2*PolyLog[2, (-c)*x] + (4/3)*b^2*c^3*d^2*PolyLog[2, c*x] + (4/3)*b^2*c^3*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)]}
+
+
+{x^3*(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 62, (3*a*b*d^3*x)/(2*c^3) + (122*b^2*d^3*x)/(105*c^3) + (7*b^2*d^3*x^2)/(20*c^2) + (44*b^2*d^3*x^3)/(315*c) + (1/20)*b^2*d^3*x^4 + (1/105)*b^2*c*d^3*x^5 - (122*b^2*d^3*ArcTanh[c*x])/(105*c^4) + (3*b^2*d^3*x*ArcTanh[c*x])/(2*c^3) + (26*b*d^3*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(35*c^2) + (b*d^3*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*c) + (13/35)*b*d^3*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (1/5)*b*c*d^3*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (1/21)*b*c^2*d^3*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x]) - (d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(140*c^4) + (1/4)*d^3*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (3/5)*c*d^3*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (1/2)*c^2*d^3*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (1/7)*c^3*d^3*x^7*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (52*b*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(35*c^4) + (11*b^2*d^3*Log[1 - c^2*x^2])/(10*c^4) - (26*b^2*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(35*c^4)}
+{x^2*(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 52, (11*a*b*d^3*x)/(6*c^2) + (37*b^2*d^3*x)/(30*c^2) + (61*b^2*d^3*x^2)/(180*c) + (1/10)*b^2*d^3*x^3 + (1/60)*b^2*c*d^3*x^4 - (37*b^2*d^3*ArcTanh[c*x])/(30*c^3) + (11*b^2*d^3*x*ArcTanh[c*x])/(6*c^2) + (14*b*d^3*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(15*c) + (11/18)*b*d^3*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (3/10)*b*c*d^3*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (1/15)*b*c^2*d^3*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(60*c^3) + (1/3)*d^3*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (3/4)*c*d^3*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (3/5)*c^2*d^3*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (1/6)*c^3*d^3*x^6*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (28*b*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(15*c^3) + (113*b^2*d^3*Log[1 - c^2*x^2])/(90*c^3) - (14*b^2*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(15*c^3)}
+{x^1*(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 38, (5*a*b*d^3*x)/(2*c) + (13*b^2*d^3*x)/(10*c) + (1/4)*b^2*d^3*x^2 + (1/30)*b^2*c*d^3*x^3 - (13*b^2*d^3*ArcTanh[c*x])/(10*c^2) + (5*b^2*d^3*x*ArcTanh[c*x])/(2*c) + (6/5)*b*d^3*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (1/2)*b*c*d^3*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (1/10)*b*c^2*d^3*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]) - (d^3*(1 + c*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(4*c^2) + (d^3*(1 + c*x)^5*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(5*c^2) - (12*b*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(5*c^2) + (3*b^2*d^3*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^2) - (6*b^2*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(5*c^2)}
+{x^0*(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 16, (7/2)*a*b*d^3*x + b^2*d^3*x + (1/12)*b^2*c*d^3*x^2 - (b^2*d^3*ArcTanh[c*x])/c + (7/2)*b^2*d^3*x*ArcTanh[c*x] + b*c*d^3*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (1/6)*b*c^2*d^3*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (d^3*(1 + c*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(4*c) - (4*b*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/c + (11*b^2*d^3*Log[1 - c^2*x^2])/(6*c) - (2*b^2*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/c}
+{(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^1, x, 28, 3*a*b*c*d^3*x + (1/3)*b^2*c*d^3*x - (1/3)*b^2*d^3*ArcTanh[c*x] + 3*b^2*c*d^3*x*ArcTanh[c*x] + (1/3)*b*c^2*d^3*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (11/6)*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + 3*c*d^3*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (3/2)*c^2*d^3*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (1/3)*c^3*d^3*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + 2*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)] - (20/3)*b*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)] + (3/2)*b^2*d^3*Log[1 - c^2*x^2] - (10/3)*b^2*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] - b*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] + b*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)] + (1/2)*b^2*d^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)] - (1/2)*b^2*d^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)]}
+{(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^2, x, 23, a*b*c^2*d^3*x + b^2*c^2*d^3*x*ArcTanh[c*x] + (7/2)*c*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/x + 3*c^2*d^3*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (1/2)*c^3*d^3*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + 6*c*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)] - 6*b*c*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)] + (1/2)*b^2*c*d^3*Log[1 - c^2*x^2] + 2*b*c*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)] - 3*b^2*c*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] - 3*b*c*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] + 3*b*c*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)] - b^2*c*d^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)] + (3/2)*b^2*c*d^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)] - (3/2)*b^2*c*d^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)]}
+{(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^3, x, 25, -((b*c*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x) + (9/2)*c^2*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*x^2) - (3*c*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/x + c^3*d^3*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + 6*c^2*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)] + b^2*c^2*d^3*Log[x] - 2*b*c^2*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)] - (1/2)*b^2*c^2*d^3*Log[1 - c^2*x^2] + 6*b*c^2*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)] - b^2*c^2*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] - 3*b*c^2*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] + 3*b*c^2*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)] - 3*b^2*c^2*d^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)] + (3/2)*b^2*c^2*d^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)] - (3/2)*b^2*c^2*d^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)]}
+{(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^4, x, 28, -((b^2*c^2*d^3)/(3*x)) + (1/3)*b^2*c^3*d^3*ArcTanh[c*x] - (b*c*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*x^2) - (3*b*c^2*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x + (29/6)*c^3*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 - (d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(3*x^3) - (3*c*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*x^2) - (3*c^2*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/x + 2*c^3*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)] + 3*b^2*c^3*d^3*Log[x] - (3/2)*b^2*c^3*d^3*Log[1 - c^2*x^2] + (20/3)*b*c^3*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)] - b*c^3*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] + b*c^3*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)] - (10/3)*b^2*c^3*d^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)] + (1/2)*b^2*c^3*d^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)] - (1/2)*b^2*c^3*d^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)]}
+{(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^5, x, 18, -((b^2*c^2*d^3)/(12*x^2)) - (b^2*c^3*d^3)/x + b^2*c^4*d^3*ArcTanh[c*x] - (b*c*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(6*x^3) - (b*c^2*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/x^2 - (7*b*c^3*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*x) - (d^3*(1 + c*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(4*x^4) + 4*a*b*c^4*d^3*Log[x] + (11/3)*b^2*c^4*d^3*Log[x] + 4*b*c^4*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)] - (11/6)*b^2*c^4*d^3*Log[1 - c^2*x^2] - 2*b^2*c^4*d^3*PolyLog[2, (-c)*x] + 2*b^2*c^4*d^3*PolyLog[2, c*x] + 2*b^2*c^4*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)]}
+{(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^6, x, 22, -((b^2*c^2*d^3)/(30*x^3)) - (b^2*c^3*d^3)/(4*x^2) - (13*b^2*c^4*d^3)/(10*x) + (13/10)*b^2*c^5*d^3*ArcTanh[c*x] - (b*c*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(10*x^4) - (b*c^2*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*x^3) - (6*b*c^3*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(5*x^2) - (5*b*c^4*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*x) - (d^3*(1 + c*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(5*x^5) + (c*d^3*(1 + c*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(20*x^4) + (12/5)*a*b*c^5*d^3*Log[x] + 3*b^2*c^5*d^3*Log[x] + (12/5)*b*c^5*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)] - (3/2)*b^2*c^5*d^3*Log[1 - c^2*x^2] - (6/5)*b^2*c^5*d^3*PolyLog[2, (-c)*x] + (6/5)*b^2*c^5*d^3*PolyLog[2, c*x] + (6/5)*b^2*c^5*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)]}
+{(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^7, x, 29, -((b^2*c^2*d^3)/(60*x^4)) - (b^2*c^3*d^3)/(10*x^3) - (61*b^2*c^4*d^3)/(180*x^2) - (37*b^2*c^5*d^3)/(30*x) + (37/30)*b^2*c^6*d^3*ArcTanh[c*x] - (b*c*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(15*x^5) - (3*b*c^2*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(10*x^4) - (11*b*c^3*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(18*x^3) - (14*b*c^4*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(15*x^2) - (11*b*c^5*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(6*x) - (d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(6*x^6) - (3*c*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(5*x^5) - (3*c^2*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(4*x^4) - (c^3*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(3*x^3) + (28/15)*a*b*c^6*d^3*Log[x] + (113/45)*b^2*c^6*d^3*Log[x] + (37/20)*b*c^6*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)] + (1/60)*b*c^6*d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)] - (113/90)*b^2*c^6*d^3*Log[1 - c^2*x^2] - (14/15)*b^2*c^6*d^3*PolyLog[2, (-c)*x] + (14/15)*b^2*c^6*d^3*PolyLog[2, c*x] + (37/40)*b^2*c^6*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] - (1/120)*b^2*c^6*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)]}
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q<0*)
+
+
+{x^3/(d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 26, -((a*b*x)/(c^3*d)) + (b^2*x)/(3*c^3*d) - (b^2*ArcTanh[c*x])/(3*c^4*d) - (b^2*x*ArcTanh[c*x])/(c^3*d) + (b*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*c^2*d) + (11*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(6*c^4*d) + (x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(c^3*d) - (x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c^2*d) + (x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(3*c*d) - (8*b*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(3*c^4*d) + ((a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/(c^4*d) - (b^2*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^4*d) - (4*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(3*c^4*d) - (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^4*d) - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c^4*d)}
+{x^2/(d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 16, (a*b*x)/(c^2*d) + (b^2*x*ArcTanh[c*x])/(c^2*d) - (3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c^3*d) - (x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(c^2*d) + (x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c*d) + (2*b*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(c^3*d) - ((a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/(c^3*d) + (b^2*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^3*d) + (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(c^3*d) + (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^3*d) + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c^3*d)}
+{x^1/(d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 9, (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(c^2*d) + (x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(c*d) - (2*b*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(c^2*d) + ((a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/(c^2*d) - (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(c^2*d) - (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^2*d) - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c^2*d)}
+{x^0/(d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 3, -(((a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/(c*d)) + (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c*d) + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c*d)}
+{1/(d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^1, x, 3, ((a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2 - 2/(1 + c*x)])/d - (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)])/d - (b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + c*x)])/(2*d)}
+{1/(d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^2, x, 8, (c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/d - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(d*x) + (2*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)])/d - (c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2 - 2/(1 + c*x)])/d - (b^2*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)])/d + (b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)])/d + (b^2*c*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + c*x)])/(2*d)}
+{1/(d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^3, x, 17, -((b*c*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d*x)) - (c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*d) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(2*d*x^2) + (c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(d*x) + (b^2*c^2*Log[x])/d - (b^2*c^2*Log[1 - c^2*x^2])/(2*d) - (2*b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)])/d + (c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2 - 2/(1 + c*x)])/d + (b^2*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)])/d - (b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)])/d - (b^2*c^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + c*x)])/(2*d)}
+{1/(d + c*d*x)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^4, x, 26, -((b^2*c^2)/(3*d*x)) + (b^2*c^3*ArcTanh[c*x])/(3*d) - (b*c*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*d*x^2) + (b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d*x) + (5*c^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(6*d) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(3*d*x^3) + (c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*d*x^2) - (c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(d*x) - (b^2*c^3*Log[x])/d + (b^2*c^3*Log[1 - c^2*x^2])/(2*d) + (8*b*c^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)])/(3*d) - (c^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2 - 2/(1 + c*x)])/d - (4*b^2*c^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)])/(3*d) + (b*c^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)])/d + (b^2*c^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + c*x)])/(2*d)}
+
+
+{x^4/(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 33, -((2*a*b*x)/(c^4*d^2)) + (b^2*x)/(3*c^4*d^2) - b^2/(2*c^5*d^2*(1 + c*x)) + (b^2*ArcTanh[c*x])/(6*c^5*d^2) - (2*b^2*x*ArcTanh[c*x])/(c^4*d^2) + (b*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*c^3*d^2) - (b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(c^5*d^2*(1 + c*x)) + (29*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(6*c^5*d^2) + (3*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(c^4*d^2) - (x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(c^3*d^2) + (x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(3*c^2*d^2) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(c^5*d^2*(1 + c*x)) - (20*b*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(3*c^5*d^2) + (4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/(c^5*d^2) - (b^2*Log[1 - c^2*x^2])/(c^5*d^2) - (10*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(3*c^5*d^2) - (4*b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^5*d^2) - (2*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^5*d^2)}
+{x^3/(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 24, (a*b*x)/(c^3*d^2) + b^2/(2*c^4*d^2*(1 + c*x)) - (b^2*ArcTanh[c*x])/(2*c^4*d^2) + (b^2*x*ArcTanh[c*x])/(c^3*d^2) + (b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(c^4*d^2*(1 + c*x)) - (3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(c^4*d^2) - (2*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(c^3*d^2) + (x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c^2*d^2) + (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(c^4*d^2*(1 + c*x)) + (4*b*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(c^4*d^2) - (3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/(c^4*d^2) + (b^2*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^4*d^2) + (2*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(c^4*d^2) + (3*b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^4*d^2) + (3*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c^4*d^2)}
+{x^2/(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 18, -(b^2/(2*c^3*d^2*(1 + c*x))) + (b^2*ArcTanh[c*x])/(2*c^3*d^2) - (b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(c^3*d^2*(1 + c*x)) + (3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c^3*d^2) + (x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(c^2*d^2) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(c^3*d^2*(1 + c*x)) - (2*b*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(c^3*d^2) + (2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/(c^3*d^2) - (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(c^3*d^2) - (2*b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^3*d^2) - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^3*d^2)}
+{x^1/(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 13, b^2/(2*c^2*d^2*(1 + c*x)) - (b^2*ArcTanh[c*x])/(2*c^2*d^2) + (b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(c^2*d^2*(1 + c*x)) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(2*c^2*d^2) + (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(c^2*d^2*(1 + c*x)) - ((a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/(c^2*d^2) + (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^2*d^2) + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c^2*d^2)}
+{x^0/(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 8, -(b^2/(2*c*d^2*(1 + c*x))) + (b^2*ArcTanh[c*x])/(2*c*d^2) - (b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(c*d^2*(1 + c*x)) + (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(2*c*d^2) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(c*d^2*(1 + c*x))}
+{1/(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^1, x, 19, b^2/(2*d^2*(1 + c*x)) - (b^2*ArcTanh[c*x])/(2*d^2) + (b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d^2*(1 + c*x)) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(2*d^2) + (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(d^2*(1 + c*x)) + (2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)])/d^2 + ((a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/d^2 - (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/d^2 + (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)])/d^2 - (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/d^2 + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*d^2) - (b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)])/(2*d^2) - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*d^2)}
+{1/(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^2, x, 23, -((b^2*c)/(2*d^2*(1 + c*x))) + (b^2*c*ArcTanh[c*x])/(2*d^2) - (b*c*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d^2*(1 + c*x)) + (3*c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*d^2) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(d^2*x) - (c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(d^2*(1 + c*x)) - (4*c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)])/d^2 - (2*c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/d^2 + (2*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)])/d^2 + (2*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/d^2 - (2*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)])/d^2 + (2*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/d^2 - (b^2*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)])/d^2 - (b^2*c*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/d^2 + (b^2*c*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)])/d^2 + (b^2*c*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/d^2}
+{1/(d + c*d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^3, x, 31, (b^2*c^2)/(2*d^2*(1 + c*x)) - (b^2*c^2*ArcTanh[c*x])/(2*d^2) - (b*c*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d^2*x) + (b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d^2*(1 + c*x)) - (2*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/d^2 - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(2*d^2*x^2) + (2*c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(d^2*x) + (c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(d^2*(1 + c*x)) + (6*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)])/d^2 + (b^2*c^2*Log[x])/d^2 + (3*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/d^2 - (b^2*c^2*Log[1 - c^2*x^2])/(2*d^2) - (4*b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)])/d^2 - (3*b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/d^2 + (3*b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)])/d^2 - (3*b*c^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/d^2 + (2*b^2*c^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)])/d^2 + (3*b^2*c^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*d^2) - (3*b^2*c^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)])/(2*d^2) - (3*b^2*c^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*d^2)}
+
+
+{x^4/(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 37, (a*b*x)/(c^4*d^3) - b^2/(16*c^5*d^3*(1 + c*x)^2) + (29*b^2)/(16*c^5*d^3*(1 + c*x)) - (29*b^2*ArcTanh[c*x])/(16*c^5*d^3) + (b^2*x*ArcTanh[c*x])/(c^4*d^3) - (b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*c^5*d^3*(1 + c*x)^2) + (15*b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*c^5*d^3*(1 + c*x)) - (43*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(8*c^5*d^3) - (3*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(c^4*d^3) + (x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c^3*d^3) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(2*c^5*d^3*(1 + c*x)^2) + (4*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(c^5*d^3*(1 + c*x)) + (6*b*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(c^5*d^3) - (6*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/(c^5*d^3) + (b^2*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^5*d^3) + (3*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(c^5*d^3) + (6*b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^5*d^3) + (3*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^5*d^3)}
+{x^3/(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 31, b^2/(16*c^4*d^3*(1 + c*x)^2) - (21*b^2)/(16*c^4*d^3*(1 + c*x)) + (21*b^2*ArcTanh[c*x])/(16*c^4*d^3) + (b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*c^4*d^3*(1 + c*x)^2) - (11*b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*c^4*d^3*(1 + c*x)) + (19*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(8*c^4*d^3) + (x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(c^3*d^3) + (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(2*c^4*d^3*(1 + c*x)^2) - (3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(c^4*d^3*(1 + c*x)) - (2*b*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(c^4*d^3) + (3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/(c^4*d^3) - (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(c^4*d^3) - (3*b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^4*d^3) - (3*b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c^4*d^3)}
+{x^2/(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 26, -(b^2/(16*c^3*d^3*(1 + c*x)^2)) + (13*b^2)/(16*c^3*d^3*(1 + c*x)) - (13*b^2*ArcTanh[c*x])/(16*c^3*d^3) - (b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*c^3*d^3*(1 + c*x)^2) + (7*b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*c^3*d^3*(1 + c*x)) - (7*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(8*c^3*d^3) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(2*c^3*d^3*(1 + c*x)^2) + (2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(c^3*d^3*(1 + c*x)) - ((a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/(c^3*d^3) + (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(c^3*d^3) + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c^3*d^3)}
+{x^1/(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 13, b^2/(16*c^2*d^3*(1 + c*x)^2) - (5*b^2)/(16*c^2*d^3*(1 + c*x)) + (5*b^2*ArcTanh[c*x])/(16*c^2*d^3) + (b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*c^2*d^3*(1 + c*x)^2) - (3*b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*c^2*d^3*(1 + c*x)) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(8*c^2*d^3) + (x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*d^3*(1 + c*x)^2)}
+{x^0/(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2, x, 13, -(b^2/(16*c*d^3*(1 + c*x)^2)) - (3*b^2)/(16*c*d^3*(1 + c*x)) + (3*b^2*ArcTanh[c*x])/(16*c*d^3) - (b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*c*d^3*(1 + c*x)^2) - (b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*c*d^3*(1 + c*x)) + (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(8*c*d^3) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(2*c*d^3*(1 + c*x)^2)}
+{1/(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^1, x, 32, b^2/(16*d^3*(1 + c*x)^2) + (11*b^2)/(16*d^3*(1 + c*x)) - (11*b^2*ArcTanh[c*x])/(16*d^3) + (b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*d^3*(1 + c*x)^2) + (5*b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*d^3*(1 + c*x)) - (5*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(8*d^3) + (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(2*d^3*(1 + c*x)^2) + (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(d^3*(1 + c*x)) + (2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)])/d^3 + ((a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/d^3 - (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/d^3 + (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)])/d^3 - (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/d^3 + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*d^3) - (b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)])/(2*d^3) - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*d^3)}
+{1/(d + c*d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/x^2, x, 36, -((b^2*c)/(16*d^3*(1 + c*x)^2)) - (19*b^2*c)/(16*d^3*(1 + c*x)) + (19*b^2*c*ArcTanh[c*x])/(16*d^3) - (b*c*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*d^3*(1 + c*x)^2) - (9*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*d^3*(1 + c*x)) + (17*c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(8*d^3) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(d^3*x) - (c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*d^3*(1 + c*x)^2) - (2*c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(d^3*(1 + c*x)) - (6*c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)])/d^3 - (3*c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/d^3 + (2*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)])/d^3 + (3*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/d^3 - (3*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)])/d^3 + (3*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/d^3 - (b^2*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)])/d^3 - (3*b^2*c*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*d^3) + (3*b^2*c*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)])/(2*d^3) + (3*b^2*c*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*d^3)}
+
+
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^2/(1 + c*x)^4, x, 18, -(b^2/(54*c*(1 + c*x)^3)) - (5*b^2)/(144*c*(1 + c*x)^2) - (11*b^2)/(144*c*(1 + c*x)) + (11*b^2*ArcTanh[c*x])/(144*c) - (b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(9*c*(1 + c*x)^3) - (b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(12*c*(1 + c*x)^2) - (b*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(12*c*(1 + c*x)) + (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(24*c) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(3*c*(1 + c*x)^3)}
+
+
+{ArcTanh[a*x]^2/(c*x - a*c*x^2), x, 4, (ArcTanh[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 - a*x)])/c + (ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - a*x)])/c - PolyLog[3, -1 + 2/(1 - a*x)]/(2*c)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b ArcTanh[c x])^3 when c^2 d^2 - e^2=0*)
+
+
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^3*(1 + c*x)^3, x, 26, 3*a*b^2*x + (b^3*x)/4 - (b^3*ArcTanh[c*x])/(4*c) + 3*b^3*x*ArcTanh[c*x] + (1/4)*b^2*c*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (4*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/c + (21/4)*b*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (3/2)*b*c*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (1/4)*b*c^2*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + ((1 + c*x)^4*(a + b*ArcTanh[c*x])^3)/(4*c) - (11*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/c - (6*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 - c*x)])/c + (3*b^3*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c) - (11*b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*c) - (6*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/c + (3*b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/c}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^3*(1 + c*x)^2, x, 17, a*b^2*x + b^3*x*ArcTanh[c*x] + (5*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c) + 3*b*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + (1/2)*b*c*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + ((1 + c*x)^3*(a + b*ArcTanh[c*x])^3)/(3*c) - (6*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/c - (4*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 - c*x)])/c + (b^3*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c) - (3*b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/c - (4*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/c + (2*b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/c}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^3*(1 + c*x)^1, x, 11, (3*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c) + (3/2)*b*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2 + ((1 + c*x)^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^3)/(2*c) - (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/c - (3*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 - c*x)])/c - (3*b^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*c) - (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/c + (3*b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^3/(1 + c*x)^1, x, 4, -(((a + b*ArcTanh[c*x])^3*Log[2/(1 + c*x)])/c) + (3*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c) + (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c) + (3*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + c*x)])/(4*c)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^3/(1 + c*x)^2, x, 11, -((3*b^3)/(4*c*(1 + c*x))) + (3*b^3*ArcTanh[c*x])/(4*c) - (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*c*(1 + c*x)) + (3*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(4*c) - (3*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*c*(1 + c*x)) + (a + b*ArcTanh[c*x])^3/(2*c) - (a + b*ArcTanh[c*x])^3/(c*(1 + c*x))}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^3/(1 + c*x)^3, x, 24, -((3*b^3)/(64*c*(1 + c*x)^2)) - (21*b^3)/(64*c*(1 + c*x)) + (21*b^3*ArcTanh[c*x])/(64*c) - (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(16*c*(1 + c*x)^2) - (9*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(16*c*(1 + c*x)) + (9*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(32*c) - (3*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(8*c*(1 + c*x)^2) - (3*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(8*c*(1 + c*x)) + (a + b*ArcTanh[c*x])^3/(8*c) - (a + b*ArcTanh[c*x])^3/(2*c*(1 + c*x)^2)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^3/(1 + c*x)^4, x, 42, -(b^3/(108*c*(1 + c*x)^3)) - (19*b^3)/(576*c*(1 + c*x)^2) - (85*b^3)/(576*c*(1 + c*x)) + (85*b^3*ArcTanh[c*x])/(576*c) - (b^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(18*c*(1 + c*x)^3) - (5*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(48*c*(1 + c*x)^2) - (11*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(48*c*(1 + c*x)) + (11*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(96*c) - (b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(6*c*(1 + c*x)^3) - (b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(8*c*(1 + c*x)^2) - (b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(8*c*(1 + c*x)) + (a + b*ArcTanh[c*x])^3/(24*c) - (a + b*ArcTanh[c*x])^3/(3*c*(1 + c*x)^3)}
+
+
+{(x^2*ArcTanh[a*x]^3)/(c + a*c*x), x, 19, (3*ArcTanh[a*x]^2)/(2*a^3*c) + (3*x*ArcTanh[a*x]^2)/(2*a^2*c) - (3*ArcTanh[a*x]^3)/(2*a^3*c) - (x*ArcTanh[a*x]^3)/(a^2*c) + (x^2*ArcTanh[a*x]^3)/(2*a*c) - (3*ArcTanh[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/(a^3*c) + (3*ArcTanh[a*x]^2*Log[2/(1 - a*x)])/(a^3*c) - (ArcTanh[a*x]^3*Log[2/(1 + a*x)])/(a^3*c) - (3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(2*a^3*c) + (3*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a^3*c) + (3*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a*x)])/(2*a^3*c) - (3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)])/(2*a^3*c) + (3*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + a*x)])/(2*a^3*c) + (3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + a*x)])/(4*a^3*c)}
+{(x*ArcTanh[a*x]^3)/(c + a*c*x), x, 10, ArcTanh[a*x]^3/(a^2*c) + (x*ArcTanh[a*x]^3)/(a*c) - (3*ArcTanh[a*x]^2*Log[2/(1 - a*x)])/(a^2*c) + (ArcTanh[a*x]^3*Log[2/(1 + a*x)])/(a^2*c) - (3*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a^2*c) - (3*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a*x)])/(2*a^2*c) + (3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)])/(2*a^2*c) - (3*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + a*x)])/(2*a^2*c) - (3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + a*x)])/(4*a^2*c)}
+{ArcTanh[a*x]^3/(c + a*c*x), x, 4, -((ArcTanh[a*x]^3*Log[2/(1 + a*x)])/(a*c)) + (3*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a*x)])/(2*a*c) + (3*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + a*x)])/(2*a*c) + (3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + a*x)])/(4*a*c)}
+{ArcTanh[a*x]^3/(x*(c + a*c*x)), x, 4, (ArcTanh[a*x]^3*Log[2 - 2/(1 + a*x)])/c - (3*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)])/(2*c) - (3*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)])/(2*c) - (3*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + a*x)])/(4*c)}
+{ArcTanh[a*x]^3/(c*x + a*c*x^2), x, 5, (ArcTanh[a*x]^3*Log[2 - 2/(1 + a*x)])/c - (3*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)])/(2*c) - (3*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)])/(2*c) - (3*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + a*x)])/(4*c)}
+{ArcTanh[a*x]^3/(x^2*(c + a*c*x)), x, 10, (a*ArcTanh[a*x]^3)/c - ArcTanh[a*x]^3/(c*x) + (3*a*ArcTanh[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 + a*x)])/c - (a*ArcTanh[a*x]^3*Log[2 - 2/(1 + a*x)])/c - (3*a*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)])/c + (3*a*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)])/(2*c) - (3*a*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)])/(2*c) + (3*a*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)])/(2*c) + (3*a*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + a*x)])/(4*c)}
+{ArcTanh[a*x]^3/(x^3*(c + a*c*x)), x, 18, (3*a^2*ArcTanh[a*x]^2)/(2*c) - (3*a*ArcTanh[a*x]^2)/(2*c*x) - (a^2*ArcTanh[a*x]^3)/(2*c) - ArcTanh[a*x]^3/(2*c*x^2) + (a*ArcTanh[a*x]^3)/(c*x) + (3*a^2*ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)])/c - (3*a^2*ArcTanh[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 + a*x)])/c + (a^2*ArcTanh[a*x]^3*Log[2 - 2/(1 + a*x)])/c - (3*a^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)])/(2*c) + (3*a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)])/c - (3*a^2*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)])/(2*c) + (3*a^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)])/(2*c) - (3*a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)])/(2*c) - (3*a^2*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + a*x)])/(4*c)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b ArcTanh[c x])^4 when c^2 d^2 - e^2=0*)
+
+
+{(x^2*ArcTanh[a*x]^4)/(c - a*c*x), x, 21, (-2*ArcTanh[a*x]^3)/(a^3*c) - (2*x*ArcTanh[a*x]^3)/(a^2*c) - ArcTanh[a*x]^4/(2*a^3*c) - (x*ArcTanh[a*x]^4)/(a^2*c) - (x^2*ArcTanh[a*x]^4)/(2*a*c) + (6*ArcTanh[a*x]^2*Log[2/(1 - a*x)])/(a^3*c) + (4*ArcTanh[a*x]^3*Log[2/(1 - a*x)])/(a^3*c) + (ArcTanh[a*x]^4*Log[2/(1 - a*x)])/(a^3*c) + (6*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a^3*c) + (6*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a^3*c) + (2*ArcTanh[a*x]^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a^3*c) - (3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a^3*c) - (6*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a^3*c) - (3*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a^3*c) + (3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a^3*c) + (3*ArcTanh[a*x]*PolyLog[4, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a^3*c) - (3*PolyLog[5, 1 - 2/(1 - a*x)])/(2*a^3*c)}
+{(x*ArcTanh[a*x]^4)/(c - a*c*x), x, 12, -(ArcTanh[a*x]^4/(a^2*c)) - (x*ArcTanh[a*x]^4)/(a*c) + (4*ArcTanh[a*x]^3*Log[2/(1 - a*x)])/(a^2*c) + (ArcTanh[a*x]^4*Log[2/(1 - a*x)])/(a^2*c) + (6*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a^2*c) + (2*ArcTanh[a*x]^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a^2*c) - (6*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a^2*c) - (3*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a^2*c) + (3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a^2*c) + (3*ArcTanh[a*x]*PolyLog[4, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a^2*c) - (3*PolyLog[5, 1 - 2/(1 - a*x)])/(2*a^2*c)}
+{ArcTanh[a*x]^4/(c - a*c*x), x, 5, (ArcTanh[a*x]^4*Log[2/(1 - a*x)])/(a*c) + (2*ArcTanh[a*x]^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a*c) - (3*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a*c) + (3*ArcTanh[a*x]*PolyLog[4, 1 - 2/(1 - a*x)])/(a*c) - (3*PolyLog[5, 1 - 2/(1 - a*x)])/(2*a*c)}
+{ArcTanh[a*x]^4/(x*(c - a*c*x)), x, 5, (ArcTanh[a*x]^4*Log[2 - 2/(1 - a*x)])/c + (2*ArcTanh[a*x]^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - a*x)])/c - (3*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - a*x)])/c + (3*ArcTanh[a*x]*PolyLog[4, -1 + 2/(1 - a*x)])/c - (3*PolyLog[5, -1 + 2/(1 - a*x)])/(2*c)}
+{ArcTanh[a*x]^4/(c*x - a*c*x^2), x, 6, (ArcTanh[a*x]^4*Log[2 - 2/(1 - a*x)])/c + (2*ArcTanh[a*x]^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - a*x)])/c - (3*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - a*x)])/c + (3*ArcTanh[a*x]*PolyLog[4, -1 + 2/(1 - a*x)])/c - (3*PolyLog[5, -1 + 2/(1 - a*x)])/(2*c)}
+{ArcTanh[a*x]^4/(x^2*(c - a*c*x)), x, 12, (a*ArcTanh[a*x]^4)/c - ArcTanh[a*x]^4/(c*x) + (a*ArcTanh[a*x]^4*Log[2 - 2/(1 - a*x)])/c + (4*a*ArcTanh[a*x]^3*Log[2 - 2/(1 + a*x)])/c + (2*a*ArcTanh[a*x]^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - a*x)])/c - (6*a*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)])/c - (3*a*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - a*x)])/c - (6*a*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)])/c + (3*a*ArcTanh[a*x]*PolyLog[4, -1 + 2/(1 - a*x)])/c - (3*a*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + a*x)])/c - (3*a*PolyLog[5, -1 + 2/(1 - a*x)])/(2*c)}
+{ArcTanh[a*x]^4/(x^3*(c - a*c*x)), x, 21, (2*a^2*ArcTanh[a*x]^3)/c - (2*a*ArcTanh[a*x]^3)/(c*x) + (3*a^2*ArcTanh[a*x]^4)/(2*c) - ArcTanh[a*x]^4/(2*c*x^2) - (a*ArcTanh[a*x]^4)/(c*x) + (a^2*ArcTanh[a*x]^4*Log[2 - 2/(1 - a*x)])/c + (6*a^2*ArcTanh[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 + a*x)])/c + (4*a^2*ArcTanh[a*x]^3*Log[2 - 2/(1 + a*x)])/c + (2*a^2*ArcTanh[a*x]^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - a*x)])/c - (6*a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)])/c - (6*a^2*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)])/c - (3*a^2*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - a*x)])/c - (3*a^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)])/c - (6*a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)])/c + (3*a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[4, -1 + 2/(1 - a*x)])/c - (3*a^2*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + a*x)])/c - (3*a^2*PolyLog[5, -1 + 2/(1 - a*x)])/(2*c)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b ArcTanh[c x])^-1 when c^2 d^2 - e^2=0*)
+
+
+{x/(ArcTanh[a*x]*(c + a*c*x)), x, 0, Unintegrable[x/((c + a*c*x)*ArcTanh[a*x]), x]}
+{1/(ArcTanh[a*x]*(c + a*c*x)), x, 0, Unintegrable[1/((c + a*c*x)*ArcTanh[a*x]), x]}
+{1/(x*ArcTanh[a*x]*(c + a*c*x)), x, 0, Unintegrable[1/(x*(c + a*c*x)*ArcTanh[a*x]), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b ArcTanh[c x])^-2 when c^2 d^2 - e^2=0*)
+
+
+{x/(ArcTanh[a*x]^2*(c + a*c*x)), x, 0, Unintegrable[x/((c + a*c*x)*ArcTanh[a*x]^2), x]}
+{1/(ArcTanh[a*x]^2*(c + a*c*x)), x, 0, Unintegrable[1/((c + a*c*x)*ArcTanh[a*x]^2), x]}
+{1/(x*ArcTanh[a*x]^2*(c + a*c*x)), x, 0, Unintegrable[1/(x*(c + a*c*x)*ArcTanh[a*x]^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^q (a+b ArcTanh[c x])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m / (d+e x) (a+b ArcTanh[c x])^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])/(d + e*x), x, 16, (a*d^2*x)/e^3 - (b*d*x)/(2*c*e^2) + (b*x^2)/(6*c*e) + (b*d*ArcTanh[c*x])/(2*c^2*e^2) + (b*d^2*x*ArcTanh[c*x])/e^3 - (d*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*e^2) + (x^3*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*e) + (d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/e^4 - (d^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/e^4 + (b*d^2*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c*e^3) + (b*Log[1 - c^2*x^2])/(6*c^3*e) - (b*d^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*e^4) + (b*d^3*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*e^4)}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])/(d + e*x), x, 12, -((a*d*x)/e^2) + (b*x)/(2*c*e) - (b*ArcTanh[c*x])/(2*c^2*e) - (b*d*x*ArcTanh[c*x])/e^2 + (x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(2*e) - (d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/e^3 + (d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/e^3 - (b*d*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c*e^2) + (b*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*e^3) - (b*d^2*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*e^3)}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*x])/(d + e*x), x, 9, (a*x)/e + (b*x*ArcTanh[c*x])/e + (d*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/e^2 - (d*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/e^2 + (b*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c*e) - (b*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*e^2) + (b*d*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*e^2)}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*x])/(d + e*x), x, 4, -(((a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/e) + ((a + b*ArcTanh[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/e + (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*e) - (b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*e)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(x^1*(d + e*x)), x, 7, (a*Log[x])/d + ((a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/d - ((a + b*ArcTanh[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/d - (b*PolyLog[2, (-c)*x])/(2*d) + (b*PolyLog[2, c*x])/(2*d) - (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*d) + (b*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*d)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(x^2*(d + e*x)), x, 12, -((a + b*ArcTanh[c*x])/(d*x)) + (b*c*Log[x])/d - (a*e*Log[x])/d^2 - (e*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/d^2 + (e*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/d^2 - (b*c*Log[1 - c^2*x^2])/(2*d) + (b*e*PolyLog[2, (-c)*x])/(2*d^2) - (b*e*PolyLog[2, c*x])/(2*d^2) + (b*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*d^2) - (b*e*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*d^2)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])/(x^3*(d + e*x)), x, 15, -((b*c)/(2*d*x)) + (b*c^2*ArcTanh[c*x])/(2*d) - (a + b*ArcTanh[c*x])/(2*d*x^2) + (e*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(d^2*x) - (b*c*e*Log[x])/d^2 + (a*e^2*Log[x])/d^3 + (e^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 + c*x)])/d^3 - (e^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/d^3 + (b*c*e*Log[1 - c^2*x^2])/(2*d^2) - (b*e^2*PolyLog[2, (-c)*x])/(2*d^3) + (b*e^2*PolyLog[2, c*x])/(2*d^3) - (b*e^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*d^3) + (b*e^2*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*d^3)}
+
+
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/(d + e*x), x, 14, (a*b*x)/(c*e) + (b^2*x*ArcTanh[c*x])/(c*e) - (d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(c*e^2) - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(2*c^2*e) - (d*x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/e^2 + (x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(2*e) + (2*b*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(c*e^2) - (d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/e^3 + (d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/e^3 + (b^2*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^2*e) + (b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(c*e^2) + (b*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/e^3 - (b*d^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/e^3 + (b^2*d^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*e^3) - (b^2*d^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*e^3)}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/(d + e*x), x, 8, (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(c*e) + (x*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/e - (2*b*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2/(1 - c*x)])/(c*e) + (d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/e^2 - (d*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/e^2 - (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/(c*e) - (b*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/e^2 + (b*d*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/e^2 - (b^2*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*e^2) + (b^2*d*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*e^2)}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/(d + e*x), x, 1, -(((a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/e) + ((a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/e + (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/e - (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/e + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*e) - (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*e)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^2/(x^1*(d + e*x)), x, 9, (2*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)])/d + ((a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/d - ((a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/d - (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/d + (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)])/d - (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/d + (b*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/d + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*d) - (b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)])/(2*d) - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*d) + (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*d)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])^2/(x^2*(d + e*x)), x, 13, (c*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/d - (a + b*ArcTanh[c*x])^2/(d*x) - (2*e*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)])/d^2 - (e*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 + c*x)])/d^2 + (e*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/d^2 + (2*b*c*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[2 - 2/(1 + c*x)])/d + (b*e*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/d^2 - (b*e*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)])/d^2 + (b*e*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/d^2 - (b^2*c*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)])/d - (b*e*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/d^2 - (b^2*e*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*d^2) + (b^2*e*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)])/(2*d^2) + (b^2*e*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*d^2) - (b^2*e*PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/(2*d^2)}
+
+
+{ArcTanh[c*x]^2/(x*(d + e*x)), x, 9, (2*ArcTanh[c*x]^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)])/d + (ArcTanh[c*x]^2*Log[2/(1 + c*x)])/d - (ArcTanh[c*x]^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/d - (ArcTanh[c*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/d + (ArcTanh[c*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c*x)])/d - (ArcTanh[c*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/d + (ArcTanh[c*x]*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/d + PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)]/(2*d) - PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c*x)]/(2*d) - PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)]/(2*d) + PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))]/(2*d)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/((d + e*x)*(a + b*ArcTan[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/((d + e*x)*(a + b*ArcTan[c*x])), x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b ArcTanh[c x])^p with c^2 d+e=0*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^q (a+b ArcTanh[c x])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c x]^p (1-c^2 x^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)*x^4, x, 9, x^2/(35*a^3) + x^4/(70*a) - (a*x^6)/42 + (1/5)*x^5*ArcTanh[a*x] - (1/7)*a^2*x^7*ArcTanh[a*x] + Log[1 - a^2*x^2]/(35*a^5)}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)*x^3, x, 9, x/(12*a^3) + x^3/(36*a) - (a*x^5)/30 - ArcTanh[a*x]/(12*a^4) + (1/4)*x^4*ArcTanh[a*x] - (1/6)*a^2*x^6*ArcTanh[a*x]}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)*x^2, x, 9, x^2/(15*a) - (a*x^4)/20 + (1/3)*x^3*ArcTanh[a*x] - (1/5)*a^2*x^5*ArcTanh[a*x] + Log[1 - a^2*x^2]/(15*a^3)}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)*x^1, x, 2, x/(4*a) - (a*x^3)/12 - ((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x])/(4*a^2)}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)*x^0, x, 3, (1 - a^2*x^2)/(6*a) + (2/3)*x*ArcTanh[a*x] + (1/3)*x*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x] + Log[1 - a^2*x^2]/(3*a)}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)/x^1, x, 5, -((a*x)/2) + (1/2)*ArcTanh[a*x] - (1/2)*a^2*x^2*ArcTanh[a*x] - (1/2)*PolyLog[2, (-a)*x] + (1/2)*PolyLog[2, a*x]}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)/x^2, x, 8, -(ArcTanh[a*x]/x) - a^2*x*ArcTanh[a*x] + a*Log[x] - a*Log[1 - a^2*x^2]}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)/x^3, x, 5, -(a/(2*x)) + (1/2)*a^2*ArcTanh[a*x] - ArcTanh[a*x]/(2*x^2) + (1/2)*a^2*PolyLog[2, (-a)*x] - (1/2)*a^2*PolyLog[2, a*x]}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)/x^4, x, 10, -(a/(6*x^2)) - ArcTanh[a*x]/(3*x^3) + (a^2*ArcTanh[a*x])/x - (2/3)*a^3*Log[x] + (1/3)*a^3*Log[1 - a^2*x^2]}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)/x^5, x, 3, -(a/(12*x^3)) + a^3/(4*x) - ((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x])/(4*x^4)}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)/x^6, x, 9, -(a/(20*x^4)) + a^3/(15*x^2) - ArcTanh[a*x]/(5*x^5) + (a^2*ArcTanh[a*x])/(3*x^3) - (2/15)*a^5*Log[x] + (1/15)*a^5*Log[1 - a^2*x^2]}
+
+
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)*x^4, x, 34, (4*x)/(105*a^4) - (2*x^3)/(315*a^2) - x^5/105 - (4*ArcTanh[a*x])/(105*a^5) + (2*x^2*ArcTanh[a*x])/(35*a^3) + (x^4*ArcTanh[a*x])/(35*a) - (1/21)*a*x^6*ArcTanh[a*x] + (2*ArcTanh[a*x]^2)/(35*a^5) + (1/5)*x^5*ArcTanh[a*x]^2 - (1/7)*a^2*x^7*ArcTanh[a*x]^2 - (4*ArcTanh[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/(35*a^5) - (2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(35*a^5)}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)*x^3, x, 26, -(x^2/(180*a^2)) - x^4/60 + (x*ArcTanh[a*x])/(6*a^3) + (x^3*ArcTanh[a*x])/(18*a) - (1/15)*a*x^5*ArcTanh[a*x] - ArcTanh[a*x]^2/(12*a^4) + (1/4)*x^4*ArcTanh[a*x]^2 - (1/6)*a^2*x^6*ArcTanh[a*x]^2 + (7*Log[1 - a^2*x^2])/(90*a^4)}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)*x^2, x, 24, x/(30*a^2) - x^3/30 - ArcTanh[a*x]/(30*a^3) + (2*x^2*ArcTanh[a*x])/(15*a) - (1/10)*a*x^4*ArcTanh[a*x] + (2*ArcTanh[a*x]^2)/(15*a^3) + (1/3)*x^3*ArcTanh[a*x]^2 - (1/5)*a^2*x^5*ArcTanh[a*x]^2 - (4*ArcTanh[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/(15*a^3) - (2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(15*a^3)}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)*x^1, x, 4, (1 - a^2*x^2)/(12*a^2) + (x*ArcTanh[a*x])/(3*a) + (x*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x])/(6*a) - ((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2)/(4*a^2) + Log[1 - a^2*x^2]/(6*a^2)}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)*x^0, x, 7, -(x/3) + ((1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x])/(3*a) + (2*ArcTanh[a*x]^2)/(3*a) + (2/3)*x*ArcTanh[a*x]^2 + (1/3)*x*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2 - (4*ArcTanh[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/(3*a) - (2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(3*a)}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)/x^1, x, 12, (-a)*x*ArcTanh[a*x] + (1/2)*ArcTanh[a*x]^2 - (1/2)*a^2*x^2*ArcTanh[a*x]^2 + 2*ArcTanh[a*x]^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - a*x)] - (1/2)*Log[1 - a^2*x^2] - ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)] + ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - a*x)] + (1/2)*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)] - (1/2)*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)/x^2, x, 10, -(ArcTanh[a*x]^2/x) - a^2*x*ArcTanh[a*x]^2 + 2*a*ArcTanh[a*x]*Log[2/(1 - a*x)] + 2*a*ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] + a*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)] - a*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)/x^3, x, 15, -((a*ArcTanh[a*x])/x) + (1/2)*a^2*ArcTanh[a*x]^2 - ArcTanh[a*x]^2/(2*x^2) - 2*a^2*ArcTanh[a*x]^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - a*x)] + a^2*Log[x] - (1/2)*a^2*Log[1 - a^2*x^2] + a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)] - a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - a*x)] - (1/2)*a^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)] + (1/2)*a^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)/x^4, x, 13, -(a^2/(3*x)) + (1/3)*a^3*ArcTanh[a*x] - (a*ArcTanh[a*x])/(3*x^2) - (2/3)*a^3*ArcTanh[a*x]^2 - ArcTanh[a*x]^2/(3*x^3) + (a^2*ArcTanh[a*x]^2)/x - (4/3)*a^3*ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] + (2/3)*a^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)/x^5, x, 11, -(a^2/(12*x^2)) - (a*ArcTanh[a*x])/(6*x^3) + (a^3*ArcTanh[a*x])/(2*x) - ((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2)/(4*x^4) - (1/3)*a^4*Log[x] + (1/6)*a^4*Log[1 - a^2*x^2]}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)/x^6, x, 22, -(a^2/(30*x^3)) + a^4/(30*x) - (1/30)*a^5*ArcTanh[a*x] - (a*ArcTanh[a*x])/(10*x^4) + (2*a^3*ArcTanh[a*x])/(15*x^2) - (2/15)*a^5*ArcTanh[a*x]^2 - ArcTanh[a*x]^2/(5*x^5) + (a^2*ArcTanh[a*x]^2)/(3*x^3) - (4/15)*a^5*ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] + (2/15)*a^5*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+
+
+{ArcTanh[a*x]^3*(1 - a^2*x^2), x, 8, (-x)*ArcTanh[a*x] + ((1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2)/(2*a) + (2*ArcTanh[a*x]^3)/(3*a) + (2/3)*x*ArcTanh[a*x]^3 + (1/3)*x*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^3 - (2*ArcTanh[a*x]^2*Log[2/(1 - a*x)])/a - Log[1 - a^2*x^2]/(2*a) - (2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/a + PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)]/a}
+
+
+{x*ArcTanh[x/Sqrt[2]]/(1 - x^2), x, 10, ArcTanh[x/Sqrt[2]]*Log[(2*Sqrt[2])/(Sqrt[2] + x)] - (1/2)*ArcTanh[x/Sqrt[2]]*Log[-((4*(1 - x))/((2 - Sqrt[2])*(Sqrt[2] + x)))] - (1/2)*ArcTanh[x/Sqrt[2]]*Log[(4*(1 + x))/((2 + Sqrt[2])*(Sqrt[2] + x))] - (1/2)*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[2])/(Sqrt[2] + x)] + (1/4)*PolyLog[2, 1 + (4*(1 - x))/((2 - Sqrt[2])*(Sqrt[2] + x))] + (1/4)*PolyLog[2, 1 - (4*(1 + x))/((2 + Sqrt[2])*(Sqrt[2] + x))]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)*x^1, x, 0, Unintegrable[(x*(1 - a^2*x^2))/ArcTanh[a*x], x]}
+{1/ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)*x^0, x, 0, Unintegrable[(1 - a^2*x^2)/ArcTanh[a*x], x]}
+{1/ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)/x^1, x, 0, Unintegrable[(1 - a^2*x^2)/(x*ArcTanh[a*x]), x]}
+
+
+{1/ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)*x^1, x, 0, Unintegrable[(x*(1 - a^2*x^2))/ArcTanh[a*x]^2, x]}
+{1/ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)*x^0, x, 0, Unintegrable[(1 - a^2*x^2)/ArcTanh[a*x]^2, x]}
+{1/ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)/x^1, x, 0, Unintegrable[(1 - a^2*x^2)/(x*ArcTanh[a*x]^2), x]}
+
+
+{1/ArcTanh[a*x]^3*(1 - a^2*x^2)*x^0, x, 0, Unintegrable[(1 - a^2*x^2)/ArcTanh[a*x]^3, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c x]^p (1-c^2 x^2)^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^2*x^4, x, 14, (4*x^2)/(315*a^3) + (2*x^4)/(315*a) - (11*a*x^6)/378 + (a^3*x^8)/72 + (1/5)*x^5*ArcTanh[a*x] - (2/7)*a^2*x^7*ArcTanh[a*x] + (1/9)*a^4*x^9*ArcTanh[a*x] + (4*Log[1 - a^2*x^2])/(315*a^5)}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^2*x^3, x, 14, x/(24*a^3) + x^3/(72*a) - (a*x^5)/24 + (a^3*x^7)/56 - ArcTanh[a*x]/(24*a^4) + (1/4)*x^4*ArcTanh[a*x] - (1/3)*a^2*x^6*ArcTanh[a*x] + (1/8)*a^4*x^8*ArcTanh[a*x]}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^2*x^2, x, 14, (4*x^2)/(105*a) - (9*a*x^4)/140 + (a^3*x^6)/42 + (1/3)*x^3*ArcTanh[a*x] - (2/5)*a^2*x^5*ArcTanh[a*x] + (1/7)*a^4*x^7*ArcTanh[a*x] + (4*Log[1 - a^2*x^2])/(105*a^3)}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^2*x^1, x, 3, x/(6*a) - (a*x^3)/9 + (a^3*x^5)/30 - ((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x])/(6*a^2)}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^2*x^0, x, 4, (2*(1 - a^2*x^2))/(15*a) + (1 - a^2*x^2)^2/(20*a) + (8/15)*x*ArcTanh[a*x] + (4/15)*x*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x] + (1/5)*x*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x] + (4*Log[1 - a^2*x^2])/(15*a)}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^2/x^1, x, 10, -((3*a*x)/4) + (a^3*x^3)/12 + (3/4)*ArcTanh[a*x] - a^2*x^2*ArcTanh[a*x] + (1/4)*a^4*x^4*ArcTanh[a*x] - (1/2)*PolyLog[2, (-a)*x] + (1/2)*PolyLog[2, a*x]}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^2/x^2, x, 13, (a^3*x^2)/6 - ArcTanh[a*x]/x - 2*a^2*x*ArcTanh[a*x] + (1/3)*a^4*x^3*ArcTanh[a*x] + a*Log[x] - (4/3)*a*Log[1 - a^2*x^2]}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^2/x^3, x, 9, -(a/(2*x)) + (a^3*x)/2 - ArcTanh[a*x]/(2*x^2) + (1/2)*a^4*x^2*ArcTanh[a*x] + a^2*PolyLog[2, (-a)*x] - a^2*PolyLog[2, a*x]}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^2/x^4, x, 13, -(a/(6*x^2)) - ArcTanh[a*x]/(3*x^3) + (2*a^2*ArcTanh[a*x])/x + a^4*x*ArcTanh[a*x] - (5/3)*a^3*Log[x] + (4/3)*a^3*Log[1 - a^2*x^2]}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^2/x^5, x, 10, -(a/(12*x^3)) + (3*a^3)/(4*x) - (3/4)*a^4*ArcTanh[a*x] - ArcTanh[a*x]/(4*x^4) + (a^2*ArcTanh[a*x])/x^2 - (1/2)*a^4*PolyLog[2, (-a)*x] + (1/2)*a^4*PolyLog[2, a*x]}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^2/x^6, x, 15, -(a/(20*x^4)) + (7*a^3)/(30*x^2) - ArcTanh[a*x]/(5*x^5) + (2*a^2*ArcTanh[a*x])/(3*x^3) - (a^4*ArcTanh[a*x])/x + (8/15)*a^5*Log[x] - (4/15)*a^5*Log[1 - a^2*x^2]}
+
+
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^2*x^4, x, 59, (29*x)/(3780*a^4) - (67*x^3)/(11340*a^2) - (23*x^5)/3780 + (a^2*x^7)/252 - (29*ArcTanh[a*x])/(3780*a^5) + (8*x^2*ArcTanh[a*x])/(315*a^3) + (4*x^4*ArcTanh[a*x])/(315*a) - (11/189)*a*x^6*ArcTanh[a*x] + (1/36)*a^3*x^8*ArcTanh[a*x] + (8*ArcTanh[a*x]^2)/(315*a^5) + (1/5)*x^5*ArcTanh[a*x]^2 - (2/7)*a^2*x^7*ArcTanh[a*x]^2 + (1/9)*a^4*x^9*ArcTanh[a*x]^2 - (16*ArcTanh[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/(315*a^5) - (8*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(315*a^5)}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^2*x^3, x, 47, -((5*x^2)/(504*a^2)) - x^4/84 + (a^2*x^6)/168 + (x*ArcTanh[a*x])/(12*a^3) + (x^3*ArcTanh[a*x])/(36*a) - (1/12)*a*x^5*ArcTanh[a*x] + (1/28)*a^3*x^7*ArcTanh[a*x] - ArcTanh[a*x]^2/(24*a^4) + (1/4)*x^4*ArcTanh[a*x]^2 - (1/3)*a^2*x^6*ArcTanh[a*x]^2 + (1/8)*a^4*x^8*ArcTanh[a*x]^2 + (2*Log[1 - a^2*x^2])/(63*a^4)}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^2*x^2, x, 44, -(x/(210*a^2)) - (17*x^3)/630 + (a^2*x^5)/105 + ArcTanh[a*x]/(210*a^3) + (8*x^2*ArcTanh[a*x])/(105*a) - (9/70)*a*x^4*ArcTanh[a*x] + (1/21)*a^3*x^6*ArcTanh[a*x] + (8*ArcTanh[a*x]^2)/(105*a^3) + (1/3)*x^3*ArcTanh[a*x]^2 - (2/5)*a^2*x^5*ArcTanh[a*x]^2 + (1/7)*a^4*x^7*ArcTanh[a*x]^2 - (16*ArcTanh[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/(105*a^3) - (8*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(105*a^3)}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^2*x^1, x, 5, (2*(1 - a^2*x^2))/(45*a^2) + (1 - a^2*x^2)^2/(60*a^2) + (8*x*ArcTanh[a*x])/(45*a) + (4*x*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x])/(45*a) + (x*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x])/(15*a) - ((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^2)/(6*a^2) + (4*Log[1 - a^2*x^2])/(45*a^2)}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^2*x^0, x, 9, -((11*x)/30) + (a^2*x^3)/30 + (4*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x])/(15*a) + ((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x])/(10*a) + (8*ArcTanh[a*x]^2)/(15*a) + (8/15)*x*ArcTanh[a*x]^2 + (4/15)*x*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2 + (1/5)*x*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2 - (16*ArcTanh[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/(15*a) - (8*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(15*a)}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^2/x^1, x, 23, (a^2*x^2)/12 - (3/2)*a*x*ArcTanh[a*x] + (1/6)*a^3*x^3*ArcTanh[a*x] + (3/4)*ArcTanh[a*x]^2 - a^2*x^2*ArcTanh[a*x]^2 + (1/4)*a^4*x^4*ArcTanh[a*x]^2 + 2*ArcTanh[a*x]^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - a*x)] - (2/3)*Log[1 - a^2*x^2] - ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)] + ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - a*x)] + (1/2)*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)] - (1/2)*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^2/x^2, x, 20, (a^2*x)/3 - (1/3)*a*ArcTanh[a*x] + (1/3)*a^3*x^2*ArcTanh[a*x] - (2/3)*a*ArcTanh[a*x]^2 - ArcTanh[a*x]^2/x - 2*a^2*x*ArcTanh[a*x]^2 + (1/3)*a^4*x^3*ArcTanh[a*x]^2 + (10/3)*a*ArcTanh[a*x]*Log[2/(1 - a*x)] + 2*a*ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] + (5/3)*a*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)] - a*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^2/x^3, x, 21, -((a*ArcTanh[a*x])/x) + a^3*x*ArcTanh[a*x] - ArcTanh[a*x]^2/(2*x^2) + (1/2)*a^4*x^2*ArcTanh[a*x]^2 - 4*a^2*ArcTanh[a*x]^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - a*x)] + a^2*Log[x] + 2*a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)] - 2*a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - a*x)] - a^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)] + a^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^2/x^4, x, 19, -(a^2/(3*x)) + (1/3)*a^3*ArcTanh[a*x] - (a*ArcTanh[a*x])/(3*x^2) - (2/3)*a^3*ArcTanh[a*x]^2 - ArcTanh[a*x]^2/(3*x^3) + (2*a^2*ArcTanh[a*x]^2)/x + a^4*x*ArcTanh[a*x]^2 - 2*a^3*ArcTanh[a*x]*Log[2/(1 - a*x)] - (10/3)*a^3*ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - a^3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)] + (5/3)*a^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^2/x^5, x, 29, -(a^2/(12*x^2)) - (a*ArcTanh[a*x])/(6*x^3) + (3*a^3*ArcTanh[a*x])/(2*x) - (3/4)*a^4*ArcTanh[a*x]^2 - ArcTanh[a*x]^2/(4*x^4) + (a^2*ArcTanh[a*x]^2)/x^2 + 2*a^4*ArcTanh[a*x]^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - a*x)] - (4/3)*a^4*Log[x] + (2/3)*a^4*Log[1 - a^2*x^2] - a^4*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)] + a^4*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - a*x)] + (1/2)*a^4*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)] - (1/2)*a^4*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^2/x^6, x, 27, -(a^2/(30*x^3)) + (11*a^4)/(30*x) - (11/30)*a^5*ArcTanh[a*x] - (a*ArcTanh[a*x])/(10*x^4) + (7*a^3*ArcTanh[a*x])/(15*x^2) + (8/15)*a^5*ArcTanh[a*x]^2 - ArcTanh[a*x]^2/(5*x^5) + (2*a^2*ArcTanh[a*x]^2)/(3*x^3) - (a^4*ArcTanh[a*x]^2)/x + (16/15)*a^5*ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - (8/15)*a^5*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^2/x^7, x, 16, -(a^2/(60*x^4)) + (7*a^4)/(90*x^2) - (a*ArcTanh[a*x])/(15*x^5) + (2*a^3*ArcTanh[a*x])/(9*x^3) - (a^5*ArcTanh[a*x])/(3*x) - ((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^2)/(6*x^6) + (8/45)*a^6*Log[x] - (4/45)*a^6*Log[1 - a^2*x^2]}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^2/x^8, x, 42, -(a^2/(105*x^5)) + (17*a^4)/(630*x^3) + a^6/(210*x) - (1/210)*a^7*ArcTanh[a*x] - (a*ArcTanh[a*x])/(21*x^6) + (9*a^3*ArcTanh[a*x])/(70*x^4) - (8*a^5*ArcTanh[a*x])/(105*x^2) + (8/105)*a^7*ArcTanh[a*x]^2 - ArcTanh[a*x]^2/(7*x^7) + (2*a^2*ArcTanh[a*x]^2)/(5*x^5) - (a^4*ArcTanh[a*x]^2)/(3*x^3) + (16/105)*a^7*ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - (8/105)*a^7*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^2/x^9, x, 56, -(a^2/(168*x^6)) + a^4/(84*x^4) + (5*a^6)/(504*x^2) - (a*ArcTanh[a*x])/(28*x^7) + (a^3*ArcTanh[a*x])/(12*x^5) - (a^5*ArcTanh[a*x])/(36*x^3) - (a^7*ArcTanh[a*x])/(12*x) + (1/24)*a^8*ArcTanh[a*x]^2 - ArcTanh[a*x]^2/(8*x^8) + (a^2*ArcTanh[a*x]^2)/(3*x^6) - (a^4*ArcTanh[a*x]^2)/(4*x^4) + (4/63)*a^8*Log[x] - (2/63)*a^8*Log[1 - a^2*x^2]}
+
+
+{ArcTanh[a*x]^3*(1 - a^2*x^2)^2, x, 12, -((1 - a^2*x^2)/(20*a)) - x*ArcTanh[a*x] - (1/10)*x*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x] + (2*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2)/(5*a) + (3*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2)/(20*a) + (8*ArcTanh[a*x]^3)/(15*a) + (8/15)*x*ArcTanh[a*x]^3 + (4/15)*x*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^3 + (1/5)*x*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^3 - (8*ArcTanh[a*x]^2*Log[2/(1 - a*x)])/(5*a) - Log[1 - a^2*x^2]/(2*a) - (8*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(5*a) + (4*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)])/(5*a)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^2*x^1, x, 0, Unintegrable[(x*(1 - a^2*x^2)^2)/ArcTanh[a*x], x]}
+{1/ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^2*x^0, x, 0, Unintegrable[(1 - a^2*x^2)^2/ArcTanh[a*x], x]}
+{1/ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^2/x^1, x, 0, Unintegrable[(1 - a^2*x^2)^2/(x*ArcTanh[a*x]), x]}
+
+
+{1/ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^2*x^1, x, 0, Unintegrable[(x*(1 - a^2*x^2)^2)/ArcTanh[a*x]^2, x]}
+{1/ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^2*x^0, x, 0, Unintegrable[(1 - a^2*x^2)^2/ArcTanh[a*x]^2, x]}
+{1/ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^2/x^1, x, 0, Unintegrable[(1 - a^2*x^2)^2/(x*ArcTanh[a*x]^2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c x]^p (1-c^2 x^2)^3*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^3, x, 5, (4*(1 - a^2*x^2))/(35*a) + (3*(1 - a^2*x^2)^2)/(70*a) + (1 - a^2*x^2)^3/(42*a) + (16/35)*x*ArcTanh[a*x] + (8/35)*x*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x] + (6/35)*x*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x] + (1/7)*x*(1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x] + (8*Log[1 - a^2*x^2])/(35*a)}
+
+
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^3, x, 12, -((38*x)/105) + (19*a^2*x^3)/315 - (a^4*x^5)/105 + (8*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x])/(35*a) + (3*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x])/(35*a) + ((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x])/(21*a) + (16*ArcTanh[a*x]^2)/(35*a) + (16/35)*x*ArcTanh[a*x]^2 + (8/35)*x*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2 + (6/35)*x*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2 + (1/7)*x*(1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^2 - (32*ArcTanh[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/(35*a) - (16*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(35*a)}
+
+
+{ArcTanh[a*x]^3*(1 - a^2*x^2)^3, x, 17, -((13*(1 - a^2*x^2))/(210*a)) - (1 - a^2*x^2)^2/(140*a) - (14/15)*x*ArcTanh[a*x] - (13/105)*x*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x] - (1/35)*x*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x] + (12*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2)/(35*a) + (9*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2)/(70*a) + ((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^2)/(14*a) + (16*ArcTanh[a*x]^3)/(35*a) + (16/35)*x*ArcTanh[a*x]^3 + (8/35)*x*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^3 + (6/35)*x*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^3 + (1/7)*x*(1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^3 - (48*ArcTanh[a*x]^2*Log[2/(1 - a*x)])/(35*a) - (7*Log[1 - a^2*x^2])/(15*a) - (48*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(35*a) + (24*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)])/(35*a)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c x]^p / (1-c^2 x^2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2), x, 8, -(x/(2*a^3)) + ArcTanh[a*x]/(2*a^4) - (x^2*ArcTanh[a*x])/(2*a^2) - ArcTanh[a*x]^2/(2*a^4) + (ArcTanh[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/a^4 + PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)]/(2*a^4)}
+{x^2*ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2), x, 4, -((x*ArcTanh[a*x])/a^2) + ArcTanh[a*x]^2/(2*a^3) - Log[1 - a^2*x^2]/(2*a^3)}
+{x*ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2), x, 4, -(ArcTanh[a*x]^2/(2*a^2)) + (ArcTanh[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/a^2 + PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)]/(2*a^2)}
+{ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2), x, 1, ArcTanh[a*x]^2/(2*a)}
+{ArcTanh[a*x]/(x*(1 - a^2*x^2)), x, 3, (1/2)*ArcTanh[a*x]^2 + ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - (1/2)*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]/(x^2*(1 - a^2*x^2)), x, 7, -(ArcTanh[a*x]/x) + (1/2)*a*ArcTanh[a*x]^2 + a*Log[x] - (1/2)*a*Log[1 - a^2*x^2]}
+{ArcTanh[a*x]/(x^3*(1 - a^2*x^2)), x, 7, -(a/(2*x)) + (1/2)*a^2*ArcTanh[a*x] - ArcTanh[a*x]/(2*x^2) + (1/2)*a^2*ArcTanh[a*x]^2 + a^2*ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - (1/2)*a^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+
+
+{x^3*ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2), x, 10, -((x*ArcTanh[a*x])/a^3) + ArcTanh[a*x]^2/(2*a^4) - (x^2*ArcTanh[a*x]^2)/(2*a^2) - ArcTanh[a*x]^3/(3*a^4) + (ArcTanh[a*x]^2*Log[2/(1 - a*x)])/a^4 - Log[1 - a^2*x^2]/(2*a^4) + (ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/a^4 - PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)]/(2*a^4)}
+{x^2*ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2), x, 7, -(ArcTanh[a*x]^2/a^3) - (x*ArcTanh[a*x]^2)/a^2 + ArcTanh[a*x]^3/(3*a^3) + (2*ArcTanh[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/a^3 + PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)]/a^3}
+{x*ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2), x, 4, -(ArcTanh[a*x]^3/(3*a^2)) + (ArcTanh[a*x]^2*Log[2/(1 - a*x)])/a^2 + (ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/a^2 - PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)]/(2*a^2)}
+{ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2), x, 1, ArcTanh[a*x]^3/(3*a)}
+{ArcTanh[a*x]^2/(x*(1 - a^2*x^2)), x, 4, (1/3)*ArcTanh[a*x]^3 + ArcTanh[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)] - (1/2)*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^2/(x^2*(1 - a^2*x^2)), x, 6, a*ArcTanh[a*x]^2 - ArcTanh[a*x]^2/x + (1/3)*a*ArcTanh[a*x]^3 + 2*a*ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - a*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^2/(x^3*(1 - a^2*x^2)), x, 13, -((a*ArcTanh[a*x])/x) + (1/2)*a^2*ArcTanh[a*x]^2 - ArcTanh[a*x]^2/(2*x^2) + (1/3)*a^2*ArcTanh[a*x]^3 + a^2*Log[x] - (1/2)*a^2*Log[1 - a^2*x^2] + a^2*ArcTanh[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)] - (1/2)*a^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+
+
+{x^3*ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2), x, 14, -((3*ArcTanh[a*x]^2)/(2*a^4)) - (3*x*ArcTanh[a*x]^2)/(2*a^3) + ArcTanh[a*x]^3/(2*a^4) - (x^2*ArcTanh[a*x]^3)/(2*a^2) - ArcTanh[a*x]^4/(4*a^4) + (3*ArcTanh[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/a^4 + (ArcTanh[a*x]^3*Log[2/(1 - a*x)])/a^4 + (3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(2*a^4) + (3*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(2*a^4) - (3*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)])/(2*a^4) + (3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 - a*x)])/(4*a^4)}
+{x^2*ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2), x, 7, -(ArcTanh[a*x]^3/a^3) - (x*ArcTanh[a*x]^3)/a^2 + ArcTanh[a*x]^4/(4*a^3) + (3*ArcTanh[a*x]^2*Log[2/(1 - a*x)])/a^3 + (3*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/a^3 - (3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)])/(2*a^3)}
+{x*ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2), x, 5, -(ArcTanh[a*x]^4/(4*a^2)) + (ArcTanh[a*x]^3*Log[2/(1 - a*x)])/a^2 + (3*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(2*a^2) - (3*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)])/(2*a^2) + (3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 - a*x)])/(4*a^2)}
+{ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2), x, 1, ArcTanh[a*x]^4/(4*a)}
+{ArcTanh[a*x]^3/(x*(1 - a^2*x^2)), x, 5, (1/4)*ArcTanh[a*x]^4 + ArcTanh[a*x]^3*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - (3/2)*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)] - (3/2)*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)] - (3/4)*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^3/(x^2*(1 - a^2*x^2)), x, 7, a*ArcTanh[a*x]^3 - ArcTanh[a*x]^3/x + (1/4)*a*ArcTanh[a*x]^4 + 3*a*ArcTanh[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - 3*a*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)] - (3/2)*a*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^3/(x^3*(1 - a^2*x^2)), x, 13, (3/2)*a^2*ArcTanh[a*x]^2 - (3*a*ArcTanh[a*x]^2)/(2*x) + (1/2)*a^2*ArcTanh[a*x]^3 - ArcTanh[a*x]^3/(2*x^2) + (1/4)*a^2*ArcTanh[a*x]^4 + 3*a^2*ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] + a^2*ArcTanh[a*x]^3*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - (3/2)*a^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)] - (3/2)*a^2*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)] - (3/2)*a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)] - (3/4)*a^2*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+
+
+{ArcTanh[a*x]^(1/2)/(1 - a^2*x^2), x, 1, (2*ArcTanh[a*x]^(3/2))/(3*a)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x/(ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[x/((1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]), x]}
+{1/(ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)), x, 1, Log[ArcTanh[a*x]]/a}
+{1/(x*ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/(x*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]), x]}
+
+
+{x/((1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2), x, 1, -(x/(a*ArcTanh[a*x])) + Unintegrable[1/ArcTanh[a*x], x]/a}
+{1/((1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2), x, 1, -(1/(a*ArcTanh[a*x]))}
+{1/(x*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2), x, 1, -(1/(a*x*ArcTanh[a*x])) - Unintegrable[1/(x^2*ArcTanh[a*x]), x]/a}
+
+
+{x/((1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^3), x, 1, -(x/(2*a*ArcTanh[a*x]^2)) + Unintegrable[1/ArcTanh[a*x]^2, x]/(2*a)}
+{1/((1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^3), x, 1, -(1/(2*a*ArcTanh[a*x]^2))}
+{1/(x*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^3), x, 1, -(1/(2*a*x*ArcTanh[a*x]^2)) - Unintegrable[1/(x^2*ArcTanh[a*x]^2), x]/(2*a)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p symbolic*)
+
+
+{ArcTanh[a*x]^p/(1 - a^2*x^2), x, 1, ArcTanh[a*x]^(1 + p)/(a*(1 + p))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c x]^p / (1-c^2 x^2)^2*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^2, x, 8, -(x/(4*a^3*(1 - a^2*x^2))) - ArcTanh[a*x]/(4*a^4) + ArcTanh[a*x]/(2*a^4*(1 - a^2*x^2)) + ArcTanh[a*x]^2/(2*a^4) - (ArcTanh[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/a^4 - PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)]/(2*a^4)}
+{x^2*ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^2, x, 2, -(1/(4*a^3*(1 - a^2*x^2))) + (x*ArcTanh[a*x])/(2*a^2*(1 - a^2*x^2)) - ArcTanh[a*x]^2/(4*a^3)}
+{x*ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^2, x, 3, -(x/(4*a*(1 - a^2*x^2))) - ArcTanh[a*x]/(4*a^2) + ArcTanh[a*x]/(2*a^2*(1 - a^2*x^2))}
+{ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^2, x, 2, -(1/(4*a*(1 - a^2*x^2))) + (x*ArcTanh[a*x])/(2*(1 - a^2*x^2)) + ArcTanh[a*x]^2/(4*a)}
+{ArcTanh[a*x]/(x*(1 - a^2*x^2)^2), x, 7, -((a*x)/(4*(1 - a^2*x^2))) - (1/4)*ArcTanh[a*x] + ArcTanh[a*x]/(2*(1 - a^2*x^2)) + (1/2)*ArcTanh[a*x]^2 + ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - (1/2)*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]/(x^2*(1 - a^2*x^2)^2), x, 10, -(a/(4*(1 - a^2*x^2))) - ArcTanh[a*x]/x + (a^2*x*ArcTanh[a*x])/(2*(1 - a^2*x^2)) + (3/4)*a*ArcTanh[a*x]^2 + a*Log[x] - (1/2)*a*Log[1 - a^2*x^2]}
+{ArcTanh[a*x]/(x^3*(1 - a^2*x^2)^2), x, 15, -(a/(2*x)) - (a^3*x)/(4*(1 - a^2*x^2)) + (1/4)*a^2*ArcTanh[a*x] - ArcTanh[a*x]/(2*x^2) + (a^2*ArcTanh[a*x])/(2*(1 - a^2*x^2)) + a^2*ArcTanh[a*x]^2 + 2*a^2*ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - a^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+
+
+{x^3*ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^2, x, 8, 1/(4*a^4*(1 - a^2*x^2)) - (x*ArcTanh[a*x])/(2*a^3*(1 - a^2*x^2)) - ArcTanh[a*x]^2/(4*a^4) + ArcTanh[a*x]^2/(2*a^4*(1 - a^2*x^2)) + ArcTanh[a*x]^3/(3*a^4) - (ArcTanh[a*x]^2*Log[2/(1 - a*x)])/a^4 - (ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/a^4 + PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)]/(2*a^4)}
+{x^2*ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^2, x, 4, x/(4*a^2*(1 - a^2*x^2)) + ArcTanh[a*x]/(4*a^3) - ArcTanh[a*x]/(2*a^3*(1 - a^2*x^2)) + (x*ArcTanh[a*x]^2)/(2*a^2*(1 - a^2*x^2)) - ArcTanh[a*x]^3/(6*a^3)}
+{x*ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^2, x, 3, 1/(4*a^2*(1 - a^2*x^2)) - (x*ArcTanh[a*x])/(2*a*(1 - a^2*x^2)) - ArcTanh[a*x]^2/(4*a^2) + ArcTanh[a*x]^2/(2*a^2*(1 - a^2*x^2))}
+{ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^2, x, 4, x/(4*(1 - a^2*x^2)) + ArcTanh[a*x]/(4*a) - ArcTanh[a*x]/(2*a*(1 - a^2*x^2)) + (x*ArcTanh[a*x]^2)/(2*(1 - a^2*x^2)) + ArcTanh[a*x]^3/(6*a)}
+{ArcTanh[a*x]^2/(x*(1 - a^2*x^2)^2), x, 8, 1/(4*(1 - a^2*x^2)) - (a*x*ArcTanh[a*x])/(2*(1 - a^2*x^2)) - (1/4)*ArcTanh[a*x]^2 + ArcTanh[a*x]^2/(2*(1 - a^2*x^2)) + (1/3)*ArcTanh[a*x]^3 + ArcTanh[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)] - (1/2)*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^2/(x^2*(1 - a^2*x^2)^2), x, 11, (a^2*x)/(4*(1 - a^2*x^2)) + (1/4)*a*ArcTanh[a*x] - (a*ArcTanh[a*x])/(2*(1 - a^2*x^2)) + a*ArcTanh[a*x]^2 - ArcTanh[a*x]^2/x + (a^2*x*ArcTanh[a*x]^2)/(2*(1 - a^2*x^2)) + (1/2)*a*ArcTanh[a*x]^3 + 2*a*ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - a*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^2/(x^3*(1 - a^2*x^2)^2), x, 22, a^2/(4*(1 - a^2*x^2)) - (a*ArcTanh[a*x])/x - (a^3*x*ArcTanh[a*x])/(2*(1 - a^2*x^2)) + (1/4)*a^2*ArcTanh[a*x]^2 - ArcTanh[a*x]^2/(2*x^2) + (a^2*ArcTanh[a*x]^2)/(2*(1 - a^2*x^2)) + (2/3)*a^2*ArcTanh[a*x]^3 + a^2*Log[x] - (1/2)*a^2*Log[1 - a^2*x^2] + 2*a^2*ArcTanh[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - 2*a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)] - a^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+
+
+{x^3*ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^2, x, 11, -((3*x)/(8*a^3*(1 - a^2*x^2))) - (3*ArcTanh[a*x])/(8*a^4) + (3*ArcTanh[a*x])/(4*a^4*(1 - a^2*x^2)) - (3*x*ArcTanh[a*x]^2)/(4*a^3*(1 - a^2*x^2)) - ArcTanh[a*x]^3/(4*a^4) + ArcTanh[a*x]^3/(2*a^4*(1 - a^2*x^2)) + ArcTanh[a*x]^4/(4*a^4) - (ArcTanh[a*x]^3*Log[2/(1 - a*x)])/a^4 - (3*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(2*a^4) + (3*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)])/(2*a^4) - (3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 - a*x)])/(4*a^4)}
+{x^2*ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^2, x, 4, -(3/(8*a^3*(1 - a^2*x^2))) + (3*x*ArcTanh[a*x])/(4*a^2*(1 - a^2*x^2)) + (3*ArcTanh[a*x]^2)/(8*a^3) - (3*ArcTanh[a*x]^2)/(4*a^3*(1 - a^2*x^2)) + (x*ArcTanh[a*x]^3)/(2*a^2*(1 - a^2*x^2)) - ArcTanh[a*x]^4/(8*a^3)}
+{x*ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^2, x, 5, -((3*x)/(8*a*(1 - a^2*x^2))) - (3*ArcTanh[a*x])/(8*a^2) + (3*ArcTanh[a*x])/(4*a^2*(1 - a^2*x^2)) - (3*x*ArcTanh[a*x]^2)/(4*a*(1 - a^2*x^2)) - ArcTanh[a*x]^3/(4*a^2) + ArcTanh[a*x]^3/(2*a^2*(1 - a^2*x^2))}
+{ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^2, x, 4, -(3/(8*a*(1 - a^2*x^2))) + (3*x*ArcTanh[a*x])/(4*(1 - a^2*x^2)) + (3*ArcTanh[a*x]^2)/(8*a) - (3*ArcTanh[a*x]^2)/(4*a*(1 - a^2*x^2)) + (x*ArcTanh[a*x]^3)/(2*(1 - a^2*x^2)) + ArcTanh[a*x]^4/(8*a)}
+{ArcTanh[a*x]^3/(x*(1 - a^2*x^2)^2), x, 11, -((3*a*x)/(8*(1 - a^2*x^2))) - (3/8)*ArcTanh[a*x] + (3*ArcTanh[a*x])/(4*(1 - a^2*x^2)) - (3*a*x*ArcTanh[a*x]^2)/(4*(1 - a^2*x^2)) - (1/4)*ArcTanh[a*x]^3 + ArcTanh[a*x]^3/(2*(1 - a^2*x^2)) + (1/4)*ArcTanh[a*x]^4 + ArcTanh[a*x]^3*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - (3/2)*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)] - (3/2)*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)] - (3/4)*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^3/(x^2*(1 - a^2*x^2)^2), x, 12, -((3*a)/(8*(1 - a^2*x^2))) + (3*a^2*x*ArcTanh[a*x])/(4*(1 - a^2*x^2)) + (3/8)*a*ArcTanh[a*x]^2 - (3*a*ArcTanh[a*x]^2)/(4*(1 - a^2*x^2)) + a*ArcTanh[a*x]^3 - ArcTanh[a*x]^3/x + (a^2*x*ArcTanh[a*x]^3)/(2*(1 - a^2*x^2)) + (3/8)*a*ArcTanh[a*x]^4 + 3*a*ArcTanh[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - 3*a*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)] - (3/2)*a*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^3/(x^3*(1 - a^2*x^2)^2), x, 25, -((3*a^3*x)/(8*(1 - a^2*x^2))) - (3/8)*a^2*ArcTanh[a*x] + (3*a^2*ArcTanh[a*x])/(4*(1 - a^2*x^2)) + (3/2)*a^2*ArcTanh[a*x]^2 - (3*a*ArcTanh[a*x]^2)/(2*x) - (3*a^3*x*ArcTanh[a*x]^2)/(4*(1 - a^2*x^2)) + (1/4)*a^2*ArcTanh[a*x]^3 - ArcTanh[a*x]^3/(2*x^2) + (a^2*ArcTanh[a*x]^3)/(2*(1 - a^2*x^2)) + (1/2)*a^2*ArcTanh[a*x]^4 + 3*a^2*ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] + 2*a^2*ArcTanh[a*x]^3*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - (3/2)*a^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)] - 3*a^2*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)] - 3*a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)] - (3/2)*a^2*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+
+
+{Sqrt[ArcTanh[a*x]]/(1 - a^2*x^2)^2, x, 9, (x*Sqrt[ArcTanh[a*x]])/(2*(1 - a^2*x^2)) + ArcTanh[a*x]^(3/2)/(3*a) + (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcTanh[a*x]]])/(16*a) - (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcTanh[a*x]]])/(16*a)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^4/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]), x, 0, CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(2*a^5) - (3*Log[ArcTanh[a*x]])/(2*a^5) + Unintegrable[ArcTanh[a*x]^(-1), x]/a^4, Unintegrable[x^4/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]), x]}
+{x^3/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]), x, 0, SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(2*a^4) - Unintegrable[x/((1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]), x]/a^2, Unintegrable[x^3/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]), x]}
+{x^2/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]), x, 4, CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(2*a^3) - Log[ArcTanh[a*x]]/(2*a^3)}
+{x/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]), x, 4, SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(2*a^2)}
+{1/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]), x, 4, CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(2*a) + Log[ArcTanh[a*x]]/(2*a)}
+{1/(x*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]), x, 0, SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/2 + Unintegrable[1/(x*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]), x], Unintegrable[1/(x*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]), x]}
+
+
+{x^3/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2), x, 11, x/(a^3*ArcTanh[a*x]) - x/(a^3*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/a^4 - Unintegrable[1/ArcTanh[a*x], x]/a^3}
+{x^2/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2), x, 5, -(x^2/(a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x])) + SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/a^3}
+{x/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2), x, 9, -(x/(a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x])) + CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/a^2}
+{1/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2), x, 5, -(1/(a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x])) + SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/a}
+{1/(x*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2), x, 11, -(1/(a*x*ArcTanh[a*x])) - (a*x)/((1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]] - Unintegrable[1/(x^2*ArcTanh[a*x]), x]/a}
+
+
+{x^3/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^3), x, 7, x/(2*a^3*ArcTanh[a*x]^2) - x/(2*a^3*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2) - (1 + a^2*x^2)/(2*a^4*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/a^4 - Unintegrable[1/ArcTanh[a*x]^2, x]/(2*a^3)}
+{x^2/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^3), x, 10, -(x^2/(2*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2)) - x/(a^2*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/a^3}
+{x/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^3), x, 5, -(x/(2*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2)) - (1 + a^2*x^2)/(2*a^2*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/a^2}
+{1/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^3), x, 10, -(1/(2*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2)) - x/((1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/a}
+{1/(x*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^3), x, 7, -(1/(2*a*x*ArcTanh[a*x]^2)) - (a*x)/(2*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2) - (1 + a^2*x^2)/(2*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) - Unintegrable[1/(x^2*ArcTanh[a*x]^2), x]/(2*a) + SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]]}
+
+
+{1/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^4), x, 6, -(1/(3*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^3)) - x/(3*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2) - (1 + a^2*x^2)/(3*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + (2*SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]])/(3*a)}
+{1/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^5), x, 11, -(1/(4*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^4)) - x/(6*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^3) - (1 + a^2*x^2)/(12*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2) - x/(3*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(3*a)}
+{1/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^6), x, 7, -(1/(5*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^5)) - x/(10*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^4) - (1 + a^2*x^2)/(30*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^3) - x/(15*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2) - (1 + a^2*x^2)/(15*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + (2*SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]])/(15*a)}
+{1/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^7), x, 12, -(1/(6*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^6)) - x/(15*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^5) - (1 + a^2*x^2)/(60*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^4) - x/(45*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^3) - (1 + a^2*x^2)/(90*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2) - (2*x)/(45*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + (2*CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]])/(45*a)}
+{1/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^8), x, 8, -(1/(7*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^7)) - x/(21*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^6) - (1 + a^2*x^2)/(105*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^5) - x/(105*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^4) - (1 + a^2*x^2)/(315*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^3) - (2*x)/(315*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2) - (2*(1 + a^2*x^2))/(315*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + (4*SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]])/(315*a)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c x]^p / (1-c^2 x^2)^3*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^3*ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^3, x, 4, -(x^3/(16*a*(1 - a^2*x^2)^2)) + (3*x)/(32*a^3*(1 - a^2*x^2)) - (3*ArcTanh[a*x])/(32*a^4) + (x^4*ArcTanh[a*x])/(4*(1 - a^2*x^2)^2)}
+{x^2*ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^3, x, 3, -(1/(16*a^3*(1 - a^2*x^2)^2)) + 1/(16*a^3*(1 - a^2*x^2)) + (x*ArcTanh[a*x])/(4*a^2*(1 - a^2*x^2)^2) - (x*ArcTanh[a*x])/(8*a^2*(1 - a^2*x^2)) - ArcTanh[a*x]^2/(16*a^3)}
+{x*ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^3, x, 4, -(x/(16*a*(1 - a^2*x^2)^2)) - (3*x)/(32*a*(1 - a^2*x^2)) - (3*ArcTanh[a*x])/(32*a^2) + ArcTanh[a*x]/(4*a^2*(1 - a^2*x^2)^2)}
+{ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^3, x, 3, -(1/(16*a*(1 - a^2*x^2)^2)) - 3/(16*a*(1 - a^2*x^2)) + (x*ArcTanh[a*x])/(4*(1 - a^2*x^2)^2) + (3*x*ArcTanh[a*x])/(8*(1 - a^2*x^2)) + (3*ArcTanh[a*x]^2)/(16*a)}
+{ArcTanh[a*x]/(x*(1 - a^2*x^2)^3), x, 12, -((a*x)/(16*(1 - a^2*x^2)^2)) - (11*a*x)/(32*(1 - a^2*x^2)) - (11/32)*ArcTanh[a*x] + ArcTanh[a*x]/(4*(1 - a^2*x^2)^2) + ArcTanh[a*x]/(2*(1 - a^2*x^2)) + (1/2)*ArcTanh[a*x]^2 + ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - (1/2)*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]/(x^2*(1 - a^2*x^2)^3), x, 14, -(a/(16*(1 - a^2*x^2)^2)) - (7*a)/(16*(1 - a^2*x^2)) - ArcTanh[a*x]/x + (a^2*x*ArcTanh[a*x])/(4*(1 - a^2*x^2)^2) + (7*a^2*x*ArcTanh[a*x])/(8*(1 - a^2*x^2)) + (15/16)*a*ArcTanh[a*x]^2 + a*Log[x] - (1/2)*a*Log[1 - a^2*x^2]}
+
+
+{x^3*ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^3, x, 4, x^4/(32*(1 - a^2*x^2)^2) - 3/(32*a^4*(1 - a^2*x^2)) - (x^3*ArcTanh[a*x])/(8*a*(1 - a^2*x^2)^2) + (3*x*ArcTanh[a*x])/(16*a^3*(1 - a^2*x^2)) - (3*ArcTanh[a*x]^2)/(32*a^4) + (x^4*ArcTanh[a*x]^2)/(4*(1 - a^2*x^2)^2)}
+{x^2*ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^3, x, 13, x/(32*a^2*(1 - a^2*x^2)^2) - x/(64*a^2*(1 - a^2*x^2)) - ArcTanh[a*x]/(64*a^3) - ArcTanh[a*x]/(8*a^3*(1 - a^2*x^2)^2) + ArcTanh[a*x]/(8*a^3*(1 - a^2*x^2)) + (x*ArcTanh[a*x]^2)/(4*a^2*(1 - a^2*x^2)^2) - (x*ArcTanh[a*x]^2)/(8*a^2*(1 - a^2*x^2)) - ArcTanh[a*x]^3/(24*a^3)}
+{x*ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^3, x, 4, 1/(32*a^2*(1 - a^2*x^2)^2) + 3/(32*a^2*(1 - a^2*x^2)) - (x*ArcTanh[a*x])/(8*a*(1 - a^2*x^2)^2) - (3*x*ArcTanh[a*x])/(16*a*(1 - a^2*x^2)) - (3*ArcTanh[a*x]^2)/(32*a^2) + ArcTanh[a*x]^2/(4*a^2*(1 - a^2*x^2)^2)}
+{ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^3, x, 8, x/(32*(1 - a^2*x^2)^2) + (15*x)/(64*(1 - a^2*x^2)) + (15*ArcTanh[a*x])/(64*a) - ArcTanh[a*x]/(8*a*(1 - a^2*x^2)^2) - (3*ArcTanh[a*x])/(8*a*(1 - a^2*x^2)) + (x*ArcTanh[a*x]^2)/(4*(1 - a^2*x^2)^2) + (3*x*ArcTanh[a*x]^2)/(8*(1 - a^2*x^2)) + ArcTanh[a*x]^3/(8*a)}
+{ArcTanh[a*x]^2/(x*(1 - a^2*x^2)^3), x, 13, 1/(32*(1 - a^2*x^2)^2) + 11/(32*(1 - a^2*x^2)) - (a*x*ArcTanh[a*x])/(8*(1 - a^2*x^2)^2) - (11*a*x*ArcTanh[a*x])/(16*(1 - a^2*x^2)) - (11/32)*ArcTanh[a*x]^2 + ArcTanh[a*x]^2/(4*(1 - a^2*x^2)^2) + ArcTanh[a*x]^2/(2*(1 - a^2*x^2)) + (1/3)*ArcTanh[a*x]^3 + ArcTanh[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)] - (1/2)*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^2/(x^2*(1 - a^2*x^2)^3), x, 20, (a^2*x)/(32*(1 - a^2*x^2)^2) + (31*a^2*x)/(64*(1 - a^2*x^2)) + (31/64)*a*ArcTanh[a*x] - (a*ArcTanh[a*x])/(8*(1 - a^2*x^2)^2) - (7*a*ArcTanh[a*x])/(8*(1 - a^2*x^2)) + a*ArcTanh[a*x]^2 - ArcTanh[a*x]^2/x + (a^2*x*ArcTanh[a*x]^2)/(4*(1 - a^2*x^2)^2) + (7*a^2*x*ArcTanh[a*x]^2)/(8*(1 - a^2*x^2)) + (5/8)*a*ArcTanh[a*x]^3 + 2*a*ArcTanh[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - a*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+
+
+{x^3*ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^3, x, 9, -((3*x^3)/(128*a*(1 - a^2*x^2)^2)) + (45*x)/(256*a^3*(1 - a^2*x^2)) + (27*ArcTanh[a*x])/(256*a^4) + (3*x^4*ArcTanh[a*x])/(32*(1 - a^2*x^2)^2) - (9*ArcTanh[a*x])/(32*a^4*(1 - a^2*x^2)) - (3*x^3*ArcTanh[a*x]^2)/(16*a*(1 - a^2*x^2)^2) + (9*x*ArcTanh[a*x]^2)/(32*a^3*(1 - a^2*x^2)) - (3*ArcTanh[a*x]^3)/(32*a^4) + (x^4*ArcTanh[a*x]^3)/(4*(1 - a^2*x^2)^2)}
+{x^2*ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^3, x, 13, -(3/(128*a^3*(1 - a^2*x^2)^2)) + 3/(128*a^3*(1 - a^2*x^2)) + (3*x*ArcTanh[a*x])/(32*a^2*(1 - a^2*x^2)^2) - (3*x*ArcTanh[a*x])/(64*a^2*(1 - a^2*x^2)) - (3*ArcTanh[a*x]^2)/(128*a^3) - (3*ArcTanh[a*x]^2)/(16*a^3*(1 - a^2*x^2)^2) + (3*ArcTanh[a*x]^2)/(16*a^3*(1 - a^2*x^2)) + (x*ArcTanh[a*x]^3)/(4*a^2*(1 - a^2*x^2)^2) - (x*ArcTanh[a*x]^3)/(8*a^2*(1 - a^2*x^2)) - ArcTanh[a*x]^4/(32*a^3)}
+{x*ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^3, x, 9, -((3*x)/(128*a*(1 - a^2*x^2)^2)) - (45*x)/(256*a*(1 - a^2*x^2)) - (45*ArcTanh[a*x])/(256*a^2) + (3*ArcTanh[a*x])/(32*a^2*(1 - a^2*x^2)^2) + (9*ArcTanh[a*x])/(32*a^2*(1 - a^2*x^2)) - (3*x*ArcTanh[a*x]^2)/(16*a*(1 - a^2*x^2)^2) - (9*x*ArcTanh[a*x]^2)/(32*a*(1 - a^2*x^2)) - (3*ArcTanh[a*x]^3)/(32*a^2) + ArcTanh[a*x]^3/(4*a^2*(1 - a^2*x^2)^2)}
+{ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^3, x, 8, -(3/(128*a*(1 - a^2*x^2)^2)) - 45/(128*a*(1 - a^2*x^2)) + (3*x*ArcTanh[a*x])/(32*(1 - a^2*x^2)^2) + (45*x*ArcTanh[a*x])/(64*(1 - a^2*x^2)) + (45*ArcTanh[a*x]^2)/(128*a) - (3*ArcTanh[a*x]^2)/(16*a*(1 - a^2*x^2)^2) - (9*ArcTanh[a*x]^2)/(16*a*(1 - a^2*x^2)) + (x*ArcTanh[a*x]^3)/(4*(1 - a^2*x^2)^2) + (3*x*ArcTanh[a*x]^3)/(8*(1 - a^2*x^2)) + (3*ArcTanh[a*x]^4)/(32*a)}
+{ArcTanh[a*x]^3/(x*(1 - a^2*x^2)^3), x, 21, -((3*a*x)/(128*(1 - a^2*x^2)^2)) - (141*a*x)/(256*(1 - a^2*x^2)) - (141/256)*ArcTanh[a*x] + (3*ArcTanh[a*x])/(32*(1 - a^2*x^2)^2) + (33*ArcTanh[a*x])/(32*(1 - a^2*x^2)) - (3*a*x*ArcTanh[a*x]^2)/(16*(1 - a^2*x^2)^2) - (33*a*x*ArcTanh[a*x]^2)/(32*(1 - a^2*x^2)) - (11/32)*ArcTanh[a*x]^3 + ArcTanh[a*x]^3/(4*(1 - a^2*x^2)^2) + ArcTanh[a*x]^3/(2*(1 - a^2*x^2)) + (1/4)*ArcTanh[a*x]^4 + ArcTanh[a*x]^3*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - (3/2)*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)] - (3/2)*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)] - (3/4)*PolyLog[4, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcTanh[a*x]^3/(x^2*(1 - a^2*x^2)^3), x, 21, -((3*a)/(128*(1 - a^2*x^2)^2)) - (93*a)/(128*(1 - a^2*x^2)) + (3*a^2*x*ArcTanh[a*x])/(32*(1 - a^2*x^2)^2) + (93*a^2*x*ArcTanh[a*x])/(64*(1 - a^2*x^2)) + (93/128)*a*ArcTanh[a*x]^2 - (3*a*ArcTanh[a*x]^2)/(16*(1 - a^2*x^2)^2) - (21*a*ArcTanh[a*x]^2)/(16*(1 - a^2*x^2)) + a*ArcTanh[a*x]^3 - ArcTanh[a*x]^3/x + (a^2*x*ArcTanh[a*x]^3)/(4*(1 - a^2*x^2)^2) + (7*a^2*x*ArcTanh[a*x]^3)/(8*(1 - a^2*x^2)) + (15/32)*a*ArcTanh[a*x]^4 + 3*a*ArcTanh[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - 3*a*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)] - (3/2)*a*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+
+
+{Sqrt[ArcTanh[a*x]]/(1 - a^2*x^2)^3, x, 15, ArcTanh[a*x]^(3/2)/(4*a) + (Sqrt[Pi]*Erf[2*Sqrt[ArcTanh[a*x]]])/(256*a) + (Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcTanh[a*x]]])/(16*a) - (Sqrt[Pi]*Erfi[2*Sqrt[ArcTanh[a*x]]])/(256*a) - (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcTanh[a*x]]])/(16*a) + (Sqrt[ArcTanh[a*x]]*Sinh[2*ArcTanh[a*x]])/(4*a) + (Sqrt[ArcTanh[a*x]]*Sinh[4*ArcTanh[a*x]])/(32*a)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^6/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^6/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]), x]}
+{x^5/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^5/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]), x]}
+{x^4/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]), x, 5, -(CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(2*a^5)) + CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/(8*a^5) + (3*Log[ArcTanh[a*x]])/(8*a^5)}
+{x^3/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]), x, 5, -(SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(4*a^4)) + SinhIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/(8*a^4)}
+{x^2/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]), x, 4, CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/(8*a^3) - Log[ArcTanh[a*x]]/(8*a^3)}
+{x/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]), x, 5, SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(4*a^2) + SinhIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/(8*a^2)}
+{1/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]), x, 5, CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(2*a) + CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/(8*a) + (3*Log[ArcTanh[a*x]])/(8*a)}
+{1/(x*(1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]), x, 0, (3*SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]])/4 + SinhIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/8 - Unintegrable[1/(x*(-1 + a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]), x], Unintegrable[1/(x*(1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]), x]}
+
+
+{x^5/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^2), x, 32, -(x/(a^5*ArcTanh[a*x])) - x/(a^5*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]) + (2*x)/(a^5*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) - (3*CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]])/(2*a^6) + CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/(2*a^6) + Unintegrable[1/ArcTanh[a*x], x]/a^5}
+{x^4/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^2), x, 6, -(x^4/(a*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x])) - SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/a^5 + SinhIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/(2*a^5)}
+{x^3/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^2), x, 20, -(x^3/(a*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x])) - CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(2*a^4) + CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/(2*a^4), -(x/(a^3*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x])) + x/(a^3*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) - CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(2*a^4) + CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/(2*a^4)}
+{x^2/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^2), x, 12, -(x^2/(a*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x])) + SinhIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/(2*a^3), -(1/(a^3*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x])) + 1/(a^3*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + SinhIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/(2*a^3)}
+{x/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^2), x, 10, -(x/(a*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x])) + CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(2*a^2) + CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/(2*a^2)}
+{1/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^2), x, 6, -(1/(a*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x])) + SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/a + SinhIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/(2*a)}
+{1/(x*(1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^2), x, 22, -(1/(a*x*ArcTanh[a*x])) - (a*x)/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]) - (a*x)/((1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + (3/2)*CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]] + (1/2)*CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]] - Unintegrable[1/(x^2*ArcTanh[a*x]), x]/a}
+
+
+{x^4/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^3), x, 21, -(x^4/(2*a*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2)) - (2*x)/(a^4*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]) + (2*x)/(a^4*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) - CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/a^5 + CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/a^5}
+{x^3/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^3), x, 25, -(x^3/(2*a*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2)) - (3*x^2)/(2*a^2*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]) - x^4/(2*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]) - SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(2*a^4) + SinhIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/a^4, -(x/(2*a^3*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2)) + x/(2*a^3*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2) - 2/(a^4*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]) + 3/(2*a^4*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + (1 + a^2*x^2)/(2*a^4*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) - SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(2*a^4) + SinhIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/a^4}
+{x^2/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^3), x, 22, -(x^2/(2*a*(-1 + a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2)) - (2*x)/(a^2*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]) + x/(a^2*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/a^3, -(1/(2*a^3*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2)) + 1/(2*a^3*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2) - (2*x)/(a^2*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]) + x/(a^2*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/a^3}
+{x/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^3), x, 19, -(x/(2*a*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2)) - 2/(a^2*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]) + 3/(2*a^2*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(2*a^2) + SinhIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/a^2}
+{1/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^3), x, 11, -(1/(2*a*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2)) - (2*x)/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]) + CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/a + CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/a}
+{1/(x*(1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^3), x, 27, -(1/(2*a*x*ArcTanh[a*x]^2)) - (a*x)/(2*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2) - (a*x)/(2*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2) - 2/((1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]) + 3/(2*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) - (1 + a^2*x^2)/(2*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) - Unintegrable[1/(x^2*ArcTanh[a*x]^2), x]/(2*a) + (3/2)*SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]] + SinhIntegral[4*ArcTanh[a*x]]}
+
+
+{1/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^4), x, 20, -(1/(3*a*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^3)) - (2*x)/(3*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2) - 8/(3*a*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]) + 2/(a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + (2*SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]])/(3*a) + (4*SinhIntegral[4*ArcTanh[a*x]])/(3*a)}
+{1/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^5), x, 35, -(1/(4*a*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^4)) - x/(3*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^3) - 2/(3*a*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2) + 1/(2*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2) - (8*x)/(3*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]) + x/((1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(3*a) + (4*CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]])/(3*a)}
+{1/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^6), x, 49, -(1/(5*a*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^5)) - x/(5*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^4) - 4/(15*a*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^3) + 1/(5*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^3) - (8*x)/(15*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]^2) + x/(5*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]^2) - 32/(15*a*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]) + 8/(5*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + (1 + a^2*x^2)/(5*a*(1 - a^2*x^2)*ArcTanh[a*x]) + (2*SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]])/(15*a) + (16*SinhIntegral[4*ArcTanh[a*x]])/(15*a)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c x]^p / (1-c^2 x^2)^4*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^4, x, 4, -(1/(36*a*(1 - a^2*x^2)^3)) - 5/(96*a*(1 - a^2*x^2)^2) - 5/(32*a*(1 - a^2*x^2)) + (x*ArcTanh[a*x])/(6*(1 - a^2*x^2)^3) + (5*x*ArcTanh[a*x])/(24*(1 - a^2*x^2)^2) + (5*x*ArcTanh[a*x])/(16*(1 - a^2*x^2)) + (5*ArcTanh[a*x]^2)/(32*a)}
+
+
+{ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^4, x, 13, x/(108*(1 - a^2*x^2)^3) + (65*x)/(1728*(1 - a^2*x^2)^2) + (245*x)/(1152*(1 - a^2*x^2)) + (245*ArcTanh[a*x])/(1152*a) - ArcTanh[a*x]/(18*a*(1 - a^2*x^2)^3) - (5*ArcTanh[a*x])/(48*a*(1 - a^2*x^2)^2) - (5*ArcTanh[a*x])/(16*a*(1 - a^2*x^2)) + (x*ArcTanh[a*x]^2)/(6*(1 - a^2*x^2)^3) + (5*x*ArcTanh[a*x]^2)/(24*(1 - a^2*x^2)^2) + (5*x*ArcTanh[a*x]^2)/(16*(1 - a^2*x^2)) + (5*ArcTanh[a*x]^3)/(48*a)}
+
+
+{ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^4, x, 13, -(1/(216*a*(1 - a^2*x^2)^3)) - 65/(2304*a*(1 - a^2*x^2)^2) - 245/(768*a*(1 - a^2*x^2)) + (x*ArcTanh[a*x])/(36*(1 - a^2*x^2)^3) + (65*x*ArcTanh[a*x])/(576*(1 - a^2*x^2)^2) + (245*x*ArcTanh[a*x])/(384*(1 - a^2*x^2)) + (245*ArcTanh[a*x]^2)/(768*a) - ArcTanh[a*x]^2/(12*a*(1 - a^2*x^2)^3) - (5*ArcTanh[a*x]^2)/(32*a*(1 - a^2*x^2)^2) - (15*ArcTanh[a*x]^2)/(32*a*(1 - a^2*x^2)) + (x*ArcTanh[a*x]^3)/(6*(1 - a^2*x^2)^3) + (5*x*ArcTanh[a*x]^3)/(24*(1 - a^2*x^2)^2) + (5*x*ArcTanh[a*x]^3)/(16*(1 - a^2*x^2)) + (5*ArcTanh[a*x]^4)/(64*a)}
+
+
+{Sqrt[ArcTanh[a*x]]/(1 - a^2*x^2)^4, x, 21, (5*ArcTanh[a*x]^(3/2))/(24*a) + (3*Sqrt[Pi]*Erf[2*Sqrt[ArcTanh[a*x]]])/(512*a) + (15*Sqrt[Pi/2]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ArcTanh[a*x]]])/(256*a) + (Sqrt[Pi/6]*Erf[Sqrt[6]*Sqrt[ArcTanh[a*x]]])/(768*a) - (3*Sqrt[Pi]*Erfi[2*Sqrt[ArcTanh[a*x]]])/(512*a) - (15*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ArcTanh[a*x]]])/(256*a) - (Sqrt[Pi/6]*Erfi[Sqrt[6]*Sqrt[ArcTanh[a*x]]])/(768*a) + (15*Sqrt[ArcTanh[a*x]]*Sinh[2*ArcTanh[a*x]])/(64*a) + (3*Sqrt[ArcTanh[a*x]]*Sinh[4*ArcTanh[a*x]])/(64*a) + (Sqrt[ArcTanh[a*x]]*Sinh[6*ArcTanh[a*x]])/(192*a)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^8/((1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^8/((1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]), x]}
+{x^7/((1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]), x, 0, Unintegrable[x^7/((1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]), x]}
+{x^6/((1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]), x, 6, (15*CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]])/(32*a^7) - (3*CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]])/(16*a^7) + CoshIntegral[6*ArcTanh[a*x]]/(32*a^7) - (5*Log[ArcTanh[a*x]])/(16*a^7)}
+{x^5/((1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]), x, 6, (5*SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]])/(32*a^6) - SinhIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/(8*a^6) + SinhIntegral[6*ArcTanh[a*x]]/(32*a^6)}
+{x^4/((1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]), x, 6, -(CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(32*a^5)) - CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/(16*a^5) + CoshIntegral[6*ArcTanh[a*x]]/(32*a^5) + Log[ArcTanh[a*x]]/(16*a^5)}
+{x^3/((1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]), x, 5, -((3*SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]])/(32*a^4)) + SinhIntegral[6*ArcTanh[a*x]]/(32*a^4)}
+{x^2/((1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]), x, 6, -(CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]]/(32*a^3)) + CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/(16*a^3) + CoshIntegral[6*ArcTanh[a*x]]/(32*a^3) - Log[ArcTanh[a*x]]/(16*a^3)}
+{x^1/((1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]), x, 6, (5*SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]])/(32*a^2) + SinhIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/(8*a^2) + SinhIntegral[6*ArcTanh[a*x]]/(32*a^2)}
+{x^0/((1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]), x, 6, (15*CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]])/(32*a) + (3*CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]])/(16*a) + CoshIntegral[6*ArcTanh[a*x]]/(32*a) + (5*Log[ArcTanh[a*x]])/(16*a)}
+{1/(x^1*(1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x*(1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]), x]}
+{1/(x^2*(1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]), x, 0, Unintegrable[1/(x^2*(1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]), x]}
+
+
+{x/((1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]^2), x, 13, -(x/(a*(1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x])) + (5*CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]])/(16*a^2) + CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/(2*a^2) + (3*CoshIntegral[6*ArcTanh[a*x]])/(16*a^2)}
+{1/((1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]^2), x, 7, -(1/(a*(1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x])) + (15*SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]])/(16*a) + (3*SinhIntegral[4*ArcTanh[a*x]])/(4*a) + (3*SinhIntegral[6*ArcTanh[a*x]])/(16*a)}
+
+
+{x/((1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]^3), x, 22, -(x/(2*a*(1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^2)) - 3/(a^2*(1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]) + 5/(2*a^2*(1 - a^2*x^2)^2*ArcTanh[a*x]) + (5*SinhIntegral[2*ArcTanh[a*x]])/(16*a^2) + SinhIntegral[4*ArcTanh[a*x]]/a^2 + (9*SinhIntegral[6*ArcTanh[a*x]])/(16*a^2)}
+{1/((1 - a^2*x^2)^4*ArcTanh[a*x]^3), x, 14, -(1/(2*a*(1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]^2)) - (3*x)/((1 - a^2*x^2)^3*ArcTanh[a*x]) + (15*CoshIntegral[2*ArcTanh[a*x]])/(16*a) + (3*CoshIntegral[4*ArcTanh[a*x]])/(2*a) + (9*CoshIntegral[6*ArcTanh[a*x]])/(16*a)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c x]^p / (1-c^2 x^2)^(1/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^5*ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 9, -((5*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(24*a^5)) - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(20*a^3) + (89*ArcSin[a*x])/(120*a^6) - (8*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(15*a^6) - (4*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(15*a^4) - (x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(5*a^2)}
+{x^4*ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 7, -((5*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a^5)) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(12*a^5) - (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(8*a^4) - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(4*a^2) - (3*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/(4*a^5) - (3*I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/(8*a^5) + (3*I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/(8*a^5)}
+{x^3*ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 5, -((x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*a^3)) + (5*ArcSin[a*x])/(6*a^4) - (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(3*a^4) - (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(3*a^2)}
+{x^2*ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 3, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a^3)) - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(2*a^2) - (ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/a^3 - (I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/(2*a^3) + (I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/(2*a^3)}
+{x^1*ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 2, ArcSin[a*x]/a^2 - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/a^2}
+{x^0*ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 1, -((2*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/a) - (I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/a + (I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/a}
+{ArcTanh[a*x]/(x^1*(1 - a^2*x^2)^(1/2)), x, 1, -2*ArcTanh[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] + PolyLog[2, -(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x])] - PolyLog[2, Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]}
+{ArcTanh[a*x]/(x^2*(1 - a^2*x^2)^(1/2)), x, 4, -((Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/x) - a*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{ArcTanh[a*x]/(x^3*(1 - a^2*x^2)^(1/2)), x, 3, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x)) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(2*x^2) - a^2*ArcTanh[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] + (1/2)*a^2*PolyLog[2, -(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x])] - (1/2)*a^2*PolyLog[2, Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]}
+
+
+{x^3*ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 6, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*a^4)) - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(3*a^3) - (10*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/(3*a^4) - (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/(3*a^4) - (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/(3*a^2) - (5*I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/(3*a^4) + (5*I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/(3*a^4)}
+{x^2*ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 11, ArcSin[a*x]/a^3 - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/a^3 - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/(2*a^2) + (ArcTan[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2)/a^3 - (I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a^3 + (I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcTanh[a*x]])/a^3 + (I*PolyLog[3, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a^3 - (I*PolyLog[3, I*E^ArcTanh[a*x]])/a^3}
+{x^1*ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 2, -((4*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/a^2) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/a^2 - (2*I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/a^2 + (2*I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/a^2}
+{x^0*ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 8, (2*ArcTan[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2)/a - (2*I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a + (2*I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcTanh[a*x]])/a + (2*I*PolyLog[3, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a - (2*I*PolyLog[3, I*E^ArcTanh[a*x]])/a}
+{ArcTanh[a*x]^2/(x^1*(1 - a^2*x^2)^(1/2)), x, 8, -2*ArcTanh[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2 - 2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -E^ArcTanh[a*x]] + 2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, E^ArcTanh[a*x]] + 2*PolyLog[3, -E^ArcTanh[a*x]] - 2*PolyLog[3, E^ArcTanh[a*x]]}
+{ArcTanh[a*x]^2/(x^2*(1 - a^2*x^2)^(1/2)), x, 2, -((Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/x) - 4*a*ArcTanh[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] + 2*a*PolyLog[2, -(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x])] - 2*a*PolyLog[2, Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]}
+{ArcTanh[a*x]^2/(x^3*(1 - a^2*x^2)^(1/2)), x, 13, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/x) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/(2*x^2) - a^2*ArcTanh[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2 - a^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]] - a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -E^ArcTanh[a*x]] + a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, E^ArcTanh[a*x]] + a^2*PolyLog[3, -E^ArcTanh[a*x]] - a^2*PolyLog[3, E^ArcTanh[a*x]]}
+
+
+{x^3*ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 21, ArcSin[a*x]/a^4 - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/a^4 - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/(2*a^3) + (5*ArcTan[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2)/a^4 - (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^3)/(3*a^4) - (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^3)/(3*a^2) - (5*I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a^4 + (5*I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcTanh[a*x]])/a^4 + (5*I*PolyLog[3, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a^4 - (5*I*PolyLog[3, I*E^ArcTanh[a*x]])/a^4}
+{x^2*ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 13, -((6*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/a^3) - (3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/(2*a^3) - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^3)/(2*a^2) + (ArcTan[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^3)/a^3 - (3*I*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/(2*a^3) + (3*I*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^ArcTanh[a*x]])/(2*a^3) - (3*I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/a^3 + (3*I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/a^3 + (3*I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a^3 - (3*I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, I*E^ArcTanh[a*x]])/a^3 - (3*I*PolyLog[4, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a^3 + (3*I*PolyLog[4, I*E^ArcTanh[a*x]])/a^3}
+{x^1*ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 9, (6*ArcTan[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2)/a^2 - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^3)/a^2 - (6*I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a^2 + (6*I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcTanh[a*x]])/a^2 + (6*I*PolyLog[3, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a^2 - (6*I*PolyLog[3, I*E^ArcTanh[a*x]])/a^2}
+{x^0*ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 10, (2*ArcTan[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^3)/a - (3*I*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a + (3*I*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^ArcTanh[a*x]])/a + (6*I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a - (6*I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, I*E^ArcTanh[a*x]])/a - (6*I*PolyLog[4, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a + (6*I*PolyLog[4, I*E^ArcTanh[a*x]])/a}
+{ArcTanh[a*x]^3/(x^1*(1 - a^2*x^2)^(1/2)), x, 10, -2*ArcTanh[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^3 - 3*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, -E^ArcTanh[a*x]] + 3*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, E^ArcTanh[a*x]] + 6*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, -E^ArcTanh[a*x]] - 6*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, E^ArcTanh[a*x]] - 6*PolyLog[4, -E^ArcTanh[a*x]] + 6*PolyLog[4, E^ArcTanh[a*x]]}
+{ArcTanh[a*x]^3/(x^2*(1 - a^2*x^2)^(1/2)), x, 9, -6*a*ArcTanh[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2 - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^3)/x - 6*a*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -E^ArcTanh[a*x]] + 6*a*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, E^ArcTanh[a*x]] + 6*a*PolyLog[3, -E^ArcTanh[a*x]] - 6*a*PolyLog[3, E^ArcTanh[a*x]]}
+{ArcTanh[a*x]^3/(x^3*(1 - a^2*x^2)^(1/2)), x, 13, -((3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/(2*x)) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^3)/(2*x^2) - a^2*ArcTanh[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^3 - 6*a^2*ArcTanh[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] - (3/2)*a^2*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, -E^ArcTanh[a*x]] + (3/2)*a^2*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, E^ArcTanh[a*x]] + 3*a^2*PolyLog[2, -(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x])] - 3*a^2*PolyLog[2, Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] + 3*a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, -E^ArcTanh[a*x]] - 3*a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, E^ArcTanh[a*x]] - 3*a^2*PolyLog[4, -E^ArcTanh[a*x]] + 3*a^2*PolyLog[4, E^ArcTanh[a*x]]}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c x]^p / (1-c^2 x^2)^(3/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^m, x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTanh[a*x])/(1 - a^2*x^2)^(3/2), x]}
+
+{ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^3, x, 5, -(x/(a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - ArcSin[a*x]/a^4 + ArcTanh[a*x]/(a^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/a^4}
+{ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^2, x, 2, -(1/(a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (x*ArcTanh[a*x])/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (2*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/a^3 + (I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/a^3 - (I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/a^3} 
+{ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^1, x, 2, -(x/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + ArcTanh[a*x]/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^0, x, 1, -(1/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (x*ArcTanh[a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(3/2)/x^1, x, 4, -((a*x)/Sqrt[1 - a^2*x^2]) + ArcTanh[a*x]/Sqrt[1 - a^2*x^2] - 2*ArcTanh[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] + PolyLog[2, -(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x])] - PolyLog[2, Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]}
+{ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(3/2)/x^2, x, 6, -(a/Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a^2*x*ArcTanh[a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/x - a*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(3/2)/x^3, x, 8, -((a^3*x)/Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x) + (a^2*ArcTanh[a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(2*x^2) - 3*a^2*ArcTanh[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] + (3/2)*a^2*PolyLog[2, -(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x])] - (3/2)*a^2*PolyLog[2, Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]}
+
+
+{ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^m, x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTanh[a*x]^2)/(1 - a^2*x^2)^(3/2), x]}
+
+{ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^3, x, 5, 2/(a^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*x*ArcTanh[a*x])/(a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/a^4 + ArcTanh[a*x]^2/(a^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/a^4 + (2*I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/a^4 - (2*I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/a^4}
+{ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^2, x, 11, (2*x)/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*ArcTanh[a*x])/(a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (x*ArcTanh[a*x]^2)/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*ArcTan[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2)/a^3 + (2*I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a^3 - (2*I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcTanh[a*x]])/a^3 - (2*I*PolyLog[3, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a^3 + (2*I*PolyLog[3, I*E^ArcTanh[a*x]])/a^3}
+{ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^1, x, 2, 2/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*x*ArcTanh[a*x])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + ArcTanh[a*x]^2/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^0, x, 2, (2*x)/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (2*ArcTanh[a*x])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (x*ArcTanh[a*x]^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(3/2)/x^1, x, 11, 2/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (2*a*x*ArcTanh[a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] + ArcTanh[a*x]^2/Sqrt[1 - a^2*x^2] - 2*ArcTanh[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2 - 2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -E^ArcTanh[a*x]] + 2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, E^ArcTanh[a*x]] + 2*PolyLog[3, -E^ArcTanh[a*x]] - 2*PolyLog[3, E^ArcTanh[a*x]]}
+{ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(3/2)/x^2, x, 5, (2*a^2*x)/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (2*a*ArcTanh[a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] + (a^2*x*ArcTanh[a*x]^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/x - 4*a*ArcTanh[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] + 2*a*PolyLog[2, -(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x])] - 2*a*PolyLog[2, Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]}
+{ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(3/2)/x^3, x, 25, (2*a^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (2*a^3*x*ArcTanh[a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/x + (a^2*ArcTanh[a*x]^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/(2*x^2) - 3*a^2*ArcTanh[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2 - a^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]] - 3*a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -E^ArcTanh[a*x]] + 3*a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, E^ArcTanh[a*x]] + 3*a^2*PolyLog[3, -E^ArcTanh[a*x]] - 3*a^2*PolyLog[3, E^ArcTanh[a*x]]}
+
+
+{ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^m, x, 0, Unintegrable[(x^m*ArcTanh[a*x]^3)/(1 - a^2*x^2)^(3/2), x]}
+
+{ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^3, x, 13, -((6*x)/(a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (6*ArcTanh[a*x])/(a^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*x*ArcTanh[a*x]^2)/(a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (6*ArcTan[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2)/a^4 + ArcTanh[a*x]^3/(a^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^3)/a^4 + (6*I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a^4 - (6*I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcTanh[a*x]])/a^4 - (6*I*PolyLog[3, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a^4 + (6*I*PolyLog[3, I*E^ArcTanh[a*x]])/a^4}
+{ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^2, x, 13, -(6/(a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (6*x*ArcTanh[a*x])/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*ArcTanh[a*x]^2)/(a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (x*ArcTanh[a*x]^3)/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*ArcTan[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^3)/a^3 + (3*I*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a^3 - (3*I*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^ArcTanh[a*x]])/a^3 - (6*I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a^3 + (6*I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, I*E^ArcTanh[a*x]])/a^3 + (6*I*PolyLog[4, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a^3 - (6*I*PolyLog[4, I*E^ArcTanh[a*x]])/a^3}
+{ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^1, x, 3, -((6*x)/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (6*ArcTanh[a*x])/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*x*ArcTanh[a*x]^2)/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + ArcTanh[a*x]^3/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^0, x, 2, -(6/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (6*x*ArcTanh[a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (3*ArcTanh[a*x]^2)/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (x*ArcTanh[a*x]^3)/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(3/2)/x^1, x, 14, -((6*a*x)/Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (6*ArcTanh[a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (3*a*x*ArcTanh[a*x]^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2] + ArcTanh[a*x]^3/Sqrt[1 - a^2*x^2] - 2*ArcTanh[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^3 - 3*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, -E^ArcTanh[a*x]] + 3*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, E^ArcTanh[a*x]] + 6*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, -E^ArcTanh[a*x]] - 6*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, E^ArcTanh[a*x]] - 6*PolyLog[4, -E^ArcTanh[a*x]] + 6*PolyLog[4, E^ArcTanh[a*x]]}
+{ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(3/2)/x^2, x, 12, -((6*a)/Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (6*a^2*x*ArcTanh[a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (3*a*ArcTanh[a*x]^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2] - 6*a*ArcTanh[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2 + (a^2*x*ArcTanh[a*x]^3)/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^3)/x - 6*a*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -E^ArcTanh[a*x]] + 6*a*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, E^ArcTanh[a*x]] + 6*a*PolyLog[3, -E^ArcTanh[a*x]] - 6*a*PolyLog[3, E^ArcTanh[a*x]]}
+{ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(3/2)/x^3, x, 28, -((6*a^3*x)/Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (6*a^2*ArcTanh[a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (3*a^3*x*ArcTanh[a*x]^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/(2*x) + (a^2*ArcTanh[a*x]^3)/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^3)/(2*x^2) - 3*a^2*ArcTanh[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^3 - 6*a^2*ArcTanh[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] - (9/2)*a^2*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, -E^ArcTanh[a*x]] + (9/2)*a^2*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, E^ArcTanh[a*x]] + 3*a^2*PolyLog[2, -(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x])] - 3*a^2*PolyLog[2, Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] + 9*a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, -E^ArcTanh[a*x]] - 9*a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, E^ArcTanh[a*x]] - 9*a^2*PolyLog[4, -E^ArcTanh[a*x]] + 9*a^2*PolyLog[4, E^ArcTanh[a*x]]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^m, x, 0, Unintegrable[x^m/((1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]), x]}
+
+{1/ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^2, x, 0, Unintegrable[x^2/((1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]), x]} 
+{1/ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^1, x, 2, SinhIntegral[ArcTanh[a*x]]/a^2}
+{1/ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^0, x, 2, CoshIntegral[ArcTanh[a*x]]/a}
+{1/ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(3/2)/x^1, x, 0, Unintegrable[1/(x*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]), x]}
+
+
+{1/ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^m, x, 0, Unintegrable[x^m/((1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]^2), x]}
+
+{1/ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^2, x, 4, -(1/(a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])) + SinhIntegral[ArcTanh[a*x]]/a^3 - Unintegrable[1/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2), x]/a^2}
+{1/ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^1, x, 3, -(x/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])) + CoshIntegral[ArcTanh[a*x]]/a^2}
+{1/ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^0, x, 3, -(1/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])) + SinhIntegral[ArcTanh[a*x]]/a}
+{1/ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(3/2)/x^1, x, 5, -((a*x)/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*x*ArcTanh[a*x]) + CoshIntegral[ArcTanh[a*x]] - Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]), x]/a}
+
+
+{1/ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^m, x, 0, Unintegrable[x^m/((1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]^3), x]}
+
+{1/ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^2, x, 5, -(1/(2*a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)) - x/(2*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]) + CoshIntegral[ArcTanh[a*x]]/(2*a^3) - Unintegrable[1/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^3), x]/a^2}
+{1/ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^1, x, 4, -(x/(2*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)) - 1/(2*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]) + SinhIntegral[ArcTanh[a*x]]/(2*a^2)}
+{1/ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(3/2)*x^0, x, 4, -(1/(2*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)) - x/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]) + CoshIntegral[ArcTanh[a*x]]/(2*a)}
+{1/ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(3/2)/x^1, x, 6, -((a*x)/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a*x*ArcTanh[a*x]^2) - 1/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]) + (1/2)*SinhIntegral[ArcTanh[a*x]] - Unintegrable[1/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2), x]/(2*a)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c x]^p (1-c^2 x^2)^(1/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]*x^4, x, 11, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(16*a^5) - (7*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(72*a^5) + (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(30*a^5) - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(16*a^4) - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(24*a^2) + (1/6)*x^5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x] - (ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/(8*a^5) - (I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/(16*a^5) + (I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/(16*a^5)}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]*x^3, x, 9, (x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(24*a^3) + (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(20*a) + (11*ArcSin[a*x])/(120*a^4) - (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(15*a^4) - (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(15*a^2) + (1/5)*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]*x^2, x, 7, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a^3) - (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(12*a^3) - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(8*a^2) + (1/4)*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x] - (ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/(4*a^3) - (I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/(8*a^3) + (I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/(8*a^3)}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]*x^1, x, 3, (x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*a) + ArcSin[a*x]/(6*a^2) - ((1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x])/(3*a^2)}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]*x^0, x, 2, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a) + (1/2)*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x] - (ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/a - (I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/(2*a) + (I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/(2*a)}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]/x^1, x, 3, -ArcSin[a*x] + Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x] - 2*ArcTanh[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] + PolyLog[2, -(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x])] - PolyLog[2, Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]/x^2, x, 6, -((Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/x) + 2*a*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x] - a*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]] + I*a*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])] - I*a*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]]}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]/x^3, x, 5, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x)) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(2*x^2) + a^2*ArcTanh[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] - (1/2)*a^2*PolyLog[2, -(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x])] + (1/2)*a^2*PolyLog[2, Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]/x^4, x, 5, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*x^2)) - ((1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x])/(3*x^3) + (1/6)*a^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]/x^5, x, 9, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(12*x^3)) - (a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(24*x) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(4*x^4) + (a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(8*x^2) + (1/4)*a^4*ArcTanh[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] - (1/8)*a^4*PolyLog[2, -(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x])] + (1/8)*a^4*PolyLog[2, Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]/x^6, x, 21, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(20*x^4)) - (a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(24*x^2) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(5*x^5) + (a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(15*x^3) + (2*a^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(15*x) + (11/120)*a^5*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]/x^7, x, 14, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(30*x^5)) - (11*a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(360*x^3) + (a^5*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(720*x) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(6*x^6) + (a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(24*x^4) + (a^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(16*x^2) + (1/8)*a^6*ArcTanh[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] - (1/16)*a^6*PolyLog[2, -(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x])] + (1/16)*a^6*PolyLog[2, Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]}
+
+
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2*x^4, x, 45, (x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(18*a^4) + (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(60*a^2) - (19*ArcSin[a*x])/(360*a^5) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(360*a^5) + (11*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(180*a^3) + (x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(15*a) - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/(16*a^4) - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/(24*a^2) + (1/6)*x^5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2 + (ArcTan[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2)/(8*a^5) - (I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/(8*a^5) + (I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcTanh[a*x]])/(8*a^5) + (I*PolyLog[3, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/(8*a^5) - (I*PolyLog[3, I*E^ArcTanh[a*x]])/(8*a^5)}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2*x^3, x, 21, (11*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(60*a^4) - (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(30*a^4) + (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(12*a^3) + (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(10*a) - (11*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/(30*a^4) - (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/(15*a^4) - (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/(15*a^2) + (1/5)*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2 - (11*I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/(60*a^4) + (11*I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/(60*a^4)}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2*x^2, x, 29, (x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(12*a^2) - ArcSin[a*x]/(6*a^3) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(12*a^3) + (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(6*a) - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/(8*a^2) + (1/4)*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2 + (ArcTan[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2)/(4*a^3) - (I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/(4*a^3) + (I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcTanh[a*x]])/(4*a^3) + (I*PolyLog[3, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/(4*a^3) - (I*PolyLog[3, I*E^ArcTanh[a*x]])/(4*a^3)}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2*x^1, x, 3, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*a^2) + (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(3*a) - (2*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/(3*a^2) - ((1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]^2)/(3*a^2) - (I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/(3*a^2) + (I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/(3*a^2)}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2*x^0, x, 10, -(ArcSin[a*x]/a) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/a + (1/2)*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2 + (ArcTan[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2)/a - (I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a + (I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcTanh[a*x]])/a + (I*PolyLog[3, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a - (I*PolyLog[3, I*E^ArcTanh[a*x]])/a}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2/x^1, x, 11, 4*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x] + Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2 - 2*ArcTanh[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2 - 2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -E^ArcTanh[a*x]] + 2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, E^ArcTanh[a*x]] + 2*I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])] - 2*I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]] + 2*PolyLog[3, -E^ArcTanh[a*x]] - 2*PolyLog[3, E^ArcTanh[a*x]]}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2/x^2, x, 11, -((Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/x) - 2*a*ArcTan[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2 - 4*a*ArcTanh[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] + 2*I*a*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcTanh[a*x]] - 2*I*a*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcTanh[a*x]] + 2*a*PolyLog[2, -(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x])] - 2*a*PolyLog[2, Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] - 2*I*a*PolyLog[3, (-I)*E^ArcTanh[a*x]] + 2*I*a*PolyLog[3, I*E^ArcTanh[a*x]]}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2/x^3, x, 22, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/x) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/(2*x^2) + a^2*ArcTanh[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2 - a^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]] + a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, -E^ArcTanh[a*x]] - a^2*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, E^ArcTanh[a*x]] - a^2*PolyLog[3, -E^ArcTanh[a*x]] + a^2*PolyLog[3, E^ArcTanh[a*x]]}
+{Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2/x^4, x, 6, -((a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*x)) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(3*x^2) - ((1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]^2)/(3*x^3) + (2/3)*a^3*ArcTanh[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] - (1/3)*a^3*PolyLog[2, -(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x])] + (1/3)*a^3*PolyLog[2, Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c x]^p (1-c^2 x^2)^(3/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]*x^4, x, 27, (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(128*a^5) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(192*a^5) - (3*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(80*a^5) + (1 - a^2*x^2)^(7/2)/(56*a^5) - (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(128*a^4) - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(64*a^2) + (3/16)*x^5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x] - (1/8)*a^2*x^7*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x] - (3*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/(64*a^5) - (3*I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/(128*a^5) + (3*I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/(128*a^5)}
+{(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]*x^3, x, 24, (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(112*a^3) + (23*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(840*a) - (1/42)*a*x^5*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (17*ArcSin[a*x])/(560*a^4) - (2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(35*a^4) - (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(35*a^2) + (8/35)*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x] - (1/7)*a^2*x^6*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]}
+{(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]*x^2, x, 19, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(16*a^3) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(72*a^3) - (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(30*a^3) - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(16*a^2) + (7/24)*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x] - (1/6)*a^2*x^5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x] - (ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/(8*a^3) - (I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/(16*a^3) + (I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/(16*a^3)}
+{(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]*x^1, x, 4, (3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(40*a) + (x*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(20*a) + (3*ArcSin[a*x])/(40*a^2) - ((1 - a^2*x^2)^(5/2)*ArcTanh[a*x])/(5*a^2)}
+{(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]*x^0, x, 3, (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(12*a) + (3/8)*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x] + (1/4)*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x] - (3*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/(4*a) - (3*I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/(8*a) + (3*I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/(8*a)}
+{(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]/x^1, x, 7, (-(1/6))*a*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] - (7/6)*ArcSin[a*x] + Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x] + (1/3)*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x] - 2*ArcTanh[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] + PolyLog[2, -(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x])] - PolyLog[2, Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]}
+{(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]/x^2, x, 9, (-(1/2))*a*Sqrt[1 - a^2*x^2] - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/x - (1/2)*a^2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x] + 3*a*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x] - a*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]] + (3/2)*I*a*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])] - (3/2)*I*a*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]]}
+{(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]/x^3, x, 9, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x)) + a^2*ArcSin[a*x] - a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x] - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(2*x^2) + 3*a^2*ArcTanh[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] - (3/2)*a^2*PolyLog[2, -(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x])] + (3/2)*a^2*PolyLog[2, Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]}
+{(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]/x^4, x, 12, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*x^2)) + (a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/x - ((1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x])/(3*x^3) - 2*a^3*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x] + (7/6)*a^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]] - I*a^3*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])] + I*a^3*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]]}
+{(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]/x^5, x, 15, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(12*x^3)) + (11*a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(24*x) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(4*x^4) + (5*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(8*x^2) - (3/4)*a^4*ArcTanh[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] + (3/8)*a^4*PolyLog[2, -(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x])] - (3/8)*a^4*PolyLog[2, Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]}
+{(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]/x^6, x, 6, (3*a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(40*x^2) - (a*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(20*x^4) - ((1 - a^2*x^2)^(5/2)*ArcTanh[a*x])/(5*x^5) - (3/40)*a^5*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]/x^7, x, 24, -((a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(30*x^5)) + (19*a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(360*x^3) + (31*a^5*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(720*x) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(6*x^6) + (7*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(24*x^4) - (a^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(16*x^2) - (1/8)*a^6*ArcTanh[a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]] + (1/16)*a^6*PolyLog[2, -(Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x])] - (1/16)*a^6*PolyLog[2, Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form ArcTanh[c x]^p (1-c^2 x^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^(5/2), x, 4, (5*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(16*a) + (5*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(72*a) + (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(30*a) + (5/16)*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x] + (5/24)*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x] + (1/6)*x*(1 - a^2*x^2)^(5/2)*ArcTanh[a*x] - (5*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/(8*a) - (5*I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/(16*a) + (5*I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/(16*a)}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^(3/2), x, 3, (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(12*a) + (3/8)*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x] + (1/4)*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x] - (3*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/(4*a) - (3*I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/(8*a) + (3*I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/(8*a)}
+{ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 2, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a) + (1/2)*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x] - (ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/a - (I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/(2*a) + (I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/(2*a)}
+{ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(5/2), x, 2, -(1/(9*a*(1 - a^2*x^2)^(3/2))) - 2/(3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (x*ArcTanh[a*x])/(3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcTanh[a*x])/(3*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(7/2), x, 3, -(1/(25*a*(1 - a^2*x^2)^(5/2))) - 4/(45*a*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - 8/(15*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (x*ArcTanh[a*x])/(5*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcTanh[a*x])/(15*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcTanh[a*x])/(15*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(9/2), x, 4, -(1/(49*a*(1 - a^2*x^2)^(7/2))) - 6/(175*a*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - 8/(105*a*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - 16/(35*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (x*ArcTanh[a*x])/(7*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (6*x*ArcTanh[a*x])/(35*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (8*x*ArcTanh[a*x])/(35*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (16*x*ArcTanh[a*x])/(35*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+{ArcTanh[a*x]*(c - c*a^2*x^2)^(3/2), x, 4, (3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(8*a) + (c - a^2*c*x^2)^(3/2)/(12*a) + (3/8)*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcTanh[a*x] + (1/4)*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x] - (3*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/(4*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (3*I*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/(8*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (3*I*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/(8*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{ArcTanh[a*x]*(c - c*a^2*x^2)^(1/2), x, 3, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(2*a) + (1/2)*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcTanh[a*x] - (c*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/(a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (I*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/(2*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (I*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/(2*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{ArcTanh[a*x]/(c - c*a^2*x^2)^(1/2), x, 2, -((2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/(a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - (I*Sqrt[1 - a^2*x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/(a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (I*Sqrt[1 - a^2*x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/(a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{ArcTanh[a*x]/(c - c*a^2*x^2)^(3/2), x, 1, -(1/(a*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) + (x*ArcTanh[a*x])/(c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{ArcTanh[a*x]/(c - c*a^2*x^2)^(5/2), x, 2, -(1/(9*a*c*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))) - 2/(3*a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (x*ArcTanh[a*x])/(3*c*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcTanh[a*x])/(3*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{ArcTanh[a*x]/(c - c*a^2*x^2)^(7/2), x, 3, -(1/(25*a*c*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) - 4/(45*a*c^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - 8/(15*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (x*ArcTanh[a*x])/(5*c*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcTanh[a*x])/(15*c^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcTanh[a*x])/(15*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{ArcTanh[a*x]^2*(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 10, -(ArcSin[a*x]/a) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/a + (1/2)*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2 + (ArcTan[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^2)/a - (I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a + (I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcTanh[a*x]])/a + (I*PolyLog[3, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a - (I*PolyLog[3, I*E^ArcTanh[a*x]])/a}
+{ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(5/2), x, 5, (2*x)/(27*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (40*x)/(27*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*ArcTanh[a*x])/(9*a*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (4*ArcTanh[a*x])/(3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (x*ArcTanh[a*x]^2)/(3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcTanh[a*x]^2)/(3*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(7/2), x, 9, (2*x)/(125*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (272*x)/(3375*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (4144*x)/(3375*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*ArcTanh[a*x])/(25*a*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (8*ArcTanh[a*x])/(45*a*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (16*ArcTanh[a*x])/(15*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (x*ArcTanh[a*x]^2)/(5*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcTanh[a*x]^2)/(15*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcTanh[a*x]^2)/(15*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{ArcTanh[a*x]^2/(1 - a^2*x^2)^(9/2), x, 14, (2*x)/(343*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (888*x)/(42875*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (30256*x)/(385875*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (413312*x)/(385875*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*ArcTanh[a*x])/(49*a*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) - (12*ArcTanh[a*x])/(175*a*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (16*ArcTanh[a*x])/(105*a*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (32*ArcTanh[a*x])/(35*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (x*ArcTanh[a*x]^2)/(7*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (6*x*ArcTanh[a*x]^2)/(35*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (8*x*ArcTanh[a*x]^2)/(35*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (16*x*ArcTanh[a*x]^2)/(35*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+{ArcTanh[a*x]^3*(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 12, (6*ArcTan[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x]]*ArcTanh[a*x])/a + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)/(2*a) + (1/2)*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^3 + (ArcTan[E^ArcTanh[a*x]]*ArcTanh[a*x]^3)/a - (3*I*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/(2*a) + (3*I*ArcTanh[a*x]^2*PolyLog[2, I*E^ArcTanh[a*x]])/(2*a) + (3*I*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x])])/a - (3*I*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]])/a + (3*I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a - (3*I*ArcTanh[a*x]*PolyLog[3, I*E^ArcTanh[a*x]])/a - (3*I*PolyLog[4, (-I)*E^ArcTanh[a*x]])/a + (3*I*PolyLog[4, I*E^ArcTanh[a*x]])/a}
+{ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(5/2), x, 5, -(2/(27*a*(1 - a^2*x^2)^(3/2))) - 40/(9*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (2*x*ArcTanh[a*x])/(9*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (40*x*ArcTanh[a*x])/(9*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - ArcTanh[a*x]^2/(3*a*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (2*ArcTanh[a*x]^2)/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (x*ArcTanh[a*x]^3)/(3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcTanh[a*x]^3)/(3*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(7/2), x, 9, -(6/(625*a*(1 - a^2*x^2)^(5/2))) - 272/(3375*a*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - 4144/(1125*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (6*x*ArcTanh[a*x])/(125*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (272*x*ArcTanh[a*x])/(1125*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (4144*x*ArcTanh[a*x])/(1125*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*ArcTanh[a*x]^2)/(25*a*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (4*ArcTanh[a*x]^2)/(15*a*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (8*ArcTanh[a*x]^2)/(5*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (x*ArcTanh[a*x]^3)/(5*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcTanh[a*x]^3)/(15*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcTanh[a*x]^3)/(15*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{ArcTanh[a*x]^3/(1 - a^2*x^2)^(9/2), x, 14, -(6/(2401*a*(1 - a^2*x^2)^(7/2))) - 2664/(214375*a*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - 30256/(385875*a*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - 413312/(128625*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (6*x*ArcTanh[a*x])/(343*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (2664*x*ArcTanh[a*x])/(42875*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (30256*x*ArcTanh[a*x])/(128625*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (413312*x*ArcTanh[a*x])/(128625*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*ArcTanh[a*x]^2)/(49*a*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) - (18*ArcTanh[a*x]^2)/(175*a*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (8*ArcTanh[a*x]^2)/(35*a*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (48*ArcTanh[a*x]^2)/(35*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (x*ArcTanh[a*x]^3)/(7*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (6*x*ArcTanh[a*x]^3)/(35*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (8*x*ArcTanh[a*x]^3)/(35*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (16*x*ArcTanh[a*x]^3)/(35*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(1 - a^2*x^2)^(1/2)/ArcTanh[a*x], x, 0, Unintegrable[Sqrt[1 - a^2*x^2]/ArcTanh[a*x], x]}
+{1/(1 - a^2*x^2)^(1/2)/ArcTanh[a*x], x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]), x]}
+{1/(1 - a^2*x^2)^(3/2)/ArcTanh[a*x], x, 2, CoshIntegral[ArcTanh[a*x]]/a}
+{1/(1 - a^2*x^2)^(5/2)/ArcTanh[a*x], x, 5, (3*CoshIntegral[ArcTanh[a*x]])/(4*a) + CoshIntegral[3*ArcTanh[a*x]]/(4*a)}
+{1/(1 - a^2*x^2)^(7/2)/ArcTanh[a*x], x, 6, (5*CoshIntegral[ArcTanh[a*x]])/(8*a) + (5*CoshIntegral[3*ArcTanh[a*x]])/(16*a) + CoshIntegral[5*ArcTanh[a*x]]/(16*a)}
+{1/(1 - a^2*x^2)^(9/2)/ArcTanh[a*x], x, 7, (35*CoshIntegral[ArcTanh[a*x]])/(64*a) + (21*CoshIntegral[3*ArcTanh[a*x]])/(64*a) + (7*CoshIntegral[5*ArcTanh[a*x]])/(64*a) + CoshIntegral[7*ArcTanh[a*x]]/(64*a)}
+
+
+{(1 - a^2*x^2)^(1/2)/ArcTanh[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[Sqrt[1 - a^2*x^2]/ArcTanh[a*x]^2, x]}
+{1/(1 - a^2*x^2)^(1/2)/ArcTanh[a*x]^2, x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2), x]}
+{1/(1 - a^2*x^2)^(3/2)/ArcTanh[a*x]^2, x, 3, -(1/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])) + SinhIntegral[ArcTanh[a*x]]/a}
+{1/(1 - a^2*x^2)^(5/2)/ArcTanh[a*x]^2, x, 6, -(1/(a*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x])) + (3*SinhIntegral[ArcTanh[a*x]])/(4*a) + (3*SinhIntegral[3*ArcTanh[a*x]])/(4*a)}
+{1/(1 - a^2*x^2)^(7/2)/ArcTanh[a*x]^2, x, 7, -(1/(a*(1 - a^2*x^2)^(5/2)*ArcTanh[a*x])) + (5*SinhIntegral[ArcTanh[a*x]])/(8*a) + (15*SinhIntegral[3*ArcTanh[a*x]])/(16*a) + (5*SinhIntegral[5*ArcTanh[a*x]])/(16*a)}
+{1/(1 - a^2*x^2)^(9/2)/ArcTanh[a*x]^2, x, 8, -(1/(a*(1 - a^2*x^2)^(7/2)*ArcTanh[a*x])) + (35*SinhIntegral[ArcTanh[a*x]])/(64*a) + (63*SinhIntegral[3*ArcTanh[a*x]])/(64*a) + (35*SinhIntegral[5*ArcTanh[a*x]])/(64*a) + (7*SinhIntegral[7*ArcTanh[a*x]])/(64*a)}
+
+
+{(1 - a^2*x^2)^(1/2)/ArcTanh[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[Sqrt[1 - a^2*x^2]/ArcTanh[a*x]^3, x]}
+{1/(1 - a^2*x^2)^(1/2)/ArcTanh[a*x]^3, x, 0, Unintegrable[1/(Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^3), x]}
+{1/(1 - a^2*x^2)^(3/2)/ArcTanh[a*x]^3, x, 4, -(1/(2*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]^2)) - x/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x]) + CoshIntegral[ArcTanh[a*x]]/(2*a)}
+{1/(1 - a^2*x^2)^(5/2)/ArcTanh[a*x]^3, x, 12, -(1/(2*a*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]^2)) - (3*x)/(2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*ArcTanh[a*x]) + (3*CoshIntegral[ArcTanh[a*x]])/(8*a) + (9*CoshIntegral[3*ArcTanh[a*x]])/(8*a)}
+{1/(1 - a^2*x^2)^(7/2)/ArcTanh[a*x]^3, x, 14, -(1/(2*a*(1 - a^2*x^2)^(5/2)*ArcTanh[a*x]^2)) - (5*x)/(2*(1 - a^2*x^2)^(5/2)*ArcTanh[a*x]) + (5*CoshIntegral[ArcTanh[a*x]])/(16*a) + (45*CoshIntegral[3*ArcTanh[a*x]])/(32*a) + (25*CoshIntegral[5*ArcTanh[a*x]])/(32*a)}
+{1/(1 - a^2*x^2)^(9/2)/ArcTanh[a*x]^3, x, 16, -(1/(2*a*(1 - a^2*x^2)^(7/2)*ArcTanh[a*x]^2)) - (7*x)/(2*(1 - a^2*x^2)^(7/2)*ArcTanh[a*x]) + (35*CoshIntegral[ArcTanh[a*x]])/(128*a) + (189*CoshIntegral[3*ArcTanh[a*x]])/(128*a) + (175*CoshIntegral[5*ArcTanh[a*x]])/(128*a) + (49*CoshIntegral[7*ArcTanh[a*x]])/(128*a)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f+g x)^m (d+e x^2)^q (a+b ArcTanh[c x])^p with c^2 d+e=0*)
+
+
+{(d + e*x)*(a + b*ArcTanh[c*x])^2/(1 - c^2*x^2), x, 7, (d*(a + b*ArcTanh[c*x])^3)/(3*b*c) - (e*(a + b*ArcTanh[c*x])^3)/(3*b*c^2) + (e*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*Log[2/(1 - c*x)])/c^2 + (b*e*(a + b*ArcTanh[c*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)])/c^2 - (b^2*e*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c*x)])/(2*c^2)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^q (a+b ArcTanh[c x])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x^2)^q (a+b ArcTanh[c x])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x^2)^q (a+b ArcTanh[c x])^p*)
+
+
+{ArcTanh[a*x]*(c + d*x^2)^4, x, 4, (d*(420*a^6*c^3 + 378*a^4*c^2*d + 180*a^2*c*d^2 + 35*d^3)*x^2)/(630*a^7) + (d^2*(378*a^4*c^2 + 180*a^2*c*d + 35*d^2)*x^4)/(1260*a^5) + (d^3*(36*a^2*c + 7*d)*x^6)/(378*a^3) + (d^4*x^8)/(72*a) + c^4*x*ArcTanh[a*x] + (4/3)*c^3*d*x^3*ArcTanh[a*x] + (6/5)*c^2*d^2*x^5*ArcTanh[a*x] + (4/7)*c*d^3*x^7*ArcTanh[a*x] + (1/9)*d^4*x^9*ArcTanh[a*x] + ((315*a^8*c^4 + 420*a^6*c^3*d + 378*a^4*c^2*d^2 + 180*a^2*c*d^3 + 35*d^4)*Log[1 - a^2*x^2])/(630*a^9)}
+{ArcTanh[a*x]*(c + d*x^2)^3, x, 4, (d*(35*a^4*c^2 + 21*a^2*c*d + 5*d^2)*x^2)/(70*a^5) + (d^2*(21*a^2*c + 5*d)*x^4)/(140*a^3) + (d^3*x^6)/(42*a) + c^3*x*ArcTanh[a*x] + c^2*d*x^3*ArcTanh[a*x] + (3/5)*c*d^2*x^5*ArcTanh[a*x] + (1/7)*d^3*x^7*ArcTanh[a*x] + ((35*a^6*c^3 + 35*a^4*c^2*d + 21*a^2*c*d^2 + 5*d^3)*Log[1 - a^2*x^2])/(70*a^7)}
+{ArcTanh[a*x]*(c + d*x^2)^2, x, 5, (d*(10*a^2*c + 3*d)*x^2)/(30*a^3) + (d^2*x^4)/(20*a) + c^2*x*ArcTanh[a*x] + (2/3)*c*d*x^3*ArcTanh[a*x] + (1/5)*d^2*x^5*ArcTanh[a*x] + ((15*a^4*c^2 + 10*a^2*c*d + 3*d^2)*Log[1 - a^2*x^2])/(30*a^5)}
+{ArcTanh[a*x]*(c + d*x^2)^1, x, 5, (d*x^2)/(6*a) + c*x*ArcTanh[a*x] + (1/3)*d*x^3*ArcTanh[a*x] + ((3*a^2*c + d)*Log[1 - a^2*x^2])/(6*a^3)}
+{ArcTanh[a*x]/(c + d*x^2)^1, x, 17, -((Log[1 - a*x]*Log[(a*(Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[-c] - Sqrt[d])])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d])) + (Log[1 + a*x]*Log[(a*(Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[-c] + Sqrt[d])])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (Log[1 + a*x]*Log[(a*(Sqrt[-c] + Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[-c] - Sqrt[d])])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + (Log[1 - a*x]*Log[(a*(Sqrt[-c] + Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[-c] + Sqrt[d])])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - PolyLog[2, -((Sqrt[d]*(1 - a*x))/(a*Sqrt[-c] - Sqrt[d]))]/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + PolyLog[2, (Sqrt[d]*(1 - a*x))/(a*Sqrt[-c] + Sqrt[d])]/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - PolyLog[2, -((Sqrt[d]*(1 + a*x))/(a*Sqrt[-c] - Sqrt[d]))]/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + PolyLog[2, (Sqrt[d]*(1 + a*x))/(a*Sqrt[-c] + Sqrt[d])]/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d])}
+{ArcTanh[a*x]/(c + d*x^2)^2, x, If[$VersionNumber<11, 24, 25], (x*ArcTanh[a*x])/(2*c*(c + d*x^2)) + (ArcTan[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]]*ArcTanh[a*x])/(2*c^(3/2)*Sqrt[d]) + (I*Log[(Sqrt[d]*(1 - a*x))/(I*a*Sqrt[c] + Sqrt[d])]*Log[1 - (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(8*c^(3/2)*Sqrt[d]) - (I*Log[-((Sqrt[d]*(1 + a*x))/(I*a*Sqrt[c] - Sqrt[d]))]*Log[1 - (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(8*c^(3/2)*Sqrt[d]) - (I*Log[-((Sqrt[d]*(1 - a*x))/(I*a*Sqrt[c] - Sqrt[d]))]*Log[1 + (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(8*c^(3/2)*Sqrt[d]) + (I*Log[(Sqrt[d]*(1 + a*x))/(I*a*Sqrt[c] + Sqrt[d])]*Log[1 + (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(8*c^(3/2)*Sqrt[d]) + (a*Log[1 - a^2*x^2])/(4*c*(a^2*c + d)) - (a*Log[c + d*x^2])/(4*c*(a^2*c + d)) + (I*PolyLog[2, (a*(Sqrt[c] - I*Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[c] - I*Sqrt[d])])/(8*c^(3/2)*Sqrt[d]) - (I*PolyLog[2, (a*(Sqrt[c] - I*Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[c] + I*Sqrt[d])])/(8*c^(3/2)*Sqrt[d]) + (I*PolyLog[2, (a*(Sqrt[c] + I*Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[c] - I*Sqrt[d])])/(8*c^(3/2)*Sqrt[d]) - (I*PolyLog[2, (a*(Sqrt[c] + I*Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[c] + I*Sqrt[d])])/(8*c^(3/2)*Sqrt[d])}
+{ArcTanh[a*x]/(c + d*x^2)^3, x, 23, a/(8*c*(a^2*c + d)*(c + d*x^2)) + (x*ArcTanh[a*x])/(4*c*(c + d*x^2)^2) + (3*x*ArcTanh[a*x])/(8*c^2*(c + d*x^2)) + (3*ArcTan[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]]*ArcTanh[a*x])/(8*c^(5/2)*Sqrt[d]) + (3*I*Log[(Sqrt[d]*(1 - a*x))/(I*a*Sqrt[c] + Sqrt[d])]*Log[1 - (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(32*c^(5/2)*Sqrt[d]) - (3*I*Log[-((Sqrt[d]*(1 + a*x))/(I*a*Sqrt[c] - Sqrt[d]))]*Log[1 - (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(32*c^(5/2)*Sqrt[d]) - (3*I*Log[-((Sqrt[d]*(1 - a*x))/(I*a*Sqrt[c] - Sqrt[d]))]*Log[1 + (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(32*c^(5/2)*Sqrt[d]) + (3*I*Log[(Sqrt[d]*(1 + a*x))/(I*a*Sqrt[c] + Sqrt[d])]*Log[1 + (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(32*c^(5/2)*Sqrt[d]) + (a*(5*a^2*c + 3*d)*Log[1 - a^2*x^2])/(16*c^2*(a^2*c + d)^2) - (a*(5*a^2*c + 3*d)*Log[c + d*x^2])/(16*c^2*(a^2*c + d)^2) + (3*I*PolyLog[2, (a*(Sqrt[c] - I*Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[c] - I*Sqrt[d])])/(32*c^(5/2)*Sqrt[d]) - (3*I*PolyLog[2, (a*(Sqrt[c] - I*Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[c] + I*Sqrt[d])])/(32*c^(5/2)*Sqrt[d]) + (3*I*PolyLog[2, (a*(Sqrt[c] + I*Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[c] - I*Sqrt[d])])/(32*c^(5/2)*Sqrt[d]) - (3*I*PolyLog[2, (a*(Sqrt[c] + I*Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[c] + I*Sqrt[d])])/(32*c^(5/2)*Sqrt[d])}
+
+
+{1/((a - a*x^2)*(b - 2*b*ArcTanh[x])), x, 1, -(Log[1 - 2*ArcTanh[x]]/(2*a*b))}
+
+
+{ArcTanh[b*x]/(1 - x^2), x, 17, (1/4)*Log[-((b*(1 - x))/(1 - b))]*Log[1 - b*x] - (1/4)*Log[(b*(1 + x))/(1 + b)]*Log[1 - b*x] - (1/4)*Log[(b*(1 - x))/(1 + b)]*Log[1 + b*x] + (1/4)*Log[-((b*(1 + x))/(1 - b))]*Log[1 + b*x] + (1/4)*PolyLog[2, (1 - b*x)/(1 - b)] - (1/4)*PolyLog[2, (1 - b*x)/(1 + b)] + (1/4)*PolyLog[2, (1 + b*x)/(1 - b)] - (1/4)*PolyLog[2, (1 + b*x)/(1 + b)]}
+{ArcTanh[a+b*x]/(1 - x^2), x, 17, (1/4)*Log[-((b*(1 - x))/(1 - a - b))]*Log[1 - a - b*x] - (1/4)*Log[(b*(1 + x))/(1 - a + b)]*Log[1 - a - b*x] - (1/4)*Log[(b*(1 - x))/(1 + a + b)]*Log[1 + a + b*x] + (1/4)*Log[-((b*(1 + x))/(1 + a - b))]*Log[1 + a + b*x] + (1/4)*PolyLog[2, (1 - a - b*x)/(1 - a - b)] - (1/4)*PolyLog[2, (1 - a - b*x)/(1 - a + b)] + (1/4)*PolyLog[2, (1 + a + b*x)/(1 + a - b)] - (1/4)*PolyLog[2, (1 + a + b*x)/(1 + a + b)]}
+
+
+{ArcTanh[x]/(a + b*x), x, 4, -((ArcTanh[x]*Log[2/(1 + x)])/b) + (ArcTanh[x]*Log[(2*(a + b*x))/((a + b)*(1 + x))])/b + PolyLog[2, 1 - 2/(1 + x)]/(2*b) - PolyLog[2, 1 - (2*(a + b*x))/((a + b)*(1 + x))]/(2*b)}
+{ArcTanh[x]/(a + b*x^2), x, 17, -((Log[1 - x]*Log[(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)/(Sqrt[-a] - Sqrt[b])])/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b])) + (Log[1 + x]*Log[(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*x)/(Sqrt[-a] + Sqrt[b])])/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) - (Log[1 + x]*Log[(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)/(Sqrt[-a] - Sqrt[b])])/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) + (Log[1 - x]*Log[(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*x)/(Sqrt[-a] + Sqrt[b])])/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) - PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(1 - x))/(Sqrt[-a] - Sqrt[b]))]/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) + PolyLog[2, (Sqrt[b]*(1 - x))/(Sqrt[-a] + Sqrt[b])]/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) - PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(1 + x))/(Sqrt[-a] - Sqrt[b]))]/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b]) + PolyLog[2, (Sqrt[b]*(1 + x))/(Sqrt[-a] + Sqrt[b])]/(4*Sqrt[-a]*Sqrt[b])}
+{ArcTanh[x]/(a + b*x + c*x^2), x, 10, (ArcTanh[x]*Log[(2*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/((b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(1 + x))])/Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (ArcTanh[x]*Log[(2*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/((b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(1 + x))])/Sqrt[b^2 - 4*a*c] - PolyLog[2, 1 - (2*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/((b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(1 + x))]/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) + PolyLog[2, 1 - (2*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/((b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*(1 + x))]/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x^2)^(q/2) (a+b ArcTanh[c x])^p*)
+
+
+{ArcTanh[a*x]*(c + d*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + d*x^2]*ArcTanh[a*x], x]}
+{ArcTanh[a*x]/(c + d*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[ArcTanh[a*x]/Sqrt[c + d*x^2], x]}
+{ArcTanh[a*x]/(c + d*x^2)^(3/2), x, 5, (x*ArcTanh[a*x])/(c*Sqrt[c + d*x^2]) - ArcTanh[(a*Sqrt[c + d*x^2])/Sqrt[a^2*c + d]]/(c*Sqrt[a^2*c + d])}
+{ArcTanh[a*x]/(c + d*x^2)^(5/2), x, 7, a/(3*c*(a^2*c + d)*Sqrt[c + d*x^2]) + (x*ArcTanh[a*x])/(3*c*(c + d*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcTanh[a*x])/(3*c^2*Sqrt[c + d*x^2]) - ((3*a^2*c + 2*d)*ArcTanh[(a*Sqrt[c + d*x^2])/Sqrt[a^2*c + d]])/(3*c^2*(a^2*c + d)^(3/2))}
+{ArcTanh[a*x]/(c + d*x^2)^(7/2), x, 8, a/(15*c*(a^2*c + d)*(c + d*x^2)^(3/2)) + (a*(7*a^2*c + 4*d))/(15*c^2*(a^2*c + d)^2*Sqrt[c + d*x^2]) + (x*ArcTanh[a*x])/(5*c*(c + d*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcTanh[a*x])/(15*c^2*(c + d*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcTanh[a*x])/(15*c^3*Sqrt[c + d*x^2]) - ((15*a^4*c^2 + 20*a^2*c*d + 8*d^2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c + d*x^2])/Sqrt[a^2*c + d]])/(15*c^3*(a^2*c + d)^(5/2))}
+{ArcTanh[a*x]/(c + d*x^2)^(9/2), x, 8, a/(35*c*(a^2*c + d)*(c + d*x^2)^(5/2)) + (a*(11*a^2*c + 6*d))/(105*c^2*(a^2*c + d)^2*(c + d*x^2)^(3/2)) + (a*(19*a^4*c^2 + 22*a^2*c*d + 8*d^2))/(35*c^3*(a^2*c + d)^3*Sqrt[c + d*x^2]) + (x*ArcTanh[a*x])/(7*c*(c + d*x^2)^(7/2)) + (6*x*ArcTanh[a*x])/(35*c^2*(c + d*x^2)^(5/2)) + (8*x*ArcTanh[a*x])/(35*c^3*(c + d*x^2)^(3/2)) + (16*x*ArcTanh[a*x])/(35*c^4*Sqrt[c + d*x^2]) - ((35*a^6*c^3 + 70*a^4*c^2*d + 56*a^2*c*d^2 + 16*d^3)*ArcTanh[(a*Sqrt[c + d*x^2])/Sqrt[a^2*c + d]])/(35*c^4*(a^2*c + d)^(7/2))}
+
+
+{ArcTanh[x]*(a - a*x^2)^(1/2), x, 3, (1/2)*Sqrt[a - a*x^2] + (1/2)*x*Sqrt[a - a*x^2]*ArcTanh[x] - (a*Sqrt[1 - x^2]*ArcTan[Sqrt[1 - x]/Sqrt[1 + x]]*ArcTanh[x])/Sqrt[a - a*x^2] - (I*a*Sqrt[1 - x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - x])/Sqrt[1 + x])])/(2*Sqrt[a - a*x^2]) + (I*a*Sqrt[1 - x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - x])/Sqrt[1 + x]])/(2*Sqrt[a - a*x^2])}
+{ArcTanh[x]/(a - a*x^2)^(1/2), x, 2, -((2*Sqrt[1 - x^2]*ArcTan[Sqrt[1 - x]/Sqrt[1 + x]]*ArcTanh[x])/Sqrt[a - a*x^2]) - (I*Sqrt[1 - x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - x])/Sqrt[1 + x])])/Sqrt[a - a*x^2] + (I*Sqrt[1 - x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - x])/Sqrt[1 + x]])/Sqrt[a - a*x^2]}
+{ArcTanh[x]/(a - a*x^2)^(3/2), x, 1, -(1/(a*Sqrt[a - a*x^2])) + (x*ArcTanh[x])/(a*Sqrt[a - a*x^2])}
+{ArcTanh[x]/(a - a*x^2)^(5/2), x, 2, -(1/(9*a*(a - a*x^2)^(3/2))) - 2/(3*a^2*Sqrt[a - a*x^2]) + (x*ArcTanh[x])/(3*a*(a - a*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcTanh[x])/(3*a^2*Sqrt[a - a*x^2])}
+{ArcTanh[x]/(a - a*x^2)^(7/2), x, 3, -(1/(25*a*(a - a*x^2)^(5/2))) - 4/(45*a^2*(a - a*x^2)^(3/2)) - 8/(15*a^3*Sqrt[a - a*x^2]) + (x*ArcTanh[x])/(5*a*(a - a*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcTanh[x])/(15*a^2*(a - a*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcTanh[x])/(15*a^3*Sqrt[a - a*x^2])}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (h x)^m (d+e Log[f+g x^2]) (a+b ArcTanh[c x])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e Log[f+g x^2]) (a+b ArcTanh[c x])*)
+
+
+{x^4*(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]), x, 26, -((2*a*e*x)/(5*c^4)) - (77*b*e*x^2)/(300*c^3) - (2*a*e*x^3)/(15*c^2) - (9*b*e*x^4)/(200*c) - (2/25)*a*e*x^5 - (2*b*e*x*ArcTanh[c*x])/(5*c^4) - (2*b*e*x^3*ArcTanh[c*x])/(15*c^2) - (2/25)*b*e*x^5*ArcTanh[c*x] + (b*e*ArcTanh[c*x]^2)/(5*c^5) - ((4*a + 3*b)*e*Log[1 - c*x])/(20*c^5) + ((4*a - 3*b)*e*Log[1 + c*x])/(20*c^5) - (23*b*e*Log[1 - c^2*x^2])/(75*c^5) - (b*e*Log[1 - c^2*x^2]^2)/(20*c^5) + (b*x^2*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(10*c^3) + (b*x^4*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(20*c) + (1/5)*x^5*(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]) + (b*Log[1 - c^2*x^2]*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(10*c^5)}
+{x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]), x, 14, (b*(2*d - 3*e)*x)/(8*c^3) - (2*b*e*x)/(3*c^3) + (b*(2*d - e)*x^3)/(24*c) - (b*e*x^3)/(18*c) - (b*(2*d - 3*e)*ArcTanh[c*x])/(8*c^4) + (2*b*e*ArcTanh[c*x])/(3*c^4) - (e*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(4*c^2) - (1/8)*e*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (b*e*x*Log[1 - c^2*x^2])/(4*c^3) + (b*e*x^3*Log[1 - c^2*x^2])/(12*c) - (e*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[1 - c^2*x^2])/(4*c^4) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])}
+{x^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]), x, 21, -((2*a*e*x)/(3*c^2)) - (5*b*e*x^2)/(18*c) - (2/9)*a*e*x^3 - (2*b*e*x*ArcTanh[c*x])/(3*c^2) - (2/9)*b*e*x^3*ArcTanh[c*x] + (b*e*ArcTanh[c*x]^2)/(3*c^3) - ((2*a + b)*e*Log[1 - c*x])/(6*c^3) + ((2*a - b)*e*Log[1 + c*x])/(6*c^3) - (4*b*e*Log[1 - c^2*x^2])/(9*c^3) - (b*e*Log[1 - c^2*x^2]^2)/(12*c^3) + (b*x^2*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(6*c) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]) + (b*Log[1 - c^2*x^2]*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(6*c^3)}
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]), x, 7, (b*(d - e)*x)/(2*c) - (b*e*x)/c - (b*(d - e)*ArcTanh[c*x])/(2*c^2) + (b*e*ArcTanh[c*x])/c^2 + (1/2)*d*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]) - (1/2)*e*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]) + (b*e*x*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c) - (e*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^2)}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]), x, 9, -2*a*e*x - 2*b*e*x*ArcTanh[c*x] + (e*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(b*c) - (b*e*Log[1 - c^2*x^2])/c + x*(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]) + (b*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])^2)/(4*c*e)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])/x^1, x, 14, a*d*Log[x] - (1/2)*b*e*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2 + (1/2)*b*e*Log[(-c)*x]*Log[1 + c*x]^2 - (1/2)*b*d*PolyLog[2, (-c)*x] + (1/2)*b*e*(Log[1 - c*x] + Log[1 + c*x] - Log[1 - c^2*x^2])*PolyLog[2, (-c)*x] + (1/2)*b*d*PolyLog[2, c*x] - (1/2)*b*e*(Log[1 - c*x] + Log[1 + c*x] - Log[1 - c^2*x^2])*PolyLog[2, c*x] - (1/2)*a*e*PolyLog[2, c^2*x^2] - b*e*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x] + b*e*Log[1 + c*x]*PolyLog[2, 1 + c*x] + b*e*PolyLog[3, 1 - c*x] - b*e*PolyLog[3, 1 + c*x]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])/x^2, x, 6, -((c*e*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/b) - ((a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/x + (1/2)*b*c*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])*Log[1 - 1/(1 - c^2*x^2)] - (1/2)*b*c*e*PolyLog[2, 1/(1 - c^2*x^2)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])/x^3, x, 5, (-a)*c^2*e*Log[x] + (1/2)*(a + b)*c^2*e*Log[1 - c*x] + (1/2)*(a - b)*c^2*e*Log[1 + c*x] - (b*c*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(2*x) + (1/2)*b*c^2*ArcTanh[c*x]*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]) - ((a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(2*x^2) + (1/2)*b*c^2*e*PolyLog[2, (-c)*x] - (1/2)*b*c^2*e*PolyLog[2, c*x]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])/x^4, x, 15, (2*c^2*e*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(3*x) - (c^3*e*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(3*b) - b*c^3*e*Log[x] + (1/3)*b*c^3*e*Log[1 - c^2*x^2] - (b*c*(1 - c^2*x^2)*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(6*x^2) - ((a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(3*x^3) + (1/6)*b*c^3*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])*Log[1 - 1/(1 - c^2*x^2)] - (1/6)*b*c^3*e*PolyLog[2, 1/(1 - c^2*x^2)]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])/x^5, x, 10, (a*c^2*e)/(4*x^2) + (5*b*c^3*e)/(12*x) - (1/4)*b*c^4*e*ArcTanh[c*x] + (b*c^2*e*ArcTanh[c*x])/(4*x^2) - (1/2)*a*c^4*e*Log[x] + (1/12)*(3*a + 4*b)*c^4*e*Log[1 - c*x] + (1/12)*(3*a - 4*b)*c^4*e*Log[1 + c*x] - (b*c*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(12*x^3) - (b*c^3*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(4*x) + (1/4)*b*c^4*ArcTanh[c*x]*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]) - ((a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(4*x^4) + (1/4)*b*c^4*e*PolyLog[2, (-c)*x] - (1/4)*b*c^4*e*PolyLog[2, c*x]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])/x^6, x, 24, (7*b*c^3*e)/(60*x^2) + (2*c^2*e*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(15*x^3) + (2*c^4*e*(a + b*ArcTanh[c*x]))/(5*x) - (c^5*e*(a + b*ArcTanh[c*x])^2)/(5*b) - (5/6)*b*c^5*e*Log[x] + (19/60)*b*c^5*e*Log[1 - c^2*x^2] - (b*c*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(20*x^4) - (b*c^3*(1 - c^2*x^2)*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(10*x^2) - ((a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(5*x^5) + (1/10)*b*c^5*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])*Log[1 - 1/(1 - c^2*x^2)] - (1/10)*b*c^5*e*PolyLog[2, 1/(1 - c^2*x^2)]}
+
+
+{x^1*(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2]), x, If[$VersionNumber<11, 21, 22], (b*(d - e)*x)/(2*c) - (b*e*x)/c + (b*e*Sqrt[f]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/(c*Sqrt[g]) - (b*(d - e)*ArcTanh[c*x])/(2*c^2) + (1/2)*d*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]) - (1/2)*e*x^2*(a + b*ArcTanh[c*x]) - (b*e*(c^2*f + g)*ArcTanh[c*x]*Log[2/(1 + c*x)])/(c^2*g) + (b*e*(c^2*f + g)*ArcTanh[c*x]*Log[(2*c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] - Sqrt[g])*(1 + c*x))])/(2*c^2*g) + (b*e*(c^2*f + g)*ArcTanh[c*x]*Log[(2*c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])*(1 + c*x))])/(2*c^2*g) + (b*e*x*Log[f + g*x^2])/(2*c) - (b*e*(c^2*f + g)*ArcTanh[c*x]*Log[f + g*x^2])/(2*c^2*g) + (e*(f + g*x^2)*(a + b*ArcTanh[c*x])*Log[f + g*x^2])/(2*g) + (b*e*(c^2*f + g)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c^2*g) - (b*e*(c^2*f + g)*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] - Sqrt[g])*(1 + c*x))])/(4*c^2*g) - (b*e*(c^2*f + g)*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])*(1 + c*x))])/(4*c^2*g)}
+{x^0*(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2]), x, 28, -2*a*e*x + (2*a*e*Sqrt[f]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/Sqrt[g] - 2*b*e*x*ArcTanh[c*x] + (b*e*Sqrt[-f]*Log[1 - c*x]*Log[(c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(c*Sqrt[-f] - Sqrt[g])])/(2*Sqrt[g]) - (b*e*Sqrt[-f]*Log[1 + c*x]*Log[(c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])])/(2*Sqrt[g]) + (b*e*Sqrt[-f]*Log[1 + c*x]*Log[(c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(c*Sqrt[-f] - Sqrt[g])])/(2*Sqrt[g]) - (b*e*Sqrt[-f]*Log[1 - c*x]*Log[(c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])])/(2*Sqrt[g]) - (b*e*Log[1 - c^2*x^2])/c + x*(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2]) + (b*Log[(g*(1 - c^2*x^2))/(c^2*f + g)]*(d + e*Log[f + g*x^2]))/(2*c) + (b*e*Sqrt[-f]*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(1 - c*x))/(c*Sqrt[-f] - Sqrt[g]))])/(2*Sqrt[g]) - (b*e*Sqrt[-f]*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(1 - c*x))/(c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])])/(2*Sqrt[g]) + (b*e*Sqrt[-f]*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(1 + c*x))/(c*Sqrt[-f] - Sqrt[g]))])/(2*Sqrt[g]) - (b*e*Sqrt[-f]*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(1 + c*x))/(c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])])/(2*Sqrt[g]) + (b*e*PolyLog[2, (c^2*(f + g*x^2))/(c^2*f + g)])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2])/x^1, x, 6, b*e*CannotIntegrate[(ArcTanh[c*x]*Log[f + g*x^2])/x, x] + a*d*Log[x] + (1/2)*a*e*Log[-((g*x^2)/f)]*Log[f + g*x^2] - (1/2)*b*d*PolyLog[2, (-c)*x] + (1/2)*b*d*PolyLog[2, c*x] + (1/2)*a*e*PolyLog[2, 1 + (g*x^2)/f]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2])/x^2, x, 28, (2*a*e*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/Sqrt[f] - (b*e*Sqrt[g]*Log[1 - c*x]*Log[(c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(c*Sqrt[-f] - Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]) + (b*e*Sqrt[g]*Log[1 + c*x]*Log[(c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/(c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]) - (b*e*Sqrt[g]*Log[1 + c*x]*Log[(c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(c*Sqrt[-f] - Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]) + (b*e*Sqrt[g]*Log[1 - c*x]*Log[(c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/(c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]) - ((a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2]))/x + (1/2)*b*c*Log[-((g*x^2)/f)]*(d + e*Log[f + g*x^2]) - (1/2)*b*c*Log[(g*(1 - c^2*x^2))/(c^2*f + g)]*(d + e*Log[f + g*x^2]) - (b*e*Sqrt[g]*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(1 - c*x))/(c*Sqrt[-f] - Sqrt[g]))])/(2*Sqrt[-f]) + (b*e*Sqrt[g]*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(1 - c*x))/(c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]) - (b*e*Sqrt[g]*PolyLog[2, -((Sqrt[g]*(1 + c*x))/(c*Sqrt[-f] - Sqrt[g]))])/(2*Sqrt[-f]) + (b*e*Sqrt[g]*PolyLog[2, (Sqrt[g]*(1 + c*x))/(c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])])/(2*Sqrt[-f]) - (1/2)*b*c*e*PolyLog[2, (c^2*(f + g*x^2))/(c^2*f + g)] + (1/2)*b*c*e*PolyLog[2, 1 + (g*x^2)/f]}
+{(a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2])/x^3, x, 20, (b*c*e*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/Sqrt[f] + (a*e*g*Log[x])/f + (b*e*(c^2*f + g)*ArcTanh[c*x]*Log[2/(1 + c*x)])/f - (b*e*(c^2*f + g)*ArcTanh[c*x]*Log[(2*c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] - Sqrt[g])*(1 + c*x))])/(2*f) - (b*e*(c^2*f + g)*ArcTanh[c*x]*Log[(2*c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])*(1 + c*x))])/(2*f) - (a*e*g*Log[f + g*x^2])/(2*f) - (b*c*(d + e*Log[f + g*x^2]))/(2*x) + (1/2)*b*c^2*ArcTanh[c*x]*(d + e*Log[f + g*x^2]) - ((a + b*ArcTanh[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2]))/(2*x^2) - (b*e*g*PolyLog[2, (-c)*x])/(2*f) + (b*e*g*PolyLog[2, c*x])/(2*f) - (b*e*(c^2*f + g)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*f) + (b*e*(c^2*f + g)*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] - Sqrt[g])*(1 + c*x))])/(4*f) + (b*e*(c^2*f + g)*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])*(1 + c*x))])/(4*f)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcTanh[c x])^p*)
+
+
+{ArcTanh[c*x]*(a + b*ArcTanh[c*x])/(1 + c*x)^2, x, 16, -((a + b)/(2*c*(1 + c*x))) + ((a + b)*ArcTanh[c*x])/(2*c) - ((a + b)*ArcTanh[c*x])/(c*(1 + c*x)) - (b*(1 - c*x)*ArcTanh[c*x]^2)/(2*c*(1 + c*x)), -(a/(2*c*(1 + c*x))) - b/(2*c*(1 + c*x)) + (a*ArcTanh[c*x])/(2*c) + (b*ArcTanh[c*x])/(2*c) - (a*ArcTanh[c*x])/(c*(1 + c*x)) - (b*ArcTanh[c*x])/(c*(1 + c*x)) + (b*ArcTanh[c*x]^2)/(2*c) - (b*ArcTanh[c*x]^2)/(c*(1 + c*x))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.5 u (a+b arctanh(c+d x))^p.m b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.5 u (a+b arctanh(c+d x))^p.m
new file mode 100644
index 00000000..d012d35b
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.5 u (a+b arctanh(c+d x))^p.m	
@@ -0,0 +1,138 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcTanh[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b ArcTanh[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcTanh[c+d x])^p*)
+
+
+{x^3*ArcTanh[a + b*x]^2, x, 19, -((a*x)/b^3) + (a + b*x)^2/(12*b^4) + (a*ArcTanh[a + b*x])/b^4 + ((1 + 6*a^2)*(a + b*x)*ArcTanh[a + b*x])/(2*b^4) - (a*(a + b*x)^2*ArcTanh[a + b*x])/b^4 + ((a + b*x)^3*ArcTanh[a + b*x])/(6*b^4) - (a*(1 + a^2)*ArcTanh[a + b*x]^2)/b^4 - ((1 + 6*a^2 + a^4)*ArcTanh[a + b*x]^2)/(4*b^4) + (1/4)*x^4*ArcTanh[a + b*x]^2 + (2*a*(1 + a^2)*ArcTanh[a + b*x]*Log[2/(1 - a - b*x)])/b^4 + Log[1 - (a + b*x)^2]/(12*b^4) + ((1 + 6*a^2)*Log[1 - (a + b*x)^2])/(4*b^4) + (a*(1 + a^2)*PolyLog[2, -((1 + a + b*x)/(1 - a - b*x))])/b^4}
+{x^2*ArcTanh[a + b*x]^2, x, 15, x/(3*b^2) - ArcTanh[a + b*x]/(3*b^3) - (2*a*(a + b*x)*ArcTanh[a + b*x])/b^3 + ((a + b*x)^2*ArcTanh[a + b*x])/(3*b^3) + (a*(3 + a^2)*ArcTanh[a + b*x]^2)/(3*b^3) + ((1 + 3*a^2)*ArcTanh[a + b*x]^2)/(3*b^3) + (1/3)*x^3*ArcTanh[a + b*x]^2 - (2*(1 + 3*a^2)*ArcTanh[a + b*x]*Log[2/(1 - a - b*x)])/(3*b^3) - (a*Log[1 - (a + b*x)^2])/b^3 - ((1 + 3*a^2)*PolyLog[2, -((1 + a + b*x)/(1 - a - b*x))])/(3*b^3)}
+{x^1*ArcTanh[a + b*x]^2, x, 12, ((a + b*x)*ArcTanh[a + b*x])/b^2 - (a*ArcTanh[a + b*x]^2)/b^2 - ((1 + a^2)*ArcTanh[a + b*x]^2)/(2*b^2) + (1/2)*x^2*ArcTanh[a + b*x]^2 + (2*a*ArcTanh[a + b*x]*Log[2/(1 - a - b*x)])/b^2 + Log[1 - (a + b*x)^2]/(2*b^2) + (a*PolyLog[2, -((1 + a + b*x)/(1 - a - b*x))])/b^2}
+{x^0*ArcTanh[a + b*x]^2, x, 6, ArcTanh[a + b*x]^2/b + ((a + b*x)*ArcTanh[a + b*x]^2)/b - (2*ArcTanh[a + b*x]*Log[2/(1 - a - b*x)])/b - PolyLog[2, -((1 + a + b*x)/(1 - a - b*x))]/b}
+{ArcTanh[a + b*x]^2/x^1, x, 2, (-ArcTanh[a + b*x]^2)*Log[2/(1 + a + b*x)] + ArcTanh[a + b*x]^2*Log[(2*b*x)/((1 - a)*(1 + a + b*x))] + ArcTanh[a + b*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a + b*x)] - ArcTanh[a + b*x]*PolyLog[2, 1 - (2*b*x)/((1 - a)*(1 + a + b*x))] + (1/2)*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + a + b*x)] - (1/2)*PolyLog[3, 1 - (2*b*x)/((1 - a)*(1 + a + b*x))]}
+{ArcTanh[a + b*x]^2/x^2, x, 17, -(ArcTanh[a + b*x]^2/x) + (b*ArcTanh[a + b*x]*Log[2/(1 - a - b*x)])/(1 - a) + (b*ArcTanh[a + b*x]*Log[2/(1 + a + b*x)])/(1 + a) - (2*b*ArcTanh[a + b*x]*Log[2/(1 + a + b*x)])/(1 - a^2) + (2*b*ArcTanh[a + b*x]*Log[(2*b*x)/((1 - a)*(1 + a + b*x))])/(1 - a^2) + (b*PolyLog[2, -((1 + a + b*x)/(1 - a - b*x))])/(2*(1 - a)) - (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a + b*x)])/(2*(1 + a)) + (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a + b*x)])/(1 - a^2) - (b*PolyLog[2, 1 - (2*b*x)/((1 - a)*(1 + a + b*x))])/(1 - a^2)}
+{ArcTanh[a + b*x]^2/x^3, x, 21, -((b*ArcTanh[a + b*x])/((1 - a^2)*x)) - ArcTanh[a + b*x]^2/(2*x^2) + (b^2*Log[x])/(1 - a^2)^2 + (b^2*ArcTanh[a + b*x]*Log[2/(1 - a - b*x)])/(2*(1 - a)^2) - (b^2*Log[1 - a - b*x])/(2*(1 - a)^2*(1 + a)) - (b^2*ArcTanh[a + b*x]*Log[2/(1 + a + b*x)])/(2*(1 + a)^2) - (2*a*b^2*ArcTanh[a + b*x]*Log[2/(1 + a + b*x)])/(1 - a^2)^2 + (2*a*b^2*ArcTanh[a + b*x]*Log[(2*b*x)/((1 - a)*(1 + a + b*x))])/(1 - a^2)^2 - (b^2*Log[1 + a + b*x])/(2*(1 - a)*(1 + a)^2) + (b^2*PolyLog[2, -((1 + a + b*x)/(1 - a - b*x))])/(4*(1 - a)^2) + (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a + b*x)])/(4*(1 + a)^2) + (a*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a + b*x)])/(1 - a^2)^2 - (a*b^2*PolyLog[2, 1 - (2*b*x)/((1 - a)*(1 + a + b*x))])/(1 - a^2)^2}
+
+
+{ArcTanh[1 + b*x]^2/x, x, 4, (-ArcTanh[1 + b*x]^2)*Log[-(2/(b*x))] - ArcTanh[1 + b*x]*PolyLog[2, 1 + 2/(b*x)] + (1/2)*PolyLog[3, 1 + 2/(b*x)]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b ArcTanh[c+d x])^p when d e-c f=0*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcTanh[c + d*x]), x, 6, (b*e^3*x)/4 + (b*e^3*(c + d*x)^3)/(12*d) - (b*e^3*ArcTanh[c + d*x])/(4*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcTanh[c + d*x]))/(4*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x]), x, 6, (b*e^2*(c + d*x)^2)/(6*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c + d*x]))/(3*d) + (b*e^2*Log[1 - (c + d*x)^2])/(6*d)}
+{(c*e + d*e*x)^1*(a + b*ArcTanh[c + d*x]), x, 5, (b*e*x)/2 - (b*e*ArcTanh[c + d*x])/(2*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x]))/(2*d)}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^1, x, 3, (a*Log[c + d*x])/(d*e) - (b*PolyLog[2, -c - d*x])/(2*d*e) + (b*PolyLog[2, c + d*x])/(2*d*e)}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^2, x, 7, -((a + b*ArcTanh[c + d*x])/(d*e^2*(c + d*x))) + (b*Log[c + d*x])/(d*e^2) - (b*Log[1 - (c + d*x)^2])/(2*d*e^2)}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])/(c*e + d*e*x)^3, x, 5, -b/(2*d*e^3*(c + d*x)) + (b*ArcTanh[c + d*x])/(2*d*e^3) - (a + b*ArcTanh[c + d*x])/(2*d*e^3*(c + d*x)^2)}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^3*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2, x, 13, (a*b*e^3*x)/2 + (b^2*e^3*(c + d*x)^2)/(12*d) + (b^2*e^3*(c + d*x)*ArcTanh[c + d*x])/(2*d) + (b*e^3*(c + d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c + d*x]))/(6*d) - (e^3*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(4*d) + (e^3*(c + d*x)^4*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(4*d) + (b^2*e^3*Log[1 - (c + d*x)^2])/(3*d)}
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2, x, 11, (1/3)*b^2*e^2*x - (b^2*e^2*ArcTanh[c + d*x])/(3*d) + (b*e^2*(c + d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x]))/(3*d) + (e^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(3*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(3*d) - (2*b*e^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*Log[2/(1 - c - d*x)])/(3*d) - (b^2*e^2*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/(3*d)}
+{(c*e + d*e*x)^1*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2, x, 8, a*b*e*x + (b^2*e*(c + d*x)*ArcTanh[c + d*x])/d - (e*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(2*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(2*d) + (b^2*e*Log[1 - (c + d*x)^2])/(2*d)}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^1, x, 8, (2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - c - d*x)])/(d*e) - (b*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(d*e) + (b*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c - d*x)])/(d*e) + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(2*d*e) - (b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c - d*x)])/(2*d*e)}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^2, x, 6, (a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(d*e^2) - (a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(d*e^2*(c + d*x)) + (2*b*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*Log[2 - 2/(1 + c + d*x)])/(d*e^2) - (b^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c + d*x)])/(d*e^2)}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^3, x, 10, -((b*(a + b*ArcTanh[c + d*x]))/(d*e^3*(c + d*x))) + (a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(2*d*e^3) - (a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(2*d*e^3*(c + d*x)^2) + (b^2*Log[c + d*x])/(d*e^3) - (b^2*Log[1 - (c + d*x)^2])/(2*d*e^3)}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^4, x, 10, -(b^2/(3*d*e^4*(c + d*x))) + (b^2*ArcTanh[c + d*x])/(3*d*e^4) - (b*(a + b*ArcTanh[c + d*x]))/(3*d*e^4*(c + d*x)^2) + (a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(3*d*e^4) - (a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(3*d*e^4*(c + d*x)^3) + (2*b*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*Log[2 - 2/(1 + c + d*x)])/(3*d*e^4) - (b^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c + d*x)])/(3*d*e^4)}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(c*e + d*e*x)^5, x, 15, -(b^2/(12*d*e^5*(c + d*x)^2)) - (b*(a + b*ArcTanh[c + d*x]))/(6*d*e^5*(c + d*x)^3) - (b*(a + b*ArcTanh[c + d*x]))/(2*d*e^5*(c + d*x)) + (a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(4*d*e^5) - (a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(4*d*e^5*(c + d*x)^4) + (2*b^2*Log[c + d*x])/(3*d*e^5) - (b^2*Log[1 - (c + d*x)^2])/(3*d*e^5)}
+
+
+{(c*e + d*e*x)^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3, x, 14, a*b^2*e^2*x + (b^3*e^2*(c + d*x)*ArcTanh[c + d*x])/d - (b*e^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(2*d) + (b*e^2*(c + d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(2*d) + (e^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3)/(3*d) + (e^2*(c + d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3)/(3*d) - (b*e^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2*Log[2/(1 - c - d*x)])/d + (b^3*e^2*Log[1 - (c + d*x)^2])/(2*d) - (b^2*e^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/d + (b^3*e^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(2*d)}
+{(c*e + d*e*x)^1*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3, x, 10, (3*b*e*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(2*d) + (3*b*e*(c + d*x)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(2*d) - (e*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3)/(2*d) + (e*(c + d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3)/(2*d) - (3*b^2*e*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*Log[2/(1 - c - d*x)])/d - (3*b^3*e*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/(2*d)}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^1, x, 10, (2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3*ArcTanh[1 - 2/(1 - c - d*x)])/(d*e) - (3*b*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(2*d*e) + (3*b*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - c - d*x)])/(2*d*e) + (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(2*d*e) - (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - c - d*x)])/(2*d*e) - (3*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(4*d*e) + (3*b^3*PolyLog[4, -1 + 2/(1 - c - d*x)])/(4*d*e)}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^2, x, 7, (a + b*ArcTanh[c + d*x])^3/(d*e^2) - (a + b*ArcTanh[c + d*x])^3/(d*e^2*(c + d*x)) + (3*b*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2*Log[2 - 2/(1 + c + d*x)])/(d*e^2) - (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c + d*x)])/(d*e^2) - (3*b^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + c + d*x)])/(2*d*e^2)}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^3, x, 9, (3*b*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(2*d*e^3) - (3*b*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(2*d*e^3*(c + d*x)) + (a + b*ArcTanh[c + d*x])^3/(2*d*e^3) - (a + b*ArcTanh[c + d*x])^3/(2*d*e^3*(c + d*x)^2) + (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*Log[2 - 2/(1 + c + d*x)])/(d*e^3) - (3*b^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c + d*x)])/(2*d*e^3)}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3/(c*e + d*e*x)^4, x, 16, -((b^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x]))/(d*e^4*(c + d*x))) + (b*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(2*d*e^4) - (b*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(2*d*e^4*(c + d*x)^2) + (a + b*ArcTanh[c + d*x])^3/(3*d*e^4) - (a + b*ArcTanh[c + d*x])^3/(3*d*e^4*(c + d*x)^3) + (b^3*Log[c + d*x])/(d*e^4) - (b^3*Log[1 - (c + d*x)^2])/(2*d*e^4) + (b*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2*Log[2 - 2/(1 + c + d*x)])/(d*e^4) - (b^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c + d*x)])/(d*e^4) - (b^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + c + d*x)])/(2*d*e^4)}
+
+
+{ArcTanh[1 + x]/(2 + 2*x), x, 3, (-(1/4))*PolyLog[2, -1 - x] + (1/4)*PolyLog[2, 1 + x]}
+
+
+{ArcTanh[a + b*x]/((a*d)/b + d*x), x, 3, -(PolyLog[2, -a - b*x]/(2*d)) + PolyLog[2, a + b*x]/(2*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b ArcTanh[c+d x])^p*)
+
+
+{(e + f*x)^3*(a + b*ArcTanh[c + d*x]), x, 7, (b*f*(6*d^2*e^2 - 12*c*d*e*f + (1 + 6*c^2)*f^2)*x)/(4*d^3) + (b*f^2*(d*e - c*f)*(c + d*x)^2)/(2*d^4) + (b*f^3*(c + d*x)^3)/(12*d^4) + ((e + f*x)^4*(a + b*ArcTanh[c + d*x]))/(4*f) + (b*(d*e + f - c*f)^4*Log[1 - c - d*x])/(8*d^4*f) - (b*(d*e - f - c*f)^4*Log[1 + c + d*x])/(8*d^4*f)}
+{(e + f*x)^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x]), x, 7, (b*f*(d*e - c*f)*x)/d^2 + (b*f^2*(c + d*x)^2)/(6*d^3) + ((e + f*x)^3*(a + b*ArcTanh[c + d*x]))/(3*f) + (b*(d*e + f - c*f)^3*Log[1 - c - d*x])/(6*d^3*f) - (b*(d*e - (1 + c)*f)^3*Log[1 + c + d*x])/(6*d^3*f)}
+{(e + f*x)^1*(a + b*ArcTanh[c + d*x]), x, 7, (b*f*x)/(2*d) + ((e + f*x)^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x]))/(2*f) + (b*(d*e + f - c*f)^2*Log[1 - c - d*x])/(4*d^2*f) - (b*(d*e - (1 + c)*f)^2*Log[1 + c + d*x])/(4*d^2*f)}
+{(e + f*x)^0*(a + b*ArcTanh[c + d*x]), x, 4, a*x + (b*(c + d*x)*ArcTanh[c + d*x])/d + (b*Log[1 - (c + d*x)^2])/(2*d)}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])/(e + f*x)^1, x, 5, -(((a + b*ArcTanh[c + d*x])*Log[2/(1 + c + d*x)])/f) + ((a + b*ArcTanh[c + d*x])*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/f + (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f) - (b*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/(2*f)}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])/(e + f*x)^2, x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((a + b*ArcTanh[c + d*x])/(f*(e + f*x))) - (b*d*Log[1 - c - d*x])/(2*f*(d*e + f - c*f)) + (b*d*Log[1 + c + d*x])/(2*f*(d*e - f - c*f)) - (b*d*Log[e + f*x])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)), -((a + b*ArcTanh[c + d*x])/(f*(e + f*x))) - (b*d*Log[1 - c - d*x])/(2*f*(d*e + f - c*f)) + (b*d*Log[1 + c + d*x])/(2*f*(d*e - f - c*f)) - (b*d*Log[e + f*x])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f))]}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])/(e + f*x)^3, x, 5, If[$VersionNumber>=8, (b*d)/(2*(d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)*(e + f*x)) - (a + b*ArcTanh[c + d*x])/(2*f*(e + f*x)^2) - (b*d^2*Log[1 - c - d*x])/(4*f*(d*e + f - c*f)^2) + (b*d^2*Log[1 + c + d*x])/(4*f*(d*e - f - c*f)^2) - (b*d^2*(d*e - c*f)*Log[e + f*x])/((d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)^2), (b*d)/(2*(d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)*(e + f*x)) - (a + b*ArcTanh[c + d*x])/(2*f*(e + f*x)^2) - (b*d^2*Log[1 - c - d*x])/(4*f*(d*e + f - c*f)^2) + (b*d^2*Log[1 + c + d*x])/(4*f*(d*e - f - c*f)^2) - (b*d^2*(d*e - c*f)*Log[e + f*x])/((d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)^2)]}
+
+
+{(e + f*x)^3*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2, x, 20, (b^2*f^2*(d*e - c*f)*x)/d^3 + (a*b*f*(6*d^2*e^2 - 12*c*d*e*f + (1 + 6*c^2)*f^2)*x)/(2*d^3) + (b^2*f^3*(c + d*x)^2)/(12*d^4) - (b^2*f^2*(d*e - c*f)*ArcTanh[c + d*x])/d^4 + (b^2*f*(6*d^2*e^2 - 12*c*d*e*f + (1 + 6*c^2)*f^2)*(c + d*x)*ArcTanh[c + d*x])/(2*d^4) + (b*f^2*(d*e - c*f)*(c + d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x]))/d^4 + (b*f^3*(c + d*x)^3*(a + b*ArcTanh[c + d*x]))/(6*d^4) + ((d*e - c*f)*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/d^4 - ((d^4*e^4 - 4*c*d^3*e^3*f + 6*(1 + c^2)*d^2*e^2*f^2 - 4*c*(3 + c^2)*d*e*f^3 + (1 + 6*c^2 + c^4)*f^4)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(4*d^4*f) + ((e + f*x)^4*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(4*f) - (2*b*(d*e - c*f)*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*Log[2/(1 - c - d*x)])/d^4 + (b^2*f^3*Log[1 - (c + d*x)^2])/(12*d^4) + (b^2*f*(6*d^2*e^2 - 12*c*d*e*f + (1 + 6*c^2)*f^2)*Log[1 - (c + d*x)^2])/(4*d^4) - (b^2*(d*e - c*f)*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/d^4}
+{(e + f*x)^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2, x, 16, (b^2*f^2*x)/(3*d^2) + (2*a*b*f*(d*e - c*f)*x)/d^2 - (b^2*f^2*ArcTanh[c + d*x])/(3*d^3) + (2*b^2*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)*ArcTanh[c + d*x])/d^3 + (b*f^2*(c + d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x]))/(3*d^3) - ((d*e - c*f)*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (3 + c^2)*f^2)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(3*d^3*f) + ((3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + (1 + 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(3*d^3) + ((e + f*x)^3*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(3*f) - (2*b*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + (1 + 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*Log[2/(1 - c - d*x)])/(3*d^3) + (b^2*f*(d*e - c*f)*Log[1 - (c + d*x)^2])/d^3 - (b^2*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + (1 + 3*c^2)*f^2)*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/(3*d^3)}
+{(e + f*x)^1*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2, x, 13, (a*b*f*x)/d + (b^2*f*(c + d*x)*ArcTanh[c + d*x])/d^2 + ((d*e - c*f)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/d^2 - ((d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(2*d^2*f) + ((e + f*x)^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(2*f) - (2*b*(d*e - c*f)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*Log[2/(1 - c - d*x)])/d^2 + (b^2*f*Log[1 - (c + d*x)^2])/(2*d^2) - (b^2*(d*e - c*f)*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/d^2}
+{(e + f*x)^0*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2, x, 6, (a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/d + ((c + d*x)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/d - (2*b*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*Log[2/(1 - c - d*x)])/d - (b^2*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/d}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(e + f*x)^1, x, 2, -(((a + b*ArcTanh[c + d*x])^2*Log[2/(1 + c + d*x)])/f) + ((a + b*ArcTanh[c + d*x])^2*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/f + (b*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/f - (b*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/f + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f) - (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/(2*f)}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(e + f*x)^2, x, 24, If[$VersionNumber>=8, -((a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(f*(e + f*x))) + (b^2*d*ArcTanh[c + d*x]*Log[2/(1 - c - d*x)])/(f*(d*e + f - c*f)) - (a*b*d*Log[1 - c - d*x])/(f*(d*e + f - c*f)) - (b^2*d*ArcTanh[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/(f*(d*e - f - c*f)) + (2*b^2*d*ArcTanh[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) + (a*b*d*Log[1 + c + d*x])/(f*(d*e - f - c*f)) + (2*a*b*d*Log[e + f*x])/(f^2 - (d*e - c*f)^2) - (2*b^2*d*ArcTanh[c + d*x]*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) + (b^2*d*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/(2*f*(d*e + f - c*f)) + (b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f*(d*e - f - c*f)) - (b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) + (b^2*d*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)), -((a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(f*(e + f*x))) + (b^2*d*ArcTanh[c + d*x]*Log[2/(1 - c - d*x)])/(f*(d*e + f - c*f)) - (a*b*d*Log[1 - c - d*x])/(f*(d*e + f - c*f)) - (b^2*d*ArcTanh[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/(f*(d*e - f - c*f)) + (2*b^2*d*ArcTanh[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) + (a*b*d*Log[1 + c + d*x])/(f*(d*e - f - c*f)) + (2*a*b*d*Log[e + f*x])/(f^2 - (d*e - c*f)^2) - (2*b^2*d*ArcTanh[c + d*x]*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) + (b^2*d*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/(2*f*(d*e + f - c*f)) + (b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f*(d*e - f - c*f)) - (b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) + (b^2*d*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f))]}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(e + f*x)^3, x, 26, If[$VersionNumber>=8, -((a*b*d)/((f^2 - (d*e - c*f)^2)*(e + f*x))) + (b^2*d*ArcTanh[c + d*x])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)*(e + f*x)) - (a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(2*f*(e + f*x)^2) + (b^2*d^2*ArcTanh[c + d*x]*Log[2/(1 - c - d*x)])/(2*f*(d*e + f - c*f)^2) - (a*b*d^2*Log[1 - c - d*x])/(2*f*(d*e + f - c*f)^2) + (b^2*d^2*Log[1 - c - d*x])/(2*(d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)) - (b^2*d^2*ArcTanh[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/(2*f*(d*e - f - c*f)^2) + (2*b^2*d^2*(d*e - c*f)*ArcTanh[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/((d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)^2) + (a*b*d^2*Log[1 + c + d*x])/(2*f*(d*e - f - c*f)^2) - (b^2*d^2*Log[1 + c + d*x])/(2*(d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)^2) + (b^2*d^2*f*Log[e + f*x])/((d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)^2) - (2*a*b*d^2*(d*e - c*f)*Log[e + f*x])/((d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)^2) - (2*b^2*d^2*(d*e - c*f)*ArcTanh[c + d*x]*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)^2) + (b^2*d^2*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/(4*f*(d*e + f - c*f)^2) + (b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(4*f*(d*e - f - c*f)^2) - (b^2*d^2*(d*e - c*f)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/((d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)^2) + (b^2*d^2*(d*e - c*f)*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)^2), -((a*b*d)/((f^2 - (d*e - c*f)^2)*(e + f*x))) + (b^2*d*ArcTanh[c + d*x])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)*(e + f*x)) - (a + b*ArcTanh[c + d*x])^2/(2*f*(e + f*x)^2) + (b^2*d^2*ArcTanh[c + d*x]*Log[2/(1 - c - d*x)])/(2*f*(d*e + f - c*f)^2) - (a*b*d^2*Log[1 - c - d*x])/(2*f*(d*e + f - c*f)^2) + (b^2*d^2*Log[1 - c - d*x])/(2*(d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)) - (b^2*d^2*ArcTanh[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/(2*f*(d*e - f - c*f)^2) + (2*b^2*d^2*(d*e - c*f)*ArcTanh[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/((d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)^2) + (a*b*d^2*Log[1 + c + d*x])/(2*f*(d*e - f - c*f)^2) - (b^2*d^2*Log[1 + c + d*x])/(2*(d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)^2) + (b^2*d^2*f*Log[e + f*x])/((d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)^2) - (2*a*b*d^2*(d*e - c*f)*Log[e + f*x])/((d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)^2) - (2*b^2*d^2*(d*e - c*f)*ArcTanh[c + d*x]*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)^2) + (b^2*d^2*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/(4*f*(d*e + f - c*f)^2) + (b^2*d^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(4*f*(d*e - f - c*f)^2) - (b^2*d^2*(d*e - c*f)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/((d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)^2) + (b^2*d^2*(d*e - c*f)*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)^2)]}
+
+
+{(e + f*x)^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3, x, 21, (a*b^2*f^2*x)/d^2 + (b^3*f^2*(c + d*x)*ArcTanh[c + d*x])/d^3 - (b*f^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(2*d^3) + (3*b*f*(d*e - c*f)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/d^3 + (3*b*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/d^3 + (b*f^2*(c + d*x)^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(2*d^3) - ((d*e - c*f)*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (3 + c^2)*f^2)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3)/(3*d^3*f) + ((3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + (1 + 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3)/(3*d^3) + ((e + f*x)^3*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3)/(3*f) - (6*b^2*f*(d*e - c*f)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*Log[2/(1 - c - d*x)])/d^3 - (b*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + (1 + 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2*Log[2/(1 - c - d*x)])/d^3 + (b^3*f^2*Log[1 - (c + d*x)^2])/(2*d^3) - (3*b^3*f*(d*e - c*f)*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/d^3 - (b^2*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + (1 + 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/d^3 + (b^3*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + (1 + 3*c^2)*f^2)*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(2*d^3)}
+{(e + f*x)^1*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3, x, 15, (3*b*f*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(2*d^2) + (3*b*f*(c + d*x)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(2*d^2) + ((d*e - c*f)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3)/d^2 - ((d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3)/(2*d^2*f) + ((e + f*x)^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3)/(2*f) - (3*b^2*f*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*Log[2/(1 - c - d*x)])/d^2 - (3*b*(d*e - c*f)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2*Log[2/(1 - c - d*x)])/d^2 - (3*b^3*f*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/(2*d^2) - (3*b^2*(d*e - c*f)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/d^2 + (3*b^3*(d*e - c*f)*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(2*d^2)}
+{(e + f*x)^0*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3, x, 6, (a + b*ArcTanh[c + d*x])^3/d + ((c + d*x)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3)/d - (3*b*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2*Log[2/(1 - c - d*x)])/d - (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/d + (3*b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(2*d)}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3/(e + f*x)^1, x, 2, -(((a + b*ArcTanh[c + d*x])^3*Log[2/(1 + c + d*x)])/f) + ((a + b*ArcTanh[c + d*x])^3*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/f + (3*b*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f) - (3*b*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/(2*f) + (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f) - (3*b^2*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*PolyLog[3, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/(2*f) + (3*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(4*f) - (3*b^3*PolyLog[4, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/(4*f)}
+{(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3/(e + f*x)^2, x, 33, If[$VersionNumber>=8, -((a + b*ArcTanh[c + d*x])^3/(f*(e + f*x))) + (3*a*b^2*d*ArcTanh[c + d*x]*Log[2/(1 - c - d*x)])/(f*(d*e + f - c*f)) + (3*b^3*d*ArcTanh[c + d*x]^2*Log[2/(1 - c - d*x)])/(2*f*(d*e + f - c*f)) - (3*a^2*b*d*Log[1 - c - d*x])/(2*f*(d*e + f - c*f)) - (3*a*b^2*d*ArcTanh[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/(f*(d*e - f - c*f)) + (6*a*b^2*d*ArcTanh[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) - (3*b^3*d*ArcTanh[c + d*x]^2*Log[2/(1 + c + d*x)])/(2*f*(d*e - f - c*f)) + (3*b^3*d*ArcTanh[c + d*x]^2*Log[2/(1 + c + d*x)])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) + (3*a^2*b*d*Log[1 + c + d*x])/(2*f*(d*e - f - c*f)) + (3*a^2*b*d*Log[e + f*x])/(f^2 - (d*e - c*f)^2) - (6*a*b^2*d*ArcTanh[c + d*x]*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) - (3*b^3*d*ArcTanh[c + d*x]^2*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) + (3*a*b^2*d*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/(2*f*(d*e + f - c*f)) + (3*b^3*d*ArcTanh[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(2*f*(d*e + f - c*f)) + (3*a*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f*(d*e - f - c*f)) - (3*a*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) + (3*b^3*d*ArcTanh[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f*(d*e - f - c*f)) - (3*b^3*d*ArcTanh[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) + (3*a*b^2*d*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) + (3*b^3*d*ArcTanh[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) - (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(4*f*(d*e + f - c*f)) + (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(4*f*(d*e - f - c*f)) - (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*(d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) + (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/(2*(d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)), -((a + b*ArcTanh[c + d*x])^3/(f*(e + f*x))) + (3*a*b^2*d*ArcTanh[c + d*x]*Log[2/(1 - c - d*x)])/(f*(d*e + f - c*f)) + (3*b^3*d*ArcTanh[c + d*x]^2*Log[2/(1 - c - d*x)])/(2*f*(d*e + f - c*f)) - (3*a^2*b*d*Log[1 - c - d*x])/(2*f*(d*e + f - c*f)) - (3*a*b^2*d*ArcTanh[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/(f*(d*e - f - c*f)) + (6*a*b^2*d*ArcTanh[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) - (3*b^3*d*ArcTanh[c + d*x]^2*Log[2/(1 + c + d*x)])/(2*f*(d*e - f - c*f)) + (3*b^3*d*ArcTanh[c + d*x]^2*Log[2/(1 + c + d*x)])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) + (3*a^2*b*d*Log[1 + c + d*x])/(2*f*(d*e - f - c*f)) + (3*a^2*b*d*Log[e + f*x])/(f^2 - (d*e - c*f)^2) - (6*a*b^2*d*ArcTanh[c + d*x]*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) - (3*b^3*d*ArcTanh[c + d*x]^2*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) + (3*a*b^2*d*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/(2*f*(d*e + f - c*f)) + (3*b^3*d*ArcTanh[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(2*f*(d*e + f - c*f)) + (3*a*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f*(d*e - f - c*f)) - (3*a*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) + (3*b^3*d*ArcTanh[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f*(d*e - f - c*f)) - (3*b^3*d*ArcTanh[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) + (3*a*b^2*d*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) + (3*b^3*d*ArcTanh[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) - (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(4*f*(d*e + f - c*f)) + (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(4*f*(d*e - f - c*f)) - (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*(d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) + (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/(2*(d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f))]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b ArcTanh[c+d x])^p with m symbolic*)
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+{(e + f*x)^m*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3, x, 1, Unintegrable[(e + f*x)^m*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^3, x]}
+{(e + f*x)^m*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2, x, 1, Unintegrable[(e + f*x)^m*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2, x]}
+{(e + f*x)^m*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^1, x, 6, ((e + f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcTanh[c + d*x]))/(f*(1 + m)) + (b*d*(e + f*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (d*(e + f*x))/(d*e - f - c*f)])/(2*f*(d*e - (1 + c)*f)*(1 + m)*(2 + m)) - (b*d*(e + f*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (d*(e + f*x))/(d*e + f - c*f)])/(2*f*(d*e + f - c*f)*(1 + m)*(2 + m))}
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form AF[x] (a+b ArcTanh[c+d x])^p*)
+
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+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x^m)^q (a+b ArcTanh[c+d x])^p*)
+
+
+{ArcTanh[a + b*x]/(c + d*x^3), x, 23, -((Log[1 - a - b*x]*Log[(b*(c^(1/3) + d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) + (1 - a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3))) + (Log[1 + a + b*x]*Log[(b*(c^(1/3) + d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) - (1 + a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(2/3)*Log[1 - a - b*x]*Log[(b*(c^(1/3) - (-1)^(1/3)*d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) - (-1)^(1/3)*(1 - a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(2/3)*Log[1 + a + b*x]*Log[(b*(c^(1/3) - (-1)^(1/3)*d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) + (-1)^(1/3)*(1 + a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(1/3)*Log[1 - a - b*x]*Log[(b*(c^(1/3) + (-1)^(2/3)*d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) + (-1)^(2/3)*(1 - a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(1/3)*Log[1 + a + b*x]*Log[(b*(c^(1/3) + (-1)^(2/3)*d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) - (-1)^(2/3)*(1 + a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - PolyLog[2, (d^(1/3)*(1 - a - b*x))/(b*c^(1/3) + (1 - a)*d^(1/3))]/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(2/3)*PolyLog[2, -(((-1)^(1/3)*d^(1/3)*(1 - a - b*x))/(b*c^(1/3) - (-1)^(1/3)*(1 - a)*d^(1/3)))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(1/3)*PolyLog[2, ((-1)^(2/3)*d^(1/3)*(1 - a - b*x))/(b*c^(1/3) + (-1)^(2/3)*(1 - a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + PolyLog[2, -((d^(1/3)*(1 + a + b*x))/(b*c^(1/3) - (1 + a)*d^(1/3)))]/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*d^(1/3)*(1 + a + b*x))/(b*c^(1/3) + (-1)^(1/3)*(1 + a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(1/3)*PolyLog[2, -(((-1)^(2/3)*d^(1/3)*(1 + a + b*x))/(b*c^(1/3) - (-1)^(2/3)*(1 + a)*d^(1/3)))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3))}
+{ArcTanh[a + b*x]/(c + d*x^2), x, 17, -(Log[1 - a - b*x]*Log[(b*(Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x))/(b*Sqrt[-c] - (1 - a)*Sqrt[d])])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + (Log[1 + a + b*x]*Log[(b*(Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x))/(b*Sqrt[-c] + (1 + a)*Sqrt[d])])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + (Log[1 - a - b*x]*Log[(b*(Sqrt[-c] + Sqrt[d]*x))/(b*Sqrt[-c] + (1 - a)*Sqrt[d])])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (Log[1 + a + b*x]*Log[(b*(Sqrt[-c] + Sqrt[d]*x))/(b*Sqrt[-c] - (1 + a)*Sqrt[d])])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - PolyLog[2, -((Sqrt[d]*(1 - a - b*x))/(b*Sqrt[-c] - (1 - a)*Sqrt[d]))]/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + PolyLog[2, (Sqrt[d]*(1 - a - b*x))/(b*Sqrt[-c] + (1 - a)*Sqrt[d])]/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - PolyLog[2, -((Sqrt[d]*(1 + a + b*x))/(b*Sqrt[-c] - (1 + a)*Sqrt[d]))]/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + PolyLog[2, (Sqrt[d]*(1 + a + b*x))/(b*Sqrt[-c] + (1 + a)*Sqrt[d])]/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d])}
+{ArcTanh[a + b*x]/(c + d*x^1), x, 5, -((ArcTanh[a + b*x]*Log[2/(1 + a + b*x)])/d) + (ArcTanh[a + b*x]*Log[(2*b*(c + d*x))/((b*c + d - a*d)*(1 + a + b*x))])/d + PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a + b*x)]/(2*d) - PolyLog[2, 1 - (2*b*(c + d*x))/((b*c + d - a*d)*(1 + a + b*x))]/(2*d)}
+{ArcTanh[a + b*x]/(c + d/x^1), x, 15, ((1 - a - b*x)*Log[1 - a - b*x])/(2*b*c) + ((1 + a + b*x)*Log[1 + a + b*x])/(2*b*c) - (d*Log[1 + a + b*x]*Log[-((b*(d + c*x))/(c + a*c - b*d))])/(2*c^2) + (d*Log[1 - a - b*x]*Log[(b*(d + c*x))/(c - a*c + b*d)])/(2*c^2) + (d*PolyLog[2, (c*(1 - a - b*x))/(c - a*c + b*d)])/(2*c^2) - (d*PolyLog[2, (c*(1 + a + b*x))/(c + a*c - b*d)])/(2*c^2)}
+{ArcTanh[a + b*x]/(c + d/x^2), x, 25, ((1 - a - b*x)*Log[1 - a - b*x])/(2*b*c) + ((1 + a + b*x)*Log[1 + a + b*x])/(2*b*c) + (Sqrt[d]*Log[1 - a - b*x]*Log[-((b*(Sqrt[d] - Sqrt[-c]*x))/((1 - a)*Sqrt[-c] - b*Sqrt[d]))])/(4*(-c)^(3/2)) - (Sqrt[d]*Log[1 + a + b*x]*Log[(b*(Sqrt[d] - Sqrt[-c]*x))/((1 + a)*Sqrt[-c] + b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) + (Sqrt[d]*Log[1 + a + b*x]*Log[-((b*(Sqrt[d] + Sqrt[-c]*x))/((1 + a)*Sqrt[-c] - b*Sqrt[d]))])/(4*(-c)^(3/2)) - (Sqrt[d]*Log[1 - a - b*x]*Log[(b*(Sqrt[d] + Sqrt[-c]*x))/((1 - a)*Sqrt[-c] + b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) + (Sqrt[d]*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(1 - a - b*x))/(Sqrt[-c] - a*Sqrt[-c] - b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) - (Sqrt[d]*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(1 - a - b*x))/((1 - a)*Sqrt[-c] + b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) + (Sqrt[d]*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(1 + a + b*x))/((1 + a)*Sqrt[-c] - b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) - (Sqrt[d]*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(1 + a + b*x))/((1 + a)*Sqrt[-c] + b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2))}
+{ArcTanh[a + b*x]/(c + d/x^3), x, 31, ((1 - a - b*x)*Log[1 - a - b*x])/(2*b*c) + ((1 + a + b*x)*Log[1 + a + b*x])/(2*b*c) - (d^(1/3)*Log[1 + a + b*x]*Log[-((b*(d^(1/3) + c^(1/3)*x))/((1 + a)*c^(1/3) - b*d^(1/3)))])/(6*c^(4/3)) + (d^(1/3)*Log[1 - a - b*x]*Log[(b*(d^(1/3) + c^(1/3)*x))/((1 - a)*c^(1/3) + b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*d^(1/3)*Log[1 - a - b*x]*Log[-((b*(d^(1/3) - (-1)^(1/3)*c^(1/3)*x))/((-1)^(1/3)*(1 - a)*c^(1/3) - b*d^(1/3)))])/(6*c^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*d^(1/3)*Log[1 + a + b*x]*Log[(b*(d^(1/3) - (-1)^(1/3)*c^(1/3)*x))/((-1)^(1/3)*(1 + a)*c^(1/3) + b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*d^(1/3)*Log[1 + a + b*x]*Log[-((b*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*c^(1/3)*x))/((-1)^(2/3)*(1 + a)*c^(1/3) - b*d^(1/3)))])/(6*c^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*d^(1/3)*Log[1 - a - b*x]*Log[(b*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*c^(1/3)*x))/((-1)^(2/3)*(1 - a)*c^(1/3) + b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*d^(1/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*c^(1/3)*(1 - a - b*x))/((-1)^(1/3)*(1 - a)*c^(1/3) - b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) + (d^(1/3)*PolyLog[2, (c^(1/3)*(1 - a - b*x))/((1 - a)*c^(1/3) + b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*d^(1/3)*PolyLog[2, ((-1)^(2/3)*c^(1/3)*(1 - a - b*x))/((-1)^(2/3)*(1 - a)*c^(1/3) + b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) - (d^(1/3)*PolyLog[2, (c^(1/3)*(1 + a + b*x))/((1 + a)*c^(1/3) - b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*d^(1/3)*PolyLog[2, ((-1)^(2/3)*c^(1/3)*(1 + a + b*x))/((-1)^(2/3)*(1 + a)*c^(1/3) - b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*d^(1/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*c^(1/3)*(1 + a + b*x))/((-1)^(1/3)*(1 + a)*c^(1/3) + b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x^(m/2)) (a+b ArcTanh[c+d x])^p*)
+
+
+(* {ArcTanh[a + b*x]/(a + b*x^(3/2)), x, 41, (Log[-a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[-1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[-1 - a] + a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[-1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[-1 - a] - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/3)*Log[-((-1)^(2/3)*a^(1/3)) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[-1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[-1 - a] + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - (Log[-a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[1 - a] + a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[1 - a] - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/3)*Log[-((-1)^(2/3)*a^(1/3)) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[1 - a] + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + (Log[-a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[-1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[-1 - a] - a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[-1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[-1 - a] + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/3)*Log[-((-1)^(2/3)*a^(1/3)) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[-1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[-1 - a] - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - (Log[-a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[1 - a] - a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[1 - a] + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/3)*Log[-((-1)^(2/3)*a^(1/3)) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(Sqrt[1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x])/(Sqrt[1 - a] - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + (Log[-a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 - a - b*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 - a - b*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/3)*Log[-((-1)^(2/3)*a^(1/3)) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 - a - b*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - (Log[-a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 + a + b*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 + a + b*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/3)*Log[-((-1)^(2/3)*a^(1/3)) - b^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 + a + b*x])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(2/3)*PolyLog[2, -((b^(1/6)*((-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a] - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6)))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(2/3)*PolyLog[2, -((b^(1/6)*((-1)^(1/3)*a^(1/3) - b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a] - (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6)))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + PolyLog[2, -((b^(1/6)*(a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a] - a^(1/3)*b^(1/6)))]/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - PolyLog[2, -((b^(1/6)*(a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a] - a^(1/3)*b^(1/6)))]/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + PolyLog[2, (b^(1/6)*(a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a] + a^(1/3)*b^(1/6))]/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - PolyLog[2, (b^(1/6)*(a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a] + a^(1/3)*b^(1/6))]/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/3)*PolyLog[2, -((b^(1/6)*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a] - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6)))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/3)*PolyLog[2, -((b^(1/6)*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a] - (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6)))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(1/3)*PolyLog[2, (b^(1/6)*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a] + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(1/3)*PolyLog[2, (b^(1/6)*((-1)^(2/3)*a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a] + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + ((-1)^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*b^(1/6)*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a] + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) - ((-1)^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*b^(1/6)*(a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a] + (-1)^(1/3)*a^(1/3)*b^(1/6))])/(3*a^(1/3)*b^(2/3))} *)
+{ArcTanh[a + b*x]/(c + d*Sqrt[x]), x, 31, (2*Sqrt[1 + a]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a]])/(Sqrt[b]*d) - (2*Sqrt[1 - a]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[1 - a]])/(Sqrt[b]*d) + (c*Log[(d*(Sqrt[-1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c + Sqrt[-1 - a]*d)]*Log[c + d*Sqrt[x]])/d^2 - (c*Log[(d*(Sqrt[1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c + Sqrt[1 - a]*d)]*Log[c + d*Sqrt[x]])/d^2 + (c*Log[-((d*(Sqrt[-1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c - Sqrt[-1 - a]*d))]*Log[c + d*Sqrt[x]])/d^2 - (c*Log[-((d*(Sqrt[1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c - Sqrt[1 - a]*d))]*Log[c + d*Sqrt[x]])/d^2 - (Sqrt[x]*Log[1 - a - b*x])/d + (c*Log[c + d*Sqrt[x]]*Log[1 - a - b*x])/d^2 + (Sqrt[x]*Log[1 + a + b*x])/d - (c*Log[c + d*Sqrt[x]]*Log[1 + a + b*x])/d^2 + (c*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(c + d*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c - Sqrt[-1 - a]*d)])/d^2 + (c*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(c + d*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c + Sqrt[-1 - a]*d)])/d^2 - (c*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(c + d*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c - Sqrt[1 - a]*d)])/d^2 - (c*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(c + d*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c + Sqrt[1 - a]*d)])/d^2}
+{ArcTanh[a + b*x]/(c + d/Sqrt[x]), x, 37, (-2*Sqrt[1 + a]*d*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a]])/(Sqrt[b]*c^2) + (2*Sqrt[1 - a]*d*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[1 - a]])/(Sqrt[b]*c^2) - (d^2*Log[(c*(Sqrt[-1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*c + Sqrt[b]*d)]*Log[d + c*Sqrt[x]])/c^3 + (d^2*Log[(c*(Sqrt[1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*c + Sqrt[b]*d)]*Log[d + c*Sqrt[x]])/c^3 - (d^2*Log[(c*(Sqrt[-1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*c - Sqrt[b]*d)]*Log[d + c*Sqrt[x]])/c^3 + (d^2*Log[(c*(Sqrt[1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*c - Sqrt[b]*d)]*Log[d + c*Sqrt[x]])/c^3 + (d*Sqrt[x]*Log[1 - a - b*x])/c^2 + ((1 - a - b*x)*Log[1 - a - b*x])/(2*b*c) - (d^2*Log[d + c*Sqrt[x]]*Log[1 - a - b*x])/c^3 - (d*Sqrt[x]*Log[1 + a + b*x])/c^2 + ((1 + a + b*x)*Log[1 + a + b*x])/(2*b*c) + (d^2*Log[d + c*Sqrt[x]]*Log[1 + a + b*x])/c^3 - (d^2*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(d + c*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*c - Sqrt[b]*d))])/c^3 + (d^2*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(d + c*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*c - Sqrt[b]*d))])/c^3 - (d^2*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + c*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*c + Sqrt[b]*d)])/c^3 + (d^2*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + c*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*c + Sqrt[b]*d)])/c^3}
+(* {ArcTanh[a + b*x]/(a + b/x^(3/2)), x, 49, -(b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + (b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - (b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) - b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + (b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) - b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((1 - a - b*x)*Log[1 - a - b*x])/(2*a*b) - (b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 - a - b*x])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 - a - b*x])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 - a - b*x])/(3*a^(5/3)) + ((1 + a + b*x)*Log[1 + a + b*x])/(2*a*b) + (b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 + a + b*x])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 + a + b*x])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 + a + b*x])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*((-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*((-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) - (b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) - b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) + (b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) - b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) - (b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + (b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*Sqrt[b]*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*Sqrt[b]*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3))} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x+g x^2)^q (a+b ArcTanh[c+d x])^p*)
+
+
+{ArcTanh[d + e*x]/(a + b*x + c*x^2), x, 12, (ArcTanh[d + e*x]*Log[(2*e*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/((2*c*(1 - d) + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)*(1 + d + e*x))])/Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (ArcTanh[d + e*x]*Log[(2*e*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/((2*c*(1 - d) + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)*(1 + d + e*x))])/Sqrt[b^2 - 4*a*c] - PolyLog[2, 1 + (2*(2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e - 2*c*(d + e*x)))/((2*c - 2*c*d + b*e - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)*(1 + d + e*x))]/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) + PolyLog[2, 1 + (2*(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e - 2*c*(d + e*x)))/((2*c*(1 - d) + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)*(1 + d + e*x))]/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c e+d e x)^m (a+b ArcTanh[c+d x])^p / (1-(c+d x)^2)*)
+
+
+{(c*e + d*e*x)*(a + b*ArcTanh[c + d*x])/(1 - (c + d*x)^2), x, 6, -((e*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^2)/(2*b*d)) + (e*(a + b*ArcTanh[c + d*x])*Log[2/(1 - c - d*x)])/d + (b*e*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/(2*d)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.6 Exponentials of inverse hyperbolic tangent functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.6 Exponentials of inverse hyperbolic tangent functions.m
new file mode 100644
index 00000000..176aef6c
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.6 Exponentials of inverse hyperbolic tangent functions.m	
@@ -0,0 +1,2489 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u E^(n ArcTanh[a x])*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTanh[a x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTanh[a x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*x^4, x, 6, -((4*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a^3)) - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a^2) - (x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a) - ((64 + 45*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(120*a^5) + (3*ArcSin[a*x])/(8*a^5)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^3, x, 5, -((x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^2)) - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a) - ((16 + 9*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(24*a^4) + (3*ArcSin[a*x])/(8*a^4)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^2, x, 7, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/a^3) - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^2) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(3*a^3) + ArcSin[a*x]/(2*a^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^1, x, 3, -(((2 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^2)) + ArcSin[a*x]/(2*a^2)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^0, x, 3, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/a) + ArcSin[a*x]/a}
+{E^ArcTanh[a*x]/x^1, x, 6, ArcSin[a*x] - ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^ArcTanh[a*x]/x^2, x, 5, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/x) - a*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^ArcTanh[a*x]/x^3, x, 6, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*x^2)) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/x - (1/2)*a^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^ArcTanh[a*x]/x^4, x, 7, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*x^3)) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x^2) - (2*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*x) - (1/2)*a^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^ArcTanh[a*x]/x^5, x, 8, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(4*x^4)) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*x^3) - (3*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*x^2) - (2*a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*x) - (3/8)*a^4*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^3, x, 3, -((2*x)/a^3) - x^2/a^2 - (2*x^3)/(3*a) - x^4/4 - (2*Log[1 - a*x])/a^4}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^2, x, 3, -((2*x)/a^2) - x^2/a - x^3/3 - (2*Log[1 - a*x])/a^3}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^1, x, 3, -((2*x)/a) - x^2/2 - (2*Log[1 - a*x])/a^2}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^0, x, 3, -x - (2*Log[1 - a*x])/a}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/x^1, x, 3, Log[x] - 2*Log[1 - a*x]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/x^2, x, 3, -(1/x) + 2*a*Log[x] - 2*a*Log[1 - a*x]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/x^3, x, 3, -(1/(2*x^2)) - (2*a)/x + 2*a^2*Log[x] - 2*a^2*Log[1 - a*x]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/x^4, x, 3, -(1/(3*x^3)) - a/x^2 - (2*a^2)/x + 2*a^3*Log[x] - 2*a^3*Log[1 - a*x]}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*x^2, x, 10, (1 + a*x)^3/(a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + ((3 + a*x)^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^3) + ((28 + 3*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*a^3) - (11*ArcSin[a*x])/(2*a^3)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*x^1, x, 9, (9*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^2) + (3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(2*a^2*(1 - a*x)) + (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(a^2*(1 - a*x)^3) - (9*ArcSin[a*x])/(2*a^2)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*x^0, x, 5, (2*(1 + a*x)^2)/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a - (3*ArcSin[a*x])/a}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/x^1, x, 8, (4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(1 - a*x) - ArcSin[a*x] - ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/x^2, x, 8, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/x) + (4*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(1 - a*x) - 3*a*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/x^3, x, 12, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*x^2)) - (3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/x + (4*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(1 - a*x) - (9/2)*a^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/x^4, x, 14, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*x^3)) - (3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x^2) - (14*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*x) + (4*a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(1 - a*x) - (11/2)*a^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+
+
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*x^3, x, 3, (12*x)/a^3 + (4*x^2)/a^2 + (4*x^3)/(3*a) + x^4/4 + 4/(a^4*(1 - a*x)) + (16*Log[1 - a*x])/a^4}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*x^2, x, 3, (8*x)/a^2 + (2*x^2)/a + x^3/3 + 4/(a^3*(1 - a*x)) + (12*Log[1 - a*x])/a^3}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*x^1, x, 3, (4*x)/a + x^2/2 + 4/(a^2*(1 - a*x)) + (8*Log[1 - a*x])/a^2}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*x^0, x, 3, x + 4/(a*(1 - a*x)) + (4*Log[1 - a*x])/a}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/x^1, x, 3, 4/(1 - a*x) + Log[x]}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/x^2, x, 3, -(1/x) + (4*a)/(1 - a*x) + 4*a*Log[x] - 4*a*Log[1 - a*x]}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/x^3, x, 3, -(1/(2*x^2)) - (4*a)/x + (4*a^2)/(1 - a*x) + 8*a^2*Log[x] - 8*a^2*Log[1 - a*x]}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/x^4, x, 3, -(1/(3*x^3)) - (2*a)/x^2 - (8*a^2)/x + (4*a^3)/(1 - a*x) + 12*a^3*Log[x] - 12*a^3*Log[1 - a*x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{E^(-ArcTanh[a*x])*x^3, x, 5, -((x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^2)) + (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a) - ((16 - 9*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(24*a^4) - (3*ArcSin[a*x])/(8*a^4)}
+{E^(-ArcTanh[a*x])*x^2, x, 7, Sqrt[1 - a^2*x^2]/a^3 - (x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^2) - (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(3*a^3) + ArcSin[a*x]/(2*a^3)}
+{E^(-ArcTanh[a*x])*x^1, x, 3, -(((2 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^2)) - ArcSin[a*x]/(2*a^2)}
+{E^(-ArcTanh[a*x])*x^0, x, 3, Sqrt[1 - a^2*x^2]/a + ArcSin[a*x]/a}
+{E^(-ArcTanh[a*x])/x^1, x, 6, -ArcSin[a*x] - ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^(-ArcTanh[a*x])/x^2, x, 5, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/x) + a*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^(-ArcTanh[a*x])/x^3, x, 6, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*x^2)) + (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/x - (1/2)*a^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^(-ArcTanh[a*x])/x^4, x, 7, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*x^3)) + (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x^2) - (2*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*x) + (1/2)*a^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^(-ArcTanh[a*x])/x^5, x, 8, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(4*x^4)) + (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*x^3) - (3*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*x^2) + (2*a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*x) - (3/8)*a^4*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+
+
+{E^(-2*ArcTanh[a*x])*x^3, x, 3, (2*x)/a^3 - x^2/a^2 + (2*x^3)/(3*a) - x^4/4 - (2*Log[1 + a*x])/a^4}
+{E^(-2*ArcTanh[a*x])*x^2, x, 3, -((2*x)/a^2) + x^2/a - x^3/3 + (2*Log[1 + a*x])/a^3}
+{E^(-2*ArcTanh[a*x])*x^1, x, 3, (2*x)/a - x^2/2 - (2*Log[1 + a*x])/a^2}
+{E^(-2*ArcTanh[a*x])*x^0, x, 3, -x + (2*Log[1 + a*x])/a}
+{E^(-2*ArcTanh[a*x])/x^1, x, 3, Log[x] - 2*Log[1 + a*x]}
+{E^(-2*ArcTanh[a*x])/x^2, x, 3, -(1/x) - 2*a*Log[x] + 2*a*Log[1 + a*x]}
+{E^(-2*ArcTanh[a*x])/x^3, x, 3, -(1/(2*x^2)) + (2*a)/x + 2*a^2*Log[x] - 2*a^2*Log[1 + a*x]}
+{E^(-2*ArcTanh[a*x])/x^4, x, 3, -(1/(3*x^3)) + a/x^2 - (2*a^2)/x - 2*a^3*Log[x] + 2*a^3*Log[1 + a*x]}
+
+
+{E^(-3*ArcTanh[a*x])*x^3, x, 14, (1 - a*x)^3/(a^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (27*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a^4) + (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a^2 - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a) + (9*(2 - 3*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a^4) + (51*ArcSin[a*x])/(8*a^4)}
+{E^(-3*ArcTanh[a*x])*x^2, x, 10, -((1 - a*x)^3/(a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - ((28 - 3*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*a^3) - ((3 - a*x)^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^3) - (11*ArcSin[a*x])/(2*a^3)}
+{E^(-3*ArcTanh[a*x])*x^1, x, 9, (9*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^2) + (3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(2*a^2*(1 + a*x)) + (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(a^2*(1 + a*x)^3) + (9*ArcSin[a*x])/(2*a^2)}
+{E^(-3*ArcTanh[a*x])*x^0, x, 5, -((2*(1 - a*x)^2)/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a - (3*ArcSin[a*x])/a}
+{E^(-3*ArcTanh[a*x])/x^1, x, 8, (4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(1 + a*x) + ArcSin[a*x] - ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^(-3*ArcTanh[a*x])/x^2, x, 8, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/x) - (4*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(1 + a*x) + 3*a*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^(-3*ArcTanh[a*x])/x^3, x, 12, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*x^2)) + (3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/x + (4*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(1 + a*x) - (9/2)*a^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^(-3*ArcTanh[a*x])/x^4, x, 14, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*x^3)) + (3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x^2) - (14*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*x) - (4*a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(1 + a*x) + (11/2)*a^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^(-3*ArcTanh[a*x])/x^5, x, 19, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(4*x^4)) + (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/x^3 - (19*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*x^2) + (6*a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/x + (4*a^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(1 + a*x) - (51/8)*a^4*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n/2 ArcTanh[a x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^(ArcTanh[a*x]/2)*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, 1/4, -(1/4), 2 + m, a*x, (-a)*x])/(1 + m)}
+
+{E^(ArcTanh[a*x]/2)*x^2, x, 15, -((3*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(8*a^3)) - ((1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(5/4))/(12*a^3) - (x*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(5/4))/(3*a^2) + (3*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^3) - (3*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^3) - (3*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*a^3) + (3*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*a^3)}
+{E^(ArcTanh[a*x]/2)*x^1, x, 14, -(((1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(4*a^2)) - ((1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(5/4))/(2*a^2) + ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/(4*Sqrt[2]*a^2) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/(4*Sqrt[2]*a^2) - Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/(8*Sqrt[2]*a^2) + Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/(8*Sqrt[2]*a^2)}
+{E^(ArcTanh[a*x]/2)*x^0, x, 13, -(((1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/a) + ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/(Sqrt[2]*a) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/(Sqrt[2]*a) - Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/(2*Sqrt[2]*a) + Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/(2*Sqrt[2]*a)}
+{E^(ArcTanh[a*x]/2)/x^1, x, 17, -2*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)] - Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)] - 2*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/Sqrt[2] + Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{E^(ArcTanh[a*x]/2)/x^2, x, 6, -(((1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/x) - a*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - a*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{E^(ArcTanh[a*x]/2)/x^3, x, 7, -((a*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(4*x)) - ((1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(5/4))/(2*x^2) - (1/4)*a^2*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - (1/4)*a^2*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{E^(ArcTanh[a*x]/2)/x^4, x, 9, -(((1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(3*x^3)) - (5*a*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(12*x^2) - (11*a^2*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(24*x) - (3/8)*a^3*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - (3/8)*a^3*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{E^(ArcTanh[a*x]/2)/x^5, x, 10, -(((1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(4*x^4)) - (7*a*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(24*x^3) - (29*a^2*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(96*x^2) - (83*a^3*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(192*x) - (11/64)*a^4*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - (11/64)*a^4*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{E^(ArcTanh[a*x]/2)/x^6, x, 11, -(((1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(5*x^5)) - (9*a*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(40*x^4) - (11*a^2*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(48*x^3) - (269*a^3*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(960*x^2) - (611*a^4*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(1920*x) - (31/128)*a^5*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - (31/128)*a^5*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x]/2)*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, 3/4, -(3/4), 2 + m, a*x, (-a)*x])/(1 + m)}
+
+{E^((3*ArcTanh[a*x])/2)*x^3, x, 15, -((41*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(64*a^4)) - (x^2*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(7/4))/(4*a^2) - ((1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(7/4)*(11 + 4*a*x))/(32*a^4) + (123*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) - (123*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) + (123*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4) - (123*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4)}
+{E^((3*ArcTanh[a*x])/2)*x^2, x, 15, (-17*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(24*a^3) - ((1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(7/4))/(4*a^3) - (x*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(7/4))/(3*a^2) + (17*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^3) - (17*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^3) + (17*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*a^3) - (17*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*a^3)}
+{E^((3*ArcTanh[a*x])/2)*x^1, x, 14, (-3*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(4*a^2) - ((1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(7/4))/(2*a^2) + (9*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a^2) - (9*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a^2) + (9*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^2) - (9*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^2)}
+{E^((3*ArcTanh[a*x])/2)*x^0, x, 13, -(((1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/a) + (3*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) - (3*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) + (3*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*a) - (3*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*a)}
+{E^((3*ArcTanh[a*x])/2)/x^1, x, 17, 2*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)] - Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)] - 2*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] + Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/Sqrt[2] - Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{E^((3*ArcTanh[a*x])/2)/x^2, x, 6, -(((1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/x) + 3*a*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - 3*a*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{E^((3*ArcTanh[a*x])/2)/x^3, x, 7, -((3*a*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(4*x)) - ((1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(7/4))/(2*x^2) + (9/4)*a^2*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - (9/4)*a^2*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{E^((3*ArcTanh[a*x])/2)/x^4, x, 9, -(((1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(3*x^3)) - (7*a*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(12*x^2) - (23*a^2*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(24*x) + (17/8)*a^3*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - (17/8)*a^3*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{E^((3*ArcTanh[a*x])/2)/x^5, x, 10, -(((1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(4*x^4)) - (3*a*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(8*x^3) - (15*a^2*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(32*x^2) - (63*a^3*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(64*x) + (123/64)*a^4*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - (123/64)*a^4*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+
+
+{E^(5*ArcTanh[a*x]/2)*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, 5/4, -(5/4), 2 + m, a*x, (-a)*x])/(1 + m)}
+
+{E^((5*ArcTanh[a*x])/2)*x^3, x, 16, (475*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(64*a^4) + (4*x^3*(1 + a*x)^(5/4))/(a*(1 - a*x)^(1/4)) + (17*x^2*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(5/4))/(4*a^2) + ((1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(5/4)*(521 + 452*a*x))/(96*a^4) - (475*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) + (475*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) + (475*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4) - (475*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4)}
+{E^((5*ArcTanh[a*x])/2)*x^2, x, 16, (55*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(8*a^3) + (11*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(5/4))/(4*a^3) + (2*(1 + a*x)^(9/4))/(a^3*(1 - a*x)^(1/4)) + ((1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(9/4))/(3*a^3) - (55*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^3) + (55*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^3) + (55*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*a^3) - (55*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*a^3)}
+{E^((5*ArcTanh[a*x])/2)*x^1, x, 15, (25*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(4*a^2) + (5*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(5/4))/(2*a^2) + (2*(1 + a*x)^(9/4))/(a^2*(1 - a*x)^(1/4)) - (25*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a^2) + (25*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a^2) + (25*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^2) - (25*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^2)}
+{E^((5*ArcTanh[a*x])/2)*x^0, x, 14, (5*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/a + (4*(1 + a*x)^(5/4))/(a*(1 - a*x)^(1/4)) - (5*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) + (5*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) + (5*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*a) - (5*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*a)}
+{E^((5*ArcTanh[a*x])/2)/x^1, x, 19, (8*(1 + a*x)^(1/4))/(1 - a*x)^(1/4) - 2*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)] - 2*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] + Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/Sqrt[2] - Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{E^((5*ArcTanh[a*x])/2)/x^2, x, 7, (10*a*(1 + a*x)^(1/4))/(1 - a*x)^(1/4) - (1 + a*x)^(5/4)/(x*(1 - a*x)^(1/4)) - 5*a*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - 5*a*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{E^((5*ArcTanh[a*x])/2)/x^3, x, 8, (25*a^2*(1 + a*x)^(1/4))/(2*(1 - a*x)^(1/4)) - (5*a*(1 + a*x)^(5/4))/(4*x*(1 - a*x)^(1/4)) - (1 + a*x)^(9/4)/(2*x^2*(1 - a*x)^(1/4)) - (25/4)*a^2*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - (25/4)*a^2*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{E^((5*ArcTanh[a*x])/2)/x^4, x, 10, (287*a^3*(1 + a*x)^(1/4))/(24*(1 - a*x)^(1/4)) - (1 + a*x)^(1/4)/(3*x^3*(1 - a*x)^(1/4)) - (13*a*(1 + a*x)^(1/4))/(12*x^2*(1 - a*x)^(1/4)) - (61*a^2*(1 + a*x)^(1/4))/(24*x*(1 - a*x)^(1/4)) - (55/8)*a^3*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - (55/8)*a^3*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{E^((5*ArcTanh[a*x])/2)/x^5, x, 11, (2467*a^4*(1 + a*x)^(1/4))/(192*(1 - a*x)^(1/4)) - (1 + a*x)^(1/4)/(4*x^4*(1 - a*x)^(1/4)) - (17*a*(1 + a*x)^(1/4))/(24*x^3*(1 - a*x)^(1/4)) - (113*a^2*(1 + a*x)^(1/4))/(96*x^2*(1 - a*x)^(1/4)) - (521*a^3*(1 + a*x)^(1/4))/(192*x*(1 - a*x)^(1/4)) - (475/64)*a^4*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - (475/64)*a^4*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^m/E^(ArcTanh[a*x]/2), x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, -(1/4), 1/4, 2 + m, a*x, (-a)*x])/(1 + m)}
+
+{x^3/E^(ArcTanh[a*x]/2), x, 15, -((11*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(64*a^4)) - (x^2*(1 - a*x)^(5/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(4*a^2) - ((25 - 4*a*x)*(1 - a*x)^(5/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(96*a^4) - (11*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) + (11*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) - (11*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4) + (11*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4)}
+{x^2/E^(ArcTanh[a*x]/2), x, 15, (3*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(8*a^3) + ((1 - a*x)^(5/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(12*a^3) - (x*(1 - a*x)^(5/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(3*a^2) + (3*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^3) - (3*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^3) + (3*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*a^3) - (3*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*a^3)}
+{x/E^(ArcTanh[a*x]/2), x, 14, -((1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(4*a^2) - ((1 - a*x)^(5/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(2*a^2) - ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/(4*Sqrt[2]*a^2) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/(4*Sqrt[2]*a^2) - Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/(8*Sqrt[2]*a^2) + Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/(8*Sqrt[2]*a^2)}
+{E^(-ArcTanh[a*x]/2), x, 13, ((1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/a + ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/(Sqrt[2]*a) - ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/(Sqrt[2]*a) + Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/(2*Sqrt[2]*a) - Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/(2*Sqrt[2]*a)}
+{1/(E^(ArcTanh[a*x]/2)*x), x, 17, 2*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)] - 2*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/Sqrt[2] + Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{1/(E^(ArcTanh[a*x]/2)*x^2), x, 6, -(((1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/x) - a*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] + a*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{1/(E^(ArcTanh[a*x]/2)*x^3), x, 7, (a*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(4*x) - ((1 - a*x)^(5/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(2*x^2) + (1/4)*a^2*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - (1/4)*a^2*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{1/(E^(ArcTanh[a*x]/2)*x^4), x, 9, -(((1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(3*x^3)) + (5*a*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(12*x^2) - (11*a^2*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(24*x) - (3/8)*a^3*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] + (3/8)*a^3*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{1/(E^(ArcTanh[a*x]/2)*x^5), x, 10, -(((1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(4*x^4)) + (7*a*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(24*x^3) - (29*a^2*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(96*x^2) + (83*a^3*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(192*x) + (11/64)*a^4*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - (11/64)*a^4*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+
+
+{x^m/E^((3*ArcTanh[a*x])/2), x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, -(3/4), 3/4, 2 + m, a*x, (-a)*x])/(1 + m)}
+
+{x^3/E^((3*ArcTanh[a*x])/2), x, 15, -((41*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(64*a^4)) - (x^2*(1 - a*x)^(7/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(4*a^2) - ((11 - 4*a*x)*(1 - a*x)^(7/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(32*a^4) - (123*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) + (123*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) + (123*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4) - (123*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4)}
+{x^2/E^((3*ArcTanh[a*x])/2), x, 15, (17*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(24*a^3) + ((1 - a*x)^(7/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(4*a^3) - (x*(1 - a*x)^(7/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(3*a^2) + (17*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^3) - (17*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^3) - (17*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*a^3) + (17*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*a^3)}
+{x/E^((3*ArcTanh[a*x])/2), x, 14, (-3*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(4*a^2) - ((1 - a*x)^(7/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(2*a^2) - (9*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a^2) + (9*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a^2) + (9*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^2) - (9*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^2)}
+{E^((-3*ArcTanh[a*x])/2), x, 13, ((1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/a + (3*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) - (3*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) - (3*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*a) + (3*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*a)}
+{1/(E^((3*ArcTanh[a*x])/2)*x), x, 17, -2*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)] - 2*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] + Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/Sqrt[2] - Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{1/(E^((3*ArcTanh[a*x])/2)*x^2), x, 6, -(((1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/x) + 3*a*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] + 3*a*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{1/(E^((3*ArcTanh[a*x])/2)*x^3), x, 7, (3*a*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(4*x) - ((1 - a*x)^(7/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(2*x^2) - (9/4)*a^2*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - (9/4)*a^2*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{1/(E^((3*ArcTanh[a*x])/2)*x^4), x, 9, -(((1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(3*x^3)) + (7*a*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(12*x^2) - (23*a^2*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(24*x) + (17/8)*a^3*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] + (17/8)*a^3*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{1/(E^((3*ArcTanh[a*x])/2)*x^5), x, 10, -(((1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(4*x^4)) + (3*a*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(8*x^3) - (15*a^2*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(32*x^2) + (63*a^3*(1 - a*x)^(3/4)*(1 + a*x)^(1/4))/(64*x) - (123/64)*a^4*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - (123/64)*a^4*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+
+
+{x^m/E^((5*ArcTanh[a*x])/2), x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, -(5/4), 5/4, 2 + m, a*x, (-a)*x])/(1 + m)}
+
+{x^3/E^((5*ArcTanh[a*x])/2), x, 16, -((4*x^3*(1 - a*x)^(5/4))/(a*(1 + a*x)^(1/4))) + (475*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(64*a^4) + (17*x^2*(1 - a*x)^(5/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(4*a^2) + ((521 - 452*a*x)*(1 - a*x)^(5/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(96*a^4) + (475*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) - (475*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a^4) + (475*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4) - (475*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^4)}
+{x^2/E^((5*ArcTanh[a*x])/2), x, 16, (-2*(1 - a*x)^(9/4))/(a^3*(1 + a*x)^(1/4)) - (55*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(8*a^3) - (11*(1 - a*x)^(5/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(4*a^3) - ((1 - a*x)^(9/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(3*a^3) - (55*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^3) + (55*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^3) - (55*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*a^3) + (55*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(16*Sqrt[2]*a^3)}
+{x/E^((5*ArcTanh[a*x])/2), x, 15, (2*(1 - a*x)^(9/4))/(a^2*(1 + a*x)^(1/4)) + (25*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(4*a^2) + (5*(1 - a*x)^(5/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(2*a^2) + (25*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a^2) - (25*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a^2) + (25*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^2) - (25*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a^2)}
+{E^((-5*ArcTanh[a*x])/2), x, 14, (-4*(1 - a*x)^(5/4))/(a*(1 + a*x)^(1/4)) - (5*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/a - (5*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) + (5*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a) - (5*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*a) + (5*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(2*Sqrt[2]*a)}
+{1/(E^((5*ArcTanh[a*x])/2)*x), x, 19, (8*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4) + 2*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)] - Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)] - 2*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] + Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/Sqrt[2] - Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{1/(E^((5*ArcTanh[a*x])/2)*x^2), x, 7, -((10*a*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)) - (1 - a*x)^(5/4)/(x*(1 + a*x)^(1/4)) - 5*a*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] + 5*a*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{1/(E^((5*ArcTanh[a*x])/2)*x^3), x, 8, (25*a^2*(1 - a*x)^(1/4))/(2*(1 + a*x)^(1/4)) + (5*a*(1 - a*x)^(5/4))/(4*x*(1 + a*x)^(1/4)) - (1 - a*x)^(9/4)/(2*x^2*(1 + a*x)^(1/4)) + (25/4)*a^2*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - (25/4)*a^2*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{1/(E^((5*ArcTanh[a*x])/2)*x^4), x, 10, -((287*a^3*(1 - a*x)^(1/4))/(24*(1 + a*x)^(1/4))) - (1 - a*x)^(1/4)/(3*x^3*(1 + a*x)^(1/4)) + (13*a*(1 - a*x)^(1/4))/(12*x^2*(1 + a*x)^(1/4)) - (61*a^2*(1 - a*x)^(1/4))/(24*x*(1 + a*x)^(1/4)) - (55/8)*a^3*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] + (55/8)*a^3*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+{1/(E^((5*ArcTanh[a*x])/2)*x^5), x, 11, (2467*a^4*(1 - a*x)^(1/4))/(192*(1 + a*x)^(1/4)) - (1 - a*x)^(1/4)/(4*x^4*(1 + a*x)^(1/4)) + (17*a*(1 - a*x)^(1/4))/(24*x^3*(1 + a*x)^(1/4)) - (113*a^2*(1 - a*x)^(1/4))/(96*x^2*(1 + a*x)^(1/4)) + (521*a^3*(1 - a*x)^(1/4))/(192*x*(1 + a*x)^(1/4)) + (475/64)*a^4*ArcTan[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)] - (475/64)*a^4*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n/3 ArcTanh[a x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^(ArcTanh[x]/3)*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, 1/6, -(1/6), 2 + m, x, -x])/(1 + m)}
+
+{E^(ArcTanh[x]/3)*x^2, x, 16, (-(19/54))*(1 - x)^(5/6)*(1 + x)^(1/6) - (1/18)*(1 - x)^(5/6)*(1 + x)^(7/6) - (1/3)*(1 - x)^(5/6)*x*(1 + x)^(7/6) - (19/81)*ArcTan[(1 - x)^(1/6)/(1 + x)^(1/6)] + (19/162)*ArcTan[Sqrt[3] - (2*(1 - x)^(1/6))/(1 + x)^(1/6)] - (19/162)*ArcTan[Sqrt[3] + (2*(1 - x)^(1/6))/(1 + x)^(1/6)] - (19*Log[1 + (1 - x)^(1/3)/(1 + x)^(1/3) - (Sqrt[3]*(1 - x)^(1/6))/(1 + x)^(1/6)])/(108*Sqrt[3]) + (19*Log[1 + (1 - x)^(1/3)/(1 + x)^(1/3) + (Sqrt[3]*(1 - x)^(1/6))/(1 + x)^(1/6)])/(108*Sqrt[3])}
+{E^(ArcTanh[x]/3)*x^1, x, 15, (-(1/6))*(1 - x)^(5/6)*(1 + x)^(1/6) - (1/2)*(1 - x)^(5/6)*(1 + x)^(7/6) - (1/9)*ArcTan[(1 - x)^(1/6)/(1 + x)^(1/6)] + (1/18)*ArcTan[Sqrt[3] - (2*(1 - x)^(1/6))/(1 + x)^(1/6)] - (1/18)*ArcTan[Sqrt[3] + (2*(1 - x)^(1/6))/(1 + x)^(1/6)] - Log[1 + (1 - x)^(1/3)/(1 + x)^(1/3) - (Sqrt[3]*(1 - x)^(1/6))/(1 + x)^(1/6)]/(12*Sqrt[3]) + Log[1 + (1 - x)^(1/3)/(1 + x)^(1/3) + (Sqrt[3]*(1 - x)^(1/6))/(1 + x)^(1/6)]/(12*Sqrt[3])}
+{E^(ArcTanh[x]/3)*x^0, x, 14, (-(1 - x)^(5/6))*(1 + x)^(1/6) - (2/3)*ArcTan[(1 - x)^(1/6)/(1 + x)^(1/6)] + (1/3)*ArcTan[Sqrt[3] - (2*(1 - x)^(1/6))/(1 + x)^(1/6)] - (1/3)*ArcTan[Sqrt[3] + (2*(1 - x)^(1/6))/(1 + x)^(1/6)] - Log[1 + (1 - x)^(1/3)/(1 + x)^(1/3) - (Sqrt[3]*(1 - x)^(1/6))/(1 + x)^(1/6)]/(2*Sqrt[3]) + Log[1 + (1 - x)^(1/3)/(1 + x)^(1/3) + (Sqrt[3]*(1 - x)^(1/6))/(1 + x)^(1/6)]/(2*Sqrt[3])}
+{E^(ArcTanh[x]/3)/x^1, x, 25, -2*ArcTan[(1 - x)^(1/6)/(1 + x)^(1/6)] + ArcTan[Sqrt[3] - (2*(1 - x)^(1/6))/(1 + x)^(1/6)] - ArcTan[Sqrt[3] + (2*(1 - x)^(1/6))/(1 + x)^(1/6)] + Sqrt[3]*ArcTan[(1 - (2*(1 + x)^(1/6))/(1 - x)^(1/6))/Sqrt[3]] - Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*(1 + x)^(1/6))/(1 - x)^(1/6))/Sqrt[3]] - 2*ArcTanh[(1 + x)^(1/6)/(1 - x)^(1/6)] - (1/2)*Sqrt[3]*Log[1 + (1 - x)^(1/3)/(1 + x)^(1/3) - (Sqrt[3]*(1 - x)^(1/6))/(1 + x)^(1/6)] + (1/2)*Sqrt[3]*Log[1 + (1 - x)^(1/3)/(1 + x)^(1/3) + (Sqrt[3]*(1 - x)^(1/6))/(1 + x)^(1/6)] + (1/2)*Log[1 - (1 + x)^(1/6)/(1 - x)^(1/6) + (1 + x)^(1/3)/(1 - x)^(1/3)] - (1/2)*Log[1 + (1 + x)^(1/6)/(1 - x)^(1/6) + (1 + x)^(1/3)/(1 - x)^(1/3)]}
+{E^(ArcTanh[x]/3)/x^2, x, 13, -(((1 - x)^(5/6)*(1 + x)^(1/6))/x) + ArcTan[(1 - (2*(1 + x)^(1/6))/(1 - x)^(1/6))/Sqrt[3]]/Sqrt[3] - ArcTan[(1 + (2*(1 + x)^(1/6))/(1 - x)^(1/6))/Sqrt[3]]/Sqrt[3] - (2/3)*ArcTanh[(1 + x)^(1/6)/(1 - x)^(1/6)] + (1/6)*Log[1 - (1 + x)^(1/6)/(1 - x)^(1/6) + (1 + x)^(1/3)/(1 - x)^(1/3)] - (1/6)*Log[1 + (1 + x)^(1/6)/(1 - x)^(1/6) + (1 + x)^(1/3)/(1 - x)^(1/3)]}
+{E^(ArcTanh[x]/3)/x^3, x, 14, -(((1 - x)^(5/6)*(1 + x)^(1/6))/(6*x)) - ((1 - x)^(5/6)*(1 + x)^(7/6))/(2*x^2) + ArcTan[(1 - (2*(1 + x)^(1/6))/(1 - x)^(1/6))/Sqrt[3]]/(6*Sqrt[3]) - ArcTan[(1 + (2*(1 + x)^(1/6))/(1 - x)^(1/6))/Sqrt[3]]/(6*Sqrt[3]) - (1/9)*ArcTanh[(1 + x)^(1/6)/(1 - x)^(1/6)] + (1/36)*Log[1 - (1 + x)^(1/6)/(1 - x)^(1/6) + (1 + x)^(1/3)/(1 - x)^(1/3)] - (1/36)*Log[1 + (1 + x)^(1/6)/(1 - x)^(1/6) + (1 + x)^(1/3)/(1 - x)^(1/3)]}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[x]/3)*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, 1/3, -(1/3), 2 + m, x, -x])/(1 + m)}
+
+{E^(2*ArcTanh[x]/3)*x^2, x, 5, (-(11/27))*(1 - x)^(2/3)*(1 + x)^(1/3) - (1/9)*(1 - x)^(2/3)*(1 + x)^(4/3) - (1/3)*(1 - x)^(2/3)*x*(1 + x)^(4/3) + (22*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*(1 - x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + x)^(1/3))])/(27*Sqrt[3]) + (11/81)*Log[1 + x] + (11/27)*Log[1 + (1 - x)^(1/3)/(1 + x)^(1/3)]}
+{E^(2*ArcTanh[x]/3)*x^1, x, 4, (-(1/3))*(1 - x)^(2/3)*(1 + x)^(1/3) - (1/2)*(1 - x)^(2/3)*(1 + x)^(4/3) + (2*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*(1 - x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + x)^(1/3))])/(3*Sqrt[3]) + (1/9)*Log[1 + x] + (1/3)*Log[1 + (1 - x)^(1/3)/(1 + x)^(1/3)]}
+{E^(2*ArcTanh[x]/3)*x^0, x, 3, (-(1 - x)^(2/3))*(1 + x)^(1/3) + (2*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*(1 - x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + x)^(1/3))])/Sqrt[3] + (1/3)*Log[1 + x] + Log[1 + (1 - x)^(1/3)/(1 + x)^(1/3)]}
+{E^(2*ArcTanh[x]/3)/x^1, x, 4, Sqrt[3]*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*(1 - x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + x)^(1/3))] + Sqrt[3]*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*(1 - x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + x)^(1/3))] - Log[x]/2 + (1/2)*Log[1 + x] + (3/2)*Log[1 + (1 - x)^(1/3)/(1 + x)^(1/3)] + (3/2)*Log[(1 - x)^(1/3) - (1 + x)^(1/3)]}
+{E^(2*ArcTanh[x]/3)/x^2, x, 3, -(((1 - x)^(2/3)*(1 + x)^(1/3))/x) + (2*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*(1 - x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + x)^(1/3))])/Sqrt[3] - Log[x]/3 + Log[(1 - x)^(1/3) - (1 + x)^(1/3)]}
+{E^(2*ArcTanh[x]/3)/x^3, x, 4, -(((1 - x)^(2/3)*(1 + x)^(1/3))/(3*x)) - ((1 - x)^(2/3)*(1 + x)^(4/3))/(2*x^2) + (2*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*(1 - x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + x)^(1/3))])/(3*Sqrt[3]) - Log[x]/9 + (1/3)*Log[(1 - x)^(1/3) - (1 + x)^(1/3)]}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n/4 ArcTanh[a x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^(ArcTanh[a*x]/4)*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, 1/8, -(1/8), 2 + m, a*x, (-a)*x])/(1 + m)}
+
+{E^(ArcTanh[a*x]/4)*x^2, x, 27, -((11*(1 - a*x)^(7/8)*(1 + a*x)^(1/8))/(32*a^3)) - ((1 - a*x)^(7/8)*(1 + a*x)^(9/8))/(24*a^3) - (x*(1 - a*x)^(7/8)*(1 + a*x)^(9/8))/(3*a^2) + (11*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] - (2*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]])/(128*a^3) + (11*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] - (2*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]])/(128*a^3) - (11*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] + (2*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]])/(128*a^3) - (11*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] + (2*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]])/(128*a^3) - (11*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - a*x)^(1/4)/(1 + a*x)^(1/4) - (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8)])/(256*a^3) + (11*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - a*x)^(1/4)/(1 + a*x)^(1/4) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8)])/(256*a^3) - (11*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - a*x)^(1/4)/(1 + a*x)^(1/4) - (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8)])/(256*a^3) + (11*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - a*x)^(1/4)/(1 + a*x)^(1/4) + (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8)])/(256*a^3)}
+{E^(ArcTanh[a*x]/4)*x^1, x, 26, -(((1 - a*x)^(7/8)*(1 + a*x)^(1/8))/(8*a^2)) - ((1 - a*x)^(7/8)*(1 + a*x)^(9/8))/(2*a^2) + (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] - (2*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]])/(32*a^2) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] - (2*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]])/(32*a^2) - (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] + (2*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]])/(32*a^2) - (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] + (2*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]])/(32*a^2) - (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - a*x)^(1/4)/(1 + a*x)^(1/4) - (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8)])/(64*a^2) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - a*x)^(1/4)/(1 + a*x)^(1/4) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8)])/(64*a^2) - (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - a*x)^(1/4)/(1 + a*x)^(1/4) - (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8)])/(64*a^2) + (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - a*x)^(1/4)/(1 + a*x)^(1/4) + (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8)])/(64*a^2)}
+{E^(ArcTanh[a*x]/4)*x^0, x, 25, -(((1 - a*x)^(7/8)*(1 + a*x)^(1/8))/a) + (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] - (2*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]])/(4*a) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] - (2*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]])/(4*a) - (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] + (2*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]])/(4*a) - (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] + (2*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]])/(4*a) - (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - a*x)^(1/4)/(1 + a*x)^(1/4) - (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8)])/(8*a) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - a*x)^(1/4)/(1 + a*x)^(1/4) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8)])/(8*a) - (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - a*x)^(1/4)/(1 + a*x)^(1/4) - (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8)])/(8*a) + (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - a*x)^(1/4)/(1 + a*x)^(1/4) + (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8)])/(8*a)}
+{E^(ArcTanh[a*x]/4)/x^1, x, 39, -2*ArcTan[(1 + a*x)^(1/8)/(1 - a*x)^(1/8)] + Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] - (2*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]] + Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] - (2*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]] - Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] + (2*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]] - Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] + (2*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]] + Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 + a*x)^(1/8))/(1 - a*x)^(1/8)] - Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 + a*x)^(1/8))/(1 - a*x)^(1/8)] - 2*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/8)/(1 - a*x)^(1/8)] - (1/2)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - a*x)^(1/4)/(1 + a*x)^(1/4) - (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8)] + (1/2)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - a*x)^(1/4)/(1 + a*x)^(1/4) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8)] - (1/2)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - a*x)^(1/4)/(1 + a*x)^(1/4) - (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8)] + (1/2)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - a*x)^(1/4)/(1 + a*x)^(1/4) + (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - a*x)^(1/8))/(1 + a*x)^(1/8)] + Log[1 - (Sqrt[2]*(1 + a*x)^(1/8))/(1 - a*x)^(1/8) + (1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]/Sqrt[2] - Log[1 + (Sqrt[2]*(1 + a*x)^(1/8))/(1 - a*x)^(1/8) + (1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{E^(ArcTanh[a*x]/4)/x^2, x, 16, -(((1 - a*x)^(7/8)*(1 + a*x)^(1/8))/x) - (1/2)*a*ArcTan[(1 + a*x)^(1/8)/(1 - a*x)^(1/8)] + (a*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 + a*x)^(1/8))/(1 - a*x)^(1/8)])/(2*Sqrt[2]) - (a*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 + a*x)^(1/8))/(1 - a*x)^(1/8)])/(2*Sqrt[2]) - (1/2)*a*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/8)/(1 - a*x)^(1/8)] + (a*Log[1 - (Sqrt[2]*(1 + a*x)^(1/8))/(1 - a*x)^(1/8) + (1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]) - (a*Log[1 + (Sqrt[2]*(1 + a*x)^(1/8))/(1 - a*x)^(1/8) + (1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2])}
+{E^(ArcTanh[a*x]/4)/x^3, x, 17, -((a*(1 - a*x)^(7/8)*(1 + a*x)^(1/8))/(8*x)) - ((1 - a*x)^(7/8)*(1 + a*x)^(9/8))/(2*x^2) - (1/16)*a^2*ArcTan[(1 + a*x)^(1/8)/(1 - a*x)^(1/8)] + (a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 + a*x)^(1/8))/(1 - a*x)^(1/8)])/(16*Sqrt[2]) - (a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 + a*x)^(1/8))/(1 - a*x)^(1/8)])/(16*Sqrt[2]) - (1/16)*a^2*ArcTanh[(1 + a*x)^(1/8)/(1 - a*x)^(1/8)] + (a^2*Log[1 - (Sqrt[2]*(1 + a*x)^(1/8))/(1 - a*x)^(1/8) + (1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)])/(32*Sqrt[2]) - (a^2*Log[1 + (Sqrt[2]*(1 + a*x)^(1/8))/(1 - a*x)^(1/8) + (1 + a*x)^(1/4)/(1 - a*x)^(1/4)])/(32*Sqrt[2])}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTanh[a x]) with m symbolic*)
+
+
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*x^m, x, 4, x^(1 + m)/(1 + m) + (4*x^(1 + m))/(1 - a*x) - 4*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, a*x]}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*x^m, x, 9, -((3*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/(1 + m)) - (a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(2 + m) + (4*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[3/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/(1 + m) + (4*a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[3/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(2 + m)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^m, x, 3, -(x^(1 + m)/(1 + m)) + (2*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, a*x])/(1 + m)}
+{E^(1*ArcTanh[a*x])*x^m, x, 4, (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/(1 + m) + (a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(2 + m)}
+{E^(-ArcTanh[a*x])*x^m, x, 4, (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/(1 + m) - (a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(2 + m)}
+{E^(-2*ArcTanh[a*x])*x^m, x, 3, -(x^(1 + m)/(1 + m)) + (2*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (-a)*x])/(1 + m)}
+{E^(-3*ArcTanh[a*x])*x^m, x, 9, -((3*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/(1 + m)) + (a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(2 + m) + (4*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[3/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/(1 + m) - (4*a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[3/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(2 + m)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTanh[a x]) with n symbolic*)
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, n/2, -(n/2), 2 + m, a*x, (-a)*x])/(1 + m)}
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*x^3, x, 4, -((x^2*(1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(4*a^2)) - ((1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2)*(6 + n^2 + 2*a*n*x))/(24*a^4) - (2^(-2 + n/2)*n*(8 + n^2)*(1 - a*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(3*a^4*(2 - n))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*x^2, x, 4, -((n*(1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(6*a^3)) - (x*(1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(3*a^2) - (2^(n/2)*(2 + n^2)*(1 - a*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(3*a^3*(2 - n))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*x^1, x, 3, -(((1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(2*a^2)) - (2^(n/2)*n*(1 - a*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a^2*(2 - n))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*x^0, x, 2, -((2^(1 + n/2)*(1 - a*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*(2 - n)))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/x^1, x, 4, (2*(1 + a*x)^(n/2)*Hypergeometric2F1[1, -(n/2), 1 - n/2, (1 - a*x)/(1 + a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*n) - (2^(1 + n/2)*Hypergeometric2F1[-(n/2), -(n/2), 1 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*n)}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/x^2, x, 2, -((4*a*(1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n))*Hypergeometric2F1[2, 1 - n/2, 2 - n/2, (1 - a*x)/(1 + a*x)])/(2 - n))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/x^3, x, 3, -(((1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(2*x^2)) - (2*a^2*n*(1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n))*Hypergeometric2F1[2, 1 - n/2, 2 - n/2, (1 - a*x)/(1 + a*x)])/(2 - n)}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/x^4, x, 5, -(((1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(3*x^3)) - (a*n*(1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(6*x^2) - (2*a^3*(2 + n^2)*(1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n))*Hypergeometric2F1[2, 1 - n/2, 2 - n/2, (1 - a*x)/(1 + a*x)])/(3*(2 - n))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u E^(n ArcTanh[a x]) (c-a c x)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcTanh[a x]) (c-c a x)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^p, x, 3, -((2*Sqrt[2]*(c - a*c*x)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-(1/2), 1/2 + p, 3/2 + p, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*c*(1 + 2*p)*Sqrt[1 - a*x]))}
+
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^4, x, 6, (7/8)*c^4*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (7*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(12*a) + (7*c^4*(1 - a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(20*a) + (c^4*(1 - a*x)^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(5*a) + (7*c^4*ArcSin[a*x])/(8*a)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^3, x, 5, (5/8)*c^3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (5*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(12*a) + (c^3*(1 - a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(4*a) + (5*c^3*ArcSin[a*x])/(8*a)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^2, x, 4, (1/2)*c^2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a) + (c^2*ArcSin[a*x])/(2*a)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x), x, 3, (c*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/2 + (c*ArcSin[a*x])/(2*a)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - a*c*x), x, 3, (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*c*(1 - a*x)) - ArcSin[a*x]/(a*c)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - a*c*x)^2, x, 2, (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(3*a*c^2*(1 - a*x)^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - a*c*x)^3, x, 3, (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(5*a*c^3*(1 - a*x)^4) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(15*a*c^3*(1 - a*x)^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - a*c*x)^4, x, 4, (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(7*a*c^4*(1 - a*x)^5) + (2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(35*a*c^4*(1 - a*x)^4) + (2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(105*a*c^4*(1 - a*x)^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - a*c*x)^5, x, 5, (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(9*a*c^5*(1 - a*x)^6) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(21*a*c^5*(1 - a*x)^5) + (2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(105*a*c^5*(1 - a*x)^4) + (2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(315*a*c^5*(1 - a*x)^3)}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^p, x, 4, -((2*(c - a*c*x)^p)/(a*p)) + (c - a*c*x)^(1 + p)/(a*c*(1 + p))}
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^5, x, 3, (-2*c^5*(1 - a*x)^5)/(5*a) + (c^5*(1 - a*x)^6)/(6*a)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^4, x, 3, -((c^4*(1 - a*x)^4)/(2*a)) + (c^4*(1 - a*x)^5)/(5*a)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^3, x, 3, -((2*c^3*(1 - a*x)^3)/(3*a)) + (c^3*(1 - a*x)^4)/(4*a)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^2, x, 3, c^2*x - (a^2*c^2*x^3)/3}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x), x, 1, c*x + (a*c*x^2)/2, (c*E^(2*ArcTanh[a*x])*(1 - a^2*x^2))/(2*a)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x), x, 3, 2/(a*c*(1 - a*x)) + Log[1 - a*x]/(a*c)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^2, x, 2, x/(c^2*(1 - a*x)^2)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^3, x, 3, 2/(3*a*c^3*(1 - a*x)^3) - 1/(2*a*c^3*(1 - a*x)^2)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^4, x, 3, 1/(2*a*c^4*(1 - a*x)^4) - 1/(3*a*c^4*(1 - a*x)^3)}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^p, x, 3, (4*Sqrt[2]*(c - a*c*x)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-(3/2), -(1/2) + p, 1/2 + p, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*c*(1 - 2*p)*(1 - a*x)^(3/2))}
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^4, x, 5, (3/8)*c^4*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (1/4)*c^4*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (c^4*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(5*a) + (3*c^4*ArcSin[a*x])/(8*a)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^3, x, 4, (3*c^3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/8 + (c^3*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/4 + (3*c^3*ArcSin[a*x])/(8*a)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^2, x, 4, (1/2)*c^2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] - (c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a) + (c^2*ArcSin[a*x])/(2*a)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x), x, 4, -((3*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a)) - (c*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(2*a*(1 - a*x)) + (3*c*ArcSin[a*x])/(2*a)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x), x, 4, -((2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*c*(1 - a*x))) + (2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a*c*(1 - a*x)^3) + ArcSin[a*x]/(a*c)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^2, x, 2, (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(5*a*c^2*(1 - a*x)^5)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^3, x, 3, (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(7*a*c^3*(1 - a*x)^6) + (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(35*a*c^3*(1 - a*x)^5)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^4, x, 4, (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(9*a*c^4*(1 - a*x)^7) + (2*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(63*a*c^4*(1 - a*x)^6) + (2*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(315*a*c^4*(1 - a*x)^5)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^5, x, 5, (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(11*a*c^5*(1 - a*x)^8) + (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(33*a*c^5*(1 - a*x)^7) + (2*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(231*a*c^5*(1 - a*x)^6) + (2*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(1155*a*c^5*(1 - a*x)^5)}
+
+
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^p, x, 4, (4*c*(c - a*c*x)^(-1 + p))/(a*(1 - p)) + (4*(c - a*c*x)^p)/(a*p) - (c - a*c*x)^(1 + p)/(a*c*(1 + p))}
+
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^5, x, 3, -((c^5*(1 - a*x)^4)/a) + (4*c^5*(1 - a*x)^5)/(5*a) - (c^5*(1 - a*x)^6)/(6*a)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^4, x, 4, c^4*x - (2*a^2*c^4*x^3)/3 + (a^4*c^4*x^5)/5}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^3, x, 3, (2*c^3*(1 + a*x)^3)/(3*a) - (c^3*(1 + a*x)^4)/(4*a)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^2, x, 2, (c^2*(1 + a*x)^3)/(3*a)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x), x, 3, -3*c*x - (1/2)*a*c*x^2 - (4*c*Log[1 - a*x])/a}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x), x, 3, 2/(a*c*(1 - a*x)^2) - 4/(a*c*(1 - a*x)) - Log[1 - a*x]/(a*c)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^2, x, 2, (1 + a*x)^3/(6*a*c^2*(1 - a*x)^3)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^3, x, 3, 1/(a*c^3*(1 - a*x)^4) - 4/(3*a*c^3*(1 - a*x)^3) + 1/(2*a*c^3*(1 - a*x)^2)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^4, x, 3, 4/(5*a*c^4*(1 - a*x)^5) - 1/(a*c^4*(1 - a*x)^4) + 1/(3*a*c^4*(1 - a*x)^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c - a*c*x)^p/E^ArcTanh[a*x], x, 3, -((Sqrt[2]*Sqrt[1 - a*x]*(c - a*c*x)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[1/2, 3/2 + p, 5/2 + p, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*c*(3 + 2*p)))}
+
+{(c - a*c*x)^3/E^ArcTanh[a*x], x, 6, (35*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a) + (35*c^3*(1 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(24*a) + (7*c^3*(1 - a*x)^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(12*a) + (c^3*(1 - a*x)^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a) + (35*c^3*ArcSin[a*x])/(8*a)}
+{(c - a*c*x)^2/E^ArcTanh[a*x], x, 5, (5*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a) + (5*c^2*(1 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*a) + (c^2*(1 - a*x)^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a) + (5*c^2*ArcSin[a*x])/(2*a)}
+{(c - a*c*x)/E^ArcTanh[a*x], x, 4, (3*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a) + (c*(1 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a) + (3*c*ArcSin[a*x])/(2*a)}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)), x, 2, ArcSin[a*x]/(a*c)}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^2), x, 2, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*c^2*(1 - a*x))}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^3), x, 3, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*a*c^3*(1 - a*x)^2) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*a*c^3*(1 - a*x))}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^4), x, 4, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(5*a*c^4*(1 - a*x)^3) + (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a*c^4*(1 - a*x)^2) + (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a*c^4*(1 - a*x))}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^5), x, 5, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(7*a*c^5*(1 - a*x)^4) + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(35*a*c^5*(1 - a*x)^3) + (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(35*a*c^5*(1 - a*x)^2) + (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(35*a*c^5*(1 - a*x))}
+
+
+{(c - a*c*x)^p/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 3, -(((c - a*c*x)^(2 + p)*Hypergeometric2F1[1, 2 + p, 3 + p, (1/2)*(1 - a*x)])/(2*a*c^2*(2 + p)))}
+
+{(c - a*c*x)^4/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 3, -16*c^4*x + (4*c^4*(1 - a*x)^2)/a + (4*c^4*(1 - a*x)^3)/(3*a) + (c^4*(1 - a*x)^4)/(2*a) + (c^4*(1 - a*x)^5)/(5*a) + (32*c^4*Log[1 + a*x])/a}
+{(c - a*c*x)^3/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 3, -8*c^3*x + (2*c^3*(1 - a*x)^2)/a + (2*c^3*(1 - a*x)^3)/(3*a) + (c^3*(1 - a*x)^4)/(4*a) + (16*c^3*Log[1 + a*x])/a}
+{(c - a*c*x)^2/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 3, -4*c^2*x + (c^2*(1 - a*x)^2)/a + (c^2*(1 - a*x)^3)/(3*a) + (8*c^2*Log[1 + a*x])/a}
+{(c - a*c*x)/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 3, -3*c*x + (1/2)*a*c*x^2 + (4*c*Log[1 + a*x])/a}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)), x, 2, Log[1 + a*x]/(a*c)}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^2), x, 3, ArcTanh[a*x]/(a*c^2)}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^3), x, 4, 1/(2*a*c^3*(1 - a*x)) + ArcTanh[a*x]/(2*a*c^3)}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^4), x, 4, 1/(4*a*c^4*(1 - a*x)^2) + 1/(4*a*c^4*(1 - a*x)) + ArcTanh[a*x]/(4*a*c^4)}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^5), x, 4, 1/(6*a*c^5*(1 - a*x)^3) + 1/(8*a*c^5*(1 - a*x)^2) + 1/(8*a*c^5*(1 - a*x)) + ArcTanh[a*x]/(8*a*c^5)}
+
+
+{(c - a*c*x)^p/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 3, -(((1 - a*x)^(3/2)*(c - a*c*x)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[3/2, 5/2 + p, 7/2 + p, (1/2)*(1 - a*x)])/(Sqrt[2]*a*c*(5 + 2*p)))}
+
+{(c - a*c*x)^3/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 7, -((2*c^3*(1 - a*x)^5)/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (315*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a) - (105*c^3*(1 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a) - (21*c^3*(1 - a*x)^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a) - (9*c^3*(1 - a*x)^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a) - (315*c^3*ArcSin[a*x])/(8*a)}
+{(c - a*c*x)^2/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 6, -((2*c^2*(1 - a*x)^4)/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (35*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a) - (35*c^2*(1 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*a) - (7*c^2*(1 - a*x)^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a) - (35*c^2*ArcSin[a*x])/(2*a)}
+{(c - a*c*x)/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 5, -((2*c*(1 - a*x)^3)/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (15*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a) - (5*c*(1 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a) - (15*c*ArcSin[a*x])/(2*a)}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)), x, 3, -((2*(1 - a*x))/(a*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - ArcSin[a*x]/(a*c)}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^2), x, 2, -((1 - a*x)/(a*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]))}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^3), x, 2, x/(c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^4), x, 3, (2*x)/(3*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + 1/(3*a*c^4*(1 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^5), x, 4, (2*x)/(5*c^5*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + 1/(5*a*c^5*(1 - a*x)^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + 1/(5*a*c^5*(1 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^6), x, 5, (8*x)/(35*c^6*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + 1/(7*a*c^6*(1 - a*x)^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + 4/(35*a*c^6*(1 - a*x)^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + 4/(35*a*c^6*(1 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcTanh[a x])  (c-c a x)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^(9/2), x, 6, (4096*c^6*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3465*a*(c - a*c*x)^(3/2)) + (1024*c^5*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(1155*a*Sqrt[c - a*c*x]) + (128*c^4*Sqrt[c - a*c*x]*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(231*a) + (32*c^3*(c - a*c*x)^(3/2)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(99*a) + (2*c^2*(c - a*c*x)^(5/2)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(11*a)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^(7/2), x, 5, (256*c^5*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(315*a*(c - a*c*x)^(3/2)) + (64*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(105*a*Sqrt[c - a*c*x]) + (8*c^3*Sqrt[c - a*c*x]*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(21*a) + (2*c^2*(c - a*c*x)^(3/2)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(9*a)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^(5/2), x, 4, (64*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(105*a*(c - a*c*x)^(3/2)) + (16*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(35*a*Sqrt[c - a*c*x]) + (2*c^2*Sqrt[c - a*c*x]*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(7*a)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^(3/2), x, 3, (8*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(15*a*(c - a*c*x)^(3/2)) + (2*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(5*a*Sqrt[c - a*c*x])}
+{E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - a*c*x], x, 2, (2*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a*(c - a*c*x)^(3/2))}
+{E^ArcTanh[a*x]/Sqrt[c - a*c*x], x, 4, -((2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[c - a*c*x])) + (2*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - a*c*x])])/(a*Sqrt[c])}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - a*c*x)^(3/2), x, 4, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*(c - a*c*x)^(3/2)) - ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - a*c*x])]/(Sqrt[2]*a*c^(3/2))}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - a*c*x)^(5/2), x, 5, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a*(c - a*c*x)^(5/2)) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a*c*(c - a*c*x)^(3/2)) - ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - a*c*x])]/(8*Sqrt[2]*a*c^(5/2))}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - a*c*x)^(7/2), x, 6, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*a*(c - a*c*x)^(7/2)) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(24*a*c*(c - a*c*x)^(5/2)) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(32*a*c^2*(c - a*c*x)^(3/2)) - ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - a*c*x])]/(32*Sqrt[2]*a*c^(7/2))}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^(7/2), x, 4, -((4*(c - a*c*x)^(7/2))/(7*a)) + (2*(c - a*c*x)^(9/2))/(9*a*c)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^(5/2), x, 4, -((4*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a)) + (2*(c - a*c*x)^(7/2))/(7*a*c)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^(3/2), x, 4, -((4*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a)) + (2*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a*c)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a*c*x], x, 4, -((4*Sqrt[c - a*c*x])/a) + (2*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a*c)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/Sqrt[c - a*c*x], x, 4, 4/(a*Sqrt[c - a*c*x]) + (2*Sqrt[c - a*c*x])/(a*c)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^(3/2), x, 4, 4/(3*a*(c - a*c*x)^(3/2)) - 2/(a*c*Sqrt[c - a*c*x])}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^(5/2), x, 4, 4/(5*a*(c - a*c*x)^(5/2)) - 2/(3*a*c*(c - a*c*x)^(3/2))}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^(7/2), x, 4, 4/(7*a*(c - a*c*x)^(7/2)) - 2/(5*a*c*(c - a*c*x)^(5/2))}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^(9/2), x, 5, (256*c^7*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(1155*a*(c - a*c*x)^(5/2)) + (64*c^6*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(231*a*(c - a*c*x)^(3/2)) + (8*c^5*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(33*a*Sqrt[c - a*c*x]) + (2*c^4*Sqrt[c - a*c*x]*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(11*a)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^(7/2), x, 4, (64*c^6*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(315*a*(c - a*c*x)^(5/2)) + (16*c^5*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(63*a*(c - a*c*x)^(3/2)) + (2*c^4*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(9*a*Sqrt[c - a*c*x])}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^(5/2), x, 3, (8*c^5*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(35*a*(c - a*c*x)^(5/2)) + (2*c^4*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(7*a*(c - a*c*x)^(3/2))}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^(3/2), x, 2, (2*c^4*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(5*a*(c - a*c*x)^(5/2))}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a*c*x], x, 5, -((4*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[c - a*c*x])) - (2*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a*(c - a*c*x)^(3/2)) + (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - a*c*x])])/a}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/Sqrt[c - a*c*x], x, 5, (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[c - a*c*x]) + (c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(a*(c - a*c*x)^(5/2)) - (3*Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - a*c*x])])/(a*Sqrt[c])}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^(3/2), x, 5, -((3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a*(c - a*c*x)^(3/2))) + (c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(2*a*(c - a*c*x)^(7/2)) + (3*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - a*c*x])])/(4*Sqrt[2]*a*c^(3/2))}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^(5/2), x, 6, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(4*a*(c - a*c*x)^(5/2))) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(16*a*c*(c - a*c*x)^(3/2)) + (c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a*(c - a*c*x)^(9/2)) + ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - a*c*x])]/(16*Sqrt[2]*a*c^(5/2))}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^(7/2), x, 7, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a*(c - a*c*x)^(7/2))) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(64*a*c*(c - a*c*x)^(5/2)) + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(256*a*c^2*(c - a*c*x)^(3/2)) + (c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(4*a*(c - a*c*x)^(11/2)) + (3*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - a*c*x])])/(256*Sqrt[2]*a*c^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c - a*c*x)^(9/2)/E^ArcTanh[a*x], x, 7, (16384*c^5*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(693*a*Sqrt[c - a*c*x]) + (4096*c^4*Sqrt[c - a*c*x]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(693*a) + (512*c^3*(c - a*c*x)^(3/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(231*a) + (640*c^2*(c - a*c*x)^(5/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(693*a) + (40*c*(c - a*c*x)^(7/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(99*a) + (2*(c - a*c*x)^(9/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(11*a)}
+{(c - a*c*x)^(7/2)/E^ArcTanh[a*x], x, 6, (4096*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(315*a*Sqrt[c - a*c*x]) + (1024*c^3*Sqrt[c - a*c*x]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(315*a) + (128*c^2*(c - a*c*x)^(3/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(105*a) + (32*c*(c - a*c*x)^(5/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(63*a) + (2*(c - a*c*x)^(7/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(9*a)}
+{(c - a*c*x)^(5/2)/E^ArcTanh[a*x], x, 5, (256*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(35*a*Sqrt[c - a*c*x]) + (64*c^2*Sqrt[c - a*c*x]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(35*a) + (24*c*(c - a*c*x)^(3/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(35*a) + (2*(c - a*c*x)^(5/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(7*a)}
+{(c - a*c*x)^(3/2)/E^ArcTanh[a*x], x, 4, (64*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a*Sqrt[c - a*c*x]) + (16*c*Sqrt[c - a*c*x]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a) + (2*(c - a*c*x)^(3/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a)}
+{Sqrt[c - a*c*x]/E^ArcTanh[a*x], x, 3, (8*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*Sqrt[c - a*c*x]) + (2*Sqrt[c - a*c*x]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a)}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - a*c*x]), x, 2, (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[c - a*c*x])}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^(3/2)), x, 3, (Sqrt[2]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - a*c*x])])/(a*c^(3/2))}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^(5/2)), x, 4, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a*c*(c - a*c*x)^(3/2)) + ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - a*c*x])]/(2*Sqrt[2]*a*c^(5/2))}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^(7/2)), x, 5, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(4*a*c*(c - a*c*x)^(5/2)) + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(16*a*c^2*(c - a*c*x)^(3/2)) + (3*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - a*c*x])])/(16*Sqrt[2]*a*c^(7/2))}
+
+
+{(c - a*c*x)^(7/2)/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 9, (32*c^3*Sqrt[c - a*c*x])/a + (16*c^2*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a) + (8*c*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a) + (4*(c - a*c*x)^(7/2))/(7*a) + (2*(c - a*c*x)^(9/2))/(9*a*c) - (32*Sqrt[2]*c^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{(c - a*c*x)^(5/2)/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 8, (16*c^2*Sqrt[c - a*c*x])/a + (8*c*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a) + (4*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a) + (2*(c - a*c*x)^(7/2))/(7*a*c) - (16*Sqrt[2]*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{(c - a*c*x)^(3/2)/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 7, (8*c*Sqrt[c - a*c*x])/a + (4*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a) + (2*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a*c) - (8*Sqrt[2]*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{Sqrt[c - a*c*x]/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 6, (4*Sqrt[c - a*c*x])/a + (2*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a*c) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a*c*x]), x, 5, (2*Sqrt[c - a*c*x])/(a*c) - (2*Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(a*Sqrt[c])}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^(3/2)), x, 4, -((Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(a*c^(3/2)))}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^(5/2)), x, 5, 1/(a*c^2*Sqrt[c - a*c*x]) - ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]/(Sqrt[2]*a*c^(5/2))}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^(7/2)), x, 6, 1/(3*a*c^2*(c - a*c*x)^(3/2)) + 1/(2*a*c^3*Sqrt[c - a*c*x]) - ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]/(2*Sqrt[2]*a*c^(7/2))}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^(9/2)), x, 7, 1/(5*a*c^2*(c - a*c*x)^(5/2)) + 1/(6*a*c^3*(c - a*c*x)^(3/2)) + 1/(4*a*c^4*Sqrt[c - a*c*x]) - ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]/(4*Sqrt[2]*a*c^(9/2))}
+
+
+{(c - a*c*x)^(5/2)/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 6, -((4096*c^2*Sqrt[c - a*c*x])/(35*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (1024*c*(c - a*c*x)^(3/2))/(35*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (128*(c - a*c*x)^(5/2))/(35*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (32*(c - a*c*x)^(7/2))/(35*a*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (2*(c - a*c*x)^(9/2))/(7*a*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{(c - a*c*x)^(3/2)/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 5, -((256*c*Sqrt[c - a*c*x])/(5*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (64*(c - a*c*x)^(3/2))/(5*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (8*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (2*(c - a*c*x)^(7/2))/(5*a*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{Sqrt[c - a*c*x]/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 4, -((64*Sqrt[c - a*c*x])/(3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (16*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (2*(c - a*c*x)^(5/2))/(3*a*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a*c*x]), x, 3, -((8*Sqrt[c - a*c*x])/(a*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (2*(c - a*c*x)^(3/2))/(a*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^(3/2)), x, 2, -((2*Sqrt[c - a*c*x])/(a*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]))}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^(5/2)), x, 4, -(Sqrt[c - a*c*x]/(a*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - a*c*x])]/(Sqrt[2]*a*c^(5/2))}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^(7/2)), x, 5, 1/(2*a*c^3*Sqrt[c - a*c*x]*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*Sqrt[c - a*c*x])/(4*a*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (3*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - a*c*x])])/(4*Sqrt[2]*a*c^(7/2))}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^(9/2)), x, 6, 1/(4*a*c^3*(c - a*c*x)^(3/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + 5/(16*a*c^4*Sqrt[c - a*c*x]*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (15*Sqrt[c - a*c*x])/(32*a*c^5*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (15*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - a*c*x])])/(32*Sqrt[2]*a*c^(9/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n symbolic*)
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^(7/2), x, 3, -((2^(1 + n/2)*(c - a*c*x)^(9/2)*Hypergeometric2F1[(9 - n)/2, -(n/2), (11 - n)/2, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*(a*c*(9 - n))))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^(5/2), x, 3, -((2^(1 + n/2)*(c - a*c*x)^(7/2)*Hypergeometric2F1[(7 - n)/2, -(n/2), (9 - n)/2, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*(a*c*(7 - n))))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^(3/2), x, 3, -((2^(1 + n/2)*(c - a*c*x)^(5/2)*Hypergeometric2F1[(5 - n)/2, -(n/2), (7 - n)/2, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*(a*c*(5 - n))))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a*c*x], x, 3, -((2^(1 + n/2)*(c - a*c*x)^(3/2)*Hypergeometric2F1[(3 - n)/2, -(n/2), (5 - n)/2, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*(a*c*(3 - n))))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/Sqrt[c - a*c*x], x, 3, -((2^(1 + n/2)*Sqrt[c - a*c*x]*Hypergeometric2F1[(1 - n)/2, -(n/2), (3 - n)/2, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*(a*c*(1 - n))))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^(3/2), x, 3, (2^(1 + n/2)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 - n), -(n/2), (1 - n)/2, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*(a*c*(1 + n)*Sqrt[c - a*c*x]))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^(5/2), x, 3, (2^(1 + n/2)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 - n), -(n/2), (1/2)*(-1 - n), (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*(a*c*(3 + n)*(c - a*c*x)^(3/2)))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^(7/2), x, 3, (2^(1 + n/2)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-5 - n), -(n/2), (1/2)*(-3 - n), (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*(a*c*(5 + n)*(c - a*c*x)^(5/2)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^ArcTanh[a x] (c-c a x)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*x^4*(c - a*c*x), x, 5, -(c*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(16*a^4) - (c*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(24*a^2) + (c*x^5*Sqrt[1 - a^2*x^2])/6 + (c*ArcSin[a*x])/(16*a^5)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^3*(c - a*c*x), x, 4, -(c*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a^4) + (c*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(5*a^4)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^2*(c - a*c*x), x, 4, -(c*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a^2) + (c*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/4 + (c*ArcSin[a*x])/(8*a^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x*(c - a*c*x), x, 2, -(c*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a^2)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x), x, 3, (c*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/2 + (c*ArcSin[a*x])/(2*a)}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x))/x, x, 5, c*Sqrt[1 - a^2*x^2] - c*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x))/x^2, x, 3, -((c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/x) - a*c*ArcSin[a*x]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x))/x^3, x, 5, -(c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x^2) + (a^2*c*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/2}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x))/x^4, x, 2, -(c*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*x^3)}
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*x^3*(c - a*c*x)^2, x, 6, -((c^2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(16*a^3)) - (c^2*x^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(5*a^2) + (c^2*x^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(6*a) - (c^2*(16 - 15*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(120*a^4) - (c^2*ArcSin[a*x])/(16*a^4)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^2*(c - a*c*x)^2, x, 9, (c^2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a^2) + (c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a^3) - (c^2*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(4*a^2) - (c^2*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(5*a^3) + (c^2*ArcSin[a*x])/(8*a^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x*(c - a*c*x)^2, x, 4, -((c^2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a)) - (c^2*(4 - 3*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(12*a^2) - (c^2*ArcSin[a*x])/(8*a^2)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^2, x, 4, (c^2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/2 + (c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a) + (c^2*ArcSin[a*x])/(2*a)}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^2)/x, x, 7, (1/2)*c^2*(2 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2] - (1/2)*c^2*ArcSin[a*x] - c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^2)/x^2, x, 7, -((c^2*(1 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/x) - a*c^2*ArcSin[a*x] + a*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^2)/x^3, x, 7, -((c^2*(1 - 2*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x^2)) + a^2*c^2*ArcSin[a*x] + (1/2)*a^2*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^2)/x^4, x, 6, (a*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x^2) - (c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*x^3) - (1/2)*a^3*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^2)/x^5, x, 7, -((a^2*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*x^2)) - (c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(4*x^4) + (a*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*x^3) + (1/8)*a^4*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^2)/x^6, x, 8, (a^3*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*x^2) - (c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(5*x^5) + (a*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(4*x^4) - (2*a^2*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(15*x^3) - (1/8)*a^5*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^2)/x^7, x, 9, -((a^4*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(16*x^2)) - (c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(6*x^6) + (a*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(5*x^5) - (a^2*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(8*x^4) + (2*a^3*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(15*x^3) + (1/16)*a^6*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*x^3*(c - a*c*x)^3, x, 7, -((c^3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a^3)) - (11*c^3*x^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(35*a^2) + (c^3*x^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a) - (1/7)*c^3*x^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2) - (c^3*(88 - 105*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(420*a^4) - (c^3*ArcSin[a*x])/(8*a^4)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^2*(c - a*c*x)^3, x, 6, (3*c^3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(16*a^2) + (2*c^3*x^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(5*a) - (1/6)*c^3*x^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (c^3*(32 - 45*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(120*a^3) + (3*c^3*ArcSin[a*x])/(16*a^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x*(c - a*c*x)^3, x, 5, -((c^3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a)) - (1/5)*c^3*x^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2) - (c^3*(14 - 15*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(30*a^2) - (c^3*ArcSin[a*x])/(4*a^2)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^3, x, 5, (5/8)*c^3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (5*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(12*a) + (c^3*(1 - a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(4*a) + (5*c^3*ArcSin[a*x])/(8*a)}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^3)/x, x, 8, c^3*(1 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2] - (1/3)*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2) - c^3*ArcSin[a*x] - c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^3)/x^2, x, 8, (-(1/2))*a*c^3*(4 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2] - (c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/x - (1/2)*a*c^3*ArcSin[a*x] + 2*a*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^3)/x^3, x, 8, (a*c^3*(4 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x) - (c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(2*x^2) + 2*a^2*c^3*ArcSin[a*x] - (1/2)*a^2*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^3)/x^4, x, 8, (a*c^3*(1 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/x^2 - (c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*x^3) - a^3*c^3*ArcSin[a*x] - a^3*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^3)/x^5, x, 7, -((5*a^2*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*x^2)) - (c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(4*x^4) + (2*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*x^3) + (5/8)*a^4*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^3)/x^6, x, 8, (a^3*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*x^2) - (c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(5*x^5) + (a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(2*x^4) - (7*a^2*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(15*x^3) - (1/4)*a^5*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*x^3*(c - a*c*x)^4, x, 8, -((29*c^4*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(128*a^3)) - (19*c^4*x^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(35*a^2) + (29*c^4*x^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(48*a) - (3/7)*c^4*x^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (1/8)*a*c^4*x^5*(1 - a^2*x^2)^(3/2) - (c^4*(2432 - 3045*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(6720*a^4) - (29*c^4*ArcSin[a*x])/(128*a^4)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^2*(c - a*c*x)^4, x, 7, (5*c^4*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(16*a^2) + (5*c^4*x^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(7*a) - (1/2)*c^4*x^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (1/7)*a*c^4*x^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (5*c^4*(16 - 21*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(168*a^3) + (5*c^4*ArcSin[a*x])/(16*a^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x*(c - a*c*x)^4, x, 7, -((7*c^4*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(16*a)) - (7*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(24*a^2) - (7*c^4*(1 - a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(40*a^2) - (c^4*(1 - a*x)^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(10*a^2) - (c^4*(1 - a*x)^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(6*a^2) - (7*c^4*ArcSin[a*x])/(16*a^2)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^4, x, 6, (7/8)*c^4*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (7*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(12*a) + (7*c^4*(1 - a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(20*a) + (c^4*(1 - a*x)^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(5*a) + (7*c^4*ArcSin[a*x])/(8*a)}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^4)/x, x, 9, (1/8)*c^4*(8 - 13*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2] - c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (1/4)*a*c^4*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2) - (13/8)*c^4*ArcSin[a*x] - c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^4)/x^2, x, 9, (-(1/2))*a*c^4*(6 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (1/3)*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2) - (c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/x + (1/2)*a*c^4*ArcSin[a*x] + 3*a*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^4)/x^3, x, 9, (5/2)*a^2*c^4*(1 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2] - (c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(2*x^2) + (3*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/x + (5/2)*a^2*c^4*ArcSin[a*x] - (5/2)*a^2*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^4)/x^4, x, 9, -((a^2*c^4*(6 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x)) - (c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*x^3) + (3*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(2*x^2) - 3*a^3*c^4*ArcSin[a*x] - (1/2)*a^3*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^4)/x^5, x, 9, -((c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*x^4)) + (a*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/x^3 - (11*a^2*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*x^2) + a^4*c^4*ArcSin[a*x] + (13/8)*a^4*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]], -((a^2*c^4*(13 - 8*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*x^2)) - (c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(4*x^4) + (a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/x^3 + a^4*c^4*ArcSin[a*x] + (13/8)*a^4*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^4)/x^6, x, 8, (7*a^3*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*x^2) - (c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(5*x^5) + (3*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(4*x^4) - (17*a^2*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(15*x^3) - (7/8)*a^5*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*(c - a*c*x)^4)/x^7, x, 9, -((7*a^4*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(16*x^2)) - (c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(6*x^6) + (3*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(5*x^5) - (7*a^2*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(8*x^4) + (11*a^3*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(15*x^3) + (7/16)*a^6*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^4)/(c - a*c*x), x, 8, (1 + a*x)^2/(a^5*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (13*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^5*c) + (11*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a^4*c) + (2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^3*c) + (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a^2*c) - (27*ArcSin[a*x])/(8*a^5*c)}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^3)/(c - a*c*x), x, 7, (1 + a*x)^2/(a^4*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (11*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^4*c) + (x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^3*c) + (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^2*c) - (3*ArcSin[a*x])/(a^4*c)}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^2)/(c - a*c*x), x, 5, (1 + a*x)^2/(a^3*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + ((6 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^3*c) - (5*ArcSin[a*x])/(2*a^3*c)}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x)/(c - a*c*x), x, 4, (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*c) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(a^2*c*(1 - a*x)^2) - (2*ArcSin[a*x])/(a^2*c)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - a*c*x), x, 3, (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*c*(1 - a*x)) - ArcSin[a*x]/(a*c)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x*(c - a*c*x)), x, 7, (2*(1 + a*x))/(c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]/c}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^2*(c - a*c*x)), x, 7, (2*a*(1 + a*x))/(c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(c*x) - (2*a*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/c}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^3*(c - a*c*x)), x, 8, (2*a^2*(1 + a*x))/(c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*c*x^2) - (2*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c*x) - (5*a^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*c)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^4*(c - a*c*x)), x, 9, (2*a^3*(1 + a*x))/(c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*c*x^3) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c*x^2) - (8*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*c*x) - (3*a^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/c}
+
+
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^4)/(c - a*c*x)^2, x, 10, (1 + a*x)^3/(3*a^5*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (2*(1 + a*x)^3)/(a^5*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (5*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^5*c^2) - ((5 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*a^5*c^2) - ((5 + a*x)^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^5*c^2) + (17*ArcSin[a*x])/(2*a^5*c^2)}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^3)/(c - a*c*x)^2, x, 6, (1 + a*x)^3/(3*a^4*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (3*(1 + a*x)^2)/(a^4*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - ((12 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^4*c^2) + (11*ArcSin[a*x])/(2*a^4*c^2)}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^2)/(c - a*c*x)^2, x, 5, -((6*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^3*c^2*(1 - a*x))) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(3*a^3*c^2*(1 - a*x)^3) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(a^3*c^2*(1 - a*x)^2) + (3*ArcSin[a*x])/(a^3*c^2)}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x)/(c - a*c*x)^2, x, 4, (-2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*c^2*(1 - a*x)) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(3*a^2*c^2*(1 - a*x)^3) + ArcSin[a*x]/(a^2*c^2)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - a*c*x)^2, x, 2, (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(3*a*c^2*(1 - a*x)^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x*(c - a*c*x)^2), x, 8, (4*(1 + a*x))/(3*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (3 + 5*a*x)/(3*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]/c^2}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^2*(c - a*c*x)^2), x, 8, (4*a*(1 + a*x))/(3*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (a*(9 + 11*a*x))/(3*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(c^2*x) - (3*a*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/c^2}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^3*(c - a*c*x)^2), x, 9, (4*a^2*(1 + a*x))/(3*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (a^2*(15 + 17*a*x))/(3*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*c^2*x^2) - (3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*x) - (11*a^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*c^2)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^4*(c - a*c*x)^2), x, 10, (4*a^3*(1 + a*x))/(3*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (a^3*(21 + 23*a*x))/(3*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*c^2*x^3) - (3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c^2*x^2) - (17*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*c^2*x) - (17*a^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*c^2)}
+
+
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^4)/(c - a*c*x)^3, x, 7, (1 + a*x)^4/(5*a^5*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (19*(1 + a*x)^3)/(15*a^5*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (6*(1 + a*x)^2)/(a^5*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + ((20 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^5*c^3) - (19*ArcSin[a*x])/(2*a^5*c^3)}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^3)/(c - a*c*x)^3, x, 9, (8*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^4*c^3*(1 - a*x)) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(5*a^4*c^3*(1 - a*x)^4) - (14*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(15*a^4*c^3*(1 - a*x)^3) - (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(a^4*c^3*(1 - a*x)^2) - (4*ArcSin[a*x])/(a^4*c^3)}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^2)/(c - a*c*x)^3, x, 8, (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^3*c^3*(1 - a*x)) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(5*a^3*c^3*(1 - a*x)^4) - (3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(5*a^3*c^3*(1 - a*x)^3) - ArcSin[a*x]/(a^3*c^3)}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x)/(c - a*c*x)^3, x, 3, (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(5*a^2*c^3*(1 - a*x)^4) - (4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(15*a^2*c^3*(1 - a*x)^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - a*c*x)^3, x, 3, (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(5*a*c^3*(1 - a*x)^4) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(15*a*c^3*(1 - a*x)^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x*(c - a*c*x)^3), x, 9, (8*(1 + a*x))/(5*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (4*a*x)/(5*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (5 + 8*a*x)/(5*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]/c^3}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^2*(c - a*c*x)^3), x, 9, (8*a*(1 + a*x))/(5*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (4*a*(5 + 8*a*x))/(15*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (a*(60 + 79*a*x))/(15*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(c^3*x) - (4*a*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/c^3}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^3*(c - a*c*x)^3), x, 10, (8*a^2*(1 + a*x))/(5*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (4*a^2*(10 + 13*a*x))/(15*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (a^2*(135 + 164*a*x))/(15*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*c^3*x^2) - (4*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^3*x) - (19*a^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*c^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^4*(c - a*c*x)^3), x, 11, (8*a^3*(1 + a*x))/(5*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (4*a^3*(5 + 6*a*x))/(5*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (a^3*(80 + 93*a*x))/(5*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*c^3*x^3) - (2*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^3*x^2) - (29*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*c^3*x) - (18*a^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/c^3}
+
+
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^5)/(c - a*c*x)^4, x, 8, (1 + a*x)^5/(7*a^6*c^4*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) - (33*(1 + a*x)^4)/(35*a^6*c^4*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (317*(1 + a*x)^3)/(105*a^6*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (10*(1 + a*x)^2)/(a^6*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - ((30 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^6*c^4) + (29*ArcSin[a*x])/(2*a^6*c^4)}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^4)/(c - a*c*x)^4, x, 12, -((10*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^5*c^4*(1 - a*x))) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(7*a^5*c^4*(1 - a*x)^5) - (26*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(35*a^5*c^4*(1 - a*x)^4) + (184*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(105*a^5*c^4*(1 - a*x)^3) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(a^5*c^4*(1 - a*x)^2) + (5*ArcSin[a*x])/(a^5*c^4)}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^3)/(c - a*c*x)^4, x, 11, (-2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^4*c^4*(1 - a*x)) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(7*a^4*c^4*(1 - a*x)^5) - (19*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(35*a^4*c^4*(1 - a*x)^4) + (86*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(105*a^4*c^4*(1 - a*x)^3) + ArcSin[a*x]/(a^4*c^4)}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^2)/(c - a*c*x)^4, x, 5, (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(7*a^3*c^4*(1 - a*x)^5) - (12*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(35*a^3*c^4*(1 - a*x)^4) + (23*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(105*a^3*c^4*(1 - a*x)^3)}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x)/(c - a*c*x)^4, x, 4, (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(7*a^2*c^4*(1 - a*x)^5) - (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(7*a^2*c^4*(1 - a*x)^4) - (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(21*a^2*c^4*(1 - a*x)^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - a*c*x)^4, x, 4, (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(7*a*c^4*(1 - a*x)^5) + (2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(35*a*c^4*(1 - a*x)^4) + (2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(105*a*c^4*(1 - a*x)^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x*(c - a*c*x)^4), x, 10, (16*(1 + a*x))/(7*c^4*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) - (4*(7 - 3*a*x))/(35*c^4*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (35 + 83*a*x)/(105*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (105 + 166*a*x)/(105*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]/c^4}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^2*(c - a*c*x)^4), x, 10, (16*a*(1 + a*x))/(7*c^4*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (4*a*(7 + 17*a*x))/(35*c^4*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (a*(175 + 307*a*x))/(105*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (a*(525 + 719*a*x))/(105*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(c^4*x) - (5*a*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/c^4}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^3*(c - a*c*x)^4), x, 11, (16*a^2*(1 + a*x))/(7*c^4*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (4*a^2*(21 + 31*a*x))/(35*c^4*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (a^2*(455 + 671*a*x))/(105*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (a^2*(1470 + 1867*a*x))/(105*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*c^4*x^2) - (5*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^4*x) - (29*a^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*c^4)}
+
+
+{x*E^ArcTanh[x]*(1 + x), x, 6, (-Sqrt[1 - x])*Sqrt[1 + x] - (1/3)*Sqrt[1 - x]*(1 + x)^(3/2) - (1/3)*Sqrt[1 - x]*(1 + x)^(5/2) + ArcSin[x]}
+{E^ArcTanh[x]*(1 + x), x, 5, (-(3/2))*Sqrt[1 - x]*Sqrt[1 + x] - (1/2)*Sqrt[1 - x]*(1 + x)^(3/2) + (3*ArcSin[x])/2}
+
+
+{x*E^ArcTanh[x]*(1 + x)^2, x, 7, (-(15/8))*Sqrt[1 - x]*Sqrt[1 + x] - (5/8)*Sqrt[1 - x]*(1 + x)^(3/2) - (1/4)*Sqrt[1 - x]*(1 + x)^(5/2) - (1/4)*Sqrt[1 - x]*(1 + x)^(7/2) + (15*ArcSin[x])/8}
+{E^ArcTanh[x]*(1 + x)^2, x, 6, (-(5/2))*Sqrt[1 - x]*Sqrt[1 + x] - (5/6)*Sqrt[1 - x]*(1 + x)^(3/2) - (1/3)*Sqrt[1 - x]*(1 + x)^(5/2) + (5*ArcSin[x])/2}
+
+
+{x*E^ArcTanh[x]/(1 + x), x, 2, (-Sqrt[1 - x])*Sqrt[1 + x]}
+{E^ArcTanh[x]/(1 + x), x, 3, ArcSin[x]}
+
+
+{x*E^ArcTanh[x]/(1 + x)^2, x, 4, Sqrt[1 - x]/Sqrt[1 + x] + ArcSin[x]}
+{E^ArcTanh[x]/(1 + x)^2, x, 2, -(Sqrt[1 - x]/Sqrt[1 + x])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p/2>0*)
+
+
+{x*E^ArcTanh[x]*(1 + x)^(3/2), x, 3, -8*Sqrt[1 - x] + (16/3)*(1 - x)^(3/2) - 2*(1 - x)^(5/2) + (2/7)*(1 - x)^(7/2)}
+{E^ArcTanh[x]*(1 + x)^(3/2), x, 3, -8*Sqrt[1 - x] + (8/3)*(1 - x)^(3/2) - (2/5)*(1 - x)^(5/2)}
+
+{x*E^ArcTanh[x]*(1 - x)^(3/2), x, 5, (-(4/3))*(1 + x)^(3/2) + (6/5)*(1 + x)^(5/2) - (2/7)*(1 + x)^(7/2), (-(4/21))*(1 + x)^(3/2) + (2/35)*(1 + x)^(5/2) - (2/7)*Sqrt[1 - x]*(1 - x^2)^(3/2)}
+{E^ArcTanh[x]*(1 - x)^(3/2), x, 4, (4/3)*(1 + x)^(3/2) - (2/5)*(1 + x)^(5/2)}
+
+
+{x*E^ArcTanh[x]*(1 + x)^(1/2), x, 3, -4*Sqrt[1 - x] + 2*(1 - x)^(3/2) - (2/5)*(1 - x)^(5/2)}
+{E^ArcTanh[x]*(1 + x)^(1/2), x, 3, -4*Sqrt[1 - x] + (2/3)*(1 - x)^(3/2)}
+
+{x*E^ArcTanh[x]*(1 - x)^(1/2), x, 4, (-(2/3))*(1 + x)^(3/2) + (2/5)*(1 + x)^(5/2)}
+{E^ArcTanh[x]*(1 - x)^(1/2), x, 3, (2/3)*(1 + x)^(3/2)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p/2<0*)
+
+
+{x*E^ArcTanh[x]/(1 + x)^(1/2), x, 3, -2*Sqrt[1 - x] + (2/3)*(1 - x)^(3/2)}
+{E^ArcTanh[x]/(1 + x)^(1/2), x, 2, -2*Sqrt[1 - x]}
+
+{x*E^ArcTanh[x]/(1 - x)^(1/2), x, 5, -2*Sqrt[1 + x] - (2/3)*(1 + x)^(3/2) + 2*Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 + x]/Sqrt[2]]}
+{E^ArcTanh[x]/(1 - x)^(1/2), x, 5, -2*Sqrt[1 + x] + 2*Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 + x]/Sqrt[2]]}
+
+
+{x*E^ArcTanh[x]/(1 + x)^(3/2), x, 4, -2*Sqrt[1 - x] + Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[1 - x]/Sqrt[2]]}
+{E^ArcTanh[x]/(1 + x)^(3/2), x, 3, (-Sqrt[2])*ArcTanh[Sqrt[1 - x]/Sqrt[2]]}
+
+{x*E^ArcTanh[x]/(1 - x)^(3/2), x, 5, (5*Sqrt[1 + x])/2 + (1 + x)^(3/2)/(2*(1 - x)) - (5*ArcTanh[Sqrt[1 + x]/Sqrt[2]])/Sqrt[2]}
+{E^ArcTanh[x]/(1 - x)^(3/2), x, 5, Sqrt[1 + x]/(1 - x) - ArcTanh[Sqrt[1 + x]/Sqrt[2]]/Sqrt[2]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTanh[a x]) (c-c a x)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*x^m*Sqrt[c - a*c*x], x, 4, (2*c*x^m*(1 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[3/2, -m, 5/2, 1 + a*x])/(((-a)*x)^m*(3*a*Sqrt[c - a*c*x]))}
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*x^2*Sqrt[c - a*c*x], x, 4, -((8*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(105*a^3*(c - a*c*x)^(3/2))) + (2*c^2*x^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(7*a*(c - a*c*x)^(3/2)) + (8*c*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(35*a^3*Sqrt[c - a*c*x])}
+{E^ArcTanh[a*x]*x*Sqrt[c - a*c*x], x, 3, (2*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(15*a^2*(c - a*c*x)^(3/2)) - (2*c*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(5*a^2*Sqrt[c - a*c*x])}
+{E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - a*c*x], x, 2, (2*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a*(c - a*c*x)^(3/2))}
+{(E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - a*c*x])/x, x, 4, (2*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/Sqrt[c - a*c*x] - 2*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/Sqrt[c - a*c*x]]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - a*c*x])/x^2, x, 4, -((c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(x*Sqrt[c - a*c*x])) - a*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/Sqrt[c - a*c*x]]}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^3*Sqrt[c - a*c*x], x, 4, -((4*Sqrt[c - a*c*x])/a^4) + (14*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a^4*c) - (18*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a^4*c^2) + (10*(c - a*c*x)^(7/2))/(7*a^4*c^3) - (2*(c - a*c*x)^(9/2))/(9*a^4*c^4)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^2*Sqrt[c - a*c*x], x, 4, -((4*Sqrt[c - a*c*x])/a^3) + (10*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a^3*c) - (8*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a^3*c^2) + (2*(c - a*c*x)^(7/2))/(7*a^3*c^3)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x*Sqrt[c - a*c*x], x, 4, -((4*Sqrt[c - a*c*x])/a^2) + (2*(c - a*c*x)^(3/2))/(a^2*c) - (2*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a^2*c^2)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a*c*x], x, 4, -((4*Sqrt[c - a*c*x])/a) + (2*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a*c)}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x, x, 5, -2*Sqrt[c - a*c*x] - 2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]]}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x^2, x, 5, -(Sqrt[c - a*c*x]/x) - 3*a*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]]}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x^3, x, 6, -(Sqrt[c - a*c*x]/(2*x^2)) - (7*a*Sqrt[c - a*c*x])/(4*x) - (7/4)*a^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]]}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x^4, x, 7, -(Sqrt[c - a*c*x]/(3*x^3)) - (11*a*Sqrt[c - a*c*x])/(12*x^2) - (11*a^2*Sqrt[c - a*c*x])/(8*x) - (11/8)*a^3*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]]}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x^5, x, 8, -(Sqrt[c - a*c*x]/(4*x^4)) - (5*a*Sqrt[c - a*c*x])/(8*x^3) - (25*a^2*Sqrt[c - a*c*x])/(32*x^2) - (75*a^3*Sqrt[c - a*c*x])/(64*x) - (75/64)*a^4*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]]}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*x^3*Sqrt[c - a*c*x], x, 8, -((4*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2))/(a^4*c*(1 - a*x)^(3/2))) - (2*(1 + a*x)^(3/2)*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a^4*c*(1 - a*x)^(3/2)) - (2*(1 + a*x)^(5/2)*(c - a*c*x)^(3/2))/(5*a^4*c*(1 - a*x)^(3/2)) + (2*(1 + a*x)^(7/2)*(c - a*c*x)^(3/2))/(7*a^4*c*(1 - a*x)^(3/2)) - (2*(1 + a*x)^(9/2)*(c - a*c*x)^(3/2))/(9*a^4*c*(1 - a*x)^(3/2)) + (4*Sqrt[2]*(c - a*c*x)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + a*x]/Sqrt[2]])/(a^4*c*(1 - a*x)^(3/2))}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*x^2*Sqrt[c - a*c*x], x, 8, -((4*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2))/(a^3*c*(1 - a*x)^(3/2))) - (2*(1 + a*x)^(3/2)*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a^3*c*(1 - a*x)^(3/2)) - (2*(1 + a*x)^(7/2)*(c - a*c*x)^(3/2))/(7*a^3*c*(1 - a*x)^(3/2)) + (4*Sqrt[2]*(c - a*c*x)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + a*x]/Sqrt[2]])/(a^3*c*(1 - a*x)^(3/2))}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*x*Sqrt[c - a*c*x], x, 7, -((4*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2))/(a^2*c*(1 - a*x)^(3/2))) - (2*(1 + a*x)^(3/2)*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a^2*c*(1 - a*x)^(3/2)) - (2*(1 + a*x)^(5/2)*(c - a*c*x)^(3/2))/(5*a^2*c*(1 - a*x)^(3/2)) + (4*Sqrt[2]*(c - a*c*x)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + a*x]/Sqrt[2]])/(a^2*c*(1 - a*x)^(3/2))}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a*c*x], x, 5, -((4*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[c - a*c*x])) - (2*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a*(c - a*c*x)^(3/2)) + (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - a*c*x])])/a}
+{(E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x, x, 8, -((2*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2))/(c*(1 - a*x)^(3/2))) - (2*(c - a*c*x)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + a*x]])/(c*(1 - a*x)^(3/2)) + (4*Sqrt[2]*(c - a*c*x)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + a*x]/Sqrt[2]])/(c*(1 - a*x)^(3/2))}
+{(E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x^2, x, 8, -((Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2))/(c*x*(1 - a*x)^(3/2))) - (5*a*(c - a*c*x)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + a*x]])/(c*(1 - a*x)^(3/2)) + (4*Sqrt[2]*a*(c - a*c*x)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + a*x]/Sqrt[2]])/(c*(1 - a*x)^(3/2))}
+{(E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x^3, x, 9, -((Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2))/(2*c*x^2*(1 - a*x)^(3/2))) - (9*a*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2))/(4*c*x*(1 - a*x)^(3/2)) - (23*a^2*(c - a*c*x)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + a*x]])/(4*c*(1 - a*x)^(3/2)) + (4*Sqrt[2]*a^2*(c - a*c*x)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + a*x]/Sqrt[2]])/(c*(1 - a*x)^(3/2))}
+{(E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x^4, x, 10, -((Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*c*x^3*(1 - a*x)^(3/2))) - (13*a*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2))/(12*c*x^2*(1 - a*x)^(3/2)) - (19*a^2*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2))/(8*c*x*(1 - a*x)^(3/2)) - (45*a^3*(c - a*c*x)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + a*x]])/(8*c*(1 - a*x)^(3/2)) + (4*Sqrt[2]*a^3*(c - a*c*x)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + a*x]/Sqrt[2]])/(c*(1 - a*x)^(3/2))}
+{(E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x^5, x, 11, -((Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2))/(4*c*x^4*(1 - a*x)^(3/2))) - (17*a*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2))/(24*c*x^3*(1 - a*x)^(3/2)) - (107*a^2*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2))/(96*c*x^2*(1 - a*x)^(3/2)) - (149*a^3*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2))/(64*c*x*(1 - a*x)^(3/2)) - (363*a^4*(c - a*c*x)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + a*x]])/(64*c*(1 - a*x)^(3/2)) + (4*Sqrt[2]*a^4*(c - a*c*x)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + a*x]/Sqrt[2]])/(c*(1 - a*x)^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(x^m*Sqrt[c - a*c*x])/E^ArcTanh[a*x], x, 5, -((2*c*x^(1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/((3 + 2*m)*Sqrt[c - a*c*x])) + (2*(5 + 4*m)*x^m*(1 + a*x)*Sqrt[c - a*c*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 3/2, 1 + a*x])/(((-a)*x)^m*(a*(3 + 2*m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]))}
+
+
+{x^2*Sqrt[c - a*c*x]/E^ArcTanh[a*x], x, 5, (104*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(105*a^3*Sqrt[c - a*c*x]) + (26*c*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(35*a*Sqrt[c - a*c*x]) - (2*c*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(7*Sqrt[c - a*c*x]) + (104*Sqrt[c - a*c*x]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(105*a^3)}
+{x^1*Sqrt[c - a*c*x]/E^ArcTanh[a*x], x, 4, -((8*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a^2*Sqrt[c - a*c*x])) - (2*Sqrt[c - a*c*x]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a^2) - (2*(c - a*c*x)^(3/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a^2*c)}
+{x^0*Sqrt[c - a*c*x]/E^ArcTanh[a*x], x, 3, (8*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*Sqrt[c - a*c*x]) + (2*Sqrt[c - a*c*x]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a)}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^ArcTanh[a*x]*x^1), x, 4, -((2*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/Sqrt[c - a*c*x]) - 2*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/Sqrt[c - a*c*x]]}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^ArcTanh[a*x]*x^2), x, 4, -((c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(x*Sqrt[c - a*c*x])) + 3*a*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/Sqrt[c - a*c*x]]}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^ArcTanh[a*x]*x^3), x, 5, -((c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x^2*Sqrt[c - a*c*x])) + (7*a*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*x*Sqrt[c - a*c*x]) - (7/4)*a^2*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/Sqrt[c - a*c*x]]}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^ArcTanh[a*x]*x^4), x, 6, -((c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*x^3*Sqrt[c - a*c*x])) + (11*a*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(12*x^2*Sqrt[c - a*c*x]) - (11*a^2*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*x*Sqrt[c - a*c*x]) + (11/8)*a^3*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/Sqrt[c - a*c*x]]}
+
+
+{(x^3*Sqrt[c - a*c*x])/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 8, -((4*Sqrt[c - a*c*x])/a^4) - (2*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a^4*c) - (2*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a^4*c^2) + (2*(c - a*c*x)^(7/2))/(7*a^4*c^3) - (2*(c - a*c*x)^(9/2))/(9*a^4*c^4) + (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a^4}
+{(x^2*Sqrt[c - a*c*x])/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 8, (4*Sqrt[c - a*c*x])/a^3 + (2*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a^3*c) + (2*(c - a*c*x)^(7/2))/(7*a^3*c^3) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a^3}
+{(x*Sqrt[c - a*c*x])/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 7, -((4*Sqrt[c - a*c*x])/a^2) - (2*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a^2*c) - (2*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a^2*c^2) + (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a^2}
+{Sqrt[c - a*c*x]/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 6, (4*Sqrt[c - a*c*x])/a + (2*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a*c) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(2*ArcTanh[a*x])*x), x, 8, -2*Sqrt[c - a*c*x] - 2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]] + 4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^2), x, 8, -(Sqrt[c - a*c*x]/x) + 5*a*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]] - 4*Sqrt[2]*a*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^3), x, 9, -(Sqrt[c - a*c*x]/(2*x^2)) + (9*a*Sqrt[c - a*c*x])/(4*x) - (23/4)*a^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]] + 4*Sqrt[2]*a^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^4), x, 10, -(Sqrt[c - a*c*x]/(3*x^3)) + (13*a*Sqrt[c - a*c*x])/(12*x^2) - (19*a^2*Sqrt[c - a*c*x])/(8*x) + (45/8)*a^3*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]] - 4*Sqrt[2]*a^3*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^5), x, 11, -(Sqrt[c - a*c*x]/(4*x^4)) + (17*a*Sqrt[c - a*c*x])/(24*x^3) - (107*a^2*Sqrt[c - a*c*x])/(96*x^2) + (149*a^3*Sqrt[c - a*c*x])/(64*x) - (363/64)*a^4*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]] + 4*Sqrt[2]*a^4*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+
+
+{(x^3*Sqrt[c - a*c*x])/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 4, (8*c^2*(1 - a*x)^(3/2))/(a^4*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2)) + (32*c^2*(1 - a*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a*x])/(a^4*(c - a*c*x)^(3/2)) - (50*c^2*(1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2))/(3*a^4*(c - a*c*x)^(3/2)) + (38*c^2*(1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(5/2))/(5*a^4*(c - a*c*x)^(3/2)) - (2*c^2*(1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(7/2))/(a^4*(c - a*c*x)^(3/2)) + (2*c^2*(1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(9/2))/(9*a^4*(c - a*c*x)^(3/2))}
+{(x^2*Sqrt[c - a*c*x])/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 4, -((8*c^2*(1 - a*x)^(3/2))/(a^3*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2))) - (24*c^2*(1 - a*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a*x])/(a^3*(c - a*c*x)^(3/2)) + (26*c^2*(1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2))/(3*a^3*(c - a*c*x)^(3/2)) - (12*c^2*(1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(5/2))/(5*a^3*(c - a*c*x)^(3/2)) + (2*c^2*(1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(7/2))/(7*a^3*(c - a*c*x)^(3/2))}
+{(x*Sqrt[c - a*c*x])/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 4, (8*c^2*(1 - a*x)^(3/2))/(a^2*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2)) + (16*c^2*(1 - a*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a*x])/(a^2*(c - a*c*x)^(3/2)) - (10*c^2*(1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2))/(3*a^2*(c - a*c*x)^(3/2)) + (2*c^2*(1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(5/2))/(5*a^2*(c - a*c*x)^(3/2))}
+{Sqrt[c - a*c*x]/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 4, -((64*Sqrt[c - a*c*x])/(3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (16*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (2*(c - a*c*x)^(5/2))/(3*a*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(3*ArcTanh[a*x])*x), x, 6, (8*c^2*(1 - a*x)^(3/2))/(Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2)) + (2*c^2*(1 - a*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a*x])/(c - a*c*x)^(3/2) - (2*c^2*(1 - a*x)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + a*x]])/(c - a*c*x)^(3/2)}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(3*ArcTanh[a*x])*x^2), x, 6, -((9*a*c^2*(1 - a*x)^(3/2))/(Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2))) - (c^2*(1 - a*x)^(3/2))/(x*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2)) + (7*a*c^2*(1 - a*x)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + a*x]])/(c - a*c*x)^(3/2)}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(3*ArcTanh[a*x])*x^3), x, 7, (47*a^2*c^2*(1 - a*x)^(3/2))/(4*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2)) - (c^2*(1 - a*x)^(3/2))/(2*x^2*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2)) + (13*a*c^2*(1 - a*x)^(3/2))/(4*x*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2)) - (47*a^2*c^2*(1 - a*x)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + a*x]])/(4*(c - a*c*x)^(3/2))}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(3*ArcTanh[a*x])*x^4), x, 8, -((119*a^3*c^2*(1 - a*x)^(3/2))/(8*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2))) - (c^2*(1 - a*x)^(3/2))/(3*x^3*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2)) + (19*a*c^2*(1 - a*x)^(3/2))/(12*x^2*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2)) - (119*a^2*c^2*(1 - a*x)^(3/2))/(24*x*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2)) + (119*a^3*c^2*(1 - a*x)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + a*x]])/(8*(c - a*c*x)^(3/2))}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(3*ArcTanh[a*x])*x^5), x, 9, (1115*a^4*c^2*(1 - a*x)^(3/2))/(64*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2)) - (c^2*(1 - a*x)^(3/2))/(4*x^4*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2)) + (25*a*c^2*(1 - a*x)^(3/2))/(24*x^3*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2)) - (223*a^2*c^2*(1 - a*x)^(3/2))/(96*x^2*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2)) + (1115*a^3*c^2*(1 - a*x)^(3/2))/(192*x*Sqrt[1 + a*x]*(c - a*c*x)^(3/2)) - (1115*a^4*c^2*(1 - a*x)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + a*x]])/(64*(c - a*c*x)^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcTanh[a x]) (c-c a x)^p with n symbolic*)
+
+
+{(c - a*c*x)^p/E^(2*p*ArcTanh[a*x]), x, 3, -(((1 - a*x)^p*(c - a*c*x)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[p, 1 + 2*p, 2*(1 + p), (1/2)*(1 - a*x)])/(2^p*(a*c*(1 + 2*p))))}
+{E^(2*p*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^p, x, 3, ((1 + a*x)^(1 + p)*(c - a*c*x)^p)/(a*(1 + p)*(1 - a*x)^p)}
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^p, x, 3, -((2^(1 + n/2)*(c - a*c*x)^(1 + p)*Hypergeometric2F1[-(n/2), 1 - n/2 + p, 2 - n/2 + p, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*(a*c*(2 - n + 2*p))))}
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^3, x, 2, -((2^(1 + n/2)*c^3*(1 - a*x)^(4 - n/2)*Hypergeometric2F1[4 - n/2, -(n/2), 5 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*(8 - n)))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^2, x, 2, -((2^(1 + n/2)*c^2*(1 - a*x)^(3 - n/2)*Hypergeometric2F1[3 - n/2, -(n/2), 4 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*(6 - n)))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - a*c*x)^1, x, 2, -((2^(1 + n/2)*c*(1 - a*x)^(2 - n/2)*Hypergeometric2F1[2 - n/2, -(n/2), 3 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*(4 - n)))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^1, x, 2, (2^(1 + n/2)*Hypergeometric2F1[-(n/2), -(n/2), 1 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*(a*c*n))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^2, x, 2, ((1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(a*c^2*(2 + n))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^3, x, 3, If[$VersionNumber>=8, ((1 - a*x)^(-2 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(a*c^3*(4 + n)) + ((1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(a*c^3*(8 + 6*n + n^2)), ((1 - a*x)^((1/2)*(-2 - n))*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(a*c^3*(8 + 6*n + n^2)) + ((1 - a*x)^(-2 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(a*c^3*(4 + n))]}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a*c*x)^4, x, 4, If[$VersionNumber>=8, ((1 - a*x)^(-3 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(a*c^4*(6 + n)) + (2*(1 - a*x)^(-2 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(a*c^4*(4 + n)*(6 + n)) + (2*(1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(a*c^4*(6 + n)*(8 + 6*n + n^2)), (2*(1 - a*x)^((1/2)*(-4 - n))*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(a*c^4*(24 + 10*n + n^2)) + (2*(1 - a*x)^((1/2)*(-2 - n))*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(a*c^4*(48 + 44*n + 12*n^2 + n^3)) + ((1 - a*x)^(-3 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(a*c^4*(6 + n))]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u E^(n ArcTanh[a x]) (c-c/(a x))^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcTanh[a x]) (c-c/(a x))^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a*x))^p, x, 3, ((c - c/(a*x))^p*x*AppellF1[1 - p, 1/2 - p, -1/2, 2 - p, a*x, -(a*x)])/((1 - p)*(1 - a*x)^p)}
+
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a*x))^4, x, 10, -((c^4*(6 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^2*x)) - (c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a^4*x^3) + (3*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(2*a^3*x^2) - (3*c^4*ArcSin[a*x])/a - (c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*a)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a*x))^3, x, 9, -((c^3*(4 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^2*x)) + (c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(2*a^3*x^2) - (2*c^3*ArcSin[a*x])/a + (c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*a)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a*x))^2, x, 8, -((c^2*(1 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*x)) - (c^2*ArcSin[a*x])/a + (c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/a}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a*x)), x, 6, -((c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a) + (c*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/a}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - c/(a*x)), x, 5, -((2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*c)) - (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(a*c*(1 - a*x)^2) + (2*ArcSin[a*x])/(a*c)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - c/(a*x))^2, x, 6, -((6*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*c^2*(1 - a*x))) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(3*a*c^2*(1 - a*x)^3) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(a*c^2*(1 - a*x)^2) + (3*ArcSin[a*x])/(a*c^2)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - c/(a*x))^3, x, 10, -((8*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*c^3*(1 - a*x))) - (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(5*a*c^3*(1 - a*x)^4) + (14*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(15*a*c^3*(1 - a*x)^3) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(a*c^3*(1 - a*x)^2) + (4*ArcSin[a*x])/(a*c^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - c/(a*x))^4, x, 13, -((10*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*c^4*(1 - a*x))) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(7*a*c^4*(1 - a*x)^5) - (26*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(35*a*c^4*(1 - a*x)^4) + (184*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(105*a*c^4*(1 - a*x)^3) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(a*c^4*(1 - a*x)^2) + (5*ArcSin[a*x])/(a*c^4)}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^p, x, 6, (-(c - c/(a*x))^p)*x - ((2 - p)*(c - c/(a*x))^p*Hypergeometric2F1[1, p, 1 + p, 1 - 1/(a*x)])/(a*p)}
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^5, x, 4, c^5/(4*a^5*x^4) - c^5/(a^4*x^3) + c^5/(a^3*x^2) + (2*c^5)/(a^2*x) - c^5*x + (3*c^5*Log[x])/a}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^4, x, 4, -c^4/(3*a^4*x^3) + c^4/(a^3*x^2) - c^4*x + (2*c^4*Log[x])/a}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^3, x, 4, c^3/(2*a^3*x^2) - c^3/(a^2*x) - c^3*x + (c^3*Log[x])/a}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^2, x, 5, -(c^2/(a^2*x)) - c^2*x}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x)), x, 4, -(c*x) - (c*Log[x])/a}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x)), x, 4, -(x/c) - 2/(a*c*(1 - a*x)) - (3*Log[1 - a*x])/(a*c)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x))^2, x, 4, -(x/c^2) + 1/(a*c^2*(1 - a*x)^2) - 5/(a*c^2*(1 - a*x)) - (4*Log[1 - a*x])/(a*c^2)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x))^3, x, 4, -(x/c^3) - 2/(3*a*c^3*(1 - a*x)^3) + 7/(2*a*c^3*(1 - a*x)^2) - 9/(a*c^3*(1 - a*x)) - (5*Log[1 - a*x])/(a*c^3)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x))^4, x, 4, -(x/c^4) + 1/(2*a*c^4*(1 - a*x)^4) - 3/(a*c^4*(1 - a*x)^3) + 8/(a*c^4*(1 - a*x)^2) - 14/(a*c^4*(1 - a*x)) - (6*Log[1 - a*x])/(a*c^4)}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^4, x, 9, (c^4*(2 + 3*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^2*x) - (c^4*(2 - 3*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(6*a^4*x^3) + (c^4*ArcSin[a*x])/a - (3*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*a)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^3, x, 7, (3*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a) + (c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(2*a^3*x^2) - (3*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*a)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^2, x, 9, -((c^2*(1 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*x)) - (c^2*ArcSin[a*x])/a - (c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/a}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x)), x, 9, (c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a - (2*c*ArcSin[a*x])/a + (c*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/a}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x)), x, 6, (4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*c) + (8*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a*c*(1 - a*x)^2) - (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(3*a*c*(1 - a*x)^4) - (4*ArcSin[a*x])/(a*c)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x))^2, x, 9, (1 + a*x)^5/(5*a*c^2*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (2*(1 + a*x)^4)/(3*a*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (10*(1 + a*x)^2)/(3*a*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (5*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*c^2) - (5*ArcSin[a*x])/(a*c^2)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x))^3, x, 9, -((1 + a*x)^6/(7*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(7/2))) + (4*(1 + a*x)^5)/(7*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (1 + a*x)^4/(a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (4*(1 + a*x)^2)/(a*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (6*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*c^3) - (6*ArcSin[a*x])/(a*c^3)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x))^4, x, 10, (1 + a*x)^7/(9*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) - (34*(1 + a*x)^6)/(63*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (344*(1 + a*x)^5)/(315*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (4*(1 + a*x)^4)/(3*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (14*(1 + a*x)^2)/(3*a*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (7*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*c^4) - (7*ArcSin[a*x])/(a*c^4)}
+
+
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^p, x, 7, -((c*(5 - p)*(c - c/(a*x))^(-1 + p))/(a*(1 - p))) + c*(c - c/(a*x))^(-1 + p)*x + ((4 - p)*(c - c/(a*x))^p*Hypergeometric2F1[1, p, 1 + p, 1 - 1/(a*x)])/(a*p)}
+
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^5, x, 4, c^5/(4*a^5*x^4) - c^5/(3*a^4*x^3) - c^5/(a^3*x^2) + (2*c^5)/(a^2*x) + c^5*x - (c^5*Log[x])/a}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^4, x, 5, -c^4/(3*a^4*x^3) + (2*c^4)/(a^2*x) + c^4*x}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^3, x, 4, c^3/(2*a^3*x^2) + c^3/(a^2*x) + c^3*x + (c^3*Log[x])/a}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^2, x, 4, -(c^2/(a^2*x)) + c^2*x + (2*c^2*Log[x])/a}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x)), x, 4, c*x - (c*Log[x])/a + (4*c*Log[1 - a*x])/a}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x)), x, 4, x/c - 2/(a*c*(1 - a*x)^2) + 8/(a*c*(1 - a*x)) + (5*Log[1 - a*x])/(a*c)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x))^2, x, 4, x/c^2 + 4/(3*a*c^2*(1 - a*x)^3) - 6/(a*c^2*(1 - a*x)^2) + 13/(a*c^2*(1 - a*x)) + (6*Log[1 - a*x])/(a*c^2)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x))^3, x, 4, x/c^3 - 1/(a*c^3*(1 - a*x)^4) + 16/(3*a*c^3*(1 - a*x)^3) - 25/(2*a*c^3*(1 - a*x)^2) + 19/(a*c^3*(1 - a*x)) + (7*Log[1 - a*x])/(a*c^3)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x))^4, x, 4, x/c^4 + 4/(5*a*c^4*(1 - a*x)^5) - 5/(a*c^4*(1 - a*x)^4) + 41/(3*a*c^4*(1 - a*x)^3) - 22/(a*c^4*(1 - a*x)^2) + 26/(a*c^4*(1 - a*x)) + (8*Log[1 - a*x])/(a*c^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c - c/(a*x))^p/E^ArcTanh[a*x], x, 3, ((c - c/(a*x))^p*x*AppellF1[1 - p, -1/2 - p, 1/2, 2 - p, a*x, -(a*x)])/((1 - p)*(1 - a*x)^p)}
+
+{(c - c/(a*x))^4/E^ArcTanh[a*x], x, 11, (c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a - (c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^4*x^3) + (5*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^3*x^2) - (32*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^2*x) + (5*c^4*ArcSin[a*x])/a + (25*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*a)}
+{(c - c/(a*x))^3/E^ArcTanh[a*x], x, 10, (c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a + (c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^3*x^2) - (4*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*x) + (4*c^3*ArcSin[a*x])/a + (13*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*a)}
+{(c - c/(a*x))^2/E^ArcTanh[a*x], x, 9, (c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a - (c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*x) + (3*c^2*ArcSin[a*x])/a + (3*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/a}
+{(c - c/(a*x))/E^ArcTanh[a*x], x, 8, (c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a + (2*c*ArcSin[a*x])/a + (c*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/a}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a*x))), x, 3, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*c)}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a*x))^2), x, 6, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*c^2) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*c^2*(1 - a*x)) - ArcSin[a*x]/(a*c^2)}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a*x))^3), x, 7, -((1 + a*x)^2/(3*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))) + (8*(1 + a*x))/(3*a*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*c^3) - (2*ArcSin[a*x])/(a*c^3)}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a*x))^4), x, 8, (1 + a*x)^3/(5*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (6*(1 + a*x)^2)/(5*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (24*(1 + a*x))/(5*a*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*c^4) - (3*ArcSin[a*x])/(a*c^4)}
+
+
+{(c - c/(a*x))^p/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 8, -(((c - c/(a*x))^(2 + p)*x)/c^2) - ((c - c/(a*x))^(2 + p)*Hypergeometric2F1[1, 2 + p, 3 + p, (a - 1/x)/(2*a)])/(2*a*c^2*(2 + p)) + ((c - c/(a*x))^(2 + p)*Hypergeometric2F1[1, 2 + p, 3 + p, 1 - 1/(a*x)])/(a*c^2)}
+
+{(c - c/(a*x))^4/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 4, -c^4/(3*a^4*x^3) + (3*c^4)/(a^3*x^2) - (16*c^4)/(a^2*x) - c^4*x - (26*c^4*Log[x])/a + (32*c^4*Log[1 + a*x])/a}
+{(c - c/(a*x))^3/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 4, c^3/(2*a^3*x^2) - (5*c^3)/(a^2*x) - c^3*x - (11*c^3*Log[x])/a + (16*c^3*Log[1 + a*x])/a}
+{(c - c/(a*x))^2/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 4, -(c^2/(a^2*x)) - c^2*x - (4*c^2*Log[x])/a + (8*c^2*Log[1 + a*x])/a}
+{(c - c/(a*x))/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 4, -(c*x) - (c*Log[x])/a + (4*c*Log[1 + a*x])/a}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))), x, 4, -(x/c) + Log[1 + a*x]/(a*c)}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^2), x, 5, -(x/c^2) + ArcTanh[a*x]/(a*c^2)}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^3), x, 4, -(x/c^3) - 1/(2*a*c^3*(1 - a*x)) - (5*Log[1 - a*x])/(4*a*c^3) + Log[1 + a*x]/(4*a*c^3)}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^4), x, 4, -(x/c^4) + 1/(4*a*c^4*(1 - a*x)^2) - 7/(4*a*c^4*(1 - a*x)) - (17*Log[1 - a*x])/(8*a*c^4) + Log[1 + a*x]/(8*a*c^4)}
+
+
+{(c - c/(a*x))^3/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 11, -((32*c^3*(1 - a*x))/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a + (c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^3*x^2) - (6*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*x) - (6*c^3*ArcSin[a*x])/a + (33*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*a)}
+{(c - c/(a*x))^2/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 10, -((16*c^2*(1 - a*x))/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a - (c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*x) - (5*c^2*ArcSin[a*x])/a + (5*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/a}
+{(c - c/(a*x))/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 9, -((8*c*(1 - a*x))/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a - (4*c*ArcSin[a*x])/a + (c*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/a}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))), x, 5, -((1 - a*x)^2/(a*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*c) - (2*ArcSin[a*x])/(a*c)}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^2), x, 6, -((1 - a*x)/(a*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*c^2) - ArcSin[a*x]/(a*c^2)}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^3), x, 5, -(1/(a*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*c^3)}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^4), x, 7, (a^2*x^3*(1 + a*x))/(3*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (x*(3 + 4*a*x))/(3*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (8*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*c^4) + ArcSin[a*x]/(a*c^4)}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^5), x, 8, -((1 + a*x)^2/(5*a*c^5*(1 - a^2*x^2)^(5/2))) + (22*(1 + a*x))/(15*a*c^5*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (2*(30 + 23*a*x))/(15*a*c^5*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*c^5) + (2*ArcSin[a*x])/(a*c^5)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcTanh[a x]) (c-c/(a x))^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a*x))^(9/2), x, 8, -((a^3*(c - c/(a*x))^(9/2)*x^4*(54 - 227*a*x)*Sqrt[1 + a*x])/(105*(1 - a*x)^(9/2))) - (10*a^2*(c - c/(a*x))^(9/2)*x^3*Sqrt[1 + a*x])/(21*(1 - a*x)^(5/2)) + (2*a*(c - c/(a*x))^(9/2)*x^2*Sqrt[1 + a*x])/(5*(1 - a*x)^(3/2)) - (2*(c - c/(a*x))^(9/2)*x*Sqrt[1 + a*x])/(7*Sqrt[1 - a*x]) - (7*a^(7/2)*(c - c/(a*x))^(9/2)*x^(9/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(1 - a*x)^(9/2)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a*x))^(7/2), x, 7, (2*a*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^2*Sqrt[1 + a*x])/(3*(1 - a*x)^(3/2)) - (2*(c - c/(a*x))^(7/2)*x*Sqrt[1 + a*x])/(5*Sqrt[1 - a*x]) - (a^2*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^3*Sqrt[1 + a*x]*(18 + 31*a*x))/(15*(1 - a*x)^(7/2)) + (5*a^(5/2)*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^(7/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(1 - a*x)^(7/2)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a*x))^(5/2), x, 7, -((3*a^2*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^3*Sqrt[1 + a*x])/(1 - a*x)^(5/2)) - (2*(c - c/(a*x))^(5/2)*x*(1 + a*x)^(3/2))/(3*(1 - a*x)^(5/2)) + (4*a*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^2*(1 + a*x)^(3/2))/(1 - a*x)^(5/2) - (3*a^(3/2)*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^(5/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(1 - a*x)^(5/2)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a*x))^(3/2), x, 7, (a*(c - c/(a*x))^(3/2)*x^2*Sqrt[1 + a*x])/(1 - a*x)^(3/2) - (2*(c - c/(a*x))^(3/2)*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(1 - a*x)^3 + (Sqrt[a]*(c - c/(a*x))^(3/2)*x^(3/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(1 - a*x)^(3/2)}
+{E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)], x, 6, -((c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[c - c/(a*x)])) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 - a*x]), (Sqrt[c - c/(a*x)]*x*Sqrt[1 + a*x])/Sqrt[1 - a*x] + (Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 - a*x])}
+{E^ArcTanh[a*x]/Sqrt[c - c/(a*x)], x, 8, -((Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a*Sqrt[c - c/(a*x)])) - (3*Sqrt[1 - a*x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(a^(3/2)*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]) + (2*Sqrt[2]*Sqrt[1 - a*x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/(a^(3/2)*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x])}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - c/(a*x))^(3/2), x, 9, (Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a*(c - c/(a*x))^(3/2)) + (2*(1 - a*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a*x])/(a^2*(c - c/(a*x))^(3/2)*x) + (5*(1 - a*x)^(3/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(a^(5/2)*(c - c/(a*x))^(3/2)*x^(3/2)) - (7*(1 - a*x)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[2]*a^(5/2)*(c - c/(a*x))^(3/2)*x^(3/2))}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - c/(a*x))^(5/2), x, 10, (Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(2*a*(c - c/(a*x))^(5/2)) - (11*(1 - a*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a*x])/(8*a^2*(c - c/(a*x))^(5/2)*x) - (23*(1 - a*x)^(5/2)*Sqrt[1 + a*x])/(8*a^3*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^2) - (7*(1 - a*x)^(5/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(a^(7/2)*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^(5/2)) + (79*(1 - a*x)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/(8*Sqrt[2]*a^(7/2)*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^(5/2))}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^(9/2), x, 11, -((5*c^4*Sqrt[c - c/(a*x)])/a) - (5*c^3*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*a) - (c^2*(c - c/(a*x))^(5/2))/a - (5*c*(c - c/(a*x))^(7/2))/(7*a) - (c - c/(a*x))^(9/2)*x + (5*c^(9/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^(7/2), x, 10, -((3*c^3*Sqrt[c - c/(a*x)])/a) - (c^2*(c - c/(a*x))^(3/2))/a - (3*c*(c - c/(a*x))^(5/2))/(5*a) - (c - c/(a*x))^(7/2)*x + (3*c^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^(5/2), x, 9, -((c^2*Sqrt[c - c/(a*x)])/a) - (c*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*a) - (c - c/(a*x))^(5/2)*x + (c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^(3/2), x, 8, (c*Sqrt[c - c/(a*x)])/a - (c - c/(a*x))^(3/2)*x - (c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)], x, 7, (-Sqrt[c - c/(a*x)])*x - (3*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/Sqrt[c - c/(a*x)], x, 8, 5/(a*Sqrt[c - c/(a*x)]) - x/Sqrt[c - c/(a*x)] - (5*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(a*Sqrt[c])}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x))^(3/2), x, 9, 7/(3*a*(c - c/(a*x))^(3/2)) + 7/(a*c*Sqrt[c - c/(a*x)]) - x/(c - c/(a*x))^(3/2) - (7*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(a*c^(3/2))}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x))^(5/2), x, 10, 9/(5*a*(c - c/(a*x))^(5/2)) + 3/(a*c*(c - c/(a*x))^(3/2)) + 9/(a*c^2*Sqrt[c - c/(a*x)]) - x/(c - c/(a*x))^(5/2) - (9*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(a*c^(5/2))}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x))^(7/2), x, 11, 11/(7*a*(c - c/(a*x))^(7/2)) + 11/(5*a*c*(c - c/(a*x))^(5/2)) + 11/(3*a*c^2*(c - c/(a*x))^(3/2)) + 11/(a*c^3*Sqrt[c - c/(a*x)]) - x/(c - c/(a*x))^(7/2) - (11*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(a*c^(7/2))}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^(9/2), x, 8, -((3*a^3*(c - c/(a*x))^(9/2)*x^4*Sqrt[1 + a*x])/(1 - a*x)^(9/2)) + (3*a^2*(c - c/(a*x))^(9/2)*x^3*(6 - 17*a*x)*(1 + a*x)^(3/2))/(35*(1 - a*x)^(9/2)) + (6*a*(c - c/(a*x))^(9/2)*x^2*(1 + a*x)^(3/2))/(35*(1 - a*x)^(5/2)) - (2*(c - c/(a*x))^(9/2)*x*(1 + a*x)^(3/2))/(7*(1 - a*x)^(3/2)) + (3*a^(7/2)*(c - c/(a*x))^(9/2)*x^(9/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(1 - a*x)^(9/2)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^(7/2), x, 8, -((a^3*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^4*Sqrt[1 + a*x])/(1 - a*x)^(7/2)) + (2*a^2*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^3*(1 + a*x)^(3/2))/(3*(1 - a*x)^(7/2)) - (2*(c - c/(a*x))^(7/2)*x*(1 + a*x)^(5/2))/(5*(1 - a*x)^(7/2)) + (4*a*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^2*(1 + a*x)^(5/2))/(3*(1 - a*x)^(7/2)) - (a^(5/2)*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^(7/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(1 - a*x)^(7/2)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^(5/2), x, 8, -((a^2*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^3*Sqrt[1 + a*x])/(1 - a*x)^(5/2)) + (2*a*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^2*(1 + a*x)^(3/2))/(3*(1 - a*x)^(5/2)) - (2*(c - c/(a*x))^(5/2)*x*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(3*(1 - a*x)^5) - (a^(3/2)*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^(5/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(1 - a*x)^(5/2)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^(3/2), x, 7, (3*a*(c - c/(a*x))^(3/2)*x^2*Sqrt[1 + a*x])/(1 - a*x)^(3/2) - (2*(c - c/(a*x))^(3/2)*x*(1 + a*x)^(3/2))/(1 - a*x)^(3/2) + (3*Sqrt[a]*(c - c/(a*x))^(3/2)*x^(3/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(1 - a*x)^(3/2)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)], x, 8, -((Sqrt[c - c/(a*x)]*x*Sqrt[1 + a*x])/Sqrt[1 - a*x]) - (5*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 - a*x]) + (4*Sqrt[2]*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 - a*x])}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/Sqrt[c - c/(a*x)], x, 9, (2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a*Sqrt[c - c/(a*x)]) + (1 + a*x)^(3/2)/(a*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 - a*x]) + (7*Sqrt[1 - a*x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(a^(3/2)*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]) - (5*Sqrt[2]*Sqrt[1 - a*x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/(a^(3/2)*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x])}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x))^(3/2), x, 10, -((21*(1 - a*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a*x])/(8*a^2*(c - c/(a*x))^(3/2)*x)) + (1 + a*x)^(3/2)/(2*a*(c - c/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 - a*x]) - (9*Sqrt[1 - a*x]*(1 + a*x)^(3/2))/(8*a^2*(c - c/(a*x))^(3/2)*x) - (9*(1 - a*x)^(3/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(a^(5/2)*(c - c/(a*x))^(3/2)*x^(3/2)) + (51*(1 - a*x)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/(4*Sqrt[2]*a^(5/2)*(c - c/(a*x))^(3/2)*x^(3/2))}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x))^(5/2), x, 11, (103*(1 - a*x)^(5/2)*Sqrt[1 + a*x])/(32*a^3*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^2) + (1 + a*x)^(3/2)/(3*a*(c - c/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 - a*x]) - (13*Sqrt[1 - a*x]*(1 + a*x)^(3/2))/(24*a^2*(c - c/(a*x))^(5/2)*x) + (43*(1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2))/(32*a^3*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^2) + (11*(1 - a*x)^(5/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(a^(7/2)*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^(5/2)) - (249*(1 - a*x)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(7/2)*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c - c/(a*x))^(9/2)/E^ArcTanh[a*x], x, 8, -((94*a^2*(c - c/(a*x))^(9/2)*x^3*Sqrt[1 + a*x])/(21*(1 - a*x)^(5/2))) + (6*a*(c - c/(a*x))^(9/2)*x^2*Sqrt[1 + a*x])/(5*(1 - a*x)^(3/2)) - (2*(c - c/(a*x))^(9/2)*x*Sqrt[1 + a*x])/(7*Sqrt[1 - a*x]) + (a^3*(c - c/(a*x))^(9/2)*x^4*Sqrt[1 + a*x]*(2718 + 521*a*x))/(105*(1 - a*x)^(9/2)) + (11*a^(7/2)*(c - c/(a*x))^(9/2)*x^(9/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(1 - a*x)^(9/2)}
+{(c - c/(a*x))^(7/2)/E^ArcTanh[a*x], x, 7, (2*a*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^2*Sqrt[1 + a*x])/(1 - a*x)^(3/2) - (2*(c - c/(a*x))^(7/2)*x*Sqrt[1 + a*x])/(5*Sqrt[1 - a*x]) - (a^2*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^3*Sqrt[1 + a*x]*(66 + 7*a*x))/(5*(1 - a*x)^(7/2)) - (9*a^(5/2)*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^(7/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(1 - a*x)^(7/2)}
+{(c - c/(a*x))^(5/2)/E^ArcTanh[a*x], x, 6, -((2*(c - c/(a*x))^(5/2)*x*Sqrt[1 + a*x])/(3*Sqrt[1 - a*x])) + (a*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^2*(18 - a*x)*Sqrt[1 + a*x])/(3*(1 - a*x)^(5/2)) + (7*a^(3/2)*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^(5/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(1 - a*x)^(5/2)}
+{(c - c/(a*x))^(3/2)/E^ArcTanh[a*x], x, 6, -((2*(c - c/(a*x))^(3/2)*x*Sqrt[1 + a*x])/(1 - a*x)^(3/2)) + (a*(c - c/(a*x))^(3/2)*x^2*Sqrt[1 + a*x])/(1 - a*x)^(3/2) - (5*Sqrt[a]*(c - c/(a*x))^(3/2)*x^(3/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(1 - a*x)^(3/2)}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/E^ArcTanh[a*x], x, 6, -((Sqrt[c - c/(a*x)]*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(1 - a*x)) + (3*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 - a*x])}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)]), x, 6, (Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])/(a*Sqrt[c - c/(a*x)]) - (Sqrt[1 - a*x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(a^(3/2)*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x])}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a*x))^(3/2)), x, 9, -(((1 - a*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a*x])/(a^2*(c - c/(a*x))^(3/2)*x)) - ((1 - a*x)^(3/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(a^(5/2)*(c - c/(a*x))^(3/2)*x^(3/2)) + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/(a^(5/2)*(c - c/(a*x))^(3/2)*x^(3/2))}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a*x))^(5/2)), x, 9, ((1 - a*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a*x])/(2*a^2*(c - c/(a*x))^(5/2)*x) + (3*(1 - a*x)^(5/2)*Sqrt[1 + a*x])/(2*a^3*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^2) + (3*(1 - a*x)^(5/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(a^(7/2)*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^(5/2)) - (9*(1 - a*x)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/(2*Sqrt[2]*a^(7/2)*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^(5/2))}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a*x))^(7/2)), x, 10, ((1 - a*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a*x])/(4*a^2*(c - c/(a*x))^(7/2)*x) - (15*(1 - a*x)^(5/2)*Sqrt[1 + a*x])/(16*a^3*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^2) - (35*(1 - a*x)^(7/2)*Sqrt[1 + a*x])/(16*a^4*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^3) - (5*(1 - a*x)^(7/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(a^(9/2)*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^(7/2)) + (115*(1 - a*x)^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/(16*Sqrt[2]*a^(9/2)*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^(7/2))}
+
+
+{(c - c/(a*x))^(9/2)/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 14, (51*c^4*Sqrt[c - c/(a*x)])/a + (19*c^3*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*a) + (3*c^2*(c - c/(a*x))^(5/2))/(5*a) - (5*c*(c - c/(a*x))^(7/2))/(7*a) - (c - c/(a*x))^(9/2)*x + (13*c^(9/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a - (64*Sqrt[2]*c^(9/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{(c - c/(a*x))^(7/2)/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 13, (21*c^3*Sqrt[c - c/(a*x)])/a + (5*c^2*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*a) - (3*c*(c - c/(a*x))^(5/2))/(5*a) - (c - c/(a*x))^(7/2)*x + (11*c^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a - (32*Sqrt[2]*c^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{(c - c/(a*x))^(5/2)/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 12, (7*c^2*Sqrt[c - c/(a*x)])/a - (c*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*a) - (c - c/(a*x))^(5/2)*x + (9*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a - (16*Sqrt[2]*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{(c - c/(a*x))^(3/2)/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 11, (c*Sqrt[c - c/(a*x)])/a - (c - c/(a*x))^(3/2)*x + (7*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a - (8*Sqrt[2]*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 10, (-Sqrt[c - c/(a*x)])*x + (5*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a - (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)]), x, 10, -((Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/c) + (3*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(a*Sqrt[c]) - (2*Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(a*Sqrt[c])}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^(3/2)), x, 11, -((Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/c^2) + ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]]/(a*c^(3/2)) - (Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(a*c^(3/2))}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^(5/2)), x, 11, 2/(a*c^2*Sqrt[c - c/(a*x)]) - x/(c^2*Sqrt[c - c/(a*x)]) - ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]]/(a*c^(5/2)) - ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]/(Sqrt[2]*a*c^(5/2))}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^(7/2)), x, 12, 4/(3*a*c^2*(c - c/(a*x))^(3/2)) + 7/(2*a*c^3*Sqrt[c - c/(a*x)]) - x/(c^2*(c - c/(a*x))^(3/2)) - (3*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(a*c^(7/2)) - ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]/(2*Sqrt[2]*a*c^(7/2))}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^(9/2)), x, 13, 6/(5*a*c^2*(c - c/(a*x))^(5/2)) + 11/(6*a*c^3*(c - c/(a*x))^(3/2)) + 21/(4*a*c^4*Sqrt[c - c/(a*x)]) - x/(c^2*(c - c/(a*x))^(5/2)) - (5*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(a*c^(9/2)) - ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]/(4*Sqrt[2]*a*c^(9/2))}
+
+
+{(c - c/(a*x))^(9/2)/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 9, (5*a^4*(c - c/(a*x))^(9/2)*x^5*(587 - 109*a*x))/(7*(1 - a*x)^(9/2)*Sqrt[1 + a*x]) + (70*a^3*(c - c/(a*x))^(9/2)*x^4)/((1 - a*x)^(5/2)*Sqrt[1 + a*x]) - (50*a^2*(c - c/(a*x))^(9/2)*x^3)/(7*(1 - a*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a*x]) + (10*a*(c - c/(a*x))^(9/2)*x^2)/(7*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (2*(c - c/(a*x))^(9/2)*x*Sqrt[1 - a*x])/(7*Sqrt[1 + a*x]) - (15*a^(7/2)*(c - c/(a*x))^(9/2)*x^(9/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(1 - a*x)^(9/2)}
+{(c - c/(a*x))^(7/2)/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 8, -((a^3*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^4*(2525 - 427*a*x))/(15*(1 - a*x)^(7/2)*Sqrt[1 + a*x])) - (398*a^2*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^3)/(15*(1 - a*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a*x]) + (38*a*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^2)/(15*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (2*(c - c/(a*x))^(7/2)*x*Sqrt[1 - a*x])/(5*Sqrt[1 + a*x]) + (13*a^(5/2)*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^(7/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(1 - a*x)^(7/2)}
+{(c - c/(a*x))^(5/2)/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 7, (a^2*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^3*(191 - 25*a*x))/(3*(1 - a*x)^(5/2)*Sqrt[1 + a*x]) + (26*a*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^2)/(3*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (2*(c - c/(a*x))^(5/2)*x*Sqrt[1 - a*x])/(3*Sqrt[1 + a*x]) - (11*a^(3/2)*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^(5/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(1 - a*x)^(5/2)}
+{(c - c/(a*x))^(3/2)/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 6, -((2*(c - c/(a*x))^(3/2)*x*Sqrt[1 - a*x])/Sqrt[1 + a*x]) - (a*(c - c/(a*x))^(3/2)*x^2*(23 - a*x))/((1 - a*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a*x]) + (9*Sqrt[a]*(c - c/(a*x))^(3/2)*x^(3/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(1 - a*x)^(3/2)}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 6, (8*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*x*Sqrt[1 + a*x])/Sqrt[1 - a*x] - (7*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 - a*x])}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)]), x, 7, -((5*Sqrt[1 - a*x])/(a*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])) - (x*(1 - a*x))/(Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (5*Sqrt[1 - a*x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(a^(3/2)*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x])}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^(3/2)), x, 7, -((2*(1 - a*x)^(3/2))/(a*(c - c/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + a*x])) + (3*(1 - a*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a*x])/(a^2*(c - c/(a*x))^(3/2)*x) - (3*(1 - a*x)^(3/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(a^(5/2)*(c - c/(a*x))^(3/2)*x^(3/2))}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^(5/2)), x, 9, (1 - a*x)^(5/2)/(a^2*(c - c/(a*x))^(5/2)*x*Sqrt[1 + a*x]) - (2*(1 - a*x)^(5/2)*Sqrt[1 + a*x])/(a^3*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^2) + ((1 - a*x)^(5/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(a^(7/2)*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^(5/2)) + ((1 - a*x)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[2]*a^(7/2)*(c - c/(a*x))^(5/2)*x^(5/2))}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^(7/2)), x, 10, (1 - a*x)^(5/2)/(2*a^2*(c - c/(a*x))^(7/2)*x*Sqrt[1 + a*x]) - (1 - a*x)^(7/2)/(4*a^3*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^2*Sqrt[1 + a*x]) + (7*(1 - a*x)^(7/2)*Sqrt[1 + a*x])/(4*a^4*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^3) + ((1 - a*x)^(7/2)*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(a^(9/2)*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^(7/2)) - (11*(1 - a*x)^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/(4*Sqrt[2]*a^(9/2)*(c - c/(a*x))^(7/2)*x^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTanh[a x]) (c-c/(a x))^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(x^3*(c - c/(a*x))), x, 9, -((8*a^2*(1 + a*x))/(3*c*(1 - a^2*x^2)^(3/2))) - (4*a^2*(3 + 4*a*x))/(3*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c*x) + (4*a^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/c}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTanh[a x]) (c-c/(a x))^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^m, x, 4, (2*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[-(1/2), 1/2 + m, 3/2 + m, (-a)*x])/((1 + 2*m)*Sqrt[1 - a*x])}
+
+{E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2, x, 8, -(Sqrt[c - c/(a*x)]*x*Sqrt[1 + a*x])/(8*a^2*Sqrt[1 - a*x]) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2*Sqrt[1 + a*x])/(12*a*Sqrt[1 - a*x]) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3*Sqrt[1 + a*x])/(3*Sqrt[1 - a*x]) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(8*a^(5/2)*Sqrt[1 - a*x])}
+{E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x, x, 7, (Sqrt[c - c/(a*x)]*x*Sqrt[1 + a*x])/(4*a*Sqrt[1 - a*x]) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2*Sqrt[1 + a*x])/(2*Sqrt[1 - a*x]) - (Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(4*a^(3/2)*Sqrt[1 - a*x])}
+{E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)], x, 6, (Sqrt[c - c/(a*x)]*x*Sqrt[1 + a*x])/Sqrt[1 - a*x] + (Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 - a*x])}
+{(E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)])/x, x, 6, (-2*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/Sqrt[1 - a*x] + (2*Sqrt[a]*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/Sqrt[1 - a*x]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^2, x, 4, (-2*Sqrt[c - c/(a*x)]*(1 + a*x)^(3/2))/(3*x*Sqrt[1 - a*x])}
+{(E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^3, x, 5, -((2*Sqrt[c - c/(a*x)]*(1 + a*x)^(3/2))/(5*x^2*Sqrt[1 - a*x])) + (4*a*Sqrt[c - c/(a*x)]*(1 + a*x)^(3/2))/(15*x*Sqrt[1 - a*x])}
+{(E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^4, x, 6, -((2*Sqrt[c - c/(a*x)]*(1 + a*x)^(3/2))/(7*x^3*Sqrt[1 - a*x])) + (8*a*Sqrt[c - c/(a*x)]*(1 + a*x)^(3/2))/(35*x^2*Sqrt[1 - a*x]) - (16*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)]*(1 + a*x)^(3/2))/(105*x*Sqrt[1 - a*x])}
+{(E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^5, x, 7, -((2*Sqrt[c - c/(a*x)]*(1 + a*x)^(3/2))/(9*x^4*Sqrt[1 - a*x])) + (4*a*Sqrt[c - c/(a*x)]*(1 + a*x)^(3/2))/(21*x^3*Sqrt[1 - a*x]) - (16*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)]*(1 + a*x)^(3/2))/(105*x^2*Sqrt[1 - a*x]) + (32*a^3*Sqrt[c - c/(a*x)]*(1 + a*x)^(3/2))/(315*x*Sqrt[1 - a*x])}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3, x, 10, -((75*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(64*a^3)) - (25*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/(32*a^2) - (5*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3)/(8*a) - (1/4)*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^4 - (75*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(64*a^4)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2, x, 9, -((11*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(8*a^2)) - (11*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/(12*a) - (1/3)*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3 - (11*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(8*a^3)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)]*x, x, 8, -((7*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(4*a)) - (1/2)*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2 - (7*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(4*a^2)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)], x, 7, (-Sqrt[c - c/(a*x)])*x - (3*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x, x, 7, -2*Sqrt[c - c/(a*x)] - 2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]]}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^2, x, 6, -4*a*Sqrt[c - c/(a*x)] + (2*a*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*c)}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^3, x, 6, -4*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)] + (2*a^2*(c - c/(a*x))^(3/2))/c - (2*a^2*(c - c/(a*x))^(5/2))/(5*c^2)}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^4, x, 6, -4*a^3*Sqrt[c - c/(a*x)] + (10*a^3*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*c) - (8*a^3*(c - c/(a*x))^(5/2))/(5*c^2) + (2*a^3*(c - c/(a*x))^(7/2))/(7*c^3)}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^5, x, 6, -4*a^4*Sqrt[c - c/(a*x)] + (14*a^4*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*c) - (18*a^4*(c - c/(a*x))^(5/2))/(5*c^2) + (10*a^4*(c - c/(a*x))^(7/2))/(7*c^3) - (2*a^4*(c - c/(a*x))^(9/2))/(9*c^4)}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3, x, 11, -((107*Sqrt[c - c/(a*x)]*x*Sqrt[1 + a*x])/(64*a^3*Sqrt[1 - a*x])) - (21*Sqrt[c - c/(a*x)]*x*(1 + a*x)^(3/2))/(32*a^3*Sqrt[1 - a*x]) - (11*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2*(1 + a*x)^(3/2))/(24*a^2*Sqrt[1 - a*x]) - (Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3*(1 + a*x)^(3/2))/(4*a*Sqrt[1 - a*x]) - (363*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(64*a^(7/2)*Sqrt[1 - a*x]) + (4*Sqrt[2]*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/(a^(7/2)*Sqrt[1 - a*x])}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2, x, 10, -((13*Sqrt[c - c/(a*x)]*x*Sqrt[1 + a*x])/(8*a^2*Sqrt[1 - a*x])) - (3*Sqrt[c - c/(a*x)]*x*(1 + a*x)^(3/2))/(4*a^2*Sqrt[1 - a*x]) - (Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2*(1 + a*x)^(3/2))/(3*a*Sqrt[1 - a*x]) - (45*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(8*a^(5/2)*Sqrt[1 - a*x]) + (4*Sqrt[2]*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/(a^(5/2)*Sqrt[1 - a*x])}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)]*x, x, 9, -((7*Sqrt[c - c/(a*x)]*x*Sqrt[1 + a*x])/(4*a*Sqrt[1 - a*x])) - (Sqrt[c - c/(a*x)]*x*(1 + a*x)^(3/2))/(2*a*Sqrt[1 - a*x]) - (23*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(4*a^(3/2)*Sqrt[1 - a*x]) + (4*Sqrt[2]*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/(a^(3/2)*Sqrt[1 - a*x])}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)], x, 8, -((Sqrt[c - c/(a*x)]*x*Sqrt[1 + a*x])/Sqrt[1 - a*x]) - (5*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 - a*x]) + (4*Sqrt[2]*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 - a*x])}
+{(E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x, x, 8, -((2*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/Sqrt[1 - a*x]) - (2*Sqrt[a]*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/Sqrt[1 - a*x] + (4*Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/Sqrt[1 - a*x]}
+{(E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^2, x, 6, -((4*a*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/Sqrt[1 - a*x]) - (2*Sqrt[c - c/(a*x)]*(1 + a*x)^(3/2))/(3*x*Sqrt[1 - a*x]) + (4*Sqrt[2]*a^(3/2)*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/Sqrt[1 - a*x]}
+{(E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^3, x, 7, -((4*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/Sqrt[1 - a*x]) - (2*a*Sqrt[c - c/(a*x)]*(1 + a*x)^(3/2))/(3*x*Sqrt[1 - a*x]) - (2*Sqrt[c - c/(a*x)]*(1 + a*x)^(5/2))/(5*x^2*Sqrt[1 - a*x]) + (4*Sqrt[2]*a^(5/2)*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/Sqrt[1 - a*x]}
+{(E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^4, x, 9, -((104*a^3*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(21*Sqrt[1 - a*x])) - (2*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(7*x^3*Sqrt[1 - a*x]) - (6*a*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(7*x^2*Sqrt[1 - a*x]) - (32*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(21*x*Sqrt[1 - a*x]) + (4*Sqrt[2]*a^(7/2)*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/Sqrt[1 - a*x]}
+{(E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^5, x, 10, -((1576*a^4*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(315*Sqrt[1 - a*x])) - (2*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(9*x^4*Sqrt[1 - a*x]) - (38*a*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(63*x^3*Sqrt[1 - a*x]) - (92*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(105*x^2*Sqrt[1 - a*x]) - (472*a^3*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(315*x*Sqrt[1 - a*x]) + (4*Sqrt[2]*a^(9/2)*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a*x]])/Sqrt[1 - a*x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Sqrt[c - c/(a*x)]*x^m)/E^ArcTanh[a*x], x, 5, If[$VersionNumber>=8, -((Sqrt[c - c/(a*x)]*x^(1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/((1 + m)*(1 - a*x))) + ((3 + 4*m)*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 + m, 3/2 + m, (-a)*x])/((1 + m)*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - a*x]), -((Sqrt[c - c/(a*x)]*x^(1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/((1 + m)*(1 - a*x))) + ((3 + 4*m)*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 + m, 3/2 + m, (-a)*x])/((1 + 3*m + 2*m^2)*Sqrt[1 - a*x])]}
+
+{(Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/E^ArcTanh[a*x], x, 8, -((11*Sqrt[c - c/(a*x)]*x*Sqrt[1 + a*x])/(8*a^2*Sqrt[1 - a*x])) + (11*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2*Sqrt[1 + a*x])/(12*a*Sqrt[1 - a*x]) - (Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*(1 - a*x)) + (11*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(8*a^(5/2)*Sqrt[1 - a*x])}
+{(Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/E^ArcTanh[a*x], x, 7, (7*Sqrt[c - c/(a*x)]*x*Sqrt[1 + a*x])/(4*a*Sqrt[1 - a*x]) - (Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*(1 - a*x)) - (7*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(4*a^(3/2)*Sqrt[1 - a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/E^ArcTanh[a*x], x, 6, -((Sqrt[c - c/(a*x)]*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(1 - a*x)) + (3*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 - a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^ArcTanh[a*x]*x), x, 6, -((2*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(1 - a*x)) - (2*Sqrt[a]*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/Sqrt[1 - a*x]}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^ArcTanh[a*x]*x^2), x, 5, (10*a*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(3*Sqrt[1 - a*x]) - (2*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*x*(1 - a*x))}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^ArcTanh[a*x]*x^3), x, 6, -((12*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(5*Sqrt[1 - a*x])) + (6*a*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(5*x*Sqrt[1 - a*x]) - (2*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*x^2*(1 - a*x))}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^ArcTanh[a*x]*x^4), x, 7, (208*a^3*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(105*Sqrt[1 - a*x]) + (26*a*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(35*x^2*Sqrt[1 - a*x]) - (104*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(105*x*Sqrt[1 - a*x]) - (2*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(7*x^3*(1 - a*x))}
+
+
+{(Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3)/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 13, (149*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(64*a^3) - (107*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/(96*a^2) + (17*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3)/(24*a) - (1/4)*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^4 - (363*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(64*a^4) + (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a^4}
+{(Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 12, -((19*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(8*a^2)) + (13*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/(12*a) - (1/3)*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3 + (45*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(8*a^3) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a^3}
+{(Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 11, (9*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(4*a) - (1/2)*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2 - (23*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(4*a^2) + (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a^2}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 10, (-Sqrt[c - c/(a*x)])*x + (5*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a - (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(2*ArcTanh[a*x])*x), x, 10, -2*Sqrt[c - c/(a*x)] - 2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]] + 4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^2), x, 8, 4*a*Sqrt[c - c/(a*x)] + (2*a*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*c) - 4*Sqrt[2]*a*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^3), x, 9, -4*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)] - (2*a^2*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*c) - (2*a^2*(c - c/(a*x))^(5/2))/(5*c^2) + 4*Sqrt[2]*a^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^4), x, 10, 4*a^3*Sqrt[c - c/(a*x)] + (2*a^3*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*c) + (2*a^3*(c - c/(a*x))^(7/2))/(7*c^3) - 4*Sqrt[2]*a^3*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^5), x, 10, -4*a^4*Sqrt[c - c/(a*x)] - (2*a^4*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*c) - (2*a^4*(c - c/(a*x))^(5/2))/(5*c^2) + (2*a^4*(c - c/(a*x))^(7/2))/(7*c^3) - (2*a^4*(c - c/(a*x))^(9/2))/(9*c^4) + 4*Sqrt[2]*a^4*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+
+
+{(Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3)/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 9, (8*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^4)/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (1115*Sqrt[c - c/(a*x)]*x*Sqrt[1 + a*x])/(64*a^3*Sqrt[1 - a*x]) + (1115*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2*Sqrt[1 + a*x])/(96*a^2*Sqrt[1 - a*x]) - (223*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3*Sqrt[1 + a*x])/(24*a*Sqrt[1 - a*x]) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*x^4*Sqrt[1 + a*x])/(4*Sqrt[1 - a*x]) + (1115*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(64*a^(7/2)*Sqrt[1 - a*x])}
+{(Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 8, (8*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3)/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (119*Sqrt[c - c/(a*x)]*x*Sqrt[1 + a*x])/(8*a^2*Sqrt[1 - a*x]) - (119*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2*Sqrt[1 + a*x])/(12*a*Sqrt[1 - a*x]) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3*Sqrt[1 + a*x])/(3*Sqrt[1 - a*x]) - (119*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(8*a^(5/2)*Sqrt[1 - a*x])}
+{(Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 7, (8*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (47*Sqrt[c - c/(a*x)]*x*Sqrt[1 + a*x])/(4*a*Sqrt[1 - a*x]) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2*Sqrt[1 + a*x])/(2*Sqrt[1 - a*x]) + (47*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(4*a^(3/2)*Sqrt[1 - a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 6, (8*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*x*Sqrt[1 + a*x])/Sqrt[1 - a*x] - (7*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 - a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(3*ArcTanh[a*x])*x), x, 6, (-2*Sqrt[c - c/(a*x)])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (10*a*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (2*Sqrt[a]*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[x]*ArcSinh[Sqrt[a]*Sqrt[x]])/Sqrt[1 - a*x]}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(3*ArcTanh[a*x])*x^2), x, 5, (20*a*Sqrt[c - c/(a*x)])/(3*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (2*Sqrt[c - c/(a*x)])/(3*x*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (46*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(3*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(3*ArcTanh[a*x])*x^3), x, 6, (158*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)])/(15*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (2*Sqrt[c - c/(a*x)])/(5*x^2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (32*a*Sqrt[c - c/(a*x)])/(15*x*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (316*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(15*Sqrt[1 - a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(3*ArcTanh[a*x])*x^4), x, 7, (-2*Sqrt[c - c/(a*x)])/(7*x^3*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (44*a*Sqrt[c - c/(a*x)])/(35*x^2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (334*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)])/(35*x*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (2672*a^3*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(105*Sqrt[1 - a*x]) - (1336*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(105*x*Sqrt[1 - a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(3*ArcTanh[a*x])*x^5), x, 8, (-2*Sqrt[c - c/(a*x)])/(9*x^4*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (8*a*Sqrt[c - c/(a*x)])/(9*x^3*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (82*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)])/(9*x^2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (1312*a^4*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(45*Sqrt[1 - a*x]) - (164*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(15*x^2*Sqrt[1 - a*x]) + (656*a^3*Sqrt[c - c/(a*x)]*Sqrt[1 + a*x])/(45*x*Sqrt[1 - a*x])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcTanh[a x]) (c-c/(a x))^p with n symbolic*)
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^p, x, 3, ((c - c/(a*x))^p*x*AppellF1[1 - p, (n - 2*p)/2, -n/2, 2 - p, a*x, -(a*x)])/((1 - p)*(1 - a*x)^p)}
+
+
+{(c - c/(a*x))^p/E^(2*p*ArcTanh[a*x]), x, 3, ((c - c/(a*x))^p*x*AppellF1[1 - p, -2*p, p, 2 - p, a*x, -(a*x)])/((1 - p)*(1 - a*x)^p)}
+{E^(2*p*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^p, x, 3, ((c - c/(a*x))^p*x*Hypergeometric2F1[1 - p, -p, 2 - p, (-a)*x])/((1 - a*x)^p*(1 - p))}
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^2, x, 5, (4*c^2*(1 + a*x)^(n/2)*Hypergeometric2F1[2, n/2, (2 + n)/2, (1 + a*x)/(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*(a*n)) + (2^(n/2)*c^2*(1 - a*x)^(2 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, 2 - n/2, 3 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*(4 - n))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^1, x, 6, If[$VersionNumber>=8, (c*(1 - a*x)^(2 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/(a*(2 - n)) - (2*c*(1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n))*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-2 + n), n/2, (1 + a*x)/(1 - a*x)])/(a*(2 - n)) + (2^(n/2)*c*(1 - n)*(1 - a*x)^(2 - n/2)*Hypergeometric2F1[(2 - n)/2, 2 - n/2, 3 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*(2 - n)*(4 - n)), (c*(1 - a*x)^(2 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/(a*(2 - n)) - (2*c*(1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n))*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-2 + n), n/2, (1 + a*x)/(1 - a*x)])/(a*(2 - n)) + (2^(n/2)*c*(1 - n)*(1 - a*x)^(2 - n/2)*Hypergeometric2F1[(2 - n)/2, 2 - n/2, 3 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*(8 - 6*n + n^2))]}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x))^1, x, 4, -((1 + a*x)^((2 + n)/2)/((1 - a*x)^(n/2)*(a*c*n))) - (2^(1 + n/2)*(1 + n)*(1 - a*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*c*(2 - n)*n)}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x))^2, x, 5, If[$VersionNumber>=8, ((3 + n)*(1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(a*c^2*(2 + n)) - (x*(1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/c^2 - (2^(1 + n/2)*(2 + n)*Hypergeometric2F1[-(n/2), -(n/2), 1 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*(a*c^2*n)), ((3 + n)*(1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(a*c^2*(2 + n)) - (x*(1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/c^2 - (2^(1 + n/2)*(2 + n)*Hypergeometric2F1[-(n/2), -(n/2), (2 - n)/2, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*(a*c^2*n))]}
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a*x))^(3/2), x, 3, -((2*(c - c/(a*x))^(3/2)*x*AppellF1[-(1/2), (1/2)*(-3 + n), -(n/2), 1/2, a*x, (-a)*x])/(1 - a*x)^(3/2))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)], x, 3, (2*Sqrt[c - c/(a*x)]*x*AppellF1[1/2, (-1 + n)/2, -n/2, 3/2, a*x, -(a*x)])/Sqrt[1 - a*x]}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/Sqrt[c - c/(a*x)], x, 3, (2*x*Sqrt[1 - a*x]*AppellF1[3/2, (1 + n)/2, -n/2, 5/2, a*x, -(a*x)])/(3*Sqrt[c - c/(a*x)])}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a*x))^(3/2), x, 3, (2*x*(1 - a*x)^(3/2)*AppellF1[5/2, (3 + n)/2, -(n/2), 7/2, a*x, (-a)*x])/(5*(c - c/(a*x))^(3/2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u E^(n ArcTanh[a x]) (c-c/(a^2 x^2))^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcTanh[a x]) (c-c/(a^2 x^2))^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^4, x, 11, (c^4*(16 - 35*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(16*a^2*x) - (c^4*(16 + 35*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(48*a^4*x^3) + (c^4*(24 + 35*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(120*a^6*x^5) - (c^4*(6 + 7*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(42*a^8*x^7) + (c^4*ArcSin[a*x])/a + (35*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(16*a)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^3, x, 10, (c^3*(8 - 15*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a^2*x) - (c^3*(8 + 15*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(24*a^4*x^3) + (c^3*(4 + 5*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(20*a^6*x^5) + (c^3*ArcSin[a*x])/a + (15*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(8*a)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 9, (c^2*(2 - 3*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^2*x) - (c^2*(2 + 3*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(6*a^4*x^3) + (c^2*ArcSin[a*x])/a + (3*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*a)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^1, x, 8, (c*(1 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*x) + (c*ArcSin[a*x])/a + (c*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/a}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - c/(a^2*x^2))^1, x, 6, -((1 + a*x)/(a*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*c) + ArcSin[a*x]/(a*c)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 6, (a^2*x^3*(1 + a*x))/(3*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (x*(3 + 4*a*x))/(3*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (8*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*c^2) + ArcSin[a*x]/(a*c^2)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - c/(a^2*x^2))^3, x, 7, -((a^4*x^5*(1 + a*x))/(5*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2))) + (a^2*x^3*(5 + 6*a*x))/(15*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (x*(5 + 8*a*x))/(5*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (16*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a*c^3) + ArcSin[a*x]/(a*c^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - c/(a^2*x^2))^4, x, 8, (a^6*x^7*(1 + a*x))/(7*c^4*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) - (a^4*x^5*(7 + 8*a*x))/(35*c^4*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (a^2*x^3*(35 + 48*a*x))/(105*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (x*(35 + 64*a*x))/(35*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (128*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(35*a*c^4) + ArcSin[a*x]/(a*c^4)}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^5, x, 4, c^5/(9*a^10*x^9) + c^5/(4*a^9*x^8) - (3*c^5)/(7*a^8*x^7) - (4*c^5)/(3*a^7*x^6) + (2*c^5)/(5*a^6*x^5) + (3*c^5)/(a^5*x^4) + (2*c^5)/(3*a^4*x^3) - (4*c^5)/(a^3*x^2) - (3*c^5)/(a^2*x) - c^5*x - (2*c^5*Log[x])/a}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^4, x, 4, -c^4/(7*a^8*x^7) - c^4/(3*a^7*x^6) + (2*c^4)/(5*a^6*x^5) + (3*c^4)/(2*a^5*x^4) - (3*c^4)/(a^3*x^2) - (2*c^4)/(a^2*x) - c^4*x - (2*c^4*Log[x])/a}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^3, x, 4, c^3/(5*a^6*x^5) + c^3/(2*a^5*x^4) - c^3/(3*a^4*x^3) - (2*c^3)/(a^3*x^2) - c^3/(a^2*x) - c^3*x - (2*c^3*Log[x])/a}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 4, -c^2/(3*a^4*x^3) - c^2/(a^3*x^2) - c^2*x - (2*c^2*Log[x])/a}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2)), x, 4, c/(a^2*x) - c*x - (2*c*Log[x])/a}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2)), x, 4, -(x/c) - 1/(a*c*(1 - a*x)) - (2*Log[1 - a*x])/(a*c)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 4, -(x/c^2) + 1/(4*a*c^2*(1 - a*x)^2) - 7/(4*a*c^2*(1 - a*x)) - (17*Log[1 - a*x])/(8*a*c^2) + Log[1 + a*x]/(8*a*c^2)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^3, x, 4, -(x/c^3) - 1/(12*a*c^3*(1 - a*x)^3) + 5/(8*a*c^3*(1 - a*x)^2) - 39/(16*a*c^3*(1 - a*x)) + 1/(16*a*c^3*(1 + a*x)) - (9*Log[1 - a*x])/(4*a*c^3) + Log[1 + a*x]/(4*a*c^3)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^4, x, 4, -(x/c^4) + 1/(32*a*c^4*(1 - a*x)^4) - 13/(48*a*c^4*(1 - a*x)^3) + 35/(32*a*c^4*(1 - a*x)^2) - 99/(32*a*c^4*(1 - a*x)) - 1/(64*a*c^4*(1 + a*x)^2) + 11/(64*a*c^4*(1 + a*x)) - (303*Log[1 - a*x])/(128*a*c^4) + (47*Log[1 + a*x])/(128*a*c^4)}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^4, x, 12, -((3*c^4*(16 - 5*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(16*a^2*x)) + (c^4*(16 + 5*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(16*a^4*x^3) - (c^4*(24 + 5*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(40*a^6*x^5) - (c^4*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(7*a^8*x^7) - (c^4*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(2*a^7*x^6) - (3*c^4*ArcSin[a*x])/a - (15*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(16*a)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^3, x, 11, -((3*c^3*(8 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a^2*x)) + (c^3*(8 + a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(8*a^4*x^3) + (c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(5*a^6*x^5) + (3*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(4*a^5*x^4) - (3*c^3*ArcSin[a*x])/a - (3*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(8*a)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 10, -((c^2*(6 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^2*x)) - (c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a^4*x^3) - (3*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(2*a^3*x^2) - (3*c^2*ArcSin[a*x])/a + (c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*a)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^1, x, 9, (c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a + (c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*x) - (3*c*ArcSin[a*x])/a + (3*c*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/a}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^1, x, 7, -((1 + a*x)^3/(3*a*c*(1 - a^2*x^2)^(3/2))) + (2*(1 + a*x)^2)/(a*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*c) - (3*ArcSin[a*x])/(a*c)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 7, (1 + a*x)^3/(5*a*c^2*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (6*(1 + a*x)^2)/(5*a*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (24*(1 + a*x))/(5*a*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*c^2) - (3*ArcSin[a*x])/(a*c^2)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^3, x, 8, -((1 + a*x)^3/(7*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(7/2))) + (38*(1 + a*x)^2)/(35*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (137*(1 + a*x))/(35*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (245 + 181*a*x)/(35*a*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*c^3) - (3*ArcSin[a*x])/(a*c^3)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^4, x, 9, (1 + a*x)^3/(9*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) - (22*(1 + a*x)^2)/(21*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (478*(1 + a*x))/(105*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (2*(1155 + 829*a*x))/(315*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (4*(630 + 431*a*x))/(315*a*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*c^4) - (3*ArcSin[a*x])/(a*c^4)}
+
+
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^5, x, 4, c^5/(9*a^10*x^9) + c^5/(2*a^9*x^8) + (3*c^5)/(7*a^8*x^7) - (4*c^5)/(3*a^7*x^6) - (14*c^5)/(5*a^6*x^5) + (14*c^5)/(3*a^4*x^3) + (4*c^5)/(a^3*x^2) - (3*c^5)/(a^2*x) + c^5*x + (4*c^5*Log[x])/a}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^4, x, 4, -c^4/(7*a^8*x^7) - (2*c^4)/(3*a^7*x^6) - (4*c^4)/(5*a^6*x^5) + c^4/(a^5*x^4) + (10*c^4)/(3*a^4*x^3) + (2*c^4)/(a^3*x^2) - (4*c^4)/(a^2*x) + c^4*x + (4*c^4*Log[x])/a}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^3, x, 4, c^3/(5*a^6*x^5) + c^3/(a^5*x^4) + (5*c^3)/(3*a^4*x^3) - (5*c^3)/(a^2*x) + c^3*x + (4*c^3*Log[x])/a}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 4, -c^2/(3*a^4*x^3) - (2*c^2)/(a^3*x^2) - (6*c^2)/(a^2*x) + c^2*x + (4*c^2*Log[x])/a}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2)), x, 4, c/(a^2*x) + c*x - (4*c*Log[x])/a + (8*c*Log[1 - a*x])/a}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2)), x, 4, x/c - 1/(a*c*(1 - a*x)^2) + 5/(a*c*(1 - a*x)) + (4*Log[1 - a*x])/(a*c)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 4, x/c^2 + 1/(3*a*c^2*(1 - a*x)^3) - 2/(a*c^2*(1 - a*x)^2) + 6/(a*c^2*(1 - a*x)) + (4*Log[1 - a*x])/(a*c^2)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^3, x, 4, x/c^3 - 1/(8*a*c^3*(1 - a*x)^4) + 11/(12*a*c^3*(1 - a*x)^3) - 49/(16*a*c^3*(1 - a*x)^2) + 111/(16*a*c^3*(1 - a*x)) + (129*Log[1 - a*x])/(32*a*c^3) - Log[1 + a*x]/(32*a*c^3)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^4, x, 4, x/c^4 + 1/(20*a*c^4*(1 - a*x)^5) - 7/(16*a*c^4*(1 - a*x)^4) + 83/(48*a*c^4*(1 - a*x)^3) - 67/(16*a*c^4*(1 - a*x)^2) + 501/(64*a*c^4*(1 - a*x)) - 1/(64*a*c^4*(1 + a*x)) + (261*Log[1 - a*x])/(64*a*c^4) - (5*Log[1 + a*x])/(64*a*c^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c - c/(a^2*x^2))^4/E^ArcTanh[a*x], x, 11, (c^4*(16 + 35*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(16*a^2*x) - (c^4*(16 - 35*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(48*a^4*x^3) + (c^4*(24 - 35*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(120*a^6*x^5) - (c^4*(6 - 7*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(42*a^8*x^7) + (c^4*ArcSin[a*x])/a - (35*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(16*a)}
+{(c - c/(a^2*x^2))^3/E^ArcTanh[a*x], x, 10, (c^3*(8 + 15*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a^2*x) - (c^3*(8 - 15*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(24*a^4*x^3) + (c^3*(4 - 5*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(20*a^6*x^5) + (c^3*ArcSin[a*x])/a - (15*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(8*a)}
+{(c - c/(a^2*x^2))^2/E^ArcTanh[a*x], x, 9, (c^2*(2 + 3*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^2*x) - (c^2*(2 - 3*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(6*a^4*x^3) + (c^2*ArcSin[a*x])/a - (3*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*a)}
+{(c - c/(a^2*x^2))/E^ArcTanh[a*x], x, 8, (c*(1 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*x) + (c*ArcSin[a*x])/a - (c*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/a}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))), x, 6, (1 - a*x)/(a*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*c) + ArcSin[a*x]/(a*c)}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^2), x, 6, (a^2*x^3*(1 - a*x))/(3*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (x*(3 - 4*a*x))/(3*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (8*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*c^2) + ArcSin[a*x]/(a*c^2)}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^3), x, 7, -((a^4*x^5*(1 - a*x))/(5*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2))) + (a^2*x^3*(5 - 6*a*x))/(15*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (x*(5 - 8*a*x))/(5*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (16*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a*c^3) + ArcSin[a*x]/(a*c^3)}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^4), x, 8, (a^6*x^7*(1 - a*x))/(7*c^4*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) - (a^4*x^5*(7 - 8*a*x))/(35*c^4*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (a^2*x^3*(35 - 48*a*x))/(105*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (x*(35 - 64*a*x))/(35*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (128*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(35*a*c^4) + ArcSin[a*x]/(a*c^4)}
+
+
+{(c - c/(a^2*x^2))^4/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 4, -c^4/(7*a^8*x^7) + c^4/(3*a^7*x^6) + (2*c^4)/(5*a^6*x^5) - (3*c^4)/(2*a^5*x^4) + (3*c^4)/(a^3*x^2) - (2*c^4)/(a^2*x) - c^4*x + (2*c^4*Log[x])/a}
+{(c - c/(a^2*x^2))^3/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 4, c^3/(5*a^6*x^5) - c^3/(2*a^5*x^4) - c^3/(3*a^4*x^3) + (2*c^3)/(a^3*x^2) - c^3/(a^2*x) - c^3*x + (2*c^3*Log[x])/a}
+{(c - c/(a^2*x^2))^2/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 4, -c^2/(3*a^4*x^3) + c^2/(a^3*x^2) - c^2*x + (2*c^2*Log[x])/a}
+{(c - c/(a^2*x^2))/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 4, c/(a^2*x) - c*x + (2*c*Log[x])/a}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))), x, 4, -(x/c) + 1/(a*c*(1 + a*x)) + (2*Log[1 + a*x])/(a*c)}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^2), x, 4, -(x/c^2) - 1/(4*a*c^2*(1 + a*x)^2) + 7/(4*a*c^2*(1 + a*x)) - Log[1 - a*x]/(8*a*c^2) + (17*Log[1 + a*x])/(8*a*c^2)}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^3), x, 4, -(x/c^3) - 1/(16*a*c^3*(1 - a*x)) + 1/(12*a*c^3*(1 + a*x)^3) - 5/(8*a*c^3*(1 + a*x)^2) + 39/(16*a*c^3*(1 + a*x)) - Log[1 - a*x]/(4*a*c^3) + (9*Log[1 + a*x])/(4*a*c^3)}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^4), x, 4, -(x/c^4) + 1/(64*a*c^4*(1 - a*x)^2) - 11/(64*a*c^4*(1 - a*x)) - 1/(32*a*c^4*(1 + a*x)^4) + 13/(48*a*c^4*(1 + a*x)^3) - 35/(32*a*c^4*(1 + a*x)^2) + 99/(32*a*c^4*(1 + a*x)) - (47*Log[1 - a*x])/(128*a*c^4) + (303*Log[1 + a*x])/(128*a*c^4)}
+
+
+{(c - c/(a^2*x^2))^4/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 12, -((3*c^4*(16 + 5*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(16*a^2*x)) + (c^4*(16 - 5*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(16*a^4*x^3) - (c^4*(24 - 5*a*x)*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(40*a^6*x^5) - (c^4*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(7*a^8*x^7) + (c^4*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(2*a^7*x^6) - (3*c^4*ArcSin[a*x])/a + (15*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(16*a)}
+{(c - c/(a^2*x^2))^3/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 11, -((3*c^3*(8 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a^2*x)) + (c^3*(8 - a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(8*a^4*x^3) + (c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(5*a^6*x^5) - (3*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(4*a^5*x^4) - (3*c^3*ArcSin[a*x])/a + (3*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(8*a)}
+{(c - c/(a^2*x^2))^2/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 10, -((c^2*(6 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^2*x)) - (c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a^4*x^3) + (3*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(2*a^3*x^2) - (3*c^2*ArcSin[a*x])/a - (c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*a)}
+{(c - c/(a^2*x^2))/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 9, -((c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/a) + (c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*x) - (3*c*ArcSin[a*x])/a - (3*c*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/a}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))), x, 7, (1 - a*x)^3/(3*a*c*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (2*(1 - a*x)^2)/(a*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*c) - (3*ArcSin[a*x])/(a*c)}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^2), x, 7, -((1 - a*x)^3/(5*a*c^2*(1 - a^2*x^2)^(5/2))) + (6*(1 - a*x)^2)/(5*a*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (24*(1 - a*x))/(5*a*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*c^2) - (3*ArcSin[a*x])/(a*c^2)}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^3), x, 8, (1 - a*x)^3/(7*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) - (38*(1 - a*x)^2)/(35*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (137*(1 - a*x))/(35*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (245 - 181*a*x)/(35*a*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*c^3) - (3*ArcSin[a*x])/(a*c^3)}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^4), x, 9, -((1 - a*x)^3/(9*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(9/2))) + (22*(1 - a*x)^2)/(21*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) - (478*(1 - a*x))/(105*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (2*(1155 - 829*a*x))/(315*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (4*(630 - 431*a*x))/(315*a*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*c^4) - (3*ArcSin[a*x])/(a*c^4)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcTanh[a x]) (c-c/(a^2 x^2))^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2), x, 4, -((c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x)/(8*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) - (a*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^2)/(7*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) + (2*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^3)/(3*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) + (4*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^4)/(5*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) - (3*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^5)/(2*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) - (2*a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^6)/(1 - a^2*x^2)^(9/2) + (2*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^7)/(1 - a^2*x^2)^(9/2) + (4*a^7*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^8)/(1 - a^2*x^2)^(9/2) + (a^9*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^10)/(1 - a^2*x^2)^(9/2) + (a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9*Log[x])/(1 - a^2*x^2)^(9/2)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2), x, 4, -((c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x)/(6*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) - (a*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^2)/(5*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (3*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^3)/(4*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^4)/(1 - a^2*x^2)^(7/2) - (3*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^5)/(2*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) - (3*a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^6)/(1 - a^2*x^2)^(7/2) - (a^7*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^8)/(1 - a^2*x^2)^(7/2) - (a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*Log[x])/(1 - a^2*x^2)^(7/2)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2), x, 4, -((c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x)/(4*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (a*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^2)/(3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^3)/(1 - a^2*x^2)^(5/2) + (2*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^4)/(1 - a^2*x^2)^(5/2) + (a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^6)/(1 - a^2*x^2)^(5/2) + (a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*Log[x])/(1 - a^2*x^2)^(5/2)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2), x, 4, -((c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x)/(2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (a*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^2)/(1 - a^2*x^2)^(3/2) - (a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^4)/(1 - a^2*x^2)^(3/2) - (a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[x])/(1 - a^2*x^2)^(3/2)}
+{E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 4, (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2] + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{E^ArcTanh[a*x]/Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 4, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - c/(a^2*x^2))^(3/2), x, 4, (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^2) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(2*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*(1 - a*x)) + (5*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*Log[1 - a*x])/(4*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3) - ((1 - a^2*x^2)^(3/2)*Log[1 + a*x])/(4*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - c/(a^2*x^2))^(5/2), x, 4, -((1 - a^2*x^2)^(5/2)/(a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^4)) + (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(8*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*(1 - a*x)^2) - (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*(1 - a*x)) + (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(8*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*(1 + a*x)) - (23*(1 - a^2*x^2)^(5/2)*Log[1 - a*x])/(16*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) + (7*(1 - a^2*x^2)^(5/2)*Log[1 + a*x])/(16*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - c/(a^2*x^2))^(7/2), x, 4, (1 - a^2*x^2)^(7/2)/(a^7*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^6) + (1 - a^2*x^2)^(7/2)/(24*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 - a*x)^3) - (11*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(32*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 - a*x)^2) + (3*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(2*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 - a*x)) + (1 - a^2*x^2)^(7/2)/(32*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 + a*x)^2) - (5*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(16*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 + a*x)) + (51*(1 - a^2*x^2)^(7/2)*Log[1 - a*x])/(32*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7) - (19*(1 - a^2*x^2)^(7/2)*Log[1 + a*x])/(32*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2), x, 16, (295*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^5)/(1344*(1 - a*x)^4) - (501*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9)/(128*(1 - a*x)^4*(1 + a*x)^4) + (373*a^7*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^8)/(192*(1 - a*x)^4*(1 + a*x)^3) + (501*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^7)/(640*(1 - a*x)^4*(1 + a*x)^2) + (661*a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^6)/(1680*(1 - a*x)^4*(1 + a*x)) - (127*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^4*(1 + a*x))/(420*(1 - a*x)^4) + (71*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^3*(1 + a*x))/(336*(1 - a*x)^3) - (a*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^2*(1 + a*x))/(28*(1 - a*x)^2) - ((c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x*(1 + a*x))/(8*(1 - a*x)) + (2*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9*ArcSin[a*x])/((1 - a*x)^(9/2)*(1 + a*x)^(9/2)) + (245*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(128*(1 - a*x)^(9/2)*(1 + a*x)^(9/2))}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2), x, 14, -((11*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^4)/(30*(1 - a*x)^3)) + (57*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(16*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)^3) - (41*a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^6)/(24*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)^2) - (57*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^5)/(80*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)) + (13*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^3*(1 + a*x))/(40*(1 - a*x)^3) - (a*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^2*(1 + a*x))/(15*(1 - a*x)^2) - ((c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x*(1 + a*x))/(6*(1 - a*x)) - (2*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*ArcSin[a*x])/((1 - a*x)^(7/2)*(1 + a*x)^(7/2)) - (25*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(16*(1 - a*x)^(7/2)*(1 + a*x)^(7/2))}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2), x, 12, (5*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^3)/(8*(1 - a*x)^2) - (25*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 - a*x)^2*(1 + a*x)^2) + (17*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^4)/(12*(1 - a*x)^2*(1 + a*x)) - (a*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^2*(1 + a*x))/(6*(1 - a*x)^2) - ((c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x*(1 + a*x))/(4*(1 - a*x)) + (2*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*ArcSin[a*x])/((1 - a*x)^(5/2)*(1 + a*x)^(5/2)) + (9*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(8*(1 - a*x)^(5/2)*(1 + a*x)^(5/2))}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2), x, 10, -((a*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^2)/(1 - a*x)) + (5*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(2*(1 - a*x)*(1 + a*x)) - ((c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x*(1 + a*x))/(2*(1 - a*x)) - (2*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*ArcSin[a*x])/((1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)) - (a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(2*(1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2))}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 8, (-Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])*x + (2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 6, (2*(1 - a*x)*(1 + a*x))/(a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x) + (1 + a*x)^2/(a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x) - (2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcSin[a*x])/(a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^(3/2), x, 6, (1 + a*x)^2/(3*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x) - (2*(5 - 2*a*x)*(1 - a*x)*(1 + a*x)^2)/(3*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3) + (2*(1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)*ArcSin[a*x])/(a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^(5/2), x, 8, (1 + a*x)^2/(5*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x) - (2*(1 - a*x)*(1 + a*x)^2)/(3*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^2) + (58*(1 - a*x)^2*(1 + a*x)^2)/(15*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^3) + (2*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)^2*(28 + 43*a*x))/(15*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) - (2*(1 - a*x)^(5/2)*(1 + a*x)^(5/2)*ArcSin[a*x])/(a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^(7/2), x, 10, (1 + a*x)^2/(7*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x) - (2*(1 - a*x)*(1 + a*x)^2)/(5*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^2) + (124*(1 - a*x)^2*(1 + a*x)^2)/(105*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^3) - (782*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)^2)/(105*a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^4) - (142*(1 - a*x)^4*(1 + a*x)^2)/(35*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^5) - (2*(1 - a*x)^4*(1 + a*x)^3*(72 + 107*a*x))/(35*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7) + (2*(1 - a*x)^(7/2)*(1 + a*x)^(7/2)*ArcSin[a*x])/(a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^(9/2), x, 12, (1 + a*x)^2/(9*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x) - (2*(1 - a*x)*(1 + a*x)^2)/(7*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^2) + (214*(1 - a*x)^2*(1 + a*x)^2)/(315*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^3) - (646*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)^2)/(315*a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^4) + (302*(1 - a*x)^4*(1 + a*x)^2)/(21*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^5) + (2458*(1 - a*x)^5*(1 + a*x)^2)/(315*a^7*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^6) + (1334*(1 - a*x)^5*(1 + a*x)^3)/(315*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^7) + (2*(1 - a*x)^5*(1 + a*x)^4*(704 + 1019*a*x))/(315*a^10*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9) - (2*(1 - a*x)^(9/2)*(1 + a*x)^(9/2)*ArcSin[a*x])/(a^10*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9)}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2), x, 4, -((c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x)/(8*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) - (3*a*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^2)/(7*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) + (8*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^4)/(5*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) + (3*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^5)/(2*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) - (2*a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^6)/(1 - a^2*x^2)^(9/2) - (4*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^7)/(1 - a^2*x^2)^(9/2) - (a^9*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^10)/(1 - a^2*x^2)^(9/2) - (3*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9*Log[x])/(1 - a^2*x^2)^(9/2)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2), x, 4, -((c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x)/(6*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) - (3*a*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^2)/(5*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) - (a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^3)/(4*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (5*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^4)/(3*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (5*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^5)/(2*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) - (a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^6)/(1 - a^2*x^2)^(7/2) + (a^7*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^8)/(1 - a^2*x^2)^(7/2) + (3*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*Log[x])/(1 - a^2*x^2)^(7/2)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2), x, 4, -((c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x)/(4*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (a*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^2)/(1 - a^2*x^2)^(5/2) - (a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^3)/(1 - a^2*x^2)^(5/2) + (2*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^4)/(1 - a^2*x^2)^(5/2) - (a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^6)/(1 - a^2*x^2)^(5/2) - (3*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*Log[x])/(1 - a^2*x^2)^(5/2)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2), x, 4, -((c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x)/(2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (3*a*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^2)/(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^4)/(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (3*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[x])/(1 - a^2*x^2)^(3/2)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 4, -((a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 - a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 4, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) + (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 - a*x)) + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^(3/2), x, 4, -((1 - a^2*x^2)^(3/2)/(a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^2)) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(2*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*(1 - a*x)^2) - (3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*(1 - a*x)) - (3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*Log[1 - a*x])/(a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^(5/2), x, 4, (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^4) + (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(6*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*(1 - a*x)^3) - (9*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(8*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*(1 - a*x)^2) + (31*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(8*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*(1 - a*x)) + (49*(1 - a^2*x^2)^(5/2)*Log[1 - a*x])/(16*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) - ((1 - a^2*x^2)^(5/2)*Log[1 + a*x])/(16*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^(7/2), x, 4, -((1 - a^2*x^2)^(7/2)/(a^7*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^6)) + (1 - a^2*x^2)^(7/2)/(16*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 - a*x)^4) - (1 - a^2*x^2)^(7/2)/(2*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 - a*x)^3) + (59*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(32*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 - a*x)^2) - (75*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(16*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 - a*x)) + (1 - a^2*x^2)^(7/2)/(32*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 + a*x)) - (201*(1 - a^2*x^2)^(7/2)*Log[1 - a*x])/(64*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7) + (9*(1 - a^2*x^2)^(7/2)*Log[1 + a*x])/(64*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)}
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+
+
+{(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)/E^ArcTanh[a*x], x, 4, -((c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x)/(8*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) + (a*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^2)/(7*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) + (2*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^3)/(3*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) - (4*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^4)/(5*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) - (3*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^5)/(2*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) + (2*a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^6)/(1 - a^2*x^2)^(9/2) + (2*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^7)/(1 - a^2*x^2)^(9/2) - (4*a^7*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^8)/(1 - a^2*x^2)^(9/2) - (a^9*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^10)/(1 - a^2*x^2)^(9/2) + (a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9*Log[x])/(1 - a^2*x^2)^(9/2)}
+{(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)/E^ArcTanh[a*x], x, 4, -((c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x)/(6*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (a*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^2)/(5*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (3*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^3)/(4*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) - (a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^4)/(1 - a^2*x^2)^(7/2) - (3*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^5)/(2*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (3*a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^6)/(1 - a^2*x^2)^(7/2) + (a^7*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^8)/(1 - a^2*x^2)^(7/2) - (a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*Log[x])/(1 - a^2*x^2)^(7/2)}
+{(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)/E^ArcTanh[a*x], x, 4, -((c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x)/(4*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (a*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^2)/(3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^3)/(1 - a^2*x^2)^(5/2) - (2*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^4)/(1 - a^2*x^2)^(5/2) - (a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^6)/(1 - a^2*x^2)^(5/2) + (a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*Log[x])/(1 - a^2*x^2)^(5/2)}
+{(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)/E^ArcTanh[a*x], x, 4, -((c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x)/(2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (a*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^2)/(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^4)/(1 - a^2*x^2)^(3/2) - (a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[x])/(1 - a^2*x^2)^(3/2)}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/E^ArcTanh[a*x], x, 4, -((a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]), x, 4, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)), x, 4, -((1 - a^2*x^2)^(3/2)/(a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^2)) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(2*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*(1 + a*x)) - ((1 - a^2*x^2)^(3/2)*Log[1 - a*x])/(4*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3) + (5*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*Log[1 + a*x])/(4*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)), x, 4, (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^4) + (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(8*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*(1 - a*x)) + (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(8*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*(1 + a*x)^2) - (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*(1 + a*x)) + (7*(1 - a^2*x^2)^(5/2)*Log[1 - a*x])/(16*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) - (23*(1 - a^2*x^2)^(5/2)*Log[1 + a*x])/(16*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)}
+{1/(E^ArcTanh[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)), x, 4, -((1 - a^2*x^2)^(7/2)/(a^7*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^6)) + (1 - a^2*x^2)^(7/2)/(32*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 - a*x)^2) - (5*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(16*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 - a*x)) + (1 - a^2*x^2)^(7/2)/(24*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 + a*x)^3) - (11*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(32*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 + a*x)^2) + (3*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(2*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 + a*x)) - (19*(1 - a^2*x^2)^(7/2)*Log[1 - a*x])/(32*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7) + (51*(1 - a^2*x^2)^(7/2)*Log[1 + a*x])/(32*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)}
+
+
+{(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 16, (11*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9)/(128*(1 - a*x)^4*(1 + a*x)^4) + (39*a^7*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^8)/(64*(1 - a*x)^4*(1 + a*x)^3) - (11*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^7)/(640*(1 - a*x)^4*(1 + a*x)^2) + (a*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^2)/(28*(1 + a*x)) - (103*a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^6)/(160*(1 - a*x)^4*(1 + a*x)) + (629*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^5)/(960*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)) - (2*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^4)/(5*(1 - a*x)^2*(1 + a*x)) + (47*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^3)/(336*(1 - a*x)*(1 + a*x)) - ((c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x*(1 - a*x))/(8*(1 + a*x)) - (2*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9*ArcSin[a*x])/((1 - a*x)^(9/2)*(1 + a*x)^(9/2)) + (245*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(128*(1 - a*x)^(9/2)*(1 + a*x)^(9/2))}
+{(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 14, -((7*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(16*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)^3)) - (3*a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^6)/(8*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)^2) + (a*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^2)/(15*(1 + a*x)) + (19*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^5)/(16*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)) - (2*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^4)/(3*(1 - a*x)^2*(1 + a*x)) + (23*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^3)/(120*(1 - a*x)*(1 + a*x)) - ((c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x*(1 - a*x))/(6*(1 + a*x)) + (2*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*ArcSin[a*x])/((1 - a*x)^(7/2)*(1 + a*x)^(7/2)) - (25*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(16*(1 - a*x)^(7/2)*(1 + a*x)^(7/2))}
+{(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 12, (7*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 - a*x)^2*(1 + a*x)^2) + (a*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^2)/(6*(1 + a*x)) - (2*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^4)/((1 - a*x)^2*(1 + a*x)) + (7*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^3)/(24*(1 - a*x)*(1 + a*x)) - ((c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x*(1 - a*x))/(4*(1 + a*x)) - (2*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*ArcSin[a*x])/((1 - a*x)^(5/2)*(1 + a*x)^(5/2)) + (9*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(8*(1 - a*x)^(5/2)*(1 + a*x)^(5/2))}
+{(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 10, (a*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^2)/(1 + a*x) + (5*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(2*(1 - a*x)*(1 + a*x)) - ((c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x*(1 - a*x))/(2*(1 + a*x)) + (2*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*ArcSin[a*x])/((1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)) - (a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(2*(1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2))}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 8, (-Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])*x - (2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]), x, 6, (1 - a*x)^2/(a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x) + (2*(1 - a*x)*(1 + a*x))/(a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x) + (2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcSin[a*x])/(a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)), x, 6, (1 - a*x)^2/(3*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x) - (2*(1 - a*x)^2*(1 + a*x)*(5 + 2*a*x))/(3*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3) - (2*(1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)*ArcSin[a*x])/(a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)), x, 8, (1 - a*x)^2/(a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x) + (2*(1 - a*x)^3)/(5*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^2) - (2*(1 - a*x)^3*(1 + a*x))/(15*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^3) + (2*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)^2*(28 + 13*a*x))/(15*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) + (2*(1 - a*x)^(5/2)*(1 + a*x)^(5/2)*ArcSin[a*x])/(a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)}
+{1/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)), x, 10, (1 - a*x)^2/(3*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x) - (10*(1 - a*x)^3)/(3*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^2) - (12*(1 - a*x)^4)/(7*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^3) - (82*(1 - a*x)^4*(1 + a*x))/(105*a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^4) - (2*(1 - a*x)^4*(1 + a*x)^2)/(35*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^5) - (2*(1 - a*x)^4*(1 + a*x)^3*(72 + 37*a*x))/(35*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7) - (2*(1 - a*x)^(7/2)*(1 + a*x)^(7/2)*ArcSin[a*x])/(a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)}
+
+
+{(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 4, -((c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x)/(8*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) + (3*a*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^2)/(7*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) - (8*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^4)/(5*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) + (3*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^5)/(2*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) + (2*a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^6)/(1 - a^2*x^2)^(9/2) - (4*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^7)/(1 - a^2*x^2)^(9/2) + (a^9*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^10)/(1 - a^2*x^2)^(9/2) - (3*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9*Log[x])/(1 - a^2*x^2)^(9/2)}
+{(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 4, -((c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x)/(6*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (3*a*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^2)/(5*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) - (a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^3)/(4*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) - (5*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^4)/(3*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (5*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^5)/(2*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^6)/(1 - a^2*x^2)^(7/2) - (a^7*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^8)/(1 - a^2*x^2)^(7/2) + (3*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*Log[x])/(1 - a^2*x^2)^(7/2)}
+{(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 4, -((c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x)/(4*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (a*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^2)/(1 - a^2*x^2)^(5/2) - (a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^3)/(1 - a^2*x^2)^(5/2) - (2*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^4)/(1 - a^2*x^2)^(5/2) + (a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^6)/(1 - a^2*x^2)^(5/2) - (3*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*Log[x])/(1 - a^2*x^2)^(5/2)}
+{(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 4, -((c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x)/(2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (3*a*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^2)/(1 - a^2*x^2)^(3/2) - (a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^4)/(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (3*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[x])/(1 - a^2*x^2)^(3/2)}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 4, (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2] + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 + a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]), x, 4, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])) + (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 + a*x)) + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)), x, 4, (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^2) + (1 - a^2*x^2)^(3/2)/(2*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*(1 + a*x)^2) - (3*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*(1 + a*x)) - (3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*Log[1 + a*x])/(a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)), x, 4, -((1 - a^2*x^2)^(5/2)/(a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^4)) + (1 - a^2*x^2)^(5/2)/(6*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*(1 + a*x)^3) - (9*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(8*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*(1 + a*x)^2) + (31*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(8*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*(1 + a*x)) - ((1 - a^2*x^2)^(5/2)*Log[1 - a*x])/(16*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) + (49*(1 - a^2*x^2)^(5/2)*Log[1 + a*x])/(16*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)}
+{1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)), x, 4, (1 - a^2*x^2)^(7/2)/(a^7*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^6) + (1 - a^2*x^2)^(7/2)/(32*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 - a*x)) + (1 - a^2*x^2)^(7/2)/(16*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 + a*x)^4) - (1 - a^2*x^2)^(7/2)/(2*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 + a*x)^3) + (59*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(32*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 + a*x)^2) - (75*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(16*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*(1 + a*x)) + (9*(1 - a^2*x^2)^(7/2)*Log[1 - a*x])/(64*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7) - (201*(1 - a^2*x^2)^(7/2)*Log[1 + a*x])/(64*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTanh[a x]) (c-c/(a^2 x^2))^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^m, x, 4, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^(1 + m))/(m*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^(2 + m))/((1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+{E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2, x, 4, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^4)/(3*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x, x, 3, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2] + (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 4, (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2] + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x, x, 4, -(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{(E^ArcTanh[a*x]*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x^2, x, 3, -((Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)^2)/(2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]))}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3, x, 8, -((7*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/(8*a^3)) - (7*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 + a*x))/(24*a^3) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 + a*x)^2)/(6*a^3) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2*(1 + a*x)^2)/(4*a^2) + (7*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(8*a^3*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2, x, 7, -((Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/a^2) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 + a*x))/(3*a^2) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 + a*x)^2)/(3*a^2) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(a^2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x, x, 6, -((3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/(2*a)) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 + a*x))/(2*a) + (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(2*a*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 8, (-Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])*x + (2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x, x, 8, -Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] + (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (2*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x^2, x, 6, (-(3/2))*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x))/(2*x) - (3*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x^3, x, 7, (-a^2)*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] - (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x))/(3*x) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)^2)/(3*x^2) - (a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x^4, x, 9, (-(4/3))*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] - Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(4*x^3) - (2*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(3*x^2) - (7*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(8*x) - (7*a^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(8*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x^5, x, 10, (-(6/5))*a^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] - Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(5*x^4) - (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(2*x^3) - (3*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(5*x^2) - (3*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(4*x) - (3*a^5*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(4*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3, x, 4, (-4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^4)/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^5)/(4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 - a*x])/(a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2, x, 4, (-4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^4)/(3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 - a*x])/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x, x, 4, -((3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 - a*x])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 4, -((a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 - a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{(E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x, x, 4, -(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (3*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 - a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{(E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x^2, x, 4, (-3*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 - a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{(E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x^3, x, 4, (-4*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(3*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 - a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{(E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x^4, x, 4, (-4*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(4*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*a^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*a^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 - a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{(E^(3*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x^5, x, 4, (-4*a^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(5*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(4*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(3*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*a^5*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*a^5*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 - a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^m)/E^ArcTanh[a*x], x, 4, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^(1 + m))/(m*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^(2 + m))/((1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+{(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/E^ArcTanh[a*x], x, 4, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^4)/(3*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/E^ArcTanh[a*x], x, 3, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/E^ArcTanh[a*x], x, 4, -((a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^ArcTanh[a*x]*x), x, 4, -(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^ArcTanh[a*x]*x^2), x, 3, -((Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)^2)/(2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]))}
+
+
+{(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 8, (7*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/(8*a^3) + (7*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 - a*x))/(24*a^3) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 - a*x)^2)/(6*a^3) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2*(1 - a*x)^2)/(4*a^2) + (7*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(8*a^3*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 7, -((Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/a^2) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 - a*x))/(3*a^2) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 - a*x)^2)/(3*a^2) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(a^2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 6, (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/(2*a) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 - a*x))/(2*a) + (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(2*a*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 8, (-Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])*x - (2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(2*ArcTanh[a*x])*x), x, 8, -Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] + (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (2*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^2), x, 6, (3/2)*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x))/(2*x) - (3*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^3), x, 7, (-a^2)*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] + (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x))/(3*x) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)^2)/(3*x^2) + (a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^4), x, 9, (4/3)*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] - Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(4*x^3) + (2*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(3*x^2) - (7*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(8*x) - (7*a^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(8*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^5), x, 10, (-(6/5))*a^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] - Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(5*x^4) + (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(2*x^3) - (3*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(5*x^2) + (3*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(4*x) + (3*a^5*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(4*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+
+
+{(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 4, (-4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^4)/Sqrt[1 - a^2*x^2] + (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^5)/(4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 + a*x])/(a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 4, (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^4)/(3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 + a*x])/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 4, -((3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 + a*x])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 4, (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2] + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 + a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(3*ArcTanh[a*x])*x), x, 4, -(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] + (4*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 + a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(3*ArcTanh[a*x])*x^2), x, 4, (3*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 + a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(3*ArcTanh[a*x])*x^3), x, 4, (-4*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(3*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (3*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] + (4*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 + a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(3*ArcTanh[a*x])*x^4), x, 4, (4*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(4*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*a^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*a^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 + a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(3*ArcTanh[a*x])*x^5), x, 4, (-4*a^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(5*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (3*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(4*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(3*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (2*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*a^5*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] + (4*a^5*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*Log[1 + a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcTanh[a x]) (c-c/(a^2 x^2))^p with n symbolic*)
+
+
+{(c - c/(a^2*x^2))^p/E^(2*p*ArcTanh[a*x]), x, 3, ((c - c/(a^2*x^2))^p*x*Hypergeometric2F1[1 - 2*p, -2*p, 2 - 2*p, a*x])/((1 - a^2*x^2)^p*(1 - 2*p))}
+{E^(2*p*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^p, x, 3, ((c - c/(a^2*x^2))^p*x*Hypergeometric2F1[1 - 2*p, -2*p, 2 - 2*p, (-a)*x])/((1 - a^2*x^2)^p*(1 - 2*p))}
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 10, -((4*c^2*(1 - a*x)^(3 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-4 + n)))/(a*(4 - n))) - (c^2*(1 - a*x)^(3 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-4 + n)))/(3*a^4*x^3) - (c^2*(10 + n)*(1 - a*x)^(3 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-4 + n)))/(6*a^3*x^2) - (c^2*(14 + 5*n + n^2)*(1 - a*x)^(3 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-4 + n)))/(6*a^2*x) - (c^2*n*(10 - n^2)*(1 - a*x)^(2 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-4 + n))*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-4 + n), (1/2)*(-2 + n), (1 + a*x)/(1 - a*x)])/(3*a*(4 - n)) + (2^(-1 + n/2)*c^2*n*(1 - a*x)^(3 - n/2)*Hypergeometric2F1[(4 - n)/2, 3 - n/2, 4 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*(24 - 10*n + n^2))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^1, x, 5, (4*c*(1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n))*Hypergeometric2F1[2, 1 - n/2, 2 - n/2, (1 - a*x)/(1 + a*x)])/(a*(2 - n)) - (2^(1 + n/2)*c*(1 - a*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*(2 - n))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^1, x, 5, -(((1 - n)*(1 + a*x)^(n/2))/((1 - a*x)^(n/2)*(a*c*n))) + (x*(1 + a*x)^(n/2))/((1 - a*x)^(n/2)*c) - (2^(1 + n/2)*Hypergeometric2F1[-(n/2), -(n/2), 1 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*(a*c))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 11, ((1 - n)*(3 + n)*(1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/(a*c^2*(2 - n)) + ((3 + n)*x*(1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/c^2 - (a^2*x^3*(1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/c^2 + ((1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/(a*c^2*(2 - n)) - (1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n))/((1 - a*x)^(n/2)*(a*c^2)) - ((3 + n)*(2 - n^2)*(1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^(n/2))/(a*c^2*(4 - n^2)) - ((3 + n)*(2 - n^2)*(1 + a*x)^(n/2))/((1 - a*x)^(n/2)*(a*c^2*n*(4 - n^2))) - (2^(n/2)*n*(1 - a*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[(2 - n)/2, 1 - n/2, 2 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*c^2*(2 - n))}
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2), x, 9, -(((c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x*(1 - a*x)^((5 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n)))/(2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))) - (a*(4 + n)*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^2*(1 - a*x)^((5 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n)))/(2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (3*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*(1 - a*x)^((5 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n)))/((3 - n)*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (a^2*(3 - n^2)*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-3 + n), (1/2)*(-1 + n), (1 + a*x)/(1 - a*x)])/((3 - n)*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (2^((1/2)*(-1 + n))*a^2*n*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*(1 - a*x)^((5 - n)/2)*Hypergeometric2F1[(3 - n)/2, (5 - n)/2, (7 - n)/2, (1/2)*(1 - a*x)])/((3 - n)*(5 - n)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(1/2), x, 6, -((Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n)))/((1 - n)*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, (1 + a*x)/(1 - a*x)])/((1 - n)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (2^((1 + n)/2)*n*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*Hypergeometric2F1[(1 - n)/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, (1/2)*(1 - a*x)])/((3 - 4*n + n^2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^(1/2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, -(((1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*(1 + n)*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)) - (2^((3 + n)/2)*n*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 - n), (1 - n)/2, (3 - n)/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a^2*(1 - n^2)*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x), -(((1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*(1 + n)*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)) - (2^((3 + n)/2)*n*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 - n), (1 - n)/2, (3 - n)/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a^2*(1 - n^2)*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)]}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^(3/2), x, 5, -(((1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x)) + ((1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*(2 + 2*n + n^2 - a*n*(3 + 2*n)*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(a^4*(1 - n^2)*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3) - (2^((1/2)*(-1 + n))*n*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*Hypergeometric2F1[(3 - n)/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a^4*(3 - n)*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^(5/2), x, 18, If[$VersionNumber>=8, ((4 + n)*(1 - a*x)^((1/2)*(-3 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^3*(3 + n)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^2) - ((1 - a*x)^((1/2)*(-3 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x) + (n*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^6*(1 + n)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) - (3*(2 - n)*(4 + n)*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^6*(9 - n^2)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) - (3*(4 + n)*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^5*(3 + n)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^4) - (2*n*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^6*(1 - n^2)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) + (2*n*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^6*(1 + n)*(3 - 4*n + n^2)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) - (3*n*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^6*(1 + n)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) + (3*(4 + n)*(1 + 2*n - n^2)*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^6*(3 - n)*(1 + n)*(3 + n)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) + (3*n*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^6*(1 - n^2)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) - (3*(4 + n)*(1 + 2*n - n^2)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^6*(9 - 10*n^2 + n^4)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) + (3*n*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1 + n)/2)*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^6*(1 + n)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) - (2^((3 + n)/2)*n*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 - n), (1/2)*(-1 - n), (1 - n)/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a^6*(1 + n)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5), ((4 + n)*(1 - a*x)^((1/2)*(-3 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^3*(3 + n)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^2) - ((1 - a*x)^((1/2)*(-3 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x) + (n*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^6*(1 + n)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) - (3*(2 - n)*(4 + n)*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^6*(9 - n^2)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) - (3*(4 + n)*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^5*(3 + n)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^4) - (2*n*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^6*(1 - n^2)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) + (2*n*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^6*(3 - n - 3*n^2 + n^3)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) - (3*n*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^6*(1 + n)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) + (3*(4 + n)*(1 + 2*n - n^2)*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^6*(9 + 9*n - n^2 - n^3)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) + (3*n*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^6*(1 - n^2)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) - (3*(4 + n)*(1 + 2*n - n^2)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^6*(9 - 10*n^2 + n^4)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) + (3*n*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1 + n)/2)*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(a^6*(1 + n)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) - (2^((3 + n)/2)*n*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 - a^2*x^2)^(5/2)*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-1 - n), (1/2)*(-1 - n), (1 - n)/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a^6*(1 + n)*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcTanh[a x]) (c-c/(a^2 x^2))^p with p symbolic*)
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^p, x, 3, ((c - c/(a^2*x^2))^p*x*AppellF1[1 - 2*p, (1/2)*(n - 2*p), -(n/2) - p, 2 - 2*p, a*x, (-a)*x])/((1 - a^2*x^2)^p*(1 - 2*p))}
+
+
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^p, x, 13, (2*a*(c - c/(a^2*x^2))^p*x^2)/((1 - p)*(1 - a*x)*(1 + a*x)) + ((c - c/(a^2*x^2))^p*x*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 - 2*p), 2 - p, (1/2)*(3 - 2*p), a^2*x^2])/((1 - a*x)^p*(1 + a*x)^p*(1 - 2*p)) + (6*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^p*x^3*Hypergeometric2F1[(1/2)*(3 - 2*p), 2 - p, (1/2)*(5 - 2*p), a^2*x^2])/((1 - a*x)^p*(1 + a*x)^p*(3 - 2*p)) + (a^4*(c - c/(a^2*x^2))^p*x^5*Hypergeometric2F1[(1/2)*(5 - 2*p), 2 - p, (1/2)*(7 - 2*p), a^2*x^2])/((1 - a*x)^p*(1 + a*x)^p*(5 - 2*p)) + (2*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^p*x^4*Hypergeometric2F1[2 - p, 2 - p, 3 - p, a^2*x^2])/((1 - a*x)^p*(1 + a*x)^p*(2 - p))}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^p, x, 7, ((c - c/(a^2*x^2))^p*x)/((1 - 2*p)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (a*(c - c/(a^2*x^2))^p*x^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2] + (3*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^p*x^3*Hypergeometric2F1[(1/2)*(3 - 2*p), 3/2 - p, (1/2)*(5 - 2*p), a^2*x^2])/((1 - a^2*x^2)^p*(3 - 2*p)) + (a*(5 - 2*p)*(c - c/(a^2*x^2))^p*x^2*Hypergeometric2F1[1 - p, 3/2 - p, 2 - p, a^2*x^2])/((1 - a^2*x^2)^p*(2*(1 - p)))}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^p, x, 10, ((c - c/(a^2*x^2))^p*x*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 - 2*p), 1 - p, (1/2)*(3 - 2*p), a^2*x^2])/((1 - a*x)^p*(1 + a*x)^p*(1 - 2*p)) + (a^2*(c - c/(a^2*x^2))^p*x^3*Hypergeometric2F1[(1/2)*(3 - 2*p), 1 - p, (1/2)*(5 - 2*p), a^2*x^2])/((1 - a*x)^p*(1 + a*x)^p*(3 - 2*p)) + (a*(c - c/(a^2*x^2))^p*x^2*Hypergeometric2F1[1 - p, 1 - p, 2 - p, a^2*x^2])/((1 - a*x)^p*(1 + a*x)^p*(1 - p))}
+{E^(1*ArcTanh[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^p, x, 5, ((c - c/(a^2*x^2))^p*x*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 - 2*p), 1/2 - p, (1/2)*(3 - 2*p), a^2*x^2])/((1 - a^2*x^2)^p*(1 - 2*p)) + (a*(c - c/(a^2*x^2))^p*x^2*Hypergeometric2F1[1/2 - p, 1 - p, 2 - p, a^2*x^2])/((1 - a^2*x^2)^p*(2*(1 - p)))}
+{(c - c/(a^2*x^2))^p/E^ArcTanh[a*x], x, 5, ((c - c/(a^2*x^2))^p*x*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 - 2*p), 1/2 - p, (1/2)*(3 - 2*p), a^2*x^2])/((1 - a^2*x^2)^p*(1 - 2*p)) - (a*(c - c/(a^2*x^2))^p*x^2*Hypergeometric2F1[1/2 - p, 1 - p, 2 - p, a^2*x^2])/((1 - a^2*x^2)^p*(2*(1 - p)))}
+{(c - c/(a^2*x^2))^p/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 10, ((c - c/(a^2*x^2))^p*x*Hypergeometric2F1[(1/2)*(1 - 2*p), 1 - p, (1/2)*(3 - 2*p), a^2*x^2])/((1 - a*x)^p*(1 + a*x)^p*(1 - 2*p)) + (a^2*(c - c/(a^2*x^2))^p*x^3*Hypergeometric2F1[(1/2)*(3 - 2*p), 1 - p, (1/2)*(5 - 2*p), a^2*x^2])/((1 - a*x)^p*(1 + a*x)^p*(3 - 2*p)) - (a*(c - c/(a^2*x^2))^p*x^2*Hypergeometric2F1[1 - p, 1 - p, 2 - p, a^2*x^2])/((1 - a*x)^p*(1 + a*x)^p*(1 - p))}
+{(c - c/(a^2*x^2))^p/E^(3*ArcTanh[a*x]), x, 7, ((c - c/(a^2*x^2))^p*x)/((1 - 2*p)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a*(c - c/(a^2*x^2))^p*x^2)/Sqrt[1 - a^2*x^2] + (3*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^p*x^3*Hypergeometric2F1[(1/2)*(3 - 2*p), 3/2 - p, (1/2)*(5 - 2*p), a^2*x^2])/((1 - a^2*x^2)^p*(3 - 2*p)) - (a*(5 - 2*p)*(c - c/(a^2*x^2))^p*x^2*Hypergeometric2F1[1 - p, 3/2 - p, 2 - p, a^2*x^2])/((1 - a^2*x^2)^p*(2*(1 - p)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u Sin[a x] E^(n ArcTanh[a x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Sin[a x] E^ArcTanh[a x] (1+a x)^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n/2>0*)
+
+
+{x*Sin[x]*E^ArcTanh[x]*(1 + x)^(1/2), x, 16, 3*Sqrt[1 - x]*Cos[x] - (1 - x)^(3/2)*Cos[x] - 3*Sqrt[Pi/2]*Cos[1]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]] - (3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[1]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]] + 2*Sqrt[2*Pi]*Cos[1]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]] + (3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]]*Sin[1] - 2*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]]*Sin[1] - 3*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]]*Sin[1] - (3/2)*Sqrt[1 - x]*Sin[x]}
+{Sin[x]*E^ArcTanh[x]*(1 + x)^(1/2), x, 11, Sqrt[1 - x]*Cos[x] - Sqrt[Pi/2]*Cos[1]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]] + 2*Sqrt[2*Pi]*Cos[1]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]] - 2*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]]*Sin[1] - Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]]*Sin[1]}
+
+{x*Sin[x]*E^ArcTanh[x]*(1 - x)^(1/2), x, 13, Sqrt[1 + x]*Cos[x] - (1 + x)^(3/2)*Cos[x] - Sqrt[Pi/2]*Cos[1]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 + x]] - (3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[1]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 + x]] + (3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 + x]]*Sin[1] - Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 + x]]*Sin[1] + (3/2)*Sqrt[1 + x]*Sin[x]}
+{Sin[x]*E^ArcTanh[x]*(1 - x)^(1/2), x, 7, (-Sqrt[1 + x])*Cos[x] + Sqrt[Pi/2]*Cos[1]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 + x]] + Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 + x]]*Sin[1]}
+
+
+{x*Sin[x]*E^ArcTanh[x]*(1 + x)^(3/2), x, 22, (17/4)*Sqrt[1 - x]*Cos[x] - 5*(1 - x)^(3/2)*Cos[x] + (1 - x)^(5/2)*Cos[x] + (15/4)*Sqrt[Pi/2]*Cos[1]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]] - 4*Sqrt[2*Pi]*Cos[1]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]] - (15/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[1]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]] + 4*Sqrt[2*Pi]*Cos[1]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]] + (15/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]]*Sin[1] - 4*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]]*Sin[1] + (15/4)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]]*Sin[1] - 4*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]]*Sin[1] - (15/2)*Sqrt[1 - x]*Sin[x] + (5/2)*(1 - x)^(3/2)*Sin[x]}
+{Sin[x]*E^ArcTanh[x]*(1 + x)^(3/2), x, 16, 4*Sqrt[1 - x]*Cos[x] - (1 - x)^(3/2)*Cos[x] - 2*Sqrt[2*Pi]*Cos[1]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]] - (3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[1]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]] + 4*Sqrt[2*Pi]*Cos[1]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]] + (3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]]*Sin[1] - 4*Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]]*Sin[1] - 2*Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]]*Sin[1] - (3/2)*Sqrt[1 - x]*Sin[x]}
+
+{x*Sin[x]*E^ArcTanh[x]*(1 - x)^(3/2), x, 19, (-(7/4))*Sqrt[1 + x]*Cos[x] - 3*(1 + x)^(3/2)*Cos[x] + (1 + x)^(5/2)*Cos[x] + (7/4)*Sqrt[Pi/2]*Cos[1]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 + x]] - (9/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[1]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 + x]] + (9/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 + x]]*Sin[1] + (7/4)*Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 + x]]*Sin[1] + (9/2)*Sqrt[1 + x]*Sin[x] - (5/2)*(1 + x)^(3/2)*Sin[x]}
+{Sin[x]*E^ArcTanh[x]*(1 - x)^(3/2), x, 13, -2*Sqrt[1 + x]*Cos[x] + (1 + x)^(3/2)*Cos[x] + Sqrt[2*Pi]*Cos[1]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 + x]] + (3/2)*Sqrt[Pi/2]*Cos[1]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 + x]] - (3/2)*Sqrt[Pi/2]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 + x]]*Sin[1] + Sqrt[2*Pi]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 + x]]*Sin[1] - (3/2)*Sqrt[1 + x]*Sin[x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n/2<0*)
+
+
+{x*Sin[x]*E^ArcTanh[x]/(1 + x)^(1/2), x, 11, Sqrt[1 - x]*Cos[x] - Sqrt[Pi/2]*Cos[1]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]] + Sqrt[2*Pi]*Cos[1]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]] - Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]]*Sin[1] - Sqrt[Pi/2]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]]*Sin[1]}
+{Sin[x]*E^ArcTanh[x]/(1 + x)^(1/2), x, 6, Sqrt[2*Pi]*Cos[1]*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]] - Sqrt[2*Pi]*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Sqrt[1 - x]]*Sin[1]}
+
+(* {x*Sin[x]*E^ArcTanh[x]/(1 - x)^(1/2), x, 0, 0} *)
+(* {Sin[x]*E^ArcTanh[x]/(1 - x)^(1/2), x, 0, 0} *)
+
+
+(* {x*Sin[x]*E^ArcTanh[x]/(1 + x)^(3/2), x, 0, 0} *)
+(* {Sin[x]*E^ArcTanh[x]/(1 + x)^(3/2), x, 0, 0} *)
+
+(* {x*Sin[x]*E^ArcTanh[x]/(1 - x)^(3/2), x, 0, 0} *)
+(* {Sin[x]*E^ArcTanh[x]/(1 - x)^(3/2), x, 0, 0} *)
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u E^(n ArcTanh[a+b x])*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u E^(n ArcTanh[a+b x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTanh[a+b x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0 integer*)
+
+
+{E^ArcTanh[a + b*x]*x^3, x, 7, -(((3 - 12*a + 12*a^2 - 8*a^3)*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(8*b^4)) - (x^2*Sqrt[1 - a - b*x]*(1 + a + b*x)^(3/2))/(4*b^2) - (Sqrt[1 - a - b*x]*(1 + a + b*x)^(3/2)*(7 - 10*a + 18*a^2 + 2*(1 - 6*a)*b*x))/(24*b^4) + ((3 - 12*a + 12*a^2 - 8*a^3)*ArcSin[a + b*x])/(8*b^4)}
+{E^ArcTanh[a + b*x]*x^2, x, 7, -(((1 - 2*a + 2*a^2)*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(2*b^3)) - ((1 - 4*a)*Sqrt[1 - a - b*x]*(1 + a + b*x)^(3/2))/(6*b^3) - (x*Sqrt[1 - a - b*x]*(1 + a + b*x)^(3/2))/(3*b^2) + ((1 - 2*a + 2*a^2)*ArcSin[a + b*x])/(2*b^3)}
+{E^ArcTanh[a + b*x]*x^1, x, 6, -(((1 - 2*a)*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(2*b^2)) - (Sqrt[1 - a - b*x]*(1 + a + b*x)^(3/2))/(2*b^2) + ((1 - 2*a)*ArcSin[a + b*x])/(2*b^2)}
+{E^ArcTanh[a + b*x]*x^0, x, 5, -((Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/b) + ArcSin[a + b*x]/b}
+{E^ArcTanh[a + b*x]/x^1, x, 8, ArcSin[a + b*x] - (2*(1 + a)*ArcTanh[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[1 - a - b*x])])/Sqrt[1 - a^2]}
+{E^ArcTanh[a + b*x]/x^2, x, 4, -((Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/((1 - a)*x)) - (2*b*ArcTanh[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[1 - a - b*x])])/((1 - a)*Sqrt[1 - a^2])}
+{E^ArcTanh[a + b*x]/x^3, x, 5, -(((1 + 2*a)*b*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(2*(1 - a)^2*(1 + a)*x)) - (Sqrt[1 - a - b*x]*(1 + a + b*x)^(3/2))/(2*(1 - a^2)*x^2) - ((1 + 2*a)*b^2*ArcTanh[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[1 - a - b*x])])/((1 - a)^2*(1 + a)*Sqrt[1 - a^2])}
+{E^ArcTanh[a + b*x]/x^4, x, 7, -((Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(3*(1 - a)*x^3)) - ((3 + 2*a)*b*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(6*(1 - a)^2*(1 + a)*x^2) - ((4 + a)*(1 + 2*a)*b^2*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(6*(1 - a)^3*(1 + a)^2*x) - ((1 + 2*a + 2*a^2)*b^3*ArcTanh[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[1 - a - b*x])])/((1 - a)*(1 - a^2)^(5/2))}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a + b*x])*x^4, x, 3, -((2*(1 - a)^3*x)/b^4) - ((1 - a)^2*x^2)/b^3 - (2*(1 - a)*x^3)/(3*b^2) - x^4/(2*b) - x^5/5 - (2*(1 - a)^4*Log[1 - a - b*x])/b^5}
+{E^(2*ArcTanh[a + b*x])*x^3, x, 3, -((2*(1 - a)^2*x)/b^3) - ((1 - a)*x^2)/b^2 - (2*x^3)/(3*b) - x^4/4 - (2*(1 - a)^3*Log[1 - a - b*x])/b^4}
+{E^(2*ArcTanh[a + b*x])*x^2, x, 3, -((2*(1 - a)*x)/b^2) - x^2/b - x^3/3 - (2*(1 - a)^2*Log[1 - a - b*x])/b^3}
+{E^(2*ArcTanh[a + b*x])*x^1, x, 3, -((2*x)/b) - x^2/2 - (2*(1 - a)*Log[1 - a - b*x])/b^2}
+{E^(2*ArcTanh[a + b*x])*x^0, x, 3, -x - (2*Log[1 - a - b*x])/b}
+{E^(2*ArcTanh[a + b*x])/x^1, x, 3, ((1 + a)*Log[x])/(1 - a) - (2*Log[1 - a - b*x])/(1 - a)}
+{E^(2*ArcTanh[a + b*x])/x^2, x, 3, -((1 + a)/((1 - a)*x)) + (2*b*Log[x])/(1 - a)^2 - (2*b*Log[1 - a - b*x])/(1 - a)^2}
+{E^(2*ArcTanh[a + b*x])/x^3, x, 3, -((1 + a)/(2*(1 - a)*x^2)) - (2*b)/((1 - a)^2*x) + (2*b^2*Log[x])/(1 - a)^3 - (2*b^2*Log[1 - a - b*x])/(1 - a)^3}
+{E^(2*ArcTanh[a + b*x])/x^4, x, 3, -((1 + a)/(3*(1 - a)*x^3)) - b/((1 - a)^2*x^2) - (2*b^2)/((1 - a)^3*x) + (2*b^3*Log[x])/(1 - a)^4 - (2*b^3*Log[1 - a - b*x])/(1 - a)^4}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a + b*x])*x^3, x, 8, (3*(17 - 44*a + 36*a^2 - 8*a^3)*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(8*b^4) + (2*x^3*(1 + a + b*x)^(3/2))/(b*Sqrt[1 - a - b*x]) + (9*x^2*Sqrt[1 - a - b*x]*(1 + a + b*x)^(3/2))/(4*b^2) + (Sqrt[1 - a - b*x]*(1 + a + b*x)^(3/2)*(29 - 54*a + 22*a^2 + 2*(11 - 10*a)*b*x))/(8*b^4) - (3*(17 - 44*a + 36*a^2 - 8*a^3)*ArcSin[a + b*x])/(8*b^4)}
+{E^(3*ArcTanh[a + b*x])*x^2, x, 8, ((11 - 18*a + 6*a^2)*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(2*b^3) + ((11 - 18*a + 6*a^2)*Sqrt[1 - a - b*x]*(1 + a + b*x)^(3/2))/(6*b^3) + ((1 - a)^2*(1 + a + b*x)^(5/2))/(b^3*Sqrt[1 - a - b*x]) + (Sqrt[1 - a - b*x]*(1 + a + b*x)^(5/2))/(3*b^3) - ((11 - 18*a + 6*a^2)*ArcSin[a + b*x])/(2*b^3)}
+{E^(3*ArcTanh[a + b*x])*x^1, x, 7, (3*(3 - 2*a)*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(2*b^2) + ((3 - 2*a)*Sqrt[1 - a - b*x]*(1 + a + b*x)^(3/2))/(2*b^2) + ((1 - a)*(1 + a + b*x)^(5/2))/(b^2*Sqrt[1 - a - b*x]) - (3*(3 - 2*a)*ArcSin[a + b*x])/(2*b^2)}
+{E^(3*ArcTanh[a + b*x])*x^0, x, 6, (3*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/b + (2*(1 + a + b*x)^(3/2))/(b*Sqrt[1 - a - b*x]) - (3*ArcSin[a + b*x])/b}
+{E^(3*ArcTanh[a + b*x])/x^1, x, 8, (4*Sqrt[1 + a + b*x])/((1 - a)*Sqrt[1 - a - b*x]) - ArcSin[a + b*x] - (2*(1 + a)^2*ArcTanh[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[1 - a - b*x])])/((1 - a)*Sqrt[1 - a^2])}
+{E^(3*ArcTanh[a + b*x])/x^2, x, 5, (6*b*Sqrt[1 + a + b*x])/((1 - a)^2*Sqrt[1 - a - b*x]) - (1 + a + b*x)^(3/2)/((1 - a)*x*Sqrt[1 - a - b*x]) - (6*(1 + a)*b*ArcTanh[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[1 - a - b*x])])/((1 - a)^2*Sqrt[1 - a^2])}
+{E^(3*ArcTanh[a + b*x])/x^3, x, 6, (3*(3 + 2*a)*b^2*Sqrt[1 + a + b*x])/((1 - a)^3*(1 + a)*Sqrt[1 - a - b*x]) - ((3 + 2*a)*b*(1 + a + b*x)^(3/2))/(2*(1 - a)^2*(1 + a)*x*Sqrt[1 - a - b*x]) - (1 + a + b*x)^(5/2)/(2*(1 - a^2)*x^2*Sqrt[1 - a - b*x]) - (3*(3 + 2*a)*b^2*ArcTanh[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[1 - a - b*x])])/((1 - a)^3*Sqrt[1 - a^2])}
+{E^(3*ArcTanh[a + b*x])/x^4, x, 8, ((52 + 51*a + 2*a^2)*b^3*Sqrt[1 + a + b*x])/(6*(1 - a)^4*(1 + a)*Sqrt[1 - a - b*x]) - ((1 + a)*Sqrt[1 + a + b*x])/(3*(1 - a)*x^3*Sqrt[1 - a - b*x]) - (7*b*Sqrt[1 + a + b*x])/(6*(1 - a)^2*x^2*Sqrt[1 - a - b*x]) - ((19 + 16*a)*b^2*Sqrt[1 + a + b*x])/(6*(1 - a)^3*(1 + a)*x*Sqrt[1 - a - b*x]) - ((11 + 18*a + 6*a^2)*b^3*ArcTanh[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[1 - a - b*x])])/((1 - a)^4*(1 + a)*Sqrt[1 - a^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0 integer*)
+
+
+{E^(-ArcTanh[a + b*x])*x^3, x, 7, -(((3 + 12*a + 12*a^2 + 8*a^3)*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(8*b^4)) - (x^2*(1 - a - b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a + b*x])/(4*b^2) - ((1 - a - b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a + b*x]*(7 + 10*a + 18*a^2 - 2*(1 + 6*a)*b*x))/(24*b^4) - ((3 + 12*a + 12*a^2 + 8*a^3)*ArcSin[a + b*x])/(8*b^4)}
+{E^(-ArcTanh[a + b*x])*x^2, x, 7, ((1 + 2*a + 2*a^2)*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(2*b^3) + ((1 + 4*a)*(1 - a - b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a + b*x])/(6*b^3) - (x*(1 - a - b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a + b*x])/(3*b^2) + ((1 + 2*a + 2*a^2)*ArcSin[a + b*x])/(2*b^3)}
+{E^(-ArcTanh[a + b*x])*x^1, x, 6, -(((1 + 2*a)*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(2*b^2)) - ((1 - a - b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a + b*x])/(2*b^2) - ((1 + 2*a)*ArcSin[a + b*x])/(2*b^2)}
+{E^(-ArcTanh[a + b*x])*x^0, x, 5, (Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/b + ArcSin[a + b*x]/b}
+{E^(-ArcTanh[a + b*x])/x^1, x, 8, -ArcSin[a + b*x] - (2*(1 - a)*ArcTanh[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[1 - a - b*x])])/Sqrt[1 - a^2]}
+{E^(-ArcTanh[a + b*x])/x^2, x, 4, -((Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/((1 + a)*x)) + (2*b*ArcTanh[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[1 - a - b*x])])/((1 + a)*Sqrt[1 - a^2])}
+{E^(-ArcTanh[a + b*x])/x^3, x, 5, ((1 - 2*a)*b*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(2*(1 - a)*(1 + a)^2*x) - ((1 - a - b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a + b*x])/(2*(1 - a^2)*x^2) - ((1 - 2*a)*b^2*ArcTanh[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[1 - a - b*x])])/((1 - a)*(1 + a)^2*Sqrt[1 - a^2])}
+{E^(-ArcTanh[a + b*x])/x^4, x, 7, -((Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(3*(1 + a)*x^3)) + ((3 - 2*a)*b*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(6*(1 - a)*(1 + a)^2*x^2) - ((1 - 2*a)*(4 - a)*b^2*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(6*(1 - a)^2*(1 + a)^3*x) + ((1 - 2*a + 2*a^2)*b^3*ArcTanh[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[1 - a - b*x])])/((1 + a)*(1 - a^2)^(5/2))}
+
+
+{E^(-2*ArcTanh[a + b*x])*x^4, x, 3, -((2*(1 + a)^3*x)/b^4) + ((1 + a)^2*x^2)/b^3 - (2*(1 + a)*x^3)/(3*b^2) + x^4/(2*b) - x^5/5 + (2*(1 + a)^4*Log[1 + a + b*x])/b^5}
+{E^(-2*ArcTanh[a + b*x])*x^3, x, 3, (2*(1 + a)^2*x)/b^3 - ((1 + a)*x^2)/b^2 + (2*x^3)/(3*b) - x^4/4 - (2*(1 + a)^3*Log[1 + a + b*x])/b^4}
+{E^(-2*ArcTanh[a + b*x])*x^2, x, 3, -((2*(1 + a)*x)/b^2) + x^2/b - x^3/3 + (2*(1 + a)^2*Log[1 + a + b*x])/b^3}
+{E^(-2*ArcTanh[a + b*x])*x^1, x, 3, (2*x)/b - x^2/2 - (2*(1 + a)*Log[1 + a + b*x])/b^2}
+{E^(-2*ArcTanh[a + b*x])*x^0, x, 3, -x + (2*Log[1 + a + b*x])/b}
+{E^(-2*ArcTanh[a + b*x])/x^1, x, 3, ((1 - a)*Log[x])/(1 + a) - (2*Log[1 + a + b*x])/(1 + a)}
+{E^(-2*ArcTanh[a + b*x])/x^2, x, 3, -((1 - a)/((1 + a)*x)) - (2*b*Log[x])/(1 + a)^2 + (2*b*Log[1 + a + b*x])/(1 + a)^2}
+{E^(-2*ArcTanh[a + b*x])/x^3, x, 3, -((1 - a)/(2*(1 + a)*x^2)) + (2*b)/((1 + a)^2*x) + (2*b^2*Log[x])/(1 + a)^3 - (2*b^2*Log[1 + a + b*x])/(1 + a)^3}
+{E^(-2*ArcTanh[a + b*x])/x^4, x, 3, -((1 - a)/(3*(1 + a)*x^3)) + b/((1 + a)^2*x^2) - (2*b^2)/((1 + a)^3*x) - (2*b^3*Log[x])/(1 + a)^4 + (2*b^3*Log[1 + a + b*x])/(1 + a)^4}
+
+
+{E^(-3*ArcTanh[a + b*x])*x^3, x, 8, -((2*x^3*(1 - a - b*x)^(3/2))/(b*Sqrt[1 + a + b*x])) + (3*(17 + 44*a + 36*a^2 + 8*a^3)*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(8*b^4) + (9*x^2*(1 - a - b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a + b*x])/(4*b^2) + ((1 - a - b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a + b*x]*(29 + 54*a + 22*a^2 - 2*(11 + 10*a)*b*x))/(8*b^4) + (3*(17 + 44*a + 36*a^2 + 8*a^3)*ArcSin[a + b*x])/(8*b^4)}
+{E^(-3*ArcTanh[a + b*x])*x^2, x, 8, -(((1 + a)^2*(1 - a - b*x)^(5/2))/(b^3*Sqrt[1 + a + b*x])) - ((11 + 18*a + 6*a^2)*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(2*b^3) - ((11 + 18*a + 6*a^2)*(1 - a - b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a + b*x])/(6*b^3) - ((1 - a - b*x)^(5/2)*Sqrt[1 + a + b*x])/(3*b^3) - ((11 + 18*a + 6*a^2)*ArcSin[a + b*x])/(2*b^3)}
+{E^(-3*ArcTanh[a + b*x])*x^1, x, 7, ((1 + a)*(1 - a - b*x)^(5/2))/(b^2*Sqrt[1 + a + b*x]) + (3*(3 + 2*a)*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/(2*b^2) + ((3 + 2*a)*(1 - a - b*x)^(3/2)*Sqrt[1 + a + b*x])/(2*b^2) + (3*(3 + 2*a)*ArcSin[a + b*x])/(2*b^2)}
+{E^(-3*ArcTanh[a + b*x])*x^0, x, 6, -((2*(1 - a - b*x)^(3/2))/(b*Sqrt[1 + a + b*x])) - (3*Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/b - (3*ArcSin[a + b*x])/b}
+{E^(-3*ArcTanh[a + b*x])/x^1, x, 8, (4*Sqrt[1 - a - b*x])/((1 + a)*Sqrt[1 + a + b*x]) + ArcSin[a + b*x] - (2*(1 - a)^2*ArcTanh[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[1 - a - b*x])])/((1 + a)*Sqrt[1 - a^2])}
+{E^(-3*ArcTanh[a + b*x])/x^2, x, 5, -((6*b*Sqrt[1 - a - b*x])/((1 + a)^2*Sqrt[1 + a + b*x])) - (1 - a - b*x)^(3/2)/((1 + a)*x*Sqrt[1 + a + b*x]) + (6*(1 - a)*b*ArcTanh[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[1 - a - b*x])])/((1 + a)^2*Sqrt[1 - a^2])}
+{E^(-3*ArcTanh[a + b*x])/x^3, x, 6, (3*(3 - 2*a)*b^2*Sqrt[1 - a - b*x])/((1 - a)*(1 + a)^3*Sqrt[1 + a + b*x]) + ((3 - 2*a)*b*(1 - a - b*x)^(3/2))/(2*(1 - a)*(1 + a)^2*x*Sqrt[1 + a + b*x]) - (1 - a - b*x)^(5/2)/(2*(1 - a^2)*x^2*Sqrt[1 + a + b*x]) - (3*(3 - 2*a)*b^2*ArcTanh[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[1 - a - b*x])])/((1 + a)^3*Sqrt[1 - a^2])}
+{E^(-3*ArcTanh[a + b*x])/x^4, x, 8, -(((52 - 51*a + 2*a^2)*b^3*Sqrt[1 - a - b*x])/(6*(1 - a)*(1 + a)^4*Sqrt[1 + a + b*x])) - ((1 - a)*Sqrt[1 - a - b*x])/(3*(1 + a)*x^3*Sqrt[1 + a + b*x]) + (7*b*Sqrt[1 - a - b*x])/(6*(1 + a)^2*x^2*Sqrt[1 + a + b*x]) - ((19 - 16*a)*b^2*Sqrt[1 - a - b*x])/(6*(1 - a)*(1 + a)^3*x*Sqrt[1 + a + b*x]) + ((11 - 18*a + 6*a^2)*b^3*ArcTanh[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[1 - a - b*x])])/((1 - a)*(1 + a)^4*Sqrt[1 - a^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTanh[a+b x]) (c+d x)^p*)
+
+
+{E^ArcTanh[1 + b*x]/(2 + b*x), x, 4, ArcSin[1 + b*x]/b}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^ArcTanh[a+b x] / (1-(a+b x)^2)*)
+
+
+{x^3*E^ArcTanh[a + b*x]/(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2), x, 6, ((1 - a)*x^2*Sqrt[1 + a + b*x])/(b^2*Sqrt[1 - a - b*x]) + (Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x]*((1 - 2*a)*(4 - a) + (3 - 2*a)*b*x))/(2*b^4) - (3*(1 - 2*a + 2*a^2)*ArcSin[a + b*x])/(2*b^4)}
+{x^2*E^ArcTanh[a + b*x]/(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2), x, 6, ((1 - a)^2*Sqrt[1 + a + b*x])/(b^3*Sqrt[1 - a - b*x]) + (Sqrt[1 - a - b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/b^3 - ((1 - 2*a)*ArcSin[a + b*x])/b^3}
+{x^1*E^ArcTanh[a + b*x]/(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2), x, 5, ((1 - a)*Sqrt[1 + a + b*x])/(b^2*Sqrt[1 - a - b*x]) - ArcSin[a + b*x]/b^2}
+{x^0*E^ArcTanh[a + b*x]/(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2), x, 2, Sqrt[1 + a + b*x]/(b*Sqrt[1 - a - b*x])}
+{E^ArcTanh[a + b*x]/(x^1*(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)), x, 4, Sqrt[1 + a + b*x]/((1 - a)*Sqrt[1 - a - b*x]) - (2*ArcTanh[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[1 - a - b*x])])/((1 - a)*Sqrt[1 - a^2])}
+{E^ArcTanh[a + b*x]/(x^2*(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)), x, 6, ((2 + a)*b*Sqrt[1 + a + b*x])/((1 - a)^2*(1 + a)*Sqrt[1 - a - b*x]) - Sqrt[1 + a + b*x]/((1 - a^2)*x*Sqrt[1 - a - b*x]) - (2*(1 + 2*a)*b*ArcTanh[(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[1 - a - b*x])])/((1 - a)^2*(1 + a)*Sqrt[1 - a^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTanh[a+b x])*)
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a + b*x])*x^m, x, 4, (x^(1 + m)*(1 + a + b*x)^(n/2)*(1 - (b*x)/(1 - a))^(n/2)*AppellF1[1 + m, n/2, -(n/2), 2 + m, (b*x)/(1 - a), -((b*x)/(1 + a))])/((1 - a - b*x)^(n/2)*(1 + (b*x)/(1 + a))^(n/2)*(1 + m))}
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a + b*x])*x^3, x, 4, -((x^2*(1 - a - b*x)^(1 - n/2)*(1 + a + b*x)^((2 + n)/2))/(4*b^2)) - ((1 - a - b*x)^(1 - n/2)*(1 + a + b*x)^((2 + n)/2)*(6 + 18*a^2 - 10*a*n + n^2 - 2*b*(6*a - n)*x))/(24*b^4) + (2^(-2 + n/2)*(24*a^3 - 36*a^2*n + 12*a*(2 + n^2) - n*(8 + n^2))*(1 - a - b*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (1/2)*(1 - a - b*x)])/(3*b^4*(2 - n))}
+{E^(n*ArcTanh[a + b*x])*x^2, x, 4, ((4*a - n)*(1 - a - b*x)^(1 - n/2)*(1 + a + b*x)^((2 + n)/2))/(6*b^3) - (x*(1 - a - b*x)^(1 - n/2)*(1 + a + b*x)^((2 + n)/2))/(3*b^2) - (2^(n/2)*(2 + 6*a^2 - 6*a*n + n^2)*(1 - a - b*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (1/2)*(1 - a - b*x)])/(3*b^3*(2 - n))}
+{E^(n*ArcTanh[a + b*x])*x^1, x, 3, -(((1 - a - b*x)^(1 - n/2)*(1 + a + b*x)^((2 + n)/2))/(2*b^2)) + (2^(n/2)*(2*a - n)*(1 - a - b*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (1/2)*(1 - a - b*x)])/(b^2*(2 - n))}
+{E^(n*ArcTanh[a + b*x])*x^0, x, 2, -((2^(1 + n/2)*(1 - a - b*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (1/2)*(1 - a - b*x)])/(b*(2 - n)))}
+{E^(n*ArcTanh[a + b*x])/x^1, x, 5, (2*(1 + a + b*x)^(n/2)*Hypergeometric2F1[1, -(n/2), 1 - n/2, ((1 + a)*(1 - a - b*x))/((1 - a)*(1 + a + b*x))])/((1 - a - b*x)^(n/2)*n) - (2^(1 + n/2)*Hypergeometric2F1[-(n/2), -(n/2), 1 - n/2, (1/2)*(1 - a - b*x)])/((1 - a - b*x)^(n/2)*n)}
+{E^(n*ArcTanh[a + b*x])/x^2, x, 2, -((4*b*(1 - a - b*x)^(1 - n/2)*(1 + a + b*x)^((1/2)*(-2 + n))*Hypergeometric2F1[2, 1 - n/2, 2 - n/2, ((1 + a)*(1 - a - b*x))/((1 - a)*(1 + a + b*x))])/((1 - a)^2*(2 - n)))}
+{E^(n*ArcTanh[a + b*x])/x^3, x, 3, -(((1 - a - b*x)^(1 - n/2)*(1 + a + b*x)^((2 + n)/2))/(2*(1 - a^2)*x^2)) - (2*b^2*(2*a + n)*(1 - a - b*x)^(1 - n/2)*(1 + a + b*x)^((1/2)*(-2 + n))*Hypergeometric2F1[2, 1 - n/2, 2 - n/2, ((1 + a)*(1 - a - b*x))/((1 - a)*(1 + a + b*x))])/((1 - a)^3*(1 + a)*(2 - n))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c-a^2 c x^2)^p E^(n ArcTanh[a x])*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c-a^2 c x^2)^p E^(1 ArcTanh[a x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^ArcTanh[a x] (c-a^2 c x^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^4, x, 7, (35/128)*c^4*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (35/192)*c^4*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (7/48)*c^4*x*(1 - a^2*x^2)^(5/2) + (1/8)*c^4*x*(1 - a^2*x^2)^(7/2) - (c^4*(1 - a^2*x^2)^(9/2))/(9*a) + (35*c^4*ArcSin[a*x])/(128*a)}
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 6, (5/16)*c^3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (5/24)*c^3*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (1/6)*c^3*x*(1 - a^2*x^2)^(5/2) - (c^3*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(7*a) + (5*c^3*ArcSin[a*x])/(16*a)}
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 5, (3/8)*c^2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (1/4)*c^2*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2) - (c^2*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(5*a) + (3*c^2*ArcSin[a*x])/(8*a)}
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^1, x, 4, (1/2)*c*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] - (c*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a) + (c*ArcSin[a*x])/(2*a)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^4*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2), x, 5, (x^3*(1 + a*x))/(a^2*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^3*c) + ((16 + 9*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*a^5*c) - (3*ArcSin[a*x])/(2*a^5*c)}
+{x^3*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2), x, 4, (x^2*(1 + a*x))/(a^2*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + ((4 + 3*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^4*c) - (3*ArcSin[a*x])/(2*a^4*c)}
+{x^2*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2), x, 5, (1 + a*x)/(a^3*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a^3*c) - ArcSin[a*x]/(a^3*c)}
+{x^1*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2), x, 3, (1 + a*x)/(a^2*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - ArcSin[a*x]/(a^2*c)}
+{x^0*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2), x, 1, E^ArcTanh[a*x]/(a*c)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^1*(c - a^2*c*x^2)), x, 6, (1 + a*x)/(c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]/c}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^2*(c - a^2*c*x^2)), x, 6, (1 + a*x)/(c*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c*x) - (a*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/c}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^3*(c - a^2*c*x^2)), x, 7, (1 + a*x)/(c*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c*x^2) - (2*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c*x) - (3*a^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*c)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^4*(c - a^2*c*x^2)), x, 8, (1 + a*x)/(c*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*c*x^3) - (3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c*x^2) - (8*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*c*x) - (3*a^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*c)}
+
+
+{x^6*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 6, (x^5*(1 + a*x))/(3*a^2*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (x^3*(5 + 6*a*x))/(3*a^4*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (8*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^5*c^2) - ((32 + 15*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*a^7*c^2) + (5*ArcSin[a*x])/(2*a^7*c^2)}
+{x^5*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 5, (x^4*(1 + a*x))/(3*a^2*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (x^2*(4 + 5*a*x))/(3*a^4*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - ((16 + 15*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*a^6*c^2) + (5*ArcSin[a*x])/(2*a^6*c^2)}
+{x^4*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 5, (x^3*(1 + a*x))/(3*a^2*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (x*(3 + 4*a*x))/(3*a^4*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (8*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^5*c^2) + ArcSin[a*x]/(a^5*c^2)}
+{x^3*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 4, (x^2*(1 + a*x))/(3*a^2*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (2 + 3*a*x)/(3*a^4*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + ArcSin[a*x]/(a^4*c^2)}
+{x^2*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 4, (x^2*(1 + a*x))/(3*a*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - 2/(3*a^3*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{x^1*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 3, (1 + a*x)/(3*a^2*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - x/(3*a*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{x^0*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 3, (1 + a*x)/(3*a*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (2*x)/(3*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^1*(c - a^2*c*x^2)^2), x, 7, (1 + a*x)/(3*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (3 + 2*a*x)/(3*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]/c^2}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^2*(c - a^2*c*x^2)^2), x, 7, (1 + a*x)/(3*c^2*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (4 + 3*a*x)/(3*c^2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (8*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*c^2*x) - (a*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/c^2}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^3*(c - a^2*c*x^2)^2), x, 8, (1 + a*x)/(3*c^2*x^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (5 + 4*a*x)/(3*c^2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (5*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c^2*x^2) - (8*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*c^2*x) - (5*a^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*c^2)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^4*(c - a^2*c*x^2)^2), x, 9, (1 + a*x)/(3*c^2*x^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (6 + 5*a*x)/(3*c^2*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (8*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*c^2*x^3) - (5*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c^2*x^2) - (16*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*c^2*x) - (5*a^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*c^2)}
+
+
+{x^7*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 6, (x^6*(1 + a*x))/(5*a^2*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (x^4*(6 + 7*a*x))/(15*a^4*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (x^2*(24 + 35*a*x))/(15*a^6*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + ((32 + 35*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(10*a^8*c^3) - (7*ArcSin[a*x])/(2*a^8*c^3)}
+{x^6*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 6, (x^5*(1 + a*x))/(5*a^2*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (x^3*(5 + 6*a*x))/(15*a^4*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (x*(5 + 8*a*x))/(5*a^6*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (16*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*a^7*c^3) - ArcSin[a*x]/(a^7*c^3)}
+{x^5*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 5, (x^4*(1 + a*x))/(5*a^2*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (x^2*(4 + 5*a*x))/(15*a^4*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (8 + 15*a*x)/(15*a^6*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - ArcSin[a*x]/(a^6*c^3)}
+{x^4*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 5, (x^4*(1 + a*x))/(5*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - 4/(15*a^5*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + 4/(5*a^5*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{x^3*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 4, 1/(5*a^4*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (a*x^5)/(5*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - 1/(3*a^4*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)), (x^2*(1 + a*x))/(5*a^2*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (2 + 3*a*x)/(15*a^4*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + x/(5*a^3*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{x^2*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 4, (x^2*(1 + a*x))/(5*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (2*(1 - a*x))/(15*a^3*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (2*x)/(15*a^2*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{x^1*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 4, (1 + a*x)/(5*a^2*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - x/(15*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (2*x)/(15*a*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{x^0*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 4, (1 + a*x)/(5*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (4*x)/(15*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (8*x)/(15*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^1*(c - a^2*c*x^2)^3), x, 8, (1 + a*x)/(5*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (5 + 4*a*x)/(15*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (15 + 8*a*x)/(15*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]/c^3}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^2*(c - a^2*c*x^2)^3), x, 8, (1 + a*x)/(5*c^3*x*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (6 + 5*a*x)/(15*c^3*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (8 + 5*a*x)/(5*c^3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (16*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*c^3*x) - (a*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/c^3}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^3*(c - a^2*c*x^2)^3), x, 9, (1 + a*x)/(5*c^3*x^2*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (7 + 6*a*x)/(15*c^3*x^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (35 + 24*a*x)/(15*c^3*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (7*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c^3*x^2) - (16*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*c^3*x) - (7*a^2*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]])/(2*c^3)}
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^4, x, 5, (1 + a*x)/(7*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (6*x)/(35*c^4*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (8*x)/(35*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (16*x)/(35*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^5, x, 6, (1 + a*x)/(9*a*c^5*(1 - a^2*x^2)^(9/2)) + (8*x)/(63*c^5*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (16*x)/(105*c^5*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (64*x)/(315*c^5*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (128*x)/(315*c^5*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^ArcTanh[a x] (1-a^2 x^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*x^4/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 3, -(x/a^4) - x^2/(2*a^3) - x^3/(3*a^2) - x^4/(4*a) - Log[1 - a*x]/a^5}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^3/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 3, -(x/a^3) - x^2/(2*a^2) - x^3/(3*a) - Log[1 - a*x]/a^4}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^2/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 3, -(x/a^2) - x^2/(2*a) - Log[1 - a*x]/a^3}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^1/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 3, -(x/a) - Log[1 - a*x]/a^2}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^0/Sqrt[1 - a^2*x^2], x, 2, -(Log[1 - a*x]/a)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^1*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 4, Log[x] - Log[1 - a*x]}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 3, -x^(-1) + a*Log[x] - a*Log[1 - a*x]}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 3, -1/(2*x^2) - a/x + a^2*Log[x] - a^2*Log[1 - a*x]}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]), x, 3, -1/(3*x^3) - a/(2*x^2) - a^2/x + a^3*Log[x] - a^3*Log[1 - a*x]}
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*x^4/(1 - a^2*x^2)^(3/2), x, 3, x/a^4 + x^2/(2*a^3) + 1/(2*a^5*(1 - a*x)) + (7*Log[1 - a*x])/(4*a^5) + Log[1 + a*x]/(4*a^5)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^3/(1 - a^2*x^2)^(3/2), x, 3, x/a^3 + 1/(2*a^4*(1 - a*x)) + (5*Log[1 - a*x])/(4*a^4) - Log[1 + a*x]/(4*a^4)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^2/(1 - a^2*x^2)^(3/2), x, 3, 1/(2*a^3*(1 - a*x)) + (3*Log[1 - a*x])/(4*a^3) + Log[1 + a*x]/(4*a^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^1/(1 - a^2*x^2)^(3/2), x, 4, 1/(2*a^2*(1 - a*x)) - ArcTanh[a*x]/(2*a^2)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^0/(1 - a^2*x^2)^(3/2), x, 4, 1/(2*a*(1 - a*x)) + ArcTanh[a*x]/(2*a)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^1*(1 - a^2*x^2)^(3/2)), x, 3, 1/(2*(1 - a*x)) + Log[x] - (3*Log[1 - a*x])/4 - Log[1 + a*x]/4}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)), x, 3, -x^(-1) + a/(2*(1 - a*x)) + a*Log[x] - (5*a*Log[1 - a*x])/4 + (a*Log[1 + a*x])/4}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)), x, 3, -1/(2*x^2) - a/x + a^2/(2*(1 - a*x)) + 2*a^2*Log[x] - (7*a^2*Log[1 - a*x])/4 - (a^2*Log[1 + a*x])/4}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2)), x, 3, -1/(3*x^3) - a/(2*x^2) - (2*a^2)/x + a^3/(2*(1 - a*x)) + 2*a^3*Log[x] - (9*a^3*Log[1 - a*x])/4 + (a^3*Log[1 + a*x])/4}
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*x^6/(1 - a^2*x^2)^(5/2), x, 3, -(x/a^6) - x^2/(2*a^5) + 1/(8*a^7*(1 - a*x)^2) - 5/(4*a^7*(1 - a*x)) - 1/(8*a^7*(1 + a*x)) - (39*Log[1 - a*x])/(16*a^7) - (9*Log[1 + a*x])/(16*a^7)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^5/(1 - a^2*x^2)^(5/2), x, 3, -(x/a^5) + 1/(8*a^6*(1 - a*x)^2) - 1/(a^6*(1 - a*x)) + 1/(8*a^6*(1 + a*x)) - (23*Log[1 - a*x])/(16*a^6) + (7*Log[1 + a*x])/(16*a^6)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^4/(1 - a^2*x^2)^(5/2), x, 3, 1/(8*a^5*(1 - a*x)^2) - 3/(4*a^5*(1 - a*x)) - 1/(8*a^5*(1 + a*x)) - (11*Log[1 - a*x])/(16*a^5) - (5*Log[1 + a*x])/(16*a^5)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^3/(1 - a^2*x^2)^(5/2), x, 4, 1/(8*a^4*(1 - a*x)^2) - 1/(2*a^4*(1 - a*x)) + 1/(8*a^4*(1 + a*x)) + (3*ArcTanh[a*x])/(8*a^4)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^2/(1 - a^2*x^2)^(5/2), x, 4, 1/(8*a^3*(1 - a*x)^2) - 1/(4*a^3*(1 - a*x)) - 1/(8*a^3*(1 + a*x)) - ArcTanh[a*x]/(8*a^3)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^1/(1 - a^2*x^2)^(5/2), x, 4, 1/(8*a^2*(1 - a*x)^2) + 1/(8*a^2*(1 + a*x)) - ArcTanh[a*x]/(8*a^2)}
+{E^ArcTanh[a*x]*x^0/(1 - a^2*x^2)^(5/2), x, 4, 1/(8*a*(1 - a*x)^2) + 1/(4*a*(1 - a*x)) - 1/(8*a*(1 + a*x)) + (3*ArcTanh[a*x])/(8*a)}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^1*(1 - a^2*x^2)^(5/2)), x, 3, 1/(8*(1 - a*x)^2) + 1/(2*(1 - a*x)) + 1/(8*(1 + a*x)) + Log[x] - (11*Log[1 - a*x])/16 - (5*Log[1 + a*x])/16}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^2*(1 - a^2*x^2)^(5/2)), x, 3, -x^(-1) + a/(8*(1 - a*x)^2) + (3*a)/(4*(1 - a*x)) - a/(8*(1 + a*x)) + a*Log[x] - (23*a*Log[1 - a*x])/16 + (7*a*Log[1 + a*x])/16}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2)), x, 3, -1/(2*x^2) - a/x + a^2/(8*(1 - a*x)^2) + a^2/(1 - a*x) + a^2/(8*(1 + a*x)) + 3*a^2*Log[x] - (39*a^2*Log[1 - a*x])/16 - (9*a^2*Log[1 + a*x])/16}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^4*(1 - a^2*x^2)^(5/2)), x, 3, -1/(3*x^3) - a/(2*x^2) - (3*a^2)/x + a^3/(8*(1 - a*x)^2) + (5*a^3)/(4*(1 - a*x)) - a^3/(8*(1 + a*x)) + 3*a^3*Log[x] - (59*a^3*Log[1 - a*x])/16 + (11*a^3*Log[1 + a*x])/16}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^ArcTanh[a x] (c-a^2 c x^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^2, x, 4, (x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a*x^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^1, x, 4, (x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a*x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^0, x, 3, (x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/Sqrt[1 - a^2*x^2] + (a*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^1, x, 4, (a*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/Sqrt[1 - a^2*x^2] + (Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^2, x, 4, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 4, (2*c*(1 + a*x)^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (c*(1 + a*x)^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 4, (c^2*(1 + a*x)^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*c^2*(1 + a*x)^5*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(5*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (c^2*(1 + a*x)^6*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(6*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 4, (8*c^3*(1 + a*x)^5*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(5*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*c^3*(1 + a*x)^6*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (6*c^3*(1 + a*x)^7*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(7*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (c^3*(1 + a*x)^8*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(8*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^4)/Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 4, -((x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(a^5*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^3)/Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 4, -((x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(a^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^2)/Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 4, -((x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(a^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 4, -((x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^ArcTanh[a*x]/Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 3, -((Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]))}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), x, 5, (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[x])/Sqrt[c - a^2*c*x^2] - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/Sqrt[c - a^2*c*x^2]}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), x, 4, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) + (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[x])/Sqrt[c - a^2*c*x^2] - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/Sqrt[c - a^2*c*x^2]}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), x, 4, -Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[x])/Sqrt[c - a^2*c*x^2] - (a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/Sqrt[c - a^2*c*x^2]}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), x, 4, -Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[x])/Sqrt[c - a^2*c*x^2] - (a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/Sqrt[c - a^2*c*x^2]}
+
+
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^5)/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 4, (2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^5*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^4*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a^6*c*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (9*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(4*a^6*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(4*a^6*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^4)/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 4, (x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^4*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a^5*c*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (7*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(4*a^5*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(4*a^5*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^3)/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 4, (x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a^4*c*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(4*a^4*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(4*a^4*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^2)/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 4, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a^3*c*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(4*a^3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(4*a^3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x)/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 5, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a^2*c*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(2*a^2*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 5, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a*c*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(2*a*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 4, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*c*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[x])/(c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(4*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(4*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 4, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) + (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[x])/(c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (5*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(4*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(4*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^3*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 4, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*c*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[x])/(c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (7*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(4*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(4*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^4*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 4, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(3*c*x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (2*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[x])/(c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (9*a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(4*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(4*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^6)/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 4, -((x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^6*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - (x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^5*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a^7*c^2*(1 - a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (5*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a^7*c^2*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a^7*c^2*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (39*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(16*a^7*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (9*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(16*a^7*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^5)/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 4, -((x*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^5*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a^6*c^2*(1 - a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(a^6*c^2*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a^6*c^2*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (23*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(16*a^6*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (7*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(16*a^6*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^4)/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 4, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a^5*c^2*(1 - a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a^5*c^2*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a^5*c^2*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (11*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(16*a^5*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(16*a^5*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^3)/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 5, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a^4*c^2*(1 - a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a^4*c^2*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a^4*c^2*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(8*a^4*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x^2)/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 5, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a^3*c^2*(1 - a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(4*a^3*c^2*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a^3*c^2*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(8*a^3*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^ArcTanh[a*x]*x)/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 5, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a^2*c^2*(1 - a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a^2*c^2*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(8*a^2*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 5, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a*c^2*(1 - a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(4*a*c^2*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a*c^2*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(8*a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 4, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*c^2*(1 - a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*c^2*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*c^2*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[x])/(c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (11*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(16*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(16*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 4, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(c^2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) + (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*c^2*(1 - a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*c^2*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*c^2*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[x])/(c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (23*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(16*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (7*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(16*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^ArcTanh[a*x]/(x^3*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 4, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*c^2*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*c^2*(1 - a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*c^2*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (3*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[x])/(c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (39*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(16*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (9*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(16*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 5, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(24*a*c^3*(1 - a*x)^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(32*a*c^3*(1 - a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(16*a*c^3*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(32*a*c^3*(1 + a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a*c^3*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(16*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^ArcTanh[a x] (c-a^2 c x^2)^p with m symbolic*)
+
+
+{x^m*E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 4, (c^2*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/(1 + m) + (a*c^2*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[-(3/2), (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(2 + m)}
+{x^m*E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^1, x, 4, (c*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/(1 + m) + (a*c*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[-(1/2), (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(2 + m)}
+{x^m*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^1, x, 4, (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[3/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/(c*(1 + m)) + (a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[3/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(c*(2 + m))}
+{x^m*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 4, (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[5/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/(c^2*(1 + m)) + (a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[5/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(c^2*(2 + m))}
+{x^m*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 4, (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[7/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/(c^3*(1 + m)) + (a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[7/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(c^3*(2 + m))}
+
+
+{x^m*E^ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^(5/2), x, 3, x^(1 + m)/(1 + m) + (a*x^(2 + m))/(2 + m) - (2*a^2*x^(3 + m))/(3 + m) - (2*a^3*x^(4 + m))/(4 + m) + (a^4*x^(5 + m))/(5 + m) + (a^5*x^(6 + m))/(6 + m)}
+{x^m*E^ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^(3/2), x, 3, x^(1 + m)/(1 + m) + (a*x^(2 + m))/(2 + m) - (a^2*x^(3 + m))/(3 + m) - (a^3*x^(4 + m))/(4 + m)}
+{x^m*E^ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 3, x^(1 + m)/(1 + m) + (a*x^(2 + m))/(2 + m)}
+{x^m*E^ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 2, (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, a*x])/(1 + m)}
+{x^m*E^ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(3/2), x, 6, (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/(1 + m) + (a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(2 + m)}
+{x^m*E^ArcTanh[a*x]/(1 - a^2*x^2)^(5/2), x, 6, (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[3, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/(1 + m) + (a*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[3, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(2 + m)}
+
+
+{x^m*E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 4, (c^2*x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a*c^2*x^(2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*a^2*c^2*x^(3 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((3 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*a^3*c^2*x^(4 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((4 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a^4*c^2*x^(5 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((5 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a^5*c^2*x^(6 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((6 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{x^m*E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 4, (c*x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a*c*x^(2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (a^2*c*x^(3 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((3 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (a^3*c*x^(4 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((4 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{x^m*E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 4, (x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a*x^(2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{x^m*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 3, (x^(1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, a*x])/((1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{x^m*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 7, (x^(1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/(c*(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a*x^(2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(c*(2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{x^m*E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 7, (x^(1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[3, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/(c^2*(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a*x^(2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[3, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(c^2*(2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^ArcTanh[a x] (c-a^2 c x^2)^p with p symbolic*)
+
+
+{x^m*E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^p, x, 5, (x^(1 + m)*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, 1/2 - p, (3 + m)/2, a^2*x^2])/((1 - a^2*x^2)^p*(1 + m)) + (a*x^(2 + m)*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(2 + m)/2, 1/2 - p, (4 + m)/2, a^2*x^2])/((1 - a^2*x^2)^p*(2 + m))}
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^p*x^3, x, 6, -((1 - a^2*x^2)^(1/2 + p)/(a^4*(1 + 2*p))) + (1 - a^2*x^2)^(3/2 + p)/(a^4*(3 + 2*p)) + (1/5)*a*x^5*Hypergeometric2F1[5/2, 1/2 - p, 7/2, a^2*x^2]}
+{E^ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^p*x^2, x, 6, -((1 - a^2*x^2)^(1/2 + p)/(a^3*(1 + 2*p))) + (1 - a^2*x^2)^(3/2 + p)/(a^3*(3 + 2*p)) + (1/3)*x^3*Hypergeometric2F1[3/2, 1/2 - p, 5/2, a^2*x^2]}
+{E^ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^p*x^1, x, 4, -((1 - a^2*x^2)^(1/2 + p)/(a^2*(1 + 2*p))) + (1/3)*a*x^3*Hypergeometric2F1[3/2, 1/2 - p, 5/2, a^2*x^2]}
+{E^ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^p*x^0, x, 2, -((2^(3/2 + p)*(1 - a*x)^(1/2 + p)*Hypergeometric2F1[-(1/2) - p, 1/2 + p, 3/2 + p, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*(1 + 2*p)))}
+{E^ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^p/x^1, x, 5, a*x*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - p, 3/2, a^2*x^2] - ((1 - a^2*x^2)^(1/2 + p)*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + p, 3/2 + p, 1 - a^2*x^2])/(1 + 2*p)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^p/x^2, x, 5, -(Hypergeometric2F1[-(1/2), 1/2 - p, 1/2, a^2*x^2]/x) - (a*(1 - a^2*x^2)^(1/2 + p)*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + p, 3/2 + p, 1 - a^2*x^2])/(1 + 2*p)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(1 - a^2*x^2)^p/x^3, x, 5, -((a*Hypergeometric2F1[-(1/2), 1/2 - p, 1/2, a^2*x^2])/x) - (a^2*(1 - a^2*x^2)^(1/2 + p)*Hypergeometric2F1[2, 1/2 + p, 3/2 + p, 1 - a^2*x^2])/(1 + 2*p)}
+
+
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^p*x^3, x, 7, -((Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^p)/(a^4*(1 + 2*p))) + ((1 - a^2*x^2)^(3/2)*(c - a^2*c*x^2)^p)/(a^4*(3 + 2*p)) + ((1/5)*a*x^5*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[5/2, 1/2 - p, 7/2, a^2*x^2])/(1 - a^2*x^2)^p}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^p*x^2, x, 7, -((Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^p)/(a^3*(1 + 2*p))) + ((1 - a^2*x^2)^(3/2)*(c - a^2*c*x^2)^p)/(a^3*(3 + 2*p)) + ((1/3)*x^3*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[3/2, 1/2 - p, 5/2, a^2*x^2])/(1 - a^2*x^2)^p}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^p*x^1, x, 5, -((Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^p)/(a^2*(1 + 2*p))) + ((1/3)*a*x^3*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[3/2, 1/2 - p, 5/2, a^2*x^2])/(1 - a^2*x^2)^p}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^p*x^0, x, 3, -((2^(3/2 + p)*(1 - a*x)^(1/2 + p)*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-(1/2) - p, 1/2 + p, 3/2 + p, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a^2*x^2)^p*(a*(1 + 2*p))))}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^p/x^1, x, 6, (a*x*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - p, 3/2, a^2*x^2])/(1 - a^2*x^2)^p - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + p, 3/2 + p, 1 - a^2*x^2])/(1 + 2*p)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^p/x^2, x, 6, -(((c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-(1/2), 1/2 - p, 1/2, a^2*x^2])/((1 - a^2*x^2)^p*x)) - (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + p, 3/2 + p, 1 - a^2*x^2])/(1 + 2*p)}
+{E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^p/x^3, x, 6, -((a*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-(1/2), 1/2 - p, 1/2, a^2*x^2])/((1 - a^2*x^2)^p*x)) - (a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[2, 1/2 + p, 3/2 + p, 1 - a^2*x^2])/(1 + 2*p)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c-a^2 c x^2)^p E^(2 ArcTanh[a x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(2 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^4*(c - a^2*c*x^2), x, 3, (c*x^5)/5 + (a*c*x^6)/3 + (a^2*c*x^7)/7}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^3*(c - a^2*c*x^2), x, 3, (c*x^4)/4 + (2*a*c*x^5)/5 + (a^2*c*x^6)/6}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^2*(c - a^2*c*x^2), x, 3, (c*x^3)/3 + (a*c*x^4)/2 + (a^2*c*x^5)/5}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x*(c - a^2*c*x^2), x, 3, (c*x^2)/2 + (2*a*c*x^3)/3 + (a^2*c*x^4)/4}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2), x, 2, (c*(1 + a*x)^3)/(3*a)}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2))/x, x, 3, 2*a*c*x + (a^2*c*x^2)/2 + c*Log[x]}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2))/x^2, x, 3, -(c/x) + a^2*c*x + 2*a*c*Log[x]}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2))/x^3, x, 3, -c/(2*x^2) - (2*a*c)/x + a^2*c*Log[x]}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2))/x^4, x, 2, -(c*(1 + a*x)^3)/(3*x^3)}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^4*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 3, (c^2*x^5)/5 + (a*c^2*x^6)/3 - (a^3*c^2*x^8)/4 - (a^4*c^2*x^9)/9}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^3*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 3, (c^2*x^4)/4 + (2*a*c^2*x^5)/5 - (2*a^3*c^2*x^7)/7 - (a^4*c^2*x^8)/8}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^2*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 3, (c^2*x^3)/3 + (a*c^2*x^4)/2 - (a^3*c^2*x^6)/3 - (a^4*c^2*x^7)/7}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 3, (c^2*x^2)/2 + (2*a*c^2*x^3)/3 - (2*a^3*c^2*x^5)/5 - (a^4*c^2*x^6)/6}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 3, (c^2*(1 + a*x)^4)/(2*a) - (c^2*(1 + a*x)^5)/(5*a)}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^2)/x, x, 3, 2*a*c^2*x - (2*a^3*c^2*x^3)/3 - (a^4*c^2*x^4)/4 + c^2*Log[x]}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^2)/x^2, x, 3, -(c^2/x) - a^3*c^2*x^2 - (a^4*c^2*x^3)/3 + 2*a*c^2*Log[x]}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^2)/x^3, x, 2, -((c^2*(1 + a*x)^4)/(2*x^2))}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^2)/x^4, x, 3, -c^2/(3*x^3) - (a*c^2)/x^2 - a^4*c^2*x - 2*a^3*c^2*Log[x]}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^2)/x^5, x, 3, -(c^2/(4*x^4)) - (2*a*c^2)/(3*x^3) + (2*a^3*c^2)/x - a^4*c^2*Log[x]}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^2)/x^6, x, 3, -(c^2/(5*x^5)) - (a*c^2)/(2*x^4) + (a^3*c^2)/x^2 + (a^4*c^2)/x}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^4*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 3, (c^3*x^5)/5 + (a*c^3*x^6)/3 - (a^2*c^3*x^7)/7 - (a^3*c^3*x^8)/2 - (a^4*c^3*x^9)/9 + (a^5*c^3*x^10)/5 + (a^6*c^3*x^11)/11}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^3*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 3, (c^3*x^4)/4 + (2*a*c^3*x^5)/5 - (a^2*c^3*x^6)/6 - (4*a^3*c^3*x^7)/7 - (a^4*c^3*x^8)/8 + (2*a^5*c^3*x^9)/9 + (a^6*c^3*x^10)/10}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^2*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 3, (4*c^3*(1 + a*x)^5)/(5*a^3) - (2*c^3*(1 + a*x)^6)/a^3 + (13*c^3*(1 + a*x)^7)/(7*a^3) - (3*c^3*(1 + a*x)^8)/(4*a^3) + (c^3*(1 + a*x)^9)/(9*a^3)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 3, -((4*c^3*(1 + a*x)^5)/(5*a^2)) + (4*c^3*(1 + a*x)^6)/(3*a^2) - (5*c^3*(1 + a*x)^7)/(7*a^2) + (c^3*(1 + a*x)^8)/(8*a^2)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 3, (4*c^3*(1 + a*x)^5)/(5*a) - (2*c^3*(1 + a*x)^6)/(3*a) + (c^3*(1 + a*x)^7)/(7*a)}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^3)/x, x, 3, 2*a*c^3*x - (a^2*c^3*x^2)/2 - (4*a^3*c^3*x^3)/3 - (a^4*c^3*x^4)/4 + (2*a^5*c^3*x^5)/5 + (a^6*c^3*x^6)/6 + c^3*Log[x]}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^3)/x^2, x, 3, -(c^3/x) - a^2*c^3*x - 2*a^3*c^3*x^2 - (a^4*c^3*x^3)/3 + (a^5*c^3*x^4)/2 + (a^6*c^3*x^5)/5 + 2*a*c^3*Log[x]}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^3)/x^3, x, 3, -c^3/(2*x^2) - (2*a*c^3)/x - 4*a^3*c^3*x - (a^4*c^3*x^2)/2 + (2*a^5*c^3*x^3)/3 + (a^6*c^3*x^4)/4 - a^2*c^3*Log[x]}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^3)/x^4, x, 3, -c^3/(3*x^3) - (a*c^3)/x^2 + (a^2*c^3)/x - a^4*c^3*x + a^5*c^3*x^2 + (a^6*c^3*x^3)/3 - 4*a^3*c^3*Log[x]}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^4, x, 3, (4*c^4*(1 + a*x)^6)/(3*a) - (12*c^4*(1 + a*x)^7)/(7*a) + (3*c^4*(1 + a*x)^8)/(4*a) - (c^4*(1 + a*x)^9)/(9*a)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^4)/(c - a^2*c*x^2), x, 3, (3*x)/(a^4*c) + x^2/(a^3*c) + x^3/(3*a^2*c) + 1/(a^5*c*(1 - a*x)) + (4*Log[1 - a*x])/(a^5*c)}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^3)/(c - a^2*c*x^2), x, 3, (2*x)/(a^3*c) + x^2/(2*a^2*c) + 1/(a^4*c*(1 - a*x)) + (3*Log[1 - a*x])/(a^4*c)}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^2)/(c - a^2*c*x^2), x, 3, x/(a^2*c) + 1/(a^3*c*(1 - a*x)) + (2*Log[1 - a*x])/(a^3*c)}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*x)/(c - a^2*c*x^2), x, 3, 1/(a^2*c*(1 - a*x)) + Log[1 - a*x]/(a^2*c)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2), x, 2, 1/(a*c*(1 - a*x))}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(x*(c - a^2*c*x^2)), x, 3, 1/(c*(1 - a*x)) + Log[x]/c - Log[1 - a*x]/c}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(x^2*(c - a^2*c*x^2)), x, 3, -(1/(c*x)) + a/(c*(1 - a*x)) + (2*a*Log[x])/c - (2*a*Log[1 - a*x])/c}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(x^3*(c - a^2*c*x^2)), x, 3, -1/(2*c*x^2) - (2*a)/(c*x) + a^2/(c*(1 - a*x)) + (3*a^2*Log[x])/c - (3*a^2*Log[1 - a*x])/c}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(x^4*(c - a^2*c*x^2)), x, 3, -1/(3*c*x^3) - a/(c*x^2) - (3*a^2)/(c*x) + a^3/(c*(1 - a*x)) + (4*a^3*Log[x])/c - (4*a^3*Log[1 - a*x])/c}
+
+
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^4)/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 3, -(x/(a^4*c^2)) + 1/(4*a^5*c^2*(1 - a*x)^2) - 7/(4*a^5*c^2*(1 - a*x)) - (17*Log[1 - a*x])/(8*a^5*c^2) + Log[1 + a*x]/(8*a^5*c^2)}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^3)/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 3, 1/(4*a^4*c^2*(1 - a*x)^2) - 5/(4*a^4*c^2*(1 - a*x)) - (7*Log[1 - a*x])/(8*a^4*c^2) - Log[1 + a*x]/(8*a^4*c^2)}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^2)/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 4, 1/(4*a^3*c^2*(1 - a*x)^2) - 3/(4*a^3*c^2*(1 - a*x)) + ArcTanh[a*x]/(4*a^3*c^2)}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*x)/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 4, 1/(4*a^2*c^2*(1 - a*x)^2) - 1/(4*a^2*c^2*(1 - a*x)) - ArcTanh[a*x]/(4*a^2*c^2)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 4, 1/(4*a*c^2*(1 - a*x)^2) + 1/(4*a*c^2*(1 - a*x)) + ArcTanh[a*x]/(4*a*c^2)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(x*(c - a^2*c*x^2)^2), x, 3, 1/(4*c^2*(1 - a*x)^2) + 3/(4*c^2*(1 - a*x)) + Log[x]/c^2 - (7*Log[1 - a*x])/(8*c^2) - Log[1 + a*x]/(8*c^2)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(x^2*(c - a^2*c*x^2)^2), x, 3, -(1/(c^2*x)) + a/(4*c^2*(1 - a*x)^2) + (5*a)/(4*c^2*(1 - a*x)) + (2*a*Log[x])/c^2 - (17*a*Log[1 - a*x])/(8*c^2) + (a*Log[1 + a*x])/(8*c^2)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(x^3*(c - a^2*c*x^2)^2), x, 3, -1/(2*c^2*x^2) - (2*a)/(c^2*x) + a^2/(4*c^2*(1 - a*x)^2) + (7*a^2)/(4*c^2*(1 - a*x)) + (4*a^2*Log[x])/c^2 - (31*a^2*Log[1 - a*x])/(8*c^2) - (a^2*Log[1 + a*x])/(8*c^2)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(x^4*(c - a^2*c*x^2)^2), x, 3, -1/(3*c^2*x^3) - a/(c^2*x^2) - (4*a^2)/(c^2*x) + a^3/(4*c^2*(1 - a*x)^2) + (9*a^3)/(4*c^2*(1 - a*x)) + (6*a^3*Log[x])/c^2 - (49*a^3*Log[1 - a*x])/(8*c^2) + (a^3*Log[1 + a*x])/(8*c^2)}
+
+
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^5)/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 3, 1/(12*a^6*c^3*(1 - a*x)^3) - 1/(2*a^6*c^3*(1 - a*x)^2) + 23/(16*a^6*c^3*(1 - a*x)) + 1/(16*a^6*c^3*(1 + a*x)) + (13*Log[1 - a*x])/(16*a^6*c^3) + (3*Log[1 + a*x])/(16*a^6*c^3)}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^4)/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 4, 1/(12*a^5*c^3*(1 - a*x)^3) - 3/(8*a^5*c^3*(1 - a*x)^2) + 11/(16*a^5*c^3*(1 - a*x)) - 1/(16*a^5*c^3*(1 + a*x)) - ArcTanh[a*x]/(4*a^5*c^3)}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^3)/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 4, 1/(12*a^4*c^3*(1 - a*x)^3) - 1/(4*a^4*c^3*(1 - a*x)^2) + 3/(16*a^4*c^3*(1 - a*x)) + 1/(16*a^4*c^3*(1 + a*x)) + ArcTanh[a*x]/(8*a^4*c^3)}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^2)/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 2, -((1 - 2*a*x)/(6*a^3*c^3*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)))}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*x)/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 4, 1/(12*a^2*c^3*(1 - a*x)^3) - 1/(16*a^2*c^3*(1 - a*x)) + 1/(16*a^2*c^3*(1 + a*x)) - ArcTanh[a*x]/(8*a^2*c^3)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 4, 1/(12*a*c^3*(1 - a*x)^3) + 1/(8*a*c^3*(1 - a*x)^2) + 3/(16*a*c^3*(1 - a*x)) - 1/(16*a*c^3*(1 + a*x)) + ArcTanh[a*x]/(4*a*c^3)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(x*(c - a^2*c*x^2)^3), x, 3, 1/(12*c^3*(1 - a*x)^3) + 1/(4*c^3*(1 - a*x)^2) + 11/(16*c^3*(1 - a*x)) + 1/(16*c^3*(1 + a*x)) + Log[x]/c^3 - (13*Log[1 - a*x])/(16*c^3) - (3*Log[1 + a*x])/(16*c^3)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(x^2*(c - a^2*c*x^2)^3), x, 3, -(1/(c^3*x)) + a/(12*c^3*(1 - a*x)^3) + (3*a)/(8*c^3*(1 - a*x)^2) + (23*a)/(16*c^3*(1 - a*x)) - a/(16*c^3*(1 + a*x)) + (2*a*Log[x])/c^3 - (9*a*Log[1 - a*x])/(4*c^3) + (a*Log[1 + a*x])/(4*c^3)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(x^3*(c - a^2*c*x^2)^3), x, 3, -1/(2*c^3*x^2) - (2*a)/(c^3*x) + a^2/(12*c^3*(1 - a*x)^3) + a^2/(2*c^3*(1 - a*x)^2) + (39*a^2)/(16*c^3*(1 - a*x)) + a^2/(16*c^3*(1 + a*x)) + (5*a^2*Log[x])/c^3 - (75*a^2*Log[1 - a*x])/(16*c^3) - (5*a^2*Log[1 + a*x])/(16*c^3)}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^4, x, 4, 1/(32*a*c^4*(1 - a*x)^4) + 1/(16*a*c^4*(1 - a*x)^3) + 3/(32*a*c^4*(1 - a*x)^2) + 5/(32*a*c^4*(1 - a*x)) - 1/(64*a*c^4*(1 + a*x)^2) - 5/(64*a*c^4*(1 + a*x)) + (15*ArcTanh[a*x])/(64*a*c^4)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(2 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^3, x, 7, -((3*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(5*a^2)) - (x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a) - (1/5)*x^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2] - (3*(8 + 5*a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(20*a^4) + (3*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(4*a^4)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^2, x, 6, -((2*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a)) - (1/4)*x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2] - ((32 + 21*a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(24*a^3) + (7*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(8*a^3)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^1, x, 5, (-(1/3))*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2] - ((5 + 3*a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a^2) + (Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/a^2}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^0, x, 5, -((3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a)) - ((1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a) + (3*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(2*a)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^1, x, 8, -Sqrt[c - a^2*c*x^2] + 2*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]] - Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^2, x, 8, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/x) + a*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]] - 2*a*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^3, x, 6, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(2*x^2)) - (2*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x - (3/2)*a^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^4, x, 7, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(3*x^3)) - (a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x^2 - (5*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*x) - a^3*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^5, x, 8, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(4*x^4)) - (2*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*x^3) - (7*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(8*x^2) - (4*a^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*x) - (7/8)*a^4*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^3, x, 8, (c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(8*a^3) - (11*x^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(35*a^2) - (x^3*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(3*a) - (1/7)*x^4*(c - a^2*c*x^2)^(3/2) - ((88 + 105*a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(420*a^4) + (c^(3/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(8*a^4)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^2, x, 7, (3*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(16*a^2) - (2*x^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(5*a) - (1/6)*x^3*(c - a^2*c*x^2)^(3/2) - ((32 + 45*a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(120*a^3) + (3*c^(3/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(16*a^3)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^1, x, 6, (c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*a) - (1/5)*x^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2) - ((14 + 15*a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(30*a^2) + (c^(3/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(4*a^2)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^0, x, 6, (5/8)*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2] - (5*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(12*a) - ((1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(4*a) + (5*c^(3/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(8*a)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/x^1, x, 9, c*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2] - (1/3)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2) + c^(3/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]] - c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/x^2, x, 9, (1/2)*a*c*(4 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2] - (c - a^2*c*x^2)^(3/2)/x - (1/2)*a*c^(3/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]] - 2*a*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/x^3, x, 9, -((a*c*(4 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*x)) - (c - a^2*c*x^2)^(3/2)/(2*x^2) - 2*a^2*c^(3/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]] - (1/2)*a^2*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/x^4, x, 9, -((a*c*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x^2) - (c - a^2*c*x^2)^(3/2)/(3*x^3) - a^3*c^(3/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]] + a^3*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/x^5, x, 7, -((5*a^2*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(8*x^2)) - (c - a^2*c*x^2)^(3/2)/(4*x^4) - (2*a*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(3*x^3) + (5/8)*a^4*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/x^6, x, 8, -((a^3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*x^2)) - (c - a^2*c*x^2)^(3/2)/(5*x^5) - (a*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(2*x^4) - (7*a^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(15*x^3) + (1/4)*a^5*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/x^7, x, 9, -((3*a^4*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(16*x^2)) - (c - a^2*c*x^2)^(3/2)/(6*x^6) - (2*a*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(5*x^5) - (3*a^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(8*x^4) - (4*a^3*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(15*x^3) + (3/16)*a^6*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/x^8, x, 10, -((a^5*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(8*x^2)) - (c - a^2*c*x^2)^(3/2)/(7*x^7) - (a*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(3*x^6) - (11*a^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(35*x^5) - (a^3*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(4*x^4) - (22*a^4*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(105*x^3) + (1/8)*a^7*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*x^3, x, 9, (3*c^2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(64*a^3) + (c*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(32*a^3) - (13*x^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(63*a^2) - (x^3*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(4*a) - (1/9)*x^4*(c - a^2*c*x^2)^(5/2) - ((208 + 315*a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(2520*a^4) + (3*c^(5/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(64*a^4)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*x^2, x, 8, (11*c^2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(128*a^2) + (11*c*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(192*a^2) - (2*x^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(7*a) - (1/8)*x^3*(c - a^2*c*x^2)^(5/2) - ((192 + 385*a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(1680*a^3) + (11*c^(5/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(128*a^3)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*x^1, x, 7, (c^2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(8*a) + (c*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(12*a) - (1/7)*x^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2) - ((27 + 35*a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(105*a^2) + (c^(5/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(8*a^2)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*x^0, x, 7, (7/16)*c^2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2] + (7/24)*c*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2) - (7*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(30*a) - ((1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(6*a) + (7*c^(5/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(16*a)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)/x^1, x, 10, (1/4)*c^2*(4 + 3*a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2] + (1/6)*c*(2 + 3*a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2) - (1/5)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2) + (3/4)*c^(5/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]] - c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)/x^2, x, 10, (1/8)*a*c^2*(16 - 9*a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2] + (1/12)*a*c*(8 - 9*a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2) - (c - a^2*c*x^2)^(5/2)/x - (9/8)*a*c^(5/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]] - 2*a*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)/x^3, x, 10, (-(1/2))*a^2*c^2*(1 + 6*a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2] - (a*c*(12 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(6*x) - (c - a^2*c*x^2)^(5/2)/(2*x^2) - 3*a^2*c^(5/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]] + (1/2)*a^2*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)/x^4, x, 10, -((a^2*c^2*(1 + 6*a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*x)) - (a*c*(6 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(6*x^2) - (c - a^2*c*x^2)^(5/2)/(3*x^3) - (1/2)*a^3*c^(5/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]] + 3*a^3*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)/x^5, x, 10, (a^3*c^2*(16 - 9*a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(8*x) - (a*c*(16 + 9*a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(24*x^3) - (c - a^2*c*x^2)^(5/2)/(4*x^4) + 2*a^4*c^(5/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]] + (9/8)*a^4*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 8, (45/128)*c^3*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2] + (15/64)*c^2*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2) + (3/16)*c*x*(c - a^2*c*x^2)^(5/2) - (9*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(56*a) - ((1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(8*a) + (45*c^(7/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(128*a)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^3, x, 7, (1 + a*x)^2/(a^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (11*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a^4*c) + (x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a^3*c) + (x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a^2*c) - (3*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(a^4*Sqrt[c])}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^2, x, 5, (1 + a*x)^2/(a^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + ((6 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a^3*c) - (5*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(2*a^3*Sqrt[c])}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^1, x, 5, (1 + a*x)^2/(a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a^2*c) - (2*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(a^2*Sqrt[c])}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^0, x, 4, (2*(1 + a*x))/(a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]]/(a*Sqrt[c])}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^1, x, 5, (2*(1 + a*x))/Sqrt[c - a^2*c*x^2] - ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]/Sqrt[c]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^2, x, 6, (2*a*(1 + a*x))/Sqrt[c - a^2*c*x^2] - Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(c*x) - (2*a*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]])/Sqrt[c]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^3, x, 7, (2*a^2*(1 + a*x))/Sqrt[c - a^2*c*x^2] - Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(2*c*x^2) - (2*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(c*x) - (5*a^2*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]])/(2*Sqrt[c])}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^4, x, 8, (2*a^3*(1 + a*x))/Sqrt[c - a^2*c*x^2] - Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(3*c*x^3) - (a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(c*x^2) - (8*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*c*x) - (3*a^3*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]])/Sqrt[c]}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^3, x, 6, (1 + a*x)^2/(3*a^4*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (8*(1 + a*x))/(3*a^4*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(a^4*c^2) + (2*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(a^4*c^(3/2))}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^2, x, 5, (1 + a*x)^2/(3*a^3*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (5*(1 + a*x))/(3*a^3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]]/(a^3*c^(3/2))}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^1, x, 3, (1 + a*x)^2/(3*a^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (2*(1 + a*x))/(3*a^2*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^0, x, 3, (2*(1 + a*x))/(3*a*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + x/(3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/x^1, x, 7, (2*(1 + a*x))/(3*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (3 + 4*a*x)/(3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]/c^(3/2)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/x^2, x, 7, (2*a*(1 + a*x))/(3*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (a*(6 + 7*a*x))/(3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(c^2*x) - (2*a*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]])/c^(3/2)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/x^3, x, 8, (2*a^2*(1 + a*x))/(3*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (a^2*(9 + 10*a*x))/(3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(2*c^2*x^2) - (2*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(c^2*x) - (7*a^2*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]])/(2*c^(3/2))}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 4, (2*(1 + a*x))/(5*a*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + x/(5*c*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x)/(5*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 5, (2*(1 + a*x))/(7*a*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) + x/(7*c*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (4*x)/(21*c^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (8*x)/(21*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(2 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p with m symbolic*)
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^m*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 3, (c^3*x^(1 + m))/(1 + m) + (2*a*c^3*x^(2 + m))/(2 + m) - (a^2*c^3*x^(3 + m))/(3 + m) - (4*a^3*c^3*x^(4 + m))/(4 + m) - (a^4*c^3*x^(5 + m))/(5 + m) + (2*a^5*c^3*x^(6 + m))/(6 + m) + (a^6*c^3*x^(7 + m))/(7 + m)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^m*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 3, (c^2*x^(1 + m))/(1 + m) + (2*a*c^2*x^(2 + m))/(2 + m) - (2*a^3*c^2*x^(4 + m))/(4 + m) - (a^4*c^2*x^(5 + m))/(5 + m)}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*x^m*(c - a^2*c*x^2)^1, x, 3, (c*x^(1 + m))/(1 + m) + (2*a*c*x^(2 + m))/(2 + m) + (a^2*c*x^(3 + m))/(3 + m)}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^m)/(c - a^2*c*x^2)^1, x, 2, (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[2, 1 + m, 2 + m, a*x])/(c*(1 + m))}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^m)/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 6, x^(1 + m)/(4*c^2*(1 - a*x)^2) + ((2 - m)*x^(1 + m))/(4*c^2*(1 - a*x)) + (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (-a)*x])/(8*c^2*(1 + m)) + ((1 - 4*m + 2*m^2)*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, a*x])/(8*c^2*(1 + m))}
+{(E^(2*ArcTanh[a*x])*x^m)/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 8, -(((2 - m)*(4 - m)*x^(1 + m))/(24*c^3*(1 + a*x))) + x^(1 + m)/(6*c^3*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)) + ((4 - m)*x^(1 + m))/(12*c^3*(1 - a*x)^2*(1 + a*x)) + ((7 - 2*m)*(2 - m)*x^(1 + m))/(24*c^3*(1 - a*x)*(1 + a*x)) + ((2 - m)*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (-a)*x])/(16*c^3*(1 + m)) + ((2 - m)*(3 - 8*m + 2*m^2)*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, a*x])/(48*c^3*(1 + m))}
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*x^m, x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((x^(1 + m)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(6 + m)) + (c^2*(7 + 2*m)*x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/((1 + m)*(6 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (2*a*c^2*x^(2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]), -((x^(1 + m)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(6 + m)) + (c^2*(7 + 2*m)*x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/((6 + 7*m + m^2)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (2*a*c^2*x^(2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2])]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^m, x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((x^(1 + m)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(4 + m)) + (c*(5 + 2*m)*x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/((1 + m)*(4 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (2*a*c*x^(2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(1/2), (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]), -((x^(1 + m)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(4 + m)) + (c*(5 + 2*m)*x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/((4 + 5*m + m^2)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (2*a*c*x^(2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[-(1/2), (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2])]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^m, x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2 + m)) + (c*(3 + 2*m)*x^(1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/((1 + m)*(2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*a*c*x^(2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), -((x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2 + m)) + (c*(3 + 2*m)*x^(1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + 3*m + m^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*a*c*x^(2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])]}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^m, x, 7, (2*x^(1 + m)*(1 + a*x))/Sqrt[c - a^2*c*x^2] - ((1 + 2*m)*x^(1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/((1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (2*a*(1 + m)*x^(2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^m, x, 7, (2*x^(1 + m)*(1 + a*x))/(3*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + ((1 - 2*m)*x^(1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[3/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/(3*c*(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*a*(1 - m)*x^(2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[3/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/(3*c*(2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(2 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p with p symbolic*)
+
+
+{E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^p, x, 3, -((2^(1 + p)*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-1 - p, p, 1 + p, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 + a*x)^p*(a*p)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c-a^2 c x^2)^p E^(3 ArcTanh[a x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(3 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)*x^3, x, 7, -((17*c*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a^2)) - (23*c*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(24*a) - (3/5)*c*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2] - (1/6)*a*c*x^5*Sqrt[1 - a^2*x^2] - (c*(544 + 345*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(240*a^4) + (23*c*ArcSin[a*x])/(16*a^4)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)*x^2, x, 6, -((19*c*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a)) - (3/4)*c*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2] - (1/5)*a*c*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2] - (c*(304 + 195*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(120*a^3) + (13*c*ArcSin[a*x])/(8*a^3)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)*x^1, x, 6, -((15*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a^2)) - (5*c*(1 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*a^2) - (c*(1 + a*x)^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a^2) - (c*(1 + a*x)^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*a^2) + (15*c*ArcSin[a*x])/(8*a^2)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)*x^0, x, 5, -((5*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a)) - (5*c*(1 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*a) - (c*(1 + a*x)^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a) + (5*c*ArcSin[a*x])/(2*a)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)/x^1, x, 8, -3*c*Sqrt[1 - a^2*x^2] - (1/2)*a*c*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (7/2)*c*ArcSin[a*x] - c*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)/x^2, x, 8, (-a)*c*Sqrt[1 - a^2*x^2] - (c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/x + 3*a*c*ArcSin[a*x] - 3*a*c*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)/x^3, x, 8, -((c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x^2)) - (3*a*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/x + a^2*c*ArcSin[a*x] - (7/2)*a^2*c*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)/x^4, x, 7, -((c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*x^3)) - (3*a*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x^2) - (11*a^2*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*x) - (5/2)*a^3*c*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)/x^5, x, 8, -((c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*x^4)) - (a*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/x^3 - (15*a^2*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*x^2) - (3*a^3*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/x - (15/8)*a^4*c*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)/x^6, x, 9, -((c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(5*x^5)) - (3*a*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(4*x^4) - (19*a^2*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*x^3) - (13*a^3*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(8*x^2) - (38*a^4*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*x) - (13/8)*a^5*c*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^2]]}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 6, (7/8)*c^2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] - (7*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(12*a) - (7*c^2*(1 + a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(20*a) - (c^2*(1 + a*x)^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(5*a) + (7*c^2*ArcSin[a*x])/(8*a)}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 7, (9/16)*c^3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (3/8)*c^3*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2) - (3*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(10*a) - (3*c^3*(1 + a*x)*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(14*a) - (c^3*(1 + a*x)^2*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(7*a) + (9*c^3*ArcSin[a*x])/(16*a)}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^4, x, 8, (55/128)*c^4*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (55/192)*c^4*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (11/48)*c^4*x*(1 - a^2*x^2)^(5/2) - (11*c^4*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(56*a) - (11*c^4*(1 + a*x)*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(72*a) - (c^4*(1 + a*x)^2*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(9*a) + (55*c^4*ArcSin[a*x])/(128*a)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)*x^2, x, 6, (1 + a*x)^3/(3*a^3*c*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (2*(1 + a*x)^2)/(a^3*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^3*c) + (3*ArcSin[a*x])/(a^3*c)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)*x^1, x, 4, (1 + a*x)^3/(3*a^2*c*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (2*(1 + a*x))/(a^2*c*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + ArcSin[a*x]/(a^2*c)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)*x^0, x, 1, E^(3*ArcTanh[a*x])/(3*a*c)}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 5, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(5*a*c^2*(1 - a*x)^3) + (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a*c^2*(1 - a*x)^2) + (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a*c^2*(1 - a*x))}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 6, (8*x)/(35*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + 1/(7*a*c^3*(1 - a*x)^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + 4/(35*a*c^3*(1 - a*x)^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + 4/(35*a*c^3*(1 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^4, x, 7, (8*x)/(63*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + 1/(9*a*c^4*(1 - a*x)^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + 2/(21*a*c^4*(1 - a*x)^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + 2/(21*a*c^4*(1 - a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (16*x)/(63*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(3 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^3, x, 4, -((4*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (2*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*x^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (a*x^5*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(5*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/(a^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^2, x, 4, -((4*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (2*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (a*x^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/(a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^1, x, 4, -((4*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (3*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (a*x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^0, x, 4, -((3*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (a*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^1, x, 4, -((a*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^2, x, 4, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (3*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^3, x, 4, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (3*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^4, x, 4, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(3*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (3*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*a^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*a^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^5, x, 4, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(4*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*a^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*a^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*a^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, (c*(1 + a*x)^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 4, (2*c^2*(1 + a*x)^5*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(5*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (c^2*(1 + a*x)^6*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(6*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 4, (2*c^3*(1 + a*x)^6*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*c^3*(1 + a*x)^7*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(7*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (c^3*(1 + a*x)^8*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(8*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(9/2), x, 4, (8*c^4*(1 + a*x)^7*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(7*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*c^4*(1 + a*x)^8*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (2*c^4*(1 + a*x)^9*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (c^4*(1 + a*x)^10*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(10*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 4, (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a*c*(1 - a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 5, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(6*a*c^2*(1 - a*x)^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a*c^2*(1 - a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a*c^2*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(8*a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 5, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(16*a*c^3*(1 - a*x)^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(12*a*c^3*(1 - a*x)^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(32*a*c^3*(1 - a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a*c^3*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(32*a*c^3*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(32*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(3 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p with m symbolic*)
+
+
+{x^m*E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 5, -((3*x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (a*x^(2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, a*x])/((1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(3 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p with p symbolic*)
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^p*x^m, x, 7, -((3*x^(1 + m)*(c - a^2*c*x^2)^p)/((m + 2*p)*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (a*x^(2 + m)*(c - a^2*c*x^2)^p)/((1 + m + 2*p)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + ((3 + 4*m + 2*p)*x^(1 + m)*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, 3/2 - p, (3 + m)/2, a^2*x^2])/((1 - a^2*x^2)^p*((1 + m)*(m + 2*p))) + (a*(5 + 4*m + 6*p)*x^(2 + m)*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(2 + m)/2, 3/2 - p, (4 + m)/2, a^2*x^2])/((1 - a^2*x^2)^p*((2 + m)*(1 + m + 2*p)))}
+
+
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^p*x^3, x, 8, (4*(c - a^2*c*x^2)^p)/(a^4*(1 - 2*p)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (a*x^5*(c - a^2*c*x^2)^p)/(2*(2 + p)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (7*Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^p)/(a^4*(1 + 2*p)) - (3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)*(c - a^2*c*x^2)^p)/(a^4*(3 + 2*p)) + (1/(10*(2 + p)))*((a*(17 + 6*p)*x^5*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[5/2, 3/2 - p, 7/2, a^2*x^2])/(1 - a^2*x^2)^p)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^p*x^2, x, 8, (4*(c - a^2*c*x^2)^p)/(a^3*(1 - 2*p)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*x^3*(c - a^2*c*x^2)^p)/(2*(1 + p)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^p)/(a^3*(1 + 2*p)) - ((1 - a^2*x^2)^(3/2)*(c - a^2*c*x^2)^p)/(a^3*(3 + 2*p)) + (1/(6*(1 + p)))*(((11 + 2*p)*x^3*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[3/2, 3/2 - p, 5/2, a^2*x^2])/(1 - a^2*x^2)^p)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^p*x^1, x, 5, -(((1 + a*x)^3*(c - a^2*c*x^2)^p)/(2*a^2*(1 + p)*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (3*2^(3/2 + p)*(1 - a*x)^(-(1/2) + p)*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-(3/2) - p, -(1/2) + p, 1/2 + p, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a^2*x^2)^p*(a^2*(1 - p - 2*p^2)))}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^p*x^0, x, 3, (2^(5/2 + p)*(1 - a*x)^(-(1/2) + p)*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-(3/2) - p, -(1/2) + p, 1/2 + p, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a^2*x^2)^p*(a*(1 - 2*p)))}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^p/x^1, x, 8, (4*(c - a^2*c*x^2)^p)/((1 - 2*p)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (a*x*(c - a^2*c*x^2)^p)/(2*p*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a*(1 + 6*p)*x*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, 3/2 - p, 3/2, a^2*x^2])/((1 - a^2*x^2)^p*(2*p)) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + p, 3/2 + p, 1 - a^2*x^2])/(1 + 2*p)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^p/x^2, x, 9, (4*a*(c - a^2*c*x^2)^p)/((1 - 2*p)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (c - a^2*c*x^2)^p/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a^2*(5 - 2*p)*x*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, 3/2 - p, 3/2, a^2*x^2])/(1 - a^2*x^2)^p - (3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + p, 3/2 + p, 1 - a^2*x^2])/(1 + 2*p)}
+{E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^p/x^3, x, 8, -((c - a^2*c*x^2)^p/(2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (3*a*(c - a^2*c*x^2)^p)/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a^3*(7 - 6*p)*x*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, 3/2 - p, 3/2, a^2*x^2])/(1 - a^2*x^2)^p + (a^2*(9 - 2*p)*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1, -(1/2) + p, 1/2 + p, 1 - a^2*x^2])/(2*(1 - 2*p)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c-a^2 c x^2)^p E^(4 ArcTanh[a x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(4 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^5, x, 3, (c^5*(1 + a*x)^8)/a - (4*c^5*(1 + a*x)^9)/(3*a) + (3*c^5*(1 + a*x)^10)/(5*a) - (c^5*(1 + a*x)^11)/(11*a)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^4, x, 3, (4*c^4*(1 + a*x)^7)/(7*a) - (c^4*(1 + a*x)^8)/(2*a) + (c^4*(1 + a*x)^9)/(9*a)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 3, (c^3*(1 + a*x)^6)/(3*a) - (c^3*(1 + a*x)^7)/(7*a)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 2, (c^2*(1 + a*x)^5)/(5*a)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^1, x, 3, -7*c*x - 2*a*c*x^2 - (1/3)*a^2*c*x^3 - (8*c*Log[1 - a*x])/a, -4*c*x - (c*(1 + a*x)^2)/a - (c*(1 + a*x)^3)/(3*a) - (8*c*Log[1 - a*x])/a}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^1, x, 2, x/(c*(1 - a*x)^2)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 2, 1/(3*a*c^2*(1 - a*x)^3)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 4, 1/(8*a*c^3*(1 - a*x)^4) + 1/(12*a*c^3*(1 - a*x)^3) + 1/(16*a*c^3*(1 - a*x)^2) + 1/(16*a*c^3*(1 - a*x)) + ArcTanh[a*x]/(16*a*c^3)}
+{E^(4*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^4, x, 4, 1/(20*a*c^4*(1 - a*x)^5) + 1/(16*a*c^4*(1 - a*x)^4) + 1/(16*a*c^4*(1 - a*x)^3) + 1/(16*a*c^4*(1 - a*x)^2) + 5/(64*a*c^4*(1 - a*x)) - 1/(64*a*c^4*(1 + a*x)) + (3*ArcTanh[a*x])/(32*a*c^4)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(4 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(4 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p with p symbolic*)
+
+
+{E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^p, x, 3, (2^(2 + p)*c*(1 + a*x)^(1 - p)*(c - a^2*c*x^2)^(-1 + p)*Hypergeometric2F1[-2 - p, -1 + p, p, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*(1 - p))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c-a^2 c x^2)^p / E^(1 ArcTanh[a x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(-ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^4, x, 7, (35/128)*c^4*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (35/192)*c^4*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (7/48)*c^4*x*(1 - a^2*x^2)^(5/2) + (1/8)*c^4*x*(1 - a^2*x^2)^(7/2) + (c^4*(1 - a^2*x^2)^(9/2))/(9*a) + (35*c^4*ArcSin[a*x])/(128*a)}
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 6, (5/16)*c^3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (5/24)*c^3*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (1/6)*c^3*x*(1 - a^2*x^2)^(5/2) + (c^3*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(7*a) + (5*c^3*ArcSin[a*x])/(16*a)}
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 5, (3/8)*c^2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (1/4)*c^2*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (c^2*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(5*a) + (3*c^2*ArcSin[a*x])/(8*a)}
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^1, x, 4, (1/2)*c*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (c*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(3*a) + (c*ArcSin[a*x])/(2*a)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^1, x, 1, -(1/(E^ArcTanh[a*x]*(a*c)))}
+{1/E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 3, -((1 - a*x)/(3*a*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))) + (2*x)/(3*c^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 4, -((1 - a*x)/(5*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2))) + (4*x)/(15*c^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (8*x)/(15*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^4, x, 5, -((1 - a*x)/(7*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^(7/2))) + (6*x)/(35*c^4*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (8*x)/(35*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (16*x)/(35*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^5, x, 6, -((1 - a*x)/(9*a*c^5*(1 - a^2*x^2)^(9/2))) + (8*x)/(63*c^5*(1 - a^2*x^2)^(7/2)) + (16*x)/(105*c^5*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) + (64*x)/(315*c^5*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (128*x)/(315*c^5*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(-ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^m, x, 4, (x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (a*x^(2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^2, x, 4, (x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (a*x^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^1, x, 4, (x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (a*x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^0, x, 3, (x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (a*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^1, x, 4, -((a*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^2, x, 4, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+
+
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 4, -((2*c*(1 - a*x)^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (c*(1 - a*x)^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 4, -((c^2*(1 - a*x)^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (4*c^2*(1 - a*x)^5*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(5*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (c^2*(1 - a*x)^6*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(6*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 4, -((8*c^3*(1 - a*x)^5*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(5*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (2*c^3*(1 - a*x)^6*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (6*c^3*(1 - a*x)^7*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(7*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (c^3*(1 - a*x)^8*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(8*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(9/2), x, 4, -((8*c^4*(1 - a*x)^6*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (32*c^4*(1 - a*x)^7*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(7*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*c^4*(1 - a*x)^8*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (8*c^4*(1 - a*x)^9*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(9*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (c^4*(1 - a*x)^10*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(10*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 3, (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{1/E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 5, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a*c*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(2*a*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{1/E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 5, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a*c^2*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a*c^2*(1 + a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(4*a*c^2*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(8*a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{1/E^ArcTanh[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 5, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(32*a*c^3*(1 - a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a*c^3*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(24*a*c^3*(1 + a*x)^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(32*a*c^3*(1 + a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(16*a*c^3*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(16*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(-ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p with p symbolic*)
+
+
+{x^m*(c - a^2*c*x^2)^p/E^ArcTanh[a*x], x, 5, (x^(1 + m)*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, 1/2 - p, (3 + m)/2, a^2*x^2])/((1 - a^2*x^2)^p*(1 + m)) - (a*x^(2 + m)*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[(2 + m)/2, 1/2 - p, (4 + m)/2, a^2*x^2])/((1 - a^2*x^2)^p*(2 + m))}
+
+
+{x^3*(1 - a^2*x^2)^p/E^ArcTanh[a*x], x, 6, -((1 - a^2*x^2)^(1/2 + p)/(a^4*(1 + 2*p))) + (1 - a^2*x^2)^(3/2 + p)/(a^4*(3 + 2*p)) - (1/5)*a*x^5*Hypergeometric2F1[5/2, 1/2 - p, 7/2, a^2*x^2]}
+{x^2*(1 - a^2*x^2)^p/E^ArcTanh[a*x], x, 6, (1 - a^2*x^2)^(1/2 + p)/(a^3*(1 + 2*p)) - (1 - a^2*x^2)^(3/2 + p)/(a^3*(3 + 2*p)) + (1/3)*x^3*Hypergeometric2F1[3/2, 1/2 - p, 5/2, a^2*x^2]}
+{x^1*(1 - a^2*x^2)^p/E^ArcTanh[a*x], x, 4, -((1 - a^2*x^2)^(1/2 + p)/(a^2*(1 + 2*p))) - (1/3)*a*x^3*Hypergeometric2F1[3/2, 1/2 - p, 5/2, a^2*x^2]}
+{x^0*(1 - a^2*x^2)^p/E^ArcTanh[a*x], x, 2, -((2^(1/2 + p)*(1 - a*x)^(3/2 + p)*Hypergeometric2F1[1/2 - p, 3/2 + p, 5/2 + p, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*(3 + 2*p)))}
+{(1 - a^2*x^2)^p/(x^1*E^ArcTanh[a*x]), x, 5, (-a)*x*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - p, 3/2, a^2*x^2] - ((1 - a^2*x^2)^(1/2 + p)*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + p, 3/2 + p, 1 - a^2*x^2])/(1 + 2*p)}
+{(1 - a^2*x^2)^p/(x^2*E^ArcTanh[a*x]), x, 5, -(Hypergeometric2F1[-(1/2), 1/2 - p, 1/2, a^2*x^2]/x) + (a*(1 - a^2*x^2)^(1/2 + p)*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + p, 3/2 + p, 1 - a^2*x^2])/(1 + 2*p)}
+
+
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^p*x^3, x, 7, -((Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^p)/(a^4*(1 + 2*p))) + ((1 - a^2*x^2)^(3/2)*(c - a^2*c*x^2)^p)/(a^4*(3 + 2*p)) - ((1/5)*a*x^5*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[5/2, 1/2 - p, 7/2, a^2*x^2])/(1 - a^2*x^2)^p}
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^p*x^2, x, 7, (Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^p)/(a^3*(1 + 2*p)) - ((1 - a^2*x^2)^(3/2)*(c - a^2*c*x^2)^p)/(a^3*(3 + 2*p)) + ((1/3)*x^3*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[3/2, 1/2 - p, 5/2, a^2*x^2])/(1 - a^2*x^2)^p}
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^p*x^1, x, 5, -((Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^p)/(a^2*(1 + 2*p))) - ((1/3)*a*x^3*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[3/2, 1/2 - p, 5/2, a^2*x^2])/(1 - a^2*x^2)^p}
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^p*x^0, x, 3, -((2^(1/2 + p)*(1 - a*x)^(3/2 + p)*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2 - p, 3/2 + p, 5/2 + p, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a^2*x^2)^p*(a*(3 + 2*p))))}
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^p/x^1, x, 6, ((-a)*x*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - p, 3/2, a^2*x^2])/(1 - a^2*x^2)^p - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + p, 3/2 + p, 1 - a^2*x^2])/(1 + 2*p)}
+{1/E^ArcTanh[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^p/x^2, x, 6, -(((c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-(1/2), 1/2 - p, 1/2, a^2*x^2])/((1 - a^2*x^2)^p*x)) + (a*Sqrt[1 - a^2*x^2]*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + p, 3/2 + p, 1 - a^2*x^2])/(1 + 2*p)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c-a^2 c x^2)^p / E^(2 ArcTanh[a x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(-2 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^4, x, 3, -((4*c^4*(1 - a*x)^6)/(3*a)) + (12*c^4*(1 - a*x)^7)/(7*a) - (3*c^4*(1 - a*x)^8)/(4*a) + (c^4*(1 - a*x)^9)/(9*a)}
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 3, -((4*c^3*(1 - a*x)^5)/(5*a)) + (2*c^3*(1 - a*x)^6)/(3*a) - (c^3*(1 - a*x)^7)/(7*a)}
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 3, -((c^2*(1 - a*x)^4)/(2*a)) + (c^2*(1 - a*x)^5)/(5*a)}
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^1, x, 2, -((c*(1 - a*x)^3)/(3*a))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^1, x, 2, -(1/(a*c*(1 + a*x)))}
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 4, -(1/(4*a*c^2*(1 + a*x)^2)) - 1/(4*a*c^2*(1 + a*x)) + ArcTanh[a*x]/(4*a*c^2)}
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 4, 1/(16*a*c^3*(1 - a*x)) - 1/(12*a*c^3*(1 + a*x)^3) - 1/(8*a*c^3*(1 + a*x)^2) - 3/(16*a*c^3*(1 + a*x)) + ArcTanh[a*x]/(4*a*c^3)}
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^4, x, 4, 1/(64*a*c^4*(1 - a*x)^2) + 5/(64*a*c^4*(1 - a*x)) - 1/(32*a*c^4*(1 + a*x)^4) - 1/(16*a*c^4*(1 + a*x)^3) - 3/(32*a*c^4*(1 + a*x)^2) - 5/(32*a*c^4*(1 + a*x)) + (15*ArcTanh[a*x])/(64*a*c^4)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(-2 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^3, x, 7, -((3*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(5*a^2)) + (x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a) - (1/5)*x^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2] - (3*(8 - 5*a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(20*a^4) - (3*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(4*a^4)}
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^2, x, 6, (2*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a) - (1/4)*x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2] + ((32 - 21*a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(24*a^3) + (7*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(8*a^3)}
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^1, x, 5, (-(1/3))*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2] - ((5 - 3*a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a^2) - (Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/a^2}
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^0, x, 5, (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a) + ((1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a) + (3*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(2*a)}
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^1, x, 8, -Sqrt[c - a^2*c*x^2] - 2*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]] - Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^2, x, 8, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/x) + a*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]] + 2*a*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^3, x, 6, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(2*x^2)) + (2*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x - (3/2)*a^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^4, x, 7, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(3*x^3)) + (a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x^2 - (5*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*x) + a^3*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^5, x, 8, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(4*x^4)) + (2*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*x^3) - (7*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(8*x^2) + (4*a^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*x) - (7/8)*a^4*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+
+
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 6, (5/8)*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2] + (5*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(12*a) + ((1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(4*a) + (5*c^(3/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(8*a)}
+
+
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 7, (7/16)*c^2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2] + (7/24)*c*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2) + (7*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(30*a) + ((1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(6*a) + (7*c^(5/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(16*a)}
+
+
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 8, (45/128)*c^3*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2] + (15/64)*c^2*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2) + (3/16)*c*x*(c - a^2*c*x^2)^(5/2) + (9*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(56*a) + ((1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(8*a) + (45*c^(7/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(128*a)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 4, -((2*(1 - a*x))/(a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]]/(a*Sqrt[c])}
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, -((2*(1 - a*x))/(3*a*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))) + x/(3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 4, -((2*(1 - a*x))/(5*a*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) + x/(5*c*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*x)/(5*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 5, -((2*(1 - a*x))/(7*a*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))) + x/(7*c*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (4*x)/(21*c^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (8*x)/(21*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(-2 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p with m symbolic*)
+
+
+{x^m*Sqrt[c - a^2*c*x^2]/E^(2*ArcTanh[a*x]), x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2 + m)) + (c*(3 + 2*m)*x^(1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/((1 + m)*(2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (2*a*c*x^(2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), -((x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2 + m)) + (c*(3 + 2*m)*x^(1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + 3*m + m^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (2*a*c*x^(2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(-2 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p with p symbolic*)
+
+
+{1/E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^p, x, 3, (2^(1 + p)*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-1 - p, p, 1 + p, (1/2)*(1 + a*x)])/((1 - a*x)^p*(a*p))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c-a^2 c x^2)^p / E^(3 ArcTanh[a x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(-3 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^4, x, 8, (55/128)*c^4*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (55/192)*c^4*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (11/48)*c^4*x*(1 - a^2*x^2)^(5/2) + (11*c^4*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(56*a) + (11*c^4*(1 - a*x)*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(72*a) + (c^4*(1 - a*x)^2*(1 - a^2*x^2)^(7/2))/(9*a) + (55*c^4*ArcSin[a*x])/(128*a)}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 7, (9/16)*c^3*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (3/8)*c^3*x*(1 - a^2*x^2)^(3/2) + (3*c^3*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(10*a) + (3*c^3*(1 - a*x)*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(14*a) + (c^3*(1 - a*x)^2*(1 - a^2*x^2)^(5/2))/(7*a) + (9*c^3*ArcSin[a*x])/(16*a)}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 6, (7/8)*c^2*x*Sqrt[1 - a^2*x^2] + (7*c^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(12*a) + (7*c^2*(1 - a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(20*a) + (c^2*(1 - a*x)^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2))/(5*a) + (7*c^2*ArcSin[a*x])/(8*a)}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^1, x, 5, (5*c*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a) + (5*c*(1 - a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*a) + (c*(1 - a*x)^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a) + (5*c*ArcSin[a*x])/(2*a)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^1, x, 1, -(1/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(3*a*c)))}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 5, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(5*a*c^2*(1 + a*x)^3)) - (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a*c^2*(1 + a*x)^2) - (2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(15*a*c^2*(1 + a*x))}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 6, (8*x)/(35*c^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - 1/(7*a*c^3*(1 + a*x)^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - 4/(35*a*c^3*(1 + a*x)^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - 4/(35*a*c^3*(1 + a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^4, x, 7, (8*x)/(63*c^4*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - 1/(9*a*c^4*(1 + a*x)^3*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - 2/(21*a*c^4*(1 + a*x)^2*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - 2/(21*a*c^4*(1 + a*x)*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) + (16*x)/(63*c^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(-3 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^3, x, 4, (4*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*x^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a*x^5*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(5*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/(a^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^2, x, 4, -((4*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (2*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/Sqrt[1 - a^2*x^2] + (a*x^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/(a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^1, x, 4, (4*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a*x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/(a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)*x^0, x, 4, -((3*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (a*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/(a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^1, x, 4, (a*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/Sqrt[1 - a^2*x^2] + (Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^2, x, 4, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (3*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] + (4*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^3, x, 4, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (3*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^4, x, 4, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(3*x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (3*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (4*a^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] + (4*a^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2)/x^5, x, 4, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(4*x^4*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(x^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(x^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*a^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*a^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/Sqrt[1 - a^2*x^2] - (4*a^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/Sqrt[1 - a^2*x^2]}
+
+
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(9/2), x, 4, -((8*c^4*(1 - a*x)^7*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(7*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (3*c^4*(1 - a*x)^8*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2*c^4*(1 - a*x)^9*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (c^4*(1 - a*x)^10*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(10*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 4, -((2*c^3*(1 - a*x)^6*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (4*c^3*(1 - a*x)^7*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(7*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (c^3*(1 - a*x)^8*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(8*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 4, -((2*c^2*(1 - a*x)^5*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(5*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (c^2*(1 - a*x)^6*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(6*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, -((c*(1 - a*x)^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 4, -((2*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a*c*(1 + a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]))}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 5, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(6*a*c^2*(1 + a*x)^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a*c^2*(1 + a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a*c^2*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(8*a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 5, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(32*a*c^3*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(16*a*c^3*(1 + a*x)^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(12*a*c^3*(1 + a*x)^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(32*a*c^3*(1 + a*x)^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - Sqrt[1 - a^2*x^2]/(8*a*c^3*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (5*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTanh[a*x])/(32*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(-3 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p with m symbolic*)
+
+
+{x^m/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 5, -((3*x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (a*x^(2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (4*x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (-a)*x])/((1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(-3 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p with p symbolic*)
+
+
+{1/E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^p, x, 3, -((2^(-(1/2) + p)*(1 - a*x)^(5/2 + p)*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[3/2 - p, 5/2 + p, 7/2 + p, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a^2*x^2)^p*(a*(5 + 2*p))))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c-a^2 c x^2)^p E^(1/2 ArcTanh[a x])*)
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(1/2 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(1/2 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^(p/2)*)
+
+
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])*(1 - a^2*x^2)^(5/2), x, 18, (231*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(512*a) + (231*(1 - a*x)^(5/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(1280*a) + (77*(1 - a*x)^(9/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(960*a) - (77*(1 - a*x)^(13/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(480*a) - (11*(1 - a*x)^(13/4)*(1 + a*x)^(7/4))/(60*a) - ((1 - a*x)^(13/4)*(1 + a*x)^(11/4))/(6*a) + (231*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(512*Sqrt[2]*a) - (231*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(512*Sqrt[2]*a) + (231*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(1024*Sqrt[2]*a) - (231*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(1024*Sqrt[2]*a)}
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])*(1 - a^2*x^2)^(3/2), x, 16, (35*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(64*a) + (7*(1 - a*x)^(5/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(32*a) - (7*(1 - a*x)^(9/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(24*a) - ((1 - a*x)^(9/4)*(1 + a*x)^(7/4))/(4*a) + (35*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a) - (35*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a) + (35*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a) - (35*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a)}
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])*(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 14, (3*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(4*a) - ((1 - a*x)^(5/4)*(1 + a*x)^(3/4))/(2*a) + (3*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a) - (3*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a) + (3*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a) - (3*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a)}
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(1 - a^2*x^2)^(1/2), x, 12, (Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/a - (Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/a + Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/(Sqrt[2]*a) - Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)]/(Sqrt[2]*a)}
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(1 - a^2*x^2)^(3/2), x, 1, -((2*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 2*a*x))/(3*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]))}
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(1 - a^2*x^2)^(5/2), x, 2, -((2*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 6*a*x))/(35*a*(1 - a^2*x^2)^(3/2))) - (16*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 2*a*x))/(35*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(1 - a^2*x^2)^(7/2), x, 3, -((2*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 10*a*x))/(99*a*(1 - a^2*x^2)^(5/2))) - (32*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 6*a*x))/(693*a*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (256*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 2*a*x))/(693*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(1 - a^2*x^2)^(9/2), x, 4, -((2*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 14*a*x))/(195*a*(1 - a^2*x^2)^(7/2))) - (112*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 10*a*x))/(6435*a*(1 - a^2*x^2)^(5/2)) - (256*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 6*a*x))/(6435*a*(1 - a^2*x^2)^(3/2)) - (2048*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 2*a*x))/(6435*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 19, (231*c^2*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(512*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (231*c^2*(1 - a*x)^(5/4)*(1 + a*x)^(3/4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(1280*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (77*c^2*(1 - a*x)^(9/4)*(1 + a*x)^(3/4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(960*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (77*c^2*(1 - a*x)^(13/4)*(1 + a*x)^(3/4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(480*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (11*c^2*(1 - a*x)^(13/4)*(1 + a*x)^(7/4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(60*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (c^2*(1 - a*x)^(13/4)*(1 + a*x)^(11/4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(6*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (231*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(512*Sqrt[2]*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (231*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(512*Sqrt[2]*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (231*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(1024*Sqrt[2]*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (231*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(1024*Sqrt[2]*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 17, (35*c*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(64*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (7*c*(1 - a*x)^(5/4)*(1 + a*x)^(3/4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(32*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (7*c*(1 - a*x)^(9/4)*(1 + a*x)^(3/4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(24*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (c*(1 - a*x)^(9/4)*(1 + a*x)^(7/4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (35*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (35*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(64*Sqrt[2]*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (35*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (35*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 15, (3*(1 - a*x)^(1/4)*(1 + a*x)^(3/4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - ((1 - a*x)^(5/4)*(1 + a*x)^(3/4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(4*Sqrt[2]*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(8*Sqrt[2]*a*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 13, (Sqrt[2]*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (Sqrt[2]*Sqrt[1 - a^2*x^2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] - (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[1 + a*x] + (Sqrt[2]*(1 - a*x)^(1/4))/(1 + a*x)^(1/4)])/(Sqrt[2]*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, -((2*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 2*a*x))/(3*a*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]))}
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 2, -((2*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 6*a*x))/(35*a*c*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))) - (16*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 2*a*x))/(35*a*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 3, -((2*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 10*a*x))/(99*a*c*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) - (32*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 6*a*x))/(693*a*c^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (256*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 2*a*x))/(693*a*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(9/2), x, 4, -((2*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 14*a*x))/(195*a*c*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))) - (112*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 10*a*x))/(6435*a*c^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (256*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 6*a*x))/(6435*a*c^3*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (2048*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(1 - 2*a*x))/(6435*a*c^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(1/2 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^(p/4)*)
+
+
+{x^3*E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/4), x, 10, (1 - a^2*x^2)^(1/4)/(a^4*c*Sqrt[1 - a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/4)) + (2*Sqrt[1 - a*x]*(1 - a^2*x^2)^(1/4))/(a^4*c*(c - a^2*c*x^2)^(1/4)) - (2*(1 - a*x)^(3/2)*(1 - a^2*x^2)^(1/4))/(3*a^4*c*(c - a^2*c*x^2)^(1/4)) + ((1 - a^2*x^2)^(1/4)*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[2]])/(Sqrt[2]*a^4*c*(c - a^2*c*x^2)^(1/4))}
+{x^2*E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/4), x, 8, (1 - a^2*x^2)^(1/4)/(a^3*c*Sqrt[1 - a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/4)) + (2*Sqrt[1 - a*x]*(1 - a^2*x^2)^(1/4))/(a^3*c*(c - a^2*c*x^2)^(1/4)) - ((1 - a^2*x^2)^(1/4)*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[2]])/(Sqrt[2]*a^3*c*(c - a^2*c*x^2)^(1/4))}
+{x^1*E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/4), x, 5, (1 - a^2*x^2)^(1/4)/(a^2*c*Sqrt[1 - a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/4)) + ((1 - a^2*x^2)^(1/4)*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[2]])/(Sqrt[2]*a^2*c*(c - a^2*c*x^2)^(1/4))}
+{x^0*E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/4), x, 5, (1 - a^2*x^2)^(1/4)/(a*c*Sqrt[1 - a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/4)) - ((1 - a^2*x^2)^(1/4)*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[2]])/(Sqrt[2]*a*c*(c - a^2*c*x^2)^(1/4))}
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(x^1*(c - a^2*c*x^2)^(5/4)), x, 8, (1 - a^2*x^2)^(1/4)/(c*Sqrt[1 - a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/4)) - (2*(1 - a^2*x^2)^(1/4)*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]])/(c*(c - a^2*c*x^2)^(1/4)) + ((1 - a^2*x^2)^(1/4)*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[2]])/(Sqrt[2]*c*(c - a^2*c*x^2)^(1/4))}
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(x^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/4)), x, 9, (2*a*(1 - a^2*x^2)^(1/4))/(c*Sqrt[1 - a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/4)) - (1 - a^2*x^2)^(1/4)/(c*x*Sqrt[1 - a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(1/4)) - (a*(1 - a^2*x^2)^(1/4)*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]])/(c*(c - a^2*c*x^2)^(1/4)) - (a*(1 - a^2*x^2)^(1/4)*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]/Sqrt[2]])/(Sqrt[2]*c*(c - a^2*c*x^2)^(1/4))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(1/2 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^(p/8)*)
+
+
+{x^3*E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(9/8), x, 5, -((4*x^2*(1 + a*x)^(1/8)*(1 - a^2*x^2)^(1/8))/(7*a^2*c*(1 - a*x)^(3/8)*(c - a^2*c*x^2)^(1/8))) + (8*(6 - a*x)*(1 + a*x)^(1/8)*(1 - a^2*x^2)^(1/8))/(21*a^4*c*(1 - a*x)^(3/8)*(c - a^2*c*x^2)^(1/8)) + (64*2^(1/8)*(1 - a*x)^(5/8)*(1 - a^2*x^2)^(1/8)*Hypergeometric2F1[5/8, 7/8, 13/8, (1/2)*(1 - a*x)])/(105*a^4*c*(c - a^2*c*x^2)^(1/8))}
+{x^2*E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(9/8), x, 1, (4*E^((1/2)*ArcTanh[a*x])*(2 - a*x))/(3*a^3*c*(c - a^2*c*x^2)^(1/8))}
+{x^1*E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(9/8), x, 4, (4*(1 + a*x)^(1/8)*(1 - a^2*x^2)^(1/8))/(3*a^2*c*(1 - a*x)^(3/8)*(c - a^2*c*x^2)^(1/8)) + (8*2^(1/8)*(1 - a*x)^(5/8)*(1 - a^2*x^2)^(1/8)*Hypergeometric2F1[5/8, 7/8, 13/8, (1/2)*(1 - a*x)])/(15*a^2*c*(c - a^2*c*x^2)^(1/8))}
+{x^0*E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(9/8), x, 3, (4*2^(1/8)*(1 - a^2*x^2)^(1/8)*Hypergeometric2F1[-(3/8), 7/8, 5/8, (1/2)*(1 - a*x)])/(3*a*c*(1 - a*x)^(3/8)*(c - a^2*c*x^2)^(1/8))}
+{E^(1/2*ArcTanh[a*x])/(x^1*(c - a^2*c*x^2)^(9/8)), x, 3, -((2*2^(5/8)*(1 + a*x)^(1/8)*(1 - a^2*x^2)^(1/8)*AppellF1[1/8, 11/8, 1, 9/8, (1/2)*(1 + a*x), 1 + a*x])/(c*(c - a^2*c*x^2)^(1/8)))}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(1/2 ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p with p symbolic*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (c-a^2 c x^2)^p E^(n ArcTanh[a x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2), x, 2, -((2^(2 + n/2)*c*(1 - a*x)^(2 - n/2)*Hypergeometric2F1[-1 - n/2, 2 - n/2, 3 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*(4 - n)))}
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 2, -((2^(3 + n/2)*c^2*(1 - a*x)^(3 - n/2)*Hypergeometric2F1[-2 - n/2, 3 - n/2, 4 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*(6 - n)))}
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 2, -((2^(4 + n/2)*c^3*(1 - a*x)^(4 - n/2)*Hypergeometric2F1[-3 - n/2, 4 - n/2, 5 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*(8 - n)))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)*x^4, x, 5, -((n*x^2*(1 + a*x)^(n/2))/((1 - a*x)^(n/2)*(6*a^3*c))) - (x^3*(1 + a*x)^(n/2))/((1 - a*x)^(n/2)*(3*a^2*c)) + ((1 + a*x)^(n/2)*(6 + 8*n + n^2 + n^3 - a*n*(6 + n^2)*x))/((1 - a*x)^(n/2)*(6*a^5*c*n)) + (2^(-1 + n/2)*n*(8 + n^2)*(1 - a*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, 1 - n/2, 2 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(3*a^5*c*(2 - n))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)*x^3, x, 4, -((x^2*(1 + a*x)^(n/2))/((1 - a*x)^(n/2)*(2*a^2*c))) + ((1 + a*x)^(n/2)*(2 + n + n^2 - a*n^2*x))/((1 - a*x)^(n/2)*(2*a^4*c*n)) + (2^(-1 + n/2)*(2 + n^2)*(1 - a*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, 1 - n/2, 2 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a^4*c*(2 - n))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)*x^2, x, 4, E^(n*ArcTanh[a*x])/(a^3*c*n) + (2^(1 + n/2)*(1 - a*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a^3*c*(2 - n)), ((1 - n)*(1 + a*x)^(n/2))/((1 - a*x)^(n/2)*(a^3*c*n)) - (x*(1 + a*x)^(n/2))/((1 - a*x)^(n/2)*(a^2*c)) + (2^(1 + n/2)*Hypergeometric2F1[-(n/2), -(n/2), 1 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*(a^3*c))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)*x^1, x, 3, -((1 + a*x)^(n/2)/((1 - a*x)^(n/2)*(a^2*c*n))) + (2^(1 + n/2)*Hypergeometric2F1[-(n/2), -(n/2), 1 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*(a^2*c*n))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)*x^0, x, 1, E^(n*ArcTanh[a*x])/(a*c*n)}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)/x^1, x, 3, (1 + a*x)^(n/2)/((1 - a*x)^(n/2)*(c*n)) - (2*(1 + a*x)^(n/2)*Hypergeometric2F1[1, n/2, (2 + n)/2, (1 + a*x)/(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*(c*n))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)/x^2, x, 5, (a*(1 + n)*(1 + a*x)^(n/2))/((1 - a*x)^(n/2)*(c*n)) - (1 + a*x)^(n/2)/((1 - a*x)^(n/2)*(c*x)) - (2*a*(1 + a*x)^(n/2)*Hypergeometric2F1[1, n/2, (2 + n)/2, (1 + a*x)/(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*c)}
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^2*x^4, x, 10, ((1 - n)*(3 + n)*(1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/(a^5*c^2*(2 - n)) + ((3 + n)*x*(1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/(a^4*c^2) - (x^3*(1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/(a^2*c^2) + ((1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/(a^5*c^2*(2 - n)) - (1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n))/((1 - a*x)^(n/2)*(a^5*c^2)) - ((3 + n)*(2 - n^2)*(1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^(n/2))/(a^5*c^2*(4 - n^2)) - ((3 + n)*(2 - n^2)*(1 + a*x)^(n/2))/((1 - a*x)^(n/2)*(a^5*c^2*n*(4 - n^2))) - (2^(n/2)*n*(1 - a*x)^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[(2 - n)/2, 1 - n/2, 2 - n/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a^5*c^2*(2 - n))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^2*x^3, x, 10, If[$VersionNumber>=8, -(((1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/(a^4*c^2*(2 + n))) + (2*(1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/(a^4*c^2*n*(4 - n^2)) - (2*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/((1 - a*x)^(n/2)*(a^4*c^2*n*(2 + n))) + (3*(1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^(n/2))/(a^4*c^2*(2 + n)) + (3*(1 + a*x)^(n/2))/((1 - a*x)^(n/2)*(a^4*c^2*n*(2 + n))) - (3*(1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(a^4*c^2*(2 + n)) + (2^(2 + n/2)*(1 - a*x)^(-1 - n/2)*Hypergeometric2F1[-1 - n/2, -1 - n/2, -(n/2), (1/2)*(1 - a*x)])/(a^4*c^2*(2 + n)), -(((1 - a*x)^((1/2)*(-2 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/(a^4*c^2*(2 + n))) + (2*(1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/(a^4*c^2*n*(4 - n^2)) - (2*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/((1 - a*x)^(n/2)*(a^4*c^2*n*(2 + n))) + (3*(1 - a*x)^((1/2)*(-2 - n))*(1 + a*x)^(n/2))/(a^4*c^2*(2 + n)) + (3*(1 + a*x)^(n/2))/((1 - a*x)^(n/2)*(a^4*c^2*n*(2 + n))) - (3*(1 - a*x)^((1/2)*(-2 - n))*(1 + a*x)^((2 + n)/2))/(a^4*c^2*(2 + n)) + (2^(2 + n/2)*(1 - a*x)^((1/2)*(-2 - n))*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-2 - n), -1 - n/2, -(n/2), (1/2)*(1 - a*x)])/(a^4*c^2*(2 + n))]}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^2*x^2, x, 2, -((E^(n*ArcTanh[a*x])*(2 - n^2))/(a^3*c^2*n*(4 - n^2))) - (E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 2*a*x))/(a^3*c^2*(4 - n^2)*(1 - a^2*x^2))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^2*x^1, x, 3, -(E^(n*ArcTanh[a*x])/(a^2*c^2*(4 - n^2))) + (E^(n*ArcTanh[a*x])*(2 - a*n*x))/(a^2*c^2*(4 - n^2)*(1 - a^2*x^2)), -(E^(n*ArcTanh[a*x])/(a^2*c^2*(4 - n^2))) + E^(n*ArcTanh[a*x])/(2*a^2*c^2*(1 - a^2*x^2)) + (E^(n*ArcTanh[a*x])*n*(n - 2*a*x))/(2*a^2*c^2*(4 - n^2)*(1 - a^2*x^2))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^2*x^0, x, 2, (2*E^(n*ArcTanh[a*x]))/(a*c^2*n*(4 - n^2)) - (E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 2*a*x))/(a*c^2*(4 - n^2)*(1 - a^2*x^2))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^2/x^1, x, 6, ((1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/(c^2*(2 + n)) - ((4 - n - n^2)*(1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/(c^2*n*(4 - n^2)) + ((4 + n)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/((1 - a*x)^(n/2)*(c^2*n*(2 + n))) - (2*(1 + a*x)^(n/2)*Hypergeometric2F1[1, n/2, (2 + n)/2, (1 + a*x)/(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*(c^2*n))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^2/x^2, x, 7, (a*(3 + n)*(1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/(c^2*(2 + n)) - ((1 - a*x)^(-1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/(c^2*x) - (a*(6 + 4*n - n^2 - n^3)*(1 - a*x)^(1 - n/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/(c^2*n*(4 - n^2)) + (a*(6 + 4*n + n^2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-2 + n)))/((1 - a*x)^(n/2)*(c^2*n*(2 + n))) - (2*a*(1 + a*x)^(n/2)*Hypergeometric2F1[1, n/2, (2 + n)/2, (1 + a*x)/(1 - a*x)])/((1 - a*x)^(n/2)*c^2)}
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 3, If[$VersionNumber>=8, (24*E^(n*ArcTanh[a*x]))/(a*c^3*n*(64 - 20*n^2 + n^4)) - (E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 4*a*x))/(a*c^3*(16 - n^2)*(1 - a^2*x^2)^2) - (12*E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 2*a*x))/(a*c^3*(4 - n^2)*(16 - n^2)*(1 - a^2*x^2)), (24*E^(n*ArcTanh[a*x]))/(a*c^3*n*(64 - 20*n^2 + n^4)) - (E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 4*a*x))/(a*c^3*(16 - n^2)*(1 - a^2*x^2)^2) - (12*E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 2*a*x))/(a*c^3*(64 - 20*n^2 + n^4)*(1 - a^2*x^2))]}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^4, x, 4, If[$VersionNumber>=8, (720*E^(n*ArcTanh[a*x]))/(a*c^4*n*(36 - n^2)*(64 - 20*n^2 + n^4)) - (E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 6*a*x))/(a*c^4*(36 - n^2)*(1 - a^2*x^2)^3) - (30*E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 4*a*x))/(a*c^4*(16 - n^2)*(36 - n^2)*(1 - a^2*x^2)^2) - (360*E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 2*a*x))/(a*c^4*(4 - n^2)*(16 - n^2)*(36 - n^2)*(1 - a^2*x^2)), (720*E^(n*ArcTanh[a*x]))/(a*c^4*n*(36 - n^2)*(64 - 20*n^2 + n^4)) - (E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 6*a*x))/(a*c^4*(36 - n^2)*(1 - a^2*x^2)^3) - (30*E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 4*a*x))/(a*c^4*(576 - 52*n^2 + n^4)*(1 - a^2*x^2)^2) - (360*E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 2*a*x))/(a*c^4*(36 - n^2)*(64 - 20*n^2 + n^4)*(1 - a^2*x^2))]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 5, -(x^2*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*(1 + a*x)^((3 + n)/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(5*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - ((1 - a*x)^((3 - n)/2)*(1 + a*x)^((3 + n)/2)*(8 + n^2 + 3*a*n*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(60*a^4*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2^((-1 + n)/2)*n*(11 + n^2)*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[(-1 - n)/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, (1 - a*x)/2])/(15*a^4*(3 - n)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 5, -(n*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*(1 + a*x)^((3 + n)/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(12*a^3*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (x*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*(1 + a*x)^((3 + n)/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2^((-1 + n)/2)*(3 + n^2)*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[(-1 - n)/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, (1 - a*x)/2])/(3*a^3*(3 - n)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*x^1*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 4, -((1 - a*x)^((3 - n)/2)*(1 + a*x)^((3 + n)/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a^2*Sqrt[1 - a^2*x^2]) - (2^((3 + n)/2)*n*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[(-1 - n)/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, (1 - a*x)/2])/(3*a^2*(3 - n)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*x^0*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 3, -((2^((3 + n)/2)*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[(-1 - n)/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, (1 - a*x)/2])/(a*(3 - n)*Sqrt[1 - a^2*x^2]))}
+{(E^(n*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x^1, x, 6, -(((1 - a*x)^((3 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((1 - n)*Sqrt[1 - a^2*x^2])) + (2*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, (1 + a*x)/(1 - a*x)])/((1 - n)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (2^((1 + n)/2)*n*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[(1 - n)/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, (1/2)*(1 - a*x)])/((3 - 4*n + n^2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+{(E^(n*ArcTanh[a*x])*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x^2, x, 6, -(((1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1 + n)/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(x*Sqrt[1 - a^2*x^2])) - (2*a*n*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1 - n)/2, (3 - n)/2, (1 - a*x)/(1 + a*x)])/((1 - n)*Sqrt[1 - a^2*x^2]) + (2^((1 + n)/2)*a*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[(1 - n)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - n)*Sqrt[1 - a^2*x^2])}
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, -((2^((5 + n)/2)*c*(1 - a*x)^((5 - n)/2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 - n), (5 - n)/2, (7 - n)/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*(5 - n)*Sqrt[1 - a^2*x^2]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(E^(n*ArcTanh[a*x])*x^3)/Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 5, If[$VersionNumber>=8, -(x^2*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - ((1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1 + n)/2)*(4 + n + n^2 + a*(1 - n)*n*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*a^4*(1 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (2^((-1 + n)/2)*n*(5 + n^2)*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(1 - n)/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, (1 - a*x)/2])/(3*a^4*(1 - n)*(3 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), -((x^2*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(3*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - ((1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1 + n)/2)*(4 + n + n^2 + a*(1 - n)*n*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(6*a^4*(1 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (2^((1/2)*(-1 + n))*n*(5 + n^2)*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(1 - n)/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, (1/2)*(1 - a*x)])/(3*a^4*(3 - 4*n + n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])]}
+{(E^(n*ArcTanh[a*x])*x^2)/Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 5, ((1 - n)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^3*(1 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (x*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (2^((1 + n)/2)*(1 + n^2)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(-1 - n)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, (1 - a*x)/2])/(a^3*(1 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^(n*ArcTanh[a*x])*x^1)/Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 4, -(((1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*(1 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - (2^((3 + n)/2)*n*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(-1 - n)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, (1 - a*x)/2])/(a^2*(1 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^(n*ArcTanh[a*x])*x^0)/Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 3, -((2^((1 + n)/2)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(1 - n)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, (1 - a*x)/2])/(a*(1 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(x^1*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), x, 3, (-2*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((-1 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1 - n)/2, (3 - n)/2, (1 - a*x)/(1 + a*x)])/((1 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), x, 4, -(((1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - (2*a*n*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((-1 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1 - n)/2, (3 - n)/2, (1 - a*x)/(1 + a*x)])/((1 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), x, 6, -((1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a*n*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a^2*(1 + n^2)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((-1 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1 - n)/2, (3 - n)/2, (1 - a*x)/(1 + a*x)])/((1 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{(E^(n*ArcTanh[a*x])*x^3)/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 5, -((x^2*(1 - a*x)^((-1 - n)/2)*(1 + a*x)^((-1 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^2*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) + ((1 - a*x)^((-1 - n)/2)*(1 + a*x)^((-1 + n)/2)*(2 + 2*n + n^2 - a*n*(3 + 2*n)*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^4*c*(1 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (2^((-1 + n)/2)*n*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(3 - n)/2, (3 - n)/2, (5 - n)/2, (1 - a*x)/2])/(a^4*c*(3 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^(n*ArcTanh[a*x])*x^2)/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 4, -((E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - a*x))/(a^3*c*(1 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) + (2^((1 + n)/2)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[(1 - n)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, (1 - a*x)/2])/(a^3*c*(1 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^(n*ArcTanh[a*x])*x^1)/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, (E^(n*ArcTanh[a*x])*(1 - a*n*x))/(a^2*c*(1 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^(n*ArcTanh[a*x])*x^0)/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, -((E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - a*x))/(a*c*(1 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]))}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(x^1*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 6, ((1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c*(1 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - ((2 + n)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c*(1 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, (1 + a*x)/(1 - a*x)])/(c*(1 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(x^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 7, (a*(2 + n)*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c*(1 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - ((1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a*(2 + 2*n + n^2)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c*(1 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*a*n*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, (1 + a*x)/(1 - a*x)])/(c*(1 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(x^3*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 8, (a^2*(3 + 2*n + n^2)*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c*(1 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - ((1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a*n*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a^2*(6 + 5*n + 2*n^2 + n^3)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c*(1 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a^2*(3 + n^2)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, (1 + a*x)/(1 - a*x)])/(c*(1 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{(E^(n*ArcTanh[a*x])*x^3)/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 7, If[$VersionNumber>=8, (x^3*(1 - a*x)^((-3 - n)/2)*(1 + a*x)^((-3 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*c^2*(3 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (3*(2 - n)*(1 - a*x)^((-1 - n)/2)*(1 + a*x)^((-3 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^4*c^2*(9 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (3*x*(1 - a*x)^((-1 - n)/2)*(1 + a*x)^((-3 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^3*c^2*(3 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (3*(1 + 2*n - n^2)*(1 - a*x)^((-1 - n)/2)*(1 + a*x)^((-1 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^4*c^2*(3 - n)*(1 + n)*(3 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (3*(1 + 2*n - n^2)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((-1 + n)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^4*c^2*(9 - 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), (x^3*(1 - a*x)^((1/2)*(-3 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a*c^2*(3 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (3*(2 - n)*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^4*c^2*(9 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (3*x*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^3*c^2*(3 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (3*(1 + 2*n - n^2)*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^4*c^2*(9 + 9*n - n^2 - n^3)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (3*(1 + 2*n - n^2)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(a^4*c^2*(9 - 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])]}
+{(E^(n*ArcTanh[a*x])*x^2)/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 2, -((E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 3*a*x))/(a^3*c*(9 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))) + (E^(n*ArcTanh[a*x])*(3 - n^2)*(n - a*x))/(a^3*c^2*(9 - 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^(n*ArcTanh[a*x])*x^1)/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 3, E^(n*ArcTanh[a*x])/(3*a^2*c*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (E^(n*ArcTanh[a*x])*n*(n - 3*a*x))/(3*a^2*c*(9 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*E^(n*ArcTanh[a*x])*n*(n - a*x))/(a^2*c^2*(9 - 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{(E^(n*ArcTanh[a*x])*x^0)/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 2, If[$VersionNumber>=8, -((E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 3*a*x))/(a*c*(9 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))) - (6*E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - a*x))/(a*c^2*(1 - n^2)*(9 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), -((E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 3*a*x))/(a*c*(9 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))) - (6*E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - a*x))/(a*c^2*(9 - 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])]}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(x^1*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 8, If[$VersionNumber>=8, ((1 - a*x)^((1/2)*(-3 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*(3 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + ((6 + n)*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*(1 + n)*(3 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - ((15 + 6*n + n^2)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*(3 + n)*(1 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + ((18 + 7*n - 2*n^2 - n^3)*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*(9 - 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, (1 + a*x)/(1 - a*x)])/(c^2*(1 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), ((1 - a*x)^((1/2)*(-3 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*(3 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + ((6 + n)*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*(3 + 4*n + n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - ((15 + 6*n + n^2)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*(3 + n - 3*n^2 - n^3)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + ((18 + 7*n - 2*n^2 - n^3)*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*(9 - 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, (1 + a*x)/(1 - a*x)])/(c^2*(1 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])]}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(x^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 9, If[$VersionNumber>=8, (a*(4 + n)*(1 - a*x)^((1/2)*(-3 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*(3 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - ((1 - a*x)^((1/2)*(-3 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a*(12 + 6*n + n^2)*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*(1 + n)*(3 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a*(24 + 15*n + 6*n^2 + n^3)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*(3 + n)*(1 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a*(24 + 18*n + 7*n^2 - 2*n^3 - n^4)*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*(9 - 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*a*n*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, (1 + a*x)/(1 - a*x)])/(c^2*(1 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), (a*(4 + n)*(1 - a*x)^((1/2)*(-3 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*(3 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - ((1 - a*x)^((1/2)*(-3 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a*(12 + 6*n + n^2)*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*(3 + 4*n + n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a*(24 + 15*n + 6*n^2 + n^3)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*(3 + n - 3*n^2 - n^3)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a*(24 + 18*n + 7*n^2 - 2*n^3 - n^4)*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(c^2*(9 - 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*a*n*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, (1 + a*x)/(1 - a*x)])/(c^2*(1 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])]}
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(x^3*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 10, If[$VersionNumber>=8, (a^2*(5 + 4*n + n^2)*(1 - a*x)^((1/2)*(-3 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c^2*(3 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - ((1 - a*x)^((1/2)*(-3 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c^2*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a*n*(1 - a*x)^((1/2)*(-3 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c^2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a^2*(30 + 17*n + 6*n^2 + n^3)*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c^2*(1 + n)*(3 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a^2*(75 + 54*n + 20*n^2 + 6*n^3 + n^4)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c^2*(3 + n)*(1 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a^2*(90 + 59*n + 8*n^2 + 2*n^3 - 2*n^4 - n^5)*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c^2*(9 - 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a^2*(5 + n^2)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, (1 + a*x)/(1 - a*x)])/(c^2*(1 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), (a^2*(5 + 4*n + n^2)*(1 - a*x)^((1/2)*(-3 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c^2*(3 + n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - ((1 - a*x)^((1/2)*(-3 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c^2*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a*n*(1 - a*x)^((1/2)*(-3 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c^2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a^2*(30 + 17*n + 6*n^2 + n^3)*(1 - a*x)^((1/2)*(-1 - n))*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c^2*(3 + 4*n + n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (a^2*(75 + 54*n + 20*n^2 + 6*n^3 + n^4)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c^2*(3 + n - 3*n^2 - n^3)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a^2*(90 + 59*n + 8*n^2 + 2*n^3 - 2*n^4 - n^5)*(1 - a*x)^((3 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(2*c^2*(9 - 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (a^2*(5 + n^2)*(1 - a*x)^((1 - n)/2)*(1 + a*x)^((1/2)*(-1 + n))*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, (1 + a*x)/(1 - a*x)])/(c^2*(1 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])]}
+
+
+{E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 3, If[$VersionNumber>=8, -((E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 5*a*x))/(a*c*(25 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) - (20*E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 3*a*x))/(a*c^2*(9 - n^2)*(25 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (120*E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - a*x))/(a*c^3*(1 - n^2)*(9 - n^2)*(25 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), -((E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 5*a*x))/(a*c*(25 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) - (20*E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - 3*a*x))/(a*c^2*(225 - 34*n^2 + n^4)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (120*E^(n*ArcTanh[a*x])*(n - a*x))/(a*c^3*(25 - n^2)*(9 - 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p with m symbolic*)
+
+
+{x^m*E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 2, (c^2*x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, (1/2)*(-4 + n), -2 - n/2, 2 + m, a*x, (-a)*x])/(1 + m)}
+{x^m*E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^1, x, 2, (c*x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, (1/2)*(-2 + n), -1 - n/2, 2 + m, a*x, (-a)*x])/(1 + m)}
+{x^m*E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^1, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, (2 + n)/2, 1 - n/2, 2 + m, a*x, (-a)*x])/(c*(1 + m))}
+{x^m*E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[1 + m, (4 + n)/2, 2 - n/2, 2 + m, a*x, (-a)*x])/(c^2*(1 + m))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcTanh[a x]) (c-a^2 c x^2)^p with p symbolic*)
+
+
+{x^m*E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^p, x, 3, (x^(1 + m)*(c - a^2*c*x^2)^p*AppellF1[1 + m, (1/2)*(n - 2*p), -(n/2) - p, 2 + m, a*x, (-a)*x])/((1 - a^2*x^2)^p*(1 + m))}
+
+
+{x^1*E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^p, x, 4, -(((1 - a*x)^(1 - n/2 + p)*(1 + a*x)^(1 + n/2 + p)*(c - a^2*c*x^2)^p)/((1 - a^2*x^2)^p*(2*a^2*(1 + p)))) - (2^(n/2 + p)*n*(1 - a*x)^(1 - n/2 + p)*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-(n/2) - p, 1 - n/2 + p, 2 - n/2 + p, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a^2*x^2)^p*(a^2*(1 + p)*(2 - n + 2*p)))}
+{x^0*E^(n*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^p, x, 3, -((2^(1 + n/2 + p)*(1 - a*x)^(1 - n/2 + p)*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-(n/2) - p, 1 - n/2 + p, 2 - n/2 + p, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 - a^2*x^2)^p*(a*(2 - n + 2*p))))}
+
+
+{E^(2*(p + 1)*ArcTanh[a*x])/(1 - a^2*x^2)^p, x, 3, (1 - a*x)^(1 - 2*p)/(a*(1 - 2*p)) + 1/((1 - a*x)^(2*p)*(a*p))}
+{E^(2*(p + 1)*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^p, x, 4, ((1 - a*x)^(1 - 2*p)*(1 - a^2*x^2)^p)/((c - a^2*c*x^2)^p*(a*(1 - 2*p))) + (1 - a^2*x^2)^p/((1 - a*x)^(2*p)*(c - a^2*c*x^2)^p*(a*p))}
+
+{(c - a^2*c*x^2)^p*E^(2*p*ArcTanh[a*x]), x, 3, ((1 + a*x)^(1 + 2*p)*(c - a^2*c*x^2)^p)/((1 - a^2*x^2)^p*(a*(1 + 2*p)))}
+{(c - a^2*c*x^2)^p/E^(2*p*ArcTanh[a*x]), x, 3, -(((1 - a*x)^(1 + 2*p)*(c - a^2*c*x^2)^p)/((1 - a^2*x^2)^p*(a*(1 + 2*p))))}
+
+
+{x^2*(E^(n*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(n^2/2 + 1)), x, 1, (E^(n*ArcTanh[a*x])*(1 - a*n*x))/((c - a^2*c*x^2)^(n^2/2)*(a^3*c*n*(1 - n^2)))}
+
+{x^2*E^(6*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^19, x, 2, -((1 - 6*a*x)/(210*a^3*c^19*(1 - a*x)^21*(1 + a*x)^15))}
+{x^2*E^(4*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^9, x, 2, -((1 - 4*a*x)/(60*a^3*c^9*(1 - a*x)^10*(1 + a*x)^6))}
+{x^2*E^(2*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 2, -((1 - 2*a*x)/(6*a^3*c^3*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)))}
+{x^2/(E^(2*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^3), x, 2, (1 + 2*a*x)/(6*a^3*c^3*(1 - a*x)*(1 + a*x)^3)}
+{x^2/(E^(4*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^9), x, 2, (1 + 4*a*x)/(60*a^3*c^9*(1 - a*x)^6*(1 + a*x)^10)}
+
+{x^2*E^(5*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(27/2), x, 3, -(((1 - 5*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(120*a^3*c^13*(1 - a*x)^15*(1 + a*x)^10*Sqrt[c - a^2*c*x^2]))}
+{x^2*E^(3*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(11/2), x, 3, -(((1 - 3*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(24*a^3*c^5*(1 - a*x)^6*(1 + a*x)^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]))}
+{x^2*E^(1*ArcTanh[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 4, Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a^3*c*(1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(4*a^3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(4*a^3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{x^2/(E^(1*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 4, -(Sqrt[1 - a^2*x^2]/(2*a^3*c*(1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - (Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 - a*x])/(4*a^3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (3*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Log[1 + a*x])/(4*a^3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{x^2/(E^(3*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(11/2)), x, 3, ((1 + 3*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(24*a^3*c^5*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)^6*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{x^2/(E^(5*ArcTanh[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(27/2)), x, 3, ((1 + 5*a*x)*Sqrt[1 - a^2*x^2])/(120*a^3*c^13*(1 - a*x)^10*(1 + a*x)^15*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
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index 00000000..db72acf0
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+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.3 Inverse hyperbolic tangent/7.3.7 Inverse hyperbolic tangent functions.m	
@@ -0,0 +1,621 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands involving inverse hyperbolic tangents of algebraic functions*)
+
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+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (a+b ArcTanh[c x/Sqrt[d+e x^2]])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcTanh[c x/Sqrt[d+e x^2]]) when e=c^2*)
+
+
+{x^5*ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]], x, 6, -((5*d^2*x*Sqrt[d + e*x^2])/(96*e^(5/2))) + (5*d*x^3*Sqrt[d + e*x^2])/(144*e^(3/2)) - (x^5*Sqrt[d + e*x^2])/(36*Sqrt[e]) + (5*d^3*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(96*e^3) + (1/6)*x^6*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]}
+{x^3*ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]], x, 5, (3*d*x*Sqrt[d + e*x^2])/(32*e^(3/2)) - (x^3*Sqrt[d + e*x^2])/(16*Sqrt[e]) - (3*d^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(32*e^2) + (1/4)*x^4*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]}
+{x^1*ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]], x, 4, -((x*Sqrt[d + e*x^2])/(4*Sqrt[e])) + (d*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(4*e) + (1/2)*x^2*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]}
+{ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]]/x^1, x, 8, -((Sqrt[d]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]^2)/(2*Sqrt[d + e*x^2])) + (Sqrt[d]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[1 - E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/Sqrt[d + e*x^2] - (Sqrt[d]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]]*Log[x])/Sqrt[d + e*x^2] + ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]*Log[x] + (Sqrt[d]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*PolyLog[2, E^(2*ArcSinh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]])])/(2*Sqrt[d + e*x^2])}
+{ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]]/x^3, x, 2, -((Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2])/(2*d*x)) - ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/(2*x^2)}
+{ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]]/x^5, x, 3, -((Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2])/(12*d*x^3)) + (e^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(6*d^2*x) - ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/(4*x^4)}
+{ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]]/x^7, x, 4, -((Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2])/(30*d*x^5)) + (2*e^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(45*d^2*x^3) - (4*e^(5/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(45*d^3*x) - ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/(6*x^6)}
+{ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]]/x^9, x, 5, -((Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2])/(56*d*x^7)) + (3*e^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(140*d^2*x^5) - (e^(5/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(35*d^3*x^3) + (2*e^(7/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(35*d^4*x) - ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/(8*x^8)}
+
+{x^6*ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]], x, 4, (d^3*Sqrt[d + e*x^2])/(7*e^(7/2)) - (d^2*(d + e*x^2)^(3/2))/(7*e^(7/2)) + (3*d*(d + e*x^2)^(5/2))/(35*e^(7/2)) - (d + e*x^2)^(7/2)/(49*e^(7/2)) + (1/7)*x^7*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]}
+{x^4*ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]], x, 4, -((d^2*Sqrt[d + e*x^2])/(5*e^(5/2))) + (2*d*(d + e*x^2)^(3/2))/(15*e^(5/2)) - (d + e*x^2)^(5/2)/(25*e^(5/2)) + (1/5)*x^5*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]}
+{x^2*ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]], x, 4, (d*Sqrt[d + e*x^2])/(3*e^(3/2)) - (d + e*x^2)^(3/2)/(9*e^(3/2)) + (1/3)*x^3*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]}
+{x^0*ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]], x, 2, -(Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[e]) + x*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]}
+{ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]]/x^2, x, 4, -(ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/x) - (Sqrt[e]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/Sqrt[d]}
+{ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]]/x^4, x, 5, -((Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2])/(6*d*x^2)) - ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/(3*x^3) + (e^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(6*d^(3/2))}
+{ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]]/x^6, x, 6, -((Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2])/(20*d*x^4)) + (3*e^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(40*d^2*x^2) - ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]]/(5*x^5) - (3*e^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[d]])/(40*d^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^(m/2) (a+b ArcTanh[c x/Sqrt[d+e x^2]]) when e=c^2*)
+
+
+{x^(9/2)*ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]], x, 6, -((60*d^2*Sqrt[x]*Sqrt[d + e*x^2])/(847*e^(5/2))) + (36*d*x^(5/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(847*e^(3/2)) - (4*x^(9/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(121*Sqrt[e]) + (2/11)*x^(11/2)*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]] + (30*d^(11/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(847*e^(11/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{x^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]], x, 5, (20*d*Sqrt[x]*Sqrt[d + e*x^2])/(147*e^(3/2)) - (4*x^(5/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(49*Sqrt[e]) + (2/7)*x^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]] - (10*d^(7/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(147*e^(7/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{x^(1/2)*ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]], x, 4, -((4*Sqrt[x]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*Sqrt[e])) + (2/3)*x^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]] + (2*d^(3/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(9*e^(3/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]]/x^(3/2), x, 3, -((2*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/Sqrt[x]) + (2*e^(1/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(d^(1/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]]/x^(7/2), x, 4, -((4*Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2])/(15*d*x^(3/2))) - (2*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(5*x^(5/2)) - (2*e^(5/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(15*d^(5/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]]/x^(11/2), x, 5, -((4*Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2])/(63*d*x^(7/2))) + (20*e^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(189*d^2*x^(3/2)) - (2*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(9*x^(9/2)) + (10*e^(9/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(189*d^(9/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]]/x^(15/2), x, 6, -((4*Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2])/(143*d*x^(11/2))) + (36*e^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(1001*d^2*x^(7/2)) - (60*e^(5/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(1001*d^3*x^(3/2)) - (2*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(13*x^(13/2)) - (30*e^(13/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(1001*d^(13/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+
+{x^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]], x, 7, (28*d*x^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(405*e^(3/2)) - (4*x^(7/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(81*Sqrt[e]) - (28*d^2*Sqrt[x]*Sqrt[d + e*x^2])/(135*e^2*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)) + (2/9)*x^(9/2)*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]] + (28*d^(9/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(135*e^(9/4)*Sqrt[d + e*x^2]) - (14*d^(9/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(135*e^(9/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{x^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]], x, 6, -((4*x^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(25*Sqrt[e])) + (12*d*Sqrt[x]*Sqrt[d + e*x^2])/(25*e*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)) + (2/5)*x^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]] - (12*d^(5/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(25*e^(5/4)*Sqrt[d + e*x^2]) + (6*d^(5/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(25*e^(5/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]]/x^(1/2), x, 5, -((4*Sqrt[x]*Sqrt[d + e*x^2])/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)) + 2*Sqrt[x]*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]] + (4*d^(1/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(e^(1/4)*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*d^(1/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(e^(1/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]]/x^(5/2), x, 6, -((4*Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2])/(3*d*Sqrt[x])) + (4*e*Sqrt[x]*Sqrt[d + e*x^2])/(3*d*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)) - (2*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(3*x^(3/2)) - (4*e^(3/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(3*d^(3/4)*Sqrt[d + e*x^2]) + (2*e^(3/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(3*d^(3/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+{ArcTanh[Sqrt[e]*x/Sqrt[d + e*x^2]]/x^(9/2), x, 7, -((4*Sqrt[e]*Sqrt[d + e*x^2])/(35*d*x^(5/2))) + (12*e^(3/2)*Sqrt[d + e*x^2])/(35*d^2*Sqrt[x]) - (12*e^2*Sqrt[x]*Sqrt[d + e*x^2])/(35*d^2*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)) - (2*ArcTanh[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d + e*x^2]])/(7*x^(7/2)) + (12*e^(7/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticE[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(35*d^(7/4)*Sqrt[d + e*x^2]) - (6*e^(7/4)*(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)*Sqrt[(d + e*x^2)/(Sqrt[d] + Sqrt[e]*x)^2]*EllipticF[2*ArcTan[(e^(1/4)*Sqrt[x])/d^(1/4)], 1/2])/(35*d^(7/4)*Sqrt[d + e*x^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m (a+b ArcTanh[c+d x^m])^n*)
+
+
+{x^3*ArcTanh[a + b*x^4], x, 4, ((a + b*x^4)*ArcTanh[a + b*x^4])/(4*b) + Log[1 - (a + b*x^4)^2]/(8*b)}
+
+
+{x^(n-1)*ArcTanh[a + b*x^n], x, 4, ((a + b*x^n)*ArcTanh[a + b*x^n])/(b*n) + Log[1 - (a + b*x^n)^2]/(2*b*n)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x^2)^q (a+b ArcTanh[Sqrt[1-c x]/Sqrt[1+c x]])^n*)
+
+
+{(a + b*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^n/(1 - c^2*x^2), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^n/(1 - c^2*x^2), x]}
+
+
+{(a + b*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3/(1 - c^2*x^2), x, 9, -((2*(a + b*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3*ArcTanh[1 - 2/(1 - Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/c) + (3*b*(a + b*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c) - (3*b*(a + b*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c) - (3*b^2*(a + b*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c) + (3*b^2*(a + b*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c) + (3*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 - Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/(4*c) - (3*b^3*PolyLog[4, -1 + 2/(1 - Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/(4*c)}
+{(a + b*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2/(1 - c^2*x^2), x, 7, -((2*(a + b*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*ArcTanh[1 - 2/(1 - Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/c) + (b*(a + b*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/c - (b*(a + b*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[2, -1 + 2/(1 - Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/c - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c) + (b^2*PolyLog[3, -1 + 2/(1 - Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c)}
+{(a + b*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^1/(1 - c^2*x^2), x, 2, -((a*Log[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])/c) + (b*PolyLog[2, -(Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c) - (b*PolyLog[2, Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])/(2*c)}
+{1/((a + b*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^1*(1 - c^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])), x]}
+{1/((a + b*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*(1 - c^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2), x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands involving inverse hyperbolic tangents of hyperbolic functions*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[Tanh[a+b x]]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[Tanh[a+b x]]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]*x^m, x, 2, -((b*x^(2 + m))/(2 + 3*m + m^2)) + (x^(1 + m)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/(1 + m)}
+
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]*x^2, x, 2, -((b*x^4)/12) + (1/3)*x^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]*x^1, x, 2, -((b*x^3)/6) + (1/2)*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]*x^0, x, 2, ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2/(2*b)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]/x^1, x, 2, b*x - (b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Log[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]/x^2, x, 2, -(ArcTanh[Tanh[a + b*x]]/x) + b*Log[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]/x^3, x, 2, -(b/(2*x)) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]/(2*x^2)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]/x^4, x, 2, -(b/(6*x^2)) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]/(3*x^3)}
+
+
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2*x^m, x, 3, (2*b^2*x^(3 + m))/(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3) - (2*b*x^(2 + m)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/(2 + 3*m + m^2) + (x^(1 + m)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/(1 + m)}
+
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2*x^3, x, 3, (b^2*x^6)/60 - (1/10)*b*x^5*ArcTanh[Tanh[a + b*x]] + (1/4)*x^4*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2*x^2, x, 3, (b^2*x^5)/30 - (1/6)*b*x^4*ArcTanh[Tanh[a + b*x]] + (1/3)*x^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2*x^1, x, 3, (x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3)/(3*b) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/(12*b^2)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2*x^0, x, 2, ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/(3*b)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2/x^1, x, 3, (-b)*x*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]) + (1/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2 + (b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Log[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2/x^2, x, 3, 2*b^2*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2/x - 2*b*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Log[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2/x^3, x, 3, -((b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/x) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2/(2*x^2) + b^2*Log[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2/x^4, x, 1, ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/(3*x^3*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2/x^5, x, 2, -(b^2/(12*x^2)) - (b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/(6*x^3) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2/(4*x^4), (b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3)/(12*x^3*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/(4*x^4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+
+
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3*x^m, x, 4, -((6*b^3*x^(4 + m))/((1 + m)*(24 + 26*m + 9*m^2 + m^3))) + (6*b^2*x^(3 + m)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3) - (3*b*x^(2 + m)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/(2 + 3*m + m^2) + (x^(1 + m)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3)/(1 + m)}
+
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3*x^3, x, 4, (-(1/140))*b^3*x^7 + (1/20)*b^2*x^6*ArcTanh[Tanh[a + b*x]] - (3/20)*b*x^5*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2 + (1/4)*x^4*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3*x^2, x, 4, (x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4)/(4*b) - (x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^5)/(10*b^2) + ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^6/(60*b^3)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3*x^1, x, 3, (x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4)/(4*b) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^5/(20*b^2)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3*x^0, x, 2, ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/(4*b)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/x^1, x, 4, b*x*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2 - (1/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2 + (1/3)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3 - (b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*Log[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/x^2, x, 4, -3*b^2*x*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]) + (3/2)*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2 - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/x + 3*b*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Log[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/x^3, x, 4, 3*b^3*x - (3*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/(2*x) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/(2*x^2) - 3*b^2*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Log[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/x^4, x, 4, -((b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/x) - (b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/(2*x^2) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/(3*x^3) + b^3*Log[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/x^5, x, 1, ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/(4*x^4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/x^6, x, 2, (b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4)/(20*x^4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/(5*x^5*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+
+
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4*x^m, x, 5, (24*b^4*x^(5 + m))/((1 + m)*(2 + m)*(3 + m)*(20 + 9*m + m^2)) - (24*b^3*x^(4 + m)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/((1 + m)*(24 + 26*m + 9*m^2 + m^3)) + (12*b^2*x^(3 + m)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3) - (4*b*x^(2 + m)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3)/(2 + 3*m + m^2) + (x^(1 + m)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4)/(1 + m)}
+
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4*x^6, x, 5, (b^4*x^11)/2310 - (1/210)*b^3*x^10*ArcTanh[Tanh[a + b*x]] + (1/42)*b^2*x^9*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2 - (1/14)*b*x^8*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3 + (1/7)*x^7*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4*x^5, x, 5, (b^4*x^10)/1260 - (1/126)*b^3*x^9*ArcTanh[Tanh[a + b*x]] + (1/28)*b^2*x^8*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2 - (2/21)*b*x^7*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3 + (1/6)*x^6*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4*x^4, x, 5, (b^4*x^9)/630 - (1/70)*b^3*x^8*ArcTanh[Tanh[a + b*x]] + (2/35)*b^2*x^7*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2 - (2/15)*b*x^6*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3 + (1/5)*x^5*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4*x^3, x, 5, (x^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^5)/(5*b) - (x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^6)/(10*b^2) + (x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^7)/(35*b^3) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^8/(280*b^4)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4*x^2, x, 4, (x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^5)/(5*b) - (x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^6)/(15*b^2) + ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^7/(105*b^3)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4*x^1, x, 3, (x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^5)/(5*b) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^6/(30*b^2)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4*x^0, x, 2, ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^5/(5*b)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/x^1, x, 5, (-b)*x*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3 + (1/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2 - (1/3)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3 + (1/4)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4 + (b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4*Log[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/x^2, x, 5, 4*b^2*x*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2 - 2*b*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2 + (4/3)*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3 - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/x - 4*b*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*Log[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/x^3, x, 5, -6*b^3*x*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]) + 3*b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2 - (2*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3)/x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/(2*x^2) + 6*b^2*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Log[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/x^4, x, 5, 4*b^4*x - (2*b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/x - (2*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3)/(3*x^2) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/(3*x^3) - 4*b^3*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Log[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/x^5, x, 5, -((b^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/x) - (b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/(2*x^2) - (b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3)/(3*x^3) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/(4*x^4) + b^4*Log[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/x^6, x, 1, ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^5/(5*x^5*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/x^7, x, 2, (b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^5)/(30*x^5*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^5/(6*x^6*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/x^8, x, 3, (b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^5)/(105*x^5*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3) + (b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^5)/(21*x^6*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^5/(7*x^7*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/x^9, x, 4, -(b^4/(280*x^4)) - (b^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/(70*x^5) - (b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/(28*x^6) - (b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3)/(14*x^7) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/(8*x^8), (b^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^5)/(280*x^5*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4) + (b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^5)/(56*x^6*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3) + (3*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^5)/(56*x^7*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^5/(8*x^8*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/x^10, x, 5, -(b^4/(630*x^5)) - (b^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/(126*x^6) - (b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/(42*x^7) - (b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3)/(18*x^8) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/(9*x^9)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/x^11, x, 5, -(b^4/(1260*x^6)) - (b^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/(210*x^7) - (b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/(60*x^8) - (2*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3)/(45*x^9) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^4/(10*x^10)}
+
+
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^6*x^1, x, 3, (x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^7)/(7*b) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^8/(56*b^2)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]*x^m, x, 1, -((x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (b*x)/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])])/((1 + m)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])))}
+
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]*x^3, x, 5, x^3/(3*b) + (x^2*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))/(2*b^2) + (x*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2)/b^3 + ((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b^4}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]*x^2, x, 4, x^2/(2*b) + (x*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))/b^2 + ((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b^3}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]*x^1, x, 3, x/b + ((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b^2}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]*x^0, x, 2, Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/b}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]/x^1, x, 4, -(Log[x]/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])) + Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]/x^2, x, 5, 1/(x*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])) - (b*Log[x])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2 + (b*Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]/x^3, x, 6, b/(x*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + 1/(2*x^2*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])) - (b^2*Log[x])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3 + (b^2*Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3}
+
+
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2*x^m, x, 2, -(x^m/(b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])) - (x^m*Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, (b*x)/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])])/(b*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2*x^4, x, 6, (4*x^3)/(3*b^2) + (2*x^2*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))/b^3 + (4*x*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2)/b^4 - x^4/(b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]) + (4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b^5}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2*x^3, x, 5, (3*x^2)/(2*b^2) + (3*x*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))/b^3 - x^3/(b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]) + (3*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b^4}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2*x^2, x, 4, (2*x)/b^2 - x^2/(b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]) + (2*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b^3}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2*x^1, x, 3, -(x/(b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])) + Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/b^2}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2*x^0, x, 2, -(1/(b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2/x^1, x, 5, -(1/((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])) + Log[x]/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2 - Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2/x^2, x, 6, -((2*b)/((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])) + 1/(x*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]) + (2*b*Log[x])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3 - (2*b*Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2/x^3, x, 7, -((3*b^2)/((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])) + (3*b)/(2*x*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]) + 1/(2*x^2*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]) + (3*b^2*Log[x])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4 - (3*b^2*Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4}
+
+
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3*x^m, x, 3, -(x^m/(2*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)) - (m*x^(-1 + m))/(2*b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]) - (m*x^(-1 + m)*Hypergeometric2F1[1, -1 + m, m, (b*x)/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])])/(2*b^2*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3*x^4, x, 6, (3*x^2)/b^3 + (6*x*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))/b^4 - x^4/(2*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2) - (2*x^3)/(b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]) + (6*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b^5}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3*x^3, x, 5, (3*x)/b^3 - x^3/(2*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2) - (3*x^2)/(2*b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]) + (3*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b^4}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3*x^2, x, 4, -(x^2/(2*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)) - x/(b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]) + Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/b^3}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3*x^1, x, 3, -(x/(2*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)) - 1/(2*b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3*x^0, x, 2, -(1/(2*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2))}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/x^1, x, 6, -(1/(2*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)) + 1/((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]) - Log[x]/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3 + Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/x^2, x, 7, -((3*b)/(2*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)) + 1/(x*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2) + (3*b)/((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]) - (3*b*Log[x])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4 + (3*b*Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/x^3, x, 8, -((3*b^2)/((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)) + (2*b)/(x*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2) + 1/(2*x^2*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2) + (6*b^2)/((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]) - (6*b^2*Log[x])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^5 + (6*b^2*Log[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^5}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[Tanh[a+b x]]^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]*x^4, x, 6, (2*x^4*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(3*b) - (16*x^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(15*b^2) + (32*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(35*b^3) - (128*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(9/2))/(315*b^4) + (256*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(11/2))/(3465*b^5)}
+{Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]*x^3, x, 5, (2*x^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(3*b) - (4*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(5*b^2) + (16*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(35*b^3) - (32*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(9/2))/(315*b^4)}
+{Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]*x^2, x, 4, (2*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(3*b) - (8*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(15*b^2) + (16*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(105*b^3)}
+{Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]*x^1, x, 3, (2*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(3*b) - (4*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(15*b^2)}
+{Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]*x^0, x, 2, (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(3*b)}
+{Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/x^1, x, 2, -2*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] + 2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]}
+{Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/x^2, x, 2, (b*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] - Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/x}
+{Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/x^3, x, 4, (b^2*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(3/2)) - b/(4*x*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + b^2/(4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) - Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/(2*x^2)}
+{Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/x^4, x, 6, (b^3*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(8*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(5/2)) + b^2/(24*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) - b^3/(24*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) - b/(12*x^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + b^3/(8*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) - Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/(3*x^3)}
+
+
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)*x^4, x, 6, (2*x^4*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(5*b) - (16*x^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(35*b^2) + (32*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(9/2))/(105*b^3) - (128*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(11/2))/(1155*b^4) + (256*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(13/2))/(15015*b^5)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)*x^3, x, 5, (2*x^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(5*b) - (12*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(35*b^2) + (16*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(9/2))/(105*b^3) - (32*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(11/2))/(1155*b^4)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)*x^2, x, 4, (2*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(5*b) - (8*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(35*b^2) + (16*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(9/2))/(315*b^3)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)*x^1, x, 3, (2*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(5*b) - (4*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(35*b^2)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)*x^0, x, 2, (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(5*b)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^1, x, 3, 2*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(3/2) - 2*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] + (2/3)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^2, x, 3, -3*b*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] + 3*b*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^3, x, 3, (3*b^2*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(4*Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) - (3*b*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(4*x) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/(2*x^2)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^4, x, 5, (b^3*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(8*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(3/2)) - b^2/(8*x*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + b^3/(8*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) - (b*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(4*x^2) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/(3*x^3)}
+
+
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)*x^4, x, 6, (2*x^4*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(7*b) - (16*x^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(9/2))/(63*b^2) + (32*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(11/2))/(231*b^3) - (128*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(13/2))/(3003*b^4) + (256*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(15/2))/(45045*b^5)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)*x^3, x, 5, (2*x^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(7*b) - (4*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(9/2))/(21*b^2) + (16*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(11/2))/(231*b^3) - (32*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(13/2))/(3003*b^4)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)*x^2, x, 4, (2*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(7*b) - (8*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(9/2))/(63*b^2) + (16*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(11/2))/(693*b^3)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)*x^1, x, 3, (2*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(7*b) - (4*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(9/2))/(63*b^2)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)*x^0, x, 2, (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(7*b)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^1, x, 4, -2*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(5/2) + 2*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] - (2/3)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2) + (2/5)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^2, x, 4, 5*b*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(3/2) - 5*b*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] + (5/3)*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^3, x, 4, (-(15/4))*b^2*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] + (15/4)*b^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] - (5*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(4*x) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/(2*x^2)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^4, x, 4, (5*b^3*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(8*Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) - (5*b^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(8*x) - (5*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(12*x^2) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/(3*x^3)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^5, x, 6, (5*b^4*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(64*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(3/2)) - (5*b^3)/(64*x*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + (5*b^4)/(64*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) - (5*b^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(32*x^2) - (5*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(24*x^3) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/(4*x^4)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^6, x, 8, (3*b^5*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(128*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(5/2)) + b^4/(128*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) - b^5/(128*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) - b^3/(64*x^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + (3*b^5)/(128*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) - (b^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(16*x^3) - (b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(8*x^4) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/(5*x^5)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{1/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]*x^4, x, 6, (2*x^4*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b - (16*x^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(3*b^2) + (32*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(5*b^3) - (128*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(35*b^4) + (256*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(9/2))/(315*b^5)}
+{1/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]*x^3, x, 5, (2*x^3*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b - (4*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/b^2 + (16*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(5*b^3) - (32*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(35*b^4)}
+{1/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]*x^2, x, 4, (2*x^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b - (8*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(3*b^2) + (16*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(15*b^3)}
+{1/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]*x^1, x, 3, (2*x*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b - (4*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(3*b^2)}
+{1/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]*x^0, x, 2, (2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b}
+{1/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/x^1, x, 1, (2*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]}
+{1/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/x^2, x, 3, (b*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(3/2) - 1/(x*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + b/((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+{1/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/x^3, x, 5, (3*b^2*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(5/2)) + b/(4*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) - b^2/(4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) - 1/(2*x^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + (3*b^2)/(4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+{1/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/x^4, x, 7, (5*b^3*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(8*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(7/2)) - b^2/(8*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)) + b^3/(8*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)) + b/(12*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) - (5*b^3)/(24*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) - 1/(3*x^3*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + (5*b^3)/(8*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+
+
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)*x^4, x, 6, -((2*x^4)/(b*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])) + (16*x^3*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b^2 - (32*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/b^3 + (128*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(5*b^4) - (256*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(35*b^5)}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)*x^3, x, 5, -((2*x^3)/(b*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])) + (12*x^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b^2 - (16*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/b^3 + (32*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(5*b^4)}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)*x^2, x, 4, -((2*x^2)/(b*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])) + (8*x*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b^2 - (16*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(3*b^3)}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)*x^1, x, 3, -((2*x)/(b*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])) + (4*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b^2}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)*x^0, x, 2, -(2/(b*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]))}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^1, x, 2, -((2*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(3/2)) - 2/((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^2, x, 4, -((3*b*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(5/2)) - 1/(x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) + b/((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) - (3*b)/((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^3, x, 6, -((15*b^2*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(7/2))) + (3*b)/(4*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)) - (3*b^2)/(4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)) - 1/(2*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) + (5*b^2)/(4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) - (15*b^2)/(4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^4, x, 8, -((35*b^3*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(8*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(9/2))) - (5*b^2)/(8*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2)) + (5*b^3)/(8*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2)) + b/(4*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)) - (7*b^3)/(8*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)) - 1/(3*x^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) + (35*b^3)/(24*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) - (35*b^3)/(8*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+
+
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)*x^4, x, 6, -((2*x^4)/(3*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))) - (16*x^3)/(3*b^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + (32*x^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b^3 - (128*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(3*b^4) + (256*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(15*b^5)}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)*x^3, x, 5, -((2*x^3)/(3*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))) - (4*x^2)/(b^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + (16*x*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b^3 - (32*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(3*b^4)}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)*x^2, x, 4, -((2*x^2)/(3*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))) - (8*x)/(3*b^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + (16*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(3*b^3)}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)*x^1, x, 3, -((2*x)/(3*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))) - 4/(3*b^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)*x^0, x, 2, -(2/(3*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)))}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^1, x, 3, (2*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(5/2) - 2/(3*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) + 2/((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^2, x, 5, (5*b*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(7/2) - 1/(x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)) + b/((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)) - (5*b)/(3*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) + (5*b)/((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^3, x, 7, (35*b^2*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(9/2)) + (5*b)/(4*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2)) - (5*b^2)/(4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2)) - 1/(2*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)) + (7*b^2)/(4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)) - (35*b^2)/(12*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) + (35*b^2)/(4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^4, x, 9, (105*b^3*ArcTan[Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(8*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(11/2)) - (35*b^2)/(24*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(9/2)) + (35*b^3)/(24*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(9/2)) + (5*b)/(12*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2)) - (15*b^3)/(8*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2)) - 1/(3*x^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)) + (21*b^3)/(8*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)) - (35*b^3)/(8*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) + (105*b^3)/(8*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^5*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^(m/2) ArcTanh[Tanh[a+b x]]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^(7/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]], x, 2, (-4*b*x^(11/2))/99 + (2*x^(9/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/9}
+{x^(5/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]], x, 2, (-4*b*x^(9/2))/63 + (2*x^(7/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/7}
+{x^(3/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]], x, 2, (-4*b*x^(7/2))/35 + (2*x^(5/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/5}
+{Sqrt[x]*ArcTanh[Tanh[a + b*x]], x, 2, (-4*b*x^(5/2))/15 + (2*x^(3/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/3}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]/Sqrt[x], x, 2, (-4*b*x^(3/2))/3 + 2*Sqrt[x]*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]/x^(3/2), x, 2, 4*b*Sqrt[x] - (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/Sqrt[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]/x^(5/2), x, 2, (-4*b)/(3*Sqrt[x]) - (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/(3*x^(3/2))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]/x^(7/2), x, 2, (-4*b)/(15*x^(3/2)) - (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/(5*x^(5/2))}
+
+
+{x^(7/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2, x, 3, (16*b^2*x^(13/2))/1287 - (8*b*x^(11/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/99 + (2*x^(9/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/9}
+{x^(5/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2, x, 3, (16*b^2*x^(11/2))/693 - (8*b*x^(9/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/63 + (2*x^(7/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/7}
+{x^(3/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2, x, 3, (16*b^2*x^(9/2))/315 - (8*b*x^(7/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/35 + (2*x^(5/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/5}
+{Sqrt[x]*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2, x, 3, (16*b^2*x^(7/2))/105 - (8*b*x^(5/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/15 + (2*x^(3/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/3}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2/Sqrt[x], x, 3, (16*b^2*x^(5/2))/15 - (8*b*x^(3/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/3 + 2*Sqrt[x]*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2/x^(3/2), x, 3, (-16*b^2*x^(3/2))/3 + 8*b*Sqrt[x]*ArcTanh[Tanh[a + b*x]] - (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/Sqrt[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2/x^(5/2), x, 3, (16*b^2*Sqrt[x])/3 - (8*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/(3*Sqrt[x]) - (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/(3*x^(3/2))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2/x^(7/2), x, 3, (-16*b^2)/(15*Sqrt[x]) - (8*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/(15*x^(3/2)) - (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/(5*x^(5/2))}
+
+
+{x^(7/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3, x, 4, (-32*b^3*x^(15/2))/6435 + (16*b^2*x^(13/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/429 - (4*b*x^(11/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/33 + (2*x^(9/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3)/9}
+{x^(5/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3, x, 4, (-32*b^3*x^(13/2))/3003 + (16*b^2*x^(11/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/231 - (4*b*x^(9/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/21 + (2*x^(7/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3)/7}
+{x^(3/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3, x, 4, (-32*b^3*x^(11/2))/1155 + (16*b^2*x^(9/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/105 - (12*b*x^(7/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/35 + (2*x^(5/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3)/5}
+{Sqrt[x]*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3, x, 4, (-32*b^3*x^(9/2))/315 + (16*b^2*x^(7/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/35 - (4*b*x^(5/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/5 + (2*x^(3/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3)/3}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/Sqrt[x], x, 4, (-32*b^3*x^(7/2))/35 + (16*b^2*x^(5/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/5 - 4*b*x^(3/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2 + 2*Sqrt[x]*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/x^(3/2), x, 4, (32*b^3*x^(5/2))/5 - 16*b^2*x^(3/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]] + 12*b*Sqrt[x]*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2 - (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3)/Sqrt[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/x^(5/2), x, 4, (-32*b^3*x^(3/2))/3 + 16*b^2*Sqrt[x]*ArcTanh[Tanh[a + b*x]] - (4*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/Sqrt[x] - (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3)/(3*x^(3/2))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3/x^(7/2), x, 4, (32*b^3*Sqrt[x])/5 - (16*b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])/(5*Sqrt[x]) - (4*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2)/(5*x^(3/2)) - (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3)/(5*x^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^(7/2)/ArcTanh[Tanh[a + b*x]], x, 5, (2*x^(7/2))/(7*b) + (2*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))/(5*b^2) + (2*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2)/(3*b^3) + (2*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3)/b^4 - (2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(7/2))/b^(9/2)}
+{x^(5/2)/ArcTanh[Tanh[a + b*x]], x, 4, (2*x^(5/2))/(5*b) + (2*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))/(3*b^2) + (2*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2)/b^3 - (2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(5/2))/b^(7/2)}
+{x^(3/2)/ArcTanh[Tanh[a + b*x]], x, 3, (2*x^(3/2))/(3*b) + (2*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))/b^2 - (2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(3/2))/b^(5/2)}
+{Sqrt[x]/ArcTanh[Tanh[a + b*x]], x, 2, (2*Sqrt[x])/b - (2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b^(3/2)}
+{1/(Sqrt[x]*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]), x, 1, (-2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(Sqrt[b]*Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+{1/(x^(3/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]), x, 2, (-2*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(3/2) + 2/(Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{1/(x^(5/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]), x, 3, (-2*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(5/2) + (2*b)/(Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + 2/(3*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{1/(x^(7/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]), x, 4, (-2*b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(7/2) + (2*b^2)/(Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3) + (2*b)/(3*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + 2/(5*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+
+
+{x^(7/2)/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2, x, 5, (7*x^(5/2))/(5*b^2) + (7*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))/(3*b^3) + (7*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2)/b^4 - (7*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(5/2))/b^(9/2) - x^(7/2)/(b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+{x^(5/2)/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2, x, 4, (5*x^(3/2))/(3*b^2) + (5*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))/b^3 - (5*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(3/2))/b^(7/2) - x^(5/2)/(b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+{x^(3/2)/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2, x, 3, (3*Sqrt[x])/b^2 - (3*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b^(5/2) - x^(3/2)/(b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+{Sqrt[x]/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2, x, 2, -(ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]/(b^(3/2)*Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])) - Sqrt[x]/(b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+{1/(Sqrt[x]*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2), x, 3, ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]/(Sqrt[b]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(3/2)) - 1/(b*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])) - 1/(b*Sqrt[x]*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+{1/(x^(3/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2), x, 4, (3*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(5/2) - 3/(Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) - 1/(b*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])) - 1/(b*x^(3/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+{1/(x^(5/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2), x, 5, (5*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(7/2) - (5*b)/(Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3) - 5/(3*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) - 1/(b*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])) - 1/(b*x^(5/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+{1/(x^(7/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2), x, 6, (7*b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(9/2) - (7*b^2)/(Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4) - (7*b)/(3*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3) - 7/(5*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) - 1/(b*x^(7/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])) - 1/(b*x^(7/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+
+
+{x^(7/2)/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3, x, 5, (35*x^(3/2))/(12*b^3) + (35*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))/(4*b^4) - (35*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(3/2))/(4*b^(9/2)) - x^(7/2)/(2*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2) - (7*x^(5/2))/(4*b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+{x^(5/2)/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3, x, 4, (15*Sqrt[x])/(4*b^3) - (15*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(4*b^(7/2)) - x^(5/2)/(2*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2) - (5*x^(3/2))/(4*b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+{x^(3/2)/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3, x, 3, (-3*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(4*b^(5/2)*Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) - x^(3/2)/(2*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2) - (3*Sqrt[x])/(4*b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+{Sqrt[x]/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3, x, 4, ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]/(4*b^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(3/2)) - 1/(4*b^2*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])) - Sqrt[x]/(2*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2) - 1/(4*b^2*Sqrt[x]*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+{1/(Sqrt[x]*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3), x, 5, (-3*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(4*Sqrt[b]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(5/2)) + 3/(4*b*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + 1/(4*b^2*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])) - 1/(2*b*Sqrt[x]*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2) + 1/(4*b^2*x^(3/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+{1/(x^(3/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3), x, 6, (-15*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(7/2)) + 15/(4*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3) + 5/(4*b*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + 3/(4*b^2*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])) - 1/(2*b*x^(3/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2) + 3/(4*b^2*x^(5/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+{1/(x^(5/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3), x, 7, (-35*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(9/2)) + (35*b)/(4*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4) + 35/(12*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3) + 7/(4*b*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + 5/(4*b^2*x^(7/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])) - 1/(2*b*x^(5/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2) + 5/(4*b^2*x^(7/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+{1/(x^(7/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^3), x, 8, (-63*b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/(4*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^(11/2)) + (63*b^2)/(4*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^5) + (21*b)/(4*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4) + 63/(20*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3) + 9/(4*b*x^(7/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + 7/(4*b^2*x^(9/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])) - 1/(2*b*x^(7/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^2) + 7/(4*b^2*x^(9/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^(m/2) ArcTanh[Tanh[a+b x]]^(n/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1/2)*x^(3/2), x, 4, -((ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3)/(8*b^(5/2))) + (1/3)*x^(5/2)*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] - (x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(12*b) - (Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(8*b^2)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1/2)*x^(1/2), x, 3, -((ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2)/(4*b^(3/2))) + (1/2)*x^(3/2)*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] - (Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(4*b)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1/2)/x^(1/2), x, 2, -((ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))/Sqrt[b]) + Sqrt[x]*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1/2)/x^(3/2), x, 2, 2*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]] - (2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/Sqrt[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1/2)/x^(5/2), x, 1, (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(3*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1/2)/x^(7/2), x, 2, (4*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(15*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(5*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1/2)/x^(9/2), x, 3, (16*b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(105*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3) + (8*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(35*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(7*x^(7/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1/2)/x^(11/2), x, 4, (32*b^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(315*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4) + (16*b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(105*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3) + (4*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(21*x^(7/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(9*x^(9/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+
+
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)*x^(3/2), x, 5, (3*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4)/(64*b^(5/2)) - (1/8)*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] + (x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(32*b) + (3*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(64*b^2) + (1/4)*x^(5/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)*x^(1/2), x, 4, (ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3)/(8*b^(3/2)) - (1/4)*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] + (Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(8*b) + (1/3)*x^(3/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^(1/2), x, 3, (3*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2)/(4*Sqrt[b]) - (3/4)*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] + (1/2)*Sqrt[x]*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^(3/2), x, 3, -3*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]) + 3*b*Sqrt[x]*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] - (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/Sqrt[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^(5/2), x, 3, 2*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]] - (2*b*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/Sqrt[x] - (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(3*x^(3/2))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^(7/2), x, 1, (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(5*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^(9/2), x, 2, (4*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(35*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(7*x^(7/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^(11/2), x, 3, (16*b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(315*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3) + (8*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(63*x^(7/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(9*x^(9/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^(13/2), x, 4, (32*b^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(1155*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4) + (16*b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(231*x^(7/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3) + (4*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(33*x^(9/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(11*x^(11/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+
+
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)*x^(1/2), x, 5, -((5*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4)/(64*b^(3/2))) + (5/32)*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] - (5*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(64*b) - (5/24)*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2) + (1/4)*x^(3/2)*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^(1/2), x, 4, -((5*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3)/(8*Sqrt[b])) + (5/8)*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] - (5/12)*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2) + (1/3)*Sqrt[x]*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^(3/2), x, 4, (15/4)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2 - (15/4)*b*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] + (5/2)*b*Sqrt[x]*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2) - (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/Sqrt[x]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^(5/2), x, 4, -5*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]) + 5*b^2*Sqrt[x]*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]] - (10*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(3*Sqrt[x]) - (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(3*x^(3/2))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^(7/2), x, 4, 2*b^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]] - (2*b^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/Sqrt[x] - (2*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))/(3*x^(3/2)) - (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2))/(5*x^(5/2))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^(9/2), x, 1, (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(7*x^(7/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^(11/2), x, 2, (4*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(63*x^(7/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(9*x^(9/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^(13/2), x, 3, (16*b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(693*x^(7/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3) + (8*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(99*x^(9/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(11*x^(11/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^(15/2), x, 4, (32*b^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(3003*x^(7/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4) + (16*b^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(429*x^(9/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3) + (12*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(143*x^(11/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(7/2))/(13*x^(13/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1/2)*x^(5/2), x, 4, (5*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3)/(8*b^(7/2)) + (x^(5/2)*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(3*b) + (5*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(12*b^2) + (5*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(8*b^3)}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1/2)*x^(3/2), x, 3, (3*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2)/(4*b^(5/2)) + (x^(3/2)*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(2*b) + (3*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(4*b^2)}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1/2)*x^(1/2), x, 2, (ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))/b^(3/2) + (Sqrt[x]*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1/2)/x^(1/2), x, 1, (2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/Sqrt[b]}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1/2)/x^(3/2), x, 1, (2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1/2)/x^(5/2), x, 2, (4*b*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(3*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + (2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(3*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1/2)/x^(7/2), x, 3, (16*b^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(15*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3) + (8*b*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(15*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + (2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(5*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1/2)/x^(9/2), x, 4, (32*b^3*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(35*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4) + (16*b^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(35*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3) + (12*b*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(35*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2) + (2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(7*x^(7/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+
+
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)*x^(7/2), x, 5, (35*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3)/(8*b^(9/2)) - (2*x^(7/2))/(b*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + (7*x^(5/2)*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(3*b^2) + (35*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(12*b^3) + (35*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(8*b^4)}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)*x^(5/2), x, 4, (15*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2)/(4*b^(7/2)) - (2*x^(5/2))/(b*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + (5*x^(3/2)*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(2*b^2) + (15*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(4*b^3)}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)*x^(3/2), x, 3, (3*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))/b^(5/2) - (2*x^(3/2))/(b*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + (3*Sqrt[x]*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b^2}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)*x^(1/2), x, 2, (2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/b^(3/2) - (2*Sqrt[x])/(b*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^(1/2), x, 1, -((2*Sqrt[x])/((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]))}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^(3/2), x, 2, -((4*b*Sqrt[x])/((b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])) + 2/(Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^(5/2), x, 3, -((16*b^2*Sqrt[x])/(3*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])) + (8*b)/(3*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + 2/(3*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)/x^(7/2), x, 4, -((32*b^3*Sqrt[x])/(5*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])) + (16*b^2)/(5*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + (4*b)/(5*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + 2/(5*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+
+
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)*x^(7/2), x, 5, (35*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2)/(4*b^(9/2)) - (2*x^(7/2))/(3*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) - (14*x^(5/2))/(3*b^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + (35*x^(3/2)*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(6*b^3) + (35*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/(4*b^4)}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)*x^(5/2), x, 4, (5*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))/b^(7/2) - (2*x^(5/2))/(3*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) - (10*x^(3/2))/(3*b^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]) + (5*Sqrt[x]*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])/b^3}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)*x^(3/2), x, 3, (2*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]]])/b^(5/2) - (2*x^(3/2))/(3*b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) - (2*Sqrt[x])/(b^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)*x^(1/2), x, 1, -((2*x^(3/2))/(3*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)))}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^(1/2), x, 2, -((2*Sqrt[x])/(3*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))) + (4*Sqrt[x])/(3*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^(3/2), x, 3, -((8*b*Sqrt[x])/(3*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))) + 2/(Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) + (16*b*Sqrt[x])/(3*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^(5/2), x, 4, -((16*b^2*Sqrt[x])/(3*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))) + (4*b)/(Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) + 2/(3*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) + (32*b^2*Sqrt[x])/(3*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+{1/ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5/2)/x^(7/2), x, 5, -((128*b^3*Sqrt[x])/(15*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^4*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2))) + (32*b^2)/(5*Sqrt[x]*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) + (16*b)/(15*x^(3/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) + 2/(5*x^(5/2)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3/2)) + (256*b^3*Sqrt[x])/(15*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])^5*Sqrt[ArcTanh[Tanh[a + b*x]]])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[Tanh[a+b x]]^n when n symbolic*)
+
+
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^n*x^m, x, 1, (1/(b*(1 + n)))*((x^m*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1 + n)*Hypergeometric2F1[-m, 1 + n, 2 + n, -(ArcTanh[Tanh[a + b*x]]/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))])/((b*x)/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))^m)}
+
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^n*x^4, x, 6, If[$VersionNumber>=8, (x^4*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1 + n))/(b*(1 + n)) - (4*x^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(2 + n))/(b^2*(1 + n)*(2 + n)) + (12*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3 + n))/(b^3*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)) - (24*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(4 + n))/(b^4*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)) + (24*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5 + n))/(b^5*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)*(5 + n)), (x^4*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1 + n))/(b*(1 + n)) - (4*x^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(2 + n))/(b^2*(1 + n)*(2 + n)) + (12*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3 + n))/(b^3*(3 + n)*(2 + 3*n + n^2)) - (24*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(4 + n))/(b^4*(4 + 5*n + n^2)*(6 + 5*n + n^2)) + (24*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(5 + n))/(b^5*(12 + 7*n + n^2)*(10 + 17*n + 8*n^2 + n^3))]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^n*x^3, x, 5, If[$VersionNumber>=8, (x^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1 + n))/(b*(1 + n)) - (3*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(2 + n))/(b^2*(1 + n)*(2 + n)) + (6*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3 + n))/(b^3*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)) - (6*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(4 + n))/(b^4*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)), (x^3*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1 + n))/(b*(1 + n)) - (3*x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(2 + n))/(b^2*(1 + n)*(2 + n)) + (6*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3 + n))/(b^3*(3 + n)*(2 + 3*n + n^2)) - (6*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(4 + n))/(b^4*(4 + 5*n + n^2)*(6 + 5*n + n^2))]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^n*x^2, x, 4, If[$VersionNumber>=8, (x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1 + n))/(b*(1 + n)) - (2*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(2 + n))/(b^2*(1 + n)*(2 + n)) + (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3 + n))/(b^3*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)), (x^2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1 + n))/(b*(1 + n)) - (2*x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(2 + n))/(b^2*(1 + n)*(2 + n)) + (2*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(3 + n))/(b^3*(3 + n)*(2 + 3*n + n^2))]}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^n*x^1, x, 3, (x*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1 + n))/(b*(1 + n)) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(2 + n)/(b^2*(1 + n)*(2 + n))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^n*x^0, x, 2, ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1 + n)/(b*(1 + n))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^n/x^1, x, 1, (ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, -(ArcTanh[Tanh[a + b*x]]/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))])/((1 + n)*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^n/x^2, x, 2, -(ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^n/x) + (b*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^n*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, -(ArcTanh[Tanh[a + b*x]]/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))])/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]])}
+{ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^n/x^3, x, 3, -((b*n*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(-1 + n))/(2*x)) - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^n/(2*x^2) + (b^2*n*ArcTanh[Tanh[a + b*x]]^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1, -1 + n, n, -(ArcTanh[Tanh[a + b*x]]/(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))])/(2*(b*x - ArcTanh[Tanh[a + b*x]]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[Coth[a+b x]]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[Coth[a+b x]]^n*)
+
+
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]*x^m, x, 2, -((b*x^(2 + m))/(2 + 3*m + m^2)) + (x^(1 + m)*ArcCoth[Tanh[a + b*x]])/(1 + m)}
+
+{ArcTanh[Coth[a + b*x]]*x^2, x, 2, -((b*x^4)/12) + (1/3)*x^3*ArcTanh[Coth[a + b*x]]}
+{ArcTanh[Coth[a + b*x]]*x^1, x, 2, -((b*x^3)/6) + (1/2)*x^2*ArcTanh[Coth[a + b*x]]}
+{ArcTanh[Coth[a + b*x]]*x^0, x, 2, ArcTanh[Coth[a + b*x]]^2/(2*b)}
+{ArcTanh[Coth[a + b*x]]/x^1, x, 2, b*x - (b*x - ArcTanh[Coth[a + b*x]])*Log[x]}
+{ArcTanh[Coth[a + b*x]]/x^2, x, 2, -(ArcTanh[Coth[a + b*x]]/x) + b*Log[x]}
+{ArcTanh[Coth[a + b*x]]/x^3, x, 2, -(b/(2*x)) - ArcTanh[Coth[a + b*x]]/(2*x^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c+d Hyper[a+b x]]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c+d Sinh[a+b x]]*)
+
+
+(* {ArcTanh[Sinh[x]], x, 6, 0}
+{x*ArcTanh[Sinh[x]], x, 8, 0}
+{x^2*ArcTanh[Sinh[x]], x, 10, 0} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c+d Cosh[a+b x]]*)
+
+
+{ArcTanh[Cosh[x]], x, 6, -2*x*ArcTanh[E^x] + x*ArcTanh[Cosh[x]] - PolyLog[2, -E^x] + PolyLog[2, E^x]}
+{x*ArcTanh[Cosh[x]], x, 8, (-x^2)*ArcTanh[E^x] + (1/2)*x^2*ArcTanh[Cosh[x]] - x*PolyLog[2, -E^x] + x*PolyLog[2, E^x] + PolyLog[3, -E^x] - PolyLog[3, E^x]}
+{x^2*ArcTanh[Cosh[x]], x, 10, (-(2/3))*x^3*ArcTanh[E^x] + (1/3)*x^3*ArcTanh[Cosh[x]] - x^2*PolyLog[2, -E^x] + x^2*PolyLog[2, E^x] + 2*x*PolyLog[3, -E^x] - 2*x*PolyLog[3, E^x] - 2*PolyLog[4, -E^x] + 2*PolyLog[4, E^x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c+d Tanh[a+b x]]*)
+
+
+{ArcTanh[c + d*Tanh[a + b*x]]*x^2, x, 11, (1/3)*x^3*ArcTanh[c + d*Tanh[a + b*x]] + (1/6)*x^3*Log[1 + ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)] - (1/6)*x^3*Log[1 + ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)] + (x^2*PolyLog[2, -(((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d))])/(4*b) - (x^2*PolyLog[2, -(((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d))])/(4*b) - (x*PolyLog[3, -(((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d))])/(4*b^2) + (x*PolyLog[3, -(((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d))])/(4*b^2) + PolyLog[4, -(((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d))]/(8*b^3) - PolyLog[4, -(((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d))]/(8*b^3)}
+{ArcTanh[c + d*Tanh[a + b*x]]*x^1, x, 9, (1/2)*x^2*ArcTanh[c + d*Tanh[a + b*x]] + (1/4)*x^2*Log[1 + ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)] - (1/4)*x^2*Log[1 + ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)] + (x*PolyLog[2, -(((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d))])/(4*b) - (x*PolyLog[2, -(((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d))])/(4*b) - PolyLog[3, -(((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d))]/(8*b^2) + PolyLog[3, -(((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d))]/(8*b^2)}
+{ArcTanh[c + d*Tanh[a + b*x]]*x^0, x, 7, x*ArcTanh[c + d*Tanh[a + b*x]] + (1/2)*x*Log[1 + ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)] - (1/2)*x*Log[1 + ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)] + PolyLog[2, -(((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d))]/(4*b) - PolyLog[2, -(((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d))]/(4*b)}
+{ArcTanh[c + d*Tanh[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTanh[c + d*Tanh[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{ArcTanh[1 + d + d*Tanh[a + b*x]]*x^3, x, 8, (b*x^5)/20 + (1/4)*x^4*ArcTanh[1 + d + d*Tanh[a + b*x]] - (1/8)*x^4*Log[1 + (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x^3*PolyLog[2, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(4*b) + (3*x^2*PolyLog[3, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(8*b^2) - (3*x*PolyLog[4, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(8*b^3) + (3*PolyLog[5, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(16*b^4)}
+{ArcTanh[1 + d + d*Tanh[a + b*x]]*x^2, x, 7, (b*x^4)/12 + (1/3)*x^3*ArcTanh[1 + d + d*Tanh[a + b*x]] - (1/6)*x^3*Log[1 + (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x^2*PolyLog[2, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(4*b) + (x*PolyLog[3, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(4*b^2) - PolyLog[4, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))]/(8*b^3)}
+{ArcTanh[1 + d + d*Tanh[a + b*x]]*x^1, x, 6, (b*x^3)/6 + (1/2)*x^2*ArcTanh[1 + d + d*Tanh[a + b*x]] - (1/4)*x^2*Log[1 + (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x*PolyLog[2, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(4*b) + PolyLog[3, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))]/(8*b^2)}
+{ArcTanh[1 + d + d*Tanh[a + b*x]]*x^0, x, 5, (b*x^2)/2 + x*ArcTanh[1 + d + d*Tanh[a + b*x]] - (1/2)*x*Log[1 + (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)] - PolyLog[2, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))]/(4*b)}
+{ArcTanh[1 + d + d*Tanh[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTanh[1 + d + d*Tanh[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{ArcTanh[1 - d - d*Tanh[a + b*x]]*x^3, x, 8, (b*x^5)/20 + (1/4)*x^4*ArcTanh[1 - d - d*Tanh[a + b*x]] - (1/8)*x^4*Log[1 + (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x^3*PolyLog[2, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(4*b) + (3*x^2*PolyLog[3, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(8*b^2) - (3*x*PolyLog[4, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(8*b^3) + (3*PolyLog[5, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(16*b^4)}
+{ArcTanh[1 - d - d*Tanh[a + b*x]]*x^2, x, 7, (b*x^4)/12 + (1/3)*x^3*ArcTanh[1 - d - d*Tanh[a + b*x]] - (1/6)*x^3*Log[1 + (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x^2*PolyLog[2, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(4*b) + (x*PolyLog[3, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(4*b^2) - PolyLog[4, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))]/(8*b^3)}
+{ArcTanh[1 - d - d*Tanh[a + b*x]]*x^1, x, 6, (b*x^3)/6 + (1/2)*x^2*ArcTanh[1 - d - d*Tanh[a + b*x]] - (1/4)*x^2*Log[1 + (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x*PolyLog[2, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(4*b) + PolyLog[3, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))]/(8*b^2)}
+{ArcTanh[1 - d - d*Tanh[a + b*x]]*x^0, x, 5, (b*x^2)/2 + x*ArcTanh[1 - d - d*Tanh[a + b*x]] - (1/2)*x*Log[1 + (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)] - PolyLog[2, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))]/(4*b)}
+{ArcTanh[1 - d - d*Tanh[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTanh[1 - d - d*Tanh[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c+d Coth[a+b x]]*)
+
+
+{ArcTanh[c + d*Coth[a + b*x]]*x^2, x, 11, (1/3)*x^3*ArcTanh[c + d*Coth[a + b*x]] + (1/6)*x^3*Log[1 - ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)] - (1/6)*x^3*Log[1 - ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)] + (x^2*PolyLog[2, ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)])/(4*b) - (x^2*PolyLog[2, ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)])/(4*b) - (x*PolyLog[3, ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)])/(4*b^2) + (x*PolyLog[3, ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)])/(4*b^2) + PolyLog[4, ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)]/(8*b^3) - PolyLog[4, ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)]/(8*b^3)}
+{ArcTanh[c + d*Coth[a + b*x]]*x^1, x, 9, (1/2)*x^2*ArcTanh[c + d*Coth[a + b*x]] + (1/4)*x^2*Log[1 - ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)] - (1/4)*x^2*Log[1 - ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)] + (x*PolyLog[2, ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)])/(4*b) - (x*PolyLog[2, ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)])/(4*b) - PolyLog[3, ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)]/(8*b^2) + PolyLog[3, ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)]/(8*b^2)}
+{ArcTanh[c + d*Coth[a + b*x]]*x^0, x, 7, x*ArcTanh[c + d*Coth[a + b*x]] + (1/2)*x*Log[1 - ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)] - (1/2)*x*Log[1 - ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)] + PolyLog[2, ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)]/(4*b) - PolyLog[2, ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)]/(4*b)}
+{ArcTanh[c + d*Coth[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTanh[c + d*Coth[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{ArcTanh[1 + d + d*Coth[a + b*x]]*x^3, x, 8, (b*x^5)/20 + (1/4)*x^4*ArcTanh[1 + d + d*Coth[a + b*x]] - (1/8)*x^4*Log[1 - (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x^3*PolyLog[2, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (3*x^2*PolyLog[3, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2) - (3*x*PolyLog[4, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3) + (3*PolyLog[5, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(16*b^4)}
+{ArcTanh[1 + d + d*Coth[a + b*x]]*x^2, x, 7, (b*x^4)/12 + (1/3)*x^3*ArcTanh[1 + d + d*Coth[a + b*x]] - (1/6)*x^3*Log[1 - (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x^2*PolyLog[2, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (x*PolyLog[3, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) - PolyLog[4, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)]/(8*b^3)}
+{ArcTanh[1 + d + d*Coth[a + b*x]]*x^1, x, 6, (b*x^3)/6 + (1/2)*x^2*ArcTanh[1 + d + d*Coth[a + b*x]] - (1/4)*x^2*Log[1 - (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x*PolyLog[2, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + PolyLog[3, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)]/(8*b^2)}
+{ArcTanh[1 + d + d*Coth[a + b*x]]*x^0, x, 5, (b*x^2)/2 + x*ArcTanh[1 + d + d*Coth[a + b*x]] - (1/2)*x*Log[1 - (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)] - PolyLog[2, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)]/(4*b)}
+{ArcTanh[1 + d + d*Coth[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTanh[1 + d + d*Coth[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{ArcTanh[1 - d - d*Coth[a + b*x]]*x^3, x, 8, (b*x^5)/20 + (1/4)*x^4*ArcTanh[1 - d - d*Coth[a + b*x]] - (1/8)*x^4*Log[1 - (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x^3*PolyLog[2, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (3*x^2*PolyLog[3, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2) - (3*x*PolyLog[4, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3) + (3*PolyLog[5, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(16*b^4)}
+{ArcTanh[1 - d - d*Coth[a + b*x]]*x^2, x, 7, (b*x^4)/12 + (1/3)*x^3*ArcTanh[1 - d - d*Coth[a + b*x]] - (1/6)*x^3*Log[1 - (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x^2*PolyLog[2, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (x*PolyLog[3, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) - PolyLog[4, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)]/(8*b^3)}
+{ArcTanh[1 - d - d*Coth[a + b*x]]*x^1, x, 6, (b*x^3)/6 + (1/2)*x^2*ArcTanh[1 - d - d*Coth[a + b*x]] - (1/4)*x^2*Log[1 - (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x*PolyLog[2, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + PolyLog[3, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)]/(8*b^2)}
+{ArcTanh[1 - d - d*Coth[a + b*x]]*x^0, x, 5, (b*x^2)/2 + x*ArcTanh[1 - d - d*Coth[a + b*x]] - (1/2)*x*Log[1 - (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)] - PolyLog[2, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)]/(4*b)}
+{ArcTanh[1 - d - d*Coth[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTanh[1 - d - d*Coth[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c+d Trig[a+b x]]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c+d Tan[a+b x]]*)
+
+
+{(e + f*x)^3*ArcTanh[Tan[a + b*x]], x, 12, (I*(e + f*x)^4*ArcTan[E^(2*I*(a + b*x))])/(4*f) + ((e + f*x)^4*ArcTanh[Tan[a + b*x]])/(4*f) - (I*(e + f*x)^3*PolyLog[2, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (I*(e + f*x)^3*PolyLog[2, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[3, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^2) - (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[3, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^2) + (3*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[4, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^3) - (3*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[4, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^3) - (3*f^3*PolyLog[5, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(16*b^4) + (3*f^3*PolyLog[5, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(16*b^4)}
+{(e + f*x)^2*ArcTanh[Tan[a + b*x]], x, 10, (I*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(2*I*(a + b*x))])/(3*f) + ((e + f*x)^3*ArcTanh[Tan[a + b*x]])/(3*f) - (I*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (I*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (f*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^2) - (f*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^2) + (I*f^2*PolyLog[4, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^3) - (I*f^2*PolyLog[4, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^3)}
+{(e + f*x)^1*ArcTanh[Tan[a + b*x]], x, 8, (I*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(2*I*(a + b*x))])/(2*f) + ((e + f*x)^2*ArcTanh[Tan[a + b*x]])/(2*f) - (I*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (I*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (f*PolyLog[3, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^2) - (f*PolyLog[3, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^2)}
+{(e + f*x)^0*ArcTanh[Tan[a + b*x]], x, 6, I*x*ArcTan[E^(2*I*(a + b*x))] + x*ArcTanh[Tan[a + b*x]] - (I*PolyLog[2, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (I*PolyLog[2, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b)}
+{ArcTanh[Tan[a + b*x]]/(e + f*x)^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTanh[Tan[a + b*x]]/(e + f*x), x]}
+
+
+{x^2*ArcTanh[c + d*Tan[a + b*x]], x, 11, (1/3)*x^3*ArcTanh[c + d*Tan[a + b*x]] + (1/6)*x^3*Log[1 + ((1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d)] - (1/6)*x^3*Log[1 + ((1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d)] - (I*x^2*PolyLog[2, -(((1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d))])/(4*b) + (I*x^2*PolyLog[2, -(((1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d))])/(4*b) + (x*PolyLog[3, -(((1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d))])/(4*b^2) - (x*PolyLog[3, -(((1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d))])/(4*b^2) + (I*PolyLog[4, -(((1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d))])/(8*b^3) - (I*PolyLog[4, -(((1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d))])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcTanh[c + d*Tan[a + b*x]], x, 9, (1/2)*x^2*ArcTanh[c + d*Tan[a + b*x]] + (1/4)*x^2*Log[1 + ((1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d)] - (1/4)*x^2*Log[1 + ((1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d)] - (I*x*PolyLog[2, -(((1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d))])/(4*b) + (I*x*PolyLog[2, -(((1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d))])/(4*b) + PolyLog[3, -(((1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d))]/(8*b^2) - PolyLog[3, -(((1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d))]/(8*b^2)}
+{x^0*ArcTanh[c + d*Tan[a + b*x]], x, 7, x*ArcTanh[c + d*Tan[a + b*x]] + (1/2)*x*Log[1 + ((1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d)] - (1/2)*x*Log[1 + ((1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d)] - (I*PolyLog[2, -(((1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d))])/(4*b) + (I*PolyLog[2, -(((1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d))])/(4*b)}
+{ArcTanh[c + d*Tan[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTanh[c + d*Tan[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcTanh[1 - I*d + d*Tan[a + b*x]], x, 7, (1/12)*I*b*x^4 + (1/3)*x^3*ArcTanh[1 - I*d + d*Tan[a + b*x]] - (1/6)*x^3*Log[1 + (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*x^2*PolyLog[2, -((1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(4*b) - (x*PolyLog[3, -((1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(4*b^2) - (I*PolyLog[4, -((1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcTanh[1 - I*d + d*Tan[a + b*x]], x, 6, (1/6)*I*b*x^3 + (1/2)*x^2*ArcTanh[1 - I*d + d*Tan[a + b*x]] - (1/4)*x^2*Log[1 + (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*x*PolyLog[2, -((1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(4*b) - PolyLog[3, -((1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))]/(8*b^2)}
+{x^0*ArcTanh[1 - I*d + d*Tan[a + b*x]], x, 5, (1/2)*I*b*x^2 + x*ArcTanh[1 - I*d + d*Tan[a + b*x]] - (1/2)*x*Log[1 + (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*PolyLog[2, -((1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(4*b)}
+{ArcTanh[1 - I*d + d*Tan[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTanh[1 - I*d + d*Tan[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcTanh[1 + I*d - d*Tan[a + b*x]], x, 7, (1/12)*I*b*x^4 + (1/3)*x^3*ArcTanh[1 + I*d - d*Tan[a + b*x]] - (1/6)*x^3*Log[1 + (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*x^2*PolyLog[2, -((1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(4*b) - (x*PolyLog[3, -((1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(4*b^2) - (I*PolyLog[4, -((1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcTanh[1 + I*d - d*Tan[a + b*x]], x, 6, (1/6)*I*b*x^3 + (1/2)*x^2*ArcTanh[1 + I*d - d*Tan[a + b*x]] - (1/4)*x^2*Log[1 + (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*x*PolyLog[2, -((1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(4*b) - PolyLog[3, -((1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))]/(8*b^2)}
+{x^0*ArcTanh[1 + I*d - d*Tan[a + b*x]], x, 5, (1/2)*I*b*x^2 + x*ArcTanh[1 + I*d - d*Tan[a + b*x]] - (1/2)*x*Log[1 + (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*PolyLog[2, -((1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(4*b)}
+{ArcTanh[1 + I*d - d*Tan[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTanh[1 + I*d - d*Tan[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[c+d Cot[a+b x]]*)
+
+
+{(e + f*x)^3*ArcTanh[Cot[a + b*x]], x, 12, (I*(e + f*x)^4*ArcTan[E^(2*I*(a + b*x))])/(4*f) + ((e + f*x)^4*ArcTanh[Cot[a + b*x]])/(4*f) - (I*(e + f*x)^3*PolyLog[2, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (I*(e + f*x)^3*PolyLog[2, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[3, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^2) - (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[3, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^2) + (3*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[4, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^3) - (3*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[4, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^3) - (3*f^3*PolyLog[5, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(16*b^4) + (3*f^3*PolyLog[5, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(16*b^4)}
+{(e + f*x)^2*ArcTanh[Cot[a + b*x]], x, 10, (I*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(2*I*(a + b*x))])/(3*f) + ((e + f*x)^3*ArcTanh[Cot[a + b*x]])/(3*f) - (I*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (I*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (f*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^2) - (f*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^2) + (I*f^2*PolyLog[4, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^3) - (I*f^2*PolyLog[4, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^3)}
+{(e + f*x)^1*ArcTanh[Cot[a + b*x]], x, 8, (I*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(2*I*(a + b*x))])/(2*f) + ((e + f*x)^2*ArcTanh[Cot[a + b*x]])/(2*f) - (I*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (I*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (f*PolyLog[3, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^2) - (f*PolyLog[3, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^2)}
+{(e + f*x)^0*ArcTanh[Cot[a + b*x]], x, 6, I*x*ArcTan[E^(2*I*(a + b*x))] + x*ArcTanh[Cot[a + b*x]] - (I*PolyLog[2, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (I*PolyLog[2, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b)}
+{ArcTanh[Cot[a + b*x]]/(e + f*x)^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTanh[Cot[a + b*x]]/(e + f*x), x]}
+
+
+{x^2*ArcTanh[c + d*Cot[a + b*x]], x, 11, (1/3)*x^3*ArcTanh[c + d*Cot[a + b*x]] + (1/6)*x^3*Log[1 - ((1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d)] - (1/6)*x^3*Log[1 - ((1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d)] - (I*x^2*PolyLog[2, ((1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d)])/(4*b) + (I*x^2*PolyLog[2, ((1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d)])/(4*b) + (x*PolyLog[3, ((1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d)])/(4*b^2) - (x*PolyLog[3, ((1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d)])/(4*b^2) + (I*PolyLog[4, ((1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d)])/(8*b^3) - (I*PolyLog[4, ((1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d)])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcTanh[c + d*Cot[a + b*x]], x, 9, (1/2)*x^2*ArcTanh[c + d*Cot[a + b*x]] + (1/4)*x^2*Log[1 - ((1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d)] - (1/4)*x^2*Log[1 - ((1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d)] - (I*x*PolyLog[2, ((1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d)])/(4*b) + (I*x*PolyLog[2, ((1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d)])/(4*b) + PolyLog[3, ((1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d)]/(8*b^2) - PolyLog[3, ((1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d)]/(8*b^2)}
+{x^0*ArcTanh[c + d*Cot[a + b*x]], x, 7, x*ArcTanh[c + d*Cot[a + b*x]] + (1/2)*x*Log[1 - ((1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d)] - (1/2)*x*Log[1 - ((1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d)] - (I*PolyLog[2, ((1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d)])/(4*b) + (I*PolyLog[2, ((1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d)])/(4*b)}
+{ArcTanh[c + d*Cot[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTanh[c + d*Cot[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcTanh[1 + I*d + d*Cot[a + b*x]], x, 7, (1/12)*I*b*x^4 + (1/3)*x^3*ArcTanh[1 + I*d + d*Cot[a + b*x]] - (1/6)*x^3*Log[1 - (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*x^2*PolyLog[2, (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) - (x*PolyLog[3, (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b^2) - (I*PolyLog[4, (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcTanh[1 + I*d + d*Cot[a + b*x]], x, 6, (1/6)*I*b*x^3 + (1/2)*x^2*ArcTanh[1 + I*d + d*Cot[a + b*x]] - (1/4)*x^2*Log[1 - (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*x*PolyLog[2, (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) - PolyLog[3, (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(8*b^2)}
+{x^0*ArcTanh[1 + I*d + d*Cot[a + b*x]], x, 5, (1/2)*I*b*x^2 + x*ArcTanh[1 + I*d + d*Cot[a + b*x]] - (1/2)*x*Log[1 - (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*PolyLog[2, (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b)}
+{ArcTanh[1 + I*d + d*Cot[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTanh[1 + I*d + d*Cot[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcTanh[1 - I*d - d*Cot[a + b*x]], x, 7, (1/12)*I*b*x^4 + (1/3)*x^3*ArcTanh[1 - I*d - d*Cot[a + b*x]] - (1/6)*x^3*Log[1 - (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*x^2*PolyLog[2, (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) - (x*PolyLog[3, (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b^2) - (I*PolyLog[4, (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcTanh[1 - I*d - d*Cot[a + b*x]], x, 6, (1/6)*I*b*x^3 + (1/2)*x^2*ArcTanh[1 - I*d - d*Cot[a + b*x]] - (1/4)*x^2*Log[1 - (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*x*PolyLog[2, (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) - PolyLog[3, (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(8*b^2)}
+{x^0*ArcTanh[1 - I*d - d*Cot[a + b*x]], x, 5, (1/2)*I*b*x^2 + x*ArcTanh[1 - I*d - d*Cot[a + b*x]] - (1/2)*x*Log[1 - (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*PolyLog[2, (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b)}
+{ArcTanh[1 - I*d - d*Cot[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcTanh[1 - I*d - d*Cot[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integrands involving inverse hyperbolic tangents of exponentials*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcTanh[E^[a+b x]]^n*)
+
+
+{ArcTanh[E^x], x, 2, (-(1/2))*PolyLog[2, -E^x] + (1/2)*PolyLog[2, E^x]}
+{x*ArcTanh[E^x], x, 7, (-(1/2))*x*PolyLog[2, -E^x] + (1/2)*x*PolyLog[2, E^x] + (1/2)*PolyLog[3, -E^x] - (1/2)*PolyLog[3, E^x]}
+{x^2*ArcTanh[E^x], x, 9, (-(1/2))*x^2*PolyLog[2, -E^x] + (1/2)*x^2*PolyLog[2, E^x] + x*PolyLog[3, -E^x] - x*PolyLog[3, E^x] - PolyLog[4, -E^x] + PolyLog[4, E^x]}
+
+
+{ArcTanh[E^(a + b*x)], x, 2, -(PolyLog[2, -E^(a + b*x)]/(2*b)) + PolyLog[2, E^(a + b*x)]/(2*b)}
+{x*ArcTanh[E^(a + b*x)], x, 7, -((x*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/(2*b)) + (x*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/(2*b) + PolyLog[3, -E^(a + b*x)]/(2*b^2) - PolyLog[3, E^(a + b*x)]/(2*b^2)}
+{x^2*ArcTanh[E^(a + b*x)], x, 9, -((x^2*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/(2*b)) + (x^2*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/(2*b) + (x*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^2 - (x*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^2 - PolyLog[4, -E^(a + b*x)]/b^3 + PolyLog[4, E^(a + b*x)]/b^3}
+
+
+{ArcTanh[a + b*f^(c + d*x)], x, 6, -((ArcTanh[a + b*f^(c + d*x)]*Log[2/(1 + a + b*f^(c + d*x))])/(d*Log[f])) + (ArcTanh[a + b*f^(c + d*x)]*Log[(2*b*f^(c + d*x))/((1 - a)*(1 + a + b*f^(c + d*x)))])/(d*Log[f]) + PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a + b*f^(c + d*x))]/(2*d*Log[f]) - PolyLog[2, 1 - (2*b*f^(c + d*x))/((1 - a)*(1 + a + b*f^(c + d*x)))]/(2*d*Log[f])}
+{x*ArcTanh[a + b*f^(c + d*x)], x, 9, (-(1/4))*x^2*Log[1 - a - b*f^(c + d*x)] + (1/4)*x^2*Log[1 + a + b*f^(c + d*x)] + (1/4)*x^2*Log[1 - (b*f^(c + d*x))/(1 - a)] - (1/4)*x^2*Log[1 + (b*f^(c + d*x))/(1 + a)] + (x*PolyLog[2, (b*f^(c + d*x))/(1 - a)])/(2*d*Log[f]) - (x*PolyLog[2, -((b*f^(c + d*x))/(1 + a))])/(2*d*Log[f]) - PolyLog[3, (b*f^(c + d*x))/(1 - a)]/(2*d^2*Log[f]^2) + PolyLog[3, -((b*f^(c + d*x))/(1 + a))]/(2*d^2*Log[f]^2)}
+{x^2*ArcTanh[a + b*f^(c + d*x)], x, 11, (-(1/6))*x^3*Log[1 - a - b*f^(c + d*x)] + (1/6)*x^3*Log[1 + a + b*f^(c + d*x)] + (1/6)*x^3*Log[1 - (b*f^(c + d*x))/(1 - a)] - (1/6)*x^3*Log[1 + (b*f^(c + d*x))/(1 + a)] + (x^2*PolyLog[2, (b*f^(c + d*x))/(1 - a)])/(2*d*Log[f]) - (x^2*PolyLog[2, -((b*f^(c + d*x))/(1 + a))])/(2*d*Log[f]) - (x*PolyLog[3, (b*f^(c + d*x))/(1 - a)])/(d^2*Log[f]^2) + (x*PolyLog[3, -((b*f^(c + d*x))/(1 + a))])/(d^2*Log[f]^2) + PolyLog[4, (b*f^(c + d*x))/(1 - a)]/(d^3*Log[f]^3) - PolyLog[4, -((b*f^(c + d*x))/(1 + a))]/(d^3*Log[f]^3)}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Miscellaneous integrands involving inverse hyperbolic tangents*)
+
+
+{E^(c*(a + b*x))*ArcTanh[Sinh[a*c + b*c*x]], x, 8, (E^(a*c + b*c*x)*ArcTanh[Sinh[c*(a + b*x)]])/(b*c) + ((1 - Sqrt[2])*Log[3 - 2*Sqrt[2] - E^(2*c*(a + b*x))])/(2*b*c) + ((1 + Sqrt[2])*Log[3 + 2*Sqrt[2] - E^(2*c*(a + b*x))])/(2*b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcTanh[Cosh[a*c + b*c*x]], x, 5, (E^(a*c + b*c*x)*ArcTanh[Cosh[c*(a + b*x)]])/(b*c) + Log[1 - E^(2*c*(a + b*x))]/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcTanh[Tanh[a*c + b*c*x]], x, 3, -(E^(a*c + b*c*x)/(b*c)) + (E^(a*c + b*c*x)*ArcTanh[Tanh[c*(a + b*x)]])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcTanh[Coth[a*c + b*c*x]], x, 3, -(E^(a*c + b*c*x)/(b*c)) + (E^(a*c + b*c*x)*ArcTanh[Coth[c*(a + b*x)]])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcTanh[Sech[a*c + b*c*x]], x, 5, (E^(a*c + b*c*x)*ArcTanh[Sech[c*(a + b*x)]])/(b*c) + Log[1 - E^(2*c*(a + b*x))]/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcTanh[Csch[a*c + b*c*x]], x, 8, (E^(a*c + b*c*x)*ArcTanh[Csch[c*(a + b*x)]])/(b*c) + ((1 - Sqrt[2])*Log[3 - 2*Sqrt[2] - E^(2*c*(a + b*x))])/(2*b*c) + ((1 + Sqrt[2])*Log[3 + 2*Sqrt[2] - E^(2*c*(a + b*x))])/(2*b*c)}
+
+
+{((a + b*ArcTanh[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^m]))/x, x, 11, a*d*Log[x] + (a*e*Log[f*x^m]^2)/(2*m) - (b*d*PolyLog[2, (-c)*x^n])/(2*n) - (b*e*Log[f*x^m]*PolyLog[2, (-c)*x^n])/(2*n) + (b*d*PolyLog[2, c*x^n])/(2*n) + (b*e*Log[f*x^m]*PolyLog[2, c*x^n])/(2*n) + (b*e*m*PolyLog[3, (-c)*x^n])/(2*n^2) - (b*e*m*PolyLog[3, c*x^n])/(2*n^2)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.4 Inverse hyperbolic cotangent/7.4.1 Inverse hyperbolic cotangent functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.4 Inverse hyperbolic cotangent/7.4.1 Inverse hyperbolic cotangent functions.m
new file mode 100644
index 00000000..622f77ee
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.4 Inverse hyperbolic cotangent/7.4.1 Inverse hyperbolic cotangent functions.m	
@@ -0,0 +1,612 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands involving inverse hyperbolic cotangents*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u ArcCoth[a x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCoth[a x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^5*ArcCoth[a*x], x, 4, x/(6*a^5) + x^3/(18*a^3) + x^5/(30*a) + (1/6)*x^6*ArcCoth[a*x] - ArcTanh[a*x]/(6*a^6)}
+{x^4*ArcCoth[a*x], x, 4, x^2/(10*a^3) + x^4/(20*a) + (1/5)*x^5*ArcCoth[a*x] + Log[1 - a^2*x^2]/(10*a^5)}
+{x^3*ArcCoth[a*x], x, 4, x/(4*a^3) + x^3/(12*a) + (1/4)*x^4*ArcCoth[a*x] - ArcTanh[a*x]/(4*a^4)}
+{x^2*ArcCoth[a*x], x, 4, x^2/(6*a) + (1/3)*x^3*ArcCoth[a*x] + Log[1 - a^2*x^2]/(6*a^3)}
+{x^1*ArcCoth[a*x], x, 3, x/(2*a) + (1/2)*x^2*ArcCoth[a*x] - ArcTanh[a*x]/(2*a^2)}
+{x^0*ArcCoth[a*x], x, 2, x*ArcCoth[a*x] + Log[1 - a^2*x^2]/(2*a)}
+{ArcCoth[a*x]/x^1, x, 1, (1/2)*PolyLog[2, -(1/(a*x))] - (1/2)*PolyLog[2, 1/(a*x)]}
+{ArcCoth[a*x]/x^2, x, 5, -(ArcCoth[a*x]/x) + a*Log[x] - (1/2)*a*Log[1 - a^2*x^2]}
+{ArcCoth[a*x]/x^3, x, 3, -(a/(2*x)) - ArcCoth[a*x]/(2*x^2) + (1/2)*a^2*ArcTanh[a*x]}
+{ArcCoth[a*x]/x^4, x, 4, -(a/(6*x^2)) - ArcCoth[a*x]/(3*x^3) + (1/3)*a^3*Log[x] - (1/6)*a^3*Log[1 - a^2*x^2]}
+{ArcCoth[a*x]/x^5, x, 4, -(a/(12*x^3)) - a^3/(4*x) - ArcCoth[a*x]/(4*x^4) + (1/4)*a^4*ArcTanh[a*x]}
+
+
+{x^5*ArcCoth[a*x]^2, x, 15, (4*x^2)/(45*a^4) + x^4/(60*a^2) + (x*ArcCoth[a*x])/(3*a^5) + (x^3*ArcCoth[a*x])/(9*a^3) + (x^5*ArcCoth[a*x])/(15*a) - ArcCoth[a*x]^2/(6*a^6) + (1/6)*x^6*ArcCoth[a*x]^2 + (23*Log[1 - a^2*x^2])/(90*a^6)}
+{x^4*ArcCoth[a*x]^2, x, 14, (3*x)/(10*a^4) + x^3/(30*a^2) + (x^2*ArcCoth[a*x])/(5*a^3) + (x^4*ArcCoth[a*x])/(10*a) + ArcCoth[a*x]^2/(5*a^5) + (1/5)*x^5*ArcCoth[a*x]^2 - (3*ArcTanh[a*x])/(10*a^5) - (2*ArcCoth[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/(5*a^5) - PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)]/(5*a^5)}
+{x^3*ArcCoth[a*x]^2, x, 10, x^2/(12*a^2) + (x*ArcCoth[a*x])/(2*a^3) + (x^3*ArcCoth[a*x])/(6*a) - ArcCoth[a*x]^2/(4*a^4) + (1/4)*x^4*ArcCoth[a*x]^2 + Log[1 - a^2*x^2]/(3*a^4)}
+{x^2*ArcCoth[a*x]^2, x, 9, x/(3*a^2) + (x^2*ArcCoth[a*x])/(3*a) + ArcCoth[a*x]^2/(3*a^3) + (1/3)*x^3*ArcCoth[a*x]^2 - ArcTanh[a*x]/(3*a^3) - (2*ArcCoth[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/(3*a^3) - PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)]/(3*a^3)}
+{x^1*ArcCoth[a*x]^2, x, 5, (x*ArcCoth[a*x])/a - ArcCoth[a*x]^2/(2*a^2) + (1/2)*x^2*ArcCoth[a*x]^2 + Log[1 - a^2*x^2]/(2*a^2)}
+{x^0*ArcCoth[a*x]^2, x, 5, ArcCoth[a*x]^2/a + x*ArcCoth[a*x]^2 - (2*ArcCoth[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/a - PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)]/a}
+{ArcCoth[a*x]^2/x^1, x, 6, 2*ArcCoth[a*x]^2*ArcCoth[1 - 2/(1 - a*x)] + ArcCoth[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a*x)] - ArcCoth[a*x]*PolyLog[2, 1 - (2*a*x)/(1 + a*x)] + (1/2)*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + a*x)] - (1/2)*PolyLog[3, 1 - (2*a*x)/(1 + a*x)]}
+{ArcCoth[a*x]^2/x^2, x, 4, a*ArcCoth[a*x]^2 - ArcCoth[a*x]^2/x + 2*a*ArcCoth[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - a*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcCoth[a*x]^2/x^3, x, 8, -((a*ArcCoth[a*x])/x) + (1/2)*a^2*ArcCoth[a*x]^2 - ArcCoth[a*x]^2/(2*x^2) + a^2*Log[x] - (1/2)*a^2*Log[1 - a^2*x^2]}
+{ArcCoth[a*x]^2/x^4, x, 8, -(a^2/(3*x)) - (a*ArcCoth[a*x])/(3*x^2) + (1/3)*a^3*ArcCoth[a*x]^2 - ArcCoth[a*x]^2/(3*x^3) + (1/3)*a^3*ArcTanh[a*x] + (2/3)*a^3*ArcCoth[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - (1/3)*a^3*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcCoth[a*x]^2/x^5, x, 13, -(a^2/(12*x^2)) - (a*ArcCoth[a*x])/(6*x^3) - (a^3*ArcCoth[a*x])/(2*x) + (1/4)*a^4*ArcCoth[a*x]^2 - ArcCoth[a*x]^2/(4*x^4) + (2/3)*a^4*Log[x] - (1/3)*a^4*Log[1 - a^2*x^2]}
+
+
+{x^5*ArcCoth[a*x]^3, x, 33, (19*x)/(60*a^5) + x^3/(60*a^3) + (4*x^2*ArcCoth[a*x])/(15*a^4) + (x^4*ArcCoth[a*x])/(20*a^2) + (23*ArcCoth[a*x]^2)/(30*a^6) + (x*ArcCoth[a*x]^2)/(2*a^5) + (x^3*ArcCoth[a*x]^2)/(6*a^3) + (x^5*ArcCoth[a*x]^2)/(10*a) - ArcCoth[a*x]^3/(6*a^6) + (1/6)*x^6*ArcCoth[a*x]^3 - (19*ArcTanh[a*x])/(60*a^6) - (23*ArcCoth[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/(15*a^6) - (23*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(30*a^6)}
+{x^4*ArcCoth[a*x]^3, x, 22, x^2/(20*a^3) + (9*x*ArcCoth[a*x])/(10*a^4) + (x^3*ArcCoth[a*x])/(10*a^2) - (9*ArcCoth[a*x]^2)/(20*a^5) + (3*x^2*ArcCoth[a*x]^2)/(10*a^3) + (3*x^4*ArcCoth[a*x]^2)/(20*a) + ArcCoth[a*x]^3/(5*a^5) + (1/5)*x^5*ArcCoth[a*x]^3 - (3*ArcCoth[a*x]^2*Log[2/(1 - a*x)])/(5*a^5) + Log[1 - a^2*x^2]/(2*a^5) - (3*ArcCoth[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(5*a^5) + (3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)])/(10*a^5)}
+{x^3*ArcCoth[a*x]^3, x, 18, x/(4*a^3) + (x^2*ArcCoth[a*x])/(4*a^2) + ArcCoth[a*x]^2/a^4 + (3*x*ArcCoth[a*x]^2)/(4*a^3) + (x^3*ArcCoth[a*x]^2)/(4*a) - ArcCoth[a*x]^3/(4*a^4) + (1/4)*x^4*ArcCoth[a*x]^3 - ArcTanh[a*x]/(4*a^4) - (2*ArcCoth[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/a^4 - PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)]/a^4}
+{x^2*ArcCoth[a*x]^3, x, 11, (x*ArcCoth[a*x])/a^2 - ArcCoth[a*x]^2/(2*a^3) + (x^2*ArcCoth[a*x]^2)/(2*a) + ArcCoth[a*x]^3/(3*a^3) + (1/3)*x^3*ArcCoth[a*x]^3 - (ArcCoth[a*x]^2*Log[2/(1 - a*x)])/a^3 + Log[1 - a^2*x^2]/(2*a^3) - (ArcCoth[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/a^3 + PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)]/(2*a^3)}
+{x^1*ArcCoth[a*x]^3, x, 8, (3*ArcCoth[a*x]^2)/(2*a^2) + (3*x*ArcCoth[a*x]^2)/(2*a) - ArcCoth[a*x]^3/(2*a^2) + (1/2)*x^2*ArcCoth[a*x]^3 - (3*ArcCoth[a*x]*Log[2/(1 - a*x)])/a^2 - (3*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/(2*a^2)}
+{x^0*ArcCoth[a*x]^3, x, 5, ArcCoth[a*x]^3/a + x*ArcCoth[a*x]^3 - (3*ArcCoth[a*x]^2*Log[2/(1 - a*x)])/a - (3*ArcCoth[a*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - a*x)])/a + (3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - a*x)])/(2*a)}
+{ArcCoth[a*x]^3/x^1, x, 8, 2*ArcCoth[a*x]^3*ArcCoth[1 - 2/(1 - a*x)] + (3/2)*ArcCoth[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a*x)] - (3/2)*ArcCoth[a*x]^2*PolyLog[2, 1 - (2*a*x)/(1 + a*x)] + (3/2)*ArcCoth[a*x]*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + a*x)] - (3/2)*ArcCoth[a*x]*PolyLog[3, 1 - (2*a*x)/(1 + a*x)] + (3/4)*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + a*x)] - (3/4)*PolyLog[4, 1 - (2*a*x)/(1 + a*x)]}
+{ArcCoth[a*x]^3/x^2, x, 5, a*ArcCoth[a*x]^3 - ArcCoth[a*x]^3/x + 3*a*ArcCoth[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - 3*a*ArcCoth[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)] - (3/2)*a*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcCoth[a*x]^3/x^3, x, 7, (3/2)*a^2*ArcCoth[a*x]^2 - (3*a*ArcCoth[a*x]^2)/(2*x) + (1/2)*a^2*ArcCoth[a*x]^3 - ArcCoth[a*x]^3/(2*x^2) + 3*a^2*ArcCoth[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - (3/2)*a^2*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcCoth[a*x]^3/x^4, x, 14, -((a^2*ArcCoth[a*x])/x) + (1/2)*a^3*ArcCoth[a*x]^2 - (a*ArcCoth[a*x]^2)/(2*x^2) + (1/3)*a^3*ArcCoth[a*x]^3 - ArcCoth[a*x]^3/(3*x^3) + a^3*Log[x] - (1/2)*a^3*Log[1 - a^2*x^2] + a^3*ArcCoth[a*x]^2*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - a^3*ArcCoth[a*x]*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)] - (1/2)*a^3*PolyLog[3, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+{ArcCoth[a*x]^3/x^5, x, 16, -(a^3/(4*x)) - (a^2*ArcCoth[a*x])/(4*x^2) + a^4*ArcCoth[a*x]^2 - (a*ArcCoth[a*x]^2)/(4*x^3) - (3*a^3*ArcCoth[a*x]^2)/(4*x) + (1/4)*a^4*ArcCoth[a*x]^3 - ArcCoth[a*x]^3/(4*x^4) + (1/4)*a^4*ArcTanh[a*x] + 2*a^4*ArcCoth[a*x]*Log[2 - 2/(1 + a*x)] - a^4*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + a*x)]}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcCoth[c x])^n*)
+
+
+{ArcCoth[c*x]^2/(d + e*x), x, 1, -((ArcCoth[c*x]^2*Log[2/(1 + c*x)])/e) + (ArcCoth[c*x]^2*Log[(2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/e + (ArcCoth[c*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/e - (ArcCoth[c*x]*PolyLog[2, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))])/e + PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)]/(2*e) - PolyLog[3, 1 - (2*c*(d + e*x))/((c*d + e)*(1 + c*x))]/(2*e)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form ArcCoth[a x] (c+d x^2)^p*)
+
+
+{ArcCoth[a*x]*(c + d*x^2)^4, x, 4, (d*(420*a^6*c^3 + 378*a^4*c^2*d + 180*a^2*c*d^2 + 35*d^3)*x^2)/(630*a^7) + (d^2*(378*a^4*c^2 + 180*a^2*c*d + 35*d^2)*x^4)/(1260*a^5) + (d^3*(36*a^2*c + 7*d)*x^6)/(378*a^3) + (d^4*x^8)/(72*a) + c^4*x*ArcCoth[a*x] + (4/3)*c^3*d*x^3*ArcCoth[a*x] + (6/5)*c^2*d^2*x^5*ArcCoth[a*x] + (4/7)*c*d^3*x^7*ArcCoth[a*x] + (1/9)*d^4*x^9*ArcCoth[a*x] + ((315*a^8*c^4 + 420*a^6*c^3*d + 378*a^4*c^2*d^2 + 180*a^2*c*d^3 + 35*d^4)*Log[1 - a^2*x^2])/(630*a^9)}
+{ArcCoth[a*x]*(c + d*x^2)^3, x, 4, (d*(35*a^4*c^2 + 21*a^2*c*d + 5*d^2)*x^2)/(70*a^5) + (d^2*(21*a^2*c + 5*d)*x^4)/(140*a^3) + (d^3*x^6)/(42*a) + c^3*x*ArcCoth[a*x] + c^2*d*x^3*ArcCoth[a*x] + (3/5)*c*d^2*x^5*ArcCoth[a*x] + (1/7)*d^3*x^7*ArcCoth[a*x] + ((35*a^6*c^3 + 35*a^4*c^2*d + 21*a^2*c*d^2 + 5*d^3)*Log[1 - a^2*x^2])/(70*a^7)}
+{ArcCoth[a*x]*(c + d*x^2)^2, x, 5, (d*(10*a^2*c + 3*d)*x^2)/(30*a^3) + (d^2*x^4)/(20*a) + c^2*x*ArcCoth[a*x] + (2/3)*c*d*x^3*ArcCoth[a*x] + (1/5)*d^2*x^5*ArcCoth[a*x] + ((15*a^4*c^2 + 10*a^2*c*d + 3*d^2)*Log[1 - a^2*x^2])/(30*a^5)}
+{ArcCoth[a*x]*(c + d*x^2)^1, x, 5, (d*x^2)/(6*a) + c*x*ArcCoth[a*x] + (1/3)*d*x^3*ArcCoth[a*x] + ((3*a^2*c + d)*Log[1 - a^2*x^2])/(6*a^3)}
+{ArcCoth[a*x]/(c + d*x^2)^1, x, 27, -((ArcTan[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]]*Log[1 - 1/(a*x)])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[d])) + (ArcTan[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]]*Log[1 + 1/(a*x)])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[d]) + (ArcTan[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]]*Log[-((2*Sqrt[c]*Sqrt[d]*(1 - a*x))/((I*a*Sqrt[c] - Sqrt[d])*(Sqrt[c] - I*Sqrt[d]*x)))])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[d]) - (ArcTan[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]]*Log[(2*Sqrt[c]*Sqrt[d]*(1 + a*x))/((I*a*Sqrt[c] + Sqrt[d])*(Sqrt[c] - I*Sqrt[d]*x))])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[d]) - (I*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[c]*Sqrt[d]*(1 - a*x))/((I*a*Sqrt[c] - Sqrt[d])*(Sqrt[c] - I*Sqrt[d]*x))])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[d]) + (I*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[c]*Sqrt[d]*(1 + a*x))/((I*a*Sqrt[c] + Sqrt[d])*(Sqrt[c] - I*Sqrt[d]*x))])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[d])}
+{ArcCoth[a*x]/(c + d*x^2)^2, x, If[$VersionNumber<11, 24, 25], (x*ArcCoth[a*x])/(2*c*(c + d*x^2)) + (ArcCoth[a*x]*ArcTan[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(2*c^(3/2)*Sqrt[d]) + (I*Log[(Sqrt[d]*(1 - a*x))/(I*a*Sqrt[c] + Sqrt[d])]*Log[1 - (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(8*c^(3/2)*Sqrt[d]) - (I*Log[-((Sqrt[d]*(1 + a*x))/(I*a*Sqrt[c] - Sqrt[d]))]*Log[1 - (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(8*c^(3/2)*Sqrt[d]) - (I*Log[-((Sqrt[d]*(1 - a*x))/(I*a*Sqrt[c] - Sqrt[d]))]*Log[1 + (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(8*c^(3/2)*Sqrt[d]) + (I*Log[(Sqrt[d]*(1 + a*x))/(I*a*Sqrt[c] + Sqrt[d])]*Log[1 + (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(8*c^(3/2)*Sqrt[d]) + (a*Log[1 - a^2*x^2])/(4*c*(a^2*c + d)) - (a*Log[c + d*x^2])/(4*c*(a^2*c + d)) + (I*PolyLog[2, (a*(Sqrt[c] - I*Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[c] - I*Sqrt[d])])/(8*c^(3/2)*Sqrt[d]) - (I*PolyLog[2, (a*(Sqrt[c] - I*Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[c] + I*Sqrt[d])])/(8*c^(3/2)*Sqrt[d]) + (I*PolyLog[2, (a*(Sqrt[c] + I*Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[c] - I*Sqrt[d])])/(8*c^(3/2)*Sqrt[d]) - (I*PolyLog[2, (a*(Sqrt[c] + I*Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[c] + I*Sqrt[d])])/(8*c^(3/2)*Sqrt[d])}
+{ArcCoth[a*x]/(c + d*x^2)^3, x, 23, a/(8*c*(a^2*c + d)*(c + d*x^2)) + (x*ArcCoth[a*x])/(4*c*(c + d*x^2)^2) + (3*x*ArcCoth[a*x])/(8*c^2*(c + d*x^2)) + (3*ArcCoth[a*x]*ArcTan[(Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(8*c^(5/2)*Sqrt[d]) + (3*I*Log[(Sqrt[d]*(1 - a*x))/(I*a*Sqrt[c] + Sqrt[d])]*Log[1 - (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(32*c^(5/2)*Sqrt[d]) - (3*I*Log[-((Sqrt[d]*(1 + a*x))/(I*a*Sqrt[c] - Sqrt[d]))]*Log[1 - (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(32*c^(5/2)*Sqrt[d]) - (3*I*Log[-((Sqrt[d]*(1 - a*x))/(I*a*Sqrt[c] - Sqrt[d]))]*Log[1 + (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(32*c^(5/2)*Sqrt[d]) + (3*I*Log[(Sqrt[d]*(1 + a*x))/(I*a*Sqrt[c] + Sqrt[d])]*Log[1 + (I*Sqrt[d]*x)/Sqrt[c]])/(32*c^(5/2)*Sqrt[d]) + (a*(5*a^2*c + 3*d)*Log[1 - a^2*x^2])/(16*c^2*(a^2*c + d)^2) - (a*(5*a^2*c + 3*d)*Log[c + d*x^2])/(16*c^2*(a^2*c + d)^2) + (3*I*PolyLog[2, (a*(Sqrt[c] - I*Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[c] - I*Sqrt[d])])/(32*c^(5/2)*Sqrt[d]) - (3*I*PolyLog[2, (a*(Sqrt[c] - I*Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[c] + I*Sqrt[d])])/(32*c^(5/2)*Sqrt[d]) + (3*I*PolyLog[2, (a*(Sqrt[c] + I*Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[c] - I*Sqrt[d])])/(32*c^(5/2)*Sqrt[d]) - (3*I*PolyLog[2, (a*(Sqrt[c] + I*Sqrt[d]*x))/(a*Sqrt[c] + I*Sqrt[d])])/(32*c^(5/2)*Sqrt[d])}
+
+
+{ArcCoth[a*x]*(c + d*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + d*x^2]*ArcCoth[a*x], x]}
+{ArcCoth[a*x]/(c + d*x^2)^(1/2), x, 0, Unintegrable[ArcCoth[a*x]/Sqrt[c + d*x^2], x]}
+{ArcCoth[a*x]/(c + d*x^2)^(3/2), x, 5, (x*ArcCoth[a*x])/(c*Sqrt[c + d*x^2]) - ArcTanh[(a*Sqrt[c + d*x^2])/Sqrt[a^2*c + d]]/(c*Sqrt[a^2*c + d])}
+{ArcCoth[a*x]/(c + d*x^2)^(5/2), x, 7, a/(3*c*(a^2*c + d)*Sqrt[c + d*x^2]) + (x*ArcCoth[a*x])/(3*c*(c + d*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcCoth[a*x])/(3*c^2*Sqrt[c + d*x^2]) - ((3*a^2*c + 2*d)*ArcTanh[(a*Sqrt[c + d*x^2])/Sqrt[a^2*c + d]])/(3*c^2*(a^2*c + d)^(3/2))}
+{ArcCoth[a*x]/(c + d*x^2)^(7/2), x, 8, a/(15*c*(a^2*c + d)*(c + d*x^2)^(3/2)) + (a*(7*a^2*c + 4*d))/(15*c^2*(a^2*c + d)^2*Sqrt[c + d*x^2]) + (x*ArcCoth[a*x])/(5*c*(c + d*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcCoth[a*x])/(15*c^2*(c + d*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcCoth[a*x])/(15*c^3*Sqrt[c + d*x^2]) - ((15*a^4*c^2 + 20*a^2*c*d + 8*d^2)*ArcTanh[(a*Sqrt[c + d*x^2])/Sqrt[a^2*c + d]])/(15*c^3*(a^2*c + d)^(5/2))}
+{ArcCoth[a*x]/(c + d*x^2)^(9/2), x, 8, a/(35*c*(a^2*c + d)*(c + d*x^2)^(5/2)) + (a*(11*a^2*c + 6*d))/(105*c^2*(a^2*c + d)^2*(c + d*x^2)^(3/2)) + (a*(19*a^4*c^2 + 22*a^2*c*d + 8*d^2))/(35*c^3*(a^2*c + d)^3*Sqrt[c + d*x^2]) + (x*ArcCoth[a*x])/(7*c*(c + d*x^2)^(7/2)) + (6*x*ArcCoth[a*x])/(35*c^2*(c + d*x^2)^(5/2)) + (8*x*ArcCoth[a*x])/(35*c^3*(c + d*x^2)^(3/2)) + (16*x*ArcCoth[a*x])/(35*c^4*Sqrt[c + d*x^2]) - ((35*a^6*c^3 + 70*a^4*c^2*d + 56*a^2*c*d^2 + 16*d^3)*ArcTanh[(a*Sqrt[c + d*x^2])/Sqrt[a^2*c + d]])/(35*c^4*(a^2*c + d)^(7/2))}
+
+
+{ArcCoth[x]*(a - a*x^2)^(1/2), x, 3, (1/2)*Sqrt[a - a*x^2] + (1/2)*x*Sqrt[a - a*x^2]*ArcCoth[x] - (a*Sqrt[1 - x^2]*ArcCoth[x]*ArcTan[Sqrt[1 - x]/Sqrt[1 + x]])/Sqrt[a - a*x^2] - (I*a*Sqrt[1 - x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - x])/Sqrt[1 + x])])/(2*Sqrt[a - a*x^2]) + (I*a*Sqrt[1 - x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - x])/Sqrt[1 + x]])/(2*Sqrt[a - a*x^2])}
+{ArcCoth[x]/(a - a*x^2)^(1/2), x, 2, -((2*Sqrt[1 - x^2]*ArcCoth[x]*ArcTan[Sqrt[1 - x]/Sqrt[1 + x]])/Sqrt[a - a*x^2]) - (I*Sqrt[1 - x^2]*PolyLog[2, -((I*Sqrt[1 - x])/Sqrt[1 + x])])/Sqrt[a - a*x^2] + (I*Sqrt[1 - x^2]*PolyLog[2, (I*Sqrt[1 - x])/Sqrt[1 + x]])/Sqrt[a - a*x^2]}
+{ArcCoth[x]/(a - a*x^2)^(3/2), x, 1, -(1/(a*Sqrt[a - a*x^2])) + (x*ArcCoth[x])/(a*Sqrt[a - a*x^2])}
+{ArcCoth[x]/(a - a*x^2)^(5/2), x, 2, -(1/(9*a*(a - a*x^2)^(3/2))) - 2/(3*a^2*Sqrt[a - a*x^2]) + (x*ArcCoth[x])/(3*a*(a - a*x^2)^(3/2)) + (2*x*ArcCoth[x])/(3*a^2*Sqrt[a - a*x^2])}
+{ArcCoth[x]/(a - a*x^2)^(7/2), x, 3, -(1/(25*a*(a - a*x^2)^(5/2))) - 4/(45*a^2*(a - a*x^2)^(3/2)) - 8/(15*a^3*Sqrt[a - a*x^2]) + (x*ArcCoth[x])/(5*a*(a - a*x^2)^(5/2)) + (4*x*ArcCoth[x])/(15*a^2*(a - a*x^2)^(3/2)) + (8*x*ArcCoth[x])/(15*a^3*Sqrt[a - a*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form ArcCoth[a x]^m (c+d x^2)^n*)
+
+
+{1/((1 - x^2)*ArcCoth[x]), x, 1, Log[ArcCoth[x]]}
+{ArcCoth[x]^n/(1 - x^2), x, 1, ArcCoth[x]^(1 + n)/(1 + n)}
+{ArcCoth[x]^2/(1 - x^2)^2, x, 4, x/(4*(1 - x^2)) - ArcCoth[x]/(2*(1 - x^2)) + (x*ArcCoth[x]^2)/(2*(1 - x^2)) + ArcCoth[x]^3/6 + ArcTanh[x]/4}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCoth[a x] (c+d x^2)^n*)
+
+
+{x^1*ArcCoth[x]/(1 - x^2), x, 4, (-(1/2))*ArcCoth[x]^2 + ArcCoth[x]*Log[2/(1 - x)] + (1/2)*PolyLog[2, (1 + x)/(-1 + x)]}
+{x^0*ArcCoth[x]/(1 - x^2), x, 1, ArcCoth[x]^2/2}
+
+
+{x^1*ArcCoth[x]/(1 - x^2)^2, x, 3, -(x/(4*(1 - x^2))) + ArcCoth[x]/(2*(1 - x^2)) - ArcTanh[x]/4}
+{x^0*ArcCoth[x]/(1 - x^2)^2, x, 2, -(1/(4*(1 - x^2))) + (x*ArcCoth[x])/(2*(1 - x^2)) + ArcCoth[x]^2/4}
+
+
+{x^1*ArcCoth[x]/(1 - x^2)^3, x, 4, -(x/(16*(1 - x^2)^2)) - (3*x)/(32*(1 - x^2)) + ArcCoth[x]/(4*(1 - x^2)^2) - (3*ArcTanh[x])/32}
+{x^0*ArcCoth[x]/(1 - x^2)^3, x, 3, -(1/(16*(1 - x^2)^2)) - 3/(16*(1 - x^2)) + (x*ArcCoth[x])/(4*(1 - x^2)^2) + (3*x*ArcCoth[x])/(8*(1 - x^2)) + (3*ArcCoth[x]^2)/16}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u ArcCoth[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCoth[a+b x]^n*)
+
+
+{x^3*ArcCoth[a + b*x], x, 7, ((1 + 6*a^2)*x)/(4*b^3) - (a*(a + b*x)^2)/(2*b^4) + (a + b*x)^3/(12*b^4) + (1/4)*x^4*ArcCoth[a + b*x] + ((1 - a)^4*Log[1 - a - b*x])/(8*b^4) - ((1 + a)^4*Log[1 + a + b*x])/(8*b^4)}
+{x^2*ArcCoth[a + b*x], x, 7, -((a*x)/b^2) + (a + b*x)^2/(6*b^3) + (1/3)*x^3*ArcCoth[a + b*x] + ((1 - a)^3*Log[1 - a - b*x])/(6*b^3) + ((1 + a)^3*Log[1 + a + b*x])/(6*b^3)}
+{x^1*ArcCoth[a + b*x], x, 7, x/(2*b) + (1/2)*x^2*ArcCoth[a + b*x] + ((1 - a)^2*Log[1 - a - b*x])/(4*b^2) - ((1 + a)^2*Log[1 + a + b*x])/(4*b^2)}
+{x^0*ArcCoth[a + b*x], x, 3, ((a + b*x)*ArcCoth[a + b*x])/b + Log[1 - (a + b*x)^2]/(2*b)}
+{ArcCoth[a + b*x]/x^1, x, 5, (-ArcCoth[a + b*x])*Log[2/(1 + a + b*x)] + ArcCoth[a + b*x]*Log[(2*b*x)/((1 - a)*(1 + a + b*x))] + (1/2)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a + b*x)] - (1/2)*PolyLog[2, 1 - (2*b*x)/((1 - a)*(1 + a + b*x))]}
+{ArcCoth[a + b*x]/x^2, x, 7, -(ArcCoth[a + b*x]/x) + (b*Log[x])/(1 - a^2) - (b*Log[1 - a - b*x])/(2*(1 - a)) - (b*Log[1 + a + b*x])/(2*(1 + a))}
+{ArcCoth[a + b*x]/x^3, x, 5, -(b/(2*(1 - a^2)*x)) - ArcCoth[a + b*x]/(2*x^2) + (a*b^2*Log[x])/(1 - a^2)^2 - (b^2*Log[1 - a - b*x])/(4*(1 - a)^2) + (b^2*Log[1 + a + b*x])/(4*(1 + a)^2)}
+
+
+{x^3*ArcCoth[a + b*x]^2, x, 19, -((a*x)/b^3) + (a + b*x)^2/(12*b^4) + ((1 + 6*a^2)*(a + b*x)*ArcCoth[a + b*x])/(2*b^4) - (a*(a + b*x)^2*ArcCoth[a + b*x])/b^4 + ((a + b*x)^3*ArcCoth[a + b*x])/(6*b^4) - (a*(1 + a^2)*ArcCoth[a + b*x]^2)/b^4 - ((1 + 6*a^2 + a^4)*ArcCoth[a + b*x]^2)/(4*b^4) + (1/4)*x^4*ArcCoth[a + b*x]^2 + (a*ArcTanh[a + b*x])/b^4 + (2*a*(1 + a^2)*ArcCoth[a + b*x]*Log[2/(1 - a - b*x)])/b^4 + Log[1 - (a + b*x)^2]/(12*b^4) + ((1 + 6*a^2)*Log[1 - (a + b*x)^2])/(4*b^4) + (a*(1 + a^2)*PolyLog[2, -((1 + a + b*x)/(1 - a - b*x))])/b^4}
+{x^2*ArcCoth[a + b*x]^2, x, 15, x/(3*b^2) - (2*a*(a + b*x)*ArcCoth[a + b*x])/b^3 + ((a + b*x)^2*ArcCoth[a + b*x])/(3*b^3) + (a*(3 + a^2)*ArcCoth[a + b*x]^2)/(3*b^3) + ((1 + 3*a^2)*ArcCoth[a + b*x]^2)/(3*b^3) + (1/3)*x^3*ArcCoth[a + b*x]^2 - ArcTanh[a + b*x]/(3*b^3) - (2*(1 + 3*a^2)*ArcCoth[a + b*x]*Log[2/(1 - a - b*x)])/(3*b^3) - (a*Log[1 - (a + b*x)^2])/b^3 - ((1 + 3*a^2)*PolyLog[2, -((1 + a + b*x)/(1 - a - b*x))])/(3*b^3)}
+{x^1*ArcCoth[a + b*x]^2, x, 12, ((a + b*x)*ArcCoth[a + b*x])/b^2 - (a*ArcCoth[a + b*x]^2)/b^2 - ((1 + a^2)*ArcCoth[a + b*x]^2)/(2*b^2) + (1/2)*x^2*ArcCoth[a + b*x]^2 + (2*a*ArcCoth[a + b*x]*Log[2/(1 - a - b*x)])/b^2 + Log[1 - (a + b*x)^2]/(2*b^2) + (a*PolyLog[2, -((1 + a + b*x)/(1 - a - b*x))])/b^2}
+{x^0*ArcCoth[a + b*x]^2, x, 6, ArcCoth[a + b*x]^2/b + ((a + b*x)*ArcCoth[a + b*x]^2)/b - (2*ArcCoth[a + b*x]*Log[2/(1 - a - b*x)])/b - PolyLog[2, -((1 + a + b*x)/(1 - a - b*x))]/b}
+{ArcCoth[a + b*x]^2/x^1, x, 2, (-ArcCoth[a + b*x]^2)*Log[2/(1 + a + b*x)] + ArcCoth[a + b*x]^2*Log[(2*b*x)/((1 - a)*(1 + a + b*x))] + ArcCoth[a + b*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a + b*x)] - ArcCoth[a + b*x]*PolyLog[2, 1 - (2*b*x)/((1 - a)*(1 + a + b*x))] + (1/2)*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + a + b*x)] - (1/2)*PolyLog[3, 1 - (2*b*x)/((1 - a)*(1 + a + b*x))]}
+{ArcCoth[a + b*x]^2/x^2, x, 17, -(ArcCoth[a + b*x]^2/x) + (b*ArcCoth[a + b*x]*Log[2/(1 - a - b*x)])/(1 - a) + (b*ArcCoth[a + b*x]*Log[2/(1 + a + b*x)])/(1 + a) - (2*b*ArcCoth[a + b*x]*Log[2/(1 + a + b*x)])/(1 - a^2) + (2*b*ArcCoth[a + b*x]*Log[(2*b*x)/((1 - a)*(1 + a + b*x))])/(1 - a^2) + (b*PolyLog[2, -((1 + a + b*x)/(1 - a - b*x))])/(2*(1 - a)) - (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a + b*x)])/(2*(1 + a)) + (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a + b*x)])/(1 - a^2) - (b*PolyLog[2, 1 - (2*b*x)/((1 - a)*(1 + a + b*x))])/(1 - a^2)}
+{ArcCoth[a + b*x]^2/x^3, x, 21, -((b*ArcCoth[a + b*x])/((1 - a^2)*x)) - ArcCoth[a + b*x]^2/(2*x^2) + (b^2*Log[x])/(1 - a^2)^2 + (b^2*ArcCoth[a + b*x]*Log[2/(1 - a - b*x)])/(2*(1 - a)^2) - (b^2*Log[1 - a - b*x])/(2*(1 - a)^2*(1 + a)) - (b^2*ArcCoth[a + b*x]*Log[2/(1 + a + b*x)])/(2*(1 + a)^2) - (2*a*b^2*ArcCoth[a + b*x]*Log[2/(1 + a + b*x)])/(1 - a^2)^2 + (2*a*b^2*ArcCoth[a + b*x]*Log[(2*b*x)/((1 - a)*(1 + a + b*x))])/(1 - a^2)^2 - (b^2*Log[1 + a + b*x])/(2*(1 - a)*(1 + a)^2) + (b^2*PolyLog[2, -((1 + a + b*x)/(1 - a - b*x))])/(4*(1 - a)^2) + (b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a + b*x)])/(4*(1 + a)^2) + (a*b^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a + b*x)])/(1 - a^2)^2 - (a*b^2*PolyLog[2, 1 - (2*b*x)/((1 - a)*(1 + a + b*x))])/(1 - a^2)^2}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form ArcCoth[a+b x] / (c+d x^n)*)
+
+
+(* {ArcCoth[a + b*x]/(c + d*x^3), x, 51, (Log[(d^(1/3)*(1 - a - b*x))/(b*c^(1/3) + (1 - a)*d^(1/3))]*Log[-c^(1/3) - d^(1/3)*x])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - (Log[-((d^(1/3)*(1 + a + b*x))/(b*c^(1/3) - (1 + a)*d^(1/3)))]*Log[-c^(1/3) - d^(1/3)*x])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(1/3)*Log[-((d^(1/3)*(1 - a - b*x))/((-1)^(1/3)*b*c^(1/3) - (1 - a)*d^(1/3)))]*Log[(-1)^(1/3)*c^(1/3) - d^(1/3)*x])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(1/3)*Log[(d^(1/3)*(1 + a + b*x))/((-1)^(1/3)*b*c^(1/3) + (1 + a)*d^(1/3))]*Log[(-1)^(1/3)*c^(1/3) - d^(1/3)*x])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(2/3)*Log[(d^(1/3)*(1 - a - b*x))/((-1)^(2/3)*b*c^(1/3) + (1 - a)*d^(1/3))]*Log[(-(-1)^(2/3))*c^(1/3) - d^(1/3)*x])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(2/3)*Log[-((d^(1/3)*(1 + a + b*x))/((-1)^(2/3)*b*c^(1/3) - (1 + a)*d^(1/3)))]*Log[(-(-1)^(2/3))*c^(1/3) - d^(1/3)*x])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - (Log[-c^(1/3) - d^(1/3)*x]*Log[1 - 1/(a + b*x)])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(1/3)*Log[(-1)^(1/3)*c^(1/3) - d^(1/3)*x]*Log[1 - 1/(a + b*x)])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(2/3)*Log[(-(-1)^(2/3))*c^(1/3) - d^(1/3)*x]*Log[1 - 1/(a + b*x)])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + (Log[-c^(1/3) - d^(1/3)*x]*Log[1 + 1/(a + b*x)])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(1/3)*Log[(-1)^(1/3)*c^(1/3) - d^(1/3)*x]*Log[1 + 1/(a + b*x)])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(2/3)*Log[(-(-1)^(2/3))*c^(1/3) - d^(1/3)*x]*Log[1 + 1/(a + b*x)])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + PolyLog[2, (b*(c^(1/3) + d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) + (1 - a)*d^(1/3))]/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - PolyLog[2, (b*(c^(1/3) + d^(1/3)*x))/(b*c^(1/3) - (1 + a)*d^(1/3))]/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(2/3)*PolyLog[2, (b*((-1)^(2/3)*c^(1/3) + d^(1/3)*x))/((-1)^(2/3)*b*c^(1/3) + (1 - a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(2/3)*PolyLog[2, (b*((-1)^(2/3)*c^(1/3) + d^(1/3)*x))/((-1)^(2/3)*b*c^(1/3) - (1 + a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) - ((-1)^(1/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*b*(c^(1/3) + (-1)^(2/3)*d^(1/3)*x))/((-1)^(1/3)*b*c^(1/3) - (1 - a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3)) + ((-1)^(1/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*b*(c^(1/3) + (-1)^(2/3)*d^(1/3)*x))/((-1)^(1/3)*b*c^(1/3) + (1 + a)*d^(1/3))])/(6*c^(2/3)*d^(1/3))} *)
+{ArcCoth[a + b*x]/(c + d*x^2), x, 15, (Log[-((1 - a - b*x)/(a + b*x))]*Log[1 + ((b^2*c + a^2*d)*(1 - a - b*x))/((b^2*c - b*Sqrt[-c]*Sqrt[d] - (1 - a)*a*d)*(a + b*x))])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (Log[-((1 - a - b*x)/(a + b*x))]*Log[1 + ((b^2*c + a^2*d)*(1 - a - b*x))/((b^2*c + b*Sqrt[-c]*Sqrt[d] - (1 - a)*a*d)*(a + b*x))])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + (Log[(1 + a + b*x)/(a + b*x)]*Log[1 - ((b^2*c + a^2*d)*(1 + a + b*x))/((b^2*c - b*Sqrt[-c]*Sqrt[d] + a*(1 + a)*d)*(a + b*x))])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - (Log[(1 + a + b*x)/(a + b*x)]*Log[1 - ((b^2*c + a^2*d)*(1 + a + b*x))/((b^2*c + b*Sqrt[-c]*Sqrt[d] + a*(1 + a)*d)*(a + b*x))])/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + PolyLog[2, -(((b^2*c + a^2*d)*(1 - a - b*x))/((b^2*c - b*Sqrt[-c]*Sqrt[d] - (1 - a)*a*d)*(a + b*x)))]/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - PolyLog[2, -(((b^2*c + a^2*d)*(1 - a - b*x))/((b^2*c + b*Sqrt[-c]*Sqrt[d] - (1 - a)*a*d)*(a + b*x)))]/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) + PolyLog[2, ((b^2*c + a^2*d)*(1 + a + b*x))/((b^2*c - b*Sqrt[-c]*Sqrt[d] + a*(1 + a)*d)*(a + b*x))]/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d]) - PolyLog[2, ((b^2*c + a^2*d)*(1 + a + b*x))/((b^2*c + b*Sqrt[-c]*Sqrt[d] + a*(1 + a)*d)*(a + b*x))]/(4*Sqrt[-c]*Sqrt[d])}
+{ArcCoth[a + b*x]/(c + d*x^1), x, 5, -((ArcCoth[a + b*x]*Log[2/(1 + a + b*x)])/d) + (ArcCoth[a + b*x]*Log[(2*b*(c + d*x))/((b*c + d - a*d)*(1 + a + b*x))])/d + PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a + b*x)]/(2*d) - PolyLog[2, 1 - (2*b*(c + d*x))/((b*c + d - a*d)*(1 + a + b*x))]/(2*d)}
+{ArcCoth[a + b*x]/(c + d/x^1), x, 37, ((1 - a - b*x)*Log[-((1 - a - b*x)/(a + b*x))])/(2*b*c) + Log[a + b*x]/(2*b*c) + Log[1 + a + b*x]/(2*b*c) + ((a + b*x)*Log[(1 + a + b*x)/(a + b*x)])/(2*b*c) - (d*Log[(c*(1 - a - b*x))/(c - a*c + b*d)]*Log[d + c*x])/(2*c^2) + (d*Log[-((1 - a - b*x)/(a + b*x))]*Log[d + c*x])/(2*c^2) + (d*Log[(c*(1 + a + b*x))/(c + a*c - b*d)]*Log[d + c*x])/(2*c^2) - (d*Log[(1 + a + b*x)/(a + b*x)]*Log[d + c*x])/(2*c^2) + (d*PolyLog[2, -((b*(d + c*x))/(c + a*c - b*d))])/(2*c^2) - (d*PolyLog[2, (b*(d + c*x))/(c - a*c + b*d)])/(2*c^2), ((1 - a - b*x)*Log[-1 + a + b*x])/(2*b*c) + (x*(Log[-1 + a + b*x] - Log[-((1 - a - b*x)/(a + b*x))] - Log[a + b*x]))/(2*c) + ((1 + a + b*x)*Log[1 + a + b*x])/(2*b*c) + (x*(Log[a + b*x] - Log[1 + a + b*x] + Log[(1 + a + b*x)/(a + b*x)]))/(2*c) - (d*(Log[-1 + a + b*x] - Log[-((1 - a - b*x)/(a + b*x))] - Log[a + b*x])*Log[d + c*x])/(2*c^2) - (d*(Log[a + b*x] - Log[1 + a + b*x] + Log[(1 + a + b*x)/(a + b*x)])*Log[d + c*x])/(2*c^2) - (d*Log[1 + a + b*x]*Log[-((b*(d + c*x))/(c + a*c - b*d))])/(2*c^2) + (d*Log[-1 + a + b*x]*Log[(b*(d + c*x))/(c - a*c + b*d)])/(2*c^2) + (d*PolyLog[2, (c*(1 - a - b*x))/(c - a*c + b*d)])/(2*c^2) - (d*PolyLog[2, (c*(1 + a + b*x))/(c + a*c - b*d)])/(2*c^2)}
+{ArcCoth[a + b*x]/(c + d/x^2), x, 57, ((1 - a - b*x)*Log[-1 + a + b*x])/(2*b*c) + (x*(Log[-1 + a + b*x] - Log[-((1 - a - b*x)/(a + b*x))] - Log[a + b*x]))/(2*c) - (Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[c]*x)/Sqrt[d]]*(Log[-1 + a + b*x] - Log[-((1 - a - b*x)/(a + b*x))] - Log[a + b*x]))/(2*c^(3/2)) + ((1 + a + b*x)*Log[1 + a + b*x])/(2*b*c) + (x*(Log[a + b*x] - Log[1 + a + b*x] + Log[(1 + a + b*x)/(a + b*x)]))/(2*c) - (Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[c]*x)/Sqrt[d]]*(Log[a + b*x] - Log[1 + a + b*x] + Log[(1 + a + b*x)/(a + b*x)]))/(2*c^(3/2)) + (Sqrt[d]*Log[-1 + a + b*x]*Log[-((b*(Sqrt[d] - Sqrt[-c]*x))/((1 - a)*Sqrt[-c] - b*Sqrt[d]))])/(4*(-c)^(3/2)) - (Sqrt[d]*Log[1 + a + b*x]*Log[(b*(Sqrt[d] - Sqrt[-c]*x))/((1 + a)*Sqrt[-c] + b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) + (Sqrt[d]*Log[1 + a + b*x]*Log[-((b*(Sqrt[d] + Sqrt[-c]*x))/((1 + a)*Sqrt[-c] - b*Sqrt[d]))])/(4*(-c)^(3/2)) - (Sqrt[d]*Log[-1 + a + b*x]*Log[(b*(Sqrt[d] + Sqrt[-c]*x))/((1 - a)*Sqrt[-c] + b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) + (Sqrt[d]*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(1 - a - b*x))/((1 - a)*Sqrt[-c] - b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) - (Sqrt[d]*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(1 - a - b*x))/((1 - a)*Sqrt[-c] + b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) + (Sqrt[d]*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(1 + a + b*x))/((1 + a)*Sqrt[-c] - b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2)) - (Sqrt[d]*PolyLog[2, (Sqrt[-c]*(1 + a + b*x))/((1 + a)*Sqrt[-c] + b*Sqrt[d])])/(4*(-c)^(3/2))}
+(* {ArcCoth[a + b*x]/(c + d/x^3), x, 59, Log[1 - a - b*x]/(2*b*c) + Log[1 + a + b*x]/(2*b*c) - (d^(1/3)*Log[(c^(1/3)*(1 - a - b*x))/((1 - a)*c^(1/3) + b*d^(1/3))]*Log[-d^(1/3) - c^(1/3)*x])/(6*c^(4/3)) + (d^(1/3)*Log[(c^(1/3)*(1 + a + b*x))/((1 + a)*c^(1/3) - b*d^(1/3))]*Log[-d^(1/3) - c^(1/3)*x])/(6*c^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*d^(1/3)*Log[(c^(1/3)*(1 - a - b*x))/((1 - a)*c^(1/3) - (-1)^(1/3)*b*d^(1/3))]*Log[(-1)^(1/3)*d^(1/3) - c^(1/3)*x])/(6*c^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*d^(1/3)*Log[(c^(1/3)*(1 + a + b*x))/((1 + a)*c^(1/3) + (-1)^(1/3)*b*d^(1/3))]*Log[(-1)^(1/3)*d^(1/3) - c^(1/3)*x])/(6*c^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*d^(1/3)*Log[(c^(1/3)*(1 - a - b*x))/((1 - a)*c^(1/3) + (-1)^(2/3)*b*d^(1/3))]*Log[(-(-1)^(2/3))*d^(1/3) - c^(1/3)*x])/(6*c^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*d^(1/3)*Log[(c^(1/3)*(1 + a + b*x))/((1 + a)*c^(1/3) - (-1)^(2/3)*b*d^(1/3))]*Log[(-(-1)^(2/3))*d^(1/3) - c^(1/3)*x])/(6*c^(4/3)) - ((a + b*x)*Log[1 - 1/(a + b*x)])/(2*b*c) + (d^(1/3)*Log[-d^(1/3) - c^(1/3)*x]*Log[1 - 1/(a + b*x)])/(6*c^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*d^(1/3)*Log[(-1)^(1/3)*d^(1/3) - c^(1/3)*x]*Log[1 - 1/(a + b*x)])/(6*c^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*d^(1/3)*Log[(-(-1)^(2/3))*d^(1/3) - c^(1/3)*x]*Log[1 - 1/(a + b*x)])/(6*c^(4/3)) + ((a + b*x)*Log[1 + 1/(a + b*x)])/(2*b*c) - (d^(1/3)*Log[-d^(1/3) - c^(1/3)*x]*Log[1 + 1/(a + b*x)])/(6*c^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*d^(1/3)*Log[(-1)^(1/3)*d^(1/3) - c^(1/3)*x]*Log[1 + 1/(a + b*x)])/(6*c^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*d^(1/3)*Log[(-(-1)^(2/3))*d^(1/3) - c^(1/3)*x]*Log[1 + 1/(a + b*x)])/(6*c^(4/3)) + (d^(1/3)*PolyLog[2, -((b*(d^(1/3) + c^(1/3)*x))/((1 + a)*c^(1/3) - b*d^(1/3)))])/(6*c^(4/3)) - (d^(1/3)*PolyLog[2, (b*(d^(1/3) + c^(1/3)*x))/((1 - a)*c^(1/3) + b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) + ((-1)^(2/3)*d^(1/3)*PolyLog[2, -((b*((-1)^(2/3)*d^(1/3) + c^(1/3)*x))/((1 + a)*c^(1/3) - (-1)^(2/3)*b*d^(1/3)))])/(6*c^(4/3)) - ((-1)^(2/3)*d^(1/3)*PolyLog[2, (b*((-1)^(2/3)*d^(1/3) + c^(1/3)*x))/((1 - a)*c^(1/3) + (-1)^(2/3)*b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3)) + ((-1)^(1/3)*d^(1/3)*PolyLog[2, -(((-1)^(1/3)*b*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*c^(1/3)*x))/((1 - a)*c^(1/3) - (-1)^(1/3)*b*d^(1/3)))])/(6*c^(4/3)) - ((-1)^(1/3)*d^(1/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*b*(d^(1/3) + (-1)^(2/3)*c^(1/3)*x))/((1 + a)*c^(1/3) + (-1)^(1/3)*b*d^(1/3))])/(6*c^(4/3))} *)
+
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+{ArcCoth[a + b*x]/(c + d*Sqrt[x]), x, 55, (2*Sqrt[1 + a]*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a]])/(Sqrt[b]*d) - (2*Sqrt[1 - a]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[1 - a]])/(Sqrt[b]*d) + (c*Log[(d*(Sqrt[-1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c + Sqrt[-1 - a]*d)]*Log[c + d*Sqrt[x]])/d^2 - (c*Log[(d*(Sqrt[1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c + Sqrt[1 - a]*d)]*Log[c + d*Sqrt[x]])/d^2 + (c*Log[-((d*(Sqrt[-1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c - Sqrt[-1 - a]*d))]*Log[c + d*Sqrt[x]])/d^2 - (c*Log[-((d*(Sqrt[1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c - Sqrt[1 - a]*d))]*Log[c + d*Sqrt[x]])/d^2 - (Sqrt[x]*Log[-((1 - a - b*x)/(a + b*x))])/d + (c*Log[c + d*Sqrt[x]]*Log[-((1 - a - b*x)/(a + b*x))])/d^2 + (Sqrt[x]*Log[(1 + a + b*x)/(a + b*x)])/d - (c*Log[c + d*Sqrt[x]]*Log[(1 + a + b*x)/(a + b*x)])/d^2 + (c*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(c + d*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c - Sqrt[-1 - a]*d)])/d^2 + (c*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(c + d*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c + Sqrt[-1 - a]*d)])/d^2 - (c*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(c + d*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c - Sqrt[1 - a]*d)])/d^2 - (c*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(c + d*Sqrt[x]))/(Sqrt[b]*c + Sqrt[1 - a]*d)])/d^2}
+{ArcCoth[a + b*x]/(c + d/Sqrt[x]), x, 65, -((2*Sqrt[1 + a]*d*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[1 + a]])/(Sqrt[b]*c^2)) + (2*Sqrt[1 - a]*d*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[1 - a]])/(Sqrt[b]*c^2) - (d^2*Log[(c*(Sqrt[-1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*c + Sqrt[b]*d)]*Log[d + c*Sqrt[x]])/c^3 + (d^2*Log[(c*(Sqrt[1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*c + Sqrt[b]*d)]*Log[d + c*Sqrt[x]])/c^3 - (d^2*Log[(c*(Sqrt[-1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*c - Sqrt[b]*d)]*Log[d + c*Sqrt[x]])/c^3 + (d^2*Log[(c*(Sqrt[1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*c - Sqrt[b]*d)]*Log[d + c*Sqrt[x]])/c^3 + ((1 - a)*Log[1 - a - b*x])/(2*b*c) + (d*Sqrt[x]*Log[-((1 - a - b*x)/(a + b*x))])/c^2 - (x*Log[-((1 - a - b*x)/(a + b*x))])/(2*c) - (d^2*Log[d + c*Sqrt[x]]*Log[-((1 - a - b*x)/(a + b*x))])/c^3 + ((1 + a)*Log[1 + a + b*x])/(2*b*c) - (d*Sqrt[x]*Log[(1 + a + b*x)/(a + b*x)])/c^2 + (x*Log[(1 + a + b*x)/(a + b*x)])/(2*c) + (d^2*Log[d + c*Sqrt[x]]*Log[(1 + a + b*x)/(a + b*x)])/c^3 - (d^2*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(d + c*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*c - Sqrt[b]*d))])/c^3 + (d^2*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(d + c*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*c - Sqrt[b]*d))])/c^3 - (d^2*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + c*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*c + Sqrt[b]*d)])/c^3 + (d^2*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(d + c*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*c + Sqrt[b]*d)])/c^3}
+(* {ArcCoth[a + b*x]/(a + b/x^(3/2)), x, 145, -((1 - 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(6*a^(5/3)) - ((1 + 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(6*a^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*(1 - 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(6*a^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*(1 + 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(6*a^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*(1 - 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(6*a^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*(1 + 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(6*a^(5/3)) + (b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) - (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[1 - a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + (b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((Sqrt[1 - a] - Sqrt[-a])*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(6*Sqrt[-a]*a^(5/3)) - ((Sqrt[1 - a] + Sqrt[-a])*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(6*Sqrt[-a]*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*(Sqrt[1 - a] - Sqrt[-a])*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(6*Sqrt[-a]*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*(Sqrt[1 - a] + Sqrt[-a])*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(6*(-a)^(3/2)*a^(2/3)) + ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-((Sqrt[-a]*a^(1/3)*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(a^(4/3) + (-1)^(1/3)*Sqrt[-a]*b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*(Sqrt[1 - a] - Sqrt[-a])*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-((Sqrt[-a]*a^(1/3)*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(a^(4/3) + (-1)^(1/3)*Sqrt[-a]*b^(5/6)))])/(6*Sqrt[-a]*a^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*(Sqrt[1 - a] + Sqrt[-a])*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-((Sqrt[-a]*a^(1/3)*(Sqrt[-a] - Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(a^(4/3) + (-1)^(1/3)*Sqrt[-a]*b^(5/6)))])/(6*(-a)^(3/2)*a^(2/3)) - ((1 - 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) - b^(5/6))])/(6*a^(5/3)) - ((1 + 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) - b^(5/6))])/(6*a^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*(1 - 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(6*a^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*(1 + 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(6*a^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*(1 - 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-1 - a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) - 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a] + Sqrt[-a])*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[(a^(1/3)*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(Sqrt[-a]*a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(6*(-a)^(3/2)*a^(2/3)) + (b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-((Sqrt[-a]*a^(1/3)*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(a^(4/3) + Sqrt[-a]*b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) + ((Sqrt[1 - a] - Sqrt[-a])*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-((Sqrt[-a]*a^(1/3)*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(a^(4/3) + Sqrt[-a]*b^(5/6)))])/(6*Sqrt[-a]*a^(5/3)) - ((Sqrt[1 - a] + Sqrt[-a])*b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-((Sqrt[-a]*a^(1/3)*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(a^(4/3) + Sqrt[-a]*b^(5/6)))])/(6*Sqrt[-a]*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-((Sqrt[-a]*a^(1/3)*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(a^(4/3) + (-1)^(2/3)*Sqrt[-a]*b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*(Sqrt[1 - a] - Sqrt[-a])*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-((Sqrt[-a]*a^(1/3)*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(a^(4/3) + (-1)^(2/3)*Sqrt[-a]*b^(5/6)))])/(6*Sqrt[-a]*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*(Sqrt[1 - a] + Sqrt[-a])*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[-((Sqrt[-a]*a^(1/3)*(Sqrt[-a] + Sqrt[b]*Sqrt[x]))/(a^(4/3) + (-1)^(2/3)*Sqrt[-a]*b^(5/6)))])/(6*(-a)^(3/2)*a^(2/3)) + ((1 - a)*Log[1 - a - b*x])/(2*a*b) + ((1 + a)*Log[1 + a + b*x])/(2*a*b) - (x*Log[1 - (a + b*x)^(-1)])/(2*a) - (b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 - (a + b*x)^(-1)])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 - (a + b*x)^(-1)])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 - (a + b*x)^(-1)])/(3*a^(5/3)) + (x*Log[1 + (a + b*x)^(-1)])/(2*a) + (b^(2/3)*Log[-b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 + (a + b*x)^(-1)])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*Log[(-1)^(1/3)*b^(1/3) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 + (a + b*x)^(-1)])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*Log[-((-1)^(2/3)*b^(1/3)) - a^(1/3)*Sqrt[x]]*Log[1 + (a + b*x)^(-1)])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*(1 - 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*((-1)^(1/3)*b^(1/3) - 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((1 + 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) - b^(5/6)))])/(6*a^(5/3)) + (b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) - b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) - ((1 - 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(6*a^(5/3)) - ((1 + 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(6*a^(5/3)) + (b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + (b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((Sqrt[1 - a] - Sqrt[-a])*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(6*Sqrt[-a]*a^(5/3)) - ((Sqrt[1 - a] + Sqrt[-a])*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-a]*a^(1/3) + b^(5/6))])/(6*Sqrt[-a]*a^(5/3)) + (b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(a^(4/3)/Sqrt[-a] + b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((Sqrt[1 - a] - Sqrt[-a])*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(a^(4/3)/Sqrt[-a] + b^(5/6))])/(6*Sqrt[-a]*a^(5/3)) - ((Sqrt[1 - a] + Sqrt[-a])*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*(b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(a^(4/3)/Sqrt[-a] + b^(5/6))])/(6*Sqrt[-a]*a^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*(1 - 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(5/6)))])/(6*a^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*(1 + 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(5/6)))])/(6*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, -((Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) - (-1)^(2/3)*b^(5/6)))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*(1 - 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(6*a^(5/3)) + ((-1)^(1/3)*(1 + 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(6*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*(Sqrt[1 - a] - Sqrt[-a])*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(6*Sqrt[-a]*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*(Sqrt[1 - a] + Sqrt[-a])*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-a]*a^(1/3) + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(6*(-a)^(3/2)*a^(2/3)) - ((-1)^(1/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(a^(4/3)/Sqrt[-a] + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*(Sqrt[1 - a] - Sqrt[-a])*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(a^(4/3)/Sqrt[-a] + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(6*Sqrt[-a]*a^(5/3)) - ((-1)^(1/3)*(Sqrt[1 - a] + Sqrt[-a])*b^(2/3)*PolyLog[2, (Sqrt[b]*((-1)^(2/3)*b^(1/3) + a^(1/3)*Sqrt[x]))/(a^(4/3)/Sqrt[-a] + (-1)^(2/3)*b^(5/6))])/(6*(-a)^(3/2)*a^(2/3)) - ((-1)^(2/3)*(1 - 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*Sqrt[b]*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(6*a^(5/3)) - ((-1)^(2/3)*(1 + 1/Sqrt[1 + a^(-1)])*b^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*Sqrt[b]*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(6*a^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*Sqrt[b]*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[1 - a]*a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*b^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*Sqrt[b]*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-a]*a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(3*a^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*(Sqrt[1 - a] - Sqrt[-a])*b^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*Sqrt[b]*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-a]*a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(6*Sqrt[-a]*a^(5/3)) + ((-1)^(2/3)*(Sqrt[1 - a] + Sqrt[-a])*b^(2/3)*PolyLog[2, ((-1)^(1/3)*Sqrt[b]*(b^(1/3) + (-1)^(2/3)*a^(1/3)*Sqrt[x]))/(Sqrt[-a]*a^(1/3) + (-1)^(1/3)*b^(5/6))])/(6*(-a)^(3/2)*a^(2/3))} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form ArcCoth[a+b x] / (c+d x+e x^2)*)
+
+
+{ArcCoth[d + e*x]/(a + b*x + c*x^2), x, 12, (ArcCoth[d + e*x]*Log[(2*e*(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/((2*c*(1 - d) + (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)*(1 + d + e*x))])/Sqrt[b^2 - 4*a*c] - (ArcCoth[d + e*x]*Log[(2*e*(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x))/((2*c*(1 - d) + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)*(1 + d + e*x))])/Sqrt[b^2 - 4*a*c] - PolyLog[2, 1 + (2*(2*c*d - (b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e - 2*c*(d + e*x)))/((2*c - 2*c*d + b*e - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)*(1 + d + e*x))]/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) + PolyLog[2, 1 + (2*(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e - 2*c*(d + e*x)))/((2*c*(1 - d) + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)*(1 + d + e*x))]/(2*Sqrt[b^2 - 4*a*c])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u ArcCoth[a x^n]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCoth[a x^n]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^2*ArcCoth[Sqrt[x]], x, 6, Sqrt[x]/3 + x^(3/2)/9 + x^(5/2)/15 + (1/3)*x^3*ArcCoth[Sqrt[x]] - ArcTanh[Sqrt[x]]/3}
+{x^1*ArcCoth[Sqrt[x]], x, 5, Sqrt[x]/2 + x^(3/2)/6 + (1/2)*x^2*ArcCoth[Sqrt[x]] - ArcTanh[Sqrt[x]]/2}
+{x^0*ArcCoth[Sqrt[x]], x, 4, Sqrt[x] + x*ArcCoth[Sqrt[x]] - ArcTanh[Sqrt[x]]}
+{ArcCoth[Sqrt[x]]/x^1, x, 2, PolyLog[2, -(1/Sqrt[x])] - PolyLog[2, 1/Sqrt[x]]}
+{ArcCoth[Sqrt[x]]/x^2, x, 4, -(1/Sqrt[x]) - ArcCoth[Sqrt[x]]/x + ArcTanh[Sqrt[x]]}
+{ArcCoth[Sqrt[x]]/x^3, x, 5, -(1/(6*x^(3/2))) - 1/(2*Sqrt[x]) - ArcCoth[Sqrt[x]]/(2*x^2) + ArcTanh[Sqrt[x]]/2}
+
+
+{x^(3/2)*ArcCoth[Sqrt[x]], x, 3, x/5 + x^2/10 + (2/5)*x^(5/2)*ArcCoth[Sqrt[x]] + (1/5)*Log[1 - x]}
+{Sqrt[x]*ArcCoth[Sqrt[x]], x, 3, x/3 + (2/3)*x^(3/2)*ArcCoth[Sqrt[x]] + (1/3)*Log[1 - x]}
+{ArcCoth[Sqrt[x]]/Sqrt[x], x, 2, 2*Sqrt[x]*ArcCoth[Sqrt[x]] + Log[1 - x]}
+{ArcCoth[Sqrt[x]]/x^(3/2), x, 4, -((2*ArcCoth[Sqrt[x]])/Sqrt[x]) - Log[1 - x] + Log[x]}
+
+
+{ArcCoth[a*x^5]/x, x, 2, (1/10)*PolyLog[2, -(1/(a*x^5))] - (1/10)*PolyLog[2, 1/(a*x^5)]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{ArcCoth[1/x], x, 3, x*ArcCoth[1/x] + (1/2)*Log[1 - x^2]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n symbolic*)
+
+
+{ArcCoth[a*x^n]/x, x, 2, PolyLog[2, -(1/(x^n*a))]/(2*n) - PolyLog[2, 1/(x^n*a)]/(2*n)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b ArcCoth[c+d x])^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b ArcCoth[c+d x])^p when d e-c f=0*)
+
+
+{(a + b*x)^1*ArcCoth[a + b*x], x, 4, x/2 + ((a + b*x)^2*ArcCoth[a + b*x])/(2*b) - ArcTanh[a + b*x]/(2*b)}
+{(a + b*x)^2*ArcCoth[a + b*x], x, 5, (a + b*x)^2/(6*b) + ((a + b*x)^3*ArcCoth[a + b*x])/(3*b) + Log[1 - (a + b*x)^2]/(6*b)}
+{ArcCoth[a + b*x]/(a + b*x)^1, x, 2, PolyLog[2, -(1/(a + b*x))]/(2*b) - PolyLog[2, 1/(a + b*x)]/(2*b)}
+{ArcCoth[a + b*x]/(a + b*x)^2, x, 6, -(ArcCoth[a + b*x]/(b*(a + b*x))) + Log[a + b*x]/b - Log[1 - (a + b*x)^2]/(2*b)}
+
+
+{ArcCoth[1 + x]/(2 + 2*x), x, 3, (1/4)*PolyLog[2, -(1/(1 + x))] - (1/4)*PolyLog[2, 1/(1 + x)]}
+
+
+{ArcCoth[a + b*x]/((a*d)/b + d*x), x, 3, PolyLog[2, -(1/(a + b*x))]/(2*d) - PolyLog[2, 1/(a + b*x)]/(2*d)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b ArcCoth[c+d x])^p*)
+
+
+{(e + f*x)^3*(a + b*ArcCoth[c + d*x]), x, 7, (b*f*(6*d^2*e^2 - 12*c*d*e*f + (1 + 6*c^2)*f^2)*x)/(4*d^3) + (b*f^2*(d*e - c*f)*(c + d*x)^2)/(2*d^4) + (b*f^3*(c + d*x)^3)/(12*d^4) + ((e + f*x)^4*(a + b*ArcCoth[c + d*x]))/(4*f) + (b*(d*e + f - c*f)^4*Log[1 - c - d*x])/(8*d^4*f) - (b*(d*e - f - c*f)^4*Log[1 + c + d*x])/(8*d^4*f)}
+{(e + f*x)^2*(a + b*ArcCoth[c + d*x]), x, 7, (b*f*(d*e - c*f)*x)/d^2 + (b*f^2*(c + d*x)^2)/(6*d^3) + ((e + f*x)^3*(a + b*ArcCoth[c + d*x]))/(3*f) + (b*(d*e + f - c*f)^3*Log[1 - c - d*x])/(6*d^3*f) - (b*(d*e - (1 + c)*f)^3*Log[1 + c + d*x])/(6*d^3*f)}
+{(e + f*x)^1*(a + b*ArcCoth[c + d*x]), x, 7, (b*f*x)/(2*d) + ((e + f*x)^2*(a + b*ArcCoth[c + d*x]))/(2*f) + (b*(d*e + f - c*f)^2*Log[1 - c - d*x])/(4*d^2*f) - (b*(d*e - (1 + c)*f)^2*Log[1 + c + d*x])/(4*d^2*f)}
+{(e + f*x)^0*(a + b*ArcCoth[c + d*x]), x, 4, a*x + (b*(c + d*x)*ArcCoth[c + d*x])/d + (b*Log[1 - (c + d*x)^2])/(2*d)}
+{(a + b*ArcCoth[c + d*x])/(e + f*x)^1, x, 5, -(((a + b*ArcCoth[c + d*x])*Log[2/(1 + c + d*x)])/f) + ((a + b*ArcCoth[c + d*x])*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/f + (b*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f) - (b*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/(2*f)}
+{(a + b*ArcCoth[c + d*x])/(e + f*x)^2, x, 7, If[$VersionNumber>=8, -((a + b*ArcCoth[c + d*x])/(f*(e + f*x))) - (b*d*Log[1 - c - d*x])/(2*f*(d*e + f - c*f)) + (b*d*Log[1 + c + d*x])/(2*f*(d*e - f - c*f)) - (b*d*Log[e + f*x])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)), -((a + b*ArcCoth[c + d*x])/(f*(e + f*x))) - (b*d*Log[1 - c - d*x])/(2*f*(d*e + f - c*f)) + (b*d*Log[1 + c + d*x])/(2*f*(d*e - f - c*f)) - (b*d*Log[e + f*x])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f))]}
+{(a + b*ArcCoth[c + d*x])/(e + f*x)^3, x, 5, If[$VersionNumber>=8, (b*d)/(2*(d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)*(e + f*x)) - (a + b*ArcCoth[c + d*x])/(2*f*(e + f*x)^2) - (b*d^2*Log[1 - c - d*x])/(4*f*(d*e + f - c*f)^2) + (b*d^2*Log[1 + c + d*x])/(4*f*(d*e - f - c*f)^2) - (b*d^2*(d*e - c*f)*Log[e + f*x])/((d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)^2), (b*d)/(2*(d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)*(e + f*x)) - (a + b*ArcCoth[c + d*x])/(2*f*(e + f*x)^2) - (b*d^2*Log[1 - c - d*x])/(4*f*(d*e + f - c*f)^2) + (b*d^2*Log[1 + c + d*x])/(4*f*(d*e - f - c*f)^2) - (b*d^2*(d*e - c*f)*Log[e + f*x])/((d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)^2)]}
+
+
+{(e + f*x)^2*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2, x, 16, (b^2*f^2*x)/(3*d^2) + (2*a*b*f*(d*e - c*f)*x)/d^2 + (2*b^2*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)*ArcCoth[c + d*x])/d^3 + (b*f^2*(c + d*x)^2*(a + b*ArcCoth[c + d*x]))/(3*d^3) - ((d*e - c*f)*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (3 + c^2)*f^2)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2)/(3*d^3*f) + ((3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + (1 + 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2)/(3*d^3) + ((e + f*x)^3*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2)/(3*f) - (b^2*f^2*ArcTanh[c + d*x])/(3*d^3) - (2*b*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + (1 + 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])*Log[2/(1 - c - d*x)])/(3*d^3) + (b^2*f*(d*e - c*f)*Log[1 - (c + d*x)^2])/d^3 - (b^2*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + (1 + 3*c^2)*f^2)*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/(3*d^3)}
+{(e + f*x)^1*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2, x, 13, (a*b*f*x)/d + (b^2*f*(c + d*x)*ArcCoth[c + d*x])/d^2 + ((d*e - c*f)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2)/d^2 - ((d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2)/(2*d^2*f) + ((e + f*x)^2*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2)/(2*f) - (2*b*(d*e - c*f)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])*Log[2/(1 - c - d*x)])/d^2 + (b^2*f*Log[1 - (c + d*x)^2])/(2*d^2) - (b^2*(d*e - c*f)*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/d^2}
+{(e + f*x)^0*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2, x, 6, (a + b*ArcCoth[c + d*x])^2/d + ((c + d*x)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2)/d - (2*b*(a + b*ArcCoth[c + d*x])*Log[2/(1 - c - d*x)])/d - (b^2*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/d}
+{(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2/(e + f*x)^1, x, 2, -(((a + b*ArcCoth[c + d*x])^2*Log[2/(1 + c + d*x)])/f) + ((a + b*ArcCoth[c + d*x])^2*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/f + (b*(a + b*ArcCoth[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/f - (b*(a + b*ArcCoth[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/f + (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f) - (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/(2*f)}
+{(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2/(e + f*x)^2, x, 24, If[$VersionNumber>=8, -((a + b*ArcCoth[c + d*x])^2/(f*(e + f*x))) + (b^2*d*ArcCoth[c + d*x]*Log[2/(1 - c - d*x)])/(f*(d*e + f - c*f)) - (a*b*d*Log[1 - c - d*x])/(f*(d*e + f - c*f)) - (b^2*d*ArcCoth[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/(f*(d*e - f - c*f)) + (2*b^2*d*ArcCoth[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) + (a*b*d*Log[1 + c + d*x])/(f*(d*e - f - c*f)) + (2*a*b*d*Log[e + f*x])/(f^2 - (d*e - c*f)^2) - (2*b^2*d*ArcCoth[c + d*x]*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) + (b^2*d*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/(2*f*(d*e + f - c*f)) + (b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f*(d*e - f - c*f)) - (b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) + (b^2*d*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)), -((a + b*ArcCoth[c + d*x])^2/(f*(e + f*x))) + (b^2*d*ArcCoth[c + d*x]*Log[2/(1 - c - d*x)])/(f*(d*e + f - c*f)) - (a*b*d*Log[1 - c - d*x])/(f*(d*e + f - c*f)) - (b^2*d*ArcCoth[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/(f*(d*e - f - c*f)) + (2*b^2*d*ArcCoth[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) + (a*b*d*Log[1 + c + d*x])/(f*(d*e - f - c*f)) + (2*a*b*d*Log[e + f*x])/(f^2 - (d*e - c*f)^2) - (2*b^2*d*ArcCoth[c + d*x]*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) + (b^2*d*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/(2*f*(d*e + f - c*f)) + (b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f*(d*e - f - c*f)) - (b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) + (b^2*d*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f))]}
+
+
+{(e + f*x)^2*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^3, x, 21, (a*b^2*f^2*x)/d^2 + (b^3*f^2*(c + d*x)*ArcCoth[c + d*x])/d^3 - (b*f^2*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2)/(2*d^3) + (3*b*f*(d*e - c*f)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2)/d^3 + (3*b*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2)/d^3 + (b*f^2*(c + d*x)^2*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2)/(2*d^3) - ((d*e - c*f)*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (3 + c^2)*f^2)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^3)/(3*d^3*f) + ((3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + (1 + 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^3)/(3*d^3) + ((e + f*x)^3*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^3)/(3*f) - (6*b^2*f*(d*e - c*f)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])*Log[2/(1 - c - d*x)])/d^3 - (b*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + (1 + 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2*Log[2/(1 - c - d*x)])/d^3 + (b^3*f^2*Log[1 - (c + d*x)^2])/(2*d^3) - (3*b^3*f*(d*e - c*f)*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/d^3 - (b^2*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + (1 + 3*c^2)*f^2)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/d^3 + (b^3*(3*d^2*e^2 - 6*c*d*e*f + (1 + 3*c^2)*f^2)*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(2*d^3)}
+{(e + f*x)^1*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^3, x, 15, (3*b*f*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2)/(2*d^2) + (3*b*f*(c + d*x)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2)/(2*d^2) + ((d*e - c*f)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^3)/d^2 - ((d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^3)/(2*d^2*f) + ((e + f*x)^2*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^3)/(2*f) - (3*b^2*f*(a + b*ArcCoth[c + d*x])*Log[2/(1 - c - d*x)])/d^2 - (3*b*(d*e - c*f)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2*Log[2/(1 - c - d*x)])/d^2 - (3*b^3*f*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/(2*d^2) - (3*b^2*(d*e - c*f)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/d^2 + (3*b^3*(d*e - c*f)*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(2*d^2)}
+{(e + f*x)^0*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^3, x, 6, (a + b*ArcCoth[c + d*x])^3/d + ((c + d*x)*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^3)/d - (3*b*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2*Log[2/(1 - c - d*x)])/d - (3*b^2*(a + b*ArcCoth[c + d*x])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/d + (3*b^3*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(2*d)}
+{(a + b*ArcCoth[c + d*x])^3/(e + f*x)^1, x, 2, -(((a + b*ArcCoth[c + d*x])^3*Log[2/(1 + c + d*x)])/f) + ((a + b*ArcCoth[c + d*x])^3*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/f + (3*b*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f) - (3*b*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/(2*f) + (3*b^2*(a + b*ArcCoth[c + d*x])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f) - (3*b^2*(a + b*ArcCoth[c + d*x])*PolyLog[3, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/(2*f) + (3*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(4*f) - (3*b^3*PolyLog[4, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/(4*f)}
+{(a + b*ArcCoth[c + d*x])^3/(e + f*x)^2, x, 33, If[$VersionNumber>=8, -((a + b*ArcCoth[c + d*x])^3/(f*(e + f*x))) + (3*a*b^2*d*ArcCoth[c + d*x]*Log[2/(1 - c - d*x)])/(f*(d*e + f - c*f)) + (3*b^3*d*ArcCoth[c + d*x]^2*Log[2/(1 - c - d*x)])/(2*f*(d*e + f - c*f)) - (3*a^2*b*d*Log[1 - c - d*x])/(2*f*(d*e + f - c*f)) - (3*a*b^2*d*ArcCoth[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/(f*(d*e - f - c*f)) + (6*a*b^2*d*ArcCoth[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) - (3*b^3*d*ArcCoth[c + d*x]^2*Log[2/(1 + c + d*x)])/(2*f*(d*e - f - c*f)) + (3*b^3*d*ArcCoth[c + d*x]^2*Log[2/(1 + c + d*x)])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) + (3*a^2*b*d*Log[1 + c + d*x])/(2*f*(d*e - f - c*f)) + (3*a^2*b*d*Log[e + f*x])/(f^2 - (d*e - c*f)^2) - (6*a*b^2*d*ArcCoth[c + d*x]*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) - (3*b^3*d*ArcCoth[c + d*x]^2*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) + (3*a*b^2*d*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/(2*f*(d*e + f - c*f)) + (3*b^3*d*ArcCoth[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(2*f*(d*e + f - c*f)) + (3*a*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f*(d*e - f - c*f)) - (3*a*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) + (3*b^3*d*ArcCoth[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f*(d*e - f - c*f)) - (3*b^3*d*ArcCoth[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) + (3*a*b^2*d*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) + (3*b^3*d*ArcCoth[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) - (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(4*f*(d*e + f - c*f)) + (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(4*f*(d*e - f - c*f)) - (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*(d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)) + (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/(2*(d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)), -((a + b*ArcCoth[c + d*x])^3/(f*(e + f*x))) + (3*a*b^2*d*ArcCoth[c + d*x]*Log[2/(1 - c - d*x)])/(f*(d*e + f - c*f)) + (3*b^3*d*ArcCoth[c + d*x]^2*Log[2/(1 - c - d*x)])/(2*f*(d*e + f - c*f)) - (3*a^2*b*d*Log[1 - c - d*x])/(2*f*(d*e + f - c*f)) - (3*a*b^2*d*ArcCoth[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/(f*(d*e - f - c*f)) + (6*a*b^2*d*ArcCoth[c + d*x]*Log[2/(1 + c + d*x)])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) - (3*b^3*d*ArcCoth[c + d*x]^2*Log[2/(1 + c + d*x)])/(2*f*(d*e - f - c*f)) + (3*b^3*d*ArcCoth[c + d*x]^2*Log[2/(1 + c + d*x)])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) + (3*a^2*b*d*Log[1 + c + d*x])/(2*f*(d*e - f - c*f)) + (3*a^2*b*d*Log[e + f*x])/(f^2 - (d*e - c*f)^2) - (6*a*b^2*d*ArcCoth[c + d*x]*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) - (3*b^3*d*ArcCoth[c + d*x]^2*Log[(2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) + (3*a*b^2*d*PolyLog[2, -((1 + c + d*x)/(1 - c - d*x))])/(2*f*(d*e + f - c*f)) + (3*b^3*d*ArcCoth[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(2*f*(d*e + f - c*f)) + (3*a*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f*(d*e - f - c*f)) - (3*a*b^2*d*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) + (3*b^3*d*ArcCoth[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*f*(d*e - f - c*f)) - (3*b^3*d*ArcCoth[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) + (3*a*b^2*d*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) + (3*b^3*d*ArcCoth[c + d*x]*PolyLog[2, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/((d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) - (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 - c - d*x)])/(4*f*(d*e + f - c*f)) + (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(4*f*(d*e - f - c*f)) - (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c + d*x)])/(2*(d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f)) + (3*b^3*d*PolyLog[3, 1 - (2*d*(e + f*x))/((d*e + f - c*f)*(1 + c + d*x))])/(2*(d*e - f - c*f)*(d*e + f - c*f))]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e+f x)^m (a+b ArcCoth[c+d x])^p with m symbolic*)
+
+
+{(e + f*x)^m*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^1, x, 6, ((e + f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCoth[c + d*x]))/(f*(1 + m)) + (b*d*(e + f*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (d*(e + f*x))/(d*e - f - c*f)])/(2*f*(d*e - (1 + c)*f)*(1 + m)*(2 + m)) - (b*d*(e + f*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, (d*(e + f*x))/(d*e + f - c*f)])/(2*f*(d*e + f - c*f)*(1 + m)*(2 + m))}
+{(e + f*x)^m*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2, x, 1, Unintegrable[(e + f*x)^m*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^2, x]}
+{(e + f*x)^m*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^3, x, 1, Unintegrable[(e + f*x)^m*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^3, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u^m (a+b ArcCoth[Sqrt[1-c x]/Sqrt[1+c x]])^n*)
+
+
+{(a + b*ArcCoth[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^n/(1 - c^2*x^2), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCoth[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^n/(1 - c^2*x^2), x]}
+
+
+{(a + b*ArcCoth[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3/(1 - c^2*x^2), x, 9, -((2*(a + b*ArcCoth[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^3*ArcCoth[1 - 2/(1 - Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/c) - (3*b*(a + b*ArcCoth[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c) + (3*b*(a + b*ArcCoth[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[1 - c*x])/(Sqrt[1 + c*x]*(1 + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]))])/(2*c) - (3*b^2*(a + b*ArcCoth[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c) + (3*b^2*(a + b*ArcCoth[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[3, 1 - (2*Sqrt[1 - c*x])/(Sqrt[1 + c*x]*(1 + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]))])/(2*c) - (3*b^3*PolyLog[4, 1 - 2/(1 + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/(4*c) + (3*b^3*PolyLog[4, 1 - (2*Sqrt[1 - c*x])/(Sqrt[1 + c*x]*(1 + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]))])/(4*c)}
+{(a + b*ArcCoth[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2/(1 - c^2*x^2), x, 7, -((2*(a + b*ArcCoth[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*ArcCoth[1 - 2/(1 - Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/c) - (b*(a + b*ArcCoth[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/c + (b*(a + b*ArcCoth[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[1 - c*x])/(Sqrt[1 + c*x]*(1 + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]))])/c - (b^2*PolyLog[3, 1 - 2/(1 + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])])/(2*c) + (b^2*PolyLog[3, 1 - (2*Sqrt[1 - c*x])/(Sqrt[1 + c*x]*(1 + Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]))])/(2*c)}
+{(a + b*ArcCoth[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^1/(1 - c^2*x^2), x, 2, -((a*Log[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])/c) - (b*PolyLog[2, -(Sqrt[1 + c*x]/Sqrt[1 - c*x])])/(2*c) + (b*PolyLog[2, Sqrt[1 + c*x]/Sqrt[1 - c*x]])/(2*c)}
+{1/((a + b*ArcCoth[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^1*(1 - c^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCoth[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])), x]}
+{1/((a + b*ArcCoth[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2*(1 - c^2*x^2)), x, 0, Unintegrable[1/((1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCoth[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]])^2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCoth[Tanh[a+b x]]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCoth[Tanh[a+b x]]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]*x^m, x, 2, -((b*x^(2 + m))/(2 + 3*m + m^2)) + (x^(1 + m)*ArcCoth[Tanh[a + b*x]])/(1 + m)}
+
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]*x^2, x, 2, -((b*x^4)/12) + (1/3)*x^3*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]*x^1, x, 2, -((b*x^3)/6) + (1/2)*x^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]*x^0, x, 2, ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2/(2*b)}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]/x^1, x, 2, b*x - (b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])*Log[x]}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]/x^2, x, 2, -(ArcCoth[Tanh[a + b*x]]/x) + b*Log[x]}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]/x^3, x, 2, -(b/(2*x)) - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]/(2*x^2)}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]/x^4, x, 2, -(b/(6*x^2)) - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]/(3*x^3)}
+
+
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2*x^m, x, 3, (2*b^2*x^(3 + m))/(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3) - (2*b*x^(2 + m)*ArcCoth[Tanh[a + b*x]])/(2 + 3*m + m^2) + (x^(1 + m)*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2)/(1 + m)}
+
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2*x^3, x, 3, (b^2*x^6)/60 - (1/10)*b*x^5*ArcCoth[Tanh[a + b*x]] + (1/4)*x^4*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2*x^2, x, 3, (b^2*x^5)/30 - (1/6)*b*x^4*ArcCoth[Tanh[a + b*x]] + (1/3)*x^3*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2*x^1, x, 3, (x*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3)/(3*b) - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^4/(12*b^2)}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2*x^0, x, 2, ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3/(3*b)}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2/x^1, x, 3, (-b)*x*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]) + (1/2)*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2 + (b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2*Log[x]}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2/x^2, x, 3, 2*b^2*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2/x - 2*b*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])*Log[x]}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2/x^3, x, 3, -((b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]])/x) - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2/(2*x^2) + b^2*Log[x]}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2/x^4, x, 1, ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3/(3*x^3*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2/x^5, x, 2, (b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3)/(12*x^3*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2) + ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3/(4*x^4*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))}
+
+
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3*x^m, x, 4, -((6*b^3*x^(4 + m))/((1 + m)*(24 + 26*m + 9*m^2 + m^3))) + (6*b^2*x^(3 + m)*ArcCoth[Tanh[a + b*x]])/(6 + 11*m + 6*m^2 + m^3) - (3*b*x^(2 + m)*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2)/(2 + 3*m + m^2) + (x^(1 + m)*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3)/(1 + m)}
+
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3*x^4, x, 4, (-(1/280))*b^3*x^8 + (1/35)*b^2*x^7*ArcCoth[Tanh[a + b*x]] - (1/10)*b*x^6*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2 + (1/5)*x^5*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3*x^3, x, 4, (-(1/140))*b^3*x^7 + (1/20)*b^2*x^6*ArcCoth[Tanh[a + b*x]] - (3/20)*b*x^5*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2 + (1/4)*x^4*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3*x^2, x, 4, (x^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^4)/(4*b) - (x*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^5)/(10*b^2) + ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^6/(60*b^3)}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3*x^1, x, 3, (x*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^4)/(4*b) - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^5/(20*b^2)}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3*x^0, x, 2, ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^4/(4*b)}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3/x^1, x, 4, b*x*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2 - (1/2)*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2 + (1/3)*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3 - (b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^3*Log[x]}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3/x^2, x, 4, -3*b^2*x*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]) + (3/2)*b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2 - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3/x + 3*b*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2*Log[x]}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3/x^3, x, 4, 3*b^3*x - (3*b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2)/(2*x) - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3/(2*x^2) - 3*b^2*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])*Log[x]}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3/x^4, x, 4, -((b^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]])/x) - (b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2)/(2*x^2) - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3/(3*x^3) + b^3*Log[x]}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3/x^5, x, 1, ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^4/(4*x^4*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3/x^6, x, 2, (b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^4)/(20*x^4*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2) + ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^4/(5*x^5*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]*x^m, x, 1, -((x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (b*x)/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])])/((1 + m)*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])))}
+
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]*x^3, x, 5, x^3/(3*b) + (x^2*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))/(2*b^2) + (x*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2)/b^3 + ((b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^3*Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]])/b^4}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]*x^2, x, 4, x^2/(2*b) + (x*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))/b^2 + ((b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2*Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]])/b^3}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]*x^1, x, 3, x/b + ((b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])*Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]])/b^2}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]*x^0, x, 2, Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]]/b}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]/x^1, x, 4, -(Log[x]/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])) + Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]]/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]/x^2, x, 5, 1/(x*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])) - (b*Log[x])/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2 + (b*Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]])/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]/x^3, x, 6, b/(x*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2) + 1/(2*x^2*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])) - (b^2*Log[x])/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^3 + (b^2*Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]])/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^3}
+
+
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2*x^m, x, 2, -(x^m/(b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]])) - (x^m*Hypergeometric2F1[1, m, 1 + m, (b*x)/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])])/(b*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))}
+
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2*x^4, x, 6, (4*x^3)/(3*b^2) + (2*x^2*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))/b^3 + (4*x*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2)/b^4 - x^4/(b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]) + (4*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^3*Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]])/b^5}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2*x^3, x, 5, (3*x^2)/(2*b^2) + (3*x*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))/b^3 - x^3/(b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]) + (3*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2*Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]])/b^4}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2*x^2, x, 4, (2*x)/b^2 - x^2/(b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]) + (2*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])*Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]])/b^3}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2*x^1, x, 3, -(x/(b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]])) + Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]]/b^2}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2*x^0, x, 2, -(1/(b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2/x^1, x, 5, -(1/((b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])*ArcCoth[Tanh[a + b*x]])) + Log[x]/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2 - Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]]/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2/x^2, x, 6, -((2*b)/((b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]])) + 1/(x*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]) + (2*b*Log[x])/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^3 - (2*b*Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]])/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^3}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2/x^3, x, 7, -((3*b^2)/((b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^3*ArcCoth[Tanh[a + b*x]])) + (3*b)/(2*x*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]) + 1/(2*x^2*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]) + (3*b^2*Log[x])/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^4 - (3*b^2*Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]])/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^4}
+
+
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3*x^m, x, 3, -(x^m/(2*b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2)) - (m*x^(-1 + m))/(2*b^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]) - (m*x^(-1 + m)*Hypergeometric2F1[1, -1 + m, m, (b*x)/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])])/(2*b^2*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))}
+
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3*x^4, x, 6, (3*x^2)/b^3 + (6*x*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))/b^4 - x^4/(2*b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2) - (2*x^3)/(b^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]) + (6*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2*Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]])/b^5}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3*x^3, x, 5, (3*x)/b^3 - x^3/(2*b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2) - (3*x^2)/(2*b^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]) + (3*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])*Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]])/b^4}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3*x^2, x, 4, -(x^2/(2*b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2)) - x/(b^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]) + Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]]/b^3}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3*x^1, x, 3, -(x/(2*b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2)) - 1/(2*b^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]])}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3*x^0, x, 2, -(1/(2*b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2))}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3/x^1, x, 6, -(1/(2*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2)) + 1/((b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]) - Log[x]/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^3 + Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]]/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^3}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3/x^2, x, 7, -((3*b)/(2*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2)) + 1/(x*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2) + (3*b)/((b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^3*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]) - (3*b*Log[x])/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^4 + (3*b*Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]])/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^4}
+{1/ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^3/x^3, x, 8, -((3*b^2)/((b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^3*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2)) + (2*b)/(x*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2) + 1/(2*x^2*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^2) + (6*b^2)/((b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^4*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]) - (6*b^2*Log[x])/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^5 + (6*b^2*Log[ArcCoth[Tanh[a + b*x]]])/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])^5}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n symbolic*)
+
+
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^n*x^m, x, 1, (1/(b*(1 + n)))*((x^m*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(1 + n)*Hypergeometric2F1[-m, 1 + n, 2 + n, -(ArcCoth[Tanh[a + b*x]]/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))])/((b*x)/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))^m)}
+
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^n*x^4, x, 6, If[$VersionNumber>=8, (x^4*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(1 + n))/(b*(1 + n)) - (4*x^3*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(2 + n))/(b^2*(1 + n)*(2 + n)) + (12*x^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(3 + n))/(b^3*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)) - (24*x*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(4 + n))/(b^4*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)) + (24*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(5 + n))/(b^5*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)*(5 + n)), (x^4*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(1 + n))/(b*(1 + n)) - (4*x^3*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(2 + n))/(b^2*(1 + n)*(2 + n)) + (12*x^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(3 + n))/(b^3*(3 + n)*(2 + 3*n + n^2)) - (24*x*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(4 + n))/(b^4*(4 + 5*n + n^2)*(6 + 5*n + n^2)) + (24*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(5 + n))/(b^5*(12 + 7*n + n^2)*(10 + 17*n + 8*n^2 + n^3))]}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^n*x^3, x, 5, If[$VersionNumber>=8, (x^3*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(1 + n))/(b*(1 + n)) - (3*x^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(2 + n))/(b^2*(1 + n)*(2 + n)) + (6*x*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(3 + n))/(b^3*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)) - (6*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(4 + n))/(b^4*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)), (x^3*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(1 + n))/(b*(1 + n)) - (3*x^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(2 + n))/(b^2*(1 + n)*(2 + n)) + (6*x*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(3 + n))/(b^3*(3 + n)*(2 + 3*n + n^2)) - (6*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(4 + n))/(b^4*(4 + 5*n + n^2)*(6 + 5*n + n^2))]}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^n*x^2, x, 4, If[$VersionNumber>=8, (x^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(1 + n))/(b*(1 + n)) - (2*x*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(2 + n))/(b^2*(1 + n)*(2 + n)) + (2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(3 + n))/(b^3*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)), (x^2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(1 + n))/(b*(1 + n)) - (2*x*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(2 + n))/(b^2*(1 + n)*(2 + n)) + (2*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(3 + n))/(b^3*(3 + n)*(2 + 3*n + n^2))]}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^n*x^1, x, 3, (x*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(1 + n))/(b*(1 + n)) - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(2 + n)/(b^2*(1 + n)*(2 + n))}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^n*x^0, x, 2, ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(1 + n)/(b*(1 + n))}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^n/x^1, x, 1, (ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, -(ArcCoth[Tanh[a + b*x]]/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))])/((1 + n)*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^n/x^2, x, 2, -(ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^n/x) + (b*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^n*Hypergeometric2F1[1, n, 1 + n, -(ArcCoth[Tanh[a + b*x]]/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))])/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]])}
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^n/x^3, x, 3, -((b*n*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(-1 + n))/(2*x)) - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^n/(2*x^2) + (b^2*n*ArcCoth[Tanh[a + b*x]]^(-1 + n)*Hypergeometric2F1[1, -1 + n, n, -(ArcCoth[Tanh[a + b*x]]/(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))])/(2*(b*x - ArcCoth[Tanh[a + b*x]]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCoth[Coth[a+b x]]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCoth[Coth[a+b x]]^n*)
+
+
+{ArcCoth[Tanh[a + b*x]]*x^m, x, 2, -((b*x^(2 + m))/(2 + 3*m + m^2)) + (x^(1 + m)*ArcCoth[Tanh[a + b*x]])/(1 + m)}
+
+{ArcCoth[Coth[a + b*x]]*x^2, x, 2, -((b*x^4)/12) + (1/3)*x^3*ArcCoth[Coth[a + b*x]]}
+{ArcCoth[Coth[a + b*x]]*x^1, x, 2, -((b*x^3)/6) + (1/2)*x^2*ArcCoth[Coth[a + b*x]]}
+{ArcCoth[Coth[a + b*x]]*x^0, x, 2, ArcCoth[Coth[a + b*x]]^2/(2*b)}
+{ArcCoth[Coth[a + b*x]]/x^1, x, 2, b*x - (b*x - ArcCoth[Coth[a + b*x]])*Log[x]}
+{ArcCoth[Coth[a + b*x]]/x^2, x, 2, -(ArcCoth[Coth[a + b*x]]/x) + b*Log[x]}
+{ArcCoth[Coth[a + b*x]]/x^3, x, 2, -(b/(2*x)) - ArcCoth[Coth[a + b*x]]/(2*x^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCoth[c+d Hyper[a+b x]]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCoth[c+d Sinh[a+b x]]*)
+
+
+(* {ArcCoth[Sinh[x]], x, 6, 0}
+{x*ArcCoth[Sinh[x]], x, 8, 0}
+{x^2*ArcCoth[Sinh[x]], x, 10, 0} *)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCoth[c+d Cosh[a+b x]]*)
+
+
+{ArcCoth[Cosh[x]], x, 6, x*ArcCoth[Cosh[x]] - 2*x*ArcTanh[E^x] - PolyLog[2, -E^x] + PolyLog[2, E^x]}
+{x*ArcCoth[Cosh[x]], x, 8, (1/2)*x^2*ArcCoth[Cosh[x]] - x^2*ArcTanh[E^x] - x*PolyLog[2, -E^x] + x*PolyLog[2, E^x] + PolyLog[3, -E^x] - PolyLog[3, E^x]}
+{x^2*ArcCoth[Cosh[x]], x, 10, (1/3)*x^3*ArcCoth[Cosh[x]] - (2/3)*x^3*ArcTanh[E^x] - x^2*PolyLog[2, -E^x] + x^2*PolyLog[2, E^x] + 2*x*PolyLog[3, -E^x] - 2*x*PolyLog[3, E^x] - 2*PolyLog[4, -E^x] + 2*PolyLog[4, E^x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCoth[c+d Tanh[a+b x]]*)
+
+
+{ArcCoth[c + d*Tanh[a + b*x]]*x^2, x, 11, (1/3)*x^3*ArcCoth[c + d*Tanh[a + b*x]] + (1/6)*x^3*Log[1 + ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)] - (1/6)*x^3*Log[1 + ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)] + (x^2*PolyLog[2, -(((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d))])/(4*b) - (x^2*PolyLog[2, -(((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d))])/(4*b) - (x*PolyLog[3, -(((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d))])/(4*b^2) + (x*PolyLog[3, -(((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d))])/(4*b^2) + PolyLog[4, -(((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d))]/(8*b^3) - PolyLog[4, -(((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d))]/(8*b^3)}
+{ArcCoth[c + d*Tanh[a + b*x]]*x^1, x, 9, (1/2)*x^2*ArcCoth[c + d*Tanh[a + b*x]] + (1/4)*x^2*Log[1 + ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)] - (1/4)*x^2*Log[1 + ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)] + (x*PolyLog[2, -(((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d))])/(4*b) - (x*PolyLog[2, -(((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d))])/(4*b) - PolyLog[3, -(((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d))]/(8*b^2) + PolyLog[3, -(((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d))]/(8*b^2)}
+{ArcCoth[c + d*Tanh[a + b*x]]*x^0, x, 7, x*ArcCoth[c + d*Tanh[a + b*x]] + (1/2)*x*Log[1 + ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)] - (1/2)*x*Log[1 + ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)] + PolyLog[2, -(((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d))]/(4*b) - PolyLog[2, -(((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d))]/(4*b)}
+{ArcCoth[c + d*Tanh[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCoth[c + d*Tanh[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{ArcCoth[1 + d + d*Tanh[a + b*x]]*x^3, x, 8, (b*x^5)/20 + (1/4)*x^4*ArcCoth[1 + d + d*Tanh[a + b*x]] - (1/8)*x^4*Log[1 + (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x^3*PolyLog[2, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(4*b) + (3*x^2*PolyLog[3, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(8*b^2) - (3*x*PolyLog[4, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(8*b^3) + (3*PolyLog[5, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(16*b^4)}
+{ArcCoth[1 + d + d*Tanh[a + b*x]]*x^2, x, 7, (b*x^4)/12 + (1/3)*x^3*ArcCoth[1 + d + d*Tanh[a + b*x]] - (1/6)*x^3*Log[1 + (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x^2*PolyLog[2, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(4*b) + (x*PolyLog[3, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(4*b^2) - PolyLog[4, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))]/(8*b^3)}
+{ArcCoth[1 + d + d*Tanh[a + b*x]]*x^1, x, 6, (b*x^3)/6 + (1/2)*x^2*ArcCoth[1 + d + d*Tanh[a + b*x]] - (1/4)*x^2*Log[1 + (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x*PolyLog[2, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(4*b) + PolyLog[3, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))]/(8*b^2)}
+{ArcCoth[1 + d + d*Tanh[a + b*x]]*x^0, x, 5, (b*x^2)/2 + x*ArcCoth[1 + d + d*Tanh[a + b*x]] - (1/2)*x*Log[1 + (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)] - PolyLog[2, -((1 + d)*E^(2*a + 2*b*x))]/(4*b)}
+{ArcCoth[1 + d + d*Tanh[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCoth[1 + d + d*Tanh[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{ArcCoth[1 - d - d*Tanh[a + b*x]]*x^3, x, 8, (b*x^5)/20 + (1/4)*x^4*ArcCoth[1 - d - d*Tanh[a + b*x]] - (1/8)*x^4*Log[1 + (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x^3*PolyLog[2, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(4*b) + (3*x^2*PolyLog[3, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(8*b^2) - (3*x*PolyLog[4, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(8*b^3) + (3*PolyLog[5, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(16*b^4)}
+{ArcCoth[1 - d - d*Tanh[a + b*x]]*x^2, x, 7, (b*x^4)/12 + (1/3)*x^3*ArcCoth[1 - d - d*Tanh[a + b*x]] - (1/6)*x^3*Log[1 + (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x^2*PolyLog[2, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(4*b) + (x*PolyLog[3, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(4*b^2) - PolyLog[4, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))]/(8*b^3)}
+{ArcCoth[1 - d - d*Tanh[a + b*x]]*x^1, x, 6, (b*x^3)/6 + (1/2)*x^2*ArcCoth[1 - d - d*Tanh[a + b*x]] - (1/4)*x^2*Log[1 + (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x*PolyLog[2, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))])/(4*b) + PolyLog[3, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))]/(8*b^2)}
+{ArcCoth[1 - d - d*Tanh[a + b*x]]*x^0, x, 5, (b*x^2)/2 + x*ArcCoth[1 - d - d*Tanh[a + b*x]] - (1/2)*x*Log[1 + (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)] - PolyLog[2, -((1 - d)*E^(2*a + 2*b*x))]/(4*b)}
+{ArcCoth[1 - d - d*Tanh[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCoth[1 - d - d*Tanh[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCoth[c+d Coth[a+b x]]*)
+
+
+{ArcCoth[c + d*Coth[a + b*x]]*x^2, x, 11, (1/3)*x^3*ArcCoth[c + d*Coth[a + b*x]] + (1/6)*x^3*Log[1 - ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)] - (1/6)*x^3*Log[1 - ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)] + (x^2*PolyLog[2, ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)])/(4*b) - (x^2*PolyLog[2, ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)])/(4*b) - (x*PolyLog[3, ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)])/(4*b^2) + (x*PolyLog[3, ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)])/(4*b^2) + PolyLog[4, ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)]/(8*b^3) - PolyLog[4, ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)]/(8*b^3)}
+{ArcCoth[c + d*Coth[a + b*x]]*x^1, x, 9, (1/2)*x^2*ArcCoth[c + d*Coth[a + b*x]] + (1/4)*x^2*Log[1 - ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)] - (1/4)*x^2*Log[1 - ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)] + (x*PolyLog[2, ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)])/(4*b) - (x*PolyLog[2, ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)])/(4*b) - PolyLog[3, ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)]/(8*b^2) + PolyLog[3, ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)]/(8*b^2)}
+{ArcCoth[c + d*Coth[a + b*x]]*x^0, x, 7, x*ArcCoth[c + d*Coth[a + b*x]] + (1/2)*x*Log[1 - ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)] - (1/2)*x*Log[1 - ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)] + PolyLog[2, ((1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 - c + d)]/(4*b) - PolyLog[2, ((1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(1 + c - d)]/(4*b)}
+{ArcCoth[c + d*Coth[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCoth[c + d*Coth[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{ArcCoth[1 + d + d*Coth[a + b*x]]*x^3, x, 8, (b*x^5)/20 + (1/4)*x^4*ArcCoth[1 + d + d*Coth[a + b*x]] - (1/8)*x^4*Log[1 - (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x^3*PolyLog[2, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (3*x^2*PolyLog[3, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2) - (3*x*PolyLog[4, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3) + (3*PolyLog[5, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(16*b^4)}
+{ArcCoth[1 + d + d*Coth[a + b*x]]*x^2, x, 7, (b*x^4)/12 + (1/3)*x^3*ArcCoth[1 + d + d*Coth[a + b*x]] - (1/6)*x^3*Log[1 - (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x^2*PolyLog[2, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (x*PolyLog[3, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) - PolyLog[4, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)]/(8*b^3)}
+{ArcCoth[1 + d + d*Coth[a + b*x]]*x^1, x, 6, (b*x^3)/6 + (1/2)*x^2*ArcCoth[1 + d + d*Coth[a + b*x]] - (1/4)*x^2*Log[1 - (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x*PolyLog[2, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + PolyLog[3, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)]/(8*b^2)}
+{ArcCoth[1 + d + d*Coth[a + b*x]]*x^0, x, 5, (b*x^2)/2 + x*ArcCoth[1 + d + d*Coth[a + b*x]] - (1/2)*x*Log[1 - (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)] - PolyLog[2, (1 + d)*E^(2*a + 2*b*x)]/(4*b)}
+{ArcCoth[1 + d + d*Coth[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCoth[1 + d + d*Coth[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{ArcCoth[1 - d - d*Coth[a + b*x]]*x^3, x, 8, (b*x^5)/20 + (1/4)*x^4*ArcCoth[1 - d - d*Coth[a + b*x]] - (1/8)*x^4*Log[1 - (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x^3*PolyLog[2, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (3*x^2*PolyLog[3, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^2) - (3*x*PolyLog[4, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(8*b^3) + (3*PolyLog[5, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(16*b^4)}
+{ArcCoth[1 - d - d*Coth[a + b*x]]*x^2, x, 7, (b*x^4)/12 + (1/3)*x^3*ArcCoth[1 - d - d*Coth[a + b*x]] - (1/6)*x^3*Log[1 - (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x^2*PolyLog[2, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + (x*PolyLog[3, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^2) - PolyLog[4, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)]/(8*b^3)}
+{ArcCoth[1 - d - d*Coth[a + b*x]]*x^1, x, 6, (b*x^3)/6 + (1/2)*x^2*ArcCoth[1 - d - d*Coth[a + b*x]] - (1/4)*x^2*Log[1 - (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)] - (x*PolyLog[2, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b) + PolyLog[3, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)]/(8*b^2)}
+{ArcCoth[1 - d - d*Coth[a + b*x]]*x^0, x, 5, (b*x^2)/2 + x*ArcCoth[1 - d - d*Coth[a + b*x]] - (1/2)*x*Log[1 - (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)] - PolyLog[2, (1 - d)*E^(2*a + 2*b*x)]/(4*b)}
+{ArcCoth[1 - d - d*Coth[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCoth[1 - d - d*Coth[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCoth[c+d Trig[a+b x]]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCoth[c+d Tan[a+b x]]*)
+
+
+{(e + f*x)^3*ArcCoth[Tan[a + b*x]], x, 12, ((e + f*x)^4*ArcCoth[Tan[a + b*x]])/(4*f) + (I*(e + f*x)^4*ArcTan[E^(2*I*(a + b*x))])/(4*f) - (I*(e + f*x)^3*PolyLog[2, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (I*(e + f*x)^3*PolyLog[2, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[3, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^2) - (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[3, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^2) + (3*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[4, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^3) - (3*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[4, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^3) - (3*f^3*PolyLog[5, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(16*b^4) + (3*f^3*PolyLog[5, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(16*b^4)}
+{(e + f*x)^2*ArcCoth[Tan[a + b*x]], x, 10, ((e + f*x)^3*ArcCoth[Tan[a + b*x]])/(3*f) + (I*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(2*I*(a + b*x))])/(3*f) - (I*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (I*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (f*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^2) - (f*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^2) + (I*f^2*PolyLog[4, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^3) - (I*f^2*PolyLog[4, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^3)}
+{(e + f*x)^1*ArcCoth[Tan[a + b*x]], x, 8, ((e + f*x)^2*ArcCoth[Tan[a + b*x]])/(2*f) + (I*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(2*I*(a + b*x))])/(2*f) - (I*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (I*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (f*PolyLog[3, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^2) - (f*PolyLog[3, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^2)}
+{(e + f*x)^0*ArcCoth[Tan[a + b*x]], x, 6, x*ArcCoth[Tan[a + b*x]] + I*x*ArcTan[E^(2*I*(a + b*x))] - (I*PolyLog[2, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (I*PolyLog[2, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b)}
+{ArcCoth[Tan[a + b*x]]/(e + f*x)^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCoth[Tan[a + b*x]]/(e + f*x), x]}
+
+
+{x^2*ArcCoth[c + d*Tan[a + b*x]], x, 11, (1/3)*x^3*ArcCoth[c + d*Tan[a + b*x]] + (1/6)*x^3*Log[1 + ((1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d)] - (1/6)*x^3*Log[1 + ((1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d)] - (I*x^2*PolyLog[2, -(((1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d))])/(4*b) + (I*x^2*PolyLog[2, -(((1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d))])/(4*b) + (x*PolyLog[3, -(((1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d))])/(4*b^2) - (x*PolyLog[3, -(((1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d))])/(4*b^2) + (I*PolyLog[4, -(((1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d))])/(8*b^3) - (I*PolyLog[4, -(((1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d))])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcCoth[c + d*Tan[a + b*x]], x, 9, (1/2)*x^2*ArcCoth[c + d*Tan[a + b*x]] + (1/4)*x^2*Log[1 + ((1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d)] - (1/4)*x^2*Log[1 + ((1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d)] - (I*x*PolyLog[2, -(((1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d))])/(4*b) + (I*x*PolyLog[2, -(((1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d))])/(4*b) + PolyLog[3, -(((1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d))]/(8*b^2) - PolyLog[3, -(((1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d))]/(8*b^2)}
+{x^0*ArcCoth[c + d*Tan[a + b*x]], x, 7, x*ArcCoth[c + d*Tan[a + b*x]] + (1/2)*x*Log[1 + ((1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d)] - (1/2)*x*Log[1 + ((1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d)] - (I*PolyLog[2, -(((1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d))])/(4*b) + (I*PolyLog[2, -(((1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d))])/(4*b)}
+{ArcCoth[c + d*Tan[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCoth[c + d*Tan[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcCoth[1 - I*d + d*Tan[a + b*x]], x, 7, (1/12)*I*b*x^4 + (1/3)*x^3*ArcCoth[1 - I*d + d*Tan[a + b*x]] - (1/6)*x^3*Log[1 + (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*x^2*PolyLog[2, -((1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(4*b) - (x*PolyLog[3, -((1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(4*b^2) - (I*PolyLog[4, -((1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcCoth[1 - I*d + d*Tan[a + b*x]], x, 6, (1/6)*I*b*x^3 + (1/2)*x^2*ArcCoth[1 - I*d + d*Tan[a + b*x]] - (1/4)*x^2*Log[1 + (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*x*PolyLog[2, -((1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(4*b) - PolyLog[3, -((1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))]/(8*b^2)}
+{x^0*ArcCoth[1 - I*d + d*Tan[a + b*x]], x, 5, (1/2)*I*b*x^2 + x*ArcCoth[1 - I*d + d*Tan[a + b*x]] - (1/2)*x*Log[1 + (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*PolyLog[2, -((1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(4*b)}
+{ArcCoth[1 - I*d + d*Tan[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCoth[1 - I*d + d*Tan[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcCoth[1 + I*d - d*Tan[a + b*x]], x, 7, (1/12)*I*b*x^4 + (1/3)*x^3*ArcCoth[1 + I*d - d*Tan[a + b*x]] - (1/6)*x^3*Log[1 + (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*x^2*PolyLog[2, -((1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(4*b) - (x*PolyLog[3, -((1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(4*b^2) - (I*PolyLog[4, -((1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcCoth[1 + I*d - d*Tan[a + b*x]], x, 6, (1/6)*I*b*x^3 + (1/2)*x^2*ArcCoth[1 + I*d - d*Tan[a + b*x]] - (1/4)*x^2*Log[1 + (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*x*PolyLog[2, -((1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(4*b) - PolyLog[3, -((1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))]/(8*b^2)}
+{x^0*ArcCoth[1 + I*d - d*Tan[a + b*x]], x, 5, (1/2)*I*b*x^2 + x*ArcCoth[1 + I*d - d*Tan[a + b*x]] - (1/2)*x*Log[1 + (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*PolyLog[2, -((1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))])/(4*b)}
+{ArcCoth[1 + I*d - d*Tan[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCoth[1 + I*d - d*Tan[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCoth[c+d Cot[a+b x]]*)
+
+
+{(e + f*x)^3*ArcCoth[Cot[a + b*x]], x, 12, ((e + f*x)^4*ArcCoth[Cot[a + b*x]])/(4*f) + (I*(e + f*x)^4*ArcTan[E^(2*I*(a + b*x))])/(4*f) - (I*(e + f*x)^3*PolyLog[2, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (I*(e + f*x)^3*PolyLog[2, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[3, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^2) - (3*f*(e + f*x)^2*PolyLog[3, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^2) + (3*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[4, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^3) - (3*I*f^2*(e + f*x)*PolyLog[4, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^3) - (3*f^3*PolyLog[5, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(16*b^4) + (3*f^3*PolyLog[5, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(16*b^4)}
+{(e + f*x)^2*ArcCoth[Cot[a + b*x]], x, 10, ((e + f*x)^3*ArcCoth[Cot[a + b*x]])/(3*f) + (I*(e + f*x)^3*ArcTan[E^(2*I*(a + b*x))])/(3*f) - (I*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (I*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (f*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^2) - (f*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b^2) + (I*f^2*PolyLog[4, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^3) - (I*f^2*PolyLog[4, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^3)}
+{(e + f*x)^1*ArcCoth[Cot[a + b*x]], x, 8, ((e + f*x)^2*ArcCoth[Cot[a + b*x]])/(2*f) + (I*(e + f*x)^2*ArcTan[E^(2*I*(a + b*x))])/(2*f) - (I*(e + f*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (I*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (f*PolyLog[3, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^2) - (f*PolyLog[3, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(8*b^2)}
+{(e + f*x)^0*ArcCoth[Cot[a + b*x]], x, 6, x*ArcCoth[Cot[a + b*x]] + I*x*ArcTan[E^(2*I*(a + b*x))] - (I*PolyLog[2, (-I)*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b) + (I*PolyLog[2, I*E^(2*I*(a + b*x))])/(4*b)}
+{ArcCoth[Cot[a + b*x]]/(e + f*x)^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCoth[Cot[a + b*x]]/(e + f*x), x]}
+
+
+{x^2*ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]], x, 11, (1/3)*x^3*ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]] + (1/6)*x^3*Log[1 - ((1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d)] - (1/6)*x^3*Log[1 - ((1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d)] - (I*x^2*PolyLog[2, ((1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d)])/(4*b) + (I*x^2*PolyLog[2, ((1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d)])/(4*b) + (x*PolyLog[3, ((1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d)])/(4*b^2) - (x*PolyLog[3, ((1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d)])/(4*b^2) + (I*PolyLog[4, ((1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d)])/(8*b^3) - (I*PolyLog[4, ((1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d)])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]], x, 9, (1/2)*x^2*ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]] + (1/4)*x^2*Log[1 - ((1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d)] - (1/4)*x^2*Log[1 - ((1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d)] - (I*x*PolyLog[2, ((1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d)])/(4*b) + (I*x*PolyLog[2, ((1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d)])/(4*b) + PolyLog[3, ((1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d)]/(8*b^2) - PolyLog[3, ((1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d)]/(8*b^2)}
+{x^0*ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]], x, 7, x*ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]] + (1/2)*x*Log[1 - ((1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d)] - (1/2)*x*Log[1 - ((1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d)] - (I*PolyLog[2, ((1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d)])/(4*b) + (I*PolyLog[2, ((1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d)])/(4*b)}
+{ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcCoth[1 + I*d + d*Cot[a + b*x]], x, 7, (1/12)*I*b*x^4 + (1/3)*x^3*ArcCoth[1 + I*d + d*Cot[a + b*x]] - (1/6)*x^3*Log[1 - (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*x^2*PolyLog[2, (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) - (x*PolyLog[3, (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b^2) - (I*PolyLog[4, (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcCoth[1 + I*d + d*Cot[a + b*x]], x, 6, (1/6)*I*b*x^3 + (1/2)*x^2*ArcCoth[1 + I*d + d*Cot[a + b*x]] - (1/4)*x^2*Log[1 - (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*x*PolyLog[2, (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) - PolyLog[3, (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(8*b^2)}
+{x^0*ArcCoth[1 + I*d + d*Cot[a + b*x]], x, 5, (1/2)*I*b*x^2 + x*ArcCoth[1 + I*d + d*Cot[a + b*x]] - (1/2)*x*Log[1 - (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*PolyLog[2, (1 + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b)}
+{ArcCoth[1 + I*d + d*Cot[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCoth[1 + I*d + d*Cot[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+{x^2*ArcCoth[1 - I*d - d*Cot[a + b*x]], x, 7, (1/12)*I*b*x^4 + (1/3)*x^3*ArcCoth[1 - I*d - d*Cot[a + b*x]] - (1/6)*x^3*Log[1 - (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*x^2*PolyLog[2, (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) - (x*PolyLog[3, (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b^2) - (I*PolyLog[4, (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(8*b^3)}
+{x^1*ArcCoth[1 - I*d - d*Cot[a + b*x]], x, 6, (1/6)*I*b*x^3 + (1/2)*x^2*ArcCoth[1 - I*d - d*Cot[a + b*x]] - (1/4)*x^2*Log[1 - (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*x*PolyLog[2, (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b) - PolyLog[3, (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)]/(8*b^2)}
+{x^0*ArcCoth[1 - I*d - d*Cot[a + b*x]], x, 5, (1/2)*I*b*x^2 + x*ArcCoth[1 - I*d - d*Cot[a + b*x]] - (1/2)*x*Log[1 - (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)] + (I*PolyLog[2, (1 - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)])/(4*b)}
+{ArcCoth[1 - I*d - d*Cot[a + b*x]]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ArcCoth[1 - I*d - d*Cot[a + b*x]]/x, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e Log[f x^m]) (a+b ArcCoth[c x^n])*)
+
+
+{((a + b*ArcCoth[c*x^n])*(d + e*Log[f*x^m]))/x, x, 11, a*d*Log[x] + (a*e*Log[f*x^m]^2)/(2*m) + (b*d*PolyLog[2, -(1/(x^n*c))])/(2*n) + (b*e*Log[f*x^m]*PolyLog[2, -(1/(x^n*c))])/(2*n) - (b*d*PolyLog[2, 1/(x^n*c)])/(2*n) - (b*e*Log[f*x^m]*PolyLog[2, 1/(x^n*c)])/(2*n) + (b*e*m*PolyLog[3, -(1/(x^n*c))])/(2*n^2) - (b*e*m*PolyLog[3, 1/(x^n*c)])/(2*n^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e Log[f+g x^2]) (a+b ArcCoth[c x])*)
+
+
+{x^5*(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]), x, If[$VersionNumber<9, 18, 23], If[$VersionNumber<9, (b*(6*d - 11*e)*x)/(36*c^5) - (23*b*e*x)/(45*c^5) + (b*(6*d - 5*e)*x^3)/(108*c^3) - (8*b*e*x^3)/(135*c^3) + (b*(3*d - e)*x^5)/(90*c) - (b*e*x^5)/(75*c) - (e*x^2*(a + b*ArcCoth[c*x]))/(6*c^4) - (e*x^4*(a + b*ArcCoth[c*x]))/(12*c^2) - (1/18)*e*x^6*(a + b*ArcCoth[c*x]) - (b*(6*d - 11*e)*ArcTanh[c*x])/(36*c^6) + (23*b*e*ArcTanh[c*x])/(45*c^6) + (b*e*x*Log[1 - c^2*x^2])/(6*c^5) + (b*e*x^3*Log[1 - c^2*x^2])/(18*c^3) + (b*e*x^5*Log[1 - c^2*x^2])/(30*c) - (e*(a + b*ArcCoth[c*x])*Log[1 - c^2*x^2])/(6*c^6) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]), (b*(3*d - e)*x)/(18*c^5) - (137*b*e*x)/(180*c^5) + (b*(3*d - e)*x^3)/(54*c^3) - (47*b*e*x^3)/(540*c^3) + (b*(3*d - e)*x^5)/(90*c) - (b*e*x^5)/(75*c) - (e*x^2*(a + b*ArcCoth[c*x]))/(6*c^4) - (e*x^4*(a + b*ArcCoth[c*x]))/(12*c^2) - (1/18)*e*x^6*(a + b*ArcCoth[c*x]) - (b*(3*d - e)*ArcTanh[c*x])/(18*c^6) + (137*b*e*ArcTanh[c*x])/(180*c^6) + (b*e*x*Log[1 - c^2*x^2])/(6*c^5) + (b*e*x^3*Log[1 - c^2*x^2])/(18*c^3) + (b*e*x^5*Log[1 - c^2*x^2])/(30*c) - (e*(a + b*ArcCoth[c*x])*Log[1 - c^2*x^2])/(6*c^6) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])]}
+{x^3*(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]), x, 14, (b*(2*d - 3*e)*x)/(8*c^3) - (2*b*e*x)/(3*c^3) + (b*(2*d - e)*x^3)/(24*c) - (b*e*x^3)/(18*c) - (e*x^2*(a + b*ArcCoth[c*x]))/(4*c^2) - (1/8)*e*x^4*(a + b*ArcCoth[c*x]) - (b*(2*d - 3*e)*ArcTanh[c*x])/(8*c^4) + (2*b*e*ArcTanh[c*x])/(3*c^4) + (b*e*x*Log[1 - c^2*x^2])/(4*c^3) + (b*e*x^3*Log[1 - c^2*x^2])/(12*c) - (e*(a + b*ArcCoth[c*x])*Log[1 - c^2*x^2])/(4*c^4) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]), x, 7, (b*(d - e)*x)/(2*c) - (b*e*x)/c + (1/2)*d*x^2*(a + b*ArcCoth[c*x]) - (1/2)*e*x^2*(a + b*ArcCoth[c*x]) - (b*(d - e)*ArcTanh[c*x])/(2*c^2) + (b*e*ArcTanh[c*x])/c^2 + (b*e*x*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c) - (e*(1 - c^2*x^2)*(a + b*ArcCoth[c*x])*Log[1 - c^2*x^2])/(2*c^2)}
+{(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])/x^1, x, 21, (-(1/2))*b*e*Log[1 + 1/(c*x)]^2*Log[-(1/(c*x))] + (1/2)*b*e*Log[1 - 1/(c*x)]^2*Log[1/(c*x)] + a*d*Log[x] - b*e*Log[(c + 1/x)/c]*PolyLog[2, (c + 1/x)/c] + b*e*Log[1 - 1/(c*x)]*PolyLog[2, 1 - 1/(c*x)] + (1/2)*b*d*PolyLog[2, -(1/(c*x))] + (1/2)*b*e*Log[(-c^2)*x^2]*PolyLog[2, -(1/(c*x))] - (1/2)*b*e*(Log[1 - 1/(c*x)] + Log[1 + 1/(c*x)] + Log[(-c^2)*x^2] - Log[1 - c^2*x^2])*PolyLog[2, -(1/(c*x))] - (1/2)*b*d*PolyLog[2, 1/(c*x)] - (1/2)*b*e*Log[(-c^2)*x^2]*PolyLog[2, 1/(c*x)] + (1/2)*b*e*(Log[1 - 1/(c*x)] + Log[1 + 1/(c*x)] + Log[(-c^2)*x^2] - Log[1 - c^2*x^2])*PolyLog[2, 1/(c*x)] - (1/2)*a*e*PolyLog[2, c^2*x^2] + b*e*PolyLog[3, (c + 1/x)/c] - b*e*PolyLog[3, 1 - 1/(c*x)] + b*e*PolyLog[3, -(1/(c*x))] - b*e*PolyLog[3, 1/(c*x)]}
+{(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])/x^3, x, 13, (-(1/2))*b*c^2*e*ArcCoth[c*x]^2 - (1/2)*b*c^2*e*ArcTanh[c*x]^2 - a*c^2*e*Log[x] + b*c^2*e*ArcTanh[c*x]*Log[2/(1 - c*x)] + (1/2)*(a + b)*c^2*e*Log[1 - c*x] + (1/2)*(a - b)*c^2*e*Log[1 + c*x] - (b*c*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(2*x) - ((a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(2*x^2) + (1/2)*b*c^2*ArcTanh[c*x]*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]) - b*c^2*e*ArcCoth[c*x]*Log[2 - 2/(1 + c*x)] + (1/2)*b*c^2*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] + (1/2)*b*c^2*e*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)]}
+{(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])/x^5, x, 17, (a*c^2*e)/(4*x^2) + (5*b*c^3*e)/(12*x) + (b*c^2*e*ArcCoth[c*x])/(4*x^2) - (1/4)*b*c^4*e*ArcCoth[c*x]^2 - (1/4)*b*c^4*e*ArcTanh[c*x] - (1/4)*b*c^4*e*ArcTanh[c*x]^2 - (1/2)*a*c^4*e*Log[x] + (1/2)*b*c^4*e*ArcTanh[c*x]*Log[2/(1 - c*x)] + (1/12)*(3*a + 4*b)*c^4*e*Log[1 - c*x] + (1/12)*(3*a - 4*b)*c^4*e*Log[1 + c*x] - (b*c*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(12*x^3) - (b*c^3*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(4*x) - ((a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(4*x^4) + (1/4)*b*c^4*ArcTanh[c*x]*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]) - (1/2)*b*c^4*e*ArcCoth[c*x]*Log[2 - 2/(1 + c*x)] + (1/4)*b*c^4*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 - c*x)] + (1/4)*b*c^4*e*PolyLog[2, -1 + 2/(1 + c*x)]}
+
+{x^4*(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]), x, 26, -((2*a*e*x)/(5*c^4)) - (77*b*e*x^2)/(300*c^3) - (2*a*e*x^3)/(15*c^2) - (9*b*e*x^4)/(200*c) - (2/25)*a*e*x^5 - (2*b*e*x*ArcCoth[c*x])/(5*c^4) - (2*b*e*x^3*ArcCoth[c*x])/(15*c^2) - (2/25)*b*e*x^5*ArcCoth[c*x] + (b*e*ArcCoth[c*x]^2)/(5*c^5) - ((4*a + 3*b)*e*Log[1 - c*x])/(20*c^5) + ((4*a - 3*b)*e*Log[1 + c*x])/(20*c^5) - (23*b*e*Log[1 - c^2*x^2])/(75*c^5) - (b*e*Log[1 - c^2*x^2]^2)/(20*c^5) + (b*x^2*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(10*c^3) + (b*x^4*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(20*c) + (1/5)*x^5*(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]) + (b*Log[1 - c^2*x^2]*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(10*c^5)}
+{x^2*(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]), x, 21, -((2*a*e*x)/(3*c^2)) - (5*b*e*x^2)/(18*c) - (2/9)*a*e*x^3 - (2*b*e*x*ArcCoth[c*x])/(3*c^2) - (2/9)*b*e*x^3*ArcCoth[c*x] + (b*e*ArcCoth[c*x]^2)/(3*c^3) - ((2*a + b)*e*Log[1 - c*x])/(6*c^3) + ((2*a - b)*e*Log[1 + c*x])/(6*c^3) - (4*b*e*Log[1 - c^2*x^2])/(9*c^3) - (b*e*Log[1 - c^2*x^2]^2)/(12*c^3) + (b*x^2*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(6*c) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]) + (b*Log[1 - c^2*x^2]*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(6*c^3)}
+{x^0*(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]), x, 9, -2*a*e*x - 2*b*e*x*ArcCoth[c*x] + (e*(a + b*ArcCoth[c*x])^2)/(b*c) - (b*e*Log[1 - c^2*x^2])/c + x*(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]) + (b*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])^2)/(4*c*e)}
+{(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])/x^2, x, 6, -((c*e*(a + b*ArcCoth[c*x])^2)/b) - ((a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/x + (1/2)*b*c*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])*Log[1 - 1/(1 - c^2*x^2)] - (1/2)*b*c*e*PolyLog[2, 1/(1 - c^2*x^2)]}
+{(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])/x^4, x, 15, (2*c^2*e*(a + b*ArcCoth[c*x]))/(3*x) - (c^3*e*(a + b*ArcCoth[c*x])^2)/(3*b) - b*c^3*e*Log[x] + (1/3)*b*c^3*e*Log[1 - c^2*x^2] - (b*c*(1 - c^2*x^2)*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(6*x^2) - ((a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(3*x^3) + (1/6)*b*c^3*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])*Log[1 - 1/(1 - c^2*x^2)] - (1/6)*b*c^3*e*PolyLog[2, 1/(1 - c^2*x^2)]}
+{(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])/x^6, x, 24, (7*b*c^3*e)/(60*x^2) + (2*c^2*e*(a + b*ArcCoth[c*x]))/(15*x^3) + (2*c^4*e*(a + b*ArcCoth[c*x]))/(5*x) - (c^5*e*(a + b*ArcCoth[c*x])^2)/(5*b) - (5/6)*b*c^5*e*Log[x] + (19/60)*b*c^5*e*Log[1 - c^2*x^2] - (b*c*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(20*x^4) - (b*c^3*(1 - c^2*x^2)*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(10*x^2) - ((a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[1 - c^2*x^2]))/(5*x^5) + (1/10)*b*c^5*(d + e*Log[1 - c^2*x^2])*Log[1 - 1/(1 - c^2*x^2)] - (1/10)*b*c^5*e*PolyLog[2, 1/(1 - c^2*x^2)]}
+
+
+{x^1*(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2]), x, If[$VersionNumber<11, 21, 22], (b*(d - e)*x)/(2*c) - (b*e*x)/c + (1/2)*d*x^2*(a + b*ArcCoth[c*x]) - (1/2)*e*x^2*(a + b*ArcCoth[c*x]) + (b*e*Sqrt[f]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/(c*Sqrt[g]) - (b*(d - e)*ArcTanh[c*x])/(2*c^2) - (b*e*(c^2*f + g)*ArcTanh[c*x]*Log[2/(1 + c*x)])/(c^2*g) + (b*e*(c^2*f + g)*ArcTanh[c*x]*Log[(2*c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] - Sqrt[g])*(1 + c*x))])/(2*c^2*g) + (b*e*(c^2*f + g)*ArcTanh[c*x]*Log[(2*c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])*(1 + c*x))])/(2*c^2*g) + (b*e*x*Log[f + g*x^2])/(2*c) + (e*(f + g*x^2)*(a + b*ArcCoth[c*x])*Log[f + g*x^2])/(2*g) - (b*e*(c^2*f + g)*ArcTanh[c*x]*Log[f + g*x^2])/(2*c^2*g) + (b*e*(c^2*f + g)*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*c^2*g) - (b*e*(c^2*f + g)*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] - Sqrt[g])*(1 + c*x))])/(4*c^2*g) - (b*e*(c^2*f + g)*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])*(1 + c*x))])/(4*c^2*g)}
+{x^0*(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2]), x, 38, -2*a*e*x - 2*b*e*x*ArcCoth[c*x] + (2*a*e*Sqrt[f]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/Sqrt[g] - (b*e*Sqrt[f]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[1 - 1/(c*x)])/Sqrt[g] + (b*e*Sqrt[f]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[1 + 1/(c*x)])/Sqrt[g] + (b*e*Sqrt[f]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[-((2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(1 - c*x))/((I*c*Sqrt[f] - Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)))])/Sqrt[g] - (b*e*Sqrt[f]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(1 + c*x))/((I*c*Sqrt[f] + Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/Sqrt[g] - (b*e*Log[1 - c^2*x^2])/c + x*(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2]) + (b*Log[(g*(1 - c^2*x^2))/(c^2*f + g)]*(d + e*Log[f + g*x^2]))/(2*c) + (b*e*PolyLog[2, (c^2*(f + g*x^2))/(c^2*f + g)])/(2*c) - (I*b*e*Sqrt[f]*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(1 - c*x))/((I*c*Sqrt[f] - Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*Sqrt[g]) + (I*b*e*Sqrt[f]*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(1 + c*x))/((I*c*Sqrt[f] + Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*Sqrt[g])}
+{(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2])/x^1, x, 6, b*e*CannotIntegrate[(ArcCoth[c*x]*Log[f + g*x^2])/x, x] + a*d*Log[x] + (1/2)*a*e*Log[-((g*x^2)/f)]*Log[f + g*x^2] + (1/2)*b*d*PolyLog[2, -(1/(c*x))] - (1/2)*b*d*PolyLog[2, 1/(c*x)] + (1/2)*a*e*PolyLog[2, 1 + (g*x^2)/f]}
+{(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2])/x^2, x, 38, (2*a*e*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/Sqrt[f] - (b*e*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[1 - 1/(c*x)])/Sqrt[f] + (b*e*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[1 + 1/(c*x)])/Sqrt[f] + (b*e*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[-((2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(1 - c*x))/((I*c*Sqrt[f] - Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x)))])/Sqrt[f] - (b*e*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]]*Log[(2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(1 + c*x))/((I*c*Sqrt[f] + Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/Sqrt[f] - ((a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2]))/x + (1/2)*b*c*Log[-((g*x^2)/f)]*(d + e*Log[f + g*x^2]) - (1/2)*b*c*Log[(g*(1 - c^2*x^2))/(c^2*f + g)]*(d + e*Log[f + g*x^2]) - (1/2)*b*c*e*PolyLog[2, (c^2*(f + g*x^2))/(c^2*f + g)] + (1/2)*b*c*e*PolyLog[2, 1 + (g*x^2)/f] - (I*b*e*Sqrt[g]*PolyLog[2, 1 + (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(1 - c*x))/((I*c*Sqrt[f] - Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*Sqrt[f]) + (I*b*e*Sqrt[g]*PolyLog[2, 1 - (2*Sqrt[f]*Sqrt[g]*(1 + c*x))/((I*c*Sqrt[f] + Sqrt[g])*(Sqrt[f] - I*Sqrt[g]*x))])/(2*Sqrt[f])}
+{(a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2])/x^3, x, 32, (b*c*e*Sqrt[g]*ArcTan[(Sqrt[g]*x)/Sqrt[f]])/Sqrt[f] + (a*e*g*Log[x])/f + (b*e*g*ArcCoth[c*x]*Log[2/(1 + c*x)])/f + b*c^2*e*ArcTanh[c*x]*Log[2/(1 + c*x)] - (b*e*g*ArcCoth[c*x]*Log[(2*c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] - Sqrt[g])*(1 + c*x))])/(2*f) - (1/2)*b*c^2*e*ArcTanh[c*x]*Log[(2*c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] - Sqrt[g])*(1 + c*x))] - (b*e*g*ArcCoth[c*x]*Log[(2*c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])*(1 + c*x))])/(2*f) - (1/2)*b*c^2*e*ArcTanh[c*x]*Log[(2*c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])*(1 + c*x))] - (a*e*g*Log[f + g*x^2])/(2*f) - (b*c*(d + e*Log[f + g*x^2]))/(2*x) - ((a + b*ArcCoth[c*x])*(d + e*Log[f + g*x^2]))/(2*x^2) + (1/2)*b*c^2*ArcTanh[c*x]*(d + e*Log[f + g*x^2]) + (b*e*g*PolyLog[2, -(1/(c*x))])/(2*f) - (b*e*g*PolyLog[2, 1/(c*x)])/(2*f) - (1/2)*b*c^2*e*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)] - (b*e*g*PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)])/(2*f) + (1/4)*b*c^2*e*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] - Sqrt[g])*(1 + c*x))] + (b*e*g*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-f] - Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] - Sqrt[g])*(1 + c*x))])/(4*f) + (1/4)*b*c^2*e*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])*(1 + c*x))] + (b*e*g*PolyLog[2, 1 - (2*c*(Sqrt[-f] + Sqrt[g]*x))/((c*Sqrt[-f] + Sqrt[g])*(1 + c*x))])/(4*f)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving inverse hyperbolic cotangents of exponentials*)
+
+
+{ArcCoth[E^x], x, 2, (1/2)*PolyLog[2, -E^(-x)] - (1/2)*PolyLog[2, E^(-x)]}
+{x*ArcCoth[E^x], x, 7, (1/2)*x*PolyLog[2, -E^(-x)] - (1/2)*x*PolyLog[2, E^(-x)] + (1/2)*PolyLog[3, -E^(-x)] - (1/2)*PolyLog[3, E^(-x)]}
+{x^2*ArcCoth[E^x], x, 9, (1/2)*x^2*PolyLog[2, -E^(-x)] - (1/2)*x^2*PolyLog[2, E^(-x)] + x*PolyLog[3, -E^(-x)] - x*PolyLog[3, E^(-x)] + PolyLog[4, -E^(-x)] - PolyLog[4, E^(-x)]}
+
+
+{ArcCoth[E^(a + b*x)], x, 2, PolyLog[2, -E^(-a - b*x)]/(2*b) - PolyLog[2, E^(-a - b*x)]/(2*b)}
+{x*ArcCoth[E^(a + b*x)], x, 7, (x*PolyLog[2, -E^(-a - b*x)])/(2*b) - (x*PolyLog[2, E^(-a - b*x)])/(2*b) + PolyLog[3, -E^(-a - b*x)]/(2*b^2) - PolyLog[3, E^(-a - b*x)]/(2*b^2)}
+{x^2*ArcCoth[E^(a + b*x)], x, 9, (x^2*PolyLog[2, -E^(-a - b*x)])/(2*b) - (x^2*PolyLog[2, E^(-a - b*x)])/(2*b) + (x*PolyLog[3, -E^(-a - b*x)])/b^2 - (x*PolyLog[3, E^(-a - b*x)])/b^2 + PolyLog[4, -E^(-a - b*x)]/b^3 - PolyLog[4, E^(-a - b*x)]/b^3}
+
+
+{ArcCoth[a + b*f^(c + d*x)], x, 6, -((ArcCoth[a + b*f^(c + d*x)]*Log[2/(1 + a + b*f^(c + d*x))])/(d*Log[f])) + (ArcCoth[a + b*f^(c + d*x)]*Log[(2*b*f^(c + d*x))/((1 - a)*(1 + a + b*f^(c + d*x)))])/(d*Log[f]) + PolyLog[2, 1 - 2/(1 + a + b*f^(c + d*x))]/(2*d*Log[f]) - PolyLog[2, 1 - (2*b*f^(c + d*x))/((1 - a)*(1 + a + b*f^(c + d*x)))]/(2*d*Log[f])}
+{x*ArcCoth[a + b*f^(c + d*x)], x, 25, (1/4)*x^2*Log[1 - (b*f^(c + d*x))/(1 - a)] - (1/4)*x^2*Log[1 + (b*f^(c + d*x))/(1 + a)] - (1/4)*x^2*Log[1 - 1/(a + b*f^(c + d*x))] + (1/4)*x^2*Log[1 + 1/(a + b*f^(c + d*x))] + (x*PolyLog[2, (b*f^(c + d*x))/(1 - a)])/(2*d*Log[f]) - (x*PolyLog[2, -((b*f^(c + d*x))/(1 + a))])/(2*d*Log[f]) - PolyLog[3, (b*f^(c + d*x))/(1 - a)]/(2*d^2*Log[f]^2) + PolyLog[3, -((b*f^(c + d*x))/(1 + a))]/(2*d^2*Log[f]^2)}
+{x^2*ArcCoth[a + b*f^(c + d*x)], x, 29, (1/6)*x^3*Log[1 - (b*f^(c + d*x))/(1 - a)] - (1/6)*x^3*Log[1 + (b*f^(c + d*x))/(1 + a)] - (1/6)*x^3*Log[1 - 1/(a + b*f^(c + d*x))] + (1/6)*x^3*Log[1 + 1/(a + b*f^(c + d*x))] + (x^2*PolyLog[2, (b*f^(c + d*x))/(1 - a)])/(2*d*Log[f]) - (x^2*PolyLog[2, -((b*f^(c + d*x))/(1 + a))])/(2*d*Log[f]) - (x*PolyLog[3, (b*f^(c + d*x))/(1 - a)])/(d^2*Log[f]^2) + (x*PolyLog[3, -((b*f^(c + d*x))/(1 + a))])/(d^2*Log[f]^2) + PolyLog[4, (b*f^(c + d*x))/(1 - a)]/(d^3*Log[f]^3) - PolyLog[4, -((b*f^(c + d*x))/(1 + a))]/(d^3*Log[f]^3)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Miscellaneous integrands involving inverse hyperbolic cotangents*)
+
+
+{1/((a - a*x^2)*(b - 2*b*ArcCoth[x])), x, 1, -(Log[1 - 2*ArcCoth[x]]/(2*a*b))}
+
+
+{x^3*ArcCoth[a + b*x^4], x, 4, ((a + b*x^4)*ArcCoth[a + b*x^4])/(4*b) + Log[1 - (a + b*x^4)^2]/(8*b)}
+
+
+{x^(n-1)*ArcCoth[a + b*x^n], x, 4, ((a + b*x^n)*ArcCoth[a + b*x^n])/(b*n) + Log[1 - (a + b*x^n)^2]/(2*b*n)}
+
+
+{E^(c*(a + b*x))*ArcCoth[Sinh[a*c + b*c*x]], x, 8, (E^(a*c + b*c*x)*ArcCoth[Sinh[c*(a + b*x)]])/(b*c) + ((1 - Sqrt[2])*Log[3 - 2*Sqrt[2] - E^(2*c*(a + b*x))])/(2*b*c) + ((1 + Sqrt[2])*Log[3 + 2*Sqrt[2] - E^(2*c*(a + b*x))])/(2*b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcCoth[Cosh[a*c + b*c*x]], x, 5, (E^(a*c + b*c*x)*ArcCoth[Cosh[c*(a + b*x)]])/(b*c) + Log[1 - E^(2*c*(a + b*x))]/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcCoth[Tanh[a*c + b*c*x]], x, 3, -(E^(a*c + b*c*x)/(b*c)) + (E^(a*c + b*c*x)*ArcCoth[Tanh[c*(a + b*x)]])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcCoth[Coth[a*c + b*c*x]], x, 3, -(E^(a*c + b*c*x)/(b*c)) + (E^(a*c + b*c*x)*ArcCoth[Coth[c*(a + b*x)]])/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcCoth[Sech[a*c + b*c*x]], x, 5, (E^(a*c + b*c*x)*ArcCoth[Sech[c*(a + b*x)]])/(b*c) + Log[1 - E^(2*c*(a + b*x))]/(b*c)}
+{E^(c*(a + b*x))*ArcCoth[Csch[a*c + b*c*x]], x, 8, (E^(a*c + b*c*x)*ArcCoth[Csch[c*(a + b*x)]])/(b*c) + ((1 - Sqrt[2])*Log[3 - 2*Sqrt[2] - E^(2*c*(a + b*x))])/(2*b*c) + ((1 + Sqrt[2])*Log[3 + 2*Sqrt[2] - E^(2*c*(a + b*x))])/(2*b*c)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.4 Inverse hyperbolic cotangent/7.4.2 Exponentials of inverse hyperbolic cotangent functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.4 Inverse hyperbolic cotangent/7.4.2 Exponentials of inverse hyperbolic cotangent functions.m
new file mode 100644
index 00000000..021cafbe
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.4 Inverse hyperbolic cotangent/7.4.2 Exponentials of inverse hyperbolic cotangent functions.m	
@@ -0,0 +1,1480 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands involving exponentials of inverse hyperbolic cotangents*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcCoth[a x])*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcCoth[a x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcCoth[a*x]*x^3, x, 8, (2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(3*a^3) + (3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2)/(8*a^2) + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3)/(3*a) + (1/4)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4 + (3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(8*a^4)}
+{E^ArcCoth[a*x]*x^2, x, 7, (2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(3*a^2) + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2)/(2*a) + (1/3)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3 + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]]/(2*a^3)}
+{E^ArcCoth[a*x]*x^1, x, 6, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/a + (1/2)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2 + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]]/(2*a^2)}
+{E^ArcCoth[a*x], x, 5, Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]]/a}
+{E^ArcCoth[a*x]/x^1, x, 6, -ArcCsc[a*x] + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]]}
+{E^ArcCoth[a*x]/x^2, x, 3, a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - a*ArcCsc[a*x]}
+{E^ArcCoth[a*x]/x^3, x, 3, (1/2)*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(2*a + 1/x) - (1/2)*a^2*ArcCsc[a*x]}
+{E^ArcCoth[a*x]/x^4, x, 7, a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (1/3)*a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2) + (a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(2*x) - (1/2)*a^3*ArcCsc[a*x]}
+{E^ArcCoth[a*x]/x^5, x, 5, (1/24)*a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(16*a + 9/x) + (a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(4*x^3) + (a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(3*x^2) - (3/8)*a^4*ArcCsc[a*x]}
+
+
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*x^3, x, 4, (2*x)/a^3 + x^2/a^2 + (2*x^3)/(3*a) + x^4/4 + (2*Log[1 - a*x])/a^4}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*x^2, x, 4, (2*x)/a^2 + x^2/a + x^3/3 + (2*Log[1 - a*x])/a^3}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*x^1, x, 4, (2*x)/a + x^2/2 + (2*Log[1 - a*x])/a^2}
+{E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 4, x + (2*Log[1 - a*x])/a}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/x^1, x, 4, -Log[x] + 2*Log[1 - a*x]}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/x^2, x, 4, x^(-1) - 2*a*Log[x] + 2*a*Log[1 - a*x]}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/x^3, x, 4, 1/(2*x^2) + (2*a)/x - 2*a^2*Log[x] + 2*a^2*Log[1 - a*x]}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/x^4, x, 4, 1/(3*x^3) + a/x^2 + (2*a^2)/x - 2*a^3*Log[x] + 2*a^3*Log[1 - a*x]}
+
+
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*x^2, x, 14, -((4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(a^2*(a - 1/x))) + (14*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(3*a^2) + (3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2)/(2*a) + (1/3)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3 + (11*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(2*a^3)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*x^1, x, 12, -((4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(a*(a - 1/x))) + (3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/a + (1/2)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2 + (9*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(2*a^2)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 8, -((4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(a - 1/x)) + Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x + (3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/a}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/x^1, x, 8, -((4*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(a - 1/x)) + ArcCsc[a*x] + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]]}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/x^2, x, 5, -3*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (2*(a + 1/x)^2)/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + 3*a*ArcCsc[a*x]}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/x^3, x, 9, (-(9/2))*a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2))/(a - 1/x)^3 - (3*a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(2*(a - 1/x)) + (9/2)*a^2*ArcCsc[a*x]}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/x^4, x, 10, -((a + 1/x)^3/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (1/3)*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(3*a + 1/x)^2 - (1/6)*a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(28*a + 3/x) + (11/2)*a^3*ArcCsc[a*x]}
+
+
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*x^3, x, 4, (12*x)/a^3 + (4*x^2)/a^2 + (4*x^3)/(3*a) + x^4/4 + 4/(a^4*(1 - a*x)) + (16*Log[1 - a*x])/a^4}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*x^2, x, 4, (8*x)/a^2 + (2*x^2)/a + x^3/3 + 4/(a^3*(1 - a*x)) + (12*Log[1 - a*x])/a^3}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*x^1, x, 4, (4*x)/a + x^2/2 + 4/(a^2*(1 - a*x)) + (8*Log[1 - a*x])/a^2}
+{E^(4*ArcCoth[a*x]), x, 4, x + 4/(a*(1 - a*x)) + (4*Log[1 - a*x])/a}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/x^1, x, 4, 4/(1 - a*x) + Log[x]}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/x^2, x, 4, -x^(-1) + (4*a)/(1 - a*x) + 4*a*Log[x] - 4*a*Log[1 - a*x]}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/x^3, x, 4, -1/(2*x^2) - (4*a)/x + (4*a^2)/(1 - a*x) + 8*a^2*Log[x] - 8*a^2*Log[1 - a*x]}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/x^4, x, 4, -1/(3*x^3) - (2*a)/x^2 - (8*a^2)/x + (4*a^3)/(1 - a*x) + 12*a^3*Log[x] - 12*a^3*Log[1 - a*x]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^3/E^ArcCoth[a*x], x, 8, -((2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(3*a^3)) + (3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2)/(8*a^2) - (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3)/(3*a) + (1/4)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4 + (3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(8*a^4)}
+{x^2/E^ArcCoth[a*x], x, 7, (2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(3*a^2) - (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2)/(2*a) + (1/3)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3 - ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]]/(2*a^3)}
+{x^1/E^ArcCoth[a*x], x, 6, -((Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/a) + (1/2)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2 + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]]/(2*a^2)}
+{E^(-ArcCoth[a*x]), x, 5, Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x - ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]]/a}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*x^1), x, 6, ArcCsc[a*x] + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]]}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*x^2), x, 3, (-a)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - a*ArcCsc[a*x]}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*x^3), x, 3, (1/2)*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(2*a - 1/x) + (1/2)*a^2*ArcCsc[a*x]}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*x^4), x, 7, (-a^3)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (1/3)*a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2) + (a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(2*x) - (1/2)*a^3*ArcCsc[a*x]}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*x^5), x, 5, (1/24)*a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(16*a - 9/x) - (a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(4*x^3) + (a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(3*x^2) + (3/8)*a^4*ArcCsc[a*x]}
+
+
+{x^3/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 4, (-2*x)/a^3 + x^2/a^2 - (2*x^3)/(3*a) + x^4/4 + (2*Log[1 + a*x])/a^4}
+{x^2/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 4, (2*x)/a^2 - x^2/a + x^3/3 - (2*Log[1 + a*x])/a^3}
+{x^1/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 4, (-2*x)/a + x^2/2 + (2*Log[1 + a*x])/a^2}
+{E^(-2*ArcCoth[a*x]), x, 4, x - (2*Log[1 + a*x])/a}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^1), x, 4, -Log[x] + 2*Log[1 + a*x]}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^2), x, 4, x^(-1) + 2*a*Log[x] - 2*a*Log[1 + a*x]}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^3), x, 4, 1/(2*x^2) - (2*a)/x - 2*a^2*Log[x] + 2*a^2*Log[1 + a*x]}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^4), x, 4, 1/(3*x^3) - a/x^2 + (2*a^2)/x + 2*a^3*Log[x] - 2*a^3*Log[1 + a*x]}
+
+
+{x^3/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 19, -((4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(a^3*(a + 1/x))) - (6*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/a^3 + (19*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2)/(8*a^2) - (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3)/a + (1/4)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4 + (51*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(8*a^4)}
+{x^2/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 14, (4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(a^2*(a + 1/x)) + (14*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(3*a^2) - (3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2)/(2*a) + (1/3)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3 - (11*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(2*a^3)}
+{x^1/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 12, -((4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(a*(a + 1/x))) - (3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/a + (1/2)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2 + (9*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(2*a^2)}
+{E^(-3*ArcCoth[a*x]), x, 8, (4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(a + 1/x) + Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x - (3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/a}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^1), x, 8, -((4*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(a + 1/x)) - ArcCsc[a*x] + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]]}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^2), x, 5, 3*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (2*(a - 1/x)^2)/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + 3*a*ArcCsc[a*x]}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^3), x, 9, (-(9/2))*a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2))/(a + 1/x)^3 - (3*a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(2*(a + 1/x)) - (9/2)*a^2*ArcCsc[a*x]}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^4), x, 10, (1/6)*a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(28*a - 3/x) + (a - 1/x)^3/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (1/3)*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(3*a - 1/x)^2 + (11/2)*a^3*ArcCsc[a*x]}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^5), x, 14, (-(27/4))*a^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (9/8)*a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(2*a - 3/x) - (a*(a - 1/x)^3)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(4*x^3) - (a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/x^2 - (51/8)*a^4*ArcCsc[a*x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n/2 ArcCoth[a x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^(ArcCoth[a*x]/2)*x^4, x, 11, (611*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x)/(1920*a^4) + (269*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^2)/(960*a^3) + (11*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^3)/(48*a^2) + (9*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^4)/(40*a) + (1/5)*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^5 + (31*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(128*a^5) + (31*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(128*a^5)}
+{E^(ArcCoth[a*x]/2)*x^3, x, 10, (83*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x)/(192*a^3) + (29*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^2)/(96*a^2) + (7*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^3)/(24*a) + (1/4)*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^4 + (11*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(64*a^4) + (11*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(64*a^4)}
+{E^(ArcCoth[a*x]/2)*x^2, x, 9, (11*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x)/(24*a^2) + (5*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^2)/(12*a) + (1/3)*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^3 + (3*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(8*a^3) + (3*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(8*a^3)}
+{E^(ArcCoth[a*x]/2)*x, x, 7, ((1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x)/(4*a) + (1/2)*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(5/4)*x^2 + ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)]/(4*a^2) + ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)]/(4*a^2)}
+{E^(ArcCoth[a*x]/2), x, 6, (1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x + ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)]/a + ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)]/a}
+{E^(ArcCoth[a*x]/2)/x, x, 17, (-Sqrt[2])*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)] + 2*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)] + 2*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)] + Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)]/Sqrt[2] - Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{E^(ArcCoth[a*x]/2)/x^2, x, 13, a*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4) - (a*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/Sqrt[2] + (a*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/Sqrt[2] + (a*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(2*Sqrt[2]) - (a*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(2*Sqrt[2])}
+{E^(ArcCoth[a*x]/2)/x^3, x, 14, (a^2*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4))/4 + (a^2*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(5/4))/2 - (a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(4*Sqrt[2]) + (a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(4*Sqrt[2]) + (a^2*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) - (a^2*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2])}
+{E^(ArcCoth[a*x]/2)/x^4, x, 15, (3*a^3*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4))/8 + (a^3*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(5/4))/12 + (a^2*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(5/4))/(3*x) - (3*a^3*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) + (3*a^3*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) + (3*a^3*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(16*Sqrt[2]) - (3*a^3*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(16*Sqrt[2])}
+
+
+{E^((3*ArcCoth[a*x])/2)*x^4, x, 11, (557*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x)/(640*a^4) + (157*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^2)/(320*a^3) + (5*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^3)/(16*a^2) + (11*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^4)/(40*a) + (1/5)*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^5 - (237*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(128*a^5) + (237*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(128*a^5)}
+{E^((3*ArcCoth[a*x])/2)*x^3, x, 10, (63*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x)/(64*a^3) + (15*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^2)/(32*a^2) + (3*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^3)/(8*a) + (1/4)*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^4 - (123*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(64*a^4) + (123*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(64*a^4)}
+{E^((3*ArcCoth[a*x])/2)*x^2, x, 9, (23*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x)/(24*a^2) + (7*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^2)/(12*a) + (1/3)*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^3 - (17*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(8*a^3) + (17*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(8*a^3)}
+{E^((3*ArcCoth[a*x])/2)*x, x, 7, (3*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x)/(4*a) + (1/2)*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(7/4)*x^2 - (9*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(4*a^2) + (9*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(4*a^2)}
+{E^((3*ArcCoth[a*x])/2), x, 6, (1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x - (3*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/a + (3*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/a}
+{E^((3*ArcCoth[a*x])/2)/x, x, 17, (-Sqrt[2])*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)] - 2*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)] + 2*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)] - Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)]/Sqrt[2] + Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{E^((3*ArcCoth[a*x])/2)/x^2, x, 13, a*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4) - (3*a*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/Sqrt[2] + (3*a*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/Sqrt[2] - (3*a*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(2*Sqrt[2]) + (3*a*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(2*Sqrt[2])}
+{E^((3*ArcCoth[a*x])/2)/x^3, x, 14, (3*a^2*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4))/4 + (a^2*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(7/4))/2 - (9*a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(4*Sqrt[2]) + (9*a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(4*Sqrt[2]) - (9*a^2*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) + (9*a^2*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2])}
+{E^((3*ArcCoth[a*x])/2)/x^4, x, 15, (17*a^3*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4))/24 + (a^3*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(7/4))/4 + (a^2*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(7/4))/(3*x) - (17*a^3*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) + (17*a^3*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) - (17*a^3*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(16*Sqrt[2]) + (17*a^3*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(16*Sqrt[2])}
+
+
+{E^((5*ArcCoth[a*x])/2)*x^4, x, 12, -((26111*(1 + 1/(a*x))^(1/4))/(1920*a^5*(1 - 1/(a*x))^(1/4))) + (5533*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x)/(1920*a^4*(1 - 1/(a*x))^(1/4)) + (1189*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^2)/(960*a^3*(1 - 1/(a*x))^(1/4)) + (181*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^3)/(240*a^2*(1 - 1/(a*x))^(1/4)) + (21*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^4)/(40*a*(1 - 1/(a*x))^(1/4)) + ((1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^5)/(5*(1 - 1/(a*x))^(1/4)) + (1003*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(128*a^5) + (1003*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(128*a^5)}
+{E^((5*ArcCoth[a*x])/2)*x^3, x, 11, -((2467*(1 + 1/(a*x))^(1/4))/(192*a^4*(1 - 1/(a*x))^(1/4))) + (521*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x)/(192*a^3*(1 - 1/(a*x))^(1/4)) + (113*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^2)/(96*a^2*(1 - 1/(a*x))^(1/4)) + (17*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^3)/(24*a*(1 - 1/(a*x))^(1/4)) + ((1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^4)/(4*(1 - 1/(a*x))^(1/4)) + (475*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(64*a^4) + (475*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(64*a^4)}
+{E^((5*ArcCoth[a*x])/2)*x^2, x, 10, -((287*(1 + 1/(a*x))^(1/4))/(24*a^3*(1 - 1/(a*x))^(1/4))) + (61*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x)/(24*a^2*(1 - 1/(a*x))^(1/4)) + (13*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^2)/(12*a*(1 - 1/(a*x))^(1/4)) + ((1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^3)/(3*(1 - 1/(a*x))^(1/4)) + (55*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(8*a^3) + (55*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(8*a^3)}
+{E^((5*ArcCoth[a*x])/2)*x, x, 8, -((25*(1 + 1/(a*x))^(1/4))/(2*a^2*(1 - 1/(a*x))^(1/4))) + (5*(1 + 1/(a*x))^(5/4)*x)/(4*a*(1 - 1/(a*x))^(1/4)) + ((1 + 1/(a*x))^(9/4)*x^2)/(2*(1 - 1/(a*x))^(1/4)) + (25*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(4*a^2) + (25*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(4*a^2)}
+{E^((5*ArcCoth[a*x])/2), x, 7, -((10*(1 + 1/(a*x))^(1/4))/(a*(1 - 1/(a*x))^(1/4))) + ((1 + 1/(a*x))^(5/4)*x)/(1 - 1/(a*x))^(1/4) + (5*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/a + (5*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/a}
+{E^((5*ArcCoth[a*x])/2)/x, x, 19, -((8*(1 + 1/(a*x))^(1/4))/(1 - 1/(a*x))^(1/4)) + Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)] - Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)] + 2*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)] + 2*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)] - Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)]/Sqrt[2] + Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{E^((5*ArcCoth[a*x])/2)/x^2, x, 14, -5*a*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4) - (4*a*(1 + 1/(a*x))^(5/4))/(1 - 1/(a*x))^(1/4) + (5*a*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/Sqrt[2] - (5*a*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/Sqrt[2] - (5*a*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(2*Sqrt[2]) + (5*a*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(2*Sqrt[2])}
+{E^((5*ArcCoth[a*x])/2)/x^3, x, 15, (-25*a^2*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4))/4 - (5*a^2*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(5/4))/2 - (2*a^2*(1 + 1/(a*x))^(9/4))/(1 - 1/(a*x))^(1/4) + (25*a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(4*Sqrt[2]) - (25*a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(4*Sqrt[2]) - (25*a^2*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) + (25*a^2*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2])}
+{E^((5*ArcCoth[a*x])/2)/x^4, x, 16, (-55*a^3*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4))/8 - (11*a^3*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(5/4))/4 - (2*a^3*(1 + 1/(a*x))^(9/4))/(1 - 1/(a*x))^(1/4) - (a^3*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(9/4))/3 + (55*a^3*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) - (55*a^3*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) - (55*a^3*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(16*Sqrt[2]) + (55*a^3*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(16*Sqrt[2])}
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+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
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+
+
+{x^4/E^(ArcCoth[a*x]/2), x, 11, (611*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x)/(1920*a^4) - (269*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^2)/(960*a^3) + (11*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^3)/(48*a^2) - (9*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^4)/(40*a) + (1/5)*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^5 + (31*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(128*a^5) - (31*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(128*a^5)}
+{x^3/E^(ArcCoth[a*x]/2), x, 10, -((83*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x)/(192*a^3)) + (29*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^2)/(96*a^2) - (7*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^3)/(24*a) + (1/4)*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^4 - (11*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(64*a^4) + (11*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(64*a^4)}
+{x^2/E^(ArcCoth[a*x]/2), x, 9, (11*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x)/(24*a^2) - (5*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^2)/(12*a) + (1/3)*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^3 + (3*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(8*a^3) - (3*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(8*a^3)}
+{x/E^(ArcCoth[a*x]/2), x, 7, -(((1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x)/(4*a)) + (1/2)*(1 - 1/(a*x))^(5/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x^2 - ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)]/(4*a^2) + ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)]/(4*a^2)}
+{E^(-ArcCoth[a*x]/2), x, 6, (1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)*x + ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)]/a - ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)]/a}
+{1/(E^(ArcCoth[a*x]/2)*x), x, 17, Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)] - Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)] - 2*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)] + 2*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)] + Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)]/Sqrt[2] - Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{1/(E^(ArcCoth[a*x]/2)*x^2), x, 13, -(a*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4)) - (a*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/Sqrt[2] + (a*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/Sqrt[2] - (a*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(2*Sqrt[2]) + (a*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(2*Sqrt[2])}
+{1/(E^(ArcCoth[a*x]/2)*x^3), x, 14, (a^2*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4))/4 + (a^2*(1 - 1/(a*x))^(5/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4))/2 + (a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(4*Sqrt[2]) - (a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(4*Sqrt[2]) + (a^2*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) - (a^2*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2])}
+{1/(E^(ArcCoth[a*x]/2)*x^4), x, 15, (-3*a^3*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4))/8 - (a^3*(1 - 1/(a*x))^(5/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4))/12 + (a^2*(1 - 1/(a*x))^(5/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4))/(3*x) - (3*a^3*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) + (3*a^3*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) - (3*a^3*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(16*Sqrt[2]) + (3*a^3*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(16*Sqrt[2])}
+
+
+{x^4/E^((3*ArcCoth[a*x])/2), x, 11, (557*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x)/(640*a^4) - (157*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^2)/(320*a^3) + (5*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^3)/(16*a^2) - (11*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^4)/(40*a) + (1/5)*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^5 - (237*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(128*a^5) - (237*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(128*a^5)}
+{x^3/E^((3*ArcCoth[a*x])/2), x, 10, -((63*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x)/(64*a^3)) + (15*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^2)/(32*a^2) - (3*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^3)/(8*a) + (1/4)*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^4 + (123*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(64*a^4) + (123*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(64*a^4)}
+{x^2/E^((3*ArcCoth[a*x])/2), x, 9, (23*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x)/(24*a^2) - (7*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^2)/(12*a) + (1/3)*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^3 - (17*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(8*a^3) - (17*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(8*a^3)}
+{x/E^((3*ArcCoth[a*x])/2), x, 7, -((3*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x)/(4*a)) + (1/2)*(1 - 1/(a*x))^(7/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x^2 + (9*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(4*a^2) + (9*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(4*a^2)}
+{E^((-3*ArcCoth[a*x])/2), x, 6, (1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)*x - (3*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/a - (3*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/a}
+{1/(E^((3*ArcCoth[a*x])/2)*x), x, 17, Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)] - Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)] + 2*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)] + 2*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)] - Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)]/Sqrt[2] + Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{1/(E^((3*ArcCoth[a*x])/2)*x^2), x, 13, -(a*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4)) - (3*a*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/Sqrt[2] + (3*a*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/Sqrt[2] + (3*a*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(2*Sqrt[2]) - (3*a*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(2*Sqrt[2])}
+{1/(E^((3*ArcCoth[a*x])/2)*x^3), x, 14, (3*a^2*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4))/4 + (a^2*(1 - 1/(a*x))^(7/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4))/2 + (9*a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(4*Sqrt[2]) - (9*a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(4*Sqrt[2]) - (9*a^2*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) + (9*a^2*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2])}
+{1/(E^((3*ArcCoth[a*x])/2)*x^4), x, 15, (-17*a^3*(1 - 1/(a*x))^(3/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4))/24 - (a^3*(1 - 1/(a*x))^(7/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4))/4 + (a^2*(1 - 1/(a*x))^(7/4)*(1 + 1/(a*x))^(1/4))/(3*x) - (17*a^3*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) + (17*a^3*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) + (17*a^3*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(16*Sqrt[2]) - (17*a^3*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(16*Sqrt[2])}
+
+
+{x^4/E^((5*ArcCoth[a*x])/2), x, 12, (26111*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1920*a^5*(1 + 1/(a*x))^(1/4)) + (5533*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*x)/(1920*a^4*(1 + 1/(a*x))^(1/4)) - (1189*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*x^2)/(960*a^3*(1 + 1/(a*x))^(1/4)) + (181*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*x^3)/(240*a^2*(1 + 1/(a*x))^(1/4)) - (21*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*x^4)/(40*a*(1 + 1/(a*x))^(1/4)) + ((1 - 1/(a*x))^(1/4)*x^5)/(5*(1 + 1/(a*x))^(1/4)) + (1003*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(128*a^5) - (1003*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(128*a^5)}
+{x^3/E^((5*ArcCoth[a*x])/2), x, 11, -((2467*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(192*a^4*(1 + 1/(a*x))^(1/4))) - (521*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*x)/(192*a^3*(1 + 1/(a*x))^(1/4)) + (113*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*x^2)/(96*a^2*(1 + 1/(a*x))^(1/4)) - (17*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*x^3)/(24*a*(1 + 1/(a*x))^(1/4)) + ((1 - 1/(a*x))^(1/4)*x^4)/(4*(1 + 1/(a*x))^(1/4)) - (475*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(64*a^4) + (475*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(64*a^4)}
+{x^2/E^((5*ArcCoth[a*x])/2), x, 10, (287*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(24*a^3*(1 + 1/(a*x))^(1/4)) + (61*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*x)/(24*a^2*(1 + 1/(a*x))^(1/4)) - (13*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*x^2)/(12*a*(1 + 1/(a*x))^(1/4)) + ((1 - 1/(a*x))^(1/4)*x^3)/(3*(1 + 1/(a*x))^(1/4)) + (55*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(8*a^3) - (55*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(8*a^3)}
+{x/E^((5*ArcCoth[a*x])/2), x, 8, -((25*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(2*a^2*(1 + 1/(a*x))^(1/4))) - (5*(1 - 1/(a*x))^(5/4)*x)/(4*a*(1 + 1/(a*x))^(1/4)) + ((1 - 1/(a*x))^(9/4)*x^2)/(2*(1 + 1/(a*x))^(1/4)) - (25*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(4*a^2) + (25*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(4*a^2)}
+{E^((-5*ArcCoth[a*x])/2), x, 7, (10*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(a*(1 + 1/(a*x))^(1/4)) + ((1 - 1/(a*x))^(5/4)*x)/(1 + 1/(a*x))^(1/4) + (5*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/a - (5*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/a}
+{1/(E^((5*ArcCoth[a*x])/2)*x), x, 19, -((8*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)) - Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)] - 2*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)] + 2*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)] - Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)]/Sqrt[2] + Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{1/(E^((5*ArcCoth[a*x])/2)*x^2), x, 14, (4*a*(1 - 1/(a*x))^(5/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4) + 5*a*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4) + (5*a*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/Sqrt[2] - (5*a*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/Sqrt[2] + (5*a*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(2*Sqrt[2]) - (5*a*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(2*Sqrt[2])}
+{1/(E^((5*ArcCoth[a*x])/2)*x^3), x, 15, (-2*a^2*(1 - 1/(a*x))^(9/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4) - (25*a^2*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4))/4 - (5*a^2*(1 - 1/(a*x))^(5/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4))/2 - (25*a^2*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(4*Sqrt[2]) + (25*a^2*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(4*Sqrt[2]) - (25*a^2*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) + (25*a^2*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2])}
+{1/(E^((5*ArcCoth[a*x])/2)*x^4), x, 16, (2*a^3*(1 - 1/(a*x))^(9/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4) + (55*a^3*(1 - 1/(a*x))^(1/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4))/8 + (11*a^3*(1 - 1/(a*x))^(5/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4))/4 + (a^3*(1 - 1/(a*x))^(9/4)*(1 + 1/(a*x))^(3/4))/3 + (55*a^3*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) - (55*a^3*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(8*Sqrt[2]) + (55*a^3*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(16*Sqrt[2]) - (55*a^3*Log[1 + Sqrt[1 - 1/(a*x)]/Sqrt[1 + 1/(a*x)] + (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(1/4))/(1 + 1/(a*x))^(1/4)])/(16*Sqrt[2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n/3 ArcCoth[a x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^(ArcCoth[x]/3)*x^2, x, 16, (11/27)*(1 + 1/x)^(1/6)*((-1 + x)/x)^(5/6)*x + (7/18)*(1 + 1/x)^(1/6)*((-1 + x)/x)^(5/6)*x^2 + (1/3)*(1 + 1/x)^(1/6)*((-1 + x)/x)^(5/6)*x^3 - (19*ArcTan[(1 - (2*(1 + 1/x)^(1/6))/((-1 + x)/x)^(1/6))/Sqrt[3]])/(54*Sqrt[3]) + (19*ArcTan[(1 + (2*(1 + 1/x)^(1/6))/((-1 + x)/x)^(1/6))/Sqrt[3]])/(54*Sqrt[3]) + (19/81)*ArcTanh[(1 + 1/x)^(1/6)/((-1 + x)/x)^(1/6)] - (19/324)*Log[1 + (1 + 1/x)^(1/3)/((-1 + x)/x)^(1/3) - (1 + 1/x)^(1/6)/((-1 + x)/x)^(1/6)] + (19/324)*Log[1 + (1 + 1/x)^(1/3)/((-1 + x)/x)^(1/3) + (1 + 1/x)^(1/6)/((-1 + x)/x)^(1/6)]}
+{E^(ArcCoth[x]/3)*x, x, 14, (1/6)*(1 + 1/x)^(1/6)*((-1 + x)/x)^(5/6)*x + (1/2)*(1 + 1/x)^(7/6)*((-1 + x)/x)^(5/6)*x^2 - ArcTan[(1 - (2*(1 + 1/x)^(1/6))/((-1 + x)/x)^(1/6))/Sqrt[3]]/(6*Sqrt[3]) + ArcTan[(1 + (2*(1 + 1/x)^(1/6))/((-1 + x)/x)^(1/6))/Sqrt[3]]/(6*Sqrt[3]) + (1/9)*ArcTanh[(1 + 1/x)^(1/6)/((-1 + x)/x)^(1/6)] - (1/36)*Log[1 + (1 + 1/x)^(1/3)/((-1 + x)/x)^(1/3) - (1 + 1/x)^(1/6)/((-1 + x)/x)^(1/6)] + (1/36)*Log[1 + (1 + 1/x)^(1/3)/((-1 + x)/x)^(1/3) + (1 + 1/x)^(1/6)/((-1 + x)/x)^(1/6)]}
+{E^(ArcCoth[x]/3), x, 13, (1 + 1/x)^(1/6)*((-1 + x)/x)^(5/6)*x - ArcTan[(1 - (2*(1 + 1/x)^(1/6))/((-1 + x)/x)^(1/6))/Sqrt[3]]/Sqrt[3] + ArcTan[(1 + (2*(1 + 1/x)^(1/6))/((-1 + x)/x)^(1/6))/Sqrt[3]]/Sqrt[3] + (2/3)*ArcTanh[(1 + 1/x)^(1/6)/((-1 + x)/x)^(1/6)] - (1/6)*Log[1 + (1 + 1/x)^(1/3)/((-1 + x)/x)^(1/3) - (1 + 1/x)^(1/6)/((-1 + x)/x)^(1/6)] + (1/6)*Log[1 + (1 + 1/x)^(1/3)/((-1 + x)/x)^(1/3) + (1 + 1/x)^(1/6)/((-1 + x)/x)^(1/6)]}
+{E^(ArcCoth[x]/3)/x, x, 25, (-Sqrt[3])*ArcTan[(1 - (2*(1 + 1/x)^(1/6))/((-1 + x)/x)^(1/6))/Sqrt[3]] + Sqrt[3]*ArcTan[(1 + (2*(1 + 1/x)^(1/6))/((-1 + x)/x)^(1/6))/Sqrt[3]] - ArcTan[Sqrt[3] - (2*((-1 + x)/x)^(1/6))/(1 + 1/x)^(1/6)] + ArcTan[Sqrt[3] + (2*((-1 + x)/x)^(1/6))/(1 + 1/x)^(1/6)] + 2*ArcTan[((-1 + x)/x)^(1/6)/(1 + 1/x)^(1/6)] + 2*ArcTanh[(1 + 1/x)^(1/6)/((-1 + x)/x)^(1/6)] - (1/2)*Log[1 + (1 + 1/x)^(1/3)/((-1 + x)/x)^(1/3) - (1 + 1/x)^(1/6)/((-1 + x)/x)^(1/6)] + (1/2)*Log[1 + (1 + 1/x)^(1/3)/((-1 + x)/x)^(1/3) + (1 + 1/x)^(1/6)/((-1 + x)/x)^(1/6)] + (1/2)*Sqrt[3]*Log[1 - (Sqrt[3]*((-1 + x)/x)^(1/6))/(1 + 1/x)^(1/6) + ((-1 + x)/x)^(1/3)/(1 + 1/x)^(1/3)] - (1/2)*Sqrt[3]*Log[1 + (Sqrt[3]*((-1 + x)/x)^(1/6))/(1 + 1/x)^(1/6) + ((-1 + x)/x)^(1/3)/(1 + 1/x)^(1/3)]}
+{E^(ArcCoth[x]/3)/x^2, x, 14, (1 + 1/x)^(1/6)*((-1 + x)/x)^(5/6) - (1/3)*ArcTan[Sqrt[3] - (2*((-1 + x)/x)^(1/6))/(1 + 1/x)^(1/6)] + (1/3)*ArcTan[Sqrt[3] + (2*((-1 + x)/x)^(1/6))/(1 + 1/x)^(1/6)] + (2/3)*ArcTan[((-1 + x)/x)^(1/6)/(1 + 1/x)^(1/6)] + Log[1 - (Sqrt[3]*((-1 + x)/x)^(1/6))/(1 + 1/x)^(1/6) + ((-1 + x)/x)^(1/3)/(1 + 1/x)^(1/3)]/(2*Sqrt[3]) - Log[1 + (Sqrt[3]*((-1 + x)/x)^(1/6))/(1 + 1/x)^(1/6) + ((-1 + x)/x)^(1/3)/(1 + 1/x)^(1/3)]/(2*Sqrt[3])}
+{E^(ArcCoth[x]/3)/x^3, x, 15, (1/6)*(1 + 1/x)^(1/6)*((-1 + x)/x)^(5/6) + (1/2)*(1 + 1/x)^(7/6)*((-1 + x)/x)^(5/6) - (1/18)*ArcTan[Sqrt[3] - (2*((-1 + x)/x)^(1/6))/(1 + 1/x)^(1/6)] + (1/18)*ArcTan[Sqrt[3] + (2*((-1 + x)/x)^(1/6))/(1 + 1/x)^(1/6)] + (1/9)*ArcTan[((-1 + x)/x)^(1/6)/(1 + 1/x)^(1/6)] + Log[1 - (Sqrt[3]*((-1 + x)/x)^(1/6))/(1 + 1/x)^(1/6) + ((-1 + x)/x)^(1/3)/(1 + 1/x)^(1/3)]/(12*Sqrt[3]) - Log[1 + (Sqrt[3]*((-1 + x)/x)^(1/6))/(1 + 1/x)^(1/6) + ((-1 + x)/x)^(1/3)/(1 + 1/x)^(1/3)]/(12*Sqrt[3])}
+{E^(ArcCoth[x]/3)/x^4, x, 16, (19/54)*(1 + 1/x)^(1/6)*((-1 + x)/x)^(5/6) + (1/18)*(1 + 1/x)^(7/6)*((-1 + x)/x)^(5/6) + ((1 + 1/x)^(7/6)*((-1 + x)/x)^(5/6))/(3*x) - (19/162)*ArcTan[Sqrt[3] - (2*((-1 + x)/x)^(1/6))/(1 + 1/x)^(1/6)] + (19/162)*ArcTan[Sqrt[3] + (2*((-1 + x)/x)^(1/6))/(1 + 1/x)^(1/6)] + (19/81)*ArcTan[((-1 + x)/x)^(1/6)/(1 + 1/x)^(1/6)] + (19*Log[1 - (Sqrt[3]*((-1 + x)/x)^(1/6))/(1 + 1/x)^(1/6) + ((-1 + x)/x)^(1/3)/(1 + 1/x)^(1/3)])/(108*Sqrt[3]) - (19*Log[1 + (Sqrt[3]*((-1 + x)/x)^(1/6))/(1 + 1/x)^(1/6) + ((-1 + x)/x)^(1/3)/(1 + 1/x)^(1/3)])/(108*Sqrt[3])}
+
+
+{E^((2*ArcCoth[x])/3)*x^2, x, 6, (14/27)*(1 + 1/x)^(1/3)*((-1 + x)/x)^(2/3)*x + (4/9)*(1 + 1/x)^(1/3)*((-1 + x)/x)^(2/3)*x^2 + (1/3)*(1 + 1/x)^(1/3)*((-1 + x)/x)^(2/3)*x^3 - (22*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*((-1 + x)/x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + 1/x)^(1/3))])/(27*Sqrt[3]) - (11/27)*Log[(1 + 1/x)^(1/3) - ((-1 + x)/x)^(1/3)] - (11*Log[x])/81}
+{E^((2*ArcCoth[x])/3)*x, x, 4, (1/3)*(1 + 1/x)^(1/3)*((-1 + x)/x)^(2/3)*x + (1/2)*(1 + 1/x)^(4/3)*((-1 + x)/x)^(2/3)*x^2 - (2*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*((-1 + x)/x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + 1/x)^(1/3))])/(3*Sqrt[3]) - (1/3)*Log[(1 + 1/x)^(1/3) - ((-1 + x)/x)^(1/3)] - Log[x]/9}
+{E^((2*ArcCoth[x])/3), x, 3, (1 + 1/x)^(1/3)*((-1 + x)/x)^(2/3)*x - (2*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*((-1 + x)/x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + 1/x)^(1/3))])/Sqrt[3] - Log[(1 + 1/x)^(1/3) - ((-1 + x)/x)^(1/3)] - Log[x]/3}
+{E^((2*ArcCoth[x])/3)/x, x, 4, (-Sqrt[3])*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*((-1 + x)/x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + 1/x)^(1/3))] - Sqrt[3]*ArcTan[1/Sqrt[3] + (2*((-1 + x)/x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + 1/x)^(1/3))] - (3/2)*Log[(1 + 1/x)^(1/3) - ((-1 + x)/x)^(1/3)] - (3/2)*Log[1 + ((-1 + x)/x)^(1/3)/(1 + 1/x)^(1/3)] - (1/2)*Log[1 + 1/x] - Log[x]/2}
+{E^((2*ArcCoth[x])/3)/x^2, x, 3, (1 + 1/x)^(1/3)*((-1 + x)/x)^(2/3) - (2*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*((-1 + x)/x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + 1/x)^(1/3))])/Sqrt[3] - Log[1 + ((-1 + x)/x)^(1/3)/(1 + 1/x)^(1/3)] - (1/3)*Log[1 + 1/x]}
+{E^((2*ArcCoth[x])/3)/x^3, x, 4, (1/3)*(1 + 1/x)^(1/3)*((-1 + x)/x)^(2/3) + (1/2)*(1 + 1/x)^(4/3)*((-1 + x)/x)^(2/3) - (2*ArcTan[1/Sqrt[3] - (2*((-1 + x)/x)^(1/3))/(Sqrt[3]*(1 + 1/x)^(1/3))])/(3*Sqrt[3]) - (1/3)*Log[1 + ((-1 + x)/x)^(1/3)/(1 + 1/x)^(1/3)] - (1/9)*Log[1 + 1/x]}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n/4 ArcCoth[a x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^(ArcCoth[a*x]/4)*x^2, x, 19, (37*(1 - 1/(a*x))^(7/8)*(1 + 1/(a*x))^(1/8)*x)/(96*a^2) + (3*(1 - 1/(a*x))^(7/8)*(1 + 1/(a*x))^(1/8)*x^2)/(8*a) + (1/3)*(1 - 1/(a*x))^(7/8)*(1 + 1/(a*x))^(1/8)*x^3 - (11*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 + 1/(a*x))^(1/8))/(1 - 1/(a*x))^(1/8)])/(64*Sqrt[2]*a^3) + (11*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 + 1/(a*x))^(1/8))/(1 - 1/(a*x))^(1/8)])/(64*Sqrt[2]*a^3) + (11*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/8)/(1 - 1/(a*x))^(1/8)])/(64*a^3) + (11*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/8)/(1 - 1/(a*x))^(1/8)])/(64*a^3) - (11*Log[1 - (Sqrt[2]*(1 + 1/(a*x))^(1/8))/(1 - 1/(a*x))^(1/8) + (1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^3) + (11*Log[1 + (Sqrt[2]*(1 + 1/(a*x))^(1/8))/(1 - 1/(a*x))^(1/8) + (1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)])/(128*Sqrt[2]*a^3)}
+{E^(ArcCoth[a*x]/4)*x^1, x, 17, ((1 - 1/(a*x))^(7/8)*(1 + 1/(a*x))^(1/8)*x)/(8*a) + (1/2)*(1 - 1/(a*x))^(7/8)*(1 + 1/(a*x))^(9/8)*x^2 - ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 + 1/(a*x))^(1/8))/(1 - 1/(a*x))^(1/8)]/(16*Sqrt[2]*a^2) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 + 1/(a*x))^(1/8))/(1 - 1/(a*x))^(1/8)]/(16*Sqrt[2]*a^2) + ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/8)/(1 - 1/(a*x))^(1/8)]/(16*a^2) + ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/8)/(1 - 1/(a*x))^(1/8)]/(16*a^2) - Log[1 - (Sqrt[2]*(1 + 1/(a*x))^(1/8))/(1 - 1/(a*x))^(1/8) + (1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)]/(32*Sqrt[2]*a^2) + Log[1 + (Sqrt[2]*(1 + 1/(a*x))^(1/8))/(1 - 1/(a*x))^(1/8) + (1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)]/(32*Sqrt[2]*a^2)}
+{E^(ArcCoth[a*x]/4)*x^0, x, 16, (1 - 1/(a*x))^(7/8)*(1 + 1/(a*x))^(1/8)*x - ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 + 1/(a*x))^(1/8))/(1 - 1/(a*x))^(1/8)]/(2*Sqrt[2]*a) + ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 + 1/(a*x))^(1/8))/(1 - 1/(a*x))^(1/8)]/(2*Sqrt[2]*a) + ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/8)/(1 - 1/(a*x))^(1/8)]/(2*a) + ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/8)/(1 - 1/(a*x))^(1/8)]/(2*a) - Log[1 - (Sqrt[2]*(1 + 1/(a*x))^(1/8))/(1 - 1/(a*x))^(1/8) + (1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)]/(4*Sqrt[2]*a) + Log[1 + (Sqrt[2]*(1 + 1/(a*x))^(1/8))/(1 - 1/(a*x))^(1/8) + (1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)]/(4*Sqrt[2]*a)}
+{E^(ArcCoth[a*x]/4)/x^1, x, 39, (-Sqrt[2 + Sqrt[2]])*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] - (2*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]] - Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] - (2*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]] + Sqrt[2 + Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] + (2*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]] + Sqrt[2 - Sqrt[2]]*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] + (2*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]] - Sqrt[2]*ArcTan[1 - (Sqrt[2]*(1 + 1/(a*x))^(1/8))/(1 - 1/(a*x))^(1/8)] + Sqrt[2]*ArcTan[1 + (Sqrt[2]*(1 + 1/(a*x))^(1/8))/(1 - 1/(a*x))^(1/8)] + 2*ArcTan[(1 + 1/(a*x))^(1/8)/(1 - 1/(a*x))^(1/8)] + 2*ArcTanh[(1 + 1/(a*x))^(1/8)/(1 - 1/(a*x))^(1/8)] + (1/2)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - 1/(a*x))^(1/4)/(1 + 1/(a*x))^(1/4) - (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8)] - (1/2)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - 1/(a*x))^(1/4)/(1 + 1/(a*x))^(1/4) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8)] + (1/2)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - 1/(a*x))^(1/4)/(1 + 1/(a*x))^(1/4) - (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8)] - (1/2)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*Log[1 + (1 - 1/(a*x))^(1/4)/(1 + 1/(a*x))^(1/4) + (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8)] - Log[1 - (Sqrt[2]*(1 + 1/(a*x))^(1/8))/(1 - 1/(a*x))^(1/8) + (1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)]/Sqrt[2] + Log[1 + (Sqrt[2]*(1 + 1/(a*x))^(1/8))/(1 - 1/(a*x))^(1/8) + (1 + 1/(a*x))^(1/4)/(1 - 1/(a*x))^(1/4)]/Sqrt[2]}
+{E^(ArcCoth[a*x]/4)/x^2, x, 25, a*(1 - 1/(a*x))^(7/8)*(1 + 1/(a*x))^(1/8) - (1/4)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] - (2*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]] - (1/4)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] - (2*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]] + (1/4)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] + (2*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]] + (1/4)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] + (2*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]] + (1/8)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a*Log[1 + (1 - 1/(a*x))^(1/4)/(1 + 1/(a*x))^(1/4) - (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8)] - (1/8)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a*Log[1 + (1 - 1/(a*x))^(1/4)/(1 + 1/(a*x))^(1/4) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8)] + (1/8)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a*Log[1 + (1 - 1/(a*x))^(1/4)/(1 + 1/(a*x))^(1/4) - (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8)] - (1/8)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a*Log[1 + (1 - 1/(a*x))^(1/4)/(1 + 1/(a*x))^(1/4) + (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8)]}
+{E^(ArcCoth[a*x]/4)/x^3, x, 26, (1/8)*a^2*(1 - 1/(a*x))^(7/8)*(1 + 1/(a*x))^(1/8) + (1/2)*a^2*(1 - 1/(a*x))^(7/8)*(1 + 1/(a*x))^(9/8) - (1/32)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a^2*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] - (2*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]] - (1/32)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a^2*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] - (2*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]] + (1/32)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a^2*ArcTan[(Sqrt[2 - Sqrt[2]] + (2*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8))/Sqrt[2 + Sqrt[2]]] + (1/32)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a^2*ArcTan[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] + (2*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8))/Sqrt[2 - Sqrt[2]]] + (1/64)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a^2*Log[1 + (1 - 1/(a*x))^(1/4)/(1 + 1/(a*x))^(1/4) - (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8)] - (1/64)*Sqrt[2 - Sqrt[2]]*a^2*Log[1 + (1 - 1/(a*x))^(1/4)/(1 + 1/(a*x))^(1/4) + (Sqrt[2 - Sqrt[2]]*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8)] + (1/64)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a^2*Log[1 + (1 - 1/(a*x))^(1/4)/(1 + 1/(a*x))^(1/4) - (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8)] - (1/64)*Sqrt[2 + Sqrt[2]]*a^2*Log[1 + (1 - 1/(a*x))^(1/4)/(1 + 1/(a*x))^(1/4) + (Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(1 - 1/(a*x))^(1/8))/(1 + 1/(a*x))^(1/8)]}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcCoth[a x]) with m symbolic*)
+
+
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*x^m, x, 5, x^(1 + m)/(1 + m) + (4*x^(1 + m))/(1 - a*x) - 4*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, a*x]}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*x^m, x, 9, -((3*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 - m), (1 - m)/2, 1/(a^2*x^2)])/(1 + m)) - (x^m*Hypergeometric2F1[1/2, -(m/2), 1 - m/2, 1/(a^2*x^2)])/(a*m) + (4*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[3/2, (1/2)*(-1 - m), (1 - m)/2, 1/(a^2*x^2)])/(1 + m) + (4*x^m*Hypergeometric2F1[3/2, -(m/2), 1 - m/2, 1/(a^2*x^2)])/(a*m)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*x^m, x, 4, x^(1 + m)/(1 + m) - (2*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, a*x])/(1 + m)}
+{E^(1*ArcCoth[a*x])*x^m, x, 4, (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 - m), (1 - m)/2, 1/(a^2*x^2)])/(1 + m) + (x^m*Hypergeometric2F1[1/2, -(m/2), 1 - m/2, 1/(a^2*x^2)])/(a*m)}
+{x^m/E^(1*ArcCoth[a*x]), x, 4, (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 - m), (1 - m)/2, 1/(a^2*x^2)])/(1 + m) - (x^m*Hypergeometric2F1[1/2, -(m/2), 1 - m/2, 1/(a^2*x^2)])/(a*m)}
+{x^m/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 4, x^(1 + m)/(1 + m) - (2*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (-a)*x])/(1 + m)}
+{x^m/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 9, -((3*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 - m), (1 - m)/2, 1/(a^2*x^2)])/(1 + m)) + (x^m*Hypergeometric2F1[1/2, -(m/2), 1 - m/2, 1/(a^2*x^2)])/(a*m) + (4*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[3/2, (1/2)*(-1 - m), (1 - m)/2, 1/(a^2*x^2)])/(1 + m) - (4*x^m*Hypergeometric2F1[3/2, -(m/2), 1 - m/2, 1/(a^2*x^2)])/(a*m)}
+
+
+{E^(5*ArcCoth[a*x]/2)*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[-1 - m, 5/4, -(5/4), -m, 1/(a*x), -(1/(a*x))])/(1 + m)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x]/2)*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[-1 - m, 3/4, -(3/4), -m, 1/(a*x), -(1/(a*x))])/(1 + m)}
+{E^(1*ArcCoth[a*x]/2)*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[-1 - m, 1/4, -(1/4), -m, 1/(a*x), -(1/(a*x))])/(1 + m)}
+{x^m/E^(1*ArcCoth[a*x]/2), x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[-1 - m, -(1/4), 1/4, -m, 1/(a*x), -(1/(a*x))])/(1 + m)}
+{x^m/E^(3*ArcCoth[a*x]/2), x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[-1 - m, -(3/4), 3/4, -m, 1/(a*x), -(1/(a*x))])/(1 + m)}
+{x^m/E^(5*ArcCoth[a*x]/2), x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[-1 - m, -(5/4), 5/4, -m, 1/(a*x), -(1/(a*x))])/(1 + m)}
+
+
+{E^(2*ArcCoth[x]/3)*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[-1 - m, 1/3, -(1/3), -m, 1/x, -(1/x)])/(1 + m)}
+{E^(1*ArcCoth[x]/3)*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[-1 - m, 1/6, -(1/6), -m, 1/x, -(1/x)])/(1 + m)}
+
+
+{E^(ArcCoth[a*x]/4)*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[-1 - m, 1/8, -(1/8), -m, 1/(a*x), -(1/(a*x))])/(1 + m)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcCoth[a x]) with n symbolic*)
+
+
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*x^m, x, 2, (x^(1 + m)*AppellF1[-1 - m, n/2, -(n/2), -m, 1/(a*x), -(1/(a*x))])/(1 + m)}
+
+
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*x^2, x, 5, (n*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x^2)/(6*a) + (1/3)*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x^3 + (2*(2 + n^2)*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-2 + n))*Hypergeometric2F1[2, 1 - n/2, 2 - n/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/(3*a^3*(2 - n))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*x^1, x, 3, (1/2)*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x^2 + (2*n*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-2 + n))*Hypergeometric2F1[2, 1 - n/2, 2 - n/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/(a^2*(2 - n))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*x^0, x, 2, (4*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-2 + n))*Hypergeometric2F1[2, 1 - n/2, 2 - n/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/(a*(2 - n))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/x^1, x, 4, -((2*(1 + 1/(a*x))^(n/2)*Hypergeometric2F1[1, -(n/2), 1 - n/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/((1 - 1/(a*x))^(n/2)*n)) + (2^(1 + n/2)*Hypergeometric2F1[-(n/2), -(n/2), 1 - n/2, (a - 1/x)/(2*a)])/((1 - 1/(a*x))^(n/2)*n)}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/x^2, x, 2, (2^(1 + n/2)*a*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (a - 1/x)/(2*a)])/(2 - n)}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/x^3, x, 3, (1/2)*a^2*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2) + (2^(n/2)*a^2*n*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (a - 1/x)/(2*a)])/(2 - n)}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/x^4, x, 4, (1/6)*a^3*n*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2) + (a^2*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2))/(3*x) + (2^(n/2)*a^3*(2 + n^2)*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (a - 1/x)/(2*a)])/(3*(2 - n))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/x^5, x, 4, (1/24)*a^3*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*(a*(6 + n^2) + (2*n)/x) + (a^2*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2))/(4*x^2) + (2^(-2 + n/2)*a^4*n*(8 + n^2)*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (a - 1/x)/(2*a)])/(3*(2 - n))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u E^(n ArcCoth[a x]) (c-c a x)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcCoth[a x])  (c-c a x)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x)^p, x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x*(c - a*c*x)^p)/(1 + p) + (((a - 1/x)/(a + 1/x))^(1/2 - p)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^p*Hypergeometric2F1[1/2 - p, -p, 1 - p, 2/((a + 1/x)*x)])/(a*p*(1 + p)*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x)^4, x, 9, (-(7/8))*a*c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2 + (17/15)*a^2*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3 - (3/4)*a^3*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^4 + (1/5)*a^4*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^5 + (7*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(8*a)}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x)^3, x, 8, (-(5/8))*a*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2 + (2/3)*a^2*c^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3 - (1/4)*a^3*c^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^4 + (5*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(8*a)}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x)^2, x, 7, (-(1/2))*a*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2 + (1/3)*a^2*c^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3 + (c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(2*a)}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x), x, 6, (-(1/2))*a*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2 + (c*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(2*a)}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a*c*x), x, 7, (2*(a + 1/x))/(a^2*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]]/(a*c)}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a*c*x)^2, x, 3, -((a^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(3*c^2*(a - 1/x)^3))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a*c*x)^3, x, 4, (a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(5*c^3*(a - 1/x)^4) - (4*a^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(15*c^3*(a - 1/x)^3)}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a*c*x)^4, x, 6, -((a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(7*c^4*(a - 1/x)^5)) + (12*a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(35*c^4*(a - 1/x)^4) - (23*a^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(105*c^4*(a - 1/x)^3)}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a*c*x)^5, x, 8, (a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(9*c^5*(a - 1/x)^6) - (8*a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(21*c^5*(a - 1/x)^5) + (47*a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(105*c^5*(a - 1/x)^4) - (58*a^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(315*c^5*(a - 1/x)^3)}
+
+
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^p, x, 5, (2*(c - a*c*x)^p)/(a*p) - (c - a*c*x)^(1 + p)/(a*c*(1 + p))}
+
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^5, x, 4, (2*c^5*(1 - a*x)^5)/(5*a) - (c^5*(1 - a*x)^6)/(6*a)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^4, x, 4, (c^4*(1 - a*x)^4)/(2*a) - (c^4*(1 - a*x)^5)/(5*a)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^3, x, 4, (2*c^3*(1 - a*x)^3)/(3*a) - (c^3*(1 - a*x)^4)/(4*a)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^2, x, 4, -(c^2*x) + (a^2*c^2*x^3)/3}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x), x, 1, -(c*x) - (a*c*x^2)/2, (c*E^(2*ArcCoth[a*x])*(1 - a^2*x^2))/(2*a)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x), x, 4, -2/(a*c*(1 - a*x)) - Log[1 - a*x]/(a*c)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^2, x, 3, -(x/(c^2*(1 - a*x)^2))}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^3, x, 4, -2/(3*a*c^3*(1 - a*x)^3) + 1/(2*a*c^3*(1 - a*x)^2)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^4, x, 4, -1/(2*a*c^4*(1 - a*x)^4) + 1/(3*a*c^4*(1 - a*x)^3)}
+
+
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^p, x, 5, (3*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^p)/(a*p*(1 + p)*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + ((1 + 1/(a*x))^(3/2)*x*(c - a*c*x)^p)/((1 + p)*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (3*((a - 1/x)/(a + 1/x))^(3/2 - p)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^p*Hypergeometric2F1[1 - p, 3/2 - p, 2 - p, 2/((a + 1/x)*x)])/(a^2*p*(1 - p^2)*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*x)}
+
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^4, x, 8, (3/8)*a*c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2 - (1/4)*a^3*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^4 + (1/5)*a^4*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5 - (3*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(8*a)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^3, x, 7, (3/8)*a*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2 - (1/4)*a^3*c^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^4 - (3*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(8*a)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^2, x, 8, (1/2)*a*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2 + (1/3)*a^2*c^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3 - (c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(2*a)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x), x, 8, -2*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x - (1/2)*a*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2 - (3*c*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(2*a)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x), x, 9, (8*(a + 1/x))/(3*a^2*c*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)) + 4/(3*a^2*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) - ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]]/(a*c)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^2, x, 3, -((a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2))/(5*c^2*(a - 1/x)^5))}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^3, x, 4, (a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2))/(7*c^3*(a - 1/x)^6) - (6*a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2))/(35*c^3*(a - 1/x)^5)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^4, x, 6, -((47*(a + 1/x)^5)/(315*a^6*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2))) + (16*(a + 1/x)^6)/(63*a^7*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)) - (a + 1/x)^7/(9*a^8*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2))}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^5, x, 7, -((152*(a + 1/x)^5)/(1155*a^6*c^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2))) + (79*(a + 1/x)^6)/(231*a^7*c^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)) - (10*(a + 1/x)^7)/(33*a^8*c^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)) + (a + 1/x)^8/(11*a^9*c^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(11/2))}
+
+
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^p, x, 5, (4*c*(c - a*c*x)^(-1 + p))/(a*(1 - p)) + (4*(c - a*c*x)^p)/(a*p) - (c - a*c*x)^(1 + p)/(a*c*(1 + p))}
+
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^5, x, 4, -((c^5*(1 - a*x)^4)/a) + (4*c^5*(1 - a*x)^5)/(5*a) - (c^5*(1 - a*x)^6)/(6*a)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^4, x, 5, c^4*x - (2*a^2*c^4*x^3)/3 + (a^4*c^4*x^5)/5}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^3, x, 4, (2*c^3*(1 + a*x)^3)/(3*a) - (c^3*(1 + a*x)^4)/(4*a)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^2, x, 3, (c^2*(1 + a*x)^3)/(3*a)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x), x, 4, -3*c*x - (1/2)*a*c*x^2 - (4*c*Log[1 - a*x])/a}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x), x, 4, 2/(a*c*(1 - a*x)^2) - 4/(a*c*(1 - a*x)) - Log[1 - a*x]/(a*c)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^2, x, 3, (1 + a*x)^3/(6*a*c^2*(1 - a*x)^3)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^3, x, 4, 1/(a*c^3*(1 - a*x)^4) - 4/(3*a*c^3*(1 - a*x)^3) + 1/(2*a*c^3*(1 - a*x)^2)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^4, x, 4, 4/(5*a*c^4*(1 - a*x)^5) - 1/(a*c^4*(1 - a*x)^4) + 1/(3*a*c^4*(1 - a*x)^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c - a*c*x)^p/E^ArcCoth[a*x], x, 3, (((a - 1/x)/(a + 1/x))^(-(1/2) - p)*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x*(c - a*c*x)^p*Hypergeometric2F1[-1 - p, -(1/2) - p, -p, 2/((a + 1/x)*x)])/(1 + p)}
+
+{(c - a*c*x)^3/E^ArcCoth[a*x], x, 9, (20/3)*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x - (27/8)*a*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2 + (4/3)*a^2*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3 - (1/4)*a^3*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4 - (35*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(8*a)}
+{(c - a*c*x)^2/E^ArcCoth[a*x], x, 8, (11/3)*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x - (3/2)*a*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2 + (1/3)*a^2*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3 - (5*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(2*a)}
+{(c - a*c*x)/E^ArcCoth[a*x], x, 7, 2*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x - (1/2)*a*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2 - (3*c*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(2*a)}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x)), x, 5, -(ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]]/(a*c))}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x)^2), x, 3, -(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(c^2*(a - 1/x)))}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x)^3), x, 4, (a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(3*c^3*(a - 1/x)^2) - (2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(3*c^3*(a - 1/x))}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x)^4), x, 6, -((a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(5*c^4*(a - 1/x)^3)) + (8*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(15*c^4*(a - 1/x)^2) - (7*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(15*c^4*(a - 1/x))}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x)^5), x, 7, (a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(7*c^5*(a - 1/x)^4) - (18*a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(35*c^5*(a - 1/x)^3) + (23*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(35*c^5*(a - 1/x)^2) - (12*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(35*c^5*(a - 1/x))}
+
+
+{(c - a*c*x)^p/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 4, ((c - a*c*x)^(2 + p)*Hypergeometric2F1[1, 2 + p, 3 + p, (1/2)*(1 - a*x)])/(2*a*c^2*(2 + p))}
+
+{(c - a*c*x)^4/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 4, 16*c^4*x - (4*c^4*(1 - a*x)^2)/a - (4*c^4*(1 - a*x)^3)/(3*a) - (c^4*(1 - a*x)^4)/(2*a) - (c^4*(1 - a*x)^5)/(5*a) - (32*c^4*Log[1 + a*x])/a}
+{(c - a*c*x)^3/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 4, 8*c^3*x - (2*c^3*(1 - a*x)^2)/a - (2*c^3*(1 - a*x)^3)/(3*a) - (c^3*(1 - a*x)^4)/(4*a) - (16*c^3*Log[1 + a*x])/a}
+{(c - a*c*x)^2/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 4, 4*c^2*x - (c^2*(1 - a*x)^2)/a - (c^2*(1 - a*x)^3)/(3*a) - (8*c^2*Log[1 + a*x])/a}
+{(c - a*c*x)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 4, 3*c*x - (1/2)*a*c*x^2 - (4*c*Log[1 + a*x])/a}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)), x, 3, -(Log[1 + a*x]/(a*c))}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^2), x, 4, -(ArcTanh[a*x]/(a*c^2))}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^3), x, 5, -(1/(2*a*c^3*(1 - a*x))) - ArcTanh[a*x]/(2*a*c^3)}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^4), x, 5, -(1/(4*a*c^4*(1 - a*x)^2)) - 1/(4*a*c^4*(1 - a*x)) - ArcTanh[a*x]/(4*a*c^4)}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^5), x, 5, -(1/(6*a*c^5*(1 - a*x)^3)) - 1/(8*a*c^5*(1 - a*x)^2) - 1/(8*a*c^5*(1 - a*x)) - ArcTanh[a*x]/(8*a*c^5)}
+
+
+{(c - a*c*x)^p/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 3, (((a - 1/x)/(a + 1/x))^(-(3/2) - p)*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*x*(c - a*c*x)^p*Hypergeometric2F1[-(3/2) - p, -1 - p, -p, 2/((a + 1/x)*x)])/((1 + p)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])}
+
+{(c - a*c*x)^3/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 10, (32*c^3*(a - 1/x))/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + 30*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x - (67/8)*a*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2 + 2*a^2*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3 - (1/4)*a^3*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4 - (315*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(8*a)}
+{(c - a*c*x)^2/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 9, (16*c^2*(a - 1/x))/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (35/3)*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x - (5/2)*a*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2 + (1/3)*a^2*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3 - (35*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(2*a)}
+{(c - a*c*x)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 8, (8*c*(a - 1/x))/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + 4*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x - (1/2)*a*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2 - (15*c*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(2*a)}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)), x, 6, (2*(a - 1/x))/(a^2*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]]/(a*c)}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^2), x, 3, (a - 1/x)/(a^2*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^3), x, 3, 1/(a*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^4), x, 5, 2/(3*a*c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - 1/(3*a^2*c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(a - 1/x)*x^2)}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^5), x, 6, -((4*(a + 1/x))/(5*a^2*c^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))) + (a + 1/x)^2/(5*a^3*c^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)) + (5*a + 2/x)/(5*a^2*c^5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^6), x, 7, -((46*(a + 1/x))/(35*a^2*c^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))) + (24*(a + 1/x)^2)/(35*a^3*c^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)) - (a + 1/x)^3/(7*a^4*c^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)) + (35*a + 13/x)/(35*a^2*c^6*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcCoth[a x])  (c-c a x)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x)^(9/2), x, 7, -((32*(a - 1/x)^3*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*(c - a*c*x)^(9/2))/(99*a^4*(1 - 1/(a*x))^(9/2))) + (9088*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*(c - a*c*x)^(9/2))/(3465*a^4*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*x^3) - (768*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*(c - a*c*x)^(9/2))/(385*a^3*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*x^2) + (128*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*(c - a*c*x)^(9/2))/(231*a^2*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*x) + (2*(a - 1/x)^4*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x*(c - a*c*x)^(9/2))/(11*a^4*(1 - 1/(a*x))^(9/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x)^(7/2), x, 6, -((8*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*(c - a*c*x)^(7/2))/(21*a*(1 - 1/(a*x))^(7/2))) - (568*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*(c - a*c*x)^(7/2))/(315*a^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*x^2) + (48*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*(c - a*c*x)^(7/2))/(35*a^2*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*x) + (2*(a - 1/x)^3*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x*(c - a*c*x)^(7/2))/(9*a^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x)^(5/2), x, 5, (64*a^2*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(105*(c - a*c*x)^(3/2)) + (16*a^2*c^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(35*Sqrt[c - a*c*x]) + (2/7)*a^2*c^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Sqrt[c - a*c*x], -((36*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*(c - a*c*x)^(5/2))/(35*a*(1 - 1/(a*x))^(5/2))) + (142*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*(c - a*c*x)^(5/2))/(105*a^2*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*x) + (2*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x*(c - a*c*x)^(5/2))/(7*(1 - 1/(a*x))^(5/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x)^(3/2), x, 4, (8*a^2*c^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(15*(c - a*c*x)^(3/2)) + (2*a^2*c^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(5*Sqrt[c - a*c*x]), -((14*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*(c - a*c*x)^(3/2))/(15*a*(1 - 1/(a*x))^(3/2))) + (2*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x*(c - a*c*x)^(3/2))/(5*(1 - 1/(a*x))^(3/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x)^(1/2), x, 1, (2*E^ArcCoth[a*x]*(1 + a*x)*Sqrt[c - a*c*x])/(3*a)}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a*c*x)^(1/2), x, 5, (2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x)/Sqrt[c - a*c*x] - (2*Sqrt[2]*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/(Sqrt[a]*Sqrt[1/x]*Sqrt[c - a*c*x])}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a*c*x)^(3/2), x, 5, -((a*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x)/((a - 1/x)*(c - a*c*x)^(3/2))) - (Sqrt[a]*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/(Sqrt[2]*(1/x)^(3/2)*(c - a*c*x)^(3/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a*c*x)^(5/2), x, 6, (a^2*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^2)/(8*(a - 1/x)*(c - a*c*x)^(5/2)) - (a^3*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2)/(4*(a - 1/x)^2*(c - a*c*x)^(5/2)) + (a^(3/2)*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/(8*Sqrt[2]*(1/x)^(5/2)*(c - a*c*x)^(5/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a*c*x)^(7/2), x, 7, -((a^4*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2)/(6*(a - 1/x)^3*(c - a*c*x)^(7/2))) - (a^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^3)/(32*(a - 1/x)*(c - a*c*x)^(7/2)) + (a^4*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^3)/(16*(a - 1/x)^2*(c - a*c*x)^(7/2)) - (a^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/(32*Sqrt[2]*(1/x)^(7/2)*(c - a*c*x)^(7/2))}
+
+
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(7/2), x, 5, (4*(c - a*c*x)^(7/2))/(7*a) - (2*(c - a*c*x)^(9/2))/(9*a*c)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(5/2), x, 5, (4*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a) - (2*(c - a*c*x)^(7/2))/(7*a*c)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(3/2), x, 5, (4*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a) - (2*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a*c)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(1/2), x, 5, (4*Sqrt[c - a*c*x])/a - (2*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a*c)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^(1/2), x, 5, -(4/(a*Sqrt[c - a*c*x])) - (2*Sqrt[c - a*c*x])/(a*c)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^(3/2), x, 5, -(4/(3*a*(c - a*c*x)^(3/2))) + 2/(a*c*Sqrt[c - a*c*x])}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^(5/2), x, 5, -(4/(5*a*(c - a*c*x)^(5/2))) + 2/(3*a*c*(c - a*c*x)^(3/2))}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^(7/2), x, 5, -(4/(7*a*(c - a*c*x)^(7/2))) + 2/(5*a*c*(c - a*c*x)^(5/2))}
+
+
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(9/2), x, 6, (-8*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*(c - a*c*x)^(9/2))/(33*a*(1 - 1/(a*x))^(9/2)) - (856*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*(c - a*c*x)^(9/2))/(1155*a^3*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*x^2) + (16*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*(c - a*c*x)^(9/2))/(21*a^2*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*x) + (2*(a - x^(-1))^3*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x*(c - a*c*x)^(9/2))/(11*a^3*(1 - 1/(a*x))^(9/2))}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(7/2), x, 5, (-44*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*(c - a*c*x)^(7/2))/(63*a*(1 - 1/(a*x))^(7/2)) + (214*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*(c - a*c*x)^(7/2))/(315*a^2*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*x) + (2*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x*(c - a*c*x)^(7/2))/(9*(1 - 1/(a*x))^(7/2))}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(5/2), x, 4, (-18*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*(c - a*c*x)^(5/2))/(35*a*(1 - 1/(a*x))^(5/2)) + (2*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x*(c - a*c*x)^(5/2))/(7*(1 - 1/(a*x))^(5/2))}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(3/2), x, 1, (2*E^(3*ArcCoth[a*x])*(1 + a*x)*(c - a*c*x)^(3/2))/(5*a)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(1/2), x, 6, (4*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (2*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x*Sqrt[c - a*c*x])/(3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[1/x]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/(a^(3/2)*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^(1/2), x, 6, -((6*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/((a - 1/x)*Sqrt[c - a*c*x])) + (2*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x)/((a - 1/x)*Sqrt[c - a*c*x]) - (3*Sqrt[2]*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/(Sqrt[a]*Sqrt[1/x]*Sqrt[c - a*c*x])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^(3/2), x, 6, -((3*a*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x)/(4*(a - 1/x)*(c - a*c*x)^(3/2))) - (a^2*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x)/(2*(a - 1/x)^2*(c - a*c*x)^(3/2)) - (3*Sqrt[a]*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/(4*Sqrt[2]*(1/x)^(3/2)*(c - a*c*x)^(3/2))}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^(5/2), x, 7, (a^2*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^2)/(16*(a - 1/x)*(c - a*c*x)^(5/2)) + (a^3*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2)/(24*(a - 1/x)^2*(c - a*c*x)^(5/2)) - (a^4*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^2)/(6*(a - 1/x)^3*(c - a*c*x)^(5/2)) + (a^(3/2)*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/(16*Sqrt[2]*(1/x)^(5/2)*(c - a*c*x)^(5/2))}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^(7/2), x, 8, -((a^5*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^2)/(8*(a - 1/x)^4*(c - a*c*x)^(7/2))) - (3*a^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^3)/(256*(a - 1/x)*(c - a*c*x)^(7/2)) - (a^4*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^3)/(128*(a - 1/x)^2*(c - a*c*x)^(7/2)) + (a^5*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^3)/(32*(a - 1/x)^3*(c - a*c*x)^(7/2)) - (3*a^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/(256*Sqrt[2]*(1/x)^(7/2)*(c - a*c*x)^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c - a*c*x)^(9/2)/E^ArcCoth[a*x], x, 8, (16384*c^5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(693*Sqrt[c - a*c*x]) + (4096/693)*c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*Sqrt[c - a*c*x] + (512/231)*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*(c - a*c*x)^(3/2) + (640/693)*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*(c - a*c*x)^(5/2) + (40/99)*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*(c - a*c*x)^(7/2) + (2/11)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*(c - a*c*x)^(9/2), -((40*(a - 1/x)^4*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^(9/2))/(99*a^5*(1 - 1/(a*x))^(9/2))) - (22016*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^(9/2))/(693*a^5*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*x^4) + (1024*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^(9/2))/(99*a^4*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*x^3) - (512*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^(9/2))/(231*a^3*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*x^2) + (640*(a - 1/x)^3*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^(9/2))/(693*a^5*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*x) + (2*(a - 1/x)^5*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x*(c - a*c*x)^(9/2))/(11*a^5*(1 - 1/(a*x))^(9/2))}
+{(c - a*c*x)^(7/2)/E^ArcCoth[a*x], x, 7, (4096*c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(315*Sqrt[c - a*c*x]) + (1024/315)*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*Sqrt[c - a*c*x] + (128/105)*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*(c - a*c*x)^(3/2) + (32/63)*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*(c - a*c*x)^(5/2) + (2/9)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*(c - a*c*x)^(7/2), -((32*(a - 1/x)^3*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^(7/2))/(63*a^4*(1 - 1/(a*x))^(7/2))) + (5504*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^(7/2))/(315*a^4*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*x^3) - (256*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^(7/2))/(45*a^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*x^2) + (128*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^(7/2))/(105*a^2*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*x) + (2*(a - 1/x)^4*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x*(c - a*c*x)^(7/2))/(9*a^4*(1 - 1/(a*x))^(7/2))}
+{(c - a*c*x)^(5/2)/E^ArcCoth[a*x], x, 6, (256*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(35*Sqrt[c - a*c*x]) + (64/35)*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*Sqrt[c - a*c*x] + (24/35)*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*(c - a*c*x)^(3/2) + (2/7)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*(c - a*c*x)^(5/2), -((24*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^(5/2))/(35*a*(1 - 1/(a*x))^(5/2))) - (344*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^(5/2))/(35*a^3*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*x^2) + (16*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a^2*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*x) + (2*(a - 1/x)^3*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x*(c - a*c*x)^(5/2))/(7*a^3*(1 - 1/(a*x))^(5/2))}
+{(c - a*c*x)^(3/2)/E^ArcCoth[a*x], x, 5, (64*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(15*Sqrt[c - a*c*x]) + (16/15)*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*Sqrt[c - a*c*x] + (2/5)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*(c - a*c*x)^(3/2), -((28*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^(3/2))/(15*a*(1 - 1/(a*x))^(3/2))) + (86*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^(3/2))/(15*a^2*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*x) + (2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x*(c - a*c*x)^(3/2))/(5*(1 - 1/(a*x))^(3/2))}
+{(c - a*c*x)^(1/2)/E^ArcCoth[a*x], x, 4, (8*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(3*Sqrt[c - a*c*x]) + (2/3)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*Sqrt[c - a*c*x], -((10*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(3*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)])) + (2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x*Sqrt[c - a*c*x])/(3*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x)^(1/2)), x, 1, (2*(1 + a*x))/(E^ArcCoth[a*x]*(a*Sqrt[c - a*c*x]))}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x)^(3/2)), x, 4, -((Sqrt[2]*Sqrt[a]*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/((1/x)^(3/2)*(c - a*c*x)^(3/2)))}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x)^(5/2)), x, 5, -((a^2*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^2)/(2*(a - 1/x)*(c - a*c*x)^(5/2))) + (a^(3/2)*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/(2*Sqrt[2]*(1/x)^(5/2)*(c - a*c*x)^(5/2))}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - a*c*x)^(7/2)), x, 6, -((a^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^2)/(4*(a - 1/x)^2*(c - a*c*x)^(7/2))) + (3*a^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^3)/(16*(a - 1/x)*(c - a*c*x)^(7/2)) - (3*a^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/(16*Sqrt[2]*(1/x)^(7/2)*(c - a*c*x)^(7/2))}
+
+
+{(c - a*c*x)^(7/2)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 10, -((32*c^3*Sqrt[c - a*c*x])/a) - (16*c^2*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a) - (8*c*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a) - (4*(c - a*c*x)^(7/2))/(7*a) - (2*(c - a*c*x)^(9/2))/(9*a*c) + (32*Sqrt[2]*c^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{(c - a*c*x)^(5/2)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 9, -((16*c^2*Sqrt[c - a*c*x])/a) - (8*c*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a) - (4*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a) - (2*(c - a*c*x)^(7/2))/(7*a*c) + (16*Sqrt[2]*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{(c - a*c*x)^(3/2)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 8, -((8*c*Sqrt[c - a*c*x])/a) - (4*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a) - (2*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a*c) + (8*Sqrt[2]*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{(c - a*c*x)^(1/2)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 7, -((4*Sqrt[c - a*c*x])/a) - (2*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a*c) + (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(1/2)), x, 6, -((2*Sqrt[c - a*c*x])/(a*c)) + (2*Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(a*Sqrt[c])}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(3/2)), x, 5, (Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(a*c^(3/2))}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(5/2)), x, 6, -(1/(a*c^2*Sqrt[c - a*c*x])) + ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]/(Sqrt[2]*a*c^(5/2))}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(7/2)), x, 7, -(1/(3*a*c^2*(c - a*c*x)^(3/2))) - 1/(2*a*c^3*Sqrt[c - a*c*x]) + ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]/(2*Sqrt[2]*a*c^(7/2))}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(9/2)), x, 8, -(1/(5*a*c^2*(c - a*c*x)^(5/2))) - 1/(6*a*c^3*(c - a*c*x)^(3/2)) - 1/(4*a*c^4*Sqrt[c - a*c*x]) + ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]/(4*Sqrt[2]*a*c^(9/2))}
+
+
+{(c - a*c*x)^(9/2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 9, -((16*(a - 1/x)^5*(c - a*c*x)^(9/2))/(33*a^6*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])) - (94208*(c - a*c*x)^(9/2))/(231*a^6*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^5) - (40960*(c - a*c*x)^(9/2))/(231*a^5*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^4) + (4096*(c - a*c*x)^(9/2))/(231*a^4*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^3) - (1024*(a - 1/x)^3*(c - a*c*x)^(9/2))/(231*a^6*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^2) + (320*(a - 1/x)^4*(c - a*c*x)^(9/2))/(231*a^6*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x) + (2*(a - 1/x)^6*x*(c - a*c*x)^(9/2))/(11*a^6*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])}
+{(c - a*c*x)^(7/2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 8, -((40*(a - 1/x)^4*(c - a*c*x)^(7/2))/(63*a^5*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])) + (11776*(c - a*c*x)^(7/2))/(63*a^5*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^4) + (5120*(c - a*c*x)^(7/2))/(63*a^4*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^3) - (512*(c - a*c*x)^(7/2))/(63*a^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^2) + (128*(a - 1/x)^3*(c - a*c*x)^(7/2))/(63*a^5*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x) + (2*(a - 1/x)^5*x*(c - a*c*x)^(7/2))/(9*a^5*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])}
+{(c - a*c*x)^(5/2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 7, -((32*(a - 1/x)^3*(c - a*c*x)^(5/2))/(35*a^4*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])) - (2944*(c - a*c*x)^(5/2))/(35*a^4*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^3) - (256*(c - a*c*x)^(5/2))/(7*a^3*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^2) + (128*(c - a*c*x)^(5/2))/(35*a^2*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x) + (2*(a - 1/x)^4*x*(c - a*c*x)^(5/2))/(7*a^4*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])}
+{(c - a*c*x)^(3/2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 6, -((8*(c - a*c*x)^(3/2))/(5*a*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])) + (184*(c - a*c*x)^(3/2))/(5*a^3*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^2) + (16*(c - a*c*x)^(3/2))/(a^2*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x) + (2*(a - 1/x)^3*x*(c - a*c*x)^(3/2))/(5*a^3*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])}
+{(c - a*c*x)^(1/2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 5, -((20*Sqrt[c - a*c*x])/(3*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])) - (46*Sqrt[c - a*c*x])/(3*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x) + (2*x*Sqrt[c - a*c*x])/(3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(1/2)), x, 4, (6*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(a*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x]) + (2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x)/(Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(3/2)), x, 1, -((2*(1 + a*x))/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(a*(c - a*c*x)^(3/2))))}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(5/2)), x, 5, (a*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*x^2)/(Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^(5/2)) - (a^(3/2)*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/(Sqrt[2]*(1/x)^(5/2)*(c - a*c*x)^(5/2))}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(7/2)), x, 6, -((a^2*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*x^2)/(2*(a - 1/x)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^(7/2))) - (3*a^2*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*x^3)/(4*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - a*c*x)^(7/2)) + (3*a^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/(4*Sqrt[2]*(1/x)^(7/2)*(c - a*c*x)^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcCoth[a x]) (c-c a x)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{E^ArcCoth[x]*x*(1 + x), x, 7, Sqrt[1 + 1/x]*Sqrt[(-1 + x)/x]*x + (1/3)*(1 + 1/x)^(3/2)*Sqrt[(-1 + x)/x]*x^2 + (1/3)*(1 + 1/x)^(5/2)*Sqrt[(-1 + x)/x]*x^3 + ArcTanh[Sqrt[1 + 1/x]*Sqrt[(-1 + x)/x]]}
+{E^ArcCoth[x]*(1 + x), x, 6, (3/2)*Sqrt[1 + 1/x]*Sqrt[(-1 + x)/x]*x + (1/2)*(1 + 1/x)^(3/2)*Sqrt[(-1 + x)/x]*x^2 + (3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/x]*Sqrt[(-1 + x)/x]]}
+
+{E^ArcCoth[x]*(1 - x)*x, x, 3, (-(1/3))*(1 - 1/x^2)^(3/2)*x^3}
+{E^ArcCoth[x]*(1 - x), x, 6, (-(1/2))*Sqrt[1 - 1/x^2]*x^2 + (1/2)*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/x^2]]}
+
+
+{E^ArcCoth[x]*x*(1 + x)^2, x, 8, (15/8)*Sqrt[1 + 1/x]*Sqrt[(-1 + x)/x]*x + (5/8)*(1 + 1/x)^(3/2)*Sqrt[(-1 + x)/x]*x^2 + (1/4)*(1 + 1/x)^(5/2)*Sqrt[(-1 + x)/x]*x^3 + (1/4)*(1 + 1/x)^(7/2)*Sqrt[(-1 + x)/x]*x^4 + (15/8)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/x]*Sqrt[(-1 + x)/x]]}
+{E^ArcCoth[x]*(1 + x)^2, x, 7, (5/2)*Sqrt[1 + 1/x]*Sqrt[(-1 + x)/x]*x + (5/6)*(1 + 1/x)^(3/2)*Sqrt[(-1 + x)/x]*x^2 + (1/3)*(1 + 1/x)^(5/2)*Sqrt[(-1 + x)/x]*x^3 + (5/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/x]*Sqrt[(-1 + x)/x]]}
+
+{E^ArcCoth[x]*(1 - x)^2*x, x, 8, (1/8)*Sqrt[1 - 1/x^2]*x^2 - (1/3)*(1 - 1/x^2)^(3/2)*x^3 + (1/4)*(1 - 1/x^2)^(3/2)*x^4 - (1/8)*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/x^2]]}
+{E^ArcCoth[x]*(1 - x)^2, x, 7, (-(1/2))*Sqrt[1 - 1/x^2]*x^2 + (1/3)*(1 - 1/x^2)^(3/2)*x^3 + (1/2)*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/x^2]]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(E^ArcCoth[x]*x)/(1 + x), x, 3, Sqrt[1 + 1/x]*Sqrt[(-1 + x)/x]*x}
+{E^ArcCoth[x]/(1 + x), x, 4, ArcTanh[Sqrt[1 + 1/x]*Sqrt[(-1 + x)/x]]}
+
+{(E^ArcCoth[x]*x)/(1 - x), x, 8, (2*(1 + 1/x))/Sqrt[1 - 1/x^2] - Sqrt[1 - 1/x^2]*x - 2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/x^2]]}
+{E^ArcCoth[x]/(1 - x), x, 7, (2*(1 + 1/x))/Sqrt[1 - 1/x^2] - ArcTanh[Sqrt[1 - 1/x^2]]}
+
+
+{(E^ArcCoth[x]*x)/(1 + x)^2, x, 5, -(Sqrt[(-1 + x)/x]/Sqrt[1 + 1/x]) + ArcTanh[Sqrt[1 + 1/x]*Sqrt[(-1 + x)/x]]}
+{E^ArcCoth[x]/(1 + x)^2, x, 3, Sqrt[(-1 + x)/x]/Sqrt[1 + 1/x]}
+
+{(E^ArcCoth[x]*x)/(1 - x)^2, x, 9, -((4*(1 + 1/x))/(3*(1 - 1/x^2)^(3/2))) - (3 + 5/x)/(3*Sqrt[1 - 1/x^2]) + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/x^2]]}
+{E^ArcCoth[x]/(1 - x)^2, x, 3, -((1 - 1/x^2)^(3/2)/(3*(1 - 1/x)^3))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcCoth[a x]) (c-c a x)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcCoth[a*x]*x^m*Sqrt[c - a*c*x], x, 3, (2*x^(1 + m)*Sqrt[c - a*c*x]*Hypergeometric2F1[-(1/2), -(3/2) - m, -(1/2) - m, -(1/(a*x))])/((3 + 2*m)*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+
+{E^ArcCoth[a*x]*x^2*Sqrt[c - a*c*x], x, 5, (16*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x*Sqrt[c - a*c*x])/(105*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (8*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2*Sqrt[c - a*c*x])/(35*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (2*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^3*Sqrt[c - a*c*x])/(7*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{E^ArcCoth[a*x]*x*Sqrt[c - a*c*x], x, 4, -((4*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x*Sqrt[c - a*c*x])/(15*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)])) + (2*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2*Sqrt[c - a*c*x])/(5*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - a*c*x], x, 1, (2*E^ArcCoth[a*x]*(1 + a*x)*Sqrt[c - a*c*x])/(3*a)}
+{(E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - a*c*x])/x, x, 5, (2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/Sqrt[1 - 1/(a*x)] - (2*Sqrt[x^(-1)]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcSinh[Sqrt[x^(-1)]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{(E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - a*c*x])/x^2, x, 5, -((Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x)) - (Sqrt[a]*Sqrt[x^(-1)]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcSinh[Sqrt[x^(-1)]/Sqrt[a]])/Sqrt[1 - 1/(a*x)]}
+
+
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*x^3*Sqrt[c - a*c*x], x, 5, (4*Sqrt[c - a*c*x])/a^4 - (14*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a^4*c) + (18*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a^4*c^2) - (10*(c - a*c*x)^(7/2))/(7*a^4*c^3) + (2*(c - a*c*x)^(9/2))/(9*a^4*c^4)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*x^2*Sqrt[c - a*c*x], x, 5, (4*Sqrt[c - a*c*x])/a^3 - (10*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a^3*c) + (8*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a^3*c^2) - (2*(c - a*c*x)^(7/2))/(7*a^3*c^3)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*x*Sqrt[c - a*c*x], x, 5, (4*Sqrt[c - a*c*x])/a^2 - (2*(c - a*c*x)^(3/2))/(a^2*c) + (2*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a^2*c^2)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a*c*x], x, 5, (4*Sqrt[c - a*c*x])/a - (2*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a*c)}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x, x, 6, 2*Sqrt[c - a*c*x] + 2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]]}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x^2, x, 6, Sqrt[c - a*c*x]/x + 3*a*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]]}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x^3, x, 7, Sqrt[c - a*c*x]/(2*x^2) + (7*a*Sqrt[c - a*c*x])/(4*x) + (7/4)*a^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]]}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x^4, x, 8, Sqrt[c - a*c*x]/(3*x^3) + (11*a*Sqrt[c - a*c*x])/(12*x^2) + (11*a^2*Sqrt[c - a*c*x])/(8*x) + (11/8)*a^3*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]]}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x^5, x, 9, Sqrt[c - a*c*x]/(4*x^4) + (5*a*Sqrt[c - a*c*x])/(8*x^3) + (25*a^2*Sqrt[c - a*c*x])/(32*x^2) + (75*a^3*Sqrt[c - a*c*x])/(64*x) + (75/64)*a^4*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]]}
+
+
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*x^3*Sqrt[c - a*c*x], x, 10, (1576*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(315*a^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (472*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x*Sqrt[c - a*c*x])/(315*a^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (92*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^2*Sqrt[c - a*c*x])/(105*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (38*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^3*Sqrt[c - a*c*x])/(63*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^4*Sqrt[c - a*c*x])/(9*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[1/x]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/(a^(9/2)*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*x^2*Sqrt[c - a*c*x], x, 9, (104*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(21*a^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (32*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x*Sqrt[c - a*c*x])/(21*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (6*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^2*Sqrt[c - a*c*x])/(7*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^3*Sqrt[c - a*c*x])/(7*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[1/x]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/(a^(7/2)*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*x*Sqrt[c - a*c*x], x, 7, (4*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (2*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x*Sqrt[c - a*c*x])/(3*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (2*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^2*Sqrt[c - a*c*x])/(5*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[1/x]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/(a^(5/2)*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a*c*x], x, 6, (4*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (2*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x*Sqrt[c - a*c*x])/(3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[1/x]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/(a^(3/2)*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x, x, 8, (2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/Sqrt[1 - 1/(a*x)] + (2*Sqrt[1/x]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcSinh[Sqrt[1/x]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[1/x]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x^2, x, 8, (Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x) + (5*Sqrt[a]*Sqrt[1/x]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcSinh[Sqrt[1/x]/Sqrt[a]])/Sqrt[1 - 1/(a*x)] - (4*Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[1/x]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/Sqrt[1 - 1/(a*x)]}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x^3, x, 9, (7*a*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x) + (a*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[c - a*c*x])/(2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x) + (23*a^(3/2)*Sqrt[1/x]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcSinh[Sqrt[1/x]/Sqrt[a]])/(4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (4*Sqrt[2]*a^(3/2)*Sqrt[1/x]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/Sqrt[1 - 1/(a*x)]}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x^4, x, 10, (a*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[c - a*c*x])/(3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x^2) + (13*a^2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(8*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x) + (3*a^2*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[c - a*c*x])/(4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x) + (45*a^(5/2)*Sqrt[1/x]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcSinh[Sqrt[1/x]/Sqrt[a]])/(8*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (4*Sqrt[2]*a^(5/2)*Sqrt[1/x]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/Sqrt[1 - 1/(a*x)]}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a*c*x])/x^5, x, 11, (a*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[c - a*c*x])/(4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x^3) + (11*a^2*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[c - a*c*x])/(24*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x^2) + (107*a^3*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(64*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x) + (21*a^3*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[c - a*c*x])/(32*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x) + (363*a^(7/2)*Sqrt[1/x]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcSinh[Sqrt[1/x]/Sqrt[a]])/(64*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (4*Sqrt[2]*a^(7/2)*Sqrt[1/x]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])])/Sqrt[1 - 1/(a*x)]}
+
+
+{E^ArcCoth[x]*x*(1 + x)^(3/2), x, 6, (46*Sqrt[-((1 - x)/x)]*(1 + x)^(3/2))/(21*(1 + 1/x)^(3/2)) + (92*Sqrt[-((1 - x)/x)]*(1 + x)^(3/2))/(21*(1 + 1/x)^(3/2)*x) + (8*Sqrt[-((1 - x)/x)]*x*(1 + x)^(3/2))/(7*(1 + 1/x)^(3/2)) + (2*Sqrt[-((1 - x)/x)]*x^2*(1 + x)^(3/2))/(7*(1 + 1/x)^(3/2))}
+{E^ArcCoth[x]*(1 + x)^(3/2), x, 5, (28*Sqrt[-((1 - x)/x)]*(1 + x)^(3/2))/(15*(1 + 1/x)^(3/2)) + (86*Sqrt[-((1 - x)/x)]*(1 + x)^(3/2))/(15*(1 + 1/x)^(3/2)*x) + (2*Sqrt[-((1 - x)/x)]*x*(1 + x)^(3/2))/(5*(1 + 1/x)^(3/2))}
+
+{E^ArcCoth[x]*(1 - x)^(3/2)*x, x, 5, (44*(1 + 1/x)^(3/2)*(1 - x)^(3/2))/(105*(1 - 1/x)^(3/2)) - (22*(1 + 1/x)^(3/2)*(1 - x)^(3/2)*x)/(35*(1 - 1/x)^(3/2)) + (2*(1 + 1/x)^(3/2)*(1 - x)^(3/2)*x^2)/(7*(1 - 1/x)^(3/2))}
+{E^ArcCoth[x]*(1 - x)^(3/2), x, 4, (-14*(1 + x^(-1))^(3/2)*(1 - x)^(3/2))/(15*(1 - x^(-1))^(3/2)) + (2*(1 + x^(-1))^(3/2)*(1 - x)^(3/2)*x)/(5*(1 - x^(-1))^(3/2))}
+
+
+{E^ArcCoth[x]*x*Sqrt[1 + x], x, 5, (12*Sqrt[-((1 - x)/x)]*Sqrt[1 + x])/(5*Sqrt[1 + 1/x]) + (6*Sqrt[-((1 - x)/x)]*x*Sqrt[1 + x])/(5*Sqrt[1 + 1/x]) + (2*Sqrt[-((1 - x)/x)]*x^2*Sqrt[1 + x])/(5*Sqrt[1 + 1/x])}
+{E^ArcCoth[x]*Sqrt[1 + x], x, 4, (10*Sqrt[-((1 - x)/x)]*Sqrt[1 + x])/(3*Sqrt[1 + 1/x]) + (2*Sqrt[-((1 - x)/x)]*x*Sqrt[1 + x])/(3*Sqrt[1 + 1/x])}
+
+{E^ArcCoth[x]*Sqrt[1 - x]*x, x, 4, -((4*(1 + 1/x)^(3/2)*Sqrt[1 - x]*x)/(15*Sqrt[1 - 1/x])) + (2*(1 + 1/x)^(3/2)*Sqrt[1 - x]*x^2)/(5*Sqrt[1 - 1/x])}
+{E^ArcCoth[x]*Sqrt[1 - x], x, 1, (2/3)*E^ArcCoth[x]*Sqrt[1 - x]*(1 + x)}
+
+
+{(E^ArcCoth[x]*x)/Sqrt[1 + x], x, 4, (4*Sqrt[1 + 1/x]*Sqrt[-((1 - x)/x)]*x)/(3*Sqrt[1 + x]) + (2*Sqrt[1 + 1/x]*Sqrt[-((1 - x)/x)]*x^2)/(3*Sqrt[1 + x])}
+{E^ArcCoth[x]/Sqrt[1 + x], x, 3, (2*Sqrt[1 + 1/x]*Sqrt[-((1 - x)/x)]*x)/Sqrt[1 + x]}
+
+{(E^ArcCoth[x]*x)/Sqrt[1 - x], x, 6, (2*Sqrt[1 - 1/x]*Sqrt[1 + 1/x]*x)/Sqrt[1 - x] + (2*Sqrt[1 - 1/x]*(1 + 1/x)^(3/2)*x^2)/(3*Sqrt[1 - x]) - (2*Sqrt[2]*Sqrt[1 - 1/x]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/Sqrt[1 + 1/x]])/(Sqrt[1 - x]*Sqrt[1/x])}
+{E^ArcCoth[x]/Sqrt[1 - x], x, 5, (2*Sqrt[1 - x^(-1)]*Sqrt[1 + x^(-1)]*x)/Sqrt[1 - x] - (2*Sqrt[2]*Sqrt[1 - x^(-1)]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[x^(-1)])/Sqrt[1 + x^(-1)]])/(Sqrt[1 - x]*Sqrt[x^(-1)])}
+
+
+{(E^ArcCoth[x]*x)/(1 + x)^(3/2), x, 5, (2*(1 + 1/x)^(3/2)*Sqrt[-((1 - x)/x)]*x^2)/(1 + x)^(3/2) + (Sqrt[2]*(1 + 1/x)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/Sqrt[-((1 - x)/x)]])/((1/x)^(3/2)*(1 + x)^(3/2))}
+{E^ArcCoth[x]/(1 + x)^(3/2), x, 4, -((Sqrt[2]*(1 + 1/x)^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/Sqrt[-((1 - x)/x)]])/((1/x)^(3/2)*(1 + x)^(3/2)))}
+
+{(E^ArcCoth[x]*x)/(1 - x)^(3/2), x, 6, (5*(1 - 1/x)^(3/2)*Sqrt[1 + 1/x]*x^2)/(2*(1 - x)^(3/2)) - (Sqrt[1 - 1/x]*(1 + 1/x)^(3/2)*x^2)/(2*(1 - x)^(3/2)) - (5*(1 - 1/x)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[1/x])/Sqrt[1 + 1/x]])/(Sqrt[2]*(1 - x)^(3/2)*(1/x)^(3/2))}
+{E^ArcCoth[x]/(1 - x)^(3/2), x, 5, -((Sqrt[1 - x^(-1)]*Sqrt[1 + x^(-1)]*x)/(1 - x)^(3/2)) - ((1 - x^(-1))^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[x^(-1)])/Sqrt[1 + x^(-1)]])/(Sqrt[2]*(1 - x)^(3/2)*(x^(-1))^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(x^m*Sqrt[c - a*c*x])/E^ArcCoth[a*x], x, 4, If[$VersionNumber>=8, (2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^(1 + m)*Sqrt[c - a*c*x])/((3 + 2*m)*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (2*(5 + 4*m)*x^m*Sqrt[c - a*c*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -(1/2) - m, 1/2 - m, -(1/(a*x))])/(a*(1 + 2*m)*(3 + 2*m)*Sqrt[1 - 1/(a*x)]), (2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^(1 + m)*Sqrt[c - a*c*x])/((3 + 2*m)*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (2*(5 + 4*m)*x^m*Sqrt[c - a*c*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -(1/2) - m, 1/2 - m, -(1/(a*x))])/(a*(3 + 8*m + 4*m^2)*Sqrt[1 - 1/(a*x)])]}
+
+{(x^2*Sqrt[c - a*c*x])/E^ArcCoth[a*x], x, 6, (152*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(105*a^2*Sqrt[c - a*c*x]) + (38*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*Sqrt[c - a*c*x])/(105*a^2) + (6*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*(c - a*c*x)^(3/2))/(35*a^2*c) - (2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2*(c - a*c*x)^(3/2))/(7*a*c), -((208*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(105*a^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)])) + (104*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x*Sqrt[c - a*c*x])/(105*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (26*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^2*Sqrt[c - a*c*x])/(35*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^3*Sqrt[c - a*c*x])/(7*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{(x*Sqrt[c - a*c*x])/E^ArcCoth[a*x], x, 5, -((8*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(5*a*Sqrt[c - a*c*x])) - (2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*Sqrt[c - a*c*x])/(5*a) - (2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*(c - a*c*x)^(3/2))/(5*a*c), (12*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(5*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (6*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x*Sqrt[c - a*c*x])/(5*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^2*Sqrt[c - a*c*x])/(5*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{Sqrt[c - a*c*x]/E^ArcCoth[a*x], x, 4, (8*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(3*Sqrt[c - a*c*x]) + (2/3)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*Sqrt[c - a*c*x], -((10*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(3*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)])) + (2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x*Sqrt[c - a*c*x])/(3*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^ArcCoth[a*x]*x), x, 5, (2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/Sqrt[1 - 1/(a*x)] + (2*Sqrt[x^(-1)]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcSinh[Sqrt[x^(-1)]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^ArcCoth[a*x]*x^2), x, 5, (Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x) - (3*Sqrt[a]*Sqrt[x^(-1)]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcSinh[Sqrt[x^(-1)]/Sqrt[a]])/Sqrt[1 - 1/(a*x)]}
+
+
+{(x^3*Sqrt[c - a*c*x])/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 9, (4*Sqrt[c - a*c*x])/a^4 + (2*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a^4*c) + (2*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a^4*c^2) - (2*(c - a*c*x)^(7/2))/(7*a^4*c^3) + (2*(c - a*c*x)^(9/2))/(9*a^4*c^4) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a^4}
+{(x^2*Sqrt[c - a*c*x])/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 9, -((4*Sqrt[c - a*c*x])/a^3) - (2*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a^3*c) - (2*(c - a*c*x)^(7/2))/(7*a^3*c^3) + (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a^3}
+{(x*Sqrt[c - a*c*x])/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 8, (4*Sqrt[c - a*c*x])/a^2 + (2*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a^2*c) + (2*(c - a*c*x)^(5/2))/(5*a^2*c^2) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a^2}
+{Sqrt[c - a*c*x]/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 7, -((4*Sqrt[c - a*c*x])/a) - (2*(c - a*c*x)^(3/2))/(3*a*c) + (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x), x, 9, 2*Sqrt[c - a*c*x] + 2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]] - 4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^2), x, 9, Sqrt[c - a*c*x]/x - 5*a*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]] + 4*Sqrt[2]*a*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^3), x, 10, Sqrt[c - a*c*x]/(2*x^2) - (9*a*Sqrt[c - a*c*x])/(4*x) + (23/4)*a^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]] - 4*Sqrt[2]*a^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^4), x, 11, Sqrt[c - a*c*x]/(3*x^3) - (13*a*Sqrt[c - a*c*x])/(12*x^2) + (19*a^2*Sqrt[c - a*c*x])/(8*x) - (45/8)*a^3*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]] + 4*Sqrt[2]*a^3*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^5), x, 12, Sqrt[c - a*c*x]/(4*x^4) - (17*a*Sqrt[c - a*c*x])/(24*x^3) + (107*a^2*Sqrt[c - a*c*x])/(96*x^2) - (149*a^3*Sqrt[c - a*c*x])/(64*x) + (363/64)*a^4*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/Sqrt[c]] - 4*Sqrt[2]*a^4*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a*c*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+
+
+{(x^3*Sqrt[c - a*c*x])/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 8, (1312*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(45*a^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (656*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x*Sqrt[c - a*c*x])/(45*a^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (82*x^2*Sqrt[c - a*c*x])/(9*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (164*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^2*Sqrt[c - a*c*x])/(15*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (8*x^3*Sqrt[c - a*c*x])/(9*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (2*x^4*Sqrt[c - a*c*x])/(9*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])}
+{(x^2*Sqrt[c - a*c*x])/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 7, -((2672*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(105*a^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)])) - (334*x*Sqrt[c - a*c*x])/(35*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (1336*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x*Sqrt[c - a*c*x])/(105*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (44*x^2*Sqrt[c - a*c*x])/(35*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (2*x^3*Sqrt[c - a*c*x])/(7*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])}
+{(x^1*Sqrt[c - a*c*x])/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 6, -((158*Sqrt[c - a*c*x])/(15*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])) + (316*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(15*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (32*x*Sqrt[c - a*c*x])/(15*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (2*x^2*Sqrt[c - a*c*x])/(5*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])}
+{Sqrt[c - a*c*x]/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 5, -((20*Sqrt[c - a*c*x])/(3*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])) - (46*Sqrt[c - a*c*x])/(3*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x) + (2*x*Sqrt[c - a*c*x])/(3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^1), x, 6, (2*Sqrt[c - a*c*x])/(Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (10*Sqrt[c - a*c*x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x) - (2*Sqrt[x^(-1)]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcSinh[Sqrt[x^(-1)]/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^2), x, 6, (-8*Sqrt[c - a*c*x])/(Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x) - (Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x) + (7*Sqrt[a]*Sqrt[x^(-1)]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcSinh[Sqrt[x^(-1)]/Sqrt[a]])/Sqrt[1 - 1/(a*x)]}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^3), x, 7, (-8*Sqrt[c - a*c*x])/(Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^2) - (Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x^2) + (47*a*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x) - (47*a^(3/2)*Sqrt[x^(-1)]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcSinh[Sqrt[x^(-1)]/Sqrt[a]])/(4*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^4), x, 8, (-8*Sqrt[c - a*c*x])/(Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^3) - (Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x^3) + (119*a*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(12*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x^2) - (119*a^2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(8*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x) + (119*a^(5/2)*Sqrt[x^(-1)]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcSinh[Sqrt[x^(-1)]/Sqrt[a]])/(8*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{Sqrt[c - a*c*x]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^5), x, 9, (-8*Sqrt[c - a*c*x])/(Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^4) - (Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x^4) + (223*a*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(24*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x^3) - (1115*a^2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(96*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x^2) + (1115*a^3*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - a*c*x])/(64*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x) - (1115*a^(7/2)*Sqrt[x^(-1)]*Sqrt[c - a*c*x]*ArcSinh[Sqrt[x^(-1)]/Sqrt[a]])/(64*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcCoth[a x])  (c-c a x)^p with n symbolic*)
+
+
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(n/2 + 2), x, 6, -(((56 + 14*n + n^2)*(1 - 1/(a*x))^(-2 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*(c - a*c*x)^((4 + n)/2))/(a*(4 + n)*(6 + n))) + (2*(56 + 14*n + n^2)*(1 - 1/(a*x))^(-2 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*(c - a*c*x)^((4 + n)/2))/(a^2*(6 + n)*(8 + 6*n + n^2)*x) + ((8 + n)*(1 - 1/(a*x))^(-2 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x*(c - a*c*x)^((4 + n)/2))/(6 + n) - ((a - 1/x)*(1 - 1/(a*x))^(-2 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x*(c - a*c*x)^((4 + n)/2))/a}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(n/2 + 1), x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((2*(6 + n)*(1 - 1/(a*x))^(-1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*(c - a*c*x)^((2 + n)/2))/(a*(2 + n)*(4 + n))) + (2*(1 - 1/(a*x))^(-1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x*(c - a*c*x)^((2 + n)/2))/(4 + n), -((2*(6 + n)*(1 - 1/(a*x))^(-1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*(c - a*c*x)^((2 + n)/2))/(a*(8 + 6*n + n^2))) + (2*(1 - 1/(a*x))^(-1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x*(c - a*c*x)^((2 + n)/2))/(4 + n)]}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(n/2 + 0), x, 1, (2*E^(n*ArcCoth[a*x])*(1 + a*x)*(c - a*c*x)^(n/2))/(a*(2 + n))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(n/2 - 1), x, 3, (2*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^(n/2)*x*(c - a*c*x)^((1/2)*(-2 + n))*Hypergeometric2F1[1, -(n/2), 1 - n/2, 2/((a + 1/x)*x)])/n}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(n/2 - 2), x, 3, -((2*(1 - 1/(a*x))^(2 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-2 + n))*x*(c - a*c*x)^((1/2)*(-4 + n))*Hypergeometric2F1[2, 1 - n/2, 2 - n/2, 2/((a + 1/x)*x)])/(2 - n))}
+
+
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^p, x, 3, (((a - 1/x)/(a + 1/x))^((1/2)*(n - 2*p))*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x*(c - a*c*x)^p*Hypergeometric2F1[(1/2)*(n - 2*p), -1 - p, -p, 2/((a + 1/x)*x)])/((1 - 1/(a*x))^(n/2)*(1 + p))}
+
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^3, x, 3, -((32*c^3*(1 - 1/(a*x))^(4 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-8 + n))*Hypergeometric2F1[5, 4 - n/2, 5 - n/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/(a*(8 - n)))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^2, x, 3, (16*c^2*(1 - 1/(a*x))^(3 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-6 + n))*Hypergeometric2F1[4, 3 - n/2, 4 - n/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/(a*(6 - n))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^1, x, 3, -((8*c*(1 - 1/(a*x))^(2 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-4 + n))*Hypergeometric2F1[3, 2 - n/2, 3 - n/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/(a*(4 - n)))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^1, x, 3, (2*(1 + 1/(a*x))^(n/2)*Hypergeometric2F1[1, -(n/2), 1 - n/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/((1 - 1/(a*x))^(n/2)*(a*c*n))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^2, x, 3, -(((1 - 1/(a*x))^(-1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2))/(a*c^2*(2 + n)))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^3, x, 4, If[$VersionNumber>=8, ((1 - 1/(a*x))^(-2 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2))/(a*c^3*(4 + n)) - ((3 + n)*(1 - 1/(a*x))^(-1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2))/(a*c^3*(2 + n)*(4 + n)), -(((3 + n)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-2 - n))*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2))/(a*c^3*(8 + 6*n + n^2))) + ((1 - 1/(a*x))^(-2 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2))/(a*c^3*(4 + n))]}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^4, x, 6, If[$VersionNumber>=8, ((5 + n)*(1 - 1/(a*x))^(-3 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2))/(a*c^4*(6 + n)) - ((14 + 8*n + n^2)*(1 - 1/(a*x))^(-2 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2))/(a*c^4*(4 + n)*(6 + n)) - ((14 + 8*n + n^2)*(1 - 1/(a*x))^(-1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2))/(a*c^4*(6 + n)*(8 + 6*n + n^2)) - ((1 - 1/(a*x))^(-3 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2))/(a^2*c^4*x), -(((14 + 8*n + n^2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-4 - n))*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2))/(a*c^4*(24 + 10*n + n^2))) - ((14 + 8*n + n^2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-2 - n))*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2))/(a*c^4*(48 + 44*n + 12*n^2 + n^3)) + ((5 + n)*(1 - 1/(a*x))^(-3 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2))/(a*c^4*(6 + n)) - ((1 - 1/(a*x))^(-3 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2))/(a^2*c^4*x)]}
+
+
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(5/2), x, 3, ((2/7)*((a - 1/x)/(a + 1/x))^((1/2)*(-5 + n))*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x*(c - a*c*x)^(5/2)*Hypergeometric2F1[-(7/2), (1/2)*(-5 + n), -(5/2), 2/((a + 1/x)*x)])/(1 - 1/(a*x))^(n/2)}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(3/2), x, 3, ((2/5)*((a - 1/x)/(a + 1/x))^((1/2)*(-3 + n))*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x*(c - a*c*x)^(3/2)*Hypergeometric2F1[-(5/2), (1/2)*(-3 + n), -(3/2), 2/((a + 1/x)*x)])/(1 - 1/(a*x))^(n/2)}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - a*c*x)^(1/2), x, 3, ((2/3)*((a - 1/x)/(a + 1/x))^((1/2)*(-1 + n))*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x*Sqrt[c - a*c*x]*Hypergeometric2F1[-(3/2), (1/2)*(-1 + n), -(1/2), 2/((a + 1/x)*x)])/(1 - 1/(a*x))^(n/2)}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^(1/2), x, 3, (2*((a - 1/x)/(a + 1/x))^((1 + n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1 + n)/2, 1/2, 2/((a + 1/x)*x)])/((1 - 1/(a*x))^(n/2)*Sqrt[c - a*c*x])}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^(3/2), x, 3, -((2*((a - 1/x)/(a + 1/x))^((3 + n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + n)/2, 3/2, 2/((a + 1/x)*x)])/((1 - 1/(a*x))^(n/2)*(c - a*c*x)^(3/2)))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^(5/2), x, 4, -((a*(1 - 1/(a*x))^((2 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x^2)/((3 + n)*(c - a*c*x)^(5/2))) + (a*((a - 1/x)/(a + 1/x))^((3 + n)/2)*(1 - 1/(a*x))^((2 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x^2*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + n)/2, 3/2, 2/((a + 1/x)*x)])/((3 + n)*(c - a*c*x)^(5/2))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a*c*x)^(7/2), x, 5, -((a*(1 - 1/(a*x))^((2 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x^2)/((5 + n)*(c - a*c*x)^(7/2))) + (3*a^2*(1 - 1/(a*x))^((4 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x^3)/(2*(15 + 8*n + n^2)*(c - a*c*x)^(7/2)) - (3*a^2*((a - 1/x)/(a + 1/x))^((3 + n)/2)*(1 - 1/(a*x))^((4 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x^3*Hypergeometric2F1[1/2, (3 + n)/2, 3/2, 2/((a + 1/x)*x)])/(2*(15 + 8*n + n^2)*(c - a*c*x)^(7/2))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u E^(n ArcCoth[a x]) (c-c/(a x))^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcCoth[a x]) (c-c/(a x))^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a*x))^4, x, 9, -((c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(3*a)) + (c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(6*a - 1/x))/(2*a^2) + c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x - (c^4*ArcCsc[a*x])/(2*a) - (3*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/a}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a*x))^3, x, 8, (c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(4*a + 1/x))/(2*a^2) + c^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x + (c^3*ArcCsc[a*x])/(2*a) - (2*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/a}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a*x))^2, x, 7, (c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(a + 1/x)*x)/a + (c^2*ArcCsc[a*x])/a - (c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/a}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a*x)), x, 3, c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x + (c*ArcCsc[a*x])/a}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - c/(a*x)), x, 7, -((2*(a + 1/x))/(a^2*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])) + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/c + (2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(a*c)}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - c/(a*x))^2, x, 8, -((4*(a + 1/x))/(3*a^2*c^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))) - (9*a + 11/x)/(3*a^2*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/c^2 + (3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(a*c^2)}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - c/(a*x))^3, x, 9, -((8*(a + 1/x))/(5*a^2*c^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2))) - (4*(5*a + 8/x))/(15*a^2*c^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)) - (60*a + 79/x)/(15*a^2*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/c^3 + (4*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(a*c^3)}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - c/(a*x))^4, x, 10, -((16*(a + 1/x))/(7*a^2*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2))) - (4*(7*a + 17/x))/(35*a^2*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)) - (175*a + 307/x)/(105*a^2*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)) - (525*a + 719/x)/(105*a^2*c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/c^4 + (5*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(a*c^4)}
+
+
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^5, x, 5, -c^5/(4*a^5*x^4) + c^5/(a^4*x^3) - c^5/(a^3*x^2) - (2*c^5)/(a^2*x) + c^5*x - (3*c^5*Log[x])/a}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^4, x, 5, c^4/(3*a^4*x^3) - c^4/(a^3*x^2) + c^4*x - (2*c^4*Log[x])/a}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^3, x, 5, -c^3/(2*a^3*x^2) + c^3/(a^2*x) + c^3*x - (c^3*Log[x])/a}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^2, x, 6, c^2/(a^2*x) + c^2*x}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x)), x, 5, c*x + (c*Log[x])/a}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x)), x, 5, x/c + 2/(a*c*(1 - a*x)) + (3*Log[1 - a*x])/(a*c)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x))^2, x, 5, x/c^2 - 1/(a*c^2*(1 - a*x)^2) + 5/(a*c^2*(1 - a*x)) + (4*Log[1 - a*x])/(a*c^2)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x))^3, x, 5, x/c^3 + 2/(3*a*c^3*(1 - a*x)^3) - 7/(2*a*c^3*(1 - a*x)^2) + 9/(a*c^3*(1 - a*x)) + (5*Log[1 - a*x])/(a*c^3)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x))^4, x, 5, x/c^4 - 1/(2*a*c^4*(1 - a*x)^4) + 3/(a*c^4*(1 - a*x)^3) - 8/(a*c^4*(1 - a*x)^2) + 14/(a*c^4*(1 - a*x)) + (6*Log[1 - a*x])/(a*c^4)}
+
+
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^4, x, 8, (c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(2*a + 3/x))/(2*a^2) + (c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*(3*a + 1/x)*x)/(3*a) + (3*c^4*ArcCsc[a*x])/(2*a) - (c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/a}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^3, x, 4, (3*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(2*a^2*x) + c^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x + (3*c^3*ArcCsc[a*x])/(2*a)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^2, x, 8, (c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(a - 1/x)*x)/a + (c^2*ArcCsc[a*x])/a + (c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/a}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x)), x, 8, c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x - (c*ArcCsc[a*x])/a + (2*c*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/a}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x)), x, 8, -((8*(a + 1/x))/(3*a^2*c*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))) - (4*(3*a + 4/x))/(3*a^2*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/c + (4*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(a*c)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x))^2, x, 9, -((16*(a + 1/x))/(5*a^2*c^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2))) - (4*(5*a + 11/x))/(15*a^2*c^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)) - (75*a + 103/x)/(15*a^2*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/c^2 + (5*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(a*c^2)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x))^3, x, 10, -((32*(a + 1/x))/(7*a^2*c^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2))) - (2*(7*a + 13/x))/(7*a^2*c^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)) - (42*a + 59/x)/(7*a^2*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - 16/(7*a^2*c^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x) + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/c^3 + (6*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(a*c^3)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x))^4, x, 11, (16*(9*a - 5/x))/(63*a^2*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)) - (64*(a + 1/x))/(9*a^2*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)) - (8*(21*a + 41/x))/(105*a^2*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)) - (735*a + 1417/x)/(315*a^2*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)) - (2205*a + 3149/x)/(315*a^2*c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/c^4 + (7*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(a*c^4)}
+
+
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^5, x, 5, c^5/(4*a^5*x^4) - c^5/(3*a^4*x^3) - c^5/(a^3*x^2) + (2*c^5)/(a^2*x) + c^5*x - (c^5*Log[x])/a}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^4, x, 6, -c^4/(3*a^4*x^3) + (2*c^4)/(a^2*x) + c^4*x}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^3, x, 5, c^3/(2*a^3*x^2) + c^3/(a^2*x) + c^3*x + (c^3*Log[x])/a}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^2, x, 5, -(c^2/(a^2*x)) + c^2*x + (2*c^2*Log[x])/a}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x)), x, 5, c*x - (c*Log[x])/a + (4*c*Log[1 - a*x])/a}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x)), x, 5, x/c - 2/(a*c*(1 - a*x)^2) + 8/(a*c*(1 - a*x)) + (5*Log[1 - a*x])/(a*c)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x))^2, x, 5, x/c^2 + 4/(3*a*c^2*(1 - a*x)^3) - 6/(a*c^2*(1 - a*x)^2) + 13/(a*c^2*(1 - a*x)) + (6*Log[1 - a*x])/(a*c^2)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x))^3, x, 5, x/c^3 - 1/(a*c^3*(1 - a*x)^4) + 16/(3*a*c^3*(1 - a*x)^3) - 25/(2*a*c^3*(1 - a*x)^2) + 19/(a*c^3*(1 - a*x)) + (7*Log[1 - a*x])/(a*c^3)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x))^4, x, 5, x/c^4 + 4/(5*a*c^4*(1 - a*x)^5) - 5/(a*c^4*(1 - a*x)^4) + 41/(3*a*c^4*(1 - a*x)^3) - 22/(a*c^4*(1 - a*x)^2) + 26/(a*c^4*(1 - a*x)) + (8*Log[1 - a*x])/(a*c^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c - c/(a*x))^4/E^ArcCoth[a*x], x, 10, -((32*c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(3*a)) - (c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(3*a^3*x^2) + (5*c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(2*a^2*x) + c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x - (25*c^4*ArcCsc[a*x])/(2*a) - (5*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/a}
+{(c - c/(a*x))^3/E^ArcCoth[a*x], x, 9, -((4*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/a) + (c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(2*a^2*x) + c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x - (13*c^3*ArcCsc[a*x])/(2*a) - (4*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/a}
+{(c - c/(a*x))^2/E^ArcCoth[a*x], x, 8, -((c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/a) + c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x - (3*c^2*ArcCsc[a*x])/a - (3*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/a}
+{(c - c/(a*x))^1/E^ArcCoth[a*x], x, 7, c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x - (c*ArcCsc[a*x])/a - (2*c*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/a}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a*x))^1), x, 2, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/c}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a*x))^2), x, 6, (2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/c^2 - (a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(c^2*(a - 1/x)) + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]]/(a*c^2)}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a*x))^3), x, 8, -((2*(a + 1/x))/(3*a^2*c^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))) - (6*a + 7/x)/(3*a^2*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/c^3 + (2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(a*c^3)}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a*x))^4), x, 9, -((4*(a + 1/x))/(5*a^2*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2))) - (5*a + 7/x)/(5*a^2*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)) - (15*a + 19/x)/(5*a^2*c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/c^4 + (3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(a*c^4)}
+
+
+{(c - c/(a*x))^4/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 5, c^4/(3*a^4*x^3) - (3*c^4)/(a^3*x^2) + (16*c^4)/(a^2*x) + c^4*x + (26*c^4*Log[x])/a - (32*c^4*Log[1 + a*x])/a}
+{(c - c/(a*x))^3/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 5, -c^3/(2*a^3*x^2) + (5*c^3)/(a^2*x) + c^3*x + (11*c^3*Log[x])/a - (16*c^3*Log[1 + a*x])/a}
+{(c - c/(a*x))^2/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 5, c^2/(a^2*x) + c^2*x + (4*c^2*Log[x])/a - (8*c^2*Log[1 + a*x])/a}
+{(c - c/(a*x))^1/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 5, c*x + (c*Log[x])/a - (4*c*Log[1 + a*x])/a}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^1), x, 5, x/c - Log[1 + a*x]/(a*c)}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^2), x, 6, x/c^2 - ArcTanh[a*x]/(a*c^2)}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^3), x, 5, x/c^3 + 1/(2*a*c^3*(1 - a*x)) + (5*Log[1 - a*x])/(4*a*c^3) - Log[1 + a*x]/(4*a*c^3)}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^4), x, 5, x/c^4 - 1/(4*a*c^4*(1 - a*x)^2) + 7/(4*a*c^4*(1 - a*x)) + (17*Log[1 - a*x])/(8*a*c^4) - Log[1 + a*x]/(8*a*c^4)}
+
+
+{(c - c/(a*x))^4/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 11, (68*c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(3*a) + (64*c^4*(a - 1/x))/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(3*a^3*x^2) - (7*c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(2*a^2*x) + c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x + (91*c^4*ArcCsc[a*x])/(2*a) - (7*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/a}
+{(c - c/(a*x))^3/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 10, (6*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/a + (32*c^3*(a - 1/x))/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(2*a^2*x) + c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x + (33*c^3*ArcCsc[a*x])/(2*a) - (6*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/a}
+{(c - c/(a*x))^2/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 9, (c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/a + (16*c^2*(a - 1/x))/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x + (5*c^2*ArcCsc[a*x])/a - (5*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/a}
+{(c - c/(a*x))^1/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 8, (8*c*(a - 1/x))/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x + (c*ArcCsc[a*x])/a - (4*c*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/a}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^1), x, 6, (2*(a - 1/x))/(a^2*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/c - (2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(a*c)}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^2), x, 6, (2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/c^2 - ((a - 1/x)*x)/(a*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]]/(a*c^2)}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^3), x, 3, -(2/(a^2*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)) + x/(c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^4), x, 7, (8*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(3*c^4) - (a*x)/(3*c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(a - 1/x)) - ((4*a + 3/x)*x)/(3*a*c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]]/(a*c^4)}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^5), x, 9, -((2*(a + 1/x))/(5*a^2*c^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2))) - (10*a + 13/x)/(15*a^2*c^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)) - (30*a + 41/x)/(15*a^2*c^5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/c^5 + (2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]])/(a*c^5)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcCoth[a x]) (c-c/(a x))^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a*x))^(9/2), x, 8, (173*c^5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(105*a*Sqrt[c - c/(a*x)]) + (227*c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Sqrt[c - c/(a*x)])/(105*a) + (59*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(c - c/(a*x))^(3/2))/(35*a) + (9*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(c - c/(a*x))^(5/2))/(7*a) + c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(c - c/(a*x))^(7/2)*x - (7*c^(9/2)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]])/a, ((400*a - 227/x)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(9/2))/(105*a^2*(1 - 1/(a*x))^(9/2)) + (59*(a - 1/x)^2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(9/2))/(35*a^3*(1 - 1/(a*x))^(9/2)) + (9*(a - 1/x)^3*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(9/2))/(7*a^4*(1 - 1/(a*x))^(9/2)) + ((a - 1/x)^4*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(9/2)*x)/(a^4*(1 - 1/(a*x))^(9/2)) - (7*(c - c/(a*x))^(9/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(1 - 1/(a*x))^(9/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a*x))^(7/2), x, 7, (49*c^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(15*a*Sqrt[c - c/(a*x)]) + (31*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Sqrt[c - c/(a*x)])/(15*a) + (7*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(c - c/(a*x))^(3/2))/(5*a) + c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(c - c/(a*x))^(5/2)*x - (5*c^(7/2)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]])/a, ((80*a - 31/x)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(7/2))/(15*a^2*(1 - 1/(a*x))^(7/2)) + (7*(a - 1/x)^2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(7/2))/(5*a^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2)) + ((a - 1/x)^3*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(7/2)*x)/(a^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2)) - (5*(c - c/(a*x))^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(1 - 1/(a*x))^(7/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a*x))^(5/2), x, 7, -((2*c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(3*a*(c - c/(a*x))^(3/2))) + (3*c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(a*Sqrt[c - c/(a*x)]) + (c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x)/(c - c/(a*x))^(3/2) - (3*c^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]])/a, (3*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(5/2))/(a*(1 - 1/(a*x))^(5/2)) - (2*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*(c - c/(a*x))^(5/2))/(3*a*(1 - 1/(a*x))^(5/2)) + ((1 + 1/(a*x))^(3/2)*(c - c/(a*x))^(5/2)*x)/(1 - 1/(a*x))^(5/2) - (3*(c - c/(a*x))^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(1 - 1/(a*x))^(5/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a*x))^(3/2), x, 5, (c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(a*Sqrt[c - c/(a*x)]) + (c^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x)/(c - c/(a*x))^(3/2) - (c^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]])/a}
+{E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)], x, 4, (c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[c - c/(a*x)] + (Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]])/a}
+{E^ArcCoth[a*x]/Sqrt[c - c/(a*x)], x, 8, (Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x)/Sqrt[c - c/(a*x)] + (3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*Sqrt[c - c/(a*x)]) - (2*Sqrt[2]*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]/Sqrt[2]])/(a*Sqrt[c - c/(a*x)])}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - c/(a*x))^(3/2), x, 9, (-2*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/((a - x^(-1))*(c - c/(a*x))^(3/2)) + (a*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x)/((a - x^(-1))*(c - c/(a*x))^(3/2)) + (5*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(c - c/(a*x))^(3/2)) - (7*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]/Sqrt[2]])/(Sqrt[2]*a*(c - c/(a*x))^(3/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - c/(a*x))^(5/2), x, 10, (-3*a*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(2*(a - x^(-1))^2*(c - c/(a*x))^(5/2)) - (23*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(8*(a - x^(-1))*(c - c/(a*x))^(5/2)) + (a^2*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x)/((a - x^(-1))^2*(c - c/(a*x))^(5/2)) + (7*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(c - c/(a*x))^(5/2)) - (79*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]/Sqrt[2]])/(8*Sqrt[2]*a*(c - c/(a*x))^(5/2))}
+
+
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^(9/2), x, 12, (5*c^4*Sqrt[c - c/(a*x)])/a + (5*c^3*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*a) + (c^2*(c - c/(a*x))^(5/2))/a + (5*c*(c - c/(a*x))^(7/2))/(7*a) + (c - c/(a*x))^(9/2)*x - (5*c^(9/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^(7/2), x, 11, (3*c^3*Sqrt[c - c/(a*x)])/a + (c^2*(c - c/(a*x))^(3/2))/a + (3*c*(c - c/(a*x))^(5/2))/(5*a) + (c - c/(a*x))^(7/2)*x - (3*c^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^(5/2), x, 10, (c^2*Sqrt[c - c/(a*x)])/a + (c*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*a) + (c - c/(a*x))^(5/2)*x - (c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^(3/2), x, 9, -((c*Sqrt[c - c/(a*x)])/a) + (c - c/(a*x))^(3/2)*x + (c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)], x, 8, Sqrt[c - c/(a*x)]*x + (3*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/Sqrt[c - c/(a*x)], x, 9, -5/(a*Sqrt[c - c/(a*x)]) + x/Sqrt[c - c/(a*x)] + (5*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(a*Sqrt[c])}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x))^(3/2), x, 10, -7/(3*a*(c - c/(a*x))^(3/2)) - 7/(a*c*Sqrt[c - c/(a*x)]) + x/(c - c/(a*x))^(3/2) + (7*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(a*c^(3/2))}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x))^(5/2), x, 11, -9/(5*a*(c - c/(a*x))^(5/2)) - 3/(a*c*(c - c/(a*x))^(3/2)) - 9/(a*c^2*Sqrt[c - c/(a*x)]) + x/(c - c/(a*x))^(5/2) + (9*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(a*c^(5/2))}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x))^(7/2), x, 12, -11/(7*a*(c - c/(a*x))^(7/2)) - 11/(5*a*c*(c - c/(a*x))^(5/2)) - 11/(3*a*c^2*(c - c/(a*x))^(3/2)) - 11/(a*c^3*Sqrt[c - c/(a*x)]) + x/(c - c/(a*x))^(7/2) + (11*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(a*c^(7/2))}
+
+
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^(9/2), x, 8, (3*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(9/2))/(a*(1 - 1/(a*x))^(9/2)) + (3*(28*a - 17/x)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*(c - c/(a*x))^(9/2))/(35*a^2*(1 - 1/(a*x))^(9/2)) + (9*(a - 1/x)^2*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*(c - c/(a*x))^(9/2))/(7*a^3*(1 - 1/(a*x))^(9/2)) + ((a - 1/x)^3*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*(c - c/(a*x))^(9/2)*x)/(a^3*(1 - 1/(a*x))^(9/2)) - (3*(c - c/(a*x))^(9/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(1 - 1/(a*x))^(9/2))}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^(7/2), x, 8, (Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(7/2))/(a*(1 - 1/(a*x))^(7/2)) + ((1 + 1/(a*x))^(3/2)*(c - c/(a*x))^(7/2))/(3*a*(1 - 1/(a*x))^(7/2)) - (2*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*(c - c/(a*x))^(7/2))/(5*a*(1 - 1/(a*x))^(7/2)) + ((1 + 1/(a*x))^(5/2)*(c - c/(a*x))^(7/2)*x)/(1 - 1/(a*x))^(7/2) - ((c - c/(a*x))^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(1 - 1/(a*x))^(7/2))}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^(5/2), x, 6, -((c^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(3*a*(c - c/(a*x))^(3/2))) - (c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(a*Sqrt[c - c/(a*x)]) + (c^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x)/(c - c/(a*x))^(5/2) + (c^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]])/a}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^(3/2), x, 5, -((3*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(a*Sqrt[c - c/(a*x)])) + (c^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x)/(c - c/(a*x))^(3/2) + (3*c^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]])/a}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)], x, 8, (Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a*x)] + (5*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]/Sqrt[2]])/(a*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/Sqrt[c - c/(a*x)], x, 9, -((3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/((a - 1/x)*Sqrt[c - c/(a*x)])) + (a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x)/((a - 1/x)*Sqrt[c - c/(a*x)]) + (7*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*Sqrt[c - c/(a*x)]) - (5*Sqrt[2]*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]/Sqrt[2]])/(a*Sqrt[c - c/(a*x)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x))^(3/2), x, 10, -((2*a*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/((a - 1/x)^2*(c - c/(a*x))^(3/2))) - (15*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(4*(a - 1/x)*(c - c/(a*x))^(3/2)) + (a^2*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x)/((a - 1/x)^2*(c - c/(a*x))^(3/2)) + (9*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(c - c/(a*x))^(3/2)) - (51*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]/Sqrt[2]])/(4*Sqrt[2]*a*(c - c/(a*x))^(3/2))}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x))^(5/2), x, 11, -((5*a^2*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(3*(a - 1/x)^3*(c - c/(a*x))^(5/2))) - (29*a*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(12*(a - 1/x)^2*(c - c/(a*x))^(5/2)) - (73*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(16*(a - 1/x)*(c - c/(a*x))^(5/2)) + (a^3*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x)/((a - 1/x)^3*(c - c/(a*x))^(5/2)) + (11*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(c - c/(a*x))^(5/2)) - (249*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]/Sqrt[2]])/(16*Sqrt[2]*a*(c - c/(a*x))^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c - c/(a*x))^(7/2)/E^ArcCoth[a*x], x, 7, -(((80*a - 7/x)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(7/2))/(5*a^2*(1 - 1/(a*x))^(7/2))) + (3*(a - 1/x)^2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(7/2))/(5*a^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2)) + ((a - 1/x)^3*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(7/2)*x)/(a^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2)) - (9*(c - c/(a*x))^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(1 - 1/(a*x))^(7/2))}
+{(c - c/(a*x))^(5/2)/E^ArcCoth[a*x], x, 6, -(((16*a + 1/x)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(5/2))/(3*a^2*(1 - 1/(a*x))^(5/2))) + ((a - 1/x)^2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(5/2)*x)/(a^2*(1 - 1/(a*x))^(5/2)) - (7*(c - c/(a*x))^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(1 - 1/(a*x))^(5/2))}
+{(c - c/(a*x))^(3/2)/E^ArcCoth[a*x], x, 6, (-2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(3/2))/(a*(1 - 1/(a*x))^(3/2)) + (Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(3/2)*x)/(1 - 1/(a*x))^(3/2) - (5*(c - c/(a*x))^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(1 - 1/(a*x))^(3/2))}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/E^ArcCoth[a*x], x, 4, (c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[c - c/(a*x)] - (3*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]])/a}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)]), x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[c - c/(a*x)] - ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]]/(a*Sqrt[c])}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a*x))^(3/2)), x, 9, ((1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x)/(c - c/(a*x))^(3/2) + ((1 - 1/(a*x))^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(c - c/(a*x))^(3/2)) - (Sqrt[2]*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]/Sqrt[2]])/(a*(c - c/(a*x))^(3/2))}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a*x))^(5/2)), x, 10, (-3*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(2*(a - x^(-1))*(c - c/(a*x))^(5/2)) + (a*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x)/((a - x^(-1))*(c - c/(a*x))^(5/2)) + (3*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(c - c/(a*x))^(5/2)) - (9*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]/Sqrt[2]])/(2*Sqrt[2]*a*(c - c/(a*x))^(5/2))}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a*x))^(7/2)), x, 11, (-5*a*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(4*(a - x^(-1))^2*(c - c/(a*x))^(7/2)) - (35*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(16*(a - x^(-1))*(c - c/(a*x))^(7/2)) + (a^2*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x)/((a - x^(-1))^2*(c - c/(a*x))^(7/2)) + (5*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(c - c/(a*x))^(7/2)) - (115*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]/Sqrt[2]])/(16*Sqrt[2]*a*(c - c/(a*x))^(7/2))}
+
+
+{(c - c/(a*x))^(7/2)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 14, -((21*c^3*Sqrt[c - c/(a*x)])/a) - (5*c^2*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*a) + (3*c*(c - c/(a*x))^(5/2))/(5*a) + (c - c/(a*x))^(7/2)*x - (11*c^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a + (32*Sqrt[2]*c^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{(c - c/(a*x))^(5/2)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 13, -((7*c^2*Sqrt[c - c/(a*x)])/a) + (c*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*a) + (c - c/(a*x))^(5/2)*x - (9*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a + (16*Sqrt[2]*c^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{(c - c/(a*x))^(3/2)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 12, -((c*Sqrt[c - c/(a*x)])/a) + (c - c/(a*x))^(3/2)*x - (7*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a + (8*Sqrt[2]*c^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 11, Sqrt[c - c/(a*x)]*x - (5*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a + (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)]), x, 11, (Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/c - (3*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(a*Sqrt[c]) + (2*Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(a*Sqrt[c])}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^(3/2)), x, 12, (Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/c^2 - ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]]/(a*c^(3/2)) + (Sqrt[2]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/(a*c^(3/2))}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^(5/2)), x, 12, -(2/(a*c^2*Sqrt[c - c/(a*x)])) + x/(c^2*Sqrt[c - c/(a*x)]) + ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]]/(a*c^(5/2)) + ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]/(Sqrt[2]*a*c^(5/2))}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^(7/2)), x, 13, -(4/(3*a*c^2*(c - c/(a*x))^(3/2))) - 7/(2*a*c^3*Sqrt[c - c/(a*x)]) + x/(c^2*(c - c/(a*x))^(3/2)) + (3*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(a*c^(7/2)) + ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]/(2*Sqrt[2]*a*c^(7/2))}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^(9/2)), x, 14, -(6/(5*a*c^2*(c - c/(a*x))^(5/2))) - 11/(6*a*c^3*(c - c/(a*x))^(3/2)) - 21/(4*a*c^4*Sqrt[c - c/(a*x)]) + x/(c^2*(c - c/(a*x))^(5/2)) + (5*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(a*c^(9/2)) + ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]/(4*Sqrt[2]*a*c^(9/2))}
+
+
+{(c - c/(a*x))^(9/2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 9, (10*(a - 1/x)^4*(c - c/(a*x))^(9/2))/(a^5*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (5*(304*a - 65/x)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(9/2))/(7*a^2*(1 - 1/(a*x))^(9/2)) + (135*(a - 1/x)^2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(9/2))/(7*a^3*(1 - 1/(a*x))^(9/2)) + (65*(a - 1/x)^3*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(9/2))/(7*a^4*(1 - 1/(a*x))^(9/2)) + ((a - 1/x)^5*(c - c/(a*x))^(9/2)*x)/(a^5*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) - (15*(c - c/(a*x))^(9/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(1 - 1/(a*x))^(9/2))}
+{(c - c/(a*x))^(7/2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 8, (10*(a - 1/x)^3*(c - c/(a*x))^(7/2))/(a^4*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + ((1360*a - 311/x)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(7/2))/(15*a^2*(1 - 1/(a*x))^(7/2)) + (47*(a - 1/x)^2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(7/2))/(5*a^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2)) + ((a - 1/x)^4*(c - c/(a*x))^(7/2)*x)/(a^4*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) - (13*(c - c/(a*x))^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(1 - 1/(a*x))^(7/2))}
+{(c - c/(a*x))^(5/2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 7, (10*(a - 1/x)^2*(c - c/(a*x))^(5/2))/(a^3*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + ((112*a - 29/x)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(5/2))/(3*a^2*(1 - 1/(a*x))^(5/2)) + ((a - 1/x)^3*(c - c/(a*x))^(5/2)*x)/(a^3*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) - (11*(c - c/(a*x))^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(1 - 1/(a*x))^(5/2))}
+{(c - c/(a*x))^(3/2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 6, ((21*a + 1/x)*(c - c/(a*x))^(3/2))/(a^2*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + ((a - 1/x)^2*(c - c/(a*x))^(3/2)*x)/(a^2*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) - (9*(c - c/(a*x))^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(1 - 1/(a*x))^(3/2))}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 6, (9*Sqrt[c - c/(a*x)])/(a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) - (7*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)]), x, 5, (5*Sqrt[c - c/(a*x)])/(a*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (5*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]])/(a*Sqrt[c])}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^(3/2)), x, 5, (3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(c*Sqrt[c - c/(a*x)]) - (2*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (3*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]])/(a*c^(3/2))}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^(5/2)), x, 9, (2*(1 - 1/(a*x))^(5/2))/(a*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(5/2)) + ((1 - 1/(a*x))^(5/2)*x)/(Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(5/2)) - ((1 - 1/(a*x))^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(c - c/(a*x))^(5/2)) - ((1 - 1/(a*x))^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]/Sqrt[2]])/(Sqrt[2]*a*(c - c/(a*x))^(5/2))}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^(7/2)), x, 10, (7*(1 - 1/(a*x))^(7/2))/(4*a*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(7/2)) - (3*(1 - 1/(a*x))^(7/2))/(2*(a - x^(-1))*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(7/2)) + (a*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*x)/((a - x^(-1))*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^(7/2)) + ((1 - 1/(a*x))^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*(c - c/(a*x))^(7/2)) - (11*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]/Sqrt[2]])/(4*Sqrt[2]*a*(c - c/(a*x))^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcCoth[a x]) (c-c/(a x))^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^m, x, 3, (Sqrt[c - c/(a*x)]*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[-(1/2), -1 - m, -m, -(1/(a*x))])/((1 + m)*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+
+{E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2, x, 6, -((c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(8*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)])) + (c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2)/(12*a*Sqrt[c - c/(a*x)]) + (c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3)/(3*Sqrt[c - c/(a*x)]) + (Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]])/(8*a^3)}
+{E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^1, x, 5, (c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(4*a*Sqrt[c - c/(a*x)]) + (c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2)/(2*Sqrt[c - c/(a*x)]) - (Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]])/(4*a^2)}
+{E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^0, x, 4, (c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[c - c/(a*x)] + (Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]])/a}
+{E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)]/x^1, x, 4, -((2*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]) + 2*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]]}
+{E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)]/x^2, x, 2, -((2*a*c^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(3*(c - c/(a*x))^(3/2)))}
+{E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)]/x^3, x, 3, -((2*a^2*c^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(15*(c - c/(a*x))^(3/2))) + (2*a^2*c*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(5*Sqrt[c - c/(a*x)])}
+{E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)]/x^4, x, 4, (8*a^3*c^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(105*(c - c/(a*x))^(3/2)) - (8*a^3*c*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(35*Sqrt[c - c/(a*x)]) - (2*a*c^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(7*(c - c/(a*x))^(3/2)*x^2)}
+{E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a*x)]/x^5, x, 5, -((16*a^4*c^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(315*(c - c/(a*x))^(3/2))) + (16*a^4*c*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(105*Sqrt[c - c/(a*x)]) - (2*a*c^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(9*(c - c/(a*x))^(3/2)*x^3) + (4*a^2*c^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(21*(c - c/(a*x))^(3/2)*x^2)}
+
+
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3, x, 11, (75*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(64*a^3) + (25*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/(32*a^2) + (5*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3)/(8*a) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*x^4)/4 + (75*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(64*a^4)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2, x, 10, (11*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(8*a^2) + (11*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/(12*a) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3)/3 + (11*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(8*a^3)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)]*x, x, 9, (7*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(4*a) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/2 + (7*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(4*a^2)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)], x, 8, Sqrt[c - c/(a*x)]*x + (3*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x, x, 8, 2*Sqrt[c - c/(a*x)] + 2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]]}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^2, x, 7, 4*a*Sqrt[c - c/(a*x)] - (2*a*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*c)}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^3, x, 7, 4*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)] - (2*a^2*(c - c/(a*x))^(3/2))/c + (2*a^2*(c - c/(a*x))^(5/2))/(5*c^2)}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^4, x, 7, 4*a^3*Sqrt[c - c/(a*x)] - (10*a^3*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*c) + (8*a^3*(c - c/(a*x))^(5/2))/(5*c^2) - (2*a^3*(c - c/(a*x))^(7/2))/(7*c^3)}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^5, x, 7, 4*a^4*Sqrt[c - c/(a*x)] - (14*a^4*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*c) + (18*a^4*(c - c/(a*x))^(5/2))/(5*c^2) - (10*a^4*(c - c/(a*x))^(7/2))/(7*c^3) + (2*a^4*(c - c/(a*x))^(9/2))/(9*c^4)}
+
+
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3, x, 11, (149*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(64*a^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (107*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/(96*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (17*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3)/(24*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^4)/(4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (363*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(64*a^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]/Sqrt[2]])/(a^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2, x, 10, (19*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(8*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (13*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/(12*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3)/(3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (45*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(8*a^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]/Sqrt[2]])/(a^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)]*x, x, 9, (9*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(4*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/(2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (23*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(4*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]/Sqrt[2]])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)], x, 8, (Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a*x)] + (5*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]/Sqrt[2]])/(a*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x, x, 8, (2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - c/(a*x)])/Sqrt[1 - 1/(a*x)] + (2*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/Sqrt[1 - 1/(a*x)] - (4*Sqrt[2]*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]/Sqrt[2]])/Sqrt[1 - 1/(a*x)]}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^2, x, 5, (2*a*c^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(3*(c - c/(a*x))^(3/2)) + (4*a*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)] - 4*Sqrt[2]*a*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c/(a*x)])]}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^3, x, 6, (2*a^2*c^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2))/(5*(c - c/(a*x))^(5/2)) + (2*a^2*c^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(3*(c - c/(a*x))^(3/2)) + (4*a^2*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)] - 4*Sqrt[2]*a^2*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c/(a*x)])]}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^4, x, 7, (4*a^3*c^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2))/(7*(c - c/(a*x))^(5/2)) + (2*a^3*c^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2))/(3*(c - c/(a*x))^(3/2)) - (2*a^3*c^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2))/(7*(c - c/(a*x))^(3/2)) + (4*a^3*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)] - 4*Sqrt[2]*a^3*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(Sqrt[2]*Sqrt[c - c/(a*x)])]}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)])/x^5, x, 8, (4*a^4*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - c/(a*x)])/Sqrt[1 - 1/(a*x)] + (2*a^4*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[c - c/(a*x)])/(3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (2*a^4*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[c - c/(a*x)])/(5*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (2*a^4*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[c - c/(a*x)])/(7*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (2*a^4*(1 + 1/(a*x))^(9/2)*Sqrt[c - c/(a*x)])/(9*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (4*Sqrt[2]*a^4*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]/Sqrt[2]])/Sqrt[1 - 1/(a*x)]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Sqrt[c - c/(a*x)]*x^m)/E^ArcCoth[a*x], x, 4, (Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^(1 + m))/((1 + m)*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - ((3 + 4*m)*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^m*Hypergeometric2F1[1/2, -m, 1 - m, -(1/(a*x))])/(2*a*m*(1 + m)*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+
+{(Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/E^ArcCoth[a*x], x, 6, (11*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(8*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)]) - (11*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2)/(12*a*Sqrt[c - c/(a*x)]) + (c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3)/(3*Sqrt[c - c/(a*x)]) - (11*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]])/(8*a^3)}
+{(Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/E^ArcCoth[a*x], x, 5, -((7*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(4*a*Sqrt[c - c/(a*x)])) + (c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2)/(2*Sqrt[c - c/(a*x)]) + (7*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]])/(4*a^2)}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/E^ArcCoth[a*x], x, 4, (c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[c - c/(a*x)] - (3*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]])/a}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^ArcCoth[a*x]*x), x, 4, (2*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)] + 2*Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[c]*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/Sqrt[c - c/(a*x)]]}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^ArcCoth[a*x]*x^2), x, 3, -((8*a*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(3*Sqrt[c - c/(a*x)])) - (2/3)*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Sqrt[c - c/(a*x)]}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^ArcCoth[a*x]*x^3), x, 4, (8*a^2*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(5*Sqrt[c - c/(a*x)]) + (2/5)*a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Sqrt[c - c/(a*x)] + (2*a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(c - c/(a*x))^(3/2))/(5*c)}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^ArcCoth[a*x]*x^4), x, 5, -((104*a^3*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(105*Sqrt[c - c/(a*x)])) - (104/105)*a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Sqrt[c - c/(a*x)] + (2*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(7*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3) - (26*a*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(35*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)}
+
+
+{(Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 14, -((149*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(64*a^3)) + (107*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/(96*a^2) - (17*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3)/(24*a) + (1/4)*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^4 + (363*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(64*a^4) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a^4}
+{(Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 13, (19*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(8*a^2) - (13*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/(12*a) + (1/3)*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3 - (45*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(8*a^3) + (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a^3}
+{(Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 12, -((9*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(4*a)) + (1/2)*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2 + (23*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/(4*a^2) - (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a^2}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 11, Sqrt[c - c/(a*x)]*x - (5*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]])/a + (4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])])/a}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x), x, 11, 2*Sqrt[c - c/(a*x)] + 2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/Sqrt[c]] - 4*Sqrt[2]*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^2), x, 9, -4*a*Sqrt[c - c/(a*x)] - (2*a*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*c) + 4*Sqrt[2]*a*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^3), x, 10, 4*a^2*Sqrt[c - c/(a*x)] + (2*a^2*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*c) + (2*a^2*(c - c/(a*x))^(5/2))/(5*c^2) - 4*Sqrt[2]*a^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^4), x, 11, -4*a^3*Sqrt[c - c/(a*x)] - (2*a^3*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*c) - (2*a^3*(c - c/(a*x))^(7/2))/(7*c^3) + 4*Sqrt[2]*a^3*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^5), x, 11, 4*a^4*Sqrt[c - c/(a*x)] + (2*a^4*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*c) + (2*a^4*(c - c/(a*x))^(5/2))/(5*c^2) - (2*a^4*(c - c/(a*x))^(7/2))/(7*c^3) + (2*a^4*(c - c/(a*x))^(9/2))/(9*c^4) - 4*Sqrt[2]*a^4*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - c/(a*x)]/(Sqrt[2]*Sqrt[c])]}
+
+
+{(Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 9, -((1115*Sqrt[c - c/(a*x)])/(64*a^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])) - (1115*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(192*a^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (223*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/(96*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) - (25*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3)/(24*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*x^4)/(4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (1115*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(64*a^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{(Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 8, (119*Sqrt[c - c/(a*x)])/(8*a^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (119*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(24*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) - (19*Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/(12*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*x^3)/(3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) - (119*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(8*a^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{(Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 7, (-47*Sqrt[c - c/(a*x)])/(4*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) - (13*Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(4*a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*x^2)/(2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (47*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(4*a^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 6, (9*Sqrt[c - c/(a*x)])/(a*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (Sqrt[c - c/(a*x)]*x)/(Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) - (7*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x), x, 6, (-8*Sqrt[c - c/(a*x)])/(Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) - (2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - c/(a*x)])/Sqrt[1 - 1/(a*x)] + (2*Sqrt[c - c/(a*x)]*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/Sqrt[1 - 1/(a*x)]}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^2), x, 4, (64*a*Sqrt[c - c/(a*x)])/(3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (16*a*(c - c/(a*x))^(3/2))/(3*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (2*a*(c - c/(a*x))^(5/2))/(3*c^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^3), x, 5, -((224*a^2*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(15*Sqrt[c - c/(a*x)])) - (56/15)*a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Sqrt[c - c/(a*x)] - (7*a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(c - c/(a*x))^(3/2))/(5*c) - (a^2*(c - c/(a*x))^(7/2))/(c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^4), x, 6, (1888*a^3*c*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(105*Sqrt[c - c/(a*x)]) + (472/105)*a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Sqrt[c - c/(a*x)] + (59*a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(c - c/(a*x))^(3/2))/(35*c) + (2*a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(c - c/(a*x))^(5/2))/(7*c^2) + (a^3*(c - c/(a*x))^(7/2))/(c^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{Sqrt[c - c/(a*x)]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^5), x, 4, -((8*a^4*Sqrt[c - c/(a*x)])/(Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])) - (32*a^4*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*Sqrt[c - c/(a*x)])/Sqrt[1 - 1/(a*x)] + (50*a^4*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[c - c/(a*x)])/(3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) - (38*a^4*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[c - c/(a*x)])/(5*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (2*a^4*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[c - c/(a*x)])/Sqrt[1 - 1/(a*x)] - (2*a^4*(1 + 1/(a*x))^(9/2)*Sqrt[c - c/(a*x)])/(9*Sqrt[1 - 1/(a*x)])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcCoth[a x]) (c-c/(a x))^p with n symbolic*)
+
+
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x)), x, 5, c*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^(n/2)*x - (2*c*(1 - n)*(1 + 1/(a*x))^(n/2)*Hypergeometric2F1[1, n/2, (2 + n)/2, (a + 1/x)/(a - 1/x)])/((1 - 1/(a*x))^(n/2)*(a*n)) - (2^(n/2)*c*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, 1 - n/2, 2 - n/2, (a - 1/x)/(2*a)])/(a*(2 - n))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x)), x, 3, ((1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x)/((1 - 1/(a*x))^(n/2)*c) - (2*(1 + n)*(1 + 1/(a*x))^(n/2)*Hypergeometric2F1[1, -(n/2), 1 - n/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/((1 - 1/(a*x))^(n/2)*(a*c*n))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x))^2, x, 5, -(((3 + n)*(1 - 1/(a*x))^(-1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2))/(a*c^2*(2 + n))) + ((1 - 1/(a*x))^(-1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*x)/c^2 - (2*(2 + n)*(1 + 1/(a*x))^(n/2)*Hypergeometric2F1[1, -(n/2), 1 - n/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/((1 - 1/(a*x))^(n/2)*(a*c^2*n))}
+
+
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^(3/2), x, 3, -((2^(5/2 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*(c - c/(a*x))^(3/2)*AppellF1[(2 + n)/2, (1/2)*(-3 + n), 2, (4 + n)/2, (a + 1/x)/(2*a), 1 + 1/(a*x)])/(a*(2 + n)*(1 - 1/(a*x))^(3/2)))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a*x)], x, 3, -((2^(3/2 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*Sqrt[c - c/(a*x)]*AppellF1[(2 + n)/2, (1/2)*(-1 + n), 2, (4 + n)/2, (a + 1/x)/(2*a), 1 + 1/(a*x)])/(a*(2 + n)*Sqrt[1 - 1/(a*x)]))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/Sqrt[c - c/(a*x)], x, 3, -((2^(1/2 - n/2)*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*AppellF1[(2 + n)/2, (1 + n)/2, 2, (4 + n)/2, (a + 1/x)/(2*a), 1 + 1/(a*x)])/(a*(2 + n)*Sqrt[c - c/(a*x)]))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a*x))^(3/2), x, 3, -((2^(-(1/2) - n/2)*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*AppellF1[(2 + n)/2, (3 + n)/2, 2, (4 + n)/2, (a + 1/x)/(2*a), 1 + 1/(a*x)])/(a*(2 + n)*(c - c/(a*x))^(3/2)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcCoth[a x]) (c-c/(a x))^p with p symbolic*)
+
+
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a*x))^p, x, 3, -((2^(1 - n/2 + p)*(1 + 1/(a*x))^((2 + n)/2)*(c - c/(a*x))^p*AppellF1[(2 + n)/2, (1/2)*(n - 2*p), 2, (4 + n)/2, (a + 1/x)/(2*a), 1 + 1/(a*x)])/((1 - 1/(a*x))^p*(a*(2 + n))))}
+
+
+{(c - c/(a*x))^p*E^(2*p*ArcCoth[a*x]), x, 3, -(((1 + 1/(a*x))^(1 + p)*(c - c/(a*x))^p*Hypergeometric2F1[2, 1 + p, 2 + p, 1 + 1/(a*x)])/((1 - 1/(a*x))^p*(a*(1 + p))))}
+{(c - c/(a*x))^p/E^(2*p*ArcCoth[a*x]), x, 3, -((4^p*(1 + 1/(a*x))^(1 - p)*(c - c/(a*x))^p*AppellF1[1 - p, -2*p, 2, 2 - p, (a + 1/x)/(2*a), 1 + 1/(a*x)])/((1 - 1/(a*x))^p*(a*(1 - p))))}
+
+
+{(c - c/(a*x))^p*E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 7, (c - c/(a*x))^p*x + ((2 - p)*(c - c/(a*x))^p*Hypergeometric2F1[1, p, 1 + p, 1 - 1/(a*x)])/(a*p)}
+{(c - c/(a*x))^p*E^ArcCoth[a*x], x, 3, -((2^(1/2 + p)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*(c - c/(a*x))^p*AppellF1[3/2, 1/2 - p, 2, 5/2, (a + 1/x)/(2*a), 1 + 1/(a*x)])/((1 - 1/(a*x))^p*(3*a)))}
+{(c - c/(a*x))^p/E^ArcCoth[a*x], x, 3, -((2^(3/2 + p)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*(c - c/(a*x))^p*AppellF1[1/2, -(1/2) - p, 2, 3/2, (a + 1/x)/(2*a), 1 + 1/(a*x)])/((1 - 1/(a*x))^p*a))}
+{(c - c/(a*x))^p/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 9, ((c - c/(a*x))^(2 + p)*x)/c^2 + ((c - c/(a*x))^(2 + p)*Hypergeometric2F1[1, 2 + p, 3 + p, (a - 1/x)/(2*a)])/(2*a*c^2*(2 + p)) - ((c - c/(a*x))^(2 + p)*Hypergeometric2F1[1, 2 + p, 3 + p, 1 - 1/(a*x)])/(a*c^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u E^(n ArcCoth[a x]) (c-c a^2 x^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcCoth[a x]) (c-c a^2 x^2)^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^4, x, 13, (35/128)*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x + (35/384)*a*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2 + (7/192)*a^2*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^3 + (1/64)*a^3*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x^4 + (1/144)*a^4*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(9/2)*x^5 - (5/144)*a^5*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(11/2)*x^6 + (5/72)*a^6*c^4*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(11/2)*x^7 - (7/72)*a^7*c^4*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(11/2)*x^8 + (1/9)*a^8*c^4*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(11/2)*x^9 + (35*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(128*a)}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 11, (5/16)*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x + (5/48)*a*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2 + (1/24)*a^2*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^3 + (1/56)*a^3*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x^4 - (1/14)*a^4*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(9/2)*x^5 + (5/42)*a^5*c^3*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(9/2)*x^6 - (1/7)*a^6*c^3*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(9/2)*x^7 + (5*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(16*a)}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 9, (3/8)*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x + (1/8)*a*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2 + (1/20)*a^2*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^3 - (3/20)*a^3*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x^4 + (1/5)*a^4*c^2*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x^5 + (3*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(8*a)}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a^2*c*x^2), x, 7, (1/2)*c*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x + (1/6)*a*c*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2 - (1/3)*a^2*c*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^3 + (c*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(2*a)}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2), x, 1, E^ArcCoth[a*x]/(a*c)}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 2, (2*E^ArcCoth[a*x])/(3*a*c^2) - (E^ArcCoth[a*x]*(1 - 2*a*x))/(3*a*c^2*(1 - a^2*x^2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 3, (8*E^ArcCoth[a*x])/(15*a*c^3) - (E^ArcCoth[a*x]*(1 - 4*a*x))/(15*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^2) - (4*E^ArcCoth[a*x]*(1 - 2*a*x))/(15*a*c^3*(1 - a^2*x^2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^4, x, 4, (16*E^ArcCoth[a*x])/(35*a*c^4) - (E^ArcCoth[a*x]*(1 - 6*a*x))/(35*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^3) - (2*E^ArcCoth[a*x]*(1 - 4*a*x))/(35*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^2) - (8*E^ArcCoth[a*x]*(1 - 2*a*x))/(35*a*c^4*(1 - a^2*x^2))}
+
+
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^5, x, 4, -((16*c^5*(1 + a*x)^7)/(7*a)) + (4*c^5*(1 + a*x)^8)/a - (8*c^5*(1 + a*x)^9)/(3*a) + (4*c^5*(1 + a*x)^10)/(5*a) - (c^5*(1 + a*x)^11)/(11*a)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^4, x, 4, -((4*c^4*(1 + a*x)^6)/(3*a)) + (12*c^4*(1 + a*x)^7)/(7*a) - (3*c^4*(1 + a*x)^8)/(4*a) + (c^4*(1 + a*x)^9)/(9*a)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 4, -((4*c^3*(1 + a*x)^5)/(5*a)) + (2*c^3*(1 + a*x)^6)/(3*a) - (c^3*(1 + a*x)^7)/(7*a)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 4, -((c^2*(1 + a*x)^4)/(2*a)) + (c^2*(1 + a*x)^5)/(5*a)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^1, x, 3, -((c*(1 + a*x)^3)/(3*a))}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^1, x, 3, -(1/(a*c*(1 - a*x)))}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 5, -(1/(4*a*c^2*(1 - a*x)^2)) - 1/(4*a*c^2*(1 - a*x)) - ArcTanh[a*x]/(4*a*c^2)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 5, -(1/(12*a*c^3*(1 - a*x)^3)) - 1/(8*a*c^3*(1 - a*x)^2) - 3/(16*a*c^3*(1 - a*x)) + 1/(16*a*c^3*(1 + a*x)) - ArcTanh[a*x]/(4*a*c^3)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^4, x, 5, -(1/(32*a*c^4*(1 - a*x)^4)) - 1/(16*a*c^4*(1 - a*x)^3) - 3/(32*a*c^4*(1 - a*x)^2) - 5/(32*a*c^4*(1 - a*x)) + 1/(64*a*c^4*(1 + a*x)^2) + 5/(64*a*c^4*(1 + a*x)) - (15*ArcTanh[a*x])/(64*a*c^4)}
+
+
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^4, x, 13, (-(55/128))*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x - (55/384)*a*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2 - (11/192)*a^2*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^3 - (11/448)*a^3*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x^4 - (11*a^4*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(9/2)*x^5)/1008 - (5*a^5*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(11/2)*x^6)/1008 + (5/168)*a^6*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(13/2)*x^7 - (5/72)*a^7*c^4*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(13/2)*x^8 + (1/9)*a^8*c^4*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(13/2)*x^9 - (55*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(128*a)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 11, (-(9/16))*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x - (3/16)*a*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2 - (3/40)*a^2*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^3 - (9/280)*a^3*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x^4 - (1/70)*a^4*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(9/2)*x^5 + (1/14)*a^5*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(11/2)*x^6 - (1/7)*a^6*c^3*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(11/2)*x^7 - (9*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(16*a)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 9, (-(7/8))*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x - (7/24)*a*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2 - (7/60)*a^2*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^3 - (1/20)*a^3*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x^4 + (1/5)*a^4*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(9/2)*x^5 - (7*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(8*a)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2), x, 7, (-(5/2))*c*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x - (5/6)*a*c*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2 - (1/3)*a^2*c*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^3 - (5*c*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(2*a)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2), x, 1, E^(3*ArcCoth[a*x])/(3*a*c)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 2, -((2*E^(3*ArcCoth[a*x]))/(15*a*c^2)) + (E^(3*ArcCoth[a*x])*(3 - 2*a*x))/(5*a*c^2*(1 - a^2*x^2))}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 3, -((8*E^(3*ArcCoth[a*x]))/(35*a*c^3)) - (E^(3*ArcCoth[a*x])*(3 - 4*a*x))/(7*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^2) + (12*E^(3*ArcCoth[a*x])*(3 - 2*a*x))/(35*a*c^3*(1 - a^2*x^2))}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^4, x, 4, -((16*E^(3*ArcCoth[a*x]))/(63*a*c^4)) - (E^(3*ArcCoth[a*x])*(1 - 2*a*x))/(9*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^3) - (10*E^(3*ArcCoth[a*x])*(3 - 4*a*x))/(63*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^2) + (8*E^(3*ArcCoth[a*x])*(3 - 2*a*x))/(21*a*c^4*(1 - a^2*x^2))}
+
+
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^5, x, 4, (c^5*(1 + a*x)^8)/a - (4*c^5*(1 + a*x)^9)/(3*a) + (3*c^5*(1 + a*x)^10)/(5*a) - (c^5*(1 + a*x)^11)/(11*a)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^4, x, 4, (4*c^4*(1 + a*x)^7)/(7*a) - (c^4*(1 + a*x)^8)/(2*a) + (c^4*(1 + a*x)^9)/(9*a)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^3, x, 4, (c^3*(1 + a*x)^6)/(3*a) - (c^3*(1 + a*x)^7)/(7*a)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^2, x, 3, (c^2*(1 + a*x)^5)/(5*a)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^1, x, 4, -4*c*x - (c*(1 + a*x)^2)/a - (c*(1 + a*x)^3)/(3*a) - (8*c*Log[1 - a*x])/a}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^1, x, 3, x/(c*(1 - a*x)^2)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^2, x, 3, 1/(3*a*c^2*(1 - a*x)^3)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^3, x, 5, 1/(8*a*c^3*(1 - a*x)^4) + 1/(12*a*c^3*(1 - a*x)^3) + 1/(16*a*c^3*(1 - a*x)^2) + 1/(16*a*c^3*(1 - a*x)) + ArcTanh[a*x]/(16*a*c^3)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^4, x, 5, 1/(20*a*c^4*(1 - a*x)^5) + 1/(16*a*c^4*(1 - a*x)^4) + 1/(16*a*c^4*(1 - a*x)^3) + 1/(16*a*c^4*(1 - a*x)^2) + 5/(64*a*c^4*(1 - a*x)) - 1/(64*a*c^4*(1 + a*x)) + (3*ArcTanh[a*x])/(32*a*c^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^4/E^ArcCoth[a*x], x, 13, (-(35/128))*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x - (35/384)*a*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2 - (7/192)*a^2*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^3 - (1/64)*a^3*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x^4 + (1/16)*a^4*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(9/2)*x^5 - (5/48)*a^5*c^4*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(9/2)*x^6 + (1/8)*a^6*c^4*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(9/2)*x^7 - (1/8)*a^7*c^4*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(9/2)*x^8 + (1/9)*a^8*c^4*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*(1 + 1/(a*x))^(9/2)*x^9 - (35*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(128*a)}
+{(c - a^2*c*x^2)^3/E^ArcCoth[a*x], x, 11, (-(5/16))*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x - (5/48)*a*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2 - (1/24)*a^2*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^3 + (1/8)*a^3*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x^4 - (1/6)*a^4*c^3*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x^5 + (1/6)*a^5*c^3*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x^6 - (1/7)*a^6*c^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x^7 - (5*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(16*a)}
+{(c - a^2*c*x^2)^2/E^ArcCoth[a*x], x, 9, (-(3/8))*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x - (1/8)*a*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2 + (1/4)*a^2*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^3 - (1/4)*a^3*c^2*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^4 + (1/5)*a^4*c^2*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^5 - (3*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(8*a)}
+{(c - a^2*c*x^2)/E^ArcCoth[a*x], x, 7, (-(1/2))*c*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x + (1/2)*a*c*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2 - (1/3)*a^2*c*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^3 - (c*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(2*a)}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - a^2*c*x^2)), x, 1, -(1/(a*c*E^ArcCoth[a*x]))}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^2), x, 2, -(2/(E^ArcCoth[a*x]*(3*a*c^2))) + (1 + 2*a*x)/(E^ArcCoth[a*x]*(3*a*c^2*(1 - a^2*x^2)))}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^3), x, 3, -(8/(E^ArcCoth[a*x]*(15*a*c^3))) + (1 + 4*a*x)/(E^ArcCoth[a*x]*(15*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^2)) + (4*(1 + 2*a*x))/(E^ArcCoth[a*x]*(15*a*c^3*(1 - a^2*x^2)))}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^4), x, 4, -(16/(E^ArcCoth[a*x]*(35*a*c^4))) + (1 + 6*a*x)/(E^ArcCoth[a*x]*(35*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^3)) + (2*(1 + 4*a*x))/(E^ArcCoth[a*x]*(35*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^2)) + (8*(1 + 2*a*x))/(E^ArcCoth[a*x]*(35*a*c^4*(1 - a^2*x^2)))}
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^4/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 4, (4*c^4*(1 - a*x)^6)/(3*a) - (12*c^4*(1 - a*x)^7)/(7*a) + (3*c^4*(1 - a*x)^8)/(4*a) - (c^4*(1 - a*x)^9)/(9*a)}
+{(c - a^2*c*x^2)^3/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 4, (4*c^3*(1 - a*x)^5)/(5*a) - (2*c^3*(1 - a*x)^6)/(3*a) + (c^3*(1 - a*x)^7)/(7*a)}
+{(c - a^2*c*x^2)^2/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 4, (c^2*(1 - a*x)^4)/(2*a) - (c^2*(1 - a*x)^5)/(5*a)}
+{(c - a^2*c*x^2)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 3, (c*(1 - a*x)^3)/(3*a)}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)), x, 3, 1/(a*c*(1 + a*x))}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^2), x, 5, 1/(4*a*c^2*(1 + a*x)^2) + 1/(4*a*c^2*(1 + a*x)) - ArcTanh[a*x]/(4*a*c^2)}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^3), x, 5, -(1/(16*a*c^3*(1 - a*x))) + 1/(12*a*c^3*(1 + a*x)^3) + 1/(8*a*c^3*(1 + a*x)^2) + 3/(16*a*c^3*(1 + a*x)) - ArcTanh[a*x]/(4*a*c^3)}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^4), x, 5, -(1/(64*a*c^4*(1 - a*x)^2)) - 5/(64*a*c^4*(1 - a*x)) + 1/(32*a*c^4*(1 + a*x)^4) + 1/(16*a*c^4*(1 + a*x)^3) + 3/(32*a*c^4*(1 + a*x)^2) + 5/(32*a*c^4*(1 + a*x)) - (15*ArcTanh[a*x])/(64*a*c^4)}
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^4/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 13, (55/128)*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x + (55/384)*a*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2 + (11/192)*a^2*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^3 - (11/64)*a^3*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x^4 + (11/48)*a^4*c^4*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x^5 - (11/48)*a^5*c^4*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x^6 + (11/56)*a^6*c^4*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x^7 - (11/72)*a^7*c^4*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x^8 + (1/9)*a^8*c^4*(1 - 1/(a*x))^(11/2)*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x^9 + (55*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(128*a)}
+{(c - a^2*c*x^2)^3/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 11, (9/16)*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x + (3/16)*a*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2 - (3/8)*a^2*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^3 + (3/8)*a^3*c^3*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^4 - (3/10)*a^4*c^3*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^5 + (3/14)*a^5*c^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^6 - (1/7)*a^6*c^3*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x^7 + (9*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(16*a)}
+{(c - a^2*c*x^2)^2/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 9, (7/8)*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x - (7/8)*a*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^2 + (7/12)*a^2*c^2*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^3 - (7/20)*a^3*c^2*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^4 + (1/5)*a^4*c^2*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x^5 + (7*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(8*a)}
+{(c - a^2*c*x^2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 7, (-(5/2))*c*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x + (5/6)*a*c*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^2 - (1/3)*a^2*c*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x^3 + (5*c*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(2*a)}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)), x, 1, -1/(3*a*c*E^(3*ArcCoth[a*x]))}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^2), x, 2, 2/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(15*a*c^2)) - (3 + 2*a*x)/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(5*a*c^2*(1 - a^2*x^2)))}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^3), x, 3, 8/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(35*a*c^3)) + (3 + 4*a*x)/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(7*a*c^3*(1 - a^2*x^2)^2)) - (12*(3 + 2*a*x))/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(35*a*c^3*(1 - a^2*x^2)))}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^4), x, 4, 16/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(63*a*c^4)) + (1 + 2*a*x)/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(9*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^3)) + (10*(3 + 4*a*x))/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(63*a*c^4*(1 - a^2*x^2)^2)) - (8*(3 + 2*a*x))/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(21*a*c^4*(1 - a^2*x^2)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcCoth[a x])  (c-c a^2 x^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(9/2), x, 4, (8*(1 + a*x)^6*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(3*a^10*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9) - (32*(1 + a*x)^7*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(7*a^10*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9) + (3*(1 + a*x)^8*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(a^10*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9) - (8*(1 + a*x)^9*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(9*a^10*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9) + ((1 + a*x)^10*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(10*a^10*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9)}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 4, -((8*(1 + a*x)^5*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(5*a^8*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)) + (2*(1 + a*x)^6*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(a^8*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7) - (6*(1 + a*x)^7*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(7*a^8*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7) + ((1 + a*x)^8*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(8*a^8*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 4, ((1 + a*x)^4*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) - (4*(1 + a*x)^5*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(5*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) + ((1 + a*x)^6*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(6*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 4, -((2*(1 + a*x)^3*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(3*a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)) + ((1 + a*x)^4*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(4*a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)}
+{E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 3, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^ArcCoth[a*x]/Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 3, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*Log[1 - a*x])/Sqrt[c - a^2*c*x^2]}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 5, (a^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(2*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (a^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*ArcTanh[a*x])/(2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 5, -((a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 - a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) - (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(4*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (3*a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*ArcTanh[a*x])/(8*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 5, (a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(24*(1 - a*x)^3*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) + (3*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(32*(1 - a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) + (3*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(16*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) - (a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(32*(1 + a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) - (a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(8*(1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) + (5*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*ArcTanh[a*x])/(16*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))}
+
+
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(9/2), x, 10, (-(77/256))*c^4*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2] - (77/384)*c^3*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2) - (77/480)*c^2*x*(c - a^2*c*x^2)^(5/2) - (11/80)*c*x*(c - a^2*c*x^2)^(7/2) + (11*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(90*a) + ((1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(10*a) - (77*c^(9/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(256*a)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 9, (-(45/128))*c^3*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2] - (15/64)*c^2*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2) - (3/16)*c*x*(c - a^2*c*x^2)^(5/2) + (9*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(56*a) + ((1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(8*a) - (45*c^(7/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(128*a)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 8, (-(7/16))*c^2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2] - (7/24)*c*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2) + (7*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(30*a) + ((1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(6*a) - (7*c^(5/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(16*a)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 7, (-(5/8))*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2] + (5*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(12*a) + ((1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(4*a) - (5*c^(3/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(8*a)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 6, (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a) + ((1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a) - (3*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(2*a)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 5, -((2*(1 + a*x))/(a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) + ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]]/(a*Sqrt[c])}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 4, -((2*(1 + a*x))/(3*a*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))) - x/(3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 5, -((2*(1 + a*x))/(5*a*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) - x/(5*c*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (2*x)/(5*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 6, -((2*(1 + a*x))/(7*a*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))) - x/(7*c*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (4*x)/(21*c^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (8*x)/(21*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(9/2), x, 7, -((2*(1 + a*x))/(9*a*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))) - x/(9*c*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) - (2*x)/(15*c^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (8*x)/(45*c^3*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (16*x)/(45*c^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(9/2), x, 4, -((8*(1 + a*x)^7*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(7*a^10*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9)) + (3*(1 + a*x)^8*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(2*a^10*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9) - (2*(1 + a*x)^9*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(3*a^10*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9) + ((1 + a*x)^10*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(10*a^10*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 4, (2*(1 + a*x)^6*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(3*a^8*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7) - (4*(1 + a*x)^7*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(7*a^8*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7) + ((1 + a*x)^8*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(8*a^8*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 4, -((2*(1 + a*x)^5*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(5*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)) + ((1 + a*x)^6*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(6*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, ((1 + a*x)^4*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(4*a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 4, (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 4, (2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/((1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*Log[1 - a*x])/Sqrt[c - a^2*c*x^2]}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, -((a^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(2*(1 - a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)))}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 5, (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(6*(1 - a*x)^3*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 - a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*ArcTanh[a*x])/(8*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 5, -((a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(16*(1 - a*x)^4*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))) - (a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(12*(1 - a*x)^3*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) - (3*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(32*(1 - a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) - (a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(8*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) + (a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(32*(1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) - (5*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*ArcTanh[a*x])/(32*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^(9/2)/E^ArcCoth[a*x], x, 4, (8*(1 - a*x)^6*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(3*a^10*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9) - (32*(1 - a*x)^7*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(7*a^10*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9) + (3*(1 - a*x)^8*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(a^10*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9) - (8*(1 - a*x)^9*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(9*a^10*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9) + ((1 - a*x)^10*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(10*a^10*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9)}
+{(c - a^2*c*x^2)^(7/2)/E^ArcCoth[a*x], x, 4, -((8*(1 - a*x)^5*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(5*a^8*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)) + (2*(1 - a*x)^6*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(a^8*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7) - (6*(1 - a*x)^7*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(7*a^8*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7) + ((1 - a*x)^8*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(8*a^8*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)}
+{(c - a^2*c*x^2)^(5/2)/E^ArcCoth[a*x], x, 4, ((1 - a*x)^4*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) - (4*(1 - a*x)^5*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(5*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) + ((1 - a*x)^6*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(6*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)}
+{(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/E^ArcCoth[a*x], x, 4, -((2*(1 - a*x)^3*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(3*a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)) + ((1 - a*x)^4*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(4*a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]/E^ArcCoth[a*x], x, 3, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])) + (x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), x, 3, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*Log[1 + a*x])/Sqrt[c - a^2*c*x^2]}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 5, (a^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(2*(1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (a^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*ArcTanh[a*x])/(2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 5, (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 + a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(4*(1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (3*a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*ArcTanh[a*x])/(8*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)), x, 5, -((a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(32*(1 - a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))) - (a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(8*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) + (a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(24*(1 + a*x)^3*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) + (3*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(32*(1 + a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) + (3*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(16*(1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) - (5*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*ArcTanh[a*x])/(16*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))}
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^(5/2)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 8, (-(7/16))*c^2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2] - (7/24)*c*x*(c - a^2*c*x^2)^(3/2) - (7*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(30*a) - ((1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(6*a) - (7*c^(5/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(16*a)}
+{(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 7, (-(5/8))*c*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2] - (5*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(12*a) - ((1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(4*a) - (5*c^(3/2)*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(8*a)}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 6, -((3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a)) - ((1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a) - (3*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(2*a)}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), x, 5, (2*(1 - a*x))/(a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]]/(a*Sqrt[c])}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 4, (2*(1 - a*x))/(3*a*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - x/(3*c*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 5, (2*(1 - a*x))/(5*a*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - x/(5*c*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (2*x)/(5*c^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)), x, 6, (2*(1 - a*x))/(7*a*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) - x/(7*c*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (4*x)/(21*c^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (8*x)/(21*c^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(9/2)), x, 7, (2*(1 - a*x))/(9*a*(c - a^2*c*x^2)^(9/2)) - x/(9*c*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) - (2*x)/(15*c^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (8*x)/(45*c^3*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (16*x)/(45*c^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^(9/2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 4, -((8*(1 - a*x)^7*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(7*a^10*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9)) + (3*(1 - a*x)^8*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(2*a^10*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9) - (2*(1 - a*x)^9*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(3*a^10*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9) + ((1 - a*x)^10*(c - a^2*c*x^2)^(9/2))/(10*a^10*(1 - 1/(a^2*x^2))^(9/2)*x^9)}
+{(c - a^2*c*x^2)^(7/2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 4, (2*(1 - a*x)^6*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(3*a^8*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7) - (4*(1 - a*x)^7*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(7*a^8*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7) + ((1 - a*x)^8*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))/(8*a^8*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)}
+{(c - a^2*c*x^2)^(5/2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 4, -((2*(1 - a*x)^5*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(5*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)) + ((1 - a*x)^6*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))/(6*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)}
+{(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 3, ((1 - a*x)^4*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))/(4*a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 4, -((3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])) + (x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), x, 4, (2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/((1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x*Log[1 + a*x])/Sqrt[c - a^2*c*x^2]}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)), x, 3, -((a^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(2*(1 + a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)))}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)), x, 5, (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(6*(1 + a*x)^3*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 + a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*ArcTanh[a*x])/(8*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)), x, 5, (a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(32*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) - (a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(16*(1 + a*x)^4*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) - (a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(12*(1 + a*x)^3*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) - (3*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(32*(1 + a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) - (a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(8*(1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(7/2)) + (5*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*ArcTanh[a*x])/(32*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcCoth[a x]) (c-c a^2 x^2)^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcCoth[a*x]*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 4, (x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^ArcCoth[a*x]*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 4, (x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 3, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{(E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x, x, 4, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{(E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x^2, x, 4, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2)) + (Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+
+
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 8, (3*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(5*a^2) + (x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a) + (1/5)*x^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2] + (3*(8 + 5*a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(20*a^4) - (3*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(4*a^4)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 7, (2*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a) + (1/4)*x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2] + ((32 + 21*a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(24*a^3) - (7*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(8*a^3)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 6, (1/3)*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2] + ((5 + 3*a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a^2) - (Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/a^2}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 6, (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a) + ((1 + a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a) - (3*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(2*a)}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x, x, 9, Sqrt[c - a^2*c*x^2] - 2*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]] + Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x^2, x, 9, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/x - a*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]] + 2*a*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x^3, x, 7, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(2*x^2) + (2*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x + (3/2)*a^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x^4, x, 8, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(3*x^3) + (a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x^2 + (5*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*x) + a^3*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x^5, x, 9, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(4*x^4) + (2*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*x^3) + (7*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(8*x^2) + (4*a^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*x) + (7/8)*a^4*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+
+
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 4, (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (4*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (3*x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (x^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/(a^5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 4, (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/(a^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 4, (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (3*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/(a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 4, (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x, x, 4, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x^2, x, 4, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) - (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x^3, x, 4, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(2*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) + (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) - (4*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (4*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x^4, x, 4, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(3*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4) + (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) + (4*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) - (4*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (4*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x^5, x, 4, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(4*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^5) + Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4) + (2*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) + (4*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) - (4*a^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (4*a^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 - a*x])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+
+
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^4, x, 4, ((1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^4)/(a*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + ((1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^5)/(2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + ((1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(2*a^2*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (7*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[1 - a*x])/(4*a^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + ((1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[1 + a*x])/(4*a^2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^3, x, 4, ((1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^4)/(c - a^2*c*x^2)^(3/2) + ((1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(2*a*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[1 - a*x])/(4*a*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - ((1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[1 + a*x])/(4*a*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^2, x, 4, ((1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(2*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[1 - a*x])/(4*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + ((1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[1 + a*x])/(4*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^1, x, 5, (a*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(2*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (a*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*ArcTanh[a*x])/(2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^0, x, 5, (a^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(2*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (a^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*ArcTanh[a*x])/(2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/x^1, x, 4, (a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(2*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2) - (3*a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[1 - a*x])/(4*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[1 + a*x])/(4*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/x^2, x, 4, -((a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^2)/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(2*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2) - (5*a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[1 - a*x])/(4*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[1 + a*x])/(4*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/x^3, x, 4, -((a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x)/(2*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))) - (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^2)/(c - a^2*c*x^2)^(3/2) + (a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(2*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2) - (7*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[1 - a*x])/(4*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*Log[1 + a*x])/(4*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))}
+
+
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*x^5, x, 4, ((1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^6)/(c - a^2*c*x^2)^(5/2) - ((1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*a*(1 - a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + ((1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(a*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - ((1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*a*(1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (23*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*Log[1 - a*x])/(16*a*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (7*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*Log[1 + a*x])/(16*a*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*x^4, x, 4, -(((1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 - a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) + (3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(4*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + ((1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (11*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*Log[1 - a*x])/(16*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*Log[1 + a*x])/(16*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*x^3, x, 5, -((a*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 - a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) + (a*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(2*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (a*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (3*a*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*ArcTanh[a*x])/(8*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*x^2, x, 5, -((a^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 - a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) + (a^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(4*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (a^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (a^2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*ArcTanh[a*x])/(8*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*x^1, x, 5, -((a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 - a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) - (a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*ArcTanh[a*x])/(8*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*x^0, x, 5, -((a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 - a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) - (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(4*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (3*a^4*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*ArcTanh[a*x])/(8*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(5/2)/x^1, x, 4, -((a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 - a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) - (a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(2*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*Log[x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/2) + (11*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*Log[1 - a*x])/(16*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (5*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*Log[1 + a*x])/(16*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - a^2*c*x^2)^(5/2)/x^2, x, 4, (a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^4)/(c - a^2*c*x^2)^(5/2) - (a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 - a*x)^2*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (3*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(4*(1 - a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 + a*x)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*Log[x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/2) + (23*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*Log[1 - a*x])/(16*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (7*a^6*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*Log[1 + a*x])/(16*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/E^ArcCoth[a*x], x, 4, -(x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{(x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/E^ArcCoth[a*x], x, 4, -(x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]/E^ArcCoth[a*x], x, 3, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])) + (x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(E^ArcCoth[a*x]*x), x, 4, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(E^ArcCoth[a*x]*x^2), x, 4, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) + (Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+
+
+{(x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 8, (3*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(5*a^2) - (x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a) + (1/5)*x^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2] + (3*(8 - 5*a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(20*a^4) + (3*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(4*a^4)}
+{(x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 7, -((2*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a)) + (1/4)*x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2] - ((32 - 21*a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(24*a^3) - (7*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(8*a^3)}
+{(x^1*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 6, (1/3)*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2] + ((5 - 3*a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a^2) + (Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/a^2}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 6, -((3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a)) - ((1 - a*x)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a) - (3*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]])/(2*a)}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^1), x, 9, Sqrt[c - a^2*c*x^2] + 2*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]] + Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^2), x, 9, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/x - a*Sqrt[c]*ArcTan[(a*Sqrt[c]*x)/Sqrt[c - a^2*c*x^2]] - 2*a*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^3), x, 7, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(2*x^2) - (2*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x + (3/2)*a^2*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^4), x, 8, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(3*x^3) - (a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/x^2 + (5*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*x) - a^3*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^5), x, 9, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(4*x^4) - (2*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*x^3) + (7*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(8*x^2) - (4*a^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*x) + (7/8)*a^4*Sqrt[c]*ArcTanh[Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[c]]}
+
+
+{(x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 4, (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (4*x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (3*x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (x^4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/(a^5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{(x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 4, (-4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (2*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (x^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/(a^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{(x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 4, (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (3*x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (x^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/(a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 4, -((3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])) + (x*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x), x, 4, Sqrt[c - a^2*c*x^2]/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) - (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^2), x, 4, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2)) - (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (4*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^3), x, 4, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(2*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3)) + (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) + (4*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) - (4*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^4), x, 4, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(3*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4)) + (3*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) - (4*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) - (4*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (4*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^5), x, 4, -(Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(4*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^5)) + Sqrt[c - a^2*c*x^2]/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4) - (2*a*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) + (4*a^2*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) + (4*a^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[x])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) - (4*a^3*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Log[1 + a*x])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcCoth[a x]) (c-c a^2 x^2)^p with m symbolic*)
+
+
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*x^m*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 5, (3*x^m*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*(1 + m)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((2 + m)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (4*x^m*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, a*x])/(a*(1 + m)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*x^m*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 8, If[$VersionNumber>=8, (x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2 + m) - (c*(3 + 2*m)*x^(1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/((1 + m)*(2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (2*a*c*x^(2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), (x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2 + m) - (c*(3 + 2*m)*x^(1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + 3*m + m^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) - (2*a*c*x^(2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])]}
+{E^(1*ArcCoth[a*x])*x^m*Sqrt[c - a^2*c*x^2], x, 4, (x^m*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*(1 + m)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((2 + m)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{(x^m*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/E^(1*ArcCoth[a*x]), x, 4, -((x^m*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*(1 + m)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])) + (x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((2 + m)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{(x^m*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 8, If[$VersionNumber>=8, (x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2 + m) - (c*(3 + 2*m)*x^(1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/((1 + m)*(2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*a*c*x^(2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), (x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(2 + m) - (c*(3 + 2*m)*x^(1 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + 3*m + m^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]) + (2*a*c*x^(2 + m)*Sqrt[1 - a^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + m)/2, (4 + m)/2, a^2*x^2])/((2 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])]}
+{(x^m*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 5, -((3*x^m*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/(a*(1 + m)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])) + (x^(1 + m)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])/((2 + m)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (4*x^m*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, (-a)*x])/(a*(1 + m)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcCoth[a x]) (c-c a^2 x^2)^p with n symbolic*)
+
+
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - c*a^2*x^2)^3, x, 3, -((256*c^3*(1 - 1/(a*x))^(4 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-8 + n))*Hypergeometric2F1[8, 4 - n/2, 5 - n/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/(a*(8 - n)))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - c*a^2*x^2)^2, x, 3, (64*c^2*(1 - 1/(a*x))^(3 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-6 + n))*Hypergeometric2F1[6, 3 - n/2, 4 - n/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/(a*(6 - n))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - c*a^2*x^2)^1, x, 3, -((16*c*(1 - 1/(a*x))^(2 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-4 + n))*Hypergeometric2F1[4, 2 - n/2, 3 - n/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/(a*(4 - n)))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - c*a^2*x^2)^0, x, 2, (4*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-2 + n))*Hypergeometric2F1[2, 1 - n/2, 2 - n/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/(a*(2 - n))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - c*a^2*x^2)^1, x, 1, E^(n*ArcCoth[a*x])/(a*c*n)}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - c*a^2*x^2)^2, x, 2, (2*E^(n*ArcCoth[a*x]))/(a*c^2*n*(4 - n^2)) - (E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 2*a*x))/(a*c^2*(4 - n^2)*(1 - a^2*x^2))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - c*a^2*x^2)^3, x, 3, If[$VersionNumber>=8, (24*E^(n*ArcCoth[a*x]))/(a*c^3*n*(64 - 20*n^2 + n^4)) - (E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 4*a*x))/(a*c^3*(16 - n^2)*(1 - a^2*x^2)^2) - (12*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 2*a*x))/(a*c^3*(4 - n^2)*(16 - n^2)*(1 - a^2*x^2)), (24*E^(n*ArcCoth[a*x]))/(a*c^3*n*(64 - 20*n^2 + n^4)) - (E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 4*a*x))/(a*c^3*(16 - n^2)*(1 - a^2*x^2)^2) - (12*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 2*a*x))/(a*c^3*(64 - 20*n^2 + n^4)*(1 - a^2*x^2))]}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - c*a^2*x^2)^4, x, 4, If[$VersionNumber>=8, (720*E^(n*ArcCoth[a*x]))/(a*c^4*n*(36 - n^2)*(64 - 20*n^2 + n^4)) - (E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 6*a*x))/(a*c^4*(36 - n^2)*(1 - a^2*x^2)^3) - (30*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 4*a*x))/(a*c^4*(16 - n^2)*(36 - n^2)*(1 - a^2*x^2)^2) - (360*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 2*a*x))/(a*c^4*(4 - n^2)*(16 - n^2)*(36 - n^2)*(1 - a^2*x^2)), (720*E^(n*ArcCoth[a*x]))/(a*c^4*n*(36 - n^2)*(64 - 20*n^2 + n^4)) - (E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 6*a*x))/(a*c^4*(36 - n^2)*(1 - a^2*x^2)^3) - (30*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 4*a*x))/(a*c^4*(576 - 52*n^2 + n^4)*(1 - a^2*x^2)^2) - (360*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 2*a*x))/(a*c^4*(36 - n^2)*(64 - 20*n^2 + n^4)*(1 - a^2*x^2))]}
+
+
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 3, (32*(1 - 1/(a*x))^((5 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-5 + n))*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*Hypergeometric2F1[5, (5 - n)/2, (7 - n)/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/(a^4*(5 - n)*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 3, (8*(1 - 1/(a*x))^((3 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*Sqrt[c - a^2*c*x^2]*Hypergeometric2F1[3, (3 - n)/2, (5 - n)/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/(a^2*(3 - n)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(1/2), x, 3, (2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x*Hypergeometric2F1[1, (1 - n)/2, (3 - n)/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/((1 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2), x, 1, -((E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - a*x))/(a*c*(1 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/2), x, 2, If[$VersionNumber>=8, -((E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 3*a*x))/(a*c*(9 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))) - (6*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - a*x))/(a*c^2*(1 - n^2)*(9 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), -((E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 3*a*x))/(a*c*(9 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))) - (6*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - a*x))/(a*c^2*(9 - 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])]}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(7/2), x, 3, If[$VersionNumber>=8, -((E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 5*a*x))/(a*c*(25 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) - (20*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 3*a*x))/(a*c^2*(9 - n^2)*(25 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (120*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - a*x))/(a*c^3*(1 - n^2)*(9 - n^2)*(25 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), -((E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 5*a*x))/(a*c*(25 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) - (20*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 3*a*x))/(a*c^2*(225 - 34*n^2 + n^4)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (120*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - a*x))/(a*c^3*(25 - n^2)*(9 - 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])]}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(9/2), x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 7*a*x))/(a*c*(49 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))) - (42*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 5*a*x))/(a*c^2*(25 - n^2)*(49 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (840*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 3*a*x))/(a*c^3*(9 - n^2)*(25 - n^2)*(49 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (5040*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - a*x))/(a*c^4*(1 - n^2)*(9 - n^2)*(25 - n^2)*(49 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]),-((E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 7*a*x))/(a*c*(49 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(7/2))) - (42*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 5*a*x))/(a*c^2*(1225 - 74*n^2 + n^4)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (840*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 3*a*x))/(a*c^3*(49 - n^2)*(225 - 34*n^2 + n^4)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (5040*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - a*x))/(a*c^4*(1225 - 74*n^2 + n^4)*(9 - 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])]}
+
+
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^3, x, 7, If[$VersionNumber>=8, -(((2 + n)*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-1 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x^3)/(a*(1 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))) + ((2 + 2*n + n^2)*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x^3)/(a*(1 - n)*(1 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + ((1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-1 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x^4)/(c - a^2*c*x^2)^(3/2) - (2*n*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x^3*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, (a + 1/x)/(a - 1/x)])/(a*(1 - n)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)), -(((2 + n)*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-1 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x^3)/(a*(1 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))) + ((2 + 2*n + n^2)*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x^3)/(a*(1 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + ((1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-1 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x^4)/(c - a^2*c*x^2)^(3/2) - (2*n*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x^3*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, (a + 1/x)/(a - 1/x)])/(a*(1 - n)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))]}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^2, x, 4, -((E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - a*x))/(a^3*c*(1 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])) - (2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x*Hypergeometric2F1[1, (1 - n)/2, (3 - n)/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/(a^2*c*(1 - n)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^1, x, 1, (E^(n*ArcCoth[a*x])*(1 - a*n*x))/(a^2*c*(1 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)*x^0, x, 1, -((E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - a*x))/(a*c*(1 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(3/2)/x^1, x, 5, -((a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-1 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x^3)/((1 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))) + (a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x^3)/((1 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) - (2^((1 + n)/2)*a^3*(1 - 1/(a^2*x^2))^(3/2)*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*x^3*Hypergeometric2F1[(1 - n)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, (a - 1/x)/(2*a)])/((1 - n)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))}
+
+
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*x^4, x, 8, If[$VersionNumber>=8, -(((1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-3 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((3 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) - ((6 + n)*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-1 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((1 + n)*(3 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + ((15 + 6*n + n^2)*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((1 - n)*(1 + n)*(3 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - ((18 + 7*n - 2*n^2 - n^3)*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((3 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((9 - 10*n^2 + n^4)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x^5*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, (a + 1/x)/(a - 1/x)])/((1 - n)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)), -(((1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-3 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((3 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) - ((6 + n)*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-1 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((3 + 4*n + n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + ((15 + 6*n + n^2)*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((3 + n - 3*n^2 - n^3)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - ((18 + 7*n - 2*n^2 - n^3)*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((3 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((9 - 10*n^2 + n^4)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (2*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x^5*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(-1 + n), (1 + n)/2, (a + 1/x)/(a - 1/x)])/((1 - n)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))]}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*x^3, x, 6, If[$VersionNumber>=8, -((a*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-3 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((3 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) - (3*a*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-1 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((3 + 4*n + n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (6*a*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((3 + n)*(1 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (6*a*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((3 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((9 - 10*n^2 + n^4)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)), -((a*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-3 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((3 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) - (3*a*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-1 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((3 + 4*n + n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (6*a*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((3 + n - 3*n^2 - n^3)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (6*a*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((3 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((9 - 10*n^2 + n^4)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))]}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*x^2, x, 2, -((E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 3*a*x))/(a^3*c*(9 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))) + (E^(n*ArcCoth[a*x])*(3 - n^2)*(n - a*x))/(a^3*c^2*(9 - 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*x^1, x, 2, (E^(n*ArcCoth[a*x])*(3 - a*n*x))/(a^2*c*(9 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2)) + (2*E^(n*ArcCoth[a*x])*n*(n - a*x))/(a^2*c^2*(9 - 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/2)*x^0, x, 2, If[$VersionNumber>=8, -((E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 3*a*x))/(a*c*(9 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))) - (6*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - a*x))/(a*c^2*(1 - n^2)*(9 - n^2)*Sqrt[c - a^2*c*x^2]), -((E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - 3*a*x))/(a*c*(9 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(3/2))) - (6*E^(n*ArcCoth[a*x])*(n - a*x))/(a*c^2*(9 - 10*n^2 + n^4)*Sqrt[c - a^2*c*x^2])]}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - a^2*c*x^2)^(5/2)/x^1, x, 15, If[$VersionNumber>=8, -((a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-3 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((3 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) - (3*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-1 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((3 + 4*n + n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (6*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((3 + n)*(1 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (6*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((3 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((9 - 10*n^2 + n^4)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (4*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-3 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x^5)/((3 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (8*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-1 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x^5)/((3 + 4*n + n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (8*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x^5)/((3 + n)*(1 - n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (6*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-3 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1 + n)/2)*x^5)/((3 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (6*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-1 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1 + n)/2)*x^5)/((3 + 4*n + n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (4*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-3 - n))*(1 + 1/(a*x))^((3 + n)/2)*x^5)/((3 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (2^((5 + n)/2)*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-3 - n))*x^5*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 - n), (1/2)*(-3 - n), (1/2)*(-1 - n), (a - 1/x)/(2*a)])/((3 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)), -((a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-3 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((3 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))) - (3*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-1 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((3 + 4*n + n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (6*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((3 + n - 3*n^2 - n^3)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (6*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((3 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-3 + n))*x^5)/((9 - 10*n^2 + n^4)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (4*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-3 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x^5)/((3 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (8*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-1 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x^5)/((3 + 4*n + n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (8*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*x^5)/((3 + n - 3*n^2 - n^3)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (6*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-3 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1 + n)/2)*x^5)/((3 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (6*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-1 - n))*(1 + 1/(a*x))^((1 + n)/2)*x^5)/((3 + 4*n + n^2)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) + (4*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-3 - n))*(1 + 1/(a*x))^((3 + n)/2)*x^5)/((3 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2)) - (2^((5 + n)/2)*a^5*(1 - 1/(a^2*x^2))^(5/2)*(1 - 1/(a*x))^((1/2)*(-3 - n))*x^5*Hypergeometric2F1[(1/2)*(-3 - n), (1/2)*(-3 - n), (1/2)*(-1 - n), (a - 1/x)/(2*a)])/((3 + n)*(c - a^2*c*x^2)^(5/2))]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcCoth[a x]) (c-c a^2 x^2)^p with p symbolic*)
+
+
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - c*a^2*x^2)^p, x, 3, (((a - 1/x)/(a + 1/x))^((1/2)*(n - 2*p))*(1 - 1/(a*x))^(-(n/2) + p)*(1 + 1/(a*x))^(1 + n/2 + p)*x*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-1 - 2*p, (1/2)*(n - 2*p), -2*p, 2/((a + 1/x)*x)])/((1 - 1/(a^2*x^2))^p*(1 + 2*p))}
+
+
+{(c - a^2*c*x^2)^p*E^(2*p*ArcCoth[a*x]), x, 3, ((1 + 1/(a*x))^(1 + 2*p)*x*(c - a^2*c*x^2)^p)/((1 + 2*p)*(1 - 1/(a^2*x^2))^p)}
+{(c - a^2*c*x^2)^p/E^(2*p*ArcCoth[a*x]), x, 3, ((1 - 1/(a*x))^(1 + 2*p)*x*(c - a^2*c*x^2)^p)/((1 + 2*p)*(1 - 1/(a^2*x^2))^p)}
+
+
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^p, x, 4, (2^(2 + p)*c*(1 + a*x)^(1 - p)*(c - a^2*c*x^2)^(-1 + p)*Hypergeometric2F1[-2 - p, -1 + p, p, (1/2)*(1 - a*x)])/(a*(1 - p))}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^p, x, 3, (((a - 1/x)/(a + 1/x))^(3/2 - p)*(1 - 1/(a*x))^(-(3/2) + p)*(1 + 1/(a*x))^(5/2 + p)*x*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-1 - 2*p, 3/2 - p, -2*p, 2/((a + 1/x)*x)])/((1 - 1/(a^2*x^2))^p*(1 + 2*p))}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - a^2*c*x^2)^p, x, 4, (2^(1 + p)*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-1 - p, p, 1 + p, (1/2)*(1 - a*x)])/((1 + a*x)^p*(a*p))}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - a^2*c*x^2)^p, x, 3, (((a - 1/x)/(a + 1/x))^(1/2 - p)*(1 - 1/(a*x))^(-(1/2) + p)*(1 + 1/(a*x))^(3/2 + p)*x*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-1 - 2*p, 1/2 - p, -2*p, 2/((a + 1/x)*x)])/((1 - 1/(a^2*x^2))^p*(1 + 2*p))}
+{(c - a^2*c*x^2)^p/E^ArcCoth[a*x], x, 3, (((a - 1/x)/(a + 1/x))^(-(1/2) - p)*(1 - 1/(a*x))^(1/2 + p)*(1 + 1/(a*x))^(1/2 + p)*x*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-1 - 2*p, -(1/2) - p, -2*p, 2/((a + 1/x)*x)])/((1 - 1/(a^2*x^2))^p*(1 + 2*p))}
+{(c - a^2*c*x^2)^p/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 4, -((2^(1 + p)*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-1 - p, p, 1 + p, (1/2)*(1 + a*x)])/((1 - a*x)^p*(a*p)))}
+{(c - a^2*c*x^2)^p/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 3, (((a - 1/x)/(a + 1/x))^(-(3/2) - p)*(1 - 1/(a*x))^(3/2 + p)*(1 + 1/(a*x))^(-(1/2) + p)*x*(c - a^2*c*x^2)^p*Hypergeometric2F1[-1 - 2*p, -(3/2) - p, -2*p, 2/((a + 1/x)*x)])/((1 - 1/(a^2*x^2))^p*(1 + 2*p))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form u E^(n ArcCoth[a x]) (c-c/(a^2 x^2))^p*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcCoth[a x]) (c-c/(a^2 x^2))^p*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^4, x, 14, -((51*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(16*a)) - (67*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2))/(48*a) - (91*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2))/(120*a) - (131*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(7/2))/(280*a) + (61*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(9/2))/(70*a) + (47*c^4*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(9/2))/(42*a) + (8*c^4*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(9/2))/(7*a) + c^4*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(9/2)*x + (35*c^4*ArcCsc[a*x])/(16*a) + (c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/a}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^3, x, 12, -((23*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(8*a)) - (31*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2))/(24*a) - (43*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2))/(60*a) + (23*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(7/2))/(20*a) + (6*c^3*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(7/2))/(5*a) + c^3*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x + (15*c^3*ArcCsc[a*x])/(8*a) + (c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/a}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 10, -((5*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(2*a)) - (7*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2))/(6*a) + (4*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2))/(3*a) + c^2*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x + (3*c^2*ArcCsc[a*x])/(2*a) + (c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/a}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a^2*x^2)), x, 9, -((2*c*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/a) + c*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x + (c*ArcCsc[a*x])/a + (c*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/a}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - c/(a^2*x^2)), x, 6, -((2*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(a*c*Sqrt[1 - 1/(a*x)])) + (Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x)/(c*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]]/(a*c)}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 8, -(4/(3*a*c^2*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])) - 11/(3*a*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (8*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(3*a*c^2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + x/(c^2*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]]/(a*c^2)}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - c/(a^2*x^2))^3, x, 10, -(6/(5*a*c^3*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2))) - 29/(15*a*c^3*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) - 34/(5*a*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) + (21*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(5*a*c^3*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) + (16*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(5*a*c^3*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + x/(c^3*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]]/(a*c^3)}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - c/(a^2*x^2))^4, x, 12, -(8/(7*a*c^4*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2))) - 11/(7*a*c^4*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2)) - 62/(21*a*c^4*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2)) - 269/(21*a*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2)) + (262*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(35*a*c^4*(1 + 1/(a*x))^(5/2)) + (163*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(35*a*c^4*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) + (128*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(35*a*c^4*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + x/(c^4*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2)) + ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]]/(a*c^4)}
+
+
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^5, x, 5, -(c^5/(9*a^10*x^9)) - c^5/(4*a^9*x^8) + (3*c^5)/(7*a^8*x^7) + (4*c^5)/(3*a^7*x^6) - (2*c^5)/(5*a^6*x^5) - (3*c^5)/(a^5*x^4) - (2*c^5)/(3*a^4*x^3) + (4*c^5)/(a^3*x^2) + (3*c^5)/(a^2*x) + c^5*x + (2*c^5*Log[x])/a}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^4, x, 5, c^4/(7*a^8*x^7) + c^4/(3*a^7*x^6) - (2*c^4)/(5*a^6*x^5) - (3*c^4)/(2*a^5*x^4) + (3*c^4)/(a^3*x^2) + (2*c^4)/(a^2*x) + c^4*x + (2*c^4*Log[x])/a}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^3, x, 5, -(c^3/(5*a^6*x^5)) - c^3/(2*a^5*x^4) + c^3/(3*a^4*x^3) + (2*c^3)/(a^3*x^2) + c^3/(a^2*x) + c^3*x + (2*c^3*Log[x])/a}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 5, c^2/(3*a^4*x^3) + c^2/(a^3*x^2) + c^2*x + (2*c^2*Log[x])/a}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2)), x, 5, -(c/(a^2*x)) + c*x + (2*c*Log[x])/a}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2)), x, 5, x/c + 1/(a*c*(1 - a*x)) + (2*Log[1 - a*x])/(a*c)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 5, x/c^2 - 1/(4*a*c^2*(1 - a*x)^2) + 7/(4*a*c^2*(1 - a*x)) + (17*Log[1 - a*x])/(8*a*c^2) - Log[1 + a*x]/(8*a*c^2)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^3, x, 5, x/c^3 + 1/(12*a*c^3*(1 - a*x)^3) - 5/(8*a*c^3*(1 - a*x)^2) + 39/(16*a*c^3*(1 - a*x)) - 1/(16*a*c^3*(1 + a*x)) + (9*Log[1 - a*x])/(4*a*c^3) - Log[1 + a*x]/(4*a*c^3)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^4, x, 5, x/c^4 - 1/(32*a*c^4*(1 - a*x)^4) + 13/(48*a*c^4*(1 - a*x)^3) - 35/(32*a*c^4*(1 - a*x)^2) + 99/(32*a*c^4*(1 - a*x)) + 1/(64*a*c^4*(1 + a*x)^2) - 11/(64*a*c^4*(1 + a*x)) + (303*Log[1 - a*x])/(128*a*c^4) - (47*Log[1 + a*x])/(128*a*c^4)}
+
+
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^4, x, 14, -((63*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(16*a)) - (37*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2))/(16*a) - (61*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2))/(40*a) - (303*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(7/2))/(280*a) - (57*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(9/2))/(70*a) + (15*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(11/2))/(14*a) + (8*c^4*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(11/2))/(7*a) + c^4*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(11/2)*x + (15*c^4*ArcCsc[a*x])/(16*a) + (3*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/a}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^3, x, 12, -((27*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(8*a)) - (17*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2))/(8*a) - (29*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2))/(20*a) - (21*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(7/2))/(20*a) + (6*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(9/2))/(5*a) + c^3*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(9/2)*x + (3*c^3*ArcCsc[a*x])/(8*a) + (3*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/a}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 10, -((5*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(2*a)) - (11*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2))/(6*a) - (4*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2))/(3*a) + c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x - (c^2*ArcCsc[a*x])/(2*a) + (3*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/a}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2)), x, 8, c*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x - (3*c*ArcCsc[a*x])/a + (3*c*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/a}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2)), x, 7, -((5*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(3*a*c*(1 - 1/(a*x))^(3/2))) - (14*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(3*a*c*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x)/(c*(1 - 1/(a*x))^(3/2)) + (3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*c)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 9, -((6*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(5*a*c^2*(1 - 1/(a*x))^(5/2))) - (9*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(5*a*c^2*(1 - 1/(a*x))^(3/2)) - (24*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(5*a*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]) + (Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x)/(c^2*(1 - 1/(a*x))^(5/2)) + (3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*c^2)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^3, x, 10, -(8/(7*a*c^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])) - 53/(35*a*c^3*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) - 88/(35*a*c^3*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) - 281/(35*a*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (176*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(35*a*c^3*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + x/(c^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*c^3)}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^4, x, 12, -(10/(9*a*c^4*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2))) - 29/(21*a*c^4*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) - 208/(105*a*c^4*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) - 1147/(315*a*c^4*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) - 1462/(105*a*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) + (2609*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(315*a*c^4*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) + (1664*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(315*a*c^4*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + x/(c^4*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) + (3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*c^4)}
+
+
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^5, x, 5, c^5/(9*a^10*x^9) + c^5/(2*a^9*x^8) + (3*c^5)/(7*a^8*x^7) - (4*c^5)/(3*a^7*x^6) - (14*c^5)/(5*a^6*x^5) + (14*c^5)/(3*a^4*x^3) + (4*c^5)/(a^3*x^2) - (3*c^5)/(a^2*x) + c^5*x + (4*c^5*Log[x])/a}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^4, x, 5, -(c^4/(7*a^8*x^7)) - (2*c^4)/(3*a^7*x^6) - (4*c^4)/(5*a^6*x^5) + c^4/(a^5*x^4) + (10*c^4)/(3*a^4*x^3) + (2*c^4)/(a^3*x^2) - (4*c^4)/(a^2*x) + c^4*x + (4*c^4*Log[x])/a}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^3, x, 5, c^3/(5*a^6*x^5) + c^3/(a^5*x^4) + (5*c^3)/(3*a^4*x^3) - (5*c^3)/(a^2*x) + c^3*x + (4*c^3*Log[x])/a}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 5, -(c^2/(3*a^4*x^3)) - (2*c^2)/(a^3*x^2) - (6*c^2)/(a^2*x) + c^2*x + (4*c^2*Log[x])/a}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2)), x, 5, c/(a^2*x) + c*x - (4*c*Log[x])/a + (8*c*Log[1 - a*x])/a}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2)), x, 5, x/c - 1/(a*c*(1 - a*x)^2) + 5/(a*c*(1 - a*x)) + (4*Log[1 - a*x])/(a*c)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 5, x/c^2 + 1/(3*a*c^2*(1 - a*x)^3) - 2/(a*c^2*(1 - a*x)^2) + 6/(a*c^2*(1 - a*x)) + (4*Log[1 - a*x])/(a*c^2)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^3, x, 5, x/c^3 - 1/(8*a*c^3*(1 - a*x)^4) + 11/(12*a*c^3*(1 - a*x)^3) - 49/(16*a*c^3*(1 - a*x)^2) + 111/(16*a*c^3*(1 - a*x)) + (129*Log[1 - a*x])/(32*a*c^3) - Log[1 + a*x]/(32*a*c^3)}
+{E^(4*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^4, x, 5, x/c^4 + 1/(20*a*c^4*(1 - a*x)^5) - 7/(16*a*c^4*(1 - a*x)^4) + 83/(48*a*c^4*(1 - a*x)^3) - 67/(16*a*c^4*(1 - a*x)^2) + 501/(64*a*c^4*(1 - a*x)) - 1/(64*a*c^4*(1 + a*x)) + (261*Log[1 - a*x])/(64*a*c^4) - (5*Log[1 + a*x])/(64*a*c^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c - c/(a^2*x^2))^4/E^ArcCoth[a*x], x, 14, -((19*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(16*a)) - (c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2))/(16*a) + (7*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2))/(40*a) + (19*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(7/2))/(40*a) + (29*c^4*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(7/2))/(30*a) + (7*c^4*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(7/2))/(6*a) + (8*c^4*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(7/2))/(7*a) + c^4*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*(1 + 1/(a*x))^(7/2)*x + (35*c^4*ArcCsc[a*x])/(16*a) - (c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/a}
+{(c - c/(a^2*x^2))^3/E^ArcCoth[a*x], x, 12, -((7*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(8*a)) + (c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2))/(24*a) + (11*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2))/(12*a) + (5*c^3*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2))/(4*a) + (6*c^3*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2))/(5*a) + c^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x + (15*c^3*ArcCsc[a*x])/(8*a) - (c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/a}
+{(c - c/(a^2*x^2))^2/E^ArcCoth[a*x], x, 10, -((c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(2*a)) + (3*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2))/(2*a) + (4*c^2*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2))/(3*a) + c^2*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x + (3*c^2*ArcCsc[a*x])/(2*a) - (c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/a}
+{(c - c/(a^2*x^2))/E^ArcCoth[a*x], x, 9, (2*c*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/a + c*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x + (c*ArcCsc[a*x])/a - (c*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/a}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))), x, 6, (2*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(a*c*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x)/(c*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) - ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]]/(a*c)}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^2), x, 8, -(2/(a*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2))) + (5*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(3*a*c^2*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) + (8*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(3*a*c^2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + x/(c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) - ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]]/(a*c^2)}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^3), x, 10, -(4/(3*a*c^3*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2))) - 13/(3*a*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2)) + (14*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(5*a*c^3*(1 + 1/(a*x))^(5/2)) + (11*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(5*a*c^3*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) + (16*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(5*a*c^3*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + x/(c^3*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2)) - ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]]/(a*c^3)}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^4), x, 12, -(6/(5*a*c^4*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(7/2))) - 31/(15*a*c^4*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(7/2)) - 28/(3*a*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(7/2)) + (115*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(21*a*c^4*(1 + 1/(a*x))^(7/2)) + (122*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(35*a*c^4*(1 + 1/(a*x))^(5/2)) + (93*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(35*a*c^4*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) + (128*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(35*a*c^4*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + x/(c^4*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(7/2)) - ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]]/(a*c^4)}
+
+
+{(c - c/(a^2*x^2))^4/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 5, c^4/(7*a^8*x^7) - c^4/(3*a^7*x^6) - (2*c^4)/(5*a^6*x^5) + (3*c^4)/(2*a^5*x^4) - (3*c^4)/(a^3*x^2) + (2*c^4)/(a^2*x) + c^4*x - (2*c^4*Log[x])/a}
+{(c - c/(a^2*x^2))^3/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 5, -(c^3/(5*a^6*x^5)) + c^3/(2*a^5*x^4) + c^3/(3*a^4*x^3) - (2*c^3)/(a^3*x^2) + c^3/(a^2*x) + c^3*x - (2*c^3*Log[x])/a}
+{(c - c/(a^2*x^2))^2/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 5, c^2/(3*a^4*x^3) - c^2/(a^3*x^2) + c^2*x - (2*c^2*Log[x])/a}
+{(c - c/(a^2*x^2))/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 5, -(c/(a^2*x)) + c*x - (2*c*Log[x])/a}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))), x, 5, x/c - 1/(a*c*(1 + a*x)) - (2*Log[1 + a*x])/(a*c)}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^2), x, 5, x/c^2 + 1/(4*a*c^2*(1 + a*x)^2) - 7/(4*a*c^2*(1 + a*x)) + Log[1 - a*x]/(8*a*c^2) - (17*Log[1 + a*x])/(8*a*c^2)}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^3), x, 5, x/c^3 + 1/(16*a*c^3*(1 - a*x)) - 1/(12*a*c^3*(1 + a*x)^3) + 5/(8*a*c^3*(1 + a*x)^2) - 39/(16*a*c^3*(1 + a*x)) + Log[1 - a*x]/(4*a*c^3) - (9*Log[1 + a*x])/(4*a*c^3)}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^4), x, 5, x/c^4 - 1/(64*a*c^4*(1 - a*x)^2) + 11/(64*a*c^4*(1 - a*x)) + 1/(32*a*c^4*(1 + a*x)^4) - 13/(48*a*c^4*(1 + a*x)^3) + 35/(32*a*c^4*(1 + a*x)^2) - 99/(32*a*c^4*(1 + a*x)) + (47*Log[1 - a*x])/(128*a*c^4) - (303*Log[1 + a*x])/(128*a*c^4)}
+
+
+{(c - c/(a^2*x^2))^4/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 14, (33*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(16*a) + (27*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2))/(16*a) - (3*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(5/2))/(8*a) + (5*c^4*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2))/(8*a) + (11*c^4*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2))/(10*a) + (17*c^4*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2))/(14*a) + (8*c^4*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2))/(7*a) + c^4*(1 - 1/(a*x))^(11/2)*(1 + 1/(a*x))^(5/2)*x + (15*c^4*ArcCsc[a*x])/(16*a) - (3*c^4*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/a}
+{(c - c/(a^2*x^2))^3/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 12, (21*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(8*a) + (3*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(3/2))/(8*a) + (5*c^3*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2))/(4*a) + (27*c^3*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2))/(20*a) + (6*c^3*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2))/(5*a) + c^3*(1 - 1/(a*x))^(9/2)*(1 + 1/(a*x))^(3/2)*x + (3*c^3*ArcCsc[a*x])/(8*a) - (3*c^3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/a}
+{(c - c/(a^2*x^2))^2/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 10, (5*c^2*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(2*a) + (11*c^2*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(6*a) + (4*c^2*(1 - 1/(a*x))^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)])/(3*a) + c^2*(1 - 1/(a*x))^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x - (c^2*ArcCsc[a*x])/(2*a) - (3*c^2*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/a}
+{(c - c/(a^2*x^2))/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 8, c*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a*x)]*x - (3*c*ArcCsc[a*x])/a - (3*c*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/a}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))), x, 7, (5*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(3*a*c*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) + (14*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(3*a*c*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x)/(c*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) - (3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*c)}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^2), x, 9, (6*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(5*a*c^2*(1 + 1/(a*x))^(5/2)) + (9*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(5*a*c^2*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) + (24*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(5*a*c^2*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + (Sqrt[1 - 1/(a*x)]*x)/(c^2*(1 + 1/(a*x))^(5/2)) - (3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*c^2)}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^3), x, 10, -(2/(a*c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(7/2))) + (11*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(7*a*c^3*(1 + 1/(a*x))^(7/2)) + (54*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(35*a*c^3*(1 + 1/(a*x))^(5/2)) + (71*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(35*a*c^3*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) + (176*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(35*a*c^3*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + x/(c^3*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(7/2)) - (3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*c^3)}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^4), x, 12, -(4/(3*a*c^4*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(9/2))) - 5/(a*c^4*Sqrt[1 - 1/(a*x)]*(1 + 1/(a*x))^(9/2)) + (28*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(9*a*c^4*(1 + 1/(a*x))^(9/2)) + (139*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(63*a*c^4*(1 + 1/(a*x))^(7/2)) + (202*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(105*a*c^4*(1 + 1/(a*x))^(5/2)) + (719*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(315*a*c^4*(1 + 1/(a*x))^(3/2)) + (1664*Sqrt[1 - 1/(a*x)])/(315*a*c^4*Sqrt[1 + 1/(a*x)]) + x/(c^4*(1 - 1/(a*x))^(3/2)*(1 + 1/(a*x))^(9/2)) - (3*ArcTanh[Sqrt[1 - 1/(a*x)]*Sqrt[1 + 1/(a*x)]])/(a*c^4)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcCoth[a x]) (c-c/(a^2 x^2))^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2), x, 4, (c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(6*a^7*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^6) + (c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(5*a^6*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^5) - (3*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(4*a^5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4) - (c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) + (3*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(2*a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) + (3*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2), x, 4, -((c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(4*a^5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4)) - (c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(3*a^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) + (c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) + (2*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2), x, 4, (c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(2*a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) + (c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 4, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^ArcCoth[a*x]/Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/(a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - c/(a^2*x^2))^(3/2), x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) + Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(2*a*c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)) + (5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/(4*a*c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) - (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/(4*a*c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - c/(a^2*x^2))^(5/2), x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) - Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(8*a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)^2) + Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)) - Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(8*a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)) + (23*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/(16*a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) - (7*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/(16*a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])}
+{E^ArcCoth[a*x]/(c - c/(a^2*x^2))^(7/2), x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) + Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(24*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)^3) - (11*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(32*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)^2) + (3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(2*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)) + Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(32*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)^2) - (5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(16*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)) + (51*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/(32*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) - (19*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/(32*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])}
+
+
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2), x, 15, (11*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^4)/(30*(1 - a*x)^3) - (57*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(16*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)^3) + (41*a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^6)/(24*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)^2) + (57*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^5)/(80*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)) - (13*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^3*(1 + a*x))/(40*(1 - a*x)^3) + (a*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^2*(1 + a*x))/(15*(1 - a*x)^2) + ((c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x*(1 + a*x))/(6*(1 - a*x)) + (2*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*ArcSin[a*x])/((1 - a*x)^(7/2)*(1 + a*x)^(7/2)) + (25*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(16*(1 - a*x)^(7/2)*(1 + a*x)^(7/2))}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2), x, 13, -((5*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^3)/(8*(1 - a*x)^2)) + (25*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 - a*x)^2*(1 + a*x)^2) - (17*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^4)/(12*(1 - a*x)^2*(1 + a*x)) + (a*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^2*(1 + a*x))/(6*(1 - a*x)^2) + ((c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x*(1 + a*x))/(4*(1 - a*x)) - (2*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*ArcSin[a*x])/((1 - a*x)^(5/2)*(1 + a*x)^(5/2)) - (9*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(8*(1 - a*x)^(5/2)*(1 + a*x)^(5/2))}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2), x, 11, (a*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^2)/(1 - a*x) - (5*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(2*(1 - a*x)*(1 + a*x)) + ((c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x*(1 + a*x))/(2*(1 - a*x)) + (2*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*ArcSin[a*x])/((1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)) + (a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(2*(1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2))}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 9, Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x - (2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 7, -((2*(1 - a*x)*(1 + a*x))/(a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)) - (1 + a*x)^2/(a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x) + (2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcSin[a*x])/(a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^(3/2), x, 7, -((1 + a*x)^2/(3*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x)) + (2*(5 - 2*a*x)*(1 - a*x)*(1 + a*x)^2)/(3*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3) - (2*(1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)*ArcSin[a*x])/(a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^(5/2), x, 9, -((1 + a*x)^2/(5*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x)) + (2*(1 - a*x)*(1 + a*x)^2)/(3*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^2) - (58*(1 - a*x)^2*(1 + a*x)^2)/(15*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^3) - (2*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)^2*(28 + 43*a*x))/(15*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) + (2*(1 - a*x)^(5/2)*(1 + a*x)^(5/2)*ArcSin[a*x])/(a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^(7/2), x, 11, -((1 + a*x)^2/(7*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x)) + (2*(1 - a*x)*(1 + a*x)^2)/(5*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^2) - (124*(1 - a*x)^2*(1 + a*x)^2)/(105*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^3) + (782*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)^2)/(105*a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^4) + (142*(1 - a*x)^4*(1 + a*x)^2)/(35*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^5) + (2*(1 - a*x)^4*(1 + a*x)^3*(72 + 107*a*x))/(35*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7) - (2*(1 - a*x)^(7/2)*(1 + a*x)^(7/2)*ArcSin[a*x])/(a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)}
+
+
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(9/2), x, 4, (c^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(8*a^9*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^8) + (3*c^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(7*a^8*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^7) - (8*c^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(5*a^6*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^5) - (3*c^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(2*a^5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4) + (2*c^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) + (4*c^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) + (c^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (3*c^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2), x, 4, -((c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(6*a^7*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^6)) - (3*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(5*a^6*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^5) - (c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(4*a^5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4) + (5*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(3*a^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) + (5*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(2*a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) - (c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (3*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2), x, 4, (c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(4*a^5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4) + (c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) + (c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) - (2*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (3*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2), x, 4, -((c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(2*a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2)) - (3*c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (3*c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 4, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] + (2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)) + (3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/(a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^(3/2), x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) - Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(2*a*c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)^2) + (3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(a*c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)) + (3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/(a*c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^(5/2), x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) + Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(6*a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)^3) - (9*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(8*a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)^2) + (31*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(8*a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)) + (49*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/(16*a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) - (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/(16*a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^(7/2), x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) - Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(16*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)^4) + Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(2*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)^3) - (59*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(32*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)^2) + (75*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(16*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)) - Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(32*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)) + (201*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/(64*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) - (9*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/(64*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)/E^ArcCoth[a*x], x, 4, -((c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(6*a^7*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^6)) + (c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(5*a^6*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^5) + (3*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(4*a^5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4) - (c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) - (3*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(2*a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) + (3*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)/E^ArcCoth[a*x], x, 4, (c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(4*a^5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4) - (c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(3*a^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) - (c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) + (2*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)/E^ArcCoth[a*x], x, 4, -((c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(2*a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2)) + (c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/E^ArcCoth[a*x], x, 4, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]), x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] - (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/(a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)), x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) - Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(2*a*c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)) + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/(4*a*c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) - (5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/(4*a*c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)), x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) + Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(8*a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)) + Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(8*a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)^2) - Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)) + (7*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/(16*a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) - (23*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/(16*a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])}
+{1/(E^ArcCoth[a*x]*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)), x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) - Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(32*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)^2) + (5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(16*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)) - Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(24*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)^3) + (11*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(32*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)^2) - (3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(2*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)) + (19*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/(32*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) - (51*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/(32*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])}
+
+
+{(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 15, (7*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)/(16*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)^3) + (3*a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^6)/(8*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)^2) - (a*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^2)/(15*(1 + a*x)) - (19*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^5)/(16*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)) + (2*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^4)/(3*(1 - a*x)^2*(1 + a*x)) - (23*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^3)/(120*(1 - a*x)*(1 + a*x)) + ((c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x*(1 - a*x))/(6*(1 + a*x)) - (2*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*ArcSin[a*x])/((1 - a*x)^(7/2)*(1 + a*x)^(7/2)) + (25*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(16*(1 - a*x)^(7/2)*(1 + a*x)^(7/2))}
+{(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 13, -((7*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)/(8*(1 - a*x)^2*(1 + a*x)^2)) - (a*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^2)/(6*(1 + a*x)) + (2*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^4)/((1 - a*x)^2*(1 + a*x)) - (7*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^3)/(24*(1 - a*x)*(1 + a*x)) + ((c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x*(1 - a*x))/(4*(1 + a*x)) + (2*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*ArcSin[a*x])/((1 - a*x)^(5/2)*(1 + a*x)^(5/2)) - (9*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(8*(1 - a*x)^(5/2)*(1 + a*x)^(5/2))}
+{(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 11, -((a*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^2)/(1 + a*x)) - (5*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(2*(1 - a*x)*(1 + a*x)) + ((c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x*(1 - a*x))/(2*(1 + a*x)) - (2*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*ArcSin[a*x])/((1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)) + (a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(2*(1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2))}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 9, Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x + (2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]), x, 7, -((1 - a*x)^2/(a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)) - (2*(1 - a*x)*(1 + a*x))/(a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x) - (2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]*ArcSin[a*x])/(a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)), x, 7, -((1 - a*x)^2/(3*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x)) + (2*(1 - a*x)^2*(1 + a*x)*(5 + 2*a*x))/(3*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3) + (2*(1 - a*x)^(3/2)*(1 + a*x)^(3/2)*ArcSin[a*x])/(a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)), x, 9, -((1 - a*x)^2/(a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x)) - (2*(1 - a*x)^3)/(5*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^2) + (2*(1 - a*x)^3*(1 + a*x))/(15*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^3) - (2*(1 - a*x)^3*(1 + a*x)^2*(28 + 13*a*x))/(15*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5) - (2*(1 - a*x)^(5/2)*(1 + a*x)^(5/2)*ArcSin[a*x])/(a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)*x^5)}
+{1/(E^(2*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)), x, 11, -((1 - a*x)^2/(3*a^2*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x)) + (10*(1 - a*x)^3)/(3*a^3*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^2) + (12*(1 - a*x)^4)/(7*a^4*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^3) + (82*(1 - a*x)^4*(1 + a*x))/(105*a^5*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^4) + (2*(1 - a*x)^4*(1 + a*x)^2)/(35*a^6*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^5) + (2*(1 - a*x)^4*(1 + a*x)^3*(72 + 37*a*x))/(35*a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7) + (2*(1 - a*x)^(7/2)*(1 + a*x)^(7/2)*ArcSin[a*x])/(a^8*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)*x^7)}
+
+
+{(c - c/(a^2*x^2))^(9/2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 4, -((c^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(8*a^9*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^8)) + (3*c^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(7*a^8*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^7) - (8*c^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(5*a^6*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^5) + (3*c^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(2*a^5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4) + (2*c^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) - (4*c^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) + (c^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (3*c^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 4, (c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(6*a^7*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^6) - (3*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(5*a^6*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^5) + (c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(4*a^5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4) + (5*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(3*a^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) - (5*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(2*a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) - (c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (3*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 4, -((c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(4*a^5*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4)) + (c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) - (c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) - (2*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (3*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 4, (c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(2*a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) - (3*c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (3*c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 4, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]), x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] - (2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)) - (3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/(a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(3/2)), x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) + Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(2*a*c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)^2) - (3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(a*c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)) - (3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/(a*c*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(5/2)), x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) - Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(6*a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)^3) + (9*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(8*a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)^2) - (31*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(8*a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)) + (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/(16*a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) - (49*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/(16*a*c^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])}
+{1/(E^(3*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^(7/2)), x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)/(c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) + Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(32*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)) + Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(16*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)^4) - Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]/(2*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)^3) + (59*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(32*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)^2) - (75*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])/(16*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)) + (9*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/(64*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]) - (201*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/(64*a*c^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcCoth[a x]) (c-c/(a^2 x^2))^(p/2)*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^m, x, 4, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^m)/(a*m*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^(1 + m))/((1 + m)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+
+{E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2, x, 4, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/(2*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/(3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x, x, 3, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/(2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 4, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{(E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x, x, 4, -(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]}
+{(E^ArcCoth[a*x]*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x^2, x, 3, -((Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)^2)/(2*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2))}
+
+
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3, x, 9, (7*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/(8*a^3) + (7*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 + a*x))/(24*a^3) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 + a*x)^2)/(6*a^3) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2*(1 + a*x)^2)/(4*a^2) - (7*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(8*a^3*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2, x, 8, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/a^2 + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 + a*x))/(3*a^2) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 + a*x)^2)/(3*a^2) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(a^2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x, x, 7, (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/(2*a) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 + a*x))/(2*a) - (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(2*a*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 9, Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x - (2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x, x, 9, Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] - (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (2*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x^2, x, 7, (3/2)*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x))/(2*x) + (3*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x^3, x, 8, a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] + (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x))/(3*x) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 + a*x)^2)/(3*x^2) + (a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x^4, x, 10, (4/3)*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] + Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(4*x^3) + (2*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(3*x^2) + (7*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(8*x) + (7*a^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(8*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(E^(2*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x^5, x, 11, (6/5)*a^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] + Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(5*x^4) + (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(2*x^3) + (3*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(5*x^2) + (3*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(4*x) + (3*a^5*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(4*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+
+
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3, x, 4, (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/(a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^4)/(4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/(a^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2, x, 4, (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/(2*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/(3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/(a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x, x, 4, (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/(2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 4, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x, x, 4, Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) - (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x^2, x, 4, Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(2*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) + (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) - (4*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (4*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x^3, x, 4, Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(3*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) + (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) + (4*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) - (4*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (4*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x^4, x, 4, Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(4*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4) + Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) + (2*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) + (4*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) - (4*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (4*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]}
+{(E^(3*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/x^5, x, 4, Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(5*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^5) + (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4) + (4*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) + (2*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) + (4*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) - (4*a^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (4*a^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 - a*x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^m)/E^ArcCoth[a*x], x, 4, -((Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^m)/(a*m*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^(1 + m))/((1 + m)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/E^ArcCoth[a*x], x, 4, -(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/(2*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/(3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/E^ArcCoth[a*x], x, 3, -((Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/(2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/E^ArcCoth[a*x], x, 4, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^ArcCoth[a*x]*x), x, 4, Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^ArcCoth[a*x]*x^2), x, 3, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)^2)/(2*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2)}
+
+
+{(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 9, -((7*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/(8*a^3)) - (7*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 - a*x))/(24*a^3) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 - a*x)^2)/(6*a^3) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2*(1 - a*x)^2)/(4*a^2) - (7*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(8*a^3*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 8, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/a^2 + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 - a*x))/(3*a^2) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 - a*x)^2)/(3*a^2) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(a^2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 7, -((3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/(2*a)) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*(1 - a*x))/(2*a) - (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(2*a*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/E^(2*ArcCoth[a*x]), x, 9, Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x + (2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x), x, 9, Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] - (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcSin[a*x])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]) - (2*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^2), x, 7, (-(3/2))*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x))/(2*x) + (3*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(2*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^3), x, 8, a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] - (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x))/(3*x) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - a*x)^2)/(3*x^2) - (a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^4), x, 10, (-(4/3))*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] + Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(4*x^3) - (2*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(3*x^2) + (7*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(8*x) + (7*a^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(8*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(2*ArcCoth[a*x])*x^5), x, 11, (6/5)*a^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] + Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(5*x^4) - (a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(2*x^3) + (3*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(5*x^2) - (3*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(4*x) - (3*a^5*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]])/(4*Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x])}
+
+
+{(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 4, (-4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/(a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^4)/(4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/(a^4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 4, (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/(2*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^3)/(3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/(a^3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 4, -((3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])) + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x^2)/(2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) + (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/(a^2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/E^(3*ArcCoth[a*x]), x, 4, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x), x, 4, -(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x)) - (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^2), x, 4, -(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(2*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2)) + (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (4*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (4*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^3), x, 4, -(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(3*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3)) + (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(2*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) - (4*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) - (4*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (4*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^4), x, 4, -(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(4*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4)) + Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) - (2*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) + (4*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) + (4*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] - (4*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]}
+{Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(E^(3*ArcCoth[a*x])*x^5), x, 4, -(Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]/(5*a*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^5)) + (3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(4*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^4) - (4*a*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(3*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^3) + (2*a^2*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x^2) - (4*a^3*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])/(Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*x) - (4*a^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (4*a^4*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*Log[1 + a*x])/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcCoth[a x]) (c-c/(a^2 x^2))^p with n symbolic*)
+
+
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2)), x, 4, (4*c*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-2 + n))*Hypergeometric2F1[2, 1 - n/2, 2 - n/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/(a*(2 - n)) - (2^(1 + n/2)*c*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*Hypergeometric2F1[1 - n/2, -(n/2), 2 - n/2, (a - 1/x)/(2*a)])/(a*(2 - n))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2)), x, 5, -(((1 + n)*(1 + 1/(a*x))^(n/2))/((1 - 1/(a*x))^(n/2)*(a*c*n))) + ((1 + 1/(a*x))^(n/2)*x)/((1 - 1/(a*x))^(n/2)*c) + (2*(1 + 1/(a*x))^(n/2)*Hypergeometric2F1[1, n/2, (2 + n)/2, (a + 1/x)/(a - 1/x)])/((1 - 1/(a*x))^(n/2)*(a*c))}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/(c - c/(a^2*x^2))^2, x, 7, If[$VersionNumber>=8, -(((3 + n)*(1 - 1/(a*x))^(-1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-2 + n)))/(a*c^2*(2 + n))) + ((6 + 4*n - n^2 - n^3)*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-2 + n)))/(a*c^2*(2 - n)*n*(2 + n)) - ((6 + 4*n + n^2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-2 + n)))/((1 - 1/(a*x))^(n/2)*(a*c^2*n*(2 + n))) + ((1 - 1/(a*x))^(-1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-2 + n))*x)/c^2 + (2*(1 + 1/(a*x))^(n/2)*Hypergeometric2F1[1, n/2, (2 + n)/2, (a + 1/x)/(a - 1/x)])/((1 - 1/(a*x))^(n/2)*(a*c^2)), -(((3 + n)*(1 - 1/(a*x))^(-1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-2 + n)))/(a*c^2*(2 + n))) + ((6 + 4*n - n^2 - n^3)*(1 - 1/(a*x))^(1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-2 + n)))/(a*c^2*n*(4 - n^2)) - ((6 + 4*n + n^2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-2 + n)))/((1 - 1/(a*x))^(n/2)*(a*c^2*n*(2 + n))) + ((1 - 1/(a*x))^(-1 - n/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-2 + n))*x)/c^2 + (2*(1 + 1/(a*x))^(n/2)*Hypergeometric2F1[1, n/2, (2 + n)/2, (a + 1/x)/(a - 1/x)])/((1 - 1/(a*x))^(n/2)*(a*c^2))]}
+
+
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 6, (Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1 + n)/2)*x)/Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)] + (2*n*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*Hypergeometric2F1[1, (1 - n)/2, (3 - n)/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/(a*(1 - n)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]) - (2^((1 + n)/2)*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)]*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*Hypergeometric2F1[(1 - n)/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, (a - 1/x)/(2*a)])/(a*(1 - n)*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)])}
+{E^(n*ArcCoth[a*x])/Sqrt[c - c/(a^2*x^2)], x, 4, (Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1 + n)/2)*x)/Sqrt[c - c/(a^2*x^2)] + (2*n*Sqrt[1 - 1/(a^2*x^2)]*(1 - 1/(a*x))^((1 - n)/2)*(1 + 1/(a*x))^((1/2)*(-1 + n))*Hypergeometric2F1[1, (1 - n)/2, (3 - n)/2, (a - 1/x)/(a + 1/x)])/(a*(1 - n)*Sqrt[c - c/(a^2*x^2)])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(n ArcCoth[a x]) (c-c/(a^2 x^2))^p with p symbolic*)
+
+
+{E^(n*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^p, x, 3, -((2^(1 - n/2 + p)*(c - c/(a^2*x^2))^p*(1 + 1/(a*x))^(1 + n/2 + p)*AppellF1[1 + n/2 + p, (1/2)*(n - 2*p), 2, 2 + n/2 + p, (a + 1/x)/(2*a), 1 + 1/(a*x)])/((1 - 1/(a^2*x^2))^p*(a*(2 + n + 2*p))))}
+
+
+{(c - c/(a^2*x^2))^p/E^(2*p*ArcCoth[a*x]), x, 3, ((c - c/(a^2*x^2))^p*(1 - 1/(a*x))^(1 + 2*p)*Hypergeometric2F1[2, 1 + 2*p, 2*(1 + p), 1 - 1/(a*x)])/((1 - 1/(a^2*x^2))^p*(a*(1 + 2*p)))}
+{E^(2*p*ArcCoth[a*x])*(c - c/(a^2*x^2))^p, x, 3, -(((c - c/(a^2*x^2))^p*(1 + 1/(a*x))^(1 + 2*p)*Hypergeometric2F1[2, 1 + 2*p, 2*(1 + p), 1 + 1/(a*x)])/((1 - 1/(a^2*x^2))^p*(a*(1 + 2*p))))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.5 Inverse hyperbolic secant/7.5.1 u (a+b arcsech(c x))^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.5 Inverse hyperbolic secant/7.5.1 u (a+b arcsech(c x))^n.m
new file mode 100644
index 00000000..b7d7b9bc
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.5 Inverse hyperbolic secant/7.5.1 u (a+b arcsech(c x))^n.m	
@@ -0,0 +1,361 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcSech[c x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcSech[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcSech[a x]^n*)
+
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+{x^4*ArcSech[a*x]^2, x, 9, -((3*x)/(20*a^4)) - x^3/(30*a^2) - (3*x*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x])/(20*a^4) - (x^3*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x])/(10*a^2) + (1/5)*x^5*ArcSech[a*x]^2 - (3*ArcSech[a*x]*ArcTan[E^ArcSech[a*x]])/(10*a^5) + (3*I*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSech[a*x]])/(20*a^5) - (3*I*PolyLog[2, I*E^ArcSech[a*x]])/(20*a^5)}
+{x^3*ArcSech[a*x]^2, x, 5, -(x^2/(12*a^2)) - (Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x])/(3*a^4) - (x^2*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x])/(6*a^2) + (1/4)*x^4*ArcSech[a*x]^2 - Log[x]/(3*a^4)}
+{x^2*ArcSech[a*x]^2, x, 8, -(x/(3*a^2)) - (x*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x])/(3*a^2) + (1/3)*x^3*ArcSech[a*x]^2 - (2*ArcSech[a*x]*ArcTan[E^ArcSech[a*x]])/(3*a^3) + (I*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSech[a*x]])/(3*a^3) - (I*PolyLog[2, I*E^ArcSech[a*x]])/(3*a^3)}
+{x^1*ArcSech[a*x]^2, x, 4, -((Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x])/a^2) + (1/2)*x^2*ArcSech[a*x]^2 - Log[x]/a^2}
+{x^0*ArcSech[a*x]^2, x, 7, x*ArcSech[a*x]^2 - (4*ArcSech[a*x]*ArcTan[E^ArcSech[a*x]])/a + (2*I*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSech[a*x]])/a - (2*I*PolyLog[2, I*E^ArcSech[a*x]])/a}
+{ArcSech[a*x]^2/x^1, x, 6, (1/3)*ArcSech[a*x]^3 - ArcSech[a*x]^2*Log[1 + E^(2*ArcSech[a*x])] - ArcSech[a*x]*PolyLog[2, -E^(2*ArcSech[a*x])] + (1/2)*PolyLog[3, -E^(2*ArcSech[a*x])]}
+{ArcSech[a*x]^2/x^2, x, 4, -(2/x) + (2*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x])/x - ArcSech[a*x]^2/x}
+{ArcSech[a*x]^2/x^3, x, 4, -(((1 - a*x)*(1 + a*x))/(4*x^2)) + (Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x])/(2*x^2) - (1/4)*a^2*ArcSech[a*x]^2 - ((1 - a*x)*(1 + a*x)*ArcSech[a*x]^2)/(2*x^2)}
+{ArcSech[a*x]^2/x^4, x, 5, -(2/(27*x^3)) - (4*a^2)/(9*x) + (2*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x])/(9*x^3) + (4*a^2*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x])/(9*x) - ArcSech[a*x]^2/(3*x^3)}
+
+
+{x^4*ArcSech[a*x]^3, x, 14, (x*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x))/(20*a^4) - (9*x*ArcSech[a*x])/(20*a^4) - (x^3*ArcSech[a*x])/(10*a^2) - (9*x*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x]^2)/(40*a^4) - (3*x^3*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x]^2)/(20*a^2) + (1/5)*x^5*ArcSech[a*x]^3 - (9*ArcSech[a*x]^2*ArcTan[E^ArcSech[a*x]])/(20*a^5) + ArcTan[(Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x))/(a*x)]/(2*a^5) + (9*I*ArcSech[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSech[a*x]])/(20*a^5) - (9*I*ArcSech[a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcSech[a*x]])/(20*a^5) - (9*I*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSech[a*x]])/(20*a^5) + (9*I*PolyLog[3, I*E^ArcSech[a*x]])/(20*a^5)}
+{x^3*ArcSech[a*x]^3, x, 10, (Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x))/(4*a^4) - (x^2*ArcSech[a*x])/(4*a^2) - ArcSech[a*x]^2/(2*a^4) - (Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x]^2)/(2*a^4) - (x^2*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x]^2)/(4*a^2) + (1/4)*x^4*ArcSech[a*x]^3 + (ArcSech[a*x]*Log[1 + E^(2*ArcSech[a*x])])/a^4 + PolyLog[2, -E^(2*ArcSech[a*x])]/(2*a^4)}
+{x^2*ArcSech[a*x]^3, x, 11, -((x*ArcSech[a*x])/a^2) - (x*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x]^2)/(2*a^2) + (1/3)*x^3*ArcSech[a*x]^3 - (ArcSech[a*x]^2*ArcTan[E^ArcSech[a*x]])/a^3 + ArcTan[(Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x))/(a*x)]/a^3 + (I*ArcSech[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSech[a*x]])/a^3 - (I*ArcSech[a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcSech[a*x]])/a^3 - (I*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSech[a*x]])/a^3 + (I*PolyLog[3, I*E^ArcSech[a*x]])/a^3}
+{x^1*ArcSech[a*x]^3, x, 7, -((3*ArcSech[a*x]^2)/(2*a^2)) - (3*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x]^2)/(2*a^2) + (1/2)*x^2*ArcSech[a*x]^3 + (3*ArcSech[a*x]*Log[1 + E^(2*ArcSech[a*x])])/a^2 + (3*PolyLog[2, -E^(2*ArcSech[a*x])])/(2*a^2)}
+{x^0*ArcSech[a*x]^3, x, 9, x*ArcSech[a*x]^3 - (6*ArcSech[a*x]^2*ArcTan[E^ArcSech[a*x]])/a + (6*I*ArcSech[a*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSech[a*x]])/a - (6*I*ArcSech[a*x]*PolyLog[2, I*E^ArcSech[a*x]])/a - (6*I*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSech[a*x]])/a + (6*I*PolyLog[3, I*E^ArcSech[a*x]])/a}
+{ArcSech[a*x]^3/x^1, x, 7, (1/4)*ArcSech[a*x]^4 - ArcSech[a*x]^3*Log[1 + E^(2*ArcSech[a*x])] - (3/2)*ArcSech[a*x]^2*PolyLog[2, -E^(2*ArcSech[a*x])] + (3/2)*ArcSech[a*x]*PolyLog[3, -E^(2*ArcSech[a*x])] - (3/4)*PolyLog[4, -E^(2*ArcSech[a*x])]}
+{ArcSech[a*x]^3/x^2, x, 5, (6*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x))/x - (6*ArcSech[a*x])/x + (3*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x]^2)/x - ArcSech[a*x]^3/x}
+{ArcSech[a*x]^3/x^3, x, 6, (3*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x))/(8*x^2) - (3/8)*a^2*ArcSech[a*x] - (3*(1 - a*x)*(1 + a*x)*ArcSech[a*x])/(4*x^2) + (3*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x]^2)/(4*x^2) - (1/4)*a^2*ArcSech[a*x]^3 - ((1 - a*x)*(1 + a*x)*ArcSech[a*x]^3)/(2*x^2)}
+{ArcSech[a*x]^3/x^4, x, 8, (14*a^2*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x))/(9*x) + (2*((1 - a*x)/(1 + a*x))^(3/2)*(1 + a*x)^3)/(27*x^3) - (2*ArcSech[a*x])/(9*x^3) - (4*a^2*ArcSech[a*x])/(3*x) + (Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x]^2)/(3*x^3) + (2*a^2*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)*ArcSech[a*x]^2)/(3*x) - ArcSech[a*x]^3/(3*x^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcSech[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^6*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 8, -((5*b*x*Sqrt[1 - c*x])/(112*c^6*Sqrt[1/(1 + c*x)])) - (5*b*x^3*Sqrt[1 - c*x])/(168*c^4*Sqrt[1/(1 + c*x)]) - (b*x^5*Sqrt[1 - c*x])/(42*c^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]) + (1/7)*x^7*(a + b*ArcSech[c*x]) + (5*b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcSin[c*x])/(112*c^7)}
+{x^5*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 6, -((4*b*Sqrt[1 - c*x])/(45*c^6*Sqrt[1/(1 + c*x)])) - (2*b*x^2*Sqrt[1 - c*x])/(45*c^4*Sqrt[1/(1 + c*x)]) - (b*x^4*Sqrt[1 - c*x])/(30*c^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]) + (1/6)*x^6*(a + b*ArcSech[c*x])}
+{x^4*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 6, -((3*b*x*Sqrt[1 - c*x])/(40*c^4*Sqrt[1/(1 + c*x)])) - (b*x^3*Sqrt[1 - c*x])/(20*c^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]) + (1/5)*x^5*(a + b*ArcSech[c*x]) + (3*b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcSin[c*x])/(40*c^5)}
+{x^3*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 4, -((b*Sqrt[1 - c*x])/(6*c^4*Sqrt[1/(1 + c*x)])) - (b*x^2*Sqrt[1 - c*x])/(12*c^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcSech[c*x])}
+{x^2*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 4, -((b*x*Sqrt[1 - c*x])/(6*c^2*Sqrt[1/(1 + c*x)])) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcSech[c*x]) + (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcSin[c*x])/(6*c^3)}
+{x^1*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 2, -((b*Sqrt[1 - c*x])/(2*c^2*Sqrt[1/(1 + c*x)])) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcSech[c*x])}
+{x^0*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 3, a*x + b*x*ArcSech[c*x] + (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcSin[c*x])/c}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/x^1, x, 6, -((a + b*ArcSech[c*x])^2/(2*b)) - (a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcSech[c*x])] + (1/2)*b*PolyLog[2, -E^(-2*ArcSech[c*x])]}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/x^2, x, 2, (b*Sqrt[1 - c*x])/(x*Sqrt[1/(1 + c*x)]) - (a + b*ArcSech[c*x])/x}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/x^3, x, 5, (b*Sqrt[1 - c*x])/(4*x^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]) - (a + b*ArcSech[c*x])/(2*x^2) + (1/4)*b*c^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]]}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/x^4, x, 4, (b*Sqrt[1 - c*x])/(9*x^3*Sqrt[1/(1 + c*x)]) + (2*b*c^2*Sqrt[1 - c*x])/(9*x*Sqrt[1/(1 + c*x)]) - (a + b*ArcSech[c*x])/(3*x^3)}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/x^5, x, 7, (b*Sqrt[1 - c*x])/(16*x^4*Sqrt[1/(1 + c*x)]) + (3*b*c^2*Sqrt[1 - c*x])/(32*x^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]) - (a + b*ArcSech[c*x])/(4*x^4) + (3/32)*b*c^4*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]]}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/x^6, x, 6, (b*Sqrt[1 - c*x])/(25*x^5*Sqrt[1/(1 + c*x)]) + (4*b*c^2*Sqrt[1 - c*x])/(75*x^3*Sqrt[1/(1 + c*x)]) + (8*b*c^4*Sqrt[1 - c*x])/(75*x*Sqrt[1/(1 + c*x)]) - (a + b*ArcSech[c*x])/(5*x^5)}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/x^7, x, 9, (b*Sqrt[1 - c*x])/(36*x^6*Sqrt[1/(1 + c*x)]) + (5*b*c^2*Sqrt[1 - c*x])/(144*x^4*Sqrt[1/(1 + c*x)]) + (5*b*c^4*Sqrt[1 - c*x])/(96*x^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]) - (a + b*ArcSech[c*x])/(6*x^6) + (5/96)*b*c^6*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]]}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcSech[c*x])^2, x, 5, -((b^2*x^2)/(12*c^2)) - (b*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*c^4) - (b*x^2*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(6*c^2) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcSech[c*x])^2 - (b^2*Log[x])/(3*c^4)}
+{x^2*(a + b*ArcSech[c*x])^2, x, 8, -((b^2*x)/(3*c^2)) - (b*x*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*c^2) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcSech[c*x])^2 - (2*b*(a + b*ArcSech[c*x])*ArcTan[E^ArcSech[c*x]])/(3*c^3) + (I*b^2*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSech[c*x]])/(3*c^3) - (I*b^2*PolyLog[2, I*E^ArcSech[c*x]])/(3*c^3)}
+{x^1*(a + b*ArcSech[c*x])^2, x, 4, -((b*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x]))/c^2) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcSech[c*x])^2 - (b^2*Log[x])/c^2}
+{x^0*(a + b*ArcSech[c*x])^2, x, 7, x*(a + b*ArcSech[c*x])^2 - (4*b*(a + b*ArcSech[c*x])*ArcTan[E^ArcSech[c*x]])/c + (2*I*b^2*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSech[c*x]])/c - (2*I*b^2*PolyLog[2, I*E^ArcSech[c*x]])/c}
+{(a + b*ArcSech[c*x])^2/x^1, x, 6, (a + b*ArcSech[c*x])^3/(3*b) - (a + b*ArcSech[c*x])^2*Log[1 + E^(2*ArcSech[c*x])] - b*(a + b*ArcSech[c*x])*PolyLog[2, -E^(2*ArcSech[c*x])] + (1/2)*b^2*PolyLog[3, -E^(2*ArcSech[c*x])]}
+{(a + b*ArcSech[c*x])^2/x^2, x, 4, -((2*b^2)/x) + (2*b*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x]))/x - (a + b*ArcSech[c*x])^2/x}
+{(a + b*ArcSech[c*x])^2/x^3, x, 4, -((b^2*(1 - c*x)*(1 + c*x))/(4*x^2)) - (1/2)*a*b*c^2*ArcSech[c*x] - (1/4)*b^2*c^2*ArcSech[c*x]^2 + (b*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(2*x^2) - ((1 - c*x)*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x])^2)/(2*x^2)}
+{(a + b*ArcSech[c*x])^2/x^4, x, 5, -((2*b^2)/(27*x^3)) - (4*b^2*c^2)/(9*x) + (2*b*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(9*x^3) + (4*b*c^2*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(9*x) - (a + b*ArcSech[c*x])^2/(3*x^3)}
+{(a + b*ArcSech[c*x])^2/x^5, x, 5, -(b^2/(32*x^4)) - (3*b^2*c^2)/(32*x^2) + (3/16)*a*b*c^4*ArcSech[c*x] + (3/32)*b^2*c^4*ArcSech[c*x]^2 + (b*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(8*x^4) + (3*b*c^2*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(16*x^2) - (a + b*ArcSech[c*x])^2/(4*x^4)}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcSech[c*x])^3, x, 10, (b^3*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x))/(4*c^4) - (b^2*x^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(4*c^2) - (b*(a + b*ArcSech[c*x])^2)/(2*c^4) - (b*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x])^2)/(2*c^4) - (b*x^2*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x])^2)/(4*c^2) + (1/4)*x^4*(a + b*ArcSech[c*x])^3 + (b^2*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSech[c*x])])/c^4 + (b^3*PolyLog[2, -E^(2*ArcSech[c*x])])/(2*c^4)}
+{x^2*(a + b*ArcSech[c*x])^3, x, 11, -((b^2*x*(a + b*ArcSech[c*x]))/c^2) - (b*x*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x])^2)/(2*c^2) + (1/3)*x^3*(a + b*ArcSech[c*x])^3 - (b*(a + b*ArcSech[c*x])^2*ArcTan[E^ArcSech[c*x]])/c^3 + (b^3*ArcTan[(Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x))/(c*x)])/c^3 + (I*b^2*(a + b*ArcSech[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSech[c*x]])/c^3 - (I*b^2*(a + b*ArcSech[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcSech[c*x]])/c^3 - (I*b^3*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSech[c*x]])/c^3 + (I*b^3*PolyLog[3, I*E^ArcSech[c*x]])/c^3}
+{x^1*(a + b*ArcSech[c*x])^3, x, 7, -((3*b*(a + b*ArcSech[c*x])^2)/(2*c^2)) - (3*b*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x])^2)/(2*c^2) + (1/2)*x^2*(a + b*ArcSech[c*x])^3 + (3*b^2*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + E^(2*ArcSech[c*x])])/c^2 + (3*b^3*PolyLog[2, -E^(2*ArcSech[c*x])])/(2*c^2)}
+{x^0*(a + b*ArcSech[c*x])^3, x, 9, x*(a + b*ArcSech[c*x])^3 - (6*b*(a + b*ArcSech[c*x])^2*ArcTan[E^ArcSech[c*x]])/c + (6*I*b^2*(a + b*ArcSech[c*x])*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSech[c*x]])/c - (6*I*b^2*(a + b*ArcSech[c*x])*PolyLog[2, I*E^ArcSech[c*x]])/c - (6*I*b^3*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSech[c*x]])/c + (6*I*b^3*PolyLog[3, I*E^ArcSech[c*x]])/c}
+{(a + b*ArcSech[c*x])^3/x^1, x, 7, (a + b*ArcSech[c*x])^4/(4*b) - (a + b*ArcSech[c*x])^3*Log[1 + E^(2*ArcSech[c*x])] - (3/2)*b*(a + b*ArcSech[c*x])^2*PolyLog[2, -E^(2*ArcSech[c*x])] + (3/2)*b^2*(a + b*ArcSech[c*x])*PolyLog[3, -E^(2*ArcSech[c*x])] - (3/4)*b^3*PolyLog[4, -E^(2*ArcSech[c*x])]}
+{(a + b*ArcSech[c*x])^3/x^2, x, 5, (6*b^3*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x))/x - (6*b^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/x + (3*b*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x])^2)/x - (a + b*ArcSech[c*x])^3/x}
+{(a + b*ArcSech[c*x])^3/x^3, x, 6, (3*b^3*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x))/(8*x^2) - (3/8)*b^3*c^2*ArcSech[c*x] - (3*b^2*(1 - c*x)*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(4*x^2) + (3*b*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x])^2)/(4*x^2) - (1/4)*c^2*(a + b*ArcSech[c*x])^3 - ((1 - c*x)*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x])^3)/(2*x^2)}
+{(a + b*ArcSech[c*x])^3/x^4, x, 8, (14*b^3*c^2*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x))/(9*x) + (2*b^3*((1 - c*x)/(1 + c*x))^(3/2)*(1 + c*x)^3)/(27*x^3) - (2*b^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(9*x^3) - (4*b^2*c^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*x) + (b*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x])^2)/(3*x^3) + (2*b*c^2*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x])^2)/(3*x) - (a + b*ArcSech[c*x])^3/(3*x^3)}
+{(a + b*ArcSech[c*x])^3/x^5, x, 10, (3*b^3*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x))/(128*x^4) + (45*b^3*c^2*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x))/(256*x^2) + (45/256)*b^3*c^4*ArcSech[c*x] - (3*b^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(32*x^4) - (9*b^2*c^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(32*x^2) + (3*b*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x])^2)/(16*x^4) + (9*b*c^2*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x)*(a + b*ArcSech[c*x])^2)/(32*x^2) + (3/32)*c^4*(a + b*ArcSech[c*x])^3 - (a + b*ArcSech[c*x])^3/(4*x^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^1/(a + b*ArcSech[c*x]), x, 0, Unintegrable[x/(a + b*ArcSech[c*x]), x]}
+{x^0/(a + b*ArcSech[c*x]), x, 0, Unintegrable[1/(a + b*ArcSech[c*x]), x]}
+{1/(x^1*(a + b*ArcSech[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*ArcSech[c*x])), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcSech[c*x])), x, 4, (c*CoshIntegral[a/b + ArcSech[c*x]]*Sinh[a/b])/b - (c*Cosh[a/b]*SinhIntegral[a/b + ArcSech[c*x]])/b}
+{1/(x^3*(a + b*ArcSech[c*x])), x, 6, (c^2*CoshIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSech[c*x]]*Sinh[(2*a)/b])/(2*b) - (c^2*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSech[c*x]])/(2*b)}
+{1/(x^4*(a + b*ArcSech[c*x])), x, 9, (c^3*CoshIntegral[a/b + ArcSech[c*x]]*Sinh[a/b])/(4*b) + (c^3*CoshIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSech[c*x]]*Sinh[(3*a)/b])/(4*b) - (c^3*Cosh[a/b]*SinhIntegral[a/b + ArcSech[c*x]])/(4*b) - (c^3*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSech[c*x]])/(4*b)}
+
+
+{x^1/(a + b*ArcSech[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[x/(a + b*ArcSech[c*x])^2, x]}
+{x^0/(a + b*ArcSech[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[1/(a + b*ArcSech[c*x])^2, x]}
+{1/(x^1*(a + b*ArcSech[c*x])^2), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*ArcSech[c*x])^2), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcSech[c*x])^2), x, 5, (Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x))/(b*x*(a + b*ArcSech[c*x])) - (c*Cosh[a/b]*CoshIntegral[a/b + ArcSech[c*x]])/b^2 + (c*Sinh[a/b]*SinhIntegral[a/b + ArcSech[c*x]])/b^2}
+{1/(x^3*(a + b*ArcSech[c*x])^2), x, 7, -((c^2*Cosh[(2*a)/b]*CoshIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSech[c*x]])/b^2) + (c^2*Sinh[2*ArcSech[c*x]])/(2*b*(a + b*ArcSech[c*x])) + (c^2*Sinh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSech[c*x]])/b^2}
+{1/(x^4*(a + b*ArcSech[c*x])^2), x, 11, (c^2*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x))/(4*b*x*(a + b*ArcSech[c*x])) - (c^3*Cosh[a/b]*CoshIntegral[a/b + ArcSech[c*x]])/(4*b^2) - (3*c^3*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSech[c*x]])/(4*b^2) + (c^3*Sinh[3*ArcSech[c*x]])/(4*b*(a + b*ArcSech[c*x])) + (c^3*Sinh[a/b]*SinhIntegral[a/b + ArcSech[c*x]])/(4*b^2) + (3*c^3*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSech[c*x]])/(4*b^2)}
+
+
+{x^1/(a + b*ArcSech[c*x])^3, x, 0, Unintegrable[x/(a + b*ArcSech[c*x])^3, x]}
+{x^0/(a + b*ArcSech[c*x])^3, x, 0, Unintegrable[1/(a + b*ArcSech[c*x])^3, x]}
+{1/(x^1*(a + b*ArcSech[c*x])^3), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*ArcSech[c*x])^3), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcSech[c*x])^3), x, 6, (Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x))/(2*b*x*(a + b*ArcSech[c*x])^2) + 1/(2*b^2*x*(a + b*ArcSech[c*x])) + (c*CoshIntegral[a/b + ArcSech[c*x]]*Sinh[a/b])/(2*b^3) - (c*Cosh[a/b]*SinhIntegral[a/b + ArcSech[c*x]])/(2*b^3)}
+{1/(x^3*(a + b*ArcSech[c*x])^3), x, 8, (c^2*Cosh[2*ArcSech[c*x]])/(2*b^2*(a + b*ArcSech[c*x])) + (c^2*CoshIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSech[c*x]]*Sinh[(2*a)/b])/b^3 + (c^2*Sinh[2*ArcSech[c*x]])/(4*b*(a + b*ArcSech[c*x])^2) - (c^2*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*a)/b + 2*ArcSech[c*x]])/b^3}
+{1/(x^4*(a + b*ArcSech[c*x])^3), x, 13, (c^2*Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*(1 + c*x))/(8*b*x*(a + b*ArcSech[c*x])^2) + c^2/(8*b^2*x*(a + b*ArcSech[c*x])) + (3*c^3*Cosh[3*ArcSech[c*x]])/(8*b^2*(a + b*ArcSech[c*x])) + (c^3*CoshIntegral[a/b + ArcSech[c*x]]*Sinh[a/b])/(8*b^3) + (9*c^3*CoshIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSech[c*x]]*Sinh[(3*a)/b])/(8*b^3) + (c^3*Sinh[3*ArcSech[c*x]])/(8*b*(a + b*ArcSech[c*x])^2) - (c^3*Cosh[a/b]*SinhIntegral[a/b + ArcSech[c*x]])/(8*b^3) - (9*c^3*Cosh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*a)/b + 3*ArcSech[c*x]])/(8*b^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcSech[c x])^n when m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*ArcSech[c*x])^3, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcSech[c*x])^3, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcSech[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcSech[c*x])^2, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 3, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d*(1 + m)) + (b*(d*x)^(1 + m)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(d*(1 + m)^2)}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcSech[c*x]), x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcSech[c*x]), x]}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcSech[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcSech[c*x])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x)^m (a+b ArcSech[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcSech[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(d + e*x)^3*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 9, -((b*e*(9*c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*c^4)) - (b*d*e^2*x*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*c^2) - (b*e^3*x^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(12*c^2) + ((d + e*x)^4*(a + b*ArcSech[c*x]))/(4*e) + (b*d*(2*c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcSin[c*x])/(2*c^3) - (b*d^4*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/(4*e)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 8, -((b*d*e*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/c^2) - (b*e^2*x*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*c^2) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*e) + (b*(6*c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcSin[c*x])/(6*c^3) - (b*d^3*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/(3*e)}
+{(d + e*x)^1*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 7, -((b*e*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*c^2)) + ((d + e*x)^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(2*e) + (b*d*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcSin[c*x])/c - (b*d^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/(2*e)}
+{(d + e*x)^0*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 3, a*x + b*x*ArcSech[c*x] + (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcSin[c*x])/c}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x)^1, x, 4, -(((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcSech[c*x])])/e) + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (e - Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])/(E^ArcSech[c*x]*(c*d))])/e + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (e + Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])/(E^ArcSech[c*x]*(c*d))])/e + (b*PolyLog[2, -E^(-2*ArcSech[c*x])])/(2*e) - (b*PolyLog[2, -((e - Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])/(E^ArcSech[c*x]*(c*d)))])/e - (b*PolyLog[2, -((e + Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])/(E^ArcSech[c*x]*(c*d)))])/e}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x)^2, x, 8, -((a + b*ArcSech[c*x])/(e*(d + e*x))) + (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(d*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) + (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/(d*e)}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x)^3, x, 11, (b*e*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(2*d*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)) - (a + b*ArcSech[c*x])/(2*e*(d + e*x)^2) + (b*c^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(2*(c^2*d^2 - e^2)^(3/2)) + (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTan[(e + c^2*d*x)/(Sqrt[c^2*d^2 - e^2]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(2*d^2*Sqrt[c^2*d^2 - e^2]) + (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/(2*d^2*e)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^(m/2) (a+b ArcSech[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 21, -((4*b*e*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(15*c^2)) + (2*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(5*e) - (28*b*d*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*c*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) - (4*b*(2*c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*c^3*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*d^3*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(5*e*Sqrt[d + e*x])}
+{(d + e*x)^(1/2)*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 14, (2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*e) - (4*b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) - (4*b*d*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*c*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*d^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*e*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x)^(1/2), x, 8, (2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcSech[c*x]))/e - (4*b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(c*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*d*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(e*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x)^(3/2), x, 5, -((2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(e*Sqrt[d + e*x])) + (4*b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(e*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x)^(5/2), x, 11, (4*b*e*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*d*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[d + e*x]) - (2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*e*(d + e*x)^(3/2)) - (4*b*c*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*d*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) + (4*b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(3*d*e*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x)^(7/2), x, 18, (4*b*e*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(15*d*(c^2*d^2 - e^2)*(d + e*x)^(3/2)) + (16*b*c^2*e*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(15*(c^2*d^2 - e^2)^2*Sqrt[d + e*x]) + (4*b*e*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(5*d^2*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[d + e*x]) - (2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(5*e*(d + e*x)^(5/2)) - (16*b*c^3*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*(c^2*d^2 - e^2)^2*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) - (4*b*c*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(5*d^2*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]) + (4*b*c*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(15*d*(c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[d + e*x]) + (4*b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[(c*(d + e*x))/(c*d + e)]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(c*d + e)])/(5*d^2*e*Sqrt[d + e*x])}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcSech[c x])^n when m symbolic*)
+
+
+{(d + e*x)^m*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 1, ((d + e*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(e*(1 + m)) + (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Unintegrable[(d + e*x)^(1 + m)/(x*Sqrt[1 - c^2*x^2]), x])/(e*(1 + m))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcSech[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^p (a+b ArcSech[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^4*(d + e*x^2)*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 6, -((b*(42*c^2*d + 25*e)*x*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(560*c^6)) - (b*(42*c^2*d + 25*e)*x^3*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(840*c^4) - (b*e*x^5*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(42*c^2) + (1/5)*d*x^5*(a + b*ArcSech[c*x]) + (1/7)*e*x^7*(a + b*ArcSech[c*x]) + (b*(42*c^2*d + 25*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcSin[c*x])/(560*c^7)}
+{x^2*(d + e*x^2)*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 5, -((b*(20*c^2*d + 9*e)*x*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(120*c^4)) - (b*e*x^3*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(20*c^2) + (1/3)*d*x^3*(a + b*ArcSech[c*x]) + (1/5)*e*x^5*(a + b*ArcSech[c*x]) + (b*(20*c^2*d + 9*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcSin[c*x])/(120*c^5)}
+{x^0*(d + e*x^2)*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 4, -((b*e*x*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*c^2)) + d*x*(a + b*ArcSech[c*x]) + (1/3)*e*x^3*(a + b*ArcSech[c*x]) + (b*(6*c^2*d + e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcSin[c*x])/(6*c^3)}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/x^2, x, 3, (b*d*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/x - (d*(a + b*ArcSech[c*x]))/x + e*x*(a + b*ArcSech[c*x]) + (b*e*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcSin[c*x])/c}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/x^4, x, 4, (b*d*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*x^3) + (b*(2*c^2*d + 9*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*x) - (d*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*x^3) - (e*(a + b*ArcSech[c*x]))/x}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/x^6, x, 5, (b*d*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(25*x^5) + (b*(12*c^2*d + 25*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(225*x^3) + (2*b*c^2*(12*c^2*d + 25*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(225*x) - (d*(a + b*ArcSech[c*x]))/(5*x^5) - (e*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*x^3)}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/x^8, x, 6, (b*d*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(49*x^7) + (b*(30*c^2*d + 49*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(1225*x^5) + (4*b*c^2*(30*c^2*d + 49*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3675*x^3) + (8*b*c^4*(30*c^2*d + 49*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3675*x) - (d*(a + b*ArcSech[c*x]))/(7*x^7) - (e*(a + b*ArcSech[c*x]))/(5*x^5)}
+
+{x^5*(d + e*x^2)*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 5, -((b*(4*c^2*d + 3*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(24*c^8)) + (b*(8*c^2*d + 9*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(72*c^8) - (b*(4*c^2*d + 9*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(120*c^8) + (b*e*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(7/2))/(56*c^8) + (1/6)*d*x^6*(a + b*ArcSech[c*x]) + (1/8)*e*x^8*(a + b*ArcSech[c*x])}
+{x^3*(d + e*x^2)*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 5, -((b*(3*c^2*d + 2*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(12*c^6)) + (b*(3*c^2*d + 4*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(36*c^6) - (b*e*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(30*c^6) + (1/4)*d*x^4*(a + b*ArcSech[c*x]) + (1/6)*e*x^6*(a + b*ArcSech[c*x])}
+{x*(d + e*x^2)*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 7, -((b*(2*c^2*d + e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(4*c^4)) + (b*e*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(12*c^4) + ((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(4*e) - (b*d^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/(4*e)}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/x, x, 12, -((b*e*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x)/(2*c)) + (I*b*d*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*ArcCsc[c*x]^2)/(2*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) + (1/2)*e*x^2*(a + b*ArcSech[c*x]) - (b*d*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*ArcCsc[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[c*x])])/(Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) + (b*d*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*ArcCsc[c*x]*Log[1/x])/(Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) - d*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1/x] + (I*b*d*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[c*x])])/(2*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/x^3, x, 14, (b*c*d*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(4*x) + (I*b*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*ArcCsc[c*x]^2)/(2*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) + (1/4)*b*c^2*d*ArcSech[c*x] - (d*(a + b*ArcSech[c*x]))/(2*x^2) - (b*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*ArcCsc[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[c*x])])/(Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) + (b*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*ArcCsc[c*x]*Log[1/x])/(Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) - e*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1/x] + (I*b*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[c*x])])/(2*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])}
+
+
+{x^2*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 6, -((b*(280*c^4*d^2 + 252*c^2*d*e + 75*e^2)*x*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(1680*c^6)) - (b*e*(84*c^2*d + 25*e)*x^3*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(840*c^4) - (b*e^2*x^5*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(42*c^2) + (1/3)*d^2*x^3*(a + b*ArcSech[c*x]) + (2/5)*d*e*x^5*(a + b*ArcSech[c*x]) + (1/7)*e^2*x^7*(a + b*ArcSech[c*x]) + (b*(280*c^4*d^2 + 252*c^2*d*e + 75*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcSin[c*x])/(1680*c^7)}
+{x^0*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 5, -((b*e*(40*c^2*d + 9*e)*x*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(120*c^4)) - (b*e^2*x^3*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(20*c^2) + d^2*x*(a + b*ArcSech[c*x]) + (2/3)*d*e*x^3*(a + b*ArcSech[c*x]) + (1/5)*e^2*x^5*(a + b*ArcSech[c*x]) + (b*(120*c^4*d^2 + 40*c^2*d*e + 9*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcSin[c*x])/(120*c^5)}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/x^2, x, 5, (b*d^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/x - (b*e^2*x*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*c^2) - (d^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/x + 2*d*e*x*(a + b*ArcSech[c*x]) + (1/3)*e^2*x^3*(a + b*ArcSech[c*x]) + (b*e*(12*c^2*d + e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcSin[c*x])/(6*c^3)}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/x^4, x, 5, (b*d^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*x^3) + (2*b*d*(c^2*d + 9*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(9*x) - (d^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*x^3) - (2*d*e*(a + b*ArcSech[c*x]))/x + e^2*x*(a + b*ArcSech[c*x]) + (b*e^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcSin[c*x])/c}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/x^6, x, 5, (b*d^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(25*x^5) + (2*b*d*(6*c^2*d + 25*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(225*x^3) + (b*(24*c^4*d^2 + 100*c^2*d*e + 225*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(225*x) - (d^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(5*x^5) - (2*d*e*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*x^3) - (e^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/x}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/x^8, x, 6, (b*d^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(49*x^7) + (2*b*d*(15*c^2*d + 49*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(1225*x^5) + (b*(360*c^4*d^2 + 1176*c^2*d*e + 1225*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(11025*x^3) + (2*b*c^2*(360*c^4*d^2 + 1176*c^2*d*e + 1225*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(11025*x) - (d^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(7*x^7) - (2*d*e*(a + b*ArcSech[c*x]))/(5*x^5) - (e^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*x^3)}
+
+{x^3*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 5, -((b*(6*c^4*d^2 + 8*c^2*d*e + 3*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(24*c^8)) + (b*(6*c^4*d^2 + 16*c^2*d*e + 9*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(72*c^8) - (b*e*(8*c^2*d + 9*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(120*c^8) + (b*e^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(7/2))/(56*c^8) + (1/4)*d^2*x^4*(a + b*ArcSech[c*x]) + (1/3)*d*e*x^6*(a + b*ArcSech[c*x]) + (1/8)*e^2*x^8*(a + b*ArcSech[c*x])}
+{x^1*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 7, -((b*(3*c^4*d^2 + 3*c^2*d*e + e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(6*c^6)) + (b*e*(3*c^2*d + 2*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(18*c^6) - (b*e^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(30*c^6) + ((d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSech[c*x]))/(6*e) - (b*d^3*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/(6*e)}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/x^1, x, 13, -((b*e*(6*c^2*d + e)*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x)/(6*c^3)) - (b*e^2*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x^3)/(12*c) + (I*b*d^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*ArcCsc[c*x]^2)/(2*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) + d*e*x^2*(a + b*ArcSech[c*x]) + (1/4)*e^2*x^4*(a + b*ArcSech[c*x]) - (b*d^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*ArcCsc[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[c*x])])/(Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) + (b*d^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*ArcCsc[c*x]*Log[1/x])/(Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) - d^2*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1/x] + (I*b*d^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[c*x])])/(2*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/x^3, x, 15, (b*c*d^2*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(4*x) - (b*e^2*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x)/(2*c) + (I*b*d*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*ArcCsc[c*x]^2)/(Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) + (1/4)*b*c^2*d^2*ArcSech[c*x] - (d^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(2*x^2) + (1/2)*e^2*x^2*(a + b*ArcSech[c*x]) - (2*b*d*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*ArcCsc[c*x]*Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[c*x])])/(Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) + (2*b*d*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*ArcCsc[c*x]*Log[1/x])/(Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) - 2*d*e*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1/x] + (I*b*d*e*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]*PolyLog[2, E^(2*I*ArcCsc[c*x])])/(Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2), x, 24, (x*(a + b*ArcSech[c*x]))/e - (b*ArcTan[Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]])/(c*e) + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) - (b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^(3/2)) + (b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2)) - (b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^(3/2)) + (b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^(3/2))}
+{(x*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2), x, 26, -((a + b*ArcSech[c*x])^2/(b*e)) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcSech[c*x])])/e + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) + (b*PolyLog[2, -E^(-2*ArcSech[c*x])])/(2*e) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e)}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x^2), x, 19, ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(x*(d + e*x^2)), x, 19, (a + b*ArcSech[c*x])^2/(2*b*d) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d)}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)), x, 24, (b*c*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/d - a/(d*x) - (b*ArcSech[c*x])/(d*x) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) - (b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*(-d)^(3/2)) + (b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) - (b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*(-d)^(3/2)) + (b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*(-d)^(3/2))}
+
+
+{(x^5*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 32, -((b*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x)/(2*c*e^2)) + (d*(a + b*ArcSech[c*x]))/(2*e^2*(e + d/x^2)) + (x^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(2*e^2) + (2*d*(a + b*ArcSech[c*x])^2)/(b*e^3) - (b*d*Sqrt[-1 + 1/(c^2*x^2)]*ArcTanh[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[-1 + 1/(c^2*x^2)]*x)])/(2*e^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) + (2*d*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcSech[c*x])])/e^3 - (d*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 - (d*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 - (d*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 - (d*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 - (b*d*PolyLog[2, -E^(-2*ArcSech[c*x])])/e^3 - (b*d*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/e^3 - (b*d*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/e^3 - (b*d*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/e^3 - (b*d*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/e^3}
+{(x^3*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 30, -((a + b*ArcSech[c*x])/(2*e*(e + d/x^2))) - (a + b*ArcSech[c*x])^2/(b*e^2) + (b*Sqrt[-1 + 1/(c^2*x^2)]*ArcTanh[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[-1 + 1/(c^2*x^2)]*x)])/(2*e^(3/2)*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcSech[c*x])])/e^2 + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + (b*PolyLog[2, -E^(-2*ArcSech[c*x])])/(2*e^2) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^2) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^2) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^2)}
+{(x*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 8, -((a + b*ArcSech[c*x])/(2*e*(d + e*x^2))) + (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/(2*d*e) - (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/Sqrt[c^2*d + e]])/(2*d*Sqrt[e]*Sqrt[c^2*d + e])}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(x*(d + e*x^2)^2), x, 25, -((e*(a + b*ArcSech[c*x]))/(2*d^2*(e + d/x^2))) + (a + b*ArcSech[c*x])^2/(2*b*d^2) + (b*Sqrt[e]*Sqrt[-1 + 1/(c^2*x^2)]*ArcTanh[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[-1 + 1/(c^2*x^2)]*x)])/(2*d^2*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d^2) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d^2) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^2)}
+
+{(x^4*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 50, -((d*(a + b*ArcSech[c*x]))/(4*e^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x))) + (d*(a + b*ArcSech[c*x]))/(4*e^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (x*(a + b*ArcSech[c*x]))/e^2 + (b*d*ArcTan[(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(2*Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*e^2) + (b*d*ArcTan[(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(2*Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*e^2) - (b*ArcTan[Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]])/(c*e^2) + (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) - (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) + (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) - (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) - (3*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*e^(5/2)) + (3*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2)) - (3*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*e^(5/2)) + (3*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*e^(5/2))}
+{(x^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 27, (a + b*ArcSech[c*x])/(4*e*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (a + b*ArcSech[c*x])/(4*e*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) - (b*ArcTan[(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(2*Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*e) - (b*ArcTan[(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(2*Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*e) + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2))}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 47, -((a + b*ArcSech[c*x])/(4*d*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x))) + (a + b*ArcSech[c*x])/(4*d*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (b*ArcTan[(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(2*d*Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]) + (b*ArcTan[(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(2*d*Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^2), x, 50, (b*c*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/d^2 - a/(d^2*x) - (b*ArcSech[c*x])/(d^2*x) + (e*(a + b*ArcSech[c*x]))/(4*d^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (e*(a + b*ArcSech[c*x]))/(4*d^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) - (b*e*ArcTan[(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(2*d^2*Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]) - (b*e*ArcTan[(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(2*d^2*Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]) - (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) - (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*(-d)^(5/2)) - (3*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(4*(-d)^(5/2)) - (3*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(4*(-d)^(5/2))}
+
+
+{(x^5*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 35, (b*d*(c^2 - 1/x^2))/(8*c*e^2*(c^2*d + e)*(e + d/x^2)*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x) - (a + b*ArcSech[c*x])/(4*e*(e + d/x^2)^2) - (a + b*ArcSech[c*x])/(2*e^2*(e + d/x^2)) - (a + b*ArcSech[c*x])^2/(b*e^3) + (b*Sqrt[-1 + 1/(c^2*x^2)]*ArcTanh[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[-1 + 1/(c^2*x^2)]*x)])/(2*e^(5/2)*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) + (b*(c^2*d + 2*e)*Sqrt[-1 + 1/(c^2*x^2)]*ArcTanh[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[-1 + 1/(c^2*x^2)]*x)])/(8*e^(5/2)*(c^2*d + e)^(3/2)*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + E^(-2*ArcSech[c*x])])/e^3 + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) + (b*PolyLog[2, -E^(-2*ArcSech[c*x])])/(2*e^3) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^3) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*e^3) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*e^3)}
+{(x^3*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 6, (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(8*e*(c^2*d + e)*(d + e*x^2)) + (x^4*(a + b*ArcSech[c*x]))/(4*d*(d + e*x^2)^2) - (b*(c^2*d + 2*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/Sqrt[c^2*d + e]])/(8*d*e^(3/2)*(c^2*d + e)^(3/2))}
+{(x*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 9, -((b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(8*d*(c^2*d + e)*(d + e*x^2))) - (a + b*ArcSech[c*x])/(4*e*(d + e*x^2)^2) + (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/(4*d^2*e) - (b*(3*c^2*d + 2*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/Sqrt[c^2*d + e]])/(8*d^2*Sqrt[e]*(c^2*d + e)^(3/2))}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(x*(d + e*x^2)^3), x, 30, -((b*e*(c^2 - 1/x^2))/(8*c*d^2*(c^2*d + e)*(e + d/x^2)*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x)) + (e^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(4*d^3*(e + d/x^2)^2) - (e*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d^3*(e + d/x^2)) + (a + b*ArcSech[c*x])^2/(2*b*d^3) + (b*Sqrt[e]*Sqrt[-1 + 1/(c^2*x^2)]*ArcTanh[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[-1 + 1/(c^2*x^2)]*x)])/(d^3*Sqrt[c^2*d + e]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) - (b*Sqrt[e]*(c^2*d + 2*e)*Sqrt[-1 + 1/(c^2*x^2)]*ArcTanh[Sqrt[c^2*d + e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[-1 + 1/(c^2*x^2)]*x)])/(8*d^3*(c^2*d + e)^(3/2)*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d^3) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(2*d^3) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(2*d^3)}
+
+{(x^4*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 35, (b*c*Sqrt[-d]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(16*e^(3/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) + (b*c*Sqrt[-d]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(16*e^(3/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcSech[c*x]))/(16*e^(3/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)^2) + (3*(a + b*ArcSech[c*x]))/(16*e^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcSech[c*x]))/(16*e^(3/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)^2) - (3*(a + b*ArcSech[c*x]))/(16*e^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) - (3*b*ArcTan[(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(8*Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*e^2) - (b*d*ArcTan[(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(8*(c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e])^(3/2)*(c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e])^(3/2)*e) - (3*b*ArcTan[(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(8*Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*e^2) - (b*d*ArcTan[(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(8*(c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e])^(3/2)*(c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e])^(3/2)*e) + (3*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (3*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (3*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (3*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2))}
+{(x^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 63, (b*c*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(16*Sqrt[-d]*Sqrt[e]*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) + (b*c*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(16*Sqrt[-d]*Sqrt[e]*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (a + b*ArcSech[c*x])/(16*Sqrt[-d]*Sqrt[e]*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)^2) + (a + b*ArcSech[c*x])/(16*d*e*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (a + b*ArcSech[c*x])/(16*Sqrt[-d]*Sqrt[e]*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)^2) - (a + b*ArcSech[c*x])/(16*d*e*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (b*ArcTan[(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(8*(c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e])^(3/2)*(c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e])^(3/2)) - (b*ArcTan[(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(8*d*Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*e) + (b*ArcTan[(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(8*(c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e])^(3/2)*(c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e])^(3/2)) - (b*ArcTan[(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(8*d*Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*e) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) - ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + ((a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2))}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x^2)^3, x, 81, (b*c*Sqrt[e]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(16*(-d)^(3/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) + (b*c*Sqrt[e]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(16*(-d)^(3/2)*(c^2*d + e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcSech[c*x]))/(16*(-d)^(3/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)^2) - (5*(a + b*ArcSech[c*x]))/(16*d^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcSech[c*x]))/(16*(-d)^(3/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)^2) + (5*(a + b*ArcSech[c*x]))/(16*d^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (5*b*ArcTan[(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(8*d^2*Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]) - (b*e*ArcTan[(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(8*d*(c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e])^(3/2)*(c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e])^(3/2)) + (5*b*ArcTan[(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(8*d^2*Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]) - (b*e*ArcTan[(Sqrt[c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[1 + 1/(c*x)])/(Sqrt[c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e]]*Sqrt[-1 + 1/(c*x)])])/(8*d*(c*d - Sqrt[-d]*Sqrt[e])^(3/2)*(c*d + Sqrt[-d]*Sqrt[e])^(3/2)) + (3*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*(a + b*ArcSech[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e]))])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcSech[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[c^2*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^(p/2) (a+b ArcSech[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^5*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]), x, If[$VersionNumber>=8, 12, 13], (b*(23*c^4*d^2 + 12*c^2*d*e - 75*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(1680*c^6*e^2) + (b*(29*c^2*d - 25*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(840*c^4*e^2) - (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(5/2))/(42*c^2*e^2) + (d^2*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*e^3) - (2*d*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(5*e^3) + ((d + e*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(7*e^3) - (b*(105*c^6*d^3 - 35*c^4*d^2*e + 63*c^2*d*e^2 + 75*e^3)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(1680*c^7*e^(5/2)) - (8*b*d^(7/2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(105*e^3)}
+{x^3*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]), x, If[$VersionNumber>=8, 11, 12], If[$VersionNumber>=8, -((b*(c^2*d + 9*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(120*c^4*e)) - (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(20*c^2*e) - (d*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*e^2) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(5*e^2) + (b*(15*c^4*d^2 - 10*c^2*d*e - 9*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(120*c^5*e^(3/2)) + (2*b*d^(5/2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(15*e^2), -((b*(c^2*d + 9*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(120*c^4*e)) - (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(20*c^2*e) - (d*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*e^2) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(5*e^2) + (b*(15*c^4*d^2 - 10*c^2*d*e - 9*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(120*c^5*e^(3/2)) + (2*b*d^(5/2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(15*e^2)]}
+{x*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 10, -((b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(6*c^2)) + ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*e) - (b*(3*c^2*d + e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(6*c^3*Sqrt[e]) - (b*d^(3/2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(3*e)}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x])/x^1, x, 0, Unintegrable[(Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]))/x, x]}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x])/x^3, x, 0, Unintegrable[(Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]))/x^3, x]}
+
+{x^2*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 0, Unintegrable[x^2*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]), x]}
+{x^0*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 0, Unintegrable[Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]), x]}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x])/x^2, x, 0, Unintegrable[(Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]))/x^2, x]}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x])/x^4, x, 9, (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*x^3) + (2*b*(c^2*d + 2*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d*x) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*d*x^3) + (2*b*c*(c^2*d + 2*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(9*d*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*(c^2*d + e)*(2*c^2*d + 3*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(9*c*d*Sqrt[d + e*x^2])}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x])/x^6, x, If[$VersionNumber>=8, 10, 26], If[$VersionNumber>=8, (b*(12*c^2*d - e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(225*d*x^3) + (b*(24*c^4*d^2 + 19*c^2*d*e - 31*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(225*d^2*x) + (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(25*d*x^5) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(5*d*x^5) + (2*e*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(15*d^2*x^3) + (b*c*(24*c^4*d^2 + 19*c^2*d*e - 31*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(225*d^2*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*(c^2*d + e)*(24*c^4*d^2 + 7*c^2*d*e - 30*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(225*c*d^2*Sqrt[d + e*x^2]), (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(25*x^5) + (b*e*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(45*d*x^3) + (b*(4*c^2*d + e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(75*d*x^3) - (2*b*e^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(15*d^2*x) + (b*e*(2*c^2*d + e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(45*d^2*x) + (b*(8*c^4*d^2 + 3*c^2*d*e - 2*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(75*d^2*x) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(5*d*x^5) + (2*e*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(15*d^2*x^3) - (2*b*c*e^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(15*d^2*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*c*e*(2*c^2*d + e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(45*d^2*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*c*(8*c^4*d^2 + 3*c^2*d*e - 2*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(75*d^2*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*c*(8*c^2*d - e)*(c^2*d + e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(75*d*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*b*c*e*(c^2*d + e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(45*d*Sqrt[d + e*x^2]) + (2*b*e^2*(c^2*d + e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(15*c*d^2*Sqrt[d + e*x^2])]}
+
+
+{x^3*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 12, (b*(3*c^4*d^2 - 38*c^2*d*e - 25*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(560*c^6*e) - (b*(13*c^2*d + 25*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(840*c^4*e) - (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(5/2))/(42*c^2*e) - (d*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(5*e^2) + ((d + e*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(7*e^2) + (b*(35*c^6*d^3 - 35*c^4*d^2*e - 63*c^2*d*e^2 - 25*e^3)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(560*c^7*e^(3/2)) + (2*b*d^(7/2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(35*e^2)}
+{x^1*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 11, -((b*(7*c^2*d + 3*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(40*c^4)) - (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(20*c^2) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(5*e) - (b*(15*c^4*d^2 + 10*c^2*d*e + 3*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(40*c^5*Sqrt[e]) - (b*d^(5/2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(5*e)}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x])/x^1, x, 0, Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/x, x]}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x])/x^3, x, 0, Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/x^3, x]}
+
+{x^2*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 0, Unintegrable[x^2*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]), x]}
+{x^0*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 0, Unintegrable[(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]), x]}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x])/x^2, x, 0, Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/x^2, x]}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x])/x^4, x, 0, Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/x^4, x]}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x])/x^6, x, 10, (4*b*(c^2*d + 2*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(75*x^3) + (b*(8*c^4*d^2 + 23*c^2*d*e + 23*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(75*d*x) + (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(25*x^5) - ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(5*d*x^5) + (b*c*(8*c^4*d^2 + 23*c^2*d*e + 23*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(75*d*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*(c^2*d + e)*(8*c^4*d^2 + 19*c^2*d*e + 15*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(75*c*d*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x])/x^8, x, 11, (b*(120*c^4*d^2 + 159*c^2*d*e - 37*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(3675*d*x^3) + (b*(240*c^6*d^3 + 528*c^4*d^2*e + 193*c^2*d*e^2 - 247*e^3)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(3675*d^2*x) + (b*(30*c^2*d + 11*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(1225*d*x^5) + (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(5/2))/(49*d*x^7) - ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(7*d*x^7) + (2*e*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(35*d^2*x^5) + (b*c*(240*c^6*d^3 + 528*c^4*d^2*e + 193*c^2*d*e^2 - 247*e^3)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3675*d^2*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (2*b*(c^2*d + e)*(120*c^6*d^3 + 204*c^4*d^2*e + 17*c^2*d*e^2 - 105*e^3)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3675*c*d^2*Sqrt[d + e*x^2])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^5*(a + b*ArcSech[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 11, (b*(19*c^2*d - 9*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(120*c^4*e^2) - (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(20*c^2*e^2) + (d^2*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]))/e^3 - (2*d*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*e^3) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(5*e^3) - (b*(45*c^4*d^2 - 10*c^2*d*e + 9*e^2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(120*c^5*e^(5/2)) - (8*b*d^(5/2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(15*e^3)}
+{x^3*(a + b*ArcSech[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 10, -((b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(6*c^2*e)) - (d*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]))/e^2 + ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*e^2) + (b*(3*c^2*d - e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(6*c^3*e^(3/2)) + (2*b*d^(3/2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(3*e^2)}
+{x^1*(a + b*ArcSech[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 10, (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]))/e - (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(c*Sqrt[e]) - (b*Sqrt[d]*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/e}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(x^1*Sqrt[d + e*x^2]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSech[c*x])/(x*Sqrt[d + e*x^2]), x]}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(x^3*Sqrt[d + e*x^2]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSech[c*x])/(x^3*Sqrt[d + e*x^2]), x]}
+
+{x^2*(a + b*ArcSech[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 0, Unintegrable[(x^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{x^0*(a + b*ArcSech[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSech[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(x^2*Sqrt[d + e*x^2]), x, 9, (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(d*x) - (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d*x) + (b*c*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(d*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*(c^2*d + e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(c*d*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(x^4*Sqrt[d + e*x^2]), x, 9, (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d*x^3) + (b*(2*c^2*d - 5*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d^2*x) - (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*d*x^3) + (2*e*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*d^2*x) + (b*c*(2*c^2*d - 5*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(9*d^2*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (2*b*(c^2*d - 3*e)*(c^2*d + e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(9*c*d^2*Sqrt[d + e*x^2])}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 10, -((b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(6*c^2*e^2)) - (d^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(e^3*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*d*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]))/e^3 + ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*e^3) + (b*(9*c^2*d - e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(6*c^3*e^(5/2)) + (8*b*d^(3/2)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(3*e^3)}
+{x^3*(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 9, (d*(a + b*ArcSech[c*x]))/(e^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]))/e^2 - (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(c*e^(3/2)) - (2*b*Sqrt[d]*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/e^2}
+{x^1*(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 5, -((a + b*ArcSech[c*x])/(e*Sqrt[d + e*x^2])) + (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(Sqrt[d]*e)}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSech[c*x])/(x*(d + e*x^2)^(3/2)), x]}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSech[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(3/2)), x]}
+
+{x^4*(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^4*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2)^(3/2), x]}
+{x^2*(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2)^(3/2), x]}
+{x^0*(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 4, (x*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(c*d*Sqrt[d + e*x^2])}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 8, (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(d^2*x) - (a + b*ArcSech[c*x])/(d*x*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*e*x*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*c*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(d^2*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) - (b*(c^2*d + 2*e)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(c*d^2*Sqrt[d + e*x^2])}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 10, -((b*d*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*e^2*(c^2*d + e)*Sqrt[d + e*x^2])) - (d^2*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*e^3*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*d*(a + b*ArcSech[c*x]))/(e^3*Sqrt[d + e*x^2]) + (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]))/e^3 - (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(c*e^(5/2)) - (8*b*Sqrt[d]*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(3*e^3)}
+{x^3*(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 7, (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*e*(c^2*d + e)*Sqrt[d + e*x^2]) + (d*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*e^2*(d + e*x^2)^(3/2)) - (a + b*ArcSech[c*x])/(e^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (2*b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(3*Sqrt[d]*e^2)}
+{x^1*(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 6, -((b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*d*(c^2*d + e)*Sqrt[d + e*x^2])) - (a + b*ArcSech[c*x])/(3*e*(d + e*x^2)^(3/2)) + (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[1 - c^2*x^2])])/(3*d^(3/2)*e)}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)^(5/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSech[c*x])/(x*(d + e*x^2)^(5/2)), x]}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(5/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSech[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(5/2)), x]}
+
+{x^6*(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^6*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2)^(5/2), x]}
+{x^4*(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^4*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2)^(5/2), x]}
+{x^2*(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 8, -((b*x*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*d*(c^2*d + e)*Sqrt[d + e*x^2])) + (x^3*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*d*(d + e*x^2)^(3/2)) - (b*c*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3*d*e*(c^2*d + e)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3*c*d*e*Sqrt[d + e*x^2])}
+{x^0*(a + b*ArcSech[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 8, (b*e*x*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(3*d^2*(c^2*d + e)*Sqrt[d + e*x^2]) + (x*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*d*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*c*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3*d^2*(c^2*d + e)*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]) + (2*b*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 + (e*x^2)/d]*EllipticF[ArcSin[c*x], -(e/(c^2*d))])/(3*c*d^2*Sqrt[d + e*x^2])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcSech[c x]) when m symbolic*)
+
+
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 5, If[$VersionNumber>=8, -((b*e*(e^2*(15 + 8*m + m^2)^2 + 3*c^2*d*e*(3 + m)^2*(42 + 13*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(840 + 638*m + 179*m^2 + 22*m^3 + m^4))*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^6*f*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m)*(6 + m)*(7 + m))) - (b*e^2*(e*(5 + m)^2 + 3*c^2*d*(42 + 13*m + m^2))*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^4*f^3*(4 + m)*(5 + m)*(6 + m)*(7 + m)) - (b*e^3*(f*x)^(5 + m)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^2*f^5*(6 + m)*(7 + m)) + (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(f*(1 + m)) + (3*d^2*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (3*d*e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(f^5*(5 + m)) + (e^3*(f*x)^(7 + m)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(f^7*(7 + m)) + (b*((c^6*d^3*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m))/(1 + m) + (e*(1 + m)*(e^2*(15 + 8*m + m^2)^2 + 3*c^2*d*e*(3 + m)^2*(42 + 13*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(840 + 638*m + 179*m^2 + 22*m^3 + m^4)))/((3 + m)*(5 + m)*(7 + m)))*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(c^6*f*(1 + m)*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m)), -((b*e*(e^2*(15 + 8*m + m^2)^2 + 3*c^2*d*e*(3 + m)^2*(42 + 13*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(840 + 638*m + 179*m^2 + 22*m^3 + m^4))*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^6*f*(6 + m)*(8 + 6*m + m^2)*(105 + 71*m + 15*m^2 + m^3))) - (b*e^2*(e*(5 + m)^2 + 3*c^2*d*(42 + 13*m + m^2))*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^4*f^3*(4 + m)*(5 + m)*(6 + m)*(7 + m)) - (b*e^3*(f*x)^(5 + m)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^2*f^5*(6 + m)*(7 + m)) + (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(f*(1 + m)) + (3*d^2*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (3*d*e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(f^5*(5 + m)) + (e^3*(f*x)^(7 + m)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(f^7*(7 + m)) + (b*((c^6*d^3*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m))/(1 + m) + (e*(1 + m)*(e^2*(15 + 8*m + m^2)^2 + 3*c^2*d*e*(3 + m)^2*(42 + 13*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(840 + 638*m + 179*m^2 + 22*m^3 + m^4)))/(105 + 71*m + 15*m^2 + m^3))*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(c^6*f*(1 + m)*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m))]}
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 5, If[$VersionNumber>=8, -((b*e*(e*(3 + m)^2 + 2*c^2*d*(20 + 9*m + m^2))*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^4*f*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m))) - (b*e^2*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^2*f^3*(4 + m)*(5 + m)) + (d^2*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(f*(1 + m)) + (2*d*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(f^5*(5 + m)) + (b*(c^4*d^2*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m) + e*(1 + m)^2*(e*(3 + m)^2 + 2*c^2*d*(20 + 9*m + m^2)))*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(c^4*f*(1 + m)^2*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m)), -((b*e*(e*(3 + m)^2 + 2*c^2*d*(20 + 9*m + m^2))*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^4*f*(4 + m)*(5 + m)*(6 + 5*m + m^2))) - (b*e^2*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^2*f^3*(4 + m)*(5 + m)) + (d^2*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(f*(1 + m)) + (2*d*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(f^5*(5 + m)) + (b*(c^4*d^2*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m) + e*(1 + m)^2*(e*(3 + m)^2 + 2*c^2*d*(20 + 9*m + m^2)))*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(c^4*f*(1 + m)^2*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m))]}
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 4, -((b*e*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(c^2*f*(2 + m)*(3 + m))) + (d*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(f*(1 + m)) + (e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (b*(e*(1 + m)^2 + c^2*d*(2 + m)*(3 + m))*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2])/(c^2*f*(1 + m)^2*(2 + m)*(3 + m))}
+{((f*x)^m*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2), x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2), x]}
+{((f*x)^m*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x]}
+
+
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 0, Unintegrable[(f*x)^m*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]), x]}
+{(f*x)^m*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]), x, 0, Unintegrable[(f*x)^m*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSech[c*x]), x]}
+{((f*x)^m*(a + b*ArcSech[c*x]))/Sqrt[d + e*x^2], x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcSech[c*x]))/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{((f*x)^m*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcSech[c*x]))/(d + e*x^2)^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^4)^p (a+b ArcSech[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^4)^(p/2) (a+b ArcSech[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^11*(a + b*ArcSech[c*x])/Sqrt[1 - c^4*x^4], x, 15, -((4*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(15*c^13*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x)) + (7*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(90*c^13*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x) - (13*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(150*c^13*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x) + (3*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(1 + c^2*x^2)^(7/2))/(70*c^13*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(1 + c^2*x^2)^(9/2))/(90*c^13*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x) - (Sqrt[1 - c^4*x^4]*(a + b*ArcSech[c*x]))/(2*c^12) + ((1 - c^4*x^4)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(3*c^12) - ((1 - c^4*x^4)^(5/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(10*c^12) + (4*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/(15*c^13*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x)}
+{x^7*(a + b*ArcSech[c*x])/Sqrt[1 - c^4*x^4], x, 12, -((b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3*c^9*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x)) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(1 + c^2*x^2)^(3/2))/(18*c^9*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x) - (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(1 + c^2*x^2)^(5/2))/(30*c^9*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x) - (Sqrt[1 - c^4*x^4]*(a + b*ArcSech[c*x]))/(2*c^8) + ((1 - c^4*x^4)^(3/2)*(a + b*ArcSech[c*x]))/(6*c^8) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/(3*c^9*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x)}
+{x^3*(a + b*ArcSech[c*x])/Sqrt[1 - c^4*x^4], x, 7, -((b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(2*c^5*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x)) - (Sqrt[1 - c^4*x^4]*(a + b*ArcSech[c*x]))/(2*c^4) + (b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 + c^2*x^2]])/(2*c^5*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]*x)}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(x^1*Sqrt[1 - c^4*x^4]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSech[c*x])/(x*Sqrt[1 - c^4*x^4]), x]}
+{(a + b*ArcSech[c*x])/(x^5*Sqrt[1 - c^4*x^4]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcSech[c*x])/(x^5*Sqrt[1 - c^4*x^4]), x]}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcSech[c x])^n*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.5 Inverse hyperbolic secant/7.5.2 Inverse hyperbolic secant functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.5 Inverse hyperbolic secant/7.5.2 Inverse hyperbolic secant functions.m
new file mode 100644
index 00000000..97a88606
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.5 Inverse hyperbolic secant/7.5.2 Inverse hyperbolic secant functions.m	
@@ -0,0 +1,204 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration Problems Involving Inverse Hyperbolic Secants*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcSech[a+b x]^n*)
+
+
+{x^3*ArcSech[a + b*x], x, 8, -(((2 + 17*a^2)*Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]*(1 + a + b*x))/(12*b^4)) - (x^2*Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]*(1 + a + b*x))/(12*b^2) + (a*(a + b*x)*Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]*(1 + a + b*x))/(3*b^4) - (a^4*ArcSech[a + b*x])/(4*b^4) + (1/4)*x^4*ArcSech[a + b*x] + (a*(1 + 2*a^2)*ArcTan[(Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]*(1 + a + b*x))/(a + b*x)])/(2*b^4)}
+{x^2*ArcSech[a + b*x], x, 7, (5*a*Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]*(1 + a + b*x))/(6*b^3) - (x*Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]*(1 + a + b*x))/(6*b^2) + (a^3*ArcSech[a + b*x])/(3*b^3) + (1/3)*x^3*ArcSech[a + b*x] - ((1 + 6*a^2)*ArcTan[(Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]*(1 + a + b*x))/(a + b*x)])/(6*b^3)}
+{x^1*ArcSech[a + b*x], x, 6, -((Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]*(1 + a + b*x))/(2*b^2)) - (a^2*ArcSech[a + b*x])/(2*b^2) + (1/2)*x^2*ArcSech[a + b*x] + (a*ArcTan[(Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]*(1 + a + b*x))/(a + b*x)])/b^2}
+{x^0*ArcSech[a + b*x], x, 4, ((a + b*x)*ArcSech[a + b*x])/b - (2*ArcTan[Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]])/b}
+{ArcSech[a + b*x]/x^1, x, 14, ArcSech[a + b*x]*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])] + ArcSech[a + b*x]*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])] - ArcSech[a + b*x]*Log[1 + E^(2*ArcSech[a + b*x])] + PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])] + PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])] - (1/2)*PolyLog[2, -E^(2*ArcSech[a + b*x])]}
+{ArcSech[a + b*x]/x^2, x, 5, -((b*ArcSech[a + b*x])/a) - ArcSech[a + b*x]/x + (2*b*ArcTanh[(Sqrt[1 + a]*Tanh[(1/2)*ArcSech[a + b*x]])/Sqrt[1 - a]])/(a*Sqrt[1 - a^2])}
+{ArcSech[a + b*x]/x^3, x, 7, (b*Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]*(1 + a + b*x))/(2*a*(1 - a^2)*x) + (b^2*ArcSech[a + b*x])/(2*a^2) - ArcSech[a + b*x]/(2*x^2) - ((1 - 2*a^2)*b^2*ArcTanh[(Sqrt[1 + a]*Tanh[(1/2)*ArcSech[a + b*x]])/Sqrt[1 - a]])/(a^2*(1 - a^2)^(3/2))}
+{ArcSech[a + b*x]/x^4, x, 8, (b*Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]*(1 + a + b*x))/(6*a*(1 - a^2)*x^2) - ((2 - 5*a^2)*b^2*Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]*(1 + a + b*x))/(6*a^2*(1 - a^2)^2*x) - (b^3*ArcSech[a + b*x])/(3*a^3) - ArcSech[a + b*x]/(3*x^3) + ((2 - 5*a^2 + 6*a^4)*b^3*ArcTanh[(Sqrt[1 + a]*Tanh[(1/2)*ArcSech[a + b*x]])/Sqrt[1 - a]])/(3*a^3*(1 - a^2)^(5/2))}
+
+
+{x^2*ArcSech[a + b*x]^2, x, 17, -(x/(3*b^2)) + (2*a*Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]*(1 + a + b*x)*ArcSech[a + b*x])/b^3 - ((a + b*x)*Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]*(1 + a + b*x)*ArcSech[a + b*x])/(3*b^3) + (a^3*ArcSech[a + b*x]^2)/(3*b^3) + (1/3)*x^3*ArcSech[a + b*x]^2 - (2*ArcSech[a + b*x]*ArcTan[E^ArcSech[a + b*x]])/(3*b^3) - (4*a^2*ArcSech[a + b*x]*ArcTan[E^ArcSech[a + b*x]])/b^3 + (2*a*Log[a + b*x])/b^3 + (I*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSech[a + b*x]])/(3*b^3) + (2*I*a^2*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSech[a + b*x]])/b^3 - (I*PolyLog[2, I*E^ArcSech[a + b*x]])/(3*b^3) - (2*I*a^2*PolyLog[2, I*E^ArcSech[a + b*x]])/b^3}
+{x^1*ArcSech[a + b*x]^2, x, 11, -((Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]*(1 + a + b*x)*ArcSech[a + b*x])/b^2) - (a^2*ArcSech[a + b*x]^2)/(2*b^2) + (1/2)*x^2*ArcSech[a + b*x]^2 + (4*a*ArcSech[a + b*x]*ArcTan[E^ArcSech[a + b*x]])/b^2 - Log[a + b*x]/b^2 - (2*I*a*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSech[a + b*x]])/b^2 + (2*I*a*PolyLog[2, I*E^ArcSech[a + b*x]])/b^2}
+{x^0*ArcSech[a + b*x]^2, x, 8, ((a + b*x)*ArcSech[a + b*x]^2)/b - (4*ArcSech[a + b*x]*ArcTan[E^ArcSech[a + b*x]])/b + (2*I*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSech[a + b*x]])/b - (2*I*PolyLog[2, I*E^ArcSech[a + b*x]])/b}
+{ArcSech[a + b*x]^2/x^1, x, 17, ArcSech[a + b*x]^2*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])] + ArcSech[a + b*x]^2*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])] - ArcSech[a + b*x]^2*Log[1 + E^(2*ArcSech[a + b*x])] + 2*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])] + 2*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])] - ArcSech[a + b*x]*PolyLog[2, -E^(2*ArcSech[a + b*x])] - 2*PolyLog[3, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])] - 2*PolyLog[3, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])] + (1/2)*PolyLog[3, -E^(2*ArcSech[a + b*x])]}
+{ArcSech[a + b*x]^2/x^2, x, 12, -((b*ArcSech[a + b*x]^2)/a) - ArcSech[a + b*x]^2/x + (2*b*ArcSech[a + b*x]*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) - (2*b*ArcSech[a + b*x]*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) + (2*b*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) - (2*b*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2])}
+{ArcSech[a + b*x]^2/x^3, x, 23, (b^2*Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]*(1 + a + b*x)*ArcSech[a + b*x])/(a*(1 - a^2)*(a + b*x)*(1 - a/(a + b*x))) + (b^2*ArcSech[a + b*x]^2)/(2*a^2) - ArcSech[a + b*x]^2/(2*x^2) + (b^2*ArcSech[a + b*x]*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*(1 - a^2)^(3/2)) - (2*b^2*ArcSech[a + b*x]*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*Sqrt[1 - a^2]) - (b^2*ArcSech[a + b*x]*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*(1 - a^2)^(3/2)) + (2*b^2*ArcSech[a + b*x]*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*Sqrt[1 - a^2]) + (b^2*Log[x/(a + b*x)])/(a^2*(1 - a^2)) + (b^2*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*(1 - a^2)^(3/2)) - (2*b^2*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*Sqrt[1 - a^2]) - (b^2*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*(1 - a^2)^(3/2)) + (2*b^2*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*Sqrt[1 - a^2])}
+
+
+{x^1*ArcSech[a + b*x]^3, x, 16, -((3*ArcSech[a + b*x]^2)/(2*b^2)) - (3*Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]*(1 + a + b*x)*ArcSech[a + b*x]^2)/(2*b^2) - (a^2*ArcSech[a + b*x]^3)/(2*b^2) + (1/2)*x^2*ArcSech[a + b*x]^3 + (6*a*ArcSech[a + b*x]^2*ArcTan[E^ArcSech[a + b*x]])/b^2 + (3*ArcSech[a + b*x]*Log[1 + E^(2*ArcSech[a + b*x])])/b^2 - (6*I*a*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSech[a + b*x]])/b^2 + (6*I*a*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[2, I*E^ArcSech[a + b*x]])/b^2 + (3*PolyLog[2, -E^(2*ArcSech[a + b*x])])/(2*b^2) + (6*I*a*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSech[a + b*x]])/b^2 - (6*I*a*PolyLog[3, I*E^ArcSech[a + b*x]])/b^2}
+{x^0*ArcSech[a + b*x]^3, x, 10, ((a + b*x)*ArcSech[a + b*x]^3)/b - (6*ArcSech[a + b*x]^2*ArcTan[E^ArcSech[a + b*x]])/b + (6*I*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[2, (-I)*E^ArcSech[a + b*x]])/b - (6*I*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[2, I*E^ArcSech[a + b*x]])/b - (6*I*PolyLog[3, (-I)*E^ArcSech[a + b*x]])/b + (6*I*PolyLog[3, I*E^ArcSech[a + b*x]])/b}
+{ArcSech[a + b*x]^3/x^1, x, 20, ArcSech[a + b*x]^3*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])] + ArcSech[a + b*x]^3*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])] - ArcSech[a + b*x]^3*Log[1 + E^(2*ArcSech[a + b*x])] + 3*ArcSech[a + b*x]^2*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])] + 3*ArcSech[a + b*x]^2*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])] - (3/2)*ArcSech[a + b*x]^2*PolyLog[2, -E^(2*ArcSech[a + b*x])] - 6*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[3, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])] - 6*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[3, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])] + (3/2)*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[3, -E^(2*ArcSech[a + b*x])] + 6*PolyLog[4, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])] + 6*PolyLog[4, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])] - (3/4)*PolyLog[4, -E^(2*ArcSech[a + b*x])]}
+{ArcSech[a + b*x]^3/x^2, x, 14, -((b*ArcSech[a + b*x]^3)/a) - ArcSech[a + b*x]^3/x + (3*b*ArcSech[a + b*x]^2*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) - (3*b*ArcSech[a + b*x]^2*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) + (6*b*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) - (6*b*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) - (6*b*PolyLog[3, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) + (6*b*PolyLog[3, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2])}
+{ArcSech[a + b*x]^3/x^3, x, 32, -((3*b^2*ArcSech[a + b*x]^2)/(2*a^2*(1 - a^2))) + (3*b^2*Sqrt[(1 - a - b*x)/(1 + a + b*x)]*(1 + a + b*x)*ArcSech[a + b*x]^2)/(2*a*(1 - a^2)*(a + b*x)*(1 - a/(a + b*x))) + (b^2*ArcSech[a + b*x]^3)/(2*a^2) - ArcSech[a + b*x]^3/(2*x^2) + (3*b^2*ArcSech[a + b*x]*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*(1 - a^2)) + (3*b^2*ArcSech[a + b*x]^2*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(2*a^2*(1 - a^2)^(3/2)) - (3*b^2*ArcSech[a + b*x]^2*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*Sqrt[1 - a^2]) + (3*b^2*ArcSech[a + b*x]*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*(1 - a^2)) - (3*b^2*ArcSech[a + b*x]^2*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(2*a^2*(1 - a^2)^(3/2)) + (3*b^2*ArcSech[a + b*x]^2*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*Sqrt[1 - a^2]) + (3*b^2*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*(1 - a^2)) + (3*b^2*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*(1 - a^2)^(3/2)) - (6*b^2*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*Sqrt[1 - a^2]) + (3*b^2*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*(1 - a^2)) - (3*b^2*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*(1 - a^2)^(3/2)) + (6*b^2*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*Sqrt[1 - a^2]) - (3*b^2*PolyLog[3, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*(1 - a^2)^(3/2)) + (6*b^2*PolyLog[3, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*Sqrt[1 - a^2]) + (3*b^2*PolyLog[3, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*(1 - a^2)^(3/2)) - (6*b^2*PolyLog[3, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a^2*Sqrt[1 - a^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcSech[a x^n]*)
+
+
+{x^3*ArcSech[Sqrt[x]], x, 4, -((1 - x)/(4*Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[x])) + (1 - x)^2/(4*Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[x]) - (3*(1 - x)^3)/(20*Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[x]) + (1 - x)^4/(28*Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[x]) + (1/4)*x^4*ArcSech[Sqrt[x]]}
+{x^2*ArcSech[Sqrt[x]], x, 4, -((1 - x)/(3*Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[x])) + (2*(1 - x)^2)/(9*Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[x]) - (1 - x)^3/(15*Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[x]) + (1/3)*x^3*ArcSech[Sqrt[x]]}
+{x^1*ArcSech[Sqrt[x]], x, 4, -((1 - x)/(2*Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[x])) + (1 - x)^2/(6*Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[x]) + (1/2)*x^2*ArcSech[Sqrt[x]]}
+{x^0*ArcSech[Sqrt[x]], x, 3, -((1 - x)/(Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[x])) + x*ArcSech[Sqrt[x]]}
+{ArcSech[Sqrt[x]]/x^1, x, 7, ArcSech[Sqrt[x]]^2 - 2*ArcSech[Sqrt[x]]*Log[1 + E^(2*ArcSech[Sqrt[x]])] - PolyLog[2, -E^(2*ArcSech[Sqrt[x]])]}
+{ArcSech[Sqrt[x]]/x^2, x, 5, (1 - x)/(2*Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*x^(3/2)) - ArcSech[Sqrt[x]]/x + (Sqrt[1 - x]*ArcTanh[Sqrt[1 - x]])/(2*Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[x])}
+{ArcSech[Sqrt[x]]/x^3, x, 6, (1 - x)/(8*Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*x^(5/2)) + (3*(1 - x))/(16*Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*x^(3/2)) - ArcSech[Sqrt[x]]/(2*x^2) + (3*Sqrt[1 - x]*ArcTanh[Sqrt[1 - x]])/(16*Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[x])}
+{ArcSech[Sqrt[x]]/x^4, x, 7, (1 - x)/(18*Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*x^(7/2)) + (5*(1 - x))/(72*Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*x^(5/2)) + (5*(1 - x))/(48*Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*x^(3/2)) - ArcSech[Sqrt[x]]/(3*x^3) + (5*Sqrt[1 - x]*ArcTanh[Sqrt[1 - x]])/(48*Sqrt[-1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[1 + 1/Sqrt[x]]*Sqrt[x])}
+
+
+{ArcSech[1/x], x, 3, -(Sqrt[-1 + x]*Sqrt[1 + x]) + x*ArcCosh[x]}
+
+
+{ArcSech[a*x^n]/x, x, 7, ArcSech[a*x^n]^2/(2*n) - (ArcSech[a*x^n]*Log[1 + E^(2*ArcSech[a*x^n])])/n - PolyLog[2, -E^(2*ArcSech[a*x^n])]/(2*n)}
+{ArcSech[a*x^5]/x, x, 7, (1/10)*ArcSech[a*x^5]^2 - (1/5)*ArcSech[a*x^5]*Log[1 + E^(2*ArcSech[a*x^5])] - (1/10)*PolyLog[2, -E^(2*ArcSech[a*x^5])]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving inverse hyperbolic secants of exponentials*)
+
+
+{ArcSech[c*E^(a + b*x)], x, 7, ArcSech[c*E^(a + b*x)]^2/(2*b) - (ArcSech[c*E^(a + b*x)]*Log[1 + E^(2*ArcSech[c*E^(a + b*x)])])/b - PolyLog[2, -E^(2*ArcSech[c*E^(a + b*x)])]/(2*b)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving exponentials of inverse hyperbolic secants*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^ArcSech[a x^p]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{E^ArcSech[a*x]*x^4, x, 5, -((2*E^ArcSech[a*x]*x)/(15*a^4)) + x^2/(15*a^3) - (E^ArcSech[a*x]*x^3)/(15*a^2) + x^4/(20*a) + (1/5)*E^ArcSech[a*x]*x^5, x^4/(20*a) + (1/5)*E^ArcSech[a*x]*x^5 - (2*Sqrt[1 - a*x])/(15*a^5*Sqrt[1/(1 + a*x)]) - (x^2*Sqrt[1 - a*x])/(15*a^3*Sqrt[1/(1 + a*x)])}
+{E^ArcSech[a*x]*x^3, x, 5, x^3/(12*a) + (1/4)*E^ArcSech[a*x]*x^4 - (x*Sqrt[1 - a*x])/(8*a^3*Sqrt[1/(1 + a*x)]) + (Sqrt[1/(1 + a*x)]*Sqrt[1 + a*x]*ArcSin[a*x])/(8*a^4)}
+{E^ArcSech[a*x]*x^2, x, 3, -((E^ArcSech[a*x]*x)/(3*a^2)) + x^2/(6*a) + (1/3)*E^ArcSech[a*x]*x^3, x^2/(6*a) + (1/3)*E^ArcSech[a*x]*x^3 - Sqrt[1 - a*x]/(3*a^3*Sqrt[1/(1 + a*x)])}
+{E^ArcSech[a*x]*x^1, x, 4, x/(2*a) + (1/2)*E^ArcSech[a*x]*x^2 + (Sqrt[1/(1 + a*x)]*Sqrt[1 + a*x]*ArcSin[a*x])/(2*a^2)}
+{E^ArcSech[a*x]*x^0, x, 3, E^ArcSech[a*x]*x - ArcSech[a*x]/a + Log[x]/a, E^ArcSech[a*x]*x - (2*ArcTanh[Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]])/a + Log[x]/a}
+{E^ArcSech[a*x]/x^1, x, 5, -(2/(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])) + 2*ArcTan[Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]], -(1/(a*x)) - Sqrt[1 - a*x]/(a*x*Sqrt[1/(1 + a*x)]) - Sqrt[1/(1 + a*x)]*Sqrt[1 + a*x]*ArcSin[a*x]}
+{E^ArcSech[a*x]/x^2, x, 6, -(E^ArcSech[a*x]/(2*x)) + a*ArcTanh[Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]], 1/(2*a*x^2) - E^ArcSech[a*x]/x + Sqrt[1 - a*x]/(2*a*x^2*Sqrt[1/(1 + a*x)]) + (1/2)*a*Sqrt[1/(1 + a*x)]*Sqrt[1 + a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]]}
+{E^ArcSech[a*x]/x^3, x, 5, -(1/(3*a*x^3)) - (8*a^2*((1 - a*x)/(1 + a*x))^(3/2))/(3*(1 - (1 - a*x)/(1 + a*x))^3), 1/(6*a*x^3) - E^ArcSech[a*x]/(2*x^2) + Sqrt[1 - a*x]/(6*a*x^3*Sqrt[1/(1 + a*x)]) + (a*Sqrt[1 - a*x])/(3*x*Sqrt[1/(1 + a*x)])}
+{E^ArcSech[a*x]/x^4, x, 8, 1/(12*a*x^4) - E^ArcSech[a*x]/(3*x^3) + Sqrt[1 - a*x]/(12*a*x^4*Sqrt[1/(1 + a*x)]) + (a*Sqrt[1 - a*x])/(8*x^2*Sqrt[1/(1 + a*x)]) + (1/8)*a^3*Sqrt[1/(1 + a*x)]*Sqrt[1 + a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]]}
+{E^ArcSech[a*x]/x^5, x, 7, 1/(20*a*x^5) - E^ArcSech[a*x]/(4*x^4) + Sqrt[1 - a*x]/(20*a*x^5*Sqrt[1/(1 + a*x)]) + (a*Sqrt[1 - a*x])/(15*x^3*Sqrt[1/(1 + a*x)]) + (2*a^3*Sqrt[1 - a*x])/(15*x*Sqrt[1/(1 + a*x)])}
+{E^ArcSech[a*x]/x^6, x, 10, 1/(30*a*x^6) - E^ArcSech[a*x]/(5*x^5) + Sqrt[1 - a*x]/(30*a*x^6*Sqrt[1/(1 + a*x)]) + (a*Sqrt[1 - a*x])/(24*x^4*Sqrt[1/(1 + a*x)]) + (a^3*Sqrt[1 - a*x])/(16*x^2*Sqrt[1/(1 + a*x)]) + (1/16)*a^5*Sqrt[1/(1 + a*x)]*Sqrt[1 + a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]]}
+{E^ArcSech[a*x]/x^7, x, 9, 1/(42*a*x^7) - E^ArcSech[a*x]/(6*x^6) + Sqrt[1 - a*x]/(42*a*x^7*Sqrt[1/(1 + a*x)]) + (a*Sqrt[1 - a*x])/(35*x^5*Sqrt[1/(1 + a*x)]) + (4*a^3*Sqrt[1 - a*x])/(105*x^3*Sqrt[1/(1 + a*x)]) + (8*a^5*Sqrt[1 - a*x])/(105*x*Sqrt[1/(1 + a*x)])}
+{E^ArcSech[a*x]/x^8, x, 12, 1/(56*a*x^8) - E^ArcSech[a*x]/(7*x^7) + Sqrt[1 - a*x]/(56*a*x^8*Sqrt[1/(1 + a*x)]) + (a*Sqrt[1 - a*x])/(48*x^6*Sqrt[1/(1 + a*x)]) + (5*a^3*Sqrt[1 - a*x])/(192*x^4*Sqrt[1/(1 + a*x)]) + (5*a^5*Sqrt[1 - a*x])/(128*x^2*Sqrt[1/(1 + a*x)]) + (5/128)*a^7*Sqrt[1/(1 + a*x)]*Sqrt[1 + a*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - a*x]*Sqrt[1 + a*x]]}
+
+
+(* Mathematica 8 is unable to validate some of the following antiderivatives. *)
+{E^ArcSech[a*x^2]*x^7, x, 6, x^6/(24*a) + (1/8)*E^ArcSech[a*x^2]*x^8 - (x^2*Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*Sqrt[1 - a^2*x^4])/(16*a^3) + (Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*ArcSin[a*x^2])/(16*a^4)}
+{E^ArcSech[a*x^2]*x^6, x, 5, (2*x^5)/(35*a) + (1/7)*E^ArcSech[a*x^2]*x^7 - (2*x*Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*Sqrt[1 - a^2*x^4])/(21*a^3) + (2*Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a]*x], -1])/(21*a^(7/2))}
+{E^ArcSech[a*x^2]*x^5, x, 4, x^4/(12*a) + (1/6)*E^ArcSech[a*x^2]*x^6 - Sqrt[1 - a*x^2]/(6*a^3*Sqrt[1/(1 + a*x^2)]), x^4/(12*a) + (1/6)*E^ArcSech[a*x^2]*x^6 - (Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*Sqrt[1 - a^2*x^4])/(6*a^3)}
+{E^ArcSech[a*x^2]*x^4, x, 7, (2*x^3)/(15*a) + (1/5)*E^ArcSech[a*x^2]*x^5 + (2*Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a]*x], -1])/(5*a^(5/2)) - (2*Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a]*x], -1])/(5*a^(5/2))}
+{E^ArcSech[a*x^2]*x^3, x, 5, x^2/(4*a) + (1/4)*E^ArcSech[a*x^2]*x^4 + (Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*ArcSin[a*x^2])/(4*a^2)}
+{E^ArcSech[a*x^2]*x^2, x, 4, (2*x)/(3*a) + (1/3)*E^ArcSech[a*x^2]*x^3 + (2*Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a]*x], -1])/(3*a^(3/2))}
+{E^ArcSech[a*x^2]*x^1, x, 6, (1/2)*E^ArcSech[a*x^2]*x^2 - (Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^4]])/(2*a) + Log[x]/a}
+{E^ArcSech[a*x^2]*x^0, x, 8, -(2/(a*x)) + E^ArcSech[a*x^2]*x - (2*Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*Sqrt[1 - a^2*x^4])/(a*x) - (2*Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a]*x], -1])/Sqrt[a] + (2*Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a]*x], -1])/Sqrt[a]}
+{E^ArcSech[a*x^2]/x^1, x, 5, -(1/(2*a*x^2)) - Sqrt[1 - a*x^2]/(2*a*x^2*Sqrt[1/(1 + a*x^2)]) - (1/2)*Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*ArcSin[a*x^2], -(1/(2*a*x^2)) - (Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*Sqrt[1 - a^2*x^4])/(2*a*x^2) - (1/2)*Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*ArcSin[a*x^2]}
+{E^ArcSech[a*x^2]/x^2, x, 5, 2/(3*a*x^3) - E^ArcSech[a*x^2]/x + (2*Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*Sqrt[1 - a^2*x^4])/(3*a*x^3) - (2/3)*Sqrt[a]*Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a]*x], -1]}
+{E^ArcSech[a*x^2]/x^3, x, 7, 1/(4*a*x^4) - E^ArcSech[a*x^2]/(2*x^2) + (Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*Sqrt[1 - a^2*x^4])/(4*a*x^4) + (1/4)*a*Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - a^2*x^4]]}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^ArcSech[a x^p] with m symbolic*)
+
+
+{E^ArcSech[a*x^3]*x^m, x, 4, -((3*x^(-2 + m))/(a*(2 + m - m^2))) + (E^ArcSech[a*x^3]*x^(1 + m))/(1 + m) - (3*x^(-2 + m)*Sqrt[1/(1 + a*x^3)]*Sqrt[1 + a*x^3]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/6)*(-2 + m), (4 + m)/6, a^2*x^6])/(a*(2 + m - m^2))}
+{E^ArcSech[a*x^2]*x^m, x, 4, -((2*x^(-1 + m))/(a*(1 - m^2))) + (E^ArcSech[a*x^2]*x^(1 + m))/(1 + m) - (2*x^(-1 + m)*Sqrt[1/(1 + a*x^2)]*Sqrt[1 + a*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/4)*(-1 + m), (3 + m)/4, a^2*x^4])/(a*(1 - m^2))}
+{E^ArcSech[a*x^1]*x^m, x, 4, x^m/(a*m*(1 + m)) + (E^ArcSech[a*x]*x^(1 + m))/(1 + m) + (x^m*Sqrt[1/(1 + a*x)]*Sqrt[1 + a*x]*Hypergeometric2F1[1/2, m/2, (2 + m)/2, a^2*x^2])/(a*m*(1 + m))}
+{E^ArcSech[a/x^1]*x^m, x, 5, (E^ArcSech[a/x]*x^(1 + m))/(1 + m) - x^(2 + m)/(a*(2 + 3*m + m^2)) - (Sqrt[1/(1 + a/x)]*Sqrt[1 + a/x]*x^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-2 - m), -(m/2), a^2/x^2])/(a*(2 + 3*m + m^2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^ArcSech[a x^p] with p symbolic*)
+
+
+{E^ArcSech[a*x^p]*x^m, x, 4,  (E^ArcSech[a*x^p]*x^(1 + m))/(1 + m) + (p*x^(1 + m - p))/(a*(1 + m)*(1 + m - p)) + (p*x^(1 + m - p)*Sqrt[1/(1 + a*x^p)]*Sqrt[1 + a*x^p]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m - p)/(2*p), (1 + m + p)/(2*p), a^2*x^(2*p)])/(a*(1 + m)*(1 + m - p))}
+
+
+{E^ArcSech[a*x^p]*x^1, x, 4, (1/2)*E^ArcSech[a*x^p]*x^2 + (p*x^(2 - p))/(2*a*(2 - p)) + (p*x^(2 - p)*Sqrt[1/(1 + a*x^p)]*Sqrt[1 + a*x^p]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 + 2/p), (1/2)*(1 + 2/p), a^2*x^(2*p)])/(2*a*(2 - p))}
+{E^ArcSech[a*x^p]*x^0, x, 4, E^ArcSech[a*x^p]*x + (p*x^(1 - p))/(a*(1 - p)) + (p*x^(1 - p)*Sqrt[1/(1 + a*x^p)]*Sqrt[1 + a*x^p]*Hypergeometric2F1[1/2, (1/2)*(-1 + 1/p), (1 + p)/(2*p), a^2*x^(2*p)])/(a*(1 - p))}
+{E^ArcSech[a*x^p]/x^1, x, 6, -(1/(x^p*(a*p))) - Sqrt[1 - a*x^p]/(x^p*(a*p*Sqrt[1/(1 + a*x^p)])) - (Sqrt[1/(1 + a*x^p)]*Sqrt[1 + a*x^p]*ArcSin[a*x^p])/p, -(1/(x^p*(a*p))) - (Sqrt[1/(1 + a*x^p)]*Sqrt[1 + a*x^p]*Sqrt[1 - a^2*x^(2*p)])/(x^p*(a*p)) - (Sqrt[1/(1 + a*x^p)]*Sqrt[1 + a*x^p]*ArcCsc[1/(x^p*a)])/p}
+{E^ArcSech[a*x^p]/x^2, x, 4, -(E^ArcSech[a*x^p]/x) + (p*x^(-1 - p))/(a*(1 + p)) + (1/(a*(1 + p)))*(p*x^(-1 - p)*Sqrt[1/(1 + a*x^p)]*Sqrt[1 + a*x^p]*Hypergeometric2F1[1/2, -((1 + p)/(2*p)), -((1 - p)/(2*p)), a^2*x^(2*p)])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcSech[a x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+(* {E^(2*ArcSech[a*x])*x^m, x, 14, 0} *)
+
+{E^(2*ArcSech[a*x])*x^4, x, 9, (5*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)^2)/(4*a^5) + ((1 - a*x)*(1 + a*x)^4)/(5*a^5) + (Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)^4*(5 - 6*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))/(10*a^5) + ((1 + a*x)*(4 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))/(4*a^5) - ((1 + a*x)^3*(4 + 45*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))/(30*a^5) - ArcTan[Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]]/(2*a^5)}
+{E^(2*ArcSech[a*x])*x^3, x, 8, -(x/a^3) + ((1 - a*x)*(1 + a*x)^3)/(4*a^4) + ((1 + a*x)^2*(3 - 8*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))/(6*a^4) + (Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)^3*(4 - 3*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))/(6*a^4)}
+{E^(2*ArcSech[a*x])*x^2, x, 7, ((1 + a*x)*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))/(2*a^3) - (Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)^2*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^3)/(6*a^3) + ((1 + a*x)^3*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^4)/(12*a^3) - (2*ArcTan[Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]])/a^3}
+{E^(2*ArcSech[a*x])*x^1, x, 8, -((1 + a*x)^2/(2*a^2)) + ((1 + a*x)*(1 + 2*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))/a^2 + (2*Log[1 + a*x])/a^2 + (4*Log[1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]])/a^2}
+{E^(2*ArcSech[a*x])*x^0, x, 7, -x - 4/(a*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])) + (4*ArcTan[Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]])/a}
+{E^(2*ArcSech[a*x])/x^1, x, 5, -(2/(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2) + 2/(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]) - Log[1 + a*x] - 2*Log[1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]]}
+{E^(2*ArcSech[a*x])/x^2, x, 4, -((4*a)/(3*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^3)) + (2*a)/(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2}
+{E^(2*ArcSech[a*x])/x^3, x, 5, -(a^2/(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^4) + (2*a^2)/(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^3 - (3*a^2)/(2*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2) + a^2/(2*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])) + (1/2)*a^2*ArcTanh[Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]]}
+{E^(2*ArcSech[a*x])/x^4, x, 4, -((4*a^3)/(5*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^5)) + (2*a^3)/(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^4 - (7*a^3)/(3*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^3) + (3*a^3)/(2*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2) - a^3/(4*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])) - a^3/(4*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))}
+{E^(2*ArcSech[a*x])/x^5, x, 5, -((2*a^4)/(3*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^6)) + (2*a^4)/(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^5 - (3*a^4)/(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^4 + (8*a^4)/(3*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^3) - (11*a^4)/(8*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2) + (3*a^4)/(8*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])) - a^4/(8*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2) + a^4/(8*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])) + (1/4)*a^4*ArcTanh[Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]]}
+{E^(2*ArcSech[a*x])/x^6, x, 4, -((4*a^5)/(7*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^7)) + (2*a^5)/(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^6 - (18*a^5)/(5*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^5) + (4*a^5)/(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^4 - (35*a^5)/(12*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^3) + (11*a^5)/(8*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2) - a^5/(4*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])) - a^5/(12*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^3) + a^5/(8*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2) - a^5/(4*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* {E^(-ArcSech[a*x])*x^m, x, 7, 0} *)
+
+{E^(-ArcSech[a*x])*x^4, x, 8, -(x/a^4) - (Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)^5)/(5*a^5) + ((1 + a*x)^2*(9 + 4*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))/(6*a^5) + ((1 + a*x)^4*(5 + 16*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))/(20*a^5) - ((1 + a*x)^3*(15 + 17*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))/(15*a^5)}
+{E^(-ArcSech[a*x])*x^3, x, 7, -((Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)^4)/(4*a^4)) + ((1 + a*x)*(8 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))/(8*a^4) - ((1 + a*x)^2*(8 + 5*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))/(8*a^4) + ((1 + a*x)^3*(4 + 9*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))/(12*a^4) + ArcTan[Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]]/(4*a^4)}
+{E^(-ArcSech[a*x])*x^2, x, 6, -(x/a^2) - (Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x)^3)/(3*a^3) + ((1 + a*x)^2*(3 + 4*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))/(6*a^3)}
+{E^(-ArcSech[a*x])*x^1, x, 5, ((1 + a*x)^2*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2)/(4*a^2) + ((1 + a*x)*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))/(2*a^2) + ArcTan[Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]]/a^2}
+{E^(-ArcSech[a*x])*x^0, x, 6, -((Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]*(1 + a*x))/a) + Log[1 + a*x]/a + (2*Log[1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]])/a}
+{E^(-ArcSech[a*x])/x^1, x, 5, -(2/(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])) - 2*ArcTan[Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]]}
+{E^(-ArcSech[a*x])/x^2, x, 5, -(a/(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2) + a/(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]) - a*ArcTanh[Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]]}
+{E^(-ArcSech[a*x])/x^3, x, 4, -(a^2/(2*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))) - (2*a^2)/(3*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^3) + a^2/(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2 - a^2/(2*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))}
+{E^(-ArcSech[a*x])/x^4, x, 5, -(a^3/(4*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2)) + a^3/(4*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])) - a^3/(2*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^4) + a^3/(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^3 - a^3/(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2 + a^3/(2*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])) - (1/4)*a^3*ArcTanh[Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]]}
+{E^(-ArcSech[a*x])/x^5, x, 4, -(a^4/(6*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^3)) + a^4/(4*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2) - (3*a^4)/(8*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])) - (2*a^4)/(5*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^5) + a^4/(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^4 - (4*a^4)/(3*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^3) + a^4/(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2 - (3*a^4)/(8*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))}
+{E^(-ArcSech[a*x])/x^6, x, 5, -(a^5/(8*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^4)) + a^5/(4*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^3) - (3*a^5)/(8*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2) + a^5/(4*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])) - a^5/(3*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^6) + a^5/(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^5 - (13*a^5)/(8*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^4) + (19*a^5)/(12*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^3) - a^5/(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2 + (3*a^5)/(8*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])) - (1/8)*a^5*ArcTanh[Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]]}
+{E^(-ArcSech[a*x])/x^7, x, 4, -(a^6/(10*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^5)) + a^6/(4*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^4) - (5*a^6)/(12*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^3) + (3*a^6)/(8*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2) - (5*a^6)/(16*(1 - Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])) - (2*a^6)/(7*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^7) + a^6/(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^6 - (19*a^6)/(10*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^5) + (9*a^6)/(4*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^4) - (11*a^6)/(6*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^3) + a^6/(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)])^2 - (5*a^6)/(16*(1 + Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)]))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcSech[a x]) / (1-a^2 x^2)*)
+
+
+{(d*x)^m*E^ArcSech[c*x]/(1 - c^2*x^2), x, 5, ((d*x)^m*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*Hypergeometric2F1[1/2, m/2, (2 + m)/2, c^2*x^2])/(c*m) + ((d*x)^m*Hypergeometric2F1[1, m/2, (2 + m)/2, c^2*x^2])/(c*m)}
+
+
+{x^4*E^ArcSech[c*x]/(1 - c^2*x^2), x, 8, -(x^2/(2*c^3)) - (2*Sqrt[1 - c*x])/(3*c^5*Sqrt[1/(1 + c*x)]) - (x^2*Sqrt[1 - c*x])/(3*c^3*Sqrt[1/(1 + c*x)]) - Log[1 - c^2*x^2]/(2*c^5)}
+{x^3*E^ArcSech[c*x]/(1 - c^2*x^2), x, 7, -(x/c^3) - (x*Sqrt[1 - c*x])/(2*c^3*Sqrt[1/(1 + c*x)]) + (Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcSin[c*x])/(2*c^4) + ArcTanh[c*x]/c^4}
+{x^2*E^ArcSech[c*x]/(1 - c^2*x^2), x, 4, -(Sqrt[1 - c*x]/(c^3*Sqrt[1/(1 + c*x)])) - Log[1 - c^2*x^2]/(2*c^3)}
+{x^1*E^ArcSech[c*x]/(1 - c^2*x^2), x, 5, (Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcSin[c*x])/c^2 + ArcTanh[c*x]/c^2}
+{x^0*E^ArcSech[c*x]/(1 - c^2*x^2), x, 8, -((Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]])/c) + Log[x]/c - Log[1 - c^2*x^2]/(2*c)}
+{E^ArcSech[c*x]/(x^1*(1 - c^2*x^2)), x, 5, -(1/(c*x)) - Sqrt[1 - c*x]/(c*x*Sqrt[1/(1 + c*x)]) + ArcTanh[c*x]}
+{E^ArcSech[c*x]/(x^2*(1 - c^2*x^2)), x, 9, -(1/(2*c*x^2)) - Sqrt[1 - c*x]/(2*c*x^2*Sqrt[1/(1 + c*x)]) - (1/2)*c*Sqrt[1/(1 + c*x)]*Sqrt[1 + c*x]*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]] + c*Log[x] - (1/2)*c*Log[1 - c^2*x^2]}
+{E^ArcSech[c*x]/(x^3*(1 - c^2*x^2)), x, 8, -(1/(3*c*x^3)) - c/x - Sqrt[1 - c*x]/(3*c*x^3*Sqrt[1/(1 + c*x)]) - (2*c*Sqrt[1 - c*x])/(3*x*Sqrt[1/(1 + c*x)]) + c^2*ArcTanh[c*x]}
+
+
+{x*(a*x*E^ArcSech[a*x] - 1)/(1 - a^2*x^2), x, 7, -(E^ArcSech[a*x]*x)/a, -(Sqrt[1 - a*x]/(a^2*Sqrt[1/(1 + a*x)]))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Miscellaneous integrands involving inverse hyperbolic secants*)
+
+
+{ArcSech[a + b*x]/((a*d)/b + d*x), x, 8, ArcSech[a + b*x]^2/(2*d) - (ArcSech[a + b*x]*Log[1 + E^(2*ArcSech[a + b*x])])/d - PolyLog[2, -E^(2*ArcSech[a + b*x])]/(2*d)}
+
+
+{x^3*ArcSech[a + b*x^4], x, 5, ((a + b*x^4)*ArcSech[a + b*x^4])/(4*b) - ArcTan[Sqrt[(1 - a - b*x^4)/(1 + a + b*x^4)]]/(2*b)}
+
+{x^(n-1)*ArcSech[a + b*x^n], x, 5, ((a + b*x^n)*ArcSech[a + b*x^n])/(b*n) - (2*ArcTan[Sqrt[(1 - a - b*x^n)/(1 + a + b*x^n)]])/(b*n)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.6 Inverse hyperbolic cosecant/7.6.1 u (a+b arccsch(c x))^n.m b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.6 Inverse hyperbolic cosecant/7.6.1 u (a+b arccsch(c x))^n.m
new file mode 100644
index 00000000..fa0e54cb
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.6 Inverse hyperbolic cosecant/7.6.1 u (a+b arccsch(c x))^n.m	
@@ -0,0 +1,342 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcCsch[c x])^n*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcCsch[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b ArcCsch[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^6*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 7, (5*b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^2)/(112*c^5) - (5*b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^4)/(168*c^3) + (b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^6)/(42*c) + (x^7*(a + b*ArcCsch[c*x]))/7 - (5*b*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]])/(112*c^7)}
+{x^5*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 4, (4*b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)/(45*c^5) - (2*b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^3)/(45*c^3) + (b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^5)/(30*c) + (x^6*(a + b*ArcCsch[c*x]))/6}
+{x^4*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 6, (-3*b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^2)/(40*c^3) + (b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^4)/(20*c) + (x^5*(a + b*ArcCsch[c*x]))/5 + (3*b*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]])/(40*c^5)}
+{x^3*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 3, -(b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)/(6*c^3) + (b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^3)/(12*c) + (x^4*(a + b*ArcCsch[c*x]))/4}
+{x^2*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 5, (b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^2)/(6*c) + (x^3*(a + b*ArcCsch[c*x]))/3 - (b*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]])/(6*c^3)}
+{x^1*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 2, (b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)/(2*c) + (x^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/2}
+{x^0*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 5, a*x + b*x*ArcCsch[c*x] + (b*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]])/c}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/x^1, x, 6, -((a + b*ArcCsch[c*x])^2/(2*b)) - (a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcCsch[c*x])] + (1/2)*b*PolyLog[2, E^(-2*ArcCsch[c*x])]}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/x^2, x, 2, b*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)] - (a + b*ArcCsch[c*x])/x}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/x^3, x, 4, (b*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(4*x) - (b*c^2*ArcCsch[c*x])/4 - (a + b*ArcCsch[c*x])/(2*x^2)}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/x^4, x, 4, -(b*c^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/3 + (b*c^3*(1 + 1/(c^2*x^2))^(3/2))/9 - (a + b*ArcCsch[c*x])/(3*x^3)}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/x^5, x, 5, (b*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(16*x^3) - (3*b*c^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(32*x) + (3*b*c^4*ArcCsch[c*x])/32 - (a + b*ArcCsch[c*x])/(4*x^4)}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/x^6, x, 4, (b*c^5*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/5 - (2*b*c^5*(1 + 1/(c^2*x^2))^(3/2))/15 + (b*c^5*(1 + 1/(c^2*x^2))^(5/2))/25 - (a + b*ArcCsch[c*x])/(5*x^5)}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/x^7, x, 6, (b*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(36*x^5) - (5*b*c^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(144*x^3) + (5*b*c^5*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(96*x) - (5*b*c^6*ArcCsch[c*x])/96 - (a + b*ArcCsch[c*x])/(6*x^6)}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcCsch[c*x])^2, x, 5, (b^2*x^2)/(12*c^2) - (b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*c^3) + (b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^3*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(6*c) + (x^4*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/4 - (b^2*Log[x])/(3*c^4)}
+{x^2*(a + b*ArcCsch[c*x])^2, x, 8, (b^2*x)/(3*c^2) + (b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*c) + (x^3*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/3 - (2*b*(a + b*ArcCsch[c*x])*ArcTanh[E^ArcCsch[c*x]])/(3*c^3) - (b^2*PolyLog[2, -E^ArcCsch[c*x]])/(3*c^3) + (b^2*PolyLog[2, E^ArcCsch[c*x]])/(3*c^3)}
+{x^1*(a + b*ArcCsch[c*x])^2, x, 4, (b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*(a + b*ArcCsch[c*x]))/c + (x^2*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/2 + (b^2*Log[x])/c^2}
+{x^0*(a + b*ArcCsch[c*x])^2, x, 7, x*(a + b*ArcCsch[c*x])^2 + (4*b*(a + b*ArcCsch[c*x])*ArcTanh[E^ArcCsch[c*x]])/c + (2*b^2*PolyLog[2, -E^ArcCsch[c*x]])/c - (2*b^2*PolyLog[2, E^ArcCsch[c*x]])/c}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])^2/x^1, x, 6, (a + b*ArcCsch[c*x])^3/(3*b) - (a + b*ArcCsch[c*x])^2*Log[1 - E^(2*ArcCsch[c*x])] - b*(a + b*ArcCsch[c*x])*PolyLog[2, E^(2*ArcCsch[c*x])] + (b^2*PolyLog[3, E^(2*ArcCsch[c*x])])/2}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])^2/x^2, x, 4, (-2*b^2)/x + 2*b*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsch[c*x]) - (a + b*ArcCsch[c*x])^2/x}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])^2/x^3, x, 4, -b^2/(4*x^2) - (a*b*c^2*ArcCsch[c*x])/2 - (b^2*c^2*ArcCsch[c*x]^2)/4 + (b*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(2*x) - (a + b*ArcCsch[c*x])^2/(2*x^2)}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])^2/x^4, x, 5, (-2*b^2)/(27*x^3) + (4*b^2*c^2)/(9*x) - (4*b*c^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/9 + (2*b*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(9*x^2) - (a + b*ArcCsch[c*x])^2/(3*x^3)}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])^2/x^5, x, 5, -b^2/(32*x^4) + (3*b^2*c^2)/(32*x^2) + (3*a*b*c^4*ArcCsch[c*x])/16 + (3*b^2*c^4*ArcCsch[c*x]^2)/32 + (b*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(8*x^3) - (3*b*c^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(16*x) - (a + b*ArcCsch[c*x])^2/(4*x^4)}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcCsch[c*x])^3, x, 10, (b^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)/(4*c^3) + (b^2*x^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(4*c^2) - (b*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/(2*c^4) - (b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/(2*c^3) + (b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^3*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/(4*c) + (x^4*(a + b*ArcCsch[c*x])^3)/4 + (b^2*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - E^(2*ArcCsch[c*x])])/c^4 + (b^3*PolyLog[2, E^(2*ArcCsch[c*x])])/(2*c^4)}
+{x^2*(a + b*ArcCsch[c*x])^3, x, 11, (b^2*x*(a + b*ArcCsch[c*x]))/c^2 + (b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^2*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/(2*c) + (x^3*(a + b*ArcCsch[c*x])^3)/3 - (b*(a + b*ArcCsch[c*x])^2*ArcTanh[E^ArcCsch[c*x]])/c^3 + (b^3*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]])/c^3 - (b^2*(a + b*ArcCsch[c*x])*PolyLog[2, -E^ArcCsch[c*x]])/c^3 + (b^2*(a + b*ArcCsch[c*x])*PolyLog[2, E^ArcCsch[c*x]])/c^3 + (b^3*PolyLog[3, -E^ArcCsch[c*x]])/c^3 - (b^3*PolyLog[3, E^ArcCsch[c*x]])/c^3}
+{x^1*(a + b*ArcCsch[c*x])^3, x, 7, (3*b*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/(2*c^2) + (3*b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/(2*c) + (x^2*(a + b*ArcCsch[c*x])^3)/2 - (3*b^2*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - E^(2*ArcCsch[c*x])])/c^2 - (3*b^3*PolyLog[2, E^(2*ArcCsch[c*x])])/(2*c^2)}
+{x^0*(a + b*ArcCsch[c*x])^3, x, 9, x*(a + b*ArcCsch[c*x])^3 + (6*b*(a + b*ArcCsch[c*x])^2*ArcTanh[E^ArcCsch[c*x]])/c + (6*b^2*(a + b*ArcCsch[c*x])*PolyLog[2, -E^ArcCsch[c*x]])/c - (6*b^2*(a + b*ArcCsch[c*x])*PolyLog[2, E^ArcCsch[c*x]])/c - (6*b^3*PolyLog[3, -E^ArcCsch[c*x]])/c + (6*b^3*PolyLog[3, E^ArcCsch[c*x]])/c}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])^3/x^1, x, 7, (a + b*ArcCsch[c*x])^4/(4*b) - (a + b*ArcCsch[c*x])^3*Log[1 - E^(2*ArcCsch[c*x])] - (3*b*(a + b*ArcCsch[c*x])^2*PolyLog[2, E^(2*ArcCsch[c*x])])/2 + (3*b^2*(a + b*ArcCsch[c*x])*PolyLog[3, E^(2*ArcCsch[c*x])])/2 - (3*b^3*PolyLog[4, E^(2*ArcCsch[c*x])])/4}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])^3/x^2, x, 5, 6*b^3*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)] - (6*b^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x + 3*b*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsch[c*x])^2 - (a + b*ArcCsch[c*x])^3/x}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])^3/x^3, x, 6, (3*b^3*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(8*x) - (3*b^3*c^2*ArcCsch[c*x])/8 - (3*b^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(4*x^2) + (3*b*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/(4*x) - (c^2*(a + b*ArcCsch[c*x])^3)/4 - (a + b*ArcCsch[c*x])^3/(2*x^2)}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])^3/x^4, x, 8, (-14*b^3*c^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/9 + (2*b^3*c^3*(1 + 1/(c^2*x^2))^(3/2))/27 - (2*b^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(9*x^3) + (4*b^2*c^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*x) - (2*b*c^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/3 + (b*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/(3*x^2) - (a + b*ArcCsch[c*x])^3/(3*x^3)}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])^3/x^5, x, 10, (3*b^3*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(128*x^3) - (45*b^3*c^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(256*x) + (45*b^3*c^4*ArcCsch[c*x])/256 - (3*b^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(32*x^4) + (9*b^2*c^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(32*x^2) + (3*b*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/(16*x^3) - (9*b*c^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/(32*x) + (3*c^4*(a + b*ArcCsch[c*x])^3)/32 - (a + b*ArcCsch[c*x])^3/(4*x^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^1/(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 0, Unintegrable[x/(a + b*ArcCsch[c*x]), x]}
+{x^0/(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 0, Unintegrable[1/(a + b*ArcCsch[c*x]), x]}
+{1/(x^1*(a + b*ArcCsch[c*x])), x, 0, Unintegrable[1/(x*(a + b*ArcCsch[c*x])), x]}
+{1/(x^2*(a + b*ArcCsch[c*x])), x, 4, -((c*Cosh[a/b]*CoshIntegral[a/b + ArcCsch[c*x]])/b) + (c*Sinh[a/b]*SinhIntegral[a/b + ArcCsch[c*x]])/b}
+{1/(x^3*(a + b*ArcCsch[c*x])), x, 6, (c^2*CoshIntegral[(2*a)/b + 2*ArcCsch[c*x]]*Sinh[(2*a)/b])/(2*b) - (c^2*Cosh[(2*a)/b]*SinhIntegral[(2*a)/b + 2*ArcCsch[c*x]])/(2*b)}
+{1/(x^4*(a + b*ArcCsch[c*x])), x, 9, (c^3*Cosh[a/b]*CoshIntegral[a/b + ArcCsch[c*x]])/(4*b) - (c^3*Cosh[(3*a)/b]*CoshIntegral[(3*a)/b + 3*ArcCsch[c*x]])/(4*b) - (c^3*Sinh[a/b]*SinhIntegral[a/b + ArcCsch[c*x]])/(4*b) + (c^3*Sinh[(3*a)/b]*SinhIntegral[(3*a)/b + 3*ArcCsch[c*x]])/(4*b)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m (a+b ArcCsch[c x])^n with m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*(a + b*ArcCsch[c*x])^3, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcCsch[c*x])^3, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcCsch[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcCsch[c*x])^2, x]}
+{(d*x)^m*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 3, ((d*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d*(1 + m)) + (b*(d*x)^m*Hypergeometric2F1[1/2, -(m/2), 1 - m/2, -(1/(c^2*x^2))])/(c*m*(1 + m))}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcCsch[c*x]), x]}
+{(d*x)^m/(a + b*ArcCsch[c*x])^2, x, 0, Unintegrable[(d*x)^m/(a + b*ArcCsch[c*x])^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x)^m (a+b ArcCsch[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m (a+b ArcCsch[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(d + e*x)^3*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 11, (b*e*(9*c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)/(6*c^3) + (b*d*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^2)/(2*c) + (b*e^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^3)/(12*c) - (b*d^4*ArcCsch[c*x])/(4*e) + ((d + e*x)^4*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(4*e) + (b*d*(2*c^2*d^2 - e^2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]])/(2*c^3)}
+{(d + e*x)^2*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 10, (b*d*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)/c + (b*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^2)/(6*c) - (b*d^3*ArcCsch[c*x])/(3*e) + ((d + e*x)^3*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e) + (b*(6*c^2*d^2 - e^2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]])/(6*c^3)}
+{(d + e*x)*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 9, (b*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)/(2*c) - (b*d^2*ArcCsch[c*x])/(2*e) + ((d + e*x)^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(2*e) + (b*d*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]])/c}
+{a + b*ArcCsch[c*x], x, 5, a*x + b*x*ArcCsch[c*x] + (b*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]])/c}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x), x, 4, ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - ((e - Sqrt[c^2*d^2 + e^2])*E^ArcCsch[c*x])/(c*d)])/e + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - ((e + Sqrt[c^2*d^2 + e^2])*E^ArcCsch[c*x])/(c*d)])/e - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - E^(2*ArcCsch[c*x])])/e + (b*PolyLog[2, ((e - Sqrt[c^2*d^2 + e^2])*E^ArcCsch[c*x])/(c*d)])/e + (b*PolyLog[2, ((e + Sqrt[c^2*d^2 + e^2])*E^ArcCsch[c*x])/(c*d)])/e - (b*PolyLog[2, E^(2*ArcCsch[c*x])])/(2*e)}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x)^2, x, 7, (b*ArcCsch[c*x])/(d*e) - (a + b*ArcCsch[c*x])/(e*(d + e*x)) + (b*ArcTanh[(c^2*d - e/x)/(c*Sqrt[c^2*d^2 + e^2]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(d*Sqrt[c^2*d^2 + e^2])}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x)^3, x, 8, -(b*c*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(2*d*(c^2*d^2 + e^2)*(e + d/x)) + (b*ArcCsch[c*x])/(2*d^2*e) - (a + b*ArcCsch[c*x])/(2*e*(d + e*x)^2) + (b*(2*c^2*d^2 + e^2)*ArcTanh[(c^2*d - e/x)/(c*Sqrt[c^2*d^2 + e^2]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(2*d^2*(c^2*d^2 + e^2)^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x)^(p/2) (a+b ArcCsch[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* {x^3*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 39, -((4*b*(25/c^2 + (6*d^2)/e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])/(945*c)) + (8*b*d^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])/(315*c*e^2) - (32*b*d*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*(d + e*x)^(3/2))/(315*c*e^2) + (4*b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*(d + e*x)^(5/2))/(63*c*e^2) - (2*d^3*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e^4) + (6*d^2*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*e^4) - (6*d*(d + e*x)^(7/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(7*e^4) + (2*(d + e*x)^(9/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(9*e^4) + (64*b*Sqrt[-c^2]*d^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(315*c*e^3*Sqrt[(d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])]*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (8*b*c*d*(c^2*d^2 - 3*e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(105*(-c^2)^(3/2)*e^3*Sqrt[(d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])]*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (8*b*c*d*(3*c^2*d^2 + 41*e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(945*(-c^2)^(3/2)*e^3*Sqrt[(d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])]*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (64*b*Sqrt[-c^2]*d^4*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(315*c*e^3*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (8*b*c*d^2*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(315*(-c^2)^(3/2)*e^3*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]) - (4*b*c*(6*c^4*d^4 + 31*c^2*d^2*e^2 + 25*e^4)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(945*(-c^2)^(5/2)*e^3*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (64*b*c*d^5*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(315*e^4*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2])} *)
+{x^2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, If[$VersionNumber>=8, 31, 27], If[$VersionNumber>=8, -((4*b*d*Sqrt[d + e*x]*(1 + c^2*x^2))/(105*c^3*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)) + (4*b*(d + e*x)^(3/2)*(1 + c^2*x^2))/(35*c^3*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x) + (2*d^2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e^3) - (4*d*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*e^3) + (2*(d + e*x)^(7/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(7*e^3) - (32*b*c*d^2*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(105*(-c^2)^(3/2)*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]) - (4*b*c*(c^2*d^2 - 3*e^2)*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(35*(-c^2)^(5/2)*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]) + (32*b*c*d^3*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(105*(-c^2)^(3/2)*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*c*d*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(105*(-c^2)^(5/2)*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (32*b*d^4*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(105*c*e^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]), (4*b*Sqrt[d + e*x]*(1 + c^2*x^2))/(35*c^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]) + (8*b*d*Sqrt[d + e*x]*(1 + c^2*x^2))/(105*c^3*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x) + (2*d^2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e^3) - (4*d*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*e^3) + (2*(d + e*x)^(7/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(7*e^3) - (4*b*c*d^2*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(35*(-c^2)^(3/2)*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]) + (4*b*c*(2*c^2*d^2 + 9*e^2)*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(105*(-c^2)^(5/2)*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]) + (32*b*c*d^3*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(105*(-c^2)^(3/2)*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*c*d*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(105*(-c^2)^(5/2)*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (32*b*d^4*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(105*c*e^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])]}
+{x^1*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, If[$VersionNumber>=8, 24, 20], (4*b*Sqrt[d + e*x]*(1 + c^2*x^2))/(15*c^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x) - (2*d*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e^2) + (2*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*e^2) + (8*b*c*d*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(15*(-c^2)^(3/2)*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]) - (8*b*c*d^2*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(15*(-c^2)^(3/2)*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (4*b*c*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(15*(-c^2)^(5/2)*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (8*b*d^3*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(15*c*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^0*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 15, (2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e) + (4*b*c*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(3*(-c^2)^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])]) + (4*b*c*d*Sqrt[(d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(3*(-c^2)^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*d^2*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(3*c*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsch[c*x])/x^1, x, 0, Unintegrable[(Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x, x]}
+{Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsch[c*x])/x^2, x, 0, Unintegrable[(Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x^2, x]}
+
+
+{(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 22, (4*b*e*Sqrt[d + e*x]*(1 + c^2*x^2))/(15*c^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x) + (2*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*e) + (28*b*c*d*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(15*(-c^2)^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])]) - (4*b*c*(2*c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[(d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(15*(-c^2)^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*d^3*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(5*c*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^3*(a + b*ArcCsch[c*x])/Sqrt[d + e*x], x, 27, (4*b*Sqrt[d + e*x]*(1 + c^2*x^2))/(35*c^3*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]) - (4*b*d*Sqrt[d + e*x]*(1 + c^2*x^2))/(21*c^3*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x) - (2*d^3*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e^4 + (2*d^2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e^4 - (6*d*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*e^4) + (2*(d + e*x)^(7/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(7*e^4) + (24*b*c*d^2*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(35*(-c^2)^(3/2)*e^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]) + (4*b*c*(2*c^2*d^2 + 9*e^2)*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(105*(-c^2)^(5/2)*e^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]) - (64*b*c*d^3*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(35*(-c^2)^(3/2)*e^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (32*b*c*d*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(105*(-c^2)^(5/2)*e^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (64*b*d^4*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(35*c*e^4*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^2*(a + b*ArcCsch[c*x])/Sqrt[d + e*x], x, 20, (4*b*Sqrt[d + e*x]*(1 + c^2*x^2))/(15*c^3*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x) + (2*d^2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e^3 - (4*d*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e^3) + (2*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*e^3) - (4*b*c*d*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(5*(-c^2)^(3/2)*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]) + (32*b*c*d^2*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(15*(-c^2)^(3/2)*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (4*b*c*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(15*(-c^2)^(5/2)*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (32*b*d^3*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(15*c*e^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^1*(a + b*ArcCsch[c*x])/Sqrt[d + e*x], x, 14, -((2*d*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e^2) + (2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e^2) + (4*b*c*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(3*(-c^2)^(3/2)*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]) - (8*b*c*d*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(3*(-c^2)^(3/2)*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (8*b*d^2*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(3*c*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^0*(a + b*ArcCsch[c*x])/Sqrt[d + e*x], x, 9, (2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e + (4*b*c*Sqrt[(d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/((-c^2)^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*d*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(c*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^1*Sqrt[d + e*x]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsch[c*x])/(x*Sqrt[d + e*x]), x]}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^2*Sqrt[d + e*x]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^2*Sqrt[d + e*x]), x]}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x)^(3/2), x, 23, (4*b*Sqrt[d + e*x]*(1 + c^2*x^2))/(15*c^3*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x) + (2*d^3*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(e^4*Sqrt[d + e*x]) + (6*d^2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e^4 - (2*d*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e^4 + (2*(d + e*x)^(5/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*e^4) - (32*b*c*d*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(15*(-c^2)^(3/2)*e^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]) + (8*b*c*d^2*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/((-c^2)^(3/2)*e^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*c*(2*c^2*d^2 - e^2)*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(15*(-c^2)^(5/2)*e^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (64*b*d^3*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(5*c*e^4*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^2*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x)^(3/2), x, 16, -((2*d^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(e^3*Sqrt[d + e*x])) - (4*d*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e^3 + (2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e^3) + (4*b*c*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(3*(-c^2)^(3/2)*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]) - (20*b*c*d*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(3*(-c^2)^(3/2)*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (32*b*d^2*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(3*c*e^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^1*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x)^(3/2), x, 11, (2*d*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(e^2*Sqrt[d + e*x]) + (2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e^2 + (4*b*c*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/((-c^2)^(3/2)*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (8*b*d*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(c*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^0*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x)^(3/2), x, 6, -((2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(e*Sqrt[d + e*x])) + (4*b*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(c*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^1*(d + e*x)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsch[c*x])/(x*(d + e*x)^(3/2)), x]}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^2*(d + e*x)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^2*(d + e*x)^(3/2)), x]}
+
+
+{x^3*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x)^(5/2), x, 31, (4*b*d^2*(1 + c^2*x^2))/(3*c*e^2*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (2*d^3*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e^4*(d + e*x)^(3/2)) - (6*d^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(e^4*Sqrt[d + e*x]) - (6*d*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e^4 + (2*(d + e*x)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e^4) - (8*b*Sqrt[-c^2]*d^2*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(3*c*e^3*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]) + (4*b*c*(2*c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(3*(-c^2)^(3/2)*e^3*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]) - (32*b*c*d*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(3*(-c^2)^(3/2)*e^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (64*b*d^2*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(3*c*e^4*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^2*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x)^(5/2), x, 25, -((4*b*d*(1 + c^2*x^2))/(3*c*e*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])) - (2*d^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e^3*(d + e*x)^(3/2)) + (4*d*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(e^3*Sqrt[d + e*x]) + (2*Sqrt[d + e*x]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e^3 + (4*b*Sqrt[-c^2]*d*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(3*c*e^2*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]) + (4*b*c*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/((-c^2)^(3/2)*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (32*b*d*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(3*c*e^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^1*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x)^(5/2), x, 19, (4*b*(1 + c^2*x^2))/(3*c*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (2*d*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e^2*(d + e*x)^(3/2)) - (2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(e^2*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(3*c*e*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(c^2*(d + e*x))/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e)]) + (8*b*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(3*c*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{x^0*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x)^(5/2), x, 12, -((4*b*e*(1 + c^2*x^2))/(3*c*d*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])) - (2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e*(d + e*x)^(3/2)) + (4*b*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(3*c*d*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])]) + (4*b*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(3*c*d*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^1*(d + e*x)^(5/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsch[c*x])/(x*(d + e*x)^(5/2)), x]}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^2*(d + e*x)^(5/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^2*(d + e*x)^(5/2)), x]}
+
+
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x)^(7/2), x, 19, -((4*b*e*(1 + c^2*x^2))/(15*c*d*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*(d + e*x)^(3/2))) - (16*b*c*e*(1 + c^2*x^2))/(15*(c^2*d^2 + e^2)^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*e*(1 + c^2*x^2))/(5*c*d^2*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*e*(d + e*x)^(5/2)) - (4*b*c*(7*c^2*d^2 + 3*e^2)*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[-c^2]*e)/((-c^2)*d + Sqrt[-c^2]*e)])/(15*Sqrt[-c^2]*d^2*(c^2*d^2 + e^2)^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])]) - (4*b*Sqrt[-c^2]*Sqrt[(d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(15*c*d*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (4*b*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(5*c*d^2*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]), -((4*b*e*(1 + c^2*x^2))/(15*c*d*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*(d + e*x)^(3/2))) - (16*b*c*e*(1 + c^2*x^2))/(15*(c^2*d^2 + e^2)^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (4*b*e*(1 + c^2*x^2))/(5*c*d^2*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) - (2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*e*(d + e*x)^(5/2)) + (16*b*c*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(15*(c^2*d^2 + e^2)^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])]) + (4*b*Sqrt[-c^2]*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(5*c*d^2*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[(d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])]) - (4*b*Sqrt[-c^2]*Sqrt[(d + e*x)/(d + e/Sqrt[-c^2])]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], -((2*Sqrt[-c^2]*e)/(c^2*d - Sqrt[-c^2]*e))])/(15*c*d*(c^2*d^2 + e^2)*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x]) + (4*b*Sqrt[(Sqrt[-c^2]*(d + e*x))/(Sqrt[-c^2]*d + e)]*Sqrt[1 + c^2*x^2]*EllipticPi[2, ArcSin[Sqrt[1 - Sqrt[-c^2]*x]/Sqrt[2]], (2*e)/(Sqrt[-c^2]*d + e)])/(5*c*d^2*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*Sqrt[d + e*x])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcCsch[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^p (a+b ArcCsch[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^4*(d + e*x^2)*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 7, -((b*(42*c^2*d - 25*e)*x^2*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(560*c^5*Sqrt[(-c^2)*x^2])) + (b*(42*c^2*d - 25*e)*x^4*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(840*c^3*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*e*x^6*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(42*c*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (1/5)*d*x^5*(a + b*ArcCsch[c*x]) + (1/7)*e*x^7*(a + b*ArcCsch[c*x]) - (b*(42*c^2*d - 25*e)*x*ArcTan[(c*x)/Sqrt[-1 - c^2*x^2]])/(560*c^6*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{x^2*(d + e*x^2)*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 6, (b*(20*c^2*d - 9*e)*x^2*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(120*c^3*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*e*x^4*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(20*c*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (1/3)*d*x^3*(a + b*ArcCsch[c*x]) + (1/5)*e*x^5*(a + b*ArcCsch[c*x]) + (b*(20*c^2*d - 9*e)*x*ArcTan[(c*x)/Sqrt[-1 - c^2*x^2]])/(120*c^4*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{(d + e*x^2)*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 5, (b*e*x^2*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(6*c*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + d*x*(a + b*ArcCsch[c*x]) + (1/3)*e*x^3*(a + b*ArcCsch[c*x]) - (b*(6*c^2*d - e)*x*ArcTan[(c*x)/Sqrt[-1 - c^2*x^2]])/(6*c^2*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x^2, x, 4, (b*c*d*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/Sqrt[(-c^2)*x^2] - (d*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x + e*x*(a + b*ArcCsch[c*x]) - (b*e*x*ArcTan[(c*x)/Sqrt[-1 - c^2*x^2]])/Sqrt[(-c^2)*x^2]}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x^4, x, 4, -((b*c*(2*c^2*d - 9*e)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(9*Sqrt[(-c^2)*x^2])) + (b*c*d*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(9*x^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (d*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*x^3) - (e*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x^6, x, 5, (2*b*c^3*(12*c^2*d - 25*e)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(225*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*c*d*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(25*x^4*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (b*c*(12*c^2*d - 25*e)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(225*x^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (d*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*x^5) - (e*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*x^3)}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x^8, x, 6, -((8*b*c^5*(30*c^2*d - 49*e)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(3675*Sqrt[(-c^2)*x^2])) + (b*c*d*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(49*x^6*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (b*c*(30*c^2*d - 49*e)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(1225*x^4*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (4*b*c^3*(30*c^2*d - 49*e)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(3675*x^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (d*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(7*x^7) - (e*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*x^5)}
+
+{x^5*(d + e*x^2)*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 5, (b*(4*c^2*d - 3*e)*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(24*c^7*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*(8*c^2*d - 9*e)*x*(-1 - c^2*x^2)^(3/2))/(72*c^7*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*(4*c^2*d - 9*e)*x*(-1 - c^2*x^2)^(5/2))/(120*c^7*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (b*e*x*(-1 - c^2*x^2)^(7/2))/(56*c^7*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (1/6)*d*x^6*(a + b*ArcCsch[c*x]) + (1/8)*e*x^8*(a + b*ArcCsch[c*x])}
+{x^3*(d + e*x^2)*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 5, -((b*(3*c^2*d - 2*e)*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(12*c^5*Sqrt[(-c^2)*x^2])) - (b*(3*c^2*d - 4*e)*x*(-1 - c^2*x^2)^(3/2))/(36*c^5*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*e*x*(-1 - c^2*x^2)^(5/2))/(30*c^5*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (1/4)*d*x^4*(a + b*ArcCsch[c*x]) + (1/6)*e*x^6*(a + b*ArcCsch[c*x])}
+{x*(d + e*x^2)*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 6, (b*(2*c^2*d - e)*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(4*c^3*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (b*e*x*(-1 - c^2*x^2)^(3/2))/(12*c^3*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + ((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(4*e) - (b*c*d^2*x*ArcTan[Sqrt[-1 - c^2*x^2]])/(4*e*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x, x, 11, (b*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)/(2*c) + (1/2)*b*d*ArcCsch[c*x]^2 + (1/2)*e*x^2*(a + b*ArcCsch[c*x]) - b*d*ArcCsch[c*x]*Log[1 - E^(2*ArcCsch[c*x])] + b*d*ArcCsch[c*x]*Log[1/x] - d*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1/x] - (1/2)*b*d*PolyLog[2, E^(2*ArcCsch[c*x])]}
+{((d + e*x^2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x^3, x, 13, (b*c*d*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(4*x) - (1/4)*b*c^2*d*ArcCsch[c*x] + (1/2)*b*e*ArcCsch[c*x]^2 - (d*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(2*x^2) - b*e*ArcCsch[c*x]*Log[1 - E^(2*ArcCsch[c*x])] + b*e*ArcCsch[c*x]*Log[1/x] - e*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1/x] - (1/2)*b*e*PolyLog[2, E^(2*ArcCsch[c*x])]}
+
+
+{x^2*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 7, (b*(280*c^4*d^2 - 252*c^2*d*e + 75*e^2)*x^2*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(1680*c^5*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*(84*c^2*d - 25*e)*e*x^4*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(840*c^3*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*e^2*x^6*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(42*c*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (1/3)*d^2*x^3*(a + b*ArcCsch[c*x]) + (2/5)*d*e*x^5*(a + b*ArcCsch[c*x]) + (1/7)*e^2*x^7*(a + b*ArcCsch[c*x]) + (b*(280*c^4*d^2 - 252*c^2*d*e + 75*e^2)*x*ArcTan[(c*x)/Sqrt[-1 - c^2*x^2]])/(1680*c^6*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{x^0*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 6, (b*(40*c^2*d - 9*e)*e*x^2*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(120*c^3*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*e^2*x^4*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(20*c*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + d^2*x*(a + b*ArcCsch[c*x]) + (2/3)*d*e*x^3*(a + b*ArcCsch[c*x]) + (1/5)*e^2*x^5*(a + b*ArcCsch[c*x]) - (b*(120*c^4*d^2 - 40*c^2*d*e + 9*e^2)*x*ArcTan[(c*x)/Sqrt[-1 - c^2*x^2]])/(120*c^4*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x^2, x, 6, (b*c*d^2*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/Sqrt[(-c^2)*x^2] + (b*e^2*x^2*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(6*c*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (d^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x + 2*d*e*x*(a + b*ArcCsch[c*x]) + (1/3)*e^2*x^3*(a + b*ArcCsch[c*x]) - (b*(12*c^2*d - e)*e*x*ArcTan[(c*x)/Sqrt[-1 - c^2*x^2]])/(6*c^2*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x^4, x, 6, -((2*b*c*d*(c^2*d - 9*e)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(9*Sqrt[(-c^2)*x^2])) + (b*c*d^2*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(9*x^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (d^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*x^3) - (2*d*e*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x + e^2*x*(a + b*ArcCsch[c*x]) - (b*e^2*x*ArcTan[(c*x)/Sqrt[-1 - c^2*x^2]])/Sqrt[(-c^2)*x^2]}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x^6, x, 5, (b*c*(24*c^4*d^2 - 100*c^2*d*e + 225*e^2)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(225*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*c*d^2*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(25*x^4*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (2*b*c*d*(6*c^2*d - 25*e)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(225*x^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (d^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*x^5) - (2*d*e*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*x^3) - (e^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x^8, x, 6, -((2*b*c^3*(360*c^4*d^2 - 1176*c^2*d*e + 1225*e^2)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(11025*Sqrt[(-c^2)*x^2])) + (b*c*d^2*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(49*x^6*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (2*b*c*d*(15*c^2*d - 49*e)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(1225*x^4*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*c*(360*c^4*d^2 - 1176*c^2*d*e + 1225*e^2)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(11025*x^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (d^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(7*x^7) - (2*d*e*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*x^5) - (e^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*x^3)}
+
+{x^3*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 5, -((b*(6*c^4*d^2 - 8*c^2*d*e + 3*e^2)*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(24*c^7*Sqrt[(-c^2)*x^2])) - (b*(6*c^4*d^2 - 16*c^2*d*e + 9*e^2)*x*(-1 - c^2*x^2)^(3/2))/(72*c^7*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*(8*c^2*d - 9*e)*e*x*(-1 - c^2*x^2)^(5/2))/(120*c^7*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (b*e^2*x*(-1 - c^2*x^2)^(7/2))/(56*c^7*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (1/4)*d^2*x^4*(a + b*ArcCsch[c*x]) + (1/3)*d*e*x^6*(a + b*ArcCsch[c*x]) + (1/8)*e^2*x^8*(a + b*ArcCsch[c*x])}
+{x^1*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 6, (b*(3*c^4*d^2 - 3*c^2*d*e + e^2)*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(6*c^5*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (b*(3*c^2*d - 2*e)*e*x*(-1 - c^2*x^2)^(3/2))/(18*c^5*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*e^2*x*(-1 - c^2*x^2)^(5/2))/(30*c^5*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + ((d + e*x^2)^3*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(6*e) - (b*c*d^3*x*ArcTan[Sqrt[-1 - c^2*x^2]])/(6*e*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x^1, x, 12, (b*(6*c^2*d - e)*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)/(6*c^3) + (b*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^3)/(12*c) + (1/2)*b*d^2*ArcCsch[c*x]^2 + d*e*x^2*(a + b*ArcCsch[c*x]) + (1/4)*e^2*x^4*(a + b*ArcCsch[c*x]) - b*d^2*ArcCsch[c*x]*Log[1 - E^(2*ArcCsch[c*x])] + b*d^2*ArcCsch[c*x]*Log[1/x] - d^2*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1/x] - (1/2)*b*d^2*PolyLog[2, E^(2*ArcCsch[c*x])]}
+{((d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x^3, x, 14, (b*c*d^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(4*x) + (b*e^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)/(2*c) - (1/4)*b*c^2*d^2*ArcCsch[c*x] + b*d*e*ArcCsch[c*x]^2 - (d^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(2*x^2) + (1/2)*e^2*x^2*(a + b*ArcCsch[c*x]) - 2*b*d*e*ArcCsch[c*x]*Log[1 - E^(2*ArcCsch[c*x])] + 2*b*d*e*ArcCsch[c*x]*Log[1/x] - 2*d*e*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1/x] - b*d*e*PolyLog[2, E^(2*ArcCsch[c*x])]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{(x^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2), x, 25, (x*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e + (b*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]])/(c*e) + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e^(3/2)) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e^(3/2)) + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e^(3/2)) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e^(3/2)) - (b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*e^(3/2)) + (b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e^(3/2)) - (b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*e^(3/2)) + (b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e^(3/2))}
+{(x*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2), x, 26, -((a + b*ArcCsch[c*x])^2/(b*e)) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcCsch[c*x])])/e + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e) + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e) + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e) + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e) + (b*PolyLog[2, E^(-2*ArcCsch[c*x])])/(2*e) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*e) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*e) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e)}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x^2), x, 19, ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e]) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*Sqrt[-d]*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x*(d + e*x^2)), x, 19, (a + b*ArcCsch[c*x])^2/(2*b*d) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*d) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*d) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*d) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*d) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*d) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*d) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*d) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*d)}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)), x, 24, (b*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/d - a/(d*x) - (b*ArcCsch[c*x])/(d*x) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) - (b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*(-d)^(3/2)) + (b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*(-d)^(3/2)) - (b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*(-d)^(3/2)) + (b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*(-d)^(3/2))}
+
+
+{(x^5*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 31, (b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)/(2*c*e^2) + (d*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(2*e^2*(e + d/x^2)) + (x^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(2*e^2) + (2*d*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/(b*e^3) - (b*d*ArcTan[Sqrt[c^2*d - e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)])/(2*Sqrt[c^2*d - e]*e^(5/2)) + (2*d*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcCsch[c*x])])/e^3 - (d*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/e^3 - (d*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/e^3 - (d*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/e^3 - (d*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/e^3 - (b*d*PolyLog[2, E^(-2*ArcCsch[c*x])])/e^3 - (b*d*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/e^3 - (b*d*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/e^3 - (b*d*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/e^3 - (b*d*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/e^3}
+{(x^3*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 29, -((a + b*ArcCsch[c*x])/(2*e*(e + d/x^2))) - (a + b*ArcCsch[c*x])^2/(b*e^2) + (b*ArcTan[Sqrt[c^2*d - e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)])/(2*Sqrt[c^2*d - e]*e^(3/2)) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcCsch[c*x])])/e^2 + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e^2) + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e^2) + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e^2) + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e^2) + (b*PolyLog[2, E^(-2*ArcCsch[c*x])])/(2*e^2) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*e^2) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e^2) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*e^2) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e^2)}
+{(x*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 7, -((a + b*ArcCsch[c*x])/(2*e*(d + e*x^2))) + (b*c*x*ArcTan[Sqrt[-1 - c^2*x^2]])/(2*d*e*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*c*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/Sqrt[c^2*d - e]])/(2*d*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[e]*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x*(d + e*x^2)^2), x, 24, -((e*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(2*d^2*(e + d/x^2))) + (a + b*ArcCsch[c*x])^2/(2*b*d^2) + (b*Sqrt[e]*ArcTan[Sqrt[c^2*d - e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)])/(2*d^2*Sqrt[c^2*d - e]) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*d^2) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*d^2) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*d^2) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*d^2) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*d^2) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*d^2) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*d^2) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*d^2)}
+
+{(x^4*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 51, -((d*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(4*e^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x))) + (d*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(4*e^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (x*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e^2 + (b*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]])/(c*e^2) + (b*Sqrt[d]*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(4*Sqrt[c^2*d - e]*e^2) + (b*Sqrt[d]*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(4*Sqrt[c^2*d - e]*e^2) + (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*e^(5/2)) - (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*e^(5/2)) + (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*e^(5/2)) - (3*Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*e^(5/2)) - (3*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(4*e^(5/2)) + (3*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*e^(5/2)) - (3*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(4*e^(5/2)) + (3*b*Sqrt[-d]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*e^(5/2))}
+{(x^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 27, (a + b*ArcCsch[c*x])/(4*e*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (a + b*ArcCsch[c*x])/(4*e*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) - (b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(4*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*e) - (b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(4*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*e) + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2)) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*Sqrt[-d]*e^(3/2))}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x^2)^2, x, 47, -((a + b*ArcCsch[c*x])/(4*d*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x))) + (a + b*ArcCsch[c*x])/(4*d*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(4*d^(3/2)*Sqrt[c^2*d - e]) + (b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(4*d^(3/2)*Sqrt[c^2*d - e]) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e]) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*(-d)^(3/2)*Sqrt[e])}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^2), x, 50, (b*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/d^2 - a/(d^2*x) - (b*ArcCsch[c*x])/(d^2*x) + (e*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(4*d^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (e*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(4*d^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) - (b*e*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(4*d^(5/2)*Sqrt[c^2*d - e]) - (b*e*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(4*d^(5/2)*Sqrt[c^2*d - e]) - (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) - (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*Sqrt[e]*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(4*(-d)^(5/2)) - (3*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*(-d)^(5/2)) + (3*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(4*(-d)^(5/2)) - (3*b*Sqrt[e]*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(4*(-d)^(5/2))}
+
+
+{(x^5*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 33, (b*c*d*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(8*(c^2*d - e)*e^2*(e + d/x^2)*x) - (a + b*ArcCsch[c*x])/(4*e*(e + d/x^2)^2) - (a + b*ArcCsch[c*x])/(2*e^2*(e + d/x^2)) - (a + b*ArcCsch[c*x])^2/(b*e^3) + (b*(c^2*d - 2*e)*ArcTan[Sqrt[c^2*d - e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)])/(8*(c^2*d - e)^(3/2)*e^(5/2)) + (b*ArcTan[Sqrt[c^2*d - e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)])/(2*Sqrt[c^2*d - e]*e^(5/2)) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - E^(-2*ArcCsch[c*x])])/e^3 + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e^3) + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e^3) + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e^3) + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e^3) + (b*PolyLog[2, E^(-2*ArcCsch[c*x])])/(2*e^3) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*e^3) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e^3) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*e^3) + (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*e^3)}
+{(x^3*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 6, -((b*c*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(8*(c^2*d - e)*e*Sqrt[(-c^2)*x^2]*(d + e*x^2))) + (x^4*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(4*d*(d + e*x^2)^2) + (b*c*(c^2*d - 2*e)*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/Sqrt[c^2*d - e]])/(8*d*(c^2*d - e)^(3/2)*e^(3/2)*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{(x*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 8, (b*c*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(8*d*(c^2*d - e)*Sqrt[(-c^2)*x^2]*(d + e*x^2)) - (a + b*ArcCsch[c*x])/(4*e*(d + e*x^2)^2) + (b*c*x*ArcTan[Sqrt[-1 - c^2*x^2]])/(4*d^2*e*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*c*(3*c^2*d - 2*e)*x*ArcTanh[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/Sqrt[c^2*d - e]])/(8*d^2*(c^2*d - e)^(3/2)*Sqrt[e]*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x*(d + e*x^2)^3), x, 28, -((b*c*e*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(8*d^2*(c^2*d - e)*(e + d/x^2)*x)) + (e^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(4*d^3*(e + d/x^2)^2) - (e*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d^3*(e + d/x^2)) + (a + b*ArcCsch[c*x])^2/(2*b*d^3) - (b*(c^2*d - 2*e)*Sqrt[e]*ArcTan[Sqrt[c^2*d - e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)])/(8*d^3*(c^2*d - e)^(3/2)) + (b*Sqrt[e]*ArcTan[Sqrt[c^2*d - e]/(c*Sqrt[e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)])/(d^3*Sqrt[c^2*d - e]) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*d^3) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*d^3) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*d^3) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*d^3) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*d^3) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*d^3) - (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(2*d^3) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(2*d^3)}
+
+{(x^4*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 35, -((b*c*Sqrt[-d]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(16*(c^2*d - e)*e^(3/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x))) - (b*c*Sqrt[-d]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(16*(c^2*d - e)*e^(3/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(16*e^(3/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)^2) + (3*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(16*e^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (Sqrt[-d]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(16*e^(3/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)^2) - (3*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(16*e^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) - (3*b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(16*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*e^2) + (b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(16*Sqrt[d]*(c^2*d - e)^(3/2)*e) - (3*b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(16*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*e^2) + (b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(16*Sqrt[d]*(c^2*d - e)^(3/2)*e) + (3*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (3*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (3*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) - (3*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2)) + (3*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(16*Sqrt[-d]*e^(5/2))}
+{(x^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2)^3, x, 63, -((b*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(16*Sqrt[-d]*(c^2*d - e)*Sqrt[e]*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x))) - (b*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(16*Sqrt[-d]*(c^2*d - e)*Sqrt[e]*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (a + b*ArcCsch[c*x])/(16*Sqrt[-d]*Sqrt[e]*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)^2) + (a + b*ArcCsch[c*x])/(16*d*e*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (a + b*ArcCsch[c*x])/(16*Sqrt[-d]*Sqrt[e]*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)^2) - (a + b*ArcCsch[c*x])/(16*d*e*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) - (b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(3/2)*(c^2*d - e)^(3/2)) - (b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(3/2)*Sqrt[c^2*d - e]*e) - (b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(3/2)*(c^2*d - e)^(3/2)) - (b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(3/2)*Sqrt[c^2*d - e]*e) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) - ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + ((a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) + (b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2)) - (b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(16*(-d)^(3/2)*e^(3/2))}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x^2)^3, x, 81, -((b*c*Sqrt[e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(16*(-d)^(3/2)*(c^2*d - e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x))) - (b*c*Sqrt[e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])/(16*(-d)^(3/2)*(c^2*d - e)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (Sqrt[e]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(16*(-d)^(3/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)^2) - (5*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(16*d^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] - d/x)) - (Sqrt[e]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(16*(-d)^(3/2)*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)^2) + (5*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(16*d^2*(Sqrt[-d]*Sqrt[e] + d/x)) + (5*b*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(5/2)*Sqrt[c^2*d - e]) + (b*e*ArcTanh[(c^2*d - (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(5/2)*(c^2*d - e)^(3/2)) + (5*b*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(5/2)*Sqrt[c^2*d - e]) + (b*e*ArcTanh[(c^2*d + (Sqrt[-d]*Sqrt[e])/x)/(c*Sqrt[d]*Sqrt[c^2*d - e]*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)])])/(16*d^(5/2)*(c^2*d - e)^(3/2)) + (3*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 + (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] - Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) - (3*b*PolyLog[2, -((c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e]))])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e]) + (3*b*PolyLog[2, (c*Sqrt[-d]*E^ArcCsch[c*x])/(Sqrt[e] + Sqrt[(-c^2)*d + e])])/(16*(-d)^(5/2)*Sqrt[e])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^2)^(p/2) (a+b ArcCsch[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p>0*)
+
+
+{x^5*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, If[$VersionNumber>=8, 12, 13], -((b*(23*c^4*d^2 - 12*c^2*d*e - 75*e^2)*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(1680*c^5*e^2*Sqrt[(-c^2)*x^2])) - (b*(29*c^2*d + 25*e)*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(840*c^3*e^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(5/2))/(42*c*e^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (d^2*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e^3) - (2*d*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*e^3) + ((d + e*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(7*e^3) + (b*(105*c^6*d^3 + 35*c^4*d^2*e + 63*c^2*d*e^2 - 75*e^3)*x*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(1680*c^6*e^(5/2)*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (8*b*c*d^(7/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])])/(105*e^3*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{x^3*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, If[$VersionNumber>=8, 11, 12], (b*(c^2*d - 9*e)*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(120*c^3*e*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(20*c*e*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (d*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e^2) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*e^2) - (b*(15*c^4*d^2 + 10*c^2*d*e - 9*e^2)*x*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(120*c^4*e^(3/2)*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (2*b*c*d^(5/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])])/(15*e^2*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{x*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 9, (b*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(6*c*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e) + (b*(3*c^2*d - e)*x*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(6*c^2*Sqrt[e]*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*c*d^(3/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])])/(3*e*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x])/x^1, x, 0, Unintegrable[(Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x, x]}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x])/x^3, x, 0, Unintegrable[(Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x^3, x]}
+
+{x^2*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 0, Unintegrable[x^2*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]), x]}
+{x^0*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 0, Unintegrable[Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]), x]}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x])/x^2, x, 0, Unintegrable[(Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x^2, x]}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x])/x^4, x, 8, -((2*b*c^3*(c^2*d - 2*e)*x^2*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])) - (2*b*c*(c^2*d - 2*e)*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*x^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*d*x^3) + (2*b*c^2*(c^2*d - 2*e)*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(9*d*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))]) - (b*(c^2*d - 3*e)*e*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticF[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(9*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))])}
+{Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x])/x^6, x, If[$VersionNumber>=8, 9, 23], If[$VersionNumber>=8, (b*c^3*(24*c^4*d^2 - 19*c^2*d*e - 31*e^2)*x^2*Sqrt[d + e*x^2])/(225*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]) + (b*c*(24*c^4*d^2 - 19*c^2*d*e - 31*e^2)*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(225*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (b*c*(12*c^2*d + e)*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(225*d*x^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(25*d*x^4*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*d*x^5) + (2*e*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(15*d^2*x^3) - (b*c^2*(24*c^4*d^2 - 19*c^2*d*e - 31*e^2)*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(225*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))]) + (2*b*e*(6*c^4*d^2 - 4*c^2*d*e - 15*e^2)*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticF[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(225*d^3*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))]), -((b*c^3*(2*c^2*d - e)*e*x^2*Sqrt[d + e*x^2])/(45*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])) - (2*b*c^3*e^2*x^2*Sqrt[d + e*x^2])/(15*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]) + (b*c^3*(8*c^4*d^2 - 3*c^2*d*e - 2*e^2)*x^2*Sqrt[d + e*x^2])/(75*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]) - (b*c*(2*c^2*d - e)*e*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(45*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (2*b*c*e^2*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(15*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*c*(8*c^4*d^2 - 3*c^2*d*e - 2*e^2)*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(75*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(25*x^4*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (b*c*(4*c^2*d - e)*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(75*d*x^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*c*e*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(45*d*x^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*d*x^5) + (2*e*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(15*d^2*x^3) + (b*c^2*(2*c^2*d - e)*e*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(45*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))]) + (2*b*c^2*e^2*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(15*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))]) - (b*c^2*(8*c^4*d^2 - 3*c^2*d*e - 2*e^2)*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(75*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))]) + (b*c^2*(4*c^2*d - e)*e*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticF[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(75*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))]) - (b*c^2*e^2*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticF[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(45*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))]) - (2*b*e^3*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticF[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(15*d^3*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))])]}
+
+
+{x^3*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 12, -((b*(3*c^4*d^2 + 38*c^2*d*e - 25*e^2)*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(560*c^5*e*Sqrt[(-c^2)*x^2])) + (b*(13*c^2*d - 25*e)*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(840*c^3*e*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(5/2))/(42*c*e*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (d*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*e^2) + ((d + e*x^2)^(7/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(7*e^2) - (b*(35*c^6*d^3 + 35*c^4*d^2*e - 63*c^2*d*e^2 + 25*e^3)*x*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(560*c^6*e^(3/2)*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (2*b*c*d^(7/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])])/(35*e^2*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{x^1*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 10, (b*(7*c^2*d - 3*e)*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(40*c^3*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(20*c*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*e) + (b*(15*c^4*d^2 - 10*c^2*d*e + 3*e^2)*x*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(40*c^4*Sqrt[e]*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*c*d^(5/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])])/(5*e*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x])/x^1, x, 0, Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x, x]}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x])/x^3, x, 0, Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x^3, x]}
+
+{x^2*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 0, Unintegrable[x^2*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]), x]}
+{x^0*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 0, Unintegrable[(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]), x]}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x])/x^2, x, 0, Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x^2, x]}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x])/x^4, x, 0, Unintegrable[((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/x^4, x]}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x])/x^6, x, 9, (b*c^3*(8*c^4*d^2 - 23*c^2*d*e + 23*e^2)*x^2*Sqrt[d + e*x^2])/(75*d*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]) + (b*c*(8*c^4*d^2 - 23*c^2*d*e + 23*e^2)*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(75*d*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (4*b*c*(c^2*d - 2*e)*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(75*x^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(25*x^4*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*d*x^5) - (b*c^2*(8*c^4*d^2 - 23*c^2*d*e + 23*e^2)*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(75*d*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))]) + (b*e*(4*c^4*d^2 - 11*c^2*d*e + 15*e^2)*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticF[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(75*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))])}
+{(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x])/x^8, x, 10, -((b*c^3*(240*c^6*d^3 - 528*c^4*d^2*e + 193*c^2*d*e^2 + 247*e^3)*x^2*Sqrt[d + e*x^2])/(3675*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])) - (b*c*(240*c^6*d^3 - 528*c^4*d^2*e + 193*c^2*d*e^2 + 247*e^3)*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(3675*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*c*(120*c^4*d^2 - 159*c^2*d*e - 37*e^2)*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(3675*d*x^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (b*c*(30*c^2*d - 11*e)*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(1225*d*x^4*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(5/2))/(49*d*x^6*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(7*d*x^7) + (2*e*(d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(35*d^2*x^5) + (b*c^2*(240*c^6*d^3 - 528*c^4*d^2*e + 193*c^2*d*e^2 + 247*e^3)*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(3675*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))]) - (b*e*(120*c^6*d^3 - 249*c^4*d^2*e + 71*c^2*d*e^2 + 210*e^3)*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticF[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(3675*d^3*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))])}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^5*(a + b*ArcCsch[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 11, -((b*(19*c^2*d + 9*e)*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(120*c^3*e^2*Sqrt[(-c^2)*x^2])) + (b*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^(3/2))/(20*c*e^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (d^2*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e^3 - (2*d*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e^3) + ((d + e*x^2)^(5/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(5*e^3) + (b*(45*c^4*d^2 + 10*c^2*d*e + 9*e^2)*x*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(120*c^4*e^(5/2)*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (8*b*c*d^(5/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])])/(15*e^3*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcCsch[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 10, (b*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(6*c*e*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (d*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e^2 + ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e^2) - (b*(3*c^2*d + e)*x*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(6*c^2*e^(3/2)*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (2*b*c*d^(3/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])])/(3*e^2*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcCsch[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 9, (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e + (b*x*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(Sqrt[e]*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*c*Sqrt[d]*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])])/(e*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^1*Sqrt[d + e*x^2]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsch[c*x])/(x*Sqrt[d + e*x^2]), x]}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^3*Sqrt[d + e*x^2]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^3*Sqrt[d + e*x^2]), x]}
+
+{x^2*(a + b*ArcCsch[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 0, Unintegrable[(x^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{x^0*(a + b*ArcCsch[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsch[c*x])/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^2*Sqrt[d + e*x^2]), x, 8, (b*c^3*x^2*Sqrt[d + e*x^2])/(d*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(d*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d*x) - (b*c^2*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(d*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))]) + (b*e*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticF[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))])}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^4*Sqrt[d + e*x^2]), x, 8, -((b*c^3*(2*c^2*d + 5*e)*x^2*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])) - (b*c*(2*c^2*d + 5*e)*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(9*d*x^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*d*x^3) + (2*e*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*d^2*x) + (b*c^2*(2*c^2*d + 5*e)*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(9*d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))]) - (b*e*(c^2*d + 6*e)*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticF[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(9*d^3*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))])}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 10, (b*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(6*c*e^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (d^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(e^3*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*d*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e^3 + ((d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e^3) - (b*(9*c^2*d + e)*x*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(6*c^2*e^(5/2)*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (8*b*c*d^(3/2)*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])])/(3*e^3*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 9, (d*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(e^2*Sqrt[d + e*x^2]) + (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e^2 + (b*x*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(e^(3/2)*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (2*b*c*Sqrt[d]*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])])/(e^2*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 4, -((a + b*ArcCsch[c*x])/(e*Sqrt[d + e*x^2])) - (b*c*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])])/(Sqrt[d]*e*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsch[c*x])/(x*(d + e*x^2)^(3/2)), x]}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(3/2)), x]}
+
+{x^4*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^4*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2)^(3/2), x]}
+{x^2*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[(x^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2)^(3/2), x]}
+{x^0*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x^2)^(3/2), x, 3, (x*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticF[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))])}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^2*(d + e*x^2)^(3/2)), x, 7, (b*c^3*x^2*Sqrt[d + e*x^2])/(d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]) + (b*c*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])/(d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (a + b*ArcCsch[c*x])/(d*x*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*e*x*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d^2*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*c^2*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(d^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))]) + (2*b*e*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticF[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(d^3*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))])}
+
+
+{x^5*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 10, (b*c*d*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(3*(c^2*d - e)*e^2*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]) - (d^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e^3*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*d*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(e^3*Sqrt[d + e*x^2]) + (Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/e^3 + (b*x*ArcTan[(Sqrt[e]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c*Sqrt[d + e*x^2])])/(e^(5/2)*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (8*b*c*Sqrt[d]*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])])/(3*e^3*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{x^3*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 7, -((b*c*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(3*(c^2*d - e)*e*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[d + e*x^2])) + (d*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*e^2*(d + e*x^2)^(3/2)) - (a + b*ArcCsch[c*x])/(e^2*Sqrt[d + e*x^2]) - (2*b*c*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])])/(3*Sqrt[d]*e^2*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{x^1*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 5, (b*c*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(3*d*(c^2*d - e)*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]) - (a + b*ArcCsch[c*x])/(3*e*(d + e*x^2)^(3/2)) - (b*c*x*ArcTan[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[d]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])])/(3*d^(3/2)*e*Sqrt[(-c^2)*x^2])}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^1*(d + e*x^2)^(5/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsch[c*x])/(x*(d + e*x^2)^(5/2)), x]}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(5/2)), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^3*(d + e*x^2)^(5/2)), x]}
+
+{x^6*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^6*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2)^(5/2), x]}
+{x^4*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 0, Unintegrable[(x^4*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2)^(5/2), x]}
+{x^2*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 7, (b*c*x^2*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(3*d*(c^2*d - e)*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[d + e*x^2]) + (b*c^3*x^2*Sqrt[d + e*x^2])/(3*d*(c^2*d - e)*e*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]) + (x^3*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*d*(d + e*x^2)^(3/2)) - (b*c^2*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticE[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(3*d*(c^2*d - e)*e*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))]) + (b*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticF[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(3*d^2*(c^2*d - e)*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))])}
+{x^0*(a + b*ArcCsch[c*x])/(d + e*x^2)^(5/2), x, 5, (x*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*d*(d + e*x^2)^(3/2)) + (2*x*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*d^2*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*c*Sqrt[e]*x*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*EllipticE[ArcTan[(Sqrt[e]*x)/Sqrt[d]], 1 - (c^2*d)/e])/(3*d^(3/2)*(c^2*d - e)*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[(d*(1 + c^2*x^2))/(d + e*x^2)]*Sqrt[d + e*x^2]) - (b*(3*c^2*d - 2*e)*x*Sqrt[d + e*x^2]*EllipticF[ArcTan[c*x], 1 - e/(c^2*d)])/(3*d^3*(c^2*d - e)*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]*Sqrt[(d + e*x^2)/(d*(1 + c^2*x^2))])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^2)^p (a+b ArcCsch[c x]) when m symbolic*)
+
+
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^3*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 6, If[$VersionNumber>=8, (b*e*(e^2*(15 + 8*m + m^2)^2 - 3*c^2*d*e*(3 + m)^2*(42 + 13*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(840 + 638*m + 179*m^2 + 22*m^3 + m^4))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c^5*f*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m)*(6 + m)*(7 + m)*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (b*e^2*(e*(5 + m)^2 - 3*c^2*d*(42 + 13*m + m^2))*x*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c^3*f^3*(4 + m)*(5 + m)*(6 + m)*(7 + m)*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*e^3*x*(f*x)^(5 + m)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c*f^5*(6 + m)*(7 + m)*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(f*(1 + m)) + (3*d^2*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (3*d*e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(f^5*(5 + m)) + (e^3*(f*x)^(7 + m)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(f^7*(7 + m)) - (b*((c^6*d^3*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m))/(1 + m) - (e*(1 + m)*(e^2*(15 + 8*m + m^2)^2 - 3*c^2*d*e*(3 + m)^2*(42 + 13*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(840 + 638*m + 179*m^2 + 22*m^3 + m^4)))/((3 + m)*(5 + m)*(7 + m)))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(c^5*f*(1 + m)*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]), (b*e*(e^2*(15 + 8*m + m^2)^2 - 3*c^2*d*e*(3 + m)^2*(42 + 13*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(840 + 638*m + 179*m^2 + 22*m^3 + m^4))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c^5*f*(6 + m)*(8 + 6*m + m^2)*(105 + 71*m + 15*m^2 + m^3)*Sqrt[(-c^2)*x^2]) - (b*e^2*(e*(5 + m)^2 - 3*c^2*d*(42 + 13*m + m^2))*x*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c^3*f^3*(4 + m)*(6 + m)*(35 + 12*m + m^2)*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (b*e^3*x*(f*x)^(5 + m)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c*f^5*(6 + m)*(7 + m)*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (d^3*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(f*(1 + m)) + (3*d^2*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (3*d*e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(f^5*(5 + m)) + (e^3*(f*x)^(7 + m)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(f^7*(7 + m)) - (b*((c^6*d^3*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m))/(1 + m) - (e*(1 + m)*(e^2*(15 + 8*m + m^2)^2 - 3*c^2*d*e*(3 + m)^2*(42 + 13*m + m^2) + 3*c^4*d^2*(840 + 638*m + 179*m^2 + 22*m^3 + m^4)))/(105 + 71*m + 15*m^2 + m^3))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(c^5*f*(1 + m)*(2 + m)*(4 + m)*(6 + m)*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])]}
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^2*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 6, If[$VersionNumber>=8, -((b*e*(e*(3 + m)^2 - 2*c^2*d*(20 + 9*m + m^2))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c^3*f*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m)*Sqrt[(-c^2)*x^2])) + (b*e^2*x*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c*f^3*(4 + m)*(5 + m)*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (d^2*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(f*(1 + m)) + (2*d*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(f^5*(5 + m)) - (b*(c^4*d^2*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m) + e*(1 + m)^2*(e*(3 + m)^2 - 2*c^2*d*(20 + 9*m + m^2)))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(c^3*f*(1 + m)^2*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m)*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]), -((b*e*(e*(3 + m)^2 - 2*c^2*d*(20 + 9*m + m^2))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c^3*f*(4 + m)*(5 + m)*(6 + 5*m + m^2)*Sqrt[(-c^2)*x^2])) + (b*e^2*x*(f*x)^(3 + m)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c*f^3*(4 + m)*(5 + m)*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (d^2*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(f*(1 + m)) + (2*d*e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (e^2*(f*x)^(5 + m)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(f^5*(5 + m)) - (b*(c^4*d^2*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m) + e*(1 + m)^2*(e*(3 + m)^2 - 2*c^2*d*(20 + 9*m + m^2)))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(c^3*f*(1 + m)^2*(2 + m)*(3 + m)*(4 + m)*(5 + m)*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])]}
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 5, (b*e*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[-1 - c^2*x^2])/(c*f*(6 + 5*m + m^2)*Sqrt[(-c^2)*x^2]) + (d*(f*x)^(1 + m)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(f*(1 + m)) + (e*(f*x)^(3 + m)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(f^3*(3 + m)) + (b*(e*(1 + m)^2 - c^2*d*(2 + m)*(3 + m))*x*(f*x)^(1 + m)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(c*f*(1 + m)^2*(2 + m)*(3 + m)*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2])}
+{((f*x)^m*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2), x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2), x]}
+{((f*x)^m*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2)^2, x]}
+
+
+{(f*x)^m*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 0, Unintegrable[(f*x)^m*(d + e*x^2)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]), x]}
+{(f*x)^m*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]), x, 0, Unintegrable[(f*x)^m*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCsch[c*x]), x]}
+{((f*x)^m*(a + b*ArcCsch[c*x]))/Sqrt[d + e*x^2], x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCsch[c*x]))/Sqrt[d + e*x^2], x]}
+{((f*x)^m*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2)^(3/2), x, 0, Unintegrable[((f*x)^m*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(d + e*x^2)^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (f x)^m (d+e x^4)^p (a+b ArcCsch[c x])^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (d+e x^4)^(p/2) (a+b ArcCsch[c x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*p>0*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*p<0*)
+
+
+{x^11*(a + b*ArcCsch[c*x])/Sqrt[1 - c^4*x^4], x, 16, -((4*b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(15*c^13*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)) + (7*b*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(90*c^13*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x) - (13*b*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(150*c^13*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x) + (3*b*(1 - c^2*x^2)^(7/2)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(70*c^13*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x) - (b*(1 - c^2*x^2)^(9/2)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(90*c^13*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x) - (Sqrt[1 - c^4*x^4]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(2*c^12) + ((1 - c^4*x^4)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(3*c^12) - ((1 - c^4*x^4)^(5/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(10*c^12) + (4*b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/(15*c^13*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)}
+{x^7*(a + b*ArcCsch[c*x])/Sqrt[1 - c^4*x^4], x, 13, -((b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(3*c^9*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)) + (b*(1 - c^2*x^2)^(3/2)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(18*c^9*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x) - (b*(1 - c^2*x^2)^(5/2)*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(30*c^9*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x) - (Sqrt[1 - c^4*x^4]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(2*c^8) + ((1 - c^4*x^4)^(3/2)*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(6*c^8) + (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/(3*c^9*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)}
+{x^3*(a + b*ArcCsch[c*x])/Sqrt[1 - c^4*x^4], x, 8, (b*x*Sqrt[1 - c^4*x^4])/(2*c^3*Sqrt[(-c^2)*x^2]*Sqrt[-1 - c^2*x^2]) - (Sqrt[1 - c^4*x^4]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(2*c^4) - (b*x*ArcTan[Sqrt[1 - c^4*x^4]/Sqrt[-1 - c^2*x^2]])/(2*c^3*Sqrt[(-c^2)*x^2]), -((b*Sqrt[1 - c^2*x^2]*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(2*c^5*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)) - (Sqrt[1 - c^4*x^4]*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(2*c^4) + (b*Sqrt[1 + c^2*x^2]*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]])/(2*c^5*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^1*Sqrt[1 - c^4*x^4]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsch[c*x])/(x*Sqrt[1 - c^4*x^4]), x]}
+{(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^5*Sqrt[1 - c^4*x^4]), x, 0, Unintegrable[(a + b*ArcCsch[c*x])/(x^5*Sqrt[1 - c^4*x^4]), x]}
+
+
+(* ::Section:: *)
+(*Integrands of the form u (a+b ArcCsch[c x])^n*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.6 Inverse hyperbolic cosecant/7.6.2 Inverse hyperbolic cosecant functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.6 Inverse hyperbolic cosecant/7.6.2 Inverse hyperbolic cosecant functions.m
new file mode 100644
index 00000000..04dc6b00
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/7 Inverse hyperbolic functions/7.6 Inverse hyperbolic cosecant/7.6.2 Inverse hyperbolic cosecant functions.m	
@@ -0,0 +1,145 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration Problems Involving Inverse Hyperbolic Cosecants*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCsch[a+b x]^n*)
+
+
+{x^3*ArcCsch[a + b*x], x, 8, -(((2 - 17*a^2)*(a + b*x)*Sqrt[1 + 1/(a + b*x)^2])/(12*b^4)) + (x^2*(a + b*x)*Sqrt[1 + 1/(a + b*x)^2])/(12*b^2) - (a*(a + b*x)^2*Sqrt[1 + 1/(a + b*x)^2])/(3*b^4) - (a^4*ArcCsch[a + b*x])/(4*b^4) + (1/4)*x^4*ArcCsch[a + b*x] + (a*(1 - 2*a^2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a + b*x)^2]])/(2*b^4)}
+{x^2*ArcCsch[a + b*x], x, 7, -((5*a*(a + b*x)*Sqrt[1 + 1/(a + b*x)^2])/(6*b^3)) + (x*(a + b*x)*Sqrt[1 + 1/(a + b*x)^2])/(6*b^2) + (a^3*ArcCsch[a + b*x])/(3*b^3) + (1/3)*x^3*ArcCsch[a + b*x] - ((1 - 6*a^2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a + b*x)^2]])/(6*b^3)}
+{x^1*ArcCsch[a + b*x], x, 6, ((a + b*x)*Sqrt[1 + 1/(a + b*x)^2])/(2*b^2) - (a^2*ArcCsch[a + b*x])/(2*b^2) + (1/2)*x^2*ArcCsch[a + b*x] - (a*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a + b*x)^2]])/b^2}
+{ArcCsch[a + b*x]/x^1, x, 14, ArcCsch[a + b*x]*Log[1 - (a*E^ArcCsch[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 + a^2])] + ArcCsch[a + b*x]*Log[1 - (a*E^ArcCsch[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 + a^2])] - ArcCsch[a + b*x]*Log[1 - E^(2*ArcCsch[a + b*x])] + PolyLog[2, (a*E^ArcCsch[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 + a^2])] + PolyLog[2, (a*E^ArcCsch[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 + a^2])] - (1/2)*PolyLog[2, E^(2*ArcCsch[a + b*x])]}
+{ArcCsch[a + b*x]/x^2, x, 6, -((b*ArcCsch[a + b*x])/a) - ArcCsch[a + b*x]/x + (2*b*ArcTanh[(a + Tanh[(1/2)*ArcCsch[a + b*x]])/Sqrt[1 + a^2]])/(a*Sqrt[1 + a^2])}
+{ArcCsch[a + b*x]/x^3, x, 8, (b*(a + b*x)*Sqrt[1 + 1/(a + b*x)^2])/(2*a*(1 + a^2)*x) + (b^2*ArcCsch[a + b*x])/(2*a^2) - ArcCsch[a + b*x]/(2*x^2) - ((1 + 2*a^2)*b^2*ArcTanh[(a + Tanh[(1/2)*ArcCsch[a + b*x]])/Sqrt[1 + a^2]])/(a^2*(1 + a^2)^(3/2))}
+
+
+{(e + f*x)^3*(a + b*ArcCsch[c + d*x])^2, x, 20, (b^2*f^2*(d*e - c*f)*x)/d^3 + (b^2*f^3*(c + d*x)^2)/(12*d^4) - (b*f^3*(c + d*x)*Sqrt[1 + 1/(c + d*x)^2]*(a + b*ArcCsch[c + d*x]))/(3*d^4) + (3*b*f*(d*e - c*f)^2*(c + d*x)*Sqrt[1 + 1/(c + d*x)^2]*(a + b*ArcCsch[c + d*x]))/d^4 + (b*f^2*(d*e - c*f)*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + 1/(c + d*x)^2]*(a + b*ArcCsch[c + d*x]))/d^4 + (b*f^3*(c + d*x)^3*Sqrt[1 + 1/(c + d*x)^2]*(a + b*ArcCsch[c + d*x]))/(6*d^4) - ((d*e - c*f)^4*(a + b*ArcCsch[c + d*x])^2)/(4*d^4*f) + ((e + f*x)^4*(a + b*ArcCsch[c + d*x])^2)/(4*f) - (2*b*f^2*(d*e - c*f)*(a + b*ArcCsch[c + d*x])*ArcTanh[E^ArcCsch[c + d*x]])/d^4 + (4*b*(d*e - c*f)^3*(a + b*ArcCsch[c + d*x])*ArcTanh[E^ArcCsch[c + d*x]])/d^4 - (b^2*f^3*Log[c + d*x])/(3*d^4) + (3*b^2*f*(d*e - c*f)^2*Log[c + d*x])/d^4 - (b^2*f^2*(d*e - c*f)*PolyLog[2, -E^ArcCsch[c + d*x]])/d^4 + (2*b^2*(d*e - c*f)^3*PolyLog[2, -E^ArcCsch[c + d*x]])/d^4 + (b^2*f^2*(d*e - c*f)*PolyLog[2, E^ArcCsch[c + d*x]])/d^4 - (2*b^2*(d*e - c*f)^3*PolyLog[2, E^ArcCsch[c + d*x]])/d^4}
+{(e + f*x)^2*(a + b*ArcCsch[c + d*x])^2, x, 17, (b^2*f^2*x)/(3*d^2) + (2*b*f*(d*e - c*f)*(c + d*x)*Sqrt[1 + 1/(c + d*x)^2]*(a + b*ArcCsch[c + d*x]))/d^3 + (b*f^2*(c + d*x)^2*Sqrt[1 + 1/(c + d*x)^2]*(a + b*ArcCsch[c + d*x]))/(3*d^3) - ((d*e - c*f)^3*(a + b*ArcCsch[c + d*x])^2)/(3*d^3*f) + ((e + f*x)^3*(a + b*ArcCsch[c + d*x])^2)/(3*f) - (2*b*f^2*(a + b*ArcCsch[c + d*x])*ArcTanh[E^ArcCsch[c + d*x]])/(3*d^3) + (4*b*(d*e - c*f)^2*(a + b*ArcCsch[c + d*x])*ArcTanh[E^ArcCsch[c + d*x]])/d^3 + (2*b^2*f*(d*e - c*f)*Log[c + d*x])/d^3 - (b^2*f^2*PolyLog[2, -E^ArcCsch[c + d*x]])/(3*d^3) + (2*b^2*(d*e - c*f)^2*PolyLog[2, -E^ArcCsch[c + d*x]])/d^3 + (b^2*f^2*PolyLog[2, E^ArcCsch[c + d*x]])/(3*d^3) - (2*b^2*(d*e - c*f)^2*PolyLog[2, E^ArcCsch[c + d*x]])/d^3}
+{(e + f*x)^1*(a + b*ArcCsch[c + d*x])^2, x, 11, (b*f*(c + d*x)*Sqrt[1 + 1/(c + d*x)^2]*(a + b*ArcCsch[c + d*x]))/d^2 - ((d*e - c*f)^2*(a + b*ArcCsch[c + d*x])^2)/(2*d^2*f) + ((e + f*x)^2*(a + b*ArcCsch[c + d*x])^2)/(2*f) + (4*b*(d*e - c*f)*(a + b*ArcCsch[c + d*x])*ArcTanh[E^ArcCsch[c + d*x]])/d^2 + (b^2*f*Log[c + d*x])/d^2 + (2*b^2*(d*e - c*f)*PolyLog[2, -E^ArcCsch[c + d*x]])/d^2 - (2*b^2*(d*e - c*f)*PolyLog[2, E^ArcCsch[c + d*x]])/d^2}
+{(e + f*x)^0*(a + b*ArcCsch[c + d*x])^2, x, 8, ((c + d*x)*(a + b*ArcCsch[c + d*x])^2)/d + (4*b*(a + b*ArcCsch[c + d*x])*ArcTanh[E^ArcCsch[c + d*x]])/d + (2*b^2*PolyLog[2, -E^ArcCsch[c + d*x]])/d - (2*b^2*PolyLog[2, E^ArcCsch[c + d*x]])/d}
+{(a + b*ArcCsch[c + d*x])^2/(e + f*x)^1, x, 17, -(((a + b*ArcCsch[c + d*x])^2*Log[1 - E^(2*ArcCsch[c + d*x])])/f) + ((a + b*ArcCsch[c + d*x])^2*Log[1 + (E^ArcCsch[c + d*x]*(d*e - c*f))/(f - Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2])])/f + ((a + b*ArcCsch[c + d*x])^2*Log[1 + (E^ArcCsch[c + d*x]*(d*e - c*f))/(f + Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2])])/f - (b*(a + b*ArcCsch[c + d*x])*PolyLog[2, E^(2*ArcCsch[c + d*x])])/f + (2*b*(a + b*ArcCsch[c + d*x])*PolyLog[2, -((E^ArcCsch[c + d*x]*(d*e - c*f))/(f - Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2]))])/f + (2*b*(a + b*ArcCsch[c + d*x])*PolyLog[2, -((E^ArcCsch[c + d*x]*(d*e - c*f))/(f + Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2]))])/f + (b^2*PolyLog[3, E^(2*ArcCsch[c + d*x])])/(2*f) - (2*b^2*PolyLog[3, -((E^ArcCsch[c + d*x]*(d*e - c*f))/(f - Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2]))])/f - (2*b^2*PolyLog[3, -((E^ArcCsch[c + d*x]*(d*e - c*f))/(f + Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2]))])/f}
+{(a + b*ArcCsch[c + d*x])^2/(e + f*x)^2, x, 12, (d*(a + b*ArcCsch[c + d*x])^2)/(f*(d*e - c*f)) - (a + b*ArcCsch[c + d*x])^2/(f*(e + f*x)) - (2*b*d*(a + b*ArcCsch[c + d*x])*Log[1 + (E^ArcCsch[c + d*x]*(d*e - c*f))/(f - Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2])])/((d*e - c*f)*Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2]) + (2*b*d*(a + b*ArcCsch[c + d*x])*Log[1 + (E^ArcCsch[c + d*x]*(d*e - c*f))/(f + Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2])])/((d*e - c*f)*Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2]) - (2*b^2*d*PolyLog[2, -((E^ArcCsch[c + d*x]*(d*e - c*f))/(f - Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2]))])/((d*e - c*f)*Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2]) + (2*b^2*d*PolyLog[2, -((E^ArcCsch[c + d*x]*(d*e - c*f))/(f + Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2]))])/((d*e - c*f)*Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2])}
+{(a + b*ArcCsch[c + d*x])^2/(e + f*x)^3, x, 23, -((b*d^2*f*Sqrt[1 + 1/(c + d*x)^2]*(a + b*ArcCsch[c + d*x]))/((d*e - c*f)*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)*(f + (d*e - c*f)/(c + d*x)))) + (d^2*(a + b*ArcCsch[c + d*x])^2)/(2*f*(d*e - c*f)^2) - (a + b*ArcCsch[c + d*x])^2/(2*f*(e + f*x)^2) + (b*d^2*f^2*(a + b*ArcCsch[c + d*x])*Log[1 + (E^ArcCsch[c + d*x]*(d*e - c*f))/(f - Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2])])/((d*e - c*f)^2*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)^(3/2)) - (2*b*d^2*(a + b*ArcCsch[c + d*x])*Log[1 + (E^ArcCsch[c + d*x]*(d*e - c*f))/(f - Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2])])/((d*e - c*f)^2*Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2]) - (b*d^2*f^2*(a + b*ArcCsch[c + d*x])*Log[1 + (E^ArcCsch[c + d*x]*(d*e - c*f))/(f + Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2])])/((d*e - c*f)^2*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)^(3/2)) + (2*b*d^2*(a + b*ArcCsch[c + d*x])*Log[1 + (E^ArcCsch[c + d*x]*(d*e - c*f))/(f + Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2])])/((d*e - c*f)^2*Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2]) + (b^2*d^2*f*Log[f + (d*e - c*f)/(c + d*x)])/((d*e - c*f)^2*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)) + (b^2*d^2*f^2*PolyLog[2, -((E^ArcCsch[c + d*x]*(d*e - c*f))/(f - Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2]))])/((d*e - c*f)^2*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)^(3/2)) - (2*b^2*d^2*PolyLog[2, -((E^ArcCsch[c + d*x]*(d*e - c*f))/(f - Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2]))])/((d*e - c*f)^2*Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2]) - (b^2*d^2*f^2*PolyLog[2, -((E^ArcCsch[c + d*x]*(d*e - c*f))/(f + Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2]))])/((d*e - c*f)^2*(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2)^(3/2)) + (2*b^2*d^2*PolyLog[2, -((E^ArcCsch[c + d*x]*(d*e - c*f))/(f + Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2]))])/((d*e - c*f)^2*Sqrt[d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (1 + c^2)*f^2])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ArcCsch[a x^n]*)
+
+
+{x^3*ArcCsch[Sqrt[x]], x, 4, -((Sqrt[-1 - x]*Sqrt[x])/(4*Sqrt[-x])) - ((-1 - x)^(3/2)*Sqrt[x])/(4*Sqrt[-x]) - (3*(-1 - x)^(5/2)*Sqrt[x])/(20*Sqrt[-x]) - ((-1 - x)^(7/2)*Sqrt[x])/(28*Sqrt[-x]) + (1/4)*x^4*ArcCsch[Sqrt[x]]}
+{x^2*ArcCsch[Sqrt[x]], x, 4, (Sqrt[-1 - x]*Sqrt[x])/(3*Sqrt[-x]) + (2*(-1 - x)^(3/2)*Sqrt[x])/(9*Sqrt[-x]) + ((-1 - x)^(5/2)*Sqrt[x])/(15*Sqrt[-x]) + (1/3)*x^3*ArcCsch[Sqrt[x]]}
+{x^1*ArcCsch[Sqrt[x]], x, 4, -((Sqrt[-1 - x]*Sqrt[x])/(2*Sqrt[-x])) - ((-1 - x)^(3/2)*Sqrt[x])/(6*Sqrt[-x]) + (1/2)*x^2*ArcCsch[Sqrt[x]]}
+{x^0*ArcCsch[Sqrt[x]], x, 3, (Sqrt[-1 - x]*Sqrt[x])/Sqrt[-x] + x*ArcCsch[Sqrt[x]]}
+{ArcCsch[Sqrt[x]]/x^1, x, 7, ArcCsch[Sqrt[x]]^2 - 2*ArcCsch[Sqrt[x]]*Log[1 - E^(2*ArcCsch[Sqrt[x]])] - PolyLog[2, E^(2*ArcCsch[Sqrt[x]])]}
+{ArcCsch[Sqrt[x]]/x^2, x, 5, Sqrt[-1 - x]/(2*Sqrt[-x]*Sqrt[x]) - ArcCsch[Sqrt[x]]/x - (Sqrt[x]*ArcTan[Sqrt[-1 - x]])/(2*Sqrt[-x])}
+{ArcCsch[Sqrt[x]]/x^3, x, 6, Sqrt[-1 - x]/(8*Sqrt[-x]*x^(3/2)) - (3*Sqrt[-1 - x])/(16*Sqrt[-x]*Sqrt[x]) - ArcCsch[Sqrt[x]]/(2*x^2) + (3*Sqrt[x]*ArcTan[Sqrt[-1 - x]])/(16*Sqrt[-x])}
+{ArcCsch[Sqrt[x]]/x^4, x, 7, Sqrt[-1 - x]/(18*Sqrt[-x]*x^(5/2)) - (5*Sqrt[-1 - x])/(72*Sqrt[-x]*x^(3/2)) + (5*Sqrt[-1 - x])/(48*Sqrt[-x]*Sqrt[x]) - ArcCsch[Sqrt[x]]/(3*x^3) - (5*Sqrt[x]*ArcTan[Sqrt[-1 - x]])/(48*Sqrt[-x])}
+
+
+{ArcCsch[1/x], x, 3, -Sqrt[1 + x^2] + x*ArcSinh[x]}
+
+
+{ArcCsch[a*x^n]/x, x, 7, ArcCsch[a*x^n]^2/(2*n) - (ArcCsch[a*x^n]*Log[1 - E^(2*ArcCsch[a*x^n])])/n - PolyLog[2, E^(2*ArcCsch[a*x^n])]/(2*n)}
+{ArcCsch[a*x^5]/x, x, 7, (1/10)*ArcCsch[a*x^5]^2 - (1/5)*ArcCsch[a*x^5]*Log[1 - E^(2*ArcCsch[a*x^5])] - (1/10)*PolyLog[2, E^(2*ArcCsch[a*x^5])]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving inverse hyperbolic cosecants of exponentials*)
+
+
+{ArcCsch[c*E^(a + b*x)], x, 7, ArcCsch[c*E^(a + b*x)]^2/(2*b) - (ArcCsch[c*E^(a + b*x)]*Log[1 - E^(2*ArcCsch[c*E^(a + b*x)])])/b - PolyLog[2, E^(2*ArcCsch[c*E^(a + b*x)])]/(2*b)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands involving exponentials of inverse hyperbolic cosecants*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^ArcCsch[a x^p]*)
+
+
+{x^m*E^ArcCsch[a*x], x, 4, x^m/(a*m) + (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1/2)*(-1 - m), (1 - m)/2, -(1/(a^2*x^2))])/(1 + m)}
+
+{x^4*E^ArcCsch[a*x], x, 4, -((2*(1 + 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(15*a^2)) + x^4/(4*a) + (1/5)*(1 + 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^5}
+{x^3*E^ArcCsch[a*x], x, 7, (Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]*x^2)/(8*a^2) + x^3/(3*a) + (1/4)*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]*x^4 - ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]]/(8*a^4)}
+{x^2*E^ArcCsch[a*x], x, 3, x^2/(2*a) + (1/3)*(1 + 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3}
+{x^1*E^ArcCsch[a*x], x, 6, x/a + (1/2)*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]*x^2 + ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]]/(2*a^2)}
+{x^0*E^ArcCsch[a*x], x, 5, E^ArcCsch[a*x]*x - ArcCsch[a*x]/a + Log[x]/a, Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]*x - ArcCsch[a*x]/a + Log[x]/a}
+{E^ArcCsch[a*x]/x^1, x, 6, -Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)] - 1/(a*x) + ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]]}
+{E^ArcCsch[a*x]/x^2, x, 5, -(1/(2*a*x^2)) - Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]/(2*x) - (1/2)*a*ArcCsch[a*x]}
+{E^ArcCsch[a*x]/x^3, x, 3, (-(1/3))*a^2*(1 + 1/(a^2*x^2))^(3/2) - 1/(3*a*x^3)}
+{E^ArcCsch[a*x]/x^4, x, 6, -(1/(4*a*x^4)) - Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]/(4*x^3) - (a^2*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)])/(8*x) + (1/8)*a^3*ArcCsch[a*x]}
+{E^ArcCsch[a*x]/x^5, x, 5, (1/3)*a^4*(1 + 1/(a^2*x^2))^(3/2) - (1/5)*a^4*(1 + 1/(a^2*x^2))^(5/2) - 1/(5*a*x^5)}
+
+
+{x^m*E^ArcCsch[a*x^2], x, 4, -(x^(-1 + m)/(a*(1 - m))) + (x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[-(1/2), (1/4)*(-1 - m), (3 - m)/4, -(1/(a^2*x^4))])/(1 + m)}
+
+{x^4*E^ArcCsch[a*x^2], x, 8, -((2*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)])/(5*a^2*(a + 1/x^2)*x)) + (2*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)]*x)/(5*a^2) + x^3/(3*a) + (1/5)*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)]*x^5 + (2*Sqrt[(a^2 + 1/x^4)/(a + 1/x^2)^2]*(a + 1/x^2)*EllipticE[2*ArcCot[Sqrt[a]*x], 1/2])/(5*a^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)]) - (Sqrt[(a^2 + 1/x^4)/(a + 1/x^2)^2]*(a + 1/x^2)*EllipticF[2*ArcCot[Sqrt[a]*x], 1/2])/(5*a^(7/2)*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)])}
+{x^3*E^ArcCsch[a*x^2], x, 6, x^2/(2*a) + (1/4)*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)]*x^4 + ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)]]/(4*a^2)}
+{x^2*E^ArcCsch[a*x^2], x, 5, x/a + (1/3)*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)]*x^3 - (Sqrt[(a^2 + 1/x^4)/(a + 1/x^2)^2]*(a + 1/x^2)*EllipticF[2*ArcCot[Sqrt[a]*x], 1/2])/(3*a^(5/2)*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)])}
+{x^1*E^ArcCsch[a*x^2], x, 6, (1/2)*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)]*x^2 - ArcCsch[a*x^2]/(2*a) + Log[x]/a}
+{x^0*E^ArcCsch[a*x^2], x, 7, -(1/(a*x)) - (2*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)])/((a + 1/x^2)*x) + Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)]*x + (2*Sqrt[(a^2 + 1/x^4)/(a + 1/x^2)^2]*(a + 1/x^2)*EllipticE[2*ArcCot[Sqrt[a]*x], 1/2])/(a^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)]) - (Sqrt[(a^2 + 1/x^4)/(a + 1/x^2)^2]*(a + 1/x^2)*EllipticF[2*ArcCot[Sqrt[a]*x], 1/2])/(a^(3/2)*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)])}
+{E^ArcCsch[a*x^2]/x^1, x, 6, (-(1/2))*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)] - 1/(2*a*x^2) + (1/2)*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)]]}
+{E^ArcCsch[a*x^2]/x^2, x, 5, -(1/(3*a*x^3)) - Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)]/(3*x) - (Sqrt[(a^2 + 1/x^4)/(a + 1/x^2)^2]*(a + 1/x^2)*EllipticF[2*ArcCot[Sqrt[a]*x], 1/2])/(3*Sqrt[a]*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)])}
+{E^ArcCsch[a*x^2]/x^3, x, 6, -(1/(4*a*x^4)) - Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)]/(4*x^2) - (1/4)*a*ArcCsch[a*x^2]}
+{E^ArcCsch[a*x^2]/x^4, x, 7, -(1/(5*a*x^5)) - Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)]/(5*x^3) - (2*a^2*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)])/(5*(a + 1/x^2)*x) + (2*Sqrt[a]*Sqrt[(a^2 + 1/x^4)/(a + 1/x^2)^2]*(a + 1/x^2)*EllipticE[2*ArcCot[Sqrt[a]*x], 1/2])/(5*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)]) - (Sqrt[a]*Sqrt[(a^2 + 1/x^4)/(a + 1/x^2)^2]*(a + 1/x^2)*EllipticF[2*ArcCot[Sqrt[a]*x], 1/2])/(5*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^4)])}
+{E^ArcCsch[a*x^2]/x^5, x, 3, (-(1/6))*a^2*(1 + 1/(a^2*x^4))^(3/2) - 1/(6*a*x^6)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcCsch[a x])*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^m*E^(2*ArcCsch[a*x]), x, 5, -((2*x^(-1 + m))/(a^2*(1 - m))) + x^(1 + m)/(1 + m) + (2*x^m*Hypergeometric2F1[-(1/2), -(m/2), 1 - m/2, -(1/(a^2*x^2))])/(a*m)}
+
+{x^4*E^(2*ArcCsch[a*x]), x, 8, (Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]*x^2)/(4*a^3) + (2*x^3)/(3*a^2) + (Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]*x^4)/(2*a) + x^5/5 - ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]]/(4*a^5)}
+{x^3*E^(2*ArcCsch[a*x]), x, 4, x^2/a^2 + (2*(1 + 1/(a^2*x^2))^(3/2)*x^3)/(3*a) + x^4/4}
+{x^2*E^(2*ArcCsch[a*x]), x, 7, (2*x)/a^2 + (Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]*x^2)/a + x^3/3 + ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]]/a^3}
+{x^1*E^(2*ArcCsch[a*x]), x, 6, (2*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]*x)/a + x^2/2 - (2*ArcCsch[a*x])/a^2 + (2*Log[x])/a^2}
+{x^0*E^(2*ArcCsch[a*x]), x, 7, -((2*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)])/a) - 2/(a^2*x) + x + (2*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]])/a}
+{E^(2*ArcCsch[a*x])/x^1, x, 6, -(1/(a^2*x^2)) - Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]/(a*x) - ArcCsch[a*x] + Log[x]}
+{E^(2*ArcCsch[a*x])/x^2, x, 4, (-(2/3))*a*(1 + 1/(a^2*x^2))^(3/2) - 2/(3*a^2*x^3) - 1/x, (-(1/2))*a*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)] - (1/6)*a*(Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)] + 1/(a*x))^3 - 1/(2*x)}
+{E^(2*ArcCsch[a*x])/x^3, x, 7, -(1/(2*a^2*x^4)) - Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]/(2*a*x^3) - 1/(2*x^2) - (a*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)])/(4*x) + (1/4)*a^2*ArcCsch[a*x]}
+{E^(2*ArcCsch[a*x])/x^4, x, 6, (2/3)*a^3*(1 + 1/(a^2*x^2))^(3/2) - (2/5)*a^3*(1 + 1/(a^2*x^2))^(5/2) - 2/(5*a^2*x^5) - 1/(3*x^3)}
+{E^(2*ArcCsch[a*x])/x^5, x, 8, -(1/(3*a^2*x^6)) - Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)]/(3*a*x^5) - 1/(4*x^4) - (a*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)])/(12*x^3) + (a^3*Sqrt[1 + 1/(a^2*x^2)])/(8*x) - (1/8)*a^4*ArcCsch[a*x]}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(n ArcCsch[a x]) / (1-a^2 x^2)*)
+
+
+{(d*x)^m*E^ArcCsch[c*x]/(1 + c^2*x^2), x, 4, -((d*(d*x)^(-1 + m)*Hypergeometric2F1[1/2, (1 - m)/2, (3 - m)/2, -(1/(c^2*x^2))])/(c^2*(1 - m))) + ((d*x)^m*Hypergeometric2F1[1, m/2, (2 + m)/2, (-c^2)*x^2])/(c*m)}
+
+
+{x^5*E^ArcCsch[c*x]/(1 + c^2*x^2), x, 9, -(x/c^5) - (3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^2)/(8*c^4) + x^3/(3*c^3) + (Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^4)/(4*c^2) + ArcTan[c*x]/c^6 + (3*ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]])/(8*c^6)}
+{x^4*E^ArcCsch[c*x]/(1 + c^2*x^2), x, 6, -((2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)/(3*c^4)) + x^2/(2*c^3) + (Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^3)/(3*c^2) - Log[1 + c^2*x^2]/(2*c^5)}
+{x^3*E^ArcCsch[c*x]/(1 + c^2*x^2), x, 7, x/c^3 + (Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^2)/(2*c^2) - ArcTan[c*x]/c^4 - ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]]/(2*c^4)}
+{x^2*E^ArcCsch[c*x]/(1 + c^2*x^2), x, 3, (Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)/c^2 + Log[1 + c^2*x^2]/(2*c^3)}
+{x^1*E^ArcCsch[c*x]/(1 + c^2*x^2), x, 5, ArcTan[c*x]/c^2 + ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]]/c^2}
+{x^0*E^ArcCsch[c*x]/(1 + c^2*x^2), x, 7, -(ArcCsch[c*x]/c) + Log[x]/c - Log[1 + c^2*x^2]/(2*c)}
+{E^ArcCsch[c*x]/(x^1*(1 + c^2*x^2)), x, 4, -Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)] - 1/(c*x) - ArcTan[c*x]}
+{E^ArcCsch[c*x]/(x^2*(1 + c^2*x^2)), x, 7, -(1/(2*c*x^2)) - Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]/(2*x) + (1/2)*c*ArcCsch[c*x] - c*Log[x] + (1/2)*c*Log[1 + c^2*x^2]}
+{E^ArcCsch[c*x]/(x^3*(1 + c^2*x^2)), x, 7, c^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)] - (1/3)*c^2*(1 + 1/(c^2*x^2))^(3/2) - 1/(3*c*x^3) + c/x + c^2*ArcTan[c*x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Miscellaneous integrands involving inverse hyperbolic cosecants*)
+
+
+{ArcCsch[a + b*x]/((a*d)/b + d*x), x, 8, ArcCsch[a + b*x]^2/(2*d) - (ArcCsch[a + b*x]*Log[1 - E^(2*ArcCsch[a + b*x])])/d - PolyLog[2, E^(2*ArcCsch[a + b*x])]/(2*d)}
+
+
+{x^3*ArcCsch[a + b*x^4], x, 6, ((a + b*x^4)*ArcCsch[a + b*x^4])/(4*b) + ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a + b*x^4)^2]]/(4*b)}
+
+{x^(n-1)*ArcCsch[a + b*x^n], x, 6, ((a + b*x^n)*ArcCsch[a + b*x^n])/(b*n) + ArcTanh[Sqrt[1 + 1/(a + b*x^n)^2]]/(b*n)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.1 Error functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.1 Error functions.m
new file mode 100644
index 00000000..bfb5b2ec
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.1 Error functions.m	
@@ -0,0 +1,587 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integration Problems Involving The Error Function*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Erf[a+b x]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Erf[b x]*)
+
+
+{x^5*Erf[b*x], x, 5, (5*x)/(E^(b^2*x^2)*(8*b^5*Sqrt[Pi])) + (5*x^3)/(E^(b^2*x^2)*(12*b^3*Sqrt[Pi])) + x^5/(E^(b^2*x^2)*(6*b*Sqrt[Pi])) - (5*Erf[b*x])/(16*b^6) + (1/6)*x^6*Erf[b*x]}
+{x^3*Erf[b*x], x, 4, (3*x)/(E^(b^2*x^2)*(8*b^3*Sqrt[Pi])) + x^3/(E^(b^2*x^2)*(4*b*Sqrt[Pi])) - (3*Erf[b*x])/(16*b^4) + (1/4)*x^4*Erf[b*x]}
+{x^1*Erf[b*x], x, 3, x/(E^(b^2*x^2)*(2*b*Sqrt[Pi])) - Erf[b*x]/(4*b^2) + (1/2)*x^2*Erf[b*x]}
+{Erf[b*x]/x^1, x, 1, (2*b*x*HypergeometricPFQ[{1/2, 1/2}, {3/2, 3/2}, (-b^2)*x^2])/Sqrt[Pi]}
+{Erf[b*x]/x^3, x, 3, -(b/(E^(b^2*x^2)*(Sqrt[Pi]*x))) - b^2*Erf[b*x] - Erf[b*x]/(2*x^2)}
+{Erf[b*x]/x^5, x, 4, -(b/(E^(b^2*x^2)*(6*Sqrt[Pi]*x^3))) + b^3/(E^(b^2*x^2)*(3*Sqrt[Pi]*x)) + (1/3)*b^4*Erf[b*x] - Erf[b*x]/(4*x^4)}
+{Erf[b*x]/x^7, x, 5, -(b/(E^(b^2*x^2)*(15*Sqrt[Pi]*x^5))) + (2*b^3)/(E^(b^2*x^2)*(45*Sqrt[Pi]*x^3)) - (4*b^5)/(E^(b^2*x^2)*(45*Sqrt[Pi]*x)) - (4/45)*b^6*Erf[b*x] - Erf[b*x]/(6*x^6)}
+
+{x^6*Erf[b*x], x, 5, 6/(E^(b^2*x^2)*(7*b^7*Sqrt[Pi])) + (6*x^2)/(E^(b^2*x^2)*(7*b^5*Sqrt[Pi])) + (3*x^4)/(E^(b^2*x^2)*(7*b^3*Sqrt[Pi])) + x^6/(E^(b^2*x^2)*(7*b*Sqrt[Pi])) + (1/7)*x^7*Erf[b*x]}
+{x^4*Erf[b*x], x, 4, 2/(E^(b^2*x^2)*(5*b^5*Sqrt[Pi])) + (2*x^2)/(E^(b^2*x^2)*(5*b^3*Sqrt[Pi])) + x^4/(E^(b^2*x^2)*(5*b*Sqrt[Pi])) + (1/5)*x^5*Erf[b*x]}
+{x^2*Erf[b*x], x, 3, 1/(E^(b^2*x^2)*(3*b^3*Sqrt[Pi])) + x^2/(E^(b^2*x^2)*(3*b*Sqrt[Pi])) + (1/3)*x^3*Erf[b*x]}
+{x^0*Erf[b*x], x, 1, 1/(E^(b^2*x^2)*(b*Sqrt[Pi])) + x*Erf[b*x]}
+{Erf[b*x]/x^2, x, 2, -(Erf[b*x]/x) + (b*ExpIntegralEi[(-b^2)*x^2])/Sqrt[Pi]}
+{Erf[b*x]/x^4, x, 3, -(b/(E^(b^2*x^2)*(3*Sqrt[Pi]*x^2))) - Erf[b*x]/(3*x^3) - (b^3*ExpIntegralEi[(-b^2)*x^2])/(3*Sqrt[Pi])}
+{Erf[b*x]/x^6, x, 4, -(b/(E^(b^2*x^2)*(10*Sqrt[Pi]*x^4))) + b^3/(E^(b^2*x^2)*(10*Sqrt[Pi]*x^2)) - Erf[b*x]/(5*x^5) + (b^5*ExpIntegralEi[(-b^2)*x^2])/(10*Sqrt[Pi])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Erf[a+b x]*)
+
+
+{(c + d*x)^3*Erf[a + b*x], x, 12, (d^2*(b*c - a*d))/(E^(a + b*x)^2*(b^4*Sqrt[Pi])) + (b*c - a*d)^3/(E^(a + b*x)^2*(b^4*Sqrt[Pi])) + (3*d^3*(a + b*x))/(E^(a + b*x)^2*(8*b^4*Sqrt[Pi])) + (3*d*(b*c - a*d)^2*(a + b*x))/(E^(a + b*x)^2*(2*b^4*Sqrt[Pi])) + (d^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2)/(E^(a + b*x)^2*(b^4*Sqrt[Pi])) + (d^3*(a + b*x)^3)/(E^(a + b*x)^2*(4*b^4*Sqrt[Pi])) - (3*d^3*Erf[a + b*x])/(16*b^4) - (3*d*(b*c - a*d)^2*Erf[a + b*x])/(4*b^4) - ((b*c - a*d)^4*Erf[a + b*x])/(4*b^4*d) + ((c + d*x)^4*Erf[a + b*x])/(4*d)}
+{(c + d*x)^2*Erf[a + b*x], x, 9, d^2/(E^(a + b*x)^2*(3*b^3*Sqrt[Pi])) + (b*c - a*d)^2/(E^(a + b*x)^2*(b^3*Sqrt[Pi])) + (d*(b*c - a*d)*(a + b*x))/(E^(a + b*x)^2*(b^3*Sqrt[Pi])) + (d^2*(a + b*x)^2)/(E^(a + b*x)^2*(3*b^3*Sqrt[Pi])) - (d*(b*c - a*d)*Erf[a + b*x])/(2*b^3) - ((b*c - a*d)^3*Erf[a + b*x])/(3*b^3*d) + ((c + d*x)^3*Erf[a + b*x])/(3*d)}
+{(c + d*x)^1*Erf[a + b*x], x, 7, (b*c - a*d)/(E^(a + b*x)^2*(b^2*Sqrt[Pi])) + (d*(a + b*x))/(E^(a + b*x)^2*(2*b^2*Sqrt[Pi])) - (d*Erf[a + b*x])/(4*b^2) - ((b*c - a*d)^2*Erf[a + b*x])/(2*b^2*d) + ((c + d*x)^2*Erf[a + b*x])/(2*d)}
+{(c + d*x)^0*Erf[a + b*x], x, 1, 1/(E^(a + b*x)^2*(b*Sqrt[Pi])) + ((a + b*x)*Erf[a + b*x])/b}
+{Erf[a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Erf[a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{Erf[a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 1, -(Erf[a + b*x]/(d*(c + d*x))) + (2*b*Unintegrable[1/(E^(a + b*x)^2*(c + d*x)), x])/(d*Sqrt[Pi])}
+{Erf[a + b*x]/(c + d*x)^3, x, 3, -(b/(E^(a + b*x)^2*(d^2*Sqrt[Pi]*(c + d*x)))) - (b^2*Erf[a + b*x])/d^3 - Erf[a + b*x]/(2*d*(c + d*x)^2) + (2*b^2*(b*c - a*d)*Unintegrable[1/(E^(a + b*x)^2*(c + d*x)), x])/(d^3*Sqrt[Pi])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Erf[a+b x]^2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Erf[b x]^2*)
+
+
+{x^5*Erf[b*x]^2, x, 12, 11/(E^(2*b^2*x^2)*(12*b^6*Pi)) + (7*x^2)/(E^(2*b^2*x^2)*(12*b^4*Pi)) + x^4/(E^(2*b^2*x^2)*(6*b^2*Pi)) + (5*x*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(4*b^5*Sqrt[Pi])) + (5*x^3*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(6*b^3*Sqrt[Pi])) + (x^5*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(3*b*Sqrt[Pi])) - (5*Erf[b*x]^2)/(16*b^6) + (1/6)*x^6*Erf[b*x]^2}
+{x^3*Erf[b*x]^2, x, 8, 1/(E^(2*b^2*x^2)*(2*b^4*Pi)) + x^2/(E^(2*b^2*x^2)*(4*b^2*Pi)) + (3*x*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(4*b^3*Sqrt[Pi])) + (x^3*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(2*b*Sqrt[Pi])) - (3*Erf[b*x]^2)/(16*b^4) + (1/4)*x^4*Erf[b*x]^2}
+{x^1*Erf[b*x]^2, x, 5, 1/(E^(2*b^2*x^2)*(2*b^2*Pi)) + (x*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(b*Sqrt[Pi])) - Erf[b*x]^2/(4*b^2) + (1/2)*x^2*Erf[b*x]^2}
+{Erf[b*x]^2/x^1, x, 0, Unintegrable[Erf[b*x]^2/x, x]}
+{Erf[b*x]^2/x^3, x, 5, -((2*b*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(Sqrt[Pi]*x))) - b^2*Erf[b*x]^2 - Erf[b*x]^2/(2*x^2) + (2*b^2*ExpIntegralEi[-2*b^2*x^2])/Pi}
+{Erf[b*x]^2/x^5, x, 8, -(b^2/(E^(2*b^2*x^2)*(3*Pi*x^2))) - (b*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(3*Sqrt[Pi]*x^3)) + (2*b^3*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(3*Sqrt[Pi]*x)) + (1/3)*b^4*Erf[b*x]^2 - Erf[b*x]^2/(4*x^4) - (4*b^4*ExpIntegralEi[-2*b^2*x^2])/(3*Pi)}
+{Erf[b*x]^2/x^7, x, 12, -(b^2/(E^(2*b^2*x^2)*(15*Pi*x^4))) + (2*b^4)/(E^(2*b^2*x^2)*(9*Pi*x^2)) - (2*b*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(15*Sqrt[Pi]*x^5)) + (4*b^3*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(45*Sqrt[Pi]*x^3)) - (8*b^5*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(45*Sqrt[Pi]*x)) - (4/45)*b^6*Erf[b*x]^2 - Erf[b*x]^2/(6*x^6) + (28*b^6*ExpIntegralEi[-2*b^2*x^2])/(45*Pi)}
+
+{x^4*Erf[b*x]^2, x, 10, (11*x)/(E^(2*b^2*x^2)*(20*b^4*Pi)) + x^3/(E^(2*b^2*x^2)*(5*b^2*Pi)) + (4*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(5*b^5*Sqrt[Pi])) + (4*x^2*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(5*b^3*Sqrt[Pi])) + (2*x^4*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(5*b*Sqrt[Pi])) + (1/5)*x^5*Erf[b*x]^2 - (43*Erf[Sqrt[2]*b*x])/(40*b^5*Sqrt[2*Pi])}
+{x^2*Erf[b*x]^2, x, 6, x/(E^(2*b^2*x^2)*(3*b^2*Pi)) + (2*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(3*b^3*Sqrt[Pi])) + (2*x^2*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(3*b*Sqrt[Pi])) + (1/3)*x^3*Erf[b*x]^2 - (5*Erf[Sqrt[2]*b*x])/(6*b^3*Sqrt[2*Pi])}
+{x^0*Erf[b*x]^2, x, 4, (2*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(b*Sqrt[Pi])) + x*Erf[b*x]^2 - (Sqrt[2/Pi]*Erf[Sqrt[2]*b*x])/b}
+{Erf[b*x]^2/x^2, x, 0, Unintegrable[Erf[b*x]^2/x^2, x]}
+{Erf[b*x]^2/x^4, x, 0, Unintegrable[Erf[b*x]^2/x^4, x]}
+{Erf[b*x]^2/x^6, x, 0, Unintegrable[Erf[b*x]^2/x^6, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Erf[a+b x]^2*)
+
+
+{(c + d*x)^2*Erf[a + b*x]^2, x, 16, (d*(b*c - a*d))/(E^(2*(a + b*x)^2)*(b^3*Pi)) + (d^2*(a + b*x))/(E^(2*(a + b*x)^2)*(3*b^3*Pi)) + (2*d^2*Erf[a + b*x])/(E^(a + b*x)^2*(3*b^3*Sqrt[Pi])) + (2*(b*c - a*d)^2*Erf[a + b*x])/(E^(a + b*x)^2*(b^3*Sqrt[Pi])) + (2*d*(b*c - a*d)*(a + b*x)*Erf[a + b*x])/(E^(a + b*x)^2*(b^3*Sqrt[Pi])) + (2*d^2*(a + b*x)^2*Erf[a + b*x])/(E^(a + b*x)^2*(3*b^3*Sqrt[Pi])) - (d*(b*c - a*d)*Erf[a + b*x]^2)/(2*b^3) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)*Erf[a + b*x]^2)/b^3 + (d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2*Erf[a + b*x]^2)/b^3 + (d^2*(a + b*x)^3*Erf[a + b*x]^2)/(3*b^3) - ((b*c - a*d)^2*Sqrt[2/Pi]*Erf[Sqrt[2]*(a + b*x)])/b^3 - (5*d^2*Erf[Sqrt[2]*(a + b*x)])/(6*b^3*Sqrt[2*Pi])}
+{(c + d*x)^1*Erf[a + b*x]^2, x, 10, d/(E^(2*(a + b*x)^2)*(2*b^2*Pi)) + (2*(b*c - a*d)*Erf[a + b*x])/(E^(a + b*x)^2*(b^2*Sqrt[Pi])) + (d*(a + b*x)*Erf[a + b*x])/(E^(a + b*x)^2*(b^2*Sqrt[Pi])) - (d*Erf[a + b*x]^2)/(4*b^2) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)*Erf[a + b*x]^2)/b^2 + (d*(a + b*x)^2*Erf[a + b*x]^2)/(2*b^2) - ((b*c - a*d)*Sqrt[2/Pi]*Erf[Sqrt[2]*(a + b*x)])/b^2}
+{(c + d*x)^0*Erf[a + b*x]^2, x, 4, (2*Erf[a + b*x])/(E^(a + b*x)^2*(b*Sqrt[Pi])) + ((a + b*x)*Erf[a + b*x]^2)/b - (Sqrt[2/Pi]*Erf[Sqrt[2]*(a + b*x)])/b}
+{Erf[a + b*x]^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Erf[a + b*x]^2/(c + d*x), x]}
+{Erf[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Erf[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Erf[d (a+b Log[c x^n])]*)
+
+
+{x^2*Erf[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 5, (x^3*Erf[d*(a + b*Log[c*x^n])])/3 - (E^((9 - 12*a*b*d^2*n)/(4*b^2*d^2*n^2))*x^3*Erf[(2*a*b*d^2 - 3/n + 2*b^2*d^2*Log[c*x^n])/(2*b*d)])/(3*(c*x^n)^(3/n))}
+{x^1*Erf[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 5, (x^2*Erf[d*(a + b*Log[c*x^n])])/2 - (E^((1 - 2*a*b*d^2*n)/(b^2*d^2*n^2))*x^2*Erf[(a*b*d^2 - n^(-1) + b^2*d^2*Log[c*x^n])/(b*d)])/(2*(c*x^n)^(2/n))}
+{x^0*Erf[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 5, x*Erf[d*(a + b*Log[c*x^n])] - (E^((1 - 4*a*b*d^2*n)/(4*b^2*d^2*n^2))*x*Erf[(2*a*b*d^2 - n^(-1) + 2*b^2*d^2*Log[c*x^n])/(2*b*d)])/(c*x^n)^n^(-1)}
+{Erf[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^1, x, 3, 1/(b*d*E^(d^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)*n*Sqrt[Pi]) + (Erf[d*(a + b*Log[c*x^n])]*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)}
+{Erf[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^2, x, 5, -(Erf[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x) + (E^(1/(4*b^2*d^2*n^2) + a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)*Erf[(2*a*b*d^2 + n^(-1) + 2*b^2*d^2*Log[c*x^n])/(2*b*d)])/x}
+{Erf[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^3, x, 5, -Erf[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(2*x^2) + (E^((1 + 2*a*b*d^2*n)/(b^2*d^2*n^2))*(c*x^n)^(2/n)*Erf[(1 + a*b*d^2*n + b^2*d^2*n*Log[c*x^n])/(b*d*n)])/(2*x^2)}
+
+
+{(e*x)^m*Erf[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 5, ((e*x)^(1 + m)*Erf[d*(a + b*Log[c*x^n])])/(e*(1 + m)) + (E^(((1 + m)*(1 + m - 4*a*b*d^2*n))/(4*b^2*d^2*n^2))*x*(e*x)^m*Erf[(1 + m - 2*a*b*d^2*n - 2*b^2*d^2*n*Log[c*x^n])/(2*b*d*n)])/((1 + m)*(c*x^n)^((1 + m)/n))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m E^(c+d x^2) Erf[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(c-b^2 x^2) Erf[b x]^n*)
+
+
+{E^(c - b^2*x^2)*Erf[b*x]^2, x, 2, (E^c*Sqrt[Pi]*Erf[b*x]^3)/(6*b)}
+{E^(c - b^2*x^2)*Erf[b*x]^1, x, 2, (E^c*Sqrt[Pi]*Erf[b*x]^2)/(4*b)}
+{E^(c - b^2*x^2)/Erf[b*x]^1, x, 2, (E^c*Sqrt[Pi]*Log[Erf[b*x]])/(2*b)}
+{E^(c - b^2*x^2)/Erf[b*x]^2, x, 2, -((E^c*Sqrt[Pi])/(2*b*Erf[b*x]))}
+{E^(c - b^2*x^2)/Erf[b*x]^3, x, 2, -((E^c*Sqrt[Pi])/(4*b*Erf[b*x]^2))}
+
+
+{E^(c - b^2*x^2)*Erf[b*x]^n, x, 2, (E^c*Sqrt[Pi]*Erf[b*x]^(1 + n))/(2*b*(1 + n))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(c+d x^2) Erf[b x]*)
+
+
+{x^5*E^(c + d*x^2)*Erf[b*x], x, 9, -((b*E^(c - (b^2 - d)*x^2)*x)/((b^2 - d)*d^2*Sqrt[Pi])) + (3*b*E^(c - (b^2 - d)*x^2)*x)/(4*(b^2 - d)^2*d*Sqrt[Pi]) + (b*E^(c - (b^2 - d)*x^2)*x^3)/(2*(b^2 - d)*d*Sqrt[Pi]) + (E^(c + d*x^2)*Erf[b*x])/d^3 - (E^(c + d*x^2)*x^2*Erf[b*x])/d^2 + (E^(c + d*x^2)*x^4*Erf[b*x])/(2*d) - (b*E^c*Erf[Sqrt[b^2 - d]*x])/(Sqrt[b^2 - d]*d^3) + (b*E^c*Erf[Sqrt[b^2 - d]*x])/(2*(b^2 - d)^(3/2)*d^2) - (3*b*E^c*Erf[Sqrt[b^2 - d]*x])/(8*(b^2 - d)^(5/2)*d)}
+{x^3*E^(c + d*x^2)*Erf[b*x], x, 5, (b*E^(c - (b^2 - d)*x^2)*x)/(2*(b^2 - d)*d*Sqrt[Pi]) - (E^(c + d*x^2)*Erf[b*x])/(2*d^2) + (E^(c + d*x^2)*x^2*Erf[b*x])/(2*d) + (b*E^c*Erf[Sqrt[b^2 - d]*x])/(2*Sqrt[b^2 - d]*d^2) - (b*E^c*Erf[Sqrt[b^2 - d]*x])/(4*(b^2 - d)^(3/2)*d)}
+{x^1*E^(c + d*x^2)*Erf[b*x], x, 2, (E^(c + d*x^2)*Erf[b*x])/(2*d) - (b*E^c*Erf[Sqrt[b^2 - d]*x])/(2*Sqrt[b^2 - d]*d)}
+{E^(c + d*x^2)*Erf[b*x]/x^1, x, 0, Unintegrable[(E^(c + d*x^2)*Erf[b*x])/x, x]}
+{E^(c + d*x^2)*Erf[b*x]/x^3, x, 3, -((b*E^(c - (b^2 - d)*x^2))/(Sqrt[Pi]*x)) - (E^(c + d*x^2)*Erf[b*x])/(2*x^2) - b*Sqrt[b^2 - d]*E^c*Erf[Sqrt[b^2 - d]*x] + d*Unintegrable[(E^(c + d*x^2)*Erf[b*x])/x, x]}
+{E^(c + d*x^2)*Erf[b*x]/x^5, x, 7, -((b*E^(c - (b^2 - d)*x^2))/(6*Sqrt[Pi]*x^3)) + (b*(b^2 - d)*E^(c - (b^2 - d)*x^2))/(3*Sqrt[Pi]*x) - (b*d*E^(c - (b^2 - d)*x^2))/(2*Sqrt[Pi]*x) - (E^(c + d*x^2)*Erf[b*x])/(4*x^4) - (d*E^(c + d*x^2)*Erf[b*x])/(4*x^2) + (1/3)*b*(b^2 - d)^(3/2)*E^c*Erf[Sqrt[b^2 - d]*x] - (1/2)*b*Sqrt[b^2 - d]*d*E^c*Erf[Sqrt[b^2 - d]*x] + (1/2)*d^2*Unintegrable[(E^(c + d*x^2)*Erf[b*x])/x, x]}
+
+{x^4*E^(c + d*x^2)*Erf[b*x], x, 5, -((3*b*E^(c - (b^2 - d)*x^2))/(4*(b^2 - d)*d^2*Sqrt[Pi])) + (b*E^(c - (b^2 - d)*x^2))/(2*(b^2 - d)^2*d*Sqrt[Pi]) + (b*E^(c - (b^2 - d)*x^2)*x^2)/(2*(b^2 - d)*d*Sqrt[Pi]) - (3*E^(c + d*x^2)*x*Erf[b*x])/(4*d^2) + (E^(c + d*x^2)*x^3*Erf[b*x])/(2*d) + (3*Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erf[b*x], x])/(4*d^2)}
+{x^2*E^(c + d*x^2)*Erf[b*x], x, 2, (b*E^(c - (b^2 - d)*x^2))/(2*(b^2 - d)*d*Sqrt[Pi]) + (E^(c + d*x^2)*x*Erf[b*x])/(2*d) - Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erf[b*x], x]/(2*d)}
+{x^0*E^(c + d*x^2)*Erf[b*x], x, 0, Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erf[b*x], x]}
+{E^(c + d*x^2)*Erf[b*x]/x^2, x, 2, -((E^(c + d*x^2)*Erf[b*x])/x) + (b*E^c*ExpIntegralEi[-((b^2 - d)*x^2)])/Sqrt[Pi] + 2*d*Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erf[b*x], x]}
+{E^(c + d*x^2)*Erf[b*x]/x^4, x, 5, -((b*E^(c - (b^2 - d)*x^2))/(3*Sqrt[Pi]*x^2)) - (E^(c + d*x^2)*Erf[b*x])/(3*x^3) - (2*d*E^(c + d*x^2)*Erf[b*x])/(3*x) - (b*(b^2 - d)*E^c*ExpIntegralEi[-((b^2 - d)*x^2)])/(3*Sqrt[Pi]) + (2*b*d*E^c*ExpIntegralEi[-((b^2 - d)*x^2)])/(3*Sqrt[Pi]) + (4/3)*d^2*Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erf[b*x], x]}
+
+
+{x^5*E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x], x, 8, -((2*E^c*x)/(b^5*Sqrt[Pi])) + (2*E^c*x^3)/(3*b^3*Sqrt[Pi]) - (E^c*x^5)/(5*b*Sqrt[Pi]) + (E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x])/b^6 - (E^(c + b^2*x^2)*x^2*Erf[b*x])/b^4 + (E^(c + b^2*x^2)*x^4*Erf[b*x])/(2*b^2)}
+{x^3*E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x], x, 5, (E^c*x)/(b^3*Sqrt[Pi]) - (E^c*x^3)/(3*b*Sqrt[Pi]) - (E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x])/(2*b^4) + (E^(c + b^2*x^2)*x^2*Erf[b*x])/(2*b^2)}
+{x^1*E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x], x, 2, -((E^c*x)/(b*Sqrt[Pi])) + (E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x])/(2*b^2)}
+{E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x]/x^1, x, 1, (2*b*E^c*x*HypergeometricPFQ[{1/2, 1}, {3/2, 3/2}, b^2*x^2])/Sqrt[Pi]}
+{E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x]/x^3, x, 4, -((b*E^c)/(Sqrt[Pi]*x)) - (E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x])/(2*x^2) + (2*b^3*E^c*x*HypergeometricPFQ[{1/2, 1}, {3/2, 3/2}, b^2*x^2])/Sqrt[Pi]}
+{E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x]/x^5, x, 7, -((b*E^c)/(6*Sqrt[Pi]*x^3)) - (b^3*E^c)/(2*Sqrt[Pi]*x) - (E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x])/(4*x^4) - (b^2*E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x])/(4*x^2) + (b^5*E^c*x*HypergeometricPFQ[{1/2, 1}, {3/2, 3/2}, b^2*x^2])/Sqrt[Pi]}
+
+{x^4*E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x], x, 7, (3*E^c*x^2)/(4*b^3*Sqrt[Pi]) - (E^c*x^4)/(4*b*Sqrt[Pi]) - (3*E^(c + b^2*x^2)*x*Erf[b*x])/(4*b^4) + (E^(c + b^2*x^2)*x^3*Erf[b*x])/(2*b^2) + (3*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(4*b^3*Sqrt[Pi])}
+{x^2*E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x], x, 4, -((E^c*x^2)/(2*b*Sqrt[Pi])) + (E^(c + b^2*x^2)*x*Erf[b*x])/(2*b^2) - (E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(2*b*Sqrt[Pi])}
+{x^0*E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x], x, 1, (b*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/Sqrt[Pi]}
+{E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x]/x^2, x, 4, -((E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x])/x) + (2*b^3*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/Sqrt[Pi] + (2*b*E^c*Log[x])/Sqrt[Pi]}
+{E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x]/x^4, x, 7, -((b*E^c)/(3*Sqrt[Pi]*x^2)) - (E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x])/(3*x^3) - (2*b^2*E^(c + b^2*x^2)*Erf[b*x])/(3*x) + (4*b^5*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(3*Sqrt[Pi]) + (4*b^3*E^c*Log[x])/(3*Sqrt[Pi])}
+
+
+{x^5*E^(-b^2*x^2)*Erf[b*x], x, 9, -((11*x)/(E^(2*b^2*x^2)*(16*b^5*Sqrt[Pi]))) - x^3/(E^(2*b^2*x^2)*(4*b^3*Sqrt[Pi])) - Erf[b*x]/(E^(b^2*x^2)*b^6) - (x^2*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*b^4) - (x^4*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(2*b^2)) + (43*Erf[Sqrt[2]*b*x])/(32*Sqrt[2]*b^6)}
+{x^3*E^(-b^2*x^2)*Erf[b*x], x, 5, -(x/(E^(2*b^2*x^2)*(4*b^3*Sqrt[Pi]))) - Erf[b*x]/(E^(b^2*x^2)*(2*b^4)) - (x^2*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(2*b^2)) + (5*Erf[Sqrt[2]*b*x])/(8*Sqrt[2]*b^4)}
+{x^1*E^(-b^2*x^2)*Erf[b*x], x, 2, -(Erf[b*x]/(E^(b^2*x^2)*(2*b^2))) + Erf[Sqrt[2]*b*x]/(2*Sqrt[2]*b^2)}
+{E^(-b^2*x^2)*Erf[b*x]/x^1, x, 0, Unintegrable[Erf[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x), x]}
+{E^(-b^2*x^2)*Erf[b*x]/x^3, x, 3, -(b/(E^(2*b^2*x^2)*(Sqrt[Pi]*x))) - Erf[b*x]/(E^(b^2*x^2)*(2*x^2)) - Sqrt[2]*b^2*Erf[Sqrt[2]*b*x] - b^2*Unintegrable[Erf[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x), x]}
+{E^(-b^2*x^2)*Erf[b*x]/x^5, x, 7, -(b/(E^(2*b^2*x^2)*(6*Sqrt[Pi]*x^3))) + (7*b^3)/(E^(2*b^2*x^2)*(6*Sqrt[Pi]*x)) - Erf[b*x]/(E^(b^2*x^2)*(4*x^4)) + (b^2*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(4*x^2)) + (b^4*Erf[Sqrt[2]*b*x])/Sqrt[2] + (2/3)*Sqrt[2]*b^4*Erf[Sqrt[2]*b*x] + (1/2)*b^4*Unintegrable[Erf[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x), x]}
+
+{x^4*E^(-b^2*x^2)*Erf[b*x], x, 7, -(1/(E^(2*b^2*x^2)*(2*b^5*Sqrt[Pi]))) - x^2/(E^(2*b^2*x^2)*(4*b^3*Sqrt[Pi])) - (3*x*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(4*b^4)) - (x^3*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(2*b^2)) + (3*Sqrt[Pi]*Erf[b*x]^2)/(16*b^5)}
+{x^2*E^(-b^2*x^2)*Erf[b*x], x, 4, -(1/(E^(2*b^2*x^2)*(4*b^3*Sqrt[Pi]))) - (x*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(2*b^2)) + (Sqrt[Pi]*Erf[b*x]^2)/(8*b^3)}
+{x^0*E^(-b^2*x^2)*Erf[b*x], x, 2, (Sqrt[Pi]*Erf[b*x]^2)/(4*b)}
+{E^(-b^2*x^2)*Erf[b*x]/x^2, x, 4, -(Erf[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x)) - (1/2)*b*Sqrt[Pi]*Erf[b*x]^2 + (b*ExpIntegralEi[-2*b^2*x^2])/Sqrt[Pi]}
+{E^(-b^2*x^2)*Erf[b*x]/x^4, x, 7, -(b/(E^(2*b^2*x^2)*(3*Sqrt[Pi]*x^2))) - Erf[b*x]/(E^(b^2*x^2)*(3*x^3)) + (2*b^2*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(3*x)) + (1/3)*b^3*Sqrt[Pi]*Erf[b*x]^2 - (4*b^3*ExpIntegralEi[-2*b^2*x^2])/(3*Sqrt[Pi])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(c+d x^2) Erf[a+b x]*)
+
+
+{x^3*E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x], x, 10, -((a*b^2*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2))/(2*(b^2 - d)^2*d*Sqrt[Pi])) + (b*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2)*x)/(2*(b^2 - d)*d*Sqrt[Pi]) - (E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x])/(2*d^2) + (E^(c + d*x^2)*x^2*Erf[a + b*x])/(2*d) + (b*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]])/(2*Sqrt[b^2 - d]*d^2) - (a^2*b^3*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]])/(2*(b^2 - d)^(5/2)*d) - (b*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]])/(4*(b^2 - d)^(3/2)*d)}
+{x^1*E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x], x, 3, (E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x])/(2*d) - (b*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]])/(2*Sqrt[b^2 - d]*d)}
+{E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x]/x^1, x, 0, Unintegrable[(E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x])/x, x]}
+{E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x]/x^3, x, 4, -((b*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2))/(Sqrt[Pi]*x)) - (E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x])/(2*x^2) - b*Sqrt[b^2 - d]*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]] - (2*a*b^2*Unintegrable[E^(-a^2 + c - 2*a*b*x + (-b^2 + d)*x^2)/x, x])/Sqrt[Pi] + d*Unintegrable[(E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x])/x, x]}
+
+{x^4*E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x], x, 15, -((3*b*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2))/(4*(b^2 - d)*d^2*Sqrt[Pi])) + (a^2*b^3*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2))/(2*(b^2 - d)^3*d*Sqrt[Pi]) + (b*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2))/(2*(b^2 - d)^2*d*Sqrt[Pi]) - (a*b^2*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2)*x)/(2*(b^2 - d)^2*d*Sqrt[Pi]) + (b*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2)*x^2)/(2*(b^2 - d)*d*Sqrt[Pi]) - (3*E^(c + d*x^2)*x*Erf[a + b*x])/(4*d^2) + (E^(c + d*x^2)*x^3*Erf[a + b*x])/(2*d) - (3*a*b^2*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]])/(4*(b^2 - d)^(3/2)*d^2) + (a^3*b^4*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]])/(2*(b^2 - d)^(7/2)*d) + (3*a*b^2*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]])/(4*(b^2 - d)^(5/2)*d) + (3*Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x], x])/(4*d^2)}
+{x^2*E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x], x, 4, (b*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2))/(2*(b^2 - d)*d*Sqrt[Pi]) + (E^(c + d*x^2)*x*Erf[a + b*x])/(2*d) + (a*b^2*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]])/(2*(b^2 - d)^(3/2)*d) - Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x], x]/(2*d)}
+{x^0*E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x], x, 0, Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x], x]}
+{E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x]/x^2, x, 1, -((E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x])/x) + (2*b*Unintegrable[E^(-a^2 + c - 2*a*b*x + (-b^2 + d)*x^2)/x, x])/Sqrt[Pi] + 2*d*Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x], x]}
+{E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x]/x^4, x, 6, -((b*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2))/(3*Sqrt[Pi]*x^2)) + (2*a*b^2*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2))/(3*Sqrt[Pi]*x) - (E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x])/(3*x^3) - (2*d*E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x])/(3*x) + (2/3)*a*b^2*Sqrt[b^2 - d]*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]] + (4*a^2*b^3*Unintegrable[E^(-a^2 + c - 2*a*b*x + (-b^2 + d)*x^2)/x, x])/(3*Sqrt[Pi]) - (2*b*(b^2 - d)*Unintegrable[E^(-a^2 + c - 2*a*b*x + (-b^2 + d)*x^2)/x, x])/(3*Sqrt[Pi]) + (4*b*d*Unintegrable[E^(-a^2 + c - 2*a*b*x + (-b^2 + d)*x^2)/x, x])/(3*Sqrt[Pi]) + (4/3)*d^2*Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x], x]}
+
+
+{Erf[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x^3) + (b^2*Erf[b*x])/(E^(b^2*x^2)*x), x, 4, -(b/(E^(2*b^2*x^2)*(Sqrt[Pi]*x))) - Erf[b*x]/(E^(b^2*x^2)*(2*x^2)) - Sqrt[2]*b^2*Erf[Sqrt[2]*b*x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Trig[c+d x^2] Erf[a+b x]^n*)
+
+
+{Sin[c + I*b^2*x^2]*Erf[b*x], x, 4, -((I*E^(I*c)*Sqrt[Pi]*Erf[b*x]^2)/(8*b)) + (I*b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(E^(I*c)*(2*Sqrt[Pi]))}
+{Sin[c - I*b^2*x^2]*Erf[b*x], x, 4, (I*Sqrt[Pi]*Erf[b*x]^2)/(E^(I*c)*(8*b)) - (I*b*E^(I*c)*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(2*Sqrt[Pi])}
+
+
+{Cos[c + I*b^2*x^2]*Erf[b*x], x, 4, (E^(I*c)*Sqrt[Pi]*Erf[b*x]^2)/(8*b) + (b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(E^(I*c)*(2*Sqrt[Pi]))}
+{Cos[c - I*b^2*x^2]*Erf[b*x], x, 4, (Sqrt[Pi]*Erf[b*x]^2)/(E^(I*c)*(8*b)) + (b*E^(I*c)*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(2*Sqrt[Pi])}
+
+
+{Sinh[c + b^2*x^2]*Erf[b*x], x, 4, -((Sqrt[Pi]*Erf[b*x]^2)/(E^c*(8*b))) + (b*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(2*Sqrt[Pi])}
+{Sinh[c - b^2*x^2]*Erf[b*x], x, 4, (E^c*Sqrt[Pi]*Erf[b*x]^2)/(8*b) - (b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(E^c*(2*Sqrt[Pi]))}
+
+
+{Cosh[c + b^2*x^2]*Erf[b*x], x, 4, (Sqrt[Pi]*Erf[b*x]^2)/(E^c*(8*b)) + (b*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(2*Sqrt[Pi])}
+{Cosh[c - b^2*x^2]*Erf[b*x], x, 4, (E^c*Sqrt[Pi]*Erf[b*x]^2)/(8*b) + (b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(E^c*(2*Sqrt[Pi]))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integration Problems Involving The Complementary Error Function*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Erfc[a+b x]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Erfc[b x]*)
+
+
+{x^5*Erfc[b*x], x, 5, (-5*x)/(8*b^5*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - (5*x^3)/(12*b^3*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - x^5/(6*b*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) + (5*Erf[b*x])/(16*b^6) + (x^6*Erfc[b*x])/6}
+{x^3*Erfc[b*x], x, 4, (-3*x)/(8*b^3*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - x^3/(4*b*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) + (3*Erf[b*x])/(16*b^4) + (x^4*Erfc[b*x])/4}
+{x^1*Erfc[b*x], x, 3, -x/(2*b*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) + Erf[b*x]/(4*b^2) + (x^2*Erfc[b*x])/2}
+{Erfc[b*x]/x^1, x, 2, (-2*b*x*HypergeometricPFQ[{1/2, 1/2}, {3/2, 3/2}, -(b^2*x^2)])/Sqrt[Pi] + Log[x]}
+{Erfc[b*x]/x^3, x, 3, b/(E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x) + b^2*Erf[b*x] - Erfc[b*x]/(2*x^2)}
+{Erfc[b*x]/x^5, x, 4, b/(6*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x^3) - b^3/(3*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x) - (b^4*Erf[b*x])/3 - Erfc[b*x]/(4*x^4)}
+{Erfc[b*x]/x^7, x, 5, b/(15*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x^5) - (2*b^3)/(45*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x^3) + (4*b^5)/(45*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x) + (4*b^6*Erf[b*x])/45 - Erfc[b*x]/(6*x^6)}
+
+{x^6*Erfc[b*x], x, 5, -6/(7*b^7*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - (6*x^2)/(7*b^5*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - (3*x^4)/(7*b^3*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - x^6/(7*b*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) + (x^7*Erfc[b*x])/7}
+{x^4*Erfc[b*x], x, 4, -2/(5*b^5*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - (2*x^2)/(5*b^3*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - x^4/(5*b*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) + (x^5*Erfc[b*x])/5}
+{x^2*Erfc[b*x], x, 3, -1/(3*b^3*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - x^2/(3*b*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) + (x^3*Erfc[b*x])/3}
+{x^0*Erfc[b*x], x, 1, -(1/(b*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi])) + x*Erfc[b*x]}
+{Erfc[b*x]/x^2, x, 2, -(Erfc[b*x]/x) - (b*ExpIntegralEi[-(b^2*x^2)])/Sqrt[Pi]}
+{Erfc[b*x]/x^4, x, 3, b/(3*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x^2) - Erfc[b*x]/(3*x^3) + (b^3*ExpIntegralEi[-(b^2*x^2)])/(3*Sqrt[Pi])}
+{Erfc[b*x]/x^6, x, 4, b/(10*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x^4) - b^3/(10*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x^2) - Erfc[b*x]/(5*x^5) - (b^5*ExpIntegralEi[-(b^2*x^2)])/(10*Sqrt[Pi])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Erfc[a+b x]*)
+
+
+{(c + d*x)^3*Erfc[a + b*x], x, 12, -((d^2*(b*c - a*d))/(b^4*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi])) - (b*c - a*d)^3/(b^4*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi]) - (3*d^3*(a + b*x))/(8*b^4*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi]) - (3*d*(b*c - a*d)^2*(a + b*x))/(2*b^4*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi]) - (d^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2)/(b^4*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi]) - (d^3*(a + b*x)^3)/(4*b^4*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi]) + (3*d^3*Erf[a + b*x])/(16*b^4) + (3*d*(b*c - a*d)^2*Erf[a + b*x])/(4*b^4) + ((b*c - a*d)^4*Erf[a + b*x])/(4*b^4*d) + ((c + d*x)^4*Erfc[a + b*x])/(4*d)}
+{(c + d*x)^2*Erfc[a + b*x], x, 9, -d^2/(3*b^3*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi]) - (b*c - a*d)^2/(b^3*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi]) - (d*(b*c - a*d)*(a + b*x))/(b^3*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi]) - (d^2*(a + b*x)^2)/(3*b^3*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi]) + (d*(b*c - a*d)*Erf[a + b*x])/(2*b^3) + ((b*c - a*d)^3*Erf[a + b*x])/(3*b^3*d) + ((c + d*x)^3*Erfc[a + b*x])/(3*d)}
+{(c + d*x)^1*Erfc[a + b*x], x, 7, -((b*c - a*d)/(b^2*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi])) - (d*(a + b*x))/(2*b^2*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi]) + (d*Erf[a + b*x])/(4*b^2) + ((b*c - a*d)^2*Erf[a + b*x])/(2*b^2*d) + ((c + d*x)^2*Erfc[a + b*x])/(2*d)}
+{(c + d*x)^0*Erfc[a + b*x], x, 1, -(1/(b*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi])) + ((a + b*x)*Erfc[a + b*x])/b}
+{Erfc[a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Erfc[a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{Erfc[a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 1, -(Erfc[a + b*x]/(d*(c + d*x))) - (2*b*Unintegrable[1/(E^(a + b*x)^2*(c + d*x)), x])/(d*Sqrt[Pi])}
+{Erfc[a + b*x]/(c + d*x)^3, x, 3, b/(d^2*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi]*(c + d*x)) + (b^2*Erf[a + b*x])/d^3 - Erfc[a + b*x]/(2*d*(c + d*x)^2) - (2*b^2*(b*c - a*d)*Unintegrable[1/(E^(a + b*x)^2*(c + d*x)), x])/(d^3*Sqrt[Pi])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Erfc[a+b x]^2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Erfc[b x]^2*)
+
+
+{x^5*Erfc[b*x]^2, x, 12, 11/(12*b^6*E^(2*b^2*x^2)*Pi) + (7*x^2)/(12*b^4*E^(2*b^2*x^2)*Pi) + x^4/(6*b^2*E^(2*b^2*x^2)*Pi) - (5*x*Erfc[b*x])/(4*b^5*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - (5*x^3*Erfc[b*x])/(6*b^3*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - (x^5*Erfc[b*x])/(3*b*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - (5*Erfc[b*x]^2)/(16*b^6) + (x^6*Erfc[b*x]^2)/6}
+{x^3*Erfc[b*x]^2, x, 8, 1/(2*b^4*E^(2*b^2*x^2)*Pi) + x^2/(4*b^2*E^(2*b^2*x^2)*Pi) - (3*x*Erfc[b*x])/(4*b^3*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - (x^3*Erfc[b*x])/(2*b*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - (3*Erfc[b*x]^2)/(16*b^4) + (x^4*Erfc[b*x]^2)/4}
+{x^1*Erfc[b*x]^2, x, 5, 1/(2*b^2*E^(2*b^2*x^2)*Pi) - (x*Erfc[b*x])/(b*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - Erfc[b*x]^2/(4*b^2) + (x^2*Erfc[b*x]^2)/2}
+{Erfc[b*x]^2/x^1, x, 0, Unintegrable[Erfc[b*x]^2/x, x]}
+{Erfc[b*x]^2/x^3, x, 5, (2*b*Erfc[b*x])/(E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x) - b^2*Erfc[b*x]^2 - Erfc[b*x]^2/(2*x^2) + (2*b^2*ExpIntegralEi[-2*b^2*x^2])/Pi}
+{Erfc[b*x]^2/x^5, x, 8, -b^2/(3*E^(2*b^2*x^2)*Pi*x^2) + (b*Erfc[b*x])/(3*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x^3) - (2*b^3*Erfc[b*x])/(3*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x) + (b^4*Erfc[b*x]^2)/3 - Erfc[b*x]^2/(4*x^4) - (4*b^4*ExpIntegralEi[-2*b^2*x^2])/(3*Pi)}
+{Erfc[b*x]^2/x^7, x, 12, -b^2/(15*E^(2*b^2*x^2)*Pi*x^4) + (2*b^4)/(9*E^(2*b^2*x^2)*Pi*x^2) + (2*b*Erfc[b*x])/(15*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x^5) - (4*b^3*Erfc[b*x])/(45*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x^3) + (8*b^5*Erfc[b*x])/(45*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x) - (4*b^6*Erfc[b*x]^2)/45 - Erfc[b*x]^2/(6*x^6) + (28*b^6*ExpIntegralEi[-2*b^2*x^2])/(45*Pi)}
+
+{x^4*Erfc[b*x]^2, x, 10, (11*x)/(20*b^4*E^(2*b^2*x^2)*Pi) + x^3/(5*b^2*E^(2*b^2*x^2)*Pi) - (43*Erf[Sqrt[2]*b*x])/(40*b^5*Sqrt[2*Pi]) - (4*Erfc[b*x])/(5*b^5*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - (4*x^2*Erfc[b*x])/(5*b^3*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - (2*x^4*Erfc[b*x])/(5*b*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) + (x^5*Erfc[b*x]^2)/5}
+{x^2*Erfc[b*x]^2, x, 6, x/(3*b^2*E^(2*b^2*x^2)*Pi) - (5*Erf[Sqrt[2]*b*x])/(6*b^3*Sqrt[2*Pi]) - (2*Erfc[b*x])/(3*b^3*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - (2*x^2*Erfc[b*x])/(3*b*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) + (x^3*Erfc[b*x]^2)/3}
+{x^0*Erfc[b*x]^2, x, 4, -((Sqrt[2/Pi]*Erf[Sqrt[2]*b*x])/b) - (2*Erfc[b*x])/(b*E^(b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) + x*Erfc[b*x]^2}
+{Erfc[b*x]^2/x^2, x, 0, Unintegrable[Erfc[b*x]^2/x^2, x]}
+{Erfc[b*x]^2/x^4, x, 0, Unintegrable[Erfc[b*x]^2/x^4, x]}
+{Erfc[b*x]^2/x^6, x, 0, Unintegrable[Erfc[b*x]^2/x^6, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Erfc[a+b x]^2*)
+
+
+{(c + d*x)^2*Erfc[a + b*x]^2, x, 16, (d*(b*c - a*d))/(b^3*E^(2*(a + b*x)^2)*Pi) + (d^2*(a + b*x))/(3*b^3*E^(2*(a + b*x)^2)*Pi) - ((b*c - a*d)^2*Sqrt[2/Pi]*Erf[Sqrt[2]*(a + b*x)])/b^3 - (5*d^2*Erf[Sqrt[2]*(a + b*x)])/(6*b^3*Sqrt[2*Pi]) - (2*d^2*Erfc[a + b*x])/(3*b^3*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi]) - (2*(b*c - a*d)^2*Erfc[a + b*x])/(b^3*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi]) - (2*d*(b*c - a*d)*(a + b*x)*Erfc[a + b*x])/(b^3*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi]) - (2*d^2*(a + b*x)^2*Erfc[a + b*x])/(3*b^3*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi]) - (d*(b*c - a*d)*Erfc[a + b*x]^2)/(2*b^3) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)*Erfc[a + b*x]^2)/b^3 + (d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2*Erfc[a + b*x]^2)/b^3 + (d^2*(a + b*x)^3*Erfc[a + b*x]^2)/(3*b^3)}
+{(c + d*x)^1*Erfc[a + b*x]^2, x, 10, d/(2*b^2*E^(2*(a + b*x)^2)*Pi) - ((b*c - a*d)*Sqrt[2/Pi]*Erf[Sqrt[2]*(a + b*x)])/b^2 - (2*(b*c - a*d)*Erfc[a + b*x])/(b^2*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi]) - (d*(a + b*x)*Erfc[a + b*x])/(b^2*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi]) - (d*Erfc[a + b*x]^2)/(4*b^2) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)*Erfc[a + b*x]^2)/b^2 + (d*(a + b*x)^2*Erfc[a + b*x]^2)/(2*b^2)}
+{(c + d*x)^0*Erfc[a + b*x]^2, x, 4, -((Sqrt[2/Pi]*Erf[Sqrt[2]*(a + b*x)])/b) - (2*Erfc[a + b*x])/(b*E^(a + b*x)^2*Sqrt[Pi]) + ((a + b*x)*Erfc[a + b*x]^2)/b}
+{Erfc[a + b*x]^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Erfc[a + b*x]^2/(c + d*x), x]}
+{Erfc[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Erfc[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Erfc[d (a+b Log[c x^n])]*)
+
+
+{x^2*Erfc[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 5, (E^((9 - 12*a*b*d^2*n)/(4*b^2*d^2*n^2))*x^3*Erf[(2*a*b*d^2 - 3/n + 2*b^2*d^2*Log[c*x^n])/(2*b*d)])/(3*(c*x^n)^(3/n)) + (x^3*Erfc[d*(a + b*Log[c*x^n])])/3}
+{x^1*Erfc[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 5, (E^((1 - 2*a*b*d^2*n)/(b^2*d^2*n^2))*x^2*Erf[(a*b*d^2 - n^(-1) + b^2*d^2*Log[c*x^n])/(b*d)])/(2*(c*x^n)^(2/n)) + (x^2*Erfc[d*(a + b*Log[c*x^n])])/2}
+{x^0*Erfc[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 5, (E^((1 - 4*a*b*d^2*n)/(4*b^2*d^2*n^2))*x*Erf[(2*a*b*d^2 - n^(-1) + 2*b^2*d^2*Log[c*x^n])/(2*b*d)])/(c*x^n)^n^(-1) + x*Erfc[d*(a + b*Log[c*x^n])]}
+{Erfc[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^1, x, 3, -(1/(b*d*E^(d^2*(a + b*Log[c*x^n])^2)*n*Sqrt[Pi])) + (Erfc[d*(a + b*Log[c*x^n])]*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)}
+{Erfc[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^2, x, 5, -((E^(1/(4*b^2*d^2*n^2) + a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)*Erf[(2*a*b*d^2 + n^(-1) + 2*b^2*d^2*Log[c*x^n])/(2*b*d)])/x) - Erfc[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x}
+{Erfc[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^3, x, 5, -(E^((1 + 2*a*b*d^2*n)/(b^2*d^2*n^2))*(c*x^n)^(2/n)*Erf[(1 + a*b*d^2*n + b^2*d^2*n*Log[c*x^n])/(b*d*n)])/(2*x^2) - Erfc[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(2*x^2)}
+
+
+{(e*x)^m*Erfc[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 5, -((E^(((1 + m)*(1 + m - 4*a*b*d^2*n))/(4*b^2*d^2*n^2))*x*(e*x)^m*Erf[(1 + m - 2*a*b*d^2*n - 2*b^2*d^2*n*Log[c*x^n])/(2*b*d*n)])/((1 + m)*(c*x^n)^((1 + m)/n))) + ((e*x)^(1 + m)*Erfc[d*(a + b*Log[c*x^n])])/(e*(1 + m))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m E^(c+d x^2) Erfc[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(c-b^2 x^2) Erfc[b x]^n*)
+
+
+{E^(c - b^2*x^2)*Erfc[b*x]^2, x, 2, -((E^c*Sqrt[Pi]*Erfc[b*x]^3)/(6*b))}
+{E^(c - b^2*x^2)*Erfc[b*x]^1, x, 2, -((E^c*Sqrt[Pi]*Erfc[b*x]^2)/(4*b))}
+{E^(c - b^2*x^2)/Erfc[b*x]^1, x, 2, -((E^c*Sqrt[Pi]*Log[Erfc[b*x]])/(2*b))}
+{E^(c - b^2*x^2)/Erfc[b*x]^2, x, 2, (E^c*Sqrt[Pi])/(2*b*Erfc[b*x])}
+{E^(c - b^2*x^2)/Erfc[b*x]^3, x, 2, (E^c*Sqrt[Pi])/(4*b*Erfc[b*x]^2)}
+
+
+{E^(c - b^2*x^2)*Erfc[b*x]^n, x, 2, -((E^c*Sqrt[Pi]*Erfc[b*x]^(1 + n))/(2*b*(1 + n)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(c+d x^2) Erfc[b x]*)
+
+
+{E^(c + d*x^2)*x^5*Erfc[b*x], x, 9, (b*E^(c - (b^2 - d)*x^2)*x)/((b^2 - d)*d^2*Sqrt[Pi]) - (3*b*E^(c - (b^2 - d)*x^2)*x)/(4*(b^2 - d)^2*d*Sqrt[Pi]) - (b*E^(c - (b^2 - d)*x^2)*x^3)/(2*(b^2 - d)*d*Sqrt[Pi]) + (b*E^c*Erf[Sqrt[b^2 - d]*x])/(Sqrt[b^2 - d]*d^3) - (b*E^c*Erf[Sqrt[b^2 - d]*x])/(2*(b^2 - d)^(3/2)*d^2) + (3*b*E^c*Erf[Sqrt[b^2 - d]*x])/(8*(b^2 - d)^(5/2)*d) + (E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x])/d^3 - (E^(c + d*x^2)*x^2*Erfc[b*x])/d^2 + (E^(c + d*x^2)*x^4*Erfc[b*x])/(2*d)}
+{E^(c + d*x^2)*x^3*Erfc[b*x], x, 5, -(b*E^(c - (b^2 - d)*x^2)*x)/(2*(b^2 - d)*d*Sqrt[Pi]) - (b*E^c*Erf[Sqrt[b^2 - d]*x])/(2*Sqrt[b^2 - d]*d^2) + (b*E^c*Erf[Sqrt[b^2 - d]*x])/(4*(b^2 - d)^(3/2)*d) - (E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x])/(2*d^2) + (E^(c + d*x^2)*x^2*Erfc[b*x])/(2*d)}
+{E^(c + d*x^2)*x^1*Erfc[b*x], x, 2, (b*E^c*Erf[Sqrt[b^2 - d]*x])/(2*Sqrt[b^2 - d]*d) + (E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x])/(2*d)}
+{(E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x])/x^1, x, 0, Unintegrable[(E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x])/x, x]}
+{(E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x])/x^3, x, 3, (b*E^(c - (b^2 - d)*x^2))/(Sqrt[Pi]*x) + b*Sqrt[b^2 - d]*E^c*Erf[Sqrt[b^2 - d]*x] - (E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x])/(2*x^2) + d*Unintegrable[(E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x])/x, x]}
+{(E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x])/x^5, x, 7, (b*E^(c - (b^2 - d)*x^2))/(6*Sqrt[Pi]*x^3) - (b*(b^2 - d)*E^(c - (b^2 - d)*x^2))/(3*Sqrt[Pi]*x) + (b*d*E^(c - (b^2 - d)*x^2))/(2*Sqrt[Pi]*x) - (b*(b^2 - d)^(3/2)*E^c*Erf[Sqrt[b^2 - d]*x])/3 + (b*Sqrt[b^2 - d]*d*E^c*Erf[Sqrt[b^2 - d]*x])/2 - (E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x])/(4*x^4) - (d*E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x])/(4*x^2) + (d^2*Unintegrable[(E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x])/x, x])/2}
+
+{E^(c + d*x^2)*x^4*Erfc[b*x], x, 5, (3*b*E^(c - (b^2 - d)*x^2))/(4*(b^2 - d)*d^2*Sqrt[Pi]) - (b*E^(c - (b^2 - d)*x^2))/(2*(b^2 - d)^2*d*Sqrt[Pi]) - (b*E^(c - (b^2 - d)*x^2)*x^2)/(2*(b^2 - d)*d*Sqrt[Pi]) - (3*E^(c + d*x^2)*x*Erfc[b*x])/(4*d^2) + (E^(c + d*x^2)*x^3*Erfc[b*x])/(2*d) + (3*Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x], x])/(4*d^2)}
+{E^(c + d*x^2)*x^2*Erfc[b*x], x, 2, -(b*E^(c - (b^2 - d)*x^2))/(2*(b^2 - d)*d*Sqrt[Pi]) + (E^(c + d*x^2)*x*Erfc[b*x])/(2*d) - Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x], x]/(2*d)}
+{E^(c + d*x^2)*x^0*Erfc[b*x], x, 0, Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x], x]}
+{(E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x])/x^2, x, 2, -((E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x])/x) - (b*E^c*ExpIntegralEi[-((b^2 - d)*x^2)])/Sqrt[Pi] + 2*d*Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x], x]}
+{(E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x])/x^4, x, 5, (b*E^(c - (b^2 - d)*x^2))/(3*Sqrt[Pi]*x^2) - (E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x])/(3*x^3) - (2*d*E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x])/(3*x) + (b*(b^2 - d)*E^c*ExpIntegralEi[-((b^2 - d)*x^2)])/(3*Sqrt[Pi]) - (2*b*d*E^c*ExpIntegralEi[-((b^2 - d)*x^2)])/(3*Sqrt[Pi]) + (4*d^2*Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x], x])/3}
+
+
+{E^(c + b^2*x^2)*x^5*Erfc[b*x], x, 8, (2*E^c*x)/(b^5*Sqrt[Pi]) - (2*E^c*x^3)/(3*b^3*Sqrt[Pi]) + (E^c*x^5)/(5*b*Sqrt[Pi]) + (E^(c + b^2*x^2)*Erfc[b*x])/b^6 - (E^(c + b^2*x^2)*x^2*Erfc[b*x])/b^4 + (E^(c + b^2*x^2)*x^4*Erfc[b*x])/(2*b^2)}
+{E^(c + b^2*x^2)*x^3*Erfc[b*x], x, 5, -((E^c*x)/(b^3*Sqrt[Pi])) + (E^c*x^3)/(3*b*Sqrt[Pi]) - (E^(c + b^2*x^2)*Erfc[b*x])/(2*b^4) + (E^(c + b^2*x^2)*x^2*Erfc[b*x])/(2*b^2)}
+{E^(c + b^2*x^2)*x^1*Erfc[b*x], x, 2, (E^c*x)/(b*Sqrt[Pi]) + (E^(c + b^2*x^2)*Erfc[b*x])/(2*b^2)}
+{(E^(c + b^2*x^2)*Erfc[b*x])/x^1, x, 3, (E^c*ExpIntegralEi[b^2*x^2])/2 - (2*b*E^c*x*HypergeometricPFQ[{1/2, 1}, {3/2, 3/2}, b^2*x^2])/Sqrt[Pi]}
+{(E^(c + b^2*x^2)*Erfc[b*x])/x^3, x, 6, (b*E^c)/(Sqrt[Pi]*x) - (E^(c + b^2*x^2)*Erfc[b*x])/(2*x^2) + (b^2*E^c*ExpIntegralEi[b^2*x^2])/2 - (2*b^3*E^c*x*HypergeometricPFQ[{1/2, 1}, {3/2, 3/2}, b^2*x^2])/Sqrt[Pi]}
+{(E^(c + b^2*x^2)*Erfc[b*x])/x^5, x, 9, (b*E^c)/(6*Sqrt[Pi]*x^3) + (b^3*E^c)/(2*Sqrt[Pi]*x) - (E^(c + b^2*x^2)*Erfc[b*x])/(4*x^4) - (b^2*E^(c + b^2*x^2)*Erfc[b*x])/(4*x^2) + (b^4*E^c*ExpIntegralEi[b^2*x^2])/4 - (b^5*E^c*x*HypergeometricPFQ[{1/2, 1}, {3/2, 3/2}, b^2*x^2])/Sqrt[Pi]}
+
+{E^(c + b^2*x^2)*x^4*Erfc[b*x], x, 9, -((3*E^c*x^2)/(4*b^3*Sqrt[Pi])) + (E^c*x^4)/(4*b*Sqrt[Pi]) - (3*E^(c + b^2*x^2)*x*Erfc[b*x])/(4*b^4) + (E^(c + b^2*x^2)*x^3*Erfc[b*x])/(2*b^2) + (3*E^c*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x])/(8*b^5) - (3*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(4*b^3*Sqrt[Pi])}
+{E^(c + b^2*x^2)*x^2*Erfc[b*x], x, 6, (E^c*x^2)/(2*b*Sqrt[Pi]) + (E^(c + b^2*x^2)*x*Erfc[b*x])/(2*b^2) - (E^c*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x])/(4*b^3) + (E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(2*b*Sqrt[Pi])}
+{E^(c + b^2*x^2)*x^0*Erfc[b*x], x, 3, (E^c*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x])/(2*b) - (b*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/Sqrt[Pi]}
+{(E^(c + b^2*x^2)*Erfc[b*x])/x^2, x, 6, -((E^(c + b^2*x^2)*Erfc[b*x])/x) + b*E^c*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x] - (2*b^3*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/Sqrt[Pi] - (2*b*E^c*Log[x])/Sqrt[Pi]}
+{(E^(c + b^2*x^2)*Erfc[b*x])/x^4, x, 9, (b*E^c)/(3*Sqrt[Pi]*x^2) - (E^(c + b^2*x^2)*Erfc[b*x])/(3*x^3) - (2*b^2*E^(c + b^2*x^2)*Erfc[b*x])/(3*x) + (2/3)*b^3*E^c*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x] - (4*b^5*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(3*Sqrt[Pi]) - (4*b^3*E^c*Log[x])/(3*Sqrt[Pi])}
+
+
+{x^5*Erfc[b*x]/E^(b^2*x^2), x, 9, (11*x)/(16*b^5*E^(2*b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) + x^3/(4*b^3*E^(2*b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - (43*Erf[Sqrt[2]*b*x])/(32*Sqrt[2]*b^6) - Erfc[b*x]/(b^6*E^(b^2*x^2)) - (x^2*Erfc[b*x])/(b^4*E^(b^2*x^2)) - (x^4*Erfc[b*x])/(2*b^2*E^(b^2*x^2))}
+{x^3*Erfc[b*x]/E^(b^2*x^2), x, 5, x/(4*b^3*E^(2*b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - (5*Erf[Sqrt[2]*b*x])/(8*Sqrt[2]*b^4) - Erfc[b*x]/(2*b^4*E^(b^2*x^2)) - (x^2*Erfc[b*x])/(2*b^2*E^(b^2*x^2))}
+{x^1*Erfc[b*x]/E^(b^2*x^2), x, 2, -Erf[Sqrt[2]*b*x]/(2*Sqrt[2]*b^2) - Erfc[b*x]/(2*b^2*E^(b^2*x^2))}
+{Erfc[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x^1), x, 0, Unintegrable[Erfc[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x), x]}
+{Erfc[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x^3), x, 3, b/(E^(2*b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x) + Sqrt[2]*b^2*Erf[Sqrt[2]*b*x] - Erfc[b*x]/(2*E^(b^2*x^2)*x^2) - b^2*Unintegrable[Erfc[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x), x]}
+{Erfc[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x^5), x, 7, b/(6*E^(2*b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x^3) - (7*b^3)/(6*E^(2*b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x) - (b^4*Erf[Sqrt[2]*b*x])/Sqrt[2] - (2*Sqrt[2]*b^4*Erf[Sqrt[2]*b*x])/3 - Erfc[b*x]/(4*E^(b^2*x^2)*x^4) + (b^2*Erfc[b*x])/(4*E^(b^2*x^2)*x^2) + (b^4*Unintegrable[Erfc[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x), x])/2}
+
+{x^4*Erfc[b*x]/E^(b^2*x^2), x, 7, 1/(2*b^5*E^(2*b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) + x^2/(4*b^3*E^(2*b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - (3*x*Erfc[b*x])/(4*b^4*E^(b^2*x^2)) - (x^3*Erfc[b*x])/(2*b^2*E^(b^2*x^2)) - (3*Sqrt[Pi]*Erfc[b*x]^2)/(16*b^5)}
+{x^2*Erfc[b*x]/E^(b^2*x^2), x, 4, 1/(4*b^3*E^(2*b^2*x^2)*Sqrt[Pi]) - (x*Erfc[b*x])/(2*b^2*E^(b^2*x^2)) - (Sqrt[Pi]*Erfc[b*x]^2)/(8*b^3)}
+{x^0*Erfc[b*x]/E^(b^2*x^2), x, 2, -(Sqrt[Pi]*Erfc[b*x]^2)/(4*b)}
+{Erfc[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x^2), x, 4, -(Erfc[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x)) + (b*Sqrt[Pi]*Erfc[b*x]^2)/2 - (b*ExpIntegralEi[-2*b^2*x^2])/Sqrt[Pi]}
+{Erfc[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x^4), x, 7, b/(3*E^(2*b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x^2) - Erfc[b*x]/(3*E^(b^2*x^2)*x^3) + (2*b^2*Erfc[b*x])/(3*E^(b^2*x^2)*x) - (b^3*Sqrt[Pi]*Erfc[b*x]^2)/3 + (4*b^3*ExpIntegralEi[-2*b^2*x^2])/(3*Sqrt[Pi])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(c+d x^2) Erfc[a+b x]*)
+
+
+{E^(c + d*x^2)*x^3*Erfc[a + b*x], x, 10, (a*b^2*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2))/(2*(b^2 - d)^2*d*Sqrt[Pi]) - (b*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2)*x)/(2*(b^2 - d)*d*Sqrt[Pi]) - (b*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]])/(2*Sqrt[b^2 - d]*d^2) + (a^2*b^3*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]])/(2*(b^2 - d)^(5/2)*d) + (b*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]])/(4*(b^2 - d)^(3/2)*d) - (E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x])/(2*d^2) + (E^(c + d*x^2)*x^2*Erfc[a + b*x])/(2*d)}
+{E^(c + d*x^2)*x^1*Erfc[a + b*x], x, 3, (b*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]])/(2*Sqrt[b^2 - d]*d) + (E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x])/(2*d)}
+{E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x]/x^1, x, 0, Unintegrable[(E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x])/x, x]}
+{E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x]/x^3, x, 4, (b*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2))/(Sqrt[Pi]*x) + b*Sqrt[b^2 - d]*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]] - (E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x])/(2*x^2) + (2*a*b^2*Unintegrable[E^(-a^2 + c - 2*a*b*x + (-b^2 + d)*x^2)/x, x])/Sqrt[Pi] + d*Unintegrable[(E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x])/x, x]}
+
+{E^(c + d*x^2)*x^4*Erfc[a + b*x], x, 15, (3*b*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2))/(4*(b^2 - d)*d^2*Sqrt[Pi]) - (a^2*b^3*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2))/(2*(b^2 - d)^3*d*Sqrt[Pi]) - (b*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2))/(2*(b^2 - d)^2*d*Sqrt[Pi]) + (a*b^2*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2)*x)/(2*(b^2 - d)^2*d*Sqrt[Pi]) - (b*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2)*x^2)/(2*(b^2 - d)*d*Sqrt[Pi]) + (3*a*b^2*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]])/(4*(b^2 - d)^(3/2)*d^2) - (a^3*b^4*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]])/(2*(b^2 - d)^(7/2)*d) - (3*a*b^2*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]])/(4*(b^2 - d)^(5/2)*d) - (3*E^(c + d*x^2)*x*Erfc[a + b*x])/(4*d^2) + (E^(c + d*x^2)*x^3*Erfc[a + b*x])/(2*d) + (3*Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x], x])/(4*d^2)}
+{E^(c + d*x^2)*x^2*Erfc[a + b*x], x, 4, -(b*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2))/(2*(b^2 - d)*d*Sqrt[Pi]) - (a*b^2*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]])/(2*(b^2 - d)^(3/2)*d) + (E^(c + d*x^2)*x*Erfc[a + b*x])/(2*d) - Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x], x]/(2*d)}
+{E^(c + d*x^2)*x^0*Erfc[a + b*x], x, 0, Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x], x]}
+{E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x]/x^2, x, 1, -((E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x])/x) - (2*b*Unintegrable[E^(-a^2 + c - 2*a*b*x + (-b^2 + d)*x^2)/x, x])/Sqrt[Pi] + 2*d*Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x], x]}
+{E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x]/x^4, x, 6, (b*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2))/(3*Sqrt[Pi]*x^2) - (2*a*b^2*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2))/(3*Sqrt[Pi]*x) - (2*a*b^2*Sqrt[b^2 - d]*E^(c + (a^2*d)/(b^2 - d))*Erf[(a*b + (b^2 - d)*x)/Sqrt[b^2 - d]])/3 - (E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x])/(3*x^3) - (2*d*E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x])/(3*x) - (4*a^2*b^3*Unintegrable[E^(-a^2 + c - 2*a*b*x + (-b^2 + d)*x^2)/x, x])/(3*Sqrt[Pi]) + (2*b*(b^2 - d)*Unintegrable[E^(-a^2 + c - 2*a*b*x + (-b^2 + d)*x^2)/x, x])/(3*Sqrt[Pi]) - (4*b*d*Unintegrable[E^(-a^2 + c - 2*a*b*x + (-b^2 + d)*x^2)/x, x])/(3*Sqrt[Pi]) + (4*d^2*Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x], x])/3}
+
+
+{Erfc[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x^3) + (b^2*Erfc[b*x])/(E^(b^2*x^2)*x), x, 4, b/(E^(2*b^2*x^2)*Sqrt[Pi]*x) + Sqrt[2]*b^2*Erf[Sqrt[2]*b*x] - Erfc[b*x]/(2*E^(b^2*x^2)*x^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Trig[c+d x^2] Erfc[a+b x]^n*)
+
+
+{Sin[c + I*b^2*x^2]*Erfc[b*x], x, 6, (I*E^(I*c)*Sqrt[Pi]*Erfc[b*x]^2)/(8*b) + (I*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x])/(E^(I*c)*(4*b)) - (I*b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(E^(I*c)*(2*Sqrt[Pi]))}
+{Sin[c - I*b^2*x^2]*Erfc[b*x], x, 6, -((I*Sqrt[Pi]*Erfc[b*x]^2)/(E^(I*c)*(8*b))) - (I*E^(I*c)*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x])/(4*b) + (I*b*E^(I*c)*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(2*Sqrt[Pi])}
+
+
+{Cos[c + I*b^2*x^2]*Erfc[b*x], x, 6, -((E^(I*c)*Sqrt[Pi]*Erfc[b*x]^2)/(8*b)) + (Sqrt[Pi]*Erfi[b*x])/(E^(I*c)*(4*b)) - (b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(E^(I*c)*(2*Sqrt[Pi]))}
+{Cos[c - I*b^2*x^2]*Erfc[b*x], x, 6, -((Sqrt[Pi]*Erfc[b*x]^2)/(E^(I*c)*(8*b))) + (E^(I*c)*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x])/(4*b) - (b*E^(I*c)*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(2*Sqrt[Pi])}
+
+
+{Sinh[c + b^2*x^2]*Erfc[b*x], x, 6, (Sqrt[Pi]*Erfc[b*x]^2)/(E^c*(8*b)) + (E^c*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x])/(4*b) - (b*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(2*Sqrt[Pi])}
+{Sinh[c - b^2*x^2]*Erfc[b*x], x, 6, -((E^c*Sqrt[Pi]*Erfc[b*x]^2)/(8*b)) - (Sqrt[Pi]*Erfi[b*x])/(E^c*(4*b)) + (b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(E^c*(2*Sqrt[Pi]))}
+
+
+{Cosh[c + b^2*x^2]*Erfc[b*x], x, 6, -((Sqrt[Pi]*Erfc[b*x]^2)/(E^c*(8*b))) + (E^c*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x])/(4*b) - (b*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(2*Sqrt[Pi])}
+{Cosh[c - b^2*x^2]*Erfc[b*x], x, 6, -((E^c*Sqrt[Pi]*Erfc[b*x]^2)/(8*b)) + (Sqrt[Pi]*Erfi[b*x])/(E^c*(4*b)) - (b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, b^2*x^2])/(E^c*(2*Sqrt[Pi]))}
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integration Problems Involving The Imaginary Error Function*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Erfi[a+b x]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Erfi[b x]*)
+
+
+{x^5*Erfi[b*x], x, 5, (-5*E^(b^2*x^2)*x)/(8*b^5*Sqrt[Pi]) + (5*E^(b^2*x^2)*x^3)/(12*b^3*Sqrt[Pi]) - (E^(b^2*x^2)*x^5)/(6*b*Sqrt[Pi]) + (5*Erfi[b*x])/(16*b^6) + (x^6*Erfi[b*x])/6}
+{x^3*Erfi[b*x], x, 4, (3*E^(b^2*x^2)*x)/(8*b^3*Sqrt[Pi]) - (E^(b^2*x^2)*x^3)/(4*b*Sqrt[Pi]) - (3*Erfi[b*x])/(16*b^4) + (x^4*Erfi[b*x])/4}
+{x^1*Erfi[b*x], x, 3, -(E^(b^2*x^2)*x)/(2*b*Sqrt[Pi]) + Erfi[b*x]/(4*b^2) + (x^2*Erfi[b*x])/2}
+{Erfi[b*x]/x^1, x, 1, (2*b*x*HypergeometricPFQ[{1/2, 1/2}, {3/2, 3/2}, b^2*x^2])/Sqrt[Pi]}
+{Erfi[b*x]/x^3, x, 3, -((b*E^(b^2*x^2))/(Sqrt[Pi]*x)) + b^2*Erfi[b*x] - Erfi[b*x]/(2*x^2)}
+{Erfi[b*x]/x^5, x, 4, -(b*E^(b^2*x^2))/(6*Sqrt[Pi]*x^3) - (b^3*E^(b^2*x^2))/(3*Sqrt[Pi]*x) + (b^4*Erfi[b*x])/3 - Erfi[b*x]/(4*x^4)}
+{Erfi[b*x]/x^7, x, 5, -(b*E^(b^2*x^2))/(15*Sqrt[Pi]*x^5) - (2*b^3*E^(b^2*x^2))/(45*Sqrt[Pi]*x^3) - (4*b^5*E^(b^2*x^2))/(45*Sqrt[Pi]*x) + (4*b^6*Erfi[b*x])/45 - Erfi[b*x]/(6*x^6)}
+
+{x^6*Erfi[b*x], x, 5, (6*E^(b^2*x^2))/(7*b^7*Sqrt[Pi]) - (6*E^(b^2*x^2)*x^2)/(7*b^5*Sqrt[Pi]) + (3*E^(b^2*x^2)*x^4)/(7*b^3*Sqrt[Pi]) - (E^(b^2*x^2)*x^6)/(7*b*Sqrt[Pi]) + (x^7*Erfi[b*x])/7}
+{x^4*Erfi[b*x], x, 4, (-2*E^(b^2*x^2))/(5*b^5*Sqrt[Pi]) + (2*E^(b^2*x^2)*x^2)/(5*b^3*Sqrt[Pi]) - (E^(b^2*x^2)*x^4)/(5*b*Sqrt[Pi]) + (x^5*Erfi[b*x])/5}
+{x^2*Erfi[b*x], x, 3, E^(b^2*x^2)/(3*b^3*Sqrt[Pi]) - (E^(b^2*x^2)*x^2)/(3*b*Sqrt[Pi]) + (x^3*Erfi[b*x])/3}
+{x^0*Erfi[b*x], x, 1, -(E^(b^2*x^2)/(b*Sqrt[Pi])) + x*Erfi[b*x]}
+{Erfi[b*x]/x^2, x, 2, -(Erfi[b*x]/x) + (b*ExpIntegralEi[b^2*x^2])/Sqrt[Pi]}
+{Erfi[b*x]/x^4, x, 3, -(b*E^(b^2*x^2))/(3*Sqrt[Pi]*x^2) - Erfi[b*x]/(3*x^3) + (b^3*ExpIntegralEi[b^2*x^2])/(3*Sqrt[Pi])}
+{Erfi[b*x]/x^6, x, 4, -(b*E^(b^2*x^2))/(10*Sqrt[Pi]*x^4) - (b^3*E^(b^2*x^2))/(10*Sqrt[Pi]*x^2) - Erfi[b*x]/(5*x^5) + (b^5*ExpIntegralEi[b^2*x^2])/(10*Sqrt[Pi])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Erfi[a+b x]*)
+
+
+{(c + d*x)^3*Erfi[a + b*x], x, 12, (d^2*(b*c - a*d)*E^(a + b*x)^2)/(b^4*Sqrt[Pi]) - ((b*c - a*d)^3*E^(a + b*x)^2)/(b^4*Sqrt[Pi]) + (3*d^3*E^(a + b*x)^2*(a + b*x))/(8*b^4*Sqrt[Pi]) - (3*d*(b*c - a*d)^2*E^(a + b*x)^2*(a + b*x))/(2*b^4*Sqrt[Pi]) - (d^2*(b*c - a*d)*E^(a + b*x)^2*(a + b*x)^2)/(b^4*Sqrt[Pi]) - (d^3*E^(a + b*x)^2*(a + b*x)^3)/(4*b^4*Sqrt[Pi]) - (3*d^3*Erfi[a + b*x])/(16*b^4) + (3*d*(b*c - a*d)^2*Erfi[a + b*x])/(4*b^4) - ((b*c - a*d)^4*Erfi[a + b*x])/(4*b^4*d) + ((c + d*x)^4*Erfi[a + b*x])/(4*d)}
+{(c + d*x)^2*Erfi[a + b*x], x, 9, (d^2*E^(a + b*x)^2)/(3*b^3*Sqrt[Pi]) - ((b*c - a*d)^2*E^(a + b*x)^2)/(b^3*Sqrt[Pi]) - (d*(b*c - a*d)*E^(a + b*x)^2*(a + b*x))/(b^3*Sqrt[Pi]) - (d^2*E^(a + b*x)^2*(a + b*x)^2)/(3*b^3*Sqrt[Pi]) + (d*(b*c - a*d)*Erfi[a + b*x])/(2*b^3) - ((b*c - a*d)^3*Erfi[a + b*x])/(3*b^3*d) + ((c + d*x)^3*Erfi[a + b*x])/(3*d)}
+{(c + d*x)^1*Erfi[a + b*x], x, 7, -(((b*c - a*d)*E^(a + b*x)^2)/(b^2*Sqrt[Pi])) - (d*E^(a + b*x)^2*(a + b*x))/(2*b^2*Sqrt[Pi]) + (d*Erfi[a + b*x])/(4*b^2) - ((b*c - a*d)^2*Erfi[a + b*x])/(2*b^2*d) + ((c + d*x)^2*Erfi[a + b*x])/(2*d)}
+{(c + d*x)^0*Erfi[a + b*x], x, 1, -(E^(a + b*x)^2/(b*Sqrt[Pi])) + ((a + b*x)*Erfi[a + b*x])/b}
+{Erfi[a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Erfi[a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{Erfi[a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 1, -(Erfi[a + b*x]/(d*(c + d*x))) + (2*b*Unintegrable[E^(a + b*x)^2/(c + d*x), x])/(d*Sqrt[Pi])}
+{Erfi[a + b*x]/(c + d*x)^3, x, 3, -((b*E^(a + b*x)^2)/(d^2*Sqrt[Pi]*(c + d*x))) + (b^2*Erfi[a + b*x])/d^3 - Erfi[a + b*x]/(2*d*(c + d*x)^2) - (2*b^2*(b*c - a*d)*Unintegrable[E^(a + b*x)^2/(c + d*x), x])/(d^3*Sqrt[Pi])}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Erfi[a+b x]^2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Erfi[b x]^2*)
+
+
+{x^5*Erfi[b*x]^2, x, 12, (11*E^(2*b^2*x^2))/(12*b^6*Pi) - (7*E^(2*b^2*x^2)*x^2)/(12*b^4*Pi) + (E^(2*b^2*x^2)*x^4)/(6*b^2*Pi) - (5*E^(b^2*x^2)*x*Erfi[b*x])/(4*b^5*Sqrt[Pi]) + (5*E^(b^2*x^2)*x^3*Erfi[b*x])/(6*b^3*Sqrt[Pi]) - (E^(b^2*x^2)*x^5*Erfi[b*x])/(3*b*Sqrt[Pi]) + (5*Erfi[b*x]^2)/(16*b^6) + (x^6*Erfi[b*x]^2)/6}
+{x^3*Erfi[b*x]^2, x, 8, -E^(2*b^2*x^2)/(2*b^4*Pi) + (E^(2*b^2*x^2)*x^2)/(4*b^2*Pi) + (3*E^(b^2*x^2)*x*Erfi[b*x])/(4*b^3*Sqrt[Pi]) - (E^(b^2*x^2)*x^3*Erfi[b*x])/(2*b*Sqrt[Pi]) - (3*Erfi[b*x]^2)/(16*b^4) + (x^4*Erfi[b*x]^2)/4}
+{x^1*Erfi[b*x]^2, x, 5, E^(2*b^2*x^2)/(2*b^2*Pi) - (E^(b^2*x^2)*x*Erfi[b*x])/(b*Sqrt[Pi]) + Erfi[b*x]^2/(4*b^2) + (x^2*Erfi[b*x]^2)/2}
+{Erfi[b*x]^2/x^1, x, 0, Unintegrable[Erfi[b*x]^2/x, x]}
+{Erfi[b*x]^2/x^3, x, 5, (-2*b*E^(b^2*x^2)*Erfi[b*x])/(Sqrt[Pi]*x) + b^2*Erfi[b*x]^2 - Erfi[b*x]^2/(2*x^2) + (2*b^2*ExpIntegralEi[2*b^2*x^2])/Pi}
+{Erfi[b*x]^2/x^5, x, 8, -(b^2*E^(2*b^2*x^2))/(3*Pi*x^2) - (b*E^(b^2*x^2)*Erfi[b*x])/(3*Sqrt[Pi]*x^3) - (2*b^3*E^(b^2*x^2)*Erfi[b*x])/(3*Sqrt[Pi]*x) + (b^4*Erfi[b*x]^2)/3 - Erfi[b*x]^2/(4*x^4) + (4*b^4*ExpIntegralEi[2*b^2*x^2])/(3*Pi)}
+{Erfi[b*x]^2/x^7, x, 12, -(b^2*E^(2*b^2*x^2))/(15*Pi*x^4) - (2*b^4*E^(2*b^2*x^2))/(9*Pi*x^2) - (2*b*E^(b^2*x^2)*Erfi[b*x])/(15*Sqrt[Pi]*x^5) - (4*b^3*E^(b^2*x^2)*Erfi[b*x])/(45*Sqrt[Pi]*x^3) - (8*b^5*E^(b^2*x^2)*Erfi[b*x])/(45*Sqrt[Pi]*x) + (4*b^6*Erfi[b*x]^2)/45 - Erfi[b*x]^2/(6*x^6) + (28*b^6*ExpIntegralEi[2*b^2*x^2])/(45*Pi)}
+
+{x^4*Erfi[b*x]^2, x, 10, (-11*E^(2*b^2*x^2)*x)/(20*b^4*Pi) + (E^(2*b^2*x^2)*x^3)/(5*b^2*Pi) - (4*E^(b^2*x^2)*Erfi[b*x])/(5*b^5*Sqrt[Pi]) + (4*E^(b^2*x^2)*x^2*Erfi[b*x])/(5*b^3*Sqrt[Pi]) - (2*E^(b^2*x^2)*x^4*Erfi[b*x])/(5*b*Sqrt[Pi]) + (x^5*Erfi[b*x]^2)/5 + (43*Erfi[Sqrt[2]*b*x])/(40*b^5*Sqrt[2*Pi])}
+{x^2*Erfi[b*x]^2, x, 6, (E^(2*b^2*x^2)*x)/(3*b^2*Pi) + (2*E^(b^2*x^2)*Erfi[b*x])/(3*b^3*Sqrt[Pi]) - (2*E^(b^2*x^2)*x^2*Erfi[b*x])/(3*b*Sqrt[Pi]) + (x^3*Erfi[b*x]^2)/3 - (5*Erfi[Sqrt[2]*b*x])/(6*b^3*Sqrt[2*Pi])}
+{x^0*Erfi[b*x]^2, x, 4, (-2*E^(b^2*x^2)*Erfi[b*x])/(b*Sqrt[Pi]) + x*Erfi[b*x]^2 + (Sqrt[2/Pi]*Erfi[Sqrt[2]*b*x])/b}
+{Erfi[b*x]^2/x^2, x, 0, Unintegrable[Erfi[b*x]^2/x^2, x]}
+{Erfi[b*x]^2/x^4, x, 0, Unintegrable[Erfi[b*x]^2/x^4, x]}
+{Erfi[b*x]^2/x^6, x, 0, Unintegrable[Erfi[b*x]^2/x^6, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Erfi[a+b x]^2*)
+
+
+{(c + d*x)^2*Erfi[a + b*x]^2, x, 16, (d*(b*c - a*d)*E^(2*(a + b*x)^2))/(b^3*Pi) + (d^2*E^(2*(a + b*x)^2)*(a + b*x))/(3*b^3*Pi) + (2*d^2*E^(a + b*x)^2*Erfi[a + b*x])/(3*b^3*Sqrt[Pi]) - (2*(b*c - a*d)^2*E^(a + b*x)^2*Erfi[a + b*x])/(b^3*Sqrt[Pi]) - (2*d*(b*c - a*d)*E^(a + b*x)^2*(a + b*x)*Erfi[a + b*x])/(b^3*Sqrt[Pi]) - (2*d^2*E^(a + b*x)^2*(a + b*x)^2*Erfi[a + b*x])/(3*b^3*Sqrt[Pi]) + (d*(b*c - a*d)*Erfi[a + b*x]^2)/(2*b^3) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)*Erfi[a + b*x]^2)/b^3 + (d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2*Erfi[a + b*x]^2)/b^3 + (d^2*(a + b*x)^3*Erfi[a + b*x]^2)/(3*b^3) + ((b*c - a*d)^2*Sqrt[2/Pi]*Erfi[Sqrt[2]*(a + b*x)])/b^3 - (5*d^2*Erfi[Sqrt[2]*(a + b*x)])/(6*b^3*Sqrt[2*Pi])}
+{(c + d*x)^1*Erfi[a + b*x]^2, x, 10, (d*E^(2*(a + b*x)^2))/(2*b^2*Pi) - (2*(b*c - a*d)*E^(a + b*x)^2*Erfi[a + b*x])/(b^2*Sqrt[Pi]) - (d*E^(a + b*x)^2*(a + b*x)*Erfi[a + b*x])/(b^2*Sqrt[Pi]) + (d*Erfi[a + b*x]^2)/(4*b^2) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)*Erfi[a + b*x]^2)/b^2 + (d*(a + b*x)^2*Erfi[a + b*x]^2)/(2*b^2) + ((b*c - a*d)*Sqrt[2/Pi]*Erfi[Sqrt[2]*(a + b*x)])/b^2}
+{(c + d*x)^0*Erfi[a + b*x]^2, x, 4, (-2*E^(a + b*x)^2*Erfi[a + b*x])/(b*Sqrt[Pi]) + ((a + b*x)*Erfi[a + b*x]^2)/b + (Sqrt[2/Pi]*Erfi[Sqrt[2]*(a + b*x)])/b}
+{Erfi[a + b*x]^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Erfi[a + b*x]^2/(c + d*x), x]}
+{Erfi[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Erfi[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Erfi[d (a+b Log[c x^n])]*)
+
+
+{x^2*Erfi[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 5, (x^3*Erfi[d*(a + b*Log[c*x^n])])/3 - (x^3*Erfi[(2*a*b*d^2 + 3/n + 2*b^2*d^2*Log[c*x^n])/(2*b*d)])/(3*E^((3*(3 + 4*a*b*d^2*n))/(4*b^2*d^2*n^2))*(c*x^n)^(3/n))}
+{x^1*Erfi[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 5, (x^2*Erfi[d*(a + b*Log[c*x^n])])/2 - (x^2*Erfi[(a*b*d^2 + n^(-1) + b^2*d^2*Log[c*x^n])/(b*d)])/(2*E^((1 + 2*a*b*d^2*n)/(b^2*d^2*n^2))*(c*x^n)^(2/n))}
+{x^0*Erfi[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 5, x*Erfi[d*(a + b*Log[c*x^n])] - (x*Erfi[(2*a*b*d^2 + n^(-1) + 2*b^2*d^2*Log[c*x^n])/(2*b*d)])/(E^((1 + 4*a*b*d^2*n)/(4*b^2*d^2*n^2))*(c*x^n)^n^(-1))}
+{Erfi[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^1, x, 3, -(E^(a*d + b*d*Log[c*x^n])^2/(b*d*n*Sqrt[Pi])) + (Erfi[d*(a + b*Log[c*x^n])]*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)}
+{Erfi[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^2, x, 5, -(Erfi[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x) + (E^(-1/(4*b^2*d^2*n^2) + a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)*Erfi[(2*a*b*d^2 - n^(-1) + 2*b^2*d^2*Log[c*x^n])/(2*b*d)])/x}
+{Erfi[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^3, x, 5, -Erfi[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(2*x^2) + ((c*x^n)^(2/n)*Erfi[(a*b*d^2 - n^(-1) + b^2*d^2*Log[c*x^n])/(b*d)])/(2*E^((1 - 2*a*b*d^2*n)/(b^2*d^2*n^2))*x^2)}
+
+
+{(e*x)^m*Erfi[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 5, ((e*x)^(1 + m)*Erfi[d*(a + b*Log[c*x^n])])/(e*(1 + m)) - (x*(e*x)^m*Erfi[(1 + m + 2*a*b*d^2*n + 2*b^2*d^2*n*Log[c*x^n])/(2*b*d*n)])/(E^(((1 + m)*(1 + m + 4*a*b*d^2*n))/(4*b^2*d^2*n^2))*(1 + m)*(c*x^n)^((1 + m)/n))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m E^(c+d x^2) Erfi[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(c+b^2 x^2) Erfi[b x]^n*)
+
+
+{E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x]^2, x, 2, (E^c*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x]^3)/(6*b)}
+{E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x]^1, x, 2, (E^c*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x]^2)/(4*b)}
+{E^(c + b^2*x^2)/Erfi[b*x]^1, x, 2, (E^c*Sqrt[Pi]*Log[Erfi[b*x]])/(2*b)}
+{E^(c + b^2*x^2)/Erfi[b*x]^2, x, 2, -((E^c*Sqrt[Pi])/(2*b*Erfi[b*x]))}
+{E^(c + b^2*x^2)/Erfi[b*x]^3, x, 2, -((E^c*Sqrt[Pi])/(4*b*Erfi[b*x]^2))}
+
+
+{E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x]^n, x, 2, (E^c*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x]^(1 + n))/(2*b*(1 + n))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(c+d x^2) Erfi[b x]*)
+
+
+{E^(c + d*x^2)*x^5*Erfi[b*x], x, 9, (3*b*E^(c + (b^2 + d)*x^2)*x)/(4*d*(b^2 + d)^2*Sqrt[Pi]) + (b*E^(c + (b^2 + d)*x^2)*x)/(d^2*(b^2 + d)*Sqrt[Pi]) - (b*E^(c + (b^2 + d)*x^2)*x^3)/(2*d*(b^2 + d)*Sqrt[Pi]) + (E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x])/d^3 - (E^(c + d*x^2)*x^2*Erfi[b*x])/d^2 + (E^(c + d*x^2)*x^4*Erfi[b*x])/(2*d) - (3*b*E^c*Erfi[Sqrt[b^2 + d]*x])/(8*d*(b^2 + d)^(5/2)) - (b*E^c*Erfi[Sqrt[b^2 + d]*x])/(2*d^2*(b^2 + d)^(3/2)) - (b*E^c*Erfi[Sqrt[b^2 + d]*x])/(d^3*Sqrt[b^2 + d])}
+{E^(c + d*x^2)*x^3*Erfi[b*x], x, 5, -(b*E^(c + (b^2 + d)*x^2)*x)/(2*d*(b^2 + d)*Sqrt[Pi]) - (E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x])/(2*d^2) + (E^(c + d*x^2)*x^2*Erfi[b*x])/(2*d) + (b*E^c*Erfi[Sqrt[b^2 + d]*x])/(4*d*(b^2 + d)^(3/2)) + (b*E^c*Erfi[Sqrt[b^2 + d]*x])/(2*d^2*Sqrt[b^2 + d])}
+{E^(c + d*x^2)*x^1*Erfi[b*x], x, 2, (E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x])/(2*d) - (b*E^c*Erfi[Sqrt[b^2 + d]*x])/(2*d*Sqrt[b^2 + d])}
+{(E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x])/x^1, x, 0, Unintegrable[(E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x])/x, x]}
+{(E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x])/x^3, x, 3, -((b*E^(c + (b^2 + d)*x^2))/(Sqrt[Pi]*x)) - (E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x])/(2*x^2) + b*Sqrt[b^2 + d]*E^c*Erfi[Sqrt[b^2 + d]*x] + d*Unintegrable[(E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x])/x, x]}
+{(E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x])/x^5, x, 7, -(b*E^(c + (b^2 + d)*x^2))/(6*Sqrt[Pi]*x^3) - (b*d*E^(c + (b^2 + d)*x^2))/(2*Sqrt[Pi]*x) - (b*(b^2 + d)*E^(c + (b^2 + d)*x^2))/(3*Sqrt[Pi]*x) - (E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x])/(4*x^4) - (d*E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x])/(4*x^2) + (b*d*Sqrt[b^2 + d]*E^c*Erfi[Sqrt[b^2 + d]*x])/2 + (b*(b^2 + d)^(3/2)*E^c*Erfi[Sqrt[b^2 + d]*x])/3 + (d^2*Unintegrable[(E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x])/x, x])/2}
+
+{E^(c + d*x^2)*x^4*Erfi[b*x], x, 5, (b*E^(c + (b^2 + d)*x^2))/(2*d*(b^2 + d)^2*Sqrt[Pi]) + (3*b*E^(c + (b^2 + d)*x^2))/(4*d^2*(b^2 + d)*Sqrt[Pi]) - (b*E^(c + (b^2 + d)*x^2)*x^2)/(2*d*(b^2 + d)*Sqrt[Pi]) - (3*E^(c + d*x^2)*x*Erfi[b*x])/(4*d^2) + (E^(c + d*x^2)*x^3*Erfi[b*x])/(2*d) + (3*Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x], x])/(4*d^2)}
+{E^(c + d*x^2)*x^2*Erfi[b*x], x, 2, -(b*E^(c + (b^2 + d)*x^2))/(2*d*(b^2 + d)*Sqrt[Pi]) + (E^(c + d*x^2)*x*Erfi[b*x])/(2*d) - Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x], x]/(2*d)}
+{E^(c + d*x^2)*x^0*Erfi[b*x], x, 0, Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x], x]}
+{(E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x])/x^2, x, 2, -((E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x])/x) + (b*E^c*ExpIntegralEi[(b^2 + d)*x^2])/Sqrt[Pi] + 2*d*Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x], x]}
+{(E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x])/x^4, x, 5, -(b*E^(c + (b^2 + d)*x^2))/(3*Sqrt[Pi]*x^2) - (E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x])/(3*x^3) - (2*d*E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x])/(3*x) + (2*b*d*E^c*ExpIntegralEi[(b^2 + d)*x^2])/(3*Sqrt[Pi]) + (b*(b^2 + d)*E^c*ExpIntegralEi[(b^2 + d)*x^2])/(3*Sqrt[Pi]) + (4*d^2*Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x], x])/3}
+
+
+{x^5*Erfi[b*x]/E^(b^2*x^2), x, 6, (2*x)/(b^5*Sqrt[Pi]) + (2*x^3)/(3*b^3*Sqrt[Pi]) + x^5/(5*b*Sqrt[Pi]) - Erfi[b*x]/(b^6*E^(b^2*x^2)) - (x^2*Erfi[b*x])/(b^4*E^(b^2*x^2)) - (x^4*Erfi[b*x])/(2*b^2*E^(b^2*x^2))}
+{x^3*Erfi[b*x]/E^(b^2*x^2), x, 4, x/(b^3*Sqrt[Pi]) + x^3/(3*b*Sqrt[Pi]) - Erfi[b*x]/(2*b^4*E^(b^2*x^2)) - (x^2*Erfi[b*x])/(2*b^2*E^(b^2*x^2))}
+{x^1*Erfi[b*x]/E^(b^2*x^2), x, 2, x/(b*Sqrt[Pi]) - Erfi[b*x]/(2*b^2*E^(b^2*x^2))}
+{Erfi[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x^1), x, 1, (2*b*x*HypergeometricPFQ[{1/2, 1}, {3/2, 3/2}, -(b^2*x^2)])/Sqrt[Pi]}
+{Erfi[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x^3), x, 3, -(b/(Sqrt[Pi]*x)) - Erfi[b*x]/(2*E^(b^2*x^2)*x^2) - (2*b^3*x*HypergeometricPFQ[{1/2, 1}, {3/2, 3/2}, -(b^2*x^2)])/Sqrt[Pi]}
+{Erfi[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x^5), x, 5, -b/(6*Sqrt[Pi]*x^3) + b^3/(2*Sqrt[Pi]*x) - Erfi[b*x]/(4*E^(b^2*x^2)*x^4) + (b^2*Erfi[b*x])/(4*E^(b^2*x^2)*x^2) + (b^5*x*HypergeometricPFQ[{1/2, 1}, {3/2, 3/2}, -(b^2*x^2)])/Sqrt[Pi]}
+
+{x^6*Erfi[b*x]/E^(b^2*x^2), x, 7, (15*x^2)/(8*b^5*Sqrt[Pi]) + (5*x^4)/(8*b^3*Sqrt[Pi]) + x^6/(6*b*Sqrt[Pi]) - (15*x*Erfi[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(8*b^6)) - (5*x^3*Erfi[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(4*b^4)) - (x^5*Erfi[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(2*b^2)) + (15*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-b^2)*x^2])/(8*b^5*Sqrt[Pi])}
+{x^4*Erfi[b*x]/E^(b^2*x^2), x, 5, (3*x^2)/(4*b^3*Sqrt[Pi]) + x^4/(4*b*Sqrt[Pi]) - (3*x*Erfi[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(4*b^4)) - (x^3*Erfi[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(2*b^2)) + (3*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-b^2)*x^2])/(4*b^3*Sqrt[Pi])}
+{x^2*Erfi[b*x]/E^(b^2*x^2), x, 3, x^2/(2*b*Sqrt[Pi]) - (x*Erfi[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(2*b^2)) + (x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-b^2)*x^2])/(2*b*Sqrt[Pi])}
+{x^0*Erfi[b*x]/E^(b^2*x^2), x, 1, (b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-b^2)*x^2])/Sqrt[Pi]}
+{Erfi[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x^2), x, 3, -(Erfi[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x)) - (2*b^3*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-b^2)*x^2])/Sqrt[Pi] + (2*b*Log[x])/Sqrt[Pi]}
+{Erfi[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x^4), x, 5, -(b/(3*Sqrt[Pi]*x^2)) - Erfi[b*x]/(E^(b^2*x^2)*(3*x^3)) + (2*b^2*Erfi[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(3*x)) + (4*b^5*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-b^2)*x^2])/(3*Sqrt[Pi]) - (4*b^3*Log[x])/(3*Sqrt[Pi])}
+{Erfi[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x^6), x, 7, -(b/(10*Sqrt[Pi]*x^4)) + (2*b^3)/(15*Sqrt[Pi]*x^2) - Erfi[b*x]/(E^(b^2*x^2)*(5*x^5)) + (2*b^2*Erfi[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(15*x^3)) - (4*b^4*Erfi[b*x])/(E^(b^2*x^2)*(15*x)) - (8*b^7*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-b^2)*x^2])/(15*Sqrt[Pi]) + (8*b^5*Log[x])/(15*Sqrt[Pi])}
+
+
+{E^(c + b^2*x^2)*x^5*Erfi[b*x], x, 9, (11*E^(c + 2*b^2*x^2)*x)/(16*b^5*Sqrt[Pi]) - (E^(c + 2*b^2*x^2)*x^3)/(4*b^3*Sqrt[Pi]) + (E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x])/b^6 - (E^(c + b^2*x^2)*x^2*Erfi[b*x])/b^4 + (E^(c + b^2*x^2)*x^4*Erfi[b*x])/(2*b^2) - (43*E^c*Erfi[Sqrt[2]*b*x])/(32*Sqrt[2]*b^6)}
+{E^(c + b^2*x^2)*x^3*Erfi[b*x], x, 5, -(E^(c + 2*b^2*x^2)*x)/(4*b^3*Sqrt[Pi]) - (E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x])/(2*b^4) + (E^(c + b^2*x^2)*x^2*Erfi[b*x])/(2*b^2) + (5*E^c*Erfi[Sqrt[2]*b*x])/(8*Sqrt[2]*b^4)}
+{E^(c + b^2*x^2)*x^1*Erfi[b*x], x, 2, (E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x])/(2*b^2) - (E^c*Erfi[Sqrt[2]*b*x])/(2*Sqrt[2]*b^2)}
+{(E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x])/x^1, x, 0, Unintegrable[(E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x])/x, x]}
+{(E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x])/x^3, x, 3, -((b*E^(c + 2*b^2*x^2))/(Sqrt[Pi]*x)) - (E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x])/(2*x^2) + Sqrt[2]*b^2*E^c*Erfi[Sqrt[2]*b*x] + b^2*Unintegrable[(E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x])/x, x]}
+{(E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x])/x^5, x, 7, -(b*E^(c + 2*b^2*x^2))/(6*Sqrt[Pi]*x^3) - (7*b^3*E^(c + 2*b^2*x^2))/(6*Sqrt[Pi]*x) - (E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x])/(4*x^4) - (b^2*E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x])/(4*x^2) + (b^4*E^c*Erfi[Sqrt[2]*b*x])/Sqrt[2] + (2*Sqrt[2]*b^4*E^c*Erfi[Sqrt[2]*b*x])/3 + (b^4*Unintegrable[(E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x])/x, x])/2}
+
+{E^(c + b^2*x^2)*x^4*Erfi[b*x], x, 7, E^(c + 2*b^2*x^2)/(2*b^5*Sqrt[Pi]) - (E^(c + 2*b^2*x^2)*x^2)/(4*b^3*Sqrt[Pi]) - (3*E^(c + b^2*x^2)*x*Erfi[b*x])/(4*b^4) + (E^(c + b^2*x^2)*x^3*Erfi[b*x])/(2*b^2) + (3*E^c*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x]^2)/(16*b^5)}
+{E^(c + b^2*x^2)*x^2*Erfi[b*x], x, 4, -E^(c + 2*b^2*x^2)/(4*b^3*Sqrt[Pi]) + (E^(c + b^2*x^2)*x*Erfi[b*x])/(2*b^2) - (E^c*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x]^2)/(8*b^3)}
+{E^(c + b^2*x^2)*x^0*Erfi[b*x], x, 2, (E^c*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x]^2)/(4*b)}
+{(E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x])/x^2, x, 4, -((E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x])/x) + (b*E^c*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x]^2)/2 + (b*E^c*ExpIntegralEi[2*b^2*x^2])/Sqrt[Pi]}
+{(E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x])/x^4, x, 7, -(b*E^(c + 2*b^2*x^2))/(3*Sqrt[Pi]*x^2) - (E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x])/(3*x^3) - (2*b^2*E^(c + b^2*x^2)*Erfi[b*x])/(3*x) + (b^3*E^c*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x]^2)/3 + (4*b^3*E^c*ExpIntegralEi[2*b^2*x^2])/(3*Sqrt[Pi])}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(c+d x^2) Erfi[a+b x]*)
+
+
+{E^(c + d*x^2)*x^3*Erfi[a + b*x], x, 10, (a*b^2*E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2))/(2*d*(b^2 + d)^2*Sqrt[Pi]) - (b*E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2)*x)/(2*d*(b^2 + d)*Sqrt[Pi]) - (E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x])/(2*d^2) + (E^(c + d*x^2)*x^2*Erfi[a + b*x])/(2*d) - (a^2*b^3*E^(c + (a^2*d)/(b^2 + d))*Erfi[(a*b + (b^2 + d)*x)/Sqrt[b^2 + d]])/(2*d*(b^2 + d)^(5/2)) + (b*E^(c + (a^2*d)/(b^2 + d))*Erfi[(a*b + (b^2 + d)*x)/Sqrt[b^2 + d]])/(4*d*(b^2 + d)^(3/2)) + (b*E^(c + (a^2*d)/(b^2 + d))*Erfi[(a*b + (b^2 + d)*x)/Sqrt[b^2 + d]])/(2*d^2*Sqrt[b^2 + d])}
+{E^(c + d*x^2)*x^1*Erfi[a + b*x], x, 3, (E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x])/(2*d) - (b*E^(c + (a^2*d)/(b^2 + d))*Erfi[(a*b + (b^2 + d)*x)/Sqrt[b^2 + d]])/(2*d*Sqrt[b^2 + d])}
+{E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x]/x^1, x, 0, Unintegrable[(E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x])/x, x]}
+{E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x]/x^3, x, 4, -((b*E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2))/(Sqrt[Pi]*x)) - (E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x])/(2*x^2) + b*Sqrt[b^2 + d]*E^(c + (a^2*d)/(b^2 + d))*Erfi[(a*b + (b^2 + d)*x)/Sqrt[b^2 + d]] + (2*a*b^2*Unintegrable[E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2)/x, x])/Sqrt[Pi] + d*Unintegrable[(E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x])/x, x]}
+
+{E^(c + d*x^2)*x^4*Erfi[a + b*x], x, 15, -(a^2*b^3*E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2))/(2*d*(b^2 + d)^3*Sqrt[Pi]) + (b*E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2))/(2*d*(b^2 + d)^2*Sqrt[Pi]) + (3*b*E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2))/(4*d^2*(b^2 + d)*Sqrt[Pi]) + (a*b^2*E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2)*x)/(2*d*(b^2 + d)^2*Sqrt[Pi]) - (b*E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2)*x^2)/(2*d*(b^2 + d)*Sqrt[Pi]) - (3*E^(c + d*x^2)*x*Erfi[a + b*x])/(4*d^2) + (E^(c + d*x^2)*x^3*Erfi[a + b*x])/(2*d) + (a^3*b^4*E^(c + (a^2*d)/(b^2 + d))*Erfi[(a*b + (b^2 + d)*x)/Sqrt[b^2 + d]])/(2*d*(b^2 + d)^(7/2)) - (3*a*b^2*E^(c + (a^2*d)/(b^2 + d))*Erfi[(a*b + (b^2 + d)*x)/Sqrt[b^2 + d]])/(4*d*(b^2 + d)^(5/2)) - (3*a*b^2*E^(c + (a^2*d)/(b^2 + d))*Erfi[(a*b + (b^2 + d)*x)/Sqrt[b^2 + d]])/(4*d^2*(b^2 + d)^(3/2)) + (3*Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x], x])/(4*d^2)}
+{E^(c + d*x^2)*x^2*Erfi[a + b*x], x, 4, -(b*E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2))/(2*d*(b^2 + d)*Sqrt[Pi]) + (E^(c + d*x^2)*x*Erfi[a + b*x])/(2*d) + (a*b^2*E^(c + (a^2*d)/(b^2 + d))*Erfi[(a*b + (b^2 + d)*x)/Sqrt[b^2 + d]])/(2*d*(b^2 + d)^(3/2)) - Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x], x]/(2*d)}
+{E^(c + d*x^2)*x^0*Erfi[a + b*x], x, 0, Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x], x]}
+{E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x]/x^2, x, 1, -((E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x])/x) + (2*b*Unintegrable[E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2)/x, x])/Sqrt[Pi] + 2*d*Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x], x]}
+{E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x]/x^4, x, 6, -(b*E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2))/(3*Sqrt[Pi]*x^2) - (2*a*b^2*E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2))/(3*Sqrt[Pi]*x) - (E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x])/(3*x^3) - (2*d*E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x])/(3*x) + (2*a*b^2*Sqrt[b^2 + d]*E^(c + (a^2*d)/(b^2 + d))*Erfi[(a*b + (b^2 + d)*x)/Sqrt[b^2 + d]])/3 + (4*a^2*b^3*Unintegrable[E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2)/x, x])/(3*Sqrt[Pi]) + (4*b*d*Unintegrable[E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2)/x, x])/(3*Sqrt[Pi]) + (2*b*(b^2 + d)*Unintegrable[E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2)/x, x])/(3*Sqrt[Pi]) + (4*d^2*Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x], x])/3}
+
+
+{Erfi[b*x]/(E^(b^2*x^2)*x^3) + (b^2*Erfi[b*x])/(E^(b^2*x^2)*x), x, 5, -(b/(Sqrt[Pi]*x)) - Erfi[b*x]/(2*E^(b^2*x^2)*x^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Trig[c+d x^2] Erfi[a+b x]^n*)
+
+
+{Sin[c + I*b^2*x^2]*Erfi[b*x], x, 4, (I*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x]^2)/(E^(I*c)*(8*b)) - (I*b*E^(I*c)*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-b^2)*x^2])/(2*Sqrt[Pi])}
+{Sin[c - I*b^2*x^2]*Erfi[b*x], x, 4, -((I*E^(I*c)*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x]^2)/(8*b)) + (I*b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-b^2)*x^2])/(E^(I*c)*(2*Sqrt[Pi]))}
+
+
+{Cos[c + I*b^2*x^2]*Erfi[b*x], x, 4, (Sqrt[Pi]*Erfi[b*x]^2)/(E^(I*c)*(8*b)) + (b*E^(I*c)*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-b^2)*x^2])/(2*Sqrt[Pi])}
+{Cos[c - I*b^2*x^2]*Erfi[b*x], x, 4, (E^(I*c)*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x]^2)/(8*b) + (b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-b^2)*x^2])/(E^(I*c)*(2*Sqrt[Pi]))}
+
+
+{Sinh[c + b^2*x^2]*Erfi[b*x], x, 4, (E^c*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x]^2)/(8*b) - (b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-b^2)*x^2])/(E^c*(2*Sqrt[Pi]))}
+{Sinh[c - b^2*x^2]*Erfi[b*x], x, 4, -((Sqrt[Pi]*Erfi[b*x]^2)/(E^c*(8*b))) + (b*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-b^2)*x^2])/(2*Sqrt[Pi])}
+
+
+{Cosh[c + b^2*x^2]*Erfi[b*x], x, 4, (E^c*Sqrt[Pi]*Erfi[b*x]^2)/(8*b) + (b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-b^2)*x^2])/(E^c*(2*Sqrt[Pi]))}
+{Cosh[c - b^2*x^2]*Erfi[b*x], x, 4, (Sqrt[Pi]*Erfi[b*x]^2)/(E^c*(8*b)) + (b*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-b^2)*x^2])/(2*Sqrt[Pi])}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.10 Formal derivatives.m b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.10 Formal derivatives.m
new file mode 100644
index 00000000..da8ba60e
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.10 Formal derivatives.m	
@@ -0,0 +1,156 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Differentiation Function Integration Problems*)
+
+
+{f'[x], x, 1, f[x]}
+{f''[x], x, 1, f'[x]}
+{f'''[x], x, 1, f''[x]}
+{Derivative[n][f][x], x, 1, Derivative[n-1][f][x]}
+{Derivative[1][u][x]*Derivative[2][u][x], x, 2, Derivative[1][u][x]^2/2}
+
+
+{f'[x]/f[x], x, 2, Log[f[x]]}
+{f'[x]/(a+b*f[x]), x, 2, Log[a+b*f[x]]/b}
+
+{f[x]*f'[x], x, 2, f[x]^2/2}
+{(a+b*f[x])*f'[x], x, 2, a*f[x] + (1/2)*b*f[x]^2}
+
+{f'[x]/Sqrt[f[x]], x, 2, 2*Sqrt[f[x]]}
+{f'[x]/Sqrt[a+b*f[x]], x, 2, (2*Sqrt[a+b*f[x]])/b}
+
+{f[x]^n*f'[x], x, 2, f[x]^(n+1)/(n+1)}
+{(a+b*f[x])^n*f'[x], x, 2, (a+b*f[x])^(n+1)/(b*(n+1))}
+
+
+{f''[x]/f'[x], x, 2, Log[f'[x]]}
+{f''[x]/(a+b*f'[x]), x, 2, Log[a+b*f'[x]]/b}
+
+{f'[x]*f''[x], x, 2, f'[x]^2/2}
+{(a+b*f'[x])*f''[x], x, 2, a*f'[x] + (1/2)*b*f'[x]^2}
+
+{f''[x]/Sqrt[f'[x]], x, 2, 2*Sqrt[f'[x]]}
+{f''[x]/Sqrt[a+b*f'[x]], x, 2, (2*Sqrt[a+b*f'[x]])/b}
+
+{f'[x]^n*f''[x], x, 2, f'[x]^(n+1)/(n+1)}
+{(a+b*f'[x])^n*f''[x], x, 2, (a+b*f'[x])^(n+1)/(b*(n+1))}
+
+
+{f[g[x]]*g'[x], x, 1, CannotIntegrate[f[g[x]]*g'[x], x]}
+{f[g'[x]]*g''[x], x, 1, CannotIntegrate[f[g'[x]]*g''[x], x]}
+
+
+{f'[x]*g[x] + f[x]*g'[x], x, -1, f[x]*g[x]}
+{(f'[x]*g[x] - f[x]*g'[x])/g[x]^2, x, 1, f[x]/g[x]}
+{(f'[x]*g[x] - f[x]*g'[x])/(f[x]*g[x]), x, 1, Log[f[x]/g[x]]}
+
+
+{(g[x]*Derivative[1][f][x] + f[x]*g'[x])/(1 + f[x]^2*g[x]^2), x, 2, ArcTan[f[x]*g[x]]}
+{(g[x]*Derivative[1][f][x] - f[x]*g'[x])/(f[x]^2 + g[x]^2), x, 2, ArcTan[f[x]/g[x]]}
+{-((g[x]*Derivative[1][f][x] + f[x]*g'[x])/(1 + f[x]^2*g[x]^2)), x, 2, -ArcTan[f[x]*g[x]]}
+
+
+{(g[x]*Derivative[1][f][x] + f[x]*g'[x])/(1 - f[x]^2*g[x]^2), x, 2, ArcTanh[f[x]*g[x]]}
+{((-g[x])*Derivative[1][f][x] + f[x]*g'[x])/(f[x]^2 - g[x]^2), x, 2, ArcTanh[f[x]/g[x]]}
+
+
+{(f[x]^(-1 + m)*g[x]^(-1 + n)*(m*g[x]*Derivative[1][f][x] + n*f[x]*g'[x]))/(1 - f[x]^(2*m)*g[x]^(2*n)), x, 2, ArcTanh[f[x]^m*g[x]^n]}
+{(f[x]^(-1 + m)*g[x]^(-1 + n)*((-m)*g[x]*Derivative[1][f][x] + n*f[x]*g'[x]))/(f[x]^(2*m) - g[x]^(2*n)), x, 3, ArcTanh[g[x]^n/f[x]^m]}
+{(f[x]^(-1 + m)*g[x]^(-1 - n)*((-m)*g[x]*Derivative[1][f][x] - n*f[x]*g'[x]))/(f[x]^(2*m) - g[x]^(-2*n)), x, 3, ArcTanh[1/(f[x]^m*g[x]^n)]}
+
+
+{(g[x]*Derivative[1][f][x] + f[x]*g'[x])/(a + b*f[x]^1*g[x]^1), x, 2, Log[a + b*f[x]*g[x]]/b}
+{(g[x]*Derivative[1][f][x] + f[x]*g'[x])/(a + b*f[x]^2*g[x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*f[x]*g[x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b])}
+{(g[x]*Derivative[1][f][x] + f[x]*g'[x])/(a + b*f[x]^3*g[x]^3), x, 7, -(ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*f[x]*g[x])/(Sqrt[3]*a^(1/3))]/(Sqrt[3]*a^(2/3)*b^(1/3))) + Log[a^(1/3) + b^(1/3)*f[x]*g[x]]/(3*a^(2/3)*b^(1/3)) - Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*f[x]*g[x] + b^(2/3)*f[x]^2*g[x]^2]/(6*a^(2/3)*b^(1/3))}
+
+{(g[x]*Derivative[1][f][x] + f[x]*g'[x])/(a + b*(f[x]*g[x])^(1/2)), x, 4, (2*Sqrt[f[x]*g[x]])/b - (2*a*Log[a + b*Sqrt[f[x]*g[x]]])/b^2}
+{(g[x]*Derivative[1][f][x] + f[x]*g'[x])/(a + b*(f[x]*g[x])^(3/2)), x, 8, -((2*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*Sqrt[f[x]*g[x]])/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(Sqrt[3]*a^(1/3)*b^(2/3))) - (2*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*Sqrt[f[x]*g[x]]])/(3*a^(1/3)*b^(2/3)) + Log[a^(2/3) + b^(2/3)*f[x]*g[x] - a^(1/3)*b^(1/3)*Sqrt[f[x]*g[x]]]/(3*a^(1/3)*b^(2/3))}
+{(g[x]*Derivative[1][f][x] + f[x]*g'[x])/(a + b*(f[x]*g[x])^(5/2)), x, 8, -((Sqrt[2*(5 - Sqrt[5])]*ArcTan[Sqrt[(1/5)*(5 - 2*Sqrt[5])] + (2*Sqrt[2/(5 + Sqrt[5])]*b^(1/5)*Sqrt[f[x]*g[x]])/a^(1/5)])/(5*a^(3/5)*b^(2/5))) - (Sqrt[2*(5 + Sqrt[5])]*ArcTan[Sqrt[(1/5)*(5 + 2*Sqrt[5])] - (Sqrt[(2/5)*(5 + Sqrt[5])]*b^(1/5)*Sqrt[f[x]*g[x]])/a^(1/5)])/(5*a^(3/5)*b^(2/5)) - (2*Log[a^(1/5) + b^(1/5)*Sqrt[f[x]*g[x]]])/(5*a^(3/5)*b^(2/5)) + ((1 - Sqrt[5])*Log[2*a^(2/5) + 2*b^(2/5)*f[x]*g[x] - a^(1/5)*b^(1/5)*Sqrt[f[x]*g[x]] - Sqrt[5]*a^(1/5)*b^(1/5)*Sqrt[f[x]*g[x]]])/(10*a^(3/5)*b^(2/5)) + ((1 + Sqrt[5])*Log[2*a^(2/5) + 2*b^(2/5)*f[x]*g[x] - a^(1/5)*b^(1/5)*Sqrt[f[x]*g[x]] + Sqrt[5]*a^(1/5)*b^(1/5)*Sqrt[f[x]*g[x]]])/(10*a^(3/5)*b^(2/5))}
+
+{(g[x]*Derivative[1][f][x] + f[x]*g'[x])/(a + b*(f[x]*g[x])^n), x, 2, (f[x]*g[x]*Hypergeometric2F1[1, 1/n, 1 + 1/n, -((b*(f[x]*g[x])^n)/a)])/a}
+{(g[x]*Derivative[1][f][x] + f[x]*g'[x])/(a + b*f[x]^n*g[x]^n), x, 2, CannotIntegrate[(g[x]*Derivative[1][f][x])/(a + b*f[x]^n*g[x]^n), x] + CannotIntegrate[(f[x]*g'[x])/(a + b*f[x]^n*g[x]^n), x]}
+
+
+{Cos[x]*g[E^x]*Derivative[1][f][Sin[x]] + E^x*f[Sin[x]]*Derivative[1][g][E^x], x, -1, f[Sin[x]]*g[E^x]}
+
+
+{F^(a + b*x)*Derivative[3][f][x], x, 3, b^2*F^(a + b*x)*f[x]*Log[F]^2 - b^3*CannotIntegrate[F^(a + b*x)*f[x], x]*Log[F]^3 - b*F^(a + b*x)*Log[F]*Derivative[1][f][x] + F^(a + b*x)*Derivative[2][f][x]}
+{F^(a + b*x)*Derivative[2][f][x], x, 2, (-b)*F^(a + b*x)*f[x]*Log[F] + b^2*CannotIntegrate[F^(a + b*x)*f[x], x]*Log[F]^2 + F^(a + b*x)*Derivative[1][f][x]}
+{F^(a + b*x)*Derivative[1][f][x], x, 1, F^(a + b*x)*f[x] - b*CannotIntegrate[F^(a + b*x)*f[x], x]*Log[F]}
+{F^(a + b*x)*Derivative[0][f][x], x, 0, CannotIntegrate[F^(a + b*x)*f[x], x]}
+{F^(a + b*x)*Derivative[-1][f][x], x, 1, -(CannotIntegrate[F^(a + b*x)*f[x], x]/(b*Log[F])) + (F^(a + b*x)*Derivative[-1][f][x])/(b*Log[F])}
+{F^(a + b*x)*Derivative[-2][f][x], x, 2, CannotIntegrate[F^(a + b*x)*f[x], x]/(b^2*Log[F]^2) + (F^(a + b*x)*Derivative[-2][f][x])/(b*Log[F]) - (F^(a + b*x)*Derivative[-1][f][x])/(b^2*Log[F]^2)}
+{F^(a + b*x)*Derivative[-3][f][x], x, 3, -(CannotIntegrate[F^(a + b*x)*f[x], x]/(b^3*Log[F]^3)) + (F^(a + b*x)*Derivative[-3][f][x])/(b*Log[F]) - (F^(a + b*x)*Derivative[-2][f][x])/(b^2*Log[F]^2) + (F^(a + b*x)*Derivative[-1][f][x])/(b^3*Log[F]^3)}
+
+{F^(a + b*x)*Derivative[3][f][x] + b^3*F^(a + b*x)*f[x]*Log[F]^3, x, 4, b^2*F^(a + b*x)*f[x]*Log[F]^2 - b*F^(a + b*x)*Log[F]*Derivative[1][f][x] + F^(a + b*x)*Derivative[2][f][x]}
+
+
+{Sin[a + b*x]*Derivative[3][f][x], x, 3, b^3*CannotIntegrate[Cos[a + b*x]*f[x], x] - b^2*f[x]*Sin[a + b*x] - b*Cos[a + b*x]*Derivative[1][f][x] + Sin[a + b*x]*Derivative[2][f][x]}
+{Sin[a + b*x]*Derivative[2][f][x], x, 2, (-b)*Cos[a + b*x]*f[x] - b^2*CannotIntegrate[f[x]*Sin[a + b*x], x] + Sin[a + b*x]*Derivative[1][f][x]}
+{Sin[a + b*x]*Derivative[1][f][x], x, 1, (-b)*CannotIntegrate[Cos[a + b*x]*f[x], x] + f[x]*Sin[a + b*x]}
+{Sin[a + b*x]*Derivative[0][f][x], x, 0, CannotIntegrate[f[x]*Sin[a + b*x], x]}
+{Sin[a + b*x]*Derivative[-1][f][x], x, 1, CannotIntegrate[Cos[a + b*x]*f[x], x]/b - (Cos[a + b*x]*Derivative[-1][f][x])/b}
+{Sin[a + b*x]*Derivative[-2][f][x], x, 2, -(CannotIntegrate[f[x]*Sin[a + b*x], x]/b^2) - (Cos[a + b*x]*Derivative[-2][f][x])/b + (Sin[a + b*x]*Derivative[-1][f][x])/b^2}
+{Sin[a + b*x]*Derivative[-3][f][x], x, 3, -(CannotIntegrate[Cos[a + b*x]*f[x], x]/b^3) - (Cos[a + b*x]*Derivative[-3][f][x])/b + (Sin[a + b*x]*Derivative[-2][f][x])/b^2 + (Cos[a + b*x]*Derivative[-1][f][x])/b^3}
+
+{Sin[a + b*x]*Derivative[3][f][x] - b^3*Cos[a + b*x]*f[x], x, 4, (-b^2)*f[x]*Sin[a + b*x] - b*Cos[a + b*x]*Derivative[1][f][x] + Sin[a + b*x]*Derivative[2][f][x]}
+
+
+{Cos[a + b*x]*Derivative[3][f][x], x, 3, (-b^2)*Cos[a + b*x]*f[x] - b^3*CannotIntegrate[f[x]*Sin[a + b*x], x] + b*Sin[a + b*x]*Derivative[1][f][x] + Cos[a + b*x]*Derivative[2][f][x]}
+{Cos[a + b*x]*Derivative[2][f][x], x, 2, (-b^2)*CannotIntegrate[Cos[a + b*x]*f[x], x] + b*f[x]*Sin[a + b*x] + Cos[a + b*x]*Derivative[1][f][x]}
+{Cos[a + b*x]*Derivative[1][f][x], x, 1, Cos[a + b*x]*f[x] + b*CannotIntegrate[f[x]*Sin[a + b*x], x]}
+{Cos[a + b*x]*Derivative[0][f][x], x, 0, CannotIntegrate[Cos[a + b*x]*f[x], x]}
+{Cos[a + b*x]*Derivative[-1][f][x], x, 1, -(CannotIntegrate[f[x]*Sin[a + b*x], x]/b) + (Sin[a + b*x]*Derivative[-1][f][x])/b}
+{Cos[a + b*x]*Derivative[-2][f][x], x, 2, -(CannotIntegrate[Cos[a + b*x]*f[x], x]/b^2) + (Sin[a + b*x]*Derivative[-2][f][x])/b + (Cos[a + b*x]*Derivative[-1][f][x])/b^2}
+{Cos[a + b*x]*Derivative[-3][f][x], x, 3, CannotIntegrate[f[x]*Sin[a + b*x], x]/b^3 + (Sin[a + b*x]*Derivative[-3][f][x])/b + (Cos[a + b*x]*Derivative[-2][f][x])/b^2 - (Sin[a + b*x]*Derivative[-1][f][x])/b^3}
+
+{Cos[a + b*x]*Derivative[-2][f][x] + Cos[a + b*x]*(f[x]/b^2), x, 3, (Sin[a + b*x]*Derivative[-2][f][x])/b + (Cos[a + b*x]*Derivative[-1][f][x])/b^2}
+
+
+{Cos[f[x]*g[x]]*(g[x]*Derivative[1][f][x] + f[x]*g'[x]), x, 2, Sin[f[x]*g[x]]}
+{Cos[g[x]*Derivative[m][f][x]]*(g'[x]*Derivative[m][f][x] + g[x]*Derivative[1 + m][f][x]), x, 2, Sin[g[x]*Derivative[m][f][x]]}
+{Cos[Derivative[-1 + m][f][x]*Derivative[-1 + n][g][x]]*(Derivative[m][f][x]*Derivative[-1 + n][g][x] + Derivative[-1 + m][f][x]*Derivative[n][g][x]), x, 2, Sin[Derivative[-1 + m][f][x]*Derivative[-1 + n][g][x]]}
+
+
+{(g[x]*Derivative[1][f][x] + f[x]*g'[x])/(a + b*f[x]^2*g[x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*f[x]*g[x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b])}
+{(g'[x]*Derivative[m][f][x] + g[x]*Derivative[1 + m][f][x])/(a + b*g[x]^2*Derivative[m][f][x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*g[x]*Derivative[m][f][x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b])}
+{(Derivative[1 + m][f][x]*Derivative[n][g][x] + Derivative[m][f][x]*Derivative[1 + n][g][x])/(a + b*Derivative[m][f][x]^2*Derivative[n][g][x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*Derivative[m][f][x]*Derivative[n][g][x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b])}
+
+
+{Derivative[1][F][f[x]*g[x]]*(g[x]*Derivative[1][f][x] + f[x]*g'[x]), x, 2, F[f[x]*g[x]]}
+{Derivative[1][F][g[x]*Derivative[m][f][x]]*(g'[x]*Derivative[m][f][x] + g[x]*Derivative[1 + m][f][x]), x, 2, F[g[x]*Derivative[m][f][x]]}
+{Derivative[1][F][Derivative[-1 + m][f][x]*Derivative[-1 + n][g][x]]*(Derivative[m][f][x]*Derivative[-1 + n][g][x] + Derivative[-1 + m][f][x]*Derivative[n][g][x]), x, 2, F[Derivative[-1 + m][f][x]*Derivative[-1 + n][g][x]]}
+
+
+{Cos[f[x]^2*g[x]]*f[x]*(2*g[x]*Derivative[1][f][x] + f[x]*g'[x]), x, 2, Sin[f[x]^2*g[x]]}
+{Cos[g[x]^2*Derivative[m][f][x]]*g[x]*(2*g'[x]*Derivative[m][f][x] + g[x]*Derivative[1 + m][f][x]), x, 2, Sin[g[x]^2*Derivative[m][f][x]]}
+{Cos[g[x]*Derivative[m][f][x]^2]*Derivative[m][f][x]*(g'[x]*Derivative[m][f][x] + 2*g[x]*Derivative[1 + m][f][x]), x, 2, Sin[g[x]*Derivative[m][f][x]^2]}
+{Cos[Derivative[-1 + m][f][x]^2*Derivative[-1 + n][g][x]]*Derivative[-1 + m][f][x]*(2*Derivative[m][f][x]*Derivative[-1 + n][g][x] + Derivative[-1 + m][f][x]*Derivative[n][g][x]), x, 2, Sin[Derivative[-1 + m][f][x]^2*Derivative[-1 + n][g][x]]}
+
+
+{(f[x]*(2*g[x]*Derivative[1][f][x] + f[x]*g'[x]))/(a + b*f[x]^4*g[x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*f[x]^2*g[x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b])}
+{(g[x]*(2*g'[x]*Derivative[m][f][x] + g[x]*Derivative[1 + m][f][x]))/(a + b*g[x]^4*Derivative[m][f][x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*g[x]^2*Derivative[m][f][x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b])}
+{(Derivative[m][f][x]*(g'[x]*Derivative[m][f][x] + 2*g[x]*Derivative[1 + m][f][x]))/(a + b*g[x]^2*Derivative[m][f][x]^4), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*g[x]*Derivative[m][f][x]^2)/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b])}
+{(Derivative[m][f][x]*(2*Derivative[1 + m][f][x]*Derivative[n][g][x] + Derivative[m][f][x]*Derivative[1 + n][g][x]))/(a + b*Derivative[m][f][x]^4*Derivative[n][g][x]^2), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*Derivative[m][f][x]^2*Derivative[n][g][x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b])}
+
+
+{f[x]*Derivative[1][F][f[x]^2*g[x]]*(2*g[x]*Derivative[1][f][x] + f[x]*g'[x]), x, 2, F[f[x]^2*g[x]]}
+{g[x]*Derivative[1][F][g[x]^2*Derivative[m][f][x]]*(2*g'[x]*Derivative[m][f][x] + g[x]*Derivative[1 + m][f][x]), x, 2, F[g[x]^2*Derivative[m][f][x]]}
+{Derivative[1][F][g[x]*Derivative[m][f][x]^2]*Derivative[m][f][x]*(g'[x]*Derivative[m][f][x] + 2*g[x]*Derivative[1 + m][f][x]), x, 2, F[g[x]*Derivative[m][f][x]^2]}
+{Derivative[1][F][Derivative[-1 + m][f][x]^2*Derivative[-1 + n][g][x]]*Derivative[-1 + m][f][x]*(2*Derivative[m][f][x]*Derivative[-1 + n][g][x] + Derivative[-1 + m][f][x]*Derivative[n][g][x]), x, 2, F[Derivative[-1 + m][f][x]^2*Derivative[-1 + n][g][x]]}
+
+
+{Cos[f[x]^2*g[x]^3]*f[x]*g[x]^2*(2*g[x]*Derivative[1][f][x] + 3*f[x]*g'[x]), x, 2, Sin[f[x]^2*g[x]^3]}
+{Cos[g[x]^3*Derivative[m][f][x]^2]*g[x]^2*Derivative[m][f][x]*(3*g'[x]*Derivative[m][f][x] + 2*g[x]*Derivative[1 + m][f][x]), x, 2, Sin[g[x]^3*Derivative[m][f][x]^2]}
+{Cos[Derivative[m][f][x]^2*Derivative[n][g][x]^3]*Derivative[m][f][x]*Derivative[n][g][x]^2*(2*Derivative[1 + m][f][x]*Derivative[n][g][x] + 3*Derivative[m][f][x]*Derivative[1 + n][g][x]), x, 2, Sin[Derivative[m][f][x]^2*Derivative[n][g][x]^3]}
+
+
+{(f[x]*g[x]^2*(2*g[x]*Derivative[1][f][x] + 3*f[x]*g'[x]))/(a + b*f[x]^4*g[x]^6), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*f[x]^2*g[x]^3)/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b])}
+{(g[x]^2*Derivative[m][f][x]*(3*g'[x]*Derivative[m][f][x] + 2*g[x]*Derivative[1 + m][f][x]))/(a + b*g[x]^6*Derivative[m][f][x]^4), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*g[x]^3*Derivative[m][f][x]^2)/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b])}
+{Derivative[m][f][x]*Derivative[n][g][x]^2*(2*Derivative[1 + m][f][x]*Derivative[n][g][x] + 3*Derivative[m][f][x]*Derivative[1 + n][g][x])/(a + b*Derivative[m][f][x]^4*Derivative[n][g][x]^6), x, 2, ArcTan[(Sqrt[b]*Derivative[m][f][x]^2*Derivative[n][g][x]^3)/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[b])}
+
+
+{f[x]*g[x]^2*Derivative[1][F][f[x]^2*g[x]^3]*(2*g[x]*Derivative[1][f][x] + 3*f[x]*g'[x]), x, 2, F[f[x]^2*g[x]^3]}
+{g[x]^2*Derivative[1][F][g[x]^3*Derivative[m][f][x]^2]*Derivative[m][f][x]*(3*g'[x]*Derivative[m][f][x] + 2*g[x]*Derivative[1 + m][f][x]), x, 2, F[g[x]^3*Derivative[m][f][x]^2]}
+{Derivative[1][F][Derivative[m][f][x]^2*Derivative[n][g][x]^3]*Derivative[m][f][x]*Derivative[n][g][x]^2*(2*Derivative[1 + m][f][x]*Derivative[n][g][x] + 3*Derivative[m][f][x]*Derivative[1 + n][g][x]), x, 2, F[Derivative[m][f][x]^2*Derivative[n][g][x]^3]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.2 Fresnel integral functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.2 Fresnel integral functions.m
new file mode 100644
index 00000000..e884fe19
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.2 Fresnel integral functions.m	
@@ -0,0 +1,418 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integration Problems Involving The Fresnel S Integral Function*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m FresnelS[a+b x]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m FresnelS[b x]*)
+
+
+{x^7*FresnelS[b*x], x, 6, -((35*x^3*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(8*b^5*Pi^3)) + (x^7*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(8*b*Pi) - (105*FresnelS[b*x])/(8*b^8*Pi^4) + (1/8)*x^8*FresnelS[b*x] + (105*x*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(8*b^7*Pi^4) - (7*x^5*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(8*b^3*Pi^2)}
+{x^6*FresnelS[b*x], x, 6, -((24*x^2*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(7*b^5*Pi^3)) + (x^6*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(7*b*Pi) + (1/7)*x^7*FresnelS[b*x] + (48*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(7*b^7*Pi^4) - (6*x^4*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(7*b^3*Pi^2)}
+{x^5*FresnelS[b*x], x, 5, -((5*x*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(2*b^5*Pi^3)) + (x^5*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(6*b*Pi) + (5*FresnelC[b*x])/(2*b^6*Pi^3) + (1/6)*x^6*FresnelS[b*x] - (5*x^3*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(6*b^3*Pi^2)}
+{x^4*FresnelS[b*x], x, 5, -((8*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(5*b^5*Pi^3)) + (x^4*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(5*b*Pi) + (1/5)*x^5*FresnelS[b*x] - (4*x^2*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(5*b^3*Pi^2)}
+{x^3*FresnelS[b*x], x, 4, (x^3*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(4*b*Pi) + (3*FresnelS[b*x])/(4*b^4*Pi^2) + (1/4)*x^4*FresnelS[b*x] - (3*x*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2)}
+{x^2*FresnelS[b*x], x, 4, (x^2*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(3*b*Pi) + (1/3)*x^3*FresnelS[b*x] - (2*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(3*b^3*Pi^2)}
+{x^1*FresnelS[b*x], x, 3, (x*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(2*b*Pi) - FresnelC[b*x]/(2*b^2*Pi) + (1/2)*x^2*FresnelS[b*x]}
+{x^0*FresnelS[b*x], x, 1, Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]/(b*Pi) + x*FresnelS[b*x]}
+{FresnelS[b*x]/x^1, x, 3, (1/2)*I*b*x*HypergeometricPFQ[{1/2, 1/2}, {3/2, 3/2}, (-(1/2))*I*b^2*Pi*x^2] - (1/2)*I*b*x*HypergeometricPFQ[{1/2, 1/2}, {3/2, 3/2}, (1/2)*I*b^2*Pi*x^2]}
+{FresnelS[b*x]/x^2, x, 2, -(FresnelS[b*x]/x) + (1/2)*b*SinIntegral[(1/2)*b^2*Pi*x^2]}
+{FresnelS[b*x]/x^3, x, 3, (1/2)*b^2*Pi*FresnelC[b*x] - FresnelS[b*x]/(2*x^2) - (b*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(2*x)}
+{FresnelS[b*x]/x^4, x, 4, (1/12)*b^3*Pi*CosIntegral[(1/2)*b^2*Pi*x^2] - FresnelS[b*x]/(3*x^3) - (b*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(6*x^2)}
+{FresnelS[b*x]/x^5, x, 4, -((b^3*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(12*x)) - (1/12)*b^4*Pi^2*FresnelS[b*x] - FresnelS[b*x]/(4*x^4) - (b*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(12*x^3)}
+{FresnelS[b*x]/x^6, x, 5, -((b^3*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(40*x^2)) - FresnelS[b*x]/(5*x^5) - (b*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(20*x^4) - (1/80)*b^5*Pi^2*SinIntegral[(1/2)*b^2*Pi*x^2]}
+{FresnelS[b*x]/x^7, x, 5, -((b^3*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(90*x^3)) - (1/90)*b^6*Pi^3*FresnelC[b*x] - FresnelS[b*x]/(6*x^6) - (b*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(30*x^5) + (b^5*Pi^2*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(90*x)}
+{FresnelS[b*x]/x^8, x, 6, -((b^3*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(168*x^4)) - (1/672)*b^7*Pi^3*CosIntegral[(1/2)*b^2*Pi*x^2] - FresnelS[b*x]/(7*x^7) - (b*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(42*x^6) + (b^5*Pi^2*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(336*x^2)}
+{FresnelS[b*x]/x^9, x, 6, -((b^3*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(280*x^5)) + (b^7*Pi^3*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(840*x) + (1/840)*b^8*Pi^4*FresnelS[b*x] - FresnelS[b*x]/(8*x^8) - (b*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(56*x^7) + (b^5*Pi^2*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(840*x^3)}
+{FresnelS[b*x]/x^10, x, 7, -((b^3*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(432*x^6)) + (b^7*Pi^3*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(3456*x^2) - FresnelS[b*x]/(9*x^9) - (b*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(72*x^8) + (b^5*Pi^2*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(1728*x^4) + (b^9*Pi^4*SinIntegral[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/6912}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m FresnelS[a+b x]*)
+
+
+{(c + d*x)^3*FresnelS[a + b*x], x, 14, ((b*c - a*d)^3*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^4*Pi) + (3*d*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(2*b^4*Pi) + (d^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^4*Pi) + (d^3*(a + b*x)^3*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(4*b^4*Pi) - (3*d*(b*c - a*d)^2*FresnelC[a + b*x])/(2*b^4*Pi) - ((b*c - a*d)^4*FresnelS[a + b*x])/(4*b^4*d) + (3*d^3*FresnelS[a + b*x])/(4*b^4*Pi^2) + ((c + d*x)^4*FresnelS[a + b*x])/(4*d) - (2*d^2*(b*c - a*d)*Sin[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^4*Pi^2) - (3*d^3*(a + b*x)*Sin[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(4*b^4*Pi^2)}
+{(c + d*x)^2*FresnelS[a + b*x], x, 11, ((b*c - a*d)^2*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^3*Pi) + (d*(b*c - a*d)*(a + b*x)*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^3*Pi) + (d^2*(a + b*x)^2*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(3*b^3*Pi) - (d*(b*c - a*d)*FresnelC[a + b*x])/(b^3*Pi) - ((b*c - a*d)^3*FresnelS[a + b*x])/(3*b^3*d) + ((c + d*x)^3*FresnelS[a + b*x])/(3*d) - (2*d^2*Sin[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(3*b^3*Pi^2)}
+{(c + d*x)^1*FresnelS[a + b*x], x, 8, ((b*c - a*d)*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^2*Pi) + (d*(a + b*x)*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(2*b^2*Pi) - (d*FresnelC[a + b*x])/(2*b^2*Pi) - ((b*c - a*d)^2*FresnelS[a + b*x])/(2*b^2*d) + ((c + d*x)^2*FresnelS[a + b*x])/(2*d)}
+{(c + d*x)^0*FresnelS[a + b*x], x, 1, Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2]/(b*Pi) + ((a + b*x)*FresnelS[a + b*x])/b}
+{FresnelS[a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[FresnelS[a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{FresnelS[a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[FresnelS[a + b*x]/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{x^3*FresnelS[a + b*x], x, 14, -((a^3*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^4*Pi)) + (3*a^2*(a + b*x)*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(2*b^4*Pi) - (a*(a + b*x)^2*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^4*Pi) + ((a + b*x)^3*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(4*b^4*Pi) - (3*a^2*FresnelC[a + b*x])/(2*b^4*Pi) - (a^4*FresnelS[a + b*x])/(4*b^4) + (3*FresnelS[a + b*x])/(4*b^4*Pi^2) + (1/4)*x^4*FresnelS[a + b*x] + (2*a*Sin[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^4*Pi^2) - (3*(a + b*x)*Sin[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(4*b^4*Pi^2)}
+{x^2*FresnelS[a + b*x], x, 11, (a^2*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^3*Pi) - (a*(a + b*x)*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^3*Pi) + ((a + b*x)^2*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(3*b^3*Pi) + (a*FresnelC[a + b*x])/(b^3*Pi) + (a^3*FresnelS[a + b*x])/(3*b^3) + (1/3)*x^3*FresnelS[a + b*x] - (2*Sin[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(3*b^3*Pi^2)}
+{x^1*FresnelS[a + b*x], x, 8, -((a*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^2*Pi)) + ((a + b*x)*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(2*b^2*Pi) - FresnelC[a + b*x]/(2*b^2*Pi) - (a^2*FresnelS[a + b*x])/(2*b^2) + (1/2)*x^2*FresnelS[a + b*x]}
+{x^0*FresnelS[a + b*x], x, 1, Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2]/(b*Pi) + ((a + b*x)*FresnelS[a + b*x])/b}
+{FresnelS[a + b*x]/x^1, x, 0, Unintegrable[FresnelS[a + b*x]/x, x]}
+{FresnelS[a + b*x]/x^2, x, 0, Unintegrable[FresnelS[a + b*x]/x^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m FresnelS[a+b x]^2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m FresnelS[b x]^2*)
+
+
+{x^7*FresnelS[b*x]^2, x, 23, -((105*x^2)/(16*b^6*Pi^4)) + (7*x^6)/(48*b^2*Pi^2) - (55*x^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(16*b^6*Pi^4) + (x^6*Cos[b^2*Pi*x^2])/(16*b^2*Pi^2) - (35*x^3*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(4*b^5*Pi^3) + (x^7*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(4*b*Pi) - (105*FresnelS[b*x]^2)/(8*b^8*Pi^4) + (1/8)*x^8*FresnelS[b*x]^2 + (105*x*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(4*b^7*Pi^4) - (7*x^5*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2) + (10*Sin[b^2*Pi*x^2])/(b^8*Pi^5) - (5*x^4*Sin[b^2*Pi*x^2])/(8*b^4*Pi^3)}
+{x^6*FresnelS[b*x]^2, x, 19, -((48*x)/(7*b^6*Pi^4)) + (6*x^5)/(35*b^2*Pi^2) - (21*x*Cos[b^2*Pi*x^2])/(8*b^6*Pi^4) + (x^5*Cos[b^2*Pi*x^2])/(14*b^2*Pi^2) + (531*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(56*Sqrt[2]*b^7*Pi^4) - (48*x^2*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(7*b^5*Pi^3) + (2*x^6*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(7*b*Pi) + (1/7)*x^7*FresnelS[b*x]^2 + (96*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(7*b^7*Pi^4) - (12*x^4*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(7*b^3*Pi^2) - (17*x^3*Sin[b^2*Pi*x^2])/(28*b^4*Pi^3)}
+{x^5*FresnelS[b*x]^2, x, 16, (5*x^4)/(24*b^2*Pi^2) - (11*Cos[b^2*Pi*x^2])/(6*b^6*Pi^4) + (x^4*Cos[b^2*Pi*x^2])/(12*b^2*Pi^2) - (5*x*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^5*Pi^3) + (x^5*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(3*b*Pi) + (5*FresnelC[b*x]*FresnelS[b*x])/(2*b^6*Pi^3) + (1/6)*x^6*FresnelS[b*x]^2 - (5*I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-(1/2))*I*b^2*Pi*x^2])/(8*b^4*Pi^3) + (5*I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*b^2*Pi*x^2])/(8*b^4*Pi^3) - (5*x^3*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(3*b^3*Pi^2) - (7*x^2*Sin[b^2*Pi*x^2])/(12*b^4*Pi^3)}
+{x^4*FresnelS[b*x]^2, x, 12, (4*x^3)/(15*b^2*Pi^2) + (x^3*Cos[b^2*Pi*x^2])/(10*b^2*Pi^2) - (16*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(5*b^5*Pi^3) + (2*x^4*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(5*b*Pi) + (1/5)*x^5*FresnelS[b*x]^2 + (43*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(20*Sqrt[2]*b^5*Pi^3) - (8*x^2*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(5*b^3*Pi^2) - (11*x*Sin[b^2*Pi*x^2])/(20*b^4*Pi^3)}
+{x^3*FresnelS[b*x]^2, x, 10, (3*x^2)/(8*b^2*Pi^2) + (x^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(8*b^2*Pi^2) + (x^3*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(2*b*Pi) + (3*FresnelS[b*x]^2)/(4*b^4*Pi^2) + (1/4)*x^4*FresnelS[b*x]^2 - (3*x*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(2*b^3*Pi^2) - Sin[b^2*Pi*x^2]/(2*b^4*Pi^3)}
+{x^2*FresnelS[b*x]^2, x, 8, (2*x)/(3*b^2*Pi^2) + (x*Cos[b^2*Pi*x^2])/(6*b^2*Pi^2) - (5*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(6*Sqrt[2]*b^3*Pi^2) + (2*x^2*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(3*b*Pi) + (1/3)*x^3*FresnelS[b*x]^2 - (4*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(3*b^3*Pi^2)}
+{x^1*FresnelS[b*x]^2, x, 5, Cos[b^2*Pi*x^2]/(4*b^2*Pi^2) + (x*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b*Pi) - (FresnelC[b*x]*FresnelS[b*x])/(2*b^2*Pi) + (1/2)*x^2*FresnelS[b*x]^2 + (I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-(1/2))*I*b^2*Pi*x^2])/(8*Pi) - (I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*b^2*Pi*x^2])/(8*Pi)}
+{x^0*FresnelS[b*x]^2, x, 4, (2*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b*Pi) + x*FresnelS[b*x]^2 - FresnelS[Sqrt[2]*b*x]/(Sqrt[2]*b*Pi)}
+{FresnelS[b*x]^2/x^1, x, 0, Unintegrable[FresnelS[b*x]^2/x, x]}
+{FresnelS[b*x]^2/x^2, x, 1, -(FresnelS[b*x]^2/x) + 2*b*Unintegrable[(FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/x, x]}
+{FresnelS[b*x]^2/x^3, x, 1, -(FresnelS[b*x]^2/(2*x^2)) + b*Unintegrable[(FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/x^2, x]}
+{FresnelS[b*x]^2/x^4, x, 4, -(b^2/(6*x)) + (b^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(6*x) - FresnelS[b*x]^2/(3*x^3) + (b^3*Pi*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(3*Sqrt[2]) - (b*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(3*x^2) + (1/3)*b^3*Pi*Unintegrable[(Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/x, x]}
+{FresnelS[b*x]^2/x^5, x, 9, -(b^2/(24*x^2)) + (b^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(24*x^2) - (b^3*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(6*x) - (1/12)*b^4*Pi^2*FresnelS[b*x]^2 - FresnelS[b*x]^2/(4*x^4) - (b*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(6*x^3) + (1/12)*b^4*Pi*SinIntegral[b^2*Pi*x^2]}
+{FresnelS[b*x]^2/x^6, x, 8, -(b^2/(60*x^3)) + (b^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(60*x^3) + (7*b^5*Pi^2*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(60*Sqrt[2]) - (b^3*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(20*x^2) - FresnelS[b*x]^2/(5*x^5) - (b*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(10*x^4) - (7*b^4*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(120*x) - (1/20)*b^5*Pi^2*Unintegrable[(FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/x, x]}
+{FresnelS[b*x]^2/x^7, x, 10, -(b^2/(120*x^4)) + (b^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(120*x^4) + (1/72)*b^6*Pi^2*CosIntegral[b^2*Pi*x^2] - (b^3*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(45*x^3) - FresnelS[b*x]^2/(6*x^6) - (b*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(15*x^5) - (b^4*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(72*x^2) - (1/45)*b^5*Pi^2*Unintegrable[(FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/x^2, x]}
+{FresnelS[b*x]^2/x^8, x, 13, -(b^2/(210*x^5)) + (b^6*Pi^2)/(336*x) + (b^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(210*x^5) - (67*b^6*Pi^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(5040*x) - (b^3*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(84*x^4) - FresnelS[b*x]^2/(7*x^7) - (b^7*Pi^3*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(72*Sqrt[2]) - (2/315)*Sqrt[2]*b^7*Pi^3*FresnelS[Sqrt[2]*b*x] - (b*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(21*x^6) + (b^5*Pi^2*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(168*x^2) - (13*b^4*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(2520*x^3) - (1/168)*b^7*Pi^3*Unintegrable[(Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/x, x]}
+{FresnelS[b*x]^2/x^9, x, 20, -(b^2/(336*x^6)) + (b^6*Pi^2)/(1680*x^2) + (b^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(336*x^6) - (b^6*Pi^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(336*x^2) - (b^3*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(140*x^5) + (b^7*Pi^3*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(420*x) + (1/840)*b^8*Pi^4*FresnelS[b*x]^2 - FresnelS[b*x]^2/(8*x^8) - (b*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(28*x^7) + (b^5*Pi^2*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(420*x^3) - (b^4*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(420*x^4) - (1/280)*b^8*Pi^3*SinIntegral[b^2*Pi*x^2]}
+{FresnelS[b*x]^2/x^10, x, 19, -(b^2/(504*x^7)) + (b^6*Pi^2)/(5184*x^3) + (b^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(504*x^7) - (187*b^6*Pi^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(181440*x^3) - (853*b^9*Pi^4*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(181440*Sqrt[2]) - (b^3*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(216*x^6) + (b^7*Pi^3*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(1728*x^2) - FresnelS[b*x]^2/(9*x^9) - (b*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(36*x^8) + (b^5*Pi^2*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(864*x^4) - (19*b^4*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(15120*x^5) + (853*b^8*Pi^3*Sin[b^2*Pi*x^2])/(362880*x) + (b^9*Pi^4*Unintegrable[(FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/x, x])/1728}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m FresnelS[a+b x]^2*)
+
+
+{(c + d*x)^2*FresnelS[a + b*x]^2, x, 18, (2*d^2*x)/(3*b^2*Pi^2) + (d*(b*c - a*d)*Cos[Pi*(a + b*x)^2])/(2*b^3*Pi^2) + (d^2*(a + b*x)*Cos[Pi*(a + b*x)^2])/(6*b^3*Pi^2) - (5*d^2*FresnelC[Sqrt[2]*(a + b*x)])/(6*Sqrt[2]*b^3*Pi^2) + (2*(b*c - a*d)^2*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2]*FresnelS[a + b*x])/(b^3*Pi) + (2*d*(b*c - a*d)*(a + b*x)*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2]*FresnelS[a + b*x])/(b^3*Pi) + (2*d^2*(a + b*x)^2*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2]*FresnelS[a + b*x])/(3*b^3*Pi) - (d*(b*c - a*d)*FresnelC[a + b*x]*FresnelS[a + b*x])/(b^3*Pi) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)*FresnelS[a + b*x]^2)/b^3 + (d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2*FresnelS[a + b*x]^2)/b^3 + (d^2*(a + b*x)^3*FresnelS[a + b*x]^2)/(3*b^3) - ((b*c - a*d)^2*FresnelS[Sqrt[2]*(a + b*x)])/(Sqrt[2]*b^3*Pi) + (I*d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-(1/2))*I*Pi*(a + b*x)^2])/(4*b^3*Pi) - (I*d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*Pi*(a + b*x)^2])/(4*b^3*Pi) - (4*d^2*FresnelS[a + b*x]*Sin[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(3*b^3*Pi^2)}
+{(c + d*x)^1*FresnelS[a + b*x]^2, x, 10, (d*Cos[Pi*(a + b*x)^2])/(4*b^2*Pi^2) + (2*(b*c - a*d)*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2]*FresnelS[a + b*x])/(b^2*Pi) + (d*(a + b*x)*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2]*FresnelS[a + b*x])/(b^2*Pi) - (d*FresnelC[a + b*x]*FresnelS[a + b*x])/(2*b^2*Pi) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)*FresnelS[a + b*x]^2)/b^2 + (d*(a + b*x)^2*FresnelS[a + b*x]^2)/(2*b^2) - ((b*c - a*d)*FresnelS[Sqrt[2]*(a + b*x)])/(Sqrt[2]*b^2*Pi) + (I*d*(a + b*x)^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-(1/2))*I*Pi*(a + b*x)^2])/(8*b^2*Pi) - (I*d*(a + b*x)^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*Pi*(a + b*x)^2])/(8*b^2*Pi)}
+{(c + d*x)^0*FresnelS[a + b*x]^2, x, 4, (2*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2]*FresnelS[a + b*x])/(b*Pi) + ((a + b*x)*FresnelS[a + b*x]^2)/b - FresnelS[Sqrt[2]*(a + b*x)]/(Sqrt[2]*b*Pi)}
+{FresnelS[a + b*x]^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[FresnelS[a + b*x]^2/(c + d*x), x]}
+{FresnelS[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[FresnelS[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m FresnelS[d (a+b Log[c x^n])]*)
+
+
+{x^2*FresnelS[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 10, ((1/12 - I/12)*E^((-3*a)/(b*n) + ((9*I)/2)/(b^2*d^2*n^2*Pi))*x^3*Erf[((1/2 + I/2)*(3/n + I*a*b*d^2*Pi + I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/(c*x^n)^(3/n) + ((1/12 - I/12)*E^((-3*a)/(b*n) - ((9*I)/2)/(b^2*d^2*n^2*Pi))*x^3*Erfi[((1/2 + I/2)*(3/n - I*a*b*d^2*Pi - I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/(c*x^n)^(3/n) + (x^3*FresnelS[d*(a + b*Log[c*x^n])])/3}
+{x^1*FresnelS[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 10, ((1/8 - I/8)*E^((2*I - 2*a*b*d^2*n*Pi)/(b^2*d^2*n^2*Pi))*x^2*Erf[((1/2 + I/2)*(2/n + I*a*b*d^2*Pi + I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/(c*x^n)^(2/n) + ((1/8 - I/8)*x^2*Erfi[((1/2 + I/2)*(2/n - I*a*b*d^2*Pi - I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/(E^((2*(I + a*b*d^2*n*Pi))/(b^2*d^2*n^2*Pi))*(c*x^n)^(2/n)) + (x^2*FresnelS[d*(a + b*Log[c*x^n])])/2}
+{x^0*FresnelS[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 10, ((1/4 - I/4)*x*Erf[((1/2 + I/2)*(n^(-1) + I*a*b*d^2*Pi + I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/(E^((2*a*b*n - I/(d^2*Pi))/(2*b^2*n^2))*(c*x^n)^n^(-1)) + ((1/4 - I/4)*x*Erfi[((1/2 + I/2)*(n^(-1) - I*a*b*d^2*Pi - I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/(E^((2*a*b*n + I/(d^2*Pi))/(2*b^2*n^2))*(c*x^n)^n^(-1)) + x*FresnelS[d*(a + b*Log[c*x^n])]}
+{FresnelS[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^1, x, 3, Cos[(d^2*Pi*(a + b*Log[c*x^n])^2)/2]/(b*d*n*Pi) + (FresnelS[d*(a + b*Log[c*x^n])]*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)}
+{FresnelS[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^2, x, 10, ((1/4 - I/4)*E^((2*a*b*n + I/(d^2*Pi))/(2*b^2*n^2))*(c*x^n)^n^(-1)*Erf[((1/2 + I/2)*(n^(-1) - I*a*b*d^2*Pi - I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/x + ((1/4 - I/4)*E^((2*a*b*n - I/(d^2*Pi))/(2*b^2*n^2))*(c*x^n)^n^(-1)*Erfi[((1/2 + I/2)*(n^(-1) + I*a*b*d^2*Pi + I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/x - FresnelS[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x}
+{FresnelS[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^3, x, 10, ((1/8 - I/8)*E^((2*I + 2*a*b*d^2*n*Pi)/(b^2*d^2*n^2*Pi))*(c*x^n)^(2/n)*Erf[((1/2 + I/2)*(2/n - I*a*b*d^2*Pi - I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/x^2 + ((1/8 - I/8)*(c*x^n)^(2/n)*Erfi[((1/2 + I/2)*(2/n + I*a*b*d^2*Pi + I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/(E^((2*(I - a*b*d^2*n*Pi))/(b^2*d^2*n^2*Pi))*x^2) - FresnelS[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(2*x^2)}
+
+
+{(e*x)^m*FresnelS[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 10, ((1/4 - I/4)*E^(((I/2)*(1 + m)*(1 + m + (2*I)*a*b*d^2*n*Pi))/(b^2*d^2*n^2*Pi))*x*(e*x)^m*Erf[((1/2 + I/2)*(1 + m + I*a*b*d^2*n*Pi + I*b^2*d^2*n*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*n*Sqrt[Pi])])/((1 + m)*(c*x^n)^((1 + m)/n)) + ((1/4 - I/4)*x*(e*x)^m*Erfi[((1/2 + I/2)*(1 + m - I*a*b*d^2*n*Pi - I*b^2*d^2*n*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*n*Sqrt[Pi])])/(E^(((I/2)*(1 + m)*(1 + m - (2*I)*a*b*d^2*n*Pi))/(b^2*d^2*n^2*Pi))*(1 + m)*(c*x^n)^((1 + m)/n)) + ((e*x)^(1 + m)*FresnelS[d*(a + b*Log[c*x^n])])/(e*(1 + m))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(c+d x^2) FresnelS[a+b x]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(c+d x^2) FresnelS[b x] when d^2=Pi^2/4 b^4*)
+
+
+{E^(c + Pi/2*I*b^2*x^2)*FresnelS[b*x], x, 4, If[$VersionNumber>=8, -((E^c*Erfi[(1/2 + I/2)*b*Sqrt[Pi]*x]^2)/(8*b)) + (1/4)*I*b*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*b^2*Pi*x^2], (E^c*Erf[(1/2 - I/2)*b*Sqrt[Pi]*x]^2)/(8*b) + (1/4)*I*b*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*b^2*Pi*x^2]]}
+{E^(c - Pi/2*I*b^2*x^2)*FresnelS[b*x], x, 4, (E^c*Erf[(1/2 + I/2)*b*Sqrt[Pi]*x]^2)/(8*b) - (1/4)*I*b*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-(1/2))*I*b^2*Pi*x^2]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Sin[c+d x^2] FresnelS[a+b x]^n*)
+
+
+{Sin[c + Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 4, (Cos[c]*FresnelS[b*x]^2)/(2*b) + (FresnelC[b*x]*FresnelS[b*x]*Sin[c])/(2*b) - (1/8)*I*b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-(1/2))*I*b^2*Pi*x^2]*Sin[c] + (1/8)*I*b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*b^2*Pi*x^2]*Sin[c]}
+{Cos[c + Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 4, (Cos[c]*FresnelC[b*x]*FresnelS[b*x])/(2*b) - (1/8)*I*b*x^2*Cos[c]*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-(1/2))*I*b^2*Pi*x^2] + (1/8)*I*b*x^2*Cos[c]*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*b^2*Pi*x^2] - (FresnelS[b*x]^2*Sin[c])/(2*b)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[Pi/2 b^2 x^2] FresnelS[b x]^n*)
+
+
+{Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]^2, x, 2, FresnelS[b*x]^3/(3*b)}
+{Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]^1, x, 2, FresnelS[b*x]^2/(2*b)}
+{Sin[Pi/2*b^2*x^2]/FresnelS[b*x]^1, x, 2, Log[FresnelS[b*x]]/b}
+{Sin[Pi/2*b^2*x^2]/FresnelS[b*x]^2, x, 2, -(1/(b*FresnelS[b*x]))}
+{Sin[Pi/2*b^2*x^2]/FresnelS[b*x]^3, x, 2, -(1/(2*b*FresnelS[b*x]^2))}
+
+
+{Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]^n, x, 2, FresnelS[b*x]^(1 + n)/(b*(1 + n))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Sin[Pi/2 b^2 x^2] FresnelS[b x]*)
+
+
+{x^8*Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 22, (105*x^2)/(4*b^7*Pi^4) - (7*x^6)/(12*b^3*Pi^2) + (55*x^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(4*b^7*Pi^4) - (x^6*Cos[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2) + (35*x^3*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^6*Pi^3) - (x^7*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^2*Pi) + (105*FresnelS[b*x]^2)/(2*b^9*Pi^4) - (105*x*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^8*Pi^4) + (7*x^5*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^4*Pi^2) - (40*Sin[b^2*Pi*x^2])/(b^9*Pi^5) + (5*x^4*Sin[b^2*Pi*x^2])/(2*b^5*Pi^3)}
+{x^7*Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 18, (24*x)/(b^7*Pi^4) - (3*x^5)/(5*b^3*Pi^2) + (147*x*Cos[b^2*Pi*x^2])/(16*b^7*Pi^4) - (x^5*Cos[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2) - (531*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(16*Sqrt[2]*b^8*Pi^4) + (24*x^2*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^6*Pi^3) - (x^6*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^2*Pi) - (48*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^8*Pi^4) + (6*x^4*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^4*Pi^2) + (17*x^3*Sin[b^2*Pi*x^2])/(8*b^5*Pi^3)}
+{x^6*Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 15, -((5*x^4)/(8*b^3*Pi^2)) + (11*Cos[b^2*Pi*x^2])/(2*b^7*Pi^4) - (x^4*Cos[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2) + (15*x*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^6*Pi^3) - (x^5*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^2*Pi) - (15*FresnelC[b*x]*FresnelS[b*x])/(2*b^7*Pi^3) + (15*I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-(1/2))*I*b^2*Pi*x^2])/(8*b^5*Pi^3) - (15*I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*b^2*Pi*x^2])/(8*b^5*Pi^3) + (5*x^3*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^4*Pi^2) + (7*x^2*Sin[b^2*Pi*x^2])/(4*b^5*Pi^3)}
+{x^5*Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 11, -((2*x^3)/(3*b^3*Pi^2)) - (x^3*Cos[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2) + (8*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^6*Pi^3) - (x^4*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^2*Pi) - (43*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(8*Sqrt[2]*b^6*Pi^3) + (4*x^2*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^4*Pi^2) + (11*x*Sin[b^2*Pi*x^2])/(8*b^5*Pi^3)}
+{x^4*Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 9, -((3*x^2)/(4*b^3*Pi^2)) - (x^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2) - (x^3*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^2*Pi) - (3*FresnelS[b*x]^2)/(2*b^5*Pi^2) + (3*x*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^4*Pi^2) + Sin[b^2*Pi*x^2]/(b^5*Pi^3)}
+{x^3*Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 7, -(x/(b^3*Pi^2)) - (x*Cos[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2) + (5*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(4*Sqrt[2]*b^4*Pi^2) - (x^2*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^2*Pi) + (2*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^4*Pi^2)}
+{x^2*Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 4, -(Cos[b^2*Pi*x^2]/(4*b^3*Pi^2)) - (x*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^2*Pi) + (FresnelC[b*x]*FresnelS[b*x])/(2*b^3*Pi) - (I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-(1/2))*I*b^2*Pi*x^2])/(8*b*Pi) + (I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*b^2*Pi*x^2])/(8*b*Pi)}
+{x^1*Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 2, -((Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^2*Pi)) + FresnelS[Sqrt[2]*b*x]/(2*Sqrt[2]*b^2*Pi)}
+{x^0*Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 2, FresnelS[b*x]^2/(2*b)}
+{Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^1, x, 0, Unintegrable[(FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/x, x]}
+{Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^2, x, 0, Unintegrable[(FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/x^2, x]}
+{Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^3, x, 3, -(b/(4*x)) + (b*Cos[b^2*Pi*x^2])/(4*x) + (b^2*Pi*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(2*Sqrt[2]) - (FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(2*x^2) + (1/2)*b^2*Pi*Unintegrable[(Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/x, x]}
+{Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^4, x, 8, -(b/(12*x^2)) + (b*Cos[b^2*Pi*x^2])/(12*x^2) - (b^2*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(3*x) - (1/6)*b^3*Pi^2*FresnelS[b*x]^2 - (FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(3*x^3) + (1/6)*b^3*Pi*SinIntegral[b^2*Pi*x^2]}
+{Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^5, x, 7, -(b/(24*x^3)) + (b*Cos[b^2*Pi*x^2])/(24*x^3) + (7*b^4*Pi^2*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(24*Sqrt[2]) - (b^2*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(8*x^2) - (FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(4*x^4) - (7*b^3*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(48*x) - (1/8)*b^4*Pi^2*Unintegrable[(FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/x, x]}
+{Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^6, x, 9, -(b/(40*x^4)) + (b*Cos[b^2*Pi*x^2])/(40*x^4) + (1/24)*b^5*Pi^2*CosIntegral[b^2*Pi*x^2] - (b^2*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(15*x^3) - (FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(5*x^5) - (b^3*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(24*x^2) - (1/15)*b^4*Pi^2*Unintegrable[(FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/x^2, x]}
+{Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^7, x, 12, -(b/(60*x^5)) + (b^5*Pi^2)/(96*x) + (b*Cos[b^2*Pi*x^2])/(60*x^5) - (67*b^5*Pi^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(1440*x) - (b^2*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(24*x^4) - (7*b^6*Pi^3*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(144*Sqrt[2]) - (1/45)*Sqrt[2]*b^6*Pi^3*FresnelS[Sqrt[2]*b*x] - (FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(6*x^6) + (b^4*Pi^2*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(48*x^2) - (13*b^3*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(720*x^3) - (1/48)*b^6*Pi^3*Unintegrable[(Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/x, x]}
+{Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^8, x, 19, -(b/(84*x^6)) + (b^5*Pi^2)/(420*x^2) + (b*Cos[b^2*Pi*x^2])/(84*x^6) - (b^5*Pi^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(84*x^2) - (b^2*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(35*x^5) + (b^6*Pi^3*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(105*x) + (1/210)*b^7*Pi^4*FresnelS[b*x]^2 - (FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(7*x^7) + (b^4*Pi^2*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(105*x^3) - (b^3*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(105*x^4) - (1/70)*b^7*Pi^3*SinIntegral[b^2*Pi*x^2]}
+{Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^9, x, 18, -(b/(112*x^7)) + (b^5*Pi^2)/(1152*x^3) + (b*Cos[b^2*Pi*x^2])/(112*x^7) - (187*b^5*Pi^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(40320*x^3) - (853*b^8*Pi^4*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(40320*Sqrt[2]) - (b^2*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(48*x^6) + (b^6*Pi^3*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(384*x^2) - (FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(8*x^8) + (b^4*Pi^2*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(192*x^4) - (19*b^3*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(3360*x^5) + (853*b^7*Pi^3*Sin[b^2*Pi*x^2])/(80640*x) + (1/384)*b^8*Pi^4*Unintegrable[(FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/x, x]}
+{Sin[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^10, x, 22, -(b/(144*x^8)) + (b^5*Pi^2)/(2520*x^4) + (b*Cos[b^2*Pi*x^2])/(144*x^8) - (67*b^5*Pi^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(30240*x^4) - (5*b^9*Pi^4*CosIntegral[b^2*Pi*x^2])/2016 - (b^2*Pi*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(63*x^7) + (b^6*Pi^3*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(945*x^3) - (FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(9*x^9) + (b^4*Pi^2*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(315*x^5) - (11*b^3*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(3024*x^6) + (5*b^7*Pi^3*Sin[b^2*Pi*x^2])/(2016*x^2) + (1/945)*b^8*Pi^4*Unintegrable[(FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form x^m Sin[c+d x^2] FresnelS[b x]*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cos[c+d x^2] FresnelS[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[Pi/2 b^2 x^2] FresnelS[b x]^n*)
+
+
+{Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]^n, x, 0, Unintegrable[Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x]^n, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cos[Pi/2 b^2 x^2] FresnelS[b x]*)
+
+
+{x^8*Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 23, (35*x^4)/(8*b^5*Pi^3) - x^8/(16*b*Pi) - (40*Cos[b^2*Pi*x^2])/(b^9*Pi^5) + (5*x^4*Cos[b^2*Pi*x^2])/(2*b^5*Pi^3) - (105*x*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^8*Pi^4) + (7*x^5*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^4*Pi^2) + (105*FresnelC[b*x]*FresnelS[b*x])/(2*b^9*Pi^4) - (105*I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-(1/2))*I*b^2*Pi*x^2])/(8*b^7*Pi^4) + (105*I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*b^2*Pi*x^2])/(8*b^7*Pi^4) - (35*x^3*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^6*Pi^3) + (x^7*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^2*Pi) - (55*x^2*Sin[b^2*Pi*x^2])/(4*b^7*Pi^4) + (x^6*Sin[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2)}
+{x^7*Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 18, (4*x^3)/(b^5*Pi^3) - x^7/(14*b*Pi) + (17*x^3*Cos[b^2*Pi*x^2])/(8*b^5*Pi^3) - (48*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^8*Pi^4) + (6*x^4*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^4*Pi^2) + (531*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(16*Sqrt[2]*b^8*Pi^4) - (24*x^2*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^6*Pi^3) + (x^6*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^2*Pi) - (147*x*Sin[b^2*Pi*x^2])/(16*b^7*Pi^4) + (x^5*Sin[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2)}
+{x^6*Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 16, (15*x^2)/(4*b^5*Pi^3) - x^6/(12*b*Pi) + (7*x^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(4*b^5*Pi^3) + (5*x^3*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^4*Pi^2) + (15*FresnelS[b*x]^2)/(2*b^7*Pi^3) - (15*x*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^6*Pi^3) + (x^5*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^2*Pi) - (11*Sin[b^2*Pi*x^2])/(2*b^7*Pi^4) + (x^4*Sin[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2)}
+{x^5*Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 13, (4*x)/(b^5*Pi^3) - x^5/(10*b*Pi) + (11*x*Cos[b^2*Pi*x^2])/(8*b^5*Pi^3) - (43*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(8*Sqrt[2]*b^6*Pi^3) + (4*x^2*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^4*Pi^2) - (8*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^6*Pi^3) + (x^4*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^2*Pi) + (x^3*Sin[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2)}
+{x^4*Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 10, -(x^4/(8*b*Pi)) + Cos[b^2*Pi*x^2]/(b^5*Pi^3) + (3*x*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^4*Pi^2) - (3*FresnelC[b*x]*FresnelS[b*x])/(2*b^5*Pi^2) + (3*I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-(1/2))*I*b^2*Pi*x^2])/(8*b^3*Pi^2) - (3*I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*b^2*Pi*x^2])/(8*b^3*Pi^2) + (x^3*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^2*Pi) + (x^2*Sin[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2)}
+{x^3*Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 7, -(x^3/(6*b*Pi)) + (2*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(b^4*Pi^2) - (5*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(4*Sqrt[2]*b^4*Pi^2) + (x^2*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^2*Pi) + (x*Sin[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2)}
+{x^2*Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 5, -(x^2/(4*b*Pi)) - FresnelS[b*x]^2/(2*b^3*Pi) + (x*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^2*Pi) + Sin[b^2*Pi*x^2]/(4*b^3*Pi^2)}
+{x^1*Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 4, -(x/(2*b*Pi)) + FresnelC[Sqrt[2]*b*x]/(2*Sqrt[2]*b^2*Pi) + (FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^2*Pi)}
+{x^0*Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x, 1, (FresnelC[b*x]*FresnelS[b*x])/(2*b) - (1/8)*I*b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-(1/2))*I*b^2*Pi*x^2] + (1/8)*I*b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*b^2*Pi*x^2]}
+{Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^1, x, 0, Unintegrable[(Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/x, x]}
+{Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^2, x, 4, -((Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/x) - (1/2)*b*Pi*FresnelS[b*x]^2 + (1/4)*b*SinIntegral[b^2*Pi*x^2]}
+{Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^3, x, 3, (b^2*Pi*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(2*Sqrt[2]) - (Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(2*x^2) - (b*Sin[b^2*Pi*x^2])/(4*x) - (1/2)*b^2*Pi*Unintegrable[(FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/x, x]}
+{Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^4, x, 4, (1/12)*b^3*Pi*CosIntegral[b^2*Pi*x^2] - (Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(3*x^3) - (b*Sin[b^2*Pi*x^2])/(12*x^2) - (1/3)*b^2*Pi*Unintegrable[(FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/x^2, x]}
+{Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^5, x, 7, (b^3*Pi)/(16*x) - (7*b^3*Pi*Cos[b^2*Pi*x^2])/(48*x) - (Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(4*x^4) - (7*b^4*Pi^2*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(24*Sqrt[2]) + (b^2*Pi*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(8*x^2) - (b*Sin[b^2*Pi*x^2])/(24*x^3) - (1/8)*b^4*Pi^2*Unintegrable[(Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/x, x]}
+{Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^6, x, 13, (b^3*Pi)/(60*x^2) - (b^3*Pi*Cos[b^2*Pi*x^2])/(24*x^2) - (Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(5*x^5) + (b^4*Pi^2*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(15*x) + (1/30)*b^5*Pi^3*FresnelS[b*x]^2 + (b^2*Pi*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(15*x^3) - (b*Sin[b^2*Pi*x^2])/(40*x^4) - (7/120)*b^5*Pi^2*SinIntegral[b^2*Pi*x^2]}
+{Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^7, x, 12, (b^3*Pi)/(144*x^3) - (13*b^3*Pi*Cos[b^2*Pi*x^2])/(720*x^3) - (7*b^6*Pi^3*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(144*Sqrt[2]) - (1/45)*Sqrt[2]*b^6*Pi^3*FresnelC[Sqrt[2]*b*x] - (Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(6*x^6) + (b^4*Pi^2*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(48*x^2) + (b^2*Pi*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(24*x^4) - (b*Sin[b^2*Pi*x^2])/(60*x^5) + (67*b^5*Pi^2*Sin[b^2*Pi*x^2])/(1440*x) + (1/48)*b^6*Pi^3*Unintegrable[(FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/x, x]}
+{Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^8, x, 15, (b^3*Pi)/(280*x^4) - (b^3*Pi*Cos[b^2*Pi*x^2])/(105*x^4) - (1/84)*b^7*Pi^3*CosIntegral[b^2*Pi*x^2] - (Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(7*x^7) + (b^4*Pi^2*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(105*x^3) + (b^2*Pi*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(35*x^5) - (b*Sin[b^2*Pi*x^2])/(84*x^6) + (b^5*Pi^2*Sin[b^2*Pi*x^2])/(84*x^2) + (1/105)*b^6*Pi^3*Unintegrable[(FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/x^2, x]}
+{Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^9, x, 18, (b^3*Pi)/(480*x^5) - (b^7*Pi^3)/(768*x) - (19*b^3*Pi*Cos[b^2*Pi*x^2])/(3360*x^5) + (853*b^7*Pi^3*Cos[b^2*Pi*x^2])/(80640*x) - (Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(8*x^8) + (b^4*Pi^2*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(192*x^4) + (853*b^8*Pi^4*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(40320*Sqrt[2]) + (b^2*Pi*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(48*x^6) - (b^6*Pi^3*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(384*x^2) - (b*Sin[b^2*Pi*x^2])/(112*x^7) + (187*b^5*Pi^2*Sin[b^2*Pi*x^2])/(40320*x^3) + (1/384)*b^8*Pi^4*Unintegrable[(Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/x, x]}
+{Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelS[b*x]/x^10, x, 26, (b^3*Pi)/(756*x^6) - (b^7*Pi^3)/(3780*x^2) - (11*b^3*Pi*Cos[b^2*Pi*x^2])/(3024*x^6) + (5*b^7*Pi^3*Cos[b^2*Pi*x^2])/(2016*x^2) - (Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(9*x^9) + (b^4*Pi^2*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(315*x^5) - (b^8*Pi^4*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelS[b*x])/(945*x) - (b^9*Pi^5*FresnelS[b*x]^2)/1890 + (b^2*Pi*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(63*x^7) - (b^6*Pi^3*FresnelS[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(945*x^3) - (b*Sin[b^2*Pi*x^2])/(144*x^8) + (67*b^5*Pi^2*Sin[b^2*Pi*x^2])/(30240*x^4) + (83*b^9*Pi^4*SinIntegral[b^2*Pi*x^2])/30240}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cos[c+d x^2] FresnelS[b x]*)
+
+
+(* ::Title::Closed:: *)
+(*Integration Problems Involving The Fresnel C Integral Function*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m FresnelC[a+b x]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m FresnelC[b x]*)
+
+
+{x^7*FresnelC[b*x], x, 6, (105*x*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(8*b^7*Pi^4) - (7*x^5*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(8*b^3*Pi^2) - (105*FresnelC[b*x])/(8*b^8*Pi^4) + (x^8*FresnelC[b*x])/8 + (35*x^3*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(8*b^5*Pi^3) - (x^7*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(8*b*Pi)}
+{x^6*FresnelC[b*x], x, 6, (48*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(7*b^7*Pi^4) - (6*x^4*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(7*b^3*Pi^2) + (x^7*FresnelC[b*x])/7 + (24*x^2*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(7*b^5*Pi^3) - (x^6*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(7*b*Pi)}
+{x^5*FresnelC[b*x], x, 5, (-5*x^3*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(6*b^3*Pi^2) + (x^6*FresnelC[b*x])/6 - (5*FresnelS[b*x])/(2*b^6*Pi^3) + (5*x*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(2*b^5*Pi^3) - (x^5*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(6*b*Pi)}
+{x^4*FresnelC[b*x], x, 5, (-4*x^2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(5*b^3*Pi^2) + (x^5*FresnelC[b*x])/5 + (8*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(5*b^5*Pi^3) - (x^4*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(5*b*Pi)}
+{x^3*FresnelC[b*x], x, 4, (-3*x*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(4*b^3*Pi^2) + (3*FresnelC[b*x])/(4*b^4*Pi^2) + (x^4*FresnelC[b*x])/4 - (x^3*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(4*b*Pi)}
+{x^2*FresnelC[b*x], x, 4, (-2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(3*b^3*Pi^2) + (x^3*FresnelC[b*x])/3 - (x^2*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(3*b*Pi)}
+{x^1*FresnelC[b*x], x, 3, (x^2*FresnelC[b*x])/2 + FresnelS[b*x]/(2*b^2*Pi) - (x*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(2*b*Pi)}
+{x^0*FresnelC[b*x], x, 1, x*FresnelC[b*x] - Sin[(b^2*Pi*x^2)/2]/(b*Pi)}
+{FresnelC[b*x]/x^1, x, 3, (b*x*HypergeometricPFQ[{1/2, 1/2}, {3/2, 3/2}, (-I/2)*b^2*Pi*x^2])/2 + (b*x*HypergeometricPFQ[{1/2, 1/2}, {3/2, 3/2}, (I/2)*b^2*Pi*x^2])/2}
+{FresnelC[b*x]/x^2, x, 2, (b*CosIntegral[(b^2*Pi*x^2)/2])/2 - FresnelC[b*x]/x}
+{FresnelC[b*x]/x^3, x, 3, -(b*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(2*x) - FresnelC[b*x]/(2*x^2) - (b^2*Pi*FresnelS[b*x])/2}
+{FresnelC[b*x]/x^4, x, 4, -(b*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(6*x^2) - FresnelC[b*x]/(3*x^3) - (b^3*Pi*SinIntegral[(b^2*Pi*x^2)/2])/12}
+{FresnelC[b*x]/x^5, x, 4, -(b*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(12*x^3) - (b^4*Pi^2*FresnelC[b*x])/12 - FresnelC[b*x]/(4*x^4) + (b^3*Pi*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(12*x)}
+{FresnelC[b*x]/x^6, x, 5, -(b*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(20*x^4) - (b^5*Pi^2*CosIntegral[(b^2*Pi*x^2)/2])/80 - FresnelC[b*x]/(5*x^5) + (b^3*Pi*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(40*x^2)}
+{FresnelC[b*x]/x^7, x, 5, -(b*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(30*x^5) + (b^5*Pi^2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(90*x) - FresnelC[b*x]/(6*x^6) + (b^6*Pi^3*FresnelS[b*x])/90 + (b^3*Pi*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(90*x^3)}
+{FresnelC[b*x]/x^8, x, 6, -(b*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(42*x^6) + (b^5*Pi^2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(336*x^2) - FresnelC[b*x]/(7*x^7) + (b^3*Pi*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(168*x^4) + (b^7*Pi^3*SinIntegral[(b^2*Pi*x^2)/2])/672}
+{FresnelC[b*x]/x^9, x, 6, -(b*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(56*x^7) + (b^5*Pi^2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(840*x^3) + (b^8*Pi^4*FresnelC[b*x])/840 - FresnelC[b*x]/(8*x^8) + (b^3*Pi*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(280*x^5) - (b^7*Pi^3*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(840*x)}
+{FresnelC[b*x]/x^10, x, 7, -(b*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(72*x^8) + (b^5*Pi^2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2])/(1728*x^4) + (b^9*Pi^4*CosIntegral[(b^2*Pi*x^2)/2])/6912 - FresnelC[b*x]/(9*x^9) + (b^3*Pi*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(432*x^6) - (b^7*Pi^3*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(3456*x^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m FresnelC[a+b x]*)
+
+
+{(c + d*x)^3*FresnelC[a + b*x], x, 14, -((2*d^2*(b*c - a*d)*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^4*Pi^2)) - (3*d^3*(a + b*x)*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(4*b^4*Pi^2) - ((b*c - a*d)^4*FresnelC[a + b*x])/(4*b^4*d) + (3*d^3*FresnelC[a + b*x])/(4*b^4*Pi^2) + ((c + d*x)^4*FresnelC[a + b*x])/(4*d) + (3*d*(b*c - a*d)^2*FresnelS[a + b*x])/(2*b^4*Pi) - ((b*c - a*d)^3*Sin[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^4*Pi) - (3*d*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)*Sin[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(2*b^4*Pi) - (d^2*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2*Sin[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^4*Pi) - (d^3*(a + b*x)^3*Sin[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(4*b^4*Pi)}
+{(c + d*x)^2*FresnelC[a + b*x], x, 11, -((2*d^2*Cos[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(3*b^3*Pi^2)) - ((b*c - a*d)^3*FresnelC[a + b*x])/(3*b^3*d) + ((c + d*x)^3*FresnelC[a + b*x])/(3*d) + (d*(b*c - a*d)*FresnelS[a + b*x])/(b^3*Pi) - ((b*c - a*d)^2*Sin[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^3*Pi) - (d*(b*c - a*d)*(a + b*x)*Sin[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^3*Pi) - (d^2*(a + b*x)^2*Sin[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(3*b^3*Pi)}
+{(c + d*x)^1*FresnelC[a + b*x], x, 8, -(((b*c - a*d)^2*FresnelC[a + b*x])/(2*b^2*d)) + ((c + d*x)^2*FresnelC[a + b*x])/(2*d) + (d*FresnelS[a + b*x])/(2*b^2*Pi) - ((b*c - a*d)*Sin[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^2*Pi) - (d*(a + b*x)*Sin[(1/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(2*b^2*Pi)}
+{(c + d*x)^0*FresnelC[a + b*x], x, 1, ((a + b*x)*FresnelC[a + b*x])/b - Sin[(Pi*(a + b*x)^2)/2]/(b*Pi)}
+{FresnelC[a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[FresnelC[a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{FresnelC[a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[FresnelC[a + b*x]/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{x^3*FresnelC[a + b*x], x, 14, (2*a*Cos[(Pi*(a + b*x)^2)/2])/(b^4*Pi^2) - (3*(a + b*x)*Cos[(Pi*(a + b*x)^2)/2])/(4*b^4*Pi^2) - (a^4*FresnelC[a + b*x])/(4*b^4) + (3*FresnelC[a + b*x])/(4*b^4*Pi^2) + (x^4*FresnelC[a + b*x])/4 + (3*a^2*FresnelS[a + b*x])/(2*b^4*Pi) + (a^3*Sin[(Pi*(a + b*x)^2)/2])/(b^4*Pi) - (3*a^2*(a + b*x)*Sin[(Pi*(a + b*x)^2)/2])/(2*b^4*Pi) + (a*(a + b*x)^2*Sin[(Pi*(a + b*x)^2)/2])/(b^4*Pi) - ((a + b*x)^3*Sin[(Pi*(a + b*x)^2)/2])/(4*b^4*Pi)}
+{x^2*FresnelC[a + b*x], x, 11, (-2*Cos[(Pi*(a + b*x)^2)/2])/(3*b^3*Pi^2) + (a^3*FresnelC[a + b*x])/(3*b^3) + (x^3*FresnelC[a + b*x])/3 - (a*FresnelS[a + b*x])/(b^3*Pi) - (a^2*Sin[(Pi*(a + b*x)^2)/2])/(b^3*Pi) + (a*(a + b*x)*Sin[(Pi*(a + b*x)^2)/2])/(b^3*Pi) - ((a + b*x)^2*Sin[(Pi*(a + b*x)^2)/2])/(3*b^3*Pi)}
+{x^1*FresnelC[a + b*x], x, 8, -(a^2*FresnelC[a + b*x])/(2*b^2) + (x^2*FresnelC[a + b*x])/2 + FresnelS[a + b*x]/(2*b^2*Pi) + (a*Sin[(Pi*(a + b*x)^2)/2])/(b^2*Pi) - ((a + b*x)*Sin[(Pi*(a + b*x)^2)/2])/(2*b^2*Pi)}
+{x^0*FresnelC[a + b*x], x, 1, ((a + b*x)*FresnelC[a + b*x])/b - Sin[(Pi*(a + b*x)^2)/2]/(b*Pi)}
+{FresnelC[a + b*x]/x^1, x, 0, Unintegrable[FresnelC[a + b*x]/x, x]}
+{FresnelC[a + b*x]/x^2, x, 0, Unintegrable[FresnelC[a + b*x]/x^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m FresnelC[a+b x]^2*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m FresnelC[b x]^2*)
+
+
+{x^7*FresnelC[b*x]^2, x, 23, -((105*x^2)/(16*b^6*Pi^4)) + (7*x^6)/(48*b^2*Pi^2) + (55*x^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(16*b^6*Pi^4) - (x^6*Cos[b^2*Pi*x^2])/(16*b^2*Pi^2) + (105*x*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelC[b*x])/(4*b^7*Pi^4) - (7*x^5*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelC[b*x])/(4*b^3*Pi^2) - (105*FresnelC[b*x]^2)/(8*b^8*Pi^4) + (1/8)*x^8*FresnelC[b*x]^2 + (35*x^3*FresnelC[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(4*b^5*Pi^3) - (x^7*FresnelC[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(4*b*Pi) - (10*Sin[b^2*Pi*x^2])/(b^8*Pi^5) + (5*x^4*Sin[b^2*Pi*x^2])/(8*b^4*Pi^3)}
+{x^6*FresnelC[b*x]^2, x, 19, (-48*x)/(7*b^6*Pi^4) + (6*x^5)/(35*b^2*Pi^2) + (21*x*Cos[b^2*Pi*x^2])/(8*b^6*Pi^4) - (x^5*Cos[b^2*Pi*x^2])/(14*b^2*Pi^2) + (96*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(7*b^7*Pi^4) - (12*x^4*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(7*b^3*Pi^2) + (x^7*FresnelC[b*x]^2)/7 - (531*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(56*Sqrt[2]*b^7*Pi^4) + (48*x^2*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(7*b^5*Pi^3) - (2*x^6*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(7*b*Pi) + (17*x^3*Sin[b^2*Pi*x^2])/(28*b^4*Pi^3)}
+{x^5*FresnelC[b*x]^2, x, 16, (5*x^4)/(24*b^2*Pi^2) + (11*Cos[b^2*Pi*x^2])/(6*b^6*Pi^4) - (x^4*Cos[b^2*Pi*x^2])/(12*b^2*Pi^2) - (5*x^3*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelC[b*x])/(3*b^3*Pi^2) + (1/6)*x^6*FresnelC[b*x]^2 - (5*FresnelC[b*x]*FresnelS[b*x])/(2*b^6*Pi^3) - (5*I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-(1/2))*I*b^2*Pi*x^2])/(8*b^4*Pi^3) + (5*I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*b^2*Pi*x^2])/(8*b^4*Pi^3) + (5*x*FresnelC[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^5*Pi^3) - (x^5*FresnelC[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(3*b*Pi) + (7*x^2*Sin[b^2*Pi*x^2])/(12*b^4*Pi^3)}
+{x^4*FresnelC[b*x]^2, x, 12, (4*x^3)/(15*b^2*Pi^2) - (x^3*Cos[b^2*Pi*x^2])/(10*b^2*Pi^2) - (8*x^2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(5*b^3*Pi^2) + (x^5*FresnelC[b*x]^2)/5 - (43*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(20*Sqrt[2]*b^5*Pi^3) + (16*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(5*b^5*Pi^3) - (2*x^4*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(5*b*Pi) + (11*x*Sin[b^2*Pi*x^2])/(20*b^4*Pi^3)}
+{x^3*FresnelC[b*x]^2, x, 10, (3*x^2)/(8*b^2*Pi^2) - (x^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(8*b^2*Pi^2) - (3*x*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelC[b*x])/(2*b^3*Pi^2) + (3*FresnelC[b*x]^2)/(4*b^4*Pi^2) + (1/4)*x^4*FresnelC[b*x]^2 - (x^3*FresnelC[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(2*b*Pi) + Sin[b^2*Pi*x^2]/(2*b^4*Pi^3)}
+{x^2*FresnelC[b*x]^2, x, 8, (2*x)/(3*b^2*Pi^2) - (x*Cos[b^2*Pi*x^2])/(6*b^2*Pi^2) - (4*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(3*b^3*Pi^2) + (x^3*FresnelC[b*x]^2)/3 + (5*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(6*Sqrt[2]*b^3*Pi^2) - (2*x^2*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(3*b*Pi)}
+{x^1*FresnelC[b*x]^2, x, 5, -Cos[b^2*Pi*x^2]/(4*b^2*Pi^2) + (x^2*FresnelC[b*x]^2)/2 + (FresnelC[b*x]*FresnelS[b*x])/(2*b^2*Pi) + ((I/8)*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-I/2)*b^2*Pi*x^2])/Pi - ((I/8)*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (I/2)*b^2*Pi*x^2])/Pi - (x*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(b*Pi)}
+{x^0*FresnelC[b*x]^2, x, 4, x*FresnelC[b*x]^2 + FresnelS[Sqrt[2]*b*x]/(Sqrt[2]*b*Pi) - (2*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(b*Pi)}
+{FresnelC[b*x]^2/x^1, x, 0, Unintegrable[FresnelC[b*x]^2/x, x]}
+{FresnelC[b*x]^2/x^2, x, 1, -(FresnelC[b*x]^2/x) + 2*b*Unintegrable[(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x, x]}
+{FresnelC[b*x]^2/x^3, x, 1, -FresnelC[b*x]^2/(2*x^2) + b*Unintegrable[(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x^2, x]}
+{FresnelC[b*x]^2/x^4, x, 4, -b^2/(6*x) - (b^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(6*x) - (b*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(3*x^2) - FresnelC[b*x]^2/(3*x^3) - (b^3*Pi*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(3*Sqrt[2]) - (b^3*Pi*Unintegrable[(FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/x, x])/3}
+{FresnelC[b*x]^2/x^5, x, 9, -b^2/(24*x^2) - (b^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(24*x^2) - (b*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(6*x^3) - (b^4*Pi^2*FresnelC[b*x]^2)/12 - FresnelC[b*x]^2/(4*x^4) + (b^3*Pi*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(6*x) - (b^4*Pi*SinIntegral[b^2*Pi*x^2])/12}
+{FresnelC[b*x]^2/x^6, x, 8, -b^2/(60*x^3) - (b^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(60*x^3) - (b*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(10*x^4) - FresnelC[b*x]^2/(5*x^5) - (7*b^5*Pi^2*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(60*Sqrt[2]) + (b^3*Pi*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(20*x^2) + (7*b^4*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(120*x) - (b^5*Pi^2*Unintegrable[(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x, x])/20}
+{FresnelC[b*x]^2/x^7, x, 10, -b^2/(120*x^4) - (b^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(120*x^4) - (b^6*Pi^2*CosIntegral[b^2*Pi*x^2])/72 - (b*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(15*x^5) - FresnelC[b*x]^2/(6*x^6) + (b^3*Pi*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(45*x^3) + (b^4*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(72*x^2) - (b^5*Pi^2*Unintegrable[(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x^2, x])/45}
+{FresnelC[b*x]^2/x^8, x, 13, -b^2/(210*x^5) + (b^6*Pi^2)/(336*x) - (b^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(210*x^5) + (67*b^6*Pi^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(5040*x) - (b*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(21*x^6) + (b^5*Pi^2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(168*x^2) - FresnelC[b*x]^2/(7*x^7) + (b^7*Pi^3*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(72*Sqrt[2]) + (2*Sqrt[2]*b^7*Pi^3*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/315 + (b^3*Pi*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(84*x^4) + (13*b^4*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(2520*x^3) + (b^7*Pi^3*Unintegrable[(FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/x, x])/168}
+{FresnelC[b*x]^2/x^9, x, 20, -b^2/(336*x^6) + (b^6*Pi^2)/(1680*x^2) - (b^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(336*x^6) + (b^6*Pi^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(336*x^2) - (b*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(28*x^7) + (b^5*Pi^2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(420*x^3) + (b^8*Pi^4*FresnelC[b*x]^2)/840 - FresnelC[b*x]^2/(8*x^8) + (b^3*Pi*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(140*x^5) - (b^7*Pi^3*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(420*x) + (b^4*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(420*x^4) + (b^8*Pi^3*SinIntegral[b^2*Pi*x^2])/280}
+{FresnelC[b*x]^2/x^10, x, 19, -b^2/(504*x^7) + (b^6*Pi^2)/(5184*x^3) - (b^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(504*x^7) + (187*b^6*Pi^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(181440*x^3) - (b*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(36*x^8) + (b^5*Pi^2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(864*x^4) - FresnelC[b*x]^2/(9*x^9) + (853*b^9*Pi^4*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(181440*Sqrt[2]) + (b^3*Pi*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(216*x^6) - (b^7*Pi^3*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(1728*x^2) + (19*b^4*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(15120*x^5) - (853*b^8*Pi^3*Sin[b^2*Pi*x^2])/(362880*x) + (b^9*Pi^4*Unintegrable[(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x, x])/1728}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m FresnelC[a+b x]^2*)
+
+
+{(c + d*x)^2*FresnelC[a + b*x]^2, x, 18, (2*d^2*x)/(3*b^2*Pi^2) - (d*(b*c - a*d)*Cos[Pi*(a + b*x)^2])/(2*b^3*Pi^2) - (d^2*(a + b*x)*Cos[Pi*(a + b*x)^2])/(6*b^3*Pi^2) - (4*d^2*Cos[(Pi*(a + b*x)^2)/2]*FresnelC[a + b*x])/(3*b^3*Pi^2) + ((b*c - a*d)^2*(a + b*x)*FresnelC[a + b*x]^2)/b^3 + (d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2*FresnelC[a + b*x]^2)/b^3 + (d^2*(a + b*x)^3*FresnelC[a + b*x]^2)/(3*b^3) + (5*d^2*FresnelC[Sqrt[2]*(a + b*x)])/(6*Sqrt[2]*b^3*Pi^2) + (d*(b*c - a*d)*FresnelC[a + b*x]*FresnelS[a + b*x])/(b^3*Pi) + ((b*c - a*d)^2*FresnelS[Sqrt[2]*(a + b*x)])/(Sqrt[2]*b^3*Pi) + ((I/4)*d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-I/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^3*Pi) - ((I/4)*d*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (I/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^3*Pi) - (2*(b*c - a*d)^2*FresnelC[a + b*x]*Sin[(Pi*(a + b*x)^2)/2])/(b^3*Pi) - (2*d*(b*c - a*d)*(a + b*x)*FresnelC[a + b*x]*Sin[(Pi*(a + b*x)^2)/2])/(b^3*Pi) - (2*d^2*(a + b*x)^2*FresnelC[a + b*x]*Sin[(Pi*(a + b*x)^2)/2])/(3*b^3*Pi)}
+{(c + d*x)^1*FresnelC[a + b*x]^2, x, 10, -(d*Cos[Pi*(a + b*x)^2])/(4*b^2*Pi^2) + ((b*c - a*d)*(a + b*x)*FresnelC[a + b*x]^2)/b^2 + (d*(a + b*x)^2*FresnelC[a + b*x]^2)/(2*b^2) + (d*FresnelC[a + b*x]*FresnelS[a + b*x])/(2*b^2*Pi) + ((b*c - a*d)*FresnelS[Sqrt[2]*(a + b*x)])/(Sqrt[2]*b^2*Pi) + ((I/8)*d*(a + b*x)^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-I/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^2*Pi) - ((I/8)*d*(a + b*x)^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (I/2)*Pi*(a + b*x)^2])/(b^2*Pi) - (2*(b*c - a*d)*FresnelC[a + b*x]*Sin[(Pi*(a + b*x)^2)/2])/(b^2*Pi) - (d*(a + b*x)*FresnelC[a + b*x]*Sin[(Pi*(a + b*x)^2)/2])/(b^2*Pi)}
+{(c + d*x)^0*FresnelC[a + b*x]^2, x, 4, ((a + b*x)*FresnelC[a + b*x]^2)/b + FresnelS[Sqrt[2]*(a + b*x)]/(Sqrt[2]*b*Pi) - (2*FresnelC[a + b*x]*Sin[(Pi*(a + b*x)^2)/2])/(b*Pi)}
+{FresnelC[a + b*x]^2/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[FresnelC[a + b*x]^2/(c + d*x), x]}
+{FresnelC[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[FresnelC[a + b*x]^2/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m FresnelC[d (a+b Log[c x^n])]*)
+
+
+{x^2*FresnelC[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 10, ((1/12 + I/12)*E^((-3*a)/(b*n) + ((9*I)/2)/(b^2*d^2*n^2*Pi))*x^3*Erf[((1/2 + I/2)*(3/n + I*a*b*d^2*Pi + I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/(c*x^n)^(3/n) - ((1/12 + I/12)*E^((-3*a)/(b*n) - ((9*I)/2)/(b^2*d^2*n^2*Pi))*x^3*Erfi[((1/2 + I/2)*(3/n - I*a*b*d^2*Pi - I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/(c*x^n)^(3/n) + (x^3*FresnelC[d*(a + b*Log[c*x^n])])/3}
+{x^1*FresnelC[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 10, ((1/8 + I/8)*E^((2*I - 2*a*b*d^2*n*Pi)/(b^2*d^2*n^2*Pi))*x^2*Erf[((1/2 + I/2)*(2/n + I*a*b*d^2*Pi + I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/(c*x^n)^(2/n) - ((1/8 + I/8)*x^2*Erfi[((1/2 + I/2)*(2/n - I*a*b*d^2*Pi - I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/(E^((2*(I + a*b*d^2*n*Pi))/(b^2*d^2*n^2*Pi))*(c*x^n)^(2/n)) + (x^2*FresnelC[d*(a + b*Log[c*x^n])])/2}
+{x^0*FresnelC[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 10, ((1/4 + I/4)*x*Erf[((1/2 + I/2)*(n^(-1) + I*a*b*d^2*Pi + I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/(E^((2*a*b*n - I/(d^2*Pi))/(2*b^2*n^2))*(c*x^n)^n^(-1)) - ((1/4 + I/4)*x*Erfi[((1/2 + I/2)*(n^(-1) - I*a*b*d^2*Pi - I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/(E^((2*a*b*n + I/(d^2*Pi))/(2*b^2*n^2))*(c*x^n)^n^(-1)) + x*FresnelC[d*(a + b*Log[c*x^n])]}
+{FresnelC[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^1, x, 3, (FresnelC[d*(a + b*Log[c*x^n])]*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n) - Sin[(d^2*Pi*(a + b*Log[c*x^n])^2)/2]/(b*d*n*Pi)}
+{FresnelC[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^2, x, 10, ((1/4 + I/4)*E^((2*a*b*n + I/(d^2*Pi))/(2*b^2*n^2))*(c*x^n)^n^(-1)*Erf[((1/2 + I/2)*(n^(-1) - I*a*b*d^2*Pi - I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/x - ((1/4 + I/4)*E^((2*a*b*n - I/(d^2*Pi))/(2*b^2*n^2))*(c*x^n)^n^(-1)*Erfi[((1/2 + I/2)*(n^(-1) + I*a*b*d^2*Pi + I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/x - FresnelC[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x}
+{FresnelC[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^3, x, 10, ((1/8 + I/8)*E^((2*I + 2*a*b*d^2*n*Pi)/(b^2*d^2*n^2*Pi))*(c*x^n)^(2/n)*Erf[((1/2 + I/2)*(2/n - I*a*b*d^2*Pi - I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/x^2 - ((1/8 + I/8)*(c*x^n)^(2/n)*Erfi[((1/2 + I/2)*(2/n + I*a*b*d^2*Pi + I*b^2*d^2*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*Sqrt[Pi])])/(E^((2*(I - a*b*d^2*n*Pi))/(b^2*d^2*n^2*Pi))*x^2) - FresnelC[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(2*x^2)}
+
+
+{(e*x)^m*FresnelC[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 10, ((1/4 + I/4)*E^(((I/2)*(1 + m)*(1 + m + (2*I)*a*b*d^2*n*Pi))/(b^2*d^2*n^2*Pi))*x*(e*x)^m*Erf[((1/2 + I/2)*(1 + m + I*a*b*d^2*n*Pi + I*b^2*d^2*n*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*n*Sqrt[Pi])])/((1 + m)*(c*x^n)^((1 + m)/n)) - ((1/4 + I/4)*x*(e*x)^m*Erfi[((1/2 + I/2)*(1 + m - I*a*b*d^2*n*Pi - I*b^2*d^2*n*Pi*Log[c*x^n]))/(b*d*n*Sqrt[Pi])])/(E^(((I/2)*(1 + m)*(1 + m - (2*I)*a*b*d^2*n*Pi))/(b^2*d^2*n^2*Pi))*(1 + m)*(c*x^n)^((1 + m)/n)) + ((e*x)^(1 + m)*FresnelC[d*(a + b*Log[c*x^n])])/(e*(1 + m))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(c+d x^2) FresnelC[a+b x]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form E^(c+d x^2) FresnelC[b x] when d^2=Pi^2/4 b^4*)
+
+
+{E^(c + (I/2)*b^2*Pi*x^2)*FresnelC[b*x], x, 4, If[$VersionNumber>=8, ((-I/8)*E^c*Erfi[(1/2 + I/2)*b*Sqrt[Pi]*x]^2)/b + (b*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (I/2)*b^2*Pi*x^2])/4, (I*E^c*Erf[(1/2 - I/2)*b*Sqrt[Pi]*x]^2)/(8*b) + (1/4)*b*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*b^2*Pi*x^2]]}
+{E^(c - (I/2)*b^2*Pi*x^2)*FresnelC[b*x], x, 4, ((-I/8)*E^c*Erf[(1/2 + I/2)*b*Sqrt[Pi]*x]^2)/b + (b*E^c*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-I/2)*b^2*Pi*x^2])/4}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Cos[c+d x^2] FresnelC[a+b x]^n*)
+
+
+{Sin[c + (b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x], x, 4, (Cos[c]*FresnelC[b*x]*FresnelS[b*x])/(2*b) + (I/8)*b*x^2*Cos[c]*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-I/2)*b^2*Pi*x^2] - (I/8)*b*x^2*Cos[c]*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (I/2)*b^2*Pi*x^2] + (FresnelC[b*x]^2*Sin[c])/(2*b)}
+{Cos[c + (b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x], x, 4, (Cos[c]*FresnelC[b*x]^2)/(2*b) - (FresnelC[b*x]*FresnelS[b*x]*Sin[c])/(2*b) - (I/8)*b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-I/2)*b^2*Pi*x^2]*Sin[c] + (I/8)*b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (I/2)*b^2*Pi*x^2]*Sin[c]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Cos[Pi/2 b^2 x^2] FresnelC[b x]^n*)
+
+
+{Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelC[b*x]^2, x, 2, FresnelC[b*x]^3/(3*b)}
+{Cos[Pi/2*b^2*x^2]*FresnelC[b*x]^1, x, 2, FresnelC[b*x]^2/(2*b)}
+{Cos[Pi/2*b^2*x^2]/FresnelC[b*x]^1, x, 2, Log[FresnelC[b*x]]/b}
+{Cos[Pi/2*b^2*x^2]/FresnelC[b*x]^2, x, 2, -(1/(b*FresnelC[b*x]))}
+{Cos[Pi/2*b^2*x^2]/FresnelC[b*x]^3, x, 2, -(1/(2*b*FresnelC[b*x]^2))}
+
+
+{Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x]^n, x, 2, FresnelC[b*x]^(1 + n)/(b*(1 + n))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cos[Pi/2 b^2 x^2] FresnelC[b x]*)
+
+
+{x^8*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x], x, 22, (105*x^2)/(4*b^7*Pi^4) - (7*x^6)/(12*b^3*Pi^2) - (55*x^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(4*b^7*Pi^4) + (x^6*Cos[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2) - (105*x*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelC[b*x])/(b^8*Pi^4) + (7*x^5*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelC[b*x])/(b^4*Pi^2) + (105*FresnelC[b*x]^2)/(2*b^9*Pi^4) - (35*x^3*FresnelC[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^6*Pi^3) + (x^7*FresnelC[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^2*Pi) + (40*Sin[b^2*Pi*x^2])/(b^9*Pi^5) - (5*x^4*Sin[b^2*Pi*x^2])/(2*b^5*Pi^3)}
+{x^7*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x], x, 18, (24*x)/(b^7*Pi^4) - (3*x^5)/(5*b^3*Pi^2) - (147*x*Cos[b^2*Pi*x^2])/(16*b^7*Pi^4) + (x^5*Cos[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2) - (48*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(b^8*Pi^4) + (6*x^4*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(b^4*Pi^2) + (531*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(16*Sqrt[2]*b^8*Pi^4) - (24*x^2*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(b^6*Pi^3) + (x^6*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(b^2*Pi) - (17*x^3*Sin[b^2*Pi*x^2])/(8*b^5*Pi^3)}
+{x^6*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x], x, 15, -((5*x^4)/(8*b^3*Pi^2)) - (11*Cos[b^2*Pi*x^2])/(2*b^7*Pi^4) + (x^4*Cos[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2) + (5*x^3*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelC[b*x])/(b^4*Pi^2) + (15*FresnelC[b*x]*FresnelS[b*x])/(2*b^7*Pi^3) + (15*I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-(1/2))*I*b^2*Pi*x^2])/(8*b^5*Pi^3) - (15*I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*b^2*Pi*x^2])/(8*b^5*Pi^3) - (15*x*FresnelC[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^6*Pi^3) + (x^5*FresnelC[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^2*Pi) - (7*x^2*Sin[b^2*Pi*x^2])/(4*b^5*Pi^3)}
+{x^5*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x], x, 11, (-2*x^3)/(3*b^3*Pi^2) + (x^3*Cos[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2) + (4*x^2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(b^4*Pi^2) + (43*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(8*Sqrt[2]*b^6*Pi^3) - (8*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(b^6*Pi^3) + (x^4*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(b^2*Pi) - (11*x*Sin[b^2*Pi*x^2])/(8*b^5*Pi^3)}
+{x^4*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x], x, 9, -((3*x^2)/(4*b^3*Pi^2)) + (x^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2) + (3*x*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelC[b*x])/(b^4*Pi^2) - (3*FresnelC[b*x]^2)/(2*b^5*Pi^2) + (x^3*FresnelC[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^2*Pi) - Sin[b^2*Pi*x^2]/(b^5*Pi^3)}
+{x^3*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x], x, 7, -(x/(b^3*Pi^2)) + (x*Cos[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2) + (2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(b^4*Pi^2) - (5*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(4*Sqrt[2]*b^4*Pi^2) + (x^2*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(b^2*Pi)}
+{x^2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x], x, 4, Cos[b^2*Pi*x^2]/(4*b^3*Pi^2) - (FresnelC[b*x]*FresnelS[b*x])/(2*b^3*Pi) - ((I/8)*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-I/2)*b^2*Pi*x^2])/(b*Pi) + ((I/8)*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (I/2)*b^2*Pi*x^2])/(b*Pi) + (x*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(b^2*Pi)}
+{x^1*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x], x, 2, -FresnelS[Sqrt[2]*b*x]/(2*Sqrt[2]*b^2*Pi) + (FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(b^2*Pi)}
+{x^0*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x], x, 2, FresnelC[b*x]^2/(2*b)}
+{(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x^1, x, 0, Unintegrable[(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x, x]}
+{(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x^2, x, 0, Unintegrable[(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x^2, x]}
+{(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x^3, x, 3, -b/(4*x) - (b*Cos[b^2*Pi*x^2])/(4*x) - (Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(2*x^2) - (b^2*Pi*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(2*Sqrt[2]) - (b^2*Pi*Unintegrable[(FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/x, x])/2}
+{(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x^4, x, 8, -b/(12*x^2) - (b*Cos[b^2*Pi*x^2])/(12*x^2) - (Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(3*x^3) - (b^3*Pi^2*FresnelC[b*x]^2)/6 + (b^2*Pi*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(3*x) - (b^3*Pi*SinIntegral[b^2*Pi*x^2])/6}
+{(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x^5, x, 7, -b/(24*x^3) - (b*Cos[b^2*Pi*x^2])/(24*x^3) - (Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(4*x^4) - (7*b^4*Pi^2*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(24*Sqrt[2]) + (b^2*Pi*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(8*x^2) + (7*b^3*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(48*x) - (b^4*Pi^2*Unintegrable[(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x, x])/8}
+{(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x^6, x, 9, -b/(40*x^4) - (b*Cos[b^2*Pi*x^2])/(40*x^4) - (b^5*Pi^2*CosIntegral[b^2*Pi*x^2])/24 - (Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(5*x^5) + (b^2*Pi*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(15*x^3) + (b^3*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(24*x^2) - (b^4*Pi^2*Unintegrable[(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x^2, x])/15}
+{(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x^7, x, 12, -b/(60*x^5) + (b^5*Pi^2)/(96*x) - (b*Cos[b^2*Pi*x^2])/(60*x^5) + (67*b^5*Pi^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(1440*x) - (Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(6*x^6) + (b^4*Pi^2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(48*x^2) + (7*b^6*Pi^3*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(144*Sqrt[2]) + (Sqrt[2]*b^6*Pi^3*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/45 + (b^2*Pi*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(24*x^4) + (13*b^3*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(720*x^3) + (b^6*Pi^3*Unintegrable[(FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/x, x])/48}
+{(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x^8, x, 19, -b/(84*x^6) + (b^5*Pi^2)/(420*x^2) - (b*Cos[b^2*Pi*x^2])/(84*x^6) + (b^5*Pi^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(84*x^2) - (Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(7*x^7) + (b^4*Pi^2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(105*x^3) + (b^7*Pi^4*FresnelC[b*x]^2)/210 + (b^2*Pi*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(35*x^5) - (b^6*Pi^3*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(105*x) + (b^3*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(105*x^4) + (b^7*Pi^3*SinIntegral[b^2*Pi*x^2])/70}
+{(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x^9, x, 18, -b/(112*x^7) + (b^5*Pi^2)/(1152*x^3) - (b*Cos[b^2*Pi*x^2])/(112*x^7) + (187*b^5*Pi^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(40320*x^3) - (Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(8*x^8) + (b^4*Pi^2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(192*x^4) + (853*b^8*Pi^4*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(40320*Sqrt[2]) + (b^2*Pi*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(48*x^6) - (b^6*Pi^3*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(384*x^2) + (19*b^3*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(3360*x^5) - (853*b^7*Pi^3*Sin[b^2*Pi*x^2])/(80640*x) + (b^8*Pi^4*Unintegrable[(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x, x])/384}
+{(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x^10, x, 22, -b/(144*x^8) + (b^5*Pi^2)/(2520*x^4) - (b*Cos[b^2*Pi*x^2])/(144*x^8) + (67*b^5*Pi^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(30240*x^4) + (5*b^9*Pi^4*CosIntegral[b^2*Pi*x^2])/2016 - (Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(9*x^9) + (b^4*Pi^2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(315*x^5) + (b^2*Pi*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(63*x^7) - (b^6*Pi^3*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(945*x^3) + (11*b^3*Pi*Sin[b^2*Pi*x^2])/(3024*x^6) - (5*b^7*Pi^3*Sin[b^2*Pi*x^2])/(2016*x^2) + (b^8*Pi^4*Unintegrable[(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x^2, x])/945}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form x^m Cos[c+d x^2] FresnelC[b x]*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Sin[c+d x^2] FresnelC[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Sin[Pi/2 b^2 x^2] FresnelC[b x]^n*)
+
+
+{FresnelC[b*x]^n*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2], x, 0, Unintegrable[FresnelC[b*x]^n*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2], x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Sin[Pi/2 b^2 x^2] FresnelC[b x]*)
+
+
+{x^8*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2], x, 23, -((35*x^4)/(8*b^5*Pi^3)) + x^8/(16*b*Pi) - (40*Cos[b^2*Pi*x^2])/(b^9*Pi^5) + (5*x^4*Cos[b^2*Pi*x^2])/(2*b^5*Pi^3) + (35*x^3*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelC[b*x])/(b^6*Pi^3) - (x^7*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelC[b*x])/(b^2*Pi) + (105*FresnelC[b*x]*FresnelS[b*x])/(2*b^9*Pi^4) + (105*I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-(1/2))*I*b^2*Pi*x^2])/(8*b^7*Pi^4) - (105*I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*b^2*Pi*x^2])/(8*b^7*Pi^4) - (105*x*FresnelC[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^8*Pi^4) + (7*x^5*FresnelC[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^4*Pi^2) - (55*x^2*Sin[b^2*Pi*x^2])/(4*b^7*Pi^4) + (x^6*Sin[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2)}
+{x^7*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2], x, 18, (-4*x^3)/(b^5*Pi^3) + x^7/(14*b*Pi) + (17*x^3*Cos[b^2*Pi*x^2])/(8*b^5*Pi^3) + (24*x^2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(b^6*Pi^3) - (x^6*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(b^2*Pi) + (531*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(16*Sqrt[2]*b^8*Pi^4) - (48*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(b^8*Pi^4) + (6*x^4*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(b^4*Pi^2) - (147*x*Sin[b^2*Pi*x^2])/(16*b^7*Pi^4) + (x^5*Sin[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2)}
+{x^6*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2], x, 16, -((15*x^2)/(4*b^5*Pi^3)) + x^6/(12*b*Pi) + (7*x^2*Cos[b^2*Pi*x^2])/(4*b^5*Pi^3) + (15*x*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelC[b*x])/(b^6*Pi^3) - (x^5*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelC[b*x])/(b^2*Pi) - (15*FresnelC[b*x]^2)/(2*b^7*Pi^3) + (5*x^3*FresnelC[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^4*Pi^2) - (11*Sin[b^2*Pi*x^2])/(2*b^7*Pi^4) + (x^4*Sin[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2)}
+{x^5*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2], x, 13, (-4*x)/(b^5*Pi^3) + x^5/(10*b*Pi) + (11*x*Cos[b^2*Pi*x^2])/(8*b^5*Pi^3) + (8*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(b^6*Pi^3) - (x^4*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(b^2*Pi) - (43*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(8*Sqrt[2]*b^6*Pi^3) + (4*x^2*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(b^4*Pi^2) + (x^3*Sin[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2)}
+{x^4*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2], x, 10, x^4/(8*b*Pi) + Cos[b^2*Pi*x^2]/(b^5*Pi^3) - (x^3*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelC[b*x])/(b^2*Pi) - (3*FresnelC[b*x]*FresnelS[b*x])/(2*b^5*Pi^2) - (3*I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-(1/2))*I*b^2*Pi*x^2])/(8*b^3*Pi^2) + (3*I*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*b^2*Pi*x^2])/(8*b^3*Pi^2) + (3*x*FresnelC[b*x]*Sin[(1/2)*b^2*Pi*x^2])/(b^4*Pi^2) + (x^2*Sin[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2)}
+{x^3*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2], x, 7, x^3/(6*b*Pi) - (x^2*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(b^2*Pi) - (5*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(4*Sqrt[2]*b^4*Pi^2) + (2*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(b^4*Pi^2) + (x*Sin[b^2*Pi*x^2])/(4*b^3*Pi^2)}
+{x^2*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2], x, 5, x^2/(4*b*Pi) - (x*Cos[(1/2)*b^2*Pi*x^2]*FresnelC[b*x])/(b^2*Pi) + FresnelC[b*x]^2/(2*b^3*Pi) + Sin[b^2*Pi*x^2]/(4*b^3*Pi^2)}
+{x^1*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2], x, 4, x/(2*b*Pi) - (Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(b^2*Pi) + FresnelC[Sqrt[2]*b*x]/(2*Sqrt[2]*b^2*Pi)}
+{x^0*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2], x, 1, (FresnelC[b*x]*FresnelS[b*x])/(2*b) + (I/8)*b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-I/2)*b^2*Pi*x^2] - (I/8)*b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (I/2)*b^2*Pi*x^2]}
+{(FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/x^1, x, 0, Unintegrable[(FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/x, x]}
+{(FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/x^2, x, 4, (b*Pi*FresnelC[b*x]^2)/2 - (FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/x + (b*SinIntegral[b^2*Pi*x^2])/4}
+{(FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/x^3, x, 3, (b^2*Pi*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(2*Sqrt[2]) - (FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(2*x^2) - (b*Sin[b^2*Pi*x^2])/(4*x) + (b^2*Pi*Unintegrable[(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x, x])/2}
+{(FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/x^4, x, 4, (b^3*Pi*CosIntegral[b^2*Pi*x^2])/12 - (FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(3*x^3) - (b*Sin[b^2*Pi*x^2])/(12*x^2) + (b^2*Pi*Unintegrable[(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x^2, x])/3}
+{(FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/x^5, x, 7, -(b^3*Pi)/(16*x) - (7*b^3*Pi*Cos[b^2*Pi*x^2])/(48*x) - (b^2*Pi*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(8*x^2) - (7*b^4*Pi^2*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(24*Sqrt[2]) - (FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(4*x^4) - (b*Sin[b^2*Pi*x^2])/(24*x^3) - (b^4*Pi^2*Unintegrable[(FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/x, x])/8}
+{(FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/x^6, x, 13, -(b^3*Pi)/(60*x^2) - (b^3*Pi*Cos[b^2*Pi*x^2])/(24*x^2) - (b^2*Pi*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(15*x^3) - (b^5*Pi^3*FresnelC[b*x]^2)/30 - (FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(5*x^5) + (b^4*Pi^2*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(15*x) - (b*Sin[b^2*Pi*x^2])/(40*x^4) - (7*b^5*Pi^2*SinIntegral[b^2*Pi*x^2])/120}
+{(FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/x^7, x, 12, -(b^3*Pi)/(144*x^3) - (13*b^3*Pi*Cos[b^2*Pi*x^2])/(720*x^3) - (b^2*Pi*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(24*x^4) - (7*b^6*Pi^3*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/(144*Sqrt[2]) - (Sqrt[2]*b^6*Pi^3*FresnelC[Sqrt[2]*b*x])/45 - (FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(6*x^6) + (b^4*Pi^2*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(48*x^2) - (b*Sin[b^2*Pi*x^2])/(60*x^5) + (67*b^5*Pi^2*Sin[b^2*Pi*x^2])/(1440*x) - (b^6*Pi^3*Unintegrable[(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x, x])/48}
+{(FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/x^8, x, 15, -(b^3*Pi)/(280*x^4) - (b^3*Pi*Cos[b^2*Pi*x^2])/(105*x^4) - (b^7*Pi^3*CosIntegral[b^2*Pi*x^2])/84 - (b^2*Pi*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(35*x^5) - (FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(7*x^7) + (b^4*Pi^2*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(105*x^3) - (b*Sin[b^2*Pi*x^2])/(84*x^6) + (b^5*Pi^2*Sin[b^2*Pi*x^2])/(84*x^2) - (b^6*Pi^3*Unintegrable[(Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/x^2, x])/105}
+{(FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/x^9, x, 18, -(b^3*Pi)/(480*x^5) + (b^7*Pi^3)/(768*x) - (19*b^3*Pi*Cos[b^2*Pi*x^2])/(3360*x^5) + (853*b^7*Pi^3*Cos[b^2*Pi*x^2])/(80640*x) - (b^2*Pi*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(48*x^6) + (b^6*Pi^3*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(384*x^2) + (853*b^8*Pi^4*FresnelS[Sqrt[2]*b*x])/(40320*Sqrt[2]) - (FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(8*x^8) + (b^4*Pi^2*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(192*x^4) - (b*Sin[b^2*Pi*x^2])/(112*x^7) + (187*b^5*Pi^2*Sin[b^2*Pi*x^2])/(40320*x^3) + (b^8*Pi^4*Unintegrable[(FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/x, x])/384}
+{(FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/x^10, x, 26, -(b^3*Pi)/(756*x^6) + (b^7*Pi^3)/(3780*x^2) - (11*b^3*Pi*Cos[b^2*Pi*x^2])/(3024*x^6) + (5*b^7*Pi^3*Cos[b^2*Pi*x^2])/(2016*x^2) - (b^2*Pi*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(63*x^7) + (b^6*Pi^3*Cos[(b^2*Pi*x^2)/2]*FresnelC[b*x])/(945*x^3) + (b^9*Pi^5*FresnelC[b*x]^2)/1890 - (FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(9*x^9) + (b^4*Pi^2*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(315*x^5) - (b^8*Pi^4*FresnelC[b*x]*Sin[(b^2*Pi*x^2)/2])/(945*x) - (b*Sin[b^2*Pi*x^2])/(144*x^8) + (67*b^5*Pi^2*Sin[b^2*Pi*x^2])/(30240*x^4) + (83*b^9*Pi^4*SinIntegral[b^2*Pi*x^2])/30240}
+
+
+(* ::Subsection:: *)
+(*Integrands of the form x^m Sin[c+d x^2] FresnelC[b x]*)
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.3 Exponential integral functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.3 Exponential integral functions.m
new file mode 100644
index 00000000..31c39602
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.3 Exponential integral functions.m	
@@ -0,0 +1,414 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration Problems Involving Exponential Integral Functions*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m ExpIntegralE[n, b x]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m ExpIntegralE[n, b x]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^2*ExpIntegralE[1, b*x], x, 1, -(x^3*ExpIntegralE[-2, b*x])/3 + (x^3*ExpIntegralE[1, b*x])/3}
+{x^1*ExpIntegralE[1, b*x], x, 1, -(x^2*ExpIntegralE[-1, b*x])/2 + (x^2*ExpIntegralE[1, b*x])/2}
+{x^0*ExpIntegralE[1, b*x], x, 1, -(ExpIntegralE[2, b*x]/b)}
+{ExpIntegralE[1, b*x]/x^1, x, 1, b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, -(b*x)] - EulerGamma*Log[x] - Log[b*x]^2/2}
+{ExpIntegralE[1, b*x]/x^2, x, 1, -(ExpIntegralE[1, b*x]/x) + ExpIntegralE[2, b*x]/x}
+{ExpIntegralE[1, b*x]/x^3, x, 1, -ExpIntegralE[1, b*x]/(2*x^2) + ExpIntegralE[3, b*x]/(2*x^2)}
+{ExpIntegralE[1, b*x]/x^4, x, 1, -(ExpIntegralE[1, b*x]/(3*x^3)) + ExpIntegralE[4, b*x]/(3*x^3)}
+
+
+{x^2*ExpIntegralE[2, b*x], x, 1, -(x^3*ExpIntegralE[-2, b*x])/4 + (x^3*ExpIntegralE[2, b*x])/4}
+{x^1*ExpIntegralE[2, b*x], x, 1, -(x^2*ExpIntegralE[-1, b*x])/3 + (x^2*ExpIntegralE[2, b*x])/3}
+{ExpIntegralE[2, b*x], x, 1, -(ExpIntegralE[3, b*x]/b)}
+{ExpIntegralE[2, b*x]/x^1, x, 1, -ExpIntegralE[1, b*x] + ExpIntegralE[2, b*x]}
+{ExpIntegralE[2, b*x]/x^2, x, 2, -(ExpIntegralE[2, b*x]/x) - b^2*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, -(b*x)] + b*EulerGamma*Log[x] + (b*Log[b*x]^2)/2}
+{ExpIntegralE[2, b*x]/x^3, x, 1, -(ExpIntegralE[2, b*x]/x^2) + ExpIntegralE[3, b*x]/x^2}
+{ExpIntegralE[2, b*x]/x^4, x, 1, -(ExpIntegralE[2, b*x]/(2*x^3)) + ExpIntegralE[4, b*x]/(2*x^3)}
+{ExpIntegralE[2, b*x]/x^5, x, 1, -(ExpIntegralE[2, b*x]/(3*x^4)) + ExpIntegralE[5, b*x]/(3*x^4)}
+
+
+{x^2*ExpIntegralE[3, b*x], x, 1, -(x^3*ExpIntegralE[-2, b*x])/5 + (x^3*ExpIntegralE[3, b*x])/5}
+{x^1*ExpIntegralE[3, b*x], x, 1, -(x^2*ExpIntegralE[-1, b*x])/4 + (x^2*ExpIntegralE[3, b*x])/4}
+{x^0*ExpIntegralE[3, b*x], x, 1, -(ExpIntegralE[4, b*x]/b)}
+{ExpIntegralE[3, b*x]/x^1, x, 1, -ExpIntegralE[1, b*x]/2 + ExpIntegralE[3, b*x]/2}
+{ExpIntegralE[3, b*x]/x^2, x, 1, -(ExpIntegralE[2, b*x]/x) + ExpIntegralE[3, b*x]/x}
+{ExpIntegralE[3, b*x]/x^3, x, 3, (b*ExpIntegralE[2, b*x])/(2*x) - ExpIntegralE[3, b*x]/(2*x^2) + (b^3*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, -(b*x)])/2 - (b^2*EulerGamma*Log[x])/2 - (b^2*Log[b*x]^2)/4}
+{ExpIntegralE[3, b*x]/x^4, x, 1, -(ExpIntegralE[3, b*x]/x^3) + ExpIntegralE[4, b*x]/x^3}
+{ExpIntegralE[3, b*x]/x^5, x, 1, -(ExpIntegralE[3, b*x]/(2*x^4)) + ExpIntegralE[5, b*x]/(2*x^4)}
+{ExpIntegralE[3, b*x]/x^6, x, 1, -(ExpIntegralE[3, b*x]/(3*x^5)) + ExpIntegralE[6, b*x]/(3*x^5)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^3*ExpIntegralE[-1, b*x], x, 1, -(x^4*ExpIntegralE[-3, b*x])/2 + (x^4*ExpIntegralE[-1, b*x])/2}
+{x^2*ExpIntegralE[-1, b*x], x, 1, -(x^3*ExpIntegralE[-2, b*x]) + x^3*ExpIntegralE[-1, b*x]}
+{x^1*ExpIntegralE[-1, b*x], x, 3, -(1/(b^2*E^(b*x))) + ExpIntegralEi[-(b*x)]/b^2}
+{x^0*ExpIntegralE[-1, b*x], x, 1, -(1/(b^2*E^(b*x)*x))}
+{ExpIntegralE[-1, b*x]/x^1, x, 1, -ExpIntegralE[-1, b*x]/2 + ExpIntegralE[1, b*x]/2}
+{ExpIntegralE[-1, b*x]/x^2, x, 1, -ExpIntegralE[-1, b*x]/(3*x) + ExpIntegralE[2, b*x]/(3*x)}
+{ExpIntegralE[-1, b*x]/x^3, x, 1, -ExpIntegralE[-1, b*x]/(4*x^2) + ExpIntegralE[3, b*x]/(4*x^2)}
+
+
+{x^4*ExpIntegralE[-2, b*x], x, 1, (-(1/2))*x^5*ExpIntegralE[-4, b*x] + (1/2)*x^5*ExpIntegralE[-2, b*x]}
+{x^3*ExpIntegralE[-2, b*x], x, 1, -(x^4*ExpIntegralE[-3, b*x]) + x^4*ExpIntegralE[-2, b*x]}
+{x^2*ExpIntegralE[-2, b*x], x, 4, -2/(b^3*E^(b*x)) - (x^2*ExpIntegralE[-1, b*x])/b + (2*ExpIntegralEi[-(b*x)])/b^3}
+{x^1*ExpIntegralE[-2, b*x], x, 1, -(x^2*ExpIntegralE[-2, b*x]) + x^2*ExpIntegralE[-1, b*x]}
+{x^0*ExpIntegralE[-1, b*x], x, 1, -(1/(b^2*E^(b*x)*x))}
+{ExpIntegralE[-2, b*x]/x^1, x, 1, -ExpIntegralE[-2, b*x]/3 + ExpIntegralE[1, b*x]/3}
+{ExpIntegralE[-2, b*x]/x^2, x, 1, -ExpIntegralE[-2, b*x]/(4*x) + ExpIntegralE[2, b*x]/(4*x)}
+{ExpIntegralE[-2, b*x]/x^3, x, 1, -ExpIntegralE[-2, b*x]/(5*x^2) + ExpIntegralE[3, b*x]/(5*x^2)}
+
+
+{x^5*ExpIntegralE[-3, b*x], x, 1, (-(1/2))*x^6*ExpIntegralE[-5, b*x] + (1/2)*x^6*ExpIntegralE[-3, b*x]}
+{x^4*ExpIntegralE[-3, b*x], x, 1, (-x^5)*ExpIntegralE[-4, b*x] + x^5*ExpIntegralE[-3, b*x]}
+{x^3*ExpIntegralE[-3, b*x], x, 5, -6/(b^4*E^(b*x)) - (x^3*ExpIntegralE[-2, b*x])/b - (3*x^2*ExpIntegralE[-1, b*x])/b^2 + (6*ExpIntegralEi[-(b*x)])/b^4}
+{x^2*ExpIntegralE[-3, b*x], x, 1, -(x^3*ExpIntegralE[-3, b*x]) + x^3*ExpIntegralE[-2, b*x]}
+{x^1*ExpIntegralE[-3, b*x], x, 1, -(x^2*ExpIntegralE[-3, b*x])/2 + (x^2*ExpIntegralE[-1, b*x])/2}
+{x^0*ExpIntegralE[-1, b*x], x, 1, -(1/(b^2*E^(b*x)*x))}
+{ExpIntegralE[-3, b*x]/x^1, x, 1, -ExpIntegralE[-3, b*x]/4 + ExpIntegralE[1, b*x]/4}
+{ExpIntegralE[-3, b*x]/x^2, x, 1, -ExpIntegralE[-3, b*x]/(5*x) + ExpIntegralE[2, b*x]/(5*x)}
+{ExpIntegralE[-3, b*x]/x^3, x, 1, -ExpIntegralE[-3, b*x]/(6*x^2) + ExpIntegralE[3, b*x]/(6*x^2)}
+
+
+{x^3*ExpIntegralE[-3, b*x], x, 5, -(6/(E^(b*x)*b^4)) - (x^3*ExpIntegralE[-2, b*x])/b - (3*x^2*ExpIntegralE[-1, b*x])/b^2 + (6*ExpIntegralEi[(-b)*x])/b^4}
+{x^2*ExpIntegralE[-2, b*x], x, 4, -(2/(E^(b*x)*b^3)) - (x^2*ExpIntegralE[-1, b*x])/b + (2*ExpIntegralEi[(-b)*x])/b^3}
+{x^1*ExpIntegralE[-1, b*x], x, 3, -(1/(E^(b*x)*b^2)) + ExpIntegralEi[(-b)*x]/b^2}
+{x^0*ExpIntegralE[0, b*x], x, 2, ExpIntegralEi[(-b)*x]/b}
+{ExpIntegralE[1, b*x]/x^1, x, 1, b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, (-b)*x] - EulerGamma*Log[x] - (1/2)*Log[b*x]^2}
+{ExpIntegralE[2, b*x]/x^2, x, 2, -(ExpIntegralE[2, b*x]/x) - b^2*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, (-b)*x] + b*EulerGamma*Log[x] + (1/2)*b*Log[b*x]^2}
+{ExpIntegralE[3, b*x]/x^3, x, 3, (b*ExpIntegralE[2, b*x])/(2*x) - ExpIntegralE[3, b*x]/(2*x^2) + (1/2)*b^3*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, (-b)*x] - (1/2)*b^2*EulerGamma*Log[x] - (1/4)*b^2*Log[b*x]^2}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^(m/2) ExpIntegralE[n/2, b x]*)
+
+
+{(d*x)^(3/2)*ExpIntegralE[-3/2, b*x], x, 1, -((4*(d*x)^(5/2)*HypergeometricPFQ[{5/2, 5/2}, {7/2, 7/2}, (-b)*x])/(25*d)) + (3*Sqrt[Pi]*(d*x)^(3/2)*Log[x])/(4*b*(b*x)^(3/2))}
+{(d*x)^(1/2)*ExpIntegralE[-1/2, b*x], x, 1, -((4*(d*x)^(3/2)*HypergeometricPFQ[{3/2, 3/2}, {5/2, 5/2}, (-b)*x])/(9*d)) + (Sqrt[Pi]*Sqrt[d*x]*Log[x])/(2*b*Sqrt[b*x])}
+{ExpIntegralE[1/2, b*x]/(d*x)^(1/2), x, 1, -((4*Sqrt[d*x]*HypergeometricPFQ[{1/2, 1/2}, {3/2, 3/2}, (-b)*x])/d) + (Sqrt[Pi]*Sqrt[b*x]*Log[x])/(b*Sqrt[d*x])}
+{ExpIntegralE[3/2, b*x]/(d*x)^(3/2), x, 1, -((4*HypergeometricPFQ[{-(1/2), -(1/2)}, {1/2, 1/2}, (-b)*x])/(d*Sqrt[d*x])) - (2*Sqrt[Pi]*(b*x)^(3/2)*Log[x])/(b*(d*x)^(3/2))}
+{ExpIntegralE[5/2, b*x]/(d*x)^(5/2), x, 1, -((4*HypergeometricPFQ[{-(3/2), -(3/2)}, {-(1/2), -(1/2)}, (-b)*x])/(9*d*(d*x)^(3/2))) + (4*Sqrt[Pi]*(b*x)^(5/2)*Log[x])/(3*b*(d*x)^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m ExpIntegralE[n, b x] with n symbolic*)
+
+
+{x^m*ExpIntegralE[n, x], x, 1, -((x^(1 + m)*ExpIntegralE[-m, x])/(m + n)) + (x^(1 + m)*ExpIntegralE[n, x])/(m + n)}
+{x^m*ExpIntegralE[n, b*x], x, 1, -((x^(1 + m)*ExpIntegralE[-m, b*x])/(m + n)) + (x^(1 + m)*ExpIntegralE[n, b*x])/(m + n)}
+{(d*x)^m*ExpIntegralE[n, x], x, 1, -(((d*x)^(1 + m)*ExpIntegralE[-m, x])/(d*(m + n))) + ((d*x)^(1 + m)*ExpIntegralE[n, x])/(d*(m + n))}
+{(d*x)^m*ExpIntegralE[n, b*x], x, 1, -(((d*x)^(1 + m)*ExpIntegralE[-m, b*x])/(d*(m + n))) + ((d*x)^(1 + m)*ExpIntegralE[n, b*x])/(d*(m + n))}
+
+
+{ExpIntegralE[n, x]/x^n, x, 1, -((x^(1 - n)*HypergeometricPFQ[{1 - n, 1 - n}, {2 - n, 2 - n}, -x])/(1 - n)^2) + Gamma[1 - n]*Log[x]}
+{ExpIntegralE[n, b*x]/x^n, x, 1, -((x^(1 - n)*HypergeometricPFQ[{1 - n, 1 - n}, {2 - n, 2 - n}, (-b)*x])/(1 - n)^2) + ((b*x)^n*Gamma[1 - n]*Log[x])/(x^n*b)}
+{ExpIntegralE[n, x]/(d*x)^n, x, 1, -(((d*x)^(1 - n)*HypergeometricPFQ[{1 - n, 1 - n}, {2 - n, 2 - n}, -x])/(d*(1 - n)^2)) + (x^n*Gamma[1 - n]*Log[x])/(d*x)^n}
+{ExpIntegralE[n, b*x]/(d*x)^n, x, 1, -(((d*x)^(1 - n)*HypergeometricPFQ[{1 - n, 1 - n}, {2 - n, 2 - n}, (-b)*x])/(d*(1 - n)^2)) + ((b*x)^n*Gamma[1 - n]*Log[x])/((d*x)^n*b)}
+
+
+{x^2*ExpIntegralE[n, b*x], x, 1, -((x^3*ExpIntegralE[-2, b*x])/(2 + n)) + (x^3*ExpIntegralE[n, b*x])/(2 + n)}
+{x^1*ExpIntegralE[n, b*x], x, 1, -((x^2*ExpIntegralE[-1, b*x])/(1 + n)) + (x^2*ExpIntegralE[n, b*x])/(1 + n)}
+{x^0*ExpIntegralE[n, b*x], x, 1, -(ExpIntegralE[1 + n, b*x]/b)}
+{ExpIntegralE[n, b*x]/x^1, x, 1, ExpIntegralE[1, b*x]/(1 - n) - ExpIntegralE[n, b*x]/(1 - n)}
+{ExpIntegralE[n, b*x]/x^2, x, 1, ExpIntegralE[2, b*x]/((2 - n)*x) - ExpIntegralE[n, b*x]/((2 - n)*x)}
+{ExpIntegralE[n, b*x]/x^3, x, 1, ExpIntegralE[3, b*x]/((3 - n)*x^2) - ExpIntegralE[n, b*x]/((3 - n)*x^2)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m ExpIntegralE[n, a+b x]*)
+(**)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m ExpIntegralE[n, a+b x]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{(c + d*x)^3*ExpIntegralE[1, a + b*x], x, 4, -(((c + d*x)^3*ExpIntegralE[2, a + b*x])/b) - (3*d*(c + d*x)^2*ExpIntegralE[3, a + b*x])/b^2 - (6*d^2*(c + d*x)*ExpIntegralE[4, a + b*x])/b^3 - (6*d^3*ExpIntegralE[5, a + b*x])/b^4}
+{(c + d*x)^2*ExpIntegralE[1, a + b*x], x, 3, -(((c + d*x)^2*ExpIntegralE[2, a + b*x])/b) - (2*d*(c + d*x)*ExpIntegralE[3, a + b*x])/b^2 - (2*d^2*ExpIntegralE[4, a + b*x])/b^3}
+{(c + d*x)^1*ExpIntegralE[1, a + b*x], x, 2, -(((c + d*x)*ExpIntegralE[2, a + b*x])/b) - (d*ExpIntegralE[3, a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^0*ExpIntegralE[1, a + b*x], x, 1, -(ExpIntegralE[2, a + b*x]/b)}
+{ExpIntegralE[1, a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[ExpIntegralE[1, a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{ExpIntegralE[1, a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 5, -(ExpIntegralE[1, a + b*x]/(d*(c + d*x))) - (b*ExpIntegralEi[-a - b*x])/(d*(b*c - a*d)) + (b*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(d*(b*c - a*d))}
+{ExpIntegralE[1, a + b*x]/(c + d*x)^3, x, 7, -(b*E^(-a - b*x))/(2*d*(b*c - a*d)*(c + d*x)) - ExpIntegralE[1, a + b*x]/(2*d*(c + d*x)^2) - (b^2*ExpIntegralEi[-a - b*x])/(2*d*(b*c - a*d)^2) + (b^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(2*d*(b*c - a*d)^2) - (b^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(2*d^2*(b*c - a*d))}
+{ExpIntegralE[1, a + b*x]/(c + d*x)^4, x, 10, -(b*E^(-a - b*x))/(6*d*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2) - (b^2*E^(-a - b*x))/(3*d*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) + (b^2*E^(-a - b*x))/(6*d^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)) - ExpIntegralE[1, a + b*x]/(3*d*(c + d*x)^3) - (b^3*ExpIntegralEi[-a - b*x])/(3*d*(b*c - a*d)^3) + (b^3*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(3*d*(b*c - a*d)^3) - (b^3*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(3*d^2*(b*c - a*d)^2) + (b^3*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(6*d^3*(b*c - a*d))}
+
+
+{(c + d*x)^3*ExpIntegralE[2, a + b*x], x, 4, -(((c + d*x)^3*ExpIntegralE[3, a + b*x])/b) - (3*d*(c + d*x)^2*ExpIntegralE[4, a + b*x])/b^2 - (6*d^2*(c + d*x)*ExpIntegralE[5, a + b*x])/b^3 - (6*d^3*ExpIntegralE[6, a + b*x])/b^4}
+{(c + d*x)^2*ExpIntegralE[2, a + b*x], x, 3, -(((c + d*x)^2*ExpIntegralE[3, a + b*x])/b) - (2*d*(c + d*x)*ExpIntegralE[4, a + b*x])/b^2 - (2*d^2*ExpIntegralE[5, a + b*x])/b^3}
+{(c + d*x)^1*ExpIntegralE[2, a + b*x], x, 2, -(((c + d*x)*ExpIntegralE[3, a + b*x])/b) - (d*ExpIntegralE[4, a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^0*ExpIntegralE[2, a + b*x], x, 1, -(ExpIntegralE[3, a + b*x]/b)}
+{ExpIntegralE[2, a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[ExpIntegralE[2, a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{ExpIntegralE[2, a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 1, -(ExpIntegralE[2, a + b*x]/(d*(c + d*x))) - (b*Unintegrable[ExpIntegralE[1, a + b*x]/(c + d*x), x])/d}
+{ExpIntegralE[2, a + b*x]/(c + d*x)^3, x, 6, (b*ExpIntegralE[1, a + b*x])/(2*d^2*(c + d*x)) - ExpIntegralE[2, a + b*x]/(2*d*(c + d*x)^2) + (b^2*ExpIntegralEi[-a - b*x])/(2*d^2*(b*c - a*d)) - (b^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(2*d^2*(b*c - a*d))}
+{ExpIntegralE[2, a + b*x]/(c + d*x)^4, x, 8, (b^2*E^(-a - b*x))/(6*d^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)) + (b*ExpIntegralE[1, a + b*x])/(6*d^2*(c + d*x)^2) - ExpIntegralE[2, a + b*x]/(3*d*(c + d*x)^3) + (b^3*ExpIntegralEi[-a - b*x])/(6*d^2*(b*c - a*d)^2) - (b^3*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(6*d^2*(b*c - a*d)^2) + (b^3*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(6*d^3*(b*c - a*d))}
+
+
+{(c + d*x)^3*ExpIntegralE[3, a + b*x], x, 4, -(((c + d*x)^3*ExpIntegralE[4, a + b*x])/b) - (3*d*(c + d*x)^2*ExpIntegralE[5, a + b*x])/b^2 - (6*d^2*(c + d*x)*ExpIntegralE[6, a + b*x])/b^3 - (6*d^3*ExpIntegralE[7, a + b*x])/b^4}
+{(c + d*x)^2*ExpIntegralE[3, a + b*x], x, 3, -(((c + d*x)^2*ExpIntegralE[4, a + b*x])/b) - (2*d*(c + d*x)*ExpIntegralE[5, a + b*x])/b^2 - (2*d^2*ExpIntegralE[6, a + b*x])/b^3}
+{(c + d*x)^1*ExpIntegralE[3, a + b*x], x, 2, -(((c + d*x)*ExpIntegralE[4, a + b*x])/b) - (d*ExpIntegralE[5, a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^0*ExpIntegralE[3, a + b*x], x, 1, -(ExpIntegralE[4, a + b*x]/b)}
+{ExpIntegralE[3, a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[ExpIntegralE[3, a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{ExpIntegralE[3, a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 1, -(ExpIntegralE[3, a + b*x]/(d*(c + d*x))) - (b*Unintegrable[ExpIntegralE[2, a + b*x]/(c + d*x), x])/d}
+{ExpIntegralE[3, a + b*x]/(c + d*x)^3, x, 2, (b*ExpIntegralE[2, a + b*x])/(2*d^2*(c + d*x)) - ExpIntegralE[3, a + b*x]/(2*d*(c + d*x)^2) + (b^2*Unintegrable[ExpIntegralE[1, a + b*x]/(c + d*x), x])/(2*d^2)}
+{ExpIntegralE[3, a + b*x]/(c + d*x)^4, x, 7, -(b^2*ExpIntegralE[1, a + b*x])/(6*d^3*(c + d*x)) + (b*ExpIntegralE[2, a + b*x])/(6*d^2*(c + d*x)^2) - ExpIntegralE[3, a + b*x]/(3*d*(c + d*x)^3) - (b^3*ExpIntegralEi[-a - b*x])/(6*d^3*(b*c - a*d)) + (b^3*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(6*d^3*(b*c - a*d))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c + d*x)^4*ExpIntegralE[-1, a + b*x], x, 10, (-8*d^4*E^(-a - b*x))/b^5 - (4*d^3*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x))/b^5 - (4*d^2*(b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x))/b^5 - (8*d^3*E^(-a - b*x)*(c + d*x))/b^4 - (4*d^2*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x)*(c + d*x))/b^4 - (4*d^2*E^(-a - b*x)*(c + d*x)^2)/b^3 - (E^(-a - b*x)*(c + d*x)^4)/(b*(a + b*x)) + (4*d*(b*c - a*d)^3*ExpIntegralEi[-a - b*x])/b^5}
+{(c + d*x)^3*ExpIntegralE[-1, a + b*x], x, 7, (-3*d^3*E^(-a - b*x))/b^4 - (3*d^2*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x))/b^4 - (3*d^2*E^(-a - b*x)*(c + d*x))/b^3 - (E^(-a - b*x)*(c + d*x)^3)/(b*(a + b*x)) + (3*d*(b*c - a*d)^2*ExpIntegralEi[-a - b*x])/b^4}
+{(c + d*x)^2*ExpIntegralE[-1, a + b*x], x, 5, (-2*d^2*E^(-a - b*x))/b^3 - (E^(-a - b*x)*(c + d*x)^2)/(b*(a + b*x)) + (2*d*(b*c - a*d)*ExpIntegralEi[-a - b*x])/b^3}
+{(c + d*x)^1*ExpIntegralE[-1, a + b*x], x, 2, -((E^(-a - b*x)*(c + d*x))/(b*(a + b*x))) + (d*ExpIntegralEi[-a - b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^0*ExpIntegralE[-1, a + b*x], x, 1, -(E^(-a - b*x)/(b*(a + b*x)))}
+{ExpIntegralE[-1, a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 7, -((d*E^(-a - b*x))/(b*(b*c - a*d)*(c + d*x))) - E^(-a - b*x)/(b*(a + b*x)*(c + d*x)) - (d*ExpIntegralEi[-a - b*x])/(b*c - a*d)^2 + (d*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^2 - (E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)}
+{ExpIntegralE[-1, a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 10, -((d*E^(-a - b*x))/(b*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2)) - E^(-a - b*x)/(b*(a + b*x)*(c + d*x)^2) - (2*d*E^(-a - b*x))/((b*c - a*d)^2*(c + d*x)) + E^(-a - b*x)/((b*c - a*d)*(c + d*x)) - (2*b*d*ExpIntegralEi[-a - b*x])/(b*c - a*d)^3 + (2*b*d*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^3 - (2*b*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^2 + (b*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(d*(b*c - a*d))}
+{ExpIntegralE[-1, a + b*x]/(c + d*x)^3, x, 14, -((d*E^(-a - b*x))/(b*(b*c - a*d)*(c + d*x)^3)) - E^(-a - b*x)/(b*(a + b*x)*(c + d*x)^3) - (3*d*E^(-a - b*x))/(2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2) + E^(-a - b*x)/(2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2) - (3*b*d*E^(-a - b*x))/((b*c - a*d)^3*(c + d*x)) + (3*b*E^(-a - b*x))/(2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) - (b*E^(-a - b*x))/(2*d*(b*c - a*d)*(c + d*x)) - (3*b^2*d*ExpIntegralEi[-a - b*x])/(b*c - a*d)^4 + (3*b^2*d*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^4 - (3*b^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^3 + (3*b^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(2*d*(b*c - a*d)^2) - (b^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(2*d^2*(b*c - a*d))}
+
+
+{(c + d*x)^4*ExpIntegralE[-2, a + b*x], x, 8, (-12*d^4*E^(-a - b*x))/b^5 - (12*d^3*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x))/b^5 - (12*d^3*E^(-a - b*x)*(c + d*x))/b^4 - (4*d*E^(-a - b*x)*(c + d*x)^3)/(b^2*(a + b*x)) - ((c + d*x)^4*ExpIntegralE[-1, a + b*x])/b + (12*d^2*(b*c - a*d)^2*ExpIntegralEi[-a - b*x])/b^5}
+{(c + d*x)^3*ExpIntegralE[-2, a + b*x], x, 6, (-6*d^3*E^(-a - b*x))/b^4 - (3*d*E^(-a - b*x)*(c + d*x)^2)/(b^2*(a + b*x)) - ((c + d*x)^3*ExpIntegralE[-1, a + b*x])/b + (6*d^2*(b*c - a*d)*ExpIntegralEi[-a - b*x])/b^4}
+{(c + d*x)^2*ExpIntegralE[-2, a + b*x], x, 3, (-2*d*E^(-a - b*x)*(c + d*x))/(b^2*(a + b*x)) - ((c + d*x)^2*ExpIntegralE[-1, a + b*x])/b + (2*d^2*ExpIntegralEi[-a - b*x])/b^3}
+{(c + d*x)^1*ExpIntegralE[-2, a + b*x], x, 2, -((d*E^(-a - b*x))/(b^2*(a + b*x))) - ((c + d*x)*ExpIntegralE[-1, a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^0*ExpIntegralE[-2, a + b*x], x, 1, -(ExpIntegralE[-1, a + b*x]/b)}
+{ExpIntegralE[-2, a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 11, (d^2*E^(-a - b*x))/(b^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2) + (d*E^(-a - b*x))/(b^2*(a + b*x)*(c + d*x)^2) + (2*d^2*E^(-a - b*x))/(b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) - (d*E^(-a - b*x))/(b*(b*c - a*d)*(c + d*x)) - ExpIntegralE[-1, a + b*x]/(b*(c + d*x)) + (2*d^2*ExpIntegralEi[-a - b*x])/(b*c - a*d)^3 - (2*d^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^3 + (2*d*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^2 - (E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)}
+{ExpIntegralE[-2, a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 15, (2*d^2*E^(-a - b*x))/(b^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^3) + (2*d*E^(-a - b*x))/(b^2*(a + b*x)*(c + d*x)^3) + (3*d^2*E^(-a - b*x))/(b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2) - (d*E^(-a - b*x))/(b*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2) + (6*d^2*E^(-a - b*x))/((b*c - a*d)^3*(c + d*x)) - (3*d*E^(-a - b*x))/((b*c - a*d)^2*(c + d*x)) + E^(-a - b*x)/((b*c - a*d)*(c + d*x)) - ExpIntegralE[-1, a + b*x]/(b*(c + d*x)^2) + (6*b*d^2*ExpIntegralEi[-a - b*x])/(b*c - a*d)^4 - (6*b*d^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^4 + (6*b*d*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^3 - (3*b*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^2 + (b*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(d*(b*c - a*d))}
+{ExpIntegralE[-2, a + b*x]/(c + d*x)^3, x, 20, (3*d^2*E^(-a - b*x))/(b^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^4) + (3*d*E^(-a - b*x))/(b^2*(a + b*x)*(c + d*x)^4) + (4*d^2*E^(-a - b*x))/(b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^3) - (d*E^(-a - b*x))/(b*(b*c - a*d)*(c + d*x)^3) + (6*d^2*E^(-a - b*x))/((b*c - a*d)^3*(c + d*x)^2) - (2*d*E^(-a - b*x))/((b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2) + E^(-a - b*x)/(2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2) + (12*b*d^2*E^(-a - b*x))/((b*c - a*d)^4*(c + d*x)) - (6*b*d*E^(-a - b*x))/((b*c - a*d)^3*(c + d*x)) + (2*b*E^(-a - b*x))/((b*c - a*d)^2*(c + d*x)) - (b*E^(-a - b*x))/(2*d*(b*c - a*d)*(c + d*x)) - ExpIntegralE[-1, a + b*x]/(b*(c + d*x)^3) + (12*b^2*d^2*ExpIntegralEi[-a - b*x])/(b*c - a*d)^5 - (12*b^2*d^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^5 + (12*b^2*d*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^4 - (6*b^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^3 + (2*b^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(d*(b*c - a*d)^2) - (b^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(2*d^2*(b*c - a*d))}
+
+
+{(c + d*x)^4*ExpIntegralE[-3, a + b*x], x, 7, (-24*d^4*E^(-a - b*x))/b^5 - (12*d^2*E^(-a - b*x)*(c + d*x)^2)/(b^3*(a + b*x)) - ((c + d*x)^4*ExpIntegralE[-2, a + b*x])/b - (4*d*(c + d*x)^3*ExpIntegralE[-1, a + b*x])/b^2 + (24*d^3*(b*c - a*d)*ExpIntegralEi[-a - b*x])/b^5}
+{(c + d*x)^3*ExpIntegralE[-3, a + b*x], x, 4, (-6*d^2*E^(-a - b*x)*(c + d*x))/(b^3*(a + b*x)) - ((c + d*x)^3*ExpIntegralE[-2, a + b*x])/b - (3*d*(c + d*x)^2*ExpIntegralE[-1, a + b*x])/b^2 + (6*d^3*ExpIntegralEi[-a - b*x])/b^4}
+{(c + d*x)^2*ExpIntegralE[-3, a + b*x], x, 3, (-2*d^2*E^(-a - b*x))/(b^3*(a + b*x)) - ((c + d*x)^2*ExpIntegralE[-2, a + b*x])/b - (2*d*(c + d*x)*ExpIntegralE[-1, a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^1*ExpIntegralE[-3, a + b*x], x, 2, -(((c + d*x)*ExpIntegralE[-2, a + b*x])/b) - (d*ExpIntegralE[-1, a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^0*ExpIntegralE[-3, a + b*x], x, 1, -(ExpIntegralE[-2, a + b*x]/b)}
+{ExpIntegralE[-3, a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 16, (-2*d^3*E^(-a - b*x))/(b^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^3) - (2*d^2*E^(-a - b*x))/(b^3*(a + b*x)*(c + d*x)^3) - (3*d^3*E^(-a - b*x))/(b^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2) + (d^2*E^(-a - b*x))/(b^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2) - (6*d^3*E^(-a - b*x))/(b*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)) + (3*d^2*E^(-a - b*x))/(b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)) - (d*E^(-a - b*x))/(b*(b*c - a*d)*(c + d*x)) - ExpIntegralE[-2, a + b*x]/(b*(c + d*x)) + (d*ExpIntegralE[-1, a + b*x])/(b^2*(c + d*x)^2) - (6*d^3*ExpIntegralEi[-a - b*x])/(b*c - a*d)^4 + (6*d^3*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^4 - (6*d^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^3 + (3*d*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^2 - (E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)}
+{ExpIntegralE[-3, a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 21, (-6*d^3*E^(-a - b*x))/(b^3*(b*c - a*d)*(c + d*x)^4) - (6*d^2*E^(-a - b*x))/(b^3*(a + b*x)*(c + d*x)^4) - (8*d^3*E^(-a - b*x))/(b^2*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^3) + (2*d^2*E^(-a - b*x))/(b^2*(b*c - a*d)*(c + d*x)^3) - (12*d^3*E^(-a - b*x))/(b*(b*c - a*d)^3*(c + d*x)^2) + (4*d^2*E^(-a - b*x))/(b*(b*c - a*d)^2*(c + d*x)^2) - (d*E^(-a - b*x))/(b*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2) - (24*d^3*E^(-a - b*x))/((b*c - a*d)^4*(c + d*x)) + (12*d^2*E^(-a - b*x))/((b*c - a*d)^3*(c + d*x)) - (4*d*E^(-a - b*x))/((b*c - a*d)^2*(c + d*x)) + E^(-a - b*x)/((b*c - a*d)*(c + d*x)) - ExpIntegralE[-2, a + b*x]/(b*(c + d*x)^2) + (2*d*ExpIntegralE[-1, a + b*x])/(b^2*(c + d*x)^3) - (24*b*d^3*ExpIntegralEi[-a - b*x])/(b*c - a*d)^5 + (24*b*d^3*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^5 - (24*b*d^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^4 + (12*b*d*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^3 - (4*b*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(b*c - a*d)^2 + (b*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(d*(b*c - a*d))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m ExpIntegralE[n, a+b x] when m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*ExpIntegralE[3, a + b*x], x, 3, If[$VersionNumber>=8, (b^2*(c + d*x)^(3 + m)*ExpIntegralE[1, a + b*x])/(d^3*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)) + (b*(c + d*x)^(2 + m)*ExpIntegralE[2, a + b*x])/(d^2*(1 + m)*(2 + m)) + ((c + d*x)^(1 + m)*ExpIntegralE[3, a + b*x])/(d*(1 + m)) + (b^3*CannotIntegrate[(E^(-a - b*x)*(c + d*x)^(3 + m))/(a + b*x), x])/(d^3*(1 + m)*(2 + m)*(3 + m)), (b^2*(c + d*x)^(3 + m)*ExpIntegralE[1, a + b*x])/(d^3*(3 + m)*(2 + 3*m + m^2)) + (b*(c + d*x)^(2 + m)*ExpIntegralE[2, a + b*x])/(d^2*(1 + m)*(2 + m)) + ((c + d*x)^(1 + m)*ExpIntegralE[3, a + b*x])/(d*(1 + m)) + (b^3*Int[(E^(-a - b*x)*(c + d*x)^(3 + m))/(a + b*x), x])/(d^3*(3 + m)*(2 + 3*m + m^2))]}
+{(c + d*x)^m*ExpIntegralE[2, a + b*x], x, 2, (b*(c + d*x)^(2 + m)*ExpIntegralE[1, a + b*x])/(d^2*(1 + m)*(2 + m)) + ((c + d*x)^(1 + m)*ExpIntegralE[2, a + b*x])/(d*(1 + m)) + (b^2*CannotIntegrate[(E^(-a - b*x)*(c + d*x)^(2 + m))/(a + b*x), x])/(d^2*(1 + m)*(2 + m))}
+{(c + d*x)^m*ExpIntegralE[1, a + b*x], x, 1, ((c + d*x)^(1 + m)*ExpIntegralE[1, a + b*x])/(d*(1 + m)) + (b*CannotIntegrate[(E^(-a - b*x)*(c + d*x)^(1 + m))/(a + b*x), x])/(d*(1 + m))}
+{(c + d*x)^m*ExpIntegralE[-1, a + b*x], x, 1, -((E^(-a - b*x)*(c + d*x)^m)/(b*(a + b*x))) + (d*m*CannotIntegrate[(E^(-a - b*x)*(c + d*x)^(-1 + m))/(a + b*x), x])/b}
+{(c + d*x)^m*ExpIntegralE[-2, a + b*x], x, 2, -((d*E^(-a - b*x)*m*(c + d*x)^(-1 + m))/(b^2*(a + b*x))) - ((c + d*x)^m*ExpIntegralE[-1, a + b*x])/b - (d^2*(1 - m)*m*CannotIntegrate[(E^(-a - b*x)*(c + d*x)^(-2 + m))/(a + b*x), x])/b^2}
+{(c + d*x)^m*ExpIntegralE[-3, a + b*x], x, 3, (d^2*E^(-a - b*x)*(1 - m)*m*(c + d*x)^(-2 + m))/(b^3*(a + b*x)) - ((c + d*x)^m*ExpIntegralE[-2, a + b*x])/b - (d*m*(c + d*x)^(-1 + m)*ExpIntegralE[-1, a + b*x])/b^2 + (d^3*(1 - m)*(2 - m)*m*CannotIntegrate[(E^(-a - b*x)*(c + d*x)^(-3 + m))/(a + b*x), x])/b^3}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m ExpIntegralE[n, a+b x] when n symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*ExpIntegralE[n, a + b*x], x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*ExpIntegralE[n, a + b*x], x]}
+
+
+{(c + d*x)^3*ExpIntegralE[n, a + b*x], x, 4, -(((c + d*x)^3*ExpIntegralE[1 + n, a + b*x])/b) - (3*d*(c + d*x)^2*ExpIntegralE[2 + n, a + b*x])/b^2 - (6*d^2*(c + d*x)*ExpIntegralE[3 + n, a + b*x])/b^3 - (6*d^3*ExpIntegralE[4 + n, a + b*x])/b^4}
+{(c + d*x)^2*ExpIntegralE[n, a + b*x], x, 3, -(((c + d*x)^2*ExpIntegralE[1 + n, a + b*x])/b) - (2*d*(c + d*x)*ExpIntegralE[2 + n, a + b*x])/b^2 - (2*d^2*ExpIntegralE[3 + n, a + b*x])/b^3}
+{(c + d*x)^1*ExpIntegralE[n, a + b*x], x, 2, -(((c + d*x)*ExpIntegralE[1 + n, a + b*x])/b) - (d*ExpIntegralE[2 + n, a + b*x])/b^2}
+{(c + d*x)^0*ExpIntegralE[n, a + b*x], x, 1, -(ExpIntegralE[1 + n, a + b*x]/b)}
+{ExpIntegralE[n, a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[ExpIntegralE[n, a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{ExpIntegralE[n, a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[ExpIntegralE[n, a + b*x]/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m ExpIntegralEi[b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m ExpIntegralEi[b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{ExpIntegralEi[b*x]*x^3, x, 6, (3*E^(b*x))/(2*b^4) - (3*E^(b*x)*x)/(2*b^3) + (3*E^(b*x)*x^2)/(4*b^2) - (E^(b*x)*x^3)/(4*b) + (1/4)*x^4*ExpIntegralEi[b*x]}
+{ExpIntegralEi[b*x]*x^2, x, 5, -((2*E^(b*x))/(3*b^3)) + (2*E^(b*x)*x)/(3*b^2) - (E^(b*x)*x^2)/(3*b) + (1/3)*x^3*ExpIntegralEi[b*x]}
+{ExpIntegralEi[b*x]*x^1, x, 4, E^(b*x)/(2*b^2) - (E^(b*x)*x)/(2*b) + (1/2)*x^2*ExpIntegralEi[b*x]}
+{ExpIntegralEi[b*x]*x^0, x, 1, -(E^(b*x)/b) + ((b*x)*ExpIntegralEi[b*x])/b}
+{ExpIntegralEi[b*x]/x^1, x, 2, b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, b*x] + EulerGamma*Log[x] + (ExpIntegralE[1, (-b)*x] + ExpIntegralEi[b*x])*Log[x] + (1/2)*Log[(-b)*x]^2}
+{ExpIntegralEi[b*x]/x^2, x, 4, -(E^(b*x)/x) + b*ExpIntegralEi[b*x] - ExpIntegralEi[b*x]/x}
+{ExpIntegralEi[b*x]/x^3, x, 5, -(E^(b*x)/(4*x^2)) - (b*E^(b*x))/(4*x) + (1/4)*b^2*ExpIntegralEi[b*x] - ExpIntegralEi[b*x]/(2*x^2)}
+{ExpIntegralEi[b*x]/x^4, x, 6, -(E^(b*x)/(9*x^3)) - (b*E^(b*x))/(18*x^2) - (b^2*E^(b*x))/(18*x) + (1/18)*b^3*ExpIntegralEi[b*x] - ExpIntegralEi[b*x]/(3*x^3)}
+
+
+{ExpIntegralEi[b*x]^2*x^2, x, 11, -((5*E^(2*b*x))/(6*b^3)) + (E^(2*b*x)*x)/(3*b^2) - (4*E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x])/(3*b^3) + (4*E^(b*x)*x*ExpIntegralEi[b*x])/(3*b^2) - (2*E^(b*x)*x^2*ExpIntegralEi[b*x])/(3*b) + (1/3)*x^3*ExpIntegralEi[b*x]^2 + (4*ExpIntegralEi[2*b*x])/(3*b^3)}
+{ExpIntegralEi[b*x]^2*x^1, x, 7, E^(2*b*x)/(2*b^2) + (E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x])/b^2 - (E^(b*x)*x*ExpIntegralEi[b*x])/b + (1/2)*x^2*ExpIntegralEi[b*x]^2 - ExpIntegralEi[2*b*x]/b^2}
+{ExpIntegralEi[b*x]^2*x^0, x, 4, -((2*E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x])/b) + x*ExpIntegralEi[b*x]^2 + (2*ExpIntegralEi[2*b*x])/b}
+{ExpIntegralEi[b*x]^2/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ExpIntegralEi[b*x]^2/x, x]}
+{ExpIntegralEi[b*x]^2/x^2, x, 0, CannotIntegrate[ExpIntegralEi[b*x]^2/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m ExpIntegralEi[b x]^n with m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*ExpIntegralEi[b*x]^3, x, 0, CannotIntegrate[(d*x)^m*ExpIntegralEi[b*x]^3, x]}
+{(d*x)^m*ExpIntegralEi[b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[(d*x)^m*ExpIntegralEi[b*x]^2, x]}
+{(d*x)^m*ExpIntegralEi[b*x]^1, x, 4, ((d*x)^(1 + m)*ExpIntegralEi[b*x])/(d*(1 + m)) - ((d*x)^m*Gamma[1 + m, (-b)*x])/(((-b)*x)^m*(b*(1 + m)))}
+{(d*x)^m/ExpIntegralEi[b*x]^1, x, 0, CannotIntegrate[(d*x)^m/ExpIntegralEi[b*x], x]}
+{(d*x)^m/ExpIntegralEi[b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[(d*x)^m/ExpIntegralEi[b*x]^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m ExpIntegralEi[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m ExpIntegralEi[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{x^3*ExpIntegralEi[a + b*x], x, 14, (3*E^(a + b*x))/(2*b^4) + (a*E^(a + b*x))/(2*b^4) + (a^2*E^(a + b*x))/(4*b^4) + (a^3*E^(a + b*x))/(4*b^4) - (3*E^(a + b*x)*x)/(2*b^3) - (a*E^(a + b*x)*x)/(2*b^3) - (a^2*E^(a + b*x)*x)/(4*b^3) + (3*E^(a + b*x)*x^2)/(4*b^2) + (a*E^(a + b*x)*x^2)/(4*b^2) - (E^(a + b*x)*x^3)/(4*b) - (a^4*ExpIntegralEi[a + b*x])/(4*b^4) + (1/4)*x^4*ExpIntegralEi[a + b*x]}
+{x^2*ExpIntegralEi[a + b*x], x, 10, -((2*E^(a + b*x))/(3*b^3)) - (a*E^(a + b*x))/(3*b^3) - (a^2*E^(a + b*x))/(3*b^3) + (2*E^(a + b*x)*x)/(3*b^2) + (a*E^(a + b*x)*x)/(3*b^2) - (E^(a + b*x)*x^2)/(3*b) + (a^3*ExpIntegralEi[a + b*x])/(3*b^3) + (1/3)*x^3*ExpIntegralEi[a + b*x]}
+{x^1*ExpIntegralEi[a + b*x], x, 7, E^(a + b*x)/(2*b^2) + (a*E^(a + b*x))/(2*b^2) - (E^(a + b*x)*x)/(2*b) - (a^2*ExpIntegralEi[a + b*x])/(2*b^2) + (1/2)*x^2*ExpIntegralEi[a + b*x]}
+{x^0*ExpIntegralEi[a + b*x], x, 1, -(E^(a + b*x)/b) + ((a + b*x)*ExpIntegralEi[a + b*x])/b}
+{ExpIntegralEi[a + b*x]/x^1, x, 0, Unintegrable[ExpIntegralEi[a + b*x]/x, x]}
+{ExpIntegralEi[a + b*x]/x^2, x, 5, (b*E^a*ExpIntegralEi[b*x])/a - (b*ExpIntegralEi[a + b*x])/a - ExpIntegralEi[a + b*x]/x}
+{ExpIntegralEi[a + b*x]/x^3, x, 7, -((b*E^(a + b*x))/(2*a*x)) - (b^2*E^a*ExpIntegralEi[b*x])/(2*a^2) + (b^2*E^a*ExpIntegralEi[b*x])/(2*a) + (b^2*ExpIntegralEi[a + b*x])/(2*a^2) - ExpIntegralEi[a + b*x]/(2*x^2)}
+
+
+(* {x^3*ExpIntegralEi[a + b*x]^2, x, 51, (2*E^(2*a + 2*b*x))/b^4 + (3*a*E^(2*a + 2*b*x))/(2*b^4) + (3*a^2*E^(2*a + 2*b*x))/(4*b^4) - (E^(2*a + 2*b*x)*x)/b^3 - (a*E^(2*a + 2*b*x)*x)/(2*b^3) + (E^(2*a + 2*b*x)*x^2)/(4*b^2) + (3*E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[a + b*x])/b^4 + (a*E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[a + b*x])/b^4 + (a^2*E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[a + b*x])/(2*b^4) + (a^3*E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[a + b*x])/(2*b^4) - (3*E^(a + b*x)*x*ExpIntegralEi[a + b*x])/b^3 - (a*E^(a + b*x)*x*ExpIntegralEi[a + b*x])/b^3 - (a^2*E^(a + b*x)*x*ExpIntegralEi[a + b*x])/(2*b^3) + (3*E^(a + b*x)*x^2*ExpIntegralEi[a + b*x])/(2*b^2) + (a*E^(a + b*x)*x^2*ExpIntegralEi[a + b*x])/(2*b^2) - (E^(a + b*x)*x^3*ExpIntegralEi[a + b*x])/(2*b) + (a^3*x*ExpIntegralEi[a + b*x]^2)/(4*b^3) + (1/4)*x^4*ExpIntegralEi[a + b*x]^2 - (a^3*(a + b*x)*ExpIntegralEi[a + b*x]^2)/(4*b^4) - (3*ExpIntegralEi[2*a + 2*b*x])/b^4 - (4*a*ExpIntegralEi[2*a + 2*b*x])/b^4 - (3*a^2*ExpIntegralEi[2*a + 2*b*x])/b^4 - (2*a^3*ExpIntegralEi[2*a + 2*b*x])/b^4} *)
+{x^2*ExpIntegralEi[a + b*x]^2, x, 26, -((5*E^(2*a + 2*b*x))/(6*b^3)) - (2*a*E^(2*a + 2*b*x))/(3*b^3) + (E^(2*a + 2*b*x)*x)/(3*b^2) - (4*E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[a + b*x])/(3*b^3) - (2*a*E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[a + b*x])/(3*b^3) - (2*a^2*E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[a + b*x])/(3*b^3) + (4*E^(a + b*x)*x*ExpIntegralEi[a + b*x])/(3*b^2) + (2*a*E^(a + b*x)*x*ExpIntegralEi[a + b*x])/(3*b^2) - (2*E^(a + b*x)*x^2*ExpIntegralEi[a + b*x])/(3*b) - (a^2*x*ExpIntegralEi[a + b*x]^2)/(3*b^2) + (1/3)*x^3*ExpIntegralEi[a + b*x]^2 + (a^2*(a + b*x)*ExpIntegralEi[a + b*x]^2)/(3*b^3) + (4*ExpIntegralEi[2*(a + b*x)])/(3*b^3) + (2*a*ExpIntegralEi[2*(a + b*x)])/b^3 + (2*a^2*ExpIntegralEi[2*(a + b*x)])/b^3}
+{x^1*ExpIntegralEi[a + b*x]^2, x, 11, E^(2*a + 2*b*x)/(2*b^2) + (E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[a + b*x])/b^2 + (a*E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[a + b*x])/b^2 - (E^(a + b*x)*x*ExpIntegralEi[a + b*x])/b + (a*x*ExpIntegralEi[a + b*x]^2)/(2*b) + (1/2)*x^2*ExpIntegralEi[a + b*x]^2 - (a*(a + b*x)*ExpIntegralEi[a + b*x]^2)/(2*b^2) - ExpIntegralEi[2*(a + b*x)]/b^2 - (2*a*ExpIntegralEi[2*(a + b*x)])/b^2}
+{x^0*ExpIntegralEi[a + b*x]^2, x, 3, -((2*E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[a + b*x])/b) + ((a + b*x)*ExpIntegralEi[a + b*x]^2)/b + (2*ExpIntegralEi[2*(a + b*x)])/b}
+{ExpIntegralEi[a + b*x]^2/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ExpIntegralEi[a + b*x]^2/x, x]}
+{ExpIntegralEi[a + b*x]^2/x^2, x, 0, CannotIntegrate[ExpIntegralEi[a + b*x]^2/x^2, x]}
+
+
+{x^2*ExpIntegralEi[a + b*x]^3, x, 0, CannotIntegrate[x^2*ExpIntegralEi[a + b*x]^3, x]}
+{x^1*ExpIntegralEi[a + b*x]^3, x, 0, CannotIntegrate[x*ExpIntegralEi[a + b*x]^3, x]}
+{x^0*ExpIntegralEi[a + b*x]^3, x, 1, CannotIntegrate[ExpIntegralEi[a + b*x]^3,x]}
+{ExpIntegralEi[a + b*x]^3/x^1, x, 0, CannotIntegrate[ExpIntegralEi[a + b*x]^3/x, x]}
+{ExpIntegralEi[a + b*x]^3/x^2, x, 0, CannotIntegrate[ExpIntegralEi[a + b*x]^3/x^2, x]}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m ExpIntegralEi[a+b x]^n with m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*ExpIntegralEi[a + b*x]^3, x, 0, CannotIntegrate[(c + d*x)^m*ExpIntegralEi[a + b*x]^3, x]}
+{(c + d*x)^m*ExpIntegralEi[a + b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[(c + d*x)^m*ExpIntegralEi[a + b*x]^2, x]}
+{(c + d*x)^m*ExpIntegralEi[a + b*x]^1, x, 1, ((c + d*x)^(1 + m)*ExpIntegralEi[a + b*x])/(d*(1 + m)) - (b*CannotIntegrate[(E^(a + b*x)*(c + d*x)^(1 + m))/(a + b*x), x])/(d*(1 + m))}
+{(c + d*x)^m/ExpIntegralEi[a + b*x]^1, x, 0, CannotIntegrate[(c + d*x)^m/ExpIntegralEi[a + b*x], x]}
+{(c + d*x)^m/ExpIntegralEi[a + b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[(c + d*x)^m/ExpIntegralEi[a + b*x]^2, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m ExpIntegralEi[d (a+b Log[c x^n])]*)
+
+
+{x^2*ExpIntegralEi[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 3, -(x^3*ExpIntegralEi[((3 + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(3*E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)) + (x^3*ExpIntegralEi[d*(a + b*Log[c*x^n])])/3}
+{x^1*ExpIntegralEi[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 3, -(x^2*ExpIntegralEi[((2 + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(2*E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)) + (x^2*ExpIntegralEi[d*(a + b*Log[c*x^n])])/2}
+{x^0*ExpIntegralEi[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, -((x*ExpIntegralEi[((1 + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1))) + x*ExpIntegralEi[d*(a + b*Log[c*x^n])]}
+{ExpIntegralEi[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^1, x, 3, -((E^(a*d)*(c*x^n)^(b*d))/(b*d*n)) + (ExpIntegralEi[d*(a + b*Log[c*x^n])]*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)}
+{ExpIntegralEi[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^2, x, 3, (E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)*ExpIntegralEi[-(((1 - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))])/x - ExpIntegralEi[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x}
+{ExpIntegralEi[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^3, x, 3, (E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*ExpIntegralEi[-(((2 - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))])/(2*x^2) - ExpIntegralEi[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(2*x^2)}
+
+
+{(e*x)^m*ExpIntegralEi[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 3, -(((e*x)^(1 + m)*ExpIntegralEi[((1 + m + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(e*E^((a*(1 + m))/(b*n))*(1 + m)*(c*x^n)^((1 + m)/n))) + ((e*x)^(1 + m)*ExpIntegralEi[d*(a + b*Log[c*x^n])])/(e*(1 + m))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(a+b x) ExpIntegralEi[c+d x]^n*)
+(**)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(b x) ExpIntegralEi[b x]^n*)
+
+
+(* Integrands of x^m*E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x] where m is an integer *)
+{E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x]/x^3, x, 10, -(E^(2*b*x)/(4*x^2)) - (b*E^(2*b*x))/x - (E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x])/(2*x^2) - (b*E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x])/(2*x) + (1/4)*b^2*ExpIntegralEi[b*x]^2 + 2*b^2*ExpIntegralEi[2*b*x]}
+{E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x]/x^2, x, 5, -(E^(2*b*x)/x) - (E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x])/x + (1/2)*b*ExpIntegralEi[b*x]^2 + 2*b*ExpIntegralEi[2*b*x]}
+{E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x]/x, x, 1, (1/2)*ExpIntegralEi[b*x]^2}
+{E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x], x, 3, (E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x])/b - ExpIntegralEi[2*b*x]/b}
+{x*E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x], x, 6, -(E^(2*b*x)/(2*b^2)) - (E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x])/b^2 + (E^(b*x)*x*ExpIntegralEi[b*x])/b + ExpIntegralEi[2*b*x]/b^2}
+{x^2*E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x], x, 10, (5*E^(2*b*x))/(4*b^3) - (E^(2*b*x)*x)/(2*b^2) + (2*E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x])/b^3 - (2*E^(b*x)*x*ExpIntegralEi[b*x])/b^2 + (E^(b*x)*x^2*ExpIntegralEi[b*x])/b - (2*ExpIntegralEi[2*b*x])/b^3}
+{x^3*E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x], x, 15, -((4*E^(2*b*x))/b^4) + (2*E^(2*b*x)*x)/b^3 - (E^(2*b*x)*x^2)/(2*b^2) - (6*E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x])/b^4 + (6*E^(b*x)*x*ExpIntegralEi[b*x])/b^3 - (3*E^(b*x)*x^2*ExpIntegralEi[b*x])/b^2 + (E^(b*x)*x^3*ExpIntegralEi[b*x])/b + (6*ExpIntegralEi[2*b*x])/b^4}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m E^(a+b x) ExpIntegralEi[c+d x]^n*)
+
+
+{x^3*E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x], x, 24, -((2*E^(a + c + (b + d)*x))/(b*(b + d)^3)) - (3*E^(a + c + (b + d)*x))/(b^2*(b + d)^2) - (c*E^(a + c + (b + d)*x))/(b*d*(b + d)^2) - (6*E^(a + c + (b + d)*x))/(b^3*(b + d)) - (c^2*E^(a + c + (b + d)*x))/(b*d^2*(b + d)) - (3*c*E^(a + c + (b + d)*x))/(b^2*d*(b + d)) + (2*E^(a + c + (b + d)*x)*x)/(b*(b + d)^2) + (3*E^(a + c + (b + d)*x)*x)/(b^2*(b + d)) + (c*E^(a + c + (b + d)*x)*x)/(b*d*(b + d)) - (E^(a + c + (b + d)*x)*x^2)/(b*(b + d)) - (6*E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x])/b^4 + (6*E^(a + b*x)*x*ExpIntegralEi[c + d*x])/b^3 - (3*E^(a + b*x)*x^2*ExpIntegralEi[c + d*x])/b^2 + (E^(a + b*x)*x^3*ExpIntegralEi[c + d*x])/b + (6*E^(a - (b*c)/d)*ExpIntegralEi[((b + d)*(c + d*x))/d])/b^4 + (c^3*E^(a - (b*c)/d)*ExpIntegralEi[((b + d)*(c + d*x))/d])/(b*d^3) + (3*c^2*E^(a - (b*c)/d)*ExpIntegralEi[((b + d)*(c + d*x))/d])/(b^2*d^2) + (6*c*E^(a - (b*c)/d)*ExpIntegralEi[((b + d)*(c + d*x))/d])/(b^3*d)}
+{x^2*E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x], x, 14, E^(a + c + (b + d)*x)/(b*(b + d)^2) + (2*E^(a + c + (b + d)*x))/(b^2*(b + d)) + (c*E^(a + c + (b + d)*x))/(b*d*(b + d)) - (E^(a + c + (b + d)*x)*x)/(b*(b + d)) + (2*E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x])/b^3 - (2*E^(a + b*x)*x*ExpIntegralEi[c + d*x])/b^2 + (E^(a + b*x)*x^2*ExpIntegralEi[c + d*x])/b - (2*E^(a - (b*c)/d)*ExpIntegralEi[((b + d)*(c + d*x))/d])/b^3 - (c^2*E^(a - (b*c)/d)*ExpIntegralEi[((b + d)*(c + d*x))/d])/(b*d^2) - (2*c*E^(a - (b*c)/d)*ExpIntegralEi[((b + d)*(c + d*x))/d])/(b^2*d)}
+{x^1*E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x], x, 7, -(E^(a + c + (b + d)*x)/(b*(b + d))) - (E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x])/b^2 + (E^(a + b*x)*x*ExpIntegralEi[c + d*x])/b + (E^(a - (b*c)/d)*ExpIntegralEi[((b + d)*(c + d*x))/d])/b^2 + (c*E^(a - (b*c)/d)*ExpIntegralEi[((b + d)*(c + d*x))/d])/(b*d)}
+{x^0*E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x], x, 2, (E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x])/b - (E^(a - (b*c)/d)*ExpIntegralEi[((b + d)*(c + d*x))/d])/b}
+{E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x])/x, x]}
+{E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x]/x^2, x, 5, (d*E^(a + c)*ExpIntegralEi[(b + d)*x])/c - (E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x])/x - (d*E^(a - (b*c)/d)*ExpIntegralEi[((b + d)*(c + d*x))/d])/c + b*CannotIntegrate[(E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x])/x, x]}
+{E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x]/x^3, x, 12, -((d*E^(a + c + (b + d)*x))/(2*c*x)) + (b*d*E^(a + c)*ExpIntegralEi[(b + d)*x])/(2*c) - (d^2*E^(a + c)*ExpIntegralEi[(b + d)*x])/(2*c^2) + (d*(b + d)*E^(a + c)*ExpIntegralEi[(b + d)*x])/(2*c) - (E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x])/(2*x^2) - (b*E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x])/(2*x) - (b*d*E^(a - (b*c)/d)*ExpIntegralEi[((b + d)*(c + d*x))/d])/(2*c) + (d^2*E^(a - (b*c)/d)*ExpIntegralEi[((b + d)*(c + d*x))/d])/(2*c^2) + (1/2)*b^2*CannotIntegrate[(E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x])/x, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m LogIntegral[b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m LogIntegral[b x]^n*)
+
+
+{x^2*LogIntegral[b*x], x, 3, -(ExpIntegralEi[4*Log[b*x]]/(3*b^3)) + (1/3)*x^3*LogIntegral[b*x]}
+{x^1*LogIntegral[b*x], x, 3, -(ExpIntegralEi[3*Log[b*x]]/(2*b^2)) + (1/2)*x^2*LogIntegral[b*x]}
+{x^0*LogIntegral[b*x], x, 1, -(ExpIntegralEi[2*Log[b*x]]/b) + x*LogIntegral[b*x]}
+{LogIntegral[b*x]/x^1, x, 1, (-b)*x + Log[b*x]*LogIntegral[b*x]}
+{LogIntegral[b*x]/x^2, x, 3, b*Log[Log[b*x]] - LogIntegral[b*x]/x}
+{LogIntegral[b*x]/x^3, x, 3, (1/2)*b^2*ExpIntegralEi[-Log[b*x]] - LogIntegral[b*x]/(2*x^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m LogIntegral[b x]^n with m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*LogIntegral[b*x], x, 3, -((b*(b*x)^(-2 - m)*(d*x)^(2 + m)*ExpIntegralEi[(2 + m)*Log[b*x]])/(d^2*(1 + m))) + ((d*x)^(1 + m)*LogIntegral[b*x])/(d*(1 + m))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m LogIntegral[a+b x]^n*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m LogIntegral[a+b x]^n*)
+
+
+{x^2*LogIntegral[a + b*x], x, 14, -((a^2*ExpIntegralEi[2*Log[a + b*x]])/b^3) + (a*ExpIntegralEi[3*Log[a + b*x]])/b^3 - ExpIntegralEi[4*Log[a + b*x]]/(3*b^3) + (a^3*LogIntegral[a + b*x])/(3*b^3) + (1/3)*x^3*LogIntegral[a + b*x]}
+{x^1*LogIntegral[a + b*x], x, 11, (a*ExpIntegralEi[2*Log[a + b*x]])/b^2 - ExpIntegralEi[3*Log[a + b*x]]/(2*b^2) - (a^2*LogIntegral[a + b*x])/(2*b^2) + (1/2)*x^2*LogIntegral[a + b*x]}
+{x^0*LogIntegral[a + b*x], x, 1, -(ExpIntegralEi[2*Log[a + b*x]]/b) + ((a + b*x)*LogIntegral[a + b*x])/b}
+{LogIntegral[a + b*x]/x^1, x, 0, Unintegrable[LogIntegral[a + b*x]/x, x]}
+{LogIntegral[a + b*x]/x^2, x, 1, b*Unintegrable[1/(x*Log[a + b*x]), x] - LogIntegral[a + b*x]/x}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m LogIntegral[a+b x]^n with m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*LogIntegral[a + b*x], x, 1, ((d*x)^(1 + m)*LogIntegral[a + b*x])/(d*(1 + m)) - (b*Unintegrable[(d*x)^(1 + m)/Log[a + b*x], x])/(d*(1 + m))}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.4 Trig integral functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.4 Trig integral functions.m
new file mode 100644
index 00000000..4ee14277
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.4 Trig integral functions.m	
@@ -0,0 +1,276 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration Problems Involving Trig Integral Functions*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Sine integral function*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m SinIntegral[b x]^n*)
+
+
+{x^m*SinIntegral[b*x], x, 5, (x^m*Gamma[1 + m, (-I)*b*x])/(((-I)*b*x)^m*(2*b*(1 + m))) + (x^m*Gamma[1 + m, I*b*x])/((I*b*x)^m*(2*b*(1 + m))) + (x^(1 + m)*SinIntegral[b*x])/(1 + m)}
+
+{x^3*SinIntegral[b*x], x, 6, -((3*x*Cos[b*x])/(2*b^3)) + (x^3*Cos[b*x])/(4*b) + (3*Sin[b*x])/(2*b^4) - (3*x^2*Sin[b*x])/(4*b^2) + (1/4)*x^4*SinIntegral[b*x]}
+{x^2*SinIntegral[b*x], x, 5, -((2*Cos[b*x])/(3*b^3)) + (x^2*Cos[b*x])/(3*b) - (2*x*Sin[b*x])/(3*b^2) + (1/3)*x^3*SinIntegral[b*x]}
+{x^1*SinIntegral[b*x], x, 4, (x*Cos[b*x])/(2*b) - Sin[b*x]/(2*b^2) + (1/2)*x^2*SinIntegral[b*x]}
+{x^0*SinIntegral[b*x], x, 1, Cos[b*x]/b + x*SinIntegral[b*x]}
+{SinIntegral[b*x]/x^1, x, 1, (1/2)*b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, (-I)*b*x] + (1/2)*b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, I*b*x]}
+{SinIntegral[b*x]/x^2, x, 4, b*CosIntegral[b*x] - Sin[b*x]/x - SinIntegral[b*x]/x}
+{SinIntegral[b*x]/x^3, x, 5, -((b*Cos[b*x])/(4*x)) - Sin[b*x]/(4*x^2) - (1/4)*b^2*SinIntegral[b*x] - SinIntegral[b*x]/(2*x^2)}
+
+
+{x^m*SinIntegral[b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[x^m*SinIntegral[b*x]^2, x]}
+
+{x^3*SinIntegral[b*x]^2, x, 19, x^2/(2*b^2) + (3*CosIntegral[2*b*x])/(2*b^4) - (3*Log[x])/(2*b^4) - (x*Cos[b*x]*Sin[b*x])/b^3 + (2*Sin[b*x]^2)/b^4 - (x^2*Sin[b*x]^2)/(4*b^2) - (3*x*Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/b^3 + (x^3*Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/(2*b) + (3*Sin[b*x]*SinIntegral[b*x])/b^4 - (3*x^2*Sin[b*x]*SinIntegral[b*x])/(2*b^2) + (1/4)*x^4*SinIntegral[b*x]^2}
+{x^2*SinIntegral[b*x]^2, x, 15, (5*x)/(6*b^2) - (5*Cos[b*x]*Sin[b*x])/(6*b^3) - (x*Sin[b*x]^2)/(3*b^2) - (4*Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/(3*b^3) + (2*x^2*Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/(3*b) - (4*x*Sin[b*x]*SinIntegral[b*x])/(3*b^2) + (1/3)*x^3*SinIntegral[b*x]^2 + (2*SinIntegral[2*b*x])/(3*b^3)}
+{x^1*SinIntegral[b*x]^2, x, 10, -(CosIntegral[2*b*x]/(2*b^2)) + Log[x]/(2*b^2) - Sin[b*x]^2/(2*b^2) + (x*Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/b - (Sin[b*x]*SinIntegral[b*x])/b^2 + (1/2)*x^2*SinIntegral[b*x]^2}
+{x^0*SinIntegral[b*x]^2, x, 6, (2*Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/b + x*SinIntegral[b*x]^2 - SinIntegral[2*b*x]/b}
+{SinIntegral[b*x]^2/x^1, x, 0, CannotIntegrate[SinIntegral[b*x]^2/x, x]}
+{SinIntegral[b*x]^2/x^2, x, 0, CannotIntegrate[SinIntegral[b*x]^2/x^2, x]}
+{SinIntegral[b*x]^2/x^3, x, 0, CannotIntegrate[SinIntegral[b*x]^2/x^3, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m SinIntegral[a+b x]^n*)
+
+
+{x^m*SinIntegral[a + b*x], x, 1, -((b*CannotIntegrate[(x^(1 + m)*Sin[a + b*x])/(a + b*x), x])/(1 + m)) + (x^(1 + m)*SinIntegral[a + b*x])/(1 + m)}
+
+{x^3*SinIntegral[a + b*x], x, 14, (a*Cos[a + b*x])/(2*b^4) - (a^3*Cos[a + b*x])/(4*b^4) - (3*x*Cos[a + b*x])/(2*b^3) + (a^2*x*Cos[a + b*x])/(4*b^3) - (a*x^2*Cos[a + b*x])/(4*b^2) + (x^3*Cos[a + b*x])/(4*b) + (3*Sin[a + b*x])/(2*b^4) - (a^2*Sin[a + b*x])/(4*b^4) + (a*x*Sin[a + b*x])/(2*b^3) - (3*x^2*Sin[a + b*x])/(4*b^2) - (a^4*SinIntegral[a + b*x])/(4*b^4) + (1/4)*x^4*SinIntegral[a + b*x]}
+{x^2*SinIntegral[a + b*x], x, 10, -((2*Cos[a + b*x])/(3*b^3)) + (a^2*Cos[a + b*x])/(3*b^3) - (a*x*Cos[a + b*x])/(3*b^2) + (x^2*Cos[a + b*x])/(3*b) + (a*Sin[a + b*x])/(3*b^3) - (2*x*Sin[a + b*x])/(3*b^2) + (a^3*SinIntegral[a + b*x])/(3*b^3) + (1/3)*x^3*SinIntegral[a + b*x]}
+{x^1*SinIntegral[a + b*x], x, 7, -((a*Cos[a + b*x])/(2*b^2)) + (x*Cos[a + b*x])/(2*b) - Sin[a + b*x]/(2*b^2) - (a^2*SinIntegral[a + b*x])/(2*b^2) + (1/2)*x^2*SinIntegral[a + b*x]}
+{x^0*SinIntegral[a + b*x], x, 1, Cos[a + b*x]/b + ((a + b*x)*SinIntegral[a + b*x])/b}
+{SinIntegral[a + b*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[SinIntegral[a + b*x]/x, x]}
+{SinIntegral[a + b*x]/x^2, x, 7, (b*CosIntegral[b*x]*Sin[a])/a + (b*Cos[a]*SinIntegral[b*x])/a - (b*SinIntegral[a + b*x])/a - SinIntegral[a + b*x]/x}
+{SinIntegral[a + b*x]/x^3, x, 11, (b^2*Cos[a]*CosIntegral[b*x])/(2*a) - (b^2*CosIntegral[b*x]*Sin[a])/(2*a^2) - (b*Sin[a + b*x])/(2*a*x) - (b^2*Cos[a]*SinIntegral[b*x])/(2*a^2) - (b^2*Sin[a]*SinIntegral[b*x])/(2*a) + (b^2*SinIntegral[a + b*x])/(2*a^2) - SinIntegral[a + b*x]/(2*x^2)}
+
+
+{x^m*SinIntegral[a + b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[x^m*SinIntegral[a + b*x]^2, x]}
+
+{x^2*SinIntegral[a + b*x]^2, x, 39, (2*x)/(3*b^2) - (a*Cos[2*a + 2*b*x])/(3*b^3) + (x*Cos[2*a + 2*b*x])/(6*b^2) + (a*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/b^3 - (a*Log[a + b*x])/b^3 - (2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(3*b^3) - Sin[2*a + 2*b*x]/(12*b^3) - (4*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/(3*b^3) + (2*a^2*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/(3*b^3) - (2*a*x*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/(3*b^2) + (2*x^2*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/(3*b) + (2*a*Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/(3*b^3) - (4*x*Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/(3*b^2) + (a^2*(a + b*x)*SinIntegral[a + b*x]^2)/(3*b^3) - (a*x*(a + b*x)*SinIntegral[a + b*x]^2)/(3*b^2) + (x^2*(a + b*x)*SinIntegral[a + b*x]^2)/(3*b) + (2*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/(3*b^3) - (a^2*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/b^3}
+{x^1*SinIntegral[a + b*x]^2, x, 17, Cos[2*a + 2*b*x]/(4*b^2) - CosIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b^2) + Log[a + b*x]/(2*b^2) - (a*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b^2 + (x*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b - (Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b^2 - (a*(a + b*x)*SinIntegral[a + b*x]^2)/(2*b^2) + (x*(a + b*x)*SinIntegral[a + b*x]^2)/(2*b) + (a*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/b^2}
+{x^0*SinIntegral[a + b*x]^2, x, 5, (2*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b + ((a + b*x)*SinIntegral[a + b*x]^2)/b - SinIntegral[2*a + 2*b*x]/b}
+{SinIntegral[a + b*x]^2/x^1, x, 0, CannotIntegrate[SinIntegral[a + b*x]^2/x, x]}
+{SinIntegral[a + b*x]^2/x^2, x, 0, CannotIntegrate[SinIntegral[a + b*x]^2/x^2, x]}
+{SinIntegral[a + b*x]^2/x^3, x, 0, CannotIntegrate[SinIntegral[a + b*x]^2/x^3, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m SinIntegral[d (a+b Log[c x^n])]*)
+
+
+{x^2*SinIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 7, ((-(1/6))*I*x^3*ExpIntegralEi[((3 - I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)) + ((1/6)*I*x^3*ExpIntegralEi[((3 + I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)) + (1/3)*x^3*SinIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]}
+{x^1*SinIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 7, ((-(1/4))*I*x^2*ExpIntegralEi[((2 - I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)) + ((1/4)*I*x^2*ExpIntegralEi[((2 + I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)) + (1/2)*x^2*SinIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]}
+{x^0*SinIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 7, ((-(1/2))*I*x*ExpIntegralEi[((1 - I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)) + ((1/2)*I*x*ExpIntegralEi[((1 + I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)) + x*SinIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]}
+{SinIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^1, x, 3, Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(b*d*n) + ((a + b*Log[c*x^n])*SinIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])])/(b*n)}
+{SinIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^2, x, 7, -((I*E^(a/(b*n))*(c*x^n)^(1/n)*ExpIntegralEi[-(((1 - I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))])/(2*x)) + (I*E^(a/(b*n))*(c*x^n)^(1/n)*ExpIntegralEi[-(((1 + I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))])/(2*x) - SinIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x}
+{SinIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^3, x, 7, -((I*E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*ExpIntegralEi[-(((2 - I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))])/(4*x^2)) + (I*E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*ExpIntegralEi[-(((2 + I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))])/(4*x^2) - SinIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(2*x^2)}
+
+
+{(e*x)^m*SinIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 7, -((I*x*(e*x)^m*ExpIntegralEi[((1 + m - I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(E^((a*(1 + m))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m)/n)*(2*(1 + m)))) + (I*x*(e*x)^m*ExpIntegralEi[((1 + m + I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(E^((a*(1 + m))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m)/n)*(2*(1 + m))) + ((e*x)^(1 + m)*SinIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])])/(e*(1 + m))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Trig[b x] SinIntegral[b x]^n*)
+
+
+{Sin[b*x]*SinIntegral[b*x]/x^3, x, 14, b^2*CosIntegral[2*b*x] - (b*Cos[b*x]*Sin[b*x])/(2*x) - Sin[b*x]^2/(4*x^2) - (b*Sin[2*b*x])/(4*x) - (b*Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/(2*x) - (Sin[b*x]*SinIntegral[b*x])/(2*x^2) - (1/4)*b^2*SinIntegral[b*x]^2}
+{Sin[b*x]*SinIntegral[b*x]/x^2, x, 5, b*CannotIntegrate[(Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/x, x] - Sin[b*x]^2/x - (Sin[b*x]*SinIntegral[b*x])/x + b*SinIntegral[2*b*x]}
+{Sin[b*x]*SinIntegral[b*x]/x, x, 1, (1/2)*SinIntegral[b*x]^2}
+{Sin[b*x]*SinIntegral[b*x], x, 5, -((Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/b) + SinIntegral[2*b*x]/(2*b)}
+{x*Sin[b*x]*SinIntegral[b*x], x, 9, CosIntegral[2*b*x]/(2*b^2) - Log[x]/(2*b^2) + Sin[b*x]^2/(2*b^2) - (x*Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/b + (Sin[b*x]*SinIntegral[b*x])/b^2}
+{x^2*Sin[b*x]*SinIntegral[b*x], x, 14, -((5*x)/(4*b^2)) + (5*Cos[b*x]*Sin[b*x])/(4*b^3) + (x*Sin[b*x]^2)/(2*b^2) + (2*Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/b^3 - (x^2*Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/b + (2*x*Sin[b*x]*SinIntegral[b*x])/b^2 - SinIntegral[2*b*x]/b^3}
+{x^3*Sin[b*x]*SinIntegral[b*x], x, 18, -(x^2/b^2) - (3*CosIntegral[2*b*x])/b^4 + (3*Log[x])/b^4 + (2*x*Cos[b*x]*Sin[b*x])/b^3 - (4*Sin[b*x]^2)/b^4 + (x^2*Sin[b*x]^2)/(2*b^2) + (6*x*Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/b^3 - (x^3*Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/b - (6*Sin[b*x]*SinIntegral[b*x])/b^4 + (3*x^2*Sin[b*x]*SinIntegral[b*x])/b^2}
+
+
+{Cos[b*x]*SinIntegral[b*x]/x^3, x, 12, -((b*Cos[2*b*x])/(4*x)) - (1/2)*b^2*CannotIntegrate[(Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/x, x] + (b*Sin[b*x]^2)/(2*x) - Sin[2*b*x]/(8*x^2) - (Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/(2*x^2) + (b*Sin[b*x]*SinIntegral[b*x])/(2*x) - b^2*SinIntegral[2*b*x]}
+{Cos[b*x]*SinIntegral[b*x]/x^2, x, 7, b*CosIntegral[2*b*x] - Sin[2*b*x]/(2*x) - (Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/x - (1/2)*b*SinIntegral[b*x]^2}
+{Cos[b*x]*SinIntegral[b*x]/x, x, 0, CannotIntegrate[(Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/x, x]}
+{Cos[b*x]*SinIntegral[b*x], x, 5, CosIntegral[2*b*x]/(2*b) - Log[x]/(2*b) + (Sin[b*x]*SinIntegral[b*x])/b}
+{x*Cos[b*x]*SinIntegral[b*x], x, 9, -(x/(2*b)) + (Cos[b*x]*Sin[b*x])/(2*b^2) + (Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/b^2 + (x*Sin[b*x]*SinIntegral[b*x])/b - SinIntegral[2*b*x]/(2*b^2)}
+{x^2*Cos[b*x]*SinIntegral[b*x], x, 13, -(x^2/(4*b)) - CosIntegral[2*b*x]/b^3 + Log[x]/b^3 + (x*Cos[b*x]*Sin[b*x])/(2*b^2) - (5*Sin[b*x]^2)/(4*b^3) + (2*x*Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/b^2 - (2*Sin[b*x]*SinIntegral[b*x])/b^3 + (x^2*Sin[b*x]*SinIntegral[b*x])/b}
+{x^3*Cos[b*x]*SinIntegral[b*x], x, 20, (4*x)/b^3 - x^3/(6*b) - (4*Cos[b*x]*Sin[b*x])/b^4 + (x^2*Cos[b*x]*Sin[b*x])/(2*b^2) - (2*x*Sin[b*x]^2)/b^3 - (6*Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/b^4 + (3*x^2*Cos[b*x]*SinIntegral[b*x])/b^2 - (6*x*Sin[b*x]*SinIntegral[b*x])/b^3 + (x^3*Sin[b*x]*SinIntegral[b*x])/b + (3*SinIntegral[2*b*x])/b^4}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Trig[b x] SinIntegral[d x]^n*)
+
+
+{Sin[5*x]*SinIntegral[2*x], x, 6, (-(1/5))*Cos[5*x]*SinIntegral[2*x] - (1/10)*SinIntegral[3*x] + (1/10)*SinIntegral[7*x]}
+
+
+{Cos[5*x]*SinIntegral[2*x], x, 6, (-(1/10))*CosIntegral[3*x] + (1/10)*CosIntegral[7*x] + (1/5)*Sin[5*x]*SinIntegral[2*x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Trig[a+b x] SinIntegral[a+b x]^n*)
+
+
+(* {x^3*Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x], x, 32, (7*a*x)/(4*b^3) - x^2/b^2 + (3*Cos[a + b*x]^2)/b^4 - (a^2*Cos[a + b*x]^2)/(2*b^4) - (3*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/b^4 + (3*a^2*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^4) + (3*Log[a + b*x])/b^4 - (3*a^2*Log[a + b*x])/(2*b^4) - (7*a*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(4*b^4) + (2*x*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^3 - Sin[a + b*x]^2/b^4 - (a*x*Sin[a + b*x]^2)/(2*b^3) + (x^2*Sin[a + b*x]^2)/(2*b^2) + (6*x*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b^3 - (x^3*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b - (6*Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b^4 + (3*x^2*Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b^2 + (3*a*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/b^4 - (a^3*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^4)} *)
+{x^2*Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x], x, 21, -(x/b^2) + (a*Cos[2*a + 2*b*x])/(4*b^3) - (x*Cos[2*a + 2*b*x])/(4*b^2) - (a*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/b^3 + (a*Log[a + b*x])/b^3 + (Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^3 + Sin[2*a + 2*b*x]/(8*b^3) + (2*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b^3 - (x^2*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b + (2*x*Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b^2 - SinIntegral[2*a + 2*b*x]/b^3 + (a^2*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^3)}
+{x^1*Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x], x, 11, -(Cos[2*a + 2*b*x]/(4*b^2)) + CosIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b^2) - Log[a + b*x]/(2*b^2) - (x*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b + (Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b^2 - (a*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^2)}
+{x^0*Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x], x, 4, -((Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b) + SinIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b)}
+{Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/x, x]}
+
+
+(* {x^3*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x], x, 32, (4*x)/b^3 - (a^2*x)/(2*b^3) + (a*x^2)/(4*b^2) - x^3/(6*b) - (3*a*Cos[a + b*x]^2)/(2*b^4) + (3*a*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/b^4 - (a^3*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^4) - (3*a*Log[a + b*x])/b^4 + (a^3*Log[a + b*x])/(2*b^4) - (4*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^4 + (a^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^4) - (a*x*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^3) + (x^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^2) + (a*Sin[a + b*x]^2)/(4*b^4) - (2*x*Sin[a + b*x]^2)/b^3 - (6*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b^4 + (3*x^2*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b^2 - (6*x*Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b^3 + (x^3*Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b + (3*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/b^4 - (3*a^2*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^4)} *)
+{x^2*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x], x, 21, (a*x)/(2*b^2) - x^2/(4*b) + Cos[2*a + 2*b*x]/(2*b^3) - CosIntegral[2*a + 2*b*x]/b^3 + (a^2*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^3) + Log[a + b*x]/b^3 - (a^2*Log[a + b*x])/(2*b^3) - (a*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^3) + (x*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^2) - Sin[a + b*x]^2/(4*b^3) + (2*x*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b^2 - (2*Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b^3 + (x^2*Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b + (a*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/b^3}
+{x^1*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x], x, 12, -(x/(2*b)) - (a*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^2) + (a*Log[a + b*x])/(2*b^2) + (Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^2) + (Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b^2 + (x*Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b - SinIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b^2)}
+{x^0*Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x], x, 4, CosIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b) - Log[a + b*x]/(2*b) + (Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/b}
+{Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Cos[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x])/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Trig[a+b x] SinIntegral[c+d x]^n*)
+
+
+(* {x^2*Sin[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x], x, 46, -((c*Cos[a - c + (b - d)*x])/(2*b*(b - d)*d)) + (x*Cos[a - c + (b - d)*x])/(2*b*(b - d)) + (c*Cos[a + c + (b + d)*x])/(2*b*d*(b + d)) - (x*Cos[a + c + (b + d)*x])/(2*b*(b + d)) + (CosIntegral[((b - d)*(c + d*x))/d]*(2*b*c*d*Cos[a - (b*c)/d] - (b^2*c^2 - 2*d^2)*Sin[a - (b*c)/d]))/(2*b^3*d^2) - (CosIntegral[((b + d)*(c + d*x))/d]*(2*b*c*d*Cos[a - (b*c)/d] - (b^2*c^2 - 2*d^2)*Sin[a - (b*c)/d]))/(2*b^3*d^2) - Sin[a - c + (b - d)*x]/(2*b*(b - d)^2) - Sin[a - c + (b - d)*x]/(b^2*(b - d)) + Sin[a + c + (b + d)*x]/(2*b*(b + d)^2) + Sin[a + c + (b + d)*x]/(b^2*(b + d)) + (((2 - b^2*x^2)*Cos[a + b*x] + 2*b*x*Sin[a + b*x])*SinIntegral[c + d*x])/b^3 - (((b^2*c^2 - 2*d^2)*Cos[a - (b*c)/d] + 2*b*c*d*Sin[a - (b*c)/d])*SinIntegral[((b - d)*(c + d*x))/d])/(2*b^3*d^2) + (((b^2*c^2 - 2*d^2)*Cos[a - (b*c)/d] + 2*b*c*d*Sin[a - (b*c)/d])*SinIntegral[((b + d)*(c + d*x))/d])/(2*b^3*d^2)} *)
+{x^1*Sin[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x], x, 24, Cos[a - c + (b - d)*x]/(2*b*(b - d)) - Cos[a + c + (b + d)*x]/(2*b*(b + d)) - (Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b^2) + (Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b^2) + (c*CosIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(2*b*d) - (c*CosIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(2*b*d) + (c*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b*d) + (Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b^2) - (x*Cos[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x])/b + (Sin[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x])/b^2 - (c*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b*d) - (Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b^2)}
+{x^0*Sin[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x], x, 9, -((CosIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(2*b)) + (CosIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(2*b) - (Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b) - (Cos[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x])/b + (Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b)}
+{Sin[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Sin[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x])/x, x]}
+
+
+(* {x^2*Cos[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x], x, 46, -(Cos[a - c + (b - d)*x]/(2*b*(b - d)^2)) - Cos[a - c + (b - d)*x]/(b^2*(b - d)) + Cos[a + c + (b + d)*x]/(2*b*(b + d)^2) + Cos[a + c + (b + d)*x]/(b^2*(b + d)) - (CosIntegral[((b - d)*(c + d*x))/d]*((b^2*c^2 - 2*d^2)*Cos[a - (b*c)/d] + 2*b*c*d*Sin[a - (b*c)/d]))/(2*b^3*d^2) + (CosIntegral[((b + d)*(c + d*x))/d]*((b^2*c^2 - 2*d^2)*Cos[a - (b*c)/d] + 2*b*c*d*Sin[a - (b*c)/d]))/(2*b^3*d^2) + (c*Sin[a - c + (b - d)*x])/(2*b*(b - d)*d) - (x*Sin[a - c + (b - d)*x])/(2*b*(b - d)) - (c*Sin[a + c + (b + d)*x])/(2*b*d*(b + d)) + (x*Sin[a + c + (b + d)*x])/(2*b*(b + d)) + ((2*b*x*Cos[a + b*x] - (2 - b^2*x^2)*Sin[a + b*x])*SinIntegral[c + d*x])/b^3 - ((2*b*c*d*Cos[a - (b*c)/d] - (b^2*c^2 - 2*d^2)*Sin[a - (b*c)/d])*SinIntegral[((b - d)*(c + d*x))/d])/(2*b^3*d^2) + ((2*b*c*d*Cos[a - (b*c)/d] - (b^2*c^2 - 2*d^2)*Sin[a - (b*c)/d])*SinIntegral[((b + d)*(c + d*x))/d])/(2*b^3*d^2)} *)
+{x^1*Cos[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x], x, 24, (c*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b*d) - (c*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b*d) + (CosIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(2*b^2) - (CosIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(2*b^2) - Sin[a - c + (b - d)*x]/(2*b*(b - d)) + Sin[a + c + (b + d)*x]/(2*b*(b + d)) + (Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b^2) - (c*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b*d) + (Cos[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x])/b^2 + (x*Sin[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x])/b - (Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b^2) + (c*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b*d)}
+{x^0*Cos[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x], x, 9, -((Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b)) + (Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b) + (Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b) + (Sin[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x])/b - (Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Cos[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x])/x, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Cosine integral function*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m CosIntegral[b x]^n*)
+
+
+{x^m*CosIntegral[b*x], x, 5, (x^(1 + m)*CosIntegral[b*x])/(1 + m) + (I*x^m*Gamma[1 + m, (-I)*b*x])/(((-I)*b*x)^m*(2*b*(1 + m))) - (I*x^m*Gamma[1 + m, I*b*x])/((I*b*x)^m*(2*b*(1 + m)))}
+
+{x^3*CosIntegral[b*x], x, 6, (3*Cos[b*x])/(2*b^4) - (3*x^2*Cos[b*x])/(4*b^2) + (1/4)*x^4*CosIntegral[b*x] + (3*x*Sin[b*x])/(2*b^3) - (x^3*Sin[b*x])/(4*b)}
+{x^2*CosIntegral[b*x], x, 5, -((2*x*Cos[b*x])/(3*b^2)) + (1/3)*x^3*CosIntegral[b*x] + (2*Sin[b*x])/(3*b^3) - (x^2*Sin[b*x])/(3*b)}
+{x^1*CosIntegral[b*x], x, 4, -(Cos[b*x]/(2*b^2)) + (1/2)*x^2*CosIntegral[b*x] - (x*Sin[b*x])/(2*b)}
+{x^0*CosIntegral[b*x], x, 1, x*CosIntegral[b*x] - Sin[b*x]/b}
+{CosIntegral[b*x]/x^1, x, 1, (-(1/2))*I*b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, (-I)*b*x] + (1/2)*I*b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, I*b*x] + EulerGamma*Log[x] + (1/2)*Log[b*x]^2}
+{CosIntegral[b*x]/x^2, x, 4, -(Cos[b*x]/x) - CosIntegral[b*x]/x - b*SinIntegral[b*x]}
+{CosIntegral[b*x]/x^3, x, 5, -(Cos[b*x]/(4*x^2)) - (1/4)*b^2*CosIntegral[b*x] - CosIntegral[b*x]/(2*x^2) + (b*Sin[b*x])/(4*x)}
+
+
+{x^m*CosIntegral[b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[x^m*CosIntegral[b*x]^2, x]}
+
+{x^3*CosIntegral[b*x]^2, x, 19, x^2/(4*b^2) + (3*Cos[b*x]^2)/(8*b^4) + (3*Cos[b*x]*CosIntegral[b*x])/b^4 - (3*x^2*Cos[b*x]*CosIntegral[b*x])/(2*b^2) + (1/4)*x^4*CosIntegral[b*x]^2 - (3*CosIntegral[2*b*x])/(2*b^4) - (3*Log[x])/(2*b^4) + (x*Cos[b*x]*Sin[b*x])/b^3 + (3*x*CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/b^3 - (x^3*CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/(2*b) - (13*Sin[b*x]^2)/(8*b^4) + (x^2*Sin[b*x]^2)/(4*b^2)}
+{x^2*CosIntegral[b*x]^2, x, 15, x/(2*b^2) - (4*x*Cos[b*x]*CosIntegral[b*x])/(3*b^2) + (1/3)*x^3*CosIntegral[b*x]^2 + (5*Cos[b*x]*Sin[b*x])/(6*b^3) + (4*CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/(3*b^3) - (2*x^2*CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/(3*b) + (x*Sin[b*x]^2)/(3*b^2) - (2*SinIntegral[2*b*x])/(3*b^3)}
+{x^1*CosIntegral[b*x]^2, x, 10, -((Cos[b*x]*CosIntegral[b*x])/b^2) + (1/2)*x^2*CosIntegral[b*x]^2 + CosIntegral[2*b*x]/(2*b^2) + Log[x]/(2*b^2) - (x*CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/b + Sin[b*x]^2/(2*b^2)}
+{x^0*CosIntegral[b*x]^2, x, 6, x*CosIntegral[b*x]^2 - (2*CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/b + SinIntegral[2*b*x]/b}
+{CosIntegral[b*x]^2/x^1, x, 0, CannotIntegrate[CosIntegral[b*x]^2/x, x]}
+{CosIntegral[b*x]^2/x^2, x, 0, CannotIntegrate[CosIntegral[b*x]^2/x^2, x]}
+{CosIntegral[b*x]^2/x^3, x, 0, CannotIntegrate[CosIntegral[b*x]^2/x^3, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m CosIntegral[a+b x]^n*)
+
+
+{x^m*CosIntegral[a + b*x], x, 1, (x^(1 + m)*CosIntegral[a + b*x])/(1 + m) - (b*CannotIntegrate[(x^(1 + m)*Cos[a + b*x])/(a + b*x), x])/(1 + m)}
+
+{x^3*CosIntegral[a + b*x], x, 14, (3*Cos[a + b*x])/(2*b^4) - (a^2*Cos[a + b*x])/(4*b^4) + (a*x*Cos[a + b*x])/(2*b^3) - (3*x^2*Cos[a + b*x])/(4*b^2) - (a^4*CosIntegral[a + b*x])/(4*b^4) + (1/4)*x^4*CosIntegral[a + b*x] - (a*Sin[a + b*x])/(2*b^4) + (a^3*Sin[a + b*x])/(4*b^4) + (3*x*Sin[a + b*x])/(2*b^3) - (a^2*x*Sin[a + b*x])/(4*b^3) + (a*x^2*Sin[a + b*x])/(4*b^2) - (x^3*Sin[a + b*x])/(4*b)}
+{x^2*CosIntegral[a + b*x], x, 10, (a*Cos[a + b*x])/(3*b^3) - (2*x*Cos[a + b*x])/(3*b^2) + (a^3*CosIntegral[a + b*x])/(3*b^3) + (1/3)*x^3*CosIntegral[a + b*x] + (2*Sin[a + b*x])/(3*b^3) - (a^2*Sin[a + b*x])/(3*b^3) + (a*x*Sin[a + b*x])/(3*b^2) - (x^2*Sin[a + b*x])/(3*b)}
+{x^1*CosIntegral[a + b*x], x, 7, -(Cos[a + b*x]/(2*b^2)) - (a^2*CosIntegral[a + b*x])/(2*b^2) + (1/2)*x^2*CosIntegral[a + b*x] + (a*Sin[a + b*x])/(2*b^2) - (x*Sin[a + b*x])/(2*b)}
+{x^0*CosIntegral[a + b*x], x, 1, ((a + b*x)*CosIntegral[a + b*x])/b - Sin[a + b*x]/b}
+{CosIntegral[a + b*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[CosIntegral[a + b*x]/x, x]}
+{CosIntegral[a + b*x]/x^2, x, 7, (b*Cos[a]*CosIntegral[b*x])/a - (b*CosIntegral[a + b*x])/a - CosIntegral[a + b*x]/x - (b*Sin[a]*SinIntegral[b*x])/a}
+{CosIntegral[a + b*x]/x^3, x, 11, -((b*Cos[a + b*x])/(2*a*x)) - (b^2*Cos[a]*CosIntegral[b*x])/(2*a^2) + (b^2*CosIntegral[a + b*x])/(2*a^2) - CosIntegral[a + b*x]/(2*x^2) - (b^2*CosIntegral[b*x]*Sin[a])/(2*a) - (b^2*Cos[a]*SinIntegral[b*x])/(2*a) + (b^2*Sin[a]*SinIntegral[b*x])/(2*a^2)}
+
+
+{x^m*CosIntegral[a + b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[x^m*CosIntegral[a + b*x]^2, x]}
+
+{x^2*CosIntegral[a + b*x]^2, x, 39, (2*x)/(3*b^2) + (a*Cos[2*a + 2*b*x])/(3*b^3) - (x*Cos[2*a + 2*b*x])/(6*b^2) + (2*a*Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x])/(3*b^3) - (4*x*Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x])/(3*b^2) + (a^2*(a + b*x)*CosIntegral[a + b*x]^2)/(3*b^3) - (a*x*(a + b*x)*CosIntegral[a + b*x]^2)/(3*b^2) + (x^2*(a + b*x)*CosIntegral[a + b*x]^2)/(3*b) - (a*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/b^3 - (a*Log[a + b*x])/b^3 + (2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(3*b^3) + (4*CosIntegral[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(3*b^3) - (2*a^2*CosIntegral[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(3*b^3) + (2*a*x*CosIntegral[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(3*b^2) - (2*x^2*CosIntegral[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(3*b) + Sin[2*a + 2*b*x]/(12*b^3) - (2*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/(3*b^3) + (a^2*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/b^3}
+{x^1*CosIntegral[a + b*x]^2, x, 17, -(Cos[2*a + 2*b*x]/(4*b^2)) - (Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x])/b^2 - (a*(a + b*x)*CosIntegral[a + b*x]^2)/(2*b^2) + (x*(a + b*x)*CosIntegral[a + b*x]^2)/(2*b) + CosIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b^2) + Log[a + b*x]/(2*b^2) + (a*CosIntegral[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^2 - (x*CosIntegral[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b - (a*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/b^2}
+{x^0*CosIntegral[a + b*x]^2, x, 5, ((a + b*x)*CosIntegral[a + b*x]^2)/b - (2*CosIntegral[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b + SinIntegral[2*a + 2*b*x]/b}
+{CosIntegral[a + b*x]^2/x^1, x, 0, CannotIntegrate[CosIntegral[a + b*x]^2/x, x]}
+{CosIntegral[a + b*x]^2/x^2, x, 0, CannotIntegrate[CosIntegral[a + b*x]^2/x^2, x]}
+{CosIntegral[a + b*x]^2/x^3, x, 0, CannotIntegrate[CosIntegral[a + b*x]^2/x^3, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m CosIntegral[d (a+b Log[c x^n])]*)
+
+
+{x^2*CosIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 7, (x^3*CosIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])])/3 - (x^3*ExpIntegralEi[((3 - I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(6*E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)) - (x^3*ExpIntegralEi[((3 + I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(6*E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n))}
+{x^1*CosIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 7, (x^2*CosIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])])/2 - (x^2*ExpIntegralEi[((2 - I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(4*E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)) - (x^2*ExpIntegralEi[((2 + I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(4*E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n))}
+{x^0*CosIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 7, x*CosIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])] - (x*ExpIntegralEi[((1 - I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(2*E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)) - (x*ExpIntegralEi[((1 + I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(2*E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1))}
+{CosIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^1, x, 3, (CosIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n) - Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(b*d*n)}
+{CosIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^2, x, 7, -(CosIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x) + (E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)*ExpIntegralEi[-(((1 - I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))])/(2*x) + (E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)*ExpIntegralEi[-(((1 + I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))])/(2*x)}
+{CosIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^3, x, 7, -CosIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(2*x^2) + (E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*ExpIntegralEi[-(((2 - I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))])/(4*x^2) + (E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*ExpIntegralEi[-(((2 + I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))])/(4*x^2)}
+
+
+{(e*x)^m*CosIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 7, ((e*x)^(1 + m)*CosIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])])/(e*(1 + m)) - (x*(e*x)^m*ExpIntegralEi[((1 + m - I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(2*E^((a*(1 + m))/(b*n))*(1 + m)*(c*x^n)^((1 + m)/n)) - (x*(e*x)^m*ExpIntegralEi[((1 + m + I*b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(2*E^((a*(1 + m))/(b*n))*(1 + m)*(c*x^n)^((1 + m)/n))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Trig[b x] CosIntegral[b x]^n*)
+
+
+{Sin[b*x]*CosIntegral[b*x]/x^3, x, 12, -((b*Cos[b*x]^2)/(2*x)) - (b*Cos[2*b*x])/(4*x) - (b*Cos[b*x]*CosIntegral[b*x])/(2*x) - (1/2)*b^2*CannotIntegrate[(CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/x, x] - (CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/(2*x^2) - Sin[2*b*x]/(8*x^2) - b^2*SinIntegral[2*b*x]}
+{Sin[b*x]*CosIntegral[b*x]/x^2, x, 7, (1/2)*b*CosIntegral[b*x]^2 + b*CosIntegral[2*b*x] - (CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/x - Sin[2*b*x]/(2*x)}
+{Sin[b*x]*CosIntegral[b*x]/x, x, 0, CannotIntegrate[(CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/x, x]}
+{Sin[b*x]*CosIntegral[b*x], x, 5, -((Cos[b*x]*CosIntegral[b*x])/b) + CosIntegral[2*b*x]/(2*b) + Log[x]/(2*b)}
+{x*Sin[b*x]*CosIntegral[b*x], x, 9, x/(2*b) - (x*Cos[b*x]*CosIntegral[b*x])/b + (Cos[b*x]*Sin[b*x])/(2*b^2) + (CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/b^2 - SinIntegral[2*b*x]/(2*b^2)}
+{x^2*Sin[b*x]*CosIntegral[b*x], x, 13, x^2/(4*b) + Cos[b*x]^2/(4*b^3) + (2*Cos[b*x]*CosIntegral[b*x])/b^3 - (x^2*Cos[b*x]*CosIntegral[b*x])/b - CosIntegral[2*b*x]/b^3 - Log[x]/b^3 + (x*Cos[b*x]*Sin[b*x])/(2*b^2) + (2*x*CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/b^2 - Sin[b*x]^2/b^3}
+{x^3*Sin[b*x]*CosIntegral[b*x], x, 20, -((5*x)/(2*b^3)) + x^3/(6*b) + (x*Cos[b*x]^2)/(2*b^3) + (6*x*Cos[b*x]*CosIntegral[b*x])/b^3 - (x^3*Cos[b*x]*CosIntegral[b*x])/b - (4*Cos[b*x]*Sin[b*x])/b^4 + (x^2*Cos[b*x]*Sin[b*x])/(2*b^2) - (6*CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/b^4 + (3*x^2*CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/b^2 - (3*x*Sin[b*x]^2)/(2*b^3) + (3*SinIntegral[2*b*x])/b^4}
+
+
+{Cos[b*x]*CosIntegral[b*x]/x^3, x, 14, -(Cos[b*x]^2/(4*x^2)) - (Cos[b*x]*CosIntegral[b*x])/(2*x^2) - (1/4)*b^2*CosIntegral[b*x]^2 - b^2*CosIntegral[2*b*x] + (b*Cos[b*x]*Sin[b*x])/(2*x) + (b*CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/(2*x) + (b*Sin[2*b*x])/(4*x)}
+{Cos[b*x]*CosIntegral[b*x]/x^2, x, 5, -(Cos[b*x]^2/x) - (Cos[b*x]*CosIntegral[b*x])/x - b*CannotIntegrate[(CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/x, x] - b*SinIntegral[2*b*x]}
+{Cos[b*x]*CosIntegral[b*x]/x, x, 1, (1/2)*CosIntegral[b*x]^2}
+{Cos[b*x]*CosIntegral[b*x], x, 5, (CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/b - SinIntegral[2*b*x]/(2*b)}
+{x*Cos[b*x]*CosIntegral[b*x], x, 9, (Cos[b*x]*CosIntegral[b*x])/b^2 - CosIntegral[2*b*x]/(2*b^2) - Log[x]/(2*b^2) + (x*CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/b - Sin[b*x]^2/(2*b^2)}
+{x^2*Cos[b*x]*CosIntegral[b*x], x, 14, -((3*x)/(4*b^2)) + (2*x*Cos[b*x]*CosIntegral[b*x])/b^2 - (5*Cos[b*x]*Sin[b*x])/(4*b^3) - (2*CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/b^3 + (x^2*CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/b - (x*Sin[b*x]^2)/(2*b^2) + SinIntegral[2*b*x]/b^3}
+{x^3*Cos[b*x]*CosIntegral[b*x], x, 18, -(x^2/(2*b^2)) - (3*Cos[b*x]^2)/(4*b^4) - (6*Cos[b*x]*CosIntegral[b*x])/b^4 + (3*x^2*Cos[b*x]*CosIntegral[b*x])/b^2 + (3*CosIntegral[2*b*x])/b^4 + (3*Log[x])/b^4 - (2*x*Cos[b*x]*Sin[b*x])/b^3 - (6*x*CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/b^3 + (x^3*CosIntegral[b*x]*Sin[b*x])/b + (13*Sin[b*x]^2)/(4*b^4) - (x^2*Sin[b*x]^2)/(2*b^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Trig[b x] CosIntegral[d x]^n*)
+
+
+{Sin[5*x]*CosIntegral[2*x], x, 6, (-(1/5))*Cos[5*x]*CosIntegral[2*x] + (1/10)*CosIntegral[3*x] + (1/10)*CosIntegral[7*x]}
+
+
+{Cos[5*x]*CosIntegral[2*x], x, 6, (1/5)*CosIntegral[2*x]*Sin[5*x] - (1/10)*SinIntegral[3*x] - (1/10)*SinIntegral[7*x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Trig[a+b x] CosIntegral[a+b x]^n*)
+
+
+(* {x^3*Sin[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x], x, 32, -((5*x)/(2*b^3)) + (a^2*x)/(2*b^3) - (a*x^2)/(4*b^2) + x^3/(6*b) - (7*a*Cos[a + b*x]^2)/(4*b^4) + (x*Cos[a + b*x]^2)/(2*b^3) + (6*x*Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x])/b^3 - (x^3*Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x])/b + (3*a*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/b^4 - (a^3*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^4) + (3*a*Log[a + b*x])/b^4 - (a^3*Log[a + b*x])/(2*b^4) - (4*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^4 + (a^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^4) - (a*x*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^3) + (x^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^2) - (6*CosIntegral[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^4 + (3*x^2*CosIntegral[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^2 - (3*x*Sin[a + b*x]^2)/(2*b^3) + (3*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/b^4 - (3*a^2*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^4)} *)
+{x^2*Sin[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x], x, 21, -((a*x)/(2*b^2)) + x^2/(4*b) + Cos[a + b*x]^2/(4*b^3) + Cos[2*a + 2*b*x]/(2*b^3) + (2*Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x])/b^3 - (x^2*Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x])/b - CosIntegral[2*a + 2*b*x]/b^3 + (a^2*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^3) - Log[a + b*x]/b^3 + (a^2*Log[a + b*x])/(2*b^3) - (a*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^3) + (x*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^2) + (2*x*CosIntegral[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^2 + (a*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/b^3}
+{x^1*Sin[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x], x, 12, x/(2*b) - (x*Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x])/b - (a*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^2) - (a*Log[a + b*x])/(2*b^2) + (Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(2*b^2) + (CosIntegral[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^2 - SinIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b^2)}
+{x^0*Sin[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x], x, 4, -((Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x])/b) + CosIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b) + Log[a + b*x]/(2*b)}
+{Sin[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Sin[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x])/x, x]}
+
+
+(* {x^3*Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x], x, 32, (5*a*x)/(4*b^3) - x^2/(2*b^2) - (15*Cos[a + b*x]^2)/(4*b^4) + (a^2*Cos[a + b*x]^2)/(2*b^4) - (6*Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x])/b^4 + (3*x^2*Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x])/b^2 + (3*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/b^4 - (3*a^2*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^4) + (3*Log[a + b*x])/b^4 - (3*a^2*Log[a + b*x])/(2*b^4) + (7*a*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(4*b^4) - (2*x*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^3 - (6*x*CosIntegral[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^3 + (x^3*CosIntegral[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b + Sin[a + b*x]^2/(4*b^4) + (a*x*Sin[a + b*x]^2)/(2*b^3) - (x^2*Sin[a + b*x]^2)/(2*b^2) - (3*a*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/b^4 + (a^3*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^4)} *)
+{x^2*Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x], x, 21, -(x/b^2) - (a*Cos[2*a + 2*b*x])/(4*b^3) + (x*Cos[2*a + 2*b*x])/(4*b^2) + (2*x*Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x])/b^2 + (a*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/b^3 + (a*Log[a + b*x])/b^3 - (Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^3 - (2*CosIntegral[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b^3 + (x^2*CosIntegral[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b - Sin[2*a + 2*b*x]/(8*b^3) + SinIntegral[2*a + 2*b*x]/b^3 - (a^2*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^3)}
+{x^1*Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x], x, 11, Cos[2*a + 2*b*x]/(4*b^2) + (Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x])/b^2 - CosIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b^2) - Log[a + b*x]/(2*b^2) + (x*CosIntegral[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b + (a*SinIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^2)}
+{x^0*Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x], x, 4, (CosIntegral[a + b*x]*Sin[a + b*x])/b - SinIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x])/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Trig[a+b x] CosIntegral[c+d x]^n*)
+
+
+(* {x^2*Sin[a + b*x]*CosIntegral[c + d*x], x, 46, Cos[a - c + (b - d)*x]/(2*b*(b - d)^2) + Cos[a - c + (b - d)*x]/(b^2*(b - d)) + Cos[a + c + (b + d)*x]/(2*b*(b + d)^2) + Cos[a + c + (b + d)*x]/(b^2*(b + d)) + (CosIntegral[((b - d)*(c + d*x))/d]*((b^2*c^2 - 2*d^2)*Cos[a - (b*c)/d] + 2*b*c*d*Sin[a - (b*c)/d]))/(2*b^3*d^2) + (CosIntegral[((b + d)*(c + d*x))/d]*((b^2*c^2 - 2*d^2)*Cos[a - (b*c)/d] + 2*b*c*d*Sin[a - (b*c)/d]))/(2*b^3*d^2) + (CosIntegral[c + d*x]*((2 - b^2*x^2)*Cos[a + b*x] + 2*b*x*Sin[a + b*x]))/b^3 - (c*Sin[a - c + (b - d)*x])/(2*b*(b - d)*d) + (x*Sin[a - c + (b - d)*x])/(2*b*(b - d)) - (c*Sin[a + c + (b + d)*x])/(2*b*d*(b + d)) + (x*Sin[a + c + (b + d)*x])/(2*b*(b + d)) + ((2*b*c*d*Cos[a - (b*c)/d] - (b^2*c^2 - 2*d^2)*Sin[a - (b*c)/d])*SinIntegral[((b - d)*(c + d*x))/d])/(2*b^3*d^2) + ((2*b*c*d*Cos[a - (b*c)/d] - (b^2*c^2 - 2*d^2)*Sin[a - (b*c)/d])*SinIntegral[((b + d)*(c + d*x))/d])/(2*b^3*d^2)} *)
+{x^1*Sin[a + b*x]*CosIntegral[c + d*x], x, 24, -((c*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b*d)) - (x*Cos[a + b*x]*CosIntegral[c + d*x])/b - (c*Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b*d) - (CosIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(2*b^2) - (CosIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(2*b^2) + (CosIntegral[c + d*x]*Sin[a + b*x])/b^2 + Sin[a - c + (b - d)*x]/(2*b*(b - d)) + Sin[a + c + (b + d)*x]/(2*b*(b + d)) - (Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b^2) + (c*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b*d) - (Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b^2) + (c*Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b*d)}
+{x^0*Sin[a + b*x]*CosIntegral[c + d*x], x, 9, (Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b) - (Cos[a + b*x]*CosIntegral[c + d*x])/b + (Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b) - (Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b) - (Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b)}
+{Sin[a + b*x]*CosIntegral[c + d*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(CosIntegral[c + d*x]*Sin[a + b*x])/x, x]}
+
+
+(* {x^2*Cos[a + b*x]*CosIntegral[c + d*x], x, 46, -((c*Cos[a - c + (b - d)*x])/(2*b*(b - d)*d)) + (x*Cos[a - c + (b - d)*x])/(2*b*(b - d)) - (c*Cos[a + c + (b + d)*x])/(2*b*d*(b + d)) + (x*Cos[a + c + (b + d)*x])/(2*b*(b + d)) + (CosIntegral[((b - d)*(c + d*x))/d]*(2*b*c*d*Cos[a - (b*c)/d] - (b^2*c^2 - 2*d^2)*Sin[a - (b*c)/d]))/(2*b^3*d^2) + (CosIntegral[((b + d)*(c + d*x))/d]*(2*b*c*d*Cos[a - (b*c)/d] - (b^2*c^2 - 2*d^2)*Sin[a - (b*c)/d]))/(2*b^3*d^2) + (CosIntegral[c + d*x]*(2*b*x*Cos[a + b*x] - (2 - b^2*x^2)*Sin[a + b*x]))/b^3 - Sin[a - c + (b - d)*x]/(2*b*(b - d)^2) - Sin[a - c + (b - d)*x]/(b^2*(b - d)) - Sin[a + c + (b + d)*x]/(2*b*(b + d)^2) - Sin[a + c + (b + d)*x]/(b^2*(b + d)) - (((b^2*c^2 - 2*d^2)*Cos[a - (b*c)/d] + 2*b*c*d*Sin[a - (b*c)/d])*SinIntegral[((b - d)*(c + d*x))/d])/(2*b^3*d^2) - (((b^2*c^2 - 2*d^2)*Cos[a - (b*c)/d] + 2*b*c*d*Sin[a - (b*c)/d])*SinIntegral[((b + d)*(c + d*x))/d])/(2*b^3*d^2)} *)
+{x^1*Cos[a + b*x]*CosIntegral[c + d*x], x, 24, Cos[a - c + (b - d)*x]/(2*b*(b - d)) + Cos[a + c + (b + d)*x]/(2*b*(b + d)) - (Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b^2) + (Cos[a + b*x]*CosIntegral[c + d*x])/b^2 - (Cos[a - (b*c)/d]*CosIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b^2) + (c*CosIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(2*b*d) + (c*CosIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(2*b*d) + (x*CosIntegral[c + d*x]*Sin[a + b*x])/b + (c*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b*d) + (Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b^2) + (c*Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b*d) + (Sin[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b^2)}
+{x^0*Cos[a + b*x]*CosIntegral[c + d*x], x, 9, -((CosIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(2*b)) - (CosIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x]*Sin[a - (b*c)/d])/(2*b) + (CosIntegral[c + d*x]*Sin[a + b*x])/b - (Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b) - (Cos[a - (b*c)/d]*SinIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b)}
+{Cos[a + b*x]*CosIntegral[c + d*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Cos[a + b*x]*CosIntegral[c + d*x])/x, x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.5 Hyperbolic integral functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.5 Hyperbolic integral functions.m
new file mode 100644
index 00000000..6a99ab52
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.5 Hyperbolic integral functions.m	
@@ -0,0 +1,276 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration Problems Involving Hyperbolic Integral Functions*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Hyperbolic sine integral function*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m SinhIntegral[b x]^n*)
+
+
+{x^m*SinhIntegral[b*x], x, 5, -((x^m*Gamma[1 + m, (-b)*x])/(((-b)*x)^m*(2*b*(1 + m)))) - (x^m*Gamma[1 + m, b*x])/((b*x)^m*(2*b*(1 + m))) + (x^(1 + m)*SinhIntegral[b*x])/(1 + m)}
+
+{x^3*SinhIntegral[b*x], x, 6, -((3*x*Cosh[b*x])/(2*b^3)) - (x^3*Cosh[b*x])/(4*b) + (3*Sinh[b*x])/(2*b^4) + (3*x^2*Sinh[b*x])/(4*b^2) + (1/4)*x^4*SinhIntegral[b*x]}
+{x^2*SinhIntegral[b*x], x, 5, -((2*Cosh[b*x])/(3*b^3)) - (x^2*Cosh[b*x])/(3*b) + (2*x*Sinh[b*x])/(3*b^2) + (1/3)*x^3*SinhIntegral[b*x]}
+{x^1*SinhIntegral[b*x], x, 4, -((x*Cosh[b*x])/(2*b)) + Sinh[b*x]/(2*b^2) + (1/2)*x^2*SinhIntegral[b*x]}
+{x^0*SinhIntegral[b*x], x, 1, -(Cosh[b*x]/b) + x*SinhIntegral[b*x]}
+{SinhIntegral[b*x]/x^1, x, 1, (1/2)*b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, (-b)*x] + (1/2)*b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, b*x]}
+{SinhIntegral[b*x]/x^2, x, 4, b*CoshIntegral[b*x] - Sinh[b*x]/x - SinhIntegral[b*x]/x}
+{SinhIntegral[b*x]/x^3, x, 5, -((b*Cosh[b*x])/(4*x)) - Sinh[b*x]/(4*x^2) + (1/4)*b^2*SinhIntegral[b*x] - SinhIntegral[b*x]/(2*x^2)}
+
+
+{x^m*SinhIntegral[b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[x^m*SinhIntegral[b*x]^2, x]}
+
+{x^3*SinhIntegral[b*x]^2, x, 19, x^2/(2*b^2) - (3*CoshIntegral[2*b*x])/(2*b^4) + (3*Log[x])/(2*b^4) - (x*Cosh[b*x]*Sinh[b*x])/b^3 + (2*Sinh[b*x]^2)/b^4 + (x^2*Sinh[b*x]^2)/(4*b^2) - (3*x*Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b^3 - (x^3*Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/(2*b) + (3*Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b^4 + (3*x^2*Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/(2*b^2) + (1/4)*x^4*SinhIntegral[b*x]^2}
+{x^2*SinhIntegral[b*x]^2, x, 15, (5*x)/(6*b^2) - (5*Cosh[b*x]*Sinh[b*x])/(6*b^3) + (x*Sinh[b*x]^2)/(3*b^2) - (4*Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/(3*b^3) - (2*x^2*Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/(3*b) + (4*x*Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/(3*b^2) + (1/3)*x^3*SinhIntegral[b*x]^2 + (2*SinhIntegral[2*b*x])/(3*b^3)}
+{x^1*SinhIntegral[b*x]^2, x, 10, -(CoshIntegral[2*b*x]/(2*b^2)) + Log[x]/(2*b^2) + Sinh[b*x]^2/(2*b^2) - (x*Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b + (Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b^2 + (1/2)*x^2*SinhIntegral[b*x]^2}
+{x^0*SinhIntegral[b*x]^2, x, 6, -((2*Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b) + x*SinhIntegral[b*x]^2 + SinhIntegral[2*b*x]/b}
+{SinhIntegral[b*x]^2/x^1, x, 0, CannotIntegrate[SinhIntegral[b*x]^2/x, x]}
+{SinhIntegral[b*x]^2/x^2, x, 0, CannotIntegrate[SinhIntegral[b*x]^2/x^2, x]}
+{SinhIntegral[b*x]^2/x^3, x, 0, CannotIntegrate[SinhIntegral[b*x]^2/x^3, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m SinhIntegral[a+b x]^n*)
+
+
+{x^m*SinhIntegral[a + b*x], x, 1, -((b*CannotIntegrate[(x^(1 + m)*Sinh[a + b*x])/(a + b*x), x])/(1 + m)) + (x^(1 + m)*SinhIntegral[a + b*x])/(1 + m)}
+
+{x^3*SinhIntegral[a + b*x], x, 14, (a*Cosh[a + b*x])/(2*b^4) + (a^3*Cosh[a + b*x])/(4*b^4) - (3*x*Cosh[a + b*x])/(2*b^3) - (a^2*x*Cosh[a + b*x])/(4*b^3) + (a*x^2*Cosh[a + b*x])/(4*b^2) - (x^3*Cosh[a + b*x])/(4*b) + (3*Sinh[a + b*x])/(2*b^4) + (a^2*Sinh[a + b*x])/(4*b^4) - (a*x*Sinh[a + b*x])/(2*b^3) + (3*x^2*Sinh[a + b*x])/(4*b^2) - (a^4*SinhIntegral[a + b*x])/(4*b^4) + (1/4)*x^4*SinhIntegral[a + b*x]}
+{x^2*SinhIntegral[a + b*x], x, 10, -((2*Cosh[a + b*x])/(3*b^3)) - (a^2*Cosh[a + b*x])/(3*b^3) + (a*x*Cosh[a + b*x])/(3*b^2) - (x^2*Cosh[a + b*x])/(3*b) - (a*Sinh[a + b*x])/(3*b^3) + (2*x*Sinh[a + b*x])/(3*b^2) + (a^3*SinhIntegral[a + b*x])/(3*b^3) + (1/3)*x^3*SinhIntegral[a + b*x]}
+{x^1*SinhIntegral[a + b*x], x, 7, (a*Cosh[a + b*x])/(2*b^2) - (x*Cosh[a + b*x])/(2*b) + Sinh[a + b*x]/(2*b^2) - (a^2*SinhIntegral[a + b*x])/(2*b^2) + (1/2)*x^2*SinhIntegral[a + b*x]}
+{x^0*SinhIntegral[a + b*x], x, 1, -(Cosh[a + b*x]/b) + ((a + b*x)*SinhIntegral[a + b*x])/b}
+{SinhIntegral[a + b*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[SinhIntegral[a + b*x]/x, x]}
+{SinhIntegral[a + b*x]/x^2, x, 7, (b*CoshIntegral[b*x]*Sinh[a])/a + (b*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x])/a - (b*SinhIntegral[a + b*x])/a - SinhIntegral[a + b*x]/x}
+{SinhIntegral[a + b*x]/x^3, x, 11, (b^2*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x])/(2*a) - (b^2*CoshIntegral[b*x]*Sinh[a])/(2*a^2) - (b*Sinh[a + b*x])/(2*a*x) - (b^2*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x])/(2*a^2) + (b^2*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x])/(2*a) + (b^2*SinhIntegral[a + b*x])/(2*a^2) - SinhIntegral[a + b*x]/(2*x^2)}
+
+
+{x^m*SinhIntegral[a + b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[x^m*SinhIntegral[a + b*x]^2, x]}
+
+{x^2*SinhIntegral[a + b*x]^2, x, 39, (2*x)/(3*b^2) - (a*Cosh[2*a + 2*b*x])/(3*b^3) + (x*Cosh[2*a + 2*b*x])/(6*b^2) + (a*CoshIntegral[2*a + 2*b*x])/b^3 - (a*Log[a + b*x])/b^3 - (2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(3*b^3) - Sinh[2*a + 2*b*x]/(12*b^3) - (4*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/(3*b^3) - (2*a^2*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/(3*b^3) + (2*a*x*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/(3*b^2) - (2*x^2*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/(3*b) - (2*a*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/(3*b^3) + (4*x*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/(3*b^2) + (a^2*(a + b*x)*SinhIntegral[a + b*x]^2)/(3*b^3) - (a*x*(a + b*x)*SinhIntegral[a + b*x]^2)/(3*b^2) + (x^2*(a + b*x)*SinhIntegral[a + b*x]^2)/(3*b) + (2*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/(3*b^3) + (a^2*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/b^3}
+{x^1*SinhIntegral[a + b*x]^2, x, 17, Cosh[2*a + 2*b*x]/(4*b^2) - CoshIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b^2) + Log[a + b*x]/(2*b^2) + (a*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b^2 - (x*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b + (Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b^2 - (a*(a + b*x)*SinhIntegral[a + b*x]^2)/(2*b^2) + (x*(a + b*x)*SinhIntegral[a + b*x]^2)/(2*b) - (a*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/b^2}
+{x^0*SinhIntegral[a + b*x]^2, x, 5, -((2*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b) + ((a + b*x)*SinhIntegral[a + b*x]^2)/b + SinhIntegral[2*a + 2*b*x]/b}
+{SinhIntegral[a + b*x]^2/x^1, x, 0, CannotIntegrate[SinhIntegral[a + b*x]^2/x, x]}
+{SinhIntegral[a + b*x]^2/x^2, x, 0, CannotIntegrate[SinhIntegral[a + b*x]^2/x^2, x]}
+{SinhIntegral[a + b*x]^2/x^3, x, 0, CannotIntegrate[SinhIntegral[a + b*x]^2/x^3, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m SinhIntegral[d (a+b Log[c x^n])]*)
+
+
+{x^2*SinhIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 7, (x^3*ExpIntegralEi[((3 - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(6*E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)) - (x^3*ExpIntegralEi[((3 + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(6*E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)) + (x^3*SinhIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])])/3}
+{x^1*SinhIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 7, (x^2*ExpIntegralEi[((2 - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(4*E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)) - (x^2*ExpIntegralEi[((2 + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(4*E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)) + (x^2*SinhIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])])/2}
+{x^0*SinhIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 7, (x*ExpIntegralEi[((1 - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(2*E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)) - (x*ExpIntegralEi[((1 + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(2*E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)) + x*SinhIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]}
+{SinhIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^1, x, 3, -(Cosh[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(b*d*n)) + ((a + b*Log[c*x^n])*SinhIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])])/(b*n)}
+{SinhIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^2, x, 7, (E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)*ExpIntegralEi[-(((1 - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))])/(2*x) - (E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)*ExpIntegralEi[-(((1 + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))])/(2*x) - SinhIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x}
+{SinhIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^3, x, 7, (E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*ExpIntegralEi[-(((2 - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))])/(4*x^2) - (E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*ExpIntegralEi[-(((2 + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))])/(4*x^2) - SinhIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(2*x^2)}
+
+
+{(e*x)^m*SinhIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 7, (x*(e*x)^m*ExpIntegralEi[((1 + m - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(2*E^((a*(1 + m))/(b*n))*(1 + m)*(c*x^n)^((1 + m)/n)) - (x*(e*x)^m*ExpIntegralEi[((1 + m + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(2*E^((a*(1 + m))/(b*n))*(1 + m)*(c*x^n)^((1 + m)/n)) + ((e*x)^(1 + m)*SinhIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])])/(e*(1 + m))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Hyper[b x] SinhIntegral[b x]^n*)
+
+
+{Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x]/x^3, x, 14, b^2*CoshIntegral[2*b*x] - (b*Cosh[b*x]*Sinh[b*x])/(2*x) - Sinh[b*x]^2/(4*x^2) - (b*Sinh[2*b*x])/(4*x) - (b*Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/(2*x) - (Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/(2*x^2) + (1/4)*b^2*SinhIntegral[b*x]^2}
+{Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x]/x^2, x, 5, b*CannotIntegrate[(Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/x, x] - Sinh[b*x]^2/x - (Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/x + b*SinhIntegral[2*b*x]}
+{Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x]/x, x, 1, (1/2)*SinhIntegral[b*x]^2}
+{Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x], x, 5, (Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b - SinhIntegral[2*b*x]/(2*b)}
+{x*Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x], x, 9, CoshIntegral[2*b*x]/(2*b^2) - Log[x]/(2*b^2) - Sinh[b*x]^2/(2*b^2) + (x*Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b - (Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b^2}
+{x^2*Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x], x, 14, -((5*x)/(4*b^2)) + (5*Cosh[b*x]*Sinh[b*x])/(4*b^3) - (x*Sinh[b*x]^2)/(2*b^2) + (2*Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b^3 + (x^2*Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b - (2*x*Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b^2 - SinhIntegral[2*b*x]/b^3}
+{x^3*Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x], x, 18, -(x^2/b^2) + (3*CoshIntegral[2*b*x])/b^4 - (3*Log[x])/b^4 + (2*x*Cosh[b*x]*Sinh[b*x])/b^3 - (4*Sinh[b*x]^2)/b^4 - (x^2*Sinh[b*x]^2)/(2*b^2) + (6*x*Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b^3 + (x^3*Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b - (6*Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b^4 - (3*x^2*Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b^2}
+
+
+{Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x]/x^3, x, 12, -((b*Cosh[2*b*x])/(4*x)) + (1/2)*b^2*CannotIntegrate[(Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/x, x] - (b*Sinh[b*x]^2)/(2*x) - Sinh[2*b*x]/(8*x^2) - (Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/(2*x^2) - (b*Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/(2*x) + b^2*SinhIntegral[2*b*x]}
+{Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x]/x^2, x, 7, b*CoshIntegral[2*b*x] - Sinh[2*b*x]/(2*x) - (Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/x + (1/2)*b*SinhIntegral[b*x]^2}
+{Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x]/x, x, 0, CannotIntegrate[(Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/x, x]}
+{Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x], x, 5, -(CoshIntegral[2*b*x]/(2*b)) + Log[x]/(2*b) + (Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b}
+{x*Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x], x, 9, x/(2*b) - (Cosh[b*x]*Sinh[b*x])/(2*b^2) - (Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b^2 + (x*Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b + SinhIntegral[2*b*x]/(2*b^2)}
+{x^2*Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x], x, 13, x^2/(4*b) - CoshIntegral[2*b*x]/b^3 + Log[x]/b^3 - (x*Cosh[b*x]*Sinh[b*x])/(2*b^2) + (5*Sinh[b*x]^2)/(4*b^3) - (2*x*Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b^2 + (2*Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b^3 + (x^2*Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b}
+{x^3*Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x], x, 20, (4*x)/b^3 + x^3/(6*b) - (4*Cosh[b*x]*Sinh[b*x])/b^4 - (x^2*Cosh[b*x]*Sinh[b*x])/(2*b^2) + (2*x*Sinh[b*x]^2)/b^3 - (6*Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b^4 - (3*x^2*Cosh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b^2 + (6*x*Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b^3 + (x^3*Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x])/b + (3*SinhIntegral[2*b*x])/b^4}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Hyper[b x] SinhIntegral[d x]^n*)
+
+
+{Sinh[5*x]*SinhIntegral[2*x], x, 6, (1/5)*Cosh[5*x]*SinhIntegral[2*x] + (1/10)*SinhIntegral[3*x] - (1/10)*SinhIntegral[7*x]}
+
+
+{Cosh[5*x]*SinhIntegral[2*x], x, 6, (1/10)*CoshIntegral[3*x] - (1/10)*CoshIntegral[7*x] + (1/5)*Sinh[5*x]*SinhIntegral[2*x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Hyper[a+b x] SinhIntegral[a+b x]^n*)
+
+
+(* {x^3*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x], x, 32, (7*a*x)/(4*b^3) - x^2/b^2 + (3*Cosh[a + b*x]^2)/b^4 - (a^2*Cosh[a + b*x]^2)/(2*b^4) - (3*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/b^4 + (3*a^2*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^4) + (3*Log[a + b*x])/b^4 - (3*a^2*Log[a + b*x])/(2*b^4) - (7*a*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(4*b^4) + (2*x*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b^3 - Sinh[a + b*x]^2/b^4 - (a*x*Sinh[a + b*x]^2)/(2*b^3) + (x^2*Sinh[a + b*x]^2)/(2*b^2) + (6*x*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b^3 - (x^3*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b - (6*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b^4 + (3*x^2*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b^2 + (3*a*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/b^4 - (a^3*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^4)} *)
+{x^2*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x], x, 21, -(x/b^2) + (a*Cosh[2*a + 2*b*x])/(4*b^3) - (x*Cosh[2*a + 2*b*x])/(4*b^2) - (a*CoshIntegral[2*a + 2*b*x])/b^3 + (a*Log[a + b*x])/b^3 + (Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b^3 + Sinh[2*a + 2*b*x]/(8*b^3) + (2*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b^3 + (x^2*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b - (2*x*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b^2 - SinhIntegral[2*a + 2*b*x]/b^3 - (a^2*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^3)}
+{x^1*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x], x, 11, -(Cosh[2*a + 2*b*x]/(4*b^2)) + CoshIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b^2) - Log[a + b*x]/(2*b^2) + (x*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b - (Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b^2 + (a*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^2)}
+{x^0*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x], x, 4, (Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b - SinhIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b)}
+{Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/x, x]}
+
+
+(* {x^3*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x], x, 32, (4*x)/b^3 - (a^2*x)/(2*b^3) + (a*x^2)/(4*b^2) - x^3/(6*b) - (3*a*Cosh[a + b*x]^2)/(2*b^4) + (3*a*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/b^4 - (a^3*CosIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^4) - (3*a*Log[a + b*x])/b^4 + (a^3*Log[a + b*x])/(2*b^4) - (4*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b^4 + (a^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b^4) - (a*x*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b^3) + (x^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b^2) + (a*Sinh[a + b*x]^2)/(4*b^4) - (2*x*Sinh[a + b*x]^2)/b^3 - (6*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b^4 + (3*x^2*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b^2 - (6*x*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b^3 + (x^3*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b + (3*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/b^4 - (3*a^2*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^4)} *)
+{x^2*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x], x, 21, -((a*x)/(2*b^2)) + x^2/(4*b) + Cosh[2*a + 2*b*x]/(2*b^3) - CoshIntegral[2*a + 2*b*x]/b^3 - (a^2*CoshIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^3) + Log[a + b*x]/b^3 + (a^2*Log[a + b*x])/(2*b^3) + (a*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b^3) - (x*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b^2) + Sinh[a + b*x]^2/(4*b^3) - (2*x*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b^2 + (2*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b^3 + (x^2*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b - (a*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/b^3}
+{x^1*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x], x, 12, x/(2*b) + (a*CoshIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^2) - (a*Log[a + b*x])/(2*b^2) - (Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b^2) - (Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b^2 + (x*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b + SinhIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b^2)}
+{x^0*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x], x, 4, -(CoshIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b)) + Log[a + b*x]/(2*b) + (Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/b}
+{Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x])/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Hyper[a+b x] SinhIntegral[c+d x]^n*)
+
+
+(* {x^2*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x], x, 46, -((c*Cosh[a - c + (b - d)*x])/(2*b*(b - d)*d)) + (x*Cosh[a - c + (b - d)*x])/(2*b*(b - d)) + (c*Cosh[a + c + (b + d)*x])/(2*b*d*(b + d)) - (x*Cosh[a + c + (b + d)*x])/(2*b*(b + d)) + (CoshIntegral[((b - d)*(c + d*x))/d]*(2*b*c*d*Cosh[a - (b*c)/d] + (b^2*c^2 + 2*d^2)*Sinh[a - (b*c)/d]))/(2*b^3*d^2) - (CoshIntegral[((b + d)*(c + d*x))/d]*(2*b*c*d*Cosh[a - (b*c)/d] + (b^2*c^2 + 2*d^2)*Sinh[a - (b*c)/d]))/(2*b^3*d^2) - Sinh[a - c + (b - d)*x]/(2*b*(b - d)^2) - Sinh[a - c + (b - d)*x]/(b^2*(b - d)) + Sinh[a + c + (b + d)*x]/(2*b*(b + d)^2) + Sinh[a + c + (b + d)*x]/(b^2*(b + d)) + (((2 + b^2*x^2)*Cosh[a + b*x] - 2*b*x*Sinh[a + b*x])*SinhIntegral[c + d*x])/b^3 + (((b^2*c^2 + 2*d^2)*Cosh[a - (b*c)/d] + 2*b*c*d*Sinh[a - (b*c)/d])*SinhIntegral[((b - d)*(c + d*x))/d])/(2*b^3*d^2) - (((b^2*c^2 + 2*d^2)*Cosh[a - (b*c)/d] + 2*b*c*d*Sinh[a - (b*c)/d])*SinhIntegral[((b + d)*(c + d*x))/d])/(2*b^3*d^2)} *)
+{x^1*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x], x, 24, Cosh[a - c + (b - d)*x]/(2*b*(b - d)) - Cosh[a + c + (b + d)*x]/(2*b*(b + d)) - (Cosh[a - (b*c)/d]*CoshIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b^2) + (Cosh[a - (b*c)/d]*CoshIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b^2) - (c*CoshIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x]*Sinh[a - (b*c)/d])/(2*b*d) + (c*CoshIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x]*Sinh[a - (b*c)/d])/(2*b*d) - (c*Cosh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b*d) - (Sinh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b^2) + (x*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x])/b - (Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x])/b^2 + (c*Cosh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b*d) + (Sinh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b^2)}
+{x^0*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x], x, 9, (CoshIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x]*Sinh[a - (b*c)/d])/(2*b) - (CoshIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x]*Sinh[a - (b*c)/d])/(2*b) + (Cosh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b) + (Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x])/b - (Cosh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b)}
+{Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x])/x, x]}
+
+
+(* {x^2*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x], x, 46, -(Cosh[a - c + (b - d)*x]/(2*b*(b - d)^2)) - Cosh[a - c + (b - d)*x]/(b^2*(b - d)) + Cosh[a + c + (b + d)*x]/(2*b*(b + d)^2) + Cosh[a + c + (b + d)*x]/(b^2*(b + d)) + (CoshIntegral[((b - d)*(c + d*x))/d]*((b^2*c^2 + 2*d^2)*Cosh[a - (b*c)/d] + 2*b*c*d*Sinh[a - (b*c)/d]))/(2*b^3*d^2) - (CoshIntegral[((b + d)*(c + d*x))/d]*((b^2*c^2 + 2*d^2)*Cosh[a - (b*c)/d] + 2*b*c*d*Sinh[a - (b*c)/d]))/(2*b^3*d^2) - (c*Sinh[a - c + (b - d)*x])/(2*b*(b - d)*d) + (x*Sinh[a - c + (b - d)*x])/(2*b*(b - d)) + (c*Sinh[a + c + (b + d)*x])/(2*b*d*(b + d)) - (x*Sinh[a + c + (b + d)*x])/(2*b*(b + d)) - ((2*b*x*Cosh[a + b*x] - (2 + b^2*x^2)*Sinh[a + b*x])*SinhIntegral[c + d*x])/b^3 + ((2*b*c*d*Cosh[a - (b*c)/d] + (b^2*c^2 + 2*d^2)*Sinh[a - (b*c)/d])*SinhIntegral[((b - d)*(c + d*x))/d])/(2*b^3*d^2) - ((2*b*c*d*Cosh[a - (b*c)/d] + (b^2*c^2 + 2*d^2)*Sinh[a - (b*c)/d])*SinhIntegral[((b + d)*(c + d*x))/d])/(2*b^3*d^2)} *)
+{x^1*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x], x, 24, -((c*Cosh[a - (b*c)/d]*CoshIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b*d)) + (c*Cosh[a - (b*c)/d]*CoshIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b*d) - (CoshIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x]*Sinh[a - (b*c)/d])/(2*b^2) + (CoshIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x]*Sinh[a - (b*c)/d])/(2*b^2) + Sinh[a - c + (b - d)*x]/(2*b*(b - d)) - Sinh[a + c + (b + d)*x]/(2*b*(b + d)) - (Cosh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b^2) - (c*Sinh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b*d) - (Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x])/b^2 + (x*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x])/b + (Cosh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b^2) + (c*Sinh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b*d)}
+{x^0*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x], x, 9, (Cosh[a - (b*c)/d]*CoshIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b) - (Cosh[a - (b*c)/d]*CoshIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b) + (Sinh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b) + (Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x])/b - (Sinh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b)}
+{Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x])/x, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Hyperbolic cosine integral function*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m CoshIntegral[b x]^n*)
+
+
+{x^m*CoshIntegral[b*x], x, 5, (x^(1 + m)*CoshIntegral[b*x])/(1 + m) - (x^m*Gamma[1 + m, (-b)*x])/(((-b)*x)^m*(2*b*(1 + m))) + (x^m*Gamma[1 + m, b*x])/((b*x)^m*(2*b*(1 + m)))}
+
+{x^3*CoshIntegral[b*x], x, 6, (3*Cosh[b*x])/(2*b^4) + (3*x^2*Cosh[b*x])/(4*b^2) + (1/4)*x^4*CoshIntegral[b*x] - (3*x*Sinh[b*x])/(2*b^3) - (x^3*Sinh[b*x])/(4*b)}
+{x^2*CoshIntegral[b*x], x, 5, (2*x*Cosh[b*x])/(3*b^2) + (1/3)*x^3*CoshIntegral[b*x] - (2*Sinh[b*x])/(3*b^3) - (x^2*Sinh[b*x])/(3*b)}
+{x^1*CoshIntegral[b*x], x, 4, Cosh[b*x]/(2*b^2) + (1/2)*x^2*CoshIntegral[b*x] - (x*Sinh[b*x])/(2*b)}
+{x^0*CoshIntegral[b*x], x, 1, x*CoshIntegral[b*x] - Sinh[b*x]/b}
+{CoshIntegral[b*x]/x^1, x, 1, (-(1/2))*b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, (-b)*x] + (1/2)*b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, b*x] + EulerGamma*Log[x] + (1/2)*Log[b*x]^2}
+{CoshIntegral[b*x]/x^2, x, 4, -(Cosh[b*x]/x) - CoshIntegral[b*x]/x + b*SinhIntegral[b*x]}
+{CoshIntegral[b*x]/x^3, x, 5, -(Cosh[b*x]/(4*x^2)) + (1/4)*b^2*CoshIntegral[b*x] - CoshIntegral[b*x]/(2*x^2) - (b*Sinh[b*x])/(4*x)}
+
+
+{x^m*CoshIntegral[b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[x^m*CoshIntegral[b*x]^2, x]}
+
+{x^3*CoshIntegral[b*x]^2, x, 19, -(x^2/(4*b^2)) + (3*Cosh[b*x]^2)/(8*b^4) + (3*Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x])/b^4 + (3*x^2*Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x])/(2*b^2) + (1/4)*x^4*CoshIntegral[b*x]^2 - (3*CoshIntegral[2*b*x])/(2*b^4) - (3*Log[x])/(2*b^4) - (x*Cosh[b*x]*Sinh[b*x])/b^3 - (3*x*CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/b^3 - (x^3*CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/(2*b) + (13*Sinh[b*x]^2)/(8*b^4) + (x^2*Sinh[b*x]^2)/(4*b^2)}
+{x^2*CoshIntegral[b*x]^2, x, 15, -(x/(2*b^2)) + (4*x*Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x])/(3*b^2) + (1/3)*x^3*CoshIntegral[b*x]^2 - (5*Cosh[b*x]*Sinh[b*x])/(6*b^3) - (4*CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/(3*b^3) - (2*x^2*CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/(3*b) + (x*Sinh[b*x]^2)/(3*b^2) + (2*SinhIntegral[2*b*x])/(3*b^3)}
+{x^1*CoshIntegral[b*x]^2, x, 10, (Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x])/b^2 + (1/2)*x^2*CoshIntegral[b*x]^2 - CoshIntegral[2*b*x]/(2*b^2) - Log[x]/(2*b^2) - (x*CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/b + Sinh[b*x]^2/(2*b^2)}
+{x^0*CoshIntegral[b*x]^2, x, 6, x*CoshIntegral[b*x]^2 - (2*CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/b + SinhIntegral[2*b*x]/b}
+{CoshIntegral[b*x]^2/x^1, x, 0, CannotIntegrate[CoshIntegral[b*x]^2/x, x]}
+{CoshIntegral[b*x]^2/x^2, x, 0, CannotIntegrate[CoshIntegral[b*x]^2/x^2, x]}
+{CoshIntegral[b*x]^2/x^3, x, 0, CannotIntegrate[CoshIntegral[b*x]^2/x^3, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m CoshIntegral[a+b x]^n*)
+
+
+{x^m*CoshIntegral[a + b*x], x, 1, (x^(1 + m)*CoshIntegral[a + b*x])/(1 + m) - (b*CannotIntegrate[(x^(1 + m)*Cosh[a + b*x])/(a + b*x), x])/(1 + m)}
+
+{x^3*CoshIntegral[a + b*x], x, 14, (3*Cosh[a + b*x])/(2*b^4) + (a^2*Cosh[a + b*x])/(4*b^4) - (a*x*Cosh[a + b*x])/(2*b^3) + (3*x^2*Cosh[a + b*x])/(4*b^2) - (a^4*CoshIntegral[a + b*x])/(4*b^4) + (1/4)*x^4*CoshIntegral[a + b*x] + (a*Sinh[a + b*x])/(2*b^4) + (a^3*Sinh[a + b*x])/(4*b^4) - (3*x*Sinh[a + b*x])/(2*b^3) - (a^2*x*Sinh[a + b*x])/(4*b^3) + (a*x^2*Sinh[a + b*x])/(4*b^2) - (x^3*Sinh[a + b*x])/(4*b)}
+{x^2*CoshIntegral[a + b*x], x, 10, -((a*Cosh[a + b*x])/(3*b^3)) + (2*x*Cosh[a + b*x])/(3*b^2) + (a^3*CoshIntegral[a + b*x])/(3*b^3) + (1/3)*x^3*CoshIntegral[a + b*x] - (2*Sinh[a + b*x])/(3*b^3) - (a^2*Sinh[a + b*x])/(3*b^3) + (a*x*Sinh[a + b*x])/(3*b^2) - (x^2*Sinh[a + b*x])/(3*b)}
+{x^1*CoshIntegral[a + b*x], x, 7, Cosh[a + b*x]/(2*b^2) - (a^2*CoshIntegral[a + b*x])/(2*b^2) + (1/2)*x^2*CoshIntegral[a + b*x] + (a*Sinh[a + b*x])/(2*b^2) - (x*Sinh[a + b*x])/(2*b)}
+{x^0*CoshIntegral[a + b*x], x, 1, ((a + b*x)*CoshIntegral[a + b*x])/b - Sinh[a + b*x]/b}
+{CoshIntegral[a + b*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[CoshIntegral[a + b*x]/x, x]}
+{CoshIntegral[a + b*x]/x^2, x, 7, (b*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x])/a - (b*CoshIntegral[a + b*x])/a - CoshIntegral[a + b*x]/x + (b*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x])/a}
+{CoshIntegral[a + b*x]/x^3, x, 11, -((b*Cosh[a + b*x])/(2*a*x)) - (b^2*Cosh[a]*CoshIntegral[b*x])/(2*a^2) + (b^2*CoshIntegral[a + b*x])/(2*a^2) - CoshIntegral[a + b*x]/(2*x^2) + (b^2*CoshIntegral[b*x]*Sinh[a])/(2*a) + (b^2*Cosh[a]*SinhIntegral[b*x])/(2*a) - (b^2*Sinh[a]*SinhIntegral[b*x])/(2*a^2)}
+
+
+{x^m*CoshIntegral[a + b*x]^2, x, 0, CannotIntegrate[x^m*CoshIntegral[a + b*x]^2, x]}
+
+{x^2*CoshIntegral[a + b*x]^2, x, 39, -((2*x)/(3*b^2)) - (a*Cosh[2*a + 2*b*x])/(3*b^3) + (x*Cosh[2*a + 2*b*x])/(6*b^2) - (2*a*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x])/(3*b^3) + (4*x*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x])/(3*b^2) + (a^2*(a + b*x)*CoshIntegral[a + b*x]^2)/(3*b^3) - (a*x*(a + b*x)*CoshIntegral[a + b*x]^2)/(3*b^2) + (x^2*(a + b*x)*CoshIntegral[a + b*x]^2)/(3*b) + (a*CoshIntegral[2*a + 2*b*x])/b^3 + (a*Log[a + b*x])/b^3 - (2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(3*b^3) - (4*CoshIntegral[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(3*b^3) - (2*a^2*CoshIntegral[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(3*b^3) + (2*a*x*CoshIntegral[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(3*b^2) - (2*x^2*CoshIntegral[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(3*b) - Sinh[2*a + 2*b*x]/(12*b^3) + (2*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/(3*b^3) + (a^2*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/b^3}
+{x^1*CoshIntegral[a + b*x]^2, x, 17, Cosh[2*a + 2*b*x]/(4*b^2) + (Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x])/b^2 - (a*(a + b*x)*CoshIntegral[a + b*x]^2)/(2*b^2) + (x*(a + b*x)*CoshIntegral[a + b*x]^2)/(2*b) - CoshIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b^2) - Log[a + b*x]/(2*b^2) + (a*CoshIntegral[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b^2 - (x*CoshIntegral[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b - (a*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/b^2}
+{x^0*CoshIntegral[a + b*x]^2, x, 5, ((a + b*x)*CoshIntegral[a + b*x]^2)/b - (2*CoshIntegral[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b + SinhIntegral[2*a + 2*b*x]/b}
+{CoshIntegral[a + b*x]^2/x^1, x, 0, CannotIntegrate[CoshIntegral[a + b*x]^2/x, x]}
+{CoshIntegral[a + b*x]^2/x^2, x, 0, CannotIntegrate[CoshIntegral[a + b*x]^2/x^2, x]}
+{CoshIntegral[a + b*x]^2/x^3, x, 0, CannotIntegrate[CoshIntegral[a + b*x]^2/x^3, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m CoshIntegral[d (a+b Log[c x^n])]*)
+
+
+{x^2*CoshIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 7, (x^3*CoshIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])])/3 - (x^3*ExpIntegralEi[((3 - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(6*E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)) - (x^3*ExpIntegralEi[((3 + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(6*E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n))}
+{x^1*CoshIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 7, (x^2*CoshIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])])/2 - (x^2*ExpIntegralEi[((2 - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(4*E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)) - (x^2*ExpIntegralEi[((2 + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(4*E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n))}
+{x^0*CoshIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 7, x*CoshIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])] - (x*ExpIntegralEi[((1 - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(2*E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)) - (x*ExpIntegralEi[((1 + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(2*E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1))}
+{CoshIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^1, x, 3, (CoshIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n) - Sinh[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(b*d*n)}
+{CoshIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^2, x, 7, -(CoshIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x) + (E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)*ExpIntegralEi[-(((1 - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))])/(2*x) + (E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)*ExpIntegralEi[-(((1 + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))])/(2*x)}
+{CoshIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^3, x, 7, -CoshIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(2*x^2) + (E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*ExpIntegralEi[-(((2 - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))])/(4*x^2) + (E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*ExpIntegralEi[-(((2 + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))])/(4*x^2)}
+
+
+{(e*x)^m*CoshIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 7, ((e*x)^(1 + m)*CoshIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])])/(e*(1 + m)) - (x*(e*x)^m*ExpIntegralEi[((1 + m - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(2*E^((a*(1 + m))/(b*n))*(1 + m)*(c*x^n)^((1 + m)/n)) - (x*(e*x)^m*ExpIntegralEi[((1 + m + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)])/(2*E^((a*(1 + m))/(b*n))*(1 + m)*(c*x^n)^((1 + m)/n))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Hyper[b x] CoshIntegral[b x]^n*)
+
+
+{Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x]/x^3, x, 14, -(Cosh[b*x]^2/(4*x^2)) - (Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x])/(2*x^2) + (1/4)*b^2*CoshIntegral[b*x]^2 + b^2*CoshIntegral[2*b*x] - (b*Cosh[b*x]*Sinh[b*x])/(2*x) - (b*CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/(2*x) - (b*Sinh[2*b*x])/(4*x)}
+{Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x]/x^2, x, 5, -(Cosh[b*x]^2/x) - (Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x])/x + b*CannotIntegrate[(CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/x, x] + b*SinhIntegral[2*b*x]}
+{Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x]/x, x, 1, (1/2)*CoshIntegral[b*x]^2}
+{Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x], x, 5, (CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/b - SinhIntegral[2*b*x]/(2*b)}
+{x*Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x], x, 9, -((Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x])/b^2) + CoshIntegral[2*b*x]/(2*b^2) + Log[x]/(2*b^2) + (x*CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/b - Sinh[b*x]^2/(2*b^2)}
+{x^2*Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x], x, 14, (3*x)/(4*b^2) - (2*x*Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x])/b^2 + (5*Cosh[b*x]*Sinh[b*x])/(4*b^3) + (2*CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/b^3 + (x^2*CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/b - (x*Sinh[b*x]^2)/(2*b^2) - SinhIntegral[2*b*x]/b^3}
+{x^3*Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x], x, 18, x^2/(2*b^2) - (3*Cosh[b*x]^2)/(4*b^4) - (6*Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x])/b^4 - (3*x^2*Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x])/b^2 + (3*CoshIntegral[2*b*x])/b^4 + (3*Log[x])/b^4 + (2*x*Cosh[b*x]*Sinh[b*x])/b^3 + (6*x*CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/b^3 + (x^3*CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/b - (13*Sinh[b*x]^2)/(4*b^4) - (x^2*Sinh[b*x]^2)/(2*b^2)}
+
+
+{Sinh[b*x]*CoshIntegral[b*x]/x^3, x, 12, -((b*Cosh[b*x]^2)/(2*x)) - (b*Cosh[2*b*x])/(4*x) - (b*Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x])/(2*x) + (1/2)*b^2*CannotIntegrate[(CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/x, x] - (CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/(2*x^2) - Sinh[2*b*x]/(8*x^2) + b^2*SinhIntegral[2*b*x]}
+{Sinh[b*x]*CoshIntegral[b*x]/x^2, x, 7, (1/2)*b*CoshIntegral[b*x]^2 + b*CoshIntegral[2*b*x] - (CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/x - Sinh[2*b*x]/(2*x)}
+{Sinh[b*x]*CoshIntegral[b*x]/x, x, 0, CannotIntegrate[(CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/x, x]}
+{Sinh[b*x]*CoshIntegral[b*x], x, 5, (Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x])/b - CoshIntegral[2*b*x]/(2*b) - Log[x]/(2*b)}
+{x*Sinh[b*x]*CoshIntegral[b*x], x, 9, -(x/(2*b)) + (x*Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x])/b - (Cosh[b*x]*Sinh[b*x])/(2*b^2) - (CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/b^2 + SinhIntegral[2*b*x]/(2*b^2)}
+{x^2*Sinh[b*x]*CoshIntegral[b*x], x, 13, -(x^2/(4*b)) + Cosh[b*x]^2/(4*b^3) + (2*Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x])/b^3 + (x^2*Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x])/b - CoshIntegral[2*b*x]/b^3 - Log[x]/b^3 - (x*Cosh[b*x]*Sinh[b*x])/(2*b^2) - (2*x*CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/b^2 + Sinh[b*x]^2/b^3}
+{x^3*Sinh[b*x]*CoshIntegral[b*x], x, 20, -((5*x)/(2*b^3)) - x^3/(6*b) + (x*Cosh[b*x]^2)/(2*b^3) + (6*x*Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x])/b^3 + (x^3*Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x])/b - (4*Cosh[b*x]*Sinh[b*x])/b^4 - (x^2*Cosh[b*x]*Sinh[b*x])/(2*b^2) - (6*CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/b^4 - (3*x^2*CoshIntegral[b*x]*Sinh[b*x])/b^2 + (3*x*Sinh[b*x]^2)/(2*b^3) + (3*SinhIntegral[2*b*x])/b^4}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Hyper[b x] CoshIntegral[d x]^n*)
+
+
+{Sinh[5*x]*CoshIntegral[2*x], x, 6, (1/5)*Cosh[5*x]*CoshIntegral[2*x] - (1/10)*CoshIntegral[3*x] - (1/10)*CoshIntegral[7*x]}
+
+
+{Cosh[5*x]*CoshIntegral[2*x], x, 6, (1/5)*CoshIntegral[2*x]*Sinh[5*x] - (1/10)*SinhIntegral[3*x] - (1/10)*SinhIntegral[7*x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Hyper[a+b x] CoshIntegral[a+b x]^n*)
+
+
+(* {x^3*Sinh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x], x, 32, -((5*x)/(2*b^3)) - (a^2*x)/(2*b^3) + (a*x^2)/(4*b^2) - x^3/(6*b) - (7*a*Cosh[a + b*x]^2)/(4*b^4) + (x*Cosh[a + b*x]^2)/(2*b^3) + (6*x*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x])/b^3 + (x^3*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x])/b + (3*a*CoshIntegral[2*a + 2*b*x])/b^4 + (a^3*CoshIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^4) + (3*a*Log[a + b*x])/b^4 + (a^3*Log[a + b*x])/(2*b^4) - (4*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b^4 - (a^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b^4) + (a*x*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b^3) - (x^2*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b^2) - (6*CoshIntegral[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b^4 - (3*x^2*CoshIntegral[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b^2 + (3*x*Sinh[a + b*x]^2)/(2*b^3) + (3*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/b^4 + (3*a^2*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^4)} *)
+{x^2*Sinh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x], x, 21, (a*x)/(2*b^2) - x^2/(4*b) + Cosh[a + b*x]^2/(4*b^3) + Cosh[2*a + 2*b*x]/(2*b^3) + (2*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x])/b^3 + (x^2*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x])/b - CoshIntegral[2*a + 2*b*x]/b^3 - (a^2*CoshIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^3) - Log[a + b*x]/b^3 - (a^2*Log[a + b*x])/(2*b^3) + (a*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b^3) - (x*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b^2) - (2*x*CoshIntegral[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b^2 - (a*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/b^3}
+{x^1*Sinh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x], x, 12, -(x/(2*b)) + (x*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x])/b + (a*CoshIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^2) + (a*Log[a + b*x])/(2*b^2) - (Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(2*b^2) - (CoshIntegral[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b^2 + SinhIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b^2)}
+{x^0*Sinh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x], x, 4, (Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x])/b - CoshIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b) - Log[a + b*x]/(2*b)}
+{Sinh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Sinh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x])/x, x]}
+
+
+(* {x^3*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x], x, 32, -((5*a*x)/(4*b^3)) + x^2/(2*b^2) - (15*Cosh[a + b*x]^2)/(4*b^4) - (a^2*Cosh[a + b*x]^2)/(2*b^4) - (6*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x])/b^4 - (3*x^2*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x])/b^2 + (3*CoshIntegral[2*a + 2*b*x])/b^4 + (3*a^2*CoshIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^4) + (3*Log[a + b*x])/b^4 + (3*a^2*Log[a + b*x])/(2*b^4) - (7*a*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/(4*b^4) + (2*x*Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b^3 + (6*x*CoshIntegral[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b^3 + (x^3*CoshIntegral[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b - Sinh[a + b*x]^2/(4*b^4) + (a*x*Sinh[a + b*x]^2)/(2*b^3) - (x^2*Sinh[a + b*x]^2)/(2*b^2) + (3*a*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/b^4 + (a^3*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^4)} *)
+{x^2*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x], x, 21, x/b^2 + (a*Cosh[2*a + 2*b*x])/(4*b^3) - (x*Cosh[2*a + 2*b*x])/(4*b^2) - (2*x*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x])/b^2 - (a*CoshIntegral[2*a + 2*b*x])/b^3 - (a*Log[a + b*x])/b^3 + (Cosh[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b^3 + (2*CoshIntegral[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b^3 + (x^2*CoshIntegral[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b + Sinh[2*a + 2*b*x]/(8*b^3) - SinhIntegral[2*a + 2*b*x]/b^3 - (a^2*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^3)}
+{x^1*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x], x, 11, -(Cosh[2*a + 2*b*x]/(4*b^2)) - (Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x])/b^2 + CoshIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b^2) + Log[a + b*x]/(2*b^2) + (x*CoshIntegral[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b + (a*SinhIntegral[2*a + 2*b*x])/(2*b^2)}
+{x^0*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x], x, 4, (CoshIntegral[a + b*x]*Sinh[a + b*x])/b - SinhIntegral[2*a + 2*b*x]/(2*b)}
+{Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x])/x, x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Hyper[a+b x] CoshIntegral[c+d x]^n*)
+
+
+(* {x^2*Sinh[a + b*x]*CoshIntegral[c + d*x], x, 46, Cosh[a - c + (b - d)*x]/(2*b*(b - d)^2) + Cosh[a - c + (b - d)*x]/(b^2*(b - d)) + Cosh[a + c + (b + d)*x]/(2*b*(b + d)^2) + Cosh[a + c + (b + d)*x]/(b^2*(b + d)) - (CoshIntegral[((b - d)*(c + d*x))/d]*((b^2*c^2 + 2*d^2)*Cosh[a - (b*c)/d] + 2*b*c*d*Sinh[a - (b*c)/d]))/(2*b^3*d^2) - (CoshIntegral[((b + d)*(c + d*x))/d]*((b^2*c^2 + 2*d^2)*Cosh[a - (b*c)/d] + 2*b*c*d*Sinh[a - (b*c)/d]))/(2*b^3*d^2) + (CoshIntegral[c + d*x]*((2 + b^2*x^2)*Cosh[a + b*x] - 2*b*x*Sinh[a + b*x]))/b^3 + (c*Sinh[a - c + (b - d)*x])/(2*b*(b - d)*d) - (x*Sinh[a - c + (b - d)*x])/(2*b*(b - d)) + (c*Sinh[a + c + (b + d)*x])/(2*b*d*(b + d)) - (x*Sinh[a + c + (b + d)*x])/(2*b*(b + d)) - ((2*b*c*d*Cosh[a - (b*c)/d] + (b^2*c^2 + 2*d^2)*Sinh[a - (b*c)/d])*SinhIntegral[((b - d)*(c + d*x))/d])/(2*b^3*d^2) - ((2*b*c*d*Cosh[a - (b*c)/d] + (b^2*c^2 + 2*d^2)*Sinh[a - (b*c)/d])*SinhIntegral[((b + d)*(c + d*x))/d])/(2*b^3*d^2)} *)
+{x^1*Sinh[a + b*x]*CoshIntegral[c + d*x], x, 24, (c*Cosh[a - (b*c)/d]*CoshIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b*d) + (x*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[c + d*x])/b + (c*Cosh[a - (b*c)/d]*CoshIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b*d) + (CoshIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x]*Sinh[a - (b*c)/d])/(2*b^2) + (CoshIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x]*Sinh[a - (b*c)/d])/(2*b^2) - (CoshIntegral[c + d*x]*Sinh[a + b*x])/b^2 - Sinh[a - c + (b - d)*x]/(2*b*(b - d)) - Sinh[a + c + (b + d)*x]/(2*b*(b + d)) + (Cosh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b^2) + (c*Sinh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b*d) + (Cosh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b^2) + (c*Sinh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b*d)}
+{x^0*Sinh[a + b*x]*CoshIntegral[c + d*x], x, 9, -((Cosh[a - (b*c)/d]*CoshIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b)) + (Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[c + d*x])/b - (Cosh[a - (b*c)/d]*CoshIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b) - (Sinh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b) - (Sinh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b)}
+{Sinh[a + b*x]*CoshIntegral[c + d*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(CoshIntegral[c + d*x]*Sinh[a + b*x])/x, x]}
+
+
+(* {x^2*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[c + d*x], x, 46, (c*Cosh[a - c + (b - d)*x])/(2*b*(b - d)*d) - (x*Cosh[a - c + (b - d)*x])/(2*b*(b - d)) + (c*Cosh[a + c + (b + d)*x])/(2*b*d*(b + d)) - (x*Cosh[a + c + (b + d)*x])/(2*b*(b + d)) - (CoshIntegral[((b - d)*(c + d*x))/d]*(2*b*c*d*Cosh[a - (b*c)/d] + (b^2*c^2 + 2*d^2)*Sinh[a - (b*c)/d]))/(2*b^3*d^2) - (CoshIntegral[((b + d)*(c + d*x))/d]*(2*b*c*d*Cosh[a - (b*c)/d] + (b^2*c^2 + 2*d^2)*Sinh[a - (b*c)/d]))/(2*b^3*d^2) - (CoshIntegral[c + d*x]*(2*b*x*Cosh[a + b*x] - (2 + b^2*x^2)*Sinh[a + b*x]))/b^3 + Sinh[a - c + (b - d)*x]/(2*b*(b - d)^2) + Sinh[a - c + (b - d)*x]/(b^2*(b - d)) + Sinh[a + c + (b + d)*x]/(2*b*(b + d)^2) + Sinh[a + c + (b + d)*x]/(b^2*(b + d)) - (((b^2*c^2 + 2*d^2)*Cosh[a - (b*c)/d] + 2*b*c*d*Sinh[a - (b*c)/d])*SinhIntegral[((b - d)*(c + d*x))/d])/(2*b^3*d^2) - (((b^2*c^2 + 2*d^2)*Cosh[a - (b*c)/d] + 2*b*c*d*Sinh[a - (b*c)/d])*SinhIntegral[((b + d)*(c + d*x))/d])/(2*b^3*d^2)} *)
+{x^1*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[c + d*x], x, 24, -(Cosh[a - c + (b - d)*x]/(2*b*(b - d))) - Cosh[a + c + (b + d)*x]/(2*b*(b + d)) + (Cosh[a - (b*c)/d]*CoshIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b^2) - (Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[c + d*x])/b^2 + (Cosh[a - (b*c)/d]*CoshIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b^2) + (c*CoshIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x]*Sinh[a - (b*c)/d])/(2*b*d) + (c*CoshIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x]*Sinh[a - (b*c)/d])/(2*b*d) + (x*CoshIntegral[c + d*x]*Sinh[a + b*x])/b + (c*Cosh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b*d) + (Sinh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b^2) + (c*Cosh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b*d) + (Sinh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b^2)}
+{x^0*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[c + d*x], x, 9, -((CoshIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x]*Sinh[a - (b*c)/d])/(2*b)) - (CoshIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x]*Sinh[a - (b*c)/d])/(2*b) + (CoshIntegral[c + d*x]*Sinh[a + b*x])/b - (Cosh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b - d))/d + (b - d)*x])/(2*b) - (Cosh[a - (b*c)/d]*SinhIntegral[(c*(b + d))/d + (b + d)*x])/(2*b)}
+{Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[c + d*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[(Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[c + d*x])/x, x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.6 Gamma functions.m b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.6 Gamma functions.m
new file mode 100644
index 00000000..0c012015
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.6 Gamma functions.m	
@@ -0,0 +1,417 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration Problems Involving Gamma Functions*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m Gamma[n, b x]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Gamma[n, b x]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>=0*)
+
+
+{Gamma[0, a*x]*x^100, x, 1, (1/101)*x^101*Gamma[0, a*x] - Gamma[101, a*x]/(101*a^101)}
+
+{Gamma[0, a*x]*x^2, x, 1, (1/3)*x^3*Gamma[0, a*x] - Gamma[3, a*x]/(3*a^3)}
+{Gamma[0, a*x]*x^1, x, 1, (1/2)*x^2*Gamma[0, a*x] - Gamma[2, a*x]/(2*a^2)}
+{Gamma[0, a*x]*x^0, x, 1, -(1/(E^(a*x)*a)) + x*Gamma[0, a*x]}
+{Gamma[0, a*x]/x^1, x, 1, a*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, (-a)*x] - EulerGamma*Log[x] - (1/2)*Log[a*x]^2}
+{Gamma[0, a*x]/x^2, x, 1, a*Gamma[-1, a*x] - Gamma[0, a*x]/x}
+{Gamma[0, a*x]/x^3, x, 1, (1/2)*a^2*Gamma[-2, a*x] - Gamma[0, a*x]/(2*x^2)}
+{Gamma[0, a*x]/x^4, x, 1, (1/3)*a^3*Gamma[-3, a*x] - Gamma[0, a*x]/(3*x^3)}
+
+
+{Gamma[1, a*x]*x^3, x, 4, -(6/(E^(a*x)*a^4)) - (6*x)/(E^(a*x)*a^3) - (3*x^2)/(E^(a*x)*a^2) - x^3/(E^(a*x)*a)}
+{Gamma[1, a*x]*x^2, x, 3, -(2/(E^(a*x)*a^3)) - (2*x)/(E^(a*x)*a^2) - x^2/(E^(a*x)*a)}
+{Gamma[1, a*x]*x^1, x, 2, -(1/(E^(a*x)*a^2)) - x/(E^(a*x)*a)}
+{Gamma[1, a*x]*x^0, x, 1, -(1/(E^(a*x)*a))}
+{Gamma[1, a*x]/x^1, x, 1, ExpIntegralEi[(-a)*x]}
+{Gamma[1, a*x]/x^2, x, 2, -(1/(E^(a*x)*x)) - a*ExpIntegralEi[(-a)*x]}
+{Gamma[1, a*x]/x^3, x, 3, -(1/(E^(a*x)*(2*x^2))) + a/(E^(a*x)*(2*x)) + (1/2)*a^2*ExpIntegralEi[(-a)*x]}
+{Gamma[1, a*x]/x^4, x, 4, -(1/(E^(a*x)*(3*x^3))) + a/(E^(a*x)*(6*x^2)) - a^2/(E^(a*x)*(6*x)) - (1/6)*a^3*ExpIntegralEi[(-a)*x]}
+
+
+{Gamma[2, a*x]*x^100, x, 1, (1/101)*x^101*Gamma[2, a*x] - Gamma[103, a*x]/(101*a^101)}
+
+{Gamma[2, a*x]*x^2, x, 1, (1/3)*x^3*Gamma[2, a*x] - Gamma[5, a*x]/(3*a^3)}
+{Gamma[2, a*x]*x^1, x, 1, (1/2)*x^2*Gamma[2, a*x] - Gamma[4, a*x]/(2*a^2)}
+{Gamma[2, a*x]*x^0, x, 1, x*Gamma[2, a*x] - Gamma[3, a*x]/a}
+{Gamma[2, a*x]/x^1, x, 2, -E^(-a*x) + ExpIntegralEi[-a*x]}
+{Gamma[2, a*x]/x^2, x, 1, a/E^(a*x) - Gamma[2, a*x]/x}
+{Gamma[2, a*x]/x^3, x, 1, (1/2)*a^2*Gamma[0, a*x] - Gamma[2, a*x]/(2*x^2)}
+{Gamma[2, a*x]/x^4, x, 1, (1/3)*a^3*Gamma[-1, a*x] - Gamma[2, a*x]/(3*x^3)}
+
+
+{Gamma[3, a*x]*x^100, x, 1, (1/101)*x^101*Gamma[3, a*x] - Gamma[104, a*x]/(101*a^101)}
+
+{Gamma[3, a*x]*x^2, x, 1, (1/3)*x^3*Gamma[3, a*x] - Gamma[6, a*x]/(3*a^3)}
+{Gamma[3, a*x]*x^1, x, 1, (1/2)*x^2*Gamma[3, a*x] - Gamma[5, a*x]/(2*a^2)}
+{Gamma[3, a*x]*x^0, x, 1, x*Gamma[3, a*x] - Gamma[4, a*x]/a}
+{Gamma[3, a*x]/x^1, x, 3, -2/E^(a*x) + 2*ExpIntegralEi[(-a)*x] - Gamma[2, a*x]}
+{Gamma[3, a*x]/x^2, x, 1, a*Gamma[2, a*x] - Gamma[3, a*x]/x}
+{Gamma[3, a*x]/x^3, x, 1, ((1/2)*a^2)/E^(a*x) - Gamma[3, a*x]/(2*x^2)}
+{Gamma[3, a*x]/x^4, x, 1, (1/3)*a^3*Gamma[0, a*x] - Gamma[3, a*x]/(3*x^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{Gamma[-1, a*x]*x^100, x, 1, (1/101)*x^101*Gamma[-1, a*x] - Gamma[100, a*x]/(101*a^101)}
+
+{Gamma[-1, a*x]*x^3, x, 1, (1/4)*x^4*Gamma[-1, a*x] - Gamma[3, a*x]/(4*a^4)}
+{Gamma[-1, a*x]*x^2, x, 1, (1/3)*x^3*Gamma[-1, a*x] - Gamma[2, a*x]/(3*a^3)}
+{Gamma[-1, a*x]*x^1, x, 1, -(1/(E^(a*x)*(2*a^2))) + (1/2)*x^2*Gamma[-1, a*x]}
+{Gamma[-1, a*x]*x^0, x, 1, x*Gamma[-1, a*x] - Gamma[0, a*x]/a}
+{Gamma[-1, a*x]/x^1, x, 2, -Gamma[-1, a*x] - a*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, (-a)*x] + EulerGamma*Log[x] + (1/2)*Log[a*x]^2}
+{Gamma[-1, a*x]/x^2, x, 1, a*Gamma[-2, a*x] - Gamma[-1, a*x]/x}
+{Gamma[-1, a*x]/x^3, x, 1, (1/2)*a^2*Gamma[-3, a*x] - Gamma[-1, a*x]/(2*x^2)}
+{Gamma[-1, a*x]/x^4, x, 1, (1/3)*a^3*Gamma[-4, a*x] - Gamma[-1, a*x]/(3*x^3)}
+
+
+{Gamma[-2, a*x]*x^100, x, 1, (1/101)*x^101*Gamma[-2, a*x] - Gamma[99, a*x]/(101*a^101)}
+
+{Gamma[-2, a*x]*x^3, x, 1, (1/4)*x^4*Gamma[-2, a*x] - Gamma[2, a*x]/(4*a^4)}
+{Gamma[-2, a*x]*x^2, x, 1, -(1/(E^(a*x)*(3*a^3))) + (1/3)*x^3*Gamma[-2, a*x]}
+{Gamma[-2, a*x]*x^1, x, 1, (1/2)*x^2*Gamma[-2, a*x] - Gamma[0, a*x]/(2*a^2)}
+{Gamma[-2, a*x]*x^0, x, 1, x*Gamma[-2, a*x] - Gamma[-1, a*x]/a}
+{Gamma[-2, a*x]/x^1, x, 3, (-(1/2))*Gamma[-2, a*x] + (1/2)*Gamma[-1, a*x] + (1/2)*a*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, (-a)*x] - (1/2)*EulerGamma*Log[x] - (1/4)*Log[a*x]^2}
+{Gamma[-2, a*x]/x^2, x, 1, a*Gamma[-3, a*x] - Gamma[-2, a*x]/x}
+{Gamma[-2, a*x]/x^3, x, 1, (1/2)*a^2*Gamma[-4, a*x] - Gamma[-2, a*x]/(2*x^2)}
+{Gamma[-2, a*x]/x^4, x, 1, (1/3)*a^3*Gamma[-5, a*x] - Gamma[-2, a*x]/(3*x^3)}
+
+
+{Gamma[-3, a*x]*x^100, x, 1, (1/101)*x^101*Gamma[-3, a*x] - Gamma[98, a*x]/(101*a^101)}
+
+{Gamma[-3, a*x]*x^3, x, 1, -(1/(E^(a*x)*(4*a^4))) + (1/4)*x^4*Gamma[-3, a*x]}
+{Gamma[-3, a*x]*x^2, x, 1, (1/3)*x^3*Gamma[-3, a*x] - Gamma[0, a*x]/(3*a^3)}
+{Gamma[-3, a*x]*x^1, x, 1, (1/2)*x^2*Gamma[-3, a*x] - Gamma[-1, a*x]/(2*a^2)}
+{Gamma[-3, a*x]*x^0, x, 1, x*Gamma[-3, a*x] - Gamma[-2, a*x]/a}
+{Gamma[-3, a*x]/x^1, x, 4, (-(1/3))*Gamma[-3, a*x] + (1/6)*Gamma[-2, a*x] - (1/6)*Gamma[-1, a*x] - (1/6)*a*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, (-a)*x] + (1/6)*EulerGamma*Log[x] + (1/12)*Log[a*x]^2}
+{Gamma[-3, a*x]/x^2, x, 1, a*Gamma[-4, a*x] - Gamma[-3, a*x]/x}
+{Gamma[-3, a*x]/x^3, x, 1, (1/2)*a^2*Gamma[-5, a*x] - Gamma[-3, a*x]/(2*x^2)}
+{Gamma[-3, a*x]/x^4, x, 1, (1/3)*a^3*Gamma[-6, a*x] - Gamma[-3, a*x]/(3*x^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Gamma[n/2, b x]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>0*)
+
+
+{Gamma[1/2, a*x]*x^100, x, 1, (1/101)*x^101*Gamma[1/2, a*x] - Gamma[203/2, a*x]/(101*a^101)}
+
+{Gamma[1/2, a*x]*x^2, x, 1, (1/3)*x^3*Gamma[1/2, a*x] - Gamma[7/2, a*x]/(3*a^3)}
+{Gamma[1/2, a*x]*x^1, x, 1, (1/2)*x^2*Gamma[1/2, a*x] - Gamma[5/2, a*x]/(2*a^2)}
+{Gamma[1/2, a*x]*x^0, x, 1, x*Gamma[1/2, a*x] - Gamma[3/2, a*x]/a}
+{Gamma[1/2, a*x]/x^1, x, 1, -4*Sqrt[a*x]*HypergeometricPFQ[{1/2, 1/2}, {3/2, 3/2}, (-a)*x] + Sqrt[Pi]*Log[x]}
+{Gamma[1/2, a*x]/x^2, x, 1, a*Gamma[-(1/2), a*x] - Gamma[1/2, a*x]/x}
+{Gamma[1/2, a*x]/x^3, x, 1, (1/2)*a^2*Gamma[-(3/2), a*x] - Gamma[1/2, a*x]/(2*x^2)}
+{Gamma[1/2, a*x]/x^4, x, 1, (1/3)*a^3*Gamma[-(5/2), a*x] - Gamma[1/2, a*x]/(3*x^3)}
+
+
+{Gamma[3/2, a*x]*x^100, x, 1, (1/101)*x^101*Gamma[3/2, a*x] - Gamma[205/2, a*x]/(101*a^101)}
+
+{Gamma[3/2, a*x]*x^2, x, 1, (1/3)*x^3*Gamma[3/2, a*x] - Gamma[9/2, a*x]/(3*a^3)}
+{Gamma[3/2, a*x]*x^1, x, 1, (1/2)*x^2*Gamma[3/2, a*x] - Gamma[7/2, a*x]/(2*a^2)}
+{Gamma[3/2, a*x]*x^0, x, 1, x*Gamma[3/2, a*x] - Gamma[5/2, a*x]/a}
+{Gamma[3/2, a*x]/x^1, x, 1, (-(4/9))*(a*x)^(3/2)*HypergeometricPFQ[{3/2, 3/2}, {5/2, 5/2}, (-a)*x] + (1/2)*Sqrt[Pi]*Log[x]}
+{Gamma[3/2, a*x]/x^2, x, 1, a*Gamma[1/2, a*x] - Gamma[3/2, a*x]/x}
+{Gamma[3/2, a*x]/x^3, x, 1, (1/2)*a^2*Gamma[-(1/2), a*x] - Gamma[3/2, a*x]/(2*x^2)}
+{Gamma[3/2, a*x]/x^4, x, 1, (1/3)*a^3*Gamma[-(3/2), a*x] - Gamma[3/2, a*x]/(3*x^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m Gamma[n, b x] when m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*Gamma[3, b*x], x, 1, ((d*x)^(1 + m)*Gamma[3, b*x])/(d*(1 + m)) - ((d*x)^m*Gamma[4 + m, b*x])/((b*x)^m*(b*(1 + m)))}
+{(d*x)^m*Gamma[2, b*x], x, 1, ((d*x)^(1 + m)*Gamma[2, b*x])/(d*(1 + m)) - ((d*x)^m*Gamma[3 + m, b*x])/((b*x)^m*(b*(1 + m)))}
+{(d*x)^m*Gamma[1, b*x], x, 1, -(((d*x)^m*Gamma[1 + m, b*x])/((b*x)^m*b))}
+{(d*x)^m*Gamma[0, b*x], x, 1, ((d*x)^(1 + m)*Gamma[0, b*x])/(d*(1 + m)) - ((d*x)^m*Gamma[1 + m, b*x])/((b*x)^m*(b*(1 + m)))}
+{(d*x)^m*Gamma[-1, b*x], x, 1, ((d*x)^(1 + m)*Gamma[-1, b*x])/(d*(1 + m)) - ((d*x)^m*Gamma[m, b*x])/((b*x)^m*(b*(1 + m)))}
+{(d*x)^m*Gamma[-2, b*x], x, 1, ((d*x)^(1 + m)*Gamma[-2, b*x])/(d*(1 + m)) - ((d*x)^m*Gamma[-1 + m, b*x])/((b*x)^m*(b*(1 + m)))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m Gamma[n, b x] when n symbolic*)
+
+
+{x^m*Gamma[n, x], x, 1, (x^(1 + m)*Gamma[n, x])/(1 + m) - Gamma[1 + m + n, x]/(1 + m)}
+{x^m*Gamma[n, b*x], x, 1, (x^(1 + m)*Gamma[n, b*x])/(1 + m) - (x^m*Gamma[1 + m + n, b*x])/((b*x)^m*(b*(1 + m)))}
+{(d*x)^m*Gamma[n, x], x, 1, ((d*x)^(1 + m)*Gamma[n, x])/(d*(1 + m)) - ((d*x)^m*Gamma[1 + m + n, x])/(x^m*(1 + m))}
+{(d*x)^m*Gamma[n, b*x], x, 1, ((d*x)^(1 + m)*Gamma[n, b*x])/(d*(1 + m)) - ((d*x)^m*Gamma[1 + m + n, b*x])/((b*x)^m*(b*(1 + m)))}
+
+
+{Gamma[n, a*x]*x^100, x, 1, (1/101)*x^101*Gamma[n, a*x] - Gamma[101 + n, a*x]/(101*a^101)}
+
+{Gamma[n, a*x]*x^2, x, 1, (1/3)*x^3*Gamma[n, a*x] - Gamma[3 + n, a*x]/(3*a^3)}
+{Gamma[n, a*x]*x^1, x, 1, (1/2)*x^2*Gamma[n, a*x] - Gamma[2 + n, a*x]/(2*a^2)}
+{Gamma[n, a*x]*x^0, x, 1, x*Gamma[n, a*x] - Gamma[1 + n, a*x]/a}
+{Gamma[n, a*x]/x^1, x, 1, -(((a*x)^n*HypergeometricPFQ[{n, n}, {1 + n, 1 + n}, (-a)*x])/n^2) + Gamma[n]*Log[x]}
+{Gamma[n, a*x]/x^2, x, 1, a*Gamma[-1 + n, a*x] - Gamma[n, a*x]/x}
+{Gamma[n, a*x]/x^3, x, 1, (1/2)*a^2*Gamma[-2 + n, a*x] - Gamma[n, a*x]/(2*x^2)}
+{Gamma[n, a*x]/x^4, x, 1, (1/3)*a^3*Gamma[-3 + n, a*x] - Gamma[n, a*x]/(3*x^3)}
+
+
+{Gamma[n, 2*x]*x^100, x, 1, (1/101)*x^101*Gamma[n, 2*x] - Gamma[101 + n, 2*x]/256065421246102339102334047485952}
+
+{Gamma[n, 2*x]*x^2, x, 1, (1/3)*x^3*Gamma[n, 2*x] - (1/24)*Gamma[3 + n, 2*x]}
+{Gamma[n, 2*x]*x^1, x, 1, (1/2)*x^2*Gamma[n, 2*x] - (1/8)*Gamma[2 + n, 2*x]}
+{Gamma[n, 2*x]*x^0, x, 1, x*Gamma[n, 2*x] - (1/2)*Gamma[1 + n, 2*x]}
+{Gamma[n, 2*x]/x^1, x, 1, -((2^n*x^n*HypergeometricPFQ[{n, n}, {1 + n, 1 + n}, -2*x])/n^2) + Gamma[n]*Log[x]}
+{Gamma[n, 2*x]/x^2, x, 1, 2*Gamma[-1 + n, 2*x] - Gamma[n, 2*x]/x}
+{Gamma[n, 2*x]/x^3, x, 1, 2*Gamma[-2 + n, 2*x] - Gamma[n, 2*x]/(2*x^2)}
+{Gamma[n, 2*x]/x^4, x, 1, (8/3)*Gamma[-3 + n, 2*x] - Gamma[n, 2*x]/(3*x^3)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Gamma[n, a+b x]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Gamma[n, a+b x]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>=0*)
+
+
+{(c+ d*x)^3*Gamma[0, a + b*x], x, 8, -(((b*c - a*d)^3*E^(-a - b*x))/(4*b^4)) - ((b*c - a*d)^4*Gamma[0, a + b*x])/(4*b^4*d) + ((c + d*x)^4*Gamma[0, a + b*x])/(4*d) - (d*(b*c - a*d)^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[2, (b*(c + d*x))/d])/(4*b^4) - (d^2*(b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[3, (b*(c + d*x))/d])/(4*b^4) - (d^3*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[4, (b*(c + d*x))/d])/(4*b^4)}
+{(c+ d*x)^2*Gamma[0, a + b*x], x, 7, -(((b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x))/(3*b^3)) - ((b*c - a*d)^3*Gamma[0, a + b*x])/(3*b^3*d) + ((c + d*x)^3*Gamma[0, a + b*x])/(3*d) - (d*(b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[2, (b*(c + d*x))/d])/(3*b^3) - (d^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[3, (b*(c + d*x))/d])/(3*b^3)}
+{(c+ d*x)^1*Gamma[0, a + b*x], x, 6, -(((b*c - a*d)*E^(-a - b*x))/(2*b^2)) - ((b*c - a*d)^2*Gamma[0, a + b*x])/(2*b^2*d) + ((c + d*x)^2*Gamma[0, a + b*x])/(2*d) - (d*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[2, (b*(c + d*x))/d])/(2*b^2)}
+{(c+ d*x)^0*Gamma[0, a + b*x], x, 1, -(E^(-a - b*x)/b) + ((a + b*x)*Gamma[0, a + b*x])/b}
+{Gamma[0, a + b*x]/(c+ d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Gamma[0, a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{Gamma[0, a + b*x]/(c+ d*x)^2, x, 5, (b*Gamma[0, a + b*x])/(d*(b*c - a*d)) - Gamma[0, a + b*x]/(d*(c + d*x)) - (b*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[0, (b*(c + d*x))/d])/(d*(b*c - a*d))}
+{Gamma[0, a + b*x]/(c+ d*x)^3, x, 6, -((b^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-1, (b*(c + d*x))/d])/(2*d^2*(b*c - a*d))) + (b^2*Gamma[0, a + b*x])/(2*d*(b*c - a*d)^2) - Gamma[0, a + b*x]/(2*d*(c + d*x)^2) - (b^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[0, (b*(c + d*x))/d])/(2*d*(b*c - a*d)^2)}
+{Gamma[0, a + b*x]/(c+ d*x)^4, x, 7, -((b^3*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-2, (b*(c + d*x))/d])/(3*d^3*(b*c - a*d))) - (b^3*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-1, (b*(c + d*x))/d])/(3*d^2*(b*c - a*d)^2) + (b^3*Gamma[0, a + b*x])/(3*d*(b*c - a*d)^3) - Gamma[0, a + b*x]/(3*d*(c + d*x)^3) - (b^3*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[0, (b*(c + d*x))/d])/(3*d*(b*c - a*d)^3)}
+
+
+{(c+ d*x)^4*Gamma[1, a + b*x], x, 5, -((24*d^4*E^(-a - b*x))/b^5) - (24*d^3*E^(-a - b*x)*(c + d*x))/b^4 - (12*d^2*E^(-a - b*x)*(c + d*x)^2)/b^3 - (4*d*E^(-a - b*x)*(c + d*x)^3)/b^2 - (E^(-a - b*x)*(c + d*x)^4)/b}
+{(c+ d*x)^3*Gamma[1, a + b*x], x, 4, -((6*d^3*E^(-a - b*x))/b^4) - (6*d^2*E^(-a - b*x)*(c + d*x))/b^3 - (3*d*E^(-a - b*x)*(c + d*x)^2)/b^2 - (E^(-a - b*x)*(c + d*x)^3)/b}
+{(c+ d*x)^2*Gamma[1, a + b*x], x, 3, -((2*d^2*E^(-a - b*x))/b^3) - (2*d*E^(-a - b*x)*(c + d*x))/b^2 - (E^(-a - b*x)*(c + d*x)^2)/b}
+{(c+ d*x)^1*Gamma[1, a + b*x], x, 2, -((d*E^(-a - b*x))/b^2) - (E^(-a - b*x)*(c + d*x))/b}
+{(c+ d*x)^0*Gamma[1, a + b*x], x, 1, -(E^(-a - b*x)/b)}
+{Gamma[1, a + b*x]/(c+ d*x)^1, x, 1, (E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/d}
+{Gamma[1, a + b*x]/(c+ d*x)^2, x, 2, -(E^(-a - b*x)/(d*(c + d*x))) - (b*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/d^2}
+{Gamma[1, a + b*x]/(c+ d*x)^3, x, 3, -(E^(-a - b*x)/(2*d*(c + d*x)^2)) + (b*E^(-a - b*x))/(2*d^2*(c + d*x)) + (b^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(2*d^3)}
+{Gamma[1, a + b*x]/(c+ d*x)^4, x, 4, -(E^(-a - b*x)/(3*d*(c + d*x)^3)) + (b*E^(-a - b*x))/(6*d^2*(c + d*x)^2) - (b^2*E^(-a - b*x))/(6*d^3*(c + d*x)) - (b^3*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/(6*d^4)}
+
+
+{(c+ d*x)^3*Gamma[2, a + b*x], x, 5, ((c + d*x)^4*Gamma[2, a + b*x])/(4*d) + (d^2*(b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[5, (b*(c + d*x))/d])/(4*b^4) - (d^3*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[6, (b*(c + d*x))/d])/(4*b^4)}
+{(c+ d*x)^2*Gamma[2, a + b*x], x, 5, ((c + d*x)^3*Gamma[2, a + b*x])/(3*d) + (d*(b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[4, (b*(c + d*x))/d])/(3*b^3) - (d^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[5, (b*(c + d*x))/d])/(3*b^3)}
+{(c+ d*x)^1*Gamma[2, a + b*x], x, 5, ((c + d*x)^2*Gamma[2, a + b*x])/(2*d) + ((b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[3, (b*(c + d*x))/d])/(2*b^2) - (d*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[4, (b*(c + d*x))/d])/(2*b^2)}
+{(c+ d*x)^0*Gamma[2, a + b*x], x, 1, ((a + b*x)*Gamma[2, a + b*x])/b - Gamma[3, a + b*x]/b}
+{Gamma[2, a + b*x]/(c+ d*x)^1, x, 6, -(E^(-a - b*x)/d) + (E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/d - ((b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/d^2}
+{Gamma[2, a + b*x]/(c+ d*x)^2, x, 5, (b*E^(-a - b*x))/d^2 - (b*(b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[0, (b*(c + d*x))/d])/d^3 - Gamma[2, a + b*x]/(d*(c + d*x))}
+{Gamma[2, a + b*x]/(c+ d*x)^3, x, 5, -((b^2*(b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-1, (b*(c + d*x))/d])/(2*d^4)) + (b^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[0, (b*(c + d*x))/d])/(2*d^3) - Gamma[2, a + b*x]/(2*d*(c + d*x)^2)}
+{Gamma[2, a + b*x]/(c+ d*x)^4, x, 5, -((b^3*(b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-2, (b*(c + d*x))/d])/(3*d^5)) + (b^3*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-1, (b*(c + d*x))/d])/(3*d^4) - Gamma[2, a + b*x]/(3*d*(c + d*x)^3)}
+{Gamma[2, a + b*x]/(c+ d*x)^5, x, 5, -((b^4*(b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-3, (b*(c + d*x))/d])/(4*d^6)) + (b^4*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-2, (b*(c + d*x))/d])/(4*d^5) - Gamma[2, a + b*x]/(4*d*(c + d*x)^4)}
+
+
+{(c+ d*x)^3*Gamma[3, a + b*x], x, 6, ((c + d*x)^4*Gamma[3, a + b*x])/(4*d) - (d*(b*c - a*d)^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[5, (b*(c + d*x))/d])/(4*b^4) + (d^2*(b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[6, (b*(c + d*x))/d])/(2*b^4) - (d^3*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[7, (b*(c + d*x))/d])/(4*b^4)}
+{(c+ d*x)^2*Gamma[3, a + b*x], x, 6, ((c + d*x)^3*Gamma[3, a + b*x])/(3*d) - ((b*c - a*d)^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[4, (b*(c + d*x))/d])/(3*b^3) + (2*d*(b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[5, (b*(c + d*x))/d])/(3*b^3) - (d^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[6, (b*(c + d*x))/d])/(3*b^3)}
+{(c+ d*x)^1*Gamma[3, a + b*x], x, 6, -(((b*c - a*d)^2*Gamma[3, a + b*x])/(2*b^2*d)) + ((c + d*x)^2*Gamma[3, a + b*x])/(2*d) - ((b*c - a*d)*Gamma[4, a + b*x])/b^2 - (d*Gamma[5, a + b*x])/(2*b^2)}
+{(c+ d*x)^0*Gamma[3, a + b*x], x, 1, ((a + b*x)*Gamma[3, a + b*x])/b - Gamma[4, a + b*x]/b}
+{Gamma[3, a + b*x]/(c+ d*x)^1, x, 13, -((3*E^(-a - b*x))/d) + ((b*c - a*d)*E^(-a - b*x))/d^2 - (E^(-a - b*x)*(a + b*x))/d + (2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/d - (2*(b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/d^2 + ((b*c - a*d)^2*E^(-a + (b*c)/d)*ExpIntegralEi[-((b*(c + d*x))/d)])/d^3}
+{Gamma[3, a + b*x]/(c+ d*x)^2, x, 6, -((b*(b*c - a*d)*E^(-a - b*x))/d^3) + (b*(b*c - a*d)^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[0, (b*(c + d*x))/d])/d^4 + (b*Gamma[2, a + b*x])/d^2 - Gamma[3, a + b*x]/(d*(c + d*x))}
+{Gamma[3, a + b*x]/(c+ d*x)^3, x, 6, (b^2*E^(-a - b*x))/(2*d^3) + (b^2*(b*c - a*d)^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-1, (b*(c + d*x))/d])/(2*d^5) - (b^2*(b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[0, (b*(c + d*x))/d])/d^4 - Gamma[3, a + b*x]/(2*d*(c + d*x)^2)}
+{Gamma[3, a + b*x]/(c+ d*x)^4, x, 6, (b^3*(b*c - a*d)^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-2, (b*(c + d*x))/d])/(3*d^6) - (2*b^3*(b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-1, (b*(c + d*x))/d])/(3*d^5) + (b^3*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[0, (b*(c + d*x))/d])/(3*d^4) - Gamma[3, a + b*x]/(3*d*(c + d*x)^3)}
+{Gamma[3, a + b*x]/(c+ d*x)^5, x, 6, (b^4*(b*c - a*d)^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-3, (b*(c + d*x))/d])/(4*d^7) - (b^4*(b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-2, (b*(c + d*x))/d])/(2*d^6) + (b^4*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-1, (b*(c + d*x))/d])/(4*d^5) - Gamma[3, a + b*x]/(4*d*(c + d*x)^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{(c+ d*x)^3*Gamma[-1, a + b*x], x, 8, -((3*d*(b*c - a*d)^2*E^(-a - b*x))/(2*b^4)) - ((b*c - a*d)^4*Gamma[-1, a + b*x])/(4*b^4*d) + ((c + d*x)^4*Gamma[-1, a + b*x])/(4*d) - ((b*c - a*d)^3*Gamma[0, a + b*x])/b^4 - (d^2*(b*c - a*d)*Gamma[2, a + b*x])/b^4 - (d^3*Gamma[3, a + b*x])/(4*b^4)}
+{(c+ d*x)^2*Gamma[-1, a + b*x], x, 7, -((d*(3*b*c - 2*a*d)*E^(-a - b*x))/(3*b^3)) - ((b*c - a*d)^3*Gamma[-1, a + b*x])/(3*b^3*d) + ((c + d*x)^3*Gamma[-1, a + b*x])/(3*d) - ((b*c - a*d)^2*Gamma[0, a + b*x])/b^3 - (d^2*Gamma[2, b*x])/(E^a*(3*b^3))}
+{(c+ d*x)^1*Gamma[-1, a + b*x], x, 6, -((d*E^(-a - b*x))/(2*b^2)) - ((b*c - a*d)^2*Gamma[-1, a + b*x])/(2*b^2*d) + ((c + d*x)^2*Gamma[-1, a + b*x])/(2*d) - ((b*c - a*d)*Gamma[0, a + b*x])/b^2}
+{(c+ d*x)^0*Gamma[-1, a + b*x], x, 1, ((a + b*x)*Gamma[-1, a + b*x])/b - Gamma[0, a + b*x]/b}
+{Gamma[-1, a + b*x]/(c+ d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Gamma[-1, a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{Gamma[-1, a + b*x]/(c+ d*x)^2, x, 6, (b*Gamma[-1, a + b*x])/(d*(b*c - a*d)) - Gamma[-1, a + b*x]/(d*(c + d*x)) - (b*Gamma[0, a + b*x])/(b*c - a*d)^2 + (b*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[0, (b*(c + d*x))/d])/(b*c - a*d)^2}
+{Gamma[-1, a + b*x]/(c+ d*x)^3, x, 7, (b^2*Gamma[-1, a + b*x])/(2*d*(b*c - a*d)^2) - Gamma[-1, a + b*x]/(2*d*(c + d*x)^2) + (b^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-1, (b*(c + d*x))/d])/(2*d*(b*c - a*d)^2) - (b^2*Gamma[0, a + b*x])/(b*c - a*d)^3 + (b^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[0, (b*(c + d*x))/d])/(b*c - a*d)^3}
+{Gamma[-1, a + b*x]/(c+ d*x)^4, x, 8, (b^3*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-2, (b*(c + d*x))/d])/(3*d^2*(b*c - a*d)^2) + (b^3*Gamma[-1, a + b*x])/(3*d*(b*c - a*d)^3) - Gamma[-1, a + b*x]/(3*d*(c + d*x)^3) + (2*b^3*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-1, (b*(c + d*x))/d])/(3*d*(b*c - a*d)^3) - (b^3*Gamma[0, a + b*x])/(b*c - a*d)^4 + (b^3*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[0, (b*(c + d*x))/d])/(b*c - a*d)^4}
+
+
+{(c+ d*x)^3*Gamma[-2, a + b*x], x, 8, -((d^2*(4*b*c - 3*a*d)*E^(-a - b*x))/(4*b^4)) - ((b*c - a*d)^4*Gamma[-2, a + b*x])/(4*b^4*d) + ((c + d*x)^4*Gamma[-2, a + b*x])/(4*d) - ((b*c - a*d)^3*Gamma[-1, a + b*x])/b^4 - (3*d*(b*c - a*d)^2*Gamma[0, a + b*x])/(2*b^4) - (d^3*Gamma[2, b*x])/(E^a*(4*b^4))}
+{(c+ d*x)^2*Gamma[-2, a + b*x], x, 7, -((d^2*E^(-a - b*x))/(3*b^3)) - ((b*c - a*d)^3*Gamma[-2, a + b*x])/(3*b^3*d) + ((c + d*x)^3*Gamma[-2, a + b*x])/(3*d) - ((b*c - a*d)^2*Gamma[-1, a + b*x])/b^3 - (d*(b*c - a*d)*Gamma[0, a + b*x])/b^3}
+{(c+ d*x)^1*Gamma[-2, a + b*x], x, 6, -(((b*c - a*d)^2*Gamma[-2, a + b*x])/(2*b^2*d)) + ((c + d*x)^2*Gamma[-2, a + b*x])/(2*d) - ((b*c - a*d)*Gamma[-1, a + b*x])/b^2 - (d*Gamma[0, a + b*x])/(2*b^2)}
+{(c+ d*x)^0*Gamma[-2, a + b*x], x, 1, ((a + b*x)*Gamma[-2, a + b*x])/b - Gamma[-1, a + b*x]/b}
+{Gamma[-2, a + b*x]/(c+ d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Gamma[-2, a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{Gamma[-2, a + b*x]/(c+ d*x)^2, x, 7, (b*Gamma[-2, a + b*x])/(d*(b*c - a*d)) - Gamma[-2, a + b*x]/(d*(c + d*x)) - (b*Gamma[-1, a + b*x])/(b*c - a*d)^2 + (b*d*Gamma[0, a + b*x])/(b*c - a*d)^3 - (b*d*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[0, (b*(c + d*x))/d])/(b*c - a*d)^3}
+{Gamma[-2, a + b*x]/(c+ d*x)^3, x, 8, (b^2*Gamma[-2, a + b*x])/(2*d*(b*c - a*d)^2) - Gamma[-2, a + b*x]/(2*d*(c + d*x)^2) - (b^2*Gamma[-1, a + b*x])/(b*c - a*d)^3 - (b^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-1, (b*(c + d*x))/d])/(2*(b*c - a*d)^3) + (3*b^2*d*Gamma[0, a + b*x])/(2*(b*c - a*d)^4) - (3*b^2*d*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[0, (b*(c + d*x))/d])/(2*(b*c - a*d)^4)}
+{Gamma[-2, a + b*x]/(c+ d*x)^4, x, 9, (b^3*Gamma[-2, a + b*x])/(3*d*(b*c - a*d)^3) - Gamma[-2, a + b*x]/(3*d*(c + d*x)^3) - (b^3*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-2, (b*(c + d*x))/d])/(3*d*(b*c - a*d)^3) - (b^3*Gamma[-1, a + b*x])/(b*c - a*d)^4 - (b^3*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-1, (b*(c + d*x))/d])/(b*c - a*d)^4 + (2*b^3*d*Gamma[0, a + b*x])/(b*c - a*d)^5 - (2*b^3*d*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[0, (b*(c + d*x))/d])/(b*c - a*d)^5}
+
+
+{(c+ d*x)^3*Gamma[-3, a + b*x], x, 8, -((d^3*E^(-a - b*x))/(4*b^4)) - ((b*c - a*d)^4*Gamma[-3, a + b*x])/(4*b^4*d) + ((c + d*x)^4*Gamma[-3, a + b*x])/(4*d) - ((b*c - a*d)^3*Gamma[-2, a + b*x])/b^4 - (3*d*(b*c - a*d)^2*Gamma[-1, a + b*x])/(2*b^4) - (d^2*(b*c - a*d)*Gamma[0, a + b*x])/b^4}
+{(c+ d*x)^2*Gamma[-3, a + b*x], x, 7, -(((b*c - a*d)^3*Gamma[-3, a + b*x])/(3*b^3*d)) + ((c + d*x)^3*Gamma[-3, a + b*x])/(3*d) - ((b*c - a*d)^2*Gamma[-2, a + b*x])/b^3 - (d*(b*c - a*d)*Gamma[-1, a + b*x])/b^3 - (d^2*Gamma[0, a + b*x])/(3*b^3)}
+{(c+ d*x)^1*Gamma[-3, a + b*x], x, 6, -(((b*c - a*d)^2*Gamma[-3, a + b*x])/(2*b^2*d)) + ((c + d*x)^2*Gamma[-3, a + b*x])/(2*d) - ((b*c - a*d)*Gamma[-2, a + b*x])/b^2 - (d*Gamma[-1, a + b*x])/(2*b^2)}
+{(c+ d*x)^0*Gamma[-3, a + b*x], x, 1, ((a + b*x)*Gamma[-3, a + b*x])/b - Gamma[-2, a + b*x]/b}
+{Gamma[-3, a + b*x]/(c+ d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Gamma[-3, a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{Gamma[-3, a + b*x]/(c+ d*x)^2, x, 8, (b*Gamma[-3, a + b*x])/(d*(b*c - a*d)) - Gamma[-3, a + b*x]/(d*(c + d*x)) - (b*Gamma[-2, a + b*x])/(b*c - a*d)^2 + (b*d*Gamma[-1, a + b*x])/(b*c - a*d)^3 - (b*d^2*Gamma[0, a + b*x])/(b*c - a*d)^4 + (b*d^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[0, (b*(c + d*x))/d])/(b*c - a*d)^4}
+{Gamma[-3, a + b*x]/(c+ d*x)^3, x, 9, (b^2*Gamma[-3, a + b*x])/(2*d*(b*c - a*d)^2) - Gamma[-3, a + b*x]/(2*d*(c + d*x)^2) - (b^2*Gamma[-2, a + b*x])/(b*c - a*d)^3 + (3*b^2*d*Gamma[-1, a + b*x])/(2*(b*c - a*d)^4) + (b^2*d*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-1, (b*(c + d*x))/d])/(2*(b*c - a*d)^4) - (2*b^2*d^2*Gamma[0, a + b*x])/(b*c - a*d)^5 + (2*b^2*d^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[0, (b*(c + d*x))/d])/(b*c - a*d)^5}
+{Gamma[-3, a + b*x]/(c+ d*x)^4, x, 10, (b^3*Gamma[-3, a + b*x])/(3*d*(b*c - a*d)^3) - Gamma[-3, a + b*x]/(3*d*(c + d*x)^3) - (b^3*Gamma[-2, a + b*x])/(b*c - a*d)^4 + (b^3*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-2, (b*(c + d*x))/d])/(3*(b*c - a*d)^4) + (2*b^3*d*Gamma[-1, a + b*x])/(b*c - a*d)^5 + (4*b^3*d*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[-1, (b*(c + d*x))/d])/(3*(b*c - a*d)^5) - (10*b^3*d^2*Gamma[0, a + b*x])/(3*(b*c - a*d)^6) + (10*b^3*d^2*E^(-a + (b*c)/d)*Gamma[0, (b*(c + d*x))/d])/(3*(b*c - a*d)^6)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^(m/2) Gamma[n, a+b x]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>=0*)
+
+
+{x^(5/2)*Gamma[2, a + b*x], x, 5, (2/7)*x^(7/2)*Gamma[2, a + b*x] - (2*a*Sqrt[x]*Gamma[9/2, b*x])/(E^a*(7*b^3*Sqrt[b*x])) - (2*Sqrt[x]*Gamma[11/2, b*x])/(E^a*(7*b^3*Sqrt[b*x]))}
+{x^(3/2)*Gamma[2, a + b*x], x, 5, (2/5)*x^(5/2)*Gamma[2, a + b*x] - (2*a*Sqrt[x]*Gamma[7/2, b*x])/(E^a*(5*b^2*Sqrt[b*x])) - (2*Sqrt[x]*Gamma[9/2, b*x])/(E^a*(5*b^2*Sqrt[b*x]))}
+{x^(1/2)*Gamma[2, a + b*x], x, 5, (2/3)*x^(3/2)*Gamma[2, a + b*x] - (2*a*Sqrt[x]*Gamma[5/2, b*x])/(E^a*(3*b*Sqrt[b*x])) - (2*Sqrt[x]*Gamma[7/2, b*x])/(E^a*(3*b*Sqrt[b*x]))}
+{Gamma[2, a + b*x]/x^(1/2), x, 5, -((2*a*Sqrt[x]*Gamma[3/2, b*x])/(E^a*Sqrt[b*x])) + 2*Sqrt[x]*Gamma[2, a + b*x] - (2*Sqrt[x]*Gamma[5/2, b*x])/(E^a*Sqrt[b*x])}
+{Gamma[2, a + b*x]/x^(3/2), x, 5, (2*a*Sqrt[b*x]*Gamma[1/2, b*x])/(E^a*Sqrt[x]) + (2*b*Sqrt[x]*Gamma[3/2, b*x])/(E^a*Sqrt[b*x]) - (2*Gamma[2, a + b*x])/Sqrt[x]}
+{Gamma[2, a + b*x]/x^(5/2), x, 5, (2*a*b*Sqrt[b*x]*Gamma[-(1/2), b*x])/(E^a*(3*Sqrt[x])) + (2*b*Sqrt[b*x]*Gamma[1/2, b*x])/(E^a*(3*Sqrt[x])) - (2*Gamma[2, a + b*x])/(3*x^(3/2))}
+{Gamma[2, a + b*x]/x^(7/2), x, 5, (2*a*b^2*Sqrt[b*x]*Gamma[-(3/2), b*x])/(E^a*(5*Sqrt[x])) + (2*b^2*Sqrt[b*x]*Gamma[-(1/2), b*x])/(E^a*(5*Sqrt[x])) - (2*Gamma[2, a + b*x])/(5*x^(5/2))}
+{Gamma[2, a + b*x]/x^(9/2), x, 5, (2*a*b^3*Sqrt[b*x]*Gamma[-(5/2), b*x])/(E^a*(7*Sqrt[x])) + (2*b^3*Sqrt[b*x]*Gamma[-(3/2), b*x])/(E^a*(7*Sqrt[x])) - (2*Gamma[2, a + b*x])/(7*x^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n<0*)
+
+
+{x^(3/2)*Gamma[-2, a + b*x], x, 0, Unintegrable[x^(3/2)*Gamma[-2, a + b*x], x]}
+{x^(1/2)*Gamma[-2, a + b*x], x, 0, Unintegrable[Sqrt[x]*Gamma[-2, a + b*x], x]}
+{Gamma[-2, a + b*x]/x^(1/2), x, 0, Unintegrable[Gamma[-2, a + b*x]/Sqrt[x], x]}
+{Gamma[-2, a + b*x]/x^(3/2), x, 0, Unintegrable[Gamma[-2, a + b*x]/x^(3/2), x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^(m/3) Gamma[n, a+b x]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*n>=0*)
+
+
+{x^(4/3)*Gamma[2, a + b*x], x, 5, (3/7)*x^(7/3)*Gamma[2, a + b*x] - (3*a*x^(1/3)*Gamma[10/3, b*x])/(E^a*(7*b^2*(b*x)^(1/3))) - (3*x^(1/3)*Gamma[13/3, b*x])/(E^a*(7*b^2*(b*x)^(1/3)))}
+{x^(2/3)*Gamma[2, a + b*x], x, 5, (3/5)*x^(5/3)*Gamma[2, a + b*x] - (3*a*x^(2/3)*Gamma[8/3, b*x])/(E^a*(5*b*(b*x)^(2/3))) - (3*x^(2/3)*Gamma[11/3, b*x])/(E^a*(5*b*(b*x)^(2/3)))}
+{x^(1/3)*Gamma[2, a + b*x], x, 5, (3/4)*x^(4/3)*Gamma[2, a + b*x] - (3*a*x^(1/3)*Gamma[7/3, b*x])/(E^a*(4*b*(b*x)^(1/3))) - (3*x^(1/3)*Gamma[10/3, b*x])/(E^a*(4*b*(b*x)^(1/3)))}
+{Gamma[2, a + b*x]/x^(1/3), x, 5, -((3*a*x^(2/3)*Gamma[5/3, b*x])/(E^a*(2*(b*x)^(2/3)))) + (3/2)*x^(2/3)*Gamma[2, a + b*x] - (3*x^(2/3)*Gamma[8/3, b*x])/(E^a*(2*(b*x)^(2/3)))}
+{Gamma[2, a + b*x]/x^(2/3), x, 5, -((3*a*x^(1/3)*Gamma[4/3, b*x])/(E^a*(b*x)^(1/3))) + 3*x^(1/3)*Gamma[2, a + b*x] - (3*x^(1/3)*Gamma[7/3, b*x])/(E^a*(b*x)^(1/3))}
+{Gamma[2, a + b*x]/x^(4/3), x, 5, (3*a*(b*x)^(1/3)*Gamma[2/3, b*x])/(E^a*x^(1/3)) + (3*b*x^(2/3)*Gamma[5/3, b*x])/(E^a*(b*x)^(2/3)) - (3*Gamma[2, a + b*x])/x^(1/3)}
+
+
+(* ::Subsubsection:: *)
+(*n<0*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Gamma[n, a+b x] when m symbolic*)
+
+
+{(c + d*x)^m*Gamma[3, a + b*x], x, 6, ((c + d*x)^(1 + m)*Gamma[3, a + b*x])/(d*(1 + m)) - ((b*c - a*d)^2*E^(-a + (b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[2 + m, (b*(c + d*x))/d])/(((b*(c + d*x))/d)^m*(b*d^2*(1 + m))) + (2*(b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[3 + m, (b*(c + d*x))/d])/(((b*(c + d*x))/d)^m*(b*d*(1 + m))) - (E^(-a + (b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[4 + m, (b*(c + d*x))/d])/(((b*(c + d*x))/d)^m*(b*(1 + m)))}
+{(c + d*x)^m*Gamma[2, a + b*x], x, 5, ((c + d*x)^(1 + m)*Gamma[2, a + b*x])/(d*(1 + m)) + ((b*c - a*d)*E^(-a + (b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[2 + m, (b*(c + d*x))/d])/(((b*(c + d*x))/d)^m*(b*d*(1 + m))) - (E^(-a + (b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[3 + m, (b*(c + d*x))/d])/(((b*(c + d*x))/d)^m*(b*(1 + m)))}
+{(c + d*x)^m*Gamma[1, a + b*x], x, 1, -((E^(-a + (b*c)/d)*(c + d*x)^m*Gamma[1 + m, (b*(c + d*x))/d])/(((b*(c + d*x))/d)^m*b))}
+{(c + d*x)^m*Gamma[0, a + b*x], x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Gamma[0, a + b*x], x]}
+{(c + d*x)^m*Gamma[-1, a + b*x], x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Gamma[-1, a + b*x], x]}
+{(c + d*x)^m*Gamma[-2, a + b*x], x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Gamma[-2, a + b*x], x]}
+{(c + d*x)^m*Gamma[-3, a + b*x], x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Gamma[-3, a + b*x], x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m Gamma[n, a+b x] when n symbolic*)
+
+
+{x^m*Gamma[n, a + b*x], x, 0, Unintegrable[x^m*Gamma[n, a + b*x], x]}
+{(c + d*x)^m*Gamma[n, a + b*x], x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*Gamma[n, a + b*x], x]}
+
+
+{(c + d*x)^4*Gamma[n, a + b*x], x, 9, -(((b*c - a*d)^5*Gamma[n, a + b*x])/(5*b^5*d)) + ((c + d*x)^5*Gamma[n, a + b*x])/(5*d) - ((b*c - a*d)^4*Gamma[1 + n, a + b*x])/b^5 - (2*d*(b*c - a*d)^3*Gamma[2 + n, a + b*x])/b^5 - (2*d^2*(b*c - a*d)^2*Gamma[3 + n, a + b*x])/b^5 - (d^3*(b*c - a*d)*Gamma[4 + n, a + b*x])/b^5 - (d^4*Gamma[5 + n, a + b*x])/(5*b^5)}
+{(c + d*x)^3*Gamma[n, a + b*x], x, 8, -(((b*c - a*d)^4*Gamma[n, a + b*x])/(4*b^4*d)) + ((c + d*x)^4*Gamma[n, a + b*x])/(4*d) - ((b*c - a*d)^3*Gamma[1 + n, a + b*x])/b^4 - (3*d*(b*c - a*d)^2*Gamma[2 + n, a + b*x])/(2*b^4) - (d^2*(b*c - a*d)*Gamma[3 + n, a + b*x])/b^4 - (d^3*Gamma[4 + n, a + b*x])/(4*b^4)}
+{(c + d*x)^2*Gamma[n, a + b*x], x, 7, -(((b*c - a*d)^3*Gamma[n, a + b*x])/(3*b^3*d)) + ((c + d*x)^3*Gamma[n, a + b*x])/(3*d) - ((b*c - a*d)^2*Gamma[1 + n, a + b*x])/b^3 - (d*(b*c - a*d)*Gamma[2 + n, a + b*x])/b^3 - (d^2*Gamma[3 + n, a + b*x])/(3*b^3)}
+{(c + d*x)^1*Gamma[n, a + b*x], x, 6, -(((b*c - a*d)^2*Gamma[n, a + b*x])/(2*b^2*d)) + ((c + d*x)^2*Gamma[n, a + b*x])/(2*d) - ((b*c - a*d)*Gamma[1 + n, a + b*x])/b^2 - (d*Gamma[2 + n, a + b*x])/(2*b^2)}
+{(c + d*x)^0*Gamma[n, a + b*x], x, 1, ((a + b*x)*Gamma[n, a + b*x])/b - Gamma[1 + n, a + b*x]/b}
+{Gamma[n, a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[Gamma[n, a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{Gamma[n, a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[Gamma[n, a + b*x]/(c + d*x)^2, x]}
+{Gamma[n, a + b*x]/(c + d*x)^3, x, 0, Unintegrable[Gamma[n, a + b*x]/(c + d*x)^3, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (e x)^m Gamma[p, d (a+b Log[c x^n])]*)
+
+
+{x^2*Gamma[p, d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, (1/3)*x^3*Gamma[p, d*(a + b*Log[c*x^n])] - ((1/3)*x^3*Gamma[p, -(((3 - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(d*(a + b*Log[c*x^n]))^p)/(E^((3*a)/(b*n))*(c*x^n)^(3/n)*(-(((3 - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p)}
+{x^1*Gamma[p, d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, (1/2)*x^2*Gamma[p, d*(a + b*Log[c*x^n])] - ((1/2)*x^2*Gamma[p, -(((2 - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(d*(a + b*Log[c*x^n]))^p)/(E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*(-(((2 - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p)}
+{x^0*Gamma[p, d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 5, x*Gamma[p, d*(a + b*Log[c*x^n])] - (x*Gamma[p, -(((1 - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(d*(a + b*Log[c*x^n]))^p)/(E^(a/(b*n))*(c*x^n)^n^(-1)*(-(((1 - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p)}
+{Gamma[p, d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^1, x, 3, -(Gamma[1 + p, a*d + b*d*Log[c*x^n]]/(b*d*n)) + (Gamma[p, a*d + b*d*Log[c*x^n]]*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)}
+{Gamma[p, d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^2, x, 4, -(Gamma[p, d*(a + b*Log[c*x^n])]/x) + (E^(a/(b*n))*(c*x^n)^(1/n)*Gamma[p, ((1 + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)]*(d*(a + b*Log[c*x^n]))^p)/((((1 + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))^p*x)}
+{Gamma[p, d*(a + b*Log[c*x^n])]/x^3, x, 4, -(Gamma[p, d*(a + b*Log[c*x^n])]/(2*x^2)) + (E^((2*a)/(b*n))*(c*x^n)^(2/n)*Gamma[p, ((2 + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)]*(d*(a + b*Log[c*x^n]))^p)/((((2 + b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))^p*(2*x^2))}
+
+
+{(e*x)^m*Gamma[p, d*(a + b*Log[c*x^n])], x, 4, ((e*x)^(1 + m)*Gamma[p, d*(a + b*Log[c*x^n])])/(e*(1 + m)) - ((e*x)^(1 + m)*Gamma[p, -(((1 + m - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n))]*(d*(a + b*Log[c*x^n]))^p)/(E^((a*(1 + m))/(b*n))*(c*x^n)^((1 + m)/n)*(-(((1 + m - b*d*n)*(a + b*Log[c*x^n]))/(b*n)))^p*(e*(1 + m)))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m LogGamma[a+b x]*)
+
+
+{(c + d*x)^3*LogGamma[a + b*x], x, 4, -((6*d^3*PolyGamma[-5, a + b*x])/b^4) + (6*d^2*(c + d*x)*PolyGamma[-4, a + b*x])/b^3 - (3*d*(c + d*x)^2*PolyGamma[-3, a + b*x])/b^2 + ((c + d*x)^3*PolyGamma[-2, a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^2*LogGamma[a + b*x], x, 3, (2*d^2*PolyGamma[-4, a + b*x])/b^3 - (2*d*(c + d*x)*PolyGamma[-3, a + b*x])/b^2 + ((c + d*x)^2*PolyGamma[-2, a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^1*LogGamma[a + b*x], x, 2, -((d*PolyGamma[-3, a + b*x])/b^2) + ((c + d*x)*PolyGamma[-2, a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^0*LogGamma[a + b*x], x, 1, PolyGamma[-2, a + b*x]/b}
+{LogGamma[a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[LogGamma[a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{LogGamma[a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 0, Unintegrable[LogGamma[a + b*x]/(c + d*x)^2, x]}
+
+
+{(c + d*x)^(3/2)*LogGamma[a + b*x], x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^(3/2)*LogGamma[a + b*x], x]}
+{(c + d*x)^(1/2)*LogGamma[a + b*x], x, 0, Unintegrable[Sqrt[c + d*x]*LogGamma[a + b*x], x]}
+{LogGamma[a + b*x]/(c + d*x)^(1/2), x, 0, Unintegrable[LogGamma[a + b*x]/Sqrt[c + d*x], x]}
+
+
+{(c + d*x)^2*Log[Gamma[a + b*x]], x, 6, ((c + d*x)^3*Log[Gamma[a + b*x]])/(3*d) - ((c + d*x)^3*LogGamma[a + b*x])/(3*d) + (2*d^2*PolyGamma[-4, a + b*x])/b^3 - (2*d*(c + d*x)*PolyGamma[-3, a + b*x])/b^2 + ((c + d*x)^2*PolyGamma[-2, a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^1*Log[Gamma[a + b*x]], x, 5, ((c + d*x)^2*Log[Gamma[a + b*x]])/(2*d) - ((c + d*x)^2*LogGamma[a + b*x])/(2*d) - (d*PolyGamma[-3, a + b*x])/b^2 + ((c + d*x)*PolyGamma[-2, a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^0*Log[Gamma[a + b*x]], x, 4, x*Log[Gamma[a + b*x]] - x*LogGamma[a + b*x] + PolyGamma[-2, a + b*x]/b}
+{Log[Gamma[a + b*x]]/(c + d*x)^1, x, 2, (Log[c + d*x]*(Log[Gamma[a + b*x]] - LogGamma[a + b*x]))/d + Unintegrable[LogGamma[a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{Log[Gamma[a + b*x]]/(c + d*x)^2, x, 2, -(Log[Gamma[a + b*x]]/(d*(c + d*x))) + (b*Unintegrable[PolyGamma[0, a + b*x]/(c + d*x), x])/d}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (c+d x)^m PolyGamma[n, a+b x]*)
+
+
+{(c + d*x)^m*PolyGamma[n, a + b*x], x, 0, Unintegrable[(c + d*x)^m*PolyGamma[n, a + b*x], x]}
+
+
+{(c + d*x)^3*PolyGamma[n, a + b*x], x, 4, -((6*d^3*PolyGamma[-4 + n, a + b*x])/b^4) + (6*d^2*(c + d*x)*PolyGamma[-3 + n, a + b*x])/b^3 - (3*d*(c + d*x)^2*PolyGamma[-2 + n, a + b*x])/b^2 + ((c + d*x)^3*PolyGamma[-1 + n, a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^2*PolyGamma[n, a + b*x], x, 3, (2*d^2*PolyGamma[-3 + n, a + b*x])/b^3 - (2*d*(c + d*x)*PolyGamma[-2 + n, a + b*x])/b^2 + ((c + d*x)^2*PolyGamma[-1 + n, a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^1*PolyGamma[n, a + b*x], x, 2, -((d*PolyGamma[-2 + n, a + b*x])/b^2) + ((c + d*x)*PolyGamma[-1 + n, a + b*x])/b}
+{(c + d*x)^0*PolyGamma[n, a + b*x], x, 1, PolyGamma[-1 + n, a + b*x]/b}
+{PolyGamma[n, a + b*x]/(c + d*x)^1, x, 0, Unintegrable[PolyGamma[n, a + b*x]/(c + d*x), x]}
+{PolyGamma[n, a + b*x]/(c + d*x)^2, x, 1, -(PolyGamma[n, a + b*x]/(d*(c + d*x))) + (b*Unintegrable[PolyGamma[1 + n, a + b*x]/(c + d*x), x])/d}
+{PolyGamma[n, a + b*x]/(c + d*x)^3, x, 2, -(PolyGamma[n, a + b*x]/(2*d*(c + d*x)^2)) - (b*PolyGamma[1 + n, a + b*x])/(2*d^2*(c + d*x)) + (b^2*Unintegrable[PolyGamma[2 + n, a + b*x]/(c + d*x), x])/(2*d^2)}
+
+
+{(c + d*x)^(3/2)*PolyGamma[n, a + b*x], x, 2, -((3*d*Sqrt[c + d*x]*PolyGamma[-2 + n, a + b*x])/(2*b^2)) + ((c + d*x)^(3/2)*PolyGamma[-1 + n, a + b*x])/b + (3*d^2*Unintegrable[PolyGamma[-2 + n, a + b*x]/Sqrt[c + d*x], x])/(4*b^2)}
+{(c + d*x)^(1/2)*PolyGamma[n, a + b*x], x, 1, (Sqrt[c + d*x]*PolyGamma[-1 + n, a + b*x])/b - (d*Unintegrable[PolyGamma[-1 + n, a + b*x]/Sqrt[c + d*x], x])/(2*b)}
+{PolyGamma[n, a + b*x]/(c + d*x)^(1/2), x, 0, Unintegrable[PolyGamma[n, a + b*x]/Sqrt[c + d*x], x]}
+{PolyGamma[n, a + b*x]/(c + d*x)^(3/2), x, 1, -((2*PolyGamma[n, a + b*x])/(d*Sqrt[c + d*x])) + (2*b*Unintegrable[PolyGamma[1 + n, a + b*x]/Sqrt[c + d*x], x])/d}
+
+
+{x^2*PolyGamma[1, a + b*x], x, 3, -((2*x*LogGamma[a + b*x])/b^2) + (2*PolyGamma[-2, a + b*x])/b^3 + (x^2*PolyGamma[0, a + b*x])/b}
+
+
+{PolyGamma[1, a + b*x]/x^2 - (b*PolyGamma[2, a + b*x])/x, x, 2, -(PolyGamma[1, a + b*x]/x)}
+{PolyGamma[n, a + b*x]/x^2 - (b*PolyGamma[1 + n, a + b*x])/x, x, 2, -(PolyGamma[n, a + b*x]/x)}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form Gamma[c+dx]^m PolyGamma[n, a+b x]*)
+
+
+{Gamma[a + b*x]^n*PolyGamma[0, a + b*x], x, 1, Gamma[a + b*x]^n/(b*n)}
+{(a + b*x)!^n*PolyGamma[0, 1 + a + b*x], x, 1, (a + b*x)!^n/(b*n)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.7 Zeta function.m b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.7 Zeta function.m
new file mode 100644
index 00000000..740252b8
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.7 Zeta function.m	
@@ -0,0 +1,32 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration Problems Involving Zeta Functions*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Zeta[2, a+b x]*)
+
+
+{x^2*Zeta[2, a + b*x], x, 4, -((2*x*LogGamma[a + b*x])/b^2) + (2*PolyGamma[-2, a + b*x])/b^3 + (x^2*PolyGamma[0, a + b*x])/b}
+{x^1*Zeta[2, a + b*x], x, 3, -(LogGamma[a + b*x]/b^2) + (x*PolyGamma[0, a + b*x])/b}
+{x^0*Zeta[2, a + b*x], x, 2, PolyGamma[0, a + b*x]/b}
+{Zeta[2, a + b*x]/x^1, x, 1, Unintegrable[PolyGamma[1, a + b*x]/x, x]}
+{Zeta[2, a + b*x]/x^2, x, 2, b*Unintegrable[PolyGamma[2, a + b*x]/x, x] - PolyGamma[1, a + b*x]/x}
+{Zeta[2, a + b*x]/x^3, x, 3, (1/2)*b^2*Unintegrable[PolyGamma[3, a + b*x]/x, x] - PolyGamma[1, a + b*x]/(2*x^2) - (b*PolyGamma[2, a + b*x])/(2*x)}
+
+{Zeta[2, a + b*x]/x^2 - b*(PolyGamma[2, a + b*x]/x), x, 3, -(PolyGamma[1, a + b*x]/x)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Zeta[s, a+b x]*)
+
+
+{x^2*Zeta[s, a + b*x], x, 3, If[$VersionNumber>=8, (2*Zeta[-3 + s, a + b*x])/(b^3*(1 - s)*(2 - s)*(3 - s)) - (2*x*Zeta[-2 + s, a + b*x])/(b^2*(1 - s)*(2 - s)) + (x^2*Zeta[-1 + s, a + b*x])/(b*(1 - s)), (2*Zeta[-3 + s, a + b*x])/(b^3*(1 - s)*(6 - 5*s + s^2)) - (2*x*Zeta[-2 + s, a + b*x])/(b^2*(1 - s)*(2 - s)) + (x^2*Zeta[-1 + s, a + b*x])/(b*(1 - s))]}
+{x^1*Zeta[s, a + b*x], x, 2, -(Zeta[-2 + s, a + b*x]/(b^2*(1 - s)*(2 - s))) + (x*Zeta[-1 + s, a + b*x])/(b*(1 - s))}
+{x^0*Zeta[s, a + b*x], x, 1, Zeta[-1 + s, a + b*x]/(b*(1 - s))}
+{Zeta[s, a + b*x]/x^1, x, 0, CannotIntegrate[Zeta[s, a + b*x]/x, x]}
+{Zeta[s, a + b*x]/x^2, x, 1, (-b)*s*CannotIntegrate[Zeta[1 + s, a + b*x]/x, x] - Zeta[s, a + b*x]/x}
+{Zeta[s, a + b*x]/x^3, x, 2, (1/2)*b^2*s*(1 + s)*CannotIntegrate[Zeta[2 + s, a + b*x]/x, x] - Zeta[s, a + b*x]/(2*x^2) + (b*s*Zeta[1 + s, a + b*x])/(2*x)}
+
+{Zeta[s, a + b*x]/x^2 + b*s*(Zeta[1 + s, a + b*x]/x), x, 2, -(Zeta[s, a + b*x]/x)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.8 Polylogarithm function.m b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.8 Polylogarithm function.m
new file mode 100644
index 00000000..810fd71d
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.8 Polylogarithm function.m	
@@ -0,0 +1,362 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration Problems Involving the Polylogarithm Function*)
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m PolyLog[n, a x^q]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m PolyLog[n, a x^q]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q=1*)
+
+
+{x^4*PolyLog[2, a*x], x, 4, -(x/(25*a^4)) - x^2/(50*a^3) - x^3/(75*a^2) - x^4/(100*a) - x^5/125 - Log[1 - a*x]/(25*a^5) + (1/25)*x^5*Log[1 - a*x] + (1/5)*x^5*PolyLog[2, a*x]}
+{x^3*PolyLog[2, a*x], x, 4, -(x/(16*a^3)) - x^2/(32*a^2) - x^3/(48*a) - x^4/64 - Log[1 - a*x]/(16*a^4) + (1/16)*x^4*Log[1 - a*x] + (1/4)*x^4*PolyLog[2, a*x]}
+{x^2*PolyLog[2, a*x], x, 4, -(x/(9*a^2)) - x^2/(18*a) - x^3/27 - Log[1 - a*x]/(9*a^3) + (1/9)*x^3*Log[1 - a*x] + (1/3)*x^3*PolyLog[2, a*x]}
+{x^1*PolyLog[2, a*x], x, 4, -(x/(4*a)) - x^2/8 - Log[1 - a*x]/(4*a^2) + (1/4)*x^2*Log[1 - a*x] + (1/2)*x^2*PolyLog[2, a*x]}
+{x^0*PolyLog[2, a*x], x, 3, -x - ((1 - a*x)*Log[1 - a*x])/a + x*PolyLog[2, a*x]}
+{PolyLog[2, a*x]/x^1, x, 1, PolyLog[3, a*x]}
+{PolyLog[2, a*x]/x^2, x, 5, a*Log[x] - a*Log[1 - a*x] + Log[1 - a*x]/x - PolyLog[2, a*x]/x}
+{PolyLog[2, a*x]/x^3, x, 4, -(a/(4*x)) + (1/4)*a^2*Log[x] - (1/4)*a^2*Log[1 - a*x] + Log[1 - a*x]/(4*x^2) - PolyLog[2, a*x]/(2*x^2)}
+{PolyLog[2, a*x]/x^4, x, 4, -(a/(18*x^2)) - a^2/(9*x) + (1/9)*a^3*Log[x] - (1/9)*a^3*Log[1 - a*x] + Log[1 - a*x]/(9*x^3) - PolyLog[2, a*x]/(3*x^3)}
+{PolyLog[2, a*x]/x^5, x, 4, -(a/(48*x^3)) - a^2/(32*x^2) - a^3/(16*x) + (1/16)*a^4*Log[x] - (1/16)*a^4*Log[1 - a*x] + Log[1 - a*x]/(16*x^4) - PolyLog[2, a*x]/(4*x^4)}
+
+
+{x^3*PolyLog[3, a*x], x, 5, x/(64*a^3) + x^2/(128*a^2) + x^3/(192*a) + x^4/256 + Log[1 - a*x]/(64*a^4) - (1/64)*x^4*Log[1 - a*x] - (1/16)*x^4*PolyLog[2, a*x] + (1/4)*x^4*PolyLog[3, a*x]}
+{x^2*PolyLog[3, a*x], x, 5, x/(27*a^2) + x^2/(54*a) + x^3/81 + Log[1 - a*x]/(27*a^3) - (1/27)*x^3*Log[1 - a*x] - (1/9)*x^3*PolyLog[2, a*x] + (1/3)*x^3*PolyLog[3, a*x]}
+{x^1*PolyLog[3, a*x], x, 5, x/(8*a) + x^2/16 + Log[1 - a*x]/(8*a^2) - (1/8)*x^2*Log[1 - a*x] - (1/4)*x^2*PolyLog[2, a*x] + (1/2)*x^2*PolyLog[3, a*x]}
+{x^0*PolyLog[3, a*x], x, 4, x + ((1 - a*x)*Log[1 - a*x])/a - x*PolyLog[2, a*x] + x*PolyLog[3, a*x]}
+{PolyLog[3, a*x]/x^1, x, 1, PolyLog[4, a*x]}
+{PolyLog[3, a*x]/x^2, x, 6, a*Log[x] - a*Log[1 - a*x] + Log[1 - a*x]/x - PolyLog[2, a*x]/x - PolyLog[3, a*x]/x}
+{PolyLog[3, a*x]/x^3, x, 5, -(a/(8*x)) + (1/8)*a^2*Log[x] - (1/8)*a^2*Log[1 - a*x] + Log[1 - a*x]/(8*x^2) - PolyLog[2, a*x]/(4*x^2) - PolyLog[3, a*x]/(2*x^2)}
+{PolyLog[3, a*x]/x^4, x, 5, -(a/(54*x^2)) - a^2/(27*x) + (1/27)*a^3*Log[x] - (1/27)*a^3*Log[1 - a*x] + Log[1 - a*x]/(27*x^3) - PolyLog[2, a*x]/(9*x^3) - PolyLog[3, a*x]/(3*x^3)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q=2*)
+
+
+{x^5*PolyLog[2, a*x^2], x, 5, -(x^2/(18*a^2)) - x^4/(36*a) - x^6/54 - Log[1 - a*x^2]/(18*a^3) + (1/18)*x^6*Log[1 - a*x^2] + (1/6)*x^6*PolyLog[2, a*x^2]}
+{x^3*PolyLog[2, a*x^2], x, 5, -(x^2/(8*a)) - x^4/16 - Log[1 - a*x^2]/(8*a^2) + (1/8)*x^4*Log[1 - a*x^2] + (1/4)*x^4*PolyLog[2, a*x^2]}
+{x^1*PolyLog[2, a*x^2], x, 4, -(x^2/2) - ((1 - a*x^2)*Log[1 - a*x^2])/(2*a) + (1/2)*x^2*PolyLog[2, a*x^2]}
+{PolyLog[2, a*x^2]/x^1, x, 1, (1/2)*PolyLog[3, a*x^2]}
+{PolyLog[2, a*x^2]/x^3, x, 6, a*Log[x] - (1/2)*a*Log[1 - a*x^2] + Log[1 - a*x^2]/(2*x^2) - PolyLog[2, a*x^2]/(2*x^2)}
+{PolyLog[2, a*x^2]/x^5, x, 5, -(a/(8*x^2)) + (1/4)*a^2*Log[x] - (1/8)*a^2*Log[1 - a*x^2] + Log[1 - a*x^2]/(8*x^4) - PolyLog[2, a*x^2]/(4*x^4)}
+{PolyLog[2, a*x^2]/x^7, x, 5, -(a/(36*x^4)) - a^2/(18*x^2) + (1/9)*a^3*Log[x] - (1/18)*a^3*Log[1 - a*x^2] + Log[1 - a*x^2]/(18*x^6) - PolyLog[2, a*x^2]/(6*x^6)}
+
+{x^4*PolyLog[2, a*x^2], x, 5, -((4*x)/(25*a^2)) - (4*x^3)/(75*a) - (4*x^5)/125 + (4*ArcTanh[Sqrt[a]*x])/(25*a^(5/2)) + (2/25)*x^5*Log[1 - a*x^2] + (1/5)*x^5*PolyLog[2, a*x^2]}
+{x^2*PolyLog[2, a*x^2], x, 5, -((4*x)/(9*a)) - (4*x^3)/27 + (4*ArcTanh[Sqrt[a]*x])/(9*a^(3/2)) + (2/9)*x^3*Log[1 - a*x^2] + (1/3)*x^3*PolyLog[2, a*x^2]}
+{x^0*PolyLog[2, a*x^2], x, 4, -4*x + (4*ArcTanh[Sqrt[a]*x])/Sqrt[a] + 2*x*Log[1 - a*x^2] + x*PolyLog[2, a*x^2]}
+{PolyLog[2, a*x^2]/x^2, x, 3, 4*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a]*x] + (2*Log[1 - a*x^2])/x - PolyLog[2, a*x^2]/x}
+{PolyLog[2, a*x^2]/x^4, x, 4, -((4*a)/(9*x)) + (4/9)*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a]*x] + (2*Log[1 - a*x^2])/(9*x^3) - PolyLog[2, a*x^2]/(3*x^3)}
+{PolyLog[2, a*x^2]/x^6, x, 5, -((4*a)/(75*x^3)) - (4*a^2)/(25*x) + (4/25)*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a]*x] + (2*Log[1 - a*x^2])/(25*x^5) - PolyLog[2, a*x^2]/(5*x^5)}
+
+
+{x^5*PolyLog[3, a*x^2], x, 6, x^2/(54*a^2) + x^4/(108*a) + x^6/162 + Log[1 - a*x^2]/(54*a^3) - (1/54)*x^6*Log[1 - a*x^2] - (1/18)*x^6*PolyLog[2, a*x^2] + (1/6)*x^6*PolyLog[3, a*x^2]}
+{x^3*PolyLog[3, a*x^2], x, 6, x^2/(16*a) + x^4/32 + Log[1 - a*x^2]/(16*a^2) - (1/16)*x^4*Log[1 - a*x^2] - (1/8)*x^4*PolyLog[2, a*x^2] + (1/4)*x^4*PolyLog[3, a*x^2]}
+{x^1*PolyLog[3, a*x^2], x, 5, x^2/2 + ((1 - a*x^2)*Log[1 - a*x^2])/(2*a) - (1/2)*x^2*PolyLog[2, a*x^2] + (1/2)*x^2*PolyLog[3, a*x^2]}
+{PolyLog[3, a*x^2]/x^1, x, 1, (1/2)*PolyLog[4, a*x^2]}
+{PolyLog[3, a*x^2]/x^3, x, 7, a*Log[x] - (1/2)*a*Log[1 - a*x^2] + Log[1 - a*x^2]/(2*x^2) - PolyLog[2, a*x^2]/(2*x^2) - PolyLog[3, a*x^2]/(2*x^2)}
+{PolyLog[3, a*x^2]/x^5, x, 6, -(a/(16*x^2)) + (1/8)*a^2*Log[x] - (1/16)*a^2*Log[1 - a*x^2] + Log[1 - a*x^2]/(16*x^4) - PolyLog[2, a*x^2]/(8*x^4) - PolyLog[3, a*x^2]/(4*x^4)}
+{PolyLog[3, a*x^2]/x^7, x, 6, -(a/(108*x^4)) - a^2/(54*x^2) + (1/27)*a^3*Log[x] - (1/54)*a^3*Log[1 - a*x^2] + Log[1 - a*x^2]/(54*x^6) - PolyLog[2, a*x^2]/(18*x^6) - PolyLog[3, a*x^2]/(6*x^6)}
+
+{x^4*PolyLog[3, a*x^2], x, 6, (8*x)/(125*a^2) + (8*x^3)/(375*a) + (8*x^5)/625 - (8*ArcTanh[Sqrt[a]*x])/(125*a^(5/2)) - (4/125)*x^5*Log[1 - a*x^2] - (2/25)*x^5*PolyLog[2, a*x^2] + (1/5)*x^5*PolyLog[3, a*x^2]}
+{x^2*PolyLog[3, a*x^2], x, 6, (8*x)/(27*a) + (8*x^3)/81 - (8*ArcTanh[Sqrt[a]*x])/(27*a^(3/2)) - (4/27)*x^3*Log[1 - a*x^2] - (2/9)*x^3*PolyLog[2, a*x^2] + (1/3)*x^3*PolyLog[3, a*x^2]}
+{x^0*PolyLog[3, a*x^2], x, 5, 8*x - (8*ArcTanh[Sqrt[a]*x])/Sqrt[a] - 4*x*Log[1 - a*x^2] - 2*x*PolyLog[2, a*x^2] + x*PolyLog[3, a*x^2]}
+{PolyLog[3, a*x^2]/x^2, x, 4, 8*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a]*x] + (4*Log[1 - a*x^2])/x - (2*PolyLog[2, a*x^2])/x - PolyLog[3, a*x^2]/x}
+{PolyLog[3, a*x^2]/x^4, x, 5, -((8*a)/(27*x)) + (8/27)*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a]*x] + (4*Log[1 - a*x^2])/(27*x^3) - (2*PolyLog[2, a*x^2])/(9*x^3) - PolyLog[3, a*x^2]/(3*x^3)}
+{PolyLog[3, a*x^2]/x^6, x, 6, -((8*a)/(375*x^3)) - (8*a^2)/(125*x) + (8/125)*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a]*x] + (4*Log[1 - a*x^2])/(125*x^5) - (2*PolyLog[2, a*x^2])/(25*x^5) - PolyLog[3, a*x^2]/(5*x^5)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q symbolic*)
+
+
+{x^2*PolyLog[2, a*x^q], x, 3, (a*q^2*x^(3 + q)*Hypergeometric2F1[1, (3 + q)/q, 2 + 3/q, a*x^q])/(9*(3 + q)) + (1/9)*q*x^3*Log[1 - a*x^q] + (1/3)*x^3*PolyLog[2, a*x^q]}
+{x^1*PolyLog[2, a*x^q], x, 3, (a*q^2*x^(2 + q)*Hypergeometric2F1[1, (2 + q)/q, 2*(1 + 1/q), a*x^q])/(4*(2 + q)) + (1/4)*q*x^2*Log[1 - a*x^q] + (1/2)*x^2*PolyLog[2, a*x^q]}
+{x^0*PolyLog[2, a*x^q], x, 3, (a*q^2*x^(1 + q)*Hypergeometric2F1[1, 1 + 1/q, 2 + 1/q, a*x^q])/(1 + q) + q*x*Log[1 - a*x^q] + x*PolyLog[2, a*x^q]}
+{PolyLog[2, a*x^q]/x^1, x, 1, PolyLog[3, a*x^q]/q}
+{PolyLog[2, a*x^q]/x^2, x, 3, -((a*q^2*x^(-1 + q)*Hypergeometric2F1[1, -((1 - q)/q), 2 - 1/q, a*x^q])/(1 - q)) + (q*Log[1 - a*x^q])/x - PolyLog[2, a*x^q]/x}
+{PolyLog[2, a*x^q]/x^3, x, 3, -((a*q^2*x^(-2 + q)*Hypergeometric2F1[1, -((2 - q)/q), 2*(1 - 1/q), a*x^q])/(4*(2 - q))) + (q*Log[1 - a*x^q])/(4*x^2) - PolyLog[2, a*x^q]/(2*x^2)}
+{PolyLog[2, a*x^q]/x^4, x, 3, -((a*q^2*x^(-3 + q)*Hypergeometric2F1[1, -((3 - q)/q), 2 - 3/q, a*x^q])/(9*(3 - q))) + (q*Log[1 - a*x^q])/(9*x^3) - PolyLog[2, a*x^q]/(3*x^3)}
+
+
+{x^2*PolyLog[3, a*x^q], x, 4, -((a*q^3*x^(3 + q)*Hypergeometric2F1[1, (3 + q)/q, 2 + 3/q, a*x^q])/(27*(3 + q))) - (1/27)*q^2*x^3*Log[1 - a*x^q] - (1/9)*q*x^3*PolyLog[2, a*x^q] + (1/3)*x^3*PolyLog[3, a*x^q]}
+{x^1*PolyLog[3, a*x^q], x, 4, -((a*q^3*x^(2 + q)*Hypergeometric2F1[1, (2 + q)/q, 2*(1 + 1/q), a*x^q])/(8*(2 + q))) - (1/8)*q^2*x^2*Log[1 - a*x^q] - (1/4)*q*x^2*PolyLog[2, a*x^q] + (1/2)*x^2*PolyLog[3, a*x^q]}
+{x^0*PolyLog[3, a*x^q], x, 4, -((a*q^3*x^(1 + q)*Hypergeometric2F1[1, 1 + 1/q, 2 + 1/q, a*x^q])/(1 + q)) - q^2*x*Log[1 - a*x^q] - q*x*PolyLog[2, a*x^q] + x*PolyLog[3, a*x^q]}
+{PolyLog[3, a*x^q]/x^1, x, 1, PolyLog[4, a*x^q]/q}
+{PolyLog[3, a*x^q]/x^2, x, 4, -((a*q^3*x^(-1 + q)*Hypergeometric2F1[1, -((1 - q)/q), 2 - 1/q, a*x^q])/(1 - q)) + (q^2*Log[1 - a*x^q])/x - (q*PolyLog[2, a*x^q])/x - PolyLog[3, a*x^q]/x}
+{PolyLog[3, a*x^q]/x^3, x, 4, -((a*q^3*x^(-2 + q)*Hypergeometric2F1[1, -((2 - q)/q), 2*(1 - 1/q), a*x^q])/(8*(2 - q))) + (q^2*Log[1 - a*x^q])/(8*x^2) - (q*PolyLog[2, a*x^q])/(4*x^2) - PolyLog[3, a*x^q]/(2*x^2)}
+{PolyLog[3, a*x^q]/x^4, x, 4, -((a*q^3*x^(-3 + q)*Hypergeometric2F1[1, -((3 - q)/q), 2 - 3/q, a*x^q])/(27*(3 - q))) + (q^2*Log[1 - a*x^q])/(27*x^3) - (q*PolyLog[2, a*x^q])/(9*x^3) - PolyLog[3, a*x^q]/(3*x^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^(m/2) PolyLog[n, a x^q]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q=1*)
+
+
+{(d*x)^(3/2)*PolyLog[2, a*x], x, 7, -((8*d*Sqrt[d*x])/(25*a^2)) - (8*(d*x)^(3/2))/(75*a) - (8*(d*x)^(5/2))/(125*d) + (8*d^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(25*a^(5/2)) + (4*(d*x)^(5/2)*Log[1 - a*x])/(25*d) + (2*(d*x)^(5/2)*PolyLog[2, a*x])/(5*d)}
+{(d*x)^(1/2)*PolyLog[2, a*x], x, 6, -((8*Sqrt[d*x])/(9*a)) - (8*(d*x)^(3/2))/(27*d) + (8*Sqrt[d]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(9*a^(3/2)) + (4*(d*x)^(3/2)*Log[1 - a*x])/(9*d) + (2*(d*x)^(3/2)*PolyLog[2, a*x])/(3*d)}
+{PolyLog[2, a*x]/(d*x)^(1/2), x, 5, -((8*Sqrt[d*x])/d) + (8*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(Sqrt[a]*Sqrt[d]) + (4*Sqrt[d*x]*Log[1 - a*x])/d + (2*Sqrt[d*x]*PolyLog[2, a*x])/d}
+{PolyLog[2, a*x]/(d*x)^(3/2), x, 4, (8*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) + (4*Log[1 - a*x])/(d*Sqrt[d*x]) - (2*PolyLog[2, a*x])/(d*Sqrt[d*x])}
+{PolyLog[2, a*x]/(d*x)^(5/2), x, 5, -((8*a)/(9*d^2*Sqrt[d*x])) + (8*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(9*d^(5/2)) + (4*Log[1 - a*x])/(9*d*(d*x)^(3/2)) - (2*PolyLog[2, a*x])/(3*d*(d*x)^(3/2))}
+{PolyLog[2, a*x]/(d*x)^(7/2), x, 6, -((8*a)/(75*d^2*(d*x)^(3/2))) - (8*a^2)/(25*d^3*Sqrt[d*x]) + (8*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(25*d^(7/2)) + (4*Log[1 - a*x])/(25*d*(d*x)^(5/2)) - (2*PolyLog[2, a*x])/(5*d*(d*x)^(5/2))}
+
+
+{(d*x)^(5/2)*PolyLog[3, a*x], x, 9, (16*d^2*Sqrt[d*x])/(343*a^3) + (16*d*(d*x)^(3/2))/(1029*a^2) + (16*(d*x)^(5/2))/(1715*a) + (16*(d*x)^(7/2))/(2401*d) - (16*d^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(343*a^(7/2)) - (8*(d*x)^(7/2)*Log[1 - a*x])/(343*d) - (4*(d*x)^(7/2)*PolyLog[2, a*x])/(49*d) + (2*(d*x)^(7/2)*PolyLog[3, a*x])/(7*d)}
+{(d*x)^(3/2)*PolyLog[3, a*x], x, 8, (16*d*Sqrt[d*x])/(125*a^2) + (16*(d*x)^(3/2))/(375*a) + (16*(d*x)^(5/2))/(625*d) - (16*d^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(125*a^(5/2)) - (8*(d*x)^(5/2)*Log[1 - a*x])/(125*d) - (4*(d*x)^(5/2)*PolyLog[2, a*x])/(25*d) + (2*(d*x)^(5/2)*PolyLog[3, a*x])/(5*d)}
+{(d*x)^(1/2)*PolyLog[3, a*x], x, 7, (16*Sqrt[d*x])/(27*a) + (16*(d*x)^(3/2))/(81*d) - (16*Sqrt[d]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(27*a^(3/2)) - (8*(d*x)^(3/2)*Log[1 - a*x])/(27*d) - (4*(d*x)^(3/2)*PolyLog[2, a*x])/(9*d) + (2*(d*x)^(3/2)*PolyLog[3, a*x])/(3*d)}
+{PolyLog[3, a*x]/(d*x)^(1/2), x, 6, (16*Sqrt[d*x])/d - (16*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(Sqrt[a]*Sqrt[d]) - (8*Sqrt[d*x]*Log[1 - a*x])/d - (4*Sqrt[d*x]*PolyLog[2, a*x])/d + (2*Sqrt[d*x]*PolyLog[3, a*x])/d}
+{PolyLog[3, a*x]/(d*x)^(3/2), x, 5, (16*Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) + (8*Log[1 - a*x])/(d*Sqrt[d*x]) - (4*PolyLog[2, a*x])/(d*Sqrt[d*x]) - (2*PolyLog[3, a*x])/(d*Sqrt[d*x])}
+{PolyLog[3, a*x]/(d*x)^(5/2), x, 6, -((16*a)/(27*d^2*Sqrt[d*x])) + (16*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(27*d^(5/2)) + (8*Log[1 - a*x])/(27*d*(d*x)^(3/2)) - (4*PolyLog[2, a*x])/(9*d*(d*x)^(3/2)) - (2*PolyLog[3, a*x])/(3*d*(d*x)^(3/2))}
+{PolyLog[3, a*x]/(d*x)^(7/2), x, 7, -((16*a)/(375*d^2*(d*x)^(3/2))) - (16*a^2)/(125*d^3*Sqrt[d*x]) + (16*a^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(125*d^(7/2)) + (8*Log[1 - a*x])/(125*d*(d*x)^(5/2)) - (4*PolyLog[2, a*x])/(25*d*(d*x)^(5/2)) - (2*PolyLog[3, a*x])/(5*d*(d*x)^(5/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q=2*)
+
+
+{(d*x)^(3/2)*PolyLog[2, a*x^2], x, 9, -((32*d*Sqrt[d*x])/(25*a)) - (32*(d*x)^(5/2))/(125*d) + (16*d^(3/2)*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(25*a^(5/4)) + (16*d^(3/2)*ArcTanh[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(25*a^(5/4)) + (8*(d*x)^(5/2)*Log[1 - a*x^2])/(25*d) + (2*(d*x)^(5/2)*PolyLog[2, a*x^2])/(5*d)}
+{(d*x)^(1/2)*PolyLog[2, a*x^2], x, 8, -((32*(d*x)^(3/2))/(27*d)) - (16*Sqrt[d]*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(9*a^(3/4)) + (16*Sqrt[d]*ArcTanh[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(9*a^(3/4)) + (8*(d*x)^(3/2)*Log[1 - a*x^2])/(9*d) + (2*(d*x)^(3/2)*PolyLog[2, a*x^2])/(3*d)}
+{PolyLog[2, a*x^2]/(d*x)^(1/2), x, 8, -((32*Sqrt[d*x])/d) + (16*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(a^(1/4)*Sqrt[d]) + (16*ArcTanh[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(a^(1/4)*Sqrt[d]) + (8*Sqrt[d*x]*Log[1 - a*x^2])/d + (2*Sqrt[d*x]*PolyLog[2, a*x^2])/d}
+{PolyLog[2, a*x^2]/(d*x)^(3/2), x, 7, -((16*a^(1/4)*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2)) + (16*a^(1/4)*ArcTanh[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) + (8*Log[1 - a*x^2])/(d*Sqrt[d*x]) - (2*PolyLog[2, a*x^2])/(d*Sqrt[d*x])}
+{PolyLog[2, a*x^2]/(d*x)^(5/2), x, 7, (16*a^(3/4)*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(9*d^(5/2)) + (16*a^(3/4)*ArcTanh[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(9*d^(5/2)) + (8*Log[1 - a*x^2])/(9*d*(d*x)^(3/2)) - (2*PolyLog[2, a*x^2])/(3*d*(d*x)^(3/2))}
+{PolyLog[2, a*x^2]/(d*x)^(7/2), x, 8, -((32*a)/(25*d^3*Sqrt[d*x])) - (16*a^(5/4)*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(25*d^(7/2)) + (16*a^(5/4)*ArcTanh[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(25*d^(7/2)) + (8*Log[1 - a*x^2])/(25*d*(d*x)^(5/2)) - (2*PolyLog[2, a*x^2])/(5*d*(d*x)^(5/2))}
+
+
+{(d*x)^(5/2)*PolyLog[3, a*x^2], x, 10, (128*d*(d*x)^(3/2))/(1029*a) + (128*(d*x)^(7/2))/(2401*d) + (64*d^(5/2)*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(343*a^(7/4)) - (64*d^(5/2)*ArcTanh[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(343*a^(7/4)) - (32*(d*x)^(7/2)*Log[1 - a*x^2])/(343*d) - (8*(d*x)^(7/2)*PolyLog[2, a*x^2])/(49*d) + (2*(d*x)^(7/2)*PolyLog[3, a*x^2])/(7*d)}
+{(d*x)^(3/2)*PolyLog[3, a*x^2], x, 10, (128*d*Sqrt[d*x])/(125*a) + (128*(d*x)^(5/2))/(625*d) - (64*d^(3/2)*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(125*a^(5/4)) - (64*d^(3/2)*ArcTanh[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(125*a^(5/4)) - (32*(d*x)^(5/2)*Log[1 - a*x^2])/(125*d) - (8*(d*x)^(5/2)*PolyLog[2, a*x^2])/(25*d) + (2*(d*x)^(5/2)*PolyLog[3, a*x^2])/(5*d)}
+{(d*x)^(1/2)*PolyLog[3, a*x^2], x, 9, (128*(d*x)^(3/2))/(81*d) + (64*Sqrt[d]*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(27*a^(3/4)) - (64*Sqrt[d]*ArcTanh[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(27*a^(3/4)) - (32*(d*x)^(3/2)*Log[1 - a*x^2])/(27*d) - (8*(d*x)^(3/2)*PolyLog[2, a*x^2])/(9*d) + (2*(d*x)^(3/2)*PolyLog[3, a*x^2])/(3*d)}
+{PolyLog[3, a*x^2]/(d*x)^(1/2), x, 9, (128*Sqrt[d*x])/d - (64*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(a^(1/4)*Sqrt[d]) - (64*ArcTanh[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(a^(1/4)*Sqrt[d]) - (32*Sqrt[d*x]*Log[1 - a*x^2])/d - (8*Sqrt[d*x]*PolyLog[2, a*x^2])/d + (2*Sqrt[d*x]*PolyLog[3, a*x^2])/d}
+{PolyLog[3, a*x^2]/(d*x)^(3/2), x, 8, -((64*a^(1/4)*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2)) + (64*a^(1/4)*ArcTanh[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/d^(3/2) + (32*Log[1 - a*x^2])/(d*Sqrt[d*x]) - (8*PolyLog[2, a*x^2])/(d*Sqrt[d*x]) - (2*PolyLog[3, a*x^2])/(d*Sqrt[d*x])}
+{PolyLog[3, a*x^2]/(d*x)^(5/2), x, 8, (64*a^(3/4)*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(27*d^(5/2)) + (64*a^(3/4)*ArcTanh[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(27*d^(5/2)) + (32*Log[1 - a*x^2])/(27*d*(d*x)^(3/2)) - (8*PolyLog[2, a*x^2])/(9*d*(d*x)^(3/2)) - (2*PolyLog[3, a*x^2])/(3*d*(d*x)^(3/2))}
+{PolyLog[3, a*x^2]/(d*x)^(7/2), x, 9, -((128*a)/(125*d^3*Sqrt[d*x])) - (64*a^(5/4)*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(125*d^(7/2)) + (64*a^(5/4)*ArcTanh[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(125*d^(7/2)) + (32*Log[1 - a*x^2])/(125*d*(d*x)^(5/2)) - (8*PolyLog[2, a*x^2])/(25*d*(d*x)^(5/2)) - (2*PolyLog[3, a*x^2])/(5*d*(d*x)^(5/2))}
+{PolyLog[3, a*x^2]/(d*x)^(9/2), x, 9, -((128*a)/(1029*d^3*(d*x)^(3/2))) + (64*a^(7/4)*ArcTan[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(343*d^(9/2)) + (64*a^(7/4)*ArcTanh[(a^(1/4)*Sqrt[d*x])/Sqrt[d]])/(343*d^(9/2)) + (32*Log[1 - a*x^2])/(343*d*(d*x)^(7/2)) - (8*PolyLog[2, a*x^2])/(49*d*(d*x)^(7/2)) - (2*PolyLog[3, a*x^2])/(7*d*(d*x)^(7/2))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*q symbolic*)
+
+
+{(d*x)^(3/2)*PolyLog[2, a*x^q], x, 4, (8*a*d*q^2*x^(2 + q)*Sqrt[d*x]*Hypergeometric2F1[1, (5/2 + q)/q, (1/2)*(4 + 5/q), a*x^q])/(25*(5 + 2*q)) + (4*q*(d*x)^(5/2)*Log[1 - a*x^q])/(25*d) + (2*(d*x)^(5/2)*PolyLog[2, a*x^q])/(5*d)}
+{(d*x)^(1/2)*PolyLog[2, a*x^q], x, 4, (8*a*q^2*x^(1 + q)*Sqrt[d*x]*Hypergeometric2F1[1, (3/2 + q)/q, (1/2)*(4 + 3/q), a*x^q])/(9*(3 + 2*q)) + (4*q*(d*x)^(3/2)*Log[1 - a*x^q])/(9*d) + (2*(d*x)^(3/2)*PolyLog[2, a*x^q])/(3*d)}
+{PolyLog[2, a*x^q]/(d*x)^(1/2), x, 4, (8*a*q^2*x^q*Sqrt[d*x]*Hypergeometric2F1[1, (1/2 + q)/q, (1/2)*(4 + 1/q), a*x^q])/(d*(1 + 2*q)) + (4*q*Sqrt[d*x]*Log[1 - a*x^q])/d + (2*Sqrt[d*x]*PolyLog[2, a*x^q])/d}
+{PolyLog[2, a*x^q]/(d*x)^(3/2), x, 4, -((8*a*q^2*x^q*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(2 - 1/q), (1/2)*(4 - 1/q), a*x^q])/(d*(1 - 2*q)*Sqrt[d*x])) + (4*q*Log[1 - a*x^q])/(d*Sqrt[d*x]) - (2*PolyLog[2, a*x^q])/(d*Sqrt[d*x])}
+{PolyLog[2, a*x^q]/(d*x)^(5/2), x, 4, -((8*a*q^2*x^(-1 + q)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(2 - 3/q), (1/2)*(4 - 3/q), a*x^q])/(9*d^2*(3 - 2*q)*Sqrt[d*x])) + (4*q*Log[1 - a*x^q])/(9*d*(d*x)^(3/2)) - (2*PolyLog[2, a*x^q])/(3*d*(d*x)^(3/2))}
+
+
+{(d*x)^(3/2)*PolyLog[3, a*x^q], x, 5, -((16*a*d*q^3*x^(2 + q)*Sqrt[d*x]*Hypergeometric2F1[1, (5/2 + q)/q, (1/2)*(4 + 5/q), a*x^q])/(125*(5 + 2*q))) - (8*q^2*(d*x)^(5/2)*Log[1 - a*x^q])/(125*d) - (4*q*(d*x)^(5/2)*PolyLog[2, a*x^q])/(25*d) + (2*(d*x)^(5/2)*PolyLog[3, a*x^q])/(5*d)}
+{(d*x)^(1/2)*PolyLog[3, a*x^q], x, 5, -((16*a*q^3*x^(1 + q)*Sqrt[d*x]*Hypergeometric2F1[1, (3/2 + q)/q, (1/2)*(4 + 3/q), a*x^q])/(27*(3 + 2*q))) - (8*q^2*(d*x)^(3/2)*Log[1 - a*x^q])/(27*d) - (4*q*(d*x)^(3/2)*PolyLog[2, a*x^q])/(9*d) + (2*(d*x)^(3/2)*PolyLog[3, a*x^q])/(3*d)}
+{PolyLog[3, a*x^q]/(d*x)^(1/2), x, 5, -((16*a*q^3*x^q*Sqrt[d*x]*Hypergeometric2F1[1, (1/2 + q)/q, (1/2)*(4 + 1/q), a*x^q])/(d*(1 + 2*q))) - (8*q^2*Sqrt[d*x]*Log[1 - a*x^q])/d - (4*q*Sqrt[d*x]*PolyLog[2, a*x^q])/d + (2*Sqrt[d*x]*PolyLog[3, a*x^q])/d}
+{PolyLog[3, a*x^q]/(d*x)^(3/2), x, 5, -((16*a*q^3*x^q*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(2 - 1/q), (1/2)*(4 - 1/q), a*x^q])/(d*(1 - 2*q)*Sqrt[d*x])) + (8*q^2*Log[1 - a*x^q])/(d*Sqrt[d*x]) - (4*q*PolyLog[2, a*x^q])/(d*Sqrt[d*x]) - (2*PolyLog[3, a*x^q])/(d*Sqrt[d*x])}
+{PolyLog[3, a*x^q]/(d*x)^(5/2), x, 5, -((16*a*q^3*x^(-1 + q)*Hypergeometric2F1[1, (1/2)*(2 - 3/q), (1/2)*(4 - 3/q), a*x^q])/(27*d^2*(3 - 2*q)*Sqrt[d*x])) + (8*q^2*Log[1 - a*x^q])/(27*d*(d*x)^(3/2)) - (4*q*PolyLog[2, a*x^q])/(9*d*(d*x)^(3/2)) - (2*PolyLog[3, a*x^q])/(3*d*(d*x)^(3/2))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m PolyLog[n/2, a x^q]*)
+
+
+{PolyLog[3/2, a*x], x, 2, (-x)*PolyLog[1/2, a*x] + x*PolyLog[3/2, a*x] + Unintegrable[PolyLog[-(1/2), a*x], x]}
+{PolyLog[1/2, a*x], x, 1, x*PolyLog[1/2, a*x] - Unintegrable[PolyLog[-(1/2), a*x], x]}
+{PolyLog[-1/2, a*x], x, 0, Unintegrable[PolyLog[-(1/2), a*x], x]}
+{PolyLog[-3/2, a*x], x, 1, x*PolyLog[-(1/2), a*x] - Unintegrable[PolyLog[-(1/2), a*x], x]}
+{PolyLog[-5/2, a*x], x, 2, x*PolyLog[-(3/2), a*x] - x*PolyLog[-(1/2), a*x] + Unintegrable[PolyLog[-(1/2), a*x], x]}
+
+
+{PolyLog[-3/2, a*x] + PolyLog[-1/2, a*x], x, 2, x*PolyLog[-1/2, a*x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m PolyLog[n, a x^q] with m symbolic*)
+
+
+{(d*x)^m*PolyLog[2, a*x], x, 3, (a*(d*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, a*x])/(d^2*(1 + m)^2*(2 + m)) + ((d*x)^(1 + m)*Log[1 - a*x])/(d*(1 + m)^2) + ((d*x)^(1 + m)*PolyLog[2, a*x])/(d*(1 + m))}
+{(d*x)^m*PolyLog[3, a*x], x, 4, -((a*(d*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, a*x])/(d^2*(1 + m)^3*(2 + m))) - ((d*x)^(1 + m)*Log[1 - a*x])/(d*(1 + m)^3) - ((d*x)^(1 + m)*PolyLog[2, a*x])/(d*(1 + m)^2) + ((d*x)^(1 + m)*PolyLog[3, a*x])/(d*(1 + m))}
+{(d*x)^m*PolyLog[4, a*x], x, 5, (a*(d*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[1, 2 + m, 3 + m, a*x])/(d^2*(1 + m)^4*(2 + m)) + ((d*x)^(1 + m)*Log[1 - a*x])/(d*(1 + m)^4) + ((d*x)^(1 + m)*PolyLog[2, a*x])/(d*(1 + m)^3) - ((d*x)^(1 + m)*PolyLog[3, a*x])/(d*(1 + m)^2) + ((d*x)^(1 + m)*PolyLog[4, a*x])/(d*(1 + m))}
+
+
+{(d*x)^m*PolyLog[2, a*x^2], x, 4, (4*a*(d*x)^(3 + m)*Hypergeometric2F1[1, (3 + m)/2, (5 + m)/2, a*x^2])/(d^3*(1 + m)^2*(3 + m)) + (2*(d*x)^(1 + m)*Log[1 - a*x^2])/(d*(1 + m)^2) + ((d*x)^(1 + m)*PolyLog[2, a*x^2])/(d*(1 + m))}
+{(d*x)^m*PolyLog[3, a*x^2], x, 5, -((8*a*(d*x)^(3 + m)*Hypergeometric2F1[1, (3 + m)/2, (5 + m)/2, a*x^2])/(d^3*(1 + m)^3*(3 + m))) - (4*(d*x)^(1 + m)*Log[1 - a*x^2])/(d*(1 + m)^3) - (2*(d*x)^(1 + m)*PolyLog[2, a*x^2])/(d*(1 + m)^2) + ((d*x)^(1 + m)*PolyLog[3, a*x^2])/(d*(1 + m))}
+{(d*x)^m*PolyLog[4, a*x^2], x, 6, (16*a*(d*x)^(3 + m)*Hypergeometric2F1[1, (3 + m)/2, (5 + m)/2, a*x^2])/(d^3*(1 + m)^4*(3 + m)) + (8*(d*x)^(1 + m)*Log[1 - a*x^2])/(d*(1 + m)^4) + (4*(d*x)^(1 + m)*PolyLog[2, a*x^2])/(d*(1 + m)^3) - (2*(d*x)^(1 + m)*PolyLog[3, a*x^2])/(d*(1 + m)^2) + ((d*x)^(1 + m)*PolyLog[4, a*x^2])/(d*(1 + m))}
+
+
+{(d*x)^m*PolyLog[2, a*x^3], x, 4, (9*a*(d*x)^(4 + m)*Hypergeometric2F1[1, (4 + m)/3, (7 + m)/3, a*x^3])/(d^4*(1 + m)^2*(4 + m)) + (3*(d*x)^(1 + m)*Log[1 - a*x^3])/(d*(1 + m)^2) + ((d*x)^(1 + m)*PolyLog[2, a*x^3])/(d*(1 + m))}
+{(d*x)^m*PolyLog[3, a*x^3], x, 5, -((27*a*(d*x)^(4 + m)*Hypergeometric2F1[1, (4 + m)/3, (7 + m)/3, a*x^3])/(d^4*(1 + m)^3*(4 + m))) - (9*(d*x)^(1 + m)*Log[1 - a*x^3])/(d*(1 + m)^3) - (3*(d*x)^(1 + m)*PolyLog[2, a*x^3])/(d*(1 + m)^2) + ((d*x)^(1 + m)*PolyLog[3, a*x^3])/(d*(1 + m))}
+{(d*x)^m*PolyLog[4, a*x^3], x, 6, (81*a*(d*x)^(4 + m)*Hypergeometric2F1[1, (4 + m)/3, (7 + m)/3, a*x^3])/(d^4*(1 + m)^4*(4 + m)) + (27*(d*x)^(1 + m)*Log[1 - a*x^3])/(d*(1 + m)^4) + (9*(d*x)^(1 + m)*PolyLog[2, a*x^3])/(d*(1 + m)^3) - (3*(d*x)^(1 + m)*PolyLog[3, a*x^3])/(d*(1 + m)^2) + ((d*x)^(1 + m)*PolyLog[4, a*x^3])/(d*(1 + m))}
+
+
+{(d*x)^m*PolyLog[2, a*x^q], x, 4, (a*q^2*x^(1 + q)*(d*x)^m*Hypergeometric2F1[1, (1 + m + q)/q, (1 + m + 2*q)/q, a*x^q])/((1 + m)^2*(1 + m + q)) + (q*(d*x)^(1 + m)*Log[1 - a*x^q])/(d*(1 + m)^2) + ((d*x)^(1 + m)*PolyLog[2, a*x^q])/(d*(1 + m))}
+{(d*x)^m*PolyLog[3, a*x^q], x, 5, -((a*q^3*x^(1 + q)*(d*x)^m*Hypergeometric2F1[1, (1 + m + q)/q, (1 + m + 2*q)/q, a*x^q])/((1 + m)^3*(1 + m + q))) - (q^2*(d*x)^(1 + m)*Log[1 - a*x^q])/(d*(1 + m)^3) - (q*(d*x)^(1 + m)*PolyLog[2, a*x^q])/(d*(1 + m)^2) + ((d*x)^(1 + m)*PolyLog[3, a*x^q])/(d*(1 + m))}
+{(d*x)^m*PolyLog[4, a*x^q], x, 6, (a*q^4*x^(1 + q)*(d*x)^m*Hypergeometric2F1[1, (1 + m + q)/q, (1 + m + 2*q)/q, a*x^q])/((1 + m)^4*(1 + m + q)) + (q^3*(d*x)^(1 + m)*Log[1 - a*x^q])/(d*(1 + m)^4) + (q^2*(d*x)^(1 + m)*PolyLog[2, a*x^q])/(d*(1 + m)^3) - (q*(d*x)^(1 + m)*PolyLog[3, a*x^q])/(d*(1 + m)^2) + ((d*x)^(1 + m)*PolyLog[4, a*x^q])/(d*(1 + m))}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m PolyLog[n, a x^q] with n symbolic*)
+
+
+{x^1*PolyLog[n, a*x], x, 0, Unintegrable[x*PolyLog[n, a*x], x]}
+{x^0*PolyLog[n, a*x], x, 0, Unintegrable[PolyLog[n, a*x], x]}
+{PolyLog[n, a*x]/x^1, x, 1, PolyLog[1 + n, a*x]}
+{PolyLog[n, a*x]/x^2, x, 0, Unintegrable[PolyLog[n, a*x]/x^2, x]}
+{PolyLog[n, a*x]/x^3, x, 0, Unintegrable[PolyLog[n, a*x]/x^3, x]}
+
+
+{x^1*PolyLog[n, a*x^q], x, 0, Unintegrable[x*PolyLog[n, a*x^q], x]}
+{x^0*PolyLog[n, a*x^q], x, 0, Unintegrable[PolyLog[n, a*x^q], x]}
+{PolyLog[n, a*x^q]/x^1, x, 1, PolyLog[1 + n, a*x^q]/q}
+{PolyLog[n, a*x^q]/x^2, x, 0, Unintegrable[PolyLog[n, a*x^q]/x^2, x]}
+{PolyLog[n, a*x^q]/x^3, x, 0, Unintegrable[PolyLog[n, a*x^q]/x^3, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m PolyLog[n, c (a+b x)]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m PolyLog[n, c (a+b x)]*)
+
+
+{x^2*PolyLog[2, c*(a + b*x)], x, 13, -((a^2*x)/(3*b^2)) + (a*(1 - a*c)*x)/(6*b^2*c) - ((1 - a*c)^2*x)/(9*b^2*c^2) + (a*x^2)/(12*b) - ((1 - a*c)*x^2)/(18*b*c) - x^3/27 + (a*(1 - a*c)^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/(6*b^3*c^2) - ((1 - a*c)^3*Log[1 - a*c - b*c*x])/(9*b^3*c^3) - (a*x^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/(6*b) + (1/9)*x^3*Log[1 - a*c - b*c*x] - (a^2*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(3*b^3*c) + (a^3*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(3*b^3) + (1/3)*x^3*PolyLog[2, c*(a + b*x)]}
+{x^1*PolyLog[2, c*(a + b*x)], x, 10, (a*x)/(2*b) - ((1 - a*c)*x)/(4*b*c) - x^2/8 - ((1 - a*c)^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/(4*b^2*c^2) + (1/4)*x^2*Log[1 - a*c - b*c*x] + (a*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(2*b^2*c) - (a^2*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*b^2) + (1/2)*x^2*PolyLog[2, c*(a + b*x)]}
+{x^0*PolyLog[2, c*(a + b*x)], x, 7, -x - ((1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(b*c) + (a*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/b + x*PolyLog[2, c*(a + b*x)]}
+{PolyLog[2, c*(a + b*x)]/x^1, x, 3, Log[x]*Log[1 + (b*x)/a]*Log[1 - c*(a + b*x)] + (1/2)*(Log[1 + (b*x)/a] + Log[(1 - a*c)/(1 - c*(a + b*x))] - Log[((1 - a*c)*(a + b*x))/(a*(1 - c*(a + b*x)))])*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]^2 + (1/2)*(Log[c*(a + b*x)] - Log[1 + (b*x)/a])*(Log[x] + Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])^2 + (Log[1 - c*(a + b*x)] - Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])*PolyLog[2, -((b*x)/a)] + Log[x]*PolyLog[2, c*(a + b*x)] + Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]*PolyLog[2, -((b*x)/(a*(1 - c*(a + b*x))))] - Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]*PolyLog[2, -((b*c*x)/(1 - c*(a + b*x)))] + (Log[x] + Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)] - PolyLog[3, -((b*x)/a)] + PolyLog[3, -((b*x)/(a*(1 - c*(a + b*x))))] - PolyLog[3, -((b*c*x)/(1 - c*(a + b*x)))] - PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)]}
+{PolyLog[2, c*(a + b*x)]/x^2, x, 7, -((b*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x])/a) - (b*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/a - PolyLog[2, c*(a + b*x)]/x - (b*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/a}
+{PolyLog[2, c*(a + b*x)]/x^3, x, 11, (b^2*c*Log[x])/(2*a*(1 - a*c)) - (b^2*c*Log[1 - a*c - b*c*x])/(2*a*(1 - a*c)) + (b*Log[1 - a*c - b*c*x])/(2*a*x) + (b^2*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x])/(2*a^2) + (b^2*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*a^2) - PolyLog[2, c*(a + b*x)]/(2*x^2) + (b^2*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/(2*a^2)}
+{PolyLog[2, c*(a + b*x)]/x^4, x, 14, -((b^2*c)/(6*a*(1 - a*c)*x)) + (b^3*c^2*Log[x])/(6*a*(1 - a*c)^2) - (b^3*c*Log[x])/(3*a^2*(1 - a*c)) - (b^3*c^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/(6*a*(1 - a*c)^2) + (b^3*c*Log[1 - a*c - b*c*x])/(3*a^2*(1 - a*c)) + (b*Log[1 - a*c - b*c*x])/(6*a*x^2) - (b^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/(3*a^2*x) - (b^3*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x])/(3*a^3) - (b^3*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(3*a^3) - PolyLog[2, c*(a + b*x)]/(3*x^3) - (b^3*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/(3*a^3)}
+
+
+{x^2*PolyLog[3, c*(a + b*x)], x, 33, (11*a^2*x)/(18*b^2) - (5*a*(1 - a*c)*x)/(36*b^2*c) + ((1 - a*c)^2*x)/(27*b^2*c^2) - (5*a*x^2)/(72*b) + ((1 - a*c)*x^2)/(54*b*c) + x^3/81 - (5*a*(1 - a*c)^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/(36*b^3*c^2) + ((1 - a*c)^3*Log[1 - a*c - b*c*x])/(27*b^3*c^3) + (5*a*x^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/(36*b) - (1/27)*x^3*Log[1 - a*c - b*c*x] + (11*a^2*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(18*b^3*c) - (11*a^3*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(18*b^3) - (a^2*x*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(3*b^2) + (a*x^2*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(6*b) - (1/9)*x^3*PolyLog[2, c*(a + b*x)] + (2*a^3*PolyLog[3, c*(a + b*x)])/(3*b^3) - ((a^3 - b^3*x^3)*PolyLog[3, c*(a + b*x)])/(3*b^3)}
+{x^1*PolyLog[3, c*(a + b*x)], x, 19, -((3*a*x)/(4*b)) + ((1 - a*c)*x)/(8*b*c) + x^2/16 + ((1 - a*c)^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/(8*b^2*c^2) - (1/8)*x^2*Log[1 - a*c - b*c*x] - (3*a*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(4*b^2*c) + (3*a^2*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(4*b^2) + (a*x*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*b) - (1/4)*x^2*PolyLog[2, c*(a + b*x)] - ((a^2 - b^2*x^2)*PolyLog[3, c*(a + b*x)])/(2*b^2)}
+{x^0*PolyLog[3, c*(a + b*x)], x, 9, x + ((1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(b*c) - (a*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/b - x*PolyLog[2, c*(a + b*x)] + (a*PolyLog[3, c*(a + b*x)])/b + x*PolyLog[3, c*(a + b*x)]}
+{PolyLog[3, c*(a + b*x)]/x^1, x, 1, Int[PolyLog[3, a*c + b*c*x]/x, x]}
+{PolyLog[3, c*(a + b*x)]/x^2, x, 6, (b*Log[x]*Log[1 + (b*x)/a]*Log[1 - c*(a + b*x)])/a + (b*(Log[1 + (b*x)/a] + Log[(1 - a*c)/(1 - c*(a + b*x))] - Log[((1 - a*c)*(a + b*x))/(a*(1 - c*(a + b*x)))])*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]^2)/(2*a) + (b*(Log[c*(a + b*x)] - Log[1 + (b*x)/a])*(Log[x] + Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])^2)/(2*a) + (b*(Log[1 - c*(a + b*x)] - Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])*PolyLog[2, -((b*x)/a)])/a + (b*Log[x]*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/a + (b*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]*PolyLog[2, -((b*x)/(a*(1 - c*(a + b*x))))])/a - (b*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]*PolyLog[2, -((b*c*x)/(1 - c*(a + b*x)))])/a + (b*(Log[x] + Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/a - (b*PolyLog[3, -((b*x)/a)])/a - (2*b*PolyLog[3, c*(a + b*x)])/a + ((b - a/x)*PolyLog[3, c*(a + b*x)])/a + (b*PolyLog[3, -((b*x)/(a*(1 - c*(a + b*x))))])/a - (b*PolyLog[3, -((b*c*x)/(1 - c*(a + b*x)))])/a - (b*PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)])/a}
+{PolyLog[3, c*(a + b*x)]/x^3, x, 12, -((b^2*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x])/(2*a^2)) - (b^2*Log[x]*Log[1 + (b*x)/a]*Log[1 - c*(a + b*x)])/(2*a^2) - (b^2*(Log[1 + (b*x)/a] + Log[(1 - a*c)/(1 - c*(a + b*x))] - Log[((1 - a*c)*(a + b*x))/(a*(1 - c*(a + b*x)))])*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]^2)/(4*a^2) - (b^2*(Log[c*(a + b*x)] - Log[1 + (b*x)/a])*(Log[x] + Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])^2)/(4*a^2) - (b^2*(Log[1 - c*(a + b*x)] - Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])*PolyLog[2, -((b*x)/a)])/(2*a^2) - (b^2*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*a^2) - (b*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*a*x) - (b^2*Log[x]*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*a^2) - (b^2*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/(2*a^2) - (b^2*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]*PolyLog[2, -((b*x)/(a*(1 - c*(a + b*x))))])/(2*a^2) + (b^2*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]*PolyLog[2, -((b*c*x)/(1 - c*(a + b*x)))])/(2*a^2) - (b^2*(Log[x] + Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/(2*a^2) + (b^2*PolyLog[3, -((b*x)/a)])/(2*a^2) + ((b^2 - a^2/x^2)*PolyLog[3, c*(a + b*x)])/(2*a^2) - (b^2*PolyLog[3, -((b*x)/(a*(1 - c*(a + b*x))))])/(2*a^2) + (b^2*PolyLog[3, -((b*c*x)/(1 - c*(a + b*x)))])/(2*a^2) + (b^2*PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)])/(2*a^2)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d+e x)^m PolyLog[n,c (a+b x)]*)
+
+
+{PolyLog[2, c*(a + b*x)]*(d + e*x)^3, x, 16, -(((b*d - a*e)^3*x)/(4*b^3)) - ((b*d - a*e)^2*(b*c*d + e - a*c*e)*x)/(8*b^3*c) - ((b*d - a*e)*(b*c*d + e - a*c*e)^2*x)/(12*b^3*c^2) - ((b*c*d + e - a*c*e)^3*x)/(16*b^3*c^3) - ((b*d - a*e)^2*(d + e*x)^2)/(16*b^2*e) - ((b*d - a*e)*(b*c*d + e - a*c*e)*(d + e*x)^2)/(24*b^2*c*e) - ((b*c*d + e - a*c*e)^2*(d + e*x)^2)/(32*b^2*c^2*e) - ((b*d - a*e)*(d + e*x)^3)/(36*b*e) - ((b*c*d + e - a*c*e)*(d + e*x)^3)/(48*b*c*e) - (d + e*x)^4/(64*e) - ((b*d - a*e)^2*(b*c*d + e - a*c*e)^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/(8*b^4*c^2*e) - ((b*d - a*e)*(b*c*d + e - a*c*e)^3*Log[1 - a*c - b*c*x])/(12*b^4*c^3*e) - ((b*c*d + e - a*c*e)^4*Log[1 - a*c - b*c*x])/(16*b^4*c^4*e) - ((b*d - a*e)^3*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(4*b^4*c) + ((b*d - a*e)^2*(d + e*x)^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/(8*b^2*e) + ((b*d - a*e)*(d + e*x)^3*Log[1 - a*c - b*c*x])/(12*b*e) + ((d + e*x)^4*Log[1 - a*c - b*c*x])/(16*e) - ((b*d - a*e)^4*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(4*b^4*e) + ((d + e*x)^4*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(4*e)}
+{PolyLog[2, c*(a + b*x)]*(d + e*x)^2, x, 13, -(((b*d - a*e)^2*x)/(3*b^2)) - ((b*d - a*e)*(b*c*d + e - a*c*e)*x)/(6*b^2*c) - ((b*c*d + e - a*c*e)^2*x)/(9*b^2*c^2) - ((b*d - a*e)*(d + e*x)^2)/(12*b*e) - ((b*c*d + e - a*c*e)*(d + e*x)^2)/(18*b*c*e) - (d + e*x)^3/(27*e) - ((b*d - a*e)*(b*c*d + e - a*c*e)^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/(6*b^3*c^2*e) - ((b*c*d + e - a*c*e)^3*Log[1 - a*c - b*c*x])/(9*b^3*c^3*e) - ((b*d - a*e)^2*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(3*b^3*c) + ((b*d - a*e)*(d + e*x)^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/(6*b*e) + ((d + e*x)^3*Log[1 - a*c - b*c*x])/(9*e) - ((b*d - a*e)^3*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(3*b^3*e) + ((d + e*x)^3*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(3*e)}
+{PolyLog[2, c*(a + b*x)]*(d + e*x)^1, x, 10, -(((b*d - a*e)*x)/(2*b)) - ((b*c*d + e - a*c*e)*x)/(4*b*c) - (d + e*x)^2/(8*e) - ((b*c*d + e - a*c*e)^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/(4*b^2*c^2*e) - ((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(2*b^2*c) + ((d + e*x)^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/(4*e) - ((b*d - a*e)^2*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*b^2*e) + ((d + e*x)^2*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*e)}
+{PolyLog[2, c*(a + b*x)]*(d + e*x)^0, x, 7, -x - ((1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(b*c) + (a*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/b + x*PolyLog[2, c*(a + b*x)]}
+{PolyLog[2, c*(a + b*x)]/(d + e*x)^1, x, 3, ((Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(2*e) + (Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/e - ((Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])^2)/(2*e) + (Log[d + e*x]*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/e + ((Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/e + ((Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/e - (Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/e + (Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/e - PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)]/e - PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)]/e - PolyLog[3, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))]/e + PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))]/e}
+{PolyLog[2, c*(a + b*x)]/(d + e*x)^2, x, 8, (b*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(e*(b*d - a*e)) + (b*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(e*(b*d - a*e)) - PolyLog[2, c*(a + b*x)]/(e*(d + e*x)) + (b*PolyLog[2, (e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(e*(b*d - a*e))}
+{PolyLog[2, c*(a + b*x)]/(d + e*x)^3, x, 12, (b^2*c*Log[1 - a*c - b*c*x])/(2*e*(b*d - a*e)*(b*c*d + e - a*c*e)) - (b*Log[1 - a*c - b*c*x])/(2*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)) - (b^2*c*Log[d + e*x])/(2*e*(b*d - a*e)*(b*c*d + e - a*c*e)) + (b^2*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(2*e*(b*d - a*e)^2) + (b^2*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*e*(b*d - a*e)^2) - PolyLog[2, c*(a + b*x)]/(2*e*(d + e*x)^2) + (b^2*PolyLog[2, (e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(2*e*(b*d - a*e)^2)}
+{PolyLog[2, c*(a + b*x)]/(d + e*x)^4, x, 15, (b^2*c)/(6*e*(b*d - a*e)*(b*c*d + e - a*c*e)*(d + e*x)) + (b^3*c^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/(6*e*(b*d - a*e)*(b*c*d + e - a*c*e)^2) + (b^3*c*Log[1 - a*c - b*c*x])/(3*e*(b*d - a*e)^2*(b*c*d + e - a*c*e)) - (b*Log[1 - a*c - b*c*x])/(6*e*(b*d - a*e)*(d + e*x)^2) - (b^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/(3*e*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)) - (b^3*c^2*Log[d + e*x])/(6*e*(b*d - a*e)*(b*c*d + e - a*c*e)^2) - (b^3*c*Log[d + e*x])/(3*e*(b*d - a*e)^2*(b*c*d + e - a*c*e)) + (b^3*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(3*e*(b*d - a*e)^3) + (b^3*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(3*e*(b*d - a*e)^3) - PolyLog[2, c*(a + b*x)]/(3*e*(d + e*x)^3) + (b^3*PolyLog[2, (e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(3*e*(b*d - a*e)^3)}
+
+
+(* Following integrands are equal. *)
+{PolyLog[2, x]/(-1 + x), x, 5, Log[1-x]^2 Log[x]+2 Log[1-x] PolyLog[2,1-x]+Log[1-x] PolyLog[2,x]-2 PolyLog[3,1-x]}
+{-PolyLog[2, x]/(1 - x), x, 5, Log[1-x]^2 Log[x]+2 Log[1-x] PolyLog[2,1-x]+Log[1-x] PolyLog[2,x]-2 PolyLog[3,1-x]}
+
+{PolyLog[2, x]/((-1 + x)*x), x, 8, Log[1-x]^2 Log[x]+2 Log[1-x] PolyLog[2,1-x]+Log[1-x] PolyLog[2,x]-2 PolyLog[3,1-x]-PolyLog[3,x]}
+{-PolyLog[2, x]/((1 - x)*x), x, 8, Log[1-x]^2 Log[x]+2 Log[1-x] PolyLog[2,1-x]+Log[1-x] PolyLog[2,x]-2 PolyLog[3,1-x]-PolyLog[3,x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form PolyLog[n, e ((a + b x) / (c + d x))^n] / ((a + b x) (c + d x))*)
+
+
+{PolyLog[n, e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 1, PolyLog[1 + n, e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/((b*c - a*d)*n)}
+
+
+{PolyLog[3, e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 1, PolyLog[4, e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/(n*(b*c - a*d))}
+{PolyLog[2, e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 1, PolyLog[3, e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/(n*(b*c - a*d))}
+{PolyLog[1, e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 1, PolyLog[2, e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/(n*(b*c - a*d))}
+{PolyLog[0, e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 2, PolyLog[1, e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/(n*(b*c - a*d))}
+{PolyLog[-1, e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 2, 1/((b*c - a*d)*n*(1 - e*((a + b*x)/(c + d*x))^n))}
+{PolyLog[-2, e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/((a + b*x)*(c + d*x)), x, 4, PolyLog[-1, e*((a + b*x)/(c + d*x))^n]/(n*(b*c - a*d))}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m PolyLog[n, d (F^(c (a + b x)))^p]*)
+
+
+{x^3*PolyLog[n, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x, 5, (x^3*PolyLog[1 + n, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]) - (3*x^2*PolyLog[2 + n, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b^2*c^2*p^2*Log[F]^2) + (6*x*PolyLog[3 + n, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b^3*c^3*p^3*Log[F]^3) - (6*PolyLog[4 + n, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b^4*c^4*p^4*Log[F]^4)}
+{x^2*PolyLog[n, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x, 4, (x^2*PolyLog[1 + n, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]) - (2*x*PolyLog[2 + n, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b^2*c^2*p^2*Log[F]^2) + (2*PolyLog[3 + n, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b^3*c^3*p^3*Log[F]^3)}
+{x^1*PolyLog[n, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x, 3, (x*PolyLog[1 + n, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]) - PolyLog[2 + n, d*(F^(c*(a + b*x)))^p]/(b^2*c^2*p^2*Log[F]^2)}
+{x^0*PolyLog[n, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x, 2, PolyLog[1 + n, d*(F^(c*(a + b*x)))^p]/(b*c*p*Log[F])}
+{PolyLog[n, d*(F^(c*(a + b*x)))^p]/x^1, x, 1, CannotIntegrate[PolyLog[n, d*(F^(a*c + b*c*x))^p]/x, x]}
+
+
+(* ::Section::Closed:: *)
+(*Integrands of the form (d x)^m P[x] (g+h Log[f (d+e x)^n]) PolyLog[2, c (a+b x)]*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m Log[1-c x] PolyLog[2, c x]*)
+
+
+{x^3*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x], x, 38, (355*x)/(576*c^3) + (139*x^2)/(1152*c^2) + (67*x^3)/(1728*c) + (3*x^4)/256 + (139*Log[1 - c*x])/(576*c^4) - (x^2*Log[1 - c*x])/(8*c^2) - (5*x^3*Log[1 - c*x])/(72*c) - (3/64)*x^4*Log[1 - c*x] + (3*(1 - c*x)*Log[1 - c*x])/(8*c^4) - Log[1 - c*x]^2/(16*c^4) + (1/16)*x^4*Log[1 - c*x]^2 - (Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2)/(4*c^4) - (x*PolyLog[2, c*x])/(4*c^3) - (x^2*PolyLog[2, c*x])/(8*c^2) - (x^3*PolyLog[2, c*x])/(12*c) - (1/16)*x^4*PolyLog[2, c*x] - (Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x])/(4*c^4) + (1/4)*x^4*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] - (Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x])/(2*c^4) + PolyLog[3, 1 - c*x]/(2*c^4)}
+{x^2*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x], x, 31, (31*x)/(36*c^2) + (11*x^2)/(72*c) + x^3/27 + (11*Log[1 - c*x])/(36*c^3) - (7*x^2*Log[1 - c*x])/(36*c) - (1/9)*x^3*Log[1 - c*x] + (5*(1 - c*x)*Log[1 - c*x])/(9*c^3) - Log[1 - c*x]^2/(9*c^3) + (1/9)*x^3*Log[1 - c*x]^2 - (Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2)/(3*c^3) - (x*PolyLog[2, c*x])/(3*c^2) - (x^2*PolyLog[2, c*x])/(6*c) - (1/9)*x^3*PolyLog[2, c*x] - (Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x])/(3*c^3) + (1/3)*x^3*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] - (2*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x])/(3*c^3) + (2*PolyLog[3, 1 - c*x])/(3*c^3)}
+{x^1*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x], x, 22, (13*x)/(8*c) + x^2/16 + (1 - c*x)^2/(8*c^2) + Log[1 - c*x]/(8*c^2) - (1/8)*x^2*Log[1 - c*x] + (3*(1 - c*x)*Log[1 - c*x])/(2*c^2) - ((1 - c*x)^2*Log[1 - c*x])/(4*c^2) - ((1 - c*x)*Log[1 - c*x]^2)/(2*c^2) + ((1 - c*x)^2*Log[1 - c*x]^2)/(4*c^2) - (Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2)/(2*c^2) - (x*PolyLog[2, c*x])/(2*c) - (1/4)*x^2*PolyLog[2, c*x] - (Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x])/(2*c^2) + (1/2)*x^2*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] - (Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x])/c^2 + PolyLog[3, 1 - c*x]/c^2}
+{x^0*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x], x, 15, 3*x + (3*(1 - c*x)*Log[1 - c*x])/c - ((1 - c*x)*Log[1 - c*x]^2)/c - (Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2)/c - x*PolyLog[2, c*x] - (Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x])/c + x*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] - (2*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x])/c + (2*PolyLog[3, 1 - c*x])/c}
+{Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x]/x^1, x, 1, (-(1/2))*PolyLog[2, c*x]^2}
+{Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x]/x^2, x, 10, ((1 - c*x)*Log[1 - c*x]^2)/x + c*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2 - 2*c*PolyLog[2, c*x] + c*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] - (Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x])/x + 2*c*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x] - c*PolyLog[3, c*x] - 2*c*PolyLog[3, 1 - c*x]}
+{Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x]/x^3, x, 23, (-c^2)*Log[x] + c^2*Log[1 - c*x] - (c*Log[1 - c*x])/x - (1/4)*c^2*Log[1 - c*x]^2 + Log[1 - c*x]^2/(4*x^2) + (1/2)*c^2*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2 - (1/2)*c^2*PolyLog[2, c*x] + (c*PolyLog[2, c*x])/(2*x) + (1/2)*c^2*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] - (Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x])/(2*x^2) + c^2*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x] - (1/2)*c^2*PolyLog[3, c*x] - c^2*PolyLog[3, 1 - c*x]}
+{Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x]/x^4, x, 30, (7*c^2)/(36*x) - (3/4)*c^3*Log[x] + (3/4)*c^3*Log[1 - c*x] - (7*c*Log[1 - c*x])/(36*x^2) - (5*c^2*Log[1 - c*x])/(9*x) - (1/9)*c^3*Log[1 - c*x]^2 + Log[1 - c*x]^2/(9*x^3) + (1/3)*c^3*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2 - (2/9)*c^3*PolyLog[2, c*x] + (c*PolyLog[2, c*x])/(6*x^2) + (c^2*PolyLog[2, c*x])/(3*x) + (1/3)*c^3*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] - (Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x])/(3*x^3) + (2/3)*c^3*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x] - (1/3)*c^3*PolyLog[3, c*x] - (2/3)*c^3*PolyLog[3, 1 - c*x]}
+{Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x]/x^5, x, 37, (5*c^2)/(144*x^2) + (7*c^3)/(36*x) - (41/72)*c^4*Log[x] + (41/72)*c^4*Log[1 - c*x] - (5*c*Log[1 - c*x])/(72*x^3) - (c^2*Log[1 - c*x])/(8*x^2) - (3*c^3*Log[1 - c*x])/(8*x) - (1/16)*c^4*Log[1 - c*x]^2 + Log[1 - c*x]^2/(16*x^4) + (1/4)*c^4*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2 - (1/8)*c^4*PolyLog[2, c*x] + (c*PolyLog[2, c*x])/(12*x^3) + (c^2*PolyLog[2, c*x])/(8*x^2) + (c^3*PolyLog[2, c*x])/(4*x) + (1/4)*c^4*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] - (Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x])/(4*x^4) + (1/2)*c^4*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x] - (1/4)*c^4*PolyLog[3, c*x] - (1/2)*c^4*PolyLog[3, 1 - c*x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (g+h Log[1-c x]) PolyLog[2, c x]*)
+
+
+{x^2*(g + h*Log[1 - c*x])*PolyLog[2, c*x], x, 25, (121*h*x)/(108*c^2) + (13*h*x^2)/(216*c) + (h*x^3)/81 + (h*(1 - c*x)^2)/(6*c^3) - (2*h*(1 - c*x)^3)/(81*c^3) + (13*h*Log[1 - c*x])/(108*c^3) - (h*x^2*Log[1 - c*x])/(12*c) - (1/27)*h*x^3*Log[1 - c*x] + (h*(1 - c*x)*Log[1 - c*x])/(3*c^3) + (h*Log[1 - c*x]^2)/(9*c^3) - (h*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2)/(3*c^3) + (1/9)*x^3*Log[1 - c*x]*(g + h*Log[1 - c*x]) + ((1 - c*x)*(g + 2*h*Log[1 - c*x]))/(3*c^3) - ((1 - c*x)^2*(g + 2*h*Log[1 - c*x]))/(6*c^3) + ((1 - c*x)^3*(g + 2*h*Log[1 - c*x]))/(27*c^3) - (Log[1 - c*x]*(g + 2*h*Log[1 - c*x]))/(9*c^3) - (h*x*PolyLog[2, c*x])/(3*c^2) - (h*x^2*PolyLog[2, c*x])/(6*c) - (1/9)*h*x^3*PolyLog[2, c*x] - (h*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x])/(3*c^3) + (1/3)*x^3*(g + h*Log[1 - c*x])*PolyLog[2, c*x] - (2*h*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x])/(3*c^3) + (2*h*PolyLog[3, 1 - c*x])/(3*c^3)}
+{x^1*(g + h*Log[1 - c*x])*PolyLog[2, c*x], x, 21, (13*h*x)/(8*c) + (h*x^2)/16 + (h*(1 - c*x)^2)/(8*c^2) + (h*Log[1 - c*x])/(8*c^2) - (1/8)*h*x^2*Log[1 - c*x] + (h*(1 - c*x)*Log[1 - c*x])/(2*c^2) + (h*Log[1 - c*x]^2)/(4*c^2) - (h*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2)/(2*c^2) + (1/4)*x^2*Log[1 - c*x]*(g + h*Log[1 - c*x]) + ((1 - c*x)*(g + 2*h*Log[1 - c*x]))/(2*c^2) - ((1 - c*x)^2*(g + 2*h*Log[1 - c*x]))/(8*c^2) - (Log[1 - c*x]*(g + 2*h*Log[1 - c*x]))/(4*c^2) - (h*x*PolyLog[2, c*x])/(2*c) - (1/4)*h*x^2*PolyLog[2, c*x] - (h*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x])/(2*c^2) + (1/2)*x^2*(g + h*Log[1 - c*x])*PolyLog[2, c*x] - (h*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x])/c^2 + (h*PolyLog[3, 1 - c*x])/c^2}
+{x^0*(g + h*Log[1 - c*x])*PolyLog[2, c*x], x, 18, (-g)*x + 3*h*x - (g*(1 - c*x)*Log[1 - c*x])/c + (3*h*(1 - c*x)*Log[1 - c*x])/c - (h*(1 - c*x)*Log[1 - c*x]^2)/c - (h*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2)/c - h*x*PolyLog[2, c*x] - (h*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x])/c + x*(g + h*Log[1 - c*x])*PolyLog[2, c*x] - (2*h*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x])/c + (2*h*PolyLog[3, 1 - c*x])/c}
+{(g + h*Log[1 - c*x])*PolyLog[2, c*x]/x^1, x, 3, (-(1/2))*h*PolyLog[2, c*x]^2 + g*PolyLog[3, c*x]}
+{(g + h*Log[1 - c*x])*PolyLog[2, c*x]/x^2, x, 12, c*h*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2 + (Log[1 - c*x]*(g + h*Log[1 - c*x]))/x + c*(g + 2*h*Log[1 - c*x])*Log[1 - 1/(1 - c*x)] + c*h*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] - ((g + h*Log[1 - c*x])*PolyLog[2, c*x])/x - 2*c*h*PolyLog[2, 1/(1 - c*x)] + 2*c*h*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x] - c*h*PolyLog[3, c*x] - 2*c*h*PolyLog[3, 1 - c*x]}
+{(g + h*Log[1 - c*x])*PolyLog[2, c*x]/x^3, x, 20, (-c^2)*h*Log[x] + (1/2)*c^2*h*Log[1 - c*x] - (c*h*Log[1 - c*x])/(2*x) + (1/2)*c^2*h*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2 + (Log[1 - c*x]*(g + h*Log[1 - c*x]))/(4*x^2) - (c*(1 - c*x)*(g + 2*h*Log[1 - c*x]))/(4*x) + (1/4)*c^2*(g + 2*h*Log[1 - c*x])*Log[1 - 1/(1 - c*x)] + (c*h*PolyLog[2, c*x])/(2*x) + (1/2)*c^2*h*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] - ((g + h*Log[1 - c*x])*PolyLog[2, c*x])/(2*x^2) - (1/2)*c^2*h*PolyLog[2, 1/(1 - c*x)] + c^2*h*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x] - (1/2)*c^2*h*PolyLog[3, c*x] - c^2*h*PolyLog[3, 1 - c*x]}
+{(g + h*Log[1 - c*x])*PolyLog[2, c*x]/x^4, x, 28, (7*c^2*h)/(36*x) - (3/4)*c^3*h*Log[x] + (19/36)*c^3*h*Log[1 - c*x] - (c*h*Log[1 - c*x])/(12*x^2) - (c^2*h*Log[1 - c*x])/(3*x) + (1/3)*c^3*h*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2 + (Log[1 - c*x]*(g + h*Log[1 - c*x]))/(9*x^3) - (c*(g + 2*h*Log[1 - c*x]))/(18*x^2) - (c^2*(1 - c*x)*(g + 2*h*Log[1 - c*x]))/(9*x) + (1/9)*c^3*(g + 2*h*Log[1 - c*x])*Log[1 - 1/(1 - c*x)] + (c*h*PolyLog[2, c*x])/(6*x^2) + (c^2*h*PolyLog[2, c*x])/(3*x) + (1/3)*c^3*h*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] - ((g + h*Log[1 - c*x])*PolyLog[2, c*x])/(3*x^3) - (2/9)*c^3*h*PolyLog[2, 1/(1 - c*x)] + (2/3)*c^3*h*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x] - (1/3)*c^3*h*PolyLog[3, c*x] - (2/3)*c^3*h*PolyLog[3, 1 - c*x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (g+h Log[f (d+e x)^n]) PolyLog[2, c (a+b x)]*)
+
+
+{x^2*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)], x, 108, -((a^2*g*x)/(3*b^2)) + (a*(1 - a*c)*g*x)/(6*b^2*c) - ((1 - a*c)^2*g*x)/(9*b^2*c^2) + (7*a^2*h*n*x)/(9*b^2) - (11*a*(1 - a*c)*h*n*x)/(36*b^2*c) + (5*(1 - a*c)^2*h*n*x)/(27*b^2*c^2) + (13*d^2*h*n*x)/(27*e^2) + (5*a*d*h*n*x)/(12*b*e) - (7*(1 - a*c)*d*h*n*x)/(36*b*c*e) - (a*h*n*x^2)/(9*b) + (7*(1 - a*c)*h*n*x^2)/(108*b*c) - (19*d*h*n*x^2)/(216*e) + (1/27)*h*n*x^3 - (5*a*(1 - a*c)^2*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x])/(36*b^3*c^2) + (2*(1 - a*c)^3*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x])/(27*b^3*c^3) - (5*(1 - a*c)^2*d*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x])/(36*b^2*c^2*e) + (5*a*h*n*x^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/(36*b) + (5*d*h*n*x^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/(36*e) - (2/27)*h*n*x^3*Log[1 - a*c - b*c*x] + (4*a^2*h*n*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(9*b^3*c) + (4*d^2*h*n*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(9*b*c*e^2) + (a*d*h*n*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(3*b^2*c*e) - (d^3*h*n*Log[d + e*x])/(27*e^3) - (a*d^2*h*n*Log[d + e*x])/(12*b*e^2) + ((1 - a*c)*d^2*h*n*Log[d + e*x])/(18*b*c*e^2) + (d^3*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(9*e^3) + (a*d^2*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(6*b*e^2) + (a^2*d*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(3*b^2*e) - (a^2*h*(d + e*x)*Log[f*(d + e*x)^n])/(3*b^2*e) + (a*(1 - a*c)*h*(d + e*x)*Log[f*(d + e*x)^n])/(6*b^2*c*e) - ((1 - a*c)^2*h*(d + e*x)*Log[f*(d + e*x)^n])/(9*b^2*c^2*e) + (a*x^2*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(12*b) - ((1 - a*c)*x^2*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(18*b*c) - (1/27)*x^3*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]) + (a^2*x*Log[1 - a*c - b*c*x]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(3*b^2) - (a*x^2*Log[1 - a*c - b*c*x]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(6*b) + (1/9)*x^3*Log[1 - a*c - b*c*x]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]) - (a^2*(1 - a*c)*Log[(e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(3*b^3*c) + (a*(1 - a*c)^2*Log[(e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(6*b^3*c^2) - ((1 - a*c)^3*Log[(e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(9*b^3*c^3) - (a^3*h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(6*b^3) + (d^3*h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(6*e^3) - (a^3*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/(3*b^3) + (d^3*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/(3*e^3) + (a^3*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])^2)/(6*b^3) - (d^3*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])^2)/(6*e^3) + (a^3*g*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(3*b^3) - (a^3*h*n*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(9*b^3) - (a*d^2*h*n*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(3*b*e^2) - (a^2*d*h*n*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(6*b^2*e) - (d^2*h*n*x*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(3*e^2) + (d*h*n*x^2*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(6*e) - (1/9)*h*n*x^3*PolyLog[2, c*(a + b*x)] + (d^3*h*n*Log[d + e*x]*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(3*e^3) - (a^3*h*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(3*b^3) + (1/3)*x^3*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)] + (d^3*h*n*PolyLog[2, (e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(9*e^3) + (a*d^2*h*n*PolyLog[2, (e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(6*b*e^2) + (a^2*d*h*n*PolyLog[2, (e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(3*b^2*e) - (a^3*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(3*b^3) + (d^3*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(3*e^3) - (a^2*(1 - a*c)*h*n*PolyLog[2, (b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(3*b^3*c) + (a*(1 - a*c)^2*h*n*PolyLog[2, (b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(6*b^3*c^2) - ((1 - a*c)^3*h*n*PolyLog[2, (b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(9*b^3*c^3) - (a^3*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/(3*b^3) + (d^3*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/(3*e^3) + (a^3*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(3*b^3) - (d^3*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(3*e^3) - (a^3*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(3*b^3) + (d^3*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(3*e^3) + (a^3*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(3*b^3) - (d^3*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(3*e^3) + (a^3*h*n*PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)])/(3*b^3) - (d^3*h*n*PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)])/(3*e^3) + (a^3*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(3*b^3) - (d^3*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(3*e^3) - (a^3*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(3*b^3) + (d^3*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(3*e^3)}
+{x^1*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)], x, 67, (a*g*x)/(2*b) - ((1 - a*c)*g*x)/(4*b*c) - (5*a*h*n*x)/(4*b) + ((1 - a*c)*h*n*x)/(2*b*c) - (7*d*h*n*x)/(8*e) + (3/16)*h*n*x^2 + ((1 - a*c)^2*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x])/(4*b^2*c^2) - (1/4)*h*n*x^2*Log[1 - a*c - b*c*x] - (3*a*h*n*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(4*b^2*c) - (3*d*h*n*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(4*b*c*e) + (d^2*h*n*Log[d + e*x])/(8*e^2) - (d^2*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(4*e^2) - (a*d*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(2*b*e) + (a*h*(d + e*x)*Log[f*(d + e*x)^n])/(2*b*e) - ((1 - a*c)*h*(d + e*x)*Log[f*(d + e*x)^n])/(4*b*c*e) - (1/8)*x^2*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]) - (a*x*Log[1 - a*c - b*c*x]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(2*b) + (1/4)*x^2*Log[1 - a*c - b*c*x]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]) + (a*(1 - a*c)*Log[(e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(2*b^2*c) - ((1 - a*c)^2*Log[(e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(4*b^2*c^2) + (a^2*h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(4*b^2) - (d^2*h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(4*e^2) + (a^2*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/(2*b^2) - (d^2*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/(2*e^2) - (a^2*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])^2)/(4*b^2) + (d^2*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])^2)/(4*e^2) - (a^2*g*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*b^2) + (a^2*h*n*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(4*b^2) + (a*d*h*n*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*b*e) + (d*h*n*x*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*e) - (1/4)*h*n*x^2*PolyLog[2, c*(a + b*x)] - (d^2*h*n*Log[d + e*x]*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*e^2) + (a^2*h*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*b^2) + (1/2)*x^2*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)] - (d^2*h*n*PolyLog[2, (e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(4*e^2) - (a*d*h*n*PolyLog[2, (e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(2*b*e) + (a^2*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(2*b^2) - (d^2*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(2*e^2) + (a*(1 - a*c)*h*n*PolyLog[2, (b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(2*b^2*c) - ((1 - a*c)^2*h*n*PolyLog[2, (b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(4*b^2*c^2) + (a^2*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/(2*b^2) - (d^2*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/(2*e^2) - (a^2*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(2*b^2) + (d^2*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(2*e^2) + (a^2*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(2*b^2) - (d^2*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(2*e^2) - (a^2*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(2*b^2) + (d^2*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(2*e^2) - (a^2*h*n*PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)])/(2*b^2) + (d^2*h*n*PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)])/(2*e^2) - (a^2*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(2*b^2) + (d^2*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(2*e^2) + (a^2*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(2*b^2) - (d^2*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(2*e^2)}
+{x^0*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)], x, 42, (-g)*x + 3*h*n*x - (g*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(b*c) + (2*h*n*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(b*c) + (d*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[-d - e*x])/e + (d*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/e + (d*h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))]^2)/(2*e) - (d*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[1 - a*c - b*c*x] + Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))])^2)/(2*e) - (h*(d + e*x)*Log[f*(d + e*x)^n])/e + h*x*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[f*(d + e*x)^n] - ((1 - a*c)*h*Log[(e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]*Log[f*(d + e*x)^n])/(b*c) - (a*h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(2*b) - (a*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/b + (a*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])^2)/(2*b) + (a*g*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/b - (a*h*n*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/b - (a*h*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/b + x*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)] + (d*h*n*(Log[-d - e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))])*PolyLog[2, 1 - a*c - b*c*x])/e + (d*h*n*PolyLog[2, (e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/e - h*n*x*PolyLog[2, a*c + b*c*x] + (d*h*n*Log[-d - e*x]*PolyLog[2, a*c + b*c*x])/e - (d*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))]*PolyLog[2, -((e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*(d + e*x)))])/e + (d*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))/(b*(d + e*x))])/e + (d*h*n*(Log[1 - a*c - b*c*x] + Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/e - (a*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/b - ((1 - a*c)*h*n*PolyLog[2, (b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(b*c) - (a*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/b + (a*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/b - (a*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/b - (d*h*n*PolyLog[3, 1 - a*c - b*c*x])/e - (d*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*(d + e*x)))])/e + (d*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))/(b*(d + e*x))])/e + (a*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/b - (d*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/e + (a*h*n*PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)])/b + (a*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/b - (a*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/b}
+{(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)]/x^1, x, 0, Unintegrable[((g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/x, x]}
+{(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)]/x^2, x, 22, -((b*g*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x])/a) - (b*h*n*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[d + e*x])/a - (b*h*n*(Log[(b*c*x)/(1 - a*c)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*x)/((1 - a*c)*(d + e*x))])*Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))]^2)/(2*a) + (b*h*n*(Log[(b*c*x)/(1 - a*c)] - Log[-((e*x)/d)])*(Log[1 - a*c - b*c*x] + Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))])^2)/(2*a) + (b*h*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x]*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n]))/a + (b*h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(2*a) - (e*h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(2*d) + (e*h*n*Log[x]*Log[1 + (b*x)/a]*Log[1 - c*(a + b*x)])/d + (b*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/a - (e*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/d - (b*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])^2)/(2*a) + (e*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])^2)/(2*d) + (e*h*n*(Log[1 + (b*x)/a] + Log[(1 - a*c)/(1 - c*(a + b*x))] - Log[((1 - a*c)*(a + b*x))/(a*(1 - c*(a + b*x)))])*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]^2)/(2*d) + (e*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[1 + (b*x)/a])*(Log[x] + Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])^2)/(2*d) + (e*h*n*(Log[1 - c*(a + b*x)] - Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])*PolyLog[2, -((b*x)/a)])/d - (b*g*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/a + (e*h*n*Log[x]*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/d - (e*h*n*Log[d + e*x]*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/d + (b*h*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/a - ((g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/x - (b*g*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/a - (b*h*n*(Log[d + e*x] - Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))])*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/a + (b*h*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/a - (b*h*n*Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))]*PolyLog[2, (d*(1 - a*c - b*c*x))/((1 - a*c)*(d + e*x))])/a + (b*h*n*Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))]*PolyLog[2, -((e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*(d + e*x)))])/a + (b*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/a - (e*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/d - (b*h*n*(Log[1 - a*c - b*c*x] + Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/a + (e*h*n*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]*PolyLog[2, -((b*x)/(a*(1 - c*(a + b*x))))])/d - (e*h*n*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]*PolyLog[2, -((b*c*x)/(1 - c*(a + b*x)))])/d + (b*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/a - (e*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/d + (e*h*n*(Log[x] + Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/d - (b*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/a + (e*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/d + (b*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/a - (e*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/d - (e*h*n*PolyLog[3, -((b*x)/a)])/d + (b*h*n*PolyLog[3, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/a - (b*h*n*PolyLog[3, (d*(1 - a*c - b*c*x))/((1 - a*c)*(d + e*x))])/a + (b*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*(d + e*x)))])/a - (b*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/a + (e*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/d + (b*h*n*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d])/a + (e*h*n*PolyLog[3, -((b*x)/(a*(1 - c*(a + b*x))))])/d - (e*h*n*PolyLog[3, -((b*c*x)/(1 - c*(a + b*x)))])/d - (b*h*n*PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)])/a - (b*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/a + (e*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/d + (b*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/a - (e*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/d}
+{(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)]/x^3, x, 44, (b^2*g*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x])/(2*a^2) - (b*e*h*n*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x])/(a*d) + (b^2*h*n*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[d + e*x])/(2*a^2) + (b*e*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(2*a*d) + (b^2*h*n*(Log[(b*c*x)/(1 - a*c)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*x)/((1 - a*c)*(d + e*x))])*Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))]^2)/(4*a^2) - (b^2*h*n*(Log[(b*c*x)/(1 - a*c)] - Log[-((e*x)/d)])*(Log[1 - a*c - b*c*x] + Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))])^2)/(4*a^2) - (b^2*h*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x]*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n]))/(2*a^2) + (b^2*c*Log[-((e*x)/d)]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(2*a*(1 - a*c)) + (b*Log[1 - a*c - b*c*x]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(2*a*x) - (b^2*c*Log[(e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(2*a*(1 - a*c)) - (b^2*h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(4*a^2) + (e^2*h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(4*d^2) - (e^2*h*n*Log[x]*Log[1 + (b*x)/a]*Log[1 - c*(a + b*x)])/(2*d^2) - (b^2*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/(2*a^2) + (e^2*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/(2*d^2) + (b^2*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])^2)/(4*a^2) - (e^2*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])^2)/(4*d^2) - (e^2*h*n*(Log[1 + (b*x)/a] + Log[(1 - a*c)/(1 - c*(a + b*x))] - Log[((1 - a*c)*(a + b*x))/(a*(1 - c*(a + b*x)))])*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]^2)/(4*d^2) - (e^2*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[1 + (b*x)/a])*(Log[x] + Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])^2)/(4*d^2) - (e^2*h*n*(Log[1 - c*(a + b*x)] - Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])*PolyLog[2, -((b*x)/a)])/(2*d^2) + (b^2*g*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*a^2) - (b*e*h*n*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*a*d) - (e*h*n*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*d*x) - (e^2*h*n*Log[x]*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*d^2) + (e^2*h*n*Log[d + e*x]*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*d^2) - (b^2*h*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*a^2) - ((g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*x^2) + (b*e*h*n*PolyLog[2, (e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(2*a*d) + (b^2*g*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/(2*a^2) - (b*e*h*n*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/(a*d) + (b^2*h*n*(Log[d + e*x] - Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))])*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/(2*a^2) - (b^2*h*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/(2*a^2) + (b^2*h*n*Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))]*PolyLog[2, (d*(1 - a*c - b*c*x))/((1 - a*c)*(d + e*x))])/(2*a^2) - (b^2*h*n*Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))]*PolyLog[2, -((e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*(d + e*x)))])/(2*a^2) - (b^2*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(2*a^2) + (e^2*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(2*d^2) - (b^2*c*h*n*PolyLog[2, (b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(2*a*(1 - a*c)) + (b^2*c*h*n*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/(2*a*(1 - a*c)) + (b^2*h*n*(Log[1 - a*c - b*c*x] + Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/(2*a^2) - (e^2*h*n*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]*PolyLog[2, -((b*x)/(a*(1 - c*(a + b*x))))])/(2*d^2) + (e^2*h*n*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]*PolyLog[2, -((b*c*x)/(1 - c*(a + b*x)))])/(2*d^2) - (b^2*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/(2*a^2) + (e^2*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/(2*d^2) - (e^2*h*n*(Log[x] + Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/(2*d^2) + (b^2*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(2*a^2) - (e^2*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(2*d^2) - (b^2*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(2*a^2) + (e^2*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(2*d^2) + (e^2*h*n*PolyLog[3, -((b*x)/a)])/(2*d^2) - (b^2*h*n*PolyLog[3, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/(2*a^2) + (b^2*h*n*PolyLog[3, (d*(1 - a*c - b*c*x))/((1 - a*c)*(d + e*x))])/(2*a^2) - (b^2*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*(d + e*x)))])/(2*a^2) + (b^2*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(2*a^2) - (e^2*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(2*d^2) - (b^2*h*n*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d])/(2*a^2) - (e^2*h*n*PolyLog[3, -((b*x)/(a*(1 - c*(a + b*x))))])/(2*d^2) + (e^2*h*n*PolyLog[3, -((b*c*x)/(1 - c*(a + b*x)))])/(2*d^2) + (b^2*h*n*PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)])/(2*a^2) + (b^2*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(2*a^2) - (e^2*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(2*d^2) - (b^2*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(2*a^2) + (e^2*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(2*d^2)}
+{(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)]/x^4, x, 78, (b^2*c*e*h*n*Log[x])/(2*a*(1 - a*c)*d) - (b^2*c*e*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x])/(3*a*(1 - a*c)*d) + (b*e*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x])/(3*a*d*x) - (b^3*g*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x])/(3*a^3) + (b^2*e*h*n*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x])/(2*a^2*d) + (b*e^2*h*n*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x])/(2*a*d^2) - (b^2*c*e*h*n*Log[d + e*x])/(6*a*(1 - a*c)*d) - (b^3*h*n*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[d + e*x])/(3*a^3) - (b^2*e*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(3*a^2*d) - (b*e^2*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(6*a*d^2) - (b^3*h*n*(Log[(b*c*x)/(1 - a*c)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*x)/((1 - a*c)*(d + e*x))])*Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))]^2)/(6*a^3) + (b^3*h*n*(Log[(b*c*x)/(1 - a*c)] - Log[-((e*x)/d)])*(Log[1 - a*c - b*c*x] + Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))])^2)/(6*a^3) + (b^3*h*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x]*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n]))/(3*a^3) - (b^2*c*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(6*a*(1 - a*c)*x) + (b^3*c^2*Log[-((e*x)/d)]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(6*a*(1 - a*c)^2) - (b^3*c*Log[-((e*x)/d)]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(3*a^2*(1 - a*c)) + (b*Log[1 - a*c - b*c*x]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(6*a*x^2) - (b^2*Log[1 - a*c - b*c*x]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(3*a^2*x) - (b^3*c^2*Log[(e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(6*a*(1 - a*c)^2) + (b^3*c*Log[(e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(3*a^2*(1 - a*c)) + (b^3*h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(6*a^3) - (e^3*h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(6*d^3) + (e^3*h*n*Log[x]*Log[1 + (b*x)/a]*Log[1 - c*(a + b*x)])/(3*d^3) + (b^3*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/(3*a^3) - (e^3*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/(3*d^3) - (b^3*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])^2)/(6*a^3) + (e^3*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])^2)/(6*d^3) + (e^3*h*n*(Log[1 + (b*x)/a] + Log[(1 - a*c)/(1 - c*(a + b*x))] - Log[((1 - a*c)*(a + b*x))/(a*(1 - c*(a + b*x)))])*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]^2)/(6*d^3) + (e^3*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[1 + (b*x)/a])*(Log[x] + Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])^2)/(6*d^3) + (e^3*h*n*(Log[1 - c*(a + b*x)] - Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])*PolyLog[2, -((b*x)/a)])/(3*d^3) - (b^3*g*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(3*a^3) + (b^2*e*h*n*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(6*a^2*d) + (b*e^2*h*n*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(3*a*d^2) - (e*h*n*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(6*d*x^2) + (e^2*h*n*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(3*d^2*x) + (e^3*h*n*Log[x]*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(3*d^3) - (e^3*h*n*Log[d + e*x]*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(3*d^3) + (b^3*h*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(3*a^3) - ((g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(3*x^3) - (b^2*e*h*n*PolyLog[2, (e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(3*a^2*d) - (b*e^2*h*n*PolyLog[2, (e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(6*a*d^2) - (b^3*g*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/(3*a^3) + (b^2*e*h*n*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/(2*a^2*d) + (b*e^2*h*n*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/(2*a*d^2) - (b^3*h*n*(Log[d + e*x] - Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))])*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/(3*a^3) + (b^3*h*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/(3*a^3) - (b^3*h*n*Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))]*PolyLog[2, (d*(1 - a*c - b*c*x))/((1 - a*c)*(d + e*x))])/(3*a^3) + (b^3*h*n*Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))]*PolyLog[2, -((e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*(d + e*x)))])/(3*a^3) + (b^3*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(3*a^3) - (e^3*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(3*d^3) - (b^3*c^2*h*n*PolyLog[2, (b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(6*a*(1 - a*c)^2) + (b^3*c*h*n*PolyLog[2, (b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(3*a^2*(1 - a*c)) + (b^3*c^2*h*n*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/(6*a*(1 - a*c)^2) - (b^3*c*h*n*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/(3*a^2*(1 - a*c)) - (b^3*h*n*(Log[1 - a*c - b*c*x] + Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/(3*a^3) + (e^3*h*n*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]*PolyLog[2, -((b*x)/(a*(1 - c*(a + b*x))))])/(3*d^3) - (e^3*h*n*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]*PolyLog[2, -((b*c*x)/(1 - c*(a + b*x)))])/(3*d^3) + (b^3*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/(3*a^3) - (e^3*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/(3*d^3) + (e^3*h*n*(Log[x] + Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/(3*d^3) - (b^3*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(3*a^3) + (e^3*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(3*d^3) + (b^3*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(3*a^3) - (e^3*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(3*d^3) - (e^3*h*n*PolyLog[3, -((b*x)/a)])/(3*d^3) + (b^3*h*n*PolyLog[3, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/(3*a^3) - (b^3*h*n*PolyLog[3, (d*(1 - a*c - b*c*x))/((1 - a*c)*(d + e*x))])/(3*a^3) + (b^3*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*(d + e*x)))])/(3*a^3) - (b^3*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(3*a^3) + (e^3*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(3*d^3) + (b^3*h*n*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d])/(3*a^3) + (e^3*h*n*PolyLog[3, -((b*x)/(a*(1 - c*(a + b*x))))])/(3*d^3) - (e^3*h*n*PolyLog[3, -((b*c*x)/(1 - c*(a + b*x)))])/(3*d^3) - (b^3*h*n*PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)])/(3*a^3) - (b^3*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(3*a^3) + (e^3*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(3*d^3) + (b^3*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(3*a^3) - (e^3*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(3*d^3)}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b x) Log[1-c x] PolyLog[2, c x]*)
+
+
+{x^2*(a + b*x)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x], x, 52, (53*b*x)/(192*c^3) + (11*a*x)/(27*c^2) + (49*(3*b + 4*a*c)*x)/(432*c^3) + (29*b*x^2)/(384*c^2) + (5*a*x^2)/(54*c) + (13*(3*b + 4*a*c)*x^2)/(864*c^2) + (2*a*x^3)/81 + (17*b*x^3)/(576*c) + ((3*b + 4*a*c)*x^3)/(324*c) + (3*b*x^4)/256 + (29*b*Log[1 - c*x])/(192*c^4) + (5*a*Log[1 - c*x])/(27*c^3) + (13*(3*b + 4*a*c)*Log[1 - c*x])/(432*c^4) - (b*x^2*Log[1 - c*x])/(16*c^2) - (a*x^2*Log[1 - c*x])/(9*c) - ((3*b + 4*a*c)*x^2*Log[1 - c*x])/(48*c^2) - (2/27)*a*x^3*Log[1 - c*x] - (b*x^3*Log[1 - c*x])/(24*c) - ((3*b + 4*a*c)*x^3*Log[1 - c*x])/(108*c) - (3/64)*b*x^4*Log[1 - c*x] + (b*(1 - c*x)*Log[1 - c*x])/(8*c^4) + (2*a*(1 - c*x)*Log[1 - c*x])/(9*c^3) + ((3*b + 4*a*c)*(1 - c*x)*Log[1 - c*x])/(12*c^4) - (b*Log[1 - c*x]^2)/(16*c^4) - (a*Log[1 - c*x]^2)/(9*c^3) + (1/9)*a*x^3*Log[1 - c*x]^2 + (1/16)*b*x^4*Log[1 - c*x]^2 - ((3*b + 4*a*c)*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2)/(12*c^4) - ((3*b + 4*a*c)*x*PolyLog[2, c*x])/(12*c^3) - ((3*b + 4*a*c)*x^2*PolyLog[2, c*x])/(24*c^2) - ((3*b + 4*a*c)*x^3*PolyLog[2, c*x])/(36*c) - (1/16)*b*x^4*PolyLog[2, c*x] - ((3*b + 4*a*c)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x])/(12*c^4) + (1/12)*(4*a*x^3 + 3*b*x^4)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] - ((3*b + 4*a*c)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x])/(6*c^4) + ((3*b + 4*a*c)*PolyLog[3, 1 - c*x])/(6*c^4)}
+{x^1*(a + b*x)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x], x, 40, (4*b*x)/(9*c^2) + (a*x)/c + (5*(2*b + 3*a*c)*x)/(24*c^2) + (b*x^2)/(9*c) + ((2*b + 3*a*c)*x^2)/(48*c) + (b*x^3)/27 + (a*(1 - c*x)^2)/(8*c^2) + (2*b*Log[1 - c*x])/(9*c^3) + ((2*b + 3*a*c)*Log[1 - c*x])/(24*c^3) - (b*x^2*Log[1 - c*x])/(9*c) - ((2*b + 3*a*c)*x^2*Log[1 - c*x])/(24*c) - (1/9)*b*x^3*Log[1 - c*x] + (2*b*(1 - c*x)*Log[1 - c*x])/(9*c^3) + (a*(1 - c*x)*Log[1 - c*x])/c^2 + ((2*b + 3*a*c)*(1 - c*x)*Log[1 - c*x])/(6*c^3) - (a*(1 - c*x)^2*Log[1 - c*x])/(4*c^2) - (b*Log[1 - c*x]^2)/(9*c^3) + (1/9)*b*x^3*Log[1 - c*x]^2 - (a*(1 - c*x)*Log[1 - c*x]^2)/(2*c^2) + (a*(1 - c*x)^2*Log[1 - c*x]^2)/(4*c^2) - ((2*b + 3*a*c)*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2)/(6*c^3) - ((2*b + 3*a*c)*x*PolyLog[2, c*x])/(6*c^2) - ((2*b + 3*a*c)*x^2*PolyLog[2, c*x])/(12*c) - (1/9)*b*x^3*PolyLog[2, c*x] - ((2*b + 3*a*c)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x])/(6*c^3) + (1/6)*(3*a*x^2 + 2*b*x^3)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] - ((2*b + 3*a*c)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x])/(3*c^3) + ((2*b + 3*a*c)*PolyLog[3, 1 - c*x])/(3*c^3)}
+{x^0*(a + b*x)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x], x, 26, 2*a*x + (9*b*x)/(8*c) + ((b + 2*a*c)*x)/(2*c) + (b*x^2)/16 + (b*(1 - c*x)^2)/(8*c^2) + (b*Log[1 - c*x])/(8*c^2) - (1/8)*b*x^2*Log[1 - c*x] + (b*(1 - c*x)*Log[1 - c*x])/c^2 + (2*a*(1 - c*x)*Log[1 - c*x])/c + ((b + 2*a*c)*(1 - c*x)*Log[1 - c*x])/(2*c^2) - (b*(1 - c*x)^2*Log[1 - c*x])/(4*c^2) - (b*(1 - c*x)*Log[1 - c*x]^2)/(2*c^2) - (a*(1 - c*x)*Log[1 - c*x]^2)/c + (b*(1 - c*x)^2*Log[1 - c*x]^2)/(4*c^2) - ((b + 2*a*c)*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2)/(2*c^2) - ((b + 2*a*c)*x*PolyLog[2, c*x])/(2*c) - (1/4)*b*x^2*PolyLog[2, c*x] - ((b + 2*a*c)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x])/(2*c^2) + (1/2)*(2*a*x + b*x^2)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] - ((b + 2*a*c)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x])/c^2 + ((b + 2*a*c)*PolyLog[3, 1 - c*x])/c^2}
+{(a + b*x)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x]/x^1, x, 18, 3*b*x + (3*b*(1 - c*x)*Log[1 - c*x])/c - (b*(1 - c*x)*Log[1 - c*x]^2)/c - (b*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2)/c - b*x*PolyLog[2, c*x] - (b*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x])/c + b*x*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] - (1/2)*a*PolyLog[2, c*x]^2 - (2*b*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x])/c + (2*b*PolyLog[3, 1 - c*x])/c}
+{(a + b*x)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x]/x^2, x, 13, (a*(1 - c*x)*Log[1 - c*x]^2)/x + a*c*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2 - 2*a*c*PolyLog[2, c*x] + a*c*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] - (a*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x])/x - (1/2)*b*PolyLog[2, c*x]^2 + 2*a*c*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x] - a*c*PolyLog[3, c*x] - 2*a*c*PolyLog[3, 1 - c*x]}
+{(a + b*x)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x]/x^3, x, 30, (-a)*c^2*Log[x] + a*c^2*Log[1 - c*x] - (a*c*Log[1 - c*x])/x - (1/4)*a*c^2*Log[1 - c*x]^2 + (a*Log[1 - c*x]^2)/(4*x^2) + (b*(1 - c*x)*Log[1 - c*x]^2)/x - (b^2*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2)/(2*a) + ((b + a*c)^2*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2)/(2*a) - 2*b*c*PolyLog[2, c*x] - (1/2)*a*c^2*PolyLog[2, c*x] + (a*c*PolyLog[2, c*x])/(2*x) + ((b + a*c)^2*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x])/(2*a) - ((a + b*x)^2*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x])/(2*a*x^2) - (b^2*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x])/a + ((b + a*c)^2*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x])/a - (1/2)*c*(2*b + a*c)*PolyLog[3, c*x] + (b^2*PolyLog[3, 1 - c*x])/a - ((b + a*c)^2*PolyLog[3, 1 - c*x])/a}
+{(a + b*x)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x]/x^4, x, 41, (7*a*c^2)/(36*x) - (1/2)*b*c^2*Log[x] - (5/12)*a*c^3*Log[x] - (1/6)*c^2*(3*b + 2*a*c)*Log[x] + (1/2)*b*c^2*Log[1 - c*x] + (5/12)*a*c^3*Log[1 - c*x] + (1/6)*c^2*(3*b + 2*a*c)*Log[1 - c*x] - (7*a*c*Log[1 - c*x])/(36*x^2) - (b*c*Log[1 - c*x])/(2*x) - (2*a*c^2*Log[1 - c*x])/(9*x) - (c*(3*b + 2*a*c)*Log[1 - c*x])/(6*x) - (1/4)*b*c^2*Log[1 - c*x]^2 - (1/9)*a*c^3*Log[1 - c*x]^2 + (a*Log[1 - c*x]^2)/(9*x^3) + (b*Log[1 - c*x]^2)/(4*x^2) + (1/6)*c^2*(3*b + 2*a*c)*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2 - (1/2)*b*c^2*PolyLog[2, c*x] - (2/9)*a*c^3*PolyLog[2, c*x] + (a*c*PolyLog[2, c*x])/(6*x^2) + (c*(3*b + 2*a*c)*PolyLog[2, c*x])/(6*x) + (1/6)*c^2*(3*b + 2*a*c)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] - (1/6)*((2*a)/x^3 + (3*b)/x^2)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] + (1/3)*c^2*(3*b + 2*a*c)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x] - (1/6)*c^2*(3*b + 2*a*c)*PolyLog[3, c*x] - (1/3)*c^2*(3*b + 2*a*c)*PolyLog[3, 1 - c*x]}
+{(a + b*x)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x]/x^5, x, 51, (5*a*c^2)/(144*x^2) + (b*c^2)/(9*x) + (19*a*c^3)/(144*x) + (c^2*(4*b + 3*a*c))/(48*x) - (1/3)*b*c^3*Log[x] - (37/144)*a*c^4*Log[x] - (5/48)*c^3*(4*b + 3*a*c)*Log[x] + (1/3)*b*c^3*Log[1 - c*x] + (37/144)*a*c^4*Log[1 - c*x] + (5/48)*c^3*(4*b + 3*a*c)*Log[1 - c*x] - (5*a*c*Log[1 - c*x])/(72*x^3) - (b*c*Log[1 - c*x])/(9*x^2) - (a*c^2*Log[1 - c*x])/(16*x^2) - (c*(4*b + 3*a*c)*Log[1 - c*x])/(48*x^2) - (2*b*c^2*Log[1 - c*x])/(9*x) - (a*c^3*Log[1 - c*x])/(8*x) - (c^2*(4*b + 3*a*c)*Log[1 - c*x])/(12*x) - (1/9)*b*c^3*Log[1 - c*x]^2 - (1/16)*a*c^4*Log[1 - c*x]^2 + (a*Log[1 - c*x]^2)/(16*x^4) + (b*Log[1 - c*x]^2)/(9*x^3) + (1/12)*c^3*(4*b + 3*a*c)*Log[c*x]*Log[1 - c*x]^2 - (2/9)*b*c^3*PolyLog[2, c*x] - (1/8)*a*c^4*PolyLog[2, c*x] + (a*c*PolyLog[2, c*x])/(12*x^3) + (c*(4*b + 3*a*c)*PolyLog[2, c*x])/(24*x^2) + (c^2*(4*b + 3*a*c)*PolyLog[2, c*x])/(12*x) + (1/12)*c^3*(4*b + 3*a*c)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] - (1/12)*((3*a)/x^4 + (4*b)/x^3)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, c*x] + (1/6)*c^3*(4*b + 3*a*c)*Log[1 - c*x]*PolyLog[2, 1 - c*x] - (1/12)*c^3*(4*b + 3*a*c)*PolyLog[3, c*x] - (1/6)*c^3*(4*b + 3*a*c)*PolyLog[3, 1 - c*x]}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands of the form x^m (a+b x+c x^2) Log[1-d x] PolyLog[2, d x]*)
+
+
+{x^1*(a + b*x + c*x^2)*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x], x, 60, (53*c*x)/(192*d^3) + (11*b*x)/(27*d^2) + (a*x)/d + ((3*c + 4*b*d)*x)/(108*d^3) + (5*(3*c + 4*b*d + 6*a*d^2)*x)/(48*d^3) + (29*c*x^2)/(384*d^2) + (5*b*x^2)/(54*d) + ((3*c + 4*b*d)*x^2)/(216*d^2) + ((3*c + 4*b*d + 6*a*d^2)*x^2)/(96*d^2) + (2*b*x^3)/81 + (17*c*x^3)/(576*d) + ((3*c + 4*b*d)*x^3)/(324*d) + (3*c*x^4)/256 + (a*(1 - d*x)^2)/(8*d^2) + (29*c*Log[1 - d*x])/(192*d^4) + (5*b*Log[1 - d*x])/(27*d^3) + ((3*c + 4*b*d)*Log[1 - d*x])/(108*d^4) + ((3*c + 4*b*d + 6*a*d^2)*Log[1 - d*x])/(48*d^4) - (c*x^2*Log[1 - d*x])/(16*d^2) - (b*x^2*Log[1 - d*x])/(9*d) - ((3*c + 4*b*d + 6*a*d^2)*x^2*Log[1 - d*x])/(48*d^2) - (2/27)*b*x^3*Log[1 - d*x] - (c*x^3*Log[1 - d*x])/(24*d) - ((3*c + 4*b*d)*x^3*Log[1 - d*x])/(108*d) - (3/64)*c*x^4*Log[1 - d*x] + (c*(1 - d*x)*Log[1 - d*x])/(8*d^4) + (2*b*(1 - d*x)*Log[1 - d*x])/(9*d^3) + (a*(1 - d*x)*Log[1 - d*x])/d^2 + ((3*c + 4*b*d + 6*a*d^2)*(1 - d*x)*Log[1 - d*x])/(12*d^4) - (a*(1 - d*x)^2*Log[1 - d*x])/(4*d^2) - (c*Log[1 - d*x]^2)/(16*d^4) - (b*Log[1 - d*x]^2)/(9*d^3) + (1/9)*b*x^3*Log[1 - d*x]^2 + (1/16)*c*x^4*Log[1 - d*x]^2 - (a*(1 - d*x)*Log[1 - d*x]^2)/(2*d^2) + (a*(1 - d*x)^2*Log[1 - d*x]^2)/(4*d^2) - ((3*c + 4*b*d + 6*a*d^2)*Log[d*x]*Log[1 - d*x]^2)/(12*d^4) - ((3*c + 4*b*d + 6*a*d^2)*x*PolyLog[2, d*x])/(12*d^3) - ((3*c + 4*b*d + 6*a*d^2)*x^2*PolyLog[2, d*x])/(24*d^2) - ((3*c + 4*b*d)*x^3*PolyLog[2, d*x])/(36*d) - (1/16)*c*x^4*PolyLog[2, d*x] - ((3*c + 4*b*d + 6*a*d^2)*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x])/(12*d^4) + (1/12)*(6*a*x^2 + 4*b*x^3 + 3*c*x^4)*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x] - ((3*c + 4*b*d + 6*a*d^2)*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, 1 - d*x])/(6*d^4) + ((3*c + 4*b*d + 6*a*d^2)*PolyLog[3, 1 - d*x])/(6*d^4)}
+{x^0*(a + b*x + c*x^2)*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x], x, 43, 2*a*x + (4*c*x)/(9*d^2) + (b*x)/d + ((2*c + 3*b*d)*x)/(24*d^2) + ((2*c + 3*d*(b + 2*a*d))*x)/(6*d^2) + (c*x^2)/(9*d) + ((2*c + 3*b*d)*x^2)/(48*d) + (c*x^3)/27 + (b*(1 - d*x)^2)/(8*d^2) + (2*c*Log[1 - d*x])/(9*d^3) + ((2*c + 3*b*d)*Log[1 - d*x])/(24*d^3) - (c*x^2*Log[1 - d*x])/(9*d) - ((2*c + 3*b*d)*x^2*Log[1 - d*x])/(24*d) - (1/9)*c*x^3*Log[1 - d*x] + (2*c*(1 - d*x)*Log[1 - d*x])/(9*d^3) + (b*(1 - d*x)*Log[1 - d*x])/d^2 + (2*a*(1 - d*x)*Log[1 - d*x])/d + ((2*c + 3*d*(b + 2*a*d))*(1 - d*x)*Log[1 - d*x])/(6*d^3) - (b*(1 - d*x)^2*Log[1 - d*x])/(4*d^2) - (c*Log[1 - d*x]^2)/(9*d^3) + (1/9)*c*x^3*Log[1 - d*x]^2 - (b*(1 - d*x)*Log[1 - d*x]^2)/(2*d^2) - (a*(1 - d*x)*Log[1 - d*x]^2)/d + (b*(1 - d*x)^2*Log[1 - d*x]^2)/(4*d^2) - ((2*c + 3*d*(b + 2*a*d))*Log[d*x]*Log[1 - d*x]^2)/(6*d^3) - ((2*c + 3*d*(b + 2*a*d))*x*PolyLog[2, d*x])/(6*d^2) - ((2*c + 3*b*d)*x^2*PolyLog[2, d*x])/(12*d) - (1/9)*c*x^3*PolyLog[2, d*x] - ((2*c + 3*d*(b + 2*a*d))*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x])/(6*d^3) + (1/6)*(6*a*x + 3*b*x^2 + 2*c*x^3)*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x] - ((2*c + 3*d*(b + 2*a*d))*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, 1 - d*x])/(3*d^3) + ((2*c + 3*d*(b + 2*a*d))*PolyLog[3, 1 - d*x])/(3*d^3)}
+{(a + b*x + c*x^2)*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x]/x^1, x, 29, 2*b*x + (9*c*x)/(8*d) + ((c + 2*b*d)*x)/(2*d) + (c*x^2)/16 + (c*(1 - d*x)^2)/(8*d^2) + (c*Log[1 - d*x])/(8*d^2) - (1/8)*c*x^2*Log[1 - d*x] + (c*(1 - d*x)*Log[1 - d*x])/d^2 + (2*b*(1 - d*x)*Log[1 - d*x])/d + ((c + 2*b*d)*(1 - d*x)*Log[1 - d*x])/(2*d^2) - (c*(1 - d*x)^2*Log[1 - d*x])/(4*d^2) - (c*(1 - d*x)*Log[1 - d*x]^2)/(2*d^2) - (b*(1 - d*x)*Log[1 - d*x]^2)/d + (c*(1 - d*x)^2*Log[1 - d*x]^2)/(4*d^2) - ((c + 2*b*d)*Log[d*x]*Log[1 - d*x]^2)/(2*d^2) - ((c + 2*b*d)*x*PolyLog[2, d*x])/(2*d) - (1/4)*c*x^2*PolyLog[2, d*x] - ((c + 2*b*d)*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x])/(2*d^2) + (1/2)*(2*b*x + c*x^2)*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x] - (1/2)*a*PolyLog[2, d*x]^2 - ((c + 2*b*d)*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, 1 - d*x])/d^2 + ((c + 2*b*d)*PolyLog[3, 1 - d*x])/d^2}
+{(a + b*x + c*x^2)*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x]/x^2, x, 19, 3*c*x + (3*c*(1 - d*x)*Log[1 - d*x])/d - (c*(1 - d*x)*Log[1 - d*x]^2)/d + (a*(1 - d*x)*Log[1 - d*x]^2)/x + (a - c/d^2)*d*Log[d*x]*Log[1 - d*x]^2 - 2*a*d*PolyLog[2, d*x] - c*x*PolyLog[2, d*x] + (a - c/d^2)*d*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x] - (a/x - c*x)*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x] - (1/2)*b*PolyLog[2, d*x]^2 + 2*(a - c/d^2)*d*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, 1 - d*x] - a*d*PolyLog[3, d*x] - 2*(a - c/d^2)*d*PolyLog[3, 1 - d*x]}
+{(a + b*x + c*x^2)*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x]/x^3, x, 32, (-a)*d^2*Log[x] + a*d^2*Log[1 - d*x] - (a*d*Log[1 - d*x])/x - (1/4)*a*d^2*Log[1 - d*x]^2 + (a*Log[1 - d*x]^2)/(4*x^2) + (b*(1 - d*x)*Log[1 - d*x]^2)/x - (b^2*Log[d*x]*Log[1 - d*x]^2)/(2*a) + ((b + a*d)^2*Log[d*x]*Log[1 - d*x]^2)/(2*a) - 2*b*d*PolyLog[2, d*x] - (1/2)*a*d^2*PolyLog[2, d*x] + (a*d*PolyLog[2, d*x])/(2*x) + ((b + a*d)^2*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x])/(2*a) - ((a + b*x)^2*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x])/(2*a*x^2) - (1/2)*c*PolyLog[2, d*x]^2 - (b^2*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, 1 - d*x])/a + ((b + a*d)^2*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, 1 - d*x])/a - (1/2)*d*(2*b + a*d)*PolyLog[3, d*x] + (b^2*PolyLog[3, 1 - d*x])/a - ((b + a*d)^2*PolyLog[3, 1 - d*x])/a}
+{(a + b*x + c*x^2)*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x]/x^4, x, 43, (7*a*d^2)/(36*x) - (1/2)*b*d^2*Log[x] - (5/12)*a*d^3*Log[x] - (1/6)*d^2*(3*b + 2*a*d)*Log[x] + (1/2)*b*d^2*Log[1 - d*x] + (5/12)*a*d^3*Log[1 - d*x] + (1/6)*d^2*(3*b + 2*a*d)*Log[1 - d*x] - (7*a*d*Log[1 - d*x])/(36*x^2) - (b*d*Log[1 - d*x])/(2*x) - (2*a*d^2*Log[1 - d*x])/(9*x) - (d*(3*b + 2*a*d)*Log[1 - d*x])/(6*x) - (1/4)*b*d^2*Log[1 - d*x]^2 - (1/9)*a*d^3*Log[1 - d*x]^2 + (a*Log[1 - d*x]^2)/(9*x^3) + (b*Log[1 - d*x]^2)/(4*x^2) + (c*(1 - d*x)*Log[1 - d*x]^2)/x + (1/6)*d*(6*c + d*(3*b + 2*a*d))*Log[d*x]*Log[1 - d*x]^2 - 2*c*d*PolyLog[2, d*x] - (1/2)*b*d^2*PolyLog[2, d*x] - (2/9)*a*d^3*PolyLog[2, d*x] + (a*d*PolyLog[2, d*x])/(6*x^2) + (d*(3*b + 2*a*d)*PolyLog[2, d*x])/(6*x) + (1/6)*d*(6*c + d*(3*b + 2*a*d))*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x] - (1/6)*((2*a)/x^3 + (3*b)/x^2 + (6*c)/x)*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x] + (1/3)*d*(6*c + d*(3*b + 2*a*d))*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, 1 - d*x] - (1/6)*d*(6*c + d*(3*b + 2*a*d))*PolyLog[3, d*x] - (1/3)*d*(6*c + d*(3*b + 2*a*d))*PolyLog[3, 1 - d*x]}
+{(a + b*x + c*x^2)*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x]/x^5, x, 61, (5*a*d^2)/(144*x^2) + (b*d^2)/(9*x) + (19*a*d^3)/(144*x) + (d^2*(4*b + 3*a*d))/(48*x) - (1/2)*c*d^2*Log[x] - (1/3)*b*d^3*Log[x] - (37/144)*a*d^4*Log[x] - (1/48)*d^3*(4*b + 3*a*d)*Log[x] - (1/12)*d^2*(6*c + d*(4*b + 3*a*d))*Log[x] + (1/2)*c*d^2*Log[1 - d*x] + (1/3)*b*d^3*Log[1 - d*x] + (37/144)*a*d^4*Log[1 - d*x] + (1/48)*d^3*(4*b + 3*a*d)*Log[1 - d*x] + (1/12)*d^2*(6*c + d*(4*b + 3*a*d))*Log[1 - d*x] - (5*a*d*Log[1 - d*x])/(72*x^3) - (b*d*Log[1 - d*x])/(9*x^2) - (a*d^2*Log[1 - d*x])/(16*x^2) - (d*(4*b + 3*a*d)*Log[1 - d*x])/(48*x^2) - (c*d*Log[1 - d*x])/(2*x) - (2*b*d^2*Log[1 - d*x])/(9*x) - (a*d^3*Log[1 - d*x])/(8*x) - (d*(6*c + d*(4*b + 3*a*d))*Log[1 - d*x])/(12*x) - (1/4)*c*d^2*Log[1 - d*x]^2 - (1/9)*b*d^3*Log[1 - d*x]^2 - (1/16)*a*d^4*Log[1 - d*x]^2 + (a*Log[1 - d*x]^2)/(16*x^4) + (b*Log[1 - d*x]^2)/(9*x^3) + (c*Log[1 - d*x]^2)/(4*x^2) + (1/12)*d^2*(6*c + d*(4*b + 3*a*d))*Log[d*x]*Log[1 - d*x]^2 - (1/2)*c*d^2*PolyLog[2, d*x] - (2/9)*b*d^3*PolyLog[2, d*x] - (1/8)*a*d^4*PolyLog[2, d*x] + (a*d*PolyLog[2, d*x])/(12*x^3) + (d*(4*b + 3*a*d)*PolyLog[2, d*x])/(24*x^2) + (d*(6*c + d*(4*b + 3*a*d))*PolyLog[2, d*x])/(12*x) + (1/12)*d^2*(6*c + d*(4*b + 3*a*d))*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x] - (1/12)*((3*a)/x^4 + (4*b)/x^3 + (6*c)/x^2)*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, d*x] + (1/6)*d^2*(6*c + d*(4*b + 3*a*d))*Log[1 - d*x]*PolyLog[2, 1 - d*x] - (1/12)*d^2*(6*c + d*(4*b + 3*a*d))*PolyLog[3, d*x] - (1/6)*d^2*(6*c + d*(4*b + 3*a*d))*PolyLog[3, 1 - d*x]}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.9 Product logarithm function.m b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.9 Product logarithm function.m
new file mode 100644
index 00000000..5ee59527
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/8 Special functions/8.9 Product logarithm function.m	
@@ -0,0 +1,554 @@
+(* ::Package:: *)
+
+(* ::Title:: *)
+(*Integration Problems Involving the Lambert W (ProductLogarithm) Function*)
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands involving ProductLog[a+b x]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*ProductLog[a+b x]^n*)
+
+
+{ProductLog[a + b*x]^4, x, 6, 96*x - (96*(a + b*x))/(b*ProductLog[a + b*x]) - (48*(a + b*x)*ProductLog[a + b*x])/b + (16*(a + b*x)*ProductLog[a + b*x]^2)/b - (4*(a + b*x)*ProductLog[a + b*x]^3)/b + ((a + b*x)*ProductLog[a + b*x]^4)/b}
+{ProductLog[a + b*x]^3, x, 5, -18*x + (18*(a + b*x))/(b*ProductLog[a + b*x]) + (9*(a + b*x)*ProductLog[a + b*x])/b - (3*(a + b*x)*ProductLog[a + b*x]^2)/b + ((a + b*x)*ProductLog[a + b*x]^3)/b}
+{ProductLog[a + b*x]^2, x, 4, 4*x - (4*(a + b*x))/(b*ProductLog[a + b*x]) - (2*(a + b*x)*ProductLog[a + b*x])/b + ((a + b*x)*ProductLog[a + b*x]^2)/b}
+{ProductLog[a + b*x], x, 3, -x + (a + b*x)/(b*ProductLog[a + b*x]) + ((a + b*x)*ProductLog[a + b*x])/b}
+{1/ProductLog[a + b*x], x, 2, ExpIntegralEi[ProductLog[a + b*x]]/b + (a + b*x)/(b*ProductLog[a + b*x])}
+{1/ProductLog[a + b*x]^2, x, 2, (2*ExpIntegralEi[ProductLog[a + b*x]])/b - (a + b*x)/(b*ProductLog[a + b*x]^2)}
+{1/ProductLog[a + b*x]^3, x, 3, (3*ExpIntegralEi[ProductLog[a + b*x]])/(2*b) - (a + b*x)/(2*b*ProductLog[a + b*x]^3) - (3*(a + b*x))/(2*b*ProductLog[a + b*x]^2)}
+{1/ProductLog[a + b*x]^4, x, 4, (2*ExpIntegralEi[ProductLog[a + b*x]])/(3*b) - (a + b*x)/(3*b*ProductLog[a + b*x]^4) - (2*(a + b*x))/(3*b*ProductLog[a + b*x]^3) - (2*(a + b*x))/(3*b*ProductLog[a + b*x]^2)}
+{1/ProductLog[a + b*x]^5, x, 5, (5*ExpIntegralEi[ProductLog[a + b*x]])/(24*b) - (a + b*x)/(4*b*ProductLog[a + b*x]^5) - (5*(a + b*x))/(12*b*ProductLog[a + b*x]^4) - (5*(a + b*x))/(24*b*ProductLog[a + b*x]^3) - (5*(a + b*x))/(24*b*ProductLog[a + b*x]^2)}
+
+
+{(c*ProductLog[a+b*x])^(5/2), x, 5, (75*c^(5/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(16*b) - (75*c^3*(a + b*x))/(8*b*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) + (25*c^2*(a + b*x)*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/(4*b) - (5*c*(a + b*x)*(c*ProductLog[a + b*x])^(3/2))/(2*b) + ((a + b*x)*(c*ProductLog[a + b*x])^(5/2))/b}
+{(c*ProductLog[a+b*x])^(3/2), x, 4, -((9*c^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(8*b)) + (9*c^2*(a + b*x))/(4*b*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) - (3*c*(a + b*x)*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/(2*b) + ((a + b*x)*(c*ProductLog[a + b*x])^(3/2))/b}
+{Sqrt[c*ProductLog[a+b*x]], x, 3, (Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(4*b) - (c*(a + b*x))/(2*b*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) + ((a + b*x)*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/b}
+{1/Sqrt[c*ProductLog[a+b*x]], x, 2, (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(2*b*Sqrt[c]) + (a + b*x)/(b*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])}
+{1/(c*ProductLog[a+b*x])^(3/2), x, 2, (3*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(b*c^(3/2)) - (2*(a + b*x))/(b*(c*ProductLog[a + b*x])^(3/2))}
+{1/(c*ProductLog[a+b*x])^(5/2), x, 3, (10*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(3*b*c^(5/2)) - (2*(a + b*x))/(3*b*(c*ProductLog[a + b*x])^(5/2)) - (10*(a + b*x))/(3*b*c*(c*ProductLog[a + b*x])^(3/2))}
+{1/(c*ProductLog[a+b*x])^(7/2), x, 4, (28*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(15*b*c^(7/2)) - (2*(a + b*x))/(5*b*(c*ProductLog[a + b*x])^(7/2)) - (14*(a + b*x))/(15*b*c*(c*ProductLog[a + b*x])^(5/2)) - (28*(a + b*x))/(15*b*c^2*(c*ProductLog[a + b*x])^(3/2))}
+
+
+{(-c*ProductLog[a+b*x])^(5/2), x, 5, (75*c^(5/2)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(16*b) + (75*c^3*(a + b*x))/(8*b*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]) + (25*c^2*(a + b*x)*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]])/(4*b) + (5*c*(a + b*x)*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(3/2))/(2*b) + ((a + b*x)*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(5/2))/b}
+{(-c*ProductLog[a+b*x])^(3/2), x, 4, (9*c^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(8*b) + (9*c^2*(a + b*x))/(4*b*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]) + (3*c*(a + b*x)*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]])/(2*b) + ((a + b*x)*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(3/2))/b}
+{Sqrt[-c*ProductLog[a+b*x]], x, 3, (Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(4*b) + (c*(a + b*x))/(2*b*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]) + ((a + b*x)*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]])/b}
+{1/Sqrt[-c*ProductLog[a+b*x]], x, 2, -((Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(2*b*Sqrt[c])) + (a + b*x)/(b*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]])}
+{1/(-c*ProductLog[a+b*x])^(3/2), x, 2, (3*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(b*c^(3/2)) - (2*(a + b*x))/(b*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(3/2))}
+{1/(-c*ProductLog[a+b*x])^(5/2), x, 3, -((10*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(3*b*c^(5/2))) - (2*(a + b*x))/(3*b*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(5/2)) + (10*(a + b*x))/(3*b*c*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(3/2))}
+{1/(-c*ProductLog[a+b*x])^(7/2), x, 4, (28*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(15*b*c^(7/2)) - (2*(a + b*x))/(5*b*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(7/2)) + (14*(a + b*x))/(15*b*c*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(5/2)) - (28*(a + b*x))/(15*b*c^2*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(3/2))}
+
+
+{(c*ProductLog[a + b*x])^n, x, 2, ((a + b*x)*(c*ProductLog[a + b*x])^n)/b - (n*Gamma[1 + n, -ProductLog[a + b*x]]*(c*ProductLog[a + b*x])^n)/((-ProductLog[a + b*x])^n*b)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*x^m ProductLog[a+b x]^n*)
+
+
+{x^3*ProductLog[a + b*x], x, 20, (a^3*x)/b^3 - (3*a^2*(a + b*x)^2)/(4*b^4) + (a*(a + b*x)^3)/(3*b^4) - (a + b*x)^4/(16*b^4) - (3*(a + b*x)^4)/(512*b^4*ProductLog[a + b*x]^4) - (2*a*(a + b*x)^3)/(27*b^4*ProductLog[a + b*x]^3) + (3*(a + b*x)^4)/(128*b^4*ProductLog[a + b*x]^3) - (3*a^2*(a + b*x)^2)/(8*b^4*ProductLog[a + b*x]^2) + (2*a*(a + b*x)^3)/(9*b^4*ProductLog[a + b*x]^2) - (3*(a + b*x)^4)/(64*b^4*ProductLog[a + b*x]^2) - (a^3*(a + b*x))/(b^4*ProductLog[a + b*x]) + (3*a^2*(a + b*x)^2)/(4*b^4*ProductLog[a + b*x]) - (a*(a + b*x)^3)/(3*b^4*ProductLog[a + b*x]) + (a + b*x)^4/(16*b^4*ProductLog[a + b*x]) - (a^3*(a + b*x)*ProductLog[a + b*x])/b^4 + (3*a^2*(a + b*x)^2*ProductLog[a + b*x])/(2*b^4) - (a*(a + b*x)^3*ProductLog[a + b*x])/b^4 + ((a + b*x)^4*ProductLog[a + b*x])/(4*b^4)}
+{x^2*ProductLog[a + b*x], x, 14, -((a^2*x)/b^2) + (a*(a + b*x)^2)/(2*b^3) - (a + b*x)^3/(9*b^3) + (2*(a + b*x)^3)/(81*b^3*ProductLog[a + b*x]^3) + (a*(a + b*x)^2)/(4*b^3*ProductLog[a + b*x]^2) - (2*(a + b*x)^3)/(27*b^3*ProductLog[a + b*x]^2) + (a^2*(a + b*x))/(b^3*ProductLog[a + b*x]) - (a*(a + b*x)^2)/(2*b^3*ProductLog[a + b*x]) + (a + b*x)^3/(9*b^3*ProductLog[a + b*x]) + (a^2*(a + b*x)*ProductLog[a + b*x])/b^3 - (a*(a + b*x)^2*ProductLog[a + b*x])/b^3 + ((a + b*x)^3*ProductLog[a + b*x])/(3*b^3)}
+{x*ProductLog[a + b*x], x, 9, (a*x)/b - (a + b*x)^2/(4*b^2) - (a + b*x)^2/(8*b^2*ProductLog[a + b*x]^2) - (a*(a + b*x))/(b^2*ProductLog[a + b*x]) + (a + b*x)^2/(4*b^2*ProductLog[a + b*x]) - (a*(a + b*x)*ProductLog[a + b*x])/b^2 + ((a + b*x)^2*ProductLog[a + b*x])/(2*b^2)}
+{ProductLog[a + b*x], x, 3, -x + (a + b*x)/(b*ProductLog[a + b*x]) + ((a + b*x)*ProductLog[a + b*x])/b}
+{ProductLog[a + b*x]/x, x, 0, CannotIntegrate[ProductLog[a + b*x]/x, x]}
+{ProductLog[a + b*x]/x^2, x, 0, CannotIntegrate[ProductLog[a + b*x]/x^2, x]}
+
+
+{x^3*ProductLog[a + b*x]^2, x, 24, -((4*a^3*x)/b^3) + (9*a^2*(a + b*x)^2)/(4*b^4) - (8*a*(a + b*x)^3)/(9*b^4) + (5*(a + b*x)^4)/(32*b^4) + (15*(a + b*x)^4)/(1024*b^4*ProductLog[a + b*x]^4) + (16*a*(a + b*x)^3)/(81*b^4*ProductLog[a + b*x]^3) - (15*(a + b*x)^4)/(256*b^4*ProductLog[a + b*x]^3) + (9*a^2*(a + b*x)^2)/(8*b^4*ProductLog[a + b*x]^2) - (16*a*(a + b*x)^3)/(27*b^4*ProductLog[a + b*x]^2) + (15*(a + b*x)^4)/(128*b^4*ProductLog[a + b*x]^2) + (4*a^3*(a + b*x))/(b^4*ProductLog[a + b*x]) - (9*a^2*(a + b*x)^2)/(4*b^4*ProductLog[a + b*x]) + (8*a*(a + b*x)^3)/(9*b^4*ProductLog[a + b*x]) - (5*(a + b*x)^4)/(32*b^4*ProductLog[a + b*x]) + (2*a^3*(a + b*x)*ProductLog[a + b*x])/b^4 - (3*a^2*(a + b*x)^2*ProductLog[a + b*x])/(2*b^4) + (2*a*(a + b*x)^3*ProductLog[a + b*x])/(3*b^4) - ((a + b*x)^4*ProductLog[a + b*x])/(8*b^4) - (a^3*(a + b*x)*ProductLog[a + b*x]^2)/b^4 + (3*a^2*(a + b*x)^2*ProductLog[a + b*x]^2)/(2*b^4) - (a*(a + b*x)^3*ProductLog[a + b*x]^2)/b^4 + ((a + b*x)^4*ProductLog[a + b*x]^2)/(4*b^4)}
+{x^2*ProductLog[a + b*x]^2, x, 17, (4*a^2*x)/b^2 - (3*a*(a + b*x)^2)/(2*b^3) + (8*(a + b*x)^3)/(27*b^3) - (16*(a + b*x)^3)/(243*b^3*ProductLog[a + b*x]^3) - (3*a*(a + b*x)^2)/(4*b^3*ProductLog[a + b*x]^2) + (16*(a + b*x)^3)/(81*b^3*ProductLog[a + b*x]^2) - (4*a^2*(a + b*x))/(b^3*ProductLog[a + b*x]) + (3*a*(a + b*x)^2)/(2*b^3*ProductLog[a + b*x]) - (8*(a + b*x)^3)/(27*b^3*ProductLog[a + b*x]) - (2*a^2*(a + b*x)*ProductLog[a + b*x])/b^3 + (a*(a + b*x)^2*ProductLog[a + b*x])/b^3 - (2*(a + b*x)^3*ProductLog[a + b*x])/(9*b^3) + (a^2*(a + b*x)*ProductLog[a + b*x]^2)/b^3 - (a*(a + b*x)^2*ProductLog[a + b*x]^2)/b^3 + ((a + b*x)^3*ProductLog[a + b*x]^2)/(3*b^3)}
+{x*ProductLog[a + b*x]^2, x, 11, -((4*a*x)/b) + (3*(a + b*x)^2)/(4*b^2) + (3*(a + b*x)^2)/(8*b^2*ProductLog[a + b*x]^2) + (4*a*(a + b*x))/(b^2*ProductLog[a + b*x]) - (3*(a + b*x)^2)/(4*b^2*ProductLog[a + b*x]) + (2*a*(a + b*x)*ProductLog[a + b*x])/b^2 - ((a + b*x)^2*ProductLog[a + b*x])/(2*b^2) - (a*(a + b*x)*ProductLog[a + b*x]^2)/b^2 + ((a + b*x)^2*ProductLog[a + b*x]^2)/(2*b^2)}
+{ProductLog[a + b*x]^2, x, 4, 4*x - (4*(a + b*x))/(b*ProductLog[a + b*x]) - (2*(a + b*x)*ProductLog[a + b*x])/b + ((a + b*x)*ProductLog[a + b*x]^2)/b}
+{ProductLog[a + b*x]^2/x, x, 0, CannotIntegrate[ProductLog[a + b*x]^2/x, x]}
+{ProductLog[a + b*x]^2/x^2, x, 0, CannotIntegrate[ProductLog[a + b*x]^2/x^2, x]}
+
+
+{x^3/Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]], x, 16, -((a^3*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(2*b^4*Sqrt[c])) - (15*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(8192*b^4*Sqrt[c]) - (3*a^2*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(16*b^4*Sqrt[c]) - (a*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(24*b^4*Sqrt[c]) + (15*c^3*(a + b*x)^4)/(2048*b^4*(c*ProductLog[a + b*x])^(7/2)) + (a*c^2*(a + b*x)^3)/(12*b^4*(c*ProductLog[a + b*x])^(5/2)) - (5*c^2*(a + b*x)^4)/(256*b^4*(c*ProductLog[a + b*x])^(5/2)) + (3*a^2*c*(a + b*x)^2)/(8*b^4*(c*ProductLog[a + b*x])^(3/2)) - (a*c*(a + b*x)^3)/(6*b^4*(c*ProductLog[a + b*x])^(3/2)) + (c*(a + b*x)^4)/(32*b^4*(c*ProductLog[a + b*x])^(3/2)) - (a^3*(a + b*x))/(b^4*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) + (3*a^2*(a + b*x)^2)/(2*b^4*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) - (a*(a + b*x)^3)/(b^4*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) + (a + b*x)^4/(4*b^4*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])}
+{x^2/Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]], x, 11, (a^2*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(2*b^3*Sqrt[c]) + (a*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(8*b^3*Sqrt[c]) + (Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(72*b^3*Sqrt[c]) - (c^2*(a + b*x)^3)/(36*b^3*(c*ProductLog[a + b*x])^(5/2)) - (a*c*(a + b*x)^2)/(4*b^3*(c*ProductLog[a + b*x])^(3/2)) + (c*(a + b*x)^3)/(18*b^3*(c*ProductLog[a + b*x])^(3/2)) + (a^2*(a + b*x))/(b^3*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) - (a*(a + b*x)^2)/(b^3*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) + (a + b*x)^3/(3*b^3*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])}
+{x/Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]], x, 7, -((a*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(2*b^2*Sqrt[c])) - (Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(16*b^2*Sqrt[c]) + (c*(a + b*x)^2)/(8*b^2*(c*ProductLog[a + b*x])^(3/2)) - (a*(a + b*x))/(b^2*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) + (a + b*x)^2/(2*b^2*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])}
+{1/Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]], x, 2, (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(2*b*Sqrt[c]) + (a + b*x)/(b*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])}
+{1/Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/x, x, 1, (CannotIntegrate[1/(x*Sqrt[ProductLog[a + b*x]]), x]*Sqrt[ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]}
+{1/Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/x^2, x, 1, (CannotIntegrate[1/(x^2*Sqrt[ProductLog[a + b*x]]), x]*Sqrt[ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]}
+
+
+{x^3/Sqrt[-c*ProductLog[a + b*x]], x, 16, (a^3*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(2*b^4*Sqrt[c]) + (15*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(8192*b^4*Sqrt[c]) + (3*a^2*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(16*b^4*Sqrt[c]) + (a*Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(24*b^4*Sqrt[c]) - (15*c^3*(a + b*x)^4)/(2048*b^4*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(7/2)) + (a*c^2*(a + b*x)^3)/(12*b^4*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(5/2)) - (5*c^2*(a + b*x)^4)/(256*b^4*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(5/2)) - (3*a^2*c*(a + b*x)^2)/(8*b^4*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(3/2)) + (a*c*(a + b*x)^3)/(6*b^4*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(3/2)) - (c*(a + b*x)^4)/(32*b^4*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(3/2)) - (a^3*(a + b*x))/(b^4*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]) + (3*a^2*(a + b*x)^2)/(2*b^4*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]) - (a*(a + b*x)^3)/(b^4*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]) + (a + b*x)^4/(4*b^4*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]])}
+{x^2/Sqrt[-c*ProductLog[a + b*x]], x, 11, -((a^2*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(2*b^3*Sqrt[c])) - (a*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(8*b^3*Sqrt[c]) - (Sqrt[Pi/3]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(72*b^3*Sqrt[c]) - (c^2*(a + b*x)^3)/(36*b^3*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(5/2)) + (a*c*(a + b*x)^2)/(4*b^3*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(3/2)) - (c*(a + b*x)^3)/(18*b^3*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(3/2)) + (a^2*(a + b*x))/(b^3*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]) - (a*(a + b*x)^2)/(b^3*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]) + (a + b*x)^3/(3*b^3*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]])}
+{x/Sqrt[-c*ProductLog[a + b*x]], x, 7, (a*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(2*b^2*Sqrt[c]) + (Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(16*b^2*Sqrt[c]) - (c*(a + b*x)^2)/(8*b^2*((-c)*ProductLog[a + b*x])^(3/2)) - (a*(a + b*x))/(b^2*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]) + (a + b*x)^2/(2*b^2*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]])}
+{1/Sqrt[-c*ProductLog[a + b*x]], x, 2, -((Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(2*b*Sqrt[c])) + (a + b*x)/(b*Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]])}
+{1/Sqrt[-c*ProductLog[a + b*x]]/x, x, 1, (CannotIntegrate[1/(x*Sqrt[ProductLog[a + b*x]]), x]*Sqrt[ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]}
+{1/Sqrt[-c*ProductLog[a + b*x]]/x^2, x, 1, (CannotIntegrate[1/(x^2*Sqrt[ProductLog[a + b*x]]), x]*Sqrt[ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[(-c)*ProductLog[a + b*x]]}
+
+
+{x^3*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]], x, 20, -((a^3*Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(4*b^4)) - (105*Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(65536*b^4) - (9*a^2*Sqrt[c]*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(64*b^4) - (5*a*Sqrt[c]*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(144*b^4) + (105*c^4*(a + b*x)^4)/(16384*b^4*(c*ProductLog[a + b*x])^(7/2)) + (5*a*c^3*(a + b*x)^3)/(72*b^4*(c*ProductLog[a + b*x])^(5/2)) - (35*c^3*(a + b*x)^4)/(2048*b^4*(c*ProductLog[a + b*x])^(5/2)) + (9*a^2*c^2*(a + b*x)^2)/(32*b^4*(c*ProductLog[a + b*x])^(3/2)) - (5*a*c^2*(a + b*x)^3)/(36*b^4*(c*ProductLog[a + b*x])^(3/2)) + (7*c^2*(a + b*x)^4)/(256*b^4*(c*ProductLog[a + b*x])^(3/2)) + (a^3*c*(a + b*x))/(2*b^4*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) - (3*a^2*c*(a + b*x)^2)/(8*b^4*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) + (a*c*(a + b*x)^3)/(6*b^4*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) - (c*(a + b*x)^4)/(32*b^4*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) - (a^3*(a + b*x)*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/b^4 + (3*a^2*(a + b*x)^2*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/(2*b^4) - (a*(a + b*x)^3*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/b^4 + ((a + b*x)^4*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/(4*b^4)}
+{x^2*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]], x, 14, (a^2*Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(4*b^3) + (3*a*Sqrt[c]*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(32*b^3) + (5*Sqrt[c]*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(432*b^3) - (5*c^3*(a + b*x)^3)/(216*b^3*(c*ProductLog[a + b*x])^(5/2)) - (3*a*c^2*(a + b*x)^2)/(16*b^3*(c*ProductLog[a + b*x])^(3/2)) + (5*c^2*(a + b*x)^3)/(108*b^3*(c*ProductLog[a + b*x])^(3/2)) - (a^2*c*(a + b*x))/(2*b^3*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) + (a*c*(a + b*x)^2)/(4*b^3*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) - (c*(a + b*x)^3)/(18*b^3*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) + (a^2*(a + b*x)*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/b^3 - (a*(a + b*x)^2*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/b^3 + ((a + b*x)^3*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/(3*b^3)}
+{x*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]], x, 9, -((a*Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(4*b^2)) - (3*Sqrt[c]*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[c]])/(64*b^2) + (3*c^2*(a + b*x)^2)/(32*b^2*(c*ProductLog[a + b*x])^(3/2)) + (a*c*(a + b*x))/(2*b^2*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) - (c*(a + b*x)^2)/(8*b^2*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) - (a*(a + b*x)*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/b^2 + ((a + b*x)^2*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/(2*b^2)}
+{Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]], x, 3, (Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/Sqrt[c]])/(4*b) - (c*(a + b*x))/(2*b*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]) + ((a + b*x)*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/b}
+{Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/x, x, 1, (CannotIntegrate[Sqrt[ProductLog[a + b*x]]/x, x]*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[ProductLog[a + b*x]]}
+{Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/x^2, x, 1, (CannotIntegrate[Sqrt[ProductLog[a + b*x]]/x^2, x]*Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]])/Sqrt[ProductLog[a + b*x]]}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*x^m / (d+d ProductLog[a+b x])*)
+(**)
+
+
+{x^3/(d + d*ProductLog[a + b*x]), x, 12, -((3*(a + b*x)^4)/(128*b^4*d*ProductLog[a + b*x]^4)) - (2*a*(a + b*x)^3)/(9*b^4*d*ProductLog[a + b*x]^3) + (3*(a + b*x)^4)/(32*b^4*d*ProductLog[a + b*x]^3) - (3*a^2*(a + b*x)^2)/(4*b^4*d*ProductLog[a + b*x]^2) + (2*a*(a + b*x)^3)/(3*b^4*d*ProductLog[a + b*x]^2) - (3*(a + b*x)^4)/(16*b^4*d*ProductLog[a + b*x]^2) - (a^3*(a + b*x))/(b^4*d*ProductLog[a + b*x]) + (3*a^2*(a + b*x)^2)/(2*b^4*d*ProductLog[a + b*x]) - (a*(a + b*x)^3)/(b^4*d*ProductLog[a + b*x]) + (a + b*x)^4/(4*b^4*d*ProductLog[a + b*x])}
+{x^2/(d + d*ProductLog[a + b*x]), x, 8, (2*(a + b*x)^3)/(27*b^3*d*ProductLog[a + b*x]^3) + (a*(a + b*x)^2)/(2*b^3*d*ProductLog[a + b*x]^2) - (2*(a + b*x)^3)/(9*b^3*d*ProductLog[a + b*x]^2) + (a^2*(a + b*x))/(b^3*d*ProductLog[a + b*x]) - (a*(a + b*x)^2)/(b^3*d*ProductLog[a + b*x]) + (a + b*x)^3/(3*b^3*d*ProductLog[a + b*x])}
+{x/(d + d*ProductLog[a + b*x]), x, 5, -((a + b*x)^2/(4*b^2*d*ProductLog[a + b*x]^2)) - (a*(a + b*x))/(b^2*d*ProductLog[a + b*x]) + (a + b*x)^2/(2*b^2*d*ProductLog[a + b*x])}
+{1/(d + d*ProductLog[a + b*x]), x, 1, (a + b*x)/(b*d*ProductLog[a + b*x])}
+{1/(x*(d + d*ProductLog[a + b*x])), x, 2, CannotIntegrate[1/(x*(1 + ProductLog[a + b*x])), x]/d}
+{1/(x^2*(d + d*ProductLog[a + b*x])), x, 2, CannotIntegrate[1/(x^2*(1 + ProductLog[a + b*x])), x]/d}
+
+
+(* ::Subsection::Closed:: *)
+(*Integrands involving ProductLog[a x^n]*)
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*x^m ProductLog[a x]^p*)
+
+
+{x^3*ProductLog[a*x], x, 6, -(x^4/16) - (3*x^4)/(512*ProductLog[a*x]^4) + (3*x^4)/(128*ProductLog[a*x]^3) - (3*x^4)/(64*ProductLog[a*x]^2) + x^4/(16*ProductLog[a*x]) + (1/4)*x^4*ProductLog[a*x]}
+{x^2*ProductLog[a*x], x, 5, -(x^3/9) + (2*x^3)/(81*ProductLog[a*x]^3) - (2*x^3)/(27*ProductLog[a*x]^2) + x^3/(9*ProductLog[a*x]) + (1/3)*x^3*ProductLog[a*x]}
+{x*ProductLog[a*x], x, 4, -(x^2/4) - x^2/(8*ProductLog[a*x]^2) + x^2/(4*ProductLog[a*x]) + (1/2)*x^2*ProductLog[a*x]}
+{ProductLog[a*x], x, 3, -x + x/ProductLog[a*x] + x*ProductLog[a*x]}
+{ProductLog[a*x]/x, x, 2, ProductLog[a*x] + (1/2)*ProductLog[a*x]^2}
+{ProductLog[a*x]/x^2, x, 2, a*ExpIntegralEi[-ProductLog[a*x]] - ProductLog[a*x]/x}
+{ProductLog[a*x]/x^3, x, 2, (-a^2)*ExpIntegralEi[-2*ProductLog[a*x]] - ProductLog[a*x]/x^2}
+{ProductLog[a*x]/x^4, x, 3, (3/2)*a^3*ExpIntegralEi[-3*ProductLog[a*x]] - ProductLog[a*x]/(2*x^3) + ProductLog[a*x]^2/(2*x^3)}
+{ProductLog[a*x]/x^5, x, 4, (-(8/3))*a^4*ExpIntegralEi[-4*ProductLog[a*x]] - ProductLog[a*x]/(3*x^4) + ProductLog[a*x]^2/(6*x^4) - (2*ProductLog[a*x]^3)/(3*x^4)}
+{ProductLog[a*x]/x^6, x, 5, (125/24)*a^5*ExpIntegralEi[-5*ProductLog[a*x]] - ProductLog[a*x]/(4*x^5) + ProductLog[a*x]^2/(12*x^5) - (5*ProductLog[a*x]^3)/(24*x^5) + (25*ProductLog[a*x]^4)/(24*x^5)}
+
+
+{x^2*ProductLog[a*x]^2, x, 6, (8*x^3)/27 - (16*x^3)/(243*ProductLog[a*x]^3) + (16*x^3)/(81*ProductLog[a*x]^2) - (8*x^3)/(27*ProductLog[a*x]) - (2/9)*x^3*ProductLog[a*x] + (1/3)*x^3*ProductLog[a*x]^2}
+{x*ProductLog[a*x]^2, x, 5, (3*x^2)/4 + (3*x^2)/(8*ProductLog[a*x]^2) - (3*x^2)/(4*ProductLog[a*x]) - (1/2)*x^2*ProductLog[a*x] + (1/2)*x^2*ProductLog[a*x]^2}
+{ProductLog[a*x]^2, x, 4, 4*x - (4*x)/ProductLog[a*x] - 2*x*ProductLog[a*x] + x*ProductLog[a*x]^2}
+{ProductLog[a*x]^2/x, x, 2, (1/2)*ProductLog[a*x]^2 + (1/3)*ProductLog[a*x]^3}
+{ProductLog[a*x]^2/x^2, x, 2, -((2*ProductLog[a*x])/x) - ProductLog[a*x]^2/x}
+{ProductLog[a*x]^2/x^3, x, 2, a^2*ExpIntegralEi[-2*ProductLog[a*x]] - ProductLog[a*x]^2/(2*x^2)}
+{ProductLog[a*x]^2/x^4, x, 2, -2*a^3*ExpIntegralEi[-3*ProductLog[a*x]] - ProductLog[a*x]^2/x^3}
+{ProductLog[a*x]^2/x^5, x, 3, 4*a^4*ExpIntegralEi[-4*ProductLog[a*x]] - ProductLog[a*x]^2/(2*x^4) + ProductLog[a*x]^3/x^4}
+{ProductLog[a*x]^2/x^6, x, 4, (-(25/3))*a^5*ExpIntegralEi[-5*ProductLog[a*x]] - ProductLog[a*x]^2/(3*x^5) + ProductLog[a*x]^3/(3*x^5) - (5*ProductLog[a*x]^4)/(3*x^5)}
+{ProductLog[a*x]^2/x^7, x, 5, 18*a^6*ExpIntegralEi[-6*ProductLog[a*x]] - ProductLog[a*x]^2/(4*x^6) + ProductLog[a*x]^3/(6*x^6) - ProductLog[a*x]^4/(2*x^6) + (3*ProductLog[a*x]^5)/x^6}
+
+
+{x^2*ProductLog[a*x]^3, x, 7, -((20*x^3)/27) + (40*x^3)/(243*ProductLog[a*x]^3) - (40*x^3)/(81*ProductLog[a*x]^2) + (20*x^3)/(27*ProductLog[a*x]) + (5/9)*x^3*ProductLog[a*x] - (1/3)*x^3*ProductLog[a*x]^2 + (1/3)*x^3*ProductLog[a*x]^3}
+{x*ProductLog[a*x]^3, x, 6, -((9*x^2)/4) - (9*x^2)/(8*ProductLog[a*x]^2) + (9*x^2)/(4*ProductLog[a*x]) + (3/2)*x^2*ProductLog[a*x] - (3/4)*x^2*ProductLog[a*x]^2 + (1/2)*x^2*ProductLog[a*x]^3}
+{ProductLog[a*x]^3, x, 5, -18*x + (18*x)/ProductLog[a*x] + 9*x*ProductLog[a*x] - 3*x*ProductLog[a*x]^2 + x*ProductLog[a*x]^3}
+{ProductLog[a*x]^3/x, x, 2, (1/3)*ProductLog[a*x]^3 + (1/4)*ProductLog[a*x]^4}
+{ProductLog[a*x]^3/x^2, x, 3, -((3*ProductLog[a*x])/x) - (3*ProductLog[a*x]^2)/x - ProductLog[a*x]^3/x}
+{ProductLog[a*x]^3/x^3, x, 2, -((3*ProductLog[a*x]^2)/(4*x^2)) - ProductLog[a*x]^3/(2*x^2)}
+{ProductLog[a*x]^3/x^4, x, 2, a^3*ExpIntegralEi[-3*ProductLog[a*x]] - ProductLog[a*x]^3/(3*x^3)}
+{ProductLog[a*x]^3/x^5, x, 2, -3*a^4*ExpIntegralEi[-4*ProductLog[a*x]] - ProductLog[a*x]^3/x^4}
+{ProductLog[a*x]^3/x^6, x, 3, (15/2)*a^5*ExpIntegralEi[-5*ProductLog[a*x]] - ProductLog[a*x]^3/(2*x^5) + (3*ProductLog[a*x]^4)/(2*x^5)}
+{ProductLog[a*x]^3/x^7, x, 4, -18*a^6*ExpIntegralEi[-6*ProductLog[a*x]] - ProductLog[a*x]^3/(3*x^6) + ProductLog[a*x]^4/(2*x^6) - (3*ProductLog[a*x]^5)/x^6}
+{ProductLog[a*x]^3/x^8, x, 5, (343/8)*a^7*ExpIntegralEi[-7*ProductLog[a*x]] - ProductLog[a*x]^3/(4*x^7) + ProductLog[a*x]^4/(4*x^7) - (7*ProductLog[a*x]^5)/(8*x^7) + (49*ProductLog[a*x]^6)/(8*x^7)}
+
+
+{x^4/ProductLog[a*x], x, 5, -((6*x^5)/(3125*ProductLog[a*x]^5)) + (6*x^5)/(625*ProductLog[a*x]^4) - (3*x^5)/(125*ProductLog[a*x]^3) + x^5/(25*ProductLog[a*x]^2) + x^5/(5*ProductLog[a*x])}
+{x^3/ProductLog[a*x], x, 4, x^4/(128*ProductLog[a*x]^4) - x^4/(32*ProductLog[a*x]^3) + x^4/(16*ProductLog[a*x]^2) + x^4/(4*ProductLog[a*x])}
+{x^2/ProductLog[a*x], x, 3, -(x^3/(27*ProductLog[a*x]^3)) + x^3/(9*ProductLog[a*x]^2) + x^3/(3*ProductLog[a*x])}
+{x/ProductLog[a*x], x, 2, x^2/(4*ProductLog[a*x]^2) + x^2/(2*ProductLog[a*x])}
+{1/ProductLog[a*x], x, 2, ExpIntegralEi[ProductLog[a*x]]/a + x/ProductLog[a*x]}
+{1/(x*ProductLog[a*x]), x, 2, Log[ProductLog[a*x]] - 1/ProductLog[a*x]}
+{1/(x^2*ProductLog[a*x]), x, 3, -(1/(2*x)) - (1/2)*a*ExpIntegralEi[-ProductLog[a*x]] - 1/(2*x*ProductLog[a*x])}
+{1/(x^3*ProductLog[a*x]), x, 4, -(1/(6*x^2)) + (2/3)*a^2*ExpIntegralEi[-2*ProductLog[a*x]] - 1/(3*x^2*ProductLog[a*x]) + ProductLog[a*x]/(3*x^2)}
+{1/(x^4*ProductLog[a*x]), x, 5, -(1/(12*x^3)) - (9/8)*a^3*ExpIntegralEi[-3*ProductLog[a*x]] - 1/(4*x^3*ProductLog[a*x]) + ProductLog[a*x]/(8*x^3) - (3*ProductLog[a*x]^2)/(8*x^3)}
+
+
+{x^5/ProductLog[a*x]^2, x, 5, -(x^6/(648*ProductLog[a*x]^6)) + x^6/(108*ProductLog[a*x]^5) - x^6/(36*ProductLog[a*x]^4) + x^6/(18*ProductLog[a*x]^3) + x^6/(6*ProductLog[a*x]^2)}
+{x^4/ProductLog[a*x]^2, x, 4, (4*x^5)/(625*ProductLog[a*x]^5) - (4*x^5)/(125*ProductLog[a*x]^4) + (2*x^5)/(25*ProductLog[a*x]^3) + x^5/(5*ProductLog[a*x]^2)}
+{x^3/ProductLog[a*x]^2, x, 3, -(x^4/(32*ProductLog[a*x]^4)) + x^4/(8*ProductLog[a*x]^3) + x^4/(4*ProductLog[a*x]^2)}
+{x^2/ProductLog[a*x]^2, x, 2, (2*x^3)/(9*ProductLog[a*x]^3) + x^3/(3*ProductLog[a*x]^2)}
+{x/ProductLog[a*x]^2, x, 2, ExpIntegralEi[2*ProductLog[a*x]]/a^2 + x^2/(2*ProductLog[a*x]^2)}
+{1/ProductLog[a*x]^2, x, 2, (2*ExpIntegralEi[ProductLog[a*x]])/a - x/ProductLog[a*x]^2}
+{1/(x*ProductLog[a*x]^2), x, 2, -(1/(2*ProductLog[a*x]^2)) - 1/ProductLog[a*x]}
+{1/(x^2*ProductLog[a*x]^2), x, 4, 1/(3*x) + (1/3)*a*ExpIntegralEi[-ProductLog[a*x]] - 1/(3*x*ProductLog[a*x]^2) - 1/(3*x*ProductLog[a*x])}
+{1/(x^3*ProductLog[a*x]^2), x, 5, 1/(6*x^2) - (2/3)*a^2*ExpIntegralEi[-2*ProductLog[a*x]] - 1/(4*x^2*ProductLog[a*x]^2) - 1/(6*x^2*ProductLog[a*x]) - ProductLog[a*x]/(3*x^2)}
+
+
+{x^6/ProductLog[a*x]^3, x, 5, -((18*x^7)/(16807*ProductLog[a*x]^7)) + (18*x^7)/(2401*ProductLog[a*x]^6) - (9*x^7)/(343*ProductLog[a*x]^5) + (3*x^7)/(49*ProductLog[a*x]^4) + x^7/(7*ProductLog[a*x]^3)}
+{x^5/ProductLog[a*x]^3, x, 4, x^6/(216*ProductLog[a*x]^6) - x^6/(36*ProductLog[a*x]^5) + x^6/(12*ProductLog[a*x]^4) + x^6/(6*ProductLog[a*x]^3)}
+{x^4/ProductLog[a*x]^3, x, 3, -((3*x^5)/(125*ProductLog[a*x]^5)) + (3*x^5)/(25*ProductLog[a*x]^4) + x^5/(5*ProductLog[a*x]^3)}
+{x^3/ProductLog[a*x]^3, x, 2, (3*x^4)/(16*ProductLog[a*x]^4) + x^4/(4*ProductLog[a*x]^3)}
+{x^2/ProductLog[a*x]^3, x, 2, ExpIntegralEi[3*ProductLog[a*x]]/a^3 + x^3/(3*ProductLog[a*x]^3)}
+{x/ProductLog[a*x]^3, x, 2, (3*ExpIntegralEi[2*ProductLog[a*x]])/a^2 - x^2/ProductLog[a*x]^3}
+{1/ProductLog[a*x]^3, x, 3, (3*ExpIntegralEi[ProductLog[a*x]])/(2*a) - x/(2*ProductLog[a*x]^3) - (3*x)/(2*ProductLog[a*x]^2)}
+{1/(x*ProductLog[a*x]^3), x, 2, -(1/(3*ProductLog[a*x]^3)) - 1/(2*ProductLog[a*x]^2)}
+{1/(x^2*ProductLog[a*x]^3), x, 5, -(1/(8*x)) - (1/8)*a*ExpIntegralEi[-ProductLog[a*x]] - 1/(4*x*ProductLog[a*x]^3) - 1/(4*x*ProductLog[a*x]^2) + 1/(8*x*ProductLog[a*x])}
+{1/(x^3*ProductLog[a*x]^3), x, 6, -(1/(10*x^2)) + (2/5)*a^2*ExpIntegralEi[-2*ProductLog[a*x]] - 1/(5*x^2*ProductLog[a*x]^3) - 3/(20*x^2*ProductLog[a*x]^2) + 1/(10*x^2*ProductLog[a*x]) + ProductLog[a*x]/(5*x^2)}
+
+
+{x^3*Sqrt[c*ProductLog[a*x]], x, 6, -((105*Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/Sqrt[c]])/(65536*a^4)) + (105*c^4*x^4)/(16384*(c*ProductLog[a*x])^(7/2)) - (35*c^3*x^4)/(2048*(c*ProductLog[a*x])^(5/2)) + (7*c^2*x^4)/(256*(c*ProductLog[a*x])^(3/2)) - (c*x^4)/(32*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]) + (1/4)*x^4*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]}
+{x^2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]], x, 5, (5*Sqrt[c]*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/Sqrt[c]])/(432*a^3) - (5*c^3*x^3)/(216*(c*ProductLog[a*x])^(5/2)) + (5*c^2*x^3)/(108*(c*ProductLog[a*x])^(3/2)) - (c*x^3)/(18*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]) + (1/3)*x^3*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]}
+{x*Sqrt[c*ProductLog[a*x]], x, 4, -((3*Sqrt[c]*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/Sqrt[c]])/(64*a^2)) + (3*c^2*x^2)/(32*(c*ProductLog[a*x])^(3/2)) - (c*x^2)/(8*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]) + (1/2)*x^2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]}
+{Sqrt[c*ProductLog[a*x]], x, 3, (Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a*x]]/Sqrt[c]])/(4*a) - (c*x)/(2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]) + x*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]}
+{Sqrt[c*ProductLog[a*x]]/x, x, 2, 2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]] + (2*(c*ProductLog[a*x])^(3/2))/(3*c)}
+{Sqrt[c*ProductLog[a*x]]/x^2, x, 2, (-a)*Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[c*ProductLog[a*x]]/Sqrt[c]] - (2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/x}
+{Sqrt[c*ProductLog[a*x]]/x^3, x, 3, (2/3)*a^2*Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/Sqrt[c]] - (2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/(3*x^2) + (2*(c*ProductLog[a*x])^(3/2))/(3*c*x^2)}
+{Sqrt[c*ProductLog[a*x]]/x^4, x, 4, (-(4/5))*a^3*Sqrt[c]*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/Sqrt[c]] - (2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/(5*x^3) + (2*(c*ProductLog[a*x])^(3/2))/(15*c*x^3) - (4*(c*ProductLog[a*x])^(5/2))/(5*c^2*x^3)}
+{Sqrt[c*ProductLog[a*x]]/x^5, x, 5, (256/105)*a^4*Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/Sqrt[c]] - (2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/(7*x^4) + (2*(c*ProductLog[a*x])^(3/2))/(35*c*x^4) - (16*(c*ProductLog[a*x])^(5/2))/(105*c^2*x^4) + (128*(c*ProductLog[a*x])^(7/2))/(105*c^3*x^4)}
+{Sqrt[c*ProductLog[a*x]]/x^6, x, 6, (-(400/189))*a^5*Sqrt[c]*Sqrt[5*Pi]*Erf[(Sqrt[5]*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/Sqrt[c]] - (2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/(9*x^5) + (2*(c*ProductLog[a*x])^(3/2))/(63*c*x^5) - (4*(c*ProductLog[a*x])^(5/2))/(63*c^2*x^5) + (40*(c*ProductLog[a*x])^(7/2))/(189*c^3*x^5) - (400*(c*ProductLog[a*x])^(9/2))/(189*c^4*x^5)}
+
+
+{x^4/Sqrt[c*ProductLog[a*x]], x, 6, (21*Sqrt[Pi/5]*Erfi[(Sqrt[5]*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/Sqrt[c]])/(20000*a^5*Sqrt[c]) - (21*c^4*x^5)/(10000*(c*ProductLog[a*x])^(9/2)) + (7*c^3*x^5)/(1000*(c*ProductLog[a*x])^(7/2)) - (7*c^2*x^5)/(500*(c*ProductLog[a*x])^(5/2)) + (c*x^5)/(50*(c*ProductLog[a*x])^(3/2)) + x^5/(5*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])}
+{x^3/Sqrt[c*ProductLog[a*x]], x, 5, -((15*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/Sqrt[c]])/(8192*a^4*Sqrt[c])) + (15*c^3*x^4)/(2048*(c*ProductLog[a*x])^(7/2)) - (5*c^2*x^4)/(256*(c*ProductLog[a*x])^(5/2)) + (c*x^4)/(32*(c*ProductLog[a*x])^(3/2)) + x^4/(4*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])}
+{x^2/Sqrt[c*ProductLog[a*x]], x, 4, (Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/Sqrt[c]])/(72*a^3*Sqrt[c]) - (c^2*x^3)/(36*(c*ProductLog[a*x])^(5/2)) + (c*x^3)/(18*(c*ProductLog[a*x])^(3/2)) + x^3/(3*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])}
+{x/Sqrt[c*ProductLog[a*x]], x, 3, -((Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/Sqrt[c]])/(16*a^2*Sqrt[c])) + (c*x^2)/(8*(c*ProductLog[a*x])^(3/2)) + x^2/(2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])}
+{1/Sqrt[c*ProductLog[a*x]], x, 2, (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a*x]]/Sqrt[c]])/(2*a*Sqrt[c]) + x/Sqrt[c*ProductLog[a*x]]}
+{1/(x*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]), x, 2, -(2/Sqrt[c*ProductLog[a*x]]) + (2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/c}
+{1/(x^2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]), x, 3, -((2*a*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[c*ProductLog[a*x]]/Sqrt[c]])/(3*Sqrt[c])) - 2/(3*x*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]) - (2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/(3*c*x)}
+{1/(x^3*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]), x, 4, (8*a^2*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/Sqrt[c]])/(15*Sqrt[c]) - 2/(5*x^2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]) - (2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/(15*c*x^2) + (8*(c*ProductLog[a*x])^(3/2))/(15*c^2*x^2)}
+{1/(x^4*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]), x, 5, -((24*a^3*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/Sqrt[c]])/(35*Sqrt[c])) - 2/(7*x^3*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]) - (2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/(35*c*x^3) + (4*(c*ProductLog[a*x])^(3/2))/(35*c^2*x^3) - (24*(c*ProductLog[a*x])^(5/2))/(35*c^3*x^3)}
+{1/(x^5*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]), x, 6, (2048*a^4*Sqrt[Pi]*Erf[(2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/Sqrt[c]])/(945*Sqrt[c]) - 2/(9*x^4*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]) - (2*Sqrt[c*ProductLog[a*x]])/(63*c*x^4) + (16*(c*ProductLog[a*x])^(3/2))/(315*c^2*x^4) - (128*(c*ProductLog[a*x])^(5/2))/(945*c^3*x^4) + (1024*(c*ProductLog[a*x])^(7/2))/(945*c^4*x^4)}
+
+
+{x^2*(c*ProductLog[a*x])^p, x, 3, (3^(-3 - p)*x^2*Gamma[3 + p, -3*ProductLog[a*x]]*(-ProductLog[a*x])^(-2 - p)*(c*ProductLog[a*x])^p)/(E^(2*ProductLog[a*x])*a) + (3^(-4 - p)*x^2*Gamma[4 + p, -3*ProductLog[a*x]]*(-ProductLog[a*x])^(-3 - p)*(c*ProductLog[a*x])^(1 + p))/(E^(2*ProductLog[a*x])*(a*c))}
+{x*(c*ProductLog[a*x])^p, x, 3, (2^(-2 - p)*x*Gamma[2 + p, -2*ProductLog[a*x]]*(-ProductLog[a*x])^(-1 - p)*(c*ProductLog[a*x])^p)/(E^ProductLog[a*x]*a) + (2^(-3 - p)*x*Gamma[3 + p, -2*ProductLog[a*x]]*(-ProductLog[a*x])^(-2 - p)*(c*ProductLog[a*x])^(1 + p))/(E^ProductLog[a*x]*(a*c))}
+{(c*ProductLog[a*x])^p/x, x, 2, (c*ProductLog[a*x])^p/p + (c*ProductLog[a*x])^(1 + p)/(c*(1 + p))}
+{(c*ProductLog[a*x])^p/x^2, x, 3, -((E^(2*ProductLog[a*x])*Gamma[-1 + p, ProductLog[a*x]]*ProductLog[a*x]^(2 - p)*(c*ProductLog[a*x])^p)/(a*x^2)) - (E^(2*ProductLog[a*x])*Gamma[p, ProductLog[a*x]]*ProductLog[a*x]^(1 - p)*(c*ProductLog[a*x])^(1 + p))/(a*c*x^2)}
+{(c*ProductLog[a*x])^p/x^3, x, 3, -((2^(2 - p)*E^(3*ProductLog[a*x])*Gamma[-2 + p, 2*ProductLog[a*x]]*ProductLog[a*x]^(3 - p)*(c*ProductLog[a*x])^p)/(a*x^3)) - (2^(1 - p)*E^(3*ProductLog[a*x])*Gamma[-1 + p, 2*ProductLog[a*x]]*ProductLog[a*x]^(2 - p)*(c*ProductLog[a*x])^(1 + p))/(a*c*x^3)}
+
+
+{x^m*ProductLog[a*x], x, 3, (x^m*Gamma[3 + m, -(1 + m)*ProductLog[a*x]]*ProductLog[a*x]^2*(-(1 + m)*ProductLog[a*x])^(-2 - m))/(E^(m*ProductLog[a*x])*(a*(1 + m))) + (x^m*Gamma[2 + m, -(1 + m)*ProductLog[a*x]]*ProductLog[a*x]*(-(1 + m)*ProductLog[a*x])^(-1 - m))/(E^(m*ProductLog[a*x])*(a*(1 + m)))}
+{x^m*ProductLog[a*x]^2, x, 3, (x^m*Gamma[4 + m, -(1 + m)*ProductLog[a*x]]*ProductLog[a*x]^3*(-(1 + m)*ProductLog[a*x])^(-3 - m))/(E^(m*ProductLog[a*x])*(a*(1 + m))) + (x^m*Gamma[3 + m, -(1 + m)*ProductLog[a*x]]*ProductLog[a*x]^2*(-(1 + m)*ProductLog[a*x])^(-2 - m))/(E^(m*ProductLog[a*x])*(a*(1 + m)))}
+{x^m/ProductLog[a*x], x, 3, (x^m*Gamma[m, -(1 + m)*ProductLog[a*x]]*(-(1 + m)*ProductLog[a*x])^(1 - m))/(E^(m*ProductLog[a*x])*(a*(1 + m)*ProductLog[a*x])) + (x^m*Gamma[1 + m, -(1 + m)*ProductLog[a*x]])/(E^(m*ProductLog[a*x])*(-(1 + m)*ProductLog[a*x])^m*(a*(1 + m)))}
+{x^m/ProductLog[a*x]^2, x, 3, (x^m*Gamma[m, -(1 + m)*ProductLog[a*x]]*(-(1 + m)*ProductLog[a*x])^(1 - m))/(E^(m*ProductLog[a*x])*(a*(1 + m)*ProductLog[a*x])) + (x^m*Gamma[-1 + m, -(1 + m)*ProductLog[a*x]]*(-(1 + m)*ProductLog[a*x])^(2 - m))/(E^(m*ProductLog[a*x])*(a*(1 + m)*ProductLog[a*x]^2))}
+{x^m*Sqrt[c*ProductLog[a*x]], x, 3, (x^m*Gamma[5/2 + m, -(1 + m)*ProductLog[a*x]]*(c*ProductLog[a*x])^(3/2)*(-(1 + m)*ProductLog[a*x])^(-(3/2) - m))/(E^(m*ProductLog[a*x])*(a*c*(1 + m))) + (x^m*Gamma[3/2 + m, -(1 + m)*ProductLog[a*x]]*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]*(-(1 + m)*ProductLog[a*x])^(-(1/2) - m))/(E^(m*ProductLog[a*x])*(a*(1 + m)))}
+{x^m/Sqrt[c*ProductLog[a*x]], x, 3, (x^m*Gamma[3/2 + m, -(1 + m)*ProductLog[a*x]]*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]*(-(1 + m)*ProductLog[a*x])^(-(1/2) - m))/(E^(m*ProductLog[a*x])*(a*c*(1 + m))) + (x^m*Gamma[1/2 + m, -(1 + m)*ProductLog[a*x]]*(-(1 + m)*ProductLog[a*x])^(1/2 - m))/(E^(m*ProductLog[a*x])*(a*(1 + m)*Sqrt[c*ProductLog[a*x]]))}
+
+
+{x^m*(c*ProductLog[a*x])^p, x, 3, (1/(a*c*(1 + m)))*((x^m*Gamma[2 + m + p, -(1 + m)*ProductLog[a*x]]*(c*ProductLog[a*x])^(1 + p)*(-(1 + m)*ProductLog[a*x])^(-1 - m - p))/E^(m*ProductLog[a*x])) + (1/(a*(1 + m)))*((x^m*Gamma[1 + m + p, -(1 + m)*ProductLog[a*x]]*(c*ProductLog[a*x])^p*(-(1 + m)*ProductLog[a*x])^(-m - p))/E^(m*ProductLog[a*x]))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*x^m ProductLog[a x^2]^p*)
+
+
+{x^4*ProductLog[a*x^2], x, 0, CannotIntegrate[x^4*ProductLog[a*x^2], x]}
+{x^3*ProductLog[a*x^2], x, 5, -(x^4/8) - x^4/(16*ProductLog[a*x^2]^2) + x^4/(8*ProductLog[a*x^2]) + (1/4)*x^4*ProductLog[a*x^2]}
+{x^2*ProductLog[a*x^2], x, 0, CannotIntegrate[x^2*ProductLog[a*x^2], x]}
+{x*ProductLog[a*x^2], x, 4, -(x^2/2) + x^2/(2*ProductLog[a*x^2]) + (1/2)*x^2*ProductLog[a*x^2]}
+{ProductLog[a*x^2], x, 0, CannotIntegrate[ProductLog[a*x^2], x]}
+{ProductLog[a*x^2]/x, x, 2, (1/2)*ProductLog[a*x^2] + (1/4)*ProductLog[a*x^2]^2}
+{ProductLog[a*x^2]/x^2, x, 0, CannotIntegrate[ProductLog[a*x^2]/x^2, x]}
+{ProductLog[a*x^2]/x^3, x, 2, (1/2)*a*ExpIntegralEi[-ProductLog[a*x^2]] - ProductLog[a*x^2]/(2*x^2)}
+{ProductLog[a*x^2]/x^4, x, 0, CannotIntegrate[ProductLog[a*x^2]/x^4, x]}
+{ProductLog[a*x^2]/x^5, x, 2, (-(1/2))*a^2*ExpIntegralEi[-2*ProductLog[a*x^2]] - ProductLog[a*x^2]/(2*x^4)}
+{ProductLog[a*x^2]/x^6, x, 0, CannotIntegrate[ProductLog[a*x^2]/x^6, x]}
+{ProductLog[a*x^2]/x^7, x, 3, (3/4)*a^3*ExpIntegralEi[-3*ProductLog[a*x^2]] - ProductLog[a*x^2]/(4*x^6) + ProductLog[a*x^2]^2/(4*x^6)}
+
+
+{x^3*ProductLog[a*x^2]^2, x, 6, (3*x^4)/8 + (3*x^4)/(16*ProductLog[a*x^2]^2) - (3*x^4)/(8*ProductLog[a*x^2]) - (1/4)*x^4*ProductLog[a*x^2] + (1/4)*x^4*ProductLog[a*x^2]^2}
+{x^2*ProductLog[a*x^2]^2, x, 0, CannotIntegrate[x^2*ProductLog[a*x^2]^2, x]}
+{x*ProductLog[a*x^2]^2, x, 5, 2*x^2 - (2*x^2)/ProductLog[a*x^2] - x^2*ProductLog[a*x^2] + (1/2)*x^2*ProductLog[a*x^2]^2}
+{ProductLog[a*x^2]^2, x, 0, CannotIntegrate[ProductLog[a*x^2]^2, x]}
+{ProductLog[a*x^2]^2/x, x, 2, (1/4)*ProductLog[a*x^2]^2 + (1/6)*ProductLog[a*x^2]^3}
+{ProductLog[a*x^2]^2/x^2, x, 0, CannotIntegrate[ProductLog[a*x^2]^2/x^2, x]}
+{ProductLog[a*x^2]^2/x^3, x, 2, -(ProductLog[a*x^2]/x^2) - ProductLog[a*x^2]^2/(2*x^2)}
+{ProductLog[a*x^2]^2/x^4, x, 0, CannotIntegrate[ProductLog[a*x^2]^2/x^4, x]}
+{ProductLog[a*x^2]^2/x^5, x, 2, (1/2)*a^2*ExpIntegralEi[-2*ProductLog[a*x^2]] - ProductLog[a*x^2]^2/(4*x^4)}
+{ProductLog[a*x^2]^2/x^6, x, 0, CannotIntegrate[ProductLog[a*x^2]^2/x^6, x]}
+{ProductLog[a*x^2]^2/x^7, x, 2, (-a^3)*ExpIntegralEi[-3*ProductLog[a*x^2]] - ProductLog[a*x^2]^2/(2*x^6)}
+{ProductLog[a*x^2]^2/x^8, x, 0, CannotIntegrate[ProductLog[a*x^2]^2/x^8, x]}
+{ProductLog[a*x^2]^2/x^9, x, 3, 2*a^4*ExpIntegralEi[-4*ProductLog[a*x^2]] - ProductLog[a*x^2]^2/(4*x^8) + ProductLog[a*x^2]^3/(2*x^8)}
+
+
+{x^2*ProductLog[a*x^2]^3, x, 0, CannotIntegrate[x^2*ProductLog[a*x^2]^3, x]}
+{x*ProductLog[a*x^2]^3, x, 6, -9*x^2 + (9*x^2)/ProductLog[a*x^2] + (9/2)*x^2*ProductLog[a*x^2] - (3/2)*x^2*ProductLog[a*x^2]^2 + (1/2)*x^2*ProductLog[a*x^2]^3}
+{ProductLog[a*x^2]^3, x, 0, CannotIntegrate[ProductLog[a*x^2]^3, x]}
+{ProductLog[a*x^2]^3/x, x, 2, (1/6)*ProductLog[a*x^2]^3 + (1/8)*ProductLog[a*x^2]^4}
+{ProductLog[a*x^2]^3/x^2, x, 0, CannotIntegrate[ProductLog[a*x^2]^3/x^2, x]}
+{ProductLog[a*x^2]^3/x^3, x, 3, -((3*ProductLog[a*x^2])/(2*x^2)) - (3*ProductLog[a*x^2]^2)/(2*x^2) - ProductLog[a*x^2]^3/(2*x^2)}
+{ProductLog[a*x^2]^3/x^4, x, 0, CannotIntegrate[ProductLog[a*x^2]^3/x^4, x]}
+{ProductLog[a*x^2]^3/x^5, x, 2, -((3*ProductLog[a*x^2]^2)/(8*x^4)) - ProductLog[a*x^2]^3/(4*x^4)}
+{ProductLog[a*x^2]^3/x^6, x, 0, CannotIntegrate[ProductLog[a*x^2]^3/x^6, x]}
+{ProductLog[a*x^2]^3/x^7, x, 2, (1/2)*a^3*ExpIntegralEi[-3*ProductLog[a*x^2]] - ProductLog[a*x^2]^3/(6*x^6)}
+{ProductLog[a*x^2]^3/x^8, x, 0, CannotIntegrate[ProductLog[a*x^2]^3/x^8, x]}
+{ProductLog[a*x^2]^3/x^9, x, 2, (-(3/2))*a^4*ExpIntegralEi[-4*ProductLog[a*x^2]] - ProductLog[a*x^2]^3/(2*x^8)}
+
+
+{x^5/ProductLog[a*x^2], x, 3, -(x^6/(54*ProductLog[a*x^2]^3)) + x^6/(18*ProductLog[a*x^2]^2) + x^6/(6*ProductLog[a*x^2])}
+{x^4/ProductLog[a*x^2], x, 0, CannotIntegrate[x^4/ProductLog[a*x^2], x]}
+{x^3/ProductLog[a*x^2], x, 2, x^4/(8*ProductLog[a*x^2]^2) + x^4/(4*ProductLog[a*x^2])}
+{x^2/ProductLog[a*x^2], x, 0, CannotIntegrate[x^2/ProductLog[a*x^2], x]}
+{x/ProductLog[a*x^2], x, 2, ExpIntegralEi[ProductLog[a*x^2]]/(2*a) + x^2/(2*ProductLog[a*x^2])}
+{1/ProductLog[a*x^2], x, 0, CannotIntegrate[1/ProductLog[a*x^2], x]}
+{1/(x*ProductLog[a*x^2]), x, 2, (1/2)*Log[ProductLog[a*x^2]] - 1/(2*ProductLog[a*x^2])}
+{1/(x^2*ProductLog[a*x^2]), x, 0, CannotIntegrate[1/(x^2*ProductLog[a*x^2]), x]}
+{1/(x^3*ProductLog[a*x^2]), x, 4, -(1/(4*x^2)) - (1/4)*a*ExpIntegralEi[-ProductLog[a*x^2]] - 1/(4*x^2*ProductLog[a*x^2])}
+{1/(x^4*ProductLog[a*x^2]), x, 0, CannotIntegrate[1/(x^4*ProductLog[a*x^2]), x]}
+{1/(x^5*ProductLog[a*x^2]), x, 5, -(1/(12*x^4)) + (1/3)*a^2*ExpIntegralEi[-2*ProductLog[a*x^2]] - 1/(6*x^4*ProductLog[a*x^2]) + ProductLog[a*x^2]/(6*x^4)}
+
+
+{x^7/ProductLog[a*x^2]^2, x, 3, -(x^8/(64*ProductLog[a*x^2]^4)) + x^8/(16*ProductLog[a*x^2]^3) + x^8/(8*ProductLog[a*x^2]^2)}
+{x^6/ProductLog[a*x^2]^2, x, 0, CannotIntegrate[x^6/ProductLog[a*x^2]^2, x]}
+{x^5/ProductLog[a*x^2]^2, x, 2, x^6/(9*ProductLog[a*x^2]^3) + x^6/(6*ProductLog[a*x^2]^2)}
+{x^4/ProductLog[a*x^2]^2, x, 0, CannotIntegrate[x^4/ProductLog[a*x^2]^2, x]}
+{x^3/ProductLog[a*x^2]^2, x, 2, ExpIntegralEi[2*ProductLog[a*x^2]]/(2*a^2) + x^4/(4*ProductLog[a*x^2]^2)}
+{x^2/ProductLog[a*x^2]^2, x, 0, CannotIntegrate[x^2/ProductLog[a*x^2]^2, x]}
+{x/ProductLog[a*x^2]^2, x, 2, ExpIntegralEi[ProductLog[a*x^2]]/a - x^2/(2*ProductLog[a*x^2]^2)}
+{1/ProductLog[a*x^2]^2, x, 0, CannotIntegrate[1/ProductLog[a*x^2]^2, x]}
+{1/(x*ProductLog[a*x^2]^2), x, 2, -(1/(4*ProductLog[a*x^2]^2)) - 1/(2*ProductLog[a*x^2])}
+{1/(x^2*ProductLog[a*x^2]^2), x, 0, CannotIntegrate[1/(x^2*ProductLog[a*x^2]^2), x]}
+{1/(x^3*ProductLog[a*x^2]^2), x, 5, 1/(6*x^2) + (1/6)*a*ExpIntegralEi[-ProductLog[a*x^2]] - 1/(6*x^2*ProductLog[a*x^2]^2) - 1/(6*x^2*ProductLog[a*x^2])}
+
+
+{x^7*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]], x, 6, -((105*Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])/Sqrt[c]])/(131072*a^4)) + (105*c^4*x^8)/(32768*(c*ProductLog[a*x^2])^(7/2)) - (35*c^3*x^8)/(4096*(c*ProductLog[a*x^2])^(5/2)) + (7*c^2*x^8)/(512*(c*ProductLog[a*x^2])^(3/2)) - (c*x^8)/(64*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]) + (1/8)*x^8*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]}
+{x^6*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]], x, 5, (48*c^4*x^7)/(16807*(c*ProductLog[a*x^2])^(7/2)) - (24*c^3*x^7)/(2401*(c*ProductLog[a*x^2])^(5/2)) + (6*c^2*x^7)/(343*(c*ProductLog[a*x^2])^(3/2)) - (c*x^7)/(49*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]) + (1/7)*x^7*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]}
+{x^5*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]], x, 5, (5*Sqrt[c]*Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])/Sqrt[c]])/(864*a^3) - (5*c^3*x^6)/(432*(c*ProductLog[a*x^2])^(5/2)) + (5*c^2*x^6)/(216*(c*ProductLog[a*x^2])^(3/2)) - (c*x^6)/(36*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]) + (1/6)*x^6*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]}
+{x^4*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]], x, 4, -((8*c^3*x^5)/(625*(c*ProductLog[a*x^2])^(5/2))) + (4*c^2*x^5)/(125*(c*ProductLog[a*x^2])^(3/2)) - (c*x^5)/(25*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]) + (1/5)*x^5*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]}
+{x^3*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]], x, 4, -((3*Sqrt[c]*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])/Sqrt[c]])/(128*a^2)) + (3*c^2*x^4)/(64*(c*ProductLog[a*x^2])^(3/2)) - (c*x^4)/(16*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]) + (1/4)*x^4*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]}
+{x^2*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]], x, 3, (2*c^2*x^3)/(27*(c*ProductLog[a*x^2])^(3/2)) - (c*x^3)/(9*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]) + (1/3)*x^3*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]}
+{x*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]], x, 3, (Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]/Sqrt[c]])/(8*a) - (c*x^2)/(4*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]) + (1/2)*x^2*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]}
+{Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]], x, 2, -((c*x)/Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]) + x*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]}
+{Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]/x, x, 2, Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]] + (c*ProductLog[a*x^2])^(3/2)/(3*c)}
+{Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]/x^2, x, 1, (CannotIntegrate[Sqrt[ProductLog[a*x^2]]/x^2, x]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])/Sqrt[ProductLog[a*x^2]]}
+{Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]/x^3, x, 2, (-(1/2))*a*Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]/Sqrt[c]] - Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]/x^2}
+{Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]/x^4, x, 1, (CannotIntegrate[Sqrt[ProductLog[a*x^2]]/x^4, x]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])/Sqrt[ProductLog[a*x^2]]}
+{Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]/x^5, x, 3, (1/3)*a^2*Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])/Sqrt[c]] - Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]/(3*x^4) + (c*ProductLog[a*x^2])^(3/2)/(3*c*x^4)}
+{Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]/x^6, x, 1, (CannotIntegrate[Sqrt[ProductLog[a*x^2]]/x^6, x]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])/Sqrt[ProductLog[a*x^2]]}
+{Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]/x^7, x, 4, (-(2/5))*a^3*Sqrt[c]*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])/Sqrt[c]] - Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]/(5*x^6) + (c*ProductLog[a*x^2])^(3/2)/(15*c*x^6) - (2*(c*ProductLog[a*x^2])^(5/2))/(5*c^2*x^6)}
+
+
+{x^7/Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]], x, 5, -((15*Sqrt[Pi]*Erfi[(2*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])/Sqrt[c]])/(16384*a^4*Sqrt[c])) + (15*c^3*x^8)/(4096*(c*ProductLog[a*x^2])^(7/2)) - (5*c^2*x^8)/(512*(c*ProductLog[a*x^2])^(5/2)) + (c*x^8)/(64*(c*ProductLog[a*x^2])^(3/2)) + x^8/(8*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])}
+{x^6/Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]], x, 4, (8*c^3*x^7)/(2401*(c*ProductLog[a*x^2])^(7/2)) - (4*c^2*x^7)/(343*(c*ProductLog[a*x^2])^(5/2)) + (c*x^7)/(49*(c*ProductLog[a*x^2])^(3/2)) + x^7/(7*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])}
+{x^5/Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]], x, 4, (Sqrt[Pi/3]*Erfi[(Sqrt[3]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])/Sqrt[c]])/(144*a^3*Sqrt[c]) - (c^2*x^6)/(72*(c*ProductLog[a*x^2])^(5/2)) + (c*x^6)/(36*(c*ProductLog[a*x^2])^(3/2)) + x^6/(6*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])}
+{x^4/Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]], x, 3, -((2*c^2*x^5)/(125*(c*ProductLog[a*x^2])^(5/2))) + (c*x^5)/(25*(c*ProductLog[a*x^2])^(3/2)) + x^5/(5*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])}
+{x^3/Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]], x, 3, -((Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])/Sqrt[c]])/(32*a^2*Sqrt[c])) + (c*x^4)/(16*(c*ProductLog[a*x^2])^(3/2)) + x^4/(4*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])}
+{x^2/Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]], x, 2, (c*x^3)/(9*(c*ProductLog[a*x^2])^(3/2)) + x^3/(3*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])}
+{x/Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]], x, 2, (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]/Sqrt[c]])/(4*a*Sqrt[c]) + x^2/(2*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])}
+{1/Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]], x, 1, (CannotIntegrate[1/Sqrt[ProductLog[a*x^2]], x]*Sqrt[ProductLog[a*x^2]])/Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]}
+{1/(x*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]), x, 2, -(1/Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]) + Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]/c}
+{1/(x^2*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]), x, 1, (CannotIntegrate[1/(x^2*Sqrt[ProductLog[a*x^2]]), x]*Sqrt[ProductLog[a*x^2]])/Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]}
+{1/(x^3*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]), x, 3, -((a*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]/Sqrt[c]])/(3*Sqrt[c])) - 1/(3*x^2*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]) - Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]/(3*c*x^2)}
+{1/(x^4*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]), x, 1, (CannotIntegrate[1/(x^4*Sqrt[ProductLog[a*x^2]]), x]*Sqrt[ProductLog[a*x^2]])/Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]}
+{1/(x^5*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]), x, 4, (4*a^2*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])/Sqrt[c]])/(15*Sqrt[c]) - 1/(5*x^4*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]) - Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]/(15*c*x^4) + (4*(c*ProductLog[a*x^2])^(3/2))/(15*c^2*x^4)}
+{1/(x^6*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]), x, 1, (CannotIntegrate[1/(x^6*Sqrt[ProductLog[a*x^2]]), x]*Sqrt[ProductLog[a*x^2]])/Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]}
+{1/(x^7*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]), x, 5, -((12*a^3*Sqrt[3*Pi]*Erf[(Sqrt[3]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]])/Sqrt[c]])/(35*Sqrt[c])) - 1/(7*x^6*Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]) - Sqrt[c*ProductLog[a*x^2]]/(35*c*x^6) + (2*(c*ProductLog[a*x^2])^(3/2))/(35*c^2*x^6) - (12*(c*ProductLog[a*x^2])^(5/2))/(35*c^3*x^6)}
+
+
+{x^2*(c*ProductLog[a*x^2])^p, x, 1, (CannotIntegrate[x^2*ProductLog[a*x^2]^p, x]*(c*ProductLog[a*x^2])^p)/ProductLog[a*x^2]^p}
+{x*(c*ProductLog[a*x^2])^p, x, 3, (1/2)*x^2*(c*ProductLog[a*x^2])^p - (p*Gamma[1 + p, -ProductLog[a*x^2]]*(c*ProductLog[a*x^2])^p)/((-ProductLog[a*x^2])^p*(2*a))}
+{(c*ProductLog[a*x^2])^p/x, x, 2, (c*ProductLog[a*x^2])^p/(2*p) + (c*ProductLog[a*x^2])^(1 + p)/(2*c*(1 + p))}
+{(c*ProductLog[a*x^2])^p/x^2, x, 1, (CannotIntegrate[ProductLog[a*x^2]^p/x^2, x]*(c*ProductLog[a*x^2])^p)/ProductLog[a*x^2]^p}
+{(c*ProductLog[a*x^2])^p/x^3, x, 5, -((E^(2*ProductLog[a*x^2])*Gamma[-1 + p, ProductLog[a*x^2]]*ProductLog[a*x^2]^(2 - p)*(c*ProductLog[a*x^2])^p)/(2*a*x^4)) - (E^(2*ProductLog[a*x^2])*Gamma[p, ProductLog[a*x^2]]*ProductLog[a*x^2]^(2 - p)*(c*ProductLog[a*x^2])^p)/(2*a*x^4)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*x^m ProductLog[a/x]^p*)
+
+
+{x^4*ProductLog[a/x], x, 5, (-(125/24))*a^5*ExpIntegralEi[-5*ProductLog[a/x]] + (1/4)*x^5*ProductLog[a/x] - (1/12)*x^5*ProductLog[a/x]^2 + (5/24)*x^5*ProductLog[a/x]^3 - (25/24)*x^5*ProductLog[a/x]^4}
+{x^3*ProductLog[a/x], x, 4, (8/3)*a^4*ExpIntegralEi[-4*ProductLog[a/x]] + (1/3)*x^4*ProductLog[a/x] - (1/6)*x^4*ProductLog[a/x]^2 + (2/3)*x^4*ProductLog[a/x]^3}
+{x^2*ProductLog[a/x], x, 3, (-(3/2))*a^3*ExpIntegralEi[-3*ProductLog[a/x]] + (1/2)*x^3*ProductLog[a/x] - (1/2)*x^3*ProductLog[a/x]^2}
+{x*ProductLog[a/x], x, 2, a^2*ExpIntegralEi[-2*ProductLog[a/x]] + x^2*ProductLog[a/x]}
+{ProductLog[a/x], x, 3, (-a)*ExpIntegralEi[-ProductLog[a/x]] + x*ProductLog[a/x]}
+{ProductLog[a/x]/x, x, 2, -ProductLog[a/x] - (1/2)*ProductLog[a/x]^2}
+{ProductLog[a/x]/x^2, x, 4, 1/x - 1/(x*ProductLog[a/x]) - ProductLog[a/x]/x}
+{ProductLog[a/x]/x^3, x, 5, 1/(4*x^2) + 1/(8*x^2*ProductLog[a/x]^2) - 1/(4*x^2*ProductLog[a/x]) - ProductLog[a/x]/(2*x^2)}
+{ProductLog[a/x]/x^4, x, 6, 1/(9*x^3) - 2/(81*x^3*ProductLog[a/x]^3) + 2/(27*x^3*ProductLog[a/x]^2) - 1/(9*x^3*ProductLog[a/x]) - ProductLog[a/x]/(3*x^3)}
+{ProductLog[a/x]/x^5, x, 7, 1/(16*x^4) + 3/(512*x^4*ProductLog[a/x]^4) - 3/(128*x^4*ProductLog[a/x]^3) + 3/(64*x^4*ProductLog[a/x]^2) - 1/(16*x^4*ProductLog[a/x]) - ProductLog[a/x]/(4*x^4)}
+
+
+{x^4*ProductLog[a/x]^2, x, 4, (25/3)*a^5*ExpIntegralEi[-5*ProductLog[a/x]] + (1/3)*x^5*ProductLog[a/x]^2 - (1/3)*x^5*ProductLog[a/x]^3 + (5/3)*x^5*ProductLog[a/x]^4}
+{x^3*ProductLog[a/x]^2, x, 3, -4*a^4*ExpIntegralEi[-4*ProductLog[a/x]] + (1/2)*x^4*ProductLog[a/x]^2 - x^4*ProductLog[a/x]^3}
+{x^2*ProductLog[a/x]^2, x, 2, 2*a^3*ExpIntegralEi[-3*ProductLog[a/x]] + x^3*ProductLog[a/x]^2}
+{x*ProductLog[a/x]^2, x, 2, (-a^2)*ExpIntegralEi[-2*ProductLog[a/x]] + (1/2)*x^2*ProductLog[a/x]^2}
+{ProductLog[a/x]^2, x, 2, 2*x*ProductLog[a/x] + x*ProductLog[a/x]^2}
+{ProductLog[a/x]^2/x, x, 2, (-(1/2))*ProductLog[a/x]^2 - (1/3)*ProductLog[a/x]^3}
+{ProductLog[a/x]^2/x^2, x, 5, -(4/x) + 4/(x*ProductLog[a/x]) + (2*ProductLog[a/x])/x - ProductLog[a/x]^2/x}
+{ProductLog[a/x]^2/x^3, x, 6, -(3/(4*x^2)) - 3/(8*x^2*ProductLog[a/x]^2) + 3/(4*x^2*ProductLog[a/x]) + ProductLog[a/x]/(2*x^2) - ProductLog[a/x]^2/(2*x^2)}
+{ProductLog[a/x]^2/x^4, x, 7, -(8/(27*x^3)) + 16/(243*x^3*ProductLog[a/x]^3) - 16/(81*x^3*ProductLog[a/x]^2) + 8/(27*x^3*ProductLog[a/x]) + (2*ProductLog[a/x])/(9*x^3) - ProductLog[a/x]^2/(3*x^3)}
+{ProductLog[a/x]^2/x^5, x, 8, -(5/(32*x^4)) - 15/(1024*x^4*ProductLog[a/x]^4) + 15/(256*x^4*ProductLog[a/x]^3) - 15/(128*x^4*ProductLog[a/x]^2) + 5/(32*x^4*ProductLog[a/x]) + ProductLog[a/x]/(8*x^4) - ProductLog[a/x]^2/(4*x^4)}
+
+
+{x^3*Sqrt[ProductLog[a/x]], x, 5, (-(256/105))*a^4*Sqrt[Pi]*Erf[2*Sqrt[ProductLog[a/x]]] + (2/7)*x^4*Sqrt[ProductLog[a/x]] - (2/35)*x^4*ProductLog[a/x]^(3/2) + (16/105)*x^4*ProductLog[a/x]^(5/2) - (128/105)*x^4*ProductLog[a/x]^(7/2)}
+{x^2*Sqrt[ProductLog[a/x]], x, 4, (4/5)*a^3*Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ProductLog[a/x]]] + (2/5)*x^3*Sqrt[ProductLog[a/x]] - (2/15)*x^3*ProductLog[a/x]^(3/2) + (4/5)*x^3*ProductLog[a/x]^(5/2)}
+{x*Sqrt[ProductLog[a/x]], x, 3, (-(2/3))*a^2*Sqrt[2*Pi]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ProductLog[a/x]]] + (2/3)*x^2*Sqrt[ProductLog[a/x]] - (2/3)*x^2*ProductLog[a/x]^(3/2)}
+{Sqrt[ProductLog[a/x]], x, 2, a*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ProductLog[a/x]]] + 2*x*Sqrt[ProductLog[a/x]]}
+{Sqrt[ProductLog[a/x]]/x, x, 2, -2*Sqrt[ProductLog[a/x]] - (2/3)*ProductLog[a/x]^(3/2)}
+{Sqrt[ProductLog[a/x]]/x^2, x, 3, -((Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ProductLog[a/x]]])/(4*a)) + 1/(2*x*Sqrt[ProductLog[a/x]]) - Sqrt[ProductLog[a/x]]/x}
+{Sqrt[ProductLog[a/x]]/x^3, x, 4, (3*Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ProductLog[a/x]]])/(64*a^2) - 3/(32*x^2*ProductLog[a/x]^(3/2)) + 1/(8*x^2*Sqrt[ProductLog[a/x]]) - Sqrt[ProductLog[a/x]]/(2*x^2)}
+{Sqrt[ProductLog[a/x]]/x^4, x, 5, -((5*Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ProductLog[a/x]]])/(432*a^3)) + 5/(216*x^3*ProductLog[a/x]^(5/2)) - 5/(108*x^3*ProductLog[a/x]^(3/2)) + 1/(18*x^3*Sqrt[ProductLog[a/x]]) - Sqrt[ProductLog[a/x]]/(3*x^3)}
+
+
+{x^3/Sqrt[ProductLog[a/x]], x, 6, (-(2048/945))*a^4*Sqrt[Pi]*Erf[2*Sqrt[ProductLog[a/x]]] + (2*x^4)/(9*Sqrt[ProductLog[a/x]]) + (2/63)*x^4*Sqrt[ProductLog[a/x]] - (16/315)*x^4*ProductLog[a/x]^(3/2) + (128/945)*x^4*ProductLog[a/x]^(5/2) - (1024/945)*x^4*ProductLog[a/x]^(7/2)}
+{x^2/Sqrt[ProductLog[a/x]], x, 5, (24/35)*a^3*Sqrt[3*Pi]*Erf[Sqrt[3]*Sqrt[ProductLog[a/x]]] + (2*x^3)/(7*Sqrt[ProductLog[a/x]]) + (2/35)*x^3*Sqrt[ProductLog[a/x]] - (4/35)*x^3*ProductLog[a/x]^(3/2) + (24/35)*x^3*ProductLog[a/x]^(5/2)}
+{x/Sqrt[ProductLog[a/x]], x, 4, (-(8/15))*a^2*Sqrt[2*Pi]*Erf[Sqrt[2]*Sqrt[ProductLog[a/x]]] + (2*x^2)/(5*Sqrt[ProductLog[a/x]]) + (2/15)*x^2*Sqrt[ProductLog[a/x]] - (8/15)*x^2*ProductLog[a/x]^(3/2)}
+{1/Sqrt[ProductLog[a/x]], x, 4, (2/3)*a*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[ProductLog[a/x]]] + (2*x)/(3*Sqrt[ProductLog[a/x]]) + (2/3)*x*Sqrt[ProductLog[a/x]]}
+{1/(x*Sqrt[ProductLog[a/x]]), x, 2, 2/Sqrt[ProductLog[a/x]] - 2*Sqrt[ProductLog[a/x]]}
+{1/(x^2*Sqrt[ProductLog[a/x]]), x, 2, -((Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[ProductLog[a/x]]])/(2*a)) - 1/(x*Sqrt[ProductLog[a/x]])}
+{1/(x^3*Sqrt[ProductLog[a/x]]), x, 3, (Sqrt[Pi/2]*Erfi[Sqrt[2]*Sqrt[ProductLog[a/x]]])/(16*a^2) - 1/(8*x^2*ProductLog[a/x]^(3/2)) - 1/(2*x^2*Sqrt[ProductLog[a/x]])}
+{1/(x^4*Sqrt[ProductLog[a/x]]), x, 4, -((Sqrt[Pi/3]*Erfi[Sqrt[3]*Sqrt[ProductLog[a/x]]])/(72*a^3)) + 1/(36*x^3*ProductLog[a/x]^(5/2)) - 1/(18*x^3*ProductLog[a/x]^(3/2)) - 1/(3*x^3*Sqrt[ProductLog[a/x]])}
+
+
+{x^2*(c*ProductLog[a/x])^p, x, 4, (3^(3 - p)*E^(4*ProductLog[a/x])*x^4*Gamma[-3 + p, 3*ProductLog[a/x]]*ProductLog[a/x]^(4 - p)*(c*ProductLog[a/x])^p)/a + (3^(2 - p)*E^(4*ProductLog[a/x])*x^4*Gamma[-2 + p, 3*ProductLog[a/x]]*ProductLog[a/x]^(3 - p)*(c*ProductLog[a/x])^(1 + p))/(a*c)}
+{x*(c*ProductLog[a/x])^p, x, 4, (2^(2 - p)*E^(3*ProductLog[a/x])*x^3*Gamma[-2 + p, 2*ProductLog[a/x]]*ProductLog[a/x]^(3 - p)*(c*ProductLog[a/x])^p)/a + (2^(1 - p)*E^(3*ProductLog[a/x])*x^3*Gamma[-1 + p, 2*ProductLog[a/x]]*ProductLog[a/x]^(2 - p)*(c*ProductLog[a/x])^(1 + p))/(a*c)}
+{(c*ProductLog[a/x])^p/x, x, 2, -((c*ProductLog[a/x])^p/p) - (c*ProductLog[a/x])^(1 + p)/(c*(1 + p))}
+{(c*ProductLog[a/x])^p/x^2, x, 3, -((c*ProductLog[a/x])^p/x) + (p*Gamma[1 + p, -ProductLog[a/x]]*(c*ProductLog[a/x])^p)/((-ProductLog[a/x])^p*a)}
+{(c*ProductLog[a/x])^p/x^3, x, 4, -((2^(-2 - p)*Gamma[2 + p, -2*ProductLog[a/x]]*(-ProductLog[a/x])^(-1 - p)*(c*ProductLog[a/x])^p)/(E^ProductLog[a/x]*(a*x))) - (2^(-3 - p)*Gamma[3 + p, -2*ProductLog[a/x]]*(-ProductLog[a/x])^(-2 - p)*(c*ProductLog[a/x])^(1 + p))/(E^ProductLog[a/x]*(a*c*x))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*ProductLog[a x^n]^p*)
+
+
+{ProductLog[a/x^(1/4)]^5, x, 2, (5/4)*x*ProductLog[a/x^(1/4)]^4 + x*ProductLog[a/x^(1/4)]^5}
+{ProductLog[a/x^(1/3)]^4, x, 2, (4/3)*x*ProductLog[a/x^(1/3)]^3 + x*ProductLog[a/x^(1/3)]^4}
+{ProductLog[a/Sqrt[x]]^3, x, 2, (3/2)*x*ProductLog[a/Sqrt[x]]^2 + x*ProductLog[a/Sqrt[x]]^3}
+{ProductLog[a/x]^2, x, 2, 2*x*ProductLog[a/x] + x*ProductLog[a/x]^2}
+{1/ProductLog[a*Sqrt[x]], x, 2, x/(2*ProductLog[a*Sqrt[x]]^2) + x/ProductLog[a*Sqrt[x]]}
+{1/ProductLog[a*x^(1/3)]^2, x, 2, (2*x)/(3*ProductLog[a*x^(1/3)]^3) + x/ProductLog[a*x^(1/3)]^2}
+{1/ProductLog[a*x^(1/4)]^3, x, 2, (3*x)/(4*ProductLog[a*x^(1/4)]^4) + x/ProductLog[a*x^(1/4)]^3}
+
+
+{ProductLog[a/x^(1/5)]^4, x, 2, 20*a^5*ExpIntegralEi[-5*ProductLog[a/x^(1/5)]] + 5*x*ProductLog[a/x^(1/5)]^4}
+{ProductLog[a/x^(1/4)]^3, x, 2, 12*a^4*ExpIntegralEi[-4*ProductLog[a/x^(1/4)]] + 4*x*ProductLog[a/x^(1/4)]^3}
+{ProductLog[a/x^(1/3)]^2, x, 2, 6*a^3*ExpIntegralEi[-3*ProductLog[a/x^(1/3)]] + 3*x*ProductLog[a/x^(1/3)]^2}
+{ProductLog[a/Sqrt[x]], x, 2, 2*a^2*ExpIntegralEi[-2*ProductLog[a/Sqrt[x]]] + 2*x*ProductLog[a/Sqrt[x]]}
+{1/ProductLog[a*x]^2, x, 2, (2*ExpIntegralEi[ProductLog[a*x]])/a - x/ProductLog[a*x]^2}
+{1/ProductLog[a*Sqrt[x]]^3, x, 2, (6*ExpIntegralEi[2*ProductLog[a*Sqrt[x]]])/a^2 - (2*x)/ProductLog[a*Sqrt[x]]^3}
+{1/ProductLog[a*x^(1/3)]^4, x, 2, (12*ExpIntegralEi[3*ProductLog[a*x^(1/3)]])/a^3 - (3*x)/ProductLog[a*x^(1/3)]^4}
+{1/ProductLog[a*x^(1/4)]^5, x, 2, (20*ExpIntegralEi[4*ProductLog[a*x^(1/4)]])/a^4 - (4*x)/ProductLog[a*x^(1/4)]^5}
+
+
+{ProductLog[a*x^n]^((-1 + n)/n), x, 2, ((1 - n)*x)/ProductLog[a*x^n]^n^(-1) + x/ProductLog[a*x^n]^((1 - n)/n)}
+{ProductLog[a*x^(1/(1 - p))]^p, x, 2, x*ProductLog[a*x^(1/(1 - p))]^p - (p/(1 - p))*x*ProductLog[a*x^(1/(1 - p))]^(p - 1)}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*x^m ProductLog[a x^n]^p*)
+
+
+{x^(-1 - n)*(c*ProductLog[a*x^n])^(9/2), x, 5, (135*a*c^(9/2)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Sqrt[c]])/(16*n) - (135*c^3*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2))/(x^n*(8*n)) - (45*c^2*(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2))/(x^n*(4*n)) - (9*c*(c*ProductLog[a*x^n])^(7/2))/(x^n*(2*n)) - (c*ProductLog[a*x^n])^(9/2)/(x^n*n)}
+{x^(-1 - n)*(c*ProductLog[a*x^n])^(7/2), x, 4, (21*a*c^(7/2)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Sqrt[c]])/(8*n) - (21*c^2*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2))/(x^n*(4*n)) - (7*c*(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2))/(x^n*(2*n)) - (c*ProductLog[a*x^n])^(7/2)/(x^n*n)}
+{x^(-1 - n)*(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2), x, 3, (5*a*c^(5/2)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Sqrt[c]])/(4*n) - (5*c*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2))/(x^n*(2*n)) - (c*ProductLog[a*x^n])^(5/2)/(x^n*n)}
+{x^(-1 - n)*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2), x, 2, (3*a*c^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Sqrt[c]])/(2*n) - (c*ProductLog[a*x^n])^(3/2)/(x^n*n)}
+{x^(-1 - n)*(c*ProductLog[a*x^n])^(1/2), x, 2, -((a*Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Sqrt[c]])/n) - (2*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/(x^n*n)}
+{x^(-1 - n)/(c*ProductLog[a*x^n])^(1/2), x, 3, -((2*a*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Sqrt[c]])/(3*Sqrt[c]*n)) - 2/(x^n*(3*n*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])) - (2*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/(x^n*(3*c*n))}
+{x^(-1 - n)/(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2), x, 4, (4*a*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Sqrt[c]])/(5*c^(3/2)*n) - 2/(x^n*(5*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2))) - 2/(x^n*(5*c*n*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])) + (4*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/(x^n*(5*c^2*n))}
+{x^(-1 - n)/(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2), x, 5, -((8*a*Sqrt[Pi]*Erf[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Sqrt[c]])/(21*c^(5/2)*n)) - 2/(x^n*(7*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2))) - 2/(x^n*(7*c*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2))) + 4/(x^n*(21*c^2*n*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])) - (8*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/(x^n*(21*c^3*n))}
+
+
+{x^(-1 - 2*n)*(c*ProductLog[a*x^n])^(11/2), x, 5, (165*a^2*c^(11/2)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/Sqrt[c]])/(256*n) - (165*c^3*(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2))/(x^(2*n)*(128*n)) - (55*c^2*(c*ProductLog[a*x^n])^(7/2))/(x^(2*n)*(32*n)) - (11*c*(c*ProductLog[a*x^n])^(9/2))/(x^(2*n)*(8*n)) - (c*ProductLog[a*x^n])^(11/2)/(x^(2*n)*(2*n))}
+{x^(-1 - 2*n)*(c*ProductLog[a*x^n])^(9/2), x, 4, (27*a^2*c^(9/2)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/Sqrt[c]])/(64*n) - (27*c^2*(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2))/(x^(2*n)*(32*n)) - (9*c*(c*ProductLog[a*x^n])^(7/2))/(x^(2*n)*(8*n)) - (c*ProductLog[a*x^n])^(9/2)/(x^(2*n)*(2*n))}
+{x^(-1 - 2*n)*(c*ProductLog[a*x^n])^(7/2), x, 3, (7*a^2*c^(7/2)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/Sqrt[c]])/(16*n) - (7*c*(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2))/(x^(2*n)*(8*n)) - (c*ProductLog[a*x^n])^(7/2)/(x^(2*n)*(2*n))}
+{x^(-1 - 2*n)*(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2), x, 2, (5*a^2*c^(5/2)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/Sqrt[c]])/(4*n) - (c*ProductLog[a*x^n])^(5/2)/(x^(2*n)*(2*n))}
+{x^(-1 - 2*n)*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2), x, 2, -((3*a^2*c^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/Sqrt[c]])/n) - (2*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2))/(x^(2*n)*n)}
+{x^(-1 - 2*n)*(c*ProductLog[a*x^n])^(1/2), x, 3, (2*a^2*Sqrt[c]*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/Sqrt[c]])/(3*n) - (2*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/(x^(2*n)*(3*n)) + (2*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2))/(x^(2*n)*(3*c*n))}
+{x^(-1 - 2*n)/(c*ProductLog[a*x^n])^(1/2), x, 4, (8*a^2*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/Sqrt[c]])/(15*Sqrt[c]*n) - 2/(x^(2*n)*(5*n*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])) - (2*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/(x^(2*n)*(15*c*n)) + (8*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2))/(x^(2*n)*(15*c^2*n))}
+{x^(-1 - 2*n)/(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2), x, 5, -((32*a^2*Sqrt[2*Pi]*Erf[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/Sqrt[c]])/(35*c^(3/2)*n)) - 2/(x^(2*n)*(7*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2))) - 6/(x^(2*n)*(35*c*n*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])) + (8*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/(x^(2*n)*(35*c^2*n)) - (32*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2))/(x^(2*n)*(35*c^3*n))}
+
+
+{x^(-1 + n)*(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2), x, 5, (75*c^(5/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Sqrt[c]])/(16*a*n) - (75*c^3*x^n)/(8*n*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]) + (25*c^2*x^n*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/(4*n) - (5*c*x^n*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2))/(2*n) + (x^n*(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2))/n}
+{x^(-1 + n)*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2), x, 4, -((9*c^(3/2)*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Sqrt[c]])/(8*a*n)) + (9*c^2*x^n)/(4*n*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]) - (3*c*x^n*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/(2*n) + (x^n*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2))/n}
+{x^(-1 + n)*(c*ProductLog[a*x^n])^(1/2), x, 3, (Sqrt[c]*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Sqrt[c]])/(4*a*n) - (c*x^n)/(2*n*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]) + (x^n*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/n}
+{x^(-1 + n)/(c*ProductLog[a*x^n])^(1/2), x, 2, (Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Sqrt[c]])/(2*a*Sqrt[c]*n) + x^n/(n*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])}
+{x^(-1 + n)/(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2), x, 2, (3*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Sqrt[c]])/(a*c^(3/2)*n) - (2*x^n)/(n*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2))}
+{x^(-1 + n)/(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2), x, 3, (10*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Sqrt[c]])/(3*a*c^(5/2)*n) - (2*x^n)/(3*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2)) - (10*x^n)/(3*c*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2))}
+{x^(-1 + n)/(c*ProductLog[a*x^n])^(7/2), x, 4, (28*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Sqrt[c]])/(15*a*c^(7/2)*n) - (2*x^n)/(5*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(7/2)) - (14*x^n)/(15*c*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2)) - (28*x^n)/(15*c^2*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2))}
+{x^(-1 + n)/(c*ProductLog[a*x^n])^(9/2), x, 5, (24*Sqrt[Pi]*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Sqrt[c]])/(35*a*c^(9/2)*n) - (2*x^n)/(7*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(9/2)) - (18*x^n)/(35*c*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(7/2)) - (12*x^n)/(35*c^2*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2)) - (24*x^n)/(35*c^3*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2))}
+
+
+{x^(-1 + 2*n)*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2), x, 5, (45*c^(3/2)*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/Sqrt[c]])/(256*a^2*n) - (45*c^3*x^(2*n))/(128*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2)) + (15*c^2*x^(2*n))/(32*n*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]) - (3*c*x^(2*n)*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/(8*n) + (x^(2*n)*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2))/(2*n)}
+{x^(-1 + 2*n)*(c*ProductLog[a*x^n])^(1/2), x, 4, -((3*Sqrt[c]*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/Sqrt[c]])/(64*a^2*n)) + (3*c^2*x^(2*n))/(32*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2)) - (c*x^(2*n))/(8*n*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]) + (x^(2*n)*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/(2*n)}
+{x^(-1 + 2*n)/(c*ProductLog[a*x^n])^(1/2), x, 3, -((Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/Sqrt[c]])/(16*a^2*Sqrt[c]*n)) + (c*x^(2*n))/(8*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2)) + x^(2*n)/(2*n*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])}
+{x^(-1 + 2*n)/(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2), x, 2, (3*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/Sqrt[c]])/(4*a^2*c^(3/2)*n) + x^(2*n)/(2*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(3/2))}
+{x^(-1 + 2*n)/(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2), x, 2, (5*Sqrt[Pi/2]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/Sqrt[c]])/(a^2*c^(5/2)*n) - (2*x^(2*n))/(n*(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2))}
+{x^(-1 + 2*n)/(c*ProductLog[a*x^n])^(7/2), x, 3, (14*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/Sqrt[c]])/(3*a^2*c^(7/2)*n) - (2*x^(2*n))/(3*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(7/2)) - (14*x^(2*n))/(3*c*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2))}
+{x^(-1 + 2*n)/(c*ProductLog[a*x^n])^(9/2), x, 4, (24*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/Sqrt[c]])/(5*a^2*c^(9/2)*n) - (2*x^(2*n))/(5*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(9/2)) - (6*x^(2*n))/(5*c*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(7/2)) - (24*x^(2*n))/(5*c^2*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2))}
+{x^(-1 + 2*n)/(c*ProductLog[a*x^n])^(11/2), x, 5, (352*Sqrt[2*Pi]*Erfi[(Sqrt[2]*Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]])/Sqrt[c]])/(105*a^2*c^(11/2)*n) - (2*x^(2*n))/(7*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(11/2)) - (22*x^(2*n))/(35*c*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(9/2)) - (88*x^(2*n))/(105*c^2*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(7/2)) - (352*x^(2*n))/(105*c^3*n*(c*ProductLog[a*x^n])^(5/2))}
+
+
+{ProductLog[a*x^n]^4/x^(3*n + 1), x, 2, -((4*ProductLog[a*x^n]^3)/(x^(3*n)*(9*n))) - ProductLog[a*x^n]^4/(x^(3*n)*(3*n))}
+{ProductLog[a*x^n]^3/x^(2*n + 1), x, 2, -((3*ProductLog[a*x^n]^2)/(x^(2*n)*(4*n))) - ProductLog[a*x^n]^3/(x^(2*n)*(2*n))}
+{ProductLog[a*x^n]^2/x^(n + 1), x, 2, -((2*ProductLog[a*x^n])/(x^n*n)) - ProductLog[a*x^n]^2/(x^n*n)}
+{x^(2*n - 1)/ProductLog[a*x^n], x, 2, x^(2*n)/(4*n*ProductLog[a*x^n]^2) + x^(2*n)/(2*n*ProductLog[a*x^n])}
+{x^(3*n - 1)/ProductLog[a*x^n]^2, x, 2, (2*x^(3*n))/(9*n*ProductLog[a*x^n]^3) + x^(3*n)/(3*n*ProductLog[a*x^n]^2)}
+{x^(4*n - 1)/ProductLog[a*x^n]^3, x, 2, (3*x^(4*n))/(16*n*ProductLog[a*x^n]^4) + x^(4*n)/(4*n*ProductLog[a*x^n]^3)}
+
+
+{x^(-1 - n*(1 + p))*(c*ProductLog[a*x^n])^p, x, 2, -((c*ProductLog[a*x^n])^p/(x^(n*(1 + p))*n)) - (p*(c*ProductLog[a*x^n])^p*CannotIntegrate[(x^(-1 - n*(1 + p))*ProductLog[a*x^n]^(1 + p))/(1 + ProductLog[a*x^n]), x])/ProductLog[a*x^n]^p}
+{x^(-1 + n*(0 - p))*(c*ProductLog[a*x^n])^p, x, 2, -((c*ProductLog[a*x^n])^p/(x^(n*p)*(n*p))) + (CannotIntegrate[(x^(-1 - n*p)*ProductLog[a*x^n]^p)/(1 + ProductLog[a*x^n]), x]*(c*ProductLog[a*x^n])^p)/ProductLog[a*x^n]^p}
+{x^(-1 + n*(1 - p))*(c*ProductLog[a*x^n])^p, x, 2, -((c*p*x^(n*(1 - p))*(c*ProductLog[a*x^n])^(-1 + p))/(n*(1 - p)^2)) + (x^(n*(1 - p))*(c*ProductLog[a*x^n])^p)/(n*(1 - p))}
+{x^(-1 + n*(2 - p))*(c*ProductLog[a*x^n])^p, x, 3, (c^2*p*x^(n*(2 - p))*(c*ProductLog[a*x^n])^(-2 + p))/(n*(2 - p)^3) - (c*p*x^(n*(2 - p))*(c*ProductLog[a*x^n])^(-1 + p))/(n*(2 - p)^2) + (x^(n*(2 - p))*(c*ProductLog[a*x^n])^p)/(n*(2 - p))}
+{x^(-1 + n*(3 - p))*(c*ProductLog[a*x^n])^p, x, 4, -((2*c^3*p*x^(n*(3 - p))*(c*ProductLog[a*x^n])^(-3 + p))/(n*(3 - p)^4)) + (2*c^2*p*x^(n*(3 - p))*(c*ProductLog[a*x^n])^(-2 + p))/(n*(3 - p)^3) - (c*p*x^(n*(3 - p))*(c*ProductLog[a*x^n])^(-1 + p))/(n*(3 - p)^2) + (x^(n*(3 - p))*(c*ProductLog[a*x^n])^p)/(n*(3 - p))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*x^m / (1+ProductLog[a x^n])*)
+
+
+{x^3/(1 + ProductLog[a*x]), x, 4, -((3*x^4)/(128*ProductLog[a*x]^4)) + (3*x^4)/(32*ProductLog[a*x]^3) - (3*x^4)/(16*ProductLog[a*x]^2) + x^4/(4*ProductLog[a*x])}
+{x^2/(1 + ProductLog[a*x]), x, 3, (2*x^3)/(27*ProductLog[a*x]^3) - (2*x^3)/(9*ProductLog[a*x]^2) + x^3/(3*ProductLog[a*x])}
+{x/(1 + ProductLog[a*x]), x, 2, -(x^2/(4*ProductLog[a*x]^2)) + x^2/(2*ProductLog[a*x])}
+{1/(1 + ProductLog[a*x]), x, 1, a*x/(a*ProductLog[a*x])}
+{1/(x*(1 + ProductLog[a*x])), x, 1, Log[ProductLog[a*x]]}
+{1/(x^2*(1 + ProductLog[a*x])), x, 2, -(1/x) - a*ExpIntegralEi[-ProductLog[a*x]]}
+{1/(x^3*(1 + ProductLog[a*x])), x, 3, -(1/(2*x^2)) + 2*a^2*ExpIntegralEi[-2*ProductLog[a*x]] + ProductLog[a*x]/x^2}
+{1/(x^4*(1 + ProductLog[a*x])), x, 4, -(1/(3*x^3)) - (9/2)*a^3*ExpIntegralEi[-3*ProductLog[a*x]] + ProductLog[a*x]/(2*x^3) - (3*ProductLog[a*x]^2)/(2*x^3)}
+
+
+{x^3/(1 + ProductLog[a*x^2]), x, 3, -(x^4/(8*ProductLog[a*x^2]^2)) + x^4/(4*ProductLog[a*x^2])}
+{x^2/(1 + ProductLog[a*x^2]), x, 0, CannotIntegrate[x^2/(1 + ProductLog[a*x^2]), x]}
+{x/(1 + ProductLog[a*x^2]), x, 2, x^2/(2*ProductLog[a*x^2])}
+{1/(1 + ProductLog[a*x^2]), x, 0, CannotIntegrate[1/(1 + ProductLog[a*x^2]), x]}
+{1/(x*(1 + ProductLog[a*x^2])), x, 1, (1/2)*Log[ProductLog[a*x^2]]}
+{1/(x^2*(1 + ProductLog[a*x^2])), x, 0, CannotIntegrate[1/(x^2*(1 + ProductLog[a*x^2])), x]}
+{1/(x^3*(1 + ProductLog[a*x^2])), x, 3, -(1/(2*x^2)) - (1/2)*a*ExpIntegralEi[-ProductLog[a*x^2]]}
+{1/(x^4*(1 + ProductLog[a*x^2])), x, 0, CannotIntegrate[1/(x^4*(1 + ProductLog[a*x^2])), x]}
+
+
+{x^3/(1 + ProductLog[a/x]), x, 6, x^4/4 - (32/3)*a^4*ExpIntegralEi[-4*ProductLog[a/x]] - (1/3)*x^4*ProductLog[a/x] + (2/3)*x^4*ProductLog[a/x]^2 - (8/3)*x^4*ProductLog[a/x]^3}
+{x^2/(1 + ProductLog[a/x]), x, 5, x^3/3 + (9/2)*a^3*ExpIntegralEi[-3*ProductLog[a/x]] - (1/2)*x^3*ProductLog[a/x] + (3/2)*x^3*ProductLog[a/x]^2}
+{x/(1 + ProductLog[a/x]), x, 4, x^2/2 - 2*a^2*ExpIntegralEi[-2*ProductLog[a/x]] - x^2*ProductLog[a/x]}
+{1/(1 + ProductLog[a/x]), x, 3, x + a*ExpIntegralEi[-ProductLog[a/x]]}
+{1/(x*(1 + ProductLog[a/x])), x, 1, -Log[ProductLog[a/x]]}
+{1/(x^2*(1 + ProductLog[a/x])), x, 2, -(1/(x*ProductLog[a/x]))}
+{1/(x^3*(1 + ProductLog[a/x])), x, 3, 1/(4*x^2*ProductLog[a/x]^2) - 1/(2*x^2*ProductLog[a/x])}
+{1/(x^4*(1 + ProductLog[a/x])), x, 4, -(2/(27*x^3*ProductLog[a/x]^3)) + 2/(9*x^3*ProductLog[a/x]^2) - 1/(3*x^3*ProductLog[a/x])}
+
+
+{x^5/(1 + ProductLog[a/x^2]), x, 6, x^6/6 + (9/4)*a^3*ExpIntegralEi[-3*ProductLog[a/x^2]] - (1/4)*x^6*ProductLog[a/x^2] + (3/4)*x^6*ProductLog[a/x^2]^2}
+{x^3/(1 + ProductLog[a/x^2]), x, 5, x^4/4 - a^2*ExpIntegralEi[-2*ProductLog[a/x^2]] - (1/2)*x^4*ProductLog[a/x^2]}
+{x^1/(1 + ProductLog[a/x^2]), x, 4, x^2/2 + (1/2)*a*ExpIntegralEi[-ProductLog[a/x^2]]}
+{1/(x^1*(1 + ProductLog[a/x^2])), x, 1, (-(1/2))*Log[ProductLog[a/x^2]]}
+{1/(x^3*(1 + ProductLog[a/x^2])), x, 3, -(1/(2*x^2*ProductLog[a/x^2]))}
+
+{x^4/(1 + ProductLog[a/x^2]), x, 1, CannotIntegrate[x^4/(1 + ProductLog[a/x^2]), x]}
+{x^2/(1 + ProductLog[a/x^2]), x, 1, CannotIntegrate[x^2/(1 + ProductLog[a/x^2]), x]}
+{x^0/(1 + ProductLog[a/x^2]), x, 1, CannotIntegrate[1/(1 + ProductLog[a/x^2]), x]}
+{1/(x^2*(1 + ProductLog[a/x^2])), x, 1, CannotIntegrate[1/(x^2*(1 + ProductLog[a/x^2])), x]}
+{1/(x^4*(1 + ProductLog[a/x^2])), x, 1, CannotIntegrate[1/(x^4*(1 + ProductLog[a/x^2])), x]}
+
+
+{x^m/(d + d*ProductLog[a*x]), x, 1, (x^m*Gamma[1 + m, (-(1 + m)*ProductLog[a*x])])/(E^(m*ProductLog[a*x])*(-(1 + m)*ProductLog[a*x])^m*(a*d*(1 + m)))}
+
+
+(* ::Subsubsection::Closed:: *)
+(*ProductLog[a x^n]^p / (1+ProductLog[a x^n])*)
+
+
+{ProductLog[a/x^(1/4)]^5/(1 + ProductLog[a/x^(1/4)]), x, 1, x*ProductLog[a/x^(1/4)]^4}
+{ProductLog[a/x^(1/3)]^4/(1 + ProductLog[a/x^(1/3)]), x, 1, x*ProductLog[a/x^(1/3)]^3}
+{ProductLog[a/Sqrt[x]]^3/(1 + ProductLog[a/Sqrt[x]]), x, 1, x*ProductLog[a/Sqrt[x]]^2}
+{ProductLog[a/x]^2/(1 + ProductLog[a/x]), x, 1, x*ProductLog[a/x]}
+{1/(ProductLog[a*Sqrt[x]]*(1 + ProductLog[a*Sqrt[x]])), x, 1, x/ProductLog[a*Sqrt[x]]^2}
+{1/(ProductLog[a*x^(1/3)]^2*(1 + ProductLog[a*x^(1/3)])), x, 1, x/ProductLog[a*x^(1/3)]^3}
+{1/(ProductLog[a*x^(1/4)]^3*(1 + ProductLog[a*x^(1/4)])), x, 1, x/ProductLog[a*x^(1/4)]^4}
+
+
+{ProductLog[a/x^(1/4)]^4/(1 + ProductLog[a/x^(1/4)]), x, 1, -4*a^4*ExpIntegralEi[-4*ProductLog[a/x^(1/4)]]}
+{ProductLog[a/x^(1/3)]^3/(1 + ProductLog[a/x^(1/3)]), x, 1, -3*a^3*ExpIntegralEi[-3*ProductLog[a/x^(1/3)]]}
+{ProductLog[a/Sqrt[x]]^2/(1 + ProductLog[a/Sqrt[x]]), x, 1, -2*a^2*ExpIntegralEi[-2*ProductLog[a/Sqrt[x]]]}
+{ProductLog[a/x]/(1 + ProductLog[a/x]), x, 1, (-a)*ExpIntegralEi[-ProductLog[a/x]]}
+{1/(ProductLog[a*x]*(1 + ProductLog[a*x])), x, 1, ExpIntegralEi[ProductLog[a*x]]/a}
+{1/(ProductLog[a*Sqrt[x]]^2*(1 + ProductLog[a*Sqrt[x]])), x, 1, (2*ExpIntegralEi[2*ProductLog[a*Sqrt[x]]])/a^2}
+{1/(ProductLog[a*x^(1/3)]^3*(1 + ProductLog[a*x^(1/3)])), x, 1, (3*ExpIntegralEi[3*ProductLog[a*x^(1/3)]])/a^3}
+{1/(ProductLog[a*x^(1/4)]^4*(1 + ProductLog[a*x^(1/4)])), x, 1, (4*ExpIntegralEi[4*ProductLog[a*x^(1/4)]])/a^4}
+
+
+{ProductLog[a*x^n]^(1 - 1/n)/(1 + ProductLog[a*x^n]), x, 1, x/ProductLog[a*x^n]^(n^(-1))}
+{ProductLog[a*x^(1/(1 - p))]^p/(1 + ProductLog[a*x^(1/(1 - p))]), x, 1, x*ProductLog[a*x^(1/(1 - p))]^(p - 1)}
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/each_rule_tests.jl b/test/methods/rule_based/test_files/each_rule_tests.jl
new file mode 100644
index 00000000..fe271e0c
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/each_rule_tests.jl
@@ -0,0 +1,111 @@
+file_tests = [
+# 9_1
+(2/x, 2log(x), x) # 9_1_12_1
+(2x/(x^2 + 1), log(1 + x^2), x) # 9_1_12_2
+(x/(3*(x^2 + 1)), (1//6)*log(1 + x^2), x) # 9_1_12_3
+(2((1 + x^3)^4.1)*((2 + 2((1 / x)^3))^5), -((4.57143*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-9.1, -(14//3), -(11//3), -x^3))/x^14), x) # 9_1_24
+# 1_1_1_1
+(1/x, log(x), x)
+(a^-3, (-1//2) / (a^2), a)
+(1/(1+x), log(1+x), x)
+((1+2a)^-3, (-1//4)*(1+2a)^-2, a)
+((1+2(3+4x))^3, (1//32)*(1+2(3+4x))^4, x) #1_1_1_1_5
+# 1_1_1_2
+((4 + 4x)*((10 + 2x)^3), (32//5)*x*((5 + x)^4), x) #1_1_1_2_1
+(1/((2 + 4x)*(5 - 10x)), (1//20)*atanh(2x), x) # 2 
+(1/((2 + 4*x)*(5  + 2*x)), (1//16)*(log(2+4x)-log(5+2x)), x) # 3 here also log(1+2x) is correct, because of +c
+(((21 + 3x)^5)*((1 / (4 + x))^7), (-27//2)*(7+x)^6/(4+x)^6, x) # 4 TODO here integrating (21 + 3x)^5) / (4 + x)^7 would not work because of pattern matching 1/((...)*(...))
+((2+3x)^(1//2)*(4-6x)^(1//2), (2-3x)^(3//2)*x*(2+3x)^(3//2)/sqrt(2) + (6/sqrt(2))*x*sqrt(2-3x)*sqrt(2+3x) + 4*sqrt(2)*asin(3x/2), x) #1_1_1_2_5 TODO 1_1_1_2_8 doesnt get applied because of pattern matching
+(1/((-3 + 2*x)^(3//2)*(3 + 2*x)^(3//2)), -x / (9sqrt(3 + 2x)*sqrt(-3 + 2x)), x) # 6
+((-1+2x)^(-5//2)*(3+6x)^(-5//2), -(x/(27sqrt(3)*(-1 + 2x)^(3/2) *(1 + 2x)^(3/2))) + (2x)/(27*sqrt(3)*sqrt(-1 + 2x)*sqrt(1 + 2x)), x) # 7 TODO this doesnt get applied bc to be applied the exponent need to be <= -3/2, and 1/((...)*(...)) is not supported by current pattern matching
+((-1+2x)^2*(3+6x)^2, 9x - 24x^3 + (144x^5)/5, x)
+((1+2x)^2*(3-6x)^2, 9x - 24x^3 + (144x^5)/5, x)
+((-1+2x)^(0.1)*(3+6x)^(0.1), (x*(-3 + 12x^2)^0.1*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(-0.1, 1//2, 3//2, 4x^2))/(1 - 4x^2)^0.1, x) # 9
+((1/(-1+2x))^2*(3+6x)^(1.1), (3 + 6x)^1.1/(2*(1 - 2x)) -  0.25*(3 + 6x)^1.1*SymbolicIntegration.hypergeometric2f1(1, 1.1, 2.1, (1//2)*(1 + 2x)), x) # 10
+((1/(-1+2x))^2*(3+6x)^(-1.1), 666, x) # 11 TODO doesnt work bc of patterm matching 1/((...)*(...))
+((-1 + 2x)^2*(3 + 6x)^(2.1), 0.215054(3 + 6x)^3.1 - 0.0542005(3 + 6x)^4.1 +  0.00363108(3 + 6x)^5.1, x) # 12
+((1+2x)^(1//2)*(3-6x)^(3//2), (3//2)sqrt(3)*sqrt(1 - 2x)*x*sqrt(1 + 2x) + (1//2)sqrt(3)*(1 - 2x)^(3//2)*(1 + 2x)^(3//2) + (3//4)sqrt(3)*asin(2x), x) # 18 TODO rule 1_1_1_2_8 doenst get applied bc of pattern matching 1/((...)*(...))
+(1/(sqrt(1+2x)*sqrt(-1+2x)), (1//2)*acosh(2x), x) # 21
+(1/(sqrt(1+2x)*sqrt(1-2x)), (1//2)*asin(2x), x) # 22
+(1/(sqrt(1+2x)*sqrt(3+4x)), asinh(sqrt(2)*sqrt(1+2x))/sqrt(2), x) # 23
+(1/((1+2x)*(3+4x)^(1//3)), (1//2)*sqrt(3)*atan((1 + 2(3 + 4x)^(1//3))/sqrt(3)) -  (1//4)*log(1 + 2x) + (3//4)*log(1 - (3 + 4x)^(1//3)), x) # 24
+(1/((1+2x)*(2+6x)^(1//3)), 666, x) # 25 TODO add result
+(1/((1+2x)*(3+4x)^(2//3)), 666, x) # 26
+(1/((1+2x)*(2+6x)^(2//3)), 666, x) # 27
+(1/((1+2x)^(1//3)*(3+4x)^(2//3)), -(sqrt(3)*atan(1/sqrt(3) + (2*2^(1//3)*(1 + 2x)^(1//3))/(sqrt(3)*(3 + 4x)^(1//3))))/(2*2^(2//3)) - log(3 + 4x)/(4*2^(2//3)) - (3log(-1 + (2^(1//3)*(1 + 2x)^(1//3))/(3 + 4x)^(1//3)))/(4*2^(2//3)), x) # 28
+(1/((1-2x)^(1//3)*(3+4x)^(2//3)), -(sqrt(3)*atan(1/sqrt(3) + (2*2^(1//3)*(1 + 2x)^(1//3))/(sqrt(3)*(3 + 4x)^(1//3))))/(2*2^(2//3)) - log(3 + 4x)/(4*2^(2//3)) - (3log(-1 + (2^(1//3)*(1 + 2x)^(1//3))/(3 + 4x)^(1//3)))/(4*2^(2//3)), x) # 29
+# 1_1_1_3
+((1+2x)^2*(3-6x)^2*x, -(3//8)*(1 - 4x^2)^3, x) # 1
+(sqrt(2+4x)/(sqrt(-5x)*sqrt(1+3x)), -2*sqrt(2//15)*Elliptic.E(asin(sqrt(-3x)), 2//3), x) # 38
+(1/(sqrt(2+4x)*sqrt(-5x)*sqrt(1+3x)), -sqrt(2//15)*Elliptic.E(asin(sqrt(-3x)), 2//3), x) # 43
+# 1_1_1_4
+((1+2x)^2*(3+4x)^3*(5+6x)*(7+8x), 945x + 4887x^2 + 14316x^3 + 25994x^4 + (149856//5)*x^5 + 21440x^6 + 8704x^7 + 1536x^8, x) # 1
+# 1_1_1_5
+((1+x+x^2+x^3)*(1+2x)^9*(2-4x)^9, 666, x) # 1 TODO add result 
+# 1_1_2_1
+(1/(1+5x^2)^(3//2), x / sqrt(1 + 5(x^2)), x) # 2
+((1+5x^2)^(-5//2), ((2//3)*x) / sqrt(1 + 5(x^2)) + ((1//3)*x) / ((1 + 5(x^2))^(3//2)), x) # 3
+(1 / sqrt(1 - 4(x^2)), (1//2)*asin(2x), x) # 17 
+# 1_1_2_2
+(x/(1+x^2), (1//2)*log(1 + x^2), x) # 1
+(x*(1+x^2)^3, (1//8)*((1 + x^2)^4), x) # 2
+# 1_1_2_3
+(sqrt(1+2x^2)/sqrt(1-2x^2), (1/sqrt(2))*Elliptic.E(asin(sqrt(2)*x), -1//1), x) # 48
+# 1_1_2_4
+(x^3*(-1+2x^2)^3*(1+2x^2)^3, (1//64)*(1 - 4x^4)^4, x) # 2
+
+# 1_1_3_1
+# 1_1_3_2
+(x^2/(1+2x^3), (1//6)*log(1 + 2(x^3)), x) # 2
+# 2_1
+((1+x)^2*((2^x)^2), 2^(2x)/(4*log(2)^3) - (2^(2x)*(1 + x))/(2*log(2)^2) + (2^(2x)*(1 + x)^2)/(2*log(2)), x) # 1
+((1+x)^-2*((2^x)^2), (log(2)/2)*SymbolicUtils.expinti(2*log(2)*(1 + x)) + (-(2^(2x))) / (1 + x), x) # 2
+(2^(2(2+x))/sqrt(1+2x), 666, x) # 5
+# 2_2
+((1 + 2x)^3*(2^(2*(1 + 2x)))^3/(1 + 7*(2^(2*(1 + 2x)))^3), 666, x) # 2_2_1
+# 2_3
+(2^(1 + 2x), 1.4426950408889634*(2^(2x)), x) # 1
+(exp(x), exp(x), x) # 1 but with exp instead of ^
+# 3_1_1
+(log(x^2), x*log(x^2) - 2x, x) # 3_1_1_1
+(log(x^2)^2, -4(-2x + x*log(x^2)) + x*(log(x^2)^2), x) # 3_1_1_2
+(1/log(x), SymbolicUtils.expinti(log(x)), x) # 3_1_1_4
+# 3_1_2
+(log(x)/x, (1//2)*(log(x)^2), x) # 3_1_2_1
+((1+2log(x))^3/x, (1//8)*((1 + 2log(x))^4), x) # 3_1_2_2
+(x^5*(1 + 3log(x^2)), (1//2)*(x^6)*log(x^2), x) # 3_1_2_3
+# 3_1_3
+((1+2x^(1//3))^(-4)*(1+2log(2x^4)), (-(9//2) - (21//1)*(x^(1//3)) - (24//1)*(x^(2//3)) + x - (3//1)*log(1 + 2(x^(1//3))) - (18//1)*(x^(1//3))*log(1 + 2(x^(1//3))) - (36//1)*(x^(2//3))*log(1 + 2(x^(1//3))) - (24//1)*x*log(1 + 2(x^(1//3))) + (2//1)*x*log(2(x^4))) / ((1 + 2(x^(1//3)))^3), x) # 3_1_3_3
+(2*log(x)/(2-2x), PolyLog.reli(2., 1 - x), x) # 3_1_3_4
+# 3_1_4
+(x^3*(1+2/x)^3*(1+2*log(3x^4))^3, 666, x) # 3_1_3_4
+# 3_1_5
+(x^5*(1+2x^3)^4*log(2x^3), 666, x) # 3_1_5_3
+((1+2x+3x^2)*(1+2log(3x^4))^4, 666, x) # 3_1_5_27
+# 3_2_1
+((1+2log(2*((1+x)/((1+x)^2-x^2))^3))^3, 666, x) # 1,5
+((1+2log(2*((1+x)/((1+x)^2-x^2))^3))^3*(1+x)^2, 666, x) # 23,15
+# 3_2_2
+((1+3x)^2*(1+2x)*(1+2log(((1+3x)/(1+2x))^2)), 666, x) # 23,15
+# 3_2_3
+((1+2log(3*sqrt(1+x)/sqrt(1-x)))^2/(1-x^2), (1//6)*((1 + 2log((3sqrt(1 + x)) / sqrt(1 - x)))^3), x) # 15
+# 3_3
+(log(1+2x)*log(1+3x)/x, -PolyLog.reli(3., 1 + 2x) + PolyLog.reli(3., (1 + 2x) / (1 + 3x)) - PolyLog.reli(3., 1 + 3x) - PolyLog.reli(3., (3(1 + 2x)) / (2(1 + 3x))) + PolyLog.reli(2., (1 + 2x) / (1 + 3x))*log((1 + 3x) / (1 + 2x)) + PolyLog.reli(2., 1 + 3x)*(log((1 + 3x) / (1 + 2x)) + log(1 + 2x)) - PolyLog.reli(2., (3(1 + 2x)) / (2(1 + 3x)))*log((1 + 3x) / (1 + 2x)) + (log(1 + 3x) - log((1 + 3x) / (1 + 2x)))*PolyLog.reli(2., 1 + 2x) - (1//2)*(-log(-3x) + log(-2x))*((log((1 + 3x) / (1 + 2x)) + log(1 + 2x))^2) + log(-2x)*log(1 + 3x)*log(1 + 2x) + (1//2)*(log(-2x) + log(-1 / (2(1 + 3x))) - log(x / (1 + 3x)))*(log((1 + 3x) / (1 + 2x))^2), x) # 50 this is really suspicious but also Mathematica confirms it
+# 3_4
+(log(3*(1+2x^6)^3), 666, x) # 2
+((1+2log(2*(1+1/x)^3))^3, 666, x) # 3
+# 3_5
+# ((1+2log(3*((x^2+1)/(x^4-x))^2))^2, 666, x) # 6
+(log((x+x^2)/x)/(1+x^2), 666, x) # 9
+(log(sin(x)), 666, x) # 30
+(log(2asin(x)), 666, x) # 31
+(x*log(SymbolicUtils.gamma(x^2)), 666, x) # 41
+# 4_1_1_1
+(sin(x), -cos(x), x) # 6
+# 4_1_1_2
+((1/(cos(x)))^2*(2+2sin(x))^4, 666, x) # 4
+# 1_1_3_7
+((3*x^2 + 2*x - 2)/(x^3 - 1), 666, x) # 1_1_3_7_22
+# 4_1_6_1
+(sqrt(5 + 4cos(1 + 2x) + 3*sin(1 + 2x)), (4sin(1 + 2x) - 3cos(1 + 2x)) / sqrt(5 + 3sin(1 + 2x) + 4cos(1 + 2x)), x)
+]
\ No newline at end of file
diff --git a/test/methods/rule_based/test_files/easy.jl b/test/methods/rule_based/test_files/easy.jl
new file mode 100644
index 00000000..e0bcbd7c
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/test_files/easy.jl
@@ -0,0 +1,5 @@
+file_tests = [
+(2x,x^2,x)
+(1/(1+x^2),atan(x),x)
+(sin(x),-cos(x),x)
+]
\ No newline at end of file
diff --git a/test/methods/rule_based/translator_of_testset.jl b/test/methods/rule_based/translator_of_testset.jl
new file mode 100644
index 00000000..e4f080fd
--- /dev/null
+++ b/test/methods/rule_based/translator_of_testset.jl
@@ -0,0 +1,183 @@
+using Printf
+include("../src/string_manipulation_helpers.jl")
+
+# Convert Mathematica syntax to Julia syntax
+function translate_mathematica_to_julia(expr::String)
+    # Remove leading/trailing whitespace
+    expr = strip(expr)
+
+    simple_substitutions = [
+        # defined in SpecialFunctions.jl
+        ("ExpIntegralEi", "SymbolicUtils.expinti", 1),
+        ("ExpIntegralE", "SymbolicUtils.expint", 2),
+        ("Gamma", "SymbolicUtils.gamma"),
+        ("LogGamma", "SymbolicUtils.loggamma"),
+        ("Erfi", "SymbolicUtils.erfi"),
+        ("Erf", "SymbolicUtils.erf"),
+        ("SinIntegral", "SymbolicUtils.sinint"),
+        ("CosIntegral", "SymbolicUtils.cosint"),
+        # taken from other julia packages
+        ("EllipticE", "SymbolicIntegration.elliptic_e", (1,2)),
+        ("EllipticF", "SymbolicIntegration.elliptic_f", 2),
+        ("EllipticPi", "SymbolicIntegration.elliptic_pi", (2,3)),
+        ("Hypergeometric2F1", "SymbolicIntegration.hypergeometric2f1", 4),
+        ("AppellF1", "SymbolicIntegration.appell_f1", 6),
+        ("PolyLog", "PolyLog.reli", 2),
+        ("FresnelC", "FresnelIntegrals.fresnelc", 1),
+        ("FresnelS", "FresnelIntegrals.fresnels", 1),
+    ]
+
+    for (mathematica, julia, n_args...) in simple_substitutions
+        expr = smart_replace(expr, mathematica, julia, n_args)
+    end
+
+    associations = [
+        (r"\bSqrt\[", "sqrt("),
+        (r"\bLog\[", "log("),
+        (r"\bSin\[", "sin("),
+        (r"\bCos\[", "cos("),
+        (r"\bTan\[", "tan("),
+        (r"\bSec\[", "sec("),
+        (r"\bCsc\[", "csc("),
+        (r"\bCot\[", "cot("),
+        (r"\bArcSin\[", "asin("),
+        (r"\bArcCos\[", "acos("),
+        (r"\bArcTan\[", "atan("),
+        (r"\bArcSec\[", "asec("),
+        (r"\bArcCsc\[", "acsc("),
+        (r"\bArcCot\[", "acot("),
+        (r"\bSinh\[", "sinh("),
+        (r"\bCosh\[", "cosh("),
+        (r"\bTanh\[", "tanh("),
+        (r"\bSech\[", "sech("),
+        (r"\bCsch\[", "csch("),
+        (r"\bCoth\[", "coth("),
+        (r"\bArcSinh\[", "asinh("),
+        (r"\bArcCosh\[", "acosh("),
+        (r"\bArcTanh\[", "atanh("),
+        (r"\bArcSech\[", "asech("),
+        (r"\bArcCsch\[", "acsch("),
+        (r"\bArcCoth\[", "acoth("),
+        (r"\bExp\[", "exp("),
+        (r"\bAbs\[", "abs("),
+
+        (r"LogIntegral\[(.*?)\]", s"SymbolicUtils.expinti(log(\1))"), # TODO use it from SpecialFunctions.jl once pr is merged
+
+        (r"(?<=\d)/(?=\d)", "//"), # to make fractions and not divisions
+        (r"\bPi\b", "π"),
+        (r"\bE\b", "ℯ"),
+
+        ("]", ")"),  # Close brackets
+        ("[", "("),  # Open brackets
+    ]
+
+    for (mathematica_func, julia_func) in associations
+        expr = replace(expr, mathematica_func => julia_func)
+    end
+    
+    return expr
+end
+
+# Parse a line containing a Mathematica integral in the format:
+# {integrand, result, variable, number}
+function parse_mathematica_line(line::String)
+    occursin("\$", line) && return nothing
+    line = strip(line)
+    # Skip empty lines and comments
+    (isempty(line) || startswith(line, "(*") || startswith(line, "//") || !startswith(line, "{") || !startswith(line, "{") || !endswith(line, "}")) && return nothing
+    content = line[2:end-1] # Remove the outer braces
+    parts = split_outside_brackets(content, ',')
+    # We expect exactly 4 parts: integrand, result, variable, number
+    length(parts) != 4 && return nothing
+
+    return parts
+end
+
+function translate_integral_file(input_filename::String, output_filename::String)
+    # Translate a file of Mathematica integrals to Julia syntax
+    if !isfile(input_filename)
+        error("Input file '$input_filename' not found!")
+    end
+    
+    println("Translating...")
+    
+    integral_count = 0
+
+    open(output_filename, "w") do outfile
+        # Write header
+        write(outfile, "# Each tuple is (integrand, result, integration variable, mystery value)\n")
+        write(outfile, "file_tests = [\n")
+        
+        
+        open(input_filename, "r") do infile
+            for (line_num, line) in enumerate(eachline(infile))
+                parts = parse_mathematica_line(line)
+                
+                if parts !== nothing
+                    integral_count += 1
+                    
+                    try
+                        # Translate each part
+                        integrand_julia = translate_mathematica_to_julia(parts[1])
+                        variable_julia = translate_mathematica_to_julia(parts[2])
+                        number_julia = parts[3]  # Numbers usually don't need translation
+                        result_julia = translate_mathematica_to_julia(parts[4])
+                        
+                        # Write the translated integral
+                        # TODO what si mystery val?
+                        julia_line = "($integrand_julia, $result_julia, $variable_julia, $number_julia),\n"
+                        write(outfile, julia_line)
+                    catch e
+                        println("Error translating line $line_num: $line")
+                        println("Error: $e")
+                        # Write the original line as a comment
+                        write(outfile, "# ERROR in translation: $line\n")
+                    end
+                else
+                    # For non-integral lines (comments, etc.), copy them as-is but convert to Julia comments
+                    if startswith(strip(line), "(*")
+                        # Convert Mathematica comments to Julia comments
+                        comment_line = replace(line, r"\(\*\s*" => "# ", r"\s*\*\)" => "")
+                        write(outfile, comment_line * "\n")
+                    elseif !isempty(strip(line)) && !startswith(strip(line), "//")
+                        # Copy other non-empty lines as comments
+                        write(outfile, "# " * line * "\n")
+                    else
+                        # Copy empty lines as-is
+                        write(outfile, line * "\n")
+                    end
+                end
+            end
+        end
+        
+        write(outfile, "]\n# Total integrals translated: $integral_count\n")
+    end
+    
+    println("Translation complete! Translated $integral_count integrals.")
+    println("Output written to: $output_filename")
+end
+
+if length(ARGS) < 1
+    println("Usage: julia translator_of_testset.jl input_file.m [output_file.jl]")
+    println("If output_file is not specified, it will be input_file with .jl extension")
+    exit(1)
+end
+
+input_file = ARGS[1]
+
+# Generate output filename
+if length(ARGS) >= 2
+    output_file = ARGS[2]
+else
+    # Replace extension with .jl
+    base_name = splitext(input_file)[1]
+    output_file = base_name * ".jl"
+end
+
+try
+    translate_integral_file(input_file, output_file)
+catch e
+    println("Error during translation: $e")
+    exit(1)
+end
+
diff --git a/test/runtests.jl b/test/runtests.jl
index c404f081..33bd9836 100644
--- a/test/runtests.jl
+++ b/test/runtests.jl
@@ -8,27 +8,14 @@ using Symbolics
         @test isdefined(SymbolicIntegration, :integrate)
     end
     
-    @testset "Core Integration Tests" begin
+    @testset "[Both methods] Integration of simple functions" begin
         @variables x
         
-        # Test that basic integration works (check structure, not exact equality)
-        result1 = integrate(x, x)
-        @test string(result1) == "(1//2)*(x^2)"
-        
-        result2 = integrate(x^2, x)  
-        @test string(result2) == "(1//3)*(x^3)"
-        
-        result3 = integrate(1/x, x)
-        @test string(result3) == "log(x)"
-        
-        result4 = integrate(exp(x), x)
-        @test string(result4) == "exp(x)"
-        
-        result5 = integrate(log(x), x)
-        @test string(result5) == "-x + x*log(x)"
-        
-        # Test that integration doesn't crash on common inputs
-        @test integrate(x^3 + 2*x + 1, x) isa Any
+        @test isequal(integrate(x, x)      - (1//2)*(x^2)    , 0)
+        @test isequal(integrate(x^2, x)    - (1//3)*(x^3)    , 0)
+        @test isequal(integrate(1/x, x)    - log(x)          , 0)
+        @test isequal(integrate(exp(x), x) - exp(x)          , 0)
+        @test isequal(integrate(log(x), x) - (-x + x*log(x)) , 0)
     end
     
     # Include Risch method test suites
@@ -36,7 +23,7 @@ using Symbolics
     include("methods/risch/test_complex_fields.jl") 
     include("methods/risch/test_bronstein_examples.jl")
     include("methods/risch/test_algorithm_internals.jl")
-    
-    # Include general test suites
-    include("test_stewart_examples.jl")
+
+    # Include Rule Based method test suites
+    include("methods/rule_based/runtests.jl")
 end
\ No newline at end of file
diff --git a/test/test_integrate_rational.out b/test/test_results/test_integrate_rational.out
similarity index 100%
rename from test/test_integrate_rational.out
rename to test/test_results/test_integrate_rational.out
diff --git a/test/test_stewart.jl b/test/test_stewart.jl
index 5ec2d0c2..46324d3d 100644
--- a/test/test_stewart.jl
+++ b/test/test_stewart.jl
@@ -458,7 +458,7 @@ for prob in problems
     print("∫", prob[1], "dx = ")        
     if length(prob)<=4
         try
-            result = integrate(prob[1], prob[2], catchNotImplementedError=false, catchAlgorithmFailedError=false)
+            result = integrate(prob[1], prob[2], RischMethod(catchNotImplementedError=false, catchAlgorithmFailedError=false))
             println(result)
             arg = 1.123456789
             err = abs(SymbolicUtils.substitute(prob[1]-Symbolics.derivative(result, prob[2]), prob[2]=>arg))
diff --git a/test/test_stewart_examples.jl b/test/test_stewart_examples.jl
deleted file mode 100644
index 41a2cb26..00000000
--- a/test/test_stewart_examples.jl
+++ /dev/null
@@ -1,101 +0,0 @@
-using Test
-using SymbolicIntegration
-using Symbolics
-
-@testset "Stewart Calculus Examples" begin
-    # Selected examples from James Stewart - Calculus (1987)
-    # Integration Test Problems from https://rulebasedintegration.org/testProblems.html
-    
-    @variables x
-    
-    @testset "Basic Integration Formulas" begin
-        # Section 7.1 - Basic integration formulas that should work reliably
-        
-        # Power rule: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1)
-        @test string(integrate(x^2, x)) == "(1//3)*(x^3)"
-        @test string(integrate(x^3, x)) == "(1//4)*(x^4)"
-        
-        # Exponential: ∫exp(x) dx = exp(x)  
-        @test string(integrate(exp(x), x)) == "exp(x)"
-        
-        # Logarithmic: ∫(1/x) dx = log(x)
-        @test string(integrate(1/x, x)) == "log(x)"
-        
-        # Logarithmic integration by parts: ∫log(x) dx = x*log(x) - x
-        @test string(integrate(log(x), x)) == "-x + x*log(x)"
-    end
-    
-    @testset "Rational Function Examples" begin
-        # Selected rational function cases that demonstrate core functionality
-        
-        # Simple partial fractions
-        f1 = (x + 1)//(x^2 + x)
-        result1 = integrate(f1, x)
-        @test !isnothing(result1)
-        
-        # Quadratic denominators  
-        f2 = x//(x^2 + 1)
-        result2 = integrate(f2, x)
-        @test !isnothing(result2)
-        
-        # More complex rational functions
-        f3 = (x^2 + 3*x + 2)//(x^3 + 2*x^2 + x)
-        result3 = integrate(f3, x)
-        @test !isnothing(result3)
-    end
-    
-    @testset "Transcendental Function Examples" begin
-        # Examples involving exp, log, and trigonometric functions
-        
-        # Exponential functions
-        test_cases_exp = [
-            exp(x),
-            x * exp(x),   # Integration by parts case
-            exp(2*x),     # Constant multiple in exponent
-        ]
-        
-        for f in test_cases_exp
-            result = integrate(f, x)
-            @test !isnothing(result)
-            @test string(result) isa String
-        end
-        
-        # Logarithmic functions  
-        test_cases_log = [
-            log(x),
-            1/(x * log(x)),  # Substitution case
-        ]
-        
-        for f in test_cases_log
-            result = integrate(f, x)
-            @test !isnothing(result)
-            @test string(result) isa String
-        end
-    end
-    
-    @testset "Integration Robustness" begin
-        # Test that integration doesn't crash on a variety of expressions
-        # even if the exact symbolic form might differ from textbook results
-        
-        test_expressions = [
-            # Polynomial cases
-            x^4 + 3*x^2 + 2,
-            (x^2 + 1)^2,
-            
-            # Rational function cases  
-            (x + 1)//(x + 2),
-            (x^2 + x + 1)//(x^2 + 1),
-            
-            # Transcendental cases
-            exp(x) + log(x),
-            x * log(x),
-        ]
-        
-        for expr in test_expressions
-            result = integrate(expr, x)
-            @test !isnothing(result)
-            @test string(result) isa String
-            @test length(string(result)) > 0  # Non-empty result
-        end
-    end
-end
\ No newline at end of file
diff --git a/typos.toml b/typos.toml
new file mode 100644
index 00000000..baa6c376
--- /dev/null
+++ b/typos.toml
@@ -0,0 +1,68 @@
+# Configuration for typos spell checker
+# See: https://github.com/crate-ci/typos
+
+[default.extend-identifiers]
+# Package names and Julia ecosystem
+SymbolicIntegration = "SymbolicIntegration"
+SymbolicUtils = "SymbolicUtils" 
+Symbolics = "Symbolics"
+RUBI = "RUBI"
+Mathematica = "Mathematica"
+GSoC = "GSoC"
+
+# Your custom acronyms/terms
+neim = "neim"  # negative exponents in multiplications
+oooomm = "oooomm"  # only one out of multiple matches
+
+# Mathematical function names
+sinh = "sinh"
+cosh = "cosh" 
+tanh = "tanh"
+asinh = "asinh"
+acosh = "acosh"
+atanh = "atanh"
+sqrt = "sqrt"
+atan = "atan"
+asin = "asin"
+acos = "acos"
+exp = "exp"
+log = "log"
+sin = "sin"
+cos = "cos"
+tan = "tan"
+erf = "erf"
+erfi = "erfi"
+gamma = "gamma"
+loggamma = "loggamma"
+Numer = "Numer"
+
+# Technical terms
+integrand = "integrand"
+integrands = "integrands"
+testset = "testset"
+testsets = "testsets"
+runtest = "runtest"
+runtests = "runtests"
+buildpkg = "buildpkg"
+workflow = "workflow"
+workflows = "workflows"
+repo = "repo"
+repos = "repos"
+regex = "regex"
+
+# Common abbreviations
+bool = "bool"
+expr = "expr"
+args = "args"
+params = "params"
+config = "config"
+configs = "configs"
+
+[files]
+extend-exclude = [
+    "Manifest.toml",
+    "Project.toml",
+    "test/test_results/",
+    ".github/badges/",
+    "*.log",
+]